ПРЕДИСЛОВИЕ

РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Изучение замкнутых геодезических было начато Дарбу [1], Адамаром [1], Пуанкаре [1] и Биркгофом [1] *> на грани 19-го и 20-го веков. Вопросы, которыми они занимались, были различны. Дарбу начал исследование проблемы: на каких поверхностях все геодезические замкнуты? Работа Адамара была посвящена поведению геодезических линий на поверхностях отрицательной кривизны (он не ограничивался замкнутыми геодезическими, но уделил им значительное внимание). Пуанкаре написал статью о замкнутых геодезических на овалоиде (замкнутой выпуклой поверхности); позднее Биркгоф нашел другой подход к той же задаче. (Если говорить не только о замкнутых геодезических, а вообще о поведении геодезических линий, то надо упомянуть еще и о тех случаях, когда удается проинтегрировать в квадратурах соответствующие дифференциальные уравнения **\ Это направление, естественно, возникло раньше — наиболее известные результаты здесь были получены Кле- ро и Якоби.) Все упомянутые направления со временем получили значительное развитие. Они остаются основными направлениями в теории замкнутых геодезических и по сей день. В ходе развития во всех этих направлениях совершился переход от двумерных поверхностей к n-мерным многообразиям (однако некоторые результаты последних 20 лет являются новыми и для «классического» двумерного случая).

Интегрирование в квадратурах когда-то было почти единственным и уж во всяком случае главным методом исследования дифференциальных уравнений вообще и уравнений геодезических в частности. Подобное монопольное положение со временем было утрачено, а прогресс в интегрируемых задачах надолго прекратился. Однако в наши дни интерес к интегрируемым задачам возродился, причем многие из них прямо или косвенно связаны с геодезическими.

^ Ссылки в квадратных скобках относятся к библиографии в конце книги.

**> Замкнутые геодезические здесь не играют особой роли, но, конечно, в таких случаях сравнительно легко исследовать их свойства и с этим связаны интересные примеры.

Теперь о более новых направлениях. С современной точки зрения основная проблема направления исследований, начатого Дарбу, состоит в том, чтобы охарактеризовать важный класс римановых пространств — компактные симметрические пространства ранга 1 >— в терминах очень простых свойств геодезических вроде их замкнутости. Полного решения этой проблемы пока нет, но уже известно довольно много. В частности, в классическом двумерном случае ситуация теперь выяснена.

Если направление Дарбу относится к «чистой» геометрии, то другие направления оказали заметное влияние и за ее пределами. Это не случайно: Адамар и Пуанкаре рассматривали свои задачи о геодезических как некие модельные задачи, в которых в относительно более простой геометрической ситуации проявляются какие-то особенности, свойственные, быть может, задаче трех тел. (И, как мы бы теперь сказали, вообще теории динамических систем.) Что ж, интуиция их не обманула.

Направление, начатое Адамаром, тесно связано и отчасти даже сливается с тем разделом теории динамических систем, где изучаются системы с «гиперболическим» поведением траекторий. В 60-е годы в этой области теория динамических систем безусловно доминировала над геометрией. Позднее в какой-то степени восстанавливается паритет этих дисциплин — выделяется круг вопросов, требующих более геометрического подхода.

К Адамару восходит также и теорема, дающая некоторую оценку снизу числа замкнутых геодезических на замкнутом римановом многообразии (уже без каких-либо предположений о его кривизне) в терминах свойств фундаментальной группы многообразия. Эта теорема является простейшим и исторически первым результатом вариационного исчисления в целом — раздела математики, в котором применяются топологические понятия и методы для качественного исследования вариационных задач (существование и оценка числа экстремалей, выяснение некоторых качественных свойств последних и соотношений между числом экстремалей различных типов). Однако возникновение вариационного исчисления в целом как самостоятельного направления произошло позднее и было связано с другой задачей, которую рассматривал Пуанкаре.

Как уже говорилось, это была задача о замкнутых геодезических на овалоиде. (Впоследствии выяснилось, что условие выпуклости поверхности несущественно, а существенно только, чтобы она была гомеоморфна сфере.) Пуанкаре предложил

некоторый подход к этой задаче и полагал, что ему удалось доказать существование одной замкнутой геодезической без самопересечений. Биркгоф и Морс отметили ряд пробелов в аргументации Пуанкаре, а недавно выяснилось, что некоторые из его утверждений в общем случае неверны (хотя кое-что этот подход все же может дать; подробнее см. (26) *)). И тем не менее стимулирующее влияние удачной постановки вопроса в статье Пуанкаре оказалось столь важным, что многие считают Пуанкаре создателем вариационного исчисления в целом. Это неверно: вариационные соображения у Пуанкаре не играли значительной роли — в основной части своей статьи он пытался использовать соображения из теории динамических систем, связанные с «типичностью» определенных ситуаций. Трактовка геодезических линий как траекторий геодезического потока фактически была известна и до Пуанкаре, однако он, по-види- мому, был первым, кто более или менее последовательно и явно пользовался ею **).

Открытие современного вариационного подхода к задаче о замкнутых геодезических принадлежит Биркгофу, доказавшему, что на поверхности, гомеоморфной сфере, всегда существует по крайней мере одна замкнутая геодезическая. После этого в 20—30-е гг. в работах Морса [2] и Люстерника и Шнирель- мана [1], [2] был выработан характерный для вариационного исчисления в целом общий прием исследования и даны приложения к задаче о замкнутых геодезических. (Самым ярким приложением было найденное Люстерником и Шнирельманом доказательство того факта, что на поверхности, гомеоморфной сфере, всегда существуют три замкнутые геодезические без самопересечений.) Общий прием состоит в изучении изменения топологических свойств «области меньших значений» /~‘ (]—оо, к]) для рассматриваемой функции f (последняя может быть и функционалом, рассматриваемым как функция на некотором функциональном пространстве) с изменением «уровня» к. В «хороших» случаях изменения топологических свойств f-1(]—оо, к]) происходят лишь при прохождении х через критические значения / и оказываются определенным образом связанными со свойствами соответствующих критических точек.

^ Ссылки в круглых скобках относятся к примечаниям редактора в конце книги. Помимо (26) см. также Аносов [5].

**’ У Адамара такая трактовка выступает не столько в ходе исследования, сколько в замечаниях по поводу полученных результатов (хотя в наши дни геодезические на многообразиях отрицательной кривизны чаще всего рассматривают именно с этой точки зрения). Конечно, у Якоби при интегрировании уравнений геодезических на трехосном эллипсоиде явно использовалась соответствующая гамильтонова система (хотя возможно и более геометрическое изложение того же вопроса),

(В итоге получаются некие связи между топологическими свойствами области определения f и критическими точками, что позволяет, зная первые, делать заключения о последних, или наоборот.) При этом топологические свойства, которые рассматривали Люстерник и Шнирельман, с одной стороны, и Морс — с другой, были разными, так что можно говорить о двух разных теориях в вариационном исчислении в целом—теории Люстерника — Шнирельмана и теории Морса. Различие между ними сохранилось и при дальнейшем их развитии.

В «Лекциях о замкнутых геодезических» В. Клингенберга затронуты все названные выше направления, так что читатель получит хорошее общее представление о предмете. Однако различные вопросы и направления затронуты с разной степенью подробности, причем большая часть книги посвящена вариационному подходу к задаче о замкнутых геодезических *).

Книга четко делится на две части: гл. 1—3 и гл. 4, 5. Первая часть почти полностью посвящена вариационной теории. (Исключение составляет § 3.3 о «типичных» свойствах замкнутых геодезических и отчасти еще §3.1, содержащий различные элементарные факты о геодезическом потоке и его трактовке как гамильтоновой системы. Эти факты используются как в «вариационном» § 3.2, так и в «динамическом» § 3.3) Эта часть по своему характеру представляет собой сочетание учебника с систематическим изложением оснований. И то, и другое предполагает, чтобы изложение было детальным и по возможности не зависело от литературных ссылок. В первой части автор явно стремился к этому.

Половина второй части тоже посвящена вариационной теории (гл. 4, кроме части § 4.4, и § 5.1), а вторая ее половина (§ 5.2, 5.3, а также часть § 4.4, примыкающая к § 3.3) посвящена другим направлениям. Изложение здесь более краткое, имеющее характер введения или обзора, а отчасти даже программный характер (см. ниже). Здесь далеко не все доказывается, а приводимые доказательства нередко излагаются только в общих чертах. Заинтересовавшемуся читателю следует обратиться к цитированной литературе. Литературные ссылки не являются исчерпывающими (за исключением вариационной теории, где они, во всяком случае, очень полны), однако основные источники они содержат. В связи с этим надо сказать, что невариационные направления хорошо представлены в литературе.

Что же касается вариационного исчисления в целом, то хотя в различное время появилось несколько книг, содержащих не-

*> Этот круг вопросов иногда называют «периодической задачей вариационного исчисления в целом».

которые сведения по этому предмету (Зейферт и Трельфалль [1], Милнор [1], Постников [ 1]), во всех этих книгах речь идет о более простой двухточечной краевой задаче, тогда как вопрос о замкнутых геодезических намного сложнее во всех отношениях: сложнее локальная теория индекса, сложнее рассматриваемые функциональные пространства (они не являются бесконечномерными многообразиями) и, главное, сложнее переход от различных критических точек в функциональном пространстве к различным геодезическим на исходном римановом многообразии. Трудность здесь в том, что одна и та же замкнутая геодезическая, обойденная 1, 2, 3 и т. д. раз, дает различные критические точки в функциональном пространстве; таким образом, если нам удалось доказать, что в функциональном пространстве имеется много критических точек, отсюда еще не следует, что имеется много различных замкнутых геодезических. Поэтому вопрос о замкнутых геодезических, исторически послуживший главным стимулом при создании вариационного исчисления в целом, требует в дополнение к общеизвестным ныне соображениям, относящимся ко всему этому разделу математики, еще привлечения каких-то новых идей, специфических именно для данного вопроса.

До сих пор единственной книгой по вариационному исчислению в целом, где всерьез рассматривались замкнутые геодезические, была известная книга Морса [2], вышедшая в 1934 г. Теперь она безнадежно устарела и как раз в части, касающейся замкнутых геодезических, пожалуй, больше, чем в остальных своих частях,— достаточно сказать, что в то время даже еще не были полностью осознаны те трудности, о которых шла речь выше. (Я не говорю уже о том, что она не переведена на русский язык и у нас мало доступна.)

С 30-х гг. не только накопился "значительный новый материал, но и стало ясно, что старый материал лучше с самого начала излагать по-новому. Действительно, в 60-е гг. были предложены три изменения.

Вместо функционала длины удобнее работать с функционалом, который в механике и физике называется «действием», а в некоторых математических работах «энергией», а также «интегралом Дирихле» (15).

Бесконечномерное функциональное пространство замкнутых кривых (как и соответствующее пространство в двухточечной краевой задаче) Морс аппроксимировал конечномерным с помощью ломаных геодезических, сводя тем самым вариационную задачу к задаче о критических точках функций на конечномерных многообразиях. Для того чтобы сравнивать свойства области меньших значений /-’(]—оо, к]) при различных %, применялись специальные «укорачивающие деформации» лома-

ных. Теперь действуют иначе — рассматривают исследуемый функционал как функцию на бесконечномерном пространстве и вместо специальных деформаций используют спуск по траекториям подходящей динамической системы Х

Выяснилось, что в задаче о замкнутых геодезических наиболее естественное (и наиболее нужное) функциональное пространство 1Ш (пространство непараметризованных и неориентированных замкнутых кривых на исходном многообразии М^ не является бесконечномерным многообразием. Поскольку работать с таким «плохим» пространством неудобно, приходится часто оперировать в «хорошем» пространстве параметризованных замкнутых кривых ХМ, но так, чтобы все переносилось в 1Ш при естественной проекции Л.М—*ТШ. Хотя идеи о подобных изменениях высказывал не один только Клингенберг, детальная разработка нового плана систематического изложения всего материала с учетом этих изменений является его заслугой. Можно надеяться, что изложение оснований предмета приняло более или менее окончательный вид.

Правда, здесь надо сделать три оговорки. Во-первых, сказанное относится только к замкнутым геодезическим в римановой геометрии. Морс рассматривал более общий случай финслеровой геометрии, который в настоящих «Лекциях» только упоминается два-три раза (со ссылками на литературу). Ограничение римановым случаем вполне оправдано как его «классичностью», так и тем, что в финслеровом случае пока нет столь же продвинутых результатов и, как мне кажется, пока не выработался столь же удачный новый вариант изложения оснований. Во-вторых, не исключено, что в теориях Люстерни- ка—Шнирельмана и Морса целесообразно использовать различные функциональные пространства >. В теории Морса очень

естественно стремиться к тому, чтобы АЛТ было гильбертовым многообразием (ибо вторую вариацию, как и всякий квадратичный функционал, удобнее всего рассматривать в гильбертовом пространстве), но в теории Люстерника — Шнирельмана такого побудительного мотива нет. Правда, остается еще то соображение, что излагаемый в «Лекциях» вариант удобен для градиентного спуска.

В-третьих, неприятно, что, хотя при непрерывном отображении f: М—>N, удовлетворяющем условию Липшица, кривые из ХМ переходят в кривые из AN, но возникающее таким путем отображение АМ—^AN, вообще говоря, не непрерывно (при избранных здесь определениях пространства А и его топологии). (Пример имеется в моей статье [3].) Это может несколько усложнить доказательства (см. доказательство 2.3.9), а в некоторых случаях и привести к некоторому снижению общности результатов. Однако не видно, чем бы могла способствовать решению интересных задач замена «диффеоморфизма» на «Липшицев гомеоморфизм» в формулировках тех или иных вспомогательных результатов. Поэтому данная неприятность не кажется существенной, по крайней мере в настоящее время (хотя нельзя поручиться, что ситуация не изменится).

Мне кажется, что в любом случае вариант, излагаемый в «Лекциях», имеет хорошие шансы остаться основным в научном отношении, не говоря уже о том, что он наиболее подходит для изучения. Другие варианты могут играть роль технически более сложных (или громоздких) модификаций, полезных для каких-то специальных целей и занимающих, так сказать, периферическое положение.

Наряду с полным отказом от обсуждения подобных вопросов, вполне оправдано еще одно ограничение, свойственное «Лекциям»— в них рассматриваются римановы метрики класса С00 (и под дифференцируемостью понимается бесконечная дифференцируемость, если не оговорено противное и если противное не явствует из контекста). В данном случае скрупулезное прослеживание того, сколько производных требуется в том или ином рассуждении, только загромоздило бы изложение, не суля никаких принципиальных достижений.

Как известно, теория Морса ) со временем нашла ряд применений в математике — более всего в топологии, но также и в дифференциальной геометрии. Кроме того, построенная Мор-

сом теория второй вариации > (в терминах настоящей книги — индексной формы) оказалась полезной для теории дифференциальных уравнений. Лет 15 назад удивительный контраст с этими успехами теории Морса составляла ситуация в задаче о замкнутых геодезических, где почти все результаты были связаны с теорией Люстерника — Шнирельмана. Эта ситуация изменилась, когда Громолу и Мейеру [2] (кстати, они являются учениками Клингенберга) удалось доказать существование бесконечного числа замкнутых геодезических на замкнутых римановых многообразиях М с «достаточно сложными» кольцами когомологий. (Собственно, условие Громола—Мейера, так же как и излагаемое в настоящей книге его обобщение, формулируется в терминах когомологий ХМ; позднее Виге-Пуарье и Сулливан [1] показали, что первоначальное условие Громола — Мейера можно переформулировать в терминах кольца когомологий самого М.) Доказательство получено с помощью дальнейшего развития теории Морса: по терминологии Клингенберга, речь идет об исследовании введенного им «комплекса Морса».

Клингенбергом предпринята попытка доказать существование бесконечного числа замкнутых геодезических для всех односвязных замкнутых многообразий, независимо от свойств их гомологий. Об этом говорится в § 4.3, 4.4, однако полных доказательств там нет. Пока что они вообще не опубликованы, поэтому осторожный читатель вправе рассматривать § 4.3 и начало § 4.4 не как анонс доказанной теоремы вместе с фрагментами доказательства, а как изложение некоей программы исследований >. ■

Мне кажется, эта программа представляет интерес в любом случае — хотя бы из-за различных вопросов, которые нужно выяснять ради ее осуществления и которые сохраняют свое значение независимо от успеха программы в целом.

Частичной реализации намеченной Клингенбергом программы посвящена работа Клингенберга и Шикаты [1]. Нужные свойства комплекса Морса там четко формулируются, но остается открытым вопрос, насколько общим является тот случай, когда комплекс Морса обладает этими свойствами.

Оценивая современную ситуацию, Клингенберг говорит, что, хотя теория Люстерника — Шнирельмана быстрее приводит к первым результатам, систематическое исследование комплекса Морса позволяет в конечном счете получить намного более глубокие результаты *>. К этому стоит добавить, что за теорией Люстерника — Шнирельмана сохраняется некая специфическая область применений, которую в настоящее время можно ориентировочно охарактеризовать так. К ней относятся только некоторые многообразия и метрики — именно, многообразия гомотопического типа компактных симметрических пространств ранга 1 (быть может, и какие-то родственные им), а метрики, видимо, должны быть в каком-то смысле близки к стандартным (за исключением двумерного случая). Зато здесь доказывается существование не просто замкнутых геодезических, но замкнутых геодезических без самопересечений **). Не удивительно, что число таких геодезических, вообще говоря, конечно.

♦ ♦♦

Книга рассчитана на читателя, обладающего определенными познаниями в топологии. Используются основные понятия, относящиеся к гладким многообразиям и векторным расслоениям,—впрочем, как правило, это еще не топология, а по известному выражению Ленга, «ничья земля». Далее, предполагаются известными уже специфически топологические сведения, начиная с гомологий и кончая элементами теории характеристических классов (читатель, знакомый с последними, заведомо знает и все остальное, что здесь требуется). Систематически используются бесконечномерные гильбертовы многообразия, но опять-таки здесь надо только то, что относится к «ничьей земле» и содержится у Ленга [1] или Бурбаки [1]. Если в «-мерном случае читатель привык представлять себе «локальные координаты» не столько как набор п чисел, сколько как точку «-мерного евклидова пространства (к чему приучают все современные изложения), то ему уже нетрудно будет всюду заменить евклидово пространство гильбертовым. Нужно также знакомство с элементами римановой геометрии: связность Ле- ви-Чивита, тензор кривизны. (Формально в начале книги приводятся все необходимые определения и рассуждения, относящиеся к связности Леви-Чивита, но это делается с целью

*' Читатель не найдет этого высказывания в русском издании: оно содержалось в добавлении, которое при переводе пришлось опустить (см. ниже).

*** И не слишком длинных. Клингенберг надеется, что это «улавливается» также и теорией Морса (§ 5.1).

проверки, что все проходит и в гильбертовом случае; для первоначального ознакомления такое изложение едва ли подходит.) В гл. 3 используются (в связи с трактовкой геодезического потока как гамильтоновой системы) внешние дифференциальные формы и стандартные операции над ними. Конечно, кое- где используются различные факты, выходящие (порой весьма далеко) за пределы сказанного выше; в таких случаях даются точные формулировки и литературные ссылки.

Отмечу некоторые обозначения, часто используемые в книге. Знак := означает, что величина, стоящая слева от него, по определению принимается равной тому, что стоит справа. Часто применяются функциональные обозначения с незаполненными аргументами (в русском издании последние для ясности отмечаются точками). Впрочем, это проводится не слишком последовательно. Для отображения, сопоставляющего каждому элементу / из своей области определения некоторое /(/), иногда используется еще запись (/(/)) (обычно при ее употреблении областью определения является стандартная окружность S: = R/Z)>. Таким образом, одно и то же отображение может обозначаться через f, f(-) и (/(/)) (а в порядке уступки старой традиции — также и через ЦО)- Пояснения различных других обозначений даются по ходу изложения.

Эта книга, подобно известной советскому читателю другой книге Клингенберга «Риманова геометрия в целом» (Громол, Клингенберг, Мейер [1]), возникла из записей его лекций, которые вначале были изданы Боннским университетом в виде препринта, а позднее вышли в издательстве «Шпрингер». Но если перед сдачей в издательство «Риманова геометрия в целом» подверглась редактированию и расширению (эта переработка была настолько существенной, что выполнившие ее Громол и Мейер стали соавторами), то с настоящими «Лекциями» этого не произошло. Отсюда сказывающиеся местами погрешности изложения, естественные для лекций по такому предмету, где еще не накопилось достаточного опыта преподавания: неровность, а кое-где даже пробелы и неточности. Материал гл. 1, § 2.1 и отчасти § 2.2, 2.4 излагался более подробно в ранее вышедшей книге Флашеля и Клингенберга [1]. Вполне естественно, что читатель отсылается к этой книге по поводу различных, так сказать, ответвлений от основной линии изложения. Но в «Лекциях» отсутствуют также и некоторые детали, существенные для самой этой «основной линии». Возможно, что для западного читателя, имеющего на своих полках книгу Флашеля и Клингенберга, это и не создает особых неудобств, но у нас

эта книга не переводилась. К тому же полного параллелизма между ней и соответствующими разделами «Лекций» все же нет.

При подготовке переводного издания замеченные неточности (в основной, «непрограммной», части книги) были исправлены— отчасти автором, отчасти мной. С согласия автора я пытался также восполнить мелкие пробелы и смягчить неровности изложения — в основном в первой части, в соответствии с ее характером. Это делалось частью путем исправлений в самом тексте книги, частью с помощью примечаний (все примечания в этой книге — подстрочные или вынесенные в конец — мои, а существенно измененные участки текста помечены темными треугольничками: они обозначают начало такого участка и его конец). С согласия автора мы решили опустить добавление, где предлагается упрощенное доказательство теоремы Люстерника — Шнирельмана о трех замкнутых геодезических,— оно оказалось неточным.

Гораздо более существенные изменения внесены самим автором или по его инициативе. Именно он прислал новый текст § 4.3 и сообщил, что Бальман обнаружил ошибку в одной теореме Альбера, некритически воспроизведенной в английском оригинале данной книги. «Спасение» заключительного результата § 2.3 — принадлежащей Клингенбергу теоремы 2.3.9 — потребовало значительных изменений в § 2.2, 2.3, а отчасти и раньше. Отмечу, что при этом существенную роль сыграла сообщенная мне КлингенбергОм идея — использовать пространство Пе. Другая идея — использовать модификацию одной теоремы Бредона [1]—возможно, принадлежит мне (см. Аносов [3], [4]), однако надо отметить, что статья Бредона была, по крайней мере отчасти, стимулирована одним вопросом Клин- генберга. После переработки § 2.3 я получил препринт Бальмэна, Торбергсона и Циллера [1], а затем новую книгу Клин- генберга [21] и его препринт [22], в которых тоже говорится об исправлении доказательства 2.3.9. Первый препринт не содержит подробностей, а у Клингенберга изложение дальше отходит от оригинала данной книги, чем предлагаемый здебь текст, и в данный момент я не берусь судить о полноте доказательства.

В книгу не могло попасть усиление теоремы 2.3.9, полученное позднее Бальманом, Торбергсоном и Циллером. В условиях этой теоремы ими доказано существование g (и) замкнутых несамопере- секающихся геодезических (с прежней оценкой длины), где g (п) — то же, что в предложении 2.3.3. По-видимому, большего числа «коротких» замкнутых геодезических может и не существовать. Это подтверждается как давно известным примером трехосного эллипсоида, длины главных осей которого близки друг к другу,

так и следующим новым примером Циллера: на S® существуют обратимые финслеровы метрики, сколь угодно близкие к стандартной и имеющие всего g (3) = 4 «коротких» замкнутых геодезических. Недостаток этого примера в том, что он все-таки не риманов. (В то же время он иллюстрирует предварительный характер «программной части» настоящей книги — для него не выполняется заключение теоремы 5.1.1, а между тем в соответствующих рассуждениях Клин- генберга фактически не используются какие-либо специфические свойства римановых метрик.)

Уместно будет упомянуть также и об одном направлении, выходящем за рамки настоящей книги, но близком к ней: о применении вариационного исчисления в целом к вопросу о периодических траекториях динамических систем, отличных от геодезических потоков. В течение длительного времени таких применений почти не было, но за последние 10 с небольшим лет (и особенно в самые последние годы) ситуация изменилась. Литературные ссылки (не полные, но достаточно представительные) см. в моей статье [5].

Считаю своим приятным долгом поблагодарить автора за сотрудничество при подготовке настоящего издания. Весьма полезными были обсуждения ряда вопросов с В. Бальмэном, С. П. Новиковым, М. М. Постниковым, Е. Г. Скляренко, Г. Торбергсоном, Д. Б. Фуксом, В. Циллером.

Д. В. Аносов

Памяти моего отца

ПРЕДИСЛОВИЕ

Вопрос о существовании замкнутых геодезических на римановом многообразии и свойствах соответствующих периодических траекторий геодезического потока стал предметом интенсивного изучения с тех пор, как в прошлом веке зародилась глобальная дифференциальная геометрия.

Наиболее простая ситуация возникает в случае замкнутых поверхностей отрицательной кривизны. В этом случае фундаментальная группа очень большая, и, как было показано Адамаром [1] в 1898 г., каждую негомотопную нулю замкнутую кривую можно продеформировать в замкнутую кривую минимальной длины в ее свободном гомотопическом классе. С точностью до параметризации эта замкнутая кривая единственна и представляет собой замкнутую геодезическую.

Вопрос о существовании замкнутой геодезической на односвязной замкнутой поверхности намного более сложен. Как отметил Пуанкаре [1] в 1905 г., эта задача имеет много общего с задачей о существовании периодических орбит в ограниченной задаче трех тел. Пуанкаре [1] привел набросок доказательства того, что на аналитической выпуклой поверхности, которая не слишком сильно отличается от стандартной сферы, всегда существует по крайней мере одна замкнутая геодезическая эллиптического типа, т. е. такая, что соответствующая периодическая траектория геодезического потока инфинитезимально устойчива. .

В течение последующих трех десятилетий Биркгоф и Морс, с одной стороны, ц Люстерник и Шнирельман — с другой, развили новые сильные методы, предназначенные для доказательства существования одной или, возможно, нескольких замкнутых геодезических на произвольных римановых многообразиях. Основными объектами этих исследований были римановы многообразия, которые с точки зрения их дифференциальной структуры (т. е. без учета метрики) являются сферами. Наиболее ранним исследованием в этой области является описание геодезических на эллипсоиде, данное Якоби [1], [2] в его лекциях по динамике в Кёнигсберге в 1842/43 г. Более поздним примером является монография Морса [2], вышедшая в 1934 г., в которой, помимо прочего, автор затратил много усилий, пытаясь

сосчитать числа Бетти над Z2 пространства непараметризован- ных замкнутых кривых на n-мерной сфере.

Однако удалось получить мало результатов о существовании более чем одной замкнутой геодезической на таких многообразиях. Вероятно, наиболее замечательным из них является теорема Люстерника и Шнирельмана [1], установленная ими в 1929 г. Они показали, что на односвязной компактной поверхности всегда существуют по крайней мере три замкнутые геодезические без самопересечений. Примерами поверхностей, на которых есть ровно три таких замкнутых геодезических, являются эллипсоиды, которые мало отличаются от обычной сферы. Отметим при этом, что на эллипсоиде всегда есть бесконечное число других однократных замкнутых геодезических, но, вообще говоря, они имеют самопересечения.

В 1951 г. Люстерник и Фет [1] доказали, что на любом компактном римановом многообразии всегда существует по крайней мере одна замкнутая геодезическая. Начиная с 60-х годов, теория замкнутых геодезических была значительно продвинута в работах Альбера, А. С. Шварца, Фета, Громола и Мейера, Элиассона и автора. Оглядываясь назад, можно сказать, что очень важной оказалась предложенная автором в 1965 г. (см. Клингенберг [3]) переформулировка теории Морса на пространстве замкнутых кривых на римановом многообразии. Последняя при этом рассматривается в рамках теории Морса на гильбертовых многообразиях, построенной в 1964 г. Пале и Смейлом [1].

Поразительное применение этого нового подхода было предложено в 1969 г. Громолом и Мейером [2]. Они доказали, что для любой римановой метрики на компактном односвязном дифференцируемом многообразии М существует бесконечно много замкнутых геодезических, если последовательность рациональных чисел Бетти пространства АМ параметризованных замкнутых кривых неограничена.

Как недавно показали Виге-Пуарье и Сулливан [1], это предположение о рациональных числах Бетти выполнено в том и только в том случае, когда рациональное кольцо когомологий многообразия М не является срезанным кольцом полиномов. Таким образом, теорема Громола — Мейера неприменима в случае римановых метрик на сфере, т. е. в том случае, который был главным объектом исследования в теории замкнутых геодезических в течение почти всей ее предшествующей истории.

Для того чтобы получить результаты о существовании бесконечного числа замкнутых геодезических без каких-либо предположений о топологии дифференцируемого многообразия, на котором определена риманова метрика, автор воспользовался

теорией гамильтоновых систем и, в частности, исследованиями Пуанкаре и Биркгофа о поведении геодезического потока около периодической траектории. (Заметим, что периодические траектории геодезического потока находятся во взаимно однозначном соответствии с замкнутыми геодезическими.) Результатом такого подхода явилось доказательство того, что в типичной ситуации на любом компактном римановом многообразии с конечной фундаментальной группой существует бесконечное число однократных замкнутых геодезических; см. Клингенберг [9], [16].

В процессе работы над настоящей книгой мы добились успеха в решении одной из наиболее выдающихся проблем всей теории, а именно было доказано, что на любом компактном римановом многообразии с конечной фундаментальной группой всегда, а не только в типичной ситуации, существует бесконечно много однократных замкнутых геодезических. Этот результат является новым даже для выпуклых поверхностей, т. е. для того случая, который исследовал Пуанкаре в самом начале возникновения теории замкнутых геодезических более 70 лет назад.

В доказательстве этого результата существенно используется вся структура гильбертова многообразия замкнутых кривых и соответствующий комплекс Морса. Значительно меньшую роль играет геодезический поток. Однако можно ожидать, что при дальнейшей работе над типичными свойствами периодических траекторий будет больше использоваться теория Пуанкаре—-Биркгофа гамильтоновых систем.

Цель этих лекций — дать в разумной степени полное, исчерпывающее и замкнутое в себе изложение основных методов и результатов теории замкнутых геодезических.

В гл. 1 мы приводим сжатое описание гильбертова многообразия АМ, точками которого являются замкнутые кривые на римановом многообразии М. Многообразие АМ и его структура получаются из М функториально, и при переходе от АГ к АМ никакая информация не теряется.

В гл. 2 излагается теория Морса — Люстерника — Шнирель- мана на многообразии Л.М. Строятся канонические действия групп S и Z2. Глава завершается описанием комплекса Морса многообразия АМ; это понятие существенно используется в дальнейшем.

В гл. 3 мы изучаем геодезический поток на касательном расслоении ТМ риманова многообразия М. Помимо довольно полного изложения теоремы об индексе для замкнутых геодезических, много места в этой главе уделяется типичным свойствам геодезического потока.

Глава 4 посвящена основным результатам всей теории. После доказательства теоремы Фета, в котором используется опи-

сание структуры окрестности непараметризованной замкнутой геодезической, мы приводим модифицированное доказательство несколько усиленного варианта теоремы Громола — Мейера. Затем эта теорема вместе с построенной Сулливаном теорией минимальной модели для ХМ применяется к доказательству того, что на многообразии М всегда существует бесконечно много однократных замкнутых геодезических, если группа Л1М конечна. Решающим шагом в этом доказательстве является лемма, связывающая между собой кратности некоторых пар замкнутых геодезических. Завершают главу несколько теорем о существовании в типичной ситуации.

Глава 5 начинается с подробного доказательства теоремы о трех геодезических, которая является долгожданным обобщением на произвольные односвязные многообразия классического результата Люстерника и Шнирельмана о замкнутых геодезических на поверхностях, диффеоморфных S2. Затем приводятся некоторые результаты различного характера о многообразиях эллиптического типа, т. е. многообразиях с конечной фундаментальной группой. Последний параграф посвящен многообразиям гиперболического типа — таким, например, как многообразия, у которых кривизна по всем двумерным направлениям отрицательна. Такие многообразия имеют очень большую фундаментальную группу.

Эта книга написана на основе лекций, которые я читал в различных местах в течение последних десяти лет. Упомяну, например, лекции, прочитанные в Бонне в 1966/67 и 1972/73 гг., в Беркли в 1971 и 1974 гг., в Бомбее в 1972 г. и в Миннеаполисе в 1975 г.

Я хочу поблагодарить всех тех, чьи щедрые приглашения предоставили мне возможность читать лекции и проводить исследования, и кто своими замечаниями, критикой и поддержкой помог довести эти лекции до их теперешнего состояния.

Я обязан Вольфгангу Циллеру за внимательное и придирчивое чтение большей части рукописи и Гудлаугуру Торберг- сону за помощь при чтении корректур. За неустанные усилия при перепечатке различных вариантов рукописи я благодарю Рути из Беркли, Кэти из Миннеаполиса и больше всего Корнелию из Бонна.

После долгих лет работы мне остается только надеяться, что мои усилия вдохновят молодое поколение математиков сделать то, чего не удалось сделать мне, и продолжить наступление на многочисленные еще не решенные проблемы теории замкнутых геодезических.

Вильгельм Клингенберг

Бонн, декабрь 1977

Глава 1

ГИЛЬБЕРТОВО МНОГООБРАЗИЕЗАМКНУТЫХ КРИВЫХ

В этой главе мы определим гильбертово многообразие АМ, состоящее из //^отображений параметризованной окружности S в компактное риманово многообразие М.

Мы покажем, что на АМ можно внутренним образом *’ определить риманову метрику и дифференцируемую функцию Е — интеграл энергии; при этом gradE удовлетворяет условию (С) Пале — Смейла.

Это условие позволяет перенести классическую теорию Морса — Люстерника — Шнирельмана с дифференцируемых функций, определенных на евклидовом (т. е. конечномерном) многообразии, на функции, определенные на гильбертовом многообразии (*).

Гильбертовы многообразия

Гильбертово многообразие М — это топологическое пространство (все топологические пространства в этой книге хаусдорфовы) со счетной базой, снабженное дифференцируемым атласом, образы карт**’ которого лежат в фиксированном сепарабельном гильбертовом пространстве М Мы также будем говорить, что М моделируется посредством М (2).

Так же как в случае евклидова многообразия, многообразию М соответствует его касательное расслоение t = t^: ТМ-^М, и так

же, как в евклидовом случае, атлас (фа, Ua)aeA многообразия М порождает атлас (Тфа, TU^ga многообразия ТМ.

Кроме того, мы будем рассматривать векторные расслоения л: Е ->М над многообразием М, стандартным слоем которых является банахово пространство Е,

Это означает, что существует такой атлас на многообразии М, что для каждой карты (ф, U) этого атласа задано локальное представление (Ф, ф, U), т. е. определена коммутативная диаграмма морфизмов

ЛРГ1

^(g)

со следующими свойствами:

ограничение Фр отображения Ф на проектирующийся в точку pel) слой Ер = л-1 (р) является топологическим линейным изоморфизмом;

если (Ф, ф, (/) и (Ф', ф', (/') —локальные представления, то отображение

Ф'-Ф-1: U^U'-^-L^E; Е), рн->ф'.ф;‘, дифференцируемо (3).

Подробнее см. Ленг [1], Элиассон [3], Флашель, Клинген- берг [1] и Бурбаки [1].

Если точка (х, Е) е ф (U) X Е является локальным представлением элемента из Е, то В будем называть главной частью этого представления.

Локальное представление (Ф, ф, {/) расслоения л: Е -> М определяет *> локальное представление касательного расслоения т£: ТЕ-*Е

(if) ^Мх&

^ЕРг1,2

w^^E

Если (х, Q е ф ((/) х Е, то элемент из рг?,12 (х, В) будем обозначать через (х, В» у, г]) s {(х, В)} х М х Е.

Введем фундаментальное понятие связности **> на расслоении л: Е-*-М. Связность — это отображение () К: ТЕ-^Е, такое,

Фактически (ТФ, Ф, л-1 ((/)) индуцировано одной только верхней строкой коммутативной диаграммы для (Ф, <р, (/).

Точнее, линейной связности, но другие дифференциально-геометрические связности нам не понадобятся.

что для произвольного локального представления (Ф, ф, (/) расслоения Е существует дифференцируемое отображение Гф: ф (U) -*■ -vL(M, Е; Е), для которого локальное представление Кф: = = Ф <■ К • УФ'1 отображения К

К^. ф(1/)хЕхМхЕ-^ф(1/)хЕ

определяется соответствием (х, £, у, r])1-*^, г] + Гф (х) (у, £)). Отображения Гф называются символами Кристоффеля ^*\ Заметим, что К является морфизмом векторных расслоений из т£ в л над л, т. е. что следующая диаграмма коммутативна:

ТЕ-^Е

Е-^М

и Kv = K\T^EeL(T^E; E^*'- Это непосредственно следует из локального представления этой диаграммы:

^ Л "^ Г^^с)^! £))^ Л "^ Г^^с)^! £))

^ Л "^ Г^^с)^! £))

^ Л "^ Г^^с)^! £))

<^Л>

Пусть К — связность на л: У -> М. Для каждого £ е Ер = л-1(р) определим подпространства

ТуЕ ■ ker(Ул: Т^Е —>ТРМ) и ТуЕ = кег (/С^: Т^Е-^-Е^,

которые мы назовем соответственно вертикальным и горизонтальным подпространствами в У6£**>.

.1. Предложение. Связность К на я: Е->М определяет разложение TE = ThE@TvE касательного расслоения, такое, что Т^Е = Ту1Е ^>Т^Е.

’ В бесконечномерном случае в определение морфизма векторных расслоений включается еще одно условие: возможность локального представления морфизма посредством дифференцируемых отображений карт в пространство непрерывных линейных отображений стандартных слоев (Ленг [1], Бурбаки [1]). Для К оно тоже выполнено.

*’ Т^Е можно определить также следующим образом. Так как Ер с > Е, для любого ieEp имеем 1\Ер с—>. ТЧЕ. Рассматривая ТгЕр как подмножество Т^Е, нетрудно убедиться, что T^f — Т^Ер.

Поскольку Еп является векторным пространством, касательное пространство к Ер в любой его точке § естественно отождествляется с иим самим. Итак, имеем каноническое отождествление Jy Ер -► Т^Е. Оно используется в основном тексте. Из локального представления сразу видно, что Jy=(K | Ту,)-1.

Точнее, при каноническом отождествлении Т^Е с Ер, где р = = л(£), это разложение можно представить в виде*''

7\E = (id — K)T\E + K7\E.

Доказательство. Из локального представления К^ связности К видно, что если отождествить Т^Е с Ер, т. е. отождествить {(*. 6, 0, г])}е{(х, £)}хМх£ с {(х, г])}е{х}х£, то К^К^и КФТ^Е = 7^; это означает, что Кф — проекция. □

Локальным представлением для 7^Е является

{(х, В, У, -Гф (х) (у, |)} е {(х, $х Mx Е.

Если задана связность К на л: Е -> М, то можно определить ковариантную производную дифференцируемого сечения £: М-^Е, полагая Vg:= К -7%. Заметим, что Vg является сечением расслоения**1 £(т; л): 1Д7М; Е^М.

Пользуясь локальным представлением (Ф, ср, U), легко убедиться, что главная часть V£ представляется в виде

7?ф(х) = Щф(х) + Гф(х)(-, |ф(х)),

где &ф: ф ((/)-»-£ — главная часть локального представления £.

Замечание. Пусть 8 (М) и В£(Л1) —пространства сечений расслоений tai и л. Тогда ковариантная производная определяет отображение

В (Al)хВ£(М)-> В£(Af), (у, g)i—»Vg.y, локальное представление которого было выписано выше.

В то время как для евклидовых векторных расслоений над евклидовыми многообразиями такое отображение V всегда определяет связность К, в нашей более общей ситуации это не всегда так; подробности можно найти в книге Флашеля и Клинген- берга [1].

Для дальнейших приложений рассмотрим следующий частный случай индуцированного расслоения с индуцированной связностью, (Относительно более общей ситуации см. Элиассон [3].)

' Если явно упоминается о каноническом отождествлении, то здесь надо вместо К писать J^K. Разложение 7\Е можно описать еще так:

(Тп | T^E)~i © J^ ТЯ1^>М@ЕЯ11>-^Т^Е есть изоморфизм.

*’ Образ вектора X е ТМ под действием Vg обозначается через V^.X (а если надо подчеркнуть, что все это происходит в слое над р,— через V^(p).X). Заметим, что в данных «Лекциях» не употребляется довольно распространенное обозначение V^g для того же образа (ср. с аналогичным замечанием в (1), г), насчет Df. х и Dxiy Я все-таки буду иногда пользоваться этим обозначением.

Пусть S = [0, 1]/{0, ^ — параметризованная окружность длины 1 *). Пусть с: S ->М — дифференцируемое отображение в базу М расслоения л: Е-^-М, Тогда определено индуцированное расслоение с*л

е*л

S*К

со слоем с*л-1(0 = £сЦ)-

Пусть на л: Е-*М определена связность Кд. ТЕ-^Е. Тогда на с*л имеется связность Кс*», которая определяется следующей коммутативной диаграммой:

Тс*Е ^—»ТЕ

^с*я^И

с*Е—^л

Пусть5 —сечение расслоения с*я**\ Так как на S определена каноническая координата /е[0, 1]/{0, 1}, то главную часть сечения £ обозначим через ^(0- Канонический касательный вектор к S будем обозначать через***) dt. Определим теперь

^•.= Ч.д1 = Ке*Я"Т£.д1

Вместо Vc£ мы также будем писать****) Vg.

’ Удобно также представлять S в виде факторпространства R/Z (это даже топологическая факторгруппа, что оправдывает используемую кое-где запись вроде Z+Va)- Строго говоря, «стандартная координата» Z в S не является координатой в обычном смысле слова (так как это не число, а число по модулю Z). Вызываемые этим незначительные изменения в различных формулировках совершенно очевидны и молчаливо подразумеваются как нечто само собою разумеющееся.

Иногда (см. 1.4.17 или начало § 2.2) S рассматривается как единичная окружность в плоскости комплексного переменного, и ее элементы обозначаются через e15tit.

*’ При Е = ТМ, л=т понятие сечения расслоения с*т, по существу, эквивалентно понятию векторного поля вдоль отображения с (Громол, Клин- генберг, Мейер [1]), особенно если не проводить педантично различия между ^(т) и t*c£(Z). (Сказанное справедливо при любом Е, если перенести определение векторного поля вдоль кривой на этот случай.)

**’ Более привычным было бы обозначение dldt, d/dt или dt. Впрочем, у Клингенберга далее (в § 1.3) знаком d фактически обозначается дифференцирование по t Рассматривая t одновременно и как координату, и как определяемую ею точку в S, в соответствии с обычными соглашениями имеем: dt=d (точка Z)=d (точка Z)/d/= канонический касательный вектор в TtS.

***< В более классических обозначениях V^Z) есть ковариантная произ- V

водная ^ § (Z) поля J (Z) (более формально, поля л*с£ (Z)) вдоль кривой с (f). Рассматриваемая как элемент слоя расслоения с*Е над точкой t. С сокраще-

а Если отображение с: S->-M всего лишь непрерывно, т» можно образовать индуцированное расслоение с*л: с*Е->-8, но его естественный векторный атлас (индуцированный при отображении с из векторного атласа для расслоения Е -> М), вообще говоря, уже не будет удовлетворять обычным требованиям дифференцируемости. Формально это не позволяет говорить о дифференцируемости сечений g: S-^c*E или рассматривать связность в расслоении с*л, ибо не определено даже Тс*Е. Однако естественно считать сечение £ дифференцируемым в точке t, если в этой точке дифференцируемо отображение л*с£: S-^-E (это, в частности, подразумевает, что с^ дифференцируемо в точке ty В этом случае можно определить ковариантную производную

^cUt):= WP «К„-Т^*с^ .dt.

(Здесь (л*с),: = (л*с) | (с*л)-1 (/): (с*л)-1 (О->Е^.)

Очевидно, понятие ковариантной производной можно определить и для векторного поля, заданного вдоль незамкнутой кривой. В более общем случае отображения §: N ->-Е (^ —дифференцируемое многообразие, Е — расслоение над А1 с проекцией л: Е -> М и связностью К: ТЕ -*Е; о 8 говорят как о «векторном поле, заданном вдоль отображения fvN -> М, f = л • £») можно ввести ковариантную производную в точке х е N как

WY TxN-*EfW, 4W=K’U

Если N — открытое подмножество пространства К" со «стандартными» координатами (si, ..., s„), то можно говорить о «частной» ковариантной производной Vg/^s^V^. Это есть ковариантная производная векторного поля s< *—► £ (sj$/,..., s„), заданного ВДОЛЬ кривой S,H-»/(б1, .... Si, .... 8„У *

Пусть (Ф, ф, U) — локальное представление расслоения л, и предположим, что c^eU при некотором t е S. Положим Ф" л*с»^(0 = ?ф(0- Тогда главная часть V^^) локального представления Vcg будет такой:

^ф(0 = 1ф(0+Гф(ф»с(0)((ф»с)- (О, WY

Для того чтобы убедиться в этом, заметим, что Тл*с«Т^ .dt локально имеет вид (ф-с(/), ^УУ (ф-с)" (/), £ф(0), а затем применим Кд.

Для расслоения л: Е-+М определено ассоциированное расслоение

—————«

нием Vc§ до V| оказывается, что в рассматриваемом случае векторного расслоения над S символ V£ формально имеет два различных смысла; это различие такое же, как между } (f) и Df(f) в Р), т. е. оно несущественно и игнорируется в дальнейшем (при необходимости уточнить смысл Vg можно обратиться к контексту).•

в котором слой ЬЦЕ)Р над р состоит из непрерывных симметрических билинейных отображений в R, см. Ленг [1]. Пусть ЕЦЕ)-- модель этого слоя. Это пространство содержит в виде открытого подмножества множество 7? i (Е) положительно определенных форм. Форма называется положительно определенной, если она

^ е (гильбертова метрика на Е)

при некотором е>0.

Риманова метрика на расслоении л: Е -> М — это такое дифференцируемое сечение g: М -> Ц (Е), что g (р) — положительно определенная форма**.

Если на т: ТМ - М задана риманова метрика g, то М называется римановым многообразием, а метрика g называется также римановой метрикой на М.

Пусть g — риманова метрика на т: Е-*-М. Будем называть связность К на т римановой, если выполнено следующее условие:

для любого открытого подмножества U с: М справедливо соотношение

(*)Dg(^, т]). у = g(^.v, т]) + Е(В, Vti.y),

где у — произвольное сечение расслоения хм | U, £ и г] — произвольные сечения расслоения л|U и ^ = К-Т^ — ковариантная производная, определенная отображением К: Т(£,(/)->E\U.

Замечание. Если на М существует дифференцируемое разбиение единицы, то в предыдущем определении достаточно рассматривать только одно открытое подмножество U, равное М, см. Фла- шель, Клингенберг [1].

Пусть К — связность на т: ТМ-^-М. Обозначим через Ед(т;т): La(TM; Т М)->-М ассоциированное с т расслоение, стандартным слоем которого является ЕЦМ; М) — множество кососимметрических билинейных отображений. Тогда кручение (или тензор кручения) связности К — это сечение Т расслоения Еа(т; т), которое определяется следующим образом. Рассмотрим представление (Tq>, ф, U) расслоения т; тогда главная часть сечения Т

Т^. <f(U)-+L‘a(M-, М) задается соотношением

)Т^х^и, о) = Гф(х)(ы, о)-Гф(х)(у, и).

Если Т = 0, то К называется связностью без кручения.

Теорема. На римановом многообразии существует и единственна риманова связность без кручения. Эта связность называется связностью Леви-Чивита.

Доказательство. Пусть (Тф, ф, U) — локальное представление расслоения т: ТМ-*М. Обозначим через gq,: (p(U)-* Ц(М) главную часть соответствующего локального представления римановой метрики g.

Рассмотрим соотношение

*) ^Ф W (Гф (х) (и, у), йУ) = 1/г(О§-ф(х).и(у, w) +

+ DSs И. и (и, w) — Dg(f(x).w(u, у)),

где («, у, и») г МхМхМ и хеф(У). При помощи этого соотношения определяется непрерывное и обладающее всеми требуемыми свойствами дифференцируемости отображение

Гф: ф((7)-+Л2(М; М).

Осталось проверить, что Гф и Гф, удовлетворяют формуле преобразования для карт (ф, (/) и (ф', (/'):

D (ф' • ф-х) Гф = Гф, • (D (ф' - ф-1) * О (ф' • ф-1)) + D2 (ф' • ф-1).

Из этой формулы (вывод который предоставляется читателю) следует, что отображения связности

К^: ф (1/Г1 IO X M X М X Мф ((/П t/') X М,

К^1. ф'^'П^хМхМхМ-^ф'^'nt/)xM связаны соотношением

(t)Тф-1«/<ф-ТТф = Тф'-1-/<ф'-ТТф'

и, следовательно, задают всюду определенную связность К: ТТМ-*-ТМ *’. В самом деле, (t) выполнено, так как для локальных представлений (х, g, у, ч) и (х', g', у', ч') многообразия ТТМ выполняются соотношения **)

х, = ф'.ф-1(х), |'= D (ф'• ф-1) g, у' = D(q>' -ср-^у,4f = ^ (ф' • ф-1) ч + D2 (ф' • ф-1) (у, g).

♦’ См. (6), в).

Пусть ф=ф'оф-1; (ф) эквивалентно тому, что Тф» Кф = /<ф1 • ТТф. Главная часть этого соотношения (которая только и нуждается в проверке) имеет вид

Оф.(т1+Гф(А:)(//, ?)) = П'+Гф, (х')(/, V).

Последнее равенство непосредственно вытекает из формулы преобразования для Гф и формул, связывающих штрихованные величины с иештрихованными.

Из определения Гф непосредственно следует, что локальные представления Тф тензора кручения тождественно равны нулю и что связность риманова, так как

(****) Dgv(x).ti(v, ш) = £ф(х)(Гф(х)(и, о), ау) +

+ ^W(y. Гф(х)(и, £У)),

что является локальным вариантом формулы (*) (6).

Для доказательства единственности связности Леви-Чивита заметим, что из Т = 0 (где Т определяется согласно (**)) и (****) следует (***). □

Наконец, заметим, что если на расслоении п: Е->М определена риманова метрика g и с*л: с*Е->8 — расслоение, индуцированное отображением с: 8-*-М, то на с*л определена индуцированная риманова метрика c*g, задаваемая равенством c*g = = £-(л*схл*б).

1.2. Многообразие замкнутых кривых

Обозначим через М компактное (евклидово) многообразие, снабженное римановой метрикой g, которую мы также будем обозначать через (•, •).

Пусть, кроме того, V обозначает ковариантную производную на ТМ, соответствующую связности Леви-Чивита.

Замечание. Большая часть приведенной ниже конструкции проходит также в случае некомпактного риманова многообразия. Однако для наиболее интересных разделов теории компактность необходима. Поэтому мы будем предполагать, что Л1 компактно.

Так же как в § 1.1, через S будем обозначать параметризованную окружность [0, 1]/{0, 1}. Далее положим

С° (S, М): = множество C”(S, М) := множество Н1^, Му. = множествоС° (S, М): = множество C”(S, М) := множество Н1^, Му. = множество(^•отображений S в М;(^-отображений 8 в М;Н1-отображений S в М.(^•отображений S в М;(^-отображений 8 в М;Н1-отображений S в М.

С° (S, М): = множество C”(S, М) := множество Н1^, Му. = множество

С° (S, М): = множество C”(S, М) := множество Н1^, Му. = множество

(^•отображений S в М;

(^-отображений 8 в М;

Н1-отображений S в М.

(^•отображений S в М;

(^-отображений 8 в М;

Н1-отображений S в М.

Здесь отображение с: 8-*-М называется ^-отображением, если оно абсолютно непрерывно и производная с (0 (которая почти всюду определена) интегрируема с квадратом по отношению к римановой метрике на М:

^<с(0, с (ty)eW di < со.

Заметим, что С” (8, M)c~Hl(S, M)czC°(S, М).

Снабдим множество C°(S, М) компактно-открытой топологией. Для того чтобы определить топологию (и даже структуру гиль-

бертова многообразия) на Нл (S, М), рассмотрим для с е №(8, М) расслоение*) с*т: c*TM-*S и обозначим через Нг(с*ТМ) множество //'-сечений в с*т, г = О, 1. При этом § называется //’-сечением, если оно интегрируемо с квадратом, т. е.

<6, g)0: = \^^,s

Таким образом, Н^^ТМ) становится сепарабельным гильбертовым пространством. А Строго говоря, его элементы —это классы эквивалентных сечений, где под эквивалентностью понимается совпадение почти всюду (в смысле меры Лебега на S). Сечение £ принадлежит Я1(с*ТЛ1), если оно абсолютно непрерывно (т. е. абсолютно непрерывны его локальные представители |ф (/) = = р^Тф^сТЦГ)), так что почти всюду определены Vcg(/), и если при этом

№(/), ?с£(фе(ПЛ«ю. s

(В терминах локальных представлений последнее эквивалентно тому, что производные £ф(/) локально (т. е. в некоторой окрестности любой точки своей области определения) интегрируемы с квадратом.) *

Определим скалярное произведение в №(с*ТЛ1), полагая

<ВЛ>1:=а ?>o + <V^ vg>o,

где Vg(/) = VC|(/) —почти всюду определенная ковариантная производная, ср. § 1.1.

Мы также будем рассматривать векторное пространство

C°(c*TM)i= множество непрерывных сечений,

которое наделим нормой |6L!= SUP 1^(01 (норма максимума модуля).

Норму на //'(о*Т/И), определенную скалярным произведением, будем обозначать через |»|г, г = 0, 1 *•>.

Предложение. Следующие включениях

Нх (^ТМ) с_> С» (с*ТМ) с_* //»(с*ТМ>

*’ При ceC°°(S, М) это дифференцируемое векторное расслоение, а при с г №(8, M)—C”(S, М)—непрерывное векторное расслоение ((*), г)).

*•’ В обозначениях для норм |g|o> 1811 и 16 loo индексы 0 и 1, е одной стороны, и со—с другой, имеют различное происхождение, В первом случае индекс 0, соответственно 1, указывает, что берется Lg-норма одного только сечения g, соответственно g и первой (ковариантной) производной Vg; то что используемая норма есть La-норма, никак не указывается в обозначениях. Во втором елучае индеке со указывает, что речь идет об Leg-норме сечения g.

непрерывны. Точнее,

0) если g е С°, то 11Ц, < 11 U

,(ii) если ^еН\ то |1^^2|^$.

Доказательство *>.

0) ■ 1£К=№(0’ i(0>^<Jmax|U0M = HEo. S3

2) Выберем h так, чтобы при всех t выполнялось неравенство | g (01 < 11 (У |. Тогда

UCo»IU0lB + \4l^)M<

< 11 (012+2 № (011 v| (О I <# < I (О|2+ШЖVIВ. ■'3■

Здесь t любое. Проинтегрировав по S, получим

•d^L<<^ ^)о + <1. I)o + <V|, Vg>0<2J|[?. □

Рассмотрим конечномерные векторные расслоения над 5

л/i Ef-+S, 1^/^&, у: F-+S

со стандартными слоями Е} и F соответственно, снабженные римановой метрикой**'. Кроме того, мы также будем рассматривать ассоциированное расслоение

L(ni, .... лА; ф): L(EV ..., Ek; F)->S

полилинейных отображений, т.е. расслоение, стандартный слой ***> которого является векторным пространством полилинейных отображений Ь(Ец ..., Eh, F). Римановы метрики на Л/ и ф определяют норму на этом расслоении ****), для которой |L(|i,..., |6) | ^

<L||g1|...|gJi|.

’ Доказательство проходит и для более общего елучая дифференцируемого векторного расслоения Е-^- S. Такой более общин случай нужен, например, для доказательства предложения 1.2.2 (если даже ечитать, что в 1.2.2 все Ej—F=c*TM, то нужны еще некоторые расслоения, ассоциированные о этими 5/ и f).

Далее можно считать, что векторное расслоение Е—всего лишь непрерывное, но для сечений определена операция V с надлежащими свойствами. Чтобы не вдаваться в аксиоматику последних, отметим, что для дальнейшего Нужны те случаи, когда Е и F—это или с*ТМ, или одно из ассоциированных в ним расслоений.

*’ А также связностью (она нужна, чтобы можно было далее говорить о норме [[ • у или хотя бы операцией V (см. предыдущее примечание).

**' Его слой над х есть /.(л^1 (х), ..., л^1 (х); ф-1(х)).

т«> д связности в Ej и F индуцируют связность в L, для которой

VWGi^ = ^АН<1Ы+Л^ЕУ+...+Л&Vg»).

Рассмотрим канонические включения

(») НЦЦЕг, Et, ...» Ек; F))c-»

c_^L(H4Ei), НЧЕ»)НЧЕкУ Н°О,

() НЧЦЕц ЕаЕк\Еу^»

с_*ЦНЧЕ^ ИЦЕ»)НЦЕку, НЦРу, определяемые соответствием

Л = (Л (/))-* {Л: (Ь, ...» Ы-*(Л(0.(^1Ю. .... Ы0))Ь

Предложение. Включения (*) и (**) непрерывны и линейны.

’ |Лйх, ^В*И?<2МЛ«НШЫ1...1М.

1Л(Вь В.BA)K^constMlimi№L.4M.

Доказательство. (1) Ясно, что

М(£ь 1з. .... Ш<МиЫШ2^...|1Ы:,<

так как из-под знака интеграла можно вынести квадрат нормы максимума модуля 1.^ для всех элементов, кроме одного, и затем применить 1.2.1.

Заметим, что '

V (A (Вт, &...♦, Ы) - (VЛ) (51, В„ ..., ^) +

+Л(?Вх. ВзЫ + Л(Вь VB2В»)+...+Л(В1. Вз,.... ^.

/ I \» I

Пользуясь соотношением (2 а/) ^l^a4i и приемом, примененным в (1), найдем, что

РЛ(В1, ВзШ^(^)2»(^ЛтШВз1?...Ы +

444||П?ШЫЬ..Н^+...4ЧЛ№ЯЫЬ..^^

<constM^!lB1l'?H21I..4BA|IL □

Предложение. Пусть 0 —такое открытое подмножество в тотальном пространстве дифференцируемого векторного расслоения*’1 л: E-+S (dim£<ob), что 0ti= ^Пп-1^) с= Е( при всех teS непусто, и пусть л снабжено римановой метрикой и римановой связностью.

Утверждение. И1 ^ := ^множество тех £ е Я1 (£), у которых § (/) s ©t при всех / eS} открыто *> в Н1 (£).

Доказательство. Пусть £ г Н1 ^©Y Тогда существует такое в >• 0, что если л е Я1^) и | л (/) — g (/) Гг < 2е2 для всех / е S, то т)(0@<9< Для всех (gS. Поэтому из 1.2.1 следует, что если ||Л-?И1<е> то п^НЦ©).■

Предложение. Пусть л: E-^-S и © с Е — такие же, что и в 1.2.3. Пусть ф: F -> S — дифференцируемое векторное расслоение (dim/7<oo) с римановой метрикой и римановой связностью. Допустим, что f: © ->-F — дифференцируемое послойное отображение, т. е. q>-f = n.

Утверждение. Индуцированное отображение

ъ нч^-*нцр), ш~т непрерывно.■

Доказательство. Если Цл_ ?lli стремится к нулю, то И~ ?L и ||Vr] —V^Ho также стремятся к нулю и |7 (л) — f (?) Но < <lHn)-H?)L-

Заметим, что если л (0 = л (t)h + л (t), — разложение на горизонтальную и вертикальную части **>, то 4(t)h локально имеет вид (t, г] (0, dt, —ГДд1, л (/)) *\ т. е. зависит только от л(0> в то время как л (t), может быть отождествлена с 7л (t). Поэтому если мы обозначим через

Tf^-DJ^ + D^^t))

разложение Tf на его ограничения на горизонтальное и вертикальное пространства, то

7(/.л) = (Лл); = (/‘11)’-(^П)й =

=Вф (л). лл + D4f (л). Л» - (/ ’ Л)^^ (л) • ^Л+Dif (л) • % - (Л л)б-

Вычитая аналогичную формулу для V^-^), получим

V (/ - л) (О - V (/ .6) (О=Def (л (0). ?Л (0 - D4f (g (0) . vg (о+

+ W (л (0). Л/. (0 - DJ $ W). к (0) - W ” n)i (0 - (/ • lYh (0}.

Обе фигурные скобки стремятся к нулю при |£ —лк^О» а Wh(0)-^(0-W(?(0)-^(0 =

= W (л (0) • (Vл (0 - V£ (0)+W (л (0) - D4f а (0)) • vg (0

*' Но пока не исключено, что Н1 (©) = ф (например, © может состоять из двух связных компонент, ни одна из которых не проектируется на всю S).

**' Здесь л := (Пр dt g ТчЕ.

**** Собственно, в терминах локальных координат надо говорить не о Векторе dt, а о его локальном представлении — числе 1,

Я В, Клингенберг

стремится к нулю в Ho-норме при || л — £ ^ -> 0. Следовательно, II ^Нл)- ^(Ullo также стремится к нулю. □ (7)

Сейчас мы докажем следующее небольшое обобщение фундаментальной леммы Пале [2].

Лемма. Пусть ©с.Е и f: ©-^F ^обозначения те же, что и выше) — дифференцируемое послойное отображение.

Утверждение. Отображение ^: Н (6) -> Н1 (F) дифференци- . руемо и Dl = (D^y*\‘

Доказательство. Из 1.2.4 мы уже знаем, что f непрерывно. Из формулы Тейлора следует, что

(л (0) - / (^ (0) -D.fa (W. (л (0 - 5 (0) =

= r^(t), т](Д)).(т)(0-^(0), где

г №, Л) := S ^ (5+® (Л - 5))ds - DJ ^у, о.

г является послойным отображением некоторого ©'х©' а©х©с. сЕхЕ (произведения Уитни расслоений) с выпуклым ©' в рас- ■ слоение £(л; ф): £(£; F)-*S.

Из 1.2.4 следует, что индуцированное отображение

F: НЧ©'х©')-*НЧЦЕ; F))

непрерывно. Теперь

8Кл)-^)-(адЕ)).(л-Е)1Ы№ л) - (л —5)01^

const р(^, л) 111IIЛ ~Ui.

где ||F(£, л) lli->-0 при Н —л11->0, так как г а, |) = 0. Следова- ' тельно, f дифференцируемо и Dj = (D2f)~.

Аналогично можно показать, что Drf = (Dj/) • □ (8)

Сейчас мы напомним следующий хорошо известный результат римановой геометрии; см., например, Громол, Клингенберг и Мейер [1] или Милнор [1].■

Лемма. Пусть М —компактное риманово многообразие. Для каждого е>0 обозначим через ©8 открытую е-окрестность нулевого сечения в расслоении т: ТМ-^М, т. е. ©8‘. = а^ТМ, |£|<е}. Иногда для краткости окрестность ©8 мы будем обозначать просто через ©.

*• Строго говоря, Df есть отображение И1 (0) -> L (И1 (£); № (£)), a (Ds/)' —отображение Н1 (<©) -+Н1 (L (Е‘, F)). Говорить об их равенстве можно, лишь подразумевая, что Н1 (L (5; Г)) рассматривается как часть

Утверждение. Существует такое е>0, что отображение

(т, exp): ©6-*-МхМ, £•—►(r(g), ехр(|)) является диффеоморфизмом на открытую окрестность диагонали в МхМ.

В частности, exp | V®$ : = © П ТрМ) инъективно. □

Для такого ^ с ТМ и отображения с; S ->- Л1 класса Н1 положим

©с : = с*® сс*ТМ.

Тогда ©с является открытой окрестностью нулевого сечения в расслоении с*%. Определим отображение*)

(t)ехрс: НЧ®сУ*НЧ$, М),

полагая ^ = Q (/))i-^ (ехр (т*с^ (/)))• Введем обозначение

U^‘.= ехрсН1^).

АПроверим, что, когда**) ^еН1^©^, кривая (е (/)): = = (exp т*с£ (0) действительно класса Н1. Ясно, что е (I) — непрерывная замкнутая кривая. Для любого t8eS возьмем какие-нибудь карты (ф, U) и (ф, V), содержащие точки с(/0) и е(/0) соответственно; если Тф . т*с£ (4) = (^о, Уо), то в некоторой замкнутой шаровой окрестности W точки (х0, у0) определено и дифференцируемо отображение g : = ф-ехр -(Тф)-1. Существует такая замкнутая дуга AcS, содержащая t0 в качестве своей внутренней точки, что с (А) с U и Тф (т*с£ (А)) с: №. Тогда при /е А

Тфот*^(0 = (фс(0, МО), W) = g(<Pc(0, МО), и фс(/), £ф (/) — абсолютно непрерывные функции, производные которых интегрируемы с квадратом (на А). Но, очевидно, отображение g удовлетворяет условию Липшица, и потому под его действием абсолютно непрерывная функция А -► № переходит снова в абсолютно непрерывную функцию от / (так что обе функции почти всюду имеют производную), причем при почти всех t норма производной самое большее умножается на константу Липшица. □

Ясно, что если е е Ж (с), то дм (е (/), с (t)) < в при всех t (здесь ^я—расстояние в М, индуцированное римановой метрикой).

*’ Заметим, что № (0С) непусто, ибо содержит нулевое сечение.

**’ Собственно, здесь можно было бы считать, что £ е Я1 (с*ТМ) (определив ехрс | для таких j той же формулой); просто нам будут нужны только 6 s № (0С).

2*'

Обратно, если dM(e (О, с(0)<8 при всех t, то е (/) = ехр т*с£ (f) с некоторым £ е С°(с*ТМ), | ^ |ео с в. Это верно не только при с, е е Н1 (8, М), но и при с, е е С° (S, Af). Если жес, е е Н1 (S, М), то £е/Р ^с*ТМ\

Последнее нуждается в доказательстве. Для любого toeS возьмем такие же (ф, Щ, (-ф, V), F и Д, как и выше. Ввиду 1.2.6 можно считать (уменьшив, если потребуется, W и соответственно уменьшив также и Д), что существует обратный оператор (D^g^x, у))-1. По теореме о неявной функции у точки (х^, г^, где z0 = g(x0, Уо), имеется такая окрестность, являющаяся произведением W\„ х W2„ шаров с центрами в х0, г0, и в этой окрестности определена такая дифференцируемая функция h: Wx„ X X W2o -> Wy„ что h (x0, z0) = Уо, g (x, h (x, z)) = z, и если g (x, y) = z (x s WX(), z e Wz„ и | у — Уо | также достаточно мало), то у = h (х, z\ Поэтому ?ф(0 = Л(фс(/), фе(/)) при достаточно малых |f — <0|. Отсюда следуют абсолютная непрерывность £ф(/) и интегрируемость | |ф (0|2. □ А..

Предложение. Отображение ехрс инъективно и

im ехрс = {е е Н1 (8, М); e(t)eexp(&QTc(ijM)} =

= {ee№(S, Af); dM(e(/), с(/))<е при всех /}.

Доказательство. Утверждение очевидно ввиду сказанного выше. □

Лемма. Пусть с, de С”(8, А1). Тогда отображение ехр;1 - ехрс: exp^1 kit (с) П U kd^ "*■ ехР5* (^ (d) 0 и (с)) является диффеоморфизмом.

Доказательство. Для каждого teS определим множества

©t, t: = (т*с)Г‘ к© П Тс WM\ ©»л\= k'W k® f| Td WM\ ©С,d,t'-=©c.t{\ (exp • Т*с)-1 о (exp -T*d) ©a,t, и если ©с.а.бЧ^Ф при всех teS, то положим ®c,a = \^©c,d,t. а в противном случае положим ®с.а = Ф-

Докажем, что множество ®c>d открыто в ®с. Пусть ^е®с-а, т. е. Xe.©c,a,t при некотором /; |^|<е и dM(expт*с^, d(O)<e. Тогда при всех ^'ес*ТМ, достаточно близких к g, будет |g'|<e и йЛ1(ехрт*с^, d(c*T^'))<e.

Далее,

НЧ©с,^-ехрГ ^^(\M(d^,

ибо U (с) () Т1 (d) = {е е Н1 (8, М\, dM (е(t), с (0) < е, dM (е (0, d (0)< <е при всех /}.

Отображение fd,c := (exp-т*^"1-(ехр«т*с): (9Cid-*d*TM является послойным отображением и exp^1 = expc = fd,c. А поэтому лемма следует из 1.2.5. □ (9)

Теорема. Атлас

(ехрс1, % (с)), сеСю(8, М), задает структуру дифференцируемого гильбертова многообразия на Нг(8, М). Этот атлас называется естественным.

Замечание. Моделью для Н1 (S, УИ) является любое из эквивалентных бесконечномерных сепарабельных гильбертовых пространств НЦс*ТМ), се С” (S, М) (ср. с (а)).

Доказательство. (1) Карты естественного атласа моделируются сепарабельными гильбертовыми пространствами, реализованными в виде Нг(с*ТМ\'

Так как каждый элемент деНЦЗ, М) может быть приближен в ^-метрике, где

d^ (с, с') := sup dM (с (/), с' (()),tes

элементом csC°°(S, ЛТ), то для каждого d найдется такое с, что de К (с), т. е. множества 11 (с) образуют открытое покрытие *> Нг (8, му

Из 1.2.8 мы знаем, что естественный атлас принадлежит классу С”.

Чтобы убедиться в том, что H^S, Л1) имеет счетную базу, достаточно показать, что естественный атлас имеет счетный податлас. Для этого покажем, что для каждого целого />0 множество

№(8, му:=$се№(8, МУ ^c(i), с ^ dt <2l\

может быть покрыто конечным набором карт нз естественного атласа.

Чтобы это доказать, выберем е>0 таким же, как в 1.2.6, а целое т = т(г, I) так, чтобы 18/<те2. Тогда для ее №(8, МУ получим, что если ej: = ey/m) и te^j — Vyltn, Цт^ то

///шх2

Ам (^, е Цу\ dM (е^, е ^у < $1 е (01 di <

\(/—l)/mi

V (еЦу e^ydt^^Hm^e8^.

*’ Пока что (2) является не открытым покрытием—ведь топологии в " (S> М) мы еще не ввели, —а просто покрытием. (Ср. о (*).) Образы карт ехр-' и (су^Н1 (0С) и образы пересечений exp^tlZtcJn^W)”//1!^.^- открытые подмножества №^*7Му (предложение 1.2,3 и лемма 1,2,8).

Отсюда следует, что е | [(/ — \)/т, j/m\ целиком лежит в шаре радиуса е/3 с центром в е;_г и в шаре радиуса е/3 с центром в е,.

а Существует такое конечное множество Р точек М, что е/4- шары с центрами в этих точках покрывают М. Для любого ее еЯ1(5, МУ найдется такая последовательность {р0, .... Рт} точек из Р, что ej^.B&n (pj), рт = Рб- Для такой последовательности

dM(Pj, P/+i)<2e/4 + e/3 = %e при / = О, .... т- 1.

Будем говорить, что е(/) «проходит возле {р0. •••, PmV-

Для каждой из конечного числа последовательностей {р0, ... ..., рт\ из /п+ 1 элементов множества Р с р0 = рти dM^pj, р^Д<_ <6/ee (/ = 0, ..., т — 1) построим кривую ceC”(S, М) следующим образом. Пусть у/(0» 0^/^ 1, —кратчайшая геодезическая, соединяющая у, (0) = р, с ^ (1) = pj+1, а функция ф: [0, 1/т] —»- [0, 1] такова, что ф е С”, ф 0, ф = 0 вблизи 0, ф = 1 вблизи 1/т. Полагаем с(/): = у/(ф(/— /7/п)) при te^j/m, (/+ 1)/т]. Докажем, что если е(0 «проходит возле \рй, ..., рт^, то d^(c(/), е(/))<е при всех 1. Пусть teYi/m, (/+l)/m). Тогда dM(c(P), р^<.ь/и8 или d^(c(/), Py+i)<6/i2e. Поэтому dM(c(ty e(t))^dM(c(t), р, или р^ + + dM(p/ или pj+1, е, или ej^A-dM^j или ey+i, е(0)< Vize + V48+ Ч* Vs® = 8 •

Отсюда следует, что е е U (с) при некотором с.

Наконец, проверка хаусдорфовости №(S, М) сводится к тому, что вложение НЦЗ, M)g_>C°(S, М) непрерывно и C°(S, М) хаусдорфово. □

Замечание 1. В дальнейшем вместо Н'(8, М) мы часто будем писать АМ (при этом ЛМ всегда подразумевается снабженным структурой гильбертова дифференцируемого многообразия согласно 1.2.9), а иногда и просто Л. Топологию в ХМ можно описать еще следующим образом. Нам надо указать для точки с е ЛМ фундаментальную систему окрестностей. Пусть {(фь (/г)} —такая конечная система карт многообразия М, что c(S) с: j Ui- Разобьем S на конечное число таких замкнутых дуг А/, что с(А<) с: LX. Изменив, если потребуется, нумерацию карт и, возможно, снабдив одну и ту же карту несколькими номерами, можем считать, что с (^t) a Ui. В дальнейшем карты {ф,-, 1)Д и дуги А/ считаются фикси рованными.

При достаточно малом 60 > 0 вся У^ 60-окрестность множества Ф/С(Д/) лежит в фДУД. Рассмотрим при 0<6^60

^^ {ее AM; e(A,)c: Ut, ||фге(О —Фгс^)^!^.,R^<6 при всех ij. (здесь Н1 (A,-, R") и соответствующая норма определяются очевидным образом; n = dimM). Оказывается, что при различных 6 множества образуют фундаментальную систему окрестностей точки с в ЛМ, ▲

Замечание 2. Дифференцируемое отображение f; M-^N индуцирует дифференцируемое отображение

H^S, f): H4S, M^H^S, N), c(t)>-+f'c(t)

(мы будем также писать короче Af: ЛЛ1 -> Л^). Другими словами, мы построили функтор НЦЗ, •) из категории компактных дифференцируемых многообразий и отображений в категорию гильбертовых многообразий и дифференцируемых отображений. жЗаметим также, что если fs: M-^N, O^s^l, есть дифференцируемая гомотопия (т. е. ^ (х) дифференцируемо зависит от (х, s)), то Afs: AM-+AN тоже является дифференцируемой гомотопией. Замечания 1, 2 доказаны в работе Аносова [3]. *

В частности, дифференцируемая структура на Нг(8, М) зависит только от дифференцируемой структуры на М.

Мы закончим этот параграф следующей теоремой.

Теорема. Вложение

Д1(5, M)a_C0(S, М)

является гомотопической эквивалентностью.

Доказательство. Будем рассматривать М как замкнутое подмногообразие некоторого евклидова пространства Е. Пусть N— открытая трубчатая окрестность многообразия М в Е. Тогда М является сильным деформационным ретрактом этой окрестности, причем соответствующую гомотопию

hs‘ N-^N, 0<s<l (/i0 = id, кг^ = М), можно считать дифференцируемой.

Эта гомотопия индуцирует семейство отображений hs, которое определяется с помощью соотношения (hs - с) (/) = hs = с (t) и является гомотопической эквивалентностью как между Н1^, N) и №(8, М)*\ так й между C°(S, N) и С°(8, М).

*’ Здесь следует напомнить замечание в начале § 1.2: большая часть содержания данного параграфа проходит и для некомпактных многообразий (в частности, для Я). Формально же вместо того, чтобы анализировать по существу, может ли некомпактность N повлиять на что-нибудь в наших рассуждениях, проще свести все к компактному случаю. Будем считать М вложенным не в евклидово пространство, а в некоторую сферу S6, возьмем в качестве Я трубчатую окрестность М в S6 и заметим, что дифференцируемую гомотопию hs можно (уменьшив, если понадобится, Я) продолжить до дифференцируемой гомотопии всей сферы Sb (сфера, конечно, уже не стягивается на Му Тогда Я*(5, Я) можно определить как подмножество в Я1(5, Sb), состоящее из тех отображений S-*S”, образ которых лежит в N. Из описания топологии Я1 (S, Sb) видно, что это подмножество открыто. Далее, взяв вне N на сфере какую-нибудь точку р, с помощью стереографической проекции строим диффеоморфизм ф области Sb—p на евклидово пространство Е. Очевидно, (ф, Sb—р) является некоторой картой на Sb, и из замечания 1 легко

Таким образом, показано, что H1(S, М) гомотопически эквивалентно открытому множеству U1 := №(8, N) гильбертова пространства H^S, Е), a C°(S, М) гомотопически эквивалентно открытому множеству ио:=С°(8, N) локально выпуклого банахова пространства C°(S, Е) в нормой максимума модуля.

Из 1.2.1 следует, что включение НЦЗ, E)e—*.C0(S, Е) непрерывно и имеет плотный образ*\ Применяя теперь теорему Пале [3], получим, что U1 и U0 гомотопически эквивалентны. (10) □

1.3. Риманова метрика и интеграл энергии на многообразии замкнутых кривых

Повторим еще раз, что мы часто будем вместо №(8, М) писать АМ, а иногда даже просто Л.

Наша первая цель состоит в том, чтобы определить два расслоения■

аГ:-НЧНЧ8, МуТМ)-*НЦ8, М), г = 0, 1,

в которых слой над се№ (S, Л1) состоит из Яг-векторных полей вдоль с**)..

Сказанным Hr(Hl(S,M)* ТМ) определены как множества; определены и аг. Чтобы дать точное определение всей структуры расслоений, рассмотрим естественную карту (ехрД #(с)) много- ббразия АМ, соответствующую кривой се С*(8, М). Для ^е®, где ® — такое же, как в § 1.2, рассмотрим отображение

V2exp(g): Т^М-э-Техр^М, t]>-* 7exp(g)• (К | Т^ТМ)~г. тр

Заметим, что отображение (К | Т^ТМ); Т^ТМ -*• Т^М есть каноническое отождествление касательного пространства к слою Т^М в точке | со слоем Т^М.

Ясно, что V2 exp (g) — линейный изоморфизм.

вытекает, что Я1(3, N) гомеоморфно подмножеству (очевидно, открытому) U1 := {с е Н1 (3, Е); с(3)с:ф(Я)} гильбертова пространства Я1 (3, Е). Аналогично, C°(S, N) гомеоморфно Я0:—С°(3, ф(Я))сС°(3, Е); здесь все очевидно.

Ссылка на 1.2.1 законна, ибо Я1(3, Е) и С°(3, Е) можно рассматривать как пространства сечений тривиального расслоения SxE^-S.

Следует иметь в виду, что Hr(Hl(S, М)* ТМ) не является пространством сечений какого-то расслоения с пространством расслоения Я1 (8, М)* ТМ, как можно было бы подумать на основании обозначения; последнее на самом деле имеет другое происхождение:

(J Нг (с*ТМ)—Н' (№ (3, М)* ТМ), сенчз.м)

Никакого объекта, обозначаемого Я1(3, М)* ТМ, вообще не вводится, а смысл придается только более сложному обозначению Нг (Я1 (3, Л1)* ТМ).

Теперь для r = 0, 1 определим

Ф;‘с: Н1 (0,)хН'(с*ТМ)-* (a')'1 U (с), полагая *)

(В (0» Ле (0) *~* Цт*^?1 - V2 exp (т*с| (0). т*ст]с (ф,

где е:=ехрс£ и (т*е)< = т*е | (е*т)-1 (/)•

Теорема. Отображения Ф;^ биективны, так что определены обратные к ним отображения Фг с< Тройки

(Фг,с ехрё1, И (с)), ceC”(S, М), являются локальными представлениями расслоения

а': Н^НУЗ, МУТМ^ХМ,

стандартным слоем которого является сепарабельное гильбертово пространство НЦс*ТМ).■

При этом а1 канонически изоморфно касательному расслоению Там! T/VM-^XM многообразия ХМ.

Доказательство, д Прежде всего докажем, что если § е Я1 ^<8^ и ехрс£ = е, то

0>ус I 5X Hr (с*ТМ): g X Н' ^с*ТМ) -* Н' ^ТМ)

есть топологический линейный изоморфизм. Для любого 4 существуют карты (ф, U) и (ф, V), содержащие точки с^ и е(4) соответственно: если Тф.т*^(/о) = (хо, у^, то в некоторой замкнутой шаровой окрестности W точки (х0, у^ определено и дифференцируемо отображение ^:=ф»ехр«(Тф)-1, причем существует обратный оператор (D^^x, у))-1. Найдется такая замкнутая окрестность Аэ/0 в S, что c(X)cU и Тф (т*с£ (А)) с: W. Тогда при ( е А главная часть локального представления для

£ (0: = (т*е)Г0 V2 exp (т*с£ (t^ . т*ст] (0

есть «((): = D^ (х (Q, У ^У -^ty где

х(/):= ф(с(0), у^*.= рг«Т^.%*с^^\ г(£у.= рг«Т<$ .чУс^.

*’ Вначале Ф"1 надо понимать как единый символ, пока не доказана биективность соответствующего отображения, что позволит говорить о Фг.с- Индекс с у т] служит только для напоминания, что ц —сечение с*ТМ. Тогда, казалось бы, и у £ надо ставить тот же индекс. Но то, что £ есть сечение с*ТМ, «само собой разумеется», тогда как г) (при данном 0 определяет некоторое векторное поле £ вдоль кривой е := ехрс §, т. е. некоторое сечение расслоения е*ТМ; как мы увидим в 1.3.1, можно сказать, что ц есть главная часть представления ? в векторной карте (Фг с, ехр~’, И (с)у Автор счел полезным подчеркнуть в обозначениях, что £ представляется посредством векторного поля вдоль с.

Нормы производной Dag^x^, y(t)) и обратного к ней линейного оператора равномерно ограничены. Поэтому если г (1} квадратично интегрируема на Д, то и и^ тоже, и обратно, причем

d SIЛ (0|8^< $ | ? (0I8dt^с. $ | т] (0|$dt Д Д А

с некоторыми сь с2>0. Далее, Dag(x(f), y(t)) является абсолютно непрерывной функцией t ввиду дифференцируемости Dag и абсолютной непрерывности х(0, y^Y (Вообще, если векторная функция / удовлетворяет условию Липшица в своей области определения W и г. Д -^ W — абсолютно непрерывная функция, то и f-z тоже.) Наконец, производная

^ Dag (х (0, 'У (0) = DJ)ag (х(0, У ^\ ^ (0 + D»Dag (х (0, У (0). У (0 является суммой квадратично интегрируемых функций (х и у) с ограниченными множителями, поэтому -^Dag квадратично интегрируема. Теперь ясно, что если z(0 абсолютно непрерывна и имеет квадратично интегрируемую производную, то и u(t) тоже, и обратно, причем

ciHlv4(0l2+in(0l2}^${|v^ д д

д

с некоторыми сх, с2>0. Ясно, что S можно покрыть конечным числом окрестностей Д *’ так, чтобы для каждой из них имелись свои (<р, U), (ф, V) и W. Тем самым проверено выполнение условия (i) из определения векторного атласа’.

Займемся теперь условием (п).

Пусть е е Ж(с) П Ж (d), е = ехрс? = expdх. £ г Я1 (©с,d), х ^ elD^o.dY Обозначая для краткости ехр|ТжМ через ехр, (так что D ёхрх (?) = V2 exp (?) при ?еТ,М), продифференцируем в точке КОе^с.й,/ следующее отображение ©c.d,t-*TdWM:

T*d .fd.e\ ©с, d, t = (exp 1©dWYx - exp - (t*c)6

где fd, с — то же, что и в 1.2.8. Очевидно, получится

T*d • Dj», = (6 (0) = D (exp | ©d ю)'1 - D expc w (t*c£ (0) - (т*с)б

Здесь D(exp\<9dw')~1 берется в точке expc(/)(т*СН0) = е(0 = = expd(<) (t*dx(0) и поэтому равна

[D (expd w) (r*dX (O)h1 = [Va exp (r*dX (O)h1.

В итоге получаем

Difd, с (£ (0) = W - [V2 exp (t*dx (0)^•V2 exp (t*c| (0) - (т*с)ь

Отсюда видно, что отображение ФЛ <# - Фг, с имеет вид (£, т]) н-* (х, £), где х = ехр^»ехрс. g, а £ (t) = D2fa,c(l(t))- il(0- А

Рассмотрим сначала случай г=1. В этом случае, как видно из сказанного, отображение

(*) Фх^.Ф^: НЧ^хНЧсЧ'М^НЧ^хНЧ^ТМ)

имеет вид (]d,c, Ф4а,сУ\ где /Vc —такое же, как и в 1.2.8.

Следовательно, отображения (*) ведут себя как отображения перехода между локальными представлениями расслоения. Кроме того, так как (DJd,c)~ = D}a,c, то эти функции перехода в точности являются функциями перехода, определяющими структуру касательного расслоения на АМ.

В случае г = 0 заметим, что композиция дифференцируемого отображения

№,сТ: H4<9=.d)^H4L(c*TM; d*TM))

с последующим непрерывным линейным вложением

НЧЦс*ТМ; d*TM))^-+L(H4c*TM)-, H°(d*TM))

(см. 1.2,2) дает дифференцируемое отображение. □

Для ^е^сТ.М определим отображение 7гехр(£): Т^М-*- -*ТеХр^М, полагая т]>—► Техр (£)» (Тт| Г^ТЛ!)-1. гр Ясно, что это линейный изоморфизм.

Далее, определим отображение 6: <9-*1ДТМ; ТМ) с помощью формулы 6 (§): = V2 exp (S)-1 - Vx exp (g).

Для каждого ceC”(S, M) рассмотрим послойное отображение *>

6г: = (т*с)-1•6 ° т*с. дс: 0с-^-с*ТМ.

Предложение. Отображение д: АМ-»-(а0)-1 АМ, сопо- ставляюсцее кривой е г АМ ее касательное векторное поле де (() = = ё((), является дифференцируемым сечением расслоения а0.

В локальном представлении Н1(©с')хН°(с*ТМ') расслоения а0 над U (с) главная часть д, обозначаемая через

дс: Ф^^НЧ^ТМ), имеет вид

dMtV=W)Wm.

Доказательство. Пусть е (f) = exp (т*Л (()). Тогда

де (0 - Т ехр (т* Л (0). (т*^ (0; + т* Л №

где справа указано разложение на горизонтальную и вертикальную компоненты. Так как

гт. т*л (о;=эс ®, к. т*л (о; - v ^ (0), то

де (0 = Vx ехр (т*с^ (/)). дс (0 + V2 ехр (т*Л (/)). V ^*с^ (0) =

= V2 ехр (т*с| (0) - т*с. (V^ (0 + 6С (£ (0)).

▲Дифференцируемость отображения

дс: I ^* (Vc| (/) + 9Л (0) е Н» (с*ТМ)

следует из того, что Vc: НЧ©с)~*НЧс*ТМ'), ^ •—* Vc^, — линейный ограниченный оператор, отображение 6С: ^(©^-^НЧс^ТМ) дифференцируемо в силу 1.2.5 и вложение ^(^ТЛТ)-»-//0^*?^) — линейный ограниченный оператор. ▲ □

Теорема. На расслоении а0: H4H4S, М)* TMj-^AM определена риманова метрика, которая характеризуется тем свойством, что на (а0)-1 с = Н° (с* ТМ), ceC^^S, М), она задается произведением (•, • )0. Поэтому мы будем обозначать эту метрику через <•, • )о-

Доказательство. Определим отображение G: ©-»-HjM.\ ТМ) с помощью равенства

<G®-, • ^ = (V2 ехр (£) •, V2exp(B)->£xp5*>.

Из определения © следует, что G(^) —(строго) положительно определенный самосопряженный оператор класса С®. Отображение

Gc: = (t*cV - G - (т*с): ©с L (с*ТМ; с*ТМ)

является послойным отображением*’, а отображение бс, получающееся при композиции

Я1(<^с)-*-Я1(^(с*7’Л1; c*TM))^->L(H°(c*TM); НЧс*ТМУ, — положительно определенный самосопряженный оператор класса С”. Таким образом. Я1 ^-*Ц (Н° (с*ТМ)), 5 ь— (Gc (5) •, • > — риманова метрика на тривиальном расслоении Н1фс)хН°^с*Т М)-* ^НЧ©с\

Можно проверить, что эта метрика не зависит от выбора локального представления. (и)

Наконец, Gc = id при 5 = 0, т. е. на Я0 (с*ТМ) эта метрика совпадает с (•,•)#• Так как C”(S, М) плотно в АМ = = Я1 (S, М), то это свойство полностью характеризует метрику. □

Лемма. Связность Леви-Чивита К на римановом касательном расслоении т^: ТМ -> М многообразия М индуцирует риманову связность К»« на а0: Я°(Я1(5, М)* ТМ)-»-АМ.

Доказательство. Определим Г: ©->-D(TM; ТМ) с помощью равенства **’

2 <G (5) Г (5). (т], 0, 8)^ @(DaG (5). (т1, о, 8)^+

'+ ф£ (5) • С, Л), 6)^ - фгО (5). (6, т]), ?)п,

которое должно тождественно выполняться при всех т], 5, 6eTt^M. Тогда

Гс = (т*с)-1«Г-т*с. (т*сХт*с): ©с->1?^с*ТМ; с*ТМ)

—послойное отображение ***’.Следовательно, композиция (которую мы снова будем обозначать через Гс)

НЦ^^Н1 (£| (с*ТМ; с*ТМ)) с_>

е_*ЬфЦс*ТМ), НЧс*ТМ); Н°(с*ТМ)) дифференцируема (ср. 1.2.2) и определяет символы Кристоффеля римановой связности К»» расслоения а0. То, что Гс удовлетворяет

’ Если 5 е ©с. t. Я е (с*т)-1 Ц), л о

Gc (5) Я '•= (т*^1 • G (т*<© -т*с . т) е (Л)"1 (О, т. е. Gc © е L Цс»^ (t), (сЧ)"1 (0).

*’ формула, определяющая Г, означает, что в карте ((ехр | ©х)-1, ехр ©Д многообразия М символы Кристоффеля связности Леви-Чивита исходной римановой метрики в точке с координатами | суть Г ® . (•, •).

**' Формула для Гс —несколько небрежная (из-за неоднозначности (т*с)-1 при возможном наличии самопересечений у с) запись того факта, что при В е ©с, ь т), t s (с*т)"1 (0

Гс © • (Я. В) := (^W‘ - Г (т*© . (г»ся, г*с^.

формулам перехода для символов Кристоффеля, следует непосредственно из определения; тот факт, что связность Ка« риманова, содержится в равенстве

<(Обс (?). т]) L 6)о = <6С (?) Г с (?). (г), ?), 6)0 + <6С (?) Г с (?). (т), 6), ?>0, где цеН1(сТМ') и ?, 6 е Я0 (с*ГМ), которое тоже непосредственно следует из определений; ср. с () в конце § 1.1. (12) □

Предложение. Ковариантная производная Va°d сечения д расслоения а0 является дифференцируемым сечением расслоения

Ца1; a^-.L^iH^S, М)*ТМ); H^H^S, М)*ТМ»-*КМ.

Если ? е Я1 (0С) — локальное представление кривой ее % (с) и ^еТДМ, а т\ е Н1 (с*ТМ) — локальное представление ?, то главная часть локального представления Va°d(e).? равна

VcTl + mr^-Ti + fj?).^, д&

(это есть Н°-сечение расслоения Н° (с*ТМ), принимающее значение ™(0+D«(0).T|(0+r^(0)^^^ W ;

в точке teS, где дс1 = ^с1-[-Ьс(1) е Н° (с*ТМ) —главная часть локального представления де, см. 1.3.2).

Вместо v«°d (е). ? мы будем писать ^аде. ? и даже ^, если не будет опасности путаницы*). Заметим, что при е = с, т. е, при ? = 0 (тогда т] = С), на самом деле va»de. £ = veg- (13)

Доказательство. В терминах локального представления главная часть ковариантной производной равна

РМБИ + ГДО-Оь Ш

Поскольку ус: Нх(с*ТМ^-*Нй(с*ТМ?) линейно, а 9С: 0с-+с*ТМ— послойное отображение и, следовательно, D^C = (D^CY, то первое слагаемое здесь равно v1! + Фг^сТ ® • О'))- □

Теорема. На касательном расслоении сд^гдм многообразия КМ определена риманова метрика, которая характеризуется тем, что на ТсКМ^.Нх(с*ТМ), где c^Cx>(S, М), она совпадает с (•, • )г Поэтому эту метрику мы также обозначим через < ■, • \.

Доказательство. Положим риманову метрику на ТеАМ равной <•, ->o + <Va^-. V«-de.)0.

То, что это дифференцируемое сечение расслоения Ц(тАмУ. Ц (Г АМ1)-* АМ, следует из 1.3.3 и 1.3.5.

Ясно, что на Н1(с*ГЛ4), ceC°°(S, М), эта метрика совпадает с (•, •)i*). Так как кривые ceC”(S, М) плотны в ЛЛ! = = Н1 (S, М), то это свойство однозначно определяет метрику. □

Определим открытую окрестность нулевого сечения расслоения Тдм, полагая

@: = ^eTH4S, Му, 1Ме©с:ТМ^

где © такое же, как и в 1.2.6.

Ясно, что при csC®(S, М)**1 имеет место соответствие © |"| TtAM ^ Н1 (©с) (при установленном выше каноническом изоморфизме ТСАМ с Н1 (с*ТМ)).

Сейчас мы покажем, что отображения

ехрс: Н1 {©^ -* U (с)

могут быть «соединены» в дифференцируемое отображение

ехр: ©-^-АМ,

которое обладает свойствами экспоненциального отображения связности на тЛм. Заметим, однако, что ехр не является экспоненциальным отображением связности Леви-Чивита, соответствующей римановой метрике (•, -)i на АМ. Дальнейшие подробности можно найти у Флашеля и Клингенберга [1] (замечание к теореме 4.7 гл. И).

Теорема. Отображение

тлМхехр: ©-^-АМхАМ, (т] (0) *—► CW] (О» ехрт](0)

дифференцируемо. Оно диффеоморфно отображает некоторую открытую окрестность нулевого сечения на открытую окрестность диагонали в АМхАМ.

Доказательство. Напомним вид локального представления расслоения тдм:

ФГЛ: Я1 1©=) х И1 (с*ТМ) -> (тдм)'1^ (с),

(I (0. Ле (0) (Va ехр (т*с| (/)). т*ст]с (0).

Отсюда видно, что локальное представление для ехр следующее: (В» Яс)—♦(!. Q» где Lе.Н1(с*ТМ) есть сечение*’

t н-* (ехр - т*с | ©с, «У1 - ехр ° Va ехр (т*с| (0). т*от]с (/).

Отображение (|, т]с) i—♦ £с имеет вид f для некоторого дифференцируемого послойного отображения ©схс*ТМ->с*ТМ, так что ехр дифференцируемо.

Отображение тЛмХехр взаимно однозначно отображает нулевое сечение расслоения тЛм на диагональ А произведения АМхАМ. Осталось показать, что его дифференциал в точке ОеТДМ является линейным изоморфизмом на Т^,с)(ЛхЛ).

Для того чтобы убедиться в этом, заметим, что локальное представление1 дифференциала имеет вид

Т (тЛМ х ехр) (0,- лс (0) = (0, Я« (0).

Т^хМх^№, 0) = (№ ГО.

откуда следует утверждение теоремы. □

Важным следствием является

Теорема. Каждому с г АМ соответствует естественная карта-

(ехр;1, ^(с)),

где ехрс: = ехр 1КУ П ТСАМ, W — некоторая окрестность нулевого сечения расслоения ТАМ, ®1Р(с): = ехрс(Ж Q ТСАМ).

Замечание. Здесь, возможно, надо несколько уменьшить’ окрестность © fl ТСАМ нуля пространства ТеАМ. ^

Теперь мы определим функцию Е: AM -»-R, которая называется интегралом энергии и задается соотношением (16)

Е (с): = V» (дс, дс^.

Лемма. Функция Е дифференцируема, а ее дифференциал имеет вид

DE (с) .у\ = (дс, VTi)o.

Доказательство. Дифференцируемость Е следует из 1.3.2 и 1.3.3.

Для вычисления дифференциала функции Е воспользуемся римановой связностью Va° на а0:

D(dc, дс)о.т] = 2 (дс, ^а-дс.ц)»

и вспомним, что у^дс.т) = v^- □

Дополнение. В терминах локального представления расслоения а1 над U (с) функция Е и ее дифференциал записываются в форме

= Е. ехрс: № (0С) -> R, ^ Va (Gc ®. ^, дс^ и

DEC (6). т| = (Gc ® . 5Л, V4 + W (В). Л>о +

шэд-вмч. Ш Ш-

Доказательство. В равенство

DEC ® . Т) = (Gc (I). д£, VcA (?). Т))о

надо вместо второго аргумента подставить его выражение из 1.3.5 и воспользоваться тождеством, приведенным в конце доказательства 1.3.4, полагая в нем 5 = 6 = ^- □

Важность функции Е объясняется тем, что она позволяет просто описывать замкнутые геодезические в АМ, т. е. дифференцируемые отображения с: S -► М, которые удовлетворяют соотношениям v^ = 0, с=/=0.

Теорема. Кривая се АМ является замкнутой геодезической или постоянным отображением в том и только в том случае, когда она является критической точкой функции Е, т. е. DE (с) = 0.■

Доказательство. Если с дифференцируема, то, учитывая, что й <дс- П>С(л = <* пХю + (дс, vt)>c«) и ^ (дс, r\)cWdt = О, имеем

■ DE(cYx\ = (dc, ^0 = — (\jdc, i\\. .

Поэтому из vdc = 0 следует DE(c) = 0. Для этого рассуждения не требуется бесконечной дифференцируемости, но вполне достаточно, чтобы дс е Н1 (с*ТМ).

Пусть теперь DE(c\x\ = 0 при всех -^еТДМ. Тогда с является слабым решением уравнения Vdc = 0. Из теории эллиптических операторов следует, что с дифференцируема, а значит, является замкнутой геодезической или постоянным отображением (отображением в точку).

Однако ссылки на эту теорию можно избежать. Мы сейчас приведем прямое доказательство «достаточной дифференцируемости» с, аналогичное известной в вариационном исчислении лемме Дюбуа-Реймона.

Пусть £(0~ такое параллельное Д1-векторное поле вдоль с(0 (не обязательно периодическое)*), т. е. vl(0 = 0« чт0 1(1) = = 5(1), где £(1) есть Д^векторное поле, тоже не обязательно периодическое, определенное уравнениями

^^=дс^, U0) = 0.

Положим 5 (О- ^5(0 = Л (0- Тогда т) (0) = т) (1) — 0, и можно считать, что Н1(с*ТМу, далее,

Кроме того,

<6, dc-£)0-& vn>o = j4/m ntfM-O

и 0 = D£(c).t] = (de, VH^o- Поэтому

(дс-£, дс —£)о = О,

т. е. дс (!) = 5 (0 — поле класса Н1 на отрезке [0, 1].

Чтобы убедиться в том, что 5 ^ Нг(с*ТМ), надо дополнительно установить, что дс(1) = дс(0). Для этого можно воспользоваться предыдущим рассуждением, рассмотрев вместо с (Г) кривую с (/4-1/2). а Подробнее, Е инвариантно относительно диффеоморфизма

А->Л, (c(f))->(c(f+l/2)).

Поэтому точка о является критической тогда и только тогда, когда таковым является ее образ. Но если последний — класса Д1 на отрезке [0, 1], то, в частности, отображение t*—♦ дс(/41/2) непрерывно при ^ = 1/2, а это и означает, что дс(0) = дс(1). □

*' То есть ^-отображение [0, 1]-»-ТМ, для которого т«£ = с.

Теорема 1.3.12. Отображение g: АМ-+АМ, сопоставляющее каждой кривой с: S-+M ту же самую (с геометрической точки зрения) кривую, параметризованную пропорционально длине дуги, является непрерывным отображением, гомотопным тожде - ственному.

Здесь следует пояснить, когда две кривые считаются одинаковыми с геометрической точки зрения. Имеется в виду эквивалентность в том смысле, как это определяется (в более общей, чем у нас, ситуации) в параграфе о непрерывных кривых в метрическом пространстве у Колмогорова и Фомина [1]. Мы ограничимся тем, что процитируем оттуда две фразы, содержащие наглядное описание идеи этого определения: «Порядок, в котором проходятся точки кривой (при изменении параметра — Ред.), мы будем считать существенным свойством самой кривой ... Однако при одинаковом порядке прохождения точек пространства выбор «параметра» мы будем считать несущественным». В книге Колмогорова и Фомина речь идет о незамкнутых кривых (параметр t пробегает некоторый отрезок [а, Ь]). Переход к замкнутым кривым очевиден, надо только иметь в виду, что в этом случае встает вопрос о том, какой должна быть начальная точка (gc) (0) кривой gc. На первый взгляд кажется естественным потребовать, чтобы начальные точки кривых gc и с совпадали, т. е. чтобы было (gc) (0) = с (0); после этого g определяется однозначно. Будем пока считать, что в 1.3.12 g определено именно таким образом.

Если бы мы допускали возможность изменения начальной точки, то определение gc зависело бы от конкретного выбора начальной точки (gc)(0) ec(S) и, вообще говоря, g не было бы непрерывным. Но может оказаться удобным выбирать (gc)(0) некоторым специальным образом и так, чтобы (gc)(0), вообще говоря, не совпадало с с(0); при этом специальном определении (gc)(0) по-прежнему имеет место непрерывность g. См. § 2.2, замечание перед теоремой 2.2.6.

Доказательство теоремы 1.3.12 см. в работе Аносова [3]. ▲

Условие (С) Пале—Смейла и его следствия

Мы начнем с перечисления нескольких свойств многообразия АМ, функции Е и связанных с ними структур, которые можно рассматривать как аналоги для нелинейного случая (т. е. для многообразий) хорошо известных результатов о гильбертовом пространстве H'(S, Е), где Е — евклидово пространство.

Предложение. Пусть се АМ. Тогда

дм (с (to), c(t1))^\ti-t0\2E(c). .

Доказательство. ИмеемДоказательство. ИмеемЛ (с (4), CftHЛ (с (4), CftH41'\8$ |с(0|Л ^А/41'\8$ |с(0|Л ^А/

Доказательство. Имеем

Доказательство. Имеем

Л (с (4), CftH

Л (с (4), CftH

41'\8

$ |с(0|Л ^

А/

41'\8

$ |с(0|Л ^

А/

G /1

5 \»di - $ |с(012^. □

to

Предложение. Пусть с, с'еАМ. Тогда

dm (с, с')^2дд(с, с'), где dA — расстояние в АМ, индуцированное римановой метрикой (•,

Замечание. Это предложение обобщает 1.2.1.

Доказательство. Достаточно показать, что для каждой дифференцируемой кривой х (s), 0 ^ s ^ 1, в Л, у которой х (0) = с и х(1) = с', выполняется неравенство с£Дс, с')^21Р(х), где L(x) —длина кривой в Л. При этом мы предполагаем, что с и с' принадлежат одной компоненте связности многообразия АМ. Если же с и с' принадлежат разным компонентам связности, то расстояние между ними полагаем равным оо.

Рассмотрим отображение

х: S х I—^ М, (Л s) t—* x(s) (/).

Из локального представления видно, что отображение

Evt’. HHS, М)-*М, с^с^,

дифференцируемо, и поэтому х (s) (/0) при фиксированном / = /0 — также дифференцируемая кривая. Выберем t0 так, чтобы dro (с, c') = dM(c^, c’^Y Тогда

Предложение. Пусть с, с* e AM. Тогда WWVV^WY^d^c, c'Y

Замечание. Это есть нелинейный аналог неравенства

Доказательство. Так же как в доказательстве 1.4.2, соединим с и с' лежащим в-ЛЛ4 дифференцируемым путем x(s), O^s^l.

Будем сначала считать, что х (s) ф Xй М при всех s. Тогда

Tl^Mk—$■«*•(«), »>*WB-

= 1№ж(5и№ T-^-elT^l,"

-|v^M*)^MT”ft>^H^L

Интегрируя, получаем V 2Е (х(1)) — ^E (х (0))<Е(х).

а Очевидно, полученное неравенство справедливо и в том случае, когда концам кривой х (s) разрешается принадлежать Л°Л4 (но при 0<s<l по-прежнему x(s)^A°M). Убедимся, что оно справедливо и в общем случае произвольной дифференцируемой кривой, соединяющей с и с'. Если с, с'еХ°М, то доказываемое утверждение тривиально. Если же, скажем, с'^Х°М, но x(s)e еЛ°М при некотором s, то пусть s0 := max {s; x(s)eA°M}. Тогда кривая х' (s): = x((s —s0)/(l — s0)) соединяет c (s0) и с', причем

/2Щ?)-/2Щ^^|/2Ё^) I = I/^(c7)-/2ЕММ)| ^

^L(x')^E(x). *

Так как неравенство выполнено при всех х и остается справедливым при перестановке с и с', то предложение 1.4.3 доказано. □

Лемма. Включение

хм = H4S, M)a-+C°(S, М)

непрерывно и компактно, т. е. образ каждого ограниченного в Л.М подмножества имеет компактное замыкание в C°(S, М).

Доказательство. Непрерывность следует из 1.4.2. Компактность будет следовать из теоремы Арцела —Асколи, если для каждого связного и ограниченного К с ХМ будут установлены два утверждения:

образ включения К^-^СЦЗ, М) является равностепенно непрерывным семейством функций;

для всех ttteS множество К (t^ := ^c(toy, се К} относительно компактно в М.

Утверждение (ii) очевидно, так как М компактно. Для того чтобы убедиться в выполнении (i), заметим, что для фиксированного Сое К существует такое ^0>0, что dA(c, сй^<кй при всех се К. Тогда из 1.4.3 следует существование такого х > 0, что Е | К ^ х. А поэтому равностепенная непрерывность следует из 1.4.1. □

Первым приложением этой леммы является

Теорема. В метрике dA многообразие АМ = Н*(3, М) является полным метрическим пространством.

Доказательство. Пусть {ст} — последовательность Коши в Л. Включение этой последовательности в полное пространство C°(S, Л1) показывает, что у нее есть предел coeC°(S, М).

Так как с0 допускает приближение дифференцируемой кривой с, то можно предполагать, что для достаточно больших т кривые ст принадлежат U (с). Положим ехрё‘ (ст) = 1т г Н1 ^©с\

Для окончания доказательства теоремы осталось заметить, что локальные представления

(G(5).,->o+<G(yV., V.>0

гильбертовой метрики пространства Техр^ЛМ в пространстве ТСАМ, где | е И1 (©с), все эквивалентны гильбертовой метрике (•, • Д на ТСАМ =Н1(с*ТМ\ Таким образом, последовательность Коши {£т} в метрике, которая представляет расстояние dA, является последовательностью Коши в стандартной метрике (•, • ^ на НЦ^ТМУ А так как последнее пространство полно, то теорема доказана. □

Для каждого действительного х обозначим через Лх или АХМ, соответственно через Л*- или Ах-М, множество тех се А, для которых Е^^и, соответственно Е^-Сх.

Отметим, что А°М состоит из постоянных отображений (одноточечных кривых) с„: S-^-pe М. Следующее предложение дает некоторую информацию о канонических включениях Мс_*АйМ<^.АМ.

Предложение. Включение

_t: М->АМ, ру—^Ср,

является изометрическим вполне геодезическим вложением.

Доказательство. Заметим, что cpeC”^S, М) и что естественная карта (ехрр1, 11 ^с^, соответствующая кривой ср, представляет кривые с е И (р) в виде векторных полей £ (/) е Н1 (с*ТМ), причем т*ср£ (/) е ТРМ.'

Положим

ТрА°: = {^о s ТСрА; Ео = const},

Т^А»: = {Ее ТСА; <£, E0)i = <5, ?о)о = 0 при всех ^ е ТрА^.

Эго есть ортогональное разложение пространства Тс Л, и элементы 6 (0 е Н1 (©с ) с х*с^ ^ е ТРА° в точности являются координатами точек из А°М. Таким образом, Л°М — подмногообразие, а ТрА° — его касательное пространство.

Так как на Тс А°М метрика (•, ■ )i совпадает с (•, • )р, то включение М-*-А°М, р*-*ср, изометрично. Наконец, А°М— вполне геодезическое, потому что*’ для с, с'еЛ°М оценка 1.4.2 может быть улучшена до d^ (с, с') = dM (с, с') = dA (с, с'). (17) О

С помощью римановой метрики на АМ можно определить градиентное поле функции Е. Оно задается условием, чтобы равенство

(grad £ (с), т])1 = О£(с).т] = (дс, Vt])0

тождественно выполнялось при всех т) е ТСАМ.

Если с дифференцируемо, то, воспользовавшись интегрированием по частям, можно охарактеризовать grad Е (с) (f) как периодическое решение уравнения (18)

V2r)(0-ri(0 = Vdc(0.

Сейчас мы подошли к основному результату, который позволяет обобщить классическую теорию функций и их критических точек с евклидовых многообразий на гильбертовы многообразия. Это так называемое условие (С) Пале —Смейла [1]:

«Пусть {ст} —такая последовательность точек из АМ, что

последовательность {£(ст)} ограничена,

(И) последовательность {|| grad E(cm) |г} стремится к нулю.

Тогда {ст} имеет предельные точки, и каждая ее предельная точка является критической точкой для Е.»

Замечание. Условие (С) призвано возместить отсутствие локальной компактности многообразия АМ.

Теорема. Многообразие АМ, риманова метрика на нем и функция Е удовлетворяют условию (С).

Доказательство (ср. Элиассон [2]). Из 1.4.1 вытекает, что последовательность {ст} равностепенно непрерывна. Так как множество {ст(/0)} относительно компактно, то по теореме Арцела— Асколи последовательность имеет предельную точку с0 в C°(S, М\

Так же как в доказательстве 1.4.5, можно предположить, что все элементы некоторой подпоследовательности (мы снова обозначим ее через {ст}) принадлежат области определения 11 (с) естественной карты (ехрс, И (с)), с е С” (S, М), и образуют

*’ Иначе это можно вывести из того, что А°М есть множество тех с, которые инвариантны относительно всех изометрий %z: ЛЛ, определяемых в § 2.2. Действительно, если у (s) — геодезическая линия в Л, для которой 7(0) г Л° и dy (O)/ds е ТЛ°, то все /z.y(s) удовлетворяют тем же начальным условиям, что и у (s), т. е. совпадают с ней.

последовательность Коши в ^-метрике на C°(S, М). Мы покажем, что элементы. {?m := ехрс'Ст} из Я1^) образуют последовательность Коши в || • lli-метрике в /Д^ТМ).

Прежде всего заметим, что так как Hz — 6mlo<J6z — 6mL» то Hz — 6m Io стремится к нулю. Из локального представления 1.3.2 для 5Д получим, ЧТО I V^m Цо I dHm Но+ |9С (6m) Но И

X19Лт и ^ (G, (Ят).аси дЛт)» = 2£ (с«)

при некотором х>0. Поэтому последовательность 1?m|i ограничена.

Из 1.3.2 мы видим, что

m - VT) ||0 ^ 15Н - ^ Но +16С (?) - 6„ (Т]) Но.

Следовательно, достаточно показать, что l|dc6z-dc?ml|-*-0 при I, т-*-со.

Для того чтобы убедиться в этом, заметим, что, согласно 1.3.2, 1.3.3 и 1.3.10,

2х || 5Д - дст) |$ < <GC (?). (5Д - дст]), (дД - дст))>о +

+ <бс (тО. (дД — ^П)» (dc6 — dcT))>0 =

= 2DEC (?). (? - п) - 2DEc (т,) . (? - т)) -

- <(GC (?) - Gc (л)). (ЙД + дст]), (дД - М>о + +2 <бс ®. ад, ес (?) - ес (Т)) - (ад~ (?). (? - л»о -

- 2 <GC (л). асЧ, 6С (?) - 9е (л) - (О26с)~ (п). (? - п)>0 -

-<тг(6).(6-т], ас?), дд>„+

+ <(ОА)~ (Т)) . (6 - Т). acT)), dcT)>0.

Поскольку I ?т ^ ограничены, а следовательно, и | дс^т |0 тоже ограничены и поскольку Hz —6m Цо и J DEC (?z) h стремятся к нулю, то каждое из слагаемых в правой части будет стремиться к нулю, если туда вместо ? и т] подставить ?г и ?т. Это завершает доказательство 1.4.7. □

Через СгЛ будем обозначать множество критических точек функции Е на многообразии Л=ЛМ. В качестве первого следствия теоремы 1.4.7 получаем:

Лемма. Для х>0 обозначим через К множество СгЛ () Е-1 (х). Пусть 11 — открытая окрестность К в Л.

Утверждение. Существуют такие 8 = е (х, U) > 0 и т] = т] (е) > >0, что

из с е (Лх+е — Л^'1-) П1-27 следует ||grad£,(c)|1^T].

Доказательство. Допустим, что утверждение леммы не выполнено. Тогда найдется лежащая в W последовательность {ст}, для

которой Нт | grad Е (ст) ^ = 0 и Мт Е(ст) = х. Из 1.4.7 следует существование принадлежащей К предельной точки этой последовательности, и мы получили противоречие. □

Замечание. Особенно важным является случай К — ф, где в качестве U можно выбрать ф.

Другим непосредтсвенным следствием 1.4.7 является

Предложение. CrAnf-^x) и CrAf|Az компактны при каждом х^О. □

Так же как и в случае конечных размерностей, для достаточно малого интервала, содержащего точку OeR, существует начинающаяся в точке с интегральная кривая ф^ векторного поля — grad£ на Л, см. Ленг [1].

Лемма, (i) ^ Е (ф»с) = — j grad Е (ф^с) й, следовательно.

Е (ф$1с)—Е (ф$„с) = — j II grad Е Й ds ^ 0 при sx ^= s0; 8»

(И) ^л(<Р«>с, ф$,с)^(И) ^л(<Р«>с, ф$,с)^j||gradE||ids -|si—5о|=|Д(ф$1с) — Е(ф$ос)|х So

(И) ^л(<Р«>с, ф$,с)^

(И) ^л(<Р«>с, ф$,с)^

х|$i —s01 ^£ (о) |$i — So | при So, Sx^O.

Доказательство, (i) Пользуясь формулой d^!ds=—gradE^,c),

получим

(ii) dXfosA ф8ос)^(ii) dXfosA ф8ос)^^ E (ф^с) = DE (ф^с) . (— grad E M) = — J grad E (ф^) К;

(ii) dXfosA ф8ос)^

(ii) dXfosA ф8ос)^

|| gradE||ids •|s1-s0|. □

Как следствие имеем:

Теорема. Отображение

Ф4: Л-»-Л,сн-*ф,с,

определено при всех s^O.

Замечание. Здесь мы существенно пользуемся тем фактом, что Е (ф^с) ограничено снизу нулем. Если Е (ф^) ограничено также и сверху, то такое же рассуждение показывает, что ф^ определено также и при всех s^O.

Доказательство. Допустим, что существует такое сеЛ, что ф^ определено только для s<s+, где s+<oo. Рассмотрим лежащую в [0, s+[ последовательность действительных чисел {sm} с Mm sm = = s+. Из 1.4.10(H) следует, что {ф$тс} является последователь-

ностью Коши, и поэтому, согласно 1.4.5, предел Игл ф,тс существует. Его мы будем обозначать через ф8+с *\ По этой причине <р^ может быть определено также и на [О, s+4-ef при некотором 8>0. □

Следующая лемма является весьма важной для доказательства существования критических точек вне Л°.

Лемма. Допустим, что х^г 0 не является критическим значением, т. е. СгД(\Е~1(х) — ф. Тогда х>0 и существуют такие е>0 и $о^О, что ф8Лх+Еспри всех s^s0.

Доказательство. Из 1.4.8 следует, что для И = ф существуют такие 8>0 и т)>0, что J grad Е (с) h т] при всех с, удовлетворяющих условию х — е^Е^^х + е.

Если £(с)<х —8, то и Е ^$с) < х — в при всех з^О. Возьмем какое-нибудь s0>2e/T)2 и выведем противоречие из предположения, что существует такое с, для которого х — е^Е(с)^ ^х + е и Е (ф^с)5= х — е при всех s из отрезка O^s^so.

В самом деле, из 1.4.10(1) видно, что

So

Е Vps.c) = Е (с) — $ U grad (ф^с) ^ d; ^ х + в — ifso < х — е. □ о

Для последующих приложений докажем такое

Предложение. Рассмотрим дифференцируемое сечение о>: Л_М->Т*АМ, определяемое условием' а(с).т] = — (дс, т[)0 при всех т] е ТД.

Утверждение. Векторное поле и, двойственное со по отношению к римановой метрике (•, • \, т. е. для которого (и (с), т))! = = т-(дс, г])0 при всех т] е ТД, задается формулой

u^ = N gradЕ (с) — дс.

Оно удовлетворяет соотношениям ^и = бгайЕ, (и, grad£)1 = O.

Доказательство. Дифференцируемость со следует из того, что со есть композиция дифференцируемых отображений

Л — а0 -э- (а0)* ->■ (а1)*,

второе из которых является изоморфизмом векторного расслоения и сопряженного к нему, индуцированным римановой метри-

*’ Точнее, пусть ^вЩиф, с. При достаточно малом 6, скажем при 161 с е, можно говорить о фвс+. При этом, когда 6<0, фвс* = Нт ф8т^с = = ф8+_|_6с. Поэтому траектория точки с может быть определена и в интервале [0, s+^-ef, а именно: при s е [st, st+et полагаем ф/= <ps _ s8.^t; это законно, ибо совпадает с исходным ф8с при s е ]s+—е, s+[.

кой, а третье сопряжено к вложению а>с_>а°. Доказываемые формулы достаточно установить для се C”(S, М)*>. В этом случае если за и принять приведенное выше выражение, то с помощью формулы для grad£, следующей за 1.4.6, получится, что Vu = grad£. Тогда V2u (с) — и (с) = дс, откуда следует, что действительно (0 (с) . Т] = (U, Т])1.

Чтобы получить последнее утверждение, заметим, что для произвольного о» е ТСЛ

2 (w, Vty)0 = $ d (ty ((), ty (t)) = О,

s

а если также и Vw е 7СЛ = £1 (с*ТМ), то (ty, Vty)1 = (ty, Vty) + + (Vty, VVty) = 0. Отсюда при ty = «, Vty = grad £ получается наше утверждение \ □

1.4.14. Предложение. Существуют 8 > 0 « а = а(е)>0, такие, что при всех с е Ле

| grad Е (с) JJ> а2£ (с).

Доказательство. Из 1.4.13 получаем

|| grad Е (с) |? = (дс, V grad Е (с))0 = 2£ (с) + (дс, и(с))0.

а Мы докажем, что при достаточно малом Е (с) имеет место оценка'

(*)\(дс, u(c)>0|^P(||grad£(c)||?+£(c)/2)

с некоторым Р<4. Тогда

|| grad Е (с) ||? > 2£ (с) - ₽ (|| grad Е (с) И + Е т,

(1+ 0) || grad Е (с) |? ^ (2 - р/2) Е (с),

что и представляет собой требуемый результат, поскольку 2 —Р/2>0.

Чтобы доказать (*), допустим сначала, что в некоторой окрестности точки с(0) = с(1) на М, содержащей всю кривую с, существуют евклидовы координаты. Обозначая локальные представления с, и и grad£ в этих координатах теми же символами,

получаем из Viz (с) = grad Е (с), что для и(/) 1= и (c)(t) t

и^ = и (0) + $ (grad Е (с)) (s) ds.о

Введем обозначения (grad Е (с)) (s) = у (s), § i/(s)ds = z(/). Поскольку о

|z|oo= max |z(0|^ max |^(01 =1у8<»^2g^Rt o<z<i oczci

(ср. c 1.2.1), то, используя тот факт, что с(0)=с(1) (вследствие чего J (c^, u)di = 0 для любого постоянного вектора и), получаем

|<дс, и>о|= ^(/), и(0)>Л+И^0, z^dt =

SSS

S

S

= | $ <с (0, 2 (0) & | < VW 1 z K2/2E(^JgradE(c)b

т. е. (*) выполняется при 0 = 2. ▲

В общем случае,, когда не существует локальных евклидовых координат, заметим, что при достаточно малом Е (с) кривая с целиком лежит в малой окрестности своего начала с(0) на М, ибо £(с):=длина с^У 2Е (с).

Следовательно, нормальные координаты в точке с(0)*’ будут сколь угодно мало отличаться от евклидовых координат, если только Е (с) выбрано достаточно малым, причем это свойство выполняется равномерно для всех кривых с на М, так как М — компакт.

Таким образом, мы доказали (*) и, следовательно, 1.4.14. (“) □

1.4.15. Теорема. Существует такое 8>0, что для каждого элемента с е А6М начинающаяся в с траектория потока, порожденного полем — gradE, имеет единственную предельную точку, которая принадлежит А°М — множеству одноточечных кривых. Эти траектории имеют конечную длину. Кроме того, А°/И является сильным деформационным ретрактом множества А6М.

' Замечание. Это было доказано Кархером [2]. Элиассон [4] дал другое доказательство, которое тесно связано о конструкцией устойчивого многообразия для А6М (ср. о § 2.5).

Доказательство. Выберем в>0 таким же, как в 1.4.14, и так, чтобы в Ае —А0 не было критических точек. Последнее условие обязательно будет выполняться для всех достаточно малых в,

*• То есть координаты, отвечающие карте (ф»(ехр | ^с(0|)-1, ехр<^С(0)), где ф| Те №)М -* R°lm м — изометрия.

так как при Е (с) ^ 8 выполняются неравенства L (с) ^ V 2Е (с) ^ ^]/2в, а известно, что на компактном римановом многообразии нет замкнутых геодезических произвольно малой длины; см. Громол, Клингенберг, Мейер [1].

Согласно 1.4.14, для се А® имеем

ОООО

L (траектория ф^) = f 14 ф^ | ds = f | grad Е (ф^) h ds =

ooE (c)

= J | grad E I?1 • ( - (Vsc)) ds < a-va f ^Ey^dE = a-V2 У^ЩУ), о'о

так как E (фооС) = 0 *>.

Вследствие этого траектория ф^ имеет ровно одну предельную точку, которую мы обозначим через фооС и которая должна лежать в Л°М.

Определим теперь деформацию Фт: Л®->-Л, 0^т^1, полагая Фтc:=ф^(t)C, если с^Л°, где s (т) := tg(nr/2), и Фхс:=с, если сеА°.

Осталось показать, что Фтс непрерывно зависит от т и с. Для этого достаточно заметить, что в соответствии с нашими оценками длина траектории ф$с становится малой равномерно по всем с, если Е (с) достаточно мало. Поэтому для предельной точки Фхс = = ФооС е Л° и для любой ее окрестности В46 (Ф^) радиуса 26 можно выбрать столь малое т]>0, что длина траектории любой точки из Лч меньше 6. Таким образом, осталось убедиться в существовании такой окрестности точки с, что каждая траектория с началом в точке из этой окрестности попадает в Л^Вд^с). Но такая окрестность существует в силу непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных условий на конечном отрезке времени. □

Следствие. Множества ЛВМ, е>>0, образуют фундаментальную систему окрестностей множества Л?М.

Доказательство. Из доказательства 1.4.15 мы знаем, что если csjVM при достаточно малом е>0, то расстояние d^c, Л°Л4) меньше заданного р>0. С другой стороны, из 1.4.3 следует, что если dA (с, Л°Л4) достаточно мало, то с принадлежит заданному Л®'Л4, 8'>0. □

*’ На самом деле здесь еще не надо знать ничего о фетс /т. е. о Нт ф5с \S-+00,

Е (с) Е (с)।

просто f j 1 и®° Нт £(ф4с)^О.

liraс\0в-too

«-►оо'

Геометрия риманова гильбертова многообразия (АМ, (•, )х) до сих пор не изучена достаточно подробно. Например, не ясен геометрический смысл геодезических на АМ, рассматриваемых как однопараметрические семейства замкнутых Я^кривых на М.

В 1.4.5 мы убедились, что (АМ, (•, • ^ — полное метрическое пространство. Теорема Хопфа — Ринова (ср. Громол, Клинген- берг, Мейер [1]), состоящая в том, что на полном конечномерном связном римановом многообразии любые две точки можно соединить минимальной геодезической, в общем случае не выполняется для римановых гильбертовых многообразий. Элиассон показал, однако, что на (ЛЛ4, (•, • )i) утверждение теоремы Хопфа — Ринова справедливо (неопубликовано).

Мы приведем здесь результат, устанавливающий некоторую связь между замкнутыми геодезическими на М и замкнутыми геодезическими на (АМ, (•, -)i).

Предложение. Пусть с = (с Д) — замкнутая геодезическая. Тогда кривая хе (s) = ем$ .с:=ДсЦ — s)), где s е S и t е S, является замкнутой геодезической на АМ длины L (с):—длина с.

Доказательство. Так как V дс = 0, то || х£ (s) |? = (— дс, — дс)0 — = L2 (с), т. е. хс (s) параметризована пропорционально длине дуги и имеет длину ЬД.

Осталось показать, что хс локально минимизирует расстояние. Выберем достаточно малое е>0. Пусть X(s), 0^s^e,—произвольная кривая в Л, идущая из хс (0) = X (0) в хс (е) = X (е). Положим X(s)(/) = X(^, s). Так как сУ — s), O^s^e,— кривая минимальной длины, соединяющая точки сД и с (t — е), то

$ ] дХ Д )/ds | ds 5= $ | о (t — s) | ds. о о

Таким образом,

1 _ / 1 - \V2

C|^ld(<s С1»ИЫ -|^|«=|^|.

J I ds | | ds | у Msl|o ||<М1

так что в 1_

(длина Х)^^|дХ(/, s)/ds | dt ds5a (длина хс ([0, е]). □ . о о

В заключение этой главы упомянем об одном обобщении теории замкнутых геодезических, а именно о теории геодезических, инвариантных относительно изометрий, А Геодезическая (не обя-

зательно замкнутая) с: R->Af называется инвариантной относительно изометрии Л: М-*М, если существует такое t6) что Ac (/) = с (t + /0) при всех I. При Л = 1(1Л1 и /<>=/= 0 это понятие сводится к обычным замкнутым геодезическим. Если же А имеет конечный порядок (т. е. Л" = id^ при некотором п) и /о=/=О, то геодезическая, инвариантная относительно А, замкнута, но, вообще говоря, не всякая замкнутая геодезическая инвариантна относительно А. Роль, которую в теории замкнутых геодезических играет АМ, в теории геодезических, инвариантных относительно изометрии А, играет пространство //’•-отображений с: [О, 1]->Л4, для которых с(1) = Лс(0). (Очевидно, оно приспособлено для «улавливания» как раз тех инвариантных относительно А геодезических, для которых /о^О. Если же Лс(/) = с(/) при всех /, то, очевидно, геодезическая с ^ целиком лежит во вполне геодезическом подмногообразии неподвижных точек изометрии А, и вопрос о таких геодезических относится к свойствам этого подмногообразия.) Основы теории и первые результаты см. в работах Грове [1], [2]. Для случая, когда А имеет конечный порядок, известны более продвинутые результаты, аналогичные результатам об обычных геодезических, приведенным в § 4.2 настоящей книги (Грове, Танака [1], Грове, Гальперин, Виге-Пуарье [1]). *

Глава 2

ТЕОРИЯ МОРСА — ЛЮСТЕРНИКА — ШНИРЕЛЬМАНАНА МНОГООБРАЗИИ ЗАМКНУТЫХ КРИВЫХ

В качестве первого применения результатов гл. 1 мы разовьем теорию Люстерника — Шнирельмана на (ЛМ, (•, -)i, Е). В частности, следуя Люстернику и Фету, мы докажем существование по крайней мере одной замкнутой геодезической на произвольном компактном римановом многообразии.

В § 2.2 мы изучим каноническое действие на многообразии ЛМ группы 0(2) (в частности, действие SO (2)^5 на ЛУИ и действие Zs^O (2)/S0 (2) на ПЛ4:=ЛЛ4/5) и таким образом придем к пространству ПМ, состоящему из непараметризованных замкнутых кривых на М. Затем мы подробно опишем пространство Г5” окружностей на стандартной n-мерной сфере S". С самого начала развития теории замкнутых геодезических чрезвычайно важную роль играли те классы гомологий пространства IIS", которые могут быть представлены циклами, принадлежащими Г5". Как мы увидим в гл. 4 и 5, такая ситуация сохранилась и до наших дней. '

посвящен подробному изложению теории Морса на (ЛМ, (•, •)!, Е). При этом предполагается, что все замкнутые геодезические принадлежат невырожденным критическим подмногообразиям. В последнем параграфе приводится усовершенствование этой теории, достигаемое путем введения комплекса Морса. Этот комплекс содержит в очищенном и сжатом виде всю существенную для нас информацию о (ЛМ, (•, -)1( М).

Теория Люстерника — Шнирельмана на АМ

Мы продолжаем пользоваться понятиями и обозначениями, введенными в гл. 1. В частности, напомним, что мы рассмарит- ваем полугруппу уменьшающих Е деформаций

ф4: ЛМ-*ЛМ, с*—*ф^, s^O,

определяемых как сдвиги по траекториям векторного поля — grad Е.

*’ В прошлом, когда работали непосредственно с функционалом длины, использовался более выразительный термин: «сокращающие (или укорачивающие) деформации», но с переходом к Е от него пришлось отказаться.

Непустое множество ®^ таких непустых подмножеств Ас сА = АЛ1, что для каждого из них Е | А ограничено, назовем ^-семейством, если оно замкнуто относительно ф$, т. е. если из Ле®^ следует, что ф^Леет/ при всех s^O.

Примеры ^-семейств. (i) Множество элементов {ф^с; s^O} траектории потока ф5 образует ф-семейство. Вообще, если Л — такое непустое подмножество Л, что Е | А ограничено, то множество {ф^Л; s^O} является ф-семейством.

Множество всех элементов связной компоненты пространства А составляет ф-семейство.

Рассмотрим свободный гомотопический класс непрерывных отображений 6-мерной сферы в Л. Множество образов этих отображений является ф-семейством, потому что /: 56->-Л и 4>s»f: S6->A лежат в одном и том же гомотопическом классе.

Пусть w — отличный от нуля класс сингулярных гомологий многообразия Л (коэффициенты любые). Для каждого сингулярного цикла и е w обозначим через | и | его носитель, т. е. объединение образов составляющих и сингулярных симплексов. Тогда Е11 и | ограничено и ф5м гомологично и; следовательно, {|u|; new (т. е. и — цикл, представляющий о»)} есть ф-семейство *).

Пусть точки подмножества Л' с: Л образуют ф-семейство (т. е. ф5Л'сЛ' при всех s^O), и пусть weH* (Л, Д') (сингулярные гомологии с любыми коэффициентами). Тогда {|ы|; и е есть ф-семейство. *

Пусть а е R. Назовем ф-семейство е^ ^-семейством Л mod Л®, если существует такое е>0, что промежуток ]а, а 4-е] не содержит критических значений Е (20) и из Aes^ следует, что А <£ Л«+е.

При а <0 снова получаем понятие ф-семейства многообразия Л.

Примером ф-семейства Л mod Л” является множество, состоящее из носителей | и [ циклов и, представляющих нетривиальный класс гомологий из Л mod Л® с тем же самым а**>. При этом особый интерес представляет случай а = 0. дЕсли в примере (v) A°gzA', то {|м|; иеш^ является ф-семейством AmodA0. ▲

*’ Сказанное, очевидно, никак не зависит от того, что ш ^ 0; просто при а> = 0 соответствующее ф-семейство бесполезно для наших целей.

**’ Здесь предполагается, что если для любого е>0 в классе гомологий ш е Н* (Л mod Л“) имеются сингулярные относительные циклы и, носители которых лежат в Ла+е, то ш=0. Это верно в том случае, когда а=0 (см. последнюю фразу из утверждения теоремы 1.4.15; в основном именно этот случай и нужен для дальнейшего), и в ряде других случаев (например, если ОЛ fl Е-1 (а) состоит из невырожденных критических многообразий (см. § 2.4) и, конечно, если а^ Е (СгЛ)), но не всегда. Аналогичное утверждение для функций на конечномерных замкнутых многообразиях тоже верно не всегда.

3 В, Клингенберг

Число

хл5= inf sup Б | Л

назовем критическим уровнем ^-семейства <у£ многообразия Л mod Л*.

То что -кд является также и критическим значением функции Е, вытекает из следующей теоремы.

Теорема. Пусть х = хл — критический уровень ^-семейства е^ многообразия Л mod Л®. Тогда х> а и существует такое с е СгЛ, что Е (с) = х.

Дополнение. Пусть И — открытая окрестность критического множества К = СгЛ.(\Е-1(и'). Тогда существует такое А* е о^, что ф5Л' g U U Лх~ при всех $5= 0.

Доказательство. Предположим, что х^а. Тогда для каждого в>0 найдется такое Аеа/, что ЛсЛк+е, а это находится в противоречии с определением ф-семейства Л mod Л”.

Предположим, что СгЛПБ-1(х) пусто. Тогда, согласно 1.4.12, существуют такие е>0 и So^O, что ф$0Л g Л<х~е)_ для каждого ЛGЛx+8. А поскольку для каждого 8>0 найдется лежащее в Л**8 множество Лев/, то получается противоречие с определением х = х^. Таким образом, теорема доказана.

Согласно 1.4.15, для доказательства дополнения достаточно рассмотреть случай х>0.

Для заданной окрестности 11 множества К. выберем такую окрестность ‘‘l/3 этого множества, чтобы она лежала строго внутри U в том смысле, что при некотором р>0

dA(c, с')^р для с г 9У>, с* ^ 11.

Такая окрестность, конечно, существует, так как К компактно, а топология задается метрикой дд.

Согласно 1.4.8, существуют такие е>0 и г]>0, чт0 || grad £ (с) Hi 5s Tj, когда

(*)сеС^ПСЛ^-Л^8»-).

Заметим, что мы вправе считать в сколь угодно малым и что т] с уменьшением е не уменьшается.

Пусть фа 0^s^s0, — траектория (точнее, дуга траектории), которая идет из точки с е f| (Лх^е — Л(х~е)~) в точку с' = ф$ос г и целиком содержится в Лх+е — Л(х-8)~. Эта траектория обязательно содержит дугу, которая лежит в С^У Q (Лх+е — Л(х"е)-) и длина которой >р; поэтому используя 1.4.10, можно оценить величину, на которую уменьшается Е при движении по этой

траектории:

£ (с) - 5 (с') = $ || grad Е (ф/?) И ds 2s t]2s0 2s t]2p2/(x + в), о

Следовательно, если е>0 достаточно мало, то можно быть уверенным, что траектория ф^ точки се^ЛА^6 никогда не покинет множество (2Z (J Л(х-8)~) Л Ли+е, так как в противном случае значение Е вдоль этой траектории уменьшится более чем на 2е, и траектория войдет в Л(х~8)-.

Теперь ясно, что для любого с е Лх+8 найдется такое s0 е е[0, 2е/т]2], что ф5с е (2Z Л Ли+е) U A(x~8)~ при всех s2ss0. Действительно, пока ф^сеС'УП^*8 —Л(х~е,~), имеем ^£(ф1с)^ ^ — т]2, поэтому ф5с не может лежать в этом множестве при всех s е [0, 2в/т)2]. Значит, существует такое s0 е [0, 2в/т)2], что либо ф$ос е (У Л Лх+е) — и тогда мы можем применить наш предыдущий результат, либо ф$„с е Л(*~^-— и тогда ф^ останется в Л(х'8)_ при всех s^s0.

В частности, ф4Лх+е cz И П А?*- при всех s^2e/r]2. Возьмем теперь такое А е е^, что А cz Лх+8, и положим А* := фге/п» А- Тем самым дополнение доказано. □

Замечание. Предположим, что все множества А из ф-семей- ства ет^ компактны и что К разбито на конечное число непере- секающихся замкнутых подмножеств Ki, ..., Кт. Тогда среди последних существует такое подмножество, скажем Кь что для каждой его открытой окрестности 11^ найдется такое А е е^, что при всех s^O

Ф5Д Л k^i U Л4-) Ф Ф» но ф5Д ф N^

(и даже ф^А Л Уч ф Лх_). В этом случае мы будем говорить, что представитель А семейства о^ висит, на Кь или повисает на Kt (при градиентном спуске). (21)

к Доказательство. Пусть Ut — малые окрестности Kt\ Ut можно считать непересекающимися. Берем такие меньшие окрестности У,, что если се^ь то ф^е^иЛ*" при всех s^O (см. доказательство 2.1.2). Согласно 2.1.2, существует такое Агет^, что ф5Я с ((J ^j) U А^" при всех s^>0. Допустим, что при некотором s = s<

(*) ф$,ДЛ ^/сЛ*-.

Докажем, что тогда

(**) ф5ЛЛ^сЛх- при всех s^Si.

Действительно, если се А, то либо сеЛх~, либо се6^ с некоторым /^i, либо сеТ(И ф5.с^^#, либо сеТ< и ф$.се 3»

е Uv В первом случае ф5с е Л*4- при всех s ^ 0. Во втором при всех s^O будет ф^сеЛ^и#/» а значит, ^sc^Ut — к*-, так что при доказательстве (**) этот случай можно не рассматривать. В третьем случае из того, что для с е ^

(***) Ф^с е Ui (J Л*- при всех s ^ 0,

следует, что ф$;с е К*-. Наконец, в четвертом случае из (*) тоже следует, что ф5.с е К*-. В обоих последних случаях заключаем, что ф^еЛ1*- при всех s^s;.

Если теперь для любого i найдется такое sit что выполняется (*), то в силу (**) при s ^ max s, будет ф$Л с: Лх~.

До сих пор компактность элементов А семейства е^ не использовалась. Теперь воспользуемся ею. Из ф$Л с Ли~ следовало бы, что sup Е | ф4Л = max Е | ф$Л < х, а это противоречит определению Х = Х^*>. □ А

В качестве первого приложения предыдущей теоремы получаем

Теорема. Предположим, что М неодносвязно. В этом случае каждому нетривиальному (j# 1) классу смежности фундаментальной группы Л1Л1 многообразия М отвечает связная компонента А* пространства А = АМ, которая не содержит одноточечных кривых, т. е. элементов из Л°.

Утверждение. Функция Е достигает своей нижней грани v! на Л', а множество Е-Ци') ПЛ' целиком состоит из замкнутых геодезических.

Доказательство. Напомним, что точки множества Л' образуют ф-семейство. Его критическое значение х' положительно, так как кривые с, для которых Е (с)’ и, следовательно, L (с) (длина с) достаточно малы, гомотопны нулю.

Если с е Е-1 (х') П Л' не является критической точкой Е, то 1 grad Е (с) fi > 0 и Е (ф^) < х', но ф^с е Л' - противоречие. □

Замечание. Можно (так часто и делается) доказывать предыдущую теорему совсем по-другому, не прибегая к рассмотрению пространства Л.М. Вместо этого рассматривают универсальное риманово накрывающее многообразие М для М. Тогда каждый нетривиальный элемент т фундаментальной группы Л1Л4 определяет изометрию многообразия М, которая не имеет неподвижных

*’ Использование компактности здесь необходимо: существуют такие ф-семейства е^ с некомпактными элементами, что А с: дк<л> для некоторых (и даже, для всех) Аеа^. Например, е^ может состоять из единственного множества Д = ЛИ—, где х—какое-нибудь положительное критическое значение Е. -

точек. Можно показать, что функция

f(p):— расстояние между р и тр

достигает своей нижней грани на М *).

Обозначим эту нижнюю грань через ®. Заметим, что ®>0. Пусть р — такая точка из М, что расстояние d(p, тр^ш, ас— геодезическая длины ®, соединяющая точки р и тр. Тогда проекция с геодезической с на многообразие М является геодезической на М, на которой функция Е принимает свое минимальное значение в классе кривых, гомотопных с**'.

Это доказательство в частных случаях было предложено Адамаром [1] и Картаном [2] (доказательство которого содержит ошибку). См. также книгу Буземана [1]. Берже [1] приводит полное доказательство.

Теперь приступим к доказательству существования замкнутой геодезической в случае, когда лхА1 = 0. Для этого прежде всего заметим, что справедлива следующая лемма.

Лемма. Отображение

у: ХМ-*М, сн-*с(0) = с(1), гомотопически эквивалентно некоторому расслоению в смысле Серра, слой которого имеет гомотопический тип QM — пространства петель многообразия М.

Отображение у имеет сечение, которое каждой точке реМ ставит в соответствие одноточечную кривую ср: S-f-peM.

Доказательство. Напомним, что отображение называется рас-

*’ Выберем е>0 так, чтобы для каждой точки q е М е-окрестность этой точки U6 (д) накрывалась как в прямом произведении. Пусть ^- — конечная е-сеть в М, а ^-—какие-нибудь прообразы точек ^ в М. Обозначим через К объединение замкнутых е-окрестностей этих точек в М. Тогда для каждой точки реМ найдется такое а из nxM, что ар еК. Выберем теперь последовательности р„еЙ так, чтобы ^ (Рп. трп)—>(»:= ini d^ (р, ip), и обоз

начим через ап такие элементы из л^И, что апр„ = К. Пусть апрп^— сходящаяся подпоследовательность. В этом случае опрп -*q и ^м Qb ап(топ1.яу*-®- Поэтому для бесконечного числа i точки аптсп1Ц должны совпадать, а их расстояние до q равно со. Тогда d^ (о~* q, та^ £) = со.

*** Непосредственно ясно, что с является геодезической петлей (т. е. с-. [0, 1]-*М — геодезическая линия и с(0)=с(1)) с указанным минимальным свойством. Но если бы это не была замкнутая геодезическая, т. е. в точке с(0) = с(1) она имела бы «угол», то ее длину можно было бы еще уменьшить, «сгладив» участок около «угла»,

слоением Серра, если гомотопия в базе может быть поднята в гомотопию в пространстве расслоения. Рассмотрим коммутативную диаграмму

ЯЧ?, М^КМ-^ сЧ& Я)

Для отображения справа утверждение леммы хорошо известно, см., например, Спеньер [1], Шварц А. С. [I]*’, а согласно 1.2.10, отображение / является гомотопической эквивалентностью. □ (22)

Следствие. Точная гомотопическая последовательность расслоения у расщепляется:

.. *'«1кй-*«.кК-*якМ-*1ск-1й t,, #j

Следовательно, при А^2 (а если М односвязно, то и при А=1)

л^АМ ^ л*Л1 + лй+1УИ.

Доказательство. Это утверждение является стандартным результатом алгебраической топологии; см. Шварц А. С. [1], Спеньер [1J. □ (23)

Теперь мы можем доказать знаменитую теорему Люстерника и Фета; см. Люстерник, Фет [1] и Фет [1]. Наше доказательство аналогично доказательству Оливьера [1].

Теорема. Пусть niM = 0. Тогда на М существует замкнутая геодезическая.

Доказательство. Хорошо известный результат алгебраической топологии утверждает, что существует такое минимальное k +1 ^2, что

л*+1М = Нм{М\ Z)¥=0,

а также что для заданного простого поля Zp существует мини-

♦’ Пусть С°([0, 1], М) —пространство всех непрерывных отображений с: [0, 1] -*■ М (топология в котором в общем случае определяется как компактно-открытая топология, а в данном случае может определяться и как обычная С°-топология с помощью метрики в /И). Тогда отображение

р: С»([0, 1], М^МхМ, ci->(c(O), с(1)),

является расслоением в смысле Серра (и даже Гуревича), см., например, Спеньер [1], (2.8.3). Но, очевидно, C°(S, М) естественно отождествляется с р-1Д, где Д = ((т, m); т е М} — диагональ прямого произведения, а у° —, С р | р-1Д,

мальное / + 1 ^ 2, при котором

Л/+1М ®ZP = H^M, Zp)=#0*’.

Из 2.1.5 мы знаем, что л^ЛМ = я*+1Л1 ^ 0. Возьмем теперь в качестве ф-семейства о^ множество образов отображений f: Sk-+AM, составляющих нетривиальный гомотопический класс. Тогда н = н^>0. В самом деле, в противном случае для каждого 8>0 найдется такое отображение / из этого гомотопического класса, что f (Sft) cz Ле. Но тогда, согласно 1.4.15, отображение /: 8к-*ЛМ гомотопно некоторому отображению /': 5к->Л°М^ о^М, т. е. рассматриваемый гомотопический класс тривиален, и мы пришли к противоречию. □

Сейчас мы дадим доказательство теоремы 2.1.6, которое несколько отличается от приведенного выше. В частности, в нем не содержится ссылок на теорему 1.4.15. Это доказательство представляет собой адаптацию первоначального доказательства Люстерника и Фета (см. Люстерник и Фет [1], Фет [1]).

Начнем со следующей конструкции. Фиксируем полусферу Нк'1 на S641 и обозначим через Dk cz дНклА замкнутый полуэква- тор сферы Sft+1. Для каждого peDk определим элемент ар: S -> ->S^* пространства AS*41 следующим образом: если peDk— — dDk, то ар — параметризованная окружность на Sk+1, которая выходит из точки р в направлении Нм и лежит в плоскости, перпендикулярной ft-мерному пространству, содержащему dDk; если же ре dDk, то ар — постоянное отображение S -> р.

Итак, мы определили отображение

6к-. (Вк, dBk)^(ASk+i, A°Sk+1), р*—*ар.

Предположим, что у нас есть дифференцируемое отображение /: Sk^-+M, которое гомотопически нетривиально. Оно индуцирует дифференцируемое отображение**’

/*:=АЛ66: (Вк, дВк)-*(АМ, Л°Л4).

Предложение. Индуцированная отображениями ф$: Л—► ->Л гомотопия ф»«^*, s^O, отображения f* индуцирует в свою очередь гомотопию fs, s^O, отображения f = fo. Эта гомотопия определяется так:

*' Существуют такие к, что H^tM, Z)=#0 (например, из односвязности следует ориентируемость М, поэтому НцтМ (М; Z) = Z). Для наименьшего такого к по теореме Гуревича лА+1М = Д6+1 (М; Z). Второе равенство доказывается аналогично с использованием «теоремы Гуревича по модулю р». Последняя является следствием обобщенной теоремы Гуревича, формулируемой в терминах классов Серра абелевых групп (Спеньер [1]), но была доказана еще до оформления этой теории (Серр (1 ]).

*’ Здесь (Af)(c) =f« с; ср. с замечанием в конце § 1,2.

для qedDkcSk*1 полагаем fAq) = f<q);

для q е Sk+1 — dDk полагаем fs (q) = ^sf*Q-p (0, где P^Dk — dDk u(eS однозначно определяются из равенства q = ap(О-

Доказательство очевидно. □

Теорема. Пусть отображение f: SM->M гомотопически нетривиально. Тогда критическое значение х ^-семейства {ф^-Л/’б6 (D6)} больше нуля и, следовательно, существует такая замкнутая геодезическая с, что Е (с) = х.

Доказательство. Допустим, что критическое значение х равно нулю. Тогда для каждого е>0 существует такое so^O, что Ф$0-Л/-66(Ой)с: Л8. Из 2.1.7 получаем, что f гомотопно отображению А.- Но /$, переводит все лежащие на Sft+1 окружности и одноточечные кривые ар(/),peD\ в кривые А,ар(/), на которых функция Е принимает значения ^е.

Если е достаточно мало, то эти кривые лежат в малой окрестности их начальной точки fs,aP(O), которая диффеоморфна диску и допускает ретракцию в Д„ар(0). Следовательно, f гомотопически эквивалентно композиции S У^. Dk — М (первое отображение здесь тождественно на dDk и в обозначениях из 2.1.7 имеет вид q I—> р на S6+1 — dDkY т. е. гомотопически эквивалентно нулю. Мы пришли к противоречию. □ (24)

Замечание. В предыдущих теоремах мы для каждого нетривиального гомотопического класса многообразия М построили замкнутую геодезическую. В общем случае таких классов может быть много. Однако это не означает, что мы таким способом обязательно получим много разных замкнутых геодезических.

Прежде всего различные ф-семейства вполне могут иметь один и тот же критический уровень. В излагаемом ниже методе, позволяющем получить несколько замкнутых геодезических, используются гомологии, а не гомотопические группы. Этот метот основан на понятии подчиненных гомологических классов, идущем от Люстерника и Шнирельмана [1], [2], [3]*>. Оно будет описано ниже, причем вначале в несколько упрощенной обстановке.

к'. ** Собственно, в работах Люстерника и Шнирельмана первоначально использовался введенный Люстерником [2] топологический инвариант —категория. Фролов и Эльсгольц (1), руководствовавшиеся замечаниями Понтрягина о работе Шнирельмана [1], дали оценку категории замкнутого многообразия через другой инвариант—длину, которую они определяли в терминах пересечений циклов. После этого Люстерник в цикле работ 40-х гг., итоги которым подведены в его монографии [1] и обзоре [3], использовал когомологии—уже для функциональных пространств и примерно так же, как это делается ниже. В конце концов оказалось, что во многих —и притом наиболее важных —случаях можно вообще не упоминать о категории, а работать с подчиненными классами, как и делается в настоящей книге.

При этом, однако, мы должны иметь в виду еще и то, что различные замкнутые геодезические с и с* могут получаться из одной и той же геодезической при обходе ее различное число раз; иными словами, может существовать такая замкнутая геодезическая с0, что с(0 = со(тО. с'(/) = c0(m'/ + r), г = const, тит' целые и т^т'. Здесь подразумевается, что Е (с) ФЕ(с'). Если же Е (с) = Е (с'), то может случиться, что с'(/) = с(±/4-г); правда, эта последняя трудность преодолевается (§ 2.2). (2В)

Мы продолжаем рассматривать гомологии и когомологии с коэффициентами в произвольном поле.

Лемма. Умножение Чеха г\ для пары (Л — Л°, Л8 —Л°)

^*(Л-Л°, Л8-Ло)®//*(Л-Л°)^//*(А-Ло, Л8-Л°) индуцирует линейное отображение

Н* (Л, Л°) ® Н* (Л - Л°) Н* (Л, Л°)

(которое мы тоже будем обозначать символом г\). Здесь в>0 предполагается таким, чтобы Л° было деформационным ретрактом Л8.

Доказательство. Мы считаем известными определение и свойства произведения Чеха для пары (Л —Л°, Л8 —Л°); см. Спень- ер [1]. Так как Л° — сильный деформационный ретракт множества Л6, то из точной гомологической последовательности тройки (Л, Л6, Л°) следует, что Н* (Л, Л°) = /7*(Л, Л8), а с помощью вырезания получаем*1 Н* (Л, Л8) = Н* (Л — Л°, Л8 —Л°). □

*• Замечание. Обычное произведение Чеха можно задать на цепях и коцепях посредством явной формулы (см. Спеньер [1] или Милнор, Сташеф [1])*#):.

Ст+„ (Л - Л») ® С" (Л - Л°) ^ Ст (Л - Л”),

= <П. [° ° ®л]) [о • ат].

Здесь 6 — произвольный (т + п)-мерный сингулярный симплекс пространства Л —Л°, т. е. непрерывное отображение Ат+л->- -»-Л —Л° (где Ат+" — «стандартный» (т + и)-мерный симплекс; для определенности можно считать, что дт+" с pm+n+i и ег0 /_я вер. шина ej"+n имеет i-ю координату 1 и прочие координаты 0); am: Ат->-Ат+л и сол: А"-> Ат+Л — стандартные линейные изоморфизмы соответственно на «переднюю» m-мерную и «заднюю» п-мер-

*' Здесь использовано то, что теория сингулярных гомологий удовлетворяет более сильной аксиоме вырезания (Спеньер [1], (4.6.5)), чем это требуется в аксиомах Стинрода —Эйленберга (там же, (5.4.14)).

**' Мы говорим здесь о цепях и коцепях в Л— Л°, поскольку сейчас именно они нам нужны, но формула имеет, конечно, общий характер.

ную грани симплекса Ат+", так что

^т^Т^^1' i=l,....m+l; <о„(е") = е^+", /=1,...,п-Ц;

[т] для сингулярного симплекса т обозначает соответствующую этому симплексу образующую группы цепей; (т), с) — значение коцепи т] на цепи с. Из этой формулы следует, что для любой цепи и и коцепи т] носитель | и гх т] | с | и |. Однако умножение

Н^Х. Х^НЧХ-Х^НДХ, А»)

мы не задавали на уровне цепей и коцепей, а ввели посредством специального рассуждения. Поэтому и утверждение о носителях здесь становится другим, а именно:

Если и е w е Н* (Л, Л°), V — открытая окрестность множества | ы | П Л°, ^еН*(А-А”) и w' = wr\^, то у ш' имеется такой представитель и', что |и' | cz | и |U V. Если, кроме того, £|£/ = 0 для некоторого открытого подмножества U с. Л — Л° (т. е. £ переходит в нуль при отображении Н* (Л —Л°)->//* ([/), индуцированном вложением U ^^_А — Л°) и F — такое открытое множество, что его замыкание W a U, то существует такой цикл и' е еш', что | и* | cz (| и | — F) U V.

Можно считать, что V cz Л6, где е —то же, что и в 2.1.9. Пусть Ot: Л-* Л8 —гомотопия, построенная в доказательстве 1.4.15. Пусть относительный цикл u-^Zm^X, Л°) получается из и при столь мелком подразделении, что: а) образы | а, | сингулярных симплексов из ит, пересекающиеся с Л°, целиком лежат строго внутри V, равно как и все Фт(|о;|), 0^т=^1; Ь) если нам еще заданы U и №, то \oi\clU при | a; | f] W 5^ ф. Запи-

Q

шем Ui в виде «х — 5 °< М. где все о,- различны, все <zz ^= 0 и 1=1

нумерация такова, что |а,|ПЛ°=0 при i^p и |о;|ПЛ°=#0 при 1">р (р — некоторое число). Положим

9Р

и3: = 2 °-' [°И. «з: = ^ at (°4 = «1 ~ «2-1=р+1(=1

Тогда ц3 е С* (Л — Л°). Запишем ди3 в виде 2 bj [ту], где ту — различные сингулярные симплексы и все bj ^= 0. Поскольку диэ = ди1 — ди1, \ди3\Г\Ае=ф и JduxIcA0, то ту суть грани некоторых сингулярных симплексов аь входящих в м2. Поэтому

(*)(*)иомд^су.

(*)

(*)

группы Нт+п (Л — Л®, Л® — Л°), который при наших изоморфизмах

Ят+„(Л-А«, Л®-Л«)^Ят+„(Л, Л8)^Ят+л(Л, Л®) соответствует ш.

Чтобы получить ty ^ £, надо взять какой-нибудь коцикл q е е Z" (Л — Л°), являющийся представителем £, образовать произведение

м3 q е Zm (Л - Л®, Л® - Л®) с Zm (Л, Ле)

и взять такой относительный цикл «'eZm(A, A®)cZ„(A, A®), который гомологичен u3 q mod Ст (Л®).

Если нам заданы U и W, то из того, что образ £ в Hn(U) равен нулю, следует, что есть образ некоторого элемента группы Нп (Л — Л®, Uy иными словами, коцикл т] е ^ можно выбрать таким образом, что (q, [т]) = 0 для любого сингулярного симплекса т с x|czt/. Тогда | и3 о q | с: | и31 — W а | и | — W. Осталось подобрать и*. Гомотопия Фт: Л®-* Л® определяет соответствующую цепную гомотопию D; С* (Л®)->С* (ЛЕ), которую можно применить, в частности, к

д (н3 г\ q) = дия г\ q ± и3 6q = ди3 г\ q

(в последнем равенстве здесь использовано то, что 6т] — 0). Так как это цикл, то при применении к нему Dd получится нуль. Стало быть,

d (u3 q + О (du3 гч q)) = (Ф^-х (du3 q) е Ст-г (Л°),

т. е., положив и' := и3 о q + D (du3 о т]), имеем и* е Zm (Л, Л°), и и* даже не только гомологично, но и равно ц3 r\ q mod Ст (Л8). Наконец, носитель | и' | с | и3 <ч q | U | D (ди3 гч q) |, где, как мы знаем, | u3 q) с | u | — W, а по построению цепной гомотопии

| D (ди3 гч q); с [J Фт (| ди3 q |) с (J Фт (| ди3|),тг

что ввиду (*) содержится в V. □ *

Пусть w' и w — ненулевые гомологические классы Л mod Л®, размерности которых равны соответственно к и k-yl. Будем говорить, что класс w* подчинен классу w, если существует такой /-мерный класс когомологий ^ пространства Л —А®, что ty' = = w ГЛ I.

Теорема. Пусть w, w* гН*^, Х6^ и класс w' подчинен классу ty. Тогда критические уровни х и и' классов ty и w' *>

удовлетворяют неравенству х^х'>0. Если х = х', то множество критических точек из Е-1^ имеет ненулевые когомологии Чеха в размерности / = dimm — dimty'>0. Отсюда следует*'1, что это множество имеет размерность в смысле покрытий ^1.

Доказательство. Оба значения х и х' должны быть >0, потому что циклы, представляющие соответственно w и w’, образуют ф-семейство пространства Л по модулю Л®.

а Для каждого цикла и gw существует такой цикл u'gw', что \и' | с m|UV, где V —сколь угодно малая окрестность множества \и П Л®. Когда она достаточно мала, будет Е | V < х, поэтому Е | и' I Е11 и |. Следовательно, х' х.

Допустим теперь, что х' = х. Положим CrXf\E~4i = K. Пусть w' = w гл £, ^ е № (Л - Л°). Докажем, что £ | U 0 для каждой открытой окрестности U множества К в Л —Л®. Действительно, пусть £ | U = 0. Возьмем какую-нибудь меньшую окрестность W множества К, для которой W с U. Найдется такой представитель и е w, что | и | cz W (J Л.*~. Но тогда, согласно замечанию к 2.1.9, найдется такой представитель и' е w', что | и'| cz с (| и | — W) U V cz Лх- (окрестность V множества | и | П Л® по-прежнему берем столь малой, что £|У<х). Значит, х'<х.

Итак, ^ | С/ ^4= 0 для любой окрестности U то К. Но тогда предел прямого спектра групп по всем этим окрестностям lim Н1 (U) ^0. (В самом деле, возьмем образ £ в какой-нибудь из этих групп, скажем £ | Uo е Н1 (U^. Образ £|L70 в предельной группе может равняться нулю в том и только том случае, когда равняется нулю образ £|7/0 в какой-нибудь из групп Hl (U), U cz Uo, т. е. £ | U.) А этот предел совпадает с группой когомологий Чеха /7ч (К). Действительно, у любого открытого подмножества U cz Л сингулярные когомологии совпадают с когомологиями Чеха (см. Спеньер [1], теорема 6.9.1; ввиду локальной стягиваемости Л каждая точка cgU жестко вложена в U относительно сингулярных когомологий), а для последних Ит/7ч (Ц) = = /7ч (/() — это есть присущее им свойство жесткости (Спеньер [1], теорема 6.6.2). □ А

Следствие. Пусть wu 1 ^i^r,— ненулевые классы гомологий Л mod А®, каждый из которых подчинен следующему, и Q^h1<...<kr, где ki — dimwt.

Обозначим критический уровень Wt через И(. Тогда

0 Xt ^... ^ хг

и для каждого к, существуют замкнутые геодезические на Е-уров- не Xi- Кроме того, если х,; = хм., j’>0, то множество замкнутых геодезических на Е-уровне Xj имеет размерность в смысле покрытий 5= k^j- — kj.

Замечание. Пусть tyb ..., wr те же, что и выше. Тогда, согласно определению, wi_1 = toi t,t_v Поэтому, воспользовавшись формулой (го = го (^ w ^')> получим

WX = Wr rx (^ ^ ,.. w ^),

т. e. существуют (r — 1) когомологических классов положительной размерности пространства Л — Л°, такие, что их ^-произведение не равно нулю.

Верхняя грань числа когомологических классов топологического пространства, ^-произведение которых не равно нулю, называется (когомологической) длиной этого пространства. При этом все когомологические классы, кроме одного, должны иметь положительную размерность *К

Это понятие тесно связано с понятием категории топологического пространства; точнее, длина пространства дает оценку снизу для его категории (см. Шварц Дж. [1], Пале [4])

Из предыдущих результатов мы уже знаем, что если в Н* (ХМ — Х°М) есть г—1 таких элементов С/. l^isSr— 1, что dim^>0 и Ci ••• ^-1=#0, и если существует w^H* (ХМ, Х°М), для которого w гх (ti ... о t,r_t) ф 0, то на многообразии М существует по крайней мере г различных замкнутых геодезических. При этом мы пока предполагаем, что фигурирующие в 2.1.11 критические уровни хг все различны. В противном случае мы должны были бы исключить возможность того, что множество замкнутых геодезических на Е-уровне Xj = Xj^-, j’ > 0, является просто 0 (2)-орбитой единственной замкнутой геодезической с, т. е. все эти геодезические имеют вид с (± 14- г) (подробнее это будет обсуждаться в § 2.2). Действительно, такие замкнутые геодезические, которые отличаются лишь параметризацией, мы не будем считать различными по существу. В 2.2.11 мы дадим такую формулировку, которая исключит эту возможность.

Кроме того, здесь уместно еще раз напомнить сделанное перед 2.1.9 замечание о том, что различные замкнутые геодези-

четкие могут получаться из одной геодезической при обходе ее различное число раз. Другие комментарии можно найти у Фла- шеля и Клингенберга [1].

2.2. Пространство непараметризованных замкнутых кривых

В этом параграфе мы будем рассматривать пространства непараметризованных замкнутых кривых на многообразии М. Они получаются с помощью факторизации пространства Л по непрерывному S-действию и непрерывному О (2)-действию. При этом получаются пространства соответственно ориентированных и неориентированных замкнутых кривых.

Идея рассматривать неориентированные замкнутые кривые восходит к самому началу развития теории замкнутых геодезических, ср. Люстерник и Шнирельман [1] и Морс [2]. Однако при этом более старом подходе отождествляются параметризованные замкнутые кривые, которые переходят друг в друга под действием намного более обширной группы, например группы диффеоморфизмов окружности S. При нашем подходе мы будем отождествлять кривые с и с' только в том случае, если существует такое г е S, что с' У) = с(1^г) или с’ (t) — с (— t + г). Это дает нам возможность пользоваться результатами теории, описывающей действие окружности на гильбертовом многообразии. Заметим, однако, что это действие не дифференцируемо, а только класса Н1*\

По этой причине наш подход кажется более естественным. Кроме того, различные определения пространства замкнутых кривых приводят к одинаковому гомотопическому типу, потому что > группа сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов окружности допускает ретракцию на SO(2) = S.

Как мы увидим, риманова структура на АМ и интеграл энергии Е согласованы с S-действием и с обращающей ориентацию инволюцией на АМ. Грубо говоря, это вынуждает функцию Е иметь больше критических точек, чем было бы необходимо при

отсутствии согласованности, или приводит к другому, тесно связанному с первым явлению: пространство непараметризованных кривых обязано иметь «больше» гомологий, чем пространство параметризованных кривых ЛУИ (по крайней мере в случае Zz-коэф- фициентов). Этот факт впервые был отмечен Морсом в его вычислении «круговых чисел связности» *' (которое, кстати, было неверным); см. Морс [2J, а также Ботт [1].

д Группа 0(2) естественно действует на окружности S, рассматриваемой как единичная окружность в R2 (или, что то же самое, в ф; точка с координатой t mod 1 —это е2л“). Следовательно, можно определить действие О (2) на отображения с: S -> М формулой % (а, с) = а. с: = с«а-1. Здесь в правой части стоит а-1; это сделано потому, что при таком определении получается а. (р . с) = (оф). с.

Группа О (2) состоит из двух связных компонент. Компоненту единицы, SO (2), можно отождествить с окружностью S (считая, что элемент с координатой t mod 1 действует на плоскости, как умножение на е2л" действует на комплексные числа). Она является нормальной подгруппой. Поэтому факторизацию ЛМ по определенному выше действию 0(2) можно осуществить в два этапа — сначала факторизуем по SO (2), затем полученное фактор- пространство факторизуем по О (2)/S0 (2) = Z2- В качестве представителя элемента последней группы, отличного от единицы, можно взять любой элемент из 0 (2) — SO (2); ради определенности возьмем отражение в оси х, т. е. элемент о: (х, у)*—> (х, — у). Очевидно, za = oz~1 при zeS. Все элементы из 0(2) —50(2) являются инволюциями и однозначно представляются в виде го, zgS>

Рассмотрим сначала действие S на ХМ. Оно определяется отображением

%: S х ХМ->ХМ, (г, c)t-*z.o,

где z. с (О = с (t — г), г = еШг е S.

Лемма. Отображение % определяет непрерывное действие окружности на ХМ. При каждом zeS отображение

Ъ‘.ХМ-*ХМ, с*—*г.с,

является изометрией, которая оставляет функцию Е инвариантной.

Доказательство. Рассмотрим естественные карты, отвечающие элементу с е С”(5, (И) и элементу г.сеС”(8, М). В этих кар-

тах отображение х представляется линейным изоморфизмом

Н1 (с^ТМ)Н1 ((z . с)* ТМ), (|(0)^-*a(t-г)).

Из определений функции Е и метрики (•, -X на ХМ непосредственно видно, что £ (г. е) = £ (е) и (Тх^., Т^.)i = (-, -)i.

Остается показать, что х непрерывно. Так как Xz —изометрия, то

dA (Zi • ex, z2. е2) = dA (ei, Zj *z2. е^,

так что непрерывность достаточно проверить при z=l. Имеем dA (si, z.e2)^dA(ei, c)+dA(c, z.с) + dA(е2, с).

Поскольку C°°(S, М) плотно в ^(S, М), то при достаточно малом dA (вх, е2) первое и третье слагаемые также будут малыми при подходящем выборе с. Поэтому достаточно показать, что dA (с, z. с) стремится к нулю при z->\, ceC”(S, М).

Пусть при teS, z=ewire2i, где И — малая дуга окружности | z | = 1, содержащая z в качестве своей внутренней точки, будет ^ = exp;'(z.c) и

5 (Л г): = (л*с)Г1 (exp | ^(о)"1 с (t - г) = L (0-

Отображение

Sx2Z^c*TM, (t, z)^l(t, z), принадлежит классу С” и li — нулевое сечение в с*ТМ. Отсюда следует, что |^г||ю->0 и РДгЦоо-^О при г-*1, а тем более

Наконец заметим, что отображение х не дифференцируемо, так как в противном случае при каждом сеЛ отображение zeS*-*z . сеЛ также было бы дифференцируемым. В частности, это означает, что касательный вектор d(z.c)/dz приг=1 должен был бы быть элементом ТД. Но этот вектор равен — дс, который не обязан быть элементом ТД*'. □

Следствие 1. Если с — критическая точка функции Е, то и вся орбита S. с состоит из критических точек.

Это есть непосредственное следствие леммы 2.2.1. □

Группа изотропии*' 1(c) элемента с по отношению к S-действию определяется как подгруппа, образованная теми элементами zeS, для которых г.с = с.

Следствие 2. 7 (с) — замкнутая подгруппа группы S, т. е. или I (c) = S, что равносильно тому, что с е А°М = пространство одноточечных кривых, или I (с) — циклическая группа конечного порядка.

Доказательство. Заметим, что отображение х/. 5->-Л, при котором Zi—*z.с, непрерывно. Поэтому 7(c) = (хс)-1 (с) замкнуто. □

Будем говорить, что кривая с еЛЛ1 является т-кратным повторением, если /Xc) = Zm. Если т= 1, то с будем также называть однократной**' кривой.

Замечание. Пусть 7(c) = Zm. Тогда c(t-\-\lm) = c(t) при всех t е S.

Если с еЛ, то определим т-кратное повторение кривой с, полагая cm(t) := с (mt). Ясно, что I (ст) содержит Zm.

Если 7 (с) = Zm, то кривая с0, определенная равенством c0(t) = =c(t/m), однократная и с = с". При этом с0 мы будем называть однократной кривой, отвечающей (соответствующей) элементу с.

Определим пространство ПМ непараметризованных ориентированных замкнутых кривых на многообразии М как факторпро- странство пространства ЛЛ1, полученное факторизацией АМ по S-действию %. Пусть л: ЛМ->ПМ = ЛЛ4/~5 —отображение факторизации.

Пространство П = ПЛ1 будем рассматривать с фактортополо- гией, т. е. множество В с: 11 будем считать открытым тогда и только тогда, когда открыт его прообраз при отображении л.

Ясно, что Е; ПЛ4-*В —непрерывная функция. Элемент сеП будем называть критическим, если с —образ при отображении Я критической точки многообразия Л.

*) Ее называют также стабильной или стационарной (под)группой (для) элемента с.

**• В оригинале: prime, что можно было бы перевести как «простая». Однако это противоречило бы тому, что обычно под «простой кривой» понимают кривую без самопересечений. (В английском языке такой коллизии не возникает, так как в английском названии для кривых без самопересечений используется прилагательное simple, а не prime.)

Пространство П можно описать по-другому, сказав, что его точками являются орбиты S-действия х- При такой интерпретации критические точки пространства П — это S-орбиты критических точек из А.

Теорема. Уменьшающая Е деформация ф$ пространства АМ индуцирует уменьшающую Е деформацию ф$ пространства ПМ. Эта деформация определяется следующей коммутативной диаграммой:

ЛМ-^АМ*

-Йлт—^-*плг

Доказательство, Пользуясь тем, что S-действие х является изометрией, которая не изменяет функцию Е, получим*)

grad Е (z. с) = Тг. grad Е (с).

Поэтому срsz. с = z. <p.sc и, следовательно, теорема доказана. □ Рассмотрим изменяющее ориентацию отображение**)

6: АМ-*АМ, с(0—>с(1-0.

Ясно, что 62 = id, т. е. 6 определяет 22-действие на АМ.

Теорема. Отображение 9 — изометрия, оставляющая функцию Е инвариантной. Кроме того, z. 9 (с) = 6 (зг1. с), т. е. 9 переводит орбиты S-действия % снова в орбиты S-действия и, следовательно, определяет инволюцию на ПсИ. Ее мы будем обозначать через 9.

Доказательство, В картах, отвечающих согласно 1.3.8 элементам с и 9с, отображение 61^^): У (с)-*-3^(6с) представляется как ограничение на П ТСАМ линейной изометрии гильбертовых

*• Действительно, при всех £ е ТСЛ ввиду изометричности Тхг (с)

(7% (с). grad Е (с), Тх, (с). S>i = (grad Е (с), ^1=DE (с). £.

Но

(grad Е (г . с), Txz (c).^ = DE(z.c)^ Т^ ^Л=П<Е. &) ^ Л =DE (с). £

(ибо E-Xz=E). А каждое г) s TZ.CA имеет вид ТхДс).^ с некоторым £. Поэтому при всех этих т]

<1% (с) ■ grad Е (с), -q>i = (grad Е (г . с), r))u

что и означает справедливость доказываемого равенства.

*’ Это просто другое обозначение для действия на АМ инволюции а, введенной в начале этого параграфа.

пространств

Hi (с*ТМ) -* Я1 ((6с)*ТМ), g (0 ~ 5 (1 — О-

Кроме того, легко видеть, что Е (6с) = Е (с).

Для того чтобы доказать последнее утверждение теоремы*', заметим, что если z = e2nir, то

(z. (Ос))(0 = (6с)(f — r) = c(l — Z4-r) = z-1. с(1 —t) = (9z-1. с) (О- П

Определим пространство (неориентированных) непараметризованных замкнутых кривых**'1 многообразия М, полагая

ПМ *= ПМ/§2г-

Это пространство будем рассматривать с фактортопологией.

Пусть А: ПМ-»-ПМ — отображение факторизации. Композицию отображений Фил будем обозначать через л; это есть отображение л: ЛМ-*НМ.

Пользуясь S-действием х и инволюцией 6, можно описать О (2)-действие х на Л.М следующим образом:

J z.c, если a = ze SO (2)^5,

X |0^ если a = го е О (2) — SO (2).

Ясно, что ПМ канонически изоморфно фактор пространству АМ/х0(2).

Мы можем интерпретировать ПМ как пространство орбит О (2)-действия х на многообразии АМ. Очевидно, что функция Е постоянна вдоль этих орбит. Поэтому ее можно рассматривать как непрерывную функцию на ПМ. Критическими точками функции Е на ПМ по определению называются орбиты критических точек О (2)-действия х- Поэтому отличная от константы (т. е. не принадлежащая П°М: = лЛ°М) критическая точка пространства ПМ определяет две иммерсии окружности S в АМ:

Zt-*Z.C и г»—* z.6(c).

Обычно эти иммерсии различны, и даже их образы не пересекаются, но при некоторых «исключительных» с это не так. С этим мы встретимся ниже.

а Замечание. Ясно, что непрерывное эквивариантное отображение h;AM-*A.N определяет «накрываемые» им непрерывные

' Оно, конечно, следует из того, что zo = gza.

*' Прежде, когда факторизацию производили по всей группе диффеоморфизмов окружности, такое название вполне соответствовало смыслу входящих в него слов. При факторизации же по 0 (2) от параметризации кое-что остается (то время, за которое точка, движущаяся по закону c(t), проходит данную дугу, не меняется при замене с на a. с), так что название является довольно условным.

отображения Л: ПЛ4-»-ПЛ^ и h: ИМ-*-TIN, а эквивариантная гомотопия hs: АМ -► AN — соответствующие гомотопии h$: ГШ -* -+TIN и hs: ПМ^-TkN. Примером могут служить отображение Л/ и гомотопия Afs из замечания 2 в § 1.2. Соответствующие отображения факторпространств будем обозначать через

П/ или П/$: ПЛ1 -^ПЛ^, П/ или ПД: ПМ->ШУ.

Ясно также, что если h или hs не эквивариантны, но все-таки сохраняют орбиты О (2) и SO (2) (т. е. переводят каждую орбиту в (вообще говоря, другую) орбиту), то тоже можно перейти к соответствующим отображениям факторпространств. Примером может служить отображение g из 1.3.12. Дополнительно к 1.3.12 можно обеспечить, чтобы гомотопия, соединяющая idAA1 и g, тоже сохраняла орбиты, так что g и g тоже гомотопны тождественным отображениям.

Построение g в 1.3.12 зависит от выбора начальной точки (gc) (0); см. обсуждение в конце § 1.3. (Напротив, g и g при различном выборе (go) (0) е с(S) получаются одинаковыми.) Легко видеть, что при сделанном ранее выборе: (gc) (0) = с (0) отображение g не эквивариантно, хотя и сохраняет орбиты О (2) и SO (2). При доказательстве сделанного выше дополнения к теореме 1.3.12 оказывается удобным наряду с определением (gc) (0) = с (0) пользоваться также и определением (gc) (0) по некоторому другому правилу, при котором g оказывается эквивариантным, см. Аносов [3]. А

Следующая теорема является аналогом теоремы 2.2.4 для пространства 1Ш.

Теорема. Деформация ф$ на АМ определяет деформацию ф^ на LLW. Эта деформация описывается коммутативной диаграммой

ш-^км

nV—^nv

Доказательство. Так как О (2)-действие на АМ является изометрией, которая оставляет функцию Е неизменной, то для каждого ае0(2) имеем

Та. grad Е (с) = grad Е (а. с), где отображение а: АМ-*-АМ определяется соответствием с*—* н-*%(а, с)- Поэтому <р5а. с = а. ф^с. □

Для каждого действительного числа х определим множества Пх:={сеП; £(с)^х}, Пх:={сеП; Е(с)^х}.

Другими словами, Пх = лЛх и Пх = лЛх.

Заметим, что П° и П° канонически изоморфны пространству А°М ^ М.

Теорема. Существует такое е>0, что П° — сильный деформационный ретракт Пе, а П° — сильный деформационный ретракт Пе.

Доказательство. Это следует из 1.4.15 и соответственно из 2.2.4 или 2.2.6, если заметить, что построение Фт по ф5 в доказательстве 1.4.15 эквивариантно относительно действий S и 6.

Следующая лемма утверждает существование среза S-действия х на АМ (об этом понятии*' см. Пале [1]).

Лемма. Пусть се АМ — А°М. Тогда для каждого zeS существует срез 2 (z .с), т. е. такая проходящая через точку г. с локальная гиперповерхность коразмерности 1 многообразия АМ, что

г. 2 (с) = 2 (z . с); _

для каждого z^I (с) множества 2 (г .с) и 2 (с) не пересекаются;

(Hi) существует такая открытая окрестность U точки 1 на S, что отображение Ux^ (с)-*АМ, (г, e)>—»г.е, является гомеоморфизмом на открытую окрестность кривой с в АМ;

(iv) I (с) действует как группа изометрий на 2 (с), если 2 (с) рассматривать с индуцированной метрикой. Это действие оставляет с инвариантным. В частности, индуцированное действие 1(c) на касательном пространстве к ^(с) в точке с является ортогональным представлением группы 7 (с) в гильбертовом пространстве.

Замечание. Важность понятия среза связана в основном с тем, что л 12 (с) (или л 12 (z . с), где г — любая точка из S) отображает 2 (с) (или 2 (г . с)) на открытую окрестность точки л (с). Это отображение определяется факторизацией изометрического действия на 2 (с) группы изотропии 7 (с) кривой с.

Доказательство (ср. Кархер [2]). Выберем е>0 так, чтобы ограничение на е-шар в ТСА отображения ехр | ТСА было диффеоморфизмом на некоторую окрестность точки с в А; его мы обозначим ехрс. Пусть Н6 — пересечение гиперповерхности оэ = 0 в ТСА с е-шаром (здесь © то же, что в 1.4.13). Пусть, далее, 2 (с): = ехрсНв.

*' Это общее понятие в теории компактных групп преобразований. Формулировка леммы 2,2.8 содержит его определение в нужном нам случае.

Определим 2 (г . с) аналогичным образом. Тогда, поскольку все наши определения эквивариантны, (i) выполнено. Кроме того, S действует как группа изометрий. Поэтому выполнено и (iv).

Рассмотрим в произведении некоторой окрестности U точки 1 на S и окрестности ^ функцию

/: U х ^R, / (z, е) = — (Ос, ехрё *z. е)0 = со (ехрс ‘г. с)

(чтобы expc'z. е было определено при всех (z, е) е U х У, возможно, придется несколько уменьшить е, определяющее У). Ниже мы докажем, что / имеет производную 0^(2, е), которая непрерывна по (г, е) и в точке (1, с) равна (дс, дс)иФ=0. Поскольку /(1, c) = Q, из теоремы о неявной функции следует, что существует такое непрерывное отображение ev-^z^eU, что z (с) = 1, f(z(e), е) = 0, несли /(г, е) = 0 при (z, е) е U х У, то z —z(e). (При этом, возможно, надо уменьшить U и е.) Но выполнение равенства f (г . е) = О эквивалентно тому, что z . е е 2 (с), е е 2 (г-1. с). Тем самым доказано (iii) (отображение, обратное к упомянутому там, имеет вид ei—> (г-1 (с), г(е).е)е е U х 2(c)), а также (ii), А однако (п) пока что не для всех гфЦс), а только для zeU- {1}.

Докажем (ii) для всех гфЦсу Пусть сначала z^U°l(c), г ф I (с), т. е. z = zxz2, zx е U, г! #= 1, z2 е / (с). Тогда

2 (z . с) = zx. 2 (г2. с) = zi. 2 (с),

что по доказанному не пересекается с 2 (с). Наконец, имеется такое 6>0, что dA(c, z.c)>6 для всех гфиЛ^. Уменьшив, если понадобится, е (определяющее <^/3), получим, что ^ () Лг.У^ф при г фи ° 7 (с); в частности, 2 (с) f) S (z . с)= 0.

Остается убедиться, что / обладает нужными свойствами. Из определения / видно, что f(zz0, e) — f(z, г0 . е), поэтому дифференцируемость f в точке (г0, е), принадлежащей области определения /, равносильна дифференцируемости f в точке (1, z0 . е). (Это рассуждение годится не только для (z0, е) е U х У, но и вообще для всех тех (г0, е), для которых имеет смысл определение / посредством соответствующей формулы, т. е. для которых dA(z0.e, с)<е, где 8 то же, что в 1.3.8.) Мы докажем, что

DM, ехрД) = (дс, дс^. '

*’ Ранее дс определялось лишь при сгС°°(5, М), но аналогично можно определить

дс: {§ е ТСМ; g ^ h < в} Н« (с*ТМ)

и при любом сеЛМ. Это по-прежнему есть главная часть локального представления сечения д расслоения а0 в некоторой векторной карте, — именно, векторной карте (Фо, с> &xpc!V (с)), введенной в (14). Заметим, что д^ непрерывно зависит от g ввиду непрерывности сечения §.

Отсюда будет следовать непрерывность DJ (действительно, из сказанного видно, что DJ (z, е) = (дс, дс ехрё z . е)0 (причем не только при (z, с)е1/ х Д'3, но и вообще при любых z, г, для которых dA(z.e, с)<8 с в из 1.3.8), а непрерывность правой части по (г, е) следует из 2.2.1, 1.3.7 и 1.3.2), а также и то, что 01/(1, с) = (дс, дс%.

Рассмотрим непрерывное отображение

гр (/ -> № (с*ТУИ),т] (z): = ехр7‘ (z. ехрс £),

где £ е Т^Л и Hlli<e- (Здесь можно взять и е из 1.3.8, только тогда U, вообще говоря, будет зависеть от £, что несущественно.) Достаточно доказать, что существует производная Dt](l) и что она равна — дс£- (Если бы мы рассматривали ц (г) как функцию со значениями в Hxtp*TM\ то производной не существовало бы.) Будем пользоваться аддитивными обозначениями для S вместо мультипликативных, соответственно будем писать h вместо г. Надо доказать, что при h-*0

\\4^-^A-hdc^0 = o(hY

Обозначим т)(Л, t): = ц (/i) (t) (h^U, t^S), <р(/, h): = = у|л(Л, ^ — ^(f^-t-hd^tf)^ мы хотим доказать, что

limt ф2 (t, h) dt — 0.

Достаточно доказать следующее (ср. с концом (12), в)):

lim<p(/, h) = 0 при почти всех I;

А-»0

для любого 8>0 имеется такое 6>0, что если В —измеримое множество меры mes В < 6, то ^ <р2 (У, h) dt < е при всех h.

в

Пусть е:=ехрс£ и t таково, что существует ё(^). Тогда Ш 0 = U0,

exp т*с . fj th, t) = (е2я,А . e) (/) = e (t — /i),

откуда следует, что при фиксированном t функция /и—»я(Л, О абсолютно непрерывна и | ^ n (А, О1 С | ё (/ — h) | с некоторой константой С; в частности, дт^дк квадратично интегрируема. Ясно также, что |дс^(О1^С|ё(/)|.

Для любого е>0 существует такое 6>0, что если В — измеримое множество и mes В < 6, то J J ё (/) |2 dt < е. Докажем, в

что тогда $ ф2 (/, К) dt < 4С2е. Имеем в

/5ф2(t, h)dt\w^/А + /А,

/

где

А = ИМ(А, О—E(OI2dA J»=\\dM\Mt.

к\^№. tW ок\^№. tW оЯсно, что А^С2 ^ \ e(t)\dt<Ces. Далее, в

к

\^№. tW о

к

\^№. tW о

In (л, t)-Ut^ = № о-Ш /)|2=

hhft

откудаAоткудаA^С^^ё^-к') \2 dk' = Ck^\e(t — k') \4dkf, 000

откуда

A

откуда

A

ftл

у dt | e (t — k') J2 dk' = у dk' | e (t — k') J2 dt. BOOB

Ho ^|e(Z — Л') ^dt есть интеграл от | e(О I2 п0 «сдвинутому» мно- в

жеству В; поэтому он <е. Значит,

\ adh.' = C4. О

о

Замечание. Как видно из доказательства, построение среза 2(c) зависит от параметра е>0, характеризующего «размеры» среза. Будем на минуту писать Se(0- Срезы S8(c) определены и обладают свойствами (i) — (iv) для всех достаточно малых е, скажем для е е]0, е0(с)[ (где е0(с), конечно, одно и то же для всех с из одной и той же SO (2)-орбиты). Чтобы убедиться в этом, не надо даже пересматривать доказательство с точки зрения его зависимости от е. Если Se(c) (где е фиксировано, а с пробегает SO (2)-орбиту) — срезы и 0 < 6 < е, то очевидно, что

26 (с): = ехрсЯб = 6-окрестность с в 26(с)

тоже обладает свойствами (i) —(iv). Отметим еще, что когда U пробегает окрестности точки 1 на S, а в —малые положительные числа, то U. Se(c) пробегает фундаментальную систему окрестностей точки с в ЛМ. (Мы уже знаем, что это действительно окрестности, а если ^-какая-нибудь заданная окрестность точки с, то при достаточно малых U и е будет г. е е W при всех zeU и всех е с dA (е, с) <8, в частности при eeS8(c).) Отсюда следует, что л (U . 2е(с)) = л (2е(с)) пробегает фундаментальную систему окрестностей точки ло в ПМ, а л(2е(с))— точки лс в ILW. А

Следствие. ПМ и ПМ локально стягиваемы.

Доказательство. Если с = ср — одноточечная кривая, образ которой есть точка р е М, то окрестность этой кривой в ХМ мы можем стянуть с помощью Фг на окрестность точки ср е Л°Л1 в Л°М, а затем по Х°М в точку р, снова эквивариантно относительно действий соответственно SO (2) и 0(2) (на Х°М эти действия тривиальны).

Пусть теперь £(с)>0. Каноническая ретракция вдоль лучей*-, переводящая 2 (с) в с, коммутирует с изометрическим действием группы 7(c) и поэтому определяет локальную ретракцию окрестности точки л (с) на ГШ в л (с). Кроме того, эта ретракция коммутирует с изометрией 6 и, следовательно, определяет также локальную ретракцию ПМ в л (с). □

Для 1Ш и ПЛ4 можно определить аналог понятия ф-семей- ства. Ради краткости мы явно введем это понятие только для пространства П = ПЛ1.

■^-семейство Si пространства П по модулю П“ определяется как образ при проекции л:Л->-П ф-семейства <aS многообразия Л по модулю Л“; ср. с § 2.1.

Равным образом ф-семейство может быть описано как Ф-семейство, элементы которого замкнуты относительно действия X группы 0(2).

Следующая теорема является непосредственным следствием 2.1.1.

Теорема. Пусть х = х« — критический уровень ^-семейства Si пространства П mod П“, т. е.

х$ = inf sup Е | В.

Ве®

Тогда а<х и существуют критические точки Е-уровня х. □

*’ Точнее, вдоль образов лучей из Я8.

Напомним, что критическую точку из П можно рассматривать как О(2)-орбиту критической точки из А.

Примером ф-семейства является семейство, образованное носителями циклов какого-нибудь фиксированного нетривиального гомологического класса П mod П“.

Так же, как в §2.1, в рассматриваемой ситуации можно ввести понятие подчиненных гомологических классов из Н* (ПтодП0). Это ненулевые гомологические классы © и ©' из Н* (П mod П°), для которых можно указать когомологический класс положительной размерности £ из Д*(П — П°), такой, что w^CD^t,.

Очень важно отметить, что образ при канонической проекции ненулевого гомологического класса AmodA0 не всегда является ненулевым гомологическим классом П mod П°.

Как мы уже показали, П локально стягиваемо. Отсюда вытекает следующий аналог теоремы 2.1.10.

Теорема. Пусть w и w' — подчиненные гомологические классы Umodri0. Тогда критические уровни х и х' классов w и w' удовлетворяют неравенству хз^х'>0. Если х = х', то множество критических элементов из £-1(х) (здесь Е рассматривается как функция на П) непусто и имеет размерность в смысле покрытий ^dim£>0. □

Ясно, что имеет место следствие, аналогичное следствию 2.1.11.

АВ прошлом пытались использовать именно такое следствие, имея в виду приложения прежде всего к тому случаю, когда М есть сфера. Однако недавно выяснилось, что в этом случае в Н* (П — П°) слишком мало коциклов (по крайней мере в рассматриваемых размерностях). К счастью, оказывается, что можно заменить здесь П° другим подпространством

П8: = ,в'П0, где Пе = {ееП; 6с=с}, и при этом положение улучшается.

Докажем сначала, что Пд является окрестностным слабым деформационным ретрактом в П. Иными словами, для каждой окрестности U, содержащей Пд, существует такая окрестность W с М, что вложение Пв с-» и* является гомотопической эквивалентностью.

Прежде всего заметим, что Пд инвариантно относительно потока ф/, т. е. фДдсПд (t^Oy Это следует из того, что ф/Пд с Пв, а это в свою очередь вытекает из равенства ф#ё = бф,.

Далее ясно, что на Пе нет критических точек функции Е, за исключением точек из П°. Поэтому можно определить гомотопию '

^т(0~ф!е(лт/2) (С), 0^/^1,

переводящую П0 в П0 (ср. с 1.4.15). Тем самым мы доказали, что вложение П° с_> П0 — гомотопическая эквивалентность.

Пусть теперь 11 — некоторая открытая окрестность П0, не содержащая критических точек функции Е, за исключением точек из П°. Выберем е>0 так, чтобы П^с^ и 8 удовлетворяло утверждению теоремы 2.2.7. Тогда для каждого с е Пе существует такое t0, что ^.сеП'л Кроме того, ф,бе# при O^t^to. Поэтому существует такая окрестность И- точки с, что ^tll- с 11 при O^t^to и ^0И-а Пе~. Теперь ясно, что окрестность #'= = / [J ^^Л U П=- тоже гомотопически эквивалентна П° пос- 17еПв \ <&о/

редством деформации

Тг(б) = iJ)tg(«T/2) (С), б G 11*, 0^/^1, совпадающей на П0 с Y^ Следовательно, П0 — окрестностный слабый деформационный ретракт.

Имеет место лемма, аналогичная лемме 2.1.9.

Лемма. Умножение Чеха ^ для пары (П —П0, It* — П0)

ЯДП-Пе, ^-Пе)®Я*(П-Пе)АЯ,(П-Пе, Г-Пе) индуцирует линейное отображение

Я*(П, п0)®я*(п-пе)->яип, Пе),

которое мы также будем обозначать символом r-v

Доказательство этой леммы повторяет доказательство 2.1.9. □ Замечание о носителях, сделанное после 2.1.9, дословно на наш случай не переносится, — ведь там было существенно, что при деформации Фт образы точек, достаточно близких к |«| И А0, не выходят из V, между тем как при деформации ^ образы любых точек могут выходить из окрестности V множества |и| П П0. Оказывается, однако, что для данного гомологического класса да е Нт+п (П, П0) нет необходимости рассматривать произвольные его представители: для наших целей достаточно рассматривать только такие к г да, что | и | f) П0 с сП0*).

Прежде всего, если такие представители существуют, то их

*’ Можно рассматривать умножение в 2.2.12 как умножение

//ап, по)®я*(п-п0)-^яап, л»),

поскольку из точной гомологической последовательности тройки (П, Па, П°) следует, что ЯаП, П0) = Я„ (П, П0). Но будем ли мы исходить из Н* (П, П°) или из ЯаП, П0), —все равно нужны представители с указанным выше специальным свойством.

носители образуют ф-семейство. Ясно, что если с е | м | П П°, то и ф,с е ф, (| м |) П П° при s^O; но надо еще убедиться, что если се|м| — П0, то и ф^еф, (| м|) —П0. Иными словами, не только П0, но и П — П0 инвариантно относительно ф„ s^O. Если с = йс, 0с #= с и 0ф,с = ф,с при некотором s > 0, то пусть s0 — наименьшее такое s и с0: = ф5„с. Тогда для точки с0 нарушается единственность локальной траектории: ips+soc#= Sips+s.c при малых s<0, между тем обе эти функции от s являются траекториями и при s = 0 проходят через с0.

Убедимся, далее, что такие представители действительно существуют. Возьмем какую-нибудь непрерывную функцию т: П->К, для которой т(?)5э0 при всех с, т|Пе = 1 и т|П — %' = 0. Положим У (с) := ^(с), где ЧГ£ —то же, что и выше (перед 2.2.12). Ясно, что Т: П-* П — непрерывное отображение, переводящее всякий цикл и в гомологичный ему цикл м1( причем носитель последнего |М1|=¥(|и|) может пересекаться с Пе только в точках П°.

Поскольку точки | их | получаются из точек | и | сдвигом по траекториям потока ф, в направлении убывания Е, то Е 11 | ^Е||м|. А отсюда следует, что критический уровень ф-семейства {|м|; меда, |м|ППесП0} совпадает с критическим уровнем xw большего ф-семейства {|м|; меда}.

Для меда (где да —ненулевой элемент //т+„(П, П0)), для которых | м | П П0 с П°, справедливо замечание о носителях в таком же виде, как и после 2.1.9. А именно, пусть V — открытая окрестность множества | и | П П°, £ е Н* (П — П0) и да' = wr<^. Тогда у да' имеется такой представитель м', что |m'|c|m|UV. Если, кроме того, £ | tZ = 0 для некоторого открытого подмножества U с с П - П0 и W — такое открытое множество, что его замыкание WoU, то существует такой цикл и' е да', что |и' | с: (| и | — It?) (J V.

Можно считать, что V с U*, где W — та же окрестность П0, что и в 2.2.12; она должна быть такой, чтобы для нее была определена гомотопия ¥£, в остальном же ее выбор безразличен (в частности, нет условия U' о U, поскольку нет никакого %). Можно считать, что точки, достаточно близкие к | м | П П0 с П°, при этой гомотопии не выходят из V. Поэтому годится рассуждение из § 2.1. По-прежнему считаем, что относительный цикл MiSZm+n^, П°) получается из м при столь мелком подразделении, что: а) образы | ot | сингулярных симплексов из мъ пересекающиеся с П°, целиком лежат в V, равно как и все ^([oj), O^r^l; b) если нам еще заданы U и W, то |of|ct/ при ч

10,10117:^0. Запишем иг в виде иг = ^ аг[ог], где все а;#=0, i = i

все Oi различны и нумерация такова, что | ot | П П0 = ф при / ^ р

и | ot | П П° Ф ф при i > р. Положим

чР

и»:= У ^[о/],и3: = 5j°<M = “i-«b.

i = р +1(=1

Тогда и3 е С* (П — Пе). Запишем ди3 в виде S6y[rz], где Т/— различные сингулярные симплексы и все bj Ф 0. Поскольку du3 = = d«i — ды2, | ды31П П° = ф и | дых | с П°, то т/ суть грани некоторых сингулярных симплексов из иг. Поэтому

(*)IjTHI^DcV.

т

Дальше доказательство проводится совершенно так же, как и раньше. □

Теперь можно определить подчинение гомологических классов в смысле умножения Чеха 2.2.12.

Пусть а>' и w — ненулевые гомологические классы П mod Пе размерностей соответственно к и к-VI. Будем говорить, что класс w' подчинен классу w, если существует такой /-мерный класс когомологий £ пространства П —Пе, что oy' = ayrs£.

Следующая теорема соответствует теореме 2.1.10.

Теорема. Пусть w, и/еНДП, П6) и класс оу' подчинен классу w. Тогда критические уровни х, х' классов w и w' удовлетворяют неравенству х^х'>0. Если х = х', то множество критических точек из Е~1(х) имеет ненулевые когомологии Чеха в размерности / = dimty —dimay'>0. Отсюда следует, что размерность этого множества в смысле покрытий ^1.

Доказательство. Уровни х и х' должны быть >0, потому что циклы, представляющие соответственно w' и w, образуют ^-семейства пространства ПтобП0.

Пусть и — такой представитель ш, что | u | П П0 с П®. Тогда, согласно замечанию, существует такой цикл u'ew', что |н'|с cImIU^, гДе V — сколь угодно малая окрестность множества I u | П П®, и поэтому можно считать, что Е | V < х. Значит, Е||«'|<£||ы|. Мы видели, что х совпадает с inf£j|u|, где нижняя грань берется по всем представителям uew с I«| П П0с:П0. Следовательно х' х.

Допустим теперь, что х' = х. Положим Сг П f] Е1 (х) = К. Пусть ю' = суг>^, ^еНЦП — П0). Докажем, что ^|t/^0 для каждой открытой окрестности U множества К в П — П0. Действительно, пусть ^| £/ = 0. Возьмем какую-нибудь меньшую окрестность W множества К, для которой W clU. Найдется такой представитель и г w, | и | П Пе cl П°, что | и | cl W U Пи~. Но тогда, согласно замечанию к 2.2.12, найдется такой представитель и1 ев', что | и' | с: (| и | — И?) J V с П*- (окрестность V множества | и | f| П°

берется по-прежнему столь малой, что Е | У < х). Значит, х' < х.

Далее, рассуждая так же, как в конце доказательства 2.1.10, получим последнее утверждение теоремы. □

Следствие. Пусть wt, \ ^i^r, —ненулевые гомологические классы П mod П8, каждый из которых подчинен следующему, и 0 ^ ^i <... < ^г, где kt = dim w,. Обозначим критический уровень Wi через xt. Тогда

О < Х1 ^... ^ хг,

и для каждого xt существуют замкнутые геодезические на Е-уровне Xi. Кроме того, если Xj — xi^f, f >0, то множество замкнутых геодезических Е-уровня Xj имеет размерность в смысле покрытий kj-vr — kj.

В заключение мы покажем, что при построении гомологий пространства П достаточно пользоваться только некоторыми специальными сингулярными симплексами. Сначала сформулируем один результат общего характера.

Пусть X — паракомпактное топологическое пространство. Пусть некоторые из его сингулярных симплексов объявлены «специальными», причем если а: М -vX — специальный сингулярный симплекс, а ф: Д₽-► А? — линейное отображение (т. е. ограничение на Ар некоторого линейного отображения несущих линейных пространств этих симплексов; р и q здесь любые), то и о ° <р: Др -> X — тоже специальный симплекс. Обозначим для любого открытого подмножества U с: X через С* (17) цепной комплекс, порожденный специальными сингулярными симплексами с носителями в U (и с обычным оператором границы; ясно, что грани специальных симплексов сами специальны), а через И* (U)— когомологии этого комплекса с коэффициентами в Z- В этих условиях и обозначениях для локально стягиваемых X имеет место следующая теорема.

Теорема. Если для любой точки х@Х

11m Я* (17) = Д*(х)

(предел прямого спектра по всем окрестностям Uэх), то гомологии цепного комплекса С* (X) с коэффициентами в любой группе G совпадают с Н* (X; G).

Доказательство см. в работе Аносова [4]. Оно выходит за пределы настоящей книги. Заметим только, что все нужные для него рассуждения имеются в статье Бридона [1], хотя формально такой теоремы там нет. □

Применим 2.2.15 к случаю Х = П, считая специальными те сингулярные симплексы, которые можно представить в виде л «о

(проекция л:Л->П та же, что и выше) с такими о: Д?->А, что отображения

^xS->M, о(х, /) = а(х)(/),

являются (^-отображениями.

Теорема. Н* (П; (?) = гомологии О* (П) с коэффициентами в G.

Доказательство сводится к проверке выполнения условия из 2.2.15; см. Аносов [4]. □ ▲

2.3. Замкнутые геодезические на сферах

Простейшими односвязными компактными многообразиями безусловно являются сферы. На самом деле можно даже сказать, что теория замкнутых геодезических началась с попытки Пуанкаре доказать существование замкнутой геодезической на выпуклой поверхности; см. Пуанкаре [1]. Однако Морс [2] считал его доказательство неудовлетворительным. (26)

Доказательство существования замкнутой геодезической на произвольной поверхности рода 0 было дано Биркгофом [1] (см. также Биркгоф [2]). Позже Люстерник и Шнирельман [1] показали, что на такой поверхности всегда существуют по крайней мере три замкнутые геодезические без самопересечений — результат, который в общем случае не может быть улучшен, так как на эллипсоиде с тремя различными осями, длины которых отличаются не слишком сильно, замкнутыми геодезическими без самопересечений являются только три главных эллипса этого эллипсоида; см. 5.1.2.

Биркгоф [3] показал, что на «-мерной аналитической поверхности, которая по модулю своей римановой структуры является сферой, всегда существует по крайней мере одна замкнутая геодезическая.

Далее Морс, с одной стороны, и Люстерник и Шнирельман — с другой, почти одновременно создали более изощренные топологические методы для исследования проблемы о существовании более чем одной замкнутой геодезической на «-мерном римановом многообразии. При этом особое внимание они уделили случаю, когда многообразие диффеоморфно «-мерной сфере. .

Основные результаты Морса содержатся в его монографии [2], где среди прочего он исчерпывающе изучает гомологии пространства непараметризованных замкнутых кривых на сфере. Особенно его интересовали «круговые числа связности» сферы, которые совпадают с числами Бетти 2г-гомологий пространства П5". -

Однако, как было показано А. С. Шварцем [1], его результаты оказались ошибочными. Он упустил из виду тот факт, что действие группы S на АМ не является свободным. Аналогичная ошибка была затем повторена Боттом [1] и Сидзумой [1].

В этом параграфе мы применим развитые ранее методы к исследованию проблемы о существовании нескольких замкнутых геодезических на многообразии, гомотопически эквивалентном S”. Эти методы являются результатом совместных усилий Морса, Люстерника и Шнирельмана, а также С. И. Альбера и автора, работы которых относятся к более позднему периоду.

Однако здесь мы пока не сможем доказать существования более чем одной однократной замкнутой геодезической на таком многообразии, если только риманова метрика не удовлетворяет некоторым ограничениям на кривизну; см. 2.3.8. Лишь в § 4.3 нам удастся доказать существование бесконечного числа однократных замкнутых геодезических, применяя для этого некоторые ранее не замеченные аспекты теории Морса на АМ. См. также §5.1, где доказывается существование 2« — 1 «коротких» замкнутых геодезических.

Мы начнем с описания хорошо известного подмножества пространства AS", а именно пространства AS" параметризованных окружностей на S".

Для того чтобы определить AS", будем считать, что сфера S" вложена стандартным образом в R"+1 в виде гиперповерхности постоянной кривизны, равной 1. Окружностью на S" назовем или одноточечную кривую, или пересечение S" с двумерной плоскостью из R"+1, расстояние которой до начала координат в R”+1 меньше 1. Когда мы говорим о параметризованной окружности, мы имеем в виду (в предположении, что окружность не есть одноточечная кривая), что параметр выбран пропорционально длине дуги. Через A°S" обозначим подмножество одноточечных кривых, которое изоморфно S”.

Пространство AS” содержит в виде подпространства пространство BS" параметризованных больших кругов. Ясно, что BS” изоморфно многообразию Штифеля V (2, п— 1), состоящему из ортонормированных 2-реперов в начале координат в R”+I. Поэтому BS” = O(/z+ 1)/O(n— 1) и dimBS" = 2n— Г, см., например, Милнор и Сташеф [1].

Рассмотрим AS" как подпространство AS". Пространства AS" и BS” инвариантны относительно О (2)-действия х на AS". Пространства

Г5": = AS"/XO (2), AS”: = BS"/XO (2)

мы назовем соответственно пространством (непараметризованных) окружностей и (непараметризованных) больших кругов на S”. Через Г°5" обозначим A°S"/O(2)^S”. Пространство AS" изоморфно

—^ грассманову многообразию*' G(2, п — 1), элементами которого являются двумерные плоскости, проходящие через начало коор- ди^гг в R”+1. Следовательно, AS” = O(n+l)/Q(2)xO(n—1) и dim^S” = 2n — 2.

Определим отображение

:а: AS" —А°5л-»-В5л,

ставя в соответствие параметризованной окружности параметризованный большой круг, который получается из нее следующим образом сначала плоскость, в которой лежит окружность, параллельно переносится в начало координат в R"+1, а затем лежащая в этой плоскости окружность раздувается в большой круг.

Окружности, лежащие над фиксированным большим кругом, однозначно определяются вектором, указывающим положение их центра в Rn+1, поэтому слой aJ (S1) над большим кругом S1 е eBS” есть открытый (и—1)-мерный диск. Таким образом, а определяет некоторое расслоение на (и — 1)-мерные диски над В5Л.

Так как а коммутирует с О (2)-действием % на AS" —А°5Л, то определено факторотображение

у: Г5Л — Г°5Л-> AS".

Отображение у представляет собой проекцию расслоения над AS", слоями которого являются (п—1)-мерные диски.

Легко видеть, что у — расслоение на диски для канонического (и — 1)-мерного векторного расслоения у”-1 над AS” = 6 (2, п— 1); ср. Милнор и Сташеф [1], Спеньер [1] **'. Из теории векторных расслоений известно, что Хг-когомологии Г modi10 могут быть записаны в виде

/7*(Г5Л, №) = ^л-^//*(С(2, п-1)),

где уп~1 — класс Тома расслоения у.

а Точнее говоря, непосредственно получается, что если Ге5” = = Г5”ПП85Л (окружности длины ^"Уе), то с помощью умноже-

' Грассманово многообразие, которое Клингенберг обозначает через G (а, 6), другие авторы могут обозначать через G («+&, а) или Оа(Ро+ьУ, последнее обозначение, принятое в книге Милнора и’Сташефа [1], наиболее выразительно и исключает возможность путаницы.

*’ Согласно общепринятой терминологии, каноническим векторным расслоением над 0(2, n—1) является расслоение у2, слой которого над точкой грассманова многообразия, по определению являющейся некоторой двумерной плоскостью, состоит из всех точек згой плоскости. В более подробных обозначениях, принятых в книге Милнора и Сташефа [1], это расслоение обозначается y2(R«+i). Стало быть, у2 — естественная проекция В5Л->Д5Л. Расслоение же у является ортогональным дополнением расслоения у2 в тривиальном расслоении 0(2, п— 1)хрл+1. Если заменить 0(2, п— 1) на G(n— 1 2) помощью диффеоморфизма этих многообразий Грассмана (Милнор, Сташеф [1], лемма 5.1^ то v, станет каноническим расслоением yn+1 над 0(л—1, 2) (расслоенном y«-i (R«H)).

4 В. Клингенберг

НИЯ в когомологиях

№ (VSn - V0Sn) ® Н"-1 (YSn - Y°Sn, V6Sn - Г°5”) M

->Я‘+П-1(Г5Л —PS”, PS” —PS”)

можно определить изоморфизм Тома

№ (AS”) ^ № (Г5" - PS") -* HUn-x (Г8п - PS", PS" - PS"),XI—►XOZ/"-1,

где yn~l — класс Тома расслоения у. Далее используем изоморфизмы /7/(Г5"-Р5", PS" -Г°5")^ЯЦГ5", PS”)^^(rS”, PS")

(вырезание и точная гомологическая последовательность тройки (TS", PS", PS") с учетом очевидной деформации PS” на PS”). Это позволяет придать изоморфизму Тома такой смысл, как в предыдущем абзаце. Аналогично заключаем, что можно говорить о произведении Чеха

ЯДГ5", PS”) ® Я"-1 (Г5”, Р5”)^Я,_„М(Г5"-Г°5")

и об изоморфизме Тома в гомологиях'

Ht (TS\ Г°5") Н^ (TS- - PS") = H,-^ (AS"),

a*—* a rx y"-1. a

Мы хотим более подробно описать когомологии TS" — PS", т. е. Я* (0(2, п — 1)). Для этого сначала определим цикл [alt аа] пространства 0(2, п— 1), где ах и а^ —целые числа, удовлетворяющие неравенствам О $С а, ^ а2 $С и — 1.

Цикл [аь а2] по определению состоит из всех больших кругов

сферы S^+'^t У, х, = 1д которые пересекаются со сферой*) I о '

S"* := 4 2 х, = 1? (эти сферы считаются естественно вложенными I о /

в S").

*’ Очевидно, мы получим эквивалентное определение, сказав, что [alf Og] состоит из всех двумерных плоскостей в Р°*+ 2, проходящих через начало координат 0 и имеющих нетривиальное (не сводящееся к 0) пересечение с Rai")"1 (вложенным в ра»+2 таким образом, что к набору aj + l чисел справа дописывается a2 —aj+1 нулей). При таком определении [а1е а2] —частный случай так называемых многообразий Шуберта. Подробнее (и точнее) о многообразиях Шуберта и о том, как с их помощью вычисляются гомологии многообразий Грассмана, см. в книге Милнора и Сташефа. Следует предупредить, что там используется иная система обозначений, нежели здесь, соотношение между ними указано в примечании на стр. 66 русского издания упомянутой книги. Отметим еще, что в настоящей книге [oi, a2] обозначает в зависимости от контекста как многообразие Шуберта, так и соответствующие ему цикл mod 2 и класс гомологий.

Ясно, что [аъ а2] —цикл размерности ai + a^ При ^ = 0 это очевидно. Для того чтобы убедиться в этом при ах>-0, представим [а1( а2] — [^i — 1, fix—1] как тотальное пространство расслоения над Р01 со слоем P°i — Р0!-1, где Рк — действительное проективное пространство размерности к. Для этого заметим, что не лежащий в Sa* большой круг S ** однозначно определяется своими точками пересечения с S01 и точками пересечения с сц- мерной сферой, принадлежащей S“«+I и ортогональной S°*nS. При этом в качестве точек пересечения S с указанной Ое-мерной сферой может получиться любая пара диаметрально противоположных точек последней, кроме тех, которые принадлежат S°*. Границей [at, a2J — [«i — 1, «i —1] служит [«i —1, ах — 1], имеющее в [йх, а2] коразмерность 2$ 2.

Предложение. Совокупность п(п+1)/2 циклов [аь Ог] образует базис Хггомологий пространства 6(2, п — 1). Кроме того, G(2, п — 1) содержит такие непересекающиеся подмногообразия типа 0(2, и —2) и Pn~x, что 0(2, п — 1) — 0(2, п — 2) является расслоением л„-х над Р"-1 на открытые (п-1)-мерные диски, а 0 (2, п — 1) — Рп~х является расслоением л^ над 0 (2, п — 2) на Х-мерные диски.

Дополнение. Обозначим через (аъ а2), О^Ох^Оз^п — 1, базис H*(G(2, «—!)), двойственный базису {[ах, а2]}. Тогда v>-произведение удовлетворяет следующим соотношениям:

(«1, а2) = (0, ад VI (0, аа) + (0, аг - 1) и (0,. а2 + 1)1

(О, а^кЦаи aa) = 2(ai + i, a» + a — i),■

О min (а, щ — а^. В правых частях мы считаем, что (а, 6) = 0, если условие OsC ^a^b^n — 1 не выполнено.'

Замечание. Аддитивная структура на H*(G(2, и —1)) и Д*(0(2, п— 1)) была определена Эресманом [1]. Мультипликативная структура на Н* (G(2, п — 1)) была определена Чжэнем [1].

Другой путь описания кольца когомологий пространства 0(2, п— 1) состоит в следующем (см. Борель [1]). Обозначим через S (хх, ..., хр) алгебру симметрических полиномов от переменных хъ ..., хр, а через 3+(Хх, ..., хр) — подалгебру, порожденную полиномами, отличными от константы. В этих терминах кольцо И* (0(2, п — 1)) может быть описано как

3(«х, м2)®3(м3, ..., un^lS*^ux, иг, и3, .... мл+х).

При этом элементарные симметрические полиномы щ + и2 и Щ-Щ являются классами Штифеля— Уитни w1 и су2 канонического Корасслоения над 0(2, п— 1) (расслоения у2); они соответ-

*’ Те S, которые лежат в S°‘, образуют [ах— 1, щ — 1].

ствуют элементам (0, 1) и (1, 1). Элементарные симметрические полиномы от и8, ..., ип+1 представляют классы Штифеля —Уитни ©\ ..., й""1 введенного выше В^-расслоения у”-1 над G (2, п — 1). Они соответствуют элементам (0, 1)(0, п — 1) (27). а Можно

исключить из описания алгебры Я* (6 (2, п — 1)) упоминание об ut и сказать, что эта алгебра порождается классами Штифеля—Уитни су1, су2 и S1, ..., w"-1 расслоений у8 и у, подчиненными лишь следующим соотношениям (Милнор, Сташеф [1], задача 7.В):

(1+а>г + су2) (1+@>1+.. . + ®”-1) = 1.

Здесь имеется по одному соотношению в каждой из размерностей 1, 2, .... п+1; первые п — 1 из них позволяют выразить й1 через су1 и су2, после чего последние два дают нетривиальные соотношения между су1 и су2. Алгебра Я* (6 (2, п— 1)) есть алгебра многочленов от су1 и су2, профакторизованная по этим двум соотношениям. Размерность обоих >n —1, так что все ©‘=/=0. При п>2 соотношения имеют размерность >2, а при п = 2 они дают, что су2 = (а>1)2 и (сух)3 = 0 (что и понятно, ибо 6(2, 1) есть проективная плоскость). А

Доказательство предложения 2.3.1. Будем считать, что 6(2, п — 2) вложено в 6(2, п— 1), т. е. элементами 6(2, п — 2)

{

П—11

У, х < — 1L Вложим также Р^ оJ

в 8", взяв в качестве элементов из Р”-1 большие круги на 3", проходящие через ось хп.

Определим отображение

л^: 6(2, п-1)-6(2, п-^^Р"-1,

при котором каждый большой круг переходит в элемент пространства Р"^, который получается из этого большого круга путем его вращения вокруг точек пересечения этого круга с З"-1; вращение происходит в трехмерном пространстве, содержащем большой круг и ось хп. (Если же большой круг содержит ось хп, то он уже является элементом Р”-1.) Если точки пересечения большого круга с З”-1 лежат на прямой р, то его образ при отображении л„_! — это пересечение 3” с плоскостью, натянутой на ось х„ и прямую р. Всевозможные большие круги, пересекающие З"-1 по pQS"-1, образуют (п — 1)-мерное проективное пространство, но к 6(2, п— 1)— 6(2, п — 2) принадлежат только те из них, которые не лежат в 3”~1, так что в итоге слоем л„-! является Р*-1 — Р”-2 = R”-1 (или открытый (п — 1)-мерный диск). Определим теперь

«1: 6(2, п-1)-Рл-1->6(2, п-2).

Для этого будем вращать большой круг (если он еще не принадлежит З"-1) вокруг его точек пересечения с З"-1 до тех пор, пока он сам не окажется в З”-1. Вращение происходит в трехмерном евклидовом пространстве, содержащем ось хп и плоскость рассматриваемого большого круга. Всевозможные большие круги, лежащие в этом пространстве, образуют проективную плоскость, но к 0(2, п — 1) — Р"-1 принадлежат только те из них, которые не проходят через ось хп1 так что в итоге слоем nJ является р2_р1 = К1.

С помощью изоморфизма Тома получим*1

H»t№ п-1), 0(2, п-^ = Н№1^Р^, п-\\ Р^ = Н^(№ п-2^.

Под действием изоморфизма Тома циклы [аъ п — 1] (точнее, их образы в Я* (0(2, п — 1), 0(2, п — 2))) переходят в нетривиальные циклы пространства Р"-1 (28), а соответствующие классы гомологий образуют базис. Воспользовавшись теперь точной гомологической последовательностью пары (0(2, п — 1), 0(2, п — 2)) > и применяя индукцию по п, получим 2.3.1. □

За доказательством 2.3.2 мы отсылаем читателя к другим источникам (Чжэнь [1], Альбер [1]). Отметим только, что геометрически вполне очевидно, что индекс пересечения [аь аа] и [и — 1 — а2, п—Х—а^ равен 1, в то время как индекс пересечения цикла [fli, йа] и всех остальных циклов размерности Чп — 2 — аг — а^ равен нулю mod 2.

2.3.3. Предложение. Длина многообразия 0(2, п— 1) равна g(n) = 4n — s—\, где 0^s = n —2A<2ft.

Замечание. Это было доказано Альбером [1]. В терминах того описания кольца Н* (G (2, п— 1)), которое было приведено сразу

после формулировки 2.3.2, доказываемый ниже результат означает, что для а>1 = и1 + и2 и хуг = иг-и»

(^1)20-28-2 (^s ^ о

Доказательство. Сначала выведем формулу

(*)(О, I)2*-' = (0, 2ft —1).

Для этого воспользуемся индукцией. При 6=1 формула верна. Предположим, что она верна и для k— 1. Тогда с помощью 2.3.2 получим

(О, I)2*-» = (0, 1) v> (О, I)2*"1-1 и (0, 1)2а~1- 1 =

= (0, 1)^(0, 2й-1-!) и (О, 2й-1—1) =

2 й-1—1

= (0, 1)и 5 (i, 2й —2 —1) = (0, 2й-1). о

Напомним, что мы используем 32-коэффициенты. Поэтому

2й—1

(о, i)2^as-a=(o, 2й-1)^(о, 2й-1)= ^ (ь 2й+1-2-0^0 о

и (0, 1)2я-2^1 = (0, 2Й+1 — 1) = 0. Умножение на (1, 1) дает*)

2й

(1, 1) v (0, 1 )2«-^-2 = 2 G« 2Й+1 - О,

2

и далее индукцией по р

2й4-р-1

(1, 1)Ри(0, 1)2«-28-2= 2(t, 2й+1 + 2р-2-0,

2р так что

2й + $ —1

(1, l)su(0, 1)2«-28-2= ^ (i, г^ + гз-г-ОНл-!, n-1).

Следовательно, длина 6(2, n — 1) больше либо равна g(jiY Если бы длина была больше g(n), то в соответствующем произведении количество одномерных коциклов должно было бы быть больше 2п — 2s — 2 **>. Но так как (0, 1) —единственный

*’ Так как (1, 1) = (0, 1)2 + (0, 2), то в данном случае умножение на (1, 1) совпадает с умножением на (0, 2).

*** Формально: пусть в произведении имеется ё/ сомножителей размерности / (где (=1, ..., г, a iy^OY Если

ё14-2ё24-...4-гё/.б5 2п —2 (ограничение на размерность произведения).

fj^2n—2s—2 (иначе (О, 1)(, = 0),

ё14-ё2 + -.-Н/-9:2л —s—2 (длина не меньше g(«)), то нз (а) и (в) следует

коцикл размерности 1, это невозможно без обращения в нуль. □

Напомним, что у нас имеется расслоение rS”—TS" на (н — 1)-мерные открытые диски с базой AS” = G(2, п- 1) и с проекцией у. Из 2.3.1 видно, что базис гомологий для Г5'' —PS” можно получить так: надо по каждому циклу [аъ а2] из AS” построить цикл {аь а2} из Г5” mod PS” размерности Qi4-o Vn — 1, который состоит из окружностей, параллельных окружностям из [оъ Оз], т. е. {аъ а2} есть замыкание у1 [ап а2] в Г5” (при этом замыкании к у1^!, а2] присоединяются еще некоторые одноточечные окружности).

А Наряду с введенным ранее произведением Чеха

Н* (TSn, PS") ® Н* (Г5", PS") -а Н* (TS" - PS"),

нужным для определения изоморфизма Тома, мы будем пользоваться еще произведением Чеха

H*(TS\ PS") ® Н* (Г5” — PS") я* (Г5", PS"),

аналогичным 2.1.9 (и строящимся с использованием PS” вместо AES"). Докажем, что при этой последней операции, если Qi + а» = bt + Ьг, то

{аь а2} (bi, Ьг) = batbt {О, 0}.

Доказательство состоит в вычислении ({alf а2| г\(Ьх, b^i^y"-1. Оказывается, это есть 6^,(0, 0), откуда и следует доказываемое утверждение *’. А чтобы вычислить указанное тройное произведение, вспомним, что используемые здесь произведения происходят из произведений

//а,+аа+я_1 (Г5" - PS", PS" - PS") ® На'*°» (FS" - PS")^

^Я„_1(Г5”-Р5”, PS"-PS"), Hn-i(YSn -V6S\ PS"-PS")®Я"-1 (Г5” — PS”, PS"-PS")-Q.

А Яо (Г5"-PS").

При этом мы временно считаем, что {oi, а2} е Н* (TSn — PS", PS"-PS"), и т. д. Пользуясь еще произведением

№+”. (Г5" — PS") ® Я"-1 (Г5” — PS”, PS” — PS")

<4 Я”‘+“•+" -1 (Г5" — PS”, PS” — PS"),

*2 + 2*з + • •. + (г—1) ir^s> а из (б) и (в) следует

^-bis+'-'+ir

(г) и (д) совместимы лишь при f3 = ... = Zr = 0, ia = s.

*' См. (28). Как и там, в рассматриваемой сейчас размерности имеется только один изоморфизм

H„_i (TSn - PS”, r=S” - r«S”) -> He (TSn - PS”)=Ho (AS”). Однако ниже нам понадобится еще, что (ах, а2} <^ у"-1 = [«i, аД.

таким же произведением с обратным порядком сомножителей и произведениями

Н* (Г5" — PS", PS" - PS") ® Я* (Г5"-PS", PS" - PS") -О.

На^а, (Г5" - PS") ® На^а* (TS" - Г°5") -> Но (TS" - PS"), имеем (см. Спеньер [1], (5.6.18), (5.6.11) и снова (5.6.18)):

({йь аз} ox (bv b2)) гх у"-1» {аь а2} гх ((Ьь Ьа) ^ у"-1) =

= {01, о2} гх (у"*1 ^ (Ьъ Ь2)) = ({оь оа} гх У"-1) гх фг, 62) =

= [fli, й2]г>(Ьъ 5a) = 6ai61(0, 0). А

Из сказанного и из 2.3.3 получаем

Лемма. Классы гомологий, представителями которых являются п(п-\-\)/2 циклов {аъ о2}, образуют базис Х2-гомологий Г8п mod PS".

В Н*(Г8п, PS”) существуют g{n) — 2n — s—\ последовательно подчиненных гомологических классов, которые получаются с помощью ^-произведения между фундаментальным циклом {и — 1, п — 1} и возрастающим числом сомножителей

(0, 1), (0, I)2, ..., (0, 1)2^-а(0, 1)2”-^-2о(1, 1)»

произведения

(0, 1)2"-^-а^(1, l)* = (n—1, п-1).

д Альбер [1] пытался доказать, что при каноническом вложении i: (Г5Л, PS”) (IIS”, П°5”) эти g (п) гомологических классов остаются подчиненными в смысле умножения

Я* (IIS", П°5")®Я*(П5"-П°5")->-Я*(П5", П°5").

Для этого он пытался доказать, что отображение когомологий

Р: Я*(П5" —П°5")->-Я* (Г5Л —PS”)

эпиморфно. Но, как обнаружил Бальман, при н>2 это неверно*' (Аносов [3]).

Мы видели, что можно понимать подчинение в смысле другого умножения:

Н* (RS”, П65") ® Н* (П5” - Пе5") — Н* (П5”, П65")

(первый сомножитель здесь, по существу, тот же, но второй, как мы увидим, другой). Кроме того, для нашей цели (теоремы 2.3.9) нужно только, чтобы при каноническом вложении i: (TSn, PS”)cl_*

*' Для одномерных когомологий неверное утверждение об эпиморфизме восходит к Люстернику [1], работу которого и продолжал Альбер. По-види- мому, они были введены в заблуждение аналогией (лучше сказать, надеждой на аналогию) со случаем п—2.

с-* (IIS", TIqS”) оставались подчиненными не все g (п) указанных выше классов, а только п классов {0, 0}, {0, 1}, ..., {О, п— 1}. Это и будет доказано. Как мы увидим, подчинение классов I* {0, р\ осуществляется посредством чеховского умножения на некоторый коцикл (0, Vf<=№ (П5Л — Пе5л):

1* {0, p^^, iy = /J0, р-1}, \^р^п-\.

Этот одномерный коцикл таков, что при отображении Я1 (JIS'1 — — neS^-^^trS" — PS"), индуцированном вложением *> i: TSn— — Г°5” c_> US" — Пе5", он переходит в (0, 1).

Итак, нас интересуют коцикл (0, 1)' и относительные циклы I* {0, р}. Начнем с первого. Причина, по которой IIS” —Пе5" больше подходит для наших целей, чем П5" — П°5", состоит в том, что проекция AS" — л-1 (П65п) -► ITS" — П95" больше похожа на расслоение, чем AS” — A°S" -* ITS" — П°5". Конечно, это все-таки не расслоение, но если факторизацию по действию х группы О (2) осуществить в два шага

AS" - л-1 (Пе5л) Л flS" - fteSn ^ ITS" - П65",

то ввиду того, что действие 6 группы Zz на П5” — П65" является свободным, на втором шаге имеется уже настоящее расслоение со слоем и структурной группой Zz = O(l) (стало быть, его можно считать главным). В качестве (0, 1)' мы возьмем первый (и единственный) характеристический класс Штифеля — Уитни zy( этого расслоения (или, если угодно, ассоциированного с ним векторного расслоения со слоем R)**L

Определение (0, 1)' как бы моделирует одно из возможных определений первого характеристического класса m-мерного векторного расслоения Е-^В над клеточным разбиением. Это определение связано с интерпретацией этого класса ц^ как препятствия (единственного!) к ориентируемости расслоения. Считая, что исходное расслоение снабжено римановой метрикой, т. е. что его структурная группа редуцирована до О(т), рассмотрим ассоциированное с ним расслоение Е! со слоем Vm (Rm) = V (т, 0) = = соответствующее многообразие Штифеля (элементы последнего суть ортонормированные базисы Rm). Слой Е'ь расслоения Е* над точкой b е В состоит из всевозможных ортонормированных базисов слоя Еь расслоения Е над Ь. Проекцию Е'-»-В можно осу

” Мы позволяем себе обозначать одним и тем же символом i вложения (№, r»S«) d_> (П8", П68") н Г8” —Г°8"->П8"—П°8", а далее-еще и AS"d_>nS«-neS".

**’ Можно следующим образом наглядно описать гомоморфизм ю: гцЩЗ" — “е5", с) -► 22, соответствующий этому коциклу. Пусть путь у е а е л, (IIS" — ~ ПеЗ”, с). Накроем путь у путем у в Й8” —ПдЗ”. Если у (0) = у (1), то 1о(а)^о, а если у (0) ^ у (1), то о(а) = 1, В свете сказанного далее это описание делает очевидным, что i*to( = wt.

ществить в два шага:

E'-vB-vB,

где на первом шаге осуществляется факторизация по очевидному действию SO (т), т. е. каждая из двух компонент связности слоя Еь «сжимается» в одну точку и полученное таким образом множество В (его элементы можно интерпретировать как ориентации слоев расслоения Е) снабжается надлежащей структурой. Тогда wT совпадает с первым классом Штифеля— Уитни расслоения В-*-В и элементарно описывается так же, как в последнем подстрочном примечании.

Хотя л | AS" — лг1 (Пе5”) не является расслоением, его ограничения л | л-1 (iAS”) и л | л_Ч (ES" — ГУ") являются таковыми и совпадают (при естественных отождествлениях) с расслоениями у2 и у*?2: AS” — A°S"->-Г5" — Г°5”. Факторизация по S = SO(2), рассматриваемая на л-1 (iAS”) и л-1/ (Г5” — Г°5”), совпадает с переходом от Е' к В для этих расслоений, так что соответствующие накрытия В-*-В совпадают с ограничениями расслоения (накрытия) Ф | IIS” — Пе5” над iASA и ЦГ5п — Г°5"). Отсюда следует, что i*i0't = i0i.

Теперь рассмотрим классы [0, 0], [0, 1],..., [0, п — 1] в AS" = = 6(2, п— 1). Соответствующие многообразия Шуберта, если описывать их в терминах плоскостей, состоят из плоскостей, проходящих через фиксированную ось х» и лежащих соответственно в R2, R3R”+1. Такая плоскость однозначно определяется лежащей в ней прямой р, перпендикулярной оси х0; прямая р должна содержаться в ортогональном дополнении оси х0 в R2, R3, .... R"+1. Отсюда ясно, что [0, п — 1] есть проективное пространство Р"-1, определенным образом вложенное в 6(2, п — 1), и что [0, 9] суть проективные пространства Р9, вложенные в Р"-1 = [0, п— 1] в соответствии с вложениями R^czR”.

Алгебра когомологий Н* (Р”-1) имеет одномерную образующую у1, удовлетворяющую единственному соотношению (у1)" = 0, причем хорошо известно (хотя бы из двойственности Пуанкаре), что если [Р’] — определяемый Р» цикл в Р”*1, то [P^Jou1 = = [py-ij. Покажем, что и^юЧР), и—1], так что в 6(2, п— 1) выполняется [0, ^]^(0, 1) = [0, q — 1] (q=X, .... п— 1). Как мы знаем (замечание после формулировки 2.3.2 и (26)), (w1,[0, 1]>=1. Если на минуту принять более формальные обозначения, то это можно записать в виде (й»1, (Л/)*[0, 1])=1, где /, /г — естественные вложения

[0, IJ-ЧО. п-1]Лс(2, п-1).

Иными словами, (А*©1, /* [0, 1]) = 1. Но из соотношений, имеющихся в И* (6(2, п—1)) (замечание после формулировки 2.3.2),

следует, что й»х = о»1; между тем и1 однозначно характеризуется тем, что (и1, /* [0, 1]>= 1; значит, h^w^v1.

Теперь покажем, что классы {0, 7} последовательно подчинены друг другу относительно умножения

Н* (TSn, PS") ® Н* (TS" - Г°5") Н* (TS", PS"),

а именно {0, ?}^(0, 1) = {0, q — 1}. Это явствует из того, что ({0, <7}^(0, 1))^у"-х = ({0, q\rx^r>(0, 1) =

= [0, <^(0, 1) = [0, <7-1].

Обоснование проведенной выкладки такое же, как и выше при вычислении {аъ а^гЦЬх, Ь4\ Как и там, нужно, вернуться к тем группам, для которых первоначально определяется умножение Чеха, т. е. считать, что

{0, q^, y^sH^^TS"-!^", PS"-PS"),(0, 1) г Я1 (Г5"~ PS").

Наконец, займемся относительными циклами г* {0, ^}. Имеем

fJO, q^^O, ХУ-цф» q}^(Q, 1)') =

= i*№» q}^(0, l)) = iJ0, Q-l}.

Здесь в обосновании нуждается первое равенство. Вернемся к первоначальному определению произведения Чеха. Тогда надо считать, что в левой части первого равенства речь идет об умножении

/7* (П5” - П6 S", It' - ITeS”) ® Н* (П5" - Пв5") ->

-*• Н* (П5" - Пв5", И' - П65"),

где It' — такая же окрестность П65", как в 2.1.2, а в правой части —об умножении

Н* (TS” - PS", PS" - PS") ® Н* (Г5" - PS") -*

-> Н* (TSn - PS”, PS" - PS").

При этом i рассматривается как вложение

U (TS”-PS", Р5"-Р5")с2_(П5"-Пе5", ^'-П05")

(ясно, что при достаточно малом е будет PS” с IFS” с: U'y Теперь равенство обосновывается ссылкой на известное свойство обычного произведения Чеха (см. Спеньер [1], (5.6.16)).

Следовательно, классы i* (0, q^ являются подчиненными друг Другу классами в nS"modIIeS”, если только они не обращаются в нуль. Если бы было I* {0, q^ = 0, то и z* {0, г} = 0 при всех r<^q; значит, достаточно доказать, что I* {0, 0}#=0.

Теорема. При q<_n — \ и любой группе коэффициентов G имеем Hg(TVStt; G)=0. В группе //„^(IIS”; Zz) образ /* [О, п— 1] класса [О, п — 1] при естественном вложении*'1 j: G(2, n—1)с-*. с-* ILS” отличен от нуля.■

Доказательство см. в работах Аносова [3], [4]. При доказательстве строится такой когомологический класс аеН"'1 (IIS”; Zz), что /*а=(0, п — 1).

Следствие, г* {0, 0}^=0, где i по-прежнему обозначает вложение (FS", F°S”) cz_> (П5", Пв5”).

Доказательство следствия 2.3.6. В § 2.2 сразу же после определения П6Л1 было показано, что ПеЛ1 имеет гомотопический тип П°Л1, т. е. М. Когда М = 8п, из точной гомологической последовательности пары (IIS", II9S") следует, что если к обозначает вложение (ITS”, ф)с_».(П5", IlgS”), то к*; Hq^HS'1)-* ->-Яг(П5", Пд5”) — мономорфизм**’ при q<n. Поэтому для того, чтобы вывести 2.3.6 из 2.3.5, достаточно установить, что

(»)МДО, n-l] = /J0, 0}.

Обозначая через h естественное вложение (G(2, п— 1), 0)с-> с-> (FS", F°S”), мы докажем, что при индуцированном отображении гомологий АДО, п —1] = {0, 0}. Отсюда следует (*), ибо th = kj.

Обозначим через Е расслоение на диски, ассоциированное с векторным расслоением у. Как мы знаем, Н* (Е, дЕ) = = Н* (FS", PS”) (ср. с изоморфизмом Н* (FS" — PS", FeS”— — F°S”) = /7* (FS”, PS") в рассуждениях, предшествующих 2.3.4). При этом отождествлении отображение И* совпадает с композицией

Н*№ п-Х^Н^Е^Н^Е, дЕ)

отображений гомологий, индуцированных соответствующими вложениями. При первом из этих вложений база вкладывается в Е как нулевое сечение; в гомологиях индуцируется отображение у;1. Итак, А* = h'^1. Поэтому

(»*)(У"-1, А* [0, п - 1]> = ((у*)-1 Н'*у^, [0, п - 1]>.

Убедимся, что старший класс Штифеля — Уитни расслоения Е

(***)й)”-1 = (у*)-1 К *уп~г.

Действительно, обозначим изоморфизм Тома в когомологиях через ф. Он является композицией

Нк (G (2, п - 1)) ^ Нк (Е)^» Нк^ (Е, дЕ),

*' Здесь мы пишем /, а не t, потому что сейчас надо отличать это вложение от 1, которое используется в следствии 2.3.6.

**' И даже изоморфизм при q<.n—1,.

т. е. ф = (• о у”-1) • у*. Применим ф к интересующему нас классу когомологий:

Ф (У*)-1 h^y”^1 = (ft^y”-1) w у”-1 = у"-1 v у”-1.

Но известно, что й)”-1 = ф-1 (у”-* w у”-1) (см. Милнор, Сташеф [1]).

Формула (***) является аналогом известной для ориентируемых расслоений связи между классами Эйлера и старшим классом Штифеля —Уитни. (См. Милнор, Сташеф [1], свойство 9.5. Непосредственно перед этим там по несколько иному поводу проведено воспроизведенное выше рассуждение, фактически доказывающее (***).)

Теперь (**) можно переписать в виде

(у”-1, й*[0, п —1]> = <®"-1, [0, п — 1]),

что, как мы знаем, равно 1. Но Я„-1(£, d£) = Za и (у”-1, {0, 0}) = = 1 (ведь {0, 0} есть образующий элемент группы Нп-Х (слой, граница слоя), а класс Тома как раз и характеризуется тем, что при ограничении на пару (слой, граница слоя) он принимает на этом образующем элементе значение 1). Поэтому й*[0, и—11 = = {0, 0}. □ ^ А

Как следствие 2.3.6 и 2.2.14 (см. также обсуждение перед

получаем такую теорему.

Теорема. Пусть М — риманово многообразие, диффео- морфное п-мерной сфере S" посредством диффеоморфизма h: Sn-^»-M. Возьмем такое х*>0, что hr (J'S") с П**-Л4, где Кт;=ПИ- (вложение с_». П£”).

Утверждение. В пространстве ПЛ! имеется п критических уровней

0<х1^... ^х„<х*,

которые являются критическими уровнями п попарно подчиненных гомологических классов из Н* (ПЛ4, П6Л4).

В частности, если два из этих уровней совпадают, то в М существует бесконечное число замкнутых геодезических, различающихся как элементы ПЛ! (30).

Замечание. В этой теореме не утверждается, что построенные п замкнутых геодезических являются однократными или (если они являются кратными повторениями некоторых однократных замкнутых геодезических) что соответствующие однократные замкнутые геодезические все попарно различны. Результат такого типа будет доказан значительно позднее с использованием совершенно Других методов; см. § 5.1.

В случае п = 2 Люстерник и Шнирельман [1], пользуясь специальными деформациями, уменьшающими Е, которые переводят

образы окружностей в кривые без самопересечений, смогли показать, что образы трех попарно подчиненных циклов Аг* {0, 0}, Аг» {0, 1}, Аг»{1, 1} из rS2modr°S2 повисают на трех замкнутых геодезических, которые не только однократные, но даже не имеют самопересечений.

При я>2 существование замкнутых геодезических без самопересечений было доказано только для тех случаев, когда риманова метрика на М подчинена некоторым специальным ограничениям. Формулировки результатов в этом направлении можно найти у Клингенберга [7] и Альбера [2]. Все они основаны на следующей теореме (см. Клингенберг [1] и Громол, Клингенберг, Мейер [1]).

Теорема. Пусть М — односвязное компактное риманово многообразие, кривизна которого К (во всех точках и по всем двумерным направлениям') удовлетворяет соотношению

Ко/4<К^К»

с некоторым Ко>-О. Тогда длина каждой геодезической петли на М больше либо равна 2n/VKo, и, следовательно, замкнутая геодезическая длины <4л/]//(о не имеет самопересечений.

k К роме того, существует гомеоморфизм h: Sn-*M, удовлетворяющий условию Липшица вместе с обратным гомеоморфизмом А-1 и обладающий следующими свойствами. Обозначим через р* точки (±1, 00) е= S”. Тогда ограничение

h\(Sn — p+y. Sn-p+-+Mn-h(p+)

является диффеоморфизмом. Образ h(S*n~x) «экватора» S*n~1 = = (xeStt; х0 = 0} является некоторым дифференцируемым подмногообразием М* многообразия М коразмерности 1, состоящим из всех тех точек qeM, для которых d(h(p+), q) = d(h(p_), q)< < л/]/ Ко.

При отображении h четвертушки проходящего через р+ и р_ большого круга, соединяющие р+ или р- с S*"-1, переходят в геодезические отрезки (дуги геодезических линий) на М, являющиеся кратчайшими путями между своими концами.

Приведенная формулировка содержит в точности то, что нужно для дальнейшего. Формально она отличается от обычной формулировки «теоремы о сфере», имеющейся книге Громола, Клингенберга и Мейера, поэтому стоит дать некоторые пояснения, выделив в доказательстве теоремы о сфере те моменты, которые оправдывают данную формулировку. Основная часть доказательства этой теоремы состоит в доказательстве следующих фактов.

Пусть д+, д_—«диаметрально противоположные» точки М, т. е. dM (q+, q.) = max d (x, у); положим

*, нем

Dv^^eT,^, |^|<л/2};

H+ := полусфера S” с центром в p± = expD±;

П'±:=^еТ,±М; |£|<л/2};

Uv.= ^eT1±M; |В|<л//Го}£

B+:=^x(=M', dM(x, g±)<n/^/<0}.

Тогда B+\jB_ = M; отображения exp | U+: U±-^B+ — диффеоморфизмы; при каждом ^еТ,+М, |£| = 1, на геодезическом отрезке ехр([0, л/]Л^])? имеется ровно одна точка множества

M*:={xe=M; dMlx, q^ = dM<x, g_)},

причем длина 1+^ части этого отрезка между q+ и точкой из М* дифференцируемо зависит от |.

После того как это доказано, нетрудно получить и теорему о сфере, и все добавления к ней, содержащиеся в 2.3.8. Ясно, что

(ехр | U^M* = {В г U^ | £ | = U(^/| 6|)}

суть гладкие подмногообразия в Tq^M, ограничивающие некоторые замкнутые области У±, диффеоморфные /)+; диффеоморфизмы ф±: О+-*-У± можно построить так, чтобы точки, лежащие на одном прямолинейном луче, исходящем из нуля, оставались бы на том же луче, и чтобы ф+ совпадало с тождественными преобразованиями в некоторой окрестности U+ нуля пространства Тч+М. Зафиксировав какие-нибудь (линейные) изометрии Д+? D+ -*• DV, определим

А±:=ехр-ф±г Д± - (exp | D+)-1: Н+-*-М.

Эти отображения являются диффеоморфизмами D+ на некоторые замкнутые области W+ в М. — замыкания компонент связности М — М*; M = W7+|JW7- и ^+П W_ = M*. Положим

g;=(M S”-1)-1 - (А-1S”-1): S”-1 -*8"-\

f: = (ехр 15D+)-1. g - (exp | dD^; dD* -* dD^,

продолжим / до гомеоморфизма F: D^-^D+ «по радиусам», т. е. посредством формул

F(0) = 0, F(6) = ^|6|/(n^/2^|) при ^0,

и определим, наконец, A: Sn-*-M как

А| Н_; = А-, А|Н+ ;= А+ -(ехр | D+)»F«(ехр |D^-1.

После сказанного все утверждения из 2.3.8 становятся достаточно очевидными. Заметим только, что если взять на М возле q+ карту ((ехр - Д+1 Д+ U^y-1, exp U^), а на S” возле рг карту ((ехр | Д+(/+)-1, ехр (Д+‘(/+)) (при этом мы отождествляем Tp^S" с R"), то (если считать U'+ малым шаром с центром в нуле)

й(ехр (Л;.1^)) с ехр (/+,

и соответствующее локальное представление для h имеет вид Xi—>F(x). Поэтому утверждение об условии Липшица для h следует из того, что F удовлетворяет условию Липшица (см. ниже), а для /г1 оно следует из того, что F--1 получается путем продолжения «по радиусам» дифференцируемого отображения f-1: dD+-+dD+ и потому задается посредством формул, аналогичных формулам для F. При проверке условия Липшица для F, чтобы не иметь дела с несущественными множителями, перейдем к эквивалентному вопросу для отображения Ф: Dn^Dn (где Dn— единичный шар в R” с центром в 0), задаваемого посредством формул

ф (0) = О, Ф (х) = | х | ф (х/| х |) при х =Л 0,

где ф —некоторый диффеоморфизм сферы Sn-1 = dDn. Стандартное вычисление показывает, что при х^О

ОФ(х).у = ф(х/|х|)<х/|х|, у) + ф'(х/|х|). (у —(х/]х|, у>(х/|х|))

(ф'(х/|х|).2 определено только для г, касающихся S"-1 в точке х/|х|; но у — <х/|х|, у)х как раз и принадлежит к числу таких г). Отсюда ясно, что существует такое L, что \ПФ(хУ\<Л при всех х^=0. Если прямолинейный отрезок, соединяющий х и у, не проходит через 0, то

1

ф(£)-ф(х) = ( ^kx-Vt<y-xydt= ^ /)Ф(х + /(у-х)).(у-х)с1/, о6

откуда | Ф (у) — Ф(х)|^L\y — х|. Далее, если у^О и е>0, то |Ф(у)-Ф(еу)|^£|у-еу|, откуда |Ф(у)|^£|у|. Наконец, если прямолинейный отрезок, соединяющий х и у, проходит через 0, то

|Ф(у)-ф(х)|^|Ф(у)ЖФ(х)|^£|у| + £|х|;

но в этом случае \у — х| = |у| + |х|. *

Используя 2.3.8, легко доказать следующую теорему (см. Клингенберг [7]):

2.3.9. Теорема. Пусть риманово многообразие М гомеоморфно S”, и пуапь его кривизна К (во всех точках и по всем двумерным

направлениям) удовлетворяет соотношению

(t)Ко/4<К^Ко

с некоторым К0>0. Тогда на М существует п замкнутых геодезических без самопересечений, длины которых лежат в интервале [2л//К0, 4л/ККоЬ "

Доказательство, ^ Отображение h, о котором говорится в 2.3.8, и обратное отображение hr1 удовлетворяют условию Липшица, так что они переводят абсолютно непрерывные кривые снова в абсолютно непрерывные кривые. При этом при почти всех t норма вектора скорости может самое большее умножаться на константу Липшица; значит, если се^НЦЗ, S") и de=7/1(S, М), то h = c <= НЦЗ, М) и h-1 = de=H1(S, S"), так что возникают отображения

Ah; AS"-* AM, c*-*-h°c, и

Ah-1; AM-* AS", d^hr^d,

очевидно, обратные по отношению друг к другу. Ниже мы проверим, что в нашем случае они непрерывны и, следовательно, являются гомеоморфизмами. После факторизации по действию % группы 0(2) получаются взаимно обратные гомеоморфизмы

■ ПА: П5«->ПМ, ПА"1: ПМ->П5«.

При этом ясно, что

ПА (Щ5") = П6М, ПА (П5" - П65") = ПМ - П0М.

Поэтому, хотя А —не обязательно диффеоморфизм*’, мы можем воспользоваться теоремой 2.3.7. Очевидно, в ней условие Аг(Г5”) с Пи*~ можно заменить условием, чтобы относительные циклы Аг* {0, q), q = 0, .... п — 1, были гомологичны относительным циклам 20, ..., 2п_ъ носители которых лежат в Пх*-М. Мы как раз и покажем, что при х* = Вл’/Ко можно построить такие zq. Отсюда будет следовать, что на М существуют п различных _(как элементы П/И) замкнутых геодезических длины < 4л/]/"Ко- А тогда из 2.3.8 будет следовать утверждение теоремы.

Опишем, как строятся относительные циклы г,.

Рассмотрим сначала более простой вопрос о циклах многообразия Аг([0, п — 1]). Из 2.3.8 следует, что большие круги, проходящие через р+ и р_, переходят при отображении А в кривые длины < 4л/]///0. В 2.3.8 ничего не говорится о значении

*’ По крайней мере в 2.3.8 не утверждается, что Д—диффеоморфизм. Диффеоморфность S" и М доказана при более сильных ограничениях на кривизну (см. Громол, Клингенберг, Мейер [1]).

Е (hrc) для с е= [0, п — 1], поэтому неясно, будет ли Аг([0, п — 1 ]) с сП*’-. Но можно на линиях Агс, се [О, п — 1], перейти к параметризации, пропорциональной длине дуги. Этот переход можно осуществить так, что при этом многообразие Аг ([0, п— 1]) подвергнется некоторой непрерывной деформации (см. 1.3.12 и замечание перед 2.2.6), а следовательно, циклы Аг» [0, 9] заменятся гомологичными им циклами. Носители последних уже содержатся в И**-. *

Так как не ясно, будут ли при отображении А образы всех окружностей, параллельных некоторому большому кругу из [О, п-1], иметь длину <4л/У^> то мы заменим цикл {0, п —1} следующим гомологичным ему циклом. Каждая отличная от точки окружность из {0, п—1} пересекает экватор S*"-1 ровно в двух точках qY и q.2 (и однозначно определяется ими). Заменим эту окружность замкнутой кривой, составленной из двух половинок больших кругов, соединяющих точки р_ и р+ и проходящих через qY и qa. Окружности, вырождающиеся в лежащую на экваторе точку q, заменим кривой, состоящей из двух половинок большого круга, соединяющих точки р_ и р+ и проходящих через q сначала в одном, а потом в другом направлении.

А Эту замену можно осуществить посредством некоторой гомотопии

Ь: ({0, п-1}, {0, п-1}»)->(П5«, П65")

({О, п—1}° —множество одноточечных окружностей из {0, п—1}), которую мы сейчас опишем. Обозначим через cqiq, окружность из {0, n—1}, проходящую через точки qY и q2 экватора S*"-1. Пусть с^2 — ортогональный ей большой круг, идущий из pv в р_. Окружности сМ1 и Cqiqa пересекаются в двух точках; из них ближайшую к р+ обозначим через г+^ь q2), а другую (ближайшую к р-) —через r_(qlt q2\ (Когда в некотором рассуждении qY и q2 фиксированы, будем писать короче г+, г—) Если qY = q2 = q, то r+ = r- — q, а если точки ,1, q2 диаметрально противоположные, то г+ = р+, г- = р- Пусть r^s^r+Vh, q2, s) —точка на с'Мг, расположенная на дуге г+р+ этого большого круга (той из двух дуг с этими концами, которая короче) и отстоящая от г+ на s-ю долю длины этой дуги. Аналогично определим r^(s) = r_(<7n q2, s). Определим 1Дсм^ как кривую, состоящую из двух дуг окружностей, из которых одна идет из ri(s) в r2(s) через qY, а вторая — из r2(s) в ^(s) через q2, и параметризованную пропорционально длине дуги. Отметим, что определение cqiqi и fAcqiq^ не зависит от того, какую из точек qY, q2 мы считаем первой, а какую — второй (т. е. СМ2 = СМ1 и fACq^ = hkpq^V так что мы действительно построили семейство отображений ^: {0, п— 1}->ILS", очевидно переводящих {0, п —1}° в Пе5л. При этом, _как уже отмечалось, длины всех кривых ПА»/1(с) меньше 4л/]/К0-

Проверим непрерывность /Дс) по (с, s). Если qi = q2 = q, s = 0, то при всех q'b q2, достаточно близких к q, и s', достаточно близких к 0, кривая h'lc,^/) целиком содержится в малой окрестности точки q на Sn. Но она состоит из двух дуг окружностей и, целиком умещаясь в малом шаре, должна иметь малую длину, а ее параметризация пропорциональна длине дуги, так что EQs-^cq-q^ тоже мало; поэтому нетрудно убедиться, что как элемент IIS" она лежит в малой окрестности одноточечной кривой /о(с9г). Если <7!^= <?2 или s=#0, то две плоскости, проходящие соответственно через точки qx, г*^, q2, s), r-(qu q2, s) и q2, r+(qi, q2, s), г_^ъ q2, s), дифференцируемо зависят от (дъ q2, s), равно как и лежащие в этих плоскостях центры окружностей, проходящих через указанные точки. Обозначим через сЧ1Ч1(8) параметризованную и ориентированную кривую, получающуюся при обходе с постоянной скоростью дуг этих окружностей в таком порядке: сначала r+ (s)<7ir_ (s), затем r_ (s) q2i\ (s). Из сказанного выше ясно, что сЧ1Ч1 (s) (/) дифференцируемо зависит от (^, q2, s, /) на множествах

{(<7Ъ 7г, $); qv#q2 или s^=0} х[0, 1/2] и {те же (qu q2, s)} х[1/2, 1]

(по отдельности) как точка Кя+1, а стало быть, и как точка 5". Непрерывность же по этим аргументам имеет место на всем множестве S*”-IxS*”-1x[0, 1]х[0, 1].

При фиксированных qt, q2, s (71^=92 или s^O) из 1.3.7 следует, что, когда q'b q2, s' достаточно близки к qlt q2, s2,

5 (7?. q'^ S'. 0 : = (ts" • » exp • )-! (см, (s) (0, Cq,q, (s') (0) непрерывно зависит от своих аргументов, дифференцируемость же имеет место отдельно при 0^/^1/2 и при 1/2^/^ 1. Но ?(?i> q». s« 0 = 0 ПРИ всех ^ Значит, если q'l-^qi, q2-^q2, s'-*s, то ^->0 даже в С^норме на отрезках 0^/^1/2 и 1/2^/^ 1. а тем более в //1-норме на [0, 1]. Наконец, поскольку

с»(»2 (s ) “ exPc#1#,(s)^ и fAi»= = Пс^1?2 (s),

то f$Cq1q1 непрерывно (в топологии пространства ITS”) зависит от (91, 7г. s), т. е. от (₽,„„ s).

Итак, мы действительно построили гомотопию (*), для которой /о совпадает с тождественным вложением, а длины всех кривых П/г»^^) меньше 4п/У Кд- После этого с помощью некоторой гомотопии gr: П/И->П/И перейдем к параметризации, пропорциональной длине дуги (см. 1.3.12 и замечание перед 2.2.6). Получится, что при всех с е= {0, п — 1}

Е^.ПНгЮХк*.

gr (ЩМ) а ПеМ (ведь накрывающая гомотопия gr в Л.М сохраняет орбиты 0(2) и SO (2), и если у с эти две орбиты совпадают, то и у g'c — тоже).

Для завершения доказательства нам надо проверить непрерывность отображений Ай и Мгх. Воспользуемся замечанием 1 в § 1.2 между 1.2.9 и 1.2.10. На S” возьмем атлас, состоящий из двух карт: (ф, S” — р^, где ф строится с помощью стереографической проекции, и

)((ехр | А^Я^)-1, ехр (А+ВД)

(см. обсуждение 2.3.8), а на М — атлас, состоящий из двух карт:

(ф = Ф«(й-1| М — у+), M-q^ и

*)((ехр • Д+1 А+Я4.)-1, ехр Я+).

Если е, ce^S,, е-*с в AS” и c(A)cS"-p+, то при е, достаточно близком к с, корректна запись ф-(е|А), и ф-(е| А)->ф-(с[ А) в Я1 (A; R”). Но ф«й°(е| А) = ф- (е| А), ф»й»(с| А) = ф»(с| А), так что ф° ((ДА . е) | А)->ф° ((ДА . с) | А) в Я1 (A; R”). Если, наоборот, е, се АМ, е->с в ЛЛ1 и с(А) cz М — q+, то точно так же заключаем, что

Ф - ((ЛА-1. е) | А) ф. ((Ай-1. с) | А).

Остается проверить, что делается в картах (**) и (***). Очевидно, все сводится к следующему утверждению.

Пусть U — некоторый открытый шар в R" с центром в О, a /: S”-1-*■ S”-1 — некоторый диффеоморфизм. Определим гомеоморфизм F: U U посредством формул

F(0) = 0, F(x) = |x|/(x/|x|) при х^=0.

Ниже через L обозначена его константа Липшица (см. конец обсуждения 2.3.8). Ясно, что под действием F кривые из

Я1 (А; Я) = {х: Д->Я; хе Я1 (A; R”)}

переходят снова в кривые из Я1 (А; Я). Утверждается, что если у-^х в Я^А; Я), то F-y-^F-x в Я^А; Я). -

Пусть С = {/; х(0 = 0} (не исключается, что С=ф; тогда, конечно, значительная часть последующих рассуждений, оставаясь формально правильной, становится бессодержательной). Ясно, что \F»y — F"X|oo-*-0 при ||х — уЦоо*-*■ 0, так что надо доказать, что ЦЕоу)-— (F-х)-||о-»-О, когда у-*х в Я1 (А; Я).

Для любого е>0 имеется такое 6>0, что если множество В измеримо и mes В < 6, то ^ | х (/) |2 Л < е. Существует такое откры- s

тое множество GzdC, что mes(G — С) <6. Ясно, что некоторая

p-окрестность Up(x(A — G)) не содержит 0 и F| t/p(x(A —G)) является диффеоморфизмом. Пусть \\у — xj» столь мало, что у(Д —G) cz t/p(x(A —G)); если tek — G и существуют Л(0, y^t), то

ЧР-уУ (0 - (F - хУ (01 = 1 DF ^у (0). 5 (0 - DF (х (0). ^ (О I ^

< IDF (у (0). (у (0 - ^ (0) I + № ^ (0) - DF (х (/))). Л (01 ^ ^LlyCO-^ni + Cdy-xUWI,

где Ci —некоторая константа (зависящая, вообще говоря, от G и р). Следовательно, когда у-*х в Я1 (А; (/), то

$ MMY-lF.xY'fdM.

b—G

Пусть B = G — С, так что mesB<6. Имеем KF-x)* |2d/^ в

^ L2 $ | ^ |2 dt < L?e; далее, в

Q | у I2 dty^ л у - Л Во + Q I * I2 d-ty» поэтому

V^-9Y ?dt<L»\\y\Mt<L^y^Q-VV^*. вв

В итоге

А ) (F»у)' — (F • х)' |2 dAI/2 < ($ I (F. х)-12 dAI/2 + Н | (F о у)112 dt^1^ \в) \в) \в/

^Цу-Н4-2А/ё.

Наконец, ясно, что если в неизолированной точке t множества С существует х (/), то Л (t) = 0. Но таковы почти все точки С. Значит, для

С' = {/; t е С, Л (/) определено и = 0}

имеем mes(C —С') = 0, так что вместо J можно рассматривать J.

СС'

А если Л^) = 0, то из условия Липшица следует, что (F«x)’(0 существует и = 0. Остается только интеграл

W-уУ \4dt^V J|y|2d/ = L2 J|y-xM^L2Jy-^^

С'С'С’

Окончательно получается, что

.Пт (|(F-y)--(F.x)-|2d^4L2e.

у-** д

А так как е произвольно, то этот предел равен нулю. □ *

Замечание. В этом параграфе для построения подчиненных гомологических классов мы использовали подпространство Г5” пространства П5”; элементами этого подпространства являются окружности. Аналогично при построении подчиненных гомологических классов других симметрических пространств ранга 1 (т. е. проективных пространств над комплексными числами, кватернионами и числами Кэли) можно также воспользоваться некоторыми подпространствами окружностей в П. Подробности можно найти в работах Клингенберга [2] и [6].

Примерно таким способом Элиассон [1] построил подчиненные гомологические классы многообразий Грассмана G(2, п— 1).

2.4. Теория Морса на АМ

В этом параграфе мы подробно изучим поведение потока <р/ AAf->AAf в окрестности критической точки.

Для того чтобы получить полную картину происходящего и изучить топологию пространства AxmodAx' в том случае, когда к — критическое значение функции Е, надо предположить, что лежащие в Е-1(и) критические точки образуют невырожденное критическое подмногообразие. Тогда, так же как и в случае функции, которая определена на евклидовом многообразии и критические точки которой образуют невырожденные критические многообразия, на пространстве АМ можно построить теорию Морса.

Заметим, что у нас имеется некоторая особенность, связанная с наличием действия группы 0(2) на АМ. Это обстоятельство приводит к построению эквивариантной теории Морса.

В первую очередь мы определим индексную форму *’ в критической точке с е= АМ функции Е. Так мы теперь назовем гессиан D^E (с) этой функции (зг). Вычислим D^E (с). Пусть £, £' — элементы из TCNM. Рассмотрим такое дифференцируемое отображение

к: [О, 1]2->ЛЛ1, (s, s')i—*k(s, s'),

что к (0, 0) = с, (дк/д8)(0, 0) = ?, (дк/ds'} (0, 0) = ^'. Тогда ОгЕ^Ш ^ = д4Е(к(0, O^/dsds'.

Чтобы получить выражение для D2E (с) в явных терминах, напомним некоторые формулы из римановой геомерии на М (см. Громол, Клингенберг, Мейер [1]).

Определим сначала отображение

:к; [0, l]2xS-+M,

*• Автор часто говорит о «форме» там, где для многих читателей более привычным был бы термин «функционал».

полагая к($, s', f) = K(s, s')(t). Здесь к то же, что и выше. Тогда (дк/50(0, 0, t) = c(t). Положим

(d«/5s)(s, s', /) = В(^ s, s'), (дк/ds') (s, s', /) = £'(/; s, s'),(,dK/dt)(s, s', 0 = c(^> s> s')-

Если к дифференцируемо, то можно показать, что

v(Vg'(0^(0M(0=

= R а (Л. С (0, ^ (0) + V (vr (/). £ (0). с (0.

Кроме того,

<R£(f), 9с^, £40). 9c(t)) = -(R(WY 9c(t), ЭД, £'(')>.

R & дс, П = -К (де, ^, П, (R а. дс, £'), 9с) = (R ^. дс, £), дс).

. Если сеСгА., то для g, ^'е^Л положим

(И)№ 9с, W=W. dc(t), Г(0).

Kca)(t):=R^W, дс(Л, dc(t)Y

Используя ковариантную производную Va« на расслоении a0: №(77X(S, М)* TM)->H1(S, М), из (i) и (ii) получим

(i)'Va. (Vg'). I = R (6, 9c, Г) + V (Va,|' . I),

(ii)' (R (1, дс, П, dc)0 = - (Ko ®, £%

(Kc^Y l')^^), ^>o.

^ в левой части (i)' рассматривается как векторное поле 6' = = |' (s) вдоль кривой с'; [0, 1]->ЛЛ4, c'(s) = k(s, 0) (имеющей касательный вектор £($)), а Vg' —как сечение расслоения а0 вдоль той же кривой; в левой части (i)' стоит ковариантная производная этого сечения вдоль этой кривой. При фиксированном s (в конечном счете нам нужно s = 0) значение этого сечения есть некоторый элемент из Н6 (c(s)* ТМ). Значение последнего в точке

teS дается левой частью (i). Аналогично интерпретируется правая часть (i)'.

Очевидно, Кс можно рассматривать как ограниченный линейный оператор в №(с*ТЛ4) или Н1 (с*ТМ). Это разные операторы (хотя по понятным причинам они и обозначаются одинаково; ср. с (18), б)). Первый из них, согласно второй из формул (ii)', является самосопряженным. Чтобы понять, что следует из этой формулы для второго оператора, перепишем ее так:

<^(9, ^>о = <^ iRc^o,

где, как и в (18), б), i: Н1 (c*TM)-*- Н° (с*ТМ) — естественное вложение. Отсюда

<i*iKc<^, £'>! = <£, i*iRcOv

Иными словами, в НЦ^ТМ) самосопряженным является оператор i*iRC' А

Лемма. Пусть с —критическая точка функции Е на многообразии АМ. Тогда индексная форма D4E (с) представляется в виде

ОЧЦс)& =^>i-<(^ + id)^,

Доказательство. ceC°°(S, М) ввиду 1.3.11. Доказываемую формулу достаточно установить для g, ^' е С” (S, М), ибо обе ее части непрерывны по 6, ^' в топологии ТсЛМ = Н1(с*ТМу Если £, V е С” (с*ТМ), то рассмотренное выше отображение к можно взять дифференцируемым, и тогда заведомо справедливы (1)' и (ii)'. Но DE(c'). £' = (дс', V£')o (с' то же, что и выше),

D^c’, Ч'^Л-^а-Э^Л, Ч')0 + (дс', Va,TO.g>e.

Здесь Va«d (с'). g = Vg (см. 1.3.5 и последующее обсуждение), a Va.(Vg').g можно выразить согласно (i)'. Поэтому

D(dc', 4')o.^U = <4« vr>o + <do, Va. (?£').£)» =

= <£. ^i + <dc, R (^, дс, |')>o-a, По + <&, V(Va^'.g)>0.

Но при 5 = 0 последнее слагаемое равно нулю, так как DE (с) = 0. С помощью (ii)' получаем требуемую формулу. □

Пусть с — критическая точка функции Е на Л.М, С помощью формы D4E (с), как: обычно, определим самосопряженный оператор Ас‘. ТСА.-*ТСА, полагая

МЛ, Пх = <6, A<T)i = D4E(№ П

Теорема. Оператор Ас имеет вид

Ас — id -{- kc<

где kc = — (1 — V2)-1 - (Ке +1) — компактный оператор, характеризующийся равенством

№ ^—((Kc+lh, По.

^ Замечание. В (18), б), с различных точек зрения рассмотрен оператор (1 —V2)-1 (на самом деле, как там отмечено, этим символом могут обозначаться различные операторы). Сейчас мы будем рассматривать (1 — V2)-1 как оператор i*i в Нх(с*ТМ); при этом Кс тоже будем рассматривать как оператор в Нх(с*ТМ). Это согласуется с приведенной в 2.4.2 характеризацией ксЛ

Следствие 1. Либо оператор Л, имеет лишь конечное число собственных значений, среди которых есть 1, либо собственные значения образуют ограниченное счетное бесконечное множество, единственной предельной точкой которого является 1. Каждое собственное значение, кроме 1, имеет конечную кратность. Любой элемент из ТСАМ аппроксимируется линейными комбинациями собственных векторов. Пусть

ТеАМ = ПАМ + Т°САМ + ПАМ

— ортогональное разложение касательного пространства ТСА на подпространства, натянутые на те собственные векторы оператора Ас, у которых собственные значения соответственно <0, = 0 и >0. Тогда размерности dim ПАМ и dim^AM конечны.

Числа dim ПАМ и dim ПАМ — 1 мы назовем соответственно индексом и дефектом геодезической с и будем иногда обозначать indo и nulc.

Доказательство, дОператор Ас, а значит, и Ас — id есть самосопряженный оператор в Нх(с*ТМ\ Тот факт, что ((&+!)£, Ио» где В, ^ е Н1 (с*ТМ), можно записать в виде ((l — V8)-1- °(^с+1)^« 6'Х» соответствует упомянутому выше определению (1 —V2)-1 как i*i. В связи с (н) уже отмечалось, что оператор i*iR самосопряжен. Оператор i*t, конечно, тоже самосопряжен. Отсюда ясно, что

Ас — id = —(1 — V2)-1.^-^!).

Компактность кс следует из доказанной в (18), б), компактности 1*1. (Она является проявлением общего факта — компактности обращения эллиптического дифференциального оператора, в данном случае — оператора 1 —V2.) а

Следствие 1 является вариантом хорошо известного утверждения о самосопряженных операторах, которые имеют вид «тождественный оператор плюс компактный оператор». □

Следствие 2. Собственные векторы оператора Лс, отвечающие собственному значению XeR, являются периодическими решениями дифференциального уравнения

(*)(X-l)(V2-l)^-(Ac-H)^ = 0.

Доказательство. Если |еЯ1(с*ТЛ4) и ЛС| = Х^, то ввиду 2.4.2 (Х-1)|(i_v»)-i.(^+l)g.

Отсюда следует, что £ е С°° (с^ТЛ!) (когда ceC°°(S, Af), оператор (1—V2)-1 повышает гладкость, см. (18), б), и если уже известно, что £ е Сг (с*ТМ),— а при г = 0 это так, ибо Я1 с С°,— то Е е Сг+2(с*ТЛ4)).

Итак, собственные векторы Лс дифференцируемы. А тогда (*) есть другая запись для ЛС£ = Х|. □

Назовем замкнутое дифференцируемое подмногообразие В многообразия АМ критическим, если Е | В = const, В замкнуто относительно действия х группы S и целиком состоит из критических точек функции Е.

Заметим, что критические подмногообразия компактны. Примерами критических подмногообразий являются:

орбита критической точки под действием х группы 0(2);

(Н) множество одноточечных кривых А°М, см. 1.4.6 *Х

Предложение. Пусть В — критическое подмногообразие многообразия АМ. Тогда касательное пространство ТСВ подмногообразия В в точке се В принадлежит ядру**'1 РСА индексной формы D4E(c).

Доказательство. Пусть 6 е ТСВ и г) е ТСА. Нам надо показать, что D4E (с) (|, ц) = 0.

Для того чтобы в этом убедиться, рассмотрим такое дифференцируемое отображение ,

к: [0, 1]а-»-ЛЛ!, к: (г, s)i—*-к(г, s), что

к (0, 0) = с, к (г, 0)сВ, (дк/дг)(О, 0) = ^, (5k/5s)(0, 0) = т].

*’ Хотя действие %: S X ЛМ -> ДМ недифференцируемо, но, когда с е е С00 (S, М) (в частности когда с е Сг Л), отображение z ।—► х (г . с) — класса С”. Это обеспечивает гладкость В в (i). Гладкость ММ устанавливается по ходу доказательства 1.4.6. .

**’ В оригинале «null-space». В отечественной литературе наряду с «ядром» используются термины: дефектное или изотропное подпространство, нуль-пространство. Все они имеют также и другие значения. Мне кажется, что для «ядра» опасность путаницы всего меньше.

Тогда

^Е(к(г, 0)) = DE(K(r, 0)). (дк/дз)(г, 0) = 0.

Дифференцируя по г, заключаем, что

О2Е(сЖ ц) = дгЕ(к(0, O))/drds = O. □

Заметим, что если с — произвольная замкнутая геодезическая, не вырождающаяся в одну точку, то, так как оиа является частью 1-мерного критического подмногообразия x(S, c) = S.c, ядро оператора Лс содержит ненулевой вектор дс. Поэтому дефект с и был выше определен не как dim ПАМ, а как dim TgAAf — 1.

Если для всех элементов с критического подмногообразия В индекс с постоянен, то мы будем называть это число индексом В. Аналогично если дефект индексной формы D2E (с) одинаков для всех се В, то мы назовем его дефектом В.

Если критическое подмногообразие В имеет определенные индекс и дефект, причем дефект В совпадает с размерностью В, т. е. при всех сеВ выполняется ТСВ = Т?А, то В называется невырожденным критическим подмногообразием.

Если с —замкнутая геодезическая и если орбита S.c невы- рожденна, то с называется невырожденной замкнутой геодезической. Это эквивалентно тому, что дефект с равен 0, или тому, что дефект индексной формы О2Е(с) равен 1.

Предложение. Л°М —невырожденное критическое подмногообразие индекса 0.

Доказательство. Полагая в 2.4.4 с=const и, следовательно, Кс = 0, получим

(X-1)V^-^ = O*>.

Это уравнение не имеет нетривиальных периодических решений при Х<0. Поэтому индекс А°Л4 равен 0. При Х = 0 периодическими решениями являются только решения вида £ = const. Следовательно, ТсХМ = ТСЛ°М. □

В качестве подготовки к основной теореме Морса рассмотрим риманово векторное расслоение с действием группы О^\ Так мы будем называть векторное расслоение

р: N-+B,

которое имеет своей базой компактное многообразие В, а стандартным слоем — гильбертово пространство и которое снабжено некоторой дополнительной структурой. Во-первых, на расслоении задана риманова метрика, которую мы, имея в виду последующие применения, будем обозначать через (•, -)i (см. § 1.1). Во-вторых, задано такое непрерывное действие группы 0(2)

%: О (2) к N->N,

что при каждом ае0(2) отображение Ха:—Х(а, •)". N-*-N является изометрическим отображением расслоений.

Отсюда следует, что 0(2) действует также и на В, причем проекция р и нулевое сечение ci—*0с, се В, OceN, эквивари- антны.

Для е>0 через О8р будем обозначать ассоциированное с р расслоение на шары радиуса е расслоения р (короче будем говорить о расслоении на е-диски). Через Dp будем обозначать расслоение на (открытые) единичные шары расслоения р. Предположим, что задана дифференцируемая инвариантная функция

Е: D8p->R.

Функцию Е мы назовем функцией Морса, если нулевое сечение (отождествляемое с В) является невырожденным критическим подмногообразием функции Е, индекс которого Л^О, и если оператор Ас, соответствующий индексной форме D2E (с), при любом се В имеет вид «тождественный оператор плюс компактный оператор».

Ясно, что в этом примере моделируется следующая ситуация. Пусть В е АМ является невырожденным критическим подмногообразием индекса к для энергии Е и Е (В) = х. Пусть р: N -> В — нормальное расслоение этого многообразия. Оно является римановым векторным расслоением с действием О (2).

При в > 0 рассмотрим расслоение на 8-диски Dep расслоения р. Слой этого расслоения над точкой се В состоит из таких элементов ^gNc, что Ц||1 <в. С помощью экспоненциального отображения ехр связности Леви-Чивита мы можем при достаточно малом в отобразить D8p на открытую окрестность подмногообразия В в АМ. Вместо ехр мы можем также воспользоваться введенным в 1.3.7 отображением ехр, ибо | • |гнорма мажорирует I • loo-норму, СМ. 1.2.1.

Тогда функция В-ехр: D6p->R является функцией Морса расслоения р.

Теперь мы докажем обобщенную лемму Морса.

Лемма. Пусть р — риманово расслоение над В с действием О (2) и Е — такая инвариантная функция Морса, что Е\В = 0.

Утверждение. Существуют такое е>0, такой эквивариантный послойный диффеоморфизм

ф: D6p ->фП6р с N и такое эквивариантное дифференцируемое сечение расслоения L(y; р): L(N; N)-+B

B-*L(N‘, N), c^-*Pc,

что Рс —послойная ортогональная проекция и

£ - ф ® = || Pci К - II (id - Pc) I If, с = и (В).

Замечание. В том случае, когда В—точка, обобщение леммы Морса на гильбертовы многообразия было доказано Пале [2], см. также Дж. Шварц [1]. Для тривиального О (2)-действия (т. е. когда О (2)-действие отсутствует) эта лемма была доказана Мейером [1]. Вассерман [1], [2] доказал лемму в предположении дифференцируемого О (2)-действия. Однако здесь нам нужен случай непрерывного О (2)-действия. Мы увидим, что доказательства приведенных выше вариантов этой леммы могут быть без особых усилий перенесены на наш случай.

Доказательство. Чтобы упростить обозначения, мы не будем специально отмечать тот факт, что, возможно, функция Е определена только в малой окрестности нулевого сечения расслоения р.

Ограничение функции Е на Nc можно записать в виде

^(т])^!-/)/)2^).^, пИ»о

1

т. е. £(т])= \ (1 — t)^E (tx\)dt, что получается интегрированием о

1

по частям из E (ri) = ^-^Е(^)си. Тогда

h^Al. ^):=$(1-П02£(^)-& Wо.

— эквивариантная симметрическая билинейная форма. (Эквивариантность h означает, что А(ХаЧ)-(Ха^ Ха£') = Мч) №, 5'). Это следует из аналогичного тождества с D2E (/г]) вместо h (т]).)

Так как форма D2 (£ | Ус) (0с) невырожденна, то ft (гр также невырожденна в некоторой е-окрестности нулевого сечения расслоения N. Соответствующий форме Л (т)) самосопряженный оператор Цц) определяется равенством

<^(Ч)6» ^>i = Mn).(^ V).

Наша первая цель состоит в том, чтобы для достаточно малых е>0 определить на D6p такое дифференцируемое отображение т: D8p->-L(p.; р), которое переводит слой над се В в слой над с, эквивариантно *\ значения которого являются обратимыми операторами и для которого

<^(п)П» т)>1 = <А(0с)/«(т)) т], /п(т))п)1-

Другими словами, мы ищем такое семейство операторов /и(т]), которое удовлетворяет соотношению

(*)т(т])* ^(О)т(т]) = ^(т]),

где через 0 мы для краткости обозначили (и дальше нередко будем так обозначать) сечение 0с, а * обозначает сопряженный оператор.

Рассмотрим оператор H4) = k№Lk(.4Y Если || т) Hi Достаточно малое, то он будет близким к тождественному и, следовательно, имеет квадратный корень, который мы будем обозначать через m(ij) **>.

Для того чтобы показать, что m (г]) удовлетворяет (*), заметим прежде всего, что из /(г])* = Л (т]) Л (О)-1 следует

l^*k^ = k^H4Y

Но т (г]) при ЦI (т0 | < 1 может быть представлен в виде степенного ряда по (1—/Сц)), в который разлагается (1 — (1 —/(г])))/, а т(т])* представляется в виде того же степенного ряда по (1 —/(г])*). Следовательно, предыдущее соотношение выполняется, если в нем Z(т)) и /(г])* заменить на /тг(т)) и /и(т))*, ибо (1 — / (т)))*" к (0) = к (0) (1 — / (т]))я. Поэтому

т (т)) * к (0) т (г]) — к (0) т (г)) т (т0 = к (0) I (я) = к (т)),

и тем самым соотношение (*) доказано.

Убедимся в эквивариантности т. Ввиду эквивариантности h

<^(ХаП)Ха£» Ха^)1 = <^(т])1, |'>Ь Х£(^°Ь)Ха = ^

а так как х« — изометрия, то Ха = Хй‘- Поэтому к эквивариантно (в том же смысле, в каком мы хотим установить эквивариантность /и). При т) == 0 отсюда следует, что ^(Ох^Хс^Ха^Ос)-

(Иными словами, с>-»^(0с) есть эквивариантное сечение расслоения £(р; р).) Теперь непосредственно получается эквивариантность I, затем (1 — /)” и, наконец, всего ряда для т.

При достаточно малом | т] ^ отображение ср'"1: ц ►—>1' = m (г]) г] обратимо. Дифференцируемость этой функции доказана у Пале [2]. Из определения видно, что

Е ^ (И) = h№ О ■ (ф' (Г). Ф' О = <к (Ф' (В')) Ф' U'), Ф' (ё')>1 = = <& CW (V))m (ф' (6')) Ф' №'). m (ф' Q')) Ф' (Г)>1 = = СО'. ^>i-

Так как мы предположили, что к (0с) (самосопряженный оператор, соответствующий гессиану О2Е (с) в точке 0с = се 8) имеет вид «тождественный оператор плюс компактный оператор», то мы можем ввести такие новые координаты |, связанные с g' преобразованием |' = ф(|), где ф —некоторое эквивариантное сечение В->£(р; р), и такую ортогональную проекцию Рс, что

WJE', ^)i = l|Pe|||HII(id-Pc)il|?.

Наконец, положим ф'«ф = ф. Диффеоморфизм ф искомый, и, следовательно, лемма доказана, за исключением проверки дифференцируемости Рс, которую можно найти у Мейера [1] **). □

Замечание. Последнее преобразование координат £' = ф (£) и ортогональная проекция Рс могут быть получены с помощью собственных векторов оператора ^(0с). Если ^ — проекция вектора |' на собственный вектор ех, собственное значение которого %#=0, то определим компоненту £х вектора £ = ф-1 (£'), полагая = = ^1X11?,; Рс — проекция слоя Ne на подпространство, натянутое на собственные векторы, собственные значения которых положительны. Если кратность собственного значения X больше 1, то при любом выборе системы ортогональных друг другу собственных векторов, отвечающих X, ф-1 получается одним и тем же. Теперь ясно, что эквивариантность ф следует из эквивариантности сечения ci—>£(0с) расслоения £(р; р).

■ 2.4.8. Следствие. Предположим, что критическое множество В = Е-1 (х) П СгЛ многообразия АМ является невырожденным критическим подмногообразием индекса к. Пусть р: N -*В — нормаль-

ное расслоение. Тогда при достаточно малых е>0 существует такой эквивариантный диффеоморфизм ф расслоения DKu. на шары радиуса е, ассоциированного с расслоением р, на открытую окрестность подмногообразия В, что

^.Ф(6) = х + 1РЛ||? —Hid —PC)6IL с = р(|), где Рс —эквивариантные послойные ортогональные проекции.

Кроме того, и — изолированное критическое значение Е.

Доказательство. Напомним, что выше мы построили эквивариантный диффеоморфизм расслоения D6p на окрестность множества В, используя отображение ехр. □

Следуя Пале [2], фиксируем какую-нибудь дифференцируемую функцию X: R->-|R, для которой Х(х) = 0 при х^1, Х(х) = 1 при х^1/2, причем всюду в (1/2, 1) ее производная отрицательна. С помощью X определим функцию a(s), se[0, 1], как единственное решение уравнения X (а)/(1 +а) = 2 (1 — s)/3.

Утверждение. Функция о непрерывна и строго монотонно возрастает на [0, 1]. Она дифференцируема на [О, 1[ с производной а>0. Кроме того, а(0) = 1/2, а(1) = 1 и если е>0, то из

— е ^ и2 — и2 — е + у X (м2/е) и ы2 е следует, что и2 ^ еа (и2/(е + м2)).

Доказательство можно найти у Пале [2]*\

2.4.9. Предложение. Пусть р: N -*В — риманово векторное расслоение с действием 0(2), снабженное эквивариантной ортогональной проекцией с>—*Рс, се В, PceL(Nc; Nc), коядро которой имеет размерность к. Рассмотрим для некоторых е>0 и 6 > О, Зе < 62, эквивариантные функции

^(g)=|Pcgir —Kid —РС)61Ь с=^,

F (|) = Е (В) - у8 X (Ц Р£ К/е),с = р (В),

определенные на расслоении на д-диски 0^**4

Утверждение. Пространство Nf‘.= {£е Dep; F(^)^— е} получается из пространства NE; = {^eD6p; Е(^)^ — е} с помощью

*' Положим x—u^lt, у=и^(г. Надо доказать, что из х^1, у^О, — 1^ ^х—у^—14-3/2Х (х) следует х^а(у/(1 4-х)) (все прочее доказывается достаточно непосредственно). При наших условиях у ^ 14-х, так что s : = у/(14-х) е е [0, 1], и неравенство x^a(s) имеет смысл. Если х^ 1/2, то все ясно. Пусть 1/2<х^1, так что x = a(s1) с некоторым st е [0, 1]. Тогда

1 — s=l — У/( 14- х) ^ 3/2Х (х)/(14- х) = 1 — Sj, откуда s^sh х=о($!)^а($).

**’ Имеется в виду, что, хотя эти функции определены с помощью написанных формул на всем N, мы их будем рассматривать только на DeP-

эквивариантного приклеивания расслоения на ручки Dp © Dp+, которое есть прямая сумма (сумма Уитни) расслоений на единичные замкнутые шары, ассоциированных с подрасслоениями р" и рЛ, состоящими соответственно из ядра и образа проекции Р = = {£4

Замечание. Эквивариантное приклеивание расслоения на ручки Dp~©Dp+ к NE означает следующее: существует такой эквивариантный гомеоморфизм h, отображающий Dp‘©Dp+ на замкнутое подмножество Н пространства NF, что

(О Nf = NeUH;

h | дДр- © Dp+ — эквивариантный диффеоморфизм своей области определения на свой образ dNEftH;

ft | Dp-© Dp+— эквивариантный диффеоморфизм на образ Nf-Ne.

Относительно этой теоремы можно сделать то же замечание, что и после формулировки леммы 2.4.7.

Доказательство. Определим гомеоморфизм ft: Dp-@ Dp*-> NF,

ft (^ + 5+) = (eo (| L Щ) 15+1? + в)1^- + (во (| 5- В)№,

где о —введенная выше функция, £_ = (id — Р)5 и ^. = РВ,. Имеем

1 ft (5+ + 5-)112 = (ео (II5- ю 15+ II + е) 15- II + ео (II5- ю II5+ Ц 2

^28||5-||1 + 8||5+||1^3е<62,

Е (h а- + 5+)) = 8 [О (| 5- ID Hdl (1 - И- Ю - II 5- II] - 8,

F (h (5-+ 5+)) = 8 [о (|| 5- fll) || 5+ III (1 - П- II) - || 5-Ц -

-|x(oa5-ii)i5+ii)]^

^е[о(|5-|11)(1 45-11) - Н_|? -|х(о(|^|1))] = -е

(здесь использовано то, что 8/2Х (о (| 5- Ц)) = (1 — 15- Ц) (1 © о (| 5- Ц))),

II РН(М-Ш = 80(15-11)15+11^8.

Следовательно, imft принадлежит множеству

Я:={|; £(5)^-8, £(5)^-е, ||5+11?^е}

(из этих неравенств следует, что || 5-111=^28 и |5II < Зе < 62). Более того, ft является гомеоморфизмом на все Н и ft-1 имеет вид

(id - £) тН—Рп-

.V 60 \ e-Н Рт|'

Ниже автор называет рг и ц+ отрицательным и положительным подрасслоениями.

б В. Клингенберг

При г] е Я (и вообще при £ (ц) ^ — е) аргумент у о лежит в [0, 1], так что написанное отображение определено и непрерывно. Отсюда же видно, что [(id —Р)/!-1^)!^!, а то, что ЦРА^СчЖ^ 1» доказывается с помощью утверждения, сформулированного перед предложением 2.4.9. (Надо положить в этом утверждении w = Pr], у = (id — Р) т]. Его посылки выполняются в силу трех неравенств, фигурирующих в определении /7.)

Так как а|[0, 1[ дифференцируемо и а^=0, то /i|Dpr©Dp+ дифференцируемо, равно как и h-1\H — dNE. Наконец, для £ = = £_ + £+ ед Dp- ф Dp+ имеем h (1) = (е || £+||? + е)1-^. + е1^^, т. е. h | dDp- ф Dp* — диффеоморфизм на свой образ

dNE^H = ^eD6№ Е^ = -е. 1Ы^е}.

Заметим,- что все приведенные определения и конструкции эквивариантны. Таким образом, теорема 2.4.9 доказана. □

Теперь мы можем сформулировать основную теорему теории Морса для функции Е на многообразии ЛЛ4.>

Здесь также справедливы те замечания, которые были сделаны после формулировки 2.4.7.

2.4.10. Теорема. Предположим, что в Х = ХМ множество всех критических точек, принадлежащих Е-уровню х, является невырожденным критическим подмногообразием В.

Тогда существует такое е>0, что гильбертово многообразие с краем *^ Лх+е эквивариантно диффеоморфно своему подмножеству, которое тоже является гильбертовым многообразием с краем и получается из^ А^ приклеиванием к нему расслоения на ручки типа Dp- ф Dp*. Здесь ц = ц- ф р+ — разложение нормального расслоения р подмногообразия В на отрицательное и положительное под расслоения. Кроме того, упомянутое подмножество является сильным деформационным реторактм пространства Лх+е при некоторой эквивариантной гомотопии последнего.

Доказательство. Из 2.4.8 мы знаем, что существует такой эквивариантный диффеоморфизм ф некоторого расслоения на открытые шары D^p нормального расслоения р подмногообразия В, что

E^-x+iP^-iad-P)^.

Выберем в так, чтобы 0<е<62 и чтобы х было единственным критическим значением в ]—Зе 4-х, х + 3е[. Определим на

*• В этой книге гильбертовы многообразия с краем не вводились, но необходимые для этого модификации соответствующих определений достаточно очевидны.

W := |ееЛУИ; Е(е)>х — 2е} функцию F, полагая

| Е(е)-уХаР.ф-1(е)||/е) при еефО2бр, F(e)=y 2

( Е (е) в противном случае.

Если е = ф (В) принадлежит W и F (е) #= Е (е), то X (|1 РН ||’/е) #= 0; поэтому {{Р^р?<е, Е(е)<и + е и Е(е) = х + «Р^ —1|(id-Р)|||?> >х — 2е и, следовательно, || £ Ц? <4е < 462. Другими словами, замыкание множества {е е W П ф^авр; б^^Е^)} принадлежит внутренности фО2бр, что доказывает дифференцируемость F (напомним, что F определена только в F).

Отсюда также следует, что {ее№; Е (е) ^х-{-е} = {е е W\ F (е) ^х + е}.

Поэтому из 2.4.9 получаем, что пространство

Np: = {е е W Q фО2бр; F (е) ^ х — е} получается из пространства

NE : = {е е W П фО2вр; Е (е) ^ х — е}

эквивариантным приклеиванием к нему расслоения на ручки типа Dp- ® Dp+. Тот факт, что сейчас мы рассматриваем не все е е D26p, а только те из них, которые лежат в W, ничего не меняет. Ведь

Nf— NEe {еефО2бр; Е(е)>х —е, Р(е)^х — е},

и если мы добавим к NF, NE точки из фО2бр — W (где, стало быть, Е(е)^х —2е), чтобы новые NF и NE непосредственно соответствовали Np и Ne из 2.4.9, то это не повлияет на NF—NE.

Ясно, что NF с Лх+6. Далее, критическое подмногообразие В содержится во внутренности int NF, ибо если се В, то ceW и Е(с) = х —3/2е<х —е. Иными словами, 2Z = int NF— открытая окрестность В и, согласно 1.4.8, на C2Z П (Az+E — Az-E) функция I1 grad Е Hi отделена от нуля. Естественно попытаться использовать для построения эквивариантной деформации Ли+Е на AZ 'E U NF деформацию ф^; ср. Пале [2]. ▲Для этого прежде всего докажем, что при достаточно малом 6 (и любом е < 62)

<*)^|s_0^(4>s“<₽ (В)) <-«111111 в ГПф^2вР

с некоторым а>0.

Ф^ — траектория поля — gradE в ЛЛ4, а ф-1-ф^-ф в пределах своего "определения — траектория поля w : = — (Тф)-1 grad Е на О2вр. Ясно, что—и>(^) есть градиент функции Е-ф относительно римановой метрики

{т), Vi^^^-n. ^©'^'>1 ПРИ П.П'^^Л/ б*

на О26р. Если се В, то 0с — положение равновесия. Согласно (31), в), «линейное приближение» {Т (ф-1«ф5 ° ф) IТСЩ возле 0с — поток на TOcN, определяемый градиентом гессиана О2(В-ф)(0с) (как квадратичной функции на То N) относительно римановой метрики Va\1\N.

Напомним, что ф = ехр-ф (если угодно, ехр может обозначать и ехр из 1.3.7), где ф — отображение из 2.4.7; оно имеет вид ф = ф'»Ф, где через Ф сейчас обозначено отображение, которое в 2.4.7 обозначалось через ф (это есть послойный линейный изоморфизм). Отметим, что

Т ехр (ОЖс/АМ^;1,

а отображение TV (0с): T(,cN -*■ ТДМ в терминах естественного разложения T0(,N = TcB®Tqc1)Nc описывается так: оно совпадает с естественным вложением на первом слагаемом и с J^ | ТocuNc — на втором. Продолжив ф на T6<N как Фт] = p*r] + Ф - ^«(ч~ Р*ч)« получим, что на T6cN

{П. П'} = <Фт). Фп^^ФЧ V>1

(мы пишем Ф2 вместо Ф*Ф, поскольку из определения Ф видна его самосопряженность, но это несущественно). Далее, гессиан В°ф легко определяется из того, что Е•ф — квадратичный функционал на Nc, а на нулевом сечении В-ф тождественно равно х (или, если угодно, из известных свойств Асу Если ^eT^N в соответствии с имеющимися разложениями и отождествлениями

TeN = ТСВ ®NC = Т№ ф ПАМ ф Т} Ш

записать в виде л^Ло + л+Ч-*)-. то

О2 (В - ф) (0с). (я, T]f) = 2<T]+, т)+>1- 2 <т]_, т]->1-

Теперь легко найти и соответствующее градиентное векторное поле на TOcN. Заметим, что по отношению к скалярному произведению (Вт], т)>1 градиент функции г) н^- (Ст|, rjX = (В (В^С) г), г)Х равен 2В-Ч?т]. Поэтому в нашем случае градиент есть 2Ф~2т]+— — 2ф-2т]_.

Напомним, что это есть Tty (0с). т] (ср. (31), в)). Поэтому

)-w (Е) = 2Ф"2|+ - 2®“2L ф о (I | к).

(Здесь мы рассматриваем 2Ф~2£+ и 2Ф'2£_ как векторы в 7\Ttt N. Чтобы убедиться в правильности (**), воспользуемся картой, содержащей с. При всевозможных с потребуется лишь конечное число карт, поэтому в (**) оценка о равномерна по с = ^гВ.)

Теперь ясно, что .

ЩР.^ (|). w (|) = -4 &, ф-2^ - 4 <|_, Ф"21->1 +

+ 6V (| |+ ||f/8) <5+, Ф-^+>т+О (НII!)-

(Очень существенно, что, согласно (**), вектор и>(|) направлен почти по (с точностью до о (HI У), a D (Е • ф) (|) = О (|| | у (поскольку ЩЕ«<р)^) = 0\ Поэтому производную О(£«ф)(|). и>(|) с точностью до o(|j||i) можно вычислять так, как если бы все происходило в гильбертовом пространстве Nc.) Чтобы получить (*), остается вспомнить, что А' ^ 0 и что Ф~2 — самосопряженный положительный оператор, спектр которого отделен от нуля.

Докажем теперь, что

*) если геЛ^иЛ*-8, то ф5е е ^UAZ-E для всех s>0.

Если esA*-8 или ее В, то все ясно. Если eeNF — (BJA*-8), то е е W П фПгбЩ согласно (*), Г(ф$е) убывает, пока ф^е не выйдет (если выйдет) из W П фО2бр,. Пока этого не произойдет, F (ф5е) е Nf. Если ф^ никогда не выйдет из Г П фП2бр, то тоже все ясно. Пусть s = si —первый момент, когда ф^ ^ F П ф^авЦ- Еще раньше, скажем при s = s2<si, ф$е должна будет выйти из расслоения на ручки (т. е. из NF—NE), а поскольку ф8/ все еще лежит в W ПфОгвН и, значит, все еще принадлежит NF, то ф5,ееЛх-8. Тогда ф^еЛ"-* при всех s>s2.

Далее, функция r(e) = min {seR; ф»е е NF U Л**8} = то s, для которого ф^е е Ц7 и F (ф^е) = и — е, дифференцируема в своей области определения (которая является открытым множеством *). Для доказательства этого локального факта достаточно применить теорему о неявной функции к уравнению относительно s:

F (ф^) = и — е.

Заметим, что функция (s, е)н-*Е(ф^) в своей области определения (которая является открытым множеством) дифференцируема по (s, е) и dF (<$>se)/ds < 0. Последнее следует из (*), если ф^е

*' Мы сейчас рассматриваем ф^е как для s^O, так и для s<0. Как известно (Ленг [1], Бурбаки [1]), если X — дифференцируемое векторное поле на банаховом многообразии, то для любой точки е этого многообразия существует максимальный интервал ]а(е), <о (е)[ (конечный или бесконечный), на котором может быть определено решение ф^ дифференциального уравнения d<vsejds = X (ф^е), проходящее при s = 0 через точку е, причем любое другое решение с тем же начальным условием определено на некотором подынтервале J с ]а(е), <о (е)[ и совпадает на J с ф5е. Кроме того, множество {($, е); ф^ определено) открыто. В нашем случае (Х = — grad 5 на ЛМ) ю(е) = со при всех е (1.4.11), но не утверждается, что а(е) = — ао. Однако если sup 5(ф$е)= lim Е(<р$е)<оо, тоа(е) = со(ср. с замеча-

$Е1а(е), <»(e)ls—a(e)

нием к 1.4.11). ■

е q)D26|i П ^, и очевидно в противном случае, когда F (ф$е) = = Е (ф^).

Из того, что Ц grad Е ^ ^ а > 0 на l# П (Ах+Е — Ах~е), сразу следует, что за время 2е/а2 любая траектория ф5с, с е е 12? П (А44"8 —А1*^8), попадет в A^UAf. Значит, т определено и положительно на Ах+е — (AK~8 U NF\ Построение эквивариантной деформации Ф^, ретрагирующей Л**8 на A*-8 U NF, теперь очевидно:

,( <P^(e)^, если ееЛх+£ — (A^U NF),

Ф»е = {'

( е для остальных е.

Непрерывность Ф^ следует из того, что т непрерывна ит(е) = 0, когда

е г Л44"8 — (Л4-8 U Nf) П (Лх-е U Np) = {с; F (с) = х — е}.

Приступаем к построению эквивариантного диффеоморфизма Ф: дх+е_^дх-е (J Nf. Если е е Л^-8 —(Л4-8 (J Af), то имеется не только т(е), для которого фт(е)ее {F = x —е}, но и такое тг(е)<0, для которого Е,(фТ1(е)е) = х + е. (Ведь из сказанного ранее следует, что для любого е либо а (е) = — оо и lim Е (ф^с

<х + 2е, либо Пт £ (ф^е) 5? х + 2е. Но если ф^еЛ^26 — s-,a<e)

— (A^JAf), то dE (q>se)/ds < — а1 с некоторым а>0, так что в Лх+6 — (A^-8 (J Af) нет траекторий с lim Е (ф^) <х4-2е.) При s-> — со

этом а (е): = т (е) — Tj (е) постоянна вдоль траектории и дифференцируема в своей области определения (состоящей из тех е, траектории которых проходят через AX+8U (A^U Af)), причем 0<а(е)< < 2е/а2. Возьмем какую-нибудь неубывающую дифференцируемую функцию /(/), определенную при всех teR, для которой/'(0 < <2/3 при всех t, / (/) = О при t<.—2 и /(0 = 1 при /5з0. Положим

( фа(е)/(а«т(е)/2е)е при е е Лх+8 - ф7Е/^ (Лх+Е), Ф (е) = <

(епри ег ф7е/а«(Лх+е).

Дифференцируемость Ф следует из того, что уже при ее е фб6/а« (ЛХ+6)

Т(е)< — ^,/^-И фа(е)/(аЧ(е)/2е)е = е.

Отсюда же видно, что если ф5е при каких-нибудь s попадает в Лх+е — (Лх-е (J Af), то

Фе = фа (С) f (а,т (е)/2е)6.

Биективность Ф следует из того, что под его действием те точки е.

траектории которых не попадают в Лх+е —(A^U^f)* переходят сами в себя, а все остальные точки Лх+® лежат на положительных полутраекториях вида ф^, где£ (е) = и + е; такая полутраектория биективно переходит в положительную полутраекторию Ф^Фт^е. Действительно,

Фф56 = ф0 ^^ {(а,т (ф^е)/2е)ф»6 = фа (е) f («г (т (е) — s)/2e) + $6, a

£[<^)f(^T(e)-s)) + sl = —а^/'Н-1 >! -f'>|.

UO |_\*v/ Jv

и при s = 0 выражение в квадратных скобках равно а(е) = т(е).

Наконец, проверим обратимость ТФ (е) в произвольной точке е0. Пусть s0 := а(е0)/(а2т(е0)/28). В терминах карт (ехр^1, ^ (с0)) и (exp^,c., ^(qVo)) и при достаточной близости (s, е) к (s0, е0) можно представить ф^ некоторым отображением

isg-e, 8о + е[хехр;^Т(со)->ехрф‘оСоТ(ф5ОСо). ($, 5)>-*ф($. 5)

(уменьшив при необходимости У (с0), мы вправе считать, что Ф^-е,. s„+e„fy (Со) <= У (ф$0Со). так что ф (s, 5) действительно определено при всех t е ехрс016^/° (t0))- Введем обозначение

F (5): = о (ехргД) / (^ т (ехрСо5)) •

Тогда Фе при е, достаточно близком к е0, представляется отображением T: ^i—>ф(Л(|), |), производная которого равна

OT^-D^F®, ^-DF^ + D^^F®, 5),

т. е. DV (В). т) = 01Ф (F (g), 5). (DF (5) . т,) + D^ (F ®, ^. П.

Здесь DF (£). т] есть просто число. Если вектор — grad Е (е) в карте (exp;,1, ^ (с0)) локально представляется векторным полем X ®, то

DiV(F®, ^ = DaV(F^ ^.Х®

(что является перефразировкой известного факта, что вдоль каждой траектории потока задающее этот поток векторное поле является одним из решений уравнения в вариациях). Итак, мы должны убедиться в обратимости линейного оператора

т) ^ о2ф (F й), §). (т) + (DF ^ . г,) X (9)

или, поскольку D^ обратим (ведь ф^ при фиксированном s диф- феоморфно отображает свою область определения), в обратимости оператора

т) н-> Аг]: = г] + {DF (|), г]) X (|).

(Зависимость А от £ не отражена в обозначениях. Собственно, нам надо только 5 = 0, что соответствует е0, но Доказательство

от этого не зависит.) Имеем

DF (|). Лт] = DF ^ . т] + (DF (?). t|) (DE (£). X (У).

DF(^). X(?) является локальным представлением для ^ | ^(ф^) х xf^v^e)^, что, как мы видели, >—2/3. Поэтому

.1+DF(D X(g,

и если ? = Дт], то

Ч-С-СВГф.^ХЮ-С-^^.^Х®.

Пока что мы убедились, что оператор

г(У . £ у ™х1+DF (У. X (У л

является корректно определенным ограниченным линейным оператором, который переводит Лт) в т), т. е. является левым обратным для А. Но непосредственное вычисление показывает, что он является и правым обратным, так что А действительно обратим. А □

Замечание. Вообще говоря, может случиться, что критическое множество, лежащее на Е-уровне и, разлагается на несколько О (2)-инвариантных невырожденных критических подмногообразий, скажем Въ ..., Вк. Тогда эти Bt не пересекаются (и находятся друг от друга на некотором положительном расстоянии). Используя приведенную в теореме конструкцию, можно показать, что А*^8 эквивариантно диффеоморфно многообразию, являющемуся его подмножеством и получающемуся из Л*-8 приклеиванием расслоений на ручки, каждое из которых соответствует своему Bt. Это многообразие является эквивариантным деформационным ретрактом Л”*8.

Следствие. Пусть выполнены предположения теоремы 2.4.10. Тогда Н*(ДХ, Л^^Н^-к^В), где k —индекс В. При этом в случае, когда отрицательное расслоение р- над В неориенти- руемо, гомологии берутся с коэффициентами в Zg. В частности, если В есть О ^-орбита невырожденной замкнутой геодезической индекса к, то Hi^M, AX~) = Z2®Z2 при i — k, ^+1 и 0 в противном случае. Для коэффициентов в Z верно то же самое (с важной Z2®Z2 на Z®Z), если р- ориентируемо, в противном случае Hk(AK, A*") = Z2®Z8 и Н^А^, Лн-) = 0 для остальных I.

- Доказательство. Сначала эквивариантно продеформируем Лх+е в A^U А(Ор-®Ор+) (см. 2.4.10). а Затем воспользуемся тем фак-

том, что если 0+ —нулевое сечение расслоения ОрЛ, то

(*)(ЭОр-ф Dp+) U (Dp-eO+)

— сильный деформационный ретракт Dp~®Dp+. (Соответствующую деформацию можно построить, считая, что при ней каждая точка | с || РВ Hi ¥= 0 движется по прямой в слое Nu^, соединяющей 2РЕ/|| Р^ h с ?, в направлении от £ к множеству (*) и со скоростью, пропорциональной длине отрезка этой прямой от 6 до пересечения со (*). Это построение не имеет смысла, если Р| = 0; точки | с Р£ = 0 лежат в Dp~©0+ и не должны двигаться при деформации. Чтобы убедиться в непрерывности, можно либо задать это построение явными формулами, либо доказать геометрически, что при деформации смещение точки | не превосходит (Кб^Ш1!.) Это позволяет эквивариантно продеформировать A^Utfr®^) в Л4-6 U л (^Р~®0+) (напомним, что к переводит в К4-6 точки dDp-фбрЛ, так что при деформации приклеенных к Л14-8 ручек те точки, по которым произведено приклеивание, остаются неподвижными). Следовательно,-

^(Л^8, Л”-8) = Я* (A^ U л Dp-, Л*-8) = Н* (Dp- U U, дЯц-ЦИ), где 11 — произвольная окрестность dDp* (точнее, h (dDpr)) в Д’4-8. Эту окрестность можно выбрать такой, чтобы она стягивалась на д£)р~ (аналог трубчатой окрестности для подмногообразия — в данном случае даже компактного подмногообразия — края дЛ14-8 многообразия с краем Л*-8). * Поэтому

Я^Л^8, Л*4-8)-Я* (Dp-, dDp-).

Справа стоят гомологии пространства Тома отрицательного расслоения р*В. Изоморфизм Тома дает:

НД№ Х^-Н^ВУ

Наконец, так как Н* (Лх+е, Лх) = 0 и Яф (Л*-, Дх-8) = 0, то из точной гомологической последовательности троек (Лх+е, Лх, А4-) и (Ли, Д’4-, Д’4-8) получаем утверждение следствия (при нашем соглашении о коэффициентах).

А Особо надо рассмотреть тот случай, когда В = О (2). с, р- не- ориентируемо и группа коэффициентов есть Z. В этом случае неориентируемы оба расслоения p-|S.c и p-|S.6.c (6 —то же, что в § 2.2), ибо Тб осуществляет изоморфизм между ними. Таким образом, все сводится к утверждению о гомологиях пространства Тома неориентируемого расслоения над S, которое легко доказывается с помощью подходящего клеточного разбиения, имеющего 3 клетки: 0-мерную, ^-мерную и (£ +1)-мерную. * □

Следствием 2.4.10 и 2.4.11 являются обобщенные неравенства Морса.

Теорема. Пусть числа х0, Xi, х0<Хх, не являются критическими значениями функции Е. Предположим, что для всех лежащих в интервале [х0, Хх] критических значений х критическое множество Е~1 (х) П СгА разлагается в невырожденные О (2)-инвариантные критические подмногообразия В с индексом k(B). Обозначим через bi 1-е число Бетти для ^-коэффициентов.

Утверждение. При всех т^О тт

z=oв z=o

и, следовательно, bm^. A^S^^B). в Здесь суммы в правых частях берутся по всем невырожденным критическим подмногообразиям, на которых функция Е принимает значения, лежащие в интервале [х0, Xi}. При достаточно больших т неравенства превращаются в равенства.

Доказательство. Если интервал {х0, Их] содержит только одно критическое значение, скажем х, то теорема немедленно следует из 2.4.11, так как в этом случае Я*(АХ>, Ах^ = H*1_AZ, Л*-).

Пусть теперь на интервале [х0, хх] лежат ровно два критических значения, скажем х и х', х<х'. Докажем теорему в этом предположении. Общий случай можно доказать с помощью индукции по числу критических значений.

Из точной гомологической последовательности тройки (ЛХ1, Л*1/2, Лх»), гдех0<х<Х1/2<х'<хх, и из равенств Н*^Нх» ЛХ1/2) = = Я*(ЛХ', Лх'~) и Н*^х,й, Л*^ = Ндкн, Л10-) получаем (") 2(—l)m-zbz(Ax*, Лх»)^ 2(—l)m-zMAx', Лх'-) + z=oz=o

т

+ S (-V^b^A*, лх"), z=o

причем это неравенство становится равенством, если т^ ^шах{/; в этой формуле хоть одно fez#=0}.

Теперь для окончания доказательства теоремы остается применить 2.4.11. □

2.5. Комплекс Морса

В этом параграфе мы приведем важное уточнение обычной теории Морса, развитой в § 2.4 для (АМ, (•, )х, Е). Оно отно сится к тому случаю, когда выполняется условие, что все замкнутые геодезические на М невырожденны, т. е. критические орбиты S . с, Е(с)> 0, являются невырожденными критическими

подмногообразиями. Кажется весьма правдоподобным, однако, что требуется лишь предположение, что критическое множество в АМ разлагается на невырожденные критические подмногообразия. Это заведомо так, если М — симметрическое пространство; мы покажем это в том частном случае, когда М — сфера со стандартной метрикой.

Основными новыми элементами теории являются неустойчивые и локальные устойчивые многообразия (34) критической S-орбиты. При каждом и>0 замыкание неустойчивых многообразий в ЛХЛ4 определяет комплекс Морса dt^M (8В). Он является каноническим конечномерным представлением многообразия ЛХЛ4 в том смысле, что ЛКМ допускает ретракцию на <^ХЛ1. Комплекс Морса инвариантен относительно действия % группы S и действия 6 группы Zg, а также относительно действия, индуцированного группой изометрий многообразия М. Наиболее важно то, что векторное поле grad Е касается ^М и поле grad Е | ^М. полно (т. е. траектория <psc при се®^хМ определена для всех s).

Мы закончим этот параграф детальным изучением комплекса Мерса для AS”.

Пусть с — невырожденная замкнутая геодезическая кратности т. Тогда

ZH->zi/m с> где ZGs, а z1,m .сеЛМ, является вложением окружности как невырожденного критического многообразия S. с в смысле §2.4. Пусть

p = p(S.c): N = N(S.c')-*S

— нормальное расслоение этого подмногообразия. Оно разлагается на положительное и отрицательное подрасслоения, р = р+фц-, ^- = ^±(5 . с): N-^N-^S .c^-*S.

Напомним, что в § 2.4 было показано, что действие х группы S на ЛИ индуцирует действия S на ц, р^, которые согласованы с разложением*'. Кроме того, отображение 9: ЛЛ4->-ЛМ определяет каноническое отождествление р (S . с) с р (S. 9с).

Пусть Е | S . с = х и ind с = к.

Теорема. Пусть с — невырожденная замкнутая геодезическая. Тогда существуют вложения**''

Wu = WAS.cY (N-(S.cY S^^M, S.c),

Ws — Ws(S.c): (N+(S.c), S^AM-A^M, S.c),

*' При наших соглашениях при т>1 действие S на базе этих расслоений отличается от обычного действия 5 на себе: действие элемента г е 8 на 8, рассматриваемой как база,—это прежнее действие гт на 8.

”| Здесь и далее 8 при необходимости рассматрива :тся как нулевое сечение соответствующего расслоения.

обладающие следующими свойствами:

(i) Wu и И7^ коммутируют с действиями S и Zz;

(И)Т^„|У;: Нг-*Т;х1тДМ и TWs\Nt; №^Т*МтДМ (в этой записи векторные пространства Nr отождествляются со своими касательными пространствами в нуле) суть линейные изоморфизмы, совпадающие с каноническими отождествлениями; ' (iii) положим Wn\Nz = Wun^z ,с) и W4\Nt = W м(г .с). Элементы с*, принадлежащие образу Wull(z',m. с), характеризуются тем, что lim ф^с* = г1/т . с; элементы с*, принадлежащие образу

Wss(zl,m. с), характеризуются тем, что Итф5с* =г1/т. с. .s—*со

Мы называем №и (8 . с) и №и„ (с) соответственно неустойчивым и сильно неустойчивым многообразиями орбиты S . с и точки с**'*. Аналогично, Ws (S. с) и Ц7М (с) называются соответственно устойчивым и сильно устойчивым многообразиями 8. с и с' (36).

Замечание, г. W „„ (с) = Wnu (zl/m .с), z. Wss (с) = №м (z'/m . с), е^иа (с) = w„„ (ес), ewss (с) =(бс).

Доказательство, (а) Так же, как в § 2.4, мы с помощью экспоненциального отображения отождествляем тотальное пространство D = D(S.c) расслоения на достаточно малые шары, ассоциированного с p(S.c), с трубчатой окрестностью орбиты (S. с). В 1.4.13 мы определили эквивариантное векторное поле и на ЛЛ1, которое =# 0 вне А?Л1 (ибо о =# 0 вне А°М) и ортогонально полю grad Е. Кроме того, и = — дс, если с — критическая точка функции Е..

Следовательно, в базисной точке z поле и касается S. с и ортогонально слою Dz расслоения D над точкой z. Поэтому если

выбрать диаметр расслоения D достаточно малым, то и будет трансверсально слоям расслоения D всюду.

Будем называть горизонтальным пространством ТД в точке |eOz(S .с) одномерное подпространство касательного пространства T^D, порожденное и(^. Мы получаем разложение

T^D = T^N ф T^N ф T^N, где T^N — подпространства вертикального пространства (= касательного пространства к слою в точке |), которые параллельны соответственно N^ (здесь г = р (£) и подразумевается отождествление ТД2 с N z\

Вместе с тем мы воспользуемся векторным полем и для введения в D локальных координат возле точки г0 ^ S с D (z0 — единица группы S), отождествляя окрестность точки г0 в D с окрестностью начала в NZo фР ф NZo. (Точка (5-, |0,1+) отождествляется с первым пересечением исходящей из £- + |+ траектории поля и с Nz^m .с, г = е2Я1^°.)

Так как (gradE, м)1 = 0, то gradE® в точке £ = (|_, |0. ?+) е ЕМ^фКфМ^ с достаточно малыми |£-h, |Ы1 имеет вид gradE = ^-.g_ + C-(|), C^Y А^+С^еТ^фТ^фТр». Здесь А+ = АТ^/т.Д, где Л:= Аг-С: Тг.сЛ-*ТгсЛ — самосопряженный оператор, соответствующий D^E^z.cY см. 2.4.2. Таким образом. А- — самосопряженный оператор в ^-мерном пространстве, собственные значения которого строго отрицательны, а Л+ — положительно определенный оператор в настоящем гильбертовом пространстве.

А Заметим, что существует такое а>0, что

I1 etA~ |'1 < е~а< и jc-M+H1^e-<,z(/^0)

(здесь используется самосопряженность А- и Д+). Выберем Ь, удовлетворяющее условиям 0 < b < а < 2Ь. Положим е: = (а — д)/6. Выберем б>0 столь малым, чтобы при HiS<6, |&|<6 было

(О II С* (|) II, < в (|| L h +1| ^ М, f С* (|) - С* (Г) Hi < 81| | - £ L

где £ обозначает (|_, |0, ?+)> а индекс * принимает значения из множества {—, 0, +}.

(Ь) В этом и следующем пунктах мы докажем, что каждая траектория фДс*) либо со временем выходит из некоторой малой r-окрестности кривой S. с, либо стремится к некоторой точке z. с этой кривой, причем будет дана оценка скорости этого стремления.

Пусть <р$ (с*) принадлежит достаточно малой r-окрестности S . с при всех s^O. Убедимся сначала, что тогда при всех s^O

(ii)(ii)^фЛс*)Ц1^2Н1--Р)фДс*)||1^фЛс*)Ц1^2Н1--Р)фДс*)||1

(ii)

(ii)

^фЛс*)Ц1^2Н1--Р)фДс*)||1

^фЛс*)Ц1^2Н1--Р)фДс*)||1

(в связи с такой записью напомним, что некоторая трубчатая окрестность S .с у нас отождествлена с £)).

Предположим, что Ц-Рф5о (с*) ||х< 2 Ц (1 — .Р) ф5о (с*) ||г. Пусть Ф^(с*) е Nz.c. Вместо того чтобы вести рассмотрение в окрестности точки г. с, удобнее, пользуясь эквивариантностью, перейти к траектории гг1. ф^ (с*) = ф, (2г1. с*), s^s0. Для нее «начальная точка» ф$0 (z-1. с*) е Nz„, и можно пользоваться введенными выше координатами в окрестности точки z0. Пусть в этих координатах наша траектория, пока она лежит в 6-окрестности г0, имеет вид

фДг-1.С*) = и5) = (^(5)- М, М®))-

При s — s0 выполняется неравенство

(iii) _l^(s)li>V2^+(s)L Ro(s)h

(ведь на NZo координаты В-» В+ совпадают с (1 — Р) В и РЕ, а Во = 0). Тогда по непрерывности (iii) имеет место на некотором интервале вида [so, sj. Но пока оно выполняется,

А11_ ($) В = 2 (В- (s), - Л-В- (S) - С- (В ($))>! ^

^2aJB-(s)H-2e|B-(s)hU(s)h>

> (2а — 8е) i_ (s)K > Vs« 1-(s) ||Г

(ибо ЦВШ^Н-ШЖМ^ + Н^и 2a-8e^

2а 2а - 4/3 (а - Ь) = г/3а + 4/3Ь > 2/за+г/за);.

А | в+ (S) |? = 2 (В+ (S), - л+в+ (S) - С* (В ($))>! ^

^-2а || В+(s) ||? + 2е || В+(s) Hi И (s) h ^

^ (_2а + 2е) | В+ (s) |? + 8в || В- (s) |? <

<8ejB-(s)|?<4/3a||B-(s)||[.

Стало быть, |B-(sHi на [s0, sj растет быстрее, чем |Bo(s)b а || В-(s) ||1 — быстрее, чем ||B+(s)|? (и тем более чем P/2?+(s)||i), а неравенство (iii) выполняется и при s = st тоже, если только при s = sj траектория не выходит из 6-окрестности точки с. Если она не выходит, то получается, что максимальный интервал, на котором выполняется (iii), должен быть одновременно и открытым справа, и замкнутым, т. е. он совпадает с полуосью ssasg. Но тогда из тех же оценок видно, что со временем фДг^с*) все- таки выйдет из 6-окрестности с.

Итак, || В (si) ||1 = 6. По непрерывности при s = Si выполняется (iii), по крайней мере с заменой строгого неравенства на нестрогое; поэтому Ц В-($i) Hi 5= 2АД При достаточно малом г отсюда следует, что ф$ (z-1. с*) выходит из r-окрестности S. с, что противоречит сделанному предположению.

Мы видим, что (И) выполняется при всех s^O. Перейдя, если потребуется, к некоторой фДг~1.с*), можем считать, что c*&Nia. Докажем, что ф$(с*) не покидает 6-окрестности г0 при 8^0 и стремится при з->оо к некоторой точке кривой S .с.

Во всяком случае, некоторое время ф$ (с*) лежит в этой окрестности и потому представляется в виде (g-(s), g0(s), ^+ (s)), причем (iv)U+(s)k>IIMs)k

(мы вправе считать, что если ЦР^э^Щ! — Р)Е||Ъ то ^+fi> >!6-|i). Используя (iv) и (i), находим, что

4 II (s) II? = 2 <g+ (s), - ЛЧ+ (S) - С+ (6 (s)»i <

< -2а 1 ^ (з) ||? + 2е fl g+ (s) k (|| ^_ (s) к +[ g+ (s) к) :

< (_2й + 4е) | g+ (s) к2 < —2Ь | g+ (s) I?.

Значит,

(v)H+(s)k<R+(0)ke-6s.

Далее,

14 ^ (S) I = • С° (g ($)) 11 ^ е 06- (’) 11 + Н+ (S) к) < 28 || g+ (8) к,

а поскольку go (0) = О, то

(vi)1 go (s) к < $ 2е 16+ (0) Ik <r»° da <

о

^(2e/b)Bg+(0)k<1/3||g+(0)k

(ведь 8 < (a — 6)/6 < 6/6). Если г достаточно мало (скажем г< <6/10), то из (iv) —(vi) следует, что фДс*), во-первых, не выходит из 6-окрестности г0 и, во-вторых, стремится к некоторой точке г. с (т. е. gh(s) и g_(s)->0 и существует lira g0(s) = g0(co)).

Стремление происходит с экспоненциальной скоростью и показатель экспоненты не меньше, чем 6: для ^+ и g_ это ясно, а

(v ii) || g0 (s) - go (co) k < Г 281| g+ (0) k e~w da <

< (28/6) fl g+ (0) Ik ^ < II £+ (0) 11 e-b\

В (b) мы фактически не использовали того, что ф^* не выходит из r-окрестности S. с; именно, в (Ь) и (с) доказано следующее утверждение, несколько более сильное, чем требовалось.

Пусть с* е Nz-C f] (r-окрестность S . с) и [0, si[ — максимальный интервал полуоси з^О, на котором ф^-* принадлежит 6-окрестности г. с. Если при всех se[0, s^ выполняется (ii), то Si = oo и существует Ншф^* е S. с, причем стремление к пределу про- s-*co

исходит с экспоненциальной скоростью (см. (v), (iv), (vii)).

Если заменить (И) условием

I Рч>з (с*) Hi ^ 11| (1 - Р) ч>5 (с*) К

с каким-нибудь фиксированным />0, то предыдущее утверждение останется в силе, только при этом может понадобиться уменьшить 6 (с тем чтобы достичь надлежащей малости е) и г. С другой стороны, поскольку**

£®=х+1/1Ж g+>1+1/2<^-, ^Х+оСНЮ.

то при достаточно малом 6 из того, что lirn£(<psc*)^x, следует, что для всех тех s, при которых <р$ (с*) е (6-окрестность S.c), выполняется (viii) с некоторым />0. Сопоставляя сказанное, заключаем, что если с* достаточно близко к S. с, то траектория cpsc* со временем либо входит в А*-, либо стремится к некоторой точке г, се S , с, причем в последнем случае

dA (<PjC*, z. с) < 5e~sbPc*,

если только с* eD. *

(е) Теперь рассмотрим при фиксированных |+ е N,,, |0 е R (с достаточно малым HS+Hi + l £о|; требуемая степень малости будет уточнена далее) следующее интегральное уравнение (в котором s^O):

u (s, g+, |0) = (u_(s; ^, |0), Uo(s; S+. So). «+(s; S+, So)) =

= i\eU-^A-.C-^u(t-, S+, So)M So + f C4u<t; S+, So))^, \ss

0\

e-^.^ + ^e-^-o^.C^u^; |+, I»)) dO).

Предположим на минуту, что у нас (уже) есть решение уравнения (х) с экспоненциально убывающими и+, и_. Тогда

du(s; |+, |0)/ds = — grad £ (u (s; |+, |0)),

и (0; |+, |0) = e-tA" . С- (и (0 |+, |0)) dt,

\ о

lo + fce(H(/; |+, ^dt,

о/

и limu(s; S+, So) = (0. £о, 0), причем стремление происходит с экспоненциальной скоростью. Иными словами, и (s; |+, |_) описывает в терминах используемых координат положительную полутраекторию поля —grad£ в АМ, которая при s-^oo стре-

*' Здесь ^+ = Р^, |_ = (1— Р) | (а не координаты, введенные возле z0).

мится к е2я^»/т. с. Обратно, любая такая полутраектория, целиком лежащая в малой окрестности 20, описывается некоторым решением и (s; g+, g0) с экспоненциально убывающими и±.

Чтобы доказать существование решения уравнения (х), мы обобщим доказательство существования устойчивых многообразий, приведенное у Коддингтона и Левинсона [1]. Используем итерации, которые мы начнем с и°У; g+, Во) = (0, Во» 0)- Мы утверждаем, что

hn+1(si В+, go)-«"(s; g+, go) Hi ^ IIВ+Hi 2-”е-^,

где через uk(s; g+, g0) обозначена ^-я итерация. Отсюда, очевидно, будет следовать существование решения u(s; g+, g0) = lim u”(s; g+, g0), удовлетворяющего условию

||u(s; g+, go) — (0, go, 0)|x^2Jg+Ji^.

Чтобы доказать (xii), заметим, что это неравенство верно при и = 0, так как

u4s; В+, Во) = (0, go, e-^+.g+).

При п>0 из (i) и предположения индукции получаем

|1 u2 + * — u"lli<$ e-(#-s>ae||g+!'i2-("-|)e-<6df<

< в || g+ 1'х 2-<" - П^» (д + b)-i < ^+ ^ ^е-^/З.

Здесь мы воспользовались тем, что в (а + by1 = (а — Ь) (а + Ьуг/6 < <1/6.

Аналогично

-(а - WI Е,Ji 2-"e-'t/3(> < g. |, г^г-МЗ

(в последнем неравенстве используем, что (а —Ь)/Ь<1) и

ц и£+1 — u” ^ < ^ е-(»-о« 8 J g+ ^ 2-(”-d^» dt <

6

< в || g+ ||х 2" i”-1)^0 (e5— 1 )/(a — Z>) <

<Jg+|12-«^/3.

A Выполняя эти оценки, мы считаем, что ||un||1, ||u”-1||1<6. Из u° = 0 и предположения индукции следует, что для ||u"!lt || u"—1 Hi выполняется такое же неравенство, как (xiii). Поэтому приводимые ниже рассуждения годятся для тех g+, g0, для которых 21| g+1| + | Bol <6.

(f) Уменьшив, если понадобится, 6, будем считать, что и(з; £+, Ео) определено при Н^+^Сб, |ё0<6. Определим локальное сильно устойчивое многообразие V*°c(z.c) точки (г.с), где Z = e2ni8o/m и |^0|<;6, как

{u(0; U Ы; IIUi<6}..

Покажем, что если положительная полутраектория <psc*-*z.c, то эта полутраектория начиная с некоторого момента лежит на Vs°c(z.c). Заменив с* на некоторое <pSoc*, можем считать, что полутраектория ф^с* целиком лежит в той окрестности точки с, где введены координаты (£_, £0, D и где | g01<6, |ё+|1<6. В терминах этих локальных координат tp^c* представляется как некоторое ^(s). Из (ix) следует, что £(s) удовлетворяет оценке вида (xiii), но только, быть может, с некоторым дополнительным множителем К (скажем, /< = 10) в правой части. Как уже отмечалось, тогда g (s) удовлетворяет системе интегральных уравнений (х) с ^+ = ^+(0). (Для компонент |0 и L это очевидно, а

(s) = е-u-®) л-. £_ (о) - ^-(^) а- . с- (6 (0) dt, .а

и, положив о —> оо, получим нужное интегральное уравнение для ^--компоненты.) Сравним ^(s) и построенное выше решение u(s; £+, £0) с ^+ = ^+(0), £о = М°°)- Поскольку они оба стремятся к (0, to, 0) как е-ь$, то

m:= sup esbtu(s; g+, У - g(s) h <oo.

0^s<oo

Вычитая уравнения для u и g и используя (i), получаем, что компоненты разности и —£ оцениваются через интегралы

S

ФМ1; ^, SoWm^, 8^-^)»||M(i; ^, ^-^^^dt. sб

Подставляя сюда получающуюся из (xiv) оценку | и (s; &., £0) — — g (s) Hi ^ те^ь и вычисляя соответствующие интегралы, умноженные на esb, получаем, что

^||u(s; U Ы-^к^ь + т +^Д-е-^ь>^т/2.

Отсюда т^т/2 и т = 0.

Положим теперь

VSi(z. с) := {с*; <CsC*-»-z.c при s-^-oo}.

Очевидно, что если tpsc*->c, то z. ф5с* -*■z . с, и обратно. Поэтому z • Vw(c) = V $Лг • =Y Когда z достаточно близко к г0 (так что определены У'Г (г . с)), то VM (г. с) ^> V*” (г. с) и Vss (z. с) совпадает с Vs°c(z.c) в некоторой окрестности точки г. с. Можно также сказать, что VM(z.c) получается продолжением У$°с(г.с) с помощью отрицательных полутраекторий ф^*, с* е У*” (z. с), s^O. Некоторые осложнения вызывает тот факт, что эти полутраектории могут не быть определенными для всех s<0 (во всяком случае, обратного мы не доказывали). Поэтому временно заменим поле — grad£ на ~т+|^<П?Г1" Траектории последнего обозначим через ф^*; легко видеть, что они определены для всех s. При этом ф^с* = фг(с*, $)С*, где т(с*, s) := s + £(c*) —£ (ф^*). (Действительно, dr (с*, s)/ds= 1 -И grad Е (ф$с*)|11.) Как мы знаем, если максимальный интервал существования ф^с* есть ]—а(с*), оо[ и а(с*)<оо, то Е (ф/?*)->оо при s-»—а (с*). Поэтому отрицательные полутраектории ф^с* и ф^* состоят из одних и тех же точек. Теперь ясно, что

V«(C)= 0 ф^№(с)),л=0

причем ф-лС^^сф-л-^УЙЧ6))- Считая доказанной дифференцируемость u\t\ |+, |о) по (|+, |о) (см. работы, указанные в (м)), заключаем сначала, что У^ (с) и У*ос (с) := [J УЙС ^Д^1"1 . С) — 15о кв

дифференцируемые подмногообразия гильбертова многообразия АМ, а затем, что дифференцируемыми подмногообразиями АМ являются У (с) (значит, и все Ум (г. с)) и

УД5.с):= (J У„(г.с)ze.s

(

ftОО

вместо (J достаточно взять (J гг - U ^-«(к'00^)), где гг, ... zeSt=i n=o

..., Zk — некоторый конечный набор элементов группы S

(g) Докажем, что

ТгсУ$$(г.с^^т = Т:,ДМ.

Ввиду эквивариантности достаточно убедиться в этом при z = z0. В этом случае в координатном представлении Nz,®R®Nz, подпространство |о = 0, |- = 0 совпадает с N£„ = ТсЛМ, поэтому достаточно установить, что

«(0; |+, 0) = (oOI+f1), odll+M, |+).

Из (xiii), (i) и (xi) следует, что

|u_(0; ^ OJIlj^^l^L |uo(O; U 0)I^^.1^+Ь

Но е в (1) может быть сделано сколь угодно малым при достаточно малом 6; тогда (xvi) будет иметь место при условии, что u (s; £+. So) не выходит из области | £ ^ < 6. Последнее, как мы знаем, гарантировано, если 21| g+|г-4-1 ^о I < 6» т. е. в нашем случае ||£+Hi<6/2. Поэтому |и+||1 и |м01 суть o(||S+lli)-

Из (xv) следует, что 1/„ (г. с) и Vs (S . с) локально (в некоторой окрестности S. с) можно представить как образы отображений Ц7М (z. с) и Ws (S . с) с надлежащими свойствами. После этого можно с помощью потока ^ продолжить эти отображения до отображений, образы которых уже целиком дают Уи (z. с) и Vs(S.c) (при этом надо специально позаботиться о гладкости). Подробности предоставляются читателю.

(h) Построение неустойчивых многообразий производится совершенно аналогично. Ограничимся тем, что укажем соответствующие интегральные уравнения, определяющие при достаточно малых

||х и | So I некоторые у (s; S-, So) с s < 0. Эти уравнения имеют вид

n(s; S-, So) = (Ms; 6-, So), Ms; S-, So), v+(s; S-, So)) =Цег^-а- .С-куЦ\ S-, ^dt,

\о

So- $ C°(v(h S-, ^>W - $ е«-«>^.С+(о(/; S—So» ^Л — ОО— ОО/

Их решения n(s; $_, So) являются координатными представлениями траекторий tpM, стремящихся к точке е^«1т.с при s—> — оо с определенной экспоненциальной скоростью. Дополнительно доказывается, что любая отрицательная полутраектория tp^c* с убыванием s либо выходит из малой окрестности кривой S . с, либо стремится к некоторой точке этой кривой с экспоненциальной скоростью. (При этом не возникает никаких осложнений из-за того, что отрицательная полутраектория может не быть определена при всех s<0, ибо для такой полутраектории £(<р^с*)->оо, так что она выходит из малой окрестности кривой S. с. А в другом месте доказательства — при продолжении локальных многообразий с помощью положительных полутраекторий — теперь возникает даже небольшое упрощение, ибо положительные полутраектории определены при всех s>0.) ▲ □

Замечание. Одним из следствий теоремы 2.5.1 является такое утверждение. Если среди предельных точек траектории ср^*, s^=0,

имеется невырожденная замкнутая геодезическая с, то lim <р^с*=с.

Это уже было доказано Элиассоном [4].

Теперь предположим, что все замкнутые геодезические многообразия М невырожденны. Тогда у каждой критической орбиты S .с, £ (с) = х > О, есть неустойчивое многообразие

Wu (S . с): (N- (S . с), S) -> (Л^М, S . с),

где N~ (S . с) — тотальное пространство fe-мерного векторного расслоения над S.

Из § 2.4 мы уже знаем, что если х — критический уровень, а 8>0 достаточно мало, то Л^М получается из Л^М приклеиванием отрицательного расслоения над каждой из критических орбит S ,с;, S. 6с/, 1 ^ /^ к.

Теперь мы разовьем это подробнее в несколько других терминах, вводя при х* ^0 комплекс Морса ^V'M многообразия ХМ. Он является замыканием неустойчивых многообразий Wn (S. с) тех критических орбит 8. с, для которых Е (с)^х*.

е^°М совпадает с М, ибо, когда Е (с) = 0, Wn (S .с) = с. Если х0 — наименьшее положительное критическое значение, то о^М состоит из многообразия М, к которому приклеено конечное число пар (S .Со) и № (S. 0со) расслоений на диски вместе со своими краями; приклеиваемые Wu соответствуют тем с0, для которых Е (с0) = х0. В случае когда ind с0 = 0, Wu (8 ,с0) = 8. с0; таким образом, е^М может и не быть связным, даже если ХМ связно. То же верно для tift^M при любом х.

Вообще, если х' — положительное критическое значение, то ^'М получается из ^М, где х <х'— максимальное критическое значение <х', приклеиванием конечного числа таких расслоений на диски Wn (S . с') и WU^S . 6с'), для которых Е | S . с* U US.0c'=x'. При произзольном х* принимаем, что <^Х*М по определению равно ^М, где х —наибольшее критическое значение ^х*.

Объединение всех ^"М, х*-»-оо, называется также полным комплексом Морса е^М многообразия ХМ.

Лемма. Комплекс Морса ^М содержит только полные ^-траектории ф$с*. seR. Для этих траекторий корректно определены предельные точки <рюс* и<р_ооС*. Эти точки являются критическими точками и также принадлежат ^М. Таким образом, на ^М определено действие R:

RX®^HM—>-е^хЛ4, (S, С*)н-*ф^*.

Кроме того, <^ХМ замкнут как относительно S-действия х группы S и действия 0 группы Za, так и относительно действия, индуцированного группой изометрий многообразия М.

Доказательство непосредственно следует из приведенных выше определений и конструкций, которые все эквивариантны. □

Предыдущие рассуждения применимы только к тем многообразиям М, у которых все замкнутые геодезические невырожденны. Однако есть интересные примеры, для которых это предположение не выполнено; в частности, таковы неприводимые симметрические пространства. Циллер [1] показал, что для такого многообразия М критическое множество в ЛМ разлагается на невырожденные критические подмногообразия.

Здесь мы рассмотрим только сферу S” со стандартной метрикой постоянной кривизны, равной 1. Гомологии пространства AS” изучались многими авторами; см., в частности, Морс [2], Илле [1], Шварц А. С. [1], Элиассон [2].

Предложение. Критическое множество CrASn разлагается на невырожденные критические подмногообразия A°S”^S" и Bq = BqSn, которые состоят из q раз пройденных больших кругов, q=\, 2, .... Многообразие Bq изоморфно многообразию Штифеля V (2, п — 1), состоящему из ортогональных 2-реперов в R"+1. Отсюда, в частности, следует, что dim Bq = 2n—\, Е \Bq = 2nV и indBq — (2q — 1)(и— 1).

Доказательство. Пусть сеВ, или, что то же самое, | с | = 2л^. Воспользовавшись специальным видом тензора кривизны на S”, получим *>

К<Л1Ш = КШ, Ь^, с(0) =

= -Ш l(t)yC(t) + {c(t), c(t)^(t)^

Поэтому (^c+l)^^:0 при ^=#0 (если E и с всюду линейно зависимы, то Ac (£) = 0 и (Ac + 1) £ = £ ¥= 0; в противном случае ненулевое слагаемое (4л2д2+1) ^ в выражении для (Ас+1)£ не может сократиться). Ввиду 2.4.4 это означает, что Х=1 не является собственным значением оператора Лс. Тогда уравнение для собственных векторов из 2.4.4 можно переписать в виде

(*) V^ + ^^? + ct <с, 1)с = 0.

Разложив 6 на две компоненты — касательную к с, которую можно записать в виде ^(^)=а(0с(0, и ортогональную к с «вертикальную» компоненту £ (/) I с (/), мы видим, что (*) распа

*’ См., например, Громол, Клингенберг, Мейер [1], § 3.6, (24) (а также § 3.7, 3.8).

дается на отдельные уравнения для этих компонент:

(кас.)а (0 + Ха (/)/(! — X) = О,

(верт.)V^ + (4 л V + X) £/( 1 - X) = 0.

А Заметим, что если рассматривать S" как стандартную сферу в R"4"1, то во всех точках большого круга сф подпространства касательного пространства TcWSn, ортогональные к с(0 (т. е. состоящие из вертикальных векторов), будут параллельны друг другу в смысле обычного параллелизма в Rn+1. Поэтому для вертикальных векторов параллельное перенесение вдоль с совпадает с обычным параллельным перенесением в Rn+1. Из любого касательного к S" вектора ?о±с(0) при параллельном перенесении вдоль с получается периодическое векторное поле вдоль с (тогда как в общем случае после параллельного перенесения вдоль замкнутой кривой вектор не обязан возвращаться в исходное положение), которое мы будем обозначать тем же символом ?Р. *

При Х<0 уравнение (кас.) не имеет периодических решений. Уравнение (верт.) имеет нетривиальные решения, если

Х=4л2(р2 —<?2)/(1+ 4л2р2), р = 0, 1,...,р—1.

При р = 0 (верт.) сводится к V2g = 0, поэтому решениями являются ВЮ = Во» FoJ_c. При 0<р<р решениями будут 6(0 = = ?0 cos 2лр/+ ?i sin2np0 где Ео, Bi±c. Поэтому размерность пространства Т; Л8п в точке с е В5 равна

(n—1) + (р—l)2(n—1) = (2р—l)(n —1).

В случае Х = 0 (кас.) имеет решение 0 = 0®, а (верт.) имеет решение

6 (0 = Во cos 2nqt + £х sin 2nqt,

где lo> Bi I с. Следовательно, дефект Bg = 2n— 1 = dimB9, т. e. Bg невырожденно. □

Теперь нетрудно определить 2$-гомологии пространства AS"; см. Клингенберг [4].

Теорема. Пусть и >2. Тогда гомоморфизм вложения в Х^-гомологиях

I*: H„(A2^'Sn, A^-t-H^A^S", A°S”)

инъективен. Следовательно,

H^(AS\ A°S") = фп-1)).

Замечание. Циллер [1] доказал соответствующую теорему для произвольного глобального симметрического пространства. Мы

ограничимся случаем га 5 4; случаи га = 2 и п = 3 требуют отдельного рассмотрения; см. Шварц А. С. [1], Элиассон [2] и Клейн [1].

Доказательство. Мы утверждаем, что ни один из циклов пространства A^w-S” ие исчезает при приклеивании отрицательного расслоения ц, над Bq. Иными словами, в точной гомологической последовательности тройки (Д2»1"^”, x^q^S11, x?Sn^ связывающий гомоморфизм'

(*)Н^А^В", A?4^-Sn^ H^^q^-sn, \»s^

тривиален при всех к.

Для того чтобы в этом убедиться, заметим прежде всего, что 22-гомологии многообразия У (2, п— 1) = Вд отличны от нуля лишь в размерностях 0, га —1, п и 2га —1, в каждой из которых ЯДУ (2,-га —1); Z2) = Z2. Это сразу следует из точной последовательности Гизина (см. Милнор, Сташеф [1]) расслоения

У (2, га —1)->-5” со слоем S”-1 (2-репер (alf a2)i-^-a1), если написать ее для когомологий и заметить, что у данного расслоения классы Штифеля— Уитни равны нулю (ведь оно ассоциировано с касательным расслоением сферы) и оттого в последовательности Гизина отображение, получающееся при умножении на га-й класс Штифеля— Уитни, тривиально.

Относительные гомологии Я* (Л2‘'2л25л, A2«2n!-s»; 2а) совпадают с относительными гомологиями пространства Тома отрицательного расслоения ц, над Bq по модулю базисной точки (см. 2.4.11). Размерность слоя pj равна (2q — 1) (га — 1). Можно предполагать по индукции, что

НДА^-S», A°S”) = ф Я#-(29,-1)(л-1)(У (2, га-1)).

q'<q

Допустим, что связывающий гомоморфизм (*) нетривиален. В левой части (*) ненулевые группы стоят лишь при ^ = (2^—1) х Х(га—1) + /, где / = О, га—1, п, 2га — 1, а в правой части —когда к — 1 имеет вид (2^' — 1) (га— l) + i, где q* <q и i = О, га—1, п, 2га—1. Итак,

(2g—1) (га —1) + /—1 =(2g'— 1) (га—l) + t,

т. е. 2(q — q')(n — 1) + / = » + 1. Тогда i+ 1 ^/+2(га — 1)5= 2п — 2; при га>3 это >«4-1, так что для I возможно только значение 2га—1. Значит, 2 (q—q‘) (п — 1) + / = 2п. При q — q*>\ это невозможно. Значит, q — q' = \ и / = 2. Но при га>3 среди допустимых для / значений нет 2.

Теорема доказана. □

Для построения комплекса Морса многообразия AS” рассмотрим каноническое вложение i^ Bq с-*. А8п критического подмногообразия Bq. Оно индуцирует нормальное расслоение над Bq;

Нг = И k^qY N (Bq) -*■ Bq.

Разложение слоя Ne (Bq) над cq на положительное и отрицательное подпространства Nc (Bq) и Nc (Bq) определяет подрасслоения

р±=р±(В9): №(Bq)-^Bq.

Здесь размерность слоя расслоения р~(В9) равна индексу Bq, т. е. (2g—l)(n—1), в то время как слой расслоения р+(В9)— настоящее гильбертово пространство.

Напомним, что Bq изоморфно многообразию Штифеля V (2, п — 1) = 80 (п+1)/80 (п — 1). Изометрическое действие группы SO(n-|-l) на S” определяет изометрическое действие 80 (п + 1) на AS”, оставляющее функцию Е инвариантной. Это следует из того, что определения многообразия АМ, римановой метрики на нем и функции Е являются внутренними.

В частности, расслоения р(В9) и ^(В,) переходят в себя под действием группы SO(n+l).

Мы воспользуемся этим для доказательства того, что у каждого невырожденного критического подмногообразия Вд есть устойчивое и неустойчивое многообразия^ Положим Е | Bq = = 2л2д2 = х (д).

Теорема. При каждом д=1, 2,... существуют инъек' тивные иммерсии *•

^ДВдУ. (N~(Bq), Bq)->(A^\ Bq),

W,(BqY (N*(Bq), BJ-^A-A^)-, B9), обладающие следующими свойствами1.

иммерсии эквивариантны как по отношению к 8-действию X и ^-действию 6, так и по отношению к 80 (п+^-действию1, (и) ограничения иммерсий на базу, т. е. на многообразие Bq, являются каноническими вложениями1,

при Cg^Bq дифференциал TWB (В9) (cq) | Ncq (Bq) является каноническим отображением пространства No (Bq) на подпространство TCqASn, порожденное собственными векторами индексной формы D^E (cq), отвечающими отрицательным собственным значениям. Соответствующее утверждение верно также и для TWABq) (cq)\№q(BqY,

*’ На самом деле даже вложения.

элементы с*, принадлежащие образу WU(B9'), характеризуются тем, что Нт ^$с*гВ9, а элементы с*, принадлежащие

$-* — ОО

образу (В9), характеризуются тем, что Нт ф^с* г В9. В обоих случаях если Пт ф,с* —с9, то с* принадлежит образу ограничения соответствующего отображения на N+ (В9).

Замечание. Мы назовем Ws(Bq) и WU(B9) соответственно устойчивым и неустойчивым многообразиями невырожденного критического подмногообразия В9, а

WM (с?): = W, (В9) । N^q (В9) и WHB (с9) г = IFB (В,) | N"Cq (В9)

соответственно сильно устойчивым и сильно неустойчивым многообразиями ТОЧКИ Cq е Bq.

Доказательство **. Пусть 6г: D (В9) -+В9 — расслоение на диски над В9, соответствующее расслоению р.9. Если диски достаточно малы, то с помощью экспоненциального отображения мы можем отождествить D (В9) с трубчатой окрестностью многообразия В9 в АМ. Это отождествление определяет на 0(5?) риманову метрику (•, • )ъ функцию Е и соответствующее градиентное векторное поле gradЕ.'

Группа SO (п 4-1) переводит векторное поле grad В в себя. В частности, группа изотропии SO(n — 1) точки с9 базы В9 оставляет инвариантным лежащий над этой точкой слой DCq расслоения D (В9). Так как SO («4- 1) действует на Вр транзитивно, то касательное пространство орбиты группы SO (п 4-1), проходящей через точку ^eDCq, трансверсально к T^DCq^NCq.

Следовательно, касательное пространство 7\S0 (п 4-1) орбиты группы SO (п 4-1), проходящей через точку £ е DCq, содержит «горизонтальное» подпространство T^N (В9), которое дополнительно «вертикальному» пространству TtDCq^Nc. Фиксируем TIN (В9) так, чтобы оно было ортогонально T^SO («4-1) П T^DCq. Через T^N (В9) обозначим подпространства пространства T^DCq, параллельные N^. Таким образом, мы можем покомпонентно q отождествить

T^D (В9) = T^N (В9) ф TIN (В9) ф TtN (В9)с TcDiB9) = N^(B9)®TcB9®N^Bq),

*■ Здесь приводятся только некоторые моменты доказательства. Поскольку необходимые уточнения в общем аналогичны имеющимся в доказательстве 2.5.1, го восполнение пробелов можно предоставить читателю (см., впрочем, (37)).

где для отождествления T^N (В9) с TCqB9 мы воспользовались проекцией расслоения р(В9).

Мы также используем это разложение для введения локальных координат около с9

Действие SO(n+l) на D(B?) изометрично и сохраняет £. Поэтому grad£ ортогонально T^N ф9У При ^ = 0 пространство T^N (Bq) совпадает с TCqB9. Поэтому grad £ Q) можно представить в виде

grad£® = H-6-+C-(9, С»^, A^ + C*®)^

eN^BQ)®TtB,®N^B,), где'

В =Е N^ (Вд) ф ТСВд © N^ (Вд).

Здесь через А- обозначено ограничение самосопряженного оператора ACq (см. 2.4.2) на Т^АМ N± (В9). Для С* (|), где * е {—, 0, ©}, выполняются соотношения

(*) ||С*(Ш1<еШ11 + «и1), 1|С^)-С*(т<в^-И1, где е>0 может быть сделано произвольно малым, если только Hill и 1Н'1!1 достаточно малы.

Это в точности те же предположения, что и в доказательстве

Поэтому мы можем сделать те же заключения. □

Замечание. Существование устойчивого и неустойчивого многообразий может быть доказано в общей ситуации, а именно для любых невырожденных критических подмногообразий из АМ. Это было показано Дёйстерматом, который воспользовался усовершенствованной техникой Перрона [1]. Результат Дёйстермата не опубликован. Однако имеется его рукопись, которая озаглавлена «Устойчивые многообразия» и датирована августом 1972 г.

Во всяком случае, теперь мы можем определить комплекс Морса <^xSn так же, как и выше, т. е. как замыкание неустойчивых многообразий из AySn.■

Для последующего применения мы включили в этот параграф несколько фактов о пространстве петель (ЙМ, *) компактного риманова многообразия М с базисной точкой * и, в частности, об устойчивых и неустойчивых многообразиях в (й£п, *). Впервые для изучения пространства (ЙЛ4, *) теория гильбертовых многообразий с функцией Е, удовлетворяющей условию (С), была применена Пале [2].

Напомним, что, согласно 2.1.4, в расслоении

у: АМ^М, с >—> с (0) = с (1),

у является дифференцируемой субмерсией (см. также Грове [1]), так что все слои являются дифференцируемыми многообразиями.

Слой (ЙМ, *) над точкой *гМ состоит из /В-отображений с: ([0, 1], {О, 1})->(М, *). Функция Еа = Е\ ЙЛ4 дифференцируема, а критическими точками этой функции являются в точности те геодезические, начало и конец которых находится в точке * и которые параметризованы отрезком [0, 1] («геодезические петли в *»).

На (ЙМ, *) определена каноническая риманова метрика (•, • )х, индуцированная метрикой, имеющейся в ЛА1. Касательное пространство ТС^М в точке с е ЙМ состоит из Яг-векторных полей Ж ^[0, 1], вдоль с, обращающихся в нуль при /=0 и ^=1. Соответствующее градиентное векторное поле grad В а удовлетворяет условию (С).

Пусть с s (Q2H,. *) — критическая точка. Обозначим через Т^ЙМ подпространства касательного пространства ТС£1М, порожденные собственными векторами индексной формы D^EQ (с), отвечающими соответственно положительным и отрицательным собственным значениям. Число dimTcQM всегда конечно; оно называется индексом геодезической с в (ЙМ, *). Геодезическая с как критическая точка в Еа (с) называется невырожденной, если ВгЕй (с) не имеет собственных значений, равных нулю.

Пусть с —замкнутая геодезическая из ЛМ, у которой с(0) = = с(1) = *. Тогда индекс с как критической точки функции Е не меньше индекса с, рассматриваемой как критическая точка функции Ей (”).

В рассматриваемой ситуации можно также определить понятие невырожденного критического подмногообразия из (ЙМ, *). Это такое связное замкнутое подмногообразие В, целиком состоящее из критических точек, что при всех с^В его касательное пространство ТСВ совпадает с ядром формы ВгЕй (с).

В качестве важного примера мы рассмотрим многообразие M = Sn, т. е. сферу постоянной кривизны, равной 1. В (Й8”, *) критическими точками являются, помимо тривиальной геодезической с = *, q раз повторенные большие круги, проходящие через точку *, ^=1, 2Индекс q раз повторенного большого круга, рассматриваемого как критическая точка в (Й8", *), равен (2<7-1)(п-1) (39).

Каноническое изометрическое действие группы SO (п) на (8я, *) индуцирует изометрическое действие SO (и) на (Й8Я, *), оставляющее функцию Еа инвариантной, (п—1)-параметрическое семейство q раз повторенных больших кругов, проходящих через точку * е 8”, образует невырожденное критическое подмногообразие В®, которое изоморфно 8я-1 и индекс которого равен (2<у — 1) (п — 1). Группа 80(h) действует транзитивно на В®.

Пусть р^ = р(В^): N(В,)->В® — нормальное расслоение подмногообразия В® в (Й8", *). Обозначим через р^: Nh^B®)->B®

положительное и отрицательное подрасслоения расслоения р®? порожденные собственными векторами формы D’EQ, отвечающими соответственно положительным и отрицательным собственным значениям. Тогда SO (п)-действие на (QSn, *) индуцирует SO (п)- действиена р®=р”~фр”+, которое оставляет это разложение инвариантным.

Пусть x(<7):=EQjB“ = 2nV. Теми же методами, что и при доказательстве 2.5.5, можно показать, что имеет место

Теорема. При каждом <7=1,2,... существуют инъективные иммерсии .

■^„(В?): OHB?), В“)->(Пх(г)5”, В”), ‘

W,^1. ^N*^, B^->^Sn-^kqVSn, в^,

обладающие следующими свойствами1.

иммерсии эквивариантны по отношению к SO (пудействию;

ограничения иммерсий на базу, т. е. на многообразие В,, являются каноническими вложениями1,

для сеВ^ отображения

TWU (В^ IN7 (В?): N? № ->Т7Й8п,TWS № | Nt (В°): Nt (В“) -> TtQS"

являются каноническими изоморфизмами;

элементы с*, принадлежащие образу Wu(Bq\ характеризуются тем, что Ига ф^* е В^, а элементы с*, принадлежащие образу WstfigY характеризуются тем, что lim ф$с* е В9. В обоих случаях если Нп1ф^*=с, то с* принадлежит образу ограничения соответствующего отображения на Nc (В»)-

Глава 3

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЙ ПОТОК

В этой главе мы изложим новый аспект теории замкнутых геодезических. Если в предыдущих главах замкнутая геодезическая рассматривалась как обладающий некоторым свойством элемент пространства всех замкнутых кривых (а именно такой элемент, который является критической точкой функции Е), то теперь замкнутую геодезическую (а точнее, касательное векторное поле вдоль нее) мы будем рассматривать как замкнутую (периодическую) траекторию геодезического потока на касательном расслоении риманова многообразия.

Геодезический поток является частным случаем гамильтонова потока. Это предоставляет в наше распоряжение развитую теорию гамильтоновых систем, в которой для нас особый интерес представляют те ее части, которые относятся к замкнутым траекториям.

В §3.1 мы дадим набросок теории гамильтоновых систем, уделяя при этом особое внимание случаю геодезического потока. Следующий параграф посвящен теореме об индексе, а § 3.3 —изучению типичных свойств геодезического потока. Большую роль в этом параграфе играет теорема о неподвижной точке Бирк- гофа — Льюиса. Доказательство Мозера этой теоремы для дифференцируемого случая содержится в добавлении к этой главе.

Гамильтоновы системы

В этом параграфе мы изложим основы теории гамильтоновых систем и затем определим геодезический поток как частный случай системы такого вида.

Симплектическое многообразие — это четномерное многообразие N, снабженное внешней дифференциальной замкнутой 2-формой (40) а максимального ранга, т. е. da = 0, и если dim^ = 2/г, то n-я внешняя степень а” всюду =#0.

Атлас на симплектическом многообразии (N, а) называется симплектическим атласом, если в каждой его карте (<р, U) форма а

представляется канонической симплектической формой на R2", т. е.

а = Ф* ^dyi\ 1

где (х1, .... х", z/1, ..., </”) — координаты на ф ((7). Из леммы Дарбу (см. Арнольд [4], Стернберг [2], Мозер [7]) следует, что на симплектическом многообразии всегда существует симплекти- ческий атлас.

Для такого атласа координатные преобразования ф'«ф-1 являются каноническими или симплектическими преобразованиями. Это означает, что если преобразование ф'«ф-1 имеет вид

х'1 = х'Чх, У), у'^у'^х, у),

то 5 ^хч А dy'1 = ^dx* д dy*. Последнее равенство означает, что i<

матрица

а(ф'.ф-1) =а(ф'.ф-1) =дх’1 дх'1 дх) ду) ду'1 ду’1 дх) dyi

а(ф'.ф-1) =

а(ф'.ф-1) =

является симплектической, т. е. fd (ф' • ф-1) • J • d (ф' • ф-1) = J, где *>

J =J =0»+ Еп\

J =

J =

— Еп Од /

Наиболее важным примером симплектического многообразия является кокасательное расслоение.

Предложение. На кокасательном расслоении Т*М дифференцируемого (евклидова) многообразия имеется каноническая симплектическая структура а, которая определяется следующим образом. Рассмотрим диаграмму, составленную из отображений расслоений:^^ ^

ТМ—-—>м

Определим 1 -форму 6 на Т*М, полагая

в: TtoT*e,l->R, ^>-*<й.Тт^,

и затем положим а = — dB.

*' Роль J ясна из того, что если р е U и Z, Z' е ТрМ, то 2а (Z, Z') = =— (J (Тф)г, (T<p)Z'), где (■, • ) —стандартное скалярное произведение в R24.

Доказательство. В локальных координатах диаграмма имеет следующий вид:

€x,j, Е,,^) ।>(х, у)

Здесь мы, как обычно, координаты х'-т^ на Т*М обозначаем короче через х1. Тогда в локальных координатах 6 запишется как ^y'dx1. Следовательно, форма а имеет вид ^dx^dy*, т. е.

является замкнутой 2-формой максимального ранга *>. □

Заметим, что естественный атлас на Т*М является симплек- тическим (или каноническим) атласом для симплектической формы а =— d6.

Гамильтоновой системой (N, а, Н) называется симплектиче- ское многообразие (N, а), снабженное дифференцируемой функцией Н: N -> R, которая называется функцией Гамильтона.

Соответствующее гамильтоново векторное поле £>н определяется соотношениями

(*)itH-a = dH или а* (£д) = у dH.

Здесь i^ обозначает внутреннее умножение, т. е. i^. а(г)) = 2а(£, т)), а а#: TN -> T*N — изоморфизм векторных расслоений, определяемый невырожденной 2-формой а, т. е. а^ТрМ; TPN ->TpN отображает вектор £ в линейную форму а(£, ■).'

В симплектических локальных координатах (х*, у*) соотношение (*) имеет вид

5 ^ di/ - 2 ^ dx1 - 5 Hxi d)d + 5 HMi di/,iiiI

Поэтому локальное представление для £н есть (Hyi,—Hxi/ Другими словами, в этих координатах уравнения, описывающие

*’ Заметим, что для аналитической механики традиционным является использование формы d6, а не — di (при этом пишут 9' вместо х‘ и р, вместо /\ Гамильтоново векторное поле в этом случае определяется из условия ir .а = —dH, так что оно совпадает с тем, которое вводится далее. Симплек- тические диффеоморфизмы (т. е. диффеоморфизмы, сохраняющие а) там называются каноническими преобразованиями.

гамильтонов поток, определяемый полем ^н» принимают вид dx* н dy‘ тт

-dt~H^ -dT = -HxS

т. е. являются уравнениями Гамильтона.

Исходящая из точки ре N интегральная кривая гамильтонова векторного поля будет обозначаться через ф<р.

Предложение. Пусть (N, а, FT) — гамильтонова система. Тогда функция Н остается постоянной вдоль траекторий гамильтонова потока и этот поток сохраняет а.

Доказательство. Напомним, что для производной Ли имеет место следующая формула (см. Абрахам, Марсден [1], Ленг [1], Стернберг [2]):

L^ = d(,it- ₽) + lf^₽'

Так как i^H.a = dH, то

dH . Х,н " 2а ^.н, £я) = 0> L^H .a = ddH-\-l^H .da = 0, □

Теперь мы переходим к наиболее интересному для нас случаю. Пусть М — риманово многообразие. Скалярное произведение на нем будем обозначать через ^(-, •) или (•, •). Пусть (Т*М, а) — кокасательное расслоение этого многообразия, снабженное канонической 2-формой а. В качестве функции Гамильтона возьмем кинетическую энергию, т. е. функцию

Н*: T*M->R, a>h-»у(©, о)*, где (•, •)*=£* обозначает метрику, двойственную к (•, •).

Пусть g*k (х) — локальное представление фундаментального тензора метрики g* в естественных локальных координатах (х, у) на Т*М, соответствующих координатам (х) на М. Тогда

Н*(х, у) = ^^к‘(х)уку1.k, i■

Следовательно, уравнения Гамильтона принимают вид

^-Н^-У^^У1, ^- = — H*i = — -y^S^-ykyi.

dt и'3 d/*2 дзЭ 9

Iк.1

Риманова метрика g—{-, •) на М определяет изоморфизм расслоений

g*: ТМ->Т*М,

При этом симплектическая форма а на Т*М переносится в симп- лектическую форму (5*)* а на ТМ, которую мы снова будем обо-

6 В, Клингеиберг

значать через а. Другими словами, если Z и Z'— элементы из ТХТМ, то *>

a(Z, Z') = a(D^Z, Dg*Z'Y

Предложение. Для симплектической формы а на ТМ выполняется соотношение

2a (Z, Z') = <Zft, Zi>-<Zi, Z^,где Z = ^Zh, Z^ и Z*— ^Zn, Z'^ — разложения на горизонтальнуюи вертикальную компоненты.

Замечание. Здесь мы отождествили TXhTM с ТхХМ и ТХ„ТМ с ТХХМ посредством линейных биекций TTlTxaTM и К | ТХхТМ.

Доказательство. Обе части равенства определены инвариантно.

Поэтому достаточно проверить 3.1.3 в некоторых специальных координатах..

В качестве таких координат выберем координаты, ортонорми- рованные**' в точке р = %мХ. Тогда имеем

xz(p)=o, g«(^(p))=s«;г'И*(р))=о.

В этих координатах локальным представлением для диаграммы

TTM-^^TpNf

^ткс , ^Mf

ТМ-^Т*М,

в точке X гТРМ является диаграмма

(О, & £ Л) ^-^-* (0, У, t ij) = (0, х, £, ()

I Г

(0,^)!> (0,у) =.(Q,x)

♦' Собственно говоря, согласно принятым ранее обозначениям, следовало бы писать Tg„, а не Dg*. Но теперь автор все чаще пишет D вместо Т.

♦♦’ Как видно из следующей же строчки, требуется не только ортонорми- рованность в обычном смысле, но и обращение в 0 символов Кристоффеля в точке х (р). Специального названия для таких координат, кажется, нет (хотя, как известно, имеются названия некоторых более узких классов координат—координаты Ферми, нормальные координаты Римана). По терминологии Картана [2] метрика S (dx‘)2 является евклидовой метрикой, соприкасающейся с g в точке р. Возможно, автор понимает «нормальные координаты» как «нормальные координаты Римана» (хотя использует в данном случае только часть свойств последних). .

Кроме того, горизонтальное и вертикальное подпространства в точке X представляются как {(0, x)}xR”x{0} и {(0, ^)}x{0}xRn соответственно.

Так как а записывается в виде У dx" Adi/, то i

2а (Z, z') = 5 а<пг/ - S'W) = <А, z'^ - (Zk, z^. □

Замечание. Естественные координаты (х, х) на ТМ, которые соответствуют координатам (х) на М, в общем случае не являются симплектическими координатами для индуцированной симплекти- ческой формы а. Точнее, локально изоморфизм g* представим в виде

(хг, х‘)г-*(хг, ^ = U» ^guk^^X\ к/

Поэтому форма У, dx? л d/ переходит в форму У dx* л ii

Ad/^g^^x) хк\, которая, вообще говоря, не равна У, dx? a dx*.

Определим геодезическую пульверизацию *> на касательном расслоении ТМ риманова многообразия М как векторное поле**)

S: ТМ -* ТТМ, X -> (X, 0) е TXhTM ф ТХтТМ.

Интегральная кривая поля S с началом в точке ХеТМ будет обозначаться через ф,Х. Отображение

Ф^: ТМ -*• ТМ

называется геодезическим потоком на ТМ.

Предложение. Если <р/Х0 — интегральная кривая геодезической пульверизации с началом в точке Хо, то с^) = тм>%Х0 — геодезическая, определяемая начальным условием о(0) = Х0.

Наоборот, если с (0—геодезическая, то с^ = <pi (0).

Доказательство. Имеем с (/) = Тт-^-ф/Х0 = Тт (ф^Хд, О) = ф(Хо, ^С(П = К4-Ь^ = К^ХО, 0) = О,

♦’ Английский термин spray переводят также «струя», но последний термин в § 3.3 будет использоваться в другом смысле.

**’ Напомним еще раз, что в предложении 1.1.1 были описаны канонические изоморфизмы ТрМ с TXhTM и ТХтТМ (X е Т^у использование которых и подразумевается, когда вектор из ТХТМ рассматривается как пара век торов из ТРМ.

6*

т. е. т-<рДо — геодезическая. Пусть теперь, наоборот,

Vc(/) = 0.

Тогда, рассматривая с(/) как кривую в ТМ, имеем)

4^(0 = (с (0, 0) = S(c(0),

т. е. с (0 — интегральная кривая поля S. □

Лемма. Пусть М —риманово многообразие.

Утверждение. Изоморфизм расслоений g*: ТМ->Т*М переводит геодезическую пульверизацию S в гамильтоново векторное поле ^н* системы (Т*М, а, //*), где функция Гамильтона Н* = кинетическая энергия на Т*М.

Следовательно, S — гамильтоново векторное поле системы (ТМ, а, И) с функцией Гамильтона Н (X, Х) = г/-1(Х, Х) = кинетическая энергия на ТМ.

Доказательство. Выберем те же координаты, что и в доказательстве 3.1.3. В этих координатах X представляется как (0, х), S(X) —как (0, х, х, 0), а отображение g*\TpM — как (0, x)i—* |—* (0, х) (т. е. оно задается формулой у = х). С другой стороны, Н*(х, y') = 1/»51gij(x')yiyi, где ^(О) = 6У и dg‘i(0')/dxk = 0. Поэтому Е,н* (X) представляется как

(0, у, Н*(0, У). -НЦ0, у)) = (0, х, х, 0). □

Начиная с этого места мы считаем, что dim М = n + 1. Через М продолжаем обозначать риманово многообразие.

Пусть с (0 — геодезическая. Определим поле Якоби вдоль с(0 как такое векторное поле У (/) вдоль c(f), которое удовлетворяет уравнению

7*У(0 + Я(У(0, с(0, с(0) = 0.

Последнее называется уравнением Якоби.

Лемма. Поля Якоби Y (!) вдоль геодезической c(f) находятся во взаимно однозначном соответствии с инвариантными векторными полями'» Y (/) вдоль траектории <pi(O) = c(/), т. е. полями, для которых

Это соответствие устанавливается так *>:

У (0 - У (0 = (У (0. vy (0) г T-whTM ф Т.^ ТМ.

Доказательство**^. Положим Хо = с(О), и пусть

А = (Ад, Av) е Тх^ТМ ©Т хйУТМ = Т хДМ.

Пусть, далее, 'k(s}, s^O, — кривая в ТМ, к(О) = Хо, к' (0) = Л. Положим к(s, t) — ytK(s), c(s, t):—T’K(s, /), так что tv—*c(s, /) (при фиксированном s) есть геодезическая линия и к (s, t) = = dc(s, t)/dt. Тогда Т^к' (0) = Т<р/Л = (Ah (t), Л„ (/)) —инвариантное относительно потока векторное поле вдоль <рД0> порожденное вектором А. Таким образом, (Лй (0» Лт (/)) = дк (0, f)/ds.

Из определений имеем

ds 4 — ^1 gs (S,A d$ (S, 4) — ( gs » ds

a ds K^S’ ^~ ds dt C(S’ ^~ dt ds C^S‘ ^

(законность перестановки операций дифференцирования проверяется путем очевидного вычисления в локальных координатах; используем, что у связности Леви-Чивита кручение равно нулю). Значит, Ah(t) = ^-(O, t) и Д„(/) = ^Л(П.

Используя формулу (i) в начале § 2.4 с заменой (^'(0. ^(0> ^(0) на (с(/), Лй(0. ё(0) и сделанные там замечания, получаем

V^ЛЙ(O=VЛЛOV^ЛЙ(O=VЛЛO V V de (s, t) I dt ds dt |s—o

V^ЛЙ(O=VЛЛO

V^ЛЙ(O=VЛЛO

V V dc(s, 0 ds dt dtV V dc(s, 0 ds dt dt9c de dc(s, t)s-o'^x"^"1 ds ’ dt

V V dc(s, 0 ds dt dt

V V dc(s, 0 ds dt dt

= R(b(f), A„(t), c(t))R(Ak(0, c(0, c(0)

ведь -^--^^г^-=оУ Стало быть, Ah(t) —поле Якоби. ot ot /

*’ Иными словами,

I'tO-^S-ryro. А

Заметим, что в дальнейшем автор часто называет инвариантными векторными полями поля Якоби, хотя, строго говоря, это разные вещи.

*♦’ Доказательство при переводе пришлось исправить. При этом я поз- V V

волил себе воспользоваться стандартными обозначениями ^-, -^-, хотя Клин- генберг их не употребляет: без них формулы были бы более громоздкими и менее наглядными.

Таким образом, мы построили линейное отображение из (2п + 2)-мерного пространства инвариантных векторных полей Тф/Л вдоль <р/С(О) в (2« + 2)-мерное пространство полей Якоби вдоль с(/). Ядро этого отображения — нуль. Следовательно, теорема доказана. □

Следствие. Пусть У (t) и Z(t) — noAM Якоби вдоль геодезической c(t). Тогда

(*) 2а (У (О, Z (0) = (Г (0. VZ (0> - (Z (t), 7У (0) = const.

В частности, если с^=0, то поля Якоби, ортогональные с (которое само является полем Якоби), т. е. такие поля Якоби, для которых выполняется соотношение*''

(с (О, У (0) = (с (ty vy (t)) = О при всех t, образуют 2п-мерное подпространство.'

Доказательство. Дифференцируя (*) и подставляя затем выражение для второй ковариантной производной из уравнения Якоби, получим, что (*) обращается в нуль. С другой стороны, из 3.1.2 мы знаем, что а инвариантна относительно потока:

2а((Т^)У(0), (T^Z(0y = 2a(Y(0), Z(0)).

Поэтому (*) следует также и из 3.1.6, 3.1.3.

Если с=#0, то инвариантные векторные поля, порожденные начальными данными (с(0), 0) и (0, с(0)), образуют двумерное подпространство, невырожденное по отношению к форме а. Поля Якоби, ортогональные с, образуют ортогональное дополнение (41) этого подпространства. □ ■

Назовем траекторию ф#Х0 периодической, если Хо^О и существует такое со >0, что фиХо = -^о-

Мы будем рассматривать только случай |Х0| = 1; ясно, что каждой периодической траектории ф(Хо соответствует корректно определенная периодическая траектория Ф/Х0/|Х0|. которая обладает этим свойством (42). Кроме того, в данный момент мы будем предполагать, что со — наименьшее положительное число, удовлетворяющее уравнений фиХо = Хо. Такое со называется (минимальным, наименьшим**'') периодом периодической траектории ф/Х0.

- *’ Второе из которых следует из первого, — надо продифференцировать и учесть, что Vc = 0.

**' В оригинале: prime, что находится в соответствии с термином prime Сугуе (§ 2.2),

Предложение. Периодические траектории находятся во взаимно однозначном соответствии о однократными замкнутыми геодезическими1. .

(i) если фДо — периодическая траектория периода со, то с ^ := = т.мФа>/Хо> 0 t ^ 1, есть однократная замкнутая геодезическая, для которой значение Е равно х = со2/2;

(и) если с (f) —однократная замкнутая геодезическая, для которой значение Е равно х, то ф<о (0)/[ с (0) | — периодическая траектория периода (о = ]/2х.

Доказательство немедленно получается из 3.1.4. □

Замечание. Излагаемая ниже конструкция отображения Пуанкаре*', соответствующего замкнутой траектории геодезического потока, проходит также и для замкнутой траектории произвольной гамильтоновой системы (N, а, Н), если только на этой траектории dH^O (Абрахам, Марсден [1]). Так как нас интересует только случай геодезического потока, то и результаты мы сформулируем только в этом специальном случае.

Пусть Хо е Т\М — расслоению единичных касательных векторов на М (42). Тогда через 2 = 2 (Хо) обозначим локальную трансверсальную гиперповерхность (короче, локальное сечение) потока в точке Хо.

Сейчас мы построим некоторый специальный пример такой гиперповерхности. Пусть тХо = роеМ, и пусть О2(Х0) есть е-диск в ТР,М, ортогональный к Хо е ТРоМ (напомним, что dimМ = dimTPoM = n-VX). Выберем е столь малым, чтобы е-диск с центром в точке р0 е ТР,М принадлежал области определения нормальной системы координат Римана, см. 1.2.6.

Пусть T1expD2(X0) —ограничение единичного касательного расслоения на проходящую через точку р0 n-мерную локальную гиперповерхность exp Dp (Хо). Определим теперь 2 = 28 (Хо) как пересечение T1expDn6(X0) с е-шаром Ве""^ (Хо), центр которого находится в точке ХогТМ. Здесь мы пользуемся метрикой на ТМ, которая индуцирована разложением TTM = ThTM® ® Т^ТМ и каноническим отождествлением

Тл: ТхДМ->ТРеМ, К1.Тх<0ТМ->ТРеМ, р0 — т,Х0.

Предложение. При достаточно малых е>0 ограничение формы а на 2 = 2е (Хо) индуцирует симплектическую структуру.

Доказательство. Введем возле точки р0 = тХ0 с помощью некоторой карты (ф, (7) такие локальные координаты (х°, Xх, ... ..., хп) на М, которые ортонормированы в рв, для которых все

♦' Говорят также «отображение (или функция) последования».

дуц (ф (Po))/dxft = О и в которых X® представляется в виде (1, 0, ... ..., 0). Пусть (х\ ^ и (х‘, z/1') — естественные координаты в ТМ и Т*М, индуцированные (х‘). Тогда Тх02 представляется плоскостью dx°=0, dx° = 0, т. е. а|Тх,2 представляется как У, dx1 л i>0

Ady1.

Действительно, 2 в окрестности точки X® является пересечением подмногообразий ТМ | exp D® (X®) и ТгМ. Касательные пространства к ним в X® суть

{Z; ZeTx.TM, <ZH, Х®) = 0} и {Z; ZeTx.TM, (Zv, Х®> = 0}.

Они пересекаются трансверсально, поэтому

Tx,2 = {Z; ZeTx.TM, <Zh, X0) = (Z„ X®> = 0}.

В терминах введенных локальных координат

(Zh, XQ) = dx°(T<p.Z'), <ZT, X0) = d^(Tq>.Z),

adi^T^JR^-dtftT^pJRt™ □(«)

Лемма. Пусть ф<Х® — периодическая траектория о минимальным периодом со. Пусть, далее, 2 = 2 (X®) — локальное сечение потока в точке X®.

Утверждение. Существуют такие открытые окрестности 2® и S®, точки X® на 2 и такая дифференцируемая функция б: 2® -*■ что 6(Х®) = 0 и отображение1

X и-» <Р(0+в(Х)Х является некоторым симплектическим диффеоморфизмом

3^. 2® —► 2т.

Кроме того, ф,Х ^ 2 при 0</<® + б(Х).

Мы назовем S5 отображением Пуанкаре или отображением последования (соответствующим периодической траектории ф(Х® или замкнутой геодезической с*^.

*’ И локальному сечению 2. Вообще говоря, ^ могло бы зависеть и от того, как именно 2 уменьшено до 2® и 2Ш, однако из доказательства видно, что при различном выборе 2® и 2Ш полученные отображения совпадают в некоторой окрестности X®.

Позднее мы иногда будем говорить об отображении Пуанкаре для «периодической траектории» ф/Х®, которая как замкнутая кривая неоднократна, т. е. которая рассматривается как периодическая функция h—» ф/Х® с периодом со, хотя этот период для нее уже не является минимальным. Пусть минимальным периодом будет ш®, a 5s®—соответствующее отображение Пуанкаре в смысле 3.1.10; пусть ю-»кш01 6>1 Тогда под отображением Пуанкаре «за период <а» мы будем понимать, естественно, ^ := ^^ (при этом может оказаться необходимым уменьшить область определения). Изменение по сравнению с 3.1.10 состоит теперь в том, что нельзя утверждать, будто ф/Х ^2 при 0</<®+6(Х); напротив, ф,Хб2 в некоторые моменты, близкие к ш®(£ —I)©®.

Доказательство. Нас интересует только тот случай, когда М полно (или даже компактно), поэтому проведем доказательство, предполагая, что отображения ф/. ТХМ -»- ТХМ определены при всех feR и составляют однопараметрическую группу диффеоморфизмов.'

Вектор S(X0) = (X0, 0) ортогонален Тх„2. Действительно, при ZeT х02

<S(X0), Z> = (X0, ZA) = 0

(см. доказательство 3.1.9). Поэтому, взяв на 2 достаточно малую окрестность Sj точки Хо, получим, что при X е 2Х вектор S (X) трансверсалей к Тх^х. Отсюда легко вывести, что существует такое 81>0, что

ср/21Г|21 = 0 при J/Kbx.

Так как ф<Х0¥=Х0 для 0</<ю, то существуют такая окрестность U точки Хо на ТгМ и такое е>0, что ф^ЦЛ U-*■ -*• фш^ есть диффеоморфизм и ф/t/ () U = ф при е < К со — в. При этом чем меньше U, тем меньше можно взять г. Пусть U ТаКОВО, ЧТО ГОДИТСЯ 8 = 8!.

Возьмем окрестность 22 точки р0 на 2, для которой 22с с фу U f) U П 2. Рассмотрим отображение

ф: ] —е24-со, <о + 82[х22->Т1Л1, (/, X)i—*ф<Х.

При достаточно малом 8g > 0 имеем im ф с: U (можно считать, что 82^в!). Отображение Тф имеет в точке (со, Хо) ранг п+1. (Действительно, пространство 1шТф(со, Хо) порождено вектором 5(Х0) и пространством Тфш (Хо). Тх^. Но вектор 5(Х0) = = Тфю(Х0). S(X0) трансверсалей к последнему пространству, поскольку S(X0) трансверсалей к Тх,2.) Поэтому при достаточно малых в и 23 отображение

ф|] —е + со, <о + е[х23

будет диффеоморфизмом; обозначим его снова через ф. Поскольку Хое1тф, некоторая открытая окрестность 2Ш точки Хо на 2 содержится в кпф.

Определим

Х: 2ю->х(2ю)с2

(Х(2Ю) мы и примем за 20) и ip 2to->-|R посредством соотношения

ф (со + Т] (X'), X (X')) = фю+,,(Х')Х (X') = X'.

Тогда х-1 — искомое отображение Пуанкаре ^ и б (X) : = т] - х~1 (X).

Осталось показать, что 8s* симплектическое. Для того чтобы убедиться в этом, снова рассмотрим отображение ф и заметим, что ^(Х^^со + б^), X). Положим

7ф | Т (] — е + со, в + со [) = 7гф, 7ф|72 = 72ф.

Отображение Т^ симплектическое**, а

Тгф (t, X) Л== (некоторое число) • ^ ф<Х1

это число мы будем сейчас обозначать через (Т^. С).

Поскольку 2а^ф/Х, •) = dH(ф/Х) и оттого 2а(71ф.£, • ) = =ЦТ^. £) dH, a ^|2 = const, так что**' dH «7^ = 0, находим

2а(7^ . ^, 75s. т)) = 2а(7!ф<>76 . ^ + 72ф. ^, 71ф«76. т) + 72ф.г]) =

— О + (7^ - 76.1) dH - 72ф. т] — (71=ф • 76 . г]) dH • 72тр. £ +

4-2а(72ф.1, 72ф. т]) = 2а(£, г]). □

Замечания. 1) Важность отображения Пуанкаре 5s связана с тем, что периодические точки X отображения 5s находятся во взаимно однозначном соответствии с периодическими траекториями потока, целиком лежащими возле данной периодической траектории ф,Х0, О^/^ю. Точнее, если Хе2-такая точка, что при некотором целом N — N (X) > 0 выполняется соотношение

^Х = Х,

то ф/Х — периодическая траектория. Если X (X) — минимальное целое число, обладающее этим свойством, то период траектории Ф/Х приблизительно равен No.

Отображение S5 зависит от выбора локальной трансверсальной гиперповерхности 2 (ее не обязательно выбирать именно так, как описано перед 3.1.9). Но если 2'—другая локальная трансверсальная гиперповерхность (возможно, взятая не возле Хо, а возле некоторого Х1 = ф#1Х0) и ^' — соответствующее отображение Пуанкаре, то ограничения <^ и <^' на некоторые окрестности Хо в 2 и Xj в 2' сопряжены посредством некоторого диффеоморфизма этих окрестностей, переводящего симплектичес- кую структуру в одной из них в симплектическую структуру в другой.

*' Точнее, Т(-ф определяются так:

ЛФ^, Х).£ = Гф(Л Х).(£, Ох)

(где Ох — нуль Тх^ и аналогично для Т^. Симплектичность Т2ф означает, что а (Т2ф. &. Таф • л) = a (I, л). Это следует из того, что Г2ф (/, X) = Тф, | Т^.

**’ Действительно, Н.m( = H, dH «T^t=dH. поэтому dH-T^lt, Х) = = dH. (T<¥t | T^ = dH | TS =0.

3.2. Теорема об индексе для замкнутых геодезических

В этом параграфе мы свяжем индекс замкнутой геодезической, введенный в § 2.4, со свойствами линеаризованного геодезического потока вдоль соответствующей замкнутой траектории. Полученные результаты найдут впоследствии важные приложения. Материал этого параграфа содержится в статье Клингенберга [15]. Нормальная форма 3.2.4 для симплектических преобразований впервые (в несколько другом виде) была получена Вильямсоном [1]*’

Мы начнем с рассмотрения линейного симплектического преобразования Р: У -► У действительного симплектического векторного пространства, dim У = 2п. Другими словами, мы рассматриваем пространство V с заданной на нем билинейной кососимметрической невырожденной формой а и линейное преобразование Р, сохраняющее а, т. е. а(РХ, РУ) = а(Х, У).

Удобно комплексифицировать У, т. е. рассматривать пространство У с := V ® С^У ф IV. Кроме того, мы будем рассматривать а как косоэрмитову форму на У 0 © (м):

(X, У)-*а(Х, У); X, У еУсхУс; а(Х, У)еС,

а отображение Р; У->У продолжим до Р: VC-*VC, полагая Pi — iP. Для простоты пространство Ус мы снова будем обозначать через У.

*’ В указанной работе речь идет о нормальной форме для линейных отображений, кососимметрических по отношению к а (см. ниже в основном тексте) в действительном пространстве. Тот же вопрос (а также аналогичный вопрос о симметрических отображениях) заново рассмотрен Ягломом [1], не знавшим о работе Вильямсона. Симплектическим же линейным преобразованиям посвящена работа Вильямсона [2]. У Вильямсона [1], [2] подход является более алгебраическим, а у Яглома — более геометрическим (в этом отношении данная книга ближе к работе Яглома). Клингенберг не доводит исследования до полной классификации —для его целей это не нужно; впрочем, это уже нетрудно сделать после всего того, что сказано в настоящей книге (включая некоторые уточнения в примечаниях). Еще одно изложение вопроса о классификации симплектических линейных преобразований имеется у Кушмана и Дёйстермата [1].

В связи с историей вопроса замечу, что обнаруженное Вильямсоном различие между двумя типами собственных значений линейных симплектических преобразований, равных по модулю единице, было впоследствии по другому поводу переоткрыто М. Г. Крейном для случая простых элементарных делителей (в общем случае рассматриваемые М. Г. Крейном понятия отличаются от тех, которые нас здесь интересуют). С тех пор оно играет важную роль в теории линейных гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. Подробности и библиографию см. у Якубовича и Старжинского [1]. Введение в эту теорию имеется в работах Арнольда, Авеца [1] и Арнольда [4].

Подпространство U с: V называется действительным *\ если U = U. Оно называется невырожденным, если форма а | U невы- рожденна, т. е. для каждого X g U, ХфО, существует такое ¥ е U, что а(Х, 7^Ф0. Подпространство U называется изотропным, если а | U = 0.

3.2.1. Предложение. Пусть Р: V ^>-V симплектическое преобразование ± исходного действительного V, т. е. действительное симплектическое преобразование комплексифицированного V А.

Если р — собственное значение Р, то р, р-1 и р-1 также являются собственными значениями Р.

(и) Пусть V (р) — корневое подпространство преобразования Р, отвечающее собственному значению р, т. е. V(p) = {X eV; существует целое й^О, при котором (Рр-1 — 1)6Х = 0 м)}. Тогда V является ортогональной суммой невырожденных подпространств вида

V (р) © V (р-1), если рр Ф 1,

V (р), если рр = 1.

Доказательство, (i) Так как Р действительно, то р и р являются собственными значениями одновременно. Рассмотрим изоморфизм

а»: V-^V*, Х-*а(Х, •)•

Тогда а(РХ, ¥) — а(Х, P^Y), т. е. а* •Р = ,Р~1«а*, или {р-х = = а*-Р^а*)-1, где 'Р — преобразование в V*, сопряженное к Р. Значит, числа р-1 и р также являются собственными значениями одновременно.

Покажем, что при ро Ф 1

а(У(р), 7Й) = 0.

Для того чтобы убедиться в этом, обозначим через V/(p), где j — целое, /^0, подпространство пространства V (р), которое аннулируется преобразованием (Рр-1 —iy. Для Хе|/,(р)иУе

♦’ Название объясняется не столько аналогией с числами, сколько тем, что подпространства U с V, для которых U = U,— это в точности те подпространства, которые получаются комплексификацией подпространств исходного действительного векторного пространства. Для действительных подпространств безразлично, понимать ли ортогональность относительно спаривания (X, У)|—► «(Х, У) или относительно (X, У)н->а(Х, У). То же справедливо для определяемых далее в основном тексте невырожденности и изотропности.

♦*' Мы вправе говорить о р-1 и писать (Рр-1 — 1)6Х = 0 вместо обычного (Р — р—Ч)Х = 0, ибо р#=0. Действительно, если РХ = 0, то а(Х, У) = = а(РХ, РУ) = 0 для любого У, что противоречит невырожденности а.

е Vx (о) имеем

а(Х, F) = a(PX, PF) = p3a(X, F),-

откуда a(X, F) = 0. Предположим, что мы уже знаем, что

«(У^Ир), УДа)) = а(Уг(р), Ин(»)) = 0.

Для (г, s) = (l, 2) или (2, 1) это так,— ведь У^р) ортогонально Vi(o), а Уо(р) = О и Уо(ст) = О ортогональны всему У. При X е У г (р), YeV s (ст) имеем

a((Pp-i-l)X, PF) = a(X, (ЛК-1) F) = 0, и, следовательно,

a(X, У) = Ка(Х, PF) = S-1p-1a(PX, PF) = <Hp-ia(X, F), откуда a(X, F) = 0.

Наконец, так как для каждого ХеУ(р), Х^=0, существует такой вектор X, что а(Х, Х*)=#0, то форма а| У (р) ф У (р-1) в случае рр ^ 1 и форма а | У (р) в случае рр = 1 являются невырожденными *\ ибо У (р) ортогонально всем остальным подпространствам У (ст). □

Предложение. Пусть р^О. Тогда

(*)a((Pp-1—iyX, F) = (— iya((Pp-yX, (Рр-1)' F).

Доказательство. аДРр-1— \yX, F)=a(Pp-1(Pp-1— iy-1 X, F) — — a^Pp^-iy^X, F) = — «(Pp-^Pp^-iy^X, (Pp-l)F). □

Лемма. Пусть p —такое собственное значение преобразования Р, что рр=1. Пусть, далее, к = кр — наибольшее целое ^0, такое, что1 (Рр—1у^=0 на У (р).

Утверждение, (i) Если к = 21 — 1, то существует такой вектор X е У (р), что элементы (Pp—i^X, O^j^k, образуют базис невырожденного подпространства1 и

а^Рр-ХуХ, (Рр-1У"1Х) = ±1.

Если к = 21, то существует такой вектор X eV (р), что элементы (Рр—iyX, O^j^k, образуют базис невырожденного

подпространства * > и

a((Pp-iyX, (Pp-1)'^) = ±L

Доказательство. Положим V? (р) = (Рр — I) V (р). Используя 3.2.2, разложение (Pp)r = (1 + Рр — l)r = 1 +г(Рр— 1) + ... и снова 3.2.2, получим, что при X, Y eV (р)

(**) a((Pp—l^X, (Pp-iyF) = (— l)ft-'a(X, (Pp-l)ftF).

Таким образом, если в левой части (**) изменить г на 1 («один раз перекинуть оператор Рр — 1 с X на У или с У на X»), то у этой левой части изменится знак.

■ Предположим, что a ((Рр — l)ft X, X) = 0 для всех (Рр — Х^Хе eV*. В Vt существует ненулевой вектор (Рр—1)6Х. Для него существует такой вектор YeV (р), что

a((Pp—l)ftX, У) =a((Pp—l)ftX, У) =если к нечетно, если к четно.

a((Pp—l)ftX, У) =

a((Pp—l)ftX, У) =

Тогда

а((Рр—1)ЙУ, Х) = (—1)6а(У, (Pp-l)ftX) =

= (—l)»+ia((Pp-l)»X,= (—l)»+ia((Pp-l)»X,1,I,1,I,если к нечетно, если к четно.

= (—l)»+ia((Pp-l)»X,

= (—l)»+ia((Pp-l)»X,

1,

I,

1,

I,

Поэтому**)а((Рр-1У(Х + У), Х+ F) = a((Pp- l)ftX, F)+

( 2, если к нечетно, а((Рр-1)»У, ^)= о. .

" r( 2t, если к четно

Следовательно, можно предполагать, что существует X е еУ1(р), при котором.

a((Pp-iyX, (Рр-1у-‘Х)=#0, £ = 2/-1,

а((Рр-1)'Х, (Рр-1УХ)^=О, ^ = 2/.

При замене X на XX эти величины умножаются на |Х|2. Из полученной выше формулы (**) при Y = Х видно, что первое выражение —действительное, в то время как второе —чисто мнимое.

♦’ См. последнее примечание на предыдущей странице.

*♦• Суть приведенного рассуждения состоит в том, что:

а) билинейная форма фА+1 (X, У) := а ((Рр — l)ft X, Y) на У (Р) = Уд+1 (р) при нечетном к эрмитова, а при четном — косоэрмитова (и превращается в эрмитову при делении на /);

Невырожденность циклического подпространства, порожденного X, следует из того, что ограничение а на это подпространство имеет в базисе фр — 1/Х матрицу коэффициентов (матрицу Грама) с ненулевыми элементами на побочной диагонали и нулями ниже нее. □

Теорема. Пусть Р: V-+V — действительное симплекти- ческое преобразование. Тогда существует такое ортогональное разложение

v=v„c©vco

на невырожденные действительные инвариантные подпространства, что ограничение Р | Vnc некомпактно, а ограничение Р | Vco компактно, т. е. принадлежит компактной подгруппе группы Sp (V). Подпространство VM допускает ортогональное разложение

Vпс = VfB ф Vorf ф Vею

на невырожденные инвариантные действительные подпространства. Здесь

Vsu — ортогональная прямая сумма подпространств V (р) ф

©Кр-1), IpI^i;

Vod — ортогональная прямая сумма подпространств Vod,p, имеющих базис вида (Рр — 1УХ, O^j^2Z — 1, Z^l, |р| = 1;

V^ — прямая сумма подпространств VeT р, имеющих базис вида (Рр-1УХ, 0</^2Z, /^1, |р| = 1 *>. ф)

Дополнение. У,„ имеет максимальное изотропное инвариантное действительное подпространство Vs, порожденное подпространствами V (р) с | р | < 1;

Vod имеет максимальное изотропное действительное инвариантное подпространство Vodjn. порожденное подпространствами Vod in рС2 Vod р, имеющими базис, состоящий из элементов (Рр-ГуХ, l^j^2l-V, имеет изотропное действительное инвариантное подпространство VeViin, порожденное подпространствами VeV:in,p^ Vev,p, имеющими базис вида (Рр — 1У X, I +12/.

Замечание. Подпространство Ve4),in не является максимальным изотропным подпространством. Для каждого из Ает действительных подпространств !/„, рф Уеч- р, которые составляют пространство V^, подпространства У еч), in, р ф У^, in, Р имеют размерность на 2 меньшую, чем максимальное изотропное подпространство.

Происхождение нижних индексов пс, со и т. д. достаточно ясно; стоит только пояснить, что su происходит от stable, unstable (ср. с ^ в 3.2.5). Кроме того, ип происходит от unitary, а е, по словам автора, ничего не означает и ставится просто, чтобы как-то обозначить соответствующее пространство (оно появится дальше).

Доказательство. Ясно, что Vja корректно определено. Поэтому рассмотрим собственное значение р, по модулю равное 1. Пусть k = kp равно максимальному /, при котором (Рр—1/#=0 на V (р). Предположим, что А>0. Из 3.2.3 мы получаем существование невырожденного подпространства Vod, р или F^, Р в зависимости от того, нечетно к или четно. ^При р^±1 это подпространство ортогонально своему комплексно сопряженному (ибо вообще V (р) и V (р) = V (р) ортогональны). Значит,

р © Fod, р ИЛИ VеУ1 р © F^V| р

— невырожденное инвариантное действительное подпространство, и мы можем его «отщепить», т. е. перейти к рассмотрению его ортогонального дополнения. При р = ±1 и нечетном к из доказательства 3.2.3 видно, что вектор X, порождающий соответствующее Vod, р, можно взять действительным. Тогда Vod,p будет действительным, и можно перейти к его ортогональному дополнению. Сложнее всего случай, когда р = ±1 и к четно. В этом случае мы, как и раньше, берем VeT,P+VeTiP, однако теперь оба слагаемых лежат в одном и том же V (р), и потому неясно, будут ли они ортогональны и является ли сумма Vе.p + Fev, р прямой (т. е. верно ли, что Кет, р П ^т, р= {0}), а следовательно, неясно и то, является ли подпространство УГО,Р+FeT,p невырожденным. Первое обеспечивается только путем дополнительных построений при выборе X и нам не понадобится; мы непосредственно докажем второе и третье, после чего по-прежнему можно будет перейти к ортогональному дополнению невырожденного инвариантного действительного подпространства V^, р © Vei); р.

Мы докажем, что матрица Грама G формы а(Х, F) по отношению к системе векторов

X, (± Р - 1) X (± Р - l)ft X, X, (± Р - 1) X (± Р—l)ft X невырожденна; это гарантирует и линейную независимость этих векторов, и невырожденность формы а(Х, F) на соответствующем подпространстве. Очевидно, G разбивается на квадратные клетки порядка £+1:

где, нумеруя элементы матриц Л, В, С, D индексами ?,/ = 0,... ..., к, имеем

Лу = а((±Р —1/Х, (±P-iyX),

Ву = а^Р-\уХ., (±P-iyX),Сг/ = а((±Р-1уХ, (±Р-1УХ),D„ = а ((+ Р - 1У X, (± Р - iy X).

Из различных вытекающих отсюда соотношений для этих коэффициентов отметим только следующие. При i + jT>k все они равны нулю (пользуясь формулой (**) из доказательства 3.2.3, несколько раз «перебрасываем» оператор ± Р — 1 иа один из аргументов формы а с другого аргумента). Если же i-Vj = k, то Ау^й и DyN=^ (выбор X и «переброска» ±Р —1), а Ву = Су = 0. Последнее получается так: учитывая, что к = 21, имеем

В^ ^ = а ((± Р - 1)' X, (± Р - 1)»-' X) =

= (— l)wa((±P-l/X, (±Р-1)гХ) = 0

и аналогично для С. Чтобы доказать невырожденность матрицы G, умножим ее справа на матрицу

(А В\/А 0\

d)\c d-ca-'b)

(невырожденность А явствует из отмеченных свойств Ау). Определитель при этом не меняется, так что достаточно доказать, что

^СА-ЧЗ^у = 0 при i + / ^ к.

Если из уравнения xj = 2 ^цХ) выразить xt через х), то мат- /=о

рицей коэффициентов в этих выражениях будет Д-1. Но непосредственно из уравнений видно, что х0 выражается через Хь, X! —через Хк-г и x'k и т. д., т. е. (Д-^^^О при г+ /<А. Теперь

(СА-1В)у = ^С:ДА-^г$Ву.

Г, S

Слагаемые могут быть #=0 лишь при

i-Vr-Ск, s-\-j<k, r-Vs^k.

Нас интересуют (z, /) с

i-Vi^k.

Но условия (а) и (Ь) несовместимы. А

Итак, во всех случаях мы «отщепляем» некоторое невырожденное действительное инвариантное подпространство, дающее нужный вклад в VOd или Veil, и переходим к его ортогональному дополнению. К последнему применяем, те же самые рассуждения.

Если к = 0, то получаем подпространство, базисом которого является элемент X, такой, что РХ = рХ, a(X,X) = ±L В этом случае X вместе с X добавляется к Vco. Это доказывает 3.2.4.

Дополнение следует из теоремы и ее доказательства. ^ Пояснения требует только изотропность пространства 3 ф У^, in, р при р = ±1. По построению оно является ортогональной прямой

суммой подпространств, имеющих вид'

V^у, in, р ф Vеч), in, р.

Здесь оба слагаемых изотропны, однако их ортогональности друг другу мы пока не проверяли. Но при i, j>-l

а((±Р-1)‘Х, (±Р-1уУ) = ±а((±Р-1у+/Х, У) = 0,

ибо t + />2Z = A. * □

Лемма. Пусть V2" = V4„® Vun —ортогональное разложение на невырожденные действительные подпространства. Пусть V fn с Vin — инвариантное действительное изотропное подпространство и V"cVin — изотропное подпространство *\

Утверждение, (i) Проекция V" П (Ум ® Vun) на Vuqn параллельно Vtn является максимальным действительным изотропным подпространством Vun С Vun-

Ve ".= Vin® Vun —максимальное изотропное подпространство в У2".

(ш) Существует такое VqeV", что V" = Vin®Vq.

Доказательство. Положим V" П Vptn = V^, где k — размерность этого подпространства. Пусть V*n — изотропное дополнение Vp„ в V4n, т. е. дополнение, само являющееся изотропным подпространством **>. Пусть, далее, V*z — проекция V” на У*„ параллельно VPn®V4qn. Для каждого X* eV*1 найдется такое X'е eVin®Vuqn, что X* ®Х' = XTeVnu и любое X^eVv представляется в таком виде. Поэтому при любых X* eV*1, Y eVu имеем

a(X*. У) = а(Х* + Х\ У) = а(Хт, У) = 0

(используем сначала, что Y eV?n и что Vpn изотропно, а Vun ортогонально VSn, затем —что YeV" и что V" изотропно). Но

♦’ В самой лемме инвариантность Vpn не используется, но она играет роль при применении леммы (см., например, конец доказательства 3.2.11). Использование индекса и в V" связано с тем, что при этом применении у нас появится понятие «вертикального подпространства» и это будет как раз V". .

♦♦’ Существование такого дополнения легко доказывается и является известным фактом линейной алгебры (например, он формально следует из теоремы Витта о продолжении линейных отображений, сохраняющих симметрическую или кососимметрическую билинейную форму, а по существу устанавливается при доказательстве этой теоремы).

V*1 и Vu изотропны (как подпространства изотропных подпространств). Поэтому V*,-\-V1tn изотропно. Сумма здесь прямая: V*zf]V^cV*n f|V?n = {0}. Так как ограничение a\V?n©V*n невырожденно, то А + /^р, т. е. ^т(У"п(У?п фУип)) = » — ^ ^«4-^ —р. Поэтому проекция Vun этого пространства на Vun параллельно Vpn имеет размерность д' ^п — p = q.

Однако для любых X, Y из Vun найдутся такие элементы X', Y- из Vpin, что их суммы дадут элементы из V^; поэтому

а(Х, Y) = a(X + X', Y+Y') = 0

(используем сначала, что a(Vf„, V^) = 0 и что Vpn изотропно, а затем —что V" изотропно). Поэтому Vun изотропно. Значит, д' = д, что и доказывает (i). Части (п) и (iii) непосредственно следуют из наших конструкций. (В качестве Vp берем д-мерное подпространство в У"О(У?П® Vu»\ проектирующееся (параллельно Vin) на все Vun-) □

Предложение. Пусть V9 с. Vй9— действительное максимальное изотропное подпространство. Пусть | р | = 1 и р не является собственным значением симплектического изоморфизма р- у2?->уг»

Утверждение. Qp (X, У):= —2a (X, (Рр — 1 )-1 F) — эрмитова форма на V9. Ядром формы Qp является V9 f) (Рр — 1) V9.

Доказательство. Положим (Рр — 1 )-1 X = S, (Рр — 1 )-1 У = Т. Тогда Qp (X, У) = —2a (X, Т), У = — Т + РрТ,

0 = 2а(Х, У) = —2а(Х, Т) + 2а(Х, РрТ) =

= QP(X, У) + 2а(Рр5-5, РрТ) =

= QP(X, У) + 2а(5, T)-2a(S, PpT) =

= QP(X, У) + 2а((Рр-1)Т, S) = Qp(X,y)-Qp(y, X).

Наконец, У принадлежит ядру Qp тогда и только тогда, когда а(У’, Т) = 0, т. е. Т eV9. Следовательно, У е V9 П (Рр — 1)У?. □

▲ Замечание. В тех же предположениях если У eV9 принадлежит ядру Qp, то У = (Рр—1)Х, XeV9; значит, РХ — = р(Х + У)еУ». Итак, РХ е V9 и XeV9; иными словами, X е V9 f) P""XV9. Обратно, если X е У? П P-XV9, то X е V9 и РХ е V9, а тогда У : = (Рр — 1) X — элемент из ядра Qp. Следовательно, Рр—1 изоморфно отображает V9V\P-XV9 на ядро Qp, а потому дефект Qp не зависит от р. (Напомним еще раз, что все это относится к тому случаю, когда р не является собственным значением Р.)

Покажем, что индекс Qp как функция от р постоянен на тех дугах окружности Sx = {p; |р| = 1}, на которые ее разбивают собственные значения р, преобразования Р, равные по модулю единице. Это вытекает из следующих общих фактов: если на V9 имеется некоторая эрмитова форма Qx, непрерывно зависящая от некоторого параметра X (он может принимать значения в произвольном топологическом пространстве; в нашем случае Хе G=SX-(UP/)), то

индекс Qx — полунепрерывная снизу функция X,(индекс + дефект) Qx — полунепрерывная сверху функция X.

(В нашем случае, когда дефект постоянен, получается, что индекс непрерывен по X, так что, будучи целочисленным, он должен быть постоянным на компонентах связности S1 — (U р7).) Поскольку

(индекс + дефект) Qx = q — дефект QK,

то достаточно доказать только полунепрерывность дефекта. Снабдив на минуту V9 положительно определенной эрмитовой метрикой (• , •), представим Qx(X, У) в виде (АхХ, У) с эрмитовым оператором Д^; тогда индекс Qx равен числу отрицательных собственных значений Ах (с учетом кратности), т. е. числу отрицательных корней уравнения det(x—Дх) = 0, коэффициенты которого непрерывно зависят от X, причем старший коэффициент равен 1. Очевидно, при малом изменении X число отрицательных корней может только увеличиться (если нулевой корень станет отрицательным). А

Теперь мы подошли к важному обобщению понятия индекса замкнутой геодезической с. Напомним, что ind с = 1С определялся как размерность отрицательного подпространства индексной формы Оа£(с) на пространстве ТД = ТДМ, элементами которого являются периодические Ях-векторные поля вдоль с (см. 2.4.1).

Пусть ре С, |р| = 1. Обозначим через рТД = ДДМ гильбертово пространство комплекснозначных Ях-векторных полей ^(t) вдоль c(t) (т. е. £(/) е TcWM®<D^TcWM®iTcWM, ReC и ImC — вещественные Ях-поля), удовлетворяющих условию р^(1) = С(0), со скалярным произведением

<?, ^1 = ^, Оо + <4, Ч')о.

ср. с § 1.2. Здесь

<:, n)o-S<uo.s

▲ Сейчас подразумевалось, что £ определено при O^f^l. В зависимости от контекста иногда удобнее считать, что ZeR или хотя бы /е [0, /и] —см., например, запись £z(mQ в 3.2.8.

Тогда вместо «краевого условия» £(l) = p£(0) подразумевается выполнение условия £(<+1) = р£(0 при всех t (при которых оно имеет смысл). Заметим, что последнее условие имеет смысл и для полей класса Н°. Полезно иметь в виду, что при его выполнении (^ (< + !)> л(^+0> = <С(0» ^(0) (почти всюду, если и 4 — класса Я0) и т

<5, П>0 = ^ 5 <£(Л, ^dt.о

Когда говорят, что £ —класса С", то это означает не только С”-дифференцируемость £ на [0, 1], но и то, что при продолжении £ на R посредством соотношения ^(<+1) = р^(/) получается поле класса С”. Иными словами, не только С (1) = Р^ (0), но и производные Vv£(1) = pVv£(0) при v=l, .... п. к

Далее, на РТСА определена p-индексная форма

Мр (с) й, С') = С, ^>1 - <(КС + id) ^, £%

Так же как в 2.4.2, можно показать, что соответствующий самосопряженный оператор РЛС имеет вид id + р^с, где pkc — компактный оператор*'. В частности, размерность отрицательного подпространства оператора РАС и размерность его ядра конечны. Эти размерности называются p-индексом геодезической с, 1С (р), и р-дефектом геодезической с, Яс(р). При этом мы предполагаем, что p=# 1. Если р = 1, то в соответствии с предыдущими определениями (см. § 2.4) определим ЯД1) как размерность ядра оператора Ас минус единица.

По поводу интерпретации p-индекса см. (и) и 4.1.5.

Важность этих понятий впервые была обнаружена Боттом [3]; она связана со следующими фактами. Напомним, что мы опреде-

*’ Как и раньше, рйс = (1 — V2)-1-(Kc + id), где (1 —V2)-1 —оператор, сопряженный с вложением I; рТсХМ С—^ Н° (с*ТМ), а Кс (С) (0 := R К (0> с (0> с (0); ясно, что Кс переводит рТсХМ в себя. (На зависимость (1—V2)-1, i и Кс от р наши обозначения не указывают.) Мы рассматриваем (I — V2)-1 только на рТсХМ (т. е. фактически речь идет об операторе (1—V2)-1 - i); в этом случае его компактность очевидна. Мотивировка обозначения (1 —V2)-1 та же, что и выше. По-прежнему, когда £ —класса С2 (или хотя бы когда £—класса С1, a V£ — класса Я1 и £ (<+1)=р£ (0)> имеем

<V£, V£')o=— <V2£, £'>0

(интеграл от ~ (V£, £')0 равен нулю из-за краевого условия). С другой стороны, дифференциальное уравнение (1 — V3) ^ = т) при любом ч, удовлетворяющем условию ч(<+О=РЧ(О> имеет единственное решение, удовлетворяющее тому же условию, и £ = (1—^2)-1ч<

лили /n-кратное повторение с"* замкнутой геодезической с с помощью равенства с”^) = с(</п); см. § 2.2.

Предложение. Пусть р — примитивный корень из единицы степени т. Пусть с = с^, 0^t=с 1, — замкнутая геодезическая.

Существует такой линейный изоморфизм *>

,; ^-А.^ ^У-

т

что

i=\

Обратное отображение есть сумма ®j£ отображений

h- ptTcA^TcmX, ^^(тЩ)

(т. е. U^H0 = ^W

хЗамечание. Поясним смысл 3.2.8. z\ = etot!m изометрически действует на ЛМ (§ 2.2). Поскольку xz. ст = с”*, то Txz (с”1) — изометрия ТстЛ, продолжающаяся до унитарного оператора при комплексификации. Его т-я степень равна id, так что собственные значения суть pz. Собственные векторы, отвечающие собственному значению pz, — это векторы из подпространства /z (р^Л). В 3.2.8 описано разложение вектора £ на компоненты, лежащие в этих подпространствах. Все это понадобится нам в §4.1, а пока формально проще дать следующее «вычислительное» доказательство 3.2.8. *

Доказательство (ср. Клингенберг [15]). Легко проверить, что Ц<=р1ТА. Ясно также, что отображение I линейное. Обратное отображение определяется соответствием (£1(0» • ••» Cm(O)1—*

5 W

i=\

В самом деле, 22^P^V+i-^WY так как

I I

Ур<(Н)в( 0 для/^i,/п>1,i \ т для /= 1. □

Теорема. Пусть с —замкнутая геодезическая и ст — ее т-кратное повторение. Тогда индекс ст равен сумме p-индексов с по всем корням р степени т из единицы, а дефект ст равен аналогичной сумме p-дефектов с*.

£ W Ми(1)= S W

рт = |рт = 1

*• Тс^ подразумевается комплексифицированным.

Доказательство. Пусть ^(0 = 5j^(m0> £'(0 = 5j&(m0 и р — *I

примитивный корень из единицы степени т (см. 3.2.8). Тогда

_ Чт_

D»EW^ И = 5 $ №(mt), 4iW- k, I О

- Кс (Ik (mt)), & (mt)» dt X [1 + P(*"z>+• • •+P^1’ (*-Z)] = = 2. D'E (<?”)№, j^'k).

k

Таким образом, Da£ (с") — прямая сумма ограничений ОгЕ (с”) | jk (р»Т Л) формы D^E (с^) на прямые слагаемые пространства ТсщА, описанные в 3.2.8. □ (4в)

Замечание. Предыдущий результат получен Боттом [3]. Он демонстрирует полезность функции рн*Ic(p), peS^C, /c(o)gN. Эта функция дает полную информацию об индексе всех кратных повторений замкнутой геодезической **. Основная цель этого параграфа состоит в том, чтобы показать, как эта функция определяется линейной частью геодезического потока вдоль соответствующей замкнутой траектории геодезического потока.

Мы по-прежнему рассматриваем замкнутую геодезическую с длины го и соответствующую замкнутую периодическую траекторию дЛ Хо = с (0)/| с (0) | периода го. При этом мы не предполагаем, что с однократна, т. е. фД имеет минимальный период <в.

Касательное расслоение тт.м: ТТхМ-*-ТхМ имеет подрасслоения # ПТХМ-*ТХМ, tf: Т"ТХМ-*ТХМ, которые определяются следующим образом. Слой расслоения т*

' Можно сказать еще так. Исследование D2£(cm) очевидным образом эквивалентно исследованию функционала

m

j {<V5, V5>-<RG(O, c(0. = (0), 6(0»^

о

задающегося тем же выражением, что и О2£ (с), но на другом классе вектор- функций —на вектор-функциях, определенных на интервале [0, т] и удовлетворяющих «периодическому краевому условию» £(0)=£(т) (разумеется, по-прежнему эти функции класса Н1 и | (/) е Тс «)Му Теорема 3.2.9 сводит задачу об индексе этого функционала к определению индексов функционалов на «стандартном» единичном интервале, задающихся снова тем же выражением, что и D^E (с), но при других краевых условиях. В связи с этим заметим, что почти во всех работах интересующего нас направления (как и в теории дифференциальных уравнений) рассматриваются и более общие самосопряженные краевые условия.

над Хо г ТгМ состоит из тех (X, 0) е ТХонТМ, для которых (X, Хо> = 0, а слой расслоения т2 над Хо е TtM состоит из тех (0, Y) еТХ(>0ТМ, для которых (Y, Хе) = 0**.

Дифференцируемое отображение R->7\A1, it-*ф/Х0, индуцирует расслоения**’ tJ: VJ->R, tJ: V"-*R. Прямую сумму т"®т" этих расслоений мы будем обозначать также через т2": У2"-^. .

Так как фшХ0 = Х0, можно образовать факторрасслоения над 5Ш: = R mod <oZ:

т%: Vnh-*Sa, ^ VI-^S^ тгп-. Vln-*Sto.

На слоях расслоения т2" определена симплектическая форма а; см. 3.1.3. Кроме того, дифференциал Тф/ геодезического потока действует как однопараметрическая группа симплектических линейных послойных отображений на т2”; см. 3.1.6, 3.1.7. В частности,

Тф»: К2л(0)-*У2п(®) = У2"(0)

— линейное симплектическое преобразование. Оно является дифференциалом отображения Пуанкаре З1 в точке Хо е S; см. 3.1,10. По этой причине Тфш | V4” (0) мы будем обозначать также через Р и называть линейным отображением Пуанкаре***’.

Теперь применим к симплектическому преобразованию Р: У2" (0) -► У2" (0) результаты, полученные в начале этого параграфа. Согласно 3.2.4, мы можем написать У2"(0) = Vsu®VOd® @Vev®VC0, и, кроме того, у нас определено действительное инвариантное изотропное подпространство Vto=Vs® VOdjn® VeTii„; см. 3.2.5. Заметим^ что PVPin = Vtn, ибо это так для всех прямых

'Слой (т")-1Х0 = ТхТгМЛТх^ТМ, но (тд) 1Х0 не совпадает ° ^хУ1^^ХоН^^"' последнее пересечение есть само Г XohTM.

*’ «Обратные образы» предыдущих расслоений т^ и Тд при этом отображении. Эти «обратные образы» (и еще некоторые расслоения в следующем абзаце) автор обозначает теми же буквами. Смысл всегда ясен из контекста. Как это часто бывает, верхние индексы здесь показывают размерность слоя, а не всего пространства расслоения. Слой над точкой / обозначается через I'M ^(0, ^(О-

**' Более общо, 3 может строиться с помощью других локальных трансверсальных гиперповерхностей, нежели та конкретная гиперповерхность, которая описана перед 3.1.9. Дифференциал 3 в точке пересечения гиперповерхности с рассматриваемой периодической траекторией мы тоже будем называть линейным отображением Пуанкаре. По существу, это последнее отображение Р определено, если фиксирована некоторая гиперплоскость V в касательном пространстве к фазовому многообразию в рассматриваемой точке периодической траектории, трансверсальная к вектору фазовой скорости. В общем случае ТфюУ ± V, поэтому Р, вообще говоря, не совпадает с 7<рю | V, но получается из этого ограничения при последующем проектировании на V параллельно вектору фазовой скорости.

слагаемых V $, Vod^n,^, Vei),ln,p\ для последних двух это видно из формулы

Р(Рр-1)^Х = р(Рр-1)/+1Х + р(Рр-1)/Х.

Для каждого Уеу> р> - := Ve0> р® Реу> р рассмотрим двумерное подпространство

vro.un.p,p-=^Pp-xyx, (Рр-1)^},

где (Рр-1)/^, (Рр-1)/1, 0^/^2/, /> 0, —базис Vey> р р.

Замечание. PV еи. ип, р> 5=V№1 „„, р, -mod Vee, ln> ^V^ (n, -. Определим Vro< an как прямую сумму этих V р- -. Тогда dim V еи, ип= = 2^„„ где kev — число подпространств ¥в01Р,р- (Ср. с замечанием после 3.2.5.)

Положим

У^УсоФ^.л»

и определим VLicV^n как проекцию У"(0) Г)(Ум@ У««) в V^ параллельно V^n\ см. 3.2.6 *>. Положим У?:=У&фУ£п. Это лагранжево подпространство в Уг"(0) (*’).

Для /е[0, <о] положим № (0 := ^(ОЛ^ф/Уе-

Предложение. Предположим, что i0 = dim W (t0) > 0. Выберем такой базис

V.^-kY^VY^, X^j^n,

полей Якоби для T^tVe, что V,^, X<.i<.i0, является базисом для W (/0).

Утверждение, (i) Элементы 4Yf{t0), X^-i^io, и Y/(t0), j>i0, линейно независимы.

** Здесь мы не определили, что такое У®^. Однако очевидно, что можно следующим образом изменить формулировку леммы 3.2.6: считать, что задано не разложение У2л = У^фУ%, а невырожденное действительное подпространство У^ и действительное изотропное подпространство У?„, для которого «№ V^)*=0. Тогда можно вернуться к первоначальной формулировке, определив У^ как ортогональное (в смысле а) дополнение к У^.

±i 0 \. 0 + и*±i 0 \. 0 + и*В нашем случае невырожденность У®’ следует из невырожденности его ортогональных прямые слагаемых Усо (см. 3.2.4) и V^ цп р р — из 3.2.3 (ii) видно, что матрица Грама формы (X, У)н-►«(Х, К) относительно двух векторов (Pp—l)£X, (Pp—iyx есть

±i 0 \. 0 + и*

±i 0 \. 0 + и*

(И) При достаточно малом |f — Zo|^0 поля Y/(t), Y^j^n, линейно независимы. В частности, существует лишь конечное число таких t е [0, со], что W (t) 4= 0.

Доказательство. Если V(to)eW(to), то У(^о) = О, Поэтому векторы (^Yj (t0); 1 ^/^t0} линейно независимы. Векторы {У* (^о); fo + l<^^/i} тоже линейно независимы: ведь если бы было J] ahYh(to) = O, то У akYk(t0) е W (t0), а это противоречит 6Хо ~h>i,>.

тому, что Y., 1^/^/г, — базис T%V1. Наконец, векторы 7Уг(/0),... .... VYi, (to) ортогональны (в смысле римановой метрики) векторам Yu+1 (to)Y„ (to), поскольку 0 = a (Yb Yh) = - <W, (t0), Yk (t0)) для /^i'o, k">io- Итак, (i) доказано, (ii) легко следует из (i) (при достаточно малых |/ — /0| в подходящей локальной системе координат координаты Yj(t), Y^j^io, с точностью до o(t —10) совпадают с координатами (t —10) VYt(t0)). □

^Замечание. Обозначим

Vn(t):=(X®TcWM; (i(t), Х)™0).' _

Очевидным образом возникает расслоение V^-^-Sy, имеющее V"(0 своим слоем над t. Отображения 7'т, К; ТТМ-»-ТМ (второе из них является отображением связности Леви-Чивита, отвечающей используемой римановой метрике на М) индуцируют послойные отображения Гт, К". Vin-^Vn, которые мы позволяем себе обозначать теми же самыми символами и которые в терминах используемого нами представления (X, Y) для элементов У2"^) имеют вид

Тх.(Х, Y) = X, К.(Х, Y) = Y.-.

В этих терминах утверждение (i) из 3.2.10 состоит в том, что имеет место ортогональное прямое разложение

Vn(t») = Tx.T^.Vne®K.W(to). >'

Пусть peS1 не является собственным значением оператора Р = Т<р<6. Мы хотим определить некоторое отображение £р пространства W := ф W (t) в пространство Р7СЛ = РТСЛЛ1, гдес — по-прежнему замкнутая геодезическая, соответствующая периодической траектории <p,X0. Заметим, что dim W < об.'

Пусть Y (t0) е W (to), Y (t) — инвариантное векторное поле вдоль фДо. ^ = (Y, ^Y). Возьмем инвариантное поле Z(t) с начальным значением Z(0) = (Рр — I)-1 F(0). Пусть Z — соответствующее поле Якоби, т. е. Z—(Z, ^Z).. ■ .

Заметим, что pZ(/ + ro) = Z (0 + ^(0 при всех t, ибо ^Z(tA-a) = T^. Pp~Z (0) = Tq>(. Рр (Рр - 1 )-* Y (0), z (0 + у (О = Тф, • (Рр - I)-1 F(0) + T^t. Y (0),

a Рр(Рр-1)-1 = (Рр-1)-1+1.

Определим ^^(Y(/0)) е РТСА следующим образом:

£ (/) = Z (со/) + Y (at) = pZ (со/+го), O^/^/o/co;

£(/) = Z(co/), /0/и</<1..

Тогда, как явствует из сказанного, £(/0/<в—) —£(/о/со+) = 0, V£ (t»/a-)-V£ (Ш +)=^Y &), Р? (1 )-£(O)=pV£(1 )-V£(0)=0 * >. Мы видим, что действительно £ —элемент из РТСА, причем V£ —гладкое везде, кроме, быть может, точки /0.

Обычным образом £р (У) можно рассматривать и как функцию на всей оси / со значениями в Тс^М; тогда ^£Р(У)(/) имеет разрывы лишь при / = /0/tomodZ, а на отрезках [/о/со + ^, /о/to + ^ + 1]

^(Y)(t)=pkZ(at-ak).

Предложение. Отображение

£Р: W-*pTcAM _

линейно и инъективно. Кроме того, если £ = £Р(У(/0)), £' = £Р(У' (Св)), то D2EP(^, £') = <2р(Уап, УиП)а, где Qp —такая же, как в 3.2.7, a Yttn, Y„n —компоненты векторов У (0), Y' (0) е V«= V?n ф Vun в VSn-

Доказательство. Ясно, что £р | W (t0) инъективно. Кроме того, из £Р(У (/а)) = £р(У'(/;)) и У(/0)^0, У'(/в)^0 следует, что /0 = /о, т. е. £р инъективно.

Пусть теперь /^/0. Запишем $ в выражении для D8£p(c)(£ ,£') s

как интеграл от /0/<в до /о/<о+1- Тогда, воспользовавшись интегрированием по частям, получим

fo/to-4-1fo/to^l

Da£p(c)(£, S')= ( 5<V£, l')dt- J <V8£4-^C), V)dt.ty®fe/e

Вычитаемое, очевидно, равно нулю, а уменьшаемое равно <V£, ^> ^ф1- Но

(V£(/0/to+l-), ^'(4/to+l-)> = <pV£(/o/to-), pV(t0/ti>-)) = = <V£ (/о/to -), Г (/о/to -)),

*' При /0=0 соответствующие условия таковы:

р£(1) = £(0) и pV£(l-)-V£(O+)=<»Vy(O).

поэтому

О2£р(с)(^, t'b<vW®-)-vUV®+), 1ЦШ) == с»(7У(^), Z'(W.

Далее,-

2а (У (0), 2'(0)) = 2а (У (/0), 2'(М) = -(^У(4), ^(W

(другое слагаемое в выражении для а равно нулю, ибо У (^о) = О). Значит,.

D2Ep(c)£, £') = —2а(У(0), (Pp-X)-i"f'(O))to = Qp(Vun, У'п)ю.

Переход от Qp (У (0), У' (0)) к Qp (Уил, У„л) возможен потому, что alVL V^ = 0 (см. конец (47)). □

Теперь мы в состоянии доказать теорему о p-индексе; см. Клингенберг [15], Кушман, Дёйстермат [1].

Теорема. Пусть с —замкнутая геодезическая. Пусть Р —линейное отображение Пуанкаре для соответствующей замкнутой траектории геодезического потока, и пусть р е О, | р | = 1.

Утверждение, (i) p-дефект Nc(p) геодезической с равен размерности собственного подпространства отображения Р, отвечающего собственному значению р.

(и) Пусть р не является собственным значением Р. Тогда p-индекс геодезической с равен Ic (р) = Jc-\-Mp, где

Jc= S dim^(/) + dim(y:(0)nyfn), 0<f <и

Мр = (индекс+дефект) Qp.

Замечание. Индекс 1С (р) выражается как сумма двух величин: Jc, которая не зависит от р, и Мр, которая зависит только от р и Р. Таким образом, если ни одно из собственных значений отображения Р не является корнем из единицы, то мы получаем следующую формулу для индексов всех кратных повторений ст геодезической с (см. 3.2.9):

ind ст = т]с-\- У Мр.

pm = i

Существование такой формулы для 1с(р) (и, как следствие, для Цст)) было доказано Боттом [3J. Однако он не определил константу Jc, и у него не было явного описания Мр (см. подстрочное примечание в конце настоящего параграфа *').

*’ Отметим еще, что Эдвардс получил некоторое описание разности /с (р) и индекса D2E® (с) (очевидно, не зависящего от р), из какового описания видно, что эта разность зависит только от Р и р. (См. Эдвардс [1], предложения 2.6 и 8.3. На самом деле там рассматриваются более общие краевые условия. См. также Кушман, Дёйстермат [1].)

Наконец, заметим, что теорема демонстрирует важность функции р н-► Л4Р, р е S1 — {р/}. Как мы видели в замечании после 3.2.7, Мр остается постоянной на компонентах связности S1 —{ру}. «Скачки» возможны только в точках ру. Подробнее см. 3.2.16, Клингенберг [15].

Доказательство. Ядро оператора рЛв = 14 + р^с состоит из решений уравнения

(t)v^U0+^Ю(О=о,

удовлетворяющих условию p£(l) = £(O),pV£(l) = Vg(O). Для р = 1 это следует из 2.4.4. Для произвольного р, |р| = 1, это можно доказать так же, как 2.4.4. Действительно, то, что £ принадлежит ядру D4Ep(c)» означает, что

D4EP (с) (£, Л) = 0 Для всех т]ерТвЛ.

Так как t, дифференцируемо *\ то мы можем с помощью интегрирования по частям переписать это условие в виде

(ft) <V2C + Кс (9, П>0 = -<Ч (0. £ (0> к=о = о, для всех т) е РТД.

Но (ft) при ^ерТсЛ. эквивалентно (t) и условию р?£(1) = = 4(0).

Решение £ уравнения (f), удовлетворяющее условию (£(?). с(ф = 0, определяет поле Якоби У(О = С(^/®), для которого рР(со) = У(0), т. е. (Рр—1)У = 0. Обратно, такое У определяет решение £ (0 • = У (to) уравнения (f). Наконец, заметим, что при р ^= 1 эти £ и У ортогональны с (при всех t\ Тем самым мы доказали (i).

Для того чтобы доказать (ii), рассмотрим отображение Хр: £р№ -> Vun. которое элементу £р (У (/0)) ставит в соответствие компоненту Уил(0) вектора У(0)еУ” в разложении У? = У?пфУ2л- Из 3.2.11 следует, что это отображение корректно определено. Отметим, что Хр сюръективно, — более того, уже Хр j U7 (0) сюръективно, ибо каждое Ую(0)еУ’„ встречается как компонента некоторого элемента из Vo с W (0) = У" (0) П V" (см. 3.2.6 (Hi)).

Подпространство £pW с РТСА не содержит ненулевых элементов из ядра формы D^Ep (с) * * >. Из 3.2.11 мы знаем, что D4EP (с) (£, ^) =

*’ Поскольку £ = — ркД и рАс повышает гладкость.

**’ Поскольку при det (Рр—1)^0 ядро тривиально. Впрочем, и при det(Pp —1)=0 в ^pW нет ненулевых элементов из ядра—последние дифференцируемы, а каждый ненулевой элемент из £р№ имеет «излом».

= Qp№ W®1 Поэтому

(tt t) /е (р) ^ (индекс + дефект) D2EP (с) | £р№,

индекс D2EP (с) | ^PW = индекс Qp,

дефект D2EP (с) | t,pW = dim ker Хр + дефект Qp.

д Поясним (111). Пусть Е с £р№ — подпространство размерности (индекс + дефект) D2EP (с) | tpW, на котором О^р^^О. Аналогично 2.4.3 разложим РТСЛ на подпространства, отвечающие отрицательным, нулевым и положительным значениям РЛС:

Р7'СЛ = РТ"Л © РТ»Д © РГД.

Пусть р-, р0, р+— проекции на эти подпространства. Тогда ker (р_ | f) = 0 (откуда и следует, что dim£^dimpT;A=/с(р)). В самом деле, если £ е Е, £ =# 0 и рЛ = 0, то рЛ Ф 0 (иначе t, е рТсХ, т. е. EPW содержало бы ненулевой элемент из ядра гессиана D2Ep(c)*>). А тогда D2Ep(c)&, Ь = (РАсрЛ. P+Di>0. ж - ■ Поскольку

dim ker Хр = У, dim W (0 + dim ker Хр | W (0) = Jc, 0<<<о>

(ind + nul) Qp = Afp,

то остается только доказать, д что в (11 t) на самом деле можно . поставить знак равенства. Используя введенные выше обозначения, это можно перефразировать так: р_Е = РТ,Д. Справедливость такой перефразировки не зависит от выбора Е, который не единствен. Выбирая Е подходящим образом, можно показать, что достаточно доказать а следующее: если дифференцируемый элемент ^ерТсЛ таков, что 5^0 и D2Ep(c)(t,, |) = 0 при всех geSpIF, то Ь^Ер^с)^, |)^0. д Достаточно даже доказать это только для таких 5, для которых (с(0, 1(0) = 0 при всех t. * (48)

Пусть С - Ср (f (М)- Тогда 0 = D2EP (с) (g, g) = <vy (/0), g (4/ш)> (то же вычисление, что в доказательстве 3.2.11). Если ^/(0), 1 sC / ^/г, — действительный базис пространства V", то, согласно 3.2.10, 5(0 можно записать в виде 5(0 = У, ^(0 У#(1сй) с диф-

I

ференцируемыми ^(0- (48).

■ Мы можем предположить, что У/(0)гУ^, 1^/^р, Р*(0)е еУр, &>р (см. 3.2.6). Следовательно, ty*(O) = O при k>p (60). Так как РУ?П = У?„, то У,(со) = 5а^}(0), К/, /<р. Из

*' Как видно, в этом рассуждении не используется, что р7'”Л={0}.

р£(1) = ^(0) s И^ следует, что су6(1) = 0, к">р, и aV(0) = = ^jP0^(D, 1=^Ь 1^р. (80) Тогда

i

s Is I+ $ S /2 ^ ^ ^ ^- 2 ^ w Yj <^)\ dto.0' кI'+ $ S /2 ^ ^ ^ ^- 2 ^ w Yj <^)\ dto.0' кI'D^E^c)^, £)=$ S^(0^/(M2^ +

s I

s I

+ $ S /2 ^ ^ ^ ^- 2 ^ w Yj <^)\ dto.0' кI'

+ $ S /2 ^ ^ ^ ^- 2 ^ w Yj <^)\ dto.0' кI'

А Это равенство получается так: выражение в правой части, если в нем выполнить дифференцирование и заменить (V2yfe)(to) на — R(Yk(to>), c(t<o), c(ta)), отличается от стандартного выражения для D2^^)^, |) на

2 wh(t)^ (/)2а (Y# (to), y*(to))w. к, i

Но последнее равно нулю, так как V" изотропно. Отбрасывая теперь ^Ы2^ и учитывая, что ^^Y,^^, и 1(1) = р|(0), получаем

D»EP(с)(6, l^miY^(07У6(to), j(t)\ 1 = \ к/ 0•

= to /р 2 w* (1) ¥УЙ (о) - 2 w” (0) 7У6 (0), | (0)\. \ кк/

Можно считать, что суммирование ведется по к=1,.... р. Тогда ррр

p^^^Yk^-P S ^(1)^(0) = 2^(0)7УД0)

6 = 1k,i = l/ = 1

и (., .> = 0. А □

Замечание. В некоторых случаях Vun = 0, т. е. р = п, V" = Vu •

Это происходит тогда, когда в разложении 3.2.4 пространства V2” по отношению к Р подпространства Yen и Усо оба равны нулю. Важным примером является случай, когда отображение Р гиперболическое, т. е. не имеет собственных значений, равных по модулю единице. Тогда соответствующая замкнутая геодезическая также называется гиперболической.. ■

Следствие 1. Предположим, что замкнутая геодезическая с гиперболическая. Тогда■

/с(р)= 5 dim (F5 (0 П ^" (0), indc” = mindo.

0</<а>

Здесь V" (0 = TtptVs (0) — так называемое устойчивое подпростран-

ство, образованное теми полями Якоби *\ ортогональными к"с**\ которые стремятся к нулю при t-^-eo.

Доказательство (см. Клингенберг [12]). Согласно предположению, Ка" (0) = V" (0) 4- Vnu (0) (см. 3.2.5). Здесь У"(0) порождено корневыми подпространствами V (р) с | р | < 1, в то время как К2(0) порождено V (р) с |р|>1. Остается добавить, что в нашем случае К^ = {0}, У" = У?(0). □

Следствие 2. Пусть c = (c(t), O^t^ш) — невырожденная эллипти ческая **** замкнутая геодезическая на поверхности М, т. е. dimM —2. Обозначим через k число сопряженных с с(0) точек вдоль с^ на интервале ]0, ю[ ****). Если с ориентируема {неориентируема}, то индекс с равен £+!{£} или к {^4-1} в зависимости от того, четно к или нечетно. В частности, на ориентируемой компактной поверхности индекс эллиптической замкнутой геодезической всегда нечетный.

Доказательство (ср. Хедлунд [1], Клингенберг [19]). В нашем случае » = 1, р=1 (речь идет об обычном индексе), V2(0) = VCO = = Vun, р = 0, Ki(0) = VU = Ke = W (0), все нетривиальные IK (f) одномерны. Тогда формула 3.2.12 дает 1с = к. Осталось определить число

М1 = (индекс 4- дефект) Qx на KJ(O).

Рассмотрим сначала случай, когда с ориентируема, т. е. нормальное расслоение К1->5Ш иммерсии с: 8у>-*М тривиально. Выберем ортогональный к с(0) единичный нормальный вектор Е. С помощью параллельного переноса вдоль с получаем каноническое отождествление нормальной к с прямой, являющейся слоем над t е 5Ю, с нормальной прямой — слоем над 0 е 5И. Кроме того, каноническое отождествление расслоений тд и ri над 5Ю с нормальным расслоением приводит к каноническому отождествлению расслоения т2 = тАфт^ K2^-Sto с тривиальным расслоением S^xR2, где слой R2 обладает ортонормированным базисом Eh —

*' Точнее, значениями в точке / инвариантных векторных полей У = (У, VY) геодезического потока.

. **• Для которых У ортогонально к с.

***’ Все собственные значения Р лежат на единичной окружности и ^= 1, причем если они равны —1, то элементарные делители Рс должны быть простыми. (Иногда в определение эллиптичности включают еще требование, чтобы —1 не было собственным значением, но в нашем случае это не нужно.)

****’ Напомним определение сопряженных точек в общем случае. Точки tx и tg называются сопряженными (вдоль с; говорят также о сопряженных точках (на) с), если существует нетривиальное (не равное тождественно нулю) поле Якоби, обращающееся в нуль при t=^tx и при ^/а.

= (Я, 0), Ev = (0, Е). В этих терминах, если векторное поле Y (t) вдоль о(О всюду ортогонально с(0 и имеет координату y(f) «по нормали» (т. е. Y (t) = y(t) Е (t)), a Y (t) — (Y (t), NY (t)), то

Y(t) = y(t)Eh(t)-\-y(t)E,>(ty

и уравнение Якоби сводится к Р(0+^(б(0)у(0 = 0, где k (о (0) — кривизна М в точке c(t\

Обозначим через

Я (0 = х (0 Eh + х (0 Ev.^^ = У № + у (t) Ё,

фундаментальную систему решений уравнения Якоби (точнее, соответствующей системы уравнений в вариациях), т. е. инвариантные векторные поля с начальными значениями (х (0), ^ (0))=( 1,0)с (у(0), у(0)) = (0, 1). Тогда матрица отображения Пуанкаре Р; запишется в следующем виде:

№) у(<о)\\х (<в) у (to))

где 2 —х(ю) —^(ю)>0, так как Рс—эллиптическое •>.

Так как Y (0) е УУ то нам достаточно вычислить

Qi (? (0), Y (0))2а ^ (0), (Р — 1)-1 У (0)) - (NY (0), Z (0)),

где, как обычно, Ё(1) обозначает инвариантное векторное поле о начальным значением 2(0) = (Р —1)-1У (0). Разложим Z(t) по базису Ёп, Ev. Z(f) = z(t) Ен + ЦГ) Ещ. Тогда (NY (0), Z(0)) = z(0). Вычисляя z(0) из линейного уравнения (Р —1)2(0) = У (0), получим, что

(*)z(0) = — у(ю)/(2 — х(а)~ у(т)); 2-x(to)-y(to)>0.

Число к точек на интервале ]0, ®[, сопряженных с с(0), равно числу пересечений Y (t) с вертикальной осью R£T. Все эти пересечения трансверсальны, и в момент пересечения У (0 движется по часовой стрелке.

Пусть к четно. Это эквивалентно неравенству у(<о)^О, в котором у(ю) = 0 лишь в тех случаях, когда У (0) — собственный вектор отображения Рс, отвечающий собственному значению —1. Из (*) получаем, что У1(У(0), V(0)) ^0, т. е. M^l. С другой стороны, если к нечетно, то у(<о)<О, т. е. z(0)>0. (Возмож-

*’ Собственно, условие эллиптичности есть 2>х(<в) + ^(о)^—2 (причем если имеет место равенство, то дополнительно требуется, чтобы элементарные делители Рс были простыми), но нам понадобится только указанная выше его часть.

7 В, Клиигенберг

ность у^ = 0 исключается, так как по условию у Рс нет собственного значения 1.) Поэтому Mi = 0. Это завершает доказательство 3.2.14 в ориентируемом случае.

дВ неориентируемом случае нормаль Е после одного «обхода» вдоль с переходит в —Е, а т2" получается из [0, ro]x!R2 при отождествлении (0, х, у) с (т, —х, —у), так что Рс представляется матрицей

— х(ю) — у(ю)\

— ^(со) — у (го)/ и

(**)Z (0) = у (ю)/(2+х (to) + у (<в))

(знаменатель положителен ввиду эллиптичности Рс; в данном случае это означает, что 2> —х(го) —у(<о)^—2, с обычным добавлением в случае равенства). Четность к означает, что у(м)^0, причем у(ю) = 0 только в исключенном случае, когда PCY (0) = = Y (0). Тогда из (**) получаем Qi(K(0), У(0))>0, и ^ = 0. В случае нечетного к аналогичные рассуждения показывают, что ^=1. А □

Пусть Р = РС — отображение Пуанкаре, соответствующее замкнутой геодезической о. Собственные значения Р, по модулю равные 1, мы будем записывать в виде (ру, ру) = (е2л:<0/, е-2^0/), 1^/^/—1, где tio = O^ai<...<a(-]^й; = 1/2- При этом мы не исключаем возможность того, что 7—1=0, т. е. Рс не имеет собственных значений, равных по модулю 1.

Из 3.2.12 видно, что p-индекс /с(р) геодезической о, рассматриваемый как функция на S, постоянен на компонентах связности S —{р/, p/i 1^/^/ —1}. Обозначим через Icj значение функции /с в точке p = e2llZo, ay_1<a<a/, 1^/^/. Положим

ii

ac = 2^ Iс,Да) а^Д, рс = 2 2 Ic,j«l=ii=i

Используя эти числа, получим оценку для роста индекса кратных повторений с”, /и=1, 2, ..., геодезической о.

Лемма. Пусть с —замкнутая геодезическая. Тогда индекс I ст т-кратного повторения с удовлетворяет соотношениям (*)тас — рс</ст<тас + рс.

Замечание. Слабая форма неравенства (*) содержится в полученной Боттом формуле для «усредненного индекса» Ic = lim 1ст!т\ т-*со

см. Ботт [3]. Громол и Мейер [2] заметили, что формула, похожая на формулу (*), может быть получена из результата Ботта.

Кроме того, слабый вариант (*) получен Клингенбергом [16]. Настоящая формулировка принадлежит Циллеру [1]. Можно показать, что в общем случае это наилучшая оценка.

Доказательство. Нам потребуется, что 1С (ру) ^ /с (р) для р, достаточно близких к ру. Это следует из непрерывности по р спектра оператора РАС, определяемого формой О2Ер(с), т. е. оператора

p4c = id-(id-V*)-i.(^c + id): рТД^рТД-,

см. Ботт [3]. Это также следует из приведенных ниже формул 3.2.16. Если пожелать обойтись без этого результата, можно получить соотношение типа (*), заменив в определении рс числа Л./ на шах(7с,у, /с(ру), 7c(py-i)).

Из 3.2.9 мы знаем, что /ст = 27с(р), рт=1. Разобьем S на дуги, исходя из представления S в виде е^-л/г, 1/2] и разбивая ]—1/2, 1/2] следующим образом:

]—1/2, 1/2] = (U ]— ab —СЛ

v=i/ V=i/

Обозначим через kmj число тех корней из единицы p=£2,W”*, для которых aJ-i<h/m<.aJ-, через hm,-j — число тех из них, для которых — aj < h/m < — а;-х, через ^, / — число тех р, для которых aj-x^hlm^af, оно совпадает с числом k'm,-i тех р, для которых — йу ^ him ^ — а;-г. Для этих чисел имеют место оценки m (о, — ay-J - 1 ^ km, у = km, _у ^ Km, /—k'm, _ j < m (a, — a^) + 1.

Заметим также, что если /с, _у — значение /с(р) на дуге р = е8кг°, — aj<a<. — aj-x, то Ic,_j= IC>J. Действительно, 7е(р) = Л(Р), ибо отображение

НЧс*ТМ^НЧс*ТМ^ 6 i—l,

переводит РТСЛ в РТСЛ и при этом•

D»Ep(c)^ ^ = D»E-(cHt. fo-D'E^fc, 5).

Теперь имеем

mac-^c = 2^ Тс.Дпг^-а^-Г)^ ^ДкЛмЛ-I^km,-))^ /=ii=i

•i

Sz: 5 Ic (.P) = Icm ^ У1 Uc.jh'm. i-VIc.-ihm,—A=^i pm = l/='

I

<2 5 I С. Дпг (.a - a-jx)-\-^ = mac A-^q. Q

Замечание. Осталось исследовать /с(р0) для тех р0, ]р0|= 1, которые являются собственными значениями отображения Р. Мы уже знаем, что /с(р) остается постоянным, если р меняется в одной компоненте связности S1 — {р/}, где {р/} — множество собственных значений Р, лежащих в S1. Следуя Ботту [3], введем числа расщепления в точке р0 е S1:

' (>0,

(Ро) = Hm (Ic (р) - Ic (ро)), arg рр0 { пр-*Ре (

По аналогии с теоремой 3.2.12 можно предположить, что числа расщепления зависят только от р0 и Р. То, что это так на самом деле, было доказано Боттом [3], который использовал топологическую теорию пересечений. Совершенно другое доказательство элементарно-алгебраического характера предложено Клингенбер- гом [15]. В то же время в этой работе устанавливаются явные выражения для Sr(Po) в терминах «нормальной формы» отображения Р, приведенной в 3.2.4 (т. е. в терминах инвариантов строящегося в 3.2.4 разложения У2"(0) в прямую сумму инвариантных подпространств описанного в 3.2.3 типа) *\

Для собственного значения р0 отображения Р, |р0| = 1, определим следующие целые неотрицательные числа.

Рассмотрим сначала случай, когда Ро =#= 1. Определим ^ (Ро> Ро) как число тех одномерных подпространств типа 3.2.3 (ii) с Z = О, р = Ро, для которых в формуле с а из 3.2.3 (п) справа стоит соответственно ± I. Определим А^ (р0, р0) как число тех подпространств типа 3.2.3 (ii) с />0, р=р0, для которых в той же формуле справа стоит соответственно ±i. Наконец, определим

•' Тогда как Ботт охарактеризовал S^r (Ро) в терминах некоторых свойств некоторого вспомогательного двупараметрического семейства операторов, определенным образом связанного с Р и р0. Из этого результата Ботта следует его результат (упомянутый после формулировки 3.2.12) о том, что /е (р) можно представить как сумму некоторой величины, зависящей от с, но не от р, и некоторой величины, зависящей только от Р и р и постоянной на связных компонентах S1 — {р/}.

Существенная часть теории Ботта фактически связана с использованием грассманова многообразия комплексных лагранжевых плоскостей (т. е. изотропных подпространств максимальной размерности). Точнее, в этой теории рассматриваются пересечения некоторых кривых в этом многообразии с некоторым циклом коразмерности один. Впрочем, у самого Ботта рассмотрения велись в группе симплектических преобразований, и лишь по ходу дела (при разрешении особенностей некоторого псевдомногообразия) привлекались лагранжевы плоскости. Использовать последние с самого начала предложил Эдвардс [1]. В действительной области аналогичные объекты по другому поводу появились позднее у Арнольда [3]. Его работа получила широкую известность и оказала влияние (включая обозначения и терминологию) на те из позднейших работ об индексе, в которых используется н развивается топологический подход Ботта—Эдвардса.

kod (Ро. Ро) как число тех подпространств типа 3.2.3 (i) с р = Ро, для которых в формуле с а из 3.2.3 (i) справа стоит —1.

Если Ро=1, то через 2^со(р0, р0) обозначим число всех подпространств типа 3.2.3 (И) с р = р0, / = 0. Аналогично определим 2^ег)(р0, ро). Наконец, ^(р0, Ро) положим равным числу тех подпространств типа 3.2.3 (i) с />0, р = р0, для которых в формуле с а из 3.2.3 (i) справа стоит — 1.

Используя эти инварианты симплектического преобразования Р, можно сформировать следующую теорему (ср. Клингенберг[15]).

Теорема. Числа расцепления Sr (р0) p-индекса для собственного значения р0 отображения Пуанкаре Р, соответствующего замкнутой геодезической с, равны

S±(Po) = {S±(Po) = {^(Ро> Ро) + ^(Ро, Ро) + ^(Ро, Ро), если Ре^И

S±(Po) = {

S±(Po) = {

^0(Ро> Ро) + ^(Ро, Po) + ^d (Ро. Ро), если pj = l. □

Свойства отображения Пуанкаре

В этом параграфе мы более подробно исследуем отображение Пуанкаре, соответствующее замкнутой траектории геодезического потока. В частности, мы исследуем, при каких условиях отображение Пуанкаре имеет периодические точки. Как уже было замечено, эти периодические точки находятся во взаимно однозначном соответствии с периодическими траекториями геодезического потока, целиком лежащими около рассматриваемой периодической траектории. .

Уже линейная часть Р отображения Пуанкаре Р: (20, Хо) -*• ->(2^, Хо) в неподвижной точке Хо содержит некоторую информацию относительно интересующего нас вопроса. Однако, как мы увидим, лишь аппроксимация третьего порядка отображения 5s в точке Хо (так называемая 3-струя) несет достаточно информации для того, чтобы гарантировать существование периодических точек; это составляет содержание теоремы о неподвижной точке Биркгофа и Льюиса, см. 3.3.3 и добавление к § 3.3.

Пусть Р: у*"-».у«" — симплектическое преобразование. Из 3.2.4 мы знаем, что каждое из собственных значений 4-1 и —1 встречается с четной кратностью. В самом деле, например, в случае 4-1 оба числа dimVod.i и dim(y,Til® Уе1)>1) четны.

В свете 3.2.1 мы выберем из 2п собственных значений отображения Р (которые считаются с кратностями) подмножество из п так называемых главных собственных значений. При этом р называется главным собственным значением, если | р К 1 или р_ем#а, где о^а^1/2, причем в случае тех р, для которых

а = 0 или 1/2, мы берем половину из них (т. е. р = ±1 берутся с половинной кратностью).

Линейное симплектическое преобразование Р мы назовем N- элементарным, где ^> 0 —целое, если множество {рь ..., р„} главных собственных значений отображения Р удовлетворяет следующему условию. Для любых целых Л1( ..., кп, таких, что 1 ^ 2 \к( | ^ N, выполняется соотношение ||P;ft/^i.

1-элементарность означает, что 1 не является собственным значением отображения Р, 2-элементарность — что + 1 и — 1 не являются собственными значениями и что нет кратных собственных значений. Мы будем интересоваться главным образом 4-элементарностью, которая означает, в частности, что отображение не имеет собственных значений, которые являются корнями из единицы степени ^4, и что у него нет кратных собственных значений. (51)

Прежде чем мы объясним наш интерес к 4-элементарным преобразованиям, изложим полезный метод описания «формальных» симплектических преобразований с помощью так называемых производящих функций. Заметим, что каждое «формальное» симплектическое преобразование совпадает до порядка к с некоторым симплектическим преобразованием класса С1, l^k, или класса С“ (т. е. аналитическим). Здесь к можно взять любым. Наше изложение следует Мозеру [5].

Пусть (хй, у6), Х^к^п, или короче, (х, у) — канонические координаты в R2” с канонической 2-формой У, dx6 л dyh. Обозна- к

чим через

6ft = xft + a»r)(x, у) + ...,

*Чк = Ук4-Ьк^х1 у) + ...

формальное локальное симплектическое преобразование ф: (R2n, 0)->(R2n, 0), где а^, Ь^ — однородные многочлены степени г ^2.

З.З.Д. Предложение. Пусть ^ — формальное симплектическое преобразование ф. Тогда существует такой однородный многочлен Н^^Сх, у) степени г+1, что

(**) й^ (х, у) = дН(,+1) (х, уМдук\ bkw (х, у) = — дН(r+1) (х, yWk-

Обратно, если //(г+1)(х, у) — однородный многочлен степени г+1, то существует формальное симплектическое преобразование ф, для которого выполняется формулы (*) и (»*). '

Вводя комплексно сопряженные координаты (2, С) = (В4-йъ 6 — — й]) и (z, z)=(x-|-iy, x—iy), можно записать (*) и (**) в виде (*)сt.^zHc^z, zH-.-»

с^г’ ^дК^гДг, ^№к'

(**)с^г+1)(г, 2) = - ^(r+1) (г, 2).

Доказательство. Так как определяемое формулами (*) преобразование ф симплектическое, то 1-форма

У, (6ft - Xft) dqk + У (у* - r]fc) dxk kk

замкнута. Используя (х, г]) как независимые переменные (что возможно, так как Оф (0) — тождественное отображение), мы можем записать эту форму в виде dH(x, г]), где Н можно нормировать условием Н (0, 0)=0. Другими словами,

(***) ^k = xk-VdH (х, т))/^Лй; Ук== Л* + дН (х, т^!дхк.

Функция Н (х, т]) называется производящей функцией преобразования ф.

Сравнение формул (***) с формулами (*) показывает, что Н (х, т]) начинается с однородного многочлена Н^) (х, г]) степени г 4-1, для которого выполняется (**).

Обратно, пусть теперь Н^^ (х, ц) — однородный многочлен. Тогда формулы (***) неявно определяют симплектическое преобразование ф. Ясно, что это ф удовлетворяет (*) и (**).

Выражения (*)с и (**)с получаются простым вычислением, если положить

Кг^г, 2) = —2tW(r+1)((z4-2)/2, (z-2)/2t),

c^(z, 2) = а*)((г+2)/2, (z-z)/2i) + ibky((z + z)/2, (z-?)/2t)

и учесть, что

d/dzk = (д/дхк —■ id/dy*)/2, d[dzk = $!dxk 4- id/dy6)/2. □

x Замечание. Аналогично можно доказать, что если симплекти- ческий ^-диффеоморфизм имеет вид (*), где многоточием обозначены остаточные члены порядка о (| х |г 4-1У |г)> то по-прежнему существует такой однородный многочлен Н^^ (х, у) степени г4-1, что имеют место формулы (**). Именно, так же, как и раньше, доказывается, что преобразование (*) можно задать посредством некоторой производящей С2-функции Н посредством формулы (***). Значит,

дН(х, Tq)/dqk=a^(x, у(х, т)))4-о(|х|г-Ну|г) =

(ведь т] — у(х, ч) = о(|х|2г-1 + |т]|2г-1)), и аналогично

дН (х, п)/дхь — — Ькг^х, л) + о (I-« Г Ч-1 П [О-

Отсюда ■ ■пх

Н(х, 11)-^^)(О, rfW-J &<%(£. п)^ + о(Иг+1 + Ыг+1) = хП

\b^, 0)dl+^(x, пЭ^'+оСхГ+нг8).

Обе разности интегралов являются некоторыми однородными многочленами Н^х^х, т)) и Щг+i^x, т]) степени г+1. Как видно, разность этих однородных многочленов есть о (| х |r+1 + +1Л Г+1)> так что на самом деле они совпадают. Из выражения /7(г+1) в виде первой разности видно, что дН/дх] = — Ь^, а в виде второй —что дН/дх = акгу *

Теперь мы можем получить нормальную форму Биркгофа 4-элементарного симплектического преобразования. Основные идеи, связанные с этим кругом вопросов, можно найти у Биркгофа [2] и [3], а настоящее доказательство содержится у Мозера [5].

Лемма. Пусть

8^: (Ra", 0)-*(Ran, 0)

— локальное симплектическое преобразование класса С1, принадлежащее в начале координат 0 классу С8*1. Предположим, что собственные значения отображения Р — О^О) равны по модулю 1 и что оно 4-элементарно. Тогда в некоторой окрестности 0е е R2" существуют такие вещественно аналитические комплексно сопряженные координаты (z, z), что в этих координатах преобразование & задается так называемой нормальной формой Биркгофа

z*h а гк ехр 2л/ /о» + ^ b^zz2z\ + tyfc (z, 2).\ z /

Здесь wk(z, 2) —функции класса С1, у которых в точке 0 производные до третьего порядка включительно равны нулю, а6 и Ь^ — действительные числа, причем ак таком, что pft = ехр (2л1ак^— главные собственные значения. При этом если ак пронумерованы

*' В данном случае это надо понимать в том смысле, что для S5 и D^ в точке 0 имеет место разложение Тейлора такого же типа, как для функций из С3 и С2 соответственно, т. е. координаты оТ представляются как суммы однородных многочленов порядков 1, 2, 3 и остаточных членов о (от третьего порядка), а первые производные этих координат представляются в виде суммы однородных многочленов порядков 1, 2 и остаточных членов о (от второго порядка). Аналогичное разъяснение касается wk ниже.

в порядке монотонного возрастания, то матрица Ь^ определяется единственным образом. В частности, свойство det (b^ ^0 не зависит от выбора нормальной формы (т. е. если оно выполняется при одной какой-нибудь нумерации ак, то оно выполняется и при всех других нумерациях). (в2)

Доказательство. Введем с помощью подходящей линейной замены такие комплексно сопряженные координаты (z*, 2*) в R2”, чтобы в них отображение 3s принимало вид

( + )^‘“РИ^ + Р^*, 2*)) + ...,

где р^ — однородные многочлены степени 2. Согласно замечанию к 3.3.1, примененному к Р-1^, существует такой однородный Многочлен третьей степени S(8) (z*, z*) = —S(8) (z*, ?*), что Py>(2*, 2*) = dS(8) (z*, z*)/dz*k.

Сделаем в- (f) вещественно аналитическую симплектическую замену координат ip: (z, 2)->-(z*, z*) вида (*)c, (**)$> В новых координатах получившееся отображение 6 ■ ip-1 • • ф запишется так:

V-Pt^-V^z, 2)) + ...,

qk,(Z, 2)=dTw(Z, 2)/d2k,

где Tw(z, 2) =— Tw(z, Z) — однородный многочлен степени 3. Мы утверждаем, что

(ft) Tw(z, z) = S№(z, 2) — Kw(pz, p2) + /<(3)(Z, 2).

Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим квадратичные члены в разложении Тейлора для 1р«й = ^«1р:

PfedTw(z, 2)/d2k + pkdKw(pz, pt)fdzk =

— PftdSw(z, 2)!dzk-VphdK№ (z, z)/dzk.

Наше утверждение следует из того, что все члены в этом выражении однородны и что при сопряжении лишь меняются знаки, так что наряду с последним равенством имеет место аналогичное равенство с заменой д/д£к на д[дгк.

Запишем К№ в виде ^3)(z, Z) = 2 K^z^, где ^ = П2^ 2р = П^, а и р — мультииндексы, и |а| = 2^, IPI=1j^, lal + IPI = 3. Используя аналогичные обозначения для S№ и Tw, перепишем (11) в виде

(ttt) r«-S.» + K.S<1-PM)-

Так как Р 4-элементарно и |а| + |Р| = 3, так что и подавно 0 ^ 51 о, — р; | ^ 4, то 1 — р^Р = 0 лишь в том случае, когда

а=р. А так как равенство исключается (хотя бы из-за того, что [ ос ] +1 Р | = 3), то К^ можно подобрать так, чтобы ^^О.

Поэтому можно считать, что в выражении (ф) для ^ вместо рй2) стоит P^k2** 2*) = dSw(z*, z*)/dz*k, где S(4)—однородный многочлен степени 4. Делая в (ф) вещественно аналитическую замену переменных ф вида (*)с, (**)с с г = 3, получим, как и прежде, соотношение (ф ф), но теперь уже с однородными многочленами степени 4. В соответствующем выражении (ф ф ф) равенство 1 — р“~р = 0 снова возможно лишь в том случае, когда а = р, так как |а| + |р| = 4. Поэтому, выбирая подходящим образом К^, мы можем все Т^ сделать равными нулю, если только а=^р. Чтобы окончательно зафиксировать ф, положим ^а« = ° (ИЗ (t t t) видно, что это можно сделать). Таким образом, отображение 6 = ф-1«S5«ф задается формулой

^=Р» (2й + д( "^Т 1т,-212тг1гт^1дгк^ +....

Если теперь мы положим 7'г^ + 7'ы^ = Зл1Ьй) то получим искомую нормальную форму (заметим, что Тш^ чисто мнимые). Из наших рассуждений видно, что при фиксированной нумерации ак многочлены К^ и /<(4), задающие (в нужных порядках) симплекти- ческое преобразование, приводящее S5 к нормальной форме, определяются однозначно (за исключением коэффициентов К^ с |а| = 2, которые не влияют на Ь^. Следовательно, 3.3.2 доказано. □

Замечание. Если Р является (2Z.+ 1)-элементарным, то ^ можно привести к виду 2*k = 2kexp2ni (многочлен степени L от г?) + О (| г |2L+1). Если Р при всех N является М-элементарным, то, проводя аналогичные рассуждения, можно получить формальный степенной ряд, который, однако, в общем случае не сходится (см. Зигель и Мозер [1], Мозер [4] и Зигель [1]- [2]. [3]).

Важность нормальной формы для наших целей связана с тем, что с ее помощью можно определить следующее свойство. Локальный симплектический диффеоморфизм 94 (К2л, 0)->(К2л, 0) назовем закручивающим, если все собственные значения линейной части Р этого диффеоморфизма равны по модулю 1, Р является 4-элементарным и в нормальной форме 3.3.2 для ^ определитель det (Ьй) Ф 0.

Чтобы прояснить геометрический смысл этого определения, введем в R2n вне 0 (но возле 0) новые симплектические координаты тй > 0 и 6й mod 2л, 1 ^ ^ ^ л, полагая

2тй = 2kzk; 2iQk = log 2й — log 2й.

Непосредственная проверка показывает, что

У dxk л dyk = -^^dzk ^ dzk— ^ dxk л d9k, kкк

т. е. (т, 6) действительно являются симплектическими координатами.

В этих координатах нормальная форма 3.3.2 превращается в (§) T*A = Tfe + o(|T|5/2> 0). б** = 9* +2л fa*+ 2 2^тЛ + о(|т|з/2, 6) \ i /

(6 в о стоит просто как напоминание, что соответствующие члены зависят от 6). Отсюда видно, что S5 можно рассматривать как возмущение отображения ^о, определяемого формулами

(§0)%*к = хк\ 6 *fc = 6fc + 2л /а6 + ^ 2&^тЛ

Отображение <^0 оставляет инвариантными торы {т* = т*} и действует на каждом из этих торов как произведение вращений Q,f> 6Ь + Зл^6 + ^ 2Ь^у То что отображение S5 закручивающее, означает, что эти вращения, рассматриваемые как функции тк, трансверсальны к этим торам, т. е. (дб^/дт') =^ 0 *\

Важность понятия закручивающего отображения связана с тем, что такие отображения имеют бесконечно много периодических точек — точнее, даже периодических траекторий — в каждой окрестности нуля. При этом точку z^O, лежащую в некоторой окрестности (/ точки 0 е R2”, мы называем периодической периода N, если все точки ^z определены, ^z — z и если ^z^z при 0<_k-<N **\ Множество {S^z; O^k^N — 1) называется периодической траекторией отображения ^.

Так как det (Ь*)^= 0, то в каждой окрестности 0 существуют такие числа т^>0, Х^к^п, что ^0 действует на торах {т6 — = т^} как произведение рациональных вращений (вращений на углы, соизмеримые с 2л):

N(ak-\-^12bkTt0\ = mkeZ.

Это означает, что все точки тора {т6 = т^} периодические периода N. При этом мы предполагаем, что N и (т1, ..., т”) не имеют общих делителей > 1.

*' Точнее говоря, отображение, сопоставляющее каждой точке, достаточно близкой к 0 в р2л и имеющей координаты (Tfc, 6й), точку R” с координатами 6**, является трансверсальным.

**' Как и в случае периодических траекторий, часто N называют минимальным периодом, а к периодам относят также и кратные N.

Используя некоторые априорные оценки, можно показать, что в каждой окрестности тора {т* = т£} отображение ^ имеет периодические траектории. Это утверждение составляет содержание теоремы Б иркгофа —Льюиса о неподвижной точке;

Теорема. Пусть 34 (R2”, 0)-*-(R2”, 0) — локальное сим- плектическое закручивающее отображение. Тогда в каждой окрестности точки 0 г R2” существует бесконечно много периодических траекторий.

Замечания. Для случая п=1 и вещественно-аналитического это было доказано Биркгофом [3], который воспользовался идеей Пуанкаре [2]; см. также доказательство у Мозера [1], Зигеля, Мозера [1], Зигеля [1]. Для случая п>1 основные идеи доказательства содержатся у Биркгофа [4], Арнольда [2], [4] и Арнольда и Авеца [1]. Однако до сих пор полное доказательство опубликовано не было. Тем более отсутствовало доказательство этого утверждения при более слабых предположениях, а именно для случая, когда ^ не аналитично, а лишь дифференцируемо. Доказательство теоремы в этом случае было изложено Мозером в его лекциях в Нью-йоркском университете. В добавлении к этому параграфу мы приводим его доказательство.

Происходящие в рассматриваемой ситуации явления тесно связаны с тем, что происходит в гамильтоновых системах с изолированной неподвижной точкой «общего устойчивого типа», аналогом которой в нашей ситуации является неподвижная точка закручивающего отображения. Для произвольного п такие вещественно аналитические системы изучали Биркгоф и Льюис [1]. Пробел в их доказательстве был ликвидирован Харрисом Г. Дифференцируемый вариант изучен Марзоуком [1] и Цендером [1].

Закручивающие локальные симплектические преобразования S5 привлекли к себе заметное внимание в последние годы. Толчком к этому послужили исследования Колмогорова, Арнольда и Мозера, в которых для таких преобразований доказано существование «большого» множества инвариантных торов вблизи точки 0 е R2", на каждом из которых отображения ^ действуют как квазипериодические преобразования; см. Арнольд [1], [4], Арнольд и Авец [1], Мозер [2], [3], [4], Зигель и Мозер [1].

В случае «элементарного закручивающего отображения» ^0 вида (§0) эти инвариантные торы соответствуют в достаточно точном смысле тем тк = т§, для которых совокупность чисел 1 и а* + ^ 2Ь^ (й = 1, ... , п) в некотором смысле сильно несо- z

измерима, в то время как торы т* = т* с рациональными аь + 4- У! 2Ь^ соответствуют, как уже было сказано выше, перио-

дическим точкам. Дальнейшие подробности см. в работах: Арнольд и Авен, [1], Арнольд [4], Мозер [4], Цендер [1] и в добавлении к этому параграфу.

Интересным следствием этих теорем об инвариантных торах является то, что в случае п=1 теорема Биркгофа — Льюиса о неподвижной точке может быть усилена следующим образом.

Дополнение. Пусть Sh (R2, 0)->((R2, 0) — локальный сохраняющий площадь закручивающий диффеоморфизм класса С4. Тогда замыкание периодических точек имеет положительную жру.

За доказательством этого утверждения мы отсылаем к Мозеру [4], с. 54, и Цендеру [1], который, кроме того, цитирует аналогичный результат для закручивающих отображений в произвольной" размерности. □

Если мы хотим применить теорему Биркгофа — Льюиса о неподвижной точке (3.3.3) к геодезическому потоку, то мы должны начать с периодической траектории <р/Х0, для которой отображение Пуанкаре §F является закручивающим. Последнее условие, в частности, означает, что все собственные числа линейной части Р отображения Пуанкаре лежат на единичной окружности.

Однако эта ситуация не является общей, и даже малых возмущений геодезического потока может оказаться недостаточно для того, чтобы ее получить. Действительно при каждом q, O^q^n, рассмотрим в линейной симплектической группе*) Spin) множество Sp^ (п) тех элементов РеЗр(п), у которых из 2п собственных значений ровно 2q лежат на единичной окружности и которые ^-элементарны, N>-\. Легко проверить, что эти Зр^ (п) являются непустыми открытыми подмножествами в Зр^п).

В случае когда Р г Spw (п), т. е. когда Р не имеет собственных значений, лежащих на единичной окружности, или, что то же самое, когда Р гиперболическое (см. 3.2.13), отображение 5s заведомо не имеет периодических точек, траектории которых целиком лежат в малой окрестности точки 0. Однако для Р е Sp^\(n), <7>0, такие периодические точки существовать могут. Идея состоит в том, чтобы ограничить отображение S5 на такое локальное инвариантное подмногообразие размерности 2<?>0, для которого все собственные числа соответствующего линейного отображения (т. е. ограничения Р на касательное

*’ То есть группе симплектических линейных преобразований пространства R2”, снабженного стандартной симплектической формой. (Часто тем же символом Sp (п) обозначают группу автоморфизмов кватернионного пространства, сохраняющих стандартную эрмитову форму в последнем, а для рассматриваемой нами группы используют обозначение Sp (n, R).)

пространство к многообразию в точке 0) лежат на единичной окружности, и затем применить теорему Биркгофа — Льюиса о неподвижной точке.

Существование таких инвариантных подмногообразий утверждает следующая теорема об инвариантных многообразиях.

Теорема. Пусть 84 (R2", 0)-*-(R2”, 0) — локальный сим- плектический диффеоморфизм. Пусть Р = DSP (0) — линейная часть этого диффеоморфизма, и пусть

— разложение пространства V2” = [R2” на устойчивое, неустойчивое и центральное подпространства по отношению к Р. Другими словами, эти пространства инвариантны относительно Р, и все собственные числа р отображения Р | Vf таковы, что | р | < 1, все собственные числа р отображения Р | Vu таковы, что |р|>1, и, наконец, все собственные числа отображения Р | Vee равны по модулю единице (ср. 3.2.4).

Утверждение. Существуют такие локальные вложения Ws, Wpu: (Rp, 0)-»-(R2", 0), W^: (R2», 0)^(R2", 0), что*) ?X = = Vs> T0Wu = Vu> ToW2ce = V2ce и эти вложения инвариантны относительно SP, т. е. ^Wp, SPWP и ^W2! локально равны Wp, W£ и W2P соответственно. Эти подмногообразия называются соответственно устойчивым, неустойчивым и центральным многообразиями.

Дополнение. Если отображение SP принадлежит классу Си или классу С”, то ограничения SPs = 3‘\Wp и SPU = 8P\WPU также принадлежат классу Ск или классу С” соответственно, a SPce = SP\W2p принадлежит классу Ск. Кроме того, если № — класса С”, то для любого 1-<со, взяв W2? достаточно малым, можно добиться, чтобы 8Рсе принадлежало классу С1.

Многообразия Wp и Wpu возле 0 определены единственным образом, а многообразие W2^, вообще говоря, — нет.

Доказательство. За доказательством мы отсылаем к Мозеру [5]; см. также Келли [1] и Хирш, Пью, Шуб [1]. Дёйстермат дал полное доказательство (неопубликованная рукопись, датированная августом 1972 г.), используя метод Перрона [1]. Частные случаи рассмотрены у Хартмана [1]; см. также работы

*’ Далее автор фактически обозначает образы этих локальных вложений теми же самыми буквами.

Ирвина [1] и Ленфорда [1]. Формулировку этой теоремы можно найти также у Абрахама и Марсдена [1]*'. □

Замечание. На самом деле у нас отображение S5 появляется как отображение Пуанкаре, соответствующее периодической траектории фД0> 0^/^ш, геодезического потока ф/. ТХМ-^1\М. Существует вариант теоремы об инвариантных многообразиях для периодических траекторий, который мы сейчас изложим. Допустим, что линейная часть Р отображения ^ обладает свойствами, описанными в 3.3.5. Тогда существуют глобально определенные иммерсии

^ГЛ ^р+1. (КхКре (Of 0))->(TxM, X»), которые а (точнее, их образы) * называются соответственно устойчивым и неустойчивым многообразиями и обладают следующими свойствами:

(/, X) — Фг ^+1 или Ж + ‘) (0, X);

Txorf+'|{O}xRP = Vsp А(в понятном смысле при естест-

Тх W£+11 {0} xRp = Vpu венных отождествлениях) А;

так называемые сильно устойчивое и сильно неустойчивое многообразия

Wps :=^+'|{0} xRp, Wpu := ^+11 {0} х [R^

переходят под действием фю в себя, причем фю действует на Fsp и Wpu соответственно как (обобщенные) сжатие и растяжение. Эти иммерсии однозначно определяются своими свойствами***: Wps = ^XeTvM; ИтфД = Х0|, ^^^Хг^М; НтфД = Х0|.

Аналог центрального многообразия можно ввести как локально определенную иммерсию:

^+': (RxR4 (0, О))-*^, Хо), У, Х)-*Ф/.ОГ, где (^, X) принадлежит некоторой окрестности множества [0, ®] х x{0}eRxR29 и Тх^+х\^х^ = У^. Кроме того, W2£ := = w2e+11 {0} xR2? инвариантно относительно действия потока в том смысле, что существует такое локально определенное дифференцируемое отображение 6: W^ce —*-IR» 6(Хо) = О, что фю+б(Х) (X) е ^а-

*’ Существование центрального инвариантного многообразия впервые доказал Плисс [11 (хотя в несколько иной ситуации).

**’ Надо добавить, что стремление к пределу экспоненциальное.

Важно, однако, отметить, что, вообще говоря, W2« не является локально единственным и W^ не переходит в себя под действием фй, как W$s и W„u-

Во всяком случае, если 2g >0, мы определим центральное отображение Пуанкаре

^се- (^се. О, Хо) ""► (^сг, <о, Хо)

как некоторый диффеоморфизм некоторой окрестности Sce,0 точки Хо на W« на некоторую окрестность 2ее,й точки Хо на W«, который в случае 3.3.6 является ограничением ^ на 2се‘ 0, а в описанном выше случае — отображением X > ф<й+6(х) X s W2m где X е W^ достаточно близко к Хо.

Ввиду наличия инвариантных центральных многообразий мы следующим образом обобщим понятие закручивающего отображения.

Локальное симплектическое отображение ^: (R2”, 0)-»-(|R2”, 0) называется закручивающим, если:

соответствующая линейная часть Р не является гиперболической, т. е. существуют 2g >0 собственных чисел, лежащих на единичной окружности;

Р является 4-элементарным;

(ш) в нормальной форме 3.3.2 отображения $Fce :=3s\Wm определитель det(b*)=/=O*).

Наша следующая цель состоит в исследовании, при каких условиях отображение Пуанкаре, соответствующее периодической траектории геодезического потока (который рассматривается как поток в 1\М или, что эквивалентно, в Т*М, см. (42)), является закручивающим в только что указанном обобщенном смысле**\

Рассмотрим в качестве примера геодезический поток на единичном касательном расслоении 7\Sn+1 сферы S”+1, кривизна которой всюду постоянна. В этом случае отображение Пуанкаре тождественно, так как все траектории периодические и имеют одинаковый период 2л.

’ Ограничение а IF^ определяет на W^ симплектическую структуру (невырожденность этой формы в некоторой окрестности 0 следует из невырожденности а | То^^^а | И^, а последнее следует из 3.2.1). Очевидно, ^се”®1 W^ сохраняет эту структуру, поэтому к @*се можно применять все понятия и результаты, относящиеся к симплектическим диффеоморфизмам.

*' Заметим, что если для данной замкнутой траектории отображение Пуанкаре является закручивающим при одном каком-нибудь выборе локаль ной трансверсальной гиперповерхности 2, то оно будет закручивающим и при любом другом выборе S, так что интересующее нас свойство не зависит от этого выбора и является внутренним свойством рассматриваемой траектории.

Поэтому встает следующий вопрос. Пусть <pzX0 — периодическая траектория геодезического потока. Можно ли тогда с помощью произвольно малого возмущения метрики сделать так, чтобы фДо осталось периодической траекторией, а соответствующее отображение Пуанкаре было закручивающим?

Первое, что мы должны сделать, — это определить топологию на множестве ^ = ЗМ всех римановых метрик на компактном дифференцируемом многообразии AL Напомним, что риманова метрика на многообразии М — это такое дифференцируемое сечение

" g: М-*ЬЦТМ)

векторного расслоения L,(t) симметрических билинейных форм, ассоциированного с касательным расслоением т многообразия М, что g(p) принадлежит открытому конусу положительно определенных форм на TpAf, см. § 1.1.

Если на многообразии М фиксирована риманова метрика, то она определяет риманову метрику на каждом векторном расслоении а: А-*М, ассоциированном с векторным расслоением т: ТМ-у-М, и, в частности, определяет метрику на Ls(t). Используя ковариантные производные, можно построить риманову метрику на расслоении r-струй Jr(ay. Jr(A)->M расслоения а, см. Абрахам и Роббин [1] и Элиассон [3].

Пусть теперь Гг (а) — векторное пространство Сг-сечений расслоения а: А-*М. Тогда норма, определяемая римановой метрикой на Jr(a), превращает Г'(а) в банахово пространство*'. Таким образом, множество ^М римановых метрик класса Сг становится открытым подмножеством банахова пространства Гг (Ls (т)), состоящего из Сг-сечений расслоения Ц (т).

Через ^М мы будем обозначать множество римановых метрик класса С”. Множество ^М может быть превращено в открытое подпространство пространства Фреше.

Во всех этих случаях пространства SM являются открытыми подмножествами полных метрических пространств, а индуцированная топология не зависит от римановой метрики, так как Af компактно. В частности, SM — пространство Бэра, что означает следующее: каждое остаточное множество £* с SM плотно. При этом остаточным множеством мы называем такое множество, которое является пересечением счетного числа открытых плотных подмножеств**'.

’ Менее элегантным, но более элементарным образом можно ввести в Г'(а) эквивалентную норму с помощью локальных координат.

М| Иными словами, это есть всюду плотное множество типа Gg. Нередко «остаточное множество» (residual set) понимают в более широком смысле — как множество, дополнение к которому является множеством первой категории (объединением счетного числа нигде не плотных множеств). Именно в таком смысле употреблял данный термин его автор, А. Данжуа. Но для множества.

Остаточное подмножество можно рассматривать как аналог для пространств Бэра (или по крайней мере для полных метрических пространств) множества меры 1 в пространстве с мерой, мера которого сама равна 1. Примером остаточного множества в пространстве действительных чисел является множество всех иррациональных чисел.

Свойство римановой метрики g на М мы назовем типичным, если множество ^*, состоящее из метрик, удовлетворяющих этому свойству, является остаточным * К

Оставшаяся часть параграфа посвящена доказательству того, что следующее свойство является типичным: у каждой периодической траектории геодезического потока соответствующее отображение Пуанкаре или гиперболическое, или закручивающее.

Первым шагом к доказательству этой теоремы является следующее предложение.

3.3.7. Предложение. Пусть ф/Х0, О^/^го, — периодическая траектория геодезического потока с минимальным периодом со. Положим т-ф<Хо = с(О» т. е. с (f) —однократная замкнутая геодезическая длины го, | с | = 1.

Утверждение. В произвольно малой окрестности произвольной точки геодезической с можно так сколь угодно мало возмутить метрику g на М (малость подразумевается в смысле Сг-топологии на SM, причем г ^0 —любое), что в возмущенной метрике c(i) по-прежнему останется замкнутой геодезической и соответствующее линейное отображение Пуанкаре Р будет N-элементарным, где N>0 — произвольное заданное целое число.

Доказательство (ср. Клингенберг и Такенс [1]). Мы начнем с введения координат Ферми вдоль c(t); см. Громол, Клингенберг, Мейер [1]. Для этого возьмем в ТС^М такой ортонорми- рованный репер Е,, О^л^п, что Е0 = с(м). Через £,■ (<0) обозначим ортонормированный репер в точке Тс^М, полученный из Е, (0) с помощью параллельного переноса вдоль с (/), О^/^/о-

дополнительного к множеству первой категории, имеются и другие названия: массивное множество, множество второй категории (в узком смысле; в широком смысле множество второй категории — это множество, не являющееся множеством первой категории). При наличии таковых лучше резервировать термин «остаточное множество» для обозначения более узкого понятия, как это и делает автор. Неустойчивость терминологии, видимо, связана с тем, что по большей части этн оттенки не имеют большого значения: обычно интерес представляет массивность множества, а имеет ли оно при этом тип Ge, уже не столь важно. '

*’ Естественно называть свойство типичным также и тогда, когда соответствующее ^* является множеством второй категории (в узком смысле). Но для того свойства, которым мы будем заниматься, 3* будет остаточным множеством.

Рассмотрим дифференцируемое отображение

Ф: КхКл->Л1, (/; х1, ..., х”) ь—*ехр/^ х1Е(^)\.

V>o /

В точках (/0; 0) это отображение имеет максимальный рангп + 1, поэтому отображение Ф, рассматриваемое в достаточно малой окрестности любой точки (/0; 0), определяет локальную систему координат возле с(/0).

жМы будем рассматривать Ф при малых х (скажем, при хе е Int О», где Dne — шар в R” радиуса в) и при произвольных t. (Позднее мы фактически сможем ограничиться / е]—в, ® + в[, но, если сделать такое ограничение с самого начала, это не внесло бы упрощений.) Очевидно, Ф|Кх1пЮе является иммерсией. Мы все-таки будем говорить о (/; х) как о «локальных координатах возле с», хотя на самом деле одной и той же точке многообразия М соответствует много различных координат (/; х). Вместо / в данном контексте часто будем писать х°.

Пусть Ф(х° + ®; х) = Ф (х°, х'\ Выясним, как связаны х и х'. Разложим Ej (го), />0, по базису £,(0), t>0, пространства Р”(0) (то же обозначение, что и в замечании к 3.2.10):

Л

Е)^ = ^ амЕМ-

= 1

п

Матрица A=(av) ортогональная. Тогда и Ej (t + го) = 5 ауЕ,^.'i = i

Если Ф(х°+®; х) = Ф(х°, х'), то У XjE, (х° + ®) = У XiEi{x°), 11

п

откуда х? = У аЧхЬ т- е- х' ~ ^х- Можно сказать еще так: наряду 1

с локальной системой координат (х°; х) в окрестности точки с (/0) отображение Ф определяет в той же окрестности и другую систему (х'°; х'), для которой х'0 = х° —со, х' = Ах*\

Отображение Ф индуцирует отображение

(ф*)-1-_ rxd:xRxR"-^T*M,

с помощью которого в Т*М вводятся канонические координаты {(х°; х), (у0; у)} с у = (уг, ..., у”)**1. Сделанные выше оговорки

*’ Можно было бы профакторизовать RxIntD” по отношению эквивалентности (х°, х)~(х° —о, Ах), но если с имеет самопересечения, то мы все- таки не получим вложения факторпространства в М.

**' Собственно, в духе традиционных обозначений тензорного исчисления следовало бы у у ставить индексы внизу (ковариантный вектор), но я сохранил обозначения Клингенберга.

насчет неоднозначности координат ^; х) в М относятся и к координатам {(х°; х), (у0; у)} в Т*М. Рассмотренным выше двум картам в М (координаты (х°; х) и (х'°; х')) отвечают две карты в Т*М, причем соответствующие координаты {(х°; х), (у0; 1/)} и {(х'°; х'), (у'°; у')} связаны следующим образом:

х'° = х° —со, х* = Ах, у'й = уй, у'= А^у.

(Действительно, известно, что если (ф, U) и (ф', U') — две карты в AI, то соответствующие координаты в Т*М связаны следующим образом. Пусть pEU^U', ф(р) = х, ф'(р) = х'; тогда сеТрМ имеет в этих картах координаты (х, у) и (х', у'), где у' = О(<роф'-1) (х').у.)

Выразим в этих координатах интересующие нас объекты — исходную риманову метрику g, нужную нам возмущенную метрику g*, инвариантную гиперповерхность Т^М с Т*М (поскольку она зависит от используемой римановой метрики, мы временно будем писать Tf (Af, g) и ^(At, g*)), локальную трансверсальную гиперповерхность 2, уравнения геодезических потоков {ф^ и {ф?} для метрик g и g* соответственно, уравнения в вариациях для этих потоков и соответствующие линейные отображения Пуанкаре Р и Р*. а Из определения следует, что

gih(t; 0) = 6ik; dgik(P, 0)/dx' = 0;

d2gOo(^ Oydx^x* = — 2Rotofe (t; 0).

xДействительно, формула для g^ очевидна. Формула для dgtiJdx1 следует из того, что все Г^ (/, 0, ..., 0) = 0 (короче мы будем говорить, что Г‘и = 0 вдоль с(/)). Последнее же доказывается так. Во-первых, в точках с(/) базис

d/dt, д/дх1, .... д/дх" = Е0^, E^t), .... En(t)

получается параллельным перенесением из этого базиса в TcWM, поэтому для любого векторного поля вдоль с (/) его ковариантное дифференцирование по t сводится к обычному дифференцированию компонент этого поля в этом базисе. Отсюда все Г^ = 0*\ Во- вторых, (/0, tx1, .... /хп) — координаты геодезической линии; отсюда, используя уравнение геодезических и симметрию Г^ по нижним индексам, получаем, что Г/6 = 0 при I, ^^=0. Наконец, поскольку (/-компонента Vд1дхьд/дхР} = Г^ и gy = бу, то Roto!1 = = Rm = (0-компонента R (d/dt, д/дхк, д/д^)) = (0-компонента (Ww - Ww) W) -4- П, - 4г г;, - - Ч, ^, (&- +

*' Поскольку связность Леви-Чивита не имеет кручения, мы можем не заботиться о порядке нижних индексов у символов Кристоффеля.

+ ^^ — ^)= — у ^Их»' ^РИ вычислении вторых ковариантных производных мы воспользовались здесь тем, что в точках с (0 ковариантное дифференцирование (уже не только по t, но и в любом направлении) сводится к обычному дифференцированию компонент (коль скоро все Г^ = 0). Далее, ^- Г«=0, ибо Г^ = 0 вдоль с(0, a ^rgz = ^r0|l)i в точках c(t), ибоП( = = ^^Vj o),, а в этих точках g0/ = 60/ и д^/дхк = 0. А

Если мы хотим, чтобы с (t) оставалась геодезической при малых возмущениях заданной метрики g, то возмущенная метрика g* должна иметь вид

g*00^; x)=^°(t; х) + У, atk^t\ х)х№\

I, к>0

g*M(t; x^g01^; х) + У pift(Z; х)х\ £ > 0$

к>0

g*l4t\ *НЧ; хн^к^; X), i, k>0.

Поскольку g*ik = g*hl, мы должны потребовать, чтобы ^ik = ^ki- Кроме того, мы можем потребовать, чтобы было а1к = ак1, ибо всегда можно заменить atk на (a;fe + aft;)/2.

В самом деле, легко проверить, что кривая x?^ = t, х1 (0 = 0 при i>0 удовлетворяет уравнениям геодезической для метрики g*:

-W№(x(O)W=o,

к, I

так как r*oz(O 0)=»0, t^O. д Последнее следует из того, что goz = 6oi и д^о/дх'^О вдоль с(0:

г;;- 2т„_^<^8-В+91?Н' m /=0/ = 0

Кроме того, мы будем считать, что носители функций а1к (0 х), Р/А (0 х) и ^tk (/; х) находятся в окрестности U точки (0; 0), причем с (0) не является точкой самопересечения кривой си U столь

мала, что находится строго внутри [0, ®]x.De и ф-1(Ф((/))П(]—е, со 4-e[xInt/)") = (/.

«Координату» х? мы теперь будем рассматривать лишь при — 8<х0<® + е. Сказанное обеспечивает, что g* действительно можно рассматривать как риманову метрику на М, совпадающую с g вне Ф([/). В то же время предположение, что с(/0) не является точкой самопересечения, не ограничивает общности, ибо у однократной геодезической точек самопересечения конечное число и в любой окрестности точки самопересечения имеется точка, не являющаяся точкой самопересечения.

Как уже говорилось, когда речь идет об отображении Пуанкаре ^ для геодезической с римановой метрики g, мы рассматриваем геодезический поток как поток {ф,} в Т*(М, g)*}. В терминах канонических координат {(х°; х), (у0; у)} в Т*М инвариантная гиперповерхность Tf(Al, g) выделяется соотношением п

У gik^x?\ х^у‘ук=\, а локальную трансверсальную гиперпо- i, t = 0

верхность (гиперповерхность уже в Т*^М, g), а не в Т*М^ 5 = 5(Х0) в точке Хо = с(О) = £’о(О) можно задать следующим образом. Для ее точек х° = ^ = 0, х = (х1, ..., х”) принадлежит некоторой окрестности точки ОеКл, у = (у1, ..., у”) тоже принадлежит некоторой окрестности точки OeR”, а у0 близко к 1 п

и удовлетворяет уравнению У gik(0, х^у'ук=\. (См. два абзаца

6 = 0

перед 3.1.9.)

В качестве координат на 2 можно взять (х1,..., х”, у1,..., уп).

Возмущенную метрику g* мы определили в терминах прежних координат (х°; х) на М (конечно, они, вообще говоря, уже не будут координатами Ферми для g*\ Геодезический поток {ф*} в Т*М для g* будем описывать в тех же координатах {(х°; х), (у0; У)}» чт0 и {ф4- Поток {ф* } имеет инвариантную гиперповерх- п

ность Т*(М, g*), для которой У g*ik(x°; х)у'ук=1 и отобра-

1,6 = 0

** Обозначения для потоков, стало быть, тоже несколько отличаются от принятых в § 3.1 н в (42). В данном случае нам удобнее говорить о Т^М, а не о TjAf, потому что мы пользуемся каноническими координатами {(х°; х), (У0; У)} в Т*М. Впрочем, при желании их можно рассматривать и как координаты в TAI, пользуясь естественным изоморфизмом ТМ-*Т*М, который геодезическую пульверизацию в ТМ переводит в гамильтоново векторное поле в Т*М (см. 3.1.5). Но тогда надо помнить, что этот изоморфизм зависит от той римановой метрики, для которой мы рассматриваем геодезическую пульверизацию, и т. д., так что и (у0; ^-компонента наших координат в TAI будет от нее зависеть.

жение Пуанкаре № строится для ограничения {ф*} на T*(Af,g*). Последняя гиперповерхность не совпадает с Т*(М, g), но различаются только те их части, которые лежат в (т^)-1Ф(Я) (где хм! Т*М->М — стандартная проекция). В частности, те области на Т*(М, g) и Т^М, g*), которые проектируются в некоторую малую окрестность точки с(0) на М, совпадают. Поэтому для {ф*}|7*(Л1, g*) в качестве локальной трансверсальной гиперповерхности мы можем взять прежнюю 5. А

Определим координаты z“, 1 ^а^2п, полагая г‘ =^t z1'vn = yi. Пусть J®”' обозначают элементы матрицы

0 £"\

v \е О

\ п v /

Теперь мы можем записать уравнения Гамильтона в виде

(Я0)х° = Я^, у° = -Я„,

2п

(Я“)i“= S J™'Ha. (а=1, .... 2п),

а' = 1

где через На обозначается дН/д^. Старшие частные производные функции. Н мы будем обозначать аналогично, например Яар = = д*Н1дг®д&.

Координаты х1, у1, i>0, рассматриваемые как координаты на построенной выше гиперповерхности 5 = 5 (Хо), будем обозначать через £“, 1 ^а^2п. Заметим, что точка Хо на 5 описывается в этих координатах уравнениями ^ = 0. Обозначим через

(*)(*)х°(^; €); /(^ С); г“(/; С)

(*)

(*)

решения систем (Я0), (Яа), которые при / = 0 проходят через £е5. Тогда отображение Пуанкаре задается соответствием

(^-Ч^М), 9),

где со (?) = ® + 6 (£) (см. 3.1.10).

Частные производные решений (*) по С“ при ^ = 0 мы будем обозначать с помощью индекса а внизу. В частности, функции г“(0:=д2“(/; 0)/д^

являются координатами поля Якоби Ур(/) = (Ур(0> ^^р(0) вдоль с(/) с начальным условием

Ур(0) = £ Ш(0)=1] М;(0)=/^(0)- г>ооо( о, Р>П,

V7р (0) = S Z^ л (0) Ei (0) = 2 6i+„, 6Ei (0) = Р’ i>0^>0Р ^* ^

Это означает, что матрица (z|(0) является фундаментальной матрицей решений уравнений Якоби *>:

(J)(0=у- (0; у‘ (0=- £ Коюк (0 * (I).

к

Это следует из 3.1.6. В этом можно убедиться и непосредственно, дифференцируя (Я°), (Я“) по У при £ = 0.

Для того чтобы это сделать, Анапомним сначала, что Н<х, у^Ц^gv(х) t/y^. По правилу дифференцирования обратной матрицы

(д^>1дхк) = — (gy)-1 (dg^) (gy)-1.

Значит, в нашем случае dg*ildxk-=Q при х = 0 (нам уже случалось это использовать). Вычисляя ^g^/дхкдх1, получим выражение в виде некоторой суммы. При х = 0 слагаемые, содержащие первые производные, равны нулю, a gy = 6y. Поэтому вдоль c(f)

d^gV/дхкдх! = — d^gyjdx11 дх1. *

Заметим далее, что вдоль c(f) в координатах Ферми

Hx»xt = Ихйу1 = ЯА,• = 0, H^vi~80i при 1 = 0, 1,..., п.

Поэтому из (Я0) получаем

4 = ^0^+^ Ннон^ = ^,

(Н^)<>о

5^ = 0.

Так как ^(0) = 0, x]j(0) = 0, той уЦ1)=хЦ1)=0. Геометрически это означает уже известный нам факт, что V2” (0) (то же обозначение, что в § 3.2) инвариантно относительно действующего в ТС^М. линейного преобразования Тф<о(с(О)). Поэтому при нашем выборе 2 линейное отображение Пуанкаре Р = Тфд, | Г2” (0). Далее, дифференцируя (Я“) по У, получим

2п

а', р = 1

*’ Непосредственно уравнение Якоби вместе с с1=Ьщ дает 5<+2&/=о-

Далее используем, что в нашем случае РоМ)=Р1ом и что Rijki^Rjiik ВВИДУ известных свойств симметрии R (см. начало § 2.4).

Под фундаментальной матрицей решений часто понимают любую матрицу, столбцы которой образуют максимальную систему линейно независимых решений, а в том частном случае (с которым мы как раз имеем дело), когда при 1 = 0 эта матрица обращается в единичную, говорят о матрицанте.

где Яа-р(0 != #а-рМ 0)» (1 *, 0))- Теперь

Нц ^ = (1/2) д^№ (t\ Q)/dM - Rotoj (О, H^t^dg^y-, ow-o,

П{+п}+я(Г)^(Р, 0) = 6y.

Это означает, что матрица (^(0)» удовлетворяющая уравнениям (Я^) и равенствам 2“(0) = 6£, является фундаментальной матрицей решений системы (J). д При t = ® она описывает линейное отображение Пуанкаре Р, однако при этом для отображаемых векторов используются координаты, отвечающие / = 0, а для их образов — отвечающие 1 = ю. Чтобы для образов перейти к координатам, отвечающим / = 0, нужно, как мы видели, подействовать /Л 0 \

еще матрицей L ^ . Итак, Р в координатах £ представляется следующей матрицей!

/Л 0 \р”\о л^;^^)-

Для возмущенной метрики g* геодезический поток описывается гамильтоновой системой (Я*°), (Я*“), аналогичной (Я0), (Я“), в заменой Н на

. Н*^, X, у0, у)-у У ^"(я0; х)у‘у'.

Через

х*°№ 0; y*4h 01 **“W 0

обозначим ее решение с начальным значением х*° = 0, у*° = 0, г* =-^ при t —=0. Дифференцируя (Я0), (Я“), получим дифференциальные уравнения для х|°, yg°, г^. Займемся сначала х|°, у$°. По-прежнему при / = 0, 1, ..., п

Н>х1 = Н*»м1-Нух1-^ Н*й^ы,

поэтому ^° — у|°, y^ = Q, откуда ввиду нулевых начальных значений для xj°, у§° следует, что х|°(0 = 0, у^^^О. Теперь для ^(t) получается система

(Я*«)5*«(0- 5 У««'Я^р(Ог*Р(0;

а', р=!

матрица (Zp“(O) является фундаментальной матрицей решений этой системы с начальным значением z*“ (0) = 6ар. Непосредственное вычисление показывает, что матрица коэффициентов этой систе-

мы отличается от матрицы коэффициентов системы (/7®) на матрицу

/31\/(t; 0) Чи (t; 0)\

2 р (о - 2 Jaa'H«-, р (о = М L 0 J о •

(В правом нижнем блоке элемент, стоящий на пересечении i-й строки и /-го столбца, равен Р;;.) Здесь «у, Ру, уу суть функции от t (бывшее ау(7; 0) и т. д.). Сейчас мы их будем рассматривать при 0^7^(о. Напомним, что они удовлетворяют следующим условиям симметрии: ау = ау и Уу = у;,. Кроме того, эти функции должны быть малыми (в рассматриваемой топологии) и их носители лежат в некоторой малой окрестности точки /0. В остальном они, очевидно, могут быть произвольными.

Положим (Дг“(0): = (г^ (О)-1 (г^“ (/)). Выведем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет Дг^. Вообще, пусть неособые матрицы Z kt) и Z* kt) удовлетворяют матричным дифференциальным уравнениям

Z^-B kt) Z (0, 2* (0 = кВ kt) + с kt)) z* kt).

Тогда для ^Z : = Z~VZ* легко получить (Д2)- =-(Z~xCZ) \Z. Значит, в нашем случае

W-tiH ^e')«)(Az5).

\—«у —Pjil

Заметим, что общий вид элемента из алгебры Ли симплектической / Ру уу\*'

группы Spkn) совпадает с видом матрицы„. Далее,

\ ®/«■ Pjil

(Zp(O) — некоторая фиксированная матричная С°°-функция [0, аД-^-Зркп). Очевидно, задав произвольно какую-нибудь матричную функцию Lkt) со значениями в алгебре Ли группы Spkn), достаточно малую в рассматриваемой топологии и с носителями в рассматриваемой окрестности t0, мы сможем подобрать такие осу, Ру» Чу с перечисленными выше свойствами, что

Wk a 16V^~L№'\«у —Pjil

Но любую симплектическую матрицу S, достаточно близкую к /2я, можно получить как S (со), где S kt) — решение матричного урав-

♦’ Напомним, что обычное описание общего вида элементов из алгебры Ли группы Sp (л) таково: будучи разбиты на блоки л-го порядка, они имеют /Л В \

вид L = ( (д I» гДе В^В и C = ZC. (Это сразу следует из уравнения 'LJ -VJL = 0 для элементов этой алгебры Ли.)

нения S (0 = Z, (О S (/) (с L (О указанного выше типа), S (0) = /2л (54). Итак, для любой симплектической матрицы S, достаточно близкой к ип, за счет малого изменения метрики можно добиться, чтобы (Az“(co)) = S.

Перейдем к линейному отображению Пуанкаре Р* для геодезической с метрики g*. Такие же рассуждения, как выше для Р, показывают, что

/д п \ (д п \

Р = ^ А^^[ь А-^^^ А

Наконец, заметим, что условие /V-элементарности отображения Р открыто, плотно и инвариантно, т. е. множество ^-элементарных элементов Р еЗр (п) открыто, плотно и инвариантно относительно действия внутренних автоморфизмов. Поэтому можно найти такое сколь угодно малое возмущение метрики g описанного выше вида, что соответствующее возмущенной метрике g* линейное отображение Пуанкаре P* = PAz^(co) будет N-элементарным. Это замечание заканчивает доказательство предложения 3.3.7. □

^Замечание. Мы не уточнили, какова гладкость исходной метрики g. Вообще говоря, в настоящем параграфе обычное соглашение, что все объекты принадлежат классу С”, не действует. Однако для наших целей (теоремы 3.3.9 и 3.3.10) достаточно доказать 3.3.7 лишь для того случая, когда g — класса С”. Тогда координаты Ферми тоже будут класса С”, и если в этих координатах компоненты g*j тензора возмущенной метрики g* принадлежат классу С” и Сг-близки к gy, то это значит, что g* принадлежит классу С” и С'-близка к g. Поэтому в 3.3.7 можно г считать любым, а возмущенную метрику считать метрикой класса С*. То же самое относится и к следующей далее лемме 3.3.8. а

Предложение 3.3.7 можно рассматривать как утверждение о том, что с помощью произвольно малого возмущения римановой метрики можно так изменить 1-струю отображения Пуанкаре, чтобы она удовлетворяла некоторому открытому, плотному и инвариантному условию. В следующей лемме аналогичный результат доказывается для 3-струи отображения Пуанкаре. Общий результат такого типа изложен у Клингенберга и Такенса [1].

Лемма. Пусть <р<Х0, 0^/^®, —периодическая траектория с минимальным периодом со и с Ц.У;=т»^Хй —соответствующая однократная замкнутая геодезическая длины со, | с | = 1. Пусть, далее, ^ — соответствующее отображение Пуанкаре. Предположим, кроме того, что линейное отображение Пуанкаре Р

имеет 2q собственных значений, лежащих на единичной окружности, 2<?>0.

Утверждение. В произвольно малой окрестности произвольной точки геодезической с можно так сколь угодно мало возмутить метрику g на М, что в возмущенной метрике c(t) по-прежнему останется геодезической и соответствующее отображение Пуанкаре будет закручивающим.

Доказательство. Мы можем считать, что Р 4-элементарно (см. 3.3.7). Так же, как в доказательстве 3.3.7, введем координаты Ферми вдоль с. х Сохраним введенные там обозначения. Как и раньше, в некоторой окрестности точки XQ = c^ еТ*М имеем две системы канонических координат, естественно соответствующих тем двум системам координат возле точки с(0) в М, которые получаются с помощью Ф из стандартных координат в ]—е, e[xlnt£>e и ]ю — в, го + е[ х Int De. На время, как и в соответствующем месте доказательства 3.3.7, обозначим эти координаты в М через (х'°; х') и (х°; х), а в Т*М — через {(х'°; х'), (у'°; У')} и {(х°; х), (у0; у)}; в 3.3.7 мы видели, как первые связаны со вторыми. Поверхность 5 задается уравнением х'° = 0 или х° = ®. Координаты С“ на 5 —это (х^, у’*). Траектория щХ с Хе2, где X имеет (достаточно малые) координаты £“, вторично пересекает 2 в момент времени t = ® (£), где го (С) является непрерывным (даже дифференцируемым) по С решением уравнения х°(®(С), £) = ю, причем ®(0) = ®. В этот момент времени z-координаты траектории суть z“(®(g), £). Они же образуют часть ее координат во второй (нештрихованной) системе локальных координат возле Хо- Соответствующие им штрихованные координаты суть

/х"\ /А 0 \

A-i]^^» 9).

Итак, в терминах координат £“ на 2 отображение Пуанкаре

(8s)(8s)/Л 0 \W)-^ А^Г^, 0)./Л 0 \W)-^ А^Г^, 0).

(8s)

(8s)

/Л 0 \

W)-^ А^Г^, 0).

/Л 0 \

W)-^ А^Г^, 0).

Аналогично для возмущенной метрики g* такого типа, как в 3.3.7 (фактически мы будем рассматривать некий более частный тип возмущений), S по-прежнему является локальной трансверсальной гиперповерхностью и соответствующее отображение Пуанкаре имеет вид

(5s*)(5s*)(А 0 \.(А 0 \.

(5s*)

(5s*)

(А 0 \.

(А 0 \.

где со* (£) — непрерывное (даже дифференцируемое) по £ решение уравнения х*°(ю*(О. ?) = ® и ®*(0) = ®. *

Рассмотрим возмущения фундаментального тензора ^(f; х) следующего вида:

g*00^ х) = §ю(/; х) + 5 ayw(t; x)x<xW/12; ■U Ь к, ОО -

Г№ x) = g«(/; х) + 5 ^лДЬ x^xW, f>0;

Ь к, ОО

g*V(t; x) = g^(t; х)+ 5 Y<+»/+n«(^ х^х^Р. i, />0.

к. ОО

Здесь мы должны потребовать симметрии у по первым двум индексам. Кроме того, мы вправе считать, что у симметричны по последним двум, 0 —по последним трем и а —по всем четырем индексам. Далее, а, 0 и у имеют носители в той же области U, что и в доказательстве 3.3.7, и являются малыми в рассматриваемой топологии, а в остальном произвольны. Как мы увидим, возмущения такого типа не изменяют 1-струю и 2-струю отображения ^ и в то же время позволяют варьировать третьи производные ^ по £.

Дифференцируя уравнения (Я°), (Я“), (Я*°), (Я*“), мы получим уравнения для 1-струй, 2-струй и 3-струй функций (C“)i—» >х°((о, С“), (Са) •-* У° (<о. £“), (£“)•-* (z® (го, £“)) и аналогичных функций х*°, у*0, z*a, а от них перейдем к 1-струям, 2-струям и 3-струям отображений ^ и S5*.

дМы уже рассматривали уравнения для хр, ув, z^ и соответствующих величин со звездочкой. В частности, мы видели, что

^(0 = ^(П~<(0=<(0 = 0.

К сожалению, старшие производные от х° и у® по начальным данным, вообще говоря, ^О*) и не выпадают из уравнений для производных остальных г®. Поэтому мы временно изменим обозначения, считая, что z^x1 при 1 = 0, ..., п и г'= ^<-”-1 при Z«n4-1, .... 2п+1. Соответственно изменим смысл J*®‘. Тогда исходная гамильтонова система есть

(Я®)

a'

*’ Хотя в английском оригинале этой книги ошибочно утверждается обратное.

Дифференцируя ее по начальным данным, получаем

№Ё^= ^ Jaa'Ha-pZ^,

а', р

№)^ = ^^'Н^ + ^ ^'На.раг^,

а', ра', р, а

(Друб) Zpy5 = У, J™ Да'р2^уб+ 2 ^аа ^а'ра(гРу2°+ • • •) + а', ра'.р, а

+

госа/ и -P-O-t

/1 J Ha’patZ^Z^Zb»

а', р, а, т

Здесь нижние индексы у Н обозначают производные по соответствующим z, и значения всех этих производных берутся при г° = / и прочих г“ = 0. Суммирование ведется по всем индексам, стоящим под знаком суммы, от 0 до 2п4*1- В (Яр7б) в записи (2^т2б + ---) многоточием обозначены два других слагаемых, которые получаются из первого (выписанного явно) слагаемого при некоторых перестановках нижних индексов (причем из двух перестановок, отличающихся только порядком индексов у второй производной, надо использовать только одну какую-нибудь, так что всего имеется 3, а не 6 слагаемых; например, можно взять циклические перестановки). (Подобная запись встречается и далее.) Аналогичные уравнения (Я*“), .... (ЯрУ имеют место для z*a и их производных по переменным £; надо только всюду поставить звездочку у Н.

Докажем, что z*®(/) = г^ (О и z*® (0 = ^(0. Первое нам факти-чески уже известно из доказательства 3.3.7: фигурирующая там/ Ру Ту\„

матрицаQ в нашем случае является нулевой, но ради

\—«у —Р/</

единообразия мы заново убедимся в этом факте немного иначе. Ясно, что начальные значения у переменных со звездочкой и без звездочки одинаковы. Докажем совпадение правых частей уравнений (Яр) и (Яр“), (Яру) и (Яр”). Надо доказать, что Я«>р =Я$ Р (это уже обеспечит, что гр = 2р“) и Яа-ра = Я«'р0 (с учетом предыдущего это даст 2^=2^). Иными словами, если Ev=H* — Н, то при x° = t, х = 0, у°=1, у = 0 3-струя функции Е равна нулю *\ Имеем

Е= ^Цх°; x)tfy!, где ^g^, = g*l) — ^. I, i=o

*' То, что при этих значениях аргументов £=0 и £р = 0, нам фактически уже известно (£р = 0 эквивалентно тому, что Ф/Хр остается траекторией при возмущении системы, а £ = 0— что вдоль этой траектории Н = Н*‘. ведь (в обозначениях из доказательства 3.3.7) она лежите Т*^М, g), где Н = 1/2, Н в Т^М, g*), где //* = 1/2).

Дадим приращения Дх°, Ах, Ay0, Ду аргументам Е:

£(х° + Ах°, Ах, 1 + At/0, Ду) =

= ^ А^ (х° + Ах°; Ах) (б/0 + Ay') (6уо + Ду/) = i. i

= А^00 (x°+Ax°; Ax) + 2 5 Ag°/(x° + Ax°; Ax) Ду/ +

/

•+ 2 A^ (*° + Ax°; Ax) Ду' Ay/ =

'1.1

= O(| Ax|4) + O(| Ax|s) | Ay | + O(| Ax|) | Ay |8.

Отсюда, очевидно, следует, что 3-струя дифференцируемой функции Е в точке (/, О, 1, 0) равна нулю.

Теперь для разностей ty«^(O:=z£* (0-^(0 получаем уравнения

(Ю ^ (О = 2 ^«'р (О ^ (0 +

“,Р+5 W«'p« (0^(0^ (0^(0,

а'» р» а, т

Где Шр7б(0) = 0, Да'р (0 :— На’р (/, о, 1, 0), Еа’рат ff) *= = Ea'pottt, О» 1» 0).

Отсюда легко вывести, что ®^в(0 = w^1 (О = 0. Действительно, для этих переменных уравнения таковы:

^6 = ^*+ 5 ЕМраг2№р, о» т

с первыми производными г°(=х°)игл+1 (=■ yn+1) по р, у, 6. Учтем еще, что если а=#0, п+1, то J“° = J“n+1 = 0. Поэтому можно считать, что при суммировании в правых частях остальных уравнений индексы пробегают значения 1, ..., n, л+ 2, ..., 2п+1. А тогда естественно вернуться к прежним обозначениям для z“ (т. е. выбросить х° и у0 из набора z“ и сдвинуть нумерацию г“ с а>л+1), соответственно изменить смысл te>“v6 и J0”' и считать, что (W) является системой для этих ty^vfl и что суммирования в правой части производятся от 1 до 2п.

Посмотрим теперь, как выразить различие между 3-струями 8F* и № через и^?а (©). Сначала выразим 2-струю © (?) (3-струя нам не понадобится) через 2-струи функций

?*— + (©, ?); ?-*у°(ю, ?); ?-»ze(©, I).

Из х° (©(?), ©) = © находим, что

jt°©a + *a = 0, т. е. ©а(0) = 0,^°©afl 4* ^°<йа©3 + ^а©р + -^®а 4" ^«З “ ^

т. е. ®ав (0) — — Хар. Далее, выразим 3-струю № через 3-струи тех же функций. Согласно (У5),

/А 0 \

У5-L J№ где о»(С)t*2”(©(С), С).

Дифференцируя, находим

Ор = z“©p + zp,

Ору = ze©pv + 2a©p©v + zp ©Y + ^у ©p + Zpy,

Qpva = z“®pYe+2“ (wpv©6+...) + (z? ®pY + ...) +

+'zatop©Y©6 + (2б©р©у + • • • ) + (^рб®у 4" • • •) 4“2рув.

При ? = 0 получаем, что

Qa = 0, Qp = Zp, Qgv = zgy,

0^,6 = груб — z”xpT — Z®^p6 — ZpZy».

(A 0 \

Точно так же = ( q Л-1/^**^’ ГДО ^*“ И ИХ пР0ИЗВ0ДНые аналогичным образом выражаются при ? = 0 через z*“(©, ?) и их производные по ?. Поэтому

Q*a = Q“, Qe“ = Qp, Ор” = Ору, 0ртб = 1Уруб(ю)+0р?б'

Если бы мы рассматривали возмущения в классе всех гамильтоновых систем*1, то мы могли бы с самого начала положить Н* = Н -\-Е, где функция Е мала, имеет нулевую 3-струю на нашей траектории и ее носитель лежит в малой окрестности какой- нибудь точки этой траектории. В остальном Е могла бы быть произвольной. Тогда изменение (при этом возмущении) траекторий, близких к рассматриваемой, описывалось бы в нужном порядке системой (WY Пока что речь идет о первоначальном варианте этой системы —с а = 02п+1.Отбросить a$ve и

^‘ мы могли бы при условии, что Еп+1рат = 0. Это —дополнительное ограничение на Е, не влияющее на другие производные четвертого порядка. При его выполнении мы смогли бы перейти к системе (^W) для г1, ..., z2n = x1, ..., уп (и с суммированием по всем индексам от 1 до 2п). В этой системе Еа-р(Л(!) могли бы быть произвольными функциями от t, удовлетворяющими обычным условиям о малости и о носителе (и, конечно, симметричными по всем индексам). Кажется правдоподобным, что за счет возмущений такого рода можно обеспечить произвольное малое изменение членов третьего порядка малости (по £) отображения Пуанкаре (в классе симплектических диффеоморфизмов). Ниже мы приведем доказательство, содержащее соображения, которые будут полезны и в нашем случае.

В нашем случае, когда рассматривается возмущение в классе геодезических потоков, функция Е ограничена тем требованием, чтобы она была квадратичной формой по у®, у (с коэффициентами, зависящими от х®, х). Данное выше определение g* как раз и гарантирует, что

п

5 = у 2 V&*l4t» x)-gk(t, x))tfykс. к=0

можно взять произвольной такой формой (с обычными оговорками о малости и о носителе***). Ее четвертые производные таковы (латинские индексы принимают значения от 1 до п):

Etjki (О = оцм (t', 0);

Et+n jkl (0 = Pi+n jkl (f; 0)>

Ei+n j+n kl (0 = Yi+л j-vn kl if', 0).

*’ Но по-прежнему считая невозмущенную систему геодезическим потоком (поскольку предыдущее исследование уравнений в вариациях в координатах Ферми относилось именно к этому случаю; возмущений периодических траекторий произвольных гамильтоновых систем мы не касаемся не из-за каких-то принципиальных трудностей, но просто потому, что это не относится к теме данной книги).

**' Обратим внимание, что, когда мы говорим о «малости носителя функции Е» в случае общего гамильтонова возмущения и случае геодезического потока, это означает разные вещи: в последнем случае носитель в фазовом пространстве не может быть мал (по у он не ограничен) — мала его проекция на М. 8 В. Клингеиберг

Для этих производных не возникает никаких ограничений из-за специального вида Е, но

Ei+n f+n A+n I (0 = Ei+n j+n k+n l+n (00*

Однако Ea-paT(f) входят в (№) с множителями Zp (0 z?(0^fl(0 и по p, о, т производится суммирование. Грубо говоря, из-за этого на te>®vfl с большими индексами (лежащими в «плохом» интервале [п 4-1, 2м]) влияют Еа'рот с «малыми» индексами (лежащими в «хорошем» интервале [1, п]), т. е. те Еа-рат, выбор которых находится в нашей власти, и это позволяет получить произвольные малые т“?6(о»)»(в классе тех {te>g?e}, при которых сохраняется симплектичность преобразования Пуанкаре).

Решение с нулевыми начальными данными системы, имеющей в векторно-матричной записи вид w = A (/)а>4~/(0> следующим образом выражается через матрицант Z(f) однородной системы i-A^z^Y

w (t) = Z (t) $ Z-1 (s) f (s) dsо

(обычный метод вариации постоянных). В нашем случае получаем

(0

«&6 (“) = S ^ ^ S (z'* Ww’Ea.pat W zg (0 г" (0 zj (/) dt, X, ц, а', р, а, т0

где (Z-1)^ — коэффициенты матрицы, обратной к Z = (z^). Но Z (/) — симплектическая матрица (в обычном смысле, т. е. (JZ(f)£, Z^’)-'^ ^»*\ т. е. ‘ZJZ=J, Z-4'Z-^J, Z-4=J‘Z. Поэтому

2 (z-1^ Jua' = 2

(!)“W^E^^H Z ^a'par2?'2^^-

X, u0] a', p, a, т

Посмотрим теперь, какими могут быть члены третьего порядка в струе Э1 — ^ в точке С = 0, если ^, как и ^, — симплектиче-

наших целей удобнее говоритьнаших целей удобнее говоритьский диффеоморфизм и струя второго порядка равна нулю. Для не о ^ и ^, а о Q = (Q“) и Q =

наших целей удобнее говорить

наших целей удобнее говорить

координаты (x‘, ^) (i = 0, ..., и)координаты (x‘, ^) (i = 0, ..., и)— (Q») = f ^ Л/ ' П°СКОЛЬКУ

координаты (x‘, ^) (i = 0, ..., и)

координаты (x‘, ^) (i = 0, ..., и)

*’ Это явствует как из «общих*’ Это явствует как из «общихсоображений» (3.1.7 и выражение для

*’ Это явствует как из «общих

*’ Это явствует как из «общих

формы 2a в координатах Ферми), так и попросту из того, что система (Я^) является гамильтоновой (в обычном смысле).

пп

канонические, то 2а = У dx* л dy*, а значит, 2а| 2 = У, dx1 л dy*.

о1

Поэтому симплектичность отображения в координатах £“ означает, что матрица его частных производных первого порядка — симплектическая в обычном смысле. Итак, при любых £

4DQ^)-J-DQQ = J

и аналогично для & Выделяем члены третьего порядка в разности Q —Q: пусть.

₽. V. 6

Р. V. 6

Тогда из условия симплектичности DQ^^DQ^-^-Du® получаем

‘ ФО О • J- DQ ф -f- ‘ фО (£)) .J-Du(^ +

+1 фи (О) -J-DQ^VФи <^У J-Du (О = J.

В левой части первое слагаемое равно J, второе и третье равны

‘ фО (0)). J. Du (О + О (I £ I»), ' фи О) • J • DQ (0) + О (1^ Г),

а четвертое есть О (| £ |4), так что

‘ФО (0)) ■ J • Du ф) + ‘фи ф) • J • DQ (0) = о (| ^ |).

Так как левая часть однородна по С второй степени, она тождественно по £ равна нулю. Поскольку DQ (0) = (z^ (со)), то при любых а, р, у, б

(И)У г» (со) J^6 + ^ ^v6J^ (со) = 0.

X, ц?..Ц

Условие (I!) приобретает более простой и удобный вид в терминах величин sapv6. связанных с о^а следующим образом:

(S)^I^N^m

Поскольку матрицы Z = (z“) и J обратимы, то saBv3 однозначно определяются через y^vfi, и обратно. Сейчас мы покажем, что в терминах s условие (II) сводится к тому, что saPv3 симметрично по первым двум индексам. А поскольку из (S) видно, что sapYfl, подобно у«,6, симметрично по р, у, 6, то окончательно получаем, что s должны быть симметричны по всем четырем индексам.

8*

Доказывая, что sapYj = spaYs, мы будем считать у и 6 фиксированными, поэтому можно ввести матрицы

V = (уВуб)а.р -12п» s = ($аруб)а. р = 12л

(на самом деле зависящие от у и 6, на что наши обозначения не указывают). В этих терминах (I!) и (S) означают, что

‘Z3V VV 3Z = 0, V = Z3S

Подставив второе соотношение в первое, воспользовавшись равенством U = — 3, симплектичностью Z и равенством 33= — /2п, получим, что S —zS = 0. А это означает симметричность s по первым двум индексам.

Сопоставляя теперь (!) и (S), приходим к выводу, что нам достаточно доказать следующее: если заданы достаточно малые sapv6, симметричные по всем индексам, то существуют такие £apY6(0> удовлетворяющие перечисленным выше условиям, что

sepv3 = J Е^ (О 2Й (0 zg (0 г" (0 zj (О dt.

о

Будем рассматривать s^a и EgpaT(0 как коэффициенты 4-линей- ных симметричных форм S и Е (/) на R2”, так что, например,

s (Ь, С„ U U = S Sapv6№^, ^ - (С?) s R2b.

Такие формы образуют векторное пространство Z4(R2n). Линейное отображение A: R^^R2" естественным образом индуцирует два линейных отображения L$(A) и D(A) в L$(R2r!), которые определяются так:

(ЩА)5)(и Сг. Сз, ЬНМ, AU AU АС»), (D(A)S)(U ^, и U=S(AU и ^з, Сч) +

+ S(C1. AU и U + S(U k, AU U + S(U U U AU

(D(A) тесно связано с некоторым дифференцированием в обычном смысле, см. далее; отсюда и обозначение). Легко видеть, что

Ц (/„) = idL4(p2«), Ц (АВ) = Ц (В) - Ц (А).

Поэтому при обратимом А преобразование Ц(А) тоже обратимо. В этих терминах (!!!) означает, что

S = ^U(Z (t)) Е (t) dt.

В случае общих гамильтоновых возмущений существование надлежащих Е (I) очевидно. Именно, пусть Ас]е, и — е[ — тот отрезок, внутри которого должен лежать носитель Е (I). Зафик-

сируем какую-нибудь С”-функцию, носитель которой лежит строго внутри Л и для которой ^f^dt=\. Тогда можно положить

Обратимся теперь к нужному нам случаю. Обозначим через L подпространство в jLs(R2n), состоящее из тех форм, у которых равны нулю все коэффициенты sapY6, имеющие три или четыре индекса ">п. Иными словами, если какие-нибудь три из векторов t,i принадлежат подпространству OxR" (здесь 0 —нуль в R”), то S (Ci, ..., С0 = 0. Очевидно, имеющееся у нас ограничение на коэффициенты как раз и состоит в том, что Е (О е L при всех t.

Докажем сначала, что если Аг L(R2"; R2") действует на стандартный базис еа пространства R2” таким образом, что

(Д)Aet е 0xR2n, Ае^-е, :

(здесь, как и раньше, латинские индексы принимают значения от 1 до и, а О есть нуль в R"), то ЕД-ф ^A^f Е = Е\^гп\

Непосредственно находим, что (D (Д))2 = О (Л2) + 2О' (Д), где

D* (A)S)^£4)= $(Д&, AU £3, £4) +

4-8 (Д^4, $2» Л^з, £») + • • • +S (£ь £2» Л^3, А^

(всего (2) = 6 слагаемых, в каждом из которых А действует на два из четырех аргументов 8). Из (Л) следует, что DkA^L = L (действительно, если ^e0xR2n, то и A2^i е OxR2"). Поэтому достаточно доказать следующее: для любой 8 е L4S (R2") существует такая В е L, что S — D' (Д) В е L.

Выразим через коэффициенты Ьа^б формы В те из коэффициентов дар?а формы В', у которых 3 или 4 индекса >п. Имеем

Ь(+п j+n k+п 1+п = В (^i+n> Sj^ni вй+л, 6/+n) =

— В (Aeiw, Ас^ги ек^п1 е^п) 4* • • •=

- = 8(^, в;, ekvn, elv,A + •.. = 2Ьу к+п ^п 4*...

(6 слагаемых, в каждом из которых 2 индекса те же, что и соответствующие индексы у Ь', а 2 других на п меньше, чем соответствующие индексы у Ь'\ Далее,

bi+n /*п k+n i — 8 (Aei+n, Ae/+n, ек+п» е/)4-.-,;

справа стоят 6 слагаемых, в трех из которых А действует на какие-нибудь два из трех векторов е^п. ej+n, екМ1, а в других трех слагаемых А действует на et и еще на один из векторов elvn, е^п, ек+п. Но эти последние 3 слагаемых равны нулю: например,

8(е/+„, Aejw, ек*п, Aet) = B<eiw, eh ек+п, вектор из OxRn) = Q

(3 из четырех аргументов принадлежат OxR"). В первых же трех слагаемых действие А на соответствующий вектор сводится к уменьшению индекса этого вектора на п. В итоге

b’i+n j+n А+л I = В {ei, ej, Ск+п, ez) +

A" В (ei, e/+n, ekl ez) + В (ez+n, 6/, e*, ez) =

= bi} k+n 14" bi j+n kl 4" bivn jkb

Итак, мы должны доказать, что если заданы sapYe, симметричные по всем индексам, то существуют такие 6apY6> тоже симметричные по всем индексам, что

(?)8;+я /+п к+п 1+п = 2Ьц к+п !+« + ■••»

(??)Sj+„ jW к+п I = 2Ьц к+п I + 2Ь, }+п kl + 2btw jkl-

(Если последние соотношения выполняются, то ввиду симметрии "для тех sapYe, у которых другие 3 коэффициента >л, тоже выполняются аналогичные соотношения.) Положим при i^j и k^l

(t)Ьцк+п l+n — V 12Sj+n j+n k+n l+n

и при i^j^k

(t t) bljk l+n — Ve (®i }+n k+n l+n + 8/+n j k+n l+n 4“

4” 8(+л j+n к l+n 2s,+B y+n k+n l)-

По симметрии определяются остальные ba₽Ye, для которых (ровно) один или (ровно) два индекса >л; те же bapYa, у которых либо все индексы ^п, либо хотя бы три индекса >п, несущественны для наших целей, и ради определенности их положим равными нулю. Очевидно, те Ьар?б, У которых ровно два индекса ^п, определяются по следующему рецепту: надо эти два индекса увеличить на а, взять s с полученным набором индексов и разделить на 12. Теперь ясно, что при нашем определении b выполняется (?). Далее, правая часть (ft) симметрична относительно i, j, к; поэтому (ft) имеет место не только при i^j^k, но и вообще при всех i, j, к. Перепишем (ft), заменяя t, /, к, I сначала на ь /', /, к, затем на t, к, I, j и, наконец, на /, к, I, I; иными словами, выпишем аналогичные формулы для btjl к+п, biM j+n и bjkti+n, т. е. для величин, фигурирующих в правой части (??). Сложив написанные выражения для этих величин, убедимся, что выполняется' (??) **.

*' По существу, здесь дело в том что решение системы уравнений (с неизвестными а, Ь, с, d)

a + b-Vc = D,a-p b^-d-C,a-\-c-\-d = В, b-Vc-Vd = A

имеет вид o = 1/3(B-j-C-j-D — А) и г. д.-

Свяжем теперь D (Л) с настоящим дифференцированием. Пусть А (О — матрица коэффициентов системы (Яр), а Е е Ц (R2n). Тогда 1U(Z^E=U(Z^D(A^E.

Действительно,

■^e^z^^zwu-eiawzwu z^u z^u г№+...

+ £(2(/)^, z^u z(t)u a^z^4\ a (Ls(Z)D(4)S)(g1> £2, ...) как раз и равно

(ЩЛ)^^, ZU ...) + ...=

= S(AZU ZU ...HS(ZU AZU

Если же E сама дифференцируемым образом зависит от /: E = E(ty то

^ Ц (Z (/)) Е ^ = Ц (Z (0) Ё W + Ц (Z (0) - D (А (0). Е (0.

Непосредственно проверяется, что

(t t t) ^№(0) E^ = Li (Z(0) {£ (0 + 20 (Л (0) Ё(0 +

+О(Л ^Е^н^^АдаЕ^.

Это позволяет сделать вывод, что для любой формы S е Li (R2n)найдется такая Е {t), которая принимает значения в L, диффе-ренцируема, носитель которой лежит внутри А и для которой8=^-1У$^Е^

(/0— фиксированная внутренняя точка А). Действительно, мы можем независимо предписать, какими должны быть Е (t0), Ё^о)» Ё^оу Наше Л (0 имеет вид ”) (конкретный вид блока, обо- 0 /

значенного звездочкой, для нас несуществен), т. е. удовлетворяет (Л). Поэтому существует такая форма Е^оУ что

U (Z-i (/«)) S — (D (Л (Z0)))2 Е (<0) е L.

. . =U 0/ ТЗК ЧТ° ^ (0xR2/l) = 0; поэтому у формы D (Л (Zo)) Е (/0) могут быть ненулевыми лишь те коэффициенты, у которых все индексы ^ п, и тем более эта форма принадлежит L. Полагаем

FGo) = O,

Ё (<0) = Ц (Z-i (Q) S - (D (Л (М))2 Е (М - D (Л (Zo)) Е (to); тогда, очевидно, выполняется требуемое равенство. ■

Возьмем теперь какой-нибудь базис 5Ъ ..., S# пространства Ц (В2") и такие Е, (/) (дифференцируемые, со значениями в L и с носителем в А), что

S^g^M^))^) (/ = 1N).

Возьмем дифференцируемую функцию f с носителем в А, которая настолько хорошо аппроксимирует (в известном смысле) 6-функцию 6 (/ — /<>), что

S'i'.-^fm^LUZWEiWdt (i = l, АГ) д

тоже образуют базис в EKR2") (это обеспечено при достаточной их близости к 5г). Интегрируя по частям, получаем

s;=\HtWAZkt)Wt)dt.

Любая форма SeL^R2") представляется в виде £s,S,, причем надлежащая малость S гарантирует малость s,-. Очевидно,

S^U^Z^E^dt,о

где f (0 = S sitt (О Et (t) мала при достаточно малых Si, т. е. ~S, и удовлетворяет всем прочим условиям. ▲ □

Теперь мы в состоянии доказать типичность свойств, сформулированных в 3.3.7 и 3.3.8.

Точнее, пусть х>0, У^1— целое. Через ^'(У, х) обозначим множество тех римановых метрик на М, которые принадлежат классу Сг и обладают тем свойством, что для каждой замкнутой геодезической Е-уровня ^ х соответствующее линейное отображение Пуанкаре Л^-элементарно.

Через У (N) сУМ обозначим множество таких римановых метрик, что для каждой замкнутой геодезической соответствующее линейное отображение Пуанкаре У-элементарно.

Теорема. Пусть М — компактное дифференцируемое многообразие и г ^2.

Утверждения, (i) Множество У^П, х) плотно в УМ и содержится во внутренности У (N, х/2).

(И) У(П) содержит остаточное в УМ множество, т. е. свойство метрики, состоящее в том, что линейная часть отображения Пуанкаре каждой замкнутой геодезической N-элементарна, типичное.

Замечание. При N = 1 утверждение (И) есть теорема о бугристой (bumpy) метрике Абрахама [1].

^Доказательство теоремы о бугристых метриках см. в работе: Аносов [6]. Здесь же мы приведем только доказательство теоремы 3.3.9 для М>1, в котором используется ее справедливость для А/ = 1.

Абрахам предполагает, что г ^5. Но, как видно из наших рассуждений, если его теорема доказана при г = 5, то она верна и при г = 2, 3, 4.

Доказательство. Ясно, что (и) следует из (i), ибо У (N) можно представить как пересечение счетного числа множеств y(N, х) с х— 1, 2, .... Поэтому достаточно доказать (i).

(а) Отметим сначала несколько простых фактов из теории динамических систем. Пусть на замкнутом дифференцируемом многообразии задан поток класса С1, у которого нет положений равновесия (т. е. соответствующее векторное поле нигде не обращается в нуль)*1 и у которого все периодические траектории периода со таковы, что соответствующие отображения Пуанкаре не имеют собственного значения 1 (ради краткости будем по аналогии с введенной выше терминологией называть такие траектории 1-элементарными **’, хотя понятия У-элементарности для них мы не вводим). Тогда этих траекторий конечное число***', и при некотором е>0 у потока нет траекторий с периодами из ]ю, со4-е[. Далее, при малом (в смысле С1) возмущении потока ****) эти траектории непрерывно изменяются, как и соответствующие линейные отображения Пуанкаре; в частности, наши траектории остаются 1-элементарными. Поскольку имеется известный произвол в выборе начальной точки траектории, то точный смысл утверждения о непрерывной зависимости траектории от потока таков: можно таким образом сопоставить каждому потоку, достаточно близкому к исходному, некоторую периодическую траекторию этого близкого потока, что она непрерывно зависит от потока

' *’ Это не очень существенно —просто при наличии положений равновесия очевидным образом усложнились бы формулировки.

*’ Чаще их называют невырожденными. Впрочем, мы говорили о периоде, а не о минимальном периоде, так что рассматриваемые траектории могут не быть однократными (как замкнутые кривые), тогда как обычная терминология обычно относится к однократным траекториям.

**' Разумеется, с точностью до изменения начальных точек на этих траекториях. Эта оговорка была бы не нужна, если бы под траекториями понимались просто соответствующие множества точек. Но тогда замкнутую траекторию нельзя было бы отличить от той же траектории, пройденной два раза. По-виднмому, здесь лучше всего понимать траекторию как ориентированную кривую (без фиксированного начала).

**♦, -р0 есть возмущенный поток задается векторным полем, ^-близким к полю, задающему исходный поток.

и совпадает с исходной периодической траекторией для невозмущенного потока. В основном все сводится к тому, чтобы каждому близкому потоку сопоставить подходящую начальную точку (непрерывно зависящую от потока и определяющую периодическую траекторию этого потока). (Для линейного отображения Пуанкаре имеется произвол еще в выборе трансверсальной (к вектору фазовой скорости) гиперплоскости в касательном пространстве к фазовому многообразию в начальной точке траектории. Но если начальная точка непрерывно зависит от потока, то гиперплоскость тоже можно взять непрерывно зависящей от потока, и тогда линейное отображение Пуанкаре (теперь оно однозначно определено) будет непрерывно зависеть от потока, — надо учесть, что период периодической траектории в нашем случае тоже непрерывно зависит от потока.) Чтобы обеспечить непрерывность этих начальных точек, фиксируем какие-нибудь локальные трансверсальные гиперповерхности 2,- в начальных точках исходных периодических траекторий (какие именно из их точек взять начальными и как именно выбрать 2,- —безразлично) и потребуем, чтобы возмущенные периодические траектории начинались на 2,-. Тогда вопрос сводится к малым возмущениям отображений Пуанкаре. Наконец, при возмущении периоды некоторых из рассматриваемых траекторий могут стать >ю, но, во всяком случае, новых траекторий периода ^со не возникнет.

Ь) Пусть теперь g0^^r(l, и), г ^2. Тогда соответствующий геодезический поток {yf0}, рассматриваемый на Т*(^> go) (обозначение из доказательства 3.3.7), обладает свойствами потока из (а) (с (0 = ]/2х). Посмотрим, что происходит при малом (в смысле С1) возмущении рассматриваемой метрики. Для возмущенной метрики g геодезический поток {у®} рассматривается на инвариантном многообразии Tf (Af, g') N= ТХ (М, g^). Однако можно спроектировать ТХ^М, g) на Т*(М, g0) (в каждом слое расслоения Т*М-*М по радиусам) и с помощью этой проекции рш «перенести» поток |у®} в ТХ(М, g0), т. е. рассмотреть поток {PggocpzPgg„}. Этот поток близок к {у®»} в смысле Сг-1 (см. ниже). Поэтому все его периодические траектории с периодом ^]/2х непрерывно зависят от g (в понятном смысле) и 1-элементарны. Соответствующие траектории потока {у^} тоже 1-элементарны (ясно, что диффеоморфизм, переводящий один поток в другой, — в нашем случае проекция р8й„ —сохраняет свойство 1-элементарности периодической траектории). Сказанное означает, что g е г >r (1, у). Мы видим, что множества У (1, х) — открытые. '

Далее, пусть g0 г У (N, х). Поскольку линейные отображения Пуанкаре для рассматриваемых траекторий непрерывно зависят от g (или, лучше сказать, поскольку задающие эти отобра-

жения «данные» — начальную точку и соответствующие гиперповерхности — можно выбрать так, чтобы отображения непрерывно зависели от g), то при достаточной близости g к g0 эти отображения останутся У-элементарными. Здесь надо пояснить, почему вообще можно говорить об М-элементарности линейных отображений Пуанкаре для периодических траекторий потока {Pgg^fP^}- ®™ отображения являются симплектическими в том смысле, что они сохраняют некоторую невырожденную кососимметрическую 2-форму — не ту, которую мы рассматриваем для потока {фр}, а ту, которая является образом при диффеоморфизме pggo аналогичной 2-формы для {ф^}. Как бы то ни было, они обладают тем свойством, что если р — собственное значение, то и р-1 — тоже (с той же кратностью), а 4-1 и —1 имеют четную кратность. А именно это и нужно, чтобы можно было говорить об N-элементарности. Ясно, что при малом возмущении ^-элeмeнтapнoгo линейного преобразования в классе всех преобразований, обладающих указанным выше свойством, преобразование останется W-элементарным. Наконец, преобразования Пуанкаре для периодических траекторий потока {<Pf} eT*(Af,g) сопряжены преобразованиям Пуанкаре для соответствующих периодических траекторий потока {Pgg^fP^}, и потому для всех траекторий потока {<pf} с периодом $с]/2х они ^-элементарны. Следовательно, g е Sr (N, х). Мы видим, что множества S^N, х)— тоже открытые.

Убедимся в С^-близости {рвв,ф|Р^} к {ф<“}' Пусть х1, ... .., хл+1 — локальные координаты в М, а у1, ..., z/"+1 — соответствующие координаты в слоях Т*М. Рассматривая {<pf} и Т*(М, g), будем писать т/ вместо у’. Тогда потоки {фр} и {ф®{ во всем Т*М имеют функции Гамильтона

Но (х, у) = * 2 §М1 ^ №’ Н^х' ^ = J 2 ^ <х) г1'1,/’

ТЦМ, go) и Т^М, g) задаются уравнениями

HoU. У) = ^- И (х, т])=4»

проекции рйой и pg.lg — уравнениями

у1 = ^/У 2//0 (х, т]), V = t//V2H(x, у),

и непосредственное вычисление показывает, что {pggoфfpgg*}

описывается уравнениями*1

где Д,=где Д,=DiH0DivnHoDiH0DivnHoDiHDknH ’DiHDknH ’(*) x‘ = DiwH/V2H, y^-DiH-V-Z ytMV'H,

где Д,=

где Д,=

DiH0

DivnHo

DiH0

DivnHo

DiH

DknH ’

DiH

DknH ’

у H и Но всюду подразумеваются

аргументы (х, у), Di-.= dldxl и Окп;= д!ду’. (Собственно говоря, непосредственно при вычислении у1 получаются дополнительные знаменатели: (2Н0)1/2 У первого слагаемого и ^НоУ2 у второго. Но на TttM, g0) эти знаменатели равны 1.) Ясно, что, когда g*' (х) -*gM' (х) в смысле Сг, а \у\ ограничено и отделено от нуля (как это имеет место на Т*(М, go)), правые части (*) стремятся к (Qi^nHo, — DjHo) в смысле С'-1.

с) Докажем теперь, что У^Н, х) плотно в 5ГМ. Пусть g0 — произвольная С'-метрика. Ее можно аппроксимировать (в смысле Сг) бугристой метрикой gv (При г ^5 это просто утверждение теоремы о бугристых метриках. При г = 2, 3, 4 сначала аппроксимируем (в смысле Cr) g метрикой класса С5, затем аппроксимируем последнюю (в смысле С6 и тем более Сг) бугристой метрикой.) Далее, gA можно сколь угодно близко в С'-топологии аппроксимировать С°°-метрикой g. Поскольку §1еУ(1, х) и Sr(l, х) открыто, то и ge^'tl, х). Пусть Ci, ..., ch — «все» замкнутые геодезические для g с 0 < Е ^ х (т. е. любая замкнутая геодезическая с 0<.Е^х принадлежит О(2)-орбите одной из с,). У g имеется такая окрестность в £г(1, х), что при всех g' определены непрерывно зависящие от§' замкнутые геодезические **> Ci(g'), причем Ci^g) = Cb а других замкнутых геодезических с 0<fsCx у метрики g' «нет» (с обычным уточнением смысла этого «нет»). Геодезические с, не обязаны все быть однократными, но среди них имеются однократные — пусть это будут с(1, ..., с<;, — а все прочие с. являются кратными повторениями этих ci\ пусть наибольшая кратность повторения равна т. Две различные (и не сводящиеся друг к другу посредством действия 0(2)) однократные геодезические могут иметь лишь конечное число общих

’ Хотя здесь написано 2 (п+1) уравнений, но на самом деле х1 и у* не независимы, а подчинены соотношению 2//0 (х, у)=1. Если локально независимыми координатами являются, скажем, х1, .... хп+1, у1уп, то можно выразить у”4"1 через остальные переменные, подставить это выражение вместо у"*1 в правые части уравнений для х1, ..., хл+1, у1, ... , уп, а уравнения для уп-ы не писать вовсе. Но можно сказать и иначе; у системы (*) мы берем только решения с начальными значениями, удовлетворяющими соотношению 2Н0(х, y)=L

*• Собственно говоря, мы не доказывали непрерывной зависимости с,- как элементов топологического пространства ЛУИ от g', и она нам не понадобится; можно иметь в виду просто непрерывность по g1 соответствующих 1 раекторий геодезического потока, как в (а).

точек, поэтому на каждой из ct имеются точки, не принадлежащие никаким другим Ci . Пусть

W ^ U СЧ

с(. могут иметь самопересечения, но поскольку у однократной геодезической может быть лишь конечное число точек самопересечения, то, слегка изменив, если потребуется, tj, можно добиться, чтобы Ci^tj) не были точками самопересечения. У точек с^Д можно взять такие малые окрестности Ub что

(**) t//n U (^(S)u^)=o.

Из 3.3.7 видно, что за счет сколь угодно малого возмущения 6jg метрики g, сосредоточенного в Ub можно добиться, чтобы линейное отображение Пуанкаре для Ct, оставшейся замкнутой геодезической для g + S/g, стало Мп-элементарным. (Ввиду (61) тогда оно станет N-элементарным для всех повторений ct кратности ^т.) Из (**) видно, что это возмущение не «задевает» остальных Cth и тех окрестностей Uh, где производится возмущение, корректирующее свойства Cift. Поэтому можно произвести все эти возмущения одновременно, т. е. взять метрику g* = g + У 6;g; при достаточ-

1

ной малости возмущений она принадлежит Д°. Ясно, что Ci(g*) = Ci и что для g* линейные отображения Пуанкаре являются ^-элементарными для всех Ci, а ведь других замкнутых геодезических с 0<Е^х у g* нет. Значит, g*ey^N, х). □ ▲

Теперь мы докажем последний результат этой главы.

Теорема. Пусть М —компактное дифференцируемое многообразие и г ^ 4. Тогда следующее свойство римановой метрики является типичным (в УМ\

Отображение Пуанкаре каждой замкнутой геодезической на многообразии М с метрикой g является гиперболическим или закручивающим.

Доказательство (ср. с работой Клингенберга и Такенса [1], где приведено немного другое доказательство). Будем рассуждать так же, как при доказательстве 3.3.9. Очевидно, достаточно доказать лишь аналог утверждения 3.3.9 (i).

Для х>0 обозначим через £г(т, х) множество тех метрик g е УМ, для которых выполняется следующее свойство: у всех замкнутых геодезических на ^М, g), для которых 0<Е^х, отображения Пуанкаре гиперболические или закручивающие.

Из 3.3.9 мы знаем, что множество 1Г(4, х) открыто и плотно в УМ. Поэтому заданное g е УМ может быть аппроксимировано С°°-метрикой g', у которой есть лишь конечное число замкнутых геодезических с 0<£<z. К каждой из этих геодезических применяем 3.3.8. Таким образом, У(т, х) плотное УМ. Так как рассматриваемое свойство отображений Пуанкаре открыто, то малое возмущение элемента g е У (т, х) не выведет g из У (т, х) (поскольку, очевидно, У (т, х)с^'"(1, х), при малом возмущении g новых замкнутых геодезических с 0<Е^х не возникает). Таким образом, У(т, х) открыто. П

Добавление к § 3.3

Теорема Биркгофа — Льюиса о неподвижной точке

Юрген Мозер

Мы изложим полное доказательство так называемой теоремы Биркгофа — Льюиса о неподвижной точке 3.3.3. Эта теорема родственна другой теореме Биркгофа и Льюиса [1], а именно теореме о периодических решениях действительной аналитической гамильтоновой системы около неподвижной точки общего устойчивого типа. Отметим, что доказываемая ниже теорема сформулирована при очень слабых предположениях о дифференцируемости. Дальнейшие комментарии можно найти в замечании после 3.3.3.

Пусть xeR" и (xft), (j^, 1 ^h^n, — координаты в пространстве R2”, снабженном канонической симплектической 2-формой 5 dxk д dyk. Мы рассматриваем каноническое преобразование к

ф: (R2”, 0)-*(R2n, 0)

вида (х, g)i-*(xto, у^),

хк = хк cos Ф* (х, у) - ук sin Фй (х, у^АДк^х, у),

Ук = хА sin Ф6 (х, г/) + ^со$Фй(х, г/) + ^+т(Х, у),к

Фк(х, y) = aft+ 2 ^Pki(xt + y8z).

1=1

При этом предполагается, что в начале координат производные возмущающих членов fk(x, у) и Д+Л(х, у) равны нулю вплоть до третьего порядка включительно, а сами эти члены всего лишь принадлежат классу С1. Для простоты можно предположить, что / принадлежит классу С3, но, во-первых, в доказательстве это более сильное предположение нам не понадобится, а во-вторых, предположения о слабой дифференцируемости в дальнейшем окажутся полезными.

Положим р2 = У <xl + уУу тогдак

(2)Р"3№ ^I+pWI+d^i)}

стремится к нулю при р->0.

Если мы предположим, что матрица (06Z) невырожденна, то получим локальное симплектическое закручивающее отображение; см. 3.3.2 и 3.3.3, где были использованы комплексные координаты

? = Хк-У1ук,^ = Хк-1ук- 2nak = ak, 4лЬк = ^к1-

А.1. Теорема. Если отображение ф: (R2n, О)-*-^2", 0) является каноническим преобразованием с невырожденной матрицей (ри), то каждая проколотая окрестность 0< У (х* + У к) <е к

содержит периодическую траекторию. Период этих траекторий стремится к бесконечности, когда е стремится к нулю.

Доказательство. Введем новые координаты (т*, ^к), полагая (3)xh = ]/2т^ё cos 6 yk = V^Rsin9k,

где 9* определены с точностью до 2л. Заметим, что это преобразование вырожденно, если одно или больше т* равны нулю. По этой причине будем рассматривать шар

Вр. 2 (2т* - У2 < Р2. 0 < р < 1/2п,к ''

на котором 2т* > 1/2/г — р>0. Кроме того, на этом шаре

0< 2(х» + ^) = е22т*<е( * +npj<e,кк'

так что этот шар целиком лежит в рассматриваемой проколотой окрестности. Отображение ф определено в области ВрУ.Тп, где через Тп обозначен тор {9* mod 2л}.

Преобразование (3) переводит 2-форму а = У dXk^dyk в форму к

eydT*Ad9*, так что ф в новых координатах по-прежнему к

остается каноническим преобразованием относительно симплек- тической 2-формы У dT*Ad9*. Кроме того, ф есть «строго кано к

ническое» преобразование, т. е. для любой замкнутой кривой Г из ВрхТп выполняется соотношение

$ У, TAd9* = У TAd9*.

Г кф(Г) к

В самом деле, из равенства 28Tkd9k = xkdyk — ykdxk и теоремы Стокса получаем

2е У TkdSk = $ У <xkdyk — ykdxk) = 2 $ а,Г к90 к£2

где Q —двумерное многообразие в |х|2 + | у|2<8 с краем dQ = F. Так как исходное отображение сохраняет а, а следовательно, и J а, то новое отображение сохраняет ^ У Tkd6k для всех замкну- £2к

тых кривых Г в ВрхТт. Здесь мы воспользовались односвязностью множества |x|2 + | t/l2<e, в то время как множество ВрхТт, конечно, не односвязно. Заметим, что понятие «строго канонический» сильнее, чем понятие «канонический», в чем можно убедиться на примере отображения t6i—*t6 + q, 6ah-»66.

В терминах переменных тк, 6А исходное отображение ф представляется как некоторое новое отображение, — мы снова будем обозначать его через ф, —которое фактически определено на накрывающем пространстве для ВрхТт; это накрывающее пространство параметризовано с помощью т6 и 96.

Рассматриваемое отображение записывается в виде *>

(т, б)^(тЧ', 6'1'), т^’= тА + Ох (е);

б*.11 = 6» + фб (т, е) + oj (е); ф* = а6 + е У 0wtz.

Z=1

Здесь о^е) обозначает такую функцию f = /(T, 6, е), периодическую по 86 с периодом 2л, что е-1/ и первые производные е-1/ по г и 0 равномерно стремятся к нулю при е-^0**1. Если мы обозначим через | f U максимум на Вр х Тп среди всех производных порядка ^s, то последнее условие можно сформулировать так:

8-11 / 1 -»- 0 при 8 -► 0.

Через о (б) мы обозначаем функции, для которых e-i|fjo->O, а через 0(e) —функции, для которых sup е-11/i0< оо. Понятный смысл имеют также о(1) и 0(1). В различных формулах и даже в разных частях одной и той же формулы эти ог (е), о (е) и т. д. могут обозначать различные величины.

Мы намерены рассматривать его при различных е, поэтому точнее было бы сказать, что теперь имеется однопараметрическое семейство отображений tpE с малым положительным параметром е.

Позднее эти / могут еще зависеть от некоторого индекса (например, / в (6) и N в 3.3.А.5); тогда подразумевается, что равномерность стремления к нулю соответствующих величин имеет место также и по рассматриваемым значениям этих индексов.

А.2. Теорема. Пусть ф — такое строго каноническое отображение вида (4), определенное на ВруТп, что матрица (Pa-z) невырожденна. Тогда при достаточно малом е > 0 область Вр х Тп содержит по крайней мере одну периодическую точку.

Ясно, что из этой теоремы следует теорема З.З.А.1. Доказательство теоремы 3.3.А.2 мы разобьем на несколько шагов (см. также Цендер [1]).

А.З. Лемма. Пусть 0<р'<р и сг — положительная константа. Тогда если eN <.Су и 0<е<е0, где е0 зависит от р, р' и сх, то при /=1, ..., N определены итерации

<рЛ Вр> х 7"Вр х Т".

Кроме того, при этих /

фу —Х^е-^ (е) —»0,

где1 х: (г- В)1—*(т, 8 + ^(t, е)).

Эта лемма нужна для того, чтобы показать, что итерации ф/(т, 6) не покидают области определения, если i = Oje-x\ Кроме того, нам понадобятся оценки для первых производных итераций ф/ в том виде, в котором они даны в (6).

Доказательство. Используя в пространстве (т, 6) обычную евклидову норму, получим, что, пока итерации ф' определены, их т-компоненты удовлетворяют неравенствам

I т(/) — т | < I т11) — т | +... +1 т( п — т</-111< jo (е),

а так как j-^N<.cxje. и teB^, то it*/! — т<с18-1о(е)<р — р', если только е достаточно мало. Отсюда индукцией по / = 1, ..., N заключаем, что все ф' определены и ф^т, 9)еВрхТ". Тем самым (5) доказано. Кроме того,

0(7) _ 6 _ у^ (Т1 g) [ ^ | 0(1) — 0 — ф (т> е) j -]-...

...-|-19(/) — В1/'11 — лр(т, е) I ^о (е) 4-(о(е) 4" !1р(т(П, е) — ф(т, е)!)4-- • ■

...4-(o(e) + |i|)(T<v-i), е)_ф(Т) е)|)^

Ао(е) + 0Ме4-о(е)) У t(Z)-t|^

i= 1

I— i

Ао(е) + е У, /о(е) = Уо(е)4-№ео(е) = (1 4-сг) No (е) = е^о (е), z= I

где через ||р|| обозначена норма матрицы p = (pfcz). Это доказы

вает, что | у/ — %/|0 = о(е). Для доказательства (6) осталось получить оценки разностей якобианов*’ dy/' и dx^.

Якобиан dy в точке т</'\ 6(/) обозначим через Fj, а якобиан dx, который во всех точках одинаков, — через G. Так как у не зависит от 6, то

Заметим, что | G — 1|® = О (е) и

|fy-/lo-|Fy-Glo + |G-/|o = o(e) + 0(e) = 0(e).

Поэтому композиция N таких отображений Ff или G может быть оценена как

(1 +0 («))^ = ^°<е> = О (1),

т. е. она ограничена, если ограничено Ne. Поэтому получаем

| dy> - dxy |о=| dy> - dxy |о=*=/-1S W/-2.6 = 0*=/-1S W/-2.6 = 0s" Nc^o (е) = г^о (е). оs" Nc^o (е) = г^о (е). о

| dy> - dxy |о=

| dy> - dxy |о=

*=/-1

S W/-2.

6 = 0

*=/-1

S W/-2.

6 = 0

s" Nc^o (е) = г^о (е). о

s" Nc^o (е) = г^о (е). о

(Здесь у Ft подразумевается аргумент (т’1'-1’, 6й-1’)- При & = / —1 подразумевается, что сомножители Fj-V ..., Fkti отсутствуют.) Это доказывает З.З.А.З. □

Теперь мы хотим отыскать неподвижную точку отображения xN в Вр>хТп. Для этого нам надо найти такое теВ^, чтобы при всех 6=1, ..., п числа (2л)-1 N^k (т, е) были целыми, т. е.

(2л) 1 Ау (т, е) е Z”.

А.4. Лемма. Если eNp" > 2л]/л | р-11, то существует т* е ВР", удовлетворяющее условию (7), т. е. такое, что тор т = т* целиком состоит из неподвижных точек отображения %N.

(Эта лемма относится к отображению х, которое определено при всех т, 6, е, поэтому в условиях леммы нет никаких ограничений на р" и на малость е (подразумевается, конечно, что е, N, р">0). Другое дело, что^такие ограничения появляются при ее применении.) .

Доказательство. Образ шара Вр~ (имеющего радиус р"/2) при отображении ti—*-y(T, е) = а+8рт содержит шар радиуса «|1Р-1Ь| р"/2. В самом деле, если о = у(т, е) и о' = у(т', е), то | т — т'; < е-11| Р”11| | а — а' |. Пусть теперь г' — центр шара Вр. (т. е. rk=\/4n, k=\, ..., п), а о'—образ т'. Каждое а является образом некоторого т. Тогда из | а — о’ | < 8 [ р-1 Ц-1 р"/2 следует, что |т —т'|<р72, что доказывает утверждение.

Таким образом, при отображении ti—*(2л)-1 ^(т, е) образ шара ВР" содержит шар радиуса 7?=(4л)*1ЦР-1М^ер" и, следовательно, содержит куб со стороной 2n—x,2R. Поэтому, если 2п-|/2/?>1, то этот куб содержит точку решетки Z", что и доказывает лемму. □

Фиксируем теперь до конца доказательства такие р' и р", что 0 Ср" С р' <р с 1/2и.

А.5. Лемма. Положим

Со = 2л Уп ||0-1 |1/р", с^Со+1.

Тогда при любом достаточно малом е>0 и любом целом N, для которого c0<vN <Си в Вр.хТп существует такой тор т = = т(6, е) = т* + e^Oi (е), что <p,v отображает его «-радиально», т. е. так, что

8" - 6 е 2л2".

Доказательство. Согласно лемме З.З.А.З,

BN — 9 = ^ф (т, е) + е~1о1(е),

а по предыдущей лемме существуют такое т* е ВР" и такая точка h решетки Z”, что

(2л)-1 Мф(т*, e) = AeZ”.

Для доказательства леммы нам надо разрешить относительно т уравнение

9" —9=М|>(т, е) + е-1о1(е) = 2л/1.

Для этого можно применить теорему о неявной функции. Если мы отбросим возмущающий член е-^ (е)=о1(1), то получим решение т = т*. Возмущающий член является сокращенным обозначением для некоторой функции ^(т, 6, е) (иными словами, fN— это 9-компонента разности dqN — dy). Заменив т на т*+6т, получаем для St уравнение

?Арбт + fN (т* + St, 9, е)=,0,

6т = — (еАР)-1/дг(т* + 6т, 9, е).

Решаем (9) с помощью обычных последовательных приближений, начиная с 6т(0) = 0 и используя, что fN и ее первые производные (по т, 9) суть о(1), а

ЦеМрНССоЧР-Ч

Это доказывает существование малого решения 6т (9, е). Оно единственно среди всех 6т с т* + 5т е Вр., ибо если 6т' тоже

удовлетворяет (9) (с теми же 6, е), то

| 6т —6т' | <Со* || Р-1 II О (1) I 6т — 6т'' < ^ I 6т — 6т' |,

т. е. 6т —6т' = 0. Далее, зависимость 6т от 6 —класса С1. Это получается непосредственным применением обычной теоремы о неявной функции к (9) (с фиксированным малым е): коль скоро мы знаем, что при некотором 0О имеется решение, то при всех 0, достаточно близких к 0О, имеется решение с непрерывной производной по 9; но ввиду единственности оно совпадает с нашим 6т (6, е). Наконец, отсюда же видно, что, в понятных обозначениях,

де \\ дт // \ де /■

(Таким образом, нам действительно понадобились оценки не только для разности ф^ —уД но и для dqN — d%N.)

Возвращаясь к (8), заключаем, что у этого уравнения имеется искомое решение класса С1 (по 6):

т = т*+е-1о1(е)еВр,. □

Чтобы найти неподвижную точку отображения ф^, мы должны решить систему уравнений

0W-0 = 2n/i, ZieZ”;

T(W) _т = о.

Пока что мы решили только первое уравнение из этой системы; мы установили, что оно выполняется на m-мерном торе еГ": т = = т(0, е). На геометрическом языке наша задача состоит в отыскании точки пересечения ef~ с q>N (^у, каждая такая точка будет неподвижной точкой фу.

Вообще говоря, два близко расположенных n-мерных тора в 2и-мерном пространстве не обязаны пересекаться, и именно для доказательства существования пересечения мы воспользуемся строгой каноничностью отображения ф.

Покажем, что на торе т = т(0, е) существует такая 2л-периоди- ческая по 0Х, .... 0„ функция № (0, е)еС2, что

(Ю)т^-т^дГМ.

В самом деле, так как ф —строго каноническое отображение, то

Гбк

для каждой замкнутой кривой Г на т = т(0, е). Так как 0(^ — 0,=

= 2nh и, следовательно, d6(W = d6, то

Г к

для каждой лежащей на торе замкнутой кривой Г. Поэтому интеграл

е

О к

не зависит от пути и определяет искомую функцию W.

Неподвижной точкой отображения сру является такая точка т = т(6, е), что х№ = т, т. е., согласно (10), критическая точка функции V. Например, точки максимума или минимума функции W7 доставляют примеры таких точек. Они принадлежат Вр'ХТ”, а их траектории лежат в ВрХТп. Это доказывает теорему З.З.А.1. □

Глава 4

СУЩЕСТВОВАНИЕ НЕСКОЛЬКИХЗАМКНУТЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ

В этой главе мы займемся проблемой существования нескольких или даже бесконечного числа замкнутых геодезических на компактном римановом многообразии. Отметим, что до сих пор мы доказали существование лишь одной замкнутой геодезической; см. 2.1.3 и 2.1.6. Этот результат, полученный Люстерником и Фетом [1] в 1951 г., не был улучшен вплоть до 1965 г., когда Фет [3] доказал существование по крайней мере двух замкнутых геодезических в предположении, что все замкнутые геодезические невырожденны.

В § 4.1 мы изложим полное доказательство теоремы Фета. Но сначала в качестве подготовительного материала для этого доказательства мы, следуя А. С. Шварцу [1], детально опишем локальную топологическую структуру пространства непараметризованных замкнутых кривых около невырожденного критического подмногообразия.

В § 4.2 излагается упрощенное доказательство слегка усиленного варианта знаменитой теоремы Громола и Мейера [2], которая утверждает существование бесконечного числа однократных замкнутых геодезических на компактном римановом многообразии М в том случае, когда числа Бетти пространства АМ неограни- чены.

В § 4.3 мы доказываем, что на каждом компактном римановом многообразии, фундаментальная группа которою конечна, существует бесконечно много однократных замкнутых геодезических. Доказательство, помимо изложенных в § 4.2 результатов Громола и Мейера, использует построенную Сулливаном теорию рационального гомотопического типа и — существенным образом — свойства комплекса Морса. В написанном Дж. Саксом добавлении содержится подробное описание минимальной модели пространства Л.М,

В § 4.4 содержится несколько теорем о существовании замкнутых геодезических (в том числе —с определенными специальными свойствами) для «типичных» метрик. В доказательствах этих теорем используются свойства геодезического потока.

Критические точки на П/И и теорема Фета

- Мы начнем с описания локальной топологической структуры пространства непараметризованных кривых возле невырожденного критического многообразия. В течение долгого времени оставался незамеченным тот факт, что наличие в общем случае нетривиальной группы изотропии делает эту структуру намного более сложной, чем в случае невырожденного критического многообразия в пространстве параметризованных кривых. Впервые на это указал А. С. Шварц [1]. Наше изложение восходит к статьям Клин- генберга [4], [5], [6], где со всеми подробностями было разобрано несколько частных случаев.

В качестве первого применения этих результатов мы дадим полное доказательство теоремы Фета, которая утверждает существование по крайней мере двух однократных замкнутых геодезических в предположении, что все замкнутые геодезические невы- рожденны.

Так же как в § 2.4, мы рассматриваем невырожденное критическое подмногообразие В. Мы предполагаем, что В связно и что все его элементы имеют одинаковую кратность, скажем иг. Имея это в виду, мы будем иногда писать Вт вместо В. Пусть к = кт — индекс критического подмногообразия В—Вт и Е\Вт = = х = ит. Ясно, что нт > 0.

Обозначим через Вх подмногообразие АМ, состоящее из однократных замкнутых геодезических, соответствующих замкнутым геодезическим из Вт. Будем считать, что В, невырожденно и что его индекс равен kv Кроме того, положим Е\ВХ = хг.

Пусть p, = pm: N=N т-^-В = Вт —нормальное расслоение подмногообразия В. Слой ц-1(с) над сеВт есть подпространство пространства ТДМ, ортогональное касательному пространству ТсВт подмногообразия Вт в точке с.

Расслоение рт расщепляется на положительное и отрицательное подрасслоения:

Цт! Nm^Bm,

для которых слоем (р*)-1^) является Т^ЛМ.

а Они инвариантны относительно действия Тх группы S. При обычной интерпретации касательных векторов к АМ в с как векторных полей вдоль с это действие, так же как и х, сводится просто к сдвигам аргументов. Отображение, возникающее при факторизации АЛ4 по действию х группы S, мы уже обозначили через

л: ЛЛ4-> ПЛ1 = AM/S.

Тем же символом л будем обозначать и отображение, возникаю-

щее при факторизации Nm по действию Т% группы S. * Мы хотим описать отображение л | N^. (Аналогичное описание будет справедливо и для л | М^-)

^ Факторизацию по А можно осуществить в два шага: сначала профакторизовать по подгруппе

Zm :={?'; 0^=1 <т, z0:=e2ni^

группы S, а затем по факторгруппе S/Xm, элементы которой очевидным образом представляются числами г, О^г <3/т. Очевидно, элементы Zm переводят каждый элемент ст е Вт в себя, а Тх\1т действует в слое (p^)-l(cm) как группа изометрий. Легко видеть, что для близких ст эти действия сопряжены. Ввиду связности Вт они сопряжены для всех ст. Точнее, существует такой атлас расслоения р„, что во всех его векторных картах Tx(z0) представляется одной и той же ортогональной матрицей Т (а переход от одной векторной карты к другой описывается посредством ортогональных преобразований, коммутирующих с Г). Поэтому при факторизации по Zm получается расслоение

Hm/Zm' Кт/^т —*• Вт

со стандартным слоем ПкЦт, где подразумевается, что действие Zm в Dk определяется описанным выше образом. Далее, каждый элемент из S/Xm, отличный от единичного, переводит (cm (Z)) в другую кривую (ст (/-}-/■)), где 0 < r<Ajm. Поэтому при факторизации по S/Xm ни одну точку слоя расслоения p^/Zm не приходится отождествлять ни с какой другой точкой того же слоя. Значит, при этой факторизации получается расслоение

Nm/S = (N m/Zm)/(A/Zm)Am: = Bm/S = BmKS[Xm^

с таким же, что и раньше, стандартным слоем Ок1Ът. (ю) * Таким образом, мы получили следующий результат.

Лемма. Пусть множество критических точек многообразия Л.М, принадлежащих Е-уровню х = хт>0, содержит среди своих связных компонент невырожденное критическое подмногообразие В — Вт индекса k = km, все элементы которого имеют одинаковую кратность т.

Пусть р- = Цт- N" = Nm~*В = Вт — отрицательное расслоение над Вт, слоем которого над точкой ст е Вт, согласно определению в § 2.2, является отрицательное пространство ТстХМ.

Каноническое S-действие на ХМ индуцирует S-действие на р^. Пусть А=Ат = Bm(S — фактор многообразие подмногообразия Вт.

Тогда для факторизации расслоения у™ по 8-действию имеет место коммутативная диаграмма

4^ml^m* NJS

®"Т^т *"B™№in"/(S/Z^

Здесь первые горизонтальные отображения получаются в результате действия на слоях группы изотропии Zm под многообразия Вт; следовательно, в частности, Вт-* ВтЦт —изоморфизм. Вторые горизонтальные отображения являются расслоениями на окружности.

Соответствующая диаграмма имеет место и для положительного расслоения pit- □

Эта лемма позволяет нам полностью описать относительные гомологии пространства Пх mod Пх_ для невырожденного критического значения.

Теорема. Предположим, что множество критических точек многообразия К = ХМ, принадлежащих Е-уровню х>0, является невырожденным критическим подмногообразием В индекса к и что все элементы из В имеют одинаковую кратность, скажем т. Пусть 5гВ = &; А — многообразие. Пусть П=ПЛ4.

Утверждение. Н* (Пх, Пх~) = Н* (Nm/S, dNm/S) = Н* (А) 0 0 Н* (Dk/lm, dDkIXmY где во втором равенстве надо использовать гомологии с коэффициентами в Za *’•

Доказательство. Первое равенство следует из 2.4.10, 2.4.11 и 4.1.1, так как все конструкции эквивариантны. Доказательство второго равенства аналогично доказательству изоморфизма Тома для гомологий расслоения на диски по модулю его края, сдвигающего размерности гомологий базы на к = размерность слоя (см. Клингенберг [4]). □ '

Особый интерес представляет случай, когда В является 0(2)- орбитой единственной невырожденной замкнутой геодезической с.

Следствие. Пусть множество критических точек многообразия Л = ЛЛ1, принадлежащих Е-уровню х>0, является 0(2)-

*’ В английском оригинале утверждается также, что если расслоение H^/S ориентируемо (см. (65)), то аналогичный факт справедлив для гомологий с любыми коэффициентами. Однако в статье Клингеиберга [4], на которую здесь делается ссылка, рассматриваются только коэффициенты в Za-

орбитой S . с U S -9с невырожденной замкнутой геодезической индекса к.

Утверждение. Для любых коэффициентов

Н* (П\ П*-) = Н* фк/Хт, dDkjXmY

Доказательство. Отметим, что (Пх, ПК-)=(ПХ, ft^/eZa; см. § 2.2. Под действием 6 отождествляются обе части А=0(2) .clyS. Поэтому 4.1.3 следует из 4.1.2. (Все расслоение p^S в данном случае состоит из одного-единственного слоя, так что утверждение о гомологиях справедливо при любых коэффициентах.) □

Замечание. Предыдущие примеры показывают, что важно знать гомологии пространства (OVZ™, dDk!XmY где факторизация производится по ортогональному действию циклической группы Zm в Rfc. То, что гомологии этого пространства могут быть более богатыми, чем гомологии пространства (О6, dDk\ видно из следующей леммы.

Лемма. Пусть дано ортогональное представление циклической группы Хп порядка т в евклидовом векторном пространстве Rft, при котором образующая г0 группы Хт представляется преобразованием Т.

Утверждение, (i) Рассмотрим гомологии с рациональными коэффициентами. Тогда

Н^Н.^/Хт. dDk/Xm) = 0, если 1=^к

или если i—k, а инвариантное подпространство, на котором Т действует как — id, имеет нечетную размерность. Последнее эквивалентно тому, что фк/Хт> dDklXm) неориентируемо. Во всех остальных случаях Нк = ^.

(И) Рассмотрим гомологии с коэффициентами в X». Если Т имеет нечетный порядок, то H^D^/Xm, dDk/Xm) = Zi при i = k и =0 в противном случае.

Если инвариантное подпространство пространства Rft, на котором Хт действует как группа нечетного порядка, имеет размерность a<ik, то

Н;фк/Хт1 dDk/Xm) =Н;фк/Хт1 dDk/Xm) =Za> оZa> окогда а-^-Д^Л^к,когда а-^-Д^Л^к,в остальных случаях.в остальных случаях.

Н;фк/Хт1 dDk/Xm) =

Н;фк/Хт1 dDk/Xm) =

Za> о

Za> о

когда а-^-Д^Л^к,

когда а-^-Д^Л^к,

в остальных случаях.

в остальных случаях.

Доказательство. Сначала рассмотрим случай рациональных коэффициентов. Хорошо известно, что тогда DklXm mod dDklXm имеет те же гомологии, что и Dk той dDk, за исключением того случая, когда Т меняет ориентацию; см. Борель [2]. Это происходит в точности тогда, когда подпространство, на котором Т действует как — id, имеет нечетную размерность.

В случае коэффициентов в Zz отметим, что гомологии пространства не изменятся, если произвести факторизацию по действию циклической группы нечетного порядка. Поэтому если мы положим m.= r2s, где г нечетно, то достаточно вычислить гомологии пространства, полученного при факторизации по подгруппе Z2$ с Zm> так как дальнейшая факторизация по Z, больше не изменит гомологий.

Итак, мы можем считать, что m = 2s, где s^O. Если образующая переходит в оператор нечетного порядка, значит, она действует тождественно и, следовательно, Н,— Ht(Dk/Zm> №кЦт^ = = Zz при i = к и = 0 при t #= к.

Осталось рассмотреть случай, когда имеет место ортогональное разложение

кй=коек&есе

на такие подпространства, инвариантные относительно Т (оператора, представляющего образующую группы Zm)> что Т | R" = = id, Т | R6 = — id, Сс = Ci ф... © Сс и Т | ©у действует как умножение на е"/, 0<а/<л, a-Vb-V2c = k, Ь + 2с>0.

Обозначим координаты в R° через хк> 1 ^к^а, координаты в R6 через у,, l^i^b, и координаты в 0/ через Zy, 1^/^с. Определим последовательность пространств, в которой каждое пространство содержит предыдущее, полагая

ы« = R« f] Dk;

ua+i = \yi^0; yi+1 = ...= yb = z1=... = zc=0\(\Dk, \^i^b; цо*Ь*®1—1 — (arg 2, = 0; Zy+1 =. . . = Zc = 0} f) Dk;

ua+6+?/ = {0^ argZ/^ay; z/+1 = .. . = zc = 0} |"|D6, l^/^c.

Можно проверить, что множества и mod ди образуют клеточное разбиение пространства DkHm mod dD'^Zm- Кроме того, оператор границы устроен следующим образом:

gua+l_Ma, gHa+v_Q| 2 ^V ^Ь ©2с.

Поэтому группы гомологий пространства Dk/Zm mod dDklZm равны Z2 в размерностях i, где а-V 2 s^ i <= к, и равны 0 в прочих размерностях. □

Замечание. Лемма 4.1.4 впервые была доказана А. С. Шварцем [1]. Он сделал несущественную ошибку в вычислениях, которая затем была исправлена Альбером [2] и Клингенбергом [6]. На самом деле Шварц вычислял гомологии с коэффициентами в произвольном простом поле Zp; результат при этом зависит от разложения m = rps, (г, р) = 1.

Если мы хотим использовать леммы 4.1.3 и 4.1.4 для вычисления относительных гомологий изолированной критической 0(2)-

орбиты, то нам надо воспользоваться теоремой 3.2.9, определяющей индекс 1ст m-кратного повторения геодезической с в терминах p-индекса /с(р):

I„m = £ Л(Р).

рт = 1

Отрицательное подпространство Т^Л является слоем над с отрицательного расслоения ц~ над О(2).с. Фактически отрицательное расслоение рг над О (2). с определено также и в случае, когда с — вырожденная геодезическая; при этом слоем над г. с является Тг СЛ.

Во всяком случае, из 3.2.8 —3.2.9 и определения р-индекса /с(р) геодезической с получаем

Предложение. Пусть с= с^ — замкнутая геодезическая кратности т. Тогда p-индекс /с(р), где р = корень степени т из единицы, следующим образом описывает представление группы изотропии Zm в слое Тс Л. отрицательного расслоения над О (2). с.

Размерность подпространства, на котором Хт действует тождественно, равна 1С(1\

Пусть Т — образ образующей группы Zm и 0<р<[(т+ 1)/2]. Тогда размерность подпространства, на котором Т действует как умножение на e±Wm, равна 2Ic(ewiplm).

Размерность подпространства, на котором Т действует как — id (таковое может существовать при четном т), равна 1А- 1). □

Следствие. Пусть с = сх —однократная замкнутая геодезическая, и пусть все ее повторения ст;=ст, m^l, невырож- денны. Для каждого целого т 3s 1 обозначим через Dy.m отрицательное расслоение на диски над невырожденным критическим подмногообразием О (2). ст. Обозначим через DCmprm стандартный слой расслоения Dpm. Рассмотрим гомологии с рациональными коэффициентами.

Утверждение, (i) Пусть iC1(—1) = indc2 — ind^ — нечетное число. Тогда для всех четных т

Н* (DCmPm/Zm, dDCmpm/Zm) 0.

Следовательно, если критическое множество, лежащее на Е-уровне и1П = Е (ст), состоит в точности из 0(2) .ст и т четно, то

Пусть indf=fe. Тогда при всех т^\

^*+нечетное (Dc^m/Xmi 9D^ tn/Zm) — 0.

Доказательство, (i) следует из 4.1.4, 4.1.3 и 4.1.2.

Для того чтобы доказать (ii), заметим сначала, что из Ял+нечетное ¥= 0 следует, что dim DC(np.m = ind ст = ind сг + нечетное число. Имеем

indcm = indс, + 2 /Др), Р=5^1,

Pm=i

а так как 1С (р) = 1С (р), то правая часть имеет вид ^ + нечетное число в том и только том случае, когда /с(—1) нечетно, а т четно. Теперь применяем (i). □

Замечание. 4.1.6 (ii) играет решающую роль при доказательстве теоремы Фета 4.1.8.

Применим 4.1.2 к вычислению относительных гомологий для критического уровня х9 = 2л272>0 пространства ITS” (см. Клин- генберг [4]). Прежде всего из 2.5.3 мы знаем, что критическое многообразие В, из AS", принадлежащее уровню х9, является многообразием Штифеля 1/(2, п— 1) = 0(л + \)/О(п — 1). Следовательно, Д9: = лВ9 = 0(л+1)/0(л — 1)х 0(2) —многообразие Грассмана 0(2, п— 1), состоящее из двумерных подпространств (или (п — 1)-мерных подпространств) в R"+1.

Отрицательное расслоение р9 над Вд представимо в виде

14 = П"”1 © (of* “2 ф-• • © о^Д2),

где ц"-1 — расслоение, индуцированное отображением л из канонического (л—1)-мерного расслоения С"-1 над 6(2, п— 1) (см. Милнор и Сташеф [1])

Е^н * *)>Е^Л -1)

rf'-nT*Сч

'уД-А^В,>6(2,л-1) *А/

Группа изотропии Z9 многообразия Вд действует на ц"-1 тождественно.

Все 9—1 расслоений a2"-2, 1^р^9—1, изоморфны расслоению о2"-2, индуцированному отображением л из касательного расслоения т = т2т-2 многообразия 6(2, л—1):

л*7Ю(2,д —1)л*7Ю(2,д —1)а2л-2.= „«т2л-2а2л-2.= „«т2л-2И(2,л-1)^В,-И(2,л-1)^В,-->TG(2,n-f)Т=Т2Л~2^G^n-t)^->TG(2,n-f)Т=Т2Л~2^G^n-t)^

л*7Ю(2,д —1)

л*7Ю(2,д —1)

а2л-2.= „«т2л-2

а2л-2.= „«т2л-2

И(2,л-1)^В,-

И(2,л-1)^В,-

->TG(2,n-f)

Т=Т2Л~2

^G^n-t)^

->TG(2,n-f)

Т=Т2Л~2

^G^n-t)^

Для того чтобы описать действие Z7 на о2”-2, заметим, что двулистное накрытие G(2, п — 1) многообразия G(2, п — 1), состоящее из ориентированных двумерных подпространств в К"+1, обладает естественной комплексной структурой; тем самым можно определить действие группы Z9 на TG(2, п — 1), считая, что образующая группы действует как умножение на егп‘р1ч. Тогда индуцированное действие на TG(2, п — 1) будет действием Z, на о2”-2.

Теорема. Отрицательное расслоение лр» над \д = яВд имеет вид

^Hq = ^ © (т2л -2 ф... ф t^-^/Z,.

Здесь С"-1 — каноническое (n — 1 ^-мерное расслоение над Д9 ^ ^G(2, п— 1). Все т2л—2, 1^р^</— 1, изоморфны касательному расслоению т2"-2 многообразия G^, п — 1), причем образующая группы Xq действует на х2п~2 как умножение на eMip,i.

Следовательно, гомологии с коэффициентами в Z2 пространства ПХ»5Л mod IIVS” определяются следующим образом. Пусть q=^«qx, где q^ нечетно.

Если qo = O, т. е. q нечетно, то

H^NmlS, dNm/S) — /у*-(2^-i)(л-d(G(2, п 1));

если <7о>О, то

(2#—1)(л —I) ,

H^N^S, dN^S^ ф //^(0(2, п-1)).

i = dq,— |)(л-1) + ?

Доказательство. Теорема следует из 4.1.2 и 4.1.4. □

В качестве дальнейшего применения 4.1.4 докажем теорему Фета [3]. В § 4.3 мы докажем обобщение теоремы Фета.

Теорема. Пусть М —компактное риманово многообразие.

Если фундаментальная группа п^М не является конечной, то на М существуют по крайней мере две однократные замкнутые геодезические.

Пусть щМ конечна и все замкнутые геодезические*' невы- рожденны. Тогда на компактном универсальном накрытии А4 существуют по крайней мере две однократные замкнутые геодезические, индексы которых равны к6 и k0 + 1, причем к0 + 1 ^ к + 1, где число к + 1 ^ 2 равно размерности первой ненулевой гомотопической группы многообразия М. Эти две геодезические проектируются на такие две замкнутые геодезические многообразия М, что соответствующие однократные замкнутые геодезические различны.

' В том числе и кратные.

Доказательство. Сначала предположим, что универсальное накрытие М многообразия М стягиваемо. (Тогда, в частности, фундаментальная группа л1Л1 бесконечна.) Фет [2] утверждает, что в этой ситуации существуют две замкнутые геодезические. Однако сейчас мы не можем предложить доказательства этого утверждения. Мы можем лишь перечислить несколько фактов, которые делают весьма правдоподобным предположение о том, что наличие только одной замкнутой геодезической ведет к противоречию. Очевидно, из этого предположения следует существование такого элемента аел^М, что каждый элемент из л^! сопряжен некоторой степени а. Теперь можно вывести, что яхМ не имеет элементов конечного порядка и что ее первое число Бетти равно нулю (56).

Теперь предположим, что группа Л1Л4 бесконечна и что универсальное накрытие М не стягиваемо. Тогда существует такое наименьшее ^+1, 2^&+1 ^» = dimAl, что лй+1УИ#=0. С помощью гомотопически нетривиального отображения /: Зй+1->-Л1 мы, так же как и в 2.1.8, построим гомотопную нулю замкнутую геодезическую на М. Нетривиальный элемент бесконечного порядка группы л^ порождает вторую замкнутую геодезическую (57). Однократные замкнутые геодезические, соответствующие этим двум геодезическим, должны отличаться друг от друга, так как никакое повторение второй геодезической не будет гомотопно нулю.

Пусть теперь Л1М = 0. Первая нетривиальная гомотопическая группа появляется в размерности &+1, 2^^+ 1 ^п = dimМ. Из 2.1.6 или 2.1.8 следует, что в этой ситуации существует невырожденная замкнутая геодезическая с индекса ^ **.

Возьмем замкнутые геодезические с наименьшим индексом — пусть он равен &0 —и среди них возьмем замкнутую геодезическую с0 с наименьшим ^-уровнем х0. Тогда с0 будет однократной геодезической и ^0^^- Отрицательный диск О~(лс0) в точке лсоеП = ПУИ находится во взаимно однозначном соответствии с отрицательным диском D" (с0) в точке с0 е Л.М, накрывающей лс0.

Как видно из § 2.5**’, диск Р~(лс0) (сильно неустойчивое многообразие) представляет нетривиальный ^о-мерный цикл пространства ГГ" mod Пх°-.

’ Или к—1. (Если в ЛМ ф-семейство носителей циклов, принадлежащих ненулевому классу гомологий из Нь(ДМ; Z)=J4(AM), «повисает» на S. с, то. в понятных обозначениях, должно быть

Нк (Оц- (S . с), дОр~ (S . с); Z) =#= О, а это возможно только при указанных двух значениях индекса.) Впрочем, в дальнейшем не играет роли, каков индекс с.

*’ Или из описания деформации ПХо в ЕГ (лс0) U П^-8 (§ 2.4 для Л и эквивариантность).

Рассмотрим вложение

(*) (Йх°, Пх"“)о^(П, Пх”“).

▲ Допустим сначала, что при этом вложении цикл О~(лс0) переходит в нуль. Рассмотрим ф-семейство, порожденное «пленками», «заклеивающими» этот цикл в П. Оно должно повисать на некоторой критической точке лс™еП (где сг — однократная), для которой ввиду 4.1.3 в обозначениях из 4.1.6

(**) Д^о+1 ^^cmPm/^m# ст Pm/^m^ "V- 0.

Пусть теперь при вложении (*) цикл О'(лс0) не переходит в нуль. Тогда, в частности, ^о>0, ибо при &о = О, очевидно, D- (лс0) = лс0 и ввиду связности П этот случай является частным случаем рассмотренного выше. * Покажем, что существует гомотопия К*, переводящая цикл D-(лс0) в D" (6лс0). Для этого прежде всего заметим, что отрицательный цикл О~(с0) в точке с6е/\М может быть получен в духе § 2.1 (особенно см. 2.1.7) с помощью отображения f: S^-^M, которое определяет такое отображение

/* = Д/.6^: ЦУ», dDk-)->^M, А°Л4),

что f*Dk° = D~ (Со). При этом центр т0 диска Dk° соответствует точке с0, а соседние точки переходят в элементы сильно неустойчивого многообразия (58).

Рассмотрим Dk” как полуэкватор сферы Sft»+1 и фиксируем два касательных к S*"+1 в точке т0 ортонормальных вектора (сь е2), один из которых ортогонален Dk«. Рассмотрим вращение, которое переводит (с,, с2) в (—ег, — е2). Оно определяет гомотопию h отображения 6*» в — 66*«, которую мы рассматриваем как цепь в ASfc«+1. Положим /i* = A/«/l

▲ Таким образом, помимо однократной замкнутой геодезической с0 индекса &0 всегда существует однократная замкнутая геодезическая сь для которой при некотором nv^s 1 выполняется (**). Но индекс Ct^^o- Если он равен кй, то Д6о+1 = 0 ввиду 4.1.6 (ii). Значит, индекс с1^^0+1- Индекс с™ ввиду 4.1.4 может равняться только &0*Ь 1. поэтому окончательно заключаем, что индекс сх = к» + 1.

Итак, мы имеем две однократные замкнутые геодезические двух различных индексов к0 и к0 +1, так что они не могут сводиться друг к другу под действием 0(2). *

Наконец, рассмотрим случай л^е^оо. Тогда универсальное накрытие М многообразия М компактно, и на нем существуют две однократные замкнутые геодезические с0 и Ci, индексы кото-

рых равны соответственно к6 и &0+1- Замкнутая геодезическая с0 должна получаться при накрытии из какой-то замкнутой геодезической многообразия М. Последняя может и не быть однократной; пусть она есть некая с™, где с0 уже однократна. Другие накрытия с™ получаются из с0 под действием скольжений. Все они имеют индекс &0- Ясно, что любые другие кратные повторения с0 (с кратностью #=т) при накрытии не дадут однократной замкнутой геодезической на М — они либо не будут замыкаться при накрытии, либо дадут некоторые кратные повторения с0 или одного из образов с0 под действием скольжений.

Аналогично, сх получается при накрытии некоторого кратного повторения с" некоторой однократной замкнутой геодезической сх на М, причем все другие накрытия с” имеют, как и Ci, индекс й0+1. а другие кратные повторения сх (с кратностью ^м) при накрытии вообще не дают однократных замкнутых геодезических. Очевидно, из сказанного следует, что с0^сг. □

Замечание. Гомотопия, которую мы использовали в доказательстве этой теоремы, будет играть важную роль при доказательстве обобщения 5.1.1 теоремы Фета.

4.2. Теорема Громола — Мейера

В этом параграфе мы изложим несколько упрощенное доказательство слегка усиленного варианта теоремы Громола —Мейера: если существует такое простое поле, для которого последовательность чисел Бетти многообразия ХМ не ограничена, то на многообразии М есть бесконечно много однократных замкнутых геодезических.

Решающим шагом в доказательстве этой теоремы является следующий полулокальный результат о последовательности ст, т=\, 2, ..., кратных повторений замкнутой геодезической с. Допустим, что при некотором т0 2$ 1 индекс ст° > 0 и что все S . ст являются изолированными критическими множествами. Тогда для всех достаточно больших I сумма У bt (^, где bi есть i-e т

типовое число (см. ниже), ограничена сверху не зависящей от I константой.

Пусть с = (с (/)) —замкнутая геодезическая кратности m^l. Обозначим через Т'С = ТСХМ подпространство коразмерности 1 пространства ТСХМ, ортогональное к сеТсХМ. Из разложения 2.4.3 получаем ортогональное разложение

(»)Т'Х = ТсХ®ТсХ®Т^Х,

9 В. Клингенберг

где Тс°Л = ТсЛ. П Т'Д состоит из ортогональных к с периодических полей Якоби вдоль с.

Напомним, что, согласно § 2.4, indc = dim?cA, a nulc = = dim Т'^Х. Мы не будем предполагать, что nul с= 0, т. е. что с невырожденна. (Напомним, что через nul о мы обозначаем дефект замкнутой геодезической с.)

Пусть p=p(S.c): N-+S — нормальное расслоение для с (точнее, для S. с), рассматриваемое над S, т. е. расслоение, индуцированное вложением

S Л, z •—► z1/"1. е,

где m есть кратность с, из нормального расслоения подмногообразия S.e, образованного S-орбитой геодезической с (ср. с § 4.1). Заметим, однако, что здесь мы не предполагаем, что S. с — невырожденное критическое подмногообразие.

Пусть р. = р+ ф рг ф р° — разложение нормального расслоения, определенное разложением (*) каждого слоя этого расслоения. Используя экспоненциальное отображение, мы можем отождествить пространство расслоения D = D (S . с) на достаточно малые диски Dp расслоения р с открытой окрестностью окружности S с: N (S вкладывается в N как нулевое сечение). Это позволяет перенести на D риманову метрику и интеграл энергии Е. Действие S на D сохраняет эти величины.

Для zeS обозначим через Dt слой над z расслоения Dp,. Ограничение Е на D, будем обозначать через EZ1 а градиентное поле функции Ег по отношению к индуцированной метрике — через grad£V

Однако для наших целей полезно рассматривать другую метрику на D. Пусть /и —кратность геодезической е. Определим на D новую риманову метрику, полагая

<1, ^%,i:=a. По + ^№, ?£%

Ясно, что на касательном пространстве в каждой точке |eD метрика (•, ^тл эквивалентна метрике (•, • )Р При такой замене метрики индекс и дефект геодезической с останутся неизменными.

Градиентное поле функции Е, по отношению к метрике (•, •)„, 1 будем обозначать через gradm£z. Для каждого g е N через T^N cz T^N будем обозначать касательное к слою подпространство касательного пространства.

Предложение. Пусть с —замкнутая геодезическая де- _ фекта / ^ О и кратности т^ 1. Используя ранее введенные понятия, положим р,+ фр-=р*, так что р = р*фр° и размерность слря у? = 1. Обозначим через 0~ нулевое сечение расслоения р',

а через D~ — тотальное пространство расслоения на диски, ассоциированного с расслоением (Г, где ~е{—, 0, +, *}.

Утверждение. Существует локальное эквивариантное вложение *

Wro: ф», 0оД-*ф, Ос), которое характеризуется следующими свойствами:

и вектор grайтЕг(№са(^Д) еТ^^р параллелен слою (hT^z).

Кроме того, существуют такой локальный эквивариантный диффеоморфизм ф тотального пространства D и такое сечение zi—♦ >—*Рг, ге5, P,eL(p.*; р*), где Рг —ортогональная послойная проекция, что при (g, у е£>* $О0

Ez - ip (I, go) = || РЛ llm, i - II (id - РД Uki + Ez« Wca (go),

где z= p* (g) =p° (go), dim ker Pi = ind с = размерность слоя p~. (69)

Замечание. Предложение 4.2.1 было доказано Громолом и Мейером [1]. Оно является видоизменением для случая гильбертова пространства (основывающимся на данном Пале доказательстве обобщенной леммы Морса 2.4.8) более точного результата Тома [1], который также доказал единственность (с точностью до сопряжения) вырожденной части EZ«WCO: Do -*-R функции Ег. Мы будем называть Wca характеристическим многообразием в точке с, а если нужно специально указать, что речь идет о характеристическом многообразии в этой именно точке, то будем писать Wca(c).

Доказательство. Определим локальное послойное отображение A: D* © Dti -> D* © Do, полагая

'А(т), go) = РП gradm^ (ц, Io) + go,

где ргг — послойная проекция р = р* © р°->р*. Мы утверждаем, что в

DX (ОД = D (pn gradm ЕД (ОД + id^ (0г)

первое отображение обратимо. В самом деле, заметим, что при достаточно малых ||T]ilm,i и l|g0||m, 1 произведение (•, -)т1 в Тк ^о)р может быть приближено произведением в 7^0 = ц-1 (г).

*• Его образ тоже обозначается через Wca (аналогично тому, как это было в § 2.5 для устойчивого и неустойчивого многообразий), так что надо быть внимательным к контексту. Ниже принято

T'otWco=T0zWco(\T'eiN и аналогично для T'OzDo.

9*■

Отсюда с учетом невырожденности билинейной формы (Dgradm^COJ-r]', т])т, х = D2^ (0z). (г], rf), где л» rf е (р*)-1 (0), следует наше утверждение.

Таким образом, Л —локально обратимое послойное отображение. Положим Х-ДВоН^ДПо). Тогда DW,co(Oz) = idllo(Oz). Кроме того, РП gradm Ez (Wca ^ = pri gradm Ez (X-1 (По)) = X«X-1 (По) — -Во = О.

Теперь для (т), По) е D*. г ф Do, г положим р (т), П0) = (г], 0)+ + ^«(Во) и

ЕЛЧ. Во):=5,.р(л, ^-Ez-Wca^Y

Обозначим через D*FZ ограничение дифференциала DFZ на подпространство, параллельное |1*сц*фц°=ц. Имеем

РДЧ1 &,) = $(! —О^*2^^» По). Ob П)^. о

Определим билинейные формы /iz(r], По) на T^D*, полагая

Мл» Bo)-(Bi, Вс):= 5(1-0 D*»Fz(t4, SoMBx, U ^о

Затем с помощью соотношения

(Мл, Boblx, В2>т.1 = МЛ, Bo).(Bi, ы

определим самосопряженные операторы kz(x\, По) на T^D*. Оператор АДО, 0) обратим. Поэтому, так же как в доказательстве 2.4.7, мы можем определить тД^, По) := V^*^» Во) АДО, О)-1 и в результате получить

^Дл» Bo) = <Mn, ^о) . п» Л>т.1 =

= <Az(0, 0)тДп, По) • Л> mz (ц, По) - Л>т, г-

Н^ДПо) можно записать в виде (л (Во), Во)- Положим л' = Л— — Л(Во), так что (т), По) = р('П,> £о)- Определим <р', полагая для (л» Во) G D#z ф Do, г

ф'-1: (П, Во)|-*(В<, Во), В':=mz(T)', По) • л' е D*z.

Тогда, как видно из сказанного,

^’фДП', Во) = ЕДк\, Пo) = Sz»p(r],, По) =

= (^(0, 0)g\ V>m,i + Ez.Wca(^.

Поскольку оператор kz(0, 0) представляет D*2Ez(0z), мы можем завершить доказательство предложения 4.2.1 так же, как и в 2.4.8. □

Заметим, что все приведенные конструкции эквивариантны.

Следствие. Пусть выполнены условия предложения 4.2.1 и, кроме того, множество критических точек S. с изолировано. Тогда 0г е Dz является изолированной критической точкой функции Ег:

Доказательство. Пусть £ е D,—критическая точка функции Ez, т. е. вектор gradmE(^) е T^D ортогонален Dz (в смысле (•, ■ )т, гметрики). Согласно 1.4.13, существует такое векторное поле и, что u (г. с) = д (г. с), т. е. и (г. с) ортогонально T0Jdz, и (и, grad Е)1 = 0. Мы можем построить векторное поле ит, обладающее теми же свойствами, но уже для метрики (•, ^m, i- Таким образом, при достаточно малом | £ |m, j вектор ит (Е) =^ О «почти ортогонален» подпространству T^D коразмерности 1. Из того, что gradm Е (£) ортогонален и этому подпространству, и ит (£), заключаем, что gradm Е (£) = 0. Ввиду изолированности Ё . с это (при достаточно малых £) возможно лишь при ? = 0г. □

Предложение 4,2.1 приводит нас к рассмотрению следующей ситуации. Пусть D+ © D_ @ Do — сумма трех гильбертовых дисков, dimD+ = oo, dimD_ = fe<oo, dimD0 = /<oo. Обозначим эту сумму через В. Пусть на В задана такая риманова метрика (•, - Д, что разложение D+®D-©Doc: Т„вВ в «начале координат»—точке 05=(0д+, 0д_, 0дД — ортогонально.

Кроме того, пусть на В задана дифференцируемая функция

S(HklHMI + W

где £ = (£+, |_, ?0)> а || • ?! — норма, порожденная метрикой (•, • Д в точке 0в. Пусть, далее, точка 0в является изолированной критической точкой функции Е, а точка 00о г Do «полностью вырожденка» и Ео(0до) = 0, т. е.

Е» (00о) = DE0 (ОДо) = № (0D.) = 0.

Наконец, будем предполагать, что градиентное поле функции Е относительно римановой метрики (■, • Д удовлетворяет условию (С) из § 1.4.

Обозначим через cps| интегральную кривую с началом в точке £ поля —gradE.

Для каждого подмножества АсВ определим множества

А0 := А П Е-1 (]— оо, 0]), До- := А ПЕ"1 (]— оо, 0[)

и обозначим через Вй е-шар с центром в точке 0в е В.

Лемма. Существует такая фундаментальная система окрестностей ZB точки 0в е В, что BBcZ6 и существует деформация пары (ZB, ВеУ которая слабо ретрагирует ее

в (Од (J Bg , Вё) и при которой точка Од остается неподвижной. Следовательно,

H^Ze, bd-h^w, В"-)

— локальный инвариант.

Здесь в качестве коэффициентов мы выбираем произвольное простое поле Zp, т. е. р — простое число или оо и Z^ = (Q = поле рациональных чисел.

Существует деформация пары (0BUB8-, Вё-), слабо ретраги- рующая ее в (Од [J (Do ф D_)°~, (Do © Я-)0-), а последняя пара гомологически эквивалентна произведению пары (Од U ^ё-, ^Г) с относительным диском ф_, О^ = фЧ_, D?z\ Таким образом, при k = dimD_

(t) Я* (Од U Bt, В»-) = Н*_к (ODo U ОТ, ОГ).

К рож того, все фигурирующие здесь группы гомологий конечно порождены; они обращаются в нуль во всех достаточно больших размерностях.

Замечание. Размерность векторного пространства Ht (Од U Вё-, Вё; Zp) называется i-м типовым числом (modZp) функции Е: (В, 0я)^(Р, 0) в точке 0в и обозначается через 6, (0в) Аналогично 1-е особое типовое число (modZp) функции Е в точке Од определяется как размерность Я;(00ои ОГ, ОТ; ZPV Его мы обозначим через ЬЦОо0\ Используя эти понятия, можно сформулировать такое следствие.

Следствие. Имеем '

WOaH^W),

где к —индекс критической точки 0в функции Е: (В, 0B)->(|R, 0).

Зажчание. Наше доказательство отличается от доказательства, данного Громолом и Мейером [1] для весьма похожего результата, тем, что мы близко следуем Зейферту и Трельфаллю [1]. Формула (t) есть так называемая теорема о сдвиге из работы Громола и Мейера [1]. Мы докажем эту формулу, используя тот факт, что в гомологиях пары происходит сдвиг размерностей на + 6, когда пара умножается на пару (6-мерный диск, край 6-мерного диска).

Доказательство. Для достаточно малых е>0 определим Ze следующим образом. Во-первых, Вё cz Z^. Кроме того, в Zt входят еще те £ е В8, которые удовлетворяют условию О ^ Е (g) ^ в и обладают одним из следующих двух свойств:

(0 НтфЛ = 0о;

существует такое конечное s^O, что фД е В8 f] Е-1 (0).

Сначала мы покажем, что Zg действительно является окрестностью точки 0йе8. В самом деле, в противном случае должна существовать такая последовательность {|т}, что ^m^ZE1 limSm = 0B и Е^т)>0.

Мы утверждаем, что при всех достаточно больших т траектория <рЛт> s^O, пересекает границу шара ВЕ и притом в такой точке r)m, что £(г)т)^0. Действительно, в противном случае ввиду того, что im^ZE) мы имели бы Е (ф^т) 2= 0 и ф4?т е В8 при всех s^O. Тогда Г grad £ (<ps£m) ^-* 0 при s-»-oo*>. Так как 0в —единственная критическая точка в ВЕ, то отсюда будет следовать, ЧТО фЛт = Ов. А ЭТО противоречит тому, ЧТО Xm^.ZE.

Так как Е (Ь»)>Е(г)т)2 0 и Ит£т = Од, то Нт£(т1т) = 0. С другой стороны, для всех г]еВе —ВЕ/2 величина UgradB (q)|!i отделена от нуля, а время, за которое траектория может дойти от границы ВЕл до границы ВЕ, равномерно ограничено снизу ввиду 1.4.10 (ii). Поэтому при достаточно больших т, при которых Е (gm) близко к 0, функция Е настолько уменьшится вдоль проходящего через В8 — В8^ отрезка траектории фЛт, который начинается в точке gm и кончается в точке т)т, что станет отрицательной.

Следовательно, ZE действительно является окрестностью точки 0в. Так как Z8 с Ва и так как Ва образуют фундаментальную систему окрестностей точки 0в е В, то окрестности Z8 также образуют фундаментальную систему окрестностей.

Определим теперь деформацию Фт (0=ст21) тройки (Zg, Zg, 0B), ретрагирующую последнюю в (0BU^e, Ze, 0в). Точки |eZg = BE остаются при этой деформации неподвижными. Для каждой точки £ е Zg, для которой Е (£) >■ 0, существует такое первое s 2 0 (возможно, s = оо), что £(ф$|) = 0. Положим теперь ФТЕ равным Фят)£, гДе s(r)20 определяется из условия £(ф5(Т)^) = (1-т)£(^). Таким образом, Ф1£eZg.

Докажем, что Фт действительно является деформацией. В специальном рассмотрении нуждается только непрерывность в точках (£, т) = (£0, 1), Для которых Ф1Ео = 0в. В остальных точках непрерывность, по существу, следует из непрерывной зависимости ф^ от (g, s). Рассмотрим такую последовательность {|т} из Zg, что

’ Если бы для некоторого £т существовала такая последовательность s„->-oo, что || grad Е (<p^m) jf > a > 0, то существовало бы такое 6 > 0, что

00

||grad Е (ф^т)||?>а/2при Bcexss[s„ — 6,s„+6], и оттого j «grad E(<p^m)|]jds= = оо, а это противоречило бы 1.4.10 (i). Существование 6 следует из того, что а) <р^т как функция от s удовлетворяет условию Липшица (см. 1.4.10 (ii)); б) || grad Е (ф5У К в В8 при достаточно малом е удовлетворяет условию Лип-, шица, ибо ковариантная производная поля grad Е (£) непрерывна и потому при достаточно малом е ограничена в В8.

Е (1т) > 0, и такую последовательность {тт} из [0, 1J, что Пт тт = 1. Мы должны показать, что ПтФТт|т = Ф1|о = Ов.

Допустим противное. Нетривиален лишь случай, когда бесконечное число £(gm)>0. Перейдя, если потребуется, от последовательности {gm, тт} к некоторой ее подпоследовательности, которую мы снова обозначим через {gm, тт}, можем считать, что все Е (gm) > 0 и что существует такое е' > О, е' е, что Фтт£т

Zig' n Е-1 (0). Но тогда и <Dv_e^m^Z%e,, в то время как Нт Ф1 — е'^т = ®1 — е'?о ^е'-

Ясно далее, что вслед за деформацией Фт, 0^т^1, можно выполнить деформацию Фт, 1^т^2, осуществляющую слабую ретракцию (0B U В”е, В^) в (0B U ВТ, ВТ) и оставляющую 0в на месте.

Наконец, деформация Фт, 2 ^ т ^ 3,

' 6 = (^, 6-, &>)—((3-т)^+, g_, g„), g, Фт(^)еВ8,

переводит (0B U ВТ, ВТ) в (0B U (D_ ф Do)°-, (D_ ф Do)°-).

Докажем, что тождественное вложение произведения*1

(Од. и or. DT)x(D_, DT) = ((0d„xDT)xD_, то же без точки 0в)

в пару (0B (J (Do ф D-)°~, (О0фО_)°-) индуцирует изоморфизм в гомологиях. Для этого мы определим некоторую деформацию Vt последней пары, слабо ретрагирующую ее в первую пару. VT не меняет ^--компонент и Ч\ (|0, £_) при любом фиксированном ^_ получается с помощью некоторого (зависящего от |0> £-) сдвига Ео по траектории градиентной системы в Do, соответствующей функции £0 (^о)- Тем самым (t) доказано. ▲

Для окончания доказательства 4.2.3 нам осталось показать, что пространство Н* (0о U DT, DT; Zp) имеет конечный базис. Для этого прежде всего заметим, что, как видно из предыдущих рассуждений,

//JOoUD"- DV^H^Zo-b, Z^ = H*(Z6.B, Z^.

Здесь 0 < 6 ^ e и Zo, e — окрестность точки Oo e Do, которая задается так же, как определенная выше окрестность Ze, но уже с использованием функции E0:=E\D0 и индуцированной римановой метрики на Do. Верхний индекс — 6 обозначает, что берется подмножество, удовлетворяющее соотношению Ео^ — 6.

Теперь воспользуемся известным утверждением (см. Зейферт, Трельфалль [1]) о том, что функция Ео; (Do, 00)->(R, 0) может быть аппроксимирована невырожденной функцией Е»: (Do, Оо)->

’ При необходимости D_, Do и DoxD_ = Do® D_ (автор иногда употребляет знак х, а иногда ф) естественным образом рассматриваются как подпространства В, так что, например, их центры («начала координат») при этом совпадают с 0д.

->(R, 0), все критические точки которой находятся в малой окрестности точки Оо внутри области Её' (]— 6/2, 6/2[). Отсюда следует, что размерность векторного пространства гомологий пары (Zo, 6, Z^g) ограничена сверху индексами конечного числа невырожденных критических точек функции Е*. □

Теперь мы вернемся к случаю однократной замкнутой геодезической с0 и предположим, что при всех т=\, 2, ... орбиты S. с1? являются изолированными множествами критических точек в ЛУИ. Положим Е (с™) = т^Е (с0) = хт. Когда т фиксировано, мы также будем вместо с™ писать с. Пусть р = р (S . с) — нормальное расслоение над S, индуцированное отображением

5->Л, г^г.СоГ-г1/"1.^, и пусть

p(S.c) = p+(S.c)®p-(S.c)epO(S.c)

— введенное выше разложение, отвечающее знаку собственных значений.

При каждом zeS рассмотрим функцию Ez: ((Dz(S.с™), 0z(S ,cf))-*(R, xm), Ha Dz(S.c™) определена риманова метрика (•, )m, i- Тогда, согласно 4.2.1, существует корректно определенная функция

E0,Z:=EZ = WCO: (DO.Z(S.^), Оо, z (S . rf))-> (R, хт\

Так как все наши построения эквивариантны по отношению к S-действию на D (S . с™), то группы гомологий и типовые числа, получаемые в соответствии с 4.2.3 и 4.2.4, не зависят от выбора zeS. Поэтому мы обозначаем их через Ьг(с") и Ь°(с™) соответственно.

Мы можем также определить фундаментальные системы окрестностей Вz, е (бе ) И Zz, 8 (to ) точки 0г(с"). Объединения этих окрестностей по всем zeS будут обозначаться соответственно через Ва (S . с”) и ZB (S . сЛ- Эти объединения суть S-инвариантные окрестности нулевого сечения O(S.c^) расслоения p,(S,c^). Их можно рассматривать и как тотальные пространства расслоения над S, являющегося ограничением расслоения p(S.c™): N (S . t”) -> S на окрестность сечения 0(S.c”).

Из 4.2.3 следует, что пара (Ze(S.c™), Ba(S. с^)х">"~) может быть эквивариантно ретрагирована в (0 (S . c™)j Ba(S . с^0*-, Be(S . СоУт-\ Обозначим через b^S.c") размерность векторного пространства над ZP:

Щ (0 (S . с^ ^ВД8. с^~, Ве (S . с^хт-у

Число bt(S.c™) называется i-м типовым числом (modZp) орбиты S. ^. Ясно, что оно не зависит от выбора е; см. Зейферт и Трельфалль [1].

Лемма. Пусть с0 — однократная замкнутая геодезическая и при каждом т=\, 2, ... орбиты 8. с™ являются изолированными критическими множествами. Рассмотрим гомологии с коэффициентами в ХР. Пусть v.m = Е(с™\ km = индекс с™.

Утверждение, (i) Для всех достаточно малых е>0 группа Н *¥ит (О (5 . с^ U Вк(8 . с^Ут~, В8 (S. с^)Ит-) является подгруппой группы И* (S) (g) Н* (с™ U В2, е (с?Ут""> Вг ,8 (сНХт~У Следовательно,

ьМт(8.с^^ьи^Нь^-ЛсП-

Пусть m = qm0, где q и то —целые числа, и пусть nul ст» = = nul ст. Тогда Ь” (с^ = 6? (сот).

Доказательство. В (i) речь идет о сравнении гомологий пространства расслоения с гомологиями слоя. При включении слоя в тотальное пространство некоторые гомологии могут исчезнуть. Действительно, два негомологичных цикла слоя могут стать гомологичными в тотальном пространстве, если они являются границей цепи вида е2п1г. и, где O^r^l/m и / — целое. С другой стороны, S. и, конечно, будет циклом в тотальном пространстве, если только и — цикл в слое. Ясно*1, что других новых циклов в тотальном пространстве нет. Отсюда следует (i).

Для доказательства (ii) рассмотрим отображение

(t)<? е>—* еТ eeD(S.cH), е9 е D (8 . Сот°)> qm0 = m,

отождествляя при этом D (S . сД с окрестностью орбиты S . tf в Л. В метриках (•, -^дна D(S .с^) и (-, • >m,i на D(S .с") отображение (f)’ является изометричным вложением. Мы утверждаем, что grad„,0 f (е) переходит при отображении (f)? в gradm Е (е9) (с точностью до постоянного множителя). В самом деле, Е (е») = q2E (е) и gradmE(e’), будучи инвариантным относительно действия группы изотропии элемента е9, касается образа D (S . с»”^ в D(S . Com°)- Далее, р° (S . с™°) переходит в р° (S . с™). Таким образом, канонически определенное характеристическое подмногообразие из 4.2.1

№СЙ W. (Do (8 . сП), Оо (S . с?")) -*(D(S. сП), О (S . с?)) отображается в характеристическое подмногообразие

Гс„ (с^): (D(, (S . сП, Оо (8 . сП) ^(D(S. с^. О (8: сПУ

*’ Или, если угодно, известно.

Поэтому функция Ео = Е - Wca(с™°) на DotS.c™"') совпадает с точностью до постоянного множителя с функцией Ео — Е»Wca (с”) на Do(S.c^). Это завершает доказательство (ii). □

Предложение. Пусть с — однократная замкнутая геодезическая.

Утверждение. Существует такая последовательность тх, ..., ms положительных целых чисел, s^2”, и для каждого целого /г[1, s] существует такая строго возрастающая последовательность ^ур 1 = 1, 2, ...} положительных чисел, что множества N, ;=Цпцу^; i=l, 2, ...} образуют разбиение множества*^ N* = N — {0} и

(*);nul cmiqi'1 = nul cmL

Доказательство. Напомним, что, согласно 3.2.9, nul (cm) = = 2^с(Р), Pm=l. В соответствии с 3.2.12 Nc(р) = размерность р

корневого подпространства, отвечающего собственному значению р отображения Пуанкаре Р, соответствующего геодезической с.

Рассмотрим собственные значения р=е8л<« и р = е~зд‘а отображения Р, где 0<as^l/2, a=p(q — рациональное, р и q взаимно просты. Обозначим через D (возможно, пустое) множество знаменателей этих а. Для каждого подмножества EgD обозначим через т(Е) наименьшее общее кратное всех чисел из Е. В случае Е=ф положим т(0)=1. Пусть тг, ..., ms — множество всех различных чисел, полученных таким способом. Ясно, что ss^2”. Далее, можно считать, что тх = \.

Для каждого /, 1 ^ j ^ s, рассмотрим максимальную последовательность \qji, i= 1, 2, ...} целых положительных чисел, такую, что ни одно из тк при т^гщ не делит п^ц. .

Отсюда видно, что (*); выполнено. Кроме того, каждое положительное целое т может быть записано в виде т = mjq, где q— положительное целое, а т} определяется тем, что оно должно быть наибольшим делителем числа т среди чисел тх, ..., ms. □

Предложение. Пусть с —замкнутая геодезическая, и пусть indст>0 при некотором m^i.

Тогда существуют такие а>0 и Р^О, что для всех целых Щ>, №1^1

ind cm»+m> ^ ind с"10 + пгха — р.

Доказательство. Из предположений следует, что определенное в 3.2.15 число ас больше нуля, так как в противном случае /с / = 0 при всех j и, следовательно, /с(р)=0 при всех р. Применяя затем 3.2.15, получим 4.2.7 с а=ас и Р=2рс. □

*' N — множество натуральных чисел, к которым причисляется и нуль.

Теперь мы можем доказать центральную лемму Громола и Мейера [2]. Мы предпочитаем рассматривать ее как полулокаль- ный результат, так как в ней содержится утверждение о топологии окрестности единственной замкнутой геодезической с и всех ее кратных повторений с™, т=1, 2, ....

Лемма. Пусть с —замкнутая геодезическая, и пусть все ее кратные повторения с"1, т=\, 2, ..., порождают изолированные орбиты критических точек S ,ст. Тогда сумма ^1bi(cm') i-x т

типовых чисел с Хр-коэффициентами ограничена сверху некоторой константой R(c) равномерно по всем i^ некоторого 16.

Доказательство. Из 4.2.6 и 4.2.5 мы знаем, что для каждого т существует такое т; из некоторого конечного набора {mlt..., тД, что b®(О = b^i ^cmi\ Кроме того, 6”(cm/) = 0 при всех I, больших некоторого t(m;). Пусть i0= sup ЦтД. Тогда если i>i0, то Ь”(.ст1) = О при всех т. Заметим, что в случае, когда все с"* не- вырожденны, 6?(ст) = 0 при всех т и всех i>0.

Выберем теперь i>i0. Тогда или Ь,(ст) = О при всех т, или существует такое наименьшее то^О, что ЬДст°)Т>0. Но тогда из 4.2.5 следует, что indcm,>0, и, следовательно, существуют а>0 и Р^О, для которых выполняется 4.2.7. Поэтому если mi>(«o + P)/«, то

ind cm»+mi > ind ст» + io,

т. е. b, (cm«+mi) = O- Таким образом, в сумме ^Ь, (ст) самое боль

шее [(i0 + P)/a+ 1] слагаемых не равны нулю. Из 4.2.5 и 4.2.6 следует, что существует верхняя граница для ЬДст') при всех t>i0 и всех т. Тем самым получаем искомую верхнюю оценку для У bi (ст\ □

Замечание. Если предположить, что все ст, т=\, 2, ..., не- вырожденны, то лемма становится тривиальным следствием предложения 4.2.7, которое в свою очередь непосредственно следует из формулы Ботта 3.2.9. Следовательно, в случае, когда все замкнутые геодезические на многообразии М невырожденны, приводимая ниже теорема имеет очень простое доказательство.

Для удобства формулировки теоремы назовем условием (GM)P следующее условие: последовательность Zp-чисел Бетти {6,ЛЛ4} многообразия ЛМ неограничена.

Теорема. Пусть М — компактное риманово многообразие, и пусть при некотором р выполнено условие (GM^p. Тогда на М

существует бесконечно много однократных замкнутых геодезических.

Замечание. Для случая р = со, т. е. рациональных чисел Бетти, эта теорема была доказана Громолом и Мейером [2]. Отметим также, что мы не делаем никаких предположений относительно фундаментальной группы многообразия ХМ.

Доказаттьст ю. Допустим, рассуждая от противного, что существует только конечное число однократных замкнутых геодезических сг,. ..,cs (с точностью до стандартного действия S). Из 4.2.8 мы знаем, что при фиксированном /, 1^/^s, и при больших i сумма У Ь, (с™) ограничена сверху некоторой константой R (cj).

т_

Таким образом, R = 2 У R (сД — верхняя граница для Уbt(S. с), iс

где сумма берется по всем различным S-орбитам критических точек (лежащих в ЛМ — Л°Л4).

Выберем теперь к так, чтобы ЬЙ(ЛМ)>/? и ^>dimM. Число критических орбит S. с, для которых dft(S.f)>0, конечно, поэтому существует такой некритический уровень х>0, что все эти орбиты принадлежат Х^М. Объединяя 2.1.2 и 4.2.3 с доказательством неравенств Морса 2.4.12, получаем противоречие:

Н<Ьк(Х, Ле) = МЛи, Ле)<у b^S.c^R,

где последняя сумма берется по всем критическим орбитам из ЛЛ1 —Л°М. □

Замечание. В связи с этой теоремой, естественно, возникает вопрос: какие компактные многообразия М удовлетворяют условию (6Л4)Р? Ясно, что выполнение условия (ЬМ)Р зависит только от гомотопического типа многообразия М.

Случай р = оо был исследован Виге-Пуарье и Сулливаном [1], которые дали полное описание тех М, для которых выполнено (GM)co. Это описание составляет первую часть теоремы 4.2.10.

Напомним, что срезанное рациональное кольцо полиномов Т 6Л (х) степени й и высоты h определяется как факторкольцо (Ej[x]/(xA) кольца (Q [х], порожденного элементом х степени d; см. Спеньер [1]. При h = 2 кольцо Td.h^ является кольцом когомологий сферы размерности d. При d = 2, 4 и произвольном Н^З, соответственно при d = 8 и /1 = 3, Td!1(x) является кольцом когомологий одного из проективных пространств над комплексными числами, кватернионами, соответственно над числами Кэли.

Теорема, (i) Пусть М — односвязное компактное дифференцируемое многообразие. Тогда выполнение условия (GM).X

эквивалентно тому, что кольцо рациональных когомологий Н*(М, (Q) не является срезанным кольцом полиномов.

(И) Условие (GM)P не выполняется ни при каком р, если М имеет гомотопический тип одного из неприводимых симметрических пространств ранга 1.

Доказательство (i) можно найти в работе Виге-Пуарье и Сул- ливана [1]. В нем существенно используется теория Сулливана [1] рационального гомотопического типа; некоторые подробности можно найти в § 4.3. Утверждение (и) следует из работы А. С. Шварца [1], в которой он вычислил целочисленные когомологии многообразия АМ для симметрических пространств ранга 1. □

Мы хотели бы подчеркнуть, что помимо симметрических пространств ранга 1 существует много других пространств, кольцо рациональных когомологий которых есть срезанное кольцо полиномов; см. также ниже 4.2.11.

Отметим также, что еще до появления работы Сулливана и Виге-Пуарье различные частные условия, выполнение которых влечет за собой выполнение (GM)», были найдены Клейном [1] и Саксом [1].

Сулливан [1] показал, что для каждого компактного односвязного многообразия существует такая последовательность {фг} рациональных классов когомологий пространства АМ, что dim(wr) = 2ar + b, где а и b — целые, a>0, b^O, r=l, 2, ...; подробности см. в § 4.3. Отсюда можно заключить, что если М имеет гомотопический тип произведения М'хМ" двух односвязных компактных многообразий М' и М", то М удовлетворяет (GM)».

Действительно, заметим, что

HfeA (М' х М"^ Hk (АМ' х АМ") = ^ НДМ' ® Нк_ДМ". i

Н*\М' содержит классы w'r размерности 2а'г4-Ь', а Н*\М” содержит классы w, размерности 2а"г + Ь". Поэтому в размерности k — 2a'a“m-\-b’ -\-Ь" у многообразия А (М'хМ") число Бетти 2s/n+l, так как при i = 2a'a"j + b' группы НДМ' и Нк_ДМ" содержат классы w'ia- и ау^-да'-

Циллер [1] определил Хг-гомологии пространства АМ для всех компактных симметрических пространств М. Как следствие этого он выяснил, что симметрические пространства, за исключением пространств ранга 1, удовлетворяют (GM)P при р=со или при р = 2. Те из них, для которых выполняется (GM)2, a (GM)» — нет, следующие:

SG (3)/S0 (3); SO(2n+l)/SO(2n-l)xSO(2); GvSO(4).

Таким образом, используя 4.2.9, Циллер [1] получил такой результат. .

Теорема. Если дифференцируемое многообразие М имеет гомотопический тип симметрического пространства ранга >-\, то у любой римановой метрики на М имеется бесконечно много однократных замкнутых геодезических. □

4.3. Существование бесконечного числа замкнутых геодезических

В § 4.2 мы видели, что многие компактные дифференцируемые многообразия обладают следующим свойством: каждая риманова метрика на таком многообразии имеет бесконечное число замкнутых геодезических (см., например, 4.2.10 и 4.2.11). Однако, как показано в 4.2.10, к некоторым многообразиям, например к сферам, эти результаты неприменимы. Причина этого в том, что топологическая структура соответствующего пространства замкнутых кривых не является достаточно сложной.

В этом параграфе мы покажем, что на произвольном компактном римановом многообразии с конечной фундаментальной группой всегда существует бесконечное число однократных замкнутых геодезических (см. 4.3.5). Для этого мы воспользуемся более тонкой структурой комплекса Морса, в частности эквивариантностью по отношению к S-действию % и Zrдействию 6.

Основным новшеством, используемым в доказательстве, является соотношение делимости между кратностями некоторых пар замкнутых геодезических (см. лемму 4.3.4). Кроме того, в доказательстве используются классы гомологий пространства АМ, которые были построены Сулливаном [1] с помощью его теории минимальной модели. Заметим, что в свете полученного Виге- Пуарье и Сулливаном [1] результата 4.2.10 (i) мы можем ограничиться рассмотрением односвязных компактных многообразий, рациональное кольцо когомологий которых есть срезанное кольцо полиномов. Классы Сулливана для таких многообразий особенно просты и уже были получены А. С. Шварцем [1].

Поэтому если интересоваться, например, лишь случаем сферы с произвольной римановой метрикой, с изучения которого в работе Пуанкаре [1] началась вся теория замкнутых геодезических, то можно и не знать теории минимальной модели *\

Мы начнем с формулировки основных свойств минимальной модели, уделяя при этом особое внимание геометрической интерпретации. (60)

Минимальная модель ЯЛ (М) рационального гомотопического типа односвязного счетного С1Г-комплекса М определяется как

*’ Особенно просто обстоит дело тогда, когда М — нечетномерная сфера. Как раз в этом случае программа Клингенберга всего ближе к реализации.

дифференциальная градуированная алгебра (произведение в которой мы обозначим через л) над полем рациональных чисел, обладающая следующими свойствами:

3)1 (М) — свободная алгебра (за исключением соотношений, вызванных ассоциативностью и правилами коммутирования элементов различной степени *’). Векторное пространство, порожденное образующими любой данной степени к, конечномерно. Его дуальное пространство изоморфно л* (М) ®z Q;

(И) значение дифференциала d на образующей есть либо нуль, либо элемент, степень которого на единицу больше и который является полиномом от образующих строго меньшей степени;

(Hi) Н* (3)1 (М)) = Н* (М) (над рациональными числами).

Имея 3)1 (М), можно следующим образом построить минимальную модель 3)1 (ЛМ) рационального гомотопического типа пространства ЛМ. Каждую образующую у из 991 (М) будем считать также и образующей из 3)1 (ЛМ), причем действие дифференциала на этой образующей будет прежним. Так как л*ЛМ = пкМ + n*QM и ЯйЙМ = я*+1М (см. 2.1.5), то остальные образующие получим, сопоставляя каждой образующей у из 3)1 (М) образующую у из 3)1 (ЛМ) на единицу меньшей степени. Осталось определить дифференциал. Сначала продолжим ~ на все 991 (М) как действующую справа производную, а затем определим dg как dy.

Замечание. Можно интерпретировать у как дифференциальную форму, а д:=1у — как форму, получающуюся при внутреннем умножении у на такое векторное поле I, что diA-id = O. В частности, х л у : = i (х л у) = ix л у-\-(—l)1*1 х л iy, где | х| = степень х.

Теперь мы в состоянии доказать существование так называемых классов (когомологий) Сулливана многообразия ЛМ; см. Сулли- ван [1].

Теорема. Пусть М—компактное односвязное дифференцируемое многообразие. Тогда существует такая последовательность {w* (1; s)}, s = О, 1,..., рациональных классов когомологий, где 1^0 —некоторое целое, зависящее только от М, что размерности классов w* (I; s) (со всевозможными s) образуют арифметическую прогрессию. Наконец, если обозначить через

и. (ЙМ, *)-*(ЛМ, Л°М)

каноническое вложение, то 1*ш* (I; s) #= 0.

Замечание. Если М — нечетномерная сфера Sn, то / = 0 и цу* (0; s) под действием I* переходит в ($+1)-ю степень (п — 1)- мерного базисного класса из Я”-1 (й5п). Аналогично, если М —

' Подразумевается свойство, называемое «косокоммутативностью» или «коммутативностью градуированной алгебры». См. добавление к данному параграфу.

четномерная сфера, то 1=1 и цу*(1; ■) под действием I* переходит в произведение образующей из Я”-1 (QS") и s-й степени образующей из №^l^lSn\

В этих и в других специальных случаях (в частности, для остальных симметрических пространств ранга 1) классы Сулли- вана уже были рассмотрены А. С. Шварцем [1], Клейном [1] и Саксом [1].

Вместо ш* (0; s) мы будем писать также w* (s).

Доказательство. Алгебра ЭЛ (Af) должна иметь образующие нечетной степени, так как в противном случае для всех степеней у1 образующей четной степени у было бы dy‘ = 0. Но тогда размерность Н* (Af) была бы бесконечна — противоречие.

Пусть х —образующая минимальной нечетной степени. Тогда dx = 0 или же dx —полином от образующих четной степени, скажем еъ ..., eb dej = 0, 1 ^ / ^ /. Положим

ty* (0; s)^w* (s) = xI+1, если dx = 0;

ty* (/, s) — ё1 л Xs ^ёг^...^ёl в противном случае.

Тогда dw*=0. Это очевидно, если dx = 0. Если же dx#=0, то каждое слагаемое суммы dx содержит одно из ёу е {ёхёД, а так как ё) л ё, = 0 и de, = 0, то все равно day* = 0.

цу* не является границей, поскольку d9B (AAf) содержится в идеале, порожденном элементами положительной степени алгебры ЭЛ (А4), рассматриваемыми как элементы S>l(AAf)*\

Докажем последнее утверждение. Напомним, что минимальная модель ЭЛ(ЙМ) для QAf имеет образующие у —по одной на каждую образующую у из 30? (Af), — причем степень этой образующей на единицу меньше степени у. Дифференциал задается равенством dy = 0. Это соответствует хорошо известному факту о том, что кольцо рациональных когомологий пространства петель QAf является свободной алгеброй, образующие которой составляют базис рациональных гомотопических групп.

Вложение I: QAf-^AM определяет отображение гомотопий n^QM в гомотопии л*АА1 ^л^А4©л*ЙА! и фактически является изоморфизмом на второе слагаемое. Из двойственности между л/гМ^гЩ и образующими степени 1г алгебры ЭЛ (Af) следует, что вложение i: ЙА1->-ЛА4 определяет морфизм

I*: ЭЛ (АМ)-»-ЭЛ (ШИ),

' Проверим, что если у—образующая ЭМ, то dy и dy принадлежат указанному идеалу. Для dy это ясно, а поскольку dy является суммой произведений элементов положительной степени из ЭМ, то dy = dy является суммой произведений, в каждом из которых хоть один сомножитель есть элемент положительной степени из 2М.

при котором образующая типа у переходит в 0, а образующая типа д переходит в у. В частности, для индуцированного гомоморфизма когомологий получаем I* (^Л^Л.-.Л ё/) = ёхл^л... ...Лё/. Это завершает доказательство. □

Для построения некоторых циклов, представляющих классы гомологий, двойственные классам когомологий Сулливана, рассмотрим сферу (51у|, *) постоянной кривизны, равной 1, где « — отмеченная точка и dimSly, = |i/|^2 *\

Рассмотрим также пространство петель (QS1^1, *) сферы 5>у1 с отмеченной точкой *. Из конца § 2.5 мы знаем, что лежащие в (QS1^1, *) повторенные г+1 раз большие круги cj + ‘ составляют невырожденное критическое подмногообразие B?+i<~Si«i. Пусть Wu (Вна) — его неустойчивое многообразие (см. 2.5.6). Замыкание Ц7“(в“+1) при нечетном |у| дает нам образующий элемент группы Н<2г+2И-((QS^l; Z), который мы обозначим через и^ (2г + 2). '

Ограничение Н7°(В?+1) на слой над элементом Co + leB°+i является сильно неустойчивым многообразием элемента cj + 1:

W“u(cr» + 1y. ^+n\D\, 0)-*(£2S^i, ^‘).

При нечетном | у | замыкание этого отображения снова представляет образующий элемент группы Я(2/. + ])|-| (fiS^i; Z). Этот элемент мы будем обозначать через и!/1 (2г +1).

В частности, при г = 0 мы получаем сферический цикл u^'tl): (Slyi, *)->(QS^i, *).

Дадим явное описание цикла u^^l). Отождествим (SI уI, *) со сферой на (Si^i, *) коразмерности 1, которая в точке * ортогональна вектору скорости в начальной точке большого круга с0. Тогда ^'(1) есть отображение, которое каждой точке peSViA ставит в соответствие окружность на S1»1, которая начинается в точке *, движется в направлении той же полусферы, что и с0, и при /= 1/2 ортогонально пересекает S1»' в точке р.

Отсюда следует, что цикл ^1(2) состоит из всех окружностей на S,v с началом в точке *gSI»L

Пусть у нас есть два сферических цикла

и*. (Si“i, *)->-(ПЛ1, *) и и: (Si"1, *)->-(QAf, *).

’ Пока что | у | обозначает просто некоторое целое число ^ 2. Впоследствии это число, как и подсказывает обозначение, будет взято равным степени ■ некоторого элемента у из 35ЦМУ В соответствии с этим |у| = |у| —1 (пока что это просто обозначение).

Тогда мы можем образовать новый сферический цикл, взяв произведение Понтрягина и-и циклов и и и (см. Ботт и Самельсон [1]):

и • w. (Si“ixSi"i, *)-^(QM, *).

При этом uv(p, q) определяется как обычная композиция в (£1М, *) путей и(р) и и(^).

При нечетном |z/| s-я степень ^'(О* цикла и^ (1) представляет образующий элемент группы Hsl^ (QS^1; Z). Таким образом, цепь и^О)15 гомологична с^1 (s).

Мультипликативная структура кольца Н*^5'у'; Z) хорошо известна; см. Серр [1]. Мы снова ограничимся рассмотрением случая, когда |z/| нечетно. Пусть y(s) обозначает образующую группы Н8'й\ (QSi»i); тогда ^ (1 )s = s!y (s). Следовательно, значение д (ДУ на и* (1)5~ о* (s) равно s!.

Пусть теперь у: (S^i, *)-*(М, *), |z/|^2, представляет нетривиальный гомотопический класс бесконечного порядка. Тогда определим

^(1) = ^1/1(1): (S'»’, *)-(йМ, *).

Если | у | нечетно, то для каждого целого s 3$ 1 введем

w^(sY.= йу-у^ДзУ (^'(s), *)-*(ЙМ, *),

где V^^s) есть область определения oi/1 (s).

Теперь мы готовы к тому, чтобы определить класс гомологий, двойственный классу когомологий Сулливана.

Пусть сначала w* = w* (2r + l^x2'44 и |х| нечетно. При этом мы можем считать, что х: (S *|, *)->(А4, *) не является кратным некоторого другого сферического целочисленного цикла. Определим w* = w* (2r + 1) как ty*(l) te>*(2)r. Мы можем считать, что в разложении 8»*=ki* (/; 8)=ёхл Xs ^. ..лё/ элементы ef. (Siе/1, *)-> ->-(Af, *) являются неделимыми элементами из Н\< \(М; Z). Определим

и,* = w# (/; s) = гЛ (1) • to* (1)’• ш*2 (1) •... • ^(1)^ ^^(1). uv£(s)-... • te^z (1),

где точка снова обозначает произведение Понтрягина.

Мы хотим определить гомотопию ап^ некоторых циклов из w*. Для этого представим сферу S'»1 размерности |z/|^2 как единичную сферу в евклидовом пространстве |R|i,l + 1 с координатами (x^cxi^ yv Пусть * = (—1, 0, .... 0). Тогда S^i —это сфера {х/= 0}ПS1 ^L Пусть фт, 0^;т^1, есть вращение в плоскости (xi, ха) в положительном направлении на угол т-180°, которое

затем продолжено до изометрии пространства R^! + 1, действующей на ортогональном дополнении к этой плоскости тождественно.

Определим гомотопию

®;(2г+1): (FH2r+l), *)Х[О, 1]-^(ЙМ, *), где■

Г#(2л+1) = 5^Х^(2Г,

VV1 (2) = область определения у^1 (2), полагая

^ (2r + 1) (•; т) - (Й (х - фт) • «V1 (1))" ^ (2)г-

Для к'* (/; s) определим

и)Ц1; s): («7* (Z; s), *)х[0, 1]->(QM, *), где__

W*^ s) = S^x^^Yx...xS^\, полагая

®*V; $)(•; T)H^i«9t)-yfii (l))-tw7(l)' -u^^

Предложение, (i) w* (2r + 1) — ограничение цикла ®* (2r + 3);

(ii) ©*(/; s) — ограничение цикла w^b, s-|-l).

Доказательство, (i) будет доказано, если мы покажем, что у*(!)(■: т) := йфг - у/'(1) является ограничением цикла у*х!(2). Но у^1 (2) — неустойчивое многообразие семейства больших кругов в (QS^1, *).

Для доказательства (ii) рассмотрим соотношение dx = полином от (еь ..., et\ В этом полиноме нет ни постоянного, ни линейного членов. Поэтому 1^1^! Х|.

Пусть ^: (D 61 l,dZ) <’,i)->-(Slei'*') —каноническое отображение, где *' обозначает точку, противоположную отмеченной точке * сферы S1®11. Тогда можно так вложить диск (DieH( *)b(SIX|, *), что х, D eil = ei«kx *>.

Через у^1 '(2) мы, согласно определению у^1^), обозначаем совокупность окружностей на S!C11 с началом в точке *eS|Ci,1 В частности, у*е»1 (2) содержит элементы гомотопии фт - у^-1 (1). Рассмотрим лежащие на S,x| окружности у#х (1) | D е‘ L Вращая эти окружности вокруг точки *е£1;с5'( на угол л/2, получим окружности, лежащие на D ^i с S‘eC с S -t:. Другими сло-

*’ Странное утверждение: вложение в сферу большей размерности заведомо гомотопно нулю. Но это возражение не затрагивает (i) (чего достаточно для того случая, когда М — нечетномерная сфера).

вами, так как xfDle> ' = 61-^, то

йх° t»1/1 (1) | D'Ci 1 = су* (1) | D 611

гомотопно отображению Qcj - t^*1 (2), которое содержит элементы Q(^-фДо^1 (1). Таким образом, гомотопия ну* (Г, s)(-; т) может быть получена из w* (/; s-j-1) ограничением области определения W*(l; s+1) до

НхО’е-'х(5!г’Ух...х51еН.

Это завершает доказательство 4.3.2. □

Предложение, (i) 5u4(2r+l) =— (9te)^(l)»i)-ty*(2)r— -^(1)-^(2Г;_

dw*(/; s)=—(е^(1)»1)-^(1)^...-^(1)-^(1).?1у*(1у....

Здесь i: S' m -^S'U1—отражение относительно гиперплоскости {№ = 0}, ограниченное затем на S'id = {t<o + УХА----А-УХи — И-

Для краткости будем обозначать через if* (г) и и/*(г) либо ф*(2г+1) и tp*(2r+l), либо w*(l; г) и ф*(/; г). Тогда образ w* (г)/6 цикла w* (г) в (ЛЛ4 mod Л0Л1 )/6 является нетривиальным Хг-циклом.

Доказательство. Заметим, что большой круг с0 из S^1, лежащий в плоскости (i/0, УгУ переходит при фх: S^i-»-Si»i в 9с0. Кроме того, tpi ’ (S'у 1 = Sy’ П {z/i = 0}) действует как ограниченное на S1^1 отражение относительно {z/2 = 0}. Это доказывает (i) и (ii).

Для доказательства (iii) рассмотрим в (Л — Ле)/9 стандартный одномерный коцикл по модулю 2 ^. Ясно, что w*/6 — цикл по модулю 2. Напомним, как определяется ^-произведение симплекса 6 из (ЛтодЛеУе с ^. Для получения этого произведения надо взять заднюю грань цикла 6 коразмерности 1 с коэффициентом, равным значению коцикла е7 на одномерной передней грани цикла 6.

Для того чтобы определить произведение е? на ш^ (г)/6, рассмотрим сначала случай, когда л = 0. Отображение ф*(0): S'^x х[0, l]-*QAf есть образ при Йу семейства проходящих через точку * = (—1, 0, ...) окружностей, которые получаются при вращении на 180° окружностей из су'/1 (1) = {окружности, ортогонально пересекающие S1»1 = 5'^' П {У1 = 0}}. Поэтому произведение а/ на w* (0)/9 в точности равно циклу уу* (0)/9, который не гомологичен нулю. Следовательно, также и ш' (0)/90.

Случай произвольного г сводится к случаю г = 0, так как произведение (уу* (г)/9)<ле^ определяется значением коцикла е7 на

передних одномерных симплексах, т. е. на передних одномерных симплексах цикла w* (0) с цу* (г). Это доказывает (Hi). □

Теперь мы докажем фундаментальную лемму о делимости.

Лемма. Пусть М — компактное односвязное риманово многообразие. Фиксируем г* ^ 0 и выберем значение и* так, чтобы оно не было критическим и чтобы образ w* (г*) с: i\x‘M. Пусть, кроме того, . замкнутые геодезические из Д^'М невы- рожденны.

Тогда при каждом г = 0, ..., г* существуют такие замкнутые геодезические с (г) и с'(г), индексы которых равны соответственно dim ну* (г) и dim w* (r) = dim w* (r)+ 1, что

£(c(r))<£(c'(r))<Wr+l)).

Кроме того, если m^ и m'(г)— кратности геодезических с (г) и с' (г), то т (г) делится на т’ (г):

m'(r)|m(r).

Доказательство. Фиксируем г и дальше вместо w* (г), ш* (г), с (г), с’ (г), т(г), т' (г) и т. д. будем писать также просто w, w', с, с', т, т* и т. д.

Через е^х*М или просто через е^ будем обозначать комплекс Морса, определяемый неустойчивыми многообразиями WU^S .с\ Е (с)<.я*.

Мы хотим «представить» цепь w' в <^. Так как а//8 — цикл, мы можем деформировать w' а Хч* посредством стандартной эквивариантной деформации ф5 и нестандартных эквивариантных деформаций в любую указанную окрестность множества, состоящего из тех Wu (S ,с) и Wuu (с'), которые имеют размерность, равную dim ну'. Мы представляем себе ш' как подмногообразие из Ах* с особенностями коразмерности 5s 2. Можно считать, что ну' находится в общем положении по отношению к устойчивым многообразиям s (S .с) и сильно устойчивым многообразиям W^ (с') коразмерности dimiy'.

Перетянув деформированную цепь to’ в е^, получим представление ш' в виде суммы с целыми коэффициентами многообразий (с') и так называемых трубчатых кусков / . WHH (с) = {г. W„n(cy, г = еазиг, г принадлежит интервалу положительной длины / с S}; размерности слагаемых этой суммы равны dim w'.

Аналогично, ну е dw' представляется в виде суммы с целыми коэффициентами многообразий Wuu^ и трубчатых кусков 1ДТи1Дс\ в которой все слагаемые имеют размерность dim w. Эти представления в ®^ снова будем обозначать соответственно через w и ш'.

Теперь покажем, что в щ' и ш входят такие Wип (с') и №„„ (с), что Wtlll (c)czdWull (с'). Заметим, что w'/9 — нетривиальный Хг-никл в AM mod AgAl, и, следовательно, в ну' не все W„„ (с') и /. U7BU (с)

имеют нулевые коэффициенты. В самом деле, так как все критические точки функции Е#= const находятся вне некоторой окрестности множества Ле, то локальные типовые числа критической точки с/6 из (Л —Ле)/6 равны индексам соответствующих критических точек с и 6с из Л — Ле- Более того, мы утверждаем, что ну' состоит не только из трубчатых кусков. Отсюда будет следовать, что л • w с: л dw', рассматриваемый как цикл из nMmodn8M, гомологичен нулю. Для того чтобы в этом убедиться, представим область определения W цикла ну в виде произведения S^xU^, где у — х в случае, если w* (r) = w* (2г +1), и у = в1, если w* (г) = w* (Г, г\ Отмеченные точки на 5^1 и W будем обозначать через * и * соответственно.

Рассмотрим теперь цикл л»ау|5!^'х{с}, где с —некоторый элемент из W. Мы знаем, что он не гомологичен нулю, так как он гомологичен циклу л • w j S! ^ х {*}, который в свою очередь гомологичен

л - Qz« v^i (1): S1^1->-ЛМ mod Л8Л1.

Но про этот цикл известно, что он не гомологичен нулю, так как у. 5|у|->-М— нетривиальный цикл. Следовательно, также и л - w Ф 0.

Мы рассматриваем №на(с) из w и Wnn(c'') из w', такие, что Wutt (с) с dW(lu (с'). Так как все деформации и представления были сделаны эквивариантными по отношению к S-действию и Хг-действию, то в dWnn(c') вместе с Wuu^ входит и вся I (с')-орбита (Wa„ (z0. с); г0 е / (с')}. Наше утверждение (ii) равносильно тому, что /(с')-орбита многообразия W„„(c) состоит только из WHU(c).

Следующий шаг в доказательстве состоит в построении пары цепей w'o, wQ, где л°уу0 —цикл размерности dim ty, a ft = w«/8— цикл по модулю 2 размерности dim w', обладающих следующими свойствами: в w0 и в w» есть соответственно W„„(c) и 117„„(<'), такие, что Wnll(c) cz dWun(c'), и —это существенно — представление щ0 в комплексе Морса е< не содержит, помимо Wuu (с), других элементов WUu (z .с), ге S.

Предположим, что мы уже построили пару tyn, ®о- Рассмотрим / (с')-орбиту многообразия U7„„ (с). Если она содержит элементы ^ая(г.с), у которых г.сфс, то в w» должно найтись такое №„„ (cl). чт0 ^аа (z • с) входит в dWaa (с{), а коэффициенты при всех Wuu(2.c) должны давать в сумме 0. Заметим, однако, следующее. Пусть Гй„(с'), WHH(ci), Wuu^, .. . — все элементы из w*, граница которых содержит U7„„ (z. с), где г. с лежит на критической орбите S.c. Пусть, далее, Це’)-, /(с()-, / (с»)-, ... орбиты этих элементов W иДг . с) состоят соответственно из т', т\, т^, ...

элементов. Если все т', т'Х1 т^, ... больше 1, то эти орбиты не могут дать в сумме единственное многообразие №аДс') (с некоторым не равным нулю коэффициентом). В самом деле, орбиты, состоящие из т элементов, распределены подобно тому, как на единичной окружности распределены корни степени т из единицы. Если пО>\, то сумма этих корней на комплексной плоскости равна 0. Таким образом, для того чтобы получился единственный элемент Waa (с) на S. с, по крайней мере для одной из геодезических с', с^ с^, ... группа изотропии должна действовать тождественно на с.

Теперь мы приступим к построению пары цу0, ^о- Рассмотрим в w' такое многообразие Waa(c'), что цикл ауПд№нн(с') нетривиален при отображении л. Пусть Waa(c) входит в ty П ndWaa(c') с целым коэффициентом а^О. Если daU7aa (t) = 0, то положим w0 = «Ц7аа (с). В противном случае существует такая критическая орбита 8. с, что indc = dimU7aa(c) —1 и даН7аа(с) содержит элементы ^jWaa(^niri. с), 0^Г;<1, /= 1, ..., Z, порожденные неустойчивыми многообразиями точек, лежащих на S. с. Рассмотрим

(*)а^„„(с)-£[0, Г/].|^ш^

/

Ее граница есть

(**)гД^д¥иДс^

\ / //

и, возможно, плюс некоторые члены, содержащие многообразия ^а«(ё1), У которых сх не принадлежит 8 .с.

Так как л. (w f) дЦ7аа (с')) — цикл, то либо ^^/ = 0, ли$° /

в ^П^иДс) должны входить еще некоторые (аД^ии (cj), граница которых тоже содержит элементы Wnu (г . с), г. с е S . с. Проделав для них такую же конструкцию (*), что и для aWa„ (с), получим линейную комбинацию цепей вида (*), граница которой не содержит Waa (z .с), г .с е 8 .с.

Действуя аналогично, мы можем исключить остальные элементы №Ни(С1) размерности dim ну—1, которые, возможно, содержатся в границе aU7aa(c). Тем самым в конце концов мы придем к цепи w0, которая из всех элементов Waa (г . с), z . с е S . с, содержит с некоторым ненулевым коэффициентом только ^ аДсУ

Теперь мы можем определить Wo с помощью следующей конструкции. Для Waa(c) из w0 мы берем ограничение w' на эти №пДс\ Заметим, что эти Waa(c) уже принадлежат исходному w, для которого мы определяли w*. Для трубчатого куска [0, г]. №„„(£) мы рассмотрим w' | №нДс) (заметим, что ^иДс) было частью исходной цепи dw) и затем определим ^ | z. Waa (с) как z. ^ W„(c), т. е. с помощью эквивариантного продолжения.

Поясним, что мы имеем в виду, говоря об ограничении ш*. Первоначально w* определялся как гомотопия w': WxI-*A цикла ну: W -> Л. Мы сохраняем эту интерпретацию также и для представлений w и ш' в комплексе Морса е^. В данной ситуации это означает, что мы рассматриваем различные открытые подмножества из W, которые при ну: W -*<^ переходят в №аа (с) и в трубчатые куски /. Wuu (с) размерности dim w, и включаем те части границ этих открытых подмножеств, которые переходят в имеющие размерность dimay— 1 многообразия Wип^ и, возможно, в трубчатые куски I .Wаа(с), лежащие в дН7аа(с).

Определенные таким способом wQ и w'# снова обладают представлениями в комплексе Морса ®&. За этими представлениями мы сохраним обозначения w0 и Шо> При этом ш^, должно включать такие многообразия №аи(с') размерности dim ^ = dim а>0 + Ь границы которых содержат №аа (с). Из конструкции цепи w^ следует, что Wna(c) не входит в границу трубчатых кусков из уу£. Поэтому мы можем заключить, как это было показано выше, что существует многообразие №аа(с'), для которого 7 (с') действует тождественно на с. Это завершает доказательство (ii).

Неравенство Е (с (г)) < Е (с' (г)) из (i) выполняется очевидным образом. Для доказательства неравенства Е (с' (г)) < Е (с (г 4-1)) напомним, что, согласно 4.3.2, w^(r) можно рассматривать как ограничение ^^(r+l), и, следовательно, л = w* (г) тоже можно рассматривать как ограничение л -w* (г + 1). Отсюда следует, что критическую точку с(г+1) размерности dim w* (г +1), которая является первым элементом в удовлетворяющей (ii) паре (c(r+ 1), с'(г+1)), можно выбрать так, чтобы Е (с* (г)) <Е (c(r+1)). □

Замечания. 1) Более подробное изложение приведенного выше доказательства можно найти в статье Клингенберга и Ши- каты [1] *\

Для доказательства 4.3.4 необычайно важно, что л»5щ' (0) ^ У=0 mod 2. Это было так, потому что цикл #: S1^ -> QM cz ЛЛ4 получался из цикла у. S^^-^-M, который представлял неделимый целый гомотопический класс бесконечного порядка многообразия М. Для того чтобы сделать это обстоятельство более ясным, рассмотрим случай М. = S2 и выберем в качестве у отображение Хопфа у. S3->-S2. Тогда у не обладает отмеченными выше свойствами. Выберем на Siyi = S3 сферу Siv' = S2 так, чтобы она была ортогональна слою ^С#) над отмеченной точкой * в S3. Тогда все окружности, лежащие на S2 и проходящие через *, содер-

*’ В которой, однако, рассматривается только тот случай, когда М — не- четномериая сфера, и, кроме того, метрика предполагается такой, что для нее не возникает неприятностей, указанных в (3?).

жатся дважды в образе отображения

д: (S'4 *) = (S2, *)->(QM, *) = (QS2, *).

Поэтому 6 • д имеет тот же образ, что и д. Следовательно, если мы для ш* (0) = д определим гомотопию

g'=w;^y (S^i, *)х[0, 1]->(QS2, *),

как и выше, то получим даг/(0) = 0 mod 2.

Теперь мы готовы доказать нашу основную теорему.

3.5. Теорема. Пусть М —компактное риманово многообразие с конечной фундаментальной группой. Тогда на М существует бесконечно много однократных замкнутых непараметризованных геодезических.

Замечание. Теорему достаточно доказать для односвязных многообразий. Действительно, при проекции М-*-М универсального накрывающего М многообразия М на М одну и ту же однократную замкнутую геодезическую на М могут накрывать не более к различных однократных замкнутых геодезических на М, где к — порядок лхЛ1.

Мы не утверждаем, что однократные замкнутые геодезические не имеют самопересечений. В самом деле, как показывает пример 2-мерного эллипсоида, оси которого попарно различны и имеют примерно одинаковую длину, может и не быть больше трех замкнутых геодезических без кратных точек. В рассматриваемом случае такими геодезическими являются главные эллипсы. По поводу этого примера см. также 5.1.2.

Доказательство. Для того чтобы сделать основную идею доказательства более прозрачной, мы сначала рассмотрим случай, когда все замкнутые геодезические на М невырожденны. При рассмотрении случая вырожденных замкнутых геодезических будет использована теорема Громола— Мейера.

Итак, допустим, что имеется лишь конечное число однократных замкнутых геодезических, скажем cf, l^j^s. Мы рассмотрим лишь те из них, для которых существует такое целое т> >0, что 1пйс^>0. Эти геодезические снова обозначим через с/( 1 ^ / ^ s.

Из 3.2.15 и 4.2.7 следует, что существуют такие действительные числа а>0, Д>0 и р^О, что для всех /е{1, .... s}

а (m' — m) — р ^ ind с”1' — ind с™,

(И)ind c'piA ^ т.

Фиксируем целое го^О и рассмотрим последовательность ^Оо + О» O^t^s, состоящую из последовательных гомотопий классов Сулливана ^(ro + t)- Согласно 4.3.4, существуют такие геодезические с, с'е{сх, ..., с5} и целые числа a, b, 0^a<^b^s, что геодезические с(г0 + Ь), сДго + о) и с'(г0 + &), соответствующие щ(г0 + Ь), щ'(г0 + й) и щ'(г0 + Ь). имеют вид с™, с""® и с'ть. Здесь m = qmb, где ^^1 — некоторое целое. Кроме того, £(с"”«)< <£’(с'”)<£'(с"п»)-

Положим £'(с) = х, Е^=у,!. Тогда т^' <^Чпьи<.тьи', и, следовательно,

О < (х'/х — ^) < <ть1т^ — 1) ^2 < (mj/m^ — 1) (х'/х).

Мы получим требуемое противоречие с предположением о том, что существует лишь конечное число однократных замкнутых геодезических, если сможем показать, что ть!та-^-\ при г0->-сх). Заметим, что есть лишь конечное число отношений х'/х > 1.

Из (*) (i) получается оценка

а(ть — Ша) — p^indc"”» — indc"”» =

= dim w* (r0 + b) — dim w* (r0 + a) ^ d (s + 1), где d = 2|X|, a x — образующая минимальной нечетной степени в минимальной модели ЭЭТ(УИ) многообразия М. Поэтому

ть/та ^ (d (s + 1) + ^/ата + 1.

Но та-*-со при гй-^со. Это следует из (*) (п) и того, что dimtw' (r0 + a)= indc"71®^ dimo/(г0), a dim&y'(r0) растет линейно по г0-

Рассмотрим теперь общий случай, т. е. случай, когда на М есть конечное число однократных замкнутых геодезических {ci, ... ..., с$} и все их кратные повторения ф лежат на изолированных критических S-орбитах S. с™. Снова предполагаем, что при каждом / найдется такое m^l, что indc^>0.

Для каждого /, 1 ^j^s, существует конечное множество М* (_Cj) = \т*, .... /и*(/)} целых чисел, обладающее таким свойством (см. 4.2.5, 4.2.6): для каждого кратного повторения ф геодезической су существует такое корректно определенное т* е еМ*(ф что m = qm*, где g 3^1—целое; кроме того, характеристическое многообразие Wca^*^ геодезической ф* изометрично характеристическому многообразию №сфф^ геодезической ф.

Действительно, отображение е •—* е», определенное на окрестности D^S-ф*') S-орбиты 5.ф\ отображает D^S-ф*^ в окрестность Ьф.ф^ S-орбиты S.ф. В подходящих метриках на

этих окрестностях ограничение этого отображения на Wco(c*p*^ является изометрией между №co(cj”*) и Wca(c^. В частности, 6? «) = №)•

Пусть т* \с^ — наименьшее общее кратное элементов множества М* (cj).

Фиксируем теперь некоторое некритическое значение х*>0. Конечное число критических орбит, лежащих в ЛХ*Л1 — Л°Л1, обозначим через S.cai 1^а^а0. Положим £(са) = ха.

Рассмотрим открытые окрестности 22 в Лх*“ критического множества в ХН‘М вида

М = ХЕ«М U (J^ (S .Са).а

Здесь е0>0 столь мало, что Ле»Л1 можно ретрагировать на Л°Л1 с помощью деформации <р$, s->-oo (см. 1.4.15); 22а = 22 (S . са)— такая открытая S-инвариантная окрестность S-орбиты S. са, что 622 (S . са) = U (S . 6са). Все Ua попарно не пересекаются. Кратность элемента из Ua является делителем кратности т(са) геодезической са.

Ясно, что такие окрестности существуют и образуют фундаментальную систему окрестностей критического множества в ЛХ‘Л1.

Мы хотим рассмотреть некоторые возмущения g римановой метрики g на М. Последнее означает, что g должна лежать в некоторой окрестности метрики g в пространстве SM римановых метрик на М (см. § 3.3). Соответствующее дифференцируемое многообразие, снабженное римановой метрикой g, будем обозначать через М, а через Ё — интеграл энергии на АМ.

Фиксируем окрестность 22 описанного выше вида и некоторое е>0. Мы будем рассматривать только те возмущения g=g(M, е) метрики g, которые удовлетворяют следующим условиям:

х* не является критическим значением функции Ё на ХМ;

при каждом а критическая орбита S. са из ХМ распадается на конечное число невырожденных критических орбит, которые все принадлежат Иа = 22 (S . са), и значение функции Ё на новых критических орбитах, лежащих в 21 (S . с^, козхжзю отличаться по абсолютной величине от Е (са) = ха меньше, чем на е. Кроме того,

Н* (ХН^М (J 22а, ЛХ="Л1) = И* (Х^~М (J Ка, X^Xfy,

если са имеет вид ф, то кратность т любой из принадлежащих 22а невырожденных замкнутых геодезических из ЛЛ4 такова, что целое число т/т делит наименьшее общее кратное т* (cj) элементов из М* (с/). В частности, т/т^т* (cj).

Доказательство того, что действительно существуют возмущения g = g(M, е), обладающие свойствами (а), (Ь) и (с), может быть получено с помощью методов и результатов § 3.3. В самом деле, (а) и (Ь) немедленно следуют из 3.3.7. Убедимся, что условие (с) также выполнимо. Для этого фиксируем /. Из определения т* (cj) следует, что характеристическое многообразие ^са [c^^i^ геодезической с™*^ имеет максимальную размерность среди всех характеристических многообразий WeJc^Y trite. S М* (Cj\

С помощью подходящего возмущения g метрики g мы можем заменить критическую орбиту S. с"* ^ некоторым количеством невырожденных критических орбит S. с, которые все принадлежат выбранной окрестности M^S.c"*^^. В этом случае мы также будем говорить, что Wca ^с"1* ^) разрешается в S.c.

Фиксируем некоторое целое ^0^=1- Если g достаточно близко к g, то Wca (с^’М) при всех q^q6 разрешается в конечное число критических невырожденных орбит, лежащих около S.c^'M. Фактически эти орбиты будут образами S.c9 при отображении е*-*е9 невырожденных критических орбит S.c, находящихся вблизи S . е™* ^.

Пусть т*еМ*(с}у, тогда т* (с/) = рт*, где р — положительное целое. Рассмотрим отображение окрестности D (s . с”1*) орбиты S . с™* в окрестность D (S . с“* М), определяемое соответствием et—>ep. При этом отображении ТСа^^ переходит в подмногообразие многообразия ^са^*^^. Следовательно, если при замене g на g многообразие Wco (с™* ^ разрешается в некоторое число невырожденных критических орбит S. с, лежащих около S. с™* W, то мы можем предполагать, что одновременно Wco Icy*) разрешается в лежащие вблизи S . с”' невырожденные критические орбиты S.c(m*), которые при отображении ен-*е₽ переходят в орбиты вида S . с г И (S . сУ*^^. В частности, р- (кратность с(т*) делит т* (с,\ Таким образом, при всех су, где т не превосходит некоторого т0 и m — m*q, принадлежащие Z/(S.c^ невырожденные критические орбиты из ЛМ, получающиеся при разрешении \Vса (су^ WЦ^у имеют такую кратность т, что т/т делит т* (с^).

Это завершает доказательство того, что возмущения g метрики g, удовлетворяющие условиям (а), (Ь) и (с), существуют.

Согласно 4.2.5 и 4.2.6, для каждого /е {1$}существует

такое i0(/), что из i>z0(/) следует, что 6®^) = 0 при всех т. Положим io = sup i0(/). Из 4.2.4 следует, что если t>i0 и Ь^ф^Ф N= 0, то

(**)0 < tnd срt Ind ср +10.

Рассмотрим конечное множество К таких действительных чисел > 1 вида (m^x^/Qn^x^, что mt делит т* \с^ и mt делит т* (сг). Выберем Хе К и целое 7^=1 так, чтобы X— д2 было положительно и одновременно являлось минимальным среди чисел вида X — ^2>0, Хе К- Пусть X = max{Хе К}, d = 2|X|, а а>0 и р>0 такие же, как и выше. Выберем целое /Мо>О так чтобы (t)[((d(S+l) + i0 + P)/am0+l)2-l]X<X-^.

Существует такое I* ^ ia, что если 1>1* и fe^c^^O, то т^т0. В самом деле, согласно (**) и (*) (ii), 0<(i — io)/А^т. Выберем i*^ AmoA-io- Существует также такое целое го^О, что при г^г0 выполняется неравенство dim оу* (r)> i*.

Рассмотрим ^'(/"о + О» O^z^s. Выберем некритическое х*> >0 так, чтобы носители цепей щ'(го + О принадлежали Л.Х*~М. Для этого х* выберем, как и выше, окрестность И критического множества из Лк* и для малого е>0 рассмотрим возмущения £ = £(#• е) римановой метрики g на М, обладающие свойствами (а), (Ь) и (с).

Как первое следствие мы получаем из 4.3.4, что для каждых щ'(го + 0» ^Оо + О, O^i^s, замкнутые геодезические с' (г0 + 0 и с(го + О на М удовлетворяют условиям 4.3.4 (i) и (ii). Каждая из этих геодезических принадлежит корректно определенной окрестности 11 (S. са) одной из критических орбит S. са из

Существуют такие целые числа а и 6, 0^a<.b ^s, и с' е е {S . с-ь .... S .с,}, что

с' (г0 + а) е U (S . с,т^\ с* (г0 + b) е И (8 . с"”»).

Пусть c(r« + &)s U (S .с”), cejS.Cj, ..., S . с,}. Положим Е (с') = х', Е (с) = х. '

Кратности та, ть и т геодезических c'(r0 + «), с'(г0 + ^) и с^ГоА-Ь) удовлетворяют соотношениям

та=тат"*, ть = тьт'*, т = тт*.

Здесь т"* и. т'* принадлежат множеству М* (с') и поэтому делят т* (с'У, т* принадлежит М* (с) и, следовательно, m*|/n*(c). Свойство 4.3.4 (i) устанавливает, что

(t t)£-(?(r0 + a))<5(c(r0 + 6))<£(?(r0 + 6)),

а согласно свойству 4.3.4 (ii) существует такое целое ^^1, что т = qmb.

Так как е в g^l, е) можно выбрать произвольно малым, то из (t t) мы можем заключить, что

f (с^о) = т^х' < Е (ст) = т?х = 92т^т*2х =

= q4mb (т*4/т’*4) х<^Е (с'ть) = mbx' = m^m'*2x'.

Поэтому

1 ^^2</n'*2x7m*2x; т'*4х'/т*4х<q4 (ть/ШаУ

Следовательно,

ш'(г04-а) определяет локально возле с' (Го + а) нетривиальный цикл размерности dim w', (r0 + ay Из свойства (Ь) возмущенной метрики g следует, что типовое число Ь, (с"”0) геодезической с,т» в размерности i = dim а/ (г0 + а) не равно нулю. Аналогично 6/(с,т»):?<=0 при / = dima>'(г04-а). Поэтому из (**) следует, что

dim w', (r0 + а) ^ ind с""» + i0; ind с'ть ^ dim ад' (г0 + 6).

Из (*) (i) мы тем самым получаем

а^Шь — №«) — Р — io ^ ind б’ть — indo’m« — i0 ^

^ dim w'# (го + b) — dim w', Vo + n) ^ d (s +1).

Следовательно, так как т0^то,

ть/та ^ (d (s + 1) + io + P)/(“mo) + 1 •

Вместе с (t) это противоречит соотношению (§). О

Добавление к § 4.3

Минимальная модель рационального

гомотопического типа многообразия ЛЛ1

Джонатан Сакс

Дифференциальная градуированная коммутативная алгебра (над (Q) (сокращенно ДГА) —это такая градуированная алгебра

е^ = ф е^ь

fe>0

вместе с дифференциалом степени +1

d: ет^ -^ет#, что

(!) ху = (—\)ы ух {x^@^k, уе^'у,

(И) d (ху1) = dx • у-V —1У х ■ dy (х е e^hy

d2 = 0.

Если @^ —ДГА, то через /(е^) = ф е^А обозначим идеал элементов положительной степени.

ДГА 9)1 называется минимальной, если

9)1 свободна как градуированная коммутативная алгебра (и, следовательно, 3)1 является тензорным произведением некоторой алгебры полиномов с образующими четной степени и внешней алгебры с образующими нечетной степени);

di (9)1) с / (3)1). / (3)1).

Через \t, dt\ обозначим (Q[/] ® (Q[l] dt, т. е. полиномиальные формы от одной переменной t степени 0. Два отображения (морфизма) ДГА

(1 = 0, 1)

называются гомотопными, если существует отображение ДГА а^ — <^9®{1, dl}, такое, что ft^F^-t (1 = 0, 1). (Через F|z_0 мы обозначаем композицию F с отображением ДГА ^9® {/, d<}->&®, которое получается, если положить t = O = dt.')

А.1. Теорема. Отношение гомотопии между отображениями ДГА является отношением эквивалентности.

Для данного абелева гомотопического типа X (см. (60)) выберем рациональный полиэдр, представляющий рациональный гомотопический тип X *). На этом рациональном полиэдре можно опре-

*’ В этом месте можно взять произвольный симплициальный полиэдр из X (или из соответствующего рационального гомотопического типа). Но во гторой половине формулировки 4.3.Л.2. нужна рациональность этого полиэдра.

делить ДГА над (Q, состоящую из кусочно-полиномиальных форм с рациональными коэффициентами; ее мы будем обозначать через ет^Р £ (X). В классе эквивалентности ДГА е^рд.ДХ) (где эквивалентность есть гомотопическая эквивалентность между ДГА) содержится единственный (с точностью до изоморфизма) минимальный представитель. Эта минимальная ДГА называется минимальной моделью для е^р/. (X) и обозначается через 3)1 (X).

Отображение f: X->Y индуцирует отображение f*; ^p.l. (У) —>- е^p i (X), получаемое с помощью «обратного переноса» кусочно-полиномиальных дифференциальных форм. В свою очередь отображение f* индуцирует отображение f: 3)1 (У)->- ЗЛ (X), гомотопический класс которого зависит только от гомотопического класса отображения f.■

Основной относящийся сюда результат следующий.

А.2. Теорема (Квиллен, Сулливан). Имеет, место эквивалентность категорий

{абелевы рациональные гомотопические типы{ «-*

{ДГА над Q по модулю гомотопической эквивалентности^.

Эта эквивалентность категорий устанавливает соответствия {рациональное пространство X}«-» ЗЛ (X);

^отображения X -^ ^} «-* {f: ЗЛ (У) -> ЗЛ (X)}, где { } обозначает гомотопический класс. Доказательство см. в работе Фридлендера, Гриффитса и Моргана [1].

■ Имея две ДГА е^- и ^8, можно следующим образом превратить их тензорное произведение (как векторных пространств) в ДГА.

Введем сначала в е^®^8 градуировку, полагая *> deg (а® Ь)= ==dega + deg6, где аее^ и b е Si — образующие.

Для того чтобы определить умножение на е^®^8, достаточно сделать это для образующих, а затем очевидным образом распространить его на все е^®^8. Итак, пусть ah ^ее^ и Ьг. Ьйе^3 — образующие. Положим

(«1 ® ^1)-(а2 ® Ь2) = (—l)de8b*-de8a=ti1O2 ® ЬгЬ4.

Пусть d^ и d,® — дифференциалы соответственно в е/ и в Д Определим дифференциал d в е^®^8, полагая

d = d^® id4-e^ ®d^,

где на однородных элементах е^(а) = (—\уееаа. Легко проверить, что со всеми этими определениями @^ ® ^8 удовлетворяет всем аксиомам ДГА.

** Степень однородного элемента х теперь обозначается degx, а не |х|, как раньше.'

10 В, Клингенберг-

Пусть М — односвязное многообразие и ЭМ(Л1) — ДГА над Q с образующими {л^ем и дифференциалом d. Пусть е^ —ДГА над (Q с образующими {х,, хг}1ец, где степень Xt на единицу меньше степени х,. Распространим - на всю ЭИ (М) как действующую справа производную и определим дифференциал в.е^, полагая, что на образующих без черты он действует так же, как и в ЭИ (Л4), а на образующих с чертой — по формуле dx{ = dxt.

А.З. Теорема, е^ изоморфна как ДГА минимальной модели ЭИ (ЛЛ1)..

Теорема доказывается с помощью следующего предложения.

А.4. Предложение. Пусть {е\ — минимальная модель рационального гомотопического типа окружности S1, т. е, {е} есть ДГА над Q, порожденная одним элементом е степени 1 и de=0. - Тогда существует такое отображение ДГА

Ф: 9И(М)->е^0{е},

что для любой ДГА 33 и любого отображения ДГА Т: ЭИ (Л1)->. -> 33 0 {е} существует единственное отображение ДГ A Y: о^-^-ЗЗ, при котором следующая диаграмма становится коммутативной;

Доказательство предложения. Определим Ф на образующих, полагая ф(х<) = х<01 + ^0е, и продолжим его очевидным образом на всю ЭН(Л4) как отображение алгебр.

Прежде всего мы должны показать, что Ф является отобра-' жением ДГА, т. е. коммутирует с дифференциалами. Легко видеть, что для этого достаточно доказать, что Ф коммутирует с дифференциалами на образующих. Пусть х е ЭИ (2И)— образующая, и пусть

dx= У, а11 ... tXix... xir, где а^... , еЦ.

(Ч‘А

Тогда

d (Ф (х)) = d (х ® 14-x0e) = dx014-dx0e =

У- ач - -А ••• х‘г1 +.

\(>1> •■•.',)/

।% 1. de, х«j х •\

+ S а<г...-rS (—!)/+1 rXix...xt Xi.;..xir ®e,

\(‘iV)/=1/

так как - действует как производная справа. Далее,

Ф^х)=ф/ У aii...ifxix...xt \= У а^.-дФ^у.-Ф^^

ЧЧ-^/ ('1<г)

= У ач-1 (^1®1 + ^1®е)---(^г® 1 + ^г®е) = (гг-'V)

Vv - • ^

+ ( 5аЧ ■ • • ir У1 )deg*‘“*Xlrxtv.. Xi Xi Xi ... хЛ® e,

так как e° = 0. Множитель (—1) 7+1r возникает из

определения умножения в @^ 0 {е}. Таким образом, как и утверждалось, для каждой образующей Xi имеем dФ (ха = Ф (dxi). Теперь мы покажем, что пара (@^ 0{е},Ф) обладает указанным в предложении универсальным свойством.

Пусть W: ®i (М) -> S8 0 {е} — отображение ДГА. Для каждой образующей Xi е ЭЛ (Л4) ее образ ¥ (xt) единственным образом. записывается в виде Y (ха = b, ® 1 + bi 0 е, где 6,- 0 1 — компонента ¥ (ха, не содержащая множителя е, а Ь,0е —компонента Ф (х^, содержащая этот множитель.

Определим Ф: а^-*-?® на образующих, полагая

W^-bi, Ф(^) = Ьь

и продолжим это отображение как отображение (морфизм) алгебр на всю е^. Ясно, что Ф — единственное отображение алгебр, такое, что (Ф 0 id)»Ф = Ф.

Далее, для каждой образующей xt г ЗЯ (Л4) имеем Ф (dx^ = ' = d^xi'), так как Ф — отображение ДГА. Но

Ф (dx,) = (Ф 0 id) (Ф (dx;)) = (Ф 0 id) (d (Ф (X,))) =

(так как Ф — отображение ДГА)

= (Ф 0 id) (dxi 0 1 + dx, 0 е) = Ф (dx£) 0 1 + Ф (dx,) 0 е,

в то время как

d (Ф (х,)) = d ((Ф 0 id) (Ф (х^ = d ((Ф 0 id) (xt 0 1 + Xt 0 e)) =

= d (Ф (X.) 0 1 + Ф (xO 0 e) == dФ (xO 0 1 + d (Ф (xa) 0 e.

Отсюда следует, что

Ф(dxa=dФ(xa и Ф(dxa=dФ(xa

для всех образующих х^ X, из е^, т. е. Ф — отображение ДГА. □ 10*

Доказательство теоремы. Пусть ev\ AMxS1-*M — отображение значений:

еи (с, /) = с (О для с е ЛЛ1 и < е S1.

Пара (AAlxS1, со) обладает следующим универсальным свойством*1..

Пусть X — произвольное пространство и /: XxS1 -*М — произвольное непрерывное отображение. Тогда существует единственная непрерывная функция f: Х^-АМ, такая, что следующая диаграмма коммутативна:

АМх8х

/xid

XxS1

Очевидно, f определяется равенством f (z) (/) = f (г, О- -

Возьмем теперь в качестве X рациональный гомотопический тип Хл, соответствующий о^ в только что доказанном предложении, а в качестве f любое непрерывное отображение /ф, соответствующее Ф: ЗИ (уИ)->е^ ^ {е} при эквивалентности категорий, о которой говорится в теореме Квиллена и Сулливана. Согласно той же теореме, эта коммутативная диаграмма порождает гомотопически коммутативную диаграмму в категории ДГА над Q:

9Л(АМ)®{е}

где отображение ДГА ЧГ(,Т1 получается из со, а отображение ДГА Ф 0 id получается из f 0 id. Рассмотрим диаграмму

ЯП (Л/)

X SR(AA/)0{e}

ф® id

^®{е}

*' Как видно нз следующего абзаца, под .ЛУИ сейчас понимается C°(S, УИ), что законно ввиду 1.2.10.

где — единственное отображение ДГА (его существование гарантируется доказанным предложением), при котором верхний треугольник становится коммутативным. Так как нижний треугольник гомотопически коммутативен, то диаграмма

дП(Л^_♦>^®$.

j/®{e}' '

также гомотопически коммутативна. ..

Из предложения следует, что (Ф - Т^) 0 id гомотопно id0id, откуда в свою очередь вытекает, что Ф^,: е^-> ЯИ (ЛЛ1) — гомотопическая эквивалентность. Так как 3)1 (ЛУИ) — единственная (с точностью до изоморфизма) минимальная ДГА в своем гомотопическом классе, а минимальна по построению, то е^ изоморфна как ДГА алгебре 3)1 (ЛЛ1). □

Несколько теорем о существовании в типичной ситуации

В § 4.3 мы доказывали существование бесконечного числа замкнутых геодезических, проводя подробный анализ комплекса Морса многообразия ЛУИ. При этом мы нигде не использовали геодезический поток, за исключением формулы Ботта 3.2.9, выражающей индекс кратной замкнутой геодезической через р-индекс.

Теперь мы хотим показать, как можно воспользоваться типичными свойствами геодезического потока, установленными в § 3.3, для доказательства того, что в типичном случае существует бесконечно много замкнутых геодезических.

Конечно, это утверждение слабее, чем теорема 4.3.5. Но его доказательство несколько проще, и, помимо этого, при некоторых условиях из него можно получить информацию о существовании бесконечного числа замкнутых геодезических около заданной геодезической эллиптического типа. Этот результат предвосхитили в своих ранних работах Пуанкаре и Биркгоф.

Снова решающую роль играет соотношение делимости (И) из нашей фундаментальной леммы 4.3.4. Другими нашими средствами будут классы Сулливана и, что наиболее важно, теорема Бирк- гофа —Льюиса о неподвижной точке 3.3.3. В самом конце мы докажем, что у четномерных многообразий неотрицательной кривизны с нетривиальной фундаментальной группой есть негиперболические замкнутые геодезические. Это подкрепляет нашу гипотезу о том, что в общем случае на многообразии с конечной фундаментальной группой не все замкнутые геодезические обязательно гиперболические. Доказательство этого факта весьма просто и не требует применения тонкой фундаментальной леммы.

Результаты этого параграфа (за исключением теоремы 4.4.6) изложены в работе Клингенберга [16].

Мы рассматриваем введенные в § 4.3 классы гомологий w* (г), г = 1, 2, ..., двойственные некоторым классам когомологий Сулливана. Напомним, что ну* (г) двойствен либо классу х л х^, либо ёх л хг л... л ёь

Лемма. Пусть М — компактное односвязное риманово многообразие. Предположим, что все замкнутые геодезические на М гиперболические (см. § 3.2). Тогда при каждом r = 0, 1, ... существует однократная ' замкнутая геодезическая с' (г) индекса dim о/ (г). Она строится с помощью чу' (г) так же, как и в 4.3.4.

Замечание. Кажется маловероятным, чтобы на компактном односвязном римановом многообразии М все замкнутые геодезические могли быть гиперболическими. Действительно, Пуанкаре [1] показал, что в окрестности стандартной метрики g0 на S2 существует открытое множество таких метрик g, что у (X2, g) есть эллиптическая геодезическая, длина которой приблизительно равна 2л. См. также 4.4.6. Торбергсон недавно обобщил эти результаты

С другой стороны, если кривизна М в каждой точке по любому двумерному направлению отрицательна или, более общо, если геодезический поток на касательном расслоении многообразия М является потоком Аносова, то все замкнутые геодезические будут гиперболическими. Заметим, однако, что в этом случае фундаментальная группа весьма велика, а именно имеет экспоненциальный рост (см. Аносов [1], Клингенберг [12], § 5.3)**'.

Доказательство. Согласно предположению, все замкнутые геодезические на М. невырожденны. Поэтому так же, как в 4.3.4, при каждом г —О, 1 ...мы можем построить замкнутые геодезические с (г) и с'(г) с индексами dim оу* (г) и dim чу* (г) соответственно, такие, что кратность т' (г) геодезической с' (г) делит кратность m(r) геодезической с (г).

Теорема 3.2.12 дает простую формулу для индексов гиперболических замкнутых геодезических с(г) = Со(г)'"(/') и с' (г) = = с'(1(гУп''г1. Из этой формулы получаем

т (г) ind с0 (г) + 1 = т' (г) ind с'о (г).

*’ См. Грюнталь [2], Торбергсон [3], Бальманн, Торбергсон и Циллер [1].

**' Легко доказать, что у потока Аносова число периодических траекторий с периодом ^ Т экспоненциально растет с ростом Т. А из § 5.3 следует, что если геодезический поток является потоком Аносова, то в каждом нетривиальном классе сопряженных элементов фундаментальной группы имеется ровно одна замкнутая геодезическая.

Поэтому из т* (г) | т (г) следует, что т' (г) = 1, и тем самым теорема 4.4.1 доказана. □

Пусть S = SM — пространство римановых метрик на компактном односвязном дифференцируемом многообразии. Рассмотрим следующие его подмножества ■

Sh = множество таких g, что (М, g) имеет лишь гиперболические замкнутые геодезические;

ST = множество таких g, что (Л1, g) имеет по крайней мере одну замкнутую геодезическую закручивающего типа, т. е. этой замкнутой геодезической отвечает закручивающее отображение Пуанкаре (см. § 3.3). Ясно, что ST открыто.

Как уже было сказано выше, SH, по-видимому, пусто. Внутренность SH обозначим через SH.

Теорема. Пусть М —компактное односвязное дифференцируемое многообразие. Тогда S: =ShU^t является открытым и плотным множеством в S — SM. В частности, если SH пусто, то в S существует такое открытое и плотное подмножество S, что при каждом geS на М = (М, g) имеется по крайней мере одна такая однократная замкнутая геодезическая с0, что в каждой окрестности иммерсированной окружности с0 (S) на М существует бесконечно много однократных замкнутых геодезических с0 №. k = 1, 2 ..., длины которых стремятся к бесконечности.

Замечание. Особый интерес представляет вторая часть этой теоремы, где утверждается, что существует бесконечно много однократных замкнутых геодезических на М, которые группируются вокруг одной замкнутой геодезической с0 на М. Это явление происходит каждый раз, когда появляется замкнутая геодезическая закручивающего типа. Есть надежда, что когда- нибудь удастся доказать существование в типичной ситуации столь большого числа замкнутых геодезических закручивающего типа, что замыкание тех X6GTtM, которые соответствуют периодическим траекториям геодезического потока в ТгМ, имеет положительную меру. Как частичный результат в этом направлении можно рассматривать 3.3.4 вместе с приведенной ниже теоремой 4.4.6 в применении к проективной плоскости с метрикой положительной кривизны.

Доказательство. Ясно, что S открыто. Оно также и плотно. В самом деле, в дополнении к множеству Sh всюду плотны такие метрики g г S, для которых (М, g) имеет по крайней мере одну замкнутую геодезическую с, такую, что для нее отображение Пуанкаре Рс не гиперболическое. Из 3.3.8 видно, что каждую такую' метрику можно сколь угодно близко аппрокси-

мировать метрикой, имеющей замкнутую геодезическую закручивающего типа. Остальная часть доказательства следует из 3.3.3. □ ■ Укажем теперь еще одно остаточное множество £* из ЗМ, которое может оказаться полезным в дальнейшей работе над типичными свойствами замкнутых геодезических. Оно использовалось в работе Клингенберга [16] для доказательства типичности существования бесконечного числа однократных замкнутых геодезических.

Пусть §ез. Для каждой замкнутой геодезической с на (Af, g) рассмотрим соответствующее линейное отображение Пуанкаре Рс. Собственные значения отображения Рс, равные по модулю 1, запишем в виде e±2nto, 0^а^1/2. Напомним, что а = 0 означает, что с вырожденна, см. 3,2.12..

Обозначим через А(М, g) множество всех чисел а, определенных таким способом для всех замкнутых геодезических с на ^М, g). Рассмотрим следующее свойство метрики g на М:

(а) множество А (М, g)U{l} свободно над.

рациональными числами.

Иными словами, все яе А (М, g) иррациональны и любая конечная система таких а линейно независима над Q.

. Заметим, что риманова метрика g, удовлетворяющая условию (а), имеет только невырожденные замкнутые геодезические. Метрики с этим последним свойством Абрахам [1] назвал бугристыми. Поэтому ■ для метрик, удовлетворяющих условию (а), напрашивается название сверхбугристые.

Лемма. Множество S-^, состоящее из римановых метрик, удовлетворяющих условию (а), содержит остаточное подмножество.•

Доказательство (см. Клингенберг [16]). Для каждого целого т > 0 рассмотрим следующее свойство:

если !,ka; аеА(М, g)}—такое семейство

(ос, т)

' целых чисел, что 1 ^ У | ka | ^ т, то У коа ^ Z. .аа

Заметим, что при выполнении (а, т), в частности, ни для какой с ни одно собственное значение отображения Пуанкаре Рс не является корнем степени т из единицы.

Ясно, что (а) является пересечением свойств (а, т) по всем m е Н Поэтому достаточно показать, что множество & (а, т), состоящее из римановых метрик, удовлетворяющих (а, /и), содержит остаточное множество. ■

Для этого будем действовать так же, как и при доказательстве 3.3.9. Рассмотрим свойство

х ■ все замкнутые геодезические с, для которых (а, т, х) „, %

Д(с)^х, удовлетворяют (а, т\ Покажем, что

. множество ^ (а, т, х) с: ^ метрик, удовлетворяющих (а, т, х), плотно;

^(а, т, х) открыто.

Для доказательства (i) напомним, что множество метрик, у которых все замкнутые геодезические невырожденны, плотно (см. 3.3.9). У такой метрики при каждом х существует лишь конечное число замкнутых геодезических, лежащих в Д’*. Из этих геодезических мы получаем конечное число условий на множество А (М, g). С помощью возмущений того же типа, что и в доказательстве 3.3.9, мы можем .сколь угодно хорошо приблизить метрику g элементами из ^(а, т, х).

Для доказательства (ii) напомним, что если у метрики g все замкнутые геодезические с 0 < Е х невырожденны, то существует такое е>0, что ни у g, ни у достаточно близкой к g метрики нет новых замкнутых геодезических с 0<Д<х-|-е, а «прежние» замкнутые геодезические (замкнутые геодезические g с O^fsCx) при малом изменении g непрерывно изменяются. При этом для них сохраняется открытое и инвариантное свойство (а, щ). □■-

Для нашего следующего результата нам понадобится понятие среднего индекса геодезической с. Будем обозначать его через 1С, Определим 1С для замкнутой геодезической с как-

■к= lim ^^

где /cm = indem (см. Ботт [3])..

Мы должны показать, что этот предел существует. Это, а также формула для /с содержится в 3.2.15 —в принятых там обозначениях /с = ас.

Пусть Р = РС — отображение Пуанкаре, соответствующее замкнутой геодезической с. Напомним, что через (р/, ру) = (еМа/, e—totai\ \ s^j^l — X, мы обозначили те собственные значения отображения Рс, которые равны по модулю единице. При этом

Оо = 0 ^ аг <... < at_T ^at^ 1/2.

Пусть ICi; — значение p-индекса /с(р) для p = enta, а,ч<а<а,',

Предложение. Средний индекс замкнутой геодезической с равен ‘<—2

1 с = 1с, I 2 2 й/ <1 с, у+11С1 j).

/=1

Доказательство. Из 3.2.15 имеем -

/с = ас = 2 ^ 7с,Дау-аЛ1).

/=1

Далее положим аЕ = 1/2. □

Теперь мы в состоянии доказать следующую теорему.

Теорема. Пусть М — компактное односвязное дифференцируемое многообразие и Ь* — подмножество пространства §, состоящее из тех римановых метрик g на М, у которых показатели отображений Пуанкаре, соответствующих замкнутым геодезическим на (/И, g), свободны над рациональными числами-, см. (а). Тогда S* содержит остаточное подмножество.

Если g* е^*, то из леммы 4.3.4 и предложения 4.4.4 о среднем индексе следует, что на (/И, g*^ есть бесконечно много замкнутых геодезических. '

Доказательство. Мы выведем противоречие из следующего предположения: существует такая последовательность целых чисел {г,}, что если с(гО и с'(г,) — геодезические, построенные в соответствии с леммой 4.3.4 по циклам w* ^г^ и их гомотопиям w*(r;), то с (г,) и с'(г,) являются повторениями ровно двух однократных замкнутых геодезических с и с' соответственно. Ясно, что отсюда следует теорема.

Для получения противоречия рассмотрим геодезические с (г,) = = ст« и с' (г;) = с"4, где тЕ = qEmE, qt — целое и Е(с(гЕ)) = т^Е (с)< <Е(с' ^У^тТЕ (с').

Ясно, что с^с'. Мы утверждаем, что последовательность {^} ограничена. В самом деле, согласно 4.2.7 (см. также 3.2.15), существуют такие а > 0 и Р ^ О, что

qEmEa — р + 1 =^ ind cq*mi + 1 = ind ст‘.

С другой стороны, из 3.2.15 следует существование таких а', Р'^0, что indc'^^a'm^ + P'. Поэтому ^г^(а' + Р' + Р)/а, т. е. последовательность {</,} ограничена.

Следовательно, перейдя к подпоследовательности, которую мы снова будем обозначать через {i}, можно считать, что mE = qmE. Тогда из равенства ind с'(г,) = ind с (г,) + 1 мы получаем, что qlc = lc,, или, применяя 4.4.4,

2^ 2 щМ, -qh — 2^ a'j.Mj. - Гу,i i'

где M), 11, Mp и Гр — целые числа. Из предположения о рациональной независимости показателей следует, что Mj и М'г все равны нулю. Следовательно, если р не является собственным

значением отображения Рс, то /с = 1С (р), а если р не является собственным значением отображения Рс-, то 1С- = 1С- (р).

Так как ни Р„ ни Рс- не имеют собственных значений, которые были бы корнями из единицы, то при всех i получаем

i nd cmi + 1 = mjc + 1 = tn'ile, mt = qm'i,

что означает противоречие. □

Мы закончим этот параграф частным результатом о существовании негиперболических замкнутых геодезических. Напомним, что St — это открытое подмножество в пространстве S = SM римановых метрик на компактном дифференцируемом многообразии М, состоящее из таких метрик g* е ST, что на (Л4, g*) есть закручивающие замкнутые геодезические. Согласно 3.3.3, (Л1, g*^ имеет бесконечно много однократных замкнутых геодезических.

Теорема. Пусть (М, g) — неодносвязное риманово многообразие четной размерности с кривизной К^й и с — такая негомотопная нулю замкнутая геодезическая, что на ней достигается минимальное значение функции Е в свободном гомотопическом классе этой геодезической. Согласно 2.1.3, такие геодезические' существуют. Тогда с не является гиперболической. Значит, метрика g принадлежит замыканию множества St. В частности, g может быть приближена такими римановыми метриками g*, что на {М, g*^ есть бесконечно много однократных замкнутых геодезических.

Доказательство. Так как минимальное значение функции Е достигается на с, то индекс с равен нулю. Пусть с = с2 —дважды пройденная геодезическая с, т. е. с(/) = с(2/), ieS. Тогда с ориентируема. Это означает, что при параллельном перенесении нормального слоя над точкой OeS иммерсии

5->Л1, ti—>c(f)

вдоль с (0 в точку 1 = 0 е S полученное линейное преобразование слоя является элементом специальной ортогональной группы SO (2m— 1), 2m = dim M. Следовательно, вдоль с(0 существует такое параллельное периодическое векторное поле £ (О, что Н(01 = 1. (КО. с(0>0 И VB(O=O. ,.

Так как (R^W, с (О, с(0), Ш = К(£, 'c)(t)]c(t)\^O (где К (|, с) —кривизна в двумерном направлении, определяемом векторами g, с), то

ОЧЦЬН1, ^—Д^Ш. ЦП, сШ ^^)dt^O.

о

Равенство достигается, только если К^, с)(/) = 0. Тогда, в частности, |(0 — периодическое поле Якоби и, следовательно, с вырожденка *).

Если бы теперь с была гиперболической, то и с должна была бы быть гиперболической, а не вырожденной, вопреки доказанному. □

Замечание. Пусть М — компактное многообразие произвольной размерности (не обязательно четной) и ^>0. Тогда при достаточно большом т повторение ст геодезической с будет содержать сопряженные точки и, следовательно, иметь положительный индекс. Поэтому если indc = 0, то с не может быть гиперболической. Это доказывает существование негиперболических замкнутых геодезических на М в предположении, что М неодносвязно.

*’ Такое же рассуждение используется при доказательстве теоремы Синга: замкнутое риманово многообразие четкой размерности, кривизна которого положительна (во всех точках и по всем двумерным направлениям), односвязно.

Глава 5

ДРУГИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В этой главе мы собрали дополнительные результаты о замкнутых геодезических. Мы начнем с доказательства теоремы о трех замкнутых геодезических. Эта теорема является обобщением на произвольные компактные односвязные римановы многообразия классического результата Люстерника и Шнирельмана [1], доказавших существование трех замкнутых геодезических на поверхности рода сферы. -

Суть этой теоремы состоит в том, что всегда существуют по крайней мере три относительно короткие замкнутые геодезические, — заметим, что в гл. 4 ничего не было сказано о соотношениях между длинами геодезических и другими геометрическими величинами на многообразии.

В § 5.2 мы собрали несколько результатов о компактных односвязных многообразиях специального вида, таких, как симметрические пространства, пространства, у которых все геодезические. замкнуты и имеют одинаковую длину, многообразия, на которых геодезические потоки имеют дополнительные интегралы (такими многообразиями являются, например, поверхности Лиувилля). . -

В § 5.3 мы приводим подробное описание геодезического потока на многообразиях гиперболического типа. Типичными примерами таких многообразий являются многообразия, допускающие метрику строго отрицательной кривизны.

Этот параграф мы закончим результатом о многообразиях, которые накрываются торами.

Теорема о трех замкнутых геодезических

В 1929 г. Люстерник и Шнирельман [1] доказали, что на произвольной поверхности топологического рода 2-мерной сферы всегда существуют три замкнутые геодезические без самопересечений. Подробное доказательство их результата было дано значительно позже Люстерником [1]. '

z Доказательство Люстерника и Шнирельмана существенно использует теорему Жордана для двумерной сферы. Мы дадим обобщение их теоремы на произвольные -компактные односвязные многообразия. Доказательство основывается на соотношении делимости того же типа, что и соотношение, установленное, в 4.ЗА

В Нашем обобщенном варианте теоремы не утверждается, что геодезические, о существовании которых идет речь, не имеют самопересечений. Их основное свойство здесь состоит в том, что они сравнительно короткие. В конце параграфа мы докажем результат Морса о том, что в общем случае существует лишь «несколько» коротких замкнутых геодезических.

Мы начнем с построения некоторых цепей в пространстве окружностей на сфере S*. Напомним, что в § 2.3 мы определили в пространствах AS* и FS*, состоящих соответственно из параметризованных и непараметризованных окружностей на S*, структуры векторных расслоений

a: AS*-A°S*-*BS*^l/(2, 6-1),

у: FS*-F°S*->AS*^G(2, 6-1),

стандартным слоем в которых является (6—1)-мерный диск. При этом нам пришлось удалить из AS* и FS* тривиальные окружности A°S* и F°S*.

Отображения а и у ставят в соответствие нетривиальной окружности большой круг, лежащий в плоскости, параллельной той плоскости, в которой находится окружность.

Так же, как в § 2.3, мы считаем, что сфера S* изометрично вложена в евклидово пространство R*+1 с координатами (х0, ... .... хк\

В § 2.3 мы ввели, базис [Яь я2], 0^я1^я2^6—1, Za-roMo- логий пространства AS* = G(2, к — 1). Обозначим через и(аи я2) цикл из FS*modF°S*, который соответствует циклу [аг, я2] при изоморфизме Тома**:

Н,№ к-Х^Н^-у^, PS»).

Другими словами, и (яь а^ есть взятое по модулю F°S* ограничение расслоения на (к — 1)-мерные диски у на цикл [alt а^ из базисного пространства расслоения у. Заметим, что dim^, я2] = = а! + а2 и, следовательно, dim и (Я!, Яа^я^Яг + б—1.

Мы начнем с (k — 1)-мерного цикла и (0, 0). Он может быть записан в виде л-м(0, 0), где .

' n = n|ASft: (AS*, A°S*) -> (FS*, F°S*)

*' В § 2.3 мы писали {oj, а2} вместо v(au а^.

— проекция, а

и(0, 0): (D6-1, dD*-1)-»-(AS*, A°S»)

состоит из параметризованных окружностей, параллельных параметризованному большому кругу (cos2л/, sin 2л/, 0, ..., 0) *>.

Наша следующая цель состоит в отыскании для оставшихся пар (аь а2), O^^^Og^^—1, таких цепей и(аг, а^ из AS* mod A°S*, что л • и (аг, а2) = и (аъ а^. Для этого мы построим несколько гомотопий.

Пусть -фт2, 0 ^ т ^ 1, —продолжение на R*+1 вращения в плоскости (хъ х2) в положительном направлении на угол т-180°, которое на ортогональной (й — 1 )-мерной плоскости является тождественным преобразованием. Определим

м(0, 1): (D*-1, dD^xtO, 1]->(AS*, A°S*),

полагая * * • u (0, 1) (с; т): = ipr2 - и (0, 0) (с).

Имеет место равенство

d«(0, 1) = —9ы(0, 0) —ы(0, 0),

т. е. и(0, 1) —гомотопия, соединяющая ы(0, 0) с —8и(0, 0). В самом деле, отображение

и(0, 1)(с; 0) = и(0, 0)(с)>— 9и(0, 1)(с; 1)

переводит образ и (0, 0) в себя и действует на нем как некоторое отражение ***).

Кроме того, л«ы(0, l) = v(0, 1).

Пусть ф^'3, 0 ^ т ^ 1, — продолжение на R*+1 вращения в плоскости (х2, х3) в положительном направлении на угол т-180°, которое на ортогональной (£ — 1)-мерной плоскости является тождественным преобразованием. Для к— 1>1 определим

и(0, 2): (DMx[0, 1], dD^xtO, 1])х[0, 1]->(AS\ A°S*),

полагая u(0, 2) (с; т^ т) = фт'3 - и (0, 1)(с; гД.

Ясно, что л«п(0, 2) = и(0, 2).

’ Будем считать О*-1 вложенным в R*+1 как единичный диск подпространства хо = х1=О. Тогда при се О*-1

и(0, 0) (с) (#) = К1 — | с |2 (cos 2л#, sin 2л#, 0, ..., 0)-|-(0, 0, с2, ..., с^.

Точке с=0 — центру диска — соответствует большой круг, указанный в основном тексте. Как элемент AS* он является точкой, лежащей в BS*, а и (О, 0) (О*-1—дО*-1) совпадает со слоем расслоения а над этой точкой.

*’ Собственно, здесь следовало бы писать Лф^’2, а не ф*,а. Аналогичные замечания относятся к некоторым формулам ниже.

**' ви(0, 1)(с; 1) = ц(0, 0)(с'), где с' получается из с изменением знака у с2.

Кроме того, имеет место равенство ди(0, 2) = 6u(0, 1) — м (0, 1), в котором мы, конечно, отбросили цепи размерности <.к\

В самом деле, на больших кругах сферы S2 = {хо + яЦ-х|= 1}, начинающихся в точке х0 = 1, преобразование

ы(0, 2) (с; т, 0) = ы(0, 1)(с; т)>—6м(0, 2) (с; т, 1)

действует как отражение в плоскости (х0, х2). А цепь ы(0, 1) в AS* совпадает с прообразом (точнее, замыканием прообраза) при проекции а этого множества параметризованных больших кругов (как точек BS*). Следовательно, на цепи в BS*, образованной этими большими кругами, рассматриваемое отображение меняет ориентацию и имеет неподвижную точку — большой круг, лежащий в плоскости (х0, х2). На слое расслоения а над этим большим кругом (как элементом BS*) рассматриваемое преобразование сводится к некоторому отражению.

Действуя аналогично, мы построим в конце концов гомотопию

и(0, 6-1): (D*-1x[0, I]*-2, dD*-!x[0, ip-2)x[0, 1]->(AS*, A°S*), полагая

и (0, к — 1) (c; тъ ..., т*_2, т) = фт-1, к - и (0, к — 2) (с; тъ ..., т^)-

Здесь ф*-1'* —продолжение на R*+1 вращения в плоскости (х^, х*) в положительном направлении на угол т -180°, которое является тождественным преобразованием на ортогональном дополнении.

Ясно, что л-ы(0, к— 1)=и(0, к— 1).

Кроме того, ды(0, к— 1) = (—1)*-19ы(0, к — 2) — п(0, £ — 2).

’ На самом деле граница содержит и другие /г-мерные участки кроме указанных.

*’ Вообще для

и(0, i)(c; Ч, ...» т/):=Лф^ + 1-....Л^’2.и(0, 0)(с)

преобразование

Теперь мы будем строить цепи u^i, k — 1), для которых n-u(i, к — l) = v(i, к— 1) и Q^i^k — 1. Начнем с

и^\,к—\у (DMX[O, I]*-1, dD^xlO, 1]*-1)х[0, l]-»-(AS6, A°S*), где

u(l, к— l)(c; ть ..., t*-i, т) = 'ф?’1«ы(0, к— 1)(с; тп ..., тм).

Здесь ^1 — продолжение на R*+1 вращения в плоскости (х0, хг) в положительном направлении на угол т-180°, которое, как обычно, является тождественным преобразованием на ортогональном дополнении.

Мы утверждаем, что

du(l, ^-1) = — 9ег«.и(0, k-l)-u(0, к-1).

Для того чтобы убедиться в этом, заметим, что отображение

м(1, к— 1)(с; ть .... tw, 0) = и(0, к— 1)(с; ттTft-x)i-*

н-*^“-и(1, к— 1)(с; ti, .... тй-х, 1)

действует на больших кругах с началом в точке х0 = 1 как отражение в плоскости (х0, Хх). Следовательно, на этих больших кругах отображение

и(1, к— 1) (с; Тх, .... Tt-x, 0) ►—► ее'”. и (1, к— 1) (с; т1( ..., т*-х, 1)

есть отражение относительно пространства (х0, х2, ..., хк), и поэтому оно меняет ориентацию цепи в BS*, образованной этими большими кругами. А цепь а(0, к— 1) в AS* совпадаете замыканием прообраза при проекции а этого множества больших кругов. На слое расслоения а над большим кругом, принадлежащим пространству Хх=0, отображение также обращает ориентацию. Следовательно, наше утверждение верно.

Ясно, что л-п(1, к— 1) = и(1, к— 1). Действительно, л|и(1, к — 1) является взаимно однозначным отображением, за исключением границы du(l, к— 1).

Продолжая эти построения, мы для к—1>1 определим и (2, к— 1)(с; Тх, ...,тк, т), полагая

и(2, к— 1)(с; Тх, .... хк, т) = # а-и(1, к— 1)(с; Tlt .... хк),

где -фт 2 есть обычное продолжение вращения в плоскости (х0, х2) в положительном направлении на угол т-180°. Снова

du(2, fe-l.) = ±9e?«. u(l, к—1) — и(1, к-1) и

л-и(2, &-1) = и(2, к-1).

Продолжая в том же духе, мы в конце концов определим такой цикл и (к — 1, к — 1), что л-- и (к — 1, к — 1) = v (k — 1, к — 1)

Если мы окончим первую серию деформаций на построении цикла и(0, а2) и сразу после этого начнем вторую серию, то получим, что для каждой пары (а1( а2), 0^ах^аг^к—\, можно построить цепь и (д., а2), которая под действием л проектируется на у (а1( «а) так, что л | и (ах, а2) взаимно однозначно, за исключением границы.

Теперь мы сформулируем так называемую теорему о трех замкнутых геодезических.•

5.1.1. Теорема. Пусть (М, g) — компактное односвязное риманово многообразие. Здесь М обозначает соответствующее дифференцируемое многообразие, a g — риманову метрику на М. Пусть

h^, g0)-4M, g)

— отображение стандартной k-мерной сферы, которое представляет неделимый целочисленный класс гомологий бесконечного порядка. Известно, что такие отображения существуют и k^2.

Тогда на (М, g) существуют 2k — 1^3 однократных замкнутых геодезических, которые являются короткими в следующем смысле. Пусть К ф —верхняя грань длин кривых на (Л4, g), которые являются образами при отображении f окружностей из (Sk, gQ\ Тогда длины этих 2k — 1 однократных геодезических .^к(ДУ

Замечание. В случае M = S2 Люстерник и Шнирельман [1] • существенно использовали теорему Жордана для доказательства теоремы. Поэтому их доказательство не может быть обобщено. Наше доказательство использует соотношение делимости того же типа, что и в лемме 4.3.4.

Отметим, что мы не утверждаем, что эти 2^—1 геодезических не имеют самопересечений. Для случая M = Sn и при некоторых ограничениях на кривизну некоторый результат в этом направлении был доказан в 2.3.9.

Доказательство. Если в наших рассуждениях метрика g не меняется, то для простоты вместо (М, g) мы будем писать просто М.

Пусть х*>0 —такое некритическое значение функции Е: AM->R, что Af (AS6) clM*M.

Предположим сначала, что все геодезические, лежащие в Лх*, невырожденны. Тогда будет определен комплекс Морса <^ = = »«Х*М многообразия ЛХ*Л4, см. § 2.5. Используя те же рассуждения, что и при доказательстве 4.3.4, можно убедиться в том, что гомотопический класс каждой из цепей и (ах, аД может быть представлен в <^ суммой с целыми коэффициентами неустойчивых и сильно неустойчивых многообразий размерности -С dim и(ах, аД).

' Это представление в ®^ мы обозначим через иДах, а2).

Мы рассматриваем следующие отображения (см. § 2.2):

л: ЛМ->ПМ = ЛМ/5; л: АМ -> ПЛ4 = АМ/0 (2).

Из предположений относительно f: Sh-*M следует, что отображение

л-«ДО, 0): (О^1, дО^-^ПМ, П°М)

является нетривиальным циклом mod 2 (см. доказательство 4.3.4). Поэтому в и, (0, 0) входит такое сильно неустойчивое многообразие Waa(c) размерности dim«(0, 0), что n-Waa(c) входит в л • и; (0, 0) с нечетным коэффициентом. Фиксируем это с и назовем его с(0, 0).

Мы утверждаем, что в «ДО, 1) есть такое Wua(c') размерности dimu(0, 1), что л •№„„(</) входит в л-«ДО, 1) с нечетным коэффициентом и №яя(с(0, 0)) принадлежит краю dWaa(c') многообразия W щДс’У

Для того чтобы это доказать, заметим прежде всего, что из л - Г яя (ДО, 0)) г л • uf (0, 0) mod 2 следует, что целый коэффициент при л . Wua (с (0, 0)) в дл « иДО, 1) = л«диД0, 1) = = —л.биДО, 0) —лиДО, 0) нечетный, так как целые коэффициенты при л-^аДДО, 0)) и при л.Ц7яя(6ДО, 0)) в л. «ДО, 0) различаются по модулю 2 на 1. Поэтому, так как И7ЯЯ(ДО, 0))с: с: «ДО, 0), должно существовать такое Waa(c*>) с uf(0, 1) размерности dimu(0, 1), что №яя(с(0, 0)) с dWaa (с'). Кроме того, коэффициент при ft-Wua^c') в л .«ДО, 1) отличается по модулю 2 на 1 от коэффициента при л = Ц7яя(ес') в л-«ДО, 1), так как соответствующий факт верен для коэффициентов при л-М^ДДО, 0))с cz л •dW'„„(c') и при л.Гяя(8с(0, 0)) с~ л -dWaa (с') в л» «ДО, 0). Это завершает доказательство утверждения о том, что л • Waa (с') е ел-иДО, l)mod2.■

Мы не утверждаем, что ненулевой Zg-цикл л-«ДО, 1) не гомологичен нулю. Все, что мы использовали для доказательства соотношения я-«ДО, l)#=0mod2, — это то, что л-«ДО, 0)#=0mod2. Рассуждая аналогично, мы можем показать, что л »«Д0, 2) также является ненулевым циклом из ПМ mod П°М (если к— 1 > 1), и т. д. до тех пор, пока не дойдем до л«мД£—1, к— 1). Только лишь про следующие Za-циклы из ПМ mod П°Л4 мы действительно уверены, что они не гомологичны нулю: л» «ДО, 0), л-«ДО, к— 1) и я««Д& —1, к— 1) (см. Клингенберг [6]).

Мы также рассматриваем продолжения отображений А/ • и («1, а2), 0 ^ <Zj ^ а2 — 1 > до отображений полных S-орбит:

S.Abutch, аау. SxD^xVO, l]a'+a2-*AM,

(г, с, ть ..., та1+а2)н^-г.ЛД«(а1, а2)(с; т^ .... тЯ1+а,) =

= Af-z.u^a1, a^ic, ть ..., тЯ1+а2).

На области определения этого отображения определено действие S (посредством канонического действия S на первом сомножителе S), а на ЛМ определено каноническое S-действие %. Отображение 5.Л^•«(«!, а2) эквивариантно по отношению к этим S-действиям. Деформации, переводящие Л/«и(а1, а2) в uf(alt а^, также переводят S-орбиты в S-орбиты. Поэтому мы можем рассматривать эти деформации как деформации^ переводящие S.Xf-u^a!, а2) в эквивариантное отображение .

S.a^a^ tz2): SxD*-1x[0, 1]а>+а2->е^, ■ ■

(г, с, Ть .... ta^a^-^-z. uf(at, а^^с; т1е .... тЯ1+а2).

Вернемся к рассмотренным выше многообразиям 1^ян(с(0, 0)) из иДО, 0) и Wuh^c*') из «ДО, 1), обладающих, как было описано выше, тем свойством, что Wua(c(0, 0)) входит в дН7яя(с'). Вместо с' мы теперь будем писать с(0, 1).

Существенный этап нашего доказательства состоит в установлении того факта, что кратность /и(0, 1) геодезической с(0, 1) делит кратность /и(0, 0) геодезической с(0, 0). .

. Для доказательства этого факта рассмотрим цепь dWaa(c(0, 1)) f] ПмДО, 0). Она содержит №ыя(с(0, 0)). Так как Wuu(c(0, 1)) инвариантно относительно группы изотропии Цс(0, 1)) геодезической с(0, 1), то цепь dU7aa(c(0, 1))П«/(0, 0) целиком содержит 7 (с (0, 1 ))-орбиту

{го.Гяя(с(О, 0)) = Гяя(г0.с(0, 0)); г»еШ 1))}

многообразия №яя(с(0, 0)). В этих терминах наше утверждение состоит в том, что по иДО, 0) можно построить цикл 4^(0, 0), содержащий только №яя(с(0, 0)) и не содержащий других эде- ментов / (с (0, 1))-орбиты многообразия У^яа (с (О, 0)). Кроме того, существует гомотопия ы*(0, 1) цикла и*(0, 0), которая содержит сильно неустойчивое многообразие, обозначаемое через №яя(с(0, 1)), такое, что №ий (с (0, 0)) с dW иа (с (0, 1)). Так как цепь д№ин(с(0, 1)) П и^ (0, 0) должна целиком содержать 7 (с (0, 1))-ор- биту многообразия Н7ЯЯ(с(0, 0)), то с(0, 0) инвариантна относительно I (с (0, 1)). ■

Для построения uf (0, 0) будем действовать так же, как в доказательстве 4.3.4. В самом простом случае д^яя(с(0, 0))=0. Тогда положим и/ДО, 0) = 1^яя(с(0, 0)). Пусть и*(0, 1) —ограничение гомотопии Ц/(0, 1) на WBB(c(0, 0))cu/(0, 0). Так же, как и выше, мы заключаем, что в иЦО, 1) существует такое сильно неустойчивое многообразие, снова обозначаемое через №„и(с(0, 1)), что n-U7„„(c(0, 0)) входит 'в дл • W Ш1 (с (0, 1)) с нечетным коэффициентом, в то время как л.117яц(6с(0, 0)) входит с четным

коэффициентом. Но тогда

7 (с (0, 1)). Wau (с (0, 0)) = Ц7яа (с (0, 0)).

Вообще говоря, dWаи (с (0, 0))=#0. Этот случай мы разобьем на два. Пусть сначала ни одно из Walt(ci) сдИ7ая(с(0, 0)) не входит (с противоположным знаком) в край ни одного из ^н/Д^о ■ ДО, 0)), 2ое/(с(О, 1)), zo.c(O, 0)=#с(0, 0). Тогда мы можем ■ построить цикл и* (0, 0) cz uf (0, 0), который содержит Г „„ (с (0, 0)) и не содержит ни одного другого элемента S-орбиты многообразия Wuu(c(0, 0)). Ограничивая гомотопию uf(0, 1) на и*(0, 0), получим гомотопию uf (0, 1) цикла и^0, 0). К и* (0, 0) и uf (0, 1) применимы все те же рассуждения, что и к паре Uf(O, 0) и «ДО, 1). Поэтому найдется сильно неустойчивое многообразие в Д(0, 1), снова обозначаемое через U7zz„(c(0, 1)), край которого содержит U7aa(c(0, 0)). Так как uf (0, 1) должна содержать всю 7 (с (0, 1))-орбиту многообразия Wuu (с (0, 0)), то эта орбита состоит только из №яя(с(0, 0)), т. е. 7 (с (0, 1)) —подгруппа группы 7 (с(0, 0)).

Наконец, пусть некоторое Wult (сД с dWua (с (0, 0)) входит с противоположным знаком в д№аа(г0 • с(0, 0)), zo.c(O, 0)=^ #=с(0, 0), z0e7(c(0, 1)). Тогда.

Гяя (С1) - WHB (г0. С1) с д№яя (с (0, 0)).

Рассмотрим цепь

^вв (£1) [0, - Го] = ^ . №ия (С1); 0 < г < г0}, где 20 = е1лк«. Граница этой цепи Н7яя(с(0, 0)) + №аа (q) [0, — г0] не содержит ни ^„„(сД, ни —^ан(2о-С1)- Так же мы поступим и с остальными элементами из ЭЦ7ЯЯ (с (0, 0)).

В результате, так же как в доказательстве леммы 4.3.4, мы построим цикл и* (0, 0), содержащий Н7яя(с(0, 0)), но не содержащий других элементов S-орбиты У7ая (с (0, 0)). Образ по модулю 2 цикла uf (0, 0) при отображении л полностью принадлежит п-иДО, 0). Ограничивая «ДО, 1) на сильно неустойчивые многообразия из и* (0, 0) (и, в частности, на №ня(с(0, 0))), получим гомотопию1 и*(0, 1). Определение этой гомотопии на цепи №ю(С1)[0, — г0] — то же самое, что и в доказательстве 4.3.4. К паре «ДО, 0), uf(O, 1) применимы те же рассуждения, что и к паре «ДО, 0), «ДО, 1). Поэтому мы заключаем, что в uf (0, 1) существует сильно неустойчивое многообразие, снова обозначаемое через (ДО, 1)), край которого содержит Waa(с(0, 0))с=м*(0, 0). Полная 7 (ДО, 1))-орбита многообразия АТаДДО, 0)) должна принадлежать дКДДДО, l))f)w*(O, 0). Следовательно, с(0, 0) остается инвариантной под действием группы 7 (ДО, 1)). Тем

самым мы показали, что во всех случаях кратность m(0, 1) геодезической £(0, 1) делит кратность т(0, 0) геодезической с(0, 0).

Переходя далее (при k — 1 > 1) к uf(0, 2), рассмотрим многообразие ^т(с')с^(0, 2) размерности dim «ДО, 2), такое, что л ° Wltu (с') Ф 0 mod 2 и №вя(£(0, 1)) cz 5№м„ (с'). Мы утверждаем, что (быть может, после некоторых изменений и, (0, 1) и вытекающих отсюда изменений «/ (0, 2)) группа изотропии I (с') геодезической с* оставляет с(0, 1) инвариантной. Полагая с(0, 2) равной с', получим, что кратность т(0, 2) геодезической с(0, 2) делит кратность m(0, 1) геодезической с(0, 1).

Для доказательства нашего утверждения мы снова начнем с замечания, что dWн„ (£')П iq (0, 1) целиком содержит 7 (с')-орбиту многообразия Wn„(c(0, 1)). Так же, как и выше, мы по иДО, 1) построим цикл и/(0, 1), содержащий №„а(£(0, 1)) и не содержащий других элементов S-орбиты многообразия U7„„(c(0, 1)). Затем определим гомотопию и* (0, 2) цикла Uf (0, 1). В uf (0, 2) существует многообразие максимальной размерности ^„„(£(0, 2)), край которого содержит W^, (£(0, 1)). Далее мы заключаем, что 7 (£ (0, 2)) оставляет £(0, 1) инвариантной.

Аналогичные рассуждения мы применяем к иДО, 3), ... ..., иДО, k~ 1). Так, рассматривая иДО, k — 1), мы докажем существование критической точки £(0, k — 1), кратность которой (как замкнутой геодезической) т(0, к— 1) делит кратность т(0, к — 2) ранее построенной геодезической £(0, к — 2). Затем мы перейдем к построению с(1, к— 1), ..., с (к — 1, к— 1). Таким образом мы получим последовательность 2к — 1 замкнутых геодезических £(0, 0), £ (0, 1), ..., c(k — 1, к— 1), в которой кратность каждого элемента делит кратность предыдущего элемента. Так как значения функции »£ на элементах этой последовательности строго возрастают, то однократные замкнутые геодезические, соответствующие элементам этой последовательности, попарно различны, а значения функции Е на них тоже строго возрастают.

Осталось рассмотреть общий случай, когда не предполагается, что все геодезические из Л**- невырожденны. Мы можем предполагать, однако, что все лежащие в Ли*~ —Л® критические S-орбиты являются изолированными критическими множествами, скажем 8.са, 1^а^а0. Мы хотим свести этот случай к невырожденному случаю, рассматривая возмущения нашей римановой метрики g. Пусть g — возмущение метрики. Тогда через М мы будем обозначать соответствующее дифференцируемое многообразие, снабжённое римановой метрикой g, а через Е — интеграл энергии на АМ.

Так же как в доказательстве теоремы 4.3.5, мы рассмотрим окрестность И критического множества многообразия ЛХ*~.М, удовлетворяющую определенным условиям. Зафиксировав доста-

точно малое 8>0 и такую окрестность К, мы рассмотрим возмущения £ = §(#, е), удовлетворяющие условиям (а), (Ь) и (с), сформулированным в доказательстве теоремы 4.3.5. Из наших предыдущих рассуждений следует существование последовательности с (О, 0), ..., с(к—\, к— 1) из 2k — 1 однократных замкнутых геодезических, на которых функция Ё строго возрастает.

Из ограничений, наложенных на g, вытекает, что для каждой геодезической с (а, Ь) из этой последовательности существует ровно одно а, при котором с (а, Ь) е К (8 . са). Мы будем обозначать это са через с (а, Ь). Далее, при достаточно малом е>0 значения х(0, 0)х(к — 1, к— 1) функции Е на элементах последовательности с(0, 0), ..., с (к— 1, к — 1) возрастают. Чуть позже мы убедимся в том, что эти значения даже строго возрастают. Причина этого состоит в том, что элементы последовательности циклов v(0, 0), ..., v^k— 1, к— 1) получаются один из другого с помощью вращений, а это делает их взаимно подчиненными в некотором геометрическом смысле.

Рассмотрим с(0, 1). Из того, что с(0, l)e#(S.c(0, 1)), и свойства (Ь) вытекает, что гомотопический класс цикла Л/«м(0, 1) имеет локальное представление «/(0, 1) в виде цикла из (Дх<о. 1) —у\4 (Jс(о, 1), Аи(0- 1>_М) размерности dimu(0, 1). Другими словами, существуют такая точка 0(0, 1) из D^xjo, 1[ и такая ее открытая окрестность 0(0, 1), что

Ы/(0, 1): (D(0, 1), 0(0, 1)-0(0, I))-*

_>(Ax(0.1)-M|JC(0, 1), А^-и-М), «ДО, 1)(0(0, 1)) = с(0, 1).

Поэтому E\duf(O, 1)<х(0, 1) и, следовательно, х(0, 0)<х(0, 1).

Аналогично показываем, что х(0, 1)<х(0, 2), и т. д., пока не дойдем до х(^—1, к— 1).

Теперь мы покажем, что возмущение g римановой метрики g может быть выбрано так, чтобы с(0, 1) = с(0, 1). Тогда кратность m(0, 1) геодезической с (0, 1) = с(0, 1) будет делить кратность «ДО, 0) геодезической с(0, 0). Но т(0, 0) делит в свою очередь кратность /п(0, 0) геодезической с(0, 0), так какс(0, 0)е e#(S.c(0, 0)). Поэтому m(0, 1) будет делить «ДО, 0).

Чтобы доказать существование метрики g с этим свойством, рассмотрим в качестве типичного примера случай, когда indc(0, 1) = &—1. Последнее означает, что гомотопический класс отображения «/(0, 1) может быть представлен в следующем виде. Во-первых, отождествим проходящий через 0 = 0(0, 1) поддиск D коразмерности 1 диска D = D(0, 1) с диском из отрицательного инвариантного пространства Т^#, пХМ в точке с(0, 1). Кроме

того, существуют такие два единичных вектора Х-г и Х+1 из ядра Т’^^ЛЛ! и такое е>0, что соответствующий с(0, 1) относительный цикл, определяемый по uf^. 1), может быть записан в виде

' а = в «г /ехр^ + ^-О при /^0,

VJ 1 (ехр(Х + ад при t^O.

В частности, не существует семейства Х$, —1 ^s^ 1, единичных касательных векторов из Тс^, гДМ, для которого Е (exp(tXs^< <у(0, 1) при достаточно малых />0.

Положим Х_г + Хц = У и Х-х — X+i = Z. Вместе с Х_г и Х+1 векторы У и Z являются периодическими полями Якоби вдоль с(0, 1), ортогональными к с(0, 1). В то время как Z=^0, возможность того, что У — 0, не исключена. Кроме того, (У, Z^ = 0. Теперь выбираем такое возмущение струи второго порядка римановой метрики вдоль с(0, 1), чтобы для новой метрики помимо свойств (а), (Ь) и (с) выполнялись бы еще неравенства

D-E(c(0, 1))(У, У)=э=0 и >0, если У^=0,

D2£(c(0, 1))(Z, Z)<0.

Это можно сделать при помощи методов § 3.3.

Применяя те же рассуждения, можно показать, что /и(0, 2) делит m(0, 1), и т. д. до m(&—1, к— 1). Тем самым, так же как и в невырожденном случае, можно заключить, что однократные замкнутые геодезические, соответствующие последовательности с(0, 0), ..., c(k — 1, к— 1), все различны. □

Следующий пример, изученный Морсом [2], показывает, что, вообще говоря, существует не более п(п+1)/2 замкнутых геодезических, которые являются короткими в смысле 5.1.1.

5.1.2. Предложение. При любом х>2л2 все эллипсоиды Е (а^, ..., ая), определяемые в Rn+1 уравнением

(*)^alxl — Y,

1=0

где 0<ао<...<ап и | аг — 11 достаточно малы,, обладают следующим свойством. Единственными однократными замкнутыми геодезическими на Е (а0, • • •, я»), на которых значения функции Е меньше х, являются п(п+\)12 главных эллипсов, которые получаются при пересечении эллипсоида с координатными плоскостями.

Доказательство. Совокупность «+1 функций (x, (s)) тогда и только тогда задает геодезическую на Е («01 • • ■, аД, параметр на которой равен длине дуги, когда (xj(s)) удовлетворяют еле-

дующим уравнениям:

xi (s) + X (s) aUt (s) = 0, i = 0n,

с некоторой функцией X (s) и У x£ (s) х£ (s) = 1. В самом деле, i

это означает просто, что кривая (Xi (s)) на £ (Оо, ..., ап), параметризованная длиной дуги, является геодезической в том и только в том случае, когда вторая производная направлена перпендикулярно эллипсоиду. Можно указать явный вид функ- ции X (s), а именно

X (S) = 5 a^Xi (S) X'i <S) I 2 a*Xi (S) X« (S)'i/ i

Эллипсоид E (1, ..., 1) — это сфера co стандартной метрикой go. ' В этом случае для каждой . геодезической (Xi (s)) выполняется следующее свойство. Пусть xk(s)^0. Тогда при некотором s, скажем s = s0, x*(s) равно нулю, а все остальные нули xh(s^ находятся в точках s = s0 + qn, qeZ-

Фиксируем х>2л2 и выберем целое q* так, чтобы )/2х < <^*л + л/2. Из нашего предыдущего замечания вытекает существование такого е = е (д*) > 0,' что эллипсоид Е (Оо ап), у которого |аг—1|<8, обладает следующим свойством. Для произвольной геодезической (xf- (s)) рассмотрим такое к е [0, п], что x6(s)^0. Тогда существует такое s0, что x*(so) = 0 и первые q* следующих за s0 нулей slt .... ?„. удовлетворяют неравенствам

s0 + qn — л/2 < s9 < s0 + qn + л/2.

Выберем теперь at так, чтобы (а4 — 1 |<е и 0<а0<...<а„. Пусть (Xi (s)) — замкнутая ■ геодезическая на Е (а0, ..., а^, для которой Е <5 х. Если xt (s) = 0 при всех i, за исключением двух, то геодезическая является кратным повторением одного из главных эллипсов. Следовательно, для того, чтобы доказать наше предложение, достаточно получить противоречие, допустив, что есть три значения I, скажем i = j, к, I, такие, что Xj(s)^O. Будем считать, что j<ik<2l и, следовательно, a}<afe<a,i.

■ Для каждого i положим (х,- (s), x'i (s)) = Xt (s). Тогда X, (s -f- го) = = X,(s), где ®^фл2х —длина замкнутой геодезической. Таким образом, Х£ (s) — замкнутая кривая в R2, которая при t е {/, к, /} не сводится к одной точке,

Каждая из функций xs (s) и хк (s) имеет по крайней мере два нуля. Если Xj (s0) = хк (s0) = 0, то, как вытекает из теоремы Штурма, следующий нуль функции Xy(s) не будет нулем функции x*(s). Поэтому имеется такое г0, что х,- (г0) = 0 и х* (г0) ¥: 0. Положим

t/ft(s) = (u*(s), Ufc(s)),

где ufe (s) — решение уравнения (i),_A, определенное условием Uk(r0) = ± Xj (го), в котором знак выбран так, чтобы пара {Xft(r0), Uк (го)} составляла положительный репер в R2.

Проследим теперь за поведением репера (Xft(s), Uh^ при г о $5 s $5 г0 + <0. У функции ик^ на этом интервале имеется ^q* нулей, больших г0. Сравним эти нули с нулями функции х, (s). Согласно теореме Штурма, нули функции ик (s) будут встречаться раньше, так как aaj<ak. Кроме того, последующие нули разделены числами 4о + <7л — л/2, q = 1, 2, .... Следовательно, первая компонента вектора Uk(so-\-to) в репере {X*(s0). Uk(so)Y положительна.

Это означает, что линейное отображение Пуанкаре, соответствующее периодическому решению уравнения (i)<_*, имеет нормальную форму вида

Под линейным отображением Пуанкаре мы подразумеваем отображение, которое каждому вектору Yk (s0) = (ук (s0), z/t (so)) IR2 ставит в соответствие вектор У*(80 + ю), где yk(s^ является решением уравнения (i),_*.

Применяя соответствующие рассуждения к паре {A"&(s), Vt(s)} линейно независимых решений уравнения (i),.*, где tZ6 (s) определяется из условия Vfr(/0) = ± Xi(t0), мы обнаружим, что, поскольку ак«Сааь отображение Пуанкаре, соответствующее уравнению (i)^*, также типа (f), но уже с а<0 в "отличие от предыдущего случая, где а было >0.

Итак, мы получили противоречие. Это завершает доказательство предложения 5.1.2. □

Замечание. Если не налагать никаких ограничений на длины осей эллипсоида, то число относительно коротких однократных замкнутых геодезических на эллипсоиде, даже не имеющих самопересечений, может быть больше п(п+1)/2. См. Физель [2], где разобран случай п = 2.

Некоторые многообразия эллиптического типа

Хорошо известно, что род поверхностей в сильной степени определяет макроструктуру геодезического потока на них. Рассматривая «величину» фундаментальной группы пгМ как грубое обобщение рода на произвольные многообразия М, мы покажем, что такое же утверждение можно сделать и в случае более высоких размерностей.

В этом параграфе мы рассмотрим многообразия эллиптического типа, т. е. многообразия, фундаментальная группа которых

конечна. Многообразия гиперболического и параболического типа будут рассмотрены в § 5.3.-

Мы начнем с симметрических пространств ранга 1. Они замечательны тем, что все геодезические на них замкнуты, а все однократные геодезические имеют одну и ту же длину и не имеют самопересечений. Описание всех многообразий, у которых все геодезические замкнуты, — известная нерешенная проблема. Этому предмету целиком посвящена недавно вышедшая книга Бессе [1]. По этой причине мы ограничимся тем, что приведем лишь несколько относящихся сюда наиболее важных результатов.

Другим весьма интересным объектом изучения являются римановы многообразия с вполне интегрируемым геодезическим потоком. Это классическая область исследований. Здесь мы приведем результаты Клеро, Лиувилля, Якоби, Штеккеля и Арнольда.

При выполнении некоторого общего условия, тесно связанного с введенным в § 3.3 понятием закручивающего отображения, периодические траектории вполне интегрируемого геодезического потока плотны. Это условие выполняется, в частности, для эллипсоидов, оси которых попарно различны.

С другой стороны, существуют примеры вполне интегрируемых геодезических потоков, у которых «мало» периодических траекторий, т. е. мера их замыкания мала. Мы приведем пример, восходящий к Дарбу. Наконец, отметим, что теорему 4.4.6 о существовании замкнутых эллиптических геодезических можно рассматривать как результат о многообразиях эллиптического типа.

Прежде всего рассмотрим однородные римановы многообразия. Ясно, что в этом случае при изучении структуры геодезического потока оказываются полезными методы, развитые в теории представлений; см. Ауслендер и Грин [1] и Мур [1]. Еще более точная информация может быть получена в случае римановых симметрических пространств; см. Маутнер [1J, Чейвл [1], Хел- гасон [1]. Здесь же мы остановимся только на односвязных компактных симметрических пространствах ранга Г.

Такими пространствами являются

сфера Sn = SO^n-V l)/SO(n),

комплелсноепроективноепространствоРС"^^^ 1)/^(и)х Xt/(1),

кватернионное проективное пространство РНЯ = = Sp(n-V l)/Sp(n)xS(l) и

проективная плоскость Кэли P(Da2 = F4/Spin(9).

Для этих пространств имеет место следующий результат, полученный Картаном [1].

Теорема. На односвязном компактном симметрическом пространстве ранга один все геодезические замкнуты, а однократные замкнутые геодезические имеют одинаковую длину.

Более точно, предположим,, что метрика на таком пространстве М нормирована так, что верхняя грань кривизны по всем двумерным направлениям равна 1. Тогда длина всех однократных замкнутых геодезических равна 2л.

Если М — сфера, то все геодезические с началом в точке реМ снова пересекаются, пройдя расстояние л. '

Если М — одно из проективных пространств Р^1, РН” или P(Da2, действительная размерность которых соответственно есть 2п, 4п или 16, то проективные прямые, размерности которых соответственно 2, 4 и 8, являются изометрически вложенными сферами постоянной кривизны, равной 1. Следовательно, каждая однократная замкнутая геодезическая лежит в виде большого круга на своей сфере S2, S4 или S8, и среди геодезических, проходящих через точку ре М, снова пересекаются через расстояние л в точности те из них, которые лежат на общей для них такой сфере, содержащей точку р. ■

Доказательство. См. Хелгасон [1]. □

Может возникнуть вопрос: верно ли, что все пространства, на которых все геодезические замкнуты, исчерпываются симметрическими пространствами ранга 1. Это не так, однако, как было показано Боттом [2], ответ становится утвердительным, если интересоваться только когомологиями с целочисленными коэффициентами. Напомним, что кольцом когомологий с целочисленными коэффициентами симметрического пространства М ранга 1 является срезанное кольцо полиномов Td h (х) = Z ИДх”), в котором степень х равна d. При этом для сфер d может быть любым, a h = 2; для проективных пространств d = 2, 4, a h^3 — любое или d = 8, a h = 3.

Теорема. Пусть М — компактное риманово многообразие размерности п +1, и пусть существуют точка ре М и число ю>0, такие, что исходящая из точки р в любом направлении геодезическая замкнута, имеет длину в и не имеет самопересечений. - ‘

Утверждение. Пусть X —индекс одного из геодезических сегментов длины со с началом в точке р. Если X = 0, то щМ = Z2 и универсальная накрывающая М многообразия М имеет гомотопический тип сферы размерности и4-1. Если Z^l, то jhA^O и М имеет то же кольцо целочисленных когомологий, что и односвязное неприводимое компактное симметрическое пространство ранга 1.

В частности, индекс X одинаков для всех геодезических сегментов длины ю с началом в точке р. .

Замечание. Этот результат принадлежит Ботту [2], за исключением нескольких фактов из алгебраической топологии (см.

Милнор [2])*'. Если Х = п или Х = 1, то М имеет гомотопический тип сферы S"+1 или комплексного проективного пространства РСт, 2т = п + L _

Доказательство. Пусть с (О, 0 ^ t ^ а, [ с | = 1, — геодезический сегмент длины а">0. Согласно теореме Морса об индексе (см. Морс [2] и Милнор [1]), индекс сегмента с, рассматриваемого как критическая точка в пространстве Q (р, ^), состоящем из //^кривых, соединяющих точку р = с(0) с точкой ^ = с(а), задается формулой ' .

indBc= ^ dimD<pzV"(0)nV2(0,

0< t< а

где через V2(0 обозначено вертикальное пространство над t, а через Dq>zV"(0) —результат действия геодезического потока на вертикальное пространство У"(0) над 0; см. § 3.1 и Клинген- берг [12], где можно найти такую интерпретацию теоремы Морса.

Так как для любой замкнутой геодезической c(f), О^/^го, с началом в точке р отображение Пуанкаре тождественно, то ДфюУ£ (0) = V? (0). Поэтому если (^юи 1t — ® | достаточно мало, то

оф<у:(о)пу:(о=о.

Пусть с — некоторая замкнутая геодезическая длины w и с(0) = = р. Тогда на с существует такая точка р = с(е), е>0, что каждая геодезическая, соединяющая р с q, идет вдоль кривой с и точка q не сопряжена с р. Точнее, такая геодезическая имеет вид

с(0, О^^^е + ^ю, или с(—0, 0^/^ — е + ю + ^го, где к 0 — некоторое целое.

Для доказательства этого утверждения предположим обратное: пусть существует такая последовательность чисел ez > 0, что Нте, = 0 и р может быть соединена с точкой р; = с(е,) геодезическим сегментом ci, который не лежит на замкнутой геодезической с. Так как каждый сегмент является частью некоторой замкнутой геодезической, то мы можем предположить, что L(Ci)<<o. С другой стороны, так как экспоненциальное отображение локально инъективно, то существует такое б>0, что 6<£(^)<(й —6. Но тогда любой из предельных элементов по

*> В односвязном случае Ботт доказал, что Н* (М, Xi = Tdih (х), и отметил, что из имевшихся в то время результатов о когомологических операциях следуют сильные ограничения на d и h (это пояснено подробнее в примечаниях к русскому переводу его статьи). Но’ эти ограничения еще не исключали воз можности, что d=2«, 6>3, и Л = 3. Ее исключил Милнор.

следовательности {cj является геодезической, которая соединяет р с р и длина которой лежит в интервале [6, со —б], что невозможно. Наконец, так как сопряженные точки изолированы на с, точку q = c(a") можно выбрать так, чтобы она не была сопряжена с р.

Если ЛхМ > О, то в Q (р, р) существует геодезический сегмент с индекса 0. Этот сегмент должен быть замкнутой геодезической длины го. Ясно, что с должен быть гомотопен своему обратному и любому другому геодезическому сегменту, представляющему нетривиальный элемент из ЛрИ. Поэтому njM = Z2. Пусть М — односвязное накрывающее пространство М; тогда существует такая точка ре М, что в любом направлении из нее выходит замкнутая геодезическая длины 2<о, индекс которой равен п. Последнее утверждение непосредственно следует из того факта, что при / = ю имеет место соотношение

dim(D<pmV" (0) Q V" (0)) = п.

Если на такой замкнутой геодезической с выбрать, как и выше, точку Чч^р-, то все геодёзические сегменты, лежащие в пространстве путей Q = Q(p, Ч\ будут иметь индекс кп, к = 0, 1, 2—это следует из описания этих сегментов и формулы для индекса. Поэтому, так как л;+1Л1 = лгЙ, то nfM = 0 при 0 < t < < n +1, т. е. М имеет гомотопический тип сферы S”41.

Пусть теперь л^М = 0. В этом случае мы можем предположить, что наша замкнутая геодезическая с, длина которой равна оз и которая проходит через точку р, имеет индекс Х>0. В самом деле, в противном случае в пространстве путей Q = Q (р, р) было бы два геодезических сегмента индекса 0 и, кроме того, геодезические сегменты индекса 5$ п. При п > 1 это невозможно, так как две геодезические индекса 0 должны быть гомотопны «посредством» . геодезической индекса 1. Если п = 1, т. е. М — поверхность типа двумерной сферы S2, то в множестве раздела для точки р должны быть сопряженные точки, т. е. через точку р должна проходить замкнутая геодезическая длины оз индекса >0; см. Пуанкаре [1] и Майерс [1].

Пусть Q = Q (р, р), где q = с (е) и с — замкнутая геодезическая индекса Х>0. Учитывая специальный вид геодезических сегментов из Q, с помощью формулы для индекса получаем, что Q имеет структуру СЧ^-комплекса с одной 0-мерной клеткой, одной Х-мерной клеткой, одной (п +Химерной клеткой и с клетками размерности ^n-j-2X.

Теперь для окончания доказательства теоремы надо воспользоваться стандартными методами алгебраической топологии. Рассмотрим пространство Е = Е (р, 7И), состоящее из таких не-

прерывных кривых g(/), 0^/^1, на М, что g(0) = p. Пространство Е стягиваемо, и отображение Е в М, определяемое соответствием gi—*g(l), является расслоением со слоем Q. Как мы только что видели, до размерности А, + я^=я+1 = dimAf слой Q гомотопически эквивалентен сфере 8х. Поэтому, применяя к этому расслоению последовательность Ризина, получим

Н'(М; Z) = 0 при i^O mod (Х + 1),

НЦМ; Z) = Z при i = &(X+l), k = 0, ..., m>l,

где яг (Z + 1) = я + 1. □

Можно усилить предположения теоремы, потребовав, чтобы для каждой точки реМ все проходящие через нее геодезические были замкнуты и имели одинаковую длину. Однако сейчас мало известно, какие новые следствия влечет за собой это добавочное предположение. Отметим здесь только следующий результат Вейнстейна [4]. См. также Бессе [1].

Теорема. Предположим, что все траектории геодезического потока на единичном касательном расслоении компактного риманова многообразия М периодические с периодом 2л. Тогда объем многообразия М является целым кратным объема сферы 8п постоянной кривизны 1, где я=dimЛ4. □

Важно отметить, однако, что существуют примеры римановых многообразий, у которых все геодезические замкнуты и имеют одинаковую длину, но которые не изометричны ни одному из симметрических пространств ранга 1. Первые примеры таких поверхностей были построены Цоллем [1], который усовершенствовал одну идею Дарбу [1].

Лемма. На дифференцируемой двумерной сфере S2 существует такое однопараметрическое семейство gt, 0^/^е, аналитических метрик, что go — стандартная метрика постоянной кривизны 1 и при каждом <>0 поверхность (S2, g() не изо- метрична (S2, g0), но вместе с тем (S2, g() является поверхностью вращения, на которой все геодезические замкнуты. Далее, однократные замкнутые геодезические на этой поверхности не имеют самопересечений, и длина их равна 2л. При достаточно больших t поверхность (S2, g() содержит области, в которых кривизна отрицательна.

Доказательство. См. Цолль [1], а также Берже [1] и Бессе |1]. □

На сфере со стандартной Метрикой (S2, go) первым сопряженным множеством точки р, конечно, является антиподальная точка р’. Следуя Бляшке [1], поверхность М типа сферы мы будем называть поверхностью возвращения, если для каждой точки

р г М первым сопряженным множеством является точка р' Ф р. Обозначим через w. М -> М отображение, к торое каждой точке ставит в соответствие ее первое сопряженное множество.

В течение долгого времени оставался открытым вопрос: является ли сфера единственной поверхностью возвращения. Историю этого вопроса можно проследить по различным изданиям книги Бляшке [1]. Функ [1] сумел доказать, что не существует нетривиального аналитического однопараметрического семейства поверхностей возвращения, содержащего сферу постоянной кривизны, и только в 1963 г. Грин доказал следующую теорему.

Теорема. Поверхность возвращения изометрична сфере постоянной кривизны. ' .

Доказательство этой теоремы можно найти у Грина [3], Берже [1] и Бессе [1]. Здесь же мы покажем только, что на поверхности возвращения Л1 все геодезические замкнуты, а однократные геодезические имеют одинаковую длину и не имеют самопересечений.

Начнем с замечания о том, что множество раздела С(р) точки р е М совпадает с р', т. е. все однократные замкнутые геодезические не имеют самопересечений. Здесь множество раздела С(р) состоит из тех точек на геодезических лучах, исходящих из точки р, в которых эти лучи перестают быть минимизирующими кривыми; подробности см. в книге Громола, Клингенберга, Мейера [1]. Для доказательства равенства С(р) = р' мы воспользуемся утверждением, которое было доказано Майерсом [1]: Для любой метрики на Sa ближайшая к р сопряженная точка принадлежит С(р).

Пусть с —такая геодезическая, что |с| = 1, с^ = р, и числа/0 и Ц являются минимальными числами, для которых выполнены следующие условия: с(/0) = о’(р), cVi) = P и 0<(0</1. Из известных свойств сопряженных точек (теорема Штурма) следует, что при достаточно малых положительных е будет w - с (в) = = с(/о + ео(е)) и c(e) = u»2-o(8) = c(/i4-81(8)), где е0, ет>0 достаточно малы. Так как это верно при всех малых 8^0, то с (^ + /) = с (t), т. е. с замкнута и ее длина равна tv

Рассмотрим точку р е М и такую геодезическую с0 с началом в точке р, что | Со | = 1. Пусть с0 (4) = ® (р) — первая сопряженная точка на с0. Так как поверхность является поверхностью возвращения, то у всех геодезических с с с|=1, которые исходят из точки реМ в направлении, достаточно близком к с0 (0), первая сопряженная точка встречается при одном и том же / = /0(р)- По непрерывности заключаем, что у всех геодезических с с |с| = = 1, начинающихся в фиксированной точке р ^ М, первая сопряженная точка находится на постоянном расстоянии /0 (р)- Тогда

2#®(р) —длина однократной замкнутой геодезической, проходящей через р. Так как каждая точка q е М лежит на одной из геодезических, проходящих через точку р, то 2/0 (у) = 2Z0 (р). т. е. все однократные геодезические на М имеют одинаковую длину.

Это все, что мы хотели доказать из 5.2.5. □

Аналог понятия поверхности возвращения в высших размерностях рассматривался разными авторами. Лучший общий результат, который является ослабленным вариантом отмеченного выше результата Функа, получен Мишелем [1].

Теорема. Пусть (Sk, g(), 0 ^ t -с 1, — деформация стандартной метрики gQ на сфере, принадлежащая классу С". Предположим, что эта деформация gt ортогональна орбите стандартной метрики при действии группы диффеоморфизмов. Если (Sfc, gt) при всех t обладает тем свойством, что все геодезические о немалом в точке р снова встречаются на расстоянии л в точке р*, то все производные деформации gt по t при ( = 0 равны нулю. □

Мишель [1] получил аналогичные результаты для деформации стандартной метрики на других неприводимых симметрических пространствах ранга 1. См. также Бессе [1].

Замечание. Совсем недавно Берже удалось показать, что многообразие четной размерности, являющееся аналогом поверхности возвращения, изометрично стандартной сфере.

Помимо однородных и, в частности, симметрических римановых многообразий есть другой класс многообразий, для которых геодезический поток может быть описан весьма подробно, а именно многообразия с вполне интегрируемым геодезическим потоком *>.

Для того чтобы определить это понятие, рассмотрим гамильтонову систему общего вида ^N, а, Л); см. §3.1. Если F: W->R— дифференцируемая функция, то можно определить векторное поле полагая

■ 2а#^= itF . а = dF. -

Функция F называется интегралом системы (^N, а, Н^, если она постоянна вдоль траекторий векторного поля ^н> т. е. если

dF.^ = 2а (^, ^H) = -dH.^F=0.

Говорят, что два интеграла F и F* находятся в инволюции, если 2а (^, £>0 = 0.

Гамильтонова система (N, а, Н), dim^ = 2n, называется вполне интегрируемой, если помимо Рг = Н на N существуют еще

*• Между прочим, в последнее время исследовалась интегрируемость геодезических потоков, отвечающих односторонне инвариантным метрикам на группах Ли и однородных пространствах. (Такую трактовку дпускают и некоторые классические случаи интегрируемости задач аналитической механики.)

11 В. Клиигенберг

и—1 таких функций F4, ..., Fn, что для всех q, принадлежащих некоторому открытому плотному подмножеству в N, соответствующие векторные поля t.p.l.q') порождают в TqN лагранжево подпространство, т. е. F), ...» Fn являются интегралами в инволюции и с№\ л... л dFn ^ 0 на открытом плотном подмножестве из N. См. Абрахам, Марсден [1], Арнольд, Авец [1], Арнольд [4] и Такенс [1].

Следующая теорема Арнольда (см. Арнольд, Авец [1] и Арнольд [4]) является фундаментальной в теории вполне интегрируемых гамильтоновых систем (N, а, Н\

Теорема. Пусть F1 = H, F^,..., F п — функционально независимые интегралы в инволюции вполне интегрируемой гамильтоновой системы (N, а, Н), 2n = dimM. Рассмотрим дифференцируемое отображение

ф: N -> R», р ►-► (FT (р)Fn (р)).

По предположению ф регулярно на открытом плотном подмножестве N' с N. Если при каждом с, принадлежащем образу ф|М', связные компоненты п-мерного многообразия (ф|М')-1(с) компактны, то каждая компонента является вложенным п-мерным тором Тс- Кроме того, при достаточно малом 6 = 6(с)>0 существует такой симплектический диффеоморфизм

ф: ВьхТп-* U^U^T")

произведения шара радиуса 6 в R" и п-мерного тора Tn = ^Sxy на открытую окрестность U тора Т", что ф«ф|{/}хТ” постоянно при каждом / е Bg.

Симплектические координаты (/, ф)еВ^хТ", где ф = (фъ ... .,., ф„) периодично с периодом 2л, называются переменными действие — угол. В этих координатах гамильтонов поток на U задается уравнениями

/ (0 = /0 = const; ф (/) = фо + ta Ц^,

где компоненты го (/0) = — дН • ф (/, ф)/д/ |/=/0 — так называемые периоды потока на торе /=/0.

Доказательство можно найти в работах: Арнольд, Авец [1], Арнольд [4] и Цендер [!].□

Мы видим, что гамильтонов поток, ограниченный на тор, линеен; он называется еще квазипериодическим. Естественно различать три случая.

Периоды (т. е. набор чисел <о (/0) ® R") свободны над рациональными числами. В этом случае поток эргодичен.

(Н) Существуют ровно г, 1 ^r^n — 1, независимых однородных линейных уравнений с рациональными коэффициентами, которым удовлетворяет со (/0) е R". В этом случае n-мерный тор допускает такую факторизацию Т"=Тп-гхТг, что поток эргоди- чен на каждом Т'*-г X {с/} с: Тп~г х Тг.

(Ш) со(7о)ео)о([}”. В этом случае все траектории периодические.

Важная информация о замкнутых геодезических содержится в следующей теореме.

Теорема. Предположим, что геодезический поток Ф/. ТМ-+ТМ вполне интегрируем. Если определяемое периодом отображение, которое локально задается соответствием 1-*<Ц1), I г В", ю(/)еR", невырожденно, т. е. гессиан (d2H(J, ^/dlidly) невырожден на некотором открытом плотном множестве, то периодические траектории плотны в ТМ.

Доказательство. Нам всего лишь надо заметить, что множества Шо®", где ш0 е R, плотны в R". □

Наиболее известным примером, в котором это явление встречается, служит эллипсоид.

Предложение. Геодезический поток на п-мерном эллипсоиде с попарно различными главными осями вполне интегрируем, а соответствующее отображение Пуанкаре невырожденно. В частности, периодические траектории геодезического потока плотны.

Доказательство. Полное доказательство невырожденности отображения Пуанкаре есть у Шюта [1]. То, что геодезический поток на эллипсоиде вполне интегрируем в двумерном случае, было известно еще Якоби [1], [2]. Для «-мерного случая это было доказано Розохатиусом [1]. Этот факт также содержится у Штеккеля [1]; см. также Тимм [1]. □

При доказательстве полной интегрируемости геодезического потока на касательном расслоении эллипсоида используются так называемые эллиптические координаты, которые были введены Якоби [1] *\ В этих координатах линейный элемент имеет особенно простой вид. В самом деле, этот линейный элемент является частным случаем линейного элемента Штеккеля (см. Штеккель[ !])**> ds2 = 5 gu (“) duld.ul, '

*’ О них говорится во многих курсах аналитической механики, например у Леви-Чивита и Амальди [1].

**' Во многих курсах аналитической механики (см., например, Леви- Чивита и Амальди [1]) доказывается интегрируемость так называемых систем Штеккеля, частным случаем которых являются так называемые системы Лиувилля. Если потенциальная энергия системы тождественно равна нулю, то движение происходит по геодезическим линиям соответствующих римановых метрик. (П родолжение на следующей странице.)

в котором коэффициенты g«(«) имеют следующий вид:

ga (и) = (—1У+1 det {hkl (u))/codet (Иц (w)), где функции h,y{u) являются элементами регулярной пхп-матрицы (Ау(и)), а элементы hif{u) из i-й строки являются функциями только и1. Конечно, А,у (и) должны быть такими, чтобы коэффициенты ga {и) были положительны. См. также Пранге [1], Бляшке [2] и Тимм [1].

В случае п = dimМ = 2 линейный элемент Штеккеля становится линейным элементом Лиувилля:

ds-={U-V) ф\ du4 + И du4).

Здесь U, Ut и V, Vi являются функциями соответственно только от и или от и; см. Дарбу [1], Бляшке [1], [3] и Физель [1].

Предложение. Геодезический поток над областью о линейным элементом Лиувилля вполне интегрируем. Действительно, рассмотрим на множестве ненулевых касательных векторов X функцию

F (X) = {U - V) (VUX {du X)2 + UVX {du Х)4)/2Н (X) =

= U cos2 6 (Х)+ V sin2 6 (X),

где 8 (X) — угол между X и линией параметра и. Тогда F постоянна на с{1), где с {t)~ нетривиальная геодезическая, и dH AdF^O.

Доказательство. Выберем константу Д так, чтобы было V •< < А < U, по крайней мере локально. Определим новые координаты (и', и’), полагая

du' = Ut VU-Д du + Vx V A-V du;

du* = UT du/VU-A + Vidu/V A-V.

В этих координатах

ds1 - {du1)4 + {U - Д) (A - V) (d»92,

т. e. {u‘, и*) — геодезически параллельные координаты и линия v' = const — геодезическая.

Координаты duX, dvX касательного вектора X к такой геодезической равны (здесь Н (X) — S*/2 > 0):

duX = B VU^AKU - V) Ux; duX = *B V A-V1{U - V) Vx.

Поэтому

cos2 8 (X) = (A - V)/{U - K); sin2 8 (X) = (U - A)/{U - V).

Формально алгебраическая проверка того факта, что в эллиптических координатах геодезический поток на n-мерном эллипсоиде является системой Штеккеля (но не Лиувилля, если п > 2), не составляет особого труда (хотя об этом надолго забыли). Представляют интерес более геометрические исследования (см. добавление в конце списка литературы).

Следовательно, F(X) = A, H(X) = Bi/2, т. е. F постоянно на касательных векторах к геодезической и'= const. Это завершает доказательство 5.2.10. □

Замечание. Мы видели, что если поверхность обладает линейным элементом Лиувилля, то у нее есть второй интеграл F (помимо Н), который является квадратичным по координатам duX, duX вектора X. Аналогичный результат для линейных элементов Штеккеля приводится ниже.

Предложение. Геодезический поток над областью с линейным элементом Штеккеля вполне интегрируем. Существует п интегралов в инволюции Ft = H, F4, .... Fn вида

РДХ^^к^и^Ди?^ Ху,

i

таких, что dFx ^ ... л dFn=^0 при Х^О. При этом (kt/(u)) является обращением регулярной матрицы (hp(u)), определяющей линейный элемент Штеккеля.

Доказательство. См. Штеккель [1], Тимм [1]. □

Замечание. Существование п интегралов в инволюции Ft вида 5.2.11 выделяет линейный элемент Штеккеля среди диагональных линейных элементов; см. Штеккель [1] и Тимм [1]. Для случая и = 2, т. е. для линейного элемента Лиувилля, это было доказано Масье [Massieu. These. — Paris, 1861 j; см. также Дарбу [1].

Мы отметим еще одну характеризацию линейного элемента Штеккеля, полученную Цвирнером и Бляшке.

Предложение. Линейный элемент Штеккеля (и, в частности, линейный элемент Лиувилля) характеризуется тем свойством, что в каждом достаточно малом п-мерном координатном кубе все геодезические диагонали имеют одинаковую длину.

Доказательство. См. Бляшке [2], Тимм [1], а при и = 2 — также Бляшке [3]. □

Гамильтонова система общего вида (М, а, Н) не обладает помимо Н дополнительными интегралами. Однако есть важный класс систем, которые допускают групповое действие, сохраняющее структуру (^, а, Н). У таких систем имеются дополнительные интегралы *). Подробности об этих так называемых законах

*’ Имеется в виду теорема Нётер, излагаемая во многих курсах аналитической механики и вариационного исчисления, например у Арнольда [4]. В порядке уточнения следует заметить, что в ней рассматривается гамильтонова систёма специального вида, а именно получающаяся из некоторой лагранжевой системы, причем как раз последняя и должна быть инвариантна относительно действия группы (другое дело, что тогда естественно определяется и групповое действие в фазовом пространстве гамильтоновой системы).

сохранения можно найти у Абрахама и Марсдена [1] и у Та- кенса [1].

Здесь мы рассмотрим только изометрическое действие S на компактном римановом многообразии и при этом определим те орбиты этого действия, которые являются замкнутыми геодезическими.

Теорема. Пусть нам дано изометрическое действие окружности на М

р: 8хМ-»-М, и пусть

R (р) = (d/ds) р (s, p)w

— соответствующее порождающее векторное поле на М. Тогда функция

F;Х-><Х, ад,

постоянна вдоль траекторий геодезического потока, т. е. F является интегралом. Кроме того, если

Ф: M->R, p^R^, R(p)},

имеет критическое значение в точке р0 и R(po)=£O, то 8-орбита, проходящая через точку р0, является замкнутой геодезической.

Следствие. Пусть dimM = 2 и dF =#0 на открытом плотном подмножестве из ТМ. Тогда геодезический поток на ТМ вполне интегрируем.

Замечание. Наиболее важными примерами поверхностей, удовлетворяющих условиям 5.2.14, являются поверхности вращения. Можно показать, что, наоборот, поверхность, на которой геодезический поток обладает вторым интегралом, линейным по X, локально изометрична поверхности вращения (Масье; см. Дар- бу [1]).

Для поверхностей вращения утверждение о существовании интеграла F известно как теорема Клеро. Величина F (Х)/| X | называется также угловым, моментом (моментом импульса).

Доказательство. Пусть с (/) —геодезическая. Тогда F(c(f)) может быть записана в виде

Ш П(о^ = ^р(8, С(О), Ap(s, С^^.

Беря производную по ( и учитывая, что p(s, c(Q) при постоян-

ном s —геодезическая, получим

^Р(8, С (Ж ^ ^p(s, C^\ = ^P(S, С(0), §"JtP(s, c(f^ =

= T^P<S- C^’ ^P(S- C^ = 0’

так как |7p(s, c(/)) j = const. Следовательно, F (c (t)) = const.

Теперь предположим, что £>Ф(ро) = О. Пусть p(f), O^t^e,— произвольная кривая на М с началом в точке р(0) = ро и dp(0)/dt = X. Положим р (s, p0) = c(s). Тогда из £>ф(ро) = О следует, что

°=1 ^ (^ р ($-с ^- rs р (s> р ^ L=

= (c'(s), J^P(S« PW))|/_=(C'(S)' £a7P<s’ pW))L =

= -^C'(S), Tp(s, X)^.

Здесь мы воспользовались тем, что (o'(s), Tp(s, X)) = (Tp(s, с'(0)), Tp (s, X)) не зависит от s.

Поэтому так как Tp(s, X) может быть любым вектором, то Vc' (s)/ds = O. Это завершает доказательство 5.2.13. Следствие 5.2.14 немедленно вытекает отсюда. □

Мы закончим этот параграф примером поверхности вращения, у которой отображение Пуанкаре вырожденно. Это означает, что для такой поверхности периоды одинаковы на всех двумерных инвариантных торах (в отличие от ситуации в 5.2.8). Следовательно, либо геодезический поток является эргодическим на каждом двумерном торе, либо он периодический. Согласно 5.2.14, S-орбита максимальной длины будет замкнутой геодезической. Для нее тор вырождается в саму эту орбиту.

Введем отношение

л (М) = vol (Per 7\M)/vol (7\Л1).

Здесь через РегТ^М обозначено множество тех единичных касательных векторов X, для которых траектории ф/Х периодичны; vol (Per Т^М) обозначает меру замыкания множества Per ТХМ в ТХМ.

Следующий пример, помимо всего прочего, иллюстрирует неустойчивость поведения числа л (Л4). На сфере и на всех эллипсоидах л(Л4)=1.

Предложение. В любой Сй-окрестности стандартной сферы S2 существуют выпуклые поверхности вращения, для которых отношение л(Л4) становится произвольно малым.

Доказательство (см. Клингенберг [8]). Наш пример основывается на конструкции Дарбу [1]. Похожее рассуждение есть у Вейнстейна [2].

Искомые поверхности строятся следующим образом. Пусть а — действительное число, удовлетворяющее условию 0 < а ^ 1. Тогда (и \

a cos и cos и, a cos и sin и, ^1/1 — a2 sin2/dr, о/

где | и | ■< л/2, представляет неполную поверхность вращения постоянной кривизны, равной 1. Выберем малое 6>0. Обозначим через S2(a, 6) поверхность, покрываемую при отображении (и, v)^-fa(u, v) с |и|^л/2 — 6 и произвольным и. Заклеив S2 (а, 6) двумя выпуклыми «шапочками», получим выпуклую поверхность вращения, обозначаемую в дальнейшем через М(а, 6).

Мы будем интересоваться действием геодезического потока только на тех ХеТуМ(а, 6), для которых соответствующая геодезическая с(/) = тф,Х остается в S2(a, 6) при всех t. Из теоремы Клеро (5.2.14) мы знаем, что это все равно, что рассматривать только те Xe.TyS2(a, 6), для которых

Р(Х?)=^Х, ^(и^Х), u(rX))^^asin б.

Множество элементов X е ТуМ (а, 6), обладающих этим свойством, обозначим через T'yS2(a, 6) или просто через Ту.

Для того чтобы получить описание геодезического потока на Ту, мы сначала изучим геодезический поток на области TyS2 (1, 6) единичного касательного расслоения 7\S2 стандартной сферы S2. Траектории потока в этой области проектируются в геодезические вида

с (0 = cos (/ — /0) Еу + sin (/ — /0) Ва,

где Еу — (1, 0, 0), Ba = (0, cos a, sin а) и 0 ^ а ^ л/2 — б.

Если фиксировать а>0, то множество касательных векторов с (/) к соответствующим геодезическим будет представлять собой двумерный тор Та, инвариантный относительно геодезического потока. При а = 0 получим вырожденный тор, образованный касательными к экватору векторами. Та характеризуется тем, что F(X) = cosa.

Для того чтобы получить отображение Пуанкаре, мы опишем орбиты на Та посредством их начальных значений {с(0), с(0)}. Воспользовавшись комплексными обозначениями, получим

с (О + ic (0 = el « -#"> (Ег — /Ва) — ^ (с (0) + ic (0)).

Заметим, что Sa(a, б) изометрична части {0 ^ и < 2ла} поверхности S2(l, 6). Таким образом, отображение Пуанкаре, соответствующее периодической траектории, лежащей над экватором М(Д, 6), задается соответствием

Другими словами, 0s совпадает со своей линейной частью Р = DSP (см. § 3.3) и экватор является эллиптической замкнутой геодезической.

Отсюда следует, что траектории геодезического потока, лежащие на инвариантном подмножестве TiS^a. 6), являются периодическими в том и только том случае, когда а рационально. Если а иррационально, то периодическими будут только траектории, проектирующиеся в экватор. А так как мера множества T'iS1^, б) сколь угодно мало отличается от меры Т^М^а, б), то отсюда следует 5.2.15. □

Замечание. Такое поведение геодезического потока около эллиптической траектории, как мы только что описали, конечно, является исключительным. С помощью произвольно малого шевеления метрики отображение Пуанкаре может быть сделано закручивающим, см. 3.3.8. В этом случае эллиптическая траектория не будет изолированной, более того, замыкание множества периодических траекторий будет иметь положительную меру в любой окрестности этой траектории.

Это является следствием теоремы Колмогорова — Арнольда— Мозера об инвариантных торах и теоремы Биркгофа — Льюиса о неподвижной точке (3.3.3). Полное доказательство есть у Цендера [1]. Для случая dim М=2 мы уже отметили этот факт в 3.3.4.

В рассматриваемой ситуации геодезический поток на инвариантных торах, существующих согласно теореме Колмогорова — Арнольда —Мозера, эргодичен. Однако, как показывает теорема Биркгофа — Льюиса, эти торы являются пределами периодических траекторий., Подобные примеры доставляют эллипсоиды с попарно различными осями и все достаточно близкие к ним римановы метрики.

Очень может быть, что для геодезического потока над многообразием эллиптического типа такое поведение является типичным (всюду в пространстве метрик). Для того чтобы продвинуться в доказательстве утверждения такого типа, надо прежде всего найти много эллиптических замкнутых геодезических. Теорема 4.4.6 является первым шагом в этом направлении; правдоподобно, что будут получены и другие результаты такого рода.

Геодезические на многообразиях гиперболического и параболического типа

До сих пор мы рассматривали в основном односвязные многообразия или многообразия с конечной фундаментальной группой. В этом параграфе мы изложим некоторые результаты о многообразиях, универсальное накрывающее пространство которых гомеоморфно евклидову пространству).

Давно известно, что свойства геодезического потока, соответствующего замкнутой поверхности, в сильной степени зависят от знака кривизны К', см., например, Хедлунд [2]. Основная причина этого кроется в том, что при К = 0 фундаментальная группа либо является бесконечной абелевой, либо в некотором смысле близка к таковой, а при К < 0 она имеет экспоненциальный рост (это понятие можно найти у Милнора [3], [4]).

Среди многообразий, фундаментальная группа которых имеет экспоненциальный рост, мы сосредоточим внимание на тех, которые будем называть многообразиями гиперболического типа. Это многообразия, допускающие такую риманову метрику, что геодезический поток, индуцированный на единичном касательном расслоении, является потоком Аносова. Основными примерами многообразий гиперболического типа (может быть, ими исчерпываются все такие многообразия) являются многообразия, допускающие риманову метрику строго отрицательной кривизны *\ Наш главный результат состоит в том, что если на многообразии гиперболического типа задана некоторая метрика, то в единичном касательном расслоении существует довольно большое инвариантное замкнутое подмножество, на котором геодезический поток обладает многими свойствами, присущими тем геодезическим потокам, которые являются потоками Аносова (см. 5.3.6).

Мы будем говорить, что компактное многообразие является многообразием параболического типа, если его фундаментальная группа абелева, или, более общо, если у него есть конечное накрытие с абелевой фундаментальной группой. Из различных результатов, касающихся многообразий параболического типа, мы приведем только один принадлежащий Буземану [1] результат о существовании многих замкнутых геодезических в предположении, что риманова метрика на таком многообразии не имеет сопряженных точек (см. 5.3.7).

*• Иногда (в том числе в некоторых работах самого Клингенберга) только такие многообразия н называются многообразиями гиперболического типа, а в том более общем случае, о котором говорилось выше, многообразие называют многообразием (типа) Аносова. (Этот термин кое-где используется и в этой книге. Терминология, как видно, здесь еще не вполне установилась.)

Напомним, что, согласно § 3.2, касательное расслоение Тг.м: ТТХМ-*ТХМ единичного касательного расслоения римано- вого многообразия М содержит некоторое выделенное подрасслоение со слоями коразмерности 1. Если dim М = п 4* 1, то это расслоение мы будем обозначать через

т2": Тй№ = ТгпТ1М->Т1М.

Слой (т2”)-1 (Хо) = Тх", над ХйЕТгМ состоит из тех векторов, которые ортогональны геодезической пульверизации.

Ограничение горизонтального подрасслоения расслоения тГЛ1: ТТМ-^ТМ на т2” будем обозначать через т*: Тн = ТнТхМ->- -*ТХМ. Аналогично посредством ограничения получаем вертикальное подрасслоение т": Т" = Т"ТХМ ТХМ расслоения т2".

Таким образом, каждый элемент Y е Тх, допускает разложение Y = (Yh, Y^Tk^T^y, где Yh и Ут, рассматриваемые как элементы из Тгх,М, удовлетворяют условию (Y h, Х9) = = (Yy, Хо> = 0.

Траекторию ф/Хо геодезического потока, которая при t = 0 проходит через точку Хое7\Л4, мы будем обозначать также через Х(. Пусть с (t): —т ° Xt — соответствующая геодезическая на М. Тогда Xf = c(t\

Из 3.1.6 и 3.1.7 мы знаем, что если Y еТ2х„, то векторное поле D<ptY имеет вид Y ^f) = (Y(^), vy(Z))eTxz/l®7'”zo, где Y (() — поле Якоби, т. е.

444tHR<YW. cW с(О)=о и <У(0, c(O) = <vy(O,c(O>=o.

Это показывает, в частности, что поток Тф,: ТТХМ-*ТТХМ, индуцированный геодезическим потоком ф<: ТХМ-^ТХМ, оставляет подрасслоение т2л инвариантным.

Следуя работе Клингенберга [12], назовем геодезический поток ф/ на ТХМ потоком Аносова, если т2л допускает такое разложение т2л = тлфтл на два Тф^инвариантных подрасслоения

т?: Т" :=Т"ТХМ^ТХМ; т": Т";= Т"ТХМ-^ТХМ,

называемых устойчивым и неустойчивым расслоениями, что размерность слоя в каждом из них равна п и T^t I Т" действует как сжатие, a T^t I Т„ действует как растяжение, т. е. существуют такие положительные числа а 1 и й, что при всех действительных ^^/2 и всех Y$eT$, YBeT„ выполняются следующие

соотношения

| D^.Y, |» < а» | D^t, |» в-»*««-’о,

I Dq>tlYu |a Э» а-81 D^u I2 e26 «• - 4

Замечание. Если геодезический поток на ТгМ является потоком Аносова, то все замкнутые геодезические на М гиперболические, т. е. линейная часть отображения Пуанкаре, соответствующего периодической траектории геодезического потока, не имеет собственных значений, равных по модулю 1. Многообразия, геодезический поток которых является потоком Аносова, являются единственными известными примерами многообразий с этим свойством. .

Эберлейн [2] приводит различные характеристики многообразий, геодезический поток на которых является потоком Аносова. Наиболее важные примеры многообразий, обладающих этим свойством, даются следующей леммой.

1. Лемма. Предположим, что кривизна по всем двумерным направлениям на компактном римановом многообразии строго отрицательна. Тогда геодезический поток является потоком Аносова.

Точнее, допустим, что существуют такие числа &i^&2>0, что при всех Х^еТ^М и при всех YeT.M, при которых tY = = тХ0 и (У, Хо) = 0, имеет место неравенство

-^|У|8^<У, R^Y, X», Х0))^-^|У|2.

Тогда в соотношениях (t) константы могут быть выбраны равными /г —(/г2 —е) и а = ^/(^ — е), где е>0 сколь угодно мало. Поэтому мы можем даже положить к = кг и а = к1!кг.

Доказательство (ср. Аносов [1], Аносов, Синай [1]). Напомним, что, согласно 3.1.3, на каждом слое Т1^ расслоения T2n. T,Jt-*T1M имеется симплектическая структура, определяемая формулой

2а (У, Р') = <^, %)-<%, V,).

Пусть У с Тх” — лагранжево подпространство, т. е. изотропное подпространство размерности п. Если V не пересекается с ТпХбУ, то легко доказать, что существует единственная симметрическая

** В общем определении потока Аносова (не обязательно геодезического) не требуется, чтобы размерности устойчивого и неустойчивого расслоений были равны. Но если геодезический поток является потоком Аносова, то это так (что видно хотя бы из симплектичности линейных отображений Пуанкаре для их периодических траекторий, а таковые существуют; см. ниже). Другое специфическое для геодезических потоков обстоятельство, которое автор с самого начала использует в определении, состоит в том, что в этом случае можно говорить о подрасслоении т2” и что оно инвариантно относительно Г^.

(n X я)-матрица S, такая, что V может быть представлено в виде У «{(У, 5У)еТ^фТ^,

берутся все У, для которых (У, Хо) = О}.

Обратно, такое V является лагранжевым.

Рассмотрим траекторию Xt = q>tX0, XqgTxM, геодезического потока. Пусть с (Z) = т«X/— соответствующая геодезическая, т. е. с(0 = Х(. Для произвольного teR обозначим через St какую- нибудь положительно определенную симметрическую (n х ^-матрицу *’, спектр которой лежит в [&2 —е, £х]. Пусть У? — соответствующее лагранжево подпространство в Т^х . Тогда У”(/): = = Dcpt-tV" — лагранжево подпространство в Txt- Если У? (О не пересекает вертикальное пространство Txzo (кроме как в нуле), то это подпространство определяет симметрическую матрицу, которую мы обозначим через Sxtt\

Так как для любого инвариантного векторного поля У (/) = = (У (/), vy (#)) е У" (0 имеет место равенство vy (/) = S^ (О У (О и У (0 —поле Якоби, то ST(0 удовлетворяет уравнению Риккати

VST + St (0 St (0 + /?(•, с (t), с (0) = 0.

Утверждение (i). При всех 1^т спектр Sx(t) лежит e[&2 — е, кД. В частности, при всех t^x лагранжево подпространство Ух(0 не пересекается с Tnxtv

Для того чтобы доказать это утверждение, рассмотрим функции

а(0:= max (5<(0У, У>, Р(0 := min <8Х^¥, У). |У|=1|У|=1

Из (*) мы заключаем, что имеют место неравенства

а(0^-«ЧП + ^, Ь0>-Р2(0 + ^

или, точнее говоря, что справедливы соответствующие разностные соотношения. Как бы то ни было, отсюда следует, что если а (4) ^ ^1, то а (0 $5 &х при всех / ^ 4, и что если 0 (/0) &2 — е, то 0 (0 5$ &2 — е при всех t t0.

Утверждение (ii). Пусть т'^т, и пусть Sv (/) и Sx(t) — решения уравнения (*), которые определены соответственно nput^x’ и при t^x и которые задаются начальными значениями Sx- и St,

*’ Точнее, отображение подпространства {У; (У, Xt}=0} с ТС,Х,М в себя; стандартные отождествления позволяют рассматривать его как отображение

' Х«11' Xew.

спектр которых лежит в [й2 — в, £1]. Тогда при всех t^x

)| St (0 - Sr (/) || ST - Sr (т) I e-2(^-e) w-t).

Для доказательства этого утверждения положим St(0 —Sr(0= = R (/). Тогда из (*) имеем

V/? (О - - St (0 R(t)-R (0 Sr (О-

Решение R(f) имеет вид

R (О = Q(0 (ST -Sr (O)Q'(O.

где Q^ и Q' (/) суть (пхп)-матрицы, определяемые соотношениями

ЖП = -8АГ)<№ QW = E‘,^Q'W = -Q4t)SvW, Q'^ = E.

Используя свойство спектра матрицы St(f), получим ^ IQ (013 = -2 <3. (О Q (О, Q (0) ^ -2 (^ - в) IQ (О i2.

Следовательно, |Q(/) j ^е-<*>-е><;—х\ Аналогичное рассуждение применимо и к Q' (/).

Как следствие утверждения (ii) мы получаем, что предел lim ST(Z) существует и равен симметрической матрице <§„(/), спектр которой лежит в [Л2 —8, ЭД и которая определена при всех t eR. Кроме того, пространства

ГиУУ.-^Y, 5„(0ПеТ^®П/,

берутся все Y, для которых (Y, Хо) = О} являются лагранжевыми подпространствами, переходящими друг в друга под действием Dipt- Другими словами, инвариантное относительно потока векторное поле Y (t) = (Y (t), VY (<)) е Т" (0 удовлетворяет уравнению vy (t) —Sa (t) Y (t).~

Так как спектр SB(/) лежит в [^ — 8, ^], то для такого Y (t) получаем

2^11 У (012 ^ । Г ^ I2 = 2 <Y ^’ S“ ^ У ^> ^ 2 № - е) | У (012,

А! | У (0125= I vy (012 ^ (^2 - в)21У (012.

Следовательно,

| У (/2) |2 ^ | У (^) |2 е2<^-8>««-<>>

и

| vy (Z2) I2 ^ ((^2 - 8)2/fet) I vy (#0 I2

т. e. Ти(1) является слоем над Xt неустойчивого расслоения т^.

Аналогично строятся слои Т" (/) расслоения т”. Это завершает доказательство леммы 5.3.1. □

Для последующего применения рассмотрим в единичном касательном расслоении ТгМ, dim М = п4-Ь периодическую траекторию срДо с периодом <о *\ Пусть с0 (/) = т - ф<Х0 — соответствующая замкнутая геодезическая длины о. Пусть с = со(О, O^/^mto, есть m-кратное повторение геодезической с0. Рассмотрим иммерсию

»с(0, t^SmK), c(t)®M,

окружности длины шй. Мы назовем геодезическую с ориентируемой, если ориентируемо нормальное расслоение пс: N" -*• Smm этой иммерсии. Другими словами, отображение

L: (TcWM, ‘o(O))-^(TcWM, с(0)), получаемое с помощью параллельного переноса вдоль геодезической, имеет определитель, равный 4-1.

Рассмотрим индуцированное расслоение (с)*т2л

У2л т, .> 5г2«аГ2яГ1 М у)*тм,4л

s№—-- —

Для краткости будем его обозначать так:

т2л: V2n-> Smw.,

Расслоение т2л допускает разложение т2" = т" ф т”, где т": VV-^S™, т": V" -*Smto.

Поток T^t на Т^ТхМ индуцирует поток на тотальном пространстве V2” расслоения т2л; его мы будем также обозначать через T<pt. Через Dept мы будем обозначать ограничение Тф, на слой расслоения **’.

Пусть с — гиперболическая геодезическая. Это означает, что слой V2” (0) расслоения т2” над точкой 0 е Smto допускает разложение

ИП(О) = У"(О)4-У2(О)

на такие n-мерные подпространства, инвариантные относительно Рт = £фтй) = (Оф<о)т> что собственные значения отображения Рт | V" (0) по модулю меньше 1, а собственные значения отображения Pm|V«(0) по модулю больше 1.

*' Уже не предполагая, что геодезический поток является потоком Аносова.

**' Когда рассматривается некоторый фиксированный слой.

Теперь мы можем определить устойчивое и неустойчивое расслоения над Smto

Tj ‘ Vs —*■ Smto, То! VU -*■ Snug,,

беря в качестве слоя над точкой / е Smto соответственно Рф/У? (0) и ПфД^О). Из 3.2.13 мы знаем, что

indc= 2dim(V"(0n^(0) =

0^t<mto

= т ^ dim (V” (0 fl У? (0) = ^ indc0. о<<«»

Лемма. Пусть c = (o(t), O^/^mto), |о| = 1, — гиперболическая замкнутая геодезическая.

Утверждение. Индекс геодезической с четный в том и только в том случае, когда нормальное расслоение Не1. N" -> 8тш и устойчивое расслоение т": V" -* SmQ, отвечающие геодезической с и соответствующей траектории (с(0. О^/^тсо) в ТгМ, одновременно ориентируемы или одновременно неориентируемы.

Доказательство (ср. Клингенберг [12]). Изменив, если надо, начальную точку, мы можем считать, что У” (0) Л У” (0) = 0. Последнее равносильно тому, что линейное отображение Тх | У” (0): V" (0) -► Nt (0) (=слой из N" над 0eSm) является биекцией.

Положим dim (У" (/) Л У^ (0) = d(0- Выберем ориентацию на V» (0). Тогда биекция Тх | У” (0) определяет ориентацию на N" (0). С помощью отображений Dq>t мы перенесем эти ориентации на все У"(0> 0^t<ma, а с помощью параллельного перенесения — на все N"Wi O^tCma.

Пусть /о >0 —первое значение, при котором d(to)=#O. Тогда при достаточно малых е>0 отображение Тт|У”(/0 + е): У?(/о + е)-> -*■ Nt (^ + е) является биекцией, которая сохраняет или меняет ориентацию в зависимости от того, четно или нечетно d(/0). Так как ind с = У, d (О, то при достаточно малых е > 0 отображение 0<<<со

Гт | У? (та — е): У" (mo — е) -> Nt (та — е) сохраняет ориентацию в том и только том случае, когда индекс геодезической с четный. □ Пусть c(f), / Е R, — геодезическая и |с| = 1. Напомним, что с имеет сопряженную точку, если существует такое нетривиальное поле Якоби Y (/) вдоль с(Л и такое /0>0, что У(0) = У (/0) = 0. Точка с (/0) называется сопряженной с точкой с(0) вдоль с|[0, #0]; ср. Громол, Клингенберг, Мейер [1].

Можно дать другое определение сопряженной точки в терминах траектории ф/Х0, Хо = с(О), в ТХМ. Как и выше, иммерсия

t ► срЛ, t е R, фД0 е ТХМ,

индуцирует расслоения т,л: Vе”—>-IR, тд: Ул~>Р, тл: V"->R, т2п = Тйфт”. Тогда наличие сопряженной точки при # = /0>0 означает, что

Оф<0П(0)пП(4)#=о.

Мы напомним еще одно определение сопряженных точек, восходящее к Морсу [2] (доказательство есть, например, в книге: Громол, Клингенберг, Мейер [1]).

Лемма. Пусть c — c(t), <eR, | с | = 1, — геодезическая на римановом многообразии.

Предположим, что существуют (о>О и Н^-векторное поле £ вдоль с | [0, со], удовлетворяющие условию £ (0) = £ (со) = О и такие, что £ не есть поле Якоби, § не равно тождественно нулю и

Hto а, 5): = 5 «?£ (0. vg (0> - (R а (0. Ь W, с (0). В (0» dt ^ 0. о

Тогда у с есть сопряженная точка при некотором /0, 0 <До<.®.

(Н) Обратно, если с имеет сопряженную точку при некотором <0>0, то для любого <e>t0 найдется векторное поле £, обладающее всеми перечисленными в (i) свойствами. □

Сейчас мы докажем основной результат о многообразиях Аносова (см. Клингенберг [10]).

Теорема. Пусть геодезический поток ф^: ТхМ-э-ТхМ является потоком Аносова.

Утверждения, (i) На М не существует гомотопных нулю замкнутых геодезических; все замкнутые геодезические гиперболические, и их индекс равен нулю.

(п) На М нет сопряженных точек*'1; следовательно, универсальная накрывающая М многообразия М. диффеоморфна любому касательному пространству посредством экспоненциального отображения.

(Hi) При каждом ХоеТхМ устойчивый слой над Хо и вертикальный слой над Хо пересекаются только по нулевому вектору; то же верно и для неустойчивого слоя.

Пусть & > 0 — коэффициент в экспоненте в условии Аносова. Тогда существуют константы ^>0, к' >0, к^к’, для которых

•* В то же время фокальные точки могут быть (Гулливер [1]).

выполняется следующее. Пусть Y (f) — поле Якоби вдоль геодезической с = (с(О), |с| = 1, (с(0, Y (f}) = 0, У(0) = 0. Тогда при всех t ^ ^о

|y(0|^|Vy(0)|sh(^).

Пусть X' —связная компонента многообразия ХМ, не содержащая одноточечных кривых. Тогда лежащее в X' критическое множество состоит из одной критической орбиты S.c', для которой Е (с') = inf Е | Л'.

Множество РетТ^М, состоящее из тех ХоеТгМ, для которых орбита ф/Х0 периодическая, плотно в ТХМ.

Геодезический поток транзитивен в следующем смысле. Существует такое подмножество Trans ТХМ, мера которого равна мере ТХМ, что при Хо е TransТХМ траектория ф/Х0, t^O (или ФЛо, /^0) плотна в ТХМ.

Фундаментальная группа лгЛ4 многообразия М имеет экспоненциальный рост; любая нетривиальная абелева подгруппа группы лгЛ4 является бесконечной циклической.

Замечание. Утверждения (vi) и (vii) являются одними из основных результатов Аносова [1] для сохраняющих меру потоков, удовлетворяющих так называемому условию Аносова. Мы не будем здесь повторять доказательства этих результатов, а займемся доказательством утверждений (i) — (v), в котором существенно используются результаты Аносова (vi) и (vii).

Доказательство (см. Клингенберг [12]). Утверждение (i) эквивалентно отсутствию замкнутых геодезических на универсальной накрывающей М многообразия М. Для доказательства этого утверждения заметим, что универсальная накрывающая устойчивого расслоения т": Т"ТХМ-*ТХМ ориентируема. Поэтому если с —замкнутая геодезическая на М, то ее устойчивое расслоение и ее нормальное расслоение являются ориентируемыми одновременно. Следовательно, согласно 5.3.2, индекс с четный.

Пусть теперь с0 —замкнутая геодезическая на М. Как мы только что видели, индекс с0 четный. Если, кроме того, среди таких геодезических у с0 минимальный индекс и функция Е принимает на с0 минимальное значение, то из доказательства теоремы Фета (4.1.8) видно, что тогда на М существует такая замкнутая геодезическая сх, что indc, = indc0+ L т. е. индекс сх нечетный — противоречие.

Для доказательства (ii) рассмотрим множество Conj ТХМ, состоящее из тех ХоеТхМ, для которых геодезическая с(!) = = т»ф/Хо имеет сопряженную точку. Ясно, что Conj ТХМ открыто.

Кроме того, из 5.3.3 следует, что при /^0

Ф-( Conj ТХМ с: Conj Т ХМ.

Пусть теперь qy ТХМ -► ТХМ — поток Аносова и Conj ТХМ непусто. Из (vii) следует, что Conj ТХМ открыто и плотно. Поэтому из (vi) вытекает существование такой периодической траектории <реХ0 с минимальным периодом о, что соответствующая геодезическая c(O = t^zXo> ^eR, имеет сопряженную точку, скажем при # = ^0>0.

Мы утверждаем, что индекс с>0, где через с обозначена однократная замкнутая геодезическая с^, 0^<^®. Так как с гиперболическая и, следовательно, ind cm = tn ind с, то положительность индекса с эквивалентна тому, что ind с” > 0 при некотором m 1.

Выберем теперь пг столь большим, чтобы ти>^0- Тогда из 5.3.3 следует, что существует нетривиальное периодическое векторное поле £(/), О^^^т®, вдоль с(/), 0^/^т®, удовлетворяющее условию £>2£'(ст)(^, £)^0. Так как £ не принадлежит ядру формы D4E (cm')_ то это доказывает наше утверждение.

Обозначим через Л' связную компоненту многообразия АМ, содержащую негомотопную нулю замкнутую геодезическую с положительного индекса. Согласно 2.1.3, в Л' существует также такая замкнутая геодезическая с', что Е (с') = inf Е ] Л' := х' > 0 и ind с' = 0.

Мы утверждаем, что индекс с' и индекс с имеют одинаковую четность, и, следовательно, indc = 2£>0. Для того чтобы в этом убедиться, заметим, что нормальные расслоения геодезических с и с* одновременно ориентируемы или одновременно неориенти- руемы. То же верно и для устойчивых расслоений этих геодезических, так как эти расслоения могут рассматриваться как получающиеся при факторизации расслоения т$: Т"ТХМ -> ТХМ по одному и тому же элементу фундаментальной группы и последующего ограничения этого факторрасслоения на гомотопные кривые с и с' (точнее, последующего индуцирования расслоения над S посредством гомотопных отображений с и с'\

Рассмотрим теперь в Л' замкнутую геодезическую с с минимальным положительным индексом, скажем 2^. Пусть, кроме того, на с функция Е принимает минимальное значение среди таких геодезических. При помощи отрицательного диска или, лучше, неустойчивого многообразия геодезической с получим ненулевой сферический цикл

a-. (S2k, *)->-(Л', с').

Композиция этого цикла с обычной проекцией AM -> М дает нетривиальный цикл

и: <82к, *)-+(М, с'(0)).

Но тогда, согласно 2.1.8, получаем гомотопную нулю замкнутую геодезическую на М, что противоречит (i). Это доказывает (ii), за исключением последнего утверждения, которое является обыч-" ным обобщением теоремы Адамара — Картана; см. Громол, Клин- генберг, Мейер [1], Милнор [1]*'.

Для доказательства (iii) предположим обратное; пусть существует такая геодезическая с(/), |с| = 1, на М, что при ^^ = ^(1) имеет место соотношение

ИЪП^Ъ^О.'

Другими словами, существует нетривиальное инвариантное поле У (0 е У$ (0, У которого У(1) = 0. Выберем ш^1 и определим //^векторное поле £ вдоль с| [0, о] с помощью следующих условий:

£(0 = 0 при 0</^1; £(0=У(0 при 1^/^ш-1;

£ (0 = (<о — 0 У (<о — 1) при to — 1 to

▲ (подразумевается, что У (со — 1) параллельно переносится вдоль с). А Тогда для | Hto (£, £) | из 5.3.3 получим оценку вида - |ЯШ (£, £) | ^ b | У (to) |2, где 6>0 не зависит от геодезической о и от выбора со. Определим векторное поле г)(0 вдоль с(0 посредством условий т](0) = 0, т|(0 = 0 при 2^/^со и //<»(£, ц) = 1. После этого для векторного поля £(/):= ^(^ — //^(г], г|)£(0 находим, что

ЯеС, ^-Н»^, чИ-Ц-Я^, Ч^Н»^ D).

\Н»& £) | ^ Ьа | У (0) | е-26®.

Если ^(т], г|) все еще >0, то Яа(£, £)^0 (конечно, при достаточно большом со), и, согласно 5.3.3, у с будет сопряженная точка, что противоречит (ii). Этим завершается доказательство (iii).

Для доказательства (iv) мы сначала покажем, что рассматри- - ваемое поле Якоби У (0 удовлетворяет соотношению;

(t)। vy (oi^^iywi,:

где кх такое, что ■—кХ является нижней границей кривизны - по двумерным направлениям в М. Для того чтобы в этом убе- . диться, заметим, что вертикальное пространство V"(0) над OeR лагранжево, и, следовательно, то же верно для всех Dq>tV" (0).

*’ В работе Аносова [2] приведен набросок другого доказательства отсутствия сопряженных точек, пригодного и для финслеровых метрик (даже необратимых). Заодно доказывается и (iii). Поэтому я не пытался восполнить пробелы в рассуждениях Клингенберга (и даже не стал отмечать их).

Кроме того, из (11) мы знаем, что D<ptV" (0) f| V" (t) = 0 при всех <>0. Поэтому так же, как в доказательстве 5.3.1, при />0 существует симметрическая (пхп)-матрица (точнее, оператор) S(/), удовлетворяющая уравнению Риккати. Уравнение в свою очередь позволяет нам получить для спектра 3(/) верхнюю оценку вида ^^

Рассмотрим теперь У (t) = (Y (f), vy (/)). В разложении У (t) =

УД0 + У«(0еУ?(0 + У2(0> согласно (iii), будет У„(0)=#0.

Поэтому, воспользовавшись (t) и неравенствами для устойчивых и неустойчивых полей, получим

|У(/)|2^|У(012/(1+^).

|У(01^|Уа(01-1^(01^

> а (I Уа (0) I е« -1 У$ (0) | ^) > | У (0) | sh Ц^, причем последнее неравенство выполняется только для достаточно больших t. Таким образом, (iv) тоже доказано.

(v) является теперь простым следствием (i). Действительно, если есть две различные критические орбиты 3. с[ и S . с'^ в связной компоненте А' многообразия АМ, а А^^А', то в А' должна существовать гомотопия, соединяющая с1^ с с,. В данном случае это просто кривая в А', идущая из cj в с^. Такие кривые образуют ф-семейство, повисающее на критической точке, являющейся замкнутой геодезической индекса 1 (ср. с §4.1), что невозможно.

Доказательство (viii) есть у Клингенберга [12]. (vl) и (vH) доказаны у Аносова [1].

Итак, доказательство теоремы 5.3.4 закончено. 0

Будем говорить, что компактное дифференцируемое многообразие М является многообразием гиперболического типа, если на М существует такая риманова метрика g*, что соответствующий геодезический поток в единичном касательном расслоении является потоком Аносова.

В статье Клингенберга [10] понятие «гиперболический» определено с помощью другого, быть может более сильного, условия: существует метрика g*, такая, что кривизна (М, g*), где (М, g*) обозначает многообразие М, снабженное римановой метрикой g*, строго отрицательна. Наша следующая цель состоит в том, чтобы исследовать геодезический поток и, в частности, периодические траектории на римановом многообразии в случае, когда соответствующее дифференцируемое многообразие имеет гиперболический тип.;

Легко показать, что для ориентируемых поверхностей «гиперболический тип» эквивалентен «роду >1». Этот случай изучен Морсом [1]. Дальнейшие ссылки можно найти у Клингенберга [10].

Лемма. Пусть g* и g — две метрики на компактном дифференцируемом многообразии и геодезический поток на ТДМ, g*) является потоком Аносова. Пусть, далее, (M,g*) и (M.g1) —римановы универсальные накрывающие многообразий (Л4, g*) и (М, g) соответственно.

Утверждение. Существует константа р>0, обладающая следующим свойством. Пусть р и q —две любые точки на М и с* и с —кратчайшие геодезические, соединяющие р с q, соответственно в (УЙ, g*) и в (М, g). Тогда каждая точка, лежащая на геодезической с, находится от с* на g-расстоянии ^р.

Замечание. (М, g*) не имеет сопряженных точек. Поэтому существует ровно одна геодезическая с*, соединяющая р и q. Под g-расстоянием и g-геодезической на М мы подразумеваем расстояние и геодезическую на (УЙ, g\ Аналогично мы используем понятие £*-расстояния и т. д.

Доказательство (ср. Клингенберг [12] и Эшенбург [1]). Так как М. компактно, то существуют такие положительные числа Ь, а, bsSA е^а, что при всех X е. ТМ имеет место соотношение

( + ) b*g*(X, X)^g(X, X^a^g^X, X).

Отсюда следует, что на универсальном накрывающем М многообразия М длины кривых, измеренные в g-метрике и в g*-метрике, равномерно сравнимы.

Из 5.3.4 (iv) мы заключаем, что существует константа о0>0, для которой имеет место следующее свойство. Пусть pqr — треугольник в ^М, g*), у которого сторона qr находится на расстоянии 5=о0/2 от р. Обозначим через М' поверхность постоянной отрицательной кривизны —к'^, где к’ такое же, как и в 5.4.3 (iv). На М’ существует единственный с точностью до конгруэнтности треугольник p'q'r', стороны которого имеют ту же самую длину, что и у g*-треугольника pqr. Мы утверждаем, что Z ург в точке р меньше или равен Z. q'p'r' в точке р*.

Этот результат называется теоремой сравнения для больших треугольников. Доказательство получается, как обычно, с помощью интегрирования соотношения 5.3.4 (iv); похожая техника используется в книге: Громол, Клингенберг, Мейер [1].

Другим полезным для нас инструментом является следующее утверждение.

Утверждение. Существует константа о^о», обладающая следующим свойством. Пусть c*=c*(0, /eR, | <5* | = 1, — полная геодезическая на (М, g*). Пусть с^с^Г), 0 ^ / ^ 1, —геодезический сегмент на (М, g), соединяющий р = сг(0) с q = c1(_V),

такой, что при всех / е [О, 1] §*-расстояние d*(ci(f), с*)^о и d* (р, c*)=d*(q, с*) = о. Пусть, кроме того, g-длина сегмента сг равна d(p, qY Тогда £*-проекции р* и q* точек р и q на с* находятся на ^-расстоянии d*(p*, q^CGo.

Предположим на время, что это утверждение уже доказано. Тогда р:=6аа, где а такое же, как и в (t), является константой с требуемыми в лемме свойствами. Чтобы в этом убедиться, допустим, что имеется такая точка гес, что d(r, с*)>р и, следовательно, d* (г, с*)> p/tz = 6a, см. (f). На геодезической с существует сегмент Ci = сг (/), 0 1, удовлетворяющий условиям утверждения и такой, что r = c1(/0), 0</0< 1, т. е. точка г лежит внутри этого сегмента. Тогда проекции р* и q* точек р = сг^ и 9 = ^(1) на с* находятся на g-расстоянии <а0 друг от друга. Поэтому g*-длина кривой, идущей из р в р*, затем в q* и затем в q, меньше За, и, следовательно, ее g-длина <р/2. Но тогда геодезический сегмент съ содержащий точку г = Ci(/0)> находящуюся на g-расстоянии >• р от с, не является кривой с минимальной g-длиной, соединяющей р с q.

Осталось доказать утверждение. Для этого мы приведем к противоречию предположение о том, что существует произвольно большое аЗгао, для которого d*(p*, q^^Go, где а0 то же, что и выше.

Прежде всего разобьем сегмент p*q* с помощью некоторых точек с* = р*, с*, ..., с* —q* на сегменты равной g*-длины, которая ^ а0 и <2а0. Найдем далее такое подразделение t0 = = 0 </х<.. .</r= 1 отрезка [0, 1], что g*-проекция точки c^t^ на с* дает точку с*, 0 »ci ^г.

При каждом i>0 сравним g*-yгoл в точке ct большого треугольника ct-xclc^ti--^ с соответствующим углом соответствующего треугольника на гиперболической плоскости М*. Последний угол < у» < л/2, где у» — угол при основании в равнобедренном треугольнике на М', длина основания которого 2а0, а боковые стороны уходят в бесконечность. Следовательно, g*-yrofl в точке с* g*-тpeyгoльникa сг (^и) с?^ (^) отделен от нуля.

Так как точки из Ci|[^-i, ^] находятся на g*-расстоянии ^а^а0 от с*, то из 5.3.4 (iv) получаем нижнюю оценку для g*-A4HHH сегмента Ci|[/,_i, Ц вида Oosh^a), где положительные константы а» и &0 не зависят от а и i.

Воспользовавшись (t), мы тем самым получим нижнюю оценку для g-длины сегмента Су вида a (a) = raosh (feoa)/b. Так как (\— кратчайшая g-кривая, соединяющая р с q, то верхней оценкой для g-длины сегмента сх является g-длина кривой pp*q*q, т. е. верхнюю оценку можно взять в виде и (а) = 2а(а + га0). Но при больших а справедливо неравенство и (a) < a (gY Это завершает доказательство леммы 5.3.5. □

Для того чтобы сформулировать основные следствия леммы 5.3.5, рассмотрим универсальное риманово накрывающее (М, g) компактного риманова многообразия (М, g). Через у: (М, g)-> —>(Л1, g) обозначим накрывающее отображение, т. е. факторизацию по действию группы скольжений Г^Л1Л1. Мы будем использовать у также для обозначения индуцированного отображения ТХ(М, g) на 71 (М, g). Будем говорить, что геодезическая с, |с|=1, на (М, g) минимизирующая, если для любых двух ее точек длина соединяющего их сегмента геодезической с равна g-расстоянию между этими точками *>.

Пусть с*, |с* | = 1,—минимизирующая геодезическая на (Л1, g*), которая остается инвариантной под действием некоторого элемента T#=id из Г, т. е. тс* (t) = с* ^ + ®) с некоторым а>>0 **). Это эквивалентно тому, что спроектированная на (Л!, g*) геодезическая с* = ус* — периодическая, т. е. с* (t + to) = с* (t). Если теперь с, |с| = 1, — минимизирующая геодезическая на (М, g), находящаяся на ограниченном расстоянии от с*, то мы ее назовем почти инвариантной, так как все образы т*с, & = ± 1, ±2,..., геодезической с также находятся на ограниченном расстоянии от с. Проекцию с = ус геодезической с на (М, g) будем называть геодезической, почти периодической по отношению к элементу т. Через Per Тх (М, g) обозначим множество касательных векторов к почти периодическим геодезическим на (М, g), параметризованным длиной дуги.

Теорема. Пусть М — компактное многообразие гиперболического типа и g — произвольная риманова метрика на М. Пусть g* — такая риманова метрика на М, что геодезический поток на ТХ(М, g*) является потоком Аносова.

Утверждение, (i) Пусть с*, |с*|=1, — полная геодезическая на (М, g*) ^которая, в частности, является также минимизирующей геодезической). Тогда существует полная минимизирующая геодезическая с, |с| = 1, на (М, g), находящаяся на ограниченном расстоянии от с*. Если с* инвариантна относительно действия некоторого элемента т =/= id из Г, то существует замкнутое множество С, состоящее из минимизирующих геодезических с, почти инвариантных относительно т; т с = с.

Морс говорил о «геодезических класса (А)», Буземан — о прямых (линиях), Клингенберг в [21] принял термин line.

Геодезическую, которая под действием некоторого движения т пространства М сдвигается пр себе, часто называют осью (этого движения).

Пусть с*, |f* | = 1, — такая полная геодезическая на (М, g*\ что множество {с* (/), f е R} касательных векторов плотно в 71 (Л1, g*'), т. е. траектория <р(с* (0) плотна в Тх^М, g*). Тогда среди минимизирующих геодезических на (M.g), находящихся на ограниченном расстоянии от с*, существует такая, скажем с, | о | = 1, которая обладает следующими свойствами. Положим ^с=с, обозначим через TltC(M, g) замыкание множества {с(/), /e|R}, и пусть

Per Тг, с (Л1, g) := TL с (М, g) 0 Per Тх (М, g\ ' Тогда1.

Множество TliC(M, g) ^-инвариантно.

Ограничение потока ф< | Ti, с (М, g) топологически транзитивно. Точнее, траектория <ftc(O) плотна в Т^С{М, gY

Per Т1; С(М, g) плотно в Т1_С(М, g).

Для каждого те Г, T^=id, существует такая почти периодическая по отношению к т геодезическая с', что с' е еТ^ДМ, gY

Замечания. 1) Мы видим, что геодезический поток ф/1Т^ с (М, g) имеет много общих свойств с геодезическим потоком на ТДМ, g*), который является потоком Аносова. Основное различие состоит в том, что, вообще говоря, Т1-С(М, g) будет только собственным подмножеством ТДМ, gY

Что касается свойства (d), то заметим, что каждому нетривиальному классу сопряженных элементов Г отвечает связная компонента Л' (М, g) многообразия Л (Al, gY не содержащая одноточечных кривых. Из 2.1.3 мы знаем, что в Л'(А1, g) существует такая замкнутая геодезическая с’, что Е (с') = = inf Е | Л' (Al, g). Поднятие с' геодезической с' в (М, g) будет находиться на ограниченном расстоянии от полной геодезической с* многообразия (М, g*), которая инвариантна относительно элемента т из рассматриваемого класса. Такая с' также будет инвариантной относительно т, однако, вообще говоря, не обязательно минимизирующей. Именно по этой причине мы ввели выше понятия почти инвариантной и почти периодической геодезической.

2) Как было показано Морсом [1], в случае, когда М — компактная ориентируемая поверхность, теорема 5.3.6 может быть усилена. В то время как в общем случае есть только почти периодические минимизирующие геодезические, в этом специальном случае геодезические являются периодическими на самом деле. Поэтому множество С из 5.3.6 (i) состоит из единственной минимизирующей геодезической, инвариантной относительно элемента x#=id группы Г. Кроме того, можно считать, что в 5.3.6 (iid)

геодезическая с' замкнута и имеет минимальную длину в своем гомотопическом классе.

Объяснение этого явления получается из следствия 2 теоремы об индексе (3.2.12). Пусть с —замкнутая геодезическая на ориентируемой поверхности, имеющая минимальную длину в своем свободном гомотопическом классе. Тогда индекс с равен нулю и она ориентируема. Согласно 3.2.14, с будет либо гиперболической, либо вырожденной. Из этого мы можем заключить, что все кратные повторения с9 геодезической с также будут иметь индекс 0. Это доказывает наше утверждение. В самом деле, это в точности то свойство, которое гарантирует, что полная геодезическая с на универсальной накрывающей (УЙ, g) многообразия (M,gy проектирующаяся на замкнутую геодезическую с на (Al, gy является кратчайшей между любыми своими двумя точками, а не только между точками с (/) и с (/ + <о) = тс (0, расстояние между которыми равно (о, т. е. длине с.

Пусть теперь с — гиперболическая геодезическая индекса 0; тогда и ind с9 = <?■ ind с = 0, см. 3.2.13. Если, с другой стороны, с вырожденна, то существует нетривиальное периодическое поле Якоби Y У) вдоль c^t). Так как индекс с равен нулю и с ориентируема, то Y (t) Ф 0 при всех t. Пусть cq = {с (/); 0 ^ / ^ дш} есть ^-кратное повторение геодезической с. Тогда каждое периодическое векторное поле § вдоль с9 может быть записано в виде (0 = ^ (0 Y (ty 0 ^ t ^ q<6. Отсюда следует, что форма D1E(cq')^, £)^0 и равна 0 лишь в том случае, если [у(/) = [у0 = const (ср. с концом доказательства теоремы 3.2.12), т. е. когда £ лежит в ядре формы D^E (cqy

Доказательство теоремы 5.3.6. (i) Для данной геодезической с* на (Л4, g*') обозначим через ст кратчайший геодезический сегмент на (М, gy соединяющий с* (—т) с с* (т), где т^1 — произвольное целое. Из 5.3.5 мы заключаем, что последовательность {ст (0)} касательных векторов остается в ограниченной области многообразия Т-^М, gy и поэтому у нее есть сходящаяся подпоследовательность. Предельная точка такой подпоследовательности определяет полную минимизирующую геодезическую с на ^M,gy находящуюся на ограниченном расстоянии от с*.

Если в Г существует такой элемент T=#id, что тс*=с*, то, начав с построенной выше геодезической с, получим последовательность {т”с} минимизирующих геодезических из (М, gy остающихся в ограниченной области вдоль с*. Поэтому эта последовательность имеет точки накопления. Ясно, что множество этих точек глобально инвариантно относительно т. Вообще говоря, в этом множестве могут существовать инвариантные подмноже-

ства. Если такое инвариантное множество состоит из единственной полной геодезической, то проекция ее на (М, g) дает замкнутую геодезическую с, которая как элемент Л обладает тем свойством, что функция Е принимает на нем минимальное значение среди всех элементов из содержащей с компоненты связности Л. Аналогичным свойством обладают и кратные повторения с.

Для доказательства (ii) рассмотрим на (УИ, g) минимизирующую геодезическую с, |cj = 1, которая находится на ограниченном расстоянии от геодезической с* многообразия (УИ, g*\ Положим ус = с, 1\ДМ, g) := замыкание множества {с (<), / ^ К}. Мы утверждаем, что TVc(M, g) обладает свойством (d).

Для доказательства этого утверждения напомним, что для любого Хое71(Л4, g*) существуют такая последовательность {/„} действительных чисел ^0 и такая последовательность {тл} элементов из Г, что Нштлс* (У = Х». Из 5.3.5 вытекает, что последовательность {тлс(/„)} ограничена, и поэтому у нее имеются предельные точки Хо. Если, в частности, g*-геодезическая 4, определяемая начальным условием с* (О)=Хо, инвариантна относительно нетривиального элемента теГ, то геодезическая с0, для которой со(О) = Хо, почти инвариантна относительно т. Замыкание множества касательных векторов к геодезической с0 = ус0 на (М, g) принадлежит 71.С(М, g).

Так как Рег7г(Л1, g*) плотно в 7i(Af, g*), то существуют такие последовательность {тл} нетривиальных элементов из Г и последовательность {сл} полных геодезических риманова многообразия (М, g*), инвариантных относительно тл, что Итсл(0) = =■--с* (0), где с* —исходная геодезическая, с которой мы начали. Для каждого п существует также тл-инвариантное множество Сп, состоящее из почти инвариантных относительно тл геодезических сп риманова многообразия (Л?, g). Проекция на Ti(M, g) множества касательных векторов к этим сп принадлежит Ti^M, g). Предельное множество последовательности {тлсл}, с„еСп, содержит геодезическую о' многообразия (М, g), находящуюся на ограниченном расстоянии от с и с*.

Как и раньше, определим 7i,c-(Af, g) с помощью геодезической с'=ус'. Тогда Т11С-(М, g^aTi^M, g^ и TllC- (М, g) снова обладает свойством (d).

Продолжая этот процесс, получим последовательность с — — cw, c'=cw, cw, ... минимизирующих геодезических из (М, g),

находящихся на ограниченном расстоянии от с*. Поэтому у этой последовательности должны быть предельные геодезические. Одну из них снова обозначим через с. Множество ТХс^М, g), определяемое, как и выше, как замыкание касательных векторов к с = ус, обладает теперь уже не только свойством (d), но и свойством (с), что немедленно следует из определения с как предела геодезических cw. Свойства (а) и (Ь), очевидно, следуют из определения множества T1C(AI, g\ Это завершает доказательство теоремы 5.3.6. □

Геодезический поток на римановом многообразии без сопряженных точек стал объектом большого числа исследований. Специальный случай, когда М — замкнутая поверхность отрицательной кривизны, был изучен еще Адамаром [1]. Среди других работ, помимо Аносов [1] и Аносов, Синай [1], отметим только следующие: Картан [2], Хедлунд [2], Буземан [1], Грин [1, 2] и Эберлейн [2] (61).

Заметим, что, в частности, плоские римановы многообразия не имеют сопряженных точек. Фундаментальный результат Бибербаха (см. Вольф [1]) состоит в том, что у компактного плоского риманова многообразия есть конечное накрытие, являющееся тором. Мы примем это свойство за определение многообразий параболического типа. Точнее, будем говорить, что компактное дифференцируемое многообразие является многообразием параболического типа, если у него есть конечное и, следовательно, компактное накрытие с абелевой фундаментальной группой.

Из многочисленных результатов о римановых многообразиях параболического типа мы приведем здесь только следующую теорему Буземана [1]. .

Теорема. Пусть М —компактное риманово многообразие без сопряженных точек. Пусть, кроме того, фундаментальная группа Г : = лхМ абелева.

Утверждение. Для каждого элемента т ^ Id из Г в универсальном накрывающем М многообразия М существует семейство полных х-инвариантных минимизирующих геодезических, однократно покрывающее М. Это означает, что для каждой точки р@М существует в точности одна геодезическая в —с (0, t @R, такая, что с(0)=£, |^| — 1 и то(0 = с(< + «>), еде <в>-0 и не зависит от выбора точки реМ. Кроме того, для любой пары t0, tb to < ti, действительных чисел d (с (/0). с (/J) = t1 —10.

Как следствие получаем, что для каждого неделимого элемента x=#id из Г, т. е. такого элемента, который не может быть записан в виде т = т", где т>1— целое и т»еГ, существует

однократно покрывающее М семейство однократных замкнутых геодезических с без самопересечений, имеющих одну и ту же длину, равную периоду со отображения т: тс(0 = с(/ +го).

Замечание. Поведение геодезического потока на Т^М в этой теореме очень похоже на поведение геодезического потока на плоском торе. Хопф [1] доказал, что в случае dimM = 2 ориентируемое многообразие М, удовлетворяющее условиям теоремы, действительно изометрично плоскому тору.

Что касается ориентируемого многообразия М произвольной размерности п +1, удовлетворяющего условиям теоремы, то с помощью формулы 3.2.16 можно показать, что линейное отображение Пуанкаре Р, соответствующее замкнутой геодезической с на М, имеет вид

Р = Е" Е\0 ЕР = Е" Е\0 ЕI, где Е„ — единичная матрица размера пхп.I, где Е„ — единичная матрица размера пхп.Л п

Р = Е" Е

\0 Е

Р = Е" Е

\0 Е

I, где Е„ — единичная матрица размера пхп.

I, где Е„ — единичная матрица размера пхп.

Это в точности вид отображения Пуанкаре на плоском торе. Если бы, кроме того, удалось показать, что лагранжево Р-инва- риантное подпространство является горизонтальным подпространством при любом выборе начальной точки геодезической, то отсюда следовало бы, что М плоское.

Доказательство. Для заданного т =+ id из Г рассмотрим функцию fT: Al->-!R, pt—*~d(p, хр\ Так как Г абелева, то при каждом оеГ имеем fxip^fx^p)- Таким образом, ft достигает своей верхней грани со в точке р, лежащей в компактной фундаментальной области многообразия М.

Пусть в, |с| = 1, — полная геодезическая и в(0)=р, с (го) = = q = xp. Положим с(2ы) = Л Из неравенств

®^d(f, xf)^d(xp, xP) — d(xp, f)«=2co —со следует, что треугольник ГхрхГ — вырожденный, т. е. хГ = о(Зсо), и о инвариантна относительно т.

Пусть теперь q — произвольная точка из М. Для каждого положительного целого т имеем

md(p, xp) = d(p, xmp)^d(p, q) + d(q, xq)+...+d(xmq, ттД) =

= 2d(p, q^-Vmd^q, t^).

Разделив на m и взяв предел при т -*■ оо, получим, что d (q, xq) = = d(p, xp) = co = sup fx- Тем самым геодезическая o’, |sf |= 1, соединяющая q с xq, также инвариантна относительно т.

Вторая часть теоремы, относящаяся к М, непосредственно следует из первой части. Q•

ПРИМЕЧАНИЯ

РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

(!) В книге и особенно в первой главе используются понятия и обозначения, вводимые при бескоординатной трактовке дифференциального исчисления. В требуемой здесь степени общности—для отображений банаховых пространств— эти понятия и обозначения изложены у Дьедонне [1], Ленга [1] и Бурбаки [1). Обратим внимание иа следующее.

Пусть Е, F—банаховы (у Клингенберга — гильбертовы) пространства. Совокупность £”(£; F) непрерывных «-линейных отображений £x...x£->-F канонически отождествляется с L(E; L(E; ...L(E; F)...)). Клингенберг не пользуется никакими особыми обозначениями, которые указывали бы, рассматривается ли элемент ф s £” (£; F) как полилинейное отображение или как линейное отображение Е в Ln-1 (Е; F). Это выясняется из контекста. Так, запись ф (Xjх„) означает, что ф интерпретируется в первом смысле тогда как запись ф (х^—что во втором.

I" (Е) := £” (£; R).

£” (R; £) естественно отождествляется с Е.

Производная (Фреше) отображения f: U->F (где U—открытое подмножество в £) в точке и обозначается через Df (и), а образ вектора хеЕ под ее действием — через Df(u).x (точка внизу; иногда она опускается). Клингенберг не употребляет довольно распространенного обозначения Dxf (и) для того же образа, но в примечаниях я все же иногда буду им пользоваться. Заметим, что если отображение f; U ->■ L (£; F) имеет производную в точке и, то Df (и). х е L (Е, F), так что определено (Df (и). х). у; вместо этого часто пишется Df (и). (х, у) (ср. в а)). Из сказанного ясен смысл записи типа D^f (и) Лх, у) для f; U->F.

При £=R ввиду в) Df (и) часто отождествляется с обычной производной векторной функции скалярного аргумента

/ («) = lim (f (u+h) —f (u))

(предел в смысле сходимости по норме). Более формально было бы сказать, что f (u'f—iDf (и). 1.

Для «векторной функции / нескольких векторных переменных» производная по £му аргументу обозначается через DJ.

Отечественная терминология еще не вполне установилась. В переводе книги Ленга [1] говорится: «М является моделью для М; М есть М-многооб- разие», а в переводе Бурбаки [1] — «М есть чистое многообразие типа М». Определение многообразия можно модифицировать таким образом, чтобы: 1) топология в М не предполагалась заранее заданной, а вводилась посредством атласа; 2) образы карт могли лежать в различных (хотя и изоморфных, если М связно) гильбертовых пространствах. См. Бурбаки [1], Леиг [1].

а) Точнее, в (i) фр = рг2 = Ф | Ер, а в (ii) отображение pi—».ф^ = ф-1, строго говоря, нельзя обозначать через Ф'«Ф-1—последнее есть отображение

Ф (U f] U')xE-»- ф' (U (\U')xE. Тем не менее в дальнейшем Ф'^Ф1 часто обозначает именно отображение pi—► ф'-ф~1.

Локальные представления в Бурбаки [1] названы векторными картами, а вся используемая их совокупность — векторным атласом расслоения. При случае мы тоже будем пользоваться этой терминологией.

В приведенном определении векторного расслоения, очевидно, подразумевается, что в каждом слое заранее введена структура банахова пространства. Определение можно модифицировать таким образом, чтобы структура банаховых пространств в слоях тоже определялась с помощью атласа. У Бурбаки [1] такое определение принято за исходное.

Если вместо дифференцируемости отображения ф'=ф-1 требовать его непрерывности, то получится определение непрерывного векторного расслоения.

В широком (и неформальном) смысле слова, связность в дифференциальной геометрии —это то, что позволяет говорить о ковариантном дифференцировании, параллельном перенесении и т. п. Если, скажем, первичным понятием является отображение (£, и) ।—» V|. и (см. замечание автора после определения ковариантной производной), обладающее определенными свойствами, то его и называют связностью. Такое определение связности одно время было господствующим. Отображение К при этом называли не связностью, а отображением связности, см. Громол, Клингенберг, Мейер [1), Флашель, Клингенберг [1] и Элиассон [3]. Но подход, при котором первичным понятием считается К, имеет некоторые преимущества (и, кстати, ближе к первоначальному определению), что и отразилось в изменении терминологии.

а) У Элиассона [3] для К используется термин local connector. Собственно, следовало бы писать Гф ф и Кф> ф, а ие Гф и Кф. Обозначения в настоящих «Лекциях» связаны с тем, что в дальнейшем рассматриваются преимущественно связности в ТМ, причем используются естественные векторные карты, соответствующие картам многообразия М, так что ф однозначно определяет Ф.

В классическом смысле (относящемся только к евклидову, т. е. коиечно- мериому, случаю) символы Кристоффеля (второго рода)—это коэффициенты Гу6 в координатном представлении Гф: если

М=КЯ, £ = Рт, Тф.у = (у1у"), Ф? = (^, ..., 5т).

то

t-я координата Гф(х).(у, 5) =5]rL(ф(*))у-'6А-

М=

Нетрудно установить, что символы Кристоффеля для локальных представлений (Ф, ф, U) и (Ф', ф', U') связаны посредством следующей формулы преобразования:

(Ф' - Ф~Ч Гф- ф = Г^, ф,. (D (ф' • ф"1)X (Ф' - Ф-1))+D (Ф' - Ф-1)

на ф(С/(К/')хЛ1х£ (здесь ф'-ф-i рассматривается как отображение <y(UnU')-*L(E; Г)).

Пусть {(Фа, фа, (7а)}—векторный атлас для Е. Пусть для каждого а заданы дифференцируемые отображения Га: фа (Ua) -*L(M Е; Е), причем Га и Гр для любых а, р связаны посредством формулы преобразования из б) (разумеется, с заменой ф, ф', Ф, Ф' на фо, Фр, Фа, Фр)- Тогда в Е существует связность К: ТЕ ->■ Е, для которой Га являются символами Кристоффеля. Именно, определив с помощью Га отображения Ка: фа (UQ)xExMxE-► -*Фа(иа)хЕ, получим, что Ка и Кр представляют одно и то же отображение ТЕ-+Е над ^аП^р-

Точнее в локальном варианте (») (для сравнения с (*»»») в нем надо заменить и на и) фигурируют £ф (х) и т]ф (х) — функции от х е ф (V) со значениями в £ (в данном случае в М), тогда как в (»***) вместо них фигурируют

постоянные векторы и и ш. Поэтому (****) не совпадает в точности с локальным вариантом (*), однако эти две формулы эквивалентны. Действительно, левая часть локального варианта (*) есть

Щ&р (*))(Вф W. Пф W) • и =

—Dgq, (х). и ^ (х), г),, (х)) +§ф (х) (D^ (х). и, г]ф (х)) +£ф (х) (^ (х), От]ф (х). и). Заменив первое слагаемое в правой части согласно (****), получим после очевидной перегруппировки членов

йф W (О^ф (х). u+Гф (х) (и, ?ф (х)), Пф W) +

+йф (*) (Вф W. О^Ф (*) • “+Гф (х) (и, Т)ф (х))), т. е. правую часть локального варианта (*).

Введенные здесь «производные в горизонтальном и вертикальном направлениях» Dvf © и Dj (У можно определить и в более общем случае дифференцируемого послойного отображения / расслоений Е и F с любыми (не обязательно совпадающими) базами М и N. Поскольку область определения Т^Е отображения D2f СЕ) отождествляется с Елу a im D^ @ с Т^^Е, причем последнее пространство отождествляется с Еяу то под D^ (£) часто понимается отображение

^(4) ° rf ® ° ^ ЕяХ рф/Ф-

(о J^ см. подстрочное примечание перед 1.1.1.) Например, фактически это так в 1.2.5. У DJ можно заменить область определения Ту^Е на Т^М. (Впрочем, это не важно, ибо DJ далее не используется.)

Аналогично для любого дифференцируемого отображения /: Е-»- N, где Е—по-прежнему дифференцируемое векторное расслоение надМ, a N—многообразие, можно определить

V J (В) :=Tf^o (Гл | Еу^1: Т^М -* T^N,

^©;=Tf®.Jt E^TftyN

(они используются в § 1.3 для / = ехр: ТМ-*-М}. Определения Ох и ^ зависят от используемой связности в Е, a D2 н V2 не зависят (поэтому Элиассон [3] пишет: Vj и О2).

Полезно иметь в виду еще следующие утверждения.

'. Пусть Ei, ..., Eh, F—конечномерные непрерывные векторные расслоения над S. Тогда естественные вложения

СЦ1ЛЕ1Eh‘, Р^НН-ЦЕО, СЦЕ^, .... С” (£»); Я»(Р)),

C»(L(E1Efe; F))->L(C4Ei), С» (EJ, .... С® (Eh}; С» (F}} непрерывны.

'. Пусть © — такое открытое подмножество в тотальном пространстве конечномерного непрерывного векторного расслоения л: Е -* S, что ©t := = © 0 л-1 (0 с Е( при всех teS непусто. Тогда в С® (F) := {непрерывные сечения} {о соответствующей топологией} множество

С® (©} := {$ s С° (£); £ (/) е ©tnpu всех / s S} открыто.

'. Пусть л: Е -*S и © с Е такие же, как в 1.2.3'. Пусть <р: F -► S — непрерывное конечномерное векторное расслоение, a f: ©-t-Е—непрерывное послойное отображение. Тогда индуцированное отображение f: С® (©)-»-С® (F) непрерывно.

'. Пусть, в дополнение к условиям 1.2.4', ограничения f на слоях дифференцируемы {«f послойно дифференцируемо»} и отображения D^; ©

-*■ L* (Е; F^, сопоставляющие каждой точке k-ю производную f по слою в этой точке, непрерывны при всех к. Тогда индуцированное отображение р С6(0)^>- -►С6(Р) дифференцируемо и Df = (D2f)~ (здесь подразумеваются отождествления, аналогичные указанным в подстрочном примечании к 1.2.5).

Доказательства отличаются от доказательств 1.2.2—1.2.5 только некоторым упрощением (не надо дифференцировать по f).

(е) а) Не утверждается, что обязательно Н1 V©c, А * Ф при ©с.а^Ф- При наложенном пока что условии на е, сформулированном в 1.2.6, этого нельзя гарантировать. Так, для Л1 = 5 наложенному условию удовлетворяет любое е <1/2, в то же время если е>1/4, то 8-окрестности любых двух точек пересекаются, так что 0с,а^Ф дл® любых с, d; S->S, в том числе и имеющих разную степень. Если бы в последнем случае существовало такое непрерывное е; S->- S, для которого ds (е (f), с (0) < 8 и ds (е (/)), d (/)) < 8 при всех t, то с и d были бы гомотопны е, т. е. имели бы одинаковую степень.

Потребуем, чтобы лемма 1.2.6 была справедлива с заменой в на 2е, и будем по-прежнему работать с 0 = 0е. Тогда Н1 (0С, Д * ф при ©с,а^Ф- Действительно, теперь из 0С,Ф следует, что dll') можно представить в виде d (2) = ехр т*с£ (0, где £е№ (с*ТМ) и | £ | < 2е. Тогда кривая ехрс (VaQ содержится в U (с)П^ (d).

Если бы вместо 1.2.8 мы попытались доказать аналогичный факт для с, dsH1(S, М), то вместо 1.2.5 нам понадобилось бы некое утверждение о более громоздкой формулировкой (вместо дифференцируемости / в нем говорилось бы о различной степени дифференцируемости в различных направлениях).

) а) Для удобства читателей приведем формулировку используемой здесь теоремы 16 из работы Пале [3].

Пусть Их и Vo—локально выпуклые топологические векторные пространства и f; Vi-* Vo—непрерывное линейное отображение, образ которого плотен в Уо. Пусть U6 — открытое подмножество в Vo и U1 := f-1 (У0), причем U6, U1 паракомпактны (что заведомо выполнено, если Ио. Ki метризуемы, и тем более в нашем случае банаховых Ио, Ki). Тогда f\Ub. U1^-^—гомотопическая эквивалентность.

Хотя доказательство с помощью ссылки на «общую теорию» является в некотором смысле простейшим, вероятно, многие читатели предпочли бы обойтись без этой ссылки. В связи с этим отметим, что рассуждение, которое по несколько иному поводу имеется у Милнора [1] (теорема 17.1), без труда переносится на наш случай.

) Иными словами, если ^, £а е (а0)-1 кМ ©П^ (<0), °с° ©) = “° (£2)=^ Фо, с кУ = 6- П/)> Фо, а кУ = (X. ^ (< = 1 ■ 2), то <GC (J) г]!, т)2>о = <Gd (х) <ov <о2>о, так что это число можно принять за ga;0. Действительно, оба выражения совпадают с интегралом j(£i(0> Ук^еФ^ (что> кстати, доказывает его «ходимость). Этот факт для сечений следует из аналогичного факта для векторов: если g, -Пх, 1)8 е ТХМ, & = Va exp ©. tf, е ТгМ, то (G © г]ь т]2)х = <V2 exp © . т]ь Vaexp ©. т)з)ехр£~ (£ь£а)г- Ясно, что можно с самого начала определить ( •, фо на Не (е*ТМ) при всех ее Н1 {S, М) как написанный выше интеграл (сходимость которого в этом случае ясна заранее). С этой точки зрения содержательное утверждение теоремы 1.3.3 состоит в том, что эта метрика имеет надлежащие свойства дифференцируемости.

(та) а) формула преобразования для символов Кристоффеля, соответствующих локальным представлениям (ФО с, expji, U (с)) и (Фо d> exp^1, 27(d)) расслоения а0, имеет вид (ср. (5) б)):

(Фо^-Фо/с)©.^©.^))-

Ч(Й • (D (ехр5* • ехре) © . т), (Фо, „ - Ф^) © • Е) +

^(^(Фо.^’ФоЛ)^) П)-С

12 В, Кдмнгенберг

при (Е, Т), QeH4©c,d)XH4^TM)xHe(c*TMy, х = ехр5'.ехрсЕ, a ®0;d.®o*c интерпретируется здесь как отображение Н1 V®c,d)~*L (Я0 (c*TM); Я0 (d’TAI)). Вспоминая определения входящих сюда величин, получаем, что выполнение этой формулы преобразования эквивалентно тому, что при почти всех / выполняются формулы преобразования для символов Кристоффеля, соответствующих картам ((expire,/,)-1, ехр^с(/)), ((ехр | ®й ю)-1, exp^d(<l) многообразиям, при значениях аргументов т*сЕ (/), т*<л\ (/), т*сЕ (/) (причем в правой части Г берется в точке т* dx (0 = expд1^ - ехрс^ . с*тЕ (0).

Формула

(№0 ©. п) • С. е^=<о ® г ®. (Г), 9, 6>Т6+<о (9 г ©. (и в), 9п

(Е, ’ll 9 6 —векторы) является формулой (»*»») из § 1.1, записанной с использованием введенного выше выражения для римановой метрики в М с помощью G в карте ((ехр | ©ХТ\ ехр 0Х\ Из этой формулы сразу следует приведенная в тексте аналогичная формула для Gc и Гс (в которой Е> т], Е, 0—уже не векторы, а сечения соответствующих расслоений).

Параллельное перенесение, отвечающее введенной связности в расслоении а®, легко описывается в терминах геометрических построений в самом М.

Пусть s ।—> с (s), а ^ s ^ 6, — кривая класса С1 в многообразии Л, и пусть задано Ео <= (а°)-1 с (°), a Ei е (а0)-1 с (s) получается из Еа параллельным перенесением вдоль этой кривой. При каждом s имеем некоторую замкнутую кривую с (s) в М, т. е. с (з) есть отображение S -► М; вместо с (з) (() будем писать с((, s).

При каждом teS кривая yz: st—>с(t, з) является (2-кривой в М. Эго следует из дифференцируемости отображения

«у Л->М, ev/(c) = c«).

Последняя очевидна, если воспользоваться картами (ехр™1, У (с)) в Л (с какой- нибудь фиксированной кривой с г С°° (S, М); при любом з0 все с (з) с достаточно малыми |s —So| лежат в некоторой такой карте) и ((ехр | ^ (Z,)-1, ехр^с,/,) в М: отображение

ехР(expirein)-1

©с ®WехР © с «>©с </>

имеет вид Е1—► 6 (О, т- е- получается при ограничении на ©с композиции Н1 (с*ТМ) -> С° (с*ТМ) -► Тс khM непрерывных линейных операторов. Кстати, отсюда же видно, что если е(з)=ехрсЕ ($)> где Е($) есть Я^сечение расслоения с*ТМ, имеющее в точке teS значение |(/, з), то значение в точке t сечения dE (s)/ds (которое существует, ибо s ।—*- Е (з) есть С^фуикция) равно дЕ (f, s)/ds. В частности, эта последняя производная существует; при этом она непрерывна по (/, s). Действительно, если Д—замкнутый интервал оси з, для которого Е (Д) с # (с), то

Д^®С®(Д, Н1 (с*ТМ)) с_> С® (Д, С® (с*ТМ)) с_>С» (5хД, с»ТМУ

где все естественные включения непрерывны.

Геометрически t,a описывается как некоторое векторное поле Ь—*-т*с(а)» «Еа (О вдоль кривой с (а) в М, определенное, правда, только при почти всех t. (Точнее, Еа есть класс таких полей, отличающихся одно от другого только на множестве меры нуль; возьмем какое-нибудь из них.) При каждом t, при котором определен вектор т*с (а) Е (О е Тс d> О)М, перенесем этот вектор параллельно вдоль кривой у/. При каждом $ получим некоторый вектор в Т^^М, который обозначим через Е (А $)• При фиксированном s имеем векторное поле вдоль кривой с (s):

E(s): t^^t, s).

определенное при почти всех / (одних и тех же при всех s). Оказывается оно и является полем t,s (точнее, одним из его представителей).

Чтобы доказать это, надо проверить, что £ (s) е Н° (Я1 (S, М)* ТМ) и ^^(s)—0. Можно ограничиться случаем, когда вся кривая c(s) лежит в 2/(с) (в общем случае надо последовательно рассматривать кусочки, лежащие в пределах таких «координатных окрестностей»), так что с у, $) = ехрс(/, ^«, s), а £((, $) можно представить в виде £(/, s) = Vaexpg(/, s)).rj(/, s). При почти всех ( имеем ^E(t s)=0 при всех s, т. е.

^М+г (6 (Л а)). (№^, Т) (/, s)}=0.

(При фиксированном t мы воспользуемся фиксированной картой ((exp I ©с (/|)-1, exp ©щД в М.) Очевидно, имеют место соотношения (М, — некоторые константы)

I 5s I ds|| ds Hi v

Ша, s)|^M2|g(f, s)|, |r©.(§, п)|<Мз|5||т]|.

I 5 (^ s)! = l£a> °) I (свойство параллельного перенесения). Поэтому ввиду (а)'

Idn^^lr^^, r^MtWI^OHMlr^^^

с некоторой константой М.

(а) является линейным дифференциальным уравнением для г) как функции s, непрерывно зависящим от параметра L Пусть т] (s; т)о, /) — решение (а) с начальным значением т)(а; %, 0=Па- Оно непрерывно по (s, г|а, /). Очевидно, т| (/, s) = r](s;(/), f), где т]а(/) служит представлением для

т*с (°) Са (0 в карте ((exp | ©с f,,)"1, exp ©с ,<,). Отображение

S-*c*TMxS, / ►—► (По (0, 0.

измеримо. Значит, при каждом s измеримо отображение

(•—►na, s)-n(s; Иа(0. 0,

ибо непрерывная функция от измеримой функции измерима. Теперь из (а) следует, что и отображение /►—►dqy, tyds измеримо.

Поскольку J |T*c(a)Ja(OI*d«oo, из (б) и из измеримости /i—►dr)(f, s)/ds следует, что J | dt) ((, s)/ds |* dt < со, так что можно говорить о сечеиии т (s) г Я® (с* ГМ), для которого у (s) (t)«5r) ((, s)/ds; при этом ||х (s)lloe5M|IWo- Далее,

Ina, s)l^lna, ")1+^ |^-^р^|г|(<, a)| + Ms|T*c(a)Sa(0|.

Отсюда и из измеримости (в) следует, что (| т] (/, s) j2 di < со, так что можно говорить о сечении t] (s) е Я® (с*ТМ), для которого n(s)a) = na> s), u 12*

0 ®o‘c(c(s)’ ^W); ясно, что последнее есть g(s), так что ^(s)e//°(№(S,Af)*7'Af). Осталось доказать, что при всех s существует производная dr} (s)/ds, так что0 ®o‘c(c(s)’ ^W); ясно, что последнее есть g(s), так что ^(s)e//°(№(S,Af)*7'Af). Осталось доказать, что при всех s существует производная dr} (s)/ds, так чтоможно говорить о ^ С (s)> и чт° главная часть локального представленияможно говорить о ^ С (s)> и чт° главная часть локального представления®0, с®0, с(==<-)(==<-)(г)(г)^+Гс<т-№г. n(s))=O.^+Гс<т-№г. n(s))=O.

0 ®o‘c(c(s)’ ^W); ясно, что последнее есть g(s), так что ^(s)e//°(№(S,Af)*7'Af). Осталось доказать, что при всех s существует производная dr} (s)/ds, так что

0 ®o‘c(c(s)’ ^W); ясно, что последнее есть g(s), так что ^(s)e//°(№(S,Af)*7'Af). Осталось доказать, что при всех s существует производная dr} (s)/ds, так что

можно говорить о ^ С (s)> и чт° главная часть локального представления

можно говорить о ^ С (s)> и чт° главная часть локального представления

®0, с

®0, с

(==<-)

(==<-)

(г)

(г)

^+Гс<т-№г. n(s))=O.

^+Гс<т-№г. n(s))=O.

Будет доказано, что

(д)^lim Ц (г| (s+й) - г| (з)) -х (з) ^ - О,

так что производная dr] (s)/ds действительно существует и равна х (s), а сечение Н°(с*ТМ), являющееся левой частью (г), принимает при почти всех t значение

^^+га(/, s)U^^A n^.s))

и ввиду (а) равно нулю, (д) означает, что

во-первых,во-первых,Пт^ |y(n(s, t+H)-x\y, s))-^^-^|ed(=0.

во-первых,

во-первых,

Обозначим подынтегральное выражение через Ф2 (/, h). Тогда, lim ф (/, А) = 0 при почти всех / и, во-вторых,

/1-»0

sups ^ г С s + hsups ^ г С s + h^|+|^|<2wm«>e.<oi^|+|^|<2wm«>e.<oi

sups ^ г С s + h

sups ^ г С s + h

^|+|^|<2wm«>e.<oi

^|+|^|<2wm«>e.<oi

(см. (б)). Отсюда следует, что lim \ ф8 (/, Л) dt=O. В самом деле, пусть даио й — о $.

в > 0. Существует такое б > 0, что если мера тез В < 6, то

4М8 j|T*c(a)£e(0|8dt<e.

Положим

An = {t; teS, ф8((, й)^в при всех й<1/п}.

Множества Ап измеримы. Действительно, ф (/, й) непрерывно по й, поэтому в определении Л„ вместо всех й < 1/л можно говорить о всех рациональных й<1/п, так что Ап является пересечением счетного числа множеств вида {(; #е5,ф(Ц)<е}-|(; ieS, |-J-(na, «+й)-т)(Л s))-^^' $)|^ej, которые измеримы ввиду измеримости сечений

tl—*Т](/, $ + й),<1—>Т)(/, s),ti—►^-

Далее, ясно, что Ап возрастают с ростом п и mes(S—иЛ„)=0, так что mes(S—Лл)<6 при достаточно большом п. к тогда при й< 1/п

$Ф*(<, h)dt= $ фаК, h)dt+ ( ф«(/, Л)Л^2е.sАпs~An

Р3) Сформулированное утверждение фактически означает, что Va,d (е). £ = = Veg для любой кривой е е Сю (S, М), ибо для такой е можно взять карту (ехр*1, U (с)) с с=е. Однако его доказательство не намного проще, чем доказательство той же формулы Va„d(e). J = V^ в общем виде—в предположении, что беНЦ8, М), ^gH^^TM) и, вообще говоря, е^с, которое и будет приведено.

Мы хотим доказать, что

(Т*с)#- - [V2 exp (т* eg (О)]-1«т*е . Vcg (О -

=vcr] (O+Daec (g (0). П (0+гс (g (0) • <11 (0. a A ^Y

При сделанных предположениях во всех точках teS, кроме, возможно, точек некоторого исключительного множества N меры нуль, существуют ё У) и (TQt. Тогда для любой карты (ехр”1, Ы (с)у содержащей е, если ®lc(g) = (t, т]), го при всех teS-N существуют (Тт])/ и (Tg)^ Значит, при всех этих t существуют ЧД (Z), Vct] (/) и dJi (П, а потому в (а) имеют смысл обе части. Их равенство будет доказано при всех teS-N.

Положим при t g S и seR

£(t s) := £ (O+sti(O.

Ясно, что при достаточно малых $, скажем при ss/ = (—е, е), сечение Е5 = Е+$т] е № (0^, так что можно рассмотреть кривые ^ := ехрс (g + siq): /1—* f (i, s) := exp (T*cg у, s)). Когда s меняется, g (/, s) находится в одном и том же слое (с*т)-1 (0 расслоения с*ТМ, поэтому

Dj У, s) = V2 exp (T*cg y, $))» t*c , r| (0,

W, О)=т*е£(0.

Пусть <o e S— N. Мы хотим написать представление для т*е?^ у») в терминах «подвижной» (изменяющейся с изменением 0 «системы координат» ((ехр«(т*с)< | 0С, г)-1, ехр 0С «>). Для этого опишем нужные нам величины в терминах «неподвижной системы координат» ((ехр , 0С ^у1, ехр 0С ^^ которую обозначим короче через (ф, UY При t=to подвижная система, по существу, совпадает с неподвижной с точностью до изоморфизма (т*с)(о; (с*т)-1 (;0) -► Тс (<о)М, поэтому при t=t0 несложно связать описания различных величин в терминах «подвижных» и «неподвижных» систем координат.

При достаточно малых А и / будет

ехрт*с([0, 1П(Д, /))с(/

(в частности, с(Д) с: LT). Положим при у, $) е Дх/

х (/) := <р • с (0,ф У, $): = ф = / У, s),

go (0 := Рга - (7"Ф) - т*с . $ (0, т)о (0 := рг8«(Тф). т*о . Т) У),

Ъ>У, $):=рга.(Г<р).т*с.Е(/, s) = Eo+sr|oW.

Ясно, что ф у0, $) = Ф (/ (/0. s)) = (т*с)/(> (Е у0) + st) у0)\

ф(/0, О) = т*сЕ(<о), О2ф(?о, s) = t*ct)(^)-

Кроме того, поскольку

[V8 exp (т*с$ (/о))]'1 = рга - (Гер | Т{(#oi 0)М),

то

т*с . дД (Zo) = (образ де (to) = DJ Уо, 0) под действием (г)) = О,ф (f0, 0).

Далее, ясно, что т]0 и g0 непрерывны при всех t и дифференцируемы при / = (0 и что ^ непрерывно и обладает следующими свойствами дифференцируемости:

(ео)(Жд)(з0)Если(ео)(Жд)(з0)Еслипри любом s существуют D^g (<0, s) и DgDjgg (/g, s);

(ео)

(Жд)

(з0)

Если

(ео)

(Жд)

(з0)

Если

{при любых t, s существует Da£0 у, s) и при любом s существует В^ДоУо, $);

DiD2^o Уо, ) = Т]о Уо) = ОУЗД, у0, $).

х s ®с^ достаточно близко к х у0) =0, а £—к £0 Уо), то определено

С°°-отобр ажение

(х, g) t—► F (х, g) := <р«exp = Т ехр . (х, У

(здесь использовано естественное отождествление ®с^6')ХТсу^М = Т@с^у Уменьшив, если потребуется, Д и I, будем считать, что область определения F содержит х(Д)х^(Д, /). Тогда при у, sle^xl

Ь«, s) = F (x(t), ^У, s)).

Поскольку F и х(-) —класса С°°, то из (ед) и (ж0) следует, что £t обладает свойствами дифференцируемости (ех) и (ж^, аналогичными (ед) и (ж0). Далее, из (и).

В^&Уо s)=D*F(xy0), ^Уо, s)) . DJdjU Уо, $)+-.,

D^D^ Уо, s) = D2F (х Уо), ^оУо, $)). ОД^д у0, $) + ...,

где члены, обозначенные многоточием в (к) и (л) совпадают. А тогда ввиду (зд)

(1)ОгВ^Уо, s) = DaD1^1yo, s).

^ у, s) служит локальным представлением в карте (ср, U) для / у, s). Из (et) и (ж^ следует, что существуют DJ у», s), Dafy, s), ЧгОу Уо, s) и Чуд^Уо, s). Теперь очевидное вычисление в терминах локального представления, использующее (жг) и отсутствие кручения у связности Леви-Чивита, показывает, что

С4) Карте (ехр~‘, *jP (с)) отвечает локальное представление (векторная карта) (Техр”1, ехр~‘, б'|Р(с)) расслоения ТМ, т. е. а1. Очевидно, отображение

Т exp-1: (W П ТСМ) х № (с* ТМ) -> Т»У (с) = (а1)"1 ^ (с)

определяется такой же формулой, что и введенное в начале этого параграфа отображение Ф^ (только теперь не предполагается, что с е С” (S, ДО), так что можно обозначать его через Ф, ^ тоже. Естественно рассмотреть аналогичные карты для расслоения а®. Как и в начале этого параграфа, определим

Ф^с: (^П ТсМ)хН« (с*ТМ) (а®)-* ^ (с)

(той же формулой, но уже не считая, что се С°° (S, М)). Покажем, что (Фо^.ехр-1,(с)) — действительно векторная карта расслоения а®. Доказы

вая 1.3.1, мы фактически проверили, что Ф,1 действительно переводит ^хНв(с*ТМ) в (а°)-1ехрс^ (даже не только при ^e'W' У\ТСМ, но и при | G Я1 (0С)) и что ограничение Ф^ | ^ХЯ® (с*ТМ) является ограниченным линейным оператором, имеющим ограниченный обратный. (См. последнее подстрочное примечание к этому доказательству.) Остается проверить согласованность рассматриваемой карты с прежними: если d еС” (S, М), то отображения

Фо.а-Ф^с- KWW^-.-L^^TMy, H°(d*TM)),

Фвс-Ф^<У ^(.c)n«(.d)-*HH4d*TMy, НЦс*ТМ))

являются дифференцируемыми. (По поводу обозначений см. комментарий в (’), а).) Проверим, скажем, дифференцируемость первого из них, для чего представим его как композицию

U (d) П ^ (с) — С® (L (с*ТМ; d*TM)) -+ L (Н» (с*ТМу, Н» (d*TM)).

Справа стоит естественное вложение, являющееся ограниченным линейным оператором (ср. с 1.2.2' в (8)), а ф сопоставляет кривой с = ехрс £ = ехр^ т) непрерывное сечение расслоения L(c*TM; d*TM); значением этого сечения в точке / е S является линейное отображение

(т*^1 = [V2 exp (т* dr> (О)]'1 ° V2 exp (т*с£ (/)) - (т*с)(

пространства (с*т)-1 (О в (d*T)-1 (/). Достаточно доказать дифференцируемость отображения

ф = ф °ехрс | exp-i ^U (d) Г) ^ (с)).

Определим ®с,а и fa, с аналогично тому, как это делалось при доказательстве 1.2.8. Тогда, с одной стороны, очевидно, что /d, с послойно дифференцируемо и производные D*^ с непрерывны на всем ®с d. Поэтому (см. (8), 1.2.5') существуют производные Dkfd c = D^fd с (волна сверху теперь обозначает переход к индуцированному отображению пространства непрерывных функций); в частности, 6^d,c дифференцируемо. С другой стороны,

Ф = (°Х, с)6 (вложение ехр~> (# (d) П У (с)) с^. С» (®d с)).

С6) Название «интеграл энергии» связано с наглядным представлением о кривой с как о неоднородно растянутой упругой однородной гибкой «беско-

нечно-тонкой» нити, t играет роль «лагранжевой координаты», жестко связанной с некоторой частицей нити; в рассматриваемом натянутом состоянии эта частица находится в точке с (f). Однако свойства воображаемой нити с потенциальной энергией Е (с) мало похожи на свойства реальных упругих нитей даже сильно идеализированных (достаточно сказать, что в ненатянутом состоянии длина нашей нити должна равняться нулю). В линейной теории упругости потенциальная энергия нити описывается квадратичным интегралом j | й (0 |2d0 но здесь и (0 описывает ие положение, а смещение частицы с лагранжевой координатой t

При другой наглядной интерпретации можно представлять себе, что по с движется материальная точка, занимающая в момент времени t положение с (0; ее кинетическая энергия равна у (с (0, с (0), а никаких «внешних сил» нет. Тогда Е(с) (не только для замкнутых, ио и для незамкнутых кривых с = (с (0), a^t^b) — это известный в аналитической механике функционал действия, (точнее, действия по Гамильтону), а 1.3.11—это частный случай принципа Мопертюи — Лагранжа — Якоби.

В многомерных задачах аналогичный функционал часто называют «интегралом Дирихле».

(г0 В конце этой выкладки используется то, что при каждом фиксированном s отображение

(a) Sh-TM, s), os

является векторным полем вдоль х (s) класса Н1. Последнее же доказывается так. Для любого $0 имеются такие окрестность / э s0 в [0, 1] и кривая се eC°°(S, Al), что x(/)g#(c). Тогда g (s) := exp-1 x (s) e H1 (c*TM), и поскольку зависимость x(s) от s дифференцируемая, то d£(s)ldseH1(c*TM). Но

(то же рассуждение, что и при проверке (11) в доказательстве 1.3.1). Значит, поле (а) является образом при отображении ф-‘с поля d£(s)/ds из Н1(с*ТМ) и потому принадлежит И1 (х (s)* ТМ).

Подробнее содержание последнего абзаца заключается в следующем. Пусть g е ТрМ, а g' е ТрХ° таково, что т*ср£' =£ (т. е. g' есть то же самое рассматриваемое как постоянное сечение в с*ТМу Ясно, что (§', g')t = = <£', ^')о=(5, £>р. Но в то же время g' = (Ti)p^. Действительно, очевидно, что ехрСр (з£')=сехр (ф при достаточно малых s, а отсюда

^“ds|s=0 exp<:P(s^ = ^|s=ocexP '^>=(Г0р ^^/^(^“(Т’Ор^

Тем самым доказано, что i— изометрическое вложение.

Значит, dA(cp, Ср^^^м^Р- P'V Осталось доказать обратное неравенство. Пусть х (s), O^s^ 1,—дифференцируемая кривая в Л соединяющая ср с ср,. Докажем, что dM(p, р')^Цк).

Сколь угодно мало увеличив L (х), можно считать, что dx (s)/ds ^ 0 прн всех s. А тогда можно считать, что дифференцируемая кривая х параметризована пропорционально длине дуги, так что |dx(s)/ds|!=L(x) при всех s. Обозначим х(0 s):=x(s)(0, //:= длина кривой s,—»х(0 s)(O^s^l) в М. В нашем случае все эти кривые соединяют р с р', поэтому dM(p, р')^

^2/ при всех t и

1*112

»м & р’^ чIds=

s so

(*•) а) Непосредственный переход от условия

(Vt|, ?5>0 + <я, g)o=<^, Vg>0 для всех £ е Я1 (с*ТМ),

определяющего т) = grad £ (с), к уравнению

■V*rj(O-n(O=Vac(2)

предполагает не только, что дс е №• (с*ТМ), но и что Vt] е Я1 (с*ТМ), а последнее a priori не ясно. Однако можно рассуждать «в обратную сторону». Если г]—решение (б) (т. е. г] е Нх (с*ТМ), Vt] г Н1 (с*ТМ) и почти при всех t выполняется (б)), то взяв ( •, • ^-произведение с £ и проинтегрировав по частям, получим (а). А так как градиент определяется однозначно, то отсюда следует, что t)=grad Е (с). Таким образом, надо доказать, что (б) действительно имеет решение. Если рассматривать Z не как точки S, а как вещественные числа, то решение, конечно, существует. Однако в этих терминах нам нужно не просто решение, а решение, периодическое по t с периодом 1. Поскольку решение однозначно определяется начальными данными t](0) и Vt] (0), а т](2+1) является решением (6) одновременно с г) (/) (правая часть (б), очевидно, периодична), то периодичность эквивалентна тому, что

t](O) = t](l), Vt](O) = Vt](l).

Положим « = t] + Vt], u=t]—Vt). В новых переменных (б) переписывается как система

V« = « + V дс,Vv = —u — '7dc,0^2^1,

а условие (в) —как

(Д)и(0) = «(1),0(0)=о(1).

Пусть £х£я —ортонормированный базис в (c*r)~i (0). Возьмем такие ^: R-*c*TM, что с*т^ (/) = /mod 1 и Vc^ = 0. Так как ^ (1) s (с*т)-1 (0), то & (1) можно разложить по базису ^ (0):

&(D = S^/(0)./

Матрица А = (ау) — ортогональная (сохранение скалярного произведения при параллельном перенесении вдоль кривой). Если теперь г (2) = £ х; (2) ^ (2), то условие z(0) =2(1) эквивалентно тому, что

xj ^)~^iaHxi (О.

i

или, записывая хг, ..., хп в виде столбца xeR”:

х(0) = Ах(1).

Пусть Vdc = 2 Фг (2) ^; (2); обозначим через <р столбец, состоящий из <рь ..., <р„. Будем искать решение и, и краевой задачи (г), (д) в виде

'u = LxiW^iW.v = LHiW№

В терминах векторов-столбцов х, у задача принимает вид

(е)

(ж)

Из (е) получаем

^ = х+ф, у = — у — ф, х(0) = Лх(1), у(0) = Лу(1).

t'

х (/) = е^х (0) + е^ф (т) dt,

t

у (t) = erty (0) — ( ег1+Ч (т) ^т,

и (ж) сводится к тому, что

(8)

(еЛ - Е) х (0) = - Л е^ф (т) А, 0

(и)

1

(е-1 Л — Е) у (0) = Л § е~1+тф (т) du. 0

Ввиду ортогональности Л матрицы в левых частях (з) и (и) невырожденные, так что эти уравнения разрешимы.

б) В а) никак не использовалось, что в правой части (б) стоит ^дс, а не какое-нибудь другое % е Н° (с*ТМ); дифференцируемость же с использовалась лишь постольку, поскольку она позволяет говорить о ^дс. Поэтому для любой кривой с е ХМ и любого сечения у, е Н°(с*ТМ) уравнение

(к)V2^) —п(0=Х(0

имеет единственное решение г]в№ (с*ТМу (Если у не непрерывно, это надо понимать в том смысле, что г) е Н1 (с*ТМ), Vt] е Н1(с*ТМ) и (к) имеет месте при почти всех t. Если же %eC°(c*TM), то V2q е С° (с*ТМ), и (к) имеет место при всех t.) Естественно обозначать г] через (V2—1)-1у. При этом для всех ^еНЦс’ТМ) имеем (Vr), V§>0 = — <V2Tq, g)0, так что (г), £>i=—(у, банными словами, оператор

(l-V2)"1 := —(V2 — I)-1: Н° (с*ТМ) НЧ^ТМ)

является сопряженным к тождественному вложению

к НЧС*ТМ)-+НЧС*ТМ).

Последнее компактно, а оператор, сопряженный к компактному, компактен; отсюда следует компактность (V2—I)-1. (Ее можно вывести также и из интегральных соотношений для решения уравнения (к).)

Заметим еще, что при ceC”(S, М^ оператор (V2—-I)-1 повышает гладкость: если х^СЦс’ТМ), то (V2 — I)-1 х е С1*4 (с*ТМУ Действительно, в этом случае условия V2t] е Cs (с*ТМ) и т] е С$+2 (с*ТМ) эквивалентны; если теперь

9=max{s; (V2— 1)'1у е С$ (с*ТМ^,

то ввиду (к) V2 (V2— О^у е Cmin(,?’ г) (с*ТМ), т. е. 9^min(?, r) + 2, q^ ^/"+2.

Чтобы определить линейный оператор, надо указать не только го, как он действует на функции, но и то, функции из какого именно функциональ-

ного пространства берутся в качестве его аргументов и в каком функциональном пространстве рассматриваются его значения. Иногда это ясно само по себе, а иногда должно быть специально пояснено. Тривиальный пример: выражение «оператор, переводящий g в £» можно понимать в трех смыслах: как оператор №-*Н\ Н°-*Н° и Л1-»-//0 (мы ограничиваемся здесь теми функциональными пространствами, которые преимущественно используются в этой книге). В последнем случае мы имеем дело с компактным оператором i, тогда как в первых двух операторы id#i и id/yo не компактны. (Так называемые «свойства оператора», например компактность или самосопряженность, являются в действительности его свойствами по отношению к определенным структурам в тех функциональных пространствах, где он действует, и оттого зависят от последних.)

Выше мы рассматривали (1—V2)-1 как оператор из Н° в Н1 и видели, что он совпадаете I*. Но можно рассматривать (1 — V2)-1| только для £е//1(с*ТМ), а областью значений по-прежнему считать Нх (с*ТМ). Это будет уже другой оператор—не i*, a i*i (ибо можно сказать, что сначала ge Л1(с*ТЛ4) вкладывается в Н°(с*ТМу. Ei—► ig, а затем на «Е действует прежний оператор (1—V2)-1, т. е. /*). Заметим, что оператор i*i тоже компактен, и это следует не только из компактности Iе, но и непосредственно из компактности i (плюс ограниченность i*).

В таких случаях, когда различные операторы могут с равным основанием обозначаться одним и тем же символом (например, Iе и 1*1—символом (1 — — V2)-1), нужно быть особенно внимательным.

Будем по-прежнему обозначать локальные представления с, и, grad Е в используемых нормальных координатах через с, и, grad Е. В некоторой окрестности нуля R”, n = dimM, теперь имеются две римановы метрики: стандартная евклидова метрика в R”, которую будем обозначать (•, -у, и метрика, которая представляет в наших локальных координатах исходную метрику на М и которую мы снова будем обозначать через (•, •). Соответствующий смысл будут иметь знаки | • |, | • ?0, | - |Ю) J - Ь, ( ., . >0 и они же с верхним индексом е. Поскольку для евклидовой метрики ковариантное дифференцирование совпадает с обычным, символ V сохраним для ковариантного дифференцирования, отвечающего метрике (•, •), т. е. ее связности Ливи-Чивита, а символы Кристоффеля для этой связности, соответствующие используемым локальным координатам, обозначим через Г.

В достаточно малой окрестности нуля

■| У |« < (1+е) | У |,| D | < (1+в) | У J®,|Г|С<в,

где в можно считать сколь угодно малым. Отсюда следуют аналогичные неравенства для ЦоВ0, 5»В^» если ое Н°(с*ТМ) и с лежит в этой окрестности. Получим оценку для Ц о Ц® через [ о ^ (о е Н1 (с*ТМ), Е (с) мало). Имеем

» = Vv —Г (с). (с, о). так что ЦS [®<i Vv |j® + „ Г (с). (с> и) j®. Здесь

IIГ (с), (с, о)^8|с Ugllv^eU+e^llclolvlo.

Но дё^/ВД и можно считать, что это < 1. Значит,

(I У ^ - О v "о)2 + (II" «о)2 ^ (1 + 8)^ О ||2 W + в) || Vy |10 + 8 (1 ^ ^^|0)\

Уменьшив в несколько раз в, можно считать, что

I у 111 < (1+е) II v 111»'

и Ли Лt

и Л

и Л

Пусть у (t) := (grad Е (с)) (0, г (0 := § у (s) ds, и (О := и (с) (0. Имеем о

+ Г(с)(с, u) = y(0, и при O^/^l

| и (0 —и (0)—z (0 |с =| и (0 —и (0)—z (0 |с =Г (с) . (с, u) dsГ (с) . (с, u) dsе 1^ е J | с |е | и |е dt^. ое 1^ е J | с |е | и |е dt^. о

| и (0 —и (0)—z (0 |с =

| и (0 —и (0)—z (0 |с =

Г (с) . (с, u) ds

Г (с) . (с, u) ds

е 1

^ е J | с |е | и |е dt^. о

е 1

^ е J | с |е | и |е dt^. о

«£ в || с|| g || и |g = е/25 (с) || и |g < е (1 + е) |1 и ||0.

Но « (с)=V grad Е (с)—де,

II «Io II V grad Е (с) Но+|| дс |0|| grad Е (с) |, + /25 (с),

так что

| и (t) — и (0) — г (0 Iе ^ 8 (1 +8) (1 grad Е (с) ^ + /25 (с)) и тем более

I«-« (0)—г |§^8 (1 +е) (|| grad Е (с) ||х + /2£(0).

Теперь можно оценить (дс, и)0:

у^ | (дс, «о) | ^ | (дс, «>’ | ^ | (дс, и (О))* | +1 (дс, z>g | +1 (дс, и - и (0) -z>g |.

Первое слагаемое равно нулю. Второе не превосходит

I дс |g || г |g ^ (1 + 8) || дс ||0 I г |]^ ^ (1 +е) /2£М IIУ ?ю

^ 2 (1 +8) /ВДII у 1g ^ 2 (1 +е)« /25(0 fl grad Е (с) h ^

^ 2 (1+8)» (II grad Е (с) НМ Е (0/2).

Третье слагаемое не превосходит

IIЭс|g II и—и (0) -г |g ^ 8 (1 +8)» /ВД (II grad Е (с) h + /2£М) <

^в(1+е)» (|| grad Е (0 Н+55 (0/2)

Очевидно, при достаточно малом 8 отсюда следует (*).

(so) Вообще говоря, такого е для данного а может и не существовать (в этом случае а —неизолированное критическое значение). Для такого а понятие ф-семейства AmodAa не определяется. Заметим, что а = 0 является изолированным критическим значением и что для целей настоящей книги критические значения всегда можно предполагать изолированными, ибо в противном случае очевидно существование бесконечного числа простых замкнутых геодезических с различными значениями Е (так что эти геодезические не могут сводиться друг к другу посредством изменений параметризации или ориентации). Ведь если бы множество

{Е (с); с —простые замкнутые геодезические}

было конечным, то множество

Е (Сг Л) = {йЕ (с); й^О целые, с —простые замкнутые геодезические} не могло бы иметь предельных точек.

(м) Приведенная формулировка понятия «А повисает на К? (кстати, в ней первое из отмеченных уточнений заимствовано из книги: Флашель, Клинген- берг [1]) оставляет некоторое чувство неудовлетворенности: в ней роль «препятствия» к «спуску» А в Аи~ играет скорее U^, чем А/. Не исключено, что ф^А никогда не попадает в некоторую меньшую окрестность UV множества К^ Роль К,- исчерпывается тем, что окрестность Ut содержит К,- и «отделена» от остальных Rj,

Можно рассмотреть более сильное условие «повисания»: для любой окрестности U zd Ki найдется такое s(1T), что ф$Л ПU #= ф при всех s^s(2Z) (и по-прежнему ф^ Л Л11 Ф Аи~); при этом естественно добавить еще требование, чтобы критический уровень ф-семейства {ф^Л; $3^0}, т. е. lira max Е | ф^Л, совпадал с х. (Если он больше х, то естественно считать, что Л висит «где-то выше».) Но в д/? может и не существовать такого множества Л, для которого И(Ф Л-$>0} (при этом первое из условий рассматриваемого сильного варианта «повисания» может как выполняться, так и нарушаться). Правда, если такое Л существует то оно повисает на некотором Ki (в обсуждаемом сейчас более сильном смысле). При этом такое Л повисает на Kt в том и только том случае, когда Ki содержит ©-предельную точку (и, следовательно, все ©-предельное множество) траектории ф^с некоторой точки с из Л.

Ситуация улучшается, если х = х_л — изолированное критическое значение Е. Тогда при достаточно малом е > 0 из Л с Аи+е, Л s е^ следует, что Л висит (в сильном смысле) на некотором Ki- Все же надо иметь в виду, что и при изолированном х может случиться следующее: одно и то же Л может висеть сразу на нескольких Ki (более того, может и не существовать такого Л, которое висело бы только на одном Ki); различные Л могут висеть на различных Ki (точнее, множества тех Ki, на которых висят, скажем, Л и Л', могут не пересекаться); наконец, если Л висит на множестве Кь которое в свою очередь можно разбить на непересекающиеся замкнутые подмножества Кц, ... ..., Кц, то Л висит хотя бы на одном из них, но не обязательно на всех. (Это, впрочем, соответствует обычной разговорной практике: картина может висеть на нескольких гвоздях; если одежда висит на вешалке, то различные предметы одежды обычно висят на различных крючках; наконец, если шляпа висит на вешалке с пятью крючками, то это не означает, будто ее ухитрились нацепить сразу на все пять крючков.)

Если же стремиться однозначно сопоставить компактному множеству Л с А «то место на множестве уровня Е-1^^ ^.s^o)), где повисает Л при градиентном спуске», то наилучшим кандидатом иа эту роль представляется множество

HS ф4ЛПС-1(х(ф

Здесь верхний предел множеств lim ф$Л := Q U ф^Л = {е; для любой «—►соt>Os>f

окрестности 11 точки е и любого t существует такое s">t, что <р$АПИ ^Ф}-

а) В формулировке леммы 2.1.4 говорится о гомотопической эквивалентности двух отображений (у и у0). Если это не оговорка, то это можно понимать как эквивалентность в гомотопической категории отображений (см. Спеньер [1], гл. 7, § 8). Правдоподобно даже более сильное утверждение, что / является послойной гомотопической эквивалентностью, т. е. что существуют такие гомотопически обратное к / отображение и соответствующие гомотопии, которые не просто отображают слои в некоторые слои, но при которых слой над точкой хеМ переходит в слой над той же точкой х. (Если понимать «слои над х» просто как у-1 (х) и yw(x), то формулировка будет иметь смысл незавнснмо от того, являются ли у и у° расслоениями. Впрочем, в нашем случае у и у0 в самом деле являются расслоениями—о у0 это известно а насчет у см. б) ниже.) Как бы то ни было, у Клингенберга доказано только то, что пространство АМ гомотопически эквивалентно (посредством /) про-

*’ Между прочим в данном случае, когда М— многообразие, у0 является не только расслоением в смысле Серра (что общеизвестно), но н локально тривиальным расслоением; см. Болтянский [1].

странству С° (S, М), которое является пространством расслоения у0. Этого достаточно для дальнейшего.

Клингенберг часто называет у «расслоением». Хотя в его книге это не доказывается (и, по существу, не используется, так что на такое название для у можно смотреть просто как на некоторую вольность речи), но у действительно является локально тривиальным расслоением. Это можно доказать с помощью одной теоремы Эрла и Иллса (Эрл, Илле [1], предложение иа п. (С) § 4). Условия этой теоремы (формулируемые применительно к нашему случаю) таковы:

Отображаемое пространство МЛ полно (выполняется в силу 1.4.5).

Отображение у является дифференцируемой субмерсией.

О дифференцируемости у см. в доказательстве 1.4.2 (в используемых там обозначениях ^ = еоп\ Ясно, что если £е Н1 (с*ТМ), то Ту(с).£ = £(0) и что Ту (с): ТСМЛ -*ТЧСМ — эпиморфизм.

В определение субмерсин часто включают еще требование, чтобы ядро kerTy(c) при всех сеЛМ разлагало ТСМЛ (т. е. чтобы в ТСМЛ имелось дополнительное к kerTy(c) замкнутое пространство), см. Ленг [1]; в статье Эрла и Иллса [1] это условие тоже налагается с самого начала. Но в нашем случае оно автоматически выполняется сразу по трем причинам: оно следует из 3); мы имеем дело с гильбертовыми многообразиями; ядро имеет конечную коразмерность.

Для каждого хеМ существуют такие окрестность У 0 э х и число 40, что для каждого с г у-1 (Уо) существует линейное отображение

sc: Т^СМ —► ТСМЛ,

для которого

Ту (с) о sc=idr^M,

1 sc h 40.

В нашем случае можно взять V0=M и т]0=4е/(е—1). Именно, определим линейное отображение sc так, чтобы его образ был ортогонален в (•, • )ч метрике кегТу(с). Заметим, что если £(/) —класса С1 при 0«^1 (но, вообще говоря, ^^С2(с*ТМ) —при «замыкании» интервала [0, 1] в окружность S допускается разрыв производной в точке t = 0), то при любом т; е еНЦс’ТМ) в интеграле $(?£(/), Гц у)) dt можно осуществить интегрирование по частям, и поэтому

(Г)<5, 4)1 = $ <^-^, 4)о<»+Ш1)-^(О), 4(0))v

(Последнее слагаемое здесь получается из (Vg, q) 1^ с учетом того, что т] (0) = = т](1).) Если же (£, 4)1 = 0 при всех 4, для которых Ту(с).т]=0, т. е. т](0) = 0, то, считая дифференциальные свойства £ на [0, 1] достаточно хорошими (что будет далее оправдано a posteriori), заключаем, что

^<S-n. Ч>»=0

при любом 4 г Н1 (с*ТМ), для которого 4 (0) = т] (1) = 0. Иными словами,

П(0-£(0=О, 0«(<1.

Если мы хотим, чтобы при этом было Ту (с). £ = Z с заданным Z е TVM, то

g(O)=E(l)=Z.

Рассуждая в обратную сторону, заключаем, что решение краевой задачи (й, (е) (при «замыкании» интервала [0, 1] в S оно оказывается элементом И1 (с*ТМ), ибо £(0) = £(1)) ортогонально kerTy(c) и проектируется в Z.

Аналогично (19) введем новые переменные w = g + V^, о = £ — V£ и будем искать и и у в виде

«=£х((0Ь(0. о=Ем(06/(0

(с такими же 5ь что и там). Пусть, кроме того, Z = S2,^ (0). В этих терминах (д) принимает вид ^=х, у=—у,

так что х(() = е'х(0), у $=е~‘у (0), а (е) принимает вид х(0)+р(0) = 2г,*(1)+У (1) = 2Л*1г,

так что все сводится к системе

х(0) + у(0)-2г, ех(0)+г-^(0) = 2Л-Ч имеющей ровно одно решение:

х(0)=5Пг- У <°>=-г-

Матрицы А-1—в*1Е и А-1 —еЕ — нормальные, причем их собственные значения не превосходят по норме 14-е-1 и 1+г; поэтому при O^Z^l

|х(0|<е|х(0)|«^-И. |у(0|«|У(0)|«£^тИ.

Далее, '

6 (0 = у 2 ^Xl ®+у‘ (0) ^(0, V| W“4 2 ^1 (0 + 6l (0)3i (0*

и ввиду ортонормированности базиса &

16(01. ^(OI^VHIxfOI+lyWI).

l6lli<16L + |V6L«Smax|x(OI + max|y(O|^

А | г | =« | Z I, так что действительно || sc . Z Jx ^ -—^1Z |.

(га) Точнее, стандартным фактом является аналогичное утверждение для C°(S, М) (в обозначениях из 2.1.4 расслоение у° имеет сечение /i), а АМ имеет те же гомотопические группы. Но если пожелать уточнить, как именно слагаемые якМ и як+1М вложены в пкАМ, то (если мы не хотим использовать, что у—расслоение, т. е. сослаться на работу Эрла и Иллса [1]) требуется небольшое дополнительное рассуждение. Ясно, что вложение якМ в л^АМ индуцировано отображением i, ибо в аналогичном разложении для якС° (S, М) слагаемое якМ вложено посредством yi^k, a jk: пкАМ -* якС° (S, М) —изоморфизм. Что же касается Й, то, конечно, вложение Й -► С° (S, М) не факторизуется через /. Однако любой элемент аел6(й, (х0) (здесь х0 —точка, являющаяся начальной и конечной для всех путей из Й, а одноточечная кривая (х0 рассматривается как петля из Й) имеет средн своих представителей такое отображение F: (Iя, din')-*(Q, ix0) (здесь / = [0, 1], а д обозначает границу), для которого F (хь .... хл) (() гладко зависит от (Xj, ..., хп, f); такое отображение F можно рассматривать как отображение в АМ (и даже в у 1 (х0)), и соответствующий элемент группы nft (АА4, (х0) есть /^а. Как известно, изоморфизм ял+1(Л4, Хо) = лд(й, ix^ можно описать так:

отображению g\ (I"*1, д!п+г) -*■ (М, х0) сопоставляется G: (/", д/л) -► (RM, ix0), для которого G (xi, ..., хп) (f)=g(Xi, ..., хп, t). При этом можно ограничиться гладкими g, a G определяет элемент из лй (AM, ix»), который является образом при вложении л6+1Л1-*п6ЛМ элемента группы nfc+1M, содержащего g.

Заметим, кстати, что Л есть ретракт Л, так что точная гомотопическая последовательность пары (Л, Л°) тоже расщепляется: л6Л = л^Л1 + л6 (Л, Л°). Сравним это с полученным ранее разложением л^Л = лйЛ4-|-л^ЛК В обоих разложениях первое слагаемое есть образ л^Л® при вложении Л® с_> Л, так что вторые слагаемые изоморфны.

(“) Имеет смысл сравнить эти два доказательства. Их различия сводятся к следующим двум.

В первом доказательстве рассматривается отображение л^+1М -► л^ЛМ и используется его мономорфность. Во втором —отображению f: S6+1 -> М явно сопоставляется некоторое f*: (Dk, dDe)-»-(A, Л°) и явно описывается гомотопия /~0, отвечающая некоторой определенной гомотопии /* ~ 0. Построение f* по / — это фактически построение гомоморфизма пк+1М->- -*ле(Л, Л°), который совпадает с композицией уже известных нам отображений nt+1M ->-л6Л-> ле (А, А°) и потому мономорфен (см. (23)). Действительно, конкретизируя построение /*, положим *’

Н^ := {(х0х^ е S^; хоЭ=О},

Sk := дЯ»+1 = {(хьх^) ев 8^4 х0 —0},

Dh := {(х0, ..., х6+1) е S6+1; хо = О, хм^0}

и при 0 ^ s^ 1и при 0 ^ s^ 1bs := (0О, 1/s)bs := (0О, 1/s)

и при 0 ^ s^ 1

и при 0 ^ s^ 1

bs := (0О, 1/s)

bs := (0О, 1/s)

(bseRw при s>0, а при s=0 берется соответствующая бесконечно удаленная точка в обычном проективном смысле),

ф,: D* -> 8Ь,(0, Xixt+1) I—* (0, giУа+i),

где Уб+1 = $ + (1+$)xt+1, yi = aXi (/=1к), причем а>0 определяется

из условия У^ + ...+У| + ^+1 = 1.

При х е 8к рассмотрим окружность на St+1, получающуюся в пересечении этой сферы с двумерной плоскостью, проходящей через точки х, bs и параллельной оси х0. (Когда s=l и х=61( эта плоскость еще не определена однозначно; доопределяем ее как касательную плоскость к S” в точке by. Если х^+1 = 8, то окружность вырождается в точку х.) Параметризуем эту окружность пропорционально длине дуги, приняв точку х за начало, а за положительное направление в этой точке — направление возрастания х0. Обозначим через а* (0 точку на окружности с параметром t, Osg/sg 1; при необходимости можно считать а^ (i) определенной для всех t (с периодом 1). Введем отображения

S^S^AS^1,

И положим

/*:=Л/.6*-ф$: (О*, dDk^UvM, Ь^М}.

(Ясно, что точки dDk действительно отображаются в одноточечные кривые.)

*’ Эти обозначения вводятся временно: так, в § 2.3 8к имеет другой смысл. Координаты в R*+2 будем нумеровать от 0 до й-}-1.

Очевидно*’, t*=f*~R- Поскольку dDA при отображении /f переходит в точку //* (6$), соответствующий элемент группы л^ (А, А0) является образом некоторого р g л^А. Именно, надо профакторизовать ft через отображение (D*, д£)*)->-(36, 61), «склеивающее» dD* в точку; в качестве такового годится фг Итак, р э F := А/«6*: (3е, 61)->-(AAl, Ц (b^y Но изоморфизм Лд+1М =леАЛ1, описанный в (аэ) в «кубических» терминах, в «сферических» терминах возникает как раз путем сопоставления отображению / отображения F. Действительно, возьмем какое-нибудь отображение X: (/", д/”) -> (3я, &i), гомеоморфное на /п—Э/я, и положим

х= U"^. di-^^^, ьгу х(^«п^)”^хв)(^+1 + у)-

Ясно, что если g=f »-^, то, в обозначениях из (23), G = F = X.

Вместо ретракции Л8-*Л° по траекториям градиентной системы в Л во втором доказательстве использовано стягивание в точку коротких кривых посредством простого геометрического построения в самом М (кривая с (О представляется в виде expg(/), £ (/) ® ТС161М, и при значении параметра деформации s она переходит в кривую exp s£ (/)). Ясно, что элементарное построение такого рода годится и в более общей ситуации —для финслеровых метрик или даже для метрик Буземана (см. Буземан [1]), и если предыдущие рассуждения тоже каким-то образом перенесены на этот случай **’, то получится доказательство существования одной замкнутой геодезической в этой более общей ситуации.

) В теории Люстерника —Шнирельмана, к которой теперь переходит автор, не делается никаких предположений о невырожденности замкнутых геодезических. Излагаемая же позднее теория Морса относится —по крайней мере, непосредственно относится —к тому случаю, когда такое предположение выполняется. В аналогичном вопросе о критических точках функции на многообразии в теории Морса тоже делается предположение о невырожденности критических точек; в противном случае эта теория, грубо говоря, дает оценки снизу для числа критических точек лишь с учетом приписываемых последним некоторых «весов» ***’. В связи с этим в отечественной литературе было при-

’ Непрерывность 6$°ф4 в точке (bv 1) нуждается в специальной проверке, ибо 6, (х) не непрерывно по (х, s) е SfcX[0, 1] в единственной точке (bv 1). Здесь существенно, что речь идет именно о 6, • ф^. Несложное геометрическое рассуждение показывает, что при (х, s)eD6X[0, 1], близких к (6Х, 1), окружности ^вф (Х)(О} получаются целиком лежащими в малой окрестности точки Ьг на 3”. Значит, если а^ (х)(/) = ехр ^(f), l(t)eTb S", то | £ (О I мало; кроме того, окружность должна быть короткой. При используемой нами параметризации, пропорциональной длине дуги, скорость | ^ °Ф W ^ | должна быть малой, а поскольку при малых | £ | отображение V2exp (Е) мало меняет нормы векторов, то и | |(/) | должна быть малой.

*’ Во всяком случае, для финслеровых метрик это возможно (хотя бы с помощью прежних «кустарных» приемов —собственно, Морс и Фет рассматривали именно финслеровы метрики).

**’ Для изолированной критической точки с функции / на замкнутом многообразии М ее i-e типовое число есть

mi (с) := dim Hi ((M^Uc) mod AfM-), где M*-:— {x a M; f(x)cn}, x;=E(c), гомологии берутся с коэффициен-

пято говорить, что теория Люстерника — Шнирельмана дает оценки снизу для числа «геометрически различных» критических точек, а теория Морса — для «алгебраического (или аналитического) числа» критических точек. Применительно к задаче о замкнутых геодезических термин «геометрически различные критические точки» не очень удачей — «геометрическим» лучше было бы называть то, что относится "непосредственно к М, а в данном случае речь идет только о различных критических точках функционала Е в Л (точнее, в П, см. § 2.2), которые, как уже говорилось, могут соответствовать одной и той же замкнутой геодезической в М.

(«) Ситуация со статьей Пуанкаре [1] вкратце такова. Эта статья, не считая введения и параграфа с предварительными сведениями о сопряженных точках, естественно делится на четыре части

§ 3 посвящен метрике g^, которая зависит от параметра р и при р = 0 обращается в стандартную метрику. Исследуются замкнутые геодезические при малых р, замыкающиеся, грубо говоря, после одного оборота вдоль (и возле) некоторого большого круга (заметим, что такие замкнутые геодезические не могут самопересекаться). Вводится вспомогательная осредненная функция Гамильтона, определенная на проективной плоскости, точки которой интерпретируются как большие круги. Эта осредненная функция Гамильтона должна иметь хотя бы трн критические точки. Если они невырожденные, то исходная метрика g^ должна при малых р иметь замкнутые геодезические, близкие к соответствующим большим кругам, — это можно доказать обычными методами теории возмущений. Вопрос о том, что будет в случае вырождения критических точек, не обсуждается. За исключением этой последней оговорки (которая, конечно, существенна для точной формулировки того, что же здесь доказано), в остальном рассуждения Пуанкаре в § 3, по существу, являются строгими, хотя и было бы желательно сделать их формально более четкими. Как заметил А. И. Грюнталь, при этом целесообразно воспользоваться техникой из работы Мозера [6].

В § 4 рассматривается уже произвольное аналитическое однопараметрическое семейство метрик положительной кривизны g^. Пуанкаре пытается использовать аналитическое продолжение замкнутых геодезических по р. Его формулировки здесь не являются достаточно четкими. Главное же, он не дока-

тами в поле А (традиционно k=Ze). Неравенства Морса (см. Зейферт и Трель- фалль [1]) гласят, что в случае замкнутого М при /=0, 1, .... dim44

22 ^нЬь

= 0ci = 0

где 6; := dim Я; (M) есть i-e число Бетти; при /= dim Л4 неравенство обращается в равенство. Отсюда следует, что если принять 2 mt (с) за «вес» с> то i

сумма весов всех критических точек ^ 2 Ьь Обычно, впрочем, говорят только о типовых числах точки с, не вводя особого названия для их суммы. Следует подчеркнуть, что хотя эта сумма в теории Морса играет как бы роль «кратности» критической точки, но лучше не называть ее кратностью, ибо она не совпадает с той кратностью, которая вводится в теории особенностей гладких отображений и которая обобщает соответствующие понятия из алгебры и элементарного анализа. Например, функция одной переменной/(х)=ох” + о (х”), а Ф 0, имеет в точке 0 критическую точку кратности п —-1, тогда как ее типовые числа равны нулю, за одним только исключением: ио(О) = 1 при четном п.

*’ Я не сохраняю языка и обозначений Пуанкаре и не воспроизвожу его формулировок. Читатель при желании может обратиться к самой его статье, которая переведена на русский язык и легкодоступна. См. также Аносов [6], [6].

зывает возможность аналитического продолжения замкнутых геодезических, а, считая ее чем-то само собой разумеющимся (для всех р), доказывает, что при этом продолжении хоть одна несамопересекающаяся замкнутая геодезическая остается в действительной области. Биркгоф [1] устранил основной пробел в этой аргументации, доказав, что если замкнутая геодезическая без самопересечений сц непрерывно зависит от параметра р, 0 ^ р < р0, то при р-*Ро ее длина остается равномерно ограниченной*1; эта «априорная оценка» гарантирует, что при р = Ро существует замкнутая геодезическая с0, являющаяся в понятном смысле предельной по крайней мере для некоторой подпоследовательности с^. После этого для завершения доказательства надо посмотреть, что происходит в окрестности с0 при р, достаточно близких к р0. (При этом проще использовать не соображения аналитичности, а свойства простейших бифуркаций для «типичных» однопараметрическнх семейств метрик. Последнее, кстати, позволяет вместо аналитичности довольствоваться принадлежностью метрики к классу С” с подходящим п?) Подчеркну, что это дополнение Биркгофа относится только к тому случаю, когда кривизна положительна (во всех точках и при всех р). Любопытно, что Пуанкаре делает именно такое предположение, хотя в имеющихся у него рассуждениях оно используется только в стоящих особняком § 7, 8.

Пока что речь шла о самонепересекающихся замкнутых геодезических. Если же говорить вообще о замкнутых геодезических независимо от наличия или отсутствия у ннх самопересечений, то здесь ситуация осложняется. Нужно различать эти замкнутые геодезические по чему-то вроде числа точек самопересечения. К сожалению, пока что не исключено, что при изменении р число точек самопересечения у замкнутой геодезической сц, непрерывно зависящей от р, может измениться. Точнее говоря, си обладает, очевидно, следующим свойством: если при некотором р = р0 она имеет точки самокасания, то с^0 «вырождается» путем слияния нескольких ее частей друг с другом (кратность с^ при р = Ро повышается). Не исключено, что число точек самопересечения изменится при прохождении р через значение р0. Во всяком случае, легко показать на примере, что изменение числа точек самопересечения может произойти, если рассматривать не замкнутую геодезическую, а просто замкнутую кривую Сц, непрерывно зависящую от р и обладающую указанным выше свойством. Может ли подобное явление произойти для замкнутых геодезических, неизвестно. Пуанкаре утверждал и использовал, что ие может, однако в соответствующих его рассуждениях никак не используется тот факт, что мы имеем дело именно с замкнутой геодезической, а не вообще с какой-то замкнутой кривой, так что эти рассуждения заведомо бездоказательны.

Игнорируя эту трудность**1, можно подумать, что из его рассуждений следует существование бесконечного числа замкнутых геодезических для рассматриваемых метрик. Биркгоф этого не оспаривал (если не считать упоминания о соответствующей модификации его дополнения насчет «априорной оценки» длины). В действительности же на этом пути можно будет получить какие-то результаты лишь тогда, когда либо будет доказано, что для замкнутых геодезических подобного явления не происходит, либо будет введен какой-то более сложный инвариант рассматриваемого класса деформаций замкнутых кривых (причем надо, чтобы «априорная оценка», «срабатывала» бы с этим инвариантом). Еще об одном препятствии см. Аносов [5].

*’ Это, конечно, сразу следует из известной оценки сверху для длины несамопересекающейся замкнутой геодезической через минимум кривизны (Топоногов [1]), но во времена Биркгофа эта оценка не была известна. Рассуждения Биркгофа проще, чем у Топоногова, но зато и не дают явной оценки, тем более точной.

**’ Которую и в наши дни не заметил Клингенберг [20].

В § 5, 6 обсуждаются качественные свойства замкнутых геодезических, В § 5 речь идет об устойчивости или неустойчивости (в линейном приближении), а в § 6 — об устойчивости и двойных точках замкнутых геодезических, возникающих при бифуркации.

Пуанкаре считал доказанным, что всегда существует устойчивая замкнутая геодезическая без самопересечений. Но это неверно, как показал Грюнталь [1]. Формально в статье Грюнталя метрика не аналитическая, а бесконечно дифференцируемая. Однако несложные дополнительные соображения показывают, что при малом возмущении построенной им метрики снова получается метрика, у которой все замкнутые несамопересекающиеся геодезические являются гиперболическими. Поэтому существует и аналитический пример.

Вместе с тем основные утверждения Пуанкаре могут быть строго обоснованы для метрик, достаточно близких к стандартной. В отличие от 1) сейчас речь идет не об окрестности стандартной метрики в однопараметрическом семействе, но о ее окрестности в пространстве всех метрик. По поводу вопросов такого рода см. Грюнталь [2], Торбергсон [3], Бальманн, Торбергсон и Циллер [1]

В § 7 Пуанкаре приводит еще одно доказательство существования замкнутой геодезической без самопересечений. Оно является вариационным. Рассматриваются всевозможные замкнутые кривые без самопересечений, которые разделяют поверхность на две области, имеющие полную кривизну 2л. Кратчайшая из этих кривых является геодезической. На мой взгляд, в рассуждениях § 7 имеется пробел (доказывая «от противного», что у предела минимизирующей последовательности нет дуг, которые соприкасаются друг с другом, Пуанкаре использует известную регулярность этих дуг, которая априори не очевидна). Однако правдоподобно, что их можно сделать вполне строгими.

Наконец, в § 8 Пуанкаре устанавливает, что не всякая замкнутая геодезическая без самопересечений может получиться как решение рассматриваемой вариационной задачи.

) Докажем, что го‘ = (0, 0. Интерпретируем многообразия Шуберта в терминах плоскостей. Элемент многообразия [а, 6] есть плоскость в Р^42, имеющая нетривиальное пересечение с Ro+1. Слоем расслоения ул“1 j (yn-i)-i [а, 6] над этим элементом является ортогональное дополнение к этой плоскости в Rn+1; оно при всех таких плоскостях содержит ортогональное дополнение к Р*42 в Рл+1. Последнее имеет размерность п — b— 1. Получается, что векторное расслоение у""'1 (у"-1)-1 [а, 6] имеет п — b — 1 линейно независимых сечений.

Пусть вообще некоторое m-мерное векторное расслоение g, база которого является клеточным разбиением, имеет к линейно независимых сечений. Препятствием по модулю 2 к построению таковых над (т — А-|-1)-мерным остовом базы служит (т —й+ 1)-й характеристический класс Штифеля — Уитни ши-6+i (g) данного расслоения, см. Милнор, Сташеф [1]; итак, о>т-е+1 (^) = 0. А так как из существования к линейно независимых сечений следует существование и любого меньшего числа линейно независимых сечений, то заключаем, что wi (g)=0 при j^m — fe+1.

В нашем случае получается, что при отображении Н* (6 (2, п—1))-> ->Я*([а, 6]), индуцированном вложением [a, 6]с_>0(2, п— 1), образ wi, который мы обозначим через W/ j [а, 6], равен нулю при /5=6+1. Значит, (©>', [1, i-l])=0,<©', [2, t — 2]> =^0

В Н{ (0 (2, п — 1)) остается еще только один образующий элемент [0, i], и поскольку ®z+=0, то (wz, [0, i]) = l. Но полученные соотношения — как раз те, посредством которых определяется (0, Г).

Пользуюсь случаем отметить, что в моем докладе [2] по небрежности выпало упоминание о близости метрики к стандартной и в итоге получилось неверное утверждение.

Ясно, что о>1 = (0, 1) (ведь Я1 (G (2, n—l)) = Zz имеет единственный не нулевой элемент). Рассмотрим, далее, векторное расслоение у® | (у2)-1 [0, 2] Элементы из [0, 2] суть плоскости, лежащие в R4 и проходящие через R1 Значит, расслоение у® | (у®)-1 [0, 2] имеет нетривиальное сечение (сопоставляем фиксированный вектор из R1 каждому элементу из [0, 2]). Соответствующее препятствие есть ш®) [0, 2]. Итак, (ш®, [0, 2])=0, а поскольку Я2 (6 (2, п-1)) имеет образующие [0, 2] и [1, 1], то (ш®, [1, 1]) = 1. Тем самым доказано, что ш® = (1, 1).

Г

Пусть р: Е -> В есть й-мерное векторное расслоение, имеющее своей конечное клеточное разбиение (клетки е^ ... eNy а Ех— соответствующее расслоение на (замкнутые) диски. Стягивая дЕх (границу Ех в Е, г. е. расслоение на сферы, ограничивающие диски) в точку (обозначим ее е0), получим пространство Тома EijdEx расслоения Е. Тогда е0, р~* (е,), ... ..., р-1 (е^) — клетки пространства Ех/дЕх, и легко видеть, что они образуют клеточное разбиение. При этом по модулю 2 коэффициенты инцидентности

[^^-[р-Ч^р-Че/П,

так что возникает изоморфизм соответствующих клеточных цепей, коммутирующий с граничным оператором и индуцирующий некоторый изоморфизм гомологий

ф: Я, (В; M->Hi+k(ExfdEV1 U^Hl+k(Ex, дЕг; Ы.

Изоморфизм ф-1 совпадает с изоморфизмом Тома. Несмотря на общеизвестность данного утверждения, я не знаю учебника, содержащего его доказательство. Впрочем, оно очевидно в нашем случае когда В = Рп-1 и в качестве клеточного разбиения можно взять разбиение на Р°. ... , pi — pl—i где проективные пространства Р1 вложены в Р"-1 в соответствии с естественными вложениями R1 с R® с ... с Rn. В этом случае в каждой размерности имеется только одна клетка и ей отвечает единственный нетривиальный элемент группы гомологий Н^В; Zz/ = Zz- так что имеется единственный изоморфизм

Ht (В; Zz) - HUn_x (G (2, п- 1), G (2, n-2); Zz),

а потому ф-1 и изоморфизм Тома заведомо должны совпадать *’. К тому же нам важно только то, что при некотором изоморфизме —неважно, что это изоморфизм Тома, —образы циклов [аи п — 1 ] в Н* (G (2, п — 1), G (2, л —2); Z2) переходят в циклы Р"1. Очевидно, что это так при изоморфизме qr1: ведь если [/—фигурировавшая раньше окрестность 0(2, п — 2), то

(л„_11(6(2, п-\^-ЩГЦРаЛ^ах, n-\\-U.

(®») В совпадении И, [0, n —1] и i„ {0, 0} можно убедиться также путем прямого геометрического рассуждения, аналогичного (®4). Фигурирующее там число й будет теперь равно n —1, а для сферы, обозначенной в (*) через Sk, примем обозначение S*”-1. Отметим, что определения bs и а^([) (а значит, и б”-1), использованные в (®4) при O^s^l, сохраняют смысл и при других s; теперь у нас будет O^s^oo. Впрочем, отрезки Osgssgl и l^s^oo все равно мы будем рассматривать отдельно, поэтому обозначим

Ь, := 6^ = (°- - . 0. $). 4 (0 := «У$ (0. 6Г1 := б^1.

*’ Однако позднее нам понадобится совпадение ф-1 и изоморфизма Tu-i в таком случае, когда соответствующие группы уже не сводятся к Zz-

При s=l, p = bx = bx мы по-прежнему доопределяем 31 (/) = а* (0 как ЬХ = ЬХ при всех / и соответственно понимаем 6”—* = 6"—*.

При O^s^ 1 в (“) строились отображения ^ = Л/«6"~1 «фх. У нао M = Sn, f = ids„, так что Af=idASn. Кроме того, каждая кривая 6”—1 (х) является окружностью на сфере, параметризованной пропорционально длине дуги, поэтому можно рассматривать 6"—1 как отображение

$*»-iAS",Xi—► <4.

Сопоставляя определения {0, 0} и 6J-*, заключаем, что в Нп_х (ГЗЯ, Г°3”){0. 0}=%я2[вг‘],

где [бя—*] е n^fAS", А°3")—определяемый «относительным сфероидом» б"~1 элемент этой гомотопической группы, Нг — композиция гомоморфизма Гуревича

Н: л^АЗ”, А"3”)-►//„_! (AS", A»S"; Z)

с последующей заменой группы коэффициентов на Z2> а я, индуцировано проекцией л: АЗ” ГЗ". Но отображения

6"-1-ф4: (И"-1. дО”-1)-> (ГЗ", Г°3")

осуществляют гомотопию 6"—* = 6"—*«ф0 и 6я-1 «фр так что

(*){0, ОНя*//^-'.^].

Теперь при 0 ^ s ^ 1 определим отображение

ф$: s^-i^s^-i,^ w = (|<i + s»xi _ $4 _ Мя) х+ь,

ф$ (х) есть точка пересечения с З*”-1 прямолинейного луча, исходящего из bs и имеющего то же направление, что и луч, исходящий из 0 и проходящий через х. Отсюда ясно, что при s < 1 плоскость У|х> s), параллельная оси х0 и проходящая через точки ф$ (х) и bs, пересекает З*”-1 еще в точке ф$ (— х), причем ф$ (х) и ф5 (— х) являются диаметрально противоположными точками окружности У(Х| $)П<5”. При s=l подобное утверждение имеет смысл для точек с хя < 0. При хл^0 будет ф1(х) = 61, так что плоскость У^ s) не определена, однако при хя = 0 ее можно доопределить как касательную плоскость к 3я в точке Ьх, а при хя>0 —как плоскость У(_Х| ,р соответствующую тому же построению с заменой ф(х) на ф(—х). После этого можно доопределить зг ^(/) при хя5=0. При этом при всех х, s, i

х 'Ф,(—x)v ^(x)vz8'

Для всех s s [0, 1] можно определить отображения

g/ S^-i^AS", g,(x):=3^(x);

gs (x) непрерывно no (x, s). При s < 1 илн x„ < 0 это следует из того, что gs=6”—1оф$, а при з=1 и хя>0 — из непрерывности при хя < 0 и (**), так что в специальной проверке нуждается лишь непрерывность в точках

dDn-IXl. Но ясно, что все они под действием gx отображаются в одноточечную кривую S-*bv и нетрудно убедиться, что, когда / достаточно близко к 1, а х— к дО”-1, соответствующая окружность gs(x) целиком лежит в малой окрестности точки Бх на 3”. Поскольку она параметризована пропорционально длине дуги, то | ^ gs (х) (О | мало. Следовательно, если gs (х) (0 = ■ expg(0, где g(f) г Т- S”, то |£(0 и ||(0| малы. (Попутно мы отметим, 61__

что при s=l и xedD”-1 тоже имеет место равенство g1 = 6”—1 »фг)

(♦♦) можно перефразировать так: если /: Sn-*S" —инволюция xi—►—х, то gs - / =ел<»6«gs- Следовательно, можно определить hs; Р”-1-*ГЗл, считая, что если точки Р"-1 по-прежнему суть пары (х, — х), хе З*"-1, и n: s*n-i->-P»-i — соответствующая проекция, то hsrtx = ngsx. Из построения ясно, что ft»—это композиция естественных вложений

Р«-1-[0, «-!]<=_> 0(2, л-1)с_*ГЗ”

Обозначая еще через I вложение (ГЗ”, 0)(ГЗ", Г^З"), заключаем, что

h. [О, п— 1] = ?Л* [Р"-1] = 1^ [Р"-1].

А поскольку Й! отображает Р”-2 в Г«3", то последний гомологический класс совпадает с (//£)„ [Р"-1 mod Р"-2]. Далее, относительный гомологический класс [Р”-1 mod Р”~2] получается при гомоморфизме Гуревича

”«-1 (Р"'1, Р"'8) -»- ^«-1 (Р”-1. Р”-8; Z)

и последующей замене группы коэффициенте на X» из элемента

(л | (D»-1, дО"'1)] е л„_, (P”-i, Р”-2).

Из коммутативной диаграммы

(О»-1, дВ"*^ (АЗП, А°3”)"I|л

(P"-i, Р"-2) -^ (ГЗ", Г°3") теперь видно, что

фц). [Р"-1 mod Р"-2]» л,Д2 [ft | (D"-\ dD"-i)J.

Ввиду (*) нам остается доказать, что если область определения ф, сократить до D”-1, то_

[бГ'чРгМёГЧт].

Во-первых, заметим, что отображение 6”—1 = 6”—*: S*n-1 ->• ASn непрерывно (хотя 6"—1 (х) и 6”—1 (х) разрывны как функции от (х, з) в точке (61( 1)). Действительно, когда х близко к точке ЬХ=БХ (только в этой точке и надо специально проверять непрерывность), то окружность |а^ (/)} = (3^ (0} целиком лежит в малой окрестности точки bx = bx на 3”, а параметризация у нас пропорциональна длине дуги. Значит, если g(0eTjS" таково, что a*(0 = expg(0, то |g (01 и | £ (0 I малы. Во-вторых, отображения

Ф1 и ф^ (D”-1,Ь,)

хотя и не совпадают, но гомотопны ге! дВп-1.

Очевидно, можно обеспечить и 2л —2s—I (где s—то же, что в 2.3.3) критических уровней (что >л при л^=2* —1), если рассмотреть подчиненные

гомологические классы, являющиеся образами при отображении Ар* произведений Чеха относительного гомологического класса {п—1, п—1}/^(1, 1)$ и когомологических классов (0, 1)', i = 0, 12п— 2s—2. Обеспечить же ц(п) подчиненных гомологических классов (такую оценку пытался получить Альбер [1]) мы не можем, ибо не знаем, существует ли в П/И — ПдМ (т. е. в П5" —Пд5”) такой коцикл (1, 1)', для которого было бы Zt^(1, 1)' = (1, 1).

Люстерник [1] указал другую оценку снизу: п + 1 (что лучше 2п — 2s— 1 при п = 2« —1 и равно 2п — 2s— 1 при п — 2к — 2). Соответствующие классы суть образы при Ар* классов

{n—1, п — 1}, {n—1, п—1}^(0, п — 1), {n— 1, п — 1}г>

^(0, п —1)^(0, I)',/=1n-1.

Естественно, достаточно ограничиться случаем AF=t (Z—то же, что в 2.3.6). Используя 2.3.2, легко получаем по индукции, что

(0, 1)о(/, п— 1)=(/ + 1, п—1) при /=0, .... п—2, так что (0, п — 1)(0, 1)п"1 —(л —1, п— 1) и

{л—1, л—1} о (0, л —1) о (0, 1)п-1 = {л —1, л—1} г\ (л —1, л —1) —(0, 0).

Поскольку при отображении когомологий, индуцированном вложениями

Г5” — PS" IIS" — П65" ст-» nsn, коцикл а, построенный при доказательстве 2.3.5, переходит в (0, л—1), то i, {л-1, л-1}^(а|(П5”-П65"))^((0, l)')"-i=

= i, ({л-1, п-1+(0, л—1)^(0, l)”-i) = i, {0, 0} + 0,

Хотя обе эти оценки лучше, чем 2.3.7, ниже (в теореме 2.3.9) используется только 2.3.7, ибо для нас будет существенным не только факт существования определенного числа подчиненных гомологических классов, но и то, как именно они строятся. Классы {0, д} удается использовать, а можно ли использовать все те классы, о которых шла речь выше, — неясно. Впрочем, при наличии более сильных ограничений, чем в 2.3.9, удается использовать все g (п) подчиненных классов, имеющихся в FS" mod Г°5" (теорема Альбера; см. Альбер [3], Аносов [3]).

а) Гессиан дифференцируемой (хотя бы класса С2) функции Е, заданной на многообразии N (не обязательно N=AM), в критической точке с — это квадратичный функционал D^E (с) на TCN, который в терминах карты (ф, (/), содержащей с, определяется так. Если g, £' е TCN, то

D^E (с) . (g, V) = D^E. Ф'1) (Ф (с)) . (Тф . 6, ТФ . 6')-

Непосредственно проверяется, что это определение не зависит от конкретного выбора карты, содержащей с (при этом надо воспользоваться тем, что точка с—критическая). Можно также дать определение гессиана в инвариантных терминах (оно очевидным образом эквивалентно предыдущему). Именно, рассматривая DE как сечение кокасательного расслоения T*N, возьмем

ТфЕу. TN-*T(T*NY

Если DE(c)=0c (нуль пространства T*Ny то имеем стандартное разложение на горизонтальную и вертик ю части

TDEW (1*^ = Т^®Т*М.

Для Е, £' г TCN вертикальная часть (Г (DE) (с). ут есть некоторый линейный функционал на ТСМ, так что определено число (Г (DE) (с) . g)^ . g'. которое мы и принимаем за ВгЕ (с). (g, §').

В классическом вариационном исчислении говорили не о гессиане, а о второй вариации (функционала Е) или о функционале второй вариации; для этого функционала, как и для Е, использовали явную запись в виде соответствующего интеграла. Морс [2] понимал под индексной формой не гессиан, а некое конечномерное приближение к нему, «улавливающее» индекс и дефект (коранг, nullity) гессиана.

С функцией Е и римановой метрикой g на N связывается градиентная динамическая система {ф5}, описываемая дифференциальным уравнением с = = — grad Е (с). (Здесь градиент функции Е относительно римановой метрики g определяется из условия g(gradE (с), ^) = ВЕ (с) Л для всех ^eTcN.) Если с—критическая точка Е, то для градиентной системы с является положением равновесия. Рассмотрим поток {Тф^ | TCN}, дающий «линейное приближение к {q>5} возле о. (Согласно классической терминологии, восходящей к Пуанкаре, {Тф$|ТсМ} описывается соответствующим уравнением в вариациях. Это понятие не связано специфически ни с градиентными потоками, ни с положениями равновесия: если поток {ф4} в N определяется векторным полем щ: N-*TN, то поток {Тф^} в ГМ—векторным полем Tw. Т N -► Т (Т N). Когда с — положение равновесия, TCN под действием Тф$ переходит в себя; в точках TCN векторное поле Tw вертикально и поэтому может рассматриваться как касательное поле на TCN.) Легко доказать, что (Тф5 | TCN) есть градиентная динамическая система в TCN, определяемая градиентом 1ЦУ*Е (с) (как функции на ТСМ) относительно римановой метрики g | ТСМ. (Говоря о gVTcN как о римановой метрике в TCN, мы отождествляем касательное пространство к TCN в точке g е TcN с самим TCN.)

а) Идея доказательства 2.4.7 состоит в том, что квадратичный функционал h (г]) (Е, £') приводится к некоторому «стандартному» виду посредством некоторого обратимого преобразования £ = т(т])£ с т(ч\), дифференцируемым по п:

к^(.Ъ £')=МС, П

Тогда Е (i])=/i (т]) (Ц, ^“^К, 0. если £ = т('1)Ч- Проверяется, что rj i—♦ ।—»^=т(т])т]—диффеоморфизм, так что, действительно, он служит решением задачи в фиксированном слое, а при хорошей зависимости т (rj) от т], пробегающего все Ввр,,—и во всем Dep.

В обычных курсах алгебры рассматриваются два способа приведения квадратичной формы к «стандартному» виду (там это просто сумма квадратов). Морс использовал простейший «аффинный» прием—выделение «чистых» квадратов (изложение см. у Милнора [1]). В нашем случае это не годится по трем причинам: бесконечномерность, требование эквивариантности и тот факт, что мы имеем дело с расслоением (нельзя определить глобально 1-ю, 2-ю, ... ..., n-ю координату, а если бы это и можно было, отсюда не следовало бы, что можно «глобально» произвести замену координат, после которой всюду стало бы ап (0с) =£ 0)- А вот «метрический» способ приведения легко приспособить для наших целей, что и делается в изложенном доказательстве. (Разумеется, в конечномерном случае с помощью ортогональных преобразований квадратичная форма приводится к виду «сумма квадратов с коэффициентами»; после этого приведение к виду «сумма квадратов с коэффициентами +1» требует уже аффинного преобразования, но очень простого. Аналогичный завершающий этап имеется и в нашем случае — переход от £' к g.)

Поясним происхождение условий (*) на операторы т и построение последних на другом языке. Ввиду обратимости к (0) скалярное произведение

(5, Е1 = <М0Н, 6')i

задает метрику в №, эквивалентную метрике ( •, • )х- В терминах [ •, • ]

квадратичный функционал Л (т)) есть

^(О^^ч)^ ?'НШ И

а равенство / (ч)* й (0) = 6(0) / (ч) означает самосопряженность / (ч) относительно [ ■, • ]. Ввиду близости / (ч) к id оператор / (ч) положителен. Теперь ясно, что в этих терминах т (4) есть самосопряженный (относительно [ •, ■ ]) положительный квадратный корень нз / (ч).

Остановимся на дифференцируемости ф и Рс. Пусть Qe—оператор проектирования в Nc иа инвариантное подпространство оператора fe(Oc), отвечающее положительной части его спектра. Тогда можно положить, обозначая Ф | Nc через фс,

где подразумевается, что корень из неотрицательного самосопряженного оператора сам должен быть таковым. Чтобы доказать дифференцируемость Qc и написанных квадратных корней, проще всего представить локально 6(0с) в какой-нибудь векторной карте расслоения р как некоторый оператор к (х), действующий в гильбертовом пространстве —стандартном слое расслоения р — и зависящий от параметра х—точки евклидова пространства, служащей локальным представлением (набором локальных координат) точки сеВ. Локальным представлением оператора Qc служит Q (х) —оператор, проектирующий гильбертово пространство на инвариантное подпространство оператора ^(х), отвечающее положительным собственным значениям, параллельно инвариантному подпространству, отвечающему отрицательным собственным значениям. Как известно,

dX■

где интегрирование ведется по контуру в плоскости комплексного переменного, заключающему строго внутри себя положительную часть спектра £ (х) и не пересекающемуся со спектром. Существование такого контура, пригодного при всех х, обусловлено тем, что ни при одном х спектр не содержит нуля, так что контур можно составить из некоторого отрезка мнимой оси и некоторой полуокружности в правой полуплоскости. Подынтегральное выражение дифференцируемо по х, а следовательно, и $ (х) тоже. Аналогично локальные представления У к (0с) Qc и У— к (0с) (1 — Qc) тоже выражаются с помощью интегралов

1 с Ух ах 1 г Ух ах

2™ Н-£(х)’ 2nijx+^(x)

по надлежащему контуру (здесь подразумевается та ветвь функции Ух в правой полуплоскости, которая положительна на положительной полуоси). Поэтому они тоже дифференцируемы по х.

(ю) Поясним, почему из точной гомологической последовательности тройки—последнюю мы для краткости обозначим через (А, В, Q —вытекают нужные неравенства и равенство. Обозначим гомоморфизмы, фигурирующие в точной последовательности, следующим образом:

ЧIt

...^Ht(B, C^HtlA. Q^H^A. B^Hi^B, С)-....

Обозначим также

ai := dim Hi (В, C), bi := dim Hi (A, C),c/:=dim77z(A, S),

ai := dim imii, Pi := dim imji, % := dim imdi.

Тогда

6?=«z+vz> «z=7z+i+®z,^“Pz+Yz-

Мы хотим доказать, что

mт

55(-!)«-'(az+cz),

Z-0z=o

e. e.

mm

(-!)»-<(az+PzX 5 (-lyn-z^i+az + pz+Yz)- z«=oZ=0

Это эквивалентно тому, что

тт

0=5 5 (-l)m'Z7z+i+ S (-l)'”-ZYz=Ym+i4-(-l)'”Yo=Ym+i^O z=,oz=o

(пользуемся тем, что уо=О). Кроме того, в нашем случае при достаточно больших m будет ут+)=0 и неравенство обращается в равенство. (По существу при различных больших т это одно и то же равенство.)

Оговорка, что устойчивые многообразия рассматриваются локально, связана с тем, что траектории ф^с градиентного потока, возможно, определены не при всех s < 0. Первоначально и устойчивое, и неустойчивое многообразия строятся локально, а потом они продолжаются с помощью траекторий потока" ф,,, причем неустойчивые многообразия продолжаются с помощью ф^ о s > 0, а устойчивые—с помощью ф^ с s < 0. Однако естественно продолжать локальные устойчивые многообразия настолько, насколько это возможно, и то. что получится при таком максимальном продолжении, называть просто устойчивыми многообразиями. Это несколько упрощает формулировки. Соответствующие изменения внесены далее в основной текст. Впрочем, основную роль в дальнейшем играют неустойчивые многообразия.

Необходимо сразу же предупредить, что «комплекс Морса», если его определять с помощью замыканий неустойчивых многообразий, не будет комплексом в том смысле, как это понимается в алгебраической топологии. Это обусловлено гремя обстоятельствами.

Каждое инвариантное неустойчивое многообразие Wu в нашем случае является многомерным «цилиндром» или «листом Мёбиуса» т. е. существует гомеоморфизм Е ” где Е — пространство некоторого векторного расслоения 6 над S (ориентируемого или неориентируемого). Между тем обычные комплексы состоят из «клеток», гомеоморфных евклидовым пространствам. Дополнительное несходство вызывает еще *^°Л1.

Конечно, это отличие, так сказать, запланировано с самого начала; оно имеется для всех римановых многообразий М и должно как-то отражаться при последующем применении аппарата алгебраической топологии. Если бы мы рассматривали функцию / на конечномерном многообразии М о невырожденными критическими точками , то неустойчивые многообразия были бы гомео-

морфны евклидовым пространствам, так что аналог комплекса Морса для этого случая —будем по-прежнему называть его комплексом Морса и обозначать «Л! (М, f)— более похож на обычные клеточные комплексы. Однако два других обстоятельства остаются в силе и для этого случая; именно для него мы их вначале и сформулируем.

2а) Хотя в «Л/ (М, f) каждое неустойчивое многообразие Wu является гомеоморфным образом некоторого открытого диска Int D® ниоткуда не следует, что имеется такой гомеоморфизм Int Dh ™ Wu, который можно продолжить до непрерывного отображения Dk -* М. Между тем для «клеток» обычного клеточного комплекса такой гомеоморфизм существует.

За) Назовем предельным множеством многообразия WH совокупность точек вида limx„, где все хп s Wu и последовательность {х„} не имеет предельных точек в индуцированной топологии. Ниоткуда не следует, что предельное множество /-мерного W „ содержится в объединении всех Wa меньшей размерности Между тем предельные множества /-мерных клеток обычных клеточных комплексов (ввиду 2а) эти предельные множества совпадают с образами границ дисков Dk при соответствующих отображениях Dk -► /И) содержатся в объединении клеток меньшей размерности.

Аналогичные обстоятельства 2) и 3) имеют место и для рассматриваемого Клннгенбергом «комплекса» аЛЕ^М. Именно, 3) текстуально совпадает с За) а 2) таково.

Хотя в ^ZKM каждое Wu является гомеоморфным образом пространства расслоения Int D£, где Dg—расслоение на замкнутые единичные шары ассоциированное с £ из 1), a Int О| —соответствующее расслоение на открытые шары, ниоткуда не следует, что имеется такой гомеоморфизм Int D^ —■ №„ который можно продолжить до непрерывного отображения D^-»-ЛМ.

Если бы не было этих неприятных обстоятельств 2) и 3), то, видимо, комплексы Морса «ЛЕ^-М могли бы служить объектами содержательной алгебраической теории (подобно тому как «Л/(М, f) при отсутствии указанных в 2а) и За) неприятностей были бы обычными клеточными комплексами и с ними были бы связаны соответствующие алгебраические объекты). Неизвестно, в какой степени неизбежны 2) и 3). Допустим, что можно сказать о множестве тех римановых метрик на М, для которых эти неприятности не возникают? С другой стороны, не исключено, что построение «ЛЕ^М целесообразно как-то модифицировать. Скажем, вместо grad Е (с) можно взять другое векторное поле, имеющее в каком-то смысле близкие свойства (в частности, вдоль его траекторий Е (с) должно убывать; впрочем не исключено, что может оказаться полезным модифицировать также и Е, не меняя, разумеется, критических точек), и построить Wu для потока, порожденного этим новым векторным полем.

В связи а этим целесообразно напомнить, что в дифференциальной топологии строится некоторый клеточный комплекс, связанный с М и j, но это построение не сводится к тому, чтобы взять неустойчивые многообразия критических точек (Милнор [1]). Топологи сперва вводят возле каждой невырожденной критической точки с такие локальные координаты, в которых / имеез вид / (с) -I-1 5+ |8 —16-|®, и определяют маленький «кусочек» многообразия IFa(c) возле с уравнением L. = 0. Этот «кусочек ^„(ф является, конечно, локальным неустойчивым многообразием точки с для системы 8 =—grad/(e), где градиент берется по отношению к римановой метрике, которая в терминах используемых локальных координат совпадает со стандартной метрикой в евклидовом пространстве (и которая пока рассматривается только в соответствующей координатной окрестности), но построение этого неустойчивого многообразия в данном случае тривиально. Если затем продолжить эту риманову метрику с малой окрестности множества всех критических точек на все М, то можно продолжить Wa (с) с помощью соответствующего градиентного потока. Пока что можно сказать, что Й7а (с) строится как неустойчивое многообразие точки с, рассматриваемой как положение равновесия градиентного потока, где градиент

grad / берется по отношению к некоторой римановой метрике, определенным образом связанной с /. Но когда траектории, «заметающие» №а (с), близко подходят к уже построенным ранее клеткам, отвечающим критическим точкам с' с f(c')< f(c), построение меняется. Так, возле с' приклеивание подошедшего к с' «куска» W „ (с) к проходящей через с' клетке wu (с') осуществляется не с помощью траекторий градиентного потока, а с помощью ретракции, которая в терминах соответствующих локальных координат |+, gl (в которых / = = / (с') + 1 6+18~1 ^-18 имеет вид (g^, gL)i—► (О, £1). Подобные модификации позволяют избежать 2а); применяют еще некоторые «малые шевеления», посредством которых удается избежать За). В итоге получается настоящее клеточное разбиение, клетки которого соответствуют критическим точкам /, но даже нет необходимости обсуждать вопрос, являются ли эти клетки неустойчивыми многообразиями каких-то потоков, имеющих какое-то отношение к /.

Описывая построение комплекса Морса (несколько абзацев перед 2.3.2), Клингенберг игнорирует 2). Было бы преждевременным обсуждать, какой именно из возможных вариантов стоит считать окончательным.

(зв) Теорема 2.5.1 представляет собой приспособленный для целей данной книги вариант известной теоремы Адамара—Перрона. Со временем эта теорема обросла различными модификациями и уточнениями. Ее стандартные варианты см. в книгах: Коддингтон и Левинсон [1], Хартман [1], некоторые исторические сведения —в книге: Аносов [I]**; отметим также новую работу Хирша, Пью и Шуба [1]. Употребительны два метода доказательства этой теоремы, принадлежащие Адамару и Перрону. Последний метод использован в настоящей книге, причем в своем, так сказать, первоначальном оформлении, при котором для решения вспомогательных интегральных уравнений используются обычные последовательные приближения. Но метод Перрона можно оформить и так, что в конечном счете доказательство сводится к теореме о неявных функциях (разумеется, бесконечномерной). Такое доказательство опубликовано в статье Ирвина [1] (однако без указания, что это — модификация метода Перрона). Достоинством такого подхода является то, что теорема о неявных функциях автоматически обеспечивает надлежащую степень гладкости инвариантных многообразий (такую же, какая имеется у рассматриваемой динамической системы). При применении метода Адамара для достижения того же результата приходится использовать некоторые дополнительные ухищрения (причем вначале это удавалось проделать только в конечномерном случае (использовалась теорема Асколи —Арцела), и только позднее Хирш, Пью и Шуб предложили такой способ, который годится и в бесконечномерном случае).

Клингенберг не доказывает гладкости инвариантных многообразий. Поскольку в настоящее время инвариантные многообразия намного более известны,

*> Дополнительно стоит упомянуть еще о Боле [1], [2], который, по-вн- димому, первым доказал гладкость инвариантных многообразий (не считая, конечно, аналитического случая), см. Боль [1]. Доказательство существования инвариантных многообразий у Боля основано на наглядной геометрической идее, которую для потоков на плоскости можно выразить так: если одни траектории проходят справа от положения равновесия, а другие —слева от него, то какие-то траектории должны стремиться к положению равновесия. Как это часто бывает, детальная реализация наглядной идеи (тем более в многомерном случае) оказывается громоздкой и наглядность в значительной мере утрачивается; кроме того, такое доказательство мало пригодно для различных модификаций (в частности, оно не переносится на нужный нам бесконечномерный случай). Поэтому исследования Боля не оказали большого влияния на последующие работы в этой области и даже были надолго забыты. (С другой стороны, следует отметить, что в связи со своим геометрическим подходом к задаче об инвариантных многообразиях Боль [2] за несколько лет до Брауэра сформулировал и доказал теорему о неподвижной точке для непрерывных отображений шара в себя.)

чем вариационное исчисление в целом, то мне кажется, что в данной книге можно и не восполнять этот пробел. Отмечу только, что так как здесь исходный поток —класса С”, то можно ограничиться более слабым результатом с потерей гладкости на единицу —все равно получится, что инвариантное многообразие имеет гладкость класса С00. Такой более слабый результат легко получается при применении любого из двух методов — Адамара или Перрона.

(а?) По существу, все, что здесь требуется,—это именно ввести возле cq такие локальные координаты

й+, go, U S Ncq (S4) ф TCqBq Ф N?q (В,).

в которых grad Е (g) принимает указанный ниже вид с нужными оценками (♦) для «нелинейных членов» С*. Существование таких координат почти тривиально, и для их построения незачем вводить поле подпространств T^N (Bq), по поводу которого сразу возникают различные вопросы. Является ли оно непрерывным (и дифференцируемым)? Интегрируемо ли оио, т. е. существует ли возле Bq слоение, для которого это поле является касательным полем (полем касательных пространств слоев)? Заметим, что для T^N в 2.5.1 мы имели положительные ответы на аналогичные вопросы (вопрос об интегрируемости даже не упоминался явно ввиду одномерности TjA).

Видимо, автору казалось, что эти T^N (Bq) как-то помогут обеспечить эквивариантность. Но в этом месте об эквивариаитности просто не надо заботиться. Говоря в общих чертах, локальные координаты нужны для того, чтобы: 1) убедиться, что полутраектория, не выходящая из малой окрестности Bq и начинающаяся достаточно близко к cq, стремится к некоторой точке Bq, причем с определенной скоростью; 2) построить локальные устойчивые и неустойчивые многообразия и убедиться в их гладкости. После этого доказывается (iv), а затем уже тривиально получается эквивариантность.

Поскольку в этой схеме большая часть рассуждений никак не зависит от того, что Bq является однородным пространством, то возможно, что она в чем-то отходит от замысла Клингенберга (которого я в таком случае не понимаю) и ближе к упоминаемой им далее работе Дёйстермата.

(зв) Отметим, что для индекса с как критической точки Еа в ЙМ имеется красивое и полезное описание в терминах сопряженных точек, см. Морс [2], Милнор [1], Постников [1]. В связи с этим Морс в |2] специально исследовал разность между индексом с как критической точки Е в АМ и индексом с как критической точки Е° в ЙМ (см. также работу Эдвардса [1]). Однако на сегодняшний день для индекса с как критической точки Е в ХМ более плодотворным оказался другой подход, предложенный Боттом и развитый далее Клингенбергом. В этой книге только он и излагается (§ 3.2), и используется (гл. 4).

(8») Рассуждения аналогичны доказательству 2.5.3, но только теперь нас интересуют не периодические решения фигурирующего в 2.5.3 уравнения (♦), а решения, удовлетворяющие краевому условию g (0) ==g (1)=0. У (кас.) нетривиальных решений такого рода при интересующих нас отрицательных зна- «ениях X нет, а у (верт.) оии имеются при

» pW-4^* „_, „ о. 1

причем при каждом таком X имеется л —1 линейно независимых решений. Отсюда получается указанное в тексте значение индекса. Дефект же равен п—1, поскольку при Х=0 (кас.) не имеет решений с нужными свойствами, а (верт.) имеет n—1 линейно независимых решений. Отсюда следует упоминаемая далее невырожденность критических многообразий В^.

Для внешних дифференциальных форм употребительны две системы определения основных операций, различающиеся некоторыми множителями. Система, которой пользуется Клингеиберг, раньше была очень распространенной, по позднее ее популярность упала, так что молодым читателям множители в некоторых формулах могут показаться странными. Поэтому стоит пояснить, что в принятой здесь системе форма dx1 Л ... A dxk получается альтернированием формы dx 1 ® ... ® dx к; иными словами,

^ А ... A dxk (XtХА) = i det ^ь h=1„,

где XA = dV (ХА) — компоненты векторов ХА (точнее, их локальных представлений, отвечающих локальным координатам х*). Далее, внутреннее умножение ft-формы а на вектор Xi определяется так:

(%«)(X2Хк)=ка(Хг Ху ...,Хк).

Формула для производной Ли (см. доказательство 3.1.2) в обоих системах одна и та же; в теореме Стокса появляется дополнительный множитель.

Имеется в виду ортогональное дополнение по отношению к а (тогда как раньше ортогональность обозначала обычную ортогональность в Тс ^М относительно (•, •)). При < = 0 пара соотношений (с, К) =0, (с, VK)=0 эквивалентна «-ортогональности Y (0) описанному двумерному подпространству. Значит, Y (0 при всех t «-ортогонально подпространству V^ в Г. ТМ, порожденному Тф/ р (0), 0) и Тф/(0, с(0)). Кстати, Тф^ (с (0), 0) = (с(/), 0) и Тф/(0, с (0)) = (/с (/), с УУ; действительно, вертикальная компонента здесь есть V от горизонтальной, а последняя удовлетворяет уравнению для полей Якоби; наконец, при t = 0 написанные выражения принимают нужные значения. (См. также ниже.)

Описание «-ортогонального к Vt множества {К} в терминах (с, Уд) = = (с, Ут) = 0 не зависит от L Поэтому Vt при всех / порождено (с (/), 0) и (0, с (/)). Конечно, в этом легко убедиться и непосредственно:

^-/.(с^о), (waw, о),

Тф/-/.^, с («) = ((/-/о) с (0. с (/)) = 7фЛ0, с (О))-/оТф^ (0), 0).

Теперь ясно также, что интересующие нас Y образуют ортогональное дополнение к У| и в смысле римановой метрики на ТТМ, индуцированной разложением ТТМ = Т ьТМ ® Т^ТМ;

(Z, Z') = (Zh, Z^ + (Z„, Z') (Z, Z' e TXTM, X e TM).

Кроме того, они лежат в Т^ Т^ (Т^М —пространство единичных касательных векторов, см. (42)). Действительно, вектор (0, с (0) <= Vt ортогонален Tc(t)TxM (см. описание последнего пространства в (42)).

Пусть 1У2— иммерсированное подмногообразие в ТМ, получающееся при иммерсии -

R2 — {ось Х1 = 0}->ТЛ4,(xj, ха)'—>xtc(xa)

(это действительно иммерсия: соответствующие «частные производные» суть

(О, с) и (х^, 0)). Ясно, что be (a-\-bf) (а, 6 = const; 6=^0)*’ суть траектории геодезического потока, лежащие на Wa и заполняющие его. (Соответствующие геодезические суть с(а + 60-) Тогда У^=Т. Vs, и написанные выше решения уравнения Якоби (или уравнений в вариациях) можно получить дифференцированием с (а + &0 (соответственно Ьс (а+6/)) по °< & ПРИ а=0, 6=1. Ясно, что эти решения не несут никакой геометрической информации о геодезических,

близких к с.

(4г) Совокупность единичных касательных векторов (т. е. векторов единичной длины) образует в ТМ подмногообразие ТХМ коразмерности 1. Будучи снабжено проекцией т | TjAf: ТХМ->М, оно является расслоением над М со стандартным слоем сфера. Его называют по-разному: единичным касательным расслоением (или пространством), расслоением (пространством) единичных сфер, а также пространством линейных элементов (хотя последний термин может иметь и другой смысл). Если X s ТХМ, то *

ТхТгМ-^®ТхТМ; (X, 2^ = 0}.

Очевидно, | ф/Хо | = const, так что ТХМ является инвариантным многообразием геодезического потока. Двойственная риманова метрика в ТеМ позволяет говорить о ТХМ; это тоже инвариантное многообразие (для гамильтоновой системы ^н« в Т*Му Часто каждый из четырех обьектов

{ф/}. {ф^Л^}. {£*ф^1}. {г.Ф/g;11 ?tM}

называют геодезическим потоком (однако геодезической пульверизацией — только первый из них или соответствующее векторное поле S на ТМ), так что надо быть внимательным к контексту. Клингенберг, как видно из его последнего замечания, намерен по большей части рассматривать именно {ф<|Т1Л4} и {^„Ф^11 Т*М), причем стандартное отображение позволяет не особенно педантично различать их. Так, построение локального сечения (см. далее в основном тексте) описывается для {ф( | TiAf).

(«) Вообще, если 2 с ТХМ — гиперповерхность, трансверсальная геодезическому потоку (т. е. S (X) ^ Т^ при X е 2), то ограничение формы а на 2 определяет на 2 симплектическую структуру. Надо доказать невырожденность а | 2, т. е. что если X е 2, Ye Т^ и У ^0, то а (У, Тх2) ^=0. Из (4а), (3.1.3) и определения S видно, что

ТхТхМ — ^¥еТхТМ\ а(У, S(X))=0},

Тх2 можно задать как ядро некоторого линейного функционала на Т^ГХМ или как пересечение с ТХТХМ ядра некоторого линейного функционала I на ТХТМ, линейно независимого с тем функционалом, ядром которого является ТХТХМ, т. е. с функционалом а( •, S (X)). Ввиду невырожденности а, I можно задать в виде а (•, А), причем Л и S (X) линейно независимы. Наконец, S (X) ^ Гх2 означает, что a (S (X), Л) #= 0 (кстати, последнее условие включает в себя и независимость S (X) и Л). Если бы теперь было а (У, Тх2) = 0, то функционал а (•, У) был бы линейной комбинацией задающих ТхХ функционалов а (•, S (X)) и а (•, Л), а тогда и У = XS (Х) + рЛ, причем р ^= 0, ибо S (X) ^ ТхХ. Но тогда а (У, S (Х)) = ца (Л, S (X)) #= 0.

*> Здесь через с (а+ 6/) обозначено ^с(т)|^_6#> а не ^с(a^-bty

так что ^с (a-ybt) —«Ьс^а+ыу

(“) Буквально это надо было бы понимать в том смысле, что а переопределяется: через а(Х, К) теперь обозначается то, что раньше записывалось бы как а(Х, К). Однако из дальнейшего видно, что это не так: по большей части *• а сохраняет свое прежнее значение; просто часто используется косоэрмитова форма (X, К) ।—► а (X, К), для которой никакого специального обозначения не вводится. В то же время под «ортогональностью» далее (например, в формулировке 3.2.1) понимается ортогональность относительно этой косоэрмитовой формы; то же относится к термину «ортогональное дополнение». ’

По существу же, стоит заметить, что в комплексной области переход от а к этой косоэрмитовой форме и далее к эрмитовой форме уа(Х, Г) позволяет рассматривать вещественные «-кососимметрические, соответственно симплекти- ческие, преобразования как эрмитово-кососимметрические (а после умножения или деления этих преобразований на i— как эрмитово-симметрические), соответственно унитарные преобразования, что более привычно. Надо только помнить, что указанная эрмитова форма не является положительно определенной.

В связи с этим надо иметь в виду двусмысленность термина «дополнения»: наряду с «ортогональными дополнениями» существуют еще «дополнения» в более привычном смысле —подпространство F называется дополнительным к Е, или дополнением (для, к) Е, если E-VF = V и £flF = {0}. Когда под ортогональностью понимают ортогональность относительно положительно определенной эрмитовой формы, то ортогональное дополнение является дополнением и во втором смысле (причем это именно такое дополнение, которое ортогонально Е\ но в нашем случае это не всегда так. Однако если ограничение используемой эрмитовой формы на Е невырожденно (в основном тексте такие Е называются далее невырожденными), то ортогональное дополнение F к Е является дополнением и во втором смысле тоже. При этом F—тоже невырожденное.

(*5) При данном р может быть несколько подпространств VOd, р или Ve„, р; тогда они и даже их сумма определены неоднозначно. Но число таких подпространств размерности / +1 при любом / определено однозначно —в терминах жордановой нормальной формы матрицы Р оно равно числу жордановых клеток порядка /+1 с р на главной диагонали. Число тех из них, для которых а((Рр —1)ЙХ, (Рр—1У-А ^) (/=>= 2Л—1, соответственно 2К) при надлежащей нормировке равно 4-1, соответственно 4-i, тоже определено однозначно. Это видно из следующего описания этого числа г/+1. Рассмотрим иа V/+1 (р) билинейную форму

ty+HX У):=а((Рр-1)АХ, (РР-1)ЛЛр).

Тогда ф/+1(Г, Х) = (-1)Л1ф^рГГ), а (Рр-1) V/+a(р) + V,(р) (t. е. та часть V/+i (р), которая порождена пересечениями K/+J (р) с имеющимися в V (р) циклическими подпространствами размерности ^ / 4-1) совпадает с ядром ф/+1. При приведении ф^ ^соответственно Д-ф/+1) к сумме квадратов модулей координат число положительных ;квадратов равно г/+1. (Заметим еще без доказательства, что именно эти числа г/+1 надо добавить к известным инвариантам жордановой нормальной формы, чтобы получить для Р полную систему инвариантов относительно действительных симплектических преобразований.)

(м) Более геометрически смысл 3.2.9 состоит в следующем. Поскольку Е«Хг = Е- то> 83яв z=e2lt,/m, получаем, что форма Da£ (ст) инвариантна относительно унитарного действия группы Хт — ^Ч на комплексифицирован-

*’ Но не всегда: см., например, следующий абзац основного гекста.

13 В, Клнигенберг

ном T^N, описанного в замечании к 3.2.8. Значит, ‘(Т^(ст))-Ас.Т^(с*п) = Ас, а ввиду унитарности T\z (ст) это означает, что Ас коммутирует с Tj^ (cm). Следовательно, Ас оставляет инвариантными ортогональные друг другу собственные подпространства im it, а поэтому D2E (cm) разлагается в прямую сумму своих ограничений на эти подпространства. Ограничение же на im /д, точнее D2£(cm)o(/tx/»), совпадает с тЧРЕ^ (с), ибо

<%■ Ш= j (т (Чк) (mt), т ^ (mt)1) dt-

1т

-т»^ (Wb) W- (VQ W> dt = m J <^h &’ V& W) dt =

.=m»(4k,^'k)0)

^ W W=R (ilk (0, =m (0, > (/))=

_ =R(tk (mt), me (mt), me (mt))=m»Rc (t,k) (mt), DtEWlik. ik^m»^, 4£)»-

i

-m2 j (Kc (£a) (mt), Vb (mt)) dt = m2D2E efe(c).

(4?) Заметим, что V^n определено однозначно, независимо от случайностей нашего построения (от выбора векторов при доказательстве 3.2.4). Действительно, легко видеть, что

(■)Vpto-V,^ S © S <рР- О' Vm (Р)

_|р| = 11>1

(V/(p)—те же, что в доказательстве 3.2.1). Напротив, V^, вообще говоря, зависит от случайностей построения. Однако пространство Е1п-Р := У;„фУ^ определено однозначно, ибо оио совпадает с

(<$)^Ф 5 ф S w-o'^+hp).

Jpf — I Z>0

Обозначим, далее, естественную проекцию

Е»п-р ^p$q ._ E^PjvP^

через л, и пусть F9 := л (V" П Е4п-ру это максимальное изотропное подпространство в F2q (кососимметрическая 2-форма в F2q естественным образом получается из а). Тогда к,” = л'"1/г?, так что V" тоже определено однозначно. Наконец, Qp в 3.2.11 и 3.2.12 строится согласно 3.2.7 с У2” (0) вместо V2<1 и V” вместо Vq. Тем самым оказывается, что все вспомогательные объекты, фигурирующие в следующей далее теореме о р-иидексе (3.2.12), не зависят от случайностей построения.

Можно было бы с самого начала определить подпространство Ein~P как (б) и доказать, что его ортогональное дополнение дается правой частью (а), которую тогда можно принять за определение V п- При этом полезно сперва доказать, что ортогональное дополнение к (Рр —1)‘V/(Р) в И (р) равно (Pp-l)A'V(p) + Vi(p).

Заметим еще, что у эрмитовой формы Qp на V, ядро Qp = V”fl(Pp— I)-1» • V” => V^f^Pp—I)-1 ^^ = Vfn (используем, что PV^n = V^. Поэтому Qp можно рассматривать как эрмитову форму на V^ или на не зависящих от случайностей построения пространствах F9 или У” (0) П£2л~р>

8) а) Допустим, что р_Е Ф р7'~Л, и докажем, что тогда существует такое $@рГсЛ, для которого

D^Ep (с) (У?, £) =0и D»Ep (с) (g, & < 0.

Я := рТ“Л ф p+^pIF —конечномерное пространство. Рассуждая так же, как в конце доказательства 2.4.7, убеждаемся, что в Н можно ввести такое положительно определенное эрмитово скалярное произведение ( •, •), с помощью которого Q := D^Ep (с) | Н представляется в виде

<Ж П) = — <РЛ. Р-^ + ^Р+Ь Р+Ч>-

Теперь в ^0W с Н однозначно выделяются такие подпространства Е и F, что ^pW=E©F, {Е, F) = 0, Q(E, F) = 0, Q\E^0 и Q|f>0. Если g е Е, т\е F, то

<6. ч>-</>4. р-л>+<рЛ р+-п>=о'

И

Q(£, ii)—<РЛ. Р-Т1> + (рЛ Р+П)=°,

поэтому (pJE, p_F')=0 и (р+Е, рч77^=0. Пусть X —ортогональное дополнение (в смысле ( •, • » к р_Е в рТсК, a Y=p+F; тогда F с X ф Y. Найдем такой ненулевой элемент £еХфК, что Q^F, £) = 0; из ;еХ®У следует, что Q (Е, £) = 0. Поскольку ker (р, £) = 0 (это доказывается аналогично тому что ker (р_ | £) =0), то F с X ф Y имеет вид

{Лу+у; у е Y, АеЦ¥; X)}.

При этом из Q|f>0 следует, что (у, у) — {Ау, Ау)>§ при всех у s Y, у=/=0, т. е. норма (относительно (•, • 5)||С 1.

Ищем g в виде и+о, иеХ, пег. При всех у должно быть

О=()(Лу+у, «+»)=— {Ay, u^-V^y, о> —(у, о—А*и>

(звездочка обозначает сопряженный оператор по отношению к скалярному произведению (•, •)), откуда и = А*и. Итак, g«=u4-Л*u, где можно ваять любой ненулевой элемент иеХ. Тогда Qt^W, y = Q^E^F, S)=0, а

Q(g, §) = —<“, u)-V(A*u, Л*и)<0

(ведь || Л* | = M ||< 1).

Теперь докажем, что если р_Е * р^Л, то существует дифференцируемое берТеЛ, для которого D*Ep^(^W, ^)=0 и D*£p(c)($, |)<0. Ввиду а) для этого достаточно доказать, что в

L-.-^ 5ерТсЛ, D»Ep(cHtpW, g)-0}

всюду плотны дифференцируемые g. Но условие D*E0 (с) (СрИ7, ®—0 эквивалентно тому, что если 0=<0<Л <...<t,—все те (е[О, ©), для которых W (Q ^ о, то

(*)(К • W (/<), g №/©)> = 0 при i = 0г

(К, как и в замечании к 3,2.10,—отображение связности). Иными словами, 13*

это условие эквивалентно тому, что значения g в точках 1;/<й должны удовлетворять некоторым соотношениям. Ясно что дифференцируемые g всюду плотны в L.

Докажем, наконец, что если р_Е Ф рГ^К, то существует такое g, для которого7 (с (/) g(/))=0 при всех t и которое обладает свойствами, указанными в б). В общем случае g из б) представляется в виде g (/) = а (/) с (/) + + Л(0> гДе (с(0> Л(0> = ° ПРИ всех h ПРИ этом РЛ (1) = *! (0) и

Л(0—£(0—55(6(0, ё(0>,

так что из дифференцируемости g следует дифференцируемость ц. Поскольку Кс(ё) = О (Д кососимметрично по первым двум аргументам) и Vc=O, то для любого £ е рТсА*

D2Ep(c)(a"c, £)=J (ас, Vg) dt.

Если (с (0, т](0) = ° при всех t, то, дифференцируя, получим (c(f), Vrj(/)) = O, так что, взяв в предыдущей формуле g = t], найдем, что О2£р (с) (ос гу = О. Взяв же и\ = ас, получим

D4Eg (с) (ас, вс) = <о2 j | а |а dt 5= О,

Значит, если для g = ac-|-i) выполняются условия

D»Ep (с) (gpV, g)=0, D'Ep (с) (g, g) < 0, то они выполняются и для гр Мы видим, что т] обладает всеми свойствами, требуемыми в б) от g, и сверх того (c(t). т](/))=0 при всех t.

Забегая вперед (см. (%0)), заметим, что мы можем дополнительно потребовать еще, чтобы (g (0), V£ (0)) е V'^. Действительно, условия (♦) при i = 0 и (с(0), g(0))=0 из в) гарантируют, что g(0)eTT. V^n, а добавляя при данном g (0) к нашим условиям еще какие-то ограничения на Vg (0) (лишь бы они были совместными), мы выделяем среди дифференцируемых g е £ в данным g (0) и (с, g) = 0 некоторое плотное подмножество.

9) а) Покажем, что g, удовлетворяющее всем перечисленным выше условиям, представляется в виде

g (0 = 2®/(/>7,(00, 0^/^1, .

с дифференцируемыми иЛ В рассмотрении нуждаются лишь значения /, близкие к тем значениям /а/со, для которых ЦТ (/0) N= (0).

Действительно, при остальных t векторы Y;(<i>t) образуют базио в про- отранотве V™ (0 (используем обозначения из замечания к 3.2.10). Поэтому при этих t имеет место разложение g (0 = 2®/ (0 ^/ (О с однозначно определенными и дифференцируемыми wl (t). Значит, если мы докажем, что в некоторой окрестности А точки /0. для которой 1F (/0){0}, имеет место разложение g(/) =

= 2®/(0^/(0 с какими-то дифференцируемыми ш/, то w! (/) при (е А — {/0} должны совпадать с предыдущими wi (/), а потому эти последние можно доопределить при /=/0 как ®/(/„), и тогда они будут определены и дифференцируемы при всех t.

Пусть сперва 0^/а<1; воспользуемся теми же обозначениями, что и в 3.2.10. Дополнительно потребуем, чтобы было

фУ, (/0), V7,(/o)> -6V (i, i-1, .... /«)

(это легко обеспечить, применив обычный процесс ортонормирования к (VKj(<0), i^ib}: если новые VK/(/0) выражаются как некоторые линейные комбинации старых, то в качестве новых У/(/о) = (О, VK, (Q) берем такие же линейные комбинации старых К; (/„)) и

М), Г/((0)>=ву (1, / = /„+!, .... п).

Итак, УУ, (/0)XY,. (/0), Y( +1 (/0), .... У„ (/0) — ортонормированный базис в V» (t^.°°

Положим

7 /л / t — t ^ ^’^’

1яш t=t„

0 = 1io)- Тогда Zx(t)Zu(t), У(,+1 (0Yn (f) — дифференцируемый базис в Vn(f) при t, достаточно близких к t0 (скажем, в некотором интервале Д). При t = t0 он ортонормирован. Если теперь ^(t) дифференцируема, то в разложении

6 (0 = S «40 Z, (/со) + 5 Ш (t) Y, (to) < = 1/ = <o+l

коэффициенты и1, wi суть дифференцируемые функции t (при t е А), причем при t=t0

иЦ^-^М» Zi^))^.

Следовательно, функции (0: = \ и1 (0—тоже дифференцируемые. А ведь

Е(0= 5] W к/ W п₽н 1 s д-

/=1

Мы доказали, что при некотором специальном (зависящем от t0) выборе инвариантных полей V,=(Yj, УУу), образующих базис в Tq>(V”, в некоторой окрестности Д э /0 имеет место представление g (t) = £ wf (t) Yf (mt) с дифференцируемыми wL Но тогда аналогичное представление имеет место при любом выборе такого рода полей. Действительно, если Уу = (Уу, УУ)) —другая система инвариантных полей, образующих базис в T<p(V", то Yj (0 = £ ajkY'k (t) с некоторыми постоянными коэффициентами а;м. Значит, У/(0 = £Оу6У^(0 и g (t) = Е w'k (0 Y'k (0 с ш'* (0 = £ a^i (0.

Предыдущие рассуждения охватывали бы и случай /0=1, если бы мы знали, что (УУ (со), |(1))=0 для всех инвариантных полей У с К(1)е№ (со), т. е. что (К • W (со), g(l)) =0 (обозначения те же, что в замечании к 3.2.10). Среди условий, которым удовлетворяет g, непосредственно такого свойства нет, однако оно легко выводится из того, что g(l) = pg(O) и (K-W (0), g(0)) = 0. Дело в том, что К» W (со) с: К« W (0). Действительно, для У”(О) = У”(со) имеются два представления в виде ортогональных прямых сумм

Гт. V"®K-W(0), Тт.7фш. V"®K-W(to).

Но ТХ-Р, VP„ = PV?„,

Tx.V'.-Tx.V^Tt. тк . VP с Гт • Тфш (Vf„ © У») - Гт. Т^. V".

Отсюда и следует, что К • W (со) с: К • ТУ (0). (Между прочим, поскольку К I V” (0) —изоморфизм, то имеем даже W (со) с W (0).)

Из рассуждений в а) легко вытекает следующий факт, который иам понадобится в (6°):

Пусть на некотором интервале tQ — 8</<<0+е задано t] (/) е У” (f), причем я дифференцируемо и г)(/е) = Vr)(/о) = 0. Пусть по-прежнему Yv ... .... Yn — инвариантные векторные поля, образующие базис в Tq>tV”, Тоеда п

в разложении Ц (0 = 5 ^ $ Yi (0 с дифференцируемыми ш1 (которое ввиду а) С = 1

существует и единственно в некоторой окрестности /0) все w' (Q = 0,

В рассмотрении нуждается только тот случай, когда W (^0) ^ о, причем достаточно доказать наше утверждение только при каком-нибудь одном выборе полей Yi- Рассмотрим такую же специальную систему этих полей, что и в а). Тогда в использованных там обозначениях и1 (t) (i ^ i0) и w* (t) (i > /0) будут о(|/ — /0 |)' а значит, все ю/(/0)=0.

(5°) Соотношения

(*)wk (0) = шА (1)=0,tt/(0) = 2paj!»'(l) (h>P) 1Д^Р)

I

ие следуют непосредственно из того, что 5(0“ 2^(0 У/(<»0» Е(1)=Рб(0),

р. (0) е V?n при / ^ р и Y h (0) е V^ при к> р. Из них следует только, что 5(0) и 5(1) можно записать в виде S 5^/(0) и 25'^/(О с

5» = 5<»=О, ^-^ра^1 (к>р; j, t^p).

i

Но поскольку Ку(О), вообще говоря, линейно зависимы, равно как и Y, (1), то в общем случае нельзя утверждать, что

^(0)=^, wi^ — ^t (i = l, п).

ОО

(Например, можно взять 5(0“ XР*Фл (i—A) Yn ((t—h) со), где носитель

ft =—оо

supp фа сосредоточен возле /=0.) Фактически соотношения (♦) являются некоторыми дополнительными условиями на 5, и надо доказать, что им можно удовлетворить (не теряя прочих нужных свойств 5). Мы докажем, что если взять 5 таким, как в (“), г), то соотношения (•) будут выполняться.

Дополним базис Y^O)Уп(0) пространства V” до базиса Pt (0), ...

^(0) всег0 У®” (0) и разложим | (/) := (5(0> V5 (()) е У1" (о/) по базису

^1(ю0^«л(®0:„

i—1

Коэффициенты ^ определяются однозначно н являются дифференцируемыми функциями от (. Поскольку | (0) е У^п, то ^(О) —0 при i>p. Рассмотрим

р

Ч(0:=5(0-Х «‘^YlM

С=1

р ,возле точки /=0. Ясно, что Т) (0) = 0 и Vt] (0) = V£ (0) — 5 у' (0) VK# (0) = О1=1

2л

(ибо ^(t)= 2 vl(t)^Yi(tot) и и‘(0) = 0 при 1>р). Следовательно, согласно 1=1

W, б), п(0= 2 и‘ (О Y( (®0 с дифференцируемыми и*, причем и1 (0)=0, Но тог

да в представлении 5 (0= У ^ (О Yi (tot) о дифференцируемыми wl (которые, как 1 = 1

мы видели в (м), а), на любом отрезке времени определены однозначно, коль скоро требуется их дифференцируемость (и даже одна только непрерывность)) при малых t должно быть

ю1(Л=/Р'(°)+И<(0 ”РИ‘<Р’

' I и‘ (t)приi>p.

Следовательно, tic1 (0) = vl (0) при i^p иw* (0) = 0при 1>р.

Далее, § (1) = р£ (0) s 1/^, а поскольку К, (о>) ?₽(“)—тоже базис

V^, то, повторяя для t, близких к 1, те же рассуждения, что и для t, близких к 0, приходим к выводу, что

w1 (1) = о/ (1) при i^p иto,(l) = 0при 1>-р.

Наконец, разложим Yt(to) по базису Yj(0) пространства Vs" (0):

2/1

Г,(®)=5 aif/(°) (<=*. -.2»).

/=1

Отметим, что при i ^ р коэффициенты а{ о / < р те же, что и в основном тексте (а если j>p, то aJ=O). Тогда

2л

р£У/(ог/(<»о=р£(1)=е(<+1)” /=1

2л2л

- S ^ (i+о ?, (®+®о =2 ^ <*+о а^< W’ i=ii. i=i

2л

откуда pv^ (t) = У «^(l-f-Z). Значит, при j^p 1=1

р®7 (0) = У ^ (1)'

t=i

(прочие слагаемые=0),

(6>) Докажем следующее утверждение, которое нам понадобится в доказательстве 3.3.9: из N т-элементарности Р следует N-элементарность Рт.

Предварительно перефразируем определение ^-элeмeнтаpнocти преобразования Р следующим образом. Совокупность собственных значений преобразования Р (с учетом кратности) разобьем на пары взаимно обратных элементов (Pii Р7*)> •••■ (Pm> Pm1)- ^” можно сделать, ибо если р —собственное значение, то и р_1 —тоже, а 1 и —1 имеют четные кратности. Очевидно, главные

собственные значения—это просто представители этих пар, выбранные по определенному рецепту.) Пусть ki^O целые и l^S^^/V, а \ е (pfl Р^1); тогда Ц X; * + 1.

Пусть теперь Р является Мт-элементарным. Если ptр„—главные собственные значения Р, то, вообще говоря, нельзя утверждать, что р™, ... ..., р„ являются главными собственными значениями Рт, но ясно, что (р™, РГ"1)’ ••• (Рп- Р«"т) есть разбиение совокупности собственных значений pm (С учетом кратности) на пары взаимно обратных чисел. Пусть к^О целые и X^^k^N, а Х;е(р^, Р“т); утверждается, что Ц Х^‘=^1. Действительно, Х/ = р7> W Ц/^(рр Р^)» очевидно, А'т-элементарность Р гарантирует, что интересующее нас произведение ^ 1.

(5.2) Следует пояснить, как понимать использование комплексных переменных, если рассматриваемые функции не являются аналитическими. В нашем случае годится любой из следующих трех способов.

Неаналитическими у нас могут быть лишь остаточные члены, тогда как вычисления будут производиться только с членами первых трех порядков, причем полученный результат — нормальную форму—можно переписать в вещественном виде (см. добавление к § 3.3, (1)). Поэтому можно, записав ^ в виде ^з + е^з, где §Р3—члены первых трех порядков, а е^з — остаточные члены, рассмотреть сперва одно ^з, провести для него все рассуждения с временным выходом в комплексную область и окончательно получить, что ^3 в некоторых новых вещественных координатах (х', у')=/(х, у) представляется в виде определенного выражения плюс остаточные члены, которые имеют определенный порядок малости и производные которых тоже имеют определенный порядок. Правда, ^3 не обязано быть симплектическим, так что на самом деле надо подобрать такой аналитический добавок й более высокого порядка, чтобы ^з + й было симплектическим преобразованием*1, провести все рассуждения для ^з + й и заметить, что коэффициенты ак и Ьк нормальной формы на самом деле выражаются через коэффициенты ^3. Очевидно, ^ в новых координатах представляется как

(*', /)•—* f ° ((^з+бЙ + Се^з—Й)) «Г-1 (*'» у').

Эго отличается от /-(^+й)”/~1(х',/) только на члены, которые сами имеют тот же порядок, что и е^3 —Й> а их производные имеют тот же порядок, что и D^g —й).

Когда мы вводим комплексные координаты, можно считать, что у нао они принимают значения не во всей окрестности нуля в С2”, а только в некотором подмножестве—образе в рассматриваемых координатах окрестности нуля в R2". Так, мы начинаем с того, что, полагая zk=xk-\-iyk, zk — ^ — it/1, переписываем преобразование

х'* = х* cos 2лаА — ук sin 2лаА 4-...,

y'h^xk gin 2лай -|- ук cos 2ла*4-... в виде

/*=е2я%*4- .... /16 = е-2я%1+..„

*• Чтобы убедиться в существовании й, возьмем производящую функцию Н (х, т]) преобразования Р-1^, возьмем сумму ее однородных частей до четвертого порядка включительно и примем эту сумму за производящую функцию нового преобразования (см. 3.3.1 и последующее замечание). Это и будет преобразование Р-1 (S5 + й).

Поскольку исходное преобразование мы рассматриваем только при вещественных хА и ук, то в пространстве С2” с координатами (z6, z^) мы рассматриваем подмножество, выделяющееся уравнениями г* = гй. (Соответственно везде и пишется 2й, а не г*-) В тех комплексных переменных, которые получаются в самом конце—обозначим их снова через г и г1(—по-прежнему образ RM выделяется теми же уравнениями.

Собственно, при этом запись остаточных членов в виде wk (г, 2) (нли, если угодно, wk (г, г^) аналогична тому, как если бы, скажем, рассматривая функцию f, заданную на некоторой линии в плоскости (х, у), мы бы писали /(*- У)-

Можно с самого начала продолжить неаналитические остаточные члены в некоторую окрестность нуля в пространстве С2Л с координатами хк, ук (теперь уже комплексными) как некоторые С1-функции от вещественных и мнимых частей этих комплексных координат, удовлетворяющие прежним условиям малости (самих этих функций и их производных по Кехй, 1тхй, Reyk, 1m ук). Конечно, теперь хк — 1ук, вообще говоря, уже не будет комплексно сопряженным с zk=xk-Viyk (хотя в конечном счете нас будут интересовать вещественные хй и ук, для которых xk — iyk = 5k\

) Мы доказали, что если g* имеет указанный выше вид, то (/, 0, ..., 0)— геодезическая. Обратное, вопреки несколько небрежной формулировке в основном тексте, неверно (и, естественно, не используется далее). Читатель при желании может проверить, что общий вид римановой метрики g*, для которой у, 00)—геодезическая, таков:

gt„y; х) = а/1+2 2 ^4-О(|х|2)\\<>о

g^t; х)=а(6,/+О(|х|)),

g^. прн I, / > 0 произвольны.

Соответственно g*°° = -^ ( 1 — 2 ^ Ь^х* + -..),

8*°‘ = -^ ^ 6*ik(t’ ^bki+-’

k>0

(g*ikV> 0))i, k>6 = №№ W*>o-

Если потребовать, чтобы для этой геодезической норма вектора скорости равнялась 1, то получим, что а = 1, но остаются еще 6/, для обращения которых в нуль нужны дополнительные требования. Например, можно потребовать, чтобы при х=0 векторы д/дх' О'> 0) были ортогональны д/дх°. Для нас всего важнее, чтобы не только кривая (/, 0, .... 0) была геодезической, но и чтобы траектория геодезического потока в канонических координатах (х®, ... .... х”, у6, .... у”), естественно связанных с (х®, ... х”), имела вид

у, 0, ..., О, 1, 0, .... 0).

Это условие обеспечивает, что а=1 и &г=0.

(И) Действительно, известно, что если

V8:={L; ‘L^+^L, |L|<e},

то (exp Ve; e > 0}—фундаментальная система окрестностей 12п в Sp(n). Зафиксируем какую-нибудь С”-функцию <р у'), которая имеет носитель в рас- <о

сматриваемой окрестности t» и для которой ( <р y)dt=L При достаточной

О

малости матрицы L, скажем при | L | < 6, матричная функция ф (У) L будет удовлетворять требуемым условиям о малости и носителе. Ясно, что матрицант уравнения 5 = (ф (У) L) S равен ехр I J ф (У) dt. L ) = ехр L, и мы видим, что так

\о У

можно получить любую матрицу из окрестности exp Ив единичной матрицы.

Структурной группой построенного расслоения является подгруппа ортогональной группы О (k), состоящая из ортогональных преобразований, коммутирующих с Т (такие преобразования очевидным образом действуют на £>e/Zm). Если ее можно редуцировать до аналогичной подгруппы группы SO (А), то (по аналогии с векторными расслоениями) можно условиться называть данное расслоение ориентируемым. Можно также построить такое векторное расслоение v: 0m-*Am, что |i~/S получается из v" факторизацией его слоев по действию группы Zm (?о действует как Г). Ориентируемость v соответствует ориентируемости |i~/S. В статье Клингенберга [4] и в английском оригинале данной книги построение у некорректно.)

Последнее, конечно за исключением тривиального случая, когда nv-Vl = Z, т. е. M = S1.

Каждому нетривиальному классу сопряженных элементов группы л^ соответствует некоторая замкнутая геодезическая, лежащая в соответствующем классе свободно гомотопных замкнутых кривых (и минимизирующая в этом классе Е). Если для всех классов сопряженных элементов эти замкнутые геодезические суть кратные повторения одной и той же замкнутой геодезической с0, соответствующей классу {Р«Р-1; рел^}, то всевозможные классы суть {ра'Р-1; рел^И}, где I пробегает целые числа. Иными словами, каждый элемент группы лгУИ сопряжен с некоторой степенью а.

Пусть теперь а есть образ а при факторизации по коммутанту. Ясно, что прокоммутированная группа порождается а. Если мы предполагаем, чтол^^Х, то в коммутанте должен быть элемент р, отличный от единицы группы. Он тоже сопряжен с некоторой степенью а, скажем р=уалу~1, где п#=0. Но при факторизации по коммутанту Р переходит в единицу е прокомму- тированной группы, так что е = ап. Итак, при коммутировании л^ получается конечная группа, и одномерное число Бетти группы лхУИ равно нулю.

лгМ не имеет кручения для любого конечномерного комплекса типа К (ль 1). Иначе отсутствие кручения у Л]УИ легко доказывается при несколько более сильном условии на метрику. Именно, помимо невырожденности всех замкнутых геодезических потребуем еще, чтобы соответствующие отображения Пуанкаре были либо гиперболическими, либо закручивающими. Согласно 3.3.10, такие метрики «типичны». При выполнении этого условия достаточно рассмотреть тот случай, когда все замкнутые геодезические являются гиперболическими, ибо в противном случае имеется бесконечное число замкнутых геодезических (§ 3.3 и добавление к нему). А для гиперболических замкнутых геодезических имеется простая связь между их индексами и индексами их кратных повторений (см. 3.2.13). В частности, упомянутая выше с0 (минимизирующая Е в компоненте связности пространства АМ, отвечающей {РаР-1; Ре л,УН}) имеет индекс 0. Значит, все ее кратные повторения тоже имеют индекс 0, и оттого на критических множествах S . с^ в ЛУИ функция Е имеет локальные минимумы.

Допустим, что в лгМ имеется элемент конечного порядка т, скажем (Рар-1)т=1. Тогда ат=1 (так что лгМ имеет конечный показатель: ут = 1 для всех у s л^). В частности, замкнутая геодезическая с™ стягиваема. Рассмотрим в компоненте связности пространства ЛУИ, точки которой суть стягиваемые замкнутые кривые, всевозможные пути, соединяющие S . с^1 с Х°М. Они образуют некоторое ф-семейство g^, повисающее на некоторой критической орбите S . с. На последней Е не может иметь локального минимума.

Ведь в противном случае существовало бы такое е > 0, что на пути, имеющем хоть одну точку в некоторой окрестности S . с и кончающемся в Л?М, max Е > >£(S.c)+e; а тогда ^^ не могло бы повисать на уровне Е (S. с). Следовательно, с не является кратным повторением с0.

В этих рассуждениях использовались условия, наложенные на метрику и свойства фундаментальной группы, а стягиваемость М не играла роли. С помощью рассуждений такого же характера Бальманн, Торбергсон и Цил- лер [2] показали, что при выполнении того же условия на метрику и некоторых условий на фундаментальную группу имеется бесконечное число различных однократных замкнутых геодезических.

Автор упускает из виду то, что лгМ может быть бесконечной периодической группой.

Если порядки элементов л,М не ограничены в совокупности, то годится простая модификация приведенных в основном тексте рассуждений (причем они доказывают даже существование бесконечного числа различных замкнутых геодезических). Остается тот случай, когда существует такое т, что ут = 1 для всех уе л^. Кроме того, выше мы видели, что при бесконечной ихМ существование двух геодезических остается под вопросом только тогда, когда все элементы группы л,УИ сопряжены с различными степенями фиксированного элемента а, причем в рассматриваемом сейчас случае, когда ат = 1, существование двух геодезических можно доказать при наложенном в (4е) дополнительном условии на метрику.

(4е) Поясним, почему существует f с нужными свойствами. Надо доказать только существование такого отображения g: (Dka, dD^-^-^M, A°Af), что ^«g реализует цикл D-1 (с0) в Пи° mod Пх°“; как после этого перейти к /, ясно из § 2.1. Сперва несколько уменьшив Dk°, построим такое отображение gT: (Dft°, dDto)-> (Ах°, ЛХ°~Е), что n«gj реализует рассматриваемый относительный цикл. Мы докажем, что отображение g, I дВкй; dDk° ->- Ли°~8 гомотопно нулю. Тогда с помощью соответствующей гомотопии отображение gx легко продолжить до отображения большего диска в Лх°, имеющего требуемые свойства.

Можно считать, что в Лх°~8— Л ° нет критических точек. (Действительно, в противном случае там имелась бы однократная замкнутая геодезическая сх. Для нее Е (ci) < х0 = £ (с0), так что она отлична от с0, и теорема доказана.) Стало быть, Ли°"8 деформируется на Л° вдоль траекторий градиентного потока, так что gx | dDft° гомотопно в Дхо-е некоторому отображению dD*0Л° = М. А последнее гомотопно нулю, ибо л^^УИ^О (при й0=1 здесь речь идет о связности УИ).

(4е) Громол и Мейер [1] определяли характеристическое многообразие как образ Do ПРИ таком локальном эквивариантном диффеоморфизме ф, при котором £г°ф «расщепляется», как указано в формулировке 4.2.1, на квадратичную часть, зависящую только от g, и вырожденную часть, зависящую только от g0. (Именно это и нужно для дальнейшего.) Характеристическое многообразие (в этом смысле), вообще говоря, не единственно. (Тем более не единственно ф.) В теореме 4.2.1 сперва посредством условий фигурирующих в первой части утверждения теоремы, выделяется некоторое подмногообразие, а затем доказывается, что оно характеристическое (т. е. для него существует надлежащее ф).

(во) Предпошлем этому несколько замечаний.

Рассматриваемые топологические пространства предполагаются связными, имеющими гомотопический тип счетного CW комплекса и абелеву фундаментальную группу, тривиально действующую на все гомотопические группы, а также на группы гомологий универсального накрывающего пространства. Следуя Постникову [2], будем называть такое пространство, равно как и соответствующий гомотопический тип, абелевым. (Абелевы пространства часто называют

простыми, но, во-первых, классически простота означает только тривиальность соответствующего действия группы nj., но не ее абелевость, и, во-вторых, напрашивающееся словосочетание «простой гомотопический тип» имеет совсем другой смысл.)

Если М односвязно, то АМ абелево. Окружность абелева.

По поводу понятий: рациональное пространство, рационализация абелева пространства мы отсылаем читателя к статье Постникова [2].

Рациональный гомотопический тип можно понимать в двух смыслах: либо как совокупность гомотопически эквивалентных рациональных пространств, либо как совокупность всех пространств, рационализации которых гомотопически эквивалентны. Отображения f, g: X -► Y называются рационально гомотопными, если соответствующие отображения рационализаций этих пространств гомотопны.

Определение минимальной дифференциальной градуированной алгебры (ДГА) в общем случае отличается от того, которое дается в добавлении к § 4.3. Однако последнее годится для тех ДГА, у которых все элементы степени один являются циклами. Именно таковы минимальные модели абелевых пространств.

Некоторые сведения о минимальных моделях имеются в начале статьи Гриффитса, Делиня, Моргана и Суллнвана [1]. См. также сборник: Геометрическая теория дифференциальных форм. —М.: Мир, 1981.

) Многочисленные литературные ссылки имеются в обзорах Хедлунда [2], Катка, Синая и Степина [1], Песина [3], Песина и Синая [1], а также в книге Аносова [1]. Первые несколько страниц лекций Алексеева [1] посвящены возникновению символической динамики в ранних работах данного направления. Некоторые новые работы геометрического характера отражены или упомянуты у Клингенберга [21]; см. также работы Грина, Эберлейна, Песина, О’Сулли- вана, Эшенбурга и Гото в списке литературы в настоящих «Лекциях».

Основным объектом исследования здесь является риманово многообразие (полное, но не обязательно замкнутое), на котором геодезический поток не имеет сопряженных точек (короче говорят, что метрика не имеет сопряженных точек). Уже одно это условие отсутствия сопряженных точек накладывает определенные ограничения на свойства многообразия (теорема Адамара — Картана), а при слабом дополнительном условии, что кривизна ограничена снизу, можно построить некие аналоги подпространств Г”, Г” (соответствующие так называемым предельным решениям уравнения Якоби, см. Грин [4], Эберлейн [2]) и орисфер (Эшенбург [2]). Однако в общем случае эти объекты не имеют тех свойств, которые делают их столь полезными в случае отрицательной кривизны. Так, Т" и Т" не обязаны быть трансверсальными (условие трансверсальности выделяет потоки Аносова, см. Эберлейн [2]), а в случае евклидовой метрики они вообще совпадают. Чтобы получить достаточно содержательные результаты, в какой-то степени воспроизводящие то, что относится к метрике отрицательной и отделенной от нуля кривизны, нужно потребовать выполнения каких-то дополнительных условий. В качестве такого условия часто используется аксиома видимости, введенная в статьях Эберлейна [1], [3], Эберлейна и О’Нейла [1]. Замечательная особенность аксиомы видимости состоит в своего рода топологической инвариантности этого свойства: если на замкнутом многообразии имеется метрика без сопряженных точек, удовлетворяющая аксиоме видимости, то и все другие метрики без сопряженных точек, которые существуют на этом многообразии, тоже удовлетворяют этой аксиоме (Эберлейн [3]). При выполнении аксиомы видимости или некоторых других условий можно довольно далеко продвинуться в изучении как геометрических свойств рассматриваемых многообразий, так и свойств соответствующих геодезических потоков, а также связанных с ними объектов (потоки реперов, орициклические потоки, орисферические слоения).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Абрахам (Abraham R.)

Bumpy metrics.—Globa] Analysis, Proc. Symp. Pure Math. vol. XIV, 1—3. Providence, R. I.. Amer. Math. Soc., 1970.

Абрахам, Марсден (Abraham R., Marsden J.)

Foundations of mechanics. —New York and Amsterdam: Benjamin, 1967.

Абрахам, Роббин (Abraham R., Robbin J.)

Transversal mappings and flows. —New York and Amsterdam: Benjamin, 1967.

Адамар (Hadamard J.)

Les surfaces a courbures opposees et leur lignes geodesiques. — J. Math. Pures Appl. (5), 4, 27—73 (1898).

Александров А. Д.

] Квазигеодезические на многообразиях, гомеоморфных сфере.—Докл. АН СССР 70, № 4 , 557—560 (1950).

Алексеев В. М.

[Iй] Символическая динамика.—Одиннадцатая летняя математическая школа. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1976.

Альбер С. И..

О периодической задаче вариационного исчисления в целом.—Успехи матем. наук, 12, № 4, 57—124 (1957).

Топология функциональных пространств.—Доклады АН СССР, 168, № 4, 727—730 (1966).

Топология функциональных многообразий и вариационное исчисление в целом.—Успехи матем. наук, 25, № 4, 57—122 (1970).

Аносов Д. В.

Геодезические потоки иа замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны.—Труды МИАН, № 90. М.: Наука, 1967.

] Геодезические в финслеровой геометрии, —Proc. Int. Congress of Math., Vancouver, 1974 , 2, 293—297 (1975).

] Некоторые гомотопии в пространстве замкнутых кривых.—Изв. АН СССР, сер. матем., 44, № 6, 1219—1254 (1980).

] Некоторые гомологии в пространстве замкнутых кривых на п-мерной сфере. — Изв. АН СССР, сер. матем. 45, № 3, 467—490 (1981).

] Замкнутые геодезические. — В ки.: Качественные методы исследования нелинейных дифференциальных уравнений и нелинейных колебаний. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1981, с. 5 — 24.

] О типичных свойствах замкнутых геодезических. —Изв. АН СССР, сер. матем., 46, № 4 (1982),

Аносов Д. В., Синай Я. Г.

Некоторые гладкие динамические системы, —Успехи матем. наук, 22, № 5, 107—172 (1967).

Арнольд В. И.

Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условнопериодических движений при малом возмущении функции Гамильтона.— Успехи матем. наук, 18, № 5, 13—40 (1963).

Sur une propriete topologique des applications globalement canoniques de la mecanique celeste. —C. R. Acad. Sci. Paris, 261, 3719—3722 (1965).

О характеристическом классе, входящем в условия квантования. — Функц. анал. и приложения, 1, № 1, 1—14 (1967).

[4*] Математические методы классической механики.—М.: Наука, 1974.

Арнольд В. И., Авен A. (Arnold V. I., Avez А.)

Problfemes ergodiques de la m6chanique classique.— Paris: Gauthier-Villars, 1967. [Имеется перевод на английский: Ergodic problems of classical mechanics.—New York and Amsterdam: Benjamin, 1968.]

Ауслендер, Грин (Auslander L., Green L.)

G-induced flows.— Amer. J. Math., 88, Ns 1, 43—60 (1966). [Имеется перевод с препринта в книге: Ауслендер Л., Грин Л., Хан Ф. Потоки на однородных пространствах. — М.: Мир, 1966, с. 162—185.]

Бальманн (Ballmann W.)

Doppelpunktfreie geschlossene Geodatische auf Flachen. —Bonn: Math. Institut Univ. Bonn, 1977.

] Doppelpunctfreie geschlossene Geodatische auf kompakten Flachen.—Math. Zeitschr., 161, 1, 41—46 (1978).

Бальманн, Торбергсон, Циллер (Ballmann W., Thorbergsson G., Ziller W.)

] On the existence of short closed geodesics and their stability properties.— Preprint, 1980.

] Closed geodesics and the fundamental group. —Duke Math. J., 48, № 3, 585—588 (1981).'

Бангерт (Bangert V.)

] Closed geodesics on complete surfaces.—Math. Ann., 251, № 1, 83—86 (1980).

Берже (Berger M.)-

Lectures on geodesics in Riemannian geometry. — Bombay: Tata Institute, 1965.

Бессе (Besse A.)

Manifolds all of whose geodesics are closed. —Ergebnisse der Mathematik. Berlin — Heidelberg — New York: Springer, 1977. [Имеется перевод: Бессе А. Многообразия с замкнутыми геодезическими. —М.: Мир, 1980.] Биркгоф (Birkhoff G. D.)

Dynamical systems with two degrees of freedom. —Trans. Amer. Math. Soc., 18, 199—300 (1917).

Surface transformations and their dynamical applications.—Acta Math., 43, 1—119 (1920).

Dynamical systems.—Amer. Math. Soc. Colloq. publ., vol. 9. New York: Amer. Math. Soc., 1927. Revised ed. 1966. [Имеется перевод первого издания: Биркгоф Дж. Д. Динамические системы.—М.—Л.: ОГИЗ — ГИТТЛ, 1941.]

Une gen6ral ization й я dimensions du dernier theoreme de geometrie de Poincar6.-C. R. Acad. Sci. Paris, 192, 196—198 (1931).

Nouvelles recherches sur les syst6mes dynamiques. — Mem. Pon. Acad. Sci. Novi Lyncei (3) 1, 85—216 (1935).

Биркгоф, Льюис (Birkhoff G. D., Lewis D. C.)

On the periodic motions near a given periodic motion of a dynamical system.— Ann. di Mat. (4) 12, 117—133 (1933).

Бляшке (Blaschke W.)

Vorlesungen fiber Differentialgeometrie, I. —Berlin: Springer, 1921. 2. Auflage: 1924. 3. Auflage: 1930. 5. Vollstandig neubearbeitete Auflage von K. Leichtweiss, 1973. [Имеется перевод третьего издания: Бляшке В. Дифференциальная геометрия.—М.—Л.: ОНТИ, 1935.]

Eine Verallgemeinerung der Theorie der konfokalen F4.— Math. Zeitschr., 27, 653—668 (1927).

] Введение в дифференциальную геометрию. — М.: ГИТТЛ, 1957.

Болтянский В. Г.

] Расслоение пространств отображений.—Труды Моск, матем. о-ва, 5, 299—309 (1955).

Боль П.

] О некоторых дифференциальных уравнениях общего характера, приме-

нимых в механике.—В кн.: Боль П. Собрание трудов. Рига: Зинатне, 1974, с. 73—198.

] О движении механической системы вблизи положения равновесия. — В кн.: Боль П. Собрание трудов. Рига: Зинатне, 1974, с. 199—290.

Борель (Borel А.)

La cohomologie mod 2 des certaines espaces homogenes.—Comment. Math. Helv., 27, 165—197 (1953).

Seminar on transformation groups.—Ann. Math. Studies, № 46. Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press, 1960.

Ботт (Bott R.)

Non-degenerate critical manifolds.—Ann. of Math., 60, 248—261 (1954).

On manifolds all of whose geodesics are closed.—Ann. of Math., 60, 375—382 (1954). [Имеется перевод: Ботт P. Многообразия, на которых все геодезические замкнуты. — В сб.: Расслоенные пространства и их приложения, — М.: ИЛ, 1958, с. 115—123.]

On the iteration of closed geodesics and the Sturm intersection theory. — Comm. Pure Appl. Math., 9, № 2, 171—206 (1956).

Ботт, Самельсон (Bott R., Samelson H.)

On the Pontryagin product in spaces of paths.—Comment. Math. Helv., 27, 320-337 (1953).

Бредой (Bredon G. E.)

On the continuous image of a singular chain complex. —Pacific J. Math., 15, Ns 4, 1115-1118 (1965).

Буземан (Busemann H.)

The geometry of geodesics. — New York: Acad. Press, 1955. [Имеется перевод: Буземан Г. Геометрия геодезических. — М.: Физматгиз, 1962.] Бурбаки Н.

] Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов.— М.: Мир, 1975.

Вассерман (Wassermann А.)

Morse theory for G-manifolds.— Bull. Amer. Math. Soc., 71, № 2, 384 — 387 (1965).

Equivariant differential topology. —Topology, 8, 127—150 (1969).

Вейнстейн (Weinstein A.)

Singularities of families of functions.—Ber. Math. Forsch. Inst. Ober- wolfach 4, 323—330. Mannheim —Wien —Zurich: Bibi. Institut, 1971.

Sur la non-densite des geodesiques fermees. — C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. A—B, 271, №11, A504 (1970).

Normal modes for nonlinear Hamiltonian systems. — Inv. Math., 20, № 1, 47—57 (1973).

On the volume of manifolds all of whose geodesics are closed.— J. diff, geom., 9, № 4, 513—517 (1974).

Виге-Пуарье, Сулливан (Vigue-Poirrier M., Sullivan D.)

[1] The homology theory of the closed geodesic problem. —J. diff, geom., 11, № 4 , 633-644 (1976).

Вильямсон (Williamson J.)

[1] On the algebraic problem concerning the normal forms of linear dynamical systems. —Amer. J. Math., 58, 141—163 (1936).

[2*] On the normal forms of linear canonical transformations in dynamics. — Amer. J. Math., 59, № 3, 599-617 (1937).

Вольф (Wolf J.)

[1} Spaces of constant curvature. New York —Toronto —London: McGraw-Hill, 1967. [Имеется перевод: Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны,—М.: Наука, 1981.]

Гото (Goto М. S.)

[1*] Manifolds without focal points — J. diff, geom., 13, № 3, 341—359 (1978).

Грин (Green L.)

] Surfaces without conjugate points. —Trans. Amer. Math. Soc., 76, № 3, 529—546 (1954).

Geodesic instability. —Proc. Amer. Math. Soc., 7, № 3, 438—448 (1956).

Auf Wiedersehensflachen. — Ann. of Math., 78, № 1, 289—299 (1963).

4*] A theorem of E. Hopf.—Michigan Math. J., 5, № 1, 31—34 (1958). 'риффитс Ф., Делинь IL, Морган Дж., Сулливан Д.

] Вещественная гомотопическая теория кэлеровых многообразий. —Успехи матем. наук, 32, № 3, 119—152 (1977).

Грове (Grove К.)

(1] Condition (С) for the energy integral on certain path spaces and applications to the theory of geodesics.—J. diff, geom., 8, № 2, 207—223 (1973).

F

!)Isometry-invariant geodesics.—Topology, 13, № 3, 281—292 (1974).

рове, Гальперин, Виге-Пуарье (Grove К., Halperin S., Vigu6-Poirrier M.)

[1*] The rational homotopy theory of certain path spaces, with applications to geodesics. — Acta Mathematica, 140, № 3—4, 277—303 (1978).

Грове, Танака (Grove K-, Tanaka M.)

[1*] On the number of invariant closed geodesics. — Acta Mathematica, 140, № 1-2 , 33—48 (1978).

Громов (Gromov M.)

[1*] Homotopical effect of dilatations.— J. diff, geom., 13, № 3, 303—310 (1978).

Громол, Клингенберг, Мейер (Gromoll D.. Klingenberg W., Meyer W.)

Riemannsche Geometrie im Grofien. — Lecture Notes in Mathematics 55. Berlin —Heidelberg —New York: Springer, 1968. 2. Auflage 1975. [Имеется перевод первого издания: Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. — М.: Мир, 1971.]

Громол, Мейер (Gromoll D., Meyer W.)

Он differentiable functions with isolated critical points.—Topology, 8, № 4, 361—369 (1969).

Periodic geodesics on compact Riemannian manifolds.—J. diff, geom,, 3, № 4, 493—510 (1969).

Грюнталь А И.

] Существование выпуклых сферических метрик, все замкнутые самонепе- ресекающиеся геодезические которых гиперболические. — Изв. АН СССР, сер. матем., 43, № 1, 3—18 (1979).

] Существование замкнутой самонепересекающейся геодезической общего эллиптического типа на поверхностях, близких к сфере.—Матем. заметки, 24, № 2, 267—278 (1978).

Гулливер (Gulliver R.)

] On the variety of manifolds without conjugate points.—Trans. Amer, Math. Soc., 210, 185—201 (1975).

Дарбу (Darboux G.)

Lemons sur la theorie des surfaces. 36me partie.—Paris, Gauthier-Villars, 1894.

Дёйстермат (Duistermaat J. J.)

On the Morse index in variational calculus. — Advances in Math., 21, № 2, 173—195 (1976).

Джеймс (James I. M.)

] On category in the sense of Lusternik —Schnirelman. — Topology, 17, № 4 , 331—348 (1978).

Дьедонне Ж.

[1*] Основы современного анализа.—М.: Мир, 1964.

Зейферт, Трельфалль (Seifert Н., Threlfall W.)

Variationsrectmung im Grofien. — Leipzig: Teubner, 1938. [Имеете-, пере-

■ вод: Зейферт Г., Трельфалль В. Вариационное исчисление в целом. — М.: ИЛ, 1947.]-

Зигель К- Л.

[1*] Лекции по небесной механике. — М.: ИЛ, 1959.

[2*1 Об интегралах канонических систем.—Сб. Математика, 5, № 2, 103—117 (1961).

[3*] О существовании нормальной формы аналитических дифференциальных уравнений Гамильтона в окрестности положения равновесия.—Сб. Математика, 5, № 2, 129—155 (1961).

Зигель, Мозер (Siegel С. L., Moser J. К.)

Lectures on celestial mechanics.—Berlin —Heidelberg—New York: Springer, 1971.

Илле (Bells J. Jr.)

On the geometry of function spaces.—Symp. Inter, de Topologia Alg., Mexico (1956) 1958, 303—308.

A setting for global analysis.—Bull. Amer. Math. Soc., 72 , 751—807 (1966). [Имеется перевод: Илле Дж. Основания глобального анализа. — Успехи матем. наук, 24, № 3, 157—210 (1969).]

Илле, Лемэр (Bells J., Lemaire L.)

] A report on harmonic maps.—Bull. London Math. Soc., 10, № 1, 1—68 (1978).

Ирвин (Irwin M. C.)

On the stable manifold theorem.—Bull. London Math. Soc., 2, part 2, № 2, 196-198 (1970).

Картан (Cartan Ё.)

Sur certaines formes riemanniennes remarquables des geometries й groupe fondamental simple. —Ann. Sci. Bcole Norm. Sup., 44, 345—467 (1927).

Lemons sur la geometric des espaces de Riemann.—Paris: Gauthier-Villars, 1928. [Имеется перевод: Картан Э. Геометрия римановых пространств.— М.—Л.: Гостехиздат, 1936.]

Кархер (Karcher Н.)

Closed geodesics on compact riemannian manifolds. —Глава 8 в книге: Шварц Дж. [1]

On the Hilbert manifold Hi (S1, Л1) of closed curves. —Comm, pure appl. math., 23, № 2, 201—219 (1970).

Добавление в книге: Флашель, Клингенберг [1].

Каток А. Б.

Эргодические возмущения вырожденных интегрируемых гамильтоновых систем. Изв. АН СССР, сер. матем., 37, № 3, 539—576 (1973).

Каток А. Б., Синай Я. Г. Степин А. М.

] Теория динамических систем и общих групп преобразований с инвариантной мерой, —В кн.: Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 13. М.: ВИНИТИ, 1975, с. 129—262.

Келли (Kelley А.)

The stable, center-stable, center, center-unstable and unstable manifolds.—Добавление С в кн.: Абрахам, Роббин [1].

Клейн (Klein P.)

Ober die Kohomologie des freien Schleifenraums. — Bonn Math. Schr, № 55 (1972).

Клингенберг (Klingenberg W.)

Ober Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit positiver Krflmmung. —Comment. Math. Helv., 35, 47—54 (1961).

On the number of closed geodesics on a Riemannian manifold.—Bull. Amer. Math. Soc., 70, № 2, 279—282 (1964).

The theorem of the three closed geodesics. —Bull. Amer. Math. Soo., 71, № 4, 601—605 (1965).

The space of closed curves on the sphere. —Topology, 7, 395—415 (1968).

The space of closed curves on a projective space.—Quart. J. Math. Oxford Ser., 20, № 77, 11-31 (1969).

Closed geodesics.— Ann. of Math., 89, № 1, 68—91 (1969).

Simple closed geodesics on pinched spheres. —J. diff, geom., 2, № 3.

225—232 (1968).

Closed geodesics. — Ber. Math. Forsch. Inst. Oberwolfach 4, 77—103,

Mannheim —Wien—Zurich: Bibi. Institut, 1971.

Closed geodesics on riemannian manifolds.—Proc. 13th Biennial Sem. Canad. Math. Congress, Montreal, 1972.

Geodatischer FluB auf Mannigfaltigkeiten vom hyperbolischen Typ. —Invent. Math., 14, № 1, 63—82 (1971).

Hyperbolic closed geodesics.— Dynamical systems, ed. M. M. Peixoto. New York—London: Acad. Press. 155—164 (1973).

Manifolds with geodesic flow of Anosov type, —Ann. of Math., 99, № 1, 1—13 (1974).

Le theoreme de 1’indice pour les geodesiques fermees. — C. R. Acad. Sci. Paris, 276, № 14, A1005—A1009 (1973).

The index theorem for closed geodesics. — Tohoku Math. J., 26, № 4, 573—579 (1974).

Der Indexsatz fur geschlossene Geodatische. — Math. Zeitschr., 139, № 3, 231—256 (1974).

Existence of infinitely many closed geodesics.—J. diff, geom., 11, № 2, 299—308 (1976).

The theorem of the three closed geodesics.—Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math, (to appear).

Die Existenz unendlich vieler geschlossener Geodatischer.—Preprint: Bonn, 1977.

Ober den Index geschlossener Geodatischer auf Flachen. — Vorabdruck: Bonn, 1976. Nagoya Math. J., 69 (1977).

Closed geodesics on surfaces of genus 0, —Ann. Scuola Norm. Pisa, 6, № 1, 19—38 (1979).

!

21*] Riemannian geometry.—Math. Inst, der Univ. Bonn, 1980.

On the existence of closed geodesics on spherical manifolds. To appear in Math. Zeitschr.

Клингенберг, Такенс (Klingenberg W., Takens F.)

Generic properties of geodesic flows. —Math. Ann. 197, 323—334 (1972). Клингенберг, Шиката (Klingenberg W., Shikata Y.)

] On the existence theorem of infinitely many closed geodesics.—Топология. Сб. статей/Под ред. П. С. Александрова. Труды МИАН, № 154. М.: Наука, 1981.

Кобаяси, Номидзу (Kobayashi S., Nomizu К.)

Foundations of differential geometry. Vol. 1 and 2, —New York: Interscience, 1963/69. [Имеется перевод: Кобаяси Ш., Номидзу К- Основы дифференциальной геометрии. Т. 1 и 2.—М.: Наука, 1981.] Коддингтон, Левинсон (Coddington Е., Levinson N.)

Theory of ordinary differential equations.— New York: McGraw-Hill, 1955. [Имеется перевод: Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. —М.: ИЛ, 1958.]

Колмогоров А. Н., Фомин С. В.

] Элементы теории функций и функционального анализа. —М.: Наука, 1968, Кушман, Дёйстермат (Cushman R., Duistermaat J. J.)

The behavior of the index of a periodic linear Hamiltonian system under iteration. — Advances in Math., 23, № 1, 1—21 (1977).

Леви-Чивита T., Амальди У.

[1*] Курс теоретической механики. Т. 2, ч. 2,—М.: ИЛ, 1951.

Ленг (Lang S.)

Differential manifolds. —Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1972, [Имеется

перевод: Леиг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий.—М.: Мир, 1976.]

Леифорд (Lanford О. Е., III)

Bifurcation of periodic solutions Into invariant tori: The work of Ruelle and Takens.— Lecture Notes in Mathematics, 322, 159—192. Berlin — Heidelberg—New York: Springer, 1973.

Люстерник Л. A.

Топология функциональных пространств и вариационное исчисление в целом.—Труды МИАН, № 19. М.—Л.: Изд-во АН СССР, 1947.

] Sur quelques methodes topologiques dans la geometric differentielle. — Atti del Congr. Intern. Matem., Bologna, 1928, 4, 291—296 (1931).

] Топология и вариационное исчисление.—Успехи матем. наук, 1, № 1, 30—56 (1946).

Люстерник Л. А., Фет А. И.

Вариационные задачи на замкнутых многообразиях. — Докл. АН СССР, 81, № 1, 17—18 (1951).

Люстерник Л. А., Шнирельман Л. Г.

Sur le probleme de trois geodesiques fermees sur les surfaces de genre .O.-C. R. Acad. Sci. Paris, 189, 269—271 (1927).

Топологические методы в вариационных задачах. — Труды Научно-ис-

след. ин-та матем. и мех. при I МГУ. М.: ГИТТЛ, 1930.

] Топологические методы в вариационных задачах и их приложения к дифференциальной геометрии поверхностей.—Успехи матем. наук, 2, № 1, 166—217 (1947).

Майерс (Myers S. В.)

Connection between differential geometry and topology: I. Simply connected surfaces.—Duke Math. J., 1, № 3, 376—391 (1935).

Марзоук (Marzouk M.)

Der Fixpunktsatz von Birkhoff—Lewis im differenzierbaren Fall. —Bonn. Math. Schr., № 74 (1974).

Матиас (Matthias H. H.)

Eine Finslermetrik auf S2 mit zwei geschlossenen Geodatischen, Diplo- marbeit.—Math. Institut der Univ. Bonn: Bonn, 1977.

Маутнер (Mautner F.)

Geodesic flows on symmetric riemannian spaces. —Ann. of Math., 65, № 3, 416—431 (1957).

Мейер (Meyer W.)

Kritische Mannigfaltigkeiten in Hilbertmannigfaltigkeiten. —Math. Ann., 170, 45—66 (1967).

Меркури (Mercuri F.)

The critical points theory for the closed geodesio problem. —Math. Zeitschr., 156, 231—245 (1977).

Мишель (Michel R.)

Sur certains tenseurs symetriques des projectifs rfeels, — J. Math, pures appl., 51, 273—292 (1972).

Милнор (Milnor J.)

Morse theory.— Ann. Math. Studies, 51. Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press, 1963. [Имеется перевод: Милнор Дж. Теория Морса.—М.: Мир, 1965.]

Some consequences of a theorem of Bott.—Ann. of Math., 68, 444—449 (1958). [Имеется перевод: Милнор Дж. Несколько следствий одной теоремы Ботта. Сб. Математика, 3, № 3, 3—7 (1959).]

A note on curvature and fundamental group.—J. diff, geom., 2, № 1, 1—7 (1968),

Growth of finitely generated solvable groups.— J. diff, geom,, 2, № 4, 447—449 (1968).

Милнор, Сташеф (Milnor J., Stasheff J.)

Characteristic classes.— Ann. Math. Studies, № 76. Princeton, N. J.s Princeton Univ. Press and Univ, of Tokyo Press, 1974. [Имеется перевод: Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы.—М.: Мир, 1979.]

Мозер (Moser J.)

Periodische Losungen der restringierten Dreikorperproblems, die sich erst nach vielen Umlaufen schlieBen. — Math. Ann., 126, № 4, 325—335 (1953).

Stabilitatsverhalten kanonischer Differentialgleichungssysteme. — Nachr. Akad. Wiss. Gottingen, Math.—Phys. KI. Ha, 87—120 (1955).

Lectures on hamiltonian systems.—Mem. Amer. Math. Soc., 81. Providence, R. I.: Amer. Math. Soc., 1968. [Имеется перевод: Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. — М.: Мир, 1973.]

Stable and random motions in dynamical systems.—Ann. Math. Studies, № 77. Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press, 1973.

Proof of a generalized form of a fixed point theorem due to G. D. Birk- hoff.—Geometry and topology. Rio de Janeiro, July 1976. Proceedings of the school held at the Institute de Matematica Рига e Aplicada, ed. J. Palis and M. do Carmo. Lecture Notes in Mathematics, 597 , 464—594. Berlin —Heidelberg —New York: Springer, 1977.

] Regularization of Kepler’s problem and the averaging method on a manifold.—Comm. on pure and appl. math., 23, № 4, 609—636 (1970).

] On the volume elements of a manifold.— Trans. Amer. Math. Soc., 120, № 2, issue II, 286—294 (1965).

Mope (Morse M.)

A fundamental class of geodesics on any closed surface of genus greater than one. —Trans. Amer. Math. Soc., 26, 25—60 (1924).

The calculus of variations in the large.— Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., vol. 18. Providence, R. I.: Amer. Math. Soc, 1934 , 4th printing, 1965..

Myp (Moore C.)

Ergodicity of flows on homogeneous spaces. Amer. J. Math., 88, № 1, 154—178 (1966).

Оливьер (Olivier R.)

Die Existenz geschlossener Geodatischer auf kompakten Mannigfaltigkei- ten.—Comment. Math. Helv., 35, 146—152 (1961).

О’Сулливан (O’Sullivan J. J.)

1 Manifolds without conjugate points.—Math. Ann., 210, № 4, 295—311 (1974).'

] Riemannian manifolds without focal points, —J, diff, geom., 11, № 3, 321—333 (1976).

Пале (Palais R.)

The classification of G-spaces. —Mem. Amer. Math. Soc., 36, Providence, R. I.: Amer. Math. Soc., 1960.

Morse theory on Hilbert manifolds.— Topology, 2, 299—340 (1963).

Homotopy theory of infinite dimensional manifolds.—Topology, 5, 1—16 (1966).

[41 Lusternik —Schnirelmann theory of Banach manifolds. —Topology, 5, 115—132 (1966).

Пале, Смейл (Palais R., Smale S.)

A generalized Morse theory.— Bull. Amer. Math, Soc., 70, 165—172 (1964).

Перрон (Perron O.)

Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen. — Math. Zeitschr,, 32, 703—728 (1930).

Песни Я- Б.

] Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях без

фокальных точек.—Изв. АН СССР, сер. матем., 41, № 6, 1252—1288 (1977).

] Формулы для энтропии геодезического потока .на компактном римановом многообразии без сопряженных точек. —Матем. заметки, 24, № 4, 553—570 (1978).

] Геодезические потоки с гиперболическим поведением траекторий и связанные с ними объекты. — Успехи матем. наук, 36, № 4, 3—51 (1981).

Лесин Я. Б., Синай Я. Г.

] Hyperbolicity and stochasticity of dynamical systems. —Soviet scientific surways, ser. C. Math. Physics Rev., 2, ed. S. P. Novikov. Overseas publishing association Gordon and Breach, 1981, pp. 53—115.

Плисе В. A.

] Принцип сведения в теории устойчивости движения.—Изв. АН СССР, сер. матем., 28, № 6, 1297—1324 (1964).

Погорелов А. В.

1 Квазигеодезические линии на выпуклой поверхности.—Матем. сб. 25, № 2, 275—306 (1949).

Постников М. М.

] Введение в теорию Морса, —М.: Наука, 1971.'

1 Локализация топологических пространств. — Успехи матем. наук, 32, № 6, 117—181 (1977).

Пранге (Prange G.)

Die allgemeinen Integralionsmethoden der analytischen Mechanik. — En- zyklopadie der math. Wissenschaften, Band IV, 2 Mechanik. Leipzig: Teubner, 1933.

Пуанкаре (Poincare H.)

[П Sur les lignes geodesiques des surfaces convexes. —Trans. Amer. Math. Soc., 6, 237—274 (1904). [Имеется перевод: Пуанкаре А. О геодезических линиях на выпуклых поверхностях. — В кн.: Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 2. —М.: Наука, 1972, с. 735—774.]

Sur un theoreme de Geometrie. — Rend. Circ. Mat. Palermo, 33, 375—407 (1912). [Имеется перевод: Пуанкаре А. Об одной геометрической теореме. В кн.: Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 2.—М.: Наука, 1972, с. 775—807.]

Робинсон (Robinson С.)

Lectures on hamiltonian systems.- I. M. P. A. Monografias de Matema- tica, № 7, Guanabara (1971).

Розохатиус (Rosochatius E.)

Ober Bewegungen eines Punktes. —Dissertation: Gottingen, 1877.

Сакс (Sacks J.)

Some applications of the theory of rational homotopy types to closed geodesics. —Thesis: Berkeley, Ca., 1975.

Cepp (Serre J.-P.)

Homologie singuli6re des espaces fibres.— Ann. of Math., 54, 425—505 (1951). [Имеется перевод: Cepp Ж.—П. Сингулярные гомологии расслоенных пространств.—В сб.: Расслоенные пространства и их приложения.—М.: ИЛ, 1958, с. 9—98.]

Сидзума (Shizuma R.)

Ober geschlossene Geodatische auf geschlossenen Mannigfaltigkeiten. — Nagoya Math. J., 13, 101—114 (1958).

Смейл (Smale S.)

Stable manifolds for differential equations and diffeomorphisms. — Ann. Scuola Norm. Super. Pisa (3) 17, № 1—2, 97—116 (1963).

Differentiable dynamical systems. —Bull. Amer. Math. Soc., 73, № 6, 747—817 (1967). [Имеется перевод: Смейл С. Дифференцируемые динамические системы. — Успехи матем. наук, 25, № 1, 113—185 (1970).]

Спеньер (Spanier Е.)

Algebraic topology. — New York: McGraw Hill, 1966. [Имеется перевод: Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М,: Мир, 1971.]

Стернберг С. (Sternberg S.)

Celestial mechanics, part II. —New York: Benjamin, 1969.

[2*] Лекции по дифференциальной геометрии,—M.: Мир, 1970.

Сулливан (Sullivan D.)

Differential forms and the topology of manifolds. — Manifolds-Tokyo 1973, ed. A. Hattori. Tokyo: Univ, of Tokyo Press, 1975.

Такенс (Takens F.)

Introduction to global analysis. —Communications Math. Inst. Utrecht, 1973.

] Hamiltonian systems: Generic properties of closed orbits and local perturbations.—Math. Ann., 188, 304—312 (1970).

Тимм (Thimm A.)

Integrabilitat beim geodatischen FluB. Diplomarbeit, Math. Institut Univ, Bonn, Bonn, 1976.

Tom (Thom R.)

П]Stabilite structurelie et morphogenese. — Reading, Mass.; Benjamin, 1972.

Топоногов B. A.

[1*] Оценка длины замкнутой геодезической на выпуклой поверхности.— Докл. АН СССР, 124, № 2, 282—284 (1959).

Торбергсон (Thorbergsson G.)

[1] Geschlossene Geodatische auf nicht-kompakten riemannschen Mannigfaltig- keiten. — Bonn. Math. Schr., № 101, 1977.

[2*] Closed geodesics on non-compact riemannian manifolds.—Math. Zeitschr., 159, № 3, 249—258 (1978).

[3*] Non-hyperbolic closed geodesics.—Mathem. Scand., 44, № 1, 135—148 (1979).

Феррарис (Ferraris C. J.)

[1*] On the resolution of degenerate closed geodesics,—Math. Zeitschr. 173, № 3, 223—228 (1980).

Фет А. И.

Вариационные задачи на замкнутых многообразиях,—Матем. сб., 30, № 2, 271-316 (1952).

Связь между топологическими свойствами и числом экстремалей на многообразии,—Докл. АН СССР, 88, № 3, 415—417 (1953).

О периодической задаче вариационного исчисления в целом.— Докл, АН СССР, 160, № 2, 287—289 (1965).

Физель (Viesel Н.)

Die Gestalt analytischer Liouvi 11 escher Flachen im GroBen. —Math. Ann., 166, 175—186 (1966).

Ober einfach geschlossene Geodatische auf dem Ellipsoid, —Arch. Math., 22, 106—112 (1971).

Флашель, Клингенберг (Flaschel P., Klingenberg W.)

Riemannsche Hilbertmannigfaltigkeiten. Periodische Geodatische. (Mit einem Anhang von H. Karcher).—Lecture Notes in Mathematics, 282. Berlin —Heidelberg —New York: Springer, 1972.

Фридлендер, Гриффитс, Морган (Friedlander R., Griffiths P. A., Morgan J.)

De Rham theory of Sullivan. —Lecture Notes, Instituto Matematico, Florence, Italy, 1972.

Фролов С. В., Эльсгольц Л. Э. (Froloff S. V., Elsholz L. E.)

Limite inferieure pour le nombre des valeurs critiques d’une fonction, donne sur variete. — Матем. сб., 42, № 5, 637—643 (1935).

Функ (Funk P.)

Ober Flachen mit einem festen Abstand der konjugierten Punkte. —Math. . Zeitschr., 16, 159—162 (1923).

Харрие (Harris Т. С.)

Periodic solutions of arbitrarily long periods in Hamilton systems,—J. diff, equations, 4, № 2, 131—141 (1968).

Хартман (Hartman P.)

Ordinary differential equations.—New York: Wiley, 1964. [Имеется перевод: Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. —М.: Мир, 1970.]

Хедлунд (Hedlund G. А.)

Poincare’s rotation number and Morse’s type number. —Trans. Amer. Math. Soc., 34, 75—97 (1932).

The dynamics of geodesic flows.— Bull. Amer. Math. Soc., 45, №4, 241—260 (1939).

Хелгасон (Helgason S.)

Differential geometry and symmetric spaces.—New York and London: Academic Press, 1962. [Имеется перевод: Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства,—М.: Мир, 1964.J

Хирш, Пью, Шуб (Hirsch М., Pugh С., Shub М.)

Invariant manifolds. — Lecture Notes in Mathematics, 583 (1977). Berlin—Heidelberg—New York: Springer. См. также: Bull. Amer. Math. Soc., 76, № 5, 1015—1019 (1970).

Хопф Э. (Hopf E.)

Closed surfaces without conjugate points.—Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 34, № 2, 47—51 (1948).

Цен дер (Zehnder E.)

Stability and instability in celestial mechanics.—Enseignement du 36me cycle de la Physique en Suisse Romande. Ecole Polytechnique Federate, Lausanne, 1975.

Циллер (Ziller W.)

Geschlossene Geodatische auf global symmetrischen und homogenen Rau- men. —Bonn. Math. Schr. № 85, 1976.

] Closed geodesics on homogeneous spaces. — Math. Zeitschr., 152, № 1, 67—88 (1976).

Цолль (Zoll O.)

Ober Flachen mit Scharen geschlossener geodatischer Linien. — Math. Ann,, 57, 108—133 (1903).

Чейвл (Chavel I.)

On Riemannian symmetric spaces of rank 1, —Advances in Math., 4, № 2, 236—263 (1970).

Чжэнь Шэншэнь (Chern S. S.)

UI On the multiplication in the characteristic ring of a sphere bundle. — Ann. of Math., 49, № 2, 362—372 (1948).

Шварц A. C.

Гомологии пространств замкнутых кривых.—Tp, Московского матем, об-ва, 9, 3—44 (1960).

Шварц Дж. (Schwartz J.)

Nonlinear functional analysis, with an additional chapter by H. Kar= cher. —New York —London —Paris: Gordon and Breach, 1969.

Шнирельман Л. Г. (Schnirelmann L. G.)

] Ober eine neue kombinatorische Invariante. —Monatshefte f. Math, und Phys., 37, 131—134 (1930).

Штеккель (Stackel P.)

Uber die Integration der Hamilton—Jacobischen Differentialgleichung mittels Separation der Variablen. —Habilitationsschrift: Halle —Wittenberg, 1891.

Шют (Schiith H.)

Stabilitat von periodischen Geodatischen auf n-dimensipnalen Ellipsoi- den. —Bonn. Math. Schr., № 60 (1972).

Эберлейн (Eberlein Р.)•

Geodesic flow on negatively curved manifolds, I. —Ann. of Math., 95, № 3, 492—510 (1972). IL —Trans. Amer. Math. Soc., 178, 57—82 (1973).

When is a geodesic flow of Anosov type? I and IL —J. diff, geom., 8, № 3, 437—463, and № 4, 565—577 (1973).

[3*1 Geodesic flows in certain manifolds without conjugate points.—Trans. Amer. Math. Soc., 167, 151—170 (1972).

Эберлейн, О’Нейл (Eberlein P., O’Neil B.)

[1*] Visibility manifolds.— Pacific J. of Math., 46, № 1, 45—109 (1973).

Эдвардс (Edwards H. M.)

[1*] A generalized Sturm theorem.—Ann. of Math., 80, № 1, 22—27 (1964). Элиассон (Eliasson H.)

Ober idie Anzahl geschlossener Geodatischer in gewissen Riemannschen Manngfaltigkeiten. — Math. Ann., 166, № 2, 119—147 (1966).

Morse theory for closed curves.—Symposium for inf. dim. Topology. Louisiana State University. Ann. Math. Studies, № 69, 63—77. Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press. 1972.

Geometry of manifolds of maps.—J. diff, geom., 1,№ 2, 169—194 (1967),

Convergence of gradient curves.—Math. Zeitschr., 136, 107—116 (1974), Эресман (Ehresmann C.)

Sur la topologie des certains espaces homogenes, — Ann. of Math,, 35, 396—443 (1934).

Эрл, Илле (Earle C. J., Eells J.)

[1*] Foliations and fibrations. —J. diff, geom., 1, № 1, 33—41 (1967).

Эшенбург (Eschenburg J. H.)

Stabilitatsverhalten des geodatischen Flusses Riemannscher Mannigfaltig- keiten. —Bonn. Math. Schr. № 87 (1976).

] Horospheres and the stable part of the geodesic flow.—Math. Zeitschr,, 153, № 3, 237—251 (1977).

Эшенбург, О’Сулливан (Eschenburg J. H., O’Sullivan J. J.)

] Growth of Jacobi fields and divergence of geodesics. — Math. Zeitschr, 150, № 3, 221—237 (1976).

Яглом И. M.

] Квадратичные и кососимметрические билинейные формы в вещественных симплектических пространствах. —Труды ■ семинара по векторному и тензорному анализу с их приложениями в геометрии, механике и физике, 8.-М,—Л.: ГИТТЛ, 1950, с. 364—381.

Якоби (Jacobi С, G. J.)

Note von der geodatischen Linie auf einem Ellipsoid und den verschiede- nen Anwendungen einer merkwtirdigen analytischen Substitution. — Crel- les J., 19, 309—313 (1839).

Vorlesungen fiber Dynamik, gehalten an der Universitat zu Konigsberg im Wintersemester 1842—1843. Die kiirzeste Linie auf dem dreiaxigen Ellipsoid. Achtundzwanzigste Vorlesung. Hisg. A. Clebsch. Berlin: Reimer, 1866. [Имеется перевод: Якоби К. Г. Лекции по динамике.— Л.—М.: ОНТИ, 1936.]

Якубович В. А., Старжинский В. М.

] Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. — М.' Наука, 1972,

Добавление при корректуре. В связи с интегрируемыми системами см.

Кнёрер (Knorrer Н.)

] Geodesics on the ellipsoid. — Invent. Math., 59, 119—143 (1980).

Мозер (Moser J.)

] Некоторые аспекты интегрируемых гамильтоновых систем. — УМН, 36, № 5, 109—151 (1981).

Стёпин А. М.

] Интегрируемые гамильтоновы системы.—В кн.: Качественные методы исследования нелинейных дифференциальных уравнений и нелинейных колебаний. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1981.

65

288

289

S? (Po)

TM ТЕ

196

21

22

Si

W- Wd.)

89

262

T^E, T^B T, T„

23

27

С» (S, М), С” (S, М)

29

M(c)

35

С° (с*ТМ) CrW

30

56

У^М

146

Conj ТгМ

338

И°°(с)

147

с

43

Улс> Р»и» Vco> ^otb ^ет»

Dp, D6p

124

V^ln

175

Df^, ОЦиУх, Dxf(u)

350

vne

178

deg л

dt (dldt, d/dt, dt) de

289

25

43

w

C<8.c), WttU(c)

259

140

de

86

Ws (S. c), W„ (c)

140

^ exp„ exp

49

22

35

47

w uw w ss i^P+l, ^P + l «72174-1 np2<? w ce * w ce

207

207

207

ev(c, 0

292

|y 1

274

9M

209, 295

AS", BS"

96

&™M

209

PS”, AS"

96

9, $H, 9T. 9

295

гф

23, 351

0 (a, b)

97

6ft

71

H (x, n)

199

160

№(8, M)

29, 40

»

83

H° (c*TM), H1 (c*TM) HH^^S, M)*TM)

30

40

A, AM

66

10, 21, 40

277

Ax, Ax-

54

•c

297

B(M), Sfe(M)

24

7(c)

81

ПМ

10, 83

indc

J5

121

23

188

ft, ftM nx, ftM

81

85

/

22-23, 351

Л

22, 83

к, к

L«(t! T), L=(TM;TM),

118

л(М)

327

S = S (Ao) 2(c) Тд,

167

85

L=(Af; M)

27

21

ВД, ЩЕ)

26—27

Ф»

64

Ln (E; F), L" (£)

350

Ф/

163

Ad, M

21

QM

155

Mp

188

29, 44, 161

*MtA

149

124

*ЛГ-ЧЛ, .At

139, 149, 278

161

SUM)

271—272

363

1W(X)

289

Mo> bill- Moo

30

nul a

121

V

119

168

v, vg

24, 25

S^ce

208

vs. x. vx£

24

Per Tt(M. g)

344

V^

25

RHE)

27

V^(X)

26

S = [0, lj/{0, 1}

25

4

46

Абрахам 161, 167, 207, 209, 233, 296, 322, 326, 397

Авец 171, 204, 205, 322, 397

Адамар 5—7, 17, 348, 381, 397

Александров А. Д. 397

Алексеев В. М. 396, 397

Альбер С. И. 10, 15, 18, 96, 101, 104, 109, 251, 396, 397

Амальди 323, 402

Аносов Д. В. 15, 39, 47, 95, 104, 108, 233, 294, 332, 338, 340, 341, 348, 370, 371, 376, 381, 396, 397

Арнольд В. И. 159, 171, 196, 204, 205, 315, 322, 325, 397

Ауслендер 315, 398

Бальманн 15, 104, 294, 372, 395, 398

Бангерт 398

Берже 319, 320, 321, 398

Бессе 315, 319—321, 398

Биркгоф 5, 7, 17, 95, 204, 238, 293, 371, 398

Бляшке 319, 320, 324, 325, 398

Болтянский В. F. 365, 398

Боль 381, 398, 399

Борель 99, 250, 399

Ботт 79, 96, 181, 183, 188, 194—196, 275, 297, 316, 317, 382, 399

Бредон 15, 399

Буземан 330, 344, 348, 399

Бурбаки 13, 22, 23, 133, 350, 351, 399

Вассерман 125, 399

Вейнстейн 319, 328, 399

Виге-Пуарье 12, 18, 63, 269—271, 399, 400

Вильямсон 171, 399

Вольф 348, 399

Гальперин 63, 400

Гото 396, 399

Грин 315, 320, 348, 396, 398, 400

Гриффитс 289, 396, 400, 406

Грове 63, 155, 400

Громов 400

Громол 12, 14, 18, 25, 34, 61, 62, ПО, 113, 118, 150, 194 , 210, 246, 259, 262, 269, 320, 336, 337, 340, 342, 351, 370, 372, 395, 400

Грюнталь А. И. 294, 400

Гулливер 337, 400

Данжуа 209

Дарбу 5, 6, 315, 319, 324—326, 328, 400

Дёйстермат 155, 171, 188, 206, 400, 402

Делинь 396, 400

Джеймс 77, 400

Дьедонне 350, 400

Зейферт 9, 370, 400

Зигель 202, 204, 401

Илле 10, 150, 366, 367, 401

Ирвин 207 , 381, 401

Картан 315, 348, 401

Кархер 60, 85, 401

Квиллен 289

Келли 206, 401

Клейн 152, 270, 273, 401

Клеро 5, 315

Клингенберг 10, 12—15, 18, 19, 21, 24, 25, 27, 34, 43, 47, 61, 62, 78, ПО, 112, 113, 118, 150, 171, 182, 188, 189, 192, 195, 197, 210, 219, 237, 247, 251, 271, 281, 294, 307, 317, 320, 328, 331, 336, 337, 338, 340—342, 344, 351, 365, 366, 371, 382, 394, 396, 400, 402, 406

Кобаяси 402

Коддингтон 145, 381, 402

Колмогоров А, Н, 51, 402

Крейн М. Г. 171

Кушман 171, 188, 402

Левинсон 145, 381, 402

Леви-Чивита 323, 402

Лемэр 10, 401

Ленг 13, 22, 23, 27, 133, 161, 350, 366, 402

Ленфорд 207, 403

Лиувилль 315

Люстерник Л. А. 7, 17, 18, 64, 70, 71, 72, 78, 95, 96, 104, 109, 246, 301, 306, 376, 403

Льюис 204, 238, 397

Майерс 318, 320, 403

Марзоук 204, 403

Марсден 161, 167, 207, 322, 326, 397

Масье 325, 326

Матиас 403

Маутнер 315, 403

Мейер 12, 14, 18, 25, 34, 61, 62, ПО, 113, 118, 125, 127, 150, 194, 210, 246, 259, 262, 269, 320, 336, 337, 340, 342, 351, 395, 400, 403

Меркури 403

Милнор 9, 34, 73, 97, 98, 100, 109, 152, 317, 330, 340, 353 , 372, 377, 380, 382, 403, 404

Мильграм 10

Мишель 321, 403

Мозер 158, 159, 198, 200, 202, 204, 205, 370, 401, 404

Морган 289, 396, 400, 406

Морс 7, 9, 10, 17, 78, 79, 95, 96, 150, 302, 317, 337, 341, 344, 345, 377, 382, 404

Мур 315, 404

Номидзу 402

Оливьер 70, 404

О'Нейл 396

О’Сулливан 396, 404, 408

Пале 18, 77, 125, 128, 131, 155, 353, 404

Перрон 155, 206, 381, 404

Песин Я. Б. 396, 404, 405

Плисе В. А. 207, 405

Погорелов А. В. 405

Постников М. М. 9, 16, 382, 395, 405

Пранге 324, 405

Пуанкаре 5—7, 17, 19, 95, 204, 271, 293, 294, 318, 370, 371, 372, 405

Пью 206, 381, 407

Роббин 209, 397

Робинсон 405

Розенблют 10

Розохатиус 323, 405

Сакс 246, 270, 273, 405

Самельсон 275, 399

Серр 71, 275, 405

Сидзума 96, 405

Синай Я. F. 332, 348, 396, 401, 405

Скляренко Е. F, 16

Смейл 18, 404, 405

Спеньер 70, 71, 73, 76, 97, 107, 365, 406

Старжинский В. М, 171, 408

Сташеф 73, 97, 98, 100, 109, 152, 372, 404

Степин А, М, 396, 401

Стернберг 159, 161, 406

Сулливаи 12, 246, 269, 270, 271, 289, 396, 400, 406

Такенс 210, 219, 237, 322, 326, 402, 406

Танака 63, 400

Тимм 323—325, 406

Том 259, 406

Топоногов В. А. 371, 406

Торбергсон 15, 20, 294, 372, 395, 397, 406

Трельфалль 9, 370, 400

Феррарис 406

Фет А. И. 18, 64, 70, 71, 246, 403, 406

Физель 314, 324, 406

Флашель 14, 21, 22, 24, 27, 47, 78, 351, 401, 406

Фомин С. В. 51, 402

Фридлендер 289, 406

Фролов С. В, 72, 406

Фукс Д. Б. 16

Функ 320, 321, 406

Харрис 204, 407

Хартман 206, 381, 407

Хедлунд 192, 330, 348, 396, 407

Хелгасон 315, 316, 407

Хирш 206, 381, 407

Хопф 349, 407

Цвирнер 325

Цендер 204, 205, 322, 329, 407

Циллер 15, 20, 150, 195, 271, 294 , 372,

395, 397, 407

Цолль 319, 407

Чейвл 315, 407

Чжэнь Шэншэнь 99, 101, 407

Шварц А. С. 70, 79, 96, 150, 152, 247,

270, 271, 407

Шварц Дж. 77, 125, 246, 273, 401, 407

Шиката 12, 281, 402

Шнирельман Л, Г, 7, 17, 18, 72, 78,

96, 109, 301, 306, 403, 407

Штеккель 315, 323, 325, 407

Шуб 206, 381, 407

Шют 323, 407

Эберлейн 332, 348, 396, 408

Эдвардс 188, 196, 382, 408

Элиассон 18, 21, 24, 55, 60, 118, 149,

152, 209, 351, 352, 408

Эльсгольц Л. Э. 72, 406

Эресман 99, 408

Эрл 366, 367, 408

Эшенбург 342, 396, 408

Яглом И. М, 171, 408

Якоби 5, 7, 17, 315, 323, 408

Якубович В, А, 171, 4Q8

Абелево пространство 395

Абрахама теорема о бугристой метрике 232

Адамара—Перрона теорема 381

Аксиома видимости 396

Аносова поток 331, 332

Арнольда теорема 322

Ассоциированное расслоение 26—27

Биркгофа—Льюиса теорема 197, 204, 238

— нормальная форма 200

Бугристая метрика 232, 296

Буземана теорема 348

Бэра пространство 209

Векторные карты 351

— расслоения 22

Векторный атлас 351

Вертикальное подпространство 23, 141

Вполне интегрируемая гамильтонова система 321

Гамильтона осредненная функция 370

— уравнение 161

— функция 160

Гамильтонова система 160, 321

Гамильтоново векторное поле 160

Гамильтонов поток 161

Геодезическая пульверизация 163, 384

Геодезический поток 163, 384

Гессиан 376

Гильбертово многообразие 20

Гиперболическая замкнутая геодезическая 191

Главная часть локального представления 22

Главные собственные значения 197

Гомотопные отображения ДГА 288

Горизонтальное подпространство 23, 141

Градиентная динамическая система 377

Градиентное поле 55

Грассмана многообразия 97

Грина теорема 320

Громола—Мейера теорема 257

Группа изотропии 81

Действительное подпространство 172

Дефект геодезической 121

— критического подмногообразия 123

Дифференциальная градуированная коммутативная алгебра (ДГА) 288

Длина пространства 77

Естественный атлас 37

Закручивающее отображение 208

Закручивающий симплектический диффеоморфизм 202

Замкнутые геодезические 49, 62, 95

Изотропное пространство 172

Инвариантная относительно изометрии геодезическая 63

Индекс геодезической 121, 156, 180

— критического подмногообразия 123

Индексная форма 118, 181

Интеграл гамильтоновой системы 321

— энергии 49

Касательное расслоение 21, 22

Категория пространства 77

Квазипериодический поток 322

Квиллена—Сулливана теорема 289

Кинетическая энергия 161

Клеро теорема 326

Ковариантная производная 24, 26

Когомологическая длина 77

Колмогорова—Арнольда—Мозера теорема 329

Кратное повторение кривой 81

Кристоффеля символы 23, 351

Критический уровень 66

— элемент 81

Критическое подмногообразие 122

Кручение 27

Леви-Чивита связность 28

Лемма о делимости 278

Лиувилля линейный элемент 324

— система 323

Локальные устойчивые многообразия

139, 146

Люстерника—Фета теорема 70 — Шнирельмана теория 369—370

Матрицант 216

Минимальная ДГА 288

— модель 271, 289

Минимизирующая геодезическая 344

Многообразия гиперболического типа

330, 341

— параболического типа 330, 348

— (типа) Аносова 330

— эллиптического типа 314

Морса комплекс 139, 149, 155, 287,

379, 380

— лемма обобщенная 124

— неравенства обобщенные 137—138

— теория 118, 369—370

— функция 124

Невырожденная геодезическая 123, 156

Невырожденное критическое подмногообразие 123

— подпространство 172

Неустойчивое расслоение 331, 336

Неустойчивые многообразия 139, 140, 154, 207

Нормальная форма Биркгофа элементарного симплектического преобразования 200

Область меньших значений 7

Однократная кривая 81

Окружность на 8” 96

Ориентируемая геодезическая 335

Остаточное множество 209

Отображение последования 167, 168

— связности 351

Пале лемма 34

— Смейла условие (С) 55

Параметризованная окружность 29

Переменные действие — угол 322

Периодическая точка 203

— траектория 166

— — отображения Пуанкаре 203

Период траектории 166

Периоды потока на торе 322

Поверхность возвращения 319—320

Подчиненные гомологические классы 72, 75, 90, 93

Полный комплекс Морса 149

Положительно определенные формы 27

Полугруппа уменьшающих Е деформаций 64

Почти инвариантная геодезическая 344

— периодическая геодезическая 344

Производящая функция симплектического преобразования 199

Пространство непараметризованных замкнутых кривых многообразия М 9, 83

больших кругов на 8я 96

— — окружностей на 3” 96

— параметризованных больших кругов на 8” 96

— — окружностей на 8” 96

— петель 155

Пуанкаре отображение 167, 168

— — линейное 184

— — центральное 208

Расслоения 22

Рациональный гомотопический тип 396

Риманова метрика 27

— связность 27

Риманово векторное расслоение с действием группы О (2) 123

•— многообразие 27

Сверхбугристые метрики 296

Связность 22, 351

— без кручения 27

— Леви-Чивита 28

Серра расслоение 69

Сильно неустойчивое многообразие 140,

— устойчивое многообразие 140, 154, 207

Симметрические пространства ранга 1 315

Симплектический атлас 158

Симплектическое многообразие 158

Синга теорема 300

Сопряженные точки 192, 336

Специальные сингулярные симплексы 94

Средний индекс геодезической 294

Срез действия 85

Сулливана классы когомологий 272

Теорема об инвариантных многообразиях 206

о сфере ПО

о трех замкнутых геодезических 306

— сравнения для больших треугольников 342

Типичное свойство 210

Типовое число 262, 266, 369

Условие (GM)- 268

— (С) 55

Устойчивое многообразие 140, 154, 207

— подпространство 191

— расслоение 331, 336

Ферми координаты 210

Фета теорема 247, 254

Фундаментальная матрица решений 216

Характеристическое многообразие 258

Хопфа—Ринова теорема 62

Чеха произведение 73

Числа расщепления 196, 197

Штеккеля линейный элемент 323

— система 323

Штифеля многообразие 96

Шуберта многообразия 98

Элементарные симплектические преоб

разования 198

Эллиптические координаты 323

Эрла—Иллса теорема 366

Якоби поле 164

— уравнение 164

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора перевода 6

Предисловие 17

ГЛАВА 1. Гильбертово многообразие замкнутыхкривых 21

Гильбертовы многообразия 21

Многообразие замкнутых кривых 29

Риманова метрика и интеграл энергии на многообразии замкнутых кривых 40

Условие (С) Пале—Смейла и егоследствия 51

ГЛАВА 2. Теория Морса — Люстерника — Шнирельмаиа иа многообразии замкнутых кривых 64

Теория Люстерника—Шнирельмаиа на АМ 64

Пространство непараметризованных замкнутых кривых . . .78

Замкнутые геодезические на сферах 95

Теория Морса на АМ 118

Комплекс Морса 138

ГЛАВА 3. Геодезический поток 158

Гамильтоновы системы 158

Теорема об индексе для замкнутых геодезических171

Свойства отображения Пуанкаре 197

Добавление к § 3.3. Теорема Биркгофа—Льюиса о неподвижной точке. Юреен Мозер 238

ГЛАВА 4. Существование нескольких замкнутыхгеодезических 246

Критические точки на ПМ и теоремаФета 247

Теорема Громола —Мейера 257

Существование бесконечного числа замкнутыхгеодезических 371

Добавление к § 4.3. Минимальная модель рационального гомотопического типа многообразия АМ. Дж. Сакс 388

Несколько теорем о существовании в типичной ситуации . . 393

ГЛАВА 5, Другие результаты 301

Теорема о трех замкнутыхгеодезических 301

Некоторые многообразия эллиптического типа 314

Геодезические на многообразиях гиперболического и параболического типа 330

Примечания редактора перевода 350

Список литературы 397

Указатель обозначений 409

Именной указатель 410

Предметный указатель ..,,,, 412

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!

Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер,, д. 2, издательство «Мир»,

В. Клиигеиберг

ЛЕКЦИИ О ЗАМКНУТЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ

Старший научный редактор

Н. И. Плужникова

Младший научный редактор

Ю. С. Андреева

Художник А. В. ШиповХудожественный редактор Е. И. ШаповаловТехнический редактор И. Г, КузнецоваКорректор В, И. Киселева

ИБ № 2341

Сдано в набор 81.02.09.

Подписано к печати 82.04.29.

Формат 60Х90*/16. Бумага типографская № 2.Гарнитура литературная. Печать высокая.

Объем 13 бум. л. Усл. печ. л. 26. Усл. кр.-отт. 26. Уч.-изд. л. 27,1. Изд. № 1/0868.

Тираж 6200 экз. Зак. № 224. Цена 3 р. 40 к.

Издательство «Мнр»

129820, Москва, И-110, ГСП1-й Рижский пер., 2. .

Набрано и сматрицировано в Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени Ленинградском производственно-техническом объединении «Печатный Двор» имени А. М. Горького Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.

197136, Ленинград, П-136. Чкаловский пр„ 16. Отпечатано в Ленинградской типографии № 6 ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.

193144, г, Ленинград, ул, Моисеенко, 10. Зак. 173.

*• Сначала открытых, а затем чуть меньших замкнутых.

**’ Заметим, что фактически выше использовалось не то, что с е С” (S, Л), а только то, что сеН1 (S, М), и доказано следующее утверждение. Если с е № (S, Al), ? е № (©с) и е = ехрс £ (т. е. е (/) := ехр (т*с? (/))), то отображение

(Я (0) € (0) := ((тМГ - V2 ехр (т*с| (/)). т) (0)

переводит т) е Нг (с*ТМ) в £е Hr (е*ТМ) (r = 0, 1). Полученное отображение Hr ^TM'l-^-H''(е*ТМ) является ограниченным (относительно [ • ||,.-нормы) линейным оператором, имеющим ограниченный обратный.

*' Подробнее: если ^е@с и с*т^=/, то

6с® = ((т*с)рМ(т*С£(/)) = с(0).

Наряду с с Клингенберг использует также обозначение дс; у него имеется тенденция писать с (f), когда речь идет о векторе в ТМ, и дс (t) := (т*с)^1с(/), когда речь идет о векторе в с*ТМ. Но это именно тенденция, которая не соблюдается педантично —иногда дс рассматривается как вектор в ТМ (см. например, в доказательстве предложения 1.3.2 оба равенства с левой частью де).

водную Ч^ исходного ^ = ^ е Н1(е*ТМ) вдоль кривой е или ковариантную

производную ус£ его локального представителя ^ = ^с е № (с*Т2Й) вдоль

**• Между прочим, уравнение для и имеет смысл и однозначно определяет и при всех с е ХМ, причем это то же самое и, о котором говорится в 1.4.13 (см. (18), б)). Поэтому grad E(c) = V (V2 —1)-1дс прн всех с е ХМ (тогда как при наличии у с надлежащих свойств дифференцируемости grad Е (с) = (V8 — 1 )-i Уде)..

В частности;, | ди» | с Л8 и и3 определяет тот самый элемент

*’ Подразумеваются критические уровни определяемых этими классами 'I -семейств, состоящих из носителей принадлежащих этим классам относительных циклов.

*) Подробнее, конечно, следовало бы писать не х, а Хв>

(о) РЧ.Т^ЛоПуУо, O) = DeD^yo О)+Г(ф((о, O)).(D^yo 0), D^y», 0)).

Grundlehren der

mathematischen Wissenschaften 230

WILHELM KLINGENBERG

LECTURES ONCLOSED GEODESICS

Springer-Verlag

Berlin Heidelberg New York 1978

В. КЛИНГЕНВЁРГ

лекциио замкнутыхгеодезических

Перевод с английского

А, И. ГРЮНТАЛЯ

под редакцией

Д. В. АНОСОВА

Москва «Мир» 1982

ББК 22.161.6 К 79

УДК 517

Клингенберг В.

Лекции о замкнутых геодезических. Пер. с англ. — M.I Мир, 1982. 416 с.

Монография известного западногерманского математика охватывает широкий круг вопросов, связанных с вариационным исчислением в целом, дифференциальной геометрией и теорией динамических систем. Наряду с новейшими результатами, в том числе самого автора, приведены малоизвестные достижения прежних лет. Кинга удачно сочетает черты оригинальной монографии, обзора и учебного пособия.

Для специалистов по математическому анализу и дифференциальной геометрии, аспирантов и студентов университетов.

Редакция литературы по математическим наукам

„ 1702040000—132 _ „„.© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1978

^Mwnn-R9 7—82,4.1 aii rights reserved. Authorized translation from

uaituu °*English language edition published by Springer.

Verlag Bertin — Heidelberg — New York.

© Перевод на русский язык с изменениями, «Мир», 1982