НАКОПЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТУИЦИИИ ПОСТАНОВКА ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ

§ 1. Постановка вопроса

Многие из самых выдающихся достижений геометрии основаны на том удивительном обстоятельстве, что геометрическая интуиция, развитая в одних областях, оказывается применимой в других, иногда очень на них непохожих. Иными словами, мы можем себе представить другие миры, в которых имеют место другие законы геометрии, чем в нашем, и представить почти также хорошо, как если бы мы в них жили. Цель этой книги — рассказать об одном геометрическом исследовании, в котором такое явление особенно ярко проявляется.

Вопрос, которым мы будем заниматься,— чисто геометрический, но чтобы его сформулировать и пояснить, проще сначала обсудить его, используя при этом и физическую терминологию. В самой широкой формулировке он звучит так:

Как убедиться, что теоремы геометрии действительно выполняются в окружающем нас пространстве?

Начав с этой общей постановки, мы будем ее постепенно сужать, пока не придем к тому более конкретному вопросу, которому посвящена эта книга.

Прежде всего, говоря о геометрии, мы будем иметь в виду лишь ту всем хорошо известную часть этой науки, которая охватывается школьным курсом. И в такой суженной постановке наш вопрос сохраняет весь свой интерес.

В качестве первого ответа на него мы можем сказать, что любую теорему из учебника геометрии возможно проверить экспериментально: например, для проверки теоремы о сумме углов треугольника надо измерять углы реальных физических треугольников. При этом мы отвлечемся от того, что все физические измерения производятся лишь приближенно, и будем предполагать, что точность измерений может быть сделана сколь угодно высокой.

Возникает вопрос — всегда ли такие измерения возможны? Длину не слишком большого отрезка можно измерить, сравнивая его с некоторым эталоном длины. Однако как проверить, что та или иная, теорема верна и для очень больших фигур? Например, как проверить ту же теорему о сумме углов для треугольника, вершинами которого служат точка на Земле и два спутника?

лениях, неожиданно оказываются тесно связанными. Конечно, чтобы почувствовать эти особенности математического исследования, читатель должен быть готов потратить и время, и силы на преодоление трудностей, которые у него могут возникнуть при чтении книги. Они состоят не в привлечении каких-либо сложных средств (например, в этой книжке читатель вполне может обойтись курсом геометрии 8 классов), но в привычке ко все более сложным и длинным математическим рассуждениям.

Книга делится на четыре части. Первую часть, как мы надеемся, сможет прочесть даже ученик старших классов школы, интересующийся математикой. В ней излагаются основные примеры, при помощи которых читатель может выработать некоторую геометрическую интуицию в новой для себя области. Чтение только одной этой части уже дает некоторое, самое первое, представление о той области, которой посвящена1 книга.

Вторая часть составляет ядро книги: в ней вводится новый метод, при помощи которого дается решение проблемы, поставленной в конце первой части. Она заметно труднее предшествующей — в ней содержатся доказательства нескольких теорем, из которых некоторые не совсем просты даже с точки-зрения математика профессионала. Мы надеемся, однако, что при работе над первой частью читатель приобретет некоторые навыки, которые помогут ему преодолеть трудности второй части. Читатель, разобравший две первые части, уже будет иметь полное представление о теории, составляющей предмет этой книги. Оставшиеся части рассказывают о связи этой теории с другими вопросами.

Третья часть, вероятно, покажется читателю опять более простой. В ее первом параграфе излагается обобщение теории, построенной раньше для случая двух измерений — на трехмерный случай, а во втором.— связь этой теории с кристаллографией. В последней части логика развития нашей теории естественно приведет к совершенно новому фундаментальному геометрическому понятию — геометрии Лобачевского.

В конце -почти каждого пункта приведено несколько упражнений. Их цель заключается не в том, чтобы познакомить читателя с новыми фактами — главным образом, они должны помочь читателю проверить, насколько он понял предшествующий текст. Поэтому, как правило, они очень просты.

По ходу изложения указаны сочинения, из которых читатель может узнать больше о вопросах, изложенных в этой книге.

НАКОПЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТУИЦИИИ ПОСТАНОВКА ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ

§ 1. Постановка вопроса

Многие из самых выдающихся достижений геометрии основаны на том удивительном обстоятельстве, что геометрическая интуиция, развитая в одних областях, оказывается применимой в других, иногда очень на них непохожих. Иными словами, мы можем себе представить другие миры, в которых имеют место другие законы геометрии, чем в нашем, и представить почти также хорошо, как если бы мы в них жили. Цель этой книги — рассказать об одном геометрическом исследовании, в котором такое явление особенно ярко проявляется.

Вопрос, которым мы будем заниматься,— чисто геометрический, но чтобы его сформулировать и пояснить, проще сначала обсудить его, используя при этом и физическую терминологию. В самой широкой формулировке он звучит так:

Как убедиться, что теоремы геометрии действительно выполняются в окружающем нас пространстве?

Начав с этой общей постановки, мы будем ее постепенно сужать, пока не придем к тому более конкретному вопросу, которому посвящена эта книга.

Прежде всего, говоря о геометрии, мы будем иметь в виду лишь ту всем хорошо известную часть этой науки, которая охватывается школьным курсом. И в такой суженной постановке наш вопрос сохраняет весь свой интерес.

В качестве первого ответа на него мы можем сказать, что любую теорему из учебника геометрии возможно проверить экспериментально: например, для проверки теоремы о сумме углов треугольника надо измерять углы реальных физических треугольников. При этом мы отвлечемся от того, что все физические измерения производятся лишь приближенно, и будем предполагать, что точность измерений может быть сделана сколь угодно высокой.

Возникает вопрос — всегда ли такие измерения возможны? Длину не слишком большого отрезка можно измерить, сравнивая его с некоторым эталоном длины. Однако как проверить, что та или иная теорема верна и для очень больших фигур? Например, как проверить ту же теорему о сумме углов для треугольника, вершинами которого служат точка на Земле и два спутника?

В этом случае все нужные измерения можно произвести, пользуясь телескопом. Таким же образом можно измерять даже расстояния от Земли до звезд. Тут мы однако сталкиваемся с тем, что для наших возможностей существует граница — радиус действия телескопов. Разумеется, эта граница меняется по мере усовершенствования телескопов, но в данный момент она выражается вполне определенным числом. Ее конкретное значение для нас не существенно: мы ее обозначим буквой г.

Таким образом, мы обнаружили существование такой величины (радиуса действия современных телескопов), что все производимые измерения относятся лишь к фигурам, все точки которых находятся от нас на расстоянии, не большем г. Иначе говоря, они расположены внутри шара радиуса г с центром в Земле. Предположим, измерения показали, что внутри этого шара выполняются все теоремы геометрии. Можем ли мы утверждать это о всем пространстве? Ответ, разумеется отрицательный: раз вся наша информация относится к измерениям внутри одного шара, мы ничего не можем сказать о том, каковы будут результаты измерений вне его.

Чтобы прийти к более содержательному вопросу, мы сделаем еще одно допущение, которое никак не может быть проверено на опыте, но логически кажется естественным: предположим, что Земля не занимает какого-то особого положения в пространстве, а наоборот, все точки пространства равноправны. Более точно, мы предположим, что те же результаты, которые далп измерения в шаре радиуса г с центром в Земле, мы получили бы, если бы могли совершать измерения в шаре такого же радиуса с центром в любой точке пространства. И значит, мы предполагаем, что все теоремы геометрии будут выполнены для всех фигур, расположенных в шаре радиуса г с центром в любой точке пространства. Это, конечно, очень существенное сужение той общей постановки вопроса, с которой мы начали.

Таким образом, окончательно мы пришли к следующему вопросу:

Пусть существует такая величина г, что все теоремы геометрии выполняются для фигур, помещающихся внутри шара радиуса г, в какой бы точке пространства ни был расположен его центр. Выполняются ли эти теоремы для любых фигур?

Этот вопрос по существу чисто геометрический. Как вопрос геометрии мы и будем его дальше исследовать.

Ответ на него оказывается совершенно неожиданным. Во- первых, он отрицательный. Мы построим другие геометрии, отличные от геометрии, известной из школы и житейского опыта, которые все же не отличимы от нашей «обычной» геометрии, если ограничиться рассмотрением их свойств внутри любого шара некоторого радиуса г. Но, с другой стороны, мы увидим, что

таких геометрий не так много — их всего несколько различных типов, и мы все их перечислим.

А попытавшись разобраться во множестве геометрий одного типа, мы увидим, что они сами естественно изображаются точками некоторой новой геометрии. Для самого интересного случая мы придем таким образом к еще одной знаменитой геометрии — геометрии Лобачевского. И наконец, еще одна неожиданность: при этом исследовании, казалось бы, мотивированном чисто теоретической постановкой вопроса, возникают методы, относящиеся к «обычной» геометрии, которые оказываются незаменимым орудием во многих разделах геометрии и физики, например в таком конкретном разделе физики, как кристаллография.

Мы встретимся, таким образом, с совершенно новым и очень важным для науки явлением — существованием различных геометрий. Ведь школьный курс геометрии оставляет такое впечатление, что геометрия возможна только одна, ее законы заранее предопределены, и задача заключается только в том, чтобы их узнать. Прежде чем развить такую новую точку зрения, мы должны, конечно, объяснить, что это значит —построить геометрию. Точное определение будет дано в § 6. Начнем мы с примеров, причем для простоты ограничимся случаем двух измерений. В качестве первого и очень наглядного примера геометрии, отличной от той, которая известна из школьного курса, мы расскажем о так называемой сферической геометрии.

§ 2. Сферическая геометрия

В этом параграфе мы займемся геометрией на сфере (напомним, что сферой называется поверхность шара). Очевидно, что этот пример имеет весьма реальный характер, так как мы сами живем на Земле, поверхность которой приближенно является сферой.

Что мы подразумеваем под расстоянием между двумя точками Земли — например, между северным в южным полюсами? На зтот вопрос можно дать два разных ответа. Либо можно забыть, что наши точки расположены на Земле, и измерить расстояние между ними в объемлющем космическом пространстве. Тогда расстояние, например, между северным и южным полюсом будет равно диаметру Земли. Это расстояние равно времени, необходимому на путешествие из одной точки в другую при движении с постоянной скоростью, равной 1, если возможно движение сквозь Землю. Либо же можно измерить расстояние минимальным временем, которое нужно затратить, двигаясь из одной точки в другую со скоростью 1 по поверхности Земли. Это расстояние будет равно длине наикратчайшей кривой, соединяющей наши точки и лежащей на поверхности Земли. В этом случае

расстояние от северного до южного полюса будет равно половине длины меридиана. В «земных» вопросах мы, как правило, пользуемся вторым способом измерения расстояний.

Этот второй способ и приводит нас к сферической геометрии. Даже сам термин «геометрия» (греч. 'уеюу.еврьа) произошел от «ге» — Земля и «метрео» — мерю. Точками этой геометрии считаются лишь точки некоторой сферы 2. Расстоянием между двумя точками Р и Q сферы 2 считается длина наикратчайшей кривой, лежащей целиком на сфере 2 и соединяющей Р и Q.

Сейчас мы рассмотрим некоторые самые простые свойства сферической геометрии.

Теорема 1. Кривая наименьшей длины, лежащая на сфере 2 и соединяющая точки Р и Q этой сферы,— это дуга большого круга сферы 2, проходящая через Р и Q.

Прежде чем приступить к доказательству теоремы, напомним, что большим кругом сферы называется ее пересечение с плоскостью, проходящей через ее центр. Если точки Р и Q не диа

метрально противоположные, то через них проходит единственный большой крут, который они делят на две дуги. Говоря о дуге большого круга, соединяющей Р та Q, мы будем иметь

в виду ту из них, которая короче. Если же точки Р та Q диамет

рально противоположны, то их соединяет бесконечное число дуг больших кругов. Все они имеют одну длину, равную половине длины меридиана сферы 2.

Доказательство теоремы 1 проведем от противного. Пусть Z — дуга большого круга, соединяющая Р и Q, а Т — другая ле- .жащая на сфере и соединяющая их кривая,

I'причем Т короче I ). Выберем на Т точки

/^' Р1' ^г' • • •' ^"’ Q и кажДые Две соседние

/соединим дугой большого круга (рис. 2.1). 10^ы получим сферическую ломаную V. Вы-

Гр-брав точки Pt, ..., Рп достаточно густо на I,

\/ мы добьемся того, что Г будет лежать до-

\/ статочно близко к Г, и поэтому ее длина

будет очень мало отличаться от длины Т, р 21 в частности, V будет тоже короче I.

ис- ' ‘Теперь мы будем по очереди выбрасы

вать вершины Рм ..., Р„ ломаной Г. Вы

бросим, например, вершину Pt, т. е. соединим дугами больших кругов точки Р, Рг, Ра, ..., Р™, Q. Мы получим новую ломаную I". Теорема будет доказана, если мы убедимся, что I" не длиннее V. Действительно, отсюда следует, что раз V была короче I, то и I"

большого круга, соединяющей Р с Q, которая I. А это противоречит тому, что длины I n'lw даже просто совпадают, если точки Р и Q не диаметрально противоположны).Осталось доказать, что ломаная Iбольшого круга, соединяющей Р с Q, которая I. А это противоречит тому, что длины I n'lw даже просто совпадают, если точки Р и Q не диаметрально противоположны).Осталось доказать, что ломаная IненеооЪЪподавно короче I. Поступая так п раз, мы выбросим все вершины ломаной Т и получим «ломаную» lw, состоящую из одной дуги снова будет короче равны (дуги I и Z<n>

большого круга, соединяющей Р с Q, которая I. А это противоречит тому, что длины I n'lw даже просто совпадают, если точки Р и Q не диаметрально противоположны).

Осталось доказать, что ломаная I

большого круга, соединяющей Р с Q, которая I. А это противоречит тому, что длины I n'lw даже просто совпадают, если точки Р и Q не диаметрально противоположны).

Осталось доказать, что ломаная I

не

не

о

о

Ъ

Ъ

длиннее V. Но у них все звенья общие, за исключением того, что у Z дуга большого круга соединяет Р с Рг, а у V такие же дуги соединяют Р с Л и Pi с Рг. Обозначим длины этих дуг через а, Ь и с. Нам надо, следовательно, доказать неравенство

а ^ б + с. (1)

Проведем для этого через центр О сфе-

ры S три плоскости, высекающие те большие гис- 2-2" круги, которые соединяют Р с Pi, Pi с Рг

(2)(2)и Р с Рг. Они образуют трехгранный угол OPPJ\ (рис. 2.2). Как длины дуг окружностей одного и того же радиуса а, b и с пропорциональны величинам а, р и f соответствующих плоских углов трехгранного угла ОРР1Рг, т. е. неравенство (1) равносильно неравенству для плоских углов а, Р и I трехгранного угла:

(2)

(2)

а^Р + Ъ

а это неравенство известно из школы как одно из свойств плоских углов трехграпного угла.

Таким образом, мы доказали,, что расстояние между двумя точками в сферической геометрии равно длине соединяющей их дуги большого круга. В этом смысле большие круги играют в сферической геометрии ту же роль, что и прямые в планиметрии. Поэтому углом САВ в сферической геометрии называется часть сферы, ограниченная дугами больших кругов АВА* и АСА', содержащими точки А, В и А, С соответственно, а величиной угла САВ называется величина двугранного угла, образованного полуплоскостями АВА' и АСА' с границей (ЛЛ') (рис. 2.3).

При таком определении сохраняются простейшие свойства углов, известные из планиметрии: прикладывая друг к другу два угла, сумма величин которых меньше 2л, получаем угол, величина которого равна сумме величин первоначальных углов; полный угол в любой точке равен четырем прямым или 2л.

Треугольником в сферической геометрии называется фигура, образованная тремя точками и тремя соединяющими их дугами больших кругов, причем предполагается, что три точки не лежат на одном большом круге. Многие теоремы, известные из планиметрии, справедливы и для сферической геометрии. Например, неравенство (1) — это теорема о том, что длина стороны треугольника не больше суммы длин двух других сторон. Свойство, заключающееся в том, что любые две точки сферы соединяются дугой большого круга, соответствует свойству геометрии на плоскости, заключающемуся в том, что через любые две точки

плоскости проходит прямая и т. д.

Но существует и ряд отличий сферической геометрии от планиметрии. Например, через любые две различные точки плоскости проходит единственная прямая, а через диаметрально противоположные точки сферы проходит бесконечно много больших кругов. В отличие от прямых, два больших круга всегда пересекаются — нет аналога параллельных прямых! Не верна и тео

рема о сумме углов треугольника: три взаимно перпендикулярные плоскости, проходящие через центр сферы, высекают на сфере треугольник, у которого все три угла прямые! Самое же, пожалуй, разительное отклонение от планиметрии заключается в том, что в отличие от прямых большие круги имеют конечную длину — двигаясь по большому кругу, мы через некоторое время вернемся в исходную точку (на поверхности Земли это свойство первым проверил Магеллан).

Все перечисленные отличия сферической геометрии от планиметрии можно обнаружить на достаточно больших кусках сферы. Так, два больших крута пересекаются в диаметрально противоположных точках, и если мы рассматриваем область на сфере, которая столь мала, что не содержит двух таких точек, то в ней мы этого пересечения не обнаружим. Может поэтому возникнуть подозрение, что в своих достаточно малых частях сферическая геометрия не отличается от планиметрии — это был бы пример как раз того явления, возможность которого мы обсуждали в § 1. Покажем, что это не так, и приведем два примера свойств сферической геометрии, которые отличают ее от планиметрии и которые можно обнаружить в любой, сколь угодно малой части сферы.

Первое Свойство касается длины окружности. Окружность радиуса р в сферической геометрии состоит из точек, удаленных ют одной точки на расстояние р, называемое радиусом,— определение то же, что и в планиметрии. Если радиус сферы 2 равен Я, то р = Яф, где ф — величина угла в радианной мере между

лучами, идущими из центра сферы в центр окружности и в одну из ее точек (рис. 2.4). G точки зрения обычной геометрии объемлющего пространства мы имеем дело с окружностью, радиус которой р, как видно из рис. 2.4, равен R sin ф = R sin ^-. Поэтому длина этой окружности равна 2лр, т. е.

(3)(3)2лВ sin-^-.

(3)

(3)

Мкт видим, что окружность радиуса р имеет в сферической геометрии иную длину, чем в планиметрии — не 2лр, а 2лВ sin Jp

Это отличие обнаруживается, конечно, на сколь угодно малых

окружностях.

Второе отличие касается суммы углов треугольника.

Теорема 2. Сумма углов любого треугольника в сферической геометрии больше двух прямых, т. е. больше л.

утверждения,утверждения,Согласно определению величины угла в сферической геометрии, это утверждение равносильно тому, что в любом трехгранном угле сумма его двугранных углов больше л. Можно было бы

утверждения,

утверждения,

привести доказательство этого стереометрического

Рис. 2.5.Рис. 2.5.не говоря о сфере. Но нас больше бы удовлетворило доказательство, в котором мы существенно используем геометрию сферы. Приведем его.

Рис. 2.5.

Рис. 2.5.

Доказательство. Продолжим стороны АВ, ВС и С А сферического треугольника АВС до больших кругов (ЛВ), (ВС) и (СЛ) (рис. 2.5, а). Найдем площади частей

сферы SA, Sb, Sc, заклю-

ченных между двумя из

этих больших кругов, выходящих из одной точки А, В или С треугольника АВС. (На рис. 2.5, б изображена одна из этих частей SA.)

Обозначим А величину угла ВАС. Очевидно, что площадь SA составляет от площади сферы такую же часть, как угол 2Л от угла 2л. Поскольку площадь сферы равна 4лВ2, то площадь SA равна

4лВ2.= 4В3Л;

аналогично площади SB и Sc равны соответственно УС В и УСС.

Заметим, что части Sa, Sb, Sc вместе покрывают всю сферу и пересекаются по сферическому треугольнику АВС и симметричному ему относительно центра О треугольнику А'В'С' (см. рис. 2.5, а), поэтому

4ДаЯ+ 4ЮВ + 4RaC= 4лД2 + 28 авс + 2SA,B,C,= 4лНгА-48АВС, откуда

2 + 5 + С-л =^^>0,(4)

что и доказывает теорему.

Обнаруженное нами отклонение сферической геометрии от планиметрии показывает, что невозможна точная карта никакого, хотя бы и малого, куска сферы — ведь карта рисуется на плоскости! При этом под точной картой куска сферы мы подразумеваем такую, в которой расстояние между любыми точками этого куска равно расстоянию между их изображениями на карте. Практически картами земной поверхности пользуются липп» потому, что довольствуются не точными картами, но такими, искажение которых достаточно мало. Можно доказать, что чем меньше область на сфере сравнительно с радиусом сферы, тем более точную ее карту можно составить. Это явление можно иллюстрировать, например, на формуле (3) для длины окружности на сфере и формуле (4) для отклонения суммы углов треугольника от л. Как известно, sin<z/a стремится к 1 при а, стремящемся к 0, так что чем меньше угол <х, тем ближе sin а к а. Поэтому при р, очень малом сравнительно с R, значение. 2л7?sin ^- очень близко к 2лр, т. е. к длине окружности в-планиметрии. Еще более очевидно соответствующее утверждение для суммы углов треугольника: формула (4) показывает, что чем меньше размеры земного треугольника по сравнению с радиусом Земли, тем ближе сумма| его углов к л.

Отличие сферической геометрии от планиметрии можно описать, к примеру, следующим образным способом. Представим себе, что как поверхность сферы, так и плоскость обитаемы разумными существами, которые способны перемещаться только по этим поверхностям. Конечно, чтобы представить себе этих жителей сферы и плоскости, надо несколько напрячь фантазию — это существа, имеющие лишь два измерения, вроде растекшихся капель чернил. Предположим, что эти жители могут производить измерения, изучать свои геометрии и сообщать друг другу по радио свои выводы. Тогда житель плоскости может запросить жителя сферы, верна ли формула 2лр для длины окружности радиуса р, и, получив отрицательный ответ, поймет, что их геометрии различны. К этому выводу они могут прийти, не по-

кидая сколь угодно малой части своей геометрии, рассматривая окружности достаточно! малого радиуса.

Читатель, желающий глубже ознакомиться со сферической геометрией, может обратиться к книге Адам ар а Ж. «Элементарная геометрия», ч. 2 (стереометрия).— М.: Учпедгиз, 1958.

Мы потратили некоторое время на изучение сферической геометрии лишь для того, чтобы привести простейший пример геометрии, отличной от той, которая известна из школьного курса. Теперь мы перейдем к примеру геометрии, которая дает ответ на вопрос, разбиравшийся в § 1: она отличается от геометрии на плоскости, но совпадает с ней в своих достаточно малых частях.

Упражнения

Что дают для сферической геометрии известные вам свойства трехгранных и многогранных углов?

Доказать аналог теоремы Пифагора для сферической геометрии: са Ъ•

cos д- = cos д--соз -д, где с — длина гипотенузы, а и 6—длины катетов прямоугольного сферического треугольника. Доказать, что для малых треугольников она переходит в обычную теорему Пифагора. (Указ ан не: cos2 а = 1 — sin2 а, поэтому при малых а cos2 а « 1 — а2.)

Доказать, что для выпуклого сферического п-утольника

__S

^ + А3 + ... + Ап — л (га — 2) = д2, где Аь Az, • -., Ал — величины его углов, aS— площадь.

Доказать, что для выпуклого многогранника имеет место формула Эйлера

У — R + E = 2, где V — число его вершин, R — ребер, Е — граней. (Указание: спроектировать многогранник из точки О внутри него на сферу сцентром в точке О и представить ее площадь как сумму площадей сферических многоугольников, на которые спроектируются грани многогранника.)

§ 3. Геометрия на цилиндрической поверхности

1. Первое знакомство. Рассмотрим цилиндрическую поверхность X, полученную движением образующей — прямой V — параллельно себе вдоль некоторой замкнутой плоской кривой без самопересечений. Мы определим геометрию на цилиндрической поверхности аналогично тому, как мы поступили в сферической геометрии. Ее точками мы будем считать точки поверхности S, а расстояние между двумя точками ^ и ^ определим как длину наикратчайшей кривой, лежащей на X и соединяющей & с Q.

Для исследования нашей геометрии мы воспользуемся одним методом ее изображения, суть которого состоит в развертывании поверхности S на плоскость. Обозначим через с сечение поверхности X плоскостью, перпендикулярной образующей I'. Сечение с' называется также направляющей цилиндрической поверхности

Рассмотрим на плоскости полосу, ограниченную двумя парал- лельными прямыми тй и т^, находящимися друг от друга на расстоянии, равном длине кривой с'. Соединим та и т, перпендикулярным к ним отрезком [POPJ. Этот отрезок можно без растяжения наложить на кривую с', так как его длина равна длине с'. При этом точки Ра и Pi наложатся на некоторую точку этой кривой. Теперь наложим всю полосу на поверхность 2 так, чтобы прямая п, па-

I। раллельная краям полосы

т° J'7т’ та и тх п проходящая че-

!рез произвольную точку Q

:ртрезка [PePj, совпала с

^° образующей п' поверхно-

iсти 2, проходящей через

|ту точку Q кривой с', на

।которую наложилась точка

Q (рис. 3.1 L

Рис. 3.1.Эту операцию можно

осуществить, сделав полосу из жести и потом согнув ее так, чтобы ее края т» и иц совпали, а отрезок [P0PJ принял форму кривой с'. Тогда полоса согнется в цилиндрическую поверхность 2.

При наложении полоса покроет всю поверхность 2 и каждая точка поверхности накроется ровно одной точкой полосы, за исключением лишь точек образующей, проходящей через точку ^: на них наложатся по две точки — одна, принадлежащая /п0, и другая, принадлежащая пц. Чтобы избежать и этого, мы будем дальше причислять к полосе только точки прямой т0, но не точки прямой mt. Тогда на каждую точку поверхности 2 наложится ровно одна точка полосы. Обратное сопоставление каждой точке поверхности той точки полосы, которая на нее накладывается, мы будем называть разверткой поверхности на плоскость.

Выясним, как измерить расстояние между точками на цилиндрической поверхности 2, если известны соответствующие им точки полосы. Вот первый шаг в этом направлении.

Теорема 1. При наложении полосы на цилиндрическую поверхность 2 любая кривая, содержащаяся в полосе, накладывается на кривую, лежащую на поверхности и имеющую ту же длину.

Теорема становится убедительной, если представить себе поверхность 2 согнутой из жестяной полосы, как мы это делали выше. Так как при этом жесть не растягивается, не сжимается,

то и длины кривых не меняются.

Для точного доказательства рассмотрим случай, когда цилиндрическая поверхность 2 является призмой, а значит, кривая с — многоугольником (рис. 3.2).

При этом ребра т', п', о', р', ..., V призмы развернутся на прямые т01 п, о, р, .... 11 полосе. Ограниченные этими прямыми меньшие полосы тйп, по, ..., tmt при наложении будут совмещаться с гранями призмы как твердые тела. Поэтому кривая, лежащая в такой меньшей полосе, наложится на равную ей кривую. Любая же кривая / разбивается прямыми п, о, р, ... на части и, и, ... . По предыдущему, кривые и, и, ... накладываются

Рис. 3.2.Рис. 3.2.

Рис. 3.2.

Рис. 3.2.

на равные кривые и', v', ... Кривая / составлена нз частей и, V,..., а /' — из частей и', и', ... Поэтому длины кривых / и /' равны.

В случае произвольной цилиндрической поверхности 3 нужно представить ее как предел вписанных в нее призм 3„, а кривую f на 3 как предел кривых /п на 3„, получающихся проекцией кривой /' на 3„. После этого можно воспользоваться уже доказанным для призм 3„ и кривых /„ утверждением. Соответствующее точное доказательство не представляет труда, но мы не будем его здесь приводить, тай как для того построения геометрии, которым мы сейчас заняты, вполне можно ограничиться случаем, когда 5 — призма.

Несмотря на установленное теоремой 1 равенство длин кривых, отнюдь не верно, что расстояние между точками полосы равно расстоянию между теми точками поверхности 3, на которые они накладываются. Причина заключается в том, что при наложении полосы прямые т0 и пг, склеиваются в одну прямую на 3. Благодаря этому некоторые точки этих прямых склеиваются в одну точку Q на 3. Это те точки Qo прямой т6 и Qt прямой ти для которых отрезок [(?0(?1] перпендикулярен тй п т,. Такие точкп мы дальше будем называть противоположными. Правда, МОЖНО возразить, ЧТО МЫ УСЛОВИЛИСЬ ИСКЛЮЧИТЬ прямую 7711 из полосы. Это верно, но исключив ее, мы увидим, что то же явление проявляется иначе: точки 80 и 8,, лежащие внутри полосы и близкие к точкам Qo и Q„ будут далеки друг от друга на полосе (пх расстояние близко к ширине полосы), но будут склеиваться в близкие точки на 5 (рис. 3.3).

2 В. В. Никулин, И. Р. Шафаревич

Мы пришли к ситуации, очень похожей на противоречие. Расстояние между точками как на цилиндрической поверхности 2, так и на плоскости равно длине наикратчайшей кривой, соединяющей эти точки. Длина кривой, расположенной в полосе, равна длине кривой на 2, на которую эта кривая накладывается, а расстояния между точками, кото- |рые эти кривые соединяют,—

Iразные! Чтобы понять причину

этого, заметим, что точки 5% ,.г_ и ^ на 2 можно соединить

0 s05,’ двумя дугами кривой с': «ма

лой» — S’oQS’i. и «большой» — ■УоЕТ"^. Из них «большая» ду- m0mr га развертывается в отрезок

[So^SJ, соединяющий точки Рис. 3.3.So и St в полосе. А во что раз

вертывается «малая» дуга? Ответ хотя и очевидный, но неожиданный — в два отрезка [QoSol и [S^J, «разорванные» в полосе, но соединяющиеся в одну кривую на 2.

Здесь надо уточнить нашу терминологию. Под словом кривая мы, конечно, до сих пор понимали кривую, которую можно нарисовать (на плоскости или на поверхности 2), не отрывая карандаша ). Так же мы будем применять этот термин и дальше. Фигуру, составленную из нескольких «разорванных» кривых (например, [<2OSO1 и [S^J), будем называть линией. Теперь мы можем сказать, что причина кажущегося противоречия заключается в том, что в теореме 1 нам встречаются не любые кривые на поверхности 2. Именно, кривые, лежащие в полосе, накладываютсяне на любые кривые на поверхности 2, а лишь на те из них, которые не пересекают образующую тп. При определении же расстояний на 2 мы должны рассматривать все кривые, в том числе и такие, которые пересекают эту образующую и к которым поэтому теорема 1 неприменима.

Чтобы решить эту задачу об измерении расстояний на цилиндрической поверхности 2, пользуясь ее изображением в полосе, мы должны, следовательно, выяснить, во что развертываются любые кривые на 2, хотя бы и пересекающие образующую. Ответ очевиден (см. рис. 3.4): каждый раз, как кривая /' пересекает образующую т' в точке 5,— на полосе она развертывается на две кривые, из которых одна StQt кончается в точке Qt, а другая Q0Sо начинается в противоположной точке. Таким образом, любые кривые на поверхности 2 развертываются в полосе в линии, которые могут состоять из нескольких кривых, причем предшествующая кривая кончается, а следующая начинается в противо-

положных точках. Так как к каждой кривой теорема 1 применима то длина кривой на 2 равна длине линии в полосе, на которую она развертывается.

Таким образом, мы получаем следующий ответ на поставлен

ный нами вопрос:

Теорема 2. Расстояние между точками 9 и S цилиндрической поверхности равно длине наикратчайшей из таких линий

Рис. 3.4.Рис. 3.4.} в полосе т0т»что / распадается на кривые /,, /2, ..., fn- jt начинается в точке S, на которую развертывается 9°, /п кончается в точке Т, на которую развертывается 9~, a ft кончается и /i+i начинается в противоположных точках {для i = 1, 2, ..., п — 1).

Рис. 3.4.

Рис. 3.4.

Теорему 2 можно интерпретировать, представив себе, что полоса снабжена мгновенно

действующими лифтами, соединяющими противоположные точки, так что, попав в точку прямой тп0, можно мгновенно очутиться в противоположной точке прямой mt, и обратно. Житель полосы может двигаться по ней со скоростью 1 и пользоваться лифтами. Расстояние от 9s до 9" на 2 равно наименьшему времени, которое он затрачивает на такое путешествие из 5 в Т.

Этот ответ еще не окончательный, так как он не указывает, как же найти самый короткий путь из возможных путей, соединяющих S с Г. Но во всяком случае он сводит изучение геомет

рии на поверхности 2 к некоторому вопросу планиметрии.

Упражнения

Доказать, что при определении расстояния между точками цилиндрической поверхности, данном в теореме 2, достаточно пользоваться только такими линиями /, что все кривые /{ являются отрезками прямой.

Пусть точки 9 и S' цилиндрической поверхности изображаются точками 5 и Т полосы, лежащими на прямой, параллельной сторонам тп0 и т,. Доказать, что расстояние между точками 9 и S' равно расстоянию между точками S и Т.

Пусть точки 9 и S' цилиндрической поверхности изображаются точками S и Г полосы, лежащими на отрезке, перпендикулярном сторонам тп0 и пъх. Как выразить расстояние между точками 9 и S' через расстояние между точками 5 и Г и ширину з полосы?

Правило измерения расстояний. В правиле для измерения расстояний, сформулированном в теореме 2, можно избавиться от непривычного на первый взгляд использования разрывных линий (или, что то же самое, «лифтов»). Пусть, например, линия / распадается на кривые /, и /2, причем А кончается в точке R прямой m^ а /2 начинается в противоположной ей точке прямой 2*

тй (рис. 3.5, а). Сдвинем параллельно полосу, ограниченную прямыми т0 и mt, так, чтобы точки прямой т0 совместились с противоположными им точками прямой mt (рис. 3.5, б). Пусть при этом прямая т^ совместится с прямой пг^ точка Т с точкой Тг

лежащей в

полосе, ограниченной

*2

5^

.R

S

'2

т

|т0

Ра

а)

т.

mi

5)

5

т2

Рнс. 3.5.

ны, а в

но

при

этом полученная

прямыми т^ п тп2, а кривая /2 — с кривой fa в той же полосе. Тогда кривые /, и /2 составят единую кривую f (так как кривая Д кончается, a f2 начинается в одной и той же точке R). Длина кривой f очевидно равна длине линии /, так как они разбиваются на попарно равные куски. Таким образом, мы можем заменить линию / кривой f той же самой дли-

кривая кончается не в точке Г, точке Т, в которую точка Т перешла при сдвиге полосы. Теперь мы опишем аналогичную конструкцию в общем случае, когда / состоит не из двух, а из произвольного числа кривых. Кроме прямых тп0 и mt мы проведем еще бесконечное число

параллельных прямых тп2, mSs ..., расположенных вправо от

ти и ш-^ тп_^ m_Sl ——влево от mOl причем так, что все расстояния между прямыми mt и тп<+1 будут одинаковыми (рис. 3.6). Тогда вся плоскость разобьется на бесконечное число равных полос. Прямая ^РоР^ пересечет прямые тгц в точках Pt.

Каждую полосу,

аналогично полосе,

ограниченную ограниченной

прямыми тпг и т«+1, мы можемпрямыми тй д т^ наложпть

на поверхность S, совместив точку Pt с точкой ^ этой поверхности. Так как все эти полосы вместе покрывают плоскость, то мы «наворачиваем» всю плоскость на поверхность S. При этом в одну точку поверхности попадет по одной точке из каждой полосы, а всего, следовательно,— бесконечно много точек. Это те точки, которые в разных полосах занимают одинаковое поло-

жение, т. е. которые совместятся друг с другом, если мы совместим полосы, сдвинув одну из ник параллельно прямой (Р^) так чтобы она совместилась со второй. Все эти точки расположены на одной прямой, параллельной прямой (P0Pi), и образуют ряд точек, в котором соседние находятся друг от друга на расстоянии, равном длине кривой с' (т. е. длине отрезка LPoPJL Иными словами, они получаются из одной из них путем параллельных переносов на любые векторы вида к • РоРн являющиеся произвольными целыми кратными вектора PqPi- Все точки такого ряда (т. е. точки плоскости, накладывающиеся на одну точку поверхности S) мы будем называть эквивалентными. Процесс на- ворачивания плоскости на поверхность S можно представить себе как наворачивание листа бумаги или жести на цилиндрическую палку.

Обратный процесс разворачивания поверхности л на плоскость можно представить себе столь же наглядно. Положим цилиндрическую поверхность 5 на плоскость так, чтобы образующая т' совпала с прямой т^ и начнем катить S без скольжения (для наглядности можно считать кривую с выпуклой) по плоскости. Когда S совершит один оборот, т' совпадает с прямой т^ а любая точка на S — с той точкой плоскости полосы, на которую она развертывается. Если мы будем продолжать катить 5 и в противоположную сторону, то т’ будет последовательно совпадать с прямыми т-ь тп-^ ... и т. д. При этом точка ^ на 2 будет совпадать с теми точками в полосах тгцт<^ которые все эквивалентны друг другу.

Предположим, что мы имеем в полосе линию / такую, которая описывается теоремой 2 (см. рис. 3.6, где изображена такая линия, состоящая из трех кривых). Изобразим ее на плоскости, сдвинув кривую /а параллельно из полосы т^тх в полосу mjn^ (тогда Qi совместится с ^ = Уо), /з — в полосу тгт^ (тогда Qa совместится с точкой @2? в которой сдвинулась перед тем Qa) и т. д. В результате мы получим одну кривую f, состоящую из частей Л, А» Л, ••*, равных Л, /2, /з, ... (см. рис. 3.6) и поэтому имеющую ту же длину, что и /. Наоборот, любая кривая f4 идущая из некоторой точки полосы в любую точку плоскости, разбивается прямыми mt на части ft. Каждую кривую ft можно сдвинуть по прямым, перпендикулярным прямым тй в полосу momt и таким образом получить в ней кривые ft, которые составляют как раз такую линию /, о которой говорится в теореме 2.

Таким образом, согласно теореме 2, любая кривая /', соединяющая на поверхности 5 точку ^ с точкой ^*, может быть изображена как кривая f той же длины на плоскости. Начинается кривая f в той точке 5 полосы, заключенной между прямыми mQ и в^, которая при наворачивании плоскости попа-

дает в точку ^, но заканчивается в точке Т, принадлежащей, быть может, не этой полосе, а некоторой полосе т,т,+1. Однако точка Т совмещается с той точкой Т полосы т07П1, которая накладывается на точку 9", если мы совместим полосу тп<т<+1 с полосой momi, сдвинув ее параллельно прямой (Р0Р1), т. е. точка Т эквивалентна точке Т.

Итак, мы имеем полное описание всех кривых, соединяющих точки 9 и 9" поверхности 2, если заданы точки 8 и Т полосы тдТПц которые в них попадают при наворачивании плоскости. Так как расстояние на 2 определено как длина наикратчайшей из таких кривых, то мы видим, что расстояние от 9 до 9~ равно длине наикратчайшей плоской кривой, соединяющей точку 5 с некоторой точкой Т, эквивалентной Т. Но на плоскости длина кривой, соединяющей точки 8 и Т, будет наименьшей, если эта кривая — отрезок и равна просто расстоянию от 8 до Т. Поэтому мы приходим к окончательному и очень простому ответу, который сформулируем в виде теоремы.

Теорема 3. Пусть точкам 9 и 9~ цилиндрической поверхности 2 соответствуют точки S и Т полосы mttmv Расстояние от 9 до 9" на 2 равно наименьшему из расстояний от S до точек Т, эквивалентных Т (см. рис. 3.7, где Т = Tt, i = О, ±1, ±2, ...).

В теореме 3 точки 9 и 9" играют разную роль: мы изображаем 9 точкой 5, содержащейся всегда в полосе тпйт^ а Т может оказаться любой точкой, эквивалентной точке Т. Легко видеть, что и вместо точки 8 мы можем брать любую точку S, эквивалентную точке 8,— ответ от этого не изменится. Действительно, сдвинув полосу, в которой лежит точка 8, в полосу mom1? и так же сдвинув всю плоскость, мы совместим с собой ряд точек Т^ эквивалентных Т. Поэтому все расстояния от 8 до точек Л и все расстояния от S до 7V— это одна и та же совокупность чисел. Пользуясь этим, мы дальше не будем обязательно предполагать 8 содержащейся в полосе mttmt.

Согласно теореме 3 для вычисления расстояния от 9 до 9" на ’*2 мы должны выяснить, какое

прямой любымипрямой любымик,к,из расстояний от 8 до точек Tt, эквивалентных Т, наименьшее. Точки Т\ все лежат на одной ой прямой тп0, и расстояние между t Tt, Tt+l одинаково — оно равно ши

прямой любыми

прямой любыми

к,

к,

рине полосы тпдтп,, т. е. длине направляющей с' цилиндрической поверхности 2. Обозначим это расстояние через s. Проекция точки 8 на прямую к попадает в какой-то из отрезков длины а, на которые точки Tt делят эту прямую (рис. 3.8).

Пусть эта проекция будет заключена между точками Тк и Тк+1. Очевидно, что тогда наименьшим среди расстояний от S до ^ будет расстояние от 5 до Тк или от S до Тк+1 в зависимости от того, к какому концу интервала — Тк или TV, —проекция будет

5

Рис. 3.9.Рис. 3.9.Tk-i Dr-1 —z-—,Тк*2 рг*з

Рис. 3.9.

Рис. 3.9.

Рис. 3.8.

ближе расположена. Это очень простой способ определения расстояний, пользуясь которым читатель в качестве упражнения легко проверит, что если точки 93, 9", 91 на поверхности 5 изображаются точками S, Т, XJ в полосе на рис. 3.9, то расстояние от 9” до 9" на S равно расстоянию от S до Т на плоскости, а расстояние от 9s до 91 равно расстоянию на плоскости от 5 до точки U-„ эквивалентной U.

Упражнения

Доказать, что при определении расстояния между точками цилиндрической поверхности, данном в теореме 2, достаточно пользоваться только линиями /, которые или являются отрезком, или распадаются на две кривые /1 и /2, каждая из которых является отрезком. (Указание: воспользоваться теоремой 3.)

Пусть 2 —цилиндрическая поверхность, V — ее образующая, с' — направляющая. Обозначим через г расстояние между точками У и 9~ поверхности 2, п — расстояние между их проекциями 9Х и 9" х на образующую V, •через г2 — расстояние между их проекциями У2 и ?"г на направляющую с' (т. е. длину той из двух дуг кривой с', ограниченных точками У2 и ^2, которая меньше). Доказать, что на 2 имеет место «теорема Пифагора»: г2 = = г2+ г2. (Указание: воспользоваться теоремой 3.)

Заметим, что изображение поверхности 2 на полосе связано с выбором той образующей п', иа которую накладываются края тп0 и mi полосы (мы разрезаем 2 вдоль п', превращая в полосу). Доказать, что для любых двух точек 9 и 9" поверхности 2 можно так выбрать образующую га', что расстояние между 9 и 9~ на 2 будет равно расстоянию между соответствующими им точками St и Г1 в полосе.

Исследование геометрии на цилиндре. После того как мы так подробно описали геометрию на цилиндрической поверхности 2, мы можем перейти к нашей основной цели и показать, что в своих достаточно малых частях она совпадает с планиметрией. Прежде всего, уясним себе, почему описанный нами процесс нахождения расстояний приводит к разному ответу для точек 9s, 9~ на S, с одной стороны, и для соответствующих им точек S, Т

полосы т^тп^ с другой. Ответ теперь совершенно ясен. Для некоторых точек их расстояние действительно равно расстоянию между соответствующими им точками полосы — таковы, например, точки S, Т на рис. 3.9. Для других же, например, для 8, U ла этом рисунке, расстояние равно расстоянию на плоскости от

Рис. 3.10.Рис. 3.10.

Рис. 3.10.

Рис. 3.10.

мымыРис. 3.11.Рис. 3.11.бразится полосой, должны заменитьбразится полосой, должны заменить

мы

мы

Рис. 3.11.

Рис. 3.11.

бразится полосой, должны заменить

бразится полосой, должны заменить

S не до U, а до эквивалентной ей точки U-v Поэтому расстояние от 9“ до д' будет совпадать с расстоянием на плоскости от 8 до Т, если 8 ближе к Т, чем к другим эквивалентным ей точкам Ти Пусть задана точка 8 на плоскости. Каковы точки Т, удовлетворяющие этому условию? Ответ очевиден, если взглянуть на рис. 3.10. Это все точки, лежащие внутри полосы, ограниченной прямыми, параллельными тп» и отстоящими от 8 на расстояние s/2.

Иными словами, надо, чтобы расстояние между проекциями S и Т на прямую, перпендикулярную т0, было меньше s/2. Если и любую полосу ширины s' < s/2, края которой параллельны me (см.рис. 3.10), то указанное свойство будет выполнено для любых точек этой Полосы — их расстояние на плоскости равно расстоянию между точками поверхности S, на которые они налагаются. Мы нашли, следовательно, довольно большие областп в нашей геометрпи (на которые налагаются такие полосы), в которых любые измерения дают тот же результат,, что и на плоскости, т. е. геометрия этих областей та же, что и некоторых областей плоскости.

Здесь необходимо одно предупреждение.. При изображении точек цилиндра точками полосы mg/H, не всякая такая область изо- Дело в том, что при этом изображении мы точки такой полосы ширины s' < s/2 эквива

лентными им точками полосы тйтп1. При этом, например, полоса,, ограниченная прямыми р, q на рис. 3.11, изобразится в полосе-

mom, в виде двух полос. Прп наложении полосы тат< на поверхность S эти полосы склеятся в единую полосу на 5. Очевидно, что любой круг радиуса г < s/4 помещается внутри полосы ширины s' < s/2, поэтому для него также будет выполняться нужное свойство: расстояние между его точками на плоскости равно расстоянию между соответствующими точками поверхности 2. В полосе т,м, этот крут может изобразиться в виде двух сегментов, которые при наложении на поверхность S опять склеятся (см. рис. 3.11). Очевидно, что такой круг любого радиуса г<з/4 можно описать вокруг любой точки полосы тпоТП!. Это п устанавливает основное свойство геометрии на поверхности S.

Теорема 4. Геометрия на цилиндрической поверхности S совпадает с геометрией на плоскости в достаточно малых областях. Такой областью является, например, любой круг радиуса г < s/4, где s — длина направляющей с'.

Теперь убедимся, что на всей поверхности S геометрия отлична от геометрии на плоскости. Для этого мы разберем вопрос, интересный и сам по себе — свойства прямых в этой геометрии.

Прямую мы определим как кривую и' на S, обладающую следующим свойством: длпна отрезка кривой, соединяющего любые две точкп ^ и ^ этой кривой, равна расстоянию \st98\ между ними, еслп длина отрезка не превосходит некоторой фиксированной величины (например, s/4). Таким образом, кривая и', как и прямая на плоскости, дает кратчайший путь, соединяющий ее точки, но не любые, а лишь достаточно близкие по этой кривой.

Каковы же этп прямые? Как мы видели, любая кривая f на S изображается в виде некоторой кривой f на плоскости (см. рис. 3.6). При этом точке Т кривой f соответствует та же точка 9" поверхности, что и эквивалентной ей точке Т, содержащейся в полосе пг07П1. Пусть кривая и', являющаяся прямой на S, изображается кривой и на плоскости. Опишем вокруг точки Т, принадлежащей й, круг радиуса г < s/4. Согласно теореме 4, расстояние между любыми точками А, Б этого круга равно расстоянию между соответствующими точками ^, 98 поверхности S. С другой стороны, длина дуги кривой и', соединяющей -st и 98, равна расстоянию между st и 98. Поэтому и длина дуги кривой и, соединяющей точки А и Ё, равна расстоянию между этими точками. Отсюда следует, что эта дуга — отрезок прямой линии. Значит, кривая й на любом отрезке, помещающемся в круге радиуса г < s/4, совпадает с прямой, а следовательно, опа и вся является прямой линией. Мы доказали, таким образом, что прямые на 2 — это те кривые, которые изображаются в виде прямых на плоскости.

Как же они выглядят на цилиндрической поверхности S? Тут возможны три случая.

Прямая и перпендикулярна прямым тп,. В этом случае в полосе 7^0^! ей соответствует отрезок [<?0<?J, соединяющий прямые mQ и mt и перпендикулярный этим прямым. На поверхности S этот отрезок увертывается в направляющую и' (рис. 3.12).

Прямая и параллельна прямым mt. На поверхности 2 ей соответствует образующая и'.

Рис. 3.12.Рис. 3.12.Рис. 3.13.Рис. 3.13.

Рис. 3.12.

Рис. 3.12.

Рис. 3.13.

Рис. 3.13.

Прямая и ни параллельна, ни перпендикулярна прямым mt. В полосе ей соответствует линия, состоящая из бесконечного числа параллельных отрезков. На поверхности 2 она свертывается в кривую, бесконечное число раз обвивающую эту поверхность, неограниченно поднимающуюся вверх и опускающуюся вниз (рис. 3.13). В случае круговой цилиндрической поверхности такая кривая называется винтовой линией.

Сразу же бросается в глаза некоторое отличие прямых линий на 2 от прямых на плоскости. Во-первых, прямые типа 1) замкнуты, т. е. имеют конечную длину. Интересно, что через любую точку на 2 проходит замкнутая прямая, но только одна. Во-вторых, прямые типа 2) и типа 3) или две прямые типа 3) пересекаются в бесконечном числе точек. Эти свойства показывают, что геометрия на цилиндрической поверхности во многом отличается от геометрии на плоскости, но этих отличий, как мы видели, нельзя обнаружить, если не выходить за пределы круга радиуса г < s/4.

Упражнения

Сколько разных прямых соединяет две разные точки # и ^ на цилиндрической поверхности? Рассмотреть различные случаи расположения точек Ф и Q.

Доказать, что из всех отрезков прямых, соединяющих точки Ф и Q, имеется либо один самый короткий, либо два. В каком случае один, а в каком — два?

Пусть I — кратчайший отрезок, соединяющий точки Ф и Q. Доказать, что существует два разных отрезка прямой, соединяющих Ф с Q и не пересекающих I.

Доказать, что две любые незамкнутые прямые на цилиндре пересекаются бесконечное число раз, если хотя бы одна из них отлична от прямой типа 2). -

(Указание ко всем упражнениям: воспользоваться изображением прямых на цилиндрической поверхности в виде прямых на плоскости.)

§ 4. Мир, в котором «право» и «лево» неразличимы

Говоря о том, что наши оценки зависят от принятой точки зрения, Л. Толстой пользуется таким сравнением: когда идешь по дороге, то одни предметы находятся справа, другие — слева; но стоит повернуть в обратном направлении и предметы, бывшие справа, окажутся слева, а бывшие слева станут справа. Это сравнение апеллирует к тому факту, что слово «слева» или «справа» еще не определяет положение предметов относительно дороги — надо знать, в какую сторону по дороге глядит наблюдатель, с точки зрения которого это описание делается. Если же направление, в котором глядит наблюдатель, выбрано, то левая и правая сторона тем самым однозначно определяются. Но верно ли последнее утверждение? Не может ли случиться, что, двигаясь все время в одном направлении по замкнутой дороге, мы вернемся назад и при этом левая и правая сторона поменяются местами? Наш опыт говорит, что это невозможно, и это действительно невозможно в планиметрии. Но сейчас мы построим геометрию, совпадающую с планиметрией в своих достаточно малых частях, в которой это парадоксальное явление имеет место.

Рис. 4.1.Рис. 4.1.Конструкция новой геометрии очень похожа на ту, которую мы применяли в § 3 для описания геометрии на цилиндре. Опять рассмотрим полосу, ограниченную параллельными прямыми тп0 и mt, проведем прямую I перпендикулярно тв и mv Обозначим через s расстояние от тв до mv Точки Qo на прямой тв и Qi на т, назовем эквивалентными, если Qt получается из QB сдвигом на расстояние s в направлении прямой I и симметрией относительно I. Иными словами, QB принадлежит прямой тв, Q, принадлежит 7ПЪ и они находятся на одинаковом расстоянии от прямой I, но по разные стороны от нее (рис. 4.1). Мы будем считать Q^ точкой, эквивалентной QB, и QB — точкой, эквивалентной Qv То же определение можно сформулировать иначе. Для этого введем важное определение:

Рис. 4.1.

Рис. 4.1.

перемещение плоскости, состоящее из симметрии относительно прямой и сдвига (параллельного переноса) в направлении этой прямой, называется скользящей симметрией. В частности, если сдвиг равен нулю, мы получаем просто осевую симметрию.

Пользуясь этим определением, можно сказать, что точки Q» и Qt эквивалентны, если Qo переходит в Qt при помощи скользящей симметрии с осью I и сдвига на расстояние s.

Теперь предположим, что любые пары эквивалентных точек соединены мгновенно действующими лифтами и определим расстояние между точками 5 и Т нашей полосы как минимальное время, за которое можно пройти от 5 к Т, двигаясь по полосе и пользуясь лифтами. При этом эквивалентные точки прямых пц и mt надо рассматривать как одну точку. Это и есть определение нашей геометрии. Оно отличается от определения геометрии на цилиндре только тем, что точки прямых т0 и mt соединяются лифтами по иному принципу.

Точное определение этой геометрии дается по аналогии с тем, как мы поступали в § 3. Точками геометрии считаются точки полосы, заключенной между прямыми т0 и тп^ причем прямая т0 к полосе причисляется, a mi — нет. Расстоянием между точками S и Т называется длина такой наикратчайшей линии / в полосе, что / распадается, на кривые /1} /2, ..., /„: А начинается в S, /„ кончается в Т; точки, в которых А кончается и А+1 начинается, эквивалентны.

Склеив эквивалентные точки прямых т0 и ти можно получить поверхность 2, на которой реализуется наша геометрия, подобно тому как геометрия в полосе, описанная в § 3, реализуется на цилиндре. Чтобы представить себе эту поверхность 2, мы сначала рассмотрим часть полосы, заключенную между двумя прямыми I» и А, параллельными I и симметричными относительно нее (рис. 4.2). Склеивание дает поверхность, изображенную на рисунке. Ее легко изготовить из бумаги. Она называется «листов Мёбиуса» в честь немецкого математика, который впервые обратил на нее внимание. -Раздвигая неограниченно прямые 1» и lt,

т0

Рис. 4.2.

мы получим нужную нам поверхность, которую можно назвать искрученным цилиндром».

Удобное описание нашей геометрии можно получить, развернув ее на плоскость, как это делалось в § 3. Для этого разобьем плоскость на бесконечне число полос равной ширины, ограниченных прямыми т0, /щ, т2, ..., m_t, т_2) ... (рпс. 4.3). Полосу, ограниченную прямыми mt и mi+l, обозначим П,-. Отождествим полосу По с nt сдвинув ее параллельно на вектор P0Pt, а затем

Рис. 4.3.Рис. 4.3.произведя симметрию относительно прямой I. Точку Tt полосы Пн с которой отождествится при этом точка Т9 полосы По, мы будем считать эквивалентной этой точке. Аналогичным образом отождествим полосу П, с полосой П2. Точку Тг полосы П2, с которой отождествится точка Ti, мы будем считать эквивалентной как точке Т9, так и точке Т,. Этот процесс продолжим до бесконечности, причем применим его также и к полосам П-н П_2, ..., лежащим левее полосы По. Таким образом возникает способ отождествить любую полосу П( с другой полосой П,: если г < j, то мы должны указанным способом отождествить П4 с П4+ц потом П.+1 с П.+2 и т. д. до П„ Окончательный результат можно, как

Рис. 4.3.

Рис. 4.3.

легко проверить, описать следующим образом. Если числа i и ; одинаковой четности, то мы просто параллельно сдвигаем П4 в П, параллельно прямой Z, если же четность чисел i и j разная, то мы производим скользящую симметрию относительно прямой L

Точки, которые соответствуют в разных полосах друг другу при этих отождествлениях, называются эквивалентными. Например, точки То, Т4, Тг, ..., T_t, ... на рис. 4.3 эквивалентны друг другу. Каждой точке нашей геометрии при этом соответствует не только точка То полосы По, но и вся совокупность То, Т„ Тг, .. . ..., Т-t, Т_г, ... эквивалентных друг другу точек плоскости. Точно так же, как и в § 3, доказывается, что расстояние между точками ^ и. ЗГ в нашей геометрии определяется следующим образом. Выберем любую точку 5 на плоскости из числа эквивалентных точек, соответствующих точке S, искомое расстояние равно наименьшему из расстояний от точки 8 до точек Г: U = = 0, 1, 2, ..., — 1, —2, ...), эквивалентных точке £7".

Нам остается рассмотреть вопрос — когда расстояние между точками 8 п Т плоскости равно расстоянию между соответствующими им точками 9° и 9" нашей геометрии. Это сводится к простой геометрической задаче: когда точка S ближе к точке Т, чем к другим эквивалентным ей точкам? Обозначим точку Т через Го, а эквивалентные ей точки — через Тх, Тг, ..., Т-х, Т-г, ... (рис. 4.4). Прежде всего, точка 5 должна быть ближе к То, чем к точкам Тг, Тм ..., Т-г, Т-x, ... В § 3 мы видели, каким условиям она должна для этого удовлетворять: она должна лежать внутри полосы, ограниченной прямыми, перпендикулярными прямой I и делящими пополам расстояние от Т, до Тг и от То до Т-г. Иначе говоря, эти прямые должны проходить через точки Tt, T_v Расстояние от любой точки из этой полосы до любой из точек Тг,

Т5, ... и Т_3, Т-о, ... больше, чем до точек Tt и Т-„ Поэтому нам остается выяснить, когда расстояние от точки S, лежащей в этой полосе, до точки Т» меньше, чем до точек Т, и Т-4. Точки, равноудаленные от точек Т6 и Т,, расположены на прямой, перпендикулярной отрезку [Zorj и делящей его пополам, т. е. на

прямой nt на рис. 4.4. Точки, более близкие к Т« чем к Т^ расположены выше этой прямой. Аналогично точки, более близкие к Т», чем к Т_„

об- Т„ ей за-об- Т„ ей за-лежат выше прямой n-t. Таким разом, точки, которые ближе к чем к любой из эквивалентных точек, расположены в фигуре, штрихованной на рис. 4.4.

об- Т„ ей за-

об- Т„ ей за-

Обозначим расстояние между точками То и Т, через а. Так как прямая и, по построению делит отрезок IToTJ пополам и ему перпендикулярна, то крут с центром в точке Та

радиуса г, равного наименьшему из чисел а/2 и s, где s — половина ширины полос По, Пъ ..., целиком содержится в этой заштрихованной области, т. е. расстояние от любой точки 5 этого круга до точки То равно расстоянию между соответствующими им точками У и 5Г нашей геометрии Очевидно, что а ^ s, и поэтому можно взять г С s/2. Если теперь мы рассмотрим круг радиуса s/4 с центром в любой точке плоскости, то для двух любых его точек будет выполнено это условие: одна из них будет находиться внутри круга радиуса т ^ s/2 с центром в другой, а поэтому расстояние между ними будет равно расстоянию между. соответствующими им точками нашей геометрии. Как и в § 3, мы можем заключить отсюда, что внутри круга радиуса s/4 наша геометрия совпадает с геометрией на

плоскости.

Аналогично тому, как это делалось в § 3, легко доказать, что прямой в нашей геометрии является кривая, соответствующая прямой на плоскости. Одна особенно интересная такая прямая соответствует прямой I. Она соответствует отрезку [P0PJ; так как точки Ро и Р, эквивалентны, то она замкнута, а длина ее равна s. Пользуясь ею, мы покажем, что в нашей геометрии понятия «право» и «лево» не различаются (смысл этого выражения был разъяснен в начале параграфа). Действительно, представим себе «человека» (т. е. «жителя» нашей геометрии, подобно тому как в § 2 мы рассматривали жителя сферы), движущегося по прямой, соответствующей отрезку [PePJ нашей геометрии. Пусть он начинает свое движение от точки Ро, причем его правая и левая руки раздвинуты в стороны так, как это показано на рис. 4.5. Когда «человек» дойдет до точки Рх, он мгновенно окажется в

точке Ро. При зтом его правая рука, находившаяся в точке А', окажется в эквивалентной ей точке А, т. е. там, где находилась в начале путешествия левая. Так же точно левая рука окажется на месте правой.

Другое описание того же явления дают часы, движущиеся по прямой, соответствующей [PoPJ." вернувшись в точку Ро, они будут идти в обратном направлении! Можно вполне наглядно представить себе эти необычные свойства нашей геометрии, так как они связаны с рассмотрением лишь ее части, соответствующей подмножеству полосы, заключенному между двумя параллельными прямыми 10 и 11 на рис. 4.2. Эта часть изображается поверхностью в пространстве (листом Мёбиуса) на рис. 4.2.

При этом может показаться, что пройдя по замкнутой прямой, соответствующей от- |резку [PoPJ, мы не возвращаемся в исход-

Iную точку, так как оказываемся на другой

попоI стороне поверхности. Но надо помнить, что _ .. I гура на плоскости (и поверхности) лежит не с той или другой tстороны, а является подмножеством точек плоскости (и поверх-

по

по

$ности). Если угодно, фигура лежит сразу на обеих сторонах этой

I плоскости (поверхности).

;Упражнения

(1. Доказать, что через каждую точку скрученного цилиндра проходит

I ровно одна замкнутая прямая, одна прямая, не пересекающая себя, и бес- j конечное число прямых, каждая из которых бесконечное число раз пере- L секает себя. .- -- —

*2. Доказать, что на скрученном цилиндре существует ровно одна замк-

; нутая прямая наименьшей длины, а все остальные замкнутые прямые име- | ют одинаковую длину — в два раза большую.

f3. Изменится ли понятие «право» и «лево» для «жителя», движущегося

> по замкнутой прямой, длина которой в два раза больше минимальной дли- ! пы замкнутой прямой?

(4. Что произойдет со скрученным цилиндром, если разрезать его вдоль

(замкнутой прямой, имеющей наименьшую длину? Распадется ли он на две

J части, как цилиндр? Что произойдет, если разрезать скрученный цилиндр вдоль замкнутой прямой, длина которой равна удвоенной минимальной? Проверить ответ на модели листа Мёбиуса, изготовленной из бумаги.

I§5. Ограниченный мир

I 1. Описание геометрии. Мы переходим к изучению более слож- ■ ной геометрии. Ее нельзя описать как геометрию на некоторой ( поверхности в пространстве. Для ее построения мы воспользуемся тем, что, как мы видели в предшествующих параграфах, геометрию на цилиндрической поверхности и на скрученном цилиндре можно описать не говоря об этих поверхностях, а пользуясь их

Рис. 5.1.Рис. 5.1.изображением в полосе. В новом построении полоса будет заменена квадратом.

Рис. 5.1.

Рис. 5.1.

Рассмотрим квадрат ABDC, обозначим его К (рис. 5.1). Две точки, лежащие на противоположных сторонах этого квадрата, мы будем называть противоположными, если соединяющий их отрезок параллелен двум другим сторонам. Например, на рис. 5.1 противоположными являются точки Р и Q, а также S н 7. Предположим, аналогично тому, как мы поступили в § 3, что стороны квадрата связаны мгновенно действующими лифтамп, которые соединяют любые две противоположные точки. Житель квадрата может двигаться со скоростью, равной 1, внутри квадрата и пользоваться лифтами. Наименьшее время, необходимое ему для путешествия из одной точки квадрата в другую, будет называться этими точками. Так определяется геометрия,

расстоянием междурасстоянием междукоторую мы будем рассматривать.

расстоянием между

расстоянием между

Согласно нашему определению, расстояние между противоположными точками сторон квадрата равно нулю — лифты переносят из одной в другую мгновенно. Поэтому противоположные точки должны рассматриваться в этой геометрии как одна. Склеив противоположные стороны АС и BD, как это делалось в § 3, мы получим конечный цилиндр (рис. 5.2, а). Чтобы теперь склеить стороны АТ В и CSD нам надо было бы согнуть наш цилиндр в похожую на бублик поверхность, изображенную на рис. 5.2, в. В математике эта поверхность называется тором. Но при таком

сгибании одни отрезки образующих цилиндра растянутся, другие — сожмутся. Например, отрезок [АС] растянется во внешний меридиан тора, a [EF] сожмется во внутренний. Поэтому, хотя нашу геометрию и можно отобразить на тор без разрывов, расстояния при этом будут искажаться. Тор может служить лишь

искаженной картой этой геометрии, подобно тому как карта полушария Земли дает лишь искаженное изображение полушария.

Тем не менее, пользуясь изображением на торе, можно ясно представить себе нашу геометрию. Для этого надо начертить на квадрате К сетку из достаточно часто идущих параллелей и меридианов (рис. 5.3) и перенести ее на тор. При этом, конечно, квадратики, примыкающие к внутреннему меридиану тора, будут

Рис. 5.3.Рис. 5.3.

Рис. 5.3.

Рис. 5.3.

сжиматься, а к внешнему — растягиваться. Расстояние в нашей

геометрии по параллели или меридиану можно измерить на торе по числу сторон квадратиков, помещающихся между точками, а для любых точек сетки — пользуясь теоремой Пифагора^

Ввиду этого (а также для того, чтобы иметь короткий термин), мы будем называть нашу геометрию геометрией на торе, а квадрат К, в котором расстояние между точками определяется указанным выше образом, будем называть тором.

Наша геометрия на первый взгляд может показаться несколько надуманной. Дальше -будет рассказано, как к ней можно прийти, исходя из более естественной точки зрения. К ней приводят и некоторые физические вопросы. Рассмотрим, например, планетную систему, которая состоит из двух планет ЕЕ

и F, движущихся по орбитам-окружностям/"TVo

(рис. 5.4).„7

Чтобы изобразить положение этой пла- нетной системы в некоторый момент времени, \1)

зафиксируем на каждой из двух орбит те по-7

ложения Ей и Е^ которые планеты Е и F W * занимали в момент времени, соответствующий началу наблюдений. Положение планеты Е Рис. 5.4.

в любой момент определяется углом ф, ко

торый образуют радиусы орбиты, направленные в точку Ео и в ту точку, которую занимает в этот момент планета Е. Аналогично положение планеты F определяется углом ф. Таким образом, положение всей системы определяется двумя числами ф и ф. Два числа ф и ф можно изобразить в виде точки Р на плоскости, приняв ф и ф за ее две декартовы координаты, тогда точка Р будет

3 В. В. Никулин, И. Р. Шафаревич

изображать положение планетной системы. Так как углы принимают значения от 0 до 2л, то ф и лр будут ограничены этими пределами, а это значит, что точка Р будет помещаться в квадрате со стороной 2л. Кроме того, углы 0 и 2л соответствуют одному и тому же положению планеты и, значит, точки Р с координатами (0; ф) и Р' с координатами (2л; ф) изображают одно и то же положение планетной системы. Аналогично обстоит дело с точками, имеющими координаты (ф; 0) и (ф; 2л). Это —- противоположные точки квадрата. Таким образом, чтобы одинаковым положениям планетной системы соответствовали одинаковые точки, мы должны считать одинаковыми противоположные точки квадрата. Так мы приходим к геометрии на торе.

Мы описали геометрию на торе, используя наглядное представление о лифтах, соединяющих противоположные точки квадрата. Теперь мы дадим ее строгое и формальное определение. Оно будет аналогично тому описанию геометрии на цилиндрической поверхности, которое дает теорема 2 § 3. Вот это определение.

Точками геометрии на торе мы будем считать внутренние точки квадрата К и точки его границы, но из двух противоположных точек брать только одну. Для этого мы будем причислять к квадрату (см. рис. 5.1) стороны АВ и АС, но не стороны CD и BD. Расстоянием между двумя точками Р и Q мы будем называть длину наикратчайшей из таких линий / в квадрате, что / рас-» падается на кривые ft, h, ..., 1„; при этом Д начинается в точке Р, fn кончается в точке Q, ^ кончается, а Д+1 начинается в противоположных точках (К i < га — 1).

Очевидно, что при склеивании квадрата в тор рассмотренные нами линии Д склеютея в кривые на- торе. -

- План исследования ЗТоЙгеометрий примерно тот же, что и в § 3 и § 4. Многие рассуждения будут дословно сохраняться — в таких случаях мы не станем их повторять, а сформулируем лишь окончательные утверждения.

Прежде всего, как и в § 3, мы заменим изучение таких линий /, которые встречаются в определении расстояний, некоторыми кривыми на плоскости. Для этого мы замостим всю плоскость прилегающими друг к другу квадратами, равными тому квадрату, исходя из которого была определена наша геометрия (рис. 5.5).

Точки Pi и Рг, лежащие в разных квадратах ^ и Кг, мы будем называть эквивалентными, если наложив параллельным переносом квадрат Ki на Кг, мы совместим точки Pi и Р» (это понятие

отлично от того понятия эквивалентности, которым мы пользовались в § 3 или в § 4!). В частности, каждая точка плоскости эквивалентна некоторой точке квадрата К, т. е. соответствует некоторой точке тора, и все точки плоскости, соответствующие одной точке тора, эквивалентны друг другу. Пользуясь понятиями векторной алгебры, можно сказать, что точки Qt и Qi эквивалентны, если Qi может быть получена из Qt параллельным переносом на вектор, имеющий вид ktet + кгег, где kt и кг — любые целые числа, et = CD, ее = С А, т. е. et и е2 образованы сторонами квадрата К, исходящими из одной вершины.

Пусть кривая Л кончается в точке Qt (а значит, /2 начинается в противоположной точке ^2). Сдвинем квадрат К параллельно в соседний квадрат К' так, чтобы Qs сдвинулась в @v Тогда кривые Л, /з, • - •, /» сдвинутся в кривые /а, /а, ..., /п, лежащие в квадрате К', причем ft и /г будут образовывать одну кривую. Пусть кривая /а кончается в точке Q3 квадрата К', а /а начинается в противоположной точке Qt. Сдвинем К' в соседний квадрат К" так, чтобы ^4 сдвинулась в Q3, тогда кривые /з, ft,, /„ сдвинутся в кривые /а, /4, ..., /п, лежащие в квадрате К", причем теперь уже /ц /а и /3 будут образовывать одну кривую. Повторив этот процесс п раз, мы получим из линии / одну кривую / на плоскости. Кривая f будет кончаться в точке Q, эквивалентной точке Q, в которой кончалась линия / (см. рис. 5.5).

Еще проще обратный процесс построения по кривой / на плоскости соответствующей линии / в квадрате. Для этого надо только разрезать кривую f на части, содержащиеся в отдельных квад- ратах, а потом параллельно сдвинуть их так, чтобы содержащие , их квадраты совместились с квадратом/С

Так как длина кривой / равна длине линии /, то мы можем, как и в § 3, пользоваться кривыми / для определения расстояния в геометрии на торе. В точности, как и там, доказывается, что расстояние между точками Р и Q в этой геометрии равно длине наикратчайшей из кривых на плоскости, соединяющих точку Р с точками, эквивалентными точке Q. Отсюда, опять в точности как и в § 3, следует, что это расстояние равно наименьшему из расстояний на плоскости между точкой Р и точками, эквивалентными Q. При этом можно заменить точку Р любой эквивалентной ей точкой:— наименьшее расстояние до точек, эквивалентных точке Q, не изменится. Таким образом, необязательно предполагать, что точка Q лежит в исходном квадрате К. Все эти утверждения доказываются дословно так же, как аналогичные утверждения в § 3, и поэтому мы не будем приводить их доказательства.

Дальнейшее исследование несколько больше связано со спецификой геометрии на торе, и мы проведем его подробно.

3*

Пусть Р и Q — любые точки плоскости, а ^ и Q — соответствующие им точки тора. Когда расстояние на плоскости между PaQ равно расстоянию между ^ и Q в геометрии на торе? Первый ответ, конечно, таков: когда Р ближе к Q, чем к какой-либо из других точек, эквивалентных точке Q; именно тогда наименьшее из расстояний от Р до точек, эквивалентных Q, будет просто равно расстоянию от Р до Q. Но как узнать, для каких точек Р и Q это выполняется?

Все точки эквивалентные Q, составляют множество, образованное вершинами равных, прилегающих друг к другу квадратов, стороны которых параллельны сторонам квадрата К (рис. 5.6).

Рис. 5.7.Рис. 5.7.

Рис. 5.7.

Рис. 5.7.

Те точки, которые ближе к Q, чем к 91, лежат справа от прямой (MN); те, которые ближе к у, чем к Q«,— слева от прямой (RD; те, которые ближе к ф, чем к ф2,— ниже (NR); а те, которые ближе к Q, чем к Qi, выше (MD. Таким образом те точки, которые ближе к Q, чем к Qi, Qi, Qs, Qi, заполняют квадрат LMNR. Легко убедиться, что точка, лежащая внутри этого квадрата, ближе к Q, чем к любой другой эквивалентной точке. Простую элементарную проверку читатель может провести сам. Вот и ответ на наш вопрос: расстояние между Р и Q на плоскости равно расстоянию между соответствующими им в геометрии на торе точками 9s и Q, если Р лежит внутри квадрата с центром в Q, равного и параллельно расположенного квадрату К, т. е. совмещающегося с К параллельным переносом.

Рассмотрим любой квадрат К, параллельно расположенный квадрату К и имеющий в два раэа меньшую сторону. В какой бы его точке ни поместить центр квадрата К', равного и параллельного К, весь квадрат К будет, очевидно, содержаться в К'. Поэтому на плоскости расстояние между любыми точками из К равно расстоянию между, эквивалентными им точками квадрата К в геометрии на торе. Мы нашли, следовательно, в нашей геометрии области, в которых геометрия совпадает с геометрией на плоскости. Вместо квадратов К можно, конечно, рассмотреть вписанные в них

круги. Следует лишь отметить, что так же, как и в геометрии на цилиндре, как квадраты К, так и эти круги необязательно будут помещаться в квадрате К. В таких случаях все их точки следует заменить эквивалентными точками квадрата К (рис. 5.7).

Таким образом, установлено, что вокруг любой точки нашей геометрии можно описать круг некоторого радиуса (равного четверти стороны квадрата Ю, в котором эта геометрия совпадает с геометрией на плоскости.

То, что вся эта геометрия не совпадает с геометрией на плоскости, бросается в глаза сразу же. Например, расстояние между любыми двумя точками квадрата К в нашей геометрии заведомо не превосходит их расстояния на плоскости, а это расстояние не больше диагонали квадрата. Это означает, что мы построили ограниченный мир-, расстояние между любыми его точками не превосходит некоторой определенной величины. В этом смысле наша геометрия больше похожа на сферическую геометрию, чем на планиметрию.

Упражнения

Пусть Р и Q — точки, лежащие на одной стороне I квадрата К. Доказать, что на торе стороне I соответствует окружность, а расстояние на торе между точками # и 5, соответствующими точкам Р и Q квадрата, равно их расстоянию на этой окружности (т. е. длине наименьшей на дуг окружности, на которую они ее делят).

Пусть Р и Q — точки квадрата К, Рх и @i — их проекции на сторону квадрата АВ, а Р2 и ^2 — на сторону АС. Пусть 9s, Q, Уь Qu 5”» 5* — соответствующие точки тора, г — расстояние между точками 9* и Q, rt — между ^ и 51 и г2- между ^ и 5». Доказать «теорему Пифагора»: г = = rl+'g-

Проверить, что диагоналям квадрата соответствуют на торе замкнутые кривые. Что произойдет с тором, если разрезать его вдоль кривой, соответствующей одной диагонали квадрата? Распадается ли он' на две части? Что произойдет, если сверх того разрезать тор еще и по кривой, соответствующей второй диагонали квадрата?

Заменить квадрат во всех построениях этого пункта произвольным параллелограммом ABDC и отождествить те точки противоположных сторона АВ и CD, а также АС и BD, которые совмещаются при параллельном переносе на вектор А С (для АВ к CD) и вектор АВ (для АС и BD). Проверить,, что таким образом мы опять приходим к геометрии, совпадающей в малом с планиметрией. Как выглядит совокупность точек плоскости, расстояние- от которых до заданной точки Q равно расстоянию между соответствующими точками в этой геометрии? (Для случая квадрата эта фигура изображена на рис. 5.6.)

Определение прямой мы заимствуем из § 3. Мы не будем его повторять так же, как и доказательство того, что прямые — это те линии / квадрата К, которым соот

ветствуют прямые / на плоскости.

Итак, рассмотрим некоторую прямую f на плоскости. Первое, что нас будет интересовать, это — замкнута ли соответствующая прямая / в геометрии на торе.

Рис. 5.8.Рис. 5.8.Сначала напомним, что если на плоскости выбрана система координат, то каждая прямая линия, не параллельная оси у, задается уравнением

Рис. 5.8.

Рис. 5.8.

у = ах + 6. Коэффициент а называется угловым коэффициентом прямой. Чтобы его найти, надо взять на прямой две точки, имеющие координаты (ж,, у,) и (ж2, у^. Из системы уравнений

Ут = ахг 4- 6,,У2 = ах, 4- Ь,

означающей принадлежность этих точек нашей прямой, получим (рис. 5.8), что

Выберем за начало координат вершину С квадрата К, а за оси координат прямые (CD) и (СА) (см. рис. 5.1) и предположим, что в этой системе координат прямая f имеет уравнение

у = ах 4- Ъ.

Теорема. Если угловой коэффициент а прямой f рационален, то прямая f на торе замкнута. Если же этот коэффициент иррационален, то прямая f бесконечна и, более того, сколь угодно близко подходит к любой точке тора.

Сторону квадрата К примем равной 1. Тогда его точки будут иметь координаты (ж, у), 0 < ж < 1, 0 < у < 1. Две точки плоскости эквивалентны, если одна получается из другой сдвигом по горизонтали и вертикали на целое число квадратов, параллельных и равных К. Это равносильно тому, что как координаты ж, так и координаты у отличаются на целое число.

Рассмотрим отдельно каждый случай, указанный в формулировке теоремы.

Угловой коэффициент а рационален. Пусть a = pfq, где р и q — целые числа. Точки Р^ и Pi, лежащие на нашей прямой, у которых координаты ж отличаются на q, будут тогда эквивалентны. Действительно, если они имеют координаты (ж„ у,') и (жз, Уз), то

Жз = ж, 4- q, у! = аж, 4- Ь,

уг = ахг 4- Ъ = ^ (жг 4- q) 4- Ъ = ахг 4- р 4- Ъ = ух 4- р.

е. вторые координаты этих точек отличаются на р. Значит, если сдвинуться из Pt на q квадратиков по горизонтали и на р по вертикали, то мы поцадем в Рг. Это и значит, что Pt и Р эквивалентны.

Таким образом, если мы будем двигаться по прямой f, то как только координата ж возрастет на q, мы вернемся в исходную точку на торе и дальше будем двигаться по той же прямой. Это означает, что прямая / на торе замкнута. Соответствующая линия / в квадрате К может состоять из нескольких отрезков (см. ряс. 5.9, где линии нарисованы для случая, когда f имеет уравнение у ■

Рис. 5.9.Рис. 5.9.Рис. 5.10.Рис. 5.10.

Рис. 5.9.

Рис. 5.9.

Рис. 5.10.

Рис. 5.10.

II. Угловой коэффициент— иррациональное число. Мы утверждаем, что какое бы маленькое число, например j^og^OOO’ мы ™ взяли, двигаясь достаточно долго по прямой /, мы пройдем около каждой точки тора на расстояний, не большем, чем это число. Очевидно, достаточно доказать, что задающая эту прямую линия / в квадрате К проходит сколь угодно близко от каждой точки квадрата К.

Рассмотрим точку Р квадрата К, имеющую координаты (с, d). Проведем через нее отрезок g, параллельный стороне квадрата и проходящий через точку Р. На торе он склеивается в замкнутую прямую. Мы докажем даже, что существуют точки пересечения линий / и g, сколь угодно близкие к точке Р (рис. 5.10).

Выясним, как найти точки пересечения линий / и g в квадрате К, пользуясь изображением / в виде прямой линии / на плоскости. Для этого вспомним, что точки (ж, у), лежащие на /,— это те точки квадрата К, которые эквивалентны точкам (ж', у') прямой f. Нас интересуют те из них, которые принадлежат и g, т. е. для которых ж = с. Это значит, что соответствующая точка (а/, у'), лежащая на 7 и эквивалентная точке (ж, у), должна иметь координату ж' — с + п, где п — любое целое число *). То, что

точка (х', у') лежит на прямой 7, означает, что для нее у' = ах' + 6 = а(с + п) + 6 = ап + ас + 6.

Таким образом, мы получаем ответ на наш вопрос. Линии fag пересекаются в тех точках квадрата К, которые эквивалентны точкам плоскости с координатами

ж'и = с-\-п, у'п = ап + Ь',(1)

где Ъ' = ас + b и п — любое целое число.

Таким образом, каждому целому значению п соответствует точка пересечения линий / и g в квадрате К. Мы обозначим ее Q„.

В квадрате К она определяется ^2—__как точка, эквивалентная точке, "У=ПГкоординаты которой задаются

формулами (1).

О

Пусть задано сколь угодно большое число N. Мы докажем, что среди точек Q„ найдутся та-

кие, которые отстоят от Р не

- у=21нбольше, чем на VN.

уУ*1^1Прежде всего заметим, что У=оточки Qn, соответствующие раз-

Рис. 5.11.ным значениям п, различны меж

ду собой. Действительно, пусть пч^тп, но Qn = Qm. Так как эти точки эквивалентны, то их координаты отличаются на целые числа. Для координат ж это действительно так: первая из формул (1) дает

ж'п = ж'т-У П — ТП.

Пусть вторые координаты этих точек отличаются на целое число к, т. е.

ап + Ъ' = атп + Ъ' + к.

Отсюда мы получаем, что а = ——— (деление возможно, так как п ч6* тп), а это противоречит иррациональности а, значит, Q, и Qm различны.

Разделим отрезок g на N равных частей, которые в квадрате К изображаются отрезками," состоящими из точек с координатой у, заключенной между 0 и 1/N, VN и 2/N, ..., —— и 1 (рис. 5.11).

Так как число значений п бесконечно, а число отрезков конечно (2V), то на некоторый отрезок придется по крайней мере две точки с разными значениями п. Пусть это будут точки Qu и Qm, п=#* тп. Это значит, что для точек, координаты которых определяются формулами (1) при п и при тп, существует такое целое

число к, что уяиут+& отличаются меньше, чем на 1/2V, т. е. ап + Ъ' = ат + Ь' + а + к,

где 0<а<-^, а к — целое число. Отсюда мы получаем, что

акп — m) = a-Vk.

Положим п — т = г, тогда эта формула запишется в виде

аг = а + к, 0<а-<-^:, к—целое.()

Теперь сравним для любого целого значения s точки Q. и Q,+r. Из формул (1) получаем

xVt = Ж$ + г, y^+r = a (з 4- г) + V = as + b' + ar = ys + аг, а из неравенства (*) следует, что

у',+т = y's + СС + к, 0 < а < -^, к — целое.

Как мы видим, это означает, что точки Q, и Q,+r находятся друг от друга на расстоянии а, меньшем MN. Рассмотрим, начиная с точки Qo, точки Qo, Qr, Qir, . •. Расстояние между двумя соседними равно а, а длина отрезка g равна 1. Поэтому, прикладывая друг к другу отрезки IQirQtM-Drl достаточное число раз, мы покроем ими весь отрезок g (очевидно, надо взять больше, чем 1/а отрезков). В какой-то из отрезков попадет и точка Р. Это значит, что от одной из точек QtT она отстоит на расстояние не большее а, т. е. меньшее Y/N. Доказательство теоремы окончено.

Упражнения

Доказать, что любая незамкнутая прямая в геометрии на торе пересекает любую замкнутую бесконечное число раз.

Доказать, что незамкнутая прямая на торе себя не пересекает.

Определить наименьшую из длин замкнутых прямых на торе.

Некоторые приложения. В заключение приведем несколько следствий и замечаний, относящихся к доказанной теореме.

Вернемся к примеру планетной системы, изображенной на рис. 5.4. Мы предположим теперь, что планеты Е, F движутся с постоянными угловыми скоростями «щ, со г по орбитам — окружностям радиусов г,, г2 с одним центром О, где г, < гг. И будем считать, что плоскости орбит различны*). Предположим, кроме того, что близкая планета Е видна из центра О планетной системы под углом fi, а далекая F — под утлом v2, причем yi > > Y2 (рис. 5.12).

Нас будет интересовать, произойдет ли затмение далекой планеты F близкой планетой Е (с точки зрения наблюдателя, находящегося в центре

О системы). Докажем, что если отношение угловых скоростей -^— иррационально, то затмение произойдет бесконечное число раз. Для этого, прежде всего, заметим, что затмение происходит, если в данный момент времени t планеты Е, F оказываются близко к одному из двух лучей, на которые точка О разбивает прямую пересечения плоскостей орбит (рнс. 5.12). Более точно, если (фо, фо) — точка тора, соответствующая положению планет на таком луче ОА», то затмение произойдет, если точка тора (ф, ф).

соответствующая положению планет в момент времени t, удовлетворяет условию

1ф — фо| + |ф — Фо1 < ъ — №•(2)

Такие точки (ф, ф) образуют квадрат с центром в точке (фо, фо) и диагональю 2(^1— 72).

Ф— Р _ Ш2Ф — а шх *Ф— Р _ Ш2Ф — а шх *Если в момент времени t = О положения центров планет В, В характеризуются углами а и р, то в момент времени t соответствующие им углы будут равны ф = Ш1* + а, ф = ша< + Р- Отсюда мы получаем для <р и ф соотношения

Ф— Р _ Ш2Ф — а шх *

Ф— Р _ Ш2Ф — а шх *

т. е.

Ф = -^-ф + ^, где 1 = ——а+р.(3)

11

Уравнение (3) — это уравнение прямой с угловым коэффициентом , поэтому положения планет в различные моменты времени вычерчивают на ®2 торе прямую. Так как —— по условию иррационально, то по доказанному она подходит сколь угодно близко к любой точке тора, в частности — к точке (фо, Фо), что и доказывает требуемое: найдется бесконечно много, точек (ф, ф) на этой прямой, удовлетворяющих неравенству. (2)..

Центральным местом в доказательстве теоремы было утверждение о том, что точки пересечения линий fag находятся сколь угодно близко к любой точке отрезка g. Эти точки задаются как точки, лежащие в квадрате К и эквивалентные точкам, координаты которых определяются формулами (1).. Посмотрим, каковы же координаты самих точек пересечения. При этом мы ограничимся случаем, когда Ь' = 0.

Координата х искомой точки нам известна — она равна с для всех этих точек. Чтобы найти координату у, надо нз координаты уп вычесть такое целое число, чтобы разность была заключена между 0 н 1. Эта разность и будет искомой координатой у„. Из формул (1) мы имеем ап = у„ + *, 0 ^ у» < 1, & — целое число.

Слагаемое 7с называется целой частью числа ап, а у„— его дробной частью. Теперь мы можем так переформулировать доказанное нами свойство прямых на торе:

Эля любого иррационального числа а дробные части чисел ап подходят сколь угодно близко к любому числу, заключенному между 0 u 1.

Это утверждение имеет много приложений к свойствам иррациональных чисел. В качестве примера выясним, с каких цифр начинается запись степеней 2. Заметим, что 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, 2s = 32, 2* = 64, 27 =

= 128, 2s = 256, 2е = 512; поэтому степени 2 заведомо начинаются с цифр 2, 4, 8, 1, 3, 6, 5.

Пусть г — некоторая цифра, т. е. натуральное число, меньшее 10. Она встречается в нашем ряду, если существуют такие натуральные числа п, т и I, что

2” = г • 10™ + Z, 0 < Z < 10™.

Это неравенство можно записать иначе так:

2”

'■^^Г<г + 1,

что равносильно неравенству

1g г ^ в lg.2 — m < 1g (г +1).

бой заданной группы цифр.бой заданной группы цифр.Иными словами, дробная часть числа n 1g 2 должна содержаться между 1g г и 1g (г+ 1). Так как число 1g 2 иррационально (убедитесь в этом сами!), то такое п существует по доказанному нами свойству дробных частей. Аналогично можно доказать, что существуют степени 2, начинающиеся с лю

бой заданной группы цифр.

бой заданной группы цифр.

Если проанализировать доказательство того утверждения, которое сформулировано и подчеркнуто в замечании 2 (это доказательство составляет конец доказательства теоремы), то из неге можно извлечь более точный результат. Идея доказательства заключалась в том, что среди бесконечного числа различных дробных частей чисел вида ап хотя бы две принадлежат интервалу длины 1/W, а это дает возможность построить число ат, для которого дробная часть мала.

1N1NПопробуем это рассуждение уточнить. Так как число интервалов длины

1

N

1

N

., ^ +1,., ^ +1,равно N, то уже среди дробных частей чисел ап, в = 0, 1,

., ^ +1,

., ^ +1,

две будут принадлежать одному интервалу. Пусть это дробные части чисел

ап н ат, тогда при г = п — т дробная часть аг меньше, чем др т. е.

ат = к + а,ат = к + а,0 < а < ^у.0 < а < ^у.

ат = к + а,

ат = к + а,

0 < а < ^у.

0 < а < ^у.

Иными словами, |лг — &| < "дГ, т. е.

(4)

Такое неравенство имеет место для любого N. В нем кит — натуральные числа, н по построению г < N; отсюда следует, что тем более

(5)

к

Неравенство (5) показывает, что рациональное число — довольно близко к иррациональному числу а. Существование таких приближений хотя бы для одного значения г ничего не дает — например, при г = 1 это очевидно. Однако из неравенства (4) можно вывести, что такие приближения существуют со сколь угодно большим г, т. е. с г > М, каково бы ни было М.

Действительно, если бы число таких знаменателей г, для которых неравенство (5) имеет решение, было конечно, то и число решений вида kjr

неравенства (5) было бы конечно. Это следует из того, что все эти решения отличаются от а не более чем на 1 (так как г ^ 1). Тогда и число решений неравенств (4) при всех N (>• г) (вместе взятых) было бы конечно, поскольку решения неравенств (4) дают решения неравенства (5). Решения же неравенства (4) существуют при сколь угодно больших N н отличаются от а меньше, чем на *^*. Чего не могло бы быть, если бы их число было конечно.

Таким образом, для любого иррационального числа существует бесконечно много хороших рациональных приближений, удовлетворяющих неравенству (5). Существование столь хороших приближений совсем не очевидно. Например, мы не получаем таких приближений, если будем пользоваться способом, который первым приходит в голову: отбросить десятичные знаки с определенного места. Если разложение числа а в бесконечную десятичную дробь имеет вид

а — s, rtr2..., О ^ г< ^ 9, то это значит, что

О < г. < 9.О < г. < 9.

О < г. < 9.

О < г. < 9.

будет равнобудет равногл+110n+iгл+110n+iГп+210п+2Гп+210п+21 10п1 10п9 10п ’9 10п ’

будет равно

будет равно

гл+1

10n+i

гл+1

10n+i

Гп+2

10п+2

Гп+2

10п+2

1 10п

1 10п

9 10п ’

9 10п ’

Рассмотрим дробь со знаменителем 10”:

I 6

Отклонение я — qj^

где g — iq1 + ^jt2" +... — произвольное число, меньшее 1. Таким образам, для этого приближения мы не Можем утверждать ничего лучшего, чём_

к10лк10ла —а —110л’

к

10л

к

10л

а —

а —

в то время как согласно неравенству (5) существуют гораздо лучшие приближения.

Упражнение

Указать в зависимости от к такое число Ns что среди чисел 2, 2а, ... . •2К обязательно встретится число, начинающееся на к заданных цифр ПГдГз ... тк. Каково N для к = 2?

Что значит задать геометрию?

Определение геометрии. В §§ 3—5 мы рассмотрели несколько примеров таких геометрий, которые в своих достаточно малых частях совпадают с геометрией на плоскости. Теперь, пользуясь приобретенными навыками, мы можем перейти к исследованию произвольной геометрии такого типа. В связи с этим

мы сталкиваемся с совершенно новыми вопросами: что такое геометрия? Как задать геометрию? Какие геометрии считать одинаковыми? Ведь раньше (в §§ 3—5) мы просто предъявляли некоторую конструкцию и называли ее геометрией. Теперь мы используем эти примеры, чтобы исходя из них выработать общее понятие геометрии. В качестве других примеров мы будем привлекать и обычную геометрию на плоскости (планиметрию) и сферическую геометрию, о которой было рассказано в § 2.

Конечно, под геометрией мы понимаем не какую-то совокупность утверждений (скажем, предложений, лемм, теорем из школьного курса), а некоторый определенный математический объект (вроде геометрии на сфере, на цилиндре и т. д.), который, при желании, можно исследовать и про который можно доказывать какие-то утверждения.

Во всех встречавшихся нам примерах геометрия была множеством, состоящим из элементов, которые мы называли точками. Но что такое точки, как их задавать? Обратимся еще раз к нашим примерам.

В геометрии на плоскости мы можем представить себе в качестве плоскости, например, классную доску, которую мыслим продолженной неограниченно. При этом под точкой можно понимать след, оставляемый мелом при соприкосновении с плоС' костью. Чтобы задать точку, достаточно ее «указать» или пометить мелом.

1а. Введя на плоскости систему координат, можно задать точку координатами, т. е. упорядоченной парой чисел (х, у). Если мы хотим описать точки плоскости, отвлекаясь от всякой геометрической интуиции (например, чтобы рассказать о нашей геометрии жителям какого-то другого мира), мы можем принять это за определение точки: сказать, что точка — это упорядоченная пара чисел.

В сферической геометрии точка — это точка на сфере.

2а. Обозначим через О центр сферы 2 и рассмотрим всевозможные лучи, выходящие из О. Каждый такой луч пересекает сферу 2 в единственной точке, и через каждую точку сферы 2 проходит единственный такой луч. Поэтому, чтобы задать точку сферической геометрии, можно задать луч с началом в точке О.

В геометрии на цилиндре мы называем точкой — точку цилиндра.

За. Пользуясь разверткой, можно (как мы делали в § 3) задать точку цилиндра точкой полосы на плоскости (с исключенной правой граничной прямой этой полосы).

Наконец, в § 3 мы встретились еще с одним способом задавать точку на цилиндре — каждая такая точка задается множеством эквивалентных друг другу точек плоскости.

4а. В геометрии на скрученном цилиндре мы определяли точки как точки полосы (с исключенной правой граничной прямой).

Здесь тоже был указан другой способ задания точек — каждая точка задается множеством эквивалентных друг другу точек (но понятие эквивалентности здесь иное, чем в примере 3).

В геометрии на торе, описанной в § 5, мы имели два способа задания точек, которые можно обозначить 5а и 56 и которые совершенно аналогичны примерам За и 36 или 4а и 46.

Это разнообразие способов, которыми задаются точки, наводит на мысль, что для геометрии безразлично, что мы называем точками, лишь бы это было точно определено.

Вторым основным понятием, которым мы во всех примерах пользовались, было понятие расстояния между точками. Вспомним, как оно определялось во всех рассмотренных примерах.

Расстояние между точками А и В на плоскости можно измерить, например, прикладывая некоторый эталон длины.

1а. Если точка А имеет координаты (г, у), а В — координаты (ж', у'), то расстояние, как следует из теоремы Пифагора, определяется формулой

|АВ| = У(х — z'f -V (У — У'У- .

Расстояние между точками А и В на сфере определялось как длина дуги большого круга, соединяющего А с В (точнее, как длина наикратчайшей из двух таких дуг).

2а. Если задавать точку проходящим через нее лучом с центром в центре О сферы, то длина дуги, соединяющей А с В, будет пропорциональна углу между лучами ОА и ОВ. Если радиус сферы S равен 1, то расстояние IASI равно углу в радианах между ОА и ОВ. Поэтому, задавая точки лучами, мы можем измерять, расстояния как углы между лучами. . —

На цилиндре расстояние между точками st и ^ определялось как длина наикратчайшей кривой, лежащей на цилиндре и соединяющей st с 38.

За. Если точки цилиндра задаются как точки полосы, то расстояние между точками А и В задается как длина наикратчайшей линии, состоящей из кусков /„ ..., /а, причем ^ начинается в A, ju кончается в S, а /( кончается и /(+1 начинается в противоположных точках (для < — 1, ..., п— 1).

Если точка цилиндра изображается как множество эквивалентных друг другу точек на плоскости, то расстояние между А и В определяется как наименьшее из чисел |А5|, где А — любая точка из множества эквивалентных друг другу точек, задающего А, а В — любая из множества точек, задающего В.

Совершенно аналогичные способы для определения расстояния имеются в примерах 4а, 46, 5а и 56.

Это разнообразие способов определения расстояния наводит на мысль, что для нас существенно лишь, чтобы как-то было определено расстояние \st381 между любыми двумя точками st

и 58 нашей геометрии. Однако во всех примерах, как бы различно расстояние ни было определено, оно обладает некоторыми почти очевидными общими свойствами, которые мы сейчас перечислим:

1^961 3= 0, причем 1^931 = 0 тогда и только тогда, когда s<- = 98е,

1^981 = 198^1;

1^1 < \s4-98\ + |Л^|.

Последнее свойство может быть менее очевидно, чем предыдущие, и мы покажем, почему оно выполняется во всех рассмотренных нами примерах.

Здесь это неравенство выражает тот факт, что длина стороны треугольника не больше суммы длин двух его других сторон.

1а. В этом примере мы сталкиваемся с любопытным алгебраическим неравенством. Пусть точка А имеет координаты (ж, у), В — координаты (ж', у'), С — координаты (ж", у"). Наше неравенство означает, что

У(ж —ж" )z +(у — у" Р < ГСж-жТ+Су-у')^

+ У(ж' -ж" Г + (у' -у" )2,

где всегда рассматриваются положительные значения квадратных корней.

Положим

ж — ж' = и, у — у' = и, х' — х"=и„ у' — у" =vu тогда

Ж— х" = U + «4, у — у" =и + ип

й наше неравенство перепишется так:

У\и + и,)2 + (у + и^1 <Уиа + ^+V"ui +ui-

Так как это неравенство является просто алгебраическим выражением свойства в) для расстояния точек на плоскости (пример 1), то и оно тоже верно. Мы получаем геометрическое доказательство алгебраического неравенства. Это неравенство можно доказать и чисто алгебраически: читатель вполне может сам найти такое доказательство.

Здесь наше неравенство означает, что отрезок дуги большого крута дает кратчайшее расстояние между двумя точками. Оно было доказано в § 2.

2а. Соответствующее неравенство между углами, образуемыми лучами, тоже было доказано в § 2. Собственно оно-то непосредственно и доказывалось, а из него уже выводилось неравенство, которое играет роль в примере 2.

В этом случае неравенство очевидно. Пусть / — кривая, соединяющая st о8, длина которой равна lst*81, /' соединяет st с 58 и имеет длину \st581, а /" соединяет 98 с 8 и имеет длину 15881. Кривые /' и /* вместе образуют кривую g, соединяющую st с 8. Ее длина равна сумме длин я и /", т. е. Ist981 4- + 15881. Так как длина / — наименьшая среди длин всех таких кривых, то она не больше длины g, т. е.

Ist8l < 1^1 + 15881.

За. Так как мы имеем здесь лишь другое описание геометрии из примера 3, то неравенство верно и в нашем случае. Впрочем, его можно было бы и непосредственно проверить, не апеллируя к примеру 3, а повторяя те же самые рассуждения, которые мы использовали в предыдущем примере.

Здесь опять неравенство верно, так как мы имеем еще одно описание все той же геометрии. Непосредственное доказательство неравенства в этом случае требует других рассуждений, мы приведем их в следующем параграфе.

Совершенно аналогично рассматриваются примеры 4а, 46, 5а и 56.

Еще одно принципиально важное свойство расстояния можно заметить, если вернуться к примеру, о котором мы вскользь упоминали в § 2: сфера, на которой расстояние определено не так, как в сферической геометрии, а так, как в объемлющем пространстве, т. е. расстояние между точками равно длине хорды, соединяющей эти точки. Расстояние между точками st и 98 сферы 2 в смысле сферической геометрии мы будем обозначать через 1st581,. а расстояние между теми же точками-в объемлющем пространстве — через list 5811. Например, если st и 58 — северный и южный полюсы сферы радиуса г, то \stS81'— лг, a Hst58U '= 2г. Очевидно, что если st ¥=58, то \st98\ > llstS№. Некоторая неестественность расстояния W^Jli в вопросах геометрии сферы чувствуется интуитивно: это расстояние заимствовано не из свойств геометрии самой сферы, а из свойств объемлющего сферу пространства. Математически это сказывается в том, что расстояние Ilst58ll не есть длина некоторой кривой, лежащей на сфере 2 и соединяющей st с 58: действительно, длина всех таких кривых не меньше, чем lst58l, a lst58l >llst58ll. Поэтому расстояние listen нельзя мыслить себе «физически» как наименьшее время, потребное жителю сферы, чтобы пройти из st в 58, двигаясь со скоростью, равной 1. Чтобы выразить то же свойство, не используя понятия длины кривой, введем несколько понятий, которые будут полезны в дальнейшем.

Ломаной, соединяющей точки st и 98 (в любой геометрии),называется конечная последовательность точек 9*,, ..., 9*», причем

S31=^, S>u==g8*V Ломаные 3*«, ^Vh называются звеньями ломаной 3*1, ..., ^„, расстояния между 3\ и 3®/+1 — длинами звеньев, а сумма длин всех звеньев — длиной ломаной 3\, ..., ^п.

Длина ломаной всегда не меньше расстояния между ее концами. Так как ^ = ^'1, Я = Уп, то это утверждение записывается так:

IS^J < 13=^1 +... + l^-^J.(1)

Действительно, при п = 3 неравенство (1) совпадает со свойством в) геометрии. В общем случае оно доказывается по индукции. Именно, согласно свойству в), имеем

IW-I < l^n-J + |3’„_1^я1,

а по индукционному предположению для п — 1 выполняется следующее неравенство:

^^„-J < I^J + ...+ l^-^-J.

Подставляя одно неравенство в другое, получаем (1).

Вернемся к геометрии на сфере. Если длины всех звеньев ломаной (понимая под расстоянием на сфере расстояние в объемлющем пространстве »si33ll) очень малы, то ломаная очень близка к некоторой кривой на сфере, соединяющей si с S3, и длина ломаной близка к длине этой кривой. Но длины всех таких кривых не меньше, чем IsiSSt, a I^^BI > HsiSSl (причем lsiS8l¥= * H^jBII). Таким образом при очень маленьких длинах звеньев длины ломаных не могут быть очень близкими к If^jSH, все они будут больше, чем с, где за с можно взять любое число, строго меньшее, чем \si&\, но большее, чем Ilji^Sll.

Чтобы подчеркнуть, что в рассматривавшихся нами геометриях подобный эффект «неестественности» расстояния не имеет места, мы можем сформулировать, таким образом, следующее свойство:

для любых точек si и 33 и любых положительных чисел а и р существует ломаная, соединяющая si с 38, длина которой отличается от расстояния между si и S3 меньше чем на а., а длины всех звеньев меньше ₽, т. е. существуют такие точки ^И ... ..., ^„, что 3*1 = si, У» = S3,

О 1^,1 +... + ^„-^„l - \si3B\ < а,

I^^j+J < £ при г = 1,..., п— 1.

Во всех рассматриваемых нами примерах это свойство выполняется автоматически (причем можно даже считать, что ^^з! + ...+ I^’n-i^’nl = lsi33l, так как любые две точки можно

*) Под ломаной на обычной плоскости понимают последовательность отрезков, в которой начало следующего отрезка совпадает с концом предыдущего. Чтобы задать такую ломаную, достаточно задать лишь концы этих отрезков, чём мы и пользуемся.

соединить отрезком прямой, длина которого равна расстоянию между его концами). В последующих примерах свойство г) будет играть аналогичную роль: оно даст возможность пользоваться интуитивным представлением о расстоянии между точками, как минимальном времени, необходимом для того, чтобы пройти от одной из них до другой, двигаясь с постоянной скоростью.

После этих разъяснений будет уже, вероятно, естественным то определение геометрии, которое мы теперь дадим:

Геометрией называется произвольное множество, элементы которого называются точками, если каким-либо образом указано, как найти расстояние |^^| между произвольными точками st и 98, и если это определение расстояния удовлетворяет условиям а), б), в) и г).

Таким образом, свойства а), б), в), г) являются для нас аксиомами геометрии, и в этом смысле наше определение похоже на аксиоматическое построение геометрии в школе. Но в отличие от школьных аксиом, которых гораздо больше и которым удовлетворяют только некоторые из геометрий — геометрия на плоскости [планиметрия) и геометрия в пространстве (стереометрия), свойствам а), б), в), г) удовлетворяет очень много различных геометрий.

Далее геометрию на плоскости и геометрию в пространстве мы будем часто называть просто плоскостью и пространством.

Упражнения

Из каких аксиом школьной геометрии вытекает, что геометрия на плоскости удовлетворяет свойству г) определения геометрии?

Пусть F — фигура на плоскости, ограниченная кривой с (для простоты можно считать F многоугольником, а с ломаной). Точками геометрии назовем точки- плоскости,-принадлежащие- фигуре-F,-и "расстояние’тгежду ннми определим так же, как и для точек плоскости." Доказать," что для фигуры F будет выполнено определение геометрии тогда и только тогда, когда она выпукла: вместе с любыми двумя точками содержит соединяющий их отрезок (обратить внимание на условие г)!).

Для точек прямой с координатами z и у определим расстояние как (z — у). Будет ли это геометрия?

Для точек прямой с координатами z и у определим расстояние формулой y|z — у|. Доказать, что свойства а), б) ив) в определении геометрии выполняются, а свойство г) — нет. Проверьте хотя бы, что свойству г) нельзя удовлетворить, если рассматривать ломаные со звеньями одинаковой длины.

Очевидно, самый вырожденный пример геометрии — геометрия, состоящая из единственной точки J#, причем, конечно, |j#j#| = 0. Доказать, что если в геометрии имеются хотя бы две различные точки, то их имеется уже бесконечно много.

тать одинаковыми; то же самое в примерах 2 и 2а, 3, За и 36, 4а и 46, 5а и 56. Во всех этих примерах две геометрии представляются нам одинаковыми, несмотря на то, что точки, из которых они состоят, являются объектами совершенно разной природы: так в примере 1а точка — пара чисел. Что же в этих геометриях общее? Эту общность мы подчеркивали, говоря, что геометрия 1а дает другое списание геометрии 1. Это означало у нас, что точки геометрии 1а соответствуют точкам геометрии 1, причем расстояние между любыми двумя точками геометрии 1 равно расстоянию между двумя соответствующими им точками геометрии 1а. Так же обстояло дело и в других примерах, где мы могли говорить об одинаковых геометриях. Это дает основание ввести следующее естественное определение:

Пусть даны две геометрии. Эти геометрии будут называться одинаковыми, если указано правило, по которому каждой точке первой геометрии сопоставляется некоторая точка второй геометрии, и если при этом выполнены два условия-.

каждая точка второй геометрии сопоставляется некоторой точке первой геометрии,

расстояние между двумя точками первой геометрии равно расстоянию между сопоставляемыми им точками второй геометрии.

Если указанное сопоставление существует, то оно будет называться наложением первой геометрии на вторую. Пользуясь терминами, которые введены в школьном курсе, можно сказать, что наложение — это отображение первой геометрии на всю вторую, сохраняющее расстояние между точками. При этом мы, конечно, под отображением одной геометрии в другую понимаем отображение множества точек первой геометрии во множество/точек второй. •■ ■*

Например, сопоставление каждой точке пары ее координат есть наложение геометрии примера 1 на геометрию примера 1а. Сопоставление точке цилиндра множества всех точек плоскости, которые на нее накладываются, является наложением геометрии примера 3 на геометрию примера 36.

Пример 6. Рассмотрим геометрию, точками которой являются точки крута радиуса г на плоскости с центром в некоторой точке О, а расстояния определяются так, как они обычно определяются на плоскости. Выберем некоторую систему координат с центром в точке О и сопоставим каждой точке нашей геометрии ее координаты, т. е. точку геометрии примера 1а. Это сопоставление не является наложением одной геометрии на другую, так как не удовлетворяется условие 1) определения: не любые координаты (х, у) соответствуют некоторой точке круга (для этого они должны удовлетворять соотношению а? + у1 ^ г8).

Теперь, наконец, мы можем перейти к определению основного понятия, являющегося объектом нашего исследования. Если st — 4*

точка, некоторой геометрии, аг — любое положительное число, то множество таких точек 38 этой геометрии, что |*s##l ^г, называется сферической окрестностью радиуса г точки ^.

Пусть задана некоторая геометрия. Мы будем говорить, что она совпадает с плоскостью в своих достаточно малых частях, если существует такое число г>0, что для любой точки ^ нашей геометрии сферическая окрестность радиуса г этой точки может быть наложена на весь круг радиуса г в плоскости.

Иными словами, если рассмотреть сферическую окрестность радиуса г с центром в точке ^ как самостоятельную геометрию (аналогично тому, как мы поступали в примере 6), то эта геометрия будет одинакова с геометрией круга радиуса г на плоскости. В таких случаях сферическую окрестность радиуса г мы будем называть кругом.

Очевидно, что примеры 3, За, 36, 4а, 46, 5а и 56 дают геометрии, подходящие под это определение: в каждом случае мы это доказывали. Тем более это верно для примеров 1 и 1а. Примеры 2 и 2а, наоборот, как мы видели, по нашему определению не являются совпадающими с плоскостью в своих малых частях.

Конечно, мы не обязаны ограничиваться такими геометриями, которые совпадают в малых частях с плоскостью,, а можем рассматривать и такие, которые в малых частях совпадают с пространством. Для этого в предшествующем определении надо только заменить слова «круг радпуса г в плоскости» на «шар радиуса г в пространстве». В таких геометриях сферическую окрестность мы будем называть шаром.

Геометрии, удовлетворяющие нашему определению, мы будем часто более коротко называть геометриями» совпадающими с плоскостью {или пространством) в „малолк _

Теперь, имея-точные определения, мы можем сформулировать нашу основную задачу: найти все геометрии, в малых частях совпадающие с плоскостью. Для этого сначала мы построим некоторые конкретные геометрпп (как это делали в §§ 3, 4 и 5), а потом докажем, -что любая геометрия, в малых частях совпадающая с плоскостью, может быть наложена на одну из них.

Удивительным фактом является то, что исходя из столь общего определения можно получить очень конкретный ответ. Собственно говоря, ответ нам почти известен: дальше будет доказано, что все геометрии, совпадающие с плоскостью в малых частях, исчерпываются теми примерами, которые мы разобрали в §§ 3, 4 и 5 (включая обобщение, содержащееся в упр. 4 к п. 1 § 5), и еще одним типом геометрии, который будет описан в § 9 (он является как бы помесью геометрии на торе и на скрученном цилиндре — эта геометрия ограничена, и в ней неразличимы «право» и «лево»). Однако для доказательства этого результата, формулировка которого сейчас уже вполне понятна, нужны совершенно новые идеи. К их изложению мы и переходим во II части книги.

Упражнения

Одна геометрия состоит из внутренних точек квадрата, а другая — круга, расстояния ясе в обеих определены как для точек на плоскости. Можно ли одну геометрию наложить на другую? Вообще, когда можно наложить друг на друга две геометрии, каждая из которых определена как множество точек некоторой плоской фигуры (своей для каждой геометрии), а расстояние — как для точек плоскости? (Очевидно, фигуры должны удовлетворять условию, о котором идет речь в упр. 2 к п. 1 зтого параграфа.)

Если задано множество точек, в- котором определено расстояние, удовлетворяющее всем условиям в определении геометрии кроме условия г), то получающийся объект назовем почти-геометрией. Преимущество этого понятия заключается в том, что любая часть точек геометрии (с сохранением прежнего определения расстояния) является почти-геометрией (но не обязательно геометрией, как видно нз упражнения 2 к и. 1). Доказать, что любая почтн-геометрия, состоящая нз трех точек, может быть получена таким образом из плоскости, т. е. может быть наложена на почти-геометрию, состоящую из трех точек плоскости. Доказать, что это не обязательно верно для почти-геометрии, состоящей из четырех точек, например из четырех вершин тетраэдра, рассматриваемых как часть пространства.

Рассмотрим множество точек поверхности трехгранного угла, определив расстояние, как в §§ 2 н 3, т. е. как длину наикратчайшей кривой, соединяющей две точки. Доказать, что это геометрия. Доказать, что эта геометрия не совпадает с плоскостью в достаточно малых частях. (Указание: воспользоваться результатом из упр. 2 н обратить особое внимание на вершину угла.)

Доказать, что геометрия внутренности круга (рассмотренного как часть плоскости) не совпадает с плоскостью в малых частях.

Пусть /—обратимое отображение геометрии Si на геометрию S2, причем / является наложением в малом, т. е. для некоторого г >• 0 отображение / определяет наложение сферической окрестности л(Х, г) любой точки X геометрии Si на сферическую окрестность K(f(X^ г) ее образа в геометрии S2. Показать, что / является наложением геометрий (доказательство будет дано-в § 10, лемма 5). Здесь через К(Д г) обозначена сферическая онрестность радиуса г точки А.

ЧАСТЬ II

ТЕОРИЯ ГЕОМЕТРИЙ,В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИХ С ПЛОСКОСТЬЮ

§ 7. Геометрии, в малом совпадающие с плоскостью, и равномерно-разрывные группы перемещений плоскости

Определение понятия эквивалентности при помощи перемещений. В этом параграфе мы вернемся к анализу примеров, описанных в §§ 3—5, и попытаемся охватить их все единой конструкцией. Мы изложим общий метод построения геометрий, в малом совпадающих с плоскостью, достаточно конкретный, чтобы можно было (в § 8) в явном виде перечислить все геометрии, которые таким образом строятся. С другой стороны, этот метод окажется достаточно общим, чтобы охватить все вообще геометрии, в малом совпадающие с плоскостью (это будет доказано в § 10). Тем самым и будет решена задача перечисления всех возможных геометрий, в малом совпадающих с плоскостью.

В каждом из трех примеров геометрий, описанных в §§ 3—5, мы имели два его описания (в предшествующем параграфе мы различали их буквами а) и б)). Первый определял геометрию как множество точек некоторой фигуры на плоскости, а расстояние между точками — как длину наикратчайшей линии определенного вида, соединяющей эти точки. Во втором описании точка геометрии задавалась как множество точек плоскости, эквивалентных друг другу (понятие эквивалентности точек определялось в каждом ив трех примеров по-своему), а расстояние-между точками- . з^ и ^определялось'как наименьшее из чисел ЫВ1, где А ^-лю бая точка плоскости, принадлежащая множеству эквивалентных друг другу точек, определяющему точку ^, а В — любая точка множества, определяющего 9L Во всех трех случаях мы начинали с первого описания, как более наглядного, потом переходили ко второму и уже из него выводили основные свойства нашей геометрии. Это показывает, что реально работающим является именно второе описание, которое, следовательно, больше связано с сутью дела. Его мы и положим в основу нашей более общей конструкции.

Основная идея этого описания заключалась в том, что для точек плоскости каким-то способом (сейчас нам совершенно безразлично каким) определяется понятие эквивалентности. Это значит, что для любых двух точек Л и В плоскости указано, считаем ли мы точку В эквивалентной А или нет. Это понятие эквивалентности должно лишь обладать следующими свойствами:

а) любая точка эквивалентна себе самой;

р) если точка В эквивалентна А, то и А эквивалентна В;

у) если А эквивалентна В, а В эквивалентна С, то А эквивалентна С.

Ввиду условия р) свойство двух точек быть, эквивалентными не зависит от их порядка. Мы имеем право говорить просто: «А и В эквивалентны». Рассмотрим множество точек, эквивалентных заданной точке А. Ввиду условия 4) любые две точки этого множества эквивалентны друг другу, и любая точка, эквивалентная точке этого множества, в нем содержится. Поэтому мы будем коротко описывать такое множество как «множество точек, эквивалентных друг другу». Каждое такое множество и определяло точку новой геометрии. Если множество А определяло точку ^ геометрии, а множество В — точку 98, то расстояние |^/^| определялось так:

\^98\ равно наименьшему из чисел |АВ|, где

А — произвольная точка множества А,(1)

В — произ вольная точка множества В, |AS| — их расстояние на плоскости.

Во всех трех примерах мы доказывали, что наша геометрия в малом совпадает с плоскостью, проверяя, что для достаточно близких точек А и В плоскости (т. е. если |АВ| не больше некоторого фиксированного числа г) выполнено равенство 1^581 = |АВ|, где — точка геометрии, определяемая множеством А эквивалентных точек, содержащим точку А, а 98 так же определяется точкой В. Отсюда следует, что если А — центр круга достаточно малого радиуса г, то никакая отличная от А точка А' этого круга не эквивалентна А. В противном случае мы бы получили противоречие: 0#= |АА'| ₽= |^^|0, так как эквивалентные точки

А, А' определяют одну и ту же точку st геометрии. Поскольку А — любая точка плоскости, то можно сказать проще:

существует такое положительное число d, что расстояние между любыми двумя различными, но эквивалентными точками не меньше d.

Таким образом, множество эквивалентных друг другу точек может, например, состоять из точек, получающихся откладыванием от некоторой точки на прямой отрезков, кратных заданному

Рис. 7.1.

(рис. 7.1), но не как множество точек прямой, расстояние кото- рых от некоторой заданной точки равно 1, у, у, -^, ... (рис. 7.2), и тем более не как множество всех точек некоторой прямой.

Множество эквивалентных точек, удовлетворяющее условию 6), называется разрывным, его точки идут не «сплошь», а «с разрывами».

Конечно, можно очень разными способами определить удовлетворяющее условиям а), ^), 7) и 6) понятие эквивалентности точек плоскости, но далеко не любое такое определение даст нам геометрию, удовлетворяю-

ZГ" Щую условиям а), б), в) и

ю ь ч з гг) предшествующего пара

графа. Какое же из условий ^с- 7-2-может оказаться неверным?

Очень легко видеть, что условия а) и б) будут выполнены всегда; можно показать, что и условие г) будет выполнено. Наиболее существенным, следовательно, является условие в). Чтобы понять причину того, что в рассмотренных нами примерах неравенство в) выполняется, попробуем его доказать в примерах 36, 46, 56 исходя прямо из построения этих примеров (в предшествующем параграфе мы выпали это неравенство, исходя из того, что наши геометрии одинаковы с геометриями примеров За, 4а, 5а). Так как рассуждения во всех случаях совершенно аналогичны, ограничимся примером За.

то они эквивалентны, а этото они эквивалентны, а этоРес. 7.3.Рес. 7.3.Пусть ^, ^ и ^ — точки нашей геометрии, соответствующие множествам А, В и С эквивалентных точек (рис. 7.3). Предположим, что 1«я£ЯН = |АВ|, т. е. IАБ| — наименьшее из расстояний между точкой А множества А и точкой В множества В (здесь в обозначении |^^| знак I I означает расстояние в нашей геометрии, а в обозначении |АВ| — между точками на плоскости). Точно так же пусть |jB^ I = \В'С'\. Так как точки В и В’ принадлежат одному и тому же множеству В, значит, " что существует параллельный перенос на вектор, кратный P6Pi *), переводящий В' в В. Пусть этот перенос переводит точку С' в С. Так как параллельный перенос не меняет расстояния между точками, то 1ВС| = = \В'С'\. Кроме того, точка С эквивалентна С' и, значит, содержится в мно

то они эквивалентны, а это

то они эквивалентны, а это

Рес. 7.3.

Рес. 7.3.

жестве С. По определению расстояния, \з4%\ есть наименьшее из расстояний IACI, где А — точка множества А, а С — точка множества С, в частности, |^/^| < IACI. Согласно свойству в) для точек плоскости, |АС| ^ 1АБ1 + IBCI. Наконец, как мы видели, |ВС| = \В'С'\. Собирая все это вместе, получаем

1^1 < MCI < U5I + 1БС1 - IASI + \В'С'\ = \^96\ + ]^|, что и нужно было доказать.

Из этого доказательства мы можем уяснить себе причину того, что неравенство в) выполняется в нашей геометрии. Причина заключается в особом определении эквивалентности: мы выделили некоторую совокупность параллельных переносов (на векторы, кратные вектору Р0А) и назвали две точки эквивалентными, если одна из них переходит в другую при одном из этих параллельных переносов. При этом для нас было не столь уж существенно, что мы имели дело именно с параллельными переносами; в доказательстве было существенно лишь то, что мы имеем отображение плоскости, переводящее точки В' и С' в точки В и С, для которых \В'С'\ — |ВС|, т. е. не меняющее расстояния между точками. Такие отображения плоскости в курсе геометрии называются перемещениями. При задании геометрии на скрученном цилиндре роль таких перемещений играли наряду с параллельными переносами и скользящие симметрии. Прежде чем идти дальше, мы должны напомнить некоторые основные понятия, касающиеся перемещений.

Перемещением называется отображение плоскости на всю плоскость, сохраняющее расстояния между точками. Пользуясь термином, введенным в предшествующем параграфе, можно сказать, что перемещение — это наложение плоскости на себя. Напомним примеры перемещений: поворот, параллельный перенос, симметрия относительно оси, скользящая симметрия.

Как и для любых отображений, можно говорить о последовательном выполнении, или композиции перемещений. Пусть перемещение F переводит точку А в точку FLA"), а перемещение G — точку В в G^BY Последовательным выполнением, или композицией, перемещений F и G называется преобразование, переводящее точку А в точку G^FLA^ (чтобы найти эту точку, надо сначала найти точку B=FFA\ в которую~F переводит А, а потом— точку G(B\ в которую G переводит точку В). Из определения легко следует, что это отображение также является перемещением. Оно обозначается GF (G и F пишутся рядом, G — слева, F — справа). Такой порядок записи удобен тем, что определение записывается простой формулой:

(GFHA^GlFUy).

Результат последовательного выполнения перемещений, вообще говоря, зависит от порядка их выполнения: применяем ли мы сначала F, а потом G— или наоборот (см. упр. 1). Некоторые перемещения даже удобно задавать как результат последовательного выполнения или композиции других перемещений. Таким перемещением является скользящая симметрия — композиция симметрии относительно оси и параллельного переноса на вектор, параллельный этой оси. В этом специальном случае, благодаря параллельности оси и вектора, порядок выполнения перемещений не

играет роли. Скользящие симметрии встречались нам при изучении геометрии в § 4.

Перемещение является обратимым преобразованием. Обратное преобразование к перемещению F является, очевидно, перемещением. Оно обозначается через F"1*). Если, например, F— параллельный перенос на вектор АВ, то F-1 — параллельный перенос на вектор ВА, если F — поворот вокруг центра О на угол а, то F-1 — поворот вокруг О на угол 2л — а, если F — симметрия относительно оси, то F~l = F.

Преобразование, которое переводит каждую точку плоскости в себя, называется тождественным. Оно, конечно, является перемещением и обозначается Е. Таким образом, по определению для всех точек А выполняется равенство Е{А) = А.

Композиция перемещений обладает многими свойствами умножения обычных чисел. Тождественное перемещение Е играет роль единицы: EF = FE '= F для любого перемещения F; обратное перемещение F-1 играет роль обратного числа ^J: F~XF = FF^ = — Е.

Кроме этого, композиция перемещений удовлетворяет сочетательному (ассоциативному) закону:

F(GH) = (FG)H для любых перемещений F, G, Н.

Поэтому композицию еще называют умножением перемещений. При этом, так же как и при умножении чисел, произведение нескольких перемещений можно упрощать, используя перечисленные свойства. Еще раз подчеркнем, что при этом нельзя пользоваться переместительным законом kFG = GF)—для перемещений он, вообще говоря, 'неверен. Поэтому необходимо внимательно следить за порядком следования сомножителей.

Мы можем теперь вернуться к нашему анализу возможных конструкций геометрии. Рассуждения, приведенные после доказательства неравенства в), приводят к выводу, что исходя из некоторого определения эквивалентности точек плоскости и определив расстояние условием (1), мы придем к геометрии, если само определение эквивалентности будет удовлетворять следующему условию:

существует некоторое множество Г перемещений плоскости, такое, что две точки А и В эквивалентны тогда и только тогда, когда А переводится в В некоторым перемещением иг этого множества Г перемещений.

Именно так обстояло дело в примерах, разобранных в §§ 3, 4 и 5. В § 3 множество Г состояло из всех параллельных перено-

♦) Напомним, что если F переводит точку X в Y, то F-1 по определению переводит У в X.

сов на векторы, кратные некоторому вектору P0Pt. В § 4 множество Г состояло из перемещений двух типов: а) последовательного выполнения параллельного переноса на любую нечетную кратность вектора PJPi и скользящей симметрии относительно прямой (РоР,), б) параллельного переноса на любую четную кратность вектора PoPi. В § 5 оно состояло из параллельных переносов на векторы, идущие из вершины некоторого квадрата в вершины равных ему прилегающих друг к другу квадратов.

Мы увидим, что далеко не любое множество Г перемещений плоскости можно положить таким образом в основу некоторого определения эквивалентности точек на плоскости. Сейчас мы выясним некоторые свойства множества Г, необходимые для этого. Потом мы проверим, что всякое обладающее такими свойствами множество перемещений действительно приводит к некоторой геометрии. Это и будет тот путь, который приведет нас в следующих параграфах к перечислению всех возможных геометрий, в малом совпадающих с плоскостью.

Итак, предположим, что на плоскости каким угодно образом определено понятие эквивалентности точек, удовлетворяющее условиям а), р), *0 и б). Предположим, сверх того, что задано некоторое множество Г перемещений плоскости и что выполнено условие: точки А и В эквивалентны тогда и только тогда, когда существует такое перемещение F из множества Г, что F(A')=B.

В этих условиях множество перемещений Г обладает многими очень специальными свойствами. Все они очень просто вытекают из следующего утверждения.

Теорема 1. Любое перемещение плоскости, переводящее каждую точку в ей эквивалентную, содержится в множестве перемещений Г.

Доказательство. Пусть G — такое перемещение плоско- ’ сти. Рассмотрим любую точку А на плоскости и положим В = = G(A). По условию точки В и А должны быть эквивалентны. । Поэтому согласно свойствам множества перемещений Г должно существовать такое перемещение F из множества Г, что В = = FUV). Рассмотрим перемещение F-1, обратное F, и перемещение Я = F~lG, получающееся последовательным выполнением G и F~l. Чуть позже мы докажем, что Н является тождественным переме- i щением Е. А сейчас убедимся, что отсюда будет следовать теорема.

Действительно, если H = F~lG — тождественное преобразова- ние, то (F-1G)(X) —X для любой точки X. Но (F“*G)(X) = = F~l(G(.X)"). Отсюда Р~ЧС(Х)У—Х и, по определению обратного преобразования, F{X) = G(X). Так как это верно для любой точки X, то G = F, откуда и вытекает теорема.

А теперь докажем, что Н — тождественное преобразование. Обозначим через X любую точку плоскости такую, что |АЛ <

Су, и положим Y = ЖХ). Так как Н— перемещение, то \АХ\ = — 1ЖА)ЖХ)1. Но HLA) = A, HkXY=Y и, значит, |АУ[ = = | Н (А) Н {X) | = | АХ | С у. Отсюда следует, что 1ХУI < \ХА 1 + + |AF|<d. Наконец, заметим, что точки X и Y эквивалентны. Действительно, пусть GUD'—Z. Согласно свойству перемещения

G точки X и Z эквивалентны. По опреде- лению Y = ЖХ) = F~4ZY Это значит, что / " '\Z = FVYY а так как F содержится во мно-

/8=н(в\х жестве перемещений Г, то Z и Y эквива-

I к=ч(А) / лентны. Поэтому X и Y эквивалентны. \/Для двух построенных нами эквива-

х./лентных точек X и Y мы доказали, та-

\ким образом, неравенство [XKI < d. Со- PhC 7дгласно условию 6) понятия эквивалентно

сти, это невозможно, если X * У. Таким образом, Y = X, а так как У = ЖХ), то ЖХ) = Х, причем это неравенство доказано для всех точек, для которых |ЛХ[ < d/2, а такие точки заполняют внутренность круга радиуса d/2 с центром в точке А.

Мы доказали, таким образом, что перемещение Я оставляет на месте все точки внутренности некоторого круга ЖА, R) (у нас R — d/2)*). А отсюда следует, что Н оставляет на месте все точки плоскости, т. е. является тождественным перемещением. Действительно, пусть X — любая точка плоскости, не лежащая внутри круга КХА, R), а В — точка отрезка [АХ], отличная от точки А, но лежащая внутри круга ЖА, R) (рис. 7.4).

Заметим, что расстояния |АЯ|, |ЯХ| и |АХ| связаны соотношением

|АЯ| + |ЯХ1 e IAXI.

Так как Н — перемещение, причем ЖА) =А, Н(В)—В, то из этого соотношения вытекают соотношения

|АЖ + 1ЯЖХ)| = |АЖХ)|

|АХ|=-|АЖХ)|.

Полученные три равенства показывают, что точки X и ЖХ) лежат на луче АВ, а их расстояния до начала А этого луча одинаковы. Откуда, очевидно, ЖХ) = X, что и доказывает сформулированное утверждение (отметим, что еще одно его доказательство будет вытекать из леммы 3 следующего параграфа). Теорема доказана.

Из нее вытекают два важных свойства множества перемещения Г.

Последовательное выполнение двух перемещений из множества Г снова дает перемещение из этого множества.

Пусть F и G — два перемещения из множества Г, и Н = GF получается их последовательным выполнением. Согласно теореме, чтобы доказать, что Н содержится в Г, достаточно доказать, что для любой точки X точка ЖХ) эквивалентна X. Но это очевидно! Пусть FIX') = У, тогда ЖХ) = Ж У). Так как F содержится в множестве Г, то X и У эквивалентны, а так как G содержится в Г, то У и G(Y) тоже эквивалентны. Ввиду свойства *() понятия эквивалентности X и б(У) эквивалентны, а так как б(У) = НкХ\ то и X и ЖХ) эквивалентны.

Для любого перемещения F из множества Г обратное перемещение F-1 тоже содержится в Г.

Опять нам достаточно доказать, что точки X и F~*(X) эквивалентны. Пусть F~4X) = У, тогда У = F(X). Так как F содержится в Г, то X и У эквивалентны, что и надо было доказать.

Любое множество перемещений Г, обладающее свойствами I и II, называется группой перемещений. Это очень важное понятие. Вот несколько примеров.

Множество всех параллельных переносов есть группа.

Множество всех поворотов вокруг заданного центра есть группа.

Множество всех параллельных переносов на все вектора, параллельные одной прямой, есть группа.

Множество всех параллельных переносов на векторы ОА, где точка О фиксирована, а А — любая точка' на заданной прямой, лежащая правее О, не образует группу. Хотя свойство I выполнено, но свойство II не выполняется.

Мы можем сказать теперь, что множество Г, участвующее в нашем определении эквивалентности, образует группу. В частности, те множества перемещений, которые были связаны с примерами геометрий, рассмотренными в §§ 3—5, образуют группу. Это следует из доказанного выше, но читателю очень рекомендуется проверйть в каждом из этих примеров свойства I и II непосредственно.

Вспомним теперь о свойстве б) понятия эквивалентности. Так как две точки эквивалентны тогда и только тогда, когда одна из них получается из другой некоторым перемещением из группы Г, то это свойство можно выразить и иным, способом:

Существует такое положительное число d, что если F — любое перемещение из группы Г, а X — любая точка плоскости и X*FCX\ то |XF(X)| >d.

Группы, обладающие этим свойством, называются равномерно- разрывными. Если мы возьмем любую точку X плоскости и применим к ней все перемещения из группы Г, то получим разрыв-

ное множество. Слово «равномерно» указывает на то, что число d в определении может быть выбрано одним и тем же для всех точек X.

Примеры групп перемещений, встретившиеся в связи с геометриями из §§ 3—5, являются, конечно, равномерно-разрывными. Наоборот, ни одна из групп в примерах 1, 2 и 3, приведенных выше, не является равномерно-разрывной. Приведем еще один пример. Рассмотрим группу, состоящую всего из двух перемещений: тождественного Е и поворота F на 180° вокруг центра О. Легко проверить, что это группа. Применяя все (т. е. оба) перемещения группы к заданной точке X, мы получим, конечно, разрывное множество из двух точек: X и F(X3. Все же группа не будет равномерно-разрывной, так как число d в свойстве III нельзя выбрать единым для всех точек X: чем ближе X к центру вращения О, тем ближе X и F(X).

Разумеется, в нашем случае не только понятие эквивалентности определяет группу перемещений Г, но и наоборот, группа Г определяет понятие эквивалентности: ведь точки А и В эквивалентны тогда и только тогда, когда существует такое перемещен ние F из группы Г, что FkA) — В. Это обстоятельство мы и поло-' жим в основу дальнейших рассуждений: мы будем исходить из произвольной равномерно-разрывной группы, а по ней, пользуясь тем, что она определяет понятие эквивалентности, построим геометрию, в малых частях совпадающую с плоскостью. Именно таким образом мы придем в конце концов к перечислению всех таких геометрий.

Упражнения

а) Доказать, что композиция 8о^д №УХ- центральных симметрий с центрами 01' и Ог является параллельным переносом на вектор 2О1Ог.' Когда S о^Ог = Sq^oJ

Доказать, что композиция Sz St двух осевых симметрий с параллельными осями Zi||Zi является параллельным переносом на вектор 2ZiZz, где через ZjZ2 обозначен вектор, начало которого лежит на Zi, конец — на Z2, перпендикулярный прямым Zi и Z2. Когда S ^S ^=8 ^8 ,а?

Доказать, что композиция S ^8 t двух осевых симметрий с пересекающимися осями Z] и Z2 является поворотом вокруг точки О их пересечения на удвоенный угол от прямой к к прямой к. Когда в этом случае St^S^S^

Рассмотрим множество перемещений прямой, состоящее из ее параллельных переносов и отражений относительно ее точек (из следующего параграфа будет видно, что это и все перемещения прямой). Доказать, что оно образует группу.

Доказать, что если перемещение F содержится в равномерно-разрыв- . ной группе Г и оставляет на месте хотя бы одну точку плоскости, то оно является тождественным. (Указание: перечитать доказательство теоремы 1 этого пункта.) Это утверждение будет доказано в предложении 1 § 8.

Доказать, что единственным решением уравнения XF = G, где F и G— известные перемещения, а X — неизвестное, является перемещение X = GF~X. (Указание: умножьте обе части уравнения справа на перемещение F~x и воспользуйтесь тем, что FF~X = £.) Доказать, что единственными решениями уравнений FX = G и FXH = G, где F, G, Н — известные перемещения, являются перемещения X = F-XG и X = F~lGH~l соответственно.

Геометрия, соответствующая равномерно-разрывной группе. Все рассуждения предшествующего пункта были нам нужны в основном для того, чтобы мотивировать одну конструкцию, само изложение которой займет гораздо меньше места. Именно, мы покажем сейчас, каким образом по любой равномерно-разрывной группе построить некоторую геометрию, в малом совпадающую с плоскостью. Это даст нам общую конструкцию, охватывающую примеры из §§ 3—5. В следующем параграфе мы перечислим все возможные равномерно-разрывные группы перемещений, а тем самым и те геометрии, которые таким методом строятся. Наконец, в § 10 мы покажем, что этим методом строится любая геометрия, в малом совпадающая с плоскостью, чем и будет завершено описание всех таких геометрий.

Итак, пусть дана равномерно-разрывная группа перемещений плоскости Г. Определим на плоскости понятие эквивалентности точек, назвав точку В эквивалентной точке А, если существует перемещение F из группы Г, переводящее А в В (т. е. такое, что F(A)=B"). Докажем, что это определение эквивалентности обладает свойствами а), р), к) и б). Для этого прежде всего заметим, что тождественное перемещение Е должно содержаться в Г. Действительно, если F — любое перемещение из Г, то по условию II определения группы перемещение F-1 тоже содержится в Г. А по условию I перемещение FF~X также должно содержаться в Г. Так как FF~l = E, то Е содержится в Г.

Так как для любой точки А имеем Е(А)—А, то отсюда следует свойство а). Если точка В эквивалентна А, то F(A) = B, где F — перемещение из группы Г. Но по свойству II из определения группы, F-1 тоже содержится в Г. Так как Е'ЧВ'^А, то отсюда следует, что и А эквивалентна В, т. е. выполнено свойство р). Пусть, наконец, точка В эквивалентна А, а точка С эквивалентна В. Тогда существует такое перемещение F из группы Г, что F(A) = В, и такое перемещение G из Г, что GIB) — С. По условию I определения группы, перемещение H = GF тоже содержится в Г. Но Н(А) = G(B) = С, откуда следует, что точка С эквивалентна А, т. е. выполнено свойство 7). Наконец, так как мы предположили, что группа Г равномерно-разрывная, будет выполнено и условие б).

Определим точку новой геометрии как множество точек, эквивалентных друг другу в смысле введенного понятия эквивалентности. Пусть s^ и Я — две такие точки, а А и В — опрвде-

ляющие их множества. Расстояние между точками si и 98 определим как наименьшее из расстояний 14 ВI, где А и В — точки на плоскости, причем А содержится в множестве К, а В — в В.

Замечание. Расстояние IsiSBI можно определить и путем сравнения меньшего множества чисел. Пусть А, — некоторая фиксированная точка из множества А. Тогда Isi98l есть наименьшее из чисел (40В[, где В — любая точка множества В (т. е. нам достаточно сравнивать числа |4оВ|, где А» — фиксированная точка). Действительно, если А—любая точка множества А, а В — точка множества В, то А эквивалентна Ао, и, значит, существует такое перемещение F из группы Г, что f(4)=40. Так как F— перемещение, то |4В| = |F(4)f(B)| = MoFCB)!. Изопределения эквивалентности точек следует, что В' = F(B) — точка множества В. Таким образом, каждое число |4В| может быть представлено и в виде |40В'1, где Ао— некоторая фиксированная точка множества А, а В' — точка множества В.

К этому понятию расстояния можно применить ту же интуитивную интерпретацию, которой мы пользовались в §§ 3—5. Именно, мы можем представить себе, что перемещения из группы Г — это мгновенно действующие лифты, так что житель плоскости может двигаться по плоскости или с постоянной скоростью, или мгновенно переноситься из точки А в точку F(A), где F — любое перемещение из Г. Наименьшее время, необходимое ему, чтобы добраться таким образом из точки А в точку В, и будет нашим расстоянием. При этом любые две точки вида А и FkA\ где F — любое перемещение из Г, мы должны считать за одну точку, так как расстояние между ними оказывается равным 0.

Необходимо, однако,- выяснить, почему существует так определенное расстояние 1^981 между точками si и 98, задаваемыми множествами А и В эквивалентных друг другу точек на плоскости? Это не так уж и очевидно, ведь множество расстояний I4B1, где А пробегает множество А, а В пробегает В, представляет собой, как правило, бесконечное множество положительных чисел, а отнюдь не во всяком бесконечном множестве положительных чисел существует наименьшее число (например, его нет во множестве чисел вида -^, где п пробегает натуральные числа).

Зафиксируем точку Ао из А. Как мы видели выше, достаточно доказать существование такой точки Во из В, для которой |40В01 < 14»В|, где В — любая другая точка из В. В этом случае |40В01 и будет задавать расстояние IsiBBL Ниже в лемме 1 мы докажем, что в круге любого радиуса В с центром в Ао содержится конечное число точек из В. Используя это, выберем R таким большим, чтобы в этом круге содержалась какая-нибудь точка из В, а из конечного непустого множества точек В, лежа-

щих в этом круге, выберем ближайшую к Ло точку Во. Очевидно, Ве и будет искомой точкой. Остается доказать следующее:

Лемма 1. Пусть А — произвольное множество эквивалентных друг другу точек плоскости, тогда в любом круге на плоскости содержится только конечное число точек множества А.

Доказательство. Пусть К — некоторый круг радиуса В п М — та часть множества А, которая содержится в К. Рассмотрим круги Kt радиуса <Z/2 с центрами в точках At из множества М. Заметим, что по свойству III группы Г круги Kt не пересекаются между собой, а с другой стороны, они содержатся в круге К', полученном из круга К увеличением его радиуса на d/2. Отсюда следует, что число кругов Kt, равное числу точек At, не больше отношения площадей кругов К' и Kt, т. е.

что и доказывает лемму.

Докажем теперь, что введенное нами расстояние удовлетворяет всем условиям, которые мы в прошлом параграфе включили в определение геометрии: а), б), в) и г).

То, что l^^fl > 0, очевидно. Пусть s4-N=$, докажем, что 1^^]¥=0. Множества А, В, задающие точки з£, 58, не имеют общих точек, так как если точка С содержится в А и В, то всякая точка из В эквивалентна С, а так как С содержится в А, то В содержится в А. Аналогично получаем, что А содержится в В, т. е. А = В, и, значит, s<- = $ вопреки предположению. Далее, пусть Ае — любая точка из А, тогда внутри круга радиуса "2 с центром в точке А 0 содержится не более одной точки В пз В (существование двух таких точек В и В', что |А0В| < Су» Ио^,1<^'«р привело бы к тому, что 1ВВ'|<с? вопреки условию III в определении равномерно-разрывной группы). Если такая точка В существует, то положим с= |А0В|. Здесь с>0 (иначе А н В совпадают, но как уже отмечалось А и В не имеют общих точек!). Если же такой точки В нет, то положим с = ^. Таким образом, всегда существует такое положительное число с, что |А0В|>с для всех точек В из В. Согласно замечанию, сделанному после определения расстояния, l«$£SB| есть наименьшее пз чисел |А0В|, где Ао— взятая нами точка из А, а В — любая точка из В, и поэтому 1^581 с > 0.

Свойство Ij^^I = l^f^l сразу следует из определения ^ и ^ и того, что |АВ| = |ВА] для точек плоскости.

Это доказательство по существу было нами проведено в предыдущем пункте (его иллюстрирует рис. 7.3). При этом по су- 5 В. В. Никулин, и. Р. Шафаревич

ти дела мы использовали только то, что понятие эквивалентности точек определяется при помощи некоторой группы.

Пусть з4- и 98 — точки нашей геометрии, задаваемые множествами А и В эквивалентных точек на плоскости. Выберем произвольную точку Л из А, и пусть В — ближайшая к ней точка из множества В. Согласно замечанию, сделанному после определения расстояния, 1з#581 = IASI.

Соединим точки А и В отрезком и разделим этот отрезок на части точками Pi, ..., Р„, так, что Р, = А, Рп = В и расстояния |Р<Р<+1| все будут меньше, чем 0. Тогда IASI = |Р,Р2| + + |Р2Р,1 + . •.+ IPn-iPnl. Обозначим через Р, множества точек плоскости, эквивалентных точкам Р,-, и через ^ — задаваемые множествами Р, точки нашей геометрии. По определению расстояния имеем l^^+il < |Р<Р.+1|, поэтому

1^1 > l^2l+...+I^^J, где IW<4yJ<0.

С другой стороны, в § б мы доказали (неравенство (1)), что 1^1 С |^21 + .. . + ^„-^„l,

поскольку 54- = 9s!, 98 = ^я. Отсюда мы получаем, что 1^1 = IWJ +... + l^n-i^J,

т. е. нужное нам утверждение даже в более сильной форме.

Проверим, наконец, что построенная таким образом геометрия в достаточно малых частях совпадает с плоскостью. Мы докажем, что такой достаточно малой частью является круг радиуса d/4 с центром в любой точке (У {d — то число, которое входит в определение равномерно-разрывной группы). Обозначим через О. то .множество эквивалентных друг другу точек плоскр- сти, которое определяет* точку- -^ нашей—геометрии,-и пусть О — одна из точек множества О. Обозначим через К круг радиуса d/4 на плоскости с центром в точке О. Для любой точки А этого круга пусть А обозначает множество всех эквивалентных ей точек и «5/ — определяемую этим множеством точку нашей геометрии. Сопоставим точке А точку si-. Так как по определению расстояния 1з&У1 =5 IAOI, а |А0| С d/4, то «я£ лежит в круге с центром О радиуса d/4.

Докажем, что таким образом мы получаем наложение одного круга на другой — это и есть нужное нам утверждение.

Пусть А и В — две точки круга К, А — множество точек, эквивалентных А, а В — множество точек, эквивалентных В; А определяет точку зФ и В — точку 98. Нам надо доказать, что |АВ| = l^fl. Согласно замечанию, сделанному после определения расстояния, |^| есть наименьшее из чисел IAB'1, где А — выбранная нами точка, а В' — любая точка из множества В. Если |АВ| не есть наименьшее из этих чисел, то для некоторой точки В' из В получаем, что |АВ'[ < IASI. Так как А и S ле-

жат в круге К, то 10А1 ^d/4, |ОР| < d/4 и, значит, |АВ| <d/2. Так как |АВ'| < |АВ|, то \AB'\<.d/2. Поэтому |ВВ'|^1ВА| + + lAB'l <d. Но согласно свойству III расстояние между разными точками множества В не меньше, чем d. Это противоречие и доказывает, что |АВ| = 1.9^81.

Остается доказать, что наше отображение является отображением на весь крут, т. е. любая точка круга радиуса d/4 с центром С? в нашей геометрии получается из некоторой точки круга К. Пусть st- — такая точка и А — точка из множества А, задающего s4-, ближайшая к О. Мы знаем, что IC^I есть наименьшее из чисел ЮА'1, где А'— точка А, т. е. |z7«9^l = \ОА|. Так как |<7«s£ j =С d/4, то и IOAI<d/4, т. е. А содержится в круге К. Точка геометрии, на которую отображается точка А, и будет, очевидно, «9^.

Таким образом, мы доказали следующее:

Теорема 2. Каждой равномерно-разрывной группе перемещений плоскости соответствует геометрия, которая в достаточно малых частях совпадает с плоскостью.

Геометрию S, построенную при помощи равномерно-разрывной группы Г перемещений плоскости, мы будем, чтобы подчеркнуть роль группы Г в определении геометрии, обозначать Sr.

Уиражиения

Пусть Г — группа, состоящая нз поворотов вокруг фиксированной 2л 4л 2 (я — 1) л _

точки плоскости на углы 0, —, —, ...,~• Доказать, что построе

ние геометрии Sr сохраняет силу и в этом случае, однако эта геометрия не совпадает с плоскостью в малых частях. Доказать, что геометрия Sr накладывается на конус.—

„2, Определим перемещение произвольной геометрии как отображение множества точек этой геометрии на все это множество, сохраняющее расстояние. Доказать, что если Г — равномерно-разрывная группа перемещений произвольной геометрии, то при помощи нее можно построить геометрию Sr так же, как и в случае плоскости, если дополнительно потребовать, чтобы в каждой сферической окрестности содержалось конечное число эквивалентных друг другу точек (маленькое изменение потребуется для доказательства свойства г)). Доказать, что если исходная геометрия в малых частях совпадала с плоскостью, то то же будет верно и для геометрии Sr.

Доказать, что параллельные переносы цилиндра вдоль его образующей на векторы, кратные заданному вектору е (лежащему на образующей), составляют равномерно-разрывную группу Г. Какова будет геометрия Sr? Тот же вопрос для поворотов кругового цилиндра вокруг его оси на уг- 2л 4л 2 (п — 1) я

лыО,•

Доказать, что преобразование F, сопоставляющее каждой точке сферы диаметрально противоположную ей точку, является перемещением в сферической геометрии и что F вместе с тождественным преобразованием Е образуют равномерно-разрывную группу Г. Соответствующая геометрия SF называется геометрией Римана. Доказать, что в ней выполняются все аксиомы принадлежности обычной геометрии: через любые две различные точки проходит ровно одна прямая; существуют три точки, не лежащие 5*

на одной прямой. Но взамен аксиомы параллельности выполнена так называемая «аксиома проективной плоскости»: любые две прямые пересекаются.

Что произойдет с этой геометрией, если разрезать ее вдоль прямой? Распадется ли она на две части?

Рассмотрим на плоскости два понятия эквивалентности точек. Именно, пусть две точки А и А' называются эквивалентными, если:

для фиксированной точки Р расстояния от А и А' до Р равны;

для фиксированного пучка параллельных прямых точки А и А' ле- ■ жат на одной прямой этого пучка.

Выполняется ли для них свойство 6), какие множества эквивалентных точек получаются? Задаются ли эти понятия эквивалентности какими-нибудь группами перемещений плоскости? Доказать, что обоим понятиям эквивалентности соответствуют геометрии: случаю 1) —луч, случаю 2) — прямая. Рассмотреть подобные примеры в пространстве.

Пусть Ф — фигура в геометрии Sr. Обозначим через Ф все точки плоскости, которые задают точки геометрии 2^ лежащие в Ф. Доказать, что если фигура Ф на плоскости выпукла, то Ф является геометрией.

§ 8. Перечисление всех равномерно-разрывныхгрупп перемещений плоскости

метрию с осью I иметрию с осью I иR(Oj=O МРис. 8.1.R(Oj=O МРис. 8.1.Перемещения плоскости. Начнем с перечисления всех возможных перемещений плоскости. Вспомним, какие примеры нам встречались: параллельный перенос, поворот, скользящая симметрия (в частности, симметрия относительно оси). Мы докажем, что этими примерами исчерпываются все перемещения плоскости. Параллельный перенос на вектор х мы будем обозначать через Тх, поворот с центром в точке О на угол ф — через Во, симметрию относительно оси I — через St, а скользящую сим- ;двигом на вектор х, параллельный оси I,— через ST. По определению, ST = SiTx. Сначала докажем два вспомогательных пред-_ ложения.

метрию с осью I и

метрию с осью I и

R(Oj=O М

Рис. 8.1.

R(Oj=O М

Рис. 8.1.

Лемма 1. Если |ЛР1 = |Л'Р'|, то существует такое перемещение F, являющееся параллельным переносом или поворотом, что F(A) =А', F(B) = В'.

Доказательство. Отметим одно важное свойство поворота: при повороте на угол Ф всякий луч поворачивается на один и

тот же угол, равный углу ф.

Действительно, обозначим через АМ этот луч и через ОМ' — со направленный ему луч с началом в центре О поворота (рис. 8.1). Для луча ОМ' это свойство выполнено по определению поворота. А свойство лучей быть сонаправленными сохраняется при любом. перемещении. Поэтому луч Н^АШ^М) сона- правлен лучу В(О)В{М'), значит, угол между лучами АМ ж К(АЖМ) равен углу между лучами ОМ' и ЖО)ЖЛ£'), т. е. углу ф (см. рис. 8.1).

Это свойство подсказывает, как находить нужный поворот. Рассмотрим сначала случай, когда прямые (ЛЯ) и (Л'Я') не параллельны. Обозначим угол от луча АВ к лучу А'В' через <р, где ф не равен 0е или 180°. Воспользуемся тем, что для различных точек Л и Л' множество точек X, для которых угол от луча ХА к лучу ХА' равен ф, где ф отличен от 0е или 180°, образует дугу окружности, построенную на ее хорде [ЛЛ'1 (рис. 8.2).

Рис. 8.2.рис. 8.3.Рис. 8.2.рис. 8.3.

Рис. 8.2.рис. 8.3.

Рис. 8.2.рис. 8.3.

Обозначим через О точку пересечения этой дуги с серединным перпендикуляром к отрезку [АА'1 (см. рис. 8.2). Тогда при повороте В^ с центром в точке О на угол ф точка А перейдет в точку А', луч АВ, по доказанному нами свойству поворота, повернется на угол ф и поэтому перейдет в луч А'В', а точка В перейдет в точку В', так как 1ЛЯ1 = 1Л'Я'| (см. рис. 8.3, иллюстрирующий один случай расположения отрезков (ЛЯ1 и [Л'Я']).

Пусть теперь прямые (АВ) и (А'В') параллельны. Если лучи АВ и А'В' направлены в разные стороны, т. е. составляют угол

в 180°, то центральная симметрия (или поворот на 180°) относительно середины О отрезка (АА'1 переведет А в А', а В в В* (рис. 8.4).

Наконец, если лучи АВ и А'В' сонаправлены, то параллельный перенос на вектор АА' переведет А в А', а В в В* (рис. 8.5).

Лемма 2. Если |ЛВ| = М'В'|, то существует такое перемещение 8, являющееся скользящей симметрией, что 8(A) = А',Лемма 2. Если |ЛВ| = М'В'|, то существует такое перемещение 8, являющееся скользящей симметрией, что 8(A) = А',8(B) = В'.Предположим вначале, что лучи АВ и А'В' не сонаправлены. Обозначим через О середину отрезка [АА'1 и перенесем параллельно в точку О лучи АВ и А'В' (рис. 8.6). Проведем биссектрису I угла, образованного полученными лучами OBt (сонаправлен АВ) и ОВХ (сонаправлен А'В'). Пусть С и С' — проекции точек A i А*8(B) = В'.Предположим вначале, что лучи АВ и А'В' не сонаправлены. Обозначим через О середину отрезка [АА'1 и перенесем параллельно в точку О лучи АВ и А'В' (рис. 8.6). Проведем биссектрису I угла, образованного полученными лучами OBt (сонаправлен АВ) и ОВХ (сонаправлен А'В'). Пусть С и С' — проекции точек A i А*Рис. 8.6.Рис. 8.6.соответственно на прямуюсоответственно на прямуюА'А'8'8'0,0,АгАгIIААввРис. 8.7.Рис. 8.7.О А 'С* имеют равныеПоэтому \СА \ = IC'A'l,О А 'С* имеют равныеПоэтому \СА \ = IC'A'l,Прямоугольные треугольники ОАС и по величине гипотенузы и равные углы.

Лемма 2. Если |ЛВ| = М'В'|, то существует такое перемещение 8, являющееся скользящей симметрией, что 8(A) = А',

Лемма 2. Если |ЛВ| = М'В'|, то существует такое перемещение 8, являющееся скользящей симметрией, что 8(A) = А',

8(B) = В'.

Предположим вначале, что лучи АВ и А'В' не сонаправлены. Обозначим через О середину отрезка [АА'1 и перенесем параллельно в точку О лучи АВ и А'В' (рис. 8.6). Проведем биссектрису I угла, образованного полученными лучами OBt (сонаправлен АВ) и ОВХ (сонаправлен А'В'). Пусть С и С' — проекции точек A i А*

8(B) = В'.

Предположим вначале, что лучи АВ и А'В' не сонаправлены. Обозначим через О середину отрезка [АА'1 и перенесем параллельно в точку О лучи АВ и А'В' (рис. 8.6). Проведем биссектрису I угла, образованного полученными лучами OBt (сонаправлен АВ) и ОВХ (сонаправлен А'В'). Пусть С и С' — проекции точек A i А*

Рис. 8.6.

Рис. 8.6.

соответственно на прямую

соответственно на прямую

А'

А'

8'

8'

0,

0,

Аг

Аг

I

I

А

А

в

в

Рис. 8.7.

Рис. 8.7.

О А 'С* имеют равныеПоэтому \СА \ = IC'A'l,

О А 'С* имеют равныеПоэтому \СА \ = IC'A'l,

е. точки А и А' находятся на одинаковых расстояниях от

Итак, мыИтак, мыпрямой I.

Итак, мы

Итак, мы

При параллельном" переносе Тсс* на вектор ЕС' точка А - перейдет в точку Аг, причем перпендикулярный прямой Z отрезок [Л2^'1 будет делиться точкой С' пополам, а луч АВ перейдет в сонаправленный ему и лучу OBt луч АгВг (см. рис. 8.6). Поэтому при симметрии St с осью I точка Аг перейдет в точку А', а луч АгВг перейдет в луч А'В’, так как при этой симметрии луч ОВ^ перейдет в луч О'ВХ и при любом перемещении сонаправленные лучи переходят в сонаправленные. Итак, мы доказали, что композиция 8^°' = 8iTсс>, которая по определению является скользящей симметрией с осью I и вектором СС', переводит луч АВ в луч А'В'. Так как 1ЛВ1 = lA'B'l, то нри этой скользящей симметрии точка В перейдет в точку В'. Это доказывает наше утверждение при данном расположении лучей АВ и А'В'.

Если же лучи АВ и А'В' сонаправлены, то возьмем за I параллельную им прямую, также проходящую через середину отрезка 1АА'] (рис. 8.7). Те же рассуждения доказывают, что скользящая симметрия В?0'переводит А в А*, В в В'.

Таким образом, любой отрезок можно совместить с любым равным ему по величине двумя способами: при помощи перемещения, являющегося параллельным переносом или поворотом (лемма 1), либо при помощи скользящей симметрии (лемма 2). Выделение этих двух типов перемещений связано с тем, что они различются одним существенным СВОЙСТВОМ.

Если F — параллельный пере- нос или поворот и АВС — любой\ /

треугольник, в котором вершины А, В и С обходятся по часовой стрелке, 'тов треугольнике

F(A)F(B)F(C)вершины F(A),^

F(B) и F(C) тоже обходятся по / часовой стрелке. Это следует хотя бы из того, что перемещение F можно осуществить как непрерыв-рис g g

ное движение плоскости, при ко

тором, очевидно, направление

Рис. 8.9.Рис. 8.9.обхода вершин треугольника не изменяется. Наоборот, если 5 — скользящая симметрия и вершины А, В и С обходятся по часовой стрелке, то вершины 5(A), 5(B) и 5(0 обходятся против часовой стрелки (рис. 8.8). Это очевидно для осевой симметрии, а параллельный перенос, как мы видели, не меняет направление обхода. Перемещения, не меняющие направления обхода треугольника (т. е. повороты и параллельные переносы), называются перемещениями I года, а перемещения, меняющие направление обхода треугольника (т. е. скользящие симметрии),— перемещениями II рода. Из того, как они влияют на направление обхода треугольников, следует, что если F, и Рг — перемещения I рода, то FJa тоже перемещение I рода: если F, — перемещение I рода, а Ег — II рода, то 5,5, и FJ\ — перемещения II рода, и если Ft ® Рг- перемещения II рода, то FtFa — перемещение I рода.

Рис. 8.9.

Рис. 8.9.

Оказывается, леммы 1 и 2 дают вообще все перемещения, переводящие один отрезок в другой.

Лемма 3. Пусть для четыре» точек А, В и А', В' выполняется условие \АВ\ = IA'S'1 * 0. Тоеде

существует ровно два перемещения, переводящие А в А' и В в В'. Они

различаются родом, а также тем, что переводят выделенную полуплоскость, ограниченную прямой (АВ), в различные полуплоскости, ограниченные прямой (А'В‘) (рис. 8.9).

Доказательство. Рассмотрим на плоскости какую-нибудь прямую I и ограниченные ею полуплоскости а и а'. Куда могут перейти при произвольном перемещении F прямая I и полуплоскости а п а'?

Выберем точку С в полуплоскости а и симметричную ей относительно I точку С в полуплоскости а' (рис. 8.10). Как известно, для точек X полуплоскости а будет выполнено неравенство iXCI < 1ХСЧ, для точек X прямой I— равенство 1ХС1 = = \ХС'\, а для точек X полуплоскости а' — неравенство IXCI > > \XC'L Так как при перемещении расстояния сохраняются, то

точка F(X) будет соответственно удовлетворять одному из условий

IF(X)F(C)I < \F(X)F(C')\, \F(X)F(C)\ = \F(X)F(C')\

ИЛИ

|F(X)F(C)I >lF(X)F(C")j.

Отсюда следует, что прп перемещении F прямая I перейдет в прямую — серединный перпендикуляр к отрезку [FCOMC')], а полуплоскости а и а' — в ограниченные этой прямой полуплоскости р и р', содержащие точки F(C) и F(C') соответственно (см. рис. 8.10).

Предположим теперь, что I = (АУ), а перемещение F удовлетворяет условию леммы, т. е. F(A)=A' и F(B) = B'. Тогда, как мы только что видели, различные полуплоскости а и а', ограниченные (АВ), перейдут в различные полуплоскости р и р', ограниченные (А'В') соответственно. Для доказательства леммы достаточно показать, что если имеется еще одно перемещение G, удовлетворяющее этим же условиям, т. е. G(A)=A', G(B)=B', G(a) = о/, G(p) = Р', то G совпадает с F.

Пусть X — произвольная точка плоскости, для определенности лежащая в полуплоскости а. Так как F и G — пеоемещения, причем F(A) = G(A) = A', F(B) = G(B) = В', то

\F(X)A'\ = \G(X)A'\ = \XA\, \F(X)B'\ = \G(X)B'\ = \ХВ\.(1)

Предположим, что FkX) N=- GkX), тогда точки А' и В' лежат на серединном перпендикуляре к отрезку [F(X)G(X)1, так как в силу (1) они одинаково удалены от точек FkX) п G(X), т. е. прямая (А'В') совпадает с этим перпендикуляром. Отсюда следует, что точки FkX) и G(X) лежат в разных полуплоскостях и Р', ограниченных прямой кА'В'), но это противоречит тому, что точка X лежит в полуплоскости a, a Fka) = G(a) = ,3. Таким образом, FkX) = GkX) для любой точки X, т. е. F = G.

Лемма доказана.

Теорема 1 (Шаля). Всякое перемещение плоскости является параллельным переносом, поворотом или скользящей симметрией.

Доказательство. Пусть Н — произвольное перемещение плоскости. Рассмотрим две различные точки Л и В и точки Ах = НкА), В, — НкВ). Так как Н — перемещение, то MjBJ = = |ЛВ|=/=0. По леммам 1 и 2 найдутся параллельный перенос или поворот и скользящая симметрия,' переводящие А в Л, и В в Bt, причем эти перемещения различны, так как имеют разный род. По лемме 3 тогда Н совпадает с одним из них.

Теорема доказана.

Упражнения

Из определения перемещения вывести, что перемещение F отображает: а) отрезок [АВ] на весь отрезок [6(A) 6(B)]; б) прямую (АВ) на всю прямую (6(A) F(B)); в) луч с началом в точке А на весь луч с началом в точке 6(A); г) полуплоскость, ограниченную прямой (АВ), на всю полуплоскость, ограниченную прямой (F (A) F (В)); д) круг К (А, Д) на весь круг К kF кА), В). (Указание: как и в доказательстве леммы 3, охарактеризуйте указанные множества с помощью расстояний, например отрезок [АВ] состоит из тех и только тех точек X, для которых |АХ| 4- + |ХВ| = [АВ[, затем воспользуйтесь тем, что перемещение сохраняет расстояния и отображает плоскость на всю плоскость. Случай круга будет разобран перед формулировкой леммы 1 из § 10.)

Пользуясь теоремой Шаля, выяснить, какие перемещения плоскости: а) оставляют на месте точки некоторой прямой; б) оставляют на месте ровно одну точку); в) не имеют неподвижных точек, но имеют ровно. одну переходящую в себя прямую; т) не имеют неподвижных точек, но имеют более одной переходящей в себя прямой; д) поворачивают каждый луч на один и тот. же угол; е) переводят каждую прямую в параллельную ей прямую; ж) переводят каждый луч в сонаправленный ему луч; з) оставляют на месте заданную точку; и) переводят в себя заданную прямую.

Для заданных отрезков [АВ] и [А'В'] одинаковой длины дать еще один способ нахождения перемещений, переводящих А в А' и В в В', пользуясь тем, что центр поворота лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему точку и ее образ, а ось скользящей-симметрии проходит через его середину.

Пусть Та— параллельный перенос на вектор a, a Si —симметрия относительно прямой Z. Доказать, что Ta$t будет скользящей симметрией. Относительно какой прямой? Тот же вопрос относительно SzTa. При каком расположении вектора а перемещения Г151 и 5,7, будут симметриями? Когда TaSt = 5}Га? (У казание: Представить вектор а в виде суммы двух векторов — один идущий по прямой 1, а другой — ортогональный ейу.)

Перечисление равномерно-разрывных групп перемещений плоскости. Типы I и II. Теперь мы можем перейти к основной задаче этого параграфа — нахождению всех равномерно-разрывных групп перемещений плоскости. Их полный список мы приведем в конце этого параграфа.

Начнем с того, что исключим те из перемещений, которые заведомо не могут содержаться в равномерно-разрывной группе перемещений. Для этого докажем следующее общее утверждение.

Предложение 1. Всякое нетождественное перемещение F из равномерно-разрывной группы не имеет неподвижных точек, т. е. таких точек О, для которых F(O) — О.

Доказательство. Предположим, что F(O) = О для некоторого перемещения F из равномерно-разрывной группы и некоторой точки О. Пусть X — любая точка плоскости, для которой 10X1 < d/2, где d — число из определения равномерно-разрывной группы, тогда

\ОХ\ = lF(O)F(X)l = |OF(X)1,

а зв:ачит, и |OF(X)| < d/2. Отсюда по неравенству треугольника получаем

\XFVX) 1 С |ХО] + |OFlX) 1 < d.

Тогда из определения равномерно-разрывной группы следует, что X = F(X). Так как X— любая точка, для которой 10X1 < d/2, т. е. любая точка, лежащая внутри круга радиуса d/2 с центром в точке О, то рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 1 предшествующего параграфа, показывают, что F — тождественное перемещение. То же самое можно вывести и из леммы 3 предыдущего пункта, поскольку внутри этого круга найдутся три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Как перемещение F, так и тождественное перемещение Е переводят в себя точки А, В и полуплоскость, ограниченную прямой кАВ^, содержащую точку С (так как С переходят в себя). По лемме 3 тогда F = Е. Это доказывает предложение.

Из этого предложения и теоремы Шаля получаем

Следствие 1. В равномерно-разрывной группе перемещений плоскости могут содержаться только параллельные переносы и скользящие симметрии с ненулевым вектором.

Действительно, всякий поворот имеет неподвижную точку — центр поворота, а тождественный поворот — то же самое, что перенос на нулевой вектор. Скользящая симметрия с нулевым вектором (или просто осевая симметрия) не является тождественным перемещением и имеет неподвижные точки — точки оси оимметрии. Следствие доказано.

Пусть Г — равномерно-разрывная группа перемещений плоскости. Обозначим через Г' совокупность всех параллельных пе- , реносов, содержащихся в группе Г. Очевидно, что Г'—тоже вруппа: если F и G содержатся в Г', то FG содержится в Г (так

как Г группа) и является параллельным переносом (так как таковы были F и G. Поэтому FG содержится в Г'. Аналогично легко проверить, что если F содержится в Г', то и F-1 содержится в Г'. Если Г' не исчерпывает всю группу Г, то в Г содержится по крайней мере еще одно перемещение, которое согласно следствию 1 должно быть скользящей симметрией. Пусть 8 — произвольная скользящая симметрия, содержащаяся в Г. Рассмотрим всевозможные перемещения TS, где Т — произвольный параллельный перенос, содержащийся в Г'. Очевидно, что все они содержатся в Г (по определению группы) и по теореме Шаля являются скользящими симметриями, так как имеют II род. Покажем, что так может быть получена любая скользящая симметрия, содержащаяся в Г. Действительно, если 8' — такая скользящая симметрия, то рассмотрим перемещение F = 8'8~1. Во-первых, оно содержится в Г. Во-вторых, S-1 тоже является скользящей симметрией, а значит, S'S~i — перемещением I рода (по правилу последовательного выполнения перемещений I и II рода, приведенному в п. 1). Но единственным перемещением I рода, которое может содержаться в равномерно-разрывной группе, является согласно следствию 1 параллельный перенос. Таким образом F = Т — параллельный перенос, и, значит, он содержится в группе Г'. Пусть X — произвольная точка плоскости и У = 5(Х), тогда X = S~4Y) и TkY") = S4S~4Y)) = ЗЧХ). Значит, Г(8(Х)) = ЗЧХ), а так как это верно для любой точки X, то S' = TS. Итак, мы доказали

Следствие 2. Равномерно-разрывная группа перемещений Г или состоит из одних параллельных переносов, или же содержит равномерно-разрывную группу Г', состоящую из параллельных переносов. Если 8 — любая скользящая симметрия из группы Г, то остальные перемещения группы Г, не содержащиеся в Г', исчерпываются скользящими симметриями TS, где Т содержится в Г'.

Далее мы разобьем все равномерно-разрывные группы на три типа в зависимости от того, какие параллельные переносы в них содержатся. К первому типу отнесем группы, в которых единственным параллельным переносом является тождественное перемещение (перенос на нулевой вектор). Ко второму типу мы отнесем группу, которая не относится к первому типу, ио все содержащиеся в ней параллельные переносы являются переносами на коллинеарные векторы. Наконец, к третьему типу отнесем группы, не относящиеся ни к первому, ни ко Второму типу. Та- ким образом, в группе, относящейся к третьему типу, должны' содержаться, по крайней мере, два параллельных: переноса на неколлинеарные векторы. Мы разберем по очереди эти три типа1 групп.

I тип. Докажем, что в этом случае группа состоит только Из тождественного перемещения. Действительно, как мы видели

(следствие 1), все перемещения, содержащиеся в равномерноразрывной группе, являются или параллельными переносами или скользящими симметриями с ненулевыми векторами, а параллельных переносов, отличных от тождественного перемещения, по предположению в группе нет. Таким образом, если в группе содержится перемещение F, отличное от тождественного, то оно является скользящей симметрией с вектором а, причем а ¥= 0.

-2с -с 0 с 2стсЬ (т*1)с

Рис. 8.11.

Так как F содержится в нашей группе, то и перемещение FF, получающееся как результат выполнения дважды перемещения F, содержится в той же группе. Но, как читатель легко убедится, FF есть параллельный перенос на вектор 2а, причем вектор 2 а =/= 0, так как а =/= 0.

Мы приходим к противоречию с тем, что наЩа группа относится к первому типу. Сформулируем доказанный нами результат.*

Теорема 2. Равномерно-разрывная группа перемещений плоскости типа I состоит только из тождественного перемещения.

Отметим, что геометрия, в своих достаточно малых частях совпадающая с плоскостью, которая соответствует такой группе, есть, конечно, сама плоскость.

II тип. Начнем с того, что исследуем группу Г' всех параллельных переносов, содержащихся в группе Г этого типа.

Отложим от одной точки О все такие^векторы а, что параллельный перенос" ТГ^Тсодержится в группе Г.% так . как группа Г'- равномерно-разрывная, то согласно лемме 1 из § 7 множество точек Та(О$ (т. е. концов вектора а), содержащихся в некотором интервале, конечно. Поэтому среди них существует ближайшая к О точка, а среди векторов а — кратчайший, отличный от нуля вектор. Мы обозначим его через с. По определению группы, в Г' должны Содержаться параллельные переносы

ТСТС = Т^, TtoTc=TM, (Т^^Т^

и вообще все параллельные переносы Т„ю, где m —* любое целое число. Докажем, что они исчерпывают все параллельные переносы, содержащиеся в группе Г'.

Пусть это не так, и в Г' содержится параллельный перенос Г),, где Ь ¥= пгс ни при каком целом тп. Отложив концы векторов тс от точки О, мы получим на прямой (напомним, что все векторы а, для которых Т^ содержатся в Г', коллинеарны) ряд точек, разбивающих прямую на отрезки равной длины (рис. 8.11).

Конец вектора Ь попадает в какой-то из этих отрезков, причем в его внутреннюю точку, по нашему предположению, относительно вектора Ь. Пусть он расположится между концами векторов тс и (т+1)с, тогда вектор с'= Ь —тс короче вектора с. С другой стороны, по определению группы, Тс, = ГьТ’йю содержится в Г'. Мы пришли к противоречию с тем, что с — кратчайший вектор среди тех ненулевых векторов а, для которых перенос Та содержится в группе Г'.

Таким образом, мы доказали, что группа Г' имеет простейший вид: она состоит в точности из параллельных переносов на векторы тс, где с — фиксированный ненулевой вектор, a m пробегает все целые числа. Теперь исследование группы второго типа разветвляется соответственно двум возможностям.

II а. Группа Г состоит только из параллельных переносов. В этом случае Г = Г' и ее строение нами определено.

Теорема 3. Равномерно-разрывная группа типа II а задается ненулевым вектором с и состоит из параллельных переносов на векторы вида пгс, где тп — любое целое число.

Это группы в точности того типа, который встретился нам в § 3 при построении геометрии на цилиндре.

II б. Группа Г содержит перемещения, не являющиеся параллельными переносами. Мы знаем (следствие 1), что такие перемещения являются скользящими симметриями с ненулевым вектором.

Параллельные переносы, содержащиеся в группе Г, сами образуют группу Г', и эта группа состоит из параллельных переносов вида Гтс, где с — некоторый ненулевой вектор, a m — любое целое число. Пусть № — скользящая симметрия из Г. Перемещение S®S? - является, как мы уже видели (да-это и-очевидно), параллельным переносом Г2а.По определению' группы он должен содержаться в Г, а значит, в Г', поэтому

2а = тс (2)

при некотором целом тп. Отсюда, в частности, следует, что векторы а и с параллельны, а так как вектор а параллелен оси I скользящей симметрии 5®, то, значит, эта ось параллельна вектору с.

Выясним, какова четность числа m в формуле (2). Если тп = 2k, то а = кс. Рассмотрим тогда перемещение

F = Г-^,

которое должно принадлежать группе Г. Читатель легко убедится, что (ввиду условия а = ке) это перемещение просто является симметрией относительно оси I. Однако согласно следствию 1 такое перемещение не может содержаться в равномерно-разрывной группе, и мы пришли к противоречию.

Таким образом, m — нечетно. Пусть m = 2А + 1, 2а = (2А + + 1) е, т. е. а = у + Ас; по определению группы перемещение S' = T_hcS* содержится в Г. Читатель легко проверит, что S' — скользящая симметрия с осью I и параллельным переносом на вектор а — кс = ^, т. е. S'= S^1. С другой стороны, ввиду следствия 2, все перемещения группы Г являются или параллельными переносами, содержащимися в Г' (т. е. имеют вид Ттс). или скользящими симметриями вида TS®^, где Т содержится в Г'. Так как Т = Тпс, где п — целое число, то TS®^ =

р ^^с/^ ^гПСЧ-С/2

Теорема 4. Равномерно-разрывная группа Г ктипа IIб) задается прямой I и ненулевым вектором с, параллельным I. Она состоит из параллельных переносов вида Тщ,. и скользящих симметрий вида TncS®^ = ST+e,\ где тп и п — любые целые числа.

Таким образом, мы получаем ту группу Г, которая возникала при построении геометрии на скрученном цилиндре.

Упражнение

Определить все равномерно-разрывные группы перемещений прямой.

Перечисление равномерно-разрывных групп на плоскости. Тип III. Как и в случае II, рассмотрим сначала случай III а, когда группа Г состоит из одних параллельных переносов. Мы докажем, что тогда имеет место двумерный аналог теоремы 3.

Теорема 5. Равномерно-разрывная группа типа Ша задается двумя неколлинеарными векторами а и Ь и состоит из параллельных переносов на все векторы вида zna + nb, где тип — любые целые числа.

Доказательство. Выберем некоторую точку О и нарисуем на плоскости совокупность М всех точек, эквивалентных ей относительно того понятия эквивалентности, которое задает группа Г, как это определено в п. 2 § 7. Это будет совокупность точек вида ТХ(О^ для всех параллельных переносов Тх, содержащихся в Г. Совокупность точек М обладает одним важным, хотя почти очевидным свойством, которым мы дальше все время будем пользоваться. Пусть Р и Q — две точки этой совокупности. Так как они эквивалентны, то (по определению) существует такой параллельный перенос ТХ1 содержащийся в Г, что TX(P}=Q. Очевидно, что тогда x = PQ. Пусть R — третья точка совокупности М. Так как параллельный перенос Тх содержится в группе Г, то точка ТХ(Д) эквивалентна точке Я и, следовательно, тоже содержится в совокупности М Таким образом, совокупность точек М переходит в себя при параллель-

ном переносе на любой вектор х, начало и конец которого содержатся в этой совокупности.

Проведем через точку О произвольную прямую I, содержащую кроме О еще хотя бы одну точку из совокупности М. Обозначим через Г1 совокупность таких параллельных переносов Тх, содержащихся в группе Г, что вектор х (будучи отложен от точки О) лежит на прямой I. Последовательное выполнение двух таких переносов Тх и Ту дает перенос Тх+у с теми же свойствами. Точно так же, если перенос Т содержится в множестве Г,, то и перенос Тхг = Т_х содержится в том же множестве. Таким образом, Г1 есть группа, а так как она содержится в равномерно-разрывной группе Г, то и сама является равномерно-разрывной. Очевидно, эта группа относится к типу II а, рассмотренному в теореме 3. Поэтому согласно теореме 3 группа Г, состоит из параллельных переносов вида ГПа, где п — любое целое число, а а — кратчайший из ненулевых векторов х, для которых перенос Тх содержится в группе Гь Точки совокупности М, лежащие на прямой I, образуют, таким образом, ряд равноотстоящих друг от друга точек — это концы векторов па, отложенных от точки О.

Вектор а является, как мы дальше докажем, одним из двух векторов (а и Ь), о которых говорится в теореме 5. Чтобы найти вектор Ь, проведем через произвольную точку Р совокупности М прямую Г, параллельную прямой I. Согласно сформулированному в начале доказательства основному свойству совокупности точек М, эта совокупность совместится с собой при параллельном переносе на вектор ОР. При этом ряд точек, расположенный на прямой I, перейдет в точно такой же ряд, расположенный на прямой V. X так как совокупность точек М совместится с собой й при параллельном переносе на вектор РО (причем прямая Г совместится с прямой Г), то никаких других точек из М, кроме точек этого ряда, на прямой К лежать не будет.

Таким образом, на каждой прямой V, параллельной I и проходящей через точку совокупности М, лежащие на этой прямой точки совокупности М образуют ряд, конгруэнтный ) ряду, расположенному на прямой I (рис. 8.12). Положим d = Га| и рассмотрим полосу Ф ширины d, ограниченную двумя параллельными прямыми, проходящими через концы О и X вектора а и перпендикулярными прямой I. Так как на прямой V лежит ряд точек, соседние точки которого отстоят друг от друга на расстояние d, то хотя бы одна точка этого ряда должна содержаться в полосе.Ф или на ее границе. Отсюда вытекает важное следствие:

из всех прямых Г, проходящих через точки совокупности М и параллельных I, существует ближайшая к I, но отличная от I.

Для доказательства вырежем из полосы Ф прямоугольник ОАВС достаточно большой, чтобы его пересекала хотя бы одна такая прямая V. Так как прямоугольник — ограниченное множество, то согласно лемме 1 п, 2 § 7 в нем содержится лишь конечное число точек совокупности М. В частности, существует в нем и ближайшая к прямой I точка Р^. Проходящая через нее

с

Ф

Р

в

-2а-а0

а

А2аЗа

Рис. 8.12.

прямая Z, и будет искомой. Действительно, если бы существовала прямая Z2, содержащая хотя бы одну точку совокупности М, параллельная I и более близкая к ней, чем Z„ то ввиду указанного выше свойства на прямой к содержалась бы точка Рг, принадлежащая прямоугольнику ОАВС, которая была бы ближе к прямой I, чем Р„ что противоречит выбору точки Pv

Пусть Pi— точка прямой к, только что нами построенной. Обозначим вектор ОР, через Ь и покажем, что ранее построенный вектор а и вектор b — такие, которые требуются в теореме 5. Пусть Тх— произвольный параллельный перенос, содержащийся в группе Г. Отложив вектор х от точки О, получим некоторую точку Q. Тогда х — OQ. Проведем-через эту точку Q прямую Г, параллельную I. С другой стороны, отложим от точки О векторы Ь, 2b, ЗЬ и т. д. Мы получим точки В,, В2, В, и т. д. Через каждую из этих точек тоже проведем прямую Zm, параллельную I (рис. 8.13). Докажем, что прямая V совпадает с одной из прямых к». Пусть это не так и Г пересекает прямую 05, в точке, расположенной между точками Bm-i и В™.

Сдвинем всю совокупность М на вектор (1 — zn)b. При этом она совместится сама с собой, а прямая Г перейдет в прямую I", более близкую к к чем Z„ вопреки построению к-

Таким образом, прямая V должна совпадать с некоторой из прямых I». Сдвинем всю совокупность М на вектор mb. При этом прямая кп совместится с прямой I, а значит, точка Q — с некоторой точкой А, лежащей на прямой I и принадлежащей совокупности М. Как мы видели, точка А является концом некоторого вектора па. В векторной записи полученная нами связь между векторами х (с концом Q), mb (с концом Вт), а (с концом Л)

х — mb = па,х — mb = па,имеет вид

х — mb = па,

х — mb = па,

е. х = па + mb. Это и доказывает теорему 5.

Замечание. Теорема 5 показывает, что совокупность точек М, полученная откладыванием от некоторой точки О всевозможных векторов х, таких, что Тх содержатся в группе Г, образует решетку из вершин равных параллелограммов, один из которых построен на векторах а и Ь (рис. 8.14). Это — двумерное обобщение той одномерной картины, которую мы имели в теореме 3.

Но шри переходе от размерности 1 к размерности 2 мы встречаемся и с новым явлением. В случае ряда равноудаленных точек на прямой, порождающий вектор с (т. е. такой, что все точки ряда получаются из точки О откладыванием векторов вида пс) определяется почти единственным образом: вместо е можно было бы взять только вектор —с. Вектор с и характеризовался тем, что он был кратчайшим среди всех векторов х (^О), для которых перенос Тх содержится в Г, т. е. его конец — ближайшая к О точка нашего точечного ряда. На плоскости одна и та же решетка точек, т. е. одна и та же группа параллельных переносов Г, может быть получена из разных пар векторов, например для случая, изображенного на рис. 8.14, из векторов; а, Ь, из векторов а, с и из векторов с, d.

Доказательство теоремы 5 не только устанавливает существование нужной нам пары векторов а, Ь, но и устанавливает, какие пары векторов являются порождающими. Именно, вектор а должен быть кратчайшим среди всех коллинеарных ему ненулевых векторов х, для которых перенос Тх содержится в Г. Иными словами, если х = ОР, то на отрезке [ОР] не должно быть других точек совокупности М, кроме О и Р. В частности, за Р можно взять вообще ближайшую к точке О точку совокупности М. Если вектор а уже выбран, то вектор Ь должен быть таким,

6 в. В. Нмкулжм, И. Р. Шафаревмч

32 ч- П. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ чтобы он не был коллинеарен а, Ть содержался бы в Г и чтобы при сдвиге прямой I = ^ОР') на вектор Ь мы получали бы прямую V, ближайшую к I из всех прямых, получаемых из I сдвигом на такой вектор х, что Тх содержится в Г. Иными словами, если Ь = OQ и V — прямая, параллельная I и проходящая через Q то V должна быть ближайшей к I прямой из всех прямых, проходящих через точки совокупности М и параллельных I. В частности, за Q можно взять точку на прямой V, лежащую внутри полосы Ф на рис. 8.13 или на левой ограничивающей ее прямой, т. е. такую чтобы ортогональная проекция вектора х на направление вектора а была короче вектора а.

Перейдем к последнему случаю групп типа III б. Здесь результат тоже очень похож на тот, который дается теоремой 4.

Теорема 6. Группа Г типа III б задается прямой I, вектором а, параллельным этой прямой, и вектором Ь, ей перпендикулярным. Она состоит из параллельных переносов вида Тх, где х = zraa + rab, m и п — любые целые числа, и из скользящих симметрий TxSh!\ где х— векторы указанного выше типа.

Доказательство. Выделим в группе Г группу Г', состоящую из параллельных переносов. По предположению она не исчерпывает всю группу Г и, значит, в Г должна содержаться некоторая скользящая симметрия 5 относительно некоторой прямой I. Как мы видели, SS есть параллельный перенос на вектор f: SS = Tt, причем Tt содержится в группе Г'. Обозначим, как и в доказательстве теоремы 5, через 1\ совокупность параллельных переносов Тх, содержащихся в группе Г' и таких, что вектор х коллинеарен f. Как мы видели, отсюда следует, что х = тгаа, где а — кратчайший ненулевой вектор с этим свойством. В частности, f = ma. Теперь мы рассуждаем так же, как. и при доказательстве теоремы 4. Если бы m было четным, т. е. т= 2п, то перемещение T—n»S было бы симметрией относительно прямой I, а таких перемещений в нашей группе содержаться не может; поэтому m нечетно. Положим т = 2га+1 и51=7’_па5, тогда, как и при доказательстве теоремы 4, St = S®/a. С другой стороны, вектор а мы выбираем как раз так, как указано в замечании к теореме 5: он является кратчайшим из коллинеарных ему (или, что то же самое, вектору f) ненулевых векторов х, для которых Тх содержится в Г'. Поэтому мы можем подобрать к нему такой вектор Ь, что все параллельные переносы Т х, входящие в группу Г, будут записываться в виде х = ma + rab, где m и га — любые целые числа.

Теперь мы вспомним, что все перемещения из группы Г, согласно следствию 2, должны быть или параллельными переносами (и тогда содержаться в Г') или скользящими симметриями (и тогда представляться в виде TtSi^, где Тх тоже содержится в Г'). Иными словами, группа Г есть объединение двух

множеств: параллельных переносов ^ида Тх и скользящих симметрий вида TyS?a, где Ту и Тх содержатся в Г'. Однако, если выбрать группу параллельных переносов Г' и скользящую симметрию Sf2 совершенно независимо друг от друга, то такое объединение не обязано быть группой. Действительно,, композиция в другом порядке, например S^Txi Для любого параллельного переноса Тх из Г' должна содержаться в Г (мы увидим дальше, что этого условия и достаточно, чтобы у нас получалась группа). Читатель легко проверит, что для любой скользящей симметрии Si и любого параллельного переноса Тх выполняется равенство

SfiT, = TX'S®, (3>

где х' — вектор, симметричный вектору х относительно прямой I (например, легко убедиться, что взяв произвольную точку Хт мы получим, что точки Si(Tx(X)) и TX'^S1(X)) имеют одинаковые проекции как на прямую Z, так и на перпендикулярную ей прямую).

Перемещение Tx/S® содержится в группе Г, так как в ней содержится левая часть равенства (3). Поэтому по следствию 2 это перемещение представляется как TySt где Ту — параллельный перенос из группы Г'. Отсюда следует, что Тх, = Ту содержится в Г'. Таким образом, мы получаем условие: если параллельный перенос Тх содержится в группе Г', то в ней содержится и параллельный перенос Тх». Отложив векторы х, для которых Тх содержатся в Г', от некоторой точки О, выбранной на оси I, мы получаем, как в доказательстве теоремы 5, рещетку М. Наше условие показывает, что решетка Л/ симметрична относительно некоторой прямой I, проходящей через точку О и параллельной вектору а.

Какие решетки обладают такой симметрией? Один ответ бросается в глаза: те, для которых порождающие векторы а и Ь можно выбрать перпендикулярными (рис. 8.15). Но есть и другое, менее очевидное решение: в центр каждого прямоугольника решетки, изображенной на рис. 8.15, можно поместить еще по точке и получить новую решетку (рис. 8.16).

Мы докажем, что только эти два типа решеток обладают интересующей нас симметрией относительно прямой. После этого мы убедимся, что второй тип не может возникнуть в связи с равномерно-разрывными группами. Отсюда будет следовать, что в нашем случае возникает первый тип, т. е. векторы а и Ь можно выбрать перпендикулярными, а это и утверждается в теореме 6.

Итак, пусть решетка, состоящая из концов векторов вида ma + пЬ, симметрична относительно прямой, на которой лежит 6*

конец вектора а. Согласно замечанию к теореме 5, мы можем выбрать вектор Ь так, что его проекция на направление вектора л короче, чем вектор а. Так как проекция симметричного вектора Ь' та же, что и Ь, то проекция вектора Ь + Ь' короче, чем

° . z° . z

° . z

° . z

Рис. 8.15.Рис. 8.15.Рис. 8.16.

Рис. 8.15.

Рис. 8.15.

2а. Но вектор Ь + Ь' лежит на той же прямой, что паи, согласно выбору вектора а, должен быть ему кратен (рис. 8.17). А так как он при этом короче, чем 2а, то возможны только два случая: либо Ь + Ь' = 0, либо Ь + Ь' = а. В первом случае проекция вектора Ь на направление вектора а равна 0, т. е. Ь и а перпендикулярны. Во втором случае эта проекция равна а/2, как на рис. 8.16.

Вернемся теперь к нашей равномерно-разрывной группе Г. Мы установили, что группа Г' соответствует одной из решеток, изображенных на рис. 8,15 и 8.16.. Пусть имеет . место второй случай: Ь + Ь'= а™ Рассмотрим перемещение Т^-ь^Ч Читатель может убедиться, что это симметрия (относительно какой пря

Рис. 8.17.Рис. 8.17.мой?). Но можно рассуждать и иначе. Так как Т-ъЗ^— перемещение II рода, то если бы это была скользящая симметрия S°v, ее двукратное применение давало бы параллельный перенос Т2С. С другой стороны, Т-ь^2 X X T-bS?72, согласно формуле (3), может быть записано как Т-ь-VSW*=

Рис. 8.17.

Рис. 8.17.

= Т-аТ» == Е. Итак, Т8С = Е, откуда получаем с = 0, и значит, мы имеем дело не со скользящей симметрией, а с симметрией. Однако симметрия в нашей группе содержаться не может, а значит, второй случай невозможен. Тем самым доказана наиболее трудная часть теоремы 6: всякая равномерно-разрывная группа типа III б задается указанным в теореме 6 способом.

Остается доказать обратное: совокупность перемещений, описанная в теореме 6, действительно образует равномерно-разрывную группу. Докажем вначале, что она образует группу. Для этого вспомним, что всякое перемещение из множества Г имеет вид Тх или TyS^2, где Тх н Ту— параллельные переносы нз группы Г'. Нам надо проверить, что последовательное выполнение двух таких перемещений опять дает перемещение такого же вида. Для этого надо рассмотреть перемещения

ТХТУ, T^sT, Т^Т, и Т^Т^.

Первые два перемещения имеют вид Тх^ и T^^V1 ц поэтому, очевидно, содержатся в Г. Для рассмотрения двух последних, мы воспользуемся соотношением (3) и тем, что вместе с параллельным переносом Тх в группе Г' содержится и параллельный перенос Тх, на симметричный вектор х'. Последнее следует из того, что векторы а и Ь в теореме 6 перпендикулярны, так что, если х = тгаа+пЬ, то х' = ma — гаЬ. В результате мы имеем

Т„8ГТХ = zy^-sf2и.^

I-^x^l— ^x+y'^Z= /X4.yf4-a

I (здесь у' — вектор, симметричный у), а эти перемещения, оче- I видно, содержатся в Г.

Точно так же мы должны рассмотреть обратные перемещения *к Тх и к T¥S^,a. Очевидно, что Т^1 = Т_х, точно так же чита-

|тель легко проверит, что (TyS^2)-1 — T_a-v>S^*, поскольку

j T-a-ySV^S’P = Е. Очевидно, что оба эти перемещения со- I держатся в Г.

* Проверим теперь, что группа Г равномерно-разрывна. Пусть | X <— произвольная точка плоскости и F -^ любое нетождественное перемещение из Г. Рассмотрим расстояние VXFVX'lX. Если F — параллельный перенос, то F = Тma+пь и

\XFQC) I = I та + nb| = Vm2lal2 + п21Ы2 > г,

где г — наибольшее из чисел |а| и 1Ы, так как векторы а и Ь fперпендикулярны и хотя бы одно из целых чисел m и га нену-

5левое. Если F — скользящая симметрия, то F = Тта+Пь5?/2 с

целыми m и п и

| XF (X) | > | ХГ(Х) | = | ma +-|-| = |т+11 Ja| ^

где X и F(X) — проекции точек X и F(X) на прямую I, ибо вектор а параллелен I, вектор Ь перпендикулярен I, a m — целое число. В результате, для каждого нетождественного перемещения F из Г и любой точки X на плоскости выполнено неравенство

\ХЕЖ\ >й>0,

где d— наименьшее из чисел lal/2 и !Ы. Так как d не зависит от выбора X и F, то группа Г равномерно-разрывна.

Это завершает доказательство теоремы 6.

Результат теоремы 6 может вызвать у читателя ощущение незаконченности. Дело в том, что скользящие симметрии группы Г типа III б описаны в теореме 6 не обычным образом — осью и вектором, параллельным оси, а в виде композиций двух перемещений— Тх8^,а, 1де х и а — векторы указанного там вида. Однако без труда можно описать их и обычным образом, найдя оси и векторы этих композиций.

Предложение 2. В обозначениях теоремы 6 выполняется равенство

TxS‘t

_ ^та+а/а_ ^та+а/агде x = ma + nb, 1п = 7пь/а (О» ° m и п пробегают целые числа.

_ ^та+а/а

_ ^та+а/а

Таким образом, оси скользящих симметрий из Г состоят из параллельных прямых Zn, разбивающих плоскость на полосы одинаковой ширины Jbl/2, а их векторы равны тпа+а/2, где та независимо от га пробегает целые числа (рис. 8.18).

Доказательство сразу же вытекает из следующей ниже леммы, так как а IIZ, а b -1- I.

4 ч44 ч42"2"aa1=41=41-2U1-2Uъ

4 ч

4

4 ч

4

2"

2"

a

a

1=4

1=4

1-2

U

1-2

U

Лемма 4. Справедливо равенствоТ^ = S^ х, V = T^il)* где Ci и са — соответственно проекции вектора с на ось I и перпендикулярную I прямую (рис. 8.19).

Доказательство. Прежде всего заметим, что перемещение TcSt II рода, так как Sf — перемещение II рода, а Тс — I рода. Тогда по теореме Шаля TV^—скользящая симметрия. И остается определить ее ось и вектор. Читатель легко проверит,.

что ось скользящей симметрии — единственная прямая плоскости, которая переходит в себя при этой скользящей симметрии, а ее точки сдвигаются на один и тот же вектор, который, очевидно, будет вектором скользящей симметрии. Прямая V = Тва/з Wt очевидно, переходит в себя при нашей скользящей симметрии Тс8^: скользящая симметрия 8^ переводит ее в прямую I", а параллельный перенос То переводит I" в V (см. рис. 8.19). Точка М на прямой Г очевидно сдвигается на вектор d+ci (см. рис. 8.19, где точка М при Sf переходит в М', а М' при Тв— в М"). Это доказывает, что прямая Г = Тс^а(1') является осью, a d + ci — вектором нашей скользящей симметрии Тс8^. Лемма доказана.

На этом завершается перечисление всех равномерно-разрывных групп перемещений плоскости. Это группы типов I, II а, IIб, Illa, III б, точно описанные в теоремах 2—6.

Если мы попытаемся описать все эти группы в одной теореме, просто переписывая теоремы 2—6 одну за другой, то длина полученной теоремы убедит нас в неразумности такого подхода. Тем не менее все это можно сделать, описывая группы другим способом. Дело в том, что в теоремах 2—6 для задания групп перемещений мы просто перечисляли все содержащиеся в них перемещения, а это необязательно. Читатель может убедиться, что перемещения группы типа II а получаются как композиции в любом числе параллельного переноса Т6 и обратного ему, например

Тзс = ТсТвТС1 Т_зо = (Гс)—1 (Ге)-1 (Ге)"1.

Точно так же перемещения группы типа II б получаются как композиции в любом числе скользящей симметрии- -S6^ -и-- ей обратной; перемещения группы типа III а получаются как композиции в любом числе параллельных переносов Га и Г и им обратных, например

Гм-зь = ГаГа (Гь)"1 (Гь)"1 (Гь)"1;

перемещения из группы типа III б получаются как композиции скользящей симметрии 8^\ параллельного переноса Гь и им обратных.

В общем случае для задания группы перемещений Г достаточно задать такие перемещения Fi, ..., Fk из этой группы, что все остальные перемещения из Г получаются как композиции в любом числе перемещений F^ ..., F^ и им обратных. В этом случае говорят, что группа Г порождена перемещениями Ft, ... ..., FK и записывают Г = [Ft, .,., F*l, а перемещения Flt ..., Fk называют образующими группы Г. Таким образом, для задания группы Г достаточно задать только ее образующие перемещения.

Для примера докажем, что группа тппа III б порождена указанными выше перемещениями Si/a и Гь. Действительно,

W = Га, (ТъГ^Т-ъ, (Т^^Т-а.

Рассматривая различные композиции переносов Та, Т_а, Т ^ и Т_ь, мы получим все переносы вида Тх, где х = та+ пЪ, композиция таких переносов с S®2 дает нам перемещения TxS1^. Но этими перемещениями и исчерпывается по теореме 6 группа типа ГП б. Точно так же доказывается, что группы остальных типов порождаются указанными выше перемещениями.

Более того, так как параллельный перенос на плоскости задается вектором, а скользящая симметрия — осью и вектором на ней, то изображая с их помощью на плоскости образующие групп, мы можем даже изобразить наши группы на плоскости простыми геометрическими картинками.

Теорема 7. Равномерно-разрывные группы Г перемещений плоскости могут быть пяти типов I, Па, II б, Ша, IIIб:

Г=[£] (рис. 8.20).

II а. Г = [Та], где а=/=0 (рис. 8.21).

II б. Г = [5?'а], где а=#0 (рис. 8.22).

Рис. 8.20.Рис. 8.21.Рис. 8.22.

Ша. Г = [7’а Т»), где а и Ь неколлинеарны (рис. 8.23).

III б. r = [S?;a, S^], где /0 0 ^, /о^Л, а ^ О (рис. 8.24).'

a

—;г,

a

2

I•lg

Рис. 8.24. Zi =Tb/2Zo, bJ_a.

Все перемещения этих групп перечислены в теоремах 2—6.

Упражнения

Пусть Г — равномерно-разрывная группа типа III а, М — соответствующая ей решетка на плоскости. О, А и В —три ее точки. Доказать, что Г порождена Та и Ть (или а и Ь удовлетворяют теореме 5), где а = ОА,

Ь = О В тогда и только тогда, когда параллелограмм со сторонами О А и ОВ не содержит других точек из М кроме своих вершин. То же самое вер

но, если этот параллелограмм имеет наименьшую площадь среди параллелограммов с вершинами в точках М. Если Д площадь любого параллелограмма с вершинами в точках М равна NA, где N — натуральное число.

Доказать, что всякое перемещение из группы типа III б можно представить, причем единственным образом в виде (ГЬ)Й (s»'^m,

где Ант — целые числа.„

Доказать, что множество перемеще-Рис. 8.2э.

ний, являющихся композициями в любом

числе и любом порядке перемещений Fi, ..., Ен и обратных им перемещений F~x, ..., F^-1, образует группу, которая будет, очевидно, группой [Fh ..., Ft], порожденной перемещениями Еь ..., Ен. (Указание: заметьте, что (^G^... Gmy-1 = G^ ... G^G™1. )

Доказать, что композиция FI^Rq^ поворотов является параллельным переносом Т_, еслп а +Р — 2fcn, и поворотом Fq+^ на угол а + р,

>■

если а + ^ =^ 2кп, где к — целое число (здесь a = О^^ (ОJ, а центр О

и угол а + р находятся пз рисунка 8.25).

§ 9. Новая геометрия

Примеры геометрий, в малом совпадающих с плоскостью, из $§ 3—5 привели нас в §§ 6, 7 к равномерно-разрывным группам перемещений плоскости, дающим общий (содержащий все ранее -встречавшиеся нам примеры) способ строить такие геометрии. В § 8 нам удалось перечислить вообще все такие группы. Теперь, прежде чем развивать дальше общую теорию, будет интересно оглянуться назад.

Группа типа I состоит из одного тождественного перемещения, и геометрия, которую она определяет, является, конечно, плоскостью. Группы тппов II а, II б и III а уже встречались нам в §§ 3—5 (см. также упр. 4 из п. 1 в § 5) и приводят к геометриям, рассматривавшимся в этих параграфах. Остаются группы типа III б, которые дают какой-то новый тип равномерно-разрывных групп, а следовательно, и какой-то новый тип в малом совпадающих с плоскостью геометрий, которые будет интересно описать и исследовать. Говоря про описание геометрии, вспомним, что во встречавшихся нам ранее геометриях множества точек, кроме задания их при помощи равномерно-разрывных трупп, имели и вполне наглядное описание: цилиндр — в § 3, скрученный цилиндр — в § 4, тор — в § 5. Хотелось бы столь же наглядно представить себе и множество точек новой геометрии,

в отличие от ранее встречавшихся нам случаев, заданной пока только равномерно-разрывной группой. При этом, конечно, не следует забывать и о расстояниях между точками.

Чтобы сделать это, вспомним, что цилиндр из § 3 мы могли бы получить из полосы на плоскости, перекрученный цилиндр в § 4 — тоже из полосы, тор в § 5 получился из квадрата на плоскости при помощи отождествления или склеивания между собой некоторых точек границы этих плоских областей способом, описанным в этих параграфах.

Можно надеяться, что множество точек новой геометрии также является некоторой поверхностью, которая получается из какой-либо аналогичной области на плоскости при помощи отождествления или склеивания между собой некоторых точек границы этой области. Мы увидим, что это действительно так.

Напомним, что точка ^ геометрии, определяемой равномерно-разрывной группой Г, задается множеством А эквивалентных друг другу точек на плоскости, причем две точки эквивалентны, если одна из них переводится в другую перемещением из Г. Однако, чтобы задать такую точку, вовсе не нужно знать все точки множества А. Достаточно знать только одну точку А из множества А, так как все остальные точки плоскости из множества А получаются применением перемещений из заранее заданной группы Г к точке А. Поэтому для задания совокупности всех точек геометрии достаточно задать на плоскости какую-то область, например многоугольник, которая бы обладала свойством:

область содержат точку из каждого множества эквивалентных друг другу точек на плоскости.

При этом было бы желательно, чтобы среди различных .точек области уже не было эквйвцдацтны^ между. собой,..т. е. разные точки области определяли разные точки геометрии. С одной стороны, мало отличающимся от этого, с другой — более удобным и согласующимся с нашими планами является требование:

никакая, внутренняя точка области не эквивалентна отличной от нее точке области, или различные эквивалентные точки области лежат (.только) на ее границе.

Если область, удовлетворяющая свойствам 1), 2), задана, то, как мы видим, множество точек геометрии задается поверхностью, которая получается отождествлением или склеиванием между собой эквивалентных точек на границе этой области. Это как раз то, что нам нужно: полосы в § 3 и § 4, квадрат в § 5, очевидно, удовлетворяют свойствам 1), 2) для построенных в этих параграфах равномерно-разрывных групп, а отождествляющиеся между собой точки границы этих областей — в точности эквивалентные между собой точки. Области на плоскости, удовлетворяющие свойствам 1), 2), ввиду их важности мы назовем фундаментальными областями.

После этой предварительной подготовки предположим теперь, что Г — равномерно-разрывная группа типа III б, и воспользуемся описанием перемещений из группы Г, данным в теореме 6 и предложении 2 предыдущего параграфа. Покажем, что прямоугольник PQRS на рис. 9.1 является фундаментальной областью для этой группы. На этом рисунке 1_и 10 = 1, к— три следующие друг за другом оси скользящих симметрий из Г, a PS = QR = = а/2, OQ=PO = hJ2.

Для проверки свойства 1) заметим, X на плоскости при помощи параллельных переносов на векторы вида пЬ (га — целое) из группы Г мы можем перевести в точку X' полосы, ограниченной прямыми Li, к, точку X* при помощи параллельных переносов на векторы вида та (т — целое) из группы Г можем перевести в точку X" прямоугольника PQUV (см. рис. 9.1). Если X" не попадает в прямоугольник

что произвольную точку

а r и

ь

а

Z7

•О

PQRS, т. е. лежит в прямоугольнике SRUV, то X" скользящей симметрией

р

^ v

Рис. 9.1.

ST^1=Т_а8^,г из Г можем перевести в точку X'", лежащую в прямоугольнике PQRS. Таким образом, произвольная точка X на плоскости эквивалентна либо указанной точке X", либо X'" прямоугольника PQRS, что и доказывает свойство 1). Для проверки свойства 2) выясним, когда эквивалентны различные точки X, У, лежащие в прямоугольнике PQRS. Разберем два случая. Если Y — FIX), где /'—параллельный перенос из Г, то XY = та + гаЬ, где т, га — целые числа. Из рис. 9.2, а сразу видно, что это возможно в единственном (с точностью до перестановки X и У) случае

Хе[Р5], Уе[$Я], Р = ТЪ

(1)

(см. рис. 9.3, а).

Если У = Е(Х), где F— скользящая симметрия из Г, то ее ось проходит через середину отрезка [ХУ], а ее вектор с равен проекции вектора XY на эту ось. Отсюда, из описания скользящих симметрий в Г и рис. 9.2, б сразу видно, что это возможно только в следующих (с точностью до перестановки X и У) слу-

чаях: либо

X <= [P(?L Y г [PS], F = ST,

(2)

либо

Х = Р, Y = S, F = S^1=T_bSf\

(3)

либо

X = Q, Y = R, F-S^-TbSf1 (4) (см. рис. 9.3, б).

Так как граница многоугольника образована его сторонами, это доказывает свойство 2) и завершает доказательство того, что прямоугольник PQRS — фундаментальная область.

Кроме того, в (1), (2), (3), (4) мы нашли все пары эквивалентных точек на сторонах прямоугольника PQRS (см. рис. 9.3). Мы можем теперь сказать, что точки нашей новой геометрии образуют поверхность, которая получается из прямоугольника PQRS склеиванием его сторон [Р5] и [(М?1 при помощи параллельного переноса вдоль его стороны [PQ1 и склеиванием его Сторон [Р^] и [57?] при помощи скользящей симметрии с осью, делящей пополам его стороны [PQ] и [57?]. Такая поверхность называется бутылкой Клейна в честь немецкого математика Феликса Клейна, впервые обратившего на нее внимание.

На рис. 9.4 приведен процесс склеивания бутылки Клейна: склеивая при помощи параллельного переноса стороны [PS1 и VQRA прямоугольника PQRS (рис. 9.4, а), мы получаем конечный цилиндр с краями (рис. 9.4, б), которые получаются склеиванием концов отрезков [^Р] и [7?5]; далее нам остается склеить эти края так, чтобы соответствующие им точки на отрезках [QP] и [Р5] склеились при помощи скользящей симметрии вдоль [JfW] (см. рис. 9.4, а). Это удается сделать, если мы возьмем цилиндр за один край и, изгибая его, снаружи проткнем этим краем цилиндр и изнутри подклеим к другому краю (рис. 9.4, в). Получившееся в результате изображение в пространстве бутылки Клейна действительно напоминает бутылку. Таким образом, бутылка Клейна, как и тор, получается из конечного цилиндра склеивани-

ем его краев. Однако эти склеивания отличаются: если мы выберем направления обхода краев цилиндра так, как показано на рис. 9.4,6, то на замкнутой кривой, получающейся в результате склеивания этих краев, оба этн направления дают в случае тора одно и то же направление обхода, а в случае бутылки Клейна — разные. Кроме того, в отличие от тора бутылка Клейна не помещается в пространстве без самопересечений (это можно доказать); на рис. 9.4,в точки самопересечения бутылки Клейна

образуют кривую с, и каждую точку этой кривой мы должны рассматривать как две точки бутылки Клейна, считая одну из них лежащей на одном куске бутылки Клейна, а другую — на другом.

Займемся теперь расстояниями между точками нашей геометрии. Для этого, как и в случае тора, начертим в прямоугольника PQRS сетку из достаточно часто идущих отрезков, параллельных его сторонам (см. рис. 9.4, а), и перенесем ее на бутылку Клейна (см. рис. 9.4, б, в). При этом отрезок, параллельный сторонам [Р@] и [ДЯ, превратится на бутылке Клейна в замкнутую кривую, очевидно являющуюся замкнутой прямой нашей геометрии, которую мы назовем параллелью. А каждые два отрезка, параллельные сторонам [^ДГ и [SP] и симметричные относительно прямой 4, соединяющей середины отрезков [Р^] и [Д5], на бутылке Клейна вместе составят замкнутую кривую, очевидно также являющуюся замкнутой прямой нашей геометрии, которую мы назовем меридианом. Очевидно, различные параллели, как

Рис. 9.5.Рис. 9.5.и различные меридианы, не пересекаются между собой, и каждая парадлель в точке пересечения с каждым меридианом ему пер- пендикулярна в смысле нашей геометрии. В результате мы получаем сетку из замкнутых кривых — параллелей и меридианов, покрывающую всю бутылку Клейна; при этом в нашей геометрии параллели и меридианы являются замкнутыми прямыми, и каждая параллель перпендикулярна каждому меридиану в их точке пересечения. Отсюда, из теоремы Пифагора, а главное из того, что наша геометрия в своих достаточно малых частях совпадает с плоскостью, на которой лежит прямоугольник PQRS, мы. получаем следующее наглядное представление о расстояниях в нашей геометрии: кривой в ней является кривая на бутылке Клейна, причем ее длина определяется «количеством» параллелей и меридианов, которые пе

Рис. 9.5.

Рис. 9.5.

ресекаются при движении вдоль этой кривой, а расстояние между двумя точками равно длине наикратчайшей соединяющей их кривой.

Можно, например, разбить кривую точками Л, на достаточно маленькие части А«А<+1, которые приближенно можно считать отрезками; тогда длина кривой складывается из длин этих частей, а длина каждой части по теореме Пифагора примерно равна

где ki — число параллелей, &2 — число меридианов, которые пересекают часть AjAi+t, a h^ й2 — шаги сетки из параллелей и меридианов (см. рис. 9.5). Если разбивать кривую на все более маленькие части, соответственно выбирая все более маленькие тпаги сетки, то будет получаться все более точное значение длины кривой.

Мы можем теперь подытожить результат нашего исследования.

Теорема 1. Равномерно-разрывная группа перемещений плоскости типа III б определяет в малом совпадающую с евклидовой плоскостью «геометрию на бутылке Клейна».

В заключение нашего описания остановимся на сходстве и различии между геометриями на плоскости, торе и бутылке Клейна в терминах параллелей и меридианов; при этом на плоскости под параллелями и меридианами понимаются, конечно, прямые двух взаимно-перпендикулярных пучков параллельных прямых. Во всех этих геометриях параллели и меридианы являются прямыми этих геометрий, образующими сетку, которая в малом (вблизи каждой точки) устроена одинаково, как на плоскости (рис. 9.6), и позволяет, как на плоскости, определять дли-

ны кривых в этих геометриях по количеству параллелей и меридианов, пересекаемых при движении вдоль этих кривых. Но в- целом строение сетки в этих геометриях различно. Так на плоскости параллели и меридианы — разомкнутые кривые, имеющие- бесконечную длину, а на торе и бутылке Клейна — замкнутые кривые конечной длины. Кроме того, в отличие от плоскости и тора, где каждый меридиан пересекает каждую параллель в одной точке, на бутылке Клейна все меридианы,

кроме двух средних меридиановРис. 9.6.

(склеивающихся из отрезков

[Л/7У1 и [<?Я] (или [PSD, см. рис. 9.4) пересекают параллели в- двух точках, в чем читатель легко убедится.

Обратимся теперь к другим свойствам геометрии на бутылке Клейна. В §§ 4, 5 нам встретились два необычных свойства геометрий: в геометрии на скрученном цилиндре из § 4 «право»- и «лево» неразличимы, что означает существование в такой геометрии замкнутой кривой, при обходе вдоль которой правая и левая стороны меняются местами; геометрия на торе из § 5 ограничена, т. е. расстояние между любыми двумя ее точками не превосходит некоторой константы.

Оказывается, геометрия на бутылке Клейна обладает сразу обоими этими свойствами!

Теорема 2. Геометрия на бутылке Клейна одновременно ограничена, и «.право» и «лево» в ней неразличимы.

Первое свойство очевидно: по определению расстояния в геометрии, задаваемой равномерно-разрывной группой, расстояние между точками А и В прямоугольника PQRS в геометрии на бутылке Клейна не больше расстояния 1АВ1 между этими точками на плоскости. Так как точки прямо

угольника PQRS задают все точки геометрии на бутылке Клейна, то расстояние между любыми двумя точками этой геометрии не больше диагонали прямоугольника PQRS. Для доказательства второго свойства рассмотрим замкнутую прямую (средний меридиан) геометрии на бутылке Клейна, которая склеивается из отрезка [Л/TV], соединяющего середины сторон [Р^] и IPS] прямоугольника PQRS. Точно так же, как в § 4, мы убеждаемся, что при движении вдоль такой прямой «право» и «лево», меняются местами (см. рис. 9.7).

Читатель может убедиться, что тем же свойством обладает другой средний меридиан бутылки Клейна, получающийся из ■отрезка [PS] (или [@R]), см. упр. 3.

Упражнения

Пусть Ф — фундаментальная область для равномерно-разрывной группы Г. Доказать, что Ф определяет разбиение плоскости на области у(Ф), где % пробегает Г, т. е. а) области у(Ф) заполняют всю плоскость; б) пересекаются друг с другом только по граничным точкам; в) для любых двух таких областей найдется ровно одно перемещение нз Г, переводящее одну из них в другую. Какое разбиение плоскости определяет фундаментальная область для группы типа III б на рис. 9.1?

Докажите, что и наоборот из свойств а), б) и в) вытекает, что Ф — фундаментальная область.

Пусть Г — равномерно-разрывная группа, А — фиксированная точка плоскости, Ф (Л) —область, состоящая из точек, расположенных к точке А ближе, чем к другим, эквивалентным А точкам. Доказать, что 5>(Л) —фундаментальная область для Г, причем Ф(А) —выпуклый многоугольник. Доказать, что фундаментальная область на рис. 9.1 для группы типа III б может быть получена именно таким образом из некоторой точки А. Где она находится? Какая фундаментальная область Ф(А) будет соответствовать группе тппа III а? Какое разбиение плоскости будет ей соответствовать?

Убедитесь, что при обходе среднего меридиана бутылки Клейна, получающегося из отрезка [Р5] (или [^Я]), «право» и «лево» также меняются местами.

Показать, что длина средних меридианов бутылки Клейна в два ра- за меньше длин остальных меридианов.

Параллели и меридианы в геометриях на цилиндре и скрученном цилиндре определяются как прямые, получающиеся из прямых на плоско- ■сти, параллельных вектору а и, соответственно, перпендикулярных ему (см. теорему 7 § 8, группы типа II а и II б). Каковы подобные перечисленным после формулировки теоремы 1 отличия в строении сетки из параллелей и меридианов в этих геометриях друг от друга и от геометрий на плоскости, торе, бутылке Клейна?

Доказать, что полусфера является фундаментальной областью для " _ равномерно-разрывной группы из упр; 4 п. 2 §7 сферической геометрии. Эквивалентными точками на ее границе (окружности) являются диаметрально противоположные точки. Как представить себе (наподобие бутылки Клейна) получающуюся в результате их склеивания поверхность объясняется в § 12 (см. рис. 12.22 и пояснения ниже). Эта поверхность называется проективной плоскостью.

§ 10, Перечисление всех геометрий, в маломсовпадающих с плоскостью

В этом параграфе мы докажем основной результат всего нашего исследования: перечислим все возможные геометрии, которые в достаточно малых частях совпадают с плоскостью. В § 7 мы доказали, что всякой равномерно-разрывной группе перемещений плоскости соответствует некоторая геометрия рассматриваемого нами типа (мы обозначили в § 7 такую геометрию через 5г). Здесь мы докажем, что этим способом получаются все геометрии, в малом совпадающие с плоскостью (теорема 1 этого

параграфа). Так как в § 8 мы к тому же перечислили все равномерно-разрывные группы перемещений плоскости, то в результате мы получаем полное описание всех геометрий, в малом совпадающих с плоскостью (Основная теорема этого параграфа).

При доказательстве теоремы 1 мы встретимся с трудностями нового типа. Дело в том, что раньше мы задавали геометрию с помощью явной конструкции (в §§ 3—5 очень наглядной, а в § 7 — менее наглядной, но вполне конкретной, исходящей из заданной группы Г). Теперь же мы должны исходить из совершенно общей геометрии 2, удовлетворяющей только условиям, сформулированным в § 6 определения геометрии, в малом совпадающей с плоскостью, и доказать, что она совпадает с одной из построенных нами в § 7 геометрий 2Г- Таким образом, мы должны научиться рассуждать в рамках общей геометрии, исходя только из немногих свойств, входящих в ее определение. Здесь мы встречаемся с примером математического исследования, когда из нескольких простых и весьма общих свойств какого-то объекта можно вывести вполне конкретные общие свойства, вплоть до полного перечисления всех таких объектов. Конечно» это требует нового типа рассуждений по сравнению с теми, которые использовались, когда геометрия задавалась конкретной конструкцией (например, как 2Г). Эти новые рассуждения требуют (именно ввиду их новизны) больших пояснений — ив результате доказательство теоремы 1 оказывается заметно длиннее доказательства любой другой теоремы этой книги (хотя оно состоит из нескольких отдельных рассуждений, не более трудных, чем те, с которыми мы уже встречались). Читатель, которому это доказательство покажется слишком сложным, может вполне его пропустить (прочитав внимательно только формулировку теоремы-1 и Основной теоремы) и перейти к следующему параграфу. В этом случае можно, кончив чтение книги, вернуться опять к доказательству теоремы 1 и попытаться его разобрать.

Теорема 1. Всякой геометрии 2» в своих достаточно малых частях совпадающей с плоскостью, соответствует равномерно-разрывная группа Г перемещений плоскости, при помощи которой эта геометрия строится описанной в § 7 конструкцией. Иными словами, геометрия 2 накладывается на геометрию 2Г.

Из этой теоремы и теоремы 7 из § 8, конечно, немедленно вытекает основной результат всего нашего исследования.

Основная теорема. Существует ровно 5 типов геомет^ рий, которые в достаточно малых частях совпадают с плоскостью, а именно:

геометрия на плоскости (плоскость);

геометрия на цилиндре;

геометрия на торе;

геометрия на скрученном цилиндре;

геометрия на бутылке Клейна.

7 В. В. Никулин, И. Р, Шафаревич

Иными словами, любая геометрия, совпадающая в достаточно малых частях с плоскостью, накладывается на одну из геометрий перечисленных пяти типов.

Построения в произвольной геометрии. Прежде чем перейти к доказательству теоремы 1, мы рассмотрим некоторые общие понятия и конструкции, которыми можно пользоваться в произвольной геометрии S, в малом совпадающей с плоскостью. Согласно определению, данному в § 6, для этой геометрии существует такое положительное число г, что крут Ж^#, г) с центром в любой точке «9^ геометрии S может быть наложен на крут К на плоскости с некоторым центром А и радиусом г, т. е. К = = Kt А, г'). Заметим, что при этом очевидно г'= г, а точка налагается на А. Наложение круга К(^, г) на крут К(А, г) — это отображение / первого круга на весь второй крут, сохраняющее расстояние между точками. Сопоставление точке 96 круга К<гФ, г) точки ft96) в круге К(А, г) можно рассматривать как изображение точки 96 на карте, имеющей форму круга Kt А, г). Ввиду этого мы дальше будем называть картой круга ^(^, г) круг KtA, г) и наложение / круга Kt^, г) на KtA, г). Эта карта является точной, так как / по определению не меняет расстояний между точками. Таким образом, свойство геометрии в малом совпадать с плоскостью переформулируется более наглядно: любой круг радиуса г имеет точную карту.

Этот же принцип изображения на плоскости мы можем применить и к другим фигурам в геометрии S. При этом под фигурой в геометрии мы всегда понимаем некоторое множество точек этой телмАтрии с определенным, следовательно, расстоянием между точками этого множества. Точно так же, как наложение гАлмАтрий, определяется понятие наложения фигуры одной геометрии на фигуру другой геометрии — как. отображение множества точек первой фигуры на все множество точек второй фигуры, сохраняющее расстояние). Фигуры, наложимые друг на друга, мы будем называть наложимыми или конгруэнтными (в школе таким же образом определяется конгруэнтность или равенство фигур на плоскости). Это позволяет нам употреблять названия (и обозначения) круг, отрезок, параллелограмм и т. д. к фигурам геометрии S, подразумевая под этим, что эти фигуры конгруэнтны или наложимы на фигуры с соответствующими названиями на плоскости (и обладают, следовательно, всеми известными из планиметрии геометрическими свойствами этих фигур, которые используют в своей формулировке только точки самих фигур).

Этим мы будем постоянно пользоваться. Например, пользуясь некоторой картой круга Z<(^, г) геометрии 2, мы можем в этом круге однозначно построить его центр — точку ^; отрезки [^^1, соединяющие точки ^ и ^ этого круга; радиусы; диаметры; граничную окружность и т. д., причем для них верны те же утверждения, что и для соответствующих фигур в круге радиуса г на плоскости (напомним, что в соответствии с нашей договоренностью отрезок [^^l — это такое множество точек геометрии 2, что некоторый отрезок [ВС1 на плоскости можно наложить на [^5’1, причем так, что В наложится на St С — на ?’).

В построениях, которые мы будем далее проводить, у нас будут постоянно встречаться отрезки. Поэтому нам важно будет знать, когда существует отрезок [^^’1, соединяющий точки S tt *8 геометрии 2, и когда он единствен. Для этого заметим, что если обе точки ЗВг/8 содержатся в круге ^(^, г), то в этом круге мы можем построить отрезок [^^1, их соединяющий, причем в этом круге он единствен. Такой способ построения отрезка 1^81 зависит от крута K(s^, г), в котором мы считаем лежащими точки S и ^, и не исключено, что, пользуясь каким-то другим кругом, содержащим точки S3 и *8, мы соединим точки и каким-то другим отрезком. Тем не менее, в одном очень важном случае можно показать, что в геометрии 2 существует и притом единственный отрезок [^^], соединяющий две точки S3 и *8 геометрии 2. Покажем, что это верно, если I&8I =5 г. Действительно, точки Л всякого отрезка [S^l, как и точки отрезка на плоскости, удовлетворяют условию

I^JTI + \Л8\ = IW! < г.(1)

Отсюда \ЗбЛ\^т, и точки Л любого отрезка 1^81 лежат в круге KA.SS, г). Но в круге K{S3, г), как мы знаем, существует (так как IWI^r) и притом только один отрезок С^Ч, соединяющий точки S3 и 8. Это и доказывает требуемое.

Тем же самым приемом читатель докажет следующее утверждение о существовании и \/

единственности продолжения отрезка в гео- \ <»,——_£» / метрии 2, которое нам понадобится. Пусть \/

в геометрии 2 даны точки S3 и 8, а также \/

число к > 0, причем I < к < г. Как мы

только что доказали, в геометрии 2 суще

ствует один-единственный отрезок I^^]. Рис. 10.1. Докажите, что в геометрии 2 отрезок [SB8]

единственным способом продолжается до отрезка [^25] длины к, т. е. существует один-единственный отрезок VSSSA, который содержит отрезок 1^81, и его длина \SB®\ равна к (рис. 10.1).

Прежде чем закончить эти предварительные замечания, отметим любопытное и очень важное обстоятельство, связанное с 7*

нашими определениями фигур в произвольной геометрии. Дело в том, что всякую фигуру на плоскости (как и в любой геометрии), которая конгруэнтна или наложима на крут, отрезок, параллелограмм, окружность и т. д. на плоскости, мы должны теперь в соответствии с нашей договоренностью также называть кругом, отрезком, параллелограммом, окружностью и т. д. А верно ли, что фигура на плоскости, конгруэнтная кругу, отрезку, параллелограмму, окружности и т. д., сама является кругом, отрезком, параллелограммом, окружностью и т. д. в соответствии со школьными определениями? Например, верно ли, что фигура на плоскости, конгруэнтная кругу радиуса R, состоит в точности из точек плоскости, отстоящих от некоторой точки плоскости на расстоянии, не большем этого числа R? Это действительно так и вытекает из свойства однородности плоскости, сформулированного в леммме 1.

Лемма 1 (об однородности плоскости). Всякое наложение f фигуры Ф плоскости на фигуру Ф1 плоскости продолжается до некоторого перемещения F плоскости, т. е. существует такое перемещение F этой плоскости, что

F(X) = /(X), если X принадлежит Ф.

Если фигура Ф не лежит на одной прямой» то такое перемещение F единственно.

Воспользуемся этой леммой и докажем перечисленные выше свойства, а саму лемму докажем после этого.

Итак, пусть / — наложение крута КЛА, R) = O на некоторую фигуру Ф1 плоскости и F — перемещение плоскости, существование которого дает лемма 1, тогда фигура Ф1 состоит из точек FkX\ где X пробегает крут КАА, R). Покажем, что Ф1 = = КАПАЛ, R). Так.как ^перемещение, то

\FkXWkA>\ = \XA\ ^R,

если X принадлежит кругу К(А, R). Это доказывает, что фигура ф, содержится в круге KkFkA), R). Пусть теперь У — произвольная точка крута KkFkA), R). Так как перемещение отображает плоскость на всю плоскость, то найдется точка X, для которой У = ГО). Для нее

lAKI = \ЕШ№\ = 1^)71 ^R,

поэтому точка X лежит в круге К (A, R). Таким образом, для каждой точки У круга KkFkA), R) найдется точка X круга КАА, R), для которой НХ) = У. Это доказывает, что, наоборот, крут K(F(A), R) содержится в фигуре Ф,; следовательно, Ф1 = = KkFkA),R). Таким образом, фигура Ф„ конгруэнтная кругу KkA, R), сама является крутом KkFkA"), Rh что и требовалось доказать.

Совершенно аналогично рассматриваются другие, известные из школьного курса фигуры: отрезки, параллелограммы, окружности и т. д. (см. упр. 1 п. 1 § 8). Теперь докажем лемму 1.

Доказательство. Рассмотрим случай, когда фигура Ф не расположена на одной прямой. Пусть А, В и С — три ее точки, не лежащие на одной прямой. По лемме 3 из § 8 найдется (причем ровно одно) перемещение F, для которого FIA) = flA), FIB) = /(В), а точки F{C} и /(О лежат в одной полуплоскости, ограниченной прямой (/(Л)/(В)). Отсюда следует, что В(С) = = /(С), ибо расстояния от точки В(С) до точек /(Л) и /(В) и от точки /(О до точек /(Л) и /(В) одни и те же — равны |ЛС| и IBCI.

Покажем, что В—искомое перемещение. Так как /(Л) = = В(Л), /(В) = FIB), flC) = FIC), то для любой точки X фигуры Ф расстояния от точки FIX) до точек /(Л), /(В) и /(С) и от точки f(X) до точек /(Л), /(В) и /(С) одни и те же—равны |ЛХ|, IBXI и |СХ|; отсюда F(X) = flX). В самом деле, если FIX) ^f(X), то точки /(Л), f(B) и f(C) лежат на серединном перпендикуляре к отрезку [/(Х)В(Х)], т. е. лежат на одной прямой. Но точки А, В, С не лежат на одной прямой. Поэтому не лежат на одной прямой и

точки flA)=FlA), flB) = = F(B) и f(C)=FlC), так как F — перемещение.

Случай, когда вся фигура Ф расположена на прямой, разбирается аналогично, но гораздо проще (см. упр. 4).

Следствие 1. Любые две карты одного и того же круга Kls^, г) в геометрии S переводятся друг в друза перемещением плоскости.

Смысл этого утверждения в следующем. Пусть одна карта — это отображение /2 круга K(s£, г) в круг K(At, г)

на плоскости, а другая — отображение А — в круг К(Л2, г), который мы можем считать расположенным в той же плоскости. Утверждается, что существует такое перемещение F этой плоскости, что для точек круга Ккз£, г) выполняется равенство /2(^) = FlftlS9)). Иными словами, две карты можно так совместить некоторым перемещением плоскости, что точки, изображающие одну и ту же точку, совместятся.

Доказательство (см. рис. 10.2). Мы построим такое наложение / круга КХ А,, г) на К(Аа, г), что М9?) =» flfA^)) для

любой точки 36 круга KAsi, г). Существование нужного перемещения F будет следовать тогда из леммы 1. Для точки X круга ЖЛ,, г)'найдем такую точку 36 круга Ж^, г), что /г(^)=Ж Такая точка 36 существует, так как наложение /t отображает крут KAsi, г) на весь круг KAAt, г), и единственна, так как наложение переводит разные точки в разные (иначе изменится расстояние). Теперь положим /(X) = /2(^). Очевидно, что / — искомое наложение круга К^А^ г) на круг К(Аг, г), так как /1 и /2 — наложения (рис. 10.2).

Следствие доказано.

Упражнения

Доказать, что отрезок [^^?] геометрии S сам будет геометрией, если измерять расстояния между его точками, как в геометрии S. Пусть ^, Я, % — точки геометрии S, 8— объединение отрезков ^Я] и [ЯФ]. Доказать, что 8, если расстояния между его точками измерять, как в геометрии 2, будет геометрией только тогда, когда 8 совпадет с отрезком [^@’].

Пусть S — геометрия, совпадающая в малых частях с плоскостью, г — такое положительное число, что круг радиуса г в S наложим на круг в плоскости, si и Я— две точки в S и |siЯ\ < 2г. Предположив, что 8— отрезок, соединяющий si и 98, a S’ — его середина, доказать, что S с X (S’, г). Пусть 8' — другой отрезок, соединяющий si с Я. Доказать, что точки отрезков 8 и 8', достаточно близкие к si, совпадают. ("Указание: воспользоваться свойством отрезка из упр. 1.) Вывести из этого, что точки ^ и ^ могут быть соединены не более чем одним отрезком.

Пусть 2 — геометрия, совпадающая в малом с плоскостью, si и Я— две ее точки и ^Я\ < г. Доказать, что любой кусок границы круга К (Я, г), содержащийся в круге К (si, т), в карте круга К (si, г) изображается дугой окружности. (Указание: если |Х и У — концы этого куска 8, то воспользоваться тем, что в круге К (Я, г) углы XCY для всех точек С из 8 равны, выразить это как соотношение между расстояниями |ХС|, |СУ| И |ХУ|;)

Из условий леммы 1 вывести, что если фигура Ф расположена на прямой, то фигура Ф1 также расположена на прямой, причем если фигура Ф содержит хотя бы две точки, то существуют равно два продолжения наложения / до перемещения F.

Пользуясь леммой 1 и теоремой Шаля па плоскости, перечислить все перемещения прямой.

Накрытия. Теперь мы можем перейти к доказательству теоремы 1.

Нам дана некоторая геометрия S, в малом совпадающая с плоскостью, и надо доказать, что она совпадает с геометрией Sr, построенной по равномерно-разрывной группе Г перемещений плоскости. Доказательство этого распадается на три этапа:

Нам нужно установить связь между нашей геометрией S и плоскостью П.

Используя эту связь, построить некоторую равномерноразрывную группу перемещений этой плоскости П.

Доказать, что наша геометрия S накладывается на геометрию Sr, построенную по этой группе Г.

Приступим к I этапу. Вспомним сначала, как мы получали из плоскости хотя бы простейший из рассматривавшихся нами примеров — геометрию на цилиндрической поверхности (§ 3). Мы наворачивали плоскость на цилиндр, причем так, что достаточно малые круги на плоскости накладывались на круги на цилиндре. Это «наворачивание» в точных математических терминах может быть описано как отображение <р плоскости П на цилиндр S. И в более общем случае геометрии Sr, рассмотренной в § 8, мы вводили на плоскости П понятие эквивалентности точек (при помощи группы Г), а потом называли точкой ^ геометрии Sr множество А эквивалентных друг другу точек плоскости. Это можно выразить иначе, сказав, что определено отображение ф плоскости П на множество точек геометрии S, при котором точке А плоскости сопоставляется точка ^ геометрии S, определяемая множеством А точек, эквивалентных точке А. Как и в случае наворачивания плоскости на цилиндр, отображение ф обладает тем важным свойством, что для любого круга достаточно малого радиуса на плоскости оно определяет его наложение на круг геометрии Sr. Хотя это и не было явно сформулировано в § 7, но фактически доказано: читатель легко в этом убедится, если еще раз просмотрит доказательство того, что геометрия Sr в достаточно малых частях совпадает с плоскостью.

Таким образом, правдоподобно, что и в случае произвольной геометрии S, в малом совпадающей с плоскостью, можно установить ее связь с плоскостью П, построив такое отображение ф плоскости П на S, что при этом круг достаточно малого радиуса на плоскости накладывается на круг геометрии S.

Это приводит нас к важному понятию, при помощи которого можно устанавливать связь не только между плоскостью и геометрией, но и вообще между двумя геометриями.

Определение. Пусть St и S2 — две произвольные геометрии. Накрытием геометрией St геометрии S2 называется отображение ф геометрии Si в геометрию S2, которое удовлетворяет двум условиям-.

существует такое число s > 0, что для любой точки з$- геометрии Si отображение ф определяет наложение сферической окрестности К(з£, з) геометрии Si на сферическую окрестность К(<р(з£),з) геометрии S2;

ф отображает St на всю S2, т. е. для любой точки ^геометрии S2 существует такая точка з^ геометрии Si, что ф(«я£) = =ае.

Мы будем обозначать такое накрытие буквой ф, а иногда и всей тройкой (Si, S2, ф). По определению накрытия, две разные точки з^ и 58 геометрии Si, расстояние между которыми меньше s, переходят в разные точки, потому что ^ содержится в круге K^s^, s) и на нем наше отображение ф является наложением, а поэтому !ф(^)ф(^) = 1з&®1 ^О. Однако для точек, расстояние

между которыми больше з, это может быть не так. Мы увидим дальше много примеров накрытий, при которых разные точки переходят в одну.

Приведем несколько примеров накрытий, которые или часто встречаются в жизни, или встречались уже в этой книге.

Рис. 10.3.

Пример 0. Всякое наложение, очевидно, является накрытием. Так поворот, перенос, скользящую симметрию можно рассматривать и как накрытия плоскостью самой себя. Другие примеры наложений, связанные с различными заданиями геометрий, рассматривались в § 6. Все это тривиальные, не отличающиеся ст наложений, примеры накрытий.

Пример 1. Следующий пример накрытия часто встречается в жизни и, как заметит сам читатель, играет важную роль в геометрии в связи с измерением углов в радианах. Рассмотрим намотку прямой Z на окружность с (рис. 10.3). Можно представить себе ее как намотку бесконечно длинной и тонкой нитки на цилиндрическую катушку очень малой высоты._ Так как нитка не растягивается, то расстояние между близкими точками на ней будет равно расстоянию по окружности с между точками, в которых они окажутся при наматывании, т. е. мы получаем накрытие прямой окружности. Заметим, . УМ УМчто при этом накрытии точки

Q/^~^\/" 'Х прямой Z, находящиеся на рас-

() () стоянии 2лгп, где г— радиус ок-

х?'р]/ х_ , V ружности с, а п — любое нату- ни м ральное число, будут переходить

,в одну и ту же точку окружно-

Рис. 10.4.CT0. j0 же самое накрытие мож

но наглядно представить себе и как качение без скольжения колеса с по прямой I (рис. 10.4), при этом точке М прямой Z сопоставляется точка ф(ЛЛ колеса с, в которой оно соприкасается с точкой М при качении по прямой Z.

Два следующие примера нами уже упоминались выше перед определением накрытия, но мы повторим их здесь, чтобы теперь сравнить с точным определением накрытия.

Пример 2. Аналогичный примеру 1, но двумерный пример накрытия дает наворачивание плоскости на цилиндр, который аналогично примеру 1 можно представить себе как наматт-тпяний листа жести на цилиндрическую палку или качение без проскальзывания цилиндра по плоскости (см. рис. 10.3 и 10.4, которые изображают этот пример в разрезе). Пример нам уже встречался при изучении геометрии на цилиндре в § 3. Так же, как и в примере 1, при этом накрытии плоскостью цилиндра различные точки плоскости могут переходить в одну и ту же точку цилиндра.

Пример 3. Рассмотрим геометрию Sr, определяемую равномерно-разрывной группой Г перемещений плоскости, которую - мы тоже будем рассматривать как геометрию и обозначать П. Сопоставим каждой точке А плоскости П точку ^ геометрии Sr, которая определяется множеством А эквивалентных точке А точек на плоскости П. Мы получаем отображение фг множества точек плоскости П на множество точек геометрии Sr, при котором Фт(А)=^#. Как мы уже упоминали, в § 7 фактически доказано, что (П, Sr, фг) является накрытием. Там мы показали (явно не определяя отображения фг), что' круг КАА, з) на плоскости при отображении фг накладывается на круг ^(ф(А), з) геометрии Sr, если з = d/4, где d — число из определения равномерно-разрывной группы Г. Отметим, что, как и в примерах 1, 2, различные точки плоскости П могут переходить при накрытии фг в одну и ту же точку геометрии Sr.

Если речь идет о геометриях, в малом совпадающих с плоскостью, то определение накрытия приобретает немного более простой вид.

Лемма 2. Пусть Si и S2 — две геометрии, в малом совпа- ~ дающие с плоскостью, а ф отображение Si в S2, удовлетворяющее условию-.

существует такое число з>0, что |ф(^)ф(^)| = |^^| для любых точек ^. и ^ геометрии Si, для которых |^^| < з.

Тогда ф является накрытием.

Доказательство. Из условия в формулировке леммы 2 следует, что ф отображает круг К^, з/2) в круг Жф(л^). з/2), причем так, что расстояния между точками не меняются. Что же нужно еще проверить, чтобы убедиться, что ф — накрытие? Для проверки свойства 1) определения накрытия нужно доказать, что для некоторого i>0 отображение ф отображает K(j^,t) на весь круг ^(ф(^), i), а для проверки свойства 2) — доказать, что Ф отображает St на всю геометрию S2. Эти два свойства мы и докажем.

Докажем первое утверждение. Вспомним, что геометрий Si и S2 совпадают с плоскостью в достаточно малых частях, и пусть г, и г2 — соответствующие им числа, т. е. радиусы тех кругов, внутри которых эти геометрии совпадают с плос-

костью. Возьмем t таким, что t < s/2, Кл, К, г2. При таком выборе t круг Кк^, t) содержится в круге Kks4-, rj и его изображение в карте КХА, г^, соответствующей кругу ^(^, п), является кругом КХ А, О. Таким образом, крут Kkst, t) тоже обладает картой. Аналогично обстоит дело с крутом А(ф(^), I).

Рис. 10.5.

Пусть КкА, <) и KkB, t) — их карты. Отображение ф переводит круг Kks£, t) в круг А(ф(^), #) и сохраняет расстояние, так как t<s/2 и ф сохраняет расстояние между точками круга Kk^-, sJTX. На их картах KkA, t) и KkB, t) оно изображается как наложение ф крута КХА, t) на некоторую фигуру в круге KkB, f) в плоскости, причем ф(А) = В (рис. 10.5Х Как мы показали перед доказательством леммы 1 (используя ее), в таком случае эта фигура совпадает о кругом КХВ, #), т. е. ф налагает крут KkA, t) на весь круг KkB,t), а ф — круг Kkst, t) на весь крут А(ф(^), i), что нам и нужно.

Докажем второе утверждение. Здесь мы впервые воспользуемся свойством г) определения геометрии (п. 1 § 6). Пусть ^— некоторая точка геометрии Slf а Я? — произвольная точка геометрии S2. Согласно свойству г) определения геометрии, существуют такие точки ^i, ..., Ж геометрии S2, что ^ = ф(^), 36» = 35, УЗб^Зб^Л <t (мы применяем свойство г) при a = t, £— любом). По доказанному, ф отображает круг Kks£, t) геометрии St на весь круг £(ф(^), t) геометрии S±. Так как точка ^2 лежит в круге А^(ф(^), t), то существует такая точка ^2 геометрии Si, что ф(«9^2) = 38г. Применяя то же рассуждение к точке 38а, мы найдем теперь точку ^ такую, что ф(^2) «М и т. д. Через п шагов мы построим такую точку ^ геометрии Si, что ф(^) = 35. Лемма доказана.

Обратим внимание на то, что в случае, когда геометрии Si и 2г совпадают с плоскостью, а отображение ф не меняет расстояния между любыми парами точек, мы получаем из леммы 2 новое утверждение планиметрии: в определении перемещения не нужно требовать, чтобы оно отображало плоскость на всю плоскость. Читателю рекомендуется продумать доказательство леммы 2 и на его основе найти по возможности простое доказательство этого утверждения в рамках планиметрии.

Замечание. Когда речь идет о накрытии (Si, S2, ф) геометрий, в малом совпадающих с плоскостью, то возникает три числа: ri (связанное с геометрией Si), ra (связанное с геометрией S2) и s (связанное с отображением ф). Очевидно, что любое из них можно заменить любым меньшим числом — оно будет обладать тем же свойством. Поэтому дальше мы заменим эти три числа одним, меньшим всех трех, и будем обозначать его череэ г.

Упражнения

Пусть (Si, S2, ф) —накрытие геометрий, в малом совпадающих с плоскостью. Доказать, что прообраз круга К(^, s') при s < г в геометрии Sg (т. е. совокупность тех точек Я геометрии Si, для которых ф(^) принадлежит этому кругу) состоит из непересекающихся кругов радиуса s.

Доказать, что наматывание замкнутой нити длины wL на катушку периметра L определяет накрытие геометрий, в котором в каждую точку геометрии S2 («катушки») переходит п точек геометрии Si («нити»). Рассмотрите аналогичные примеры для цилиндра и тора.

Пусть равномерно-разрывная группа перемещений плоскости Г1 содержит группу Г2. Сопоставим совокупности точек плоскости, эквивалентных относительно группы Г2, совокупность всех точек, эквивалентных этим точкам относительно группы Гц Доказать, что таким образом получается накрытие ф геометрии Sr, геометрией Sp,. Как пример предшествующего- упражнения включается в эту конструкцию?

Построить накрытие скрученного цилиндра цилиндром.

Пусть (Si, Sz, ф) — накрытие геометрий, в малом совпадающих с плоскостью. Предположим, что в некоторую точку 5# геометрии 32 переходит конечное число и точек геометрии Si. Доказать, что то же верно для любой точки геометрии S2.

Существует ли накрытие плоскостью сферической геометрии? Доказать, что если существует накрытие геометрии S геометрией, в малом совпадающей с плоскостью (или наоборот), то S сама в малом совпадает с плоскостью.

Построение накрытия. Первый этап доказательства теоремы 1 (по плану, намеченному в начале п. 2) заключается в доказательстве следующего утверждения.

Теорема 1а. Для любой геометрии S, в своих достаточно малых частях совпадающей с плоскостью, существует накрытие ф: П -* S геометрии S плоскостью П.

Построим некоторое отображение Ф множества точек плоскости П во множество точек геометрии S, про которое затем докажем, что оно является накрытием. Идея этого построения очень естественна: надо воспользоваться тем, что геометрия S совпада-

ет в малом с плоскостью, так что каждый круг радиуса г облада- ет картой. Зафиксируем некоторую точку О плоскости П, любую точку О’ геометрии S, круг К[0, г) с центром в точке 0 и его карту, которую можно считать кругом ^(О, г) с центром в точке О. По определению карты мы имеем наложение / круга К (0, г) на круг КАО, г). У наложения / существует обратное, которое мы обозначим через ф0 — оно сопоставляет каждой точке карты изображаемую ею точку круга геометрии S. Очевидно, что ф0 является наложением круга К[О, г) на крут KA0, г). Это уже дает нам отображение круга КАО, г) на круг К[0, г). Будем строить отображение ф как продолжение отображения ф0, т. е. так, чтобы ф(Л) = ф0(Л), если А лежит в К[О, г).

Для этого мы воспользуемся следующей леммой.

Лемма 3 (о продолжении). Пусть на плоскости дан отрезок [051 длины, 2г, его середина А и наложение фо отрезка [ОЛ] на отрезок [0^8-1 геометрии S Ude г — число из определения геометрии S, в малом совпадающей с плоскостью). Тогда существует наложение ф1 отрезка [05] на некоторый отрезок [0581 геометрии S, являющееся продолжением наложения ф0, т. е. такое, что ф^Х) = фоСХ) для точек X отрезка [ОЛ].

Доказательство. Рассмотрим круг К(^, г) в нашей геометрии.

Заметим, что отрезок [0^81 является радиусом круга К(^, г), потому что 10^1 = ги (05^1 — единственный в геометрии S отрезок, соединяющий точки 0 и s8 (так как 10^1 ^г). А раз отрезок [0^81 — радиус круга KG28, г), то мы можем продолжить его до диаметра [0531 (рис. 10.6). Определим ф1 на отрезке [ОЛ] условием фЛХ) = ф0(д), а на отрезке [Л5] как наложение этого отрезка на отрезок [^^] той же длины, при котором

А налагается на ^, В — на 58. Нам остается проверить, что ф« — наложение отрезка [05] на отрезок [0^1. Это станет очевидным, если, пользуясь картой круга KU8, г), представить себе отрезок [0581 лежащим на плоскости. Мы имеем два отрезка —105] и [0581, точку А на отрезке [05] и ^ на [0581. Отрезок [ОЛ] налагается на [0^81 и [АВ1 — на [s8561. Ясно, что при этом [05] налагается на [0581 (рис. 10.7).

Лемма доказана.

Проведем теперь лучи из точки О плоскости и определим наше отображение на каждом луче в отдельности. Для этого разделим луч на равные отрезки длины г точками О, Ai, А2, ... (IOJ.il = г, ..., IЛ„Д„+1| = г). На отрезке ОА,, содержащемся в круге КАО, г), мы определим отображение ф совпадающим с ф0. По предшествующей лемме это отображение можно продолжать на отрезок [JiJ2l; применяя лемму еще раз, мы продолжим его на [А^А,]. Действуя таким образом, мы получим в итоге продолжение на весь луч. По лемме 3 наше отображение ф будет наложением отрезка [АпАп+21 на отрезок [ф(Ап)ф(Ап+2)1 геометрии S. Так как любой отрезок длины г, расположенный на луче, содержится в некотором отрезке [J.Jn+2J, то мы можем сказать, что построенное отображение луча является наложением для любого содержащегося в луче отрезка длины =5 г.

Построенные лучи покрывают всю плоскость, и каждая точка плоскости лежит только на одном луче, так что отображение.

определенное на всех лучах, дает единое, однозначно определенное отображение ф плоскости П в геометрию S, такое, что

А) ф определяет наложение круга КАО, г) на круг КАО, г), причем О = ф(О);

Б) ф определяет наложение каждого отрезка [АВ] длины !АВ| ^ г, лежащего на выходящем из точки О луче плоскости П, на отрезок Ls&Sl геометрии S, где ф(А)=^, ф(В)=^.

Этим закончено построение нашего отображения ф, и нам

остается доказать, что оно действительно является накрытием. Для этого докажем, что |ф(А)ф(В)| = |АВ| для любых точек А

и В на плоскости П, для которых |АВ| 0/2. По лемме 2 отсюда уже следует теорема 1а.

Пусть А и В — две точки плоскости П и IАВ\ =С г/2. Рассмотрим три возможные случая. 1) А и В лежат на одном луче, выходящем из точки О, тогда !ф(А)ф(В)| = = |АВ| согласно свойству

Б) отображения ф. 2) А и В

лежат на одной прямой с точкой О, но по разные ее стороны, тогда |А0| г/2, \В0\ < г/2, т. е. А и В лежат в круге КАО, г/2), содержащемся в круге К[0, г). В этом случае |ф(А)ф(В)| = |АВ| согласно свойству А) отображения ф. Остается основной случай: 3) А и В не лежат на одной прямой с точкой О. Соединим А и В лучами с точкой О, обозначим через I биссектрису угла АОВ и проведем отрезки [АС] и [ВО], перпендикулярные прямой I (рис. 10.8). Точки А, С, В, D являются, очевидно, вершинами равнобочной трапеции с высотой (BF1.

Нам удобнее доказать даже больше. А именно, докажем, что расстояния между любой парой точек А, В, С, D сохраняются при отображении ф, т. е. не только 1ф(А)ф(В)| = L4BI, но и |ф(А)ф(С)| = lACi, и т. д. для всех шести пар (А, В), (А, О, (A, D), (В, С), (В, D) и. (С, D). Иными словами, мы докажем, что ф определяет конгруэнтность фигур ACBD и <p(A)<p(B)<p(C)<p(.D) (каждая из фигур состоит из четырех точек). Для доказательства разобьем треугольник DOB на равнобочные трапеции с высотами, равными |5^|. Введем новые обозначения, и вершины получающихся трапеций будем обозначать через Mt, N{, М1+1, Ai+1 (см. рис. 10.8). Если таких трапеций будет к, то в этих новых обозначениях А = Мк, D = Мк+ц С = Nk, В = NK+V При таком разбиении от треугольника DOB остается равнобедренный треугольник MiONt с высотой, не большей, чем IBFL Его мы будем рассматривать как вырожденную трапецию, в которой Ma = N6 = О (см. рис. 10.8).

Идея доказательства заключается в следующем: мы докажем, что для любого i отображение ф определяет конгруэнтность фигур Mt-^i-iNiMi и ф(Л/<_1)ф(А{-1)ф(Л/1)ф(М). Этот факт мы будем доказывать методом математической индукции по i, т. е. переходя от i-й трапеции к (i+D-й, начиная с самой первой (которая является треугольником OM^Nt). При i = к + 1 мы получим нужное нам утверждение о фигуре ACBD.

Первый шаг очевиден. Действительно, по построению \ОМД ^r/2, \ONi\^r/2, т. е. точки Mt и Ni лежат в круге КАО, г/2). Из свойства А) отображения ф следует, что

(ф^ф^)! = 10^1, ^(Otycvai = IOAJ,!ф(ЛЛ)ф(М)| = Ilf ЛИ

— нужные нам соотношения. .

Предположим, что для точек М{_15 M_t, Nt, Mt наше соотношение доказано, и докажем его для точек Mt, Nt, N{+1, Mi+i. Очевидно (читатель это легко проверит), что длины диагоналей всех трапеций M<NtNt+lMi+1 не превосходят длины диагоналей последней трапеции, которые меньше г/2. Отсюда сразу следует, что трапеции М{_^(_^(М< и М^^<+1М<+1 содержатся в круге K(.N{, г/2), а тем более в круге K(Ni, г) плоскости П (рис. 10.9, слева).

Применим отображение ф к отрезкам [Afi-iAfj+J и INt-iN^. Согласно свойству Б) отображения ф, каждый из них наложится на некоторый отрезок геометрии 2. Положим

ф(Лf^-l) = j%{—1, ф(А?<) = <^fj, ф(А?(+1) = jK^y,^{К^ = Л^-!, ф(М) = Jfu ф (Ai+l) = jf^v

Проверим прежде всего, что все эти точки содержатся в круге KUf\, г) геометрии 2. Это очевидно для точек Л^, Jf«-i, J£i-i, Xt,

так как согласно индуктивному предположению, расстояния между ними равны расстояниям между теми точками плоскости П, из которых они при отображении ф получаются, т. е.

1Л®<Л®<-а = IM-J, |Л®^_а = 1№,-а, 1Л®^| - WJ, а точки Ni, Nt-U M;-,, Mi, как мы установили, лежат в круге K(N{, г). Наше утверждение так же очевидно для точки Л®<+i, так

Рис. 10.9.

как при отображении ф отрезок lNtNt+i) налагается на отрезок [Л®<Л®<+а. Для оставшегося случая — точки Ж1+1— доказательство чуть сложнее. Так как при отображении ф отрезок (MiMt+J налагается на отрезок [^*^«+11, то |Afaif<+a = |^<^ц,11. Кроме того, как мы уже проверили, |Л74Л1 = |Л®^J. Наконец, I^Jti+a =С ^Л’ЖА + UUXi+A. Из этих соотношении получим, что

^Жч-А < Ml + Ilf^+J < r/2 + r/2 = r.

Тем самым нужное нам свойство доказано и для точки ^<+1.

Теперь мы вспомним, что геометрия S в малых частях совпадает с плоскостью. Более точно, круг KUPi, г) в этой геометрии обладает картой, которую мы можем считать лежащей в плоскости П. При помощи этой карты мы отождествим, его с кругом в плоскости П и будем считать, что точки Л®«-1, Л®<, Л®<+1, Ж^-р Ж<, Жщ.,. лежат в плоскости П. Таким образом, мы получаем следующую простую картину (см. рис. 10.9). На плоскости имеются две фигуры, состоящие из точек Nt-U Nt, Nt+1, Mt-t, Mt, М<+1 и Л®^!, Л\ Л®<+1, Ж^, Ж^ ^i+i и отрезков Шч_^1+А> [М^М^А и [Л^Л®^!, [Ж<-Ж<+А, содержащих точки М, М< и JPi, Ж^ соответственно (рис. 10.9). Причем все изображенные на рис. 10.9 отрезки с соответственными концами этих фигур имеют одинаковую длину:

lAf^^.a = ^ч-^-А, ..., 1№+1| = |Л®И°,+а.

Нам нужно доказать, что соответственные отрезки, изображенные на рис. 10.9 пунктиром, тоже имеют одинаковую длину:

|^.+11 = ХЛ^0^ I, lJf<+1AM = | Л^ЛА,

\MWM — I•^^+1VУ, i+il.

Конечно, это будет доказано, если мы покажем, что сами эти фигуры конгруэнтны, что почти очевидно и может быть проверено, например, следующим образом.

Так как расстояния между всеми точками фигур J'Ci-^t-t.Jtv^’v и Ni-tMi-tMiNf (состоящих каждая из четырех точек) соответственно равны, т. е. эти фигуры конгруэнтны, то по лемме 1 найдется перемещение F плоскости, переводящее Ni-i в Л^-и Nt в Л°й Mt в Л4, Mt+t. в „#i+i. Оно переведет луч Mi-iM в луч Лг-iJltl точку Mi+i на луче Mi-iMt в точку Л1+1 на луче Л^-Лц так как их расстояния иИ1-1М<+11 и ХЛ{-1Л{+1Х до начал Mi-i и Xi-i этих лучей одинаковы. Точно так же доказывается, что перемещение F переведет точку N1+1 в точку

Это показывает, что при перемещении F сохраняются расстояния:

i^Aj = 1^<+11, 1^^! = 1^ж..., i^i/fi+d - №<+1i.

Отсюда получаем то утверждение, которое надо было доказать на г-м шаге индукции. Тем самым доказано, что

[ф(А)ф(5)| = [АВ[, если |АВ| < г/2.

Доказательство теоремы 1а закончено.

Упражнение

,1. Доказать следующий аналог леммы о продолжении. Пусть задано наложение ф круга К (О, г) плоскости па круг геометрии S, в малом совпадающей с плоскостью. Для любой точки Л круга К (О, г) можно продолжить Ф на круг К(Д, г) так, чтобы на этом круге оно тоже было наложением.

Построение группы. Переходим ко второму этапу доказательства теоремы 1 — к конструкции группы Г. Чтобы пояснить идею этой конструкции, вернемся опять к примеру 3, приведенному в связи с понятием накрытия, т. е. предположим, что нам дана некоторая равномерно-разрывная группа Г перемещений плоскости П, рассмотрим определенную ею геометрию Sr и соответствующее накрытие (П, Sr, фг). В § 7 мы вводили определение эквивалентности точек плоскости и определяли точку геометрии 2г как множество А всех эквивалентных друг другу точек. Поэтому при отображении фг все эквивалентные друг другу точки (и только они) переходят в одну точку, т. е. фг(А) = — фг(8) тогда и только тогда, когда точки А и 5 эквивалентны. В общем случае, когда у нас есть произвольное накрытие, этот

§ 10. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ ИЗ пример подсказывает пойти обратным путем, взяв соотношение ф(А) = ф(В) за определение эквивалентности:

Определение 1. Если ^^ S2> ф)—произвольное накрытие, то точки А и В геометрии 2, называются эквивалентными относительно этого накрытия, если они переходят в одну и ту же точку геометрии 22, т. е. если ®(А) = фСВ).

Таким образом, множество эквивалентных друг другу точек — это в точности множество всех точек геометрии 21, переходящих в некоторую заданную точку геометрии 22.

Теперь вспомним, как мы определяли в § 7 эквивалентность. Там у нас была задана группа Г, и мы называли точки А и В плоскости П эквивалентными, если в Г содержится таксе перемещение F, что F(Л) — В. Это. и теорема 1 из § 7 подсказывают в случае любого накрытия го: П 2 геометрии 2 плоскостью П, когда эквивалентность у нас определена (см. предшествующее определение), а группы Г еще нет, поступить наоборот, т. е. положить соотношение «Г (А) = В для эквивалентных точек А и 5» в основу определения группы Г:

Определение 2. Группой Г накрытия (П, 2, ф) называется множество всех перемещений F плоскости, переводящих каждую точку плоскости П в эквивалентную.

Вспоминая, что точки А и В по определению эквивалентны, если ф(Л)=ф(5), мы можем записать это условие для перемещения F в следующем виде: ф (^(^4)) = ф(Л) для любой точки А плоскости П. Это в свою очередь означает (в силу определения композиции отображений), что отображения tpF и ф совпадают, т. е. наше определение можно записать еще короче: группа Г состоит из всех перемещений F, для которых <pF = ф.

Теорема 16. Группа Г накрытия (П, 2, ф) является равномерно-разрывной группой перемещений плоскости.

Прежде всего оправдаем само слово «группа» в определении множества Г. Если F и G — перемещения из Г, то <pFG = фС = ф, так как <^F = ф и <pG = ф; далее ф)7-1 = tpFF-1 = <рЕ = ф, так как Ф = ф^, FF~l = Е. Поэтому Г — группа. Докажем, что она равяо- мерно-разрывна. Предположим, что F (X) ¥= X для каких-то перемещения F из Г и точки X на плоскости П. Покажем, что тогда IFCXJXI > г. Действительно, если предположить, что ^(XJXI < г, то точка F(X) лежит в круге К^Х, г). Но на этом круге накрытие ф является наложением, откуда

|XF(X)| - 1ф(Х)ф(ЛХ))| = |ф(Х)ф(Х)| = О,

т. е. X = FkX'). Получаем противоречие. Это доказывает, что Г — равномерно-разрывная группа. Теорема доказана.

Нам понадобится одно, последнее свойство группы Г накрытия (П, 2, ф). Согласно определению этой группы, для любого входящего в нее перемещения F и любой точки А плоскости П 8 в. в. Никулин, и. Р, Шафаревич

114114Ч. П. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ точка F(A) эквивалентна точке А. Мы докажем, что так можно получить все точки, эквивалентные А.

114

114

Отсюда будет следовать, что понятие эквивалентности, определенное в этом параграфе для накрытия ф, в точности совпадает с эквивалентностью, определенной группой Г, как она была введена в § 7.

Теорема 1в. Пусть (П, S, ф) — произвольное накрытие и Г — его группа. Для любых двух эквивалентных [относительно этого накрытия) точек А и А' плоскости П существует такое перемещение F из группы Г, что F(A) — А'.

Доказательство. Легко предложить правдоподобного кандидата на роль искомого перемещения F. Вспомним, что по определению точки А и А' эквивалентны, если ф(А)=ф(Л'). Обозначим точку ф (А) = ф(А') геометрии X через ^. Из определения накрытия следует, что ф определяет наложение /, круга КА А, г) на круг К(^, г) и наложение /* круга К[А', г) на тот же круг. Иными словами, мы имеем две карты круга К(^, г). По следствию леммы 1 существует перемещение F плоскости П, переводящее одну карту в другую, т. е. такое, что fAJ3) — f^FlB)) для точек 2? круга К(А, г). Это перемещение и является нашим кандидатом; нам остается только проверить, что оно действительно нам подходит, т. е. что F является перемещением из группы Г.

По определению группы Г это значит, что

(фЛ(В) = <р(В)

для любой точки В плоскости П. Заметим, что из самого определения перемещения F вытекает, что это соотношение выполняется, когда В принадлежит кругу К (А, г). Действительно, по определению для точек этого круга JAB) = (f2F)(B). Но ф в круге К(А, г) совпадает с /„ а в К{А\ г) — с /а- Заменяя /1 и /* на ф, мы и получаем нужное нам соотношение.

Теперь мы постараемся полученное соотношение распространить с точек круга К[А, г) на все точки плоскости П.

Утверждение, которое нам надо доказать, можно сформулировать иначе, заметив, что ф = ф2?, очевидно, является накрытием геометрии S плоскостью П (так как ф — накрытие, a F — перемещение плоскости).

Лемма 4 (о совпадении накрытий). Если два накрытия ф и ф геометрии S плоскостью П совпадают для точек некоторого круга плоскости, то они полностью совпадают.

Пусть В — произвольная точка плоскости П. Выберем на отрезке [АВ] точки Аа=А, At, ..., A„_t, AW=B так, чтобы расстояние между любыми соседними точками А< и Л<+, было меньше г. Каждая точка At является центром круга К(А<, г). Эти круги расположены так плотно, что центр Л(+1 следующего круга KXAi+i, г) содержится в предшествующем круге KXAt, г)

(рис. 10.10). Нам известно, что отображения ф и ф совпадают для точек самого первого круга К(А0, г). Отсюда мы выведем, что они совпадают для точек следующего круга K(Ai,r), потом следующего за ним К(А2, г) и т. д. пока не доберемся до крута К(А„, г). Когда мы докажем, что отображения ф и ф совпадают для точек

Рис. 10.10.Рис. 10.10.

Рис. 10.10.

Рис. 10.10.

этого круга, то отсюда сделаем вывод, что они совпадают, будучи применимыми к центру этого круга. Но Ап = В, и отсюда мы получим, что ф(5) = ф(Я). Так как В — любая точка плоскости, то это и значит, что накрытия ф и ф совпадают.

Ясно, что достаточно разобрать переход от одного круга к соседнему, например от К(А0, г) к K(At, г). Нам дано, что отображения ф и ф совпадают на круге К^А», г). Точку ф(Л0) (по доказанному совпадающую с точкой ф(Л0)) обозначим ^0. Отображение ф является наложением круга К(А0, г) на крут ^(^0, г) геометрии 2, а ф совпадает с ф на круге KU», г). В частности, ф(Л1)=ф(Л1) (вспомним, что точки А( расположены столь часто, что At содержится в круге _К( Л 0, г)). Точку ф(Л1) (совпадающую с фСА^) обозначим ^ь Накрытие ф определяет наложение круга К(АХ, г) на круг К^,., г) (по определению накрытия). То же утверждение верно и для накрытия ф. Таким образом, ф и ф определяют два наложения одного и того же крута Kt-A^ г) на один и тот же крут К(»й^1, г). Кроме того, они совпадают по уже доказанному на той части круга КСА^ г), которая у него общая с кругом КкАй1 г)

(рис. 10.11). Докажем, что отсюда следует совпадение ф и ф на всем круге KAAV, г). Действительно, так как геометрия S в достаточно малых частях совпадает с плоскостью, то мы можем наложить крут КАА^ г) на некоторый крут К(А, г) плоскости П. Тогда наша задача превратится в следующую задачу планиметрии. На плоскости П даны два крута К^А^ г) и К^А, г) и два

К(А,,г)К(А,г)Рис. 10.12.К(А,,г)К(А,г)Рис. 10.12.отображения одного круга на другой, являющиеся наложениями и совпадающие в заштрихованной области первого круга (рис. 10.12). Надо доказать, что эти отображения совпадают на обоих кругах. Это уже очень просто. Согласно лемме 1, каждое из наших наложений определяется некоторым перемещением плоскости П. Обозначим эти перемещения через Gi и Ga. Они совмещают круг К1Аи г) с кругом К(А, г) и совпадают в заштрихованной области первого круга. Очевидно, что эта область не лежит на одной прямой.

К(А,,г)К(А,г)

Рис. 10.12.

К(А,,г)К(А,г)

Рис. 10.12.

По лемме 1 перемещение G, совпадает с Ga, что нам и было нужно. Это оканчивает доказательство теоремы 1в.

Упражнения

Обобщить лемму 4 на случай, когда вместо плоскости П берется произвольная геометрия, в малом совпадающая с плоскостью.

Привести пример геометрии, в малом совпадающей с плоскостью, для которой утверждение леммы 1 не имеет места.

Привести пример накрытия (Si, S2, ф) геометрий, в малом совпадающих с плоскостью, для которого утверждение теоремы 1в неверно. Тем не менее для некоторых таких накрытий оно имеет место (см. упр. 4 п. 1 § 13).

Завершение доказательства теоремы 1. Наконец, мы можем перейти непосредственно к доказательству того утверждения, которое сформулировано в теореме 1. Пусть 2 — произвольная геометрия, в достаточно малых частях совпадающая с плоскостью. .

Построим накрытие (П, 2, ф) геометрии 2 плоскостью П, существование которого устанавливает теорема 1а. Пользуясь определением 1, данным в п. 4, введем на плоскости П понятие эквивалентности точек (относительно накрытия ф). Пользуясь определением 2, зададим группу Г (исходя из построенного уже понятия эквивалентности). Согласно теореме 16 Г является равномерно-разрывной группой перемещений плоскости. Построим, кян это делалось в § 7, геометрию Sr, соответствующую группе Г. Теперь мы докажем, что наша исходная геометрия 2 накладывается на эту геометрию 2Г. Тем самым теорема 1 будет доказана.

Для этого определим сначала отображение множества точек геометрии S во множество точек геометрии 2г.

Возьмем любую точку ^ геометрии 2. Обозначим через А множество всех точек плоскости П, переходящих в точку при накрытии ф (множество А обычно называют прообразом точки j^). Согласно теореме 1в, А является в точности множеством эквивалентных друг другу точек плоскости П (относительно Г).

Именно такое множество и задает точку геометрииЗг. Обозначим через ^' точку геометрии Sr, задаваемую множеством А.

Обозначим через ф: S -► Sr построенное отображение геометрии S в геометрию Sr (оно задается через цепочку si-* si'}. Очевидно, единственное, что нам осталось проверить, чтобы закончить доказательство теоремы 1, это утверждение:

отображение -ф является наложением геометрии S на геометрию Sr.

Заметим прежде всего, что определение отображения -ф можно переформулировать так: для точки si геометрии S выберем любую точку А плоскости П, переходящую в нее при накрытии <р, и обозначим через si' точку, в которую переходит А при накрытии фг: П Sr (ср. пример 3 после определения накрытия). Тогда ввиду теоремы 1в эта точка si' не зависит от того, какую точку А на плоскости П мы выбрали (лишь бы было ф(А) = si' st фг(А) = si' (рис. 10.13)).

Проверим, что ф отображает множество точек геометрии S на все множество точек геометрии Sr. Это совсем очевидно: если si' — любая точка геомет-

Рис. 10.13.Рис. 10.13.рии Sr, А — точка плоскости П, переходящая в si' при накрытии фг: П-*2Г, а ^ = ф(А), то по предыдущему ^si}=si'. Но, более того, ф — взаимно однозначное отображение множества точек геометрии 2 во множество точек геометрии Sr. Это означает, что две точки si и 38 геометрии S переходят в одну и ту же точку геометрии Ер (т. е. ф(^) = ф(^)) только тогда, когда si =98. И это

Рис. 10.13.

Рис. 10.13.

устанавливается очень просто: пусть ^ = ф(А), ^ = ф(В), где А и В — точки плоскости П. По определению, ф(^) = ф(^) означает, что точки А и В переходят в одну и ту же точку геометрии Sr при накрытии П Sr. Это может быть (по определению геометрии Sr) только тогда, когда А н В эквивалентны относи-

тельно группы Г. Но тогда, по определению группы накрытия (и ввиду того, что Г — группа накрытия (П, S, ф)), имеем ф(з^) =ф(5), т. е. si =98.

Столь же просто устанавливается еще одно свойство: -ф является накрытием геометрии Sr геометрий S. Для доказательства выберем точки A, si' и si, как показано на рис. 10.13, и вспомним, что для некоторого положительного числа г отображения

К (.А, г)-*■ Ktsi-, г) и К(А, г)-*К(^', г) являлись наложениями (так как П -> 2 и П -> 2Г — накрытия). Если строить отображение ф для точек ^ круга ^(^, г), выбирая точку В, для которой ф(5) — &, лежащей в круге К^А, г), то мы сразу и получим, что отображение ip определяет наложение круга ^(^, г) на круг К^', г).

Итак, мы имеем следующую ситуацию: есть две геометрии 2 и 2' = 2г, в малом совпадающие с плоскостью, и отображение ф геометрии 2 в 2', которое взаимно однозначно и является накрытием.

Докажем, что в этих условиях ф всегда является наложением геометрии 2 на геометрию 2' и, более того, что это верно для! любых геометрий, не обязательно в малом совпадающих с плоскостью. Это показывает, что неслучайно во всех пятит примерах накрытий, отличных от наложений, накрытия не были взаимно однозначными отображениями (см. примеры п. 2 и упражнения к нему).

Лемма 5. Пусть ip — накрытие геометрией 2 геометрии 2', которое является взаимно однозначным отображением] тогда ф является наложением геометрий.

Доказательство. Нам нужно доказать, что для точек ^ и геометрии 2 выполняется равенство |3^^f| = |ф(з^)ф(^)|. Для этого достаточно доказать неравенство

l^l > |ф(^)ф(^)|.l^l > |ф(^)ф(^)|.(2)(2)

l^l > |ф(^)ф(^)|.

l^l > |ф(^)ф(^)|.

(2)

(2)

Действительно, раз отображение ф взаимно однозначно, то оно имеет обратное отображение ф-1, для которого ф-1(^,)=^, если ф(^) = Очевидно, что это отображение взаимно однозначно. Кроме того, оно тоже является накрытием геометрии 2 геометрией 2'. Действительно, если ^'— точка геометрии 2< и = = ф-1(^') (т. е. ^' = ф(^)), то отображение ф является наложением сферической окрестности ^(^, г) на сферическую окрестность KAsf-', г), а это и значит, что отображение ф-1 является наложением сферической окрестности Kks^', г) на сферическую окрестность К(.^, г"). Таким образом, геометрии 2 и 2' играют симметричные роли.

Если неравенство (2) доказано для всех накрытий (2, 2', ф), обладающих указанными свойствами, то оно верно и для накрытия (2', 2, ф-1), откуда сразу следует неравенство, обратное (2), т. е. нужное нам равенство.

Докажем неравенство (2). Пусть г — то число, которое входит в определение накрытия ф, и £ — любое положительное число. Согласно условию г) определения геометрии, существуют такие точки «9^t, ..., что ^,=«9^, s^»=9B, |^^4+11 ■< < г и

(3)(3)2 | ^i^i+11 ^ | ^^ I + р.

(3)

(3)

Согласно выбору числа г имеем

l^i^i+il = 1ф(^)ф(*$^.+1)1, так что

5 I ^t^i+1 I — S | Ф (^t) Ф (s/i+l) I

и, как мы видели в § 6,

5 I Ф (^ i) Ф (^i+1) I > I Ф (^) Ф W I

(это общее свойство ломаной ф(^), ф(^г), ..., ф(^»-1), ф(^)). Соединяя это неравенство с (3), получим, что

I ф (^) Ф(^) | ^ 2 1 ф (^i) Ф (^i+l) I = S | 3^13^1+11 ^ | ^^ | + р.

Так как это неравенство верно для любого Р > 0, то из него следует (2). Тем самым завершено доказательство теоремы 1.

Упражнения

Продумайте доказательство теоремы 1 для случая геометрий, в малом совпадающих с прямой. Какие здесь возникают упрощения? Какие геометрии в результате получаются?

Попытайтесь перенести приведенное нами доказательство теоремы 1 на случай геометрий, в малом совпадающих со сферической. (У к а з ани е: трудности возникают при доказательстве теоремы 1а, поскольку лучи на сфере, выходящие из одной точки, пересекаются в противоположной.)

ЧАСТЬ III

ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ

§ 11. Геометрии, в малом совпадающие е пространством

Перемещения пространства. В предыдущих главах мы перечислили все геометрии, в своих достаточно малых частях совпадающие с плоскостью, иначе говоря, такие миры, в малых частях которых выполнены все свойства обычной планиметрии. Житель такого мира, не удаляющийся от некоторой его точки (например, своего дома) на расстояние, большее г, не сможет найти в этом мире противоречий с обычной планиметрией. Но реальное пространство, в котором мы живем, имеет три измерения. Поэтому, конечно, более интересно описание таких миров или геометрий, в малых частях которых выполнены все свойства стереометрии, а описание геометрий, в своих достаточно малых частях совпадающих с плоскостью, можно в связи с этим рассматривать лишь как модель этой более интересной задачи. Описанием геометрий, в малом совпадающих с пространством, и некоторых их свойств мы и займемся в этом параграфе.

Прежде всего, основные теоремы — теорема 2 из § 7 и теорема 1 из § 10 — без каких-либо изменений в их доказательстве переносятся на геометрии, в малом совпадающие с пространством, если заменить плоскость на пространство, а круг — на шар. Другими словами, аналогично описанию геометрий, в малом совпадающих с плоскостью, описание геометрий, в малом совпадающих с пространством, эквивалентно описанию равномерноразрывных групп перемещений пространства. Эти-то группы и удается перечислить аналогично проведенному нами в § 8 перечислению равномерно-разрывных групп перемещений плоскости. Рассуждения во многом похожи на те, с которыми мы познакомились в § 8. Но для пространства число возможных типов заметно больше и рассуждения оказываются значительно длиннее и сложнее. Поэтому мы ограничимся тем, что приведем полный список таких групп (их оказывается 18 типов), сопровождая этот список некоторыми комментариями. Кроме того, аналогично случаю двух измерений мы выясним, какие из получающихся в результате 18-ти типов геометрий, в малом совпадающих с пространством, ограничены, какие из них «ориентируемы». Последнее свойство обобщает на случай трех измерений встречавшееся нам в §§ 4, 9 свойство геометрии, в малом совпадающей с плоскостью, быть геометрией, в которой «право» и «лево» различимы.

Начнем с примеров перемещений пространства — винтового перемещения, скользящей симметрии и поворотной симметрии, заменяющих параллельный перенос, поворот и скользящую симметрию на плоскости. Они получаются как композиции известных из школьного курса перемещений пространства: параллельного переноса Та на вектор а, поворота Rti<, вокруг оси I па угол ф, симметрии Sn относительно плоскости П.

Винтовое перемещение Я®ф с осью Z, углом ф и вектором а является, по определению, композицией

Ri,<g — 7а2?г.ф

поворота Ri., на угол ф вокруг оси I и переноса Та на вектор а, параллельный I. Оно характеризуется тем, что прямые, парал

лельные прямой I, поворачиваются вокруг прямой I на угол ф,

Рис. 11.1.Рис. 11.1.а плоскости, перпендикулярные Z, сдвигаются на вектор а (рис. 11.1).

Рис. 11.1.

Рис. 11.1.

Отметим, что параллельный перенос Та— частный случай винтового перемещения, когда угол поворота ф равен нулю, поворот Rt., вокруг оси I — частный случай винтового перемещения, когда вектор а равен 0.

Скользящая симметрия S? с плоскостью П и вектором а является, по определению, композицией

5° = 7aSn

симметрии относительно плоскости П и параллельного переноса на вектор а, параллельный плоскости П. Она характеризуется тем, что прямые, перпендикулярные П, сдвигаются на один и тот же вектор а, а плоскости, параллельные плоскости П, переходят в плоскости, симметричные относительно плоскости П (рис. 11.2).

Отметим, что симметрия 8п относительно плоскости П — частный случай скользящей симметрии, когда вектор а равен 0.

Поворотная симметрия 8°ф с плоскостью П, осью Z, перпендикулярной плоскости П, и углом поворота ф является, по определению, композицией

СП в сП о^ф = Л^фО

симметрии относительно плоскости П и поворота на угол ф вокруг оси Z. Она характеризуется тем, что прямые, перпендикулярные П, поворачиваются вокруг прямой Z на угол ф, а плоскости, параллельные плоскости П, переходят в плоскости, симметричные относительно плоскости П (рис. 11.3).

Отметим, что важным частным случаем поворотной, симметрии является центральная симметрия относительно точки: поворотная симметрия 5°я с углом поворота я является центральной симметрией относительно точки О пересечения П с Z.

Рис. 11.2.Рис. 11.2.Рис. 11.3.Рис. 11.3.

Рис. 11.2.

Рис. 11.2.

Рис. 11.3.

Рис. 11.3.

Обратим внимание читателя на одно общее свойство этих видов перемещений. С каждым из них связаны в пространстве (см. определения) связка параллельных прямых и перпендикулярный ей пучок параллельных плоскостей), которые переходят в себя при этом перемещении. В наших обозначениях Ж^-> S?, 5°ф нижние индексы показывают, что происходит в связке параллельных прямых, а верхний — в пучке параллельных плоскостей. Так как каждая точка А пространства является пересечением ровно одной прямой та связки и равно одной плоскости М пучка, то тем самым образом точки А является точка пересечения образов прямой т и плоскости М, т. е. перемещение пространства полностью определяется.

Аналогично теореме Шаля на плоскости (см. § 8), но сложнее доказывается

Теорема 1 (теорема Шаля в пространстве). Всякое перемещение пространства является либо винтовым перемещением, либо скользящей симметрией, либо поворотной симметрией.

Доказательство можно прочитать вкншах: А да м а р Ж. Элементарная геометрия, ч. 2 (стереометрия).— М.: Учпедгиз, 1958; Кокстер Г. С. М. Введение в геометрию.— М.: Наука, 1966; Моденов П. С., Пархоменко А. С. Геометрические преобразования.— М.: Изд-во МГУ, 1961.

Можно доказать эту теорему самостоятельно, пользуясь указаниями упр. 1: основная трудность состоит в том, чтобы доказать, что всякое перемещение пространства переводит в себя некоторую связку параллельных прямых; тогда перпендикулярный ей пучок параллельных плоскостей, очевидно, также переходит в себя.

Как и в случае плоскости, не каждое перемещение может встретиться в равномерно-разрывной группе перемещений пространства. Действительно, предложение 1 из § 8, которое, конечно, имеет место и в пространстве, запрещает нетождественные перемещения, имеющие неподвижную точку. Поэтому в равномерноразрывной группе перемещений пространства не могут содержаться повороты Bi,, вокруг оси I на ненулевой угол ф, симметрии 8й и все поворотные симметрии 5°ф, так как эти перемещения имеют неподвижными точками соответствено точки оси I, плоскости П и точку пересечения прямой I и плоскости П. Таким образом, нетождественные перемещения равномерно-разрывной группы перемещений пространства могут быть только винтовыми перемещениями -ЙТ,Ф и скользящими симметриями 8», причем в каждом из этих случаев вектор а, определяющий параллельный перенос, не равен 0.

Упражнения

а) Сформулировать и доказать пространственные аналоги леммы 3 из § 8 и леммы 1 из § 10. б) Доказать, что перемещения сферической: геометрии получаются из перемещений пространства, переводящих центр сферы в себя. Сформулировать и доказать аналог леммы 3 из § 8 для перемещений сферической геометрии, в) Сформулировать и доказать аналоги лемм 1 и 2 ив § 8 и теорему Шаля для сферической геометрии. (Указание: смотрите упр. 3 п. 1 § 8.) г) Доказать, что всякое перемещение пространства переводит в себя некоторую связку параллельных прямых. (Указание: замените перемещение F пространства перемещением Trto'ioF, оставляющим на месте фиксированную точку О, здесь Тр (о)о—параллельный перенос на вектор F (О) О, и воспользуйтесь задачами б) и в).) д) Доказать теорему Шаля в пространстве. (Указание: заметьте, что связка параллельных прямых и пучок параллельных плоскостей с обычным образом определенным расстоянием между прямыми и плоскостями образуют геометрии, первая ив которых является плоскостью, вторая — прямой; воспользуйтесь теоремой Шаля на плоскости и прямой.)

Проверить, что композиция ТьВ^и винтового перемещения на угол л и параллельного переноса на вектор Ь, перпендикулярный оси I, является винтовым перемещением Я|, я с осью V = Ть/2 (I), параллельной I, и теми же самыми углом л и вектором а.

Проверить, что композиция TbS^ скользящей симметрии с плоскостью П и параллельного переноса на вектор Ь, перпендикулярный П, является скользящей симметрией 8°' с плоскостью П' = ТЬ/г (П), параллельной П, и тем же самым вектором а.

Равномерно-разрывные группы в пространстве: общие свойства. Как и в случае групп на плоскости, основой классификации равномерно-разрывных групп перемещений пространства является

анализ содержащихся в этих группах параллельных переносов. Очевидно, что если Г — равномерно-разрывная группа, то содержащиеся в ней параллельные переносы тоже образуют равномерно-разрывную iруппу Г'. Как и в случае плоскости, нетрудно исследовать, какие типы групп Г' нам могут встретиться. Оказывается, таких типов может быть четыре:

Tun

Обилий euS параллельных переносов из Г*

I

То

II

Tw п — любое целое число, а — некоторый вектор (а =^= 0), определяющий группу Г*

III

Тща+нЪ' тяп — любые целые числа, а и Ь — некоторые неколлинеарные векторы, определяющие группу Г'

IV

TIa । тЬ । ne. Z, т и п — любые целые числа, а, Ь и с — некоторые некомпланарные векторы, определяющие группу Г'

Если отложить от некоторой точки концы всех таких векторов х, что параллельный перенос Тх содержится в группе Г', то мы получим: в случае I — одну точку; в случае II — такой ряд точек на прямой, что расстояние между двумя соседними точками одинаково; в случае III — плоскую решетку; множество точек, получающееся в случае IV, называется пространственной решеткой. Пространственная решетка получается из плоской решетки, образованной концами векторов Za + mb (эта решетка лежит в плоскости П, содержащей векторы а и.Ь), параллельными переносами на векторы с, 2с, Зс, ...,— с, — 2с, —Зс, ... Если А — параллелепипед ABCDA'В'С'D', ребрами которого, исходящими из точки А, являются векторы а, Ь и с (рис. 11.4), то все пространство заполняется параллелепипедами, равными и параллельно расположенными параллелепипеду А, и примыкающими друг к другу гранями.

Легко проверить, что типы I—IV групп действительно являются равномерно-разрывными. Например, в случае типа

IV точки ТХР пробегают пространственную решетку, одной из точек которой является точка. Р. Если х = la + пгЬ + пс, п^О, то точка Tia^mto^ лежит в плоскости П, проходящей через векторы а и Ь, отложенные от точки Р; точка же ТХ(Р^ находится в плоскости П', параллельной П и полученной из нее параллельным переносом на вектор пс. Расстояние между параллельными плоскостями П и П' не меньше, чем расстояние между плоско-

Рис. 11.5.Рис. 11.5.Рис. 11.6.Рис. 11.6.In/ /nbIn/ /nbстыо П и плоскостью П1, получающейся из нее параллельным переносом на вектор с (рис. 11.5). Если расстояние между плоскостями П и П, равно d, To|PTx(P)|>d. Если же п = 0, то точка Тх (Р) содержится в плоскости П, и мы получаем аналогичную плоскую картину, которую можно разобрать совершенно аналогично (рис. 11.6).

Рис. 11.5.

Рис. 11.5.

Рис. 11.6.

Рис. 11.6.

In

/ /nb

In

/ /nb

Чтобы связать группу Г', состоящую из одних параллельных переносов, со всей содержащей ее группой Г, нужно привлечь еще одно соображение.

По определению, перемещение F действует на точки пространства, переводя их в какие-то другие точки. Заметим, что можно распространить действие перемещения и на векторы, применяя его к началу и концу вектора, т. е., если х = АВ, то положим, по определению, F(x) =FW)F(B). Надо, однако, помнить, что разные пары точек А, В и С, D могут определять один и тот же вектор: AB = CD, если расстояния IABI и ICDI равны, а лучи АВ и CD сонаправлены. Поэтому надо проверить, что полученные по нашему правилу векторы FtA')F(B') и FIC)F(D') будут равны. Но это сразу вытекает из тою, что при перемещении расстояния сохраняются, а сонаправленные лучи переходят в сонаправленные.

Предшествующие замечания нужны были нам для того, чтобы сформулировать важное свойство параллельных переносов. Читатель, вероятно, уже привык к тому, что перемещения, вообще говоря, не перестановочны: FG ^ GF. Оказывается, что параллельный перенос и любое другое перемещение можно «переставлять с поправкой». Точнее говоря, Эля параллельного переноса Тх и перемещения F имеет место соотношение

FTx = TF№F, (1)

Справедливость его вытекает непосредственно из определения

Fix) и очевидна из чертежа (рис. 11.7), который, показывает, что точка F {Тх (Р)) получается из точки FIP) применением параллельного переноса Тр^, а это и утверждает соотношение (1).

Из соотношения (1) следует, что Ту^ — FTXF~\ и так как по условию F, Тх и F-1 содержатся в группе Г, то и Те^ содержится в Г, а будучи параллельным переносом, содержится и в группе Г'. Иными словами, совокупность тех векторов х, переносы Тх на которые содержатся в группе Г', должна переходить в себя при любом перемещении F из группы Г.

Это можно выразить иначе: отложим все такие векторы от некоторой точки О пространства (как мы видели, их концы образуют некоторую решетку 52). Если А — точка из Q, то вектор ОА содержится в Г'. Значит, как мы видели, Г' содержит и вектор FIOA), где F — любое перемещение из группы Г. Вектор FIOA) отложим опять от точки О — для этого яам нужно сдвинуть ei о конец FkA) на вектор"FkOTO крис.11.8). Он попадет в некоторую точку А*. Доказанное нами утверждение означает, что А* должна опять содержаться в решетке 52. Таким образом, если мы применим к решетке 52 любое перемещение F из группы Г, а потом сдвинем ее параллельно на вектор FkO)O, то 52 совместится с собой. Иными словами, под действием перемещения T»WoF *) решетка 52 перейдет в себя. При этом перемещение Te^oF, очевидно, сохраняет точку О. Такое перемещение, совмещающее решетку с собой и сохраняющее одну ее точку, называется симметрией решетки. Например, решетка на плоскости, составленная из равных квадратов, имеет в качестве симметрий повороты плоскости на углы 0, у, я» ^ вокруг некоторой точки решетки и симметрии относительно осей Zi, Z2, Z$, Z* (рис. 11.9).

♦) Здесь и далее Тав обозначает параллельный перенос на вектор АВ.

Таким образом, мы можем сказать, что анание группы Г' уже сильно ограничивает возможности, существующие для всей группы Г: ее перемещения должны составляться из симметрий решетки й, соответствующей группе Г', и параллельных переносов.

С этим соображением мы уже встречались в § 8 при анализе

равномерно-разрывных групп типа III б на плоскости. В этом случае группа Г' состоит из параллельных переносов на векторы вида та + пЪ и соответствующая решетка Й получается откладыванием этих векторов от некоторой точки О. Перемещения из группы Г, не входящие в Г', могут быть только скользящими симметриями, т. е. составлены из симметрии и параллельного переноса. Но произвольная решетка й не будет, вообще говоря, совмещаться с собой никакой симметрией. Чтобы

такая симметрия существовала, мы

выбираем решетку й прямоугольной, т. е. векторы а и Ь перпендикулярны друг другу. Тогда, например, симметрия S относительно прямой, проходящей через вектор а, будет совмещать решетку й с собой. Мы подбираем скользящую симметрию F — Ta;aS, составленную из этой симметрии и параллельного переноса Та/й, так, чтобы ее квадрат (являющийся параллельным переносом) содержался в группе Г' (в данном случае совпадал с Га). Так мы приходим к группе типа III б, описанной в § 8.

Эти соображения были, изложены, .чтобы приведенное дальше

описание-равномерно-разрывных групп не казалось слишком искусственным. Все группы мы разделим на четыре типа в соответствии со строением группы Г', состоящей из параллельных переносов, входящих в Г (их мы уже выше разделили на типы I, II, III и IV)..

Тип группи Г

Группа Г

I

Г = [Я]

II

Г =# [^], Г' принадлежит к типу I или II

III

Г' принадлежит к типу III

IV

Г' принадлежит к типу IV

Эта классификация оправдывается, в частности, тем, что группам типа IV и только им соответствуют ограниченные геометрии.

Легко убедиться, что геометрии, соответствующие группам типа IV, ограничены. Действительно, если в группе содержатся параллельные переносы Та, Рь и 27с на три яекомпланарных вектора а, Ь и с, то в ней содержатся и любые произведения ТаТъТ^, где I, m и п — целые числа, т. е. параллельные переносы Tv на векторы v вида Za + mb + пс. Пусть Р — любая точка пространства и h — вектор ОР. Разложим его по трем некомпланарным векторам а, Ь и с: h — ха + уЪ + ze, где х, у и z — вещественные числа. Эти числа мы можем представить в виде х = I + ж', у = = m + у', z~n + z\ где I, m и п — целые числа и 0 ^ ж', у', z" <. < 1. Отсюда

h. = la т mb + пс + h', (2) где h' = х*а + у'Ь + z'c. Если начало вектора h' находится в точке О, то его конечная точка Р содержится в параллелепипеде А = = ABCDA'B'C'D' (см. рис. 11.4), у которого векторы а, Ь и с являются ребрами, выходящими из А: а = АВ, Ь = AD, с — АА'. Так как параллельный перенос на вектор la + mb + пс, как мы видели, содержится в нашей группе, то равенства (2) показывают, что любая точка Р пространства эквивалентна (относительно нашей группы) некоторой точке Р', содержащейся в параллелепипеде А. Отсюда следует, что расстояние между двумя точками геометрии 2, соответствующей нашей группе, не превосходит расстояния между двумя точками параллелепипеда А, т. е. некоторой фиксированной величины (длины наибольшей диагонали этого параллелепипеда).

Наоборот, геометрии, соответствующие группам I — III типов, неограничены. Это можно усмотреть из списка этих групп (таблица I ниже), проверив для групп каждого типа в "отдельности. К рассмотрению групп типа Г—III мы сейчас и обратимся.

Упражн ения

Пусть пространственная решетка Q настолько общая, что не имеет других симметрий, кроме центральных симметрий относительно своих точек. Доказать, что если для равномерно-разрывной группы Г содержащаяся в ней группа параллельных переносов изображается такой решеткой й, то Г = Г'. (Указание: доказать, что перемещение пространства, которое является композицией центральной симметрии относительно некоторой точки О и параллельного переноса на вектор а, имеет неподвижную точку.)

Доказать, что существуют две равномерно-разрывные группы перемещений сферической геометрии: состоящая из одного тождественного перемещения и состоящая из двух перемещений — тождественного н переводящего точку сферы в диаметрально противоположную. (Указание: см. упр. 1 п. 1.)

Равномерно-разрывные группы в пространстве: перечисление. Теперь мы перейдем к описанию групп Г типов I, II и III. При этом мы должны исходить из решетки Q или состоящей только из точки О, или расположенной на прямой или на плоскости.

а потом дополнять соответствующую ей группу Г' перемещениями. Эти перемещения надо брать в виде T<F, где F — некоторая симметрия решетки Q, а Та — параллельный перенос. Выбор параллельных переносов Тй определяется тем, что, во-первых, мы должны получить равномерно-разрывную группу, а во-вторых, в этой группе не должно оказаться других параллельных переносов, кроме содержащихся в группе Г'. Как это делается, мы покажем на конкретном примере.

На плоскости Оху рассмотрим вектор а, идущий по оси Ох, и вектор Ь — по оси Оу. Пусть параллельные переносы на векторы вида ma + пЬ, где тип — любые целые числа, образуют группу Г'. Так как соответствующая решетка Q прямоугольная, то она совмещается с собой симметрией относительно оси Ох. Эта симметрия плоскости, в свою очередь, получается, если во всем пространстве произвести поворот на угол л вокруг оси Ох. Соединив этот поворот с параллельным переносом на вектор а/2, мы получим перемещение R = 7?Т,я (Z — ось Ох), причем

Я2 = Тй,(3)

т. е. Д2 содержится в группе Г7.

Кроме того, тождественное преобразование плоскости Оху в себя (и, значит, тождественная симметрия решетки Q) получится, если произвести отражение (симметрию) пространства относительно плоскости Оху. Соединив это отражение с параллельным переносом на вектор Ь/2, мы получим скользящую симметрию S =• = 5?/2(П — плоскость Оху), причем

S2 == Ть,(4)

т. е. S2 содержится в группе Г7. Положим Г = YR, S1 *) и покажем на этом примере, как проверить, что Г — равномерно-разрывная группа и что соответствующая ей геометрия неограничена.

Прежде всего, поскольку R? = Та и S2 = Т^ содержатся в группе Г7, то в ней содержится и вся группа Г7 = [Га, Ть]. Напомним, что как перемещение R, так и S можно «переставлять с поправкой» с параллельными переносами из группы Г7. В нашем елучае соотношение (1) сводится к соотношениям

RTh = T^R,(5)

ST., = T^S,(6)

где о — зеркальное отражение (осевая симметрия) плоскости Оху относительно оси Ох. Наконец, читатель легко проверит, что R и 5 можно «переставлять с поправкой» и между собой, а именно, имеет место формула

SR = RST_b(7)

*) Напомним, что [Я, S] — группа, порожденная перемещениями R я S.

9 В. В. Никулин, И. Р. Шафаревич

(например, можно посмотреть, что происходит с координатами (х, у, z) призвольной точки при преобразованиях, стоящих слева и справа в (7)).В результате, любое произведение элементов R и 8 в любом порядке, пользуясь «правилами перестановки» (5), (6) и (7), можно преобразовать, передвигая Я и 3 влево, причем R будет левее 8. При этом, если у нас встретится Я2 или S2, надо заменить их согласно формулам (3) и (4). Таким образом, любое подобное произведение (т. е. любой элемент из группы Г) запишется в виде Тъ или RT^ или 8ТЬ или RSTb, где h— некоторый вектор из Q.. . . _

Например, произведение^ ~ С.' 4->

/SRS^R^SR'

мы можем преобразовать в произведение’^--:

SRST_bRT_aSR

(так как согласно формулам (3) и (4) имеем R 1 = RT_й и 8 1 = = ST-bY Далее, используя формулу (7), это произведение можно записать в виде

RST_bST_bRT_aSR.

Отсюда, используя формулы (6) и (4), получаем RT-btbT_bRT_aSR,

или

RT_bRT-aSR.

Теперь, используя формулы (5) и (3), представим его в виде

‘7 ’ Т^ч^ЛЛ -.'

или

ТЪ8Н, что, согласно (5) и (6), преобразуется в

SRT_b;

наконец, по формуле (7) получаем

RST_ab.

Теперь легко устанавливаются нужные свойства группы Г. Докажем, соотношение lAG(A)l^r>0 при G^E, из которого следует, что группа Г равномерно-разрывна. Пусть, например, перемещение G из группы Г записывается в виде RTb, где h = = ma+nb, тогда первая координата х' точки GG4) получается из первой координаты х точки А прибавлением (2m + 1)«, где а — длина вектора а/2. Поэтому |х' — х! > а, а значит, |AG(A) I ^ ^«.Аналогично рассматриваются случаи, когда G имеет вид STu, RSTb или Ть.

Проверим, что получающаяся из группы Г геометрия 2 неогра- ничена. Нам надо найти точки «я^ и st-г этой геометрии со сколь угодно большим расстоянием, например, с lsttstzl > N. Для этого надо в пространстве найти такие точки А^ и Аг, что все расстоя-

Таблица 1

Равномерно-разрывные группы перемещений пространства типов 1,*П н Ш

I

0 0

Г= [SI

II1

Г = №?,ф 1 а 0

II 2

/аГ/

/я/

Г=[уП]а^О

III 1

6/

Г = Fa- Гь] а * Ь

III 2

Г=[ЛТ.Я,ГЬ] а±Ь

III 3

zd=v

Г =[5°^] ЬД_П

III 4

/п * /

r=[S?'Sb] «*Ь

III 5

L2L/

Г=[^5?] a±b

9*

ния от А1 до точек GCAiX эквивалентных Аг, больше N, где G принадлежит Г. Заметим, что при всех преобразованиях G нашей группы координата z точки G(A2) или совпадает с координатой z точки А2, или отличается от нее знаком. Поэтому, если координаты z, и z2 точек Л[ и Л2 положительны и Iz, — z2| >N, то это верно также и для точек At и С(Аг), а поэтому 1AiG(A2)I >N.

Аналогично разобранному примеру рассматриваются и все остальные типы групп таблицы 1. Разобранный выше пример дает тип III 5.

Упражнение

1. Почему в таблице 1 нет группы

Перейдем теперь к группам типа IV. К типу IV1 относится уже встречавшаяся группа, состоящая из одних параллельных переносов на векторы Т х, х =■ Za + mb + пс, где I, m и п — любые целые числа, а а, b и с — три некомпланарных вектора.

Большая часть оставшихся групп может быть получена из симметрий плоских решеток, если только их использовать несколько иначе, чем мы делали раньше, но сначала следует описать все симметрии плоских решеток. Оказывается, можно дать их полный перечень:

Tun симметрии

Tun решетки

(1)

Тождественная

Любая

(2)

Поворот на угол л вокруг точки

Любая

(3)

решетки лЗл

Поворот на угол-"2~и на угол —g-

Квадратная

(4)

л 2л 4л 5л

Поворот на углы gT’ "g"’ -g-’ g-

Составлена из правильных треугольников

(5)

Симметрия относительно прямой, проходящей через две точки решетки

Прямоугольная или «центрированная прямоугольная», т. е. состоящая из вершин и центров равных прямоугольников

Полнота этого списка возможных симметрий решеток доказывается не очень сложно, и читатель в виде упражнения может

§ 11. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПРОСТРАНСТВОМ 133 попробовать доказать это сам (доказательство будет дано в п. 1 § 14).

Пусть £2 — плоская решетка, соответствующая типам (2), (3) или (4). Если она имеет в качестве симметрии поворот на угол ф (л Зл л 2л 4л 5л\„_ „

для ф = л, у, -у, у, -у, -у, у I, то ооозначим через с любой ненулевой вектор, ортогональный той плоскости, в которой лежит Q, а через Я — винтовое перемещение Я”-ф, где Z — прямая, проходящая через точку решетки £2 и перпендикулярная ее плоскости. Если решетка £2 получается откладыванием векторов ma + пЬ от некоторой точки, то положим Г = [Я, Т*, Ть]. Как и выше, мы имеем правило «перестановки с поправкой»:

ТцЯ = ЯТжп),(8)

где h — вектор решетки £2. И опять точно так же мы получаем, что всякое перемещение из группы Г, пользуясь соотношением (8), можно записать в виде

F = Я^ь(9)

(здесь Я* = Я...Я, Я°=Я, Я~*= (Я*)-1), где к — любое целое к раз

число, ah — любой вектор из решетки £2. Из этой записи легко усмотреть, что наша группа равномерно-разрывна. Предположим, что решетка £2 лежит в плоскости Оху, а вектор с идет по оси z и имеет длину 7. Тогда перемещение F с к ^ 0 изменяет координату z на к^, и поэтому |PF(P) I > t- Если же к = 0, то координаты х и у меняются так, как если бы мы имели плоскую группу, соответствующую решетке £2, а она является равномерно-разрывной.

Пусть; например, мы имеем для решетки случай (3). Тогда Я4 является параллельным переносом на вектор 4с и соответствующая группа Г' имеет вид [Га, Ть, Т^]. Таким способом мы получаем типы IV 2, IV 3, IV 4 и IV 5 (см. табл. 2) (симметрия типа (4) приводит к двум типам IV 4 и IV 5, так как мы можем положить ф — л/3 или ф = 2л/3).

Если решетка £2 имеет симметрию типа (5), то обозначим через П плоскость, проходящую через ось симметрии и перпендикулярную плоскости, в которой лежит решетка £2 (например, пусть £2 лежит в плоскости Оху, ось ее симметрии есть ось Ох, а П — плоскость Oxz). Пусть с — любой вектор, лежащий в плоскости П. Положим , 5 = S° и Г —[Т», Гь, 5]; совершенно аналогичные рассуждения показывают, что группа Г равномерно-разрывна и Г' = [Та, Тъ, Тас]. Мы приходим к типам IV 6 и IV 7 в соответствии с двумя типами решеток, имеющих симметрию типа (5).

Наконец, оставшиеся три группы строятся при помощи вариаций этих же соображений. Начнем с группы, которая нам уже встречалась — типа III5. Порождающие ее перемещения Я = Я/1Я

й S == 5ь оба переводят вектор с, ортогональный а и Ь, н — с. Отсюда следует, что они сохраняют решетку Q, построенную на векторах 2а, 2Ь и с. Таким образом, если мы положим Г — [Я, S, Л), то в этой группе содержится группа параллельных переносов Г'=[Ла, Ль, Л1 и имеют место правила «перестановки с поправкой»:

T^R = ЯТжь), T^S = STsyi^

где h — такой вектор, что Th содержится в Г'. Теперь все рассуждения, при помощи которых мы исследовали группы типа III5, оказываются применимыми, и с их помощью точно так же, как и раньше, доказывается, что группа Г равномерно-разрывна. Так мы приходим к группам типа IV 8.

Если в предыдущей группе мы возьмем не все ее элементы, а только некоторую часть, образующую группу, то, конечно, опять получим равномерно-разрывную группу. Так строится группа типа IV 9: мы полагаем Ri = TCR и Г = [Я1, SJ. Очевидно, что 8а = 'ТйЬ и, значит, Ль содержится в Г. Простое вычисление, использующее соотношение (8), показывает, что Я® = Т^, поэтому Ла содержится в Г. Наконец, из (7) легко вывести, что RXS = SHiT-gb+ac» так что в Г содержится Т-гы-ге (оно равно ЯГ^Л^), а тем самым и Т^ = ЛьТ'-гь+гс- Это показы- вает, что Г — группа типа IV. Легко убедиться, что Rv — это винтовое перемещение ^.я, где ось к параллельна оси Ох и получается из нее сдвигом на вектор с/2. (Проверьте это сами в качестве упражнения!)

Последняя группа требует самого специального выбора определяющих ее перемещений. Она связана с «пропущенной» группой типа III, которая хотя и естественно напрашивается, но отсутствует в списке. Это

T^f^.Hj, R = R^ Ri^R^

где I — .ось Ox, h — ось Оу, а направлен по оси Ох, а Ь — по оси Оу. О ней шла речь в упражнении после таблицы 1. Мы надеемся, что читатель это упражнение сделал и выяснил, что такой группы нет в нашем списке, так как она содержит перемещение RRt, являющееся поворотом на угол л вокруг оси, проходящей через центр прямоугольника, построенного на векторах а и Ь, отложенных от начала координат, и параллельной оси Oz. Она не является равномерно-разрывной. Мы постараемся этот «дефект» исправить, положив Rf=TcR1, где с — вектор, перпендикулярный а и Ь. Если аккуратно провести уже несколько раз применявшиеся рассуждения показывают, что группа Г равномерно-разрыв- разрывна. Она содержит параллельные переносы Т^, Ль и Тав и, значит, Г'= [Ла, Ль, Лс], так что соответствующая решетка £2 составлена из прямоугольных параллелепипедов. Легко прове-

рить, что-й' = /??',«. где V — ось, параллельная оси Оу и получающаяся из нее параллельным переносом на вектор с/2.

На этом мы закончили перечисление равномерно-разрывных групп перемещений пространства (табл. 2).

Как следует представлять себе соответствующие им трехмерные геометрии? Рассмотрим для примера группу Г = [Г»» ^ь, типа IV1. Очевидно, что ее фундаментальной областью (см. § 9) является параллелепипед, ребрами которого являются порождающие векторы а, Ь и с этой группы (см. рис. 11.4), а эквивалентными точками на его границе являются точки противоположных граней параллелепипеда, получающиеся друг из друга параллельным переносом вдоль пересекающего эти грани ребра, т. е. на соответствующий порождающий вектор а, Ь или с. Отвечающая этой группе геометрия состоит из точек этого параллелепипеда, если считать эквивалентные точки на его границе за одну или «склеить» параллелепипед по эквивалентным точкам. При этом шаровые окрестности эквивалентных точек этого параллелепипеда склеиваются в единую — совпадающую с шаром в пространстве шаровую окрестность соответствующей им точки геометрии. Например, все 8 вершин параллелепипеда эквивалентны, их шаровые окрестности, являющиеся шаровыми секторами, при склеивании составляют шар, который разбивается тремя плоскостями, проходящими через его центр, на эти самые 8 шаровых секторов (рис. 11.10).

Расстояние между двумя точками находится точно так же, как в §§ 3, 4 и 5, с использованием «лифтов» или «линий». Полученная геометрия по аналогии с двумерным случаем называется трехмерным тором.

Также обстоит дело и со всеми трехмерными геометриями, соответствующими перечисленным нами группам. Все их отличие от двумерного случая проявляется в том, что приходится склеивать не многоугольники, а многогранники, не по сторонам, а по граням. Конечно, результат такого склеивания представить себе гораздо сложнее — тут требуется больше напрягать пространственное воображение. Однако во многих случаях этого можно избе-

Т а б л ж ц а 2

Равномерно-разрывные группы перемещений пространства типа IV

IV 1

Г = [Га,7ь,Тс]

IV 2

г = [га,гь,я”я], I — ось Oz, с идет по оси Oz, вектора а и Ь лежат в плоскости Оху

IV 3

г=Гта,ть,я" 1,L'a J

Z — ось Oz, вектор с идет по оси Oz, вектора а и Ь лежат в плоскости Оху, причем |а( = = Щ и угол между а и Ь равен л/2

IV 4

--

-• ---

IV 5

Z

• с

(

IV 6

М^Ь'^яЬ в отличие от предыдущего случая угол между векторами а и 6 равен л/З

Г=[Та,Ть,Л” J,в отличие от двух предыдущих случаевугол между векторами а и Ь равен 2л/3

r = K’rb^?]’

Пплоскость Oxz, вектор а идет по оси Ох, Ь по оси Од, с лежит в плоскости Oxz

IV 7

. п с

/ь

П — плоскость Oxz, вектор а идет по оси Ох Ь лежит в плоскости Оху и проекция его на ’

ось Ох есть 2», с лежит в плоскости Oxz

4

'\ // X

_ьу -У

IV 8

Z с

Г = [Л?.Я.3?,70], вектор а идет по оси Ox, b — по оси Оу, с— по оси Oz, 1 — ось Ох, П — плоскость Оху

/У

V

4l'

IV 9

Z

€

Д*,*) Z)

Г =№^1]. *! = «,„ (см. обозначения ь предыдущем типе), Л,= = R^ „^ параллельна оси Ох и получает- ся ив нее сдвигом на вектор ус

а

/У п

IV 10

Z

(b,3t)V

Г=[Я,Я'], r = r*„, K-^i^

Z — ось Ox, V параллельна оси Оу и полу- чается ив нее сдвигом на вектор-^е, вектрр а ждет по оси Ох, Ь — по Оу, с — по Oz

^/^ /

'/ /

<у

^ а х

Продолжение табл. 2

жать, если придерживаться следующей идеи: раз наши геометрии получаются из групп Г, то всякий интересующий нас вопрос об этих геометриях может каким-нибудь образом быть сформулирован в терминах этих групп Г. Остается найти эту формулировку. С одним: таким вопросом и ответом на него мы уже столкнулись: мы знаем, что ограниченность геометрии эквивалентна наличию в группе Г параллельных переносов на некомпланарные векторы.

Еще одним подобным вопросом и ответом на него мы заклю

чим этот параграф.

Упражнение

Найти фундаментальные области для групп типов IV 2 — IV 5. Указать эквивалентные точки на их границе. Желающие могут рассмотреть и группы IV 6 — IV10, III 1 — Ш 5 и I, II2.

Ориентируемость геометрий. Из предыдущих параграфов (см. §§ 5, 9) мы знаем, что среди геометрий, в малом совпадающих с плоскостью, существуют как такие, в которых «право» и «лево» различимы (например, сама плоскость), так и такие, в которых «право» и «лево» неразличимы (например, геометрия на скрученном цилиндре или бутылке Клейна). Поэтому возникает ряд естественных вопросов. Что такое «право» и «лево» в пространстве? Что такое различимость «право» и «лево» в пространстве? В каких из 18-ти типов геометрий, в малом совпадающих с пространством, соответствующих 18-ти описанным выше типам равномерно-разрывных групп, «право» и «лево» различимы, а в каких — неразличимы? G ответами на первые два вопроса мы постоянно сталкиваемся в жизни.

Рассмотрим вращательное движение, например движение шестеренки вокруг оси. Это движение может происходить в двух взаимно обратных направлениях (рис. 11.11). Это и есть «право» или «лево» в пространстве.

Предположим теперь, что ось вместе с постоянно вращающейся шестеренкой движется в пространстве. Второй вопрос заключается в том, может ли измениться направление вращения шестеренки, если ось вращения вернется в исходное положение

J ,1.

Рис. 11.12.

: Из, опыта мы знаем, что в окружающем нас пространстве направление вращения измениться не может. Мы постоянно убеждаемся в этом на примере часов: как бы мы ни путешествовали в пространстве, направление вращения стрелок часов не изменяется, если смотреть на часы, со стороны циферблата (рис. 11.13). Это и значит, что в пространстве «право» и «лево» различимы.

; :Еще один способ различить «право» и «лево» в пространстве связан с существованием двух типов винтовых линий (рис. 11.14). Если точка, расположенная на поверхности цилиндра, цоднима-

ется вверх, обходя цилиндр в направлении движения часовой стрелки (или опускается вниз, двигаясь против часовой стрелки)» то мы получаем один тип винтовых линий; если движение вокруг цилиндра происходит в обратном направлении — то другой .тип. Говорят, что эти две винтовые линии име

ют правую (как у штопора) и левую за- крутки (рис. 11.14).

Невозможно перевести винтовую линию, имеющую правую закрутку, в линию, имеющую левую закрутку, непрерывно перемещая ее в пространстве. Но зеркальное отражение относительно плоскости переводит правую закрутку в левую. Интересно, что живая природа сделала (по неизвестным нам причинам) выбор между этими двумя возможностями: все молекулы аминокислот, входящих в состав белков, имеют форму винтовых линий, при

чем одной и той же, левой, закрутки.

Совершенно иначе обстоит дело в некоторых геометриях, в

малом совпадающих с пространством. Существуют геометрии,. в

малом совпадающие с пространством, в которых «право» и «лево» неразличимы. Такие геометрии принято называть неориентируе- мыми. Геометрии же, в которых «право» и «лево» различимы, называют ориентируемыми. Ответу на вопрос, какие из 18-ти типов геометрий, в малом совпадающих с пространством, ориентируемы, а какие -т- нет, мы посвятим этот пункт.

Прежде всего рассмотрим пространство, ориентируемость которого, как мы говорили выше, известна нам пз опыта. Теперь докажем это.

Теорема 1. Пространство ориентируемо.

Предположим, что часы *) Р в момент времени t занимают положение Pt и при 0 ^ t ^ 1 непрерывно движутся в

пространстве, возвращаясь при t = 1 назад, но так, что при t = О и t = 1 они идут в противоположном направлениии. Сдвинем параллельно часы Р( так, чтобы их центр; совместился с центром А часов Ро, и полученное положение часов обозначим черей' Р^1. :

*). Под часами, строго говоря, можно понимать тетраэдр О АВС, у которого, ребра ОА, ОВ и ОС взаимно перпендикулярны и имеют одинаковую длину. С таким тетраэдром можно связать часы; центр которых находится в точке О, циферблат находится в плоскости (ОВС^ и виден из точки А', часовая стрелка идет пр ребру- ОВ, минутная — по ребру ОС, причем Часы показывают.3 часа времени.,.л

Мы получаем такую же ситуацию, как раньше: часы, непрерывно перемещаясь, занимают положение Pt, но теперь их центр А остается неподвижным, причем опять Ро и Рг совпадают, но идут в противоположных направлениях. Выберем на окружности часов точку 5 И положим е = АВ. В момент t этот вектор займет положение е,. Произведем такой поворот пространства вокруг оси, содержащей точку А и перпендикулярной векторам е0, et, чтобы вектор е, совпал с вектором е0. Полученное положение часов Pt мы обозначим через Pt- Теперь мы опять имеем ту же ситуацию, что и раньше, но кроме центра А остается неподвижной и точка В, так что часы Pt получаются из Pg перемещением, оставляющим неподвижными точки оси САВ). Наконец, можно выбрать на часах еще одну точку С, не лежащую на прямой (АВ), и совершенно аналогично добиться того, что у часов Pt сохранятся точки А, В и С, причем по-прежнему Ро и Рх будут совпадать, но идти в разные стороны. Таким образом, мы пришли к тому, что часы движутся непрерывно в пространстве, занимая в момент t, О =С t ^ 1, положениеР<, причем все точки их плоскости (например, плоскости циферблата) остаются на месте. При этом в положенииР0 и Рг они идут в противоположные стороны. Ясно, что такое движение невозможно: при сделанных предположениях в любые моменты времени it и 1г часы Ptx и Р^ должны либо совпадать, либо быть зеркально симметричными. Действительно, представим себе, что на часах со стороны циферблата перпендикулярно плоскости часов жестко закреплена стрелка (рис. 11.15, а). При непрерывном движении часов ее конец —

точка Ct — также движется непрерывно, описывая кривую, соединяющую зеркально симметричные положения Со и Ct этой стрелки » моменты времени 1 = 0 и 1 = 1 (рис. 11.15,6). Но при нашем условии на движение часов эта кривая состоит ровно из двух точек: Се и Ct. Такой кривой не существует. Полученное противоречие доказывает теорему.

Перейдем теперь к произвольным геометриям, в малом совпадающим с пространством. Доказанная ориентируемость простран-

ства позволяет разбить все часы пространства на два типа часов

так, что часы одного типа идут в одном направлении, а часы различных типов — в различных направлениях. Здесь про часы Р и Q

говорят, что они идут в одном направлении, если при непрерывном совмещении циферблата часов Р с циферблатом часов Q их стрелки оказываются идущими в одном направлении. Если же при таком непрерывном совмещении циферблатов стрелки часов

оказываются идущими в различных направлениях, то и сами часы

считаются идущими в р аз- ных направлениях. При этом часы Р и Q не могут идти одновременно в одном и в разном направлениях.

Действительно, пусть при совмещении часов Р с часами Q вдоль кривой с они оказываются идущими в одном направлении с часами Q, а вдоль кривой с' — в разных (рис. 11.16). Тогда при движении часов Р вдоль кривой с в обратном направлении,

Рис. 11.16.

...обходят

замкнутую кривую, причем в результате такого обхода оказыва

а

затем

вдоль кривой с

они

ются идущими в противоположном направлении. Это противоречит теореме 1.

Жители Земли давно таким способом согласовали направление вращения своих часов, введя для него эталон направления вращения. Благодаря этому про любое вращательное движение в

окружающем нас пространстве можно сказать, в каком направлении оно происходит: по часовой стрелке — или против. Особенно важно это в технике, где большинство деталей и механизмов — те же часы, напрймер, в силу своей конструкции не могут вращаться в обоих направлениях.

Благодаря наличию в пространстве двух типов часов все перемещения пространства делятся на два рода перемещений: перемещения I рода сохраняют направление вращения стрелок часов, а перемещения II рода — меняют. Так нетрудно убедиться, что винтовое перемещение — I рода, а скользящая и поворотная симметрии — II рода. Соответственно этому все группы перемещений пространства также делятся на два рода: группы I рода содержат перемещения только I рода, а группы II рода содержат хотя бы одно перемещение II рода. Так среди 18-ти типов равномерно-разрывных групп перемещений пространства группы типов II2, III3, III4, III5, IV 6, IV 7, IV 8, IV 9 —II рода, так как одной из их образующих является скользящая симметрия. Группы остальных типов — I, III, III 1, III2, IV1, IV 2, IV3, IV4,

IV 5, IV10 — I рода, так как их образующие все I рода, а обратное перемещение к перемещению I рода и композиция перемещений I рода также являются перемещениями I рода.

Отвечая на интересующий нас вопрос о том, какие из геометрий, соответствующих этим группам, ориентируемы, мы докажем ниже следующую теорему 2. Может показаться, что она включает уже рассмотренный случай пространства — теорему 1. Но это не так, ибо понятие рода, используемое в ее формулировке, подразумевает ориентируемость пространства, т. е. выполнимость теоремы 1. Без теоремы 1 теорема 2 лишена смысла.

Теорема 2. Геометрия, соответствующая равномерно-разрывной группе Г перемещений пространства, ориентируема, если Г — группа I-го рода, и неориентируема, если Г — группа 11-го рода.

Обозначим через S пространство, а через Sr — геометрию, соответствующую равномерно-разрывной группе Г перемещений пространства. Точка st геометрии Sr есть совокупность А точек пространства S, эквивалентных относительно группы Г. Если А — любая точка пространства S, то совокупность А всех эквивалентных ей точек определяет точку st геометрии Sr- Отображение /, ставящее в соответствие точке А пространства точку st геометрии Sr, мы называли накрытием геометрии Sr пространством S.

Предположим, что Г является группой II рода, т. е. содержит скользящие симметрии, и пусть F — одна из них. Выберем точку А пространства S, лежащую в плоскости симметрии F, положим В = F(A) и рассмотрим отрезок L, соединяющий А с В. При накрытии / точки А и В перейдут в одну и ту же точку st геометрии Sr, а отрезок L — в замкнутую кривую 9?, проходящую через точку st. Вспомним основное свойство накрытия /: для шара ШкА, г) достаточно малого радиуса г отображение / определяет наложение на шар Hlkst, г) в геометрии S ).

Расположим в шаре ШЛА, г) часы Ро так, чтобы они лежали в плоскости симметрии F, а их центр находился в точке А. Рассмотрим соответствующие им часы ^0 при наложении шара ИКА, г) на UKst, г). Считая Ро лишь начальным положение часов Р, будем двигать их параллельно так, чтобы их центр перемещался по отрезку L. Тогда каждому положению часов Р в силу накрытия / будет соответствовать положение соответствующих Р часов 9* в геометрии Sr; эти часы 9 будут двигаться так, что их центр опишет замкнутую кривую 2?. В результате движения по 9? центр часов 9 вернется в прежнее положение. Как расположатся после этого сами часы?

Чтобы ответить на вопрос точно, надо вспомнить, что положение 9» часов 9 соответствует положению Р» часов Р при нало-

жении шара ШкА, г) на Л7(^, г). В результате перемещения по отрезку L часы Р займут положение Р^ с центром в В и будут расположены в шаре ШкВ, г). Соответствующее ему положение

часов 9* мы получим, применив F

к Pi отображение / (рис. 11.17), т. е. 9*1 = fkPJ. По определению накрытия /, отображение / совпадет с fF~l. Поэтому 9\= =f(F~lkPt)), т. е. 9*» и 9*i получаются одним и тем же отображением / часов из положений Ро и F~4Pi) в шаре ШкА, г). С другой стороны, положение Е-1кР^ часов получилось из положения Ро параллельным переносом и зеркальным отражением, поэтому в этих положениях часы Р идут в противоположных направлениях. Следовательно, и часы 9* в положени

ложных направлениях.

Читатель легко убедится, что мы провели здесь в более общей ситуации точно те же рассуждения, при помощи которых в § 4 и § 9 было показано, что в геометриях на скрученном цилиндре и бутылке Клейна «право» и «лево» неразличимы. Докажем теперь, что подобное явление невозможно, если Г — группа I рода.

Пусть S’ — замкнутый путь в геометрии 2, начинающийся и кончающийся в точке ^. Покажем, прежде всего, что в пространстве 2 существует кривая L, кото- \Р^я отображается на 3? при на-

кРытии / геометрии 2Г пространст- вом ^ ^зто веРН0 ^^ любого Х^ХХ<дпАХ накрытия).

vуРазделим кривую $ от ее на

чала ^ до конца 98 (так как у //Хх нас кривая замкнута, то з8”=98, Х~Х./УУДз) но РассУжДение годится для лю-

(бой кривой) точками ^0 = ^, ^i,

^г, ..., ^/п, «я£п+1 =98 на кри- 'вые ^ = ^^^ г = 0, ..., п,

V*длины, меньшей s (рис. 11.18).

Рис. 11.18.При этом каждая кривая $t =

—^8ч58ч+1 будет лежать в шаре mkAt, s), так как длина кривой 9? t = stM^ меньше s. Выберем точку А в пространстве, для которой /(Л) = ^. Так как / определяет наложение шара ШкА, з) в 2 на шар Ш№, з) в 2Г, то при этом наложении на кривую S’1=^^1 наложится некоторая кривая Lo=AAt шара ШкА, $) с началом в А и концом в не-

которой точке 4^/(£0) =2’0. При этом конец At кривой Lo наложится на конец st, кривой ^0, т. е. 1(А^=з$-,. Повторяя это рассуждение с заменой st- на ^о s^i на з£г, А на А и мы построим некоторую кривую Li = AtA2 в шаре ffl(At, s), которую / налагает на кривую 2’1=^1j^2, или f(Lt) =2\ (см, рис. 11.18). Так как опять конец 42 кривой Lt налагается / на конец ^2 кривой 5*3, то мы можем продолжить этот процесс. В результате мы построим кривые Lo = A A lt Lt = А<А1+1, г =1, ..., п — — 1, Ln=A„B, которые / налагает на кривые З’о”^^!, ^4 = = ^i^i+i, S’n = sZ-п» соответственно. А так как конец 4(+1 предыдущей кривой Lt и начало A<+t последующей кривой Lf+l совпадают, то мы построим общую кривую Lo, Lt, ..., L„, обозначаемую далее L, для которой f(L) = 3; при этом как следствие имеем /(В) = 96 для концов В и 96 кривых L и 3 (см. рис. 11.18). Это и доказывает требуемую связь между кривыми в Sr и 3.

Так как у нас кривая 3 ъъмжя^^ (st- = 96), то начало А и конец В кривой L должны быть эквивалентны относительно группы Г, т. е. В = F(st), где F — перемещение из Г.

Теперь мы можем рассуждать совершенно так же, как и в первой части доказательства, ибо благодаря накрытию / движение часов 9 вдоль кривой 3 геометрии Зг можно рассматривать как соответствующее движению часов Р в пространстве вдоль кривой L из точки А в точку В. В тех же обозначениях, что и в первой части доказательства, все сводится к проверке того, что часы Р в положениях Ро и ^‘(PJ в шаре Ш(А, г) идут в одном и том же направлении.

Мы приходим к задаче, очень похожей на ту, которая была нами решена при доказательстве теоремы 1 (для случая пространства). Разница заключается лишь в том, что теперь часы движутся не по замкнутой .кривой, так как, вообще говоря, Вч^А. Эта ситуация легко может быть сведена к уже рассмотренной нами. Для этого вспомним, что группа Г I рода, а значит, и перемещение F*1 I рода, т. е. винтовое перемещение. Пусть F-1 = Н^а, мы можем получить результат этого перемещения при помощи непрерывного движения, которое в момент т переводит точку X в точку Rl^a(X), 0^т^1- Тогда при т = 0 мы получаем точку X, а при т = 1 — точку F~l(X). Пусть при этом точка В опишет траекторию U (U— это кусок винтовой линии В?’а (В), где O^i^l). Тем самым мы непрерывно переместим вдоль кривой U часы Р из положения Р, в точке В в положение F~4Pi) в точке А.. Рассмотрим движение часов Р сначала по кривой L, а потом — по L'. Тогда они будут двигаться непрерывно по замкнутой кривой L + U ж вернутся в точку А в положение Р~1(Р). По теореме 1 в пространстве S при этом часы будут идти в одном и том же направлении. Это и доказывает, что часы Р и F~l(P) идут в одном и том же направлении. Теорема доказана.

Мы видим, что по свойствам ограниченности и ориентируемости соответствующих геометрий 18 типов равномерно-разрывных групп в пространстве разбиваются на 4 вида групп (таблица 3).

Таблица 3-

Геометрии

Ориентируемость

Число

Типы групп

Ограниченные

ориентируемые неориентируемые

6.

4

IV 1, 2, 3, 4, 5, 10

IV 6, 7, 8, 9

Неограниченные

ориентируемые

неориентируемые

4

4

I; II 1; III 1, 2

II 2; III 3, 4,5

Упражнеинх

Доказать, что никаким непрерывным движением окружности на плоскости нельзя добиться того, чтобы ее направление обхода изменилось.

Сформулировать и доказать аналог теорем этого пункта для случая геометрий, в малом совпадающих с плоскостью.

Какие из геометрий, в малом совпадающих со сферической геометрией, ориентируемы (см. упр. 2 п. 2 § 11)?

Доказать, что если существует накрытие геометрии S' геометрией S' (обе геометрии в малом совпадают с плоскостью или пространством), причем S неориентируема, то S' также неориентируема.

Пусть геометрия S, в малом совпадающая с плоскостью или пространством, неориентируема. Доказать, что тогда существует накрытие геометрии S геометрией S, причем S ориентируема, а прообраз каждой точки S при этом накрытии состоит ровно из двух точек. Какие геометрии S' с этим свойством соответствуют неориентируемым геометриям всех известных нам тшов?

§ 12. Кристаллографические группыи разрывные группы

Группы симметрий. Описание геометрий, в малом совпадающих с плоскостью и пространством, привело нас в предыдущих параграфах к группам перемещений плоскости и пространства, которые являются равномерно-разрывными группами. Появление при этом групп перемещений совсем не очевидно, а скорее неожиданно — так в § 10 нам пришлось немало потрудиться, чтобы показать, что описание таких геометрий сводится к описанию групп перемещений плоскости (или пространства), которые являются равномерно-разрывными.

Однако во многих случаях появление групп перемещений естественно с самого начала. Рассмотрим на плоскости (или в пространстве) некоторую фигуру Ф и рассмотрим симметрии этой фигуры, т. в. такие перемеи^ения плоскости (или пространства), 10 В. В. Нхкулжн, И. Р. Шафаревхч

которые отображают фигуру Ф на себя. При этом очевидно, что ,алли F и G — две симметрии фигуры Ф, то их композиция FG также является симметрией фигуры Ф (действительно, FG(®) = ^НСХФ)) = Ф, так как <?(Ф) = Ф и ^(Ф) = Ф). Также очевидно, zчто если F — симметрия фигуры Ф, то и F~l —

симметрия фигуры Ф (действительно,

.,/'“‘(Ф) =^~‘(Я(Ф)) =^(Ф) = Ф, так как Ф =

/ \= /ЧФ) и FF~l = Е — тождественное переме-

щение). Таким образом, мы можем ска- зать, что множество Г симметрий фигуры Ф удовлетворяет свойствам I и II из § 7, т. е.

_//является группой перемеи^ений.

' Введенное нами название «симметрия , фигуры» объясняется тем, что чем больше Рис" " * симметрий имеет фигура, тем она более •«симметрична» в наивном смысле слова «симметричный» (или правильный), который в него вкладывают.

Задавая различные симметричные фигуры Ф, мы можем таким образом получить самые разные группы перемещений плоскости (или пространства). Рассмотрим несколько примеров.

Рис. 12.2. а) Неправильный четырехугольник; б) параллелограмм; в) дельтоид; г) равнобочная трапеция; д) прямоугольник; е) ромб; ж) квадрат.

Пример 1. Группа симметрий правильного треугольника на плоскости состоит из шести перемещений

(Я, В^, Яо°°, Slv Stt, Sl3\-

трех поворотов и трех осевых симметрий, где О — центр правильного треугольника, а 1ц U, 1$— его высоты (рис. 12.1).

•fl

Пример 2. Рассмотрим на плоскости выпуклые четырехугольники. В зависимости от того, какова их группа Г симметрий, все четырехугольники делятся на 7 типов, каждый из которых играет важную роль в планиметрии: неправильный четырехугольник Г = {£} (рис. 12.2, а); параллелограмм —Г= {£, Яо°°|

Рис. 12.3

(рис, 12.2, б), дельтоид — Г = {Е, SJ (рис. 12.2, в), равнобочная трапеция — Г = №, 8Л (рис. 12.2, г); прямоугольник— Г={5,До8°аг &, 5™} (рис. 12.2, ду, ромб -Г = {£, н^800. Sb 5m) (рис. 12.2, е)г квадрат — Г={£, Д??0, jRq80°, В^°°, 81р Si^ SIv 8^} (рис. 12.2, ж).

10*

Этот пример наводит на мысль, что некоторые виды фигур •естественно классифицировать по их группам симметрий.

Пример 3. Фигура может, конечно, обладать и бесконечной группой симметрий. Например, симметрии прямой на плоскости •состоят из параллельных переносов вдоль этой прямой, скользящих симметрий относительно нее, симметрий относительно прямых, ей перпендикулярных, и центральных симметрий относительно ее точек. Симметрии окружности состоят из поворотов вокруг ее центра и симметрий относительно прямых, проходящих через центр (проверьте, что в обоих случаях других симметрий нет).

Пример 4. Если попытаться построить на плоскости фигуры с группами симметрий, являющимися равномерно-разрывными группами типов III а или III б, то получатся бесконечно повторяющиеся узоры (рис. 12.3, а и б, где изображены такие узоры из букв).

Одного взгляда на рис. 12.3 достаточно, чтобы увидеть различие между этими узорами: узор для группы типа III б гораздо более специфичен и симметричен, что и неудивительно, так как группа типа Ш б имеет очень специальную группу параллельных переносов и, кроме того, содержит скользящие симметрии.

Понятие симметрии применимо не только к геометрическим фигурам. Например, можно говорить о более или менее симметричных алгебраических выражениях, подразумевая под этим (совершенно аналогично геометрической ситуации), что наше выражение сохраняет свой вид при большем или меньшем числе перестановок входящих в него неизвестных. Так, среди многочленов третьей степени от трех неизвестных ж, у и z многочлен ж3 + у3 + z3

не меняется, как бы мы ни переставляли между собою ж, у и z. Многочлен же-■ ■ ■

■ж2у-“жу2— ж2г^ жг2 + y2z —- yz2•

имеет более тонкую симметрию: он не меняется, если мы переставим ж, у и z циклически, т. е. заменим ж на у, у на z и z на ж или в обратную сторону: ж на z, z на у и у на ж. При остальных же перестановках неизвестных (кроме, конечно, тождественной) это выражение меняет знак. Многочлен второй степени

ж2 -f- у2 + 2z2

не меняется, если мы поменяем местами ж и у, а многочлен

ж2 + 2у2 + 3z2

— только при тождественной перестановке, т. е. когда мы ничего не меняем. Теория «алгебраических симметрий» лежит в основе теории уравнений высших степеней и ее обобщений (теория Галуа).

Наконец, симметриями могут обладать и соотношения более общего характера, причем под этим подразумеваются преобразования (какие — зависит от конкретной ситуации), при которых эти соотношения не меняются. Например, очень важно знать преобразования координат, при которых не меняются те или иные физические законы. Так, законы механики не меняются при переходе от одной инерциальной системы координат к другой. Для случая движения по прямой с координатой ж эти преобразования в

классической механике Галилея — Ньютона имеют вид

х' = х + vt,f = t.

В механике специальной теории относительности они имеют вид

, _»+ Pt

t + ^2^r = /1 - p/7’

где с — скорость света в вакууме.

Некоторые симметрии физических законов похожи на те симметрии фигур, которые рассматривались в примерах 1 и 2. Например, все явления будут протекать также, если мы заменим положительный заряд на отрицательный, а «право» на «лево» (и наоборот). Читатель может узнать больше о симметриях физических законов, например, по книге: Фейнман Р. Характер физических законов.— М.: Мир, 1968.

Общему понятию симметрии посвящена книга: Вейль Г. Симметрия.— М.: Наука, 1968. В оставшейся части этого параграфа мы расскажем об одном конкретном применении идеи симметрии — в кристаллографии.

Уиражнения

Может ли ограниченная фигура иметь два центра симметрии? Два центра поворота?

Доказать, что среди тетраэдров наибольшую группу симметрий имеет правильный тетраэдр.

Расклассифицировать по группам симметрий прямоугольные параллелепипеды.

Найти группу симметрий тетраэдра, ребрами которого служат диагонали граней прямоугольного параллелепипеда неправильной формы (она содержит 4 перемещения). Доказать, что всякий тетраэдр с такой группой симметрий устроен таким образом.

Привести пример фигуры Ф на плоскости, для которой существуют перемещения F, отображающие фигуру Ф в себя, но не на себя. Таким образом, F не является симметрией фигуры Ф.

Построить фигуры с равномерно-разрывными группами симметрий II а и II б. Заметьте, что полученные узоры в отличие от узоров для групп III а и III б повторяются только в одном направлении (узоры, обладающие таким свойством, называют бордюрами). Объяснить это.

ское вещество обладает двумя важными свойствами: а) с одной стороны, оно дискретно — состоит из элементов различной природы, атомов, молекул и т. д., которые могут по-разному располагаться в пространстве друг относительно друга; б) с другой стороны, свойства кристаллического вещества повторяются в пространстве — существует такой шар Ш достаточно большого радиуса, что для каждой точки X пространства найдется точка Y в шаре Ш, в которой все физические свойства кристаллического вещества повторяют его свойства в точке X. Пользуясь словами Германа Вейля, можно сказать, что кристаллы представляют собой повторяющиеся пространственные узоры, сотканные самой природой (Вейль Г. Симметрия.— М.: Наука, 1968).

Чтобы отвлечься от физики, переформулируем свойства а) и б) математически. Для этого заметим, что в силу однородности пространства (см. лемму 1 из § 10) точки X и Y пространства, в которых физические свойства кристаллического вещества одинаковы (мы будем далее называть такие точки эквивалентными), характеризуются тем, что существует симметрия F кристаллического вещества, переводящая X в У. Действительно, пусть F — соответствие между точками кристаллического вещества, которое сохраняет все физические свойства кристаллического вещества и переводит X в Y (в этом состоит точный смысл того, что физические свойства кристаллического вещества в точках X и Y одинаковы). Расстояние |ЛД| между точками А и В кристаллического вещества является некоторым физическим свойством этой пары точек, поэтому оно сохраняется соответствием F. Таким образом, F является перемещением, сохраняющим все физические свойства кристаллического вещества, т. е. является его симметрией.

Обозначая через Г группу симметрий кристаллического вещества, мы можем, следовательно,, переписать свойства а) и б) так:

Для всякой точки А пространства найдется такое число dG4) >0, зависящее от точки А, что для всякого перемещения F из Г, для которого F{A)^A, выполнено неравенство М^Л)! > > М.

Существует такой шар Ш в пространстве, что для всякой точки X пространства найдется такое перемещение F из Г, для которого точка F(.X) принадлежит шару Ш.

Учитывая то, что группы Г перемещений пространства, удовлетворяющие свойствам 1) и 2), впервые появились в кристаллографии как группы симметрий кристаллических веществ и играют в ней важнейшую роль, их называют кристаллографическими группами. Разумеется, заменяя в свойстве 2) шар на круг, можно рассматривать и удовлетворяющие свойствам 1) и 2) группы перемещений плоскости, которые также называют кристаллографическими. Они также имеют физический смысл, например, как группы симметрий подходящих сечений кристаллических веществ плоскостью. Пример 3 показывает еще одно применение плоским

кристаллографическим группам. Их можно использовать при классификации повторяющихся узоров на плоскости, называемых орнаментами. Поэтому эти группы важны не только в науке, но и в искусстве (см. книги: Вейль Г. Симметрия.— М.: Наука, 1978; Шубников А. В., К о п ц и к В. А. Симметрия в науке и искусстве.— М.: Наука, 1972). Забегая вперед, отметим, что существует 17 различных типов плоских кристаллографических групп. В конце этого параграфа на рис. 12.23 приведены 17 орнаментов с группами симметрий всех этих 17 типов. Таким образом, всякая плоская кристаллографическая группа является группой симметрий одного пз них, и всякий орнамент на плоскости «подобен» одному из этих орнаментов. Впервые все 17 типов орнаментов были собраны в одном месте в XIII веке арабами в виде настенных украшений и росписей собора Альгамбры в Гренаде (Испания). Хотя, по-видимому, все 17 типов орнаментов были известны еще древним египтянам, т. е. задолго до появления понятия группы (XIX век н. э.) и тем более классификации плоских кристаллографических групп.

Так как мы изучали в предыдущих параграфах равномерноразрывные группы перемещений плоскости и пространства, естественно выяснить, какие из них являются кристаллографическими. Ответ очевиден: те и только те, которым соответствуют ограниченные геометрии. Действительно, свойство 1) выполнено вообще для всякой равномерно-разрывной группы (см. § 7, свойство III), более того, константу d(A) можно выбрать даже независящей от точки А. Из выполнимости же свойства 2) очевидно вытекает, что расстояние между точками соответствующей Г геометрии Sr не превосходит 22?, где R — радиус шара 2Z7. Если же, наоборот, расстояние между любыми двумя точками геометрии Sr меньше R > 0, то для произвольной точки X пространства в шаре Ш = Ш (A, R) с центром в любой точке А пространства содержится точка X', эквивалентная точке X, так как иначе \з4-Э6\ > > R, где st — точка геометрии Sr, определяемая множеством А точек пространства, эквивалентных точке А, а ЭВ также определяется точкой X.

Таким образом, равномерно-разрывные группы перемещений доставляют нам два типа (III а и III б) плоских (см. § 8) и десять типов (IV1—IV10) пространственных (см. §11) кристаллографических групп перемещений. В качестве воображаемых плоских кристаллических веществ с равномерно-разрывными кристаллографическими группами типов III а и III б мы можем рассмотреть «кристаллические вещества» с химическими формулами PQRST и ОСКН, «молекулы» которых имеют вид и расположение друг относительно друга, изображенные на рис. 12.3, а и б (разумеется, используемые нами буквы Р, Q, ... не имеют никакого отношения к обозначениям элементов в таблице Менделеева).

Для пространственных же групп типов IV1—IV10 можно указать реально существующие кристаллические вещества с такими группами симметрий.

Простейшей из них — группой симметрий тппа IV 2 — обладает КОН — гидроокись калия. Это твердое кристаллическое вещество является очень сильной щелочью и широко известно под названием едкое кали. Приведем описание структуры КОН, полученное в кристаллографии с помощью облучения вещества в разных направлениях и различных спектрах, и расшифровкой получаемых при таком облучении снимков (дифракционных картин). В обозначениях предыдущего параграфа группа Г симметрий КОН имеет видГ = [Та, Гь, ^.я], где длины векторов а, Ь и с равны |а| = = 3,95 А, 1Ы=5,73 А, |с| =2,00 А (ангстрем А = 10~10 метра), угол между векторами а и Ь равен 103°36', а вектор с по определению группы типа IV2 перпендикулярен а и Ь (рис. 12.4). Можно

Рис. 12.4 Структура КОН.

даже указать, как по отношению к этой группе расположены атомы КиО (ятями Н не рассматриваются). В кристаллическом веществе КОН можно так выбрать начало Q координат с направляющими векторами а, Ь, с, что в системе координат kQ, а, Ь, с) ) точки оси I

будут иметь координаты (0, 0, z) (т. е. Q лежит на оси Й, а в точках с координатами

К(0,175, 0,288, 0) и 0(0,318, 0,770, 0)(1)

будут находиться центры атомов К и О. Остальные атомы К и О получаются из этих применением перемещений группы Г, которая в данной системе координат действует, очевидно, так:

Та: (x,y,z) — (ж + 1, у, z),

Ть: (^, У, z) — (ж, у + 1, z),(2)

7?”я: (ж, У, z) — (— х, — у, z + 1).

Благодаря малому числу атомов в молекуле КОН и простоте группы Г типа IV 2 можно даже, пользуясь (1) и (2), изобразить на рисунке (см. рис. 12.4) пространственный узор, который образуют атомы К и О в КОН. На этом рисунке, кроме того, изображена «упаковка» молекул КОН, где под молекулой КОН естественно понимать близлежащее пространство к паре атомов К и О, наиболее близко (среди всех пар К и О) расположенных друг к другу. Нетрудно подсчитать, что такую молекулу образуют атомы (1), а все остальные молекулы получаются из нее перемещениями группы Г.

Используя группы симметрий, совершенно аналогично можно I описать структуры других, пусть даже очень сложных кристаллов. = Белок миоглобина — одно из самых сложных расшифрованных к !настоящему времени кристаллических веществ. Его молекула со-

Iстоит приблизительно из 1200 атомов, не считая атомов водорода.

I Группа симметрий имеет тот же тип IV 2, но размеры этой груп- I пы, конечно, существенно больше:

||а|=64,4А, !Ы=34,8А, |с|=15,6А,

угол между векторами а и Ь равен 105,5°. Для полного описания j структуры этого белка нужно было бы привести координаты этих 1200 атомов, наподобие (1).

'Имеется довольно много кристаллов и с другими группами

‘симметрий типов IV1—IV10. Из этих типов групп более распро-

!странена в мире кристаллов самая сложная группа IV10, ею об-

Iладают довольно много (но менее 1 %) неорганических веществ и

j13% органических (одно из таких веществ приведено в упр. 1).

>Самую простую группу симметрий IV1 имеют приблизительно 1%

’неорганических и 5% органических веществ. Рассмотренную нами

|ранее группу IV2 имеют некоторые (менее 1%) неорганические

вещества и 8% органических. Остальные из групп IV1—IV10 !среди кристаллических веществ гораздо менее распространены,

jхотя для каждой из них можно было бы привести кристалличе-

ское вещество с такой группой симметрий. Группы IV 1—IV10 очень распространены среди веществ биологического происхождения. Интересно, что при этом могут встретиться только группы I рода, т. е. типов IV1—IV5 и IV10. Это связано с тем, что аминокислоты, из которых сложены молекулы биологических веществ, представляют собой винтовые линии, которые природа закручивает всегда в одну сторону (ср. § 11, п. 4).

После приведенных нами данных у читателя сам собой должен напрашиваться вывод, что равномерно-разрывными группами симметрий IV1—IV10 обладают довольно редкие кристаллические вещества. Например, почему мы до сих пор не привели в качестве примера такое всем нам хорошо известное кристаллическое вещество как каменная соль (в кулинарии известная кан поваренная)?

Кристаллическое вещество каменной соли NaCl представляет собой кубическую решетку, вершины которой занимают атомы хлора и натрия попеременно (рис. 12.5). Из рисунка видно, что группа симметрий кристаллического вещества каменной соли содержит симметрии относительно плоскостей (одна из таких плоскостей на рис. 12.5 заштрихована) и осевые вращения (вокруг любой из нарисованных на рис. 12.5 прямых) на углы, кратные 90°. Поэтому эта кристаллографическая группа не является равномерно-разрывной, так как нетождественные перемещения равномерно-разрывной группы не могут иметь неподвижные точки.

По этой причине мы и не могли взять каменную соль (и многие другие хорошо известные кристаллические вещества) в качестве примера кристаллическо- to 1вёществд"с2 равномерно-раз-" рывной кристаллографической группой.

Пример кристаллографиче- ’ ской группы соли показывает, что 10 типов равномерно-разрывных кристаллографических групп составляют лишь часть.

Рис. 12.5. NaCl.причем, как оказывается, ма

лую часть всех типов пространственных кристаллографических групп. Это и неудивительно, ибо, как мы уже отмечали, равномерно-разрывные группы удовлетворяют гораздо более сильному, чем требуется в определении кристаллографической группы, условию: в свойстве 1) константу сКА) можно выбрать не зависящей от точки А. Замечательным открытием, происшедшим в конце прошлого века, стало перечисление Е. М. Федоровым в России и Шенфлисом в Германии всех кристаллографических групп перемещений

Pio, 12ДPio, 12Д

Pio, 12Д

Pio, 12Д

пространства'). Их оказалось 219 типов, из которых, как мы знаем, лишь 10 типов дают равномерно-разрывные группы.

Мы не будем здесь перечислять все эти группы, описание которых заинтересованный читатель сможет найти в специально посвященной кристаллографии литературе (см., например, Делоне Б., Падуров Н., Александров А. Математические основы структурного анализа кристаллов.— М.; Л: ГТТИ, 1934).

Красивые примеры кристаллических веществ с особенно богатыми группами симметрий читатель найдет на рис. 12.6. Интересно, что симметрии в атомной структуре кристаллов отражаются и на их внешней форме. Позднее мы перечислим (без доказательства) все плоские кристаллографические группы, которых оказывается гораздо меньше, чем пространственных — всего 17 типов. Мы уже упоминали о них в связи с узорами на плоскости. Приведенные в конце этого параграфа (на рис. 12.23) 17 узоров всех 17-и типов можно рассматривать как модели плоских кристаллических веществ с такими группами симметрий.

Упражнения

Гидроксиламин NH2OH имеет группу симметрий IV10, причем tal = = 3,646 А, |Ь| = 2,196 А, |с| = 2,437 А (в обозначениях таблицы 2 из § 11). В кристаллическом веществе гидроксиламина можно так выбрать начало координат Q, что в системе координат (Q, а, Ь, с) точки оси I имеют координаты (ж, 0, 0), оси Г — (0, у, 1/2), а координаты атомов N и О получаются из координат двух из них

0(0,120, —0,624, —0,046) и N (0,242, —0,012, 0,126) действием группы симметрий, которая в этой системе координат, очевидно, действут так:

- ■ S" „: (ж, ^ z) — (ж + 1? — У,—2^- '

Яг,я: (х, у, z) — (— х, у + 1, — z).

Найти расстояние между ближайшими друг к другу атомами N и О в кристаллическом веществе гидроксиламина. Попытайтесь представить себе упаковку его молекул (без атомов Н). Изобразить ее в проекции на плоскость (ж, у).

Доказать, что узоры II1, II2 на рис. 12.24 и III 1, III2 на рис. 12.23 имеют равномерно-разрывные группы симметрий типов II а, II б и III а, III б соответственно.

Кристаллографические группы и геометрии. Разрывные группы. Прежде чем переходить к этому перечислению, мы предлагаем читателю остановиться и обдумать любопытную ситуацию, в которой мы оказываемся в связи с появлением в этом параграфе нового для нас класса групп перемещений — кристаллографических групп. Такая ситуация часто возникает в математике в связи с появлением из разных соображений похожих математических объектов.

Задача описания геометрий, в малом совпадающих с плоскостью или пространством, привела нас в §§ 3—11 к равномерноразрывным группам, которым соответствуют геометрии, в малом совпадающие с плоскостью или пространством. Из других соображений, в этом параграфе мы пришли к новому для нас классу групп — кристаллографическим группам, возникающим в кристаллографии как группы симметрий кристаллических веществ. Ни один из двух классов этих групп не содержит другой, а общие у них — равномерно-разрывные кристаллографические группы. Можно ожидать, что существует такой естественный класс групп,, который содержит в себе как все равномерно-разрывные, так и все кристаллографические группы. Причем, как и равномерноразрывные группы, каждая группа этого класса определяет какую-то геометрию, которая хотя и не обязана в малом совпадать с плоскостью или пространством, но заслуживает интереса, и все группы этого класса дают описание какого-то более широкого, чем в малом совпадающих с плоскостью или пространством, класса геометрий, определение которого можно дать уже на обращаясь к группам. Если же эта геометрия происходит и» кристаллографической группы реального кристаллического вещества, то она оказывается наделенной физическими свойствами, т. е. представляет-собой реальный физический мир, описывающий физические свойства этого вещества. Этим интересным вопросам мы и посвятим конец настоящего параграфа.

Реализуя эту программу, заметим, что как все равномерноразрывные, так и кристаллографические группы удовлетворяют свойству 1) из определения кристаллографической группы. Класс групп, удовлетворяющих этому свойству, и естественно взять в качестве искомого класса групп.

Определение. Группа Г перемещений плоскости (или пространства) называется разрывной, если для каждой точки А плоскости (или пространства) найдется такая константа d(A)>Q, зависящая от точки А, что для перемещения F из Г из F(A) ФА следует ]AFG4)| >d(A).

Следующий шаг нашей программы состоит в построении по разрывной группе Г геометрии. Для этого нужно просто дословно повторить построение геометрии по равномерно-разрывной группе: две точки А и А' называются эквивалентными, если одна из них получается из другой перемещением из Г; точка соответст-

■вующей группе Г геометрии, задается множеством К эквивалентных друг другу точек; расстояние |.9^| между двумя точками геометрии определяется как наименьшее из расстояний |АВ|, где А пробегает множество А эквивалентных друг другу точек, которое задает S4-, а В — множество В, задающее 9$. Единственную трудность при таком определении геометрии представляет доказательство того, что так определенное расстояние 1^,581 существует. Для этого, как и в случае равномерно-разрывных групп, нужно, во-первых, заметить, что при нахождении расстояния можно зафиксировать точку А из А и искать минимум среди расстояний lABl, где А— эта фиксированная точка, а В пробегает 8. Во-вторых, каждое множество В эквивалентных друг другу точек разрывно (отсюда и название — разрывная группа), т. е. константы (?(В) для точек В из В одинаковы — зависят только от множества В (это сразу вытекает из того, что Г — группа). •Отметим, что так же легко, как для равномерно-разрывных групп, проверяется, что кристаллографические группы — это в точности те разрывные группы, которым соответствуют ограниченные геометрии. Естественно ожидать, хотя доказать это не так просто, что равномерно-разрывные группы — это в точности те разрыв- мыс группы, которым соответствуют геометрии, в малом совпадающие с плоскостью или пространством.

Какой же запас геометрий дают разрывные группы? Отвечая на этот вопрос, мы для простоты ограничимся разрывными группами на плоскости, хотя все наши рассуждения и утверждения переносятся и на пространство.

В случае равномерно-разрывных групп ответ, как мы знаем, можно сформулировать так:

есть . Одна, стандартная геометрия— плоскость, соответствующая равномерно-разрывной- группе, состоящей только из тождественного перемещения;

все остальные геометрии (в том числе и плоскость), соответствующие равномерно-разрывным группам,— это те и только те геометрии, которые в малом совпадают с плоскостью;

таким образом, перечислив все равномерно-разрывные группы на плоскости, мы получаем описание всех геометрий, в малом совпадающих с плоскостью.

В случае разрывных групп ответ, как мы увидим, похожий, только стандартных геометрий гораздо больше:

Теорема 1. 1) Есть некоторый гапас стандартных геометрий, соответствующих разрывным группам, имеющим неподвижную точку, общую для всех перемещений из группы; мы все их опишем и обозначим как С„ и Dn (п — 1, 2, ...).

Все остальные геометрии (в том числе и геометрии С„ и D„), соответствующие разрывным группам,— это те и только те геометрии, которые в малом совпадают со стандартными геометриями С» и Dn; более точно это означает следующее; существует

такое г>0, что для каждой точки st геометрии найдутся такие стандартная геометрия Сп или Dn и точка А этой стандартной геометрии, что сферические окрестности D{^/-, г) точки з^ в геометрии и D(A, г) в стандартной геометрии наложимы друг на друга,

Таким образом, перечислив все разрывные группы плоскости, мы получаем описание всех геометрий, в малом совпадающих с геометриями Сп и D».

Итак, рассмотрим вначале те разрывные группы Г, которые имеют неподвижную точку О (под этим подразумевается, что всякое перемещение из Г переводит точку О в себя). Если бы такая группа Г была равномерно-разрывна, то из предложения 1 § 8 вытекало бы, что Г состоит ровно из одного перемещения — тождественного перемещения Е. В случае разрывных групп ответ, как мы увидим, не намного сложнее: мы покажем, что группа Г конечна — состоит из конечного числа перемещений. Отметим, что верно и обратное: каждая конечная группа перемещений разрывна и имеет неподвижную точку (докажите это!)-

Пр едложение 1. Разрывная группа Г, имеющая неподвижную точку О, конечна.

Доказательство. Рассмотрим какую-либо точку А, отличную от О, и множество А эквивалентных ей точек. Покажем, что множество А конечно. Действительно, если F(A) эквивалентна А, где F принадлежит Г, то

IOAI - |F(0)F(4)| = |OF(A)|,

откуда следует, что все точки А лежат на окружности радиуса |ОА| с центром в точке О и, в частности, в круге К^О, 2|ОА|), Таким образом, разрывное мно

Рис. 12.7.Рис. 12.7.жество точек А ограничено и, 7 /3 значит, конечно по лемме из

Рис. 12.7.

Рис. 12.7.

Пусть А состоит из точек Mt,..., А„}. Всякое перемещение F из Г обладает свойствами FkO^ = O и F(.A')=At, где < = 1, ... ..., п. Тогда из теоремы Шаля вытекает, что Г — либо поворот с центром в О на угол АОА«, либо симметрия относительно биссектрисы I утла AOAt (рис. 12.7). Отсюда число перемещений в Г не превосходит 2п (то же самое вытекает и из леммы 3 из § 8), Это доказывает предложение.

Используя конечность, легко перечислить все такие разрывные группы Г с неподвижной точкой О. Мы приведем сразу ответ— читатель сам может его доказать (см. упр. 1). Конечными группами перемещений плоскости с неподвижной точкой О являются группы Сп и D„ U = 1, 2, ...), состоящие: С» — из всех поворотов правильного п-уголъника, a Dn — из всех симметрий правильного п-уголъника с центром в точке О (рис. 12.8).

При этом

Сп = [M"/n] = Ie, Ro, R^, - - •, Я$г1)ф, где ф = 2л/п}

порождена поворотом R^ n и состоит из п поворотов вокруг О на углы, кратные 2л/п. А группа

Dn =[S4, S,J = (S, R^ R^,Я£-1)ф S4, ..., Szn, гдеФ =2n/n)

порождена двумя осевыми симметриями S^ и Siy оси которых Zt и Z2 пересекаются в точке О под углом л/n, и состоит из тех же п поворотов, что и С„, и симметрий с осями Z„ Z2, ..., Z„, проходящими через точку О и составляющими друг с другом углы, кратные пГп (см. рис. 12.8).

//мы получиммы получимРис. 12.10.Рис. 12.10.этого угла- поэтого угла- поФундаментальной областью для группы С» является угол с вершиной в О величины 2л/п, причем эквивалентные друг ДРУГУ точки этой фундаментальной области лежат на сторонах угла и получаются друг из друга поворотом вокруг О на угол 2л/п Крис. 12.9).

/

/

мы получим

мы получим

Рис. 12.10.

Рис. 12.10.

этого угла- по

этого угла- по

ооРис. 12.9.Рис. 12.9.ЗкбйбменткыеточкиЗкбйбменткыеточкиСклеивая стороны эквивалентным точкам.

о

о

Рис. 12.9.

Рис. 12.9.

Зкбйбменткыеточки

Зкбйбменткыеточки

конус с вершиной в точке О. Таким образом, соответствующая группе С» геометрия, которую тоже мы обозначим С„, является геометрией на конусе. Рассмотрим в пространстве сферу с центром в точке О и коническую поверхность С, заметаемую лучами ОМ с началом в точке О, когда М описывает замкнутую кривую / без самопересечений на сфере (рис. 12.10), называемую направляющей конуса. Аналогично геометрии на цилиндрической поверхности (см. § 3) доказывается, что если длина направляю-

и^ей / равна 2nR/n, где R— радиус сферы, а п— натуральное число, то геометрия на конической поверхности С совпадает с геометрией С„. Следует обратить внимание на то, что далеко не

всякая коническая поверхность дает геометрию, совпадающую с какой-либо геометрией С„, ибо п натурально.

единичной скоростьюединичной скоростьюФундаментальной областью для группы D^ также является угол с вершиной в О величины л/п, но в отличие от группы С^ никакие две точки этого угла не эквивалентны друг другу (рис. 12.11). А значит, геометрия Dn, соответствующая группе D„, и есть этот угол (рассматриваемый как

единичной скоростью

единичной скоростью

часть плоскости), если измерять расстояние между его точками обычным образом — по плоскости. Это легко объяснить, если воспользоваться терминологией «лифтов» из § 3—5. Расстояние между двумя точками А и В этого угла в геометрии D„ равно наименьшему времени, необходимому на путешествие из Л в В, при движении по углу с

и при использовании мгновенно действующих лифтов, соединяющих различные эквивалентные точки. Но раз в угле нет различных эквивалентных точек, то нет и лифтов, и расстояние между А н В в геометрии Dn равно расстоянию между ними по

плоскости.

Отметим, что здесь мы сталкиваемся с важным явлением. Существуют два типа геометрий: с «лифтами» и без «лифтов». Первые получаются из соответствующей фундаментальной области склеиванием. Для вторых никакого склеивания не нужно: они просто совпадают с этой фундаментальной областью, т. е. является.фигурой на плоскости. —

Геометрии Сп и Dn демонстрируют основное отличие геометрий, соответствующих разрывным группам, от соответствующих равномерно-разрывным. Геометрии, соответствующие равномерноразрывным группам, в малом устроены одинаково: сферическая окрестность достаточно малого радиуса каждой точки является кругом на плоскости. В геометрии же Dn сферические окрестности точек, не лежащих на сторонах угла D„, точек, лежащих на этих сторонах, и вершины угла D„ являются соответственно кругами, полукругами и сектором с углом л/n (см. рис. 12.11). В геометрии С„ особой точкой, у которой сколь угодно малая сферическая окрестность не есть круг, является вершина конуса, а в геометрии D„ особыми точками являются стороны и вершина угла Dn.

Упражнения

Доказать, что группами С„ и О„ исчерпываются все конечные группы Г перемещений плоскости. При каких m и п группы Ст и Dm содержат группы С„ и Dn"? (Указание: следовать идее доказательства теорем 11 В. В. Никулин, И. Р. Шафаревич

3 и 4 в п. 2 § 8. Если группа состоит из одних поворотов, то рассмотреть поворот на наименьший угол, содержащийся в группе. Если в группу Г входят и симметрии, то рассмотреть группу Г' из содержащихся в группе Г поворотов.)

Какие фундаментальные области имеют группы симметрий I рода и какие — I и II родов у правильных n-угольных призм, пирамид, тетраэдра, куба. Какие точки на их границах эквивалентны? Представьте себе соответствующие геометрии.

Прямыми в геометриях, соответствующих разрывным группам, будем называть кривые, происходящие из прямых на плоскости. Каковы прямые в геометриях Сп и Dn?

Типичный пример: геометрия прямоугольника. Давайте теперь на примерах убедимся в верности теоремы 1 — проверим ее экспериментально. Как мы увидим, существует много чисто геометрических способов строить геометрии, в малом совпадающие с геометриями Сп и Dn. Однако, во-первых, каждый раз мы будем убеждаться, что вновь построенные нами геометрии будут задаваться разрывными группами. Во-вторых, мы таким образом придем к полному списку геометрий, в малом совпадающих с геометриями Си и DU) и полному списку разрывных групп. В-третьих, эти построения покажут нам тесную связь, существующую между всеми такими геометриями (и, очевидно, какую-то

связь, существующую между соответствующими им разрывными группами).

В качестве первого примера геометрии, в малом совпадающей с геометриями С» и £>», но отличной от них, рассмотрим прямоугольник ABCD на плоскости (рис. 12.12) с расстоянием между его точками по плоскости. Он, очевидно, образует геометрию: так самое трудное свойство г) из определения геометрии в § 6 вытекает из выпуклости: прямоугольника: отрезок, соединяющий — - любые две его точкиУ’целиком в нем ле-

Рис. 12.12. Геометрия III 3.Рис. 12.12. Геометрия III 3.плоскости с центромплоскости с центромжит. Если выбрать г > О меньшим, чем MSI/2 и IAD172, то сферическая окрестность радиуса г любой точки прямоугольника ABCD совпадает со сферической окрестностью радиуса г в одной из геометрий: Сх (плоскости), D^ (полуплоскости) и Вг (прямого угла). Например, на рис. 12.12 сферическая окрестность радиуса г точки К совпадает с кругом на в Кд точки L — со сферической окре

Рис. 12.12. Геометрия III 3.

Рис. 12.12. Геометрия III 3.

плоскости с центром

плоскости с центром

стностью радиуса г этой же точки в полуплоскости, ограниченной прямой C4Z»; точки М — со сферической окрестностью этой же точки в прямом угле BAD. Это доказывает, что прямоугольник ABCD дает геометрию., в малом совпадающую с геометриями Сп и Dn (даже только с С^ Dt и DO- Отличие же его от геометрий С» и Dn сразу бросается в глаза: во-первых, квадрат ограничен; во-вторых, его особые точки устроены не так, как

у геометрий С„ и Dn (у него 4 особые точки типа DO- Таким образом, мы действительно имеем, дело с какой-то новой геомет- риещ в малом совпадающей с геометриями Си и Dn.

С другой стороны, одного взгляда на особые точки прямоугольника ABCD достаточно, чтобы предложить кандидатуру на роль разрывной группы Г перемещений плоскости, для которой этот прямоугольник является геометрией и фундаментальной областью. В качестве такой группы Г естественно взять группу

Г = 15(^3), S^BC^ S^CD^ 5(^0)], порожденную отражениями относительно сторон прямоугольника ABCD.

Покажем, что она действительно обладает указанными свойствами. Пользуясь симметриями S^ab^ S<Bc^ 8(спи S(ad^ мы получим из прямоугольника ABCD еще 4 прилегающих к нему

"1

г~

f—

f—

—1

1

1—

“'в

I

1

—1

г-

*1

-J

1—

D _J

—1

Г-

—

~ 1

Г-

—*1

д)

Рис. 12.13. а) Прямоугольник ABCD; б) фигура Фк в) фигура Ф2; г) сетка из прямоугольников; д) сетка из прямоугольников с буквой Г.

прямоугольника, которые вместе с прямоугольником ABCD образуют изображенную на рис. 12.13, б фигуру Ф1е Точки этой фигуры Ф1 по построению эквивалентны точкам прямоугольника ABCD. Симметриями S(ab>, S(Bc>, S(Cd^ S(AD) из фигуры Ф1 мы получим новые фигуры, которые вместе друг с другом и Ф1 составят изображенную на рис. 12.13, в фигуру Ф2. По построе- 11*

пию ее точки также эквивалентны точкам прямоугольника ABCD. Продолжая это рассуждение, мы будем получать все большие фигуры Ф„ (га = 1, 2, 3, ...), точки которых эквивалентны точкам прямоугольника ABCD, и которые заполняют всю плоскость. Это доказывает, что все точки плоскости эквивалентны точкам нашего прямоугольника ABCD.

Покажем, что среди точек прямоугольника ABCD нет эквивалентных точек. Из предыдущего рассуждения видно, что при композициях образующих перемещений S(AS), S^BC^i S^D^ S^D) группы Г, т. е. при перемещениях группы Г, образы прямоугольника ABCD заполняют плоскость, образуя сетку из конгруэнтных примыкающих друг к другу прямоугольников (рис. 12.13, г). Это и очевидно, так как при каждом образующем перемещении S(as>, 5(50, Sten), S(ad) группы Г зта сетка очевидно переходит в себя, а поэтому она переходит в себя и при всех перемещениях из Г, так как они являются композициями образующих перемещений. Таким образом, мы можем представлять себе перемещения группы Г как симметрии этой сетки — в этом и состоит идея доказательства нашего утверждения. Но по причинам, которые станут понятны ниже, одной этой сетки нам будет недостаточно. Давайте дополнительно поместим в центр прямоугольника ABCD бук

ABCD эквивалентны,ABCD эквивалентны,ву г (рис. 12.13,9). Тогда, рассуждая совершенно так же, как выше, мы получим, что перемещения группы Г являются симметриями узора из прямоугольников с буквами г, изображенного на рис. 12.13,9. Теперь мы можем перейти к доказательству нашего утверждения. Пусть две точки X и У прямоугольника т. е. У = F(X), где F — перемещение из Г.

ABCD эквивалентны,

ABCD эквивалентны,

L-

с -1

—1

—1

1 —

D ।

Рис. 12.14.Рис. 12.14.NМNМПеремещение F переведет прямоугольник ABCD с буквой г в некоторый прямоугольник A'B'C'D' узора на рис. 12.13,9 с его буквой г, раз перемещения группы Г являются симметриями этого узора. Причем У = FIX) принадлежит как прямоугольнику ABCD так и прямоугольнику A'B'C'D', т. е. эти прямоугольники имеют общие точки. Отсюда следует, что

Рис. 12.14.

Рис. 12.14.

N

М

N

М

прямоугольник A'B'C'D' является одним из девяти нарисованных на рис. 12.14 прямоугольников узора.

Но для каждого из этих девяти прямоугольников с их буквами г есть ровно одно перемещение плоскости, переводящее в него прямоугольник ABCD с его буквой г (см. лемму 3 из §7) — именно для этой единственности и были добавлены буквы г. В результате мы получаем 9 возможностей для F, и остается разобрать каждую из них. Например, пусть F переводит прямоугольник ABCD в прямоугольник AMNB {ст. рис. 12.14), тогда F = S(AB^ — симметрия относительной прямой (АВ). Очевидно, что точками X прямоугольника ABCD, обладающими тем свойством,

что Y = FkX") также принадлежит прямоугольнику ABCD, являются в точности точки X отрезка L4B1; но для них У = Е(Х) = = X, поэтому эта возможность для F не дает различных эквивалентных точек. Аналогично разбираются остальные 8 возможностей для F.

Отметим, что те же самые рассуждения показывают совпадение группы симметрии узора на рис. 12.13, д с группой Г. В самом деле, так же, как мы доказывали выше, каждая симметрия G этого узора однозначно определяется тем, в какой из его прямоугольников с буквой г переходит при этой симметрии прямоугольник ABCD с его буквой г. Если бы это перемещение не принадлежало группе Г, то внутренние точки этого прямоугольника не были бы эквивалентны (относительно Г) точкам прямоугольника ABCD, а это противоречит тому, что прямоугольник ABCD является фундаментальной областью для Г.

Докажем, наконец, разрывность группы Г. Заметим, что константа ^(Х) (из определения разрывности) одна и та же для эквивалентных точек, поэтому достаточно рассмотреть только точки X прямоугольника ABCD. Для этого вновь обратимся к рис. 12.14, состоящему из прямоугольников нашего узора, окружающих прямоугольник ABCD. Воспользуемся тем, что каждый из прямоугольников узора очевидно обладает всеми свойствами прямоугольника ABCD, в частности, не содержит различных эквивалентных точек. Для каждой точки X прямоугольника ABCD рассмотрим круг такого радиуса <ДХ) с центром в X, что этот круг не пересекает стороны прямоугольников рис. 12.15, отличные от проходящих через точку X.

Мы утверждаем, что эти числа d(X) и будут искомыми. Пусть например, X = А совпадает с вершиной А прямоугольника ABCD. Тогда построенный круг радиуса d(A') с центром в А разбивается пересекающими его четырьмя

прямоугольниками рисунка на 4 сектора с центром в А. В каждом из этих секторов точке А нет эквивалентных точек (ибо это же верно для прямоугольника, содержащего этот сектор), поэтому точке А нет эквивалентных и во всем круге КА A, <ДА)); значит, число d(A) является искомым для точки А. Совершенно аналогично разбираются другие положения точки X в прямоугольнике ABCD. Это доказывает требуемое.

Таким образом, мы доказали, что взятая нами геометрия, в малом совпадающая с геометриями С„ и Z>n — прямоугольник на плоскости,— оказывается соответствующей разрывной группе

перемещений плоскости. Мы построили эту группу Г — в качестве нее можно взять группу, порожденную симметриями относительно сторон этого прямоугольника {тогда он, кроме того, оказывается ее фундаментальной областью), и проверили ее разрывность. В этой геометрии так же, как и в геометриях Dn, прямоугольник является одновременно и фундаментальной областью и геометрией для группы Г.

Обозначим эту геометрию и соответствующую ей группу номером III3, оставляя - номера III 1 и III2 за равномерно-разрывными группами типов III а и III б.

Напомним, что идея вышеприведенного доказательства состояла в построении узора на плоскости, который содержал бы в качестве своего элемента прямоугольник и имел бы Г группой симметрий.

Перечисление всех геометрий, совпадающих в малом с Сп или Da. Мы специально очень подробно разобрали пример геометрии прямоугольника, так как совершенно аналогично может быть проверено, что и все другие геометрии (типов ИЗ—II7 и III4—III17), которые мы дальше построим, будут соответствовать указанным ниже разрывным группам и иметь указанные фундаментальные области с соответствующими эквивалентными точками па границе. Мы не будем повторять это доказательство, оставляя его читателю, и ограничившись лишь указанием узоров, которыми нужно пользоваться (см. ниже рис. 12.23 и 12.24), нумеруя их так же, как соответствующие им геометрии и группы. Таким образом, группами симметрий этих узоров являются разрывные группы с соответствующими номерами. В наших обозначениях римская цифра II будет указывать на геометрии, которые хотя и неограниченны, Но отличны от Сп и D„ {соответствующие им разрывные группы не являются кристаллографическими, но бесконечны). При этом номера III и II2 остаются за известными нам геометриями и группами типов Па и II б, а римская цифра III указывает на ограниченные геометрии. и соответствующие им кристаллографические группы.

Без труда можно придумать и другие фигуры на плоскости: л полоса, половина полосы, три треугольника с углами вида —£- с натуральным к, которые в малом совпадают с геометриями Сп и D,„ но отличны от них (рис. 12.16). В качестве нетривиального упражнения читатель может попытаться доказать, что никакие другие фигуры на плоскости, кроме фигур рис. 12.16 и углов Dn, не дают геометрии, в малом совпадающие с геометриями Сп и D„. Аналогично тому, как это делалось в случае прямоугольника, читатель убедится, что эти фигуры являются геометриями, соответствующими разрывным группам, порожденным отражениями относительно сторон этих фигур; при этом они будут являться и фундаментальными областями.

Заменяя плоскость на цилипдр, мы можем и на цилиндре рассмотреть фигуры, в малом совпадающие с геометриями Сп и Dn. Они дают еще два новых примера геометрий: полуцилиндр и конечный цилиндр (см. рис. 12.17, где кривые I, m являются направляющими цилиндра).

13

Рис. 12.16. Геометрии II 3, II4, III 3 — III 6 (группы порождены отражениями относительно сторон).

При этом совершенно ясно, что полуцилиндр соответствует разрывной группе Гп 5 = [Т^, S/j, порожденной параллельным переносом Та с вектором а и симметрией St с осью I, параллельной а, а конечный цилиндр — разрывной группе Гщ 7=Та» Si, Sm], где а И ZII zn (рис. 12.17). На этом рисунке полу- полоса и прямоугольник ABCD будут их фундаментальными областями.

Вспоминая про геометрию на скрученном цилиндре из § 5, читатель убедится, что лист Мёбиуса, являющийся фигурой этой геометрии, также дает геометрию, в малом совпадающую с геометриями Сп и Dn\ Она соответствует разрывной группе Гш s = = [5?, Sm]’порожденной скользящей симметрией и симметрией

с параллельными осями Z и т и имеющей прямоугольник ABCD фундаментальной областью (рис. 12.18).

Симметрия Вт, (см. рис. 12.18) не присутствует среди образующих Гщ д, так как является композицией Вт' = StSm^Si) образующих St и 8т. Хотя лист Мёбиуса и похож на конечный цилиндр, в отличие от него его особые точки (край) образуют одну кривую, а не две.

Рпс. 12.18. Геометрия и группа III8.

В приведенных выше примерах геометрий, в малом совпадающих с геометриями Сп и Dnn но отличных от них, не было ни одной геометрии с особыми точками типа СП1 где п>2; во всех этих примерах геометрии на самом деле в малом совпадали с геометриями Ct (или плоскостью) и D». Это и естественно, так как любая сколь угодно малая сферическая окрестность особой точки конуса С„, где и > 2, не помещается как в плоскости, так, следовательно, и в любой геометрии, в малом совпадающей с плоскостью. В приведенных же выше примерах геометрии были фигурами геометрий, в малом совпадающих с плоскостью.

Примеры таких геометрии также можно привести, если рассмотреть некоторые фигуры на некоторых конусах СП1 где п^ 2. Как мы знаем, конус С2 сворачивается из угла с вершиной О величины л. Рассмотрим в этом угле прямоугольник ABCD< у которого сторона АВ идет по сторонам утла и О является серединой АВ (рис. 12.19, ГШЛ Сворачивая из угла с вершиной О конус С2, мы получим из прямоугольника ABCD ^фигуру на конусе С2, изображенную на рис 12.19, III9. Так как D — С = л/2, а углы OAD и ОВС сворачиваются на конусе Сг в развернутый угол, то эта фигура на конусе является геометрией, в малом совпадающей с геометриями Сп и Dus причем ее особая точка О — типа С2. Некоторое сомнение вызывает то, что эта фигура на конусе С^ является геометрией. Однако это так и вытекает из того, что эквивалентные (относительно группы С^ точкам прямоугольника ABCD точки плоскости образуют прямоугольник DCC'D' (рис. 12.19, ГШ1), который является выпуклым множеством (см. упр. 6 п. 2 § 7).

Таким образом, мы получаем новую геометрию типа III9. Читатель легко проверит, что она задается разрывной группой

Гщ 9 = [^(ЛР)) S^DC)i ^5],

порожденной симметриями относительно сторон (Л/)) и (DC) и середины О стороны АВ прямоугольника ABCD, при этом прямоугольник ABCD является ее фундаментальной областью. Совершенно аналогично можно построить еще три подобные геометрии II 6, III10 и III11 на конусах Сй1 С3 и С^ получающиеся соответственно из полосы и треугольников О АВ (см. рис. 12.19),

Рис. 12.19. Геометрии и группы II 6, III 9, III 10, III 11.

и убедиться, что они задаются разрывными группами Гн в1 Гт ю и Гш и, порожденными симметрией и поворотом соответственно на л, 2л/3, л/2.

На этом мы исчерпали возможности этого метода — строить геометрии как фигуры в уже известных геометриях — геометриях, в малом совпадающих с плоскостью и конусах С^. Дело в том,

3)3)Рис. 12.21. Геометрии и группы II 7, III 13 — III 16.Рис. 12.21. Геометрии и группы II 7, III 13 — III 16.

3)

3)

Рис. 12.21. Геометрии и группы II 7, III 13 — III 16.

Рис. 12.21. Геометрии и группы II 7, III 13 — III 16.

что таким способом мы не можем строить геометрии с более чем одной особой точкой типа С^ где п > 2.

Их можно строить другим методом — при помощи склеивания геометрий. Для примера давайте рассмотрим два одинаковых экземпляра геометрии типа 1П 3, т. е. два одинаковых прямоугольника ABCD и А'В'С'О' (рис. 12.20, а). Склеим их одинаковые стороны [АВ] и [А'В'1, [ВС] и [В'С'1, [СО] и [С'О'] — аналогичным образом из двух прямоугольных кусков материи сшивается наволочка. При этом мы получим поверхность, которая аналогична поверхности наволочки, если надеть ее на подушку (рис. 12.20, а и б).

Рис. 12.20. Геометрия и группа Ш 12.

Так как углы прямоугольников прямые, то геометрия на этой поверхности очевидно в малом совпадает с геометриями С„ и Z>„, причем она имеет две особые точки типа С2 (точки В —В' и С = С* на рис. 12.20,6). Приложим прямоугольник А'В'С О' к прямоугольнику АВСО так, как показано на рис. 12.20, в. Легко понять, что зта геометрия задается разрывной группой, порожденной двумя симметриями S^adv S^a'd»-) и двумя центральными симметриями НвИ В", а прямоугольник А А '0'0 является ее фундаментальной областью (рис 12.20, в). Замечая, что S^a'd*} = BbS^ad-)Bb, мы видим, что число образующих можно уменьшить —

Гшм = [-5(лх>). Rb, Я"].

Заметим, что в предыдущем примере мы можем склеить также оставшиеся не склеенными стороны [ЛП] и [А'О'] прямоугольников и получим геометрию III13, имеющую своими особыми точками четыре особые точки типа Сг (рис. 12.21,6). Такую

геометрию мы постоянно наблюдаем на поверхности подушки. Она также задается разрывной группой

Гш13 — [^2ai ^Bj Я"], а = BAS порожденной двумя центральными симметриями и параллельным переносом (рис. 12.21, б, справа). Отметим только, что это не самая обитая разрывная группа (соответственно геометрия) такого типа: вместо прямоугольника ABCD можно взять параллелограмм (см. рис. 12.21, б, слева). А взяв вместо прямоугольника ABGD полуполосу и треугольники, являющиеся геометриями типов II4, III4, III5 и III 6 (см. рис. 12.16), мы получим тем же самым способом еще четыре новые геометрии типов II7, III14, III15 и III16, задающиеся разрывными группами

Гц ? = [Яд, Дд], Гшм = [Я”» Дд/3]»"ПГ пл/з] т1Г в2л/з в2Л/31

1Ц115 — l^Ci j, 1 III16 — L^C 1 nA J

(см. рис. 12.21, а, в, г, д, где указаны и фундаментальные области этих групп). Эти геометрии имеют своими особыми точками соответственно две особые точки типа С2, три особые точки типов Сг, С3 и Св; одну особую точку типа Сй и две — типа С4; три — типа С3.

Наконец, чтобы построить последнюю наиболее нетривиальную геометрию, в малом совпадающую с геометриями Сп и Dni вернемся к ранее построенной геометрии III12. Ее край /, состоящий из особых точек типа Dt1 является окружностью. Назовем две точки окружности / противоположными, если эти точки делят ее на две дуги одинаковой длины (см. рис. 12.22, от, где указаны противоположные точки Е и Е\Е и F\ G и G\ Н й Н'). Очевидно, склеивая точки края / этой геометрии по противоположным точкам, мы получаем поверхность, геометрия на которой в малом совпадает с геометриями Сп и Dn и имеет своими особыми точками две особые точки В и. С типа С2. Как и бутылку Клейна, мы можем реализовать эту поверхность в пространстве только допуская самопересечения (см. рис. 12.22, а — б, где вначале склеиваются точки Е и Е\ далее — Е и Е\ затем кривые EGF и EG'F; наконец, допуская самопересечение поверхности, склеиваются кривые EHF и ЕН'Е). В математике эта поверхность называется проективной плоскостью (см. ниже). Читатель легко убедится, что построенная геометрия задается разрывной группой

Г

Г рЕЕ* пЛ ПЛ1

III17 = [^(ЕЕО» ЛВ’ ^cb у где S^/) — скользящая симметрия с вектором ЕЕ* п осью (ЕЯ'), Е и Е'— середины сторон ЕЕ' и Е}^ прямоугольника FE^F^F', а Я и С — сторон ЕЕХ и Е*^ (рис. 12.22, е), причем этот прямо-

Рис. 12.22. Геометрия и группа III17.

угольник является ее фундаментальной областью. Заметьте, что образующая R” этой группы выражается через остальные, поэтому ту же группу можно задать образующими:

■р Г qEE* D^l J-III 17 ~

Если не обращать внимания на особые точки, то наволочка (рис. 12.22, а) представляет собой полусферу: если сделать наволочку из резииы, то эти особые точки можно разгладить, не разрывая наволочку. А из полусферы

тем же самым, что и у нас, отождествлением противоположных точек на ее границе — окружности — склеивается поверхность, на которой реализуется геометрия Римана (см. упр. 4 п. 2 § 7 и упр. 6 § 9). Таким образом, наша геометрия и геометрия Римана реализуются на одной и той же поверхности. Прямые геометрии Римана удовлетворяют аксиомам принадлежности обычной плоскости, но вместо аксиомы параллельности удовлетворяют аксиоме проективной плоскости: любые две различные прямые пересекаются (см. упр. 4 п. 2 § 7). Отсюда и произошло название нашей поверхности — проективная плоскость.

При том разнообразии способов строить геометрии (в малом совпадающие с С» и Z>„), с которыми мы здесь познакомились, может показаться, что процесс построения геометрий никогда не оборвется: из уже построенных геометрий можно построить еще более новые и т. д. Но зто не так:

Теорема 2. Геометриями типов Сп, Dn, II1—II 7, III 1 — III 17 исчерпываются все геометрии, в малом совпадающие с геометриями Сп и D„. Соответствующими группами

Сп, D„, Гш—Гц?» Гш 1—Гиг 17

исчерпываются все разрывные группы перемещений плоскости {их описание см. в рис. 12.16—12.22), они же являются группами симметрий узоров, изображенных на рис. 12.23 и 12.24. В частности, группами

Гт 1—Гш 17

исчерпываются все плоские кристаллографические группы.

Мы не доказываем эту теорему, но читатель может убедиться, что применяя рассмотренные нами и любые другие способы строить геометрии из полученных геометрий С„, D„, III—II7,

Рис. 12.23. Узор (орнамент) для группы III 1 (или III а).

III1—Ш 17, он не нолучит новых геометрий, в малом совпадающих с Сп и Dn. Например, способ построения из геометрии III12 геометрии III17 можно применить к геометрии III8 на листе Мёбиуса, у которой особые точки типа Dt образуют, как и у геометрии III12, окружность. Но получится уже известная -нам геометрия на бутылке Клейна. Читатель может сам придумать много других подобных примеров.

Рис. 12.23. Узоры (орнаменты) для групп III 2 (или III б) — III 6.

ддд

уу

дуд

дуд

дуд

ддд

ддц

дуц

дуд

и

;ДДД

дуд

дуд

Пуд

дду

дуд

ддд

дуд

дуд

1

1

" ]

1

1

1

1

1

1

-' 1

1

J

1

1

1

1

1

Ш7

шв

f

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Г"

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Ш9

Н1(или Ла)

' 12 (или 15 /

Рис. 12.24. Узоры (бордюры) для групп И1 — II7.

Упражнения

К какому типу относятся группы симметрий разбиения плоскости на конгруэнтные примыкающие друг к другу прямоугольники, правильные треугольники, шестиугольники, квадраты?

Доказать, что группы типов II 7, III13, III14, III15, III16 состоят из перемещений I рода групп типов II 4, III3, III4, III5, III 6 соответственно (вспомните способ построения этих групп).

Какая геометрия получится при склеивании геометрий типов III8 и III12, имеющих граничные окружности одинаковой длины, по этим окружностям?

В прямоугольном бильярде требуется попасть шаром А в шар В. ’а) Найти все способы это сделать (см. упр. 3 из п. 3).

Найти все такие способы, при которых шар А отражается п раз от вертикальных бортов и т раз от горизонтальных.

Найти все периодические траектории движения шара в таком бильярде.

Рассмотреть аналогичную задачу для бильярда, имеющего форму i правильного треугольника.

О доказательстве теорем 1 и 2. Доказательство того, что । каждая геометрия, в малом совпадающая с геометриями Св и В», [ строится по некоторой разрывной группе, мало чем отличается [ от проведенного нами в § 10 в случае геометрий, в малом совпадающих с плоскостью (или геометрией Сд. Для этого надо лишь (изменить понятие карты и накрытия, приспособив их к общему

|случаю геометрий, в малом совпадающих с геометриями Сп и В»

Г (мы предлагаем продумать эти понятия читателю). Но неожи- [ данно трудным (хотя и гораздо более простым, чем рассуждения i из § 10) оказывается доказательство прямого утверждения тео- | ремы 1: каждая разрывная группа дает геометрию, в малом сов- |падающую с геометриями С„ и Вп. Оно требует построения

|удобных фундаментальных областей для разрывных групп (во

I всех наших примерах мы угадывали эти фундаментальные обла- т сти для конкретных групп, пользуясь их явным заданием) й | исследования их свойств. Впрочем, эту трудность можно обойти, I если доказать сначала теорему 2 и воспользоваться явным видом | указанных в ней разрывных групп.

| Доказательство теоремы 2 основывается на уже знакомых нам идеях. Разрывные группы разбиваются на три типа, в зависи- ।мости от того, каково множество содержащихся в них парал-

|ле льных переносов', для групп I типа оно состоит лишь из тож-

Iдественного преобразования; для групп II типа — из параллель-

Iных переносов на такие векторы, что если их отложить от неко-

|торой точки, то концы их образуют ряд О' равноотстоящих

(друг от друга точек (решетку) на некоторой прямой; наконец,

Iдля групп III типа концы векторов параллельных переносов

Iобразуют плоскую решетку О". Группы I типа — это С„ и В,.

IДля групп II и III типа, совершенно аналогично рассмотренной

в §11 ситуации, все перемещения группы должны переводить в себя решетку О' (для II типа) или О" (для III типа). Отсюда 12*

легко определяются все группы II типа. Для нахождения групп III типа надо воспользоваться тем, что в § 11 были перечислены все симметрии плоских решеток. Отсюда легко восстанавливаются все группы этого типа. (Этим, в частности, объясняется, почему в группах III типа встречаются лишь повороты на утлы л, л/2, 2л/3 и л/3.) Мы не будем приводить здесь подробное доказательство. Читатель может прочесть его в книге: Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия.— М.: Наука, 1981 (гл. 2, § 12) для случая кристаллографических групп на плоскости, не содержащих скользящих симметрии.

Кристаллические вещества и их «молекулы». Вернемся теперь к кристаллическим веществам и их кристаллографическим группам. Какой же смысл имеет для кристаллического вещества соответствующая его кристаллографической группе Г геометрия? Так как все точки из множества А эквивалентных друг другу

точек кристаллического вещества имеют по самому определению этой группы одинаковые физические свойства, то сопоставляя эти свойства задаваемой множеством А точке st геометрии, мы наделим физическими свойствами все точки этой геометрии. При этом, очевидно, физические свойства каждой точки пространства будут представлены среди физических свойств точек этой геометрии, а различные точки геометрии будут иметь, по определению Г, разные физические свойства. Иначе говоря, наделенная

таким образом физическими свойствами геометрия представляет

собой ту элементарную ячейку, из которой

разворачивается все кристаллическое вещество. А соответствие между геометриями и разрывными группами можно проинтерпретировать, сказав, что строение и физические свойства этой элементарной ячейки - полностью определяют строение и физические свойства всего кристаллического вещества — то, как оно разворачивается из этой элементарной ячейки. Например, что из себя представляет молекула соли? Глядя на рис. 12.5, где изображено кристаллическое вещество соли, совершенно не ясно, как объединить атомы натрия и хлора в моле-

кулу (еще большие трудности возникают, если кристаллическое вещество состоит из более чем двух элементов, которые не объединяются в ярко выраженные группы атомов).

В качестве первого приближения к ответу, естественно взять за такую молекулу фундаментальную область для кристаллографической группы соли, но это было бы не совсем правильно, так как фундаментальную область нельзя выбрать однозначно. С другой стороны, соответствующая этой группе геометрия устроена аналогично плоским геометриям Гт s — Гт е (см. рис. 12.16) и

представляет собой тетраэдр АВ МО, в двух вершинах А и В которого находятся атомы натрия и хлора (см. рис. 12.25). Этот тетраэдр с атомами натрия и хлора в двух его вершинах и является молекулой соли. Причем строение этой молекулы полностью определяет строение кристаллического вещества соли — то как оно сложено из этих молекул. Определяя таким же образом молекулы для кристаллических веществ как соответствующие их кристаллографическим группам геометрии, наделенные физическими свойствами, мы можем сказать, что в строении и физических свойствах молекулы кристаллического вещества содержится полная информация о строении всего кристаллического вещества! Читатель может возразить на это, что судя по примерам геометрий, соответствующих плоским кристаллографическим группам, например геометрии III2 на бутылке Клейна и геометрии III17 на проективной плоскости, так определенные молекулы могут быть устроены очень сложно. Но ведь никто из нас не думает, что окружающий нас мир устроен просто?

ЧАСТЬ IV

ГЕОМЕТРИИ НА ТОРЕ, КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

И ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО

§ 13. Подобие геометрий

. Условие совпадения двух геометрий, определенных равномерно-разрывными группами. В описании геометрий, в малых частях совпадающих с плоскостью, составившем содержание II части, имеется один пробел, который мы теперь восполним. Было доказано, что всякая такая геометрия строится в виде геометрии 2Г по некоторой равномерно-разрывной группе Г перемещений плоскости. Казалось бы, классификация всех таких групп, данная в § 8 гл. II, и решает вопрос. Это, однако, не совсем так. Действительно тем самым мы предлагаем такой список геометрий, что всякая интересующая нас геометрия совпадает с одной из геометрий списка; однако мы не выясняем, когда две геометрии из нашего списка совпадают (т. е. налагаются друг на друга), а когда — различны. Поэтому вопрос о том, «как много» существует различных геометрий, не получил еще окончательного ответа. Некоторые утверждения в этом направлении можно сделать сразу. Например, геометрии, принадлежащие к разным типам I, II а, II б, III а, III б, между собой различны, ибо они отличаются друг от друга такими свойствами, как наличие замкнутых прямых, ограниченность, неразличимость «право» и «лево». Но неясным остается вопрос о различии или совпадении геометрий внутри каждого типа; Например, одинаковы или различны геометрии, определенные группами Г и Г' типа Па, если эти группы задаются изображенными на iрис. 13.1 парами векторов?

^а Чтобы подготовить ответ на этот

/ ‘/^ вопрос, мы рассмотрим сейчас очень

_а \/ естественный способ, которым можно Г/- из одной группы получать другие. По

том мы покажем, что именно таким Рис. 13.1.образом связаны между собой группы,

определяющие одинаковые геометрии.

Пусть G — перемещение плоскости П, a F — другое перемещение, которое нам удобно рассматривать как наложение П на плоскость П', может быть с П не совпадающую. В таком случае мы можем, конечно, перенести, пользуясь наложением F, перемещение G на плоскость П': надо для произвольной точки X' этой плоскости взять ту точку X плоскости П, которая соответствует X' при наложении F, потом подействовать на X перемещением

G и, наконец, опять взять точку плоскости П', которая соответствует полученной точке GIX) при наложении F (рис. 13.2).

Записывая то, что выражено словами, при помощи композиции, мы получим точку *

¥' = FGF"4X').(1)

Эту точку мы и сопоставим точке X' и тем самым получим преобразование плоскости П', которое обозначим G', т. е. G' = — FGF~l. Так как все встречающиеся в зтой формуле отображения (F, F~\ G) не меняют расстояний, то это же верно и для G', т. е. G' является перемещением плоскости П'. Это перемещение обозначается G* и называется сопряженным G при помощи F. Итак, по определению имеем

G» = FGF-1. (2)

Из этой формулы сразу вытекают свойства операции сопряжения:

= G^,

(G"^ = (GfV.

Отсюда следует, что если G пробегает группу перемещений плоскости И, то сопряженные перемещения G' при помощи заданного наложения F плоскости П на плоскость П' тоже пробегают группу перемещений. Эту группу мы обозначим Г'.Она называется сопряженной группе Г при помощи наложения F.

Также легко проверить следующие свойства:

(Тав^ = Тр(А)Е(В), г) (в^у = в^

(здесь Fla) обозначает угол, равный а, если а — параллельный перенос или поворот, и —<х, если F — скользящая симметрия),

(здесь Sf5 — скользящая симметрия с вектором АВ и осью Z).

Отсюда следует, что если, например, группа Г типа II а задается парой векторов а и Ь, то группа Г* тоже принадлежит к типу II а и задается парой векторов F(a) и F(b) (что такое вектор Fla), было определено в п. 2 § И: если а = ОА, то Fla) = ■FIO)FIA)). Вообще, из перечисленных свойств а) —д) вытекает, что если группа Г задана одной из картинок, приведенных

в конце § 8 (теорема 7), то сопряженная группа Гр задается картинкой, которая получается применением к исходной картинке перемещения F.

Теперь мы можем дать ответ на вопрос, сформулированный в начале параграфа.

Теорема 1. Геометрии Sr ^ 2гч соответствующие равномерно-разрывным группам Г и Г', тогда и только тогда наложимы друг на друга, когда группы Г и Г сопряжены при помощи некоторого перемещения плоскости»

Доказательство. Пусть Г — группа перемещений плоскости П, а Г' — плоскости П'. В одну сторону теорему доказать очень просто.

Предположим, что F — некоторое наложение плоскости П на плоскость Пх и Г'»Г*. Сопоставим каждой точке X плоскости П точку FUC) плоскости П', тогда точкам X и У, эквивалентным относительно группы Г, сопоставятся точки FIX?) и F(Y), эквивалентные относительно группы Г'. Тем самым совокупности точек, эквивалентных между собой относительно Г (т. е. точке геометрии Sr)» сопоставится совокупность точек, эквивалентных ДРУГ другу относительно группы Г' (т. е. точка геометрии2г'). Мы получаем отображение геометрии Sr в геометрию Sp'. Это отображение является наложением одной геометрии на другую. Проверка сформулированных утверждений немедленно вытекает из определения (формулы (1) или (2)). Читатель,. если захочет, сможет сам легко осуществить эту проверку.

Труднее доказать вторую половину теоремы. Пусть нам дано, что геометрии Sr и 2г' наложимы друг на друга, и пусть / — это наложение. Мы будем, как и в первой части доказательства, считать, что группа Г' состоит из пер№ плоскости П, а Г' - плоскости П'. Надо построить наложение F плоскости П на П' и доказать, что Г' = Г*.

Вспомним, что сопоставление точке X плоскости П точки ЗВ геометрии .Sr* которую точка X определяет, является отображением ср плоскости П на геометрию Sr, обладающим важным свойством: круг достаточно малого радиуса т с центром в точке X плоскости накладывается на круг радиуса т с центром в, точке ф(Х) геометрии Sr- В п, 2 § 10 мы назвали такие отображения накрытиями. Соответствующее отображение плоскости П на геометрию 2гг мы обозначим через ф'. Пусть О — некоторая точка плоскости П, О — ф(О) — точка геометрии Sr, О' = ikO^ — точка геометрии Sr'»соответствующая точке О при наложении /, и, наконец, О' — некоторая точка плоскости П , определяющая точку О', т. е. О' — ф'(О'). Мы знаем, что отображения ф, ф' и / являются наложениями кругов радиуса т (рис. 13.3).

Рассмотрим отображение (ф')”1^ круга КЮ, г)» Написанное выражение имеет смысл, так как ф' является наложением круга К(О', г) на круг Кк0\ г), и, значит, обратное отображение (ф')"1

существует. Очевидно, что таким образом мы получаем некоторое наложение круга КХО, г) плоскости П на круг К«У, г) плоскости П . По лемме 1 из §10 это наложение всегда можно осуществить некоторым наложением F плоскости П на плоскость П', т. е. таким наложением, что для точек X круга КХО, г) выполняются соотношения FIX') = (фО'^фС^) или

(3)(3)Ф?(1) = /Ф(1).

(3)

(3)

Согласно лемме 4 о совпадении накрытии, доказанной в § 10, изСогласно лемме 4 о совпадении накрытии, доказанной в § 10, извыполнения этого соотношения для точек круга КХС^ г) вытекает его справедливость для всех точек плоскости П.

Согласно лемме 4 о совпадении накрытии, доказанной в § 10, из

Согласно лемме 4 о совпадении накрытии, доказанной в § 10, из

Из соотношения (3), установленного для всех точек плоскости П, уже легко следует, что Г' = Гр. Пусть G — любое перемещение из группы Г. Докажем, что FGF^ содержится в Г'. Согласно теореме 1 из § 7, группа Г' состоит в точности из тех перемещений Gf плоскости П', которые эквивалентные точки переводят

Рис. 13.3.Рис. 13.3.в эквивалентные, т. е. для

Рис. 13.3.

Рис. 13.3.

которых <p'G4X') “ ф'(Х') для любой точки X' плоскости П\ Поэтому . нам достаточно проверить, .что $'FGF-4X') —(рЧХ,)_.. Положим здесь F-ЧХ'} = X (т. е. X'— FtX))^ тогда наше соотношение запишется в виде ^'FIGOC)) = фЧ^СХ)). Из соотношения (3) получаем фТ(С(Х)) =/ф(С(Х)), фЧЮ)) - /(ф(Х)), и наше соотношение принимает вид /ф(С(Х)) = /(ф(Х)). Оно, очевидно, верно, так как точки X и G(X) эквивалентны относительно группы Г, и поэтому фС(Х) = ф(Х). Таким образом, группа Гр содержится в Г'. Если G' — любое перемещение из Г', то аналогичные рассуждения показывают, что G — F^G'F содержится в Г. Отсюда следует, что G* = FGF^ = G\ т. е. G' содержится в Г' и, значит, Гр содержит ГЧ Тем самым Г' = Г'

и теорема доказана.

Упражнения

Доказать, что всякое перемещение F плоскости, для которого Гр = Г, задает перемещение геометрии 2Г, соответствующей равномерно-разрывной группе Г. Докажите, что всякое перемещение геометрии 2г получается таким образом. (Определение перемещения геометрии см. в упр. 2 п. 2 § 7.)

Когда два обладающих указанным выше свойством перемещения F и F' плоскости задают одно и то же перемещение геометрии 2г?

Описать все перемещения геометрий на цилиндре, скрученном ци- лилдре, бутылке Клейна.

Пусть (Spa, 2Г1> <р)—накрытие, рассмотренное в упр. 3 п. 2 § 10. Доказать, что для него имеет место утверждение теоремы 1в из § 10 тогда и только тогда, когда Г2 = Г2 для любого перемещения F из группы Г1# Рассмотрите примеры групп Г2, Г1 различных типов.

Подобие геометрий. Тот же вопрос о совпадении геометрий, определенных равномерно-разрывными группами, можно рассмотреть и в другой, несколько более широкой постановке. Чтобы разъяснить ее, вернемся к тем рассуждениям, которыми мы пользовались при обсуждении понятия совпадения (или наложения) геометрии. Мы представляли себе, что геометрии Si и S2 населены «жителями»! которые могут общаться друг с другом по радио и в результате переговоров убеждаться, что измерения в их геометриях приводят к одним и тем же результатам. Математически мы выражали это как отображение F геометрии St на всю геометрию S2, при котором не меняются расстояния:

ШЛ)ПВ)! = IABI. (4)

Но что означает такое равенство физически? Ведь измерение расстояний приводит к числам (а равенство (4) связывает именно числа) только при введении определенной единицы длины, и непонятно, каким образом жители разных геометрий могут согласовать свои единицы длины. Поэтому физически гораздо более разумным представляется предположение, что при всех измерениях (в каких угодно единицах длины) у жителей геометрий St и S2 получаются пропорциональные результаты. Так мы приходим к новому понятию, связывающему две геометрии.

Предположим, что существуют отображение F геометрии St на всю геометрию S2 и такая постоянная X > 0, что для любых двух точек Л и В геометрии Si выполнено соотношение

|/?и)ЛВ)| =М.4В|,

тогда геометрии Si и S2 называются подобными, а отображение F подобием. Коэффициент к называется коэффициентом подобия отображения F. Коэффициент подобия всегда является положительным числом.

Именно подобие наиболее естественным образом выражает тот факт, что у геометрий все свойства одинаковы. Это соответствует тому, что если бы все предметы нашего мира, мы сами и пяти средства измерения одновременно увеличились бы в одинаковое число раз, то мы не могли бы этого заметить. Понятие равенства или наложения геометрий несколько проще математически, и поэтому мы сначала положили именно его в основу наших рассуждений.

Впрочем, понятие подобия часто нетрудно свести к понятию

наложения геометрий, и это поможет нам сейчас же перенести результат теоремы 1 на случай подобия. Для этого нам надо

сначала рассмотреть подобия плоскости П с самой собой, т. е.

случай, когда Si = S2 = П. Мы будем называть их просто подо

биями плоскости П. Один пример читателю хорошо известен:

гомотетия с заданным центром О и коэффициентом X > 0. Так называется преобразование, при котором точка X переходит в точку X', лежащую на том же луче, исходящем ив точки О, но отстоящую от О на расстояние Х|ОХ| (рис. 13.4). Если X > 1, то вся плоскость растягивается, а если X < 1, то сжимается с этим коэффициентом к точке О. Такую гомотетию мы будем обозначать Hq.

Лемма 1. Пусть на плоскости произвольно зафиксирована точка О. Любое подобие плоскости получается последовательным выполнением гомотетии Hq и некоторого перемещения. При этом X совпадает с коэффициентом исходного подобия.

Действительно, пусть F — подобие плоскости с коэффициентом X. Рассмотрим отображение G = FH^. Из определения сразу вытекает, что G — перемещение. В равенстве

заменим X точкой НоСХ). Очевидно, что Но^Но^У) = Y, и в результате мы получаем

<?(^о(У)) = ^(У)

для всех Y, т. е. F = GHq. Так как G — перемещение, то это доказывает лемму.

Совершенно аналогично тому, как мы поступили с перемещениями, определим перемещение, сопряженное G при помощи подобия F, как преобразование

GF = FGF-\

Если F имеет коэффициент X, то F-1 умножает все расстояния на X-1, G не меняет, a F умножает на X. Мы видим, что Gp — также перемещение. Сохраняются все свойства а) — д) и их доказательства. В частности определена группа Г', сопряженная группе перемещений Г при помощи подобия F.

Теорема 2. Соответствующие равномерно-разрывным группам Г и Г' геометрии Sr и Sr* подобны тогда и только тогда, когда группы Г и Г' сопряжены при помощи некоторого подобия плоскости.

Доказательство. Прежде всего совершенно аналогично доказательству теоремы 1 проверяется, что если Н подобие плоскости, то Н определяет подобие Л геометрии Sr на геометрию 2гн, причем коэффициенты подобии h и Н равны.

Доказательство обратного вытекает из теоремы 1. Пусть /—|

подобие Sr на Sr' и X— его коэффициент. Рассмотрим гомотетию Н = Н1^ на плоскости. В силу сказанного выше, Н определяет подобие h геометрии Sr' на геометрию 3(г^я, причем коэффициент этого подобия равен коэффициенту Н (т. е. 1/Х); тогда hf — подобие с коэффициентом 1, т. е. наложение геометрии Sr на 3(Г/)н. По теореме 1 найдется такое перемещение F плоскости, что Г* ” (Г')я, отсюда (Г^У1-1—Г', Как легко проверит читатель, (Г,)я"11'= Г(я-1,), откуда Г' = Г'', где F' = H^F - не- которое подобие. Доказательство закончено.

Рассмотрим в заключение два примера. Начнем со сферических геометрий. Очевидно, что геометрии на сферах радиуса Rt и Нг совпадают, если R^ — Ra. Но в этом случае и только! Ведь радиус сферы может быть определен как свойство геометрии: Я =g~Z, где I — длина прямых в этой геометрии. С другой стороны, если сферы радиусов R^ и Ra расположить так, чтобы их центры совпадали с точкой О, и сопоставить точке первой из них точку второй, лежащую на том же луче, выходящем из точки О, то очевидно мы получим подобие (с коэффициентом RJRi). Таким образом, разных сферических геометрий очень много — столько, сколько значений радиусов R,— но с точностью до подобия существует одна единственная сферическая геометрия.

Рассмотрим теперь геометрию на тщлиндре. Она имеет вид Sr, где Г — группа типа Па, которая определяется вектором а и состоит из параллельных переносов на векторы вида па. Выбрав точку О и откладывая вектора па от этой точки, группу можно изобразить, рядом равноотстоящих точек на прямой (рис. 13.5).

3 ,।11,1

-а а

2а

Рис. 13.5.

Согласно теореме 1 две такие геометрии совпадают тогда и только тогда, когда соответствующие им группы сопряжены с помощью некоторого перемещения F, т. е. изображающие их ряды точек переводятся друг в друга перемещением F. Для этого, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы расстояние между соседними точками («шаг» прямолинейной решетки) в обоих рядах

было одинаковым. Это расстояние равно |а|. Полученный результат очевиден геометрически: |а| характеризуется свойством геометрии 2Р как длина любой из ее замкнутых прямых (п. 3 § 3). С другой стороны, из теоремы 2 следует, что две такие геометрии подобны тогда и только тогда, когда соответствующие точечные ряды переводятся друг в друга подобием плоскости, а это имеет место всегда. Таким образом, все геометрии, соответствующие группам типа II а, подобны.

Из этих двух примеров не следует делать вывод, что и в других случаях все геометрии, соответствующие группам одного типа, подобны. Дело обстоит гораздо интереснее — к исследованию этого вопроса мы и переходим.

Упражнения

Доказать, что если Г — равномерно-разрывная группа, то группа Г*, сопряженная ей с помощью некоторого подобия г, тоже равномерно- разрывна.

Доказать, что все геометрии 2г, соответствующие группам Г типа II б (т. е. геометрии на скрученных цилиндрах), подобны друг другу.

а) Пусть ф — подобие геометрий Si и S2, причем Si в малом совпадает с плоскостью. Доказать, что то же верно и для 2а.

Пусть в условиях упражнения a) Ii— прямая геометрии 2«. Доказать, что ф(1) —прямая геометрии S2. Как связаны длины I и ф(0, если I замкнута?

В каких геометриях, в малом совпадающих с плоскостью, существуют подобия (т. е. подобия геометрии 5 с собой), не являющиеся перемещениями?

§ 14. Геометрии на торе

I. Геометрии на торе и модулярная фигура. Рассмотрим геометрии на торе и попытаемся выяснить, когда они подобны. Из еще не рассмотренных типов групп (III а и III б), которым соответствуют геометрии, в малых частях совпадающие с плоскостью, группы типа III а, соответствующие геометриям на торе, наиболее интересны. Группа типа III б — проще, рассмотрение аналогичного вопроса для них мы оставляем читателю в качестве упражнения (упр. 1). Напомним, что каждая группа типа Ша определяется парой порождающих векторов et и е2. За такие векторы можно принять любые два неколлинеарные вектора на плоскости. И за группу взять совокупность всех параллельных переносов на векторы вида met + гае2, где тян пробегают любые целые числа. Если отложить все эти векторы от некоторой точки О, то группа Г изобразится плоской решеткой (рис. 14.1). Согласно теореме 2 из п. 1 § 13, наш вопрос сводится к вопросу о том, когда две плоские решетки подобны. При этом мы фиксируем точку О, и поэтому можем рассматривать только такие подобия F, которые оставляют на месте эту точку. В силу леммы 1 из § 13, такое подобие получается в результате последовательного выпол-

Рис. 14.1.Рис. 14.1.

Рис. 14.1.

Рис. 14.1.

нения гомотетии с центром в точке О и некоторого перемещения G, которое тоже должно не менять точку О. Из теоремы Шаля (п. 1 § 8) следует, что G может быть только поворотом вокруг точки О или зеркальной симметрией относительно оси,

проходящей через эту точку. Только такие подобия мы и будем дальше рассматривать.

Стоящая перед нами задача распадается на две. Первая-, когда два заданные вектора et и еа подобны двум векторам е, и е2, т. е. существует такое подобие F, что F (е^ = ё'т ■^ (ег) = е2 • Эта задача совсем легкая, и вся труд-

ность нашего вопроса заключается во второй задаче, связанной с тем, что одна и та же решетка определяется разными парами порождающих векторов. Например, решетка на рис. 14.1 порождается парой е„ е2 и парой е3, et.

Мы начнём с первой, более простой задачи. Очевидно, что

при подобии сохраняется отношение длин векторов |ej/|e2|. Хо

телось бы сказать, что сохраняется и угол между векторами е. и е2, который отсчитывается от е, к е2 (положительное направление— против часовой стрелки). Однако это не совсем так: если подобие F (по лемме 1 из § 13) имеет вид HqG, где Hq— гомотетия, a G — перемещение, то угол сохраняется в случае, когда G— поворот (рис. 14.2, а), и меняется на противоположный, если G — зеркальное отражение (рис.

14.2, б).,е2

Таким образом, угол между век- ^^

торами е, и е2 сохраняется с точ- \ ^е;/ е

ностью до знака. Мы получаем необходимое и достаточное условие по добия пар векторов:

Рис. 14.2.

О = ±9', еде 0 — угол между век

торами е, и е2, а О' — между еги е2 то эти пары подобны. Действительно, ввиду условия 9 = ±9', мы можем применить к е, и е2 перемещение G, после которого угол, определенный векторами е, и е2, совпадает с углом, определенным векторами ej и еа. После этого остается применить такую гомотетию с центром в О,

чтобы вектор G(et) совпал с ех. Тогда, в силу условия на длины, G(e2) совпадет с е2.

Пользуясь полученным ответом, можно для всякой пары векторов найти подобную ей пару, имеющую особенно простой вид. Именно, фиксируем на плоскости некоторый вектор е. Очевидно, что любая пара не коллинеарных векторов е2, е2 подобна такой паре векторов е, f, что угол между е и f меньше л. Причем для каждой пары векторов такая пара е, f единственна (при том

условии, что вектор е раз и навсегда фиксирован). Вектор е обычно рисуется расположенным на некоторой горизонтальной прямой I, и тогда условие на вектор f заключается в том, что его конец лежит в верхней полуплоскости, расположенной над прямой I (рис. 14.3).

Таким образом, множество пар векто- рис ^3

ров с точностью до подобия можно вза

имно однозначно изобразить точками верхней полуплоскости (см.

рис. 14.3).

Перейдем теперь ко второй, более трудной задаче. Здесь возможны два подхода. Либо можно указать в каждой решетке

определенную, наиболее простую, пару порождающих векторов, так что вопрос о подобии решеток сведется к вопросу о подобии таких пар векторов — нами уже решенному. Или же можно выяснить, когда две пары векторов порождают одну и ту же решетку, и исходя из этого представить множество решеток, рассматриваемых с точностью до подобия. Оба эти пути оказываются плодотворными, особенно же их объединение. Сейчас мы рассмотрим первый подход, а в следующем пункте — второй. Оставшиеся три параграфа будут посвящены Их объединению.

Как выбрать в каждой решетке наиболее простую порождающую систему векторов собственно указывается в доказательстве теоремы 5 п. 3 § 8 (см. замечание после доказательства этой теоремы). Там указывалось, что в качестве вектора et можно взять кратчайший из отличных от 0 векторов решетки, а в качестве е2 — такой вектор, что длина его проекции на направление вектора et не превосходит половины длины вектора et. Добавим еще к этому, что заменяя в случае необходимости вектор е2 на —е2, можно считать, что угол между векторами е, и е2 не тупой. Пару векторов решетки, удовлетворяющую этим трем условиям, называют приведенной порождающей парой.

По определению, если е, и е. — приведенная порождающая пара векторов некоторой решетки, то для нее выполнены условия:

1е2| > led;

длина проекции вектора е2 на направление вектора е, не превосходит половины длины вектора е/,

угол между векторами е, и е2 не тупой.

Рис. 14.4.Рис. 14.4.Любая, образующая угол ?(te иг),(зег,*е,) лара векторов из8)е1 ' ег г-6!*6! >е)--е,,-е2 , е,-е.Любая, образующая угол ?(te иг),(зег,*е,) лара векторов из8)е1 ' ег г-6!*6! >е)--е,,-е2 , е,-е.Рис. 14.5.Рис. 14.5.13 в. Б. Никулин, И. Р. Шафаревич13 в. Б. Никулин, И. Р. Шафаревич

Рис. 14.4.

Рис. 14.4.

Любая, образующая угол ?

(te иг),(зег,*е,) лара векторов из

8)е1 ' ег г-6!*6! >е)-

-е,,-е2 , е,-е.

Любая, образующая угол ?

(te иг),(зег,*е,) лара векторов из

8)е1 ' ег г-6!*6! >е)-

-е,,-е2 , е,-е.

Рис. 14.5.

Рис. 14.5.

13 в. Б. Никулин, И. Р. Шафаревич

13 в. Б. Никулин, И. Р. Шафаревич

Наглядно эти условия означают, что конец вектора еа лежит в заштрихованной на рис. 14.4 области.

Наоборот, если еа, е2— пара неколлинеарных векторов, удовлетворяющих условиям а), б) и в), то для порожденной ими решетки векторы е, и еа будут приведенной парой порождающих векторов. Более того, всякая другая приведенная порождающая пара векторов этой решетки конгруэнтна паре е„ е2. Читатель увидит это из рис. 14.5, а — е, где нарисованы все возможные случаи расположения пар векторов, удовлетворяющих условиям а), б) и в), и для порождаемых ими решеток указаны все приведенные пары порождающих векторов. Интересно отметить, что в силу этого существование других приведенных порождающих пар векторов, кроме ео еа, связано с наличием симметрии решеток, и как раз эти симметрии переводят пару е., е2 в другие приведенные порождающие пары векторов решетки (упр. 1, ниже).

Теперь мы можем предложить решение нашей задачи о подобии решеток. Нам известно, что в каждой решетке существует приведенная порождающая пара векторов и эта пара единственна с точностью до конгруэнтности; кроме того, у подобных решеток пары приведенных порождающих векторов очевидно подобны, каждая пара векторов, удовлетворяющая условиям а), б) и в), является приведенной парой векторов для некоторой (порожденной ею) решетки. Поэтому наша задача сводится к тому, чтобы описать пары векторов, удовлетворяющие условиям а), б) и в), с точностью до подобия. Для зтого, в силу решения предыдущей задачи, нужно просто описать множество точек верхней полуплоскости, изображающих такие пары векторов. Напомним, что при зтом изображении пара векторов еа, е2 заменяется подобной ей парой е, f, где е — фиксированный вектор, а конец вектора f лежит в верхней полуплоскости. Этот конец и изображает пару et, еа. При этом пара векторов е, f, очевидно, также удовлетворяет условиям а), б) и в), если пара е„ е2 им удовлетворяла. Таким образом, наша задача сводится к тому, чтобы описать множество концов в верхней полуплоскости векторов f, для которых пара векторов е, f удовлетворяет условиям а), б) и в). Это описание очевидно — данное множество точек образует заштрихованную на рис. 14.6 фигуру верхней полуплоскости (она, конечно, подобна половине заштрихованной фигуры на рис. 14.4). Таким образом, все подобные друг другу решетки изображаются одной точкой фигуры верхней полуплоскости, заштрихованной на рис. 14.6. Разные точки этой фигуры изображают не подобные решетки. Эта фигура называется модулярной фигурой.

Таким образом, мы получили ответ на вопрос, поставленный в начале этого параграфа. Однако форма этого ответа несколько'

необычна. Что за фигуру, "граница которой состоит из кривых различного типа — двух параллельных лучей и дуги окружности, мы получили? Чем эта фигура выделяется среди других фигур?

Дальше мы попытаемся лучше понять смысл полученного ответа. Это понимание будет связано со вторым подходом к нашей задаче, к которому мы перейдем в следующем пункте.

Аналогичные вопросы возникают и в теории пространственных решеток. Особенно важны 7 они для кристаллографии, ввиду того, что с каждым кристаллом, как мы видели в § 12, связана решетка его параллельных переносов и для описания кристаллов необходимо иметь описание этих решеток. Эта задача решается тем же ме

тодом, что и для плоских решеток: выбором в каждой пространственной решетке некоторой наиболее простой тройки порождающих векторов. Однако здесь известно несколько различных способов выбирать наиболее простую тройку: это так называемые теории приведения Зеебера, Гаусса, Дирихле, Зеллинга. В кристаллографии эти вопросы известны как теории правильной установки кристаллов.

Кроме того, теория приведения, аналогично двумерному случаю, позволяет найти и все пространственные решетки с симметриями — их существует 14 типов. А это, подобно рассуждениям из §§ 8, 11, 12, является шагом к перечислению всех кристаллографических и равномерно-разрывных групп в пространстве. Читатель, интересующийся этими вопросами, может обратиться к книге: Делоне Б., П а дур о в Н., Александре в А. Математические основы структурного анализа кристаллов.— М.; Л.: ГТТИ, 1934

Упражнения

Пользуясь изображенными на рис. 14.5, а — е всеми возможными случаями расположения приведенных порождающих пар векторов, найти все решетки, обладающие симметриями. Ответ сравнить с ответом в п. 3 § 11. Какими точками модулярной фигуры изображаются „эти "решетки?

Доказать, что вектор е2 из приведенной пары порождающих векторов ei и е2 решетки является вторым по длине (после е, и (—ei)) вектором этой решетки.

Условие того, что две пары векторов порождают одну и ту же решетку. Выясним, когда две пары векторов ei, е2 и еъ е2 порождают одну и ту же решетку?

Некоторые необходимые условия сразу приходят в голову. Прежде всего необходимо, чтобы как вектор ег, так и вектор ед принадлежали решетке, порожденной векторами et и е2. Это значит, что они должны выражаться в виде

ei = 7пех + пе4,

е2 — &61 -}- Ze2,

где т, п, к ж I — целые числа. Но и наоборот, векторы et и е2 должны принадлежать решетке, порожденной векторами ^ и е2,

т. е. представляться в виде

ег = тп'е^ + п'е2,^

е2 = kr 61 + _1'еа,

где т', п', к' и. Г— целые числа. Выполнение соотношений (1) и (2) очевидно и достаточно. Действительно, из (1) следует, что любой вектор рбу + ?©2» где р и q — целые числа, принадлежит решетке, порожденной векторами et и е2, надо только подставить выражения для ej и е2 из (1) и раскрыть скобки. Поэтому вся решетка, порожденная векторами ег и е2, содержится в решетке, порожденной векторами е, и е2. Используя совершенно аналогично (2), мы увидим, что и вторая решетка содержится в первой,, т. е. что они совпадают.

Попробуем получить ответ в более компактной форме. Для этого умножим первое уравнение в (1) на Z, а второе на п, и вычтем второе из первого; получим

lei — пе^ = (ml — пк) ег.(3)'

Аналогично получим

— к&1 + me2 = (ml — п/с) е2.(4)

Положим ml — nk — d. Это число отлично от нуля. Действительно, если бы оно было равно нулю, то из (3) и (4) мы получили бы, что 1ех = пе4, кег = тей. Откуда следовало бы, что векторы ег и еа коллинеарны. Разделив обе части в (3), (4) на d, получим.

Z ' п '

-T®!-Те2’ ; ;

к г та ’ >е2 — —е2-

Сравним эти соотношения с (2). Так как разложение векторов е. и е2 по непараллельным векторам ех и е2 единственно, то мы должны иметь

т = п = к = I =(5)

причем все эти числа целые. Преобразуя совершенно аналогично равенства (2) и сравнивая их с (1), мы пришли бы к соотношениям

т — п -р, к у, 1 = -^-,(6)

где d' — т'Г — п'к'. Из них сразу же следует, что dd' = 1, а так как d и d' — целые числа, то это возможно только при d — ±1, т. е. ml — пк = ±1. Наоборот, если d==±l, то из соотношений (3), 13*

следуют соотношения (2) с указанными в (5) значениями для т', п', к' и V. Таким образом, мы доказали признак, сформулированный в теореме 1.,(

Теорема А.. Пара векторов е^ = те^ 4- иеа и е^ = кег + Zea, где т, п, к и I — целые числа, тогда и только тогда порождает ту же решетку, что и векторы е4 и е2, когда ml — nk = ±1.

Этот результат, полученный вычислением, можно сделать бо- лее понятным при помощи следующего

де 5^Д-7 геометрического рассуждения.

/е’2// Лемма!. Если в! = aeL + bea,

/f / JDеа = сех + dea, то площадь параллело-

грамма, построенного на векторах

1®i “ ®1» отличается от площади парал-

J^-^—„м лелограмма, построенного на векторах

1’ е, и е2, множителем lad — del (рис. 14.7).

Мы разберем случай, когда коэффи-

Рис. 14.7.циенты a, b, с, d неотрицательны (этот

случай изображен на рис. 14.7), оставляя аналогичный разбор других случаев читателю.

Обозначим площадь параллелограмма, построенного на векторах et и е2, через А, а на векторах et и ее —через А'. Тогда А' = 2 пл. ОАВ. С другой стороны,

пл. ADBC — 2 пл. ADB, пл. ADEG = 2 пл. ADO.

пл. DBHF = 2 пл. DBO.

В результате имеем

Наконец,Наконец,откудаоткудаА' = пл. ADBC 4~ пл., ADEG + пл. DBHF — пл. OGCH — пл. OEDF-.

Наконец,

Наконец,

откуда

откуда

пл. OGCH — ad А, пл. OEDF = ЬсА,

А' = lad — be) А,

что и утверждает лемма.

Согласно лемме утверждение теоремы сводится к тому, что для всех пар векторов е„ е2, порождающих одну и ту же решетку, площадь построенного на них параллелограмма одна и та же. Действительно, можно дать характеристику площади А этого параллелограмма, использующую только саму решётку и не зависящую от пары векторов е„ е2. Для этого рассмотрим круг рядиуля R с центром в точке О решетки и обозначим через nlR) число точек решетки, содержащихся в этом круге. Интуитивно ясно, что площадь такого круга очень близка к nlR)A, так что lim 115J = А-1, левая же часть зависит только от решетки. Что- Д^со лН3

бы оправдать это соотношение, сопоставим каждой точке Р решетки параллелограмм, построенный на точках Р, Т^Р), Те^Рр T^tP). Его площадь, конечно, равна А, а сумма всех

Рис. 14.8.Рис. 14.8.площадей по всем точкам Р, содержащимся в круге радиуса R, равна и (Я) А. С другой стороны, обозначим через d длину наибольшей диагонали такого параллелограмма, тогда все рассмотренные параллелограммы содержатся и круге радиуса R + d, а весь круг радиуса R — d накрывается этими параллелограммами (рис.

Рис. 14.8.

Рис. 14.8.

. Поэтому

л(Д - dP < n(R^ < л(Я + dP,

•откуда и следует нужное нам соотношение.

Теперь мы можем сформулировать задачу, которой мы занимались в этом пункте, следующим

образом. Назовем пару векторов «и ег эквивалентной паре ei, е,,

если они порождают одну и ту же решетку. По самому определению это понятие эквивалентности между парами векторов удовлетворяет условиям а), б) и в), рассматривавшимся в § 7. Алгеб

раически оно выражается так: должны существовать целые числа т, п, к, I, для которых

ei = тег + ле2, е2 — кех + fe2, ml — пк—± 1.

Теперь определим новое понятие эквивалентности, назвав пары е,, е2 и «х, е2 эквивалентными, если они порождают подобные решетки. Как мы видели, каждая пара эквивалентна паре е, f, где е — фиксированный вектор, a f лежит в верхней полуплоскости, так что мы можем ограничиться рассмотрением эквивалентности только таких пар е, f и е, f'. Как же выражается в этом случае наша эквивалентность? Заметим, что должны существовать такие целые числа т, п, к и I, которые удовлетворяют соотношению ml — пк = ±1, причем построенная по этим числам пара векторов me + nt, ке + It удовлетворяет следующему условию:

если рассмотреть подобие F, для которого F(me + nt) = е, а конец вектора Pke-Plt) лежит в верхней полуплоскости, то вектор Flke-Plt) совпадает с f'.

Такое определение эквивалентности все еще мало прозрачно, и мы должны заняться тем, чтобы представить его в более понятной форме.

Упражнения

Даны два неколлинеарные вектора ei, е2. Векторы е1 и еа выражаются через них в виде ех = те^ + пеу е3 = Ае1 + Zea, где m, s, 1 и Z — целые числа, ml — пк = ±1. Согласно теореме 1 тогда и векторы ei, е2 должны, выражаться аналогичным образом через ev е3. Найти эти выражения.

Доказать, что две геометрии на бутылке Клейна подобны тогда и только тогда, когда у них совпадает отношение [а[/|Ь[ (в обозначениях § 8). .

Приложение к теории чисел. Изложенные выше свойства решеток* связаны с некоторыми вопросами теории чисел. Для теории чисел интересны решетки, в которых квадраты расстояний от любой точки до какой-нибудь фиксированной являются целыми числами. Например, такова решетка, состоящая нз точек с целыми координатами, так как квадрат расстояния от точки с целыми координатами т и п до начала координат является целым числом т2 + п2.

В общем случае, если векторы ei и е2 порождают решетку, то квадраты, расстояний от любой из ее точек до одной нз них'равны | met + пе212, где где тип — любые целые числа. По теореме косинусов имеем

[met + пе2|2 = |mei|2 + |»е2|2 + 2}mei j |ne2|cos tp,

где ф — угол между векторами mei и пег. Отсюда, разобрав различные случаи знаков тип, получаем формулу

j те^ + пе212 = ат2 + Ътп + сп2,(7)

где а = |ei|2, с = |ez|2, о = 2|et| |е21cosф и ф — угол между векторами е4 . и е2. Выражение (7) будет целым при всех целых значениях пит, если числа а, Ъ и с целые. Дальше мы всегда будем это' предполагать. Такие решетки называются целочисленными.

Обозначим через Д площадь параллелограмма, построенного на векторах ei и е2 (а значит, как мы знаем, на любой паре векторов, порождающих ту же решетку). По известной теореме, Д = |ei| [е2|зшф, поэтому

л2 = I«! |® 1 е3 I® яагф = [ е1|2[ е2 |2 (i _ cos2 Ф) = ос — — 62.

Отсюда следует, что число

D = 4Д2 = 4ас — 62

целое и положительное. Как мы уже говорили, оно не зависит от того, какую пару векторов ei и е2, порождающих нашу решетку, мы выберем. Число D называется дискриминантом решетки.

Наоборот, если мы имеем три произвольных целых числа а, 6 и с, для которых а > 0, с > О, 4ас — Ь2 > 0, то им соответствует некоторая целочисленная решетка, для которой имеет место (7). Действительно, по ус- Ь2

ловию,-—<1,и, значит, существует угол ф, для которого ’ _ /—= cos ф. 4ас__ .2 у ас

Выберем векторы ei и е2 так, что [ei| = V«, |е2| = Ус, а угол между ними равен ф; тогда, очевидно, равенство (7) будет выполнено.

Если векторы et и е2 образуют приведенную порождающую пару векторов, то по определению |е2| ^ |et| и | еа 11 cos ф | < -^ | ех |, т. е. в наших новых обозначениях

с > а > Ъ > 0.(8)

Отсюда следует, что D 5= 462 — 62 = 362,

0<6< у ^-.(9)

Так как Ъ — целое, то при фиксированном D для 6 существует только конечное число возможностей, а при фиксированном Ъ 4ас = D + 62 и, значит, для а и с число возможностей тоже конечно. Наконец, числа а, 6 и с определяют пару векторов е< и е2 однозначно с точностью до перемещения. Так как в каждой решетке имеется приведенная пара порождающих векторов, то в результате мы получаем, что при заданном дискриминанте существует лишь конечное число различных (с точностью до перемещения) целочисленных решеток. Пользуясь изложенным рассуждением, все их можно конкретно иайти.

Пример. Решетка точек с целочисленными координатами порождается двумя перпендикулярными векторами ei и е2 длины 1, поэтому для нее а = с = 1, Ь = 0, D = 4. Найдем все целочисленные решетки с дискриминантом 4 Рассмотрим в любой такой решетке приведенную пару порождающих векторов ei, е2. Так как 0 = 4, то 6 должно быть четно. Со- 2

гласно неравенствам (9) имеем 0^6^ ^^^ значит, 6 = 0; поэтому

ас = 1, т. е. а = с = 1. Это значит, что наша решетка совпадает с решеткой точек с целочисленными координатами, т. е. существует единственная целочисленная решетка с дискриминантом 4

Применение. Выясним, какие положительные целые числа могут быть представлены в виде суммы двух квадратов целых чисел:

(Ю)(Ю)а = т2 + п2.

(Ю)

(Ю)

Прежде всего, можно считать тип взаимно простыми; если они имеют общий сомножитель d > 1, т. е. m = dmt и п = dm, то

а = d^a^ а± = mJ + п^,а = d^a^ а± = mJ + п^,(Н).(Н).

а = d^a^ а± = mJ + п^,

а = d^a^ а± = mJ + п^,

(Н).

(Н).

и задача сводится к той же задаче для меньшего числа а4.

Как мы видели, соотношение (10) означает, что в решетке точек с целыми координатами существует вектор f = me, + пе2, для которого |f|2=a. При атом мы можем считать числа тип взаимно простыми. Это означает, что вектор f не может быть представлен в виде f = dfi, где fi — вектор той же решетки. В § 8 мы видели, что к такому вектору f всегда можно подобрать вектор Г так, что f и 1' вместе порождают всю решетку точек с целыми координатами. Если a=|f[2, c=[F|2, ф—угол между 1 и F, 6=2|f| |г|созф, то числа а, 6, с целые и 4ас— 62 = 4. Наоборот, любым числам а, 6 и с с этими условиями соответствует, как мы видели, целочисленная решетка с дискриминантом 4 а так как такая решетка только одна, то это будет решетка точек с целыми координатами. Таким образом, в результате мы получаем, что соотношение (10) выполнено (с взаимно простыми тип) тогда и только тогда, когда к а "яажнй подобрать два таких целых числа бис, что с > 0, 4ас — б2 = 4 В таком случае б четно; пусть 6 = 2{, тогда ас — t2 = 1. Так как с произвольно, то наше условие просто ■означает, что существует число t, для которого

И(*4 + 1)(12)

(а делит i2 + 1 или, что то же самое, t2 +1 делится нацело на а).

Это сведение вопроса о равенстве (10) к вопросу о делимости (12) и является применением свойств решеток. Вопрос о том, для каких а выпол- ннется условие (12), решается из совершенно других соображений.

Приведем это простое, но очень изящное арифметическое рассуждение. Рассмотрим произвольный простой делитель р числа а. Тогда тем бо-

лее р | (tz + 1). Выясним сначала, когда это имеет место, т. е. согласно сказанному выше, какие простые числа представляются в виде, суммы двух квадратов целых чисел. Так как для р = 2 ответ ясен (2 = 12 + I1), то мы будем дальше предполагать р нечетным.

Всякое целое число п при делении на р дает некоторый остаток г, являющийся одним из чисел 0, 1, ..., р — 1, т. е. п = г + рк. Если п не делится на р нацело, то г может быть только одним из р —; 1 чисел: 1, 2, ... ..., р — 1. Число г, 1 ^ г ^ р — 1, являющееся остатком полного квадрата, называется квадратичным остатком. Например, для р = 11 среди остатков 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 квадратичными являются 1, 3, 4, 5, 9, а для р = 13 квадратичными остатками являются 1, 3, 4, 9, 10, 12 (проверьте оба эти утверждения!). Если число п таково, что n -f- 1 делится на р, т. е. n + 1 = = ртп, то п = р — 1 + р (т — 1) и его остаток есть р — 1. Отсюда следует, что р | (z2 +1) при некотором t тогда и только тогда, когда для р число р — 1 является квадратичным остатком. (Например, это имеет место для р = 13, но не для р = 11.)

Чтобы найтн все квадратичные остатки, очевидно достаточно возвести в квадрат все числа 1, ..., р — 1 и отобрать разные остатки, но это не экономно. Так как (р — Л)1 = Л2 + р(р — 2), то (р —А)2 и к1 имеют одинаковый остаток при делении иа р и, значит, в квадрат достаточно возводить р — 1Р — 1„

числа 1,2, ..., —g—• Так мы получаем —2— остатков. Докажем, что все Р — 1

они различны. Если п н тп — два такие числа, что 1 < л С —2 , 1 ^ m ^ ^^"2” причем к2 и тп2 имеют одинаковый остаток при делении р, то- р| (га1_ т2), т. е. р| (п — тп) (п + тп), и значит, или р| (п — тп), или pi (п 4- + тп) *). В силу предположений относительно пит, имеем |п — т I < —2—’ п + m ^ р — 1, так что возможен только случай п — тп. Таким образом, мы доказали, что существует ровно ^ ~ - квадратичных остатка.

Взяв произвольный остаток к, будем умножать его последовательно на 1, 2, ... р — 1 и выписывать получающиеся остатки:

к • 1 = п + pni (п = к, щ = 0)

к • 2 а= г2-4*рпа- •-■ ■—-■

к • (р — 1) = Гр-1 + рПр-4.

Прежде всего, все числа кг, 1 ^ г ^ р — 1, не делятся на р, поэтому все остатки г,- будут содержаться среди чисел 1, 2, ..., р — 1. Кроме того, они все различны. Действительно, если бы г, = гу при i > 7, то это означало бы, что к • i и к • ; имеют одинаковый остаток при делении на р, т. е. р делило бы к • i— к ■ j = к • (i — у), а это невозможно, так как р не делит ни к, ни i —у. Таким образом, в качестве н, г2, ..., rP-i мы получаем р— 1 различных остатков, а значит, все из возможных остатков 1, 2, ..., р,— 1. В частности, нам важно, что какой-то из остатков, обозначим его и, будет равен 1, т. е. что для любого остатка к, 1 ^ к ^ р — 1, найдется ровно один такой остаток I, 1^1 ^ р — 1, что к • I имеет остаток 1 при делении на р. Такие два остатка мы будем называть взаимными. При этом может оказаться, что какой-нибудь остаток к взаимен сам себе. Это означает, что к*

имеет остаток 1 и, значит, р| (Л2—1), т. е. р| (Л — l)(fc + l). Отсюда следует, что или р | (Л — 1), или р | (А 4-1). Первый случай имеет место при к = 1, а второй — при к = р — 1. Таким образом, все остатки кроме 1 и р — 1 разбиваются на пары взаимных остатков. Например, при р = 11 взаимными остатками будут 2 и 6, 3 и 4, 5 и 9, 7 и 8; при р = 13 — 2 и 7, 3 и 9, 4 и 10, 5 и 8, 6 и 11.

Теперь посмотрим, как это разделение на взаимные сказывается на квадратичных остатках. Если к есть квадратичный остаток от деления на р, т. е. остаток числа т2, а п взаимно m (т. е. тп имеет остаток 1) и I — остаток и2, то к и I взаимны, так как остаток kl совпадает с остатком т2п2 = (шп)2, т. е. равен 1. Таким образом, взаимных к квадратичному остатку является опять квадртатичный остаток. Остается выяснить, какие квадратичные остатки взаимны сами себе. Мы знаем, что таких остатков есть всего два — это 1 и р — 1, причем 1, конечно, является квадратичным остатком. Что касается р — 1, то это число является квадратичным остатком в точности Эля тех р, для которых р | (t2 + 1) при некотором t. Для этих р вся совокупность (р —1)/2 квадратичных остатков разделяется на 1, на р — 1 и егце сколько-то, скажем N, пар взаимных друг другу квадратичных остатков. Значит, (р — 1)/2 = 2 + 2N, т. е. р имеет вид 4п-(-1 (при паК+Ц или, иными словами, при делении на 4 дает остаток 1. Так обстоит дело при р = 13 — квадратичные остатки разделяются на 1, 12 •и пары взаимных: 3 и 9, 4 и 10. Если же р — 1 не является квадратичным остатком, т. е. интересующее нас соотношение р | (t2 +1) не выполнено ни при каком t, то вся совокупность квадратичных остатков разбивается на 1 и п пар взаимных, значит, (р— 1)/2 = 2n+ 1, т. е. р = 4п + 3 (или, иначе говоря, р имеет остаток 3 при делении на 4). Так обстоит дело при р = 11— квадратичные остатки разбиваются на 1 и пары взаимных: 3 и 4, 5 и 9. Окончательно, мы доказали, что нечетное простое число р представляется в виде суммы двух квадратов тогда и только тогда, когда оио имеет вид 4п 4* 1.

Обращаясь к представлению произвольного положителького числа, мы видим, что если р — его простой делитель вида 4п 4- 3, то представление (10) возможно только в случае, если п и m делятся на р, т. е. а делится иа р2, а значит, в (11) р должно входить в d и ке может входить в as. Иными словами, представление (10) возможно только для тех а, которые имеют -вид а = cPas, причем at разлагается в произведение 2 и простых чисел вида 4п 4- 1. Проверим теперь, что любое такое число действительно можно представить как сумму двух квадратов. Пусть а = сРЬ, 6 = pt ... pm и каждое из р< равно 2 или имеет вид 4nt 4- 1. Мы уже знаем, что любое из pt представляется в виде суммы двух квадратов. Таким образом, нам достаточно проверить, что если каждое из чисел, скажем г и в, представляется в виде суммы двух квадратов, то это верно и для их проиеведения. Пусть

г = а? 4" у2 и s = и2 4- а2, тогда

rs = (х2 4- у2) (и2 4- а2) = (хи — у а) 2 4- (хи 4* У“)г-

Последнее тождество читатель легко проверит — его смысл станет яснее немного позже (п. 1 § 15).

Окончательно нами доказана теорема: целое положительное число а тогда и только тогда представляется в виде суммы двух квадратов, ковда а = ^Ъ, причем Ъ делится только на 2 и на- простые числа вида 4п + 1.

Читатель, который захочет познакомиться с той областью теории чисел, к которой относится рассмотренный в этом пункте вопрос, может обратиться, например, к книгам: Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел.— М.: Изд- во АН СССР, 1959 и Дирихле П. Г. Лекции по теории чисел.— М.; Л.: ОНТИ, 1936.

Унражнення

Доказать, что во всякой плоской решетке найдется такой ненулевой вектор v, для которого

где Д — площадь параллелограмма, построенного на порождающих векторах решетки. Для какой решетки (как вы увидите, ока одна с точностью до подобия!) это неравенство обращается в равенство? Найти оценку сверху на наименьшее ненулевое значение, принимаемое при целых х к у выражением аз? + Ъхц + су2, если а > 0, с > 0 и 4ас — й2 >■ 0.

Найти все целочисленные решетки дискриминанта D ^ 15. Какие точки модулярной фигуры соответствуют этим решеткам? Показать, что существуют две различные (неподобные) решетки дискриминанта D = 15.

Доказать,* что выражение 19ж2 + 7у2 + 23ху при целых взаимно простых х к у принимает значение а тогда и только тогда, когда а нечетно и (—3) является квадратичным остатком при делении на а.

Алгебра подобной: комплексные числа

Геометрическое определение комплексных чисел. Согласно лемме 1 п. 1 § 13, любое подобие F представляется в виде F = GHqi где G— перемещение, а Но— гомотетия относительно некоторой фиксированной точки О. Сейчас мы будем рассматривать случай, когда G — поворот вокруг той же точки О на угол ф (против часовой стрелки): G = R^. Так как точка О будет в дальнейшем все время фиксированной, то такое подобие однозначно определяется коэффициентом подобия X и углом ф. Мы будем писать F — FxiWl обозначая этим преобразование, поворачивающее плоскость вокруг точки О на угол ф и растягивающее (если Х>1) или сжимающее (если Х<1) ее с коэффициентом X. Очевидно, что

р-1 _ р w

Угол ф всегда будет рассматриваться с точйостью до слагаемых вида 2Ал, где к — целое. Поэтому вместо —ф можно было бы написать 2л —ф.

На плоскости раз навсегда фиксируем вектор е = ОР длины 1. Очевидно, что подобие F^ однозначно определяется тем, куда оно переводит вектор е, т. е. вектором х = А,Ф(е). Мы имеем 1x1 =Х, и угол между е и х (отсчитываемый против часовой стрелки) равен ф. Очевидно, что вектор х отличен от 0, Мы будем иногда писать Fx вместо F. Эта связь между векторами на плоскости и подобиями А, Ф наводит на мысль простое правило последовательного выполнения подобий (1) перенести на векторы. Получающуюся операцию над. векторами мы будем называть произведением. Итак, произведением векторов х и у

называется такой вектор z, что

(2)(2)^ - ^у.

(2)

(2)

Сравнивая с правилом (1) для умножения подобий, мы можем

сказать, что вектор z является произведением векторов хну, если

Рис. 15.1.Рис. 15.1.его длина равна произведению их длин (lz| = 1x1 |у|), а угол, который он об- z разует с вектором е, является суммой таких же углов для векторов х и у (рис. 15.1).

Рис. 15.1.

Рис. 15.1.

Применим теперь подобие Ег к вектору е. По формуле (2) мы получим

X(e) = Fx(Fy(e)).

По определению подобий Ег и Еу имеем Fx (е) = z, FY (е) = у. Следовательно, определение умножения можно -записать и так:

z = ^x(y).(3)

Согласно правилу (1) последовательное выполнение подобий j^x, <$ сводится к умножению чисел X и сложению чисел ф. Так как каждая из этих операций удовлетворяет переместительному закону, то ^.ф^^.ф^ ^.ф/хрфр а следовательно, и ху = ух. Совершенно также проверяем, что определенное нами умножение векторов удовлетворяет сочетательному закону x(yz) = (xy)z. Подобие F^ характеризуется тем, что переводит вектор е в себя, поэтому оно совпадает с тождественным преобразованием. Ввиду этого ех = х (что можно и непосредственно * увидеть на рис. 15.1), т. е. е играет роль числа 1. Наконец, из формулы (1) видно, что для ненулевого вектора х существует вектор (х)-1, для которого х(х)-1 —е. Для него |(х)-1[ = 1x1"4, а угол с вектором е отличается знаком от такого же угла для х <рис. 15.2).

Эти свойства умножения векторов очень похожи на свойства умножения чисел. Читатель знает, что и свойства сложения векторов также аналогичны свойствамJ сложения чисел: имеют место переместительный закон, сочетательный, существование противоположного (—х) и нулевого векторов. Поэтому обратим внимание на связь сложения и умножения векторов. Так как подобие -переводит параллелограмм в параллелограмм, то (рис. 15.3)

F(x + y)=F(x) + F(y).

В частности, если F — Е^ то получаем z(x + y) =zx + zy,

е. распределительный закон.

Ввиду такой полной аналогии, векторам на плоскости (с определенной выше операцией умножения и известной читателю- операцией сложения) также присваивают название чисел. Обычные действительные числа среди новых чисел содержатся как частный случай: это векторы де, где д — действительное число-

Читатель легко проверит, что определенное нами умножение векторов согласуется с умножением чисел, т. е. (де)(Ье) = дбе, и более того, оно согласуется с известной уже читателю, операцией умножения вектора на число, т. е. для любого вектора х и числа д верно, что (де)х = дх. Числа, таким образом соответствующие векторам, называются комплексными числами. Читатель, конечно, о них слышал уже раньше. Мы построили здесь комплексные числа с самого начала, чтобы показать, как они естественно возникают в русле интересующих нас вопросов.

Дальше мы не будем пользоваться для комплексных чисел векторными обозначениями (х и т. д.), а просто будем обозначать их, как и действительные числа, буквами. При этом мы будем их по-прежнему изображать на плоскости, рисуя, какпра вило, не весь вектор х = ОХ, а только его конечную точку X. Комплексное число е мы будем записывать просто как 1, а числа де будут записываться так же, как соответствующие им действительные числа д. В связи с этим прямая, проходящая через точку О, на которой лежит вектор е, называется действительной прямой (на чертежах мы ее будем обозначать О®).

Рассмотрим вектор е, длины 1, образующий с е угол л/2 (отсчитываемый против часовой стрелки). Соответствующее ему подобие есть просто поворот на угол л/2: Fe^ = Rq\ Так как Но11 Но1* = Но = И-е,то (ei)2 = —е. Вектор е,, рассматривае

мый как комплексное число, имеет специальное обозначение г. Как мы видели, i2 = —1. Так как любой вектор можно однозначно разложить по векторам е и еъ то любое комплексное число г можно однозначно представить в виде z = а + Ы, где ди Ъ — действительные числа; а называется действительной частью числа z и обозначается Re (z), а Ъ — мнимой частью и обозначает-

ся Im (z). Из того, что i2 = —1, и из известных нам правил действий над комплексными числами вытекает следующее выражение для произведения комплексных чисел, представленных в- указанном виде:

(а + bi) (с + di) = ас + bdi* + adi + bet = (ас — bd) + (od + bc)i. (4)

Приведем еще несколько понятий, которые нам будут дальше нужны. Если z — комплексное число, то длина его вектора называется модулем z и обозначается |z|. Если z = а + Ы, то, очевидно, |z| = Va2 + b2. Из правила умножения комплексных чисел: следует, что |ztzj| = IzJ lz2l (см. рис. 15.1).

Отсюда, конечно, следует, что

|ztz1P=|z1|*|z2|*.

Если Zi = х + iy, z2 = и + iv, то из этого соотношения мы получаем(хи — уи)1 + (хи + уи)г = (а? + у1) (a1 + п2).

Это тождество встретилось нам в п. 3 § 14. Оно выражает, таким образом, соотношение

Izt^l == IzJ |z2|.

Угол ср, который образует вектор комплексного числа z с действительной прямой, называется аргументом z и обозначается argz. Мы будем считать, что он определен с точностью до целых,, кратных 2л. Из правила умножения комплексных чисел следует, что arg (ztz2) = arg zt + arg z2. Наконец, пусть z = a + bi изображается точкой P. Комплексное число a —bi изображается точкой P', симметричной точке Р относительно действительной прямой. Оно называется комплексно сопряженным к z и обозначается г. Читатель может проверить следующие свойства:

zz = | z |2,

Z1 + 2g = Zi + Z2 ,

Z1Z2 = zlz3i(5)

/ Z1 \ = _ч

\ 2a /23

Используя комплексные числа, можно очень просто записать, произвольное подобие плоскости, оставляющее на месте заданную точку О. Согласно лемме 1 из § 13, такое подобие представляется в виде F = GHq, где Hq — гомотетия с центром в точке О, a G — перемещение, которое в нашем случае тоже должна оставлять на месте точку О. Такое перемещение является или

поворотом или симметрией относительно прямой, проходящей через точку О. В первом случае, когда G = Rq, ^ = ^х.ф, всякому такому подобию мы сопоставили комплексное число. Если это комплексное число обозначить через z0, то F^ ф(я) — яоя — это, собственно, определение умножения комплексных чисел. Таким образом, F переводит комплексное число я (рассматриваемое как точка на плоскости) в число яоя.

наша симметрия сопоставляет комплексному числу z сопряженное число z. В общем случае можно воспользоваться тем, что симметрию относительно производной оси Z можно представить как результат последовательного выполнения поворота и симметрии относительно заданной оси (в нашем случае удобно взять действительную прямую). Если ось 7 образует с действительной пря- поворот Rq^ на угол —2ф. Чи-наша симметрия сопоставляет комплексному числу z сопряженное число z. В общем случае можно воспользоваться тем, что симметрию относительно производной оси Z можно представить как результат последовательного выполнения поворота и симметрии относительно заданной оси (в нашем случае удобно взять действительную прямую). Если ось 7 образует с действительной пря- поворот Rq^ на угол —2ф. Чи-Рассмотрим другой случай, когда G является симметрией относительно оси Z, проходящей через точку О. Если I совпадает с действительной прямой Ох, то

наша симметрия сопоставляет комплексному числу z сопряженное число z. В общем случае можно воспользоваться тем, что симметрию относительно производной оси Z можно представить как результат последовательного выполнения поворота и симметрии относительно заданной оси (в нашем случае удобно взять действительную прямую). Если ось 7 образует с действительной пря- поворот Rq^ на угол —2ф. Чи-

наша симметрия сопоставляет комплексному числу z сопряженное число z. В общем случае можно воспользоваться тем, что симметрию относительно производной оси Z можно представить как результат последовательного выполнения поворота и симметрии относительно заданной оси (в нашем случае удобно взять действительную прямую). Если ось 7 образует с действительной пря- поворот Rq^ на угол —2ф. Чи-

мой угол ф, то нужно совершить

татель легко убедится в этом из рис. 15.4. Так как поворот и гомотетия сводятся к умножению на некоторое комплексное число я0, а симметрия относительно действительной прямой Ох — к замене числа на комплексное сопряженное, то наше преобразование сопоставляет точке я точку яоя. И так нами доказано следующее утверждение. _

Л е м м а 1.- Любое подобие, оставляющее на месте точку. О, может быть записано {при рассмотрении точек плоскости как комплексных чисел’) либо как преобразование, переводящее комплексное число г в ZqZ, либо как преобразование, переводящее я в zQz. Здесь я0 — некоторое комплексное число, определяющее преобразование.

В дальнейшем при рассмотрении точек плоскости как комплексных чисел (указанным выше образом) мы будем говорить о плоскости как о комплексной плоскости. Напомним, что для такого представления точек плоскости нужно выбрать на плоскости точку О (от которой откладываются векторы) и единичный вектор е (от которого против часовой стрелки отсчитываются утлы).

Более полно читатель может познакомиться с комплексными числами, например, по книге: Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К. Алгебра и арифметика комплексных чисел.— Л.: Учпедгиз, 1939.

Упражнения

Доказать, что отображение комплексной плоскости, переводящее s в az -|- Ь или ах + 6, где а и Ъ — фиксированные комплексные числа (а ^=0), является подобием. Доказать, что всякое подобие плоскости может быть записано таким образом.

Доказать, что всякое подобие, отличное от перемещения, имеет ровно одну неподвижную точку.

Доказать, что все подобия плоскости исчерпываются уже встречавшимися нам: перемещениями, композициями RqHq гомотетии и поворота с одним и тем же центром О и композициями S^Hq гомотетии и осевой симметрии, причем центр гомотетии О лежит на оси I симметрии.

Подобие решеток и модулярная группа. Теперь мы можем вернуться к вопросу, обсуждавшемуся в конце предшествующего параграфа. Мы видели в п. 1 § 14, что пара неколлинеарных векторов, рассматриваемая с точностью до подобия, задается точкой верхней полуплоскости. Выберем вектор е, связанный с этой полуплоскостью, единичным и, рассматривая точки полуплоскости как комплексные числа, будем называть ее верхней комплексной полуплоскостью. Условие того, что комплексное’ число я принадлежит верхней комплексной полуплоскости, записывается, очевидно, в виде Imz>0. За пару векторов, изображаемую комплексным числом я, можно взять 1 и я (а также любые им подобные пары). Теперь запишем то, что комплексные числа* я! и я2 изображают подобные решетки. Согласно теореме 1 из? § 14, пара векторов, порождающих ту же решетку, что и векторы 1, яи записывается в виде m + п^ к + £Я1. Чтобы найти точку верхней полуплоскости, изображающую решетку, порожденную этими векторами, нам надо произвести подобие, удовлетворяющее двум условиям: а) оно переводит первый вектор в 1; 61 второй вектор —в некоторый вектор верхней полуплоскости (он и дает нам нужное число}. Любое подобие согласно лемме 1 задается комплексным числом я0, и для него возможны два слу- чая: оно переводит произвольное комплексное число я в яоя или в яоя. Прежде всего, постараемся удовлетворить условию а), чтобы первый вектор наше подобие переводило в 1. Это значит, что яДтп + пя4) = 1 (в первом случае) или я0(тп + nzO = 1 (во_ втором). Счастливым образом эти условия совпадают, так как 1=1. Они дают нам яв: я0 = (т + п^)-1, так что подобие переводит произвольное комплексное число я в (тп + пЯ1)-1я или н (Tn + nzJ^z. Какой из двух случаев будет иметь место, выяснится из условия б), требующего, чтобы подобие переводило второй вектор к + lz^ в вектор верхней полуплоскости. Оно переводит этотг вектор в (в первом случае) и в I m nz I во втором случае^

7 к 4- 1х \ к +

Пользуясь равенствами (5), получаем ^^^■ -* J = —^ Л.

Так как условие принадлежности комплексного числа z верхней полуплоскости записывается в виде Im z > 0, то нам надо к + lz_

исследовать Im —,. Для этого освободимся от комплекс-

171г flXJ

того числа в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на число, комплексно сопряженное к знаменателю:

к 4- lzT (к + lz^ (т -)- nz^ кт + lnz1z1+ lmz1 4- кпгг

m 4- nzj ^m _[_ nz^ (m _|_ nz^| m -f- ^ |®

Так как Zf = Roz, + ilm zlt то окончательно получаем

к -J- lz^ km -f- in | z± J® 4- (Zm 4* kn) Re Zj (Im — kn) Im z1 m 4- nzT। m _|_ nz^ |2+| m 4- nz^ J®

'Мы выбирали Zi в верхней полуплоскости, и поэтому Im z, > 0. к 4-

"Таким образом, знак Im -^qy^- совпадает со знаком Im — tn.

Мы видели, что 1т — кп = ±1, значит, если Im — kn = 1, то т & 4- ^А 4- Zz

Im > О, т. е. ^ур^— лежит в верхней полуплоскости.

Если же Im — kn =— 1, то в верхней полуплоскости лежит число

/ к 4-\V

I 1= —. Итак, мы получили правило, формулируе-

^ т 4- nzt у т 4* nzT

мое в следующей теореме.

Теорема 1. Для того чтобы комплексные числа z, и z2, лежащие в верхней комплексной полуплоскости, изображали по- •добные решетки, необходимо и достаточно, чтобы z2 представля- "лдсъ "одним из^дву х~ способов:,”77 . ~7'7 .

(6)(6)z. =—£_ причем 1m — kn = 1,

(6)

(6)

2 m 4- nz^ ’ Г’

дели

k-\-lz.

z2 ==i-, причем Im — kn = — 1,

m 4- nz^

^de m, n, k, I — г^елые числа.

Мы приходим к ситуации, напоминающей ту, которая обсуждалась нами в § 7, когда определялась геометрия Sr, соответствующая равномерно-разрывной группе Г. Там мы рассматривали сначала произвольное понятие эквивалентности точек на плоскости, а потом пришли к рассмотрению особенно важного случая, когда это понятие определяется при помощи перемещений. Сейчас мы рассматриваем только точки верхней полуплоскости (или соответствующие им комплексные числа) и следующее

понятие эквивалентности: «z, и Zg эквивалентны, когда они изображают подобные решетки». Теорема 1 устанавливает, что это понятие эквивалентности определяется при помощи некоторых преобразований верхней полуплоскости, именно, выражаемых формулами (6), (7). Аналогия с § 7 подсказывает, что наша совокупность преобразований должна образовывать группу. Действительно, проверка показывает, что это так. Пусть, например, мы имеем два преобразования, задаваемые формулами типа (6): одно — то, которое записано в (6), а другое —

mi + Ve’mi + Ve’^imi — ^ini — 1-^imi — ^ini — 1-

mi + Ve’

mi + Ve’

^imi — ^ini — 1-

^imi — ^ini — 1-

^ ^- / 2

Подстановка показывает, что z3 =-г-™-, г№ &g = Aim + Zi&,

4 = k,n + IJ, mt = mtm + n^k, пг = mtn + nJ. Отсюда легко вывести, что

Zamt — кгпа =

» knntkt + Imlpn^ — ZmA^! — knljn, =• Um — kn)Uimt — k^nj — 1.

Точно также проверяется, что последовательное выполнение преобразований типов (6) и (7) (в любом порядке) дает преобразование типа (7), а двух преобразований типа (7) — преобразование типа (6). Наконец, обратным преобразованием к преобразованию типа (6) или (7) будет преобразование того же типа с коэффициентами Г = т, к' = —к, т' = 1, п' = —п. Группа, состоящая изо всех преобразований вида (6)—(7), называется модулярной группой.

Мы можем теперь гораздо более содержательно понимать прёдыдущуто .теорему, ‘заметив, что две, точки верхней полрплбС- кости изображают подобные решетки тогда и только тогда, когда они эквивалентны относительно модулярной группы. А модулярная фигура оказывается фундаментальной областью для модулярной группы (так же, как полоса для групп перемещений типа II а, параллелограмм для групп типа III а и т. д.).

Кроме того, из основного утверждения п. 1 из § 14 следует, что модулярная фигура не содержит различных эквивалентных точек (даже на границе!).

Аналогия с той ситуацией, которую мы много раз встречали в этой книге, нарушается сейчас только в двух обстоятельствах: во-первых, множество точек верхней полуплоскости, которое нас интересует и на котором действует модулярная группа, не образует (пока) никакой геометрии; во-вторых, не ясно, образуют ли преобразования из модулярной группы разрывную группу ее перемещений. Например, если определить расстояние в верхней полуплоскости обычным образом (как на плоскости), то мы получим геометрию (что вытекает из выпуклости полуплоскости), 14 В. В, Никулин, И. Р, Шафаревич

но преобразования модулярной группы не будут сохранять это расстояние, в чем можно убедиться, рассмотрев преобразование F (z) = — у из модулярной группы.

Тем не менее, геометрия может быть построена, чем мы займемся в последних двух параграфах.

Интересно сразу представить себе те важнейшие следствия, которые будут вытекать из этого построения. Прежде всего, раз модулярная группа будет разрывной группой перемещений этой геометрии, то ей будет соответствовать некоторая геометрия S благодаря общему способу построения геометрии по разрывной группе из §§ 7 и 12. Эта геометрия S даст еще одно описание множества геометрий на торе (или решеток на плоскости) с точностью до подобий, ибо точки S есть не что иное, как множества эквивалентных друг другу точек.

В результате мы будем иметь два описания множества геометрий на торе — модулярной фигурой и геометрией S. Это будет ключом к пониманию того, что такое модулярная фигура. Как мы увидим, модулярная фигура и будет геометрией S, подобно тому как геометрии из § 12, соответствующие разрывным группам перемещений плоскости типов II3, II4 и III3—III6 (см. рис. 12.16), являются фигурами на плоскости.

Другим важнейшим следствием будет то, что совокупность геометрий на торе (рассматриваемых с точностью до подобия) сама оказывается объектом той же природы — геометрией S. Расстояние между точками Л и В этой геометрии S будет измерять, насколько близки свойства геометрий на торе, изображаемых точками А и В.

Эти следствия оправдывают усилия, которые нам предстоит затратить на- построение этих геометрий: на верхней полуплос* ' КОСТИ* Й 2.

У и ражненкя

Рассмотрим преобразования F из модулярной группы, переводящие модулярную фигуру в соседние с ней фигуры: образ модулярной фигуры при ятит преобразованиях пересекается с ней самой хотя бы по одной точке. Доказать, что существует 8 таких преобразований Ft — F^ они переводят модулярную фигуру 1 соответственно в фигуры I—VIII на верхней полуплоскости (см. рис. 17.2 на стр. 228) и задаются формулами:

Ft (z) = z,все точки неподвижны;

Fa (2) = —z,неподвюкны точки луча Re z = 0;

F^A = 1/z,неподвижны точки полуокружности |z| = 1;

У4(з) = —z + 1,неподвижны точки луча Re z = 1/2;

F5(z) = У3(У2(2)) = —1/z,неподвижна точка i;

1 т/з

Е^ = Е» (Ft (z)) = 1/ (1— z), неподвижна точна — + I ;

F7(2) = ^(^(z)) — (2— l)/z,

F&(z) = F4(j?6(z)) = z/(z — 1),

1 неподвижна точка —1 неподвижна точка —неподвижна точканеподвижна точка- ^.5^?азать’ что пвРечи<?лвнные выше неподвижные точки из модулярной фигуры преобразований Fa—Fa в точности соответствуют решеткам, имеющим симметрии, отличные от центральной симметрии, А преобразо- ва™я ^2— ^ неподвижной точкой каждого из которых является одна из этих неподвижных точек z, в точности соответствуют симметриям решетки, определяемой z, с точностью до композиции этих симметрий с центральной симметрией (сравните с п, 3 § 11 и упр. 1 п, 1 § 14).

1 неподвижна точка —

1 неподвижна точка —

неподвижна точка

неподвижна точка

Геометрия Лобачевского

Напомним, что целью настоящего параграфа является построение такой геометрии на верхней комплексной полуплоскости, для которой модулярная группа была бы разрывной группой перемещений.

Как мы знаем из § 6, основным в определении геометрии является расстояние, а все остальные понятия — прямые, группа перемещений и т. д.— определяются с помощью расстояния. Сейчас же нам задана некоторая группа преобразований (модулярная группа), и мы хотели бы построить геометрию (т. е. определить расстояние) так, чтобы преобразования этой группы были перемещениями. В такой ситуации нам естественнее начать с построения группы перемещений будущей геометрии. Мы определим некоторую группу преобразований верхней полуплоскости, которая многими своими свойствами похожа на группу перемещений обычной плоскости. Конечно, пока мы не ввели никакого расстояния между точками верхней полуплоскости, бессмысленно спрашивать, являются ли преобразования из этой группы перемещениями. Но наша цель — определить расстояние именно так, чтобы это свойство выполнялось. Чтобы все время иметь перед глазами эту цель, мы будем называть преобразования из нашей группы «перемещениями» (в кавычках), а когда определим расстояние и докажем, что наши преобразования его сохраняют, мы получим право кавычки убрать. В качестве второго этапа мы определим на верхней полуплоскости некоторые кривые, связанные с «перемещениями» некоторыми соотношениями, очень похожими на те, которыми прямые связаны с перемещениями на обычной плоскости. Эти кривые мы назовем поэтому «прямыми» (тоже в кавычках). Наконец, хотелось бы определить z расстояние так, чтобы оно было связано с «перемещениями» и «прямыми» такими же свойствами, как расстояние на обычной плоскости связано с перемещениями и прямыми. Как мы увидим, это возможно и по существу единственным способом. Таков план дальнейшего исследования.

Перемещения. Заметим, что если в формулах (6) и (7) иэ § 15 для преобразований модулярной группы допустить коэффициенты т, п, к и I не только целые, но и произвольные действительные, то мы также получим преобразования верхней полуплоскости, причем они образуют некоторую группу ©. Проверяется это дословно так же, как и для преобразований модулярной группы. Таким образом, мы получаем некоторую группу ® преобразований полуплоскости, которые переводят точку z в

если Ъс — ad > 0,(1)

с az’' '

или в

, если Ъс — ad с 0,(2)

c-Vdsх г

где а, Ъ, с и d — действительные числа.

Очевидно, эта группа содержит модулярную группу.

Мы будем строить новую геометрию так, чтобы преобразования из группы @ после того, как мы определим расстояние, стали ее перемещениями. Это уже наверняка обеспечит нам то, что преобразования из модулярной группы будут перемещениями. Кроме того, как мы постоянно будем убеждаться, группа © по своим свойствам очень похожа на группу перемещений обычной плоскости.

Преобразования, задаваемые формулами (1) и (2), мы дальше будем называть «перемещениями», имея в виду, что позже мы введем расстояние, которое они не будут менять.

Начнем с того, что, как и на обычной плоскости, «перемещения» делятся на два рода: «перемещения» I рода задаются фор- мулой (1), а 1Г рода — формулой (2).Как и в случае модулярной группы, при последовательном выполнении двух «перемещений» I рода из © получается «перемещение» I рода, а композиция перемещения I рода с перемещением II рода — перемещение II рода.

Неподвижные точки «перемещений» из ® устроены так же, как на обычной плоскости. «Перемещение» I рода либо вообще не имеет неподвижных точек (является аналогом параллельного переноса), либо имеет ровно одну неподвижную точку (аналогично повороту), либо имеет неподвижными все точки плоскости (тождественно). Проверку этих свойств мы оставим читателю, а + bz она сводится к рассмотрению квадратного уравнения -" z-

«Перемещение» П рода либо вообще не имеет неподвижных точек (является аналогом скользящей симметрии), либо имеет неподвижными точками целую кривую на верхней полуплоскости (аналогично осевой симметрии). Это свойство мы проверим, и заодно выясним, каковы эти кривые.

Пусть такое «перемещение», задаваемое формулой (2), оставляет на месте какую-то точку z верхней полуплоскости. Это

значит, что

z — ^L+^£f бс — ad < 0.

с 461

Умножая обе части равенства на с + dz и вспоминая, что zz ” = I zP, получаем

d( zP -b cz = a + bz.

Пусть z = x + iy, тогда приравняв в обеих частях предыдущего равенства мнимые части, мы получим (Ь + с) у = 0. Так как точка z лежит в верхней полуплоскости, то у > 0, и, значит, Ь + с=О.

Итан, с = — Ъ. Если d * 0, то разделим числитель и знаменатель в формуле (2) на d и обозначим -^= а, -^ — р.Из неравенства be — ad < 0, разделив обе части на d®, получим р® + a > 0. Теперь формула для нашего «перемещения» примет вид a ^.

— p-b*

Прибавляя и вычитая в числителе 0®, мы получим ту же формулу в виде

«+рг+р(1-р) = рZ—р«+рг+р(1-р) = рZ—рZ-P’Z-P’(3)(3)

«+рг+р(1-р) = рZ—р

«+рг+р(1-р) = рZ—р

Z-P’

Z-P’

(3)

(3)

где к = a + 0® > 0. Условие того, что точка z остается неподвижной, принимает вид 2—0 = ———, т. е. U — ^? = k. Очевидно, я— р

это уравнение окружности с_центром на действительной прямой Ох в точке р и радиусом Ик. Так как нас интересуют только точки верхней полуплоскости, то мы должны рассматривать лишь верхнюю половину этой окружности (рис. 16.1), т. е. полуокружность.

Эта полуокружность и является искомым множеством неподвижных точек нашего «перемещения». Она выделяется среди других полуокружностей перпендикулярностью *) действительной прямой.

Если же d = 0, то из условия be — ad < 0 вытекает, что 6 ¥• 0, и «перемещение» (2) запишется формулой

2^ — z = 7 — (z —7),(4)

где

В этом случае искомое множество неподвижных точек «перемещения» (4) задается уравнением 2f — z = z, т. е. у = Re z, и является перпендикулярным действительной прямой лучом с началом в f (рис. 16.2).

Отметим, что геометрически это «перемещение» является просто симметрией относительно этого луча.

В результате мы доказали наше утверждение: если «переме- щение» II рода из группы @ имеет неподвижные точки, то множество его неподвижных точек образует кривую в верхней полуплоскости, которую мы будем называть его кривой неподвижных точек.

Кроме того, мы полностью описали все такие кривые: кривыми неподвижных точек «перемещений» II рода из группы ® являются в точности перпендикулярные действительной прямой полуокружности и лучи верхней полуплоскости (см. рис. 16.1 и 16.2).

Аналогично тому, что симметрия на обычной плоскости однозначно определяется прямой, относительно которой она выполняется,«перемещение»- II рода из группы © однозначно определяется своей кривой неподвижных точек. Это сразу вытекает из формул (3) и (4). Поэтому такое «перемещение» мы также будем называть симметрией относительно этой кривой. Если кривая неподвижных точек — луч, эта симметрия, как мы уже отмечали выше, совпадает с обычной симметрией плоскости относительно прямой, содержащей этот луч, но которую мы рассматриваем только на точках верхней полуплоскости. Если же кривая неподвижных точек — полуокружность, то эта симметрия также имеет простой геометрический смысл — см. упр. 1.

Упражнения

Доказать, что симметрия (3) относительно полуокружности |z— рр=4 имеет следующий геометрический смысл: точка z, и ее образ zi лежат на одном луче, выходящем из центра р полуокружности, причем |zi — Р| |z* — р| = k. Эта симметрия меняет местами те две части верхней полуплоскости, на которые она разбивается полуокружностью.

Доказать, что любое «перемещение» из группы @ является результатом последовательного выполнения «перемещений» из @, переводящих (первое) z в рг, (второе) z в z + д, (третье) z в r/z, (четвертое) z в (—2),

о, -|- дж

где р > 0, г < 0. (Указание: выражение - _pj2 , если d ^ 0, представить в виде р + " J_ .)

Доказать, что всякое «перемещение» из труппы ® есть результат последовательного выполнения нескольких симметрий, причем «перемещение» I рода — четного числа симметрий, а II рода —■ нечетного. Вывести отсюда, что «перемещение» I рода из @ не меняет направление обхода замкнутых кривых, а II рода — меняет.

Прямые. Введение прямых основано на следующем наблюдении: если перемещение II рода на обычной плоскости имеет неподвижную точку (т. е. является симметрией), то кривая его неподвижных точек является прямой (осью симметрии). Было бы естественно, если бы и в новой геометрии это свойство имело место, т. е. лучи и полуокружности, перпендикулярные действительной прямой, которые обладают как раз этим свойством, были в ней прямыми. Ситуация станет для нас яснее, если мы попробуем доказать этот факт обычной геометрии (т. е. то, что множество неподвижных точек перемещения, если оно составляет кривую, яв- I ляется прямой), по возможности не пользуясь конкретными свой- | ствами этой геометрии.

|Рассмотрим на кривой неподвижных точек перемещения II

рода F две различные неподвижные точки А та В. На обычной плоскости через точки А и В проходит прямая (АВ). Так как F ^- перемещение, то оно переводит прямую (ЛВ) в прямую, проходящую через точки В(Л)=Л, F(B)=B, т. е. в себя, ибо яа обычной плоскости через две различные точки А и В проходит ровно одна прямая. Более того, любая точка X этой прямой (АВ) переходит в себя: F(X) — X, так как положение точки на прямой Г (ЛВ) определяется ее расстояниями до точек Л и В, а |В(Х)Л| =■ != |ХЛ|, |F(X)B| = |ХВ|, ибо F — перемещение. Поэтому прямая

; (ЛВ) и есть неподвижная кривая перемещения F.

!Из приведенного доказательства видно, что единственное свой-

!ство обычной плоскости, которым мы

Рис. 16.3.Рис. 16.3.fпользовались,— это существование и

Рис. 16.3.

Рис. 16.3.

!единственность прямой, проходящей

'через две различные точки. Заметим

гтеперь, что лучи и полуокружности

верхней полуплоскости, перпендику-

;лярные действительной прямой, оче

видно обладают этим свойством: через любые две различные точки Л и В полуплоскости проходит, причем ровно одна, такая кривая (рис. 16.3).

После этих наблюдений становится естественным строить новую геометрию так, чтобы через любые две различные точки новой геометрии проходила, причем ровно одна, ^прямая». Это, как мы только что видели, приводит к тому, что «прямыми» новой

геометрии должны быть в точности лучи и полуокружности, перпендикулярные действительной прямой.

Нужно, однако, убедиться, что, определяя таким образом пря

мые новой геометрии, мы не получаем противоречия с уже определенной нами группой © ее «перемещений», т. е. что «переме- щения» из ® переводят «прямые» — лучи и полуокружности верхней полуплоскости, перпендикулярные действительной прямой,—

в такие же лучи и полуокружности, т. е. в «прямые».

Для этого вспомним, что каждая такая «прямая» С является множеством неподвижных точек некоторого «перемещения» II ро

да F из ® (в предыдущем пункте мы назвали это «перемещение» F симметрией относительно О. Пусть теперь G — произвольное «перемещение» из ®. Заметим, что образ G^C) «прямой» С при «перемептетпт» F является множеством неподвижных точек «перемещения» GFG~l из группы ®. Действительно, если А — неподвижная точка этого «перемещения», т. е. GFG~4A) =А, то, применяя к обеим частям этого равенства G-1, получим равенство F(G~*C4)) — G-tC4). Это значит, что точка G-ttA) — неподвижная точка «перемещения» F, т. е. точка «прямой» С, а следовательно, А — точка кривой G(.O. Заметим, далее, что GFG~l — «перемещение» II рода в силу отмеченных выше правил последовательного выполнения «перемещений» I и II рода из ®. Таким образом, мы убедились, что кривая GIO является кривой неподвижных точек некоторого «перемещения» II рода из ®. Но такие кривые, как мы энаем из п. 1, являются лучами или полуокружностями, пер-

Рис. 16.4 ствительной прямой, «прямыми»Рис. 16.4 ствительной прямой, «прямыми»пендикулярными действительной прямой, т. е. нашими «прямыми». Это и доказывает тре- буемоё.

Рис. 16.4 ствительной прямой, «прямыми»

Рис. 16.4 ствительной прямой, «прямыми»

После этой необходимой проверки мы уже окончательно приходим к подчеркнутому выше определению «прямых» в конструируемой нами геометрии. Однако, как и для преобразований из группы @, до тех пор, пока не определено расстояние, мы будем продолжать называть лучи и полуокружности, перпендикулярные дей- (в кавычках) новой геометрии.

На первый взгляд может показаться, что «прямыми» оказываются два очень разнородных семейства кривых: лучи и полуокружности. Но между ними есть некоторая связь: если удалять центр полуокружности в бесконечность (на рис. 16.4 — вправо), оставляя неизменной точку Р пересечения полуокружности с действительной прямой, то полуокружности будут все более вы-

прямляться, приближаясь к лучу, проходящему через точку Р (см. рис. 16.4). Таким образом, лучи — это предельные положения полуокружностей.

Упражнение

1. Угол между пересекающимися кривыми определяется как угол между их касательными в точке пересечения. Доказать, что угол между двумя пересекающимися перпендикулярными действительной прямой полуокружностями Ci и Сг не меняется при «перемещениях» из груццы @. (Указание: пусть Ci пересекает действительную прямую в точках а и р, а С2 — в точках f и 6. Выразить косинус угла между Ci и Сг через о, р, f и 8. Далее воспользоваться упр. 2 из п. 1.) Вывести отсюда, что «перемещения» из грушия @ не меняют углы между любыми пересекающимися кривыми. Ввиду этого, утлом между двумя- кривыми, пересекающимися в некоторой точке новой геометрии, будет называться угол (в смысле обычной геометрии на плоскости) между их касательными.

Расстояние. Здесь мы закончим построение конструируемой нами геометрии, определив расстояние между ее точками. Чтобы не путать это расстояние с расстоянием на плоскости, мы будем обозначать его llzt, z2ll, где z, и z8 — точки верхней полуплоскости.

Вначале определим расстояние между точками одной из «прямых» новой геометрии. Простейшей такой «прямой» является луч Re z = 0 верхней полуплоскости, состоящий из точек вида it, где t > 0 — действительное число.и

Выпишем условия, которым определяемое расстояние должно удовлетворять. Первое из них явля-г

ется следствием того, что луч Re г = О являетсяd?

«прямой» новой геометрии:

Hit,, it,ll = П«,, if2ll + Hit,, ггД

если 0 < ti < #2 < ?„ t. e. точка Иг лежит на луче

Re z = О между точками it, и it, (рис. 16.5). А вто- », рое — из того, что расстояние не должно меняться при «перемещениях» из группы О, т. е.

НЖг,); Н^ = llz„ z20,>

где Н — «перемещение» из @, если все четыре точ- ~~^ ки z„ z2, ^(zt), Жг2) лежат на луче Rez = 0. При Рис. 16.5. этом можно считать, что z, ¥= z2, откуда и £r(z,) ¥= ¥=Жг2) (в противном случае по свойству а) расстояния в геометрии имеем llz, zll = 0).

Чтобы выписать условие 2), найдем явно все такие пары точек z,, z2 и «перемещения» Н, что zlf z2 и Жг<), H(z2) лежат на луче Re z = 0 и z^z». Для этого заметим, прежде всего, что «перемещение» Н переводит весь луч Re z = 0 в себя. Действительно, «перемещение» Н из ® переводит «прямую» новой геометрир, являющуюся лучом Re z = 0, в «прямую» новой геометрии, которая является на верхней полуплоскости лучом или полуокружностью, пер-

пендикулярными действительной прямой Ох. Эта «прямая» содержит точки HUd и Жз2), ибо луч Rez = 0 содержал точки z, и z2. Отсюда следует, что эта «прямая» совпадает с лучом Rez = 0, так как точки Жг() и Жг2) различны и лежат на луче Re z = О, а через две различные точки проходит ровно одна «прямая».

Все такие «перемещения» Н из ®, переводящие луч Rez = 0 с себя, легко выписать. Оказывается, возможны четыре случая: a)^(z) = ₽z, где Р > 0;

б)Я(г) = —“, где а > 0;

в) Я (z) = — pz , где Р > 0;

г)Я(г)=|, гдеа>0.

При этом случаи а) и б) соответствуют записи Я формулой (1), а б) и в) — формулой (2). Ограничимся доказательством для случая, когда Я задается формулой (1). Непосредственно из этой формулы получаем

а 4- bit (а 4~ bitl (с— ^it) ас 4~ bdt2 . . (be—ad)t

Н W = Т+dii С2 + dV - ^4.^ +

Заметим, что так как Re Я(И) = 0 для всех t > 0, т. е. ас + bdt1 = 0 для всех t>0, то ac = bd = 0. Учитывая, что be — ad>0, отсюда получаем два случая:

либо а = d = 0, Ьс > 0, откуда Я (z) = ^ — Pz, где р = — > 0; либо Ъ = с =0, ad < 0, откуда Н^ = ^= — “, гдеа= — j > 0.

Перейдем теперь к анализу условия 2). Записывая точку z луча Re z = 0 как z = it, где t > 0, и подставляя в 2) все возможные Я, задаваемые формулами а)—г), условие 2) мы можем переписать в виде двух равенств:

Hit,, it2ll = Dipt,, iptjl

Siti, ita|| =Siti, ita|| =

Siti, ita|| =

Siti, ita|| =

которые должны выполняться для любых а, Р > 0 и tlf t2 > 0. Прологарифмируем t, а и р, т. е. введем и = log^t, г = logAa, s = = logAp, где А > 0, А * 1, и обозначим р(иг, и^ = jiA"1, М“3|]. Теперь предыдущие соотношения приобретут знакомый вид:

p(ni, п2) = р(г + иъ r + iit),

(5)

p(nt, IZ2) = p(s — Ui, s — iz2),

где u4, u2, г и s — произвольные действительные числа. Соотношение 1) примет вид

p(ut, u3) =p(ut, u^ +p(u2, us),(6)

если Ui u2 C u3.

Свойствами (5) и (6), как известно, обладает расстояние на действительной числовой прямой — модуль разности. Таким образом, условия (1) и (2) будут выполнены, если положить

p(ut, Ua) = I Ui — U2|, а это значит, что

Uu it, J = p (logA tx, logA t^ = I logA tY — logA t, I = logA ^

(7)(7)(хотя это нам и не понадобится, читатель может проверить, что с точностью до умножения на константу, т. е. до выбора основания логарифма, это и единственная такая возможность). Замечая, что г = г—, мы получаем искомое расстояние

(7)

(7)

Ч = logAJ Z2

для точек Zi и z2 луча Re z = О, где А — некоторое фиксированное положительное число и Л 1.

Посмотрим теперь, как определить расстояние между произвольными точками конструируемой геометрии.

Наша цель — определить расстояние Uz^ z2ll между точками верхней полуплоскости так, чтобы выполнялись следующие условия.- -...

А. «Перемещения» из группы ® должны быть действительно перемещениями, т. е. должны сохранять расстояние Uzi, z2ll.

Б. Для точек, лежащих на луче Re z = О, расстояние должно задаваться формулой (7).

Ниже мы покажем, что для любых двух точек z,, z2 на верхней полуплоскости существует перемещение F из группы ®, переводящее zt и z2 в точки луча Re z = О, на котором расстояние задается формулой (7). Отсюда, очевидно, следует, что при выполнении условий А и Б расстояние Hzj, z2ll между точками z, и z2 можно определить только одним способом: нужно подобрать такое «перемещение» из группы ®, чтобы обе точки F(.zt) и F(zz) попали на луч Re z = 0, и положить искомое расстояние равным

I zn za у = IF (zj, F (za) I! = I logA^ |.(8)

При таком определении расстояния нужно только убедиться.

что:

для любых двух точек z, и z2 существует «перемещение» F, переводящее их в точки луча Re z = 0;

определенное формулой (8) расстояние между z, и z2 не зависит от выбора этого «перемещения» F;

«перемещения» из группы <3 сохраняют это расстояние.

Проверку свойства а) мы пока оставим, а докажем сначала фактически уже проверенные нами свойства б) и в).

Пусть для точек zt и z2 как пара точек F(zt) и P(z2), так и пара точек G(zt) и G(z2) лежит на луче Re z = 0, где F и G — «перемещения» из <3. Для проверки свойства б) нужно показать, что определяемые формулой (8) расстояния между точками луча Rez = 0 равны, т. е. IIFUi), P(z2)ll — IIG(zt), G(z2)ll. Это, однако, вытекает из свойства 2) расстояния между точками луча Re z = 0, ибо GUO = HFUO, GUO = HFUO, где H = GF-1 — «перемещение» из <3, а точки FUO, FU0 и G(zt), G(z2) лежат на луче Re z = 0. Свойство б) доказано.

Рассмотрим теперь две произвольные точки zt и z2 верхней полуплоскости и произвольное «перемещение» Р из <3. Для проверки свойства в) покажем, что

lzu z2ll - lLP(zt), P(z,)ll.(9)

В соответствии с определением (8)

" «P(z,), P(z2)ll - ll(2(P(z1)), QIPUOH,(10)

где Q — некоторое «перемещение» из <3, для которого обе точки QIPU0) и @(P(Zj)) лежат на луче Rez = 0. В соответствии с этим же определением (8) имеем тогда

0zt, z,« - I0PUJ, QPU0» = H^(P(z1)), $(P(z2))ll,(11)

так как обе точки QPUO^Q^PUOX и QPU0 “ QIPU0) лежат на луче Rez = 0, a QP—«перемещение» из <3. Из равенств (10) и (11) вытекает т, /требуемое равенство (9), что и доказывает

/\ свойство в).

А:А> Нам остается проверить свойство а).

° аb i Рассмотрим два случая.

Pg,. 1ввСлучай 1. Пусть точки z, и z2 ле

жат на одном луче Re z = а, т. е. Re zt = = Re z2 = а, тогда в качестве искомого «перемещения» F очевидно можно взять

P(z) —е — о.(12)

Случай 2. Пусть Rez1¥=Rez2, тогда, также как на рис. 16.3, проведем через точки z, и z* полуокружность С, перпендикулярную действительной прямой Ох, и обозначим через а и Ъ, где а< 6, концы этой - полуокружности на действительной прямой Крис. 16.6).

Мы утверждаем, что в качестве искомого перемещения F из <3 можно взять

F(z) =F(z) =z — Ъ z — аz — Ъ z — а(13)(13)

F(z) =

F(z) =

z — Ъ z — а

z — Ъ z — а

(13)

(13)

Для этого достаточно показать, что F переводит эту полуокружность С в луч Re z = 0. Мы уже знаем из п. 2, что F(£D является или лучом, или полуокружностью, перпендикулярной действительной прямой. Поэтому остается убедиться, что эта кривая — луч или полуокружность — может быть только лучом Rez = 0.

Покажем, что F1C) не может быть полуокружностью. Действительно, если точка ъ полуокружности С приближается к ее концу а, то модуль lF(z)| неограниченно возрастает, так как в формуле (13) для F(z) числитель z — 6 стремится к ненулевому'числу а—Ъ, а знаменатель z — а стремится к 0. Но это было бы невозможно, если бы точка F(z) пробегала полуокружность.

Таким образом, кривая FkC'i — луч (рис. 16.7, а). Чтобы убедиться, что этот луч — луч Re z = 0, предположим, что точка z полуокружности С приближается к другому ее концу Ъ. Из формулы (13) для F(z) аналогично предыдущему вытекает, что точка F(z) стремится к 0 (см. рис. 16.7, б). Из наших лучей (с концами на действительной оси и ей перпендикулярных) это возможно только для луча Re z = 0. Таким образом, Р{С) является лучом

На этом мы закончили построение расстояния. Расстояние в новой геометрии задается выделенным выше определением, где в качестве перемещения F, в зависимости от расположения точек zt и z2 на верхней полуплоскости, можно взять перемещение (12) или (13).

Хотелось бы иметь и явную формулу для расстояния. Пользуясь этим определением, из формул (8), (12) и (13) она без труда получается: расстояние между точками zt и zs геометрии задается

flZi,Zag= IogAflZi,Zag= IogAz, — аz, — аесли Re zx = Re z2 = aесли Re zx = Re z2 = a(14)(14)

flZi,Zag= IogA

flZi,Zag= IogA

z, — а

z, — а

если Re zx = Re z2 = a

если Re zx = Re z2 = a

(14)

(14)

одной из формул (14) или (15):

Sz1,z2|[= logASz1,z2|[= logAZ2 — 5 . Z1 — 6Z2 — 5 . Z1 — 6, если Re zY =£= Re z2,, если Re zY =£= Re z2,(15)(15)

Sz1,z2|[= logA

Sz1,z2|[= logA

Z2 — 5 . Z1 — 6

Z2 — 5 . Z1 — 6

, если Re zY =£= Re z2,

, если Re zY =£= Re z2,

(15)

(15)

или

и, соответственно,и, соответственно,

и, соответственно,

и, соответственно,

где а и b — концы полуокружности, перпендикулярной действительной прямой и содержащей zt и z2.

Любопытно и полезно заметить, что в обеих этих формулах, в силу нашего построения, под логарифмом стоит, как и должно быть, положительное действительное число. Это (в особенности для формулы (15)) не очевидно, ибо zt и z2— произвольные комплексные числа верхней полуплоскости. Последнее замечание полезно, ибо позволяет переписать формулы (14) и (15) в другом виде, который часто удобен. Для этого заметим, что благодаря этой положительности, пользуясь свойствами модуля комплексных чисел, выражения под логарифмами в этих формулах можно переписать в виде

В свою очередь, модули можно рассматривать как расстояния между точками, соответствующими комплексным числам. Например, |z2 — al — расстояние между точками z2 и а на комплексной плоскости.

Упражнения

Доказать, что перемещения из группы @ обладают следующим важнейшим свойством: если для четырех точек zi^zi и wt 46= wz равны расстояния ||zi, z2|| = ||i»i, uz2||, то найдутся и притом ровно два перемещения из группы @, переводящие zi в wt и z2 в ш2. Одно из них I рода, другое — II рода. (Указание: свести доказательство к случаю точек, лежащих на луче.)

Доказать, что расстояние (14) и (15) можно задать и формулой

IIZ1, М = 1о8а

(Указани кажите, что(Указани кажите, чтое:*1е:*1не меняется при перемещениях из группы @е)не меняется при перемещениях из группы @е)-Z2-Z2вначале докажите это для точек луча Re z = 0, затем по- ~Z2

(Указани кажите, что

(Указани кажите, что

е:

*1

е:

*1

не меняется при перемещениях из группы @е)

не меняется при перемещениях из группы @е)

-Z2

-Z2

Доказать, что окружности в смысле расстояния (14) и (15), т. е. множества точек, равноудаленных от одной точки, изображаются на верхней полуплоскости обычными окружностями (в смысле евклидова расстояния), не пересекающими действительную прямую. (Указание: можно воспользоваться предыдущим упражнением.) Куда могут переходить при перемещениях из группы @ обычные окружности верхней полуплоскости?

Доказать, что четыре различные точки щ, иг, и», и^ комплексной плоскости лежат на одной окружности или прямой тогда и только тогда,

когда число

“з-“4.“1-“4

“а-мз и1-«з

является действительным. Какой смысл имеет его знак?

Окончание построения геометрии. Нам остается проверить свойства а), б), в) и г) из определения геометрии (см. § 6).

Прежде всего заметим, что все эти свойства относятся к двум точкам г, и z2 геометрии. В соответствии с данным в п. 3 определением расстояния в новой геометрии проверку этих свойств для точек zt и Zg можно заменить на их проверку для точек F(zt) и Ек1г\ где F — перемещение из ®, для которого точки ^(zj и F(zg) лежат на луче Re z = О, ибо F не меняет расстояние между любыми двумя точками. Это сразу доказывает свойства а), б) и г), ибо по построению расстояния в предыдущем пункте луч Re z = О является прямой, для которой все эти свойства, очевидно, выполнены.

Проверка свойства в) геометрии сводится к доказательству неравенства

llzt, zll + Hz, Zgll 5= Hei, z2H,(18)

где zt и Zg — точки луча Re z = 0. Прежде всего заметим, что это неравенство очевидно для z, = z2, так как Hz,, zjl = 0. Кроме того, неравенство обращается в равенство

Hz,, zll + Hz, z20 = nzt, z2ll,

если z принадлежит отрезку [zlt z2l луча Re z = 0, а это означает, что сам луч является прямой, проходящей через точки z, и Zg.

Поэтому при проверке неравенства (18) мы будем далее считать, что z, и z2 — две различные точки луча Re z = 0, а точка z не лежит на отрезке [z,, z2] этого луча. В этом случае мы докажем даже строгое неравенство

Hz4, zll + Hz, Zgll > Hz,, z2H.(19)

Последнее неравенство дополнительно показывает, что через точки z, и Zg геометрии проходит единственная прямая — луч Re z = = 0. В таком случае, применяя перемещения F из группы ®, мы

получим, что это свойство единственности прямой будет выполнено для любых двух различных точек нашей геометрии. Его также хотелось бы проверить, ибо, предполагая его выполненным, мы пришли в п. 2 к определению прямых в нашей геометрии.

Идбю доказательства неравенства (19) подсказывает один из способов доказывать аналогичное неравенство на обычной плоскости. Там неравенство |45| + \СВ\ > |45|, если С не принадлежит [45], можно вывести из того, что при ортогональной проекции длины отрезков уменьшаются (рис. 16.8). Действитель-

но, пусть С' — ортогональ- Если С* лежит между А и В, _ .- —I, IXJtxl / I ВС'I, откуда

\AC\ + |5C| > |4C'| + |C'5| = \AB\ (рис. 16.8, a).

Если же, например, В лежит между А и С', то

UCI 4-1551 > |45'| + \ВС'\ = |4Б| + |55'| + \ВС'\ - - $-4S| + 2155'I > 1451 (рис. 16.8, б).

В нашей геометрии, совершенно аналогично, доказательство

иая проекция С на прямую (АВ), то С С' и UCl > 145'1, |5С| >

неравенства (19) сводится к

неравенству

Oz, zell > llz', zoll, (20) где z0 — точка луча Re z = О, точка z не лежит на этом луче, a z'— точка пересечения луча Re z = 0 и перпендикулярной ему и действительной прямой полуокружности с центром в. О и радиусом |z| (рис. 16.9).

// UI

68у у yQ а

Рис. 16.9.

ство^°ЛЬ3^ЯСЬ ^10Рм^лами ^^) и ^7), получаем следующее равен-

Так как в силу известного свойства окружности треугольники Ъ, z, а и Ъ, z0, а прямоугольные (на обычной плоскости), то

I 2 — Ь I , I Z0 ” 6 I х гг = tg ГО, Т—2 = tg фп,

где ф и <р» — углы при вершине а этих треугольников (рис. 16.9).

Отсюда получаемОтсюда получаемlogA тМ .I Z |logA тМ .I Z ||z',30j =|z',30j =

Отсюда получаем

Отсюда получаем

logA тМ .I Z |

logA тМ .I Z |

|z',30j =

|z',30j =

„ н 1^8 Фо

8 z, zo Ц — logA tg ф I»

Из формул (14) и (16) следует, что

Далее разберем случай lzol > Iz'l (см. рис. 16.9), ибо случай |zol < U'l разбирается аналогично. В этом случае из рисунка видно, что л/2 > <р0 > ф, откуда tg фе > tg ф. Теперь неравенство (20) сводится к неравенству

tg<p

или, что то ate самое, к неравенству

Ы > КГW

Аналогично из рисунка видно, что ф < ф' < л/2, откуда tg ф < <tgф,, где ф' — угол при вершине а треугольника Oz'a. Поэтому вместо неравенства (21) достаточно доказать, что

tgTotgq/

HolKI *

„*8Фе tg<p' 1-

Последнее очевидно, так как-|ур= ^, ^ ■ = "j^p* Доказательство

закончено.

На атом мы завершаем построение нашей геометрии. По построению, группа ® является ее группой перемещений, причем она, как мы не раз в этом убеждались, очень похожа на группу перемещений обычной плоскости. Прямыми в нашей геометрии являются в точности лучи и полуокружности, перпендикулярные действительной прямой. Как и на обычной плоскости, через любые две различные точки проходит ровно одна прямая. Это наводит на мысль попытаться проверить, не выполнены ли в этой геометрии и другие свойства обычной плоскости, например аксиомы? Мы не будем проводить такую проверку: она хотя и очень проста, но достаточно кропотлива, так как аксиом не так уж мало. К тому же, при различных изложениях геометрии аксиомы выбираются по-разному. Мы только формулируем окончательный результат: в нашей геометрии выполняются все аксиомы обычной плоскости кроме одной единственной —- V постулата Евклида или аксиомы о параллельных. Взамен этой аксиомы в нашей геометрии выполнено противоположное утверждение — аксиома Лобо

ва. В. Никулин, И. Р. Шафаревич

невского: через точку А, не лежащую на прямой I, можно провести более одной прямой, параллельной (т. е. не пересекающей) I. Это сразу видно из рисунка 16.10: любая прямая, лежащая между прямыми к и к нашей геометрии, не пересекает I.

Рис. 16,10.Рис. 16,10.Таким образом, мы имеем дело со знаменитой геометрией Лобачевского, в которой выполнены все аксиомы обычной плоскости, кроме аксиомы параллельности, а взамен аксиомы параллельности выполнена противоположная ей — аксиома Лобачевского. Так геометрией (или плоскостью) Лобачевского мы и будем в дальнейшем называть построенную геометрию.

Рис. 16,10.

Рис. 16,10.

Отвлекаясь от нашей основной задачи, отметим, что изложенное построение геометрии Лобачевского дает ответ на вопрос, волновавший математиков более двух тысячелетий: нельзя ли вывести V постулат — аксиому о параллельных — из других аксиом Евклида?

Для этого заметим, что при нашем построении плоскость Ло- баческого является как бы частью плоскости Евклида Она показывает, что некоторые объекты плоскости Евклида (точки верхней полуплоскости; лучи и полуокружности, перпендикулярные действительной прямой; преобразования группы @), если их называть «точками», «прямыми», «перемещениями», удовлетворяют всем аксиомам плоскости Евклида, кроме аксиомы о параллельных (они удовлетворяют аксиомам плоскости Лобачевского). Таким образом, плоскость Лобачевского как бы изображается объектами плоскости Евклида. Такая ситуация описывается термином «модель». Мы построили модель плоскости Лобачевского при помощи плоскости Евклида. Существование такой модели доказывает невозможность вывода V постулата из других аксиом Евклида. Действительно, если бы подобный вывод существовал, то он бы приводил к противоречию с выполняющейся в этой модели аксиомой Лобачевского. Тем самым он приводил бы к противоречию в плоскости Евклида, раз модель строится в этой плоскости.

Конечно, при достаточной интеллектуальной смелости можно поставить вопрос: а почему нет противоречия в геометрии Евклида"? Ответ на этот вопрос фактически нами уже дан: метод координат дает возможность построить модель плоскости Евклида при помощи действительных чисел (см. пример la п. 1 § 6); прямые в этой геометрии можно определить как множества точек, задаваемые уравнением первой степени между координатами х и у. Этим вопрос сводится к выяснению непротиворечивости свойств действительных чисел. Определяя действительные числа как бесконечные десятичные дроби, можно обосновать все их свойства,

исходя из нескольких интуитивно очевидных свойств или аксиом целых чисел. Таким образом, наше исследование приводит нас к проблеме непротиворечивости аксиом целых чисел или, как говорят, «непротиворечивости арифметики». По-видимому, ничего логически более простого, чем целые числа, придумать нельзя, и поэтому метод моделей здесь уже не применим. Ответ же оказывается совершенно отличным от всего того, с чем мы до сих пор встречались: в математической логике доказывается, что непротиворечивость арифметики не может быть ни доказана, ни опровергнута, исходя из аксиом арифметики и логики! Таким образом, непротиворечивость арифметики является «постулатом логики», который мы принимаем на основании доверия ко всему практическому и интеллектуальному опыту человечества.

С другими вопросами геометрии Лобачевского читатель может познакомиться, например, по книгам: Ефимов Н. В. Высшая геометрия.— М.: Наука, 1971 (ч. 3) и Кокстер Г. С. М. Введение в геометрию.— М.: Наука, 1966 (гл. 16). Немного более подготовленному читателю (знакомому с аналитической геометрией и матрицами) можно рекомендовать книгу: Клейн Ф. Неевклидова геометрия.— М.; Л.: ОНТИ, 1936.

Упражнения

Пусть Z — прямая геометрии Лобачевского и Л — точка этой прямой. Пользуясь неравенством (20) и перемещениями из @, доказать, что точки М, для которых расстояние ||М, Л || — наименьшее из расстояний от М до точек прямой Z, образуют прямую.

Доказать, что группа перемещений геометрии Лобачевского исчерпывается перемещениями группы @ (воспользуйтесь предыдущим упражнением и упр. 1 из п. 3).

Показать, что сумма углов треугольника на плоскости Лобачевского может быть сколь угодно малой. Для зтого взять «бесконечный треугольник», образованный полуокружностями с центрами на вещественной прямой, пересекающими вещественную прямую в точках а и р, р и f и а и f, все угит.т которого равны 0, и рассмотреть достаточно близкий к нему конечный треугольник (эта теорема иллюстрирует теоремугеометрии Лобачевского, согласно которой сумма углов любого треугольника меньше л).

§17. Плоскость Лобачевского, модулярная группа,модулярная фигура и геометрии на торе

Разрывность модулярной группы. В предыдущем параграфе мы построили геометрию — плоскость Лобачевского, в которой модулярная группа является группой перемещении, так как она является частью группы О перемещений этой геометрии.

Здесь мы прежде всего завершим это построение, доказав, что модулярная группа в этой геометрии разрывна.

Ням надо показать, что для всякой точки z плоскости Лобачевского найдется такой радиус г, зависящий от z, что в круге K(z, г) на плоскости Лобачевского нет отличных от z точек, эк- 15*

Бивалентных z. Воспользуемся построенной в § 14 модулярной фигурой (см. рис. 14.6), которая является фундаментальной областью для модулярной группы. Достаточно проверить утвержде

ние для точек z этой фигуры, так как для эквивалентных точек

г можно брать одним и тем же.

Заметим, что на плоскости Лобачевского определено расстоя

до прямой L Так для точки z0 прямой Re z =

ние d от ее точки Ание d от ее точки АРис. 17.1.Рис. 17.1.= 0 и прямой плоскости Лобачевского — полуокружности с центром в О (см. рис. 16.9) именно это утверждается в неравенстве (20) из § 16: расстояние от точки z0 до точек этой полуокружности не меньше расстояния от z0 до ее точки z'. А общий случай легко сводится к этому перемещениями группы @ плоскости Лобачевского.

ние d от ее точки А

ние d от ее точки А

Рис. 17.1.

Рис. 17.1.

Учитывая это, для точки £ внутри

модулярной фигуры надо, очевидно, взять г меньшим наименьшего расстояния от z до сторон модулярной фигуры — прямых а, 6, с плоскости Лобачевского (рис. 17.1).

Для разбора остальных случаев воспользуемся результатом унр. 1 п. 2 § 15, где показано, что модулярная фигура I и еще семь фигур II—VIII, получающиеся из нее указанными там преобразованиями модулярной группы, образуют область, содержащую целиком внутри себя модулярную фигуру вместе с ее границей (рис. 17.2). Фигуры II—VIII также не содержат различных

эквивалентных точек, так как получаются из фигуры I, обладающей этим свойством, перемещениями модулярной группы. Дальнейшее рассуждение не представляет труда — дословно повторяет доказательство разрывности группы Г из п. 4 § 12. Для точек z на сторонах модулярной фигуры надо взять г таким, чтобы круг

K^z, г) пересекал только те стороны фигур I—VIII, которые выходят из точки z (см. рис. 17.2). В самом деле, например, для вершины Р модулярной фигуры круг КАР, г) разбивается фигурами I, III, VI, VIII, VII, IV на шесть секторов, каждый из которых содержит точку Р. Поэтому в каждом из этих секторов нет точек, эквивалентных точке Р, раз этот сектор содержится в одной из фигур I, III, VI, VIII, VII, IV, а они не содержат различных эквивалентных точек. Этим завершается доказательство разрывности модулярной группы.

Можно продолжить аналогию с § 12. Поскольку модулярная фигура — фундаментальная область, то продолжая, как на рис. 17.2, заполнять плоскость Лобачевского фигурами, получающимися из модулярной фигуры перемещениями модулярной группы, мы получим разбиение всей плоскости Лобачевского на фигуры, конгруэнтные модулярной фигуре (упр. 1 из § 9). Его без труда можно изобразить (см. рис. 17.2), поскольку каждая из этих фигур имеет, как и модулярная фигура, три стороны, а примыкающие к ней по этим сторонам фигуры получаются из нее отражениями относительно этих сторон (так же, как фигуры II, III и IV получаются из модулярной фигуры). Очевидно, что образованный сторонами этих фигур узор на плоскости Лобачевского, изображенный на рис. 17.2, переходит в себя при перемещениях модулярной группы. Более того, очень легко показать, что модулярная группа просто совпадает с группой симметрий этого узора (упр. 1). Таким образом, как и в § 12, мы получили еще одно наглядное описание модулярной группы — как группы симметрий узора на плоскости Лобачевского. Заодно мы получили пример узора или воображаемого кристаллического вещества на плоскости Лобачевского. Нужно только помнить, что на рис. 17.2 мы смотрим на этот узор, глазами жителя обычной плоскости и не в состоянии оценить его детали с точки зрения их размеров й расстояний между ними, что немаловажно для художника. На рис. 17.2 нам кажется, что треугольники, составляющие этот узор, уменьшаются, становясь сколь угодно малыми. Но с точки зрения жителя плоскости Лобачевского все они конгруэнтны — имеют одинаковые размеры. Нам требуются формулы (14) и (15) из § 16, чтобы смотреть на этот узор его глазами.

Видно, что узор на рис. 17.2 сложнее, чем узор на обычной плоскости. Эту «сложность» можно выразить и в более точных терминах. Возьмем модулярную фигуру, ее соседей II—VIII, их соседей и т. д. Число областей, получающихся через п шагов, растет при росте п очень быстро — как показательная функция от п. Если же мы проведем эту конструкцию для фундаментальной области разрывной группы на обычной плоскости (например, с узорами и их фундаментальными областями на рис. 12.23), то придем к функции от п, которая растет гораздо медленнее: как многочлен от п степени, не большей 2.

Упражнение

Доказать, что модулярная группа является группой симметрий узора на рис. 17.2. (Указание: воспользовавшись упр. 1 п. 3 и упр. 2 п. 4 из § 16, докажите, что мЬдулярная фигура не имеет симметрий.)

Совокупность геометрий на торе. Как мы уже говорили в конце § 15, важнейшим следствием доказанной разрывности является еще одно описание совокупности геометрий на торе (или решеток на плоскости) с точностью до подобий — как геометрии 5, соответствующей модулярной группе перемещений плоскости Лобачевского.

Что же это за геометрия?

Напомним свойства модулярной фигуры, сформулированные в конце § 15. Во-первых, она является фундаментальной областью для модулярной группы. Во-вторых, что нам сейчас особенно важно, она не содержит различных эквивалентных точек (даже на своей границе). Наконец, как читатель легко может убедиться сам, она выпукла на плоскости Лобачевского, т. е. вместе с любыми двумя своими точками содержит соединяющий их отрезок прямой геометрии Лобачевского. Поэтому подобно геометриям П 3—4, IV 3—6 на обычной плоскости (см. рис. 12.6) она сама является искомой геометрией, т. е. эта геометрия является частью плоскости Лобачевского. Соответствующее рассуждение совершенно аналогично проведенному нами в п. 3 § 12 для геометрии Й„.

Что же из себя представляет эта геометрия — модулярная фигура с точки зрения плоскости Лобачевского?

. Это почти треугольник с той •только разницей, что две его стороны изображаются на верхней полуплоскости параллельными лучами Re z = 0 и Re z = 1/2. Как

■ Рио. 17.3.прямые геометрии Лобачевского,

они конечно тоже параллельны, т. е. не пересекаются. Но это «особенные» параллельные, какие встречаются только в геометрии Лобачевского — на них можно найти точки сколь угодно близкие, так что в бесконечности они неограниченно сходятся. Действительно, рассмотрим две точки ЛА и Вн на этих прямых: Ah = ih и Bh = — + гК (рис. 17.3). В геометрии Лобачевского, взяв в качестве основания логарифма 10, имеем

., 1Л.ЛНВ.В11Л.Л

Mh> ВД = ^ рлВ||ВлЛ| 2 lg I AhB 3

Из рис. 17.3 видно, что | AhA | = 2 cos -|-1 АС |, |AaB| = 2cos-|-.|^| и |АС| = 1ВС|.

Поэтомуй Аа, ВА| = 2 lgа так как ПрИ й ->- оо (Д стре-

мящемся к бесконечности), очевидно, ф—>--^- и ip—*"^"» то

cos-f--*cos-f--*1/2 ~2~*1/2 ~2~*COS^COS^V2V22 ’2 ’Ф cos ~2“Ф cos ~2“Ф cos -g-Ф cos -g-1,1,

cos-f--*

cos-f--*

1/2 ~2~*

1/2 ~2~*

COS^

COS^

V2

V2

2 ’

2 ’

Ф cos ~2“

Ф cos ~2“

Ф cos -g-

Ф cos -g-

1,

1,

и, значит,и, значит,

и, значит,

и, значит,

cos-5-

|А, BAg = 21g|—>0.

cos -у

Ввиду этого о модулярной фигуре говорят как о треугольнике с одной вершиной в бесконечности.

В вершине Р этого треугольника, как видно из рис. 17.2, сходятся 6 конгруэнтных его углу Р углов, вместе составляющих полный угол. Поэтому естественно приписать углу Р нашего треугольника величину л/3. Совершенно аналогично углу с вершиной в Q следует приписать величину л/2. Это, впрочем, согласуется с общим определением угла в геометрии Лобачевского, данным в упр. 1 к п. 2 § 16. Отметим, что если воспользоваться определением из этого упражнения в применении к бесконечной вершине нашего треугольника, то углу в ней надо приписать величину 0.

Подытожим наше исследование:

Теорема 1. Совокупность геометрий на торе (или решеток на плоскости) с точностью до подобия сама является геометрией — треугольником на плоскости Лобачевского с углами л/3 и л/2 и одной вершиной в бесконечности.

Еще одним результатом нашего исследования является то, что мы построили пример разрывной группы на плоскости Лобачевского — модулярной группы. Она не является равномерно-разрывной группой на плоскости Лобачевского: действительно, ее преобразования оставляют некоторые точки неподвижными, чего не может быть, как мы видели, в равномерно-разрывной группе. Например, преобразование, переводящее г в —z, оставляет на месте все точки прямой Re z = 0, а преобразование, переводящее z в ——, оставляет на месте точку г. Таким образом, мы сразу столкнулись с более сложным примером разрывной группы — на плоскости Евклида мы встретились с такими группами только в § 12 в связи с кристаллографическими группами на плоскости.

Но на плоскости Лобачевского существуют и равномерно-разрывные группы, которые приводят к геометриям, в достаточно малых частях совпадающим с плоскостью Лобачевского. Таких групп гораздо больше, чем на плоскости Евклида. Особенно интересны

Рис. 17.4.Рис. 17.4.

Рис. 17.4.

Рис. 17.4.

Рис. 17.5.Рис. 17.5.УпражненияУпражнения

Рис. 17.5.

Рис. 17.5.

Упражнения

Упражнения

те из них, что приводят к ограниченным геометриям. Эти геометрии не могут быть реализованы на торе, они реализуются на более сложных поверхностях, подобных изображенным на рис. 17.4.

Как разрывные группы на плоскости Лобачевского, так и соответствующиеИМ геометрии имеют громадное число применений в самых разных разделах математики и математической физики.

Доказать, что модулярная группа порождена симметриями относительно сторон модулярной фигуры.

Доказать, что перемещения I рода из модулярной группы образуют группу (называемую модулярной группой I рода). Доказать, что ее фундаментальной областью является заштрихованная на рис. 17.5 фигура (называемая модулярной фигурой I рода). Какие точки на ее границе эквивалентны? Заметьте, что соответствующая поверхность совпадает с поверхностью геометрии II 7 на рис. 12.21. Какими перемещениями порождена модулярная группа I рода?

Основная идея этой книги заключается в том, что геометрия не есть жесткая, раз навсегда предписанная система понятий и теорем. Наоборот, геометрическая интуиция способна создавать свою геометрию для каждой новой сферы познания. Эта точка зрения, принадлежащая к числу наиболее плодотворных идей математики и теоретической физики, имеет два источника. Одним из них явились исследования аксиом, лежащих в основе геометрии, а более конкретно — попытки доказательства аксиомы о параллельных, приведшие в конце концов к созданию геометрии Лобачевского. Впервые мысль о том, что геометрия, в которой аксиома о параллельных не верна, существует и логически правомерна, как и геометрия Евклида, была развита в сочинениях Н. И. Лобачевского, публиковавшихся с 1826 г. Независимо от Лобачевского те же идеи высказал венгерский математик Бойяи в работе, появившейся в 1829 г. Впоследствии выяснилось, что примерно за 10 лет до этого два немецких математика Гаусс и Швейкарт пришли к тем же выводам, но не опубликовали свои работы, то ли потому, что не были в них уверены, то ли потому, что боялись оказаться непонятыми.

Другим источником было изучение геометрии поверхностей. Здесь Гаусс высказал в 1817 г. мысль, что центральной задачей геометрии поверхностей является изучение не расположения, поверхности в пространстве, но внутренних свойств поверхности, рассматриваемой в качестве носительницы своей геометрии. С этой точки зрения, как отмечал Гаусс, кусок цилиндра и плоскости, хотя выглядят они различно, должны рассматриваться как одинаковые.

Очень общее понятие геометрии, отражающее и объединяющее эти точки зрения, было разработано немецким математиком Риманом в 1854 г. Наглядное представление о «жителе» геометрии было предложено для пояснения этих идей немецким физиком и физиологом Гельмгольцем в 1868 г. То самое общее понятие геометрии, которое мы положили в основу нашего изложения, возникло липп, в XX в. Оно было столь подготовлено предшествующим развитием, что трудно указать его автора.

Геометрии, в малых частях совпадающие с плоскостью или пространством, рассматривались английским математиком Клиф-

Но на плоскости Лобачевского существуют и равномернп-ряяркпи. ные группы, которые приводят к геометриям, в достаточно малых частях совпадающим с плоскостью Лобачевского. Таких групп гораздо больше, чем на плоскости Евклида. Особенно интересны

Рис. 17.4.Рис. 17.4.

Рис. 17.4.

Рис. 17.4.

Уп ражненияУп ражненияРис. 17.5.Рис. 17.5.

Уп ражнения

Уп ражнения

Рис. 17.5.

Рис. 17.5.

те из них, что приводят к ограниченным геометриям. Эти геометрии не могут быть реализованы на торе, они реализуются на более сложных поверхностях, подобных изображенным на рис. 17.4.

Как разрывные группы на плоскости Лобачевского, так и соответствующие им геометрий имеют громадное число ттримяпятгй

в самых разных разделах математики и математической физики.

Доказать, что модулярная группа порож-

дена симметриями относительно сторон модулярной фигуры.

Доказать, что перемещения I рода из мо- дулярной группы образуют грушу (называемую модулярной группой I рода). Доказать, что ее фундаментальной областью является заштрихованная на рис. 17.5 фигура (называемая модулярной фигурой I рода). Какие точки па ее границе эквивалентны? Заметьте, что соответствующая поверхность совпадает с поверхностью геометрии II 7 на рис. 12.21. Какими перемещениями порождена модулярная группа I рода?

Основная идея этой книги заключается в том, что геометрия не есть жесткая, раз навсегда предписанная система понятий и теорем. Наоборот, геометрическая интуиция способна создавать свою геометрию для каждой новой сферы познания. Эта точка зрения, принадлежащая к числу наиболее плодотворных идей математики и теоретической физики, имеет два источника. Одним из них явились исследования аксиом, лежащих в основе геометрии, а более конкретно — попытки доказательства аксиомы о параллельных, приведшие в конце концов к созданию геометрии Лобачевского. Впервые мысль о том, что геометрия, в которой аксиома о параллельных не верна, существует и логически правомерна, как и геометрия Евклида, была развита в сочинениях Я. И. Лобачевского, публиковавшихся с 1826 г. Независимо от Лобачевского те же идеи высказал венгерский математик Бойяи в работе, появившейся в 1829 г. Впоследствии выяснилось, что примерно за 10 дет до этого два немецких математика Гаусс и Швейкарт пришли к тем же выводам, но не опубликовали свои работы, то ли потому, что не были в них уверены, то ли потому, что боялись оказаться непонятыми.

Другим источником было изучение геометрии поверхностей. Здесь Гаусс высказал в 1817 г. мысль, что центральной задачей геометрии поверхностей является изучение не расположения, поверхности в пространстве, но внутренних свойств поверхности, рассматриваемой в качестве носительницы своей геометрия. С этой точки зрения, как отмечал Гаусс, кусок цилиндра и плоскости, хотя выглядят они различно, должны рассматриваться как одинаковые.

Очень общее понятие геометрии, отражающее и объединяющее эти точки зрения, было разработано немецким математиком Риманом в 1854 г. Наглядное представление о «жителе» геометрии было предложено для пояснения этих идей немецким физиком и физиологом Гельмгольцом в 1868 г. То самое общее понятие геометрии, которое мы положили в основу нашего изложения, возникло лишь в XX в. Оно было столь подготовлено предшествующим развитием, что трудно указать его автора.

Геометрии, в малых частях совпадающие с плоскостью или пространством, рассматривались английским математиком Клиф-

фордом в конце XIX в. Он же обнаружил их связь с равномерноразрывными группами. Интерес к теории разрывных групп перемещений пространств особенно возрос, когда стала ясной их связь с кристаллографией. Все кристаллографические группы в пространстве были перечислены независимо друг от друга двумя кристаллографами: русским — Федоровым в 1890 г. и немецким — Шенфлисом в 1891 г.

Идея модели как метода доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского высказывалась еще Лобачевским. Впервые она была реализована немецким математиком Клейном и итальянским математиком Бельтрами около 1870 г. Планомерное исследование геометрии с точки зрения лежащих в ее основе аксиом было предпринято немецким математиком Гильбертом в книге, появившейся в самом конце XIX в. Он же поставил вопрос о непротиворечивости арифметики. Теорема о том, что непротиворечивость арифметики не может быть ни доказана, ни опровергнута на основе аксиом арифметики и логики, была доказана немецким математиком Гёделем в 1931 г.

Модель геометрии Лобачевского на верхней полуплоскости, к которой мы пришли в этой книге, была введена французским математиком Пункаре в 1882 г. Он руководствовался приблизительно теми же соображениями, которыми пользовались и мы: найти геометрическую интерпретацию группы ®, встречавшейся во многих вопросах математики. Разрывные группы, содержащиеся в группе ® (без интерпретации их элементов как движений плоскости Лобачевского), встречались гораздо раньше. В частности, модулярная группа и модулярная фигура были введены Гауссом, причем, как и в нашей книге, в связи с вопросом о подобии решеток. Судя по его дневнику, Гаусс пришел к этим идеям- в 1800 г. Пользуясь интуицией геометрии Лобачевского, Пуан- каре в работе 1882 г. построил теорию геометрий, в малых частях совпадающих с геометрией Лобачевского. Для ограниченных геометрий и соответствующих им равномерно-разрывных групп перемещений плоскости Лобачевского, он построил теорию, хотя и более сложную, но почти столь же исчерпывающую, как изложенная нами в § 8 для случая евклидовой геометрии. Это исследование нашло многочисленные применения к вопросам математики, про которые раньше никто не предполагал, что они имеют какое- либо отношение к геометрии Лобачевского или даже к геометрии вообще.

Тем не менее в этой теории остается еще много нерешенных вопросов. Важнейший из них — описание совокупности геометрий, в малом совпадающих с плоскостью Лобачевского и реализующихся на поверхностях заданного типа (см. рис. 17.4). В результатах, полученных до сих пор в этом направлении, можно увидеть применение тех же идей, которыми мы пользовались в главе IV нашей книги для описания геометрий на торе, в малом

совпадающих с плоскостью. Опять строится некоторая новая геометрия (аналог плоскости Лобачевского) и в ней некоторая разрывная группа (аналог модулярной группы), так что интересующие нас геометрии изображаются точками этой новой геометрии, эквивалентными относительно этой новой группы.

Иными словами, геометрии, в малом совпадающие с плоскостью Лобачевского, тоже определяют некоторую геометрию. Однако для нее до сих пор не получено описания, хотя бы близкого по своей наглядности и окончательности к тому, которое приведено у нас для совокупности геометрий на торе: треугольник на плоскости Лобачевского с углами 0, л/3 и л/2.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

S — геометрия

П — плоскость

Г — группа перемещений

Sr — геометрия, построенная по группе

^, jS, ..., ^ — точки геометрии

Л, В, ..., X — точки на плоскости

А, В, ..., X —t множества эквивалентных точек на плоскости

Ф — фигура

[ЛВ] — отрезок, соединяющий две точки плоскости

[^^S] — отрезок, соединяющий две точки геометрии

(ЛВ) — прямая, проходящая через точки Л и В

|ЛВ| —расстояние между Л и В на плоскости ]^5S] — расстояние между st- и 38 в геометрии S ЦЛВЦ — расстояние между Л и В в пространстве

||zi, zall — расстояние между z4 и zg в плоскости Лобачевского / — линия ft — кривая на плоскости

I — образующая поверхности с — направляющая поверхности П< — полоса на плоскости

К — круг

К (X, г) — сферическая окрестность точки X (круг с центром X радиуса г)

Ш — шар

Ш (Л, s) — шаровая окрестность точки Л (шар с центром Л радиуса *)

<8 — группа перемещений в плоскости Лобачевского

GF — перемещение, сопряженное G при помощи F

Hq — гомотетия с центром О и коэффициентом X

Та — параллельный перенос на вектор а

Тоо, — параллельный перенос на вектор ОО'

Si — осевая симметрия с осью I

S* — скользящая симметрия с осью I и вектором а

Bg — поворот на плоскости с центром О на угол ф

Я*Ф — винтовое перемещение

5й — симметрия относительно плоскости

— скользящая симметрия с плоскостью П и вектором а

5“ф — поворотная симметрия

ф: Si -► Sa — накрытие геометрии Sa геометрией Si

[^ь ^з, ..., F„] — группа, порожденная перемещениями (образующими} ^ii ^з, . .F#

Сп — группа поворотов правильного n-угольника, а также построенная по ней геометрия

Dn — группа всех симметрий правильного n-угольника, а также построенная по ней геометрия

i — мнимая единица (i2 = —1)

z = а + Ы — комплексное число

х — число, комплексно сопряженное z (z = а — bi)

Re z — действительная часть

Im z — мнимая часть

|z| —модуль

arg z — аргумент

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Аксиома -Лобачевского 226

— проективной плоскости 68

Аргумент комплексного числа 205

Большой крут сферы 10

Бордюр 149, 178

Бутылка Клейна 92

Геометрии подобные 186

—, в малом совпадающие с плоскостью 8, 52, 97

—,пространством 52,

120—145

—,С„ или Dtt 158, 166

— на торе 33, 189—198, 231

Геометрия 50

— Лобачевского 211—226

— на бутылке Клейна 14

скрученном цилиндре 28

— — цилиндре 15—26

— неорнентируемая 139

— ограниченная 37

— ориентируемая 139

— Римана 67

— сферическая 9

— С» 160, 161

— Рп 161

Группа модулярная 209

— накрытия 113

— перемещений 61

—, порожденная перемещениями 87

—, — системой образующих 87

— равномерно-разрывная 61, 88, 131,

— разрывная 157

— симметрий 146

— сопряженная 183

Группы кристаллографические 150

плоение 174

Действительная часть комплексного числа 204

— прямая 204

Дискриминант решетки 198

Карта круга 98

Классификация геометрий, в малом совпадающих с плоскостью 97

Комплексное сопряжение 205

Композиция перемещений 57

Конгруэнтность фигур 98

Коэффициент подобия 186

Кривая 18

— неподвижных точек 214

Кристаллическое вещество 150—156

Кристаллов правильная упаковка 194

Кристаллография 149

Круг 51

Лемма об однородности плоскости 100

Линия 18

— винтовая 26

Лист Мёбиуса 28

Лифты 19, 64

Ломаная 48

Меридиан на бутылке Клейна 94

Мир, в котором «право» и «лево» неразличимы 27, 95

— ограниченный 37

Мнимая часть комплексного числа 204

Множество разрывное 56

Модуль комплексного числа 205

Молекула кристаллического вещества 153, 180

Накрытия 103

Наложение геометрий 51, 184

— фигур 98

Направляющая конуса 160

— цилиндрической поверхности 15

Непротиворечивость арифметики 227

Область фундаментальная 90

Образующая цилиндрической поверхности 15

Образующие группы 87

Окрестность сферическая 52

Орнаменты 151, 156, 174—178 Остатки ваатлтые 200 — квадратичные 200

Пара порождающая 190 — приведенная 191 Параллель на бутылке Клейна 93 Пары подобные 190 Перемещение 57 — винтовое 121 — обратное 58 — тождественное 58

Перемещения в геометрии Лобачевского 211—214

Плоскость 50

— комплексная 206

— Лобачевского 211—226

— проективная 172—174

Поверхность коническая 160 — цилиндрическая 15 Подобие геометрий 186 Полуплоскость комплексная верхняя 207

Произведение векторов 202

Пространство 50

«Право» и «лево» 27, 138

Прямая 25, 37

— действительная 204

— замкнутая 38, 93

Прямые в геометрии Лобачевского 215, 216

Прямые на бутылке Клейна 94 торе 37—41 цилиндре 25—26

Расстояния 18, 22, 29, 34, 35, 46, 47, 64

— в геометрии Лобачевского 217— 222

Решетка пространственная 124 — целочисленная 198

Решетки плоские 81, 132, 192, 207— 211

Симметрия поворотная 121 — решетки 126 — скользящая 27, 121

Симметрии фигур 145

Склеивание геометрий 170

Сопряжение комплексное 205

— перемещений 183

Сопряженная группа 183

Сферическая геометрия 9

— окрестность 52

Теорема Шаля 73, 122

Типы равномерно-разрывных групп 75

перемещений плоскости 88

пространства 131, 136, 137,

145

Тор 32, 33

— трехмерный 135

Точка геометрии 63

— особая 161

Точки противоположные 32

— эквивалентные 21, 27, 29, 55, 68

относительно накрытия 113

Треугольник в сферической геометрии 12

Угловой коэффициент прямой 38

Угол в сферической геометрии 11

Узоры 148, 151, 156, 174-178, 229

Фигура модулярная 192, 209

Фигуры, в малом совпадающие с Сп или D. 167 — на конусах 168 — наложимые (конгруэнтные) 98 Формула Эйлера 15 фундаментальная область 90

Целочисленная решетка 198

Цилиндр скрученный 28

Числа комплексные 204

— простые 200

Шар 52

Эквивалентность точек 55

— комплексных чисел 209

4 в. В. Никулин, И. Р. Шафаревич

В. В. НИКУЛИН, И. Р. ШАФАРЕВИЧ

ГЕОМЕТРИИИ ГРУППЫ

МОСКВА «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ -

1983

22.15 Н 65

УДК 513

Никулин В. В., Шафаревич И. Р. Геометрии и группы.— М.: Наука, 1983.— 240 с.

В книге излагается теория геометрий, в достаточно малых частях совпадающих с евклидовой. Разбирается ряд примеров таких геометрий и строится их общая теория, опирающаяся ка понятие равномерно-разрывной группы преобразований. Описывается приложение этих понятий к кристаллографии, а также их связь с геометрией Лобачевского. Чисто геометрическое изложение не требует никаких знаний, выходящих за пределы программы по математике средней школы.

Для преподавателей математических факультетов университетов и пединститутов. Может быть использована студентами соответствующих специальностей и преподавателями математики средней школы.

„ 1702040000 — 156 лН —a^'-zah, оо22-83„ 1702040000 — 156 лН —a^'-zah, оо22-83©Издательство «Наука» Главвая редакция физико-математической литературы, 1983©Издательство «Наука» Главвая редакция физико-математической литературы, 1983

„ 1702040000 — 156 л

Н —a^'-zah, оо22-83

„ 1702040000 — 156 л

Н —a^'-zah, оо22-83

©Издательство «Наука» Главвая редакция физико-математической литературы, 1983

©Издательство «Наука» Главвая редакция физико-математической литературы, 1983

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 5

Часть L Накопление геометрической интуиции и постановка основ

ной задачи 7

§1.Постановка вопроса 7

|2.Сферическаягеометрия 9

Геометрия нацилиндрической поверхности15

Первое знакомство (15). 2. Правило измерения расстояний

. 3. Исследование геометрии ка цилиндре (23).

Мир, в котором «право» и «лево» неразличимы .27

Ограниченный мир31

Описание геометрии (31). 2. Прямые на торе (37). 3. Нексн торые приложения (41).

Что значит задать геометрию?44

Определение геометрии (44). 2. Наложение геометрий (50).

Часть И. Теория геометрий, в малом совпадающих с плоскостью 54

Геометрии, в малом совпадающие с плоскостью, и равномерно-разрывные группы перемещений плоскости 54

Определение понятия эквивалентности при помощи перемещений (54). 2. Геометрия, соответствующая равномерноразрывной группе (63).

Перечисление всех равномерно-разрывных групп перемещений плоскости68

Перемещения плоскости (68). 2. Перечисление равномерно-разрывных групп перемещений плоскости. Типы I и II (74). 3. Перечисление равномерно-разрывных групп на плоскости. Тип Ш (78).

Новая геометрия 89

Перечисление всех геометрий, в малом совпадающих с плоскостью 96

Построения в произвольной геометрии (98). 2. Накрытия (102). 3. Построение накрытия (107). 4. Построение группы (112). 5. Завершение доказательства теоремы 1 (116).

Часть III. Обобщения и приложения120

Геометрии, в малом совпадающие с пространством ...120

Перемещения пространства (120). 2. Равномерно-разрывные группы в пространстве: общие свойства (123). 3. Равномерноразрывные группы в пространстве: перечисление (128). 4. Ориентируемость геометрий (138).

§12. Кристаллографические группы и разрывные группы ..145

Группы симметрий (145). 2. Кристаллические вещества и кристаллографические группы (149). 3. Кристаллографические группы и геометрии. Разрывные группы (157). 4. Типичный пример: геометрия прямоугольника (162). 5. Перечисление всех геометрий, совпадающих в малом с Сп или Dn (166). 6. О доказательстве теорем 1 и 2 (179). 7. Кристаллические вещества и их «молекулы» (180).

182182189202211227233236238182182189202211227233236238

182

182

189

202

211

227

233

236

238

182

182

189

202

211

227

233

236

238

Часть IV. Геометрии на торе, комплексные числа и геометрия Лобачевского

Подобие геометрий

Условие совпадения двух геометрий, определенных равномерно-разрывными группами (182). 2. Подобие геометрий

Геометрии на торе

Геометрии на торе и модулярная фигура (189). 2. Условие того, что две пары векторов порождают одну и ту же решетку (194). 3. Приложение к теории чисел (198).

Алгебра подобий: комплексные числа 1. Геометрическое определение комплексных чисел (202). 2. Подобие решеток и модулярная группа (207).

Геометрия Лобачевского

Перемещения (212). 2. Прямые (215). 3. Расстояние (217). 4 Окончание построения геометрии (223).

Плоскость Лобачевского, модулярная группа, модулярная фигура и геометрии на торе 1. Разрывность модулярной группы (227). 2. Совокупность геометрий на торе (230).

Исторические замечания .. '

Список используемых обозначений Предметный указатель

ПРЕДИСЛОВИЕ

Книга посвящена теории геометрий, в достаточно малых частях совпадающих с евклидовой плоскостью или пространством (иначе говоря, локально-евклидовых пространств). Начав с простейших примеров, мы затем развиваем общую теорию таких геометрий, основываясь на их связи с разрывными группами перемещений евклидовой плоскости или пространства. Далее мы рассматриваем связь разрывных групп перемещений с кристаллографией. Описание одного типа геометрий, в достаточно малых частях совпадающих с плоскостью, показывает, что сами эти геометрии естественно изображать точками некоторой новой геометрии. Систематическое изучение этой новой геометрии ириво- дит нас к геометрии Лобачевского (на плоскости), которая, по логике нашего исследования, строится исходя из свойств ее группы перемещений. Таким образом, в этой книге мы хотим познакомить читателя с теорией геометрий, отличающихся от обычной геометрии плоскости и пространства, причем на таких примерах, которые доступны конкретному и наглядному изучению. Основным же инструментом исследования являются группы перемещений — как разрывные группы, так и группы перемещений геометрии.

Книга не предполагает у читателя никаких предварительных знаний, выходящих за пределы школьного курса. Мы имели в виду широкий круг возможных читателей: студентов математических и физических факультетов или технических институтов, учителей средних школ, школьников старших классов... Мы надеемся, что и читатель, не обладающий профессиональными математическими навыками, сможет при чтении этой книги познакомиться с одной из самых привлекательных черт математики: с тем, что многие ее вопросы решаются при помощи методов н понятий, которые, на первый взгляд, не имеют ничего общего с первоначальным вопросом. Только будучи развиты достаточно далеко, эти методы приводят к решению вопроса, ради которого они возникли, а часто открывают перед исследователем и совершенно новую область. Это внутреннее развитие математики, когда нужды одной области приводят к созданию новых областей, дополняется поразительным явлением ее единства: теории, созданные по разным поводам и развивающиеся в разных направ-

лениях, неожиданно оказываются тесно связанными. Конечно, чтобы почувствовать эти особенности математического исследования, читатель должен быть готов потратить и время, и силы на преодоление трудностей, которые у него могут возникнуть при чтении книги. Они состоят не в привлечении каких-либо сложных средств (например, в этой книжке читатель вполне может обойтись курсом геометрии 8 классов), но в привычке ко все более сложным и длинным математическим рассуждениям.

Книга делится на четыре части. Первую часть, как мы надеемся, сможет прочесть даже ученик старших классов школы, интересующийся математикой. В ней излагаются основные примеры, при помощи которых читатель может выработать некоторую геометрическую интуицию в новой для себя области. Чтение только одной этой части уже дает некоторое, самое первое, представление о той области, которой посвящена1 книга.

Вторая часть составляет ядро книги: в ней вводится новый метод, при помощи которого дается решение проблемы, поставленной в конце первой части. Она заметно труднее предшествующей — в ней содержатся доказательства нескольких теорем, из которых некоторые не совсем просты даже с точки-зрения математика профессионала. Мы надеемся, однако, что при работе над первой частью читатель приобретет некоторые навыки, которые помогут ему преодолеть трудности второй части. Читатель, разобравший две первые части, уже будет иметь полное представление о теории, составляющей предмет этой книги. Оставшиеся части рассказывают о связи этой теории с другими вопросами.

Третья часть, вероятно, покажется читателю опять более простой. В ее первом параграфе излагается обобщение теории, построенной раньше для случая двух измерений — на трехмерный случай, а во втором -— связь этой теории с кристаллографией. В последней части логика развития нашей теории естественно приведет к совершенно новому фундаментальному геометрическому понятию — геометрии Лобачевского.

В^ конце -почти каждого пункта приведено несколько упражнений. Их цель заключается не в том, чтобы познакомить читателя с новыми фактами — главным образом, они должны помочь читателю проверить, насколько он понял предшествующий текст. Поэтому, как правило, они очень просты.

По ходу изложения указаны сочинения, из которых читатель может узнать больше о вопросах, изложенных в этой книге.