Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 8
Введение. ВАЖНЕЙШИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 11
Классические пространства IX
Евклидовы пространства, сферы и шары (11). 2. Вещественные проективные пространства (12). 3. Комплексные и кватернионные проективные пространства (13). 4. Проективная плоскость Кэли (13). 5. Многообразия Грассмана (15). '
Многообразия флагов < 16). 7. Компактные классические группы (16).
Многообразия Штифеля (16). 9. Классические действия классических групп в классических пространствах (16). 10. Классические поверхности (17).
Операции над топологическими пространствами 20
Произведения (20). 2. Цилиндр, конус и надстройка (21). 3. Приклеивания. Цилиндр и конус отображения (22). 4. Джойн (22). 5. Пространства отображений, путей и петель (23). 6. Операции над пространствами с отмеченной точкой (24)._
Глава 1. ГОМОТОПИИ 26
Гомотопии и гомотопические эквивалентности 26
Определение гомотопии (26). 2. Множества п(Х, У) (26).3. Гомотопичес
кая эквивалентность (27). 4. Ретракты (29). 5. Пример гомотопического инварианта: категория Люстерника - Шнирельмана (30). 6. Случай пространств с , отмеченной точкой, пар, троек и т.д. (30).
Естественные групповые структуры в множествах я(Х У) 31
Клеточные пространства; 35
Основные определения (35). 2. Комментарии - к определению клеточного пространства (36). 3. Отношение к операциям из §2 (37). 4. Клеточные разбиения классических пространств (38). 5. Теорема Борсука о продолжении гомотопий (43). 6. Следствия из теоремы Борсука (44). 7. Теорема о клеточной аппроксимации (44). 8. Борьба с химерой: доказательство леммы о свободной точке (46). 9. Первые применения теоремы о клеточной аппроксимации (48).
Фундаментальная группа 50
Определение (50). 2. Зависимость от отмеченной точки (51). 3. Вычисление фундаментальных групп (51).
Накрытия■ 57
■1. Определение и примеры (57) . 2. Теорема о накрывающей гомотопии (58)..
Накрытия и фундаментальная группа (59). 4. Регулярные накрытия (61).
Универсальные накрытия (61). 6. Теорема о поднятии отображения (61).
Критерий эквивалентности накрытий (62). 8. Существование и классификация накрытий (62).
Гомотопические группы 63
Определение; коммутативность (63). 2. Зависимость от отмеченной точки (64). 3. Гомотопические группы и накрытия (64). 4. Относительные гомотопические группы (65).5. "Гомотопические группы” я,(Х хе) и
я, (X, А; хе) (66). 6. Связи между относительными и абсолютными гомото-
70798695951061171231321391607079869595106117123132139160
70
79
86
95
95
106
117
123
132
139
160
70
79
86
95
95
106
117
123
132
139
160
пическими группами (67). 7. Гомотопическая последовательность пары (67). 8. Следствия точности (68).
Расслоения (.Определения (70). 2. Накрывающие гомотопии (71). 3. Доказательство теоремы о накрывающей гомотопии (72). 4. Расслоения в смысле Серра (73).
Слои (74). 6. Любое отображение гомотопически эквивалентно расслоению в смысле Серра (76). 7. Гомотопическая последовательность расслоения (77).
Первые применения точности (78) . 9. Заключение: исполнение обещания из § 8 (79).
Теорема о надстройке и гомотопические группы сфер
Основная теорема (79). 2. Первые применения (82). 3. Степень отображения Sn^Sn (83). 4. Стабильные гомотопические группы сфер (84). 5. Умножение Уайтхеда и ’’трудная часть теоремы Фрейденталя” (84).
Гомотопические группы и клеточные пространства
Адциционная теорема (86). 2. Применение аддиционной теоремы: гомотопические группы букетов (88). 3. Первая нетривиальная гомотопическая группа клеточного пространства (88). 4. Слабая гомотопическая эквивалентность как отображение (89). 5. Теорема Уайтхеда (91).6. Клеточная ап
проксимация топологических пространств (91). 7. Пространства Эйленберга- Маклейна (К(я, и)’ы) (92). 8. Единственность К(п, п) ’ов (93). 9. Заклеивание и убивание гомотопических групп (93).
Глава 2. ГОМОЛОГИИ
Сингулярные гомологии
Сингулярные симплексы, цепи и гомологии (95). 2. Цепные комплексы, отображения и гомотопии (96).. 3. Простейшие вычисления (98). 4. Относительные гомологии (100). 5. Относительные гомологии как абсолютные (101) . 6. Дополнения (105).
Вычисление гомологий клеточных пространств
Гомологии сфер. Изоморфизм надстройки (106).2. Гомологии букетов
сфер и вообще букетов (107). 3. Отображения сфер в сферы и букетов сфер в букеты <5фер (107). 4. Клеточный комплекс (109). 5. Гомологии клеточного комплекса (111) . 6. Классический комплекс (112). 7. Некоторые вычисления (113). 8. Цепные отображения клеточных комплексов (116).
Гомологии и гомотопии
Гомологии и слабые гомотопические эквивалентности (117). 2. Теорема Гуревича (119). 3. Случай п = 1 (120) .4. Относительный вариант теоремы Гуревича (121) . 5. Теорема Уайтхеда (122).
Гомологии с коэффициентами и когомологии 1. Определения (123). 2. Перенесение уже известных нам результатов (124).
Коэффициентные последовательности (126). 4. Алгебраическая подготовка к ’’формулам универсальных коэффициентов” (127). 5. Формулы универсальных коэффициентов (128). 6. Формула Кюннета (130).
Умножения'■
Введение (132) . 2. Прямое построение ^-умножения (134). 3. Определение X-умножения (135). 4. Применение: инвариант Хопфа (136).5. Дополнение:
другие умножения (138).
Гомологии и многообразия
Гладкие многообразия (140). 2. Фундаментальный класс (143). 3. Изоморфизм Пуанкаре (144). 4. Индексы пересечения и двойственность Пуанкаре (146). 5. Применение: формулы Лефшеца (149). 6. Коэффициенты зацепления (151). 7. Обратные гомоморфизмы (153). 8. Связь с ^-умножени- ем(155). 9. Обобщения изоморфизма и двойственности Пуанкаре (156).
Теория препятствий
Препятствия к распространению непрерывного отображения (160). 2. Относительный случай (162). 3. Применение: когомологии и отображения в К(т, п)'ы (163). 4. Другое применение: теоремы Хопфа (165). 5. Препятствие к продолжению сечения (165).
Векторные расслоения и характеристические классы 1. Векторные расслоения и операции над ними (167). 2. Касательные и нормальные расслоения гладких многообразий (170) . 3. Ассоциированные рас-
12122122232312312442501212212223231231244250
1
21
2
21
22
23
231
231
244
250
1
21
2
21
22
23
231
231
244
250
слоения и характеристические классы (171). 4. Характеристические классы и классифицирующие пространства (174). 5. Важнейшие свойства классов Шти- феля - Уитни, Эйлера, Черна и Понтрягина (177). 6. Характеристические классы в топологии гладких многообразий (181).
Глава 3. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РАССЛОЕНИЯ
Спектральная последовательность, ассоциированная с фильтрацией
Общие определения (187). 2. Общие теоремы (189). 3. Присоединенная градуированная группа (190). 4. Когомологический вариант теории Лере (191).
Графическое изображение спектральной последовательности (192). 6. Новое понимание клеточного вычисления гомологий (193). 7. Новое понимание гомологических последовательностей пар и троек (194).8. Обобщение на бесконечные фильтрации (194).
Спектральная последовательность расслоения
Вычисление начальных членов спектральной последовательности в предположении гомологической простоты расслоения (195). 2. Случай непростого расслоения (198). 3. Первые применения (200),
Дополнительные свойства спектральных последовательностей расслоений
Гомоморфизмы спектральных последовательностей (203). 2. Нулевая строка и нулевой столбец (205). 3. Трансгрессия (206). 4. Применение: три точных последовательности (207). 5. Трансгрессия и характеристический класс (210).
Мультипликативная структура в когомологической спектральной последовательности
Формулировки: свойства мультипликативной структуры (211). 2. Построение умножения (212). 3. Первое применение: когомологии группы 517(л)(212) 4. Когомологии других классических групп (214). 5. Еще один пример (217).
Метод Серра вычисления гомотопических групп
Когомологии пространств петель (219).2. Метод убивающих прост
ранств (220).
Ранги гомотопических групп
Конечная порожденность и конечность гомотопических групп (222). 2. Вычисление колец Н*(К(т, л); Q)(224). 3. Ранги гомотопических групп сфер (225). 4. Теорема Мартана - Серра (227). 5. Комментарии к теореме Кар- тана - Серра (229).
Нечетные компоненты гомотопических групп
Когомологии Н*(К(7.^, п); Z^/) при (р, р') = 1 (230). 2. Частичное вычисление кольца Н*<К(Тр л); Z) (230). 3. Частичное вычисление когомологий X(Z, л) (234). 4. Частичное вычисление p-компонент гомотопических групп сфер (234).
Гл а в а 4. КОГОМОЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
Общая теория
Определение (238). 2. Классификация (238). 3. Примеры (239). 4. Стабильные операции (240). 5. Алгебра стабильных операций (244).'
Стинродовы квадраты
Введение (244). 2. Теорема существования и единственности Sq* (245).
Доказательство формулы Картана (247). 4. Другие конструкции стинродо- вых квадратов (249).
Алгебра Стинрода
Строение алгебры Стинрода А,. Формулировки (250). 2. Теорема А.Бореля (251). 3. Теорема Ж.-П. Серра (253). 4. Устройство алгебры А (254). 5. Соотношения (254). 6. Вычисление ®<^s(^, Z, Z,) .(256).7. Алгебра Стинрода mod р (257). 8. Другие классификационные теоремы (258).
Применения стинродовых квадратов
Вычисление гомотопических групп (259). 2. Стинродовы квадраты и классы Штифеля - Уитни (261). 3. Вторые препятствия (264). 4. Несуществование сфероидов с нечетным инвариантом Хопфа (265). 5. Линзы (265).
268268271275293301313318318334 '341346360380268268271275293301313318318334 '341346360380
268
268
271
275
293
301
313
318
318
334 '
341
346
360
380
268
268
271
275
293
301
313
318
318
334 '
341
346
360
380
Гл а в а
§ 31.
§ 32.
§ 33.
§ 34.
§ 35.
§ 36.
Глав а § 37.
§ 38.
§ 39.
§ 40.
§41.
§ 42.
§ 43.
СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА
Общая идея
Введение (268). 2. Метод Серра и метод Адамса (269). 3. Спектральная последовательность (270).
Необходимый алгебраический материал
Модули (271). 2. Проективные модули (272). 3. Проективные резольвенты (273). 4. Тог и Ext (274).
Построение спектральной последовательности
Топологическая фильтрация Адамса (275). 2. Группы и дифференциалы спектральной последовательности (278). 3. Теорема Адамса (280). 4. Доказательство утверждений (1) и (2) (280). 5. Отступление: замечание о резольвентах (283). 6. Продолжение доказательства. Случай конечных стабильных гомотопических групп (284). 7. Дополнительные свойства спектральной последовательности Адамса (289). 8. Окончание доказательства теоремы Адамса в общем случае (291).
Мультипликативные структуры . .
Композиционное умножение в стабильных гомотопических группах сферы (294). 2. Алгебраическое отступление: алгебры Хопфа (296) . 3. Алгебра Сгинрода как алгебра Хопфа (297). 4. Умножение в спектральной последовательности Адамса (298).
Применение спектральной последовательности Адамса к вычислению стабильных гомотопических групп сфер
Аддитивная структура члена Е4 (301). 2. Мультипликативная структура (307). 3. Нечетные компоненты (310). 4. Теоремы Адамса о начальном члене его спектральной последовательности (311). 5. Заключение (312).
Частичные операции
Построение частичных операций (313). 2. Частичные операции и второй дифференциал в спектральной последовательности Адамса (315). 3. Частичные операции и гомотопические группы сфер (316). 4. Системы Постникова(316).
6. Х-ТЕОРИЯ И ДРУГИЕ ЭКСТРАОРДИНАРНЫЕ ТЕОРИИ КОГОМОЛОГИЙ
Общая теория
Введение (318). 2. Определения (319). 3. Периодичность Ботта (324). 4. Характер Черна (329). 5. Экстраординарные гомологии и когомологии (331). Вычисление X-функтора: спектральная последовательность Атиа - Хирцебруха 1; Построение спектральной последовательности Атиа - Хирцебруха (334).
Примеры вычислений (338). 3. Дифференциалы спектральной последовательности Атиа - Хирцебруха (340).
Операции Адамса
Определение и свойства (341). 2. Простое доказательство несуществования сфероидов с нечетным инвариантом Хопфа (Адамс - Атиа) (345).
/•функтор
Определение и связь с гомотопическими группами сфер (346). 2. Гипотеза Адамса (350). 3. Применение к гомотопическим группам сфер (357).
Теорема Римана - Роха
Общая теорема Римана - Роха (360). 2. Теорема Римана - Роха в Х-теории для комплексных расслоений (364). 3. Применение: вычисление е-инвариан- та (367). 4. Теорема Римана - Роха в Х-теории для спинорных расслоений (369). 5. Первое применение: теоремы целочисленности (376). 6. Второе применение: теоремы невложимости (377). 7. Заключение: происхождение названия (379).
Формула Атиа - Зингера (набросок)
Эллиптические операторы и их индексы (380) . 2. Примеры (381) . 3. Формула (383). 4. Снова примеры (383).
Кобордизмы
Определения (385). 2. Вычисления (391). 3. Связь с Х-теорией (395). 4.Когомологические операции в кобордизмах и спектральная последовательность Адамса - Новикова (397).
Дополнение. ГОМОЛОГИИ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ 401
Гомологии и критические точки функций на многообразиях 401
. Гомологии и точки бифуркации функции. Общие неравенства Морса 405
Гомологии и категория Люстерника - Шнирельмана 407
Гомологии и минимальные поверхности 414
Физические границы раздела двух сред с равными давлениями и их математическая модель - минимальные поверхности (414). 2. Теорема Дугласа и Радо (416). 3. Абсолютно минимальные двумерные поверхности (420). 4. Трудности при решении задачи Плато в больших размерностях (421). 5. Гомологии и многомерные минимальные поверхности (422). 6. Элементы теории препятствий, встречающиеся в вариационных задачах (426). 7. Гомологически тривиальные минимальные поверхности (429).
Бордизмы и минимальные поверхности 432
Старшие и младшие страты минимальных поверхностей (432). 2. Бордантные многообразия и задача минимизации объема (434). 3. Решение задачи Плато в каждом классе спектральных бордизмов (437). 4. Минимальные поверхности в гомотопических классах отображений (438).
Некоторые топологические свойства минимальных поверхностей 439
Гомологии и периодические решения интегрируемых гамильтоновых систем. . .442
Теория типа Морса для интегрируемых гамильтоновых систем. Топологи
ческий инвариант интегрируемых систем 446
Когомологии и слоения 466
Слоения (466). 2. Класс Годбийона - Вея (471). 3. Характеристические клас
' сы слоений произвольной коразмерности (477). 4. Отступление: алгебры Ли и их когомологии (479). 5. Когомологии алгебры Ли Wq и характеристические классы оснащенных слоений коразмерности q (482).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ДОПОЛНЕНИЮ 485
ПРИЛОЖЕНИЕ. О РИСУНКАХ 488
СПИСОК КНИГ ПО ТОПОЛОГИИ. . 490
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 492
ПРЕДИСЛОВИЕ
Гомотопическая топология, находившаяся в 40—60-е годы в фазе интенсивного развития, достигла к настоящему времени положения относительного равновесия. При этом в ней достаточно ясно обозначились границы круга понятий и фактов, представляющих общематематический интерес. В то же время область применений топологии, в том числе гомотопической, значительно расширилась, охватив, наряду с геометрией и анализом, теоретическую физику и ряд прикладных дисциплин. Поэтому молодому математику, какую бы специальность он себе не избрал, стоит как можно глубже изучить гомотопическую топологию. В помощь ему мы предлагаем эту книгу.
Книга задумана как универсальное пособие по гомотопической топологии, включающее в себя как элементарное введение, так и изложение наиболее совершенных методов, общематематическое значение которых бесспорно. Первую попытку реализовать этот замысел мы предприняли 20 лет назад. Ее результатом явились ротапринтные пособия:
Фукс Д.Б., Фоменко А.Т., Гутенмахер В.Л. Гомотопическая топология. Часть I. — Изд-во МГУ, 1967.
Фукс Д.Б., Фоменко А.Т. Гомотопическая топология. Часть II. — Изд-во МГУ, 1968.
В 1969 году эти книги были выпущены издательством МГУ под единой обложкой, а в 1986 г. венгерское издательство ’’Акаде.миаи” выпустило их английский перевод. Мы использовали в настоящей книге общий план зтих изданий (хотя значительно его расширили), а также несколько пунктов из части II (которые, впрочем, пришлось изрядно переделать).
Главное, что изменилось в книге, — основная цель авторов. Если теперь мы стремимся помочь читателю овладеть разнообразными методами и результатами гомотопической топологии, то 20 лет назад мы, в соответствии с идеологией того времени (лучше сказать, с идеологией конца 50-х годов), считали центральной задачей топологии вычисление гомотопических групп сфер и соответствующим образом ориентировали читателя. Главное же, что мы старались заимствовать из указанных ротапринтных пособий, - неформальный, лекционный стиль изложения.
Достоинства и недостатки лекционного стиля хорошо известны. Достоинства заключаются в доступности и относительной краткости, недостатки состоят в непоследовательности изложения и известной вольности в обращении с доказательства
ми. Мы часто оставляем читателю в качестве упражнения доказательства отдельных теорем или их части, сохраняя за собой право дальнейшего использования этих утверждений как доказанных. Особенно легкомысленным (впрочем, по необходимости) является наше отношение к доказательствам в частях книги, соприкасающихся с топологией многообразий. Непоследовательность изложения проявляется в двух вещах. Во-первых, мы, как правило, формулируем леммы и теоремы, не учитывая в деталях потребности дальнейшего, полагая, что небольшие обобщения или модификации читатель в нужном месте произведет сам. Во-вторых, требования к читателю у нас не постоянны на протяжении книги: начальные главы ориентированы на студента 2—3-го круса, для чтения заключительных глав требуется более высокий уровень математической культуры.
В свое оправдание мы можем сказать, что изложение грандиозного материала этой книги более академическим стилем потребовало бы, наверное, многих томов. (Эти тома частично написаны различными авторами — см. список книг по топологии на с. 490-491).
Первая часть книги — введение и главы 1 и 2 — содержат более или менее стандартный курс элементарной гомотопической топологии (гомотопии, расслоения, клеточные пространства, гомологии). Нестандартными являются § 1 ’’Классические пространства”, § 17 ’’Гомологии и многообразия” и § 19 ’’Векторные расслоения и характеристические классы”. Глава 3 ’’Спектральная последовательность расслоения” осуществляет переход от элементарных разделов книги к более сложным вещам. Изложение в ней сопровождается большим количеством примеров и завершается применением к вычислению гомотопических групп. На вычисление гомотопических групп направлены, в основном, две следующие главы, ’’Когомологические операции” и ’’Спектральная последовательность Адамса”; исключение составляет § 30, в котором показаны различные применения квадратов Стинрода, такие, как формула By для классов Штифеля - Уитни, теорема Стинрода о втором препятствии и теоремы о классификации трехмерных линз. Далее идет глава 6, посвященная К-теории и кобордизмам. Главный упор сделан в ней на применения к различным топологическим и иным проблемам.
Два заключительных параграфа шестой главы вызовут, по всей вероятности, особенное неудовольствие у специалистов, которые вообще склонны обращать главное внимание не на то, что в книге есть, а на то, чего в ней нет. Параграф ’’кобордизмы” не только не отражает богатства современной теории кобордизмов, но не содержит даже упоминания о некоторых ее фундаментальных разделах, скажем, о формальных группах. В свое оправдание мы могли бы сказать, что теории кобордизмов посвящены отличные книги, а наша цель — только возбудить интерес. Еще более открыт для критики заключительный параграф ’’формула Атиа — Зингера”, который, впрочем, мы попытались защитить, вставив в его название слово ’’набросок”.
Перечисленные главы и составляют курс гомотопической топологии, обещанный в названии книги. Но мы сочли разумным включить в нее еще Дополнение, содержащее примеры применений гомотопической топологии в геометрии, механике и анализе и снабженное особым списком литературы. Читатель может воспринимать это как отражение личных математических вкусов авторов.
За исключением Дополнения, ссылки на журнальную литературу делаются непосредственно в тексте. В конце книги мы приводим только более или менее полный список книг по близким нам разделам топологии, имеющихся на русском языке. Если в книге сказано ”см. такую-то главу книги такого-то автора”, то имеется в виду книга из этого списка. .
Мы благодарны Сергею Петровичу Новикову за поддержку. Мы благодарны также В.Л. Гутенмахеру за сотрудничество при составлении ротапринтных пособий, послуживших прообразом этой книги, и А.В. Зелевинскому, представившему прекрасный конспект лекций по А-теории.
ВВЕДЕНИЕ.
ВАЖНЕЙШИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Многие лекторы начинают курсы гомотопической (или иной) топологии с вводной лекции, посвященной ’’теоретико-множественной топологии”, т.е. предмету, рассматривающему топологические пространства в максимальной общности. Мы нарушаем эту традицию, предполагая, что читатель либо уже немного знаком с этим предметом, либо готов терпеть небольшие неудобства, проистекающие из недостаточного знакомства с ним, либо просмотрит перед чтением нашей книги какое-нибудь руководство по теоретико-множественной топологии (годится, например, первый параграф книги Рохлина и Фукса)). Так или иначе, мы присваиваем себе право употреблять без пояснений слова ’’хаусдорфово пространство”, ’’компактное пространство”, "пространство со счетной базой” и т.п., а также использовать (явно или неявно) факты типа ’’непрерывное взаимно однозначное отображение компактного пространства в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом” или ’’компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто”. Вводную же часть книги мы посвятим рассмотрению не общего понятия топологического пространства, а конкретного запаса наиболее часто встречающихся топологических пространств, который будет служить нам источником примеров и мотивировок, а также использоваться в разного рода геометрических конструкциях. Сначала мы познакомимся с некоторыми наиболее известными, ’’классическими” пространствами, а затем опишем важнейшие операции над топологическими пространствами, способствующие размножению нашего запаса пространств и в то же время важные сами по себе.
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Евклидовы пространства, сферы и шары. Обозначения R” и С” имеют у нас обычный смысл. Пространства С” и R2” отождествляются при помощи соответствия (х, + О'!..... х„ + гУп) (*i. У1, • - . , хп, уп). Сфера S" и шар D" определяются соответственно как единичная сфера и единичный шар с центром в начале координат в пространствах R”+1 и R"; таким образом, S”-1 есть граница шара Л" в R". Символ R“ всегда обозначает объединение (’’индуктивный предел”) цепочки вложенных пространств R1 С R2 С R3 С. . . ; таким образом R” есть совокупность финитных (т.е. нулевых, начиная с некоторого места) бесконечных последовательностей (xj, х2. х3, . . . ) вещественных чисел. Топология в R” вводится правилом: множество F С R” замкнуто тогда и только тогда, когда все пересечения F П R" замкнуты в своих пространствах R". Аналогичный смысл придается
Упражнения. 1. Покажите, что последовательность
(яо,О,О,... ), (О, а,. О,...), .... (О,....О, д„,0,...),...
.п
точек пространства R“ имеет предел тогда и только тогда, когда последовательность а0, «J,..., д„,... финитна.
Покажите, что ни одно из пространств R“, S”, D” не метризуемо.
В литературе встречаются другие варианты пространства R“. Например: (1) ’’гильбертово пространство” Z2 - совокупность последовательностей (хъ х2, х3,...), для которых сходится ряд Sx?, топологизированное посредством метрики
р((хъ х2, ...), (уъ у2> ... ))2 = ^(.yj-xt)1;
’’тихоновское пространство” Т — совокупность всех последовательностей (xi, х2> х3,... ) с топологией, определенной правилом
lim (xn, x/2,...) = (xi,x2,...)
тогда и только тогда, когда lim Ху = х, при каждом/. ( -♦ ОО
Упражнения. 3. Непрерывны ли и являются ли гомеоморфизмами на свои образы естественные вложения R” -»Z2, R“ ~»7, Z2 -»7 ?
Метризуемо ли пространство 7 ?
Единичный куб пространства R“, Z2 или 7 определяется как совокупность точек (xj, х2, . . . ) этого пространства, таких, что 0 <х< < 1, i =1,2,... Компактны ли эти кубы?.
Вещественные проективные пространства. Вещественное п-мерное проективное пространство RP" определяется как совокупность проходящих через 0 прямых пространства R"+1, топологизированная угловой метрикой: расстояние между двумя прямыми равно углу между ними.
Упражнение 6. Докажите, что проективная прямая RP1 гомеоморфна окружности S1..
Координаты (х0,..., х„) направляющего вектора прямой (определенные, очевидно, с точностью до пропорциональности) называются однородными координатами точки проективного пространства; стандартное обозначение (х0; • • • : х„). Точки, у которых 1-я однородная координата отлична от 0, составляют i-ю основную аффинную карту, соответствие (х0 : . . . : хп) <—* (х0/Х(, . ... xt -i/х/, xt + i/Xf, . . . . . . , xn/Xi) определяет гомеоморфизм аффинной карты на R" и вносит в нее координаты.
Сопоставляя с точкой сферы S” С R"+1 прямую, проходящую через эту точку и О, мы получаем непрерывное отображение S” -» RPn. Это отображение переводит две различные точки сферы S” в одну точку пространства RP” тогда и только тогда, когда эти точки диаметрально противоположны. Таким образом, каждая точка про-, странства RP" имеет при этом отображении ровно два прообраза (само отображение является двулистным накрытием - см. § 7). Имея в виду это отображение, говорят, что пространство RP” получается из сферы Sn посредством отождествления диаметрально противоположных точек. (Это выражение имеет точный смысл, который состоит в следующем. Предположим, что в топологическом пространстве X указано некоторое множество пар точек, подлежащих отождествлению. После отождествления получается множество Y и отображение X -* Y. Топология в Y вводится правилом: множество открыто, если его прообраз в X открыт; это — слабейшая из топо-
логий, в которых отображение X ■* Y непрерывно).) Верхняя полусфера сферы S" (составленная из точек, у которых неотрицательна (п + 1)-я координата) канонически гомеоморфна шару ГР (гомеоморфизм устанавливается ортогональным проектированием верхней полусферы на экваториальный шар). Сужение предыдущего отображения S” -* RP” на верхнюю полусферу есть, таким образом, отображение /У -* RP”, при котором в одну точку отображаются только диаметрально противоположные точки граничной сферы Sn-1C IP. Таким образом, пространство RP" может быть получено также из шара ЕР отождествлением диаметрально противоположных точек его границы.
Бесконечномерное проективное пространство RP” может быть определено при помощи любой из трех предыдущих конструкций; можно положить также RP” = = URPf.
Комплексные и кватернионные проективные пространства. Если заменить в определении пространства RP” пространство R"+1 пространством С"+1 и вещественные прямые комплексными прямыми, то получится определение комплексного проективного пространства Фп.
Упражнение?. Пространство СР1 гомеоморфно S1.
Подобно RP", пространство Фп покрывается п аффинными картами. Сопоставляя с точкой сферы S2n+1 С С”"1"1 проходящую через эту точку и 0 комплексную прямую, мы получаем отображение S”+1 ^Ф”, переводящее в точку пространства Фп целую окружность {(zjz, . . . , zn+1z)} , где (zj, . . . , zn+1) - данная точка сферы S2n+1, a z пробегает окружность | z | = 1. Можно сказать, что СР” получается из S2"+1 отождествлением точек каждой из этих окружностей. Отображение S2”*1 -* -*Фп можно сузить на шар D2”, вкладывающийся в S2"+1 как совокупность точек, у которых (п + 1)-я координата вещественна и неотрицательна. Получается отображение Z)2” -*Фп и с ним — описание Фп как пространства, получающегося из шара D2” посредством отождествления, аналогичного описанному выше, но производимого только на границе.
Аналогичные конструкции можно произвести, заменив поле комплексных чисел С телом кватернионов Н. Получается кватернионное проективное пространство HP”. Следует только иметь в виду, что из-за некоммутативиости тела кватернионов в катернионных пространствах бывают левые и правые прямые; поэтому следует остановиться на одной из этих возможностей (совершенно равноценных), скажем, определить кватернионное проективное пространство как пространство левых прямых.
Очевидным образом определяются также пространства СР” и HP”. •
Проективная плоскость Кэли. Читателю может показаться неправомерным, что кватернионные проективные пространства занимают в списке классических пространств столь почетное место - по соседству с шарами и сферами. Можно возразить, что для топологии первостепенную важность имеют не только кватернионные проективные пространства, но и такое экзотическое образование, как проективная плоскость Кэли. Определение чисел Кэли (или октав) аналогично определению комплексных чисел и кватернионов. Мы приведем их общую конструкцию.
Предположим, что в пространстве R" с некоторым п определены две операции: умножение и сопряжение (черта). Мы определяем аналогичные две операции в R2” формулами
(а, 6) (с, d) = (ас - bd , be + ad), (a, b) = (a, -b)
(точки пространства R2” отождествляются с парами точек пространства R”). Отправляясь от обычного умножения и тождественного сопряжения (а = а) в R = R, мы последовательно получаем умножение и сопряжение в R2, R4, R8, R16, . . . Умножение в R2 — это обычное умножение комплексных чисел. Умножение в R4 — это умножение кватернионов. Оно билинейно, ассоциативно и допускает однозначное ■ деление (это означает, что уравнение ах = b однозначно разрешимо при а ¥=0), но не коммутативно. Умножение, возникающее в R8, еще хуже: оно не только не коммутативно, но и не ассоциативно (хбтя для него справедливы соотношения ассоциативности в которых участвуют только две буквы: (ab)a = а(Ьа), (ab)b = ab2, (ab)a-1 = а(Ьа-1) и т.д.); правда, оно все еще обладает однозначным делением. Пространство R8 с этим умножением называется алгеброй Кэли и обозначается через Са; элементы же алгебры Кэли называются числами Кэли или октавами. (Умножения в R16, R32, . . . не обладают даже этой толикой хороших свойств.) Забегая значительно вперед, сформулируем гипотезу Фробениуса, доказательство которой в 1960 г. составило заслугу именно гомотопической топологии: если в пространстве R" имеется билинейное умножение с однозначным делением, то п = 1,2,4 или 8.
Неассоциативность умножения в Са препятствует определению в пространствах Са” с п > 3 каких бы то ни было прямых. (Скажем, если определить прямую, проходящую через 0 и точку х Е Са” как совокупность точек вида tx с t Е Са, то прямая, проведенная через 0 и точку tox этой прямой, не будет совпадать с этой прямой — см. рис. 1.) Поэтому удовлетворительного определения проективных пространств Кэли не сущестует (мы увидим впоследствии, что пространств, которые обладали бы
ожидаемыми свойствами проективных пространств Кэли, не существует по чисто топологическим причинам); все же удается определить проективную плоскость Кэли. Для этого мы рассматриваем не целые прямые в Са3, а следы, оставляемые этими прямыми на объединении Т трех плоскостей x = l,j=l,z = l (х, у, z — кэлиевы координаты в Са3). Подробнее: точка (a1, b', с) Е Са3 — 0 называется коллинеарной точке (a, b, с) Е Са3 — 0, если существует такое t Е Са, что а* = ta, b’ = tb, с* = = to. Отношение коллинеарности рефлексивно, симметрично, но не транзитивно; но оно делается транзитивным, если ограничиться точками, лежащими в Т. (Например, если (с, 1, d) = ?i (1, а, Ь) и (е, f, 1) = t2 (с, 1, d), то t j = с = а"1 = db-1, t2 = ес"1 =f = d"x и (r2rj) (1, a, b) = ((ее-1)с, (fa-x)a, (<ГХ (db"x))b) = (e.f, 1).) Более того, каждая точка каждой из трех плоскостей не коллинеарна никакой
другой точке этой плоскости и коллинеарна не более, чем одной точке каждой из двух других плоскостей. Пространство, получающееся из Т при склеивании коллинеарных точек, и есть проективная плоскость Кэли СаР. Каждая из трех плоскостей проектируется в СаР2 без складок; образы этих плоскостей составляют в СаР2 аналог покрытия аффинными картами.
Упражнение 8. Что получится, если отождествить все пары коллинеарных точек в Са3 — О?
Многообразия Грассмана. Это — обобщение проективных пространств. Вещественное многообразие Грассмана G(n, к) определяется как пространство ^-мерных подпространств пространства R” *). Очевидно, G(n, к) = G(n, п - к) и G(n, 1)= = RP"-1. Аналог аффинной карты в G(n, к) определяется так: фиксируется набор целых чисел 1 < i !<...< / к <п и рассматривается часть многообразия Грассмана, составленная из подпространств, без вырождения проектирующихся на пространство г 1 -й, . . . , i к-й координатных осей. Такие подпространства можно рассматривать как графики линейных отображений пространства указанных координатных осей в дополнительное пространство. Таким образом, точки нашей карты характеризуются к X (п - к)-матрицами, т.е. наборами из к(п - к) вещественных чисел; это определяет гомеоморфизм карты на Rfc ^” ~к^ и вносит в нее координаты.
Существует способ ввести координаты сразу во всем пространстве G(n, ^.Именно, фиксируем в пространстве а€б(пД) базис, запишем координаты базисных векторов (в пространстве R") в виде к X n-матрицы и вычислим у этой матрицы
/ п X
все () миноров порядка к. Получающиеся числа не все равны 0 и при замене
, X к /
базиса в а умножаются на одно и то же число. Они называются плюккеровыми координатами подпространства а. Плюккеровы координаты определяют отображение
( ” )-i
G^n, к) -* RP к . Разумеется, образ этого отображения не покрывает всего (")-1
RP к , т.е. плюккеровы координаты связаны некоторыми соотношениями. Пример: 6 плюккеровых координат £12, 613. 614. 623» 624.634 (нижниеиндексы— номера столбцов, из которых составлен минор) точки пространства G(4, 2) связаны (единственным) соотношением 612634 — 613624 + 614623 = 0 (таким образом, G (4, 2) гомеоморфно гиперповерхности в СР5, задаваемой указанным уравнением 2-й степени).
Все сказанное с очевидными изменениями переносится на комплексный и кватернионный случаи; соответствующие многообразия Грассмана обозначаются через CG(n, к) и HG(n, к"). Еще один важный вариант многообразий Грассмана составляют пространства G* (п, к) ориентированных fc-мерных подпространств пространства R" ; заметим, что G+(п, к) = G*(n, п - к) nG^n, 1) = Sn-V. Заметим также, что плюккеровы координаты имеются в CG(n, к") и в G+(n, к). В CG(n, к) они определены с точностью до комплексной пропорциональности и определяют отображение (”)-1
CG(n, к) -* СР к , а в G+ (п, к) они определены с точностью до пропорциональности с положительном коэффициентом и определяют отображение G+(n, к) -*
-*$ к .
Наконец, бесконечномерными вариантами многообразий Грассмана служат пространства Грассмана GQ”, к) — объединение цепочки G(k * i,k) СG(k + 2, к) С...
и G(°°, ”) - объединение цепочки G(°°, 1) CG(“», 2) С. . . , а также пространства СС(«,Л),...
Многообразия флагов. Это — обобщение многообразий Грассмана. Предположим, что задан набор целых чисел 1 <kt < .. .<к$ <л - 1. Флагом типа (^, ^.., к^ в R" называется цепочка Kj С... С К, подпространств пространства R", такая, что dim V, = kt. Совокупность флагов естественно топологизируется и превращается в ’’многообразие флагов” F(n; kt,' .., к,). Варианты этого определения CF(n; kt, Л . . . . , ks), HF(л; кх,’..., ks) и F+ (л; кч, i.., к,) очевидны. Пространства F (л; 1,.. . . . , n - 1), CF(n; 1, . . . , л *- 1), HF (л; 1,..., л - 1) и F+ (л; 1л - 1) называются (по понятным причинам) многообразиями полных флагов.
Компактные классические группы. К их числу относятся: группа О (л) матриц ортогональных преобразований в R”; группа С7(л) (комплексных) матриц унитарных преобразований в С”; подгруппы SO (л) и5О(л) групп О (л) и U (л), составленные из матриц с определителем 1; группа Sp (л) кватернионных матриц унитарных преобразований пространства Н”.
Заметим, что группа SO (2) поворотов плоскости гомеоморфна окружности. Группа 50(3) гомеоморфна RP3; гомеоморфизм относит повороту пространства R3 вокруг ориентированной оси I на угол а < тг точку оси I, отстоящую от 0 в положительном направлении на расстояние а/тг. Поскольку поворот на угол я вокруг ориентированной оси не отличается от поворота на угол тг вокруг противоположно ориентированной оси, образом указанного отображения служит шар D3 с отождествленными диаметрально противоположными точками границы, т.е. RP3. Другую конструкцию гомеоморфизма 50(3) * RF3 см. в книге Рохлина и Фукса (п. 3.2.3).
Группу 50(2) гомеоморфна 5 3: произвольный элемент этой группы записывается / а 0 \-
в виде ( __ ), где | а| 2 + |/?| 2 = 1, т.е. (а, 0) Е S3 СС2. Наконец, группы 0(1) V0 а /
и Sp (1),изоморфные, соответственно, группам 50(2) и 50(2), гомеоморфны S1 и53.
Многообразия Штифеля. Пространство ортонормированных ^-реперов в R” называется многообразием Штифеля и обозначается через V(л, к-). Это пространство имеет комплексный и кватернионный аналоги С V (л, к') и НК (л, к\ Многообразия Штифеля обобщают классические группы: К(л, л) = 0(л), К(л, л - 1) = 50(л), С К (л, л) = О(л),СК(л, л - 1) = 5О(л), НК(л, л) =5р(л). Заметим также, что V(n, 1) = 5"-1,СК(л, 1) =52"-1,НК(л, 1) = 54"-1.•
Классические действия классических групп в классических пространствах. Действие группы О (л) в R” порождает ее действия в S"-1, Л", О (л, к’), У(п, к)‘ подгруппа 50 (л) группы О (л) действует также в G+ (л, к) .В У(п, к) действует еще группа О (к1): матрицы из О (к) применяются к векторам репера. Эти действия имеют комплексные и кватернионные аналоги.■
Действия группы О (л) в S”-1, G(n, к), У(п, к) транзитивны. То же относится к комплексным и кватернионным аналогам этих действий и к действию группы 50(л) в 0+ (л, к). Таким образом, предыдущие классические многообразия являются однородными пространствами компактных классических групп, т.е. они могут быть представлены как факторпространства этих групп по определенным замкнутым подгруппам. Вот эти представления:
5”"1 = О^КХп - 1) = 50(л)/50(л - 1);
S2"-1 = и^и^п_ 1)= SU(n)/SU(n - 1);
S4”-1 = 5р(л)/5р(л - 1);
G(n. к} = OQi)IO(k) X 0(п - к);
CG(n, к) = U(n)IU(k) X Щп - ку
НС(л, к') = Sp(n)[Sp(k) X Sp(n - kY
G*(n, к) = SO(n)/SO(к) X SO (n- k^
(0(&) X 0(n - к) есть подгруппа группы О (л), составленная из блочно диагональных матриц с блоками к X к и (л - к) X (л - к)). Аналогичным образом представляются многообразия флагов:
F(n; к^..., к$) = О(п)1О(к1)ХО(к2 - kV)X... X O(ks-к^Х О(п - к^
и т.д. В частности, многообразие комплексных полных флагов CF(n; 1, . . .,л — 1) есть факторпространство группы С7(л) по ее максимальному тору 1/(1) X ...Х1/(1).
Действие группы О (к) в У(п, к) и его комплексный и кватернионный аналоги свободны. При этом
У(п, к)/О(к) = С(л, к\ V(n, k)ISO(k) = G*(n, к),
СУ(п, k)IU(k) = CG^n, к), НИ(л, k)ISp(k) = НС(л, к).
Классические поверхности. К числу классических поверхностей относятся, прежде всего, (двумерная) сфера S2, вещественная проективная плоскость RP2 и бутылка Клейна, которая, как это широко известно, реализуется в R3 только как поверхность с самопересечением (см. рис. 2). Подобная реализация, хотя не столь широко известная, существует и для проективной плоскости. Она представлена на рис. 3; чтобы помочь читателю разобраться в устройстве этой поверхности, мы приводим на рис. 4 ее сечения семью параллельными плоскостями. Заметим, что: (1) между сечениями 2 и 3 имеется ’’седло”; сечения горизонтальными плоскостями
Ас. 4
Рис. б
вблизи седла ведут себя как горизонтали на географической карте вблизи точки перевала; (2) в какой-то момент между сечениями 3 и 4 линия проходит через точку самопересечения, образуя точку тройного самопересечения.
Реализация проективной плоскости в трехмерном пространстве с более сложной особенностью показана на рис. 5, а (на рис. 5, б более крупно изображена окрестность самой неприятной особой точки).
К числу классических поверхностей относятся также поверхности, получающиеся из сферы, проективной плоскости и бутылки Клейна присоединением ручек и высверливанием дыр (рис. 6).
Упражнения. 9. Проективная плоскость с дырой гомеоморфна ленте Мёбиуса — рис. 7 (таким образом, лента Мёбиуса относится к числу классических поверхностей) . ■
Поверхность, представляющая собой две бутылки Клейна, соединенные трубкой, гомеоморфна бутылке Клейна с ручкой (рис. 8).
Поверхность, представляющая собой бутылку Клейна и проективную плоскость, соединенные трубкой, гомеоморфна проективной плоскости с ручкой.
Поверхность, представляющая собой две проективные плоскости, соединенные трубкой, гомеоморфна бутылке Клейна.
Выведите из трех предыдущих упражнений, что поверхность, представляющая собой две классические поверхности, соединенные трубкой, есть снова классическая поверхность.
Рис. 7Рис. 7Имеется классический способ склеивания классических поверхностей из многоугольников. Процедура заключается в следующем. Берется плоский многоугольник (например правильный). Его стороны (все или некоторые) составляются в пары, и
Рис. 7
Рис. 7
Рис. 8
на составленных в пары сторонах ставятся стрелки. После этого в каждой паре производится склеивание в соответствии со стрелками (иногда это склеивание можно реально выполнить при помощи клея, но, как правило, оно представляет собой мысленное отожествление, описанное в п. 2).
Упражнения. 14. На рис. 9 изображены 6 многоугольников. Стороны, обозначенные одинаковыми цифрами, составлены в пары и снабжены стрелками. Покажите, что при описанном выше склеивании из этих многоугольников получатся: (а) кольцо (= сфера с двумя дырами), (б) лента Мёбиуса, (в) тор (= сфера с одной ручкой), (г) бутылка Клейна, (д) проективная плоскость, (е) поверхность кренделя (= сфера с двумя ручками).
Покажите, что если в многоугольник вставить 4 стороны, занумерованные и ориентированные, как показано на рис. 10, то к соответствующей поверхности присоединится ручка.
Покажите, что если в многоугольник вставить 2 стороны, занумерованные и ориентированные, как показано на рис. 11, то к поверхности присоединится (трубкой) проективная плоскость. (Другое описание последней операции — в поверхности высверливается дырка и к ее краю приклеивается лента Мёбиуса, край которой, кстати, гомеоморфен окружности; короче говорят: к поверхности присоединяется пленка Мёбиуса.)
Покажите, что всякая классическая поверхность может быть получена из многоугольника при помощи нашей процедуры.
18. Всякое ли склеивание многогранника указанного вида приводит к классической поверхности?
Тор (сфера с одной ручкой) может быть реализован в R3 как поверхность вра-
■ ВВЕДЕНИЕ. ВАЖНЕЙШИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА мой окружности, называются меридианами тора, а траектории ее точек — параллелями тора. В соответствии с этим на торе вводятся координаты: широта — угол, отсчитываемый вдоль меридианов от выделенной (скажем, самой длинной) параллели против часовой стрелки, и долгота — угол, отсчитываемый от выделенного меридиана (скажем, от первоначального положения окружности) вдоль параллелей.
Упражнения. 19. Если иа торе отождествить (при всех ip, ф) точку с координатами (р, ф) с точкой с координатами (р + и, ф + я) (т.е. отождествить точки, симметричные относительно центра симметрии тора), то получится поверхность, гомеоморфная бутылке Клейна.
. Если на торе отождествить точки (ip, ф) и (ф, <р), то получится поверхность, гомеоморфная ленте Мёбиуса.
И в заключение мы займемся вычислением ’’рода комплексных кривых” (термин ’’род” полезно знать: если поверхность есть сфера с ручками, то число ее ручек называется ее родом). .
Упражнение 21. Подмножество комплексной проективной плоскости СР2, составленное из точек, однородные координаты (z0: Zj : z2) которых удовлетворяют уравнению z" + z” + z” ~ 0, гомеоморфно сфере с (п - 1) (л — 2)/2 ручками. .
Если вы не справитесь сейчас с этим упражнением, вернитесь к нему после прочтения первых трех глав книги.
§ 2. ОПЕРАЦИИ НАД ТОПОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОСТРАНСТВАМИ
Произведения. Напомним, что произведение X X У множеств Хи У- это множество шф (х, у), где х € X, у G У. Если X, У — топологические пространства, то произведение X X У канонически наделяется топологией: базу открытых множеств в X X У составляют произведения U X V, где U — открытое множество в X, а V - открытое множество в У. (Таким образом, lim (хь 7;) = (х, у) тогда и только тогда, когда lim Xj = х и lim У{ =у.)
Аналогичным образом определяется произведение трех и более пространств.
Мы уже сталкивались с произведениями в п. 9 § 1: подгруппа группы О(п), обозначавшаяся у нас через О(к^ X О(п - к), действительно не отличается от соответствующего произведения, и то же верно для многочисленных других произведений, упоминавшихся по соседству.
Заметим еще, что тор гомеоморфен произведению S1 XS1 двух окружностей: это показывают введенные на торе координаты, долгота и широта. Ввиду этого произведения S1 X ... X S1 (л сомножителей) также называют тором (л-мерным). Укажем также менее очевидное разложение в произведение: пространство G+(4, 2) гомеоморфно S2 X S2. Для доказательства напомним, что плюккеровы координаты определяют вложение пространства G+ (4, 2) в S 5 в качестве поверхности, задаваемой уравнением xtx6 - х2х5 + ХзХ4 = 0 (xt, . . . , х6 — плюккеровы координаты $12» • • •» $34 в G+(4, 2)). Введем в R6 новые координаты, положив Xi = (у, +74)/2, х2 = (7г + 7s)/2, х3 = (7з + 7б)/2, х4 = (7з - 7е)/2, х$ = (72 -7$)/2, х6 = = (71 -74)/2. Тогда предыдущее уравнение примет вид
71 + 72 + 7з -74 -75 -76 =0,
а уравнение сферы х2 + ... + х» =1 - вид
71 +72 +7з +74 +7s + 7б = 2.
Система этих двух уравнений равносильна системе
У1 + Уг + Уз = 1, У* +^s +Уб = 1,
которая, очевидно, определяет в R6 множество, гомеоморфное 52 X 52: точки этого множества соответствуют парам (yt, у2, у3), (^4, у5, Ув) точек сферы 52.
Упражнения. 1. Покажите, что комплексная квадратика, т.е. подмножество комплексного проективного пространства СР3, задаваемое в однородных координатах (z0 : z, : z2 : z3) уравнением zj + z2 + z2 + z3 = 0, гомеоморфно 5 2 XS2.
Покажите, что группа SO(4) гомеоморфна 53 X 50(3), т.е. 5 3 XRP3. (Группа SU(3) могла бы быть гомеоморфна 53 X 8s, поскольку 5t/(3)/5t/(2) = S, т.е. 51/(3) отображается в 5s таким образом, что прообраз каждой точки сферы 55 гомеоморфен 8Щ2), т.е. 53, как говорят, расслаивается над 5$ со слоем 53. Тем не менее, группа 517(3) не гомеоморфна 53 X 8s, но доказать это вам сейчас вряд ли удастся — дождитесь главы 4.)
В заключение заметим, что произведение X X У непрерывно проектируется в X и в У и что непрерывное отображение третьего пространства, Z, в X X У — это то же, что пара непрерывных отображений Z ~»X,Z ~»У.
Цилиндр, конус и надстройка. Символ I обозначает у нас отрезок [0,1]. Произведение XXI называется цилиндром над X; подмножества X X 0, X X 1 цилиндра называются его (нижним и верхним) основаниями (они не отличаются от X), а подмножества вида х XI, где х G X, — его образующими (они гомеоморфны/).Если отождествить между собой все точки основания XXI цилиндраXXI (как говорят, профакторизовать X X / по X X 1), то получится конус СХ над X. Запись: СХ = = X X I]X X 1. Конус сохраняет одно основание, X X 0. Если профакторизовать конус
Рис. 13
по его основанию, то получится надстройка SX над X; таким образом, УХ = СХ/Х X 0. По-другому можно сказать, что SX получается из цилиндра над X отождествлением' в точку каждого из оснований (каждого из оснований в свою точку)
(см. рис. 13). Образ ’’срединного сечения” X X —называют иногда основанием 2
надстройки. (Это название мотивируется тем, что надстройку можно представлять себе как два конуса, приставленные друг к другу основаниями, и эти приставленные основания и служат основанием надстройки.) Образы отождествленных оснований называются вершинами: у конуса одна вершина, у надстройки — две. Образы образующих цилиндра в конусе и надстройке называются образующими конуса и надстройки. Точки конуса и надстройки мы будем по-прежнему записывать как пары (х, t), имея в виду, что в конусе (х', 1) = (х", 1) при любых х\ х" G X, а в над-
стройке еще (х', 0) = (х", 0). Если нам будет нужно подчеркнуть, что точка (х, г) лежит в конусе или в надстройке, то мы будем писать (X, /)с или (х, г) ^.
Упражнения. 3. Конус и надстройка над S" гомеоморфны D"*1 и S"*1.
4. Никакая классическая поверхность, кроме 52, не гомеоморфна надстройке над каким-либо пространством.
Приклеивания. Цилиндр и конус отображения. Пусть X, Y — топологические пространства, Л — часть пространства Y, ф: А -»Х — непрерывное отображение. Возьмем сумму X U Y (т.е. пространство, составленное из X и Y как из двух несообщаю- щихся кусков) и произведем в нем отождествление: всякую точку a G А С Y мы отождествим с точкой ф(а) G X (см. рис. 14). Получающееся пространство обозначается через X и^ У, а описанная процедура его построения называется приклеиванием Y кХпосредством ф.
Выделим два специальных случая этой конструкции. Пусть f: X ^Y — произвольное непрерывное отображение. Результат приклеивания цилиндра X X I к Y посредством отображения X X 0 = X -> Y называется цилиндром отображения / и обозначается через Су1(/) (см. рис. 15). Результат приклеивания конуса СХ к Y посредством того же отображения называется конусом отображения / и обозначается через Con (/). Цилиндр отображения / содержит X и Y, конус отображения / содержит X.
Упражнения. 5. Конус двулистного отображения S” ^ RP” (см. § 1) гомео- морфен RP”+1; в частности, конус двукратного накручивания окружности на себя 51 -> 51, задаваемого формулой (cos ф, sin ф) *-* (cos Ър, sin Ър^ (или в полярных координатах (1, ф) *-* (1, 2ф), или в комплексных координатах z н- z2 ), есть RP2.
6. Сформулируйте и докажите комплексный и кватерионный аналоги первого из утверждений упражнения 5.
Джойн. Джойн X ♦ У пространств X и У удобно представлять себе как объединение отрезков, соединяющих каждую точку пространства X с каждой точкой прост-
ранства У. Например, джойн двух отрезков, лежащих на скрещивающихся прямых в R3, — тетраэдр (рис. 16). Формальное определение джойна таково: берем произведение X X У X I (отрезок х X у X I соединяет точку х G X с точкой у е У) и в нем производим отожествление: точку (х.у1,0) склеиваем с точкой (х, у", 0) и точку (х', у, 1) склеиваем с точкой (х", у , 1) при любых х, х', х" G X, у, у1, у" G Y (отрезки, соединяющие х G X с у' и у" G У, имеют общий левый конец, а отрезки, соединяющие у G У с х' и х" G X, имеют общий правый конец). Сами X и У вкладываются в X * У: х -* (х, у, 0) (любое у) и у •* (х, у, 1) (любое х). Подробнее: подмножество джойна, получающееся при факторизации из X X У X t СХ X У XI, есть X при t = 0, У при t = 1 и X X У при 0 < t < 1.
Упражнения. 7. Джойн пространства X и точки (= нульмерного шара/)0) есть конус СХ над X.
Джойн пространства X и двоеточия (= нульмерной сферы S0) есть надстройка УХ над X.
Джойн Sm • S* гомеоморфен sm+n+1 (ввиду упражнения 8 это - обобщение упражнения 3).
Для достаточно хороших пространств операция ’’джойн” ассоциативна: джойны (X • У )• Z и X* (У • Z) естественно гомеоморфны ’’тройному джойну” X* У *Z, который строится как объединение треугольников, вершины которых лежат, соответственно, в X, У и Z; формально тройной джойн определяется как результат надлежащего отождествления в произведении X X У X Z X Д, где Д — треугольник.
Упражнение 10. Опишите это отождествление и постройте естественные взаймно однозначные соответствия между ^X*Y)*Z, X»(Y«Z) и X*Y*Z. Покажите, что для достаточно хороших пространств X, У, Z (например, компактных) эти взаимно однозначные соответствия являются гомеоморфизмами. (Для плохих топологических пространств эти соответствия гомеоморфизмами не являются и вообще джойн не ассоциативен. Подробное обследование этого явления содержится, например, в книге Постникова ’’Основы гомотопической топологии”.)
Пространства отображений, путей и петель. Совокупность С^Х, У) всех непрерывных отображений пространства X в пространство У наделяется “компактнооткрытой топологией” — топологией равномерной сходимости на компактных множествах. Базу открытых множеств этой топологии составляют множества вида U{К, О), где К — компактное подмножество пространства X, О — открытое подмножество пространства У и U^K.O) состоит из таких отображений /, что f (К) С О.
Упражнение 11. Если X — точка, то С (X, У) = У; если X— совокупность п (изолированных) точек, то С^Х, У) = У X ... X У (и сомножителей). (Последнее равенство служит основанием для того, чтобы обозначать пространство С (А, У) также через Xх.)
Пусть X, У, Z. — топологические пространства. Формула
{/: X - С(У, Z)} ~ {(Х, у) (Дх)](у)}
определяет отображение С^Х, С(У, Z)) ■* С( X X У, Z).
Упражнение 12. Если пространства X и У хаусдорфовы и локально компактны, то это - гомеоморфизм. (В этом случае можно написать (Z Y)X = ZXX Y; эта формула служит еще одним оправданием обозначения Ух и называется ’’экспоненциальным законом”.) '
Путем пространства X называется непрерывное отображение I -* X; точки ф (0) и ¥> (1) называются началом и концом пути ф\ путь, у которого конец совпадает с началом, называется петлей. В пространстве С (7, X) путей пространства X рассматривают такие подпространства: пространство Е (X; х0, Xj) путей пространства X, начинающихся в точке х0 и кончающихся в точке Xj; пространство Е^Х, хе) путей пространства X, начинающихся в точке х0 (и кончающихся где угодно); пространство О.(Х, хе) = Е(Х; х0, хв) петель пространства X с началом х0.
Упражнения. 13. Пространство £"(5”; х0, х,) не зависит, с точностью до гомеоморфизма, от х0 и xt (в частности, оно не зависит от тдго, совпадают эти точки или различны). Какими пространствами можно здесь заменить 5"?
14. Постройте естественный гомеоморфизм между пространством C^X.E^Y; у о, У»)) и частью пространства С^Х, У), составленной из отображений, переводящих вершины надстройки в у0 и у, (в определенном порядке).
Кстати: пространство, любые две точки которого можно соединить путем, называется линейно связным. Это понятие несколько отличается от понятия связности, принятого в теоретико-множественной топологии: пространство связно, если в нем отсутствуют собственные открыто-замкнутые подмножества. Именно, линейно связное пространство связно, но обратное верно не всегда (докажите первое и приведите пример, подтверждающий второе). Впрочем, для широких классов пространств (клеточные пространства, многообразия) понятия связности и линейной связности равносильны, так что мы будем иногда говорить просто ’’связный”, забывая о линейности.
Операции над пространствами с отмеченной точкой. В топологии часто приходится рассматривать не просто топологические пространства, а топологические пространства с отмеченной точкой, т.е. считать, что во всех рассматриваемых пространствах выделены отмеченные точки и все отображения переводят отмеченные точки в отмеченные; одинаковые пространства с разными отмеченными точками считаются при этом как бы разными пространствами. Переход к пространствам с отмеченной точкой в большей или меньшей степени сказывается на всех рассматриваемых операциях. Для некоторых иэ них модификация сводится к тому, что пространство — результат операции - наделяется отмеченной точкой; например, в произведении X X У отмечается точка (х0, Уо), где х0, у0 — отмеченные точки сомножителей. Некоторые операции модифицируются более серьезным образом. Так, в конусе СХ отождествляются между собой точки образующей, соответствующей отмеченной точке пространства X, и аналогичным образом модифицируются надстройка, джойн (в нем отождествляются точки образующей, соединяющие отмеченные точки сомножителей) , цилиндр и конус отображения (которое, конечно, предполагается переводящим отмеченную точку в отмеченную). Образ стянутой образующей во всех случаях принимается за отмеченную точку.
Упражнение 15. Покажите, что гомеоморфизмы CSn =D”'H, hSn =Sn'H, Sm * Sn =sm+n + 1 сохранятся, если считать сферы и шары пространствами с отмеченной точкой (каковой во всех случаях считается точка (1,0,..., 0)).
Пространство отображений уменьшается до пространства отображений, переводящих отмеченную точку в отмеченную. Отмеченной точкой пространства С(Х, У) считается отображение, переводящее все X в отмеченную точку пространства У. Если X - пространство с отмеченной точкой, то ЕХ определяется как пространство путей, начинающихся в отмеченной точке, а ЯХ — как пространство петель, начинающихся (и кончающихся) в отмеченной точке.
Упражнение 16. Если X, У—пространства с отмеченной точкой, то C(SA, У)= = С ^Х, £2 У") (равенство обозначает естественный по X и У) гомеоморфизм).
В заключение мы опишем две операции, специфические для пространств с отмеченными точками. Букет X м У пространств с отмеченными точками X, У получается из суммы этих пространств посредством отождествления их отмеченных точек. Например, букет двух окружностей - ’’восьмерка" (рис. 17). Можно определить
Рис. 17
букет Хм У как часть произведения X X У, составленную из таких точек (х, у), что либо х = х0 — отмеченная точка пространства X, либо у = у0 — отмеченная точка пространства У. Факторпространство X X У [Хм У - X# У называется "смеш-произ- ведением” или тензорным произведением пространств X, У. Отмеченные точки в пространствах X м У и X # У очевидны.
Упражнения. 17. Покажите, что Sm #Sn =Sm*n.
Покажите, что для любого пространства X с отмеченной точкой У,Х = Х# S*.
ГЛАВА 1
ГОМОТОПИИ
Гомотопии и гомотопические эквивалентности
Определение гомотопии. Пусть X и У — топологические пространства. Непрерывные отображения /: X ■* У и g: Х-* У называются гомотопными (f ~ g), если существует семейство отображений <^f: X -* У, t.&I, такое, что (1) ц>0 = f, ^х =8 и (2) отображение Ф: X X I ■* У, Ф(х, Г) = «pt (х), непрерывно. (Условие (2) является формализацией требования ’’непрерывной зависимости” <pt от L) Отображение Ф (или иногда семейство ^>f) называют гомотопией, связывающей f с g.
Очевидная проверка показывает, что отношение гомотопности рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Пример. Все отображения произвольного пространства X в отрезок / гомотопны между собой. Действительно, отображения х*->,(1 — t)f (х) + tg(x) составляют гомотопию, связывающую произвольные отображения /, g: X -*1. (Это же рассуждение применимо к отображениям произвольного топологического пространства X в произвольное выпуклое подмножество пространства R”, в частности, пространства R“.)
Заметим еще, что условие непрерывной зависимости отображения «pt от t можно выразить по-другому: гомотопия есть путь в пространстве С {X, У), соединяющий точку / € С {X, У) с точкой g € С {X, У). Впрочем, это определение равносильно нашему определению гомотопии лишь для достаточно хороших пространств (см. упражнение 12 в § 2).
Множества и^Л, У). Множество классов, на которые отношение гомотопности разбивает множество С (У, У) (они называются гомотопическими классами), обозначается через я (У, У).
Примеры. 1. Множество я ( X, I) состоит (при любом У) из одного элемента.
Множество я(*, У), где * — точка, есть множество компонент линейной связности пространства У.'
Очевидно, что со сделанными выше оговорками множество я (У, У) можно трактовать как множество компонент линейной связности пространства С (У, У).
Пусть X, X1, У — пространства и h: Х-*Х* — непрерывное отображение; определим отображение h*: я (У1, У) ■* я (У, У) следующим образом: в классе а € я(У#, У) выберем любой представитель / G С (У1, У) и классу а поставим в соответствие класс И*(а), содержащий отображение f ° h е С(Х, У), т.е. компо-
h . f
зицию У —► У —► У.
Пусть теперь У, У, У* — пространства и Л: У -* У* — непрерывное отображение. Определим отображение he; ^{Х, У) -► я (У, У/) следующим образом: возьмем
а е я (У, У), выберем в а любой представитель / G С^Х, У) и классу а поставим в соответствие класс Л,(а) отображения h о f е. С^Х, У').
Упражнение 1. Проверьте корректность двух последних определений.
Гомотопическая эквивалентность. Мы приведем три определения этого понятия.
Определение 1. Пространства Хх, X» называются гомотопически эквивалентными (Х2 ~ Х2), если существуют непрерывные отображения /: Хх ~* Хг, g: Хг -* Хх, такие, что композиции g ° f ; Хх -*Хх, f.° g; Хг-*Хг гомотопны тождественным отображениям Хх ~* Хх, Хг -* Х2 .,
Кстати, / и g в этой ситуации называются гомотопически взаимно обратными гомотопическими эквивалентностями. •
Замечание. Если отображения g о / и / о g не просто гомотопны тождественным отображениям, но и являются таковыми, то / и g — взаимно обратные гомеоморфизмы. Таким образом, определение гомотопической эквивалентности аналогично определению гомеоморфизма.
Определение 1. Хх~ Хг, если существует способ определить для любого пространства У взаимно однозначное соответствие фу- ^(^i, ^) ”*^(-^2» ^) таким образом,дто для любого отображения h: Y -*Y* диаграмма
1(1 Y
. я^, У) ► я(ЛГ2, У)
h,h.
я№,У') * я№,у')'
коммутативна, т.е. tpYi ой, = й, о ^>у.
Определение 3. Хх ~ Хг, если существует способ определить для любого пространства У взаимно однозначное соответствие ф¥; я (У, Xt) -+-n(YtXt) таким образом, что для любого отображения h: Y-^Y1 диаграмма
я(У, Jfi) ► я(У, Х2)
h*h*
■. Y' '
яСУ',^) — Я(У, Х2)
коммутативна, т.е. <pY о h* = h* о ф¥ .
Теорема. Определения 1, 2 и 3 эквивалентны. .
Доказательство. Докажем эквивалентность определений 1 и 2. Пусть Хх ~ Хг в смысле определения 2; тогда определено взаимно однозначное соответствие фХ1: я(-^i» X») 11 № > Хг). Положим а = <рх^ ( [idx ]) (idz есть тождественное отображение множества Z, квадратные скобки обозначают переход от отображения к его гомотопическому классу) и выберем / Е а. В то же время определено взаимно однозначное соответствие ^х : ■п^Хх,Хх>) я^,^). Положим
5 = 'Рх1 ( Шх, 1) и выберем g € р. Покажем, что / о g ~ idXj. Диаграмма
л(Хх, Х2 ) —^^ 7Г(^2 , Х2 )
л.
. Vx.■
тг^ь^)► к^Л)
коммутативна согласно определению. Отсюда <pXl ° f*~f»° Фхх • Рассмотрим образ элемента [id^ ] относительно входящих в диаграмму отображений. Имеем: /.([idxj) = [/«idxj = [/] по определению /^ далее, <рх* ([/]) = [idxJ в силу выбора /. Следовательно, <px^ ° Л( [id;^ ]) = [id^]. С другой стороны, Л° Фхх ( [‘^ ]) = /*([^]) = [/»g]. Из коммутативности диаграммы [/«?] = = [idx,], т.е. f»g~ id^.
Аналогичным образом доказывается, что g о / ~ id^ . Таким образом, Хх ~ Х2 в смысле определения 1.
Теперь предположим, что Хх ~ Х2 в смысле определения 1, т.е. что имеются отображения /: Хх -*Хг, g: Х2 "*Хх, такие, что / ° g ~ id, g о Д~ id. Возьмем любое пространство У, положим,
ч>у = к*- я№, У) - я№, У)
и покажем, что последнее отображение обратно отображению
Г" л(^2. У) -* <Xx,YY
Действительно, пусть А Е С^Хх, У). Тогда /*о g*^ [А] ) =/*( [Л о g]) (по.определению g*) = [(Л»?)»/] (по определению /*) = ^»(g»/)] = [А] (так как g о / ~ id). Аналогично проверяется, что g* о /* = id. Итак, отображение <pY обладает обратным и потому является взаимно однозначным соответствием. Проверим, что оно обладает и вторым свойством из определения 2. Пусть У' й к: ¥ -* ¥’ — любое пространство и любое непрерывное отображение. Покажем, что диаграмма
VY = 8еи^Хь У) > я№. У)
4>Y' = g*
^Хх,¥^^(Х2, У')
коммутативна. Пусть И е С(Хх, У). Тогда, с одной стороны, fc,( [Л]) = [fco*], g*([fc°A]) = [(t»^og] и, с другой стороны, g*( [А]) = [Aog], A.([Aog]) = = [Ao(Aog)].
Наше утверждение доказано. Эквивалентность определений 1 и 3 проверяется точно так же. .
Класс гомотопически эквивалентных пространств называется гомотопическим типом.
Пример гомотопически эквивалентных не гомеоморфных пространств: Хх — окружность, Хг — кольцо (см. рис. 18). Здесь можно взять за /: Хх -*Хг естественное вложение и положить g = f1 ° h: Хг -*Хх, где h — сжатие по радиусам.
Пространство X называется стягиваемым, если тождественное отображение Х-*Х гомотопно отображению X X, переводящему все X в точку ("постоянному” отображению) .
Упражнения. 2. Докажите, что пространство стягиваемо тогда и только тогда, когда оно гомотопически эквивалентно точке.
Докажите, что конус над любым пространством стягиваем.
Докажите, что пространство £ (X, хь) стягиваемо для любого пространства X.
Докажите, то цилиндр отображения Х-* Y гомотопически эквивалентен пространству Y.
Если Хг~ Xlf то 2Хх ~ 2Хг.
Предыдущее утверждение называют иногда гомотопической инвариантностью надстройки; сформулируйте и докажите аналогичные утверждения о гомотопической инвариантности для произведения, джойна, пространств отображений, путей и петель.
Ретракты. Подпространство А пространства X называется его ретрактом, если существует непрерывное отображение г: Х-» X (’’ретракция”), такое, что т^Х) =А и г (а ) = а при a G А. Например, любая точка любого пространства является его ретрактом, а объединение двух концов отрезка его ретрактом не является: мешает теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Не является ретрактом и граничная окружность в круге и вообще сфера S” ~1 в шаре D”, но мы пока не располагаем средствами, чтобы это доказать.
Упражнения. 8. Основания цилиндра являются его ретрактами.
Основание конуса СХ является его ретрактом в том и только в том случае, когда пространство X стягиваемо.
Если ретракцию можно сделать гомотопной тождественному отображению, то А называется деформационным ретрактом пространства X; если, сверх того, гомотопию, соединяющую ретракцию с id, можно выбрать неподвижной на А (т.е. такой, что (а, т) *-* а при а G A, Z.GZ), то Л называется строгим деформационным ретрактом пространства X.
Очевидно, деформационный ретракт пространства X гомотопически эквивалентен А. Более того, А является деформационным ретрактом пространства X в том и. только в том случае, если включение А -* X является гомотопической эквивалентностью (ср. приведенный выше пример гомотопической эквивалентности: окружность — кольцо). Таким образом, понятие деформационной ретракции, в сущности, не ново для нас; о понятии строгой деформационной ретракции этого не скажешь, но, как мы увидим, его отличие от понятия деформационной ретракции проявляется лишь в патологических случаях.
Упражнения. 10. Точка тогда и только тогда является деформационным ретрактом пространства X, когда X стягиваемо (это утверждение демонстрирует различие между ретракцией и деформационной ретракцией)..
И. Приведите пример деформационного ретракта, не являющегося строгим деформационным ретрактом.
Пример гомотопического инварианта: категория Люстерника — Шнирельмана. Пространство ХС У называется стягиваемым по У в точку, если вложение X -* У гомотопно отображению Х-* У, переводящему все Хв точку.
Пусть X — произвольное топологаческое пространство. Категория Люстерника - Шнирельмана cat X пространства Xопределяется как минимальная мощность покрытия пространства X стягиваемыми по X замкнутыми множествами. Если удалить из этого определения слова "по X ”, то получится определение "сильной категории" s-cat X.
Упражнения. 12. Являются ли cat У и s-cat X гомотопическими инвариантами? (Ответ: cat — да, s-cat — нет.).
13. Найти cat Xи s-cat X в случае, когда X есть сфера с тремя отождествленными точками (рис. 19).
(Вы можете попытаться продолжить вычисление инвариантов cat и s-cat, но для этого нет пока эффективных средств.)
Случай пространств с отмеченной точкой, пар, троек и т.д. Определения гомотопии и гомотопической эквивалентности переносятся на пространства с отмеченными точками (см. § 2) автоматически. Множество гомотопических классов отображений пространства с отмеченной точкой X в пространство с отмеченной точкой У может обозначаться через я (X, У), но может употребляться и более подробное обозначение яь (У, У) (Ь — от слова ’Sase-point” - отмеченная точка).
Упражнение 14. Доказать гомотопическую инвариантность операций v, #, Я, а также вариантов с отмеченными точками операций 2 и *.
Обобщением гомотопической теории пространств с отмеченными точками является гомотопическая теория пар. Пара — это просто топологическое пространство с выделенным подпространством; запись: (У, Л). (Непрерывное) отображение пары (У, Л) в пару (У,В) — это такое непрерывное отображение /: Х-*У, что /(Л) СВ. Очевидным образом для пар определяются гомотопии, гомотопические эквивалентности и т.д. Рассматриваются также тройки (У, Л, Л), в которых по определению предполагается, что УЭ Л Э В, четверки и вообще n-ки, а также триады (У; Л, Л), в которых предполагается лишь, что УЭ Л и УЭ В, а также 4-ады и вообще и-ады. Для троек, триад и т.д. определяются (очевидным образом) отображения, гомотопии и все прочее.
§4. ЕСТЕСТВЕННЫЕ ГРУППОВЫЕ СТРУКТУРЫ В МНОЖЕСТВАХ я(Х, У)
Гомотопическая топология изучает дискретные по своей природе инварианты, соответствующие топологическим пространствам и непрерывным отображениям. Обычно эти инварианты принимают одинаковые значения на гомотопически эквивалентных пространствах и гомотопных отображениях. Наиболее распространенная процедура построения инвариантов состоит в следующем. Фиксируется пространство Y и затем произвольному пространству Xставится в соответствие множество и^Х, У) или множество тгО^ХУ (Бывают, конечно, инварианты совершенно другой природы, как, скажем, категория Люстерника — Шнирельмана — см. п. 5 § 3.)
Изучать эти множества значительно проще, если в них имеется естественная групповая структура. Прежде чем уточнить, о чем идет речь, условимся о форме дальнейшего изложения. Мы рассматриваем инварианты двух сортов: фиксируется Y и каждому X ставится в соответствие я (X У) или я (У, X). Для каждого сорта доказываются свои теоремы, причем их теории довольно долго остаются параллельными, а точнее — двойственными. Двойственность эта занимает важное место в гомотопической топологии. Она называется двойственностью Экмана — Хилтона. Мы не будем явно касаться ее в этой книге, но чтобы дать читателю представление о ней, будем писать текст в этом параграфе в две колонки, так что двойственные определения, утверждения и доказательства окажутся написанными рядом.
На протяжении этого параграфа мы считаем все пространства пространствами с отмеченными точками и соответствующим образом понимаем отображения, гомотопии и т.д. Фиксируем пространство У с отмеченной точкой у 0.
Предположим, что для любого X н множестве яь (X У ) введена групповая структура. Такая структура называется естественной, если для любого непрерывного отображения <р: Х'-»Х" отображение <р*: яь(X", У) -»яь(X', У) является гомоморфизмом.
Определение. Пространство У называется Н-пространством, если определены отображения
д: УХ У-> У
(умножение) и
р: У->У
(взятие обратного), такие, что:
1° (гомотопическая единица). Отображения.
У-^-УХ Y^Y,
Y-^YX У->У,
где'
/1(у) = (ЛУо),
ЫУ) = (.у<ьУ), гомотопны тождественному отображению id: У-* У.
Предположим, что для любого X в множестве яь(У, X) введена групповая структура. Такая структура называется естественной, если для любого непрерывного отображения «р: X -»Х" отображение <р,: itb(Y,X") -*itt,(Y,X">) является гомоморфизмом?
Определение. Пространство У называется Н' -пространством, если определены отображения
д: У -> У v У
(коумножение) и
V. У->У
(взятие кообратного), такие, что:
1° (гомотопическая коединица). Отображения
у-> у V У-Д У,
У-> У v У -Д У,
где ffi тождественно на первом У и отображает второе У в у0, а я2 тождественно на втором Y и отображает первое Y в у0, гомотопны тождественному отображению id: У-» У.
2° (гомотопическая ассоциативность). Отображения id X дд
УХ (УХ У) ^УХ Y^Y,
2° (гомотопическая
ность). Отображения
д
Y-* У v У
id V д
коассоциатив-
У у(У v У),
д X idд
( УХ У)Х У>УХ Y-*Y гомотопны.
3° (свойство гомотопического обращения) . Отображения
ддХ id
У-> У v У*(У V У) V У гомотопны.
3° (свойство гомотопического кообра- шения). Отображения
idX v
У>
д УХ Y^-Y,
MsXtVMsXtV
MsXtV
MsXtV
v X idд
У>УХ Y-* У гомотопны отображению в точку. Важный пример //-пространства: пространство петель S2Z произвольного пространства Z. Отображение
д: S2ZX S2Z->nZ
определяется формулой
f№0» Z<l/2, U(2/-l), Г >1/2,
т.е. двум петлям ставится в соответствие петля, получающаяся при последовательном прохожденииобеих петель:
а отображение »: SIZ -* SIZ определяется формулой
»W)=H1-O,
т.е. петля ставится в соответствие эта "же петля, проходимая в противоположном направлении.
Другой важный пример//-пространства — топологическая группа.
(Двойственное утверждение формулируется в терминах ’’кокатегории”, определение которой читатель может придумать сам.)
гомотопны отображению в точку.
Важный пример //'-пространства: надстройка 2Z над произвольным пространством Z. Отображение
д: SZ->SZv SZ определяется формулой
x_Uz,2fh, t^M2,^Z’^ I (z, 2/-!)„,/> 1/2
(римские цифры указывают, в каком из двух ^Х, составляющих букет
2 X v ^Х, лежит рассматриваемая точка) :
а отображение р: SZ-»SZ определяется формулой
p(z, Г) = (z, 1 — /):
(Параллель отсутствует.)
Упражнение. Покажите, что категория Люстерника — Шнирельмана произвольного Н'-пространства равна 2. (Вообще класс Н' -пространств близок к классу пространств категории 2, но мы не детализируем это утверждение.)
(Звездочка всюду обозначает отображение в отмеченную точку или в единицу группы.)В силу естественности / t переводит произведение в произведение; следовательно, Л ([д ]) =/1 ([Pi ] [й ]) =(Звездочка всюду обозначает отображение в отмеченную точку или в единицу группы.)В силу естественности / t переводит произведение в произведение; следовательно, Л ([д ]) =/1 ([Pi ] [й ]) =
(Звездочка всюду обозначает отображение в отмеченную точку или в единицу группы.)
В силу естественности / t переводит произведение в произведение; следовательно, Л ([д ]) =/1 ([Pi ] [й ]) =
(Звездочка всюду обозначает отображение в отмеченную точку или в единицу группы.)
В силу естественности / t переводит произведение в произведение; следовательно, Л ([д ]) =/1 ([Pi ] [й ]) =
Теорема. Множество яь (X, Y) тогда и только тогда обладает естественной (поХ) групповой структурой, когда У есть Н-пространство.
Доказательство необходимости. Пусть в яь (X, У ) введено естественное по Xумножение. Положим X- У X У и рассмотрим классы [pi ], [р2 ] G яь ( У X У, У ) проекций произведения УХ У на сомножители.
Положим ■ [д] = [Pi] [Ра 1 (умножение в яь(У X У, У )) и выберем любое отображение р: УХУ-» У класса [д]. В качестве »; У -» У мы возьмем произвольный представитель класса р] G е яь(У, У ), обратного в группе яь(У, У) классу [id] тождественного отображения id: У-» У.
Свойства 1° — 3° отображений ди v проверяются автоматически. Проверим, например, что д ° /1 ~ id у. Отображение /1: У -» У X У индуцирует отображение /*: яь(УХ У, У )-»яь(У, У),которое переводит [р} ] в [р2 о /, ] и [й] в [?!%]; но pio/1=id и Рг ° /1 = *•
=/№11)/?([№])= [id] [*] = [id]. Мы показали, что д ° /1 ~ id у.
(Мы воспользовались тем, что класс постоянного отображения *: У-» У есть единица группы яь(У, У). Дня доказательства достаточно рассмотреть одноточечное пространство * и (единственное) отображение У-»*. Возникает гомоморфизмЯь ( *, У) -»яьХУ, У), который переводит единственный элемент группы яь(*, У), с одной стороны, в единицу группы яь(У, У) и, с другой стороны, в класс отображения *.)
Доказательство достаточ- ню ст и. Пусть У есть //-пространство и Xесть любое пространство.
А.Т. Фоменко .
Теорема. Множество яь (У> -У) тогда и только тогда обладает естественной (по X) групповой структурой, когда У есть Н* -пространство. Доказательство необходимости. Пусть в яь (У, -У) введено естественное по X умножение. Положим X = У v У и рассмотрим классы Mi], Mi] eitb(Y» У v У) естественных вложений пространства У в букет Ум У.
Положим Д = Mi] Mi] (умножение в itb(Y,Y v У)) и выберем любое отображение д: У-» У v У класса [д]. В качестве v: У -» У мы возьмем произвольный представитель класса р] G £яь(У, У), обратного в группе Пь(¥, У) классу [id] тождественного отображения id: У-» У.
Свойства!0 — 3° отображений дир проверяются автоматически. Проверим, например, что Я! о д ~ id у. Отображение Я!: У v У -» У индуцирует отображение Я1,: яь(У, У v У) -»яь(У,У), которое переводит М i 1 в М i ° т? i ] и Ml] В [я1от,2]; но Я, ОТ?,= id и Я1 ° ??2 = *.
В силу естественности я1е переводит произведение в произведение; следовательно, Я1 ,([д])=я,.(М1] Mi]) = = ffi.(Mi])wi,(Mi]) = [id][*] = = [id]. Мы показали, что Я1 о д ~ ~ id у.
(Мы воспользовались тем, что класс постоянного отображения *: У -» У есть единица группы яь(У, У). Для доказательства достаточно рассмотреть одноточечное пространство * и (единственное) отображение * -» У. Возникает гомоморфизм яь ( У, *) -» яь ( У, У ), который переводит единственный элемент группы яь (У, *), с одной стороны, в единицу группы яь (У, У) и, с другой стороны, в класс отображения *.)
Доказательство достаточности. Пусть У есть Н' -пространство и Уесть любое пространство.
0 при i Фп, Z при i = n ;0 при i Фп, Z при i = n ;H‘(Sn) =H‘(Sn) =
0 при i Фп, Z при i = n ;
0 при i Фп, Z при i = n ;
H‘(Sn) =
H‘(Sn) =
Рассмотрим множество яь (X YX У). Отображение ц: У X У-> У индуцирует отображение д ,: яь (X У X У ) * ->яь(Х У), которое, ввиду очевидного равенства яь (X, У X У ) = яь (X У) X X яь (X У ), может рассматриваться как отображение
яь(Х, У ) X яь(Х У )"* Яь(Х У )•
Далее, отображение у: У-» У порождает отображение ve; яь (X, У ) -» ^Ь(ХУ).
Умножение д, и операция обращения v. определяют в яь(Х, У) естественную по X структуру группы. Проверка предоставляется читателю.
Упражнение. Группа яь(Х^^) абелева.
(Двойственный объект — сфера 5 ”).
(Двойственные факты: формулы для Hf(Sn) - см. ниже — и равен- ctboS”+1 = 55”).
Поскольку S ” = 5Sп~1, яь (У ”, X) является группой. Это группа называется п-мерной гомотопической группой пространства X и обозначается через я„(Х). Предыдущее упражнение показывает, что группа я„(Х) абелева при п> 2.
(Двойственный факт: формула для
мкп).у
Вычисление групп я; (5 ”) казалось в свое время очень важной задачей. Эта задача не решена по сей день (см. подробности в гл. 3—6)
Рассмотрим множество яь(У v У, X). Отображение д: У -> У v Y индуцирует отображение д *: яь (У у У,Х)-> -»яь (У, X), которое, ввиду очевидного равенства яь(У v X, X) = itb(Y,X) X Хяь(У,Х), может рассматриваться как отображение
яь (У, X ) X яь (У, X ) -> яь (У, X ).
Далее, отображение я: У-» У порождает отображение v *; яь(У, X) -* -*b(Y,Xy
Умножение д * и операция обращения v* определяют в яь(У, X) естественную по X структуру группы. Проверка предоставляется читателю.
Упражнение. Группа Яь(5 52, X) абелева.
Как мы увидим ниже (см. §11), при любом л> 1 существует единственное с точностью до гомотопической эквивалентности пространство Кп, такое, что:
««(Кп) =
(2)К„~ПКп+1.
(Определение групп я; см. ниже в левом столбце).
Поскольку Кп~ QKn+11 яь(Х,Кп) является группой. Эта группа называется п-мерной (целочисленной) когомологической группой пространства X и обозначается через Нп(Х; Z) или Нп(Х). Предыдущее упражнение показывает, что группа Н ”(Х) всегда абелева.
Как мы увидим,
О при гФп,
Z при i = n.
Вычисление групп Н1 (Кп) оказалось очень важной задачей. Эта задача была полностью решена в 50-е годы усилиями А. Бореля, А. Картана и Ж.-П. Серра (см. подробности в гл. 3)
КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Гомотопическая топология почти никогда не рассматривает совершенно произвольных топологических пространств. Обычно она изучает пространства с той или иной дополнительной структурой, причем со времен основоположника топологии Анри Пуанкаре рассматривают структуры двух типов. Первый тип — структуры аналитического происхождения: дифференциальная, риманова, симплектическая и т.д. У нас такие структуры будут встречаться редко, хотя мы и будем иметь с ними дело (см. §§ 17, 19, 30, 41—52). Отличительной особенностью этих структур является их естественность: обычно рассматриваемое пространство бывает наделено такой структурой изначально, и мы не должны заботиться об ее построении. Структуры второго, более важного для нас типа — комбинаторные структуры. Они заключаются в том, что пространство расчленено на более или менее стандартные части, и изучение пространства сводится к изучению взаимного расположения этих частей.
В этом параграфе мы рассматриваем важнейшую из комбинаторных структур: клеточную структуру. Хотя мы докажем в заключительной части параграфа некоторые теоремы, свидетельствующие о полезности понятия клеточного пространства для гомотопической топологии, его настоящая роль вскроется позже, в главе ’’Гомологии”, где клеточная структура станет эффективным вычислительным средством. Все же отложить знакомство с клеточными пространствами до гомологий мы не можем. '
Основные определения. Клеточное пространство - это хаусдорфово топологическое пространство К, представленное в виде объединения U”_o Цетд eq попарно непересекающихся множеств е’ ("клеток’’) таким образом, что для каждой клетки eq существует отображение (/-мерного шара Dq в К (характеристическое отображение, отвечающее клетке е’), сужение которого на внутренность IntDq шара Dq представляет собой гомеоморфизм Int Л4 « eq. При этом предполагаются выполненными следующие аксиомы.
Граница eq =e"q —eq клетки eq содержится в объединении конечного числа клеток ej с r<q. ■
Множество F СК замкнуто тогда и только тогда, когда для любой клетки eq замкнуто пересечениеРЛё^.
(Иногда характеристические отображения считаются фиксированными, т.е. рассматриваются как элемент структуры. Разумеется, такая модификация определения будет явно оговариваться.)
Терминологические замечания. 1. Термин "клеточное пространство” не является абсолютно общепринятым: говорят также "клеточное разбиение” или "клеточный комплекс" или "CW-комплекс". Выражение "клеточное разбиение” мы будем употреблять как синоним выражения "разбиение пространства на клетки”; термин же "комплекс" будет у нас употребляться исключительно в алгебраическом значении. 2. Обозначения аксиом (С) и (W) являются стандартными; они происходят от английских слов "closure finite” и "weak topology”.
Упражнение 1. Доказать, что топология, описываемая аксиомой (W), является слабейшей из топологий, по отношению к которым все характеристические отображения непрерывны.
Клеточное подпространство клеточного пространства К — это замкнутое его подмножество, составленное и целых клеток; клеточные подпространства являются самостоятельными клеточными пространствами. Важнейшие клеточные подпро- 2*
странства клеточного пространства — его остовы: n-й остов есть объединение всех клеток размерности < и (по определению, размерность клетки е^ равна q). Стандартные обозначения для «-го остова пространства X: Хп или sk„X Кстати, некоторые говорят "«-мерный остов”, но это неправильно: размерность клеточного пространства определяется как верхняя грань размерностей его клеток, и, очевидно, размерность n-го остова меньше или равна « (причем обе возможности реализуются: см. примеры клеточных пространств ниже). Клеточное пространство называется конечным (счетным), если оно состоит из конечного (счетного) числа клеток.
Заметим, что для конечных клеточных пространств аксиомы (С) и (W) проверять не нужно : они выполняются автоматически.
Упражнение 2. Докажите, что каждая точка клеточного пространства принадлежит некоторому его конечному подпространству.
Клеточное пространство называется локально конечным, если каждая его точка вместе с некоторой окрестностью принадлежит конечному подпространству.
У пражнения. 3. Докажите, что всякое компактное подмножество клеточного пространства принадлежит некоторому конечному подпространству.
Докажите, что клеточное пространство конечно (локально конечно) тогда и только тогда, когда оно компактно (локально компактно).
Докажите, что отображение клеточного пространства в другое топологическое пространство непрерывно тогда и только тогда, когда оно непрерывно на любом конечном подпространстве.
То же с заменой слов "конечном подпространстве” словом ’’остове”.
Непрерывное отображение / клеточного пространства X в клеточное пространство У называется клеточным, если / (sk„y) Csk„ У при любом п. Заметим, что это определение, которое, как читатель убедится, является единственно правильным, оставляет для отображения довольно большую свободу: клетка не обязана отображаться при клеточном отображении в клетку, а может размазываться по нескольким клеткам, задевая при этом клетки меньшей (но не большей!) размерности.
Упражнение 7. Пусть X* и Xй обозначают отрезок I, представленный как клеточное пространство в соответствии с рис. 20. Будут ли клеточными тождественные отображенияX* ->Х" иX" ->Х* 2 (Ответ: первое — да, второе — нет.)
х'
, X"Рис. 20
Комментарии к определению клеточного пространства. 1°. Замыкание клетки может не быть клеточным пространством. Пример: разбиение букета 8 2 V 8 1 на клетки а€ S^S1 - а и (S2VS*)—S1 делает его клеточным пространством, но если а не есть отмеченная точка окружности 5"1, то замыкание последней клетки не является подпространством (см. рис. 21).
2°. Из (W) не следует (С). Разбиение диска/)2 на внутренность Int/)2 и отдельные точки граничной окружности 5"1 удовлетворяет аксиоме (W) (потому что всегда F Г) Int Вг = F ), но не удовлетворяет аксиоме (С).
3°. Из (С) не следует (W). Возьмем бесконечное семейство (Ia I а = 1, 2,...} копий отрезка I, отождествим нулевые концы и топологизируем получившееся мно-
жество при помощи метрики: расстояние между точками t* е 1а>, t" е 1а» равно | г" — г' | , если а' = а", и равно t' + + t", если а' ^ а". Рабиение построенного пространства на множества Int 1а и оставшиеся точки не удовлетворяет, из условий, входящих в определение клеточного пространства, только аксиоме (W): точки 1/а G 1а составляют последовательность, сходящуюся к 0, и, значит, незамкнутое множество, но пересечение этой последовательности с замыканием любой клетки замкнуто.
Кстати* если, как это только что было, разбиение пространства на клетки удовлетворяет всем условиям из определения клеточного пространства, кроме аксиомы (W), то можно ослабить в этом пространстве топологию, определив
новую топологию при помощи аксиомы (W). Этой процедурой, называемой ’’клеточным ослаблением топологии”, нам придется вскоре восполь
зоваться.
Упражнение 8. Клеточное пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно локально конечно.
Отношение к операциям из § 2. Все операции над топологическими пространствами, включая специфические операции над пространствами с отмеченными точками, но исключая операции, вовлекающие пространства отображений (как, скажем, О и Е), действуют в клеточной обстановке. Так, цилиндр, конус и надстройка над клеточным пространством обладают естественной клеточной структурой (например, клетки надстройки S У — вершины и надстройки над клетками пространства X, лишенные вершин). Клеточными пространствами являются цилиндр и конус клеточного отображения (вот случай убедиться в правильности определения клеточного отображения!), пространства вида XU,p У—при условии, что Хи У клеточны, а ф есть клеточное отображение клеточного подпространства пространства У в X — и, разумеется, факторпространство Х(А клеточного пространства Xпо его клеточному подпространству А. Правда, некоторая неожиданность подстерегает нас при попытке внести клеточную структуру в произведение клеточных пространств и, тем более, в их джойн или тензорное произведение. Клетки, скажем, в XX У определяются естественным образом, но с аксиомой (W) — беда: оказывается, что она не всегда выполнена. Когда топологи обнаружили это обстоятельство, они принялись его детально обследовать и накопили большое количество фактов. Мы устраняемся от обсуждения этого предмета, ограничившись тремя упражнениями (см. ниже)' и следующим замечанием. Если произведение XX У с естественным разбиением на клетки не удовлетворяет аксиоме (W), то мы можем проделать клеточное ослабление его топологии (см. предыдущий пункт) и получить клеточное пространство; последнее обычно обозначают через XXW У, К счастью, оказывается, что XXW У ничем не хуже, чем X X У: замена пространства XX У пространством X Xw У настолько безболезненна, что о возможном различии между пространствами XX У и yXw У можно просто забыть, что мы и сделаем. Подобное относится к джойнам и тензорным произведениям.
Упражнения. 9. Приведите пример, в котором X Xw У #= XX У.
Докажите, что если одно из клеточных пространств X, У локально конечно, то XXwy= XX У.
Докажите, что если оба пространства X, У локально счетны, тоХХ^У =ХХУ.
Что касается пространств отображений, то они слишком велики, чтобы их можно было разбить на клетки. Все же имеется следующая теорема Милнора:
Теорема (см. Milnor J.W.//Trans.. Amer. Math. Soc. — 1959. — V. 90, № 2. — P. 272-280). Если X, Y - клеточные пространства, то пространство С(Х, У) гомотопически эквивалентно клеточному пространству.
(Как читатель вскоре увидит, быть гомотопически эквивалентным клеточному пространству — это совсем не плохо; во всяком случае, Милнор предложил называть пространства, гомотопически эквивалентные клеточным пространствам, гомотопически полноценными?)
Завершая разговор о взаимоотношениях клеточных пространств с операциями из § 2, мы заметим, что всякое клеточное пространство может быть сконструировано при помощи многократного (иногда бесконечнократного) применения этих операций к простейшим пространствам: шарам. Действительно, пусть (е”} — все n-мерные клетки пространства X, f”: Dn-*X — соответствующие характеристические отображения. Поскольку f^S ”-1) Csk„_i X, мы можем сузить f" до отображения g^: Sn-1 sk„_ i X (отображения g" называются приклеивающими). Рассмотрим "сумму” ® = U D" n-мерных шаров, по одному на каждую «-мерную клетку пространства X, и положим 8 = US"-1 С 3). Далее, рассмотрим отображения gn\ ^x,gn\sn-,=g2.
Очевидная лемма:
sk„^ = (sk„_1^) U ®, (*) g"
т.е. sk„X получается из sk„_i X приклеиванием п-мерных шаров посредством всех приклеивающих отображений, отвечающих п-мерным клеткам.
Равенство (*) можно рассматривать как шаг универсальной индуктивной процедуры, позволяющей построить произвольное клеточное пространство из дискретного пространства (sk0X дискретно) или даже из пустого пространства (sk^T пусто) посредством последовательного приклеивания шаров нарастающей размерности. Кстати, если пространство бесконечномерно, то эта индуктивная процедура включает в себя предельный переход, регулируемый аксиомой (W).
Прямо или косвенно, эта индуктивная процедура лежит в основе доказательства всякого утверждения, касающегося клеточных пространств: она позволяет свести доказываемое утверждение к тому или иному утверждению, касающемуся шаров и сфер.
Упражнения. 12. Докажите, что клеточное пространство линейно связно тогда и только тогда, когда линейно связен его первый остов.
Докажите, что клеточное пространство линейно связно тогда и только тогда, когда оно связно.
Докажите, что всякое конечное клеточное пространство может быть вложено в евклидово пространство достаточно большой размерности.
Клеточные разбиения классических пространств.
Сферы и шары. При конечном п имеется два канонических клеточных разбиения сферы Sn. Первое состоит из двух клеток: точки е° (любой, скажем, (1,0,... . .., 0)) и множества еп = S" - е° (рис. 22а). Характеристическое отображение Dn -*Sn, отвечающее второй клетке, — это обычное "сворачивание" сферы из шара; годится, например, отображение, действующее по формуле
(хь ... , хп) (cos яр, х! sin яр,... , хп sin яр),
Рис. 22
Рис. 23
где р = V*i + ... + х^ (см. рис. 23). Другое каноническое клеточное разбиение сферы 8п состоит из 2и + 2 клеток е±, е±,..., е": клетка е^ состоит из точек (*ь... ... , x„+i) G 5”, у которых xq+1 = • • • =*n + i = 0 и ±xq + i > О (Рис- 226). Заботиться о характеристических отображениях здесь не приходится: замыкание каждой клетки очевидным образом гомеоморфно шару соответствующей размерности.
Заметим, что оба описанные клеточные разбиения сферы 8п получаются из единственного возможного разбиения сферы 8° (двоеточия) посредством применения канонической конструкции клеточного разбиения надстройки: в первом случае нужно брать надстройку над сферой как над пространством с отмеченной точкой, а во втором случае — обыкновенную надстройку.
Существует, конечно, масса других клеточных разбиений сферы 8п: ее можно разбить на 3”+1 — 1 клеток как границу (и + 1)-мерного куба, на 2”+2 - 2 клеток - как границу (и + 1)-мерного симплекса (см. ниже гл. 2) и тл.
Все описанные клеточные разбиения, кроме самого первого, годятся для сферы 8".-
Клеточное разбиение шара У можно получить из любого клеточного разбиения сферы 8п-х путем присоединения одной клетки IntD" с характеристическим отображением id: У У1. Наиболее экономное клеточное разбиение шара Л” состоит, таким образом, из трех клеток. Правда, ни одно из этих разбиений не годится для шара У.
Упражнение 15. Придумайте клеточное разбиение шара У.
Проективные пространства. Пр! отождествлении диаметрально противоположных точек сферы 8п клетки е’, eq_ (2 и + 2)-клеточного разбиения склеиваются между собой и получается (и + 1) -клеточное разбиение пространства RP”, по одной клетке еч в каждой размерности q < п. Это же разбиение можно описать так:
eq = {(x0:xi: ... :x„)GRP"|x, ^0, xq+1 = ... = x„ = 0}.
Еще одно описание этого разбиения: имеется цепочка включений
0=RP-‘ CRP° CRP1 С . ..CRP",
и мы полагаем eq = RPq - RP’-1. Характеристическим отображением для еч служит композиция канонической проекции У -» RPq (см. § 1) и включения RPq -* RPn. При и = о® наша конструкция доставляет клеточное разбиение пространства RP”, содержащее по одной клетке каждой размерности. Конструкция имеет также
комплексный, кватернионный и кэлиев аналоги. Она дает: разбиение пространства СРп на клетки размерностей 0,2,4,..., 2и; разбиение пространства HP” на клетки размерностей 0, 4, 8,..., 4и; разбиение пространства СаР2 на клетки размерностей 0, 8, 16; клеточные разбиения пространств СР” и HP", содержащие по одной клетке в каждой размерности, делящейся, соответственно, на 2 и 4. Например, пространство СР” разбивается на клетки
e2q = Uzo-zx: ... : z„)€CPn\zq =£0, zq+x = . . , = zn = 0}
с характеристическими отображениями
_ каноническая проекция . включение ~
D2q > СР4► СР”.
Многообразия Грассмана. Описываемое ниже клеточное разбиение многообразий Грассмана очень важно для геометрии и топологии (особенно для теории характеристических классов). Составляющие его клетки называются клетками Шуберта, а само оно называется шубертовским.
Пусть тх,. .. , т$ — произвольная конечная (возможно, пустая) невозрастающая последовательность целых положительных чисел, не превосходящих к, причем $ < п — к. Обозначим через е(тхш$) подмножество пространства С(и, к^, составленное из подпространств тг пространства R”, удовлетворяющих следующим условиям (мы полагаем ш$+1 =0):
D Rmпри т < к - тх;
codimRm (я П Rm) = / при к - т,*) < т < к - my+j + (/ + 1);
я С Rmпри т > к + $ + 1
(мы считаем,что R° С R6 при а < Ь: (хь ..., хв) >-> (хь ..., ха, 0,..., 0)). Приведем другое, более простое описание множества е (тхт^. Напомним, что диаграмма Юнга набора Qnx,..., т^ — это фигура, которая рисуется на клетчатой бумаге, как показано на рис. 24 (столбцы имеют длины тх,..., т,). Число клеток диаграммы Юнга равно тх + ... + ms. Можно считать, что клетки пространства G(n, к) отвечают диаграммам Юнга, вмещающимся в прямоугольник к X (п — к) (рис. 24). Рассмотрим диаграмму Юнга набора (тх,..., ms^ и расположим ее, как показано на рис. 25. Толстая линия на этом рисунке представляет собой график некоторой неубывающей функции р, и множество е(тх,..., ms) задается условием dim (я n Rm) = д(щ). Ввиду наличия такого простого описания, множество е (тх,..., т^ обозначают иногда через е (Д), где Д — обозначение для диаграммы Юнга набора (тх,... , т^. Еще раз заметим, что размерность клетки е (Д) равна числу клеток диаграммы Д.
Лемма. Множество е(тх,..., т,) гомеоморфно R 1 "' т$.
Доказательство. Расчленим диаграмму Юнга набора (тх,. .., ms^, как показано на рис. 26. Поставим в клетках вдоль косых линий единицы, в заштрихованные клетки — произвольные числа и в остальные места - нули. Получится к X п- матрица, строки которой составляют базис некоторого fc-мерного подпространства пространства R”. Легко понять, что это подпространство принадлежит е (тх,... . .. , т^ и что всякое подпространство, принадлежащее е^тх,.. ., т5), обладает . единственным базисом указанного вида. Мы получаем параметризацию клетки е (тх,..., т^ наборами из тх + ... + ms чисел (числа в заштрихованных клетках).
На самом деле верно больше: множества е(тх,.. ., т^ составляют клеточное разбиение пространства G (и, Л). Для доказательства нужно построить характеристи-
Рис. 24Рис. 24Рис. 25Рис. 25
Рис. 24
Рис. 24
Рис. 25
Рис. 25
ческие отображения, т.е. продолжить построенные гомеоморфизмы mt О
«R 1 $ evni,..., ms) до непрерывных отображении D
G(n, к), отображающих сферу Sm'*”‘+т» 1 в объединение клеток меньших размерностей. Мы не будем в это вникать; читатель может найти соответствующие формулы в книге Рохлина и Фукса или в ’’Лекциях по дифференциальной геометрии и топологии” Дж. Шварца.
Замечательное свойство шубертовских клеток состоит в том, что при естественных вложениях G^n, к) в g\h + 1, к) ив G(n + 1, к + 1) клетка е (/щ,..., т$) гомеоморфно накладывается на клетку того же наименования. Следовательно, пространство GQ», к) разбивается . на клетки Шуберта, отвечающие диаграммам Юнга, содержащимся в горизонтальной полуполосе высоты к, а пространство G (°°, 00 ) разбивается на клетки, отвечающие всем без исключения диаграммам Юнга. Во всех случаях размерности клеток равны числам клеток диаграмм Юнга.
Комплексные и кватернионные аналоги шубертовских клеток очевидны; разумеется, размерности комплексных и кватернионных аналогов клеток Шуберта соответственно в 2 и 4 раза превосходят числа клеток соответствующих диаграмм Юнга.
Упражнение 16. Построенные выше клеточные разбиения пространств RP” = = G(n + 1, 1), СР” = CG(n + 1, 1), HP” = HG(n + 1, 1) являются специальными случаями шубертовского разбиения.
Многообразия флагов. Многообразия флагов имеют естественное клеточное разбиение, обобщающее шубертовское разбиение многообразий Грассмана. Это разбиение и его клетки также называются шубертовскими. Опишем разбиение в вещественном случае (комплексный и кватернионный случаи отличаются только удвоением и учетверением размерностей клеток).
Шубертовские клетки многообразия флагов характеризуются наборами размерностей dц пересечений Vt П R7. Числа dy, однако, должны удовлетворять набору довольно неудобных условий, и мы предпочтем следующее, более рациональное описание клеток Шуберта.
Клетки пространства F(n; kv,. . . , ks) отвечают наборам тх,..., тп целых чисел, принимающих значения 1,..., s + 1, причем ровно kj — к}_г из этих чисел равны / (/ = 1s + 1; мы считаем, что к0 = 0 и ks+1 = и). Клетка е \тх,... , m„], отвечающая набору (тх,..., m„), состоит из флагов V\ С ... С Vs, у которых
Vi ri R^[ 1 при i = пи,
dim; = Sim. = 1
(К,_! nRO+C^.nR'-1)1 Ю при 1*т(.
(мы считаем, что Ко = 0 и Vs+1 есть все пространство R”) или, иначе, dim(K, n R/) = card (р < z| кр < / }.
Размерность клетки е [«п,.. ., ш„] равна числу пар (z, /), для которых z < /, т, > тр
В частности, многообразие F (п; 1,..., и — 1) полных флагов разбито на и! клеток, отвечающих обыкновенным перестановкам чисел !,...,«, причем размерность клетки равна числу инверсий в перестановке.
Если многообразие флагов есть многообразие Грассмана G(n, к), то s = 1 и набор тх,..., тп состоит из к единиц и п - к двоек. Построим по этому набору п-звен- ную ломаную на плоскости, начинающуюся в точке (0, к^ и кончающуюся в точке (и - к, 0). Все звенья ломаной имеют длину 1, причем z-e звено направлено вниз, если mt = 1, и вправо, если т{ = 2. Эта ломаная ограничивает (вместе с координатными осями) некоторую диаграмму Юнга Д, и легко понять, что е [тх,..., т„] = = е(Д).
Заметим в заключение, что клетки е [mj,..., m„] (и их комплексные и кватернионные аналоги) могут быть описаны чисто групповым образом: это - орбиты
Рис. 27
группы нижних треугольных п X «-матриц с единицами на диагонали, естественным образом действующей в многообразии флагов. Именно, клетка e[mi,..., zn„] есть орбита флага, z-e пространство которого порождено координатными векторами, номера р которых удовлетворяют неравенству тр < и
Компактные классические группы также обладают хорошими клеточными разбиениями, но мы их не приводим. Эти клеточные разбиения (неявно) построены в классической работе Л.С. Понтрягина 30-х годов, перепечатанной в ’’Успехах математических наук” по случаю 60-летия автора (см. Успехи мат. наук. — 1968. — Т. 23, №6 (144).-С. 151-185). .
Классические поверхности. Клеточные разбиения поверхностей S2 и RP2 нами уже построены. Клеточные разбиения остальных поверхностей без края автоматически получаются при склеивании этих поверхностей из многоугольников (см. § 1): двумерная клетка получается из внутренности многоугольника, одномерные клетки — из его (открытых) ребер, нульмерные клетки - из его вершин. Каноническое клеточное разбиение каждой классической поверхности имеет одну двумерную и одну нульмерную клетку. Кроме того, сфера с g ручками имеет 2g одномерных клеток (см. рис. 27), проективная плоскость с g ручками имеет 2g + 1 одномерную клетку и бутылка Клейна с g ручками имеет 2g + 2 одномерных клеток.
Упражнение 17. Построить минимальные (по числу клеток) клеточные разбиения классических поверхностей, имеющих дыры.
Гомотопические свойства клеточных пространств
Теорема Борсука о продолжении гомотопий. Определение. Пара (X Л) называется парой Борсука (или корасслоением), если для любого пространства У и любого непрерывного отображения F; Х-* У всякая гомотопия ft: А -* У, такая, что /0 = F\a, может быть продолжена до гомотопии Ft: Х-* У, у которой Fo = F.
Теорема Борсука, Если X — клеточное пространство и А — его клеточное подпространство, то (X, А) — пара Борсука.
Доказательство. Нам даны отображения Ф: А X I -> У (гомотопия ft) и F: X X 0 -> У, причем F’l^xo = ®U хо- Продолжить гомотопию ft до гомотопии Ft — это значит продолжить отображение F до отображения F': XX I У, такого, что F'lAXJ = Ф. ^Продолжение мы произведем индуктивно по размерности клеток пространства X, не входящих в А. Начальным шагом индукции служит продолжение отображения Ф на (A U У0) X I:
[ F(x, 0),если х есть нульмерная клетка пространства X, х^А,
F (х, t) =
( Ф(х, г), если х G А.■
Допустим теперь, что отображение F* уже определено на (A U Хп) X /. Возьмем произвольную (и + 1)-мерную клетку e" + 1 С X - А. По предположению, F* задано на множестве ^ёп*г — e”+1) X/, так как граница ё"+1 =F"+1 — е” + 1 клеткие"+1 содержится в Хп по определению клеточного пространства. Пусть /: D"*1 X — характеристическое отображение, соответствующее клетке е”*1. Нам надо продолжить F' на внутренность ’’цилиндра” fфn+1) X / с его ’’стенки" f(Sn) Х/и "дна” /фп+1) X 0. Но из определения клеточного пространства ясно, что это все равно, что продолжить отображение ф - F’ о f-_ (Sn X Z) U ф"*1 X 0) -► У до непрерывного отображения ф': Dn + 1 XI-У
Пусть ту. Dn + 1 X/-» (Sn X Z) U фп*х X 0) — проектирование цилиндра DnA-1 X I из точки, лежащей вне цилиндра вблизи верхнего основания Dn+1 X 1 (см. рис. 28); это отображение тождественно на (Sn X I) U(D"+1 X 0). Отображение ф' мы определяем как композицию •
д” + 1 X/(Sn XZ)U(D”+1 X 0) У. •
Эту процедуру можно проделать независимо для всех (п + 1)-мерных клеток пространства X, и мы получаем продолжение отображения F* на (A UXn+I) X I.
Так, остов за остовом, мы строим желаемое продолжение отображения Ф до отображения F1: X X I -* У. Подчеркнем, что если пространство X бесконечномерно.
то наше индуктивное построение будет состоять из бесконечного числа шагов;в этом случае непрерывность окончательного отображения будет следовать из аксиомы (W).
Теорема доказана.
Следствия из теоремы Борсука. Следствие 1. Пусть X — клеточное пространство и А - его клеточное подпространство. Если А стягиваемо по себе в точку, то Х/А ~ X..
Доказательство. Обозначим через р проектирование X -» Х/А. Так как А стягиваемо, то существует гомотопия ft". А -* А, такая, что отображение /0: А -+А
Рис. 28
тождественно и /1(Л) есть точка. В силу теоремы Борсука, существует гомотопия Ft: Х^ X, такая, что Fo = id% и Ft\A -ft. В частности Fi(A^ =* (точка). Это означает, что Fx можно рассматривать как отображение, заданное на Х/А, точнее, что Fi = q ° р, где q; Х/А -> X — некоторое непрерывное отображение. По построению, Fi ~ Fo, т.е. qo р~ id%.
Далее, Ft (Л) С А (при любом г), т.е. р о Ft/A^ = *. Следовательно, р ° Ft = = qt ° р, где qt: Х/А -* Х/А — некоторая гомотопия. При этом q0 = idxy4 и qx = = р° q; следовательно, р о q ~ id%/4.•
Следствие доказано.
Следствие 2. Если X — клеточное пространство и А — его клеточное подпространство, то Х/А ~ XU СА, где СА - конус над А.
Доказательство. Х/А = (X U СА)/С4 ~ X U СА; последнее вытекает из предыдущего следствия, примененного к клеточному пространству X U СА и его стягиваемому клеточному подпространству СА.
Замечание. Оба доказанных предложения можно рассматривать■ не как следствия из теоремы Борсука, а как самостоятельные теоремы, только предположения о клеточности X и А нужно тогда заменить в первом случае предположением, что (X, А) — пара Борсука, а во втором случае — предположением, что (X U СА, С4) — пара Борсука.
Теорема о клеточной аппроксимации.■
Теорема. Всякое непрерывное отображение одного клеточного пространства в другое гомотопно клеточному отображению..
Мы будем доказывать следующее, более сильное утверждение (’’относительный вариант” нашей теоремы) --
Теорема. Пусть f - непрерывное отображение клеточного пространства X в клеточное пространство У, причем на клеточном подпространстве А пространства X отображение f клеточно. Тогда существует такое клеточное отображение g: X-*Y, что g\A =/|л и, более того, f~g ге1Л.•
Поясним запись f ~ g ге1Л (читается: / гомотопно g относительно Л), которой мы будем пользоваться и дальше. Она применяется в ситуации, когда непрерывные
отображения f, g: X -*Y совпадают на подпространстве А пространства X и означает, что существует гомотопия ht: X ^ Y, соединяющая f с g и неподвижная на А, т.е. такая, что ht (а) не зависит от t при а € А. Конечно, из f~ g reVA следует, что / ~ g, но не наоборот. Пример: f,g:I -*S*, f - ’’наворачивание” отрезка на окружность, g — отображение в точку; эти отображения гомотопны, но не гомотопны rel (О U 1) (строго говоря, это мы докажем только в следующем параграфе).
Доказательство теоремы. Предположим, что отображение / уже сделано клеточным не только на всех клетках из А, но и на всех клетках из X, имеющих размерность < р. Возьмем р-мерную клетку ер С X - А. Ее образ f(ep) пересекается лишь с конечным числом клеток пространства Y (это следует из компактности /(ё"р) - см. упражнение 3). Выберем среди этих клеток пространства Y клетку наибольшей размерности, скажем, eq, dime1 = q. Если q < р, то нам с клеткой ер делать нечего. В случае же q >рнам потребуется следующая лемма.
Лемма о свободной точке. Пусть U — открытое подмножество пространства W и ф-. U-*\ntDq — такое непрерывное отображение, что множество V = = ф-1 (d4} С U, где dq - некоторый замкнутый шарик в IntD1, компактно. Если q> р, то существует непрерывное отображение ф: U-* IntD1, совпадающее с ф вне V и такое, что его образ не покрывает всего шара dq.
Доказательство этой леммы (и обсуждение ее геометрического значения) мы отложим до следующего пункта; ограничимся лишь важным замечанием, что отображение ф автоматически будет гомотопным ф относительно U — V; достаточно взять связывающую ф с ф ’’прямолинейную” гомотопию, при которой точка ф (и) равномерно движется к точке ф(и^ по прямолинейному отрезку, соединяющему ф^ с ф(и^.
Завершим доказательство теоремы. Из леммы о свободной точке вытекает, что сужение /| ли^р-1ив₽ гомотопно rel (Л Up-1) отображению Г: A U Хр~1 U U ер -* Y, такому, что/'(ер) задевает те же клетки, что uf(ep), но заведомо f\ep^ не содержит всю клетку eq. В самом деле, пусть h: Dp X, k. Dq Y - характеристические отображения, соответствующие клеткам ер, eq. Положим U = = h-4F4eq>) О ер) и определим отображение ф; U-» Int Dq как композицию:
hf k"1
U И- X^ у '> и = ф(иУ
mmmm
U ePnf-^e4^ eq MDq
Обозначим через dq (замкнутый) концентрический подшар шара Dq. Множество V = ф-1^*1^ компактно (как замкнутое подмножество шара Ьр). Пусть ф; U
IntD1 — отображение, доставляемое леммой о свободной точке. Отображение f* мы определим как совпадающее с / вне Н(1Г) н как композицию
Н-1 фк,
х ।—► и и у = f (х)
m m mm.
кщ " UInto1еч CY
на Н^Щ. Ясно, что отображение /' непрерывно (оно совпадает с / на ’’буферном множестве” h(U - К)) и гомотопно /| ли%р-1и Р ге!(Д U А?-1), и даже rel (Л U Хр~1 U (ер - Л(Ю)) (это вытекает из гомотопности^ ~ ф re\(U- К)). Ясно также, что /'(ер) не покрывает е1. (См. рис. 29.)
Дальнейшее рассуждение совсем просто. Во-первых, неподвижную на A U Хр_- гомотопию между /| лихр-1и р и f’ мы можем распространить, по теореме Бор-
сука, на все X, и это позволяет считать, что отображение /', обладающее всеми вышеперечисленными свойствами, определено на всем X. После этого мы берем точку у0 G еч, не принадлежащую /’(ер), и подвергаем /'| р ’’радиальной гомотопии”: если точка х€ер не принадлежит /'""‘(е9))™ /'(х) стоит на месте, а если /'(х) G G eq, то f’(x) движется по отрезку, идущему из точки у» на границу клетки е9 (точнее говоря, по ^образу прямолинейного отрезка, начинающегося в точке ^ Ч^о). проходящего через точку fc-1(/'(x)) ^ к7\ j0) и кончающегося на граничной сфере S4-1 шара D9), — см. рис. 30. Эту гомотопию мы продолжаем до гомотопии отображения / |лихр-1иер (неподвижной вне е₽) и - по теореме Борсука - до гомотопии всего отображения /': X^Y. Получающееся отображение /" гомотопно / ге!(Л U Хр~1') и обладает тем свойством, что /"(ер) задевает ^-мерных клеток на одну меньше, чем f(ep) (и, как и f{ep), не задевает клеток размерности >?). Применив эту процедуру нужное число раз, мы прогомотопируем отображение / к отображению, клеточному на Л U Хр-х и ер, причем гомотопия будет неподвижной на A U Хр ~1.
Теперь заметим, что ’’исправление” отображения /, которое мы проделали для клетки ер, можно дословно так же проделать одновременно для всехр-мерных клеток из X - А. Тогда мы придем к отображению, клеточному на A U Хр и гомотопному / те!(Л U Хр~1).
Неподвижную на А гомотопию, связывающую отображение / с клеточным отображением, мы получим, если проделаем последовательно построенные гомотопии при р = 0, 1, 2,. .. Правда, число этих гомотопий может быть бесконечно, но это не беда: р-ю гомотопию мы производим на отрезке 1 — 2~₽ <Г < 1—2~р_ Ч Непрерывность всей гомотопии обеспечивается аксиомой (W): для каждой клетки е из X гомотопия будет неподвижной, начиная с некоторого te < \.
Теорема доказана.
Борьба с химерой: доказательство леммы о свободной точке. Для человека, не испорченного популярной математической литературой, сама формулировка леммы показалась бы нелепой: как же непрерывный образ пространства меньшей размерности может покрыть пространство большей размерности? Но кто же не знает, что это бывает: кривая Пеано, распропагандированная ничуть не меньше, чем, скажем, бутылка Клейна, осуществляет непрерывное (и даже взаимно однозначное) отображение отрезка на квадрат. Поэтому лемму приходится доказывать, и дело
осложняется тем, что геометрическая интуиция помочь тут не может, она упорно твердит свое: такое вообще невозможно. С подобными трудностями сталкиваются всякий раз, когда ’’строгое” определение того или иного понятия (в данном случае е-8-определение непрерывности) не вполне соответствует исходному интуитивному представлению: приходится вникать в устройство не реального объекта, а химеры. Но ничего не поделаешь - доказать лемму надо.
Известны два способа доказать лемму о свободной точке: отображение ф нужно аппроксимировать либо гладким отображением, либо кусочно линейным отображением. Первый способ проще, но он предполагает знакомство с теоремой Сарда, не входящей в стандартный университетский курс анализа (нам эта теорема все равно понадобится, но лучше мы отложим разговор о ней). В основе второго способа лежит понятие триангуляции. Напомним, что q-мерный евклидов симплекс есть подмножество пространства R", п> q, являющееся выпуклой оболочкой q + 1 точек, не лежащих в одной (д — 1)-мерной плоскости. (Евклидовы симплексы размерностей 0, 1, 2, 3: точка, отрезок, треугольник, тетраэдр.) Эти(/ + 1 точек называются вершинами симплекса. Подсимплексы, т.е. выпуклые оболочки различных подмножеств множества вершин, называются гранями нашего симплекса; это — симплексы размерности <<?. Нульмерная грань - это вершина. Замечательное свойство симплекса заключается в том, что его линейное отображение в любое пространство Rm определяется своими значениями на вершинах, причем эти значения могут быть совершенно произвольны. Конечная триангуляция подмножества евклидова пространства — это такое его конечное покрытие евклидовыми симплексами, что любые два симплекса либо не пересекаются вовсе, либо пересекаются по целой грани. Удобно считать, что грани симплексов триангуляции также принадлежат к числу симплексов триангуляции.
Барицентрическое подразделение q-мерното симплекса состоит в том, что этот симплекс разбивается на (q + 1)! более мелких (/-мерных симплексов. Вершины новых симплексов — это центры тяжести граней старого симплекса (в том числе — его самого). Множество {х0, хх,... , xq} этих центров является множеством вершин некоторого симплекса барицентрического подразделения, если соответствующие грани До, Д,,..., Д9 можно составить в цепочку последовательно вложенных друг в друга, см. рис. 31. (По-другому барицентрическое подразделение (/-мерного симплекса Д можно описать так: сначала подвергаются барицентрическому подразделению все его (q — 1)-мерные грани, а потом над всеми построенными симплексами, лежащими на границе симплекса Д, строятся конусы с вершиной в центре этого симплекса; начать это индуктивное определение можно с q = 0: с нульмерным симплексом при барицентрическом подразделении ничего не происходит. Еще по-другому: симплекс Д — его совокупность точек вида S t(и#, где и; — вершины, t; > 0 и S t{ = = 1; симплексы барицентрического подразделения отвечают перестановкам O'o.h,... ..,, i^ чисел 0, 1,..., q; симплекс, отвечающий этой перестановке, состоит из точек S tjV с tio < ?/, < ... < tiq. Барицентрическое подразделение триангуляции - это триангуляция, составленная из симплексов барицентрических подразделений симплексов исходной триангуляции (рис. 32). (Проверьте корректность этого определения!)
Обратимся теперь к нашему отображению^. Прежде всего мы построим в шарике d = dq концентрические шарики dx, d2, d3, d4 радиусов p/5, 2p/5, 3p/5,4p/5, где p - радиус шарика d. Далее, покроем V конечным числом р-мерных симплексов, содержащихся в U, и триангулируем объединение К этих симплексов (объединение конечного числа как угодно пересекающихся евклидовых симплексов в Rp обладает конечной триангуляцией — докажите это!). Применив к этой триангуляции достаточное
число раз барицентрическое подразделение, мы можем добиться того, чтобы для любого симплекса Д триангуляции выполнялось неравенство diam<p(A) < р/5. Пусть Кх — объединение симплексов построенной триангуляции нашего множества К, <р-образы которых пересекаются с d^. Тогда сЦ П ф(.Щ С фУСх) С d. Рассмотрим отображение ^ : Кх -* d, совпадающее с <р на вершинах триангуляции и линейное на каждом симплексе. Отображения ^ | ^ и <р' гомотопны — они соединяются прямолинейной гомотопией <pt: Кх -*d, <р0 =^|^ > Фх = ф'- Теперь ’’сошьем” отображения <р и <р’ в отображение ф; U^IntDq:
ФМ =ФМ =*>(“),*>'(“), *3-5 »(«)(«)>*>(“),*>'(“), *3-5 »(«)(«)>если <р(и) £ d3, если <р(и) G d^, если ф(п) &d3 - d2.
ФМ =
ФМ =
*>(“),
*>'(“), *3-5 »(«)(«)>
*>(“),
*>'(“), *3-5 »(«)(«)>
Здесь р(и) — расстояние от точки <р(и) до центра шара d. (См. рис. 33.)
Отображение ф непрерывно, совпадает с <р на U— V и его образ пересекается с dx по конечному числу кусков р-мерных плоскостей, те. всего шара dx (а значит, и всего шара d) не покрывает.
Лемма доказана.
Первые применения теоремы о клеточной аппроксимации.
Теорема. Если X - клеточное пространство с единственной вершиной (= нульмерной клеткой), не имеющее других клеток размерности <q, a Y — клеточное пространство размерности <q, то всякое отображение Y-* X гомотопно отображению, переводящему все Y в точку. Такое же утверждение справедливо в категории
пространств с отмененными точками (в клеточной ситуации удобно считать, что отмеченными точками являются нульмерные клетки).
Это прямо следует из теоремы о клеточной аппроксимации: если f : Y -* X - клеточное отображение, то так как q» остов пространства У есть все Y, a q-й остов пространства X есть точка, то /(У) — точка.
В частности, вели m < q, то ir(Sm, Sq) = тгь (Sm, Sq) = 0 (т.е. состоит из одного элемента).
Определение. Пространство X называется п-связным, если при q < и множество ir(Sq, X) состоит из одного элемента (т.е. если любые два отображения Sq -*Х с q < и гомотопны).
Упражнения. 18. Докажите, что каждое из следующих условий эквивалентно и-связности: (i) Trb(SQ, X) состоит иэ одного элемента при q < п; (ii) любое непрерывное отображение Sq -* X продолжается до непрерывного отображения Dq*1-*X.
Докажите, что 0-связность — это то же самое, чтсГлинейная связность.
Термин ”1-связность” обьяно заменяют в речи и письме термином ’’односвязность”.
Те о ре м а. Всякое п-связное клеточное пространство гомотопически эквивалентно клеточному пространству с единственной вершиной и без клеток размерностей 1,2,..., и.
Доказательство. Выберем в нашем пространстве X вершину е0 и соединим с ней остальные вершины путями. Это можно сделать, так как пространство и-связно и, в частности, линейно связно. (Пути могут пересекаться.) Используя теорему о клеточной аппроксимации, мы можем добиться того, чтобы эти пути лежали в одномерном остове пространства X. Пусть S; — путь, соединяющий вершину в» с вершиной е;. Приклеим при каждом i к X двумерный диск по отображению нижней полуокружности в X при помощи пути $( (рис. 34). Получим новое клеточное пространство X, которое будет содержать X и, кроме того, клетки е,, е^ (верхние полуокружности и внутренности приклеенных дисков). То, что границы клеток е^ лежат в одномерном остове, вытекает из того, что этим свойством обладают пути st.Л
Ясно, что X есть деформационный ретракт в X". каждый приклеенный диск можно смять на нижнюю полуокружность. '
Обозначим через У объединение замыканий клеток е). Очевидно, У стягиваемо; следовательно, X/Y ~ Х~ X. Но у Х/Y всего одна вершина.
Дальнейшее рассуждение совершенно аналогично. Предположим, что X ~ X1, причем X1 имеет единственную вершину и не имеет клеток размерностей 1, 2,...
Рис. 34
.. ., к — 1, где к < и. В этом случае замыкание каждой ^-мерной клетки представляет собой ^-мерную сферу. Ввиду «-связности X (и, следовательно, X') включение этой сферы в X* продолжается до непрерывного отображения (Л + 1)-мерного шара, образ которого, ввиду теоремы о клеточной аппроксимации, можно считать лежащим в (к + 1)-м остове пространства X’. По этому отображению (которое мы считаем отображением нижней полусферы ^к + 1)-мерной сферы) мы приклеиваем к х’. шар Dk*\ и подобным образом мы поступаем длял каждой Л-мерной клетки пространства X*. Полученное клеточное пространство X* гомотопически эквивалентно X и содержит стягиваемое подпространство У — объединение замыканий всех вновь приклеенных (к + 1)-мерныХ клеток (верхних полусфер приклеенных шаров), содержащее все ^-мерные клетки. Имеем: л/Y ~ X1 ~ X1 ~ X, X'fY имеет единственную вершину и не имеет клеток размерностей 1,2,.. ., к.
Следствие. Если клеточное прдстранство X п-связно, а клеточное пространство Y п-мерно, то множество 1г(У, Х\ состоит из одного элемента. Это же верно для тгь (У, X), если XuYимеют отмеченные точки, являющиеся вершинами.
Замечание. Использованная в доказательстве последней теоремы процедура уничтожения ^-мерных клеток предполагает присоединение клеток размерности k + 2. В случае, если заданное n-связное пространство было (n + 1)-мерно, это могло привести к увеличению размерности. В действительности можно доказать, что всякое «-связное клеточное пространство размерности n + 1 гомотопически эквивалентно букету (и + 1)-мерных сфер. Читатель может с легкостью проделать это после прочтения гл. 2, а случай « = 0 доступен ему уже теперь. (Добавим, что, как это будет ясно из гл. 2, «-связное, но не (n + 1)-связное клеточное пространство не может иметь размерность < n + 1.)
Последняя теорема имеет относительный вариант, для формулировки которого необходимо понятие п-связной пары. Топологическая пара (X, Л) называется «-связной, если всякое отображение фп, S”-1) -> (X, Л) гомотопно (как отображение пар) отображению, загоняющему все Dn в Л.
Упражнения. 20. Придумайте эквивалентные определения n-связной пары в духе упражнения 18 и интерпретации 0-связности и 1-связности пар в духе упражнения 19.
Докажите, что всякая «-связная клеточная пара гомотопически эквивалентна клеточной паре (У, ВУ у которой В D sk„ У (т.е. разность У - В не содержит клеток размерности <«).
§ 6. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА
Определение. Фундаментальной группой пространства X с отмеченной точкой х0 называется его одномерная гомотопическая группа irj (X) = irb (S1, X). Поскольку данное в § 4 определение было чересчур общим, мы повторим его в нашем частном случае.
Рассматриваются петли пространства X, т.е. такие отображения ф: I ^ X, что V>(0) = v>(l) = х0. Петли ф и ф’ называются гомотопными, если существует такая гомотопия ф(: I -*Х, что ф0 = ф, фх = ф’ и ф, (0) = ф( (1) = х0 (0< г < 1). Произведение фф петель ф и ф - это петля х, у которой х 0) = Ф (2t) при г < 1/2 и х (?) = = ф(21 — 1) при t > 1/2. Другими словами, произведение двух петель — это петля, составленная из этих двух петель, которые проходятся последовательно (ср. § 4). Как легко проверить, это умножение порождает умножение и в множестве гомотопических классов петель (проверять нужно, что если ф ~ф', ф ~ ф*, то фф ~ ф'Ф') , при этом последнее относительно введенной операции является группой (в отличие
от самого множества петель, умножение в котором удовлетворяет групповым операциям лишь ”с точностью до гомотопии”: ф (фх ) ~ (^^)х и т.д.). Это и есть фундаментальная группа ях(Х, х0). Ясно, что обратным к классу петли ф. I X служит класс петли tp’: I ^Х, определенной формулой фХО = ф(1 — 7).
Отображение /: X -* Y, такое, что /(х0) = у0, очевидным образом индуцирует групповой гомоморфизм /,: ^i(X х0) -* ях(У j0)- Ясно, что если отображения f,g". X ^- У гомотопны (с учетом отмеченных точек), то гомоморфизмы f„g, совпадают.
Зависимость от отмеченной точки.
Теорема 1. Если пространство X линейно связно, то я^Х х0) 78 ях(Х, xj для любых точек х0, Xi G X.
Доказательство. Поскольку X линейно связно, существует путь a: I ^ X, у которого а(0) = х0, а(1) = хх. Мы построим отображение а#: ях^Х, х0) -* ■* Ях(Х, Xi). Пусть Ф G ях^Х, х0) и ф G ф. Положим а#(<р) = (а^)а-1 (конечно, можно перемножать не только петли, но и пути, лишь бы только второй путь начинался там, где кончался первый). Получаем петлю с началом (и концом) xt. Очевидно, что при замене петли ф и пути а гомотопными (гомотопность путей понимается в том же смысле, что и гомотопность петель: подразумеваются гомотопии с закрепленными концами) петля а#(<р) также заменится гомотопной, а потому а# определяет зависящее только от гомотопического класса пути а отображение Ях(X, х0) -* Ях(Х, Xi), также обозначаемое символом а#. Обратное отображение строится совершенно аналогично: а#1 ([^] )= [(а'*ф)а].
Легко проверить, что а# есть гомоморфизм и, значит, изоморфизм.
Изоморфизм а# зависит, конечно, от а. При замене пути а на негомотопный ему путь 3 мы получим, вообще говоря, другой изоморфизм. Точнее: если 7 = За-1, то для любого Ф G ях(Х, х0) имеет место равенство 3# (Ф) = М®# (Ф) М (очевидно, 7 есть петля, так что определен элемент [7] группы ях(Х, Xj)). В частности, верно, что если фундаментальная группа коммутативна (и только в этом случае) изоморфизм а# от а вообще не зависит. В этом случае мы можем говорить о фундаментальной группе, не фиксируя отмеченной точки. В общем случае о фундаментальной группе линейно связного пространства без отмеченной точки можно говорить только как об абстрактной группе (т.е. можно сказать, что она, например, конечна или нильпотентна, но нельзя фиксировать в ней определенный элемент).
Упражнение 1. Докажите, что если /: X -* Y есть гомотопическая эквивалентность, тд для любой точки х0 G X гомоморфизм /,: Ях(Х, х0) ях(У, /(х0)) является изоморфизмом.
Вычисление фундаментальных групп. Существует два основных метода вычисления фундаментальной группы: ’’метод накрытий” и ’’клеточный метод”. Накрытиям будет посвящен следующий параграф, но, не дожидаясь его, мы продемонстрируем сущность метода накрытий на примере доказательства теоремы 2 (в котором, конечно, слово накрытие употребляться не будет). В основе клеточного метода лежит теорема 4; теорема 3 нужна для ее доказательства.
Случай окружности. '
Теорема 2. Группа Л] (S1) изоморфна группе Z целых чисел.
Фактически при доказательстве теоремы 2 мы построим ’’универсальное накрытие" над окружностью; это понятие будет введено в следующем параграфе, при чтении которого мы советуем читателю держать в уме это доказательство.
Каждой точке окружности S1 мы обычным образом отнесем вещественное число, определенное с точностью до слагаемого вида 2кя. Отмеченной точкой мы считаемО. Петля ф: I S1 превращается в многозначную функцию на отрезке /, значение кото-
рой в каждой точке определено с точностью до слагаемого 2 far и значением которой в точках 0 и 1 служит само множество чисел вида 2кт. У этой многозначной функции существует непрерывная однозначная ветвь — непрерывная функция на отрезке I, значение которой в каждой точке принадлежит множеству значений в этой точке функции р. Такая однозначная функция р # будет определена единственным образом, если мы наложим на нее дополнительное условие <р # (0) = 0. (См. рис. 35.)
(Для педантичного читателя приведем детали построения функции р*. Пусть и таково, что если |х" - х'| < 1/и, то точки <р(х'), <р(х") G S1 не диаметрально противоположны. Мы полагаем р* (0) = 0. Далее, при 0 < х < 1/и мы берем в качестве
р* (х) то из значений функции р в точке х, которое отличается от 0 меньше, чем на я. Далее, при 1/и < х < 2/и мы берем в качестве р* (х) то из значений функции р, которое меньше, чем на я, отличается от р * (1/л). И т.д.)
Выделим два важных свойства функции р*: ее значение в точке 1 кратно 2я и она непрерывно зависит от р в том смысле, что если pt — гомотопия, то и р* — гомотопия. Заметим еще, что всякая непрерывная функция Ф на отрезке I, такая, что Ф(0) = 0 и Ф(1) кратно 2я, служит функцией р # для некоторой петли р.
Теперь для доказательства теоремы 2 осталось сделать четыре простых замечания. Во-первых, число к = р* (1)/2я не меняется при гомотопии, поскольку область возможных значений <р#(1) дискретна; таким образом это число зависит только от элемента группы я^З1). Во-вторых, всякое число к таким образом может получиться: достаточно взять р = Нк с Л*(х) = 2Лях. В-третьих, если р* (1) = р* (1), то рх ~ Рг- функции р* и р*, очевидно, гомотопны в классе функций с заданными значениями в 0 и 1 (рис. 36). Наконец, в четвертых, hkht ~hk+l, потому что (MaW^D-
Теорема доказана.
Случай букета окружностей.
Теорема 3. Пусть ВА = МаеА8Х — букет окружностей Sq = S1. Тогда ■ПхФл^ ~ свободная группа, образующие которой соответствуют элементам множества А.
Доказательство теоремы 3 мы разобьем на две части, вторую из которых отложим до § 7. Стандартное вложение ia: S1 -► ВА мы рассматриваем как петлю; пусть т?а G Я1 фА ) — класс петли га (отмеченной в букете мы считаем общую точку окружностей Sq). Мы покажем, что: 1° всякий элемент группы Я1(Вд) представим в виде конечного произведения элементов вида т?а, т?^1; 2° с точностью до сокра-
щений идущих подряд множителей т?а, i?a' такое представление единственно. Это равносильно нашей теореме.
Утверждение 1° доказывается при помощи кусочно линейной аппроксимации (ср. доказательство леммы о свободной точке в § 5). На каждой из окружностей 5^, входящих в букет, отметим два отрезка, 1а и Уа, не содержащих отмеченной точки и таких, что Ja С IntJa. Возьмем петлю ф: I -^ В А и фиксируем такое п, что если образ некоторого отрезка J С I длины 1/л пересекается с Ja, то он содержится в /а. Обозначим через К объединение отрезков вида \к/п, (к + 1)/и], образы которых пересекаются с UQ Ja, и заменим отображение ф отображением ф : I ~+ВА, совпадающим с ф вне К и во всех точках вида к/п и линейным на каждом из отрезков указанного вида (линейное отображение отрезка в окружность — это отображение вида х (cos(Xx + д), sin(Xx + д))). Очевидно, ф’ — петля, гомотопная ф. Выделим теперь в каждом отрезке Ja маленький отрезочек Ка, не содержащий ни одной точки вида ф'(к/п) ( таких точек конечное число!). Заметим, что прообраз ф’ -* (UQ Л^) состоит из конечного числа отрезочков, каждый из которых отображается на свое Ка линейно. Последний этап: подвергнем ф гомотопии
вА-^вА,
где ht — гомотопия, растягивающая каждый из отрезков Ка равномерно на свою окружность Sq и сжимающая дополнение 5„ — Ка в отмеченную точку. Мы приходим к петле ф: I ВА, устроенной так: на отрезке J расположено некоторое количество маленьких отрезочков, каждый из которых отображением ф наматывается на свою окружность S„ (в том или в другом направлении); промежутки между этими отрезочками загоняются в отмеченную точку. Ясно, что эта петля принадлежит классу вида
^••‘^ (ei = ±1)‘ (*)
Утверждение 1° доказано. .
Утверждение 2° заключается в том, что произведение вида (*), содержащее не менее одного множителя и не содержащее идущих подряд множителей т?а и т?"1, не равно единице в ttj (ВА ). Это мы докажем в § 7.
Случай произвольного клеточного пространства. Формулировке теоремы 4 мы предпошлем следующее замечание. Непрерывные отображения окружности в пространство X, переводящие отмеченную точку у0 окружности в точку х0, могут рассматриваться как петли пространства X с началом х0 и определяют элементы группы ^(Х, х0). Если же отображение ф: S1 -^ X окружности в линейно связное пространство переводит отмеченную точку у0 неизвестно куда, то оно определяет элемент группы irt(X, ф(Уо)), связанной с 1ц(Х, х0) неканоническим изоморфизмом. Образы класса [<р] в ^(Х; х0) при всевозможных изоморфизмах вида а# заполняют в 1и(Х, х0) целый класс сопряженных элементов (это равносильно сказанному после теоремы 1). Это позволяет нам сказать, что отображение окружности, не обязательно переводящее отмеченную точку в отмеченную, определяет элемент фундаментальной группы с точностью до сопряженности.
Вернемся к нашей проблеме вычисления фундаментальных групп. Пусть X — клеточное пространство с единственной вершиной е°, одномерными клетками е) (iel) и двумерными клетками е^ (j е J). Характеристические отображения /у: Dz ^Х определяют отображения g^: S1 -* X1 (’’приклеивающие отображения” — см. § 5), которые, в силу сказанного, определяют некоторые элементы Р, е ^(Х1) с точностью до сопряженности. Добавим, что X1 — это букет окружностей ё^ и группа ^(Х1, е°) есть, в силу теоремы 3, свободная группа с множеством образующих/.
Теорема 4. Группа ^(Х е°) есть группа с системой образующих I и с системой определяющих соотношений 0j= 1, jEJ.
Доказательство. Если рассматривать окружность как одномерное клеточное пространство, у которого отмеченная точка является нульмерной клеткой, то отображение окружности в X, переводящее отмеченную точку у0 G S1 в отмеченную точку е° G X, есть отображение, клеточное на у». Поэтому из теоремы о клеточной аппроксимации вытекает, что всякая петля пространства X с началом е° гомотопна петле, проходящей по одномерному остову, т.е. что отображение it!(X1, е°) ■* Tri (X е°), индуцируемое включением X1 X, является эпиморфизмом. Для завершения доказательства нам необходимо установить, что ядро этого эпиморфизма порождается как нормальная подгруппа группы Я1(Х*, е°) вышеуказанными элементами Pj — классами приклеивающих отображений.
”В одну сторону” это утверждение почти очевидно: классы Pj действительно принадлежат нашему ядру. Действительно, отображение g.: S1 -* X1 продолжается до отображения fj.D2 ->• X и потому определяет тривиальный элемент в группе 771 (X1, ^(Jo)); но зтот элемент соответствует элементу Pj при некотором изоморфизме 771 (X1, ^ (Уо)) * 771 (X1, е0)- ”В другую сторону” утверждение доказывается опять-таки при помощи кусочно линейной аппроксимации. Чтобы изгнать из формул многочисленные f} и /у-1, мы будем считать, что клетки е2 отождествлены с копиями открытого диска IntZ)2 посредством этих отображений; таким образом, мы получаем возможность говорить о концентрических дисках, прямолинейных отрезках и т.п. в клетках е2. Построим в каждой клетке е2 концентрические диски dip ..., d4j радиусов 1/5,..., 4/5 (ср. доказательство леммы о свободной точке в п. 8 § 5). Пустьуб Кет[Я1(Х*, е°)-*Я1(Х, е°)],ипусть<р: S1 -*Х* —представитель класса у. В силу выбора у отображение р продолжается до непрерывного отображения Ф: D2 -► X, причем теорема о клеточной аппроксимации позволяет считать, что Ф(О2) С X2. Триангулируем D2 настолько мелко, что если Д — симплекс триангуляции и Ф(Д) при некотором / пересекается с d4p то Ф(Д) С е2 и сНатФ(Д) < 1/5. Пусть К — объединение симплексов нашей триангуляции, Ф-об- разы которых пересекаются с V)jd4j. Рассмотрим отображение Ф : К ■* X2, совпадающее с Ф на вершинах триангуляции и линейное на каждом симплексе. Отображения Ф| к и Ф' соединяются прямолинейной (в клетках е2) гомотопией Ф,: К -* ~*Х2, Фо = Ф^, Ф1 = Ф'. Определим отображение Ф": D2 -*Х знакомой по § 5 формулой
Ф» =Ф» =Ф(и),Ф'(«),Ф(и),Ф'(«),еслиеслиеслиеслиФ(М)£и/(/3/,Ф(М)еи^2/,Ф(М)£и/(/3/,Ф(М)еи^2/,
Ф» =
Ф» =
Ф(и),
Ф'(«),
Ф(и),
Ф'(«),
если
если
если
если
Ф(М)£и/(/3/,
Ф(М)еи^2/,
Ф(М)£и/(/3/,
Ф(М)еи^2/,
Ф3- 5р(„)(“)> ес™ Ф(и) € \3^31 - d2/),
где р(и) есть расстояние от Ф(и) до центра е2 э Ф(н). Отображение Ф" является кусочно линейным на прообразе объединения и^Т(. Зафиксируем в каждом dX)- маленький кружок бу, не пересекающийся с Ф"-образами никаких вершин и ребер триангуляции К. Тогда Ф"-прообраз каждого из кружков бу будет состоять из конечного числа овальных областей (кусков плоскости, ограниченных эллипсами), каждая из которых линейно отображается посредством Ф на бу. Наконец, рассмотрим отображение ш\ X2 -* X2, тождественное на X*, линейно растягивающее каждый кружок бу на свою клетку е2 и сминающее е2 — бу на границу клетки е2. Отображение Ф: D2 -*• X, Ф(и) = со(ф"(и)), продолжает, как и Ф,отображение р: S1 X1,
отображает в X дополнение к конечному набору Ех,..., Е^ неперекрывающихся овальных областей (см. выше) и отображает каждую из этих овальных областей линейно на одну из двумерных клеток. Соединим точку у0 G S1 С D2 несамопере- секающимися и попарно непересекающимися путями зх,. . . , sN с какими-нибудь точками ух,. .., yN границ областей Ех,..., Е^ и обозначим через охoN петли с началами ух,..., yN, обходящие эти границы против часовой стрелки; при этом можно считать, что пути SisN- занумерованы в порядке их выхода, против часовой стрелки, из точки у0 (см. рис. 37). Очевидно, петля а, обходящая границу S1 диска Ь2 против часовой стрелки из точки у0, гомотопна в D2 — UffatP",- петле
($1 0,5, 1 ) ($2°2$2 *) • • • ^?N®N®N )
(см. рис. 38). Следовательно, петля р гомотопна (в Xх) петле
[фо ($101 $Г*)] [Фо (s^jsr1)] ... [Фо (s^a^1)].
Но петля [Ф ° (s. o.sr1)] определяет в тг1(ЛГ1, е°) элемент, сопряженный С0*1, где у — номер клетки Ф^), а знак в показателе зависит от того, в какую сторону петля фо ot обходит е2. Мы видим, что класс у петЛи ф действительно принадлежит нормальной подгруппе группы Я1 (Xх, е°), натянутой на й].
Теорема доказана.
Следствие. itx (X) = irx (X2) для любого клеточного пространства X.
Доказанная теорема позволяет найти фундаментальные группы классических пространств, клеточные разбиения которых были построены в § 5. Впрочем, многие из этих пространств вовсе не имеют одномерных клеток и потому односвязны, т.е. имеют тривиальные фундаментальные группы (это нам известно уже из § 5); таковы, например, сферы S" с и >2, пространства СР”, CG(n, к) и некоторые другие. Но все же в некоторых случаях вычисление фундаментальных групп приводит к интересным результатам. Например:
Теорема 5. Фундаментальная группа сферы с g ручками порождена 2g образующими, ах,... ,ag, bx,..., bg, связанными одним соотношением
axbxaxxb"ix... agbgagXbgX = 1.
В частности, фундаментальная группа тора порождена двумя образующими, а и Ь, связанными соотношением aba~xb~x = 1, т.е. попросту есть Z ® Z. Этот факт вытекает, впрочем, и из очевидной формулы
Я1(ХХ У) = щ^Хя^У)
(докажите ее!).
Теорема 6. Фундаментальная группа проективной плоскости с g ручками или бутылки Клейна eg ручками порождена образующими сь..., ch, где в случае проективной плоскости h = 2g + 1 и в случае бутылки Клейна h =2g + 2, связанными одним соотношением
cL-.c^l.
В частности, tti (R/*2) = Z2 (циклическая группа порядка 2).
Упражнения. 2. Покажите, что фундаментальные группы, вычисленные в теоремах 5,6, попарно неизоморфны1). Этот результат впервые дает нам возможность убедиться в том, что сферы с ручками, проективные плоскости с ручками и бутылки Клейна с ручками попарно не гомеоморфны (даже гомотопически не эквивалентны). Выведите из этого, что никакие две классические поверхности (см. § 1) не гомеоморфны.
Напомним два алгебраических определения. Пусть Gi, G2 — группы, Ль Л2 — системы их образующих и R i, R2 — соответствующие определяющие системы соотношений. Группа с системой образующих Hi U Л2 и определяющей системой соотношений Rt U R2 называется свободным произведением групп Gi и G2 и обозначается через Gi * G2. Из алгебры известно, что эта группа не зависит от выбора образующих и соотношений в Gx и G2. (По-другому группу Gi * G2 можно описать как группу ”cnoB”^1^2^i^2 • • -8iKii где g^ G Gf.) Докажите, например, что свободное произведение Z2 * Z2 обладает нормальной подгруппой, изоморфной Z, и (Z2 * Z2)/Z = Z2. .Обобщение этого определения: пусть Н — еще одна группа и vpx: Н -* Gi, ц>2: Н ^G2 — гомоморфизмы. Выберем в Н систему образующих ha и добавим к нашим соотношениям в Gi * G2 соотношения Ф1(Ла) = ф2(йа) (мы считаем Gi и G2 подгруппами группы Gx * G2). Получающаяся группа называется амальгамированным произведением групп Gx и G2 над Н и обозначается через Gx *н G2. Попробуйте доказать, например, что группа SZ^Z) целочисленных 2 X 2-матриц с определителем 1 изоморфна Z4 *z Z6.
Докажите, что Я1 (XV У) «^(Х) *Я1(У).
Докажите следующую теорему ван Кампена. Пусть X — клеточное пространство, У и Z — его клеточные подпространства, пересечение V которых связно; пусть е° — нульмерная клетка, лежащая в V. Тогда jti(X, е°) = irx(Y, е°) *т ^ е0) ni(Z, е°) (по отношению к гомоморфизмам тг^К, е°) -»irx(Y, е°), irx(y, е°) -* irx(Z, е°), индуцированным включениями V У, V -*Z ).
Покажите, что всякая группа является фундаментальной группой некоторого клеточного пространства. •
Покажите, что всякая группа, задаваемая конечным набором образующих и соотношений, служит фундаментальной группой некоторого замкнутого многообразия (кто не знает определения, должен дождаться гл. 2). Более того, это многообразие можно выбрать четырехмерным. Однако нельзя понизить его размерность до трех: группа Z ® Z, например, не является фундаментальной группой никакого замкнутого трехмерного многообразия (этот факт читатель сможет доказать после
J) Не существует универсального алгоритма, позволяющего узнать, изоморфны ли две группы, заданные образующими и соотношениями, но существуют различные способы решать эту проблему в частных случаях. Простейший из этих способов, применимый и в рассматриваемой ситуации, состоит в том, чтобы ’’прокоммутировать” заданные группы, т.е. профакторизовать их по (нормальной) подгруппе, порожденной ’’коммутаторами”-элементами вида <Л£"'Л"1, - и посмотреть, будут ли изоморфны получающиеся коммутативные группы (для конечнопорож- денных абелевых групп дело обстоит просто: всякая такая группа однозначно представляется в виде Z е ... е Z е Zflj е... е Z^, где qt,..., qs - степени простых чисел).
того, как он прочтет гл. 3; вообще же, вопрос, какие группы могут быть фундаментальными группами замкнутых трехмерных многообразий, не прост).
Покажите, что дополнение к стандартно вложенной окружности S в R имеет фундаментальную группу Z. Используя теорему ван Кампена, вычислите фундаментальную группу дополнения к простейшему узлу в R3 — ’’трилистнику” (см. рис. 39). (Ответ: группа с двумя образующими, а и Ь, и одним соотношением д = А3.) Выведите из этих результатов, что трилистник нельзя ’’развязать”. Придумайте способ вычисления фундаментальной группы дополнения к произвольному узлу, заданному картинкой, подобной рис. 40*).
В заключение заметим, что, как показывают проделанные вычисления, фундаментальная группа часто бывает некоммутативной. В этом ее отличие от подавляющего числа групп, гомотопически инвариантным образом сопоставляемых с топологическими пространствами. Поэтому изучение фундаментальной группы требует привлечения специфических и не всегда стандартных алгебраических средств. Чтобы этого избежать, топологи любят (к месту и не к месту) накладывать на рассматриваемые пространства требование односвязности или хотя бы какие-нибудь требования, влекущие за собой коммутативность фундаментальной группы. Одна из возможностей это сделать подсказывается следующим упражнением.
Упражнение 9. Покажите, что если X — топологическая группа (не обязательно коммутативная) или хотя бы //-пространство (см. § 4), то фундаментальная группа Я1 (X) коммутативна.
НАКРЫТИЯ
Определение и примеры. Линейно связное пространство Т называется накрывающей для линейно связного пространства X, если задано отображение р: Т^Х, такое, что у любой точки х € X имеется окрестность U С X, для которой р-1(17) гомео- морфно UX Г, где Г — дискретное множество, причем диаграмма
U
коммутативна. Отображение р: Т-^Х называется в этой ситуации накрытием.
Примеры. 1. р: R -♦S1, 51 — окружность {z G С | | z | = 1}, р: R -►З'1 действует по формуле р(х) = e2”ix.
р: S1 ->51, p(z) = z* (Л ¥= 0 — целое число).
Т = Sn, X = RP”, р: Sn -* RP” относит точке сферы S" прямую в R"+1, проходящую через эту точку и точку О G R"+1 (ср. § 1).
Ясно, что если рх: Тх -* Хх, pi : Тг ^ Хг — накрытия, то и рх X р2: Тх ХТ2 ^ -* Хх X Х2 — накрытие. В частности, квадрат накрытия из примера 1 есть накрытие R2-►S1 ХЗ1 — плоскость накрывает тор.*
Упражнения. 1. Покажите, что при любом g > 2 сфера с g ручками способна накрывать сферу с 2 ручками (’’крендель”). Подумайте, какие из классических поверхностей способны накрывать друг друга (хотя технические средства, позволяющие ответить на этот вопрос, появятся только в гл. 2).
Покажите, что при любом и > 2 букет и окружностей способен накрывать букет двух окружностей (’’восьмерку”).
Теорема о накрывающей гомотопии. Некоторые теоремы этого параграфа требуют наложения на участвующие в них пространства тех или иных условий локального характера. Эти условия не особенно ограничительны: всегда достаточно локальной односвязности (любая окрестность любой точки содержит односвязную окрестность этой точки), а иногда можно обойтись локальной линейной связностью. Эти условия необходимы для проверки непрерывности различных отображений, и нам не придется вникать в них, поскольку мы будем систематически такие проверки пропускать. Поэтому мы будем пользоваться не очень определенным термином ’’достаточно хорошее пространство”, помня при этом, что клеточные пространства (и многообразия) заведомо достаточно хороши. Читатель, интересующийся подробностями, с легкостью их восстановит; он может также найти их, скажем, в ’’Основах гомотопической топологии” Постникова.
Теорема. Пусть р: Т ^Х - накрытие, Z - достаточно хорошее пространство, F: Z ^Т - непрерывное отображение uft: Z ^Х гомотопия, такая, что fo =р° F. Тогда существует единственная гомотопия Ft : Z -*Т, такая, что Fo = F и ft =р° Ft.
Чтобы доказать эту теорему, мы сначала докажем следующую ’’лемму о накрывающем пути”.
Лемма. Для любого пути s: I ^Хи любой точки х£Т, такой, что р(х) = s(0), существует единственный путь s: I ^Т, такой, что Г(0) =х и ро $ = s.
Доказательство. Окрестности из определения накрытия мы будем называть элементарными. Для каждого t G I найдем злементарную окрестность U^t^ С X точки s (Г). В силу компактности отрезка I из этих окрестностей можно выбрать последовательность Ux,..., UN таким образом, что U, D /(^, ^+i), где 0 = tx < < t2 < .. . < tN+l = 1. Прообраз окрестности Ux гомеоморфен дискретному семейству таких же окрестностей^Пусть Ux — та из них, которая содержит точку х. Возьмем прообраз s: [0, т2] ■* £4 куска нашего пути s| [0 ^ ] (см. рте. 41). Затем проделаем то же самое с окрестностью U2, точкой s(T2) и куском пути s|[ f f j и т.д. Так как число окрестностей конечно, то процесс конечен, а так как для каждой окрестности он однозначен, то путь с нужными свойствами существует только один.
Доказательство теоремы. Пусть z G Z — произвольная точка. Формула t ^ft (z) определяет путь в X. Этот путь единственным образом можно поднять в Т так, чтобы поднятый путь начинался в точке F(z). Заставив z пробегать Z, мы получим отображение Z X I -* Т. Это и есть нужная гомотопия. Проверку ее непрерывности и единственности мы оставляем читателю.
Замечание. В доказательстве нигде не использовалась связность пространства Т, и действительно она не требуется для этой теоремы. Если из определения накрытия удалить требование связности Т, то получится определение ’’накрытия в широком смысле”. Это понятие во многих отношениях не хуже понятия накрытия, но в связи с фундаментальной группой удобнее иметь дело именно с накрытиями.
Рис. 41
Накрытая и фундаментальная группа.
Теорема 2. Если р; Т -* X — накрытие, то р,; ^i{T, х0) -*tt1(A', х0) - мономорфизм. Здесь Хо - произвольная точка пространства Т и х0=р(х0).
Доказательство. Нам надо доказать, что если петля s: I ■* Т с началом х0 проектируется в петлю s: I X, гомотопную нулю (т.е. гомотопную постоянной петле), то она и сама гомотопна нулю. Фиксируем гомотопию st: I -+Х,такую, что s0 = s, st (0) = st (1) = х0, Sj(Z) =х0. По теореме о накрывающей гомотопии существует гомотопия st: I ^ Т, такая, что з^ =зиро st = st. Но так как полный прообраз точки х0 дискретен в Г, то st (0) = s(0) =х0, sf (1) =s(l) = х0, х\ (Z) = = х0. Таким образом, петля s также гомотопна нулю. Теорема доказана.
Подгруппа р,(Я1(Г, х0)) группы iri(X, х0) называется группой накрытия. Ясно, что если мы изменим точку х0, не меняя точку х0, то подгруппа заменится сопряженной (сопряженность определяется классом петли в X, получающейся при проектировании пути, соединяющего две точки х0 в Т — см. рис. 42). При замене же точки х0 группы накрытия переводятся друг в друга изоморфизмами вида а#.
Теперь мы убедимся в том, что различие между группами ^(Т) и Я1(Х) измеряется числом прообразов точки пространства X в Т. Именно, мы построим каноническое взаимно однозначное соответствие между элементами фактормножества 1Г1(Х, x0)/p.(iti(T, х0)) и элементами множества р-1 (х0) С Т.
Рассмотрим петлю с началом х0 в X. Поднимем ее в Г как путь с началом в точке х0. Поставим в соответствие петле конец этого пути. Получим точку изр-1(х0). Ясно, что эта точка зависит только от гомотопического класса исходной петли: при гомотопии петли накрывающий путь тоже подвергается гомотопии, но его конец может варьироваться только в пределах дискретного множества р-1(хо) и потому стоит на месте. Ясно, далее, что петли $i, s2 тогда и только тогда определяют одну точку множества р"*(х0), когда петля $1$2* накрывается в Т петлей (рис. 43), т.е. определяет элемент группы тг^Г, х0). Таким образом, наше соответствие определяет отображение ^(Х, х^1-пх(Т, х0) -* Р-1^), переводящее разные элементы в разные. Осталось убедиться в том, что образ этого отображения — все множество р-1(х0), но это следует из связности Г: любая точка из р-1(х0) соединяется с х0 путем, и проекция этого пути есть петля, поднятие которой есть путь, кончающийся в выбранной точке.
Эта конструкция показывает, что р-прообразы различных точек пространства X в Т ’’одинаковы” (находятся во взаимно однозначном соответствии). Этот факт легко вывести и прямо из леммы о накрывающем пути. (Пусть s: I -* Т — путь, соединяющий точки х0, Xq ^ X. Пути в Т, накрывающие s и начинающиеся в различных точках множества р-1(Хо), кончаются в р_1(Хц) — мы получаем отображение р-,(х^) -* р-1(Хо); обратное отображение строится по пути s-1.) Мощность
Рис. 43Рис. 43
Рис. 43
Рис. 43
множества р-1(х), где х € X - произвольная точка, называется числом листов накрытия р; Т X. Употребляются также выражения ”и-листное накрытие”, ’’конечнолистное накрытие”, ’’бесконечнолистное накрытие”, ’’счетнолистное накрытие” итл.
Предыдущая конструкция показывает также, что если х, х' — не совпадающие точки, такие, что р(х) = р(х'), и s — любой путь, соединяющий х с х , то петля р о $ не гомотопна нулю (в X). Это наблюдение позволяет нам восполнить пробел в доказательстве теоремы 3 из § 6. Напомним, что там осталось недоказанным, что е. е-„
петля Tiai... не гомотопна нулю, если среди сомножителей не встречаются идущие подряд элементы 1?а И Т)”1.
Рассмотрим s + 1 экземпляров нашего букета окружностей и расположим их один над другим, как показано на; рис. 44. Под этими s + 1 экземплярами располо
жим еще один экземпляр и будем считать, что верхние экземпляры вертикально проектируются на нижний экземпляр.
Возьмем теперь первую букву нашего слова. В первом и втором экземплярах нашего букета (снизу) в окружности, соответствующей нашей букве, вырежем один над другим по маленькому отрезку и концы образовавшихся дырок соединим крест-накрест, очевидным образом перестроив проекцию. Затем аналогичным образом соединяем второй экземпляр с третьим, используя вторую букву, потом — третий с четвертым и т.д. Если в нашем слове идут подряд две одинаковые буквы, то нам придется выкидывать два отрезка из одной и той же окружности. Мы сделаем это так, чтобы вторая дырка предшествовала первой, если соответствующие буквы стоят в степени +1, и
следовала за ней, если буквы стоят в степени —1. (Все окружности букета ориентированы, иначе мы не могли бы говорить о степенях.) Очевидно, что мы построили ($ + 1)-листное накрытие над нашим букетом окружностей и что наша петля накрывается в нем путем, который начинается в самой нижней точке, проектирующейся в отмеченную, а кончается в самой верхней (см. опять рис. 44). Следовательно, наша петля не гомотопна нулю.
Регулярные накрытия. Накрытие р: Т-+Х называется регулярным, если группа накрытия р ,(Я1 (Т, х0 ) ) есть нормальная подгруппа в Ях (X, х0 ).
Упражнения. 3. Докажите, что накрытие р; Т -* X регулярно тогда и только тогда, когда никакая петля в X не служит образом одновременно замкнутого пути и незамкнутого пути в Т.
Докажите, что если р: Т -* X есть регулярное накрытие, то существует свободное действие группы G = Ях(Х х0)/ях(Т, х0) в Т, такое, что X = T]G (точнее: такое, что его орбиты совпадают с множествами р-1 (х)).
Докажите, что верно обратное: если группа G действует в пространстве Т свободно и дискретно (последнее означает, что каждая точка х G Т обладает такой окрестностью U, что множества gU, g G G, попарно не пересекаются), то естественная проекция Т-* X = Т/G является регулярным накрытием. Более того, в этом случае Ях^/я^П = G.
Докажите, что двулистные накрытия всегда регулярны (это, в действительности, алгебраический факт: подгруппы индекса 2 всегда нормальны), а трехлистное накрытие может быть нерегулярным: постройте пример нерегулярного трехлистного накрытия над кренделем и над восьмеркой. .
Универсальные накрытия. Накрытие р: Т -* X называется универсальным, если Т односвязно. Очевидно, универсальные накрытия всегда регулярны.
Из сказанного выше вытекает, что прообраз произвольной точки пространства X в его универсальной накрывающей находится во взаимно однозначном соответствии с группой Ях(АЭ • Более того, упражнение 4 придает этому соответствию смысл группового изоморфизма. В сущности, именно это обстоятельство лежало в основе доказательства теоремы 1 из § 6. Приведем еще один пример вычисления фундаментальной группы при помощи ’’метода накрытий”.
Теорема 3. Фундаментальная группа пространства RPп, п>2,изоморфна Z2.
Доказательство: естественная проекция Sn -* RP ” (см. § 1) есть универсальное накрытие.
(Эту теорему ничего не стоит вывести также из теоремы 4 § 6.)
Теорема о поднятии отображения.
Теорема 4. Пусть р: Т -*Х — накрытие и Z — линейно связное топологическое пространство. Пусть, далее, х0 Т, х0 =р(3со) € X, z0GZ - отмеченные точки и f: Z -*Х - непрерывное отображение, переводящее z0 в х0. Тогда; (i) существует не более одного непрерывного отображения F: Z -+Т, такого, что F(z0) = х0 иро F = = /; (ii) если пространство Z является достаточно хорошим, то для существования такого отображения необходимо и достаточно, чтобы выполнялось включение /.(^(Z.Zq)) С р.(ях(Г,х0)). ,
Доказательство. Пусть F1, F” — два таких отображения. Если z G Z — произвольная точка и s: I -*Z — путь, соединяющий z0 с z, то пути F' о s, F" ° s накрывают путь / ° $ и имеют общее начало, вследствие чего они совпадают; следовательно, F"(z) = F" ° $(1) =F* о $(1) = F’(z). Это же рассуждение подсказывает, как построить отображение F; для точки z G Z берем путь s; I -* Z, соединяющий zq с z, строим поднятие s с началом в точке х0 пути / о $: I -»х и полагаем F(z) = - s (1). Для того чтобы эта конструкция была корректной, необходимо (и достаточ-
но), чтобы для любого другого пути s': I ~* Z, соединяющего z0 с z, соответствующий путь s' кончался в той же точке, что и s, т.е. чтобы петля / о ($$'-1) накрывалась в Т петлей. Это, очевидно, равносильно вышеуказанному включению.
Следствие. Если Z - односвязное достаточно хорошее пространство и р: Т -* X - накрытие, тор.: Cb (Z, Г) ->Cb (Z, Т) есть гомеоморфизм, ар.: яь (Z, Г) ■* -» яь (Z, Т) — взаимно однозначное соответствие.
Критерий эквивалентности накрытий. Накрытия рх : Тх ~* X, р2: Т2 ^- X называются эквивалентными, если существует такой гомеоморфизм /: Тх ■* Т2, что диаграмма ■
Tt"*Тг
коммутативна. Отображение / называется при этом эквивалентностью.
Теорема 5. Пусть рх : Тх -* X, р2: Т2 -*Х - накрытия, х€ X, хх € Тх, х2 € G Т2 - такие точки, что Pi(xi) = х, р2(х2) = х. Если X - достаточно хорошее пространство, то накрытия рх, р2 эквивалентны тогда и только тогда, когда группы Р1.(Я1(Т!,Х1)), Рг.^иг, х2)) сопряжены в ях(Х,х).
В частности, два универсальных накрытия над достаточно хорошим пространством всегда эквивалентны.
Доказательство. В одну сторону (если эквивалентны, то сопряжены) это нам, по существу, ухе известно. В другую сторону: изменив, если нужно, точку х2, мы добиваемся того, что подгруппы Pi.(ih(Tx, хх)), р2 ,(Я1(Т2,х2)) группы Я1 (X х) не просто сопряжены, а одинаковы. После этого, применяя теорему о поднятии отображения к отображению рх: Тх -► X и накрытию р2: Т2 ~*Х, мы получаем отображение /: Тх -► Т2, а применив эту теорему к отображению р2: Т2 -^Х и накрытию Pi: Тх X, мы получаем отображение g: Т2 "^Тх. Ясно, что / и g — взаимно обратные гомеоморфизмы, коммутирующие с проекциями.
Упражнение 7. Постройте изоморфизм между группой автозквивалентностей накрытия р: Т X (с достаточно хорошим X) и группой Normpjrx(T)lp.irx(r), где Norm — нормализатор (нормализатор подгруппы Н группы G - это совокупность таких g G G, что gHg~l = Я).
Существование и классификация накрытий.
Теорема 6. Пусть X - достаточно хорошее линейно связное пространство и х0 G X - точка. Тогда для любой подгруппы G группы я^Х, х0) существуют накрытие р: Т -*Х и точка х0 € Р'Ч^о), такие, что p.(ih(T, Хо)) = G. В частности, над X существует универсальное накрытие.
Конструкция. В множестве Е(Х, х0) введем отношение эквивалентности: s ~ s', если s'(l) = s(l) и гомотопический класс петли ss'-1 принадлежит G. Множество классов эквивалентности принимаем за Т. Отображение р: Т -* X относит классу путей их общий конец. Определение в Т топологии, выбор точки х0, проверку того, что р есть накрытие (для достаточно хорошего X) и доказательство равенства рДя^Г, х0)) =G мы оставляем читателю.
Таким образом, для достаточно хорошего линейно связного пространства X классы эквивалентных накрытий над X находятся во взаимно однозначном соответствии с классами сопряженных подгрупп фундаментальной группы пространства X. В частности, над достаточно хорошим односвязным пространством вообще нет нетривиальных накрытий (тривиальное накрытие — это однолистное накрытие id: X -* X). Например, накрытие (винтовая линия) -► (окружность) не имеет никакого многомерного аналога.
ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Определение; коммутативность. Гомотопические группы nn^X, х0) топологического пространства X с отмеченной точкой х0 были определены в § 4 как частный случай общего ковариантного группового функтора. Напомним, что множество я„(Х Хо) определялось как множество гомотопических классов отображений S” -* X, переводящих отмеченную точку сферы S” в точку х0. Сами эти отображения называются сфероидами. Иначе сфероид можно определить как отображение и-мерного куба I" в X, переводящее границу куба 97” в точку х0.
Сумма двух сфероидов f, g: Sn -» X определяется как сфероид f + g: Sn -^ X, построенный так: сначала экватор сферы S” (содержащий отмеченную точку) сжимается в точку, в результате чего сфера превращается в букет двух сфер, затем сферы, составляющие этот букет, отображаются в X с помощью отображений fug (см. рис. 45). Иначе эту операцию можно описать на кубическом языке. Если заданы сфероиды /, g: Г*-»Х пространства X с отмеченной точкой х0, то сумма f *g определяется как отображение 7” -* X, совпадающее на левой половине t^ < 1/2 куба с композицией f и сжатия куба вдвое, на правой половине — как композиция g и аналогичного сжатия (рис. 46).
Сложение сфероидов не является групповой операцией. Однако оно гомотопически инвариантно (т.е. если f ~ f* и g ~ g', то f + g ~ f + g’^ и поэтому индуцирует операцию в множестве ип(Х, Хо), а последняя уже является групповой. Ассоциативность и наличие единицы проверяются для этой операции непосредственно (см. § 4). -
При и > 2 эта операция коммутативна — гомотопия, соединяющая сфероиды f + g и g + f, изображена на рис. 47 (на этом рисунке черные части кубов отображаются в х0). .
Рис. 46Рис. 46Рис. 47Рис. 479г9г
Рис. 46
Рис. 46
Рис. 47
Рис. 47
9
г
9
г
Если ^: X -► У — непрерывное отображение, переводящее отмеченную точку х0 6 I в отмеченную точку у0 е ^ то возникает гомоморфизм фе\ я„(Х, х0) ■* -*nn^Y, уо), не меняющийся при замене отображения <р гомотопным. В частности, у гомотопически эквивалентных пространств с отмеченными точками гомотопические группы одинаков ы.
Упражнение 1. я„(ХХ Y, (х0, у0)) = irn(X, х0) X я„(У, у0)-
Зависимость от отмеченной точки. Путь а: I -*Х, соединяющий точки х0, Xi € G X, индуцирует изоморфизм а#: я„(Х, х0) -*кп(Х, Xi). Построение отображения
а#: на рис. 48 показано отображение со сферы 5" на букет Sn V I этой сферы и отрезка (это отображение переводит отмеченную точку сферы в удаленный от S" конец отрезка I С Sn V /) ; сфероиду /: S" ■* X, переводящему отмеченную точку в х0, ставится в соответствие сфероид.
■ шfVa
«#(/): sn-*snvi—> х
Легко проверить, что a#(f + g) ~ct#(,f') + a#(s) и что (а-1)# = (а#)-1 • Ясно также, что при л = 1 изоморфизм а# совпадает с изоморфизмом а#, построенным в § 6.
Как мы видели на примере случая л = 1, изоморфизм а# может зависеть от пути. Если при данном и изоморфизм а* от а не зависит, то пространство X называется п-простым. Из сказанного в § 6 следует, что 1-простота — это коммутативность фундаментальной группы. Подчеркнем, что при л> 1 л-простота никакого отношения к коммутативности фундаментальной группы не имеет.
Пространства, л-простые при всех л, называются простыми. Например, односвязные пространства просты.
Упражнение 2. Докажите, что любое //-пространство просто. (Ср. с упр. 9 к § 6.)
Гомотопические группы и иакрытия.
Теорема 1. Если р: Т X - накрытие и л > 2, то р,: irn(T, х<>)
-► я„ (X р ( х0 ) ) есть изоморфизм.
Это следует из теоремы 4 § 7 (см. следствие из этой теоремы) и односвязности сферы S” с л > 2.
Теорема 1 может быть немедленно использована для вычисления гомотопических групп у некоторых пространств. Например:
Теорема 2.
Z при л = 1,
О при п>2.
Первое уже доказано (см. § 6), второе следует из того, что ввиду существования накрытия R S1 группа я„(№) с л > 2 изоморфна я„(Н), а прямая R стягиваема.
Упражнения. 3. Докажите, что если В — букет любого числа окружностей, то лп (В) = 0 при и > 2. [Для доказательства нужно построить универсальную накрывающую над В и убедиться в том, что она стягиваема. Универсальная накрывающая над букетом двух окружностей изображена на рис. 49.]
Докажите, что если X есть связная классическая поверхность, отличная от S и RP, то (X) = 0 при и > 2. [Прежде всего докажите, что если поверхность имеет непустой край, то она гомотопически эквивалентна букету окружностей, так что в этом случае
можно воспользоваться предыдущим упраж-"’
нением. Для поверхностей без края можно49
рассуждать двумя способами. Первый состо-'
ит в явном построении над X универсальной
накрывающей, которая оказывается гомеоморфной плоскости. (Подробности см. в § 20 части II. первого тома ’’Современной геометрии” Дубровина, Новикова и Фоменко.) Другой способ состоит в использовании неуниверсальных накрывающих. Именно, пусть X есть поверхность У с ручкой (из нашего поля зрения выпадает случай бутылки Клейна, но этот случай тривиален: бутылка Клей
на двулистно накрывается тором, а универсальной накрывающей над тором, как нам уже известно, является плоскость). Рассмотрим бесконечнолистное накрытие Х^ X, изображенное на рис. 50. В силу теоремы 1 ип^Х^ я„(Х). Далее, ввиду компактности сферы любой сфероид 5" -> X покрывается конечным числом кусков, на которые поверхность X разбита на рис. 50. Но объединение этих кусков есть классическая поверхность с непустым краем, и потому наш сфероид стягивается в точку в этом объединении, а значит, и в ХД
Рис. 50Рис. 50Относительные гомотопические группы. Пусть (X, А) — пара с отмеченной точкой х0 Е А. Фиксируем и > 2. Относительная гомотопическая группа ■n^X, А; х0) определяется как множество гомотопических классов n-мерных относительных сфероидов. Относительные сфероиды (как и абсолютные1)) определяются двумя способами: с помощью шаров и с помощью кубов. Шаровой относительный сфероид — это отображение D" -*Х, загоняющее Sn~ 1 С Dn в А и переводящее
Рис. 50
Рис. 50
отмеченную точку у0 G 5" 1 С Л" в х0 (рис. 51). Кубический относительный сфероид — это отображение I" -* X, загоняющее в А границу ЗУ" и переводящее в х0 часть ЗУ” — У”-1 этой границы.
Относительные сфероиды называются гомотопными, если они гомотопны в классе относительных сфероидов. Сумма f + g (кубических) относительных сфероидов
f,g определяется формулой
I g(2xv - 1,х2,... ,х„), если хх >1/2.
Ясно, что если f~f и g~g , то / + g ~ f* +g'; следовательно, наша операция индуцирует некоторую операцию в множестве я„ (X Л; х0 ).
Упражнения. 5. Проверьте для ял(Х Л; х0) выполнение групповых аксиом; покажите, в частности, что нулем группы ял(Х А; х0) служит класс любого относительного сфероида f: I" -*Х, для которого /(/")СЛ.
Рис. 51
Покажите, что при и > 3 группа ял(Х А; х0) коммутативна.
Найдите относительный аналог упражнения 1.
Если (X Л), (У, В) - пары с отмеченными точками х0 € Л, у0^ В, то непрерывное отображение /: Х-* У, такое, что /(Л) С В и /(х0) = Уо (пишут /: (X, А, Хо)-*
(У, В, у0)) индуцирует гомоморфизмы /,: я„(Х А; х0) ->я„(У, В; у0). Гомотопные отображения индуцируют одинаковые гомоморфизмы, в частности, у гомотопически эквивалентных пар гомотопические группы одинаковы.
Зависимость групп я„(Х Л; х0) от отмеченной точки аналогична зависимости от отмеченной точки абсолютных гомотопических групп: путь а: I Л, соединяющий х0 € Л ex, G Л, индуцирует изоморфизм а#: я„(Х А; х0) ->я„(Х А; хх).
’’Гомотопические группы” я0 (X, х0) и Я1(Х, А; х0). Определение множеств я„(Х х0) и я„(Х А; х0) сохраняет силу, если взять в первом случае л = Оиво втором случае л = 1. В частности, я0(Х *о) есть множество компонент линейной связности пространства X (множество Я1 (X А; х0) не имеет столь прозрачного смысла). Однако в множествах я0(Х х0) и Я1(Х, А; х0) отсутствует естественная групповая структура (для я0(Х *о) это вытекает из результатов § 4, дляя1(Х, Л; х0) читатель докажет это сам). Впрочем, в этих множествах имеется выделенный элемент — ’’единица”; это — класс постоянного сфероида S° -►х0 G X ипиО1 ->х0 € X.
Хотя яо(Х х0) и Я1(Х А; х0) - не группы, не стоит их полностью игнорировать. Например, утверждение ’’пространство X л-связно тогда и только тогда, когда я/(Х) = 0 при 1 < л” при л = 0 ничуть не хуже, чем при л > 0 (равенство я0(Х) = О означает, что множество я0(Х) состоит из одного элемента, т.е. что X линейно связно) . Более того, мы наберемся смелости сказать, что хотя обозначение я_, (X) не имеет уж совсем никакого смысла, термин (—1)-связность осмыслен и означает непустоту (всякое отображение ф -*Х продолжается до отображения * -►X). Можно сказать, что я.^Х) — не группа и даже не множество, но может бытья.^Х) =0 (X непусто) и я.^Х) ¥= 0 (X пусто). Все это кажется пустословием, но все же проясняет аналогию, которая подчас имеет место между доказательством существования, скажем, отображения какого-нибудь типа или решения какого-нибудь урав-
нения (вычисление ’’группы я,/’) и описанием множества гомотопических классов этих отображений или решений (вычисление ’’группы я0”).
Связи между относительными и абсолютными гомотопическими группами. Во-первых, абсолютные гомотопические группы - частный случай относительных гомотопических групп. Именно, лп(Х х0) = irn(X, х0; х0) при п > 1.
Во-вторых, относительные гомотопические группы - частный случай абсолютных гомотопических групп. Именно, по паре (X, А) с отмеченной точкой х0 G А канонически строится некоторое пространство ¥ с отмеченной точкой у0, такое, что irn(X,A; х0) =яп_1(К,у0) при л > 1. Это равенство объясняет, по чему тгп(Х, Л; х0) есть группа только при п > 2 и есть коммутативная группа только при п > 3. Описание пространства У мы отложим до следующего параграфа.
В-третьих, имеются естественные гомоморфизмы irn(X, х0) -*1гп(Х, А; х0). Эти гомоморфизмы можно описать при помощи замечания, что всякий абсолютный сфероид (У”, ЭУ”) -+ (X, х0) можно рассматривать как относительный сфероид (У”, ЭУ”, ЭУ” — У"-1)(X, А, х0); можно сказать также, что эти гомоморфизмы
совпадают с /„ где / есть тождественное отображение Х^ X, рассматриваемое как отображение (X, х0) -* (X, А).
Упражнение 8. Докажите, что образ гомоморфизма/,: iri(X, х0) -*я2 (X А; х0 ) лежит в центре группы я2(X А; х0 ).
В-четвертых (ив самых важных!) имеются’’связывающие гомоморфизмы”
Э: л„(Х Л;х0)^ л„_1(Л,х0).
Гомоморфизм Э относит классу относительного сфероида /: (У”, ЭУ”, ЭУ” — У”-1) -► -► (X А, х0) класс абсолютного сфероида /| п-1: (У”-1, ЭУ”-1) -+ (А, х0); иначе говоря, $ относит классу сфероида f: (Dn, S”-1, у0)(X, А, х0) класс сфероида
/|5Я-г (S”-1,yo)^(4,xo).
Гомотопическая последовательность пары. Так называются последовательность / •/ •а
• • •^„(Л, х0)я„(Х, х0) ~А, х0)
3i.di.
"n-i^xo)Я2(Х, Л;Х0) ■* ЯО(Л,ХО)—* т0(Хх0),
в которой /, и Э — только что описанные отображения, a i.- отображение,индуцируемое включением i: Л ^-Х
Главное свойство этой последовательности заключается в том, что она точна, те. ядро каждого входящего в нее отображения совпадает с образом предшествующего отображения (для трех последних стрелок ’’ядро” — это прообраз отмеченной точки).
Доказательство точности. (Мы советуем читателю провести это доказательство самостоятельно.) (1) Ker/,D Im i,. Действительно, для любого сфероида f: I" -»А сфероид i » f: 1п -* X определяет нулевой элемент группы я„(Х, Л; х0), поскольку его образ содержится в Л — см. упражнение 5. (2) Кег/,С Imz,. Пусть /: У” -► X - сфероид пространства X, представляющий элемент из Кет/,, и пусть У7: У” XI -*Х - гомотопия, соединяющая / с постоянным отображением в классе относительных сфероидов пары X, А; очевидно, F есть отображение куба У"*1 в X, совпадающее на грани х„ + 1 = 0 с f, отображающее грань хп = 0 в А и отображающее оставшуюся часть границы ЭУ” + 1 в х0; пусть У” С У”+1 — сечение кубаУ”+1 плоскостью txn + (1 - 7)xn+1 = 0 (см. рис. 52); ясно, что У” У” и 4toF| n: I"=In-*X есть гомотопия, связывающая (в классе абсолютных сфероидов пространства X) сфероид f со сфероидом, образ которого содержится в А. (3) КегЭ Э Im/,. Действитель- 3*‘
но, если /: In -^ X — абсолютный сфероид, то /| „_, есть постоянное отображение. (4) КегЭ С Im/,. Пусть /: 1п-*Х— относительный сфероид, и пусть gt: I"-1 ~*А — гомотопия, связывающая абсолютный сфероид /| л-1 пространства Л с постоянным сфероидом; рассмотрим гомотопию Д: Э/" -* X, совпадающую с gt на I"-1 и переводящую Э/" - /”-1 в х0, и распространим ее (пользуясь теоремой Борсука) до гомотопии ht: In X сфероида /; очевидно, ht есть гомотопия, соединяющая / в классе относительных сфероидов с постоянным сфероидом. (5) Keri, Э 1шЭ.
Если абсолютный сфероид f: 1п 1 -► А является сужением относительного сфероида g: I" -* X, то gt =^|/И_1х^: I"-1 X t =1п-1 -*Х есть гомотопия, связывающая в X сфероид / с постоянным сфероидом. (6) Kerf, С 1тЭ. Если gt: I"-1 X есть гомотопия, связывающая (в Х^ сфероид f =go" /”-1 -*А с постоянным сфероидом, то g: In -^ X, g(xlt..., х„) = gXn (Xj,..., хп_ ।), есть относительный сфероид пары (X, А), сужение которого на Л есть /.
Упражнения. 9. Определите естественное (правое) действие группы Я1 (X, х0) в множестве ^V(X, Л; х0) и заметьте, что орбиты этого действия совпадают с Э-про- образами элементов множества я0(Л, х0). (Другими словами, точность в члене HiXX, А; х0), пограничном в гомотопической последовательности между множествами и группами, носит групповой характер.)
. 10. Пусть (X, А, В) — тройка с отмеченной точкой х0 е В. Докажите точность "гомотопической последовательности тройки”
• • • ir„(A,B,x0) ■* и^Х.В.х^ -+ я„(ХЛ,х0) ■* Ип-1(4.в.хо) -* ■ ■ ■
(в этой последовательности гомоморфизмы, сохраняющие размерности, индуцируются включениями пар (Л, В) -* (X, В^ -► (X, Л), а "связывающий гомоморфизм” irn(X, А, х0) ->яп_1(Л, В, х0) определяется как композиция я„(Х, А, х0)
3 /. '
■ ^^„(Л.Хо) я„(Л,В,х0)).
Следствия точности. Если противное не оговорено, то рассматриваемые последовательности предполагаются последовательностями групп и гомоморфизмов. Тривиальная группа (состоящая из единичного элемента) обозначается символом 1, но в ситуации, когда все рассматриваемые группы являются абелевыми, она обозначается символом 0.
Ф
Упражнения, 11. Последовательность 1 -► А -* В точна тогда и только тогда, ф
когда р есть мономорфизм; последовательность А В -► 1 точна тогда и только тогда, когда р есть эпиморфизм; таким образом, последовательность 1 -*А -^ В -*1 точна тогда и только тогда, когда р есть изоморфизм.
Последовательность 1 -► А В -* С->1 (последовательности такого вида называют ’’короткими”) точна тогда и только тогда, когда р есть мономорфизм, С~ В/р(А) и ^ есть естественная проекция.
Следствия. Если А стягиваемо, то кп(Х) 568 ^„№ Л) (точнее, j. есть изоморфизм) при и > 1; если X стягиваемо, то -пп (X, А) « я„ _ i (А) (точнее, Э есть изоморфизм) при и > 1; если А есть деформационный ретракт в X, то яп(Х, А) = О при и > 1.
Упражнения. 13. Если А есть ретракт (не обязательно деформационный) пространства X, то (при всех п)
iw: irn(A)-> irn(X) есть мономорфизм,
/,: иП(Х) -*■ ип(Х, А) есть эпиморфизм,
1ГП(Х, А)-> яп_х(А) есть нулевой гомоморфизм
и itn(X) = it„(X,A)eirn(A).
Если А стягиваемо по X в точку, то
/,: 1ТП(Х)-* 1ГП(Х, А) есть мономорфизм,
Э: irn(X,A)-*itn_i(A) есть эпиморфизм,
1,: 1тп(А)-* пп(Х) есть нулевой гомоморфизм
и itn(X,A) = irn(X)eitn_1(A).
Если существует гомотопия ft; X -* X, загоняющая X в А, т.е. такая, что /о = id и /1 (X) С А, то
Э: irn(X, А) ■* irn-i(A) есть мономорфизм,
i,: яп(А) -* irn(X) есть эпиморфизм,
/,: ип(Х)-► irn(X, А) есть нулевой гомоморфизм■
и я„(Л ) = ir„(X) ® яп + j (X, А).
(”5-лемма”). Если в коммутативной диаграмме
Ai -*А2 -*Аз -*Л4 "^As
4^, 4^2 4*р3 4<₽4 4<р3
Bj -»В2 -^Вз -*В4 -*в5■
с точными строками отображения pi, р2 и ^4, ps являются изоморфизмами, то и рз — изоморфизм.
Из 8 предположений 5-леммы (^, р2, р4, р5 — мономорфизмы, pi, р2, р4, р5 - эпиморфизмы) для доказательства мономорфности отображения р3 требуется только 3, для доказательства его эпиморфности — другие 3 (какие?). Два оставшихся предположения являются, таким образом, вообще лишними.
Если, сохранив все предположения 5-леммы, исключить из ее диаграммы стрелку рз, будет ли верно, что А 3 = Дз?
Следствие. Пусть (X, А), (У, В) - топологические пары с отмеченными точками х0 6 4, у0Е В, и пусть f: Х-»¥ - такое непрерывное отображение, что f (Л) С
С В и /(х0) = Уо- Тогда любые два из следующих трех утверждений влекут за собой третье:
/.: я„(Х х0) "* я„(У, Уо) есть изоморфизм при всех п.
( Л л ) • ‘ яп (^ • хо) "* я„ (В, у о ) есть изоморфизм при всех п.
/,: и^Х, А;х0) -* я„(У, В; у0) есть изоморфизм при всех п. ' Упражнение 19. Пусть
-* А1 -> • • • -> Ап ^ 1
— точная последовательность. Докажите, что если группы At конечны и а, — их порядки, то Е(—1)‘а/ = 0, а если At — конечнопорожденные абелевы группы и г,- — их ранги, то Е(—1)^ = 0.
§ 9. РАССЛОЕНИЯ
В § 7 мы рассматривали накрытия, локально устроенные как произведения на дискретное пространство D. Накрытия являются частным случаем расслоений, которым посвящен этот параграф (и многие последующие).
Главное отличие расслоений от накрытий состоит в том, что дискретное пространство D заменяется произвольным топологическим пространством F.
Можно сказать, что расслоения в той же мере приспособлены к изучению гомотопических групп, в какой накрытия приспособлены к изучению фундаментальной группы, но справедливости ради следует заметить, что понятие расслоения само по себе по крайней мере не менее важно, чем понятие гомотопической группы.
Определения. Расслоением, или локально тривиальным расслоением, называется четверка (Е, В, F, р), где Е, В, F — пространства, ар — отображение Е-*В, причем любая точка х € В обладает такой окрестностью UC В, что р-хф) = UX F; более того, существует гомеоморфизм р; р-1ф) ■* UX F, замыкающий коммутативную диаграмму
проекцияпроекцияр"Чи) -ф *U*F
проекция
проекция
U
Отображение р называется проекцией, пространства Е, В и F — соответственно тотальным пространством, базой и слоем расслоения. Иногда расслоением называют само отображение р; Е -* В. Употребляется также термин ’’расслоенное пространство” — так называют пространство Е. Прообраз р-1(х) точки хЕ В называют слоем над точкой х; очевидно, этот слой гомеоморфен F, но канонический гомеоморфизм, вообще говоря, отсутствует.
Расслоение р; Е^В называется тривиальным, еслиЕ^ В XF и диаграмма
проекцияпроекцияBXF
проекция
проекция
В коммутативна. Примеры расслоений. 0°. Тривиальные расслоения. 1°. Накрытия.
2°. Проекция ленты Мёбиуса на ее среднюю линию (окружность) .Слой этого расслоения — отрезок. (Пожалуй, это — самый популярный пример нетривиального расслоения.)
3°.E = S3= {(Zt,22)12,2! +2222 = 1} C C2, В = 8г=СРх, P^X,Z^ = (2!:22), F=SX.
Упражнения. 1.Покажите, что (Д, В, F, р} — расслоение. (Это расслоение называется расслоением Хопфа.^ Покажите, что расслоение Хопфа нетривиально.
В § 1 вводилось естественное отображение S2n+1 ->Ф". Обозначив это отображение через р, покажите, что (S2n+1, СР", 8х, р) — расслоение. (Это расслоение обобщает предыдущее расслоение и иногда также называется расслоением Хопфа.)
. Пусть G - группа. Ли, Я - ее компактная подгруппа и р: G -* G[H - естественная проекция. -
Упражнение 3. Покажите, что (G, G/H, Н, р) — расслоение. Заметьте, что расслоение (У3, СР1, S1, р) из предыдущего примера является частным случаем этого расслоения.
. Обобщение этого примера: компактная группа Ли G гладко действует (с точки зрения дальнейшего удобно считать, что справа) в многообразии X.
Упражнение 4. Если действие свободно, то (X X/G, G, р) ,тдер- естественная проекция X -* Х/G, есть расслоение. Заметьте, что расслоение из упражнения 2 является частным случаем этого расслоения.
. Пусть X, Y — гладкие компактные многообразия и f: X ■* У - субмерсия, т.е. отображение, дифференциал которого в каждой точке зпиморфен.
Упражнение 5. (X У, /"‘(Уо), /) есть локально тривиальное расслоение. [Указание: см. рис. 53.]
Накрывающие гомотопии. Расслоения, как и накрытия, обладают свойством накрывающей гомотопии (сокращенно СНР - от covering homotopy property). Вот точная формулировка.
Теорема о накрывающей гомотопии. Пусть (Е, В, F, р^ - локально тривиальное расслоение, Z — клеточное пространство, g: Z -*Е - произвольное непрерывное отображение и G: Z X I -* В — гомотопия, такая, что G| ^хо = = pog. Тогда существует гомотопия G: ZXI -*Е, такая, что G| zxo =g и ро G = G.
Мы будем доказывать эту теорему в более сильной, относительной, формулировке. Дополнение заключается в том, что если на клеточном подпространстве Z* С Z уже задана гомотопия G1: Z* XI -*Е, такая, что G* I =g\~- и р ° G* =G\ „, VT, то гомотопию на всем Z можно построить так, чтобы на Z* она совпадала с G*.
Доказательству теоремы мы предпошлем два определения и лемму.
Определение 1. Пусть $ = (X В, F, р) - расслоение, и пусть В* СВ, Е* = = p~x(B*Y Локально тривиальное расслоение (Е1, В1, F, р'), где р’: Е* -*В' — су-
жение отображения р, называется сужением расслоения 5 на В' и обозначается через 5is,.
Определение 2. Пусть £ = ^Е, В, F, р) - расслоение, и пусть /: В1 ~*В — непрерывное отображение. Обозначим через Е* подмножество произведения ЕХВ*, составленное из таких точек (е, б'), что р(е) = Гф’). Определим, далее, отображение р*: Е* -* В’ формулой р(е, б') = о . Локально тривиальное расслоение (£', В*, , F, р') называется индуцированным расслоением £ посредством f и обозначается через /*?.
Пояснение. Очевидно, р'-1(У) = р-1 (/(&')) — подразумевается канонический гомеоморфизм, устанавливаемый отображением Е1 -* Е, (е, б') •-* е. Это позволяет сказать, что пространство Е* сделано из слоев расслоения £ над точками f(b'), где b' пробегает В*. Если несколько точек пространства В* отображаются в одну точку пространства В, то слой расслоения £ над этой точкой берется соответствующее количество раз.
Упражнение 6. Докажите, что локально тривиальное расслоение (Е1, В*, F, р), для которого существует непрерывное отображение Е* -*Е, гомеоморфно отображающее слой над точкой b' G В на слой над точкой f(b’), эквивалентно /*£. (Эквивалентность локально тривиальных расслоений определяется дословно так .же, как эквивалентность накрытий.)
Лемма (теорема Фельдбау). Всякое локально тривиальное расслоение (Е, В, F, р) с В =Iq (q-мерный куб) тривиально.
Доказательство теоремы Фельдбау проводится в два шага.
Первый шаг. Положим
13 = UXi. -.-Xq) е 1«\хч< 1/2},
13 = {(хь...^) G Iq\xq>M2Y
Покажем, что если сужение нашего расслоения на 1^ и 1^ тривиальны, то и все расслоение тривиально. Пусть рх: Ех -* 1^, рг: Ег -* 1^ - сужения; можно считать, что Ех = 13 X F, Ег = 13 X F. Точка из Ех имеет координаты (х, у), xG 13, yGF. Аналогично, точка из Е^ имеет координаты [х, у]. Если xG Z^1 =13 Г 13,1° точка (х, у) имеет также координаты [х, у']. Таким образом, для каждого xG 13^х определено отображение /х: F-^F, fx(y) = у'. Определим проекцию я: 13"*1ХгХ формулой я(хь ... ,xq) = (хь ..., xq_x, 1/2) и положим Ч> [х, у ] = (Х,/Я(Х) (у))- Получается гомеоморфизм *р: Е^ -* 13 X F, который вместе с уже имеющимся (тождественным) гомеоморфизмом Ех ->13 XF составляет гомеоморфизм Е -*Iq X F, очевидно, удовлетворяющий условию из определения тривиального расслоения. Первый шаг завершен (см. рис. 54).
Второй ш а г. В силу локальной тривиальности расслоения куб Iq можно разрезать на маленькие кубики, над каждым из которых расслоение тривиально. Занумеруем эти кубики в последовательность 1Ч(1),..., I4 (N), таким образом, что при каждом / существует гомеоморфизм U^j) -* I4, где U^j) = ^(«jl4^), гомеоморфно отображающий U^j — 1) и Iq(j) на 13 и 13. После этого, применяя доказанное на первом шаге утверждение, мы последовательно доказываем тривиальность нашего расслоения над U(j), / = 1N, в частности U^N) = I4.
Доказательство теоремы о накрывающей гомотопии.
Первый случай: данное расслоение тривиально. В этом случае, считая, что Е = В X F, мы отождествляем отображения в Е с парами отображений в В и в F. Отображение g и гомотопия G* делаются парами (g = G\z х о , b; Z -* Е) и
^^ z'xr ^’■ %' X/-*/*’)> а то, что мы должны построить, — парой, первый элемент которой нам уже известен — это G, а второй есть гомотопия Н: Z X I -* F отображения h, продолжающая Н1; существование Н прямо следует из теоремы Борсука.
Второй случай: расслоение произвольно, Z = Dk, Z’ = Sk~1. Расслоение G*(E, В, F, р^ = (Е1, Dk X /, F, р*^ тривиально в силу теоремы Фельдбау фк XI «
1к* *). Напомним, что Е* С {Dk X Z) X Е, и обозначим через ф естественное отображение Е* -* Е. Отображение h: Dk -* Е*, h(^ = ((х,0), g(x)) и гомотопии Я: Dk X I -*Dk XI (тождественная) и Й': Sk-1 X I -*Е*, Н*(х, т) = ((х, т), G'(x, г)) удовлетворяют требованиям теоремы о накрывающей гомотопии, и в силу доказанного ранее существует гомотопия Н: Dk X I -* Е* отображения А, накрывающая Н и продолжающая Н'. Ясно, что G = ф ° Н: Dk XI -*Е есть гомотопия отобра- жения^, накрывающая G и продолжающая G*.
Третий случай: расслоение произвольно, пространство /конечно. Очевидная индукция позволяет считать, что Z — Z’ есть одна клетка е; пусть /: Dk -*Z - соответствующее характеристическое отображение. Отображение h = g ° f: Dk Е и гомотопии Н = G ° (fXiy. DkXI^B, Н* =G'» (/| fc_i XIY Sk~l X I-* E удовлетворяют условиям теоремы о накрывающей гомотопии, и в силу доказанного ранее существует гомотопия Н: Dk X I Е отображения А, накрывающая Н и продолжающая Н*. Нужную гомотопию G; Z XI -*Е мы определим на Z * XI как совпадающую сG' ина еХ1 формулой
G(/(x), г) = Я(х, Г) при xGIntDfc.
Корректность определения очевидна.
Четвертый случай: общий. Если Z имеет бесконечное число клеток одной размерности, не лежащих в Z\ то предыдущую конструкцию нужно применить к ним всем одновременно, Если в Z — Z* содержатся клетки сколь угодно большой размерности, то предыдущая конструкция применяется бесконечное число раз и непрерывность окончательной гомотопии G выводиться из аксиомы (W).
Расслоения в смысле Серра.
Определение. Расслоение в смысле Серра — это тройка ^Е, В, р), где Е, В - пространства и р — непрерывное отображение Е В, удовлетворяющее условию СИР для клеточных пространств; другими словами, предполагается, что для любого клеточного пространства/ и любых отображения 5: / -* Ей гомотопии G: Z X XI-*В, таких, что р° g = G | z х о> существует гомотопия G ; Z XI* ^для кото- ройС \ z х о =8ир° G =G..
Подчеркнем, что единственность накрывающей гомотопии не предполагается.
Расслоение в смысле Серра не обязательно является локально тривиальным расслоением. Пример:
Упражнения. 7. Покажите, что расслоение в смысле Серра можно эквивалентным образом определить, сузив действие СНР случаем, когда Z есть куб (произвольной размерности).
Покажите, что расслоение с смысле Серра можно эквивалентным образом определить, заменив формулировку СНР относительной формулировкой (см. относительную формулировку теоремы о накрывающей гомотопии).
Еще один вариант определения расслоения в смысле Серра (не эквивалентный исходному) можно получить, заменив в СНР клеточное пространство Z произвольным пространством Z. Получается определение сильного расслоения в смысле Серра или расслоения в смысле Гуревича.
П р и м е р ы. 1. Локально тривиальные расслоения.
2 (расслоение путей). Пусть У — произвольное топологическое пространство с отмеченной точкой у0. Положим Е = Е^У, _у0) (пространство путей пространства У, начинающихся в точке у0), В = У и определим отображение р: Е -* В как относящее пути s ЕЕ его конец $(1). Получаем (сильное) расслоение в смысле Серра. В самом деле, пусть g:Z -* Е(У,у9) и G: Z X I -* У — отображение и гомотопия, удовлетворяющие посылкам СНР. Накрывающая гомотопия G : Z X I -* ->Е(У,у0) может быть задана формулой (см. рис. 55)
[G(z,r)](r) =[G(z,r)](r) =[g(z)KT(l + 0) при т(1 + г) <1,
[G(z,r)](r) =
[G(z,r)](r) =
G(z, т(1 + Г) - 1) при т(1 +1) >1.
Заметим, что ’’слой” р-1 (у0) расслоения р есть не что иное, как пространство петель П(У,у0).
3 (обобщение предыдущего примера). Пусть У — произвольное пространство, (X, Л) - пара Борсука (например, клеточная пара). Положим Е = С^Х, У) (пространство непрерывных отображений X -* У), В = С (А, У) и определим отображение р: Е-*В формулой р {f) = f\A-
Упражнение 9. Покажите, что (Е, В, р) есть сильное расслоение в смысле Серра.
Слои. Уже из самого первого примера расслоения в смысле Серра (с. 73) видно, что слои (прообразы точек) не гомеоморфны. Но все же оказывается, что у расслоения в смысле Серра, как и у локально тривиального расслоения, слои в известном отношении сходны между собой.
Определение. Мы будем говорить, что пространство X слабо гомотопически эквивалентно пространству У, если для клеточных пространств Z имеет место равенство ?r(Z, X) = ir(Z, У), естественное по Z. (Подробнее: для каждого клеточного пространства Z определено взаимно однозначное соответствие <pz: n(Z, X) *—> n(Z, У), такое, что для любого клеточного Z и любого непрерывного
отображения/: Z -*Z* коммутативна диаграмма
4>z' n(Z,X) ^ n(Z, У) 'tf*tfe '
7r(Z', X) n(Z', У)
— ср. с определением 3 гомотопической эквивалентности из § 3.)'
Замечание. Клеточные пространства X, Y слабо гомотопически эквивалентны тогда и только тогда, когда они гомотопически эквивалентны: берем X и Y в качестве Z, получаем соответствия
я(ХХ) = я(Х У), Tr(Y.X) = ir(Y,Y);
классы тождественных отображений id^: X X, idy: Y-* У соответствуют некоторым элементам множеств я (%, У), я (У, X), представители которых — гомотопически взаимно обратные гомотопические эквивалентности. (Ср. доказательство эквивалентности определений 1 и 2 гомотопической эквивалентности в § 3.)
Теорема. Если р : Е -* В - расслоение в смысле Серра и х0, хх - точки из одной компоненты линейной связности пространства В, то пространства р"1 (х0), р~1 (xj) слабо гомотопически эквивалентны.
Замечание. В случае сильного расслоения в смысле Серра слои гомотопически эквивалентны в обычном смысле; доказательство то же.
Доказательство. Положим р~1 (х0) = F0, р"1^) = ^i и зафиксируем непрерывное отображение h0; Z -* Fo, где Z — клеточное пространство. Зафиксируем также путь s: I -* В, соединяющий х0 с хР Рассмотрим отображение g = = i0 ° h0 ; Z -> Е, где /0 - включение р-1(х0) в Е, и гомотопию G : Z X / -*В, G(z, Г) = s (ту. В силу СНР существует гомотопия G; Z X 1 -»Е отображения g, такая, что р о G = G, т.е. G(Z X Г) Ср" 1 ($(?)). В частности, G(Z X 1) СГ1; ввиду чего возникает отображение hx: Z -* Fv Мы покажем, что гомотопический класс этого отображения не зависит от выбора накрывающей гомотопии, так что сопоставление й0 hx корректно определяет отображение я(2, F^ -*я(2, Fxy Более того, мы покажем, что этот гомотопический класс не меняется при замене пути гомотопным путем.
Пусть s' - другой путь, соединяющий х0 с хХ) и G': Z XI -*В, G'. Z X I -*Е и h'x:Z'-* Fx — гомотопии и отображение, построенные при помощи пути s’ так же, как гомотопии G, G и отображение hx были построены при помощи s. Предположим, что пути s и s' гомотопны, фиксируем гомотопию S: I X I -*В между ними и рассмотрим гомотопию Т: I X I -* В, определяемую формулой Т(ТХ, т^ = = S(T2, Тх). Таким образом, Тесть гомотопия, начальное отображение которой есть отображение I -* х0 G В, промежуточное отображение есть путь, соединяющий s (?) с s’(0, а конечное отображение есть I -* хх € В (см. рис. 56). Рассмотрим, далее,
гомотопию G*; (Z X Г) X I -* В, определенную формулой G*(z, tx, t2) = T(tx, f2) и отображение ^*: Z X1 -*Е, определенное формулой g *(z, tx) = ^(z^. В силу относительного варианта СНР (см. упражнение 8) существует гомотопия (7*: (Z XI) X X I ->■ Е отображения g-*, накрывающая G* и совпадающая с G на (Z X 0) X I и с G* на (Z X 1) XI. Конечное отображение этой гомотопии, (z, Г) *-*G*(z, Г, 1), отображает Z X I в Fx и представляет собой гомотопию, связывающую отображения hx и h\ (см. рис. 57).
Таким образом, путь s. I ^ В корректно определяет отображение ф5: n(Z, р™ 1 (s (0))) -* n(Z, р~ 1 (1))), зависящее только от гомотопического класса пути $. Добавим, что очевидно, отображение ф$ естественно по Z, постоянному пути s: I -* (точка) G В отвечает тождественное отображение ф$ и произведению путей отвечает композиция отображений: Ф$1$и = Ф$г ° Фз^ Это позволяет завершить доказательство: отображения ф$ и ф$-, взаимно обратны и, таким образом, ф$ есть взаимно однозначное соответствие.
Любое отображение гомотопически эквивалентно расслоению с смысле Серра. Пусть даны два непрерывных отображения:/: X -* Y и g: Хх Yx. Мы будем говорить, что отображения f и g гомотопически эквивалентны, если существуют гомотопические эквивалентности ф: Хх —► X, "ф". Yx -* Y, такие, что диаграмма
Хх -^ Yx
X Y
гомотопически коммутативна (J о ф ~фо g).
Теорема. Для любого непрерывного отображения f; X -*Y существует (сильное) расслоение в смысле Серра, р: Хх -*• Yx, гомотопически эквивалентное этому
отображению.
Дополнение. Как видно из приводимой ниже конструкции, пространство Yx можно выбрать совпадающим с У и гомотопическую эквивалентность ф: Yx -* -* Y из предыдущего определения можно сделать тождественной. Еще одна особенность конструкции состоит в ее естественности: по отображению f-. X ^Yканонически строятся расслоение p(f) : Хх -> У и гомотопическая эквивалентность ф(Г) : Хх -*Хс f ° ф(Л ~р(Г) и по коммутативной диаграмме
а V <•0-1
х — V
- коммутативные диаграммы
ХхХ\Хч>т i *>(/')хх'ХхХ\Хч>т i *>(/')хх'
ХхХ\
Хч>т i *>(/')
хх'
ХхХ\
Хч>т i *>(/')
хх'
Доказательство теоремы. За Хх мы принимаем пространство пар (х, s), где х€ X, a s есть путь пространства У, начинающийся в точке f(x). Расслоение p(f) : Хх -* У и гомотопическая эквивалентность ф(Г) : Хх -*.¥определяются формулами [р(/)] (х, s) =s(l) и [<р(/)] (х, $) =х.
Замечание. Доказанная теорема двойственна (в смысле двойственности § 4) совсем простому утверждению: для любого непрерывного отображения /: X -* Y существует вложение i: Х2 -* У2, гомотопически эквивалентное этому отображению
(более того, обладающее тем свойством, что (У2, >№)) — паРа Борсука). Доказательство: в качестве Хг берем X, а в качестве У2 — цилиндр СуЦ/) отображения/, в качестве / — естественное вложение. Ввиду указанной двойственности пространство Х2, построенное в предыдущем доказательстве, называют иногда коцилиндром отображения /.
Гомотопическая последовательность расслоения.
Лемма. Пусть (Е, В, р) - расслоение в смысле Серра,е€Е - произвольная точка. Положим b = р(е), F = р-1 (6). Тогда отображение
Р*- nn(E,F,e) -* п„(В,Ь)
является изоморфизмом при всех п.
Доказательство мономорфности р,. Пусть/ : D" -*Е— относительный сфероид пары (Е, Е^ Hft : Sn -^ В — гомотопия сфероида /: S" -*В, получающегося из / проектированием, превращающая его в постоянный сфероид Sn -* b. Гомотопию ft можно рассматривать как гомотопию отображения р of: D" -* В и, применяя к этой гомотопии и отображению f СНР, мы получим гомотопию, соединяющую / в классе относительных сфероидов со сфероидом, отображающим D" в F (строго говоря, мы должны пользоваться относительным вариантом СНР, чтобы обеспечить неподвижность гомотопии на отмеченной точке). Таким образом, элемент группы л„ (Е, F, е), переходящий в 0 при отображении р,, сам равен 0.
Доказательство зпиморфностир,. Пусть ^t: Sn~1 ~^Sn - гомотопия, заметающая сферу Sn, которая при п = 2 устроена как показано на рис. 58, и при произвольном п строится аналогичным образом (эта гомотопия нам еще раз понадобится ниже). Пусть, далее, /: S" -* В — сфероид. Рассмотрим гомотопию f о фт: Еп~' ->Ви поднимем ее, используя СНР, до гомотопии gt: Sn ~1 -* Е отображения Sn ~1 е G Е, неподвижной на отмеченной точке. Эту гомотопию можно рассматривать как отображение Dn -* Е (шар Dn покрывается (и — 1)-мерными сферами, как показано на рис. 59, и на этих сферах задаются отображения gt). Последнее есть относительный сфероид пары (Е, F), проектирующийся в исходный сфероид /.
Заменим теперь в гомотопической последовательности пары (Е, F) группы itn(E, F) изоморфными им группами ■пп(В'). Получится точная последовательность
• • • -* Hir(M пп(Е,е) ^(В.Ь)-*
-* Лп-!^, е) -* . ..-+ Ло^.е) -* Ло^, е) -* л0(Д, 6), составленная из одних лишь абсолютных гомотопических групп. Эта последовательность называется гомотопической последовательностью расслоения (Е, В, р}.
4=1/5
Замечания. 1. В гомотопической последовательности расслоения не только группы, но и гомоморфизмы могут быть описаны без привлечения относительных гомотопий. Именно, гомоморфизмы ип (F) -* -* ^(Е) индуцируются (как и в последовательности пары) включением F -* Е, гомоморфизмы ^„(Я) -* -* Л„ (S) индуцируются проекцией р-. Е -* В, а гомоморфизмы тг„ (В) -* nn-1 (F) можно описать при помощи гомотопии (pt: Sn ~ 1 -* Sn, фигурировавшей в доказательстве леммы. Именно, если /: Sn -* В - сфероид, то мы накрываем гомотопию f о ipt; sn~ 1 -* В гомотопией gf: Sn~ 1 -* Е, такой, что g0 (Sn~ *) = е (и gf переводит отмеченную точку в е); тогда g1(S"-1)C
С F, и мы ставим в соответствие классу сфероида / класс получившегося сфероида пространства F (см. рис. 60).
Последний член я0(5) гомотопической последовательности расслоения не получается из гомотопической последовательности пары, и точность в этом члене нужно проверять отдельно. Вообще читателю стоит продумать смысл точности гомотопических последовательностей в негрупповых членах: эти точности вполне содержательны и ниже будут использоваться.
Первые применения точности.
Упражнения. 10. Выведите из точности гомотопической последовательности хопфовского расслоения (S3, S2, S1, р) (и информации о гомотопических группах окружности — см. § § 6, 8), что (а) тг2 (S2 ) а< »i (S*) и (b) п„ (S3) = пп (S2 ) при п > 3. Первый изоморфизм показывает, что я2(52) = Z, откуда мы видим, наконец, что сфера S2 не стягиваема. Второй изоморфизм выглядит особенно неожиданным при и = 3 (подумайте, почему).
Проанализируйте гомотопическую последовательность накрытия; убедитесь в том, что все следствия этой точности нам уже известны (см. § § 7,8).
Используя расслоение S” -* СР” со слоем S1 и стягиваемость сферы S”, покажите, что тг„ (СР”) = 0 при п + 2 и тг2 (СР“) г Z.
Используя ’’расслоение путей” из примера 2 в п. 4, покажите, что я„(£22Г) s = т„ + 1 (X) при любых Xи п > 0.
Если база расслоения Серра стягиваема, то включение (любого) слоя в тотальное пространство индуцирует изоморфизм гомотопических групп. Если база расслоения связна и один из его слоев стягиваем, то проекция индуцирует изоморфизм гомотопических групп. (Как мы увидим в следующем параграфе, непрерывное отображение тогда и только тогда индуцирует изоморфизм гомотопических групп, когда оно является слабой гомотопической эквивалентностью.)
Если все гомотопические группы базы и слоя конечны, то гомотопические группы тотального пространства тоже конечны и их порядки не больше произведений порядков соответствующих гомотопических групп базы и слоя. Похожее утверждение имеет место для конечной порожденности и рангов.
Покажите, что если расслоение (Е, В, р) обладает сечением (т.е. таким непрерывным отображением s: В -* Е, что р ° s = idB) или если слой является ретрактом пространства Е, то
irn(E) s ^(В) е it„(F).
Покажите, что если слой расслоения (Е, В, р^ стягивается в точку по Е, то
UnW s л„(Е) е яп_1(Г).
Заключение: исполнение обещания из § 8. В п. 6 § 8 мы обещали построить по паре (X, А) пространство У, для которого яп _ , (У) = яп (X, А). Теперь мы можем это сделать.
Построим по включению А -* X гомотопически эквивалентное ему расслоение Серра р': А’ -* X (см. выше) и обозначим через У слой этого расслоения (над произвольной точкой х0 Е X) и через / — каноническую гомотопическую эквивалентность А' -* А. Мы предполагаем, что расслоение р' построено при помощи канонической конструкции, так что, в частности, У есть пространство путей пространства X, начинающихся в точке х0 и кончающихся в А. Это наблюдение позволяет построить каноническое отображение яп _ , (У) ■* яп (X, А): по сфероиду g: Sn _ 1 -* У сфероид G; Dn = CSn~1 -* X пары (X, А) определяется формулой G(s, t) = [g(s)J (t), s G GSn-1 ,tGl. Легко понять, что эти канонические отображения включаются в коммутативную диаграмму
... -* л„(а') —л„(Х)-*л„.1(У) —n^CA'l-^n^X)-*...
IIII
...Л„(А) Л„(Х)—* Лл(Х,А) — n„-t(A)* Л^Х)^ ...,
строки которой представляют собой гомотопические последовательности расслоения р' и пары (X, А). Из 5-леммы вытекает, что отображения яп_1(У')-* ■*' яп(Х, А) являются изоморфизмами (впрочем, это очевидно и непосредственно: наше отображение взаимно однозначно уже на уровне сфероидов).
Таким образом, мы не только нашли обещанную абсолютную интерпретацию относительных гомотопических групп, но и обнаружили еще одну связь между гомотопическими последовательностями пары и расслоения.
ТЕОРЕМА О НАДСТРОЙКЕ И ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ СФЕР
Основная теорема. Рассмотрим «/-мерный сфероид/: Sq -* X топологического пространства X (с отмеченной точкой). Отображение Е/: SSq = Sq + l -> EX, hf^y. f)s = (/U0, Os является (q + 1)-мерным сфероидом пространства EX. Ясно, что если сфероиды /, g: Sq -* X гомотопны, то гомотопны и сфероиды Е/, Eg: Sq + 1 -* EX. Легко проверить также, что сфероид E(/+g) гомотопен сфероиду Е/ + Eg. Таким образом, сопоставление /^ Е/ порождает гомоморфизм ^(Х) -»• -* я^ + 1(ЕХ); последний называется гомоморфизмом надстройки и обозначается через Е. В частности, для любых q и п возникает отображение
Е: яч(8") - ^(S”*1)-
Теорема Фрейденталя. Гомоморфизм Е: яч(<8п^-*ячЛ.х(8п*х') является изоморфизмом при q<2n — 2 и эпиморфизмом при q = 2n — 1.
Это утверждение называют иногда ’’легкой частью” теоремы Фрейденталя. В чем заключается ’’трудная часть", мы расскажем ниже в этом параграфе. Упомянем еще об одном обобщении теоремы Фрейденталя, которое мы сможем доказать только во второй части книги: если X - произвольное клеточное пространство и Я((Х) = = 0 при i < п, то Е: nq (X) -+ nq +, (EX) есть изоморфизм при q <2п —2и эпимор-
физм при q = 2п — 1. (Это - обобщение ’’легкой части”; ’’трудная часть” обобщается аналогичным образом-)
Доказательство эпиморфности 5 при q < 2 л — 1. Пусть f: Sq +1 -* S” +1, q < 2л - 1, — сфероид. Мы должны доказать, что существует такой сфероид h; Sq -* S", что сфероид / гомотопен 2Л. Мы смело можем считать, что л > 0, т.е. что сфера S" + 1 односвязна, и это позволяет нам при построении гомотопий забыть про отмеченные точки.
Пусть а и b - полюса сферы 8п*х. Сферу Sq +1 мы будем представлять себе как R9 + 1 и ”, причем точку” мы выберем таким образом, что f(°°)*a, /(°°)^6. В основе доказательства эпиморфности лежат следующие две леммы.
Лемма 1. Существует отображение fx: Sq*x -*■ S"*1 .гомотопное f (и сколь угодно близкое к f), такое, что ft1 (а) и fxx (6) - полиэдры размерности <q -п в R9 + 1 С S4*1. (Полиэдр размерности < Л - это объединение конечного числа выпуклых многогранников размерности < к.) .
В основе доказательства этой леммы лежит конструкция, уже известная нам по доказательству ’’леммы о свободной точке” (см. § 5) и теоремы о фундаментальной группе клеточного пространства (см. теорему 4 из § 6). Оставляя детали читателю, перечислим основные этапы этой конструкции: (1) окружим каждую из точек а, b пятью маленькими концентрическими шарами: a G Д1*^ С ... С В^, b G G Вх2^ С ... С В^\ (2) берем в R9 + 1 большой (но компактный) многогранник, содержащий У-1^1^ U Др^); (3) триангулируем его настолько мелко, что если /-образ симплекса задевает В^, то он содержится в В^ (i = 1, 2, 3, 4; / = 1, 2); (4) обозначим через К объединение симплексов, /-образы которых пересекаются с Д^ U В^-, (5) подправим отображение / на К, заменив его отображением //, совпадающим с / на вершинах триангуляции и линейным на каждом симплексе (подразумевается линейность по отношению к линейной структуре bR"+1 = Sn + x - — /(”)); (6) ’’сошьем” fx с /, т.е. построим отображение fx, совпадающее с/вне f~x(B^ U В^) и с /1 в У1^0 и В^) и такое, что /j-образ дополнения к У1^1^ и ДрЬ не задевает Др^ U Вх2^ (это сшивание описано в § § 5 и 6 - см. цитированные выше места). Итак, мы аппроксимировали отображение /отображением /1 (которое, очевидно, ему гомотопно) с таким свойством: прообраз окрестности каждой из точек а и b покрывается конечным числом симплексов, на каждом из которых отображение линейно. Мы можем считать, что ни одна из точек а, b не принадлежит ^-образу (q + 1)-мерного симплекса, имеющему размерность меньше п + 1 (при необходимости можно сдвинуть точки а и b с ’’запрещенного множества” при помощи гомеоморфизма сферы S” +1, близкого к тождественному). Поскольку прообраз точки при линейном отображении (q + 1)-мерного симплекса, имеющем (и + 1)-мерный образ, есть < (q - л)-мерный выпуклый многогранник, отображение /1 удовлетворяет требованиям леммы.
Лемма 2. Пусть K,LCRP — полиэдры размерностей < к и < I соответственно. Если к-Н* 1 <р,то к ul не зацеплены. Это означает, что существует изотопия (гомотопия тождественного отображения, составленная из гомеоморфизмов") Ft: Rp -* -* Rp, такая, что FX(K) и FX(L) разделяются в Rp гиперплоскостью.
Доказательство. Проведем в Rp гиперплоскость, не задевающую К, и выберем точку х G Rp, которая отделена от К этой гиперплоскостью и обладает следующим свойством: никакая прямая, проходящая через х, не пересекает одновременно К и L. Последнее условие можно удовлетворить ввиду неравенства k +I + 1 <р. Действительно, пусть Кх, . • • , Км - плоскости размерности < к, в объединении которых
лежит К, и Lt, ... ,Ln ~ плоскости размерности < Z, в объединении которых лежит L. Обозначим через Рц минимальную плоскость, содержащую К, и L,; тогда dimPy < < dim/t; + dimZ, + l<Z + Z+ l<p. В качестве х можно взять любую точку из нужного полупространства, не принадлежащую объединению всех плоскостей Ру. Изотопию, существование которой утверждается леммой, мы строим так. Каждая точка пространства Rp движется прямолинейно по направлению к х, причем скорость движения пропорциональна расстоянию от х, а коэффициент пропорциональности свой на каждом луче, исходящем из точки х, равен нулю на лучах, пересекающих К, и положителен на лучах, пересекающих L (рис. 61).
Замечание. В основе доказательства этой леммы (и всей теоремы Фрейдента- ля) лежит простое и важное геометрическое соображение, состоящее в том, что, например, две замкнутых ломаных в трехмерном пространстве могут быть зацеплены (см. рис. 62), а в четырехмерном — не могут.
Окончание доказательства эпиморфности Б при q < 2и — 1. Пользуясь леммами 1 и 2, мы гомотопируем отображение / к отображению gx: S9*x -* 8" + х со следующим свойством: прообраз северного полюса лежит в северном полушарии, прообраз южного полюса лежит в южном полушарии, образ экватора не задевает полюсов (рис. 63). (Подразумевается следующая нехитрая выкладка: прообразы полюсов имеют размерности q - п, и (q - п) + (q - п) + 1 = 2q - — (2п — 1) < 2q - q < q + 1). Более того, существуют окрестности полюсов - полярные шапки Л и В, в которых нет точек образа экватора. Можно произвести гомотопию S” +1 8п*х, которая растягивает А на северное полушарие и В на южное полушарие, а все остальное сжимает на экватор. Компонируя эту гомотопию с отображением gt, мы получаем уже довольно хорошее отображение g2: 89+х 8п+х. Оно переводит экватор в экватор, северное полушарие в северное полушарие и южное полушарие в южное полушарие. Посмотрим на сферы 89 + х и 8п + х сверху — со стороны северного полюса. На рис. 64 изображены образцы (половин) меридианов. Гомотопию получившегося отображения, окончательно превращающую его в надстройку, придумал Александер. Его конструкция ясна из рис. 65.
Доказательство эпиморфности закончено.
Доказательство мономорфности Б при q < 2п — 2 проводится по той же схеме. Пусть Ai: 8 9 ■* Sn, h2: S9 -*Sn — сфероиды. Мы должны доказать, что если сфероиды Ейд, Lh2 гомотопны, то и сфероиды hx,h2 гомотопны. Возьмем произвольную гомотопию ft, соединяющую ЕЛд с ^h2, и подправим ее так, чтобы все сфероиды /, тоже были надстройками. Гомотопия/, есть отображение F: Sq*x X
X 7 -* S” + 1. Рассмотрим снова прообразы полюсов Г-1 (a), F-1^ С Sq+1 X I. Эти прообразы можно сделать полиэдрами, имеющими размерность < (^ + 2) — (л + 1) = = q - п + 1. При 2 (q - п + 1) + 1 < q + 2, т.е. при q < In - 2, их можно ’’развести" - сделать лежащими в произведениях двух полусфер на отрезок. Дальнейшее рассуждение копирует доказательство эпиморфности.
Первые применения.
То рема Хопфа. л„(5”) = 2.
При п = 1, 2 это нам уже известно (см. теорему 2 из § 6 и упражнение 10 к § 9).
При п > 3 мы имеем изоморфизм
Дополнения. 1. Гомоморфизм 2: Яд (S1) -» л2 (S2) является, в силу теоремы Фрейденталя, эпиморфизмом. Но так как Лд^1) = л2(52) — Z, это — изоморфизм.
Образующей группы irn(Sn') служит класс тождественного сфероида S" -*S": при л = 1 это нам известно из § 6, при остальных л вытекает из того, что надстройка над тождественным сфероидом есть, очевидно, тождественный сфероид.
Следствие из теоремы Хопфа. Сфера Sn не стягиваема ни при каком п.
Это утверждение, доказательство которого оказалось неожиданно длинным, очень важно: если бы сфера Sn была стягиваема, то группа Лп^) была бы тривиальна при любом X.
Еще одно с ледств ие. ^3(S2)s Z
В самом деле, из гомотопической последовательности хопфовского расслоения S3 S2 со слоем S1
Лз^1) - я3(53)яэ(52) ■* я2($2)
IIII
ОО
мы видим, что л3(53) as л3(52). (Ср. упражнение 10 к § 9.)
Из этой же последовательности видно, что образующей группы л3(52) служит класс проекции 53 -*S2 хопфовского расслоения.
Степень отображения S” -tS". Отображение /: 5” -> S”, рассматриваемое как сфероид п -мерной сферы (с началом в точке /(х0)), определяет элемент группы я„(5”) = Z, т.е. целде число. Это число называется степенью отображения / и обозначается через deg/. Перечислим свойства степени, которые нам уже, по существу, известны. Отображения S” •* Sn гомотопны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые степени. Отображение S” ■* S” степени d индуцирует гомоморфизм л„(5”) ■* ли(5”), т.е. Z ■* Z, который является умножением на d. Гомеоморфизм всегда имеет степень ± 1. Надстройка над отображением S” ■* S” степени d есть отображение Sn+1 -»S” + 1 той же степени d.
Теперь мы приведем способ вычисления степени. Окрестность U точки х Е Sn мы назовем правильной, если существует гомеоморфизм S” ■* S”, переводящий х в северный полюс и 17 в открытую верхнюю полусферу. Точку х ESn мы назовем правильной для непрерывного отображения /: 5” ->S”, если/гомеоморфно отображает некоторую правильную окрестность точки х на правильную окрестность точки /(х). Если х — правильная точка, то / может сохранять или обращать ориентацию в точке х (точное определение: совместим /(х) сх вращением сферы S", возьмем на S" малую (п - 1)-мерную сферу s с центром в точке х и для у Es обозначим через g(y) точку пересечения короткой дуги большого круга, соединяющей /(у) с х и сферы s; полученное отображение имеет степень +1 или — 1; в соответствии с этим говорят, что / сохраняет или обращает ориентацию в точке х). Пример: если отображение / гладко, то правильной является всякая точка, в которой якобиан отображения / отличен от 0; в окрестности такой точки / сохраняет (обращает) ориентацию, если соответствующий якобиан положителен (отрицателен). Точка у € Sn называется регулярным значением отображения /, если прообраз /-,(у) состоит из конечного числа правильных точек. (Если / гладко, то регулярные значения в смысле, принятом в анализе, будут регулярными значениями и в нашем смысле; в силу известных теорем анализа почти все точки сферы S” будут регулярными значениями отображения/)
Теорема. Если точка у есть регулярное значение отображения f : S” -*S”,to
степень отображения /степень отображения /число точек прообраза / ” 1 (у), в которых / сохраняет ориентациючисло точек прообраза / ” 1 (у), в которых / сохраняет ориентациючисло точек прообраза / ~ 1 (у), в которых / обращает ориентациючисло точек прообраза / ~ 1 (у), в которых / обращает ориентацию
степень отображения /
степень отображения /
число точек прообраза / ” 1 (у), в которых / сохраняет ориентацию
число точек прообраза / ” 1 (у), в которых / сохраняет ориентацию
число точек прообраза / ~ 1 (у), в которых / обращает ориентацию
число точек прообраза / ~ 1 (у), в которых / обращает ориентацию
Замечание. Как правило, отображение / имеет Много регулярных значений у, и числа точек множества /"* (у) для них неодинаковы; но, как показывает теорема, разность в правой части равенства зависит только от /.
Доказательство теоремы. Применим индукцию по числу точек множества у1 (у). Если У1 (у) состоит из единственной точки х, то отображение / гомотопируется к надстройке над отображением g: s -* s из определения сохранения и обращения ориентации (гомотопия строится точно так же, как гомотопия отображения / к надстройке в доказательстве эпиморфности S выше в этом параграфе). Если теорема уже доказана для случая, когда У1 (у) состоит из N — 1 точек (N > 2), и прообраз У1 (у) состоит из N точек, мы располагаем эти N точек так, чтобы одна из них попала в северное полушарие, остальные - в южное полушарие, и тогда наш сфероид будет суммой сфероидов, для которых теорема уже доказана. Нам остается воспользоваться тем, что степень суммы сфероидов, по определению, равна сумме степеней этих сфероидов.
Стабильные гомотопические группы сфер. Итак, гомотопические группы сфер распадаются в стабилизирующиеся ’’серии” групп ■nn+k(Sn') с фиксированным к:
ЕЕЕ
...->я„+Л(5")-^я(„+1)+Н5"+1)-^---
Стабилизация в этой последовательности наступает в члене язк+2 (5к+2):
) *^2)1+2 У^2Ь+3<Л
Группы я„+Л(5”) с п > к + 2 называются стабильными (обозначение: я®), группа Я2ь+1 (Sk+1) — метастабилъной. Информацию о гомотопических группах сфер, которой мы в настоящее время располагаем, заключена в следующей таблице:
Лд(5")
q-\2 .3456 ...
n=l
Z00000
n =2
0zz???
'^llNvIxx"$xx"i
n=3
00z???
n=4
000z??
Заметим, что так как я3 (S2) ■* я4 (№) — эпиморфизм, то группа я4 (S3) = я? является циклической.
Гомотопические группы сфер полностью по сей день не вычислены. Однако о них имеется обширная информация как общего, так и табличного характера. На протяжении этой книги мы не раз будем обращаться к гомотопическим группам сфер и узнаем о них довольно много.
Умножение Уайтхеда и ’’трудная часть теоремы Фрейденталя”. Произведение Sm X S” двух сфер разбивается на 4 клетки размерностей 0, т, п, т + п. Объедине-. ние первых трех — это букет Sm v 8". Характеристическое отображение Dm*n -* -* Sm X 8", отвечающее четвертой клетке, отображает 5m+”~1 в sm v 8"; возникающее отображение Sm+"-1 -*Smv 8" называется отображением Уайтхеда.
Точнее говоря, отображением Уайтхеда называется не это отображение, в построении которого содержится некоторый произвол, а вполне конкретное отображение
w: sm+”-1 ->sm vSn,.
определяемое следующим образом. Сфера 5от+"-1 разрезается в объединение замкнутых областей
U= {(Xl,...,xm+n)&Sm+n-1 |х? + ...+х^<1/2},
V= {{х„... ,xm+n)eSm+n-x \xl+...+x2m> 1/2}.
Очевидно, U~ Dm X S”"1, V~Sm-x XDn,Un V*Sm~x XS”"1 (случай m = 2, n = 1 проиллюстрирован на рис. 66; интересным и важным является разбиение сферы S3 тором S X S1 в объединении двух полноториев). По другому разбиение
Рис. 66
Sm+n-i = и у у можно построить так: Sm + "-i = bDm+n * дфт X Dn) = = (Z>m X dD") U (dDm XD") = UUV.'
Наше отображение sm+n-x -* Sm v S" определяется на U и на V как составная проекция
U = Dm XSn~x -*Dm -*DmISm-x = Sm CSm vSn,
y = Sm-x X Dn -*Dn -*Dn(Sn~x = Sn CSm v Sn
и переводит ’’разрезающую поверхность” Sm ~1 XS"-1 в точку.
Пусть теперь /: Sm -»X,g: S" -»Х - два сфероида в некотором пространстве X с отмеченной точкой. Вместе они составляют отображение Sm v Sn -*Х,И композиция этого отображения с w: 8т + п-г ->Sm v Sn представляет собой некоторый сфероид h: sm+n~x -* X. Гомотопический класс этого сфероида зависит только от классов сфероидов f,g и называется их произведением Уайтхеда. Произведение Уайтхеда обозначается квадратными скобками; таким образом, если а Е irm (X), 0 G € я„ (X), то [а, 0] G irm+n_ i (X).
Упражнения. 1) [а, 0 + у] = [а, 0] + [а, у].
Если а G ят (У), 0 € я„ (X), то [а, 0] = (— 1)т” [0, а].
Если а6лт (X), 0 € я„ (X), у G яр (X), то
(-1)тр[[а,0],у] +(-1)"т[№,у],«] + (-1)р"[[у,а],0] =0
(’’тождество Якоби”, или, более учено, ’’супертождество Якоби”).
Если а Е ^ (X), 0 G я„ (X), п > 1, то [а, 0 ] = Т^ 0 — 0.
Если а G Я1 (X), 0 € т?! (X), то [а, 0] = а^а~х^~х.
Обозначим через i„ каноническую образующую группы я„ (5”) (класс тождественного сфероида) и через т?2 — каноническую образующую группы я3 (У2) (класс хопфовского отображения). (Оба обозначения являются общепринятыми.) Покажите, что [12,12] =2т?2.
Пусть а G ят (X), 0 € я„ (X). Докажите, что [а, 0] принадлежит ядру гомоморфизма 5: ят+„_! (X)-»ят+„(БХ).
7а. Докажите, что Б (Sm X Sn) ~ Sm + X v Sn+X v sm + n+x. (Это утверждение равносильно предыдущему.)
Пусть X есть Я-пространство. Докажите, что [а, 0] = О для любых а G лт (Л), 0 6 л„ (X). (Ввиду упражнений 4 и 5 это упражнение обобщает упражнение 9 из § 6 и упражнение 2 из § 8.)
Теорема. (’’Трудная часть теоремы Фрейденталя”). Ядро гомоморфизма 2: Я2*+1(Sk+1) ■* ^2Jt+2 (Sk*2^ есть циклическая группа, порожденная квадратом Уайтхеда [ifc+i,ifc+i] класса tt+i-
Эту теорему мы не доказываем, хотя*ее можно доказать чисто геометрически, воспользовавшись следующим соображением. Прообразы полюсов при отображении F: s2k+2 X I -* Sk+2 нельзя развести как в доказательстве мономорфности гомоморфизма 2 (см. выше), но можно их развести так, чтобы они конечное число раз трансверсально пересекли друг друга в изолированных точках. Каждое такое пересечение можно ’’скомпенсировать” прибавлением класса [tfc+1, i*+i].
Если читатель не захочет возиться с реализацией этой идеи, он может вернуться к доказательству теоремы после прочтения главы 2 (а еще лучше — после прочтения § 24) и доказать ее при помощи алгебраических средств, которые он будет иметь в своем распоряжении.
Заметим, что вместе с упражнением 6 теорема показывает, что ir4 (№) = Z2 (и, значит, л? = Z2). Альтернатива л4 (S3) = Z2 или О вытекает уже из (довольно простых) упражнений 6 и 7.
Заметим еще, что при нечетном к циклическая группа, порожденная [1к+1, ijt+i J, есть Z - это мы докажем в § 16. При четном к эта группа есть Z2 или 0 — см. упражнение 2.
11. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Этот параграф, в котором речь идет о различных связях между клеточными пространствами и гомотопическими группами, разнороден по содержанию. В нем вычисляется первая нетривиальная гомотопическая группа клеточного пространства, проясняется роль гомотопических групп в гомотопической классификации клеточных пространств и строятся клеточные пространства с заданными гомотопическими свойствами.
Аддиционная теорема. .
Теорема 1. Пусть X - связное топологическое пространство и f: S" -*Х - непрерывное отображение. Положим Y = Хо^Вп*х. Гомоморфизм
^(X.x^^-nAY.x^, (*)
где х0 € X С У - произвольная отмеченная точка, индуцированный включением X -* У, при i < п является изоморфизмом, а при i = п является эпиморфизмом, ядро которого порождено всевозможными классами вида Ts [У], где s - путь, соединяющий х0 с f-образом f(yo) отмеченной точки у0 € S", а [/) € л„ (X, f(y0)) — гомотопический класс сфероида f.
Удобно считать, что /(у0) = *о! тогда ядро отображения (*) с i = п порождается элементами Я1 (X, х0)-орбиты класса [/] G тгп(Х х0). Особенно важен случай, когда X односвязно: в этом случае теорема показывает, что при приклеивании (п + 1)- мерной клетки гомотопические группы размерности < п не меняются, а «-мерная гомотопическая группа факторизуется по циклической подгруппе, порожденной классом заклеиваемого сфероида.
Лемма. Пусть Ет есть сфера Sm или шар Dm, где ш<п+ Г; при этом мы отождествляем Rm с Sm - у0 или с Dm - dDm (таким образом, у нас всегда Rm С Ет.) Пусть, далее, h-. Em -* У - непрерывное отображение, такое, что h(Em - Rm) С X.
Тогда существует гомотопное к непрерывное отображение кх: Em -* Y со следующими свойствами:
нак~х (У) отображение к х совпадает с к\
если ш<п,то к (Em) С Х\
если m = п + 1, го в Ет лежит конечное семейство попарно непересекающихся шариков dx,..., dN, такое, что kx (Em - Utd<) С X и kx\tot df есть при каждом i линейный (сохраняющий или обращающий ориентацию) гомеоморфизм открытого шарика Int df на Int Dn*1 С Y.
Доказательство этой леммы проходит по схеме, уже трижды применявшейся нами (доказательство ’’леммы о свободной точке” в § 5, вычисление фундаментальной группы клеточного пространства в § б и доказательство леммы 1 к теореме Фрейденталя в § 10) и в первых двух случаях излагавшейся со всеми подробностями: строим 5 концентрических шаров с центром в центре шара/)”"1"1, мелко триангулируем Ет и т.д. Детали читатель восстановит сам, руководствуясь указанными образцами.
Доказательство теоремы 1. Эпиморфность отображения (*) при i < л и его мономорфность при i < п вытекает из леммы непосредственно. (При i < и лемма перерабатывает сфероид k: S' -* Y в гомотопный сфероид kx: S' -» У, отображающий S* в X; при i < п по отображению k: Di+X ■* Y, осуществляющему гомотопность нулю в Y сфероида й 15z: S* -*• X С Y, лемма строит отображение kx: D'+l -* X С Y, осуществляющее гомотопность нулю этого же сфероида в X.) Предположим, что гомотопический класс сфероида g: Sn -* X принадлежит ядру отображения (*), т.е. g продолжается до некоторого отображения k: Dn+X -* X. Заменив отображение к отображением кх со свойствами, указанными в части (3) леммы, мы получим другое продолжение кх: Dn+1 -* X этого сфероида. На границе каждого шарика d{ отображение кх совпадает с композицией
Ч f ddi-^Snl^X, ' -
где It — линейное отображение.
Дальнейшее рассуждение мало отличается от соответствующей части доказательства теоремы 4 из §6. Положим yt = 1[х (у0) и соединим при каждом i точку yt путем о, с уо G Sn С Dn*x таким образом, чтобы эти пути не задевали своими внутренними точками шариков dt и попарно не пересекались (см. рис. 37 на с. 55). В Dn*x — и; Indd, существует очевидная гомотопия, соединяющая естественный сфероид S” ■* Dn*x (включение) с суммой сфероидов T„t(l^x) (см. рис. 38 на с. 55). Переведем эту гомотопию в X посредством отображения кх. Мы получим гомотопию, соединяющую сфероид g со сфероидом ThoOiVi)> гДе ft ~ сфероид, отличающийся от f на линейное преобразование сферы 5”. Поскольку [/}] = ±[/1 (знак зависит от того, сохраняет или обращает ориентацию это линейное преобразование), мы видим, что класс [g] действительно является линейной комбинацией образующих, указанных в теореме. Этим последнее утверждение теоремы доказано в одну (более трудную) сторону. В другую сторону оно очевидно: класс T^Lf], разумеется, принадлежит ядру отображения (♦).
Следствие. Если Y - клеточное подпространство пространства X и разность X - Y не содержит клеток размерности <п, то гомоморфизм я, (У) -► я, (X), индуцированный включением, является изоморфизмом при i < п и эпиморфизмом при i = п. В частности, ^„(Х) = я„($к„+1 X) для любого клеточного пространства X.
Применение аддиционной теоремы: гомотопические группы букетов.
Теорема 2. Пусть X, У-клеточные пространства. Если пространство X р-связ- но, а пространство У q-связно, то:
тг„(Хч У) = 7г„(Х)®7гп (У) при n<p + q; *
при любом п группа ип(Х v У) содержит прямое слагаемое, изоморфное я„(Х)®я„(П-
Доказательство. В силу доказанного выше (см. конец § 5) пространства X и У гомотопически эквивалентны клеточным пространствам с единственной вершиной и без клеток размерностей 1,..., р и 1,... ,q соответственно; мы будем считать, что таковы уже X и У. Букет X v У является клеточным подпространством произведения X X У, и клетки, лежащие в разности (X X У) — (X v У), имеют размерности, не меньшие р + q + 2. Ввиду следствия из предыдущей теоремы (а также того факта, что ип(Х X У) = я„(Х) ® я„(У)), отсюда вытекает утверждение (1). Для доказательства утверждения (2) достаточно заметить, что сквозное отображение
я„(Х)®я„(У)—^ яп(ХчУ)-»я,ДХХ У) = т„ (X) ® т„ (У),
где первая стрелка есть сумма гомоморфизмов z,: л„(Х) -*яп(Хч Y),j,: ттп(У) -+тт„(Х v У), индуцированных включениями i: X~*Xv У,/; У-*Хч У, тождественно.
Следствие. я„ (5” v ... v S") = Z ® ... ® Z: систему свободных образующих qq
составляют классы q естественных вложений Sn -*S" v ... v S”.
Упражнение LB условиях предыдущей теоремы лр+д+ j (X v У) = яр+е+] (X) ® ® itp+q+i (У) ® [лр+1 (X) ® яд+1(У)), где последнее слагаемое вкладывается в ^p+q+i (X ч У) посредством формулы а® @^* [z ,а,/,0]. В частности, лэ (№ v S2) = = Z ® Z ® Z. [Имеется теорема Хилтона — Милнора, согласно которой гомотопические группы произвольного букета сфер Sm* v ... v Smr порождаются элементами гомотопических групп сфер Sm< и их произведениями Уайтхеда; точную формулировку и доказательсто см. в ’’Теории гомотопий клеточных пространств” М.М. Постникова.}
Первая нетривиальная гомотопическая группа клеточного пространства. Пусть X — клеточное пространство с единственной нульмерной клеткой, не имеющее клеток размерностей 1,..., п — 1 (мы предполагаем, что п > 1; случай и = 1 рассмотрен в § 6). Отождествим остов sk„X с букетом v^e^S,, «-мерных сфер, поставленным во взаимно однозначное соответствие с «-мерными клетками пространства X. Пусть^: S"-»sk„X=v<S”(/GJ) - приклеивающие отображения, отвечающие (n + 1) -мерным клеткам пространства X, и пусть ^ G m„(sk„Х)-®/еzZ - гомотопические классы сфероидов fj.■
Теорема 3. Группа 1тп(Х) есть факторгруппа группы ®i^i"L по подгруппе, порожденной элементами ф, (j EJ).
Эта теорема является точным аналогом теоремы 4 из §6. Ее можно сформулировать менее точным, но более запоминающимся образом: п-я гомотопическая группа пространства X порождается «-мерными клетками, соотношения отвечают (n + 1)- мерным клеткам.
Доказательство теоремы 3 состоит в прямом применении теоремы 1.
Замечание. Поскольку всякое (л — 1)-связное клеточное пространство гомотопически эквивалентно пространству рассматриваемого вида, можно сказать, что теорема 3 описывает первую нетривиальную гомотопическую группу произвольного клеточного пространства. Однако переход от произвольного клеточного прост-
ранства к пространству нашего вида не вполне эффективен, так что этим дефектом обладает и наше описание гомотопической группы. Впрочем, главная роль теоремы 3 не в том, что она позволяет вычислить те или иные гомотопические группы, а в том, что она применяется в доказательстве разного рода общих теорем (с такими ее применениями мы еще столкнемся).
Упражнения. 2. Докажите следующий относительный вариант теоремы 3 (уточнив надлежащим образом формулировку). Пусть (X, А) — клеточная пара со связным Л, такая, что в X — А лежат только клетки размерности > п, где л > 3. Тогда группа irn(X, А), т.е. первая нетривиальная гомотопическая группа пары (X, А) порождается как Я1 (Л) -модуль и-мерными клетками из X - А; соотношения между этими образующими nx (Л)-модуля ^„(Х, Л) соответствуют (п + 1)- мерным клеткам из X — А.
Найдите аналог предыдущего утверждения для случая п = 2.
Пусть (У, Л) — клеточная пара с односвязным А, и пусть клетки, лежащие в X — А, имеют размерность > и > 2. Покажите, что естественное отображение ■пп(Х, Л) -*пп(Х1А) является изоморфизмом. [Эта теорема имеет следующее обобщение. Пусть (X, Л) — клеточная пара с А:-связным А, и пусть клетки, лежащие в X - А, имеют размерность > п > 2. Тогда естественное отображение яд (X, Л) -* ■* я9 (XIА) является изоморфизмом при q <п + к — 1 и эпиморфизмом при q = = п + к. Пока мы не имеем средств для доказательства этой теоремы, но читатель может вернуться к ней после прочтения гл. 2 или, еще лучше, после § 24].
Слабая гомотопическая эквивалентность как отображение. В § 9, изучая слои расслоений в смысле Серра, мы ввели понятие слабо гомотопически эквивалентных пространств: пространства X и У слабо гомотопически эквивалентны, если можно определить для любого клеточного пространства Z взаимно однозначное соответствие ф2: ^(Z, X) -*и(2, У), естественное по Z. Как именно строится ф2, при этом не уточняется, но может оказаться, что ф2 индуцируется некоторым (одним и тем же при всех Z) непрерывным отображением ф: X ■* У.
Определение. Непрерывное отображение ф : X -*У называется слабой гомотопической эквивалентностью, если для любого клеточного пространства Z отображение ф,; tt(Z, X) -* tt(Z, У) является взаимно однозначным соответствием.
Очевидно, пространства, которые можно связать слабой гомотопической эквивалентностью, слабо гомотопически эквивалентны. Обратное неверно, как показывают простейшие примеры. (Множества Q, Z С R слабо гомотопически эквивалентны, но слабой гомотопической эквивалентности Q ->Z не существует: непрерывное отображение Q -* Z неизбежно будет постоянным на целых интервалах и потому не будет взаимно однозначным уже индуцируемое им отображение я (точка, 0) -> ■* я (точка, Z). Пространства (Q X S1) U Z и (Z X S1) U Q тоже слабо гомотопически эквивалентны, но слабой гомотопической эквивалентности между ними не существует ни в одну сторону.) Ниже в этом параграфе мы увидим, что пространства слабо гомотопически эквивалентны тогда и только тогда, когда они могут быть соединены цепочкой
Х-*^ +W2 ->- .. .*-М„-*У
слабых гомотопических эквивалентностей (см. упражнение 8).
Наша ближайшая цель — доказать следующую характеризацию слабых гомотопических эквивалентностей.
Теорема 4. Для непрерывного отображения f: X -*У следующие свойства эквивалентны.
/ есть слабая гомотопическая эквивалентность.
Гомоморфизм f»: itn(X, х0) ■* я„(У, /(х0)) является изоморфизмом при любых пих0.
Если (И/, Л) - клеточная пара и h: А -* X, g: W ^-Y - такие непрерывные отображения, что f » h ~g\A, то существует непрерывное отображение h: W -* X, такое, что h\A = h и foh ~g.
Доказательство. Импликация (1) =* (2) очевидна. Импликация (3) =* (1) почти очевидна: взяв в качестве пары (W, Л) пару (Z, ф), мы убеждаемся в том, что отображение /ф : я(2, X) -* л(2, У) является отображением на, а положив (W, Л) = = (Z X I, (Z X 0) U (Z X 1)), мы видим, что оно переводит разные элементы в разные.
Остается доказать импликацию (2) =► (3). Пусть/: X -* У - отображение, удовлетворяющее условию (2), и пусть (W, Л) — клеточная пара. Мы предположим сначала, что W отличается от Л единственной клеткой: W = Л Ua Dn*x, где а: S"-*A — непрерывное отображение. Поскольку сквозное отображение а: Sn -*А С С W гомотопно нулю (его продолжением на шар служит естественное отображение D"*1 -* W), гомотопна нулю и композиция (gU) 0 °: S№*Y. Значит, гомотопно нулю отображение f о ho a; S"-*Y, ас ним - и отображение ho a: S" -*Х; отображение / переводит в сфероиды, гомотопные нулю, только сфероиды, гомотопные нулю (/, — мономорфизм). Значит, отображение ho a: Sn -* X продолжается до непрерывного отображения 0: Dn*x -*X, и мы можем составить из отображений й и 0 непрерывное отображение h'; W -*Х. Штрих здесь поставлен потому, что это отображение еще не годится в качестве h. Нам нужно, чтобы было foh ~g, а есть у нас только /° й'|л -g^. Фиксируем гомотопиюФ: Л XI -* У, соединяющую g\A cf°h*\A=f °h, и рассмотрим (n + 1)-мерный сфероид у: S”+1 = йфп*х Х/)-*У, составленный из отображений:
D" + x X 0=Dn + x ->W^->Y, а X IФ
S" XI>A XI—► Y,■
Dn*x x 1 = Dn*x ■™—*X™—* Y.■
Для того чтобы гомотопия Ф продолжалась до гомотопии, связывающей g с f о h’, нужно, чтобы сфероид у был гомотопен нулю (см. рис. 67), но на это мы не можем рассчитывать, потому что не приняли для этого никаких мер. Чтобы исправить дело, в нашем распоряжении есть выбор отображения 3, продолжающего h о а; если мы вместо 3 возьмем другое отображение, 3*, то к гомотопическому классу сфероида у
прибавится гомотопический класс сфероида / ° 6, где 6: S” + 1 -* X — сфероид, составленный из отображений /3, 0': Dn + 1 ~* X (согласованных на 3D"+1). Ясно, что гомотопический класс сфероида 6 может быть сделан произвольным элементом группы т„+1(АЭ, но тогда произвольным будет и класс сфероида /о 8 (/, — эпиморфизм). Этим доказательство завершается в случае, когда W — А есть одна клетка. В общем случае применяется обычная клеточная индукция: на л-м шаге предыдущее построение проводится одновременно для всех л-мерных клеток из разности W — А.
Теорема Уайтхеда.
Теорема 5. Пусть X, Y - клеточные пространства. Если непрерывное отображение f обладает тем свойством, что
f.-. 7Т„№*о)^1Г„(У,/(хо))
есть изоморфизм при всех пих0, то f есть гомотопическая эквивалентность.
(Если пространства X и Y связны, то условие теоремы достаточно проверять для некоторой произвольно фиксированной точки х0 G У.)
Теорема является прямым следствием теоремы 4 и того факта, что для клеточных пространств слабая гомотопическая эквивалентность совпадает с обычной (см. п.4 §9).
Из теоремы Уайтхеда следует, что если все гомотопические группы некоторого (связного) клеточного пространства тривиальны, то это пространство стягиваемо (гомотопически эквивалентно точке). Однако в общем случае для гомотопической эквивалентности клеточных пространств, вообще говоря, недостаточно, чтобы их гомотопические группы были изоморфны: нужно, чтобы изоморфизм устанавливался некоторым непрерывным отображением. (См.,впрочем, теорему 8.)
Упражнения. 5. Покажите, что пространства S 2 и S 3 X СР” имеют одинаковые гомотопические группы, но гомотопически не эквивалентны.
Покажите, что пространства S m X RPn и R/”” X S ” (ш ^п) имеют одинаковые гомотопические группы, но гомотопически не эквивалентны.
Клеточная аппроксимация топологических пространств.
Теорема 6. Для любого топологического пространства X существует клеточное пространство Y и слабая гомотопическая эквивалентность f. Y-*X.
(Такая пара (У, /) называется клеточной аппроксимацией пространства X?) Доказательство. Можно ограничиться случаем (линейно) связного пространства X. Мы построим цепочку пространств Yo С Ух С. .. и систему продолжающих друг друга отображений /): Yt -*Х, такую, что (/)), : ^(У;) -*яч^Х^ будет изоморфизмом при q < i. В качестве Уо мы возьмем точку, в качестве/о: Y0-*X - произвольное отображение. Предположим, что уже построены Уо С. .. С Yn_i и/0, ■ • ■ • • ■ , fn -1 ■ Положим .Уо = Уо, *о = /о(Уо) ■ Выберем в группе я„(Х х0) (или даже в itx(X, хо)-модуле я„(Х х0)) систему образующих (la), фиксируем для ^а представляющий сфероид ga; Sn -^ X, положим У„ = Yn_x V (Va S”) и определим отображение /„: Y„ -*Х как совпадающее c/n-i на ^п-i и с ga на а-й компоненте букета Va S ”. В силу теоремы 2 тг^У^ = itq(.Yn_x') при q < п, поэтому отображение (/„), в размерностях < л является изоморфизмом. Отображение же (/„),: irn^Y^^ -^яп(Х) эпиморфно, поскольку все ^а лежат в его образе. Мономорфизмом это отображение может не быть; возьмем в его ядре К = Кег(/^), систему образующих { ф^6я„(Уп)} (можно взять систему образующих над ^(Уи)). Фиксируем для фр представляющие сфероиды hp: Sn -* Y„ и приклеим по каждому из них к Y„ (л + I)-мерную клетку. Полученное пространство примем за Yn. Поскольку
^пУ^@ = ^, композиции fn°h^ гомотопны нулю, и отображение /„ может быть продолжено на все приклеенные клетки. Результатом такого продолжения и будет отображение fn: У„ ->X. Приклеивание не изменит групп itq с q<n, в силу же адциционной теоремы! я„(У„) = itn(Y„yK, вследствие чего (/„),: я„(У„) -* •* я„ (У) есть изоморфизм. Теорема доказана.
Упражнение 7. Докажите гомотопическую единственность клеточной аппроксимации топологического пространства: если (У,/), (Z, g) - две клеточных аппроксимации пространства X, то существует гомотопическая эквивалентность h: Z -* У, такая, что g=f о к■
Главный смысл теоремы 6 состоит в том, что она позволяет распространять гомотопические теоремы, доказываемые для клеточных пространств на произвольные топологические пространства. В качестве упражнения читатель может проделать это с теоремой 2 этого параграфа. Еще одним применением теоремы 6 следует очередное уточнение понятия слабой гомотопической эквивалентности.
Упражнение 8. Если X, У - слабо гомотопически эквивалентные пространства, то существует (единственное с точностью до гомотопической эквивалентности) клеточное пространство Z, обладающее слабыми гомотопическими эквивалентностями /: Z-*X, g ". Z-*Y.
Пространства Эйленберга — Маклейна (Х(я, л) ’ы).
Теорема 7. Пусть п - натуральное число ин- группа, предполагаемая абелевой, если п > 1. Тогда существует клеточное пространство X, такое, что
( 0 при г + п,
"/(*) =.
I Я при I = п
(ср. конец § 3).
(Такие пространства называются пространствами Эйленберга - Маклейна или пространствами типа К(н,пУ часто говорят просто "X есть К (я, л)”.)
Доказательство. Выберем в я систему образующих {^а} и систему соотношений {Др} (если л>1, то подразумеваются соотношения в я как в абелевой группе). Положим Хп = \1а8п\ тогда я1(Х„) = 0 при Кп и ^„(ХУ) = ®aZ (или *aZ при л=1); образующие группы я„(У„) находятся во взаимно однозначном соответствии с ^а, и мы обозначаем их через ?а. Заменим в левой части каждого из соотношений Ry символы ^а символами ^а > получатся элементы Гр группы лп(ХпУ Фиксируем сфероиды, представляющие эти элементы, и приклеим по этим сфероидам к Хп (л + 1)-мерные клетки. Получится пространство Хп+1, такое, что я((Х„+1) = 0 при Кп и я„(У„+1)= я. Далее мы берем произвольную систему образующих в я„ +!(%„ + !), представляем их сфероидами и приклеиваем по этим сфероидам к Хп + 1 (л+ 2)-мерные клетки. Получается пространство Хп+2, которое имеет нужные гомотопические группы уже до размерности л+ 1. Затем заклеиваем у Хп+2 группу я„+2 ит.д.
Замечание. Эта конструкция совершенно не эффективна: групп я„+1(У„ + 1), irn+2(Xn+2),. .. мы не знаем и не имеем средств вычислить. Можно, конечно, подстраховаться и приклеить к Хп+1 клетки по всем мыслимым сфероидам S”+1 -*Хп + 1, затем сделать подобное с пространством Хп+2 и т.д. Это освободит конструкцию от произвола, но сделает ее уж очень громоздкой.
Ввиду этого представляют интерес, впрочем, немногочисленные, явные конструкции пространств типа K(tt, п).
Явные конструкции. (1) Пространство СР” есть пространство типа K(Z, 2); это — единственное обозримое пространство, имеющее тип К (it, п) сп> 1.
) S1 есть J^(Z, 1). (3) RP“ есть K(Z2, 1). (4) Бесконечномерные линзы Z^ = = S°°IZm, где образующая Т группы Zm действует в S°° С С” по формуле T(zx, z2,...) = (z1e2’r,/'”) хге21т11т,...), есть пространство ninaK(Zm, 1). (5) Так как произведение пространств типаК(я1,п) и^(я2,п) есть,очевидно, пространство типа Х"(тг1 X я2, я), то конструкции (2) —(4) позволяют построить пространство типа К (it, 1) для любой конечнопорожденной абелевой группы я.
Известно такие великое множество пространств типа К (и, 1) с неабелевыми я. К их числу относятся, например, все классические поверхности, кроме S2 и Rf2 (см.упражнение Зв § 8).
Упражнения. 9. Докажите, что пространство всех неупорядоченных наборов из п различных точек плоскости есть пространство типа К (it, 1) для некоторой группы я; задайте эту группу образующими и соотношениями. (Эта группа называется группой кос из п нитей-, ее придумал Э. Артин.)
Сделайте подобное для упорядоченных наборов (соответствующая группа называется группой крашеных кос).
Докажите, что полное риманово многообразие неположительной кривизны есть пространство типа К (it, 1) с некоторой группой я. [Указание: любые две точки такого многообразия соединяются единственной геодезической.]
Пространством типа K(tt, 1) является дополнение к любой замкнутой кривой (’’узлу”) в S3, но читатель вряд ли сможет доказать это при помощи имеющихся в его распоряжении средств.
Упражнения. 12. Построить пространство с заданными гомотопическими группами.
Покажите, что £2А(я, п) = K(tt, п — 1).
Единственность К (я, п) ’ов.
Теорема 8. Любые два пространства типа К (и, п) слабо гомотопически эквивалентны. (Следовательно, любые два клеточных пространства типа К (it, п) гомотопически эквивалентны.)
Доказательство. Пусть X — пространство типа А (я, п), построенное в доказательстве теоремы 7, и У — произвольное пространство типа А (я, п). Мы построим отображение f: X -* У, индуцирующее изоморфизм гомотопических групп (т.е. изоморфизм ir„(X) ->я„(У)). Напомним, что п-й остов Хп пространства X есть букет Vа8 ” «-мерных сфер, соответствующих образующим группы я. Поскольку я„(У) = я, мы можем отождествить эти образующие с элементами группы я„(У). Отобразим VaS ” в У при помощи сфероидов, представляющих эти элементы. Все, что мы должны еще сделать — как-нибудь продолжить это отображение до непрерывного отображения X -* У; любое такое продолжение будет обладать требуемыми свойствами. Продолжение строится отдельно для каждой клетки пространства X, и каждый раз оно оказывается возможным, потому что композиция приклеивающего отображения клетки с ух® построенным отображением естьсфероид, гомотопный нулю. Для клеток размерности п + 1 это вытекает из того, что они отвечают соотношениям в группе я, а для клеток больших размерностей - из того, что я, (У) = 0 при i > п. '
Заклеивание и убивание гомотопических групп. В заключение мы обсудим две гомотопические операции над топологическими пространствами, детерминированным образом воздействующими на его гомотопические группы. Первой из них мы уже несколько раз, не называя ее, пользовались: заклеивание гомотопических групп размерности > п превращает пространство X в пространство X' содержащее X и такое, что (l)itq(X*) = 0 при q > п, (2)гомоморфизм itq(X) -* nq(X’), индуцированный
включением Х-*Х’, является изоморфизмом при q^n. Для построения пространства X* достаточно сначала приклеить кХ (и + 2) -мерные клетки по сфероидам, представляющим образующие группы я„+1(АЭ, затем приклеить (п + 3)-мерные клетки по сфероидам, представляющим образующие группы я„+2 полученного пространства и т.д. Операция заклеивания гомотопически единственна:
Упражнение 14. Пусть X - топологическое пространство, X? и Х^ — два пространства, содержащие X и обладающие свойствами (1), (2) из определения заклеивания. Тогда существует слабая гомотопическая эквивалентность X? ->Xj, гомотопная на X включению Х-^Х^ .
Заклеивание позволяет определить каноническое отображение произвольного пространства X в надлежащий К(я, и). Именно, пусть я„(АЭ = я — первая нетривиальная гомотопическая группа пространства X (для простоты предполагаемого связным) . Заклеим у X гомотопические группы размерностей > п. Получится пространство типа Л^я, и) и отображение (включение) X -*К(я,п^ устанавливает изоморфизм групп я„. Из упражнения 14 и теоремы 8 легко вывести, что эта конструкция гомотопически единственна. -
Перейдем теперь к убиванию. Рассмотрим построенное отображение У ->Х'(я, н), где я = я„(АЭ, яч(Х) = 0 при q < п. Превратим это отображение в гомотопически эквивалентное расслоение в смысле Серра (см. § 9) и возьмем слой этого расслоения. Этот слой, определенный канонически с точностью до слабой гомотопической эквивалентности, называется (первым или (п + 1)-л<) убивающим пространством ддя X и обозначается через У| „+1. Имеется (гомотопически единственное) каноническое отображение A"|n+i ■♦ X.
Теорема 9.
О при q<n,
irq(X^ при q>n;
более того, каноническое отображение ^|n + i ~* X индуцирует изоморфизм гомотопических групп в размерностях >п.
Это стандартным образом выводится из точности гомотопической последовательности расслоения, гомотопически эквивалентного отображению X -► К (я, п).
Конструкцию убивающего пространства можно итерировать. В результате для произвольного пространства X и произвольного числа m получаются пространство Х\т и отображение Х\т -* X, такие, что индуцированное отображение яч(АГ |т) -> -* яд(Х) является изоморфизмом при q > т, а группы яч(Х|т) с q < т равны 0.
Упражнения. 15. Докажите, что для любого связного пространства X каноническое отображение X |2 •* X слабо гомотопически эквивалентно универсальному накрытию.
Докажите, что52|3 = S3 и \СРп |3 = СР"|2„+1 =S2”+1.
Докажите, что в ситуации теоремы 9 слой расслоения, гомотопически эквивалентного каноническому отображению Х\п + 1-*Х, есть К (я, п — 1).
Итак, для произвольного пространства X имеется два способа сократить гомотопические группы. Можно уничтожить гомотопические группы, начиная с некоторой, и эта операция называется заклеиванием; пространство X отображается в заклеенное пространство. Можно, наоборот, уничтожить гомотопические группы до некоторой, и эта операция называется убиванием; убивающее пространство отображается в X.
ГЛАВА 2
ГОМОЛОГИИ
Наряду с гомотопическими группами тгк(^) топологическому пространству X ставят в соответствие другие серии групп — гомологические группы Нк(Х)и когомологические группы Нк(Х). По сравнению с гомотопическими группами они обладают важным недостатком — их аккуратное определение связано со значительными формальными трудностями — и важными достоинствами — они легче вычисляются (мы более или менее сразу найдем их для большинства известных нам пространств) и геометрически более наглядны (трудно объяснимых феноменов типа я3(52) = Z для них не бывает). Информация о топологическом пространстве X, которую несут его гомологии, в односвязном случае примерно равноценна информации, содержащейся в гомотопических группах.
Геометрическая идея гомологий такова. Сфероиды заменяются циклами; Л-мер- ный цикл — это замкнутая ^-мерная поверхность (может быть, сфера, а может быть и нет, скажем, тор). Отношение гомотопности сфероидов заменяется отношением гомологичности циклов — цикл гомологичен 0, если он ограничивает кусок поверхности на 1 большей размерности.
Как аккуратно определить, что такое циклы (и те ’’куски поверхностей”, которые они ограничивают, — так называемые цепи) ? Можно было бы попытаться определить их как отображения стандартных объектов — сфер и чего-нибудь еще, но это приводит к трудностям, особенно в размерностях > 2. Проще определить циклы (и цепи) как объединения стандартных элементов (’’кирпичей”). Эту роль принимают на себя сингулярные симплексы.
Заметим, что для построения гомологических и когомологических групп пространства X не требуется, чтобы в X была отмечена точка, — в этом одно из их важных отличий от гомотопических групп.
СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ
Сингулярные симплексы, цепи и гомологии. Пусть Ао, Ль ..., Aq — точки пространства R", где n>q, не лежащие в одной (д — 1)-мерной плоскости. Выпуклая оболочка множества этих точек называется евклидовым симплексом с вершинами Ао, Ах,..., Aq (это определение уже известно нам из §5); выпуклые оболочки подмножеств этого множества — грани указанного симплекса. Евклидовы симплексы одной размерности все одинаковы, и это побуждает нас выбрать стандартный евклидов симплекс. В качестве такового обычно рассматривают евклидов симплекс Тч в R1*1, вершинами которого являются концы координатных ортов:
n = {(To,...,MeR’+‘|r0>0,...,T<?>0, Sr,= l}.
Пусть X — произвольное топологическое пространство. Под q-мерным сингулярным симплексом пространства X понимается просто непрерывное отображение стандартного ^-мерного симплекса Тч в X. Под ^-мерной (сингулярной) цепью пространства X понимается конечная линейная комбинация сингулярных симплексов пространства X с целыми коэффициентами; запись: ^ktft, ff. ТЧ-*Х. Множество q-мерных сингулярных цепей пространства X обозначается через Cq(X). Сложение цепей как линейных комбинаций делает Cq(X) группой. Говоря иначе, Cq(X) — свободная абелева группа, порожденная множеством всех ^-мерных сингулярных симплексов пространства X.
Теперь мы определим граничный гомоморфизм 3 = 3^: Cq(X) -+Cq_i(X). Так как группа Cq(X) свободна, то достаточно определить 3 на сингулярных симплексах. Для сингулярного симплекса / мы полагаем
3f=S(-iyr<A
где Vtf — сужение отображения/ на Аю грань ^^{('o.-^er’I^O}
стандартного симплекса Тч. (Грань Т?1 отождествляется с Тч~1: точке (г0,...
..., 0, г/+1,... , tq^GTi-1 отвечает точка (Го, ■ • •, tt_x, r,+ i,... ,tq)& Т4-1.)
Теорема. Композиция aa*iaq
Cq+i(X)► Cq GT)► Cq_ x(X)
тривиальна; другими словами, Im dq+1 C Ker dq.
Доказательство: прямая проверка, основанная на равенстве
ПрИ J>i>
l Г/ГН1/ при 7<L
Основное определение. Факторгруппа
Hq(X) = Ker 3Q/Im 3q+j
называется q-й (q-мерной) гомологической группой (группой гомологии) пространства X. (Уточнение: это определение имеет силу при q > 1; полагают также Но(Х) = С0(^)Дт 3, й Hq(X) = 0 при q < 0.)
Употребляют обозначения: КегЗ^ = Zq(X), Im3Q + 1 = Bq(X); таким образом, Hq(X) = Zq(X)IBq(X). Цепи из Zq(X), Bq(X) называют, соответственно, циклами и границами; циклы, разность которых есть граница, называют гомологичными; таким образом, элементы группы гомологий — это классы гомологичных циклов, иногда их называют гомологическими классами.
Если группа Hq(X) конечно порождена, то ее ранг (т.е. число слагаемых Z в каноническом разложении Hq(X) = Z ® . . . ® Z ® Zkj® ... ® Zk$) называется q-м числом Бетти пространства X.
Цепные комплексы, отображения и гомотопии. Цепным комплексом *) (или просто комплексом) называется последовательность
абелевых групп, в которой dq о dq+1 = 0, е»8! = 0 и е -эпиморфизм.
О Не путайте ударение: комплекс неполноценности и комплексная автоматизация, но цепной комплекс и комплексные числа.
(Это определение вариабельно. Часто в понятие комплекса не включается в качестве обязательного элемента эпиморфизм е; при наличии этого эпиморфизма комплекс называется пополненным или аугментированным, а само е называется аугментацией. Иногда комплексами называют бесконечные в обе стороны последовательности
—»Г 3q>r
но при этом, как правило, ограничиваются рассмотрением ’’положительных" комплексов, у которых Cq = 0 при q < 0, — т.е., по существу, комплексов в смысле нашего определения.)
Группа Hq = Ker d^/Imd^-n называется q-й (q-мерной) гомологической группой комплекса (q > 1); 0-мерная гомологическая группа определяется как C0/Im di. Группа Яо = Ker e/Im Э i называется приведенной 0-мерной гомологической группой.
Пополним последовательность
...->Cq{X)►Ce_I(A)-*-.--*C>o(*) .
групп цепей топологического пространства X гомоморфизмом
е: CoW^Z, e{Y,klfl)=’Lki.
Получается "сингулярный” цепной комплекс, гомологические группы которого совпадают с гомологическими группами пространства X. Приведенные нульмерные гомологии пространства X обозначаются символом Н0{Х); пишут также Hq {X) =
= Hq {X) при q + 0.■п П w
Пусть теперь даны два цепных комплекса С' = {Cq, 9q, е'} и С" = {Cq, 9q, е”}. {Цепное) отображение комплекса С* в комплекс С” есть, по определению, семейство гомоморфизмов фд: Cq -* Cq, таких, что диаграмма
- 8», 8' , е'
коммутативна. Ясно, что цепное отображение индуцирует отображение гомологий (Ker 9q ->Ker dq, Im dg+1 Im <£+1, Ker d^/Im Э, + 1 ->Ker 9qf\m dg+i)-
Пусть X, У — два топологических пространства и g: X -*У — непрерывное отображение. Естественно возникают гомоморфизмы g# = g^q: Cq{X) "*Cq{Y) : сингулярный симплекс,/: Тч -*Х переходит в сингулярный симплекс# о f -.T4 -* У. Очевидно, {g#q) - цепное отображение комплекса {Cq{X), 9q) в комплекс {Cq{Y), Э^}; для возникающих отображений в гомологиях употребляется обозначение#, = geq: Hq{X)^Hq{Y).
Очевидная т е о р е м а. (а) Если g-.X-^Y, h\ У -*Z - непрерывные отображения, то {hog), = h, ° g,; (Ь) если i : X -* X - тождественное отображение, то i, - также тождественное отображение: (id^), = id^x).
Пусть снова С* и С" - цепные комплексы, и пусть ф = {фд: Cq -* Cq), ф ={фд: Cq ~*Cq) - два цепных отображения. Цепная гомотопия, связывающая ф сф,- это, по определению, совокупность гомоморфизмов Dq: Cq -* Cq*i, таких, что при каждом q
Dq -1 ° dg + dg +1 O Dq = Фч — Фч
А.Т. Фоменко
(считается, что D_x = 0). Если такая гомотопия существует, отображения ^ и ф называют ГОМОТОПНЫМИ (^ ~ф).
Теорема. Гомотопные отображения индуцируют одинаковые отображения в гомологиях.
Действительно, если а е С, - цикл (dqa = 0), то фда - ipqa = Dq_xd*qa. + + Э" + xDqа = dq*xDqa G Im dq+x.'
Теперь мы установим связь между цепными гомотопиями и обыкновенными гомотопиями из главы 1. Если g, h: X -* У - гомотопные (в смысле главы 1) отображения, то цепные отображения, индуцированные отображениями g и h, гомотопны в смысле последнего определения. В самом деле, пусть Н; X XI •* У - гомотопия, связывающая g ch. Тогда для любого сингулярного симплекса/: Тч -*Х определено отображение Яо (/ X 7) : Т4 X I -* У. Цилиндр Тч X I канонически разбивается на симплексы Тх У = 0,... ,<?); для q = 1, 2 такое разбиение показано на рис. 68, в общем случае оно определяется формулой
т, = {(Го, - • •, tq, т) G Тч X 7| to +... + ti_x < т< to + . .. + tf} .
Поэтому отображение Я о {f X Г) определяет q + 1 сингулярных симплексов размерности q + 1. Их сумму с надлежащими знаками (выбор котЬрых мы оставляем читателю) мы принимаем за Dq(f). Проверка показывает, что отображения
Dq: Cq(X)^Cq^x(Y\ Dqtbk^-SkiDqtA),•
составляют цепную гомотопию, связывающую наши цепные отображения (рис. 69). Из сказанного вытекает
Теорема. Если g ~h, то g, = h#.
Следствие. У гомотопически эквивалентных пространств гомологии одинаковы. Более того, гомотопическая эквивалентность индуцирует гомологический изоморфизм.
(Естественный вопрос: а слабая гомотопическая эквивалентность? Ответ в § 14.)
Рис. 68Рис. 68Простейшие вычисления. Группы сингулярных цепей необъятны и производить с их помощью вычисления неудобно. Поэтому для вычисления гомологий используются косвенные методы, которые мы начнем излагать в следующем параграфе. Впрочем, небольшие вычисления, которые мы сейчас все же проведем, даром не пропадут: они понадобятся, в частности, для обоснования упомянутых косвенных методов.
Рис. 68
Рис. 68
Рис. 69
А. Гомологии точки. Обозначим через pt одноточечное пространство. При любом q имеется единственный сингулярный симплекс fq: Tq ->pt. Таким образом, Cq (pt) =Z при всех q > 0. Далее, dfq = 2 (-lyT^ = [S (-I)*]/?-1> откуда
dfq =dfq =0при нечетном q,
dfq =
dfq =
fq-1ПРИ четном q.
Следовательно, наш комплекс имеет вид
id 0 id 0 е = id
ZZ—>z—>z—>z—>z
Z
Z
и ^o(pt) = Z, ^Q(pt) = 0 при q > 0 (если q нечетно, то Ker 3Q = Im dq+1 = Z, а если q четно, то Ker 3Q = Im 3Q+1 = 0). Добавим, что Яо (pt) = 0 (так что Я, (pt) = 0 при всех q^.
Пространство, имеющее такие же гомологии как точка, называется ацикличным.
Следствие (гомотопической инвариантности гомологий). Всякое стягиваемое пространство ациклично.
1
(Обратное неверно. Любители функции sin — могут порадоваться контрпримеру на рис. 70; но бывают и более интересные примеры — скажем, проколотая ’’сфера Пуанкаре”.)
В. Нульмерные гомологии. Если пространство X связно, то Я0(Т) = Z. Действительно, нульмерные сингулярные симплексы — это, в сущности, точки, а одномерные сингулярные симплексы — это пути, причем граница пути — это конец минус начало. Отсюда следует, что всякая нульмерная цепь y.kift (которая всегда является циклом) гомологична цепи (^k^fo, где /о — произвольно фиксированный нульмерный сингулярный симплекс. Из этого видно, что достаточным условием гомологичности "Lktft ~ ^k'jf'j является равенство S&# = S&y; очевидно, это условие является и необходимым, поскольку у границы сумма коэффициентов равна 0. Наше утверждение доказано.
Эквивалентные формулировки (У связно!) : Im 3j = Ker е; Я0(^Э = 0.
В общем случае Яо(АЭ есть свободная абелева группа, порожденная множеством компонент (линейной связности) пространства X, т.е. множеством тго(Ю; кроме того, всегда Н^Х^ s Н0(Х) ® Z.
Предыдущий переход от связного случая к общему имеет следующее обобщение: если ^ХоЗ — множество компонент пространства X, то при любом q
Hq(X) = ®Hq(Xa}.
Упражнение 1. Если /: X -* У - непрерывное отображение одного связного пространства в другое, то /,: Нй{Х) -*Н0^У) - изоморфизм.
4*;
Относительные гомологии. Пусть А — подмножество топологического пространства X (иначе говоря, (X, А) - топологическая пара). Тогда Cq (Л) С Cq (X) и aq (Cq (Л)) С cq_! (Л). Факторгруппа
Cq(X,A)=Cq(X)ICq(AY
называется группой относительных (сингулярных") цепей пространства X по модулю А; это — свободная абелева группа, множество образующих которой можно отождествить с множеством сингулярных симплексов /: Т4 ~* X, таких, что f(Tq) <$.А. Операторы bq: Cq (X) -*Cq_x (X) индуцируют операторы
^q* Cq(X,A)^Cq_1(X,A),
и возникает комплекс
.. .^С^Х^-^С^Х.А^—^СоСХ.А).
(без аугментации!), Соответствующие гомологические группы обозначаются символом Hq(X, Л). Их можно определить более геометрически как факторгруппы групп относительных циклов по группам относительных границ: относительные циклы — это цепи пространства X, границы которых лежат в А, относительный цикл является относительной границей, если он делается настоящей границей после прибавления некоторой цепи, лежащей в А.
Упражнения. 2. Вычислить Н0(Х, Л) в случае, когда X и А связны и в общем случае.
Для всякого непустого пространства X имеют место естественные изоморфизмы Hq(X) — Hq(X, х0), где х0 - произвольная точка в X.
Граница относительного цикла является абсолютным (т.е. обыкновенным) циклом пространства А; сопоставление a*-»3qa определяет (при каждом q) отображение
Э.: Hq(X.A)^Hq_1(A)
(проверка корректности определения: если а — Р есть относительная граница, то dq« — д9Р есть абсолютная граница в А). Отображение Э, включается в точную гомологическую последовательность пары
.. .^Hq(A)-^-*Hq(X)-^-*Hq(X. А) ^-* Hq _ Х(А) . . . ,
аналогичную гомотопической последовательности пары (см. § 8). В этой последовательности гомоморфизмы г,; Hq(A)-* Hq(X) индуцируются включением/: ЛУ, а гомоморфизмы j,: Hq(X)^Hq (X, А) индуцируются проекциями Cq(X)-* -*Cq(X)/Cq(A) = Cq(X,A). ■
Упражнение 4. Проверить точность гомологической последовательности пары (по образцу проверки точности гомотопической последовательности пары в § 8).
(В известном отношении гомологическая последовательность пары проще гомотопической последовательности пары, поскольку она включает в себя только абелевы группы.)
Заметим, что произвольное отображение /: (X, А) ■* (Y, В) (т.е. непрерывное отображение /: X-*Y, такое, что f(A)CB — ср. § 8) индуцирует гомоморфизмы /,: Hq(X, A)^Hq(Y. В) и вообще отображение гомологической последовательности пары (Х,А) в гомологическую последовательность пары (Y, В), т.е. ’’коммутатив-
ную лестницу”
...-*Hq(A)-*Hq(X)^Hq(X,A)-*Hq_v(A)-*...
г. |г. г. f.
...-*Hq(B)-*Hq(Y)-* Hq (Y, В^Н^В)*...,
строки которой — точные последовательности. Добавим, что Hq(X) = Hq(X, ф) (в этом смысле абсолютные гомологии являются специальным случаем относительных) и что таинственное отображение /,: Hq (X) -* Hq (X, А) в действительности индуцируется отображением / = id: (X, ф) -* (X, А) (ср. § 8).
Упражнение 5. Построить гомологическую последовательность тройки
...^Hq(A,B)^Hq (X, В) -* Hq (X, А) -* Hq _! (Л, В) -...
и доказать ее свойства, аналогичные свойствам гомологической последовательности пары (включая точность). (Ср. упражнение 10 в § 8.)
Точность гомологической последовательности пары (и тройки) имеет стандартный набор следствий (ср. § 8), среди которых гомотопическая инвариантность относительных гомологий: если отображение/: (X, Л) -*( Y, В) обладает тем свойством, что индуцируемые отображения X -* Y, А -* В являются гомотопическими эквивалентностями, то /,: Hq(X, Л) -* Hq(Y, В) есть изоморфизм при любом q. .
(Поспешим разочаровать читателя, ожидающего точной ’’гомологической после- довательноспг расслоения’’, - взаимоотношения гомологий с расслоениями довольно сложны и не укладываются в рамки никакой точной последовательности; этим проблемам посвящена значительная часть всей этой книги.)
Относительные гомологии как абсолютные.
Теорема. Пусть (X, Л) - топологическая пара.
Если (X, Л) — пара Борсука (см. § 5), например, клеточная пара (см. опять § 5), то
р. -. Hq(X,A)-*Hq (Х/А, а) = Hq (Х/А)
(гдер; Х-*Х/А - естественная проекция и а= р(А)) есть изоморфизм при любом q.
Вспомним, что относительные гомотопические группы irq (X, Л) тоже интерпретируются как абсолютные гомотопические группы некоторого пространства, но это пространство значительно сложнее, чем Х/А (см. § § 8 и 11). Впрочем, эти две интерпретации (относительных гомотопий и относительных гомологий) двойственны в смысле двойственности Экмана — Хилтона из §4.
(И) В общем случае включение X -*• X VJCA, где X UCA получается из X присоединением конуса СА над А (см. рис. 71), индуцирует изоморфизм
Hq (X, A) sHq(XU СА, СА) = Hq (X U СА, и) = Hq(XU СА).
(Здесь и обозначает вершину конуса СА, предпоследнее равенство является следствием гомотопической инвариатности относительных гомологий и стягиваемости конуса СА.)
Первая часть теоремы является следствием второй части, ввиду гомотопической инвариантности гомологий и того факта, что для любой пары Борсука (X, А) проекция X UG4 -*(Х UCA)/CA = Х/А является гомотопической эквивалентностью (см. § 5). Доказательство второй части основывается на двух последовательно доказываемых леммах, каждая из которых важна сама по себе и каждая из которых обладает интересными обобщениями, которые мы сформулируем в виде упражнений. Мы начнем с формулировок лемм и упражнений. (Мы рассчитываем, что читатель вникнет
сейчас в формулировки упражнений, но делать их будет после прочтения доказательств лемм.)
Лемма 1. Пусть 41 = {Ua} - конечное открытое покрытие пространства X. Обозначим через Cq(X) подгруппу группы q-мерных сингулярных цепей пространства X, порожденную такими сингулярными симплексами f : Т4 X, что f(T4~) С Па при некотором а. Очевидно, dq^Cq^X)) С C^L^X), так что {СЧ(Х), Э,} - подкомплекс комплекса {Cq(X), dq}. Утверждение: гомологии комплекса {Cq(X), dq } совпадают с гомологиями комплекса {Cq (X), Эч}; точнее: включение первого комплекса во второй индуцирует изоморфизм гомологий.
Рис. 71
Упражнения. 6. Пусть 8 — некоторое множество сингулярных симплексов пространства X (разных размерностей, вообще говоря), включающее вместе с каждым сингулярным симплексом все его грани. Для произвольного сингулярного симплекса f: Т4 -* X его исправлением называется пара, составленная из гомотопии ft: Т4 -* X и триангуляции (см. § 5) т стандартного симплекса Тч, таких, что /о =/ и сужение отображения fx на любой симплекс триангуляции т принадлежит 8. Очевидно, исправление сингулярного симплекса индуцирует исправление всех его граней. Множество 8 называется достаточным, если выполняется следующее условие. Пусть / — сингулярный симплекс, для всех граней которого заданы исправления, согласованные в их пересечениях (т.е. в гранях граней); тогда существует исправление сингулярного симплекса /, согласованное с заданными исправлениями граней. Докажите, что если множество 8 достаточно, то подкомплекс сингулярного цепного комплекса пространства X, порожденный симплексами из 8, имеет такие же гомологии, как весь комплекс (точнее, включение подкомплекса в комплекс индуцирует изоморфизм в гомологиях). Неформально говоря, гомологии пространства X можно вычислять, пользуясь только сингулярными симплексами из 8.
Если It — открытое покрытие пространства X, то сингулярные симплексы, заключенные в элементы покрытия, составляют достаточное множество. (Вместе с предыдущим упражнением это утверждение покрывает лемму 1, освобожденную, к тому же, от предположения конечности покрытия.)
Если X есть область евклидова пространства (или произвольное гладкое многообразие — см. § 14), то гладкие сингулярные симплексы составляют достаточное множество. (Таким образом, гомологии гладкого многообразия можно вычислять, пользуясь только гладкими сингулярными симплексами — этот факт имеет первостепенное значение для остающейся за пределами нашего курса теории де Рама — см. X. Уитни ’’Геометрическая теория интегрирования” или Б .А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко ”Современная геометрия. Часть П”.)
Пусть X — область евклидова пространства. Докажите, что достаточное множество составляют аффинные сингулярные симплексы (аффинные отображения стандартных симплексов в ЛЭ.
Пусть X — триангулированное подмножество евклидова пространства (см. § 5, доказательство леммы о свободной точке), или, как говорят,полиэдр. Рассмотрим множество 8 сингулярных симплексов, симплициально отображающих стандартные симплексы на симплексы триангуляции (симплициальное отображение евклидова симплекса на евклидов симплекс есть, по определению, аффинное отображение, переводящее вершины в вершины). Докажите, что множество 8 достаточно.
Переходя ко второй лемме, напомним, что в § 5 нами была определена привилегированная барицентрическая триангуляция стандартного симплекса Тч (см. рис. 31 на с. 48). В этой триангуляции 9-мерные симплексы отвечают перестановкам вершин исходного симплекса. Барицентрическое подразделение М сингулярного симплекса f; Тч -*Х определяется как сингулярная цепь Ssgn(r)/T, где суммирование распространяется на все перестановки т множества вершин симплекса Тч, sgn(r) = ± 1 в зависимости от четности перестановки т, а /т обозначает сужение отображения/ на ^-мерный симплекс барицентрического подразделения, отвечающий перестановке т и отождествляемый с Tq в соответствии с естественным порядком своих вершин. (Последнее означает, что вершина симплекса барицентрического подразделения, являющаяся центром f-мерной грани симплекса Тч, переходит при отождествлении в /-ю вершину симплекса Тч; неформальным оправданием знаков sgn (т) в определении 3/ служит тот факт, что гомеоморфизм, при помощи которого производится указанное отождествление, сохраняет или обращает ориентацию в зависимости от четности перестановки т.) Положим далее 3 5 ktft = 'Lk1^ft. ■
Упражнение 11. 3d = 93; таким образом, 3 индуцирует отображения 3« : Hq(X)^Hq(X).
Лемма 2. Отображение 0, тождественно: ^,(а) = а при любом a^Hq (ЛЭ • Более того, существует цепная гомотопия D, связывающая цепное отображение 3 с тождественным отображением и такая, что образы сингулярных симплексов, входящих в цепь Df, содержатся в образе сингулярного симплекса/.
Упражнения. 12. Предположим, что для любого топологического пространства X задано цепное отображение а^: {Cq (X), 9 } -* (Cq (X), 9 } (напомним, что в определение цепного отображения входит требование согласованности с аугментацией е!), естественное по отношению к X в том смысле, что для любого непрерывного отображения f : Х-* Y и для любого q диаграмма
ах еда—ах еда—едаеда
ах еда—
ах еда—
еда
еда
у# сда^сда .
коммутативна. (Совокупность отображений ах с этим свойством иногда называется трансформатором.) Тогда отображение a,: Hq(ЛЭ-*Hq(ЛЭ, индуцируемое ах, тождественно для любого X. (Более того, существует естественная по X гомотопия, связывающая ах с id; уточните эту формулировку и докажите уточненное утверждение.)
Проверьте, что ах=0 удовлетворяет требованиям определения, содержащегося в предыдущем упражнении. После этого выведите из предыдущего упражнения лемму 2. (’’Более того” в лемме 2 вытекает из ’’более того” в упражнении 12.)
Другой пример трансформатора: пусть wq: Tq-*Tq - аффинный автоморфизм, обращающий порядок вершин; для сингулярного симплекса /: Тч -*Х положим Q-l)q^q-1^^axf=f° wq; Tq -*Х.
Доказательство л е м м ы 2. Построим специальную триангуляцию цилиндра Тч X I. При q = 0, 1,2 она показана на рис. 72, в общем случае определяется индуктивно следующим образом. Триангулируем дно Тч X 0 цилиндра Т4 XI естественным образом (с одним ^-мерным симплексом), а стенки г’ -1 X / - в соответствии с уже построенной триангуляцией Tq-t X I (важно, что эта триангуляция
Рис. 72
угодно переставляющие его вершины). После этого триангулируем весь цилиндр, разбив его на конусы, основаниями которых служат симплексы построенной триангуляции дна и стенок, а вершина находится в центре ’’крышки” — верхнего основания Tq X 1. Теперь для сингулярного симплекса /: Тч -*Xопределим Df& Cq+i(X) как сумму с коэффициентами ± 1 (уточнение знака мы оставляем читателю) сужений сквозного отображения
jq х J проекция. ^q f } ^
на (9 + 1) -мерные симплексы построенной триангуляции цилиндра Тч XI. Возникающие отображения
D. Cq(X)^Cq+dX), DZktf^ZkfDfi, составляют гомотопию, связывающую 3 с тождественным отображением. Эта гомотопия удовлетворяет требованиям леммы.
Доказательство леммы 1. Мы должны доказать, что (а) всякий цикл из Cq (йЭ гомологичен циклу из Cq\X) и что (Ь) если цикл, лежащий в С^(Х), является границей некоторой цепи из Cq+i(X), то он является границей цепи из Cq+i(X). Оба факта очевидным образом выводятся из трех утверждений: (а) для любой 9-мерной цепи с цепь 0пс с достаточно большим и содержится в Cq (Д') (очевидно); (3) циклы с и 3”с гомологичны при любом п (лемма 2); (7) если с — цикл из С^Х), то разность с - 3”с является границей цепи из С^+1(йЭ (вторая часть леммы 2).
Доказательство теоремы. Как было замечено, в доказательстве нуждается только часть (ii). Рассмотрим покрытие 41 пространства X и СА, составленное из открытой части С0А = (X U СА) — X конуса С А и множества X U С А, где С А - нижняя половина конуса СА (без верхнего основания) (см. рис. 73). Из относительного варианта леммы 2 (который, с одной стороны, доказывается
точно так же, как абсолютный, и, с другой стороны, является формальным следствием абсолютного варианта и 5-леммы - см. § 8) вытекает, что гомологии пары (XU СА, СА) можно вычислять при помощи цепей
C^(XUCA,CA) = С^(ХиСА)/С^(СА)
(покрытие конуса СА, индуцированное покрытием 11, мы снова обозначаем через 41). Но, очевидно,
Cq(.XUCA)IC^(CA) = Cq(XUCA)ICq(CA) = Cq(Xu С А, С А),
откуда
Hq(XUCA,CA) = Hq(XUCA,CA) = Hq(X,A)
— последнее равенство вытекает из гомотопической инвариантности гомологий.
Рис. 73
Дополнения. В заключение мы приведем без доказательства (в виде упражнений) еще два важных свойства гомологий.
Упражнения. 15. Пусть (X, А) — топологическая пара, и пусть В С А. Включение (X — В, А -В)-* (X,А) индуцирует отображение
Hq(X-B,A— В)-* Hq(X,A),
называемое гомоморфизмом вырезания. Докажите теорему в ы р е з а н и я: если В С Int А или если (X, А), (X - В, А - В) - пары Борсука и (X - В)ЦА - В) = = Х/А, то гомоморфизм вырезания является изоморфизмом.
Пусть X - топологическое пространство, А СХ, ВСХ,АиВ = ХиАГ\В = С. Предположим, что гомоморфизмы вырезания
НДВ.С) -> НГ(Х,А),
НГ(А,С) -* НДХ,В)
являются изоморфизмами при всех г (см. предыдущее упражнение) и рассмотрим последовательность
...-*Hq(C)—> Hq(A) ® Hq(B)—* Hq(X)-^Hq_1(C)-^ ,..,
в которой aq есть разность гомоморфизмов, определяемых включениями С -* А и С -* В, Sq есть сумма гомоморфизмов, определяемых включениями А -* X и В X, и 7g определяется как одна из (совпадающих с точностью до знака - докажите!) композиций
/.а,
Hq(X) —> Hq(X,A) = Hq(В, С) —* Hq _^С),
Hq(X) -^ Hq(X,B) = Hq(A,C)——* Hq_ ^O.
Эта последовательность называется гомологической последовательностью Майера - Виеториса или гомологической последовательностью триады (Х;А, В). Докажите, что она точна.
13. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГОМОЛОГИЙ КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ
В этом параграфе мы увидим, что гомологии клеточных пространств можно вычислять при помощи комплекса, неизмеримо более узкого, чем сингулярный комплекс. Начать мы должны с вычисления гомологий сфер и букетов сфер.
Гомологии сфер. Изоморфизм надстройки.
Теорема 1. Если п > 0, то
Я<(5") =Я<(5") =Z при i = 0, п,
Я<(5") =
Я<(5") =
0 при i*0,n.
Гомологии сферы S0 выглядят немного по-другому: Яо(5’°) = Z ® Z, Я, (S’0) = 0 при г > 0. Чтобы сделать формулировки более единообразными, лучше говорить о приведенных гомологиях Я:
Теорема 1. При всех п > 0
Z при i = n, 0 при i^n.Z при i = n, 0 при i^n.
Z при i = n, 0 при i^n.
Z при i = n, 0 при i^n.
Доказательство теоремы 1. Рассмотрим точную Я-последователь- ность пары (Dn, Sn ~(т.е. гомологическую последовательность тройки
фп sn -i,pt)):
Н{фп) -* Н^О"^"-1) -* Hi-i(Sn~1') ■* Н^ф"1).
|| (см. § 12) II (см. § 12)||
0H^S")о
Из точности Hi(Sn) = Hj_Y(Sn *), откуда и следует наша теорема (для 0-мерной сферы ее утверждение нам известно).
Обобщением изоморфизма Hi(Sn) = Я<_1(5’”~1), построенного в доказательстве теоремы 1, служит следующий изоморфизм надстройки.
Теорема 2. Для любого топологического пространства X и любого г
Н^Х) = Ht-^X),
где 2 - надстройка (см. § 2).
Доказательство: гомологическая последовательность пары (СХ, X), где СХ — конус над пространством X, отождествляемым с основанием конуса. (Заметим, что (СХ, X) всегда есть пара Борсука.)
(Это утверждение аналогично гомотопической теореме о надстройке и двойственно утверждению w^QJf) = 1ч(Х) - см. § 4; впрочем, двойственность § 4 связывает гомотопические группы, строго говоря, не с гомологиями, а с когомологиями, с которыми мы познакомимся в § 15).
Упражнения. 1. Теорема 2 уточняется следующим образом. Пусть/: Т* ~1 -* -* X — сингулярный симплекс пространства X. Сквозное отображение
,. . С/ проекция
Г' = CTi-\-U СХ —► ЪХ
представляет собой сингулярный симплекс пространства SAT, обозначаемый через 2/. Докажите, что отображения
X: q.i(X)* G(S^), ^Mt ^ ? М^Я), i'
перестановочны с Э и определяют изоморфизм Ht _ t (А) -> Ht (SAQ, совпадающий с изоморфизмом, построенным в доказательстве теоремы 2. Этот изоморфизм называется изоморфизмом надстройки и обозначается снова через S.
Пользуясь упражнением 1, постройте сингулярные циклы, представляющие гомологии сфер.
Гомеоморфизм Т* -* D1 представляет собой относительный сингулярный цикл пары (D*, S1 " 1), представляющий образующую группы Ht (D1, S1 “1) = Z.
Постройте относительный вариант изоморфизма S и докажите естественность изоморфизма S по отношению к отображениям Э и Д.
Гомологии букетов сфер и вообще букетов.
Теорема 3. Пусть А - произвольное множество, S"(a еЛ) - копии стандартной п-мерной сферы. Тогда
Я,( V S") =ае АЯ,( V S") =ае А® Za при i = n, a G А
Я,( V S") =ае А
Я,( V S") =ае А
0 при i¥=n.
(Здесь V обозначает букет, а ®аеА^а есть свободная абелева группа, порожденная множеством А, т.е. сумма групп Z, которых столько же, сколько сфер в букете.-)
Эта теорема вытекает из теоремы 2, поскольку букет VaGASa гомотопически эквивалентен надстройке ^(VaGAS2-I) (даже гомеоморфен этой надстройке, если надстройку понимать в модифицированном смысле, учитывающем отмеченную точку — см. § 2; для такой надстройки справедлив аналог теоремы 2), а для букета нульмерных сфер утверждение верно. С другой стороны, она вытекает из следующего общего утверждения о букетах.
Теорема 4. Если (Ха,ха), а е Л, - пространства с отмеченными точками, являющиеся парами Борсука, то при любом i
Ht( V Ха)= ® Н,(Ха).
a G Aa G А
Доказательство: букет есть факторпространство суммы по объединению отмеченных точек.
Упражнение 5. Постройте предыдущий изоморфизм на уровне циклов, найдите его относительный вариант и проверьте для него всевозможную естественность.
Отображения сфер в сферы и букетов сфер в букеты сфер. Напомним, что непрерывное отображение S” -► S” имеет степень — целое число, характеризующее его гомотопический класс (см. § 8). Непрерывное отображение
g: V S" -> VS"
а е а в е в р'
(S2, Sp - копии сферы S") имеет целую матрицу степеней {da^|a €Л, Р ЕВ): число da9 есть степень отображения
S’" Va G л Sa ^V9GBS9-*S", ’
где ia есть тождественное отображение сферы S” на S", а р9 есть отображение, тождественно отображающее сферу S^ на S" и загоняющее остальные сферы букета в точку.■
Упражнение 6. Характеризуют ли степени dap гомотопический класс отображения#?
Теорема 5. Матрица отображения
8.: Я„(Уаел52) ->Я„(У5ев^)
IIII
® Za® Z0
аS
совпадает с { dap }. В частности, отображение
fv. Hn(Sn') - Hn(S4'
IIII
zz
индуцируемое отображением f: Sn -► Sn степени d, есть умножение на d.
Доказательство. Надстройка S/: Sn*x -* S”+1 над отображением/-: S” -» S” степени d тоже имеет степень d. Поэтому, ввиду естественности гомологических гомоморфизмов по отношению к Е, доказательство утверждения теоремы 5 при некотором п влечет за собой его доказательство при всех больших п. С другой стороны, при и = 0 утверждение очевидно; беда, однако, в том, что степень отображения S’0 -* S° может быть не любым числом (она равна 0 или ±1). Сказанного, однако, достаточно для доказательства нашего утверждения для некоторых отображений #, в том числе - для ia и рр (такие отображения существуют и при и = 0). Таким образом, ia и р^ индуцируют, соответственно, вложение в проекцию.
Z = ZaC © Za, ®Z0 -*= Z.
aS
Следовательно, утверждение теоремы достаточно проверить для всех композиций Рр ° 8 ° ia, т-е- доказать его для отображений Sn -* Sn. Отображение Sn -* Sn степени d представляется в виде композиции двух отображений (рис. 74). Композиция отображения /!: S№ -* Sn ч ... ч Sn с любым отображением Рр: S” ч .. ,ч Sn -*Sn
Рис. 74
гомотопна тождественному отображению и индуцирует в и-мерных гомологиях отображение id: Z ->Z; поэтому
/1е: Z Z ® ... ® Z, Л.(1) = (1,...,1).
Далее, композиция любого отображения ia: Sn -* Sn ч . . . ч S" с /2: S” ч ...
... v Sn -* Sn тоже гомотопна тождественному отображению, и потому .
/2.: Z ®® Z-* Z, ft.!?!,... ,ad) = аг + ... + ad. 1
Следовательно,
ЛО) =/э.” /i.(D = /2.(1,..., 0 = d.
Теорема доказана.
Клеточный комплекс. Пусть X - клеточное пространство, sk„X = Хп(п = 0, 1, 2,...) - его остовы.
Лемма. Hj (Xq, X4 “1) равна 0 при i^q и является свободной абелевой группой, порожденной множеством q-мерных клеток пространства X, при i = q.
Доказательство: Ht^Xq,ХЧ-1^ = Н^ХЧ/Xq~1) = Ht(V Sqy■ •
Группа‘ '
ад-W^"1)
называется группой q-мерных клеточных цепей пространства X. Клеточный дифференциал b = bq \ ‘Cq (Z) -* ^q _ j (X) определяется как гомоморфизм■ '
Э.: Hq^.X4"1)Hq-^X4-1^4^.
IIII
Tq^Yq-^X).
из гомологической последовательности тройки (Xq ,Xq-t, Л^ ~ 2 ).'
Очевидный ф а к т: {Э о Э: ^qQC^-* *С q-i^X^ }= 0 (следствие равенства Э о Э = 0 в сингулярном комплексе).■
Гомоморфизме: '^(Х) = Н0(Х°') -* Z (остовы с отрицательными номерами мы считаем пустыми) определяется очевидным образом.■ '' '
Получается комплекс
ээ э , эе
Он называется клеточным комплексом. [Терминологическое замечание. В большинстве книг и статей по топологии, написанных по-русски, термин ’’клеточный комплекс” обозначает то, что у нас называется ’’клеточное пространство”. В последнее время, однако, по крайней мере авторы учебников стремятся не путать комплексы (алгебраическое понятие) и пространства (топологическое понятие). Мы тоже следуем этому правилу.]■
Относительно клеточного комплекса мы покажем две вещи. Во-первых, мы увидим, что клеточный комплекс невелик по размерам и без труда вычисляется для пространств с достаточно явно заданной клеточной, структурой. Во-вторых, мы покажем, что гомологии клеточного комплекса совпадают с гомологиями сингулярного комплекса, т.е. с гомологиями рассматриваемого клеточного пространства. После этого мы сможем с легкостью вычислять гомологии не очень сложных клеточных пространств. '
Начнем с реализации первого пункта программы. Как мы уже знаем (см. лемму), группа ^qCX^ изоморфна свободной абелевой группе, порожденной ^-мерными клетками пространства X, т.е. изоморфна группе (конечных) формальных линейных комбинаций ^^аь где а{ — клетка размерности q, Однако изоморфизм между группой %q(X) и этой свободной абелевой группой не вполне каноничен: он зависит от выбора гомеоморфизма Xq/Хч~1 « V Sq. Этот гомеоморфизм канонически строится, если для ^-мерных клеток о, фиксированы характеристические отображения/}: Dq -* X: отображение /} определяет гомеоморфизм
ff. Sq = Dq/Dq~l -* а(1?га, C XqIXq-V
Но предполагать, что характеристические отображения фиксированы, неудобно: обычно мы знаем только, что они существуют. На самом деле фиксировать нужно не характеристические отображения, а ориентации клеток. Мы скажем, что два характеристические отображения, ft: DR -* X и ft’: DR -* X, определяет одну и ту жеориен-
тацию клетки а{ , если сквозной гомеоморфизм
ft„
Sq —► atlFiGt ► Sq
имеет степень 1 (гомотопен тождественному); другая возможность состоит в том, что этот гомеоморфизм имеет степень — 1, и в этом случае говорят, что /, и // определяют разные ориентации' В этом смысле каждая клетка имеет две ориентации, и выбор ориентаций у всех 9-мерных клеток доставляет определенный изоморфизм между группой ^(АЭ и группой линейных комбинаций ^к^. (Удобно считать, что в этой записи of — ориентированные клетки и перемена ориентации у клетки о, равносильна перемене знака of -► — at. Заметим еще, что в случае q = 0 характеристическое отображение единственно, и никакого произвола в выборе изоморфизма ^о № ^ (Xktat} нет: он каноничен.)
Кстати, употребление выражения ’’ориентированная клетка” вполне оправдано, ибо это - действительно ориентированная открытая клетка, которая гомеоморфна евклидову пространству. Например, ориентированная одномерная клетка — это интервал, на котором задано положительное направление - нарисована стрелка.
Теперь рассмотрим дифференциал 9: $ ч (X) -* ^ ч _ i (AQ. Пусть о и т - соответственно ^-мерная и (9 — 1)-мерная клетки пространства X«f; Dq -*Х, g: Dq-1 -* -*Х характеристические отображения. Рассмотрим композицию .
’Л^ч-1
5ч-1 > ^-4-1
проекция
► X4 xHXq 2 и (все (9 — 1)-мерные клетки, кроме т)) =
= т/Ргт ——> Sq-1.
Степень этого отображения — целое число - называется коэффициентом инцидентности между а и т и обозначается через [о: т].
Упражнение 7. Хотя по видимости число [о: т] зависит от характеристических отображений, на самом деле оно зависит только от ориентаций клеток о и т; при перемене любой из этих ориентаций число [о :т] меняет знак.
Заметим, что если о и т не пересекаются, то, очевидно, [о:т] = 0. Поэтому при данном о коэффициент [о:т] может быть отличен от нуля лишь для конечного числа т.
Теорема 6.'
9(2^0,) = S k; ( 2 [о,-: tJt;,),
где {ок} и{т;} - все q-мерные и все (я - 1)-мерные клетки пространства X.
Доказательство. Мы должны показать, что т входит в Эт с коэффициентом [о:т]. Рассмотрим отображение фч, S4-1, ф) -* (Хч, X4-1, X4-2), определяемое характеристическим отображением /: D4 -*■ X, соответствующим клетке а. Возникает диаграмма'
Z = Няфч,8ч~'1) —^ Hq_x(Sq-^ = Z
Hq^X4"1^ = Я^,^"1)>Hq_1(Xq"1,Xq-2') = Hq-x^-^X4 2)
IIII
8
(аир - гомологические гомоморфизмы, индуцируемые различными производными отображения /). Ясно, что а(1) = а £ ^(X), и потому Эо = 0(Э. (1)) = 0 (1). Но в силу теоремы 5 образ элемента 1 ЕЯд _ t (S’ -1) при сквозном отображении
^-l(S’-1) ^ Hq_1(Xq-X,Xq"^ = ^.^X^VX»"2) =
= ^_1(ys;-1) = e^-^Sf-1)
в слагаемом Hq _, (5? ~1) = Z, отвечающем клетке т, есть в точности степень соответствующего отображения Sq~x -*8Ч-Х, т.е. [о: т]. у
В заключение поговорим еще о геометрическом смысле коэффициентов инцидентности. Характеристическое отображение f: Dq -* X, отвечающее клетке о, взаимно однозначно на IntD’, а на Sq-X может таковым не быть. Прообраз/-1 (х) точки х Е т лежит в S’_ 1 и может не быть одной точкой. Если / — достаточно хорошее отображение их— достаточно общая точка, то [опт] можно определить как ’’алгебраическое число” точек прообраза /-1(х). Этот факт, точную формулировку и доказательство которого мы оставляем читателю, выводится из данного в конце § 8 описания степени отображения Sn -* S" как алгебраического числа прообразов общей точки. Имея в виду это представление о коэффициентах инцидентности, можно Придать теореме 6 совершенно тавтологическую форму: ’’граница клетки есть сумма клеток, входящих в границу клетки, с коэффициентами, равными кратности их вхождения в границу клетки”.
Гомологии клеточного комплекса.
Теорема 7. Гомологии клеточного комплекса клеточного пространства X совпадают с гомологиями пространства X.
(В процессе доказательства будет построен канонический изоморфизм между теми и другими гомологиями.)
Доказательство осуществляется в 3 шага.
1-й шаг: 9-я группа гомологий клеточного комплекса совпадает с Я^Х9*1, X9-2) (здесь, как и выше, остовы с отрицательными номерами считаются пустыми). Рассмотрим диаграмму
^i(X) нлхЧх4"2) = о
я^.сх^х^-^я^х^х^^^^д^х^'х7"2)—*нч(хч*\хч^
lP t"
нч(хч,х4'^ = <VX)о
н^х^х4^ = ^,_х(х\
в которой строка есть отрезок гомологической последовательности тройки (Х4*1, Xq, Xq~г), а столбец - отрезок гомологической последовательности тройки (Хч, X’-1, Xе-2) (равенства нулю вытекают из леммы в начале предыдущего пункта). Из точности последовательностей и тривиальности групп Hq(Xq-x,Хч-2\ Hq (Xq +1, Xq} следует, что 0 - мономорфизм, а а — эпиморфизм. Следовательно, Hq(Xq + x,Xq-2) = Я,(Х’,Х’-2)/Кега =
= Я,(Х’,Х’~2)/1тЭф = 0Hq(Xq,Xq"2)/0(knd.) = 1т0/1т(0о Э.).
В ату коммутативности диаграммы 0 о Э, = dq+1, а в силу точности вертикальной последовательности Im0 = Kerdg. Таким образом, последняя факторгруппа есть Kerdg/Imdg + 1, что и требуется (небольшую модификацию, необходимую в случае q = 0, мы оставляем читателю).
2-й шаг: Hq(Xq*x, Xq-2^ = Hq(Xq*xy Гомологические последовательности троек (Xq*x,X,,X‘-x), i = q — 2, q - 3,..., 1,0,'
О = Нд(Х‘,Х‘-х) = Я,^*1,^-1) “ Яд^*1,^) -*
- Hq_AX‘,Xl-x^ = о
дают: Hq(Xq*x Х4"2) = Hq(Xq*x, Xq~3) = ...= Hq(Xq+x, Х°) = Hq(Xq*xy
3-й ш а г: Яд (Х,+1) = Яд (X), Гомологические последовательности пар (Xх, Х1-1), i = q*2, q + 3,...,
О = Hq^QC‘,X‘-x^ -* Нч(Х‘"х) * Hq(X‘) - Hq(X‘,X‘-x^ =0
дают: Hq^X4*1^ = Hq(Xq+2>) = Hq(Xq*3>) = . . . Если dimX < <*, все доказано. Если X бесконечномерно, то требуется дополнительное замечание (вытекающее из аксиомы (W) из определения клеточного пространства и компактности стандартного симплекса), что всякая сингулярная цепь пространства X фактически является цепью остова XN с достаточно большим N; подробности мы оставляем читателю.
Следствие. Если число q-мерных клеток клеточного пространства X равно п, то группа Hq(X) порождается не более, чем п образующими; в частности, bq (Xq) < < л, где bq обозначает q-e число Бетти (см. § 12). Например, если у X вовсе нет q-мерных клеток, то Hq (X) = 0; в частности, если dim Х = т,то Hq (X) = 0 при q>m.
(Не то что гомотопические группы!)
Упражнение 8. Докажите алгебраическую лемму (“теорема Эйлера — Пуанкаре”) : пусть
... -* С^ -*• СхСо (~* Z)
- цепной комплекс с конечно порожденной суммой ®, С,-, и пусть с£ - ранг группы С£, ah£ — ранг i-й группы гомологий этого комплекса; тогда■
S(-l)% = 2(-1)^.
Выведите из этой леммы следующий факт. Если X - конечное клеточное пространство и с,- — число его /-мерных клеток, то
2(-\уь,(Х) - K-i/c .
(это число называется эйлеровой характеристикой пространства X и обозначается через х№) •
Классический комплекс. Пусть X — компактное триангулированное подмножество евклидова пространства (полиэдр). Открытые симплексы триангуляции составляют клеточное разбиение пространства X. Соответствующий клеточный комплекс устроен следующим образом. Зафиксируем порядок всех вершин триангуляции; тогда будут упорядочены и вершины каждого симплекса. Клеточная ^-мерная цепь — это линейная комбинация £ к£о£, где о,- — симплексы размерности q; граничный оператор действует по (хорошо нам знакомой) формуле
q
Ь^-к£о£ = ^.k£ £ Ггot, ii r = 0
где Гго; есть r-я грань симплексу о#. Этот комплекс называется классическим; в силу теоремы 7 его гомологии совпадают с гомологиями пространства X. На протя- жении длительного времени (с начала века до конца 20-х годов) топологи не располагали никаким другим определением гомологий, и они затратили массу усилий на доказательство независимости гомологий от триангуляции (эта ’’теорема топологической инвариантности гомологий” занимает почетное место и во многих более поздних учебниках топологии). Классический комплекс замечателен тем, что он канонически вкладывается в сингулярный комплекс: образ вложения составляют сингулярные симплексы, аффинно и гомеоморфно отображающие стандартные симплексы на симплексы триангуляции с сохранением порядка вершин.
Упражнение 9. Докажите, что это вложение индуцирует изоморфизм в гомологиях, причем тот самый, который построен нами в процессе доказательства теоремы 7.
Чрезвычайно интересно сопоставить это упражнение с упражнением 10 к § 12. (Кстати, оба утверждения верны не только для полиэдров, но и для ’’симплициаль- ных пространств”. Это - абстрактно, наподобие клеточных пространств, определяемые пространства, в которых замкнутые клетки — это симплексы, примыкающие друг к другу строго по граням; подробности см., например, в § 2.2 книги Рохлина и Фукса).
Некоторые вычисления.
Сферы. Гомологии сфер нам уже известны, но мы вычислим их еще раз, чтобы поупражняться в применении теоремы 7. Сфера S” разбивается на 2 клетки размерностей Ойл (см. § 5). При таком разбиении (мы считаем, что л > 0) ^o(S”)= = $л(5”) = Z, остальные ^(S") равны 0. Если л > 1, то автоматически все дифференциалы равны 0, все цепи - циклы, граница — только 0, и группы гомологий не отличаются от групп клеточных цепей:
„ Z при 1 = 0, л,
Я,(5”) =
0 при |¥=0,л.
Если л = 1, то ответ такой же, но тривиальность дифференциала Э: $i(S*) -* ■* ®0(5*) - уже не тавтология, а следствие важной леммы:
Лемма. Если а - ориентированная одномерная клетка, о0 и т, - ее "начало” и ’’конец", то до = тх - т0; в частности, если клетка о замкнута (ti = т0), то Эо = 0.
Упражнение 10. Произведите вычисление гомологий сфер, пользуясь другими клеточными разбиениями — см. § 5:
Проективные пространства. Случаи комплексных, кватернионных и калиевых проективных пространств не сложнее случая сфер: клетки соседних размерностей отсутствуют (имеется в виду клеточное разбиение, построенное в § 5), клеточный дифференциал Э всегда тривиален и Я^^Р") = ^(СР") (I < л < °°), Hq^ftPn^ = = ^(HP") (1<л<~), Н^СаР-^ «,(СаР2). Таким образом:
f
Z при q = 0,2,4,... [, 2л, если л конечно],
при остальных q;
Hq&Pn) =Hq&Pn) =Z при q = 0,4,8,... [,4л,если л конечно],
Hq&Pn) =
Hq&Pn) =
при остальных q;
Hq(CaP2) = ( Z при 9 = 0,8,16,
I 0 при остальных q.
Вещественный случай сложнее и интереснее. Пространство RP” разбивается на клетки о0, о1, о2,... [, о”, если п конечно].
Лемма.
[о/+1 : о*] =[о/+1 : о*] =если i нечетно,
[о/+1 : о*] =
[о/+1 : о*] =
О, если i четно.
До казательство. Отображение St+1 -* Si+1, степень которого равна, по определению, [о,+1 : о*], устроено так: экватор сминается в точку, нижняя из двух образовавшихся сфер склеивается с верхней по антиподальному отображению (см. рис. 75). Ясно, что это отображение имеет степень 2, если антиподальное отображение сохраняет ориентацию (т.е. если сфера нечетномерна), и степень 0, если антиподальное отображение обращает ориентацию.
Лемма доказана. Клеточный комплекс пространства RP” (лишенный аугментации) имеет, таким образом, вид:
(если п конечно)
«л«лК-хК-хл-2л-2^3^3«2«2^х «о^х «оZZZZZZ(л четно)(л четно)22оо22(л нечетно)(л нечетно)ОО22ОООО22ООЯдро и образ гомоморфизма 2Ядро и образ гомоморфизма 2о—►: все целые числа и 0;о—►: все целые числа и 0;ядро и образ гомоморядро и образ гомоморфизма —►: 0 и все четные числа. Производя факторизации, получаем:физма —►: 0 и все четные числа. Производя факторизации, получаем:(если п конечно)01234...л-2л-1пZZ20Z2О...0Z20,еслипчетно,Z2ОZ,еслипнечетно.(если п конечно)01234...л-2л-1пZZ20Z2О...0Z20,еслипчетно,Z2ОZ,еслипнечетно.т.е.т.е.Z, если q = 0 или q = п и п нечетно,Z, если q = 0 или q = п и п нечетно,Hq<R^ =Hq<R^ =Z2, если q нечетно и q < п,Z2, если q нечетно и q < п,0 в остальных случаях.0 в остальных случаях.С. Многообразия Грассмана. Клеточные разбиения описаны в § 5. В комплексном и кватернионном случаях клетки соседних размерностей отсутствуют и группы гомо-С. Многообразия Грассмана. Клеточные разбиения описаны в § 5. В комплексном и кватернионном случаях клетки соседних размерностей отсутствуют и группы гомо-
«л
«л
К-х
К-х
л-2
л-2
^3
^3
«2
«2
^х «о
^х «о
Z
Z
Z
Z
Z
Z
(л четно)
(л четно)
2
2
о
о
2
2
(л нечетно)
(л нечетно)
О
О
2
2
О
О
О
О
2
2
О
О
Ядро и образ гомоморфизма 2
Ядро и образ гомоморфизма 2
о
—►: все целые числа и 0;
о
—►: все целые числа и 0;
ядро и образ гомомор
ядро и образ гомомор
физма —►: 0 и все четные числа. Производя факторизации, получаем:
физма —►: 0 и все четные числа. Производя факторизации, получаем:
(если п конечно)
01234...л-2л-1п
ZZ20Z2О...0Z20,еслипчетно,
Z2ОZ,еслипнечетно.
(если п конечно)
01234...л-2л-1п
ZZ20Z2О...0Z20,еслипчетно,
Z2ОZ,еслипнечетно.
т.е.
т.е.
Z, если q = 0 или q = п и п нечетно,
Z, если q = 0 или q = п и п нечетно,
Hq<R^ =
Hq<R^ =
Z2, если q нечетно и q < п,
Z2, если q нечетно и q < п,
0 в остальных случаях.
0 в остальных случаях.
С. Многообразия Грассмана. Клеточные разбиения описаны в § 5. В комплексном и кватернионном случаях клетки соседних размерностей отсутствуют и группы гомо-
С. Многообразия Грассмана. Клеточные разбиения описаны в § 5. В комплексном и кватернионном случаях клетки соседних размерностей отсутствуют и группы гомо-
логий совпадают с группами клеточных цепей:
Hq(CGQi,k^ =Hq(CGQi,k^ =Z®... ® Z, где г есть число диаграмм Юнга из q)2 клеток, ' г ' вмещающихся в прямоугольник к X (п - *) (см. рис. 76)
Hq(CGQi,k^ =
Hq(CGQi,k^ =
. О в остальных случаях (в частности, если -л нечетно).
Kq(HG(n, к)) = Я,/2(СС(и,*))
(в частности, Hq^HG (и, Л)) = О, если q не делится на 4)..
Рис. 75Рис. 75Рис. 76Рис. 76
Рис. 75
Рис. 75
Рис. 76
Рис. 76
В вещественном случае ситуация сложнее..
Упражнения. И. Докажите, что [е (Д) : е(Дг) ] = 0, если Д' <£ Д; если же Д' С Д и разность Д — Д' состоит из одной клетки с координатами (s, г), то
(0, если s + t нечетно,
[е(Д):е(Д')] =
( ±2, если s + Г четно
(знак в последней строке зависит от ориентации клеток; для вычисления гомологий знать его не обязательно). Вычислите гомологии многообразий G^n, к^ с небольшими п и к. Найдите гомологии многообразия G(n, к) размерности dim G(п, к) =
= *(л — к^.1
Найдите числа Бетти многообразий Грассмана.
Обследуйте клеточный комплекс многообразия С+(л, к), найдите гомологии этих многообразий при небольших п и к, а в общем случае найдите гомологии старшей размерности и числа Бетти.
Многообразия флагов. В комплексном и кватернионном случаях вычисление снова не составляет труда.
Упражнение 14. Найдите коэффициенты инцидентности для вещественного случая.
Классические поверхности. Клеточный комплекс связной замкнутой классической поверхности имеет вид
«2^Х^0
Z -21» z ® ... ® Z -21*. z,
где число слагаемых Z в 8] равно 2g, 2^ + 1 и 2^ + 2 для сферы, проективной
Z е ... $ Z,igZ е ... $ Z,igHiW =HiW =Z ® ... ® Z ® Z2, lgZ ® ... ® Z ® Z2, lg* 1Z ® ... ® Z ® Z2, lgZ ® ... ® Z ® Z2, lg* 1если X есть проективная плоскость с g ручками,если X есть проективная плоскость с g ручками,если X есть бутылка Клейна с g ручками,если X есть бутылка Клейна с g ручками,
Z е ... $ Z,ig
Z е ... $ Z,ig
HiW =
HiW =
Z ® ... ® Z ® Z2, lg
Z ® ... ® Z ® Z2, lg* 1
Z ® ... ® Z ® Z2, lg
Z ® ... ® Z ® Z2, lg* 1
если X есть проективная плоскость с g ручками,
если X есть проективная плоскость с g ручками,
если X есть бутылка Клейна с g ручками,
если X есть бутылка Клейна с g ручками,
плоскости и бутылки Клейна с g ручками (см. § 5). Дифференциал Э j: ^ -► ^0 тривиален в силу последней леммы (см.п. А), а дифференциал Э2 вычисляется на основании описанной процедуры склеивания классической поверхности из многоугольника (см. § 1). Именно, границд многоугольника (как двумерной клетки естественного клеточного разбиения многоугольника) есть сумма всех его сторон, направленных в одну сторону (против часовой стрелки). При склеивании ориентируемой поверхности стороны попарно склеиваются с обращением ориентации, ввиду чего все коэффициенты инцидентности между двумерной клеткой ориентируемой поверхности и ее одномерными клетками равны 0. При склеивании неориентируемой поверхности стороны склеиваются с сохранением ориентации, и коэффициенты инцидентности равны 2. Таким образом.
(О, ...,0) в ориентируемом случае,
Э2(1) =
(2,..., 2) в неориентируемом случае, что позволяет вычислить гомологии: для классической поверхности X
Н^Х^ = Z,
если X есть сфера c g ручками,
{
Z, если X есть сфера с ручками,
О, если X есть проективная плоскость или бутылка Клейна с ручками.
Цепные отображения клеточных комплексов. Заканчивая параграф, мы заметим, что теорию гомологий можно было бы строить, взяв за основу клеточный, а не сингулярный комплекс (если бы необходимость доказывать топологическую инвариантность не сводила бы на нет все преимущества этого подхода). В частности, отображение Л клеточного пространства X в клеточное пространство У индуцирует цепное отображение Л#: ^q^X^ -* ^q{Y), если это отображение клеточно (см. § 5), т.е. отображает остовы в соответствующие остовы. Именно, если а и т — клетки размерности q пространств X и У, то, зафиксировав характеристические отображения /: D4 -► X и g: D4 -* У, мы можем определить число dh(o, т) как степень сквозного отображения
S4 = D4/^'1 XqIX4”v Y4/Yq~x
проекция
>Y4I^Y4-X U (все ^-мерные клетки, кроме т)) =
g *•
= t/Fit > S4
(первые два отображения - это, конечно, не сами f и h, а отображения, индуцируемые f и h; второе из них определено ввиду клеточности h: h (.У9) С Yq, h (Jr9-1) С У1-1). Это число, разумеется, зависит только от ориентаций клеток о и т и меняет знак при изменении любой из этих ориентаций.
При фиксированном о число dh (о, т) может быть отлично от нуля лишь при конечном числе различных т (докажите!). Поэтому формула
ft#(S kta^ = S kt^dh^o, т)т), /IT
где внутреннее суммирование справа распространяется на все ^-мерные клетки пространства У, корректно определяет гомоморфизм
Л#: *8q(X) - ^„(У).
Упражнение 15. Покажите, что построенные гомоморфизмы Н* составляют цепное отображение клеточного комплекса пространства X в клеточный комплекс пространства У и что индуцированный гомологический гомоморфизм совпадает с Н#.
Если отображение h не клеточно, то никакого естественного способа построить цепное отображение Н* не существует; но это не беда, поскольку всякое непрерывное отображение гомотопно клеточному (теорема о клеточной аппроксимации — см. § 5). Таким образом, клеточный аппарат приложим, в принципе, и для вычисления гомологических гомоморфизмов, индуцированных непрерывными отображениями.
§ 14. Гомологии и гомотопии
Связь между гомологическими и гомотопическими группами топологического пространства видна уже из предварительного описания гомологий, данного нами в начале этой главы: сфероиды — это тоже циклы, гомотопные сфероиды — это гомологичные циклы и, следовательно, гомотопические группы канонически отображаются в гомологические. Это отображение, называемое ’’гомоморфизмом Гуревича”, мы изучим в настоящем параграфе. Мы увидим, что связь между гомологиями и гомотопиями глубже, чем это представляется поначалу, и в то же время мы приведем примеры, которые должны предупредить читателя, ожидающего от этой связи слишком многого.
Гомологии и слабые гомотопические эквивалентности.
Лемма. Пусть X - топологическое пространство и а £ Hq (Z). Тогда существуют клеточное пространство У, класс гомологий 0G Hq^Y^ и непрерывное отображение f: Y-*X, такие, что ft(P) =а.
N
Доказательство. Пусть 5 k^ft, ft; Тч -*X,— сингулярный цикл, пред- i = 1
ставляющий класс а. Рассмотрим сумму N копий стандартного симплекса: N
Т = U 7} . Произведем в Т следующее отождествление. Пусть Ft и Г2 - грани /= 1
одной размерности г < q симплексов Тц и Тц ; вершины граней Г1 и Г2 упорядочены (порядок наследуется от вершин симплексов Т^ и Т^ ), и это порождает канонический аффинный гомеоморфизм Г} ®s Г2. Мы отождествляем (поточечно)
Г! с Ttt с т с Г2 с Тц С Т, если ftl | г^ = /ц I г . При отождествлении из Т получается клеточное пространство, которое мы принимаем за Y. Отображения ft: Т^ ■* X корректно определяют непрерывное отображение /: Y ■* X. Обозначим, далее, через F/ сквозное отображение п п вложение проекция
Тч = Т{ ► Т > Y.
Ясно, что Y,kiFt — сингулярный цикл пространства Y и что отображение f переводит F, в/, и Y,kiFi в Y,ktft. Таким образом, если 0 G/Д ( У) — гомологический класс цикла "Ьк^^то f =а.
(Замечание. При описанном отождествлении могут отождествляться точки
одного симплекса Т t, но не могут отождествляться точки одной открытой грани; чтобы лучше понять эту конструкцию, проведите ее явно для сингулярного цикла 73-pt.)
Относительный вариант леммы. Пусть {X, А) — топологическая пара и a G Hq(X, А). Тогда существуют клеточная пара (У, В), класс гомологий Р G Hq^Y, В} и отображение- f- (У, В.) ■* (X, А), такие, что f* (Р) = а.
Доказательство относительного варианта немногим отличается от доказательства абсолютного варианта. Мы фиксируем (относительный) цикл ЕДД, представляющий класс а, и строим клеточное пространство У — факторпространство сум-
1иы UiTj, — сингулярную цепь T.ktFt и отображение Д Y -* X, переводящее ^kiFi в T.ktft. Через В мы обозначаем наибольшее клеточное подпространство пространства У, отображающееся в А (т.е. объединение замыканий клеток, отображающихся в А). Тогда / будет отображением (У, В.) -* (У, А), 2 ktFt - относительным циклом пары (У, В), и если Р G Hq(Y, В^ — гомологический класс этого цикла, то f, (Р) = а.
Теорема 1. Если f; Хх -*Х2 - слабая гомотопическая эквивалентность, то fe; Hq^Xx^ -*Hq^X^ — изоморфизм при всех q.
Доказательство. Напомним, что отображение f: Хх -* Х2 называется слабой гомотопической эквивалентностью, если для любого клеточного пространства У отображение Д: я (У, Хх') ~* л (У, Х^) является взаимно однозначным соответствием (см. § § 9 и 11).
Эпиморфность отображения Д: Hq^Xv3 -* Hq^X2^ следует из леммы: если a € Hq(X2), то найдется клеточное пространство У, гомологический класс Р G Hq(Y) и отображение g: Y -* Х2, такие, что g*(P) = а. Далее, так как / — слабая гомотопическая эквивалентность, существует отображение h: Y -* Хх, такое, что fo h ~ g. Полагая у = g,(P) G Hq^Xx^, имеем: Д(у) = (/°Л)*(3) = = g.(0) =а.
В доказательстве мономорфности используется относительный вариант леммы. Ввиду гомотопической инвариантности гомологий можно считать, что f есть вложение, т.е. что ^Х2, Хх^ — топологическая пара (при необходимости можно заменить Х2 цилиндром отображения f и f — вложением пространства Хх в цилиндр в качестве верхнего основания; на такую возможность замены произвольного непрерывного отображения гомотопически ему эквивалентным вложением мы обращали внимание в § 9). Если a G Hq^Xx^ и Д(а) = 0, ю существует Р G Hq*i(X2, Хх)
с Э*(0) ~ а (точность последовательности пары). В силу относительной леммы существует клеточная пара (У, В), гомологический класс yG Hq+1QY, В^ и отображение g: (У, В) -* (Хг, Хх^, такие, что g#(у) =0. Наконец, так как f есть слабая гомотопическая эквивалентность, существует отображение Л: Y Хх, такое, что h | в = g | в (см. теорему 4 из §11). Мы имеем: а = д.(^) = д. ° ^,(у) = = (^ । в)* ° ^«М = h.o j, о д.(у) (где / есть включение В в У) = 0 (/. ° Э, = О в силу точности гомологической последовательности пары (У, В)). Теорема доказана.
Заметим, что в силу другой части уже цитировавшейся теоремы 4 из §11 отображение f является слабой гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда оно индуцирует изоморфизм в гомотопических группах. Таким образом, доказанное утверждение приобретает следующую запоминающуюся форму.
Теорема 1 . Если отображение f: Хх-*Ха индуцирует изоморфизм в гомотопических группах, то оно индуцирует изоморфизм и в гомологических группах.
(Ср. с теоремой 5 в конце этого параграфа.)
Следующие упражнения показывают, что некоторые утверждения, по звучанию напоминающие теоремы 1 и 1’, неверны..
Упражнения. 1. Покажите, что пространства S2 и СР” X S3 имеют одинаковые гомотопические группы, но разные гомологические группы. То же для пространств Sm X RP" и Sn X RP”1 с m Ф п, m # 1, п + 1. (Ср. упражнения 5 и 6 к §11.)
Покажите, что пространства S1 v S1 v S2 и S1 X S1 имеют одинаковые гомологические группы, но разные гомотопические группы.
Покажите, что хопфовское отображение S3 -*S2 индуцирует тривиальный гомоморфизм в приведенных гомологиях, но индуцирует нетривиальный гомоморфизм в гомотопических группах.
Покажите, что проекция S1 X S1 -► (S1 X S*)/(S* v S1) = S2 индуцирует тривиальный гомоморфизм в гомотопических группах, но индуцирует нетривиальный гомоморфизм в гомологиях (в том числе приведенных).
Теорема Гуревича. Пусть X — топологическое пространство с отмеченной точкой Хр. Обозначим через sn каноническую образующую группы Hn(Sn^ =Z (и = = 1,2,...). Для любого фб кп (X, хе) положим
Л(9)’/Л)6ВД,
где f: Sn X — произвольный сфероид класса 4. Очевидно, что h^ не зависит от выбора f. Ясно также, что сопоставление ф** h (ф) определяет гомоморфизм
К- 1Гп(Х,х0) - Нп(Х\,
этот гомоморфизм называется гомоморфизмом Гуревича-, он естествен по отношению к непрерывным отображениям (переводящим отмеченную точку в отмеченную).
Упражнение 5. Докажите, что диаграмма■
л„(Х,х0) -^*n„(Y,x1)
Я„(Х)
коммутативна для любого пути s, соединяющего точки х0 и Xj.
Теорема 2 (Гуревич). Пусть it0(X, хе) = iti (%, х0) = ... = itn-i(X, х0) =0 (и > 2). Тогда Hv (Z) = ... = Hn_i(X) = 0 и h: я„(У, хв) -► Нп (X) есть изоморфизм.
Доказательство. Согласно теореме 6 из §11 существует клеточное пространство, слабо гомотопически эквивалентное X; поскольку гомотопии и гомологии слабо гомотопически инвариантны (по определению и в силу теоремы 1), мы можем считать, что само X было клеточным. Далее, как было показано в §5, пространство X гомотопически эквивалентно клеточному пространству с единственной вершиной и без клеток размерностей 1, 2, .... п — 1. Уже из этого видно, что Hi (J) = ... = Нп_г^Х) = 0 (см. следствие теоремы 7 из § 13), а Яп(У) = = ®л (Л)/1т Эл+1 не отличается от я„ (J) в силу теоремы 3 из § 11.
Следствие (обратная теорема Гуревича). Если пространство X связно и односвязно и Н^Х) =... = Н n_i(X) =0, то я2 (^) = ...=лл-1(Х) = 0 и h: кп(Х) -*Нп(Х) есть изоморфизм.
Полученные результаты можно выразить одной фразой: у односвязного пространства нетривиальные гомотопические и гомологические группы начинаются с одной размерности и первые нетривиальные гомотопическая и гомологическая группы одинаковы.
Следствие (из этого утверждения и теоремы Уайтхеда из § 11). Односвязное клеточное пространство с тривиальными гомологиями размерностей > 2 стягиваемо.
Упражнение 6. Односвязное клеточное пространство, имеющее такие же гомологии, как сфера, гомотопически эквивалентно сфере. [Указание: примените теорему Уайтхеда к сфероиду Sn -* X, представляющему образующую группы я„ (%) = Z ]. То же верно для букетов сфер.
Замечание. Из полученных нами результатов видно, что тривиальность гомологических групп и тривиальность гомотопических групп, каждая по отдельности, обеспечивают гомотопическую тривиальность (стягиваемость)односвязного клеточного пространства. В то же время мы видели, что тривиальность индуцированных гомологических гомоморфизмов и тривиальность индуцированных гомотопических гомоморфизмов, каждая по отдельности, не обеспечивают гомотопической тривиальности непрерывного отображения, т.е. что гомотопности постоянному отображению. Оказывается, что и вместе этих двух тривиальностей недостаточно для гомотопической тривиальности отображения.
Упражнения. 7. Композиция
проекцияХопф
S1 X s1 X S1 * (S1 х s1 X S1)/sk2(S1 X S1XS1) = S ► S2
индуцирует тривиальное отображение как в гомотопических, так и в гомологических группах, но не гомотопно постоянному отображению.
То же для отображения
$’-2Х$’($2.-2 х$,у($2.-2 . S’) - $“*■СР".
(Напомним, что коммутант [G, G] группы G есть ее подгруппа, порожденная всевозможными коммутаторами [gi>gil = Ki Kag^ga1, gi,gi€G. Группа G/[G, G] получается из G коммутированием, т.е. наложением дополнительных соотношений: все образующие коммутируют между собой.)
Доказательство теоремы 3 — копия доказательства теоремы 2: можно считать, что X — клеточное пространство с единственной вершиной, а для таких пространств достаточно сопоставить процедуры вычисления фундаментальной группы и одномерной гомологической группы - см. § § 11 и 13.
Упражнения. 9. Покажите, что петля /: S1 -* X тогда и только тогда определяет элемент ядра отображения А: ^(Х^ -* Нх(Х) ("гомологична нулю”), когда она продолжается до непрерывного отображения, ограничиваемого окружностью S1 диска с ручками в X; более того, минимальное число этих ручек равно минимальному числу коммутаторов, произведение которых равно представляемому / элементу ГРУППЫ 7Г1(Х).
Пространство ХвЬ называется абелианизацией (по-другому, квилленизацией") пространства X, если ХаЬ имеет абелеву фундаментальную группу и существует отображение X -* ХвЬ, индуцирующее изоморфизм Я^(Х) -*Я,(ХвЬ) при любом q. Докажите, что связное пространство X тогда и только тогда обладает абелианизацией, когда
[Я1(Х), 7Tt W1 = к1Ю, [тг.САГ), тгНЛЭП,
т.е. когда всякий элемент группы [ffi (X), я2 (X)] представляется в виде произведения коммутаторов элементов группы кх (X) с элементами группы [я2 (X), Я! (X)]. [Наше определение абелианизации представляет собой упрощенный вариант принятого определения, в котором ХвЬ предполагается гомотопически простым (см. § 8) или даже //-пространством (см. упражнение 2 к § 8) или даже пространством петель (см. § 4). Настоящее определение абелианизации играет важную техническую роль в одном из вариантов построения алгебраической К-теории. Проблема существования абелианизации в этом смысле очень сложна, и никаких общих теорем на сей счет не известно. Зато известны несколько замечательных примеров абелианизации, из которых мы упомянем два. Первый открыли Барратт, Кан и Придди в 1971 г.: X = X(S(<*), 1), где S(<*) = UnS(n) — группа финитных перестановок счетного множества, ХаЬ = (n^S"^ = Un(fln5")o (нолик указывает на то, что мы берем только одну компоненту). Другой пример принадлежит Г. Сигалу (1973 г.): X=Х(В(«»), 1), где 5(°°) - бесконечная группа кос, т,е. Xесть пространство таких множеств Л С R2, что при некотором N (своем для каждого Л) А содержит точки (Я + I1, 0), (Я + 2, 0), . . . и еще ровно N точек, ХаЬ = O2S3. В обоих случаях Xимеет сложную фундаментальную группу и тривиальные старшие гомотопические группы, ХвЬ имеет простую фундаментальную группу и сложные (по сей день не известные) старшие гомотопические группы. В обоих случаях совпадение гомологий у Хи ХвЬ совершенно не очевидно и кажется чудом. См. обо всем этом Barratt M.G., Kahn D.S., Priddy S.B. // Proc, of AMS Summer Institute of Alg. Topology. — Madison, 1970; Segal G.B. // Invent, math. - 1973. — V. 21. — P. 213-222; Фукс Д.Б. // Функц. анализ и его прил. — 1974.-8,№2.-С. 36-42.]
Доказать, что любой двумерный класс гомологий произвольного топологического пространства реализуется сферой с ручками (т.е. для любого а € Я2(Х) существует сфера с ручками S и непрерывное отображение /: S -* X, такое, что отображение /,: H^S^ -* Я2(Х) переводит каноническую образующую группы Нг (S) = Z в а).
Относительный вариант теоремы Гуревича. Относительный гомоморфизм Гуревича h: кп(Х, А1) -* НП(Х, А) определяется аналогично абсолютному: если
f; (D", S"-1)-> (X ^4) — относительный сфероид, представляющий класс ф G 6я„(ХЛ), то Ь(ф)ЕНп(Х, Л) есть образ канонической образующей группы Hn(Dn, S”-I) = Z при гомоморфизме/,: НпЦ)п ,Sn~1')-*Hn(X,A').
Теорема 4. Пусть (X Л) - топологическая пара, причем пространства Хи А связны и односвязны и Иг(Х, Л) = 0. (i) Предположим, что ^(Х, Л) = .. .= = кп_1(Х,А') = 0 (п > 3). ТогдаН1(Х,А') = Н1(Х,А') = .. . = Нп_1(Х,А) = 0 и h; пп(Х,А)Нп(Х, А) есть изоморфизм, (ii) Предположим, что Нг(Х,А) = ...= = нп _! (X Л) = 0. Тогда -п^Х, Л) = . . . = itn_x(X, Л) = 0 uh; itn(X,A^-*Hn (X Л) есть изоморфизм.
Доказательство теоремы 4 получается из теоремы 2 характерными для перехода от абсолютного случая к относительному модификациями. Во-первых, нужно построить клеточную аппроксимацию пары (X А-) • Для этого мы строим по отдельности клеточные аппроксимации пространств X и А, (У, /) и (В,;); затем мы находим отображение h; В -*Y, делающее коммутативной диаграмму
* г
* включение *
А -* X
(существование h очевидным образом выводится из свойств клеточной аппроксимации) . После этого h превращается во вложение при помощи перехода к цилиндру отображения (см. доказательство теоремы 1), и мы получаем клеточную пару (У, В), гомотопические и гомологические группы которой не отличаются от соответствующих групп для пары (X Л) [это следует из слабой гомотопической инвариантности гомотопий и гомологий и 5-леммы, примененной к гомотопическим и гомологическим последовательностям пар (Х.А') и (У, В)]. Далее используется теорема о том, что m -связная клеточная пара гомотопически эквивалентна клеточной паре (У', В'), у которой В* D skm У' (упражнение 18 к § 5), и клеточное описание первой нетривиальной гомотопической группы клеточной пары (упражнение 2 к §11).._'
Теорема Уайтхеда (не путать с теоремой того же Уайтхеда из § 11).
Теорема 5. Пусть X и Y - односвязные топологические пространства и /; X -* У - непрерывное отображение, индуцирующее эпиморфизм пг(Х) ■* яз(У). (i) Если гомоморфизм
f.- ^(Х -* ^(У)■
является изоморфизмом при q <п и эпиморфизмом при q = п, то то же верно для f.; Hq(X) -* Я, (У).
(ii) То же с заменой -п-^Н..
Доказательство. Можно считать, что/ - вложение, т.е. что (У, X - пара. Точность гомотопической последовательности этой пары показывает, что условие ”/,: ^q(X) -* itq(Y) есть изоморфизм при q < п и эпиморфизм при q = п ”• равносильно условию ”itq(Y, X) = 0 при q < п”; аналогичное верно для гомологий. Таким образом, теорема Уайтхеда является прямым следствием относительной теоремы Гуревича.
Следствие. Если отображение/; X-*Y односвязного топологического пространства X в односвязное топологическое пространство Y индуцирует эпиморфизм it1(X') -* iti(Y") и индуцирует изоморфизм Hq(X)~—► Hq(Y^ при всех q, то f есть слабая гомотопическая эквивалентность (даже гомотопическая эквивалентность, если пространства XuYклеточны).
§ 15. ГОМОЛОГИИ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ и когомологии
К сингулярному или клеточному комплексу топологического пространства можно применить алгебраические операции -®G и Hom(—, G). Получатся новые комплексы, которые имею^3 свои гомологии; эти гомологии называются, соответственно, гомологиями и когомологиями пространства с коэффициентами в G. Конечно, переход к этим гомологиям и когомологиям носит чисто алгебраический характер, но опыт (например, прекрасных во всех других отношениях ’’Лекций по алгебраической топологии” А. Дольда) показывает, что откровенно алгебраическое изложение этого предмета отпугивает геометрически ориентированного читателя. Щадя чувства такого читателя, мы будем говорить о тензорных произведениях, Нош’ах и других подобных вещах только там, где это абсолютно необходимо (таких мест тоже предостаточно).
Определения. Пусть G — абелева группа. Сингулярная «/-мерная цепь пространства Xс коэффициентами в G есть линейная комбинация вида ^gtft, где#; G G н/г.Т4 -* -*Х — сингулярные симплексы. Группа «/-мерных сингулярных цепей пространства ЛГ обозначается через Cq(X; G); очевидно, Cq(X; G) = CqQT) ® G; наша прежняя группа цепей CqyC) есть в этих обозначениях Cq(X; Z). Сингулярная q -мерная коцепь пространства X с коэффициентами (со значениями) в G определяется как функция на множестве «/-мерных сингулярных симплексов пространства X, принимающих значения в G (никаких условий типа непрерывности на эти функции не накладывается). Группа этих коцепей обозначается через Cq(X; G); очевидно, Cq(X; G) = = Hom(CQ(X)> 6У Значение коцепи с на цепи а обозначается через <с, а). Обобщение: если задано билинейное умножение (спаривание) Gx X Сг -* G3, то для с 6 G С4 (ЛГ; Gx) и a G Cq (X; Ga) можно вычислить <с,а> G G3; например, если G — кольцо и с G С4(X",G), a^Cq(ЛГ;G), то <с,a)GG.
Граничный и кограничный операторы
Э = dq". Cq(X;G) -* Cq-^X'GY
8 = 5’: C^G) Cq*\X;G^'
определяются формулами
^g,ft =^gi 5 (-l)Tr/,; [8c](/)= S(-1)гс(Гг/).
I/r=0r=0
Очевидно, для любых сна
<с, да) = <8с,а>.
Немедленная проверка показывает, что дд = 0 и 88 = 0, и мы полагаем
яKerld,,: Cq(X-,G^ Cq_1(X;G^
4 ’ ' lm[dq+1: Cq + 1(X;G)-> С,(ЛГ;О] ’
Hq(X;G) =Hq(X;G) =Ker[8»: Cq(X;G) -* Cq*l(X;G')lImp’"1: C4"1^^) -* Cq(X;G^
Hq(X;G) =
Hq(X;G) =
(при q = 0 определения модифицируются очевидным образом). Имеются также канонические операторы
е: C0(X;G) -* G(суммакоэффициентов),
е*: G -* C°(X,G')(константы),
и мы полагаем
Я0№С) = Kere/Imdi,
Я°(Х;С) = Ker8°/Ime*,
Hq(X; G) = Hq^X\ G), Hq(X; G) = Hq(X; G) при q > 0 (приведенные гомологии и когомологии). Употребляются также термины цикл, гомологичные циклы (применительно к цепям с коэффициентами в G), коцикл, когомологичные коциклы.
Перенесение уже известных нам результатов. Результаты §§ 12, 13 и отчасти 14 автоматически переносятся на гомологии с коэффициентами и когомологии, причем в случае гомологий формулировки не меняются, а в случае когомологий они подвергаются ’’дуализации”, которая заключается, в основном, в обращении стрелок.
Непрерывное отображение /: X -* У индуцирует гомологические и когомологические гомоморфизмы, причем первые направлены ”в ту же сторону”, что /, а вторые — ”в противоположную сторону”:
f.: Hq(X;G) ^ Hq(Y,G), ft ^(Y-.G) - Hq(X,G).
Гомологии с коэффициентами и когомологии гомотопически инвариантны: если / ~ g, то/, = g, mf* = g*; в частности, гомологии с коэффициентами и когомологии одинаковы у гомотопически эквивалентных пространств.
Для суммы нескольких связных пространств Х=Хх U ... U XN
На<Х; G) = ®Hq№; G), Hq(X; G) = ®Hq(X; G)..
/i
Если сумма бесконечна, появляется различие между гомологиями и когомологиями: Hq (A-; G) есть по-прежнему прямая сумма групп Hq(Xf; G), a Hq(X; G) есть прямое п р о и з в е д е н и е групп Я* (ЭД; G)..
У точки pt.
H0(pf,G) = G = Я°(р1;С),
Hq($V,G^ = 0 = ^(рг.С) при q>0.
Относительные гомологии с коэффициентами в G определяются дословно так же, как обычные (целочисленные) относительные гомологии, в определении относительных когомологий появляется маленькая особенность: группа Cq(X, Л; G) есть не факторгруппа, а подгруппа группы Cq(X; G); она состоит из коцепей, принимающих нулевое значение на всех цепях из Сд(Л) С CqQC^. Последовательность пары в случае гомологий с коэффициентами строится точно так же, как обычная гомологическая последовательность пары, когомологическая последовательность пары (ЭД Л) имеет вид
... -* Hi-^A'.G) -* Hq(X,A;G) -* Hq(X;G) -* Hq(A;G) -* ...
Гомоморфизм 8*: Hq-1(A; G) -* Hq(X, A; G) определяется так. Берем в классе 7 G Hq-1 (A; G) коцикл с: Cq_t(A) -> G, произвольным образом продолжаем его до коцепи с: Cq _ i (ЭД -* G и вычисляем кограницу 8 с; очевидно, она принимает нулевые значения на цепях из Cq(A'), т.е. является коциклом из Cq(X, A; G); ее класс и есть 8 *(т). Все последовательности пары точны. Имеются также точные гомологические и когомологические последовательности тройки.
Для пары Борсука (X, Л) имеют место изоморфизмы
Hq(X,A;G) = Hq(X/A;G\ Hq(X,A;G) = fiq(X/A;G'),
устанавливаемые проекцией Х-* Х/А. Для произвольной пары (X, Л) имеют место аналогичные изоморфизмы с заменой пространства Х/А пространством X U СА. В тех же предположениях, что в § 12, имеют место изоморфизмы вырезания
Hq(X — B,A-B;G) = Hq(X,A;G), H4(X-B,A - B;G') = Hq(X,A;G')
и точные последовательности Майера — Виеториса (в когомологической последовательности Майера - Виеториса стрелки повернуты в противоположную, по сравнению с гомологической последовательностью Майера — Виеториса, сторону).
Для клеточного пространства X гомологии с коэффициентами в произвольной группе и когомологии можно вычислять при помощи клеточного комплекса. Именно, пусть ^q (X; G) — группа линейных комбинаций S^ а/, где gt G G и а/ - ориентированные q -мерные клетки (замена ориентации клетки о( соответствует замене at ** ~°i)> и пусть ^(Х; G) - группа функций на множестве ориентированных Q-мерных клеток со значениями в G, таких, что замена ориентации клетки приводит к изменению знака значения. Граничный и кограничный операторы Э: $q(X; G) -► -* ^q_1(X;G), 8: $q(X;G)->- ^q + 1(X;G) определяются формулами
д(5^<т,) = S& S [а,:т]т, iIt
[8 с] (а) = 2 [а:т]с(т) т
(в правой части первой формулы внутреннее суммирование распространяется на (<?-1)-мерные клетки т пространства X, во второй формуле сЕ <8q(X;G'), о есть (q + 1)-мерная клетка пространства X, суммирование в правой части распространяется на ^-мерные клетки т пространства X).
Приведем некоторые результаты вычисления гомологий и когомологий с различными коэффициентами для основных клеточных пространств. Для сфер
„ „( G прн q = 0,n,
Hq^.G') = Hq(S;G) =’
I 0 при q*O,n
(этот факт, конечно, вытекает из сказанного выше о клеточном вычислении гомологий и когомологий с коэффициентами, но читатель, который пожелает восстановить доказательства, должен будет доказать его раньше, как это делалось в § 13). Для комплексных, кватернионных и кэлиевых проективных пространств, а также для комплексных и кватернионных многообразий Грассмана и многообразий флагов гомологии и когомологии не отличаются от соответствующих клеточных цепей и коцепей, т.е. они устроены точно так же, как целочисленные гомологии (см. § 13), только все слагаемые Z заменяются слагаемыми G-, например.
Hq(CPn;G') = Hq(CPn;G) =Hq(CPn;G') = Hq(CPn;G) =G при q = 0,2,4,...
Hq(CPn;G') = Hq(CPn;G) =
Hq(CPn;G') = Hq(CPn;G) =
... [, 2л, если л конечно], О при остальных q.
В вещественном случае дело обстоит сложнее (ср. § 13), но при G = Z2 вычисление резко упрощается, потому что все коэффициенты инцидентности четны и гомологии и когомологии опять-таки не отличаются от соответствующих групп клеточных цепей. Например:
HqtRP";!!') = Н4^";!^ = ( Zi ПРИ 0 < ? < и, I 0 при q > п.
Добавим,что для классической поверхности X
Я2(Х,г2) = №(X;Z2) = Z2,
H1(X;Z1') = H1(X;Z1) = Z2 e ... ® Z2,
где
2g,2g +1,2g + 2,2g,2g +1,2g + 2,если X есть сфера c g ручками, .
2g,
2g +1,
2g + 2,
2g,
2g +1,
2g + 2,
если Хесть проективная плоскости с g ручками, если Хесть бутылка Клейна eg ручками.
Упражнение 1. Найдите гомологии и когомологии вещественных проективных пространств, вещественных многообразий Грассмана и классических поверхностей с коэффициентами в Zm, где т — нечетное число.
Заканчивая этот пункт, заметим, что если /: X -*Y — слабая гомотопическая эквивалентность, то'■
Д: Hq(X;G) -* Hq(Y;G) и f: Hq(Y;G) -* Hq(X;G)
— изоморфизмы при любых q и G (ср. § 14).
Коэффициентные последовательн гч. Мы приступаем к выявлению соотношений между гомологиями и когомологиями с разными коэффициентами. Очевидный факт заключается в том, что если задан гомоморфизм ф: Сг -* Сг одной абелевой группы в другую, то для любых X и q возникают гомоморфизмы
Ф.: Hq (X; Gt) -> Hq (X; G2 ),ф.: H^X; G.) -* Я^Х; G2 )
(в одну сторону!). Однако, как показывают многочисленные примеры (в том числе и известные нам), мономорфность, зпиморфность и даже нетривиальность гомоморфизма ф ни в коей мере не влечет за собой аналогичные свойства гомоморфизмов ф,. Чтобы глубже разобраться в предмете, рассмотрим следующую ситуацию. Пусть G — абелева группа, Я — ее подгруппа и F — факторгруппа G/Я; обыкновенно все это записывают в виде короткой точной последовательности
0->Я^С-»^->0.■.
Наряду с гомоморфизмами Яд(Х;Я) ■+ Я^(Х;С) ■* Hq(X\F) и Hq{X,H) ■+ -* Hq(X, G)-* Hq(X; F) возникают ’’связывающие гомоморфизмы”
Э.: Hq^X-.F) -* Hq_x(X;ff), 5е: Hq<X;F^ -* Н^ЧХ-.Ну
Приведем определение первого. Для a G Hq(X; F) выберем представителя а 6 G Cq (X; F); так как G -* F есть эпиморфизм, а обладает прообразом a G Cq (X; G); граница Эд G Сд-1(Х; G) проектируется в Эд = О G Cq(X; F) и потому лежит в Cq_ 2 (X; Я); это — цикл, его гомологический класс и есть Э, (а) € Hq_ j (X; Я). Определение гомоморфизма 6* аналогично (у G НЧ(Х, F) -* ceCq(X;F) -♦ Vcee^x-.G^Sc GCq+4x;H)^S4-Y)eHq+4x;Hy).
У пражнения. 2. Проверить корректность определений гомоморфизмов Э.и8*.
Доказать точность коэффициентных последовательностей
.. . ^ ЯЧ(Х;Я) ■* Hq^X-.G) -> Hq(X,F) - Я,_1(Х;Я) -> .. , Hq(X;H) -^ Hq(X;G) -* Hq(X;F) -^ Hq + 1(X;H) -* ...
Историческая и терминологическая справка. Гомоморфизмы Э. и 6, были открыты (в частном случае) М.Ф. Бокштейном задолго до т<<и, как топологи освоили точные последовательности. Вот построение гомологического гомоморфизма Бокштейна. Пусть а G Hq(X; Zm); возьмем представляющий а цикл а; коэффициенты, участвующие в записи а, - вычеты по модулю т, их можно записать как числа 0, 1т - 1, и тогда цикл а станет целочисленной цепью а;
граница Э а делится на т (приведенная по модулю т, она равна 0); поделим: — да есть целочисленный цикл, он представляет некоторый класс Вт (a) G Hq _ 2 (Л"; Z); после приведения по модулю т класс Вт (а) превращается в класс bm (a) G G Hq _ 1 (Л"; Zm). Мы построили два гомоморфизма Бокштейна
Вт: Hq^X-Zm^ -* Hq_tQC^ Ът: ЯДг,,) - Hq_t(X;ZmY которые на самом деле являются гомоморфизмами Э,, отвечающими коротким точным последовательностям
О -* Z —>■ Z -> Zm -► 0,0 -* Zm -> Zmi -* Zm -> 0.
Когомологические гомоморфизмы Бокштейна Вт\ Hq(X\ Zm) -* Н4*1^; Z) и bm: НЧ(Х-, Zm) -* Hq + 1(X; Zm) определяются аналогично. Из точности коэффициентных последовательностей следует, что: (i) класс a G Hq(X; Zm) тогда и только тогда принадлежит ядру гомоморфизма Вт, когда он является ’’целочисленным”, т.е. принадлежит образу гомоморфизма приведения Hq(X, Z) -*Hq(X; Zm); (ii) образ
гомоморфизма Вт состоит в точности из элементов группы Hq(X, Z), имеющих
порядок т. Аналогичное верно для когомологических гомоморфизмов Бокштейна.
" 1 ~— даLm" 1 ~— даLmФормула а *-*Формула а *-*илиилиопределяет ’’второй” гомоморфизмопределяет ’’второй” гомоморфизм’Г 1
" 1 ~— да
Lm
" 1 ~— да
Lm
Формула а *-*
Формула а *-*
или
или
определяет ’’второй” гомоморфизм
определяет ’’второй” гомоморфизм
— 8а
Бокштейна, который определен на ядре обычного (’’первого”) гомоморфизма Бокштейна и принимает значения в факторгруппе по образу первого гомоморфизма Бокштейна. Свойства второго гомоморфизма Бокштейна, а также третьего, четвертого и т.д. гомоморфизмов Бокштейна мы предлагаем читателю сформулиро
вать самостоятельно.
Алгебраическая подготовка к ’’формулам универсальных коэффициентов”. Пусть А и В - абелевы группы. Пусть, далее, В = F^F^, где Fx - свободная абелева группа, Рг - ее подгруппа, которая автоматически тоже будет свободной (такое представление существует для любой абелевой группы). Каковы взаимоотношения между тензорными произведениями А ® Fx, А ® F^ и А ®В? Легко понять, что А ® В есть факторгруппа группы Л ® Ft по образу естественного отображения А ® Ft •* А ® Fi (докажите это!), но последнее не является, вообще говоря, мономорфизмом.
Лемма. Ядро Кег [А ® Рг -* А ® Ft ] не завысит от выбора представления В = = FJP1.
Доказательство заключается в построении канонического изоморфизма
Ker ^А ®F^ -► А ® F[ ] as Кег [Л ® F2 -+ А ® Fx ]
для любого другого представления В = F//F2. Главным шагом является построение коммутативной диаграммы
F2 - F,
и выявление степени неоднозначности этого построения (она измеряется произвольным гомоморфизмом F*x -*Ргу Детали мы оставляем читателю.
Определение. Ядро Ker \А®Рг -* А ® Fx ] называется периодическим произведением групп А и В и обозначается через А * В или (более современное обозначение) через Тог(Л,5).
Упражнения. 4. Покажите, что операция Тог естественна (ковариантна) по обоим аргументам.
Постройте канонический изоморфизм Tor(S, А) = Тог(Л, 5).
Покажите, что если абелева группа А свободна, то Тог (Л, В) = 0 при любом В.
Покажите, что Tor(Zm, Z„) 2 Zm ® Z„; таким образом, для конечно порожденных абелевых групп А, В
Тог(Л,5) 25 (Круч. Л) ® (Круч.S)
(Круч. - кручение, т.е. совокупность элементов конечного порядка.)
Для бесконечно порожденных абелевых групп это может быть неверно, приведите пример.
Если Л = Q, R или С, то Тог (Л, В) = 0 для любой абелевой группы В.
’’Двойственная” операция Ext определяется следующим образом. Пусть А и В — абелевы группы, и пусть А = Fi/F^, где Fx и Рг — свободные абелевы группы. Тогда Нош(Л,5) есть ядро отображения Нош^, Д)->■ Нош^, 5), /•-*■/If,» но это отображение, вообще говоря, не является эпиморфизмом. Факторгруппа группы Hom(F2, S) по образу этого отображения (т.е. коядро этого отображения) обозначается через Ext (Л, 5).
Упражнения. 10. Докажите корректность этого определения (доказательство должно включать в себя аналог последней леммы).
Ext(Z, Л) = 0 для любой группы А; Ext(Zm, Z„) ^Zm ® Z„; Ext(Zm, Z) 25 Zm (в отличие от Tor(Zm, Z) = 0!).
Определите операцию Ext по Йонеда: Ext (А, В) есть множество классов изоморфных точных последовательностей вида
О^В^С^А^- 0,
где С - абелева группа. Придумайте независимое описание групповой структуры в этом множестве и докажите эквивалентность двух определений Ext’а.
Если одна из групп А и 5 есть Q, R или С, то Ext (Л, 5) = 0.
. 5. Формулы универсальных коэффициентов. Мы покажем теперь, что, зная целочисленные гомологии (или когомологии), можно вычислить гомологии и когомологии с произвольными коэффициентами.
Теорема. Для любых X, q, G
Hq (X; G) 25 Hq(X) ® G ® Toi(Hq _ i (X), GY
H4(X;G) a H4(X;Z)®G®Tor(H4 + 4XYGY
Hq(X;G) 25 HomtHqtXYG^ExUHq.^XYG).
Важное замечание. Эти изоморфизмы не являются естественными. Естественны только отображения, входящие в следующие точные последовательности:
0 Hq(X)®G ^ Hq(X;G) - Tor (Hq.^XYG) - 0;
0 Hq(X;Z) ® G H4(X;G) -* Тог(Я" + 1(Х; Z), G) 0;
0 «- Hom^(X),G) *- H^G) *- Ext(^ + 1 (X), G) *- 0.
Доказательство теоремы. Первые два изоморфизма, или, лучше сказать, первые две из только что выписанных точных последовательностей, без всякого
труда получаются из коэффициентных последовательностей. Первая последовательность, например, получается так. Пусть G = Fx(Fa, где Fx и F2 — свободные абелевы группы. Совсем очевидно, что Hq(X\ Ft) = Hq(X) ® Ff: группа Ft есть сумма некоторого множества групп Z, и мы имеем:
Hq(X,Ff) = ^(X;Z®Z®...) =
= Hq(X) ® Hq(X)®... = HqQT)eFt.
Рассмотрим пятичленный фрагмент коэффициентной последовательности:
Hq(X,F2) - Hq(X;FO -> Hq(X;G) - Hq^X.F^ - Hq_^X-,Fx\
т.е..
HqQC)®F2 -*Hq(X)®Fx -*Hq(X,G) -*.
-*Hq_xye)®F1 -*Hq_x^®Fx.
Произвольная пятичленная точная последовательность А -* В -* С -* D -*Е может быть преобразована в короткую точную последовательность 0 ^Cokerv’^C-»- Кегф -* -* 0 (Coker — коядро, т.е. Cokers = 5/Im^). Ясно, что это преобразование превращает последнюю пятичленную последовательность в первую из наших коротких точных последовательностей. Вторая получается точно так же из когомологической коэффициентной последовательности. (Тот факт, что эти короткие точные последовательности расщепляются, т.е. что имеют место изоморфизмы из теоремы, нуждается в несложной дополнительной аргументации, которую мы оставляем читателю.) Однако третья из наших последовательностей вряд ли может быть построена таким образом, поскольку в нее входят и гомологии, и когомологии. Чтобы завершить дело, мы приведем другое рассуждение, охватывающее первый и третий из наших изоморфизмов (мы будем сейчас строить изоморфизмы, а не точные последовательности; что в наших построениях будет естественно, а что нет, читатель усмотрит сам).
Поскольку при любом q группа Bq _ i (Х^ = Im [ dQ: Cq (X) -* Cq_x (X)] свободна (как абелева группа), существует встречный гомоморфизм (как говорят в анализе, параметрикс) eq_x; Bq_x (X)-*Cq(X), йд oeq_x = id. Очевидно,
Cq(X) = Ker dq ®Im eq_x = Zq(X)®Bq_x(Xy
Дифференциал dg устроен так:.
C^X) = Zq(X) ® Bq_x(X)
вложение'
Cq-i(X) =Zq_x(X)®Bq_2(X).
Это показывает, что весь комплекс {Cq(X), dQ) разлагается в прямую сумму коротеньких комплексов
■вложение
...0^0 ^ Bq_X(X) ► Zq_i(X) "* 0 "* 0 ...
(« - 1)
У выписанного слагаемого Qq - 1)-мерные гомологии совпадают с Я</_1(Х), остальные гомологии тривиальны. Тензорное произведение дистрибутивно по отношению
А.Т. Фоменко■
к прямому сложению. Тензорное умножение слагаемого на G дает:
. О -► 0 -► Bq_x(X) ® G Zq.^X) ® G -* 0 ■* 0 ... (q)(q - 1)
Поскольку группы Bq-1 (X) HZq-x^X1) СВОБОДНЫ И Hq-1 (X) = Z q_x ^Х} (Bq — X (X), гомологии этого комплекса, по определению, таковы:"
^-мерныеТог(Яд_!(Х), G),
(^-1)-мерныеHq_x(X) ® G.
Поскольку полные гомологии — сумма гомологий этих комплексов, мы получаем первую из наших формул. Третья формула доказывается точно так же: комплекс {CQ(X; G), 6 } есть сумма комплексов
. О 0 *■ Нош (Bq_ i(X), G^ *- Нош (Zq_ j(X), G) *- 0 *- О ...
и т.д.
Упражнение 14. Покажите, что гомоморфизм Я4 (X; G) ■* Hom (Hq (X), G ) из третьей точной последовательности действует по формуле ун-{а^-(у,а)}.
Следствие. Предположим, что группы Hq{X) конечно порождены. Тогда
Н^Х,!) а (Своб. часть ЯЧ(Х)) ® (Круч. Яд _ ^Х)).
В частности, группа Н1 (X; Z) свободна.
Упражнения. 15. Если К = Q, R или С, то
Яд(Х;К) = Яд(Х) ® К, Я"(Х;К) = Нот (Яд(Х), К).
Таким образом, при переходе от целочисленных коэффициентов к рациональным, вещественным или комплексным кручение погибает; с другой стороны, числа Бетти можно вычислять, пользуясь гомологиями с любыми из этих коэффициентов.
Если К есть поле (лучше сказать, аддитивная группа поля), в частности, если K = Zp с простым р, Q, R, С, то
ЯЧ(Х;К) = Ношк(Яд(Х;К),К).
(Гомологии и когомологии с коэффициентами в К будут векторными пространствами над полем К. Эту формулу лучше не выводить из формулы универсальных коэффициентов, а доказать непосредственно, пользуясь равенством СЧ(Х; К) = = Ношк(Сд(Х; К), К).)
Докажите, что если X есть конечное клеточное пространство и К есть поле, то выражение
2(-1)'" dimK^(X;K)
не зависит от К и равно эйлеровой характеристике пространства X (см. упражнение 8 к § 13).
Обследуйте взаимосвязь формул универсальных коэффициентов с гомоморфизмами Бокштейна.
Формула Кюниета. По своему смыслу эта формула относится, скорее, к следующему параграфу, но она находится в столь тесном родстве с формулами универсаль-
ных коэффициентов (и действительно, эти формулы являются следствиями одной общей формулы, т.е. имеют общего предка), что разлучить их не представляется возможным.
Теорема. Пусть Хх, Хг - топологические пространства. Для любого q
Hq(X1 X ^2) а; ®[#,№) ® Я/*2)] в
г + I = q-
е ® Тог (#,№),#,№)) г * s = q - I
(этот изоморфизм является естественным лишь частично — в точности в том же смысле, что формулы универсальных коэффициентов).
Доказательство использует понятие тензорного произведения цепных комплексов. Пусть
8,е
... С2 —Ci > Со Z,
... с/ —> а —> с» —> z
— цепные комплексы. Их тензорное произведение определяется как комплекс
... (Ci ® Cq) ® (Cq ® Cj )* Cq ® Cq * Т.,
дифференциал
Э,:®(С,® С/)-*®(С,® С/)
т * s = qг + s = q - 1
определяется формулой (в которой с G Сг, с € С/)
дч(с ® с’) = (Эгс) ® с' + (— 1)гс ® д^с' G
G (Cr_i ® G') ® (Cr ® C/_j) С ®(С„ ® С„').
и + v = q - 1
Формула Кюннета относится, в действительности, к тензорному произведению произвольных свободных комплексов; мы применим ее к клеточным комплексам клеточных пространств, Основное наблюдение: клеточный комплекс произведения двух клеточных пространств есть тензорное произведение клеточных комплексов этих пространств (^-мерные клетки произведения Хх X Х2 — это произведения клеток пространств Хх и Х2, имеющих сумму размерностей q, поэтому *ёч(Хх X Х2) = = ®г + 5 = q ('бг (Хх) «^ (Х2) ); однако подумайте, откуда берутся знаки в формуле для границы). (Подчеркнем, что для сингулярных комплексов подобное неверно!) Теперь для клеточных пространств формулу Кюннета ничего не стоит доказать: клеточные комплексы V6q(Xx)) и {^(^г)} разлагаются в суммы коротеньких комплексов — как сингулярный комплекс в предыдущем доказательстве, — 5*
и их тензорное произведение разлагается в сумму комплексов вида
... О-ЯП^М) ® Й,.,^) -> (г + I)
*[Z,№)®$,-i№)]®[^-iW®»^^)]^
(г + I - 1)
^,№)®^(^w-о...
(г + S - 2)
( Зби ^ — границы и циклы клеточного комплекса). Гомологии такого комплекса находятся без труда:
(г+ $)-мерные0,
(r + s- 1)-мерныеТог (//Г_1(А'1),//$_1(Л'2)),
(r + s- 2)-мерныеНг_х^Хх^® Hs_ х (Х2)
(детали оставляются читателю). Формула Кюннета для клеточных пространств тем самым доказана, а для произвольных пространств она немедленно следует из доказанного ввиду слабой гомотопической инвариантности гомологий и существования клеточной аппроксимации у произвольного топологического пространства (стандартный прием).
Совместно с формулами универсальных коэффициентов формула Кюннета позволяет найти гомологии и когомологии с произвольными коэффициентами для произведения любых двух пространств, у которых известны целочисленные гомологии. Выделим важный случай, когда это вычисление удается провести прямо.
Упражнение 19. Если к - поле, то
Hq^Xx ХХ2;к) =® НДХх; к) ® HS<X2; к),
г * s = q
Нч(Хх X Х2;к) =® Н\Хх; к) ® Н\Х2; к).
г * s = q-
И в заключение — еще две формулы.'
Упражнения. 20. Bq^Xx X Х^ = ^r*s = qBr(Xx')Bs №)> где В - числа Бетти.
2L х№ Х!^) = х(^1) хС^г)» где X — эйлерова характеристика. (В обоих упражнениях предполагается, что правые части равенств определены.)
УМНОЖЕНИЯ .
Введение. Хотя гомологии геометричнее, чем когомологии, они играют в топологии значительно более скромную роль. Тому есть много причин, но главная в том, что когомологические классы можно перемножать, так что для любого коммутативного кольца G сумма ®qH4^X‘, G) = Н*{Х\ G) представляет собой ассоциативное косокоммутативное кольцо; для гомологий ничего подобного нет (см. упражнение И).
Наиболее прозрачный способ построения когомологического умножения состоит в следующем. Пусть G — коммутативное кольцо и Хх, Х2 — клеточные пространства. По клеточным коцепям сх Е ^i (Хх; G), с2 Е *<8Ч1^Х2; G) мы строим клеточную
коцепь Ci X с2 G %qx*qi (Xj X Х2; G): на клетке аХ т С Хх X Х2 она принимает значение, равное (-1)4141 сх (о)<?2 (т) [умножение в G]. Проверка показывает, что S(^i х с2) = (5ci) X с2 + (-l)’’^ X 5с2, так что если tj и с2 - коциклы, то ct X с2 — тоже коцикл. Когомологический класс коцикла сх Хс2 зависит только от когомологических классов коциклов сх и с2, так что мы получаем корректно определенное умножение
[71 еЯ^№;0), 72 e^«№;G)]h*7i Х72 EHq^q^Xx X Х2 ;С\
Аналогичное умножение есть и в гомологиях: если ах = S/g^a/ G *6qi (^; G), а2 =^ig2jTj G«8qi(X2; G), то ах Ха2 =Ъ1$; gxtg2j (а, Хт/) G ^ *Ч1(ХхХХ2; G); при этом 3(<z 1 X e2) = (Э^) X а2 + (—l)4lax X да2, ввиду чего получается умножение
К еЯ^№;С),а2 «ЕН^Х^С^а.Хоц £Hq^q^Xx X X2;G\
Два умножения X связаны формулой
<71 X 72,«! X а2 > = (-l')qi4»<ix,ax ><у2,а2 >.
Упражнение 1. Другое определение последнего умножения (с G = Z) можно получить из формулы Кюннета: в силу этой формулы мы имеем отображение Hqi(Xx) ®НЧ1<Х2) ^HqiM/Xx X Х2), и aj X а2 можно определить как образ произведения aj ® а2 при этом отображении. Докажите эквивалентность двух определений.
Однако дальше сказывается важное различие между гомологиями и когомологиями, состоящее в том, что первые коварианты, а вторые контраварианты. Для любого пространства X определено диагональное отображение △: Х-*ХХХ, Д(х) = = (х, х). Это отображение индуцирует гомоморфизмы
Д,: Hq(X;G) Hq(X X X, G),
Д*: НЧ(Х X X; G) Hq(X; G).
Первый из них нам пока что бесполезен, а второй доставляет умножение в когомологиях пространства X; мы полагаем для 71 ЕНЧ1(Х; G), 72GZ/,>(T; G)
71^ 72 = Д*(71Х72) GHq^q4X',G)
(классическое обозначение ^ (’’чашка”) не особенно удобно, и мы иногда вместо 7t 7г будем писать попросту 7172 ).
Этот способ введения умножения был бы хорош, если бы не необходимость доказывать независимость умножения от клеточной структуры. Мы этого делать не будем. Вместо этого мы приведем другой способ построения v-умножения, строго противоположный предыдущему: мы начнем с независимого определения -умножения, через него определим Х-умножение, а затем выведем для Х-умножения то описание, с которого мы начали.
(Терминологическое замечание. В этом параграфе мы рассмотрим три умножения: X, ^ и о (до последнего мы еще не дошли). По-английски они называются cross-product, cup-product и cap-product. Для о-умножения имеется термин умножение Колмогорова - Александера - по имени замечательных математи-
ков, открывших это умножение в начале ЗО-х годов. К сожалению, нынешнее поколение топологов находит это название чрезмерно длинным.)
Прямое построение о-умножения. Пусть X — произвольное топологическое пространство и G - коммутативное кольцо; пусть, далее. Ci G Cqi(X; G), с2 € С41 (X; G). Определим коцепь ct w с2 G С4^4^ (X; 6) формулой
[С1 С2 ] ( / ) — Cx(fo ...q^C^fq^ ... q1 +q3 ),
где /: T 41 + 41 -*Х, fie...tr (0<z0 < Zj < ...< ir <^i + ?2) обозначает г-мерный сингулярный симплекс, получающуюся при сужении симплекса / на г-мерную грань симплекса т41*41, натянутую на вершины с номерами z0ir . Таким образом, значение коцепи с> w с2 на сингулярном симплексе / равно произведению значений коцепей сх и с2 на двух гранях симплекса /, имеющих одну общую вершину.
Предложение (свойства коцепного v-умножения). Пусть Cx ЕС41 (X; G), сгеСч^Х-, G). Тогда:
(0) 5(с2 о с2) = (бе,) о с2 + (-О^С! о 5с2;
ct V (с2 V, с3) =(С!^ с2) ^ с3 [с3 eCQ*(X; G)];
обозначим через ш = {шу} трансформатор (см. упражнение 12 к § 12), определенный в упражнении 14 к § 12; для любой (qx + q2y мерной сингулярной цепи а имеет место равенство
[с^ с2](а) = НУ^Чс! v СхНшха);
если g: Y-*X— непрерывное отображение, то g*^!^ с2) = (g#c1)'~J(g с^^ если h: G-^Н - кольцевой гомоморфизм, то h о (с^ c2) = (h о с^ ^(h о с2).
Доказательство очевидно.
3 амечание. Некоммутативность коцепного ^ -умножения является не случайным дефектом определения, а проявлением глубокой общей закономерности, имеющей важные последствия.
Из (0) следует, что v-произведение коциклов есть коцикл, когомологический класс которого зависит только от когомологических классов сомножителей. Ввиду этого коцепное w -умножение индуцирует когомологическое -умножение
\'tx^Hqx(X,G),'t2eHq»(X,G>i\w -ух^^бНЧ^ччХ-.С).•
Теорема (свойства когомологического ^-умножения). Пусть^х^Н^ (Х\ G), у2 еНч»(Х; G). Тогда:
(1)7! v(y2^ 7з) = (?!'-' 7а) ^7з ЬзеНч‘(Х;С)У,-
) 71 72 = (- О*714l 72 v 71;
) для непрерывного отображения g: Y -* X и кольцевого гомоморфизма h: G-*H
g*(Ti ^Ti) = (g*Ti) (g'-hY h,(yx v 7г) = (/z.71) ^ (A.72).
Это — следствие предложения (доказательство части (2) использует упражнения 12 и 14 к § 12).
Упражнения. 2. Если X связно и 7 G Я0 (X; G) = G, то у^ 71 = 771 для любого 7! .
Постройте относительный вариант о-умножения: если 71 G Нчл (X, A; G), 72еЯ^(Х,В; С^.то-у^^еН^^ЧХ.АПВ; G).
Обобщите ^-умножение на случай, когда 71 G Н4' (X; Gi), 72 G Н41 (X; G2) и имеется спаривание Gx XG2 -*G3..
Определение Х-умножения. Пусть по-прежнему G — кольцо, Хх и Х2 — топологические пространства. Пусть, далее, 7i G Hqi (Xj; G), у2 G Hq* (Х2; G). Положим
71 *72 ^P^O^tZ^)^91^1^! XZ2;G)
(Pi и р2 — проекции произведения на сомножители).
Упражнения. 5. Постройте относительный вариант Х-умножения.
Докажите для Х-умножения всевозможные естественности.
Теорема. Эго определение Х-умножения эквивалентно определению, данному во введении к этому параграфу.
Для доказательства оказывается достаточным явно вычислить Х-умножение в одном простом частном случае. Так как стандартные симплексы и произведения стандартных симплексов гомеоморфны шарам, то
нч ич,дтч-,г^ = г,
НЧ'*Ч^ТЧ1 XT41, d(Tq' XT41YZ^ = Z.
Аналогичные формулы имеют место для гомологий, причем относительным циклом с(^) пары (Тч, дТч), представляющим каноническую образующую ^-мерных гомологий служит тождественный сингулярный симплекс id: Tq -» Т4, а каноническую образующую (^i + ^2)-мерных гомологий пары (Т41 X Т41,9 (Т4' X ТЧ1У) представляет относительный цикл c(flX,q1'), который есть сумма с надлежащими знаками аффинных сингулярных симплексов
Т<и *41 -*т<ъ х Т41
% *q )’ где И/’ ui ~ (стандартно% *q )’ где И/’ ui ~ (стандартнос вершинами (u,o, и,^, (и^ , v^),..., (и^ ^ упорядоченные) вершины симплексов Т41, Г^2 и
% *q )’ где И/’ ui ~ (стандартно
% *q )’ где И/’ ui ~ (стандартно
is ^ is* 1 > is ^ is* 1 > i$^ is $•
(Мы фактически описали наиболее употребительную триангуляцию произведения Т41 X Т41, обобщающую триангуляцию цилиндра Тч XI, построенную в § 12 (п. 2).)
Покажем теперь, что X-произведение стандартных образующих
а, €Я’-(Г’« ,9T4* ;Z), а2 ЕЯ»2^2 .ЭГ92 ;Z)
есть, с точностью до знака, стандартная образующая
аеН4^4^41 ХТЧ*,^Т41 ХТ"*)^* ХЭГ^г^
= Hqi*q^T4^ XT41, d(Tqi X^y.Z)
(знаки мы нигде не уточняем). Нам достаточно показать, что [aj X a2]c(^i, q^ = = ± 1. Классы «1 и а2 представляются коциклами ах и а2, принимающими значение 1, соответственно, на с(<ь) и с(^2) и значение 0 на любом сингулярном симплексе, заключенном в границе симплекса Т41 или Т41. По определению,
[«1 Xa2](c(^i,?2))=S±ei(u^и, )a2(vi ,... ,и;),
v4iT4i
где последовательность вершин в скобках служит обозначением для аффинного сингулярного симплекса (стандартного симплекса Т41 или Т41) с указанными вершинами, а суммирование распространяется на все последовательности пар 0"о»/о)»
..., (iqx +qt, jqx +<?з), обладающие вышеуказанными свойствами. В этой сумме равны О все слагаемые, кроме одного, отвечающего случаю
<0 = 0, h = 1iqx = ^1, jq, =0, iq^l = Ь • • • Jq1*q1 ~ Ql-
Это слагаемое равно ± 1. Наше утверждение доказано.
Дальше мы воспользуемся только естественностью X-умножения.
1-й шаг-. X-умножение
Hq‘ (,Sq‘ .рГД^Х Hq* (S41 ,pt;Z)-* Hq^q4Sqi xSq», Sq‘ mS4*; Z)
есть, с точностью до знака, стандартное умножение Z X Z ->Z. Действительно, проекции (^«.ЭТ»*) -► (Sq^, pt), (7’’’,ЭТ<7>)->(S’’,pt), (Г’> X^.a^T4! XTq*))-> -* (S4' X S41, Sq* v S41) индуцируют изоморфизмы в ?t-мерных, q2 -мерных и (<7i + <7з) -мерных когомологиях.
2-й шаг: X-умножение
Я’»(5’« ;Z)X^’»(5’«;Z)->^’«+’’(S’* XS^^Z)
есть, с точностью до знака, стандартное умножение Z X Z -» Z. Действительно, отображения (S41,0) -* (Sq‘, pt),... индуцируют изоморфизмы в когомологиях нужных размерностей.
3-й шаг: аналогичное для букетов сфер одной размерности (точную формулировку мы оставляем читателю).
4-й шаг: вместо Z можно взять произвольное кольцо G; для доказательства достаточно воспользоваться естественностью по отношению к кольцевым гомоморфизмам коэффициентов Z -*G.
5-й шаг: пусть Хх, Хг — клеточные пространства размерностей qx и q^, когомологические классы 7i € Hqi (%!; Z) и у2 G Н41 (Х2; Z) представляются клеточными коциклами Ci и с2; тогда 7! X у2 е Hq^^q^ (^ X Хг; Z) представляется клеточным коциклом
(ci Xc2)(ai X а2) = ±С1(а1)с2(а2).
Для доказательства достаточно рассмотреть проекции Хх •*Хх!зкЧ1_х Хх =м8Чх, Хг -*м8Ча,Хх ХХ2 -* (vSq‘) X (vS’1); соответствующие когомологические гомоморфизмы зпиморфны.
6-й шаг: общий случай. Для перехода к нему достаточно рассмотреть включения sk^Xj ->Xi,sk,2X2 -*Х2, skq^i X sk<?i Х2 -*Хх X Х2; соответствующие когомологические гомоморфизмы мономорфны.
Теорема доказана.
Применение: инвариант Хопфа. Чтобы сразу продемонстрировать, насколько мощным инструментом в алгебраической топологии является мультипликативная структура в когомологиях, мы уже теперь, фактически не умея вычислять умножение в когомологиях почти ни одного пространства, докажем с помощью этого умножения весьма нетривиальное утверждение о гомотопических группах сфер.
Теорема. Группа "лап-х (S2") бесконечна при любом п > 1. Более того, квадрат Уайтхеда [t2„, 12и] образующей t2„ группы я2„(52”) имеет бесконечный порядок. (Сопоставьте это утверждение с последней теоремой § 10.)
Доказательство этой теоремы производится при помощи инварианта Хопфа — целого числа, ставящегося в соответствие классу (^ G Я4„_1 (S2”). Определение этого инварианта состоит в следующем. Рассмотрим сфероид /: S4”-1 -► S2” класса \р и образуем пространство Хф = S2” UyD4” (конус отображения/). Пространство Хф, с точностью до гомотопической эквивалентности, зависит только от ip (и это
оправдывает обозначение). Оно обладает естественной клеточной структурой с тремя клетками размерностей 0, 2л и 4л, Таким образом,
[ Z при q = 0, 2л, 4л, Я»(^;г) =
I 0 при q^O, 2п, 4л.
Когомологии Я2 и (А^; Z) и//4"^; Z) имеют естественные образующие (определяемые каноническими ориентациями сферы S2” и шара D4"'), и мы обозначаем их через а и Ь. Так как dim а2 = 4 л (я2 = а в), то в2 = hb, где h € Z. Число h = h (^) и называется инвариантом Хопфа класса ^. [Инвариант Хопфа имеет многочисленные обобщения, в то числе весьма полезные; с ними можно познакомиться по ’’Лекциям по гомотопической топологии” М.М. Постникова.] Доказываемая теорема покрывается двумя леммами:
Лемма 1. Инвариант Хопфа аддитивен :h^ + ф) = h(ip) + h(&).
Лемма 2. Инвариант Хопфа нетривиален; в частности, A([i2n> i2nl) = 2.
Доказательство леммы 1. Наряду с пространствами Хф, Хф, Х^+ф (построенными по сфероидам f, g, f + g: s4n+1 ->S2”) рассмотрим пространство
У^ф = (S2n UfD4n)UgD4n=Sln U^g (D4n мВ4п>).
Пространство Y^ разбивается на 4 клетки размерностей 0, 2л, 4л, 4л и имеет следующие когомологии:
' ZeZ
при
q = 4л,
НЧУф,ф;2)= ■
Z
при
q = 0, 2п,
1
. 0
при
q*0,2n,4n.
Обозначим канонические образующие групп Я2 "(У^; Z) иЯ4п(У<|^; Z) через а' и Ъ\, bV Имеются естественные вложения Хф -* Y^^ и ^ -► Y^^ (в качестве клеточных подпространств). Имеется также естественное отображение Х^+ф -*■ ¥ф-ф; оно состоит из тождественного отображения 52” -+S2” и стягивания экваториальной плоскости Я4” D*n у D4n (эти отображения сшиваются в непрерывное отображение Х^ф -* Y^ ф , поскольку диаграмма
s2"s2"
s2"
s2"
коммутативна по определению суммы сфероидов). Индуцированные клеточные цепные отображения для всех трех отображений очевидны; соответствующие когомологические отображения устроены так:
а* н-а, Ь\ ^Ъ, Ь*2 н-0;а* н-а, Ь\ ^Ъ, Ь*2 н-0;a* н-а, b\ ^0, Ь'2 ^Ь;a* н-а, b\ ^0, Ь'2 ^Ь;а* н-а, Ь\ н-Ь, Ь2 нЬ.а* н-а, Ь\ н-Ь, Ь2 нЬ.
а* н-а, Ь\ ^Ъ, Ь*2 н-0;
а* н-а, Ь\ ^Ъ, Ь*2 н-0;
a* н-а, b\ ^0, Ь'2 ^Ь;
a* н-а, b\ ^0, Ь'2 ^Ь;
а* н-а, Ь\ н-Ь, Ь2 нЬ.
а* н-а, Ь\ н-Ь, Ь2 нЬ.
Так как (а')2 ен*"^; Z),to (д')2 = hvb\ + h2b2, где hx,h2 е Z. Из естественности когомологического умножения вытекает, что
а2 = hvb в Хф, a2 =h2b в Хф,
a2 =(hi +h2)b в Х^ф.
С другой стороны,
a1 = h(y)b в Хф, аг = h^b в Хф,
U И (*^1 "1" ^2 ) ^ ® ^«р* ф *
Таким образом, hx = h (>р), h2 = h (ф) и hx + h2 = h {# + ф), откуда h (у + ф) = h fa) + + ^W-
Доказательство леммы 2. Рассмотрим произведение S2” X S. Его когомологии устроены так: Н1п^8гп X S2”; Z) = Z ® Z (образующие сх и с2), H*n^sln X Sln; Z) = Z (образующая d). Умножение: cx=c2=0 (доказательство: рассмотрим проекции S2” X S2” ->52л), схс2 = d (см. доказательство предыдущей теоремы). Следовательно, fai + с2 ) 2 = с2 + 2ci с2 + с2 = 2d. Произведем в S2” X S2” отождествление: (х, х0) = (х0,х) (здесь х0 — отмеченная точка, она же нульмерная клетка, сферы 52л, х пробегает всю сферу S2”). Получается пространство X с тремя клетками размерностей 0, 2и, 4л. Это пространство есть 52л Uy £) , где/: S4”-1 -> ->52л — приклеивающее отображение 4л-мерной клетки (см. § 5). Более того, сличая нашу конструкцию с определением произведения Уайтхеда (см. §10), мы видим, что /есть стандартный представитель квадрата Уайтхеда класса t2„ G я2п (S2”) тождественного сфероида id: 52л ->52л; таким образом, X = ^[i2n,i2nb Когомологии пространства^: Н2п(Х; Z) = Z,H4n (X; Z) =Z; если а и b - естественные образующие этих групп, то я2 = А([с2и, i2n])6. С другой стороны, когомологические гомоморфизмы, индуцированные проекцией S2” X S2” -*Х, переводят а в Ci + с2 и b в d. Таким образом, (ct + с2)2 = A([i2„, i2n])d, и, сопоставляя это с предыдущим вычислением, мы видим, что h( [i2„, 12и]) = 2.
Доказательство теоремы закончено.
Замечания. 1. Как мы увидим ниже, п4и_ j (32л) = Z ® (конечная группа); в частности, тг3 (№) = Z (это нам уже известно), я7 (S4) = Z ®Z12, Иц (S6) = Z, "is (S8) = Z ® Z120. Более того, все гомотопические группы сфер, кроме групп irn (S") = Z и ir4n_i (81п3 конечны.
2. Лемма 2 показывает, что образ гомоморфизма Хопфа h; п4„_! (S2n) ->Z — либо все целые числа, либо все четные числа. Выбор между двумя этими возможностями сводится к вопросу: существует ли в п4л_! (S2”) элемент с инвариантом Хопфа единица? Эта проблема имеет много замечательных переформулировок; например, можно показать, что сфера Sm тогда и только тогда обладает структурой .//-пространства, когда т нечетно, т.е. имеет вид 2п - 1, и в 1Гдп_х (52л) имеется элемент с инвариантом Хопфа единица; при этом же условии в Rm+1 имеется билинейное умножение с однозначным делением. Из упражнения 6 к § 10 и нашей леммы 2 вытекает, что инвариант Хопфа хопфовского класса в тг3 (S2) равен 1 (это соответствует умножению комплексных чисел). В 1960 г. Адамс доказал, что элементы с инвариантом Хопфа 1 имеются только в группах тг3 (№), п7 (54) и тг15 (58) (этот результат упоминался в ином контексте в § 1).
Дополнение: другие умножения.
Гомологическое X-умножение. Оно упоминалось во введении. Его определение в духе других определений этого параграфа: сингулярные симплексы/!: Tqi -* "^ХхЛ1- Т4* -*Х2 определяют отображение/t Х/2: Т41 X Т41 -+Хх Х^; триангулируем Т4' X Т41 как описано выше в этом параграфе и назовем X-произведением сингулярных симплексов fx и /2 (оно также обозначается через fx Xf2) цепь пространства Хх X Х2, являющуюся суммой с коэффициентами ± 1 (это те самые ± 1, которые фигурировали выше в этом параграфе) сужений отображения fx X f2
на симплексы триангуляций. По линейности X-умножение распространяется на сингулярные цепи: ^tgufn X ^jgijfn = ^i.jgugij Vn ХД/) (gn.gij - элементы кольца коэффициентов G). Проверка показывает, что d (ct X с2) = {3ci) X X с2 + (— I)’1 Ci X Эс2 (^i = dim ci), ввиду чего возникает X-умножение в гомологиях: если «1 G НЧ1 (Хх; G), а2 G НЧ1 (%2; G), то а2 X а2 G Hqi + Ч1 (Xi X Х2; G). Доказательство совпадения этого X-умножения с гомологическим X-умножением, описанным во введении, является копией соответствующего когомологического доказательства.
Упражнение 7. Обследуйте взаимоотношения гомологического и когомологического X -умножения с формулой Кюннета.
^ -умножение. Это — смешанная операция, в которой участвуют гомологии и когомологии. Пусть а = Eg, ft G Cq^X; G), с G С41 (Х\ G), qx > q2. Обозначим через // ^2-мерную грань сингулярного симплекса /;, натянутую на q2 + 1 первых вершин, через //' — его (qx — q2)-мерную грань, натянутую на qx — q2 + 1 последних вершин, и положим
а - с = ^giC^f't' G СЧх _ Цг (X; G).
Упражнение 8. Докажите формулу
Э(а^с) = (йа)ос + (-1)91 а ^8с.
Из этой формулы вытекает, что цепно-коцепное o-умножение индуцирует гомолого-когомологическое ^-умножение.
[a G НЧ1 (ЛГ; G), у G Н^ (X; G)] ^ а - у G ^ _ Чг (ЛГ; G).
Упражнения. 9. Докажите для ^-умножения всевозможную естественность.
Докажите смешанную ассоциативность: для гомологического класса а и когомологических классов 71 и у2 имеет место равенство
аА(Т1^ 72)=(a^7i)^72.
Умножение Понтрягина-Самельсона..
Упражнение 11. Докажите, что не имеется способа ввести в гомологии Не (X; G) = ®q Hq (X, G) всех топологических пространств X с какими-либо коэффициентами G билинейное естественное умножение таким образом, чтобы произведение каких-нибудь двух гомологических классов положительной размерности какого-нибудь пространства было отлично от 0.
Однако умножение в гомологиях пространства X можно определить, если само X обладает умножением, делающим его топологической группой или хотя бы //-пространством. Определение очевидно: если д: ХХХ-*Х — умножение в X и at G EHq (X; G), а2 ^Hqi (Д'; G), где G - кольцо, то аха2 = д,(«1 Ха2). Это умножение называется умножением Понтрягина — Самельсона. Мы не имеем возможности уделить этому умножению внимание, которого оно заслуживает, но читателю рекомендуется после прочтения главы 3 вернуться к этому умножению и попытаться вычислить его в гомологиях известных ему топологических групп и //-пространств.
ГОМОЛОГИИ И МНОГООБРАЗИЯ.
Среди элементарных вычислительных средств, которыми пользуется теория гомологий, наиболее действенными являются средства, доставляемые топологией многообразий, и мы не можем уклониться от рассмотрения этого предмета. Трудность заключается в том, что основания топологии многообразий, уходяшей корня-
ми в геометрию и анализ, сами по себе способны составить содержание толстого тома. Первый способ преодолеть эту трудность состоит в том, чтобы написать этот том; для нас это неприемлемо. Второй способ заключается в замене понятия гладкого многообразия различными суррогатами (гомологические многообразия, комплексы Пуанкаре, псевдомногообразия и т.д.), которая позволяет достичь относительной строгости за счет геометрической наглядности; это также нам не годится. Наш подход основан на тезисе, что наиболее эффективный способ преодоления трудностей состоит в том, чтобы их игнорировать. В этом параграфе мы будем относиться к доказательствам еше более легкомысленно, чем в других частях книги, без колебаний принимая на веру наглядно очевидные утверждения, строгие доказательства которых в ряде случаев довольно мытарны. Мы надеемся, что читатель этого параграфа сможет свободно пользоваться его результатами при решении конкретных задач. Если же ему нужно больше, - скажем, сдать экзамен по гомологической теории многообразий, — он может прочесть, например, "Основы дифференциальной топологии" Хирша и "Лекции по алгебраической топологии" Дольда, и при этом знакомство с нашим текстом все равно будет ему полезно.
Гладкие многообразия. Хаусдорфово топологическое пространство со счетной базой (эти топологические требования не в стиле нашего изложения, но мы не решаемся их отбросить, поскольку без них многое из того, что говорится дальше, просто неверно) называется п-мерным многообразием, если каждая его точка обладает окрестностью, гомеоморфной пространству R” или полупространству R” = = {(*!х„) G R” | хл<0}. Точки «-мерного многообразия X, не имеющие
окрестности, гомеоморфной R”, составляют край ЗА-многообразия А-. Край «-мерного многообразия есть (п — 1)-мерное многообразие без края (= с пустым краем).
Примеры многообразий: евклидовы пространства, сферы, шары, классические поверхности, проективные пространства, многообразия Грассмана, многообразия флагов, группы Ли, многообразия Штифеля, произведения перечисленных пространств, открытые подмножества перечисленных пространств, лежащие в них замкнутые области с гладкой границей и т.д.
Гомеоморфизм между окрестностью точки многообразия и R” или R” определяет в этой окрестности координаты, называемые локальными координатами на многообразии. Если области определения локальных координат f:
^~*R”_) (как говорят, карты), перекрываются, то возникает "отображение склейки", т.е. отображение
Кип и) —* ипу * g(Un У), пп
R”R”
описываемое обычными числовыми функциями « переменных. Эти функции могут быть гладкими (у нас слово гладкий означает "принадлежащий классу С””), аналитическими, алгебраическими и т.д. (в смысле определений анализа). Совокупность карт, покрывающих все многообразие, называется атласом. Атлас называется гладким (аналитическим, алгебраическим и т.д.), если таковы все отображения склейки. Два гладких (аналитических и т.д.) атласа определяют на многообразии одну и ту же гладкую (...) структуру, если их объединение — такой же атлас. Многообразие с гладкой структурой называется гладким многообразием. (Аналогичным образом определяются аналитические многообразия; алгебраические многообразия обычно определяются по-другому.)
Все перечисленные выше примеры многообразий — это гладкие многообразия (с естественной гладкой структурой). Добавим еще один пример: гладкие поверхности в евклидовом пространстве, т.е. замкнутые подмножества евклидова пространства Rm, определяемые в окрестности каждой своей точки системой, составленной нз уравнений
fi^x 1,..., хт ) — 0,i= 1,..., к,
и, возможно, одного неравенства
fjt+i(^i^„)>0,
где Л/к ( , /л+1) - гладкие функции, градиенты которых в области их определения линейно независимы.
Фундаментальными в топологии многообразий являются следующие две теоремы реализации.
Теорема 1. Всякое гладкое многообразие диффеоморфно (т.е. гомеоморфно с сохранением гладкой структуры') поверхности, лежащей в евклидовом пространстве.
Теорема 2. Всякое компактное гладкое многообразие гомеоморфно триангулированному подмножеству евклидова пространства, причем гомеоморфизм может быть сделан гладким на каждом симплексе триангуляции.
Замечания. 1. Если многообразие имеет размерность п, то в обеих теоремах евклидово пространство может быть взято размерности In.
Теорема, аналогичная теореме 2, имеет место и для некомпактных многообразий, только, конечно, триангуляция будет бесконечной.
Мы не доказываем этих теорем; во многих конкретных случаях они доказываются явным построением гомеоморфизма (но не во всех; это особенно верно по отношению к теореме 2). Теорема 1 доказывается совсем просто, ее доказательство имеется во многих учебниках топологии. С теоремой 2 дело обстоит хуже. Начиная с 20-х годов, топологи считают этот факт более или менее очевидным, но попытки дать ему простое доказательство постоянно терпят неудачу. Первое безупречное доказательство было дано Уитни в конце 30-х годов, но это доказательство довольно сложно. Нам известны два учебных изложения доказательства теоремы 2: в книге Уитни ’’Геометрическая теория интегрирования’’ и в ’’Лекциях по дифференциальной топологии’’ Манкреса (русский перевод последних составляет приложение к "Лекциям о характеристических классах" Милнора и Сташеффа). Было бы очень желательно найти простое доказательство теоремы 2, тем более что за последние полвека топология продвинулась значительно дальше, в частности, многое известно о триангуляциях негладких многообразий.
Упражнения. 1. Построить реализации в качестве гладких поверхностей в евклидовых пространствах проективных пространств, многообразий Грассмана, многообразий флагов и многообразий Штифеля.
Докажите, что все классические поверхности гладко реализуются в 4-мерном пространстве.
Постройте триангуляции классических поверхностей; попытайтесь сделать их минимальными по числу симплексов.■
Докажите, что число «-мерных симплексов триангуляции «-мерного многообразия, примыкающих к данному (п—1)-мерному симплексу, равно 2, если этот симплекс не лежит на крае, и равно 1, если он лежит на крае.
Обобщение этого факта. Рассмотрим совокупность всех симплексов триангулированного «-мерного многообразия, содержащих данный k-мерный симплекс, и в каждом из этих симплексов возьмем грань, противоположную этому ^-мерному
симплексу (т.е. натянутую на вершины, не входящие в этот Л-мерный симплекс). Объединение этих граней (которое называется линком исходного ^-мерного симплекса) будет гомеоморфно (п — к — 1)-мерной сфере или (п — к — 1)-мерному шару, в зависимости от того, лежит или не лежит исходный ^-мерный симплекс во внутренности многообразия (т.е. в дополнении к краю). (Если вы не справитесь с этим упражнением, убедитесь в его справедливости хотя бы для мелкой триангуляции трехмерного тела.)
Атлас гладкого многообразия называется ориентированным, если у любых его перекрывающихся карт отображение склейки имеет положительный якобиан. Два ориентированных атласа определяют одинаковую ориентацию, если их объединение есть ориентированный атлас. Многообразие называется ориентированным (ориентируемым), если оно наделено (обладает) ориентированным атласом.
Упражнения. 6. Какие из проективных пространств и многообразий Грассмана ориентируемы? [Ответ: неориентируемыми могут быть только вещественные проективные пространства и многообразия Грассмана; именно, RP ” ориентируемо тогда и только тогда, когда и нечетно, a G(л, к) ориентируемо тогда и только тогда, когда и четно.]
Докажите, что сферы с ручками ориентируемы, а проективные плоскости с ручками и бутылки Клейна с ручками неориентируемы; высверливание дыр на ориентируемость не влияет.
Связное ориентируемое многообразие положительной размерности имеет ровно 2 ориентации.
Всякая карта ориентируемого многообразия включается в ориентированный атлас и, таким образом, определяет ориентацию.
Всякое односвязное многообразие ориентируемо.
Многообразие ориентируемо тогда и только тогда, когда ориентируема окрестность всякой замкнутой гладкой кривой на этом многообразии.
Говорят, что карты ft: Ц ->R"_j, i = 1, ... ,N, составляют цепочку, покры- i - 1 /
вающую путь ^: / -*Х, если <р(г) G Ц при —' Петля ф: I -*Х назы
вается сохраняющей (обращающей) ориентацию, если существует (не существует) покрывающая ф цепочка карт ff. Ut -»-R”_pt =1,... ,N, такая, что отображение склейки между 1-й и 2-й карГой,. .., между (/V— 1)-й и №й картой, между N-й и 1-й картой имеет положительный якобиан. Покажите, что существует гомоморфизм тг^ (Т) ->Z2 (X — наше многообразие), такой, что петля сохраняет ориентацию тогда и только тогда, когда она определяет элемент ядра этого гомоморфизма, а многообразие X ориентируемо в том и только в том случае, если этот гомоморфизм тривиален. (Сопоставьте это с упражнением 10.)
У связного неориентируемого многообразия имеется ориентируемая двулистная накрывающая. Что это для неориентируемых проективных пространств и многообразий Грассмана?
Край ориентированного многообразия ориентирован.
Ориентации можно определить и пользуясь языком триангуляций. Ориентация «-мерного симплекса — это заданный с точностью до четной перестановки порядок его вершин. Ориентация симплекса индуцирует ориентацию его граней коразмерности 1 (сделайте не входящую в грань вершину последней и отбросьте ее). Если два л-мерных симплекса имеют обшую (л—1)-мерную грань, то их ориентации называются согласоваными, если они индуцируют на обшей грани разные ориентации (уточнение требуется при п = 1). Чтобы задать ориентацию триангулированного
«-мерного многообразия, нужно задать ориентации всех его «-мерных симплексов таким образом, чтобы ориентации симплексов, имеющих общую (и—1)-мерную грань, были согласованы.
Упражнения. 15. Сопоставьте этот подход к ориентациям с предыдущим.
Ориентация связного ориентируемого триангулированного многообразия определяется ориентацией любого его симплекса старшей размерности.
Фундаментальный класс. Пусть X — связное гладкое «-мерное многообразие. Фиксируем его триангуляцию и вычислим его «-мерные гомологии, пользуясь классическим комплексом. В нижеследующей формулировке используется употребительный термин: многообразие называется замкнутым, если оно компактно и не имеет края.
Теорема 3.
{
Z, если Xзамкнуто и ориентируемо,
О в остальных случаях;
{
Z2, если X замкнуто,■
О в остальных случаях.
Доказательство. Пусть с = У, к, о/ #= 0 есть «-мерный цикл классического комплекса с коэффициентами в Z или в Z2. Если симплексы О/ и а, имеют общую (и — 1)-мерную грань т, то т входит в д]с с коэффициентом ±(kt — kj), если ориентации симплексов а, и оу согласованы, и с коэффициентом ±(kt + kj), если они не согласованы. Так как, очевидно, любые два «-мерных симплекса соединяются цепочкой «-мерных симплексов, в которой соседние симплексы имеют общую (п— 1)-мерную грань (это очевидное свойство связных триангулированных многообразий называется сильной связностью'), иэ Эс = 0 следует, что все коэффициенты kj совпадают с точностью до знака. Если коэффициенты Z2, иэ этого вытекает, что наш цикл есть 2о/, где суммирование распространяется на все «-мерные симплексы многообразия. Такое выражение будет циклом, если выполнены следующие два условия: (1) число симплексов конечно, т.е. многообразие компактно; (11) каждый (и — 1)-мерный симплекс входит ровно в два «-мерных симплекса, т.е. многообразие не имеет края. Поскольку границ нет (за неимением (я + 1)-мерных цепей), для коэффициентов Z2 теорема доказана. Если же коэффициенты Z, то цикл имеет вид S (± k) ot; поменяем ориентацию у некоторых «-мерных симплексов, чтобы наш цикл принял вид k^Oj. Тогда ориентации всех симплексов будут согласованы, и, в дополнение к двум предыдущим условиям, мы получаем условие (ill): многообразие ориентируемо. Теорема доказана.
Это доказательство содержит, в действительности, явное построение образующей в группах Нп^Х) и Нп(Х, Z2), если эти группы нетривиальны. Этой образующей служит гомологический класс цикла So,-, где все коэффициенты равны 1 € Z2 или 1 е Z, причем во втором случае все симплексы согласованно ориентированы. Этот гомологический класс называют фундаментальным классом многообразия. Не очень точно, но весьма выразительно можно сказать, что фундаментальный класс есть гомологический класс самого многообразия, рассматриваемого как свой собственный цикл. Фундаментальный класс многообразия X обычно обозначается символом [Т] (если хотят подчеркнуть, что речь идет о Z2 -классе, пишут [Т]2).
Если X, Y — связные замкнутые ориентированные многообразия одной размерности п и f : X^Y — непрерывное отображение, то /, [X ] = k [ Y ], где к — некоторое целое число. Это число называется степенью отображения f и обозначается через deg f. Мы встречались со степенями в ситуации, когда X = Y = S п (см. п. 3 § 10).
Как и в этом случае, степень deg/ можно вычислить геометрически: она равна алгебраическому числу точек прообраза произвольного регулярного значения yG У (в частности, это число не зависит от у). Для доказательства возьмем малую шаровую окрестность 17регулярного значения у отображения/; прообраз/-1 (77) Счесть объединение шаровых множеств 74ит. Рассмотрим коммутативную диаграмму
Н^Х^-Н^хТийь UdU^Hn-i^bUt)
4/.4/.4/.
Н„^ = Нп(уТй, 377) - Я„_1(377).
Ее левый квадрат имеет вид■
т
Z -* Z®..• deg/Z -* Z®..• deg/. ®Z 1 *♦ (1,1,..., 1)
Z -* Z®..
• deg/
Z -* Z®..
• deg/
4 44
±1±1. ..±1
,deg/** deg/.
Утверждение доказано.
Аналогичное справедливо в отсутствие ориентаций по модулю 2.
В заключение — еще один термин. Говорят, что гладкое замкнутое многообразие У, лежащее-в топологическом пространстве X, реализует класс aG Hk(X; Z2) или Hk(X) [в последнем случае У предполагается ориентированным], если i. [У] =а, где i: У-*Х — включение. Чаще всего о таких реализациях говорят в ситуации, когда X — тоже гладкое многообразие и У есть его гладкое подмногообразие (смысл этого слова мы не разъясняем, он понятен).
Упражнение 17. Образующие групп Hg(RP"; Z2), Яд(КР"), Нч(СРп) реализуются проективными подпространствами пространств RP”, СР”. [Ср. также упражнение 11 к § 14.].■
Оказывается, что не всякий (целочисленный) гомологический класс гладкого многообразия может быть реализован гладким подмногообразием. На этот счет имеется обширная теория с яркими результатами (см. статью Тома в сборнике ’Тасслоенные пространства”, а также § 43), например, для всякого гомологического класса найдется кратный ему класс, который реализуется гладким подмногообразием. Впрочем, имеется более простой факт: всякий гомологический класс может быть реализован гладким подмногообразием с особенностями коразмерности > 2. (Точное определение: замкнутое подмножество У гладкого многообразия X называется его (неприводимым) гладким подмногообразием с особенностями коразмерности 2, если у X есть гладкие подмногообразия ZxZi, такие, что У О [X— (Z j U... UZ,) ] есть связное гладкое подмногообразие многообразия X — (Z, U... ... UZ,) размерности по крайней мере на 2 больше, чем каждое иэ многообразий 2,Z^. Для подмногообразий с особенностями коразмерности > 2 можно определить понятие ориентации; его старшие гомологии (в неприводимом случае) устроены точно так же, как у многообразий без особенностей, т.е. у него есть фундаментальный класс. Как уже было сказано, всякий гомологический класс гладкого многообразия может быть реализован гладким подмногообразием с особенностями коразмерности > 2.
Изоморфизм Пуанкаре. Главный результат гомологической теории многообразий составляет.
Теорема 4. Пусть X - замкнутое п-мерное гладкое многообразие. Если X ориентируемо, то
Hq<X^Hn-4X;ZY q любое.
В общем случае
Н^Х^эбН*-*1^;!^, q любое.
Мы докажем эту теорему с несколькими важными уточнениями. Первое заключается в том, что изоморфизмы теоремы задаются явными формулами. Получающиеся канонические изоморфизмы называются изоморфизмами Пуанкаре Формулы очень просты: изоморфизмы Пуанкаре
D: Hn-4(X;Z)->HqQQ,
D: H^X-.Z^H^X;?*)
(в связном случае) действуют по формуле
/>(«)=[^]^«,
где [X] — фундаментальный класс (целочисленный или по модулю 2),^обозначает ^-умножение (см. §15).
Доказательство теоремы 4, однако, не включает в себя такое отображение D. Оно заключается в совершенно ином построении нужных изоморфизмов. Рассмотрим триангуляцию многообразия X и ее барицентрическое подразделение (см. § 5). Для симплекса о основной триангуляции обозначим через о* объединение симплексов барицентрического подразделения, пересекающихся с симплексом а в точности по его центру. Множество о* называется барицентрической звездой симплекса а. Более формально о* можно описать так. Вершины барицентрического подразделения совпадают с центрами симплексов исходной триангуляции, т.е. находятся с этими симплексами во взаимно однозначном соответствии. Симплексы же барицентрического подразделения — это цепочки or D or_iD ... D о0 симплексов исходной триангуляции (симплексу т отвечает цепочка, составленная из симплексов, центры которых служат вершинами т). Барицентрическая звезда о* состоит из симплексов барицентрического подразделения, отвечающих цепочкам ...Do, кончающимся симплексом о.
Рис. 77Рис. 77Пример. Рассмотрим триангуляцию куска плоскости (рис. 77). Барицентрическая звезда двумерного симплекса — его центр. Барицентрическая звезда ребра — двузвенная ломаная, ведущая из центра одного треугольника, примыкающего к этому ребру, через центр ребра в центр другого примыкающего треугольника. Барицентрическая звезда вершины — многоугольная область, окружающая вершину. Следующие свойства барицентрических звезд очевидны. (О Барицентрическая звезда «/-мерного симплекса гомеоморфна(п - q) -мерному шару, (ii) Открытые барицентрические звезды (открытая барицентрическая звезда — это барицентрическая звезда, иэ которой удалены содержащиеся в ней меньшие барицентрические звезды) составляют клеточное разбиение рассматриваемого многообразия, (ill) Если многообразие ориентировано, то ориентации симплекса его триангуляции естественно соответствует ориентация его барицентрической звезды. (iv) Соответствие о*-* о* следующим об-
Рис. 77
Рис. 77
разом согласовано с граничным и кограничным операторами. Поставим в соответствие классической ^-мерной коцепи с=(о< ►+ кJисходной триангуляции клеточную (или, как говорят, звездную) (и - q^-мерную цепь De = "Lkta*i звездного разбиения. (Здесь в ориентированном случае A, GZ,a^ и of обозначают ориентированные симплексы и звезды; в неориентированном случае kt € Z2.) Тогда Dbc= ± ЭПс(знак, как обычно, мы не уточняем).
Последнее равенство показывает, что комплексы, по которым вычисляются гомологии и когомологии многообразия X, просто не отличаются:
«и(*)^ ^-хОсД-.А <6xQcA ^о(^)
a t D a t Da t D a t D
6.66.6
^(Х)^ ^(Х) -> ...^"^х^ $"СО
(верхняя стрелка обозначает звездный цепной комплекс, нижняя — классический коцепной; коэффициенты в обоих случаях Z или Z2 — мы их не пишем). Теорема 4 доказана.
Следствие. Эйлерова характеристика замкнутого нечетномерного многообразия равна 0.
Для доказательства лучше пользоваться изоморфизмом Пуанкаре по модулю 2, поскольку он имеется и в неориентированном случае:
X(2r) = S(-irdimtfg(XZ2) =
= S(-l)4 dim Hn"q<X-,Z^ =
= 2(-1Г dimH^X-Z^ = -XW-
Упражнения. 18. Покажите, что изоморфизм D, построенный в доказательстве теоремы 4, действительно выражается через ^-умножение, как было сказано в начале пункта.■
Просмотрите всю накопленную к настоящему моменту информацию о гомологиях и когомологиях многообразий (включая теорему 3 этого параграфа) и в каждом случае убедитесь, что эта информация согласуется с изоморфизмами Пуанкаре.
Индексы пересечения и двойственность Пуанкаре. Из § 14 мы знаем, как связаны между собой гомологии и когомологии произвольного топологического пространства. Это позволяет нам переделать канонические изоморфизмы теоремы 4 в неканонические изоморфизмы
Hq(X; Z2) a Hn_q(X;Z2)
всегда и
Своб. часть Hq^X^ = Своб. часть Hn_q(X),
КруЧ. Hq^ ^ Круч. Hn_q_XW
в ориентированном случае. Оказывается, что это'— не неестественные изоморфизмы, а проявления совершенно естественной двойственности, которая называется двойственностью Пуанкаре. Кручением мы займемся немного погодя, а сейчас поговорим о свободных частях.
В основе двойственности Пуанкаре лежит понятие индекса пересечения. Пусть ct = T,ktat — цепь размерности q классического комплекса некоторой триангуляции
ориентированного гладкого и-мерного многообразия X, с2 = Е1, а, — цепь размерности п — q звездного комплекса той же триангуляции. Число
^(сх,с2^ = ЪЬцЩ = ^<В-Хс2,сх')
называется индексом пересечения цепей Сх и с2. Очевидно, что Ос', с" > = = ±<с', Эс" > (это равенство достаточно проверить для случая, когда с1 = о и с" "= т*, а в этом случае обе части равенства равны ± 1, если т есть грань симплекса а и равны 0 в противном случае). Следовательно, индекс пересечения двух циклов зависит только от гомологических классов этих циклов. Ввиду этого возникает билинейный индекс пересечения гомологических классов
[а, €Яд(^),а2 GHn_q(X)A ~ V»(«i,«2) € Z.
Упражнение 20. Докажите,что ф(ах,«г) = (-1)^"” g^(a2,ai).
Очевидным образом определен в неориентированной ситуации принимающий значения в Z2 индекс пересечения Z2-цепей и г2,-классов гомологий. Имеются также индексы пересечения, отвечающие произвольному спариванию Gx XG2 -*G.
Замечательным свойством индекса пересечения является его геометрическая наглядность. Очевидно, барицентрическая звезда ’’трансверсально” пересекает свой симплекс и не пересекается с другими симплексами той же размерности. Поэтому (ci, сг ) есть адекватное выражение для ’’алгебраического числа точек пересечения” цепей сх и с2. Более того, оказывается, что индекс пересечения может быть определен чисто ’’дифференциальным” образом.
Теорема 5. Предположим, что гомологические классы aj G Hq(X) и o^ G Hn_q(X^ реализуются ориентированными гладкими подмногообразиями Yx С X и У2 С X, находящимися в общем положении (т.е. пресекающимися в конечном числе точек и при этом трансврсально). Точкам пересечения многообразий Yx и У2 естественным образом приписывается знак (ориентации многообразий Yx и У2 в точке их пересечения естественно определяют ориентацию объемлющего многообразия X, которая может совпадать или не совпадать с заданной ориентацией Х'). Утверждение; <р («1, о^) есть алгебраическое число точек пресечения.
Аналогичные утверждения имеют место для гомологических классов по модулю 2 (при этом никаких ориентаций не требуется) и для реализации гомологических классов многообразиями с особенностями.
Хотя утверждение теоремы 5 выглядит наглядно очевидным, мы не занимаемся ее доказательством и даже не предлагаем ее читателю в качестве упражнения. Заметим только, что требование общности положения не является помехой для использования теоремы: если подмногообразия Yx и У2 (пурть даже с особенностями) реализуют нужные гомологические классы, их можно привести в общее положение малым шевелением любого из них.
Пример. Естественные образующиеуг, уп_г групп Н2г (СР"), Н2п-2г (СР”) имеют индекс пересечения 1: они реализуются проективными подпространствами пространства СР" (комплексной) размерности г и п - г, которые (в общем положении) пересекаются в одной точке. Относительно знака мы сделаем важное замечание. Если X есть комплексное многообразие, т.е. его карты.являются отображениями в С" и отображения склейки являются голоморфными, то X обладает естественной ’’комплексной” ориентацией. Дело в том, что якобиан голоморфного отображения С" -* С", рассматриваемого как гладкое отображение R2" ■* R2”,
всегда положителен (он равен квадрату модуля комплексного якобиана того же отображения). Более того, если У, и У2 - комплексные (локально задаваемые голоморфными уравнениями) подмногообразия многообразия X, имеющие дополнительные размерности и тоже наделенные комплексными ориентациями, то точки их трансверсального пересечения всегда вносят в индекс пересечения вклад +1 (докажите!). Поэтому <р(уг, уп_ г) = 1, а не — 1.
Упражнение 21. Пусть Д — диаграмма Юнга, вписанная в прямоугольник Л X (и — Л); обозначим через Д * диаграмму Юнга, полученную путем выбрасывания
Ас. 78
диаграммы Д из указанного прямоугольника и поворота последнего на 180° (см. рис. 78). Докажите, что индекс пересечения гомологических классов многообразия CG(n, к), отвечающих диаграммам Юнга Д и Д' (см. §§ 5 и 13), равен 1, если Д' = Д*, и равен 0, если Д' ¥= Д*. То же верно для вещественного грассманиана и индексов пересечения по модулю 2.
Сам факт, что индекс пересечения пересекаемых циклов зависит только от их гомологических классов, часто используется при решении геометрических задач. Из бесчисленного множества таких задач мы приведем для иллюстрации две.
Упражнения. 22. Докажите, что на гладкой замкнутой двумерной поверхности, лежащей в R4 = С2, найдутся по крайней мере две различные точки, в которых касательная плоскость является комплексной прямой. (Намек: о том, чтобы их было две, заботятся ориентации.)
23. Докажите, что если Хх, Х2 — две гладкие замкнутые ориентируемые двумерные поверхности, лежащие в R4, то найдутся по крайней мере 4 пары точек хх е Хх, х2 G Х2, в которых касательные плоскости к Хх и Х2 параллельны.
Вернемся теперь к нашему исходному определению индекса пересечения. Из него очевидным образом выводится следующее принципиальное утверждение.
Теорема 6. Пусть X - гладкое замкнутое ориентированное многообразие. (i) Для любого гомоморфизма a: Hq(X) -* Z найдется гомологический класс а* € Hn-q(X), такой, что <р(а',0) = а(0) при любом 0 G Hq(X). (ii) Класс а* восстанавливается по гомоморфизму а однозначно, с точностью до прибавления элемента конечного порядка.
Аналогичное утверждение верно в неориентированном случае для гомологий и индексов пересечения по модулю 2, причем в этой ситуации а* восстанавливается по а уже однозначно. -
Таким образом, индексы пересечения определяют невырожденную двойственность между свободными частями групп Hq(X) и Hn_q(X) (в ориентированном случае), а также между группами Hq(X\ Z2) и Нп_ q (X; Z2) (всегда). Эта двойственность и называется двойственностью Пуанкаре. (Удивительно, что в литературе в употреблении терминов "изоморфизм Пуанкаре” и ’’двойственность Пуанкаре” царит полная
путаница, — хотя в других случаях математики проявляют повышенную чувствительность к различиям между пространством и сопряженным пространством и т.п.)
Применение: формулы Лефшеца. Пусть X — замкнутое ориентированное гладкое многообразие, /: Х^ X- гладкое отображение, [/] С X X X — график отображения /, Qi и а2 - гомологические классы многообразия X дополнительной размерности.
Лемма (очевидная) : <p(A(ai)> “2) = (-l)dimai <р([/ ], «i X aj).
(В левой части индекс пересечения берется в X, в правой — в X X X; [ / ] обозначает гомологический класс, реализуемый в X X X многообразием [/].)
Следствие. Пусть aj,..., a^ — базис в свободной части гомологий многообразия X (сначала берем базис нульмерных гомологий, потом - одномерных и т.д.), и пусть а*,..., а^ — двойственный базис (т.е. ф (а,, оу*) = 8ц ). Тогда гомологический класс диагонали diag = [id] С XXX, с точностью до слагаемых конечного порядка, равен 2 (а, Ха,*).
Для доказательства существенно, что в XX X (и вообще в Хх X Х^
^(а/ X а^ а"Х а'2') = (-l)dim ^ dim“"^(«Ла'^Ф^, а")-
Пусть теперь снова f: Х-» X — произвольное гладкое отображение. В каждой размерности i оно индуцирует эндоморфизм
Д: Своб. часть Н^Х^ -► Своб. часть Н^Х^,
и этот эндоморфизм имеет след, который мы обозначим через 7,.
Теорема 7 (формула Лефшеца)
l([/1, diag) = 2(-l)f7,,
Это — автоматическое следствие двух предыдущих утверждений.
Заметим, что точки пересечения графика отображения [ У ] с диагональю — это в точности неподвижные точки отображения f. Если неподвижные точки невырождены, т.е. соответствующие пересечения графика с диагональю трансверсальны (это просто значит, что дифференциал отображения / в зтой точке не имеет собственных значений, равных 1), то ’’число Лефшеца”
Le(/) = 2 (—1)'t<'
есть алгебраическое число неподвижных точек. (Приписываемый неподвижной точке знак можно непосредственно описать как четность числа вещественных собственных значений дифференциала, меньших 1.)
Число Лефшеца определено для непрерывного отображения в себя произвольного топологического пространства с конечно порожденными гомологиями. Выделим его важное свойство.
Упражнение 24. Пусть f; Х^Х— клеточное отображение конечного клеточного пространства в себя, и пусть Tj — след эндоморфизма /#: ^ (JQ _*‘^< (^)- Тогда
Le(/) = 2(-1)%
(Ср. с упражнением 8 к § 13.)
Следствие!. Если число Лефшеца отлично от 0, то у отображения есть хотя бы одна неподвижная точка.
Действительно, если неподвижных точек нет, то [ / ] и diag не пересекаются и, в частности, находятся в общем положении; значит, число Лефшеца равно. 0.
Следствие 2. Если отображение f: Х-*Х обладает только невырожденными неподвижными точками и гомотопно тождественному, то алгебраическое число его неподвижных точек равно эйлеровой характеристике х№ пространства X.
Действительно, для отображений, гомотопных тождественному, t{ = Bt(X) - число Бетти.
Отображение, гомотопное тождественному, можно построить при помощи векторного поля, касающегося нашего многообразия (которое мы сейчас представляем себе как поверхность в евклидовом пространстве): каждая точка немножко сдвигается в направлении своего вектора. Неподвижные точки такого отображения - это особенности (нули) векторного поля.
Теорема 8 (следствие следствия 2). Если гладкое замкнутое ориентируемое многообразие обладает векторным полем без особенностей, то эйлерова характеристика этого многообразия равна 0. (Ниже мы увидим, что, во-первых, для справедливости этого утверждения не требуется ориентируемость и, во-вторых, содержащееся в нем необходимое условие существования векторного поля без особенностей является и достаточным.) В общем случае алгебраическое число особенностей векторного поля общего положения равно эйлеровой характеристике.
Эта теорема носит имя Хопфа. Мы еще вернемся к ней в следующем параграфе.
Неориентированный Х2-вариант изложенной теории, конечно, имеет место, но он не нужен, поскольку основные геометрические выводы теории Лефшеца сохраняют силу в неориентируемом случае (как, впрочем, и в краевом случае) без всякой редукции по модулю 2. Прежде всего мы заметим, что знак, приписываемый невырожденной неподвижной точке гладкого отображения /: X -> X, не изменится, если у многообразия X поменять ориентацию (при такой замене диагональ и график отображения оба меняют ориентацию, а X X X ее сохраняет). Отсюда вытекает, что указанные знаки корректно определены и в ситуации, когда многообразие X вообще неориентируемо.
Теорема 9. Пусть X - не обязательно ориентируемое замкнутое гладкое многообразие и f : X -* X - гладкое отображение. Если все неподвижные точки отображения / невырождены, то их алгебраическое число равно числу Лефшеца.
Доказательство этой теоремы, аналогичное доказательству теоремы 7, использует неориентируемый целочисленный вариант двойственности Пуанкаре, который коротко излагается в последнем пункте этого параграфа. Впрочем, для довольно широкого класса отображений / можно воспользоваться более простым соображением: если / не переводит петли, сохраняющие ориентацию, в петли, обращающие ориентацию, то / индуцирует отображение/: Х-* X ориентирующей двулистной накрывающей (см. упражнение 13). К последнему применима теорема 7, а для него и алгебраическое число неподвижных точек и число Лефшеца вдвое больше, чем для / (последнее вытекает из упражнения 24).
Теорема 10. Пусть X - компактное многообразие с краем и f: Х-*Х- гладкое отображение, не имеющее неподвижных точек на крае. Если все неподвижные точки отображения / невырождены, то их алгебраическое число равно числу Лефшеца.
Для доказательства можно воспользоваться ’’удвоением”: к X приклеивается по краю копия X (рис. 79) и получается замкнутое многообразие. Отображение
/: X-* X достраивается до отображения/': X* -* X' удвоения: вторая копия отображается так же, как первая. При этом ни алгебраическое число неподвижных точек, ни число Лефшеца не меняются. (Это рассуждение требует некоторых доделок, которые мы оставляем читателю; в их числе — сглаживание отображения /': X* -* Х'вблизи места склейки.)
Из сказанного вытекает, что теорема 8 сохраняет силу для неориентируемых многообразий и для многообразий с краем; для первых она верна в прежней формулировке, для вторых — в предположении, что векторное поле на крае не внутрь многообразия.
Упражнение 25. Существует другой подход к доказательству теоремы Лефшеца. Прежде всего доказывается, что если X — произвольное (компактное) триангулированное подмножество евклидова пространства и отображение /: Х-*Х не имеет неподвижных точек, то соответствующее число Лефшеца равно 0 (достаточно измельчить триашуляцию настолько, чтобы диаметры симплексов были значительно меньше, чем минимальное расстояние между точкой и ее образом; затем к отображению применяется симплициальная аппроксимация — см. доказательство леммы о свободной точке в § 5 — и число Лефшеца вычисляется при помощи упражнения 24). После этого, рассматривая произвольное гладкое отображение f : Х-*Х с невырожденными неподвижными точками, нужно постараться произвести вблизи каждой неподвижной точки изменение пространства и отображения так, чтобы неподвижных точек не осталось, а изменение числа Лефшеца было контролируемым. Реализуйте этот план.
В заключение — одно из бесчисленных применений теории Лефшеца.
Упражнения. 26. Отождествим «-мерный тор Тп с факторпространством Rn/Zn. Очевидно, что отображение R” -* R”, определяемое целочисленной матрицей А, факторизуется до некоторого отображения Тп -> Тп; обозначим последнее через f д. (Конечно, всякое отображение Тп -* Тп гомотопно единственному отображению вида fA — докажите!) Вычислите для /а число Лефшеца.
Обозначим число Лефшеца, вычислявшееся в предыдущем упражнении, через La. Докажите, что отображение, гомотопное fA, имеет по крайней мере \La I геометрически различных неподвижных точек.
Выведите из предыдущего следующее утверждение, называемое ’’гипотезой Шуба — Сулливана”: отображение Т -* Т , гомотопное Га, где Д = ( । j у, имеет бесконечно много периодических точек (точка х называется периодической для отображения g, если g ° ... ° g(x) =х при некотором л). Последние два утверж-
дения взяты нами из заметки В.Л. Гинзбурга ”0 числе прообразов точки При непрерывном отображении” (Успехи мат. наук. — 1986. — Т. 41, № 2. — С. 187—189).
Коэффициенты зацепления. Вернемся к двойственности Пуанкаре. Обещанная двойственность между
Круч. НЧ(Х) и Круч. Нп_ч_^Х}
строится при помощи "коэффициентов зацепления”. Этот термин употребляется в топологии в нескольких разных смыслах, в том числе — в двух основных. Первый — классический — не имеет отношения к двойственности Пуанкаре, а связан с так называемой ’’двойственностью Александера — Понтрягина”, с которой мы познакомимся в последнем пункте этого параграфа. Он заключается в следующем. Предположим, что в ориентированном «-мерном многообразии заданы два (целочисленных) цикла Ci и с2 размерностей q и п — q — 1, гомологичных 0, носители которых не пересекаются (носитель цепи — объединение образов ее сингулярных симплексов). Возьмем цепь d с границей Ci и вычислим индекс пересечения цепей d и с2 (можно считать, что все цепи состоят из гладких симплексов, находящихся в общем положении; а можно считать, что Ci и d — классические цепи некоторой триангуляции, а с2 — цепь соответствующего звездного комплекса). Этот индекс называется коэффициентом зацепления цепей сх и с2 и обозначается через X (cj, с2).
Упражнения. 29. Проверьте корректность этого определения: Х(сь с2) не зависит от d..
Докажите формулу
Х(сь с2) = -(-l)dim с* dlm с’Х(с2, с,).
Докажите, что если цикл с2 гомологичен циклу с2 в дополнении к носителю цикла Ci,то X(ci, с2) = X(ci, с2).
Коэффициент зацепления имеет наглядный геометрический смысл. Например, он определен для двух ориентированных непересекающихся несамопересекающихся замкнутых кривых в R3 (или S3) и равен алгебраическому числу точек пересечения пленки, натянутой на одну кривую, с другой. Коэффициент зацепления составляет первое, самое грубое препятствие к тому, чтобы развести в пространстве две непересекающиеся замкнутые кривые, не пронося одну сквозь другую. (Вспомните доказательство теоремы Фрейденталя в § 10.) Например, коэффициент зацепления двух соседних звеньев цепи (не сингулярной, а железной) равен (в зависимости оториента- ций) ± 1. Бывает, конечно, что кривые с нулевым коэффициентом зацепления все же зацеплены, т.е. не могут быть разведены (см. рис. 80).
Упражнения. 32. Пусть Si, S2 — две непересекающиеся несамопересекаю- щиеся ориентированные замкнутые кривые в R3. Рассмотрим отображение Si X S2 -*S2, ставящее в соответствие паре (sj G Si, $.2 G S2) единичный вектор
направления $i$2. Докажите, что степень этого отображения равна коэффициенту зацепления Si и S2. .
Многомерное обобщение: Хх, Хг С R” — связные непересекающиеся многообразия, сумма размерностей которых равна п — 1. Коэффициент зацепления X (Jfi, У2) равен степени аналогичного отображения Xi X Хг -* Sn~l.
Коэффициент зацепления двух слоев расслоения Хопфа S3 -* S2 равен 1. (В действительности справедливо следующее утверждение: коэффициент зацепления
прообразов двух общих точек сферы S2" при отображении S4"-1 ->52" равен инварианту Хопфа этого отображения (Хопф так и определял свой инвариант!). Читатель может попытаться доказать эту теорему после прочтения всего параграфа.)
[Это упражнение адресовано тем, кто поймет формулировку.] Пусть и — бездивергентное векторное поле без особенностей на сфере S3, ш — дифференциальная форма степени 1, получающаяся из и ’’опусканием индексов” по отношению к стандартной метрике. Возьмем на сфере две случайные точки и будем двигаться из каждой из них по траектории поля в течение времени Т; после этого две получившиеся незамкнутые кривые мы замкнем дугами больших кругов так, чтобы получились непересекаюшиеся замкнутые кривые. Коэффициент зацепления этих кривых мы поделим на Т2 и перейдем к пределу при Т -* <*. Докажите, что получающееся число (оно называется асимптотическим коэффициентом самозацепления поля и) не зависит от начальных точек, если только траектории не сталкиваются. Докажите, что с точностью до не зависящего от поля множителя этот коэффициент равен J ша dw.
Поскольку коэффициент зацепления определен только для циклов, гомологичных 0, формулировать для него свойство гомологической инвариантности надлежит аккуратно (см. выше упражнение 31). Например, если А и В - - два непересекающих- ся подмножества «-мерного ориентированного многообразия X, то коэффициент зацепления определяет билинейную форму
Кег[Яр(Л)->Яр(А,)]Х Кег^ц^-^Яц^^-^г, p+q=n- 1.
В важном случае, когда X есть сфера, мы получаем билинейную форму
ПР(А) X Hq(B) -* Z, p±q = n-\, р > О, q > 0.
Другая теория коэффициентов зацепления, имеющая прямое отношение к двойственности Пуанкаре, строится в следующей ситуации. Пусть X — гладкое замкнутое ориентированное «-мерное многообразие, и пусть ее Hq(X^, 0 е Hn_q_x(X^ — элементы конечного порядка. Пусть, далее, а, b — циклы, представляющие а, 0, и предположим, что Na = Эс. Определим коэффициент зацепления I (а, 0) как
рациональное /(а, 0) € Q/Z.рациональное /(а, 0) € Q/Z.число ^ ф(с, Ь), приведенное по модулю 1. Таким образом.
рациональное /(а, 0) € Q/Z.
рациональное /(а, 0) € Q/Z.
Упражнения. 36. Проверьте корректность определения / (а, 0) (что 0 имеет конечный порядок, существенно именно при проверке корректности).
Докажите, что если Na = 0, М0 = 0 и К = НОД (М, N), то К1( а, 0) = 0.
Докажите, что /(а, 0) = ±1(0, а); уточните знак.
Основное свойство этих коэффициентов зацепления выражается следующей теоремой.
Т е о р е м а 11. Поставим в соответствие классу ее Круч. Я, (У) функцию 0 **1 (а, 0). Получится изоморфизм
Круч. Hq(X)s Нош (Круч.Я^^^У), Q/Z).
Это и есть ’’вторичная двойственность Пуанкаре”.
Упражнение 39. Докажите теорему 11.
Обратные гомоморфизмы. Пусть X и Y — замкнутые ориентированные связные гладкие многообразия, вообще говоря, разных размерностей m и п, и пусть
f: X -* Y — непрерывное отображение. Наличие изоморфизмов Пуанкаре позволяет построить по / отображения гомологических и когомологических групп, направленные ”не в ту сторону”:
.D"'/*D
f: H^Y) Я"-’(У;2)► Н*-**^;^► Нт_п^Х\
Df*D"1
fv- h^x-.Z)— Hm_q<x^-^ Hm_q^>Hn"m*4Y; z>.
Оба гомоморфизма изменяют размерность на т - п: гомоморфизм/’ ”увеличивает” размерность на т - п (мы берем слово ’’увеличивает” в кавычки, поскольку т — п может быть отрицательным числом или нулем), а гомоморфизм /, ’’уменьшает” размерность на т - п. О когомологическом гомоморфизме /, мы скажем немного. Он представлят собой простейшее проявление необычайно общей и важной конструкции, называемой ’’прямым образом”. Его наглядный аналитический смысл (интуитивные истоки когомологий лежат скорее в анализе, чем в геометрии), во всяком случае, если / — проекция гладкого расслоения, выражается словами "послойное интегрирование”, которые будут понятны тем, кто знаком с теорией де Рама. Гомоморфизм /*: Hq^Y^ Hm_n+q (X) называется ’’обратным гомоморфизмом Хоп- фа”. Его геометрический смысл достаточно наглядно иллюстрируется следующей теоремой.
Теорема 12. Предположим, что гомологический класс а е Я, (У) реализуется ориентируемым подмногообразием Z CY и что отображение f трансверсально регулярно по отношению к Z. Тогда f"1 (Z) С X есть ориентированное подмногообразие, реализующее класс fl (а).
Поясним смысл слов, входящих в эту теорему. Отображение f: X -* У называется трансверсально регулярным по отношению к Z, если для любой точки х е G у1 (Z) найдется вложенный в X малый диск размерности dim У — dim Z с центром х, который отображением / диффеоморфно отображается на диск, лежащий в У трансверсально к Z. Условие трансверсальной регулярности — это условие общности положения; если оно не выполнено, его можно достичь посредством малого шевеления / (или малого шевеления Z). Легко понять, что если / трансверсально регулярно по отношению к Z, то У1 (Z) есть подмногообразие, имеющее в X такую же коразмерность, какую Z имеет в У. Если X, Yи Z ориентированы, то и/-1 (Z) приобретает каноническую ориентацию. (Заметим, что если коразмерность Z в У больше размерности X, то условие трансверсальной регулярности сводится к тому, что /(20 и Z не пересекаются.)
Мы не доказываем теорему 12; заметим только, что если все ее дифференциальные данные заменить триангуляционными (X и Y триангулированы, / симпли- циально, т.е. аффинно отображает каждый симплекс на симплекс, класс а представлен звездным циклом), то она делается более или менее очевидной (убедитесь в этом). Заметим еще, что в теореме 12 не сказано, какое из многообразий X, Y имеет большую размерность: она верна в обоих случаях, хотя имеет в них разное геометрическое содержание.
Важно, что аналог теоремы 9 имеет место и для многообразий с особенностями коразмерности > 2.
Упражнения. 40. Докажите формулу < а, /’0 > =</,«, 0 >.
Пусть X и У — замкнутые гладкие многообразия одной размерности, и пусть f : X -* Y — отображение степени d. Тогда композиции
Hq(^-^ Hq^-^ Hq^,
H4^Y\Z^^—* H^tX'.Z)—^—* Hq(Y,Z)
совпадают с умножением на d. Следствие: если / есть отображение степени ±1, то /, есть эпиморфизм, а /* есть мономорфизм. Обобщение: если / есть отображение степени d ^ 0, то всякий гомологический класс многообразия У, умноженный на d, принадлежит образу отображения /, и всякий когомологический класс многообразия У, принадлежащий ядру отображения /*, аннулируется умножением на d. Например, не существует отображения ненулевой степени S2 -*5* X № (но существует отображение S1 X S1 -»S 2 степени 1: факторизация S1 X S1 по S1 v S1).
Все, сказанное в этом пункте, имеет очевидный неориентированный Z2 -аналог. 8. Связь с ^-умножением.
Теорема 13. Предположим, что У1 й У2 - гладкие замкнутые ориентированные подмногообразия гладкого замкнутого ориентированного многообразия X, находящиеся в общем положении. Последнее означает, что Yt и У2 трансверсально пересекаются по гладкому подмногообразию Z СХ, размерность к которого связана с размерностями mi, т2 ип многообразий Уп У2 и X соотношением k = mt + m2 — п. Пусть, далее, a, G H"-m* (X; Z), а2 G Нп"ш» (Х\ Z), 0 6 нгп~т' ~т* (JT; Z) - когомологические классы, такие, что гомологические классы Da^, Da2, DP реализуются многообразиями У1, Y2,Z. Тогда
«1 v а, = 0.
Аналогичное верно в неориентированном случае с коэффициентами в Z2.
(Заметим, что условие общности положения У1 й У2 равносильно тому, что включение it: У1 -* X трансверсально регулярно по отношению к У2 или, что эквивалентно, включение i2: Y2 -* X трансверсально регулярно по отношению к У!.)
Теорема 13 является прямым следствием теоремы 12:
D(a^a2) = [У) о (а, ^2) =
= ([X] ^ oti)Aot2 = (11,1X1])^^ =
= й*([Х1]^ 1? а2) = ii.CDiiCt!) = «/а.ДО/ГЧ^Га]))”/!.^
= h. GV1 (X2)J = Z.[Z] = DP
(где i — включение Z в X).
Теорема 13 доставляет мощнейшее средство для вычисления мультипликативной структуры в когомологиях различных многообразий (и, ввиду естественности умножения, других пространств).
Пример. Если Qi + q2 < п, то произведение канонических образующих групп Нгqt (СРп; Z) и Н141 (СРп; Z) равно канонической образующей группы Нг ^iVq^ (СР”; Z): действительно, первые две образующие переходят при изоморфизме Пуанкаре в Гомологические классы, представляемые (л — <?])-мерным и (л - q2)-мерным проективными подпространствами, их пересечение в общем положении есть (л — qt — q2)-мерное проективное подпространство. Таким образом, ; кольцо Я*(СР”; Z) устроено так: в нем есть 1 G Я0 (СР”; Z) и мультипликативная i образующая х £ П2(Фп; Z). Остальные когомологические группы порождаются ; степенями образующей: х2 G Я4 (СР”; Z), х3 £ Н6 (СР”; Z) и т.д. Если л конечно, то х”+1 = 0. Выражаясь более алгебраически, можно сказать, что Я* (СР” *, Z) есть кольцо многочленов от одной переменной х, профакторизованное по идеалу, порожденному х”+1:
Я‘(СР";г) = Z[x]/(x”+I), dimx = 2.
Аналогично,
H*(RPn; Z2 ) = Z2 [х]/(х"+1), dim х = 1,
Н*(НРп; Z) = Z [х] Кхп+1), dim х = 4,
^•(Ca^-.Z) = Z[x]/(x3), dimx =8.
Во всех случаях, кроме RP”, можно заменить (в обеих частях равенства) Z любым коммутативным кольцом с единицей..
Упражнение 42. Покажите, что целочисленное кольцо когомологий сферы с g ручками X устроено так: в Н1 (X; Z) имеется 2g образующих at,.\ ., ag, bj, '... . . . , bg и ataj = 0, btbj = 0, afb} = 6(/с, где с — образующая группы Я2 (У; Z). Вычислите когомологические кольца с коэффициентами в Z2 у всех классических поверхностей.
Теорема 13 показывает, что умножение в когомологиях многообразия достаточно богато (много ненулевых произведений). Этот тезис иллюстрируется следующим предложением.'
Следствие из теоремы 13. Если «1,0^- когомологические классы дополнительных размерностей замкнутого ориентированного многообразия X, то
<а2^>а2, [ЛГ] > = ^Вах.НагУ
(Справедлив неориентированный 7.г-аналог?)
Поскольку индекс пересечения представляет собой невырожденную билинейную форму в гомологиях многообразия (двойственность Пуанкаре), значение произведения на фундаментальном классе представляет собой невырожденную билинейную форму в когомологиях (когомологическая двойственность Пуанкаре). Особый интерес представляет эта двойственность в гомологиях и когомологиях средней размерности.
У пражнение 43. Пусть X — замкнутое ориентированное многообразие четной размерности 2k. Тогда билинейная форма («х, а2 )*-*<«] <^ а2, [У] > в свободной части Hk (Х\ Z) задается (целочисленной) матрицей с определителем ± 1. Эта матрица является симметрической при четном к и кососимметрической при нечетном к. В частности, если к нечетно, то к-е число Бетти четно. Аналогичный факт для не- ориентируемых многообразий неверен (бутылка Клейна).
Обобщения изоморфизма и двойственности Пуанкаре.
Некомпактный случай. Если (связное) многообразие X некомпактно (но по- прежнему не имеет края), то оно обладает бесконечной триангуляцией. Соответствие между симплексами и барицентрическими звездами сохраняется, но изоморфизма между цепями и коцепями не возникает, потому что цепи — это конечные линейные комбинации симплексов, а коцепи — произвольные функции на звездах. Напрашиваются два выхода из положения, и оба они приемлемы: допустить бесконечные цепи или ограничиться финитными коцепями. Эти две модификации приводят к специфическим теориям гомологий и когомологий, которые можно корректно определить для произвольных топологических пространств. Открытые гомологии уореп ^. ^ топологического пространства X определяются как гомологии комплекса { Cjpen (Х\ G), Э ) , где C£pen (Х\ (7) — группа, вообще говоря, бесконечных линейных комбинаций S gift 4-мерных сингулярных симплексов, обладающих тем свойством, что для произвольного компактного подмножества К СХ лишь для конечного числа I пересечение // (Те) Г) К непусто; граница определяется обычной формулой. Компактные когомологии Я^отр (X; G) пространства X определяются при помощи комплекса {Clomp(X; G), 6 ), гдеС^Отр№ G) — группа функций
на гу-мерных сингулярных симплексах, обладающих тем свойством, что существует компактное множество К (свое для каждой функции), такое, что значение функции на сингулярном симплексе /, имеющем пустое пересечение /(Г1) Г) К, равно 0. Дефектом и той и другой теории является отсутствие гомотопической инвариантности и даже индуцированных гомоморфизмов /„/* (они определены, только если индуцирующее отображение / ’’собственно” — прообраз компактного множества компактен) .
Привлекая вышеописанные гомологии и когомологии, ничего не стоит построить два разных обобщенных изоморфизма Пуанкаре:
Т е о р е м а 14. Если X - гладкое ориентируемое, вообще говоря, некомпактное п-мерное многообразие без края, то
Hq(X^ н^-^х-, Z),
Я^ре^з Hn"q(X; Z).
Аналогичные изоморфизмы с коэффициентами в Z2 имеют место без предположения ориентируемости.
Соответствующую этим изоморфизмам Пуанкаре двойственность Пуанкаре составляют индекс пересечения и коэффициент зацепления между обыкновенными и открытыми циклами. (Разберите случай, когда X = S1 X R.) Вообще предыдущая теория переносится на нашу новую ситуацию более или менее вся, но мы не будем вникать в детали. Зато мы выделим важный случай, когда открытые гомологии и компактные когомологии сводятся к обыкновенным гомологиям и когомологиям.
Упражнение 44. Если X — компактное топологическое пространство и Л - его замкнутое подмножество, то имеют место естественные (уточните, в каком смысле!) изоморфизмы
Н^ЧХ-А^ — Hq(X,A; G),
Hqcomp(X - A , G) г. НЧ(Х, A -.G).
В частности, если пространство X локально компактно и X* — его одноточечная компактификация, то
Н^еп(Х;С)- Hq(X;G) ; Я?отр(^; G^ Й^Х*; G\
Это утверждение позволяет извлечь из теоремы 14 важное следствие, не вовлекающее экзотических гомологий или когомологий.
Следствие (из теоремы 14 и упражнения 44). Пусть X — компактное топологическое пространство, А - его замкнутое подмножество, такое, что X - А есть гладкое п-мерное ориентируемое многообразие без края. Тогда
Н^Х -А^^ Hn"4X,A;Z),
HqQC, А) а Нп ~ q(X - A; Z).
Аналогичное верно без предположения ориентируемости с коэффициентами в Z2.
Упражнение 45. Приведите конструкцию этих изоморфизмов при помощи относительного ^-умножения.
Краевой случай. В важном специальном случае, когда X есть связное компактное ориентируемое многообразие с краем и А есть его край, предыдущие изоморфизмы принимают форму
Hq(.X)asHn-q(X, дХ; Z),
Н^Х, ЭУ) a Hn"q(X;Z)
(открытое многообразие X - Э X гомотопически не отличается от X).
Упражнение 46. Эти изоморфизмы, вместе с изоморфизмами Пуанкаре для дХ, составляют изоморфизм между гомологической и когомологической последовательностями пары (X, дХ), т.е. коммутативную лестницу
... *нддх>-ЦДХ) »НДХ,8Х>►П^ДвХ) -* ...
II?II?II?II?
... —*я""' ,/(dX;Z)^-//""y(X.»X;Z)^-«"'y(X;Z)—*Я"У(»Х;2)—* ...
Предположим, что dim X = Ik + 1 и рассмотрим фрагмент этой коммутативной лестницы:
Hk+i(X, дХ)—Нк(дХ) Hk(XV
II?№
Як(ЭХ;Х)—* Нк*ДХ, ЭХ; Z)-* ...
(где i — включение ЭХ в X). Гомоморфизмы 6* и Э, сопряжены относительно спаривания < , >, и потому ранги групп Coker д, = Нк (ЭХ)/1т Э, и Кег 6 * совпадают. Значит, совпадают ранги групп Як(ЭХ)/1т Э, и Ker z, = Imd,. Отсюда получаем важное следствие:
1
rank Im Э, = — rank Як(ЭХ).
Дальнейшие следствия. 1. Если четномерное ориентируемое многообразие является краем компактного многообразия, то его срединное число Бетти четно. (Для неориентируемых многообразий это, конечно, неверно, как показывает пример все той же бутылки Клейна; верно, однако, что у любого четномерного края компактного многообразия размерность срединных гомологий с коэффициентами в Z2 четна. Отсюда следует, например, что ни комплексная проективная плоскость, ни вещественная проективная плоскость не могут быть краем компактного многообразия; в списке известных нам многообразий можно найти массу других подобных примеров.)
Эйлерова характеристика края компактного многообразия четна. (Если размерность края четна, это следует из предыдущего, если она нечетна, то эйлерова характеристика края равна 0 в силу следствия из теоремы 4.)
Если а, Р € Як (ЭХ) лежат в образе гомоморфизма Э,, то их индекс пересечения равен 0. (Это имеет наглядное доказательство (см. рис. 81), но легко может быть доказано и формально: ^(Э,о, Э^) = ^(а, z,9,P) = ^(а, 0) = 0.) Этот факт особенно важен в случае четного к. Выше уже говорилось, что если срединные гомологии четномерны, то в их свободной части возникает унимодулярная симметрическая билинейная форма. Теперь мы видим, что в случае, когда многообразие есть край, эта форма имеет нуль-пространство половинной размерности, что возможно только в случае, когда сигнатура формы равна 0. Выделим подученное утверждение.
Теорема 15. Если ориентируемое многообразие, размерность которого делится на 4, является краем компактного ориентируемого многообразия, то форма ’’индекс пересечения" в свободной части его срединных гомологий имеет нулевую сигнатуру.
С. Изоморфизм и двойственность Александера - Понтрягина. Пусть Л — замкнутое подмножество сферы S”. Согласно предыдущему, имеют место изомофизмы
Я,(5" - Л) й Hn~q(Sn,A;Z),
Hq(Sn,A)^Hn~cl(Sn-A,Z).
Но поскольку сфера имеет почти во всех размерностях тривиальные гомологии и
когомологии, из гомологической и когомологической последовательности пары (5”,Д) мы получаем изоморфизмы
при 1 < q < п.при 1 < q < п.Я<,(5",Л) a Hq^A), нч^.А.г^^н4-1^^
при 1 < q < п.
при 1 < q < п.
Таким образом,
при р + г = п — 1,при р + г = п — 1,р>0, г>0р>0, г>0Hp(A^H4Sn -A;Z),
при р + г = п — 1,
при р + г = п — 1,
р>0, г>0
р>0, г>0
ЯР(А; Z) ^НЛ8п-А)
(условия р > 0, г > 0 можно отбросить, если взять приведенные гомологии и
ОХ Рис. 81ОХ Рис. 81
ОХ Рис. 81
ОХ Рис. 81
когомологии). Эти изоморфизмы носят название изоморфизмов Александера - Понтрягина. Подобно изоморфизмам Пуанкаре, они могут быть представлены в терминах одних гомологий:
Своб. часть Яр (Л) = Своб. часть Я„_ i_p(S” -А"),
Круч.ЯР(Л) г Круч.Я„_2_р($"-Л),
и в этом качестве являются проявлениями двойственности Александера — Понтрягина, аналогичной двойственности Пуанкаре. Двойственность между свободными частями реализуется классическими коэффициентами зацепления (см. выше), двойственность между кручениями — вторичными коэффициентами зацепления, которые мы не рассматривали, но теорию которых читатель может при желании построить сам. . D. Целочисленные неориентируемые изоморфизмы Пуанкаре. Эти изоморфизмы имеют вид
Hq(X;Z) s Hn-q(X;ZT\
H^iX^ ~ Hn_q(X;ZTy
Здесь X — гладкое замкнутое, вообще говоря, неориентируемое, «-мерное многообразие, а гомологии и когомологии с коэффициентами в ZT (индекс Т — от слова twisted; Zy - ’’подкрученные целые числа”) определяются следующим образом. Пусть X связно и неориентируемо. Рассмотрим ориентирующее двулистное накрьь тие X -* X. Тогда в X действует (обращающая ориентацию) инволюция Г. X -* X (точка х G X переходит в другой прообраз лежащей под ней точки х G X). Возникает преобразование t#: Cq(X^ -»CQ(^) с квадратом 1, и получается разложение
Cq(X) =Cq+(X) ® Cq-<XY
Cq(X) = {c6Cq(5') I t#^ = ±c}. Очевидно, Cq (X) - это то же, что CqtX').
Другое слагаемое, Ce ( А"), мы и примем за Cq (ЛГ; ZT). Очевидно, группы Cq (ЛГ; ZT) составляют комплекс, его гомологии обозначаются через Hq{X\ Zj), а соответствующие когомологии — через Hq ^Х\ Zy). Эти ’’подкрученные” гомологии и когомологии являются предметом теории, параллельной обычной теории гомологий и когомологий. Мы не будем входить в подробности (нам это еще предстоит, поскольку с подкрученными гомологиями и когомологиями мы столкнемся в главе 3, причем в значительно большей общности). Ограничимся голословным утверждением, что в рассматриваемой теории существуют аналоги коэффициента зацепления и индекса пересечения и двойственности Пуанкаре (интересующийся читатель, наверное, сможет восстановить все необходимые определения и формулировки теорем).
§18. ТЕОРИЯ ПРЕПЯТСТВИЙ
Препятствия к распространению непрерывного отображения. Очень часто приходится сталкиваться с проблемой продолжения непрерывного отображения Л -» У на объемлющее А пространство X. Эта задача (и многие ее варианты) рассматриваются в теории препятствий. Мы начнем с рассмотрения технически важного специального случая.
Пусть X — клеточное пространство и У — топологическое пространство, предполагаемое гомотопически простым (см. § 8). Рассмотрим проблему продолжения непрерывного отображения f:Xn -> У до непрерывного отображения Хп*1 -*Y (Хп, Хп*х - остовы). 1
Пусть е С.X— клетка размерности п + 1, h: У1*1 -*Х соответствующее характеристическое отображение. Поскольку Л (S”) С Хп, возникает отображение /е: S" -> У, /е (О = /(*($))• Совершенно очевидно, что отображение g продолжается на Хп Ue тогда и только тогда, когда отображение/е продолжается до отображения D”*1 -*Х, т.е. когда /е гомотопно 0, т.е. когда /е представляет 0 € ял(У) (напомним, что У гомотопически просто).
Ясно, далее, что возможность продолжить отображение / на Х”*1 равносильно возможности продолжить его на Хп Ue для каждой (п + 1)-мерной клетки е. Построив, как выше, по каждой клетке ■ е отображение /е: S” -* X и обозначив через фе определяемый им элемент группы тгл(У), мы можем сделать следующее, в сущности, тавтологическое утверждение: непрерывное отображение /: Хп -* У тогда и только тогда может быть продолжено до непрерывного отображения X”*1 -* У, когда все фе равны 0. '
Сопоставление е м- фе может рассматриваться как клеточная коцепь пространства X с коэффициентами в тгл(У)- Эта коцепь обозначается через с^ и называется препятствием к продолжению отображения f на Хп*1. Итак,
cfG ^(Х; »„(У)).
Пока все сказанное было тривиальностью; вот первое содержательное утверждение.
Теорема 1. Препятствие есть коцикл: bcf = 0.
Это утверждение является вариацией на тему 33=0 (нужно доказать, что су (За) = = 0 для любой цепи а, но сама коцепь су определяется через посредство границ), но его аккуратное доказательство сопряжено с некоторыми трудностями. Его можно, например, вывести из относительной теоремы Гуревича (§ 14, теорема 4). Согласно последней, при некоторых ограничениях на X (их мы обсудим ниже), гомоморфизм Гуревича Л: aq^Xq, Х4-1^ -* Hq(Xq, Xq-i) является изоморфизмом. Рас-
смотрим диаграмму
г£„,2 (х) -н^х"*1,Кп,^Х "1х"И)
Эта диаграмма коммутативна в силу определения коцепи с^ и гомоморфизма Э: ^n+iCX) -»^n + i(X). В то же время, часть правого столбца, отмеченная фигурной скобкой, есть фрагмент гомотопической последовательности пары (X"+1, X"), и потому композиция входящих в нее гомоморфизмов равна 0. Следовательно, Су ° Э = 8су = 0.
Однако ссылка на относительную теорему Гуревича вынуждает нас уважать предположения, в которых она верна, т.е. вынуждает нас считать, что X односвязно и что п > 1. Второе ограничение мы проигнорируем (если расшифровать ссылку на теорему Гуревича, то будет видно, что при и = 1 рассуждение совершенно корректно), а от предположения односвязности X можно избавиться, например, так: рассмотрим универсальное накрытие X -^Х (клеточное разбиение X индуцирует клеточное разбие- ниеХ); очевидно, тг#: ^*(Х; тг„(У)) ->^*(Х; тг„(У)) есть мономорфизм и в то же время тг#су = Су о „. и 8су о „ = 0 по доказанному.
Когомологический класс коцикла Су мы обозначаем через Су. Очень часто именно Су G Н"+1(Х; тг„(У)) называется препятствием (а Су называется тогда препятствующей коцепью).
Теорема 2. Условие Су = 0 равносильно тому, что отображение f: X" ^-Х можно продолжить на Xn + 1, предварительно изменив его на Хп, но не меняя наХ”-1.
(Эту теорему можно применять последовательно к продолжениям отображения с остова на остов. Именно, если отображение задано на Хп, то возникает препятствие в (и +1)-мерных когомологиях к продолжению на Х”+1 с возможным исправлением на X”, не затрагивающим Хп~1. Если такое продолжение существует, то к продолжению на X” 2 возникает препятствие в (и + 2)-мерных когомологиях и т.д. Однако следует помнить, что каждое следующее препятствие зависит от выбора продолжения отображения на всех предыдущих шагах, и эта неоднозначность нарастает при переходе от остова к остову.)
Прежде чем доказывать теорему 2, мы введем новое понятие, которое будет использовано в доказательстве и важно само по себе. Пусть /, g: Хп -» У — два отображения, совпадающие на X”-1. Рассмотрим произвольную «-мерную клетку е СХ с характеристическим отображение h: Dn -*Х. Отображения f oh,g oh: Dn -►У согласованы на S"-1 (потому что h(Sn-1) СХ"-1, а/ ng на X"-1 совпадают) и вместе определяют отображение ke: S" -> У (область определения / отождествляется с верхней полусферой, область определения g отождествляется с нижней полусферой). Определим различающую коцепь
dy,,Gtf”(X;7r„(y)),
6. А.Т. Фоменко
приняв за ее значение на е класс сфероида ке. Очевидно, df>g = 0 тогда и только тогда, когда / соединяется с g гомотопией, неподвижной на Хп-1. В важном для нас случае, когда оба отображения f, g с самого начала были определены на всем X (и совпадали на Х”-1), последнее утверждение может быть (ввиду теоремы Борсука) видоизменено следующим образом: существует гомотопия отображения /, неподвижная на Хп~1 и совмещающая f с g на X".
Лемма 1. Для любого отображения f:Xn-*Yu любой коцепи d G Sg^X; тгп(У)) можно найти отображение g: X" -» У, совпадающее с f на Хп~1 и такое, что d^ g = d.
Рис. 82
Доказательство. Рассмотрим произвольную «-мерную клетку е пространства X и выделим около ее центра маленький шарик. Затем изменим отображение / на этом шарике так, чтобы два отображения шарика — старое и новое — составили сфероид класса d(e) G тг„(У) (см. рис. 82). Произведя такое изменение на каждой «-мерной клетке пространства X, мы и получим требуемое отображение^.
Лемма 2. 8df,g =cg - су.
Доказательство. Рассмотрим для простоты случай, когда fug различаются на одной «-мерной клетке е (общий случай, по существу, не отличается от этого специального случая). Пусть а — клетка размерности n + 1, h: Dn+1 -^Х — характеристическое отображение. Мы должны доказать, что
CgW - cf№ = (а: е1 df^-
Можно считать, что й-1(е) состоит из некоторого количества шариков, каждый из которых отображается на е гомеоморфно с сохранением или обращением ориентации, причем разность между числом шариков, отображающихся с сохранением и с обращением ориентации, равна [о: е]. В свете сказанного нужное равенство очевидно: сфероид, представляющий cg(o), получается из сфероида, представляющего с^а) прибавлением сфероидов ± d^g (е), алгебраическое число которых есть [о: е].
Доказательство теоремй 2. Если Су = 0, то с? = 8d и в силу леммы 1 существует отображение g: Хп -* У, совпадающее с / на X"-1 и такое, что d/,g = = — d. Но тогда cg = с^ + 8dftg = 0, т.е. g продолжается на Xn+V Обратно, если существует отображение g; Хп -► У, продолжающееся на Х"+1 и совпадающее с / на X”-1, то cg =O,Cf -Cf - Cg = 8df, g и С/ = 0.
Упражнение 1. Докажите, что dy>g + dg>h = dfh и dgj = - df,g.
Относительный случай. Пусть A - клеточное подпространство пространства X, и пусть отображение / определено на A U X”. Препятствующая коцепь к продолжению такого отображения на A U Хп*х лежит в ^п+х (X, А; тг„(У)), является коциклом, и соответствующий когомологический класс Су G Нп+1(Х, А; тг„(У)) называется препятствием. Теория этих относительных препятствий совершено параллельна своему абсолютному прототипу, в частности, в ней определяются различающие и доказываются точные аналоги (как в смысле формулировок, так и в смысле доказательств) всех лемм и теорем предыдущего пункта. Мы выделим из относительной теории следующее важное абсолютное последствие.
Пусть f,gtX^Y — два непрерывных отображения, совпадающих на Хп (условие совпадения можно заменить условием гомотопности, но с уточнением, что задана
определенная гомотопия между f\xn и£|^„). Рассматривается проблема построения гомотопии между /Kg, неподвижной (или совпадающей с заданной) на А”. Эта проблема равносильна продолжению на X X I отображения, заданного на (АХО) U U (X X 1) U (Хп X /) формулой
, х I ПРИ ? = 0 или х G Хп,
(g(x) при t = 1 (или xGA").
(В случае гомотопности /|%n и g\x„ формула чуть другая — детали оставляются читателю.') Препятствие к продолжению этого отображения на (X X 0) U (X X 1) U U(A”+f XZ) лежитв^ЧАХ/, (АХО) U(AX1); л„+1(У)) =<6n+i(X; л„+1(УЭ); легко понять, что оно равно dyig. Кстати, 8df>g = cg — с? =0, так как f Kg определены на всем X. Применяя к этой ситуации относительный вариант теоремы 2, мы получаем такое утверждение.
Теорема 3. Если f.g-.X-^Y - отображения, совпадающие на X", то dftg есть коцикл, когомологический класс Dftg € Нп+1(Х; л„+1(У)) которого равен 0 тогда и только тогда, когда /(xn+i и g|%n+1 можно соединить гомотопией, неподвижной на Хп-1"
(Можно сделать замечание, аналогичное замечанию после формулировки теоремы 2.)
Применение: когомологии и отображения в К(тт, п) ’ы. Напомним, что построение пространства К (л, «) начинается с того, что берется букет «-мерных сфер, поставленных во взаимно однозначное соответствие с элементами некоторой системы образующих группы л, и этот букет будет п-м остовом строящегося К (л, л)’а (см. § И). Поставив в соответствие «-мерной клетке (сфере букета) отвечающую ей образующую, мы получаем коцепь с € ^"(А(л, «); л) (мы допускаем вольность в обозначениях, обозначая символом К (л, «) определенное пространство типа К(л,«)).
Лемма. Коцепь с - коцикл.
Доказательство. Клетки размерности n + 1 отвечают соотношениям между выбранными образующими в л; если клетка о отвечает соотношению ^kjgf = = 0, где gt — образующие, то коэффициент [о: е] равен коэффициенту, с которым в это соотношение входит образующая, отвечающая е. Обозначая через е/ клетку, соответствующую образующей gt, получаем:
6с(о) = S [о,е,] с^ = Y-ktgi = 0.
Когомологический класс F„ G Нп (К (тг, «); л) коцикла с называется фундаментальным когомологическим классом К (it, «)’а. Другое построение класса F, производится при помощи формулы универсальных коэффициентов: так как Hn_i(K(it, п)) = 0,то
Нп(К(тт, «); л) = Нот(//„(^(л, «)), л),
но в силу теоремы Гуревича Нп(К (тт, «) ) = л. Фундаментальный класс Е„ отвечает тождественному гомоморфизму id„ G Нош(Нп(К(тг, «)), л). Кстати, это построение применимо к любому (п — 1)-связному пространству А; в этом случае оно дает фундаментальный класс Fx е Нп(Х\ л^А) ). К этому классу мы еще вернемся.
Упражнение 2. Докажите эквивалентность двух определений фундаментального класса.
Теперь мы переходим к главному предмету этого пункта. Пусть X — произвольное топологическое пространство и /: X -* К(тг, п) — непрерывное отображение. Поставим в соответствие отображению / когомологический класс/*/'’„ G Н”(Х; тг). Поскольку этот класс зависит только от гомотопического класса отображения f, мы получаем отображение
"(X Х(7г, п))-*Н"(Х;тг), [Л »№.
Теорема 4. Если пространство X клеточно, то это - взаимно однозначное соответствие.
(Эта теорема была обещана в § 4.)
Доказательство. Сначала покажем, что для любого a G Нп(Х; тг) найдется такое отображение р. X -*К (тг, п), что /*ЯЛ = а. Зададим коцикл a G ^”№ тг) класса а. На остове Хп 1 зададим отображение / как отображение в точку. Тогда иа любой ориентированной и-мериой клетке е отображение / должно быть сфероидом, и мы потребуем, чтобы этот сфероид принадлежал классу а (е) G тг = тгп(К(тг, п)). Ясно, что коцепь а будет различающей между / и постоянным отображением const, все переводящим в точку. Поэтому в силу теоремы 2
О — 8а — 8dconst,f ~ Cf — с const- ^f
(cCOnst = 0, поскольку const продолжается на все X). Значит, / продолжается на Хп*х. Продолжение / на Хп*2, Хпг3,... препятствий ие встречает, поскольку соответствующие препятствия лежат в группах <6п+2(Х; тгп+1(К(тг, п)) = 0), ^”+3^; 7Гл+2(^(7Г, п)) = 0) и тд. Мы приходим к отображению /: X -*К(тг, п). По построению,/*F„ = а.
Теперь покажем, что если f’F^ = g^F,, то/~ g. Будем совмещать/непоследовательно вычисляя различающие. Эти различающие лежат в нулевых группах до того момента, пока мы не дошли до различающей в ^"(Х; тг^К^, п)) = тг). Эта различающая возникает в тот момент, когда / и g уже совмещены иа X”-1. В первой части доказательства мы видели, что f'F,, и g*F.„ — это когомологические классы ^const,/ И ^const,# различающих dconst,/ И ^const.y ПОЭТОМУ Dftg — ^у, const "*" + Sconst,^ = i’const X - ^const,/ (см. упражнение 1) = g_»F„ -fF, = 0. Поэтому / совмещается на X" с g гомотопией, неподвижной иа У" 2. На последующих шагах различающие снова тривиальны, и мы последовательно совмещаем / с g на X"*1’ Хп+2,... Таким образом,/ ~ g. (Если X бесконечномерно, то эти последовательные гомотопии производятся, когда параметр t изменяется в интервалах 0 < t <1/2, 1/2 <f < 3/4, 3/4 < t Cl [8,...; на каждом остове пространства X гомотопия будет неподвижной в некоторой окрестности своего конца.)
Упражнение 3. Взаимно однозначное соответствие Нп(Х-, тг) = тг(Х, К(тг, п)) является взимно однозначным соответствием между двумя группами: я(Х К(тг, п)) есть группа, поскольку К(тг, п) ~ Q(F(^, п + 1)) есть Я-пространство (см. § 4). Докажите, что это соответствие является групповым изоморфизмом.
Следствие из теоремы 4 (теорема Брушлинского). Для клеточного X имеет место изоморфизм Нх(Х; Z) эе ^(Х, S1) (структура абелевой группы в правой части возникает благодаря наличию естественной структуры топологической абелевой группы в 51).
Упражнение 4. Еще одно следствие из теоремы 4: всякое отображение S1 X . . .Х51 -*S*X.., X S1 гомотопно линейному отображению (т.е. отображению, пm
получающемуся посредством факторизации из линейного отображения R” ->Rm, задаваемого целочисленной матрицей).
Другое применение: теоремы Хопфа.
Теорема 5 (Хопф). Для любого п-мерного клеточного пространства X имеет место взаимно однозначное соответствие
H4X;Z)«7r<X,Sn), VH^F^,
где s - каноническая образующая группы Нп(8п; Z) = Z.
Эта классическая теорема (доказанная, в действительности, раньше, чем появились не только препятствия, но и когомологии) с современной точки зрения является следствием предыдущей теоремы. Действительно, если вникнуть в конструкцию К (я, и)’а, изложенную в § 11, то можно понять, что K(Z,n) получается из 8п приклеиванием клеток размерностей > п + 2 (Z имеет одну образующую и не имеет соотношений). Поэтому тг (X, К (Z, п) ) = тг (X, 8") в силу теоремы о клеточной аппроксимации (любое отображение X K(Z, п) гомотопно отображению, образ которого лежит в п-м остове, а гомотопия между двумя такими отображениями всегда может быть сделана протекающей по (и + 1)-му остову).
(Можно доказать теорему 5 и прямо, повторив более или меиее дословно доказательство теоремы 4. Главное различие между двумя доказательствами будет состоять в том, что старшие препятствия и различающие будут равны 0 ие потому, что тривиальны старшие гомотопические группы сферы S" — это неверно! — а потому, что X не имеет клеток старших размерностей.) ■
Теорема 6 (Хопф). Пусть п-мерное клеточное пространство X содержит сферу Sn~x. Для того чтобы эта сфера была ретрактом пространства X, необходимо и достаточно, чтобы гомоморфизм Hn~l(X,Z)-> Нп~х(8п~х ;Z), индуцированный включением, был эпиморфизмом.
Доказательство. Необходимость очевидна: если г: X ->S”-1 - ретракция, то композиция Я"-*(-$”" *; Z) г^Нп~х^Х\ Z) ^Hn~1(Sn~i; Z) (/-включение) тождественна, и потому /* — эпиморфизм. Обратно, предположим, что /* — эпиморфизм. Зафиксируем класс о-€Я"~ *(,¥"; Z) .такой, что/*(а) = 1 G Z = Hn~l(Sn~x; Z), и выберем представляющий а коцикл a G S8n-v(X; Z). Построим отображение q*. X -► S”-1 следующим образом. Клетки размерности < л — 2 мы отобразим в точку. На (и — 1)-мерной клетке е отображение q будет сфероидом, и мы потребуем, чтобы этот сфероид принадлежал классу а(е) G Z = tt„_i(S"-1). Это требование равносильно тому, что отображение q* переводит 1 G Z = 4gn~x(Sn~x; Z) в а. С другой стороны,' оно показывает, что коцепь а будет различающей между уже построенной частью отображения q и отображением const — в точку. Мы имеем:
О — 8а — 8dq> const — с<? — cconst = Cq i
ввиду чего отображение q может быть продолжено на Хп = X. Композиция 8п~1 -^
-* X -*8 индуцирует тождественное отображение в когомологиях: (^ °/)•(!) = = 1*(Я*(ДУ) = 7*(а) = 1,ипотому гомотопна id. Гомотопию, соединяющую это отображение с id, мы можем продолжить до гомотопии отображения q, и в результате получится отображение г: X -^8"~1, тождественное иа 8"~ г, т.е. ретракция.
Препятствие к продолжению сечения. Пусть (Е, В, F, р) — локально тривиальное расслоение. Мы предположим, что слой F гомотопически прост (например, односвязен) и база односвязна. (Предположение об односвязности базы лишне, его можно заменить предположением о простоте расслоения. Последнее означает, что расслоение над S1, индуцированное посредством произвольного непрерывного отображения 8х В, тривиально; с важными примерами такой ситуации мы познакомимся в следующем параграфе.)
Предположим, что пространство В клеточно и что над его и-м остовом задано сечение s : Вп Е. Пусть е — клетка базы размерности и + 1, Л: D”+1 -*В — характеристическое отображение. Расслоение, индуцированное посредством h над Dn*x, тривиально. Сечение s индуцирует сечение индуцированного расслоения над Sn CDn+1, т.е. отображение Sn ->Z)""H X F, т.е. элемент группы л„(Д"+1 X F) = = я^Е). (Правильнее было бы сказать, элемент гомотопической группы некоторого слоя над одной из точек клетки е; однако односвязность базы или простота расслоения позволяют отождествить гомотопические группы всех слоев — разберитесь в этом!) Функция, относящая клетке е построенный элемент группы тг^Р), есть коцепь из ЧВ"*1^; itn(F)). Мы обозначим эту коцепь через с,; это — препятствие (или препятствующая коцепь) к распространению сечения s на (и + 1)-й остов. Свойства этого препятствия совершенно аналогичны свойствам препятствия к распространению отображения, и мы можем ограничиться их перечислением.
Сечение s тогда и только продолжается до сечения над (и + 1)-м остовом базы, когда с, =0.
8с$ = 0.
Когомологический класс Cs коцикла cs (от также называется препятствием) равен 0 тогда и только тогда когда сечение можно продолжить на (и + 1)-й остов, предварительно изменив его иа и-м остове, но не меняя на (п — 1)-м остове.
Вводятся и различающие, также являющиеся аналогами ранее введенных.
Препятствия к распространению отображений являются частным случаем препятствий к распространению сечений: отображение У -> У равнозначно своему графику X ■* X X У, который может рассматриваться как сечение тривиального расслоения. Препятствия к распространению отображения и к распространению графика идентичны. В то же время теория препятствий к распространению сечений не охватывается теорией препятствий к распространению отображений; в частности, в последней нет никакого аналога следующей конструкции.
Предположим, что я0(Е) = ... = я„_1(Е) = 0, я„(Е) ^ 0. При к Си препятствие к распространению сечения на к-й остов базы равно 0 (принимает значение в нулевой группе). Впервые нетривиальное препятствие возникает в группе Hn*v^B; itn(F)). Оказывается, что это препятствие не зависит от того, как сечение было построено на и-м остове. Факт этот почти очевиден и доказывается с помощью различающих и аналога теоремы о том, что 8dfg = cg - су. Таким образом, этот класс определяется самим расслоением. Он называется характеристическим классом расслоения.
Упражнения. 5. (Основное свойство характеристических классов.) Если ^ G G Hn*lQB; itnCF)) — характеристический класс расслоения (Е, В, F, р) и /: В*-* В — непрерывное отображение, то характеристический класс расслоения, индуцированного расслоением (Е, В, F, р) посредством отображения /, равен /*|.
Характеристический класс гомотопически инвариантен; в частности, он не зависит от клеточного разбиения базы.
С конкретными примерами характеристических классов мы познакомимся в следующем параграфе. А сейчас — заключительные упражнения.
Упражнения. 7. Постройте теорию препятствий к распространению сечений в контексте серровских расслоений.
Пусть X — клеточное пространство, у которого Яо^) = .. . = я^д^) = 0, itn(X) Ф 0. Покажите, что характеристический класс серровского расслоения ЕХ -*
X со слоем SIX, лежащий в Нп(Х; я„_ ^ШГ)) = Нп(Х\ я„(^)), есть не что иное, как фундаментальный класс пространства X. (Отсюда виден инвариантный смысл фундаментального класса.)
19. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
Векторные расслоения и операции над ними.
Определения. Мы рассматриваем три типа векторных расслоений: вещественные, ориентированные и комплексные. Вещественное «-мерное векторное расслоение с базой В - это локально тривиальное расслоение над В со слоем, гомеоморфным R", наделенное дополнительной структурой: в каждом слое задана структура «-мерного вещественного векторного пространства, причем векторные операции (X, х) •-* >-* Хх, (х, у) ь^х + у непрерывным образом зависят от слоя в том смысле, что задаваемые ими отображения R ХЕ-*Е, {(х, у) €ЕХЕ\р(х) = р(у)} -*Е(гдеЕ- пространство расслоения и р — проекция) непрерывны. Комплексные векторные расслоения определяются точно так же, только поле R заменяется полем С; ориентированные расслоения — это вещественные расслоения, в слоях которых задана ориентация, непрерывным образом зависящая от слоя.
Последнему можно придать смысл, например, так. В ’’пространстве реперов” вещественного векторного расслоения £ = (Е, R”, В, р^
R(£) = {(*1, • • • ,^„) ^Е X .. .ХЕ |p(Xi)= ... = р(х„); х( линейно независимы ) введем отношение эквивалентности: г1 = (х1, • • • X) и г" = (х»> • • • »хп^ эквивалентны, если р(х') = р(х'') [=6] и реперы (x'i,..., х„} , {xjх^} определяют одинаковую ориентацию в пространстве р-1(Ь). Фактор-пространство пространства" R (£) по этому отношению эквивалентности обозначим через Ro(£). Очевидная проекция Rq^) -* В есть накрытие (в широком смысле: без требования связности), и расслоение £ ориентируемо, если это накрытие тривиально (ориентировано, если в этом накрытии выбрано сечение).
Для векторных расслоений (всех трех типов) очевидным образом определяются эквивалентности, сужения, индуцированные расслоения. Тривиальное векторное расслоение - это проекция R" X В -* В или С" X В -> В с естественной структурой.
Упражнение 1. Векторные расслоения локально тривиальны в векторном смысле, т.е. сужение векторного расслоения на достаточно малую окрестность произвольной точки базы эквивалентно тривиальному векторному расслоению.
Важный пример. Хопфовское или тавтологическое расслоение над RP" - это одномерное вещественное векторное расслоение, пространство которого есть совокупность пар (Z, х), где I G RP" - прямая в R"+1, х G I - ее точка; проекция действует по формуле (I, х) ь*х. Другими словами, слой хопфовского расслоения над / G RP" — это сама прямая I. Точно так же определяется (комплексное одномерное) хопфовское или тавтологическое расслоение над СР". Обобщениями служат тавтологические расслоения над грассманианами G^m, п), G^m, «) и CG(m, п) — это «-мерные векторные расслоения, соответственно, вещественное, ориентированное и комплексное.
Овеществление и комплексификация. Комплексное векторное расслоение £ можно овеществить, отбросив часть его структуры, а именно, умножение на мнимые скаляры. Овеществленное расслоение обозначается через R^. Если расслоение £ «-мерно, то расслоение R£ 2«-мерно. Расслоения вида R£ обладают канонической ориентацией: достаточно взять в слое этого расслоения комплексный базис х],..., хп и объявить положительно ориентированным вещественный базис Х], 1X1,..., хп> 1хп\ получающаяся ориентация не зависит от базиса хх,... ,хп (ср. с ’’важным замечанием” в примере к теореме 5 в § 17). Чуть сложнее определяется комплексификация С$ вещественного векторного расслоения £ = (Е, R” В. р)- Нужно в произведении СХЕ произвести отождествление (X, rx) = (rX, х) [х G Е, Х€ С, г 6 R] ; получившееся пространство СЕ — это пространство нашего расслое-
ния, проекция СЕ -*В действует по формуле (X, х ) ^р(х), векторные операции действуют по формулам д(Х, х) = (д X, х), (Хъ х) + (Х2, х) = (Х2 + Х2, х) [корректность проверяется молниеносно].
Упражнение 2. Докажите, что С£ — комплексное n-мерное векторное расслоение,
К описанным операциям примыкает операция комплексного сопряжения: если — комплексное векторное расслоение, то сопряженное расслоение £ отличается от £ только тем, что операция умножения на скаляр X G С в £ - это то же, что операция умножения на X в £.
Суммы и тензорные произведения. Если ti и £2 — векторные расслоения с общей базой, относящиеся к одному из трех наших типов, то сумма £2 ® Si и тензорное произведение £х ® Si — это векторные расслоения того же типа, что £х и £2, имеющие ту же базу, что £i и £2, и слои которых над точкой х базы являются, соответственно, суммами или тензорными произведениями слоев над той же точкой х расслоений £, и £2. Более формальное определение расслоения £i ® £2 (через К обозначается R или С): если £t = (Ei, В, К”», рх) и £2 = (Е2, В, К”» ,р2), то Si ® Si - это сужение расслоения £, X £2 = (Ех ХЕг,В ХВ, К"1*”»^, Хр2) на диагональ В С В X В. Другой путь формального определения £, ® £ i: пусть р*£2 = = (Е, EX)Kni .р^); по определению, £! ® £2 = (Е, В, К"**"1 ,р2 о р2).
Упражнения. 3. Введите структуру векторного расслоения в расслоение Si ® Si> определенное вторым способом, и докажите эквивалентность двух определений. (В частности, заметьте, что второе определение по форме не симметрично относительно ^ и £2, но из эквивалентности двух определений вытекает, что эта несимметричность иллюзорна.)
Введите ориентацию в сумму ориентированных расслоений.
Придумайте формальное определение для тензорного произведения двух расслоений..
Постройте изоморфизм Si ® (Si ® Sa) — (Si ®Si) ® ( Si ® Sa) (мы не видим необходимости в разъяснении смысла слова ’’изоморфизм”).
Два векторных расслоения (одного типа, но, возможно, разных размерностей) называются стабильно эквивалентными, если они делаются эквивалентными после прибавления к ним тривиальных расслоений. Кстати, стандартное тривиальное «-мерное расслоение (как вещественное, так и комплексное) в теории векторных расслоений обычно обозначается просто символом п. Так что предыдущее определение можно записать так:■
S~ct861? *=* 3m,«: ^®m~i)®n.
В заключение укажем на связь операции суммы с операциями предыдущего пункта.•
Упражнения. 7. Постройте канонический изоморфизм RC£ = £ ® £ (£ — вещественное векторное расслоение)._'
Постройте канонический изоморфизм CR£ = £ ® £ (£ — комплексное векторное расслоение).
Линейные отображения расслоений, подрасслоения и факторрасслоения. Линейное отображение векторного расслоения £, в векторное расслоение £ 2 (которые оба вещественные или оба комплексные) — это пара отображений F; Ех -*Ег^:Вх -*Вг (Е; и Bf — пространства и базы расслоений £,), такие, что (i) р2 о F =f о рх (pt — проекции) и (ii) отображение F линейно отображает каждый слой расслоения £, в слой расслоения £2. Подрасслоение векторного расслоения £ = (Е, В, К” р) — это такое векторное расслоение £’ = (Е1, В, Кт, р) с той же базой, что Е’ СЕ и включе-
ние Е* ^Е составляет с тождественным отображением В ^В линейное отображение £'->£. Другими словами, чтобы построить подрасслоение векторного расслоения $, нужно выделить в каждом слое расслоения £ подпространство, причем эти подпространства должны иметь одинаковую размерность и сами составлять векторное расслоение. Если $' — подрасслоение расслоения £, то, производя послойную факторизацию, мы получим факторрасслоение £/{■'. Другими словами, пространство расслоения £/{■' получается из пространства Е расслоения ? факторизацией по отношению эквивалентности: хг ~ хг, еслир(хх) = р(х2) их2 -хг GE'.
Очевидным образом определяется линейное отображение £ **£iV > которое называется проектированием.
Укажем на два важных примера подрасслоений: Sk£ С £ ®...®^, Л*$ С
к
С £® ... ® £ — симметрическая и внешняя степени расслоения £.
к
Координатное задание векторного расслоения. Обобщение. Пусть £ — векторное расслоение (одного из наших трех типов). Зафиксируем покрытие {17/} базы В, такое, что £ 1^. тривиально при каждом i, и зафиксируем соответствующие три- виализации I/ : p~*(^i ) * 17/ X К" (р — проекция, К” — слой). Возникает сквозное отображение ((7, П и^ X К" -* (Ui О Uj^ ХК”, х ^*4>j(4>rx (х)), которое для каждой точки у Е Щ П U, определяет преобразование К" -> К", принадлежащее группе GL(n, R), GL^n, R) или GL (п, С) в зависимости от того, какому типу принадлежит расслоение %. Обозначим эту группу через G; мы получаем набор непрерывных отображений <р,.: Uj Г) Uj -► G, обладающих следующими свойствами: \ptt (у) = 1, 4>ц (J7) = 'Рц(У) -1, ЧЧк(У) = 4>ц (у) Ч^ккУ^ (первое равенство имеет место при у € G Ui, второе — при у & Ut Г) Uj, третье — при у G Щ О Uj О Uk\ Легко понять, что задание набора отображений ф(д-. U{ П Uj -*G, обладающих перечисленными свойствами, равносильно заданию векторного расслоения. Такой способ задания векторного расслоения называется координатным.
Напрашивающееся обобщение таким образом заданных векторных расслоений состоит в том, чтобы взять произвольную топологическую группу G и произвольное G- пространство F в качестве слоя. Это обобщение доставляет локально тривиальное расслоение со слоем F и со специфической дополнительной структурой, учитывающей действие группы G в F. Такие расслоения называются косыми произведениями или расслоениями Стинрода (более современный термин) со структурной группой G и стандартным слоем F. Общая теЬрия таких расслоений изложена в классической книге Стинрода ’’Топология косых произведений”, в книге Хьюзмоллера ’’Расслоенные пространства” и в 4-й главе учебника Рохлина — Фукса. Мы ограничимся здесь рассмотрением примеров.
За примерами далеко ходить не надо: достаточно взять координатным образом заданное векторное расслоение и предположить, что функции vptj принимают значения не во всей группе GL(n, R), GL+(n,R) или GL(rf, С), а в какой-нибудь ее подгруппе, скажем, О(и), SO(n) или U(n). Легко понять, что получающееся расслоение Стинрода может быть адекватным образом описано как векторное расслоение с дополнительной структурой в слоях, например, в случае указанных подгрупп — евклидовой или эрмитовой метрикой, непрерывно зависящей от слоя. Если в качестве подгруппы группы GL(n, R) взять группу GL (п1, R) X GL(ni, R) блочно диагональных матриц («1 + и2 = и), то мы придем к «-мерным расслоениям, разложенным в сумму номерного и п2-мерного расслоений. Аналогичным образом можно описать векторные расслоения с выделенным не обращающимся в нуль сечением, векторные расслоения с выделенным подрасслоением и т.д.
Другие примеры расслоений Стинрода появятся в следующих пунктах.
Касательные и нормальные расслоения гладких многообразий. Понятие касательного вектора к гладкому многообразию очень важно, и потому оно имеет много эквивалентных определений. Наиболее естественный способ задания касательного вектора в точке х многообразия X заключается в том, что сначала фиксируется карта ф; U -> R”, такая, что х G U, и затем задается вектор и пространства R”, приложенный в точке ф (х). Если имеется другая карта, ф: V ->R”, также покрывающая точку х, то касательный вектор, соответствующий карте ф и вектору и, отождествляется с касательным вектором, соответствующим карте ф и вектору w = d^ t (и), где d^, — дифференциал отображения фф С\ К) -»-фф А К),у ^^(^"'(у)). Другая возможность, не требующая предварительной фиксации карты, состоит в том, чтобы определить касательный вектор как класс параметризованных кривых R -*Х, которые при нулевом значении параметра проходят через х и касаются друг друга (детали мы оставляем читателю). Еще более благоустроенное определение заключается в том, чтобы определить касательный вектор к многообразию X в точке х как линейное отображение а: С” (X) -* R (первое обозначает пространство С“-функций на ХУ удовлетворяющее двум аксиомам: (i) если/ = 0 в окрестности точки х, то «(/) = = 0; (й) a(/g) = а(/)#(х) + /(х)а(£) (смысл этого определения заключается в том, что касательные векторы отождествляются с операциями взятия производной в направлении этих векторов). Наконец если многобразие X реализовано как гладкая поверхность в евклидовом пространстве, то касательный вектор к X — это просто касательный вектор к этой поверхности. Это определение можно увязать с предыдущими, сказав, что касательный вектор в некоторой точке к евклидову пространству, рассматриваемому как гладкое многообразие, — это просто приложенный в этой точке вектор евклидова пространства, а касательные векторы к подмногообразию всегда являются касательными векторами к объемлющему многообразию.
Совокупность касательных векторов в точке х «-мерного многообразия X — это и-мерное пространство; оно обозначается через ТхХ. Объединение всех пространств ТхХ обладает естественной топологией и даже структурой гладкого многообразия (размерности 2л); это многообразие обозначается через ТХ. Естественная проекция ТХ -► X делает ТХ пространством векторного расслоения с базой X, называемого касательным расслоением многообразия X; обозначение касательного расслоения: т (ХУ Сечение касательного расслоения — это векторное поле на многообразии. Многообразие, у которого касательное расслоение тривиально, называется парал- лелизуемым; таким образом, параллелизуемость — это возможность согласованным образом выбрать базисы во всех касательных пространствах или, что эквивалентно, построить п векторных полей, линейно независимых в каждой точке (п — размерность многообразия). Например, окружность параллелизуема, тор параллелизуем, а двумерная сфера не параллелизуема.Трехмерная сфера параллелизуема: если представить ее как пространство единичных кватернионов, то базис в касательном пространстве T^S3 составят (приложенные в точке х) векторы ix,jx, kx, где i J, k — кватернионные единицы. Заменяя кватернионы числами Кэли, мы получим параллели- зацию S1. Замечательный факт заключается в том, что никакие сферы, кроме S1, S3 и 57 не параллелизуемы; это — одна из редакций доказанной Адамсом гипотезы Фробениуса (см. § § 1,16).
Упражнение 9. Покажите, что ориентируемость касательного расслоения многообразия % равносильна ориентируемости X (в смысле § 17).
Если У есть подмногообразие многообразия X, то на У возникают два расслоения: т(У) и r(Z)| у. При этом т (У) есть подрасслоение расслоения т (А-) | к (мы замечали выше, что касательные векторы к подмногообразию являются касательными векто-
рами к многообразию). Соответствующее факторрасслоение т(У)|у/т(У) называется нормальным расслоением многообразия У в X и обозначается через р%(У) или р(У). Название объясняется тем, что если X расположено в евклидовом пространстве, то расслоение ^х(У) можно представлять себе как составленное из касательных векторов к X в точках многообразия У, нормальных (перпендикулярных) к У.
Укажем на изоморфизм т (У) + v (У) = т (У) | у. В частности, если X = R", то т(У) + + р(У) = п.
Упражнения. 10. Выведите из последнего равенства, что нормальные расслоения многообразия У, получающиеся при разных его вложениях в евклидовы пространства, стабильно эквивалентны.
Покажите, что нормальное расслоение к «-мерной ориентированной поверхности в (n + 1)-мерном пространстве тривиально. Выведите отсюда, что касательное расслоение к такой поверхности (например, к произвольной сфере с ручками) стабильно тривиально (т.е. стабильно эквивалентно тривиальному). Многообразие, касательное расслоение к которому стабильно тривиально, называется стабильно параллелизуемым. Очевидно, многообразие стабильно параллелизуемо тогда и только тогда, когда его нормальное расслоение в евклидовом пространстве стабильно тривиально. Можно доказать, что (это — не упражнение, а просто информация): многообразие стабильно параллелизуемо тогда и только "тогда, когда оно параллелизуемо в дополнении к точке; многообразие стабильно параллелизуемо тогда и только тогда, когда оно ориентируемо и погружается в евклидово пространство на единицу большей размерности; незамкнутое связное многообразие стабильно параллелизуемо тогда и только тогда, когда оно параллелизуемо.
Пусть f — хопфовское расслоение над RP”. Покажите, что
t(RP")® 1 ~f ® .. ,®f =(п + l)f.
и + 1
Сформулируйте и докажите комплексный аналог этого предложения. (Заметьте, что касательное расслоение к СР" обладает естественной комплексной структурой.)
Ассоциированные расслоения и характеристические классы.
Определение характеристических классов. Фиксируем один из трех типов векторных расслоений и будем называть расслоения этого типа просто расслоениями. Мы скажем, что задан «/-мерный характеристический класс а «-мерных расслоений (нашего типа) с коэффициентами в абелевой группе А, если всякому «-мерному расслоению £ с клеточной базой поставлен в соответствие «/-мерный класс а(£) когомологий базы с коэффициентами в А, и при этом если £ есть «-мерное расслоение с базой В и /: В -*В есть непрерывное отображение клеточного пространства В'в В, то а(/*О = f*^) (/* в левой части равенства обозначает переход к индуцированному расслоению, в правой части — индуцированный когомологический гомоморфизм) .
Само слово ’’характеристический класс” не ново для нас: так мы называли в § 18 первое препятствие к построению сечения, и равенство типа «(/*£) = /*«(£) для тех характеристических классов было выполнено. Однако непосредственно к векторным расслоениям такая конструкция характеристических классов неприменима, потому что у этих расслоений слой стягиваем. (Напомним, что областью коэффициентов для характеристических классов из § 18 служит первая нетривиальная гомотопическая группа слоя.) Выход из положения состоит в том, чтобы применить конструкцию § 18 не к векторному расслоению, а к какому-нибудь производному расслоению, которое естественно строится по векторному. Запас таких производных расслоений доставляет конструкция ассоциирования.
Определение ассоциированного расслоения. Для читателя, который усвоил сказанное в п. 1Е, определение ассоциированного расслоения должно показаться самоочевидным. Берется векторное расслоение, заданное координатным образом — посредством покрытия {(//} базы и набора отображений ф^; Щ <"\ Uj-*G, где G = = GL (и, R), GL+(n, R) или GL (n, С), и произвольное пространство F, в котором действует групца G. После этого мы строим расслоение с той же базой и слоем F по схеме п. 1Е: пространство этого расслоения мы склеиваем из произведений и4Х F посредством отождествлений
[О', Л е Ui X F] ~ [(У, ф.^л еи,ХГ\
при любых z, j,yEUir\UjVLf^F. Однако столь общая конструкция нам не понадобится, мы приведем два совершенно прозрачных примера и в дальнейшем почти всегда будем ими ограничиваться.
Пусть £ = (£", В, К", р) — векторное расслоение. 1°. Положим Е* = Е - В, где В вложено в Е в качестве ’’нулевого сечения” — объединение нулей слоев. Расслоение $' = (Е', В, К"- 0, р'), где р* = р Ip», ассоциировано с £ при F = К" - 0. 2°. Фиксируем к, 1 ^к Си, и обозначим через Ек совокупность ^-реперов в слоях расслоения £. Более формально:
Ек = Юь • • • , хк^ ^Е X . . .X Е\ p(Xi) = .. . = р(хк), Х( линейно независимы}.
(В случае к = п это пространство упоминалось в начале параграфа.) Очевидно, ^к = = ^Ек, В, Rk, pfc), где Rk — пространство &-реперов в К”, и pkVxh - • ■ iX^ = pOi) [=...= р(хп) ] есть локально тривиальное расслоение, ассоциированное с £ (F = = Rk) • Заметим, что £i = £'.
Укажем на маленький дефект вышеприведенных конструкций (скорее, эстетический, чем технический) : в качестве слоев фигурируют некомпактные пространства, которые хотелось бы заменить гомотопически эквивалентными им классическими компактными пространствам: сферами и многообразиями Штифеля. Это можно сделать, воспользовавшись следующей почти очевидной леммой.
Лемма. Если вещественное или комплексное векторное расслоение имеет клеточную базу, то в его слоях можно ввести непрерывно зависящую от слоя евклидову или эрмитову структуру.
Доказательство. Совокупность всех евклидовых или эрмитовых структур в слоях векторного расслоения с базой В представляет собой локально тривиальное расслоение с базой В, слоем которого является совокупность евклидовых или эрмитовых структур в вещественном или комплексном линейном пространстве. Наше утверждение состоит в том, что это расслоение обладает сечением. Но совокупность всех евклидовых структур в вещественном линейном пространстве есть выпуклое подмножество пространства всех билинейных форм на этом пространстве, и потому эта совокупность стягиваема. По сходным причинам стягиваема совокупность всех эрмитовых структур в комплексном линейном пространстве. Таким образом, мы должны построить расслоение с клеточной базой и стягиваемым слоем, а это можно сделать, потому что все препятствия к построению такого сечения тривиальны.
Кстати: тривиальны не только препятствия, но и различающие, и поэтому указанное сечение гомотопически единственно. Это позволяет нам без боязни считать, что в рассматриваемых векторных расслоениях имеется евклидова или эрмитова структура, и вместо ненулевых векторов и произвольных реперов говорить об единичных векторах и ортонормированных реперах. В частности, расслоение V превращается при этом в ’’сферическое” расслоение, слои которого — сферы.
С. Классические характеристические классы векторных расслоений. Пусть £ — ориентированное n-мерное векторное расслоение с базой В. Рассмотрим сферическое расслоение £ . Легко понять, что ориентируемость расслоения £ влечет за собой простоту расслоения £ ’ (читатель, который пожелает вникнуть в этот предмет, без труда убедится в том, что связность структурной группы всегда влечет за собой простоту косого произведения), а выбор определенной его ориентации доставляет определению! изоморфизм между (и — 1)-ми гомотопическими группами слоев расслоения £ и группой Z. Благодаря этому определено первое препятствие к построению селения в расслоении £ ’, и оно является элементом группы Нп{В\ Z). Этот элемент — характеристический класс расслоения £ — называется классом Эйлера расслоения £ и обозначается через е(£).
Лемма. Пусть 1 < к < п. Тогда:
яг(У(п, к)) = 0 при i<n - к;
{
Z, если к = 1 или п — к четно, О в остальных случаях.
Доказательство. Случай и = 2 тривиален (К (2,1) = №). Предположим, что для У(п — 1, к) лемма доказана и рассмотрим расслоение
,V{n-\,k-\)„ .
У(п, к) —»Sn~l
(проекция ставит в соответствие реперу его первый вектор). Нам нужен фрагмент его гомотопической последовательности
я/+1(5п- *) -> яКУ(п - 1, к - 1)) я^п, к» - MS”-*).
Если i < п - 2, то крайние члены - нули, средняя стрелка — изоморфизм, и мы получаем нужное для У(п, к) при к > 2. Случай У(п, 1) очевиден (У(п, 1) = S"-1), остается случай У(п, 2). В этом случае наш фрагмент с i = п - к имеет вид:
л„_1(5"-1)^л„_2(5"-2)^я„_2(К(П,2))^л„_2(5"-1).
ZZZZоо
Z
Z
Z
Z
о
о
Наше утверждение в точности означает, что первая стрелка Z -> Z тривиальна при четном п и является умножением на 2 при нечетном п. Докажем этот факт. Прежде всего, само расслоение есть T^S ”-1 -*Sn-1, где Т^ обозначает пространство единичных касательных векторов. Согласно п. 7 § 9 (см., в особенности, рис. 59), нужно поднять в пространство расслоения сфероид, в нашем случае тождественный (образующую группы тг„_1(5”-1)), разорвав его в одной точке, и взять получающееся в этой точке отображение S"~2 -> слой = S"-2. Другими словами, на S"-1 нужно построить векторное поле с одной особой точкой; векторы этого поля в точках маленькой сферы, окружающей особую точку, и зададут наше отображение S"-2 -* -* S"-2. На Sn-1 легко построить векторное поле с двумя особенностями: взять стрелки, указывающие на север. Если охватить особые точки (полюса) общей сферой, то на этой сфере поле будет устроено, как показано на рис. 83. Соответствующее отображение S "-2 -* S п~2 есть сумма двух сфероидов: тождественного и антиподального. Степень такого отображения равна 1 + (—I)"-1, что нам и требуется.
Первое препятствие к построению сечения в расслоении £ к принимает значения в Н”-**1^; 1Гп_к(У(п, к^ = Z или Z2). Это препятствие обычно приводят по модулю 2 и полученный класс Wj^) G Н'(В‘, Z2), / = п - к + 1, называют j-м классом
Штиффеля - Уитни расслоения $. Заметим, что ориентируемость расслоения £, нужная, как и при построении класса Эйлера, для простоты расслоения ^к, делается излишней после приведения коэффициентов по модулю 2, так что классы Штифеля — Уитни определены для произвольных вещественных векторных расслоений (детали мы оставляем читателю).
Для ориентированных «-мерных векторных расслоений имеет место равенство wn(£) = Pie(£), где р2 - приведение по модулю 2.
Рис. 83Рис. 83
Рис. 83
Рис. 83
Пусть теперь £ — комплексное «-мерное векторное расслоение.
тгДСУ^п, k)) =тгДСУ^п, k)) =Лемма. Пусть 1 <к<п. Тогда [ 0 приi < 2(« - к) + 1,
тгДСУ^п, k)) =
тгДСУ^п, k)) =
I Z при/ = 2 (« - &) + 1.
Доказательство этой леммы повторяет первую, тривиальную часть доказательства предыдущей леммы.
Ввиду этой леммы, первое препятствие к построению сечения в расслоении ^к есть некоторый класс <?,(£) G НгДВ\ Z), j = п - к * 1. Этот класс называется j-м классом Черна (= Чженя^ расслоения £.
Наконец, если £ снова есть «-мерное вещественное векторное расслоение, то полагают (-1)'с2/(С£) = рД^ G Н4ЧВ; Z) и называют классы Pj^ классами Понтрягина расслоения £. (Знак (—I)7 имеет чисто историческое происхождение; причина, по которой мы ограничиваемся четными классами Черна, будет отчасти объяснена ниже). Классы Понтрягина можно определить и непосредственно: нужно образовать расслоение, ассоциированное с £, слоем которого является пространство систем из « — 2/ + 2 векторов в слоях, имеющих ранг > « - 2/, и взять первое препятствие к построению сечения. Это и есть /-й класс Понтрягина (читателю вряд ли стоит возиться с доказательством этого факта).■
Упражнения. 13. Покажите, что Wi(£) = 0 тогда и только тогда, когда расслоение £ ориентируемо.
Покажите, что если £ есть «-мерное комплексное расслоение, то e(R£) = = сп^, ^2/(R£) = РгсД^ и w2/+1(R£) = 0.
Характеристические классы и классифицирующие пространства.
А. Классифицирующие пространства. В п. 1А мы упоминали тавтологические расслоения над грассманианами; сейчас зти расслоения выйдут у нас на передовые позиции.
Излагаемая ниже теория имеет три совершенно параллельных варианта для трех типов векторных расслоений. Мы начнем с вещественного случая, а для двух других типов ограничимся перечислением формулировок в конце пункта.
Напомним, что пространство тавтологического расслоения (которое мы обозначим через 1? или т;п) над многообразием Грассмана G(N, п) есть совокупность пар (л,х), где л G G(N, ri) есть «-мерное подпространство пространства RN их G л CR^; проекция определяется формулой (л, х) *-► л.
Теорема. Пусть X — конечное клеточное пространство размерности т, и пусть N> m. Тогда-.
для любого п-мерного векторного расслоения £ над X существует непрерывное отображение f: X -* G(N, ri), такое, что £ ~/*1? (~ обозначает эквивалентность расслоении);
такое отображение f определено однозначно с точностью до гомотопии, т.е. если/?Т1~/1Т1, то fx ~fi (во втором случае ~ обозначает гомотопность).
Замечания. 1°. Эта теорема показывает, что множество классов эквивалентных «-мерных вещественных векторных расслоений над X находится во взаимно однозначном соответствии с множеством it(X, G(N, ri)).
2°. Части (i) и (ii) теоремы покрываются следующим относительным вариантом части (i):
(i') Пусть § - векторное расслоение над X, Y - клеточное подпространство пространства X uh: Y -* G(N, ri) — такое отображение, что И* ц ~£ |у. Тогда существует отображение f: X-*G(N, ri), такое, что f*q~^ и f\y = h.
(Чтобы вывести из (i') утверждения (i) и (ii), достаточно применить (i'), соответственно, к парам (X, ф) и (X X I, (X X 0) U (X X 1)).)
3°. Условие N > m можно расшифровать в утверждениях (i) и (ii) как N> 2m, а в утверждении (i') — как N> 2m + 1; впрочем, его можно безболезненно заменить условием N = °°. Дело в том, что k-й остов (стандартного клеточного разбиения) пространства G(N, ri) при N> п + к не зависит от N, и потому теорема о клеточной аппроксимации показывает, что л(Х, G(N, ri)) не зависит от N при N> п + m + 1.
4°. Ссылка на теорему о клеточной аппроксимации в предыдущем замечании — это единственное место, в котором используется клеточность пары (X, У). Ниже мы доказываем утверждение (i') в предположении, что X — компактное нормальное пространство и У — его замкнутое подмножество. Топологические условия на пару (X, У) нужны для справедливости основной леммы, доказывать которую мы все равно не будем.
Назовем линейным функционалом на пространстве Е векторного расслоения £ непрерывную функцию Е -» R, которая на каждом слое является линейным функционалом.
Лемма. Всякий линейный функционал на пространстве расслоения § |у продолжается до линейного функционала на пространстве расслоения £.
5°. Приведем эквивалентную форму утверждения (i'), в которой его легко доказать.
(i") Пусть ч>х^ • • ■, ^n - линейные функционалы на пространстве расслоения |у, такие, что для каждой точки у & Y сужения функционалов фх, - • •, 4>n на слой расслоения § над точкой у линейно порождают пространство линейных функционалов на этом слое. Тогда функционалы <рх, .. ., 4>N можно продолжить до линейных функционалов \рх, • • •« 4>n на пространстве расслоения £, которые обладают тем же свойством в любой точке х € X. (Как и прежде, считается, что N > dim X; можно считать, что N = °°, но тогда нужно предположить, что все функционалы ч>, и все функционалы Фр начиная с некоторого, тождественно равны 0.)
Чтобы доказать эквивалентность (i') <==*(1"), достаточно заметить, что функционалы ii,. .., ipN составляют отображение пространства Е расслоения £ в R^ при котором каждый слой отображается на некоторое «-мерное подпространство пространства R^. Таким образом, каждому слою, т.е. каждой точке базы, отвечает элемент грассманиана G(N, ri), и ясно, что получившееся отображение обладает тем свойством, что /*Т1~^.
Доказательство утверждения (i") с N = «. Начнем, для ясности, со случая У = ф. Возьмем точку х G X и выберем на слое надх линейно независимые функционалы <£1,.. ., i„. В силу леммы, их можно продолжить до линейных функционалов i^, „ . ,^„ на всем Е, и в некоторой окрестности Ux точки х они будут линейно независимы. Проделав это во всех точках х G X, мы получим, среди прочего, открытое покрытие {Ux }"пространства X, из которого, ввиду компактности X, можно выбрать конечное подпокрытие iUXj). Функционалы фр соответствующие точкам X,, и составляют нужную систему (мы дополняем ее нулями до бесконечной системы). В случае непустого У требуется следующая модификация конструкции. Во-первых, ненулевые функционалы, заданные над У, мы считаем, пользуясь леммой, заданными над всем X. К полученной системе функционалов мы добавляем систему функционалов, построенную в первой части доказательства, только каждый из этих дополнительных функционалов мы умножаем на непрерывную функцию /: X-* R, равную 0 на У и отличную от нуля вне У. Доказательство закончено.
В вещественном ориентированном и комплексном случаях ситуация в точности та же, только роль пространства G(N, и) принимают на себя пространства G+(N, п) и CG^N, ri), а роль расслоения q играют аналогичные ориентированное расслоение т)+ над G+(N, п) и комплексное расслоение т?с над CG(N, и).
Характеристические классы и когомологии классифицирующих пространств.
Теорема. Группа q-мерных характеристических классов п-мерных вещественных [п-мерных ориентированных, п-мерных комплексных) векторных расслоений с коэффициентами в А изоморфна группе iFiGiN, п);А) [группе H4(G+(N, п); А), группеНq(CG(N, п),А)], где N>n.
Доказательство в трех случаях одинаково, мы ограничиваемся вещественным случаем. Заданный характеристический класс может быть вычислен для расслоения 17; при этом получается элемент группы Hq[G[N, п); А). Нужно доказать, что: (i) значение ненулевого характеристического класса на 17 не может быть нулевым; (и) всякий элемент группы Hq[G[N, п); А) является значением на 17 некоторого характеристического класса.
Если характеристический класс принимает нулевое значение на 17, то он принимает нулевое значение на произвольном расслоении с конечной клеточной базой, поскольку такое расслоение всегда представляется в виде /*т). Если наш характеристический класс принимает ненулевое значение a G Hq (У; А) для некоторого расслоения $ с произвольной клеточной базой X, то мы находим конечное клеточное пространство У СX, такое, что при гомоморфизме включения Hq (У; A) -*Hq[Y; А) класс а переходит не в 0. Тогда наш характеристический класс принимает ненулевое значение на расслоении £ I у, что противоречит доказанному.
(й) Пусть 7 G Hq[G[N, п); А). Значение характеристического класса на расслоении /*17 с базой X мы определяем как /*7 G Я9 (У; А), этим класс определен для всех расслоений с конечными клеточными базами. Если £ — расслоение с бесконечной клеточной базой X, то для любого конечного подпространства У СХ определено значение «у G Я9 (У; А) характеристического класса на расслоении £ |у, и ясно, что существует единственный класс a G Hq{X\ А), переходящий в «у при .гомоморфизме, индуцированном каждым включением У -* Х\ это и есть значение характеристического класса на £.
Теорема доказана.
С. Полнота системы классов Эйлера, Штифеля - Уитни, Черна и Понтрягина.
Т е о р е м a. (i) Всякий характеристический класс с коэффициентами в Z2 вещественных п-мерных векторных расслоений есть полином от классов Штифеля —
Уитни w ],..., w„, причем разным полиномам отвечают разные характеристические классы.
Всякий характеристический класс с коэффициентами в Z комплексных п-мерных векторных расслоений есть полином от классов Черна с^,... ,сп, причем разным полиномам отвечают разные характеристические классы.
Всякий характеристический класс с коэффициентами в Q или R или С вещественных п-мерных векторных расслоений есть полином от (образов при гомоморфизме, определяемом включением Z в область коэффициентов') классов Понтрягина Pi, Pi,... , Р^пщ, причем разным полиномам отвечают разные характеристические классы.
Всякий характеристический класс с коэффициентами в Q или R или С вещественных ориентированных п-мерных векторных расслоений есть полином от (образов) классов Понтрягина pv, рг,..., Р^п^ 1 “> ИР° четном п, класса Эйлера е, причем разным полиномам отвечают разные характеристические классы.
Доказательство (каждой части) этой теоремы состоит из двух частей. Во-первых, необходимо убедиться в том, что соответствующая группаHq(G(N, п), G+(N, п) или CG(N,n); Z2, Z, Q, R или С) имеет в точности такие размеры, как группа полиномов указанного вида, имеющих степень q. Этот результат легко извлечь из вычислений когомологий грассманианов, проделанных в п. 7 §13. Во-вторых, необходимо установить, что никакой из этих полиномов не является тождественным нулем как характеристический класс. (В неполевом случае (ii) требуется чуть больше — уточнение оставляется читателю.) Для этого требуется достаточный запас явно вычисленных характеристических классов. Такого запаса у нас пока нет, и мы откладываем вторую часть доказательства до следующего пункта.
D. Обобщения. Аналоги грассманианов и расслоений 17, именуемые классифицирующими пространствами и универсальными расслоениями, имеются для расслоений Стинрода с произвольной структурной группой G. Именно, справедливо следующее утверждение.
Теорема. Пусть EG - стягиваемое пространство, на котором свободно действует группа G, и пусть факторпространство EG/G = BG клеточно. Тогда расслоение EG -* BG универсально в том смысле, что для любого конечного клеточного пространства X всякое расслоение Стинрода над X со структурной группой G и произвольным стандартным слоем F индуцируется посредством гомотопически единственного отображения X -* BG расслоением со слоем F, ассоциированным с расслоением EG -* BG. .
Известны явные конструкции пространств EG и BG (см. Рохлин — Фукс, § 4.4). При этом пространство BG определяется группой G однозначно с точностью до гомотопического типа. В полной аналогии с теоремой п. В доказывается
Теорема. Характеристические классы размерности q с коэффициентами в А расслоений со структурной группой G находятся во взаимно однозначном соответствии с Hq(BG; А).
5. Важнейшие свойства классов Штифеля — Уитни, Эйлера, Черна и Понтрягина.
Свойства классов Штифеля — Уитни.
Теорема. Классы Wj обладают следующими свойствами.
Если f - хопфовское расслоение над RPn, то 0 ^w^f) g№(RP"; Z2) = Z2 u W;(f) = 0 при i> 1.
Для любых векторных расслоений с одной (клеточной) базой £, ц
wi(^eq)= 2 wa(^)wg(n)
а + 0= i
(мы считаем, что для любого расслоения w0 = 1).
Доказательство части (i) мы оставляем читателю в виде упражнения. Часть (ii) удобно доказывать в эквивалентной форме
(ii') wt^XT^ = 2 wa(£)X и^(л), а + 3 = i
где £, л — расслоения с клеточными (возможно, не одинаковыми базами X, Y, £ Хц — прямое произведение этих расслоений (с базой XX У), X в правой части обозначает когомологическое Х-умножение (см. § 16). Вывод (ii) из (ii') состоит в рассмотрении случая X = Y и применении диагонального отображения. Вывод (ii') из (ii) основан на равенстве ? X л = (?х^) ® (Ру7?) (гДе Рх’ Py - проекции произведения X X Y на сомножители) и аналогичной формуле для когомологий. Доказательство формулы (ii') основано на двух леммах (которые являются частными случаями утверждений (ii) и (ii')).
Лемма 1. Классы Штифеля - Уитни стабильно эквивалентных расслоений одинаковы.
Действительно, сечение расслоения £к очевидным образом достраивается до сечения расслоения (£ ® л)„ + к .
Лемма 2. Если dim ? = dim X = р и dim л = dim Y = q, то
Wp + q ($ X л) = Wp^ X Wq(Tj\
Доказательство. Классы Штифеля, участвующие в этом равенстве, — это препятствия к построению одного ненулевого сечения (приведенные по модулю 2). Зафиксируем не обращающиеся в 0 сечения р иф расслоений ? и л над Хр-1 и У9""1 и продолжим их до сечений р и ф над X и У, которым разрешено иметь нули общего положения. Обозначим через а^, b(^f) и c(g) вычет по модулю 2 числа нулей сечения р, ф ир X ф в клетке е, f ng (размерности р, q и р + q^ пространства X, У и X X У. С одной стороны, ясно, что е*-»д(е) ,/>-*6(/) Hgi-*c(g) — коциклы, представляющие когомологическиеклассы wp(£), н^л) и wp+q^ X 17). С другой стороны, очевидно, с(е X /) = a^b^f). Лемма доказана.
Теперь докажем формулу (ii'). Возьмем любые а, Р иа + p = i и рассмотрим включения ja : Х“ -* X и кр; У^ -* У и сужения ? |ха, 17 |уд. Очевидно, расслоение ? 1ха стабильно эквивалентно «-мерному расслоению £0 (оно имеет dim ? — а линейно независимых сечений), расслоение ЛI у £ стабильно эквивалентно 0-мерному расслоению т?0 и расслоение (£ X л)1<х“ х у*3) стабильно эквивалентно z-мерному расслоению $0 X Ло- Применяя леммы 1 и 2, получаем цепочку равенств:
Ua Х kp^w^ х n) = w,((tixa)x (i7lyP)) = w,(^0 X 4o) = watio)X н-р(ло) =
= w« (?lxc) X Wp (п1yp) = /* wa(?) X kpwp(q) = (/a X kp^(wa (?) X w0 (л)) =
= UaW< 2 M^XWp^
(последнее равенство вытекает из того, что все слагаемые в последней сумме, кроме одного, аннулируются гомоморфизмом (/а X крУ). Таким образом, разность левой и правой части равенства (ii') принадлежит ядру каждого гомоморфизма (/"tt X кр^ Остается заметить, что пересечение этих ядер равно 0 (гомоморфизмы (/a X кр)* составляют вложение Н1 (X X У; Z2) = ®а*з=АНа^", ^2) ® H*4 Y\ Z2)) С С ®a + p = i(H4Xa;Z^® НЧуР;Хгу>
Удобно записать формулу (ii) в виде w(? ® л) = w(?)w^), гдем есть формальная сумма 1 + w । + w2 + ..."
П ример. Найдем w^f X . .. X f), где f X ... X f — произведение и экземпляров расслоения Хопфа над RPN, N > п. Напомним, что H*(RP*\ Z2) = Z2 [x]/xJV+1, dim a: = 1. Согласно (ii') и (i).
wax . . ,Xf)=wa)X .. . X w(f)=(l + x)X ...X (1 +x)
и, следовательно, wf(f X . .. X f) = e; (p*x,. .., p*xy где e; есть элементарный симметрический полином, pt: RPN X . .. X RPN ->RPN есть /-я проекция.
Следствие. Никакой полином от классов Штифеля — Уитни не есть тождественно нулевой характеристический класс.
В самом деле, этот полином нетривиален уже на произведении f X ... X f с достаточно больным числом сомножителей, ибо никакой полином от элементарных симметрических полиномов не есть 0.
Напомним, что последнее утверждение необходимо для доказательства основной теоремы п. 4С.
Замечание. Свойства классов Штифеля — Утини, заключенные в предыдущей теореме, часто кладутся в основу аксиоматического определения классов Штифеля — Уитни (см. Милнор — Сташефф, ’’Характеристические классы”).
Формулы, выражающие классы Штифеля - Уитни расслоений £ ® 17, Sfc£ и \к^ через классы Штифеля — Уитни расслоений £ и 17 и размерность расслоений £ и 17, существуют, но более сложны. Вот некоторые из этих формул (мы полагаем dim £ = и, dim 17 = /и):
wi Й ® Ч) = wwj (£) + nw, (17),
w2(£ ® Ф) = ^2w2(£) + (mn - l)w1(£)w1(i7) +
„ m(m - 1)„ nUi - 1)„
+ п2н-2(7?) +Wj(£)2 +-н-Дт?)2,
wi(S2£) =(» + 1)w1(£),
(n - 1) (n + 2).
™2(S £) = (« + 2)w2(£) +-w,(£)2,
Wi(A2£) =(«-1)wi(£),.
.(n — 1) (n — 2)_
w2(A2£) = (n-2)w2(£) +w,®2,
Общие формулы для w,(£ ® 17), wf(Sfc£)„ wt^Xk^ можно получить так. Введем формальные переменные хх,...» хп, ух,..., ут- составим 7-й элементарный симметрический полином от тп переменных xs + yt и представим его как полином от элементарных симметрических полиномов от х и у:
et(xs +yt) = Pi (eu (x), ev(^).
Тогда
w, (£ ®t?)=/,,(wu(£),wu(t))).
Далее, составим j-й элементарный симметрический полином от С„+г переменных xti + ... + Xjr , z^ .. . < ir , и выразим его через элементарные симметрические
полиномы от х:
^({х,-, + ... +х/г | и <... < ir}) = РДе,(х)).
Тогда
w^Witw^y
Аналогично
«/({*/, +...+x,/.|i1 <.. .<ir}) = P,-(es(x)y
™{ОТ = Р,(^У*
Доказательство всех этих формул лежит за пределами нашего курса. (План доказательства таков. Для расслоений, расщепляющихся в сумму одномерных расслоений, все эти формулы без труда выводятся из ’’формул умножения” (часть (и) основной теоремы этого пункта), а переход к общему случаю осуществляется на основании общего принципа расщепления, который, неформально говоря, заключается в том, что соотношения между характеристическими классами, справедливые для расслоений, расщепляющихся в сумму одномерных расслоений, справедливы для любых расслоений. Формальную основу этого принципа составляет теорема Бореля, утверждающая, что естественное отображение RP” X ... X RP" -* G(°°, и) индуцирует моно-
п морфизм в когомологиях mod 2.)
Свойства классов Эйлера, Черна и Понтрягина. Для класса Эйлера имеет место формула умножения е(? ® 17) = е(?)с(т)).
На классы Черна дословно переносится все, сказанное для классов Штифеля — Уитни; в частности, у хопфовского расслоения fc надСР" классе, есть стандартная образующая группы №(Ф"; Z), а остальные классы Черна равны 0; имеет место формула умножения
с^®т^ = 5 са(Оср(17)
а + Д=/
и формулы для классов Черна тензорных произведений, симметрических и внешних степеней, дословно повторяющиеся соответствующие формулы для классов Штифеля — Уитни. Классы Черна, как и классы Штифеля — Уитни, одинаковы у стабильно эквивалентных расслоений.
Упражнения. 15. Докажите, что с^ £) = (-р^сД?). Выведите из этого, что для любого вещественного векторного расслоения ? и любого нечетного i имеет место равенство 2с,-(С?) = 0. [Ср. комментарий к определению классов Понтрягина.]'
Определим полином Qr от г переменных формулой
Nr = Qr{el,. ...,ег),.
где е,- - элементарные симметрические полиномы, Nr - суммы r-х степеней. Положим
<МО= 4 Q,(c,(?)»... ,сд^енг\- Q)- г!
Характеристический класс (размерно неоднородный) с коэффициентами в Q
ch = ch0 + ch, + ch2 + ...
называется характером Черна. (Заметим, что cho(?) £ НД-; Q) есть просто размерность расслоения ?.) Докажите, что
ch(£® 17) = ch? ch 17.
Для классов Понтрягина формулы умножения и все прочие формулы выводятся из соответствующих формул для классов Черна и имеют место ”по модулю 2-кручения”. Например, •
21?» ^ ® ^ ~ а + ^_; р« ^рР (^ = 01
Упражнение. 17. Докажите, что у стабильно эквивалентных расслоений классы Понтрягина одинаковы.
С. В заключение мы приведем две формулы при помощи которых классы Штифе- ля — Уитни и Черна выражаются через класс Эйлера. Пусть £ — вещественное векторное расслоение размерности и над клеточным пространством X и £ — хопфовское расслоение над RP”. Образуем расслоение £ ® f над X X КР~ (точнее говоря, это — тензорное произведение расслоений над X X RP“, индуцируемых расслоениями £ и f посредством проекций на сомножители). Тогда
р3е«®»= 2 (W<(£)Xx"-')Gtf"(XXRP“;Z3), i = О
где х G Я1 (RP“; Z2) - образующая. Аналогично, если £ - комплексное векторное расслоение размерности и над X и fc — (комплексное) расслоение Хопфа над СР”, то ‘
е«®?с)=Сп«®?с)= 2 (а«)Хх”-,)еН2”(ХХСР~; Z),
1 = 0
где xG№(CP“;Z) — образующая.
Эти формулы могут рассматриваться как определения классов Штифеля — Уитни и Черна через класс Эйлера. Кстати, их доказательство заключается в проверке аксиом (см. замечание в п. А).
Характеристические классы в топологии гладких многообразий. Этого необъятного предмета мы можем лишь коснуться.
А. Геометрическая интерпретация первого препятствия. Пусть (Я В, F, р) - гомотопически простое локально тривиальное расслоение, в котором Ей В — гладкие многообразия, причем многообразие В замкнуто, и-мерно и ориентируемо, и р - гладкое отображение, имеющее в каждой точке многообразия Е якобневу матрицу максимального ранга (субмерсия). Предположим, что Tt0(F) = . .. = Ttk_2(F) = О и я^_](Я)=я. Тогда первое препятствие к построению сечения в нашем расслоении лежит в Нк^В; я). Предположим, далее, что нам удалось построить сечение над В — X, где X — подмногообразие многообразия В (возможно, с особенностями коразмерности > 2) размерности п - к (простые соображения типа приведения в общее положение показывают, что сделать это всегда можно) или объединение нескольких таких многообразий, пересекающихся трансверсально: Х=иХ^ Возьмем неособую точку одного из этих многообразий X, (мы считаем их связными) и рассмотрим маленькую (к —1)-мерную сферу, охватывающую многообразие вблизи этой точки. Поскольку над этой сферой сечение имеется, а расслоение вблизи рассматриваемой точки считается тривиализованным, мы получаем отображение Sk'1 (слой), определяющее (ввиду простоты расслоения и слоя) некоторый элемент а,- группы ■nk_1(F) = я.
. Утверждение: класс Е,а,[Х,] еНп_к(В; я) соответствует при изоморфизме Пуанкаре первому препятствию к распространению сечения в нашем расслоении. Доказательство оставляется читателю. (Указание: триангулируйте многообразие В таким образом, чтобы многообразие X не пересекалось с симплексами размер-
ности < к, а с каждым симплексом размерности к пересекалось бы трансверсально, и при этом не более, чем в одной точке.)
Дифференциально-топологические интерпретации класса Эйлера.
Пусть £ = (Е, В, R”, р) — гладкое векторное расслоение (т.е. векторное расслоение, у которого Е и В - гладкие многообразия, р — субмерсия и векторные операции в Е гладки). Предположим, что В есть замкнутое ориентированное многообразие. Пусть s: В -*Е — сечение расслоения {, находящееся в общем положении с нулевым сечением. Покажите, что пересечение В С\$^ (мы считаем В вложенным в Ев качестве образа нулевого сечения) представляет гомологический класс многообразия В, соответствующий при изоморфизме Пуанкаре классу Эйлера е({) расслоения ?.
Пусть Y — замкнутое ориентированное подмногообразие гладкого многообразия X, и пусть р^У) — соответствующее нормальное расслоение. Докажите формулу
DVe^Y^ = т ![П,
где D - изоморфизм Пуанкаре (в У), z: Y -*X - включение, [У] - гомологический класс многообразия X, представляемый Y. Следствие: если [У] = 0, то е(у%(У)) = 0; например, эйлеров класс нормального расслоения многообразия У, вложенного в евклидово пространство или в сферу, равен 0.
Последнее утверждение неверно для погружений. Покажите, в частности, что если/есть погружение замкнутого ориентированного многообразия Xчетной размерности п в R2” с трансверсальными самопересечениями, то алгебраическое число точек самопересечения (определение знака, соответствующего точке трансверсального самопересечения, придумайте сами) равно половине ’’нормального числа Эйлера”, т.е. значения класса Эйлера нормального расслоения на фундаментальном гомологическом классе многообразия X.
Покажите, что ’’касательное число Эйлера” замкнутого ориентированного многообразия, т.е. значение класса Эйлера касательного расслоения на фундаментальном классе, равно эйлеровой характеристике многообразия (для доказательства полезно вспомнить результаты п. 5 § 17). Выведите отсюда теорему Эйлера: назамкну- том многообразии тогда и только тогда существует касательное векторное поле, не обращающееся в нуль, когда его эйлерова характеристика равна нулю. (В одну сторону эта теорема доказывалась в цитированном п.5 § 17; там же читатель найдет указания, как получить эту теорему в неориентированном случае.) Докажите вариант этой теоремы: на замкнутом многообразии тогда и только тогда существует непрерывное поле касательных прямых, когда его эйлерова характеристика равна нулю.
Дифференциально-топологические интерпретации классов Штифеля — Уитни. В этом пункте речь идет только о когомологиях и гомологиях mod 2 и соответствующим образом понимается изоморфизм Пуанкаре D.
Классы Штифеля — Уитни касательного расслоения гладкого многообразия X называются классами Штифеля — Уитни этого многообразия и обозначаются через w/(X) • [В аналогичном смысле говорят о классах Понтрягина Р;(Х) гладкого многообразия X и классах Черна С/(Х) комплексного многообразия X.] Поскольку нормальное расслоение гладкого многообразия в евклидовом пространстве не зависит, с точностью до стабильной эквивалентности, от способа вложения многообразия (см. упражнение 10), можно говорить о "нормальных классах Штифеля — Уитни” многообразия X — классах Штифеля — Уитни нормального расслоения при каком- нибудь вложении (или погружении - это безразлично) многообразия X в евклидово пространство; эти классы обозначаются через w,(X). Из формулы умножения и того факта, что сумма касательного и нормального расслоения тривиальна.
следует, что
2 wa(X)wg(X) при / > О,
а + 0 = I
и, в частности, нормальные классы Штифеля — Уитни выражаются через касательные и наоборот.
Упражнения. 22. Рассмотрим гладкое отображение общего положения «-мерного многообразия X в R4, q < «; пусть Y СХ — совокупность точек, в которых это отображение не является субмерсией (ранг якобиевой матрицы < q"). Покажите, что dim Y = q — 1 и что
2)-1 [У] = w„_q+1(XY
Рассмотрим гладкое отображение общего положения замкнутого «-мерного многообразия X в R4, q > п; пусть Y С X — совокупность точек, в которых это отображение не является погружением (ранг якобиевой матрицы < «). Покажите, что dim Y=2n — q—1и что
О-1 [У] = wq+1_n(xy
Если «-мерное многообразие X допускает погружение в R"+4, то w^X) =0 при i > q. Это утверждение в замкнутом случае следует, конечно, из упражнения 23, но оно гораздо проще упражнения 23 и более естественно доказывать его прямо.
Если «-мерное замкнутое многообразие X допускает вложение в R" + 4, то wt (X) = 0 при i > q. В дополнение к предыдущему упражнению нужно воспользоваться упражнением 19.
Докажите, что если 2к Сп < 2k*v, то RP" не погружается в R2<c + 1 “ 2 и не вкладывается в R2^ 1-1. Воспользуйтесь двумя предыдущими упражнениями, формулами, связывающими касательные и нормальные классы Штифеля, упражнением 12 и частью (i) теоремы п.5А; впрочем, нормальные классы Штифеля — Уитни вещественных проективных пространств можно найти с помощью упражнения 23.
Пусть X — триангулированное замкнутое многообразие. Обозначим через С/ z-мерную классическую цепь барицентрической триангуляции с коэффициентами в Z2, равную сумме всех /-мерных симплексов барицентрического подразделения. Покажите, что С/ есть цикл и что
/Г1 [С,] = w,-(y).
Значения классов вида wti (X) ... Wir(X) с ^ + ... + ir = « на фундаментальном классе замкнутого «-мерного многообразия (это — вычеты по модулю 2) называются числами Штифеля - Уитни многообразия X. Обозначение: w^„д [У]. Например, у двумерных многообразий имеются два числа Штифеля — Уитни: wn [У] и w2 [X].
Упражнение 28. Найти числа Штифеля — Уитни классических поверхностей.
Теорема. Если замкнутое многообразие является краем компактного многообразия, то все его числа Штифеля - Уитни равны нулю. '
Доказательство. Если Х= ЭУи i: Х-> Y — включение, то тХ= (i*T У) е 1 (нормальное расслоение к краю всегда тривиально!). Поэтому Wj^X^ = i*Wj^Y)
при любом /, и
<W/i(X) ... w/r(X), [Х]> =
= < i\wk (У)... w^, [^] > = < w^ (У) ... w$r^, i, [X] > = О,
потому что z,[X] = 0 (край компактного многообразия есть граница самого этого многообразия в гомологическом смысле).
Эта теорема доставляет мощное необходимое условие для того, чтобы данное замкнутое многообразие ограничивало компактное многообразие.
Упражнение 29. Покажите, что если n + 1 не есть степень двойки, то ни одно из многообразий RPn, СР" не является краем компактного многообразия.
Самое поразительное заключается, однако, в том, что эта теорема доставляет и достаточное условие для того, чтобы многообразие ограничивало (Р.Том, Филдсов- ская медаль 1952 г.). Краткое изложение доказательства этой теоремы содержится в главах 6 и 7 этой книги. Сейчас мы ограничимся замечанием, что числа Штифеля — Уитни не являются линейно независимыми. Например, если X — замкнутое одномерное многообразие (т.е. объединение нескольких окружностей), то w, [X] = 0; читатель, сделавший упражнение 29, знает, что если X — замкнутое двумерное многообразие, то w,! [X] = w2 [X]. Истина состоит в том, что линейно независимую систему чисел Штифеля — Уитни замкнутых «-мерных многообразий составляют числа w^ .„/> [^П. У которых /!+... + jr = п, j^ < ... </,., и ни одно из чисел вида js + 1 не является степенью двойки.
Дифференциально топологические интерпретации классов Понтрягина. Аналог упражнения 22 для классов Понтрягина составляет следующее утверждение. Пусть X — замкнутое ориентированное «-мерное многообразие и /: X -► R"-2,+2 — гладкое отображение общего положения. Обозначим через У совокупность точек многообразия X, в которых ранг якобиана отображения / не превосходит п — 2q (т.е. по крайней мере на 2 меньше наибольшего возможного значения). Тогда У есть ориентированное (и — 4 </)-мерное многообразие (возможно, с особенностями), и класс [У] G Hn_4q(X) соответствует при изоморфизме Пуанкаре классу pq^X) Е Н*Ч^Х^ Понтрягина (касательного расслоения) многообразия X. Аналогичное описание существует и для нормальных классов Понтрягина (ср. упражнение 23).■
(Ориентированность и даже ориентируемость многообразия X здесь, в действительности, не нужна; однако, чтобы придать этому высказыванию смысл, необходимо употребить вариант двойственности Пуанкаре, изложенный в п. 9D § 17.)
Если X — замкнутое ориентированное многообразие размерности 4 m, то значение класса р^ (X) ... pjr(X), jx + ... + /г = m, на фундаментальном гомологическом классе многообразия X называется числом Понтрягина и обозначается через Pjx ^jr [X]. (Нам удобно считать, что X не обязательно связно; фундаментальный класс несвязного многообразия есть сумма фундаментальных классов его компонент.) Если X есть край компактного ориентируемого многообразия, то все числа Понтрягина равны 0 (этот факт доказывается точно так же, как аналогичное утверждение для классов Штифеля — Уитнн). Имеется н теорема Тома, утверждающая, что если все числа Понтрягина замкнутого ориентированного многообразия равны 0 (например, если его размерность не делится на 4), то объединение нескольких экземпляров многообразия X (которые все берутся с одинаковой ориентацией)
является краем замкнутого ориентированного многообразия. Более того, всякий набор целых чисел <Р// I Л + ... + /, = т} делается после умножение на некото
рое (общее для всех чисел набора) целое положительное число набором чисел Понтрягина некоторого замкнутого ориентированного многообразия. (В действительности, эта теорема на порядок проще теоремы Тома для классов Штифеля — Уитни; читатель сможет в этом убедиться в главе 6.)
Полезным следствием теоремы Тома (и того факта, что если Y = Хх U Хг — сумма двух замкнутых ориентированных 4 m-мерных многообразий, то
рл.../Дл=р/,,../Д^
для любых /1,..., /г с /1 +... + jr = m) является следующее утверждение.
Упражнение 30. Предположим, что всякому замкнутому ориентированному «-мерному многообразию X поставлено в соответствие целое число о (X), обладающее следующими свойствами: (i) если X есть край компактного ориентированного многообразия, то о(Х) = 0; (ii) о(Хх U Xi) = о(Хх) + о(Х2). Тогда
о(Х)=2^.../ГРЛ
Л + ... + /> = л/4
где ч/ /г - некоторые рациональные числа, не зависящие от X. В частности, о(Х) — 0, если п не делится на 4.
Это утверждение имеет единственное широко известное применение, но зато какое! Обозначим через о(Х) сигнатуру формы ’’индекс пересечения” в 2/«-мерных гомологиях 4/«-мерного многообразия X. Теорема 15 из п. 9 В § 17 показывает, что о удовлетворяет условию (i) из упражнения 30; условие (ii) для сигнатуры очевидно. Следовательно, сигнатура есть линейная комбинация с рациональными коэффициентами чисел Понтрягина. В частности, о(Х) = арх [X] при dim X = 4, о(Х) = = bpi [X] + срх 1 [X] при dim Х= 8 и т.д. Чтобы найти а, Ь, с, ....необходимо иметь достаточный запас проделанных вычислений в конкретных примерах. Например, Him (CP2m) = Z. Матрица формы пересечений есть (1), значит, о(СР2т) = 1. Далее,
т(СР2т) ® 1 = (2 т + l)fc
(комплексный вариант упражнения 12), значит,
Ст(СР2т) ® 1 = (2ш + 1)(Гс ® Fc)
(единица тоже комплексифицировалась!) и
(Ро -Р1 +Р2 - ... + (-1)"'Рж)(СР2т) = [(1 + х)(1 -x)]2m + 1 = (1 -хг)2т^, где х eH2(CP2m)=Z — каноническая образующая (см. п. 5 В, в том числе упражнение 17). Следовательно,
Pi(CP2m) =Pi(CP2m) =Cim + xX21 ПРИ * < т.Cim + xX21 ПРИ * < т.
Pi(CP2m) =
Pi(CP2m) =
Cim + xX21 ПРИ * < т.
Cim + xX21 ПРИ * < т.
при i > т.
В частности, рх (СР2) = Зх2, pv [СР2] = 3, и так как о(СР2) = 1, то для любого четырехмерного многообразия X
о(Х) = ^Рдху (*) (В частности, первое число Понтрягина любого замкнутого ориентированного четырехмерного многообразия делится на 3.) Далее, рхх [СР4] = 25, р2 [СР4] = 10, о(СР4) = 1. Добавим к этому, что
(Ро +Pi +р2)(СР2 ХСР2) = (р0 +Pi)(CP2)X (р0 +р,)(СР2)
(формула умножения для классов Понтрягина вообще-то справедлива по модулю 2-кручения, но в когомологиях комплексных проективных пространств кручение отсутствует), и, значит, р,(СР2 X СР2) = (1 X Зх2) + (Зх2 X 1), р|(СР2 ХСР2) = = 18(х2 Хх2), р2(СР2 ХСР2) =Pi(CP2) Хр,(СР2) =3х2 ХЗх2, рм[СР2 ХСР2] = = 18, р2[СР2 X СР2] =9; кроме того, о(СР2 X СР2) = 1. (Упражнение 31. Сигнатура мультипликативна: о(Х X У) = о(Х)о(У).) Таким образом, 1 = 106 + 25с, 1 =96 + 18с, откуда 6 =7/45, с = -1/45. Итак, при dimX=8
7р2№ - Ри ОТ
45
(Следовательно, 7р2[Х] — pj 1 [X] делится на 45, и если у восьмимерного многообразия pj = 0, то его сигнатура делится на 7.) Формулы (*), (**) составляют начало бесконечной цепочки формул. Работа по ее написанию была проделана в 50-е годы Хирцебрухом. Он вычислил числа Понтрягина многообразий вида CP2m‘ X . .. ... X CP2mfc (это нами, в сущности, проделано) и, воспользовавшись тем, что их сигнатуры равны 1, нашел коэффициенты, с которыми числа Понтрягина входят в формулы для сигнатур. Получившиеся формулы приведены в книге Хирцебруха ’’Топологические методы в алгебраической геометрии”.
Проблемы инвариантности характеристических классов многообразий. Как мы знаем, класс Эйлера многообразия можно вычислить, зная только числа Бетти этого многообразия. Оказывается, что классы Штифеля—Уитни, хотя они не определяются группами гомологий этого многообразия, и даже его когомологическим кольцом, все же являются гомотопическим инвариантом (т.е. отображение одного замкнутого многообразия в другое, являющееся гомотопической эквивалентностью, переводит классы Штифеля — Уитни в классы Штифеля — Уитни). Давно известно, что для классов Понтрягина подобная теорема гомотопической инвариантности отсутствует: единственной гомотопически инвариантной линейной комбинацией классов Понтрягина является сигнатура. В 60-е годы С.П. Новиков доказал трудную теорему топологической инвариантности рациональных классов Понтрягина (гомеоморфизм между замкнутыми ориентированными гладкими многообразиями переводит классы Понтрягина в классы, отличающиеся от классов Понтрягина на элементы конечного порядка; эти элементы конечного порядка могут быть отличны от нуля - имеются примеры). Ранее В.А. Рохлин, А.С. Шварц и Том доказали это утверждение для гомеоморфизмов, устанавливающих соответствие между некоторыми гладкими триангуляциями двух гладких многообразий. (См. Милнор, Ста- шефф, ’’Характеристические классы’’.) Последний результат естественно приводит к проблеме ’’комбинаторного вычисления классов Понтрягина", т.е. их вычисления через триангуляции (ср. упражнение 27). В настоящее время эта проблема решена только для первого класса Понтрягина (см. А.М. Габриэлов, И.М. Гельфанд, М.В. Лосик, цикл статей 1975—1976 гг. в журнале ’’Функциональный анализ и его приложения”).
ГЛАВА 3
СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РАССЛОЕНИЯ
СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, АССОЦИИРОВАННАЯ С ФИЛЬТРАЦИЕЙ
Общие определения. Пусть X - топологическое пространство, в котором задана последовательность вложенных друг в друга подпространств
ф = Х_х СХ0 СХх С . ..СХк_х СХк = Х.
Тогда вкладываются друг в друга и группы сингулярных цепей:
0 = Cq (^_,) С Cq (Хо ) с ... С Cq {Хк) = Cq (X).
Мы скажем, что цепь aG Cq (X) имеет фильтрацию /, если aG Cq (X,) и $ Cq №+,). Таким образом, Cq (Х{~) содержит в точности все элементы фильтрации < i.
Имеется общий термин ’’групповая фильтрация’’. Его употребляют в ситуации, когда в (обычно абелевой) группе G задана цепочка подгрупп
• • • CG.X С Go С Gv С. .. CG,
удовлетворяющая условиям Л Gt = 0, U Gt = G. Обычно (но не всегда) мы рассматриваем положительные конечные фильтрации, т.е. предполагаем, что G, = 0 при i < 0 и G; = G при достаточно больших i.
Введем новое обозначение:•
E»q_j = Cq(Xi,Xi_1) = Cq<X1)ICq(.Xi_v).
Граничный оператор dq: Cq {Хь X{_v^ -^Сч_х (Xb Х1-х^, введенный в п. 4 § 12, мы будем теперь обозначать через diiq_r Таким образом, <2?^: Е, ( -*E®q_x_t и
, .od” =0.''’’’
i,q-l — it,q—i.
Рассмотрим гомологии полученного комплекса. Это, в действительности, группы Hq {Хь Х{_ i), но мы обозначим их через Е^^.
Спектральная последовательность, к построению которой мы теперь приступаем, состоит из групп Е^„ г = 0,1,2,... В ней каждая следующая группа ’’меньше” предыдущей, а именно, является для нее группой гомологий по отношению к некоторому дифференциалу. Существует способ (он будет ясен из последующего) определять группы Ег последовательно при г = 0, 1, 2,.. . Но нам кажется, что читателю проще будет разобраться в предмете, если мы введем эти группы сразу при всех г.
Определение 1. (Группа Zj>q_( GE^>q_{.) Пусть а € E?,q-i = = Cq (X^/Cq (Xt_ i). Мы будем говорить, что а принадлежит Z^q_j в том и только в том случае, если в а имеется представитель a G Cq{Xt), граница которого имеет фильтрацию по крайней мере на г единиц меньше: да G Cq_x № _г)-
Таким образом, сч(х,)пэ-1сч_1(х/_г) 2 г = - .
1’q"‘ сд(х£_1рд"1сд_1(х,_л
Случай г = 0. Z^q_i = E°iq_( (заведомо д(Сд(Х^С СЧ_1(Х()).
Случай г = 1: a G Z^ q-i, если существует такое a G а, что да G Cq_\ (X,--1), т.е. а - относительный цикл в Cq (Хг, Х{_р, таким образом,Zjq_{ = Zq (X,-, Xt_ i).
Заметим, что если а 6 Z} t, то включение да G Cq_l(Xi_l) выполнено для любого a G а.
Упражнение 1. Для элементов групп Zj q-i с г > 1 подобное неверно.
Очевидно, что с ростом г группа Z[ t уменьшается и при достаточно большом г она превращается в Zq(Xi)lZq(Xi_ О. Таким образом,
E^.^Z^-pZ^-P-.-DZ^., =
= z^Xi^Zq (х,_ а = z^t =... = z”q_t.
Определение 2. (Группа В, ( CE®q_r) Пусть a G E^q_t. Мы будем говорить, что a G В^_(, если для а найдется представитель a G Cq^Xp такой, что а = db, bGCq+i(Xi+r_p Таким образом,
Сд(Х,РдСд+1(Х(+г_У)
‘■ч^" С4(Х,_1)АЭС4+1(Х,+г_1)
Случай г = 0. Принадлежность а к В® q-i означает, что у класса а G Bfq_( = = Cq (Хрсд (X,-i) существует такой представитель a G С^(Х,), что а = db, bG G Cq*i (Xj_ j). Но в этом случае a G Cq (Xf_ J, т.е. а = 0. Значит,В®q-i = 0.
Случай г = 1. Если a G В, ., то у а существует представитель а G СЧ(Х,), такой, что а = db, b G Cq + l (X,). Таким образом, В® , есть просто подгруппа относительных границ в CV(X#, Х(-1): B°q-i = ВЧ(ХЬ Xi-p
С ростом г группа Bt qi увеличивается, и для достаточно большого г она превращается в группу (В, (X) A Cq {X^Bq (X) О Сд(Х{_!)).
Заметим еще, что Br{ q-i С Z, qi при любых г,s. Итак,
0 = B»q_t св^с.-.с в^_: = В^1£ =. • -
IIII
Bq (Xi, Х,_ 1) (Bq (X) A Cq (XMBq (X) П Cq (X,_ i))
— R” Г"—— yW + l —
D i,q~i ^i.q-i * * * ^i.q-i
-Z^q-i c ...C^_. CZ»q_i=E»q_i.
IIIIII
Zq(XiyZq(Xi_ !) Zq^Xt, Xt_ t) Cq(Xb X,_ t)
Определение 3. (Группа Eriq_t^ Ertq_t = гг1ч_,/Вг1(1_{. По-другому,
Г = WQAd^Cq.^Xi-a
Ei.q-i" [Cq(XandCq+1(X,+r_,)] HW-DAd"1^
Очевидно,
EVt = ZVilB°i.q-i = W-Xi-xY
Etq-i=Ztq-i/Blq-i = Zq(X1,Xi_1)IB^^ Х^ x) = Hq(Xf, X^) .
Таким образом, определение 3 согласуется с предыдущими определениями.
Из сказанного выше следует, что с ростом г группа E^q_f уменьшается; увеличивается знаменатель и уменьшается числитель. Кроме того, наступает стабилизация: при некотором г (которое можно выбрать не зависящим от i и q^
E”q _( = Zq^,[Bq{X) П Cq^XS\ + Zq(X,-_!).
On ре де ле ние 4. (Дифференциал drlq_.-. Erlq_t -* E'_r ><r+r_,_r) Пусть a G Ert q_t = Zri q_tIBr. q t- Выберем для a представитель a G Z[ q-j C C Cq^X^ICq^Xt-Y^ и для a' такой представитель a G Cq(Xj), что b = 9a имеет фильтрацию Ci — г. Тогда смежный класс Д’ цепи b в группе Cq_x (Xi^r)ICq_i (Xt_r_x) принадлежит группе Z^_r q+r_{_x и определяет в группе Е,_г q+r _(_ j некоторый элемент 0. Это и есть d, t^.
Упражнение 2. Проверьте корректность этого определения, гомоморфность drt,q-i «равенство d'^ ,q+r_t_x » driq_. = 0.
Заметим, что гомоморфизм d^ q-i; E®q_. -* Е, x-i совпадает с граничным оператором 9: Cq(Xb Хх_х) -* Cq_x(Xt, Х(_х), а гомоморфизм<7/4_f: Е} f -»■ -* Ej_l q_f совпадает с гомоморфизмом 9,: Hq{Xt, Х(_х) -* Hq_x(Xt_x, Х{_2) из гомологической последовательности тройки (Хь Х^х, Xt_2V (В обоих случаях определения рассматриваемых гомоморфизмов просто совпадают.)
Последовательность групп Er = ®t>qEri q_l и дифференциалов dr = ®d[q_f: Er -*ЕГ называется спектральной последовательностью.
(Читатель заметил, конечно, что наличие пространства X, фильтрованного подпространствами Xt, не нужно для предыдущих конструкций: достаточно иметь цепной комплекс
и фильтрации
0 = ^,-! ССЬ0С...СС^к = Сь
обладающие тем свойством, что dj(Cis) С С,_ i(J.)
Общие теоремы.
Теорема. Группа гомологий группы Ег по отношению к дифференциалу dr естьЕг*х. у.е. Er + X = Kerd'7lmdr; подробнее-. E[qi_i = KerdXq_i/lmd-+rq_i_r+l.)
Доказательство. (Мы пользуемся обозначениями из определения дифференциала.) Пусть d, ^а) = 0. Это означает, что Д’ принадлежит группе Bri_r,q_i+r-i« те. существует такой представитель cG 0', что с= Эе, eG Cq (Xs_ i). Рассмотрим a - e G Cq (X,). При вычитании e класс в Cq (X^jCq №-i) не меняется, т.е. a - e снова является представителем класса a' G Zj>q_r Так как определение дифференциала корректно, т.е. не зависит от выбора представителей, то с самого начала можно было вместо а взять а - в. Но 9 (a - е) G Cq_x ^Xi-,,^. Следова-
тельно, a* G X^V,- Смежный класс этого а* в Е^_( обозначим через а. Относя элементу а элемент а, мы получим гомоморфизм Kerdjq_{ -> E^q_{. Для завершения доказательства осталось:
проверить корректность этого определения, т.е. проверить, что а зависит только от а;
доказать, что отображение ан-ci зпиморфно;
доказать, что ядро этого отображения совпадает с Imd£+rq _,_r+1 .
Это мы оставляем читателю.
Рассмотрим теперь группу E”q_( = Z"qtlB"q_t.
Обозначим через a)Hq (X) образ гомоморфизма Hq (Х{) -*Hq (А'), индуцированного включением Xt -*Х. Возникает групповая фильтрация
0 = (_nHq(X) С wHq(X)С ... С wHq(X> = Hqw.
Те о ре ма. Е-н = (0Я„ (Х)/(,_ ^Hq (X).
Доказательство. Согласно определениям,
zxq_t = zq^izq^xt_xY
B”q-t = (Bq (X) n Cq(X^[(Bq(X) П ОД_г)\
(MX) = zq (x^)(Bq (X) n cq №)),
(/-1)Hq(X) = zq (Xt_!)l(Bq(X) n Cq(Xt_!)).
Требуемое равенство Z*q_t!E^q_t = ^Hq (X)/^i_1-)Hq (X) следует из следующего очевидного алгебраического утверждения: если Л и В — две подгруппы некоторой группы, то (Л + В)/В =Л/Л П В (сумма и пересечение подгрупп берутся в обьем- ляющей группе).
Соберем все, что мы доказали в двух пунктах, в одну формулировку.
Теорема. Если пространство X профильтровано подпространствами X,, ф = = Х_! С Хо С... С^_, СХк = X, то существуют группы Ер^, определенные при г > Ои всех puq (причем Epq = 0 при р< 0 и р> к^ ,и гомоморфизмы
dp,4' Ep.q^Bp-r.q+r-l
(причем drp_rq+r_i ° drp>q =0), обладающие следующими свойствами-.
Е^ = Kerdpq/Imdp+rq_r+1.
E°p q=Cp+q(Xp,Xp_1).
d® q совпадает с граничным оператором 9: Cp^Xp.Xp-i^Cp^q^Xp.Xp^.
^ E^q=Hp^q(Xp.Xp_^.
dp<q совпадает с гомоморфизмом 9,: Hp+q(Xp, Xp_V> -» Hp+q_1(Xp_1, Хр-2) из гомологической последовательности тройки (Хр, Xp_i, Хр_2).
. _ \m(Hp+q(Xp^Hp+q(X^ WHp+q(X^
^^ " \m(Hp^q(Xp_v^Hp+q(X^ " (р-оЯр^СХ) '•
Это утверждение носит название теоремы Лере.
Присоединенная градуированная группа. Рассмотрим утверждение (6) теоремы Лере. Оно означает, что при любом m в группе Нт(Х^ есть подгруппа (о)Ят(Х) = = Еу т; в факторгруппе Нт(Х}!Е^т есть подгруппа В^т_1; и так далее, и,
наконец, факторгруппа
(... UH^IE-^IE^-^IE”^ ..Ж-1,т-к+1
совпадает с Ект_к. Из этого видно, что прямая сумма ®p+(?=m E”q тесно связана с группой Нт(ХУ, говорят, что эта прямая сумма присоединена к группе Нт(Х) относительно фильтрации (ц'>Нт(ХУ. Иногда ее обозначают через GHm(XY
Рассмотрим операцию присоединения в общей алгебраической ситуации. Пусть А — абелева группа, 0 = A_t С Ло С ... С Ак = А — некоторая ее фильтрация. Положим А® = AtfAt_x, GA = ®(А®. Группа GA называется, по отношению к фильтрованной группе А, присоединенной (градуированной) группой. (Группа называется градуированной, если она представлена в виде прямой суммы некоторой совокупности своих подгрупп.)
Упражнение 3. Докажите следующие свойства операции присоединения А н- GA. (i) Если одна из групп A, GA конечно порождена, то и другая группа конечно порождена, и их ранги совпадают, (ii) Если одна из групп A, GA конечна, то и другая группа конечна и их порядки совпадают, (iii) Если из групп А® только одна отлична от нулевой, то Л = GA. (iv) Если из групп А® только две отличны от нулевых, а именно, группы Ац, А®^, ix > z2, то Л^ С Л и AjA®^ = Л^ . (v) Если все группы А® (за возможным исключением группы Л§) являются свободными абелевыми, то Л = GA. (vi) Если А есть конечномерное векторное пространство над некоторым полем и Л, — подпространства, то AsGA.
Когомологический вариант теории Лере. Параллельную теорию можно построить, заменив гомологии когомологиями. Вот формулировка окончательного результата. (Краткости ради мы изгоняем из обозначений коцепей и когомологий указание на коэффициенты.)
Тео ре ма. Если пространство X профильтровано подпространствами Xt, ф = = Х_х С Хо С ... С Хк_х С Хк = X, то существуют группы Ep,q, определенные при г >0 и всех puq (причем Ep,q = 0 при р< Ои рЖУи гомоморфизмы
dP,q. ЕР.Ч ^EP+r,q-r+l
(причем dp+r,q~r+1 ° dp,q = 0), обладающие следующими свойствами:
ЕД =^etdP-ql\mdP-r-q*r-1.
Ep-q=Cp+q(Xp>Xp_^. ■
dg’q совпадает с граничным оператором 8: Cp+q (Хр, Хр_х^ -* CP*q*4Xp, Хр_хУ
E^,q =Hp+q(Xp, Хр_хУ
d^,q совпадает с гомоморфизмом 8 *: Hp*q (Хр, Хр_ х) -»нр*ч+1 (Хр+х, Хр) из когомологической последовательности тройки (Хр+х, Хр, Хр_хУ
Ker(Hp+q(X) - Hp+q(X_x)) <p-^Hp*q(XA
Ep,q = = ">
“ Кет(Нр+ч(Х)^Нр+ч(Хр)) ^Hp*q(X^
другими словами, группа ®p+(Z=m Е^4 присоединена к Hm(X') относительно ’’убывающей” фильтрации
0 = WHm(X) С (*“1 ^Нт(X) С ... С ^°^Нт(Х) С ("1 '>Нт(Х) = Нт(Х),
где ^Нт(Х) - ядро отображения Ят(Х) -»Ят(2Г,), индуцированного включе-
нием Xj -* X. (Термин ’’убывающая фильтрация”, конечно, не является необходимым: стоит нам написать, как это часто делают, ^_t^Hm^X^ вместо ^^Нт(Х), и фильтрация станет обычной, возрастающей. Мы предпочитаем, однако, этого не делать.)
Построение производится так же, как в гомологическом случае. Нужно ввести в группу С9 (X) убывающую фильтрацию
О = ^с^уо С ... С ^С4^ С ("1 ^(Х) = С^Х),
где ^ (5 (X) состоит из коцепей у: Cq (Y) ■* G, таких, что у (с) = 0 при с € Cq (X) С С Cq (Y). Далее, нужно положить
Е^4-i = и-1 >сч<Х)1^СЧ(Х')
и в дальнейших построениях всюду заменить граничный оператор Э кограничным оператором 6.
Перенос наших результатов на случай гомологий с произвольными коэффициентами также не составляет труда.
Графическое изображение спектральной последовательности. Спектральную последовательность, как гомологическую, так и когомологическую, принято изображать на разграфленном листе бумаги. Каждому г отвечает отдельная диаграмма. Группа ЕР*4 или Epq помещается на пересечении q-й строки и р-го столбца (рис. 84). Если группа нулевая, соответствующую клетку можно оставить пустой. Таким образом, заполняются только 0-й, 1-йА;-й столбцы, причем в /-м столбце заполняются клетки, начиная с (—г)-й (вверх). Впрочем, в важнейших случаях ненулевые группы стоят только в первой четверти (см. § 21 и дальше). Дифференциал dp>q (в гомологическом случае) действует из группы, стоящей в некоторой клетке, в группу, расположенную на р единиц левее (единица = сторона клетки) и р — 1 единиц выше этой клетки. Когомологические дифференциалы действуют в противоположном направлении (рис. 85). Говорят, что ’’дифференциалы действуют ходом коня”, хотя буквально это верно только для г = 2. При переходе от ЕР*4 (Epq) к Е^^Ер^) берется ядро стрелки, действующей из (р, <?)-й клетки и факторизуется по образу стрелки, направленной в эту клетку. На практике часто бывает, что во многих клетках диаграммы стоят нули (ничего не стоит). Но дифференциал может быть нетривиален, только если ненулевые группы стоят в обеих клетках, соответствующих концам стрелки. В противном случае дифференциал тривиален. Это обычно кодируется выражением ”по соображениям размерности”. Например, если читатель столкнется с фразой "Ег = Е^ по соображениям размерности”, он дол-
Ep,q -Hp+q(Xp, Хр-1>) =Ep,q -Hp+q(Xp, Хр-1>) =
Ep,q -Hp+q(Xp, Хр-1>) =
Ep,q -Hp+q(Xp, Хр-1>) =
жен понимать ее так: никакие две нетривиальные группы Е^’4 не стоят в клетках, одна из которых расположена на одну единицу ниже и две единицы правее, чем другая; поэтому d^q = ОпЕ™ =KerdMixmdP-2.q + i = = Е^Ч( {0 } =E^q при любых puq.
В члене Е” группа, присоединенная к Нт№. есть сумма групп, стоящих на косой линии р + q = т (рис. 86). Если все эти группы тривиальны, то Нт(Х) = 0; если все эти группы, кроме одной, тривиальны, то эта одна и есть Нт (ЛГ); в общем случае самая верхняя нетривиальная группа (на прямой р + + q = т) есть подгруппа группы Нт(Х), сле
дующая есть подгруппа факторгруппы по
этой группе, и т.д., последняя группа совпадает с соответствующей факторгруппой. В когомологическом случае все так же, только верх и низ меняют
ся1 ролями.
В нижеследующих пп. 6 и 7 мы рассматриваем, краткости ради, только гомологические спектральные последовательности (с коэффициентами в Z). Перенос на
остальные случаи не составляет никакого труда.
Новое понимание клеточного вычисления гомологий. Пусть X — конечное кле
точное пространство. Профильтруем его остовами, положив Х{ = Х* .В соответствую
= Cp+q(XP,XP-1) и= Cp+q(XP,XP-1) ищей спектральной последовательности имеем: Eq q
= Cp+q(XP,XP-1) и
= Cp+q(XP,XP-1) и
0 при q ^0, ^Р(У) при q = 0.
Таким образом, в члене Е1 заполненной оказывается только нулевая строка: (рис. 87). Нетривиальный дифференциал d1 действует только в этой строке и совпадает с клеточным граничным оператором Э. Следовательно, в Е1 тоже нетривиальна только нулевая строка, и в ней стоят гомологические группы клеточного комплекса
(рис. 88). По соображениям размерности (см. п. 5),Е^ =F3 = .. .=£"”, и, пользуясь тем, что в Е” на каждой прямой р + q = т стоит только одна нетривиальная группа, мы можем написать
Нт(Х) = Kei ЭтЦп\дт+1.
Мы получили, таким образом, доказательство уже известного нам факта: (сингулярные) гомологии клеточного пространства X совпадают с его клеточными гомологиями. В действительности, как легко понять, это ’’новое” доказательство ничем не отличается от старого доказательства, приведенного в § 13. Таким образом, мы фактически сталкивались со спектральной последовательностью уже в § 13. Впрочем, мы сталкивались с ней раньше, в § 12, ибо, как мы сейчас увидим, гомологические
А.Т. Фоменко
последовательности пар и троек - это просто способ записи спектральных последовательностей. относящихся к двучленным и трехчленным фильтрациям.
Новое понимание гомологических последовательностей пар и троек. Рассмотрим двучленную фильтрацию ф С У С X (Хо = У, Хх = Л)- Имеем:
kp.q Ср+(ДХр, Хр-^Кр.ч = НР^Хр.Хр_х^kp.q Ср+(ДХр, Хр-^Кр.ч = НР^Хр.Хр_х^[ Cq(Y) при р = 0. I Cq+1(X, У) при р= 1 f ^(У) при р = 0 [ Hq+1(X, Y) при р=\[ Cq(Y) при р = 0. I Cq+1(X, У) при р= 1 f ^(У) при р = 0 [ Hq+1(X, Y) при р=\
kp.q Ср+(ДХр, Хр-^
Кр.ч = НР^Хр.Хр_х^
kp.q Ср+(ДХр, Хр-^
Кр.ч = НР^Хр.Хр_х^
[ Cq(Y) при р = 0. I Cq+1(X, У) при р= 1 f ^(У) при р = 0 [ Hq+1(X, Y) при р=\
[ Cq(Y) при р = 0. I Cq+1(X, У) при р= 1 f ^(У) при р = 0 [ Hq+1(X, Y) при р=\
(рис. 89). В А'1 может быть нетривиальным только дифференциал d\ q: Ej "* E^q, который совпадает с соответствующим гомоморфизмом из последовательности пары. В члене Е2 могут быть отличны от нуля только члены
^о.9 = Hq(Y№.(Hq+1(X. У)).
E2>q = Ker[d.: Hq+x(X, Y^H^Y)]’,
по соображениям размерности Е2 = Е3 = ... = Е”, в Е” на каждой прямой p*q=m стоят две группы, и мы имеем:
Ят(У)/1тЭ.Ят(У)/1тЭ.= КегЭ..= КегЭ..
Ят(У)/1тЭ.
Ят(У)/1тЭ.
= КегЭ..
= КегЭ..
Полученное равенство можно записать в виде короткой точной последовательности О -* Нт (У)/1т Э. -* Нт (У) -> Кег Э. -* О
или, что эквивалентно, в виде точной последовательности э,э,■
нт^(х, У) — Hm(YVHm(X)^Hm(X, У) — нт_х^. .
Легко убедиться в том, что это — фрагмент гомологической последовательности пары (X, У).
Упражнение 4. Рассмотрите спектральную последовательность, отвечающую трехчленной фильтрации, и убедитесь в том, что наша теорема дает в этом случае в точности гомологическую последовательность тройки.
Обобщение на бесконечные фильтрации. Наши построения применимы, в принципе, и к случаю бесконечной фильтрации
хотя в этом случае возникают некоторые новые трудности. Во-первых, группы Ep q (E^'q)c ростом г не будут стабилизироваться. В когомологическом случае при г > р группа Epr'qx изоморфна ядру дифференциала dp’4 (образ дифференциала dPr~r’4+r-1 тривиален по соображениям размерности). Поэтому
и мы можем положить E^;q = Or>pE^,q. В гомологическом случае при г>р группа Е^ изоморфна факторгруп-
пе Ern O/Imd'.. „_,+1; возникает последовательность эпиморфизмов
^p.q ^p.q ■ 1 • ’
и группа Е” есть предел этой последовательности, т.е.
(Все эти предостережения не особенно существенны для дальнейшего, поскольку у нас, как правило, будет Epq = 0 при р< 0. Нужно помнить только, что даже в этом случае в спектральной последовательности, отвечающей бесконечной фильтрации, стабилизация может наступать в разное время в разных местах.)
Далее, утверждение (6) теоремы Лере сохраняет силу, но фильтрация { ^Нт(Х^ и ее когомологический аналог делаются бесконечными, и специальной проверки требуют равенства
и (0Ят(ЛЭ = Ят(Пп ^(jf^o.
.=0>=о
Упражнение 5. Докажите, что оба равенства справедливы при следующем дополнительном предположении: для любого компактного множества К С X найдется такой номер I, что К С Х{.
Замечание. Для фильтраций, бесконечных в другую сторону, т.е. фильтраций вида . .. С Х_м С ... С X_v С Хо = X с П X; = ф , построение спектральных последовательностей проводится без большого труда, хотя гомологический и когомологический случаи до известной степени меняются ролями. Однако фильтрации, бесконечные в обе стороны, к построению спектральных последовательностей непригодны. Рассмотрим, например, фильтрацию цилиндра X = S1 X R подпространствами X,- = = S1 X (—°°,/]. У соответствующей спектральной последовательности, если ее определить дословно как выше, все члены, начиная с первого, будут состоять из одних нулей, хотя гомологии цилиндра X нетривиальны. Впрочем, вместо цилиндра S1 X R можно было бы взять прямую R: у нее нетривиальны хоть нульмерные гомологии, а спектральная последовательность будет чисто нулевой. Разберитесь, в чем тут дело и к чему сходится такая спектральная последовательность.
§21. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РАССЛОЕНИЯ
Пусть £ = (Е, В, F, р) — локально тривиальное расслоение с конечной клеточной базой. Наша цель - вычислить, насколько это возможно, гомологии и когомологии пространства Е, зная гомологии и когомологии пространств В и F.C этой целью мы вводим в £ фильтрацию ^Е(П = р-1(В’)} прообразами остовов базы,
ф = Е(-1)С£(0) СЕ(1)С ... СЕ(к) = Е (k = dimB)
и изучаем соответствующую спектральную последовательность.
Всюду в этом параграфе мы считаем базу В связной (это ограничение совершенно не существенно).
Вычисление начальных членов спектральной последовательности в предположении гомологической простоты расслоения.
А. Гомологи чески простые расслоения. Пусть х0, Xj - точки базы, s - соединяющий их путь. Если слой расслоения клеточен, то очевидное применение теоремы о накрывающей гомотопии позволяет определить, с точностью до гомотопии, отображение (гомотопическую эквивалентность) ts: р~'(х0)р'1^) слоя над точкой
х0 в слой над точкой хх (теорема о накрывающей гомотопии применяется к включению Fo: р~*(х0) -*Е и гомотопии ft ; р~'(х0) ~*$(0 € В). Замена пути $ гомотопным не меняет гомотопического класса [t,]. Поэтому гомотопический класс путей, соединяющих х0 схх, определяет при любом q изоморфизм Hq ( р-1 (х0)) ■* ^(p-^xj).
Заметим, что такой изоморфизм определен и в случае неклеточного F (по пути $ строится для любого клеточного Z отображение тг(2, р-1(х0)) ■* ir(Z, р-1^)), и этого достаточно).
Определение. Если построенный изоморфизм вовсе не зависит от пути (а определяется точками х0 и xj, то расслоение $ называется гомологически простым.
В частности, расслоение с односвязной базой гомологически просто. Гомологическая простота расслоения следует, конечно, и из его простоты в смысле, рассматривавшемся в п. 5 § 18. С другой стороны, можно ослабить условие гомологической простоты и говорить, скажем, о G-гомологической простоте расслоения (в определении которой место целочисленных гомологий занимают гомологии с коэффициентами в G).
Важно, что гомологические и когомологические группы с любыми коэффициентами слоев гомологически простого расслоения могут быть отождествлены: фиксирование элемента в гомологической или когомологической группе одного слоя приводит к фиксированию элементов в соответствующих группах всех остальных слоев.
й. "Члены Ех иЕг.
Теорема. Если расслоение $ гомологически просто, то в гомологическом случае (с коэффициентами в G)
E^q = Sp(B;Hq(F; G)),
d^ = Э: ^p(B; Hq(F, G))- <6p_x(B; H^F, G)),
Epq=Hp(B;Hq(F-,GY);
в когомологическом случае - аналогично.
(Равенства обозначают канонические изоморфизмы, которые будут построены в процессе доказательства.)
Доказательство мы проводим только в гомологическом случае, полагая для краткости G = Z. Согласно теореме Лере
Е^Н^Е^.Е^р-ПУ
следовательно,
E1pq=Hp+q(sp-4Bp), p-VBP-^V^Wp-Xef), р-ЧёРу,
где е*1 пробегает р-мерные клетки базы В. Пусть /,: Dp -* В — характеристическое отображение для ер. В силу теоремы Фельдбау (п. 2 § 9) расслоение //g тривиально, ввиду чего отображение /, накрывается отображением Dp X F ■* р-1(ЕрУ гомеоморф но отображающим (IntD") X F на р~1(ер) и отображающим S р~1 X F На р'^ёР). Очевидно, это отображение индуцирует при любом q изоморфизм
Hp+q(DP X F, SP-1 X F) ^ Нр+Чр-ЧёР^ Р"Чё?У
(для доказательства нужно сначала вывести из теоремы Борсука и теоремы о накрывающей гомотопии, что ( р-1 ( ё"р), р-1 (ёр)) - пара Борсука, и затем применить
теорему факторизации - см. п. 5 § 12). Очевидно, наконец, что
Hp+q (DP XF.SP-^F^ Hqin
(это вытекает из относительного варианта формулы Кюннета: Ht{Dp X F, Sp-1 X F) = ®a+g=J Ha(Dp, Sp-1) ® H^(F)\ можно, впрочем, воспользоваться обычной формулой Кюннета и последовательностью пары). Строго говоря,в последней формуле F следует понимать как слой над некоторой точкой клетки ер, но гомологическая простота расслоения позволяет забыть об этом, ибо у нас гомологические группы разных слоев отождествлены между собой. Итак,
Epq=®Hq(F') = «вр^Н^.
Окончание доказательства мы с легким сердцем оставляем читателю.
Упражнение 1. Перенесите все сказанное в этом параграфе на случай расслоений Серра.
С.Как все это выглядит на картинке. Итак,
Е^Нрф-.Н^У).
Как и было обещано, Epq = 0, если р < 0 или q < 0. В нулевой строке стоят группы
Е2рО=Нр(В;Но^ = Нр(В)
(если F связно) — гомологии базы. В нулевом столбце стоят группы F^=/f0(F;^(F)) = ^(F)
— гомологии слоя. Если гомологии базы или гомологии слоя не имеют кручения, то, в силу формулы универсальных коэффициентов,
E^q = Нр^В", Hq(Fj) = Нр^ о Hq^ = Е*Л® Е^.
В общем случае это равенство имеет место с точностью до кручения. См. рис. 90.
Следствие. х(Е) = xWxCfY
Доказательство. Положим х (Er) = Sm(-l)mrank ®p+q=mE' . Из сказанного выше следует, что
Х(Е2) = S (-l)m S ranktfp(F)rank# (F) = m p*q=m
= S (-npiankHp(BH-n4iankHq<F) = x<BWY p.q
Из теоремы Эйлера—Пуанкаре (см. упражнение 8 к § 13) следует, что х(^2) =
= Х(Е3) = ■ • • = x(f ”) И,ввиду равенства тапкНт(Е) = ^p*q=m tankE”q, x(f ”) = = X(EY
Упражнение 2. Покажите, что если расслоение тривиально, то все дифференциалы, начиная со второго, тривиальны (как говорят, спектральная последовательность вырождается во втором члене) и Е” = Ег. Отсюда следует, что, с точностью до присоединенности,
Нт(ВХЕ) = ® Hp(B;Hq(FYy p+q=m ■
впрочем, формулы универсальных коэффициентов и Кюннета показывают, что это равенство является точным.
3 а м е ч а н и е. Поскольку нетривиальные дифференциалы уменьшают члены спектральной последовательности, можно сказать, что из всех расслоенных пространств с данными базой и слоем наибольшие гомологии имеет прямое произведение.
Случай непростого расслоения.
Локальные системы. С гомологиями и когомологиями с коэффициентами в локальной системе мы уже сталкивались в п. 9D § 17. Теперь мы расскажем о них более систематически, составив все же детали читателю. Говорят, что над топологическим пространством X задана локдаьная система групп (= ансамбль групп = локально постоянный пучок групп), если каждой точке х 6 X поставлена в соответствие группа Gx и каждому пути s на X с началом х и концом у поставлен в соответствие изоморфизм ts: Gx Gy, зависящий только от гомотопического класса пути s. При этом предполагается, что произведению s's” путей s' и s" отвечает изоморфизм Туу, равный композиции изоморфизмов Ту и т$». Примеры: (1) Gx = = тгл(Х х), т$ = s# (см. п. 2 § 8); (2) X — база расслоения р-. У -* X (локально тривиального или в смысле Серра) ,Gx = Hq^ р-1(хУ, т$ — гомоморфизм, построенный выше в п. А (аналогично для когомологий и гомологий с коэффициентами).
Пусть х0 — некоторая отмеченная точка пространства X. Тогда всякая петля с началом х0 определяет автоморфизм группы Gx<) и тем самым определяется действие группы 7Г1(Х Хо) в GXe посредством групповых автоморфизмов.
Упражнения. 3. Покажите, что если над X заданы две локальные системы, (Gx, т,} и ^Gx, Ts), и при этом существует изоморфизм GXe ®s Gx<i, согласованный с действиями группы тг^Х х0) (описанными выше), то системы ^Gx, т,} и {G^, ts } изоморфны (определение изоморфизма локальных систем самоочевидно).
Покажите, что произвольная группа G с произвольным действием группы Я1(Х х0) посредством автоморфизмов может быть группой GXg локальной системы групп. -
Эти предложения открывают путь к построению большого количества новых локальных систем. Скажем, пусть X — многообразие, G = Z, элемент а группы Я1(Х) определяет умножение на +1 или — 1 в зависимости от того, сохраняет или обращает ориентацию петля класса а. Получающаяся локальная система обозначается через ZT; она фигурировала неявно в упоминавшемся п. 9D § 17.
Гомологии и когомологии. Пусть У = (Gx, г,} — локальная система абелевых групп, заданная над пространством X. Обозначим через cq центр стандартного (/-мерного симплекса Tq, через s { — прямолинейный путь в Тч, соединяющий cq с центром /-Й (д — 1)-мерной грани. Под q-мерной сингулярной цепью пространства X с коэффициентами в 3 понимается (конечная) формальная линейная комби-
нация ^gtft, где /): Тч -* X - сингулярные симплексы, gt G Gf ^с ). Группа таких цепей обозначается через Cq (Х\ 9), граничный оператор Э: Cq (X; У) ■* -* Cq_, ^Х; 9 ) определяется формулой
ч
Э(Ю= S (-1)’т/о Ш. 1=0 чл
Возникающие гомологии обозначаются символом/fq (X; У). Аналогичным образом определяются когомологии НЧ^Х\ У).
Упражнения. 5. Сопоставьте это определение с определениями из п. 9D § 17.
Пусть G = GXo; действие группы ^(Х х0) в GXe будем записывать как а, g *^-ag. Покажите, что
Н°(.Х;9') = {g&G\ag=g для любого абл^ХхоЭ).
H0(X,9) = GlG*
где G* — подгруппа, порожденная разностями ag — g (a G Hi (X, х0) ,g Е G).
Гомологии и когомологии с коэффициентами в локальной системе в случае клеточного X можно вычислять по клеткам. Клеточная цепь размерности q — это формальная сумма "Lgj о,, где а, — клетка размерности q, g; G GXj, xt G о, (мы будем дальше писать вместо GXj прямо Со.). Граница действует по формуле
9(go)= S 1?a,w(^)w, dim = g- I
шГ\о^ф
где оператор i7a u): Go -* Сш для (ориентированных) инцидентных клеток о, со определяется следующим образом. Выберем для о характеристические отображение h; D4 -> X, представляющее выбранную ориентацию клетки q и обладающую следующим свойством. В со существует маленький шарик U (с центром у), прообраз Л-1 ((/) С S4-1 которого распадается в объединение U U, шариков, каждый из которых отображается на U гомеоморфно с сохранением или обращением ориентации (мы полагаем е, = ± 1 в зависимости от того, сохраняется или обращает ориентацию гомеоморфизм U^ U). Пусть с — центр шара Dq, ct = Ut Г» h~l (у), st — прямолинейный путь в D4, соединяющий с с ср Гомоморфизм т?0>ы: Gh ^ -* -*Gy определяется теперь формулойg •-> S,- е( Tho s.(g^.
Упражнение 7. Пусть X = RP", G - абелева группа, Т - ее автоморфизм с Г2 = id. Пусть, далее, образующая группы их (RP") действует в G как Т. Обозначим через $ соответствующую локальную систему. Покажите, что гомоморфизм
q<n,IIII
GG
есть id + Г при четном q и id — Гпри нечетному. Вычислите гомологии //.(RP”;^) и когомологии Н* {RPn-, У ) в общем случае и при G = Z, Т = - id.
Основная теорема в случае непростого расслоения.
Теорема.
E2p>q= Hp(B-,{Hq(p~\x))}\
где {Hq(p~y (х)) } - локальная система, описанная в примере (2) из п. А. Аналогичное верно в случае когомологий и гомологий с коэффициентами.
Доказательство предоставляется читателю.
Упражнение 8. Покажите, что равенство х (£) = X (S)X О7^ (см- п- 1С) сохраняет силу и для непростых расслоений.
. D. Упражнение 9. Используйте когомологии с локальными коэффициентами для построения теории препятствий, не связанной условиями простоты (пространств и расслоений). Определите с помощью этой теории препятствий класса Эйлера неориентированных расслоений.
3. Первые применения. Читателя, который воспринял содержание предыдущего пункта как нечто вспомогательное и необязательное, мы просим снова напрячь внимание. Мы увидим сейчас, как даже то немногое, что мы уже знаем о спектральных последовательностях, может быть использовано для вполне содержательных вычислений (хотя главные применения спектральных последовательностей впереди).
Гомологии специальной унитарной группы SU(n). Как мы знаем, факторпрост- ранство SU{ri)fSU{n - 1) есть не что иное, как сфера S2”-1; возникает расслоение
SU(n-l) -,
SU(п)—>S2”"1 (л >2)
(мы следуем обыкновению писать обозначение слоя над стрелкой, обозначающей проекцию расслоения).
При п = 2 слоем этого расслоения является одна точка. Следовательно, 51/(2) = = S3. (Это равенство нам известно — см. § 1). Для нас равенство SU (2) = S3 удобно тем, что гомологии сферы S3 нам уже известны. При п = 3 получаем расслоение
SU(3)—^Ss, т.е. SU(3)^Ss.
Зная гомологии слоя и базы, выписываем диаграмму для члена Ег этого расслоения: Ер q = Нр (Ss; Hq (S3)) (рис. 91). Из диаграммы видно, что d2 = d3 = d* = ... ... = 0 по соображениям размерности. Значит, Е1 = Е°°. В Е” на каждой прямой р + q = const лежит не более одной нетривиальной группы, и мы заключаем, что SU(3) имеет следующие гомологии: Но = Н3 = Hs = Не = Z, остальные Hq = 0. Таким образом,
H.<SU^ = H.<S3 XSs).
Рассмотрим теперь случай п = 4, т.е. расслоение
51/(3) п
Член Ег показан на рис. 92. По соображениям размерности, Е2 = Е3 = ... = Е”,Член Ег показан на рис. 92. По соображениям размерности, Е2 = Е3 = ... = Е”,Рис. 92Рис. 92SU(4)>S\.
Член Ег показан на рис. 92. По соображениям размерности, Е2 = Е3 = ... = Е”,
Член Ег показан на рис. 92. По соображениям размерности, Е2 = Е3 = ... = Е”,
Рис. 92
Рис. 92
Рис. 91
и, следовательно, S<7(4) имеет такие гомологии: Яо = Я3 = Я5 = Я7 = Я8 = Яю = = Я!2 = Я1 s = Z, остальные Hq = 0. Иными словами,
Я.(5Я(4)) гЯ,(53 X Ss X Sny
Возникает соблазнительная мысль, что таким образом мы будем двигаться и дальше, усматривая всякий раз тривиальность дифференциалов спектральной последовательности из соображений размерности. Оказывается, однако, что случай п = 4 - последний из случаев, для которых соображений размерности — пока’ что единственных доступных нам соображений — достаточно. Действительно, рассмотрим следу- 5^(4) о ющее расслоение 5Я(5) ► S . Член
Е1 показан на рис. 93. По соображениям размерности Е2 = ... = Е9 и Я10 = ... =Е”, но дифференциалы dg.o: Z ■* Z и d»,?:
Z ■* Z могут оказаться нетривиальными. На самом деле они тривиальны, как тривиальны и все дифференциалы всех последующих спектральных последовательностей, но с доказательством мы вынуждены повременить до § 23. В § 23 мы докажем, что при любом п
H,(SU(n))^H,(S3 X Ss X .. .X S2""1).
(Заметим, что при л > 3 пространства SU(п) и S3 X S5 X ... X S2”-1 не гомео- морфны: у них не одинаковы группы тт4. Читатель может попытаться доказать этот факт, но лучше отложить это до следующей главы.)
Гомологии пространств петель.
Теорема. Пусть X - топологическое пространство {с отмеченной точкой), и пусть пространство X (л - 1) -связно, т.е.
я0(Х)^я1(Х)=... = яп^(Х).
Тогда
Hr(X)^Hr_v(HX)
при г < 2л — 2, и аналогичное равенство имеет место для гомологий с любыми коэффициентами и когомологий.
В доказательстве мы ограничимся случаем клеточного X; переход к общему случаю (который не кажется нам особенно важным) может быть произведен на основании результатов п. 6 § 11. п х
Рассмотрим спектральную последовательность расслоения ЕХ —* X из примера 2 к п. 4 § 9 (это расслоение дальше будет постоянно употребляться) : ЕХ — пространство путей, начинающихся в отмеченной точке, ИХ — пространство петель. Важно, что ЕХ стягиваемо, поэтому в Е” все тривиально, кроме Яд 0 = Z. В силу теоремы Гуревича Ht (X) = ... = Hn_t\X) = 0, и потому в Я2 ничего не стоит в полосе, образуемой 1-м,..., (л — 1)-м столбцами. Следовательно, в заштрихованной на рис. 94 части нулевого столбца тоже быть ничего не может: по соображениям размерности эта часть спектральной последовательности не подвержена действию ника-
ких дифференциалов, и если бы какая-нибудь из этих групп была нетривиальной, оно осталась бы нетривиальной и в Е”, что невозможно. Итак, Нх (SIX) = ... = = Hn_2(SlX) = 0, и член Е2 приобретает вид, показанный на рис. 95. В угловой клетке стоит группа Е„ „_г Дифференциал из этой клетки попадает в (2 л - 2)-ю клетку нулевого столбца, а в нее попадает дифференциал на 2л-й клетки нулевой строки. Клетки, стоящие в нулевом столбце и нулевой строке, соответственно,
ниже и левее, могут быть связаны дифференциалами только между собой, и так как в Е°° ничего остаться не должно, мы получаем при г< 2л - 2:
<,0: Ег,О^ЕО,г-1
IIII
^г,0^0,г-1
IIII
Пг(Х)НгХ (SIX).
Теорема доказана.
Замечания. 1°, В доказательстве построен канонический изоморфизм Hr_v (SIX) = Hr (X) (г <2n - 2).
2°. В критической размерности дело портит только дифференциал d^ n V ; En,n-i ^Е0,2п-2- Таким образом, дифференциал d^-i,^ ^2^°Е2^ 2
изоморфно отображает группу Е2^"Д 0 = Е2п1 о = ^2n-i W на факторгруппу группы H2n_2(SbX) (по образу дифференциала d" а_1). Этот изоморфизм между факторгруппой группы H2n_2(SlX) и группой H2n-i (X) равнозначен эпиморфизму Н2п_2 (SIX) ^Н2п_х (X).
3°. В следующем параграфе мы увидим, что этот изоморфизм Hr_x(SlX) = = Нг (А-) (г < 2л - 2) и этот эпиморфизм Н2п_2 (SIX) -*Н2п_х W индуцируется на самом деле непрерывным Отображением тх- 22 SIX -> X, действующим по формуле TX(s,t) = s(t), sE SIX, t Е [О, 1] (с учетом изоморфизма надстройки 22: Hr_t(SZX) НГ(Х)). Мы позволим себе воспользоваться сейчас этим фактом, не дожидаясь его доказательства.
Напомним, что в § 10 нами была доказана теорема Фройденталя: гомоморфизм надстройки
22: кт (S")^- тт + х (Sn 1)
является изоморфизмом при m < 2л - 1 и эпиморфизмом при т = 2л - 1. Сейчас мы покажем (как это было обещано в § 10), что это утверждение останется верным,
если в нем заменить сферу У" произвольным (л — 1)-связным (клеточным) пространством X. Нам удобно будет считать, что надстройка над пространствами с отмеченной точкой (X, пространства петель и т.д.) понимается в смысле определения, данного в п. 6 § 2 (т.е. образующая над отмеченной точкой стянута).
Наряду с определенным выше отображением их: S SIX ■* X мы рассмотрим вложение ix- X -* ^TLX, которое ставит в соответствие точке х G X петлю t ►* (х, Г) (точки (х, 0) и (х, 1) у нас отождествлены!). Очевидно, композиция
SAT ►SQSAT—* ЪХ
тождественна. В силу сказанного в п. В, отображение я2Х индуцирует изоморфизм в гомологиях размерности < 2 л (надстройка Y.X над (л — 1)-связным пространством X л-связна). Значит, и 5 ix индуцирует изоморфизм в гомологиях размерности < 2л, a ix индуцирует изоморфизм в гомологиях размерности <2л - 1 (гомологические гомоморфизмы, индуцируемые отображениями Six и ix, одинаковы с точностью до сдвига размерностей на 1). В силу теоремы Уайтхеда из п. 5 § 14, ix индуцирует в гомотопических группах изоморфизм в размерностях < 2л — 2 и эпиморфизм в размерности 2л — 1. Для завершения доказательства нам осталось только доказать следующее утверждение.
Упражнение 10. Гомоморфизм
Ох)»
я, (АГ)> я, (Q SAT) а яч+1 (SAT)
(где ^ обозначает изоморфизм из гомотопической последовательности расслоения ПУ_ ■_
EY —> Y, Y = SAT — ср. упражнение 13 к §9) совпадает с S: яч (АГ) ->я(,+1 (SAT).
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
СПЕКТРАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ РАССЛОЕНИЙ
Гомоморфизмы спектральных последовательностей. Пусть
ф = X'_v СХ'о С . . .САГ', ф = Х"_1СХ^С...СХ"
— два фильтрованных пространства. Для соответствующих спектральных последовательностей мы будем употреблять обозначения {*Epq, 'dp q} , {"Ep q, "dpq} .
Непрерывное отображение /: X' -^ X" называется согласованным с фильтрациями, если /(АГ,') С X" при всяком i. Поскольку такое отображение / индуцирует отображения /#: Cq (АГ') ■* Cq (АГ"), согласованные с дифференциалом и с фильтрацией, оно индуцирует при всех р, q и г (включая г = <») некоторые отображения
^«'p.q p,q P,q
перестановочные с дифференциалами (рис. 96).
Отображения (/,)£ q наилучшим образом взаимодействуют с утверждениями (1) —(6) теоремы Лере. В частности,
отображение (/,)p>q совпадает с индуцируемым / отображением Hp*q (Хр, X'p-l^Hp+q^P’Xp-Vy.
отображение (Z,)^1 есть гомологический (по отношению к дифференциалам'</г, "</'") гомоморфизм, индуцированный отображением (J,Vp,q' *
отображение (/,)" индуцируется индуцируемыми1) / отображениями ^Нт(Х^^Нт(Х^.
Доказательство очевидно.
Все эти свойства гомоморфизмов (/,)р>ч принято выражать словами: {(/,)p,g} есТь гомоморфизм спектральной последовательности { 'E^q, 'dp^ в спектральную последовательность U'Ep>q, "d^q ) ;
Рис. 96Рис. 96
Рис. 96
Рис. 96
Основной пример. Пусть (Е*, В*, F*, р'), (Е", B",F",p") — гомологически простые расслоения с клеточными базами и /: Е1 -*Е" — послойное отображение. Последнее означает, что существует непрерывное отображение g: В1 ~* В", такое, что диаграмма
коммутативна. Для любой точки х* G В* отображение / индуцирует отображение h слоя р'-1 (х') в слой р"-1 (g(x*^, которое, ввиду гомологической простоты расслоений, индуцирует гомоморфизмы Л,: Hq (F') ^Hq (F"').
Ввиду теоремы о клеточной аппроксимации отображение g гомотопно клеточному, а ввиду теоремы о нак рывающей гомотопии гомотопию можно поднять до гомотопии отображения /. Последняя превращает/в отображение, согласованное с фильтрациями, которое мы снова обозначим через /. Новое / индуцирует гомоморфизм спектральной последовательности первого расслоения в спектральную последовательность второго расслоения, который обладает следующими дополнительными свойствами.
Предложение. (1) Гомоморфизм (f^)p,q совпадает с гомоморфизмом Нр(В'-, Hq(F'^ -+Hp(Btt-, Hq(F" )},индуцируемым g uh,.
При г > 2 гомоморфизм UWp.q не зависит от произвола конструкции (выбора клеточной аппроксимации и поднятия гомотопии^.
Часть (2) этого предложения следует из части (1), доказательство части (1) мы оставляем читателю (которому придется снова вникнуть в доказательство равенства E2Piq =НР(В\ Hq(F))).
Все сказанное имеет очевидные аналоги для когомологий и гомологий с коэффициентами.
(Рассмотрение случая гомологически не простых расслоений здесь и далее в этом параграфе мы оставляем читателю.)
Нулевая строка и нулевой столбец. Содержательные следствия из результатов предыдущего пункта можно получить, применяя их к простейшим отображениям:
(Е, В, F, р) связны. Поскольку все дифференциалы, исходящие из клеток нулевой строки (гомологической спектральной последовательности с коэффициентами в G), и все дифференциалы, приходящие в клетки нулевого столбца, тривиальны (см. рис. 97), группы Егт 0 и Eq m представляют собой цепочки последовательных, соответственно, подгрупп и факторгрупп:
e^ode^od...de~ о,
. /Im d /1т d
0,т ■0,т ■'> Е3 ►
0,т ■
0,т ■
■° 0, т с 0, т
Возникают мономорфизм и эпиморфизм Fm,o и Е^т -*ЕОт,
в когомологическом случае
Е®’т ^Е^т и Е™*0 ^Е”-°.
В то же время Eg>m и Е„>0 — это подгруппа и факторгруппа группы Нт (Е; G), а
Е™'° и Е®'т — подгруппа и факторгруппа группы Нт (Е; G). Рассмотрим цепочки гомоморфизмов:
Нт (F; G) = Яо (В;Нт (F; G» = Е^,т^ Е^т С Нт (Е; G), Нт (Е; GVE”,0CE2m>0=Hm (В; Но (F; G)) = Нт (В; G), Нт (B;G) = Нт (В;Н° (F;G» = Е^'° -*Е^>° С Нт (Е; G), Нт ф\ G)^E®’mC Е?'т=Н°(В;Нт (F; G)) = Нт (Е; G).
Теорема. Эти гомоморфизмы совпадают с гомоморфизмами, индуцированными включением F -*Е и проекцией Е В.
Доказательство, как уже было сказано, сводится к применению результатов предыдущего пункта к отображениям, указанным в начале этого пункта. Детали мы оставляем читателю.
Трансгрессия. Рассмотрим дифференциалы
лт . pin pinлО.т-1. р0,т-1.рт,0
in.О' т.О О.т-Г . in ' тт
гомологической и когомологической спектральной последовательности расслоения (E,B,F,p). Как уже было сказано, Е™п 0 и Е^’т-1 - подгруппы групп Я», (В; G) и Hm~l (F; G), а Е™тХ и Е™-° - факторгруппы групп Hm_v (F; G) и Я1" (В; G). Поэтому указанные дифференциалы имеют вид
подгруппа группыНт (В; G)подгруппа группыНт (В; G)подгруппа группыят-Ч^ о)подгруппа группыят-Ч^ о)факторгруппа группы
подгруппа группы
Нт (В; G)
подгруппа группы
Нт (В; G)
подгруппа группы
ят-Ч^ о)
подгруппа группы
ят-Ч^ о)
Hm-i(F; G)
факторгруппа группы Нт (В; G)
Вообще гомоморфизм подгруппы абелевой группы А в факторгруппу абелевой группы В называется (по понятным причинам) частичным многозначным гомоморфизмом группы А в группу В. Мы будем использовать в этом случае запись А* В. Важно, что частичные многозначные гомоморфизмы всегда допускают обращение; в частности, для любого обыкновенного гомоморфизма существует обратный частичный многозначный гомоморфизм.
Итак, наши дифференциалы — это частичные многозначные гомоморфизмы Hm(B;G) ^H.^^F-.G),
цт-^р-С^>Hm(B;Gy
Эти гомоморфизмы называются, соответственно, гомологической и когомологической трансгрессией (рис. 98).
Элементы, входящие в область определения трансгресии, называются трансгрессивными. Насколько нам известно, этот термин употребляют только в когомологической ситуации.
Теорема. Гомологическая и когомологическая трансгрессии совпадают, соответственно, со сквозными гомоморфизмами
■(Р»)"‘3*
Ят(Д;С) = Ят(5,»;С)---> Hm^E,F',G^Hm_1<F',G\
Hm -1 ф; G) ^ Hm ^ F. ^-^2> Hm ^ ^Q^Hm ^. Gy
Доказательство (в гомологическом случае, (7 = Z). Можно считать, что В имеет единственную нульмерную клетку (см. п. 9 § 5). Дифференциал d™ 0 устроен так. Группа Е” 0 = Z'” 0 состоит из цепей с G С,„ (р-1 (Д'")) С С,„ (Е), граница которых принадлежит C„i-1 (р~* (S°)) = G„-i(^) (т е- из относительных циклов с G Zm Qrx (В’"} , Е^ , рассматриваемых по модулю цепей из Ст (р-1 (Вт~ *)))• Отождествление с подгруппой группы Н,„ (3) производится при помощи отображения с ►* [р# с], квадратные скобки обозначают гомологический класс (это очевидно непосредственно, а также формально следует из результатов п. 1, примененных р р id.
к отображению (Е В) (В В). Дифференциал d1,” 0 переводит класс цени с в класс цикла Эс G С,п_ । (F), что равносильно нашему утверждению.
Применение: три точных последовательности. В п. 7 §20 мы столкнулись с ситуацией, когда информация, заключенная в спектральной последовательности, может быть записана в виде точной последовательности. Сейчас мы познакомимся еще с тремя такими ситуациями. Из получающихся трех точных последовательностей две первых были построены задолго до появления спектральных последовательностей.
А. Последовательность Ризина. Пусть (Е, В, SH, р) — (гомологически простое) расслоение со сферическим слоем. Устройство члена Ег соответствующей (гомологической) спектральной последовательности показано на рис. 99. Априори не тривиален только (м + 1)-й дифференциал, и он действует, как показано на рис. 99:
Рис. 99
^"i o: ^"' ^’ ^ ^^т-'«-1^'ече Е" остаются группы
E~,0 = K«d'^CHmkB-.GY
1:т.„ = и„дв;Е>1\т^
Таким образом, в члене Е°° на каждой линии р + q = т стоит не более двух нетривиальных групп, и мы можем написать
Нт Uv. G) D Е”_ ,,„, Нт {Е- GWQ_ „ „ = Е~о,
•по записывается, в свою очередь, в виде точной последовательности
0 е” „,„ -> Н„ДЕ. G) -> е”. 00.
т.с.
0 Нн1 АВ. (»)/Im dl)l +1 о НцДЕ Дг) -* Ker dln q 0,
т.е.
п + 1.
^т +1, О
Ят+1(В;С) ► Ят_„(В;С) H^E.G) -+
п+1^т, О
^Hm(B;G) > Hm_n-i(B;GY
Сращивая такие пятичленные фрагменты в одну точную последовательность, мы и получаем последовательность Гизина
IР*d
- Hm„n(B;G) -* Н^Е.С) -* Hm(B;G) — Яш_„_1(В;0 -
Аналогичным образом строится, также точная, когомологическая последовательность Гизина
iР*d.
... *-Нт ~п(В; G) *Я” (Я; G) «— Нт (.В; G) *- Hm'nV(B,G)^- ...
Все гомоморфизмы последовательностей Гизина имеют более или менее прозрачный геометрический смысл.
Упражнения. 1. В последовательности Гизина гомоморфизм р, индуцируется проекцией, гомоморфизм I (” lifting”) ставит в соответствие гомологическому классу цикла гомологический класс его полного прообраза (придайте этому высказыванию точный смысл), гомоморфизм d (дифференциал) есть -умножение на характеристический класс G Я"+ 1(S; Z) расслоения (в смысле §18) (доказательство этого утверждения лучше отложить до п. 5 и следующего параграфа).
В когомологической спектральной последовательности Гизина гомоморфизм р* индуцируется проекцией, гомоморфизм d есть ^ -умножение на характеристический класс, а гомоморфизм z есть в гладкой ситуации послойное интегрирование (последнее утверждение должно быть понятно читателю, немного знакомому с теорией де Рама).
(В гладкой ситуации гомоморфизмы I и i являются специальными случаями обратных гомоморфизмов, рассматривавшихся в п. 7 § 17.)
Последовательность Вана. Рассмотрим теперь расслоение (Я, S'1, Е^ р) со сферической базой. Спектральная последовательность этого расслоения похожа на предыдущую спектральную последовательность, только нетривиальные группы заключены теперь не в двух строках, а в двух столбцах. Мы снова получаем точную последовательность (в гомологическом и когомологическом случае)
... -^Hm(F- G) —*ЯШ(Я; G) —>ЯШ _„(Я; G) -^Hm _ ^F; G) -*..., .
... +— Нт (F; G) V- Нт (Е; G)^-Hm~ "(Г; G)<^Hml (Г; G) —>...
Эти точные последовательности называются последовательностями Вана.
Упражнения. 3. Восстановите детали построения последовательности Вана и докажите, что ее гомоморфизмы имеют следующий геометрический смысл (в гомологическом случае). Гомоморфизм z, индуцирован включением слоя F в Я, гомоморфизм г определяется операцией пересечения циклов с F, гомоморфизм d
устроен так. Сфера Sn разрезается на два полушария, D" и Dn_, пересекающиеся по экватору Sn -1. Соответственно, Е = (D" X F) U (Dn X f) (расслоения над D" и D" тривиальны по теореме Фельдбау). Мы берем цикл с слоя F, образуем произведение /?” X с и пересекаем это произведение с ^D" X F) Л (2)” X F) = Sn~l X F. Пересечение мы подвергаем проекции Sn~l X F ■* F. В F получается новый цикл, на и — 1 большей размерности, чем цикл с.
4. Опишите геометрический смысл гомоморфизмов когомологической спектральной последовательности Вана.
(Ср. снова с п. 7 § 17.)
Последовательность Серра. Предположим теперь, что у расслоения (Е, В, F, р) база л-связна, а слой (л — 1)-связен. Член Ег этой спектральной последовательности имеет вид, показанный на рис. 100 (и знакомый нам по п. ЗВ § 21). В этом случае при m < 2 и + 1
- с2
^т, О ^m,0>^0,m —1^0,m —1
и при m < 2 п трансгрессия
т: Hm(B;G) - Hm_1(F;G)
является не частичным многозначным, а настоящим гомоморфизмом. Далее при m < 2 л
Ео.т = Hm(F;G)llmT С Hm(E;G\
Ет, о = Кегт = Hm(E,G}l Е От, что записывается в виде точной последовательности
••Р.т
-> Hm(F;G) -> Нт(Е;С)-^Нт(В;С) -> Hm_v(F,G) -> ...,
внешне напоминающей гомотопическую последовательность расслоения. Это и есть
Рис. 100
последовательность Серра. Ее отличие от гомотопической последовательности расслоения состоит в том, что последняя бесконечна, а последовательность Серра конечна:
H2n(F;G) - H2n(E;G) -* ... -> Hn(F,G) -* Hn^E,G^ -> 0.
Если в рассматриваемой ситуации пространство Е ациклично (хотя бы в размерностях < 2 л), то мы видим, что трансгрессия т: Нт{В-, G) -*Нт_1(В; G) является изоморфизмом при т < 2 л. Читатель помнит, конечно, что мы пользовались этим
фактом в §21, когда мы еще не знали слова ’’трансгрессия”. Там мы рассматривали я х
серровское расслоение ЕХ > X. Теперь мы можем доказать неявно использовав
шееся там
Предложение. Трансгрессия Нт (X; (7) ->Нт _! (S2 Д'; G) является при всяком т частичным многозначным отображением, обратным гомоморфизму
v
Н„, Л]ПХ;С) ^ Нт^ПХД;)>Hm(X;G).
Для доказательства рассмотрим вспомогательное отображение р; CS1X -* ЕХ (С обозначает конус), ставящее в соответствие петле $ и числу /е [0,1] ’’укороченную петлю” — путь т s(It). [Это отображение иллюстрирует тот факт, что слой £1Х стягиваем в ЕХ.] Еще мы рассмотрим отображение я^,: СПХ -* X, определяемое, как и яЛ, формулой ($, г) •-> s (т), и составим диаграмму
//„,., ($2 X ) -Л—► Н,„ (2 Q Л) —^^- Пт (X)
н„дсах,«х) /
\ " <г* /Н„ДЕХ,йх/
(мы изгоняем из обозначений указание на коэффициенты), которая,очевидно,коммутативна. Из коммутативности видно, что гомоморфизм (я^)^ ° S: НЖ_Д£1Х) -* -*//„, (X) обратен трансгрессии Э, о (р,)-1: Н,„ (X) -^Hm_v (ПХ).
Трансгрессия и характеристический класс. Пусть £ = Д’, В, F, р) — гомологически простое расслоение, и пусть я„(F) = я сстьпсрвая нетривиальная гомотопическая группа слоя F. Рассмотрим когомологическую трансгрессию
т: НДР.тЕ) -* Нп*ЧВ;^.
BH"(F; я) лежит фундаментальный класс с,.- (см. п. 3 § 18), характеризующийся тем своим свойством, что его значение на и-мерном сфероиде пространства F, расссматриваемом как и-мерный цикл, равно классу этого сфероида в я„ (F) = я.
Упражнения. 5. Образ т (с-/?) е Я"+1(Д; я) фундаментального класса при трансгрессии совпадает с характеристическим классом расслоения £ — первым препятствием к построению сечения. [Указание. Нужно доказать, что фундаментальный и характеристический классы имеют одинаковые образы при гомоморфизмах
н'\Е; л)
, 11Л*Че,Е; л ).
Эти образы равны, в действительности, первому препятствию к распространению тождественного отображения F-*F на /1’.]
Найдите аналог упражнения 5 для гомологически непростых расслоений.
§23. МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ СТРУКТУРА
В КОГОМОЛОГИЧЕСКОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
До сих пор мы попеременно рассматривали то гомологическую, то когомологическую спектральную последовательность и не видели между ними особых различий, разве что стрелки переворачивались. Однако опыт предыдущей главы научил нас, что когомологии лучше гомологий, поскольку они обладают мультипликативной структурой (и другими отсутствующими в гомологиях структурами, скажем мы, имея в виду следующую главу). В этом параграфе мы внедрим мультипликативную структуру в когомологическую спектральную последовательность.
Формулировки: свойства мультипликативной структуры. Предположим, что область коэффициентов G является коммутативным кольцом, скажем, есть Z или поле. Мы построим в каждом члене Ег (с г > 2) когомологической спектральной последовательности расслоения, (Е, В, F, р) (с клеточной базой) косокоммутативное (по отношению к полной степени р + q) умножение, обладающее следующими свойствами.
1°. Умножение биоднородно, т.е. если а € ЕР* 4, 0 G ЕР ' 4 , то а0 G ЕР*Р ' q+q .
2°. Дифференциал dr удовлетворяет формуле Лейбница: если a 6 ЕР‘ 4, gE е ер/ ч‘, то
^р+р - ч + ч ^^ _ ^р- ч^ + ^_^*чадР - Ч g
3°. Умножение в Ег + 1 индуцируется умножением в Ег : если элементы а, 0ЕЕг + 1 представляются dr-циклами a,b € Ег , то а|3 представляется ^-циклом ab.
4°. Умножение в Ег совпадает с умножением в когомологиях базы В с коэффициентами в кольце H*{F; G). (Эта формулировка относится к гомологически простому случаю; в общем случае ее следует модифицировать, введя мультипликативную структуру в когомологии с локальными коэффициентами, — это мы оставляем читателю).
5°. Умножение в Е^ присоединено к умножению в Н* {Е; G) в следующем смысле: если a G WH™ (Е; G), b Е V >Нп{Е; G), то ab Е ^к + 1 ^Нт + п(Е; G) и представляемые а, о. и ab элементы а, р и у групп Е ^, Е^ и
к+1, т+ п— к— I„
Е „удовлетворяют соотношению у = ар.
В связи с утверждением 5 ° мы введем алгебраическое понятие, которое нам будет полезно и впредь. Пусть А — кольцо, и пусть
... С А_! С Ао С Ai С ... С А
— фильтрация в кольце А, рассматриваемом как абелева группа. Эта фильтрация называется мультипликативной, если AkAi С Ak+i при любых к, I. Группа GA = = s (Ap/Ap-i), присоединенная к Л по отношению к мультипликативной фильтрации {Ар}, является градуированным кольцом: если а Е Ак]Ак-\, b G Ai/Ai-i и a G А к , 0 G Ai — представители классов а, Ь, то класс произведения а0 G Ak+i в Ak + i /Ак+i -1 зависит только от а и b и принимается за ab.
Заметим, что в известном отношении умножение в присоединенном кольце GA беднее, чем умножение в исходном кольце А. Например, из того, что в GA произве-
дение любых двух элементов равно 0, следует лишь, что AfcAi С Ak+t-i (сдвиньте на 1 фильтрацию в произвольном мультипликативно фильтрованном кольце и вы получите кольцо с этим свойством). Напротив, всякое утверждение о нетри- виальности умножения в GA влечет за собой, как правило, аналогичное утверждение для А: например, если в GA отсутствуют делители нуля, то они отсутствуют и в Л (докажите!).
Построение умножения. Сначала опишем общую алгебраическую ситуацию, в которой спектральная последовательность оказывается мультипликативной. Предположим, что А — фильтрованное дифференциальное градуированное кольцо, т.е. что в абелевой группе А заданы: умножение, градуировка А = ® Аг, фильтрация {Ар} и дифференциал d; А -* А, которые согласованы между собой в следующем смысле: ArAs С Ar*s, ApAq С Ap*q, d(Ar) С A,+1, d(Ap) С Ap, Ap = = ®r (Ap Г\АГ) и d(ab) = (da)b + (—lYadb при a G Ar, b: G А. В этой ситуации умножение в спектральной последовательности определяется очевидным образом: кольцо Ео получается из А посредством присоединения, и прямая проверка показывает, что
что и позволяет определить умножение в Ег , обладающее всеми нужными свойствами, кроме свойства 4°, о котором говорить преждевременно.
Теперь осталось совсем немного: определить в коцепях пространства Е расслоения (Е, В, F^ р} с клеточной базой В умножение, которое было бы согласовано указанным выше образом с уже имеющимися в этих коцепях дифференциалом, градуировкой и фильтрацией. Такое умножение определяется формулой С1Сг = = D*(cx X с2), где D — подходящая аппроксимация диагонального отображения Е -*Е X Е. Эта аппроксимация строится так. Рассмотрим диаграмму
Е -^ Е X Е
РрХр
" d "
В —* В X в.
в которой d и d — диагональные отображения. Пусть dt — гомотопия отображения d = d0, приводящая его к клеточному отображению d^. Построим накрывающую гомотопию dt отображения d (строго говоря, это — гомотопия, накрывающая гомотопию dto р-_ Е -*В X В). Отображение dt — это и есть нужное нам отображение D.
Упражнение 1. Докажите, что построенное отображение обладает свойством 4°.
Первое применение: когомологии группы SU(n). Теперь мы имеем возможность проделать до конца вычисление, начатое в п.ЗА § 21.
Теорема. He(SU(n^; Z) а Я‘(53 X S5 X ... X S2”-1; Z); изоморфизм мультипликативен.■
дифференциалов следовало бы.дифференциалов следовало бы.Замечания. 1 °. Топологи чаще передают формулировку последней теоремы в виде: Я*(5Я(л); Z) есть внешняя алгебра (над Z) с образующими размерностей 3, 5,..., 2л - 1; это означает следующее: как кольцо с единицей Я*(5Я(л); Z) порождается образующими Xj, i = 2, 3,..., л, dim Xj = = 2/ — 1, связанными соотношениями xtx, = = -Х]Х,,х* =0.
дифференциалов следовало бы.
дифференциалов следовало бы.
2°. Из теоремы следует, что спектральная последовательность п. ЗА § 21, вырожденность которой мы доказали при л < 4, вырождена всегда: из наличия у этой спектральной последовательности нетривиальных что при больших л
гапкЯ,(5Я(л)) < гапкЯДЗ3 X S5 X ... X S2"”1),
что противоречит, ввиду совпадения рангов соответственных гомологических и когомологических групп, нашей теореме."•'
Доказательство теоремы. Применим индукцию по л (при л = 2 наше утверждение заведомо верно) и рассмотрим член Е3 спектральной последователь- Sl/(n —1)’
ности расслоения SU(n) » S (рис. 101). Как мы заметили в §21,
соображения размерности не гарантируют тривиальность дифференциалов этой спектральной последовательности. Однако дифференциалы, которые могли бы быть нетривиальны, прилагаются не к мультипликативным образующим кольца Н* (SU(n — 1); Z), а к разложимым элементам. Образующие же имеют размерности 3, 5, .... 2л — 3, и от них дифференциалы тривиальны. Значит, все дифференциалы спектральной последовательности тривиальны — в силу формулы Лейбница.
Доказательство, однако, на этом не кончается. Мы доказали аддитивный изоморфизм H*(SU(n); Z) “ Я*(53 X S5 X ... X S2”-1; Z), а должны доказать мультипликативный (это нужно и для индукции). Из доказанного следует, что в Я?(5Я(л); Z), i =3,5,...,2л— 1, имеются элементы х3, х5, .... Х2П-1, такие, что образы элементов х3, х5, ..., x2n_3 в кольце H*(SU(n — 1); Z) являются образующими этого кольца, а хгп-1 есть образ стандартной образующей группы Я2п-1(52«-1; 2) при гомоморфизме, индуцированном проекцией St/(л) -*S2”-1. Нам достаточно показать, что мономы х* х** ... x^n-i’ где i, = 0 или 1, составляют аддитивный базис в Я*(St/(л); Z) (отсутствие в Я*(5Я(л); Z) кручения гарантирует выполнение равенств х^ = 0). Возьмем любой элемент кольца Я* (St/(л); Z). Из доказанного следует, что он представляется в виде целочисленной линейной комбинации указанных мономов с точностью до элементов большей фильтрации. Но элементы большей фильтрации сами представляются в виде комбинаций наших мономов с точностью до элементов еще большей фильтрации, и так далее. Теорема доказана.
У п ражнение 2. Я*(СГ(л,к); Z) ^ Я*(52 (”~ k> + 1 х S2 ^^ ^+3 X ...
X S2”"1 t)
Когомологии других классических групп.
Упражнение 3. Покажите, что (мультипликативно) Я*(5р(л); Z) = гЯ^З3 XS7 X ... XS4”"1; Z).
Теорема. Если К = Q, R или С, то
Н* (SO(ny К) =
Я*(33 X S7 X ... X З4"1"1;^, если л = 2m + 1,
Я*((33 X S7 X ... X S4m-s)XЗ2"7"1;К), если п = 2т.
Доказательство. Поскольку SO (2) ^S1 и SO (3) = RP3 (см. § 1), при л = 2 и 3 это нам известно. Предположим, что утверждение доказано для SO(n1') с л' < л, и рассмотрим сначала случай нечетного л. Отображение SO(ii) -*У(п, 2), относящее ортогональной матрице совокупность первых двух ее строк, определяет расслоение
SO(n—2)
SO(n)Г (л, 2).
Лемма. Если л нечетно, то H*(V (л, 2); К) = Я*(32”-3; К).
Доказательство. Член Ег спектральной последовательности расслоения s”~2
К (л, 2) > Sn 1 (с коэффициентами в К) изображен на рис. 102. Априори не из
вестен дифференциалd®*"~2: Z -* Z, но фактически мы его дважды вычисляли: вп.ЗС § 19 (Я„_2(К(л, 2)) = Z/Imdn-i.o = я„_2(К(л, 2)) =Z2 при нечетном л и Z при четном л; поэтому гомологический дифференциал есть умножение на 2 при нечетном л и 0 при четном л, и, по соображениям двойственности, то же верно для когомологического дифференциала) и в п.5 §22 (d^lj 2(1) есть эйлеров класс нашего расслоения, которое не отличается от сферического расслоения, ассоцииро-
,0, п—2 ванного с касательным; поэтому а п1 (1) = 2 при четном л — 1 и 0 при нечетном л — 1). Таким образом, H*(V(л, 2); Z) = H*(S"-1 X 5"-2; Z) при четном л, а при нечетном л
Hq(V(n, 2); Z) =Hq(V(n, 2); Z) =Z при q = 0, 2 л - 3,
Hq(V(n, 2); Z) =
Hq(V(n, 2); Z) =
Z2 при q = л - 1,
О при остальных q.
откуда и следует наше утверждение.
Вернемся к расслоению SO(n) -* К (л, 2). Второй член его когомологической спектральной последовательности показан на рис. 103. Повторяя слово в слово аргументацию предыдущего пункта, мы доказываем, что
H*(SO(2m+\);K) = H*(S3 X S7 X ... X S4"1"1;^.
Выделим еще одно следствие из тривиальности дифференциалов спектральной последовательности рассматриваемого расслоения: отображение Я*(5О(2т+1); К) -> ~>Я*(5О(2т- 1); К) эпиморфно.
Рассмотрим теперь расслоение
50(2 т) ££<1^Д S2m-i
(см. рис. 104). Соображения размерности не обеспечивают тривиальности дифференциалов соответствующей спектральной последовательности, но все же они тривиальны: сквозное отображение
H*(S0(2m+\);K) H*(SO(2m);K) ^ He(SO(2m-\);K),
индуцированное сквозным включением 50(2 т - 1)50(2 т) ->SO(2 т + 1), яв
ляется, как мы показали, эпиморфизмом, а значит, эпиморфна и стрелка, помеченная звездочкой. Последнее равносильно тривиальности дифференциалов рассматриваемой спектральной последовательности (образ гомоморфизма * совпадает с ядром дифференциалов). Доказательство теоремы закончено.
Теорема. Имеет место (аддитивный) изоморфизм
H*(SO(n);Z2) s H4S1 X S2 X ... Х5” ’;Z2).
Более того, существуют элементы хп>1 = х{ е Hl(SO(n); Z2), i = 1, 2, ..., л — 1, обладающие следующими свойствами:
мономы xlt ... х1$, 1 < ii < ... < 1, < л — 1, составляют в H*(SO(n); Z2) аддитивный базис;
хп> t с i < п — 1 переходите хп_х>1 при гомоморфизме, индуцированном включением SO(n - 1) -^SO(n);
хп> „_! есть образ образующей группы H"~v (S"-1; 7^) при гомоморфизме, индуцированном проекцией SO (п) -+S"-1.
Доказательство. Применим индукцию по л. При л = 2 утверждение верно.
8О(п-1)
Рассмотрим спектральную последовательность расслоения 8О(п) >■ 5
Нужно доказать только, что дифференциал (трансгрессия) d°’_V2: Нп 2(SO(n- 1);Z2) -* h”"1(S"-1;Z2)
переводит хп_г в 0 (все остальное выводится уже привычным для нас образом из свойств спектральной последовательности). Для доказательства равенства
О, п —2
d п_х Vxn -2) = О мы рассмотрим отображение
SO(n^ >SO(n-l)SO(n^ >SO(n-l)Г(л, 2)Г(л, 2)s”"2s”"2
SO(n^ >
SO(n-l)
SO(n^ >
SO(n-l)
Г(л, 2)
Г(л, 2)
s”"2
s”"2
S”-1
расслоения в расслоение и соответствующий гомоморфизм спектральных последовательностей (рис. 105). Из индуктивного предположения следует, что в членах
Е ггомоморфизм переводит образующую группы Н (S ; Z2) в
хл_2 € Я”-2 (SO (л — 1); Z2); но в спектральной последовательности расслоения К(л, 2)S”-1 наш дифференциал, как мы уже знаем, есть 0 (по модулю 2).
Значит, он есть 0 и в нашей спектральной последовательности.
3 амечания. 1. Из теоремы видно, что H*(SO(2 m+1); Z2) ^H*(Sp(m+Y); Z2), хотя, как это видно из пп.А, В, Я*(5О(2т+1); К) = Я*(5р(т+1); К) при K = Q, R, С.
Теорема не описывает полностью кольца H*(SO(ri); Z2), поскольку остается неизвестным, чему равно х2. Например, SO(3) = RP3, когомологии RP3 аддитивно порождаются элементами 1,х, х2, х3, x€H*(RP3; Z2). Значит, х2 =х2 прил = 3 (а тогда и при л > 3). В действительности верно следующее утверждение. Кольцо H*(SO(n); Z2) порождается элементами yt GН21-1 (SO (л); Z2),/<=1,2 [л/2],
которые связаны (кроме соотношений коммутативности) соотношениями у2 = О,
где 2 — такая степень двойки, что л < z • 2 < 2 л. Другие сведения о когомоло- гиях групп Ли и литературные указания читатель может найти в статье Фукса ’’Классические многообразия” (Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 12. — М.: ВИНИТИ, 1986).
Еще одни пример (иллюстрирующий коварство мультипликативной присоеди- ненности). Читатель заметил, конечно, что в доказательстве теоремы п. 3 мы осуществляли переход от Е^ к Н*(Е) с большой осторожностью, хотя в конце концов эти кольца оказались изоморфными. Мы покажем сейчас, что эта осторожность не была излишней.
Предположим, что нам задано расслоение (Е, S2, S2, р) с базой S2 и слоем S2 (мы не уточняем, какое именно). Член Е2 когомологической спектральной последовательности этого расслоения с коэффициентами в Z показан на рис. 106. По сообра- 0,0 жениям размерности Е^ = Е2) т.е. Е^ аддитивно порождается элементами 1 G Е , 0,22,02,2
х G Е^ , у G Е „ , ху G Е^ . Соответственно Н (Е\ Z) аддитивно порождается элементами 1 G Н° (Е; Z), х, у ^Н2 (Е; Z), Т G Н* (Е; Z). Здесь у — образ образующей группы Я2(52; Z) — вполне определенный элемент. В противоположность этому, элемент х - представитель класса х G Е°^ = Н1 (S2; ХуЕ^° - определен с точностью до слагаемого вида ку. Наконец, z G Н4 (Е-, Z) = Е^1 - снова вполне определенный элемент. Из присоединенности кольца Е^ к Н\Е-, Z) мы заключаем, что у 2 = О, ху = z, а х2 имеет нулевой образ в факторгруппе Е^° группы Н ^Е\ Z), что ни о чем не говорит, ибо Е „ = 0. Таким образом, х 2 = Xz, где X — не известное нам целое число. Мы можем воздействовать на X, прибавив к х элемент, кратный у. (х + ку У = х2 + 2кху + к2 у 2 = (X + 2 ку. Поэтому принципиально возможны два случая: X четно и X нечетно. (Кольца с четным н нечетным X не изоморфны хотя бы потому, что в случае нечетного X элемент z является квадратом, а в случае четного X не является.) Покажем, что обе эти возможности реализуются геометрически.
Случай четного X реализуется тривиальным расслоением. Этот случай неинтересен, поскольку в нем мы опять имеем мультипликативный изоморфизм Е^ = Н *(Е; Z).
Построим теперь нетривиальное расслоение с базой и слоем S2. Возьмем на комплексной проективной плоскости СР2 точку а и не проходящую через нее прямую СР1. Построим не пересекающийся с СР1 шар D4 с центром а и положим X — СР2 — IntD4. Это — четырехмерное многообразие с краем S3. Проведем через а всевозможные (комплексные) прямые. Они не пересекаются между собой в X, и каждая из них пересекается с X по двумерному диску и с СР1 по точке (’’центру”
этого диска). В результате X расслаивается над СР1 = S2 со слоем D2 (на dX=S3 это — обычное хопфовское расслоение S3 над S2 со слоем S1 = дЯ2). Возьмем два экземпляра такого X и срастим их по дХ так, чтобы слои первого расслоения срастались со слоями второго расслоения. Получится расслоение с базой S2 и слоем S2 = В2 U В2. Пространство Е этого расслоения — это так называемая связная сумма двух экземпляров многообразия СР2. ■
(Связная сумма двух связных л-мерных многообразий определяется так: в каждом из них высверливается шаровое отверстие и края этих отверстий сшиваются или, что эквивалентно, соединяются трубочкой Sn-X XI - см. рис. 107.)
а ьЛ ч а н и е. Если в этой конструкции вместо С взять R, то X станет лентой Мёбиуса, а Е — бутылкой Клейна, которая является связной суммой двух RP2 (разберитесь в этом).
Когомологии многообразия Е можно найти, например, пользуясь последовательностью Майера — Виеториса (см. п. 6 § 12), применяемой к разложению Е = XU X, X П X = S3. Кольцо Н*(Е; Z) содержит два подкольца, изоморфных Я*(СР2; Z) и пересекающихся по Я0 ® Н*; другими словами, кольцо H*\E; Z) аддитивно порождается элементами 1 G Я0, х, у.е Н2 и z G Я4, причем х2 =у2 = z, ху = 0 (двумерные циклы, лежащие в одном СР2, не пересекаются с двумерными циклами, лежащими в другом СР2). Мы видим, что кольцо Н*(Е‘, Z) не изоморфно (мультипликативно) кольцу Я *(52 X S2; Z) (z есть квадрат), откуда вытекает все, что нам нужно: расслоение нетривиально и в спектральной последовательности имеется нетривиальная мультипликативная присоединенность члена Е^ к Я*^2 X S2; Z).
В заключение — несколько упражнений на применение спектральных последовательностей.
Упражнения. 4. Известны гомологии замкнутого ориентируемого «-мерного многообразия X. Найдите гомологии многообразия единичных касательных векторов к X.
Найдите (уже известное вам) кольцо когомологий многообразия СР”, пользуясь спектральной последовательностью расслоения Хопфа S2” + 1 -»• СР” (со слоем S1).
Найдите кольцо когомологий с коэффициентами в Q многообразий 5Я(л)/5О(л).
Найдите кольцо когомологий с коэффициентами в Q многообразия SO{2n)fSU{n) с небольшими л (первый интересный случай: л=3).
МЕТОД СЕРРА ВЫЧИСЛЕНИЯ ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУПП
Этот и два следующих параграфа (а также значительная часть последующих глав) будет посвящена проблеме вычисления гомотопических групп. Мы начнем с того, что приведем отрывок из интервью, которое дал Жан-Пьер Серр в феврале 1985 г. в Сингапуре (см. Math. Intelligencer. — 1986. — 8, № 4. — Р. 8—13).
Вопрос. Были ли в Вашей практике случаи, когда Вы находили проблему не поддающейся решению и откладывали ее на некоторое время, а затем к Вам внезапно приходила идея, ведущая к решению?
Ответ. Конечно, это часто случалось. Например, когда я занимался гомотопическими группами (~195О г.), я пришел к убеждению, что для данного пространства X должно существовать расслоенное пространство Е с базой X, которое было бы стягиваемо; такое пространство должно было позволить мне проделать (при помощи методов Лере) массу вычислений гомотопических групп и когомологий Эйленбер- га — МакЛейна: Но как найти его? Прошло несколько недель (очень большой срок, если принять во внимание мой тогдашний возраст 9 . . .), прежде чем я понял, что нужными свойствами обладает пространство ’’путей” на X — если бы я осмелился назвать его ’’расслоенным пространством”, — что я и сделал. Это было началом метода пространств петель в алгебраической топологии. Многочисленные результаты были получены в скором времени.
Когомологии пространств петель. Первоначальный метод Серра вычисления гомотопических групп состоял в следующем. Предположим, что мы хотим найти гомотопические группы пространства X. Рассмотрим последовательность пространств X, SIX, SISIX, SI SI SIX, . . . Предположим, что мы располагаем способом, позволяющим находить когомологии пространства SIY, если известны когомологии пространства Y. Тогда мы можем найти первую нетривиальную гомологическую группу пространства SlkX при любом к, т.е., в силу теоремы Гуревича, первую нетривиальную гомотопическую группу этого пространства. Но при г > 1
я,(Я^) = irr+k(X),
поэтому всякая гомотопическая группа пространства X станет при некотором к первой нетривиальной гомотопической группой пространства SlkX. Вычисление же когомологий пространства Я Y можно попытаться проделать' при помощи спектральной
последовательности расслоения Е Y> Y.
Мы не будем пользоваться здесь этим методом Серра, а отдадим предпочтение другому методу Серра - ’’методу убивающих пространств”, который примерно эквивалентен методу пространств петель по своим возможностям, но алгебраически более благоустроен. Однако для иллюстрации петлевого метода мы приведем здесь поучительное вычисление когомологического кольца пространства петель сферы.
Теорема.
„[ Z при q = 0, п — 1, 2(л — 1),...,
H4(SlSn;Z) =
I 0, если q не делится нап - 1.
Далее, существуют образующие хк Е Hk^n-1\siSn ; Z), такие, что хкх, = ak>1xk + i, где
Ск +,,если п нечетно,
“k,i =“k,i =^(к + П)!'если к и! четны,
“k,i =
“k,i =
и п четно.и п четно.^(k2+i-i)/2’если к нечетно,! четно,
и п четно.
и п четно.
О,если к и! нечетны
Доказательство. Рассмотрим Z-когомологическую спектральную последо- ns”
вательность расслоения ESn* S". Член Е^ состоит из двух совершенно одина-
1) — 24 года. - Примеч. авторов.
ковых (но пока не известных нам) столбцов: 0-го и л-го, в которых стоят когомологии Я*(125"; 2). Дифференциал d„ должен уничтожить все, кроме Е§’°, поэтому Е^ч -Е^ч*""1 прид+л >0,т^Я‘?(П5',;2)~Я9 + "-1(Л5";2) (в сущности, мы пользуемся здесь точной последовательностью Вана). Значит, Нч(Ш>п; 2) as /ft-Oi-Dlg/Oi-Ol^S”; 2), откуда следует первое утверждение теоремы. Более того, если s - образующая группыЯ"(5";2) = £’^,0,то в группахЯ*(”~1)(П5”; 2) а — 2 можно (единственным образом) выбрать образующие хк таким образом, что dn(*i) = SHd„(xk) = sxk_ i, к> 1 (рис. 108). По соображениям размерности должно бытьхкх; = ак txk+l, ак_ х €2, и в силу мультипликативных свойств дифференциала
dn(xkxi) = dn(akaxk^ = akasxk*x_x,
dn(xkXi) = (dnxk)xt + (-l^-^Xfcdx, =
= sxk_vxt + (-l)k(”~1)xksx,_1 = [ak-u + (-1)к(”-1)ака-1] sxk + t_x, откуда
( “k-ij + “k,i-i при нечетном л,
’ I ak-i,i + (-1) “tj-i при четном л,
откуда и следует нужное нам утверждение.
Метод убивающих пространств. Мы знаем из п. 9 §11 конструкцию убивающего пространства: пространство Х|„ + 1 строится по пространству X и обладает следующими свойствами:
V^ln + i) =V^ln + i) =Hq GO при q>n, О при q<n.
V^ln + i) =
V^ln + i) =
При этом, если ип (X) = я — первая нетривиальная гомотопическая группа пространства X, то X | „ +! связано с X двумя расслоениями (на выбор) :
^1л+1X► Я (я, л),^1л+1X► Я (я, л),К^т, п-1)*1п+1 К^т, п-1)*1п+1 X.X.
^1л+1
X► Я (я, л),
^1л+1
X► Я (я, л),
К^т, п-1)
*1п+1
К^т, п-1)
*1п+1
X.
X.
(По большей части мы будем пользоваться вторым из этих расслоений.) Таким образом, если мы знаем когомологии пространств Я(я, л), то у нас есть принципиальная возможность найти когомологии пространства X | „ +1, а с ними первую нетривиальную гомологическую группу пространства У|„ + 1, т.е. вторую нетривиальную гомотопическую группу пространства X. И так далее.
Рис. 108Рис. 108Рис. 109Рис. 109
Рис. 108
Рис. 108
Рис. 109
Рис. 109
Пока что мы почти ничего не знаем о когомологиях пространств Эйленберга — Маклейна. Все же нам известно, например, что ^(Z, 2)= S3 |4, и уже это позволяет найти H*(S3 |4;Z). •
Теорема.
„ .f Zm при q = 2m +1, т = 2,3,...,
я»(53и;2)^
- I 0 при </¥=5,7,9,11,...
Доказательство. Рассмотрим Z-когомологическую спектраньную последо- K(Z,2)
вательность расслоения S |4 ► 8 . Ее начальный член показан на рис. 109.
Обозначив через х образующую группы Я2 (СР"; Z) = //^(^(Z, 2); Z) = Е®’2 и через s — образующую группы Е3,0 = Я3(53; Z), мы имеем:
группа Е^*2m = Z порождаетсяхт,
группа Е3,2m = Z порождается sxm,
остальные группы Е^*4 тривиальны.
Очевидно, Еэ = Ег. Далее, так как Я3(53 |4; Z) = 0, то d®’2: Р®’2 -*Е3,0 есть изоморфизм (должно быть Р^’® = 0), т.е. d3(x) = ±s; можно считать (хотя это и несущественно) , что d3 (х) = s. Следовательно,
d3(xm) = mxm-1d3(x) = msxm-1,
т.е. дифференциал d3 устроен, как показано на рис. 110а, и член Е„ устроен, как показано на рис. 1106.
Теорема доказана.
‘ Из доказанного и формулы универсальных коэффициентов следует, что
,[ Zm при q = 2т,
Hq(S3U) =
I 0 при q * 4, 6,8,...
и, значит, t4(S3 |4) = Z2 и t4(S3) = Z2.
Последнее равенство уже известно читателю, пробившемуся через все упражнения в конце § 10. Но даже этого читателя легкость, с которой мы доказали это равенство теперь, должна убедить, что с появлением спектральных последовательностей наши возможности вычисления гомотопических групп возросли неизмерИМО.
В то же время ясно, что на первый план выходит теперь задача вычисления ’’когомологий Эйленберга — Маклейна” Н*(К{п, п); —). Этим когомологиям посвящена значительная часть двух оставшихся параграфов этой главы и всей следующей главы.
Вычисление колец Н*(К(я, и); G) оказалось делом не простым; все же задача была полностью решена в 50-е годы (для абелевых тг) благодаря усилиям, главным образом, французских топологов А. Бореля, А. Картана и Ж.-П. Серра. Наиболее простой частью их работы явилось вычисление колец Н*(К(я, и); Q). Этому вычислению и его следствиям и посвящен настоящий параграф, который мы начнем с полезной общей теоремы.
Конечная порожденность и конечность гомотопических групп.
Теорема. Если группа тг конечно порождена (конечна), то для любой конечно порожденной группы G и любых п > Ou q> 0 группа НЧ(К (тг, и); G) конечно порождена (конечна).
Доказательство. Формула универсальных коэффициентов позволяет считать, что G = Z.
При и = 1 утверждение теоремы верно: нам известны соответствующие пространства К(я, 1) (K(Z, Y) = S\ K(Z2,1)=RP“, K(Zm, 1) = L” прит>2 - см.n. 7 § 11) и их когомологии:
я
0
1
2
3
4
5
6
. . »
S1
Z
Z
0
0
0
0
0
RP"
Z
0
z.
0
z3
0
z2
Lm
Z
0
Zm
0
Zm
0
Zm
Предположим, что утверждение уже доказано для К (я, п — 1), и пусть оно неверно для К (тг, и). Пусть Нт (К (тг, п); Z) — бесконечно порожденная (бесконечная) группа самой маленькой положительной размерности. Рассмотрим спектральную последо- Х(я,и-1)
вательность расслоения *► К (я, п), где * обозначает стягиваемое прост
ранство ЕК(я, п). Из определения числа т, индуктивного предположения и формулы универсальных коэффициентов следует, что группы Е^’4 ср <т конечно порождены (конечны), а группа Е™’0 бесконечно порождена (бесконечна). Группы^’9 с р < т получаются из соответствующих групп Е^'4 посредством конечного числа переходов к подгруппам и факторгруппам, поэтому они тоже конечно порождены (конечны). (См. рнс. 111, на котором светлые квадраты соответствуют конечно
порожденным (конечным) группам, а темный квадрат соответствует бесконечно порожденной (бесконечной) группе.) Поскольку факторгруппа бесконечно порожденной (бесконечной) группы по конечно порожденной (конечной) подгруппе не может быть конечно порожденной (конечной), группы
Ет,о = E^/d™ ~2’ ЧЕТ -2-1),
Е™’0 = Е?’0^з-3’ЧЕз~3’г),
бесконечно порождены (бесконечны), что противоречит равенству £’m+°i = Е^’° = = 0. Теорема доказана.
Обобщение. Говорят, что задан клас $ абелевых групп, если для всякой абелевой группы указано, принадлежит или не принадлежит она классу $, причем: (i) изоморфные группы принадлежат или не принадлежат классу $ одновременно; (11) если группа принадлежит классу ^, то всякая ее подгруппа и всякая ее факторгруппа принадлежит классу $; (ill) если подгруппа Н группы G и факторгруппа G/H принадлежит классу ^, то и группа G принадлежит классу $ . Это определение имеет многочисленные вариации — см. статью Серра ’’Гомотопические группы и классы абелевых групп” в сборнике ’’Расслоенные пространства”. Примеры: конечно порожденные группы; конечные группы; периодические группы; конечные р -группы.
Упражнение 1. Покажите, что если "6 есть некоторый класс конечно порожденных абелевых групп, тг G *ё и G есть конечно порожденная абелева группа, то Нч(К(я, nY G) при любых q > 0, п > 0.
Применение. Теорема. Пусть X - односвязное топологическое пространство, такое, что все гомологические группы Hq(X), q > 0 конечно порождены (конечны1). Тогда и все гомотопические группы яч(Х) конечно порождены (конечны).
Замечание. Требование односвязности в этой формулировке не является лишним: например, у букета 51 v № гомологические группы конечно порождены, а группа ^(S1 v S2) таковой не является. Однако требование односвязности можно все же значительно ослабить: хватило бы, например, условия гомотопической простоты.
Доказательство теоремы. Лемма. Если у расслоенного пространства Е база и слой имеют конечно порожденные (конечные) гомологии в положительных размерностях и база односвязна, то гомологии пространства Е также конечно порождены (конечны) в положительных размерностях.
Доказательство леммы. В спектральной последовательности нашего расслоения конечно порождены (конечны) все группы Е?'4 (кроме Е%’°), а значит, то же верно для групп Е^’4 с любым г, г < °°,и Hm (Е). Лемма доказана.
Для доказательства теоремы мы последовательно применяем лемму к расслоениям
К(Я2(Х), 1)К<Н4 (Х13),2)
^1з* X, Х|4^1з,...
и получаем, что гомологические группы пространств X13, X14,... конечно порождены (конечны). Следовательно, группа яп(Х) = //„(Л„) конечно порождена (конечна) при всяком п.
Следствие. Группы ^q(S3) конечны при q > 4.
Действительно, гомологические группы пространства S3 |4 конечны в силу результатов п. 2 § 24, a Hq (S3 ) = nq (S3 |4) при q > 4.
Упражнения. 2. Покажите, что если все гомологические группы положительной размерности односвязного (или гомотопически простого) пространства X принадлежит некоторому классу $ конечно порожденных абелевых групп, то и все его гомотопические группы принадлежат классу Чо.
Обобщением этого утверждения служит следующая Ф-теорема Гуревича: если у односвязного пространства X группы яч (X) с q < п принадлежат ^, то и группы Hq(X) с q < п принадлежат ^, а гомоморфизм Гуревича пп(Х) -> Н„(Х) является ^-изоморфизмом, т.е. его ядро и коядро принадлежат ^. Верно и обратное утверждение, в котором И и я меняются ролями. Следствием ^-теоремы Гуревича
является следующий факт, который будет осмыслен и уточнен в следующем параграфе: для любого простого числа р порядок группы itq(S3) не делится нар при q < 2р. Для доказательства достаточно применить (обратную) $ -теорему Гуревича к пространству S3 |4 и классу *8 конечных абелевых групп, порядок которых не делится на р.
Сформулируйте и докажите относительную $ -теорему Гуревича и *8 -теорему Уайтхеда.
Подробное изложение ”*6 -теории” читатель найдет в статье Серра, цитированной в п. А.
Вычисление колец H*(K(it, л); Q). Пусть тг конечно порожденная абелева группа. Тогда t = Z®...@Z®67, где G — конечная группа. Соответственно К(п,п) = = K(Z,n) X ... X K(Z,n) X K(G,n), и в силу формулы Кюннета
н*(к(1г,пУО) = H*(K(Z,nYQ) ® ... ® н*<к^, »);Q) ® нчклс.пУЛУ
В силу теоремы из п. 1 А
H*(K(G,ny,Q) = ^*(pt;Q)
(если целочисленные когомологии топологического пространства конечны, то его рациональные когомологии тривиальны). Значит, последний сомножитель в формуле для H*(K(v, п); Q) можно отбросить, и вычислить нужно только H*(K(Z, л); Q).
Теорема.
{
Лл(х), dimx = л, при нечетном п, Q[x], dimx = п, при четном п.
Поясним обозначения в этой формулировке. Если К есть поле, то через Ar(xi, . .. . . . , xm) обозначается ’’внешняя алгебра”, порожденнаяxtxm, т.е. К-алгебра с образующими X/ и соотношениями xfxy = —ХуХ/, х, = 0. Размерность этой алгебры равна 2т, ее К-базис составляют мономы xfi . . . xi$, 1 < z"i < ... < is < m. Буква К иногда обозначает не поле, а достаточно хорошее кольцо, скажем, Z; иногда ее не пишут вовсе (когда известно, о каком К идет речь). Формула H*(K(Z, пУ, Q) = = Aq(x), dimx = п имеет совсем простой смысл: H*(K(Z, п\ Q) = H*(Sn; Q). Через K[xi, . . . ,хт] обозначается алгебра многочленов OTXi, . . . ,хт с коэффициентами в К. Формула H*(K(Z, п); Q) = Q [х], dimx = п, означает, что Hg(K(Z, пУ Q) = = Q при q = 0, п, 2л, . . . , Hq(K(Z, л); Q) = 0 при остальных q HHkn(K(Z, л);0) порождается над К злементомхк, 0 ^х GHn(K(Z, п); Q).
Доказательство теоремы. При л = 1 (и л = 2) утверждение нам известно (^(Z, 1) = S1 и K(Z, 2) = СР”). Предположим, что теорема доказана для K(Z, п — 1) и рассмотрим когомологическую спектральную последовательность расслоения
с коэффициентами в Q. Начнем со случая четного л. Тогда, в силу индуктивного предположения, H*(K(Z, п - 1); Q) a H*(Sn~1; Q) и член Е^ нашей спектральной последовательности выглядит, как показано на рис. 112. Так как EL,q = 0 (кромеЕ^°), то НЧ(К (Z, л); Q) = Я’" n(K(Z. л); Q) при q > 0, т.е.
{
О при q = 0, л, 2л
0 при остальных q.
Более того, существуют 0 + хк € Hkn(K(Z, и); Q) = Екп,° = Екп*°,к = 1, 2, ... ,и О *s eH"-x(K(Z, п - 1); Q^E?’""1 = Е»>п" \ такие, что d„(s) = xi,d„(sx1)^ =х2,... (рис. 113). Но тогда
хк = dn(sxk_0 = dn^Xfc.i = ХгХк.!,
откуда xt = хк. Мы установим изоморфизм между H*(K(Z, п)', Q) и кольцом многочленов Q [X] ].
Пусть теперь п нечетно. Тогда Е§,к^п ~ ^ = Q с образующейх*, гдех - произвольный ненулевой элемент из Е§,п -1 = Hn-1(K(Z, и — 1); Q), и Е®’4 = 0, если q не делится на и - 1. Так как, далее, Яр(£(2, и); Q) = 0 при 0 <р < п и Hn(K(Z, пУ Q) = Q (это хорошо известно нам, но может быть выведено и из рассматриваемой спектральной последовательности), то Е^’4 = 0 при 0<р<п и gn,k^n-i’) _ q с образующей ухк,тлеу GHn(K(Z, пУ Q^ = E^’° - образ х при трансгрессии. Так как, наконец, в строках с номерами, не делящимися на п — 1, ничего не стоит, то Ег = Еп. Имеем:
dn(xk) = kxk-xdn^ = кухк-1 * О,
т.е. все Е^’4 с р = 0 »п (кроме Е^*°^ уничтожаются при n-м дифференциале. Предположим теперь, что в H*(K(Z, п); Q) есть элементы размерности, большей п, и пусть О ^ z Е Hm(K(Z, пУ Q) имеет среди них самую маленькую размерность. Но в Е^ ’q, р<т,нет элемента, дифференциал которого мог бы попасть в z GE™'° (рис. 114). Это противоречит равенству Е™*0 = 0.
Теорема доказана.
Следствие. Пусть rank it = r. Тогда
}
Лп (Xi,...,хЛ при нечетном п.
,xrJ при четном п
(всюду dimx,- = п).
Ранги гомотопических групп сфер.
Теорема.
rank я, (5”) =rank я, (5”) =1, если q = n или если п четно uq = 2n- 1, 0 в остальных случаях.
rank я, (5”) =
rank я, (5”) =
Замечание. Мы уже знаем, что яп (S ") = Z (см. п. 2 § 10) и что в т4т_1(52т) имеется элемент бесконечного порядка — квадрат Уайтхеда образующей группы я2т(52т) (см. п. 4§ 16). Теперь мы видим, что
7T4m_i(S2m) = Z ® (конечная группа),
а остальные гомотопические группы я9 (5 ") с q Ф п конечны.
8. А.Т. Фоменко
Рис. 115
. Доказательство теоремы. Пустьп нечетно. Тогда член Е2 когомологической спектральной последовательности расслоения
S”ln+iS”ln+iK<L, и —1)K<L, и —1)SnSn
S”ln+i
S”ln+i
K<L, и —1)
K<L, и —1)
Sn
Sn
с коэффициентами в Q выглядит, как показано на рис. 115. Уже известное нам рассуждение (_dxk = kxk-1dx = ksxk-1^ показывает, что Е„ = 0, значит, H4^Sn |„_!; Q) = 0 при q > 0, и, значит, группы Hq(Sn I „ +1) конечны при q > О (они конечно порождены в силу теоремы п. 1С).. Следовательно (опять-таки в силу теоремы п. 1С), все группы irq(Sn |„ + i) конечны, а значит, конечны группы ^(S”) с q > п. (Несколько иное доказательство более общего факта содержится в п. 4.)
Пусть теперь п четно. Тогда член Ег когомологической спектральной последовательности расслоения
K(Z, n-i)S"l„ + i—K(Z, n-i)S"l„ + i—S"S"
K(Z, n-i)
S"l„ + i—
K(Z, n-i)
S"l„ + i—
S"
S"
с коэффициентами в Q выглядит, как показано на рис. 116. Из этой спектральной последовательности видно, что Я*(5"|„ + 1; Q) = He(Sln-1; Q). Значит, группы Hq(Sn In+i) с q < 2и — 1 конечны, в частности, конечна группа Нп + 1(8п |„ + 1) = = 7Г„ +1(Sn 1п + 1) = яп + 1(5"). Рассмотрим расслоение
^(’„ + 1 («").«)
8" I п+2► 8п | п + 1-
Так как Н*(К(пп + 1 (Sn), и); Q) = Я* (pt; Q) (см. п. 1А), спектральная последовательность этого расслоения дает: H*(Sn |„ +2; Q) = H*^S” |„ + 1; Q) (если , конечно, п > 2). Отсюда мы последовательно выводим: конечность группы тт„ +2 (<5”'1 и +2) = = 7Гп+2(5п); равенство H*(Sn |„+3; Q) = Я*(5" |n+2; Q); конечность группы 7т„+з(5”1„+а) = я„+3(5"); • равенство Я«(5Я hn-o Q) = Я*(5" |2„_2; Q). (Читатель, проделавший упражнение 3 в п. 1С, вероятно, знаком с этой процедурой.) Таким образом,
^"hn-iiQ) = Я*(5"|„ + 1;0) = Я*^2"’1^),
H2n-ASn hn-O = ir2n-i(Sn I 2и-1) = ^n-ifS") = z ® (конечнаягруппа), и спектральная последовательность расслоения
K(ir2n-i(s");Q)
8” hn 8п | 2„_!
уже известным нам образом приводит к равенству Я*(Sn 12„; Q) = Я*(р1; Q). Значит,
все группы Hq(Sn 12„) конечны, а с ними конечны и группы irq(Sn 12„), т.е. группы irq (S ") с q > 2и. Теорема доказана.
Теорема Картана — Серра. Мы скажем, что рациональные когомологии пространства X с коэффициентами в Q составляют свободную косокоммутативную алгебру с образующими xs € Н^Х", Q), если xs не связаны никакими соотношениями, кроме соотношений косой коммутативности xsxt = (—l)'*^^,. Другими словами,
^*(^;Q) = Aq (нечетно мерные х4) ® Q[ четно мерные xj.
Примеры. 1. S" с нечетным и.
S” | 2„ с четными.
К(я, п) с конечно порожденной абелевой группой тг.
4.SU(n), SO(n), Sp(n\
OS".
В действительности верно, что рациональные когомологии произвольного Я-прост- ранства, в частности, произвольного пространства петель, представляют собой свободную косокоммутативную алгебру; читатель может попытаться доказать это в качестве упражнения.
Теорема (Картан - Серр). Пусть X - односвязное пространство с конечно порожденными гомологиями. Предположим, что рациональные когомологии пространства X представляют собой свободную косокоммутативную алгебру.
НЧХ\^ = AQ(x1,...,xm) ® Q[n,...,y/],
где xs - некоторые нечетномерные когомологические классы, yt - четномерные когомологические классы. Тогда ранг группы aq{X) равен числу q-мерных элементов среди хх, . . . ,хт,ух,... ,yv
Другими словами, у односвязного пространства X со свободными рациональными когомологиями свободные аддитивные образующие гомотопических групп находятся в сохраняющем размерность взаимно однозначном соответствии с мультипликативными образующими алгебры его рациональных когомологий.
Доказательство. Так как
H*(X;Q) = H*(X;Z) ® Q
и гомологии пространства X конечно порождены, то найдутся ненулевые целые числа ах, . . . ,ат,Ъх, . . . ,ЪХ, такие, что классы аххх, . . . , атхт, ЬхухЬхух принадлежат образу естественного гомоморфизма Н*^Х; Z) -* Н*(Х; Q) (индуцированного включением Z->Q). Пусть при этом гомоморфизме хх**аххх,... . . . , ух» Ьхух. Классам xs,у t целочисленных когомологий пространства Xотвечают (определенные с точностью до гомотопии) отображения X -*K^L, is), X -*K(Z, /f), где i, = dimx5, jt = dimy, (cm. n. 3 § 18).
Все вместе эти отображения определяют отображение
X -* У = ( n^(Z, zJ) X (П^, Л)),( * )
st
и ясно, что это отображение индуцирует изоморфизм в рациональных когомологиях (из теоремы п. 2 и предположений теоремы вытекает, что рациональные когомологические алгебры пространств X и У устроены совершенно одинаково, а отображение (*) индуцирует взаимно однозначное соответствие между образующими этих алгебр). В силу п. 5 § 9 отображение (*) можно считать расслоением, и когомологическая спектральная последовательность этого расслоения с коэффициента-
ми в Q показывает, что слой F этого расслоения имеет в положительных размерностях тривиальные рациональные когомологии (ввиду результатов п. 2 § 22 в нулевую строку этой спектральной последовательности не попадают никакие дифференциалы, и потому элемент 0 ^ z Е H4^F; Q) с наименьшим возможным q не уничтожился бы никаким дифференциалом и остался бы в Е„, в противоречие равенству Н\Х\ Q) = = Я*(У; Q)). Значит, F имеет конечные гомологические группы (их конечная по- рожденность вытекает из конечной порожденности гомологий пространств У и У), а следовательно, и гомотопические группы пространства F конечны (см. п. 1 С). Теперь точная гомотопическая последовательность расслоения (*) показывает, что каждое отображение тг„ (X) -* тг„ (У) имеет конечное ядро и конечное коядро (фактор по образу), а значит, ранги гомотопических групп пространств X и У совпадают, что нам и требуется.
Из теоремы Картава — Серра вытекают некоторые уже известные нам утверждения (например, теорема о рангах гомотопических групп нечетномерной сферы), а также несколько новых утверждений. Например:
Следствие.
{
Z ® (конечная группа), если «у = 3,5,... ,2л + 1, конечная группа при остальных q;
( Z® (конечнаягруппа),еслиq = 3,74m-1, Trg(SO(2m + l))= VV ’4
l конечная группа при остальных q;
{
Z ® (конечная группа), если о = 3,7,..., 4m — 5,2m — 1,
. конечная группа при остальных q;
(
Z ® (конечнаягруппа),еслиq = 3,7,...,4л - 1, конечная группа при остальных q.
Замечание. Из точности гомотопических последовательностей расслоений sow s™2± $—, suw5i^^l* s»-\
spW2«!L2\ S4„-,
вытекает,ввиду равенства ^(S"1) = 0 при q < m, что имеют место изоморфизмы irq(SO(n - 1)) а яч($О(п)) при q < п - 2,
irq(SU(n - 1)) а я9(5^(л)) при q < 2л - 2,
iTq(Sp(n - 1)) a irq(Sp(n)) при q < 4л - 2,
индуцируемые соответствующими включениями. (В критических размерностях q = п — 2, 2п - 2 или 4л - 2 эти включения индуцируют эпиморфизмы левых групп на правые.) Таким образом, при достаточно большом и группы irq(SO(n)), ■nq(SU(n)'), nq(Sp(n)) не зависят от л; эти стабильные группы обозначаются через itq^SO\ irq(slT), irq(Spy Для удобства читателя заметим, что у групп SO(n), SU(n), Sp(n) стабильными являются гомотопические группы, соответственно, до (л — 2)-й, (2л - 1)-й и (4л + 1)-й включительно. В отличие от групп itq(SO(n^, irq(SU(ny), nq(Sp(n)), которые полностью не вычислены, стабильные гомотопические группы
известны:
М") - [ „М") - [ „при нечетном q, при четном q',при нечетном q, при четном q',
М") - [ „
М") - [ „
при нечетном q, при четном q',
при нечетном q, при четном q',
HqtSO) = itq+4(Sp) =HqtSO) = itq+4(Sp) =Z при q = — 1 mod 4, Z2 при q = 0,1 mod8, 0 при остальных q.
HqtSO) = itq+4(Sp) =
HqtSO) = itq+4(Sp) =
(Ср. с предыдущим следствием.) Этот факт был доказан во второй половине 50-х годов Боттом, применившим средства вариационного исчисления в целом (весьма употребительно название ’’периодичность Ботта”). Изложение доказательства Ботта имеется в заключительной главе книги Милнора ’’Теория Морса”. Другое доказательство для U будет приведено в гл. 6.
Комментарии к теореме Картана - Серра. Как уже говорилось, теорема о рангах гомотопических групп нечетномерной сферы является следствием теоремы Картана — Серра, но случай четномерной сферы теоремой Картана - Серра не охватывается, потому что в когомологиях четномерной сферы имеется нежелательное соотношение: квадрат четномерной образующей равен 0. Все же нам удалось вычислить ранги гомотопических групп четномерной сферы, и у читателя может сложиться впечатление, что, зная рациональное когомологическое кольцо, скажем, односвязного пространства, всегда можно найти ранги его гомотопических групп. Это впечатление, однако, ошибочно, в чем можно убедиться, рассматривая следующий пример. Возьмем букет S2 v S2.
Упражнение 5. Пользуясь методами этого параграфа, найдите ранги гомотопических групп букета S2 vS2; докажите, в частности, что гапкт4(52 v S2) = 4.
Возьмем в я4 (S2 v S2) (или в я9 (S2 v S2) с q > 4) любой элемент бесконечного порядка, выберем сфероид S4 -* S2 v S2 (Sq -* S2 v S2), представляющий этот элемент, и приклеим по этому сфероиду к S2 v S2 пятимерную клетку ((q + 1)-мерную клетку). Когомологическое кольцо получившегося пространства X не будет отличаться от когомологического кольца букета S2 v № v Ss (S2 v S2 v Sq+1) — no соображениям размерности. Но ранги гомотопических групп у этих пространств (X и букета) будут, конечно, разными: это верно уже для группы я4 (для группы Яд). Возникает вопрос, нельзя ли все же выразить в чисто когомологических терминах информацию, позволяющую найти ранги гомотопических групп (односвязного) пространства. Оказывается, можно. Наряду с обычным когомологическим умножением в когомологиях топологических пространств имеются ’’высшие умножения” — так называемые умножения Масси.
Вот конструкция первого из них. Пусть аGHP(Л-; G), PGHq(X; G), у GHr(X;G^ (G - кольцо) — такие когомологические классы, что а0 = 0 и 0 7 = 0. Выберем коциклы a Ga, bGP,cGy (неважно какие, сингулярные,или иные,скажем, дифференциальные формы, существенно лишь, чтобы для коцепей рассматриваемого типа имелось ассоциативное билинейное умножение, удовлетворяющее формуле Лейбница и индуцирующее обычное когомологическое умножение). Тогда существуют коцепи е, /, такие, что бе = ab и 6/= Ьс. Рассмотрим коцепь ес - (—1)ра/. Она является коциклом:
Ь^ес-^-ХУаП = (ab)c - (-1)р(-1)ра(Ьс) = 0,
и соответствующий когомологический класс называется произведением Масси классов а, Р, 7; обозначение: (а, Р, 7>. Очевидно, произведение (а,Р, у) определено с точностью до прибавления элемента вида «X + Д7, где X G Hq + r~1(X; G), д €
G Hp + q-1(X; G). Таким образом, умножение Масси — частичная многозначная тернарная операция. (В частности, (а, 0, у> есть не один когомологический класс, а целое множество когомологических классов.)
Упражнение 6. Вычислите умножение Масси в построенном выше пространстве X = (S2 v S2) U О5.
Это построение можно продолжить; например, для четверки когомологических классов а, Р, 7, 8, таких, что «0 = 07 = 78 = 0 и <а, 0, у) Э 0, <0, 7, 8 > Э0, можно построить произведение <а, 0, 7, 8 >, определенное с еще большей неточностью, и т.д.
Оказывается, что рациональные когомологии, заданные вместе с обычным умножением и бесконечной последовательностью умножений Масси, определяют ранги гомотопических групп (а также, с точностью до элементов конечного порядка, умножение Уайтхеда с высшими умножениями Уайтхеда — Масси), разумеется, в односвязном случае. Этот вывод можно сделать из так называемой теории минимальных моделей Сулливана (в построении которой операции Масси явно не участвуют). Изложение теории Сулливана имеется в известной статье Гриффитса, Делиня. Моргана и Сулливана (русский перевод см. Успехи мат. наук. - 1977. - Т. 32, № 3. — С. 119—152), содержащей также одно из наиболее ярких приложений этой теории (к топологии кэлеровых многообразий). См. также сборник переводов ’’Гомотопическая теория дифференциальных форм”, Мир, 1981 г.
§ 26. НЕЧЕТНЫЕ КОМПОНЕНТЫ ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУПП
На протяжении этого параграфа р обозначает нечетное простое число (случай р = 2 мы разберем в следующей главе).
Когомологии Я* (Я (Z 5,n);Zp) при (р',р)= 1.
Теорема. Если р' не делится на р, то
Н*(£(? «п^ — Я*(рГ, Zp').
Этот факт нам, в сущности, известен (см. упражнение 1 к § 25). При л = 1 он был установлен в главе 2, а в общем случае доказывается индукцией по п при помо- X(Zp,n-I) щи расслоений *► К (Zp, п).
Следствие. Если G есть конечная абелева группа, порядок которой не делится на р, то и Hq{K(G, п\, Z), q > 0,-конечные абелевы группы, порядок которых не делится нар.
Это вытекает из предыдущей теоремы ввиду формулы универсальных коэффициентов. (Это вытекает также из упражнения 1 к § 25.)
Частичное вычисление кольца Я*(Я(2р, л); Z). Это вычисление будет проделано до размерности п + 4р — 4 включительно (почему берется именно такая размерность, будет ясно из вычисления). В следующей главе мы сформулируем полный результат о когомологиях Я* (Я (Zp, л); Zp).
Нам (и читателю) будет удобнее, если, мы начнем вычисление, не формулируя заранее его окончательного результата.
Когомологии пространства К(Zp, 1) = Lp нам известны:
( Z„ при четном q > 0,
Hq(K(Zp, iy,Z) = \ пр
I 0 при нечетном q.
Простые соображения показывают, что в положительных размерностях имеет место мультипликативный изоморфизм
Я*(К(гр, 1);Z) = Zp[xl, х G ff2(K(Zp, 1);Z).
(Это можно доказать, например, так. Рассмотрим спектральную последовательность расслоения L”► СР” — см. рис. 117. Из формулы Лейбница, или, еще проще, из информации об аддитивном устройстве когомологий H*(L™; Z) следует, что все дифференциалы d2: Z -> Z являются умножениями на р. Значит, в Е* остается только нулевая строка, и отображение Я*(СР”; Z) -*Я*(£”;г) эпиморфно, а мультипликативная структура в Я* (СР”; Z) нам известна.)
Рис. 117Рис. 117
Рис. 117
Рис. 117
Рассмотрим теперь когомологическую спектральную последовательность расслое- к(ХР.П.
ния **K(ZP, 2) с коэффициентами в Z. Эта последовательность (до размерности R» 4р) схематически представлена на рис. 118. Из нее видно, что кольцо Н*(К(2р, 2); Z) до размерности 4р + 1 включительно устроено так: аддитивные образующие находятся в размерностях 0, 3,2р + 1,2р + 2,2р + 4,2р + 5, мы обозначим их через 1,Уз,У2р+1, • • • ; При ЭТОМузУ2р+1 = У2р +4,УзУ2р+2 = У2р + 5-
[Поясним, как это получается. Элемент у3 по определению есть образ х при трансгрессии. Из d2х = уз вытекает, что.
, f #= 0, если т не делится на р., d3xm = тхт-ху= \'
I = 0, если т делится нар.
Поскольку d3xp = 0, элементы хр и ухр-х остаются в Е4 и могут уничтожиться только дифференциалом, отображающим их в нулевую строку. Значит, в нулевой строке имеются элементы у2р + 1 и Угр+2» такие, что d2p + i(xp)= У2р+1 и ^2p-i(yxp -1) = Угр+2 (последнее равенство не противоречит формуле Лейбница, потому что в Е2р-1 уже нет ни у, ни хр-1, и ухр~х не разлагается в Е2р-1 в произведение). Элементы у2р+1 и Угр *2 присутствуют уже в Ег (иначе откуда бы они взялись в Е2р +1 и Е2р _ 1 ?). Далее, по формуле Лейбница,
^sO^p + l*) = -У2р+1Уз, d(y2p + 2x) = y2p+2j3,
и если быу3у2р+1 илиу3у2р+2 было равно 0, тоу2р + 1х илиу2р+2х осталось бы в Е„, чего быть не должно. Положим
УзУгр+i = У2р+4, УзУ2р+2 = У2р+5'
Имеем: d3(y2p + 1xk) = ку2р+4хк~х, d3(y2p+2xk) = ky2p+sxk~1; эти дифферен
циалы отличны от 0 при к <р, а произведение у2р + 1Х₽ имеет уже самую большую интересующую нас размерность, и к тому же
^2Р+1(х2р) = 2хрД2р + 1хр = 2у2р + 1Хр.•
Таким образом, у нас не осталось не уничтожаемых дифференциалами d3, d2p_t и d2p+1 элементов из Ег полной степени < 4р + 1.
Ниже мы пропускаем подробные описания рассуждений такого рода, ограничиваясь картинкой.]
Спектральная последовательность расслоения
^(Zp,3)^(Zp,3)K(Zp,2) ♦ ■"—'
^(Zp,3)
^(Zp,3)
Рис. 119
(см. рис. 119) показывает, что до размерности 4р + 2 включительно кольцо H*(K(Zp, 3); Z) порождается образующими
24,24,24,2^,24,...,
z2p+2> z2p+2 z4, z2p+2 z4 »• • • , z2p+3»z2p+3 z4>z2p+3 z4 > • • •
(dim zm = m). Заметим, что не все эти элементы имеют разные размерности:
dim 242= dim z2 р+2 z4 ,
и могло бы случиться, что
Р+1
Pz2p + 2 = z4 2 •
Но этого не происходит, так как тогда бы было р+1 1 + ——
0 = (pz4)z2p+2 = Z4 2 #=0.
Значит, все указанные элементы имеют (аддитивно) порядок р.
Спектральная последовательность расслоения
X(Z_,3)
* ^-^^(Zp,^
устроена совершенно аналогично спектральной последовательности расслоения ^(Zp, 1)
** К (Zp, 2) (см. рис. 120). Образующие размерностей 4,2р + 2 и 2р + 3 соз
дают в Н • (KXZp, 4); Z) элементы размерностей 5,2р+3 и 2р + 4 и возникают еше (благодаря равенству d5 (z^ ) = 0) совершенно новые элементы размерностей 4р+1 и 4р+2. Таким образом, H*(K(Zp, 4); Z) в размерностях <4р+2 аддитивно порождается элементами
Ws , И*2р + 3, W2p+4, W2p + 3Ws, W2p + 4 ™5 , W4p + i, W4p+2.
Дальнейшие спектральные последовательности устроены аналогичным образом, причем р-е степени нетривиальных элементов из Ег будут иметь уже слишком большую размерность, и их можно более не принимать во внимание. Вот окончательный результат.
Теорема. Кольцо Н* (К (Zp, n); Z ) при четном п > 2 в положительных размерностях Сп + 4р — 2 аддитивно порождается элементами порядка р
5л+ь£л+2р —1,5л+2р,5л+4р—3,5л+4р —2,
а также £п+1 Sn+2p-i и £„+i 5л+2р, если их размерности входят в наш диапазон. При нечетном п> 3 это кольцо аддитивно порождается в тех же размерностях эле-
ментами порядка р
rtn+i, ч2+1, п3„+1, <+1, л5п+1,...,
Чп+гр-!, 'Пп*2р-1 Т1п + 1, Т7п + 2р_1 Т?^41
'Пп*2р> Pn+2pPn*h Чп+2р 4^ + 1,•• • ,
^п+4р — 3, Лп+4р— 2-
Частичное вычисление когомологий К (Z, п).
Теорема. В положительных размерностях <п + 4р - 3 кольцо Н* (K(Z,n); Zp) изоморфно кольцуН* (К(Zp,n-1); Z).
Действительно, во всех положительных размерностях имеет место мультипликативный изоморфизм Н* (K(Z,2); Zp) Н* (K{Zp, 1); Z). В то же время в проделанном в предыдущем пункте вычислении Н * (л (Zp, и); Z ) мы не использовали ничего, кроме мультипликативной структуры H*{K(Zp, 1); Z) и общих свойств спектральных последовательностей, так что это вычисление без изменений приложимо кН* (K(Z,n); Zp).
Замечание. У читателя не должно возникнуть иллюзии, что одних лишь мультипликативных соображений хватило бы для полного вычисления колец Н* (K(Z р, п); Z) и Н * (K(Z, п); Zp). Довольно скоро возникают ситуации, когда для дифференциала имеется несколько возможностей, не противоречащих формуле Лейбница. (Полное вычисление требует привлечения "когомологических операций", с которыми мы познакомимся в следующей главе.) В частности, при п> 1 кольца Н* (К(Zp, n); Z) и Н * (K^Z, п); Zp) в целом не изоморфны.
Посмотрим теперь, что мы знаем о когомологиях Н * {К(Z, п); Z). В них имеются, в силу результатов § 25, Z-компоненты в размерности п и, при четном п, в размерностях 2л,3п,... При переходе к H*(K(Z,n); Zp) формула универсальных коэффициентов перерабатывает эти Z в Zp в тех же размерностях, что согласуется с нашим результатом. Но в Н* (K(Z,ri) ; Zp) нам известны еше некоторые слагаемые Zp, в частности, при любом п они имеются в размерностях и + 2р — 2ип + 2р — 1. Поскольку эти слагаемые не происходят из Z в Я * (Я(г, n); Z ), они (оба) должны произойти из слагаемого вида ZpS в Hn*lp-xiKiZ,ri); Z) (как ZpS®Zp и Tor(Zp$,Zp)). Чему равно $, мы не знаем, но в действительности s = 1 и вообще элементы порядка р2 в Н * (K(Z,n) ; Z) появляются впервые в размерности и + + 2р2 — 1. Доказательство этого факта мы оставляем читателю (которому мы рекомендуем начать с рассмотрения спектральной последовательности расслоения
K(Z,2)
**K(Z, 3) с коэффициентами в Z).
Частичное вычисление p-компонент гомотопических групп сфер.
Теорема. Если п > 3, то я„+2р-з(5”) D Zp, я„+4р_5 (S”) D Zp и факторгруппа
г 4р—s
I ®я'п+ч(5”)]/(2р ®Zp)
q=0
не содержит элементов порядка р.
Мы докажем здесь более слабое утверждение. А именно, мы докажем, что р-ком- понента .группы ®^q 7 itn+q (8 'О сосредоточена в лп+2Р-з(5”) и равняется Zp. Для доказательства теоремы в полном объеме нам не хватит вычисления одного дифференциала. Читатель сможет восполнить этот пробел в доказательстве (и продвинуться в вычислении p-компонент групп irn+q(Sn') дальше, до q~p2) после прочтения следующей главы.
Переходим к доказательству. Рассмотрим случай нечетного п > 7. В этом случае член Е2 спектральной последовательности расслоения
„X(Z,n.-l)„
S"ln+i *sn
с коэффициентами в Zp выглядит, как показано на рис. 121. Из спектральной последовательности ясно, что в размерностях Си + 4р-4 когомологии//* (S "| „+1; Zp) устроены так:
0
п + 2р - 3
п + 2р — 2
п + Ар — 5
п + Ар - 4
Zp
нули
ZP
ZP
нули
Zp
2Р
Нам известно, что целочисленные когомологии пространства S”| n + i в положительных размерностях конечны. Из этого факта и из того, что в когомологиях K(Z,
п*4р-4 3x0
п*4р-50
п*2р-2 n+ZpS
Рис. 121
п — 1) в рассматриваемом диапазоне размерностей отсутствуют элементы порядка р1, вытекает, что p-компоненты целочисленных когомологий пространства S”l „+1 имеют устройство
0
п + 2р - 2
п + 4р - 4
Z
нули
ZP
нули
ZP
а целочисленные гомологии устроены так же, только размерности 2р-компонент на 1 меньше.
При переходе к S"ln+2,5"l п+3,..., вплоть до 5"1п+2р-з. p-компоненты не меняются, так как слоями расслоений S ” I n*q ^S п I n+g-i с 1 < q <2р- 3 служат пространства вида K(G, —), у которых G — конечная группа, порядок которой не делится на р, а (целочисленные) когомологии этого пространства состоят из конечных групп, порядки которых не делятся на р (см. п. 1). В частности, группа Нгп*р-з^8п\ 2п+р-з) содержит p-компоненту 2Р и не содержит других р-компо- нент. Мы уже доказали, таким образом, что тгп+9 (5 ”) не содержит p-компонент при 1 <? < 2р - 3 и что p-компонента грумы л„+2р_3(5") есть 2Р. Далее мы рассматриваем расслоение
А?(1Гп+2р_з($”),п + 2р-4)
о 1п + 2р-2 * О *п+2р — 3-
В силу доказанного,Л?(ff„+2p_3 (5"),я+ 2p-4)=A^(Zp, я+ 2р - 4) X K(G, п + 2р -4), где G — конечная группа, порядок которой не делится на р. Второй сомножитель с точки зрения p-компонент не существен, вследствие чего p-компоненты в 2-кого- мологической спектральной последовательности этого расслоения устроены, как показано на рис. 122. Из этого рисунка видно, что первая p-компонента в Я * (5 "| „+2р_2; 2 ) появляется в размерности > и + 4р — 5 (в гомологиях — в размерности л + 4р — 6). Точнее мы ничего сказать не можем, потому что не знаем, как действует дифференциал, обозначенный на рис. 122 пунктирной стрелкой. На самом деле этот дифференциал нетривиален (и этого достаточно для доказательства утверждения теоремы), но для доказательства необходимо воспользоваться степенями Стинрода — см. гл. 5. Дальнейшее рассуждение идентично предыдущему: переходы 5"| п+2р-2 ->.. .-►S',l п+4р-7 не меняют p-компонент, и мы ^ожем сделать вывод, что группы лп+|7 (S ”) с 2р — 3 < ? < 4р — 6 не включают в себя р-ком- понент.
В случае нечетного п^Т теорема доказана. Случай л = 3 проще, поскольку мы знаем целочисленные когомологии пространства 5 31 4 (п. 2 § 24). В случае п = 5 рассуждение совершенно аналогично предыдущему, только следует принять во внимание, что р(л —1) = 4р. Наконец, случай четного л, принципиально не отличающийся от рассмотренного случая, но несколько более громоздкий, мы оставляем читателю.
Следствие. Порядок стабильной гомотопической группы я^ (см. л. 4 § 10) не делится на р при Кк <2р — 3 и 2р — 3<к < 4р — 5 и делится на р, но не делится нар1 при к = 2р — 3 и к = 4р — 5.
На всякий случай заметим, что для вывода этого следствия достаточно знать теорему в случае, в котором она была подробно доказана (нечетное п > 7).
Информация. О p-компонентах гомотопических групп сфер в настоящее время известно довольно много. В частности, при m > 1.
р-компонентагруппы я2 m +1+q(^ w+1)р-компонентагруппы я2 m +1+q(^ w+1)Zp, если q = 2z(p - 1) — 1 с i = l,2р—1, Zp, если ? = 2/(р—1)—2 с i=m*X,m*l,...,p-l1 .0 при остальных q < 2р( р - 1) - 2.
р-компонента
группы я2 m +1+q(^ w+1)
р-компонента
группы я2 m +1+q(^ w+1)
Дальнейшую информацию о нечетных компонентах гомотопических групп сфер можно почерпнуть в книге X. Тода ’’Композиционные методы в теории гомотопических групп сфер’’ (включая добавление переводчика).
ГЛАВА 4
КОГОМОЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
Определение. Пусть заданы два числа п и q и две абелевы группы П и G. Мы скажем, что задана когомологическая операция ф типа (л, q, П, G ), если для любого клеточного пространства X в его когомологиях определено отображение фх". Нп(Х; П) -*Нq (X; G), естественное по Хв том смысле, что диаграмма
фх
Нп(Х;Щ*Hq(X;G)
/• tГ* t
Я”(У;П) -^ Hq(Y;G).
коммутативна для любого непрерывного отображения f: X-^Y.
В случаях, когда это не может вызвать недоразумений, мы будем писать вместо Фх просто ф.
Подчеркнем, что отображение *Рх не обязано быть гомоморфизмом группы Нп(Х; П) в группу Я9 (^; G).•
Так как G — абелева группа, то совокупность всех когомологических операций типа (п, q, П,С) является абелевой группой, которую мы обозначим через O(n,q,n,G).
Классификация.
Теорема. Имеет место следующее соотношение:
O(n,q, П,С)гНч<К(П,пУ,СУ.
Это красивое и неожиданное предложение почти очевидно, как мы сейчас убедимся.
Доказательство. Мы знаем, что Нп(Х; П) = тг (X, А(П, п)) (см. п. 3 § 18). Это равенство устанавливается с помощью некоторого замечательного элемента е = Fn еЯ”(А(П,п); П); а именно, каждому отображению f-. Х-*К(П,п) (точнее, классу отображений, гомотопных f) мы относим элемент f* (е) € Нп(Х; П). Пусть теперь дана некоторая когомологическая операция v> € О(п, q,U,G). В частности, она определяет отображение V’x(n.zi): Нп(К(П,п); П) -*НЧ (А(П,п),(7) и элемент ф (е) Е Н ’^(П, ri); G). Оказывается, что значение ф(е) определяет операцию ф взаимно однозначно, т.е. если ф^е) известно, то однозначно восстанавливается вся операция, и любой элемент хЕ Hq (К(П ,п); G) представим в виде ф(е) дня единственной операции ф EQ^n, q, П, G). Иначе говоря, гомоморфизм 0(n, q, П , G ) -г-Нq (А(П, и); G ), переводящий ф в ф (е), является изоморфизмом.
Докажем его мономорфность. Пусть X — произвольное клеточное пространство, Ф — любая операция, такая, что ф^е) =0, и пусть аЕ Н*\Х\ П). Тогда существует
отображение f; Х-*К(П, л), такое, что f *(е) = а. В силу естественности операцииф имеем ф(а) = фf*(e) = f*ф(e) =0; мономорфность соответствия ф^ф^ доказана.
Докажем его эпиморфность. Пусть х - любой элемент из Hq (К(П ,л); (7). Положим ф (е) = х и продолжим это соответствие, заданное пока только на элементе е до когомологической операции. .
Пусть X — любое клеточное пространство, и пусть 76Нп{Х\ П ); тогда существует /т: X-*К(П, л), такое, что 7 = f* (е ). Положим ф (7) = f* (х). Отображение ф определено; проверку его естественности (несложную) мы оставляем читателю.
Доказательство теоремы окончено.
Следствие. Нетривиальная когомологическая операция не понижает размерность (т.е. если О^ф G О(п, q, П ; G ), то q > л).
В самом деле, Нч (К(П, л); G^ = 0 при q < п, так как /£(П, л), по построению, не имеет клеток размерности меньшей п.
Замечание. Вот пример когомологической операции, не являющейся гомоморфизмом. Пусть П — коммутативное кольцо без элементов второго порядка, п — четное число. Возведение в квадрат есть отображение ф: Н ”(X; П ) -+Н 2 ”(X; П ), которое не есть гомоморфизм. Тем не менее, ф, в силу естественности, есть когомологическая операция из О(и,2л, П,П). (Если П = Z2, то ф, конечно, будет гомоморфизмом) .
Примеры. 1°. Нам известны группы Hq (К (П ,л); Q) для всех целых чисел п и q и конечно порожденных групп П. Дадим интерпретацию наших результатов в терминах когомологических операций. Если группа П конечна, то Н 4 (/£(П, п); Q) = 0 для всех q > 0. Это означает, что никаких нетривиальных когомологических операций из когомологий с конечными коэффициентами в когомологии с рациональными коэффициентами не существует.
Если П = Z и п нечетно, то Hq (ХГ(П, и); Q) отлично от нуля только при q =п, и Я"(ХГ(П,л); Q) =Q. Образующей группы Я"{К(П,п);0) является образ фундаментального класса е G Нп(К(П, л); Z ) при гомоморфизме ф: Н”(XXZ, п); Z) -*Hn(K(Z,ny Q), индуцированном включением Z -*Q. Поэтому всякая операция из нечетномерных целочисленных когомологий в рациональные когомологии сохраняет размерность и относит каждому элементу аЕН п(Х; Z) элемент Xoq € 6Нп(Х; Q), где X - фиксированное для данной операции рациональное число. Наконец, если п четно, то Н * (K(Z,ny Q) =Q [cq],. Поэтому всякая операция из четномерных целочисленных когомологий в рациональные когомологии относит элементу a € Н п(Х; Z ) элемент X Qq G Н kn^X; Q), где X и к — фиксированные для данной операции рациональное и целое числа.
Упражнение 1. Докажите, что для любого поля F характеристики нуль любая когомологическая операция из когомологий с коэффициентами в F в когомологии с коэффициентами в F относит элементу aEH"(X;F) элемент XakG € Н ^ (X; F), где целое число к и элемент X € /^фиксированы для данной операции.
2°. Изучим когомологические операции, повышающие размерность на 1.
Пространство K(Z,n) не имеет (л + 1) -мерных клеток, и потому Н”+1 (К(Z, п); G J = 0 при любой группе G. Следовательно, когомологических операций, действующих из целочисленных когомологий и повышающих размерность на 1, вообще не существует.
Пусть теперь р — простое число. Пространство K(Zp, л) имеет при любых р и п одну (л+1)-мерную клетку. Поэтому НпП (K(Zp, пУ, Zp) =0 или Zp, и, с точ-
ностью до множителя, имеется не более одной когомологической операции из Я л (—; Zp) в Я лИ ( - ; Zp). Но одна такая операция имеется (при n > 1, конечно):
■■1
гомоморфизм Бокшгейна 0 = — 8. Это — нетривиальная операция (она нетривиаль- Р
на в пространстве 5 ” U^ Ял+1, где <р — отображение 8п-*8п степени р, иначе говоря, в (n + 1) -м остове К (Zp, и) ’ а). Вывод: 0(п, n + 1, Z р, Zp) = Zp; всякая операция указанного типа пропорциональна гомоморфизму Бокшгейна.
Упражнение 2. Покажите, что всякая когомологическая операция, повышающая размерность на 1, есть связывающий гомоморфизм в коэффициентной последовательности, ассоциированной с некоторой короткой точной последовательностью групп коэффициентов.
Стабильные операции. •
Определение. Стабильной когомологической операцией из когомологий с коэффициентами в П в когомологии с коэффициентами в G, повышающей размерность на q, называется серия когомологических операций фпЕ 0(n,n + q,n ,G), определенных при п = 1,2, 3,... и таких, что для любого пространства Xи любого числа п диаграмма
Я”(Х;П) Нп*Ч^Х;Пу .
Ял+%Г;6) ^ Я”^1^^),
(где Б — изоморфизм надстройки) коммутативна.
Например, гомоморфизм Бокшгейна представляет собой стабильную когомологическую операцию. . " .
Связь с когомологической последовательностью.
Теорема. Стабильная когомологическая операция согласована с когомологической последовательностью клеточной пары (X, У), т.в коммутативна диаграмма:
...-* Я”(Х;П) -^* Я”(У;П) —~->Ял+1(%/К;П) -^ Ял+1(1;П)-*...
^ Фп^ »п ..'l'*п+1^ *п + 1
.. .-*Hn*4X;G ) ^ Hn*q(Y;G ) ^ Яn*q(X/Y;G ) ’•* Hn+q+\X; G V -..
Доказательство. В доказательстве нуждается только коммутативность квадрата, содержащего 8. Так как (X, У) — пара Борсука, то X/Y ~ X UCYjCY ~ ~ X U CY. Рассмотрим отображение /: X U CY •* БУ; X U CY -> X U CY,X = БУ (рис. 123) и индуцированный им гомоморфизм f* : Ял+1(БУ; П) -*Hn+1(XIY; П). Рассмотрим диаграмму:
ЯЛ(У; П)6-^—*Нп*ЧХ, У; П)
ф £Ф *'
Ял+1(БУ;П)-^ Ял+1(^иСУ;П).
Мы покажем, что эта диаграмма антикоммутативна, т.е./*Б = — 8. Возьмем элемент Е Hn(Y; П) и выберем представляющий его клеточный коцикл z. Рассмотрим коцепь Г G ^л (X; П), принимающую на клетках У те же значения, что и z, а на клетках
X - Y — нулевые значения. Коцепь 6z является относительным коциклом Л'mod У и определяет в группе Н"*х(Х, Y; П) элемент, равный 6f. Коцепь w б^”*1^ U U CY; П) мы определим как распространение коцепи 6z на X U CY: на клетках CY мы положим ее равной нулю. Эта коцепь является коциклом, представляющим в Нп*х<Х U CY; П) элемент 6f. Теперь пройдем по двум другим сторонам квадрата. Напомним, что клетки надстройки ЕУ — это надстройки над клетками У. Коцепь Ez принимает на клетке Ео то же значение, которое коцепь F принимает на клетке а. Наконец, коцепь /* Ez 6 ^"^(Х ОСУ; П), представляющая класс/*Е?, принимает нулевые значения на всех клетках из ХСХ UСУ, а на клетке из СУ, лежащей над клеткой а С У, принимает значение, равное F(a).
Рис. 123
Теперь сравним коцепи f*Y,z и w. Рассмотрим коцепь и 6 ^"(Х UCY; П), совпадающую на клетках У СХ UCY с z и .принимающую на клетках из (X UCY) - У нулевые значения. Очевидно, что 6м = w + /#Ez, откуда 6f +/*Sf= 0, что и требовалось.
Осталось вспомнить, что стабильная операция ф перестановочна и с Ей с/*, а потому она перестановочна с гомоморфизмом 6 точной последовательности пары. Теорема доказана.
С. Связь с трансгрессией. Отметим важное следствие из доказанной теоремы: трансгрессивность стабильных операций. А именно, пусть ф — стабильная операция, (Е, В, F, р) — расслоение с односвязной базой и элемент а£ Hr (F; П) = Е®*г трансгрессивен, т.е. d3a = ... = dra = 0. Тогда элемент ф (a) 6 НГ*Ч(Р; П) = Е®’ r*q также трансгрессивен, т.е. </3^(а) =.. . = dr+(?^(a) = 0. Более того, если r(a) = dr+ia£ 6 Е^/’0 = Hr + l(B; П)/®, <rImd$ содержит элемент 0 6 НГ*Х(В; П), то т(<ра) содержит элемент ф0 6 Я,+, + 1(В; П) (менее точно, но более звучно, это можно выразить так: трансгрессия т перестановочна с операцией <р).
Все это следует из представления трансгрессии в виде композиции H'(F‘, П) -* ■* Hr*x(E, F; П) ™ -^нг +1 (5; П) и перестановочности ф сбир*: если 6a 6 Imp *, а именно 6a = р *0, то 6 (<ра) также принадлежит Imp *, а именно 6 (<ра) = фЬ а = фр *0= = рЧфРУ
D. Классификация. Теперь изучим связь между группами стабильных операций и когомологиями пространств Е(П, л).
Пусть е G Нп(К(Х\, п)’, П) — фундаментальный класс. Тогда Ее еЯ"+1(Щ,л); П). Элемент Ее определяет отображение /„: ЕК(П; п^К(П, л + 1) (это отображение легко строится и непосредственно: вспомним, что Е(П, л) = ЯК(П, л + 1); отображение /„: ЕК(П, л) = ЕЯК(П, л) -► К(П, л + 1) определяется формулой /nCl, О = V’G), гДе Ф — петля на Е(П, л + 1), т.е. ,/>(/) 6 Е(П, л + 1), Г 6 (0, 1)). Итак, если е 6 Я”(АХП, л); П) и е' е Я”+1(АХП, л + 1); П) - фундаментальные классы, то /„(е') = Ее.
Пусть теперь рассматривается стабильная операция ф\ тогда ее можно применить к фундаментальному классу е и получить: ф(е) G Н"*Ч(К(П, п); G). Так как ф — стабильная операция, то <р(Ее) = Е(ре) 6 нп*4* ^^(П, л); G). Так как
fn^e’^ = Ее, то элемент ф(е*)S Н”*4*1 (К(П, п + 1); G) при отображении /„ перейдет в ф (Ее). Гомоморфизм/„: Н*(К(П, л + 1); G) ->Я*(ЕАС(П, л); G) можно рассматривать как понижающий размерность на одну единицу гомоморфизм: Н"*<1*^К(П, л + 1); G) -► Н"*ЧК(П,п); G), так как Н"*Ч(К(П, n)-, G) = «H**1*1^^!!, nyG).
Возникает последовательность:
.. ,^Я" + ’(Я(П, л);С)^.. .^Н«*\К(11,2У,С^Нч*ЧК(П, 1);G)
Если задана стабильная операция ф, то в каждой группе Н"*Ч(К(П, л); G) (для любого л) задан некоторый элемент, и в силу приведенных выше рассуждений элемент, выбранный в Hs *ч + 1 (Я(П, s + 1); G), переходит при гомоморфизме /$ в элемент, выбранный в Hs*q^KXJV, s); G). Мы знаем, что задать произвольную серию когомологических операций ф = {фп}, фп 6 О (л, л + q, П, G) для л = 1, 2,3,... - это значит задать произвольно по одному элементу zn во всех группах Н"*Ч(К(П, л); G).
Для произвольной серии когомологических операций последовательность элементов zn такова, что различные ее элементы никак не связаны между собой (см. рис. 124; мы полагаем К (П,$) = Я$).
Теперь же мы получили условие, выделяющее стабильные когомологические операции из множества всех таких серий: надо рассмотреть не произвольные наборы { zn} (л = 1, 2, 3,...), а лишь такие наборы, для которых z„ = /„zn+1, т.е. zx = = /*z2,z2 = /2z3,... и тд. (рис. 125). Доказанному факту можно придать точную форму.
Теорема. Группа 0s (q, П, G) стабильных когомологических операций, повышающих размерность на q, изоморфна обратному пределу последовательности групп Н4*"(Я(П, л); G) и гомоморфизмов /„• -
Заметим, что если задан элемент zs G HqJrS(Ks-, G), то тем самым автоматически определены и все zk для k< s: zk =фкфк*\ .. ./$-2/$-i(z$) • Поэтому, если мы
интересуемся действием стабильной операции только на элементах, размерность которых не превосходит некоторого фиксированного числа N, то для задания этой операции достаточно выделить только один элемент zN 6 Нк*ч(К(П,^; G).
С другой стороны, так как пространство ^(П, л) является (л - 1)-связным, то гомоморфизм/п+1: Н**4*1^^ п + 1); G) -*Н"*Ч(К(П, л); G) для достаточно больших л, а именно, для л > q, является изоморфизмом (рис. 126). Иначе говоря,
каждая группа H4*n(K(X{,riy, G) с ростом п, начиная с некоторого N, стабилизируется, т.е. перестает меняться. Отсюда вытекает, что
0 s (q, П, G)= HN+q(K(U,Ny, G)
для достаточно большого N (а именно, для N> q^.
Полученные результаты поясним при помощи диаграммы, показанной на рис. 127. В каждой строке (кроме самой верхней) стоят когомологии пространства К(П, л) с коэффициентами в G (л = 1,2,3). В левом конце каждой строки стоит
не нулевая, а л-я группа когомологий ^(П, л). Поэтому друг под другом оказываются группы не одинаковых резмерностей. Зато гомоморфизмы/„ изображаются на этой диаграмме вертикальными стрелками. В незаштрихованной части диаграммы эти
°°и°°и/70/70ю 0ю 05050VTillllllllllllllllllllllllllllll nillllllllllllllillllllllllllilllli IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIHIIIVTillllllllllllllllllllllllllllll nillllllllllllllillllllllllllilllli IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIHIII8080lllllllllllllllllllllllllllllllllillllilllllllllllllllllllllllllllllllllilllli707044IIIIIIIHIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIHIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIпппшпшппшшппшпшшшшнпппшпшппшшппшпшшшшн5050ЯЯ50504040■типи miiini ii niiiiiiiiii■типи miiini ii niiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiiii IUIIIIIIIIIIIiiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiiii IUIIIIIIIIIIImin min min minmin min min minlllllllllliillllllll lllllllllllllllllllll I lllllllllllllllllllll llllllllllllllllllllllllllllllliillllllll lllllllllllllllllllll I lllllllllllllllllllll lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll llllllllllllllllllllllllllllllll llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll llllllllllllllllllllllllllllllll llllllllllllllllllllllllllllllll3030miiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiuiiiniiiii lllllllllllllll lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll lmiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiuiiiniiiii lllllllllllllll lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll llllllllllliilllllllllllllllllliillllllll11■«■■lllllllllllllllllllll ^■■■■lllllllllliillllllll I■«■■lllllllllllllllllllll ^■■■■lllllllllliillllllll Imin min min minmin min min minшиши1 2 Б 41 2 Б 4mimimimimumumumu
°°и
°°и
/70
/70
ю 0
ю 0
50
50
VTillllllllllllllllllllllllllllll nillllllllllllllillllllllllllilllli IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIHIII
VTillllllllllllllllllllllllllllll nillllllllllllllillllllllllllilllli IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIHIII
80
80
lllllllllllllllllllllllllllllllllilllli
lllllllllllllllllllllllllllllllllilllli
70
70
4
4
IIIIIIIHIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
IIIIIIIHIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
пппшпшппшшппшпшшшшн
пппшпшппшшппшпшшшшн
50
50
Я
Я
50
50
40
40
■типи miiini ii niiiiiiiiii
■типи miiini ii niiiiiiiiii
iiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiiii IUIIIIIIIIIII
iiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiiii IUIIIIIIIIIII
min min min min
min min min min
lllllllllliillllllll lllllllllllllllllllll I lllllllllllllllllllll lllllllllllllllllllll
lllllllllliillllllll lllllllllllllllllllll I lllllllllllllllllllll lllllllllllllllllllll
llllllllllllllllllllllllllllllll llllllllllllllllllllllllllllllll llllllllllllllllllllllllllllllll
llllllllllllllllllllllllllllllll llllllllllllllllllllllllllllllll llllllllllllllllllllllllllllllll
30
30
miiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiuiiiniiiii lllllllllllllll lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll l
miiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiuiiiniiiii lllllllllllllll lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll l
lllllllllliillllllll
lllllllllliillllllll
1
1
■«■■lllllllllllllllllllll ^■■■■lllllllllliillllllll I
■«■■lllllllllllllllllllll ^■■■■lllllllllliillllllll I
min min min min
min min min min
ши
ши
1 2 Б 4
1 2 Б 4
mimi
mimi
mumu
mumu
Рис. 128
гомоморфизмы являются изоморфизмами, т.е. на казедой вертикали в этой части диаграммы стоят одинаковые группы. Из этих групп составляется верхняя строка диаграммы - ’’группы Н”*Ч(К(П, °°); G)”. Эти группы уже не являются (в естественном смысле) группами когомологий никакого пространства, и они изоморфны группам О 5 (<?, П, G).
Про группу Я"+Ч(£(П, л); G) говорят, что она имеет стабильную размерность (или просто стабильна), если q < п, и нестабильную размерность (нестабильна), если q> п. Таким образом, на нашей диаграмме заштрихованы группы нестабильных размерностей.
Алгебра стабильных операций. Мультипликативная структура в Я*(Я(П, л); G") не индуцирует мультипликативной структуры в ®q0s (q, П, G), так как гомоморфизмы
. /*:Я*(^(П, л);С)^Я*(^(П, л - 1); G) -
не являются мультипликативными. Это ясно уже потому, что эти гомоморфизмы не сохраняют размерность и, в частности, для любых а, 0 6 Я*(^(П, л); G) выполнено: dim (/„а • fnP) = dim/^(“ • 0) - 1. К тому же, как видно из рис. 128,если а,0 имеют стабильные размерности, то а • 0 имеет нестабильную размерность.
Однако если П = G, то существует другая возможность введения структуры кольца в ®qOs (д, П, G"), а именно, для двух операций ф1 6 0s (q*, П, G) и ф” 6 6 б5 (q”, П,С) можно рассмотреть их композицию ф' о ф"б 0s (д' М", n,G), которая тоже будет стабильной операцией. Относительно такого’’композиционного” умножения ®qOs (д, П, G) является ассоциативным (но, вообще говоря, не коммутативным) кольцом.
Если G = П = Zp, то это кольцо является 2р-алгеброй. Оно обозначается через Ар и называется алгеброй Стинрода. В следующих параграфах мы предпримем подробное ее изучение (в основном при р = 2).
СТИНРОДОВЫ КВАДРАТЫ
Введение. Мы начнем с построения и изучения некоторых конкретных элементов алгебры Стинрода А2, называемых стинродовыми квадратами. Стинродовы квадраты Sqf — это стабильные когомологические операции, являющиеся аддитивными гомоморфизмами
Sqf: Я"№22)->Я" + ,(^;22).
Они определены для всех / > 0 и обладают следующими свойствами.
Выполнены равенства
i > deg а;i = deg а; i = O.i > deg а;i = deg а; i = O.' 0, если Sq,(a) = а2, если . а, . если
i > deg а;
i = deg а; i = O.
i > deg а;
i = deg а; i = O.
Имеет место формула А. Картана
SqZ(a-0)= 5 Sq^a-Sq*^.
p*q=t
Замечание. Введем в рассмотрение гомоморфизм Sq = Sq° + Sq1 + ... Тогда свойство (2) можно записать в виде: Sq (а • 0) = Sqa • Sq0, т.е. гомоморфизм Sq есть кольцевой гомоморфизм, Sq: Н*(Х; Z2) -*Н\Х, Z2).
Свойство (1) может быть записано в виде: если а — однородный элемент степени к, то Sq(a) = а + Sq*a + ... + Sqk-1a + а2. Добавим к этому, что в силу сказанного выше (см. пример 2° в п. 3 § 27) операция Sq1 есть не что иное, как гомоморфизм Бокштейна 0. '
Теорема существования и единственности Sq*. Мы докажем существование и единственность стабильных когомологических операций, обладающих названными свойствами. При этом, как мы увидим, единственность следует только из стабильности и свойства (1), а формула Картана является их следствием.
Рассмотрим K(Z2, п) и фундаментальный класс е„ Е Я"(K(Z2, л); Z2). Положим Sqz (е„) = 0 при i > и. Мы хотим определить Sq1^), Sq2 (е„),..., Sq”-1(en), Sq”(en). Положим Sq”(en) = е„.
Почему е„ =# 0? Потому, что существует клеточное пространство X и элемент хФО, х Е Н^Х1, Z2), такой, что х2 + 0. (Например, можно положить X = RP”.) Вообще, все степени е„ при к > 1 отличны от нуля.
Как мы уже отмечали, когомологическая операция вполне определяется своим значением на фундаментальном классе К(Z2, п) при соответствующем п.
Рис. 129Рис. 129
Рис. 129
Рис. 129
Таким образом, элемент Sq”e„ задан для всех п (операция Sq'1, конечно, этим полностью не определена ни при каком л, так как мы не знаем еще, чему равно Sq"(e„+k) при к>0).
Обратимся к расслоению Серра * ► K(Z2, л). При этом мы считаем,
что л > 1, иначе K(Z2, л — 1) не существует. Член Е2 имеет вид, показанный на рис. 129.
Из этой диаграммы видно, что все элементы, стоящие в нулевом столбце ниже е^_ ь трансгрессивны. Трансгрессивность элемента e„_i не следует из соображений размерности: мог бы быть нетривиальным дифференциал dn; Е®’2"-2 -^Е"’"-1.
Hod„(e2_!) =2(d„e„_1)e„_I =2е„е„_1 =0в Z2 (ктому жеЕ1^" 1 =Е"*п х = = Z2 и элемент епеп_х не может быть образом d„, так как dn(e„e„_!) = е„ Ф 0). Итак, элемент e^_t = Sq”-1e„_1 трансгрессивен. При трансгрессии этот элемент перейдет (обязан перейти, ибо это его последняя возможность исчезнуть) в некоторый элемент / 6 ^2п-1’°’ / ^ 0. Очевидно, что E^Zi*0 = ^г”-1’0 = = H2"-X(K(Z2, л); Z2), т.е. 0 Ф / 6 H2**1^^. и); Z2). Мы полагаем Sq”(e„+i)=/ Таким образом, длявсех л> 1 определен элемент Sq”-1 (е„).
Построение дальнейших Sq"-k(e„) очень простое. Предположим, что л > 2. Тогда элемент Sq”-2(e„_1) уже определен нами и находится в группе Е®*2”-3 рассматриваемой нами спектральной последовательности. Очевидно, что он трансгрессивен, и под действием трансгрессии он переходит в некоторый отличный от нуля элемент, принадлежащий Е2п~2,0 = Я2”-2 (K(Z2, л); Z2). Этот элемент мы и объявляем значением операции Sq”-2 на е„. Тем самым мы определили элемент Sq”~2e„ для всех л > 2. Делаем еще один шаг назад и определяем Sq"-3(en) для всех л > 3 как образ при трансгрессии элемента Sq”~3(e„_1); и так далее, пока не доходим до Sq1(e„) (рис. 130). '
Таким образом, для всех л > к> 0 мы определили ненулевой элемент Sq"-kenG 6 Н2п-к^К (Z2, л); Z2). Иначе говоря, мы определили элемент Sqke„ при к> 0 и л > 0. Для того чтобы элементы Sqke„ 6 Я"+к(К(Z2, л); Z2) образовывали стабильную операцию, нужно, чтобы выполнялось равенство fn(Sqke„) = Sqкеп_х для всех л (см. определение стабильной операции). Докажем его.
Если к > л + 1, то равенство очевидно, так как его левая и правая части равны нулю.
Пусть к < л — 1. Гомоморфизм
/;_,: я*(К(г2,л);г2)^я*№2,л-1);г2), . по определению, есть композиция отображения, индуцированного отображением SK(Z2, л - 1) = 2$2K(Z2, л) -»-K(Z2, л), и изоморфизма надстройки. В п. 3 §22 было доказано, что этот гомоморфизм обратен трансгрессии расслоения
K(Za,n-0
* ► K(Z2, л). Так как (по построению) r(Sq^„-i) = Sq кел при к <
< л - 1, то /„*(Sq ке„) = Sqken_ t, что и требуется.
Если к = п, то Sqken_! = 0. Мы должны, таким образом, показать, что /k(Sqkefc) =/kek = 0. Еще раз вспомним, что /к разлагается в композицию
Н\К<12, л); Z2) ^ tf*(SK(Z2, л - 1); Z2 ) ^ H*(K(Z2, л - 1); Z2 ),
прячем первый из гомоморфизмов индуцирован непрерывным отображением. При этом гомоморфизме элемент ек переходит, как мы видели, в Se^-i, следовательно, ек переходит в (£ek_vy. Для завершения доказательства нашей формулы нам достаточно усмотреть, что (Se^j)2 = 0. Но это вытекает из такого элементарного утверждения:
Лемма. В любой надстройке когомологическое умножение тривиально, т.е. если аЕЯр(Т.¥;Д), 0ЕНЧ(^Х,А), где р>0, q>0, А — любое кольцо, то а • 0 = 0.
Это сразу следует из того, что диагональное отображение 'LX^-'LXX'LX гомотопно композиции 'LX^-'LX ч "LXCLXX "LX. Первое из этих ображений было определено в § 4, второе отображение — естественное вложение. Построение гомотопии и вывод утверждения леммы мы оставляем читателю.
Осталось положить Sq°e„ = еп для всех л, и существование стабильных операций Sqz, удовлетворяющих условию (1), нами доказано. Фактически нами доказана и единственность таких операций, так как наше рассуждение является, по существу, не построением, а вычислением элементов Sqke„ на основании равенств Sq"en = en и трансгрессивности операций Sqk..
Доказательство формулы Картана. Мы должны доказать, что для произвольного клеточного пространства X, любого номера i и любых элементов х и у, принадлежащих Я*(Х; Z2), имеет место следующее соотношение:
Sq'(xy) = 5 Sqp(x)-Sq’(y).(*)
p*q=i
Пусть X и Y — произвольные клеточные пространства, и пусть хЕ Н\Х\ Z2), у Е Я*(У; L^. Если мы вспомним определение когомологического умножения, то заметим, что вместо формулы (♦) достаточно доказать следующую формулу:
Sq^x X у) = 5 Sq’(x) X Sq’( у). р*ч=<
Если хЕ Hn(JX; Z2) и у Е Ят(У; Z2) (очевидно, можно считать, что элементы х и у однородны), то существуют отображения /: X->^(Z2, л) и^: Y^Kt^, tri), такие, что /*(е„) = х и g\em^ = у. Отсюда следует, что достаточно доказать всего лишь следующее соотношение:
Sq'(emXe„)= 5 Sqp(em) X Sq’(e„). p*q=<
Предположим сначала, что / > m + п. Тогда и правая и левая части равны нулю. Пусть теперь i = m + n. Тогда
Sqm+”(em X е„) = (em X е„)2 = е2, X е2 = Sq "4em) X Sq"(e„).
Справа от всей суммы Sp+4=m+n остается всего лишь одно слагаемое, и оно равно Sqm(em) X Sq”(e„). Осталось рассмотреть случай, когда / < m + п. Предположим, что формула верна для i = m + п — (s — 1). Докажем ее для i = m*n-s, где s — некоторое фиксированное число, большее нуля.
Подчеркнем, что тип предполагаются произвольными числами, а индукция ведется по разности т + п — L
Итак, рассмотрим Sq'"+n-I(em X е„). Для краткости будем вместо K(Z2, и) писать К„. Рассмотрим тензорное произведение Кт # Кп пространств Кт и Кп.
Напомним, что для любых пространств X и У их тензорное произведение X # У определяется как X X YjX v У. Например, Sp # Х= ^Х. В частности, S1 # Х= ZX. Так как тензорное произведение ассоциативно, то (S1 # X") # У = S1 # (X # У), т.е. (SX) # У = Б (X # У). Кроме того, заметим, что Н*(Х# У) = Н*(ХХ Yyj, где J есть подгруппа, порожденная элементами вида (х X 1) + (1 X у), где х G GH*(X), у€Н*(Г)..
Рассмотрим следующие два отображения:
^Кт^*Кп = ^кКт-1*К„)
Кт * Кп
^Kn.v) = ^ккт*к„,а
Возникает отображение в когомологиях:
кп У, 2г)
НЧК,,.*К^ 2г)
” ^-77^ нЧх <кт * кп.\ у za)
или
t , * vaji НгА <КтА * К„; Z2)
Я^Кт* К„;2г)
(^U^ НГ"Чкт * К „А ;2г)
Очевидно, что при гомоморфизмах S-1(/m-i # ^„V и ^"'(^т # fn-iV элемент ет X е„ переходит в элементы em_i X еп и ет X еп-1 соответственно. Гомоморфизм■
Гт-1-. №ккт')^нч^кт_а=н<1-чкт_а обратен к трансгрессии в спектральной последовательности серровского расслоения для Кт и является изоморфизмом при 0 < q < 2m (ср. п. 2).
Рассмотрим в
Н\Кт #Кп-2г)= ® ЯР(Кт;22)®Я»(/С„;22) p+q=r пересечение ядер
Т= [KerS-V/m-i #idKnrjd [Кег2-‘^т #/„-i)*]. Пусть
p = 'La1X^TCH\Km #K„;Z2).
Тогда ^kfm-xaa X 0, = 0 и S,af X kf„_vaa = 0, откуда /«-i^ = 0 и fn-iPt = 0 №я всех L Так как элемент р лежит в когомологиях Кт # Кп, мы
можем считать, что среди элементов сц и §t иет равных 1 и, следовательно, degaf > > 2m и degP; > 2л и degp > 2(m + л). Итак, доказано, что пересечение ядер не содержит элементов степени, меньшей чем 2 (т + л).
Теперь настало время вернуться к формуле Картана. Предположим, что элемент
р = Sqm+”-,(em X е„) -5 SqP(em) X Sq’(e„)
p*q=m *n-s
отличен от нуля в Н2^т*"^~$^Кт #Кп\7<^.
Имеем:
^"4fm-i #idKn)*p = Sqm+"-4S-7^-iem Хе„)-
-5 SqP(S-1/^_1em)XSq»e„ =
p*q=m*n—s
= Sqm+n-,(em_i Xe„)-5 Sq^n-T X Sq% = 0
p*q=m*n—s■
по предположению индукции, и, аналогично, S'1 (idKn #/n-i )*P = 0.
Так как dimp = 2(m + n) — s< 2(m + n), то p = 0.
Формула Картана доказана.
Другие конструкции станродовых квадратов. Доказанная в п. 2 единственность стинродовых квадратов наводит на мысль, что для них существуют конструкции, отличающиеся от К(П, л)-ной конструкции п. 2. Такие конструкции действительно есть. Вот самая известная из них."
Пусть X- клеточное пространство, d: Х-*XX X — диагональное отображение,Г: XX Х-* XX X— перемена сомножителей местами. Отображение t клеточно,а отображение d — нет (кроме тривиальных случаев типа Х= pt). Зафиксируем для d клеточную аппроксимацию d0 и положим
Do = №)*: Г(ХХХ;г2) + ^*(X;Z2),
Г = t*: ^(.XXX;^)^ Ч8ЧХ X X; Z2).
Вообще говоря, D0T tD0 (потому что отображения t ° d0 и d0 не одинаковы), но D0T ~ Do (потому что t ° d0 ~d0). Существует понижающее размерность на 1 отображение
#2: ^‘(XXX;Z2H ^*№Z2),
такое, что Dx5 + &DX = D0T + Do (мы нигде не пишем минуса, потому что коэффициенты G Z2). Далее, DXT Ф Dx (гомотопия, связывающая t ° d0 с d0, не переводится в себя отображением t), но существует понижающее размерность на 2 отображение
D2: <в\ХХХ;12'>^ ^{Х,^),
такое, что D25 + 6D2 = DXT *DX.
Упражнения. 1. Докажите это и докажите, что существует целая последовательность отображений
Dq: 4S*(.XXX-,Z2)^ ^‘(^Z,),
Dq8 + bDq = Dq_x T + Dq_l.
Докажите, что для коцикла а 6 %”(Л"; Z2) коцепь#, (а Xя) G ^2л-’ (X; z2) является коциклом, когомологический класс [#, (а X д) ] которой зависит только от класса a G Я” (X; Z2) коцикла а .(Неверно, что если а и&— коциклы, то#, (д X &)— коцикл. Выведите формулу для 6#, (д Xi), где д и 6 — произвольные коцепи.)
Докажите, что в обозначениях предыдущего упражнения \Dq (я X я) ] = Sq"-,a. (Доказательство состоит в последовательной проверке, свойств, перечисленных в начале параграфа.)
Если клеточное пространство X является на самом деле симплициальным, то предыдущую конструкцию можно сделать совершенно явной.
Упражнение 4. Пусть X — упорядоченное симплициальное пространство, я G <ёт(Х; L-i), Ъ G ^"(У; Z2) и а — симплекс размерности т + п - q нашей триангуляции. Положим [^(я X 6)] (а) = я(Г^»)6(Г^1”-,,а) (обозначение Г^а {] > 0 употребляется для (/ — z)-мерной грани симплекса о, вершинами которой служат z-я (z + 1)-я,..., /-я вершины симплекса а). Таким образом, если когомологический класс a G Нп(Х; Z2) симплициального пространства представляется коцепью я 6 ^“^Х; Z), то Sqfa представляется коцепью b 6 ’в"*1^-, Z), определяемой формулой Ъ (а) = я(Г” о)я(Г"+/о). Такой же формулой определяется сингулярный коцикл Ъ, представляющий Sqfa, по сингулярному коциклу я, представляющему а.
§ 29. АЛГЕБРА СТИНРОДА
Строение алгебры Стинрода А2. Формударовки. Алгебра Стинрода А = А2 есть алгебра всех стабильных операций над полем Z2, умножение в которой определяется через композиции операций. Оказывается, что А имеет своими мультипликативными образующими операции
1,Sq1, Sq2,..., Sq”,...,
т.е. любая стабильная операция в когомологиях mod2 есть линейная комбинация композиций стинродовыхквадратов.
При этом квадраты Стинрода не образуют свободный мультипликативный базис в А. Между ними существуют соотношения. В частности, аддитивный базис алгебры А составляют не все итерации стинродовых квадратов, а только итерации
Sq^Sq^Sq*1 .. . Sq'k,
у которых набор Z = (z‘i, z2,.. ., z'k) удовлетворяет условиям: /i > 2z2, z2 > > 2z‘3,..., ik_i > 2ik.
Такие последовательности (ji, i2,..., ik) мы будем называть допустимыми последовательностями, а соответствующие им итерации квадратов — допустимыми итерациями.
Мультипликативная структура в А определяется соотношениями (’’соотношения Адема”): если я < 26, то
Sq“Sqb = 5 С"^ ^ча*ь-сВчс.
С
Заметим, что справа стоит линейная комбинация допустимых итераций. Иными словами, отсюда следует, что итерацию любых двух стинродовых квадратов можно разложить по допустимым двухчленным итерациям. Отсюда же следует, что любая итерация Sq7 сводится к сумме допустимых.
В самом деле, существует лишь конечное число наборов / = (/i,..., ik) с фиксированной суммой Haia. Упорядочим эти наборы лексикографически, т.е. положим <* i,..., Zfc)>(z1,..., i^, если z^ = iX)..., Vs_x = i«-i, i's > z$ для некоторого s. Пусть Sq7 = Sq*1 ... Sq'k — любая итерация стинродовых квадратов. Тогда либо
эта итерация допустима, либо is < 2is*i для некоторого s. Заменим SqZ®Sq/l+1 по формуле Адема, н мы получим представление Sqz в виде линейной комбинации итераций Sq7*", причем I*, > 1г для каждого г. Затем мы заменяем по формуле Адема пары соседних Sq и каждый раз индексы I растут в нашем упорядочении. Следовательно, процесс конечен и мы придем к линейной комбинации допустимых итераций.
Из формулы Адема вытекает, в частности, что
,.( Sqk+1, если к четно,
Sq1Sqk=.
I 0, если к нечетно.
Например, Sq1 Sq1 = 0, что мы знали и раньше, так как Sq1 = /3 и <3/3 = 0.
Еще пример. Если положить а = b = 2, то получится соотношение Sq2 Sq2 = Sq3 Sq1. Между прочим, видна некоммутативность алгебры Стинрода: Sq1 Sq2 ^ Sq2 Sq1.
Доказательству всех этих утверждений посвящена оставшаяся часть параграфа. Основным средством будет служить теорема Бореля.
Теорема А. Бореля. Предположим, что дана спектральная последовательность некоторого расслоения, такая, что
Е. =0;
в слое стоит косокоммутативная алгебра с единицей и с системой однородных образующих Д1, д2, д3,..., где каждая образующая трансгрессивна;
эта сдстема образующих является простой системой, т.е. одночлены д^д^ ... ■.. а1к (где Л < .: .< ik} являются аддитивным базисом алгебры.
Из (3) следует, что либо д2 = 0, либо элементы д2 разлагаются в сумму одночленов, в каждом из которых д^ встречается только один раз. Например, если H\F; Z2) = = Л2 (Д1, д2,.. ., дк), то очевидно, что Д], д2,. .. , ак — простая система образующих. Если Н*(F; Z2) = Z2 [д1( д2,..., дЛ], то дь ..., ак; af,..., ак; а*,..., ак; а®,... ... , ак; .. . — также простая система образующих.
Утверждение теоремы Бореля состоит в том, что при выполнении условий (1), (2), (3) в базе стоит алгебра полиномов от образующих bj = т(д;).
Доказательство. Мы считаем, что образующие д, расположены в порядке неубывания размерностей.
Мы построим некоторую абстрактную спектральную последовательность (Ep,q •, dr^ с указанными свойствами. (1), (2), (3), а затем покажем, что она совпадает с нашей.
Алгебру, стоящую в слое нашей спектральной последовательности, обозначим через А. Рассмотрим тензорное произведение A ®Zi Z2 [62, Ъ2, Ь3,... ], где образующие bi, Ь2г. .. поставлены во взаимно однозначное соответствие с образующими Дь д2,... и degbn = degan + 1 (п = 1,2, 3,.. .). ПоложимЕ2 =А ®Zj Z2 [b1,b2,...] (биградуировка в Е2 определяется естественным образом).
Теперь надо задать дифференциалы dr. На элементах нижней строки естественно положить их тождественно равными нулю, а на элементах левого столбца определим их так: d^a^ = 0, пока г < degn, (что будет означать трансгрессивность всех образующих Д/ в конструируемой нами спектральной последовательности); 2,(0^ = Ь,, если г = degfl, (мы будем в дальнейшем иногда опускать знак тензорного умножения для сокращения записи). Пусть теперь задан элемент a G Е2. Он представим в виде линейной комбинации элементов вида (где sm > 0) : а, ... ailr® bs? ... bSp, 1* Л ip
где /1 < ... < ik; и < ... < )р. Мы положим:
2г(а11...а,к»ьр...ь;р')=2г(а11...а,к»ьр...ь;р')=О при г < degflf, если ц < jx;
2г(а11...а,к»ьр...ь;р')=
2г(а11...а,к»ьр...ь;р')=
при г = degflfi, если ц < /,;О при всех г, если a >)\.
Легко видеть, что этим определена (аддитивная) спектральная последовательность. Именно, d2d2 = 0. Мы полагаем Е3 = Kerd2(Amd2. Далее, мы считаем, что d3 определено на Е3. Имеем d3d3 = 0. Полагаем Е* = Kerdj/Imdj, и так далее. При этом Е„ = 0. Каждая образующая либо переходит не в ноль при каком-либо дифференциале, либо сама является образом дифференциала. Осталось проверить мультипликативность этой спектральной последовательности. Мы оставляем читателю эту проверку, разобрав только случай, представляющий главную трудность, а именно, мы докажем, что
d^AA'^ = dr(A^ -А* +А- dr(A')
= к=г, к < и,= к=г, к < и,при А = а,... а{.® Ьр... bSp;А' = а.,... а,, ® Ьр... Ь$.Р , it
= к=г, к < и,
= к=г, к < и,
* А /рАк 1р
/} < h . Имеем: dr(A^ -А1 = at ... at.® b. bs? ... bSp - а,. ... а..
2К Ч 71/р h1^*
= а. (а, ... д,) (д, ... д , ) ® bi (bp ... bSp) (bp ... b f ) и, аналогично,
12 К A ik' 1/1 /р /1 lp’
A • dr(A') = ац (ati... flfjt) (д,. ... д. ) ® blx (bp ... b^) (bp ... b^) = dr(A^ A',
т.е. dr(A)-A’+A dr(A') = 0.
Нужно доказать, что d,(A • A1) = 0. Ho AA* = д^ ... ® ... Мы покажем, что д^ представляет собой сумму образующих а1х + ... + д,т. Из условий на саму алгебру Л это не вытекает: могло бы оказаться, что д* равно произведению д^ ... а,т (или сумме таких произведений), и при этом Ц < it. Но это противоречило бы предположениям относительно спектральной последовательности, так как, с одной стороны, dlx g^ = 2dZj ati = 0, а с другой стороны, dtt (ati ... д,т) =д/а . .. д/т ® Ьц . Подчеркнем, что речь идет о дифференциалах не конструируемой нами, а исходной спектральной последовательности. Поэтому АА* начинается с сомножителя д с номером, большим, чем /1, и поэтому dix(A • Л') = 0.
Осталось совсем немного. Мы имеем две спектральные последовательности. Обе они мультипликативны, имеют Е„> = 0, и к тому же у них одинаковый левый столбец в Е2. Нижняя строка во втором члене одной спектральной последовательности есть Н*(В; Z2), во втором члене другой последовательности — то, чему должно быть равно Н*(В\ Z2) по теореме Бореля.
Предположим, что Н *(В; Z2) изоморфно алгебре Z2 [6lt Ь2,... ] (гдеЬ/ = т(Д;)€ е Н*(В\ Z2)) до размерности q, а в размерности q появляется первое различие, т.е. в Н*(В; Z2) появляется либо новая образующая с, либо отсутствующее в
Z2[bi, b2,... ] соотношение. Но тогда столбцы с номерами0,1,2,... ,q — 1 во вторых членах двух спектральных последовательностей устроены одинаково. Дифференциалы также действуют одинаково. Поэтому различие приведет к тому, что в нашей спектральной последовательности Е* # 0, а именно, либо новая образующая с останется в Е„, либо останется в Е« элемент, который в искусственной спектральной последовательности переходит в элемент, равный нулю в Н\В; Z2) согласно соотношению. •
Теорема Бореля доказана.
Теорема Ж.-П. Серра. Теорема. Алгебра H\K\Z2, и); Z2) есть алгебра полиномов от образующих SqIen, где e„G Нп (К (Z2, п); Z2) - фундаментальный класс, I = 0'1, /2, • • •, *к) - допустимая последовательность, т.е. ii > 2i2, i2 > > 2/3,..., ik_t > 2ik, и, кроме того, def/ < п. Через def/ обозначен "дефект последовательности", определяемый как сумма 01 — 2/2) + 02 ~ 21'з) + ... • - • + 0 k-1 ~ 24) + ik = 20 - 0\ + 0 + • • • + ik) •
Замечание 1. При / ^ (0 } имеем def / > 1.
Замечание 2. Осмыслим одно из условий теоремы: def/ < п. Откуда могло возникнуть такое требование? Предположим, что Sq^n = Sqz* Sqz’ ... SqZfc (e^ + 0. Тогда ik< n; ik-1 < n + ik\ ik_2 < n + ik + ik-1;... ; Л < n + ik + ik_i + ... +/2; а нз последнего неравенства следует: 2it <и + |/| , т.е. def/ < и. Здесь |/| = = 0 + ... + ik.
Доказательство теоремы Серра. При и = 1 утверждение теоремы Серра очевидно. Действительно, K(Z2,1) = RP”,aH*(RP”; Z2) =Z2 [ej, degei = = 1, как это мы вычисляли ранее, а допустимых последовательностей дефекта < 1 кроме (0) не существует.
Пусть теорема доказана для всех к < п — 1. Рассмотрим спектральную последова
тельность расслоения •► Кп. Заметим, что если I = Qi,i2/к),то def/ =
= 2h-|/|.
По предположению индукции Н*^Кп-1; Z2) есть алгебра полиномов от мультипликативных образующих pj = Sqz(en_1), где def/ < и - 1 и итерация Sqz допустима.
В рассматриваемом расслоении £’«, = 0; еп_2 — трансгрессивный элемент, а потому трансгрессивный все рт = SqIen_1. Мультипликативная система (р^ не является простой. Как мы уже замечали, простую систему образующих алгебры Z2 [{Р/}] =Н*(<Кп_1; Z2) составляют элементы р/ , i > 0. Очевидно, что *
(Р/)2 = (Sq7^- 1 )2 = Sq|/|+”-1 о Sq^e,,. 1),.
(^Sq’^Sq^
и так далее, т.е. любая степень вида (pz) допускает подобное представление.
Отсюда следует, что все эти элементы (pz)2 трансгрессивны. Очевидно, что элементы вида (р7)2 не принадлежат исходной системе {pz}, так как
def[... 2(|/| + п - 1); |/| +п - 1; i1( i2,..., /к] =п - 1.
Наоборот, всякий элемент Sq/(en_1), где def/= п — 1, есть элемент вида (Pj,)2 , где def/' < п - 1. В самом деле, пусть / = (ji,i2i^, SqI(e„_1) = = Sq/1...Sq,*(e„_1).
Имеем: def I = z, — (z"2 + z'3 + ... + ik) = n — 1, откуда z"i = (z2 + ... + ik) + n — 1 = = deg(SqZ’ ... Sq'^n-t), и Sqzen_j = (SqZj ... SqZke„_i)2 . Далее, либо /' = = (6> <з, ■ • •, **) имеет дефект <л-1и Sqze„_ ! = (pr)2, либо def/' = n — 1, z2 = = deg(SqZ* ... SqZke„_j) и Sqze„_t = (SqZ* ... SqZken_!)4. Продолжая это рассуждение, приходим к требуемому результату.
Осталось применить к спектральной последовательности нашего расслоения теорему Бореля, воспользовавшись трансгрессивностью операций Sqz, — и мы получим утверждение теоремы Серра.
Устройство алгебры А. Как мы видели, алгебра Стинрода А получается из H*(K(Z2, л); Z2) предельным переходом. Совершив этот предельный переход, мы получаем следующее утверждение.
Теорема. Аддитивный базис алгебры к составляют операции Sqz, где! пробегает множество всех допустимых последовательностей (без ограничения на дефект).
При этом операция Sqz тривиальна на всех элементах размерности < def/. Заметим, что это утверждение обобщает равенство Sq"(x) = 0 при dimx < п.
Умножение в алгебре А, как нам известно, не связано с умножением в Н*(К(Z2, и); Z2), а определяется с помощью композиции операций.
Доказанная теорема означает, что линейные комбинации итераций стинродовых квадратов исчерпывают все стабильные когомологические операции, определенные н принимающие значения в когомологиях mod2. Более того, из нее видно, что между этими итерациями существует достаточно большое количество соотношений, так как всякая операция представляется как линейная комбинация допустимых итераций. Мы приступаем к исследованию этих соотношений.
Соотношения.
Метод отыскания соотношений. Рассмотрим произведение X = П^ 1RP" N экземпляров бесконечномерного вещественного проективного пространства RP”. Как мы знаем, Н*(Х; Z2) =Z2 [хь ..., х^] - алгебра полиномов otN однородных образующих. Обозначим через и произведение Xi х2... xNGH*(X; Z2).
Алгебра А обладает естественной градуировкой: А = Ао ® А^ ® ..., где Aq = = 0s (q, Z2, Z2) - совокупность операций, повышающих размерность на q. Зафиксируем число q и возьмем N>q.
Построим отображение j: Aq -* Н*(Х; Z2), положив j(p) = i(xix2... xN) = = p(u) для p G Aq. Имеет место замечательный факт: отображение j мрноморфно, иными словами, если р(и) = 0 в Н*(Х; Z2), то ^ = 0, т.е. для любого У и любого элемента a G HP(Y; Z2) любой размерности р имеет место равенство ч>(а) = 0.
Докажем это утверждение. Рассмотрим группу Bq = j(Aq) С HN*4 (X; Z2). Попытаемся описать элементы, принадлежащие Bq. Сейчас мы лишний раз убедимся в том, что требование естественности — это очень сильное требование, из которого можно извлекать массу самых интересных следствий. Пусть ф - любая когомологическая операция (даже не обязательно стабильная). Тогда ф(Х1Х2... xN) есть симметрический полином от х2, х2,..., xN. Для доказательства достаточно рассмотреть отображение fg: Х-*X, переставляющее i-й сомножитель с /-м.
Еще одно следствие из естественности: ф(и) делится на и, т.е. ф(и) =. = и - Р(хг, х2,...., xN), где degP = q. Для доказательства рассмотрим вложение RP“ X ... X RP” -* X, где в произведении слева пропущен z-й сомножитель. Тогда
N-1
при индуцированном отображении когомологай ф(и) отобразится в нуль, так как и отобразится в нуль. Следовательно, ^(и) делится на X/, и это верно для любого I.
Так как любая стабильная операция есть линейная комбинация итераций Sq1, то дальнейшие рассуждения достаточно проводить, изучая только итерации стинродо- вых квадратов. Покажем, что многочлен jt^ е Z2 [*i, х2,..., х^] содержит каждую переменную х, в степени, являющейся степенью двойки. Рассмотрим RP". Из формулы Картана моментально следует, что
Sq'(x2 ) =Sq'(x2 ) =х2при i = О,
Sq'(x2 ) =
Sq'(x2 ) =
хпри; = 2 ,
Опри всех прочих/.
Здесь Sq'(x7) = С^**. Значит, Sq^u) есть полином, в котором все степени переменных есть степени двойки. Итак.: / (<^) = и • Р(хх, х2,..., xN^, где degP = q и все Xj входят в степенях вида 2k — 1 и В — симметричен.
Оказывается, что н наоборот, любой полином указанного типа есть образ некоторого р при отображении /. В самом деле, рассмотрим симметрический полином
-к _к -к—1-к—1
Sym(xf ...х22Х2+1 ...х22. -^_1 + 1 .-x2„kx„k+1 ...xN),
где Sym означает симметризацию, 1 < пх < л2 ^ • • • ^ "к ^ ^ — любые числа, такие, что «1(2к - 1) + (и2 - «1) (2fc-1 -!)*<■...+ (пк - пк_ х) =q. Ясно, что такие полиномы составляют аддитивный базис в пространстве всех полиномов. Упорядочим нх лексикографически. Тогда рассматриваемый нами симметрический полином будет старшим членом в разложении по упорядоченному базису полинома
Sq2 "‘...Sq1 Sq k(u),
откуда и вытекает наше утверждение.
Итак, группа Bq описана полностью. Осталось подсчитать размерности Bq и Aq (как векторных пространств вида Z2 ). Для того чтобы найти размерность Bq, достаточно выяснить, сколькими способами можно представить число q в виде суммы слагаемых вида 2 к - 1.
Размерность Aq равна числу допустимых последовательностей с модулем, равным q. Пусть I - любая допустимая последовательность: I = (fi, z2ik^, ix > 2i2, i2 > Из,..., ik_x > 2ik, н пусть ix + z2 + ... + ik = <?.~Положима1 = = h -Hv, a2=i2-Ii3; ... ,ak_x =ik-x-2ik; ak = ik, тогда q = S£=1ap (2^-1). Ясно также, что любое такое разложение числа q определяет допустимую последовательность.
Следовательно, число допустимых последовательностей I с модулем, равным q, равно числу способов представления q в виде суммы S(2k/ - 1). Итак, dimB^ = = dim^, т.е. / — мономорфизм, что и требовалось доказать.
Доказанная теорема позволяет без малейшего труда находить в А соотношения: чтобы доказать, что р = Sq1’ ... Sq7" = 0, достаточно проверить, что i(u) = 0.
Докажем, например, хорошо известное нам соотношение: Sq1 Sq1 = 0. В самом деле, Sq1Sq1(XjX2... х^) = Sq*(xiX2... xN + XjX2x3.. . xN + . .. + xxx2... x^) = = ... + xx... Xp .. Xj ... Xy + ... + xx... x,... Xi... xN +.. . = 0,ибо каждое слагаемое входит в сумму с коэффициентом 2.
Упражнение 1.Докажите,что Sq2Sq2 = Sq3Sq1.
Соотношения Адема. Как уже говорилось, полную систему соотношений в алгебре А составляют так называемые соотношения Адема:
[а/2 ]
Sq“Sqb=5 <^22a,Sqe+b“cSqc,
c=max(a —Ь+1,0)
справедливые при а< 2Ь. Для того чтобы доказать такое соотношение, достаточно проверить, что
Sq-Sqb(u) = 5 C*"2^ 1Sq**»-<?Sq<?(«),
где и = Х1Хг... xNe HN(X; Z2). Левая и правая части этого равенства вычисляются по формуле Картава. Левая часть равна:
^6+а-3$8Ут(х1- • • xs*$+l • • • xa*b-ixa*b-s*l ■ • • XN^ ’
правая часть равна:
22 СЪ*в-3. - Cb-e-l -Sym^l- • • **^1 ■ • • ^а+Ь-Л+Ь-i+l • • • XN) •
Для доказательства формулы Адема достаточно проверить сравнение:
С? 7* з. = 21 (mod2),
Ъ*а— 38„38 D-C-1 х
которое после замены переменных d = а - 2s, е = b — s, f = с - s превращается в следующее:
М/2]
С* s 2 С' С^-2/. (mod2). /=max(O,d —е+1) d*e ‘-^'
Это может быть сделано уже элементарными средствами.
Полнота системы соотношений Адема вытекает из одного сделанного ранее замечания: с помощью формул Адема можно привести любую итерацию стинродовых квадратов к линейной комбинации допустимых. Нами доказано, что допустимые итерации линейно независимы, откуда следует, что любое соотношение между итерациями стинродовых квадратов следует из соотношений Адема.
Упражнения. 2. Доказать, что в качестве мультипликативных образующих алгебры А можно взять стинродовы квадраты Sq1, Sq2, Sq4, Sq8причем эту систему образующих нельзя уменьшить.
Найти определяющую систему соотношений между образующими из предыдущего упражнения. (Это — нерешенная проблема!)
Докажите следующую теорему Баллета—Макдональда. Соотношения Адема можно записать в компактном виде:
P(s2 + sOP(t2) = P(t2 +.$r)P(s2),
где Р(и) = Su‘Sqz.
Вычисление ®q 0s (д, Z, Z2). Вычисление когомологий К (Z, n) mod 2 было проведено Серром одновременно с вычислением когомологий К (Z2, n) mod 2,
что и не удивительно, так как эти два вычисления совершенно одинаковы (применяются индукция по и и теорема Бореля). Вот окончательный результат.
Теорема. Кольцо Н* (K(Z,n); Z2) при п> 2 есть кольцо полиномов от образующих S^e'n^de ё"„€Я”(К(г,л); Z2) - образующая и I = (z'i,/2,... .i^ - произвольная допустимая последовательность, такая что def I < п, и ik > 1 (последнее неравенство и составляет все различие между когомологиями K(Z,n) uK(Z2, п)).
Переходя к пределу, получаем следующее утверждение.
Теорема. Группа ®q 0s (q, Z, Z2 ) как векторное пространство над Z2 имеет базис, состоящий из всех операций Sq7, где I = (ii,ii1^ - допустимая последовательность, такая, что ik > 1..
Доказательства обеих теорем оставляются читателю.
Замечание 1. Мы рассматриваем Sq' как элемент из 0s (i, Z, Z2 ), т.е. как операцию Я 4 (У; Z) -*Н4*1(X; Z2). На самом деле Sqz нельзя прямо применять к целочисленному элементу. Мы имеем в виду, что сначала этот элемент приводится mod 2, т.е. под Sqz мы фактически понимаем Sqz ° Pi, и соответственно под Sq7 понимаем Sq7 ° р2, где р2 - приведение целочисленных когомологий mod 2.
Замечание 2. Не нужно думать, что Sq1 действует в He(K(Z,n); Z2) тривиально. Имеет место лишь равенство Sq1 ё„ = 0, хотя в то же время, например, Sq1 Sq2 ёп = Sq3 ё"п * 0 при п > 3.
Алгебра Стинрода mod р. При р> 2, как и при р = 2, единственной (с точностью до множителя) операцией, действующей в когомологиях с коэффициентами в Zp, является гомоморфизм Бокштейна р. Однако, если при р = 2 операция р = Sq1 ничем не выделяется среди других стинродовых квадратов, то при р> 2 операция р играет особую роль. Операции, аналогичные другим стинродовым квадратам, также существуют. А именно, существует единственная стабильная когомологическая операция (она называется степенью Стинрода и обозначается через Р') из 0s (2f (р — 1); Zp; Zp), обладающая тем свойством, что Рр(х) = хр при хбЯ2,(Т; Zp). Как и в случае р = 2, операция Рр является тождественным отображением и Рр (х) = О прн deg х< 21. При этом Р2 = Sq2 z.
Оказывается, что алгебра Стинрода Ар мультипликативно порождается операциями Рр = Р И Рр1 . Мы положим
Stfc = / ^ ПРИ * = 2/(р-1),
Рр о Р* при k = 2i(p - 1) + 1.
Таким образом, операции Stk определены при к = 0,1 mod(2p- 2). Заметим, что если р = 2, то Stк = Sq к.
Опишем в Zp-anre6pe Ар аддитивный базис.
Пусть задана последовательность чисел I = (ji,i 2,...,ik), где im О, 1 mod(2p —2). Поставим в соответствие этой последовательности операцию St7 = = Stz*Stz’ . ..St,k.
Последовательность I называется допустимой, если
z’i ^Pii, h >Ph, h >РЧ • ■ •
Имеет место теорема: допустимые итерации (St7} образуют аддитивный базис Zp-модуля Ар.
9. А.Т. Фоменко
Соотношения между операциями St7 порождаются соотношениями Адема: [о/р!
pa рЬ = У / 1\с+а ^а—рсра+Ъ — с рс .
Рррс=о} (р-1)(Ъ-с)-1 Р рРр>
.[о/p]к
рар^рр= лсГр-п(ь-сАраР рсР +
Ka-iyp] .
+2(-1)с+«+1,р=*ь-с^ рс а<рЪ
с=0 v '(р-1)(6-с)-1 рР ' г
В качестве системы мультипликативных образующих в Ар (как и в случае р = 2) могут быть взяты операции 1, рр, Рр, рР, РР ,...
Доказательство этой теоремы было впервые получено А. Картаном. Читателю, желающему познакомиться с ним, мы рекомендуем прочесть статью М.М. Постникова "К теореме Картана” (Успехи мат. наук. — 1966. — Т. 21, № 4. — С. 35—46).
Другие классификационные теоремы. Введем некоторые обозначения и определения. Пусть К - поле. Обозначим через Л(ш,К) К-алгебру с базисом (1,х), где dim х = т, х2 = 0. Назовем ее внешней алгеброй, ах- образующей внешней алгебры. Через Р(ш,К) мы обозначим К-алгебру с базисом (1,х<*\х<2\...), где degx^ = кт, а умножение определено так: х^ х^ = С^гх^к*г^ • Эта алгебра носит название алгебры модифицированных полиномов, а элементх = х<* называется ее образующей. Очевидно, элемент х = х (^ действительно является мультипликативной образующей Р(т, К). Под тензорным произведением таких алгебр мы будем понимать косое тензорное произведение (т.е. (д ®Ь) • (с ®d) = = (-l)dim6 dimc дс®М), но слово ’’косое" будем опускал., так как обычное тензорное произведение мы здесь не рассматриваем.
Зафиксируем простое число р и группу n = Z или ZpS и введем определение набора чисел, удовлетворяющих условию (Ср). Пусть нам дана последовательность / = (j: 1,1г,..., ik). Мы скажем, что / удовлетворяет условию (Ср), если:
(1)4^Р4; 4 >Р1з,-• • Лк-1 >pik-i; ik-i>2p-2;
(2)4 =0, если П = Z;.
4 = 0 или 1, если П = ZpS ( р — простое);
it = 0 или 1 mod(2p - 2) для 1 < I < к.
Мы будем использовать стандартное обозначение Н* (П, п; Zp) =Н*(К(П,п); Zp).
Теорема (А. КартАн). Для п > 1 и простого р>2 алгебра когомологий Н* (П, и; Zp) (где П = Z или ZpS) изоморфна тензорному произведению внешних алгебр A (m, Zp) с образующими нечетной степени и алгебр обычных полиномов с образующими четной степени. Для п> 2, р = 2,Н* (П, п; Z2) (где П = Z или Z2$) изоморфна тензорному произведению алгебр обычных полиномов. В обоих случаях число образующих, степень которых есть п + q, равно числу последовательностей I, таких, что q = |/|, удовлетворяющих условию (Ср) и следующему требованию: рЬ < (р - 1) (п + q).
Замечание. В этой теореме как частный случай содержатся все предшествующие результаты. Если П = Z, то из условия (Ср) следует, что 1к = 0, а 1к_х > 2р - 2, и если р = 2, то ik_ t > 2, т.е. Sq1 не входит в итерации Sq7.
При р = 2 условие р'1 < (р - 1) (и + q^ превращается в хорошо знакомое нам соотношение def I < и.
Оказывается, что и алгебра гомологий пространства Я(П, и) допускает полное описание. Умножение в гомологиях пространства Я(П, и) индуцируется структурой Я-пространства: К(П, и) = 9.К(П, и + 1).■
Теорема (А. Картан). При п > 1 и простом р > 2 алгебра гомологий Н. (П, и; Zp) (где П = Z или Zp$) изоморфна тензорному произведению внешних алгебр A(zn, Zp) с образующими нечетной степени и алгебр модифицированных полиномов с образующими четной степени. Для п > 2, р = 2 алгебра гомологий Я, (П, и; Z2) (где П = Z или Z2$) изоморфна тензорному произведению алгебр модифицированных полиномов. В обоих случаях число образующих, стабильная размерность которых есть q, равно числу последовательностей I, таких, что |Z| = q, и удовлетворяющих условию (Ср).
Теорема о выборе базиса (А. Картан) .Пусть Y\=ZuenEH"(Z,n; Zp)- фундаментальный класс. Тогда в качестве образующих внешних алгебр и алгебр обычных полиномов, фигурирующих в теореме о Н* (Z, и; Zp), можно выбрать элементы Stp(e„), где I удовлетворяет условию (Ср) ,и рц< (р - 1) (и +1/|).
Доказательство этих утверждений читатель найдет в статьях А. Картана (см: Математика: сб. перев. — 1959. - Т. 3, № 5 и № 6). Там же читатель найдет и исчерпывающую информацию о целочисленных когомологиях К(П, и).
ПРИМЕНЕНИЯ СТИНРОДОВЫХ КВАДРАТОВ
В этом параграфе мы возвращаемся к случаю р = 2.
Гомотопическая ориентация нашей книги вынуждает нас рассматривать стинро- довы квадраты, главным образом, как средство вычисления гомотопических групп. Действительно, в этом отношении они очень полезны; в п. 1 мы покажем, как с их помощью можно вычислить 7тп+2 (S”), а в следующей главе вычислим стабильные группы nn*q (Sn) с q < 13. Не следует, однако, забывать, что гомотопические вычисления — это, так сказать, побочный эффект теории Стинрода. Чтобы убедить в этом читателя, мы приведем в последующих пунктах подборку применений стинродовых квадратов, стремясь при этом не столько к полноте, сколько к разнообразию.
Вычисление гомотопических групп. Ниже предполагается, что п велико.
Вычислим Я* (5" | п+1; Z2 ) до размерности п + 4 включительно. Из спектраль- ar(Z.n-i)
ной последовательности расслоения 5 |n+i* 8 (рис. 131) видно, что эти
когомологии устроены так:
q
п +1
и + 2
и + 3
П + 4
^(Sni„+1;Za)
Z,
Z,
Z,
Z,
образующие, соотношения
и
Sq‘u
V (Sq2u = 0)
Sq‘U = sSq’Sq’u
Как нам известно, irn*1(Sn') = Z2. Спектральная последовательность расслоения
л*4 /7+3 л+2 я+7 п п-1л*4 /7+3 л+2 я+7 п п-1Sq^Sq^SqZsq*//
л*4 /7+3 л+2 я+7 п п-1
л*4 /7+3 л+2 я+7 п п-1
Sq4e=y Sq^Sq't/ Sq^e=y
Рис. 132Рис. 132Рис. 131Рис. 131ппK(Z,,n)
Рис. 132
Рис. 132
Рис. 131
Рис. 131
п
п
5 |п+2* S ln+i устроена, как показано на рис. 132. Дия S |„+2 имеем:
q
л + 2
л+ 3
нч(.8п\п*2;га
Z,
Z, +Z,
-образующие
W
Sqxw
X
Мы уже видим, что
я"+2 (5” |и+2)=z2,•
и, значит,
яп+2 (S") = Яи+2 (S” |п+2) = (Z или Z2$) ® (группа нечетного порядка).
Но группа я„+2 (5”) конечна (п. 3 § 25) и не содержит элементов нечетного порядка (п. 4 § 26). Значит,
Яп+2 (^П) = Zjj.
На самом деле тот факт, что Sq1 w =# 0, т.е. |3(w) * 0, уже говорит о том, что s = 1. Однако докажем это с помощью спектральной последовательности. Найденный нами нулевой элемент w е Я”+2 (5” |„+2; Z2) определяет отображение S”|n+2 -►
K(Z,,n+l)
-► K(Z2, п + 2); рассмотрим расслоение Е* S |п+21 индуцированное рас- K(Z,,n+l)
слоением *► К (Z2, и + 2) посредством этого отображения. Пространство
Е можно назвать ’’недоубивающим пространством”: из гомотопической последовательности рассматриваемого расслоения видно, что
^n+2 (Я) = Яп+2 (<S,n)/Z2 ,
Ttq (Е) = 1tq (Sn) при q > п + 2.
(На самом деле Е — убивающее пространство, мы сейчас в этом убедимся.) Рассмот- K(Z,,n+l)
рим спектральную последовательность расслоения Е► 5 |я+2 (рис. 133). Из нее видно (ввиду Sq1 w * 0 — от этого не уйти!), что Нп*г (Е; Z2) = 0, и, значит, Нп+2(Е; Z2) = 0, яп+2(Я) есть группа нечетного порядка, т.е. 0, поскольку
яп+2 (Sn) есть 2-группа, а яп+2 (Е) = яп+2 (5")^. Значит, Е есть убивающее пространство Sn |„+3 и яп+2 (8п |„+2) =яп+2(5") = Z2.
Кстати, мы видим, что Яп+3 (Е; Z2) = Z2; значит, 2-компонента группы яп+3 (5")
eCTbZ2».■
Упражнение 1. Вычислите яп+3(8п). [Указание. Рассмотрите ’’недоубиваю- 'K(Z,,n+2)
щее пространство” Ei с расслоением Ei ► 5 |„+3. Убедитесь в том, что
Яп+3(Ег; Z2) снова есть Z2. То же будет верно для следующего недоубивающего
n+Z /?+3
Рис. 133
пространства Ег, Я2 ► Ei, и только третье недоубивающее пространство
Е3 убивает-таки группу я„+3(5"). Значит, 2-компонента группы я„+3(5") есть Z8. Далее, из п. 4 § 26 мы знаем, что группа яп+3 (5") имеет 3-компоненту Z3 и не имеет p-компонент с р > 3. Значит, я„+3(5") = Z24. (Сделав это упражнение, вы передокажете основной результат одной из самых трудных работ дофранцузской эпохи — работы В.А. Рохлина, в которой группа яп+3 (5") была вычислена геометрическим методом.) ]
Огинродовы квадраты и классы Штифеля — Уитни.
А. Формула для Sqfc wm. Поставив в соответствие вещественному векторному расслоению $ когомологический класс Sq* wm его базы, мы получим новый характеристический класс вещественных векторных расслоений. Но "новых характеристических классов” не бывает: в п. 4С § 19 мы доказали, что всякий характеристический класс вещественных векторных расслоений с коэффициентами в Z2 есть полином от классов Штифеля — Уитни. Что же это за полином в данном случае? Оказывается, что имеет место равенство
к .
Sqfc wm = 5 C'm _к wk_j wm+j. j=o
Доказательство, детали которого мы оставляем читателю, проводится по следующему плану. Сначала мы проверяем, что левая и правая части равенства принимают одинаковые значения на расслоении f X ... X J с базой RP^ X ... X RP^, где f — хопфовское расслоение над RP^, a N и число сомножителей достаточно велики. Затем (или раньше) доказывается, что никакой полином от классов Штифеля не принимает нулевого значения на расслоении f X ... X f (вычисление для произведения вещественных проективных пространств — один из ключевых приемов в теории как классов Штифеля — Уитни, так и квадратов Стинрода).
Пример:■
Sq1 wm = wtwm + (rn - l)wm+1.
В частности, если Wj = 0, т.е. если расслоение ориентируемо, то Sq1 wm = wm + 1 при четных т. Но Sq1 — гомоморфизм Бокштейна. Вспомнив определение гомоморфизма Бокштейна (п. 3 § 15), мы заключаем, что у ориентируемого расслоения классы Штифеля — Уитни являются целочисленными классами, т.е. образами целочисленных классов порядка 2 при гомоморфизме приведения р2 • Н* (—; Z) ■* -*нч-\ z2).
В. Отступление1, пространство Тома и изоморфизм Тома. Пусть $ — вещественное векторное расслоение размерности и. Зафиксируем в слоях евклидову структуру и обозначим через D^) и S(^) пространства шарового и сферического расслоений (со слоями D" и В"-1), ассоциированных с £. Пространство Т({) = D(6)(S(6) называется пространством Тома расслоения $. Пространство Тома устроено так: в нем лежит база В расслоения $ (бывшее нулевое сечение), и через каждую ее точку проходит n-мерная сфера. Эти сферы не гомеоморфны Sn канонически, поскольку слои расслоения £ не гомеоморфны канонически R”, но они покрывают все пространство Т(£) и имеют общую для них всех точку — противоположную точке В, а в остальном не пересекаются (рис. 134).
Упражнения 2. Постройте гомеоморфизм между йространством Тома хоп- фовского расслоения над RP” и пространством RP"+1, Постройте комплексный аналог этого гомеоморфизма.
Что представляет собой пространство Тома тавтологического расслоения над многообразием Грассмана?
Если база В расслоения $ клеточна, то пространство Т(6) имеет естественную клеточную структуру: клетками являются прообразы в 0(6) — В($) клеток базы В и точка, получившаяся из 8(6). Таким образом, если В имеет Ио нульмерных клеток, И1 одномерных клеток, л2 двумерных клетокто Т(6) имеет одну нульмерную клетку, л0 л-мерных клеток, n2 (п + 1)-мерных клеток, л2 (и + 2)-мерных клеток, ... Более того, если расслоение $ ориентировано, то ориентированным клеткам базы В отвечают ориентированные клетки пространства Т(£), и зто соответствие
Рис. 134
согласовано с коэффициентами инцидентности. Поэтому для ориентированного расслоения $ имеют место ’’изоморфизмы Тома”
t: Hq (В) a Hq^n (Г®), t: Я»(В) -Н4*"(Гф).
По модулю 2 аналогичные изоморфизмы строятся независимо от ориентации.
Класс и = t(l) G Я"(Т({); Z или Z2) называется классом Тома расслоения {.
Упражнение 4. Докажите формулу t(a) = иа. (Умножение в правой части понимается в следующем смысле. Когомологии базы не отличаются от когомологий пространства Я(?), так что можно считать, что a G Я* (Я(£); —); в то же время/?^); -) = Я*(О(6),8(6); -); умножение Я* (£>(£) ) ®Я* (0(6), 8(6)) ■*
-* Н* (Р^, 5(6)) есть просто частный случай ^-умножения Н* (X) ®Н*(Х, А) ■* -*Я* (X, А) (см, упражнение 3 к § 16).)
Рассмотрим отдельно случай нормального расслоения. Пусть 6 — нормальное расслоение подмногообразия Y многообразия X.
Упражнени я.5. Покажите, что в этом случае Т(6) = Х(Х - U, где U - трубчатая окрестность многообразия Y.
6. Сквозное отображение
H^Y^^n’CT^-^H^X),
где вторая стрелка обозначает проекцию X ->Х((Х - U) = Т(6)> совпадает с /, (см. п. 7 § 17), где i - включение Y -*Х.
Sq-определение классов Штифеля - Уитни.
Теорема. Для всякого расслоения 6
w^-V1 Sqmt(l),
где 1 - нульмерный когомологический класс базы.
Доказательство, детали которого мы оставляем читателю (он может найти их в книге Милнора и Сташефа "Характеристические классы”), состоит в последовательной проверке аксиом классов Штифеля — Уитни (см. п. 5 § 19) для классов t-1Sqmt(l).
Следствие. Если 6 есть нормальное расслоение многообразия Y в X и i: Y -> -*Х есть включение, то
Ч wm (6) - Sqm f, (1) = Sqm (Ц;1 [У]).
Упражнение 7. Докажите, что для «-мерного многообразия X имеет место равенство wm (X) = 0, при m > п - а(п), где а (л) есть число единиц в двоичной записи числа п, a wm обозначает класс Штифеля — Уитни нормального расслоения в евклидовом пространстве. [Напомним, что в п. 6 § 19 мы доказали, что нетриви- альность класса wm (X) служит препятствием к существованию погружения многообразия X в Rn+m-i. Таким образом, нормальные классы Штифеля не препятствуют существованию погружения произвольного n-мерного многообразия в r2"-0'!"). Недавно Коэн анонсировал доказательство "гипотезы Масси", по которой всякое n-мерное многообразие погружается в R2"-“("). Некоторые подробности см. в докладе Ланна в семинаре Бурбаки (Lannes J. La conjecture des inunersions//Aste'- risque. — 1982. — № 92—93. — P. 331—346). (Ранее было известно, что число 2п - а (и) нельзя уменьшить: в пространство меньшей размерности йе погружается, по причинам нормальных классов Штифеля - Уитни, произведение RP2 1 Х...Х RP2 $, где 2к‘ + .., + 2к$ — двоичное разложение числа и.) ]
Формула By. Положим w= 1 + w> + w2 + w3 + .. .и Sq = 1 + Sq1 + Sq2 + Sq3 +... Заметим, что операция Sq: H*^—; Z2) -*H*(X; Z2) обратима: (Sq)-1 = 1 + Sq1 + + Sq2 + Sq2 Sq1 +...
■ Теорема (By, он же У). Пусть X - замкнутое многообразие. Тогда для любого aGH*(X; Z2)
<Sq-1w(X),P(a)> = <Sqa, [X] >.
Эта "формула By" полностью определяет классы Штифеля — Уитни многообразия. Ее стандартное доказательство можно найти в книге Милнора и Сташефа "Характеристические классы" (§ 11) или в "Алгебраической топологии" Спеньера (§ 10 гл. 6); см. также п. 4 § 42. Читатель может попытаться дать другое доказательство,
следуя такому плану: касательное расслоение многообразия X — это то же, что нормальное расслоение диагонали diag = X в ХХХ\ следовательно,
d\ wm СО = Sqm (D^x х [diag]);
так как р о d = id (d — диагональное отображение X -*Х ХХ,р - проекция на, скажем, второй сомножитель), то
Wm СО = Pl Sqm фххх [diag]),
apj (а X 0) = <0, [X] >а; и т,д.,
Следствие 1. Классы Штифеля - Уитни замкнутого многообразия являются его гомотопическими инвариантами (ср. п. 6Е § 19).
Следствие 2 (теорема Штифеля). Всякое ориентируемое замкнутое трехмерное многообразие параллелизуемо. '
Доказательство. Чтобы доказать параллелизуемость ориентируемого трехмерного многообразия X, 'Достаточно построить на X два линейно независимых '^(3,2)
касательных векторных поля, т.е. построить сечения расслоения Е» X, ассоциированного с касательным расслоением. Так как У(3, 2) «RP3, то я> (У(3, 2)) = = Z2, я2 (У(3, 2)) = 0. Первое препятствие к построению сечения лежит в Я2 (X; тц(У(3, 2))) = И1 (X*, Z2) и совпадает с классом w2. Нам достаточно доказать, что w2 = 0, поскольку следующее препятствие будет лежать в нулевой группе Н3 (X; я2 (У(3, 2))). Чтобы применить формулу By, посмотрим, как в Н* (X; Z2) действуют квадраты Стинрода, принимающие значения в Н1. Ввиду ориентируемости многообразия операция Sq1: Я2 (X; Z2) ■* Я3 (X; Z2) тривиальна (гомоморфизм Бокштейна ^: Я2 (X; Z2) -* Я3 (X; Z2) есть по определению композиция Я2 (X; Z2) -* Я3 (X; Z) -*Я3 (X; Z2), а первая стрелка, будучи отображением конечной группы в Z, тривиальна). Далее, Sq. Я1 (X; Z2) ->Я3(Х; Z2) есть 0 (потому что Sq* х = 0 при i > dimx), и тем более Sq3: Я0 (X; Z2) ->Я3 (X; Z2) есть 0. Следовательно, < Sqa, [X] > = 0 при dima Ф 3, значит, Sq-1 w(X) может принимать ненулевые значения только на нульмерных гомологических классах, значит, Sq"1 w(X) G Я0 (X; Z2), w(X) G Я0 (X; Z2) и w2 (X) = 0.
Упражнения. 8. Пусть X — связное замкнутое ориентируемое четырехмерное многообразие. Докажите, что для любого a G Я2 (X; Z2) имеет место равенство a2 = aw2 (X). [Пояснение. Поскольку область коэффициентов есть Z2, функционал a •-»■ < a2, [X] > линеен. Из этого вытекает (ввиду невырожденности умножения) , что существует класс a0 G Я2 (X; Z2), такой, что ( aa0, [^1) = < a2, [X] >, т.е. aa0 = 0(2 • Наше утверждение заключается в том, что a0 = w2 (X).]
Найти а0 в неориентируемом случае.-
Вторые препятствия. Само собой разумеется, квадраты и степени Стинрода придумал Стинрод. Квадраты Стинрода впервые появились в его работе "Products of cocycles ond extensions of mappings” (Ann. Math. - 1947. — V. 48, № 2. — P. 290—320). He все знают, однако, что Стинрод ввел стинродовы квадраты не просто так, а преследуя определенную цель — обобщение классификационной теоремы Хопфа. Эта теорема Хопфа доказывалась нами в п. 4 § 18; она заключается в том, что если X есть и-мерное клеточное пространство, то
я(Х,5") = Я"(Х;г),
причем соответствие относит классу отображения/: X -*8п когомологический класс /* («), где s G Я" (Sn; Z) - образующая. Стинрод решил следующую по сложности задачу: найти я(Х, S”) в случае, когда dim X = п + 1. Разумеется, и в этом случае имеется отображение я(Х, 5") -*Нп(Х; Z), [/] h-/*(s), но оно не обязано быть
взаимно однозначным. Нужно, во-первых, найти его образ, и, во-вторых, описать при данном a G Я” ^Х\ Z) множество классов отображений /: X -*Sn, для которых /* (s) = а. Ответ на этот вопрос (и дальше больше) дает следующая теорема Стин- рода. •
Теорема. Пусть п > 2, и пусть X - клеточное пространство. Тогда: (1) если dim X <п + 2, то образ отображения ф: ir(X, Sn) -*Нп(Х; Z), [/] -*f* (s), есть ядро сквозного отображения■
Я" (У; Z) ^ Нп (X; Z2 ) ^-> Нп+2 (X; Z2 );
(2) если dim Д' < п + 1, то множество ф-1 (и) находится во взаимно однозначном соответствии с коядром сквозного отображения
Нп-4X;Z)^Hn-x (X;Z2)Я"+1 (X; Z2).
Упражнение 10. Докажите теорему Стинрода. [Указание. Дляи£Н"(Х; Z) рассмотрите соответствующее отображение X -*К^, и); у K^L, и) есть одна «-мерная клетка, одна (л + 2)-мерная клетка и еще клетки более высоких размерностей. Если dim X < п + 2, то можно считать, что X отображается в sk„+2 ^(Z, п); препятствие к тому, чтобы прогомотопировать это отображение в Sn = sknK(Z, п), равно Sq2*u; этим доказана первая часть теоремы, доказательство второй части аналогично.]
Несуществование сфероидов с нечетным инвариантом Хопфа.
Теорема. Если п не есть степень двойки, то в я2п-1 (52”) нет элементов с нечетным инвариантом Хопфа (см. замечание 2 в конце п. 4 § 16).
Доказательство. Пусть а G я2п_ i (S”) — элемент с нечетным инвариантом Хопфа, и пусть У = S” U^D1”, где f — сфероид класса а. Очевидно,
Яч(У;г2) =Яч(У;г2) =Z2 при q = 0, л, 2п, 0 при остальных q
Яч(У;г2) =
Яч(У;г2) =
и, по определению инварианта Хопфа, операция возведения в квадрат Я” (У; Z2) -* Hln^Y\ Z2) нетривиальна. Но эта операция есть Sq”, а если п не есть степень двойки, то Sq” представляется как многочлен от Sq' с i < п (например, Sq2n+1 = = Sq1Sq2”, Sq4”+2 = Sq2Sq4” и т-д. — см. упражнение 2 к § 29). Так как Hq (У; Z2) = 0 при п < q < 2л, то любая композиция стинродовых квадратов с номерами, меньшими и, тривиальна на Я” (У; Z2) — противоречие.
(Следствие: размерность всякой вещественной алгебры с делением есть степень двойки.)
Как уже говорилось, элементы с нечетным инвариантом Хопфа в группах Я2я-1(5”) с л > 8 отсутствуют. Одно из возможных доказательств этого факта (исторически первое) состоит в том, что операции Sq16, Sq32,..., не разложимые в классе обычных (’’примарных”) когомологических операций, разлагаются в нетривиальные композиции так называемых вторичных когомологических операций (см. § 36). Мы не излагаем этого доказательства, читатель может найти его в книге Мошера и Тангора. У нас этот факт доказывается средствами К-теории в гл. 6.
Линзы. В этом пункте рассматриваются не квадраты Стинрода, а только гомоморфизм Бокштейна, причем в случае р > 2.
Пусть р, q - взаимно простые натуральные числа. Рассмотрим преобразование 2к1 2«iq
Т сферы S3 С С2, действующее по формуле T(zt, z2) = (zte Р , z2e ); оче-
видно, Т порождает свободное действие в № группы Zp. Факторпространство сферы № по этому действию группы Zp обозначается через L(p, q) и называется (трехмерной) линзой. (Мы сталкивались раньше с бесконечномерными линзами.) Спрашивается, при каких р, q, р', q' линза L (р, <7) гомеоморфна или гомотопически эквивалентна линзе L(p', q1). Так как, очевидно, Ях (L(p, q)) = Zp, мы с самого начала будем считать, что р* = р (иначе ни гомеоморфными, ни гомотопически эквивалентными линзы быть не могут). ■ " .
Теорема. Линзы L(p, q) и Цр, q') гомотопически эквивалентны тогда и только тогда, когда q' = ±k2 q modp для некоторого целого к.
Мы наметим доказательство части ’’только тогда”; часть ’’тогда” для нас менее существенна, но читатель может доказать ее в качестве упражнения средствами теории препятствий (воспользовавшись малостью размерностей линз).
Очевидно, Hr (L (р, q); Zp) = Zp при г = 0, 1, 2, 3. Возьмем на сфере S3 ориентированную дугу большого круга, идущую из точки (1,0) в точку (e*1,ilp, 0); эта дуга определяет некоторый элемент группы я> (Z (р, q)) = Hi (L (р, q)) — Zp. Обозначим через а элемент группы Я1 (£(р, q); Zp), принимающий на этом элементе значение 1 € Zp.
Лемма.
< ар (a), [L (р, <?)]> = <? (mod р), ■ ‘
где р есть гомоморфизм Бакштейна Нх (L(p, <7); Zp) -*Н2 (L(p, <7); Zp).
Набросок доказательства (детали оставляются читателю). Линза имеет естественное клеточное разбиение, которое получается из Zp-инвариантного клеточного разбиения сферы S3. Последнее устроено так. Окружность, высекаемая в S 3 прямой z2 = 0, делится р точками на р равных дуг — это одномерный остов. Трехмерные вещественные полупространства, примыкающие в С2 к прямой z2 = 0 и составляющие между собой углы 2ir/p, высекают на S3 двумерные полусферы - это р двумерных клеток. Оставшееся представляет собой р трехмерных клеток.
похожих на дольки мандарина. (См. рис. 135.) Образующая нашей группы Zp поворачивает окружность на угол 2к/р, а двумерные полусферы склеивает через q. Линза, таким образом, имеет по одной клетке в размерностях 0, 1, 2, 3. Очевидно, а принимает значение 1 на одномерной клетке, а Р(а) принимает значение 1 на двумерной клетке. Наша задача - найти индекс пересечения замыканий одномерной и двумерной клеток, рассматриваемых как циклы modp. Поднимем эти циклы в S3. Там получатся выделенная окружность и объединение всех полусфер. Чтобы найти индекс пересечения, приведем циклы в общее положение, для чего пошевелим одномерный цикл. Прообраз пошевеленного цикла в S3 будет инвариантной окружностью, которая, очевидно, q раз охватывает непошевеленную окружность (рис. 136, на котором
<7 = 2). Поэтому пошевеленная окружность пересекает каждую полусферу в q точках, а всего точек пересечения будет pq. Значит, соответствующее пересечение в L(p, q) состоит из <7 точек. Очевидно, все эти точки совершенно равноправны, в частности, все имеют одинаковый знак. Значит, индекс пересечения равен ± q (на самом деле q, но это нйм уже совсем не важно).
Рассмотрим еще линзу L (р, q') и обозначим для нее через а1 аналог класса а. Пусть
<р: Up.q^IAp, q')
— гомологическая эквивалентность. Тогда гомоморфизм
Ф.: Нз№, </); Z)-> H3(L(p, <7'); Z)
является изоморфизмом; поэтому он переводит [£(р, <?)] в ±[£(р, <7')]. Пусть, далее, ф*а = ка. Тогда
q' = <д'0(д'), [£(р, <?')]>= ± <д'0(д'), ф. [L(p, <?)]> = ± <(t>V) (Кч^а'')\ [ЦР’ ?)]> =
= ± <(ка) ф(ка)), [£(р, <?)]) = + к2 <a0(a), [L(p, q)])= + k2q, что нам и нужно.
Например, £(5, 1) и £(5, 2) гомотопически не эквивалентны (2 ^ ± к2 mod 5). Кстати, если нас интересуют только гомотопические эквивалентности, сохраняющие ориентацию или только гомотопические эквивалентности, обращающие ориентацию, то ± 1 в формулировке теоремы можно заменить, соответственно, плюсом или минусом. Например, не существует гомотопической эквивалентности, обращающей ориентацию (т.е. попросту отображения степени — 1) линзы £(3, 1) в себя; этот факт был доказан Кнезером задолго до построения излагаемой здесь теории.
Добавим, что гомотопически эквивалентные линзы могут быть не гомеоморфными, как, например, не гомеоморфны линзы L (7, 1) и L (1, 2), Их различает так называемое ’’кручение Рейдемейстера - Франца”, которого мы здесь не касаемся. С ним читатель может познакомиться в книге Дубровина, Новикова и Фоменко ’’Современная геометрия. Методы теории гомологий” (гл. I, § 11, задачи 5—8) или, с большими подробностями, по обзору де Рама, Момэри и Кервера (Leet. Notes in Math. - 1967.-V. 48).
ГЛАВА 5
СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА
ОБЩАЯ ИДЕЯ
Введение. В конце предыдущего параграфа мы видели, как информация о когомологических операциях может быть использована для нахождения стабильных гомотопических групп пространств. Зная когомологии пространства X, мы можем довольно легко найти ’’стабильную часть” когомологий первого убивающего пространства, затем второго, третьего и т.д. Теорема Гуревича каждый раз дает нам соответствующую группу гомотопий. Этот метод (метод Серра) не позволяет, однако, вычислять гомотопические группы без преодоления других трудностей.
Представим себе, например, что мы хотим найти стабильные гомотопические группы некоторого пространства X, и нам известны когомологии X с любыми коэффициентами и с действием всех когомологических операций. Давайте считать, например, что первая нетривиальная гомотопическая группа пространства X есть Z2 и расположена она в размерности N. Рассмотрим спектральную последовательность k^.n- 1)
расслоения Х\ N* X.
Чтобы сделать рисунки более компактными, мы будем рисовать спектральные последовательности в две строчки. Имеется в виду следующее. Нижняя строчка — это нижняя строчка прежних рисунков, только начинаем мы ее не с размерности О, а с размерности, в которой начинаются когомологии. Верхняя строчка — это бывший нулевой столбец, положенный на нижнюю строчку так, чтобы одинаковые размерности оказались друг под другом. Стрелка, обозначающая дифференциал, действует вправо-вниз. Группа, присоединенная к группе когомологий пространства расслоения, стоит в столбце, нижняя группа столбца — подгруппа группы когомологий.
е
Sqfe
... SqH
"Т
К К
0
Рис. 137
верхняя — факторгруппа по ней. Разумеется наша картинка охватывает только стабильные размерности. ■
Спектральная последовательность нашего расслоения изображена на рис. 137. В верхней строчке стоят когомологии ^(Z2, N — 1) mod 2, которые в стабильных размерностях совпадают с алгеброй Стинрода А2. Под действием дифференциала элемент е переходит в а и, для любой операции <р, элемент ^(е) переходит в ^(а). В нижней строке останутся все элементы Н*(У; Z2), которые не являются образами операций от а. В верхней строке останутся все операции ^, такие, что ^(а) = 0. Когомологии пространства ЙП^> таким образом, нам полностью известны, но действие
операций в них известно нам уже не полностью. Представим себе, например, что в алгебре Стинрода есть соотношение Sq20Sq30 = 0 (такого соотношения, наверное, нет, но зто неважно), и что Sq30a = 0. Тогда в верхней строке останется элемент Sq30e, который в когомологиях ЛП^у Уже не есть Sq30 ни от какого элемента. Чему равно Sq 2 0 от него? Это не может быть никакой элемент верхней строки (так как Sq20Sq30 = 0), но вполне может оказаться, что этот элемент не тривиален и лежит в нижней строке, т.е. может оказаться, что Sq20(/) =у в Я*^^; Z2), где элемент / происходит из Sq30e Е H\K(Zi, N- 1); Z2) и у происходит из некоторого элемента Н*^Х; Z2) (рис. 138). .
Sq30e
Sq2ef
Рис. 138
Таким образом, действие операций в когомологиях X |w нам известно уже не полностью и когомологии следующего убивающего пространства мы уже не можем найти.
Способа преодолеть эту трудность современная топология не имеет: гомотопические группы сфер, например, по сей день полностью не вычислены. Но есть возможность ’’выделить трудность в чистом виде”, а именно, свести все выкладки, связанные с нахождением гомотопических групп, в одну спектральную последовательность, начальный член которой известен, а в вычислении дифференциалов сосредоточивается главная трудность задачи. Это и есть спектральная последовательность Адамса.
Роль спектральной последовательности Адамса не ограничивается, конечно, выделением трудностей - она позволяет и преодолевать часть из них. А именно, эта последовательность наделяется рядом дополнительных структур (например, мультипликативной), которые на языке обычных убивающих пространств не просматриваются и которые дают богатую информацию о действии дифференциалов.
Метод Серра и метод Адамса. Метод Серра вычисления гомотопических групп состоит в ’’убивании” когомологий по размерности: убили л-ю группу — переходим к (и + 1)-й, тд. Метод Адамса — зто тоже ’’убивание” групп когомологий, но в другом порядке. Берем пространство X. Пусть, например, оно (Я — 1)-связно, и мы хотим найти p-компоненты его гомотопий от размерности N до размерности N + п. На первом шаге мы убиваем все когомологии X mod2 или modp в этих размерностях. Например, это можно сделать так. Каждая аддитивная образующая группы T^+g^Y; Zp) определяет отображение.¥->-A(Zp,./V+q). Все они вместе определяют отображение пространства X в произведение некоторого числа пространств типа К(Zp,^+ q). Индуцируется расслоение
, . П/Х(2р, N + qf>
Д1)рх.
Его спектральная последовательность устроена так. В верхней строке стоит ’’свободный Ар-модуль” (т.е. действие когомологических операций в этой строке свободно: нет никаких соотношений, которые не вытекали бы из соотношений в самой алгебре Стинрода Ар). См. рис. 139 для случая р = 2.
Дифференциал определяет эпиморфное отображение верхней строки на нижнюю, и в Е« остается в верхней строчке ядро этого отображения, и в нижней строчке остается нуль. Эту конструкцию мы можем повторить любое число раз.
Получается последовательность убивающих пространств Адамса: ^(1), Х(2),^(3),...
Заметим, что убивание всех когомологий X можно было бы осуществить более экономным образом. А именно, нет необходимости убивать отдельно каждую аддитивную образующую Н*(Х; Zp). Скажем, если мы убиваем элемент £ и Р^ =А 0, то нет необходимости отдельно убивать Рр$,поскольку он убьется и так. Иначе говоря, достаточно рассмотреть не все аддитивные образующие Н*^Х\ Zp), а только образующие Н*(Х\ Zp) как Ар-модуля. Поясним: берем все аддитивные образующие в HN(X; Zр), затем в HN*1 (%; Zp) берем уже не все образующие, а только те, которые не являются образами операций от уже выбранных. И так далее.
Алгебраически то, что мы сделали, можно интерпретировать так. Берем Ар-модуль Н‘^Х\ Zp). На него эпиморфно отображаем свободный Ар-модуль Рх (верхняя строка спектральной последовательности расслоения %(1) -* X). На ядро этого отображения (т.е. на Я*(Х(1); Zp)), которое тоже является Ар-модулем, снова отображаем свободный Ар-модуль, и так далее. Получаем точную последовательность Ар-модулей:
. ..-*Рг-*Рх ->H*(X;Zp)->0.
В ней все модули, кроме Н*(Х\ Zp), являются свободными. Такая последовательность называется свободной резольвентой и обладает рядом замечательных свойств, которые мы перечислим, как только закончим изложение ’’общей идеи”.
Спектральная последовательность. Вернемся к геометрии. Наш процесс в некотором смысле является сходящимся, т.е. пространства Х(к) имеют когомологии все меньше и меньше и, в некотором точном смысле, в пределе не имеют их совсем. Однако убивание по Серру было прямо связано (через теорему Гуревича) с гомотопическими группами пространства. А именно, мы всегда убивали когомологии младшей размерности, и каждое отдельное убивание соответствовало элементу гомотопической группы. При убивании по Адамсу это, вообще говоря, не так.
Вернемся к тому примеру, с которого мы начинали: пространство X, it^QO = Z2, группа HN(X, Z2) имеет образующую a, Sq30a = 0, в когомологиях пространства Х\м остается элемент / = Sq30e и Sq20/ = у € Н*(Х-, Z2). Если бы производили убивание по Серру, мы бы не стали отдельно убивать у: он убился бы вместе с / € € H*(X\N; Z2). По Адамсу же мы убиваем и а и у на первом же шаге. Таким обра-
зом, метод Адамса содержит большее число убиваний, чем метод Серра. Если мы подсчитаем, сколько образующих было убито в некоторой размерности N + q при убивании по-Адамсу на всех шагах, то мы получим верхнюю оценку для р-ком- поненты группы TtN+q (АЭ. Эта верхняя оценка и есть начальный член спектральной последовательности Адамса. Дифференциалы же в ней уничтожают все лишние элементы. Происходит это примерно так.
Заметим, что не только у оказался напрасно убитым элементом. В когомологиях пространства АГ(1), как и в когомологиях пространства А"| № есть элемент /. Но
Образующие Ар-модуля Н*(Х®')"
Образующие Ар-мовуля н*(х(2)) sq2^ Образующие АР-модуляfdz
Образующие Ар-моЗуля Н*(Х) у
Рис. 140
в Afljy мы имеем: Sq20/ = у, а в АГ(1) имеем: Sq20/ = 0, что приводит к появлению лишнего элемента в X(2). А именно, когда мы будем убивать / некоторым элементом g, то Sq20g оста-ется, и этот элемент, который даже и не возникает при убивании по Серру, придется убить на третьем шаге при убивании по Адамсу. Начальный член спектральной последовательности Адамса устроен так, как показано на рис. 140. Второй дифференциал переведет элемент у в элемент, получившийся из Sq2 °g, в Н*(Х(2)) и уничтожит оба эти лишние элемента.
Предельный член Е„ будет присоединен к p-компонентам стабильных гомотопических групп пространства X.
§32. НЕОБХОДИМЫЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
Модули. Пусть А есть ассоциативная алгебра с единицей над полем К, и пусть она градуирована целыми степенями:
A =®qAq = .. ,®А_Х ®А0 ®АХ®..., ArAs CAr+s.
Левым модулем над А (А-модулем) мы назовем векторное пространство Т над К, градуированное, т.е. представленное в виде суммы ®t^, Тп, для которого определено отображение ТХА -*Т, такое, что элемент (х, а), х G Т, а£ К, переходит в ах G G Г и при этом:
если a GAq, хЕТь то ах G Т^,
а^хх + х2) = ахх + ах2,.
(ах + а2)х = ахх +а2х,
Ь(ах) = (Ьа)х.
Аналогично определяется правый A-модуль. Левый Я-модуль Т называется свободным, если он содержит множество элементов Т1, такое, что для любого х G Т существует единственное представление в виде суммы х = Т^а, ех (сумма конечная), где at G A, et GT*. Множество Т* называется базисом или множеством образующих свободного А-модуля Т.
Например, сама алгебра А может быть рассмотрена как свободный Л-модуль (с одной образующей), хотя А как алгебра может иметь соотношения.
Гомоморфизм Л-модуля Г1 в Л-модуль Г2 - это гомоморфизм/: Г1 -► Г2, такой, что/(7*д) С Tq и/(ах) = af(x) для любых а ЕЛ, xG Т1.
Очевидно, что для любого Л-модуля Т существует точная последовательность O^It^Ft-^T^O,
где FT — свободный Л-модуль. В качестве FT можно взять свободный Л-модуль, базисом которого служит множество всех элементов модуля Т; отображение я переводит образующие модуля FT в соответствующие элементы модуля Т.
Проективные модули. Л-модуль Р называется проективным, если каждую диаграмму вида
M->N^O'
' I
Р
с точной строкой можно вложить в коммутативную диаграмму
ОО
О
О
Иначе говоря, модуль Р проективен, если любой гомоморфизм Л-модуля Р в любой фактормодуль M(R разлагается в сквозной гомоморфизм Р -*М -*M]R, где вторая стрелка — естественная проекция.
Имеет место следующее утверждение: A-модуль Р тогда и только тогда проективен, когда он является прямым слагаемым некоторого свободного A-модуля. Докажем это. Если Р — свободный Л-модуль, то ои проективен. Действительно, если Р* = ( Pi 1 — базис Р и
ОО
О
О
- любая диаграмма с точной строкой, п, = f(j>i), mt GM — такие элементы, что ^Qnt) =П{, то отображение v>: Р -+М можно определить формулой р (р{) =mt.
Если Р - прямое слагаемое проективного модуля Р’, т.е. существуют отображения а: Р -* Р* и Р: Р* Р, такие, что композиция р о а: Р -*Р тождественна, то Р — проективный модуль. Действительно, если
О
— любая диаграмма с точной строкой, то fp — отображение проективного модуля Р* в N. Поэтому существует отображение v>" Р* "*М, такое, что ittp =fp. Отображение V>a = ф: Р ^-N обладает тем свойством, что яф = ^а = /0® = /• Таким образом, модуль Рпроективен.
Наконец, всякий проективный модуль-является прямым слагаемым свободного модуля. В самом деле, пусть Р — проективный модуль. Мы видели, что существует
точная последовательность FР -^* Р 0, где Fp — свободный модуль. Рассмотрим диаграмму:
II ^Р
Так как Р — проективный модуль, то эта диаграмма дополняется отображением tp.P^Fp,n отображение tt^.P^-P тождественно. Отсюда Fp =Р® Кегя.
Из доказанного утверждения нам потребуется только то, что свободный модуль проективен.
Проективные резольвенты. Пусть Т — произвольный правый Л-модуль. Тогда существует точная последовательность:
.. .^Ад -^Ад_1 -*... -*Ai -*А0 -*1^0,
где Ад (здесь q =0,1,2,...) — правые проективные модули. Эта последовательность называется проективной резольвентой модуля Т. Если все Aq свободны, то последовательность называется свободной резольвентой. Вот построение свободной резольвенты. Для каждого модуля Т мы имеем точную последовательность:
0 Ip Fp Т 0,
где модуль FT свободен. Положим 7*i = 1Т, Т2 - Ir^ ^з = ^т, > • • • Имеем точные последовательности:
0^7\ -^Ft^T^-0, 0^7*2 ^FTx ^Tt^0, o^t3^fTi ^T2^0,
Из них можно составить одну точную последовательность:
Горизонтальная стрелка и есть нужная резольвента.
Свободная (тем более проективная) резольвента данного модуля не единственна, и это делает необходимой проверку корректности в конструкциях следующего пункта. Мы оставляем всюду эту проверку читателю, ограничившись замечанием, что она основана на следующем предложении, которое иногда называют основной леммой гомологической алгебры.
Упражнение 1. (а) Пусть
d.е
. ,.^В2 —^В1 —So ~"►М^О, , d 2d.6
. ,.^В2 —-► В\—>Af^O
— проективные резольвенты модулей М и М*. Тогда для любого модульного гомоморфизма /: М М' существуют модульные гомоморфизмы v>/: At^At,i = = 0, 1,.. ., такие, что диаграмма
d2 dt е
.. .^В2 —^Bv —^ До —>М->0
<р3 'l-у, 4^0 4I/
, d\ d\ е'
. . .^В2 ► В\ -*Bq > М^О
коммутативна.
(Ь) Если {<£,'} — другое такое семейство гомоморфизмов, то существуют модульные гомоморфизмы D(: В. -*В{ + |, < = 0,1,..., такие, что
'Pi-'P^Di-tdi+d'iDi
(в этой формуле подразумевается, что Do = 0).
Тог и Ext. Пусть М и N — два Л-модуля (причем М - правый модуль, a N - левый) . Зафиксируем проективную резольвенту
. . . “* В2 В2 -* Bq —*■ М —** 0
модуля М и применим к ее части . .. -► Bq функтор ®л N (со значениями в градуированных векторных пространствах над К). Мы получим последовательность
,..^Вг ®AN^BX ®aN^Bq ®aN,
вообще говоря, не точную, но являющуюся комплексом (т.е. композиция двух соседних гомоморфизмов равна 0). Степень неточности зтой последовательности измеряют гомологии этого комплекса, которые мы обозначим через Тог^(М, W). Заметим, что Тог^(Л/, ^) - ковариантный функтор по М и N.
Упражнения. 2.Того1 (Л/,Ю ~М®^N.
Если алгебра Л коммутативна, то Tor„ (Af,AQ 25 Tor^ (N, М).
Если модуль М проективен, то Tor^ (М, N) = 0 при любых Nh п > 0.
Пространство Тог^(Л/, N^ градуировано:
Тог^ (М, W) = ®q Tor^, (М, N).
Применим теперь к нашей резольвенте функтор Нотл (-, ^). Получаем коцеп- ной комплекс градуированных пространств над К:
... *- Нотл(В2, ^) *- НотД^, W) <- Нотл(Во, N\
Когомологии этого комплекса обозначаются через Ext” (М, N). Это градуированное пространство:
Ext^CM, N) = ®q Ext^’q(M, N\
Итак:
Ext NA= КСГ 1НОтл(S"’N)q Н0Шл(B”+1 ’ ^1
Л ’ ImfHonu^n-i,^ ^Honu^n,^]
где Hom ( ")q обозначает гомоморфизмы, понижающие степень на q.
Заметим, что Ext^ (М, N) — ковариантный функтор по N и контравариантный функтор по М.
Упражнения. 5. Ext^ (М, Я) = Нотл (М, N).
Если модуль М проективен, то Ext^ (М, N) =0 при любом Nh при п > 0.
Абелевы группы Л, В могут рассматриваться как Z-модули. Доказать, что
Тог„2(Л,5) =Ext 2(А, В) =Тог„2(Л,5) =Ext 2(А, В) =Тог(Л,В) 0ЕхЦЛ, S) ОТог(Л,В) 0ЕхЦЛ, S) Опри п= 1, при п> 2, при п= 1, при л> 2.при п= 1, при п> 2, при п= 1, при л> 2.
Тог„2(Л,5) =
Ext 2(А, В) =
Тог„2(Л,5) =
Ext 2(А, В) =
Тог(Л,В) 0
ЕхЦЛ, S) О
Тог(Л,В) 0
ЕхЦЛ, S) О
при п= 1, при п> 2, при п= 1, при л> 2.
при п= 1, при п> 2, при п= 1, при л> 2.
(В правой части Тог и Ext понимаются в смысле п. 4 § 15).
ПОСТРОЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Топологическая фильтрация Адамса. Пусть X — топологическое пространство. Мы хотим найти его стабильные гомотопические группы тГд(АЭ> т.е. гр/ппы •nN*q(^NX^, где N > q. Основной случай: X = 8° (две точки). Тогда я„(Т) =
Через А = Ар (р — простое число) мы будем обозначать, как и раньше, ал.ебру Стинрода. Через Н*(Х\ мы будем обозначать //*(%; Zp), через Н*(Х) будем обозначать Н*(Х\ pt), т.е. Н° (Г) = НЧХ)(Zp и ТУ (Г) = Я' (X) при ^> 0.
Так как А действует на Н*(Х), ю естественно рассмотреть Н*(Х) как А-модуль. Заметим, что как Н*^ХУ так и все модули, с которыми мы будем иметь дело впредь, градуированы только неотрицательными степенями, т.е. слагаемые с отрицательными номерами тривиальны.
Построим для A-модуля Я*^) свободную резольвенту; напомним, как она строится.
Выберем в этом A-модуле произвольную систему образующих. Очевидно, эта операция выбора эквивалентна заданию эпиморфизма некоторого свободного А-мо- дуляЯ1 на Н*^:
0<-Я*(А')<-51.
Предположим для простоты, что X — клеточное пространство, имеющее конечное число клеток в каждой размерности. Тогда все модули, которые будут возникать на нашем пути, будут иметь конечное число образующих в каждой размерности. '
Рассмотрим ядро построенного гомоморфизма. Это, вообще говоря, не свободный A-модуль, а поэтому к нему можно вновь применить только что проделанную процедуру, и так далее. Мы приходим к точной последовательности (свободной резольвенте)
0^НЧХ)^Вх ^В2 ^В3^.. .
A-модули В, не являются модулями когомологий каких-либо пространств. В когомологиях любого пространства есть, например, соотношения вида Р’р(х) = 0 при и > (р l)dimx Меньше всего соотношений имеет A-модуль H*(K(Zp, п)У Мы хотим ’’приблизить” Bf модулями такого типа.
Пусть N - большое число. A-модуль H*(£.NX) отличается от A-модуля Н*(Х) только градуировкой. Пусть а,- G Hq* (%) — образы свободных образующих Вх, т.е. выбранные образующие A-модуля Я*(/). Рассмотрим отображения ^Х -> ->K(ZP, N + q,), построенные по элементам Z^,- G HN+q* (£NX) для всех i, для которых q, < N. Вместе они определяют отображение ^NX ->¥, = H/f(Zp,N +qi);
A-модуль Я*(У1) в размерностях от Я др 2Ясовпадает с A-модулем Bi в размерностях от 0 до Я, и отображение ^Х -► У] индуцирует гомоморфизм H*(Y\ )-► -> H*^NX^, совпадающий в размерностях от Я до 2Я с гомоморфизмами Bv -► -*Н*(Х) в размерностях от 0 до Я.
Отображение ^Х -* Yf можно считать расслоением. Обозначим его слой через Х(1). Кроме того, положим X = ДО). Описать полностьюЯ*(Д1)) в общем случае было бы трудно, но, как легко видеть, до размерности 2Я — З^А-модуль Я*(Д1)) изоморфен со сдвигом размерности на единицу А-модулю Кег (Я*(У1) -^Я*^^^)], что очевидно из спектральной последовательности расслоения (рис. 141).
Рис. 141
Сдвиг размерностей происходит потому, что трансгрессия повышает размерность на 1. Следовательно, Я*(Д1)) в размерностях от Я — 1 до 2Я — 3 изоморфен А-мо- дулю Кег [Sj -► Я*(Д ] от размерности 0 до размерности Я — 2 со сдвигом размерностей на Я — 1.
Замечание. Конечно, Д1) можно было.бы определять не только как слой ыiu:(Z„,№<8- О м
отображения 2 X ->У1, но и как пространство расслоения Д1)►S X,
nK<Zp,N+qt - 1)
где последнее индуцировано расслоением * -*ПК(Хр, N + q^ = Kj
с помощью указанного отображения Y,NX -*У1:
Д1) ^ * = pt
nK(Zp,N + qi- 1) 44 nK(Zp,N + qi- 1)
SNX ——> ПК(2р, Я + q^ = У,.
Важно заметить, что мы определили не только пространство Д1),но и отображение Д1) -> "LnX. При зтом и пространство Д1), и это отображение определены с точностью до гомотопической эквивалентности.
Далее мы делаем для Х(1) то же, что раньше делали для Y,NX. Берем в А-модуле Я*(Д1)) систему образующих, находящихся (до размерности 2Я — 3) во взаимно однозначном соответствии со свободными образующими A-модуля В2. Напомним, что мы имеем эпиморфизм S2 Ker [Si -*Н*(Х)^. Выбранные нами образующие отличаются от предыдущих по размерности на Я — 1. Пусть Д € HN~i+rt (Х(1)) — эти образующие. По ним строим отображение
Х(1) У2 = П K(Zp, Я - 1+ г,).
A-модули Я*(У2) и Вг совпадают со сдвигом размерности на Я — 1 до группы Я2ЛГ-3(У2). Обозначаем через Д2) слой расслоения, эквивалентного отображению Х(1) -* Y1- Таким образом, определены пространство X (2) и отображение X (2) -► ^(1).
Двигаясь дальше таким же путем, получаем последовательность пространств
... ^ ДЗ) Д2) Д1)= ДО).
При этом ХО ) — слой расслоения, пространство которого гомотопически эквивалентно ХЦ — 1), базой является произведение Yt пространств типа K(ZP, m).
Зафиксируем и < М A-модуль Я*(У,) до размерности (N i + 1) + л и А-мо- дуль В( до размерности л одинаковы, только градуировки отличаются на N — i + 1. На самом деле они совпадают и дальше, а именно, H*^Yt ) Д° размерности ~ 2N и Bt до размерности ~ N, но это для нас не будет существенно, так как в недалеком будущем мы устремим Nan к бесконечности.
С другой стороны, отображение X(i) ■* X Ц — 1) само может рассматриваться как расслоение. Его слоем будет пространство Zt — произведение такого же числа К (Zp, m), как и Y{, только с номерами соответственно на единицу меньше. Можно считать, учитывая интересующую нас область размерностей, что Zt = ПУ,- и
~ A-модуль H*(Zf) изоморфен В{ со сдвигом градуировок HaN-i единиц. Далее, Н*(ХЦ)) до размерности N - i + л совпадает со сдвигом размерностей на N - i. с ядром гомоморфизма ВЦ ) ВЦ — 1) при i > 2 и гомоморфизма В^ -*Н*(Х) при i = 1. Наконец, композиция отображений Zt С ХЦ) -► У/ +1 индуцирует гомоморфизм Я*(У,- +1) -*H*(Zi), совпадающий (с точностью до различия в градуировках) с гомоморфизмом В{ -*Bi _ i из резольвенты.
Отметим еще, что все пространства Д^) являются (/V—1)-связными^
Поясним это на примере А"(1). Различие в градуировках Я*(У(1)) и Ker[Si -*Н*(Х)А составляет N— 1 единицу. Но это ядро в размерности 0 тривиально: между элементами Н°(Х) не может быть соотношений. Поэтому [Ker (Si -* ^Я*(^))]о=ОиЯл?-1(Х(1)) =0.
Аналогично, используя, что [Ker(S,- -^ Bi -i)]/ = 0 при / < i, получаем, что XЦ ) является ЦУ- 1)-связным для всех i.
Теперь мы хотим заменить цепочку отображений ХЦ) фильтрацией. Для этого надо превратить зти отображения во вложения.
Построим цилиндры всех отображений ХЦ) -* ХЦ - 1) и приставим их один к другому, как показано на рис. 142. Через X* Цс) обозначим часть полученного
Рис. 142
пространства, лежащую (на рисунке 142) левее X (к). Очевидно, что цепочка вложений ... С Х'(к) С ... С Х\2) С1’(1) С Л"(0)
гомотопически эквивалентна цепочке отображений
...-ХЦс)^ ... ^ Д2) Д1) -* ДО) = ^Nx.
Мы в дальнейшем не будем использовать обозначение Х'(к), а будем писать просто X (к). Это можно сделать, так как все наши построения производятся с точностью до гомотопической эквивалентности.
Для дальнейшего нам будет удобно считать, что в фильтрации имеются и члены вида X (- к) (где к > 0), и ^Х = X(0) = X (-1) =Д-2) =..., т.е. фильтрация бесконечна и вправо и влево. Уместно заметить, что с обозначениями § 20 наша фильтрация не согласована: нумерация перевернута.
Группы и дифференциалы спектральной последовательности. Спектральная последовательность Адамса строится по полученной фильтрации аналогично тому, как спектральная последовательность Лере строилась по фильтрации, рассматривавшейся в § 21. Основное отличие состоит в использовании групп гомотопий вместо групп гомологий. Заметим, что в общем случае группы гомотопий не пригодны к построению спектральной последовательности из-за отсутствия равенства тг^Л, 5) = = Tq^AIBV Но у нас это равенство будет обеспечиваться стабильностью размерностей.
Рассмотрим вложение (A(s), X(s + г)) ■* (X(s + 1 - г), X(s + 1)), где г > 1 и введем группы E8,t, полагая:
Е8’* = Im[^ + ,_,№), Л* + О)-*N+ t-A^ + 1 -r), X(s + 1))J, где t < n - г. Поясним, зачем нам потребовалось вводить такое ограничение на t. Конечно, группа Е8** этим равенством определена для всех г, s и t. Но в ее определении участвует число N, которое мы выбрали произвольно. Насколько группа от него зависит? Пространство X (т) имеет в размерностях от N до N — т + п когомологии, не зависящие otW. Если мы заменим N на большее число М, то пространство Х(ггГ), которым заменится XQn'), будет гомотопически эквивалентно ^M-NX(m^ до размерности М - т + п. Отсюда следует, что Е?*1 при указанных ограничениях на t от Nue зависит.
Устремляя N и п к бесконечности, мы будем в состоянии определить группы E8,t для всехг, s и t инвариантным образом.
Можно дать другое определение, эквивалентное предыдущему. Положим Е8'* = = G8'tID8’t, где.■
G8/ = Im [irjv-i-r-®(-X"(s),-X"(» ^^^v+t-sW), X^s + 1))],
Dsr- * = lin^+f /A(s + 1 - r), A(s))-> irN*t-AX($X X(s + 1))].
Это — определение самого Адамса..
Группа G>,f определена с помощью вложения (X(sT),X(s +г)) -> (X(s),A(s + 1)). Группа D®*1 определена с помощью граничного оператора гомотопической последовательности тройки (A (s + 1 — г), X(s),X(s + 1)).
Эти два определения эквивалентны. В самом деле, нарисуем соответствующую картинку для A(s + 1 - г) DI(s) DI(s + 1) D I(s+ г) (рис. 143). Элементами D8,t являются классы, каждый из которых имеет в качестве представителя абсолютный сфероид размерности N * t - s, лежащий в A(s), но только рассматриваемый как относительный, по модулю X(s + 1) (сфероидЛ).
При этом во всем A(s + 1 — г) он гомотопен нулю, являясь границей относительного сфероида. Представителями элементов группы G8it являются относительные
сфероиды в X ($) modA (s + г ), рассматриваемые как относительные сфероиды в A(s) modA(s + 1) (где A(s + 1) D A(s+r)). Очевидно, что G8/ D D Dr'*. Теперь нам надо профакторизовать Gp* по D^r’ *• Для этого мы должны рассмотреть эти сфероиды как сфероиды в X (s + 1 — г ) modA (s + 1).
Осталось только констатировать, что последняя операция является взятием образа irN+t _s (A(s), X(s + r)) в itN+t_s(X(s + 1 - r),A(s + l)) лри вложении, а эта группа и является Е8/* в пашем первом определении. .
Займемся более подробным рассмотрением групп Е8'*.
Они определены для любого г > 1 и s > О, 7 > О, кроме того, как очевидно из определения, £^'f=0 при t<s. Это утверждение следует из того, что все У($) являются (N— ^-связными. Положим Er = ®s,tE?r't. Член Ег показан на рис. 144. Кстати, на этом рисунке и всюду в дальнейшем мы отказываемся от привычного по спектральным последовательностям расслоения порядка осей: группу Е^,f мы располагаем иа пересечении s-й строки и 7-го столбца. (Это удобно для нас, поскольку, как мы увидим, в спектральной последовательности Адамса все главные события будут происходить в области 0<s <7.)
Проследим за изменением Ег с ростом г. Пока мы не говорим о спектральной последовательности, так как еще не введены дифференциалы dr. Пусть г увеличивается. Воспользуемся первым определением Е, . Тогда, начиная с г = s + 1 (где s и t фиксированы), группа Tr^r-sG^X5 + 1 — г), X(s + 1)) стабилизируется и для всех больших г равна itN+t „gl^X, X (s+ 1)). Сказать что-либо подобное о группе ■RN^t-s^^ ->XKs + г)) нельзя, ибо заранее ничего не известно о паре (X(s), X(s + г)). Поэтому, вообще говоря,. нет оснований ожидать, что группыЕ*’1 стабилизируются, и вопрос о сходимости спектральной последовательности требует специального изучения.
Очевидно, что 1т[ядг+г_,(Х(5), X^s + г)) -► itN+t_S(LNX, X(s + 1))] есть подгруппа группы 1т[тгЛГ+г_^(А’(х), X(s + г + 1)) irN+t_s(.'SNX, X(s + 1))],так как второе отображение есть композиция первого и отображения
^и,№, X(s-n--H^itN+t_AX(s\ X(s + r)).
Рис. 145Рис. 145Поэтому можно ввести предельную группу Е- = ®1е1Е«*, где Е»1 = ПрЕ,’*.
Рис. 145
Рис. 145
Можно осуществить предельный переход г ->°° и исходя из второго определения, по которому Е’** = G,'*ID,’1. А именно, GX'f = dG/’f,
аУ = 1ш[^(_ж(^Ж1^(^
Переходим к определению дифференциалов d,’1 ■. Е,’1 -* Er+r,t+r-t. Необходимо запомнить, что в спектральной последовательности Адамса индексы имеют совсем другой смысл, чем в спектральной последовательности Лере. Дифференциалы d®’* действуют по направлению, близкому к направлению биссектрисы первого квадранта (рис. 145).
Рассмотрим тройку (А($), X(s + г), X(s + 2г)) и тройку (A(s + 1 — г), A(s + l),X(s+r + l)) и граничные гомоморфизмы
d,: itN+t_s(X(s), Д$ + г))^+г-,-1(Х(5 + r), A(s +2r)) и
Э2 : itN+t-s(X(s + 1 -r), X(s + \)-)^-itN+t_,_i(X(s + 1), A(s+ r + 1)).
Рассмотрим диаграмму:
di: itN+1 -,(X(s), Д» +О)* *n+(r+r - i) - О+r) Ws + г), X(s + г + г))
4- /4 g
d2: я^^-ДДи 1 -г),X(s + !))->• 1Гдг+(г+г-т)_(j+r)(A(s + 1), X(s :-r + l)).
Гомоморфизм d8,t по определению есть ограничение нашего гомоморфизма Э2 на E8,t = Im / — подгруппу TN+t _s (X(s + 1 — г), X(s + 1)). Он принимает значения и действует в Е8 *r>**r -1 = lmg.
Очевидно,что dsr+r,t+r -v ° d,’* =0.
И вот наступил подходящий момент для того, чтобы сформулировать основную теорему, часть которой нами уже осмыслена.
Теорема Адамса.
Теорема. Пусть X - клеточное пространство с конечными остовами, р - простое число. Тогда существует спектральная последовательность кЕ,*1 = Е,*1 (X)}, где E8,t = 0, если s < 0 или t < s (в частности, Е^’* = 0 при Т < 0) с дифференциалами d,’1 : E8,t ^Е5,^’**' -1, причем имеют место следующие свойства.
Существует канонический изоморфизм
Е8? a Ext X(H\Xy,Zp).•
Здесь Zp рассматривается как Х-модуль с тривиальным действием А, причем единственной образующей этого модуля приписывается размерность 0.
Существует канонический изоморфизм
Е8'^ = Kerd8-,llmd8-r',-r*v.
При г > s имеем: Im d8 ~r*f ~r +1 = 0, и поэтому E8,t С E8’* (s <r < k); положим E^1 = Hs<r <«,£,’*. Существуют группы B8,t C <-,W. такие, что В8Л СВ1'1-*-1 С... С В°-*~8 =1Г^_$(Х) иЕ8*1 ^B^IB8*1-**1.
Df _s = mBs,t = Km — подгруппа it^X), состоящая из всех элементов, порядок которых конечен и взаимно прост с р.
Доказательство теоремы Адамса содержится в пп. 4—9.
Доказательство утверждений (1) и (2). Группы Е®’1 и дифференциалы d8,t у нас уже определены. Выясним структуру Ех и Е2. По определению Е8’* = = ^N+t-$ (^(s), X(s + 1)). Из построения просгрансгв{А"(^)} следует, что имеет-
X(s + 1) ся расслоение ^(s) * ИКт (здесь Кт — обозначение для пространства
К (Zp, т))■, откуда itq (A- (s ), X(s + 1) ) = nq (П Кт) для всех q. Отсюда следует, что
Ех= ®Е^*= ®itN + t_$<X(.s),X(.s + l^= ®им + 1_,(ПКту s, ts, ts, t
Здесь следует напомнить, что N выбирается таким образом, что N> t — г = t — 1. Отсюда видно, что N зависит от t, равно как и X(s) и X(s + 1), которые опреде-
ляются по N. Но группа itN+t _$ (Х^, X^s + 1)) при достаточно большом N ни от чего не зависит, так что все слагаемые корректно определены.
Рассмотрим группу Е* = ®дЕ\л. Эта группа равна ®t им+1 _$ (ПАт) = ®tZp, где Zp появляется всякий раз, когда t таково, что N + i — s совпадает с какой-либо из размерностей т, которые участвуют в образовании этого прямого произведения.
Следовательно, слагаемые Zp в этой сумме для t ^N находятся во взаимно однозначном соответствии с образующими A-модуля Н *(ПАт) и имеют те же размерности. То есть они находятся во взаимно однозначном соответствии с образующими A-модуля В$ и имеют размерности на N — s единиц больше.
Это означает, что nN+t _, (ПАт) = [НотА (B„ Zp) ] t.
Гомоморфизм В$ -* Zp может перевести каждую образующую A-модуля В, в любой элемент Zp. Элементы же вида >ра, где ф Е X4,q > 0, такой гомоморфизм обязательно переводит в 0. Поэтому HomA(S,, Zp) порожден как векторное пространство над Zp гомоморфизмами Bs "*Zp, которые переводят одну из образующих A-модуля Bs в 1 G Zp, остальные — в ноль. Такой гомоморфизм имеет в градуированном модуле HomA (В,, Zp) ту же степень, что и сама образующая.
Итак, £i,f = [HomA(S,, Zp)]f; ®ГЕ*’( = HomA(S,, Zp) с учетом градуировок.
Рассмотрим гомоморфизм dt, где di,f: £j,f -*£’i + I,f, т-е- [HomA(S,, Zp)]f -*
[HomA(^ + 1,Zp)]f (рис.146).'
Читатель покажет самостоятельно, что гомоморфизм совпадает с гомоморфизмом, индуцированным отображением Bs*i ** Bs. Тогда, как только мы докажем ■утверждение (2) теоремы Адамса, отсюда будет вытекать, что
EV= Ext^4H4X),Zp\
ибо так и были обозначены в начале параграфа гомологии комплекса {HomA(Ss, Zp)}, где { Bs } - резольвента Н *(Х).
Теперь докажем утверждение (2), т.е. что Е,^ = Кег ^’'Дш d*-r,f-r + 1 = = Im [TTjy+f -д (X^s), X(s + r + 1)) "* itN+t -s(X($ -r),X(s + 1))]. Нас интересует Ker dr,r/lm dsr ~r >f ~r t где
jj.r. Е$Л^j + r.r + r-l,
ds-t,t-r+l . gg-r.t-r + l -^ E$ t
По определению оператора d®'1 имеем:
81: itN+t-s№,X^ +г))> HN+t-s-iWs + r),^(s + 2r))
4/ds,t Xg
81 = 1tN*t-s(X($ + I — s),X(s + 1))*• Un +1 _ s-^ (X(s + O.^S +r + 1)),
где d®*1 = d2 limy. Рассмотрим цепочку пространств X(s - r) D X(s + 1 - r) D D X(s) D X(s + 1) P X(s +r) D X(s +r + 1) D X(s +2г).Пустьа e Er*1 = = Im[7T;v+f _,(.¥($), X(s + r)) -* nN+t _s (X(s + 1 -г), X (s + 1))]. Согласно определению, а есть образ при естественном гомоморфизме некоторого элемента е njy+f (^(s), X(s + г)). Сфероид, представляющий этот элемент, изображен на рис. 147. Предположим, что d£,f« = 0. Это означает, что ^Э!(/?)= 0, т.е. граница сфероида /3, как (N + t — s — 1)-мерный сфероид X(s + 1), гомотопна сфероиду, лежащему в X(s + г + 1). Отсюда вытекает, что сам сфероид/? гомотопен, как сфероид по модулю X(s + 1), сфероиду пространства .¥($) по модулю пространства X(s + г + 1). Поэтому элемент а лежит не только в "
EV* = Im[^+,_,№.^(s + r)) -* ^„„(Xfr + l -r),^(s + l))],
но и в меньшей группе
1т[тгуу+,_ ,(X(s),X(s + г + 1)) -> njv+f-jWs + 1 -r),X(s + 1))] СЕ}1.
Так же доказывается, что и наоборот, из принадлежности элемента а к этой подгруппе следует, что d^a = 0, т.е.
Kerd?-' = Im[njv+t_,(^(s),^(s + r + l)) -> irN+t_s(X(s + 1 -r),X(s + 1))].
Гомоморфизм nN+t _s (X(s + 1 - r),X(s + 1)) -*KN*t _s {X{s -r),X(s + 1)) индуцирует гомоморфизм
Ker d5/* = ImlTTjv+^X^sX^s+r + l)) -> irN+t_$(X(s + 1 -r), X(s + 1))] ->
-* Im^+^X^sX^s + l +r)) -* i4V+t_s(X(s-f),X(s + l))] = E^v
Puc. 147Puc. 147Puc. 148Puc. 148
Puc. 147
Puc. 147
Puc. 148
Puc. 148
Покажем, что ядро этого гомоморфизма есть Im d, ~r,t ~r +1. По определению d*~'"’f-r+1, имеем:
d3: irN + t-s+i(X<$ - И, Д«)) —►irAr+f_,(A'(s),ir(s + r)) J-/'d W
d4: я^+#_4+1 (Af(s + I — 2r), X^s +l—f))"*irjv+t-i(x($ + 1 -r^ X(s + 0),
где d = d,-r,t ~r + I = d4 |Imy'. См рис 148.
Если a e Ker d’** C nN+t _s (X(s + 1 - r), X(s + 1)) переходит в нуль при гомоморфизме в irN+t_s(X($ — г), X(s + 1)), то это означает, что относительный сфероид, представленный а (сплошная линия на рис. 148), гомотопен нулю в паре (X(s —r),X(s + 1)). Гомотопия
Фг (DN+t-$, sN^-t-s-i^ ^ (jr($ _ г) ^ + 1)}
представляет собой отображение oN*t-s X I = oNtt-s + 1 -► X(s - г), при котором нижнее основание DN+t~s X 0 переходит в сфероид а. Боковая поверхность sN + t~s XI переходит в X(s + 1); верхнее основание — в точку. Таким образом, имеем (N * t — s + 1)-мерный сфероид X(s - г) mod X(s — г + 1), граница которого получилась из а присоединением некоторой части, содержащейся в X(s + 1). Наконец, нужно учесть, что а принадлежит образу nN+t-s (-XXs)» ^(s + + г + 1)), т.е. сферюид а можно считать лежащим в (Af(s), X(s + г + 1)), а построенный нами сферюид — относительным сферюидомX(s — г) mod X($).
Посмотрим на рже. 148. Мы имеем сфероид у € itN*t-s*\ {X(s — r)» -^(s))» граница которого как относительный сфероид X(s - г + 1) mod X(s +1) совпадает с а, т.е. a=g*d3aGlmdr-r’t ~т +1.
Повторяя это рассуждение в обратном порядке, получим, что и наоборот, из принадлежности а к образу dsT -гл ~r + 1 вытекает, что а переходит в ноль при гомоморфизме Ker d8/1 ^EV*!-
Утверждение (2), а вместе с ним и утверждение (1), доказано.
Отступление: замечание о резольвентах. Для вычисления начального члена спектральной последовательности Адамса Ext^r(Н*(X)> Zp) нужно выбрать свободную резольвенту А-модуля Я* (АЗ
... ~*В3 "*Bi "*Bi -*Н*(Х)-*0.
Затем нужно применить функтор Нот и потом взять гомологии получившегося комплекса. При этом от выбора резольвенты конечный результат не зависит, а потому естественно попытаться подобрать наиболее удобную резольвенту.
Рассмотрим Н*уС) и выберем в этом A-модуле минимальную систему образующих. Построение этой системы будем вести следующим образом. Возьмем систему аддитивных образующих в первой нетривиальной группе НЧ(Х). Затем во вторюй нетржвиальной группе мы пржсоединим к уже выделенным образующим такие аддитивные образующие, которые не получаются из уже выбранных образующих применением операций. И так далее. Получим некоторую минимальную систему образующих этого A-модуля а,, аг, аэ,..., обладающую тем свойством, что ни для какой из образующих ag невозможно разложение вида ag = 5/^t Ф1аь гДе ^i ^ G A, deg ^/ > 0. На выбранные образующие мы натягиваем свободный А-модуль
В^. В ядре гомоморфизма Вх -* Н*(Х) мы выберем образующие так же, как в Н*(Х), и так далее.
Очевидно, что для всех к гомоморфизм HomA(5k, Zp) -*HomA(Bk+1, Zp) тривиален (при любом гомоморфизме Вк -* Zp все элементы вида Е(ф(а^ , где а (*) _ образующие Вк, deg ф< > 0, переходят в нуль; при нашем гомоморфизме Вк + 1 -*Вк все образующие Вк + ] переходят именно в элементы такого вида).
Следовательно, для нашей резольвенты комплекс {Ношд(5к, Zp)} имеет тривиальный дифференциал и
Ext^H4X),ZP) = HomA(Bk,Zp).
Продолжение доказательства. Случай конечных стабильных гомотопических групп.
А. Вводные замечания. Переходим к доказательству утверждений (3) и (4) теоремы Адамса. Положим ."
/^ r = ImUw+fV^(s))^["^-XS"^,
где A"(s) -* X — вложение. Получаем цепочку включений (фильтрацию): ,.4BS* * С С в5"1’*-1 с ... С В°’*-\гдеД0-'"1 = Im[я^+^„^(X(0))->я^+f_^(^(0))] = = tn +1- s ( 2 NX) = atS„ s (X). Фильтрация эта в случае любого X существенно бесконечна.
Нам надо доказать, что Е^ ' = В8* < [в8*хл+х и что C\t_ s = mBs* f = Кт, где К™ С тгт (^) есть подгруппа всех элементов, порядок которых конечен и взаимно прост с р.
Замечания. 1. В члене Е^, а значит и в Е^ , все элементы имеют порядок р, как мы это видим вследствие замечания о выборе резольвенты.
2. При t < s наше утверждение очевидно. Действительно, при t < s имеем:
В8- * = Im[Tjv+f_,(^(s)) -* 7r.v+r j(^)] =
= Im [ffjy+f_,(jf(s)) -* 0] = О,
и Е8^ ' = 0. Равным образом, если s < 0, то снова Е^= 0, и Bs* f = aN+ t„s(X(0)), а ^^^^^[тг^^ХУ^+Г^^^^Я^^я^.Я^Шибо s+1 <0.
Теперь предположим, что все стабильные гомотопические группы пространства X конечны.
Алгебраическая лемма.
Лемма. Пусть М - произвольный А-модуль,
01' 0303
М <В1 -«— вг <— ...
его проективная резольвента,■
последовательность проективных A-модулей, в которой композиция двух идущих подряд отображений тривиальна. Тогда существуют А-гомоморфизмы ipf. Cj-^Bj,
такие, что диаграмма
коммутативна.
Замечания. 1. Ср. с упражнением 1.
. Эта лемма верна и без предположения о проективности В/.
Доказательство леммы. Предположим, что имеются гомоморфизмы ^0: М-*М (тождественный), ^i.^2, ..-.^/-i-Рассмотрим диаграмму:
Здесь гомоморфизм ^t-i'Pi-ilt"" Ct -* Bt-г тривиален, так как St-upt-ilt = = <д/_г7/_1У/. Следовательно, Im^..^ С Ker Щ_\ = Im^#, т.е. гомоморфизм ipt-ilfi- Ct -* Bt-i можно рассматривать как гомоморфизм С/ -* Im^. Так как Л-модуль Q проективен, то существует гомоморфизм Q -* В{, композиция которого с эпиморфизмом В( ** Im 0, совпадает с ^/-i?;. Его мы и принимаем за ф{.
Серровская фильтрация. Наряду с фильтрацией Адамса
... -* Х(^ -> У(1) -* T.NX
мы рассмотрим аналогичную фильтрацию, возникающую при убивании гомотопий по Серру. Пусть m — размерность первой нетривиальной группы когомологий X (т.е. Я * (У; Zp) = 0 при i < /и). Отметим, что m > 0, так как если Я 0 (X; Zp) + О, то X не связно, и я о GO = Z ® ... ® Z, где число слагаемых равно числу связных компонент X, уменьшенному на единицу, а это противоречит предположению о конечности ГОМОТОПИЙ.■
Обозначим через У] пространство
K(Hm(X; Zp),N+m)=K(Zp,N+m) X ... X K(Zp,N*m\.
Отображение ЪМХ -* Yx, индуцирующее изоморфизм групп HN*m^ — \ Z^ (оно определено однозначное точностью до гомотопии) превратим в расслоение.
Через Xi обозначим слой этого расслоения.
Отображение itN+m^NX") -* itN+m (.Yi). очевидно, эпиморфно. Из гомотопической последовательности нашего расслоения следует, что я^+т(-^1) есть ядро этого отображения,откуда порядок я^+т (^1) меньше порядка пы+т (S^).
Дальше мы продолжаем эту же конструкцию и получаем последовательность убивающих пространств и отображений
х2 -> хг -* SNX.
Из конечности гомотопий ZNX (до размерности N + и) следует, что для любого q < п найдется такое s0, что при s > s0 порядок ик+а(Х($У) ие делится иа р.
Полученную последовательность мы назовем серровской фильтрацией.
Наша цель — построить такие отображения fs: .¥($) -► Xs, чтобы диаграмма
Х(1)Х(1)XWXWХ(3)Х(3)
Х(1)
Х(1)
XW
XW
Х(3)
Х(3)
была коммутативна.
Отображение адамсовской фильтрации в серровскую. Рассмотрим пространство У,, возникшее при построении серровской фильтрации. Мы имеем расслоения: ~ ^/+1 ~~ zi*i ~~~
Xf ► Y{ + i и Хц-t >Х(, где Yi + t = ZZt + 1 (в стабильных размерностях).
Второе расслоение индуцирует гомоморфизм Н*(Х1 + 1') -* H*(Zt + 1^ (сохраняющий размерность) и #*(Z/ + 1)-> #*(.¥/) (повышающий размерность на единицу). Последний гомоморфизм — трансгрессия — определен только в стабильных размерностях. Вместе они определяют повышающий размерность на единицу А-гомомор- физм H*^Z'1 + 1') -* H*(Xt) -* H*(Z(), определенный в стабильных размерностях. Обозначим через С/ свободный A-модуль такой, что [С,]ч = НN"1 *q^Zf, Zp) при q < п. Наше отображение /f*(Z/+1) -* H\Zt^ определяет А-гомоморфизм Q + i ** Ct, сохраняющий градуировки. Отображение Ci -* Н*(Х) определяется с помощью отображения HNX -► Yt = ZZ^ Получаем последовательность ,..->С2 -^Ct ^Н\Х).
Ясно, что в этой последовательности композиция двух соседних гомоморфизмов тривиальна. Уже композиция Я*(Х/ + 1) -► ^*(Z/+1) -* H*(Xt) тривиальна. Согласно нашей лемме, существует диаграмма:
Ci-
Отображение ^i: Сх -* Bi определяет естественное отображение gx’ Yx -* Yt, такое, что g, = ^1 (с точностью до градуировки, в стабильных размерностях).
При этом диаграмма
гомотопически коммутативна. Это следует из того, что У1 = К (я, N. + т) и из теорем об отображениях в пространство Эйленберга—Маклейна. Если отображение 2NX в У1 и У1 - расслоения, то слой У(1) первого содержится в слое Xt второго из них,
что определяет отображение Л : У(1) -* Хх. При этом диаграмма
Я*(Х(1)) ^-Я*(^,)
те
Я‘(У1) ^НЧУг)~
коммутативна. Построим отображение g2: У2 ** У2, такое, что g2 = ^2 (с точностью до градуировки в стабильных размерностях) и рассмотрим диаграмму
H4XW) ^ НЧ^)
4Т11
НЧ^ ^ нч^
В этой диаграмме нижний маленький прямоугольник и большой прямоугольник коммутативны; т i — мономорфизм (в стабильных размерностях). Отсюда следует коммутативность верхнего прямоугольника и (из свойств отображений в пространства Эйленберга— Маклейна) гомотопическая коммутативность диаграммы
У2 ► У2
^(2)
^(1) ► Xi
Последнее обстоятельство позволяет определить отображение слоев /2:
Х(2) -»Х2, и диаграмма
^(0 1^(0 1Х(2)
^(0 1
^(0 1
1
Хг
гомотопически коммутативна. Дальнейшее построение производится так же.
Фундаментальная лемма.
Лемма. Для любых s и q < п при достаточно большом М гомоморфизм itN*q^X^s +ЛГ)) ~*irw+q(X(s)) тривиален на р-компонентах.
Из предыдущего построения ясно, что при достаточно большом М гомоморфизм nN*q(X(M)) -*itN+q(£NX') тривиален на p-компонентах. Это ясно из
. диаграммы
^Х(1) <— ... <— xw
■ х 1<... •<хм
и из тривиальности p-компоненты itN+q(X(М)) для достаточно большого М.
Для доказательства леммы осталось заметить, что часть адамсовской фильтрации ... -* X(s + 1) -* X(s) сама является адамсовской фильтрацией для Х($У Поэтому утверждение леммы следует из доказанного выше факта.
Дополнительные замечания. 1°. Группы xm(X(s), X(t)) для всех т, $ и t имеют порядки, равные степеням числа р.
2°. р'-компоненты групп nm (X(s)) для всех т и всех простых р'* р ие зависят от s, и изоморфно отображаются друг иа друга при гомоморфизмах, индуцированных вложениями X(s + г) С X(s).
Оба замечания вытекают из гомотопических последовательностей троек и расслое
ний X(s^ »X(s — 1) и из того, что гомотопические группы пространств Ys являются р-группами..
Вывод из фундаментальной леммы и дополнительных замечаний утверждений
(3) и (4) теоремы Адамса. По определению имеем:
Bs t - hn[*N+t_s(XW) -> ^^„(Е^Х)],
Bs+x-t+1 = 1т[7Гл,+ г_5(Х($+1)) -* ял^-^Х)] = = Кег^ + г-^^Х) -> ^^(S^X.X^+l))],
дМц^х.^ = Im[^+f_,(X(S)) -* ям^_$^мХ, Х($+1))].
Далее,
ЕМ = ImVitN+t-st.X^X^ + M)) -* ^^(S^ATO+l))].
Рассмотрим диаграмму:
»ЦС($*М))»ЦС($*М))р
»
ЦС($*М))
»
ЦС($*М))
n.v+t,s(X(s), X(s*M)) -^* к
Лл'.,-ЛМ)Лл'.,-ЛМ)^5^5ЛЛ7WsXXls* 1))7WsXXls* 1))^10^10Е.6Е.6л "Сл "СоГа(5+1))оГа(5+1))Tt,+ t_,^X,X(s*l))Tt,+ t_,^X,X(s*l))
Лл'.,-ЛМ)
Лл'.,-ЛМ)
^5
^5
Л
Л
7
WsXXls* 1))
7
WsXXls* 1))
^10
^10
Е.6
Е.6
л "С
л "С
о
Га(5+1))
о
Га(5+1))
Tt,+ t_,^X,X(s*l))
Tt,+ t_,^X,X(s*l))
Она коммутативна и три косые строки в ней точны. Пусть а € Е^ , т.е. a G е irN*t-s(^NX, X(s + 1)) и а = $6Ы0), где g G «N+t„ ДХ($), X(s + Л/)). Положим у = ^s (/3), 6 = ^7 (/3) - Элемент /3 имеет порядок ph (первое из дополнительных замечаний), потому это же верно и для 6, и поэтому Si о(5) = 0, а значит, $8 (7) = о, т.е. 7 = Ь(е), е€ nN+t_ s (^(s)). Отсюда а = $6$з(е), т.е. aG В8' * IB5*1’1*1. Так как включение В8* Чв8*1 ’f+1 С Е^ f при всех М очевидно, то в5* */в$*1л+1 = ПМЕм = Е^ '. Мы доказали утверждение (3).
Утверждение (4) прямо следует иэ второго из дополнительных замечаний и фундаментальной леммы. См. рис. 149.■
Дополнительные свойства спектральной последовательности Адамса. Прежде чем приступать к доказательству утверждений (3) и (4) теоремы Адамса в общем случае, мы должны рассмотреть вопрос о поведении згой спектральной последовательности при отображениях.
Предположим, что мы построили спектральные последовательности Адамса для пространств X и X*, и пусть /: X-* X* - некоторое отображение. Оно индуцирует отображение А-модуля Н*{Х’) в А-модуль Н*^Х"). Построение, аналогичное использованному нами при доказательстве последней алгебраической леммы, дает нам "гомоморфизм проективных резольвент”
НЧХ) * 51 ” S2 “— •
нчх') *—
который индуцирует отображение фильтраций:
2NX < -У(1) ” Х(2) <
TNX* * ^'(1) * ^(2) «
Построение аналогично построению отображения адамсовской фильтрации в серров-
А.Т. Фоменко
скую. Это отображение индуцирует, в свою очередь, отображение всех относительных гомотопических групп, которые участвовали в построении спектральной последовательности Адамса. Совокупность этих отображений индуцирует гомоморфизм спектральных последовательностей Адамса, обладающий очевидными свойствами. Этн свойства мы соберем в одной теореме.
Теорема. Отображение /: X -* X* индуцирует гомоморфизм спектральной последовательности Адамса { E$r’ \ d^} пространства X в спектральную последовательность Адамса VeV 'd^'} пространства X*, т.е. набор гомоморфизмов s. t _s, t , s, t
Jr : Er -* Er , такой, что;
Эти гомоморфизмы перестановочны с дифференциалами, т.е. следующая диаграмма коммутативна
Е5;1->*ES; *
d$/4’арЧ
gs*r, г+ г— 1^ 'E.s + r’ f+r— 1
rfS + r, f+r—1
Гомоморфизм fr*x- Er *x-*'Er+x есть отображение гомологий комплекса (Er, dr) в гомологии комплекса (Er, ’d,), индуцированное отображением fr: Er^'Er.
Гомоморфизм"
//-': eV = Ext^'^’W. Zp)-> 'eV = Ех^'(ЯV), Zp)
индуцирован гомоморфизмом f*; H*(X ')~*H*(X').
Сделаем пояснение. Функтор Ext есть контравариантный функтор первого аргумента и ковариантный функтор второго. Отображение Ext д*(^1 > ^ "* Ext д (Мг,/V), индуцированное отображением Мг -► Мх строится так. Берется отображение проективной резольвенты Мг в проективную резольвенту Мх и отображение в противоположную сторону комплексов, составленных из Нот’ов. Индуцированное отображение гомологий этих комплексов — это и есть требуемый гомоморфизм Ext’oe.
Предельное отображение/~Д; Е£Д-*'EV индуцируется отображением я^Х)^я^Х').'
■ Мы не доказываем эту теорему, потому что она очевидна. Заметим только, что ее последнее утверждение, столь же очевидное, как и все остальные, мы не можем считать доказанным, поскольку не доказано еще то утверждение теоремы Адамса, на которое оно опирается. Разумеется, при доказательстве этого утверждения теоремы Адамса мы не будем пользоваться приведенной теоремой: нам потребуется только факт существования отображения адамсовских фильтраций при отображениях пространств.
Важное следствие. Спектральная последовательность Адамса, начиная со второго члена, зависит только от стабильного гомотопического типа пространства X.
Иными словами, если пространства X и X' стабильно гомотопически эквивалентны (т.е. их многократные надстройки гомотопически эквивалентны в обычном смысле), то для всех г > 2, s и t существует изоморфизм Е,-f« 'Е**', перестановочный со всеми дифференциалами; фильтрации в изоморфных группах тг^_^У) и 1г®_з(Х'У одинаковы и присоединенность членов Е„ к стабильным гомотопическим группам тоже одинакова.
Окончание доказательства теоремы Адамса в общем случае. Фундаментальная лемма, которой мы пользовались в случае пространства с конечными стабильными гомотопическими группами, в общем случае бесполезна. Кстати, для общего случая не проходит и наше доказательство этой леммы. Нам бы хотелось, чтобы фундаментальная лемма была доказана в такой формулировке: ’’Гомоморфизм trN + q(X(s + M))-* тг^ + д(Х($)) для достаточно большого М тривиален на р-компо- нентах и на свободных слагаемых”. Но в таком виде она, очевидно, неверна. Если группа 7tw + q(X(s)) имеет слагаемое Z, то такое слагаемое имеет и группа 'nN + q(X(s + М)), а ядро гомоморфизма TtN + q(X(s + М)) -> irN + q(X(s)) конечно, что следует из того, что различие между гомотопиями A^s) и X(s*M) измеряется гомотопиями У$+!, У$+ 2, ... Ys*m* которые являются конечными р-группами.
Роль фундаментальной леммы будет играть у нас следующее предложение.
Обобщенная фундаментальная лемма. Любой элемент a G ^ itn*q^XQs^, который имеет порядок либо °°, либо рк, не принадлежит образу гомоморфизма тгN+q(X(s*MУ)-* itN+q(X(sy) для достаточно большого М.
Заметим, что отсюда следует тривиальность гомоморфизма тгм + ч(Х($ + М)) ^w + q(X(s)) для достаточно большого М нар-компонентах:р-компонента группы ^/v+q^O)) состоит из конечного множества элементов.
Доказательство обобщенной фундаментальной леммы. Не ограничивая общности, можно считать, что s = 0, т.е. X(s)= ZNX. Напомним, что последовательность ... Xs + D^^C5) является адамсовской фильтрацией для ^(s).. Из предположений леммы следует, что элемент а не может бесконечно делиться нар, т.е. найдется такое число г, что а Фрга ни при каком а' € Trjf+q(^NX).
Рассмотрим отображение h: S^-> "LX, определенное следующим образом. Существует известное отображение "LX-* "LX v S^V (см. § 4). Применяя его многократно, мы можем построить отображение S^-* "LX v . .. v SX (pr раз). Этот букет можно отобразить в ^Х, склеив все его листы (рис. 150). Мы получили отображение ^Х-> -* "LX. По-другому можно описать это отображение так. Как известно, У.Х = X #SX. Рассматриваемое нами отображение есть отображение X #SX ■+ X #SX, индуцированное тождественным отображением X -> X и отображением № ->№ степени рг. По этому отображению мы приклеим к Т.Х конус над "LX (рис. 151). Полученное пространство мы обозначим через X1. Очевидным образом определяется отображение У/Х^Х' (рис. 152). Это отображение индуцирует отображение ^N - 1)-кратных
Рис. 150Рис. 150Рис. 151Рис. 151Рис. 152Рис. 152
Рис. 150
Рис. 150
Рис. 151
Рис. 151
Рис. 152
Рис. 152
надстроек Е ^ ’(ЕУ) = ЕNX-*'SN 1X’ и адамсовских фильтраций
SNX<ЛГ(1) ^—Д2) «...
444
E^V't—^(1^—^^—, ,,
(на основании сделанного выше замечания). Имеем диаграмму:
^NX <Х(1)<—Х(2)*—...
444
Е^-‘(А')<— Х'(1)-— Х\2)
Доказываемое утверждение вытекает из нашей старой фундаментальной леммы и следующих двух предложений:
Стабильные гомотопические группы X1 конечны.
Элемент а не принадлежит ядру гомоморфизма
^„^Х^^^-'Х').
Доказательство утверждения (1). Напишем гомотопическую последовательность пары (Е^-1 А", Е^Х):
^+г+ !<-, -А яЛ + А^Х)-* я^+r(E^-Ч')-* я^+r(-, -)^N+r-1(2NX\
В стабильных размерностях, которые мы и рассматриваем, имеем:
irN + r+^N-iXV^X)-
^.^^^^"А^я^+ЛЕ^АО^^^
и отображение 3: яЛГ+г+1(—,— ) = TtN+r(^N X)^>”nN+A^N X) есть умножение нарг. Ядро и коядро этого гомоморфизма поэтому конечны, и, следовательно, группы nN + /Е^-1 X') конечны.
Доказательство утверждения (2). Из этой же точной последовательности имеем, что ядро гомоморфизма irN+q(SNX^-»irN*q(.^N1 X1) состоит из элементов, делящихся на рг, т.е. а в него не входит. Осталось заметить, что в силу старой фундаментальной леммы образ элемента а — ненулевой элемент, порядок которого есть степень числа р, — не принадлежит образу группы TtN+q(X' (Л/)) при достаточно большом М, а отсюда следует, что а не принадлежит образу группы TtN^q(XWY
Обобщенная фундаментальная лемма доказана.
Доказательство утверждений (3) и (4) теоремы Адамса. Для доказательства равенств
В^/В^ *•'♦1 = Im^.,_.№)) - kNm-№nX, X(s + 1)]-
и
Е^ = П Imfr^-t^XA^s-i-Af))^^,-,^^^ Д$+ 1))]
рассмотрим уже знакомую нам диаграмму: d
n,<t.,№X(»4))Se an,<t.,№X(»4))Se aГ^.ДХ^.Х^М»Г^.ДХ^.Х^М»W,-1W*+1))W,-1W*+1))K^t_s.xVXks+M^K^t_s.xVXks+M^
n,<t.,№X(»4))
Se a
n,<t.,№X(»4))
Se a
Г^.ДХ^.Х^М»
Г^.ДХ^.Х^М»
W,-1W*+1))
W,-1W*+1))
K^t_s.xVXks+M^
K^t_s.xVXks+M^
Она коммутативна и косые строки в ней — точны. Предположим, что элемент aS itN+t_s(^N X, X(s + 1)) не принадлежит образу гомоморфизма £6$з: itN*t-s(X(.s)i)->"nN+t_s(T,NX, X(s + 1)). Мы должны показать, что для достаточно большого М этот элемент не принадлежит образу и гомоморфизма £6 ^5.
Положим 0 = £9а G nN+t_s_ i(X(s + 1)). Элемент 0 имеет конечный порядок, равный степени числа р. Это следует из того, что этот факт верен для а, как и для всех элементов группы лм+ t_s(EN X, X(s + 1)). Поэтому или 0 = 0, или 0не принадлежит образу гомоморфизма £10 для достаточно большого М. Если 0 = 0, и а=$бЫ6),тоа = $6(7),где7 = Ы6), 7^ 7TN + t_s(X(f), X(s + 1)).Но£8(7) = $9(«) = = 0 = 0, отсюда 7 = ^з(е), где eGnjv+f_s(-X($)), иа = ^6^(е), что противоречит предположению. Если 0¥=О, то 0^1т£юДля достаточно большого М. Но если бы a равнялось ^6$5 8, где 8 ^’Пм*1-$(Х($), X(s + М)), то 0 равнялось бы ^ю^тЗ. Мы снова пришли к противоречию.
Итак, доказано утверждение (3). Утверждение (4) прямо вытекает из обобщенной фундаментальной леммы. '
Теорема Адамса полностью доказана.
МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ СТРУКТУРЫ
Мультипликативная структура в спектральной последовательности Лере возникла из когомологического умножения, и это было естественно, так как все входившие в эту спектральную последовательность группы были группами когомологий и их подгруппами. Группы, составляющие спектральную последовательность Адамса, - это гомотопические группы и их подгруппы.
В них никакой мультипликативной структуры нет. Есть, конечно, умножение Уайтхеда, но оно здесь для нас бесполезно, так как область его применимости — нестабильные гомотопии. Поэтому в спектральной последовательности Адамса нет мультипликативной структуры, во всяком случае, настолько же хорошей, как в спектральной последовательности Лере. Но все же в некоторых предположениях удается построить аналог мультипликативной структуры, который превращает спектральную последовательность Адамса в последовательность колец в единственном случае — когда X есть сфера. Но этот случай весьма интересен.
С него мы и начнем. Представим себе, что обещанная кольцевая структура в членах спектральной последовательности Адамса уже есть. Тогда кольцом должна быть
и сумма ®q nq(S ). Каково умножение в этом кольце?
Оказывается, эта естественная кольцевая структура может быть описана геометрически.
Композиционное умножение в стабильных гомотопических группах сферы. Пусть а 6 ядг+к^лг), /3 G Ядг + / (S^) (где к, I < N). Тогда элемент /3 можно считать лежащим в группе irN+k + i (SN+k). Сфероиды /3: $N+k + I -► sN+k и a: SN+k -* SN, представляющие элементы /Зиа, позволяют определить сквозное отображение а0: sN+k+I -* SN, которое, в свою очередь, определяет элемент из группы Ядг+k+z (S^)- Мы обозначим этот элемент через а ° /3 и назовем композицией элементов а и /3. Дадим другое определение композиционного умножения, воспользовавшись тензорным умножением # (см. п. 6 §2). Пусть a G яЛГ+к(5ЛГ), /3 G TtN+i(SN), ипусть а: SN+k -*SN, р: SN+l -* SN — представляющие отображения. Можно определить ао /3, положив (-Q^ao /3 = а # /3: SN+k #SN*‘ -*SN# # SN. Другими словами, первый сомножитель отображается с помощью а, второй — с помощью ^. Этим фактически определено отображение §N*N* к*1 -► SN+N или SN*k*1 -*SN, так как k*l <N.
Предложение 1. Эти два определения эквивалентны.
5У5Уidid" Доказательство. Отображение (-1)^(0 #0) = ((-1)^0) # /3: SN+k # # SN*1 -*SN # SN можно разложить в композицию двух отображений
5У
5У
id
id
* _5*5
idId
*5**Sy
Дополним эту композицию, вставив в середину отображение, меняющее местами два крайних сомножителя. Это отображение сохраняет ориентацию при четном N и меняет ее на противоположную при нечетном N. Чтобы оно было гомотопно тождественному, мы третий сомножитель отображаем в первый не тождественно, а с помощью отображения (-1)^id jy. Итак, наше отображение гомотопно композиции:
Наконец, добавим к этому отображению отображение, меняющее порядок умножения в последнем произведении (с аналогичной предыдущему поправкой в знаке). Получаем композицию:
Итак, имеем отображение sN*k+I # SN -*SN #SN, которое на втором сомножителе тождественно, а на первом есть композиция
^N + k + l J^ SN*k 5 ^ ^SN*k U>* gW
т.е. a о p. Средняя стрелка обозначает перестановку сомножителей. Наше утверждение доказано.
Предложение 2. Композиционное умножение антикоммутативно, г. е. ао 0 = (-l)k,po а.
Доказательство. Очевидно, что элемент а о 0 не зависит от числа N, которое участвует в его определении. Возьмем зто N четным. Тогда а о 0 = а # 0 и 0 о a = 0 # а. Далее, отображение a # ^ и р # а определяют элементы из ^2N+k+i(S2N), отличающиеся на множитель (—l)kl. В самом деле, а # Р есть композиция SN+k # SN+l -*SN+l # SN+k ->SN # SN -*SN # SN. Здесь две крайние стрелки обозначают перестановку сомножителей. Первая перестановка сомножителей меняет или сохраняет ориентацию в зависимости от четности числа (—1) (^^J <.N+r) Вторая перестановка гомотопна тождественному отображению (N четно) и может не приниматься во внимание. Известно, что замена ориентации отображаемой сферы приводит к изменению знака у гомотопического класса сфероида. Это — определение вычитания в гомотопических группах. Поэтому знаки элементов аор и р»а отличаются на (-T)fcZ = (—l)^"1"*) (jV+z) . Предложение доказано.
Предложение 3. Композиционное умножение дистрибутивно".
(0 + у) о a = 0 о a + у о а; ао(0 + у) = ао0 + аоу.
До казательство. Так как антикоммутативность нами уже доказана, то достаточно показать, что верна только какая-нибудь одна из этих формул, например
формула а о (0 + 7) =а» ^ + а» 7. В этой формуле слева стоит класс отображения, схематически изображенного на рис. 153, а справа — класс отображения, изображенного на рис. 154. Но совершенно очевидно, что это — одно и то же отображение. Предложение доказано.
Ассоциативность композиционного умножения очевидна.
Итак, нами введена структура градуированного антикоммутативного ассоциативного кольца в я^ (5°) = ®q nq (S°).
Замечание. Композиционное умножение можно, конечно, определить и в нестабильной ситуации: композиция элементов aG я; (Sm) и 0G ят (S") есть элемент
Рис. 153Рис. 153Рис. 154Рис. 154
Рис. 153
Рис. 153
Рис. 154
Рис. 154
a о у G я, (5”). Однако свойства нестабильного композиционного умножения оставляют желать лучшего. Прежде всего, разрушается коммутативность: композиция 0оа вышеуказанных элементов вообще не определена (разве что I = m = и). Неожиданным образом, для нестабильного композиционного умножения не выполняется ’’левый закон дистрибутивности” (^ + 7)0 а = ^« a + у» а. Простейший пример: пусть aG я3(52) - класс хопфовского отображения h: S3 -*S2 (см.п.2 § 10) и 21 G я3 (S3) — класс отображения S3 -* S3 степени 2. Из левого закона дистрибутивности следовало бы, что (21) о a = 2a, но в действительности (21) » a = 4a.
Упражнение 1. Докажите это, пользуясь инвариантом Хопфа — см.п.4 §16 и упражнение 34 к п. 6 § 17.■
Разнообразную информацию о левом законе дистрибутивности композиционного умножения и его связях с инвариантом Хопфа и его обобщениями см. в ’Теории гомотопий клеточных пространств” М.М. Постникова.
Алгебраическое отступление: алгебры Хопфа. Градуированная алгебра А = ® Ат с единицей над полем называется алгеброй Хопфа, если:
Ат = 0 для отрицательных т и Л° совпадает с самим полем к.
Определено ’’диагональное отображение” или ’’коумножение” Д: А
А ®кА, которое является гомоморфизмом алгебр. Здесь А ®к А — алгебра: (а'е^У^а" ®9"У= (-l)deg 9'deg “'Va'''® ^".
Для любого элемента a G А положительной степени d Д(а) = а ® 1 + ... ... + (-l)dl ® а, где ... обозначает сумму тензорных произведений положительных степеней.
Операция Д "коассоциативна”, что означает коммутативность диаграммы А
А ® АА ® А
А® А® АА® А® АА ® А ® АА ® А ® А
А® А® А
А® А® А
А ® А ® А
А ® А ® А
Замечательным свойством определения алгебры Хопфа является его симметричность по отношению к умножению д: А ® А -* А (а ® b -* ай) и коумножеиию Д: А'-» -* А ®А. Именно, имеет место следующий факт.
Упражнение 2. Если А - алгебра Хопфа, то пространство А* = Ношк (.А, К.) также есть алгебра Хопфа по отношению к умножению Д*: (А ® Л)* =А*®А*^А* и коумножеиию ц*: А* -*А*®А*. (Наличие единицы, ассоциативность,аксиомы (2), (3), (4) для А * вытекают из аксиомы (3), аксиомы (4), аксиомы (2), наличия единицы и ассоциативности для А.)
Подробности об алгебрах Хопфа см. в статье Milnor J., Moore J. On the structure of Hopf algebra //Ann.Math.- 1965. - V. 81, № 2. - P. 211-264.
Пример алгебры Хопфа: когомологии (или гомологии) Я-пространства X с коэффициентами в поле (умножение и коумножение индуцируются диагональным отображением Х-*XX X и умножением XX Х-* X).
Алгебра Стинрода как алгебра Хопфа. Другой, важный для нас сейчас пример алгебры Хопфа — алгебра Стинрода: коумножение определяется формулой
Д(0) = 0®1-1®0, Д(Рр) = ^,M-tPp®P^.
(если р = 2, то Д Sq'= 2s+r=, Sq$ ® Sqf).
Заметим, что если А — алгебра Хопфа, В и С — два A-модуля, то их тензорное произведение как векторное пространство над К также является Л-модулем. Это тензорное произведение является, очевидно, А ®к Л-модулем. Наличие же гомоморфизма А -*А ®к А позволяет превратить его в Л-модуль.
Важное замечание. В случае, если Л = А - алгебра Стинрода, то эта конструкция согласована с формулой Кюннета: если X и У — любые пространства, то Н*(Х # У; Zp) =Н*(Х; Zp) ®Я*(У; Zp). Таким образом, Я *(X# У; Zp) является A-модулем по двум причинам: во-первых, когомологии любого пространства являются А-модулем; во-вторых, структура А-модуля может быть введена с помощью общей конструкции, так как А — алгебра Хопфа. Формула Картана показывает, что эти структуры одинаковы.
Упражнение 3. Если В и С - свободные А-модули, то В ®к С - также свободный А-модуль.
Мы ограничимся для простоты случаем р = 2. Случай р > 2 читатель сможет разобрать самостоятельно: он отличается от случая р = 2 только наличием в ряде мест множителя (— 1) " .-
Для любых А-модулей М*, Мн, N* hNm можно определить умножение
Ext* ' (O’N, Ext а ’f {М", N") ^ Ext V$ ’ ‘ *t*\Mi®z.iM,,;N,®z.1N,,y следующим образом. Берем две любые свободные резольвенты:
a.' at ■ а!•
М* *— Bi « Вг*— •■
.!••■ .if •■
м" *-- вГ *—- в" +-1- ...
Рассмотрим следующую свободную резольвенту А-модуля М* ®z М": а,а.а.
М'®гч Мп * В1Х®В^ * В\® Вх * В^® в" *
Вз ® В” + В2 ®В2 + Вх »В2.
(все тензорные произведения — над Z2), где гомоморфизмы Э, определены равенством:
9р+1-1(а,®а")'= дра,аа"+(—1)ра'®д"а"; a'GSp, <х"ев".
Очевидно, определен естественный гомоморфизм
HomA(Sp, N') ® HomA(S " Я")-*НотА(Д; ® Bq’, N* ®N");
который, после перехода к гомологиям комплексов Нот’ов, даст требуемый гомоморфизм Ext’oa.
Упражнение 4. ЕслиМ* = МН =N' ='№ = М* ®za Мп -N1 ®za Nn = Z2 , то описанная процедура определяет кольцевую структуру в ®if fExt А? (Z2 , Z2).
Определение. Группы Ext А f(Z2 , Z2) называются группами гомологий алгебры А и обозначаются через Н $* f( А ).
Таким образом, мы определили кольцо гомологий алгебры Стинрода.
Упражнение 5. Это — ассоциативное и коммутативное кольцо.
Если в предыдущем построении М11 Ф Z2, то мы получаем гомоморфизм
ExtA '’(Z^Zj)® ExtA’ '"(M^Z^Ext^" ^'"(ЛГ"^).
Коротко это можно выразить так: Ext А(Л/, Z2) для любого А-модуля М является Н (А)-модулем. Если М -* N — гомоморфизм А-модулей, то индуцированное отображение
ExtA*(jV, Z2) -* ExtA(Af, ZJ
является Я (А)-гомоморфизмом.
Умножение в спектральной последовательности Адамса.
Теорема (Адамс). Если X = 8° ,то в спектральной последовательности Адамса
можно определить умножение Er ® Er -► Er , обладающее следующими свойствами:
умножение коммутативно и ассоциативно;
умножение Е^* ® Е$г’ * е\ s *t*t совпадает с умножением Hs* f(A) ® ®Hs,t\A?)^-Hs+s ,t+t (А) в гомологиях алгебры Стинрода;
dr(«v) =(dru)v + M(drv);
s, ts, r . s, t
умножение перестановочно с изоморфизмом Er+1 -H(Er ;dr )исмоно-
морфизмом Ek -»• Er \npu s < r < К oo);
умножение в E^ присоединено к композиционному умножению TtSk(S°) ® ® nf (S°) ^nfcS+z(5°).
До к азательство. Мы хотим получить несколько более общее утверждение, чем сформулированное, поэтому мы начнем с рассмотрения двух произвольных
пространств X* и X”. Пусть
Н^Х*; Z2) * В{ * Вг * ... ,
H*(X";Z2) « В^ — В” 4 .
— свободные А-резольвенты A-модулей H\X,;Z1') т Н\Хи;Ъ1у,
^‘х* * X'(l) * ^'(2) <
^“х" < ^"(1) < Х"(2) < .
соответствующие адамсовские фильтрации. Рассмотрим следующую фильтрацию в пространстве S^ X* # ZN Хн = S^ *^ (X* # Хо); Через Х^п) мы обозначим Ui+j = n(X,(i) # Х"(П), имея в виду, что У'(0) = ^'х* и X"(0) = ^“х11. Положим У„ = Х(п)/Х(п + 1); очевидно,
Y„ = V ^(ХХЮТ-И^ # (Х"(ЩХ"и+^. » + / = п
Но пространства X'(i)IX'(i + 1) и X"(f)IX"(J + 1) в стабильных размерностях гомотопически эквивалентны Y*f и Y" — произведениям пространств Эйленберга — Маклейна, используемым при построении адамсовских фильтраций {^'(z)} и {У"(/)}. Поэтому Н*(У„) = ^f+f=nH*(Yf') ® H*Qfj^. Мы видим, что фильтрация
S^' + N\X’ # X")Д1) *- Д2) *- ...
является адамсовской фильтрацией для резольвенты
нчх* # х"-^ *- в; ® в" 4- в» ® в" * в*х ® в; .
Построим спектральные последовательности Адамса для пространств X', X" и X' #Х" по имеющимся резольвентам и фильтрациям. Умножение
Е,’ ''(Х') ® Е’"- t"(X"') - Е? + $"-f' + *"(Х’ # X")
определяется следующим образом. Пусть
а € Е^’ f’(X') =
= 1т[тг , , (y'(s'),X'(s' + r)) я , , ,(T'(s'+l -r),X'(s'+ 1))],
a" e F?;- «Хх'Ч =
= Imk^ + f«_z(J"(s"),X"(s" + r)) ^ n^^^^^V + l-^^V + l))]- Возьмем в irN< +(^'(s'), X'(s + г)) и itNn + t» s»(X"(s''), X"(s" + г)) элементы,
образами которых служат а и /3, т.е. отображения кубов [N ~s и lN в X' и X", при которых сами кубы переходят в Jf'(s') и ХИ(,$Ч, а их границы - вХ'(/ + г) и Ar"(s" + r). Эти отображения можно’’перемножить”, т.е. взять отобра- жепие
jN'+t'-s XIN" + t"-s” = IN' + N"+t' + t"-y-s" ^.ХХХ" -^Х' #Х".
Последнее отображение переведет куб jN +N *< *< s 1 в X'(s') # X"(s”) С C X(s' + s"), а его границу - в №' + r) # ^"(s")] U №') #X\x"*r^ C C X(s' + s" + г) (см. рис. 155).
Поэтому оно является относительным сфероидом пары (X(s‘ + s"), X(s' + s" +r)) и определяет элемент из группы
^'+„-- + f'+^-_r№ + ^ Х^ + гУ). ,,
Образ этого элемента в я^*^»* ,>*,*_,'_,*(X(s' + s" + 1 - г), X(s + s" + 1))
и есть элемент Е3 *3 •f + f (X* #ХЯ), который равен, по определению, произведению выбранных элементов из Е3 • * (X') иЕ3 •* (Xя).
Построенное умножение перестановочно с дифференциалами, совпадает на Е2 с рассматривавшимся умножением
Ext;*(^‘(A");Z2) ® ЕхехЧНЧХ"№) -
Ехгхчнчх') ® нчх"уг^
и в пределе превращается в умножение
Е^ЧХ') ® Е^ЧХ") - Е^ЧХ' # Xя),
присоединенное к умножению
' ^(Х*) ® ^(Хя) - ir^QT # Xя).
Проверку этих утверждений мы оставляем читателю.
Если X1 = Х" = S°, то доказанное утверждение превращается в сформулированную выше теорему Адамса.
Если X* = S0, а Xя = X - произвольно, то наша конструкция снабжает Е**(Х) структурой £,* (5°)-модуля, которая при г = 2 совпадает со структурой Я**(А)- модуля в Extд*(Я*(У); Z2), определенной выше; при г = °° присоединена к структуре я^(5°)-модуля, которой я$(У) обладает для любого X (в том смысле, что элементы стабильных гомотопических групп сферы в естественном смысле являются ’’стабильными гомотопическими операциями”, которые действуют в стабильных гомотопических группах любого X с помощью композиции: операция a G G •nN*K*t^N*k') переводит элемент G я^+к^^X) в композицию sN+k*! -^.
“ SN*k t. ^N)^
ПРИМЕНЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ АДАМСА .
К ВЫЧИСЛЕНИЮ■
СТАБИЛЬНЫХ ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУПП СФЕР
Мы рассмотрим задачу о вычислении стабильных гомотопических групп сфер. Начнем с вычисления члена Е2, т.е. гомологий алгебры Стинрода mod2 с их аддитивной и мультипликативной структурами.
Аддитивная структура члена Е2. Напишем свободную резольвенту
Z2 *• Вх *• В) **...
для A-модуля H*(S°; Z2) = Z2. В качестве первого свободного модуля Вх, входящего в эту резольвенту, может быть взята сама алгебра А. Эпиморфизм А ^ Z2 переводит образующую этой алгебры в единственный нетривиальный элемент Z2, остальные элементы — в ноль. Ядром этого эпиморфизма служит А - идеал алгебры А, составленный из элементов положительных степеней. Следующий шаг состоит в выборе в этом идеале системы A-образующих. Напомним, что мы выбираем минимальную систему образующих, т.е. начинаем с компоненты минимальной размерности (равной в данном случае единице) и выбираем систему образующих в ней. Векторное пространство Ai одномерно и порождается элементом Д] = Sq1. Теперь мы должны рассмотреть А2. Это тоже одномерное пространство. Так как Sq*<Zi = 0, образующая Sq3 этого пространства не выражается через Д] и должна быть взята в качестве следующей образующей. Обозначим ее через д2. Отметим также, что уже проявилась несвободность A-модуля А . Для дальнейшего нам полезно выписывать все соотношения, какие есть в этом А-модуле. В размерности два, очевидно, есть только одно соотношение: Sq*fli = 0. В размерности 3, как нам известно по теореме Серра, алгебра Стинрода имеет две аддитивные образующие: Sq3 и Sq2Sq*. Обе они выражаются через выбранные ранее образующие: Sq3 = Sq’e2, Sq3Sq* = = Sq2ai. Соотношений в этой размерности нет. В размерности 4 стоят две аддитивные образующие: Sq4 н Sq3Sq’. При этом Sq3Sq* = Sq3fli, a Sq4, как нам известно, не выражается через Sq1 и Sq2, и мы должны принять его за новую образующую д3. Очевидно, в этой размерности должны быть два соотношения (точнее, двумерное пространство соотношений), потому что применяя элементы алгебры А к образующим «1 и д2, мы получаем элементы Sq2s2, Sq3ej и Sq2Sq*fli. Кроме того, есть новая образующая д3. Поэтому, если бы соотношений не было, то А4 было бы четырехмерно, а оно — двумерно. Поэтому пространство соотношений в этой размерности двумерно. В качестве базиса можно взять соотношения, выражающие Sq2a2 и Sq2Sq*fli через Sq3aj. Такие соотношения мы и определяем, пользуясь формулами Адема: Sq2e2 = Sq3^, Sq2Sq1fli = 0.
Дальнейшее вычисление гомологий алгебры Стинрода лучше всего производить при помощи ЭВМ. Мы не пользовались здесь ЭВМ, но все же произвели выбор образующих с полным перечислением соотношений до размерности 12. См. таблицу 1.
Впрочем, сам по себе выбор образующих может быть произведен и без вычислений. Ясно, что таковыми являются Sq2 . Поэтому фактически смысл этой работы состоит именно в перечислении соотношений. Свободный A-модуль 52 имеет столько же образующих, сколько А = Ker [Si ■* Я*(5°; Z2)J, т.е. натянут на образующие ai, а2, а3,. . . размерностей 1,2, 4,8,... Отображение S2 Si = А переводит образующую ак в Sq2 и, где и - образующая Si - Ядро этого эпиморфизма изоморфно A-модулю соотношений между образующими at, а2, Дз, • • • A-модуля А . Аддитивные образующие этого модуля соотношений перечислены в правой колонке таблицы 1.
Таблица 1
Номер клетки
Образующие
Соотношения
1
tt!
-
2
“а
Sq’a, = 0
3
Sq'a,,Sq’a,
-
4
а,, Sq’a,
Sq’a, = Sq’a,, Sq’Sq’a, =0
5
Sq'a,, Sq4a,
Sq’Sq’a, =0, Sq’a, = 0,
Sq’Sq’a, = Sq'a,+Sq4a,
6
Sq’a,, Sq4a, , Sq’a,
Sq’Sq’a, = 0, Sq’a, = Sq’Sq’a,
7
Sq’a,, Sq’a,
Sq’Sq’a,, Sq’a,
Sq’Sq’a, = 0, Sq’a, = Sq’Sq’a, , Sq’Sq’a, = Sq’a,
8
a4, Sq’a,,Sq’a,,Sq’Sq’a,
Sq’Sq’a, = 0, Sq’Sq’Sq'a, = 0, Sq’Sq’a, = Sq’Sq’a,, Sq’a, = Sq’Sq’a,, Sq’Sq’a, = 0, Sq’a, = Sq’a, + + Sq6 a,
9
Sq‘a4,Sq’a,,Sq’a, ,
Sq’Sq’a,, Sq’Sq’a,
Sq7 Sq’a, = 0, Sq’Sq’Sq’a, = 0, Sq’Sq’a, = 0, Sq’a, = = Sq’a,, Sq’Sq’Sq'a, + Sq’Sq'a, + Sq’Sq’a, =0, Sq’Sq'a, = Sq'a4 + Sq’a, + Sq’a,
10
Sq’a,,Sq’a,,Sq’Sq’a,, Sq’Sq’a,, Sq’Sq’a,, Sq’Sq’a,
Sq’Sq’a, = 0, Sq’Sq’Sq'a, = 0, Sq’Sq’a, = Sq’Sq’a,, Sq’Sq’a, =Sq’a,, Sq’Sq’Sq’a, =Sq’Sq’a, +Sq’a,, Sq’a, =Sq’Sq’a,, Sq’a4 + Sq’Sq’a, + Sq’a, +
+ Sq’Sq’a, = 0
11
Sq'“a,,Sq’a,,Sq*Sq’a,, Sq’Sq’a,, Sq’a,
Sq’Sq’a, = 0, Sq’Sq’Sq’a, = 0, Sq’Sq’Sq’a, = 0, Sq’Sq’a, =0, Sq’Sq’a, = Sq’Sq’a,, Sq’Sq’Sq’a, + + Sq’a, + Sq’Sq’a, + Sq’Sq’a, = 0, Sq’a, + Sq’Sq’a, + + Sq’Sq’a, =0, Sq’Sq’a, =Sq’a,+ Sq’a4, Sq’Sq’a4 = =Sq’“a,, Sq’Sq’Sq’a, +Sq’’a, +Sq’Sq’a, =0, Sq’a, = 0
12
Sq1 ‘a,, Sq'°a, Sq’Sq’a,, Sq’Sq’a,, Sq’ Sq* a,, Sq’a,, Sq4a,
Sq‘°Sq’a, =0, Sq’Sq’Sq’a, = 0, Sq’Sq’Sq’a, =0, Sq’Sq’a, = 0, Sq’Sq’a, = Sq’Sq’a, , Sq’Sq’Sq’a, = = Sq’Sq’a,, Sq’Sq’Sq’a, = Sq’Sq’a, + Sq’Sq’a,, Sq’Sq’a, = Sq’Sq’a, , Sq’Sq’a, = Sq”a, + Sq’Sq’a, + + Sq1"a, +Sq’Sq’a, +Sq’Sq’a,, Sq’Sq’Sq’a, + + Sq* ’ a, + Sq’ Sq’ a, = 0, Sq’ Sq' a4 = Sq" a,
Поэтому наша следующая задача состоит в выборе минимальной системы А-обра- эующих в этом модуле соотношений.
Первый нетривиальный элемент в этом модуле имеет размерность 2. Это соотношение Sq1^! = 0. Обозначим это соотношение (или этот элемент ядра гомоморфизма Вх H*(S°; Z2)) через bx. В размерности 3 соотношений нет. А чему же равно Sq1 bx Ч Применяя к соотношению Sq1^! = 0 операцию Sq1, приходим к тождественному соотношению 0=0 (элемент Sq*Sq1 равен нулю в А). Соотношение 0 = 0- это нулевой элемент в модуле соотношений. Поэтому Sq’ii = 0. Далее, в размерности 4 стоят два соотношения. Одно из них — это Sq26i, другое, очевидно, через Ьх не выражается. Это ясно, во-первых, потому, что кроме Sq2 нет операций, повышающих размерность на 2, а во-вторых потому, что в это соотношение входит д2, и оно никак не может получиться из Ьх, в которое д2 не входит. Итак, в размерности 4 нашего A-модуля стоит элемент Sq26i и новая образующая 62- Д° размерности 12 этот A-модуль имеет шесть образующих. Они перечислены в таблице 2.
Таблица 2
Номер клетки
Образующие
Соотношения
2
0.
-
3
-
Sq1/?, =0
4
^,Sq2/?,
-
5
^.Sq’Uj.Sq1^
Sq2Sq4 =0
6
Sq4/?,, Sq1/?,
Sq302 =Sq4^ + Sq1/?3, Sq’Sq1^ =0
7
Sq’/?,,Sq2/?,, Sq’Sq*/?,
Sq4Sq‘^1 =0, Sq3/?, = Sq5/?,
8
/?4,Sq‘/?,,Sq4Sq2/?,,Sq4/?,, Sq’Sq1/?,, Sq’^s
Sq’Sq1 ^, =0, Sq’Sq1/?, = Sq’Sq1/?, +Sq6/?,
9
^.Sq’^.Sq'Sq’^.Sq3^,
Sq4/?, , Sq1/?4
Sq’Sq1/?, =0, Sq’Sq’Sq1/?, = 0, Sq’/?2 = Sq4Sq’/?,, Sq7/?, = Sq’Sq1/?,
10
^.Sq’^.Sq’Sq’^.Sq6^,, Sq5/?3,Sq2/?4, Sq’Sq2/?,
Sq’Sq1/?, =0, Sq’Sq’0, =0, Sq’Sq1/?, = 0, Sq‘^s = = Sq5^3 + Sq’Sq1/?, + Sq’/?,, Sq’Sq1/?, + Sq4Sq2/?, + + Sq’Sq2/?, =0
11
Sq’0,, Sq’Sq20,, Sq6Sq’0,, Sq7/?,, Sq6 Sq1 /?,, Sq4Sq2 Sq1/?
Sq4Sq2/?,, Sq2 Sq’/?4 ,Sq3/?„ , Sq4
Sq’Sq1/?, = 0, Sq‘Sq2Sq‘^1 =0, Sq’Sq2/?, = Sq’0, +
+ Sq’Sq2^,, Sq^3 +Sq4 Sq’Sq* ^ +Sq7^2 + Sq’Sq1/?4 =
= 0, Sq’Sq1 /?3 = Sq9/?,
12
Sq*/?2, Sq7Sql/?, , Sq’/?5,
Sq‘Sq2^2,‘
Sq5 Sq’Sq'^.Sq7/?,,
Sq5Sq2/?3 , Sq4/?4 , Sq* ”/?,,
Sq’Sq2/?,, Sq’Sq3/?,
Sq’Sq2 Sq1/?, = Sq4 Sq2 Sq’ /?, + Sq10/?, +Sq’Sq2^, Sq’Sq1/?, = Sq’Sq2/?, + Sq’Sq3/?,, Sq’Sq1/?, = 0, Sq’Sq1/?, = Sq7^, + Sq5 Sq2 Sq1 /?, , Sq2 Sq1 /?, = Sq10/?,, Sq7 Sq2 Sq1 /?, = 0, Sq6 Sq3 Sq1 /?, = 0, Sq7 /?, + Sq’ Sq2 Sq1 /?, + Sq4/?4 + Sq’0, + Sq30s + Sq206 = 0
Далее, свободный A-модуль 53 натянут на образующие 01,02, ■ • •, которые соответствуют выбранным образующим в Кег(Д2 ■*Si) - Размерности элементов 01,02, 03,04,0$, 06 равны соответственно 2,4,5,8,9,10.
Гомоморфизм S3 -*Вг действует так:
01 •* Sq*a,,
02 ■* Sq2a3 + Sq3a,,
03 •* Sq2Sq*a2 + Sq‘a3 + Sq4oti,
04 •* Sq4a3 + Sq7»! + Sq6a2,,
05 •* Sq4Sq*a3 + Sq*O4 + Sq8«i + Sq7a2,
06 •* Sq2«4 + Sq4Sq2a3 + Sq8a2 + Sq7Sq2a1,
Ядро этого гомоморфизма — это A-модуль, изоморфный A-модулю соотношений в A-модуле соотношений в А. Аддитивные образующие этого модуля перечислены в правой колонке таблицы 3. Выбираем минимальную систему образующих в этом модуле. До размерности 12 эта система имеет пять образующих (перечислены в таблице 3) в размерностях 3, 6, 10, 11, 12. Образующие свободного A-модуля 54 находятся с ними во взаимно однозначном соответствии. Обозначим их ^ , у2, у3, • • • Гомоморфизм Д4 -*В3 действует так:
71 ^ Sq*0i,
72 "* Sq202 + Sq*03 + Sq40!,_
7з ■* Sq*05 + Sqs03 + Sq80i + Sq4Sq*03,
74 •* Sq603 + (Sq4Sq2Sq* + Sq7)02 + Sq2Sq104,
7s - Sq206 + Sq30$ + Sq404 + Sq703 + (Sq8 + Sq5 Sq2 Sq1 )02,
Таблица 3
Номер клеткиНомер клеткиОбразующиеОбразующиеСоотношенияСоотношения
Номер клетки
Номер клетки
Образующие
Образующие
Соотношения
Соотношения
5678910111256789101112Sq37i7,, Sq’l!Sq47i,Sq*72Sq$7i,Sq272Sq* 7i, Sq4 Sq2 7,, Sq3 7», Sq2 Sq* 7, 73, Sq77i, Sq5 Sq27,, Sq47, , Sq3Sq* 7, 74. Sq37i, Sq*Sq27i, Sqs72, Sq* 7,7S, Sq’7i, Sq7Sq37,, Sq‘Sq37l, Sq*73, Sq4Sq27,, Sq273, Sq' 74Sq37i7,, Sq’l!Sq47i,Sq*72Sq$7i,Sq272Sq* 7i, Sq4 Sq2 7,, Sq3 7», Sq2 Sq* 7, 73, Sq77i, Sq5 Sq27,, Sq47, , Sq3Sq* 7, 74. Sq37i, Sq*Sq27i, Sqs72, Sq* 7,7S, Sq’7i, Sq7Sq37,, Sq‘Sq37l, Sq*73, Sq4Sq27,, Sq273, Sq' 74Sq* 7i =0Sq2Sq*7i =0Sq3Sq*7i -0Sq4Sq*7i =0SqsSq,71 = 0Sq*Sq‘7, =0, Sq4Sq3Sq*7l =0Sq7Sq*7, = 0, SqsSq2Sq'7, = 0, Sq4Sq'7i +Sq572 + Sq*7, +Sq*73 =0Sq’Sq‘7, =0,SqsSq‘73 =Sq97,,Sq‘Sq’Sq‘71 =0Sq* 7i =0Sq2Sq*7i =0Sq3Sq*7i -0Sq4Sq*7i =0SqsSq,71 = 0Sq*Sq‘7, =0, Sq4Sq3Sq*7l =0Sq7Sq*7, = 0, SqsSq2Sq'7, = 0, Sq4Sq'7i +Sq572 + Sq*7, +Sq*73 =0Sq’Sq‘7, =0,SqsSq‘73 =Sq97,,Sq‘Sq’Sq‘71 =0
5
6
7
8
9
10
11
12
5
6
7
8
9
10
11
12
Sq37i
7,, Sq’l!
Sq47i,Sq*72
Sq$7i,Sq272
Sq* 7i, Sq4 Sq2 7,, Sq3 7», Sq2 Sq* 7, 73, Sq77i, Sq5 Sq27,, Sq47, , Sq3Sq* 7, 74. Sq37i, Sq*Sq27i, Sqs72, Sq* 7,
7S, Sq’7i, Sq7Sq37,, Sq‘Sq37l, Sq*73, Sq4Sq27,, Sq273, Sq' 74
Sq37i
7,, Sq’l!
Sq47i,Sq*72
Sq$7i,Sq272
Sq* 7i, Sq4 Sq2 7,, Sq3 7», Sq2 Sq* 7, 73, Sq77i, Sq5 Sq27,, Sq47, , Sq3Sq* 7, 74. Sq37i, Sq*Sq27i, Sqs72, Sq* 7,
7S, Sq’7i, Sq7Sq37,, Sq‘Sq37l, Sq*73, Sq4Sq27,, Sq273, Sq' 74
Sq* 7i =0
Sq2Sq*7i =0
Sq3Sq*7i -0
Sq4Sq*7i =0
SqsSq,71 = 0
Sq*Sq‘7, =0, Sq4Sq3Sq*7l =0
Sq7Sq*7, = 0, SqsSq2Sq'7, = 0, Sq4Sq'7i +Sq572 + Sq*7, +Sq*73 =0
Sq’Sq‘7, =0,SqsSq‘73 =Sq97,,
Sq‘Sq’Sq‘71 =0
Sq* 7i =0
Sq2Sq*7i =0
Sq3Sq*7i -0
Sq4Sq*7i =0
SqsSq,71 = 0
Sq*Sq‘7, =0, Sq4Sq3Sq*7l =0
Sq7Sq*7, = 0, SqsSq2Sq'7, = 0, Sq4Sq'7i +Sq572 + Sq*7, +Sq*73 =0
Sq’Sq‘7, =0,SqsSq‘73 =Sq97,,
Sq‘Sq’Sq‘71 =0
Таблица 4
Номер
'Образующие
Соотношения
4
S.
-■
5
-
Sq’S, - 0
6
Sq2S,
-
7
Sq»6, '
Sq’Sq’S, =0
8
Sq4S,
Sq’Sq’6, = 0
9
Sqs6,
Sq4Sq*6, =0
10
Sq‘6,,Sq4Sq26,
Sq’Sq’6, =0
11
6,,Sq76,,Sq’Sq’S,
Sq‘Sq*6, = 0, Sq4Sq2Sq*6, =0
12
Sq16 j, Sq’6,, Sq6 Sq26,
Sq’Sq’S, =0, SqsSq2Sq*6, =0
Аналогично определяем, что свободный А-модуль55 имеет до размерности 12 две образующие 61,62 в размерностях 4 и 11, и гомоморфизм 5$ -*S4 действует так:
61 •* Sq*7i,
62 (Sq4Sq* +Sqs)y2 + Sq87i + Sq*73,
Свободные A-модули S6, S7,..., Si 3 имеют до размерности 12 по одной образующей соответственно в размерностях 5, 612 и при гомоморфизмах Вк иВк_г
каждая из этих образующих переходит в Sq1 от предыдущей.
Как мы видели, Ext^’*(Z2, Z2) = Ношд(Б,_1, Z2), и, таким образом, аддитивные образующие гомологий Я1’* (А) алгебры Стинрода при Г < 12 мы можем полностью перечислить. Иначе говоря, нам известна аддитивная структура второго члена спектральной последовательности Адамса при t <12 (рис. 156).
Теперь уместно сделать следующее общее наблюдение. Очевидно, минимальная размерность соотношения в A-модуле Ker(Sk -*Sk_i) по крайней мере на единицу больше минимальной размерности образующей этого модуля. Отсюда следует, что минимальная размерность образующей модуля Вк больше (по крайней мере на единицу) минимальной размерности образующей модуля Bk_t. Однако в применении к нашей спектральной последовательности это наблюдение не дает ровным счетом ничего. Очевидно и без него, что модуль Вк имеет (к - 1)-мерную образующую и не имеет образующих меньших размерностей. Поэтому мы не можем гарантировать, что сколь угодно высоко не появятся ненулевые элементы даже на диагонали t —s = = 1. Большая информация получается при рассмотрении спектральной последовательности Адамса для первого убивающего пространства S” |„+1 (в серровском смысле) n-мерной сферы. A-модуль его когомологий может быть найден иэ расслоения
S” *K(Z, п). Это - часть модуля Я*(^(2,и); Z2) размерности >п. Нам
известно, что (со сдвигом размерностей) этот A-модуль равен А, профакторизован- ному по левому идеалу, порожденному элементом Sq1. Таким образом, нулевая строка спектральной последовательности Адамса для S”|„+1 такая же, как первая строка спектральной последовательности для 8°, только выкинута образующая ai
и сдвинуты размерности. Легко показать, что и выше спектральные последовательности для 5° и 5”|„ + j будут отличаться только на сдвиг размерностей (на 1 вверх и на л — 1 влево) и на элементы, стоящие в спектральной последовательности для 8° на биссектрисе координатного угла. В частности, в исследованных нами размерностях член Е^ будет выглядеть так, как показано на рис. 157.
Мы оставляем доказательство этой теоремы читателю. Впрочем, ее можно не доказывать, а убедиться в ее справедливости прямым вычислением Ех1д*(А/ {Sq1} , Z2), которое даже проще, чем вычисление Ext^CZj, Z2).
Применим к этой спектральной последовательности наше наблюдение относительно минимальной размерности образующей в модуле Вк. Мы получим, что в спектральной последовательности Адамса для S0 размерность второй по порядку образующей также увеличивается монотонно с ростом к, т.е. число пустых ячеек правее биссектрисы в s-й строке не убывает с ростом $. Учитывая это обстоятельство, мы получаем, что при t — s < 7 во втором члене нашей спектральной последовательности элементов нет. Это дает нам возможность высказать некоторое утверждение о порядках 2-компонент стабильных гомотопических групп сферы, В самом деле, из соображений размерности видно, что в рассматриваемой области может быть два нетривиальных дифференциала: во-первых, а2 может уничтожиться любым дифференциалом, во-вторых, /36 может перейти в 62 при дифференциале J2. Первого, во всяком случае, не происходит, так как если бы а2 уничтожилось, то 2-компонента тг„+1(5”) равнялась бы нулю, в то время, как мы знаем, что тгл+1(5”) = Z2. Вопрос о том, чему равно d2j36, мы отложим до выяснения мультипликативной структуры. Но
уже сейчас ясно, что порядки 2-компонент групп m„+fc(iS”) при к = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 равны соответственно 2,2,8, 1,1,2,8 или 16.
Мультипликативная структура . Ясно, что из резольвенты Z2 *~Bt *-Bi ^. .. можно получить резольвенту любого модуля Ker(5t -»Bfc_1), оборвав ее в соответствующем месте. Поэтому и Ext^’f(Ker(Bfc -* Bk_xV Z2) = Ext^+k,f(Z2, Z2) и действие Hs,t (А) на обоих Ext’ax одинаково.
Предположим, что мы хотим составить "таблицу умножения” на некоторьш элемент, например на at G А = Ker(Bt -*Z2). Рассмотрим А-гомоморфизм A -*Z2, переводящий ах в образующую. Этот гомоморфизм понижает степени на 1. Легко понять, что определенный им гомоморфизм Ext^*(Z2, Z2) в Ех1д*(А, Z2), наоборот, повышает степени на 1. Таким образом, имеем гомоморфизм Ех1д f(Z2,Z2) -* -> Ех1д’,+ 1(А, Z2) = Ех1д+1, ,+ 1(Z2, Z2). При этом гомоморфизме элемент 1 перейдет в элемент Qi и любой элемент £ — в элемент £ai.
Чтобы определить интересующий нас гомоморфизм Ext’oB, мы должны построить соответствующее отображение резольвент, т.е. коммутативную диаграмму:
3. Э, 8.
Zi*—Bx ^Bi В3^-
At At At At
~ a, a, a. a.
A Bi B3 B4 ..
в которой верхняя строка представляет собой изученную нами резольвенту модуля Z2, нижняя — эту же самую резольвенту, оборванную таким образом, чтобы она была резольвентой модуля А; гомоморфизм fx — отображение, переводящее ах в 1 € Z2. Остальные гомоморфизмы мы должны определить таким образом, чтобы они понижали размерность на единицу каждый и чтобы вся диаграмма была коммутативна. Поскольку Вг,Вз, В4 , . .. — это свободные A-модули, то для задания интересующих нас гомоморфизмов достаточно указать, куда переходят их образующие.
Начнем с Bi - Это — свободный A-модуль с образующими ati, а2, а3, . . . Элемент «1 при гомоморфизме Э2 переходит в а j. Последний переходит в 1 G Z2 при гомоморфизме Л. Поэтому гомоморфизм/2 должен переводить «j в такой элемент Вх, который переходит в 1 € Z2 при гомоморфизме dj. Но Вх есть просто алгебра Стин- рода, и в единицу переходит ее образующая и. Поэтому мы должны положить/2(oti) = = и. Остальные образующие В2, а именно а2, а3, . . . при сквозном гомоморфизме
~ Л
Вг» А > Z2 переходят в 0 G Z2. Поэтому мы можем положить/"2(ак) = 0 при
к > 2. Отметим, что гомоморфизм, который мы строим, определен неоднозначно. В частности, мы могли бы выбрать в качестве образа ак любой элемент соответствующей размерности. Мы строим гомоморфизм наиболее простым образом, заботясь о коммутативности диаграммы.
Итак, f2(ax) = и, f2(ak) = 0 при к > 2. Теперь определим гомоморфизм/3:53 -* д3 /1
-+В2. При сквозном отображении В3*В2*ВХ элемент/^ переходит в элемент Sq1^ Выбираем в В2 любой прообраз этого элемента при гомоморфизме Э2: В2 -► -»Вх. Таковым является, например, о^. Полагаем/3(^i) = Qi. Образующая g2 переходит при сквозном гомоморфизме В3 -*В2 -*ВХ в элемент Sq3« и в этот же элемент переходит Sq1 а2 при гомоморфизме Э2: В2 -*ВХ. Полагаем/Зф2) = Sq*a2.
Продолжая это построение, мы приходим к тому, что гомоморфизмы fk: Вк -*Bk_v в изученной нами области действуют так:
/2: Вг -*Bi
/з: В3 -*Вгfy В4 -*Взfs: В5 -*В4
О, ^и
о2 н-о
01 *-*«171 ^01«1 н>'71
Вг H-Sq1^у2 н-0362 н-7з
0з ^«з7з |"*05 +Sq*04
04 Sq3a3у4 н- Sq204 + Sq105
05«4
06 н. Sq7a2
Осталось рассмотреть индуцированные гомоморфизмы Нот’ов и Ext’oB. Образующие векторного пространства HomA(Bk, Z2) находятся во взаимно однозначном соответствии с образующими A-модуля Вк. Мы их даже обозначали одинаковыми буквами. Ясно, что элемент из HomA(5k_i, Z2), соответствующий некоторой образующей A-модуля Вк_ 1, при гомоморфизме
HomA(Bk_1, Zj ) -* HomA(Sk, Z2)
переходит в ноль, если эта образующая не принадлежит образу гомоморфизма Вк -* -* Bk_v. Если же эта образующая является образом некоторой образующей А-модуля Вк, то переходит в элемент HomA(5k, Z2), соответствующий этой образующей. Отсюда получаем, что известные нам образующие ExtA*(Z2, Z2) преобразуются нашим гомоморфизмом ExtA*(Z2, Z2) -*ExtA*(Z2, Z2) следующим образом:
1 н-а, di *^0i а2 >^0 аз '"*•03 а4 ^05
01 ^71 71 Н18, Вг ^О 72 ^0 03 ^-72 7з ^62 04 t->0 74 ^*0 05 ^73 7s ^-О 06
откуда а,а, = 02, а,а2 = 0,aia3 = 03,0,04 =0s,a101 = 71,0,03 = О,а,0з = 72»a,04 = = O,a,0s = 7з,а,06 = 0,а,у, = 6,,а,у2 =0,a1y3 = 62,a,y4 =0, a^s =0.
Аналогично получаем, что a2a2 = Вг. a2a4 = 06» a,02 = 7г» o206 = 7s» a3a3 = 04» a304 = 7s и остальные произведения известных нам элементов равны нулю.
Обычно для элементов групп гомологий алгебры Стинрода используются стандартные обозначения. А именно, элементы a,, a2, а3, . . . обозначаются соответственно через h<>, ht, Нг , ... С этими обозначениями известная (нам) часть второго члена спектральной последовательности Адамса выглядит так, как показано на рис. 158. Здесь а — новая мультипликативная образующая. Кстати, теперь ясно, что ^2 06 =^201 Аз) = 0, откуда порядок 2-компоненты группы ir„+7(S”) равен 16.
Мы видим, что задача вычисления гомотопических групп сфер разделилась на две части: вычисление гомологий алгебры Стинрода и вычисление дифференциалов спектральной последовательности Адамса. Первая сводится к чисто механической работе, которую, очевидно, можно продолжить как угодно далеко. В книге Адамса "Стабильная гомотопическая теория" (Leet. Notes in Math. — 1966. — V.3) результат такого вычисления приводится для t — s <17. Диаграмма для члена Ег, заимствованная из згой
0 723456783 10 11 12 1514 1516 17 18 19 20 И 2223 24 2526 2728 23
Рис. 158Рис. 158
Рис. 158
Рис. 158
h^=h^hY h^=^hy dhg=ch^(*)- Оба элемента: h^h^ и ^eНетривиальные дифференциалы: h^~hgh^, h0h4'-*"h0e, hght*-*-hge
Puc. 159
книги, показана на рис. 159, Конечно, получение такой диаграммы принципиальных затруднений не встречает, и мы можем рассматривать ее как доказанную. Для составления такой диаграммы нужно исследовать алгебру Стинрода не до размерности 12, как мы это сделали, а до размерности 27. Тогда мы получим, в частности, что Е1®*1 = = 0 при 10 < t < 27 и, следовательно, при 0 < t — s < 17 никаких других элементов, кроме перечисленных, в Ег нет.
Дифференциалы от мультипликативных образующих й0, Ai, Л2, й3> а, b, с, d, е, f, i, / равны нулю по соображениям размерности. Поэтому при t - <<13 имеет место равенство fj’* = Е^1, и мы можем извлечь следующую информацию о гомотопических группах сфер.
Порядки 2-компонент первых тринадцати стабильных групп таковы: 2, 2, 8, 1, 1, 2, 16, 4, 8.2, 8,1,1. Элементы 1, Ао, Ag, Aq, ... являются образующими группы Z2 ® Z2 ® Z2 ® . . . , присоединенной к группе 1Го(5°) ^ Ясно, что фильтрация в группе Z такова: Z D 2Z D 4Z D 8Z D . . . Поэтому элемент А§ является образующей группы 2*Z/2fc+1 Z и представляется элементом 2* G Z с точностью до элементов высшей фильтрации.
Элемент А2 G Е I’4 является образующей факторгруппы я3 (№) по некоторой подгруппе. Выбираем представитель a G я3(£0). Так как произведения Л0А2 и AqA2 отличны от нуля, то композиция элемента а с элементами 2 и 4 € Яо (5°) не тривиальна, т.е. 4а ^ 0(mod2), т.е. а имеет порядок по крайней мере 8. Но 2-компонента Яз(5°) равна Z8 и 2-компонента я7(№) равна Z16. В группе, присоединенной к 7^(5°), две образующие (AjA3 и я). Произведение АоА^з равняется нулю группы El,’11. Поэтому композиция элемента 2 € я^(5°) и представителя элемента AtA3 имеет фильтрацию > 3. Но таких элементов, как видно из нашей спектральной последовательности, в группе я8 (S0) вообще нет. Поэтому 2-компонента этой группы равна Z2 ® Z2. Наконец, Яд^0) имеет 2-компоненту восьмого порядка. Применяя к этой группе то же рассуждение, какое мы использовали для irf(S°), мы получаем, что эта группа не может равняться Z8- Она либо равна Z2 ® Z2 ® Z2, либо равна Z4 ® ® Z2. Во втором случае образующая группы Z4 имеет своим представителем в Е„ элемент А3 = А2А3. Следовательно, сама эта образующая (с точностью до элементов высшей фильтрации, т.е. порядка 2) является композицией а о а о а, где а — образующая я3 (S0). Но эта композиция имеет порядок 2, так как уже композиция ао а имеет порядок 2, будучи элементом группы я^^0), 2-компонента которой есть Z2.
Итак, 2-компоненты групп я„ (5°) при л < 13 нам известны:
Z2, Z2, Z8, 0, 0, Z2, Z । в, Z2 ® Z2, Z2 ® Z2 ® Z2, Z 2, Z8, 0, 0.
Если обозначить образующую я$(5°) через р, то образующей группы я^^0) является т?2. Элемент р3 равен 4а, где а - образующая л^(5°). Группа TrfC-S0) порождается элементом а2. Элементы из iti(S0') в композицию не разлагаются. Образующую этой группы обозначим через 0. Группа я8(№) порождена элементами р/3 и неразложимой образующей 7. Группа я9(5°) порождается элементом а3 = = I?2 /3 и еще двумя образующими, из которых одна заведомо неразложима, а другая, возможно, равна 777. Группа Я10(50) порождается произведением одной из этих образующих на 77, группа я^ j (5°) порождается неразложимым: элементом.
Вся эта информация также содержится в полученном результате о спектральной последовательности.
Нечетные компоненты. В рассматриваемом нами диапазоне размерностей единственная трудность содержится в случае р = 3, в котором требуется рассматривать спектральную последовательность Адамса. Напомним, что первая нетривиальная p-компонента находится в группе я2р_з(5°), вторая — в группе я4р_$(5°) и обе они равны Zp. Поэтому кроме компоненты Zs Ся7(5°) и Z7 Ся?1(5°) других р- компонент дляр > 3 группы л^ (5°) при л < 13 не имеют.
3-компоненты этих групп таковы:
0, 0, Z3,0, 0, 0, Z3, 0, 0, Z3, Z», 0, Z3..
Композиционное умножение в этих группах тривиально по соображениям размерности. Итак:
»„($")-Z,
n>l,
TT„+1(S") = Z2,
n>3,
^«+2(5”)= z2,
и >4,
^„ + 3(5”) = Z24,
и > 5,
7ГИ+4(5”) = О,
и > 6,
7r„+s(S") = 0,
и>7,
^„+6(5") = z2,
и >8,
^+7(5”) = Z240,
и>9.
^n+aG^”) = Z2 ф Z2,
и >10,
^«+9(5”) = Z} ®Z} $Z2,
п> 11,
7r„+io(S") = Ze,
и >12,
^n + l 1(5") = Z504,
и > 13,
7Ги + 12(5")=0,
и > 14,
^n + l з(5") = Z3,
и > 15.
Вычисление 14-й и дальнейших групп гомотопий наталкивается на трудность: соображения размерности не обеспечивают более тривиальность дифференциалов. И действительно, нетривиальный дифференциал появляется при первой же возможности. Оказывается,чтоd2(Й4) = й0йз>^з(й0Й4) =Ло1>^з(ЛоЙ4) = hoi .
Теоремы Адамса о начальном члене его спектральной последовательности. "Нами показано, что гомологическая алгебра может применяться к стабильной гомотопической теории. В этом применении мы имеем дело с A-модулями, где А есть алгебра Стинрода modp. Чтобы получить этим методом конкретные геометрические результаты, мы должны проделать работу двух совершенно различных сортов. В качестве иллюстрации рассмотрим спектральную последовательность
Ех^(НЧ¥; Zp), НЧХ; Zp)), => рА X, У).
Здесь каждая группа Exts,f, входящая в член Е2, может быть эффективно найдена; процедура вычисления — чисто алгебраическая. Однако столь же эффективных методов для вычисления дифференциалов dr спектральной последовательности или для определения характера присоединенности члена Е.» к pir*(X, У) не существует; это — топологические проблемы.
Математический логик может быть удовлетворен этой ситуацией: имеется алгоритм для вычисления Е2, а нахождение отображений dr требует изобретения новых методов. Практический математик, однако, вынужден признать, что имеется не меньше, а больше оснований полагаться на изобретательность математиков, чем на их готовность произвести большое количество скучной механической работы. (Это писалось в до-ЭВМ’ную эпоху. — А.Ф и Д.Ф.) Действительно, всякая возможность установить нетривиальность дифференциала dr воспринимается как интересная задача, которая рано или поздно решается. Однако трудности в вычислении групп Ext дr (L, М) остаются главным препятствием к применению метода”.
Как видно из этого отрывка, заимствованного из предисловия к статье Адамса ”0 периодичности в гомологической алгебре”, ее автор не считает, что наличие алгоритма для вычисления гомологий алгебры Стинрода равнозначно их вычислению.
Адамс посвятил.этому вопросу ряд работ. Приводим наиболее важные его результаты.'
Теорема о трех первых строчках. (Adams J.//Ann. Math. — 1960. — V. 72, № 1. — Р. 20—104; русский перевод: Математика: сб. перев. — Т. 5, № 4. - С. 3-86.)
Группа Ег = ®^ Ег,f аддитивно порождается линейно независимыми элементами ht размерностей 2‘.
Группа EX = ®tEi’t аддитивно порождается линейно независимыми элементами hj ht при ] > i > 0J + i + 1. Произведения hi+l h4 равняются нулю при всех i.
п пМ
Рис. 160
В группе EX = ®tEi’t имеют место соотношения-. h1+2 h, = h^x, h^2 ht = 0. Если вычеркнуть из совокупности произведений hk hj hit где k > j > i > 0, произведения вида hj+l hj hit hkhi+x ht, h{+2 h^, h*+2 hi, то оставшиеся элементы будут линейно незвависимы в Е2. ’
Заметим, что эта теорема не дает полной структуры третьей строки Е2. Там могут быть и элементы, вообще не выражающиеся через h{, и мы уже имеем один такой пример: таковым является элемент a G Е2 ’11.
Теорема о тривиальности. (Adams J. A periodicity theorem in homological algebra//Proc. Camb. Phil. Soc. - 1966. — V. 61.) Имеют место равенства: Е2Л = 0 при s<t< f{s), где
/(4и)= 12и - 1, и >0, /(4и + 1)= 12и + 2, и>0, /(4и + 2) = 12и + 4, п>0, /(4и + 3) = 12и + 6, и>0.
При этом группаЕ2^^ действительно нетривиальна.-
• На рис. 159 мы указали область, в которой по теореме Адамса стоят нули.
Теорема, периодичности. (Там же.) Для каждого к существует окрестность Nk прямой t = 3s, в которой группы Е2*г периодичны с периодом 2k+2 по s и 3 • 2к+2 ио t. Объединение этих окрестностей составляет область s< t<g{s), где g {s') —некоторая функция, про которую известно, что 4s<g{s) C6s.
5. Заключение. Мы приведем один пример спектральной последовательности Адамса, в которой будет очевидна нетривиальность некоторого дифференциала.
Обозначим через X пространство K(Z4, и), где и достаточно велико. Стабильные гомотопические группы этого пространства до размерности * 2и таковы: ^„{Х) = г4,^{X) = 0 при i Ф п. Алгебра Н* {X-, Z2) в размерностях до « 2и изоморфна Н* {К (Z, и); Z2) ® H*(K{Z, п + 1); Z2), т.е. имеет две образующие: аЕ Е Нп (^; Z2), /3 Е Hn+l (X; Z2), причем Sq1 а = Sq1 /3=0. Отсюда видно, что в Е2 спектральной последовательности Адамса для этого пространства есть две полностью занятые нетривиальными группами диагонали (рис. 160). Ясно, что d2@ = айо, так как иначе порядок группы ir„{X) не мог бы равняться четырем.
§ 36. ЧАСТИЧНЫЕ ОПЕРАЦИИ
Излагая спектральную последовательность Адамса, мы обошлись без понятия частичной операции. Даже само название не было нами упомянуто, хотя, возможно, его стоило упомянуть в параграфе ’’Общая идея”. Все же есть все основания считать, что понятие частичной операции составляет основу адамсовского метода.
Построение частиадых операций. Пусть
Z 0,а, = О(*)
1= 1
— соотношение в алгебре Стинрода Ар, где а,-, 0,- — стабильные операции степеней, соответственно, qt, и - qj. При любом N каждая операция а,- определяет, с точностью до гомотопии, отображение
Sf. A(Zp,W)-*A(Zp,7V + <?,),
а все эти операции вместе — отображение
a,: K(Zp,NVnK(Zp,N + qiy
Рассмотрим индуцированное расслоение
'Е►*
ПК(2р,ЛГ+<?,-!)।। nK(Zp^+4/-l)
K(Zp,N)“ nK(Zp)N + qiy
Спектральная последовательность этого расслоения изображена на рис. 161. Мы видим, что элемент S/0/ц,- остается в Е» и определяет, ввиду этого, в группе HN*n-1 (Е; Zp) смежный класс относительно подгруппы Im [Я^”-1 (A(Zp, Я); z^h^"-1^ zp)].
Выберем в этом классе любой элемент и обозначим его через и. Из определения видно, что образ элемента и при гомоморфизме
HN^-VE^pV^*""1 (nK(Zp,N+qi-iyZ.p)
есть Sf 0, uf. Элемент и G HN (К(Zp, N); Zp) также остается в Е» и однозначно определяет элемент в группе HN ^Е> Zp). Последний мы снова обозначим через и.
Рис. 161
Для любого пространства X мы определим (естественный по А") гомоморфизм
П Ker[a,: HN (X-,ZP)-^ HN+qi(X-,ZP)]
HN+n-! (XT)
+ Im ^: HN*qi-1(X\ Zp) •*HN*n"1(X; Zp)]
это и есть вторичная операция.
Пусть £ G HN ^Х\ Zp), и пусть а, (£) = 0 при i = 1, 2,..., m. Рассмотрим отображение £ : X -* K(Zp, N) соответствующее элементу ^. Его композиция с отображением а гомотопически тривиальна, и потому расслоение, индуцированное над X расслоением Е -*K(Zp, N), тривиально (оно совпадает с расслоением, индуцированным расслоением * -* RK(Zp, N + qt) при отображении а ° £ )■ Следовательно, оно допускает сечение:
Е'^Х^ПК 1Хр ,N+qt -1) —Е
х-^кахрм
Композиция этого сечения с верхним горизонтальным отображением представляет собой отображение т?: X -»Е, которое вместе с другими отображениями диаграммы составляет коммутативный треугольник
Очевидно, ц*и = |. Примем за<^(5) ^HN+n~l (X; Zp) элемент т?*и. Этот элемент определен неоднозначно, поскольку неоднозначно определено сечение, с помощью которого строилось отображение т]. •
С точностью до чего определено сечение? Его существование выводилось нами из равенства Е* = XX RK(Zp, N + qt — 1). Само сечение задавалось формулой х •-* (х, *). Любое другое сечение задается формулой х •-> (х, f (х)), где f: X -*RK(Zp,N + q, — 1) — произвольное непрерывное отображение.
Упражнение 1. При такой замене сечения элемент <^(О заменяется элементом I ($) + 5 ” , Д f • (м,), где u, G HN*4"1 (K(Zp,N + q{ - 1); Z^ - фундаментальные классы.
Из этого утверждения следует, что как элемент указанной факторгруппы элемент Ф ({) определен однозначно.
Итак, мы построили стабильную вторичную операцию ф. Она представляет собой совокупность заданных для всех X и N частичных многозначных гомоморфизмов HN (X; Zp)> HN*n~1 (X; Zp). (Частичных потому, что они определены на пересечении ядер операций а,; многозначных потому, что они определены с точностью до образов операций Д.)
Заметим, что операция ф определяется соотношением (*) с точностью до прибавления обычных (примарных) операций (эта неопределенность является проявлением неоднозначной определенности класса и G H^+n~l (Е; Zp) — см. выше).
Упражнение 2. Сформулируйте и докажите свойства вторичных операций, в том числе их стабильность и естественность.
Пример вторичной операции мы уже знаем: ’’второй гомоморфизм Бокштейна” (см. п. 4 § 15). Он строится по соотношению 00 = 0, и, в согласии с общей конструкцией, определен на тех элементах £ G HN (X; Zp),для которых 0(£) = 0, и принимает значения в факторгруппе по образу 0. Напомним его прямое построение. Пусть х — коцикл, представляющий элемент £, х — целочисленная коцепь, проектирующаяся в х. Равенство 0(£) = 0 означает, что существует такая целочисленная коцепь у, что 1 ~ ~ 2 1
— Sx = Sy modp, т.е. 8(х - ру) = 0 modp . Коцикл — 8 (х - ру), приведен- Р
ный по модулю р, и определяет элемент 02 (?) G HN+1 (X', Zp).
Упражнение 3. Что представляют собой пространство Е и когомологический класс и, соответствующие, в силу конструкции этого пункта, соотношению ^ = О?
Аналогично второму гомоморфизму Бокштейна строится ’’третий гомоморфизм Бокштейна” (— 8(х - ру — р2у') j и так далее. Это — примеры третичных и т.д. операций. Третичная операция определяется по соотношению S PuPi = 0, гДе *Pi — вторичные, а 0,- — примарные операции. Читатель, которого все это интересует, может построить теорию n-ичных операций для любого и.
Если при этом не ограничиваться стабильными операциями и брать в качестве области коэффициентов не Zp, а произвольную группу, то частичных операций будет настолько много, что они полностью определяют гомотопический тип пространства. Этой формулировке можно, по размышлении, придать точный смысл, но тогда она сделается тавтологической. Более интересное утверждение в этом роде составляет содержание п. 4 этого параграфа.
Частичные операции и второй дифференциал в спектральной последовательности Адамса. Связь между дифференциалами спектральной последовательности Адамса и частичными операциями мы не будем обсуждать в полном объеме. Ограничимся простым замечанием. Преположим, что в спектральной последовательности Адамса для некоторого пространства X имеются элементы у i 6 Е^’1 ,уг G Е^’1 и z G £2+2’f+1 (рис. 162). Элементы yt и уг — это образующие А-модуля
Рис. 162Рис. 162
Рис. 162
Рис. 162
Н* (2Г (s); Zp). Предположим, что у2 = tp(yi), где ф - вторичная операция, построенная по соотношению S 0,- а,- = 0 в алгебре Стин рода.
В силу определения вторичных операций, a,yi = 0 при всех i. Это - соотношение в A-модуле H*(X(s); Zp). Если применить к соотношению оцу^ = 0 операцию 0/ и все полученные соотношения сложить, то получится соотношение 0 = 0. Таким образом, имеется соотношение в модуле соотношений. Предположим, что это соотношение является одной из образующих A-модуля соотношений в модуле//* (X(s); Zp) и что эта образующая как раз есть z (по размерности это возможно).
Упражнение 4. Докажите, что в спектральной последовательности Адамса </2^2 =2.
Частичные операции и гомотопические группы сфер. Гомологии алгебры Стин- рода связаны с частичными операциями очевидным образом: первая строка — это примарные операции, вторая — соотношения в алгебре Стинрода, т.е. вторичные операции, третья — соотношения между ними, т.е. третичные операции, и т.д. Каждый элемент p-компоненты стабильной гомотопической группы сферы происходит из некоторого элемента члена Е2 спектральной последовательности Адамса. Какова связь между операциями и элементами гомотопических групп сфер?
Элемент а группы itN+k(SN) определяет отображение SN+k -*SN. Приклеим по этому отображению к SN шар DN*k+Y. Получается некоторое пространство Ха, гомотопический тип которого зависит только от а и когомологии которого нетривиальны в размерностях N и N + к + 1,
Упражнение 5. Частичная операция, соответствующая элементу члена Е2 спектральной последовательности Адамса, который дает в Е„ элемент а, нетривиальна в Ха. [Указание: рассмотрите спектральные последовательности Адамса для Ха и Sn и их отображение, соответствующее естественному вложению Sn -* ^.J
Рассмотрим, например, элементы, стоящие в нижней строке: Sq2, Sq4, Sq8,... G G A2. Те из них, которые доживают до Е„, определяют элементы из я„+1(5”), я„+3(S"), я„+7(S"),..., такие, что в соответствующих пространствах Sn U £)”+2, Sn U £)"+4, S" U Dn*s,.. . нетривиальны операции Sq2, Sq4, Sq8,...
Адамсом было показано, что ни один из элементов h4) hs, h6,... не доживает до Е„, т.е. от них имеются нетривиальные дифференциалы. Например, d2h^ =hoha + Ф 0. Из этого следует, что пространство S” U Dn+q, в котором нетривиальным образом действует Sq4, существует только при q = 1, 2,4, 8. Как объяснялось в п. 4 § 30, из этого вытекает, что группа я2п_1(5") содержит элемент с нечетным инвариантом Хопфа только при и = 2, 4, 8. Как уже было обещано, мы докажем этот факт в главе 6 средствами Х-теории.
Системы Постникова. Как нам известно, гомотопические группы пространства не определяют полностью его гомотопический тип. Исключение составляют два случая: когда все гомотопические группы пространства тривиальны и когда нетривиальна только одна гомотопическая группа. В этом случае пространство восстанавливается по своим гомотопическим группам с точностью до слабой гомотопической эквивалентности..
Уже в сдучае пространства с двумя нетривиальными гомотопическими группами это, вообще говоря, не так. В самом деле, пусть Я1 и я2 — две абелевы группы, И1 и и2 — два натуральных числа, причем 1 < nj < и2. Предположим, что пространство X имеет тривиальные гомотопические группы во всех размерностях, кроме И1 и и2, и что яИ[ (У) = -пх, я„а (ЛЭ = я2 • Существует отображение пространства X в К (Я1, пх), индуцирующее изоморфизм и^х гомотопических групп. Если превратить это отображение в расслоение, то слоем этого расслоения будет пространство К^п2, и2). В когомологической спектральной последовательности этого расслоения с коэффициентами в группе я2 элемент е G Н"1 (Х(я2, и2); я2) переходит при трансгрессии в некоторый элемент группы Н**1*1 (К(тгх, и,); я2). Последний, с одной стороны, может быть любым элементом указанной группы и, с другой стороны, полностью определяет гомотопический тип пространства X. Таким образом, гомотопический тип пространства с двумя нетривиальными гомотопическими группами вполне определяется этими группами и некоторым элементом из НП1*Х (К(-пх, пх}\ я2). Последний естественно рассматривать как когомологическую операцию, которая называется (первым) постниковским фактором пространства X.
Если пространство X имеет три нетривиальные гомотопические группы tti, я2, яз в размерностях И1 < и2 < n3. Hi > 1, то, заклеивая старшую гомотопическую группу, мы получаем отображение пространства X в пространство У с двумя нетривиальными гомотопическими группами: яЛ1 (У) = Я! и яЛ1 (У) = я2. Это отображение можно рассматривать как расслоение со слоем ^(яз, и2). Образ фундаментального класса этого слоя при трансгрессии представляет собой элемент группы Я”* + 1 (У; я3). Этот элемент может принимать любое значение и вполне определяет гомотопический тип пространства X.
Как мы знаем, этот элемент можно рассматривать как вторичную когомологическую операцию, определенную на ядре примарной когомологической операции — первого постниковского фактора пространства У. Эта вторичная операция называется вторым постниковским фактором пространства X. Таким образом, гомотопический тип пространства X полностью определяется его гомотопическими группами и двумя когомологическими операциями: примарной, определенной на nt- мерных когомологиях с коэффициентами в Я1 и принимающей значения в (л2 + 1) - мерных когомологиях с коэффициентами в я2, и вторичной, определенной на ядре этой примарной операции в принимающей значения в (и3 + 1)-мерных когомологиях с коэффициентами в я3. Продолжая эту конструкцию и совершая предельный переход (мы не касаемся возникающих при этом трудностей), мы приходим к такому результату.
Гомотопический тип односвязного клеточного пространства определяется его гомотопическими группами и последовательностью когомологических операций; примарной, вторичной, третичной и т.д., каждая из которых определена на ядре предыдущей.
Эти операции называются постниковскими факторами пространства, а вся система инвариантов — постниковской системой (башней) пространства.
ГЛАВА 6
К-ТЕОРИЯ
И ДРУГИЕ ЭКСТРАОРДИНАРНЫЕ ТЕОРИИ КОГОМОЛОГИЙ
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
Введение. Х-теория возникла как самостоятельный раздел топологии в конце 50-х годов, когда обозначились пределы возможностей методов, основанных на спектральных последовательностях и когомологических операциях (и изучавшихся нами выше, в главах 3 — 5). В это время прогресс гомотопической топологии заметно замедлился, ведущие топологи погрязли в громоздких вычислениях, результаты получались все менее впечатляющие, и для их получения требовалось соединение большой изобретательности с огромной усидчивостью. Для оживления этой деятельности требовалось радикальное средство, и такое средство нашлось. Оно состояло в том, чтобы — ни много ни мало! — отказаться от когомологий как от основного гомотопического инварианта и заменить его совершенно другим объектом — так называемым Л?-функтором.
История A-теории поучительна. Период ее активного развития был краток: первые работы по /^-теории появились в 1959 г., и уже к 1963 г. было получено большинство ее результатов (в том числе все результаты, о которых пойдет речь ниже, кроме доказательства гипотезы Адамса). При этом все без исключения работы по /Г-теории, относящиеся к этому периоду, принадлежат четырем авторам: Адамсу, Атиах), Ботту и Хирцебруху. В этом списке отсутствует Гротендик, который не имеет работ по топологии; однако, по общему признанию, именно Гротендику принадлежат ключевые идеи /Г-теории, которые применяются совсем не только в топологии.
Приложения Х-теории, полученные в ее ’’героический период”, были очень яркими. Упомянем простое доказательство теоремы о несуществовании сфероидов с нечетным инвариантом Хопфа, точное вычисление максимального количества линейно независимых векторных полей на сфере произвольной размерности, вычисление порядка образа ’’/-гомоморфизма” 7r„(SO) -* тт„, теоремы о невложимости и непогружаемости различных многообразий в евклидовы пространства, различные теоремы целочисленности для рациональных линейных комбинаций характеристических классов. Без /Г-теории было бы немыслимо решение проблемы индекса эллиптического оператора, найденное в 1963 г. Атиа и Зингером.
Большинство топологов спохватилось, когда построение Х-теории было в основном завершено и ее яркие приложения были в основном получены. Дело для них, однако, нашлось. Они включили ^-теорию в рамки общей теории "экстраординарных когомологий”. При этом оказалось, что Х-теория занимает среди других экстраординарных теорий довольно скромное положение. Дело вот в чем. Как читатель помнит, для обычных когомологий (с коэффициентами, например, в Z) справедлива
1) Это имя по-русски часто передается как Атья. Следует учесть, однако, что ударение в нем приходится как раз на ”и” - это подтверждает и сам Атиа.
теорема Уайтхеда: если X и У — односвязные клеточные пространства и непрерывное отображение /: X -* У индуцирует изоморфизм /*: Я*(У; Z) ^Н*(Х; Z),to / есть гомотопическая эквивалентность (см. п. 5 § 14). A-теория тоже ставит в соответствие (конечному) клеточному пространству функториальным образом зависящую от него градуированную группу, ио аналог теоремы Уайтхеда отсутствует: прекрасно может быть, что /*: А*(У) -+А*(А) — изоморфизм, а / —не гомотопическая эквивалентность. Были придуманы (лучше сказать, припомнены) экстраординарные теории, обладающие всеми достоинствами A-теории, но свободные от этого недостатка.
Наиболее совершенной иэ этих теорий является теория кобордизмов, которая (как, впрочем, и A-теория) существует в большом числе вариантов. Для теории кобордизмов существует аналог теоремы Уайтхеда, так что с гомотопической точки зрения кобордизмы не хуже когомологий. Для них удалось построить даже аналог спектральной последовательности Адамса — так называемую ’’спектральную последовательность Адамса —Новикова”, — неоднократно с успехом применявшийся к гомотопическим вычислениям. Чрезвычайно полезной оказалась теория характеристических классов векторных расслоений со значениями в кобордизмах базы. Наконец, утверждение, что кобордизмы лучше Л?-теории, имеет точную формулировку: A-теория вкладывается в кобордизмы в качестве прямого слагаемого. Мы воздаем теории кобордизмов должное, посвятив ей отдельный параграф ( § 43).
Все же необходимо признать, что по качеству своих применений A-теория значительно опережает другие экстраординарные теории когомологий; и именно ей мы уделим главное внимание в этой главе. По необходимости мы ограничиваемся, главным образом, комплексным случаем.
Определения. X. Группы А(А). Пусть X — конечное клеточное пространство. Обозначим через F (А) совокупность классов эквивалентности комплексных векторных расслоений с базой А. Если А связно, то F(A) = U„ > 0Fn (А), где Fn (А) — совокупность классов и-мерных расслоений. Если А не связно, то мы не предполагаем, что размерности слоев над разными компонентами базы одинаковы; размерность расслоения определяется в этом случае как размерность слоя над отмеченной точкой.
В множестве F(X) есть две операции: сложение и умножение (тензорное). Относительно сложения F (А) представляет собой коммутативную полугруппу с нулем; умножение дистрибутивно по отношению к сложению, коммутативно, ассоциативно и обладает единицей.
В алгебре имеется общая операция, превращающая полугруппу с нулем в группу (так называемую ’’группу Гротендика”). Именно, пусть F — коммутативная полугруппа с нулем. Рассмотрим совокупность формальных разностей а — b, а G F, b G F, и введем в этой совокупности отношение эквивалентности: а — b ~ с — d, если существует такое е Е F, что а + d + е = b + с + е. Очевидно, это отношение рефлексивно и симметрично.
Упражнение 1. Проверьте, что оно транзитивно.
Обозначим через G^F^ совокупность классов эквивалентности и введем в G(F) операцию сложения формулой {а - 6 } + {с — d^ = {(а + с) — (d+d)}.
Упражнение 2. Проверьте, что G (F) с введенной операцией — группа.
Это и есть группа Гротендика полугруппы F. Формула а н- {а — 0} определяет отображение F -*G (F'). "
Упражнения. 3. Проверьте, что это отображение является гомоморфизмом (по отношению к сложению в F и в G (F) ).
Это отображение не обязательно является вложением — приведите пример.
Пусть G — абелева группа. Докажите, что всякий гомоморфизм F -*G единственным образом разлагается в композицию канонического отображения F -^G^) (см. выше) и некоторого группового гомоморфизма G (F) -*G.
Покажите, что последнее свойство группы G(F1 и гомоморфизма F -+G(F) определяет и то и другое (по F^ единственным образом.
Вернемся к расслоениям.
Определение. К (X) = G(F (У) ). Элементы группы К (X) иногда называют виртуальными расслоениями.
Всякое непрерывное отображение /: X -* У очевидным образом определяет ’’индуцированный гомоморфизм” /*: К (У') -*К (ЛЭ • Гомотопные отображения определяют одинаковые отображения, так что К (X) есть гомотопический инвариант пространства X. '
Пример, ^(pt) = Z + , K(pt) = Z; то же верно, если вместо pt взять любое стягиваемое пространство.
Гомоморфизм dim: F (X) -* Z определяет гомоморфизм dim: К(Х) ~*Z; это видно из упражнения 5, но ясно и непосредственно: dim{a — bl = dim a — dimd (проверьте корректность последнего определения). Заметим, что размерность виртуального расслоения может быть отрицательной. ,
Предложение. (i ) Для всякого виртуального расслоения аЕК (У) найдется обыкновенное расслоение а и число N, такие, что а = {а — N1 .(Напомним, что в теории векторных расслоений N обозначает векторное расслоение размерности N) ■ . ,
Виртуальные расслоения а = {a -Niu ^ = (b — М} в том и только в том случае одинаковы, если dim а = dim 0 и расслоения а и b стабильно эквивалентны. (См. п. 1 § 19.)
Доказательство основано на следующей лемме.
Лемма. Для всякого векторного расслоения а с (конечной клеточ- нои) базой X найдется расслоение а с базой X, такое, что сумма а ® а тривиальна.
Доказательство леммы. Согласноп. 4 § 19, а = f *£, где f — тавтологическое расслоение над надлежащим комплексным грассманианом, а / — непрерывное отображение пространства X в этот грассманиан. Отсюда видно, что утверждение леммы достаточно доказать для случая, когда само а есть тавтологическое расслоение над грассманианом CG(N, и). Обозначим через f1 ’’дуальное тавтологическое расслоение”, слой которого над х 6 С G (N, и) есть ортогональное дополнение х1 к х в CN. Слоем расслоения f ® f1 над х будет х ex1 = CN. Значит, расслоение f ф f1 тривиально, что и требовалось.
Вывод предложения из леммы, (i) Пусть а = {с — d}, и пусть d — такое расслоение, что d ® d = N. Тогда виртуальное расслоение с — d эквивалентно (с ® d) — (d ф d) = а — N, где а = с ®d. (ii ) Равенство { а — N1 = ( b — М1 означает, что а фМф с = b ®N® с для некоторого с. Подберем такое F, что с®^= К; тогда а ® М ® К = a ®M®c®c = b®N®c®c = b®N®K. Обратно, если расслоения а и b стабильно эквивалентны, то а ® К = b ® L при некоторых К иЬ. Следовательно, a®K®M®N = b®L ф М ®N. Так как dim (a — N^ =dim(b — М) и dim (а ®Х) = = dim(Z> ф L), то К + N = L + М,и, значит, a ®M®c = b®N®c, где с = К + N = L + М и а — N эквивалентно b — М.
Группы К (АГ).
Определение. К(АГ) = Ker [dim: К (АГ) ■+ Z ].
Так как A (pt) = Z и dim: /T(pt) ■+ Z есть изоморфизм, то наше определение эквивалентно следующему определению:
KW = Кег[/Г(АГ) ■* К(х0)],
где х0 - отмеченная точка пространства X.
Очевидно, всегда К (АГ) = К (АГ) е Z.
Теорема. К (АГ) есть множество классов стабильно эквивалентных расслоений над X.~
Доказательство. Из предложения следует, что всякий элемент a G К (X) представляется разностью а - dime, где а — расслоение, причем а по а восстанавливается однозначно с точностью до стабильной эквивалентности. В то же время для
всякого расслоения а разность а - dim а определяет некоторый элемент из К (АГ).
Положим
BU = CG(oo, оо), U = U U(n)
п = 1
(см. п. 5 § 1). Доказанная теорема имеет важное
Следствие. К (АГ) = я (АГ, BU).
Доказательство. Мы должны показать, что классы стабильно эквивалентных векторных расслоений над (конечным клеточным) пространством X находятся во взаимно однозначном соответствии с гомотопическими классами отображений X -* В U. Согласно п. 4 §19 всякое расслоение (размерности и) над АГ определяет отображение X -* CG(oo, и) и, так как CG(oo, и) С CG(°o, оо), - отображение АГ -*■ CG(oo, оо). Но очевидно, что отображения АГ ■+ СG(oo, л,), АГ-*СG(oof л2), отвечающие двум расслоениям с базой АГ, гомотопны в CG(oo, оо) тогда и только тогда, когда эти расслоения стабильно эквивалентны.
Гомотопическая лемма. При всяком г имеет место изоморфизм nr(U) = яг + i(BU). Это остается верным, если вместо BU и U взять BU(n') = = CG(°o, п) (обозначение из п. 4 § 19) и U(п).
Докажем утверждение, относящееся к BU(n) и U(n) (часть, касающаяся BU и U, получается очевидным предельным переходом по и). У нас есть расслоение
СК(оо, и)> CG(oo, и), т.е. EU(n)> BU(n)
со стягиваемым пространством EU(n). (Стягиваемость пространства СК(оо,и) читатель может доказать в качестве упражнения; впрочем, для наших целей достаточно знать, что яг (СК (оо, и)) = 0 при всяком г, а это вытекает из равенства яг (СК (N, и)) = 0 при г < 2 (N - п) - см. п. 3 § 19.) Нужный нам изоморфизм получается из точности гомотопической последовательности этого расслоения.
Упражнения. 7. Докажите усиление гомотопической леммы: пространства ПВ U и U гомотопически эквивалентны, и пространства ПВ U (п) и U (п) гомотопически эквивалентны.
Дальнейшее усиление: указанные пространства гомотопически эквивалентны как //-пространства.
11. А.Т. Фоменко
Применение, К (5r) = пг (BU) = пг _! ((/). В частности, К (S2) = цх ((/) = Z.
Заметим, что образующей группы K(S2) = Z является класс хопфовского расслоения f над S2 = СР1. Действительно, расслоение f не является стабильно тривиальным, поскольку первый класс Черна сх (f) отличен от 0 (см. п. 5 § 19); значит, f определяет в £(S2) ненулевой элемент. Но этот элемент не может быть делимым, так как всегда сх (^ ® $2) = сх (^) + сх (g2) и, значит, сх (п£) = псх (£), а ci (О есгь образующая группы Н1 (S2; Z) — неделимый элемент.
Далее, £(S2) = K(S2) ® Z = Z ® Z. Эта группа порождается f и 1. Умножение в K(S2) определяется формулой f2 = 2 f + 1: расслоения f2 ® 1 и 2 f имеют одинаковый класс Cj и потому стабильно эквивалентны (в действительности они просто эквивалентны).
Группы К4 (X, A), q < 0. Пусть (X, Л) — пара, составленная из конечного клеточного пространства и его клеточного подпространства. Положим при q < 0:
Kq(X,A) = K(H-q(X/A)),"
Kq(X) = КЧ(Х, ф),
Kq(X) = Кч(Х,х0),
где х0 - отмеченная точка. Очевидно,
К°(Х) = К(Х/ф)= К(Х U pt) = K(^)®Z = к(х),
К°(Х) = К(Х)х0) = К(Х).
(Заметим, сколь это ни тривиально, что факторпространство Х/ф состоит из X и еще одной изолированной точки: по определению, элементами множества Х]ф служат точки разности X— ф = X и еще одна точка { ф}.)
Пример. КЧрО =K(S"‘?(pt/0)) =К^~ч (pt U pt)) =K^-4(S0)) = = K(S~q) --^(BU).
В К-теории рассматриваются, конечно, и группы К4 (X, А) с q > 0, но чтобы их определить, требуется так называемая периодичность Ботта, и разговор о них мы отложим до п. 3.
Последовательность пары.
Лемма. Для любой (конечной клеточной) пары (X, А) последовательность
К(Х/А) К(Х) К(А)
гомоморфизмов, индуцированных включением А -+Х и проекцией X-*Х1А, точна. Доказательство леммы мы оставляем читателю.
Построим теперь по паре (X, А) следующую диаграмму:
А > ^ > Х(А
X *XUCA ► НА
XUCA *CXUCA > ИХ.
Вертикальные стрелки этой диаграммы обозначают гомотопические эквивалент-
ности: факторизацию по С А и факторизацию по СХ. Все строки имеют вид
5 -* У -* YJB. Поэтому можно отождествить /Г-функторы пространств, стоящих в одном вертикальном ряду, и получить последовательность
К (Л) «— К^ K(^M)К(2Л)К(2Х),
точную в силу леммы, причем первая, вторая и четвертая стрелки в ней индуцируются, соответственна, включением А -* X, проекцией X -* Х/А и включением 2 Л -* 2 X. Точно так же, отправляясь от пары (2 А, 2 Л), мы строим точную последовательность
К(2Л) *- Г(2%)К(2^/2Л) *- К^А^) *- К^гХ^
и, далее,
К^ЧА) ^К(^Х) ^К^Х/^А) *- К^ч + 1А) <- К(БЧ*1х)
при любом </. Все эти последовательности можно срастить в единую точную последовательность
К(2Л)К(5Х) K(SX/SA) ^ ...
.. . *- К^Х^А") *- KV^A") *- К^4*^^ ^ ...
Заменяя в этой последовательности пространства X и А сначала пространствами X U pt и Л Upt, а затем пространствами Х)В и А]В, где В — клеточное подпространство пространства А, мы получаем (пользуясь определениями из п.С) точные последовательности■
K°U) *- К°(Х) *- К°(Х,А) К"ЧА) ^ ...
К'ЧХ) К-ч^х, А) ^-К-ч-^А) *-К-Ч"\Х);
КЧА.В) К°^Х,В^ <- К°(Х,А) *- К'ЧА.В) *- ...
... K'q(X,B) *- К-Ч(Х,А) <- К'Ч'Ча.В) +- Х-ч-^Х.В) *- ...
— последовательности пары и тройки в ^-теории.
Разумеется, непрерывное отображение пары в пару индуцирует (направленные в противоположную сторону) гомотопически инвариантные отображения всех групп К4, и эти отображения согласованы с последовательностями пар и троек.
Замечание. Геометрическое построение, с которого мы начали, можно продолжить. В результате получится последовательность
А X Х/А 2Л -> 2^ -> 2(Х/Л) -22Л -* . . . ,
в которой пунктирные стрелки определены с точностью до гомотопии. Эта последовательность называется последовательностью Пуппе. Последовательность Пуппе точна в том смысле, что любой трехчленный фрагмент этой последовательности гомотопически эквивалентен фрагменту вида В -*У -* У/В.
Попытки обобщения на случай бесконечных клеточных пространств. Удовлетворительного обобщения изложенной теории на случай бесконечных клеточных 11*
пространств не существует. Мы рассмотрим несколько возможных вариантов определения А-функтора в этом случае.
Вариант 1. А (X) — группа Гротендика полугруппы классов эквивалентных векторных расслоений.
Вариант 2. К^ = я(Х, ВЩ, К(Х) = К(Х) ®Z.
Вариант 3. А (А) = Нт А (У), где предел берется по всем конечным подпространствам пространства X.
Вариант 1 выглядит особенно естественно, но про такой ”А-функтор” ничего не известно; вряд ли он обладает какими-нибудь хорошими свойствами. Не видно, как вычислять его даже, скажем, в случае X = СР”. Варианты 2 и 3 более осмысленны; определяемые таким образом А'-функторы обозначаются, соответственно, символами к и X.
Достоинством теории X является ее легкая вычислимость: методы вычисления А'-функтора, которые будут изложены в следующем параграфе, будучи применены к бесконечному клеточному пространству, дают именно X. Однако в этой теории отсутствуют точные последовательности пар: может случиться, скажем, что X^XjY^ = 0 и Х^У') = 0, но Х^Х^ + 0 (читатель сможет построить такой пример после прочтения § 38). Напротив, к-функтор точен, но его значения трудно вычислять. Действительно, вникнем в разницу между к и X. Существует очевидное отображение к -> X (отображение X -* BU определяет отображение Y -*BUи тем самым — элемент из А (У) для любого конечного подпространства У пространства Х\ эти элементы составляют элемент из ПшАДУ) =jr(X)).
Упражнение. 9. Докажите, что это отображение эпиморфно.
Что же является его ядром? Классы отображений X^-BU. гомотопных нулю на любом конечном подпространстве Y С X, но, возможно, не гомотопных нулю в целом. Возможно ли такое? Оказывается, да!
Определение. Отображение клеточного пространства X в пространство V называется призрачным (phantom mapping), если оно не гомотопно нулю, но сужение его на любое конечное подпространство пространства X гомотопно нулю.
Первый пример призрака — довольно сложный — был построен Адамсом и Уокером (перевод их работы см. Математика: сб. перев. — 1965. — Т. 9, № 1). Впоследствии были найдены более простые примеры, и в настоящее время известен пример призрачного отображения СР” -* S3 (читатель может попытаться такое отображение построить). '
Взаимоотношения к- и X -теорий обследовались сначала Атиа и Хирцебрухом, а затем Бухштабером и Мищенко; см. работы последних в Докладах АН СССР (1968. - Т. 178, №6) ив Известиях АН СССР (1968. - Т. 32, № 3; исправление - Т. 33, № 1). Сформулируем два результата Бухштабера и Мищенко. (1) Если все нечетные числа Бетти пространства X равны 0, го к (X) =Х(Х). (2) Пусть Х=К (Z, 3).
Тогда Х(Х) = 0, а к^Х^ = Z/Z, где Z - пополнение группы Z по всем подгруппам конечного индекса. (Другими словами, Z есть совокупность последовательностей {а2, а3, а4 ,. . . } неотрицательных целых чисел, удовлетворяющих условиям aq <q, aq = a^t mod ^q, q' ). Z вкладывается в Z формулой /z^-{res2n, res3«,...), т.е. Z есть подгруппа группы Z, составленная из стабилизирующихся последовательностей; ясно, что Z значительно больше Z.)
Периодичность Ботта. А. Формулировка теоремы Ботта. Как уже говорилось, A'(S2) = Z s Z, причем образующими этих групп служат классы 1 и f тривиального
и хопфовского расслоения. Пусть X — клеточное пространство, и пусть а,, а2 G К (А). Тогда можно образовать элемент
(а, '~ 1) + (а2 » Г) € К(Х X S2).
Теорема (Ботт). Дтя любого X отображение
К(Х)®К(Х) -+ ЦХХ S2),(а1(а2)(a, ® 1) + (а2 и f)
является изоморфизмом.
К доказательству этой теоремы мы обратимся в п. С, а сейчас мы приведем ее формулировку к более удобному для нас (и более привычному) виду.
Рассмотрим ^-последовательность пары (X X S2, X м S2 ):
... -*К"ЧХХ 52)^К~\Хч82)^К(ХХ82,Хч82)^К(ХХ S2) ^» К(Х v S2Y
Очевидно, К(Х v S2) = К(Х) + K(S2); в то же время произвольный элемент а £ЦХ) есть образ при гомоморфизме * элемента р*а G К(Х X S2), а произвольный элемент b ЕК(82) есть образ элемента p^b ЕК(Х X S2), где Pi и р2 — проекции произведения XX S2 на сомножители. Значит, * есть эпиморфизм, и по аналогичным причинам эпиморфно отображение К-1 (XX S2) -►К-1 (X v S2\ Значит, К(Х X S2, X v S2) есть просто ядро гомоморфизма *. Посмотрим, какие элементы принадлежат этому ядру. Согласно теореме Ботта, всякий элемент из К(Х X S2) представляется в виде («1 э 1) + (а2 ® f). Перепишем последнюю сумму как (а ® (f - 1)) + (0 ® 1). Сужение этого виртуального расслоения на ХС XX S2 равно а • dim(f —1)+0 • dim 1 =0. Сужение этого виртуального расслоения на S2 С X X S2 равно dima(f — 1) + + di m 0 • 1. Таким образом, наше виртуальное расслоение принадлежит ядру гомоморфизма * в том и только в том случае, если 0 = 0 и dim а = 0, т.е. если оно имеет вид
а ® ( f — 1) саек (X). Мы видим, что отображение
«н а е (t - 1)
устанавливает изоморфизм
К(Х)^К(ХХ82,Хч$2) = K(XXS2/XvS2) = К(Ъ2Ху
Нами доказано
Следствие. Имеет место естественный по X изоморфизм
К(Х) = К(У?Х)
Применяя это следствие к случаю X = 8Ч, мы получаем (ввиду равенства
K(S‘) =^i(BU))
Следствие из еле дет в и я. При любом q
nq(BU^ = ^-zW,
и, значит,
7Tq(U) = TTq-^U).
Собственно, это и есть "периодичность Ботта”. Так как Я1 (СТ) = Z и п2 (СТ) = = я2 (S U) = О, то
я,(17) =я,(17) =Zпри нечетном /,
я,(17) =
я,(17) =
Опри четном z,
и
K(S') = я,(5С7) =K(S') = я,(5С7) =Z при четном z,О при нечетном /.Z при четном z,О при нечетном /.
K(S') = я,(5С7) =
K(S') = я,(5С7) =
Z при четном z,
О при нечетном /.
Z при четном z,
О при нечетном /.
В. Окончание построения К-теории. Отложив на время доказательство теоремы Ботта, мы покажем, как с ее помощью завершить построение К-теории. Следствие из теоремы Ботта, выделенное в п. А, показывает, что для любой пары (К, Л) и любого q < 0 имеет место естественный по (К, А) (и по отношению к связывающим гомоморфизмам КЧ(Х,А) ■^Kq~I (А, В)) изоморфизм
К’(К,Л) а К’-2(К, Л).‘
Мы используем это равенство для определения Kq(X, Л) при всех q: по определению,
КЧХ,А) = Kq"1N<X,A\ N > | шах (О,?).
Получается 2-периодическая обобщенная теория когомологий (разъяснение этого термина — ниже, в п. 5), т.е. правило, относящее конечной клеточной паре (К, Л) последовательность групп Kq(X, Л), q G Z, и последовательность гомоморфизмов К9 (Л) = К4 (А, ф) К4*1 (X, А) и непрерывному отображению (К, Л.) -* (У, В.) — последовательность гомоморфизмов Kq(Y, В) ->-Kq(X, Л), причем все эти группы и гомоморфизмы гомотопически инвариантны и удовлетворяют надлежащим условиям коммутативности диаграмм и точности последовательностей (подробности в п. 5). К тому же имеются согласованные со всеми этими стр' ктурами изоморфизмы Kq(X,A) = Kq~2 (X, А). (Последнее составляет" важюе отличие К от Н, поскольку Нч = 0 при q < 0.)
Теперь мы можем применять к К-теории все стандартные следствия точности последовательностей пары и тройки. Например, имеют место изоморфизмы надстройки
2: К4^ = K^VLX^
(из точности последовательности пары (СК, X")
КЧ<СХ> —* КЧ(Х) —► к^Чсх.х) —► Кч*ЧСХ^
IIII
оо
следует, что К’(К) - К’*1 (СК, X^ = Kq*4^X^.
Упражнение 10. Придумайте в К-теории естественное умножение
КЧ(Х,А) ® КГ(Х,А) —► КЧ+Г(Х,А).
С. Доказательство теоремы Ботта мы проведем в одну сторону, а именно, докажем, что отображение К(Д') е К(Х^ -* К(ХХ S2), (cq, а^ t-> (at ® 1) + (а2 ® f) эпиморфно. Доказательство мономорфности основано на близких соображениях и может быть проведено читателем самостоятельно. (Оно изложено в лекциях Атиа по A-теории, а также в книгах Каруби, А.С.Мищенко, Дж.Шварца и Хьюзмоллера.)
Рассмотрим расслоение £ над X X S2. База X X S2 разлагается в объединение (XX D1) U (X XD2). Над каждым куском расслоение представляет собой прямое произведение некоторого расслоения над X (мы обозначим его через а) на D2. Склейка двух кусков происходит над XX S1 (S1 — экватор сферы S2); при каждом z 6 S1 она задается отображением и (г): а -* а, накрывающим тождественное отображение базы X. Для каждого х 6 X мы имеем зависящий от z автоморфизм и (х, z) : ах -► ах слоя ах расслоения а над х. Итак, наше расслоение £ определяется парой а, и; мы используем обозначение: £ = [а, и ].
Разложим функцию и (х, z) в ряд Фурье по z (мы считаем, что ze№ = (|z|=l)CC:Y
и(х, z) = S uk(x)zk.
k е Z
Подчеркнем, что uk(x) — это, вообще говоря, вырожденные эндоморфизмы пространства ах.
Ясно, что если заменить и достаточно близким отображением и, то расслоение $ не изменится: [а, и.] = [а, м]. Поэтому можно считать, что и — тригонометрический полином:
N
u(x,z) =5 uk(x)zk.
k = -N
Умножение функции и на z соответствует тензорному умножению расслоения £ на 5 = $-1 (действительно, [ai.Ui] ® [о:2,м2] = [“1 ®«2, и^ ®м2] и, как легко понять. f_> = [1, z ]). Заменим расслоение £ расслоением £' = £ ® V"N. Имеем: V = [а, и* ], где
и(х, z) = S uk(x^zk (m = 2 7V). k = о
Положим ^" =^' e (ma ® 1) = [а", и” ], где a” = (m + l)a, и” =u* «1 ® ...» 1 Таким образом, матрица и** имеет вид
m
U*k = Т. ur(x)zr-k. r = k
Это умножение не изменяет расслоения (обе матрицы гомотопны, как отображения X X S1 -* {матрицы} , постоянной единичной матрице) и приводит матрицу u "(х, z) к виду а(х) + b(x)z.
Лемма из линейной алгебры. Пусть а и b — два эндоморфизма пространства V, пересечение ядер которых есть нуль. Положим cXill = \a * pb (X, д G G С, (X, д) Ф (0,0)) ,и пусть ( Х<: д,-) G СР1, i = 1, ...,m,-все попарно различные корни уравнения det сх, д = 0. Тогда существуют прямые разложения
V = AX ф Л2 ® ... ® Am , V = Вг ® Вг ® ... ® Вт ,
такие, что сх ,д(Л<) С 5, при всех Х,р, причем А{»В{ есть изоморфизм при X: Д *Х,: д,.
Доказательство мы оставляем читателю.
Положим сх, ц(х) = Ха (х) + д6(х): ах-*ах. Так как эндоморфизм а (х) + z6(x) с |z | = 1 невырожден, то уравнение detcx, д = 0 не имеет решений (X, д) с I X | /1 д | = 1. Из леммы следует, что существуют разложения ах* = 0Х + 7Х и
“х = Рх + Ух, такие, что сх,д(^)(М С ^х, сх,дМ(7х) С 7Х и сх, м(х)(Рх) = Рх при | X | /1 д | > 1 и Сх, дМ(7х) = 7х ПРИ I X | /1 д | < 1. В частности,
а(х) -Ь(х) -
Их * Рх И 7Х ► 7х
- изоморфизмы. Обозначим через dX- д (х) и ех> д(х) отображения
Ч,ц(1) — oW1сх.д^) — ИхУ1
0Х^х 9х И 7Х > 7х * 7х-
Ввиду сказанного выше, dx> м(х) невырождено при | X | / | д | > 1 и ех, д(х) невырождено при | X | /1 д | < 1.
Предположим, что X связно (это предположение безвредно). Тогда ^х > 7х > 0х > 7х составляют подрасслоения ^,7,^,7 расслоения а”, и мы имеем:
V* = [Д dX1Z ] Ф [7, е1>2]..
Но d1>z гомотопно d 1>0 ие1<г гомотопно e0>z в классе невырожденных преобразований (гомотопии d 1>и и ег> 2 ). Значит,
V = [A ^i,o ] ® [7. ^о,z ] =
= [0, 1] ф [% z] = (0 ® 1) ® (7 ® Г1).
Окончательно имеем:
(£ ® S~N) ® (та ® 1) = (0 ® 1)ф (7 ® f-1),
т. е.
£ = {[(0-та)® 1] + (7 «f"1)} ® SN.
Доказательство эпиморфности закончено.
Упражнение 11. Выведите мономорфность отображения А' (%) фА(^)
-* К (XX S2) из его эпиморфности, пользуясь следующей схемой. Из эпиморфности следует, что отображение Я/ (BU) "*14+а (ВЩ эпиморфно при любом L Но я, (BU) = = 0, я2 (ВU) = Z и rank2r(B(T) = 1 при любом г (см. п. 4 § 25). Из этого следует, что я,- (BU) -* TTt*i(BU) есть при любом i изоморфизм, а из этого легко вывести и что К (X) ф А (X) -*К (XX S2) - изоморфизм.
Характер Черна.
В п. 5 § 19 мы определили ’’характер Черна” - характеристический класс комплексных векторных расслоений, принимающий значения в н^еп ^. q) _ = Н° (X1, Q) ф Нг (X, Q) ф ..., где X - база расслоения; обозначение: £ н- ch£. Этот характеристический класс аддитивен и мультипликативен:
ch (ti ® ?2) = ch $i + ch ?2, ch (£t ® ?2) = ch 6, ch ?2.
Первое свойство позволяет перенести ch в A-теорию:
ch: К(Х) —► №ven(%; Q);
второе свойство делает этот А-теорный характер мультипликативным. Кроме того, это определение очевидным образом превращается в определение характера
ch: Kq(X, А) —>ch: Kq(X, А) —>//even^ ^. Q) ПрИ четном q
ch: Kq(X, А) —>
ch: Kq(X, А) —>
Hodd(X, A: Q) при нечетному
(^odd _ ^i е #з ф j Удобно ввести такое обозначение:
3Cq(X.A) =3Cq(X.A) =^even^ д. q) Цри четном q
3Cq(X.A) =
3Cq(X.A) =
Hodd(X, A; Q) при нечетном q.
Тогда ЗС станет похоже на А: останутся индуцированные гомоморфизмы и точные последовательности пар и троек, но появится 2-периодичность: К4 = ЗС,+ 2. Отображе-
ние ch станет тогда набором гомоморфизмов ch: КЧ(Х, А) —* Kq(X, А),
перестановочным с индуцированными гомоморфизмами, последовательностями пар и троек и периодичностью
Упражнение 12. Покажите, что это отображение ch мультипликативно (см. упражнение 10).
Положим
chQ = ch® Q: Kq(X, Л)®0 —► JC’(X>1)®Q = Mq(X, A).
Теорема. Отображение chQ является изоморфизмом при любом q и для любой (конечной клеточной) пары (X, А). В частности,
К(Х) ® Q = Н®*е№(Х; Q),
и ранг группы К (X) равен сумме четных чисел Бетти пространства X. (Например, rank К (S2) = 2 - в согласии с утверждением теоремы.)■
. Доказательство. Достаточно рассмотреть случай А = ф (поскольку
КЧ(Х,А) = Kq(X/A) и^(Х,А) =ХЧ(Х1А)).
Утверждение теоремы очевидно, если dim X = 0, т.е. X есть конечное множество. Так как для К ® Q и ЭС есть изоморфизмы надстройки и отображение chQ с ними перестановочно, то chQ является изоморфизмом и для надстроек над конечными множествами, т.е. для букетов сфер одинаковой размерности. Дальше —индукция по dimX. ■
Предположим, что dimZ^n > 1 и что для пространств размерности < п теорема уже доказана. Рассмотрим X- и (К ® Q)-последовательности пары (X, Хп-1) и отображение chQ одной в другую:
Kq'x(Xn-1) ® Q —► Кч(Х,Хп х) ® Q —►
ChQChQ4--Чх" 14--Чх" 1)—* Xq(X, X"-1 ))—* Xq(X, X"-1 )chQ
ChQ
ChQ
4-
-Чх" 1
4-
-Чх" 1
)—* Xq(X, X"-1 )
)—* Xq(X, X"-1 )
—> Kq(X) ® Q —► Kq(XnX) ® Q —» К^ЧХ.Х"-^) ® Q
chQchQchQchQchQchQ
chQ
chQ
chQ
chQ
chQ
chQ
—*Xq(X)—> МЧХ"-1 )И^ЧХ.Х"-1 ).
Все вертикальные гомоморфизмы, кроме среднего являются изоморфизмами в силу уже доказанного: два — потому что dim^"-1 < п и два других — потому что Х(Хп-х есть букет и-мерных сфер. Остается применить 5-лемму.
Экстраординарные гомологии и когомологии.
Аксиомы Эйленберга - Стинрода. Вернемся к главе 2. В этой главе мы поставили в соответствие конечной клеточной (на самом деле — произвольной топологической, но забудем сейчас об этом) паре (АГ, А) последовательность групп Hq{X,A), q G Z (мы подразумеваем, что Hq{X,A) = 0 при q < 0), и гомоморфизмов Э,: Hq{X, Л) -*Hq_x{A) (мы полагаем Н г (У) =Hr(Y, ф)) и каждому непрерывному отображению /: {X, А) -* (У, В) - последовательность гомоморфизмов /,: Hq (АГ, Л) "*Hq (У, 5), согласованных с отображением Э ,. При этом справедливы следующие утверждения:
Аксиома гомотопии: если f ~ g, то f, = g,.
Аксиома точности: последовательности пар точны. (Следствие: последовательности троек точны.)
Аксиома факторизации: проекция {X, Л) -* (АГ/Л, pt) индуцирует при всех q изоморфизм Hq {X, Л) = Hq{X/A, pt) = Hq{X/A).
Аксиома размерности: Яд(р1) = 0 при q ^ 0.
Эти утверждения называются аксиомами Эйленберга - Стинрода. Если мы присоединим к аксиомам Эйленберга — Стинрода утверждение, что Но (pt) = Z, то будет справедлива ’’теорема единственности”: теория {Hq, Э„ /, }, удовлетворяющая всем перечисленным условиям, единственна и совпадает с теорией обычных ^сингулярных^ гомологий. Эта теорема, по существу, доказывалась нами в §13, где мы вычисляли гомологии клеточных пространств (и клеточных пар), пользуясь как исходным материалом только перечисленными здесь свойствами гомологий.
Отбросим требование Яо(рО = 2 и назовем группу G = Яо(рО группой коэффициентов. Аналог теоремы единственности утверждает в этом случае, что теория, удовлетворяющая всем аксиомам Эйленберга - Стинрода, совпадает с теорией обычных гомологий с коэффициентами в G.
Аналогичным образом составляется система когомологических аксиом Эйленберга - Стинрода с такими же теоремами единственности.
Экстраординарные теории. Предположим, что каждой конечной клеточной паре (АГ, Л) поставлена в соответствие последовательность групп hq{X,A) и гомоморфизмов Э,: hq{X, A) -*hq_x{A) (мы полагаем hr (У) = hr{Y, ф}) и каждому ие- прерывному отображению /: (АГ, Л) -* (У, В) поставлена в соответствие последовательность гомоморфизмов /,: hq{X, Л) ->hq{Y, В), согласованных с Э,. Предположим теперь, что выполняются аксиомы гомотопии, точности и факторизации, а аксиома размерности, вообще говоря, не выполнена. Тогда говорят, что {hq, Э,, /,} — экстраординарная {обобщенная) теория гомологий. Аналогично определяются экстраординарные {обобщенные) теории когомологий.
Примером экстраординарной теории когомологий служит АГ-теория. Другие примеры рассматриваются в п. D и в §43.
Упражнение 13. Докажите, что hq{Xx U АГ2) = hq{Xx) ® hQ{X^) для любой экстраординарной теории гомологий h (и аналогичное для когомологий).
Обобщенная теорема единственности. Пусть h и q - две экстраординарные теории когомологий (или гомологий; в гомологическом случае все, что говорится ниже, верно с надлежащими модификациями: опускаются некоторые индексы, обращаются некоторые стрелки и т.д.). Говорят, что задано отображение <р: h -*k,eam для всякой конечной клеточной пары {X, А) определены гомоморфизмы
Ф = Ф<х, а)- ИЧХ.А) -* кЧХ.А),
такие, что для любых (X, А) и f: (X, А) -* (У, В) коммутативны диаграммы
h^X.A)кч(Х,А)h^X.A)кч(Х,А)ь**h4 ^(А)ь**h4 ^(А)к4 Ча>к4 Ча>ииh^X.A) ^— НЧУ, В)ч>РкЧХ.А) -^— ^(У.В).h^X.A) ^— НЧУ, В)ч>РкЧХ.А) -^— ^(У.В).
h^X.A)
кч(Х,А)
h^X.A)
кч(Х,А)
ь*
*h4 ^(А)
ь*
*h4 ^(А)
к4 Ча>
к4 Ча>
и
и
h^X.A) ^— НЧУ, В)
ч>Р
кЧХ.А) -^— ^(У.В).
h^X.A) ^— НЧУ, В)
ч>Р
кЧХ.А) -^— ^(У.В).
Т е о р е м а. Пусть ф-. h ^к - отображение теории h в теорию к, такое, что при любом q
^(pt, фу ^(рЧ —* ^(рО
есть изоморфизм. Тогда
^х.лу ^(Х.А) к^Х.А)
есть изоморфизм при любых q и (X, А ); в частности, в этом случае h = к.
Доказательство повторяет доказательство теоремы п. 4В (в котором роль ф играет ch), только нужно доказать, что ф^х л) есть изоморфизм при dimX = О, А = ф. Это можно вывести из упражнения 13, но можно доказать и прямо, воспользовавшись индукцией по числу точек в X. Пусть X состоит из и > 2 точек. Тогда X = У/ ф, где У состоит из и - 1 точек. Из И- и ^-последовательностей пары (Д', pt) составляется коммутативная лестница
h4 *(pt) h4(X,pt) h4(X)//"(pt)Л</+1(Х, pt)
к4 4pt) —* ^(Х, pt) —► k^tX) —> /^(pt) —► к^ЧХ, pt),
в которой все ф - изоморфизмы, кроме среднего (ибо hr (X, pt) = ИЧУ]Ф, pt) = -hг(У, ф) = hr(y~)). Значит,и среднее ф — изоморфизм.
Замечание. Если А^ (pt) ё к4 (pt), но изоморфизм не индуцирован отображением h -*к,то изоморфизма h г к может не быть. Например,
K^pt) a -Kz(pt),
где JC^(X, A) = Hcven^°dd^ (X ,А; Z), но, как мы увидим в §38,
K(RP") ^ Не',еЧ^Рп ,Т).
Примеры экстраординарных теорий. Наряду с комплексной ^-теорией существует вещественная К -теория. Мы не касаемся ее здесь, хотя в некоторых случаях это будет стоить нам небольшого ослабления результата (см., например, замечания в п. 3 § 40 и п. 5 § 41). Роль BU в вещественной /С-теории играет BSO = G+ («>,«>) (в другом варианте ВО = G(oo, оо)), роль 2-периодичности Ботта — вещественная 8-псриодичность Ботта ^/(50) = тг, + 8(5О). Подробности см. в лекциях Атиа (включая добавленную в переводе статью Атиа ”К-теория и вещественность”) или в книге Кару би.
Существует общая конструкция, обобщающая как комплексную и вещественную К-теорию, так и обыкновенные когомологии (и гомологии).
Определение. Спектром, или St-спектром, называется последовательность клеточных пространств И7/ и непрерывных отображений/,: И7/ -^n^+j (<> О-
Заметим, что для любых пространств с отмеченными точками А, В. задание непрерывного отображения А -* SIB равнозначно заданию непрерывного отображения S А -> В (надстройка понимается в смысле конструкции, учитывающей отмеченную точку, см. п. 6 §2): отображению /: А -* St В соответствует отображение
/: ILA^B, f (а. Г) = [/(а)] (г). В частности, я(Л, 12S) = я (5 А, В).
Определение. Пусть (X, Л.) - конечная клеточная пара и ЧИ= { И' f, /,} - произвольный И-спектр. Гомологические и когомологические группы пары (%, А) с коэффициентами в ЧП определяются формулами (в которых <?ez):
ИЧ^Х.А-,^ = VimK^VX/AYWtHq);
N
h^X.A;^ = П|ппл,+</(^ # <Х/А^.
N
Пояснение. Отображение
tt^XX/AYWn^) -* ir^N*4XfAYWN^+^ =
= itt^X/AYП И^-ц-нД
при помощи которого образуется первый предел, индуцируется отображением fN + q- WN*q -> n WN + ,i+l. Отображение
^N+q^W^ # (X/A}) —* я/у-щ-црУ/у-п # (-^/Л)),
при помощи которого образуется второй предел, определяется при помощи соответствующего fN отображения 2 W N -* IV W+1 как сквозное отображение
ttn^AWn # <Х/А^ -^ яЛГ+1+(,(2(И7ЛГ # (Х/Л))) =
= ^Л'+1+ч(^^ # kX^AY) * 1tN+l+q(WN+l # kX/A)Y
Упражнение 14. Определите для групп hq(X, А;ЧП) и ЬЧ<Х, A.W} индуцированные и связывающие гомоморфизмы таким образом, чтобы получилась теория экстраординарных гомоло1ий и теория экстраординарных когомологий.
П р и м с р ы. Обычные гомологии и когомологии (с коэффициентами в (?) отвечают спектру Эйленбсрга - Маклейна, в котором W, есть K^G, i), /, есть стандартная гомотопическая эквивалентность K(G,i\ -*StK(G, i* 1). (Для когомологий это нам известно, для гомологий - упражнение.) Комплексная А-теорИя соответствует периодическому Sl-спектру U, B.U, U^ BU, ... с гомотопическими эквивалентностями U-^SIBU и BU ->SIU (наличие первой эквивалентности составляет содержание упражнения 7, на;1ичие второй — одну из формулировок периодичности Ботта).
Большой интерес представляют гомологии с коэффициентами в этом спектре — так называемые Л'-гомологии, но мы их не рассматриваем. Вещественная /^-теория определяется при помощи 8-периодического спектра, в котором
W^ = BSO, ^8r_, = SO,...
Еще один пример: сферический 12-спектр S, в котором Wt = Sz и отображение S1 -* 12Sf + I соответствует стандартному гомеоморфизму 2 Sl -*SZ + 1. Соответствующие гомологические и когомологические группы — это стабильные гомотопические группы я^ (X, А) и так называемые стабильные когомотопические группы
■п^Х.А^ = Итя^^^/Л), SN).
N
В заключение заметим, что произвольная теория экстраординарных гомологий или когомологий получается при помощи указанной выше процедуры из некоторого 12-спектра. Это нетрудно вывести из так называемой теоремы Брауна о представимости, которую читатель найдет, например, в книге Спеньера.
ВЫЧИСЛЕНИЕ К-ФУНКТОРА:
СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АТИА - ХИРЦЕБРУХА
Построение спектральной последовательности А тиа - Хирцебруха.
А. Формулировка. Мы изложим сейчас конструкцию, относящую конечному клеточному пространству X набор абелевых групп ЕР = ЕР(Х) и гомоморфизмов d, ; Е^ -*Ег Г, г. = 2,3,.... р = 0,1,..., обладающих следующими свойствами.
ЕР2=НЧХ-, Z);
рр р-' гр — г
Er+1 =Ker dr4mdr (подразумевается, что Im dr = 0 при г >р); рр р
dr = 0 и Е г + 1 = Ег при любом четном г и любом р.
Ввиду конечности пространства X из (1) и (2) следует, что d, = 0 и E, + x = Е, р также при любом достаточно большом г. Эти не зависящие от г группы Ег мы обо
значим через .
р = KerL^CJ^K^^
~ Кег[^р(ЛГ) -* КР(ХРП "
Поясним это свойство. Положим
WKP(X) = Кег[Х₽(Х) -* КР(ХГ}}.
Эти группы составляют фильтрации (ввиду периодичности Ботта мы можем считать, что р = 0,1)
K°W = (-*>Х0(Х) D (°>Л:0(У) D ... D (">^°(ДГ) = о,
КЧХ) = (-1)К*(АЭ 3 ^кЧХ) э ... D ^КЧХ) = о,
где п = dim X. Заметим, что если X связно, то ^К0 (X) = К(X).
Лемма. При четном г
<Г>Х°(Х) = (г+1)К°(Х),<’-1>х1(Х) = ^кЧх).
Доказательство. Рассмотрим фрагмент последовательности тройки <х, хг*\ хгу.
К°(Х.ХГ+Ч -> К°(Х,ХГ) -* КЧХГ*\ХГ)
II
О = К-Г ^ч 5°) = K°(vSr+1)
ввиду периодичности Ботта
Из точности видно, что естественное отображение
кЧх, хг*Ч -* к°(х, хг)
эпиморфно. Теперь рассмотрим кусок коммутативной лестницы, составленной из последовательностей пар (X, Хг ) и (X, Xr + I):
а
К°(Х,ХЧ -* К°(Х) -* К°(ХГ) IeII
К0(X, Хг*1) ^ К0(X) ^ К0(Хг+1).
Из эпиморфности е следует, что Im а = Im 7, но Im а = Кег 3, Im 7 = Ker 6. Значит, Ker 0 = Ker 6, что и требовалось.
Часть, относящаяся к К1, доказывается точно так же.
Ввиду леммы вышеуказанные фильтрации в К0 (X) и Кх (X) принимают вид К0 (X) = (-2>Х° (X) D <°>А'°(Х) DWK°<X>D, КЧХ^^ЧЧ^^^КЧХ^Э^кЧХ)^ ...,
и утверждение (4) показывает, что к этим двум фильтрациям присоединены группы
£° еА^.®^®^ ®..-,
EL ® Et ® Е^ ®ЕП„® ....
Непрерывное отображение f; X -*Y индуцирует (зависящие только от гомотопического класса отображения /) отображения/*: E^Y) -+ЕР(Х), обладающие следующими свойствами: (а) диаграммы
Е«?(П-->ЕР+ЧП'
/* ^ dP Ы
ЕР(Х)^ЕР+Г(Х)
коммутативны; (Ь) /*: ЕР^Х (У) -> F^j (X) совпадает с гомологическим гомоморфизмом, индуцированным отображением/*: EP^Y) -*ЕР(Х"); (с) /*: Е£(У) -» -* Е^(Х) совпадает с /*: Нр ^Y; Z) -> Нр (X; Z); (d) отображение/*: Ep„ (У) -* -*EP. (X) индуцировано гомоморфизмом/*: К* (У) -*К* (X).
Заметим, что в (5) содержится топологическая, и даже гомотопическая, инвариантность спектральной последовательности, в частности, ее члена Ег.
Спектральная последовательность мультипликативна: все Е* = ®рЕР — градуированные кольца, дифференциалы удовлетворяют формуле Лейбница, умножение в Е^ совпадает с умножением в И* (JK-; Z), умножение в Е~ присоединено к умножению в К* (X) (см. упражнение (10) к § 37).
Все дифференциалы d^ имеют конечный порядок.
Это свойство мы можем доказать уже теперь, не дожидаясь построения спектральной последовательности. Если бы какой-нибудь дифференциал имел бесконечный порядок, то было бы
rank (№(Х) ® К1 (У)) = rank Е^ < rank Е^ = rank НЧХ\ Z),
что противоречит сказанному в п. 4 § 37.
Умножим тензорно нашу спектральную последовательность на Q. Ввиду свойства (7) все дифференциалы станут нулевыми и будет Ег =Е„. Мы приходим к изоморфизмам К°(Х) 8 Q а яеуеп (X; Q), К1 (Л) ® Q s Н°44 (X; Q).
Эти изоморфизмы совпадают с cHq (см. п. 4 § 37).
(Последнее утверждение нуждается в уточнении, поскольку изоморфизмы, доставляемые спектральной последовательностью, не являются каноническими, тогда как изоморфизм cHq каноничен; уточнение мы оставляем читателю.)
Построение спектральной последовательности. Положим
„ КетУК^^ХР*1-1 ,ХР-гуКГ'*<*(.Хр-1 ^p-^X
Ег ~ Kei\Kp+4 (Xp*r-1 ,ХР~г)^КР+4(ХР,ХР-г)]
и определим дифференциал d^’4: Ep’4 EP*r’4 r+1 следующим образом. Рассмотрим коммутативную диаграмму
КР+4(ХР*г"х ,ХР"Г) Кр+4(ХР,ХР-г) 6*116*
^р+ц-И ^р*2г—1 ;^Р*г — 1 ^ _^_^ ;;Р+Ч+1 Q^p*2г—1 ХР')
Композиция 5‘ оа^об1: Кр*4 (^p+r~1-, Xp~r) ^Кр*4*' (Хр*2г~',ХР) может рассматриваться как отображение
KP*4(XP+r-v,XP-r')lKera^lm5.
Но по определению ЕР’4 есть подгруппа группы Кр*4 ^ХР*Г-1, ХР~*")/Кега, а gp+r,ч-r+i есть фактОрГруППа группы Im/3 = Ker [XP+<?+1 (Xp*2r~1, X^) -* ■* Kp*4*x (Xp+r, Xp)) .Поэтому последнее отображение индуцирует некоторый гомоморфизм
Е?*4 gp+r.q-r+l Гт
Это и есть dP’4.
Легкая проверка показывает, что dP+r'4-г+1 о dp’4 = 0 и что
ЕР;4 = Ker dP-4llm dP"'-4*'-1.
Мы уже построили некоторую спектральную последовательность, но не ту, которую должны построить, поскольку построенная последовательность состоит из групп с двумя верхними индексами, а нам нужны группы с одним верхним индексом.
Вычислим Ex'4 и Ер* 4. Имеем:■
~pq_-
Ех ~ Улт\Кр*ч^р ,ХР-Х^-* Kp*q<Xp ,Хр~ху\~
= Kp*q^xp1xp-x>) = kp*q(< v s^ =
р-мерные клетки
= ® kp*4spv ® *Q(pt) = '6pvc\Kq^y р-мерныер-мерные
клеткиклетки
Легко показать (детали мы оставляем читателю), что df •q = 5: 'g р (X- Kq (pt)) -* -6p*1 (X; Kq (pt))
и, следовательно,
Ep-4 =Hp<X;Kq^Y
Другими словами, второй член нашей спектральной последовательности устроен так: нечетные строки состоят из одних нулей, а в четных строках стоят целочисленные когомологии пространства X (см. рис. 163).
Теперь заметим, что мы могли сразу доказать 2-периодичность нашей спектральной последовательности по q: из определений (и периодичности Ботта) следует, что Ep,q = Ё^’4^2 и dp,q = dp,q*2 при всех р, q, г. Поэтому мы можем отождествить группы Ёр,2$ в одну группу Ер и дифференциалы dp,2s: Ёр,2$ -*ЁР*Г’2$~Г*Х с нечетным г в один дифференциал dp: Ер -* Ер+Г (остальные Ёр*4 и dp,q равны 0). Мы приходим к нужной спектральной последовательности. Кстати, делается очевидным неожиданное свойство (3).
Проверку остальных свойств мы оставляем читателю.
Построенная спектральная последовательность называется спектральной последовательностью Атиа — Хирцебруха.
Спектральная последовательность Атиа — Хирцебруха имеет (очевидные) относительный вариант Я* (X, A; Z) =*К* (X, Л) и приведенный вариант Н* (X; Z) ^К* (X). [Запись G =* F применительно к спектральной последовательности означает, что начальный (обыкновенно второй) член спектральной последовательности есть G, а ее предельный член присоединен к F.]
Упражнение 1. Докажите, что порядок кручения в группах К° (X), К1 (X) делит порядок кручения в группах яеуеп (X; Z) .Н044 (X; Z).
H*(X-,Z) нулиНЧХ-Z) НулиH*(X;Z) НулиH*(X;Z) нулиH*(X;Z)H*(X-,Z) нулиНЧХ-Z) НулиH*(X;Z) НулиH*(X;Z) нулиH*(X;Z)Обобщения. Спектральная последовательность Атиа — Хирцебруха (точнее, ее вариант {^?,Q, d?’4}), существует для любой экстраординарной теории гомологий или когомологий; оиа имеет вид
H*(X-,Z) нули
НЧХ-Z) Нули
H*(X;Z) Нули
H*(X;Z) нули
H*(X;Z)
H*(X-,Z) нули
НЧХ-Z) Нули
H*(X;Z) Нули
H*(X;Z) нули
H*(X;Z)
Я,(Х;А,(р0)=»А.У0 или He(,X;h*(pt))^h4X).
Обобщением этой спектральной последовательности является ’’спектральная последовательность расслоения (E,B,F,p) ”
HMh,(Fyy*h.(E) или Н* (B;h4F))^ кЧЕ).
(Построение обеих последовательностей абсолютно аналогично предыдущему.)
Разумеется, вторая спектральная последовательность может быть нетривиальной даже для тривиального расслоения. Все же с ее помощью можно получить ^-аналог формулы Кюннета (см. статью Атиа в Topology. — 1962. — V. 1, July—Sept.).
Примеры вычислений.
К* (СР"). Второй член спектральной последовательности Атиа — Хирцебруха имеет вид
I 2I 22л—1 2л2л—1 2л
I 2
I 2
2л—1 2л
2л—1 2л
Все дифференциалы тривиальны по соображениям размерности. Вспомнив свойства
операции перехода к присоединенной группе, мы заключаем, что
К0 (СР") = Z ® ... ® Z (и + 1 слагаемых),
Х1(СР") = О.
Мы докажем следующее уточнение этого утверждения.
Теорема. К0 (СР") = Z[71/(7"+1)> где 7 = f — 1 (f - расслоение Хопфа).
Лемма. Образ гомоморфизма
ch: K(S2")-*H*(Sln;Q) = H2"(S2n;Q)
IIZIIZII
II
Z
II
Z
Q
совпадает cH2n(S2";Z) = ZCQ=H2"(S2";Q).
Доказательство леммы. При п = 1 это нам известно, а общий случай получается из этого индукцией по п ввиду коммутативности диаграммы
К° (X) -^^"(X'.Q)
Is2Is2
K2CS2X) -^ Яеуеп (X; Q)
K°CS2X)-^-Heven (X; Q).
Доказательство теоремы. Пусть x E H2 (CP"; Z) — образующая. Вычислим характеры Черна:-
V chy* = xk + — xk*x + .
Ch7n=x", ch7"+1=O.
Это вычисление показывает, что т-”*1 = 0и 1,7, ...,7" линейно независимые К (СР"), и значит (поскольку К (СР") = Z"+1), они порождают К (СР") над Q. Покажем, что они порождают Х{^Р") над Z. Для СР1 это нам известно, пусть это уже доказано для СР"~1. Пусть r0 + rt 7 + .. . + гп 7" Е К (СР"). Тогда r0 + rt у + ... +
+ г„_, у"-1 G Х(СР”-1), и потому г0, г,,..., r„_i G Z. Значит, г0 + И? + ... + + г„_17п"1 GX(CP”) иг„7"еХ(СР”).Таккакг„7" ^0 G А'(СР"-!), то л„ 7" G G К^СРп, СРп-1) = К (Sln) (это получается из ^-последовательности пары (СРп, СР"-1) ввиду X-1 (СР"-1) =0).Hochr„7" = г„х", значит,
rn G Im [ch: £(№")^№"(52";Q) = Q],
и, ввиду леммы, rn G Z. Теорема доказана.
K*(RPn). Начальный член приведенной спектральной последовательности Атиа - Хирцебруха имеет вид
при
п = 2m
0
0
z2
0...
0
z2
2m + l
0
1
2
з ...
2m-l
2m
при
и = 2m + 1
0
0
z2
0...
0
z2
z
Все дифференциалы тривиальны по соображениям размерности, и мы имеем:
f 0 при и = 2m, X*(RP") =
I Z при и = 2m + 1,
порядок группы К0 (RPn) равен 2^"^2 *.
Теорема. К 0 (RP") есть циклическая группа порядка 2 "/2 L
Доказательство. Поскольку включение RP2m -* RP2m +1 индуцирует, как это видно из спектральной последовательности Атиа — Хирцебруха, изоморфизм группы К0, достаточно доказать теорему для п = 2m. Естественное вложение RPlm -*CPlm гомотопно, в силу теоремы о клеточной аппроксимации, некоторому отображению/: RP2"1 -*СРт. Легко понять, что индуцированный когомологический гомоморфизм
/•: НЧСРт;2.)^НЧ^Р1т-.1)
является эпиморфизмом. Применяя к отображению / свойство (5) спектральной последовательности Атиа — Хирцебруха, мы находим, что и отображение
/•: K°(CPmVK°(RPlm)
эпиморфно, ввиду чего (и предыдущей теоремы) К0 (RPlm) порождается 0, /З2,... ...,Рт, где Р = /*7. Но 7 = f — 1. Легко понять, что/*f = Cf r — комплексификация вещественного расслоения Хопфа над RP2m. Легко понять также, что (Jr)2 = 1 (сечение расслоения (f r)2 = S2£r есть евклидова структура в расслоении Jr). Значит, (CfR)2 = 1, 02 = (CfR-1)2 = — 2CfR + 2 = ~2р,р3 = (-2р)р = 4р,...,рт = = (— 2)т-1р. Из этого видно, что произвольный элемент из Х° (RP2m) кратен Р, т.е. К0 (RP2m) — циклическая группа.
Следствие из доказательства. Всякое комплексное векторное расслоение над RPlm или кргт*х стабильно эквивалентно расслоению kC^R, причем расслоения kC?R и /C^r стабильно эквивалентны между собой в том и только в том случае, если k = l mod 2m.
Другие вычисления К-функтора, в частности, для грассмановых многообразий и многообразий флагов читатель найдет в книге Каруби (гл. IV). При этом Каруби
не пользуется спектральной последовательностью Атиа — Хирцебруха, и читатель может попытаться местами усовершенствовать его вычисления. О вычислении К- функтора классических групп см. статью Атиа ”0 Х-теории компактных групп Ли”, включенную в качестве приложения в русский перевод его ’’Лекций по А-теории”.
Дифференциалы спектральной последовательности Атиа — Хирцебруха. Первый нетривиальный дифференциал есть
а3 = d?: Я" (X; Z) -> Я"+ 3 (X; Z).
Упражнение 2. Покажите, что d3 есть стабильная когомологическая операция.
Хотя мы не проводили вычисления Я* (К(Z, и); Z), читатель без труда может вывести из результатов § 26, что
я"+3(Х(г,и);г) = г2 (и>з).
Таким образом, имеется единственная нетривиальная стабильная когомологическая операция, действующая из целочисленных когомологий в целочисленные и повышающая размерность на 3. Эта операция действует так:
Я" (X; Z) -^> Я" (X; Z2) -—• Я"+ 2 (X; Z2 ) ^ Н"* 3 (X; Z).
После приведения mod 2 эта операция превращается в Sq1 Sq2 = Sq3, и се естественно обозначить через Sq3.
Теорема. d3 = Sq3.
Доказательство. Поскольку единственной альтернативой этому равенству является равенство d3 = 0, нам достаточно указать пример, в котором действие дифференциала d3 нетривиально.
Возьмем гомотопически нетривиальное отображение a: Ss -+S4 и составим прост
ранство S4 U„ D6. Так как я$(54) = Z2, отображение 0: Ss —*Ss —*S4 с degA = 2 гомотопно 0 и существует отображение 7: О6 с т Is5 = 3- Это отображение составляет с отображением
О6 = С№ -^*CSs =D6 ^S4 Ua D6
отображение 5: (Я6 U Я6) = Sb -*S4 иа Я6, и мы полагаем X = (S4 Ц,Я6) ий Я7. Относительно X нам необходимо помнить, что X D S4 и что когомологии X устроены гак:
q<4 45
6
7>7
НЧХ;2^ 0 Z 0
0
z2 0
Я^Х^)0 Z2 0
Z2
Z2 0
причем операция Sq3: Я4(Х;
z2)
-»Я7(Х; Z2) нетривиальна. (Последнее доказы-
вастся так: операция Sq2: Я4 -* Я6 нетривиальна в X ио О6, как нам известно из § 30, а в Х/S4 нетривиален гомоморфизм БокштейнаЯ6(Х/54; Z2) -*Я7(Х/54;г2).)
Если бы дифференциал d4: Я4(Х) -* /1’3 (X) спектральной последовательности Атиа — Хирцебруха был тривиален, то отображение К(Х) -* К(84) было бы изоморфизмом. В частности, отображение ip;S4 -*BU, соответствующее образующей группы Х(54) = Z, продолжалось бы до некоторого непрерывного отображения ^: X -+BU. Но отображение </>*:Я4(ДЯ; Z2) ^Я4(54; Z2) нетривиально. [Действительно, у образующей £ группы K(S4) характер Черна есть образующая группы Я4(S4: Z);
в то же время ch2 (О = — с2(О -Са(ъ) = -с2(О", следовательно, <р*(Я4 (fit/; Z)) Э
Э-с2(О = 1 EH4S\ Z), и, значит,v>‘(//4(S^; Z2)) Э 1 G Я4(54 ; Z2).] Значит, и отображение ф*: H^BU; Z2) ->НА(Х; Z2) должно быть нетривиальным, что про
тиворечит коммутативности диаграммы
ф *
Н* (BU\ Z2)> Н* (X; Z2)
Sq3l4 Sq 3
ф *
О = Н1 (BU; Z2)> H\X;Z2y
Следствие из доказательства. Существуют конечные клеточные пространства X, Y и непрерывное отображение f . X Y, не являющееся гомотопической эквивалентностью, но индуцирующее изоморфизм f*-. K*(Y) —5.» К*(Х). (Этот факт был обещан и прокомментирован в п. 1 § 37.)
До казательство. Достаточно взять X из предыдущего доказательства и положить Y = 8*. Легко показать, что отображение S* S4 степени 2 продолжается до отображения X ^84 ; это и есть/. Что/*: Х*(У) -»К*(Х) есть изоморфизм, прямо следует из предыдущего вычисления, что / не есть гомотопическая эквивалентность, видно из того, что уже/*: H*(Y; Z2) -*Н*(Х; Z2) не есть изоморфизм.
Добавим, что о дальнейших дифференциалах имеется лишь частичная информация; известно, например, что при г < 2р - I дифференциал dr имеет порядок, не делящийся на р, а дифференциал dTp_x имеет порядок, не делящийся нар2. Подробности см. в статье Бухштабера в Математическом сборнике (1969. — Т. 78, № 2. — С. 307-320).
ОПЕРАЦИИ АДАМСА
1. Определение и свойства.
Введение. Когомологическая операция в К-теории (да и в любой экстраординарной теории когомологий) определяется совершенно так же, как когомологическая операция в когомологиях. Она представляет собой класс гомоморфизмов
ах; К(Х)^К(Х)
(или КЧ(Х) -* К4 (XV но мы предпочтем пройти мимо этой возможности), подчиненных условию коммутативности диаграмм
К(Х)—^К(Х)
f‘l I г
K(Y)~ K(Y)
(f: Y -* X - непрерывное отображение). Подход к классификации таких операций диктуется общей идеей н. 2 § 27, которая сводит классификационную проблему к проблеме вычисления К-функтора для пространства BU (с попутным преодолением трудностей, связанных с бесконечностью BU, — см. н. 2Е § 37). Все эти проблемы давно решены; результаты, относящиеся к комплексному случаю, содержатся в § 7 главы 4 книги Каруби, вещественный случай изучен в работе Андерсона (см. Proc. Nat. Acad. Sci. USA. - 1964. - V. 5 I. - P. 634-636).
Мы систематически игнорируем вещественный случай. Что же касается комплексного случая, мы ограничимся рассмотрением наиболее важных конкретных когомо-
логических операций в К-теории — так называемых операций Адамса. Читатель книги Каруби знает, что, по существу, эти операции исчерпывают все многообразие когомологических операций в комплексной ^-теории — в той же мере, в какой квадраты и степени Стинрода исчерпывают все многообразие когомологических операций в обычных когомологиях.
Определение операций Адамса. Операция в К-теории должна естественным образом ставить в соответствие виртуальному векторному расслоению с базой X другое виртуальное векторное расслоение с той же базой X. Если отбросить здесь виртуальность, то понятие операции станет в высшей степени прозрачным. Действительно, мы знаем массу способов естественного построения векторного расслоения по векторному расслоению: расслоению | можно поставить в соответствие расслоение || или Л2|, или S2^ или вообще взять любое представление (размерности
N) группы U(n) и ассоциировать с era помощью с n-мерным расслоением | некоторое TV-мерное расслоение. Общая беда всех этих конструкций состоит в их неаддитивности: (|| ® |2) ® (51 ® Sz) * U1 ®$i) ® (5г® Ь)'ИТД; поэтому отсутствует возможность прямого перенесения их в /С-теорию. Конструкция Адамса доставляет способ (в известном смысле, единственный — см. цитированный параграф из книги Каруби) составить из этих операций аддитивную комбинацию.
Пусть ej, е2, . . . — элементарные симметрические многочлены, Nx, N2, . . . — ньютоновские симметрические многочлены (суммы степеней). Пусть
W, =Р,(е,),
W2 = Р2<ех, е2)
N3 = Рз^, е2, е3),
Для расслоения (настоящего) | положим
ФкЮ = Рк&, ^---^ЧУ
Например,
МН
^3^ = ^®^®^ -35 ®Л2£ + ЗЛ3£,
В силу этого определения фк^ — виртуальные расслоения.
Лемма, ф *($ ® т?) = ф *(5) ® ф к(У1У
Доказательство. Разобьем совокупность переменных Xi,.. ., xN на две группы:у,,. . . ,ум HZi,... ,Zl (L,M«N= L + Мочень велики). Очевидно,
NAx^NAyVN^zy
еА*) = 2 es(y)et(z).
Следовательно,
Рк(еА У), е2 ( у),...) + Рк (ei (z), е2 (z),...) =
= Рк( 2 es(y)ef(z), 2 es(y)et(z),. ..), j+t=ls*t=2.
т.е.
Pk<«i,«2, • • Ч + РкФьРз, ■ • ) = pk ( 2 as0t, 2 ««Pt.-У
s+t=l S*t=2
Подставляя в последнюю формулу As| и Afr? вместо а, и Д и пользуясь равенством
® As| ® AfT? = Л’’^ ® т?), s+t=r
мы приходим к равенству
^а, л2?,...) *рк^, лч... )-рк« ® п, лч ® ^...), т.е. ф*(|) + ф*(ч) = ф*(| ® ч).
Доказанная лемма позволяет распространить определение операции фк на виртуальные расслоения. Получается когомологическая операция
фк: K(X)^K(Y)
(перестановочность фк с гомоморфизмами /* очевидна), которая по построению аддитивна, т.е.
^tt+7?) = ^«) + ^).
Свойства операций фк.
Теорема. (1) dim фк(£) = dim |.
Фк^ = <Фк^<Фкт1).
фк оф*^) = фк‘^).'
ch4 фк (Ц) = к4 ch41
Если ^ есть геометрическое (т.е. не виртуальное) одномерное расслоение, тофк(^)=е._
Если р - простое число, что ф р(^) =^р mod р._
Положим ф°(1-) =dim£, ф-|(£) = 5, ф-к(^) = фк(£). Для таким образом определенных фк,к€Х, выполнены свойства (1) - (5).
Доказательство. (1) Ввиду аддитивности операций фк и dim достаточно рассмотреть случай, когда £ есть геометрическое расслоение. В этом случае мы имеем (п = dim |):
dim фк(1) = Pk(dim |, dim Л2^,..., dim Л.к^) =
= Рк(п, С2п,...,Ск) =
= Pk(e1Q,..,,\),e2(\,...,\).. .. ,еИ1,..,1))=ЛЪ(1,.1) = lfc + ... + 1*=л.
пппПП
Если £ — геометрическое одномерное расслоение, то Л'£ = 0 при г > 1 и Фк^)=рк«Ао,...,о)=^к.
Утверждение следует из сравнения Np = (ei )р modp.
Наиболее естественное доказательство утверждений (2) — (4) основано на применении ’’принципа расщепления”, упоминавшегося в п. 5 § 19; этот принцип заключается в том, что различные формулы, включающие векторные расслоения, можно доказывать в предположении, что эти расслоения разлагаются в сумму одномерных расслоений. Обоснованием этого принципа служит тот факт, что естественное вложение (CP")” -»CG(°°, п) индуцирует мономорфизм как в когомологиях (это нам, по существу, известно), так и в A-теории (это легко доказать при помощи спектральной последовательности Атиа — Хирцебруха). Мы, однако, приведем более короткое доказательство, использующее принцип расщепления в завуалированном виде.
Формула £ ь> (ch^i^^^ — k^ch4 ^) определяет характеристический класс векторных расслоений со значениями в 2<?-мерных рациональных когомологиях. Согласно результатам § 19 этот класс представляется как (рациональный) полином от
классов Черта. Там же было доказано, что ненулевой полином от классов Черна обязательно принимает ненулевое значение на расслоении f X . . . X f (и сомножителей) с базой (СР" )", где п — достаточно большое число. Имеем:
сЬфк(ГХ...хо = сьАр?Г®...®^Г) =
= ch[1A*(p;o®-.-®'Ak(p»Ol =
= ch[(p^)®...®(p^)l =pX(dv^ + ...+p*(ch^ =
пФО И п
= Piekx + ... + p„ekx = 2 ekxt= 2 — 2 х?.
<=1q=0 q\ i=1
(Обозначения: pt — проекция на i-й сомножитель, х € Н1 (СР"; Z) и Х),...,хп 6 еЯ2((СР")”; Z) — когомологические образующие.) Значит,
к4 п
сЬЧк(^.. Х^ = — 2 хЧ, q\ i = i
в частности,
ch»(fx...xn = 4- s X/, q'. i=i
откуда
ch-^Cr X ... X f) = XW(f X ... X f),
что и требовалось.
Формулу достаточно доказать в случае, когда $ — тавтологическое расслоение над грассманианом. Так как когомологии грассманиана не имеют кручения, то и его .^-функтор не имеет кручения (это видно из спектральной последовательности Атиа— Хирцебруха — ср. упражнение 1 к § 38). Значит, характер Черна мономорфен (его ядро должно быть конечно), и нам достаточно доказать, что
сЦФк о ф‘(^=фк,(^.
Имеем:
сЪч(фкф*(^ = ^^(ф1^ = kqIqchq^ =
= (JW)’ch’$ = сЪч(фк1(^У
Доказательство аналогично предыдущему: достаточно рассмотреть случай, когда £ и q — расслоения над произведением двух грассманианов, служащие поднятием тавтологических расслоений над сомножителями. Когомологии произведения грассманианов опять-таки не имеют кручения, и мы можем безболезненно применить к двум частям доказываемого равенства характер Черна. Имеем:
cY^k(^ = kqdiq(^ = kq 2 ch^ch'n =
S* t-q
=2 (jtsch^) (Jt^h^) =2 (ch® фк^) (ch* фkq') =
s* t = qs*t = q
-ch-qw^H^)].
Наконец, утверждение (7) является очевидным следствием доказанного.
Следствие и з~ (1). фк(К (X) ) СК (X); таким образом, фк можно рассматривать как операцию К (X) -> К(Х).
Следствие из (3). фк о ф1 = ф1 о фк.
Простое доказательство несуществования сфероидов с нечетным инвариантом Хопфа (Адамс — Атиа). Пусть X € n4n_1(S2"). Приклеим к сфере S2n шар В4п посредством сфероида 54”-1 -* S2n класса X. У полученного пространства X такие когомологии:
„I Z при о = 0, 2и, 4и,
Hq(X,Z^ = Р
I 0 при остальных^.
Пусть а^Н2п^Х\ Z) и bG Н4п(Х\ Z) — естественные образующие. Тогда а2 = hb, где h G Z. Число h называется инвариантом Хопфа класса X. Следующая теорема уже неоднократно формулировалась и комментировалась на протяжении книги (см., в особенности, п. 4 § 16 и п. 4 § 30).
Теорема. Если п Ф 1,2, 4, то в n4n_1(S2") отсутствуют элементы с нечетным инвариантом Хопфа.
Доказательство. Ввиду наличия элементов с инвариантом Хопфа 2 и аддитивности инварианта Хопфа (см. п. 4 § 16), нам достаточно доказать, что при и Ф + 1, 2, 4 отсутствуют элементы с инвариантом Хопфа 1. Пусть все же h = 1, т.е. а2 = Ь. __
Вычислим К (X). Из ^-последовательности
0^K(S4n)-k(X) -+K(S2n)-+0
пары (X, S2") мы имеем: К(Х") s Z ®Z. В группах k(S2n) и К (S4"'l имеются канонические образующие а и р. В группе К (X) имеются образующие аи Р, одна из которых, Р, определяется как образ р, а другая, а, есть произвольный прообраз а и определена с точностью до прибавления кратного р. Характеры Черна виртуальных расслоений а и Р - образующие групп H2n(S2n; Z) и H4n^S4n; Z). Отсюда мы заключаем, что chp = b, a cha = а + eb, где е — не известное нам рациональное число. (Это число не будет иметь никакого значения в настоящем доказательстве, но оно сыграет важную роль в следующем параграфе.) Так как
chd 2 = (ch а )2 = (а + eb)2 = а2 = b = chp,
то а2 = р. Далее, в силу свойства (4) операций фк
фка = кпа, фкр = к2пр.
Следовательно,
фка = к" а + цкр (д»£2), фкр = к2пр.
Из сравнения ф2 а = a2 mod 2 следует, что ц2 нечетно (это — центральный момент доказательства!). В то же время,
ф2ф3 а = ф2(Зп а + рэР) = 6п а +Зпр2р + 22прзР,
ф3ф2а = ф3(2п а +р2р) = 6" а + 2пр3р + 32пр2р,
откуда, ввиду ф2 ф3 = ф3 ф2,
Зпц2 + 21пцэ = 2"д3 + 32"д2,
д23”(3"-1) = д32"(2”-1).
Так как д2 нечетно, то 3" - 1 делится на 2й, что возможно только прн и = 1, 2, 4. [Действительно, очевидно, 32s = 1 mod 8 и 32l+1 = 3mod8. Поэтому, если п = 2Z -m, где m нечетно, то (при / > 1)
3" - 1 = (32'~ lm + 1)(32'~2т + 1) ... (Зт + 1)(Зт - 1) =
= 2-2 .. . 2 • 4 • 2 = 2,+2 mod 2,+3,
I - 1
т.е. при четном п число двоек в разложении 3" - 1 на простые множители равно / + 2; а при нечетном п оно и того меньше: равно 1. Значит, из делимости 3” — 1 на 2" вытекает, что п = 2* m > 1 + 2; при m = 1 это неравенство выполнено для Z < 2, при m > 3 - не выполнено ни для каких Z.]
Напомним, что существование в Я4П_1(52”) элемента с нечетным инвариантом Хопфа равносильно параллелизуемости сферы S2"-1. Поэтому рассмотренная проблема имеет естественное уточнение; каково максимальное число линейно независимых векторных полей на сфере Sm ? Если сфера Sm параллелизуема, то это число равно m, если же она не параллелизуема, то можно сказать только, что это число меньше т. Чему же оно равно? Ответ на этот вопрос дает следующая
Теорема. Представим число п в виде (2а + 1)24 6 + с, где а, Ь, с — неотрицательные целые числа и с <3. Положим, далее, р(п) = 2е + 8 Ь. Тогда на сфере Sn-1 существует p(ri) — 1 линейно независимых векторных полей и не существует большего их количества.'
Первая часть этой теоремы является классической — она доказана Радоном и Гурвицем — и не затрагивает гомотопической топологии. Вторая же часть теоремы (что не существует большего количества векторных полей) была доказана Адамсом, который свел ее к вычислению операций ф* в А-функторе ’’усеченных проективных пространств” RPSIRP*. Подробности читатель может найти в оригинальной работе Адамса (русский перевод — Математика: сб. перев. — 1963. — Т. 7, № 6; эта работа замечательна тем, что в ней впервые появились операции ^ку, более удобным для читателя образом (без внешних ссылок) этот предмет изложен в ’’Дифференциальной геометрии и топологии” Дж. Шварца.
§ 40. /ФУНКТОР
Определение и связь с гомотопическими группами сфер.
А. Определение. Пусть £ и т? — векторные расслоения одной размерности с общей базой, 5(|) и 5 (т?) — соответствующие сферические расслоения. Расслоения £ и т? называются послойно гомотопически эквивалентными или J-эквивалентными, если существует отображение 5(|) -* 5 (т?), тождественное на базе и имеющее степень 1 на каждом слое.
Пусть X — конечное клеточное пространство. Элемент a G К (%) называется J-rpu- виальным, если а = {(• — т?} и расслоения ( и ч /-эквивалентны. Очевидно, /-три
виальные виртуальные расслоения составляют подгруппу группы К(Х) С К(Х); мы обозначим ее через Т (X) и положим
J(X) = К(ХУТ(ХУ 7(Х) = К(ХУТ(ХУ
Таким образом, /(T)=Ker[dim: Z(X)-*Z], J(X) = Z® 7(Xy
У'п ражнение 1. Покажите, что Т (X) С К (X) состоит из классов стабильно эквивалентных расслоений над X, таких, что произвольное расслоение достаточно большой размерности из этого класса /-эквивалентно тривиальному расслоению.
Непрерывному отображению /: Х-* У отвечают отображения /*: /(У) -> J {X) и
/*: /(У)-*/(Д'). Мы увидим,однако,что функтор J не является полу точным, т.е. последовательность
J^X/A') —* J(X) —► /(Л),
индуцированная включением А -* X и проекцией X -* Х/А, не обязана быть точной даже для конечных клеточных пар.
J-гомоморфизм и J-функтор сферы. Действие группы (/(л) в 52л-1 определяет отображение (/(л) -► C(S2"-1, S2"-1). Если мы возьмем композицию этого отображения с надстройкой 2: C(S2"-1, S2"-1) -*C^S2n, S2n), то получим отображение группы U(л) в пространство отображений S2n -* S2n, оставляющих на месте некоторую точку (любой полюс), т.е. отображение
17(л) —► n2"S2n.
Соответствующий гомоморфизм гомотопических групп я,-((/(л)) -> Hi^S1^ -* ff2n+i(S2")
называется /-гомоморфизмом. Особенно интересен стабильный J-гомоморфизм (п > i) в случае нечетного z:
/: я2к_1(1/(л)) = Z я2п+2*-1С$2") = я!к_1.
Образ этого гомоморфизма представляет собой циклическую подгруппу группы
я2к-1 , которая, как мы увидим, может иметь весьма большой порядок; вычислением этого порядка мы будем заниматься как в этом, так и в следующем параграфе. (В действительности, интерес представляет образ ’’вещественного /-гомоморфизма”
/: Я4*_! (SO(n)) -* ir^k-i, который может оказаться немного (вдвое) больше образа комплексного /-гомоморфизма. Различие между этими образами мы прокомментируем в следующем параграфе.)
Посмотрим теперь, что представляет из себя J (Sm).
Теорема. / (Sm) = Im [/: irm-i(U) ->ffm-i ] •
Этот факт, в сущности, очевиден. Векторное расслоение размерности л над Sm определяется ’’отображением склейки” Sm-V -* (/(л), посредством которого склеиваются два тривиальных расслоения над полусферами D™ С £т; /-тривиальность расслоения в точности означает, что отображение склейки гомотопно постоянному отображению в C(S2"-1, S2"-1) D (/(л).
J-функтор как образ К-функтора в полуточном функторе. Рассмотрим для конечного клеточного пространства X совокупность всевозможных ориентированных сферических расслоений над X, т.е. локально тривиальных расслоений над X со слоем
сфера, слои которого могут быть согласованным образом ориентированы. Два таких расслоения, рх: Ех -* X и рг; Ег ^ X, считаются эквивалентными, если существует непрерывное отображение Ех -* Ег, при каждом х е X отображающее pV (х) на Р 2* 00 со степенью +1.
Упражнение 2. Проверьте, что это — отношение эквивалентности.
Совокупность классов эквивалентных расслоений мы обозначим через 5 (X). Размерность сферического расслоения определяется как размерность слоя +1; у эквивалентных расслоений размерности одинаковы.
Сферические расслоения можно складывать: сумма двух расслоений определяется при помощи послойного джойна
Ех * t Ег -Ех * t Ег -«УпУз, О £ Ех X Ег \1\рх{ух) = Рг^Хг^
Ех * t Ег -
Ех * t Ег -
(УъУа.О(УъУа.О{если ух =ух, i = t'=O, или уг =Уг, t = t = 1
(УъУа.О
(УъУа.О
(рис. ' 64). Эта операция превращает S (X) в коммутативную полугруппу. Соответствующая группа Гротендика обозначается через П(А). Очевидным образом определяется гомоморфизм dim: П(А) -»Z. Ясно, что
П(Х) = Z ф П(Х),
где П(Х) = Ker dim.
Упражнение 3. Покажите, что П (%) - группа классов стабильно эквивалентных ориентированных сферических расслоений. (Сферические расслоения стабильно эквивалентны, если эквивалентны их некоторые кратные надстройки. Надстройка над сферическим расслоением определяется как послойная надстройка; другими словами, кратная надстройка — это сумма с тривиальным сферическим расслоением.)
Для непрерывного отображения /: X -> Y очевидным образом определяются гомоморфизмы /*: П(У) ->П(А), /*: П(У) ->П(20.
Упражнение 4. Покажите, что П - полуточный фактор, т.е. последовательность
П(Х/Л) П(А) П(Л)
точна для любой конечной клеточной пары ( X, А).
Имеется естественный по X гомоморфизм К(Х) -* П(А) (векторному расслоению ставится в соответствие соответствующее сферическое расслоение). Очевидно, J (А) есть образ К (А) в П (А).
Теорема.
П(5") =П(5") =приИ = 1 ,
П(5") =
П(5") =
приИ > 1 .
Доказательство. Ориентированное сферическое расслоение размерности N над Sn определяется отображением склейки Sn-1 -^C^S^-1,^-1) , где Сх обозначает совокупность отображений степени 1. Но Ci ^SN ~1,S^ ~1) расслаивается над ^-1 со слоем (Я^-1, fiwi)o (индекс 0 обозначает связную компоненту). Поэтому при и > 1 гомотопические классы отображений склейки составляют группу nn-i^N'xSN-^=nS_v
Таким образом, группа П(5”) конечна при любом п.
Теорема. Группа П (А) конечна для любого клеточного пространства X.
Доказательство. Очевидно, П (pt) = 0. Если утверждение уже доказано для пространств, в которых клеток меньше, чем в А, то мы обозначаем через Y пространство, полученное из X выбрасыванием одной клетки максимальной размерности (скажем, п ) и выводим нужное из точной последовательности
Следствие. Группа J (А) конечна для любого конечного клеточного простСледствие. Группа J (А) конечна для любого конечного клеточного простП(5") П(А) П(Г).
Следствие. Группа J (А) конечна для любого конечного клеточного прост
Следствие. Группа J (А) конечна для любого конечного клеточного прост
ранства X.
Действительно, J (А) С П(А). ~
Некоторые свойства функтора П. Полуточный функтор П можно использовать для построения ’’половины теории когомологий”:
П^А, Л) = П(2’(А/Л)), q < 0.
Однако отсутствие периодичности Ботта препятствует определению групп ПЧ(А, Л) с q > 0. Впрочем, для П (как и для любого полуточного функтора) есть аналог спектральной последовательности Атиа — Хирцебруха: группы Е^*4 определены при р > 0 и q < 0, причем Е^’4 =
= НР(Х; n^-9)); группы Е&ч с р + q =г < 0 составляют группу, присоединенную к П-Г(Х) (см. рис. 165).
Заметим еще, что если X = S Y, то
пн) = я(г, nNsN),.
т.е. П(^) = Р°(У) = Р^Х), где Р — экстраординарная ’’когомотопическая теория когомологий”, — см. п. 5D § 38. Следовательно, для любой конечной клеточной пары
W^X.A) = РЧ+1(Х,А) при <?<-!.
Это позволяет сказать, что функтор П близок к когомотопической теории, в которой размерности сдвинуты на 1. К сожалению, не удается установить равенства П°(Х, Л) = Р* (X, А) для произвольной клеточной пары (X, А).
Гипотеза Адамса.
Введение. Гипотезой Адамса по инерции продолжают называть давно доказанное утверждение, что для любых a G А(Х) h£GZ + найдется такое ТУ.что
к^ф^а) — a) G Т(ХУ
Адамс сформулировал свою гипотезу в статье ”0 группах J (X). I ” (Topology. - 1963. — V. 2. — Р. 181 -195; русский перевод — Математика: сб. перев. — 1966. - Т. 10, № 5). Сам он доказал ее для одномерных геометрических расслоений. В последующие годы гипотеза Адамса постоянно находилась в центре внимания ведущих топологов, но доказана она было только в 1970 г. В этом году сначала Квиллен анонсировал доказательство гипотезы Адамса (подробное изложение работы Квиллена появилось позже), а затем Сулливан, используя некоторые идеи Квиллена, получил полное доказательство. Доказательство Сулливана, вместе с подготовкой и большим количеством побочных результатов, составило целую книгу, переведенную на русский язык под названием ’’Геометрическая топология” (Мир, 1975). Однако в 1975 г. Беккеру и Готтлибу удалось найти относительно простое доказательство гипотезы Адамса, основанное на понятии трансфера (Topology. — 1975. — V. 14, № 1); это доказательство мы изложим ниже в этом пункте (воспользовавшись одним простым фактом из теории представлений, доказательство которого выходит за рамки нашего курса)..
Случай одномерного расслоения. Если а - геометрическое одномерное расслоение, то утверждение гипотезы Адамса является следствием следующей теоремы Адамса — Дольда.
Теорема. Пусть $i, $2 ~ два комплексных векторных расслоения одной размерности с конечной клеточной базой X. Предположим, что существует послойное отображение S ($ i) -*■ S ($ 2 ) > накрывающее тождественное отображение id Xи имеющее на каждом слое степень k>0 (S, как обычно, обозначает переход к сферическому расслоению). Тогда для некоторых N и М расслоения kN^v ®М и kN%2 ® М J-эквивалентны.
Выведем из этой теоремы утверждение гипотезы Адамса для геометрических одномерных расслоений. Пусть а — такое расслоение. Согласно свойству (5) операций Адамса, фка = ак. Очевидно, далее, что существует отображение S(a) -» S(ak), имеющее на каждом слое степень к; оно задается в слоях формулой г н- zk.
Таким образом, расслоение ^^(а) ® М /-эквивалентно kN a ® М, откуда ^(^(а) -a)GT(X).
Доказательство теоремы Адамса — Дольда. Сначала сведем общий случай этой теоремы к случаю, когда расслоение |2 тривиально. Предположим, что в этом случае теорема уже доказана, и подберем расслоение 17, такое, что сумма 77 © |2 тривиальна. Послойное отображение 5(11) ->5(|2) степени к превращается, после прибавления 77, в послойное отображение Д’ (17 ® $1) ->5(7? ® |2) степени к. По предположению, при некоторых N и М расслоение kN (17 ® £1) ® М /-эквивалентно расслоению kN^ц ® |2) ® М. Но тогда /-эквивалентны расслоения kN (77 ® £1) ® М ® kN£2 и kN (17 ® |2) ® М © kN^г, т.е. kN^, ® М* н kN ^ ® М1, где М* = М ® kN (|2 © 17). Таким образом, теорема верна и в общем случае.
Переходим теперь к рассмотрению случая тривиального |2. Пусть £ — векторное расслоение размерности п с базой X, Е — пространство соответствующего сферического расслоения. Предположим, что существует послойное отображение /: Е -*XX S2"-1, имеющее на каждом слое степень к. Обозначим через IЕ пространство сферического расслоения, соответствующего расслоению /{; таким образом, IE есть пространство расслоения над X со слоем 8г1п-х, причем слой этого расслоения над точкой х Е X есть джойн / экземпляров слоя расслоения Е -» X над точкой х. Обозначим, далее, через // отображение / Е ■*XX S2n,-X, которое представляет собой /-кратный послойный джойн отображения /. Мы докажем следующее утверждение..
Существуют натуральное число N и послойное отображение g'. kNE -* X X ,N
X 521, имеющее степень 1 на каждом слое, такие, что диаграмма
т ~ ^.2л**-1
в которой h - отображение степени kN, послойно гомотопически коммутативна. Разумеется, нам этого достаточно: достаточно уже существования отображения g. Это утверждение мы докажем индукцией по числу клеток в X. Именно, мы предположим, что X получается прибавлением одной т-мерной клетки из некоторого пространства У, для которого утверждение уже доказано (с N* вместо А). Зафиксируем для дополнительной клетки характеристическое отображение (/У”, 5т-1) -> -» (_Х, К) и возьмем над £)т индуцированное расслоение, которое, разумеется, будет тривиально. Наша задача сводится к следующей. Имеется диаграмма
в которой все отображения послойны (над 5™ *), отображение / имеет на слоях степень к , отображение g имеет на слоях степень 1 и вся диаграмма послойно гомотопически коммутативна. Известно, что отображение /' продолжается до по-
слойного отображения F: /У" X SM-1 -» S^-1. Наша цель - продолжить при некотором № отображение kN g*: Sm~x X 8м-1 ->Sm-x X S^-1, где M = kN"M, до отображения G': Ef"XSMX ->zy"XSM-x таким образом,что диаграмма
D”x зй^—*1L . в" X S*-*
ОХ*бв»х5
5 й"1,
в которой h имеет степень kN, N = N* + N", будет послойно гомотопически коммутативна. Другими словами, задача такова. Обозначим через G(М, г) пространство отображений 8м-1 -* 8м ~х степени г. Отображение g* определяет по формуле g* ^х, ^) = (х, ['>'(-*)]€>’)) некоторое отображение 7: Sm-X -+G(M, 1),обладающее тем свойством, что композиция
S'”-1 —^ G^M, 1) -^* G(M,kN),(♦)
в которой вторая стрелка есть взятие композиции с фиксированным отображением h1; 8т-х -* 8т-х степени kN , гомотопна постоянному отображению. Но 7 есть сфероид, представляющий некоторый элемент с группы
"т — I (^ k^, 1)) = "т — 1 ,
и гомотопность нулю композиции ( ♦) означает в точности, что kN с = 0.
Гомотопическая лемма. Если сфероид а: 8* -*G^M, 1), М > i,nped- s1
ставляет элемент аЕ^^то сфероид а * ..G^qM, 1),
q
а * ... * а(х) =■
= [а(х)* ... *а(х): 8М Х * ... * 8м"1 -* 8МХ * ... * 5м-1],
s представляет элемент qa Е я,.
Доказательство леммы. Можно считать, что а переводит отмеченную точку сферы 8* в тождественное отображение. Заменим отображение а* ... * а гомотопным ему отображением ai *...*aq, где at = ао^, р^. S1 -^ S1 - отображение, загоняющее в отмеченную точку дополнение к шарику dt С 8х и растягивающее этот шарик на всю сферу 8 х; шарики dt предполагаются попарно непересекающимися. Очевидно, aj * ... * aq есть сумма q сфероидов, каждый из ко- s
торых представляет в я, тот же элемент, что и а.
Теперь мы завершим доказательство, положив N" = N1. Из леммы следует, "что отображение 7 *... *7 (kN сомножителей) гомотопно 0, а это отображение индуци-
руется отображением kN gc, "так что kN g* продолжается до отображения G;
в качестве h мы берем h * ... * h (kN сомножителей).
-Теорема Адамса — До льда доказана.
Теорема Беккера - Готтлиба о существовании трансфера. Сведение общего случая гипотезы Адамса к ее одномерному случаю осуществляется при помощи чисто геометрической теоремы Беккера — Готтлиба.
Пусть G — компактная группа Ли (компактная подгруппа группы GL(N, R)), М — замкнутое многообразие с гладким действием группы G. Пусть, далее, Р". Е-*Х— гладкое расслоение со слоем М и структурной группой G.
Обозначим для пространства У через У+ сумму У LI pt. Для нас важно, что
Е^ У*= УХ 5^/7 X pt,
т.е. TV-кратная надстройка над У* состоит из TV-мерных сфер, проходящих через точки пространства У и скрепленных в одной точке (рис. 166).
Заметим еще, что 2N У* есть пространство Тома TV-мерного тривиального вещественного векторного расслоения над У (см. п. 2 § 30).
Теорема (Беккер — Готтлиб). При некотором достаточно большом N существует отображение У. 'LNX* -» LN Е*, такое, что при композиции
t
^ X* —► ln е*^х*
каждая из N-мерных сфер, из которых сделана надстройка "LNX*, отображается в себя со степенью х (ЛГ) (.эйлерова характеристика многообразия М).
Отображение t называется трансфером.
Пример. Пусть р: Е -*Х — конечнолистное накрытие. Можно считать, что Е С С X X R^ и р — сужение проекции X X R^ -*Х. Нормальное расслоение к Яв!Х R^
Рис. 166
тривиально (нормальные пространства к Е без вырождения проектируются в сомножитель R^). Обозначим через D открытый шар в R^, такой,wioEGXXD, и через U — узкую трубчатую окрестностьЕвХ X R^. Имеем отображение
А X R^/[А X (Rw — О)] —►AXR^/RAXR^)-^
IIII
S^A*—►^NE\
Это отображение мы и принимаем за t; проверьте, что требования теоремы для него выполнены.
Доказательство теоремы Беккера — Готтлиба. Конструкция отображения t в общем случае обобщает конструкцию предыдущего примера.
Лемма. Пусть М - компактное гладкое многообразие, в котором действует компактная группа Ли G. Тогда существует линейное представление группы G в некотором пространстве RN и эквивариантное (т.е. перестановочное с операторами из G) С” -вложение M-*RN.
Доказательство. Пусть L — пространство С” -функций на М. Формула gf^ = f(gx) ,g G. G,fE L, х Е М, определяет представление группы G в L. Как известно из теории представлений (см. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. - М.: Наука, 1972, п. 9.2), конечномерные подпредставления представления L порождают в L плотное подпространство; другими словами, для всякой_функдии f Е L найдется сколь угодно близкая к ней (в С” -топологии) функция /, содержащаяся в конечномерном инвариантном подпространстве L С L. Возьмем теперь произвольное С” -вложение М -* Rk; пусть fx, • • • ,А: Л/ -*R — его координатные функции. Выберем функции /i,. v , fk'. М -* R, которые содержатся в конечномерных подпредставлениях L i,..., L к С L и которые настолько близки к fx,. ■ ■, fk, что отображение М -» R* с координатными функциями fxfk снова является вложением. Пусть giX,..., gin — базис пространства Lt (п{ = dim L^. Это - функции, составляющие отображение М -> R "^которое является, в действительности, эквивариантным отображением g,: М -> Lj (штрих обозначает переход к пространству функционалов). Вместе отображения gx,..., gk составляют эквивариантное отображение М -> L '■ X ... X L ^, которое является вложением,-Поскольку среди линейных комбинаций его координатных функций содержатся fx,...,fk- Лемма доказана.
Зафиксируем теперь эквивариантное вложение многообразия М в пространство Rn представления группы G. Поскольку группа G компактна, ее действие в пространство R^ можно считать ортогональным. (Образ группы G в GL(N, R) компактен, а всякая компактная подгруппа группы GL^N, R) сопряжена с подгруппой
группы G(A)) Возьмем открытую е-окрестность Т многообразия М в RN с достаточно малым е; ввиду ортогональности действия окрестность Т G-инвариантна. Вложим теперь Rw в SN = RN U « и продолжим действие группы G в RN на SN условием g (°°) = °® при любом g Е G. Факторпространство SNI(SN - Т) есть пространство Тома нормального расслоение v к многообразию М в R^; итак, мы построили эквивариантное отображение SN -* T^vy Далее, расслоение v вкладывается в сумму v ® т, где т — касательное расслоение многообразия М, и это определяет отображение -* Т(у ®т), разумеется, также эквивариантное. Так как v ®т = N, то Т(р ®т) = ILNM* . Итак, мы построили эквивариантное отображение SN -*ILNM*
(действие группы G в ^М* = (М XSN)I(M X pt) индуцируется действиями G в MwSNy
Покажем, что степень сквозного отображения
SN
равна х (М) • Отображение устроено так: точки из SN - Тпереходят в 00 G SN, а точка х G Т переходит в вектор и G R^ С SN, параллельный перпендикуляру, опущенному из точки х на М, направленный противоположно этому перпендикуляру и имеющий длину ф (/), где / — длина перпендикуляра, а ^ - монотонная функция [0, е) -» -» [0, <»), такая, что ф (0) = 0, ф (0) = 1, ^ (г) -*°° при t-*e (рис. 167). Найдем степень этого отображения. Возьмем вектор и0 G RN — 0 С SN и посмотрим, каков его прообраз. Этот прообраз состоит из точек х G SN, находящихся от М на расстоянии / = ф~х (|и0 I) и таких, что направление перпендикуляра, опущенного из точки х на М, совпадает с направлением вектора - и0. Рассмотрим на М поле векторов длины I, параллельных -и0, и спроектируем все векторы этого поля наМ (рис. 168). Получается векторное поле на М, особенности которого в точности соответствуют точкам нашего прообраза. Читатель без труда убедится в том, что знаки, с которыми точки прообраза учитываются при вычислении степени отображения, совпадают со знаками, с которыми особенности векторного поля учитываются при вычислении эйлеровой характеристики. Это показывает, что степень рассматриваемого отображения SN -*SN действительно равна х (И).
Для каждого слоя нашего расслоения р: Е -* X его диффеоморфизм с М задан с точностью до преобразования из G. Так как наша конструкция эквивариантна, ее можно применять к слоям расслоения р: Е -*Х. В результате для каждой точки х G X получится отображение SN = S^ ^(р-1 (х)) + , переводящее точку в отмеченную точку надстройки ^(р-1 (х)) + . Вместе эти отображения составят отображение пространства, составленного из сфер S*, склеенных по точке °®, в пространство, составленное из надстроек ’LN (р-1 (х)) + , склеенных по их отмеченной точке. Очевидно, оба эти пространства являются пространствами Тома: первое — пространство Тома расслоения £ над X со слоем R^, ассоциированного с расслоением
р ; Е -* X посредством нашего представления G в R^; второе - пространство Тома расслоения р*^ над Е (тоже со слоем R^). Композиция этого отображения Т^ -* -* Т(р*£) с естественной проекцией Т(р*^) ■* T(g) имеет степень х(^0 на каждой из 7V-мерных сфер, из которых сделано пространство Тома Т^У Если расслоение £ тривиально, то этим все доказано. Если оно нетривиально, то мы найдем векторное расслоение р над X (уже не имеющее отношения к G^, такое, что сумма £ ® р тривиальна; после этого мы достраиваем очевидным образом наше отображение
до отображения
т(^®п)-*тм>Ч^®ч)).
(При переходе от Т^ к Т(£ ®т?) каждая из сфер 5^, из которых сделано пространство Т^З, тенэорно умножается на пополненный слой т?, = ^ U 00 расслоения т? над х; равным образом, при переходе от Т(р*^ к Т(р* (| ®т?)) часть пространства Т(р*^), лежащая над слоем р-1 (х) расслоения р; Е -*Х, тензорно умножается на т?,. ’’Достройка”, упомянутая выше, заключается в том, что отображение 8^ -* -* S (р-1 (х)) * , построенное на предыдущем этапе, тензорно умножается на т?'.)
Последнее отображение и есть t. Теорема Беккера — Готтлиба доказана.
Следствие. Пусть р: Е -* X u М обозначают то же, что в теореме Беккера — Готтлиба, и пусть х(^0 = 1- Тогда р*: Р(Х) -*Р(Е) есть мономорфизм для любого полуточного функтора Р.
Доказательство. Трансфер t индуцирует гомоморфизм
f: H*(E;G)-*H*(X;G)
и композиция
р*t*
Н*(Х; G)—>H4E; G) —► Н*(Х; G)
есть умножение на х (Af) • Если х (Af) = 1, то р* о t* = id, ввиду чего р* — мономорфизм, более того, мономорфизм на прямое слагаемое. (Группа коэффициентов произвольна.) Теперь спектральная последовательность Атиа — Хирцебруха показывает, что в точности то же верно для любого полуточного функтора.
Прямой образ (случай накрытии). Как мы хорошо знаем, непрерывное отображение X -* У индуцирует отображение К (У) ->К(Х). Однако уже в теории обычных когомологий и гомологий мы сталкивались с ситуацией, когда непрерывное отображение индуцирует когомологические и гомологические гомоморфизмы, "направленные не в ту сторону” (см. п. 7 § 17). Соответствующее явление в К-тео- рии мы обсудим в следующем параграфе, а сейчас мы познакомимся с ним в простейшей ситуации.'
Пусть я: У ->Х — конечнолистное накрытие, и пусть £ - (комплексное) векторное расслоение размерности п над У. Тогда над X возникает расслоение я, £ размерности hn, где h — число листов накрытия: слой расслоения iti!- над точкой х Е X есть сумма слоев расслоения £ над точками прообраза я-1 (х). Операция я; аддитивна, поэтому она превращается в гомоморфизм я>: К (У)К(Х). Равенство
dim(я!£) = /zdim £ показывает, что Я[(К(У)) С К (X). Ясно также, что гомоморфизм я; перестановочен с ^ с переходит J-тривиальные виртуальные расслоения в /-тривиальные виртуальные расслоения.
Доказательство гипотезы Адамса в общем случае. Мы должны доказать, что kN (фк(^) - £) Е Т(Х) для любых £ Е К(Х) и к и для достаточно большого N. Можно считать, что £ — настоящее расслоение; пусть dim ^ = п. Рассмотрим главное расслоение р: Е -> X со слоем U(п), ассоциированное с £. В группе U(n) выделим следующие подгруппы:
Т — диагональные матрицы;
N — нормализатор группы Т (т.е. группа унитарных матриц, сохраняющих объе- ~ динение координатных осей как множество);
Т — подгруппа группы N, состоящая из матриц, сохраняющих л-ю координатную ось.
Очевидно, T СТ С N, причем | N[T | = п! и | Т(Т | = (п - 1)!. Рассмотрим последовательность расслоений
Т(л-1)!~ ЛЩпМН
Е> ЕЦ> Е(Т► EIN> X.
PiPiРзР*
Лемма. x((/(«)//V) = 1.
Это, в действительности, совершенно общий факт: эйлерова характеристика факторпространства простой компактной группы Ли G по ее максимальному тору Т равна порядку | IV | группы Вейля, нормализатор N тора Т накрывает тор | W |-лист- но, поэтому x^GIN^ = 1. В нашем случае G(T = U(n)IT есть многообразие полных флагов с С”, а это многообразие обладает клеточным разбиением на п'. клеток, которые все четномерны, поэтому xtUWIT) = л!. Другой способ доказательства последнего равенства состоит в рассмотрении цепочки расслоений
uwirn_x
U(n)lTn ► СР"-1,...
и^1тг
.. ., 1/(3)/Тз > СР2, и^Тг = СР1
(где Тк обозначает подгруппу диагональных матриц в U(k)); нужное равенство вытекает из равенства х (СР*) = k + 1 и теоремы об эйлеровой характеристике расслоенного пространства в п. 1 § 21 Наконец, х (^(л) МО = 1 ввиду существования п!-листного накрытия U Qt^ fT-+U(n)/N.
В силу результатов п. С (см. следствие) проекция р4: E(N -*Х индуцирует мономорфизм П (X) -* П (Е/N). Поэтому нам достаточно доказать /-тривиальность для kN (фк - 1)т?, где т? = р4£. Пространство E[N устроено так: его точка - это пара (х, а), где х С X, а а - неупорядоченная системаji3 п попарно ортогональных прямых в слое £х расслоения 5- Точка пространства Е(Т есть тройка (х, а, I), в которой х и а - то же, что прежде, a / — одна из прямых, составляющих а. Рассмотрим над Е[Т одномерное расслоение со, слоем которого над точкой (х, а, /) является прямая I. Очевидно, (рз);со = т?. Значит, (pa)i [^(Ф* - 1)ш] = kN ^к - 1)тр Но виртуальное расслоение kN ^к — Т)со /-эквивалентно 0 по доказанному (п.В),а значит, и kN^k — 1) р /-эквивалентно 0. Доказательство гипотезы Адамса закончено.
Применение к гомотопическим группам сфер. В этом пункте мы займемся вычислением порядка циклической группы
7(S2")=Im(/:
Верхняя оценка. Нам известно, что К (S2n) = Z и i/M: К (S2") -*К (S2") есть умножение на кп. Таким образом, из гипотезы Адамса следует, что при любом к и достаточно большом N (зависящем от А: и и)
^(Л" - 1)ZC T(S2")..
Обозначим через /„ наибольшее целое число, обладающее следующим свойством: для любого к найдется N, такое, что kN (кп — 1) делится на dn.
Теорема. |7(52")|</п.
Это — прямое следствие доказанной в п. 2 гипотезы Адамса.
Что такое dn?.
Найдем d2. Наибольший общий делитель чисел 2VV(22— 1) = 2^ • 3 и З^З2 — 1) = = 3^-8 равен 24. С другой стороны, kN (к2 — 1) всегда делится на 24 (это достаточно проверить для |Л| <6, поскольку прибавление к к числа, делящегося на 12, не изменяет делимости числа kN (к2 — 1) на 24). Значит,/2 =24.
Найдем d3. Набольший общий делитель чисел 2Л (23 - 1) = 2Л • 7 и 3N (З3 - 1) = = 3N • 26 равен 2. Число kN (к3 - 1) всегда четно. Значит, d3 = 2.
Найдем d^. Наибольший общий делитель чисел 2^ (24 — 1) = 2^ • 15 и 3ЛГ(34 — 1) = = 3N • 80 равен 240. Проверка показывает, что kN (к4 — 1) всегда делится на 240. Значит, d* = 240.
Легко показать, что dk = 2 при любом нечетном к. При четных к числа dk выражаются через так называемые числа Бернулли. Напомним, что числа Бернулли В„ s > 1, определяются при помощи степенного ряда
формулой Bs = (- I)1 1 /?2j. (Заметим, что Sti+i = 0 при s > 0.) В следующей таблице проведены несколько первых чисел Бернулли.
S
1
2
3
4
5
6
7
8
В$
£ 6
1
30
1
42
1
30
5
66
691
2730
7_ 6
3617
510
знаменатель
Bs!4s
24
240
504
480
264
65520
24
16230
Числам Бернулли уделяется большое внимание в учебниках по теории чисел (см., например, Боревич З.И., Шафаревич ИТ. Теория чисел. — М.: Наука, 1972, § 8 гл. V). В то же время, как читатель увидит в этом и в следующем параграфе, числа Бернулли чрезвычайно важны для топологии и топологи потратили значительные усилия на их изучение. Информация о числах Бернулли, полезная для топологии, собрана в § 2 статьи Адамса ”0 группах J(X), П” (Математика: сб. перев. — 1967. — Т. 11, № 4). В частности, там доказана
Теорема. Число d-^, равно знаменателю несократимой дроби, равной 8,(4$. (См. третью строку предыдущей таблицы.)
Таким образом, числа, стоящие в третьей строке таблицы, служат верхними оценками для порядка образа J-гомоморфизма в.
Нижняя оценка. Пусть X G Я2^+2n-l (S2NV Приклеим к S2N клетку D2N*2n по сфероиду s2N*2n-^ -»s2N класса X. Получится пространство Хх, для которого [ Z при^ = 0, 2N,2N * 2п, нчхх-,г>
I 0 при остальных q.
Обозначим череза и b естественные образующие групп H2N (А\; Z) и H2N*2n (Хх; Z). Так как Xx(S2N =52ЛГ+2”,имеет место точная последовательность
0 -*K(S2N+2n) -» К(Хх) -* K(S1N) -» О,
IIII
0GZaGZ
из которой К(Хх^ — Z ®Z. Одна из образующих этой группы, мы обозначим ее через /3, определена канонически — это образ образующей /3 группы K(S2N*2ny, дру-
гая, а, определенная с точностью до прибавления кратного /3: это - прообраз образующей а группы К(S2N). Имеем:
cha=a + eZ>, eGQ,
ch^ = h
(ср. п. 2 § 39). Поскольку а определено с точностью до прибавления кратного Р, число е определено лишь mod 1. Пусть е = е(Х) G Q/Z - соответствующий вычет. Этот вычет называется е-инвариантом Адамса класса X.
Упражнения. 5. Докажите, что е; HiN*in-1 (52ЛГ) "* Q/Z — гомоморфизм.
Докажите, что е (S X) = е (X).
Пример. Пусть 7 G я7 (54) — класс хопфовского отображения S7 -» S4. Вычислим е (у).
Очевидно, Х^ = HP2; рассмотрим в К (HP2) класс тавтологического расслоения ?н> рассматриваемого как комплексное векторное расслоение. Классы Черна расслоения fn нам известны: ct (Jh) = 0 (потому что Я2 (HP2; Z) = 0), Ст (?н) - а (это — класс Эйлера расслоения £н — первое препятствие к построению сечения в соответствующем сферическом расслоении), с,- (fн) = 0 при i > 2 (потому что dimcfH = 2). Компоненты характера Черна выражаются через классы Черна. В частности,
,
ch2 = - (с2 - 2с2),
1 , ,,
ch4 = — (с4 - 4cfc2 + 2с2 + 4ciC3 + 4с4). 24
а2 b
Поэтому ch2(fH) = -а, ch4(?H) = — = ^-т-е-
1
ch = 2 — а + — b.
12
II
dimc fH
Таким образом, за а мы можем взять 2 — £д и е(у) = — 1/12.
Это означает, что подгруппа, порождаемая классом Е^у в nN+1(SN+4), имеет порядок по крайней мере 12. (На самом деле она имеет порядок 24 - см. гл. 5).
Этот пример подсказывает способ получения нижних оценок для порядка образа /-гомоморфизма: вычислить е-инвариант для /-образа группы я21_1 (U) и взять знаменатель.
Упражнение 7. Пусть £ — векторное расслоение (настоящее), представляющее элемент а группы К (S2n), и пусть dime ^ = N. Тогда пространство Тома Г(^) имеет гомотопический тип Х\, где X = J (a) € n1N+2 n -1 (S2N ).
Это утверждение показывает, что для нахождения нижних оценок порядка образа /-гомоморфизма нужно уметь вычислять характер Черна элементов К-функ- тора от пространства Тома. Это и есть предмет следующего параграфа.
ТЕОРЕМА РИМАНА-РОХА
Общая теорема Римана — Роха.
Ориентируемость векторного расслоения по отношению к теории когомологий. Пусть h - экстраординарная (возможно, обычная) теория когомологий (см. п. 5 § 37), $ = (Е, X, V, р) — некоторое (вещественное или комплексное) векторное расслоение. Рассмотрим пространство Тома Т(|). Как известно (см. п. 2В § 30), имеет место изоморфизм
Я*№ G) а НЧТ^ \ 6),
сдвигающий размерности на и = dimR {, где G есть в общем случае группа Z2, а при условии ориентируемости расслоения £ - произвольная абелева группа. Спрашивается: имеет ли место подобный изоморфизм для теории № Ответ подсказывают предыдущие формулировки: изоморфизм имеет место при некотором условии ’’ориентируемости", зависящем от h.
Далее мы ограничиваемся случаем мультипликативных теорий, т.е. предполагаем, что h(X) есть для любого X градуированное кольцо с единицей 1 Е й°(ЛЭ; более того, предполагается наличие умножения
hp(X, А) ® №(Х, В) -» hp+q(X,A UB).
Все умножения должны быть естественны по отношению к индуцированным гомоморфизмам. (Точно сформулировать аксиомы мы оставляем читателю.) В частности, все h*(X, А) оказываются модулями над кольцом ft’(pt) [ft’(pt) естественно отображается в h*(X) : гомоморфизм индуцируется отображением Х-* pt]. .
Изоморфизм надстройки /z9(pt) -* hq+n(Sn) позволяет определить (как образ единицы 1 Е й° (pt)) каноническую образующую s” Е й”(5”).
Упражнение 1. Для любого X изоморфизм надстройки Е”: hq (X) -* -*hq*ny£nX^ выражается через s”:
ЙЧХ) = Ау(Х,р1) h^X^S^S™1)
kPTaHP*sh) =
s^* pt S Л
WKU
h\o =лЖрОu4x*s"x)
Определение. (Вещественное или комплексное) векторное расслоение £ называется ориентируемым по отношению к теории h, короче, h-ориентируемым, если существует элемент и Е Л"(Т($))> и = dimR £, такой, что гомоморфизм h”(T(^)) -» h^S"), индуцированный вложением в Т(^ пополненного слоя U = = £хи 00 * 8п, переводит и в элемент вида es”, где е - обратимый элемент кольца h° (pt). Всякий элемент и с этим свойством называется h-ориентацией расслоения £.
Очевидно, всякое векторное расслоение является Я*(—; Z2)-ориентируемым, а Я*(—; Z)-ориентируемость — это ориентируемость в обычном смысле. Ниже в этом параграфе мы обследуем ориентируемость расслоений по отношению к Х-тео- рии; в п. 2 мы покажем, что всякое комплексное векторное расслоение К-ориен- тируемо, а в п. 4 мы увидим, что необходимым и достаточным условием Х-ориен- тируемости ориентируемого вещественного расслоения является равенство нулю целочисленного аналога класса w3.
Изоморфизм Тома. Предположим, что векторное расслоение £ = (Е, X, V, р) является й-ориентируемым и зафиксируем ^ориентацию и G й”(Т(£)), п = dimR £. Обозначим через Е* дополнение к нулевому сечению в Е; очевидно, hr (Т^) = = hr (Е, Е'). Отображение
t: hq^ =hq^‘U&h (Е’ Е -» hq +ЧЕ. Е') = hq*4T^
называется гомоморфизмом Тома. Иногда вместо t мы будем использовать развернутые обозначения tA или t^.
Замечание. Очевидно, t (аД) = at (0) = t (a) 0 [ = a^u].
Теорема. Гомоморфизм Тома является изоморфизмом.
Доказательство. Для А С X очевидным образом определен относительный гомоморфизм Тома
t: hq(X,A^ -> И^ЧЛ^Т^и-»,
причем диаграмма
hq-x(A) ■* hq(X,A) -* hq(X) ■*
Ф tФ tФ t
кч+п -1 аа u)) - hq*4m та и)) hq+4ray)
•* hq<A^ •* hq + 1(X,A)
Ф tФ t(♦)
- нч*чта 1аХ)^нч*н*хто, та и»
коммутативна. Если X - А есть одна клетка размерности, скажем т, то независимо от расслоения £ относительный гомоморфизм t превратится в гомоморфизм
Л’($т)-► ^"(S"’*"),
и упражнение 1 показывает, что это — S”, в частности, изоморфизм. Предполагая по индукции, что для £ |л изоморфность t уже установлена, мы получаем ее для £, применяя 5-лемму к коммутативной лестнице (*).
Впредь вместо названия "гомоморфизм Тома” мы будем употреблять название "изоморфизм Тома”.
С. Теорема Римана - Роха. Пусть h и к — две мультипликативные теории когомологий и т: h к — мультипликативное отображение, переводящее 1 G A°(pt) в 1 G к° (pt). Пусть £ — векторное расслоение, ориентированное по отношению к обеим теориям, X - его база. Рассмотрим диаграмму
кчта"» к*аа^
hк
НЧХ)
т
кЧХ).
Спрашивается, коммутативна ли она. Известные нам примеры показывают, что нет. Действительно, пусть h = к = Н*(—; Z2)HT = Sq=l + Sq1 + Sq2 + ... (мультипликативность этого отображения утверждается формулой Картапа, см. § 28). Как мы знаем,.
Г1 Sqt(l) G H*(X;Z2)
есть не 1, a w(|) = 1 + wt (g) + w2 (?) + ... - полный класс Штифеля-Уитни расслоения £ (см. п. 2 § 30).’
Определение. Элемент
Sr«) = (t«)"* °Tot«(l)
называется классом Тодда расслоения £.
Это - характеристический класс расслоений, одновременно /{-ориентированных и &-ориентированных. Предыдущий пример показывает, что «^sq = W-
Теорема. Доя любого a G h*^X^
(ft)-1 оТо^(а) = тДОЗД).
Доказательство: т(1^(а)) = т(а-1^(1)) = т(а)т^(1) = т(а)- t| ^т(?) = = ^(т(а)- ^(1))-
Это очевидное предложение и есть общая теорема Римана — Роха.Оно перестает быть тривиальным в конкретных примерах, поскольку в них оно включает в себя явное описание класса ориентируемых расслоений и явное вычисление ST. Мы убедимся в этом в последующих пунктах этого параграфа, где в качестве т выступает характер Черна ch. А в заключение этого пункта мы приведем одно следствие из общей теоремы Римана — Роха.
D. Прямой образ в экстраординарных когомологиях. (Сопоставление этого пункта с п. 2D § 40 мы оставляем читателю.) Компактное многообразие называется h- ориептируемым, если /{ориентируемо его нормальное расслоение в сфере большой размерности. Пусть X и У - два /{ориентированных многообразия и /: X -* У — непрерывное отображение. Возьмем большое, сравнительно с dim X и dim У, число N, зафиксируем гладкое вложение ц>: У -»SN и аппроксимируем отображение ф ° f : X -* SN гладким вложением ф: X -% SN. Многообразие ф(X) будет лежать в узкой трубчатой окрестности V многообразия </>( У); обозначим через U столь узкую трубчатую окрестность многообразия ф(^Э, что она содержится в V. Мы получаем отображение
SN/(SN - U) -^ SNKSN - V),
IIII
Т(у^Т(у(У))
где v (X) н v (У) — нормальные расслоения многообразий У и Хв SN. Воспользовавшись ^-ориентированностью расслоений v (X) и v (У), составим отображение
t*f1
ИЧХ^h4T(y^ ИЧУУ
Упражнения. 2. Это отображение определяется отображением/.
Если h — обычные когомологии (с произвольными коэффициентами, если многообразия X и У ориентированы, и с коэффициентами в Z2 в общем случае), то это отображение совпадает с гомоморфизмом/; из п. 7 § 17.
И в общем случае этот гомоморфизм обозначается через/;. Элемент/;aG h*(У) называется прямым образом элемента a G h*^X).
Упражнение 4. Докажите, что для любых х G А*(^), у G А*(У)
МГ^=у№У■
Пусть А и к -мультипликативные теории когомологий, т: А ->к - мультипликативное отображение, и пусть X — многообразие, одновременно являющееся А-ориен- тируемым и А-ориентируемым. Класс Тодда расслоения у(ЛЗ по отношению к т, т.е. элемент
(t"w)‘* orot^W(i) е к'^Х)
называется классом Тодда многообразия X и обозначается через У(Х) или ЗтуХу Теорема Римана — Роха имеет такое следствие (которое тоже иногда называют
теоремой Римана - Роха).
Теорема. Пусть X и Y — замкнутые многообразия, одновременно h-ориентированные и k-ориентированные, и пусть f ; X -* Y - непрерывное отображение. Классы Тодда 3(Х) и ^(У) измеряют степень некоммутативное™ диаграммы
h^X) к*(Х)
/| Ф Л
h4Y) — А* (У);
Точнее-, для любого xG.h*{X)
fx^.5<x^ = тЦ^ху-^огу
„р(У)
Доказательство. Применим к левой и правой части tk :
tfc(r)[/,(T(x).S-(Ol =
= tk [(t*) g tk (T(x)-(tk) Tth (1))] =
. v(X")v(X) -1 v(X\.v(XA
= g*tk Чт(х)-^г Tt/ \1)) = ^(r(x) Tt/ '(!)) =
= Tg (x t/,(1)) = Tg th 4XY
tVk(Y)[T(fx(x))-^Y)]='
v(Y") р(У) -1 . v(X")v(Y) -1 v(Y\
= tk [7((t/ g’t^ ;(x)).((t/ ) 7(t/ (1))] =
р(У) -1 , v(X) Р(У). p(X)
= 7[((t/ g*th^ 4x))-t^ 4V)A = Tg*thV \x).
(Мы постоянно пользуемся мультипликативным свойством изоморфизма Тома: а • t(0) = t(a) р = t(a- 0).)
Пример. Пусть А = к = Н*( — ; Z2), т = Sq, X — произвольное многообразие, У - точка. Из описания когомологического прямого образа, данного в п. 7 § 17, видно, что гомоморфизм /, : Н*{Х-, Z2) -»H*(Y; Z2) =Z2 действует по формуле х*-* (х, [ X] >. Далее, ^(X) = t~1 Sq t (1) = 1 + Wj (^) + w2 (^) + ... - полный нор-
мальный класс Штифеля — Уитни многообразия X (см. п. 2С § 30), т.е. 5\Х^ = = н*(А)-1,гдс w(A) — полный (касательный) класс Штифеля — Уитни многообразия X. (И, конечно, 5\Y^ = 1 и Sq в H*^Y\ Z2) = Z2 есть тождественное отображение.) Применим теорему Римана - Роха:
< Sqxw н^АТ1, И] > = <х, fА'] >.
Положим Sqx v w(JQ-1 = Sq а. Тогда Sqx = Sqa ^ w(JQ, x = a о Sq-1 w(A), и мы имеем:
< Sqa, [A] > = < a V Sq-*w(A), (A'] > = < Sq"1^), D(a) >,
где D — изоморфизм Пуанкаре. Это — формула By (см. п. 2D § 30).
Теорема Римана — Роха в К-теории для комплексных расслоений. Цель этого пункта — доказать, что комплексные векторные расслоения ориентируемы и обладают канонической ориентацией по отношению к К-теории, и вычислить соответствующий класс Тодда.
Пусть £ = ^Е, X, Сп, р) — комплексное векторное расслоение с (конечной клеточной) базой X. Положим
Хо(О = 1 ® Л2?ч>Л4^...,
X^S) = £® Л3£® Л$£ ф ....
МО = МО - х^ое^А).
Лемма. Если расслоение £ обладает не обращающимся в 0 сечением, то X1 ( £ ) ~ Хо (О • Более того, имеется естественная конструкция, ставящая в соответствие сечению расслоения £, не обращающемуся в 0, эквивалентность Хо (£) ** X j (?).
Конструкция. Сечение расслоения £, не обращающееся в 0, — это то же, что расщепление £ = 1 фц. Но Лг (1 фт)) = ®J+ ,- г (Л^ 1 ® Л'ч) = Лг7)фЛ'" *ч. Поэтому
Ml ®ч)Х1(1 Ф71)Ml ®ч)Х1(1 Ф71)= 1 Ф Г} Ф Л2Т} Ф Л3 7) Ф Л4 7) Ф Л5 7) Ф ...= 1 Ф Г} Ф Л2Т} Ф Л3 7) Ф Л4 7) Ф Л5 7) Ф ...
Ml ®ч)
Х1(1 Ф71)
Ml ®ч)
Х1(1 Ф71)
= 1 Ф Г} Ф Л2Т} Ф Л3 7) Ф Л4 7) Ф Л5 7) Ф ...
= 1 Ф Г} Ф Л2Т} Ф Л3 7) Ф Л4 7) Ф Л5 7) Ф ...
Рассмотрим расслоение р*'^ над Е. Это расслоение обладает каноническим сечением: слой расслоения р*^ над точкой _i' € Е естественно отождествляется со слоем ?,/(>’) G v расслоения £ над точкой р^у), и мы ставим в соответствие точке у G Е точку _v G ^р^у^. Это сечение обращается в 0 в точности над нулевым сечением X С Е, а в точках пространства Er = Е — X оно в 0 не обращается. Поэтому предыдущая лемма доставляет каноническую эквивалентность между Х0(р*О и Xj (р*О над Е* С Е, а с ней эквивалентность между Хо(Р*£ ) и X! (р*^ ). Это позволяет рассматривать
MP*U = МР*П - Хх(РЧ)
как элемент из К ^Е, Е') = К (Т (£ )). Обозначим этот элемент через и (£ ).
(Здесь используется следующее соображение. Если li, ^ — расслоения над X, между сужениями которых на А С X задана эквивалентность, то разность $1—52 может рассматриваться как элемент нз К (X, Л). Подробнее: пусть 17 — расслоение над X, такое, что сумма $2 ® т? тривиальна; зафиксируем эквивалентность $2 ®ti**N. Тогда £1 - $2 = (51 ® 4) - ($2 ® т?) = (51 ® Ч) -N и для расслоения ^ ®ц над Л задана тривиализация. Это позволяет склеить слои этого расслоения над Л и получить расслоение над X/А.)~
Теорема. (i ) Класс и ($) G К (Т ($ ) ) представляет собой К-ориентацию расслоения $; эта ориентация естественна в том смысле, что если £* — другое комплексное векторное расслоение той же размерности и 5* -* ^ — отображение, изоморфно отображающее каждый слой расслоения V на некоторый слой расслоения $, то соответствующее отображение Т^* У -> Т (£) индуцирует отображение К(Т ($)) -*К(Т (О)-переводящее и^) в и^' )".
Чтобы сформулировать следующее утверждение, рассмотрим симметрический степенной ряд
"1-е 4
Л*1*„) = п
1 = 1 ^i
и определим степенной ряд G (.Рх,..., ,у„) формулой
/'(^i*») = ('(<’1(^1*„)с»^!х„у,
где с^(л'н .... х„) - элементарные симметрические функции. Вычисление показывает, что
^O'lУ.Л = 1 - Ч".*’1 + у? (2 Л -е2) -
- -^ 0’1 - ЛЛ)* уу (6.1’1 ~‘> гО'г + 2yi -ЛЛ +.1’4)+ -
(i i ) Соответствующий ориентации u($) класс Тодда
5^ = (t/V* ch«(5) G Н\Х; Q)
равен G’OJ?)<„($)).
Доказательство. Покажем прежде всего, что из (ii ) следует (1 ). Мы должны показать, что сужение класса л($) на пополненный слой расслоения $, S2" С Т (^У есть образующая группы A" (S2”) = Z. Это сужение есть л(5о). •№ £о - (тривиальное) л-мерное комплексное векторное расслоение над точкой. Но у ^о все классы Черна тривиальны, следовательно,
(tn flch//(lo) = 6'(t lU0)c„Uoy = 1
и ch и (£о) = ty,° (1) есть образующая группы //2" (S2"; Z). А это и означает, что »(5о) G A'(S2") есть образующая.
Часть утверждения (i ), касающаяся естественности, очевидна.
' Докажем теперь утверждение (i i ). Априори очевидно, что ^( ^ ) есть характеристический класс расслоения £, т.е. однородные составляющие класса ^(^) являются полиномами от классов Черна с рациональными коэффициентами. Поэтому достаточно убедиться в справедливости нашей формулы для ^(^) в случае, когда £ есть произведение f X ... X f некоторого количества хопфовских расслоений над CPN.
Рис. 169
Далее, очевидно, что ^(?i ® £2) = ^(^О^Х^г) (это — следствие очевидного равенства X(£i ® ^2) = Х^^Х^)). Ввиду этого можно ограничиться случаем, когда £ есть просто хопфовское расслоение f над CPN. В этом случае наша формула приоб-
"1 е""Х1 N'
ретает вид У(?) = , где xG Н (СР ; Q) - образующая. Теперь заметим,
что Т (?) = СР54 +1. Действительно, фиксируем точку а G CPN*1 - CPN и проведем через а всевозможные (комплексные проективные) прямые (рис. 169). Каждая из этих прямых пересекает CPN в своей точке, т.ё. CPN*X сделано из двумерных сфер S^ , х Е CPN, скрепленных в одной точке. Значит, CPN*1 есть пространство Тома некоторого расслоения над CPN, а именно расслоения, пространство которого есть СР^*1 -а. Это - нормальное расслоение СР^ в СР^*1, т.е. ?.
Теперь покажем, что м(?) G К (CPN + 1) есть виртуальное расслоение 1 — ? над CPN + 1. Действительно, точка из CPN - это прямая в С ^+|; точка из CPN + 1 — прямая в Cw + 2, и в качестве а естественно взять прямую, перпендикулярную Cw + I. Проекция р: СР^+1 — а -► CPN индуцируется ортогональным проектированием Cw + 2 -> Cw + I. Слой расслоения f над / G CPN - это сама прямая / С С^ + 1, слой расслоения р*^ над I G CPW + 1 - а — это проекция прямой / в Cw+1; эта проекция естественно отождествляется с /. Таким образом, поднятое расслоение есть f | Cp,v+i (МЬ| используем обозначение f для хопфовского расслоения как над CPN, так и над CPN* *). Вне CPN это расслоение тривиализуется: слои без вырождения проектируются на прямую а С Cw+2. Поэтому при проектировании CPN*X — а -► Г (?) = Ср^ + * (которое гомотопически не отличается от включения CPN*X — а CPW + I) расслоение р*? превращается в хопфовское расслоение ? над
CPW + 1. Из этого видно, что «(t^XO?*?)^-/2*? как виртуальное расслоение над T^ = CPN+1 действительно есть 1—f. Значит, ch //(f) = ch(l-f )= 1 -е-х.
Наконец, когомологический изоморфизм Тома t//: H*(CPN; Z) ^ H'(CPN +1: Z) действует, очевидно, по формуле хк ^ хк*х. Поэтому
,I — с-х
^(D = t/,41 -^Л) = ——.
Теорема доказана.
Таким образом, в рассматриваемом случае теорема Римана — Роха принимает такую форму.1
Теорема. Для п-мерного комплексного векторного расслоения £ . существует естественный (по ^изоморфизм Тома t^: К(Х')-* К(Т(^, где X - база расслоения ^; при этом
ch(tla) = tX(chot ^(S)),-
где a G K(XY 1» - когомологический изоморфизм Тома и ^"(^) = G(ci(^). с2(^), • • • ... , <„(£)), где G - степенной ряд. определяемый формулой
1 -е"4
G(ev(x1.. .. ), e^.r,,...). .. .) = П
-v,•
Применение: вычисление е-инварианта. Напомним определение е-инварианта класса X G тт2л/ + 2,|-1 (S^): по X строится пространство Хх = S2N U ( d2N+1" , где /: s2^2"-* -^s2^ есть сфероид класса X; в К(Хх) = Z ®Z берется произвольный элемент а, сужение которого на S2N С X есть стандартная образующая группы К (S2 N) = Z; далее,
ch a = д + е Ь,
где a G H2N (Х\; Q). b G Н2 N+2n (Хх; Q) — стандартные образующие и е G Q; вычет с(Х) G Q/Z числа е по модулю 1 определяется классом X; это и есть его ('-инвариант.■
Наша цель — вычислить е(Х) для случая, когда X есть J-образ образующей группы A' (S2”) = Z. В §40 мы заметили, что Хх в этом случае есть пространство Тома Т(£), где £ есть расслоение над 52", представляющее образующую группы Л'(52") (см. упражнение 7 к § 40). Добавим теперь, что в качестве а можно взять и(^ G К(Т(^3; сужение //(£) на S2N как раз есть образующая группы К(S2W) по определению ориентации. Согласно теореме Римана — Роха,
ch«(£) = t/y^O = tHG(cx(^, с2(£\ • •).
Но классы с, (О с / < и равны 0 (ибо тривиальны соответствующие когомологии сферы), а cn (S ) легко вычислить:
ch £ = dim$ + s2„ G Я*(52”;0),
где s2n - образующая группы Я2”^2"; Z). Найдем коэффициент, с которым сп входит в chn. Имеем:
chn = — Рп(сх,..., сп), л I
S х” = Р„(е1(х), ...,е„(х)). t= 1
Подставим в последнее равенство xt = €„, где е„ — первообразный корень степени п из 1. Тогда будет Ci (х) = ... = еп _j (х) = 0, е„ (х) = ± 1, S х” = п. Отсюда следует, что сп входит в Рп с коэффициентом ± п, и, значит,
sn = ch^CS) = ~7(±n)c„(S), Л I.
C„(S) = ±(л-l)!s„.
Итак,
ch a = ch m(S) = 1я(1 ± (л - 1) ! д s„) = a ± (л - 1) ! д b,
где д — коэффициент, с которым сп (|) входит в G(ct (S), сг (£),...); таким образом,
е = ±(и - 1) ! д.
Легко показать, что если л нечетно и больше 1, то д = 0. Если же л = 2 m четно,
то оказывается, что д = ± (при m = 1, 2 это видно из формулы для начальной
2 m!
части ряда G^yXly2, ...), приведенной в п.2). Это доказывается так. Рассмотрим класс ^‘_1(S) = ^(c^S), c2(S),...), где
^(е^х), е2(х),...) = П.
1-е 1
Очевидно, для нашего £ этот класс равен■
а + (л - 1)д6.
Далее, элементарными средствами доказывается, что в ряде ЭД при любом к совпадают коэффициенты при ех(х)к и ек(х) [доказательство см. в книге Хирцебруха ’’Топологические методы в алгебраической геометрии”, замечание 2) в п. 7 § 1 гл. 1]. Коэффициент же при е1(х)2т легко находится: положим Xi = z, хг = ... =х„ = 0;
тогда e1(x) = z, е2(х)=... = 0,
П——П——1”Х111-е1-е1”Х111-е1-еz = 1 +z = 1 +12 212 2+ S (-1/-*J = 1+ S (-1/-*J = 1В$ -2, (2$)!В$ -2, (2$)!
П——
П——
1”Х11
1-е1-е
1”Х11
1-е1-е
z = 1 +
z = 1 +
1
2 2
1
2 2
+ S (-1/-*
J = 1
+ S (-1/-*
J = 1
В$ -2, (2$)!
В$ -2, (2$)!
*U(ex(x),e2(x),...) = ^(z.O, ...),
т.е. коэффициент при е! (х)2"1 Итак, при п = 2 тВт«W = ±(2m-l)!—(2 т)!т.е. коэффициент при е! (х)2"1 Итак, при п = 2 тВт«W = ±(2m-l)!—(2 т)!действительно равен ± Вт [ (2 т)!.действительно равен ± Вт [ (2 т)!.2 т '2 т '
т.е. коэффициент при е! (х)2"1 Итак, при п = 2 т
Вт
«W = ±(2m-l)!—
(2 т)!
т.е. коэффициент при е! (х)2"1 Итак, при п = 2 т
Вт
«W = ±(2m-l)!—
(2 т)!
действительно равен ± Вт [ (2 т)!.
действительно равен ± Вт [ (2 т)!.
2 т '
2 т '
Нами доказана
Теорема. \ J (S4m)| не меньше знаменателя несократимой дроби, равной Вт 12т. ■
Сопоставим этот результат с теоремой иэ п. 3 § 40. Мы видим, что верхняя оценка для | J (S4m)| в два раза больше нижней (числитель дроби Вт всегда нечетен), причем, поскольку в обоих случаях знак > следует читать ’’делится на”, т.е. мы доказали, что этот порядок равен либо знаменателю дроби Вт]2 т, либо знаменателю дроби Вт!^ т.
В действительности дело обстоит так (см. книгу Каруби). Если т четно, то порядок группы | J (S4m)| равен знаменателю дроби Вт]2т. Но в этом случае гомоморфизм
^ = Я4т_1(Я)* ^4т - 1(0) = Z
есть умножение на 2, ввиду чего J-образ группы 7г4т-Х(О) в я4т-1 имеет порядок, равный знаменателю Вт14 т. Если же т нечетно, то указанный гомоморфизм Z -» Z является тождественным, но зато порядок группы | J (S4 т) | совпадает со своей верхней оценкой: знаменателем дроби Вт/4 т. Таким образом, группа я4т_] при любом т содержит циклическую подгруппу, порядок которой равен знаменателю дроби Вт!4т - образ при J-гомоморфизме группы Я4т_х(О). Про зту под- s
группу известно также, что она выделяется в я4т_1 прямым слагаемым.
Теорема Римана — Роха в ЙГ-теории для спинорных расслоений. Ориентируемыми по отношению к К-теории являются не только комплексные расслоения. В действительности справедлива следующая
Теорема. Ориентируемое вещественное векторное расслоение £ в том и толь- гz
ко в том случае является К-ориентируемым, когда w3 (£) = 0, где w3 - характеристический класс, соответствующий нетривиальному элементу группы Н3 (Gt (оо, п); Z2); равносильное условие; класс w2 (£) G Я2 (X; Z2) (где X - база) является целочисленным, т.е. принадлежит образу гомоморфизма приведения р2: Я2 (X, Z) ■* Я2 (X; Z2). Выбор К-ориентации равнозначен выбору прообраза w2(£) G Я2 (X; Z) класса w2(^). (К-ориентация комплексного векторного рас
слоения соответствует классу w2(^) = ct(^).)
Мы ограничимся здесь построением Л'-ориентации для расслоения с выбранным классом w2. Полное доказательство сформулированной теоремы читатель найдет в книге Кару би.
А. Группа SpinC. В основе построения К -ориентации комплексного векторного расслоения лежит следующее наблюдение: естественное представление группы U<n^ в Л*С" разлагается в сумму AevenC" ® AoddС", причем слагаемые эквивалентны как представления группы U^n — 1) С 17(л). Мы увидим сейчас, что аналогичными свойствами обладают некоторые группы, действующие в Л* С” и значительно более обширные, чем унитарные группы.
В пространстве Л* С" есть каноническая эрмитова метрика, благодаря чему в End Л* С" имеется сопряжение * с *2 = 1. Для и G С” определим F„ G End Л*С" как оператор внешнего умножения на и и положим ф„ = Fu + F*. Очевидно, Фи = Фи . Ф^ = II и II 2 (действительно, FeF* +F*F„ = || и || 2, F^ = О, F*2 = 0) и и фу есть линейное вложение С” -> End Л* С".
Обозначим через Pinc (2 и) часть пространства End Л*С”, составленную из эндоморфизмов х: Л* С” -> Л* С", удовлетворяющих трем условиям:
(i ) х’ о х = 1 (в частности, эндоморфизм х обратим);
(п) эндоморфизм х однороден по отношению к Z2-градуировке Л*С" = = Aevenc« ф A0ddc<1.
(i ii ) для любого и G С" существует wG С” с хф„х* = ф„.
Очевидно, Pinc(2 л) — группа Ли.
Обозначим через Spinc (2 л) часть группы Pinc (2 л), составленную из отображений, имеющих по отношению к указанной градуировке степень 0: x(AevenC”) С С AevenC", x(AoddC") С AoddC”. Очевидно, Spinc (2 л) есть подгруппа индекса 2 в группе Р inc (2 л).
Каждому х G Pinc (2 л) поставим в соответствие вещественное линейное преобразование пространства С", определенное формулой и ^- w (см. условие (iii )) при х G Spinc (2 л) и формулой и ►+ — w при х ^ Spinc (2 л). Очевидно, это преобразование ортогонально (норма оператора ф0 равна длине вектора и, норма оператора х, ввиду х *х = 1, равна 1.) Получается гомоморфизм'
Рш?„>0(2 л).(*)
Предложение 1. Это - эпиморфизм, ядром которого служит группа S1 С SpinC(2n), составленная из операторов умножения на комплексные числа, по модулю равные единице. Группа Spinc(2n) является прообразом группы SO(2 и) при эпиморфизме (*).
’ - С
Доказательство. Очевидно, фи G Pin2j| для всякого единичного вектора и G С". Далее, соответствующее фи преобразование пространства С" есть отражение в вещественной гиперплоскости, ортогональной и. (В самом деле, —фифи ф„ = = -Фи = -Фи = Ф-и’ -ФиФгиФи = ~ (.Pv + Р»ИР<» + Fiv)(Fv + Fv) = ~‘ (Fv + + pw» - р*ж + FV> = жлр; - р^р^ = -цр; - р^=ф^
если и И W комплексно ортогональны, ТО -^РцФадФи = ~ФиФу/Ри =ФиФад = W) Следовательно, образ гомоморфизма (*) содержит все отражения в гиперплоскостях, и, значит, он содержит всю группу 0(2 л).
Докажем теперь, что ядро гомоморфизма (*) составляют операторы умножения на комплексные числа, по модулю равные 1. Пусть х G Pinc(2 л) — элемент ядра. Предположим, что х G Spinc(2n); тогда принадлежность ядру означает, что
х<р„ = 4>их при любом и G С . Обозначим через Си ортогональное дополнение к и в С". Очевидно, всякий элемент из Л*С” единственным образом представляется в виде ~
* п- 1
(1 + и)л д + (1 — и)л Ь, где a, b G Л Си ,
и оператор х должен переводить этот элемент в элемент вида
(1 +и) Л у(а) + (1 -и) Л z{b),
где у, z. G Spinc(2n — 2) — элементы ядра гомоморфизма, аналогичного (♦). По индукции мы можем считать, что у и z - операторы умножения на числа 3„ и 7у , по модулю равные 1. Но для любых линейно независимых и, w должно быть
х((1 + и)л (1 + w)) = (1 + и) л j3u(l + w) = 0W(1 + и) л (1 + w).
Отсюда Ру = Pw, т.е. Р не зависит от v. Аналогично, 7 не зависит от и. Наконец, р = = Зи = 3 -и =7и = 7, т-е. х есть действительно умножение на константу, по модулю равную 1.
Еще более простая индукция показывает, что элемент ядра оператора (♦), лежащий вне 8ршс(2л), равен 0.
Из доказанного видно, что Pin с (2л) порождается умножениями на константы и операторами фи. Для всех образующих, а значит, и для всех элементов группы Pin с (2л) верно, что их образ при гомоморфизме ( * ) тогда и только тогда принадлежит 5О(2л), когда сами они принадлежат SpinC (2л). Из этого вытекает последнее утверждение нашего предложения.
Замечания. 1. Аналогичная вещественная конструкция дает группы PinR(Jt) и SpinR(fc); группа SpinR (Л) двулистно накрывает группу SO^, группа PinR(&) состоит из двух компонент, одна из которых есть Spin R (А:). Группа SpinR(2n) содержится в Spinc (2л), причем проекции этих двух групп в SO(2л) согласованы.
Очевидно, О(л) включается в 8ршс(2л) в качестве подгруппы, составленной из преобразований, сохраняющих не только разложение Л*С” = AevenC” ® AoddC”, но и более тонкое разложение Л*С" = ® Л9С”. Сужение на SU(n) проекции 8ршс(2л) ->5О(2л) есть естественное вложение SU(n) ->SO(2n).
Итак, нами построены группа 8ршс(2л) и ее (унитарное) представление в А*С”, причем это представление разложено в сумму двух подпредставлений: А’С = = AevenC" ®AoddC".
Предложение 2. AevenC” и AoddC” изоморфны как представления группы Spinc (2л — 2) С Spinc (2л).
Доказательство. Вложение Spinc(2n - 2) -> 8ршс(2л) индуцируется вложением С”-1 -* С”; пусть и — единичный ортогональный вектор к С”-1 в С”. Тогда оператор tp„ : AevenC” -> AoddC” является 8ршс(2л — 2)-изоморфизмом.
В заключение рассмотрим когомологии группы Spinc (2л).
Предложение 3.Я1 (Spinc(2n)) = Z, Я2(Spinc(2n)) = 0..
Лемма. Расслоение Spinc (2л) -^SO^n} (со слоем S') нетривиально.
Доказательство леммы. В SpinL(2л) содержится двулистная накрывающая SpinR (2л) группы 5О(2л). Если бы рассматриваемое расслоение было тривиально, то сквозное отображение
Spin к(2л) -> 8ршс(2л) -ЕЕ^£^ s •
переводило бы точки слоя двулистного накрытия в диаметрально противоположные точки окружности, и мы получили бы коммутативную диаграмму
SpinR(2nH S1
5О(2л)S1,
вертикальные стрелки которой являются двулистными накрытиями. Но отображение 5О(2л)->S* должно быть гомотопно нулю, потому что Я1 (5О(2л); Z) = 0, а это противоречит петривиальности расслоения Spin R (2л) ->5О(2л).
Доказательство предложения 3. Расслоение Spinc(2n) 5О(2л) просто, потому что его слои, будучи смежными классами группы S', обладают канонической ориентацией. В спектральной последовательности этого расслоения (рис. 170) дифференциал d?1 нетривиален, поскольку его образ содержит первое (и единственное) препятствие к построению сечения (см. и. 5 § 18). Таким образом, из спектральной последовательности вытекает нужное нам утверждение.
Спинорные расслоения и их характеристические классы. Спинорной структурой. или, подробнее', комплексно спинорной структурой или $р!пс-структурой в 2л-мер- ном вещественном ориентированном векторном расслоении называется редукция его структурной группы к 8рк|С(2л). Поясним это. Как было сказано в и. 1Е § 19,2л- мерное вещественное ориентированное векторное расслоение над X может быть задано посредством покрытия {U,} пространства X и набора отображений
<Рц". l/j Л и, -> 5О(2л), удовлетворяющего определенным условиям [именно, <Pii (х )ф,к (x)fpki (х) = 1 прихЕЦ И Uj Л t/t], Редукция заключается в том, что для отображения kp.j фиксируется поднятие up, j: Uj Л Uj ->Spinc(2n), такое, что выставленное условие продолжает выполняться. Эквивалентность редукций читатель определит самостоятельно.
Векторные расслоения, структурная группа которых редуцирована к Spinc(2n), мы будем называть (комплексно) спинорными расслоениями.
Чтобы двигаться дальше, нам нужно немного расширить наши познания относительно классифицирующих пространств. Для всякой топологической группы G су-
шествует клеточное пространство BG, такое, что расслоения с конечной клеточной базой X и структурной группой G находятся во взаимно однозначном соответствии с гомотопическими классами отображений X -*BG. Пространство с этим свойством единственно с точностью до гомотопической эквивалентности. Другие свойства классифицирующих пространств: существует стягиваемое пространство EG со свободным действием группы G, такое, что BG = EGjG, в частности, имеется расслоение EG -> BG со слоем G; гомоморфизму G -* Н отвечает отображение BG -*ВН; более того, если G ^-Н — эпиморфизм с ядром F, то имеется расслоение BG -^ВН со слоем BF. Все это нетрудно доказать, самое сложное — построить пространство BG; эта трудность преодолевается при помощи универсальной конструкции Милнора, в которой EG есть бесконечный джойн группы G :
EG= ...(№* G)*G)*G...
Классифицирующие пространства некоторых групп нам известны; BU(n) = CG(°°, и), ВО(гГ) = G(°°, и), BSO(n) = G+(°°, n), и если я — дискретная группа, то Вп=К (я, 1). Дальнейшие подробности см., например, в § 4.4 книги Рохлина и Фукса.
Таким образом, существует классифицирующее пространство BSpinc(2n), обладающее тем свойством, что (комплексно) спинорные расслоения с конечной клеточной базой X находятся во взаимно однозначном соответствии с гомотопическими классами отображений X ->BSpinc (2л), и при этом характеристические классы спинорных расслоений соответствуют когомологиям этого пространства. Групповое г s'г BS'
расслоение Spin (2л)>5О(2л) превращается в расслоение BSpin (2л) >
bs1,
»BSO(n), в котором BSO(n) = G+(°°, л), BS1 = SG(1) = CG(°°, 1) = СР” = = К(Z, 2). Можно сказать больше: внедрение спинорной структуры в вещественное ориентированное векторное расслоение соответствует поднятию отображения X -> -^•BSO(n) до отображения X ->BSpinc(2n).
Из предложения 3 и спектральных последовательностей расслоений Spin^(2n)nSO(2n).
^SpinL(2n)► Д8рпЛ(2л), ZTSO^)> BSO(2n) обычным обра
зом выводится, что Н' (BSO(2n); Z) = 0 при i = 1, 2, Н3(В8О(2пУ, Z) = Z2 и //3(B SpinC (2л); Z) = 0. Из этого следует, что в спектральной последовательности
г K(Z,2)
расслоения BSpin (2л) > BSO(2n) (рис. 171) дифференциал ау нетривиа
лен; его образ содержит единственный нетривиальный элемент группы Я3 (В5О(2л); Z), который мы обозначим через W3. Теперь мы можем классифицировать спинорные структуры в ориентированных вещественных векторных расслоениях. Ориентированное вещественное 2л-мсрпое векторное расслоение ^ над X — это отображение Д: X -> В5О(2л); спинорная структура - это поднятие этого отображения в В8рщс(2л) (см. выше), т.е. сечение расслоения У -*Х, индуцированного расслоением В Spinc (2л) -*BSOQ.n^ посредством отображения Д :
У В Spiric(2 л)
K(Z,2)K(Z,2)BSOV2n).BSOV2n).K(Z,2)
K(Z,2)
K(Z,2)
BSOV2n).
BSOV2n).
Идинственным препятствием к построению этого сечения служит класс/^3, т.е. соответствующий wf характеристический класс расслоения £. Принимая во внима-
ние, что W3 = 0w2, где w2 € H2(BSO(2n); Z2) — универсальный класс Штифеля - Уитни, а 0 — гомоморфизм Бокштейна, мы приходим к следующему результату.
Предложение 4. Ориентированное вещественное векторное расслоение с конечной клеточной базой X тогда и только тогда обладает комплексно спинорной структурой, когда wf (|) = 0, или1, что эквивалентно, класс w2(|) является целочисленным, т.е. принадлежит образу гомоморфизма приведения р2: Н2(Х\ Z) ■* ■* Н2(Х; Z2). Более того, классы эквивалентных спинорных структур в £ находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами множества P2*(W2(O) с СН2(Х; Z).
Упражнения. 5. Докажите последнее утверждение предложения 4 (указание: различающие).
Комплексное векторное расслоение обладает канонической спинорной структурой ввиду включения t/(n) С SpinC (2л). Докажите, что эта структура отвечает классу fiti) Cpj’^ti))-
Предложение 5. Я*(Д Spinc (2л); Q) есть кольцо многочленов от следующих переменных: с (dime = 2), рх,.. ., рп (dimp, =4z), х (dimx = 2л). Таким образом, рациональные характеристические классы спинорного расслоения — это полиномы от классов Понтрягина и Эйлера этого расслоения, рассматриваемого как ориентированное вещественное векторное расслоение без спинорной структуры, и характеристического класса с, который является образом в рациональных когомологиях целочисленного класса из р2х (w2(|)) задающего спинорную структуру.
Первое утверждение вытекает из спектральной последовательности расслоения 'K(Z,2)
В Spin (2л)* BSO(2n) и вычисления рациональных когомологий простран
ства BSO(2n)„ проделанного в § 19. Остальное оставляется читателю в качестве упражнения.
Как уже не раз говорилось, комплексные векторные расслоения являются спинорными расслоениями. Поэтому характеристические классы спинорных расслоений являются и характеристическими классами комплексных векторных расслоений и должны выражаться через классы Черна. Это выражение легко найти, вычислив классы с, pt, х Для расслоения f X . .. X f над СР” X ... X CPN (л сомножителей). Вычисление приводит к следующим результатам.
с(ГХ...ХП = Х1 + ...+х„,
Р^Х.-.Х^е^,...^,
Х«Х...Х^ = хх ...х„,
где е, — элементарные симметрические многочлены. Это позволяет прямо выразить с, Pi. X через с{:
с = <4, pt = с2 + ct_xcHX + ... + сгь х = сп.
Впрочем, это прямое выражение не столь полезно, как предыдущее косвенное.
К-ориентация спинорных расслоений, класс Тодда и теорема Римана - Роха. ^-ориентация спинорного расслоения £ = (Е, X, V, р) строится по образцу Е-ориента- ции комплексного векторного расслоения. Унитарные представления группы SpinC(2n) в AevenC" и AoddC" позволяют построить по £ ассоциированные расслоения с базой X и слоями AevenC" и AoddC”; эти расслоения мы обозначим через Xoti) и Xiti). Поднятые расслоения p*Xoti) и р’ХД^) канонически изоморфны над Е* = Е - X в силу предложения 2; поэтому разность p*Xoti) — P’Xiti) может
рассматриваться как элемент группы К(Е, Е*) = К(Т(^)); этот элемент мы обозначим через и(^).
Теорема, (i) Элемент и (£) представляет собой К-ориентацию расслоения У (ii) Класс Тодда
^=ГН1 сУхи^Н^ЧХЛ)
равен
e^^A^px^.p^Y-.-Y
где степенной ряд А определяется формулой
А(сх(х2, Хг, - .), е2(х2х, хУ.. )= П—.
Замечания. 1. Характеристический класс А (.Рх^У PiU), • • •) называется (приведенным) классом Атиа - Хирцебруха вещественного расслоения £.
Заметим, что определенная в п. 2 АГ-ориентация комплексного векторного расслоения совпадает с АС-ориентацией в спинорном смысле расслоения £.
Доказательство теоремы, по существу, нам уже известно. Как и для аналогичной теоремы из п. 2, утверждение (i) следует из утверждения (ii). Вычисление же класса ^(j) производится из следующих соображений. Во-первых, если расслоение ^ комплексно, то наш класс ^(?) совпадает с классом 3\^) из п. 2. Во-вторых, класс ^(5) является стабильным, т.е. 5Х£ ® 2) = 5\У). Поэтому ^(0 не может зависеть от х- Эти свойства 5(^) полностью его определяют (поскольку симметрический многочлен от хх,... не может выражаться через ex(xi, . . .) и е, (х2, . ..) разными способами) . Остается воспользоваться тождеством
_ -хр^Ц
хх/2
Приведем результаты вычисления начальных отрезков рядов А (р) и А (р) -1:
А(р) = 1 + ~Pi+4Р2) + - ■ •,
245760
.11,
А(р) 1 = 1рх +(7р, - 4р2 ) + . . .
245760
Сопоставляя общие теоремы из п. 1 с результатами проделанных выше вычислений, Мы приходим к главным результатам этого пункта — теоремам Римана — Роха для изоморфизма Тома и прямого образа.
Теорема. Пусть ^ - комплексно спинорное векторное расслоение с конечной клеточной базой X. Тогда для любого аЕК (X)
ch(t^a)= t^(cha- ec^l2A(px(^ р2(0, ■ • - ).
Теорема. ПустьХ, У - многообразия, нормальные расслоения v^, v^ у) которых в сфере большой размерности наделены комплексной спинорной структурой, и пусть f . X ~*Y - непрерывное отображение. Тогда для любого аЕК (X)
/,(cha- e-cWX'>'>A(pi(X))= ch(/,a) • e-c<-v<-Y^A(Pi(Y))
(Pt(X) = pi(v(X)), Pi(Y) = Pi(v(Y)) — нормальные классы Понтрягина многообразий X, Y).
Большое количество других формулировок в этом роде читатель найдет в § 4 гл. V книги Каруби.
Первое применение: теоремы целочисленное™. Последняя теорема весьма содержательна уже в случае, когда Y есть точка.
Теорема. Пусть X - замкнутое гладкое ориентированное многообразие, такое, что класс w2(X) является целочисленным, и пусть с G Нг^Х\ Z) — какой-нибудь класс, переходящий при приведении mod2 в класс w2(X). Тогда для любого a G € К (X) класс_
е-с'гс\\аА-ЧРЛХХ Pi^,...')
принимает целое значение на фундаментальном гомологическом классе [X] многообразия X.
Доказательство. Применим последнюю теорему предыдущего пункта к отображению/: X-*pt. Имеем:
Z 9dim/|a = ch/]Q = (ch/а) -5(pt) =
=/l(cha- e^W^A^p^X). p2W, - • - ) =
=Яе-с!г • ch a • A-* ( P1 (X), p2(X),... ) =
= <e-cl2 cha A-4Pi<X),P2^,...\ [X] >
(мы воспользовались равенством Л(р) = Л “’(р"), являющимся следствием очевидной мультипликативности класса А: A (f ® 1?) = А (^ )Л (т?) ).
Положим в последней формулировке а = 1 (случай а Ф 1 тоже весьма содержателен, как мы увидим в следующем пункте). Получаем утверждение о делимости характеристических чисел многообразий с целочисленным классом w2.
Примеры. Пусть X — замкнутое ориентированное многообразие, с € Нг^Х-, Z) - произвольный класс, переходящий в w2 при приведении mod2. Если dim Л" = 4, то pi — — Зе2 делится на 24. Если dimX = 6, то с3 - ср у делится на 48. Если dimX = 8, то 15с4 + ЗОр^2 + 7р2 - 4р2 делится на 5760. (Всюду подразумевается делимость в группеHdimX(X; Z).)
Использование вещественного Х-функтора позволяет иногда несколько усилить эти результаты. Именно, ориентируемость по отношению к вещественной Х-теории ориентируемого вещественного векторного.расслоения равносильна редуцируемое™ его структурной группы не к группе Spinc, а к меньшей группе SpinR. Последнее означает, что класс w2 уже не просто является целочисленным, а равен 0. Зато вещественный класс Тодда отличается от комплексного класса Тодда множителем 1/2, и это позволяет в случае w2 = 0 улучшить теоремы делимости на множитель 2.
Прим еры. Пусть X — замкнутое ориентированное многообразие с w2 = 0. Если dimX = 4, то р, делится на 48. Если dimX = 8, то 7р2 - 4р2 делится на 11520.
На первый взгляд это дополнение кажется мало существенным. Для иллюстрации противоположного рассмотрим случай, когда X — замкнутое односвязное гладкое четырехмерное многообразие с w2(X) ~ 0. Из формул By для классов Штифеля - Уитни (см. п. 2 § 30) с легкостью выводится, что последнее утверждение равносильно тривиальности гомоморфизма Sq2: Нг^Х\ Z2) -►НХХ; Z2), который является не чем иным, как возведением в квадрат. На языке целочисленных гомологий это означает, что квадрат любого двумерного когомологического класса четен, т.е что у матрицы формы пересечений Н2<Х; Z) X Н2(Х\ Z) -> Z на диагонали стоят четные числа. В алгебре есть термин, описывающий эту ситуацию: четная форма; имеется теорема Серра, утверждающая, что сигнатура четной унимодулярной целочисленной формы делится на 8. Но, как известно (см. п. 5 § 19), сигнатура этой формы равна (р] (X), [X] >/3. Значит, наша комплексная теорема целочисленности только повторяет алгебраический результат, а более тонкая вещественная теорема превращается в следующий весьма содержательный факт.
Теорема. Сигнатура формы пересечений замкнутого односвязного гладкого четырехмерного многообразия Xс wi(X) = 0 делится на 16.
Это - знаменитая теорема Рохлина, доказанная в 1952 г. Она показывает, что не всякая целочисленная унимодулярная квадратичная форма может быть формой пересечений замкнутого гладкого односвязного четырехмерного многообразия; этот факт имеет в топологии бесчисленные применения. Заметим, что до 1982 г, кроме форм, запрещаемых теоремой Рохлина, не было известно никаких квадратичных форм, не способных быть формами пересечений односвязных замкнутых гладких четырехмерных многообразий. Такие формы стали в большом количестве известны после работы Доналдсона, доказавшего,что если форма пересечений гладкого замкнутого односвязного четырехмерного многообразия положительно определена, то она приводится над Z к сумме квадратов.
Второе применение: теоремы невложимости. Теорема Римана — Роха и теоремы целочисленности допускают следующее усиление. Пусть т: h -*k — мультипликативное отображение одной мультипликативной теории когомологий в другую, и пусть £ — векторное расслоение, ориентируемое по отношению к теории к, но, вообще говоря, не ориентируемое по отношению к теории к. Пусть ик € к(Т(О) есть Л-ориен- тация и ий € к(Т(^)) есть произвольный элемент. По ик и uh строятся, соответственно, изоморфизм Тома tk и гомоморфизм Тома th, причем последний, как и первый, обладает мультипликативным свойством.
Теорема. Для любого aGh (X) (X - база расслоения ^ )
t^Tth(a) = T(a)SX£),
где ST^ = tk1Tth(l)ek(X\
Доказательство прежнее (см. п. 1). '
Формулировки теоремы Римана — Роха для прямого образа и теоремы целочисленности (для случая т = ch) остаются прежними, и мы их не повторяем.
Рассмотрим следующий пример. Группа SO(2k) обладает унитарным представлением в Л*С2к. Определен оператор
: Л'С2*- Л2* "'С2*,
в частности,'
: АкС1к^ЛкС2к.'
Пространство Р?С1к разлагается в ортогональную сумму пространств Л+С2к и Л* С2*, соответствующих собственным значениям 1 и —1 этого оператора. Положим
С - Л*С2к +Л2С2к - ... +(-1)*-,Л*-,С2* +(-1)*Л+С2* = Го - г,,
где То и Тх - унитарные представления группы SO^k^. Очевидно, эти представления эквивалентны как представления группы SO(2k — 1). Поэтому для любого 2Л-мер- ного ориентированного вещественного векторного расслоения £ = (Е, X, V, р) мы, в полной аналогии с предыдущим, получаем элемент
® = ТорЧ- T1P4GK(E, Е- х^ = к^.
Обозначим через В(£) аналог класса Тодда для и (О- Вычисление (совершенно аналогичное предыдущему) показывает, что
1 Г * ех* - е~х* к (ех‘ - 1)(е-*' — 1) "
В(О = - П + П -- ,
2 . #= 1 Xji = 1X,-.
Р,® = Ci(x2,..., х^), X® = *i .хк.
Упражнение 7. На основании этого вычисления покажите, что и(^), вообще говоря, не есть /С-ориентация.
Соединяя все результаты этого пункта, мы приходим к следующему результату. Теорема. Число
<eha* Я(р(2Э)ЛЛ>
является целым для любого аЕК(X).
Введем теперь несколько обозначений. Для г Е №ven(Л"; Q), z = z 0 + z j + z 2 +..., z,- E H2' (X; Q), положим z <f) = S^r^z,; напомним, что если z = cha и Г E Z, то z <f) = chi//a (cm. n. 1 § 39). Положим для замкнутого 2л-мерного многообразия X, класса сЕ Н1 (Л"; Q) и виртуального расслоения а Е К (ЛЭ
HV) = <ес12 (cha)<'> • A^PiW, р№,. . .\ [Х]>.
Это — многочлен от t степени п с рациональными коэффициентами; коэффициент при г" в нем равен <ch„a, [Х]>. Доказанная в п. 5 теорема (вместе с замечанием, что (cha)^r^ = ch V^ct) показывает, что если v^ (X) = 0 и ргс = н^ЛЭ, то многочлен H(t) принимает в целых точках целые значения. Применение последней теоремы целочисленности позволяет доказать, в дополнение к этому, следующее утверждение.
Теорема. Если многообразие X допускает гладкое вложение в S2n*2k, то число■
2"+*-*я(1/2).
является целым.
Доказательство. Как было доказано в п. 6 § 19, класс Эйлера нормального расслоения вложенного многообразия в сфере всегда равен 0. Поэтому в выражении для B(v (X)) второй член, а именно,
п (е*« - 1)(е~*«-1)’
Xi
равен 0: он делится на X] . . . х^. Значит, в выражении для В (у (ЛЭ) мы можем оставить только первый член, откуда видно, что
cha - В(р(Х)) = (-\)к2п*к-1Н(Ц2).
[Действительно,
chaext-e^xish(x,-/2)
П и 2"+k-*(cha)1/2 П ' -
2х,-х,/2
имеют одинаковые 2и-мерные составляющие (формальные переменные х, имеют размерность 2). ]
Теперь мы можем доказать сильную теорему невложимости.
Теорема. Пусть X — гладкое замкнутое многообразие размерности 2п>2 с wf (ЛЭ = 0, и пусть существует такое a Е К (ЛЭ, что (заведомо целое') число <n!ch„a, [X]) нечетно. Тогда X не вкладывается в S4n~2a^, где а(п) - число единиц в двоичной записи числа п.
Доказательство. Рассмотрим многочлен Н (t), построенный по произвольному с Е pV (н^ЛЭ) и по а из формулировки теоремы. Согласно сказанному выше,
этот многочлен принимает в целых точках целые значения. Значит,
Н^ = а„Н^ = а„Г(Г-1)...(Г-И + 1)Г(Г-1)...(Г-И + 1)п!п!Г(Г - 1) . ■ .(Г- И + 2) + а"-Х (п — 1)!Г(Г - 1) . ■ .(Г- И + 2) + а"-Х (п — 1)!
Н^ = а„
Н^ = а„
Г(Г-1)...(Г-И + 1)
Г(Г-1)...(Г-И + 1)
п!
п!
Г(Г - 1) . ■ .(Г- И + 2) + а"-Х (п — 1)!
Г(Г - 1) . ■ .(Г- И + 2) + а"-Х (п — 1)!
г(г-1)
. . . + Д2 + 0,1 +а0,
2
с целыми а, . Так как д„ = (п! ch„a, [X] > (см. выше), то а„ нечетно. В силу предыдущей теоремы, 2”+к-1 Я(1/2) — целое число. В то же время предыдущее выражение для Н показывает, что
2" + к -1 Я(1 /2) = 2* - J (ап b + пс)/п!,
где 6 — нечетно число, а с — четное число. Наконец, хорошо известно, что в разложение числа п! на простые множители входит ровно n — a(n) двоек. Значит, к — 1 > > п - a(n). Теорема доказана.
Условие теоремы, касающееся существования а, выполнено, если в Нг(Х; Z) имеется такой элемент d, что число < d", [X ] > нечетно: в этом случае в качестве а мы берем класс одномерного расслоения £ с сД?) = d, и будет ch£ = ес'^ = ed, ch„ = d"jn'..B частности, теорема приложима к комплексным проективным пространствам:
Следстви е. СР" не вкладывается в „у4”-2"^).
Чтобы оценить силу этого результата, сравните его с теоремами невложимости из п. 6 § 19. Например, СР1000 в силу результатов § 19 не может быть вложено в R2046, а в силу наших теперешних результатов - в R3988. (Добавим, что в силу общих теорем дифференциальной топологии СР1000 вкладывается в R3999.)
Все результаты этого пункта принадлежат Атиа и Хирцебруху и изложены в их статье ”0 невложимости дифференцируемых многообразий” (Математика: сб. перев. 1961. — Т. 5, № 3). В этой статье читатель найдет и другие интересные результаты. Предостережение: переводчик этой статьи то, что мы называем вложениями, называл погружениями.
7. Заключение: происхождение названия. Название "теорема Римана - Роха" известно в алгебраической геометрии. Там так называется формула
r(-D)-i(D) = d(D)-^+l,
где D — дивизор на римановой поверхности X рода#, </(/)) - его степень, r(—D) - размерность пространства мероморфных функций на X, дивизор которых больше или равен —D, и /(О) — размерность пространства мероморфных форм степени 1 на X, дивизор которых больше или равен D. Эта теорема может рассматриваться как вычисление эйлеровой характеристики пучка ростков голоморфных сечений голоморфного расслоения над X, определяемого дивизором D. Первоначальная редакция теоремы целочисленности (см. п. 5) выглядела как обобщение теоремы Римана — Роха; см. статью Атиа и Хирцебруха ’’Riemann - Roch theorems for differentiable manifolds” (Bull. Amer. Math. Soc. — 1959. — V. 65. — P. 276 — 281):
T e о p e м а. Пусть X - неособое комплексное проективное алгебраическое многообразие, с - его первый класс Черна, — голоморфное расслоение над X. Тогда значение на [X] когомологического класса
c^ ch^-A-VPi^), р2(^),...)
равно эйлеровой характеристике пучка ростков голоморфных сечений расслоения £.
При перенесении этой теоремы из голоморфной ситуации в дифференциальную эйлерова характеристика исчезла, осталось утверждение о целочисленности. Но тео-
рема по-прежнему называлась теоремой Римана — Роха. Затем это название стало прилагаться к более общим теоремам — вплоть до теорем п. 1.
Вообще стоит сказать, что среди создателей /С-теории только Адамс был "чистым топологом"; Ботт был известен своими работами по геометрии и вариационному исчислению в целом, Атиа, Хирцебрух и особенно Гротендик — работами по алгебраической геометрии. Последнее обстоятельство сказалось на принятой в К-теории терминологии. Кроме названия "теорема Римана — Роха" алгебро-геометрическое происхождение имеет сам термин "К-функтор". Добавим, что рассматривавшийся в п. 6 многочлен Н (г) был назван Атиа и Хирцебрухом многочленом Гильберта многообразия X — на том основании, что он является таковым в случае, когда X — проективное алгебраическое многообразие, с — его первый класс Черна и а — сужение на X хопфовского расслоения над объемлющим проективным пространством.
ФОРМУЛА АТИА - ЗИНГЕРА (НАБРОСОК)
Формула Атиа — Зингера для индекса эллиптического оператора является одним из наиболее значительных достижений математики последних десятилетий. Ее значение не исчерпывается ее бесчисленными приложениями: она напомнила аналитикам о необходимости изучать топологию и топологам о необходимости изучать анализ, способствовав тем самым возрождению математики как единой науки.
Теореме Атиа — Зингера посвящены целые книги (наиболее известен "Семинар по теореме Атиа — Зингера об индексе" Р. Пале, переведенный на русский язык). На этом фоне настоящий параграф преследует скромные цели: возбуждение у читателя интереса и общее знакомство с предметом.
Эллиптические операторы и их индексы. Пусть V — область в Rn, С ”((/)- пространство комплекснозначных функций класса С ” на (/и
D: C”(t/)^C“((7)
— дифференциальный оператор порядка к. (Последнее проще всего выразить на языке координат, но можно описать и инвариантным образом: если функции f,g^ ЕС” ((/) имеют в точке х Е Uодинаковые fr-струи, то Df(x) = Dg (х).)
(Напомним определение струи. Если X, У - многообразия и хЕ X, у Е У — точки, то m-струя с источником х и устьем (значением) у определяется как класс отображений /: ^Х,х) ■* (К, у) относительно следующей эквивалентности: f~ g, если II/(z) — y(z) II = О( II z — х II m), нормы берутся по отношению к произвольным локальным системам координат.)
Предположим, что D есть оператор порядка к (и не есть оператор порядка к — 1). Символ (или главный символ') oD оператора D есть функция на пространстве T*U кокасательного расслоения т * (U) области U. В координатах символ определяется так: если
dk
D =2 <рк к (х) —£к— + члены меньших порядков,
/с, + . . . + кп =к" ЭХ] 1 . .. дхп"
то
ао(х1;... ,x„;^i,. .. Дп) =2 Фк,.. .knW^*1 • • Лпп ,
kv*...*kn=k1"
где ^i = dx; — координаты в кокасательном пространстве. Существенно, что символ может быть описан бескоординатным образом. Именно, отождествим пространство
Т * Uс пространством J1 (I/, R) 0 1 -струй функций со значением 0. Тогда
оо^ = -^- Dfk(x\
где у> G J1 (U, R) о, / — произвольный представитель 1 -струи у>.
Это инвариантное определение символа позволяет обобщить его на случай, когда D есть дифференциальный оператор С” (%) -*С” (%), где X - произвольное гладкое многообразие; в этом случае Оу есть функция на пространстве Т *Х ко касательного расслоения т * (%) многообразия X. Дальнейшее обобщение: пусть t, Ч — комплексные векторные расслоения с базой X. Очевидный смысл имеет высказывание, что
D: C”(^-*C”(ti)
(где С” (£), С “ (т?) — пространства гладких сечений) есть дифференциальный оператор порядка к. Пусть р — проекция расслоения т * (X). Тогда символ оператора D определяется как отображение
oD: Р’^^Р*^
действующее по формуле
у, z) =^у, -^- [D^g)] (х^ ,
где yEj(X, R)o — кокасательный вектор к X в точке xG X, z G £х — точка слоя расслоения £ над х и g - такое сечение расслоения £, что g(x) = z. Таким образом, символ oD линейно отображает слой расслоения р*^ над кокасательным вектором к многообразию X в слой расслоения р*т? над тем же кокасательным вектором. Очевидно, над нулевым сечением ХСТ'Х символ ру представляет собой нулевое отображение.
Оператор D называется эллиптическим, если для любого ненулевого кокасатель- ного вектора и оператор Оу определяет изоморфизм (p*^)v "*(p*’?)v
В анализе доказывается
Теорема. Эллиптический оператор на компактном многообразии X имеет конечномерное ядро и конечномерное коядро.
Доказательство см. в книге Пале.
Оператор с конечномерным ядром н конечномерным коядром называется фредгольмовым. Индекс ind D фредгольмова, в частности эллиптического, оператора D определяется формулой
ind D = dim Ker D - dim Coker D.
Мотивировкой этого определения служит тот факт, что при деформации оператора в классе фредгольмовых операторов размерности ядра и коядра могут измениться, но индекс не меняется. Этот же факт послужил мотивировкой обшей проблемы, поставленной в 50-е годы И.М. Гельфандом: выразить индекс эллиптического оператора в топологических терминах.■
Формула Атиа — Зингера и является решением этой обшей проблемы Гельфанда.
Прежде чем перейти к рассмотрению формулы, мы рассмотрим несколько примеров.
Примеры. (Все примеры, рассматриваемые здесь и в п. 4, предполагают знакомство с теорией де Рама, не вошедшей в нашу книгу. Читатель, не знакомый с этой теорией, должен либо пропустить этот пункт и п. 4, или, что лучше, выучить тео-
рию де Рама. Она изложена во многих книгах, например, в книге Дубровина, Новикова и Фоменко’’Современная геометрия. Методы теории гомологий" и в книге де Рама ’’Дифференцируемые многообразия’’.)
А. Пусть X — замкнутое гладкое ориентированное 2и-мерное многообразие с фиксированной римановой метрикой (т.е. с фиксированными евклидовыми структурами в слоях косательного расслоения, гладко зависящими от точки базы). Обозначим через ttk X пространство внешних дифференциальных С “-форм степени к на X. Имеются операторы:
d-. ^lkX-^Q.k^X,
♦ : ПкХ-*Я2"-кХ,■
6: Пк-хХ-*ПкХ,
где d — внешний дифференциал, * - послойный оператор, определяемый формулой
[♦d (v1,...,u2n_fc)=[♦d (v1,...,u2n_fc)=^(Wv, ...,Wk)^(Wv, ...,Wk)
[♦d (v1,...,u2n_fc)=
[♦d (v1,...,u2n_fc)=
^(Wv, ...,Wk)
^(Wv, ...,Wk)
в которой Ui,. .., и1п_к — касательные векторы в некоторой точке многообразия X,W!,... ,wk — произвольные линейно независимые векторы, ортогональные векторам Ui,..., «2П-к (проверьте корректность этого определения), и 6 =♦ d ♦.Очевидно, d и 6 — сопряженные операторы. Рассмотрим оператор
d + 6: П*Х^П*Х.
Упражнение 1. Докажите, что d + 6 — эллиптический оператор.
Вычислять индекс' этого оператора бессмысленно: он самосопряжен, его ядро и коядро сопряжены друг другу и имеют одинаковые размерности, и, значит, индекс равен 0. Чтобы поправить дело, рассмотрим оператор
(d+5)|: I2evenX^I2oddX
Jnevenx
Очевидно, форма ^&й?кХ принадлежит ядру оператора d + б тогда и только тогда, когда d^ = 0 и 5^ = 0. Формы с этим свойством называются гармоническими. Известна теорема Ходжа: каждый класс дерамовских когомологий содержит одну и только одну гармоническую форму (т.е. если форма ф замкнута, dф = 0, то существует единственная гармоническая форма ^, такая, что ф — >рЕ Imd). Это позволяет (ввиду теоремы де Рама) произвести отождествление ■
Кег(^ + 5)|пеуеп^=Я-=п№К).
Коядро Coker(d + 6) | еуеп есть ядро сопряженного оператора, который есть не что иное, как И + 5) I . . : noddX-> fievenX. Значит,
Coker(dtS)|ne,e^-№"(XR)
= dimЯеуеп(Х; R) - dim^odd(X; R) = X(X ).
Очевидно, ( * | к )2 = (-1)к. Определим оператор
а: ПкХ-*П1п-к X
как ♦ • jkUt-iVn Ясно, что а2 = 1. Положим ,
£2* X =t фЕ £1* I а(^) = ±ip^
Упражнения. 2. (d +5) (Я* X) С Я* X.
Покажите, что если л нечетно, то индекс оператора (d + 6) |п, ^ равен 0, а если п четно, то он равен сигнатуре формы пересечений многообразия X.
Формула. Пусть
D: С-^С"Чи)
- эллиптический оператор,'
OD- Р*^Р*Р
— его символ (более подробные обозначения см. в п. 1). Поскольку од есть изоморфизм над дополнением к нулевому сечению, оно позволяет рассматривать разность р‘т? - р*£ как элемент из К(Т(т‘(АЭ)) (ср. пп. 2, 4, 6 § 41). Обозначим этот элемент через SD и положим
№ven(%;Q), если х четномерно,
ch D = ch Ln £ *.
■ ^77 d (X;Q), если X нечетномерно.
Теорема.
indD = ((chD- ^-'(Ct^XD, [X] >,
где 5 (Ст (%)) обозначает класс Тодда (в смысле п. 2 § 41) комплексификации касательного расслоения. Другими словами,
^~\Ст(Х))=и(рх(Х), р2(^ ),...),
где степенной ряд U определяется формулой
х2
U(ex(x]\ е2(х}), ...)=- II -^—— .
(1-е *0(1 - е е)
Эта теорема по форме напоминает теорему Римана — Роха. Во всяком случае, целочисленность правой части может быть установлена средствами §41 (см. п. 6). Но, конечно, главным в этой теореме является тот факт, что эта правая часть равна индексу оператора. Мы не излагаем здесь доказательства этой теоремы, укажем только его общий план. Нетрудно показать, что если расслоения £ и т? продолжаются до расслоений £ н т? над компактным многообразием W с краем X и эллиптический оператор D продолжается до эллиптического оператора О: С“(£) -* С" Vp), то индекс оператора D равен 0. К тому же индекс эллиптического оператора аддитивен (если X = Хх U Х2 и D = Dx U D2, то ind D = ind Dx + ind D2) и мультипликативен (если X = Xx X X2 и D = Dx ® D2,to ind D =ind Dx ind D2). Все это позволяет свести общую задачу вычисления индекса к задаче вычисления индекса нескольких конкретных операторов, которая решается без труда.
Снова примеры. А. Символ оператора d + 6 (рассматриваемого во всем пространстве И*Х) устроен так. Над кокасательным вектором и Е Т*Х к многообразию X в точке х Е X это — оператор фи : (Д*Т,Х) ® С -* (/СТ^Х) ® С (см. п. 2 §41).
Положим D = (</ + 6) lnevenx- Сравнивая конструкцию SD с построением из п. 2 § 41, мы находим, что Sp есть в точности каноническая Х-ориентация и (Ст* (Л)) G G Х(Т(Ст*(Х)))комплексного расслоения Ст*(^), суженная с Г(Ст*(^)) на Г(т'(%)).
Упражнение 4. Пусть £ - произвольное ориентированное (в обычном смысле) вещественное векторное расслоение, С£ — его комплексификация, т?:Т(£) -*Т(С£) — вложение, индуцируемое естественным вложением £ -* С£. Тогда для любого a G еН*(Т(С£У; G) имеет место равенство
Теперь применим формулу Атиа — Зингера:
indZ) = ((chZ)- 3^(СтЧХ))\ [Y] ) =
= < (^„Wy1 ch Ъо • 3 - <СтЧХ^, [ЛГ] > =
^((Г^ГсЬт^Ст*^ з-чстчх))), №> =
= <((<<^)-177.chM(CT*W) S-,(Cr*(^))), [X] > = -((хСтЧ^^’^Гсь и(СтЧХ))- З'ЧСтЧХ))), m > =
= < х(7*(Л*)) • З^т*(-Y))' 3"' (Ст• (^)), m > = < х(т*(X)), [ЛГ] > = х(Х) -
— эйлерова характеристика X. Таким образом, вычисление при помощи формулы Атиа — Зингера привело нас к тому же результату, что прямое вычисление в п. 2А.
В. Вычисляя при помощи формулы Атиа - Зингера индекс эллиптического оператора, рассматривавшегося в п. 2В, мы приходим к выражению индекса этого оператора, т.е. сигнатуры многообразия, через классы Понтрягина. Читатель может самостоятельно убедиться в том, что получаются в точности формулы, известные нам ло п. 6 § 19.
С. Пусть X — комплексное многообразие, т? — голоморфное расслоение над ним. Рассмотрим пространство ^^(Х', т?) дифференциальных форм типар, q на X с коэффициентами в сечениях расслоения р и дифференциал d" : ПР’Ч(Х; р) -* -* S2P’ч* 4X;q). В силу известной теоремы Дольбо (см. например, книгу Черна ’’Комплексные многообразия”) когомологии пучка '6‘w(t?) ростков голоморфных сечений расслоения т? могут быть вычислены при помощи комплекса
. ..^a°’q(X,q)^ п°*ч*Чх;я)-*...
Из этого с легкостью выводится, что индекс оператора (d" + б") lno,even(^. ^) есть не что иное, как эйлерова характеристика S(—l)r dim Hr (X; q) пучка Г6Ш^У Вычисляя этот же индекс при помощи формулы Атиа — Зингера, мы получаем выражение этой эйлеровой характеристики через топологические инварианты — разумеется то самое, которое содержится в теореме Атиа — Хирцебруха, приведенной в п. 7 § 41.
D. Добавим, что все теоремы целочисленности из §41, не исключая теоремы из п. 6 этого параграфа, могут быть выведены из формулы Атиа — Зингера при надлежащем подборе операторов.
43. КОБОРДИЗМЫ
Как и теорема Атиа — Зингера, теория кобордизмов является предметом целых книг (см., например, ’’Заметки по теории кобордизмов” Стонга). В этом параграфе мы ограничиваемся определением кобордизмов, перечислением их основных свойств и сопоставлением их с £-теорией.
Определения.
А. Бордизмы. Пусть X — топологическое пространство. (Замкнутым) п-мерным сингулярным многообразием пространства X называется пара (М, f), где Л/ — замкнутое гладкое «-мерное многообразие и/ — его непрерывное отображение в X. Сингулярные многообразия (Л/],/]), (M2.f1) называются бордантными, если существует компактное многообразие W с краем 9 W = М1 U М2 и непрерывное отображение F: W-* X, такое, что F\M=fx, F 1м2 = /2. Множество классов бордантных «-мерных сингулярных многообразий пространства X обозначается через ^(А,). Операция дизъюнктного суммирования U многообразий делает это множество абелевой группой (в которой, кстати, любой элемент имеет порядок 2: бордизм 2 (Af, f) ~ (ф, -) = = 0 осуществляют многообразие W = МX I и композиция проекции MX I -*М с/). Отображение X -* У очевидным образом индуцирует гомоморфизм ^(Х) -» П^(У), и, полагая
П°(Х)=О при «СО,
fiOW=Ker(fiOm^fiO(pt)))
П°п(Х,А) = П°п(Х/А).
мы составляем из групп fi^ теорию экстраординарных гомологий, называемую теорией (неориентированных) бордизмов.
Внедряя в это определение ориентации, мы приходим к определению ориентированных бордизмов П„°. Подчеркнем, что при этом ориентированными считаются как многообразия М в определении сингулярных многообразий, так и многообразия W в определении бордантности, причем в дополнение к равенству 9W = М, U М2 предполагается, что ориентация многообразия Мi согласована, а ориентация многообразия М2 противоположна ориентации, согласованной с ориентацией многообразия W. Операция обращения в группе П„°(X) соответствует операции обращения ориентации у отображаемого многообразия. Ниоткуда не следует и, как мы увидим, неверно, что все элементы группы fl^° (X) обязаны иметь порядок 2.
Еще один вариант определения бордизмов получится, если предположить, что многообразия М и И7 согласованным образом наделены стабильно почти комплексной структурой, т.е. что расслоения т(М) ® N и т(И') ® N (с некоторым N) сделаны комплексными векторными расслоениями. Соответствующее обозначение: ^^.
Стоит сказать, что в современной топологии рассматривается огромное количество других вариантов теории бордизмов (и кобордизмов). Некоторые из них мы упомянем очень коротко ниже — в п. 2D. Дальнейшие сведения о них см. в цитировавшейся книге Стонга.
Спектры Тома. Теории бордизмов укладываются в общую схему построения экстраординарных гомологий при помощи спектров (см. п. 5 § 37).
Обозначим через МО(п) пространство Тома тавтологического векторного расслоения |„ над ВО(п) = С(°°, п) и через MSO(n) и MU(n) - пространства Тома тавтологических расслоений ^„ и ^ над BSO(n) = G+(°°,n) и BU(n) = CG(°°, п). Построим отображения ^МО(п) -*МО(п + 1), IMSO(n) -*MSO(n + 1), T?MU(n) -* MU(n + 1). Сужение расслоения |„+ j на G (°°, п) есть, очевидно, £„® 1; включение £„ ® 1 -* ?п+1
определяет отображение Т(^„ ® 1) -* 7Х£п+1). Но ясно, что Т(д ® 1) = ^Цт?) для любого векторного расслоения ц; таким образом, мы получаем отображение 2Ж0(п) -*МО(п + 1). Остальные два отображения строятся аналогично.
Пространства МО(п), MSO(n), MU{n) вместе с построенными отображениями составляют спектры
. ..,МО(п), MO(n+V),...
...,MSO(n), MSO(n +1),...
..., MU^n), У-MU^, MU(n + 1), ^MU(n + 1),...
(отображения, составляющие последний спектр, — это id ИМи^п) и наше отображение ЗДЗДИДп)) = T?MU(n) -* MU^n + 1)). Эти спектры называются спектрам и Тома и обозначаются через МО, MSO, MU.
Теорема. Теории бордизмов совпадают с теориями экстраординарных гомологий с коэффициентами в спектрах Тома. Другими словами.
(♦)(♦)n®(X)=^mTTn*N(X#MO(N)), ' П$п°(Х) = lim irn+N(X *MSO(NY), ^(X^lmirn^^QX #MU(N)). .
(♦)
(♦)
Прежде чем доказывать эту теорему, уместно сделать следующее замечание. На протяжении книги мы несколько раз сталкивались с пространствами Тома по самым разным поводам: в связи с характеристическими классами (§ 30), в связи с ориентациями расслоений по отношению к теориям когомологий (§ 41) и тд. Но все это — побочные продукты теории Тома, главный результат которой составляют именно равенства (♦) в случае X = S°. В этом случае равенства (♦) принимают следующий вид:
Й^(5°) = П^(pt) = lim тг„ +jV(S° #M0W) = lim тг„ +n(M0(N)\
nsn°(pt)=^mirn+N(MSO(N)),
^(pt) = hmnn + 2N(MU(N)).
Заметим еще, что при больших N группы пп+n(M0(N)), it„+n(MSO(N)'), тги + 2 N (MU (N)) от N не зависят (докажите это!), так что во всех этих равенствах можно отбросить знак lim.
Теперь посмотрим, что такое ttn (pt) (Г = О, SO, Щ. Сингулярное многообразие точки — это пара, составленная иэ многообразия М (с той или иной структурой) и отображения М -* pt. Но отображение в pt есть всего одно, поэтому его можно не указывать.
г г о
Принято обозначение fin(pt) = О,п. Элементами группы Йп служат классы замкнутых гладких «-мерных многообразий, рассматриваемых абстрактно (т.е. никуда не вложенных и не отображенных), по отношению к следующей эквивалентности, называемой кобордантностью: Мх ~ М2, если существует компактное многообразие W с bW = Мх U М2. Сумма, она же разность (все элементы имеют порядок 2), определяется как U . Операция прямого произведения превращает
= ®п£1п в градуированное кольцо.
В п. 6 §19 были сформулированы результаты Тома, доставляющие классификацию гладких замкнутых многообразий с точностью до кобордантности. Там же были приведены частичные результаты аналогичного вычисления для кольца
-SO-SO
= ® 42 n классов ориентированно кобордантных ориентированных замкнутых
гладких многообразий (ориентированные многообразия Мх и М2 ориентированно кобордантны, если существует компактное ориентированное многообразие W с dW = Мх U ^-Мг^, где -М2 обозначает многообразие ЛГ2 с противоположной ориентацией). Теперь мы можем добавить к этим кольцам кольцо 42^ = ® 42^ классов замкнутых стабильно почти комплексных многообразий по отношению к соответствующей кобордантности.
Докажем, что 42„ = т„ + N (МО (7V)). Построим отображение 42^ -* я„ + N (МО (N)). Пусть X — замкнутое n-мерное многообразие; вложим его B .Sn+N, где N достаточно велико. Согласно результатам л. 1 § 19, нормальное расслоение v мнообразия X в Sn + N отображается в тавтологическое расслоение ^N над BO(N) = G(<»,N?), причем отображение гомотопически единственно. Возникает отображение пространства Тома Т(р) в T(U) =MO(N). Но Г^) = Sn + NKSn + N - G(X)), где U(X) - трубчатая окрестность многообразия X в Sn*N. Композиция
Sn+N _Sn + N^sn + NU(X)) = т^ _мо^
определяет элемент группы тп + n^MO^N)) , который, как читатель проверит самостоятельно, зависит только от класса многообразия X в 42 ^; возникает отображение 42„ irn+N(MO(N^. Построим теперь отображение itn + N (МО (N^) -* 42^. Элемент группы тгп +n (MOCN)) представляется сфероидом <р: Sn*N -* MO(N). Можно считать, что образ этого отображения содержится в пространстве Тома тавтологического расслоения над многообразием Грассмана G(M, N^ с достаточно большим М; чтобы избежать громоздких обозначений, мы это конечномерное пространство Тома по-прежнему обозначаем через MO(N). Далее, отображение ^: Sn + N -» -* MO(N) можно считать гладким вне прообраза отмеченной точки «> пространства МО (N) [МО (TV) — <» есть гладкое многообразие ]. Наконец, малое шевеление этого отображения приводит его в общее положение по' отношению к многообразию G(M, N) С MO(N) в следующем смысле: если ч-(х) G Gt^M.N^, то)эбраз при отображении ^ (лучше сказать, при дифференциале отображения^) касательного пространства TxSn + N к сфере Sn + N составляет в сумме с Т^ ^G^M, N.) все пространство T^^MO^N^. Это свойство отображения ф называется трансверсальной регулярностью по отношению к G^M,N^ (см. рис. 172). Из трансверсальной регулярности следует, что прообраз «р-1 (G (М, N^ = ХС Sn + N есть гладкое подмногообразие сферы Sn + N, коразмерность которого в сфере равна коразмерности многообразия G(M, N^ в MO(N), т.е. равна N; другими словами, dim % = п. (Подробности, относящиеся к трансверсальной регулярности, см. в §3.4 книги Рохлина и Фукса или в гл.З книги Хирша.) Можно показать (подробности мы снова оставляем читателю), что класс многообразия X в Пп зависит только от исходного элемента группы Яп+ n(MO(N)), так что получается отображение я„ + Лг(Л/О(ТУ)) -* 42„. Мы оставляем читателю также доказательство того факта, что построенные отображения 42л 4►тгл + n (МО (N)) взаимно обратны.
Доказательство равенств 42^° = irn + N(MSO(N)) и 42^ = Ип*гн(Ми(TV)) совершенно аналогичны (нужно только заметить, что задание ориентации или ста- 13*
бильной комплексной структуры в касательном расслоении к многообразию равносильно заданию ориентации илн стабильной комплексной структуры в нормальном расслоении в сфере большой размерности).
Этим доказательство теоремы завершено в случае X = 8°. Переход к общему случаю не вызывает серьезных затруднений, и мы ограничимся общими указаниями. Пусть (М, f) - замкнутое н-мерное сингулярное многообразие пространства X. Вложим М в Sn+N. Как выше, определяется отображение ^: Sn+N -* MO(N),
переводящее в отмеченную точку дополнение к трубчатой окрестности U многообразия М в S" + N. Отображение f;M-*X естественно продолжается до отображения /: U -*Х, и отображения ^ и/ составляют отображение Sn*N -^XXMO^N^IX'.
[ отмеченная точка, если s ^ U, s ~
I (/(«)• ^(s)), если s & U.
Композиция этого отображения с проекцией (XX MO(N))[X-*X #MO(N) определяет элемент группы я„+N(X # МО (ДО), и нетрудно показать, что этим корректно определено отображение Л^(А') -* T„ + Af(^ # MO^N^, в частности, П^ (^) -* "* ^н*N^X # MO^N^. Что это изоморфизм, можно доказать прямо, а можно вывести из общей теории п. 5 § 37; рассмотрим Q$ и гомологии с коэффициентами в спектре Тома МО как две разные экстраординарные теории гомологий; можно проверить, что описанная конструкция определяет гомоморфизм одной теории в другую и затем воспользоваться теоремой единственности из п. 5 С §37.
Ориентированный и комплексный случаи совершенно аналогичны.
Кобордизмы. В п.5 § 37 по спектру построена не только теория экстраординарных гомологий, но и теория экстраординарных когомологий. Экстраординарные когомологии, соответствующие спектрам Тома, называются кобордизмами. Их обозначения: J2p = ® fiy. sTso = ® И$о, fly = ® Яу. Таким образом,
П^(ХЛ) = яСг^Х/Л), MO(N+n^,
п"о(^,Л) = Tt^XXfAY MSO(N + л)),
^UX,A> = ^^"(X/AY MU(N*nYY
в частности,.
Пр(р1) = ASN, MO^N + »)) = ttn(MO(N + nY = nf„(pt).
и,аналогично,
^o(pt) = tipt), ^(pt) = Й-„(рО-
Заметим, что Пг(рО = 0 при и >О (Г = О, SO, U).
Упражнения. 1. Кобордизмы обладают естественной мультипликативной структурой; восстановите детали.
2. Пусть X - замкнутое многообразие размерности т. Тогда П^ (X) есть группа классов эквивалентности пар (Л/, / ), где М — замкнутое многообразие размерности т - п w f; М -* X — непрерывное отображение. Группы £1$О(Х) и Яи(Х) описываются точно так же, но с дополнительным условием, что виртуальное расслоение / т (%) — т (М) (над М) обладает соответственно ориентацией или стабильной комплексной структурой. В частности,
Sl„(X) = По "(Х) всегда,
S1„°(X) = П^о^С^), если X ориентировано,
Sl^(X) = Sly "(^), если в расслоении т(X) задана стабильная комплексная структура
(’’изоморфизмы Пуанкаре”).
Связь с обыкновенными гомологиями и когомологиями. Бордизмы разного вида связаны между собой и с гомологиями естественными отображениями, составляющими диаграмму:
иsoо
&п(Х) —* Пп (X) > Я„(Х)
Нп(Х) = Нп(Х) —> Нп(Х, Z2).
Верхние горизонтальные стрелки определяются посредством отбрасывания у сингулярного многообразия структуры (или ее части), нижняя горизонтальная стрелка есть приведение mod 2, вертикальные стрелки действуют по формуле (Л/,/)•-* ►* /,[Л/]. Эти вертикальные гомоморфизмы имеют прозрачный геометрический so смысл. Именно, класс a G Нп(Х) принадлежит образу гомоморфизма £ln (X) -* -* Нп (X) тогда и только тогда, когда он представляется циклом, реализуемым как ориентированное сингулярное многообразие. Если при этом X есть многообразие размерности > 2 и, то это сингулярное многообразие можно малым шевелением превратить во вложенное многообразие. Таким образом, наш гомоморфизм имеет прямое отношение к проблеме реализации гомологических классов (неособыми) подмногообразиями, которую мы обсуждали в п. 2 §17. Аналогичный смысл (но без о
ориентации и с коэффициентами в Z2) имеет гомоморфизм ПП(ЛГ) -*Нп (X; Z2). Заметим, что рассматриваемые гомоморфизмы тесно связаны также со спектральной последовательностью А тиа — Хирцебруха, точнее, с ее дифференциалами. Именно", хотя
мы еще ничего не знаем о бордизмах точки (им посвящен следующий пункт), априори ясно, что Пп (pt) = i2„ (pt) = 0 при и < 0 и По (pt) = Z2, J20 (pt) = Z. О
Поэтому спектральная последовательность Атиа - Хирцебруха для П, (У) и Л^0^) имеет вид, показанный на рис. 173. Ядра дифференциалов, действующих из Не^Х\ Z2) и Я, (%), представляют собой факторгруппы групп ПДХ) и П^°(Х); этим и определяются наши гомоморфизмы П^(^) ** Я, (X; Z2) и
П, (X) -* Я, (X). Таким образом, реализуемости гомологического класса сингулярным многообразием, в частности, подмногообразием препятствует нетривиаль- ность дифференциалов в спектральной последовательности Атиа — Хирцебруха. Подробности см. в двух статьях Бухштабера в Математическом сборнике (1969. — Т. 78. — № 2; 1970. — Т. 83, № 1). Мы ограничимся замечанием, что все дифференциалы спектральных последовательностей Атиа — Хирцебруха имеют конечный порядок, и потому гомоморфизмы fif°(X) -* Я. (X) и Q^ (X) -* Я. (X) имеют (для произвольного конечного клеточного пространства X) конечное коядро.
Гомотопическая достаточность. Как мы замечали выше (см. п. 1 § 37 и п. 1 § 38), /^-теория не является гомотопически достаточной, в том смысле, что отображение односвязного конечного клеточного пространства X в односвязное конечное клеточное пространство У, индуцирующее изоморфизм К* (У) = Х*(^), не обязано быть гомотопической эквивалентностью. В противоположность этому so и••
теории П. и П. (равно как nso и Пу) являются гомотопически достаточными.
Теорема. Если непрерывное отображение f;X-*Y одного односвязного конечного клеточного пространства в другое обладает тем свойством, что один из гомоморфизмов
/V nse° lX)-*nse°(Y),
f.- П^)-*^' (У),
Г ^Y^^so^
f- ^(Y^tt^X)
является изоморфизмом, то f — гомотопическая эквивалентность.
Достаточно доказать, что / индуцирует изоморфизм в целочисленных гомологиях или когомологиях. Далее, превращая отображение /в гомотопически эквивалентное
ему вложение и пользуясь точностью последовательностей пары, мы приходим к следующей эквивалентной формулировке: если конечное клеточное пространство Z обладает тем свойством, что nf°(Z) =0 или ПУ(2) =0 (т.е. n^°(Z) =^°(pt) или $2^(Z) =П-У(р1)), то ^,(Z)=0, а если S*o(Z)=0 или S^(Z)=0, то Н* (Z; Z) =0. Предположим, например, что ^°(Z) =fif°(pt), но H,(Z) =£0. Пусть q — самое маленькое положительное число, при котором Hq (Z ) ¥=0. По теореме Гуревича nq(Z') -+Hq(Z) есть изоморфизм, т.е. существует нетривиальный элемент otG Hq(Z), представляемый сфероидом Sq-*Z. Но S9 — ориентированное многообразие, так что сфероид может рассматриваться и как ориентированное сингулярное многообразие. В этом качестве он определяет элемент из Я^у(2), ненулевой, поскольку он имеет ненулевой образ в Hq (Z ). Однако образ этого элемента в S2^^(pt) равен 0 (сфера есть край шара). Противоречие. Разбор остальных случаев мы оставляем читателю.
Вычисления.
Я®. Теорема 1. Я^ есть кольцо многочленов (над Z2) от переменных xt,dimxt =i, где i пробегает все натуральные числа, не имеющие вида 2s —1, s > 1. В качестве х{ можно взять класс произвольного гладкого замкнутого i-мерного многообразия X, у которого
<Р^х,^,...,^\ [X] > = 0,
где Pt — (приведенный по модулю 2) многочлен, выражающий симметрическую функцию Ъх* через элементарные симметрические функции (см. § 39), [X] обозначает фундаментальный гомологический класс mod 2.
Эта теорема принадлежит Тому (см. статью в сборнике "Расслоенные пространства”). Ее доказательство заключается в следующем. Мы должны найти гомотопические группы •nnkN(MO(N^, п« N. Априори ясно, что все элементы этих групп имеют порядок 2. Когомологии mod 2 пространства M0(N) нам известны: изоморфизм Тома связывает их с когомологиями пространства BO(N) = G (y°,N}, вычислявшимися в § 19. Их легко описать, пользуясь умножением
H*(M0(N ); Z2) X H*(BO(N); Zz) -*H*(M0(N ); Z2 ):
когомологии H (M0(N); Z2) аддитивно порождаются элементами вида uw; ... ... wlf, 1 <ii <.. -<лг, где uG Hn(M0(N\ Z2) — класс Тома, wf GHl(BO(N\Z^ - классы Штифеля — Уитни. Пользуясь формулами Sq kwm = 2) C* kwk_j wm+j и Sqkn = uwfc (cm. n. 2 § 30), можно вычислить действие стинродовых квадратов в Н*(MO(Ny,Z2). Вычисление приводит к следующему результату: до размерности ~ 2N когомологии Н* (M0(N)‘, Z2) представляют собой свободный модуль над алгеброй Стинрода А2, причем образующие этого модуля явно указываются (мы рекомендуем читателю проделать это вычисление). (Заметим, что свободность А2- модуля Н (MO(Ny, Z2) имеет совсем простое доказательство, практически не содержащее вычислений, — см. книгу Стонга.)
Воспользуемся спектральной последовательностью Адамса (гл. 5). Мы видим, что в начальном члене этой спектральной последовательности отлична от нуля только первая строка, причем стоящие в ней элементы соответствуют свободным образующим А2 -модуля Н *(M0(N); Z2). (В последующих строках стоят соотношения, соотношения между соотношениями и т.д., но всего этого нет, потому что модуль сво-
боден.) Значит, в спектральной последовательности Адамса тривиальны дифференциалы и тривиальна присоединенность, и это позволяет немедленно найти гомотопические группы. (В действительности можно показать, что до размерности ~ 2Nпространство MO(N) гомотопически эквивалентно произведению пространств типа K(Z1,N+k).)
Следствием этого вычисления является уже известное нам по § 19 утверждение, что класс многообразия в £2,° определяется его числами Штифеля - Уитни (вывод этого утверждения из предыдущего вычисления мы оставляем читателю). В § 19 говорилось, что числа Штифеля — Уитни не являются независимыми, и приводились примеры соотношений между ними. Теперь мы можем дать полное перечисление этих соотношений.
Теорема 2. Пусть ^: Hn(BO(N); Z2) **Z2 - гомоморфизм. Для того чтобы существовало замкнутое гладкое п-мерное многообразие М, такое, что для любого a&Hn(BO(N)-, Z2)
<ам, W > = *’(“),
где «м- характеристический класс (касательного расслоения') многообразия М, отвечающий а, необходимо и достаточно, чтобы для любого ^&Н* (BO(N); Z2) выполнялось равенство
l(Sq 0 + 0 Sq-1w) = О
(где Sq = 1 + Sq1 + . .. и w = l+wj+ ...).
(Читатель может найти доказательство самостоятельно или в книге Стонга.) Посмотрим, что эта формулировка дает для малых размерностей. Простое вычисление показывает, что
Sq-1 w = 1 + Wj + (w2 + w2) + Wjw2 + (w2 + w^j + w4) + ...
Обозначая через F4 (0) часть когомологического класса Sq0 + 0Sq-1w, имеющую размерность < 4, имеем:
^(l) = Bq + (w2 + w2) + wq w2 + (w2 + Wj w3 + w4),
/^(Wj) = (wf + w,w2) + W2 w2,
F4(W2) = wj + w\ w2,
F4(w2)= w3 + w2! w2,
^4(wh=^4(W3) = 0,
/'-4(w1w2) = w,w3+w2w2.■
В силу теоремы 2 каждая однородная составляющая любого из этих классов принимает нулевое значение на фундаментальном классе любого замкнутого многообразия своей размерности, и этим исчерпываются все соотношения между числами Штифеля — Уитни замкнутых многообразий. В частности, все характеристические числа одномерных и трехмерных многообразий равны 0 (для одномерных многообразий это очевидно, для трехмерных было доказано Рохлиным за несколько лет до появления работы Тома); если dimХ=2, то w2 [У] =w2[y] (это мы уже знаем); если dimХ = 4, то w ,w2 [.Y] = wtw3 [X] = 0 и w2 [,Y] =w4 [У].
В заключение приведем одно из возможных описаний мультипликативных образующих xt кольца £2^ (см. теорему 1). Если i четно, то xt = RPi; если i = = 2p(2q + 1) — 1, р> 1, q > 1, то xt есть подмногообразие произведения RPm X XRP”, m =2p+1q,n = 2p, задаваемое в однородных координатах (и^:... : ит),
(v0:..:v„) уравнением F (u, v)=0, где F - произвольная билинейная форма ранга п. (Эта система образующих была указана в 1965 г. Милнором. Другая система образующих была указана в 1956 г. Дольдом.)
Sis о Теорема 3. Sis о ® q есть кольцо многочленов (над Q) от переменных размерности 4/ (i = 1.2. 3,...). Точнее: гомоморфизм Sl®° -*Z [Tj, t2,... ]. deg tj = 4i. определяемый формулой
Мн 2 Pi i ... .
имеет в каждой размерности конечное ядро и конечное коядро.
Этот факт, который уже упоминался в п. 6 D § 19, может быть сформулирован так: (0 если размерность ориентированного многообразия Мне делится на 4, то при некотором к многообразие кМ ориентированно кобордантно нулю: (11) если ориентированные многообразия Мх и М2 имеют одинаковые размерности, делящиеся на 4. и имеют одинаковые числа Понтрягина, то при некотором к многообразия кМх и кМ2 ориентированно кобордантны; (ill) любой набор{р/ .. . tr lz"i + i2 +... ...+ /! = г) целых чисел пропорционален набору чисел Понтрягина некоторого ориентированного 4г-мерного многообразия. Из формулируемых ниже теорем 4 и 6 следует, что в утверждениях (1) и (11) можно взять к = 2.
Доказательство теоремы 3 относительно несложно: оно основано на применении теоремы Картана - Серра. Прежде всего вспомним, что при N> s
rank Hs(BSO(N У) =rank Hs(BSO(N У) =О, если s не делится на 4, числу представлений числа t в виде суммы
rank Hs(BSO(N У) =
rank Hs(BSO(N У) =
натуральных слагаемых, если s = 4г.
Ввиду изоморфизма Тома, таков же ранг группы HN+s(MSO(K)). Если мы ограничимся размерностями < 2/V, мы можем считать, что кольцо рациональных когомологий пространства MSO(N) свободно (соотношения могут появиться в размерностях > 2А). Значит, при s < Nранг группы Sl^0 = аNVs(MSO(N^ совпадает с рангом группы Hs(BSO(N)). Легко видеть, что вычисленный нами ранг группы Sl^ таков, как это утверждается теоремой 3. Остается заметить, что числа Понтрягина Р; ^,-г линейно независимы (см. п. 6 D § 19), и потому они определяют мотоморфизм пространства SI*° « Q в Q [г 1$ г2,... ]. deg t, = 4i. Ввиду совпадения размерностей однородных составляющих, этот мономорфизм должен быть изоморфизмом.
Произведем обзор дальнейших результатов; большая часть утверждений доказана в книге Стонга, там же имеются литературные указания.
Теорема 4 (Милнор, Авербух). Кольцо Sl®° не имеет элементов нечетного порядка.
Наиболее рациональное доказательство этой теоремы использует спектральную последовательность Адамса по модулю нечетного простого числа.
Теорема 5 (Милнор, Новиков). Кольцо Sl®° (Tors изоморфно кольцу целочисленных многочленов от переменных размерностей 4i, i = 1. 2, 3,...
(Эта теорема служит уточнением теоремы 3.)
Теорема 6 (Рохлин, Уолл). В SIS о отсутствуют элементы четвертого порядка.
Теорема 7. Факторкольцо Sl^° (ISl®0 можно описать следующим образом.
Пусть W - подкольцо кольца полиномов над Z2 с образующими.*^ =1,2,....
порожденное элементами xlk,xlk_x (k^2J) и (х /)2, и пусть Э: W-*W — дифференциал, действующий по формулам Эх2Л_1=0, Эх2к = x2fc_i, Э (х Л 2 = 0. Тогда £2^ °/2 £2^ ° изоморфно КегЭь причем образ Tors £2^ ° в КегЭ совпадает с Im Э.
Ввиду отсутствия в £2^ ° 4-кручения (теорема 6), для доказательства этой теоремы достаточно знать А2-модуль Н * (MSO(N); Z2). Вычисление этого модуля проделал С.П. Новиков. Он показал, что как А2-модуль H*(MSO(N)-, Z2) совпадает (до размерности ~ 2N) с Z2-когомологиями произведения некоторого количества пространств типа K(Z,W+k) и K(Z2,W+k). Заметим, что даже в стабильных размерностях пространство MSO(N) не имеет гомотопического типа произведения пространств Эйленберга - Маклейна: постниковские факторы (см. п. 4 § 36) нетривиальны, но имеют нечетный порядок. ’
Теорема 8. При гомоморфизме забывания ориентации £2^°-*£2® кольцо £2f°/2 £2® изоморфно отображается на подкольцо Кег Э С £2® = Z 2 [х2, х4, х5,... ], где X; — (специально выбранные") образующие кольца £2®.
Как уже говорилось, теорема 3 показывает, что любой набор целых чисел
$= 2} после умножения на некоторое целое число делается
набором чисел Понтрягина некоторого замкнутого гладкого ориентированного 42-мерного многообразия. Остается вопрос, каково это целое число. Ответ дает
Теорема 9 (Стонг). Набор (pti ,. ^} является набором чисел Понтрягина некоторого замкнутого гладкого ориентированного 41-мерного многообразия тогда и только тогда, когда это не противоречит теоремам целочисленности из § 41.
Полезно запомнить вытекающую из вышеназванных результатов конкретную формулировку, относящуюся к малым размерностям.
Следствие. При и<3 всякое замкнутое ориентированное гладкое п-мерное многообразие является краем гладкого компактного ориентированного (л+1)- мерного многообразия. Всякое гладкое замкнутое ориентированное 4-мерное многообразие ориентированно кобордантно связной сумме некоторого количества многообразий СР1 или —СР1. (Знак определяется знаком сигнатуры данного многообразия, а число слагаемых равно модулю сигнатуры).
(Эти результаты принадлежат В.А. Рохлину, они были получены до доказательства общих теорем об устройстве £2^°.)
£2^. Теорема 10 (Милнор, Новиков). Кольцо £2У изоморфно кольцу целочисленных полиномов от образующих размерности 2iQ =1,2,...). В качестве представителей образующих можно взять классы кобордизма некоторых комплексных проективных алгебраических многообразий.
Заметим, что после тензорного умножения на Q эта теорема делается следствием теоремы Картана - Серра (ср. теорему 3). При этом оказывается, что полным набором инвариантов класса кобордизмов в £2^ является набор чисел Черна.
= 0= 0Теорема 11 (Стонг, Хаттори). Набор целых чисел (с, „д
= 0
= 0
тогда и только тогда является набором чисел Черна замкнутого стабильно почти комплексного 2 t-мерного многообразия, когда это не противоречит теоремам целочисленности § 41.
Теорема 12 (Милнор, Новиков). При гомоморфизме забывания структуры ^^->^° кольцо £1^ эпиморфно отображается на £2f°/Tors. При гомоморфизме £2^-*£2® кольцо П^ эпиморфно отображается на подкольцо, составленное из квадратов элементов кольца £2®.
D Другие типы кобордизмов. Пионером вычисления групп кобордизмов явился Л.С. Понтрягин, доказавший в 30-е годы, что кольцо Л^г классов кобордизмов многообразий с тривиализованным нормальным расслоением совпадает с (композиционным) кольцом стабильных гомотопических групп сфер. (Работа Понтрягина содержит и соответствующую нестабильную формулировку. Подробности см. в книге Понтрягина ’’Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий”.)
В настоящее время известно вычисление колец кобордизмов точки для большого количества разновидностей кобордизмов (см. обзор результатов в гл. 4 книги Стонга). Выделим вычисление S[/-кобордизмов, проделанное Коннером, Флойдом и Уоллом, и вычисление спинорных кобордизмов, произведенное Андерсоном, Брауном и Петерсоном (в обоих случаях важные предварительные результаты принадлежат Новикову).
Связь с К-теорией. В соответствии с общими установками этой главы мы ограничимся комплексным случаем; более подробное и полное изложение предмета см. в статье Коннера и Флойда ”0 соотношении теории бордизмов и К-теории”, русский перевод которой включен в качестве дополнения в перевод книги тех же авторов ’’Гладкие периодические отображения”.
А. Гомоморфизм д. Сейчас мы определим мультипликативное отображение
Д: П^К*
теории унитарных бордизмов в (комплексную) А"-теорию. Пусть а€Л"(У), и пустьМ>N> | л| + dim X. Элемента представляется отображением
f ; VN-n Х-*Т^\
где ? - (комплексное) тавтологическое расслоение над С(7(Л/,/V). Согласно п. 2 § 41, расслоение £ обладает канонической К-ориентацией и (£ ) G К (Т ({)); положим
д(а) = /* (u(0) G К(^ 2N-"X) = Kn-2N(X) = Кп(Х ).
Очевидно, это определение корректно.
Упражнения. 3. Проверьте, что д — мультипликативное отображение теории Я у в /[-теорию.
Покажите, что гомоморфизм
д: Л'2" (pt)^"2» (pt) = Z
относит классу 2и-мерного стабильного почти комплексного многообразия М его ’’род Тодда”
3"(М) = <3"(т(М^, [М] >,
где S"(т(М)) = G(cx(M), с2(М),.. . ),
\-e"xi
G^xlXx,...), ^(Хь ...),...)= П .
Опишите сквозной гомоморфизм , д ch .
н (-;Q).
Классы Черна со значениями в кобордизмах.
Теорема. Существует единственная функция. относящая комплексному векторному расслоению £ с ■ конечной клеточной базой X ’’классы Черна о/(^) Gfly(X), i = 1, 2,. .., dun £, обладающая следующими свойствами (через а^) мы обозначаем формальную сумму l+oi(£)+.,. .
• - • + ^dinif (^)) ;
u(f4W о^У.
o($®i?) = a(^)o(i7);
если 5 — (одномерное') хопфовское расслоение над СР", то о(^) = 1 +7, где 7G ^^(СР") - класс кобордизмов, представляемый СРп~1 ССРп (см. упражнение 2).
Доказательство мы изложим конспективно, отсылая читателя за подробностями к цитированной статье Коннера и Флойда.
Конструкция, доказывающая и существование, и единственность классов о,, заключается в следующем. Если расслоение £ одномерно, то оно индуцируется хоп- фовским расслоением над СР Nc достаточно большим N (В U(\) = СР”), и класс о(£) = 1 + Oj ($) определяется условием (3). Предположим, что кобордические классы Черна, обладающие нужными свойствами, уже построены для расслоений размерности < и, и пусть-dim £ = п. Рассмотрим расслоение р; Х^-Хсо слоем СР "~1, ассоциированное с £ (точками пространства X служат прямые, проходящие через О, в слоях расслоения £). Расслоение р*^ распадается в сумму одномерного расслоения и некоторого (п — 1)-мерного расслоения: слой (р*^)ь где / G X — прямая в слое £х, х = p(l) G X, совпадает с £х и канонически расщепляется: 5Х=1 +11. Поэтому, ввиду предположения индукции и условия (2), определены классы Черна расслоения/?*^. В силу условия (1) должно быть
Р*(а(^)) = а(Р*(5)У
и наша цель будет достигнута, если мы покажем, что
Р*. ^(Х)^^^)
есть мономорфизм. А это утверждение является следствием общего факта, доказанного Дольдом:
Лемма. Пусть h - мультипликативная экстраординарная теория когомологий и я: Е ^Х - локально тривиальное расслоение со слоем F, причем X и F - конечные клеточные пространства и X связно. Пусть.далее, i: F ^Е - включение. Предположим, что eh* (Е) имеются элементы сХ1... ,сп, такие, что h* (F) есть свободный h* (pt)-модуль с образующими i*cx,..., i*cn. Тогда h* (Е) есть свободный h*(X)- модуль с образующими сх,...,сп; другими словами, для всякого элемента aG GA* (Е) существует единственное представление■
a = n*(av)cv + . . . +я*(а„)сп ,
где а^,. .. ,anG h* (X). В частности, я *: h* (X ) -* h* (Е ) - мономорфизм.
Доказательство леммы мы оставляем читателю. Ее нетрудно доказать при помощи спектральной последовательности. Другой план, реализованный в статье Коннера и Флойда, заключается в том, что сначала теорема доказывается для тривиальных расслоений, а затем многократно применяется аддиционная последовательность типа последовательности Мейера — Вьсториса (ср. п. 6 § 12).
Лемма Дольда применима к нашему расслоению р; Х^-Х. Действительно, при помощи спектральной последовательности Атиа -- Хирцсбруха легко показать, что £1*и(СРп-х) есть свободный Q^(pt)-модуль с образующими 1,7,72,.. . ,7”"', где 7 G £2^.(С/'” '1) - элемент, упоминавшийся в условии (3) пашей теоремы. В частности, 7 = ov (?), где ? — хопфовское расслоение над СР " 1. 11о расслоение ?
является сужением некоторого одномерного расслоения над XT) СР"™1, именно, одномерного слагаемого из вышеописанного растепления расслоения р*^ в сумму. Значит, класс 7 является образом при гомоморфизме включения СР"™1 -*Хнекоторого класса 76 £2^(Х) (первого класса Черна указанного одномерного расслоения) . а классы 72,..., 71 являются образами классов 72,..., 7"™1.
Доказательство теоремы закончено.
Взаимодействие ои р . Так как
то возникает гомоморфизм
ot: К^Х.А^^^Х.АУ
Обозначим через о° композицию
К^Х. А ) = AVM) = К~ЧХ(А^ =
\V2 да »^-> n2v (22 да)) = я°и да) = t2 ^ <х.а ).
Упражнение 6. Покажите, что композиция
К^Х. Л) —^ П^Х. А ) -* К<Х. А )
совпадает с — id. (Указание: достаточно проверить это для Х= pt. Л = ФЛ
Следствия (из упражнения 6). (i) Существует естественное аддитивное вложение
К(Х.А )-Я° (Л-. А )
в качестве прямого слагаемого.
(iO Имеет место мультипликативный 7.-,-градуированный изоморфизм
К\Х. А ) = П* (Л-. А > Z,
П^<РП
где действие Q^(pt) в Z определяется родом Тодда £2(,(pt) ~*Z (car упражнение 4).
Когомологические операции в кобордизмах и спектральная последовательность Адамса—Новикова. Как уже говорилось (см. первую фразу § 39). когомологические операции могут быть определены в любой экстраординарной теории когомологий. Здесь мы рассмотрим когомологические операции в теории Sly.
Примеры операций. При построении когомологической операции а мы будем ограничиваться описанием отображения
aY: n^XVn^X')
в случае, когда А-—замкнутое стабильно почти комплексное многообразие. Этого достаточно, поскольку произвольное конечное клеточное пространство Y может быть представлено как ретракт такого многообразия X (например, декартова квадрата удвоения замыкания своей окрестности в евклидовом пространстве), и тогда Я*;(У) будет прямым слагаемым в $2 (Д'). В рассматриваемом случае мы будем пользоваться интерпретацией кобордизмов. содсржашейся в упражнении 2.
Мы рассмотрим два способа построения операций. Первый применим, в действительности. к любой мультипликативной теории когомологий. Он состоит в том. что элемент а кольца Q*z(pt) определяет операцию умножения на а;
Приведем геометрическую расшифровку этой конструкции. Если элемент а 6 € Sly' (pt) представлен 2г-мерным многообразием А, а рассматриваемый элемент кольца £2^ (У) представлен отображением /: Z->Х (с надлежащей структурой, мы ее не напоминаем,онаописанав упражнении 2), то образ этого элемента при нашей когомологической операции представляется сквозным отображением проекция f ZXA —> Z^X.
Эта операция понижает размерность на 2г.
Другой способ построения операции предполагает фиксированной финитную последовательность ы = (Wj, ы2,... ) неотрицательных целых чисел. Пусть снова рассматривается элемент кольца SlyCX), представленный отображением/: Z-*Х и комплексным векторным расслоением £ над Z, стабильно эквивалентным виртуальному расслоению / *т (20 — г (Z ). Согласно п. 3, определен характеристический класс
ош (5) = Ох ®ш- ог ®Ш1 . ■ ■ е ^ШЧ2\
где 1 со | = Wj + 2а>2 + ••■ Этот класс представляется некоторым отображением g: W -* Z (снова с надлежащей структурой). Образ рассматриваемого элемента кольца £2^(2^) при когомологической операции представляется сквозным отображением
Операция обозначается через $ы. Она повышает размерность на 21 а> |.
Все рассмотренные когомологические операции являются, очевидно, стабильными (т.е. перестановочны с изоморфизмами надстройки)..
Алгебра Ландвебера — Новикова. Обозначим через А и алгебру стабильных когомологических операций в теории Qy. Следующая теорема (которую мы сообщаем без доказательства) независимо доказана в 1967 г. Ландвебером и Новиковым.
Теорема, (i) Подгруппа S алгебры Аи, порожденная операциями $ш, замкнута относительно композиции, т.е. является подалгеброй.
) Отображение £2^ ® S -* А и, определенное формулой а ® s ^а о $, мономорф- но и имеет плотный образ.'
Алгебра S С А и называется алгеброй Ландвебера — Новикова.
Следующая интерпретация алгебры Ландвебера - Новикова была найдена Бух- штабером и Шокуровым (Функц. анал. и его прил. - 1978. — Т. 12, № 3. - С. 1-11). Обозначим через Diffх (Z) группу формальных диффеоморфизмов прямой, имеющих вид
t ь*Г +xit2 + x2f3 + ...,xbx2,...€Z.
Заметим, что группа Difft (Z) действует в кольце Р = Z [xj, х2,... ] функций на себе самой посредством левых сдвигов. Обозначим через 8 алгебру всех Diffj (Z)- инвариантных формальных дифференциальных операторов в Р, т.е. формальных
Э Э
степенных рядов от — , — ,. .. с коэффициентами в Q [xi, х2,. ..], переводя- dxi Эх2
щих элементы из Р в элементы из Р и перестановочных с преобразованиями, производимыми элементами группы Diffj (Z). Для произвольной финитной последовательности со = (о>!, а>2,...) неотрицательных целых чисел определим оператор
Вш е 8 формулой P(x°y)=S DyP(x^y“,
в которой х = (х,, х2,...), у = (у I, у2, •..), операция о отвечает умножению в Difft (Z) иуш обозначает у “* у У1 ... Например,
_ ЭЛ1,о,о„..) ~ »_ эЛо. 1,0,...)= ^_ ЭЛ1,о,о„..) ~ »_ эЛо. 1,0,...)= ^” э
_ Э
Л1,о,о„..) ~ »
_ э
Ло. 1,0,...)= ^
_ Э
Л1,о,о„..) ~ »
_ э
Ло. 1,0,...)= ^
+ 2 кхк_г —,к = 20Хк
~э
+ 2 (к-\^хк_2—.
к=30Хк
Главный результат Бухштабера и Шокурова составляет следующая
Теорема. Сопоставление $ш ** Dy определяет изоморфизм между кольцами 8и8.
Изоморфизм 8 = 8 превращает Р в 5-модуль, и этот модуль также имеет интерпретацию в кобордизмах. Именно, обозначим через £2y(Z) часть тензорного произведения £2 у (pt) ® Q, выделяемую условием целости всех чисел Черна. Таким образом, £2y(pt) С Sly(Z) С £2 у (pt) ® Q; из результатов п. 2С следует, что факторгруппа £2y(Z)/£2y конечна. Действие операций из 8 распространяется с £2 у на Siu (^) •
Теорема. Изоморфизм между 8 и 8 продолжается до изоморфизма между S-модулем С1и№) и 8 -модулем Р.
С. Спектральная последовательность Адамса - Новикова. Гомотопическая достаточность теории унитарных кобордизмов (см. п. 1Е) создает принципиальную возможность вычисления стабильных гомотопических групп пространства, у которого известны группы кобордизмов. Реализацией этой возможности является кобордический аналог спектральной последовательности Адамса — так называемая спектральная последовательность Адамса — Новикова. Она определяется для произвольного конечного клеточного пространства X, имеет начальный член Ext аг/ (^t/ ('О» Sly (рО ) и сходится к стабильным гомотопическим группам пространства X U pt. В случае одноточечного X мы получаем спектральную последовательность
Ext Ay (Siu (Pt), £2с/ (pt)) =* я?,
сходящуюся к стабильным гомотопическим группам сфер. Применение этой спектральной последовательности осложняется тем, что мало что известно об ее начальном члене. Упомянем некоторые результаты, относящиеся к вычислению этого начального члена.
Из части (ii) теоремы Ландвебера — Новикова следует, что
Ext а у (£2^ (pt), Siu (Pt)) = Exts (Z, Пи (pt)),
и теорема Бухштабера — Шокурова позволяет заменить в этом равенстве кольцо 8 кольцом 8 . Нетрудно показать, что
Ext #(Z,P) = 0.
Бухштабер предложил использовать для вычисления Ext$(Z, £2у (pt))фильтрацию 0CN0CN1C..,CNoo=nu(2.\
где No = £2у (pt), Nf = { о G £2 у (Z) | $ш о G Н^_, при | со | > 0 }. Факторгруппы
N^fNj-^ конечны и тривиальны как 5-модули. (В настоящее время вычислены Nx/Nq и NiIN\ — см. Шокуров А.В.//Мат. заметки. — 1979. — Т. 26, № 1.) С фильтрацией Бухштабера ассоциируется триградуированная спектральная последовательность
s>0, ^>0, s + t<0, d^‘'q: Ь^*.ч ^.Es-r,t+r-i,q у^
у которой^®’*'* = Ext$’*(Z, Пу (pt)),£"„ = Е^°*° = 2ипри$>0
Е*’*-* = Ext-<$+,>- a,Ns!Ns_xY
Так как NJNS_ t есть тривиальный 5-модуль, то (в силу формулы Кюннета) Ext"^^ (Z,NsINs_x) =
=®{[Ext^^')’’* (z, z) ® (n;41 In;^ )] ®
® TorfExt^'^1'’1 (Z, 2), (N^» /N^))}.
Таким образом, для вычисления начального члена спектральной последовательности Бухштабера необходимо знать группы Exts(Z, 2), а эта задача, благодаря равенству 5 = $, переносится в рамки когомологической теории бесконечномерных групп и алгебр Ли. В рамках этой теории удается доказать (см. книгу Фукса ’’Когомологии бесконечномерных алгебр Ли”), что
„ „„ fl, если и = Зи2 ± и,
rank Ext"’ (2,2) = <
д(0в остальных случаях.
ГОМОЛОГИИ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ
ГОМОЛОГИИ И КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ФУНКЦИЙ
НА МНОГООБРАЗИЯХ
При изучении многих задач механики, математической физики возникает необходимость изучения свойств гладких функций (например, потенциалов и т.п.) на многообразиях, например, на конфигурационных или фазовых пространствах механических систем.
Пусть / — гладкая вещественная функция на гладком n-мерном многообразии М, пусть х — точка на М и xv,..., хп — локальные регулярные координаты в окрестности точки. Точка называется критической для функции/, если все частные про
изводные — равны нулю в этой точке. В критической точке корректно определена симметричная матрица вторых частных производных функции /, называемая
_/ Э2/ \
иногда гессианом функции, а именно d f = I1. Критическая точка невы- \дх{ дх,/
рождена, если гессиан — невырожденная матрица (в этой точке). Так как гессиан — симметричная матрица, то определен ее индекс, т.е. число отрицательных квадратов, возникающих на диагонали матрицы после ее приведения к диагональному
Рис. 174
виду. Это число не зависит от выбора координат в окрестности точки. Этот индекс и называется индексом невырожденной критической точки. Он может принимать любые значения от нуля до п (где п - размерность многообразия). Гладкая функция называется функцией Морса, если все ее критические точки невырождены.
Каждая функция / на многообразии задает его отображение в прямую (рис. 174). Если а — точка на прямой, то ее полный прообраз мы обозначим fa, т.е. /я = = { х G Af|/(x) = а). Число а называется критическим значением функции f, если в fa содержится хотя бы одна критическая точка функции. В этом случае fe назовем критическим уровнем функции.
Важную роль в теории гладких многообразий играет теорема, восходящая к М. Морсу и в окончательном виде доказанная С. Смейлом.
Теорема 1. На любом гладком компактном многообразии существуют функции Морса. Они всюду плотны в пространстве всех гладких функций на многообразии. Каждая функция Морса имеет на замкнутом многообразии лишь конечное число критических точек. В множестве всех функций Морса существует всюду плотное подмножество (всюду плотное, следовательно, и в пространстве всех гладких функций'), состоящее из функций, у которых каждый критический уровень содержит ровно одну критическую точку. На каждом п-мерном, связном гладком замкнутом многообразии существует функция Морса, принимающая значения от нуля до п, имеющая ровно один минимум, ровно один максимум и каждая критическая точка индекса \ расположена на критическом уровне j\.
См. рис. 175. На рис. 175а видно, что на каждом критическом уровне расположена ровно одна критическая точка. Любая функция Морса может быть превращена в такую функцию сколь угодно ’’малым шевелением”. Функция на рис. 1756 носит более специальный характер. Такие функции уже не являются всюду плотными в пространстве гладких функций. Здесь все критические точки одного индекса X расположены на одном критическом уровне, отвечающем критическому значению X. Такие функции иногда называются правильными функциями Морса. Здесь критические точки расположены в порядке возрастания их индекса: чем больше индекс X, тем ’’выше” (при выбранном нами на рис. 1756 направлении оси R) расположена критическая точка. Минимум имеет индекс ноль, а максимум — индекс п. Правильная функция Морса не имеет локальных минимумов и максимумов, отличных от абсолютных. ■
Почему функции Морса приобрели большое значение в топологии? Оказывается, задание такой функции позволяет довольно много сказать о топологии многообразия.
Предложение 1 (известная ’’лемма Морса”). Пусть Хо — невырожденная критическая точка индекса X гладкой функции. Тогда в некоторой открытой окрестности этой точки на многообразии Мп всегда существуют такие регулярные локальные координаты хх,... ,хп,в которых функция запишется так-.
f(x) = f(x0)-xX - ...-^+x^+1 + ...+х2п.
Смысл леммы Морса (см. [1]; в настоящей главе ссылки в квадратных скобках указывают на список литературы к Дополнению с. 485 — 487) в том, что в разложении функции / в ряд Тейлора по степеням переменных хх,..., хп можно, оказывается, всегда убрать все члены, начиная с порядка три и выше, выбрав для этого подходящие координаты. Применим лемму Морса для разложения многообразия в сумму клеток по заданной на нем функции Морса. Пусть Ма = {х G М|/(х) <а},
тогда дМа = fa, т.е. fa — край Мв (рис. 176). Если а — регулярное (т.е. не критическое) значение, то в силу известной теоремы о неявных функциях подмножество Ма является гладким л-мерным многообразием с границей fa, которая, в свою очередь, является гладким (п — 1)-мерным многообразием.
Лемма 1. Пусть / - функция Морса и отрезок [а, 6] (где а < Ь) не содержит критических значений функции f Тогда многообразия fa и fb диффеоморфны. Многообразия Ма и Мь также диффеоморфны.
Рис. 177Рис. 177
Рис. 177
Рис. 177
Доказательство достаточно наглядно и понятно из рис. 177. Достаточно рассмотреть интегральные траектории векторного поля и = — grad / и построить гладкую деформацию поверхности /6 вдоль этих траекторий вниз до встречи с поверхностью/а.
Изучим структуру поверхностей уровня около критических точек функции. В силу леммы Морса в достаточно малой окрестности невырожденной критической точки х0 можно ввести криволинейные координаты, такие, что /(х) = /(хо) - х, - ... ••• ~*х + *х+1 + •••+ х„. Пусть центр О окрестности U совмещен с хо и/(О) = 0. Рассмотрим гиперповерхности: /_е,/о>/е> гДе е > 0 — малое число. Поверхности задаются квадратичными уравнениями:
-х? -. .-xx + xtu + • • -*Хп = {-€,0,е},
где X — индекс критической точки. Поверхность/0 — конус, а поверхности/±е — гиперболоиды. На рис. 178 см. случай л = 2, X = 1, на рис. 179 - случай л = 3, X = 1.
Лемма 2. Пусть в слое /"* [— е, е] = Мс — М_е имеется только одна критическая точка индекса X. Тогда многообразие Ме гомотопически эквивалентно конечному клеточному пространству, получающемуся из М_е приклеиванием одной клетки ох размерности X (к границе дМ_£ =/_е) •
Итак,Ме имеет гомотопический типЛ/_е U о\
Доказательство можно легко извлечь из рис. 180 и рис. 181. Построим поле и = = — grad/и заставим точки слоя Ме — М_е вне окрестности U скользить вдоль траекторий поля и (рис. 180). В окрестности U деформация показана на рис. 180. Отрезок
АВ изображает диск Dx (xi,... ,хк), граница которого вложена в край области М_е. Результат деформации см. на рис. 181.
Теорема 2. Пусть / - функция Морса на гладком компактном связном замкнутом многообразии М. Тогда М гомотопически эквивалентно конечному клеточному пространству, причем каждой критической точке индекса X отвечает ровно одна клетка размерности X
Так как на любом компактном гладком многообразии есть функции Морса, то каждое такое многообразие допускает описанное клеточное разбиение. Доказательство теоремы 2 следует из лемм 1, 2. Так как М компактно, то число критических точек функции / конечно. Если на каждом критическом уровне функции имеется
только одна критическая точка, то утверждение теоремы сразу следует из леммы 2. Если же на одном критическом уровне находится несколько критических точек, то вследствие их изолированности можно считать, что к многообразию М_е одновременно приклеивается несколько клеток.
Теорема 2 позволяет восстанавливать гомотопический тип многообразия по функции Морса далеко не однозначно. Мы можем вычислить только число клеток и их размерности, но в общем случае ничего нс можем сказать о способе приклейки клеток друг к другу.
Рассмотрим фиксированное многообразие и всевозможные функции Морса на нем. Какое количество критических точек обязана иметь функция / на М? Из предыдущего ясно, что чем сложнее многообразие, тем сложнее функция Морса на нем. Можно ли придать этой связи количественный характер? Для приложений, например, в механике, полезно знать — сколько положений равновесия (т.с. критических точек потенциала) имеет данная механическая система, если известна структура конфигурационного пространства. Оказывается, зная гомологии многообразия, можно оценить снизу число критических точек функции Морса.
Теорема 3. Пусть pk (М, (7) — ранг группы гомологий Hk (М, G) с коэффициентами в поле G (т.с. рк - число Бетти для гомологий с коэффициентами в G). Тогда для любой функции Морса на М всегда выполняются неравенства Морса: Uk^k, где рк - число критических точек индекса к функции f Здесь к = 0,.. . ,п.
Доказательство фактически следует из предыдущих лемм. По функции Морса строим представление М в виде клеточного пространства. При этом количество fc-мерных клеток в точности равно числу рк критических точек индекса к. Следовательно, ^-мерная группа клеточных цепей многообразия имеет рк образующих. Так как число рк образующих группы £-мерных гомологий не превосходит числа образующих в группе к -мерных цепей, то теорема доказана.
ГОМОЛОГИИ И ТОЧКИ БИФУРКАЦИИ ФУНКЦИИ.
ОБЩИЕ НЕРАВЕНСТВА МОРСА
Существует более тесная связь между критическими точками функции Морса и гомологиями многообразия чем та, которая указана в § 44. Эта связь имеется не только для функций Морса, но и для непрерывных функций с "правильными” критическими точками, определение которых см. ниже. Общие неравенства Морса можно выписать не только для многообразий, но и для клеточных пространств (и даже для компактных метрических пространств, не являющихся клеточными), снабженных непрерывными функциями с ’’правильными" критическими точками. Чтобы не углубляться в технические детали, ограничимся здесь случаем непрерывных функций на многообразиях, предоставляя читателю перенесение всех нижеследующих конструкций на случай клеточных пространств.
Определение 1. Пусть X — топологическое пространство и / — непрерывная функция на нем. Точка х € X называется правильной для функции /, если существует открытая окрестность U этой точки такая, что U гомеоморфна прямому произведению fa X /, где а = /(х), / — единичный отрезок, fa — полный прообраз значения а. При этом требуется, чтобы гомеоморфизм р: U ^*faXI был послойным в том смысле, что fa xt=<pVt),tei.
См. рис. 182, где видно, в каком смысле расслоение U в прямое произведение согласовано со слоями ft.
Определение 2. Точка х 6 X называется точкой бифуркции функции /, если х не является правильной точкой.
Если / — функция Морса на гладком многообразии, то ясно, что все ее критические точки являются точками бифуркации в смысле определения 1.
Однако если / нс является функцией Морса, то ее критические точки могут не быть точками бифуркации. Пример: /(х) = х3 на вещественной прямой. Точка О очевидно является вырожденной критической точкой, но в то же время это — правильная точка (докажите!).
Поскольку дальнейшие приложения связаны с функциями на многообразиях, то для простоты ограничимся рассмотрением гладких функций на многообразиях
AR'AR'Рис. 182Рис. 182
AR'
AR'
Рис. 182
Рис. 182
(но не обязательно функций Морса). Пусть/" имеет на М лишь конечное число точек бифуркации. Рассмотрим группы гомологий Н, (М, G), где G — поле (например, R или Zp). Обозначение G будем опускать и писать просто Н, (Af). Пусть ^к — размерность группы Нк (М) (£-мерное число Бетти).
Определение 3. Полиномом Пуанкаре пространства М называется полином Р(М, t) = ^k = opktk, где п = dim М.
Определение 4. Значение с для функции / называется бифуркационным, если поверхность уровня/-1 (с) содержит хотя бы одну точку бифуркации.
Пусть ci,..., cN — бифуркационные значения функции. Пусть Аа — множество бифуркационных точек на поверхности уровня fCa- Рассмотрим Ме = = { х G М|/(х) < са } и группы гомологий Нк (Ме, Ма - А^. Здесь мы имеем в виду группу Нк(Ма, Ма — Ua), где Ua — достаточно малая открытая окрестность точек Аа. Рассмотрим целые числа 0к>а = dim ^fc Wa > ^* ~ Яа) •
Определение 5. Полиномом Пуанкаре функции / на М назовем полином
Теорема 1 (Морс, Смейл). Пусть Q(/, f) и Р(М, f) - полиномы Пуанкаре функции и многообразия. Тогда разность Q - Р делится на 1 + t и отношение полиномов (Q - Р)/(1 + 0 является полиномом с неотрицательными целыми коэффициентами.■
Доказательство. Предположим, что [а, 6] — такой отрезок, что он не содержит бифуркационных значений функции f. Тогда Мь стягивается на Ма и Н»(Мъ. Ма) = 0. Доказательство этого факта во многом аналогично доказательству утверждения из § 44 для функций Морса, и мы предоставляем его читателю. Вместо интегральных траекторий градиентного поля здесь нужно взять траектории — прообразы отрезка при гомеоморфизме р для каждой отдельной открытой окрестности, окружающей правильную точку функции. Рассмотрим теперь следующие полиномы Пуанкаре.
1)/>(мв) = 2^„
2)P(Mb, Ma)=ZkPk(Mb,Ma)tk, где а<Ь;
3)P(Im Э) = Sfc(dim Im д^+1)г*, где Эк+1: Hk*i^Mb, М„)-*Нк^Мв) — граничный оператор гомологической последовательности пары (Мъ« Ме ).
Оказывается, выполнено равенство:
Р(МЬ, Ма) - Р(МЬ) + №) = (1 + 0 Р(1ш Э)
В самом деле, рассмотрим точную последовательность пары, а именно:
Нк^Мь, Ма)^+Нк(Ма )-^Нк(Мь)-^Нк<Мь, Ма)^Нк.1(Ма).
Отсюда имеем:
0k(Mb,Ma) = dim Im/, + dim Im bk;
dim Im/, = 0k(Mb) - dim Im z, = 0k(Mb) - 0k(Me) +
+ dimlm8bi = 0k(Mb) - 3k №) + dim Im Э*+1;
0k(Mb, Ma) - dim Im/, =
= 3k <Mb, Ma) - 0k W + 0k №) - dim Im Ьк-н =
= Rk — dim Im Э^+1 = dim Im bk;
Rk = 3k(Mb, Ma) - 0k(Mb) + fcW.
Итак, tkRk = f*dimlmde+1 + z(z*_1dim Imd^), т.е. ^ktkRk = (1 + f)P(Imd), что и требовалось.
Теперь рассмотрим все бифуркационные значения Сх,..., с^. Пусть числа а», ахaN , 0^*1 таковы, что
Со <.01, ... , а, <С{ <31+1 • • ■ CN <-aN*V
Тогда для каждого / имеем:
Р(Мт, Мд-Р(М1+1)+Р(Мд = (1 +t)P(lmd)b
где полином P^md^ имеет неотрицательные целые коэффициенты. Суммируя эти равенства (по всем i ), мы и получаем утверждение теоремы.
Извлечем следствия. Возьмем в качестве коэффициентов поле R, пусть / — функция Морса. Тогда Р(М, t) = E^Z*. Полином t) запишем в ’’приведенном виде”, собрав вместе члены, содержанте одну и ту же степень t. Имеем Q = Ед^*. Здесь д* — числа Морса функции /. Легко видеть, что д^ равно числу критических точек индекса к. Доказательство следует из леммы Морса и определения полинома Пуанкаре.
Извлечем классические неравенства Морса из теоремы 1. Имеем: Q(/) — Р(М) = = Ел(д* - P/t)tk = (1 + О К (Г), где полином, стоящий в правой части равенства, имеет неотрицательные коэффициенты. Следовательно, числа Бетти 0к многообразия М оценивают снизу числа Морса д^.
Рассмотрим еще одно утверждение, вытекающее из теоремы 1, а именно: Ед^к = = E^Z* + (1 + t)K(t). При Z = — 1 получаем: Е(-1)*дк = E(-l)*0fc, где справа стоит величина, называемая эйлеровой характеристикой многообрсзия (альтернированная сумма чисел Бетти).
Наконец, разложим выражение (1 + Z)-1 в ряд по степеням переменной t. Получим S7=o(-l)<fl • Отсюда получаем, что ряд (Е(д* - 0k)tk) Е7 = o(-l)<Z/ имеет (после приведения подобных членов) неотрицательные коэффициенты. Фиксировав какое-либо к, получаем систему неравенств:
(До - М (-1 )* + (Д. - ^i) (-I)*"1 + • •. + Uk - &) > 0,
отсюда:
Д*-Д*-1 + Д*-2 ~...±Ро >Рк-Рк-1 +Рк-2-...±Ро.
ГОМОЛОГИИ И КАТЕГОРИЯ ЛЮСТЕРНИКА-ШНИРЕЛЬМАНА
Как было доказано выше, если / - функция Морса на многообразии М, то число ее критических точек индекса X не менее числа Бетти Рх- Однако когда мы рассматриваем не морсовские функции, в частности, допускаем слияние невырожденных особенностей в вырожденные, ситуация усложняется. Как мы знаем, для точек бифуркации неравенства типа Ех (± дх) > Е^ (± 0х) по-прежнему выполнены, но теперь числа Дх не имеют того простого смысла, как для функций Морса. В общем случае числа дх описывают ’’степень сложности” точек бифуркации, которая довольно сложно вычисляется через гомологии поверхностей уровня, близких к бифуркационной поверхности уровня. Число дх уже не дает прямой информации о том, сколько имеется точек бифуркации. Но в приложениях часто важно знать: сколько точек бифуркации имеется у данной функции; каково наименьшее возможное число таких точек на данном многообразии? Оказывается, этот вопрос решается в терминах уже известного нам по предыдущим главам топологического инварианта — категории Люс- терника— Шнирельмана.
Определение 1. Пусть X — хаусдорфово топологическое пространство и А — замкнутое подмножество в X. Категорией Люстерника-Шнирелъмана catxA замкнутого подмножества А относительно пространства X называется минимальное число к, для которого существуют замкнутые подмножества A i,..., Ак в X, такие, что А является их объединением и каждое из этих подмножеств стягивается в точку по пространству X (ср. п. 5 § 3). Связность подмножеств А{ при этом не предполагается.
Пусть, для простоты, X связно. Если А = X, то будем считать, что cat^X = cat X.
Теорема 1. Пусть М - гладкое компактное п-мерное замкнутое многообразие. Тогда его категория Люстерника-Шнирельмана не превышает числа л + 1.
Доказательство. Рассмотрим сначала, для простоты, двумерный случай, наиболее наглядный. Фиксируем какое-либо симплициальное разбиение многообразия. В силу компактности многообразия можно считать, что оно покрыто конечным числом симплексов. Рассмотрим двукратное симплициальное барицентрическое подразделение (рис. 183). На рисунке двукратному разбиению подвергнуты пять примыкающих друг к другу симплексов. Так как М является многообразием, то звезда каждой вершины двукратного подразбиения гомеоморфна диску. Для двумерного случая мы должны предъявить три замкнутых множества Аз, А2, Аз, объединение которых дает все многообразие, и, кроме того, стягиваемых (по отдельности) по М в точку. Сначала опишем построение A i. Рассмотрим центры тяжести всех исходных двумерных симплексов, возникающие при первом барицентрическом подразделении. Эти точки являются центрами звезд второго барицентрического подразделения (рис. 1836). Объединяя все эти звезды, получаем замкнутое множество Ai. Оно гомеоморфно объединению к дисков, где к — число симплексов исходного
66
6
6
симплициального разбиения многообразия. Ясно, что А\ стягивается в точку по многообразию. Затем рассматриваем центры одномерных ребер (для двумерного случая) исходного симплициального разбиения, являющиеся центрами звезд второго барицентрического подразделения. Объединяя эти звезды, получаем замкнутое множество Аг, стягиваемое по многообразию в точку. Ясно, что оставшаяся часть второго барицентрического подразделения распадается в объединение звезд вершин исходного разбиения. Это множество Аз также стягиваемо. На рис. 183в этот же процесс показан более наглядно. Сначала выбрасываем достаточно малые шары,окружающие центры тяжести исходных л-мерных симплексов. Затем выбрасываем шары, окружающие центры (л + 1)-мерных граней исходных симплексов. Эти шары занумерованы цифрами 2 на рис. 183в. Остаются шары (занумерованные цифрами 3), окружающие вершины исходных симплексов. Ясно, что этот процесс точно так же (как и в двумерном случае) приводит к доказательству теоремы. Теорема доказана.
Таким образом, верхняя оценка на категорию многообразия получается очень просто. Значительно сложнее получить нижнюю оценку на категорию. К этому вопросу мы сейчас и перейдем. Предварительно опишем простейшие топологические ствойства категории. Доказательства перечисляемых ниже предложений 1 — 6 мы предоставляем читателю в качестве упражнения.
Предложение 1. Если А СВ - замкнутые подмножества в X, то catxA < <catx&
Предложение 2. Пусть А и В — два произвольных замкнутых подмножества в X. Тогда catxA UВ < cat^А + cat^ Д
Предложение 3. Пусть А С В — замкнутые подмножества в X. Тогда catxB - А > catxB - cat^^, где через В - А обозначено замыкание множества В-АвХ.
Предложение 4. Пусть А СВ - замкнутые подмножества, и пусть множество В непрерывно деформируется по пространству X в подмножество А, т.е. существует гомотопия ц>г вложения i : В -*Х в такое отображение ^х\ В -*Х, при котором ^iB С С А. Тогда catxA > catxB.
Множество Ф1В может быть не гомеоморфно множеству В.
Предложение 5. Пусть А - замкнутое подмножество в многообразии X (здесь, в отличие от предыдущих предложений, мы предполагаем, что X - многообразие). Тогда существует число е > 0 (зависящее, вообще говоря, от А)
такое, что catxUeA = cat^A где через UeA обозначена замкнутая е-окрестность подмножества А в X
Если X — не многообразие, то это утверждение, вообще говоря, неверно (рис. 184),
Предложение 6. Пусть А, Вп (где л = 1, 2, ... ) - замкнутые подмножества в многообразии X, снабженном метрикой р. Пусть А = . Нт Вп,т.е. р(А, Вп) -*йпри п-**
п-»”. Если catxBn > к при всех п, то тогда и catxA = cat (limВп) > к.
Теорема 2, Пусть М — гладкое компактное связное замкнутое многообразие и f - гладкая функция на М. Тогда всегда выполнено неравенство k > cat М, где к - число различных точек бифуркации функции f. Аналогично, р > catM, где р - число различных критических точек (быть может, вырожденных') функции f.
Для простоты мы докажем эту теорему лишь для случая критических точек (в обычном смысле), так как для точек бифуркации рассуждения повторяются практически дословно, но с заменой интегральных траекторий векторного поля grad/ на слоение окрестностей U траекториями-прообразами сомножителя I при гомеоморфизме U «fg XI.
Пусть М{ — класс всех замкнутых подмножеств X С М таких, что cat^f X > i. Ясно, что М( D М/ +1. Пусть 9 — пространство всех замкнутых подмножеств вМ Тогда 9 снабжается естественной структурой метрического пространства введением метрики р(Х, У), обычным образом задающей расстояние между замкнутыми множествами
р(Х, Y) = sup inf р(х,у)* sup inf p(x,y\ xGX yGYyGY XGX
Будем говорить, что У = lim Xq, если p(Xq, У) -► 0 при q -> оо.
Предложение 7. Каждый класс Mt является подмножеством в 9, замкнутым относительно двух операций: а) предельного перехода, т.е. У & Mt, если У = lim Xq, Xq € Мt; б) непрерывной деформации подмножеств по многообра
зию М, т.е. YGMt, если У = ФхХ, где <pt: Х-*М — гомотопия.
Доказательство вытекает из предложений 4 и 6.
Фиксируем класс Mt, и пусть XG Mt. Построим число X, = inf max/(x).
XG Mt xG x
Пусть N — категория M. В условиях теоремы 2 имеем N < <». Получаем цепочку вложений: 9 = М» - Mt D Мг D ... Э Мц. Можно считать, что 9 = М» = = {X € 9, catMX > 0}. Ясно, что catM X > 0 для любого X € 9. Совпадение классов Мо и Mi очевидно. Отсюда имеем, что Хо = Xt.
Функция / индуцирует функции /0, -., /у, определенные, соответственно, на классах Мо, .... MN. А именно, ft(X) = max /(х), где ХеМ(, Тогда X/ = х е х
= inf ft (X). Так как Mt D Mt+i, то с ростом г числа Х( не убывают. Так как
X G М{'
классы М{ замкнуты в 9 относительно предельного перехода (предложение 7), то в каждом классе Mt существует элемент Х^ (замкнутое подмножество в многообразии) , такое, что /; (Xj) = \t.
Предложение 8. На поверхности уровня fxt имеется по крайней мере одна критическая (бифуркационная) точка функции f.
Доказательство. Допустим противное, что на /^ нет критических точек. Рассмотрим Mj, и пусть Х^ € Mt — замкнутое подмножество, для которого max f(x) = Хр Тогда существует точка х° 6 Х^, такая, что /(х°) = Х(. Так как х G Х°
мы предположили, что grad / ^ 0 на /хр то существует малая деформация поверх-
ности fxt вдоль интегральных траекторий поля —grad/ в область меньших, чем Х#, значений (рис. 185). Строим далее гладкую гомотопию, тождественную вне слоя \t — h < / < X/ + Ч (где X/ — й < X/ — е, X/ < X/ + <?) и переводящую поверхность /х, в fxt-e- Пусть Х° — это образ X® при этой деформации. Из леммы 4 имеем, что catMx” > catMX^ > i. Итак, х” GMf. Отсюда
inf sup /(х) < sup /(х) < X, - е < X/,
х6м, хехХех*
что невозможно в силу определения X/. Лемма доказана.
Предложение 9. Предположим, что в последовательности Хо <... < Xw есть совпадающие числа. Пусть, например, Х{ =Х{ * q, где q> 0. Пусть К - множество всех критических точек функции f на поверхности fxr Тогда catM К > q+1.
Доказательство. В силу леммы 5 существует е > 0, такое, что catM/^ = = са(м(7еХ\ Допустим противное: catM^ < q. Рассмотрим классы Mt ^Mt*x D ... — 2 Mt+q. Пусть Xt°+q таково, sup /(x) = Х1+4 = X,. Рассмотрим замкнутое x ^ Xf+q
00
множество Y = Xi+q - (Xi+q П К) (рис. 186). Тогда из предыдущих предложений следует, что catMY > i, т.е. Y е Mt.. Далее: X,- = Xi+q = sup у(^) > х е хнч
> sup /(х) > Хх = X1+q = sup/(х). Отсюда следует, что sup /(х) = Xz.
X 6 Уv Р х"X 6 У
В то же время Y П К = ф, что противоречит предложению 8. Лемма доказана.
Перейдем к доказательству теоремы. Рассмотрим классы Мо = Мх D М2 D ... — 2 М^. Пусть сначала Хо = Xt < Х2 < ... < Xjy. Тогда из предложения 8 следует, что на каждой поверхности fxt есть хотя бы одна критическая точка, поэтому их общее число не меньше N = cat М. Пусть теперь, например, X, = Xt+q. Из предложения 9 следует, что са1д/^ > i, где К — множество критических точек на поверхности fx{. Следовательно, на К можно выбрать по крайней мере q + 1 различных точек. Итак, ’’однократное” значение X, дает вклад в виде по крайней мере одной критической точки, а каждое "(q + 1)-кратное” значение X/ дает вклад по крайней мере
Ув8
в виде <7 + 1 различных критических точек. Отсюда очевидно следует утверждение теоремы.
Вопрос: является ли полученная выше оценка наилучшей, т.е. существуют ли такие примеры, в которых оценка достигается?
Теорема 3. Категория Люстерника-Шнирельмана для сферы S" равна двум. Наименьшее число критических (бифуркационных) точек для гладкой функции на сфере равно двум (т.е. категории сферы). Категория двумерного замкнутого гладкого многообразия, не гомеоморфного сфере, равна трем. Наименьшее число критических (бифуркационных) точек для гладкой функции на таком многообразии равно трем (т.е. категории).
Доказательство. Для сферы утверждение очевидно. Достаточно представить ее как объединение двух полусфер, а в качестве функции взять функцию высоты при стандартном вложении сферы S" в R" +1. Здесь мы используем тот факт, что категория сферы больше единицы, т.е. что она нестягиваема. Теперь рассмотрим двумерную поверхность, не гомеоморфную сфере. Ее категория строго больше 2. В самом деле, в противном случае, как легко доказать, оно было бы гомеоморфно сфере. А в силу теоремы 1 категория двумерного многообразия не превышает трех. Следовательно, она равна 3. Чтобы построить функцию с тремя критическими точками, нужно рассмотреть фундаментальный многоугольник поверхности, задающий ееввиде<71 ... ах • а^1... a^Li а^ (рис. 187). Стрелки и буквы на сторонах многоугольника указывают правило склейки сторон. Разобьем многоугольник диагональю (рис. 187). Слева от диагонали зададим точку минимума, справа — точку максимума, а в вершинах многоугольника (изображающих в действительности одну точку на поверхности) зададим седловую (вырожденную, вообще говоря) критическую точку. Линии уровня такой функции см. на рис. 187. Теорема доказана.
Категория - это трудновычислимый инвариант многообразий. Ограничимся описанием одного способа ее оценки снизу, основанного на понятии когомологической длины многообразия.
Пусть Н*(М; Л) — кольцо когомологий многообразия М, где А = Z или R, если М ориентируемо, и А = Z2, если М неориентируемо. Рассмотрим все такие целые числа <7, что в кольце Н*(М; А) существуют элементы ах, ...,aq, dime/>О, 1 < / < q, произведение которых (в смысле умножения в кольце когомологий) Н*(М\ А) отлично от нуля. Когомологической длиной многообразия называется максимальное из таких чисел.
Теорема 4. Если к - когомологическая длина многообразия М, то cat Л/ > k + 1.
Доказательство. Напомним свойства изоморфизма Пуанкаре (см. § 17). Пусть, для простоты, М" замкнуто и ориентируемо. Тогда изоморфизм двойственности D связывает группу Hk(M-, Z) и группу Нп-к (М; Z),T.e.D: Нк^М\ Z) ■* ■* Нп-к(М; Z), причем D<ax ...ар) = D(ax) Л ... Л D(ap), где а, е Н*(М) - коциклы, через а -Ь обозначено произведение коциклов. Далее, D)a) — это цикл, двойственный (по Пуанкаре) коциклу а. Через аСД обозначен цикл, являющийся пересечением двух циклов а и 0 в М. Для этого нужно реализовать оба цикла в виде симплициальных подкомплексов, привести их затем в общее положение и взять пересечение.
Рассмотрим коциклы ах, — , ак, такие, что ах ... ак ¥= 0,и пусть 7t,..., 7k — циклы, соответствующие этим коциклам при двойственности. Тогда D(ax ...ак) = = 71 Л ... Лук = у, где через 7Х Л ... Л 7к обозначено пересечение всех циклов 7/. Ясно, что 7 не гомологичен нулю. Предположим, что cat М = s < к. Тогда в М существуют замкнутые подмножества Ах, .... А,, стягиваемые в точку и объединение ко- к
торых дает М. Можно считать, что s = к и М = U А{. Сопоставим циклу 7, множе- / = 1
ство Л/. Так как каждое Л/ стягивается в точку, то из точной гомологической последовательности пары
/
... —> H$ut) —- н,(М) —► нам.At) —>
получаем, что /, = 0, т.е. /, — мономорфизм. Итак, каждый цикл 7< гомологичен циклу 7/ из НАМ, At), т.е. можно считать, что носитель цикла 7, ~ 7t лежит в М - Л/. Другими словами, можно ’’снять” каждый цикл 7/ с подмножества Л/ (рис. 188). Итак, цикл 7 гомологичен циклу 7 = 71 Л ... Л 7к. В то же время 7 С (Л/ - Л1) Л ... Л (Л/ — Ак) = ф, так как М = Ах U ... U Ак. Это означает, что 7 гомологичен нулю, что противоречит условию. Если многообразие неориенти- руемо, то нужно повторить все рассуждения для группы коэффициентов Z2 .'Теорема доказана.
Следствие 1. Категория вещественного проективного пространства RP" равна п + 1. Категория п-мерного тора Т" равна л + 1.
Доказательство. Так как оба многообразия имеют размерность л, то из теоремы 1 следует, что их категория не превышает л + 1. Найдем когомологическую длину этих многообразий. Это легко сделать, так как когомологиц этих пространств были подсчитаны нами выше. Имеем: Н (RPn; Z2) = Z2 VeA Це"*1), где dege = l. Очевидно, что произведение еп = ее ... е (л раз) отлично от нуля, что и требовалось доказать. В случае тора имеем Н*(Тп; Z) = А(ех,..., еп) - внешняя алгебра с образующими ех, .... еп. Ясно, что ехег ... еп Ф 0, что и дает искомое утверждение. Теорема доказана.
При вычислении категории Люстерника — Шнирельмана полезно также следующее утверждение, доказательство которого мы оставляем читателю.
F
Теорема 5. Пусть р: Е ’► В - локально тривиальное расслоение. Тогда catE < catEF- cat В, где ЕСЕ- слой расслоения.
Существуют расслоения, для которых это неравенство превращается в равенство. Рассмотрим, например, расслоение Хопфа р: № >52. Имеем: cat 53 = cat № =2,
cat^s S1 = 1, так как слой S1 стягивается по сфере в точку. Итак, 2 = 1-2.
ГОМОЛОГИИ И МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Физические границы раздела двух сред с равными давлениями и их математическая модель — минимальные поверхности. Все мы знакомы со следующей двумерной вариационной задачей. В R3 задан фиксированный замкнутый проволочный контур, гомеоморфный окружности или системе непересекающихся окружностей. Нужно найти поверхность наименьшей площади, затягивающей контур, т.е. имеющей его в качестве границы. Физической моделью таких поверхностей являются мыльные пленки, повисающие на проволочных контурах после того, как их извлекают из
мыльного раствора (достаточно концентрированного). С математической точки зрения такие пленки описываются как решения дифференциального уравнения второго порядка в частных производных. Поведение мыльных пленок достаточно сложно и до конца еще не изучено.*
Мыльные пленки — частный случай более широкого класса поверхностей — так называемых границ раздела двух сред.
Напомним сначала определение средней кривизны Н гладкой двумерной поверхности М2 в R3. Пусть Р — точка на поверхности (рис. 189) и do - бесконечно малая окрестность этой точки (площадка) на поверхности. Ее площадь мы также обозначим через da. Отложим на нормалях к поверхности М в одном направлении отрезки постоянной длины а; Концы отложенных отрезков описывают некоторую поверхность М*, которую можно назвать ’’параллельной” поверхности М. Тогда площадке da будет ’’параллельна” некоторая площадка da* на поверхности М*. Обозначим ее
■da — da*
площадь также через da*. Построим следующее выражение . Переходя
2 ado
к пределу при а -► 0, получаем число, зависящее, вообще говоря, от выбора точки на поверхности. Это число и называется средней кривизной Н поверхности М в точ- da — da*■
ке Р. Итак, Н{Р} = Um . Средняя кривизна — важный локальный инва-
а-о lada
риант поверхности. Эта функция естественно возникает в теории мембран и тонких оболочек (в химии, физике, биологии и т.п.). Например, почти у всех млекопитаю-
щих эритроциты (в крови) похожи на двояковогнутый диск. Исключения из этого правила крайне редки. В состоянии покоя красная клетка является фигурой вращения, образованной незамкнутой восьмеркой. В 1970 г. П.Кенхзм (Канада) предположил, что форме клетки нужно искать чисто энергетическое объяснение. Когда эритроцит переходит из одной формы в другую, его мембрана (граница раздела двух сред) изменяется, поэтому изменяется и ее энергия. Энергия мембраны вычисляется так: $ $ D-H^do, и минимум этой энергии соответствует оптимальной форме зритро- м
цита. Оказалось, что среди нескольких семейств поверхностей вращения, исследованных Кенхзмом, эритроцит (толстый диск, сплющенный в середине) действительно имеет наименьшую энергию. В данном примере средняя кривизна была переменной функцией. Оказывается, в механике и физике встречаются ситуации, когда средняя кривизна постоянна. Еще в 1828 г. Пуассон доказал важное утверждение, связывающее условия равновесия физических сред со свойствами их границ раздела. Пусть в R3 находятся две среды I и II, разделенные границей раздела, которую будем считать гладкой поверхностью. Пусть Pi и р2 — давления в средах I и II соответственно.
Теорема 1 (Пуассон). Предположим, что среды I u II находятся в равновесии. Тогда в каждой регулярной точке поверхности М,являющейся границей раздела сред, выполняется равенство Н = X(pt — р-^),где X — некоторая постоянная, не зависящая от выбора точки на М. В частности, средняя кривизна поверхности раздела (в указанных предположениях) постоянна.
Число X имеет простой физический смысл. Величина 1/Х является коэффициентом поверхностного натяжения на границе раздела сред. Рассмотрим два простейших примера. Выдуем из трубки мыльный пузырь. Он оторвется от трубки и начнет планировать, приобретая форму сферы. Это не случайно. Здесь мыльная пленка (сферический пузырь) является границей раздела двух сред: шаровой объем газа (воздуха) с давлением Pi и внешняя среда с давлением р2. Из условия опыта ясно, что pt > р2 , поэтому Н = const > 0. Можно доказать (хотя это и нетривиально), что любая замкнутая гладкая двумерная связная поверхность (без самопересечений) постоянной положительной средней кривизны в R3 является стандартной сферой.
Второй пример, представляющий здесь для нас больший интерес, реализуется так. Рассмотрим мыльную пленку, ограничивающую какой-либо замкнутый проволочный контур (и не содержащую в себе замкнутых пузырей). Здесь пленка является границей раздела двух сред: воздух ’’над” пленкой и воздух ’’под” пленкой, причем давления Pi и р2 с обеих сторон, очевидно, равны. Следовательно, по теореме Пуассона
Рис. 190
мы имеем Н = const = 0. Итак, мыльная пленка, ограничивающая контур, имеет нулевую среднюю кривизну. Это ее свойство допускает характеризацию в терминах площади пленки.
Рассмотрим в R3 гладкую поверхность, возьмем на ней точку и окружим ее малым замкнутым контуром, нарисованным на поверхности и гомеоморфным окружности (рис. 190). Рассмотрим малое возмущение поверхности внутри контура.
Сферы с ручкамиСферы с ручками
Сферы с ручками
Сферы с ручками
затухающее к границе области, ограниченной контуром, и не смещающее поверхности вне контура. Такие возмущения назовем возмущениями малой амплитуды с малым носителем.
Определение 1. Поверхность М1 в R3 называется локально минимальной, если любое малое ее возмущение малой амплитуды с малым носителем не уменьшает
ее площадь..
Точно так же можно определить локальную минимальность и в многомерном случае: Мк С RN.
Теорема 2. Двумерная поверхность в R3 является локально минимальной тогда и только тогда, когда ее средняя кривизна тождественно равна нулю.
Доказательство этого классического утверждения мы опускаем. Теорема 2 показывает, что физической моделью локально минимальных поверхностей являются, например, мыльные пленки 2-го типа, т.е. ограниченные замкнутым контуром.
Простые примеры показывают, что на один и тот же контур можно натянуть, вообще говоря, несколько разных локально минимальных поверхностей. Все эти пленки имеют, вообще говоря, разные площади. Более того, можно предъявить простой контур, состоящий из четырех непересекающихся гладких окружностей, на который можно натянуть континуум ( !) различных (не совпадающих) минимальных поверхностей. Этот замечательный пример построил Ф. Морган [64]. Возникает вопрос: существует ли пленка, затягивающая данный контур и имеющая наименьшую возможную площадь среди всех пленок с той же границей? Сегодня эта задача называется проблемой Плато по имени известного бельгийского профессора физики и анатомии Жозефа Плато (1801-1883), который провел серию фундаментальных опытов по изучению конфигурации мыльных пленок и экспериментально обнаружил несколько важных принципов, управляющих их геометрией и топологией.
Теорема Дугласа и Радо. В 30-е и 40-е годы нашего столетия был достигнут большой прогресс в изучении свойств двумерных минимальных поверхностей.
Замечательные результаты были получены Дугласом и Радо [4], [6], [7], Курантом и др. Вкратце остановимся на теореме Дугласа и Радо, решающей задачу Плато для двумерных поверхностей. Будем называть минимальную пленку, реализующую абсолютный минимум площади в классе всех поверхностей с данной границей, абсолютно минимальной поверхностью, чтобы отличать ее от локально минимальных поверхностей. Абсолютно минимальных поверхностей с одной и той же границей также может быть несколько (как и локально минимальных). Все они имеют в таком случае одинаковую площадь (абсолютный минимум).
Наиболее важным результатом Дугласа является теорема существования абсолютно минимальной поверхности в классе поверхностей фиксированного топологического типа. Сначала напомним (см. п. 10 § 1), что каждое гладкое замкнутое связное двумерное многообразие И^диффеоморфнолибо сфере с некоторым количеством ручек, либо сфере, заклеенной несколькими пленками Мебиуса (рис. 191).
Ручка - это обыкновенный цилиндр, приклеиваемый своими двумя краями к краям двух дырок в сфере. Пленка Мёбиуса — это лента Мёбиуса, приклеенная по своей границе к границе дырки в сфере.
Предположим, что для многообразия W данного топологического типа (т.е. с заданным числом ручек и пленок Мёбиуса) существует гладкое отображение /: IV -► R3 с конечной площадью, причем край поверхности отображается на заданный набор замкнутых жордановых кривых в R3. Требование ’’конечной площади” надо понимать так. При отображении /: IV -► R3 возникает образ X = f(W) поверхности W. Нужно подсчитать площадь этого образа, причем "с кратностью", т.е. часть образа, покрытая несколькими листами поверхности W, засчитывается столько раз, сколько листов ее покрывает. Можно рассматривать также задачу Плато, подсчитывая просто площадь образа X = /(И'), т.е. без учета кратностей. В этом случае мы интересуемся площадью той геометрической поверхности (без параметризации), на которую отобразилась поверхность К
Определим теперь операцию (введенную Дугласом) перетягивания трубок и выбрасывания из поверхности ручки или пленки Мёбиуса. На рис. 192 показана поверхность, например, с двумя ручками. Перетягиваем одну из них, как показано на рис. 192, т.е. сдавливаем трубку. Перетяжка превращается в точку, затем ручка распадается, причем новых дырок при этом не возникает, так как в момент перетяжки они ’’запаиваются”. В результате число ручек уменьшилось на единицу. Другой способ удаления ручки показан на рис. 193. Ручка ’’отрывается” от поверхности, а место отрыва ’’запаивается", так что край поверхности не меняется. Ясно, что точно так же определяется операция выбрасывания пленки Мёбиуса (рис. 194). Здесь от поверхности ’’отрывается” проективное пространство, а место разрыва запаивается (т.е. дырка заклеивается диском). ■
Теорема 3 (Дуглас). Предположим, что минимум (точнее, точная нижняя грань') площадей погружений поверхности W фиксированного топологического типа в R3 с фиксированным краем строго меньше, чем минимум площадей всех погружений в R3 (с тем же краем) всех поверхностей, получающихся из исходной поверхно-
Рис. 192
14 А.Т. Фоменко
сти выбрасыванием одной ручки или выбрасыванием одной пленки Мёбиуса. Тогда существует непрерывное и абсолютно минимальное отображение /0: W -> R3, т.е. оно реализует минимум площади в классе всех погружений поверхности в R3 с заданной границей. Эта поверхность fo(W) имеет нулевую среднюю кривизну во всех своих неособых точках и почти всюду регулярна.
Прокомментируем условие существования хотя бы одного погружения W в R3 с конечной площадью. Дело в том, что существуют кривые, на которые нельзя натянуть ни одной поверхности с конечной площадью (рис. 195). Изображены две ортогональные проекции пространственной кривой на две плоскости. Уравнение кривой
в стандартных сферических координатах г, 8, <р записывается так: г = cos 8, Ф = tg5 6. Здесь г — длина радиус-вектора, ф — полярный угол на плоскости х, у.
ааТ"»Т"»— угол, образуемый радиус-вектором с вертикальной осью z. Когда 8— угол, образуемый радиус-вектором с вертикальной осью z. Когда 8
а
а
Т"»
Т"»
— угол, образуемый радиус-вектором с вертикальной осью z. Когда 8
— угол, образуемый радиус-вектором с вертикальной осью z. Когда 8
стремится к ± тг/2, то I ^ I -* «, г. -► 0, что и дает картину проекций. Прямое вычисление показывает, что эта кривая не является границей никакой погруженной в R3 поверхности с конечной площадью. Более того, существуют примеры таких экзотических кривых, каждая точка которых имеет похожую сложную структуру, и, следовательно, заклейка любого сколь угодно малого участка границы требует построения поверхности бесконечной площади.
Поскольку рассматриваются гладкие отображения поверхности в R3, то минимальные пленки могут иметь самопересечения и точки ветвления. Ясно, что существуют простые контуры, для которых минимальной пленки в классе вложений не существует. Простейший такой контур (заузленный трилистник) см. на рис. 196. Он не затягивается в R3 никаким вложенным диском. В то же время существует гладкое отображение диска D2 в R3 (с самопересечениями), реализующее абсолютный минимум площади в классе всех отображений диска с данной границей. Это верно, кстати, для любого жорданова замкнутого контура, гомеоморфного окружности. На рис. 196 показан также известный пример локально минимальной (но не абсолютно минимальной) пленки, затягивающей вложенную в R3 окружность, заузленную
в виде трилистника. Эта поверхность имеет не только самопересечения (три отрезка, сходящиеся в одной точке), но и точку ветвления в центре.
Прокомментируем теперь условие теоремы Дугласа, связанное с выбрасыванием ручек или пленок Мёбиуса. Рассмотрим простой пример граничного контура 7 — две соосные окружности одинакового радиуса, расположенные в двух параллельных плоскостях. Центры окружностей расположены на одной прямой, ортогональной плоскостям. Будем менять расстояние h между плоскостями (рис. 197). Рассмотрим пленку фиксированного топологического типа — цилиндр с краями, прикрепленными к двум указанным окружностям 7. Пусть сначала расстояние h мало.
Рис. 199
Тогда из физических соображений ясно, что абсолютный минимум площади в классе цилиндров с фиксированным краем достигается на так называемом катеноиде (слегка прогнутом цилиндре, образованном вращением цепной линии). Катеноид реализуется реальной мыльной пленкой (рис. 198). Напомним, что цепная линия - это форма провисания тяжелой цепи с закрепленными концами (гиперболический косинус). Обозначим площадь этой пленки через a^W, 7), указывая явно как контур 7, так и топологический тип W исследуемой пленки. Применим теперь описанную выше операцию Дугласа перетяжки трубок. У нас есть одна трубка - цилиндр. Перетягивая его, мы перестраиваем цилиндр в пару дисков .затягивающих по-прежнему тот же контур (рис. 199). Полученную поверхность обозначим через W*. Если обозначим через а (W*, 7) абсолютный минимум площади в классе всех поверхностей этого топологического типа (пара дисков), то ясно, что этот минимум достигается на паре плоских дисков, затягивающих окружности в плоскостях (рис. 199) . Если h мало, то очевидно, что a^W, 7.) < лСИ^, 7). Следовательно, условия теоремы Дугласа выполнены и, в самом деле, при малом h абсолютный минимум площади в классе цилиндров действительно достигается на катеноиде.
Покажем теперь, что при увеличении К условие теоремы Дугласа перестает выполняться и в результате в классе цилиндров может вскоре не оказаться абсолютно минимальной поверхности с данной границей. Эта ситуация показана на рис. 200. Когда h достаточно велико, то цилиндр IV начинает обтягивать вертикальный отрезок, соединяющий центры окружностей, и ясно, что минимум площади в классе поверхностей, получающихся ’’сдавливанием” цилиндра, достигается на паре плоских дисков, соединенных вертикальным отрезком. Так как двумерная площадь отрезка
равна нулю, то этот минимум равен числу a(W*, 7) , введенному выше. Итак, в случае большого h мы имеем: a(W, 7) = a(W*, 7). В общем случае следует отметить, что всегда a(W, 7) < a(Wf, 7).
Итак, условие теоремы Дугласа здесь не выполнено. И в самом деле, в классе цилиндров не существует абсолютно минимальной поверхности с данной границей. Следовательно, условие Дугласа действительно существенно и отказ от него сразу приводит к простым контрпримерам.
Абсолютно минималыше двумерные поверхности. Сколько минимальных дисков могут иметь одну и ту же границу? Леви и Курант построили интересный пример спрямляемой жордановой кривой, гладкой всюду за исключением одной точки и ограничивающей несчетное число минимальных дисков. Если же кривая является вещественно-аналитической, то, как показал Томи, она может ограничивать лишь конечное число локально минимальных дисков.
Минимальные поверхности могут иметь самопересечения и точки ветвления. Оссерман сформулировал теорему о том, что абсолютно минимальная двумерная поверхность, решающая задачу Плато в классе дисков в R3 (с фиксированной границей) , регулярна в каждой своей внутренней точке, т.е. не имеет точек ветвления (хотя самопересечения допускаются). Первоначальное доказательство Оссермана было уточнено Альтом и Гулливером. В случае когда жорданова кривая является вещественно-аналитической, Гулливер и Лесли доказали, что решение задачи Плато (т.е. абсолютно минимальная поверхность) не имеет ветвлений не только внутри, но и на границе. Следовательно, в этом случае решение задачи Плато задается погруженной поверхностью. Если же граничная кривая является всего лишь гладкой, то существование точек ветвления на границе остается пока открытой проблемой.
Все сказанное выше относится, конечно, не только к минимальным дискам, но и к минимальным поверхностям любого топологического типа, участвующим в теоремах Дугласа и Радо (так называемым обобщенным минимальным поверхностям).
Особый интерес представляет следующий вопрос: каковы условия на граничную кривую 7 в римановом многообразии М п (например, в R" ), при которых абсолютно минимальная поверхность W2 в многообразии М", ограниченная кривой 7 (и решающая, следовательно, задачу Плато для данного контура), является вложенной поверхностью, т.е. не имеет не только ветвлений, но даже и самопересечений? Оссерман высказал гипотезу, что это справедливо в том случае, когда кривая 7 лежит на границе выпуклой области в R3, например, на стандартной двумерной сфере. Существенные продвижения в решении этой проблемы были получены Гулливером, Шираком, Симоном, Альмгреном. Однако в полном объеме гипотеза Оссермана была доказана Яо и Миксом III, причем не только для выпуклых областей в R3, но и для выпуклых трехмерных многообразий, т.е. для многообразий с выпуклой двумерной границей. Дело в том, что понятие выпуклости, очевидно, можно определить не только для двумерных поверхностей в R3, но и для двумерной границы трехмерного риманова многообразия. Однако для наглядности читатель может представлять себе просто выпуклую область в R3 .
Теорема 4 (Яо, Микс III). Пусть М3 - трехмерное выпуклое многообразие. Если у - жорданова кривая (например, гладкая окружность'), лежащая на границе дМ и многообразия М3 и стягиваемая в точку по многообразию М3, то имеют место следующие утверждения ;
Для контура 7 всегда существует решение задачи Плато (т.е. абсолютно минимальная двумерная поверхность) с конечной площадью.
Рис. 200Рис. 200
Рис. 200
Рис. 200
Любое такое решение задачи Плато является вложенной поверхностью (без ветвлений и самопересечений вМ3).
Любые две абсолютно минимальные поверхности с одной и той же границей к либо совпадают (как подмножества в М3, т.е. соответствующие поверхности могут отличаться друг от друга лишь параметризацией), либо образы поверхностей пересекаются в М3 только вдоль кривой у.
Эта теорема называется иногда обобщенной леммой Дена. В теореме 4 речь шла о двумерных
поверхностях абсолютно минимальной площади. В действительности в классе отображений диска D3 с границей у (в условиях теоремы 4) всегда сущест
(в классе погружений диска)(в классе погружений диска)вует вложенный диск абсолютно минимальной
(в классе погружений диска)
(в классе погружений диска)
площади.
Трудности при решении задачи Плато в больших размерностях. У читателя, вероятно, возник вопрос: причем здесь гомологии? Пока мы говорили о двумерной задаче минимизации площади, необходимость в гомологиях не возникла. Однако ситуация меняется при переходе в большие размерности. Рассмотрим в римановом многообразии Мп фиксированный ’’контур” — замкнутое компактное (к — 1)-мерное подмногообразие А. Всегда ли существует локально минимальная или абсолютно минимальная Л-мерная поверхность Wk в Мп такая, что граница ЭIV совпадает с Л ? При этом мы стремимся минимизировать Л-мерный объем поверхности Wk. Методы, позволившие решить задачу Плато в размерности 2, оказывается, не действуют в больших размерностях. Укажем причины этого явления.
Вернемся на время к двумерному случаю. Возьмем контур у на рис. 200, т.е. две соосные окружности, значительно удаленные друг от друга.
Попробуем натянуть на них минимальную поверхность, имеющую топологический тип цилиндра. В классе погруженных цилиндров задача решения не имеет. Абсолютный минимум площади достигается на паре дисков, соединенных отрезком, на который ’’схлопывается” значительная часть первоначально вложенного цилиндра. Минимизирующее отображение вырождено на значительной части цилиндра, переводя ее в отрезок. Образ цилиндра состоит из нескольких кусков разной размерности: два двумерных диска и один одномерный отрезок. Эти куски сцеплены друг с другом, поскольку их объединение является образом одного двумерного многообразия.
Итак, все-таки существует кусочно гладкое отображение /0 цилиндра W1 в R3, образ которого X = /о (IV2) имеет абсолютно минимальную площадь. Но это ’’решение” является составным (состоит из кусков разных размерностей), и минимизирующее отображение /0 не является погружением (так как имеет большие ’’зоны вырождения”) (рис. 201). В двумерном случае обнаруженную трудность легко обойти, выбросив одномерный отрезок и перейдя от рассмотрения цилиндра к рассмотрению пары дисков, т.е. изменив топологический тип минимизируемой пленки. Именно это и делает теорема Дугласа. В новом классе пленок (пара дисков) мы уже найдем абсолютно минимальную пленку. Однако внешняя легкость этой процедуры Дугласа превращается в серьезную задачу в многомерном случае. Дело в том, что естественного многомерного аналога операции Дугласа нет. При минимизации объема образа к -мерного многообразия К* (при отображениях /: -* Мп) мы не можем так же легко отбрасывать ’’мешающие” нам куски малых размерностей, поскольку можем
потерять основное свойство пленки — быть непрерывным образом гладкого многообразия с данным краем.
Пытаясь решить задачу Плато в классе пленок, являющихся образами многообразия с фиксированным краем, мы сталкиваемся с еще одной трудностью, которую мы сейчас проиллюстрируем на двумерных поверхностях, когда условие теоремы Дугласа не выполнено. Растягивая граничные окружности у катеноида мы, оказывается, не можем даже приблизиться к искомой минимальной поверхности на рис. 201 (т.е. к паре дисков, соединенных отрезком) в классе вложенных минимальных
Рис. 201Рис. 201
Рис. 201
Рис. 201
поверхностей. Дело в том, что при малых Л существуют два различных катеноида с одной и той же границей: внутренний и внешний (рис. 202). При увеличении h эти катеноиды движутся навстречу друг другу. Внешний становится тоньше, внутренний становится толще. Они встречаются и сливаются, образовав на мгновение некоторый общий катеноид, который затем сразу лопается. Все это происходит ’’вдали” от стратифицированной поверхности: пары дисков с отрезком между ними. Итак, искомая стратифицированная поверхность не аппроксимируется вложенными (или погруженными) катеноидами. В многомерном случае ситуация, естественно, усугубляется. .
Итак, перед нами два пути. Первый: пытаться решать задачу Плато в терминах, максимально близких к терминам двумерной теоремы Дугласа и Радо, т.е. рассматривать стратифицированные образы X = /(В^) многообразий Wk с фиксированным краем и минимизировать их А-мерный объем в классе ’’составных” (стратифицированных) поверхностей. Второй путь: отказаться от жесткого представления о поверхности (образ многообразия), ослабить его и рассмотреть более широкий класс поверхностей, уже не являющихся, вообще говоря, образами многообразий. Расширив класс поверхностей, мы получим большую свободу в обращении с ними.
Гомологии естественно появляются в задаче Плато на втором пути. Они позволяют сформировать новое понятие ’’поверхности” и ее ’’границы”.
Гомологии и многомерные минимальные поверхности. Бурное развитие многомерных вариационных задач, связанных с проблемой Плато, началось примерно в 60-е годы и связано с именами Федерера, Флеминга, Альмгрена, Миранды, Райфенберга, Морри, Джусти, де Джорджи, Оссермана, Ниче, Лоусона, Саймонса, Хсианга, Алларда, Бомбьерн, Гильдебрандта, Бёма, Моргана, Микса, Уленбек, Харви, Яо, Постона, Сью, Томи, Тромба, Шоена и многих других (этот список, конечно, не претендует на полноту). Мы отсылаем читателя за более детальным обзором,например, к [3], [2], [11], [12], [15]. Здесь же мы в качестве иллюстрации вкратце изложим геометрический подход Райфенберга и Адамса (развитый затем Морри). Более функциональный подход на языке потоков, разработанный Федерером, Флемингом и др., хотя и отличается от подхода Райфенберга и Адамса, но гомологии также играют в этих исследованиях важную роль [2], [3], [5], [8].
При расширении понятия поверхности следует расширить и понятие ее площади, объема. В качестве ’’объема” замкнутых А-мерных компактных подмножеств в R”
берется к -мерная сферическая мера Хаусдорфа, которую мы обозначим через volfc. Мы не будем здесь давать ее определение, ограничившись указанием, что если подмножество Хк является гладким подмногообразием, то vol* X совпадает с обычным к -мерным римановым объемом.
В качестве поверхностей рассматриваются измеримые (т.е. имеющие конечную меру Хаусдорфа) компактные подмножества в R" (или в римановом многообразии). Осталось сформулировать понятие границы.
Фиксируем теорию гомологий с коэффициентами в абелевой группе G. Если поверхность X является конечным клеточным комплексом (полиэдром) или гладким многообразием, то можно брать обычные группы гомологий Hq(X; G), например, клеточные, симплициальные или сингулярные. Для указанных объектов все эти типы групп совпадают. Если же X является всего лишь измеримым компактным множеством, то в качестве Hq(X; G) следует брать так называемые спектральные гомологии (гомологии Чеха). Они строятся так. Известно, что каждый компакт можно представить в виде обратного предела нервов всевозможных его конечных открытых покрытий, т.е. X = ШпД{/а), где N(Ua) — полиэдр, являющийся нервом а
покрытия Ua. Нерв покрытия Ua определяется как полиэдр, вершины которого соответствуют множествам И, а, составляющим данное покрытие UQ; одномерные симплексы нерва N^y) соответствуют парам множеств Via и Иуа, имеющим непустое пересечение; двумерные симплексы нерва N(Ua) соответствуют тройкам множеств Via, Vj a, Ук>а, имеющим непустое совместное пересечение. И так далее. Получается полиэдр, состоящий из тем большего числа симплексов, чем более мелко рассматриваемое покрьпие. Определяя понятие вписанных друг в друга покрытий, мы определяем отображения соответствующих нервов. Переходя к обратному пределу, мы и получаем исходный компакт. Другими словами, нервы покрытий являются аппроксимациями данного множества, причем аппроксимация ’’тем лучше”, чем мельче покрытие. Рассмотрим теперь группу симплициальных гомологий Hq(N(Ua); (7) нерва N(Ua). Тогда можно рассмотреть обратный предел этих групп lim Hq(N(Ua)). Получающаяся абелева группа и называется ^-мерной спектральной
группой гомологий компакта АГ. Можно записать
Hq(X) = Hq(^N(Ua)) = YmHq№^'
аа
В случае конечных клеточных пространств, полиэдров, гладких многообразий эти спектральные группы совпадают с обычными группами симплициальных (клеточных) гомологий этих объектов. В этом смысле спектральные гомологии являются естественным расширением обычных гомологий с класса ’’хороших пространств” (многообразий, полиэдров и т.п.) на более широкий класс измеримых компактных множеств. Можно показать, что спектральные гомологии обладают всеми свойствами обычных гомологий. В дальнейшем, используя гомологии в вариационных задачах, мы будем иметь в виду спектральные гомологии, не оговаривая этого каждый раз специально.
Группы гомологий хорошо приспособлены для того, чтобы сформулировать естественное понятие границы для широкого класса пространств. Будем говорить, следуя Дж.Ф. Адамсу и Райфенбергу, что замкнутое Л-мерное множество X С R" является G-поверхностью, затягивающей (заклеивающей) замкнутое (к — 1)-мерное множество А для данной абелевой группы коэффициентов G, если: (1) Л содержится в X, (2) гомоморфизм i,: Нк_j (Л; G) ~*Нк_х(Х-, G), индуцированный вложением
i; А-* X, тождественно равен нулю, т.е. вся группа Нк_ Х(А; G) отображается в ноль. Тогда множество А называется гомологической границей поверхности X.
Соответствующее определение когомологической границы компакта было сформулировано в [16], [17].
Данное выше определение границы хорошо согласуется с интуитивным представлением о геометрической границе множеств. Рассмотрим некоторые простейшие примеры.
Пусть Мк — гладкое компактное ориентируемое многообразие с краем Ак-1. Тогда гомоморфизм Нк_х(A; G) -* Нк_х^Х\ G) тривиален, т.е. А является гомологической границей М.
Пусть А —конечное клеточное пространство и X — конус над Л. Тогда гомоморфизм Нк_х(А; G) ~*Нк-х(Х; G^ тривиален для всех к (рис. 203а).
Понятие G-поверхности зависит от выбора группы G. Множество А может быть гомологической границей X для одной группы коэффициентов и не быть его границей для другой группы.
Если А — окружность, а X — лента Мёбиуса, то гомоморфизм z',: НХ(А; Z) ■* -* Нх(Х; Z) является мономорфизмом, так как i, умножает каждый 1-цикл на число 2. Дело в том, что вложение i: А -* X эквивалентно (с гомотопической точки зрения) отображению окружности на себя со степенью два (рис. 2036). Итак, лента Мёбиуса не является Z -поверхностью с границей окружность (хотя является гладким многообразием с краем окружность). В то же время лента Мёбиуса является Z2-поверхностью с границей окружность. Для группы G = Z2 имеем, что гомоморфизм z,: Нх (А; Z2 ) -* Нх (X; Z2 ) тривиален.
Пусть А - окружность, X — тройная лента Мёбиуса, получающаяся так. Рассмотрим обычную окружность в R3 и трилистник — три отрезка одинаковой длины, сходящиеся в некоторой точке окружности ортогонально ей и образующие друг с другом углы 2л/3. Будем перемещать трилистник вдоль окружности, оставляя его все время ортогональным к окружности и так, чтобы после полного оборота отрезки подверглись перестановке 1 -* 2 -* 3 -* 1 (рис. 203в). Границей получившейся поверхности является окружность. Если трилистник достаточно мал, то эта поверхность очевидно реализуется как устойчивая мыльная пленка с границей Л. Однако X не является ни Z-поверхностью, ни Z2-поверхностью с границей А (докажите!).
В то же время тройная лента Мёбиуса является Z3-поверхностью с границей окружность.
Итак, варьируя группы коэффициентов, можно представлять различные пары пространств (X Л) в виде G-поверхностей с границей А. Интересно, что в примере 4 граничная окружность, три раза обходящая вокруг вертикальной оси, является в то же время границей и обычной ленты Мёбиуса (рис. 203).
Одним из основных фундаментальных результатов, доказанных в рамках многомерной задачи Плато, является известная теорема Райфенберга для случая компактных поверхностей в R", расширенная затем Морри на случай произвольных римановых многообразий.
Теорема 5 (Райфенберг, Морри). Пусть М — гладкое полное риманово многообразие и А СМ — компактное измеримое (к — 1) -мерное подмножество. Пусть G — компактная абелева группа, и пусть Hk_v(A; G) + 0. Пусть существует хотя бы одно измеримое к-мерное подмножество X, вложенное в М и являющееся G-noeepx- ностью с границей А. Рассмотрим класс {X} всех таких поверхностей и положим d = inf volfc(X — А), X G {X}, т.е. число d является точной нижней гранью объемов всех G-поверхностей с данной границей А. Тогда утверждается, что d>0u что существует минимальная поверхность Хо из класса{Х}, такая, что d = volfc(X0 - А). За исключением множества 8 точек k-мерной меры нуль, эта поверхность Хо - А является открытым гладким минимальным подмногообразием в смысле обычной дифференциальной геометрии, т.е. его средняя кривизна равна нулю. Если объем- ляющее многообразие было аналитическим, то и подмногообразие Хо - (Л и 8) также аналитическое.
Такие поверхности, реализующие абсолютный минимум объема, будем по-прежнему называть абсолютно минимальными. Когомологический вариант этой теоремы доказан затем в [16], [17].
Рассмотрим группу относительных гомологий Hk(Rn, А). Так как Нк_ [(Л) ¥=0, то группа Hk(Rn, А) отлична от нуля и изоморфна группе Нк_ ,(Л) (см. точную последовательность пары). Согласно теореме Райфенберга, существует минимальный относительный цикл в группе 74(R", Л), т.е. ^мерная поверхность X, реализующая ненулевой цикл в группе 74 (R", Л). Интересно выяснить - какие метрические свойства характеризуют этот абсолютно минимальный относительный цикл (по модулю подпространства Л). Оказывается, минимальная относительная пленка всегда содержится в выпуклой оболочке своей границы. Эта теорема обобщает многочисленные варианты классических теорем о свойствах обычных двумерных и многомерных минимальных поверхностей. Более того, оказывается, можно оценить сверху ^-мерный объем относительного минимального цикла X через {к — 1) -мерный объем его границы (которая совпадает с Л и предполагается фиксированной). Имеет место замечательное изопериметрическое неравенство: volfc X ^ с (yo\k_lA)k^k~1^, где с — некоторая постоянная, не зависящая от выбора границы Л в R” и выражающаяся только через размерности к и п. Это неравенство играет большую роль в теории минимальных поверхностей. '
Укажем некоторые общие топологические свойства минимальных А-мерных поверхностей X, заклеивающих в гомологическом смысле (А — 1)-мерные ’’контуры" А в римановом многообразии. В общем случае такие минимальные поверхности могут содержать в себе А-мерные ’’пузыри", т.е. ненулевые A-мерные циклы. Это не противоречит тому, что средняя кривизна поверхности равна нулю. Таких "пузырей" не может быть для двумерной пленки в R3, но для минимальных пленок в римановом многообразии "пузыри” могут появиться.
Особый интерес представляют А-мерные минимальные поверхности, не содержащие ни одного А-мерно го пузыря. Оказывается, существуют чисто топологические
критерии, гарантирующие такое свойство минимальных пленок. Так как ”fc-мерные пузыри” имеются в пленке X тогда и только тогда, когда ^-мерная группа гомологий поверхности X отлична от нуля, то отсутствие пузырей эквивалентно условию Нк(Х\ G) = О (для данной группы коэффициентов).
Теорема 6 (см. [16], [17]). Пусть М - полное гладкое риманово многообразие и А С М - компактное измеримое (к - 1) -мерное подмножество, например, подмногообразие. Пусть G - абелева группа, являющаяся одномерным векторным пространством над некоторым полем F. Например, G - группа R вещественных чисел или G = Zp, гдер - простое число. Пусть существует хотя бы одна G-поверхность в М с границей А. Тогда абсолютно минимальная поверхность X с границей А обладает тем свойством, что Hk(X; G) = 0, т.е. поверхность не содержит ни одного нетривиального “пузыря ”, k-мерного цикла.
Если объемлющее многообразие М не является евклидовым пространством, то группа Hk{M\ G) может быть отлична от нуля. Поэтому наряду с задачей заклейки границы А при помощи минимальной пленки возникает не менее естественная геометрическая задача реализации при помощи минимальных замкнутых поверхностей нетривиальных циклов в многообразии М.
Пусть Р - нетривиальная подгруппа в группе Нк(М\ GY Будем говорить, что подмножество X СМ реализует подгруппу Р, т.е. реализует циклы этой подгруппы, если при гомоморфизме /,: Нк(Х; G) -* Нк(М\ G), индуцированном вложением / : X -*М, подгруппа Р содержится в образе группы Нк(Х; G).
Рассмотрим класс (Р) всех компактных подмножеств X, где А СХ СМ и где X реализует подгруппу Р. Оказывается, в этом классе также всегда существует абсолютно минимальная поверхность, т.е. такая поверхность Хо, что ее объем равен inf vol Y, где Y^iP].
Естественно ожидать, что минимальная поверхность Хо, реализующая Р, не содержит в себе никаких ’’лишних” Л-мерных циклов, т.е. содержит только те циклы, которые переходят в ненулевые циклы в многообразии М. При этом поверхность Хо может реализовывать и какие-то дополнительные циклы,не лежащие в первоначально выбранной подгруппе Р. Другими словами, наша гипотеза состоит в том, что гомоморфизм /,: Нк^Нй; G) -*Hk(M', G) должен быть мономорфизмом. Никакой ненулевой цикл из пленки Хо не должен "растворяться” в многообразии М, если пленка минимальна. Интуитивно ясно, что если какой-то цикл из пленки Хо стал нулевым после вложения пленки в многообразие, то часть пленки - носитель этого цикла - можно ’’выбросить", не влияя на реализуемость пленкой циклов из подгруппы Р, но уменьшая объем пленки. Для минимальной пленки такая процедура невозможна.
Теорема? (см. [16], [17]). Пусть М - компактное замкнутое риманово многообразие и G - одномерное векторное пространство над полем, например, G - группа R или Z р для простого р. Тогда для любой нетривиальной подгруппы Р С CHk(M\ G) всегда существует абсолютно минимальная поверхность Хо в М, реализующая эту подгруппу, причем для любой такой поверхности гомоморфизм (."■ Hk(X^ \ G) ->Hk(M; G), индуцированный вложением j: Хй -*M, является мономорфизмом, т.е. на поверхности Хй нет "лишних циклов”.
Утверждения теорем 6 и 7 точны в том смысле, что отказ от условий, наложенных на группу коэффициентов G, приводит к появлению контрпримеров (см. подробности в [16], [17], [15]).
Элементы теории препятствий, встречающиеся в вариационных задачах. В этом пункте мы сделаем небольшой экскурс в теорию препятствий и докажем теорему Хопфа о ретракции (см.п.4 § 18). Пусть l/=R1(mod 1) - абелева группа (по сложению) , т.е. окружность.
Т е о р с м а 8 (Хопф). Пусть задано вложение i сферы S”--1 в конечное п-мерное клеточное пространств!) К. Пусть гомоморфизм i,- Нп-\^8п-х \ U) -*Н„_х(Х\ Щ, индуцированный этим вожением, является мономорфизмом. Тогда сфера So~1 = = i S"~l является ретрактом К, т.е. существует непрерывное отображение f: К -* -*So~', тождественное на сфере S'o~1 (ретракция).
Доказательство. Воспользуемся свойствами пространств Эйленберга—Маклейна. Фиксируем натуральное число п > 1 и группу я (абелеву нрил> 1). Условие теоремы Хопфа. переформулированное в терминах когомологий, означает, что гомоморфизм i*: Н"~ '(A;Z)-> Н"~ T(S"-I; Z), индуцированный вложением, является эпиморфизмом. Следовательно, существует элемент 0 € Нп \К; Z). та кой, что z* 0 = а = = 1 € H"~l(S "~l; Z). Тогда существует непрерывное отображение f.K -*K(Z,n - 1), такое, что /*а = /?. Так как (//)*« = а, то ограничение отображения /па сферу iS"~ ’, вложенную в А', гомотопно тождественному отображению сферы па себя. Докажем, что /' можно про деформировать в отображение, тождественное на сфере S"-1 и отображающее на нее все пространство А. Так как пространство А л-мерно, а пространство A(Z, п - 1) нс содержит клеток размерности и, то из теоремы о клеточной аппроксимации следует, что можно считать, что f переводит А в (п - 1)-мерный остов пространства K(L,n - 1). т.е. в сферу S”~1. Теорема доказана.
' Приведенное доказательство носит алгебраический характер. Для некоторых приложений удобно иметь другое, геометрическое доказательство, которое мы сейчас приведем, следуя работе [28].
Выберем для сферы клеточное разбиение в сумму двух клеток: нульмерной * = о°н (п — 1)-мерной о"-1. Мы сконструируем искомое отображение так. чтобы оно переводило весь остов А"-2 пространства А' в точку на сфере. Достаточно построить отображение факторпространства К!Кп~2 в сферу S"-1. Здесь А = К". Для применимости теории препятствий нужно рассматривать (п - 1)-простое пространство. Для сферы S”-1 это выполнено. Так как остов А"-- стянут в точку, то можно считать, что остов К"-1 есть букет сфер Sp-1 v S"-1 v . . . v S^“*. Ясно.
что сферу /S"- 1 можно считать одной из них. Пусть это будет сфера Sy- 1. Каждую из сфер S"-1 представим в виде простейшего клеточного разбиения и обозначим соответствующие (п - 1)-мерные клетки через о"~1. Пусть о"о" - все л-мерные клетки пространства А. Можно считать, что А = о” Uo'q~ 1 и... Оо*-1 Uo" U... Do", (рис. 204). Сначала мы построим такое отображение # j: A"-1 -»5"-1, которое.во
обще говоря, нс продолжится до отображения всего А' в S"~ *, однако может быть использовано для построения окончательного отображения у г , продолжающегося до отображения /': A -*S" - 1. Так как остов А"- 1 - букет сфер, то достаточно задать я на каждой из них. На сфере S'o' ’ мы зададим тождественное отображение S" " 1 -* S"1. а все остальные сферы отобразим в точку *G S"-1. Подсчитаем препятствие с" для отображения #i.
Рассмотрим* клетку о". Нужно рассмотреть сквозное отображение границы клетки в сферу S” - 1 и найти его степень. Мы знаем, что я„_ ] (S" ^ ')= Z и гомотопические классы отображений сферы в сферу классифицируются степенью отображения. Сквозное отображение есть композиция характеристического отображения и^: А"~ 1 ->S"~ *. Часть сферы
до", отобразившаяся в букет S”~ 1 v ... vS^- 1 (т.е. не инцидентная с 5о~ *), отобразится в точку *. Итак, эти участки сферы до” не принимают участия в формировании искомой степени (вклад—нулевой). Остальная часть до” отображается на S о ~ 1 и ’’намотается” на нее столько раз, каков коэффициент инцидентности [о” : До-1], после чего с помощью тождественного отображения отобразится на Sn~1. Итак, мы нашли, что Cg (о”) = [о” : о"-1 ] - Утверждается, что эта коцепь представима как кограница некоторой (и — 1)-мерной коцепи d.
Лемма. В предположениях теоремы Хопфа коцепь с^ является кограницей, т.е. с^ =6d,ededGP"-1(^.Tr„_1(S"-t)),d(Xo3-1) = 0,0<Х<1; Рп-Х -клеточные цепи..
Доказательство. Пусть, для простоты, среди n-мерных клеток пространства К есть лишь одна клетка о”, имеющая ненулевой коэффициент инцидентности с клеткой о”-1. Мы хотим построить (п — 1)-мерную коцепь d на букете сфер, равную нулю на клетке о”-1 (на цепи X • Oq-1) и, быть может, нетривиальную на остальных сферах букета. Другими словами, мы хотим ’’снять” коцепь со сферы 5"-1. Напомним, что цикл S"-1 не гомологичен нулю в К. Имеем: до” = = [о” : Оо-1]0^-1 + • • ■ + [о” : о*-1] о*-1. Обозначая [о" :о”-1] через а,, запишем до” = «оО^1 + . . - + akok-x . Итак, цепь -а0о"~\ гомологична цепи ах о”-1 + . . . + akok~x. Определяемые ими циклы совпадают как элементы группы гомологий (над Z). Из условия вытекает, что цикл Хо”-1, где 0 < X < 1, отличен от нуля в Нп_ J (X; U). Рассмотрим следующие случаи.
Все целые числа a j,... ,ak взаимно просты.
Числа ах,. . . , ak имеют наибольший общий делитель р, отличный от единицы, причем число а0(р не целое.
Числа ах, . . . , ак имеют наибольший общий делительр, отличный от единицы, и р делит а0.
В случае (а) существуют целые числа х,, . . . , хк, такие, что а» = ХхД, + . . . . . . + хкак. Определим (л—1)-мерную коцепь d на остове Кп-Х так: d(Xo"-1) = = Хх,° xt S Z = тг,,.!^”-1), 1 </ <Л; d(Xo”-1) = 0. Здесь хь . . . , хк реализуются как степени отображений сфер S"~x на Sn-X. Ясно, что bd = Cg , так как (5d) о” = d(do”) = S*= xaido"~x = Sf = iX/Д,- = а0 = Cg^o"). В случае (а) лемма доказана.
В случае (б) имеем: д (Хо”) - Xo0Oo-1 = Xp(bxox~x + .. . + Ькок-1^, где а, = = pb;, 1 < z < Л. Здесь д], . . . , Ък — взаимно простые. Так как а01р не целое, то существует ненулевой цикл —• оо-1 (при X = 1/р) в гомологиях Hn_x(Sn~x; I/), Р
который становится гомологичным нулю в Нп_х(К\ U^, так как — • Oq-1 = Р
= д ( — о” ) (mod 1). Это противоречит мономорфности гомоморфизма Нп_ x(Sn~1; \Р /
(/) -*Нп_ j (К\ U'). Итак, случай (б) не реализуется.
В случае (в) число р — наибольший общий делитель чисел ах, . . . , ак, т.е. а, = = pbf, 1 < f < к, а0 = тр, m G Z и числа Ьх,. .., Ьк взаимно просты. Существуют целые числа xt,. .., хк, такие, что т = ххЬх + ... + хкЬк. Реализуем числа X/ как степени отображений сфер S"~x в Sn~x и определим коцепь d так: d(o”-1) = х, G е n„_i(5"-1), d(oo~x) = 0. Утверждается, что bd = с^ . В самом деле, (bd^c” = = d^a0Oo-1 + ... + акок-х) = аох, + ... + акхк = тр = а0 = с^ (о"). Лемма дока
зана.
Возвращаемся к доказательству теоремы Хопфа. В силу теории препятствий для отображения gx: X"-1 -* S"-1 и коцепи d, построенной выше, можно подобрать отображение g^: X”-1 -* Sn-V, такое, что d = d^1 . Имеем: Mg~^ = М = Cgx - - с^2, т.е. Cg2 = 0. Итак, мы нашли отображение g2 (n-l)-ro остова К в Sn~l, продолжающееся до отображения /: Кп -* Sn-1. Убедимся, что / тождественно на S^-1. В самом деле,g2 отличается от#] лишь на тех (л — 1)-мерных клетках, где коцепь d отлична от нуля. Но коцепь d была построена так, что она равна нулю на цепях вида Хо"-1, следовательно, g2, как и gx, тождественно отображает Sq-1 на У"-1. Если имеется несколько n-мерных клеток, инцидентных с а”-1, то доказательство проводится по такой же схеме. Теорема Хопфа доказана.
Гомологически тривиальные минимальные поверхности. Основным ограничением, несколько сужающим область применимости замечательной теоремы Райфенберга, является то, что существуют естественные мыльные пленки, заклеивающие "хорошую границу” А, однако не являющиеся G-поверхностями с границей А ни для какой абелевой группы коэффициентов G. Это обстоятельство мы проиллюстрируем на примере, построенном Адамсом.
Казалось бы, подходящим образом подбирая группу G, всегда можно представить любую ’’разумную пленку" как некоторую G-поверхность. Однако это не так. Рассмотрим контур А, показанный на рис. 205а и являющийся границей устойчивой мыльной пленки X, показанной на рис. 2056 и получающейся, если мы склеим двойную и тройную ленты Мёбиуса, соединив их тонкой полоской-мостиком (т.е. взяв их связную сумму). Эта пленка реализуется физической мыльной пленкой и устойчива. Ее граница — окружность.
Однако ни для какой абелевой группы G эта пленка не является G-поверхностью с границей окружность. Дело в том, что эти пленка ретрагируется на свою границу. Доказательство этого факта мы дадим ниже, а сейчас извлечем из него необходимые для нас следствия.
Пусть i; А -* X - вложение и/: X -* А - ретракция. Тогда сквозной гомомор/ *f.
физм Ht^A; G)—-*HXQC; G) » НХ<А\ G) является тождественным и /, - моно
морфизм. Это и означает, что для любой группы G пленка X не заклеивает ни одного цикла в группе Нх (А; G).
А теперь докажем ретрагируемость пленки на границу. Так как X гомотопически эквивалентно букету двух окружностей, то Нх(Х; U^ = U ® U и i.(X) = (2Х, ЗХ), где 0 <Х < 1. Отсюда видно, что / , — мономорфизм, что и требовалось доказать в силу теоремы Хопфа.
Отметим, что хотя А является здесь ретрактом X, но А не является деформационным ретрактом X. Это следует из того, что А и X гомотопически не жви- валентны.
Мы извлекли выше существование ретракции из алгебраических теорем. Однако полезно наглядно представить себе — как именно происходит зта ретракция. Эта наглядная картина описана в [28] и опирается на геометрическое доказательство теоремы Хопфа (вкратце изложенное в п. 6).
В нашем случае X двумерно и его одномерный остов — это букет двух окружностей (ось обычной и ось тройной ленты Мёбиуса) .Можно считать, что X = о0 U a] Uoi U U о2, где о2 — двумерная клетка. Разрежем пленку вдоль осей биди вдоль отрезка с — оси мостика, соединяющего две ленты Мёбиуса (рис. 206). Представим Хтак: X = о0 UaUiUcUl2, где Л2 - кольцо. Разрезая пленку по одномерному остову, получаем кольцо Л2. Его граница — две окружности: внешняя А и внутренняя, составленная из семи дуг (рис. 207). Выполним деформационную ретракцию, чтобы внутренняя граница в одной точке соприкоснулась с внешней границей.
Для установления соответствия с обозначениями теоремы Хопфа обозначим А через Sg, окружность а через S] и окружность b через Si. Тогда коэффициенты инцидентности клетки о2 с этими окружностями таковы: [о2 : А] = 1, [о2 : д] = = 3, [а2 : А] =2. Следуя схеме п. 6, построим отображение g одномерного остова пленки X на А. Отобразим А на себя тождественно. Определим теперь g на а и Ь. Нужно подобрать такие целые числа m и л, чтобы т [а2 : а] - и [о2 : 6] = 1, т.е. Зт — 2л = 1. Затем построим отображение g, отображающее а со степенью т на А, а 6 — со степенью л на А. Достаточно положить т = л = 1, т.е. можно считать, что а и b отображаются на А гомеоморфно. Согласно теореме Хопфа, отображение g продолжается до отображения / всей пленки на А, что и требуется. Изобразим это отображение наглядно. Подробности см. в [28].
Фиксируем А и растянем сторону с так, чтобы она намоталась на А со степенью 1 (рис. 208). Но мы не будем отождествлять А и с и прервем операцию, сохранив узкую полоску, ограниченную на рисунке окружностями А и с . Оставшаяся часть двумерной клетки образует диск, приклеенный к точке о0 и получившейся полоске между А и с. Берем ребро а и наматываем его вдоль А, как показано на рис. 208
Рис. 209
и рис. 209 (2), (2). В результате получается мешок, дырка в котором имеет границу bbc~xaa. Это слово выписано при движении против часовой стрелки на границе дырки. Степень + 1 или — 1 указывает ориентацию соответствующих ребер. Продолжаем намотку двумерной клетки, как показано на рис. 209 (5) - (24). Этим и завершается построение искомой ретракции.
Тот же механизм действует и в случае связной суммы p-к ратной и «/-кратной лент Мёбиуса, если р и q взаимно просты. Наглядное изображение ретракции сохраняется, но добавляется намотка окружностей а и b со степенями т и п на окружность А, где тип таковы, что тр -nq = 1.
Приведем также второй пример Адамса — минимальную пленку X, затягивающую контур А на рис. 210. Контур гомеоморфен окружности, вложенной в R3. Пленка на рисунке является "хорошей пленкой", правда неустойчивой и имеющей особен-
Рис. 212
ности. Эта пленка также не является G-поверхностью с границей А ни для какой группы G. Дело в том; что она не только ретрагируется на свою границу; но даже деформационно ретрагируется на границу. Это стягивание показано на рис. 211, 212. Две ручки справа и слева образованы парами соосных окружностей. Окружности близки друг к другу и ограничивают часть мыльной пленки, похожую на катеноид. Горловина каждого из них затянута плоским диском. В двух особых точках пленки Q и Q* сходятся по 4 сингулярных ребра пленки под углами примерно в 109°.
§48. БОРДИЗМЫ И МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Старшие и младшие страты минимальных поверхностей. В предыдущем параграфе мы говорили о двух путях исследования проблемы Плато и о ее решении на втором пути, т.е. в классе гомологических G-поверхностей. Вернемся теперь к подходам к задаче Плато, основанным на идеях Дугласа и Радо.
Сначала еще раз обратимся к примеру на рис. 200 в § 47. Увеличивая высоту катеноида, мы заставляем его перестраиваться в пару дисков, соединенных отрезком. Процесс перестройки заслуживает того, чтобы остановиться на нем подробнее. Когда высота h достигает критического значения йтах, внешний и внутренний катеноды встречаются, сливаются и превращаются в один катеноид. Дальнейшее увеличение h разрушает его. Оставаясь в рамках прежних методов, мы не можем сохранить прежнюю минимальную поверхность, оставаясь в топологическом классе цилиндров или в классе конформных отображений цилиндра в R3. Но с другой стороны, интуитив-
но ясно, что возникшее препятствие можно преодолеть (оставаясь в ’’прежнем топологическом классе поверхностей”), если допустить у поверхности склейки. Изготовив цилиндр из тонкой резины и увеличивая h за критическое значение, мы можем добиться того, что цилиндр (уже не являясь локально минимальной поверхностью) превращается в пару дисков, соединенных тонкой трубкой (рис. 200 в § 47), после чего естественно считать, что трубка стягивается в отрезок, соединяющий пару плоских дисков. Эти события происходят вне класса минимальных поверхностей. Но в результате мы снова получаем минимальную (правда, стратифицированную, состоящую из нескольких стратов разных размерностей) поверхность: пару дисков с отрезком. Однако естественно ожидать, что многомерная задача Плато имеет решение, непрерывно зависящее (в некотором точном смысле) от начальных данных. В нашем примере мы можем убедиться в этом. К значению Лтах мы можем приблизиться в классе минимальных поверхностей: двух катеноидов. При Н = Лтах мы получаем один катеноид критической высоты, затем "в принудительном порядке” мы сжимаем его, превращая в пару плоских дисков, соединенных прямолинейным отрезком, т.е. превращая в минимальную поверхность. Дальнейшее увеличение h приводит лишь к растяжению отрезка. При зтом он остается одномерной минимальной поверхностью, линией кратчайшей длины, соединяющей пару дисков (их центры).
Будем теперь произвольно перемещать в пространстве плоские граничные окружности, не соблюдая их параллельность. Два минимальных диска, оставаясь плоскими, будут менять взаимное положение, а соединяющий их отрезок (который удобно представлять резиновой нитью) будет скользить своими двумя концами по этим дискам, стремясь занять положение, отвечающее наименьшей длине (рис. 213). Мы приходим к естественной идее рассматривать каждый страт размерностно-неоднородной поверхности как минимальную поверхность в своей размерности. Видно, что страты меньших (младших) размерностей занимают минимальное положение в пространстве, реагируя на взаимное расположение минимальных стратов большей размерности. Минимальные диски, располагаясь разными способами в R3, индуцируют перемещения одномерного минимального страта относительно двумерных стратов. Если в некоторый момент два диска снова сблизятся на расстояние h Cimax, то ПРИ правильной постановке вариационной задачи отрезок снова превратится в тонкий ци
линдр, а вся пленка — в катеноид. Максимальную размерность стратов назовем старшей размерностью. Итак, страты младших размерностей ’’помнят" о первоначальной топологической структуре всей пленки (в целом) и в подходящие моменты позволяют осуществлять перестройку образа пленки, чтобы она могла занять положение с минимальной площадью (объемом).
Итак, хотя проблема Плато в классе подмногообразий не имеет буквального решения, однако если допустить к рассмотрению естественно возникающие страты младших размерностей, мы сохраняем главное условие задачи Плато — поиск минимума в классе образов гладких многообразий с фиксированным краем.
Поясним геометрический смысл предыдущих переформулировок задачи Плато на языке гомологий. Дело в том, что для обычных
гомологий (и когомологий) выполнено следующее свойство. Если приклеить к Л-мерному комплексу X (Л-1)-мерный комплекс Y (рис. 214), то Нк(Х U У) = = Нк(Х), так как Я* (У) = 0. Это свойство обычных гомологий следует из так называемой ’’аксиомы точки”, согласно которой Як(*) = 0, при Л ^ 0. Поэтому при формулировке задачи Плато в терминах гомологий мы игнорировали возникающие в минимальных пленках страты младших размерностей. С одной стороны, это облегчало задачу минимизации объема, но с другой стороны, мы, вообще говоря, теряли свойство пленки быть непрерывным образом многообразия с краем.
Бордантные многообразия и задача минимизации объема. Рассмотрим пары (W, /), где W — гладкое компактное многообразие размерности к с краем ЭИ^, гомеоморфным A, a/: W ~*М — непрерывное (липшицево, кусочно гладкое) отображение, тождественное на крае dW, т.е. совпадающее с фиксированным вложением i: А -*М. Далее обозначение i будем опускать.
Задача А. Можно ли среди всех пар (W, /), где W — всевозможные многообразия с краем А, найти пару (Wo, /0) такую, чтобы отображение /0 или пленка Хо = /о ОМ (образ многообразия Wo) обладали бы разумными свойствами минимальности, в частности, чтобы volk Хо < volk X, тле X=f (W) - любая пленка из указанного класса.
Задача Б. Пусть (К, g) — пара, где V - замкнутое Л-мерное многообразие, g: V -* М — непрерывное (липшицево, кусочно гладкое) отображение в Мп, X = = g^V) — образ К в М. Мы скажем, что пара (K',g') является бордизм-вариацией пары (К, g), если существует компактное многообразие Z с краем 9Z = У U (± У*) и непрерывное отображение F; Z -► М, такое, что FI к = g, F\V' = g* (рис. 215). Можно ли среди всех пар (К, g^ найти пару (Ко, ^о), такую, чтобы образ Хо = = &о(Уо) обладал бы разумными свойствами минимальности, в частности, чтобы volk Хо < volk X, где X = g (У) - любая поверхность из указанного класса?
Математическая природа задачи минимизации вынуждает нас ввести: а) стратифицированные поверхности X = Хк V)Xk-x U. . . , где каждое подмножество (страт) Хч является ^-мерной поверхностью в М, имеющей в каждой своей точке размерность q и Xq содержится в^Г-U^ = (7+1У, , причем Хч Г) (ut_ ч^хХ*) = ф; б) стратифицированный объем SV(X) = (volkX*, vol* А*-1, . . . ), изображаемый вектором, каждая компонента которого равна объему соответствующего страта (в каждой размерности).
Итак, стратифицированная поверхность состоит из кусков разных размерностей, наподобие пары дисков с отрезков, подробно описанных в предыдущем пункте. Нахождение минимальной поверхности означает доказательство существования поверхности, стратифицированный объем которой является наименьшим в смысле лексикографического упорядочивания. Другими словами, под минимизацией вектора
стратифицированного объема нужно понимать следующее. Сначала минимизируем его первую координату, т.е. старший t-мерный объем. Фиксировав это минимальное значение старшего объема, минимизируем вторую координату. т.е. (t — 1)-мерный объем стратов. Фиксировав минимальные значения первых двух координат вектора объема, минимизируем третью и т.д. Различные способы появления младших стратов см. на рис. 216,217.
Сопоставляя каждой стратифицированной поверхности X = и,- X1 вектор ее стратифицированного объема $У(Х) = (volk Ук, . . .), мы можем изобразить 5К(ЛЭхак вектор в R*. Меняя поверхности, получаем множество векторов (Xk, Хк_], . . .), заметающих в R* некоторое подмножество (рис. 218). Лексикографическое упорядочение позволяет определить наименьший вектор. Задача заключается в поиске поверхности, стратифицированный объем которой в точности равен минимальному вектору.
Для реализации этой программы нужен подходящий язык. Оказывается, он существует и используется в топологии. Это язык бордизмов, с которым мы знакомы по предыдущим главам. Отношение бордантности является отношением эквивалентности на классе замкнутых ориентированных (к — 1)-мерных многообразий. Множество fijt-r классов эквивалентности является абелевой группой, в которой сложение индуцировано несвязным объединением многообразий (рис. 219).
Ориентированным сингулярным многообразием пары (У, Z) называется пара (К*-1,/), где К*"1 — компактное ориентированное многообразие с краем Э У, af— непрерывное отображение (К, ЭР) -* (У, Z), т.е./(К) С У,/(ЭК) CZ. Если Z = ф, то полагаем, что и дУ = ф. Ориентированное сингулярное многообразие (К*-1,/) пары (У, Z) называется бордантным нулю, если существуют компактное ориентированное многообразие WK и непрерывное отображение F: Wk -* У такие, что:
Рис. 220Рис. 220а) многообразие V есть регулярное подмногообразие края W (т.е. К С Э ИО, и ориентация К совпадает с ориентацией, индуцированной на нем ориентацией W; б)
Рис. 220
Рис. 220
1у = Л ^(Э^ - К) С Z (рис. 220).
Класс бордизмов сингулярного ориентированного многообразия (К, /) называется синулярным бордизмом. Множество таких классов обозначается через Q^_1(^Z)h называется (Л-1)-мерной группой ориентированных сингулярных бордизмов пары (У, Z). Аналогично определяются неориентированные сингулярные бордизмы Nk _ 1 (У, Z ) (здесь ориентация многообразий игнорируется).
Вернемся к задаче Плато. Пусть Л* “ 1 — компактное замкнутое ориентированное подмногообразие в М, z: А X — вложение, где X подмножество в М.
Задача А. Можно ли среди всех компактов X, содержащих А и обладающих тем свойством, что син
гулярный бордизм (A, z)гулярный бордизм (A, z)эквивалентен нулю в X, найти такой компакт Хо, кото
гулярный бордизм (A, z)
гулярный бордизм (A, z)
рый обладал бы свойством минимальности?
Поскольку тождественное отображение е: А -> А определяет элемент о G G S2fc_i(A) (и элемент о G Nk-t (А) в случае неориентированных бордизмов), то введенный выше класс пленок-компактов X характеризуется тем, что z", (о) = = 0, где z,: t2k_i (А) -* Як-i W —гомоморфизм групп бордизмов, индуцированный вложением i : А ^Х.
Ясно, как переформулировать на языке групп сингулярных бордизмов и вторую задачу Б (см. выше, т.е. задачу реализации). -
"Задача Б. Можно ли среди всех сингулярных многообразий (К, #) g- V -*М, бордантных данному сингулярному ьиогообразию (К', g*), найти такое многообразие (K0,g0)> чтобы пленка Хо = ^о(Ио) была минимальной?
Мы видели, что минимальные поверхности чаще всего являются не многообразиями, а поверхностями с особенностями. Сегодня хорошо известно, что эти особенности могут быть очень сложными. Поэтому нужно уметь вычислять группы бордизмов для широкого класса пространств (а не только для конечных клеточных). Оказывается, достаточно рассмотреть класс компактов в римановом многообразии. Для того чтобы распространить определение групп бордизмов с категории конечных клеточных пространств (полиэдров, многообразий) на категорию компактов, нужно воспользоваться уже знакомым нам спектральным процессом — процессом Чеха. Напомним, что каждый компакт X можно представить в виде обратного предела полиэдров A(t/a), являющихся нервами его открытых покрытий. Обратный предел берется по множеству измельчающихся покрытий компакта. Можно записать, что X = 1ппА(6/а). Положим, по определению, Uk(X) = lim Пк ФФа)) • Группу
а а
Пк (X) будем называть к -мерной группой спектральных бордизмов компакта X (или просто спектральными бордизмами).
Теорема 1. Если компакт является конечным клеточным пространством (полиэдром, многообразием), то его группы спектральных бордизмов совпадают с группами обычных бордизмов.
Элементом группы спектральных бордизмов является бесконечная последовательность (спектр) многообразий и отображений. В случае конечных полиэдров эта последовательность стабштизируется (начиная с некоторого момента), т.е. все
многообразия спектра совпадают с каким-то одним фиксированным многообразием.
Решение задачи Плато в каждом классе спектральных бордизмов. Рассмотрим, для простоты, в евклидовом пространстве R” ’’контур” Ак-1, например, замкнутое гладкое подмногообразие. Пусть А (о) — класс всех измеримых компактных подмножеств X в R”, содержащих А и аннулирующих бордизм о = (А, е), где е: А -+А - тождественное отображение. Другими словами, сингулярное многообразие (A, i), где к А -* X — вложение, бордантно нулю (в смысле спектральных бордизмов) в пленке X. Это означает, что i, (о) = 0, где i* - гомоморфизм, отображающий (к — 1)-мерные бордизмы границы А в (к — 1)-мерные спектральные бордизмы пленки X. Через vol* обозначим либо риманов объем пленки X, либо ее ^-мерную хаусдорфову меру, когда пленка содержит сложные особенности.
Теорема 2 (Фоменко [16], [17]). Пусть Ак-Х — произвольное гладкое замкнутое подмногообразие в R”. Тогда в классе поверхностей А (о), граница которых совпадает с А (см. выше), всегда существует абсолютно минимальная поверхность X = Xk U Хк-х U ..., старший к-мерный объем которой является наименьшим. Эта поверхность стратифицирована стратами X’, каждый из которых имеет размерность i (некоторые страты могут быть пустыми), причем X* С X - (A V3Xl*x U...Xk). Кроме того, эта поверхность такова, что ее стратифицированный объем SV(X) = = (vol* Xk, volk_! Л"*-1,... ) является наименьшим в лексикографическом упорядочении среди всех стратифицированных объемов других поверхностей из класса А (о). Это означает, что поверхность X является абсолютно минимальной не только в старшей, но и во всех младших размерностях. Кроме того, каждый из стритов X1 поверхности X является, за исключением, быть может, множества i-мерной меры нуль, аналитическим минимальным подмногообразием в R" (рис. 221).
(1-1)-мерный страт(1-1)-мерный стратСледствие. Если минимальная поверхность из предыдущей теоремы является конечным клеточным комплексом (полиэдром, многообразием), то ее спектральные бордизмы совпадают с обычными и, следовательно, эта поверхность является непрерывным образом какого-то одного многообразия 1^5 с краем Akl. В этом случае поверхность Хо является решением классической задачи Плато.
(1-1)-мерный страт
(1-1)-мерный страт
I-мерный страт^Объединение стратоб.бблъших размерностей
Рис. 221
Следует отметить, что все известные сегодня конкретные примеры минимальных поверхностей, граница которых — гладкое компактное многообразие, действительно являются конечными клеточными пространствами. В действительности теорема 2 доказана в существенно более общей ситуации. Оказывается, минимальная поверхность существует для произвольного ’’контура” Ак~1, являющегося компактным подмножеством в римановом многообразии Мп. При этом, конечно, должна существовать хотя бы одна поверхность Хк, заклеивающая А в. смысле спектральных бордизмов. В общем случае минимальная поверхность является пределом по-
438 ДОПОЛНЕНИЕ. ГОМОЛОГИИ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ верхностей, допускающих непрерывную параметризацию гладкими многообразиями.
Проследим процесс минимизации вниз по размерностям в условиях теоремы 2.
Оказывается, существуют поверхности Хк, аннулирующие спектральный бордизм (Я, е) и имеющие наименьший старший объем vol^. Каждая из них содержит однозначно определенный А:-мерный старший страт, являющийся почти всюду гладким ^-мерным минимальным подмногообразием в Мп.
Среди этих поверхностей существуют поверхности, у которых абсолютно минимальным является не только старший страт, но и следующий за ним вниз по размерности младший (Л - 1)-мерный страт (если он непуст). Этот (Л - 1)-мерный страт однозначно определен в дополнении X — (старший страт) и является, за исключением, быть может, множества меры нуль особых точек, гладким минимальным (Л - 1)-мерным подмногообразием в М.
И так далее, спускаясь вниз по размерностям, мы обнаруживаем в итоге, что существуют поверхности, все страты которых (как старшие, так и младшие) абсолютно минимальны. Эти поверхности и являются решениями задачи Плато.
Далее, проблема Плато имеет решение и в классе поверхностей, реализующих любой ненулевой класс обычных бордизмов произвольного компактного риманова многообразия М. См. [16], [17]. Это означает, что среди компактных поверхностей X, таких, что при их вложении i: X -*М данный элемент о G $2* (Л/) (из группы обычных бордизмов многообразия Л/) принадлежит образу гомоморфизма /#: ^* (^Э S2* (Л/) (где £lk (X) - группа спектральных бордизмов поверхности X), всегда существует абсолютно минимальная (во всех размерностях) поверхность Хо. Еще раз отметим, что минимальную реализацию здесь всегда допускает элемент обычной группы бордизмов многообразия.
Абсолютно минимальная поверхность всегда существует и в классе компактов, реализующих ненулевые элементы стабильных гомотопических групп гладких полных римановых многообразий. Это означает, что среди компактных поверхностей X таких, что при их вложении i: X М данный элемент a G л^ (Л/) принадлежит образу гомоморфизма /,: л^(У) ^-л^(Л7), всегда существует абсолютно минимальная (во всех размерностях) поверхность Хо. Как и в случае бордизмов, стабильные гомотопические группы компактов определяются при помощи спектрального процесса.
Абсолютно минимальная поверхность всегда существует и в классе носителей стабильно нетривиального векторного расслоения на многообразии М. Компакт X С М называется носителем такого расслоения £, если ограничение £ | х по-прежнему стабильно нетривиально. Таким образом, можно рассмотреть вариационную задачу в классе таких носителей. Оказывается (см. [16], [17]), среди этих носителей всегда имеется абсолютно минимальная поверхность. 1
Другие примеры решения проблемы Плато в различных топологических классах поверхностей см. в [16], [17]. Во всех этих случаях абсолютный минимум достигается на стратифицированной поверхности. Все се страты, в том числе и старший, абсолютно минимальны и являются почти всюду гладкими подмногообразиями (аналитическими, если обьсмлющее многообразие аналитическое). Замыкание каждого отдельного непустого страта не содержится в замыкании объединения всех стратов больших размерностей (см. рис. 221). Поэтому удалить какой-либо из непустых стратов нельзя: это сразу разрушит топологические свойства минимальной поверхности.
Минимальные поверхности в гомотопических классах отображений. Введенные в [16], [17] понятия стратифицированной поверхности и стратифицированно-
го объема допускают, как выяснилось, естественное развитие на функциональном языке, что и было сделано в работах Дао Чонг Тхи [21 ] — [23].
Теорема 3 (Дао Чонг Тхи). Пусть М - полное связное риманово многообразие, W - некоторое фиксированное k-мерное компактное многообразие с краем. Рассмотрим все локально липшицевы отображения f ; W ^-М, такие, что огртиче- ние f на край Э W совпадает с некоторым заданным отображением g; BW -»М. Тогда каждому отображению f: W -*М отвечает "параметризованный мультивари- фолд" [IV,/] — функциональный аналог стратифицированной поверхности X = f (ИО (см. [21] - [23] ). Каждый параметризованный мультиварифолд обладает "массой” - аналогом риманова объема. Утверждается, что в каждом гомотопическом классе параметризованных мультиварифолдов существует параметризованный мультиварифолд [IV, /0] минимальной массы (решающий, следовательно, проблему Плато в данном гомотопическом классе').
Если многообразие М компактно, то теорема 3 остается справедливой и при SW = ф, т.е. когда W — компактное замкнутое многообразие. Далее, аналогичная теорема существования справедлива и для вариационных задач с подвижной границей, т.е. когда граница пленки может скользить по некоторому фиксированному подмногообразию. В теореме 3 минимизируется старший объем стратифицированной поверхности (на функциональном языке — мультиварифолда, [21]-[23]). Младшие страты здесь не минимизируются.
§ 49. НЕКОТОРЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МИНИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Существует интересная связь между разрешимостью задачи Дирихле для минимальных поверхностей и их гомотопическими свойствами. Рассмотрим разложение R"+k в прямую сумму R* ® R" и пусть Вп — открытое подмножество в R” с гладкой или кусочно гладкой границей.
Предположим, что задано гладкое отображение /: В” -* Rk. Рассмотрим график Г этого отображения, т.е. множество точек вида (x,f(x)) в Rn+k, где х G Вп
(рис. 222). График Г является и-мерным подмногообразием в Rn+*. Сформулируем задачу Дирихле. Пусть задано гладкое отображение р границы 9В области В в R*. Требуется найти отображение /: В Rk, такое, чтобы /было непрерывно на замыкании области В, локально липшицевым (или гладким) в области В и, кроме того, чтобы график Г отображения / был минимальным подмногообразием в R"+k. Мы считаем, что объем графика конечен, следовательно, имеет смысл рассматривать ограниченные области В в R”. Выражаясь языком теории дифференциальных урав-
нений, мы ставим задачу Дирихле для уравнения минимальной поверхности коразмерности к на области Вп с граничными условиями у>.
Хорошо известно, что в случае, когда график Г является гиперповерхностью (т.е. при к = 1), задача Дирихле для выпуклых областей В всегда имеет единственное решение для любых заранее заданных непрерывных граничных условий. При этом решение /: Вп -*R* единственно, является вещественно-аналитическим и график Г является не только локально минимальной, но даже абсолютно минимальной поверхностью в R"+1. Более точно, гиперповерхность Г в R”+1 имеет наименьший возможный объем в классе всех поверхностей с той же границей {(х, у> (х))} , где х G дВ.
Для случая больших коразмерностей следует выделить двумерные графики, задающие отображения двумерных выпуклых областей В2 и Rk. Оказывается (см., например, обзор в работах Оссермана и Лоусона [9], [12]), что при и = 2 и при любом к > 1 для любой выпуклой области В2 всегда существует решение задачи Дирихле для любых непрерывных граничных данных. Правда, в этом случае минимальная поверхность может быть не единственной, решение задачи Дирихле может быть неустойчиво. Другими словами, график искомого отображения f; В2 -* Rk может быть локально минимальной, но не абсолютно минимальной поверхностью BRk+2. ,
Теперь рассмотрим минимальные поверхности коразмерностей, больших чем единица, т.е. Л > 2. В качестве выпуклой области В" возьмем стандартный открытый диск D" единичного радиуса. Оказывается, при и > 4 задача Дирихле может вообще не иметь решения и препятствие к существованию решения носит чисто гомотопический характер, см. [9].
Теорема 1 (Лоусон, Оссерман). Пусть п > к > 2, Sa~1 = dDn, Sk~1 С R*, где Sn~1 и Sk~1 - стандартные сферы единичного радиуса. Пусть ф: Sn~1 ->Sk~1 - любое отображение класса С2, определяющее нетривиальный (отличный от нуля) элемент гомотопической группы ^n-i(Sk~l). Тогда существует число R^,, такое,
Рис. 223
что для каждого R > R^ не существует решения задачи Дирихле в шаре D" для уравнения минимальной поверхности коразмерности к с граничной функцией ipR = = R • ф (рис. 223). .
Лоусон и Оссерман рассматривают, следовательно, график отображения, реализующего ненулевой элемент гомотопической группы, затем растягивают область значений с коэффициентом подобия R. Попросту говоря, увеличивается радиус сферы в области значений. Начиная с некоторого момента, решение задачи Дирихле исчезает. При этом следует сказать, что задача Дирихле всегда разрешима для выпуклой области (и для любой коразмерности) для достаточно малых граничных
данных. Другими словами, если функция ^ мала на ЭВ, то всегда существует минимальная поверхность, близкая к В и совпадающая на ЭВ с графиком ф.
В качестве примера рассмотрим отображение (расслоение) Хопфа. Его можно задать отображением р: S3 -*S2, записывающимся в координатах z, w так: p(z, w) = = (| z |2 — | w |2, 2z w). Здесь z, w — эрмитовы координаты в С2. Сфера S3 задается так: |z|2 + |w|2 = 1, асфера S2 реализована как единичная сфера в R3 = RXC. Легко убедиться (проверьте!), что вектор p(z, w) пробегает двумерную сферу в R3. Как мы знаем, отображение р негомотопно нулю, определяет ненулевой элемент группы я3 (№) = Z. Следовательно, в силу теоремы Лоусона и Оссермана, при достаточно больших R задача Дирихле на четырехмерном шаре с граничными условиями Нф не имеет решения в виде минимального графика некоторого отображения F; D* -> R3. Оказывается, в качестве граничного значения R^ можно взять число 4,2 при единичных радиусах сфер.
Отсутствие решения задачи Дирихле (в классе графиков) не препятствует наличию 4-мерной минимальной поверхности, имеющей в качестве граничного ’’контура” трехмерную сферу, вложенную в R7 как график отображения ф; S3 -*S2 С R3. Как мы видели, иэ общих теорем существования абсолютно минимальных поверхностей следует, что для любого непрерывного ф всегда существует абсолютно минимальная поверхность, решающая задачу Плато. Однако она не представима как график (при указанных условиях).
Минимальные поверхности обладают и другими интересными топологическими свойствами. Харви и Лоусон в известной работе [31] доказали, что любое локально минимальное лагранжево подмногообразие в С" % R2” (со стандартной кэлеровой метрикой) является специально лагранжевым, а потому абсолютно минимальным. Любое специально лагранжево подмногообразие — абсолютно минимально, см. [31]. Возникает вопрос об описании топологических классов минимальных лагранжевых подмногообразий в произвольном кэлеровом многообразии. При этом считается, что риманова метрика и симплектическая структура задаются кэлеровой структурой. Хорошо известно, что лагранжево подмногообразие в симплектическом пространстве R2” (а также в некоторых других кэлеровых многообразиях Л/2”) обладает естественным топологическим инвариантом — индексом Маслова, и, более общо, — характеристическими классами Маслова — Арнольда. А.Т. Фоменко сформулировал гипотезу, согласно которой минимальность лагранжева подмногообразия влечет аннулирование многих характеристических классов а, Маслова — Арнольда. Для случая М2п = R2" эта гипотеза оказалась справедливой, см. [30].
Теорема 2 (Ле Хонг Ван, А.Т. Фоменко). Для минимальных лагранжевых многообразий в R2” характеристические классы Маслова - Арнольда а,-(mod 2) и классы а,- (для группы коэффициентов Z) равны нулю.
При доказательстве использованы, в частности, результаты Д.Б. Фукса [27].
Современная теория минимальных поверхностей тесно связана с теорией гармонических отображений. Хотя эта теория выходит за рамки настоящей главы, мы приведем здесь один из ее результатов, связанный с гомотопическими свойствами римановых многообразий.
Напомним, что функционалом Дирихле (или функционалом энергии) называется отображение, ставящее в соответствие каждому достаточно гладкому отображению /: М -*N компактного ориентируемого риманова многообразия М в риманово многообразие N число
..Э/“ Э/^
DV) = J —jg^do,
М i,j дх* дх'
где Лу и gag — римановы метрики на многообразиях М и N соответственно, к*1 - коэффициенты обратной матрицы к матрице (ку), х1,..., хт — локальные координаты на М, а функции f* = fa (х*,..., хт ) задают отображение /: М -*N.
Отображение /: М -*N называется гармоническим, если оно является экстремалью функционала Дирихле. Обозначим через D(M) следующее число: D(M) = inf D(g), g
где g; M -* M — отображения, гомотопные тождественному отображению многообразия М на себя.
Теорема 3 (А.И. Плужников [32]). Пусть М - замкнутое гладкое риманово многообразие. Тогда D(M) = 0 тогда и только тогда, когда каждая компонента связности многообразия М является двусвязной, т.е. ее первая и вторая гомотопические группы" тривиал ьны.
Так как отображения, гомотопные тождественному, топологически нетривиальны (не гомотопны отображению в точку), то равенство D(M) = 0 означает, что функционал Дирихле (в условиях теоремы Плужникова) не достигает минимума на гомотопическом классе тождественного отображения многообразия на себя.
ГОМОЛОГИИ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ
Группы гомологий естественно возникают и в других вариационных задачах, среди которых особое место занимает задача интегрирования так называемых гамильтоновых систем, возникающих во многих вопросах механики, теоретической и математической физики.
Рассмотрим чсгырехмерное гладкое многообразие М* без края (компактное или некомпактное, все равно). Пусть на нем задана дополнительная структура, называемая симплектической. Это означает, что на касательных векторах к многообразию М в каждой его точке задано кососимметрическое невырожденное скалярное произведение, определяемое невырожденной кососимметрической матрицей £2 = (wf/(x)), где х Е М, cDjj - — сор. Кроме того, требуется, чтобы в окрестности каждой точки х существовали такие локальные регулярные криволинейные координаты (называемые каноническими или симплектическими) qt.qi, Pi, Pi, что в каждой точке этой окрестности кососкалярное произведение одновременно задавалось бы в этих коор-
/ 0/1 0\
динатах следующей простейшей матрицей £2 = 1), где Е = (1 — единич-
х-я 0/V 0 1/
ная матрица. Другими словами, требуется, чтобы сразу в целой окрестности кососимметрическое скалярное произведение приводилось бы (путем выбора координат) к указанному каноническому виду. '
Если а и b - касательные векторы к М*, задаваемые координатами (at), (Ь,), то их кососимметрическое скалярное произведение задается так: (a, b) = T,u)tjaibj. Многообразие М с такой структурой называется симплектическим.
Если Н - гладкая функция на многообразии, то задание невырожденного скалярного произведения позволяет определить так называемый косой градиент sgrad# функции Н посредством формулы < sgrad Н, и> = и (И), где и — произвольное гладкое векторное поле на М, а через и (И) обозначена производная функции Н вдоль векторного поля и. Из условия невырожденности матрицы £2 следует, что поле sgrad# корректно и однозначно определено. Векторные поля вида sgrad#называются гамильтоновыми, а функция Н называется гамильтонианом такого поля.
Важность гамильтоновых полей объясняется тем, что огромное число конкретных механических и физических систем описывается гамильтоновыми полями на соответствующих симплектических многообразиях. В качестве примера достаточно
указать известные уравнения движения трехмерного твердого тела с закрепленной точкой в поле силы тяжести.
Так как любое векторное поле можно интерпретировать как систему обыкновенных дифференциальных уравнений на многообразии, то эквивалентным образом можно говорить о гамильтоновых системах дифференциальных уравнений. Например, в канонических координатах (см. выше) такие системы записываются так: эя
<7/ =-—
Эр,-
ЭЯ
Pi =-— ■
Ni
Такой вид следует из данных выше определений.
Интерпретируя гамильтонову систему как векторное поле (динамическую систему) на симплектическом многообразии М, мы можем интерпретировать ее решения как интегральные траектории векторного поля. Одной из центральных задач гамильтоновой механики является изучение свойств этих траекторий, в частности, поиск устойчивых периодических решений гамильтоновой системы. Такие решения соответствуют устойчивым периодическим движениям механической (физической) системы, изображаемой данным гамильтоновым полем. Оказывается, в некоторых случаях информацию о существовании и о количестве таких решений можно извлекать из данных о гомологиях поверхностей уровня гамильтониана Я.
Во многих физически важных случаях гамильтонова система и = sgгadЯ имеет на Л/4 , так называемый дополнительный независимый интеграл, находящийся в инволюции с гамильтонианом Я. Функция f на М называется интегралом поля sgгadЯ, коммутирующим, или находящимся в инволюции с Н, если (sgrad Я, sgrad/) = 0 в каждой точке многообразия. Особый интерес представляют случаи, когда функции / и Я функционально независимы почти всюду на М. Такие системы называются вполне интегрируемыми по Лиувиллю. Если данная система допускает второй независимый инволютивный интеграл /, то это дает много информации о поведении интегральных траекторий системы, однако, к сожалению, не всегда позволяет проинтегрировать систему до конца в явном виде. Поэтому вопрос о существовании о и количестве устойчивых периодических движений системы остается нерешенным даже в этом случае.
Рассмотрим неособую фиксированную трехмерную поверхность (3-миогообразие) Q постоянной энергии, т.е. задаваемую уравнением Я = const, причем grad Я повсюду на поверхности Q. Такие поверхности иногда называются изоэнергетическими. Пусть гамильтонова система sgradЯ интегрируема на этой поверхности Q при помощи второго дополнительного гладкого интеграла /, коммутирующего с Н. Вне поверхности Q интеграл / вообще может быть не определен.
Определение 1. Интеграл / назовем боттовским (или морсовским^ на изо- энергетической поверхности Q, если его критические точки (как гладкой функции на б), образуют на Q невырожденные критические подмногообразия, т.е. гессиан dTf функции / невырожден на подпространствах, нормальных к этим подмногообразиям.
Накопленный опыт исследования конкретных механических систем показывает, что в большинстве известных случаев обнаруженные интегралы являются боттовски- ми на почти всех изоэнергетических поверхностях. Легко убедиться в том, что векторное поле sgradЯ всегда касается поверхностей уровня Q гамильтониана Я Это означает, что эти 3-поверхности целиком состоят из интегральных траекторий систе-
мы. Поэтому систему sgrad^ всегда можно ограничить на любую поверхность постоянной энергии.
Определение 2. Пусть у — замкнутая интегральная траектория гамильтоновой системы sgrad^ на изоэнергетической поверхности Q, т.е. — периодическое решение системы. Мы скажем, что траектория у устойчива, если некоторая ее трубчатая трехмерная окрестность в Q целиком расслоена на двумерные торы, инвариантные относительно системы sgradW
Это определение означает, что все интегральные траектории системы, близкие к устойчивой траектории, не уходят далеко и все время движутся около нее, наматываясь на двумерные концентрические торы (общей осью которых и является периодическое решение).
Гамильтонова система может быть интегрируемой по Лиувиллю, но не иметь при этом ни одной устойчивой периодической траектории.
Оказывается, существует тесная связь между следующими тремя важными объектами: (1) боттовский интеграл / на поверхности постоянной энергии б, (2) устойчивые периодические решения (траектории) системы sgrad^HaQ, (3) группы целочисленных гомологий Нх (б, Z) или фундаментальная группа Я] (б) •
Определение 3. Будем говорить, что боттовский интеграл / на изознергетичес- кой поверхности Q является ориентируемым, если все его критические подмногообразия ориентируемы. Если хотя бы одно критическое многообразие неориенти- руемо, то скажем, что интеграл / неориентируем.
Теорема 1. (А.Т. Фоменко). Связные критические многообразия боттовско- го интеграла f на изоэнергетической поверхности Q могут быть лишь следующих четырех типов: (а) минимаксная окружность, (б) минимаксный двумерный тор, (в) минимаксная бутылка Клейна, (г) седловая критическая окружность. Пусть ^(б) - малая трубчатая окрестность поверхности Q в М4. Тогда существует двулистное накрытие я: (U(б), Н, f) (t7(6), Н, f^ (со слоем Z2),где U(Q) - симплею тическое многообразие с гамильтоновой системой и = sgrad/У (где гамильтониан Н имеет вид Н = я*Я), интегрируемое на поверхности Q = я" 1 (б) при помощи боттовского ориентируемого интеграла f = я‘/. При этом все минимаксные бутылки Клейна интеграла f "разворачиваются" в минимаксные торы интеграла f на Q.
Следовательно, без существенного ограничения общности можно изучать лишь ориентируемые интегралы. Из теоремы 1 следует, что если / - неориентируемый интеграл на Q, то автоматически я^б) ^ О и в группе я, (б) содержится подгруппа индекса 2. Например, если б гомеоморфно сфере S3 (частый случай в механике), то любой боттовский интеграл/ на S3 всегда ориентируем.
Обозначим через m = т(б) число устойчивых периодических решений системы и на б Пусть г = r(Q) — число минимаксных бутылок Клейна для интеграла / наб- Если интеграл ориентируем, то г = 0. Пусть р — число критических минимаксных торов, q — число седловых критических окружностей с ориентируемой сепаратрис- ной диаграммой.
В предыдущих параграфах мы познакомились со способами оценки снизу числа точек бифуркации (критических точек) гладкой функции на многообразии. Аналогичная задача возникает и в гамильтоновой геометрии: как оценить снизу число, например, устойчивых периодических решений интегрируемой системы? По своему характеру эта задача близка к изученным выше, но для ее решения необходимо привлечь новые методы. Дело в том, что в этом случае роль изолированных критических точек исполняют критические подмногообразия (в частности, окружности)
' и, как легко убедиться, неравенства ’’типа Морса" не дают здесь необходимой оценки.
Теорема 2. (А.Т. Фоменко). Пусть / - боттовский интеграл. Тогда число m устойчивых периодических решений системы и на Q следующим образом оценивается снизу через топологические инварианты изоэнергетической поверхности.
В случае, когда интеграл / ориентируем:
m > 2, если группа гомологий Hi (6; Z) конечна;
m > 2, если фундаментальная группа Ti (Q) равна Z.
В случае, когда интеграл f неориентируем:
m + г >2, если группа Hi (Q, Z) конечна;
m > 2, если HV(Q,Z) = О (при этом группа Я1(0) может быть бесконечной);
т> 1,если Hi(Q, Z) —конечная циклическая группа;
т> 1,если Hi(Q) = Z или если тгj(Q) - конечная группа.
В обоих случаях 1 и 2 теоремы 2 интеграл / достигает локального минимума или максимума на каждом из этих устойчивых периодических решений системы (или на бутылках Клейна). Если группа гомологий HX(Q, Z) бесконечна, т.е. ранг Ht > 1, то система и может вообще не иметь на изоэнергетической поверхности Q устойчивых периодических решений (такие примеры легко строятся).
Подробности этой теоремы см. в работах [34], [35].
У многих интегрируемых механических систем иэоэнергетические поверхности диффеоморфны либо сфере S3, либо проективному пространству R/’3, либо прямому произведению S1 X S2. Например, для уравнений движения тяжелого твердого тела с закрепленной точкой в интегрируемом случае Ковалевской некоторые изоэнер- гетические поверхности (после факторизации) гомеоморфны S1 XS1. Если гамильтониан Н имеет изолированный минимум или максимум (т.е. изолированное положение равновесия системы) на Q, то все достаточно близкие поверхности уровня Q (Н = = const) являются сферами S3.
Оказывается, число критических многообразий интеграла f на Q (а иногда число устойчивых периодических решений) можно оценить снизу некоторой универсальной постоянной, зависящей только от первой группы гомологий Hi(Q, Z). Пусть 0 = ранг H\(Q, Z) (т.е. одномерное число Бетти), е — число элементарных множителей в конечной части Tors Я] группы HX(Q, Z). Если группа Tots Hi разложена в упорядоченную сумму подгрупп, где порядок каждой подгруппы делит порядок предыдущей подгруппы, то е — это число слагаемых.
Теорема 3 (А.Т. Фоменко, X. Цишанг). Пусть Q - компактная неособая изо- энергетическая поверхность интегрируемой системы (с боттовским интегралом). Пусть m - число устойчивых периодических решений системы, s - число неустойчивых периодических решений системы с неориентируемой сепаратрисной диаграммой (т.е. число критических седловых окружностей с неориентируемой сепаратрисной диаграммой), г — число критических бутылок Клейна. Тогда выполняются условия: если q + s > 0, р + m > 0, го гп > е - 20 + \,q* > т — 2, а также q> т+г -2 (где числа т', q* имеют вид: т* = т + s + 2r,q' = q + s + г).Прир = 1 (гдер - число минимаксных торов) и т = г = 0 имеем : 0 > е -20. Если интеграл f ориентируем и все сепаратрисные диаграммы его критических подмногообразий также ориентируемы, то имеем s = г = 0, т.е. в этом случае мы получаем оценку снизу на число m устойчивых периодических решений системы: т> е — 20 + 1, а также q > т- 2.
Эта теорема дополняет теорему 2 в некоторых случаях. Области применения теорем 2 и 3 не совпадают. Подробности см. в [36], [47].
§ 51. ТЕОРИЯ ТИПА МОРСА
ДЛЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ.
ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ ИНВАРИАНТ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
В предыдущих параграфах мы познакомились с классической теорией Морса гладких функций на многообразиях. Затем мы вкратце осветили ее развитие в рамках теории Люстерника—Шнирельмана. Было показано, что эта теория тесно связана с исследованием групп гомологий многообразий (именно поэтому мы и поместили ее в главу ’’Гомологии в вариационных задачах”). В настоящем параграфе мы изложим новую теорию ’’типа Морса”, построенную А.Т. Фоменко для гладких интегралов гамильтоновых систем, причем интеграл рассматривается как гладкая функция на изоэнергетической поверхности данной системы. Подробности см. в [34], [35]. В целях упрощения изложения мы остановимся лишь на случае четырехмерных симплёктических многообразий (здесь поверхности постоянной энергии, т.е. изо- энергетические поверхности являются трехмерными).
Одно из центральных мест классической теории Морса заключается в описании перестроек поверхностей уровня функции в окрестности ее критического значения. В общем случае их классификация невозможна, так как поверхности уровня могут иметь очень сложную топологическую структуру. Оказывается, если функция является интегралом гамильтоновой системы, то можно дать полную классификацию таких перестроек, что позволяет полностью описать топологию самих поверхностей постоянной энергии. Это позволяет построить теорию ’’типа Морса" для функций, являющихся интегралами гамильтоновых систем.
Через (М) мы обозначим класс всех замкнутых компактных ориентируемых трехмерных многообразий. Пусть (Н) — класс всех компактных замкнутых неособых изоэнергетических поверхностей гамильтоновых систем, интегрируемых при помощи боттовских интегралов. Оказывается, класс (Н) ’’меньше” класса (М) и, более того, в некотором точном смысле класс (Н) является ’’тощим” подмножеством в классе (М); см. [35]. Оказывается, далее, что класс (Н) допускает другое важное представление, а именно, многообразия из этого класса являются склейками ’’элементарных кирпичей” двух типов. Это утверждение следует из теории, элементы которой мы сейчас кратко изложим.
Рассмотрим 5 простейших трехмерных многообразий с краем. Пусть О" обозначает n-мерный диск.
Т и п 1. Прямое произведение S1 X D2 назовем полноторием. Его край - один двумерный тор Т1 (рис. 224).
Т и п 2. Прямое произведение Т2 XD1 назовем цилиндром. Его край — два тора (рис. 225).
Тип 3. Прямое произведение N2 X S1 назовем ориентированным седлом (или ’’штанами ”, или просто седлом), где N2 - двумерный диск с двумя дырками. Многообразие N2 X S1 гомотопически эквивалентно прямому произведению окружности на восьмерку. Краем многообразия № X 51 являются три тора. Его можно реализовать в R3. Для этого достаточно высверлить из стандартного полнотория два тонких параллельных полнотория, обходящие ровно один раз вдоль оси основного ’’большого полнотория” (рис. 226).
Т и п 4. Снова рассмотрим в R3 стандартно вложенное полноторие и высверлим из него теперь одно тонкое полноторие, два раза обходящее вдоль оси первого полнотория (рис. 227). Назовем получившееся трехмерное многообразие неориентированным или скрученным седлом (или неориентированными, скрученными штанами).
Рис. 225Рис. 225Рис. 226Рис. 226
Рис. 225
Рис. 225
Рис. 226
Рис. 226
Прокомментируем многообразия типов 3 и 4. В типе 3 мы имеем (с гомотопической точки зрения) прямое произведение окружности на восьмерку. В типе 4 восьмерка движется по окружности так (оставаясь ей ортогональной), что после полного оборота две ее петли меняются местами. Ясно, что скрученное седло можно рассматривать как косое произведение N2 X S1 диска с двумя дырками на окружность. Край скрученного седла состоит из двух торов. ~
Т и п 5. Пусть К2 — обычная двумерная бутылка Клейна. Через К2 X D1 обозначим косое произведение бутылки Клейна на отрезок. Его можно представить себе так. Рассмотрим стандартное погружение бутылки Клейна в R3, рассмотрим ее малую трубчатую окрестность. Легко видеть, что граница трубчатой окрестности является тором, погруженным в R3. Он стягивается внутри трубчатой окрестности на бутылку Клейна, двулистно накрывая ее. Следовательно, границей многообразия К2 XD1 является один тор. Назовем многообразие К 2 X Dx неориентированным или скрученным цилиндром (рис. 228). -
Заметим, что все перечисленные выше пять многообразий являются ориентируемыми. Термин ’’неориентируемый”, использованный выше, имеет смысл, который ниже будет специально прояснен.
Для краткости обозначим многообразия, перечисленные выше, через I, II, III, IV, V. Оказывается (см. [35]), с топологической точки зрения многообразия П, IV, V новыми не являются, а именно, они получаются склейками многообразий I и III. Можно доказать, что II = I + III, IV = I + Ш, V = 2 • I + III. Здесь знак "плюс” условно
Рис. 228
обозначает склейку указанных элементарных кирпичей I и III по некоторым диффеоморфизмам их граничных торов. Конкретный вид этих склеивающих диффеоморфизмов нам здесь не понадобится, поэтому мы опускаем доказательство сформулированного выше утверждения.
Рассмотрим новый класс (Q) замкнутых компактных ориентируемых трехмерных многообразий, получающихся склейкой произвольного числа полноторий и штанов по произвольным диффеоморфизмам их граничных торов. Замечательным фактом оказывается совпадение классов (Н) и (Q), см. [62].
Предложение 1 (см. [35]). Пусть / - боттовский интеграл на какой-то трехмерной компактной неособой изоэнергетической поверхности Q (интегрируемой гамильтоновой системы). Тогда его критические подмногообразия в Q могут быть только следующих типов: (а) минимаксные окружности (т.е. критические окружности, на которых интеграл достигает своего локального минимума или максимума), (б) минимаксные двумерные бутылки Клейна, (г) седловые критические окружности.
Напомним понятие сепаратрисной диаграммы критического многообразия Т для функции Ботта. Пусть х Е Т — произвольная точка и NXT — нормальный диск малого радиуса в точке х к подмногообразию Т. В силу боттовости интеграла /, его ограничение на нормальный диск NXT является обычной функцией Морса с критической точкой х некоторого индекса X Сепаратрисой критической точки х называется интегральная траектория поля grad /, входящая (асимптотически) в точку х или исходящая из точки х. Рассмотрим множество сепаратрис, входящих в критическую точку х и исходящих иэ нее (в нормальном диске). Объединение всех входящих сепаратрис дает диск размерности X и называется входящей сепаратрисной диаграммой (входящим сепаратрисным диском). Объединение всех исходящих сепаратрис дает диск дополнительной размерности и называется исходящей сепаратрисной диаграммой (исходящим сепаратрисным диском). Меняя точку х € Т и строя для каждой точки х ее входящие и исходящие сепаратрисные диски, мы и получаем
входящую и исходящую сепаратрисные диаграммы всего критического многообразия Т (рис. 229).
Назовем интеграл 5-ориентируемым, если все сепаратрисные диаграммы его критических многообразий — ориентируемы. В противном случае назовем интеграл 5-неориентируемым (если у него есть хотя бы одна неориентируемая сепарат- рисная диаграмма).
Пусть / — боттовский интеграл на компактной неособой изоэнергетической трехмерной поверхности Q. Через m мы обозначим число минимаксных критических окружностей интеграла. Через р мы обозначим число минимаксных критических двумерных торов для интеграла. Через q мы обозначим число седловых критических окружностей интеграла с ориентируемой сепаратрисной диаграммой. Пусть далее s - число седловых критических окружностей интеграла с неориентируемой сепаратрисной диаграммой. Наконец, пусть г — число критических минимаксных бутылок Клейна. '
Теорема! (о топологической классификации трехмерных поверхностей постоянной энергии интегрируемых систем; А.Т. Фоменко). Пусть М* — гладкое симплек- тическое многообразие (компактное или некомпактное), и = sgrad Н - гамильтонова система, интегрируемая по Лиувиллю на какой-то одной неособой компактной трехмерной изоэнергетической поверхности Q при помощи боттовского интеграла f. Тогда многообразие Q представляется в виде склейки (по некоторым диффеоморфизмам граничных торов) следующих элементарных кирпичей:
Q = m(Sx XD2) + p(T2XDx) + q(N2 XSx) + s(N2 XSx)+r(K2 XD1).
Это разложение многообразия Q можно назвать гамильтоновым. Оно ’’помнит”, сколько критических многообразий каждого типа имел интеграл / на Q. Другими словами, эта структурная теорема является ’’разложением типа Морса” для изо- энергетическон поверхности, порожденным данным интегралом. Другой интеграл даст, вообще говоря, другое разложение. Таким образом, сузив класс рассматриваемых многообразий до класса изоэнергетических поверхностей, удается существенно
Рис. 229
усилить классическую теорию Морса, а именно — в явном виде указать ’ ’элементарные кирпичи” (их лишь 5 типов), в сумму которых разлагается многообразие, см. [35].
Следствие 1. Пусть Q — компактная неособая изоэнергетическая поверхность системы, интегрируемой при помощи боттовского интеграла. Тогда Q допускает следующее топологическое разложение m I + q III, где числа m и q следующим образом связаны с числами из теоремы 1: m = m + p + $ + Тт ,q = q + р + s + г.
Отсюда вытекает, что (Н) С (Q). Верно и обратное включение: (Н) Э (Q) (А.Б. Браилов, А.Т. Фоменко), т.е. классы (Н) и (Q) совпадают.
Теперь можно дать классификацию всех возможных перестроек торов Лиувилля, возникающих при изменении значения интеграла /. Напомним, что компактные неособые совместные поверхности уровня обоих интегралов Н и / на Q являются двумерными торами, которые и называются торами Лиувилля. '
Рассмотрим следующие пять перестроек торов, отвечающие указанным элементарным многообразиям I, II, III, IV, V. Реализуем тор как одну из компонент края соответствующего элементарного многообразия. Тогда тор, увлекаемый изменением значения интеграла, преобразуется в объединение других торов, являющихся остальными компонентами края того же элементарного многообразия.
Тор стягивается на осевую окружность полнотория и ’’исчезает” затем с поверхности уровня интеграла. Обозначим эту перестройку так: Г2 -+ S1 -*0. Она происходит в окрестности минимаксной окружности интеграла. Условно изобразим эту перестройку черным кружком (изображающим минимаксную окружность) с входящим в него (или исходящим) ребром. Каждая точка ребра условно изображает тор Лиувилля (рис. 230).
Два тора движутся навстречу друг другу по цилиндру Г2 X D1, сливаются в один тор и затем ’’исчезают”. Это происходит в окрестности минимаксного тора для интеграла. Обозначим эту перестройку так: 2 Г2 ->-Т2 -*0. Условно изобразим ее белым кружком (минимаксный тор) с двумя исходящими (входящими) ребрами. Движение точек вдоль ребер наглядно показывает движение соответствующих торов Лиувилля (рис. 230).
Тор распадается на два тора, проходя через центр ceдлa^2X S* (т.е. штанов). Эти торы затем ’’остаются” на поверхности уровня интеграла. Обозначение: Т2 -*2Тг. Это событие происходит в окрестности критической седловой окружности с ориентированной сепаратрисной диаграммой. Изобразим графически эту перестройку в виде трилистника (треножника). При этом одно ребро графа распадается на два ребра. Все три ребра встречаются в одной вершине графа (рис. 230).
Тор два раза наматывается на другой тор, следуя при этом топологии скрученного седла jV2 XS1 и остается затем (после своего преобразования) на поверхности уровня интеграла. Обозначение: Т2 -*Т2.Это событие происходит внутри многообразия N2 X S1. Изобразим эту перестройку в виде ребра, в середине которого поставлена звездочка. Точка, изображающая тор, входит в эту звездочку, а затем выходит из нее, прочерчивая следующее ребро графа (рис. 230).
12345
Рис. 230
Тор превращается в бутылку Клейна, два раза накрывая ее. Затем тор исчезает с поверхности уровня интеграла. Обозначение: Т2 -*К2 ->0. Это событие происходит в многообразии К2 X D1, т.е. внутри скрученного цилиндра. Графически изобразим эту перестройку в виде белого кружка с точкой внутри, причем в кружок входит (или выходит) одно ребро графа (рис. 230).
При желании можно снабдить построенные выше ребра графа стрелками, указывающими движение торов Лиувилля. Перестройки, получающиеся из перечисленных выше перестроек заменой стрелок на обратные, мы не будем считать новыми.
Следствие 2 (теорема классификации перестроек, бифуркаций двумерных торов Лиувилля в интегрируемых системах; А.Т. Фоменко). Пусть f — боттовский
интеграл на неособой поверхности постоянной энергии Q. Тогда любая перестройка тора Лиувилля, возникающая при его проходе через критическую поверхностность уровня интеграла, является композицией некоторого числа указанных выше элементарных перестроек типов 1, 2, 3, 4, 5. Из этих пяти перестроек независимы (с топологической точки зрения) лишь первые три. Перестройки 4 и 5 распадаются в композиции перестроек видов 1 и 3.
Аналогичная теорема верна и для перестроек многомерных торов Лиувилля. Подробности см. в [34], [35]. Более подробно перестройки двумерных торов Лиувилля изображены на рис. XXX, XXXI, XXXII. На рис. XXX изображено седло (штаны), на рис. XXXI — скрученное седло, на рис. XXXII — трубчатая окрестность бутылки Клейна, стандартно погруженной в R3.
Что здесь имеется в виду под ’’композицией перестроек”? Дело в том, что боттов- ский интеграл, рассматриваемый как гладкая функция на трехмерной изоэнергети- ческой поверхности, может иметь на одном критическом уровне несколько критических многообразий. Например, на одном критическом уровне может лежать несколько критических седловых окружностей. В обычной теории Морса хорошо известна теорема о том, что сколь угодно малым шевелением (возмущением) функции Морса можно добиться, чтобы на каждом критическом уровне была лишь одна критическая точка. В некотором смысле аналог этого утверждения имеется и в рассматриваемой здесь теории ’’типа Морса” для боттовских интегралов (здесь это утверждение существенно менее тривиально). Оказывается (см. [34], [35]), каждый боттовский интеграл / можно путем сколь угодно малого возмущения превратить в гладкую боттовскую функцию f' (близкую к /) со следующими свойствами: (а) /"'является боттовским интегралом системы и'= sgrad Н* с гамильтонианом Н*, (б) на каждом критическом уровне интеграла /'расположено ровно одно связное критическое многообразие, (в) всюду, кроме, быть может, открытого множества малой меры (эта мера может считаться меньше заранее заданного числа е), функции Н* и /' совпадают, соответственно, с функциями Я и / на Q.
При этом происходит, вообще говоря, преобразование прежних критических уровней интеграла / если на них было расположено несколько критических многообразий интеграла /'. Все перестройки торов Лиувилля у системы (Я',/*) имеют вид элементарных перестроек, перечисленных выше. В этом смысле мы и говорим о том, что любая перестройка торов Лиувилля у исходной системы (Я, /) распадается в композицию элементарных перестроек типов I, 2, 3,4,5. Конечно, это разложение неоднозначно, так как пару (Я, /) можно разными способами превратить в новую пару (Я , f'). Поэтому представляет интерес изучить перестройки торов Лиувилля, возникающие у исходного интеграла / в том случае, когда на одном критическом уровне расположено несколько критических многообразий. Эта задача будет ниже полностью решена.
Итак, сформулированная выше теорема 1 (и следствие 1) является аналогом теоремы Морса о клеточном разложении многообразия по заданной на нем функции Морса. Однако здесь вместо клеток выступают более сложные объекты: многообразия типов I, II, III, IV, V. С другой стороны, они склеиваются более просто, чем клетки в классической теории Морса.
Перейдем теперь к построению топологического инварианта интегрируемых гамильтоновых систем. Этот инвариант позволяет классифицировать интегрируемые случаи по их топологическому типу.
Назовем гамильтониан Я нерезонансным на данной изоэнергетической поверхности Q, если в Q всюду плотны торы Лиувилля, на которых траектории системы и = sgrad Я образуют всюду плотную иррациональную обмотку.
Прокомментируем это определение. Из классической теоремы Лиувилля известно, что совместные поверхности уровня интегралов Ни f являются двумерными торами. Кроме того, в окрестности каждого тора всегда можно ввести такие регулярные координаты, относительно которых интегральные траектории системы и на торе будут определять прямолинейную обмотку, т.е. соответствующее векторное поле будет иметь постоянные компоненты. Интегральные траектории (в этих координатах, называемых иногда ’’действие-угол”) будут изображаться прямыми (если рассмотреть универсальное накрытие над тором Лиувилля). На торе интегральные траектории могут быть одновременно все замкнуты (рациональная обмотка тора), либо одновременно все незамкнуты (иррациональная обмотка тора).
Опыт изучения конкретных механических и физических систем показывает, что на четырехмерных симплектических многообразиях в большинстве случаев гамильтониан Н является нерезонансным (на почти всех изознергетических поверхностях). В многомерном случае (когда изо энергетическая поверхность имеет размерность, большую чем 3) известны примеры, когда гамильтониан Н является резонансным. В [37] проанализированы все основные известные на сегодя случаи так называемой некоммутативной интегрируемости. В этих случаях система интегрируется при помощи интегралов, образующих некоммутативную алгебру Ли относительно скобки Пуассона. Здесь гамильтониан будет, вообще говоря, резонансным. Однако поскольку в настоящем параграфе мы изучаем, в основном, случай четырехмерных симплектических многообразий, то здесь нерезонансность гамильтониана является ’’типичным случаем”.
Т е о р е м а 2 (А.Т. Фоменко). Пусть и — гамильтонова система с нерезонансным гамильтонианом Н, интегрируемая при помощи некоторого боттовского интеграла f на компактной неособой изоэнергетической поверхности Q. Тогда можно однозначно построить некоторый граф Г(2, /) со следующим свойством: по графу Г (2, /) однозначно (с точностью до гомеоморфизма) восстанавливается вся топологическая картина эволюции и перестроек (бифуркаций) торов Лиувилля внутри поверхности Q при изменении значения интеграла f.
Пусть f: Q ^ R — боттовский интеграл, a G Rh Д = /~* (а) — связная компонента поверхности уровня интеграла (особая или неособая). Если а = а — регулярное (некритическое) значение для f, то fa — объединение конечного числа торов Лиувилля. Критические значения для интеграла f обозначим через с, связную компоненту критической (особой) поверхности уровня интеграла — через fc, а множество критических точек интеграла f на fc — через Nc.
Оказывается (см. [34], [35]), связные компоненты множеств Мс могут быть только следующих типов. ■ '
Тип I — минимаксная окружность S1 (локальный минимум или максимум для интеграла/), тогда Nc = fc = S1. Тип II — минимаксный тор Г2, тогда Nc = fc = Т1. Тип III — седловая критическая окружность № с ориентируемой сепаратрисной диаграммой, тогда Nc = S1 Ф fc. Тип IV — седловая критическая окружность S1 с неориентируемой сепаратрисной диаграммой, тогда Nc = S1 Ф fc. Тип V — минимаксная бутылка Клейна К2 t тогда Nc=fc=K2.
Через U(fc) (где с - критическое значение интеграла) обозначим регулярную, связную замкнутую трубчатую окрестность компоненты fc в многообразии С3 • Можно считать, что U(fc) — связное трехмерное многообразие, край которого состоит из несвязного объединения торов Лиувилля. В качестве U(fc) можно взять связную компоненту многообразия /-1[с — е, с + е]. Можно также считать, что Q = ^cU(fc), т.е. Q получается из всех'многообразий U(fc) склейкой их границ (торов) по некоторым диффеоморфизмам граничных торов Лиувилля.
Теорема 3 (А.Т. Фоменко). Пусть Q - компактная неособая изознергети- ческая поверхность системы и с гамильтонианом Н (не обязательно нерезонансным'), интегрируемой при помощи некоторого боттовского интеграла f Тогда многообразия U(fc), входящие в разложение Q = Sc(7(fc), допускают следующее представление, в зависимости от типа множества Nc.
Тип I: U(fc) = P2X S1, где Р2 = D2 (диск);
Тип II: U(fc) = P2XS\ где Р2С= S'XD1 (цилиндр);
Тип III: lKfc) = Р2 X S\ где Р2 — некоторая двумерная поверхность с краем;
Тип IV: U(fc) = Р^ X 8Ь где Р^ - некоторая двумерная поверхность с краем, а Р^ X S1 - пространство расслоения Зейферта с базой Р^ и слоем S1 (точное описание см. ниже);
Тип V: U(fc) = Р^ X S1, где Р2 = ц (лента Мёбиуса), a pXS1 обозначает косое произведение (с краем - тор Т2).
Следствие 3. С каждой изоэнергетической поверхностью Q (в условиях теоремы 3) можно однозначно (с точностью до гомеоморфизма) связать некоторую замкнутую двумерную поверхность ^(Q, f) = ^СР2, получающуюся склейкой поверхностей Р^, индуцируемой склейкой Q = T.cU(fc).
Теорема4 (основная; А.Т. Фоменко). Пусть и - гамильтонова система, интегрируемая на Q при помощи некоторого боттовского интеграла f. Тогда существует однозначное (с точностью до гомеоморфизма) каноническое вложение h(Q, f) графа V(Q, f) в поверхность P^Q, f). Если гамильтониан Н - нерезонансный на Q, то тройка (Г, Р, h) не зависит от выбора интеграла f. А именно, если f и f* - любые боттовские интегралы системы и, то соответствующие графы V(Q, f) и Г (С, (*), поверхности P(Q, f) и P(Q,f') - гомеоморфны, а следующая диаграмма коммутативна:
h: Г -»Р
h'-. Г'^Р*.
Следствие 4. В нерезонансном случае тройка (Г, Р, h) является топологическим инвариантом самого интегрируемого случая (гамильтониана ) и позволяет классифицировать интегрируемые гамильтонианы (системы) по их топологическому типу и сложности.
Тройку Г (Q), P(Q), h(Q) естественно назвать топологическим портретом интегрируемого гамильтониана. Вложение графа в поверхность P(Q) определяет ее разбиение на области. Следовательно, это разбиение также является топологическим инвариантом интегрируемого гамильтониана и описывает его топологическую сложность. Поверхность P(Q) не обязана вкладывать в многообразие Q.
Определим теперь Р2 X S1. Расслоенным полноторием типа (а, Ь) называется полноторие, полученное склейкой двух оснований полного (заполненного) цилиндра D2 X Dv при помощи отображения (z, 0) ■* (ехр(2тп6/д), 1), где z G С, I z | < 1; a, b G Z, а и b взаимно простые. Слоем является ((z, t), (exp(2iti b/a) z, t), (ехр(4яй>/д) z, t),..., (exp(2iri (a — l)Z>/a) z, t), 0 < t < I} . Тогда на полнотории E^XS1 определяется расслоение co слоем S1 над D2, локально тривиальное для всех ненулевых точек диска D2. Слой — окружность { (0, t), 0 < t <1 } является особым, если а > I. Теперь рассмотрим многообразие Р^ с отмеченными на нем точками х1э . . . , хт и окружим их малыми дисками С^, . . . , D^,. Затем возьмем прямое произведение /с X S1 и выбросим из него набор из тполноториев С^Х S1, 1 < i <m. Вклеим вместо них расслоенные полнотория типа (2, 1). Полученное многообразие
обозначим через Р^. ^S1. Оно является расслоением Зейферта, а Р^ — база расслоения.
Таким образом, теперь можно наглядно продемонстрировать — чем, например, знаменитый случай Ковалевской топологически отличается от случая Горячева — Чаплыгина (в теории движения твердого тела).
Построим теперь явным образом граф Г (5, f). Пусть /: 0^R — гладкое отображение, определяемое данным боттовским интегралом / Через fa обозначим поверхность уровня интеграла f на Q, т.е. fa =[~х(а). Если а - некритическое (регулярное) значение для f, то fa является объединениём конечного числа торов Лиувилля. Изобразим их условно точками в R3, лежащими на высоте а (в плоскости). Меняя значение а (так, чтобы оно оставалось регулярным), мы заставляем эти точки перемещаться по вертикали в R3. В результате они заметают некоторые отрезки — часть ребер будущего графа Г. Будем считать, что ось R направлена вертикально вверх. Если значение а становится критическим (такие значения мы обозначим через с), то критический (особый) уровень интеграла /, вообще говоря, усложняется и превращается в некоторый клеточный комплекс. Пусть fc — какая-либо связная компонента этого критического уровня интеграла. Пусть Nc — множество критических точек интеграла / на fc. Множество Nc может быть несвязно.
Выделим два случая: (a) Ne = fc, т.е. вся компонента связности критического уровня состоит из критических точек интеграла; (б) NcCfc, т.е. критические точки не заполняют весь критический уровень. В работах [34], [35] (см. также настоящий параграф) дано полное описание всех возможных случаев и указано — какие именно критические множества Nc возникают и какова топология критических уровней fc.
Рассмотрим случай (а). Возможны лишь следующие три типа критических множеств.
Тип ’’минимаксная окружность”. Здесь Nc = fc, и это множество гомеоморфно окружности, на которой интеграл достигает локального минимума или максимума. Трубчатая окрестность S1 X Л2 этой окружности в Q3 гомеоморфна полноторию, т.е. многообразию типа I в классификации теоремы 1. Когда а -*•<?, то неособые торы стягиваются на ось полнотория и при а = с вырождаются в критическую окружность. Выше мы условно изобразили эту минимаксную окружность черной жирной точкой (вершиной графа), в которую входит (или из которой выходит) одно ребро будущего графа Г.
Тип ”тор”. Здесь Nc = fc, и это множество гомеоморфно тору, на котором интеграл достигает локального минимума или максимума. Трубчатая окрестность Т1 X D1 этого тора является цилиндром, т.е. многообразием типа II в классификации теоремы 1. Мы изобразили выше минимаксный тор белым кружком (вершина графа), в которую входят (или выходят) два ребра графа.
Тип ’’бутылка Клейна”. Здесь Nc = fc, и это множество гомеоморфно бутылке Клейна, на которой интеграл достигает локального минимума или максимума. Трубчатая окрестность К2 X Dx этой бутылки Клейна является скрученным цилиндром, т.е. многообразием типа V в классификации теоремы 1. Выше мы условно изобразили эту минимаксную бутылку Клейна белым кружком с черной точкой внутри (вершина графа), в которую входит (выходит) одно ребро графа.
Теперь рассмотрим случай (б). Здесь NcC fc и Nc^ fc, так как Nc одномерно, а [с — двумерно. Оказывается (см. [35] ), что Nc состоит из несвязного объединения непересекающихся критических седловых окружностей, лежащих на fc. Соответствующую компоненту связности fc также назовем седловой. Условно можно изобразить каждую седловую компоненту fc в виде плоского квадрата в R3, располо-
женного горизонтально на уровне с (рис. 231). Снизу в него втыкаются некоторые ребра графа (подходящие к нему, когда а с и а < с). Вверх от квадрата уходят другие ребра графа, когда а > с. Сейчас мы опишем способ соединения этих входящих и исходящих ребер, чем и завершим процесс построения графа Г. Пока что мы определили некоторый граф А, состоящий из одномерных регулярных ребер, некоторые из которых заканчиваются вершинами. Вершины могут быть трех типов: черная вершина, белая вершина и белая вершина с черной точкой внутри. Другими словами, все вершины графа А являются минимаксными для интеграла.
Фиксируем теперь связную компоненту fc q построим соответствующий ей граф Тс, показывающий, как именно соединяются входящие и исходящие ребра графа, взаимодействующие с данной компонентой fc. Рассмотрим на многообразии Q векторное поле w = grad/. Его интегральные траектории, исходящие из критических точек (лежащих на критических многообразиях) или входящие в них, называются сепаратрисами. Их объединение - это сепаратрисные диаграммы критических многообразий. Из каждой седловой критической окружности S1 на критическом уровне fc выпустим ее сепаратрисную диаграмму. Она является двумерным клеточным комплексом. Ориентируемая сепаратрисная диаграмма получается склейкой двух плоских колец (цилиндров) по их осевой окружности. Неориенти- руемая сепаратрисная диаграмма получается склейкой двух листов Мёбиуса по их осевой окружности. Рассмотрим два некритических значения с — е и с + е, близких к с. Они определяют неособые торы Лиувилля, расположенные ниже fc и выше /с (рис. 232). Сепаратрисные диаграммы критических окружностей, лежащих на /с, встречаются с этими торами и пересекают их по некоторым гладким окружностям. Эти линии пересечения разбивают каждый тор в объединение двумерных областей, которые мы назовем регулярными. Каждая точка регулярной области лежит на интегральной траектории поля w, не являющейся сепаратрисой. Выберем в каждой регулярной области на уровне fc__e по одной точке и выпустим из нее вверх интегральные траектории поля w. Поднимаясь вверх, эти траектории пройдут мимо критических седловых окружностей и обязательно встретят некоторые торы, расположенные на ’’верхнем” уровне fc*e. Траектории попадут в некоторые точки регулярных областей ’’верхних” торов. Мы получили гомеоморфизм между регулярными областями на уровне fc„e и на уровне fc*e. Он устанавливается вдоль интегральных траекторий поля w.
Теперь мы можем построить подграф Тс. Рассмотрим сначала случай, когда все сепаратрисные диаграммы критических окружностей на fc — ориентируемы (т.е. нет листов Мёбиуса). Так как каждый неособый тор Лиувилля изображается точкой на графе А, мы можем соединить соответствующие точки (на уровне fc_e и на уровне fc + €) отрезками (дугами), которые можно считать изображением
Рис. 232
пучка интегральных траекторий поля w. В результате мы получили некоторый граф, который мы и обозначим через Тс. Его ребра показывают нам движение отдельных регулярных областей торов Лиувилля. Эти торы разваливаются на отдельные куски, которые затем как-то перегруппировываются и склеиваются в новые торы Лиувилля, расположенные уже по другую сторону от критического уровня интеграла. Каждый верхний тор составлен из кусков нижних торов (и наоборот). Геометрическая картина этих перестроек может быть очень сложной. Она и характеризует сложность изучаемой гамильтоновой системы.
Теперь рассмотрим неориентируемый случай, т.е. когда на компоненте fc есть хотя бы одна критическая окружность с неориентируемой сепаратрисной диаграммой (гомеоморфной, следовательно, склейке двух листов Мёбиуса). На каждом торе Лиувилля, взаимодействующей с fc, отметим окружности, по которым тор пересекается с этими листами Мёбиуса. Далее, пометим звездочками регулярные области, инцидентные с листами Мёбиуса (т.е. области, на границе которых есть отрезки окружностей пересечения листов Мёбиуса с торами Лиувилля). Следовательно, теперь мы можем пометить звездочками соответствующие ребра конструируемого нами подграфа. В качестве примера см. рис. 233. Получающийся граф обозначим через Тс. Граф Тс удобно назвать седловым. Концы его ребер — это нёособые торы Лиувилля. Граф Тс наглядно демонстрирует нам процесс распада и перестройки нижних торов Лиувилля в верхние торы в момент их взаимодействия со связной компонентой fc.
Окончательно мы определим граф Г (2, f ) как объединение графа А со всеми графами вида Тс, т.е. положим Г = А + S с Тс, где { с } - критические значения.
Прокомментируем ту часть теоремы 2, где говорится о гомеоморфизме графов Г (2, /) и Г (2,/') Для любых двух боттовских интегралов данной гамильтоновой системы. Оказывается, что при гомеоморфизме h(2, f, f* ) : Г (2, / ) ^ Г (2, У') (см. теорему 2) седловые подграфы Тс для интеграла f гомеоморфно переходят в седловые подграфы Т^ для интеграла f*. При этом звездочки графа Г (на его ребрах) переходят в звездочки графа Г*. Вершины типов ’’минимаксная окружность” и ’’бутылка Клейна” графа Г переходят в вершины того же типа (соответственно) на графе Г *. Вершины типа ”тор” графа Г могут изменить свой тип и отобразиться в обычную внутреннюю точку какого-то ребра графа Г7. И, наконец,
обычные внутренние точки ребер графа Г могут отобразиться при гомеоморфизме Л в вершины типа "тор” на графе Гг. С аналитической точки зрения это событие (изменение типа вершины) локально соответствует операции возведения в квадрат интеграла f, т.е. f ■* f1, либо, напротив, извлечению из него квадратного корня, т.е. f -► VT
Если нерезонансный гамильтониан Н фиксирован, то можно рассмотреть все его неособые компактные изоэнергетические поверхности Q. Следовательно, полным топологическим инвариантом (назовем его полным топологическим портретом) интегрируемого гамильтониана является весь набор троек {(Г (0), Р(С), Л (2)) } (т.е. по всем {Q}). В конкретных случаях практически всегда набор различных (т.е. недиффеоморфных) изоэнергетических поверхностей конечен.
Из теоремы 4 сразу получаем следствие: если две интегрируемые системы обладают негомеоморфными топологическими портретами, то не существует замены переменных (на данном многообразии Q), которая устанавливала бы эквивалентность этих систем (например, траекторный изоморфизм). Следовательно,системы с негомеоморфными топологическими портретами не эквивалентны. Однако существуют заведомо не эквивалентные интегрируемые системы с одинаковыми топологическими портретами.
Переходим теперь к построению двумерной поверхности Р2 (Q, / ) для интегрируемого гамильтониана Н на Q. Мы получим поверхность Р2 как объединение (склейку) вида Pt/V) + '2,СР(ТС'), где Р (а^ и Р (Тс) - двумерные поверхности с краем. Край каждой из них состоит, вообще говоря, из нескольких непересекаю- щихся окружностей. Построим сначала поверхность Р(А"). Определим ее так: Р (Л) = (S1 X 1п1Л)’ + ЪЬ1 + Ед2 + 2 (S1 X Л1). Здесь через 1п1Л обозначено объединение всех открытых ребер графа А, т.е. Int А состоит только из ребер, заметаемых регулярными торами Лиувилля при изменении регулярного значения а (см. выше). Следовательно, № X Int Л состоит из несвязного объединения двумерных цилиндров, соответствующих ребрам графа Int Л. Многообразие S1 X Int Л открыто. Присоединим к нему граничные окружности. В результате получится компактное многообразие с краем, которое мы и обозначаем через (S1 X Int Л)". Пусть некоторое ребро графа А заканчивается черной вершиной (минимаксная окружность). Тогда соответствующий ему цилиндр из поверхности (S1 X Int Л) заканчивается окружностью. Заклеим ее двумерным диском D2. Тем самым мы сопоставим каждой черной вершине графа А двумерный диск. Приклеивая их к поверхности (S1 X Int Л)", мы частично заклеиваем некоторые компоненты ее края. Приклейку указанных дисков мы и обозначили выше через 5 Л2.
Пусть некоторое ребро графа Int А заканчивается белой вершиной. Тогда в нее входит еще одно ребро. Соответственно, на поверхности (S* X Int Л)" выделяются два цилиндра с краем — две окружности. Заклеим их двумерным цилиндром № X Л1. В результате уменьшим число компонент края поверхности (S1 X Int Л)" на два. Объединение этих цилиндров мы и обозначили выше через 5 (S1 X Л1).
Наконец, пусть некоторое ребро графа Int А заканчивается белой вершиной с точкой внутри. На соответствующей поверхности (S1 X Int Л) "этому ребру отвечает двумерный цилиндр с краем окружность. Заклеим ее листом Мёбиуса д2. Объединение этих листов Мёбиуса мы обозначили выше через Ед2. Таким образом, поверхность Р(Л) полностью и однозначно определяется графом А. При этом объединение ЕЛ2 соответствует вершинам типа "минимаксная окружность", объединение Е (S1 X Л1)
соответствует вершинам типа ”тор”, объединение S д2 соответствует вершинам типа ’’бутылка Клейна”.
Теперь нужно сконструировать поверхности Р(ТС). Рассмотрим сначала для простоты ориентируемый случай, т.е. когда на связной компоненте fc все критические окружности имеют ориентированные сепаратрисные диаграммы. Сначала опишем топологию клеточного комплекса fc.
Предложение 2 (см. [34], [35]). Если все критические седловые окружности, лежащие на fc, имеют ориентируемые сепаратрисные диаграммы, то fc го- меоморфно прямому произведению Кс X S1, где Кс - некоторый граф, получающийся из нескольких окружностей путем отождествления на них некоторых пар точек. В частности, локально, из каждой вершины графа Кс выходит ровно четыре ребра.
В действительности верно более сильное утверждение.
Предложение 3 (см. [34], [35]). Двумерное клеточное пространство fc (здесь никакого ограничения на ориентируемость сепаратрисных диаграмм не накладывается) всегда получается склейкой нескольких экземпляров двумерных торов. Склейки производятся по окружностям, реализующим нетривиальные (ненулевые) циклы на торах. Если на одном торе лежит несколько таких окружностей, то они не пересекаются (а потому гомологичны и изотопны). Окружности, по которым касаются торы, являются критическими седловыми окружностями для интеграла f.
Критические окружности, лежащие на fc, разрезают этот комплекс на несколько плоских колец. Следовательно, на fc однозначно определена окружность-цикл у, негомологичная нулю. Ей параллельны все остальные критические окружности, лежащие иа fc. Выберем на каждом торе, входящем в состав fc, некоторую образующую-цикл а, дополнительную к циклу у, т.е. пересекающуюся с у ровно в одной
Рис. 234
точке. Назовем этот дополнительный цикл овалом. Он, конечно, определен неоднозначно. Легко видеть, что можно считать эти овалы соприкасающимися в точках касания торов, т.е. в точках, лежащих на критических окружностях интеграла (рис. 234). Если мы рассматриваем, например, ориентируемый случай (все сепаратрисные диаграммы ориентируемы), то объединение всех овалов а и дает нам граф Кс. Из рис. 234 видно, что fc=KcX"t (см. [34], [35]). При этом отметим, что граф Кс не обязан быть плоским. Можно всегда считать, впрочем, что он вложен в R3, хотя это для нас здесь неважно.
Снова рассмотрим, для простоты, ориентируемый случай. Пусть два овала коснулись друг друга в некоторой точке. Она является критической для интеграла, т.е. лежит на критической окружности. Из условия боттовости легко следует, что в малой окрестности этой точки можно рассмотреть отрезки интегральных траекторий векторного поля w. Рассматривая часть линии уровня интеграла f (рис. 235), можно считать, что около каждой критической точки однозначно определен ’’координатный крест”, на каждом конце которого поставлена стрелка, показывающая направление поля w. Построим такие координатные кресты в каждой точке касания овалов, т.е. в каждой вершине графа Кс. Следовательно, мы снабдили каждую вершину графа Кс двумерным диском (в виде креста), причем на четырех концах креста указаны ориентации вдоль градиента функции /. Соединим теперь концы крестов лентами (узкими полосками), идущими вдоль дуг овалов. Каждую из этих лент можно получить, рассмотрев семейство отрезков малой длины, расположенных вдоль интегральных траекторий поля w (рис. 236). В результате мы получаем двумерную поверхность с краем. Она показана на рис. 236. Ее край состоит из двух семейств окружностей. Общее их число равно числу торов, коснувшихся друг друга и образовавших в результате комплекс fc. Пометим знаком ’’минус” те окружности, которые отвечают торам, подошедшим снизу к уровню fc. Знаком ’’плюс” пометим те торы, которые подошли к fc сверху. На рис. 236 в качестве примера показано шесть ’’отрицательных торов” и три ’’положительных тора”. Число отрицательных торов в точности равно числу ребер графа Г, снизу подходящих к уровню fc, а число положительных торов — числу ребер графа Г, уходящих вверх от уровня fc.
Получившуюся поверхность с краем мы и обозначим через Р (Тс). Каждая окружность, являющаяся компонентой края поверхности Р^ТсЗ, принадлежит либо нижнему (отрицательному) семейству, либо верхнему (положительному) семейству.
Ясно, что граф Кс однозначно (с точностью до гомеоморфизма поверхности) вложен в поверхность Р(ГС).
Построим поверхность Р(Тс) в неориентируемом случае. Схема рассуждений в основном сохраняется. Поэтому обратим внимание читателя лишь на отличия, обусловленные неориентируемостью некоторых сепаратрисных диаграмм критических окружностей. Пусть, для простоты, на fc лежит ровно одна критическая окружность с неориентируемой диаграммой. Тогда критическая поверхность уров
не. 235не. 235Рис. 236Рис. 236
не. 235
не. 235
Рис. 236
Рис. 236
ня (с имеет вид, показанный на рис. 237. Следовательно, каждый овал а, лежащий на торе, на котором есть окружность-цикл 7', являющийся основанием листа Мёбиуса, должен быть удвоен. Следовательно, любая другая критическая окружность с ориентируемой сепаратрисной диаграммой, лежащая на fc, встречает два цикла а в двух точках. Это заставляет нас удваивать циклы а и на тех торах, которые касаются друг друга вдоль окружностей с ориентируемыми диаграммами, но входят в состав fc, содержащего окружность с неориентируемой диаграммой. Можно показать (подробный анализ мы здесь опускаем ввиду недостатка места), что количество окружностей с неориентируемыми диаграммами не влияет на процесс удвоения. Другими словами, удвоение не зависит от числа критических окружностей с неориентируемыми диаграммами (лишь бы это число было отлично от нуля).
В результате мы получаем граф Кс (каждая вершина которого по-прежнему имеет кратность 4, т.е. в нее входит ровно 4 отрезка ребер), вложенный в fc. Окружая каждую его вершину (т.е. критическую точку) координатным крестом и дополняя их связующими лентами, мы получаем поверхность Р(ГС). Ее граничные окружности по-прежнему разбиваются на два семейства: нижние и верхние. Но в отличие от ориентируемого случая теперь каждая граничная окружность встречается в двух экземплярах. Это означает, что каждое ребро графа Г, подходящее снизу к fc, определяет на Р (Тс3 ровно две нижние граничные окружности. То же самое верно и для ребер графа Г, подходящих сверху к fc. Из построения поверхности Р(ГС) видно, что на ней корректно определено гладкое действие группы Z2 (инволюция а). При этом о(х) = х в том и только в том случае, когда точка х принадлежит критической окружности с неориентируемой сепаратрисной диаграммой. Обозначим такие точки через Xixm, а соответствующие им окружности через $!,..., Sm. Рассмотрим факторпространство Р(ГС) = P(7’c)/Z2. Ясно, что Рс = Р(ТС^ является двумерным многообразием с краем. Теперь каждая его граничная окружность отвечает ровно одному тору Лиувилля (верхнему или нижнему). Легко видеть, что точки xY,..., хт являются внутренними точками на поверхности Р(ТС). Отметим их звездочками. В частном случае, когда fc имеет вид, показанный на рис. 237 (т.е. m = 1), поверхность Р(ГС) является двумерным цилиндром с одной звездочкой (рис. 238).
Рис. 237Рис. 237Теперь мы можем построить всю поверхность P^Q, f). Возьмем поверхность Р (Л), уже построенную ранее, и возьмем все поверхности вида Р (Гс). Из нашей конструкции ясно, что существует взаимно однозначное соответствие между граничными окружностями поверхности Р(А") и граничными окружностями объединения (несвязного) поверхностей Р(ТС"). Отождествим эти соответствующие окруж-
Рис. 237
Рис. 237
Рис. 238
ности при помощи некоторых гомеоморфизмов. Их выбор произволен, так как замена склеивающих гомеоморфизмов другими индуцирует лишь гомеоморфизм поверхности на себя. В результате получим некоторую замкнутую двумерную поверхность (ориентируемую или неориентируемую), которую и обозначим через Р (б). Отметим, что на ней однозначно (с точностью до гомеоморфизма поверхности) расположен некоторый граф, который мы обозначим через K^QY Определим его так. Рассмотрим окружности, рассекающие пополам цилиндры, входящие в состав поверхности 51 X Int А. Можно считать, что каждая из этих окружностей имеет вид S1 X р, где р — середина соответствующего ребра графа А. Теперь
определим граф К как несвязное объединение
всех графов Кс и окружностей вида S1 X р. Этот граф имеет лишь вершины кратности 4 (локально), отвечающие касаниям окружностей-овалов.
Построение поверхности P(Q, /) полностью завершено (рис. 239). Кроме того, мы построили некоторый граф K(Q, f) однозначно вложенный в поверхность P(Q, /). Теорема 4 (см. выше) утверждает, что поверхность Р и граф К не зависят от конкретного выбора второго интеграла /. Оказывается, имеется простая и замечательная связь между графом Г (Q) и графом К (Q).
Теорема 5 (А.Т. Фоменко). Граф Г совпадает с графом К*, где К* - граф, сопряженный графу К в поверхности Р.
Напомним определение сопряженного графа. Граф К разбивает поверхность Р на области. В каждой из них поставим точку, которую возьмем за вершину сопряженного графа. Затем соединим эти вершины ребрами, проходящими через середины ребер графа К. Полученный граф и называется графом, сопряженным к К. Так как граф К* очевидно однозначно (с точностью до гомеоморфизма поверхности) вкладывается в поверхность Р, то мы и получаем искомое вложе- нией(б) : Г (Q) ^P(QY
Тем самым построение тройки Г (Q), Р (Q), h (Q) полностью завершено. Отметим, что граф К разбивает поверхность Р на области, каждая из которых гомео- морфна либо диску, либо плоскому кольцу, либо ленте Мёбиуса; при этом Г = К*.
Поскольку с каждой замкнутой двумерной поверхностью можно связать ее род (целое число, которое можно определить как в ориентируемом, так и в неориентируемом случаях), то, как следует из теоремы 4, с каждой интегрируемой гамильтоновой системой связан некоторый целочисленный инвариант — род поверхности Р. Чем больше этот род, тем ’’сложнее” интегрируемая система. Из теоремы 4 следует также, что граф Г (Q), поверхность Р (Q) и вложение Л (Q) можно определить, не привлекая интеграл / (хотя нужно знать о факте его существования). Мы не будем здесь этого делать, поскольку читатель сможет при желании восстановить необходимые рассуждения, руководствуясь, в частности [34] и [35].
Прокомментируем утверждение о возможном изменении типа вершин ”тор” при гомеоморфизме графов Г и Г . Рассматривая окрестность какого-либо неособого тора Лиувилля и локально возводя интеграл / в квадрат, мы, очевидно, сохраняем его боттовость в окрестности данного тора. Но зато появляется новый критический тор. Ясно, что определена и обратная операция — извлечения корня. Все другие возможные функциональные операции, сохраняющие (локально) ботто-
вость интеграла, сводятся к этим, поскольку морсовская функция на одномерном многообразии может иметь лишь квадратичные особенности. С геометрической точки зрения операция возведения в квадрат сводится к перегибанию ребра графа и локального подъема точки перегиба вверх (или опускания вниз). Это приводит к появлению новой белой вершины с двумя исходящими (входящими) ребрами. Извлечение корня геометрически изображается как распрямление ребра (если это в принципе можно сделать) и исчезновение белой вершины.
Приведем теперь два примера. Классические уравнения движения твердого тяжелого тела имеют вид:■
Лсо +со X Асо = р X grad П, р=рХш,
где а X b — векторное произведение, П — потенциал. Интегралы имеют здесь следующий вид:
F = Р2 + Р3 + Уз = 1,
G = Л1со1р1 + А2ш2у2 + А3ш3р3 = g,'
Н = — (Ахшх + А2ш2 + А3а>з ) + П (р) = h.
Рис. 241Рис. 241Случай Ковалевской характеризуется тем, что Ах = А2 = 2Л3, П = —Pi. Тогда возникает еще один дополнительный независимый интеграл / = (шх — ш2 + р^2 + + (2coi<o2 + v2V• Рассмотрим четырехмерное симплектическое многообразие Л/4 = { F(w, р) = 1; С(ш, у) = ^ )■ Оно диффеоморфно касательному расслоению к сфере, т.е. 75 2. На этом многообразии задан гамильтониан Н (см. выше) и дополнительный интеграл f. Следовательно, можно применить изложенную выше теорию и вычислить топологический портрет интегрируемого случая Ковалевской. Это исследование было проведено А.А. Ошемковым и А.Т. Фоменко. В данном случае Ковалевской трехмерные связные компоненты неособых изознергетиче- ских поверхностей задаются уравнениями Q3 = { F = 1, G = g, Н = h} . Оказалось, что полный список всех графов Г (6), встречающихся в случае Ковалевской, состоит из шести графов. Этот набор графов см. на рис. 240.
Рис. 241
Рис. 241
Рис. 240
Случай Горячева—Чаплыгина. Он характеризуется тем, что Ах = А2 = 4Л3, П = —У1- Известно, что при G = 0 существует дополнительный интеграл / = = 2со3 (со2 + со2) + 2со1у3. Вычисления показывают, что здесь полный список графов Г (6) содержит два графа (рис. 241).
Можно обобщить решение Горячева—Чаплыгина на случай гиростата. В уравнениях движения и в интегралах G нН нужно заменить Аш на Аш + X. Тогда дополнительный интеграл будет иметь вид / = 2(со3 — X) (со2 + со3) + 2coiP3. При X = 0 мы получаем обычный случай Горячева—Чаплыгина. При X ^ 0 полный список графов Г (Q), встречающихся в этом интегрируемом случае, представлен на рис. 242. Здесь мы снова имеем шесть типов графов.
Вывод: полные топологические портреты трех перечисленных выше интегрируемых случаев не гомеоморфны. В частности, в случае Ковалевской графы, занумерованные цифрами 5 и 6, не гомеоморфны никакому графу из случая Горячева- Чаплыгина (гиростат). И наоборот, графы 5 и б случая гиростата не гомеоморфны никакому графу случая Ковалевской. Таким образом, топологические портреты действительно наглядно различают между собой три классических случая интегрируемости уравнений движения тяжелого твердого тела.
Осталось построить вложения графов Г (Q) в соответствующие замкнутые поверхности Р(6). Эта задача также решена А.А. Ошемковым и А.Т. Фоменко. В
11^ Y
725456
Рис, 242
качестве иллюстрации приведем результат для случая Ковалевской. Он показан на рис. 243. Видно, что здесь во всех шести случаях поверхность P(Q) гомеоморф- на двумерной сфере. На сфере сплошными дугами показаны графы Г (6), а пунктирными дугами - графы К (6). Отчетливо видно, что графы Г сопряжены графам К. На рис. 244 графы Г и К изображены на двумерной плоскости, получающейся выкалыванием точки из сферы 52. Возникают системы овалов, дальнейшее изучение которых можно и нужно проводить методами теории классификации алгебраических кривых. Хорошо известно, что в алгебраическом случае реализуется далеко не любая комбинация овалов.
Отметим, что построенные выше поверхности Р(О можно рассматривать (в целом) как базы расслоений Зейферта (детали мы здесь опускаем). Отметим также, что на рис. 243 графы Г изображены сплошными черными дугами, а графы К изображены пунктирными дугами. Наглядно иллюстрируется сформулированная выше теорема о том, что граф Г сопряжен графу К в поверхности Р2.
Теория, построенная в [34], [35], была затем развита в серии работ [36], [38], [39], [40]. Вкратце изложим те из этих результатов, которые наиболее тесно связаны с топологией многообразий и теорией гомотопий. Оказалось, что введенный А.Т. Фоменко класс многообразий (Н) = (Q) допускает еще два важных представления. Ранее, исходя из внутренних задач трехмерной топологии, Вальдхай- зен в [41] ввел класс (W) трехмерных многоообразий, таких, что в многообразии We (W) существует набор непересекающихся двумерных торов, выбросив которые, мы получим многообразие, каждая связная компонента которого расслаивается со слоем окружность над некоторым двумерным многообразием (возможно, с краем). Как доказали А.Т. Фоменко и X. Цишанг, классы (W) и (Q) совпадают, см. [47]. Недавно С.В. Матвеев и А.Б. Бурмистрова рассмотрели класс (S) трехмерных многообразий, на которых существует гладкая функция g, все критические точки которой организованы в невырожденные критические окружности (бот- товская функция), а все неособые поверхности уровня функции g являются объединениями двумерных торов. При этом функция g не обязана быть интегралом какой-либо гамильтоновой системы. Как доказал С.В. Матвеев (см. [39]), классы (S) и (Q) совпадают. Совпадение классов (Н) и (Q) было ранее доказано А.В. Бра-
иловым и Т.А. Фоменко. Собирая вместе все эти результаты, получаем следующую важную (и нетривиальную) теорему.
Теорема 3. Все четыре класса трехмерных многообразий, описанных выше, совпадают, т.е. (Н) = (Q) = (W) = (S).
Далеко не всякое трехмерное компактное замкнутое ориентируемое многообразие может выступать в роли поверхности постоянной энергии некоторой гамильтоновой системы, интегрируемой при помощи боттовского интеграла (см. [35]). Класс (Н) = (Q) = (W) = (S) является в некотором смысле ’’тощим” подмножеством в классе (М) всех трехмерных многообразий.
Итак, препятствием к интегрируемости гамильтоновой системы (в классе бот- товских интегралов) может служить топология рассматриваемой изоэнергетической поверхности. Подробности см. в [35].
В то же время, как доказал Г. Мамедов, из штанов и полноторий можно склеить трехмерное многообразие с любыми возможными (для трехмерных замкнутых ориентированных многообразий) группами целочисленных гомологий. Другими словами, опираясь на группы гомологий, можно (как показано в [35]) эффективно вычислять препятствия к интегрируемости, но нельзя (как показал Г. Мамедов) эффективно выделить класс изоэнергетических поверхностей среди всех трехмерных многообразий.
Утверждение о том, что класс (Н) является ’’тощим” подмножеством в (М), следует из теоремы Бальцхаузена [41] и из теоремы А.Т. Фоменко [35].
Возникает важный вопрос: насколько существенно в описанной выше теории, что интеграл / является боттовским? Хотя этот случай является типичным, однако встречаются ситуации, когда интеграл / боттовским не является. Изучение реальных механических систем показало, что встречающиеся не боттовские (но гладкие) интегралы относятся к классу функций, которые естественно назвать ’’ручными". Термин заимствован из топологии, где им обозначают объекты, локально устроенные ’’достаточно хорошо”, в отличие от патологических, "диких” пространств. Оказалось, что многие из перечисленных результатов остаются справедливыми и в том случае, когда гладкий интеграл является всего лишь ручным (но не обязан быть боттовским).
Определение. Гладкий интеграл / назовем ручным, если для любого критического значения с G R множество /-1(с) является ручным, т.е. существует гомеоморфизм всего многообразия Q на себя, сдвигающий это множество в полиэдр.
Обозначим через (Н*) класс трехмерных компактных замкнутых многообразий, являющихся изоэнергетическими поверхностями гамильтоновых систем, интегрируемых при помощи некоторого ручного интеграла. Так как каждый гладкий боттовский интеграл очевидно является ручным, то имеет место тривиальное включение (Н*) D (Н).
Предложение 5 (С.В. Матвеев, А.Т. Фоменко). Классы (Н*) и (Н) совпадают.
Укажем теперь на еще один класс (R) трехмерных многообразий, активно изучающийся сегодня. Круглой функцией Морса называется боттовская функция на многообразии, все критические подмногообразия которой являются окружностями. Мы скажем, что многообразие принадлежит классу (R), если оно допускает круглую функцию Морса. Подчеркнем, что здесь, в отличие от многообразий класса (5), не требуется, чтобы неособые поверхности уровня функции были торами. Круглые функции Морса тесно связаны с разложением многообразия в сумму так называемых круглых ручек (см. [42]-[46]). Мийоши (см. [43]) доказал, что многообразие Мп (произвольной размерности и) разлагается в сумму круглых ручек тогда и только тогда, когда Af” допускает круглую функ-
16. А.Т. Фоменко
цию Морса. Азимов в [45] доказал, что многообразие Мп размерности и > 4 разлагается в сумму круглых ручек в том и только в том случае, когда эйлерова характеристика Х(Ю многообразия равна нулю. Однако для трехмерных многообразий (т.е. для случая, который здесь нам особенно интересен) картина оказалась существенно сложнее.
Ясно что (R) D (Н), т.е. любая изоэнергетическая поверхность интегрируемой гамильтоновой системы допускает круглую функцию. Это сразу следует из теоремы 3, поскольку (Н) = (S), а класс (S) как раз и состоит из многообразий с круглыми функциями (у которых, кроме того, все неособые поверхности уровня являются торами). Оказывается,класс (R) строго больше класса (Н). Это означает, что существуют многообразия, допускающие круглые функции Морса, но при этом не реализующиеся как изоэнергетические поверхности интегрируемых систем. Различие между классами (R) и (Н) обусловлено их различным поведением по отношению к операции взятия связной суммы # двух многообразий. Согласно работе Моргана [44], если М — произвольное трехмерное многообразие (мы не будем оговаривать каждый раз, что рассматриваются компактные замкнутые ориентируемые многообразия), то рассматривая его связную сумму с достаточно большим числом экземпляров многообразия S1 X S2, мы в конце концов обязательно попадем в класс (R). Другими словами при достаточно большом т мы будем иметь: М # (#7=i 51 X S2) 6 (R).
С другой стороны, изучая свойства класса (Н) = (S), С.В. Матвеев доказал следующее важное свойство класса (Н). А именно, если М G (Н) и М = Мt # М2, то многообразия Мх и М2 также обязательно принадлежат классу (Н). Усиление этого результата (распространение его на многообразия, снабженные боттовским интегралом, т.е. на пары вида (Л/, /))' было получено А.Т, Фоменко и Х.Цишангом в [47]. Отсюда сразу следует, что класс (R) строго больше класса (Н). В самом деле, достаточно взять многообразие Мй, не принадлежащее классу (Н) (такие, как мы знаем, существуют). Беря его связную сумму с достаточно большим числом экземпляров многообразия S1 X S2, мы в конце концов попадаем в класс (R). Однако полученное при этом многообразие не лежит в классе (Н), так как в противном случае исходное многообразие Мо также должно было бы лежать в (Н),что противоречит выборуМо.
Рассмотрим теперь класс неприводимых многообразий, т.е. не представимых в виде связной суммы Мх # М2, где Мх и М2 отличны от сферы 53. Рассмотрим пересечение (R)o этого класса с классом (R). Другими словами, многообразие М принадлежит классу (R)o в том и только в том случае, когда оно неприводимо и допускает круглую функцию Морса. Рассмотрим также класс (Н)о, состоящий из неприводимых многообразий класса (Н).
Предложениеб (А.Т. Фоменко, X. Цишанг). Классы (Н) 0 и (R)o совпадают. Следовательно, имеется тождество: (Н)о = (Q)o = (W)o = (S)o = (R)o-
§ 52. КОГОМОЛОГИИ И СЛОЕНИЯ
В большей части этого параграфа мы предполагаем, что читатель знаком с когомологической теорией дифференциальных форм, включая теорему де Рама (см. литературные указания в п. 2 § 42).
Слоения.
Определение слоения. ПустьX— гладкое л-мерное многообразие без края, и пусть 0 < р < п. Говорят, что на X задано (гладкое) слоение размерности р, если Xнаделено разбиениемна (линейно) связные подмножества Fa, обладающие следующим свойством: в окрестности произвольной точки многообразия X найдется
система локальных координат Xj,,хп, принадлежащая выбранной гладкой структуре многообразия X и такая, что связные компоненты пересечений множеств Еа с областью определения этой системы координат задаются уравнениями вида хр+1 = const,..., хп = const. Множества Fa называются слоями слоения, само X называется его тотальным многообразием. Числа р и и — р называются размерностью и коразмерностью слоения; размерность и коразмерность слоения ^обозначаются через dim^H codim £
Слоения на многообразиях с краем будут иногда у нас встречаться, но будут играть чисто техническую роль. При этом каждая компонента края либо будет слоем (это возможно при codim У = 1), либо будет трансверсальна слоям.
Слои слоения целесообразно наделять не индуцированной топологией, а топологией, базу которой составляют компоненты пересечения слоя с открытыми подмножествами тотального многообразия. По отношению к этой топологии слой является р-мерным многообразием. Он обладает и естественной гладкостью, делающей его включение в тотальное многообразие (взаимно однозначным) погружением. Например, слои обмотки тора с иррациональным наклоном (см. ниже) диффеоморф- ны прямым.
Примеры слоений. Тривиальные примеры слоений доставляют гладкие расслоения: если X — тотальное многообразие гладкого расслоения с (и — р)-мерной базой (и = dim АГ), то разбиение многообразия X на слои расслоения естьр-мерное слоение. Следующий по сложности пример — обмотка тора, т.е. разбиение тора R2/Z2 на образы прямых у = Хх + с с фиксированным X. Если X рационально, то это слоение относится к предыдущему классу, в случае же иррационального X каждый слой плотен в торе. Последний пример иллюстрирует различие между слоениями и расслоениями, слоения не имеют базы. (Конечно, всегда можно образовать фактор- пространство тотального многообразия по разбиению на слои, но, как показывает последний пример, результат может оказаться неудовлетворительным.)
Следующий важный для дальнейшего пример обобщает обмотку тора. Пусть G — группа Ли, Н - ее связная подгруппа, Г - ее дискретная подгруппа. Правые смежные классы группы Н составляют в G слоение, инвариантное относительно левых сдвигов, производимых элементами группы G, в частности, элементами группы Г. Благодаря последнему, в G/Г возникает слоение, коразмерность которого равна коразмерности группы Н в G; мы обозначаем его через S^G, Н, Г). Это слоение превращается в обмотку тора, если G = R2, Н= R, Г =Z2. В общем случае это слоение является вещественно-аналитическим; его слоидиффеоморфныфакторпростран- ствамЯ/(ЯП^~ 1 Pg) cgGG.
Пожалуй, этот пример не очень типичен для классической теории слоений. Запас примеров, которым располагает эта теория, состоит, в основном, из слоений коразмерности 1, построенных в разное время с целью доказать существование слоения коразмерности 1 на том или ином многообразии. Сама проблема существования слоений коразмерности 1 в настоящее время полностью решена: на ^связном) открытом многообразии такое слоение всегда существует, а в случае замкнутого многообразия равенство нулю эйлеровой характер!стики этого многообразия, очевидно, необходимое для существования слоения коразмерности 1, является для него и достаточным. Последний факт доказан Тэрстоном [46]. Однако доказательство Тэрстона трудно назвать геометрически наглядным, так что классические конструкции слоений не утратили своего значения. Наиболее известной среди них является конструкция слоения коразмерности 1 на 53, принадлежащая Ребу [48]. Слоение Реба строится следующим образом. Рассмотрим сначала слоение в цилиндре {(х, у, z) € R3 |х2 + у2 <1 }, слоями которого служат край цилиндра
хг + j2 = 1 и поверхности z = ехр(1 - х2 - у2) "1 + с. Обычная проекция цилиндра на полноторий 51 X Z)2 наделяет последний слоением коразмерности 1. Это слоение в S1 X 1г называется ребовской компонентой-, его осевое сечение изображено на рис. 245. Слоение в сфере S3 получается при обычном склеивании этой сферы из двух полното риев.
Заметим, что у слоения Реба в S3 все слои, кроме одного, диффеоморфны плоскости, а один диффеоморфен тору. В связи с этим уместно упомянуть теорему Новикова [49] (ее доказательство изложено также в книге [50]), согласно которой всякое двумерное слоение на трехмерном многообразии с нестягиваемой универсальной накрывающей имеет замкнутый слой, причем если слоение не является ни в каком открытом подмножестве тотального многообразия гладким расслоением с компактным слоем, то один из замкнутых слоев обязательно является тором, ограничивающим ребовскую компоненту.
Упражнение 1. Построить слоение на замкнутом ортентируемом трехмерном многообразии, имеющее конечное число замкнутых слоев и такое, что один из этих слоев есть наперед заданная (ориентируемая или неориентируемая) замкнутая двумерная поверхность.
Заметим еще, что слоение Реба является гладким, но не аналитическим. Этот дефект представляется непоправимым из-за односторонней голономии. Под этим понимается следующее. Если у тора, являющегося слоем нашего слоения, взять меридиан и составить из коротеньких нормалей к слою в точках этого меридиана кольцо S1 X R, то слоение будет высекать на этом кольце с одной стороны от тора семейство концентрических окружностей, а с другой — семейство спиралей (см. рис. 246), что в аналитической ситуации, конечно, невозможно. Вообще имеется теорема Хефлигера, согласно которой на замкнутых односвязных многообразиях не бывает аналитических слоений коразмерности 1 (см. [51], а также [49]).
Наряду с конструкцией Реба имеются явные конструкции слоений коразмерности 1 на целом ряде других многообразий, в том числе на всех нечетномерных сферах. Отсылая читателя за подробностями к обзорной статье Лоусона [52], мы приведем поучительную конструкцию слоения коразмерности 1 на 5s, принадлежащую тому же Лоусону [53].
Рис. 245Рис. 245Конструкция основывается на таком наблюдении: если компактное многообразие X, вообще говоря, имеющее край, гладко расслаивается над окружностью, то X обладает слоением коразмерности 1, у которого край является слоем. Для дока-
Рис. 245
Рис. 245
Рис. 246
эательства достаточно построить гладкую функцию X -* R+, равную 0 на дХ, положительную в Int X и не имеющую критических значений, меньших 1. Эта функция составляет с проекцией X-»Sx гладкое отображение X -► S1 X R+, трансверсальное слоению, изображенному на рис. 247 [в S1 X X (1, ”) слои этого слоения совпадают с прямыми t X (1, оо) ]. Индуцированное в X слоение и будет требуемым. (Слои построенного слоения в X будут в достаточном отдалении от края совпадать со слоями расслоения X -* S1, а при приближении к краю будет накручиваться на край; такую структуру имеет и ребовская компонента.)
Очевидно, эта конструкция позволяет построить слоение коразмерности 1 иа прои-
Рис. 247Рис. 247звольном замкнутом многообразии, которое разрезается подмногообразием коразмерности 1 на два куска, каждый из которых расслаивается над окружностью. А сфера S5 так разрезается: разрез производится поверхностью | z® + z3 + z| | = е, где е достаточно мало (мы считаем, что Ss С С3). Часть | z, + zX + z3 | > е расслаивается над S1 посредством проекции (zn z2, z3) ^arg(z3 + zX +zl) (это — так называемое расслоение Милнора), часть |z3 + z2 + z| | <е расслаивается над неособой кубической кривой в СР2, которая диффеоморфна тору S1 XS1.
Рис. 247
Рис. 247
Упражнение 2. Сформулируйте условия для того, чтобы замкнутое гладкое многообразие разрезалось подмногообразием коразмерности 1 на два куска, гладко расслаивающиеся над окружностью. В частности, разрезается ли таким образом S’? (Это - нерешеннаяпроблема!).
Касательное и нормальное расслоения. Касательное расслоение тотального многообразия слоения обладает подрасслоением,которое естественно считать касательным расслоением слоения: его составляют векторы, касающиеся слоев. Соответствующее факторрасслоение называется нормальным расслоением слоения; его размерность равна коразмерности слоения. Обозначения для касательного и нормального расслоения слоения ^: т (У) и v (#).
Слоение называется ориентированным, если ориентировано его нормальное расслоение. Подчеркнем, что ни слои, ни тотальное многообразие ориентированного слоения не обязаны даже быть ориентируемыми. Слоение называется оснащенным, если его нормальное расслоение тривиально и наделено определенной тривиализа- цией (т.е. если на тотальном многообразии задано codim ^-реперное поле, трансверсальное к слоению).
Упражнение 3. Все слоения, рассматривавшиеся в п. В, являются ориентируемыми (за исключением некоторых из слоений, которые читатель должен был построить, решая упражнение 1).
Слоение S\G, Н, Г) обладает естественным оснащением: слои нормального расслоения этого слоения канонически изоморфны пространству g[h, где g, h — алгебры Ли, соответствующие группам G, Н, и слоение делается оснащенным, если в g/h фиксировать базис.
Гладкое отображение / гладкого многообразия У без края в тотальное многообразие X слоения У называется трансверсальным к У, если / трансверсально регулярно по отношению к каждому слою слоения £(см. п. 1 § 43). Конечно, это
возможно, только если dim Y > codim £ Если / трансверсально ^ то компоненты прообразов слоев слоения $ составляют слоение многообразия Y. Последнее называется индуцированным ? посредством / и обозначается через f*? Ясно, что codim У*^ codim ?wv(f*?) =f*v^^.
Важный пример: замкнутые трансверсали к слоям коразмерности 1. Речь идет о гладких замкнутых кривых в тотальном многообразии, включение которых в тотальное многообразие трансверсально слоению.
Упражнение 4. Покажите, что если L — некомпактный слой слоения коразмерности 1 на замкнутом многообразии и х € L — произвольная точка, то существует замкнутая трансверсаль, пересекающая L в точке х и только в этой точке.
Отношения эквивалентности. Мы рассматриваем четыре отношения эквивалентности между слоениями: диффеоморфность, гомотопность, конкордантность и кобор- дантность.
Диффеоморфность слоений определяется очевидным образом.
Упражнение 5. Какие обмотки тора (см. п. В) диффеоморфны?
Гомотопия слоения ?- это семейство { ^f | 0 <f < 1 } слоений одной размерности на одном многообразии X, такое, что ^0 = ^ и что для любой точки х^Х пространство, касательное к слою слоения ?t в точке х, непрерывно зависит от t. Если { ^ } — гомотопия, то слоения ^0 и ?х называются гомотопными. Например, все обмотки тора гомотопны. (Это показывает,, ввиду упражнения 5, что гомотопные слоения могут быть недиффеоморфны.)
Слоения ^0 и ?х одной размерности на многообразии X называются конкор- дантными, если существует слоение #^той же коразмерности) в X X R, такое, что вложения f0, ix: X -* X X R, z\(x) = (х, X), трансверсальны ^и i* ?= ?0, i* ?= = 5-
Упражнения 6. Покажите, что разные обмотки тора конкордантны. (Замечание: хотя разные обмотки тора, таким образом, и гомотопны, и конкордантны.
читатель, проделав это утверждение, увидит различие между гомотопностью и кон- корданностью; примеры гомотопных, но не конкордантных слоений появятся в п. 2.)
7. Покажите, что слоение тора, изображенное на рис. 248, конкордантно, но не гомотопно обмотке (скажем, составленной из параллелей).
Слоения ?0 и ^i одной размерности на замкнутых многообразиях Хо и Хх одной размерности называются кобордантными, если существует компактное многообразие X со слоением ? такое, что (i) дХ = X» U Хх; (И) слоение ? трансверсально к краю ЗУ и индуцирует на Хо и Хх слоения ^ и ?х. Разумеется, конкордантные слоения на замкнутом многообразии кобордантны. Обратное неверно, но мы не
сможем привести пример. Понятия диффеоморфности, конкордантности и кобордантности слоений имеют очевидные ориентированные и оснащенные варианты.
Е. Определяющая система форм. Пусть ? - слоение коразмерности q на многообразии X. Определяющая система форм слоения ? в открытом множестве U С X — это набор о?!<oq гладких 1-форм, заданных в U и обладающих следующими свойствами: (i) формы а>1<Oq линейно независимы в каждой точке множества U; (ii) сужение каждой из этих форм на любую компоненту пересечения любого слоя с U тривиально. Очевидно, для задания слоения достаточно задать определяющие системы форм в от-
крытых множествах, составляющих покрытие тотального многообразия. Ясно, также, что если {Ш1,. .. , шд) , { ш'ь ..., w^} — определяющие системы форм в U, U1, то (в U Л и') ы, = Xpp(jtoj, где vptj — такие гладкие функции, что det || ц>1} || не обращается в U Л U' в нуль.
Если U = Х,^о мы имеем дело с глобальной определяющей системой форм. Очевидно, для существования глобальной определяющей системы форм необходимо и достаточно, чтобы было тривиально нормальное расслоение к слоению, и задание глобальной определяющей системы форм приводит к выбору определенного гомотопического класса оснащения этого слоения.
Подчеркнем, что система шХ)..., wq гладких 1-форм, заданных в открытом множестве U С X, может не быть определяющей системой форм ни для какого слоения коразмерности q, даже если она удовлетворяет условию (1): требуется еще, чтобы был выполнен ’’критерий интегрируемости”. Последний формулируется • так: при каждом / дифференциал dw{ должен представляться в виде S/ty а щу, где T)j — некоторые гладкие 1-формы; равносильная (если выполняется (1)) формулировка: со! а ... а Шд a duit = 0 при / = 1,..., <7. Что этот критерий выполняется для любой определяющей системы форм, совсем очевидно: можно считать, что система задана в пределах зоны действия локальной системы координат, описанной в определении слоения, а в таких локальных координатах всякая определяющая система форм имеет вид T,jfijdxp*j^i = 1,..., <7) с det \\ ftj || # 0. Обратное утверждение, доказательство которого чуть более длинно, представляет собой хороню известную теорему анализа.
Упражнение 8. Докажите эту теорему анализа. Для удобства читателя приведем ее формулировку в традиционных аналитических терминах. Пусть wlt... ...,Wg-система гладких 1-форм, определенных в окрестности точки 0 G R” и линейно независимых в этой точке. Если шх к ... к wq к dwj = 0 при / = 1,..., <7, то существуют гладкие функции Гц, gt (z, j = 1,.... <7), такие, что det || Гц || # # 0 и со, = T-fijdgj. (Доказательство имеется в некоторых учебниках анализа, на- п ри мер, в [54].)
Класс Годбийона—Вея.
Определение. Нижеследующая конструкция относит произвольному ориентируемому слоению ^ коразмерности 1 трехмерный вещественный когомологический класс его тотального многообразия, называемый, по имени своих авторов, классом Годбийона—Вея слоения ^(см. [55]). Поскольку слоение ^ ориентируемо, оно может быть глобально задано 1-формой со, не обращающейся в 0, и эта форма определяется слоением с точностью до умножения на необращающуюся в 0 функцию. Форма со удовлетворяет условию интегрируемости, которое равносильно существованию 1-формыq ст?асо =dw.
Упражнения. 9. Форма qbdq замкнута.
Когомологический класс этой формы не зависит от произвола в выборе форм со и т), а определяется слоением £
Когомологический класс формы q a dq называется классом Годбийона—Вея слоения ^и обозначается через gv(#).
Упражнение 11. Распространите конструкцию класса Годбийона—Вея на случай неориентируемых слоений.
Замечания. 1 °. Если /: У -> X — гладкое отображение, трансверсальное слоению $ (коразмерности 1) на X, то gv (/ *У) = / *gv (У). Из этого очевидного наблюдения вытекает, что у конкордатных слоений классы Годбийона—Вея одинаковы. Гомотопическим инвариантом класс Годбийона—Вея, как мы увидим ниже, не является.
2°. Наряду с классом Годбийона-Вея можно определить число Годбийона-Вея. Последнее возникает, если слоение коразмерности 1 задано на трехмерном замкнутом ориентированном многообразии, и равно значению класса Годбийона—Вея на фундаментальном гомологическом классе. Очевидно, числа Годбийона—Вея у ориентированно кобордантных слоений одинаковы.
Нетривиальность. Пусть М — некоторое «-мерное риманово многообразие отрицательной кривизны, Xj, х2 € М — точки, uH и2 — единичные касательные векторы в точках хХ1х2 и у,: R+ ->Л/, у 2: R+ -*М — геодезические, определяемые векторами и2, и2 и отнесенные к натуральному параметру. Векторы vi и и2 называют- ся параллельными, если существует предел lim p(Ti(O> Тг(О)> и называются f -> ОО
строго параллельными, если этот предел равен 0. Легко понять, что векторы и! ии2 параллельны тогда и только тогда, когда векторы скорости в некоторых точках геодезических у, и у2 строго параллельны (см. рис. 249, на котором векторы Uj и и2 параллельны, а векторы Wj hw2 строго параллельны).
Обозначим через N многообразие единичных касательных векторов многообразия М (таким образом, dim N = 2п — 1). Назовем орициклами (чистыми орициклами) многообразия М подмногообразия многообразия N, составленные из всех векторов, параллельных (строго параллельных) одному вектору и G N. Очевидно, орициклы имеют размерность п, а чистые орициклы — размерность п — 1.
Упражнение 12. Если кривизна многообразия М постоянна, то орициклы и чистые орициклы составляют слоения многообразия N. (Условие постоянства кривизны, кажущееся на первый взгляд излишним, необходимо для того, чтобы слоения были гладкими.)
Напомним, что замкнутая ориентированная поверхность М произвольного рода g > 2 обладает метрикой постоянной отрицательной кривизны, поскольку она получается из плоскости Лобачевского факторизацией по дискретной группе изометрий Д а тг, (М), действующей без неподвижных точек (подробности см. в ’’Современной геометрии” Дубровина, Новикова и Фоменко, ч. И, гл. 4, § 20).
ю/ю/
ю/
ю/
Соответствующее орициклическое слоение представляет собой двумерное слоение на замкнутом трехмерном многообразии N — многообразии единичных касательных векторов поверхности М.
Теорема. У этого слоения класс Годбийона-Вея нетривиален.
Доказательство. Положим G = SL(2, R). Обозначим через Н подгруппу
группы G, составленную из матриц видагруппы G, составленную из матриц видаa b II
группы G, составленную из матриц вида
группы G, составленную из матриц вида
с а > 0 и через Г — прообраз 0 а'1 II
группы Д а л, (М) (см. выше) в группе SL(2,R) при проекции
SL(2, R)SL(2, R)SL(2,R)/{ + 1}SL(2,R)/{ + 1}группа движений плоскости Лобачевского
SL(2, R)
SL(2, R)
SL(2,R)/{ + 1}
SL(2,R)/{ + 1}
Тогда наше слоение есть ^(G, Н, Г) (в частности, N есть G/Г). (Доказательство этого факта мы оставляем читателю в качестве упражнения; те, кто с этим упражнением не справятся, не должны особенно сокрушаться: наша цель заключается в том, чтобы построить слоение с нетривиальным классом Годбийона—Вея, и не так уж важно, будет ли это орициклическое слоение или слоение ^(G, Я, Г).) '
Касательное пространство si (2, R) к группе SL(2, R) в точке Е (единичная матрица) отождествляется с пространством матриц, имеющих нулевой след: элемент группы 5Z(2, R), отстоящий от Е на расстояние ~е, имеет вид
/ а Ъ\
Е + е () + о (е).
\c-aj
Рассмотрим линейные функционалы sZ(2, R) -*R, действующие по формулам
а Ъ с -аа Ъ с -а** с.** с.а bс -аа bс -а** а.** а.а b с -аа b с -аЬ,Ь,
а Ъ с -а
а Ъ с -а
** с.
** с.
а b
с -а
а b
с -а
** а.
** а.
а b с -а
а b с -а
Ь,
Ь,
и превратим их в 1-формы на SL(2, R), перенося точку Е в другие точки группы SZ(2, R) посредством правых сдвигов. Обозначим эти 1-формы через СО — । , COq , COj •
Упражнения. 13. Покажите, что си _ , л си0 л с^ - форма объема в 5Z(2, R).
Докажите, что d<o_ j = 2сс_ i л cu0, dw0 = cc_ , л coj, d<ox = 2ссол Ы] [ Указание. Докажите следующее правило для вычисления дифференциалов правоинвариантных 1-форм: если си — такая форма и Vi, и2 — касательные векторы в точке Е, то dw^Vi,!)!^ = co([vi, и2]), где квадратные скобки обозначают коммутатор: [Л, S] = =АВ-ВАД ! ,
Формы со-!, Шо. Ш1 получаются поднятием из некоторых форм со'-!, соо. Wj, определенных на G/Г, и ясно, что форма со’-, интегрируема (перечисленные выше соотношения между формами со и их дифференциалами сохраняются при переходе к формам со') и определяет в G/Г как раз слоение ^(G, Н, Г). Поскольку dw_x = = — 2cooAcoLi, класс Годбийона—Вея представляется формой —2со{>л</(—2coq) = = — 4со'_ , л соо л со{, которая не является точной, потому что со'_ , л сод л со^ — форма объема.
Геометрический смысл класса Годбийона—Вея по сей день остается загадочным. Имеется целый ряд теорем, показывающих, что слоение с нетривиальным классом Годбийона—Вея является достаточно запутанным.
Упражнение 15. Покажите, что у слоения Реба на S3 (см. п. В) класс Годбийона—Вея равен 0. [Указание. Подберите для слоения Реба определяющую форму со, такую, что dw = т? леи и форма т? в каждом из двух полноториев, составляющих S3, зависит от двух переменных, т.е. индуцируется некоторой 1-формой на двумерном многообразии при проекции на него полнотория. В этой ситуации, очевидно, т? л dq = 0.]
Как показали Мицутани, Морита и Цубой [56], тривиальность класса Годбийона—Вея у слоения Реба предопределяется характером его голономии. Упоминание о голоиомии проскользнуло выше в этом параграфе, теперь мы дадим ей точное определение. Пусть $ - гладкий путь на слое L слоения^ коразмерности q. Построим вдоль этого пути семейство трансверсальных шариков; они составят цилиндр Ф XI. Слои слоения будут высекать на этом цилиндре линии, и эти линии определят диффеоморфизм окрестности центра одного основания в окрестность центра другого основания. Этот диффеоморфизм не меняется при гомотопии пути (с закрепленными концами). Рассматривая же замкнутые пути, мы получим представ-
ление фундаментальной группы слоя L в группе локальных диффеоморфизмов (JDP, 0) •-* (О9, 0). Это и есть голономия. (См. рис. 250.)
Если всякому элементу фундаментальной группы слоя отвечает тождественный диффеоморфизм, то говорят, что этот слой не имеет голономии. Если ни один слой слоения у не имеет голономии, то говорят, что слоение $ не имеет голономии. Если голономию могут иметь только компактные слои слоения ^ то говорят, что ^ почти не имеет голономии. Например, слоение Реба почти не имеет голономии.
Теорема (Мицутани, Морита, Цубой). Если слоение коразмерности 1 почти не имеет голономии, то его класс Годбийона-Вея равен 0.
Дальнейшее обобщение этой теоремы принадлежит Думини. Назовем слой слоения коразмерности 1 пружинным, если он бесконечно наматывается сам на себя (рис. 251).
Теорема (Думини — для замкнутых многообразий, Кантвелл и Конлон - в общем случае). Если слоение коразмерности 1 не имеет пружинных слоев, то его класс Годбийона-Вея равен 0.
Одним из следствий теоремы Думини является следующий факт, связывающий класс Годбийона—Вея с характером роста слоев. Пусть У— слоение на замкнутом многообразии X. Введем в X произвольную риманову метрику, выберем слой L и точку х G L и для г > Ообозначим через и (г) объем шара радиуса г с центром х на L (в индуцированной метрике). Говорят, что £ имеет экспоненциальный, субэкспоненциальный, полиномиальный и т.д. рост, если такой рост имеет функция и (г).
Упражнение 16. Покажите, что это определение корректно, т.е. что характер роста слоя ие зависит от выбора римановой метрики и точки х.
Теорема (Думини). Если класс Годбийона-Вея слоения коразмерности 1 на замкнутом многообразии отличен от 0, то это слоение обладает слоем экспоненциального роста.
Упражнение 17. Выше мы показали, что класс Годбийона—Вея орицикли- ческого слоения замкнутой поверхности постоянной отрицательной кривизны имеет ненулевой класс Годбийона—Вея. Значит, в силу результатов Думини, это слоение должно иметь пружинные слои и слои экспоненциального роста. Найдите такие слои.
Рис. 250Рис. 250Варьируемость. Ниже излагается конструкция Тэрстона [57] гладкого семейства слоений на S3, число Годбийона—Вея которых изменяется с изменением пара-
Рис. 250
Рис. 250
Рис. 251
метра. Это показьшает, что слоения этого семейства попарно не диффеоморфны и даже попарно не конкордантны, и даже попарно не кобордантны.
Пусть т > 3. Возьмем на плоскости Лобачевского L произвольный т-угольник Q и симметричный ему относительно какой-нибудь прямой m-угольник Q*. Выбросим из Q и Q* вершины и обозначим через R, R* прообразы остающихся частей при проекции N -»L, где N — многообразие единичных касательных векторов к L. Выше
Рис. 252
(в п. В) мы построили в N орициклическое слоение. Это слоение высекает некоторые слоения коразмерности 1 в R и R*. Теперь заметим, что орициклическое слоение инвариантно относительно движений плоскости Лобачевского. СклеимR с R\ отождествив компоненту края многообразия R, отвечающую стороне АВ многоугольника Q, с компонентой края многообразия R*, отвечающую симметричной стороне А*В* многоугольника Q* (А* симметрично А и В* симметрично 5), по диффеоморфизму, определяемому движением плоскости Лобачевского, совмещающим А с А* и В с В*. Многообразие R U R*естественно сглаживается, и слоения в R и R* составляют слоение коразмерности 1 на склееном многообразии. Последнее представляет собой произведение сферы с т проколами на окружность. Отождествим это многообразие с внутренней частью произведения сферы с т дырами на окружность. Последнее есть компактное многообразие с краем, который представляет собой объединение т торов. При естественном продолжении слоения на край мы получим на каждом их этих торов обмотку.
Упражнение 18. Убедитесь в справедливости последнего высказывания и найдите углы наклона этих обмоток (выразите их через углы многоугольника Q). ■
Имеется стандартная процедура, позволяющая продолжить обмотку тора до слоения в полнотории, трансверсального краю. Это слоение в полнотории состоит из двух частей. Для построения первой мы возьмем слоение в плоском слое R2 X X 7, слои которого трансверсально подходят к плоскости R2 X 0, высекая на ней семейство параллельных прямых, и асимптотически приближаются к плоскости R2 X 1 (рис. 252). Профакторизуем R2 X 7 по группе Z ® Z параллельных переносов, действующих в направлении R2. Получится торический слой (тор) X 7, со слоением, у которого одна из компонент края является слоем, а на другой компоненте края высекается обмотка с наперед заданным углом наклона. К этому то- рическому слою мы присоединяем полногорий с ребовской компонентой (разумеется, со стороны компоненты края, являющейся слоем). Все вместе дает слоение в полнотории, продолжающее обмотку тора.
Теперь заклеим торы, составляющие край построенного выше многообразия со слоением, полноториями таким образом, чтобы получилась сфера S3, и продол-
жим слоение на эти полнотории указанным образом. Получится слоение в S3, которое мы обозначим через ^.
TeopeMa:(gv( ^), [S3 ] > = 4тгагеа Q.
Доказательство. Выше (в п. В) мы уже строили для орициклического слоения в N формы со, т?(со определяет слоение и с!ш = 77 л со). При этом оказалось, что форма Годбийона—Вея цкс1я есть стандартная форма объема в N. Значит,
J T^dT) = toI(RUR') = к и R *J T^dT) = toI(RUR') = к и R *длина единичнойокружностиплощадьQUQ*длина единичнойокружностиплощадьQUQ*
J T^dT) = toI(RUR') = к и R *
J T^dT) = toI(RUR') = к и R *
длина единичной
окружности
площадь
QUQ*
длина единичной
окружности
площадь
QUQ*
= 2я • 2 area Q = 4тгагеа Q.
Далее, легко убедиться в том (детали мы оставляем читателю), что формы со, т? с указанными свойствами можно продолжить на вклеенные полнотории таким образом, что форма г; будет зависеть в действительности от двух переменных (ср. указание к упражнению 16), вследствие чего в полноториях будет т? л di) = 0. Значит, и
J т? л di] = 4irarea Q.
s3
Из доказанной теоремы видно, что, варьируя многоугольник Q, мы получаем семейство слоений коразмерности 1 (гладко зависящее от параметра) с непостоянным классом Годбийона — Вся.
Комментарии к конструкции Тэрстона. 1 °. Существуют многочисленные модификации конструкции Тэрстона: в частности, можно построить на некотором замкнутом (разумеется, неодносвязном) трехмерном многообразии аналитическое семейство аналитических слоений коразмерности 1 с переменным классом Годбийона — Вся.
2°. Как известно, площадь m-угольника на плоскости Лобачевского изменяется в пределах от 0 до itQn — 2). Поэтому число Годбийона — Вея слоений указанного семейства может изменяться от 0 до 4тг2 (т — 2) (легко понять, что включительно). В связи с этим возникает вопрос о характере возможного изменения числа Годбийона — Вся в семействе слоений на замкнутом ориентируемом трехмерном многообразии. Например, может ли это число изменяться неограниченно в одну и или обе стороны; если да, то может ли это изменение быть монотонным, и т.д.
. 3°. Единственное известное (авторам) ограничение на вариации класса Годбийона — Вся составляет теорема, доказанная Гельфандом,Фейгиными Фуксом [58]. Эта теорема относится в действительности к произвольным характеристическим классам слоений (см. пп. 3 и 5); для класса Годбийона — Вея се утверждение можно доказать элементарными средствами.
Упражнение 19. Пусть {^} — гладкое семейство слоений коразмерности 1. Тогда при любом Г имеет место равенство
d
gv(^) ■ — gv(£j = 0
dt
(имеется в виду когомологическое умножение).
4°. Для иллюстрации последнего утверждения рассмотрим следующий любопытный пример. Пусть {^} — гладкое однопарамстричсское семейство слоений на многообразии S3 XS3, и пусть gv(^) = («(/), 0(7)) G R2 = Н3 (S3 XS3; R) - класс
Годбийона — Вея слоения 5t. В силу последнего утверждения,
О = gv (^• — gv (£) = (a (О, 0(0) • (а (О,0(0) = dt
= а(О0'(О - «'(0^(0^ = Н6 (S3 X S3;R), т.е. а: 0 = а : 0'. Из этого видно, что класс Годбийона - Вея слоения на S3 X S3 может изменяться только по лучам, исходящим нз точки О G R =Я3 (S3 XS3; R) (см. рис. 253).
Это наблюдение интересно сопоставить с другими фактами, касающимися слоений на S3 X S3. Слоение коразмерности 1 на S3 X S3
можно построить, взяв произвольное слоение.
коразмерности 1 на S3 и умножив каждый егоЛ
слой на S3. Класс Годбийона — Вея такого слое
ния будет иметь вид («, 0). Подвергая слоение
действию автоморфизмов многообразия S3 X S3, мы можем получить слоение с классом Годбийона — Вея (а, 0) с произвольными рационально соизмеримыми а, 0. Проблема: существует ли на S3 X S3 слоение коразмерности 1, класс Годбийона - Вея которого имеет рационально несоизмеримые координаты?
Если нет, то это прекрасно объясняет предыдущее наблюдение, но порождает вопрос, какие вообще значения может принимать класс Годбийона — Вея. Если да, то в чем состоит геометрическая природа запрета на ’’поперечные” деформации класса Годбийона— Вея?
Аналогичные проблемы существуют для других характеристических классов слоений. Читатель может их сформулировать, прочитав остающуюся часть параграфа.
Характеристические классы слоений произвольной коразмерности.
А. Случай оснащенного слоения. Прямое обобщение конструкции Годбийона — Вея проходит в предположении, что предложенное слоение ^ коразмерности q является оснащенным или, что эквивалентно, наделено глобальной системой Wi..... со(7 определяющих форм. Интегрируемость системы о,!,. .., со^ означает существование 1-форм у у (i, j = 1,. . ., q), для которых 2, (ру л со,) = dtOj (i = 1,.... q). Дифференцируя последнее равенство, получаем:
дуированный мультипликативный комплекс. (По причинам, изложение которых мы пропускаем, этот комплекс называется усеченной алгеброй Вейля алгебры Ли gi(q, R) )■
Найденные выше соотношения между формами 77,у показывают, что если набор форм Цу, ассоциированный со слоением ^, фиксирован, то сопоставление у у ^Цу определяет морфизм W (у) -► J2(X) в категории градуированных мультипликативных комлексов, где X — тотальное многообразие слоения £а Я обозначает комплекс дифференциальных форм (комплекс де Рама). Можно показать, что замена форм цу другими формами, удовлетворяющими соотношениям S (Ду л ссу) = dwg (с теми же со,), приводит к замене этого гомоморфизма гомотопным. Таким образом, чтобы определить характеристические классы оснащенных слоений коразмерности q, достаточно найти когомологии комплекса W (q) (что не очень трудно, мы рассмотрим эту проблему в п. 4), выбрать коциклы, представляющие найденные когомологические классы, — эти коциклы будут многочленами от у у и dyy — и составить такие же многочлены от Цу и dqy; получатся замкнутые дифференциальные формы на X, и их когомологические классы, которые будут зависеть только от слоения и оснащения, и являются характеристическими классами оснащенного слоения ^. Оказывается, что при q = 1 такая форма (с точностью до множителя) всего одна: 771 1 л dqx 1э т.е. форма Годбийона — Вея. При q = 2 пространство таких форм пятимерно и порождается формами:
^(t?i 1 + TI22)2 л (7711 + 7)22);
(dTin *dq22-dTin bdri2i)b(ihi +7722);'
(dih 1 л dr]22 — drill kdq21 )л (t?i 1 — Г)22) л rh2 л t?2 1;
(Jt?u hdn22 - dlh2 bd-n^ATln A7?22 A7?12 A7?2i;
d(t?1 1 + 7)1 2)2 A 7?! 1 A T?2 2 л T?12 A 772 I ;
таким образом, оснащенные слоения коразмерности 2 имеют 5 характеристических классов размерностей 5, 5,7, 8, 8. Этим способом можно построить и характеристические классы оснащенных слоений произвольной коразмерности q. Получающиеся таким образом классы имеют размерности от 2q + 1 до q(q + 2), и среди них при любом q присутствуют классы форм
(Srf77,v)<? aSt?,/, ii
(S dn»)4 Л ( Л Цу)
iiJ
степеней 2q + 1 и q (q + 2). Каждый из этих классов обобщает класс Годбийона — Вея.
В. Общий случай. Чтобы совершить переход к неоснащенным слоениям, поднимем наше слоение ^(неоснащенное) на тотальное многообразие X главного O(q')- расслоения, ассоциированного с v (?) [<7 = codim ^). Поднятое слоение мы обозначаем через ^. Очевидно, оно обладает каноническим оснащением. Значит,_оно канонически определяет гомотопический_класс гомоморфизмов W (q) -» £2 (X). Комплекс О (X) естественно вложен в О (X). Оказывается, что комплекс ^(<7) содержит такую часть, которая указанным гомоморфизмом W (q) -* О (Y) заведомо переводится в n(J¥). Эта часть обозначается через WO(q) и определяется следующим образом. Обозначим для <7 X ^-матрицы А = || ау || через ТА отображение W (q) -> W (q), определяемое соотношениями: ТА (уу) = а^ (последнее есть скаляр — элемент нулевой степени); ТА (zy) = 0; ТА ($7?) = ТА ($)т? + (- l)degt $ ТА (д) для любых однородных £, 77 G W (д'). Очевидно, 7^4 имеет степень -1. Ясно также, что действие ал-
гебры Ли#/(и, R) в W(у), определяемое формулой (Л, 5) ^^Тд £ - TAd^, является дифференциалом естественного действия группы GL(n, R) в IV(<y) [для последнего употребляется запись (В, О *-*В^]. По определению, £ G IV (г?) принадлежит WO(q^, если ТА £ = 0 для всякой кососимметрической матрицы Л и В£ = О для всякой ортогональной матрицы В. Когомологии комплекса WO^q) также могут быть легко вычислены, и им соответствуют характеристические классы (неоснащенных) слоений коразмерности q. Например, при q = 2 таких классов 3; они представляются формами (в X):
drii I л diii2 - dr^2 ^difa i;
(dqxl kdq22 -dq12 к dq2,) л (т?,, + т?22);
d<qxx + т?22)2 л(т?ц +i?22).
С. Теорема Ботта. Как оказывается, к числу форм, определяющих характеристические классы неоснащенных слоений коразмерности q, при любом q принадлежат формы
<7
Як =2; Л ^; j Л . . . A Si-, i
к .‘2 'зal2k4
'i'2*- 1
c k = 1,2,..., [д/2] (если q = 2, то irx пропорционально с?т?н a dq22 — dq12 лс?т?21). Определяемые этими формами характеристические классы слоения ^ являются в действительности полиномами от классов Понтрягина расслоения f(^), и классы Понтрягина являются полиномами от этих классов. (Это сразу видно из черн-вейлев- ской конструкции классов Понтрягина — см. книгу Дж. Шварца.)Сопоставляя это с тем фактом, что мономы 5, jt л ... л £,• /f.c r>q равны 0, мы приходим к следующей теореме Ботта [59]:
Теорема. Полиномы от вещественных классов Понтрягина нормального расслоения слоения коразмерности q, имеющие степень > 2q, тривиальны.
(Для целочисленных классов Понтрягина подобное утверждение неверно: см. [60].)
Теорема Ботта доставляет содержательное топологическое препятствие к интегрируемости: она дает необходимое условие для того, чтобы подрасслоение (более, чем половинной размерности) касательного расслоения многообразия было гомотопно (в классе подрасслоений) касательному расслоению некоторого слоения. Эта теорема может быть слегка усилена: если рх,.. ., рг — полиномы от вещественных классов Понтрягина расслоения, нормального слоению коразмерности q, и dimpi + + dim р; > 2q при i = 2,.. ., q, то произведение Масси {рх,..., рг> (см. п. 5 § 25) определено и тривиально: действительно, произведения Г/^л... ^i i cr>q не просто гомологичны нулю (чего было бы уже достаточно для теоремы Ботта), а в точности равняются нулю.
Отступление: алгебры Ли и их когомологии. Алгебра Ли — это векторное пространство над каким-нибудь полем — у нас это всегда будет поле R вещественных чисел, — наделенное билинейной операцией а, 3 *-* [«, 3] с двумя следующими свойствами:
[«, 3] = - [3,«] (антикоммутативность)
[[а,3],71 + [[3,?],а] + [[7,а],3] =0 (тождество Якоби).
Простейший пример: пространство всех вещественных nXn-матриц с операцией [Л, В] = АВ - ВА (коммутатор). Основной (в действительности универсальный) источник примеров конечномерных алгебр Ли — конструкция Ли, относящая груп-
пе Ли (гладкому многообразию, наделенному групповой структурой с гладкими групповыми операциями) G алгебру Ли g: касательное пространство Те G в единице е 6 G со следующей операцией. Если ^: R -> G, ф: R -> G — гладкие кривые с I (0) = ф (0) = е и ip (0), ф (0) G Те G =g — векторы скорости, то
[i(o),\Ho)i ={ ^mvovMr^v?)-1} до
вели, скажем, G = GL(n, R), то g есть описанная выше алгебра Ли п Хп-матриц. Среди бесконечномерных алгебр Ли для нас интерес представляют алгебры Ли векторных полей, особенно — алгебра Ли Wn формальных векторных полей в R”. Ее элементы имеют вид
"Э
S /.(х,,. .. ,х„) —,
i= IЭх,
где fi(xiх„) — формальные степенные ряды, коммутатор определяется формулой
По определению, q-мерные коцепи алгебры Ли g — это кососимметрические вещественные ^-линейные формы на g:
A^^R;
если dim# = °°, то обычно предполагается, что в g имеется топология и коцепи непрерывны; в частности, в Wn имеется топология: степенные ряды fm сходятся к степенному ряду /, если сходимость имеет место для всех коэффициентов. Пространство ^-мерных коцепей алгебры Ли g обозначается через С4 (g). Формула
daC?!, • • - ,gq + l) =
=5(-O^'-^C^.g,].^gs-- gf gq*l>.
1<s<t<q+l
(aeCtg); gi,.. .,gq+i G#)
определяет дифференциал d; C4 (#) -» Cq+1 (#).
У n p а ж н e н и e. 20. Проверьте, что d2 = 0.
Возникают когомологии H4^, называемые когомологиями алгебры Ли g.
Упражнения. 21. Найдите когомологии n-мерной абелевой алгебры Ли, т.е. алгебры Ли# с dim# = п и [«,0] = О..
Докажите, что матрицы со следом 0 составляют подалгебру алгебры Ли g! (п, R) всех п X л-матриц. (Эта алгебра отвечает группе Ли SL(n, R) и в соответствии с этим обозначается через s!(n, R). Найдите когомологии алгебры Ли5/(2, R). (Ответ: Нч ($1(2, R)) s R при q = 0, 3 и Н4 ($1 (2, R)) =0при остальных q^ Замечание. Это вычисление фактически проделывалось нами выше, в п. 2В — см. упраж- неие 14. Дело в том, что комплекс коцепей алгебры Ли g, отвечающей группе Ли G, не отличается от комплекса правоинвариантных дифференциальных форм группы G; это — одна из исходных мотивировок определения когомологий алгебр Ли.
Вычислите Н* (Wj ). У к а з а н и е.Обозначим символом у"' ... у^ч у-линей- ный функционал на Wn, действующий по формуле
/dd\
I S almxm —>.. .,^aqmxm — ) ^m,! ...mq\almi ... aqm .
\mdx mdx/4
Это обозначение позволяет отождествить Сч (Wt) с пространством кососимметрических многочленов от q переменных. Дифференциал d-. С^И^) -* С4*1 (Wi) записывается при таком отождествлении формулой
dPty!, ... ,^+1) =
=2- у, ...Л - ^ч+1)-
<.s<t<.q*l
Из этой формулы видно, что дифференциал переводит однородные многочлены в однородные, увеличивая их степени на 1; поэтому однородные составляющие коцикла снова являются коциклами. Пусть Р — однородный коцикл степени т. Положим
R(yi. -- >yq-l) = Pqb,li - - .yq-1.0)
(P's есть производная многочлена Р по s-му переменному). Дифференцируя равенство 0 = dP (ухyq+1) по уд+1 и полагая затем yq+i = 0, мы приходим (ввиду формулы Эйлера ^sysPs = тР) к равенству
O = dR-V-Xy<q-m>P,
которое показывает, что если q Ф т,то коцикл Р когомологичен 0. Остается рассмотреть кососимметрические однородные многочлены, у которых степень равна числу переменных, но таких многочленов почти нет. Замечание. Изоморфизм Я*($/(2, R)) = H*(WX^ не вполне случаен: он устанавливается вложением ddd
si (2, R) -* Wt, образ которого натянут на векторные поля, х— , х —. dx dxdx
Когомологии алгебры Ли векторных полей (не только формальных и не только с коэффициентами в R) вычислялись в конце 60-х и начале 70-хгодов И.М. Гельфандом и Д.Б. Фуксом и в последующие годы - многими авторами (см. список литературы в книге Фукса ’’Когомологии бесконечномерных алгебр Ли”). Мы приведем здесь один из ключевых результатов Гельфанда и Фукса [61].
Обозначим через Хп прообраз 2л-мерного остова (стандартного клеточного разбиения) комплексного грассманиана CG IN, л), N > п в расслоении С V(N, п) -+CG IN, л) (со слоем U(л) — см. п. 9 § 1). Например, Xt = S3.
Теорема. НЧМп^НЧХп^У
Когомологии пространства Хп вычисляются стандартными методами алгебраической топологии (см. гл. 3). Приведем некоторые результаты этого вычисления.
Следствие. (1) dim^*(lV„)<°°;
Нч(W„) = 0при 0 < q < 2п + 1 и при q>n(n + 2');
( R при q = 0, 3, (3)Я»(И/,) =
[ 0 при остальных q;
R ® R
при
q = 5,8,
(4)^(JV2) =
R
при
q = 0,7,
0
при
остальных q;
dim Я2"*1^,,) = р(п + 1) — 1, 6тЯл(л + 2)(^„) = р(м)
(р обозначает число разбиений в сумму натуральных слагаемых).
Когомологии алгебры Ли Wq и характеристические классы оснащенных слоений коразмерности q.
X. g-структуры и их характеристические классы. Пусть g — алгебра Ли и X — гладкое многообразие. Дифференциальная «/-форма на X со значениями в g — это гладкое семейство линейных отображений { ХчТхХ -* g | х Е X); пространство таких отображений обозначается через QP^X-, g). Обычным образом определяется внешний дифференциал d: £1Ч(Х, g) ->■ 9,4 *1 (X; g). (Ни одно из этих определений не использует структуры алгебры Ли в g.^ Говорят, что дифференциальная 1-форма со на X со значениями в g удовлетворяет условию Маурера — Картава, если для любых касательных векторов и, w G ТхХ
dco(y, w) = — [со(и), w(w)];
сокращенно это условие записывается так: dco + ^ [со, со] = 0. Дифференциальные
1-формы со значениями в g, удовлетворяющие условию Маурера — Картана, называют также g-структурами.
Упражнения. 24. Пусть g — алгебра Ли, отвечающая группе Ли G, и пусть /: X ■* G — гладкое отображение. Определим 1-форму на X со значениями в g как семейство отображений
ТхХ Tf^G * TeG = g.
где вторая стрелка обозначает правый сдвиг. Докажите, что зта форма удовлетворяет условию Маурера - Картана.
Пусть g обозначает то же, что в упражнении 24. Если X односвязно, то всякая ^-структура на X получается конструкцией этого упражнения. Как обстоит дело в неодносвязном случае?
Для g-структуры со на X определим отображение
cw: СЧ^ —* «№
формулой
[^(«^(Ux, ...,vq) = «(со^)w(ug)).
Упражнение 26. Докажите, что сш перестановочно с дифференциалом (имеется в виду внешний дифференциал в дифференциальных формах и определенный выше дифференциал в коцепях алгебры Ли). (Желательно доказать это утверждение в такой форме: условие Маурера - Картана - зто в точности то, что нужно для перестановочности отображения с дифференциалом.)
Отображение cw индуцирует отображение в когомологиях:
<: HqW * НЧХ; R).
Если задан класс /3 Е H4{g), то всякой g-структуре со на X будет соответствовать класс с^в^ Н Ч(Х; R). Соответствие со i-> с w (0) называется («/-мерным вещественным) характеристическим классом g-структур. Это название оправдывается следующим свойством нашего соответствия: если /: Y-^Х — гладкое отображение и f*co - индуцированная g-структура на У (читатель должен сам понять, что это
значит), то (очевидно)
' Г(с* (^)) = ^(Л-
Упражнение 27. Пусть X — одномерная коммутативная алгебра Ли. Докажите, что /^-структура на X - это просто замкнутая дифференциальная 1-форма на X, и соответствие, относящее такой форме ее когомологический класс, представляет собой (по существу, единственный) характеристический класс g-структур.
В. Оснащенные слоения коразмерности q и W ч-структуры. Пусть ^ — слоение коразмерности q на многообразии X, р: N -* X — его нормальное расслоение. Обычным образом определяется экспоненциальное отображение е: N -* X, которое отображает р-1 (х) на трансверсальную площадку к слоению ^ в точкех (рис. 254). Конечно, такое отображение определяется не единственным образом, но любые два экспоненциальных отображения гомотопны в классе экспоненциальных отображений, во всяком случае, в окрестности нулевого сечения в N. Если слоение У оснащено, то N = X X R’, и сужение экспоненциального отображения на XX ВЛ есть отображение X X D4 -* X с двумя свойствами: (1) точка (х, 0), где 0 — центр шара, переходит в точку х; (ii) сужение отображения на х X Р’ трансверсально слоению. Для достаточно близких точек Xi, х2 G X слоение определяет частичное отображение, даже частичный диффеоморфизм,х, X ВЛ -*х2 X ВЛ, т.е. ВЛ -^ВЛ (рис. 255). Если и G ТхХ— касательный вектор и 7: R ■*X— гладкая кривая с 7 (0) = х, 7 (0) = 0, то мы получаем гладкое семейство частичных диффеоморфизмов <pt- D4 ~*ВЛ, <р0 = id, которое определяет гладкое векторное поле Цч>туУ1 = 0 \ у & В4 } в ВЛ. Относя вектору и оо-струю этого векторного поля, мы получаем на X дифференциальную 1-форму со значениями в .
Упражнения. 28. Проверьте корректность этого определения.
Докажите, что построенная 1-я форма удовлетворяет условию Маурера — Кар- тана, т.е. является ^-структурой.
Можно показать, что возникающий гомоморфизм
H*W > НЧХ; R)
не зависит от произвола конструкции и, таким образом, доставляет характеристи-
Рис. 254Рис. 254
Рис. 254
Рис. 254
ческие классы оснащенных слоений. Более того, оказывается, что эта конструкция дает в точности те же классы, что конструкция, изложенная в п. 3. (В действительности приведенная выше теорема Гельфанда — Фукса иногда формулируется так: когомологии алгебры Ли Wn совпадают с когомологиями усеченной алгебры Вейля алгебры Ли gl (л, R) — см. п. 3.)
Чтобы прояснить связь между Wq-структурами и оснащенными слоениями коразмерности q, приведем обратную конструкцию.
Упражнение 30. Пусть со есть Wq -структура на гладком многообразии X. Пусть для и G ТхХ
ЭЭ
ы(и) = 5 <of(u) — + 5 соу(и)х/—+ ...
iдх, ijдх.
Покажите, что если дифференциальные формы Wj, .... coq G Я* (X) линейно независимы в каждой точке, то они удовлетворяют условию интегрируемости, и определяемое ими оснащенное слоение доставляет, при применении к нему предыдущей конструкции, исходную ^-структуру.
Характеристические классы неоснащенных слоений могут быть описаны аналогичным образом, но требуют привлечения так называемых относительных когомологий алгебр Ли.
Упомянем еще, что для многих алгебр Ли g существует геометрическая интерпретация g -структур как тех или иных разновидностей слоений, и это позволяет рассматривать их когомологии как характеристические классы. Подробности см. в § ЗД книги Д.Б.Фукса ’’Когомологии бесконечномерных алгебр Ли”.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ДОПОЛНЕНИЮ
1. Милнор Дж. Теория Морса. - М.: Мир, 1965.
Т.Федерер Г. Геометрическая теория меры. - М.: Наука, 1987.
Money Ch. В. Multiple integrals in the calculus of variations. — Berlin: Springer-Verlag, 1966.
Rado T. On the problem of Plateau. - Berlin: Springer Verlag, 1933. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete).
Reifenberg E.R. Solution of Plateau problem for m-dimensional surfaces of varying topological type// Acta Math. - 1960. - V. 104, № 1. - P. 1 -92.
Douglas J. Minimal surfaces of general topological structure // J. Math. Phys. — 1936. - V. 15. - P. 105-123.
Douglas J. The most general form of the problem of Plateau // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. - 1938. - V. 24.-P. 360-364.
Almgren F. J. Existence and regularity almost everywhere of solutions to elliptic variational problem among surfaces of varying topological type and singularity structure // Ann. Math. Ser. 2. - 1968. — V. 87,№2. -P. 321-391.
Lawson H.B., Osserman R. Non-existence, non-uniqueness and irregularity of solutions to the minimal surface system // Acta Math. - 1977. - V. 139,№ 1.
Lawson H.B. The equivariant Plateau problem and interior regularity // Trans. Amer. Math. Soc. - 1972. - V. 173. - P. 231 -249.
Nitsche J.C. Vorlesungen uber Minimalflachen. - Berlin: Springcr-Vcrlag, 1975. - (Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Bd 199).
Osserman R. Global properties of minimal surfaces in E® and En Ц Ann. Math. - 1964. - V. 80, №2. — P. 340-364.
Hildebrandt S. Boundary behavior of minimal surfaces// Arch. Rational Meeh, and Anal. - 1969. - V. 35,№1.-P. 47-82.
Hildebrandt S., Kaul H. Two-dimensional variational problems with obstructions, and Plateau’s problem for Я-surfaces in a Riemannian manifold // Comm. Pure AppL Math. - 1972. - V. 25, №2.-P. 187-223.
Фоменко A. T. Вариационные методы в топологии. - М.: Наука, 1982.
Фоменко А.Т. Минимальные компакты в римановых многообразиях и гипотеза Райфенберга // Изв. АН СССР. Математика. - 1972. - Т. 36, № 5. - С. 1049-1080.
Фоменко А.Т. Многомерная задача Плато в римановых многообразиях // Мат. сб. - 1972. - Т. 89, №3. - С. 475-520.
Фоменко А.Т. Топологические вариационные задачи. - М.: Изд-во МГУ, 1984.
Фоменко А.Т. О минимальных объемах топологических глобально минимальных поверхностей в кобордизмах // Изв. АН СССР. Математика. - 1981, —Т. 45,№ 1. - С. 187-212.
Фоменко А.Т. Многомерные вариационные задачи в топологии экстремалей // УМН. - 1981,- Т. 36, №6. - С. 105-135.
Дао Чонг Тхи. Мультиварифолды и классические многомерные задачи Плато // Изв. АН СССР. Математика. - 1980. - Т. 44, № 5. - С. 1031 - 1065.
Дао Чонг Тхи. Мультиварифолды и задачи минимизации функционалов типа многомерного объема // ДАН СССР. - 1984. - Т. 276, № 5. - С. 1042- 1045.
Дао Чонг Тхи. Изопериметрические неравенства для мультиварифолдов // Изв. АН СССР. Математика. - 1984. - Т. 48, № 6.
Fomenko А.Т Symmetries of soap films // Comp. & Math, with AppL — 1986. - V. 12B,№3/4. — P. 825-834.
Fomenko А.Т. On certain properties of extremals in variational problems. - Berlin: Springer-Verlag, 1984. - P. 209-217. - (Leet. Notes in Math. V. 1108).
Ле Хонг Ван. Рост двумерной минимальной поверхности // УМН. - 1985. - Т. 40, № 3. - С. 209-210.
Фукс Д.Б. О характеристических классах Маслова-Арнольда // ДАН СССР.- 1968. - Т. 178, №2. - С. 303-306.
Фоменко Т.Н. Об эффективном построении ретракции некоторых пространств на сферу // Новое в глобальном анализЬ: Анализ на многообразиях и дифференциальные уравнения. - Воронеж: Изд-во Воронеж, ун-та, 1986. - С. 164—173.
Ле Хонг Ван. Абсолютно минимальные поверхности и калибровки на орбитах присоединенного представления классических групп Ли // ДАН СССР. - 1987.
Ле Хонг Ван, Фоменко А.Т. Лагранжевы многообразия и индекс Маслова в теории минимальных поверхностей//ДАН СССР, — 1987.
Harvey К., Lawson H.B. Calibrated foliations (foliations and mass-minimizing currents) // Amer. J. Math. - 1982. — V. 104, № 3. — P. 607—633.
Плужников А. И. Задача минимизации функционала энергии / ИПУ АН СССР. - Деп. в ВИНИТИ. - 1984, № 5584-84. - 40 с.
Плужников А.И. О минимумах функционала Дирихле // ДАН СССР. - 1986. - Т. 290, № 2. - С. 289-293.
Фоменко А.Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем // ДАН СССР. - 1986. - Т. 287, №5.-С. 1071-1075.
Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Математика. - 1986. - Т. 50, №6.-С. 1276-1230.
Фоменко А.Т., Циишнг X. О топологии трехмерных многообразий, возникающих в гамильтоновой механике // ДАН СССР. - 1987. - Т. 294, № 2. - С. 283 - 287.
Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Интегрируемость по Лиувиллю гамильтоновых систем на алгебрах Ли // УМН. - 1984. - Т. 39, № 2. - С. 3 - 56.
Ошемков А.А. Боттовские интегралы некоторых интегрируемых гамильтоновых систем // Геометрия, дифференциальные уравнения и механика. - М.: Изд-во МГУ, 1986. - С. 115-117.
Матвеев С.В., Бурмистрова А.Б. Структура S-функций на ориентируемых 3-многообразиях // Тезисы XI Всесоюзной школы по теории операторов в функциональных пространствах. - Челябинск, 1986. - Т. 1. - С. 70.
Матвеев С.В., Фоменко А.Т., Шарко В.В. Круглые функции Морса и изоэнергетические поверхности интегрируемых гамильтоновых систем // Мат. сб. - 1988. - Т. 52, № 2. - С. 378407.
Wahlhausen F. Eine Klasse von 3-dimensional Mannigfaltigkeiten, I // Invent. Math. - 1967. - V. 3, №4.-P. 308-333.
Orlik P., Vogt E., Zieschang H. Zur Topologie gefaserter dreidimensional Mannigfaltigkeiten // Topology. - 1967. - V. 6, № 1. - P. 49-65.
Miyoshi S. Foliated round surgery of codimension-one foliated manifolds // Topology. - 1982. - V. 21,№3. -P. 245-262.
Morgan J. Non-singular Morse—Smale flows on 3-dimensional manifolds // Topology. — 1979. - V. 18,№1. -P.41-54.
Asimov D. Round handles and non-singular Morse-Smale flows // Ann. Math. - 1975. - V. 102, №1. -P. 41-54.
Thurston W. Existence of codimension-one foliations // Ann. Math. - 1976. - V. 104, № 2. - P. 249-268.
Фоменко A.T., Циишнг X. О типичных топологических свойствах интегрируемых гамильтоновых систем // Изв. АН СССР. Математика. - 1988. - Т. 52, № 2. - С. 300-320.
Reeb G. Sur certaines proprietes topologiques des variete's feuilletees. - Paris: Hermann, 1952. - (Actualites Sci. Indust. № 1183).
Новиков С.П. Топология слоений // Tp. Моск. мат. о-ва. - 1965. - Т. 14. - С. 249-278.
Тамура И. Топология слоений. - М.: Мир, 1979.
Haefliger A. Sur les feuilletages analytiques // C.r. Acad. sci. - 1956. - V. 242, № 5. - P. 29082910.
Lawson H.B. Foliations // BuU Amer. Math. Soc. - 1974. - V. 80, № 3. - P. 369-418.
Lawson H.B. Codimension one foliations on spheres // Ann. Math. — 1971. — V. 94, №3. - P.494503.
Картон А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
Godbillon С., Vey J. Un invariant des feuilletages de codimension un // C.r.Acad. sci. - 1971. - V. 273, №2. -P. 92-95.
Mizutani T, Morita S., Tsuboi T The Godbillon — Vey classes of codimension one foliations which are almost without holonomy // Ann. Math. - 1981. - V. 113. — P. 515—527.
Thurston W. Non-cobordant foliations of S1 Ц Bull. Amer. Math. Soc. - 1972. - V. 78, №4.- P. 511-514.
Гельфанд ИМ,, Фейгин Б.Л., ФуксД.Б. Когомологии алгебры Ли формальных векторных полей с коэффициентами в сопряженном с ней пространстве и вариации характеристических классов слоений // Функц. анал. н его прил. - 1974. - Т. 8, № 2. - С. 13- 29.
Bott R. On topological obstruction to integrability // Actes Congr. Int. Mat. 1970. - Paris, 1971. - V. l.-P. 27-36.
Bott R., Heitsh J. A remark on the integral cohomology of Brq Ц Topology. - 1972. - V. 11, №2.-P. 141-146.
Гельфанд ИМ., Фукс Д.Б. Когомологии алгебры Ли формальных векторных полей // Изв. АН СССР. Математика. - 1970. - Т. 34, № 2. - С. 322-337.
Браилов А.В., Фоменко А.Т. Топология интегральных многообразий вполне интегрируемых гамильтоновых систем // Мат. сб. - 1987. - Т. 133, № 3. - С. 375-385. ■
Матвеев С.В., Фоменко А.Т. Изоэнергетические поверхности гамильтоновых систем, перечисление трехмерных многообразий в порядке возрастания их сложности и вычисление объемов замкнутых гиперболических многообразий // УМН. - 1988. - Т. 43, № 1. - С 5-22.
Morgan F. A smooth curve in Rs bounding a continuum of minimal surfaces // Arch. Rational Meeh. AnaL — 1981.—V. 71, №2. — P. 193-197.
Do Carmo M., Peng CK. The stable minimal surfaces in R* are plane // Bull. Amer. Math. Soc. 1979. - V. 1, №6. - P. 903-906.
Beeson M.J., Tromba AJ. The cusp catastrophe of Tome in the bifurcation of minimal surfaces . // Manusc. Math. - 1984. - V. 46. - P. 273-308.
ПРИЛОЖЕНИЕ. О РИСУНКАХ
Рисунки, помещенные в книге, разбиваются на две группы. Первая состоит из чертежей, иллюстрирующих конкретные конструкции, описываемые в тексте. Вторая группа, состоящая из 32 рисунков (занумерованных римскими цифрами), иллюстрирует более сложные понятия, иногда лишь кратко отраженные в тексте книги.
На рис. I представлена стандартная двумерная сфера — многообразие, играющее важную роль во многих разделах книги. На рис. II показана так называемая ’’рогатая сфера” Александера— вложение сферы S2 в R3, не являющееся локально плоским и разбивающее R3 на неодносвязные области. В этом — существенное отличие ’’рогатой сферы” от обычной, разбивающей R3 на односвязные области. На рис. III представлены двумерные поверхности: сфера с двумя ручками (т.н. крендель), листы Мёбиуса и проективные плоскости. Листы Мёбиуса представлены в виде ’’скрещенных колпаков”. Они же показаны на рис. IV, где можно увидеть также сферу с тремя отождествленными точками. На рис. V условно изображено вложение клеточного пространства в евклидово пространство. На рис. VI изображен полиэдр, на рис. VII — линзовое пространство (линза). Известно, что двумерную сферу можно ’’вывернуть” в R3, т.е. построить непрерывную последовательность ее гладких погружений (самопересечения разрешаются), начинающуюся па стандартном вложении сферы, а кончающуюся на вложении, при котором прежняя внутренность сферы оказывается снаружи. На рис. VIII показан момент деформации сферы, отвечающий значению параметра Г = 1/2. Более подробно этот процесс показан на рис. XXVI, где изображено девять последовательных положений сферы. Девятое положение наиболее симметрично, и в зтот момент сфера оказывается в окрестности погружения проективной плоскости в R3 (т.е. около так называемой поверхности Боя). В этом положении сфера выворачивается, после чего процесс повторяется в обратной последовательности — от девятого положения до первого. На рис. IX условно изображено разбиение сферы S3 на два полнотория. Эта картина полезна при изображении структуры расслоения Хопфа. Полнотория склеиваются так, что их граничные торы отождествляются с переменой местами параллели и меридиана. На рис. X показано действие фундаментальной группы на высших гомотопичееких группах: к каждому многомерному сфероиду приклеивается тонкая трубка, идущая вдоль одномерной петли (элемент фундаментальной группы). В более условной форме это действие см. на рис. XI. На рис. XII изображен фрагмент унитарной периодичности Ботта. Середины геодезических, соединяющих две точки на унитарной группе, образуют многообразие Грассмана. На рис. XIII условно изображены вращения стандартной сферы. Стандартная метрика на сфере выделяется из множества всех других метрик тем, что обладает максимально возможной группой изометрий. Рис. XIV изображает расслоение. Вертикальные фигуры — слои, горизонтальная полоса — база расслоения.
На рис. XV представлено локально компактное хаусдорфово пространство, не являющееся локально гомологически связны / (в смысле Чеха) в размерности 1. Это означает, что любая открытая окрестность концевой точки (на переднем плане рисунка) имеет нетривиальную группу одномерных гомологий. Разложение этого пространства на составные элементы ("ракушки”) показано на рис. XVII. На рис. XVI условно изображена одна из главных идей доказательства теоремы о клеточной аппроксимации: образ симплекса при непрерывном отображении ’’выдавливается” в остов той же размерности путем проектирования из некоторой внутренней точки, которая не принадлежала образу симплекса. На рис. XVII кроме "ракушек” — образующих пространства с рис. XV, присутствуют: соленоид (первый шаг в построении), ожерелье Антуана (также первый шаг в построении), пример Адамса. Ожерелье Антуана получается путем пересечения показанной на рисунке последовательности полноторий. Оно является вполне несвязным компактным совершенным метрическим пространством, а потому гомеоморфно канторову множеству. Его дополнение в R3 неодносвязно. Соленоид показан более подробно на рис. XXVIII. Для его построения берется полноторие, внутрь которого вкладывается второе полноторие, два раза намотанное вдоль оси первого. Внутрь второго полнотория точно таким же способом вкладывается третье полноторие. Процесс повторяется до бесконечности. Получающееся пространство называется 2-адическим соленоидом. Топологический пример Адамса получается взятием связной суммы обычного листа Мёбиуса с тройным листом Мёбиуса, который можно задать в трехмерном пространстве в цилиндрических координатах формулами: г = 1 + et cos и; 6 = Зи; z = et sin и; е = const, 0 < < f < 1. Получающийся клеточный комплекс не является многообразием, так как при t = 0 получаем сингулярную окружность пересечения трех листов под углами 2я/3. Несмотря на то, что границей комплекса Адамса является окружность, комплекс ретрагируется на эту окружность. Пример имеет большое иллюстративное значение, например, в теории минимальных поверхностей. Комплекс Адамса изображает минимальную поверхность, которая не является гомологической G-поверхностью с границей окружность ни для какой группы коэффициентов G.
Рисунки XVIII, XIX, XX, XXI, XXII, XXIII, XXIV, XXV допускают истолкование в терминах спектральных последовательностей. Они изображают различные конструкции, присутствующие в тексте книги. На рис. XXVII показано разбиение двумерной поверхности в сумму треугольников и квадратов. Ясно, что чем больше кривизна поверхности (около некоторой точки), тем более мелким должно быть соответствующее разбиение. Напротив, области малой кривизны допускают покрытие большими симплексами. На рис. XXIX изображена деформация алгебраической (римановой) поверхности в комплексном пространстве C2(z, w). Поверхность гомеоморфна (после проективизации) обычному тору. На рисунке видны две точки, играющие роль кратных точек. При слиянии корней полинома соответствующие трубки поверхности ’’перетягиваются” и два листа поверхности начинают касаться друг друга. Тор представлен в виде двух сфер, соединенных двумя трубками. При раздувании верхней сферы, нижняя, наоборот, сжимается.
На рисунках XXX, XXXI, XXXII, XXXIII изображены перестройки торов Лиувилля (см. Дополнение). На рис. XXX изображено многообразие с краем — три тора (в книге обозначено как TV2 X S1). Один тор (внешний) перестраивается в сумму двух торов. На рис. XXXI изображено скрученное седло № х X S1. Здесь тор перестраивается в ^ор путем двукратной намотки. На рис. XXXII показан скрученный цилиндр К1 X D1. Здесь тор перестраивается в двумерную бутылку Клейна. При зтом тор реализован как граница трубчатой окрестности бутылки Клейна, стандартно погруженной в терхмерное пространство. Стрелками показано стягивание тора на бутылку Клейна.
список книг по топологии
Адамс Дж. Лекции по группам Ли. - М.: Наука, 1979.
Адамс Дж. Бесконечнократные пространства петель. - М.: Мир, 1982.
Александров П.С. Комбинаторная топология. - М.; Л.: ОГИЗ, 1947.
Александров П.С. Введение в общую теорию множеств и функций. - М.: Л.: ОГИЗ, 1948.
Арнольд В.И. Математические методы классической механики. - М.: Наука, 1974.
Атья М. Лекции по А^геории. - М.: Мир, 1967.
Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. — М.: Мир, 1967.
Бордман Дж„ Фогт Р. Гомотопически инвариантные алгебраические структуры на топологических пространствах. - М.: Мир, 1977.
Браудер В. Перестройки односвязных многообразий. - М.: Наука, 1984.
Бреддн Г. Введение в теорию компактных групп преобразований. - М.: Наука, 1980.
Вейль А. Введение в теорию кэлеровых многообразий. - М.: ИЛ, 1961.
Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. - М.: Мир, 1973.
Гуревич В., Волмэн Г. Теория размерности. — М.: ИЛ, 1948.
ДольдА. Лекции по алгебраической топологии. - М.: Мир, 1976.
Дубровин БА., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. - М.: Наука, 1986.
Дубровин БА., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы теории гомологий. - М.: Наука, 1984.
Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. - М.; Л.: ГОНТИ, 1938.
Зейферт Г., Трельфалль В. Вариационное исчисление в целом. — М.: ИЛ, 1947.
Каруби М. К-теория. Введение. — М.: Мир, 1981.
Коннер П., Флойд Э. Гладкие периодические отображения. - М.: Мир, 1969.
Кроуэлл Р., ФоксР. Введение в теорию узлов. - М.: Мир, 1967.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. — М.: Мир, 1968.
Мадсен И., Милгром Р. Классифицирующие пространства для перестроек и кобордизмов многообразий. - М.: Мир, 1984.
Мандельбаум Р. Четырехмерная топология. - М.: Мир, 1981.
Масси У., Столлингс Д. Алгебраическая топология. Введение. - М.: Мир, 1977.
Масси У. Теория гомологий и когомологий. — М.: Мир, 1981.
Милнор Дж. Теория Морса. - М.: Мир, 1965.
Милнор Дж. Теорема об А-кобордизме. - М.: Мир, 1969.
Милнор Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей. - М.: Мир, 1971.
Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. - М.: Мир, 1972.
Милнор Дж., СташефДж. Характеристические классы. — М.: Мир, 1979.
Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — М.: Изд-во МГУ, 1980.
Мищенко А.С Векторные расслоения и их применения. - М.: Наука, 1984.
Мошер Р., Тангора М. Когомологические операции и их приложения в теории гомотопии. - М.: Мир, 1970.
Новиков С.П., Мищенко А.С., Соловьев Ю.П., Фоменко А.Т. Задачи по геометрии. — М.: Изд- во МГУ, 1978.
Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. - М.: ИЛ, 1960.
ПалеР. Семинар по теореме Атьи - Зингера об индексе. - М.: Мир, 1970.
Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. - М.: Наука, 1984.
Понтрягин Л.С. Основы комбинаторной топологии. - М.: Наука, 1986.
Понтрягин Л.С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. - М.: Наука, 1985.
Постников ММ. Вариационная теория геодезических. — М.: Наука, 1965.
Постников ММ. Введение в теорию Морса. - М.: Наука, 1971.
Постников ММ. Группы и алгебры Ли. - М.: Наука, 1982.
Постников ММ. Лекции по алгебраической топологии. Основы теории гомотопий. - М.: Наука, 1984.
Постников ММ. Лекции по алгебраической топологии. Теория гомотопий клеточных пространств. - М.: Наука, 1985.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. - М.: ИЛ, 1956.
Рохлин ВЛ., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. - М.: Наука, 1977.
Рурк К, Сандерсон Б. Введение в кусочно пинейную топологию. — М.: Мир, 1974.
СнэйтВ. Алгебраический кобордизм и К-теория. - М.: Мир, 1983.
Спенъер Э. Алгебраическая топология. - М.: Мир, 1971.
СпивакМ. Математический анализ на многообразиях. - М.: Мир, 1968.
Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей. - М.: ИЛ, 1960.
Стинрод Н. Топология косых произведений. — М.: ИЛ, 1953.
Стинрод И., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. - М.: Физматгиз, 1958.
Стинрод Н., Эпстейн Д. Когомологические операции. - М.: Наука, 1983.
Стонг Р. Заметки по теории кобордизмов. - М.: Мир, 1973.
СулливанД. Геометрическая топология. - М.: Мир, 1975.
Сян У.И. Когомологическая теория топологических групп преобразований. - М.: Мир, 1979.
Тимура И. Топология слоений. - М.: Мир, 1979.
Телеман К. Элементы топологии и дифференцируемые многообразия. - М.: Мир, 1967.
Toda X. Композиционные методы в теории гомотопических групп сфер. - М.: Наука, 1982.
Уайтхед Дж- Новейшие достижения в теории гомотопий. — М.: Мир, 1974.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования. — М.: ИЛ, 1960.
Фоменко А.Т. Вариационные методы в топологии. — М.: Наука, 1982.
Фоменко А.Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы. - М.: Изд-во МГУ, 1983.
Фоменко А.Т. Топологические вариационные задачи. — М.: Изд-во МГУ, 1984.
Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. - М.: Изд-во МГУ, 1988.
Фукс Д.Б., Фоменко А.Т., Гутенмахер В.Л. Гомотопическая топология. - М.: Изд-во МГУ, 1969.
ФуксД.Б. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли. - М.: Наука, 1984.
Фултон У., Мак-Фёрсон Р. Категорный подход к изучению пространств с особенностями. - М.: Мир, 1983.
Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии. — М.: Мир, 1973.
Хирш М. Дифференциальная топология. - М.: Мир, 1979.
Хилтон П, Уайли С. Теория гомологий. - М.: Мир, 1966.
Ху С.Ц. Теория гомотопий. - М.: Мир, 1964.
Цишанг X., Фогт Э„ Колдевай Х.-Д. Поверхности и разрывные группы. - М.: Наука, 1988.
Чепмен Т., Лекции о ^-многообразиях. — М.: Мир, 1981.
Чжень Ш. Комплексные многообразия. - М., ИЛ, 1961.
Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. - М.: Наука, 1972.
Шварц Дж. Дифференциальная геометрия и топология. - М.: Мир,-1970.
Расслоенные пространства и их приложения. Сб. перев. - М.: ИЛ, 1958.
Теория алгебр Ли. Топопогия группы Ли. Сб. перев. — М.: ИЛ, 1962.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксиомы Стинрода-Эйленберга 331
Алгебра Ландвебера- Новикова 398
Стинрода 244
Хопфа 296
Аугментация 97
Ацикличность 99
База 70
Барицентрическая звезда 145
Барицентрическое подразделение 47
Башня Постникова 317
Бордизмы 385
Букет 25
Векторное расслоение 167
Вырезание 105
Гипотеза Адамса 350
Голономия 4 74
Гомологические последовательности 100, 101
Гомоморфизм Бокштейна 127
Гуревича 119
надстройки 79, 106
Гомотопическая группа 34, 63
стабильная 84
эквивалентность 27,76
слабая 74, 89_
Гомотопические последовательности 67, 77 Гомотопический тип 29
Гомотопия 26
цепная 97
Группа гомологий 96
когомологий 34,123
узла 57■
Двойственность Александера—Понтрягина 158
Пуанкаре 146
Джойн 36
Диаграмма Юнга 40
Задача Плато 416
Изоморфизм Пуанкаре 145
Тома 262, 361
Инвариант Адамса 359, 367
Хопфа 137
Индекс пересечения 146
эллиптического оператора 381
Интеграл боттовский 443
Интегрируемость по Лиувиллю 443
Категория Люстерника-Шнирельмана 30,407
Классифицирующее пространство 174
Классические поверхности 17
Клетка 35
-Шуберта 40,41
Клеточное пространство 35 конечное 36 локально конечное 36 счетное 36
Кобордизмы 388
Когомологическая длина 412
операция 238 стабильная 240
Комплекс цепной 96 - классический 112 - клеточный 109 Конус 21 - отображения 22 Коцепь 123
Коцикл 124
Коэффициент зацепления 152.
инцидентности ПО
Коэффициентная последовательность 126
Лемма Морса 403 — о свободной точке 45
Линейная связность 24
Линза 265
Локальная система 198
Минимальная поверхность 416
Многообразие 140
Грассмана 15-
замкнутое 143
параллелизуемое 171
флагов 16 полных 16
Штифеля 16
Надстройка 21
Накрытие 57
регулярное 61
универсальное 61
Обратные гомоморфизмы 154
Односвязность 49
Операция Адамса 342
Ориентация 109, 142, 360, 444, 469
Орицикл 472
Остов 36
Пара Борсука 43
Периодичность Ботта 229, 324
Петля 24
Плюкксровы координаты 15
Полином Пуанкаре 405
Полиэдр 80, 103
Последовательность Вана 208
Гизина 208
Майсра-Висториса 125
Пуппе 323
Серра 208
Препятствие 160, 161, 166
Приклеивающее отображение 38
Присоединенная группа 191
Произведение пространств 20, 37
Проективная плоскость Кэли 12
Проективное пространство вещественное 11
кватернионное 12
комплексное 12
Пространство гомотопически полноценное 38
Тома 262
убивающее 94
Эйлснберга-Маклейна ПО
Прямой образ 154, 362
Путь 24
Различающая 161
Расслоение ассоциированное 172
в смысле Серра 73
сильное 74
виртуальное 320
индуцированное 72
касательное 170
локально тривиальное 70
нормальное 170
простое 165,196
спинорное 372
Стинрода 169
тавтологическое 167
Хопфа71, 167
Ретракт 29
деформационный 29
строгий 29
Сигнатура многообразия 185
Сильная связность 143
Символ эллиптического оператора 131
Симплекс евклидов 95
сингулярный 96
Слоение 466
-Реба 467
Слой 70
Соотношения Адема 250
Спектр 333
Тома 385.
Спектральная последовательность 189
Адамса 278
Адамса-Новикова 399
Спектральная последовательность Атиа-Хир цебруха 334 расслоения 195
Стабильная эквивалентность 168
Степень отображения 83, 143
Стинрода 257
Стинродов квадрат 244
Сфера 11
Сфероид 63
Тензорное произведение пространств 25
Теорема Адамса 280, 312
Адамса-Дольда 350
Балл ста-Макдональда 256
Беккера-Готтлиба 353
Бореля 251
Борсука 43■
Ботта 479
ван Кампена 56
Гуревича 119.
Дугласа-Радо 416
Картана 258
Картана-Серра 227
Лера 190, 191
о клеточной аппроксимации 44
о накрывающей гомотопии 58, 71
о поднятии отображения 61
Пуанкаре 120
Римана-Роха 361
Рохлина 377
Серра 253
Стинрода 265
Тома 184
Уайтхеда 91, 122
Фельдбау 72
Фрейденталя 79, 86
Хопфа 150, 165,427
Штифеля 264
Эйлера-Пуанкаре 112
Теоремы целочисленности 376
Тождество Якоби 85,479
Точная последовательность 68
Трансгрессия 206
Триангуляция 47
Умножение Масси 229
Понтрягина-Самельсона 139
Уайтхеда 84
Фильтрация 187
Адамса 245
мультипликативная 211
Формула Атиа-Зингера 380•
By 263
Картана 245
Кюннета 131 .
Лефшеца 149
универсальных коэффициентов 128
Хирцебруха 186
Фундаментальная группа 50
Фундаментальный класс 143, 163
Числа Бернулли 358 - Бетти 96Шар ИЭйлерова характеристика 112 Экстраординарные теории 331 Эллиптический оператор 380 <g-теория 223 Ext 128, 274 //-пространство 31 Н* -пространство 31 /•функтор 346 К-функтор 319 и-простота 64 и-связность 49 Тог 128, 274 5-лемма 69 ^-умножение 133 •^-умножение 139Числа Бернулли 358 - Бетти 96Шар ИЭйлерова характеристика 112 Экстраординарные теории 331 Эллиптический оператор 380 <g-теория 223 Ext 128, 274 //-пространство 31 Н* -пространство 31 /•функтор 346 К-функтор 319 и-простота 64 и-связность 49 Тог 128, 274 5-лемма 69 ^-умножение 133 •^-умножение 139
Числа Бернулли 358 - Бетти 96
Шар И
Эйлерова характеристика 112 Экстраординарные теории 331 Эллиптический оператор 380 <g-теория 223 Ext 128, 274 //-пространство 31 Н* -пространство 31 /•функтор 346 К-функтор 319 и-простота 64 и-связность 49 Тог 128, 274 5-лемма 69 ^-умножение 133 •^-умножение 139
Числа Бернулли 358 - Бетти 96
Шар И
Эйлерова характеристика 112 Экстраординарные теории 331 Эллиптический оператор 380 <g-теория 223 Ext 128, 274 //-пространство 31 Н* -пространство 31 /•функтор 346 К-функтор 319 и-простота 64 и-связность 49 Тог 128, 274 5-лемма 69 ^-умножение 133 •^-умножение 139
Функция Морса 401
Характер Черна 180
Характеристический класс 166, 171
Атиа-Хирцебруха 375
Годбийона-Вея 471
Понтрягина 174
Тодда 362
Черна 174
Штифеля-Уитни 174
Эйлера 173
^-структуры 482
Характеристическое отображение 36
Цепь 96
Цикл 96
Цилиндр 21
отображения 22
Частичная операция 313
Учебное издание
Ф о м е и к о Анатолий Тимофеевич Фукс Дмитрий Борисович
КУРС ГОМОТОПИЧЕСКОЙ ТОПОЛОГИИ.
Заведующий редакцией КД. Угарова
Редактор Ф.И. Кизнер
Художественный редактор Т.Н. Кольченко
Технические редакторы С.В. Геворкян,С.Н. Баронина
Корректоры Н.П. Круглова, Т.В. Обод, Т.А. Печко
Набор осуществлен в издательстве на наборно-печатающих автоматах
ИБ № 32388
Сдано в набор 22.08.88. Подписано к печати 14.11.88
Формат 70 X 100/16. Бумага офсетная № 1
Гарнитура Пресс-Роман. Печать офсетная
Усл.печ.л. 42,57. Усл.кр.-отт. 42,57. Уч.-изд.л. 43,08 Тираж 9250 экз. Тип.зак. '.338. Цена 1 р. 70 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство "Наука”
Главная редакция физико-математической литературы 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Типография им. Котлякова'
издательства ’’Финансы и статистика” Государственного комитета СССР поделай издательств, полиграфии и книжной торговли 195273 Ленинград, ул. Руставели 13
Anatole Fomenko,Dmitry Fuchs
A COURSE IN HOMOTOPY TOPOLOGY
Moscow, Nauka, Main Editorial Board for
Physical and Mathematical Literature, 1989
Readership: The book is addressed to University students and researchers in various domains of Mathematics and Physics.
From the book’s review: ”... The book presents an unique course in homotopy topology. It contains ' everything that may be needed for reconstructing the proofs and in the same time includes nothing unnecessary. In uses methodical achievements of the almost twenty years’ teaching experience.” Professor O.Ya. VIRO (Leningrad)
Summary: The book contains an account on all methods and results of homotopy topology whose value for the whole mathematics is indisputable. It includes both elementary and sophisticated chapters of the subject.
Contents; The most important topological spaces. Homotopy. Homology. The spectral sequence of a fibration. Cohomology operations. The Adams spectral sequence. К-theory and other extraordinary cohomology theories. Homology in variational problems.
Authors: Anatole Timofeevich Fomenko is Professor of Mathematics at the Moscow State University, D. Sci. in Mathematics, the author of numerous papers in geometry, topology, classical mechanics and computer science.
Dmitry Borisovich Fuchs is Leading Scientific Associate at the Moscow State University, D. Sci in Mathematics, the author of numerous papers in topology, homological algebra, and representations theory.
■»«»ia»4wzzzzzzzzzzi; , ,. j ^j-nir va-w”XVWNsJNfcea§J^§'gHg**JJ|ggg «^sw^zzzzzzzzAjj.'riiun^7:"7L 32C"ттт xxw<^«NS;^>^^S^^Ss®<®S^-
^й»И»ИУ///#/.71. '■З^пт™ 1 ЗП’^та^^ XW?^S8gjS^g^S^^^
^^^^2№7ОтпС(ШШШЗ№^^^^^ ^ЙЙ8ЙЙЙ^7Ж7/7/7ШООООООтВДЗЗЖ388б1бЙ8^^^
’^§^^^tt^^./LjLi/jLilJliljiie***<w'W*4^'^^^88^^ ^WZff/l/i/i/^tnte i ■■■ tuimiiiiN Я5%О№/£^СШ^
5
3 А.Т. Фоменко
А.Т. Фоменко, Д. Б. Фукс
гомотопической
топологии
ДОПУЩЕНО ГОСУДАРСТВЕННЫМ КОМИТЕТОМ СССР
ПО НАРОДНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ
В КАЧЕСТВЕ УЧЕБНОГО ПОСОБИЯ ДЛЯ-СТУДЕНТОВ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ УНИВЕРСИТЕТОВ
МОСКВА ’’НАУКА”
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1989
ББК 22.15 Ф76
УДК 515.143(075.8)
Фоменко А.Т.,Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии: Учеб, пособие для вузов. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 528 с. — ISBN 5-02-013929-7
Первый в отечественной литературе учебный курс гомотопической топологии и ее многочисленных приложений. Среди основных тем, затронутых в книге: теория клеточных комплексов, гомотопические группы, гомологии и когомологии, метод спектральных последовательностей, гомотопические свойства многообразий. Впервые в доступной широкому кругу читателей форме рассказывается о месте и роли гомотопической топологии в современной математике и физике. Читатель, освоивший курс, сможет свободно ориентироваться в специальной научной литературе.
Для студентов и аспирантов физико-математических специальностей вузов.
Табл. 4. Ил. 255. Библиогр. 140 назв.
Рисунки на вклейках выполнены А. Т. Фоменко
Рецензенты:.
кафедра алгебры и геометрии Тбилисского государственного университета (заведующий кафедрой - академик АН ГССР профессор Г.С. Чогошвили);
, 1602060000-035Ф —54-89053(02)-89, 1602060000-035Ф —54-89053(02)-89ISBN 5-02-013929-7ISBN 5-02-013929-7доктор физико-математических наук О.Я. Виро
, 1602060000-035
Ф —54-89
053(02)-89
, 1602060000-035
Ф —54-89
053(02)-89
ISBN 5-02-013929-7
ISBN 5-02-013929-7
©Издательство "Наука”.
Главная редакция физико-математической литературы, 1989