ВВЕДЕНИЕ '

В КОНЕЧНЫЕ \ v

ГЕОМЕТРИИ /

Перевод с английского

Ф. Л. Варпаховского и А. С. Солодовникова

у

Москва «Наука» . - .•»■ - , | Главная редакция т ■ s / : физико-математическов*ЯИТ*ратуры - /

1980 ■ " , / .

F. Karteszi

Introduction toFinite Geometries

t 4 Л

। Akaddmiai Kiadd Budapest

1976

К a p т e с и Ф. Введение в конечные геометрии: Пер. с англ.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980,- 320 с.

Основной объект книги — конечные проективные плоскости. Рассматриваются и другие виды конечных плоскостей: аффинные, гиперболические, мёбиусовы и т. д. Дается развернутая теория плоскостей Галуа — основного класса конечных проективных плоскостей. Рассмотрен ряд приложений конечных плоскостей к комбинаторике и теории графов.

Предназначается для научных работников, аспирантов и студентов математических отделений университетов и пединститутов, а также лиц, занимающихся приложениями конечных геометрий.

© Перевод на русский язык, Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1980© Перевод на русский язык, Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1980

© Перевод на русский язык, Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1980

© Перевод на русский язык, Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1980

© Akademiai Kiadd, Budapest l.®7^,

K 053(02^-80 ^-80.1702040000

■ ' ’ . Моему дорогому учителю

, . Профессору БЕНИ АМИНО СЕГРЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящая книга построена на основе курса лекций, которые я читаю в Будапештском университете под общим названием «Проективная геометрия» начиная с 1948 года. Первое время я лишь кратко упоминал о понятии конечной проективной плоскости в общем контексте классической проективной геометрии. С годами я постепенно увеличивал долю конечных геометрий за счет классических разделов.

Учитывая, что предварительная подготовка моих слушателей была неодинаковой, я вынужден был начинать изложение на совершенно элементарном уровне.

Более чем двадцатилетний опыт преподавания, а также успехи теории за последние тридцать лет выработали у меня определенный дидактический подход, нашедший свое отражение в моих лекциях. По настоянию некоторых моих бывших студентов я представил эти лекции в форме учебника. ,

По своему подходу эта книга несколько непохожа на традиционные учебники подобного рода. Прежде всего, я не стремилбя к всестороннему освещению предмета, включая последние достижения; меня скорее интересовали те средства и методы, которые определяли ход его развития. Я считаю эту книгу в известной мере экспериментальной, как и сами мои лекции, и с интересом ожидаю отзывов читателей, которые пожелают пользоваться ею для знакомства с теорией конечных геометрий.

Что касается терминологии, я часто бывал вынужден — главным образом из-за скудости соответствующих публикаций на венгерском языке — вводить новые термины или

4 ' ПРЕДИСЛОВИЕ '

же отклоняться от общепринятых; разумеется, во всех таких случаях я объяснял точное значение приводимого термина. Несколько необычны также и некоторые иллюстрации, например таблицы, условные изображения фигур и т. п.

Я хотел бы подчеркнуть, что весьма обязан профессорам Д. Строммеру и Г. Сасу за их полезные советы и внимательный просмотр рукописи, а также М. Фридьеши и Г. Видеки за ясные и аккуратные рисунки.

Наконец, я считаю своим долгом выразить мою признательность издательству Венгерской академии наук за публикацию этой книги.

Ф. Картеси

СИМВОЛЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

1 Н 1

число элементов в множестве Н.

{а, Ь, . . ., Ц

. множество, состоящее из элементов а, Ь,. ..

'. . h.

к | Р^

множество элементов х, обладающих свой-

. ством Р (например, {х Е G | х2 = 1}).

х Е Н

элемент х принадлежит множеству И.

х < Н•

. х не принадлежит II.

и с н

каждый элемент множества U принадле

жит Н.

и с Н

каждый элемент U принадлежит Н, но не

всякий элемент Н принадлежит U.

А ПВ

{х | х Е А и х Е В), максимальная общая

часть, пересечение.

A U В

(х | х Е А или х Е В), объединение А и В.

А® В

множество всех упорядоченных пар (а, Ь),

■ . _ где а Е А и b Е В.

А — В, А \ В

{х | х € А и х В).

О, *, 1, л

знаки операций (определяемых особо в

каждом случае).

(А, О) .,система с одной операцией (в случае опера’'". ций сложения и умножения пишется соответственно (А, +) и (А, X)). ..

(А, +, •), (А, 1, А)

системы с двумя операциями.-•-' >

Р (х, 777, Ь)

тернарная операция.

поле Галуа из q элементов.■

(х„ х8, х3)

координаты точки.- .• ,

1^1. ^2» ^з]’ *

координаты прямой.

знак инцидентности (в таблице инцидентности).

(произвольная) таблица инцидентности.

Q

циклическая таблица инцидентности.

ст,х

квадрат Г-таблицы инцидентности.

6

СИМВОЛЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

Г to), Г

таблица инцидентности, разбитая на квад

■ >

АВ; а, . . . , ж Хж to), Ы

раты.

векторы.

произведение вектора и скаляра.

точка и прямая, заданные своими координатами.

[и] (я) Sn-q

^1^1 4~ ^2*^2 “Ь “З^З- n-мерное (арифметическое) пространство над полем Галуа GF(q); пространство Галуа.

Hv, ^ X) "

система блоков t-(r, к, X).

> система аксиом, состоящая из аксиом 1п

12, 1з, 14-

D, P, В

MD, MB, MR

теоремы Дезарга, Паскаля, Рейдемейстера. микро-теоремы Дезарга, Паскаля, Рейдемейстера.

Глава 1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К КОНЕЧНЫМ ГЕОМЕТРИЯМ

В этой главе будет дано простое и элементарное изложение основных понятий, задач и методов теории конечных геометрий. Мы начнем с описания того, в чем состоит предмет этого нового раздела математики и как он возник из нескольких классических дисциплин.

Конечная плоскость

Проективная плоскость, получаемая путем добавления к евклидовой плоскости идеальных точек и идеальной прямой, называется классической проективной плоскостью. Для этой плоскости известны следующие основные факты, касающиеся отношения инцидентности точек и прямых:

Для любых двух различных точек существует единственная инцидентная им прямая (называемая прямой, соединяющей эти две точки).

Для любых двух различных прямых существует единственная инцидентная им точка (называемая точкой пересечения этих двух прямых).

Существуют такие четыре точки, что прямая, инцидентная любым двум из них, не инцидентна ни одной из двух других. (Желая выразить этот факт, мы будем говорить, что существует собственный четырехугольник.)

Примем теперь указанные выше основные утверждения за аксиомы. Всякая теорема, являющаяся следствием этих аксиом, выполняется и для классической проективной плоскости. Существуют, однако, и другие системы объектов, называемых точками и прямыми, которые вместе с некоторым отношением инцидентности — выполняющимся или нет для каждой пары из одной точки и одной прямой—удовлетворяют требованиям (1), (2), (3). Одним из наиболее давних и простых примеров таких систем служит фигура Фано (см. рис. 2).

Рис. 1.]Рис. 1.]Рассмотрим нераскрашенную шахматную доску размером 7 на 7, на которой фигуры расставлены так, как показано на рис. 1. Назовем вертикали Рг, Р2, Р3, Pt, Р5, Р6 и Р7 доски «точками», а горизонтали 1г, l2, l3, Z4, Z5, Z6 и Z, — «прямыми». Будем понимать «инцидентность» точки и прямой как тот факт, что клетка пересечения соответствующей вертикали с соответствующей горизонталью занята фигурой (на рисунке такая клетка обозначена кружком), и пусть незанятая клетка означает «неин- цидентность». Нетрудно проверить, что такая модель действительно удовлетворяет требованиям (1), (2), (3).

Рис. 1.]

Рис. 1.]

Так, например, единственная прямая, соединяющая точки Р^ и Рв, есть 12, Единственная точка, инцидентная прямым Z3 и Z5, есть Р2. Собственным четырехугольни

ком является РуРгРдР^, причем Z15 Z2, Z3, Z5, Z6, Z7 — это шесть прямых, соединяющих различные пары его точек, так что система удовлетворяет условию (3). В дальнейшем данная система будет именоваться плоскостью Фано-

Мы будем изучать в основном конечные плоскости, которые будут трактоваться как конечные множества точек (что имеет ряд преимуществ). Прямая при этом понимается как точечное подмноя;ество, выделяемое некоторыми свойствами. Итак, плоскость есть множество точек, скажем 2 = {Plt Р2, . . .}, а прямые на плоскости суть определенные подмножества этого множества 2. Точки и прямые будем обозначать соответственно большими и1 малыми латинскими буквами. Проективная плоскость задается следующей системой аксиом:

1р Если Р^ 2, Q ^ 2 и Р 5^ Q, то существует единственная прямая Z, для которой Р Е Z и Q Е Z.

Если ga 2, Zc 2 и g #= I, то существует точка Р такая, что Р Е g и Р Е Z.-

Существуют четыре точки такие, что всевозможные пары из низе определяют в соответствии с 1г шесть различных прямых,'

Мы уже знаем, что абстрактная проективная плоскость, определяемая этими аксиомами, не является противоречивым понятием: мы располагаем примерами классической проективной плоскости и плоскости Фано.

Из аксиом 1Т и 12 следует, что любые две различные прямые имеют одну и только одну общую точку.

Именно, в силу 12 существует одна, а в силу ^ — не более одной общей точки для двух различных прямых.

Существуют четыре прямых, из которых никакие три не имеют общей точки. (То есть существуют собственные четырехсторонники.')

В самом деле, если для точек Рг, Р2, Р3 и Р^ выполняется аксиома 13, то прямые PiP2l Р2Р3, Р^Р/,, и PJ^ удовлетворяют утверждению (Ь).

Как и в классической проективной геометрии, для абстрактной проективной плоскости имеет место принцип двойственности. Это следует из того, что 1Т и 12, а также 13 и теорема (Ь) двойственны друг другу.

Всякая прямая имеет по меньшей мере три точки; всякая точка принадлежит по меньшей мере трем прямым.

Поскольку вторая часть утверждения двойственна первой, то достаточно доказать лишь первую часть.

Существуют собственные четырехугольникй; пусть PlP2P3Pi — один из них. Произвольной прямой I могут принадлежать две, одна или ни одной вершины этого четырехугольника. В первом случае пусть Р3 £ I и Р^ g I. Прямые РгР2 и Р 3Рк имеют единственную общую точку, которая не является вершиной данного четырехугольника. Она вместе с тем является третьей точкой прямой I. Во втором случае пусть I проходит только через вершину Р^, тогда каждая из прямых Р^Р^ и Р2Р3 пересекает I в одной точке. В третьем случае каждая из прямых PJ\, Р^2 и PJ^s пересекает I в одной точке. Следовательно, утверждение (с) верно.

Эти теоремы, выражающие основные свойства классической проективной плоскости, будучи принятыми в качестве аксиом, определяют значительно более общее понятие аб< грактной проективной плоскости. Чтобы ограничить это понятие и получить понятие конечной проективной плоскости порядка у. мы вводим четвертую аксиому.

Существует прямая, состоящая из q + 1 точек, где q (q > V) — некоторое (подходящее) целое положительное число.

Эту аксиому можно считать естественной, поскольку ей удовлетворяет плоскость Фано (при q = 2). Далее, из трех предыдущих аксиом вытекает, что д>1. (Теорема (с).)

Систему аксиом I1; I2, 1з и 14 будем обозначать символом I. Рассмотрим некоторые простые, но важные следствия системы аксиом I.

Каждая прямая состоит из q + 1 точек. Чч '

Через каждую точку проходит q + 1 прямых* ^

(f) Плоскость состоит из q2 + q + 1 точек. ' .

Плоскость содержит q2 + q + 1 прямых.

В примере на рис. 1 (q = 2) эти теоремы выражаются следующими свойствами:

+ 1=3 кружка содержатся в каждой строке таблицы.

кружка содержатся в каждом столбце таблицы. Таблица состоит из 22 + 2 + 1 (непустых) столбцов. Таблица состоит из 22 + 2 + 1 (непустых) строк.

Докажем последовательно все утверждения от (d) до (g). При этом воспользуемся обычной конструкцией перспективного соответствия, которая, очевидно, распространяется на случай плоскости, определяемой системой аксиом I.

Пусть I = {Pj, Р2, . . ., Р9+1) — прямая, удовлетворяющая аксиоме 14, а Г — произвольная прямая, отличная от I, V + Z. В силу 12 прямые I и V имеют общую точку; пусть это будет точка Pj. Прямая Г содержит, согласно теореме (с), точку Qx, отличную от Рр кроме того, прямая, соединяющая точку Рк прямой Z, отличную от точки Pj, с точкой (\, содержит точку Q^, отличную как от @х, так и от Рк. Далее, совокупность прямых, соединяющих ^2 с точками прямой I, исчерпывает множество всех прямых, проходящих через Q2, как это легко следует из аксиом 1х и 12; при этом каждая из этих прямых пересекает V в некоторой точке, поэтому прямая Г содержит д + 1 точек. Ясно, что V не может иметь более д + 1 точек — иначе, соединяя эти точки с Q^, мы получили бы, что в пучке прямых, проходящих через @2, содержится более чем д + 1 прямых.

Доказательство теоремы (е) получается двойственным образом из доказательства теоремы (d), поскольку,

как мы уже показали, существует точка ^2, через которую проходит ровно 9 + 1 прямых.

Каждая точка плоскости лежит, согласно Iv на некоторой прямой пучка прямых с центром Q^. На каждой из q + 1 прямых этого пучка имеется, согласно (d), q точек, отличных от Q^. Поэтому общее число точек равно (9 + 1) q + 1 = 92 + q + 1.

Доказательство теоремы (g) получается двойственным образом из доказательства теоремы (f).

Определение. Структура, удовлетворяющая системе аксиом I, называется конечной проективной «плоскостью порядка q».

Когда это не даст повода к недоразумениям, мы будем говорить просто о «плоскости порядка 9».

Для многих q остается открытым вопрос: существует ли плоскость порядка q, где q — целое, большее 2?

таблицы инцидентноститаблицы инцидентности1.2. Изоморфные плоскости,

таблицы инцидентности

таблицы инцидентности

Рассмотрим две конечныеРассмотрим две конечныепроективные плоскости попроективные плоскости по

Рассмотрим две конечные

Рассмотрим две конечные

проективные плоскости по

проективные плоскости по

рядка 9, т. е. два множества с одним и тем же числом элементов п = 92 + 9 +1, в которых можно указать п

подмножеств по q + 1 элементов в каждом таким образом, что структуры этих множеств, порождаемые данными подмножествами, — мы будем называть их комбинаторными структурами — удовлетворяют системе аксиом I. Поскольку оба множества состоят из одинакового числа элементов, для обозначения элементов обоих множеств можно использовать одни и те же названия или же один и тот же набор индексов.

Рассмотрим, например, рис. 1

и 2. Обе таблицы удовлетворяют системе аксиом I, что легко

проверяется (таблица рис. 1 была уже проверена ранее). Пользуясь одним и тем же набором индексов, мы тем самым

установили взаимно однозначное соответствие между двумя различными плоскостями порядка 2. По этому соот-

ветствию, однако, трудно судить о структурном подобии двух способов распределения знаков инцидентности.

Более показательную информацию можно получить, если ввести следующие простые операции. Мы будем ниже называть рис. 1 «Sj-таблицей», а рис. 2 —«2 2-таблицей».

1° Разложим таблицу 5 j на столбцы. После этого сделаем перестановки по схеме

/1 2 3 4 5 6 7 \ ^““U724356/’

в которой даются номера столбцов. Эта схема означает, что мы оставляем первый столбец на месте, второй столбец заменяем седьмым, третий — вторым и т. д.; разумеется, столбцы переставляются вместе с содержащимися в них знаками. Объединяем теперь переставленные столбцы. Операцию, выполненную согласно такому предписанию, будем называть (^-преобразованием.

2° Разлагаем далее таблицу на строки и, выполнив перестановки строк, скажем, по схеме

/1 2 3 4 5 6 71

O-U 3 4 6 2 5 7b

объединяем переставленные строки. Подобную операцию будем называть ^-преобразованием.

3° Исходя из' некоторой таблицы, выполним сначала со-преобразование, а затем над получившейся таблицей — ^-преобразование. Обратно, выполним сначала о-преобра- зование, а затем со-преобразование. В обоих случаях каждая клетка таблицы (вместе с заключенным в ней знаком) переместится на одно и то же место. Мы образовали композицию двух перемещений во взаимно .перпендикулярных направлениях, причем результат композиции этих перемещений не зависит от порядка данных перемещений. Этот факт выражается записью сой = о со = = т; композицию перемещений (преобразований) будем называть т-преобразованием. Ясно, что со-преобразование можно считать т-преобразованием, рассматривая его как композицию самого себя с ^-преобразованием, оставляющим все столбцы на месте. Аналогично, всякое ст-пре- образование также является т-преобразованием.

Если теперь применить те именно со- и о-преобразова- ния, которые приведены выше, к нашей таблице 2Х, то

легко заметить, что расстановка знаков в таблице Si перейдет в расстановку знаков таблицы 5 2. Это можно выразить, записав, что

гост (5Х) = сио (2Д = т (5Д = S2.

Таким образом, мы получаем, что таблицы рис. 1 и 2, по существу, являются двумя различными формами (реализациями) одной и той же комбинаторной структуры, т.е. таблица рис. 1 то же задает плоскость Фано.

Определение. Если две таблицы инцидентности удовлетворяют системе аксиом I и одна из них получается из другой т-преобразованием, то будем говорить, что эти две таблицы (две плоскости) изоморфны-, неизоморфные таблицы (плоскости) будем называть гетероморфными.

В определении говорится о таблицах инцидентности, удовлетворяющих системе I. Вообще, таблица инцидентности есть любая таблица т X п, каждая клетка которой либо пуста, либо содержит знак. В дальнейшем будут рассматриваться и такие таблицы инцидентности (например, таблицы на рис. 72 и 73, стр. 205—207), которые не представляют конечных плоскостей. Подобные таблицы мы также будем называть изоморфными, если одна из них переводится в другую посредством т-преобразования (например, две таблицы инцидентности на рис. 71, стр. 204). Мы приведем также и примеры гетероморфных таблиц (например, две таблицы, изображенные на рис. 17, 72 и 73, стр. 60, 205-207).

Ясно, что таблицы инцидентности, задающие конечные плоскости, могут быть изоморфны только тогда, когда они имеют один и тот же порядок q. Две плоскости одного и того же порядка могут быть и гетероморфны друг другу — на этом в дальнейшем мы остановимся подробнее, пока отметим только, что это возможно лишь для таблиц размером минимум 91 на 91 с 7371 пустыми клетками и 910 клетками, содержащими знак инцидентности. Если даны две такие таблицы, то установить их гетероморфность отнюдь не просто. '

Существуют ли две гетероморфные плоскости порядка 2? Прежде чем исследовать этот вопрос, дополним список теорем, перечисленных в 1.1.

(h) Таблица инцидентности, задакпцая конечную плоскость, не может содержать знаков инцидентности в каждой из 4 клеток, стоящих в пересечении каких-либо двух строк и двух столбцов (т. е. в такой таблице нельзя выделить часть, показанную на рис. 3).

В противном случае таблица не удовлетворяла бы аксиоме 1Х — через две точки проходили бы две различные прямые.

Рассмотрим теперь таблицу S, задающую плоскость порядка 2. Расположение знаков в первой строке этой

образования. Выделим в преобразованной таблице со (5) = Sx строку, в первой клетке которой стоит знак •. Либо эта строка — вторая, либо может быть сделана второй с помощью подходящего о-преобразования, оставляющего первую строку на месте. Применяя подходящее ©-преобразование к таблице ст (St) = S2, мы можем, в силу теоремы (h), получить таблицу S3, у которой знаки в первых двух строках расставлены так же, как на рис. 4. Точно так же легко убедиться, что с помощью юи о-преобразований можно перевести исходную таблицу в таблицу, первые четыре строки которой такие же, как на рис. 4. При этом знаки в последних трех строках каким- то образом переместятся. Отделим верхнюю часть с темны -и кружками « от нижней части, состоящей из 7 X 3 клеток, и разделим последнюю — так, как показано на рисунке — на части Сг, Сг, С3 и С4. В нижней части

таблицы для обозначения инцидентности будем пользоваться светлым кружком о.

В верхней части первого столбца таблицы имеются три знака в, поэтому С1; будучи нижней частью столбца, не может содержать знака о. В части С2 имеется только один знак о, и его можно с помощью подходящего сг-преобразо- вания, не затрагивающего первых четырех строк, перевести в последнюю строку. В этой ст, оке имеются еще два знака о, которые, в силу теоремы (h), могут располагаться лишь так, как на рис. 4. Зачерним теперь знаки последней строки, считая их расположение зафиксированным.

Теперь остается исследовать расположение 7 • 3—5-3 = = 6 знаков, распределенных в 2-5 = 10 клетках в 5-й и 6-й строках, приходящихся на С3 и С4. В силу теоремы (h) в С4 не может быть знаков в двух соседних клетках, но в каждом столбце должно содержаться по одному знаку о, поскольку по два знака • в этих столбцах зафиксировано. Эти знаки о либо расположены так же, как на рис. 4, либо могут быть переведены в это положение перестановкой 5-й и 6-й строк. Зачерним и эти знаки.

Нам остается еще определить расположение 4 знаков, попадающих в 6 клеток 5-й и 6-й строк из С3. Легко видеть, однако, что — в силу теоремы (h) и расположения уже фиксированных знаков — эти 4 знака могут быть распределены лишь так, как на рис. 4.

Таким образом, любая таблица инцидентности, представляющая плоскость по,ядка 2, действительно может быть переведена в таблицу рис. 2 посредством перестановок строк и столбцов. Иными словами, справедлива следующая

Теорема. Плоскости порядка 2 совпадают с точностью до изоморфизма (т. е., по существу, имеется лишь один вид плоскости второго порядка).

Конструирование конечных плоскостей. Циклические плоскости

До сих пор мы ознакомились лишь с реализацией классической проективной плоскости и плоскости порядка 2; действительно, мы умеем доказывать существование только этих двух видов плоскостей — путем конструирова-

ния моделей, удовлетворяющих аксиомам 1ц 12, 13 или системе аксиом I. Плоскости порядка q известны для некоторых целых значений q (больших 1); однако в общем виде вопрос существования и представления конечных плоскостей произвольного порядка не решен. Это, быть может, одна из наиболее трудных нерешенных проблем современной математики.

Ниже мы рассмотрим некоторые простые конструкции, позволяющие получить те или иные конечные плоскости. Мы проиллюстрируем наш метод на случае q = 4, но сделаем это так, чтобы, следуя данному примеру, легко можно было сконструировать конечные плоскости также и для q = 2, 3, 5. (Больше того, некоторая алгебраическая процедура позволит применить этот метод для бесконечного множества натуральных q?)

Пусть

n = q2 + q +1 = 2Cg+1 -|-1

и окружность к с центром О делится п точками на равные части; эти п точек будут вершинами правильного п-уголь- ника, скажем PiP2. • -Рп = 2(п). Пусть tp означает центральный угол, опирающийся на сторону п-угольника, так что пер = 2л. На рис. 5 показан 21-угольник, 2 (21), отвечающий q = 4. Число хорд разной длины, соединяющих различные вершины многоугольника, есть Cg+i, поскольку таково число хорд разной длины, исходящих из одной вершины. Число различных пар, составленных из q + 1 точек, также равно С|+1. Возникает следующий естественный вопрос:

Можно ли так выбрать q + 1 вершин многоугольника 5 (га), чтобы все хорды, соединяющие различные пары вершин, были разной длины)

Ясно, что это невозможно, если вершин берется больше чем q + 1: в этом случае среди хорд, соединяющих различные пары этих вершин, найдутся две хорды равной длины. Если выбор q + 1 вершин, удовлетворяющих нашему условию, возможен, то определяемый ими выпуклый (9 + 1)-угольник будем обозначать через А. Исходя из определения и сделанного выше замечания, мы будем называть подмногоугольник А, если он существует, максимальным вполне неправильным подмногоуголъником правильного многоугольника ^(п).

На рис. 5 приведен пример, показывающий, что многоугольники Л существуют. В качестве Л на рисунке из многоугольника 5(21)выделен пятиугольник Р^Р^Р ьРцРц\ 10 хорд разной длины соединяют различные пары вершин этого пятиугольника. Известно, что подмногоугольник Л,

■ ’ ■Рис. 5.

отвечающий данному выше определению, существует не для всякого натурального q; на самом деле, наименьшее значение q, для которого подобный подмногоугольник не существует, есть 6. В случае q = 6 мы можем выразить этот факт следующим образом: Во всяком множестве из двадцати одной хорды, которые соединяют всевозможные пары вершин произвольного подсемиуголъника правильного 43-уголъника, содержатся две хорды равной длины. Доказательства этого утверждения мы здесь не приводим. Сравнительно нетрудно найти подмногоугольник Л в S(n), если q = 2, 3, 4, 5; при этих значениях q для определения вершин искомого подмногоугольника проще всего воспользоваться методом проб и ошибок. Но с ростом q число подлежащих проверке случаев растет настолько быстро, что этот метод оказывается практически неприемлемым. Перебор можно заменить некоторыми алгебраическими процедурами, которые, однако, неуместно было бы излагать в рамках вводной главы.

Пусть для некоторого п подмногоугольник Л в 2(й) существует. Рассмотрим последовательность многоугольников Aj, Л2, . . ., Лп, в которой Aj = Л, a Ah получается из Aj поворотом вокруг точки О на угол (к — 1)ф (при этом, как и на рис. 5, направление вращения соответствует убыванию номеров вершин). Связь между п-эле- ментным точечным множеством {Р^ Р2, • • •, РтА и множеством многоугольников {Ль Л2, . ."., Лп) с тем же числом элементов может быть охарактеризована следующими утверждениями:

Av Для любых / и к, 1^/, к^п, ] ^ к, существует единственный многоугольник Лг, в котором обе точки Pj и Рк являются вершинами.

А2. Для любых / и к, 1-С/, к^п, / Д= к, существует единственная точка Ps, являющаяся вершиной каждого из подмногоуголъников Лу и \к.

А3. Существует подчетырехугольник П = PtPjPhPk многоугольника 2(м), с которым каждый из подмногоуголъников Лц Л2, . . ., Лп имеет не более двух общих вершин.

В основе доказательства этих утверждений лежит тот факт, что каждая из длин хорд многоугольника 5 (и) встречается ровно один раз среди длин хорд каждого многоугольника Лк; поскольку

п = 92 + 9 + 1 = ? (? + 1) + 1

— число нечетное, то угол поворота (в указанном выше направлении), переводящего вершину Pj в вершину Ph. j ^ к, будет отличен от угла поворота, переводящего вершину Рк в вершину Pj. Не умаляя общности, можно считать,что первый меньше второго.

Чтобы доказать утверждение Аь рассмотрим хорду многоугольника Лц длина которой равна длине хорды PjPk. Легко видеть, что эта хорда переводится в хорду PjPk поворотом, в данном направлении, на угол /ф < < 2л, где O^Z^n— 1. Следовательно, Л;+1 и есть единственный требуемый многоугольник.

Для доказательства А2 рассмотрим угол поворота /ф, переводящего А; в Ah. М-ногоугольник Л,- имеет единственную хорду, на которую опирается центральный угол (с вершиной в точке О), равный /ф. Поворот на угол Zф переводит один конец этой хорды в другой, но

этот другой конец — ввиду равенства угла поворота углу (с вершиной О), на который опирается хорда,— является также вершиной Ак, т. е. общей вершиной Л, и Лк )•

Для доказательства утверждения А3 выберем один из многоугольников Л5 и отразим его относительно диаметра, проходящего через одну из точек Р,. Любой подтреугольник полученного таким способом образа Л$ многоугольника As имеет ориентацию, противоположную ориентации треугольника, зеркальным отражением которого он является; следовательно, только одна сторона исходного треугольника может при вращении перейти в сторону его зеркального образа. Отсюда вытекает, что всякий подчетырехугольник многоугольника Л$ удовлетворяет утверждению А3. Разумеется, при q = 2 многоугольник As будет всего лишь треугольником и наше доказательство теряет силу. Но в этом случае, приняв As = ^Р^^Р^, мы получим, что П = {Р1Р2Р5Р7} удовлетворяет утверждению А3.

Будем теперь считать многоугольник £(п) «плоскостью». Вершины Ри Рг, . . ., Рп этого многоугольника пусть будут «точками», а подмногоугольники Л1Т Л2, . . . . . ., Лп — «прямыми» плоскости. Для такой модели утверждения А1Т А2, А3 переходят в аксиомы 1П 12, 13. Таким образом, получается, что построенная комбинаторно-геометрическая конструкция служит реализацией конечной плоскости порядка q. Значение данного метода не умаляется тем фактом, что при больших q требуемый перебор оказывается громоздким, даже практически неосуществимым; это, впрочем, побуждает нас искать дополнительные математические соображения, которые сделали бы такой перебор ненужным. В дальнейшем мы еще вернемся к этой задаче.

Мы приведем здесь списки вершин многоугольников Лх, отвечающие некоторым значениям q (для краткости мы

пишем 1, 2, 4 вместо Рт, Ра, Р^ и т. д.): / ’'

9 = 2,п = 1,Л1 = {1,2,4};

9 = 3,к =13,Лх = {1,2,5,7};

9 = 4,п = 21,Лх = {1,2,5,15,17};.

9 = 5,п =31,Л1 = {1,2,4,9, 13,19};

9 = 6, п = 43—не существует;J ,

9 = 7, п = 57, Л! = {1, 2, 4, 14, 33, 37, 44, 53};

9 = 8, п = 73, Л1 = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 37, 55, 64}; "

9 = 9, п = 91, Л1 = {1, 2, 4, 10, 28, 50, 57, 62, 78,82}.

Таким образом, располагая этим перечнем, мы можем получить семь различных конечных плоскостей. В каждом из этих случаев легко составить таблицу инцидентности. Если, например, взять случай 9 = 4 (см. рис. 5), то получится таблица, приведенная на рис. 6. .

Рис. 6. ■

Эта таблица — по терминологии, заимствованной из теории матриц,— циклическая и симметрическая (по отношению к главной диагонали). Циклическая таблица

' 4-4. Г-ТАБЛИЦА КОНЕЧНОЙ ПЛОСКОСТИ 21 инцидентности, задающая конечную плоскость, будет называться впредь й-таблицей или, короче, Q (д). Таким образом, таблица на рис. 2 есть не что иное, как Q (2).

Г-таблица конечной проективной плоскости

Среди (изоморфных) таблиц инцидентности, задающих конечную плоскость, имеются такие, которые дают более ясное представление об отношении инцидентности, чем другие таблицы, что легко, например, заметить, сравнивая рис. 1 и 2, и это особенно сильно проявляется при больших q. В случае q = 2 мы показали, что всякую таблицу инцидентности можно преобразовать в циклическую таблицу (см. рис. 2). Однако существуют и такие таблицы инцидентности, которые не преобразуются в циклические. Мы не приводим здесь соответствующего примера, поскольку наименьший размер такой таблицы есть 91 X 91. Имеются, впрочем, таблицы других видов, в которые можно перевести любую таблицу инцидентности путем со- и о-преобразований и которые наглядно выражают структурные свойства плоскости.

Возьмем пустую таблицу п х п, где п = 1 + q + q2- Разобьем эту таблицу на части с помощью нескольких жирных линий, как показано на рис. 7. Две такие линии отделяют первую строку и первый столбец таблицы от остальной ее части. В результате образуется узкий крюк в форме буквы Г. Рассмотрим ту часть таблицы инцидентности, которая заполняет «внутренность» этого Г-крюка и которая состоит из (п — I)2 квадратов; ее можно разбить на q + 1 вертикальных полос шириной в q клеток каждая, называемых столбцевыми полосами. Аналогично, эту же часть таблицы можно разбить на q 4-1 горизонтальных полос высотой в q клеток каждая, называемых строчными полосами. В пересечении всех столбцевых и строчных полос получается (q 4- I)2 квадратов по q2 клеток каждый (выделенных на рисунке жирными линиями). Теперь из первой столбцевой и первой строчной полос мы образуем широкий Г-образный крюк и подобным же образом во внутренности этого крюка строим еще один Г-образный крюк. На нашем рисунке 3 гнездовых крюка, отделенных друг от друга жирными линиями, образуют вместе полный Г-крюк шириной в 2q 4- 1 клеток. Подтаблица,

заполняющая внутренность полного Г-крюка и состоящая из (д — I)2 квадратов, будет обозначаться через 0. Двигаясь снаружи вовнутрь, мы будем говорить соответственно о внешнем., среднем и внутреннем Г-крюках и о ^-внутренности-, часть, образованная внутренним Г-крюком и ©-внутренностью, будет называться Г ©-внутренностью.

Пустую таблицу, разбитую указанным образом на части, будем называть Г-решеткой. Эта решетка соответствует разбиению числа п па слагаемые по формуле /г- = 1 + ? + 7 г (q — 1)9-

Преобразуем теперь таблицу инцидентности Q (4) на рис. 6 с помощью следующих и- и а-преобразований:

/ 1 2 3 4 567 8 9 10 11 12 13 141516 171819 20 21 \

И 2 5 15 172116 14 4 7 6 20 10 И1819 1383 12

И

_/1 2 3 4 567 8 9 10 И 12 13 141516 17 18 19 20 21 \

И 2 17 5 1516 21 4 14 18 И 13 19 389 1267 10 20) ’

легко проверить, что при- этом получится таблица, заполняющая Г-решетку рис. 7. Проследим по рисунку, как распределены знаки инцидентности в этой Г-решетке.

В левом верхнем углу внешнего крюка 2g + 1 знаков образуют Г-фигуру. В силу этого левый верхний квадрат среднего Г-крюка пуст, в остальной же его части знаки располагаются лестничным образом — так, как это показано на рисунке. В каждом квадрате внутреннего крюка знаки инцидентности стоят по главной диагонали. Каждый квадрат, принадлежащий 0, имеет диагональное распределение знаков, и внутри 0 насчитывается q — 1 различных таких распределений. Под «диагональным распределением» понимается такое расположение знаков, при котором в каждой строке и каждом столбце встречается ровно один знак.

Таблица, устроенная подобным образом, называется Y-таблицей и обозначается через Г (д).

Разумеется, данное здесь описание не заменяет определения, а приводится лишь с целью проиллюстрировать его на конкретном примере. Определяется же Г-таблица следующими условиями:

1° Расположение знаков во внешнем и среднем крюках (секционно) ступенчатое, соответствующее данной Г -решетке.

2° Распределение знаков во всех квадратах внутреннего крюка одинаково и является одним из д! различных диагональных распределений.

Ясно, что если, например, переставить одинаковым образом столбцы, проходящие через каждый квадрат внутреннего Г-крюка какой-либо Г-таблицы, то условия 1°, 2° не нарушатся и в результате получится новая Г-таблица. Выше мы привели пример преобразования таблицы Q (д) в таблицу Г (д). Такое преобразование всегда возможно, однако не всякую таблицу Г (д) можно преобразовать в таблицу Q (д). Справедлива следующая

Т е о р е м а. Любую таблицу инцидентности, представляющую конечную плоскость, можно с помощью подходящих <о- и а-преобразований (т. е. с помощью подходящего т-преобразования) перевести в таблицу Г (д).

Наше доказательство основывается главным образом на том факте, что в таблице инцидентности конечной плоскости знаки инцидентности не могут располагаться во всех вершинах какого-либо прямоугольника, т. е. так, как показано на рис. 3. В целях краткости эту запрещенную конфигурацию будем называть прямоугольником знаков.

Сначала, с помощью подходящих со- и п-преобразо- ваний, перераспределим знаки во внешнем и среднем Г-крюках таким образом, чтобы получалось (секционно)

ступенчатое распределение,— по образцу, представленному на рис. 7 и 8, L Осуществимость такого перераспределения легко вытекает из свойств 1Ъ (d) и (е) конечной плоскости, а также из следствия аксиомы 1Х об отсутствии в таблице инцидентности прямоугольника знаков.

Условимся здесь и в дальнейшем пользоваться символами■-

С00С01 . . №Ч”1

.С10, Си, . .., С1,1-1,''

£4-1,0(79-1,1 . .£4-1, 9-1■'

для обозначения д2 квадратов, заполняющих внутренность среднего Г-крюка, т. е. Г0-внутренность.

На рис. 8, i мы оставили незаполненными все квадраты Crs, чтобы выделить первую фазу перераспределения. Конечно, на первой фазе знаки инцидентности распределятся каким-то образом и во всех этих незаполненных квадратах Crs. В действительности после первой фазы упорядочения в каждом квадрате Crs распределение знаков будет диагональным, т. е. в каждой строке и каждом столбце квадрата будет ровно по одному знаку. Для доказательства этого заметим, что два знака инцидентности не могут встретиться в одной строке, (соответственно столбце) квадрата, так как иначе эти знаки вместе со знаками соответствующей строки (столбца) среднего Г-крюка образовывали бы прямоугольник знаков, что невозможно. С другой стороны, всякая строка (столбец) квадрата содержит хотя бы один знак, иначе эта строка (столбец) и одна из строк (столбцов) среднего Г-крюка не удовлетворяли бы аксиоме 12 (соответственно Д). Таким образом, любая строка и любой столбец квадрата Crs действительно содержит ровно по одному знаку.

Теперь, сохраняя распределение знаков в среднем Г-крюке, продолжим упорядочение таблицы с целью добиться выполнения условия 2° для внутреннего крюка.

После выполнения первой фазы преобразований распределения знаков в квадратах внутреннего Г-крюка (см. рис. 8, i) будут, вообще говоря, различными; но мы можем произвести такое перераспределение, чтобы все они стали одинаковыми и, более того, совпадали с наперед выбранным из д! различных диагональных распределений.

В самом деле, пусть, например, выбрано распределение, показанное на рис. 8, it. Рассмотрим сначала какой- либо квадрат из последовательности

£00 £01 , £0,9-1

скажем квадрат COs. Требуемое диагональное распределение в этом квадрате получается с помощью подходящих «-преобразований, действующих только на те столбцы всей таблицы, которые проходят через данный квадрат. Так мы добиваемся нужного диагонального распределения ВО всех квадратах верхней части внутреннего Г-крюка,

Теперь остается получить такое же распределение в квадратах

£10£20£9-1,0

Рассмотрим квадрат С®. Для этого квадрата требуемое распределение достигается с помощью п-преобразований, действующих только на те строки, которые проходят через данный квадрат; аналогично перестраиваются все остальные указанные выше квадраты. Таким образом, проведение второй фазы преобразований завершает доказательство нашей теоремы.

После выполнения второго цикла преобразований в квадратах ©-внутренности также получаются некоторые диагональные распределения. Относительно этих распределений мы можем сделать только несколько общих замечаний. Сначала, однако, снабдим одним комментарием рис. 9.

Гомологичными элементами (гомологично ассоциированными) будем называть такие клетки Г0- внутрепности таблицы инцидентности, которые совмещаются при совмещении — путем сдвига'— содержащих их квадратов. Так, например, клетки, заштрихованные на рис. 9,— гомологично ассоциированные. Фигура из четырех квадратов Г0-внутренности, образованная пересечением двух столбцевых и двух строчных полос, будет называться прямоугольником квадратов — по аналогии с прямоугольником знаков. Пусть в квадратах C“v, Cus и Crv даны какие-нибудь диагональные распределения; тогда, пользуясь отсутствием в таблице прямоугольников знаков, в квадрате Crs можно указать q клеток, не содержащих знака инцидентности. На рис. 9 эти q пустых клеток помечены символом *.

Мы докажем теперь следующие общие утверждения о квадратах Г0-внутренности;

Dv Распределение знаков в каждом из квадратов Crs— диагональное.

В2. Если первые или вторые индексы двух квадратов совпадают и не равны нулю, то распределения знаков в этих квадратах различны.

D3. Если совместить в одном квадрате знаки всех квадратов одной строчной или столбцевой полосы, не проходящей через квадрат С00, то получится точное заполнение одного квадрата.

Утверждение Dx уже было доказано ранее, а утверждения В2 и D3 легко следуют из нашего комментария к рис. 9.

Поскольку всего имеется д2 квадратов Сг\ то число 6 различных диагональных распределений, встречающихся в этих д2 квадратах, меньше g2 I- 1. Возникает естественный вопрос: что еще можно сказать о соотношении между 6 и д? Мы знаем, что случай д = б возможен — примерами служат рис. 7 и рис. 8, lit. Ясно, что б не может быть меньше д, иначе одно и то же распределение встречалось бы в каждой строчной полосе, а это противоречит D2. Можно указать пример, в котором б > g (д = 9, 6 = 27); мы не приводим здесь этого примера, поскольку соответствующая таблица инцидентности имеет размер 91 X 91. Учитывая, что в квадратах внутреннего Г-крюка можно получить одинаковые распределения, мы приходим к следующей оценке:

D4. g<6<(g-l)2+l.

В качестве примера на применение Г (д)-таблиц нами будет установлена следующая

Теорема. Существует единственная плоскость порядка 3. ■

Доказательство заключается в приведении таблиц инцидентности произвольных плоскостей порядка 3 к одному и тому же виду. Сначала добиваемся, чтобы знаки во внешнем, среднем и внутреннем Г-крюках распределялись так, как показано- на рис. 8, и. Согласно замечанию к рис. 9 в каждом из квадратов С11, С12, С22 и С21 три клетки обязательно пусты, а три знака в остальных шести клетках составляют, в силу Db диагональное распределение. Но возможны только два диагональных распределения трех знаков в шести клетках — обозначим их через А и В. Эти распределения встречаются в четырех квадратах в

одном из следующих двух видов:одном из следующих двух видов:

одном из следующих двух видов:

одном из следующих двух видов:

Второе из них переводится в первое с помощью преобразований\

со: 8, 9, 10, И, 12,- 13 И, 12, 13, 8, 9, 10 )

и)

а: 3, 44, 3,/

относящихся соответственно к столбцам и строкам всей таблицы *). Таким образом, мы видим, что таблица инцидентности, представляющая какую-либо плоскость порядка 3, может быть приведена т-преобразованием к виду, показанному на рис. 8, ill.

Системы координат на конечной плоскости '

Мы введем теперь новые обозначения для клеток Г0-внутренности, состоящей из внутреннего Г-крюка и ©-внутренности таблицы инцидентности Г (7); эти обозначения служат для идентификации как отдельных клеток, так и содержащих их квадратов.

Ранее мы пользовались обозначениями l^ Z2, . . ., Zn для строк и Рг, Р2, . . . , Рп для столбцов Г-таблицы (тг = 1, 2, . . ., q- + q + 1). Дальнейшее будет относиться только к строкам Zg+2, . . ., Zn и столбцам Рд+2, • • •, Рп- Строки, проходящие через некоторый квадрат, будем нумеровать (начиная с верхней) цифрами 0, 1, . . ., q — 1 и b-ю строку, проходящую через квадрат Ст0, будем обозначать символом Vm, Ь]. Аналогично, столбцы квадрата нумеруются (слева направо) цифрами 0, 1, . . ., q—1 и у-й столбец квадрата СОх обозначается символом (ж, у). Клетку в пересечении строки 1т, 6] со столбцом (ж, у) обозначим

(т, Ь; х, у).

Г-таблица конечной плоскости задает тернарную операцию на множестве^ — {0, 1, . . ., q — 1} следующим

*) Запись (а, Ь, с, . . .)''-> (к, I, т, . . .) означает то же, что и запись

.'/аЬс...\'.,

: \к I т: ■ ■ .•

образом. Пусть (ж, т, Ь) — произвольная упорядоченная тройка чисел из Q. Тогда в той части строки [т, 6] из Г0, которая содержится в квадрате Стх, найдется, в силу Dx, ровно один знак инцидентности — допустим, в у-м столбце. Номер у этого столбца мы и сопоставляем тройке (ж, т, Ь). Тем самым на Q определяется тернарная операция.

F (х, т, Ь) = у.' ' • ■

Например, для таблицы рис. 7 имеем.

F (1, 2, 1) = 3,■ -

так как знак инцидентности оказывается в пересечении строки [2, 1] и столбца (1, 3).

Поскольку строки таблицы задают прямые, а столбцы — точки, то можно говорить о координатах точки х, у (или о точке (ж, у)) и о координатах прямой т, b (или о прямой 1т, 61). Понятно, что точки Рь . . ., Р7+1 и прямые lY, . . ., lq+i оказываются вне этой системы координат. Однако эта система остается все же вполне целесообразной, что подтверждается следующим сравнением.

Проведем аналогию между декартовыми координатами точки на евклидовой плоскости и введенными выше координатами точки на конечной плоскости. На евклидовой плоскости любой прямой (не параллельной оси у), имеющей угловой коэффициент т и проходящей через точку (0, —6), можно приписать пару координат 1т, Ь]. При этом семейство прямых евклидовой плоскости, не параллельных оси у, задает тернарную арифметическую операцию на множестве действительных чисел

■ хт — Ъ = у,’ ■

которая играет роль тернарной операции:

F (х, т, Ь) = у’-'

(множество действительных чисел играет роль множества индексов Q). Геометрически мы приписываем тройке чисел (х, т, 6) ординату у точки прямой [ш, 6] с абсциссой х. Прямую, параллельную оси у, можно описывать как геометрическое место точек, удовлетворяющих условию х = с. Евклидова плоскость может быть расширена до проективной плоскости путем присоединения к ней идеаль-

ных точек, образующих идеальную прямую. К каждой прямой добавляется единственная идеальная точка, причем к каждой из двух параллельных прямых добавляется одна и та же идеальная точка.

Аналитическая геометрия конечной плоскости, получаемая с помощью множества индексов Q, в значительной степени аналогична аналитической геометрии евклидовой плоскости. Мы можем теперь продолжить эту аналогию, включив в нее не учитывавшиеся ранее точки Р15 Р^ . . ., Pq + i И Прямые lv Z2, . . ., lq + 1.

На конечной плоскости роль идеальных точек играют точки Pv Рг, . . ., Рq+i, т. е. точки, которым не приписывалось никаких координат. Множество этих точек 1г = = {Рц Р2, . . ., Pq+i^ играет роль идеальной прямой. Из этой аналогии вытекают такие следствия:

Г Прямая Z3 = {Ръ Рч+21 Рч+з, ■ • • , ^27+1} играет роль оси у.

2° Роль параллельных прямых, пересекающихся в идеальной точке Рг, на конечной плоскости играют прямые, которые изображаются строками, проходящими через квадрат Cr~--U (г = 1, 2, . . ., q + 1) ).

3 Прямая lq + а ~ {^2, Р g + 2, Р 2д + 2> ■ • ч Рдд+г} играет роль оси х.

4° Точки Рд+2 и Р2д+з играют роль начала координат и точки (1, 1) соответственно.

На евклидовой плоскости мы можем задать множество (неидеальных) точек, инцидентных прямой [т, Ы, с помощью линейного уравнения

у- тх — Ь.-

На конечной плоскости этому уравнению соответствует уравнение■.

у =F (х, т, 6),"

определяемое тернарной операцией F на Q.

Данная аналогия приводит к некоторой графической модели конечной плоскости, которая часто встречается в литературе (обычно без какого-либо ее содержательного истолкования).~

Мы воспользуемся рассмотренной аналогией для построения модели, соответствующей таблице рис. 7. Эта модель представлена на рис. 10 (изображение неполное). На этом рисунке q2 (неидеальных) точек конечной плоскости, помеченных парами своих координат (ж, у), изображены в виде точек решетки на евклидовой плоскости. Ука-

прямых Z2, Z3, . . ., Z?+1 с перпендикулярными им равноотстоящими прямыми Zg + 2, lq+з. . . ., Z2g + 1. Эти прямые изображают на евклидовой плоскости 2q прямых конечной плоскости. Однако остальные прямые конечной плоскости не изображаются, вообще говоря, в виде прямых евклидовой плоскости. Так, например, строка Z15 рис. 7 представлена на нашем рисунке в виде кривой Z15, причем указанная в конце стрелки буква Р4 означает идеальную точку Р4, которая должна быть добавлена к этой кривой.

Если мы добавим к двум изображенным на рисунке семействам прямых, соответствующих идеальным точкам Pi и Р2, в качестве третьего семейства все кривые с общей идеальной точкой P^+t, представляющие строки

. ' ^к)+8» ^Ь^+З, ^(h+l>^+V " : ‘ /

то мы получим фигуру, напоминающую криволинейную сеть. Если теперь рассматривать только те точки кривых, которые изображают точки конечной плоскости, то получится фигура из д2 точек — «криволинейная номограмма» семейства функций у = F (х, к — 1, Ь), в которой каждому значению параметра Ь из Q отвечает одна функция (вообще, в двухпараметрическом семействе функций у = = F ^х, т, Ь) каждой паре значений m и Ь из Q отвечает своя функция). Если нанести на рисунок изображения всех прямых конечной плоскости, то мы совместим на нем q — 1 различных криволинейных сетей.

Полная картина даже в случае q = 4 оказывается чрезвычайно сложной. Мы поэтому будем предпочитать пользоваться Г-таблицами, которые более наглядны.

Понятие о плоскостях Галуа и полях Галуа

Тесная связь между аналитической геометрией конечной плоскости и обычной аналитической геометрией приводит к понятию об одной специальной разновидности конечных плоскостей. Нам потребуется прежде всего ряд понятий, касающихся полей и групп. Поле с конечным числом элементов будем называть конечным полем или полем Галуа ). Рассмотрим следующий пример конечного поля.

Пусть поле Галуа состоит из 4 элементов; обозначим его GF(^\ Мы зададим конкретное поле из 4 элементов с помощью таблиц для операций. Условимся элементы поля обозначать буквами а0, av а^ и а3; далее, а0 будем считать нейтральным элементом относительно сложения (нулем поля), a dj — нейтральным элементом относительно умножения (единицей поля). Таблицы сложения (Л) и умножения (М) зададим следующим-образом (вместо аг везде пишется i):

+

0 12 3• х

0 12 3

0

1

2

3

0123.0

10321

2301„2

3210.3

0 0 0 0

0 12 3

0 2 3 1

0 3 12

М .

По этим таблицам легко проверить, что задаваемые ими операции сложения и умножения удовлетворяют всем аксиомам поля. Конечно, такая проверка довольно утомительна даже для поля со столь небольшим числом элементов. Например, чтобы убедиться в справедливости закона'дистрибутивности в одном только случае (2 + 3)-3 = = 2-3'+ 3-3, мы должны проделать следующее. По таблице А находим 2 + 3 = 1, а по таблице М — 1-3 = 3, поэтому в левой части равенства получается элемент а3. По таблице М находим 2-3 = 1 иЗ-З = 2, а по таблице А — 1 + 2 = 3, значит, и в правой части равенства получается элемент а3. Таким образом, дистрибутивный закон выполняется для тройки элементов (а2, а3, а3).

Позднее мы займемся вопросом о том, как строить таблицы А и М для произвольного поля Галуа. Сейчас отметим только, что число элементов поля Галуа является степенью простого числа и что для всякой такой степени q имеется, по существу, только одно поле. (В нашем примере имеет место случай q = 22.)

Вернемся к примеру конечной плоскости, указанной на рис. 7. Заменим во всех квадратах

С10, Си, С11, с13

все знаки инцидентности вторыми индексами содержащих их квадратов. Если затем совместить все квадраты в одном, то получится таблица индексов размером 4x4, которая будет не чем иным, как таблицей Л поля Галуа GF (4).

Рассмотрим на рис. 7 все 4x4 квадратов, на которые разбита ГО-внутренность. Каждый квадрат С11 второго ряда обозначим индексом i, i = 0, 1, 2, 3. Пусть СТ6 — произвольный квадрат из ГО; как видно из таблицы, распределение знаков инцидентности в CTS совпадает с распределением знаков в одном из квадратов второго ряда; сопоставим квадрату Сга индекс указанного квадрата. В результате получится таблица индексов размером 4x4, первая строка и первый столбец которой состоят из нулей. На самом деле эта таблица будет не чем гиным, как таблицей М поля GF (4).

В связи с этим примером возникает следующий вопрос: можно ли по таблицам сложения и умножения произвольного поля GF (д) построить Г ^-таблицу конечной пло-

2 Ф. Картос.п ■

скости, точнее, ее Г&-внутренность? Положительный ответ на этот вопрос позволил бы построить столько конечных геометрий, сколько имеется полей Галуа (или степеней простых чисел).

Пусть q = рТ — данная простая степень, и пусть даны таблицы операций соответствующего поля GF(q). Пусть элементы поля обозначены индексами 0, 1. 2, . . ., q — 1. Существенно только, чтобы цифры 0 и 1 обозначали нуль и единицу; выбор же индексов для остальных элементов поля произволен. Расставим знаки в Г-решетке, соответствующей данному q, следующим образом:

1° Внешний и средний Г-крюки заполним (секционно) ступенчатым образом в соответствии с определением Г-таб- лицы.

2° Каждому квадрату С” из Г0 поставим в соответствие индекс t, стоящий в пересечении строки индекса г и столбца индекса s таблицы М (t = rs). После этого расставим знаки в тех клетках квадрата С, которые соответствуют клеткам таблицы А, содержащим индекс t.

Таблицу инцидентности, полученную указанным путем, обозначим Г (GF (<?)). Распределение знаков в этой таблице симметрично относительно главной диагонали. Это непосредственно очевидно для знаков во внешнем и среднем Г-крюках, а для знаков в Г0-внутренности вытекает из симметрии таблиц А и М, имеющей место в силу коммутативности обеих операций.

Нам теперь предстоит доказать, что таблица Г (GF (q)) действительно задает конечную плоскость порядка q.

Ясно, что аксиома 1$ выполняется, поскольку в первой строке таблицы имеется q + 1 знаков инцидентности.

Чтобы проверить аксиому 13, достаточно взять столбцы Р2, Р3, Pq+2, Рд+з и убедиться, что найдется шесть строк, каждая из которых пересекает два из них в клетках, содержащих знак инцидентности. Этому условию удовлетворяют строки

^1, ^2, ^9 + 2, ^g+s + 2i ^29 + 2, ^2g + s+2 *)•

Ввиду симметрии таблицы инцидентности Г (GF (q)) достаточно проверить какую-нибудь’одну из аксиом 115 12

Мы поэтому докажем, что для двух прииавольных строк найдется один и только, один столбец, который пересекает эти строки в клетках, содержащих знак инцидентности.

Вернувшись к рис. 7 и 8, Ш, мы видим, что для некоторых пар строк единственный искомый столбец находится непосредственно.

1° Если г ^ g + l.s ^ 8 + 1 и г^», то для строк 1Т и 1е искомым будет столбец Pv Если г = 1и5>д + 1, то для строк 1Т и I, искомым будет один из столбцов Р4, . . ., Рд+х (а именно столбец Р^+ц когда kq + 1 < <s < (к + 1) q + 1).

2° Если 1<г^$т'1и$><? + 1 (kq + 1 < s ^ <7 (к + 1) q + 1), то искомый столбец должен проходить через квадрат Ck-V'r~“, поскольку сегмент из q знаков инцидентности строки 1Т (т. е. всех ее знаков, за исключением знака в столбце Р^ приходится на столбцы этого квадрата. Далее, строка ls проходит через квадрат Ch~11 г-2, а так как распределение знаков в этом квадрате диагональное, то в нем найдется единственная клетка строки Z,, содержащая знак инцидентности. Искомым будет столбец, проходящий через эту клетку.

Если обе строки 1Т и Z3 проходят через Г0, т. е. если г>д + 1и$>д + 1, то найти столбец, удовлетворяющий нашему условию, не столь просто. В этом случае выясним сначала следующий вопрос: если строка и столбец квадрата С‘пх (О^тп, х<,q — 1) с индексами b и у соответственно пересекаются в клетке, содержащей знак инцидентности, то каково отношение между числами т, Ь, х, у с точки зрения арифметики поля GF (д)? (Еще один пример определения операций с помощью таблиц Л и М для- поля из q = З2 = У элементов приведен на рис. 44.) Мы докажем, что выполняется равенство

у = пгх — Ь.

В нашей конструкции квадрат Са1Х соответствует клетке таблицы М, определяемой строкой индекса m и столбцом индекса ж; в этой клетке стоит число пи = t — в смысле умножения в поле GF (q). То же самое число t будет находиться в тех клетках таилицы Л, которым отвечают строчный и столбцевый индексы b и у, удовлетворяющие равенству b + у t,— в смысле сложения в поле GF (q). Таким образом, клетка квадрата G^ со строчным и столб-

2*

цевым индексами buy тогда и только тогда содержит знак инцидентности, когда b + у = t = тх, т. е. когда у = = тх — Ь.

Пусть строкиjZr и 13 проходят через Г0; используя отношение у = тх — Ь, мы можем найти те клетки обеих строк, в которых содержится знак инцидентности. Допустим, прямые Zr и 13 имеют соответственно координаты 1т, 61 и 1т', 6'1. Мы видим, что 1Т и Z3 содержат знак инцидентности в одном и том же столбце (х, у) в точности тогда, когда одновременно выполняются соотношения

у = тх — b и у = т'х — Ь'.

Решение этой системы уравнений в поле GF (д) получается по правилам обычной арифметики (основывающейся только на аксиомах поля).

Найдем это решение. Очевидно, возможны три случая:

т =^ т , b =^ Ъ’, тогда х = (6'—6) (т/—т)-1, у = = (mb' — m'b) (т' — т)"1;

т =^ т , b = Ь', тогда х = 0, у = — 6;

т = т', b ^ Ь', тогда решение не существует.

Последнее означает, что столбец, который пересекает обе прямые 1Г и 13 в клетках, содержащих знак инцидентности, не может проходить через Г0.Но в случае с) обе прямые 1Т и 13 проходят через один и тот же квадрат Ст°, а все такие прямые содержат знак инцидентности в (ш + 2)-м столбце. Значит, и в случае с) искомый столбец существует.

Этим завершается доказательство того, что таблица инцидентности Г (GF (д)) удовлетворяет аксиоме 12.

Таким образом, наша конструкция позволяет по каждому полю GF (q) построить таблицу инцидентности Г (GF (q)), представляющую конечную проективную плоскость порядка q.

Отметим еще следующий попутно установленный результат.

Инцидентность прямой (строки) Im, bl и точки (столбца) (х, у} эквивалентна равенству

у = тх — Ь,

в котором операции понимаются как операции поляИР (q).

Конечная плоскость, задаваемая таблицей инцидентности Г (GF (ql) (короче Г (q)) и определяемая алгебраической структурой поля GF (q), будет обозначаться символом S2,q

и называться плоскостью Галуа', поле GF (у) будет называться координатным полем плоскости S4_q.

Понятно, что упорядочные пары (ж, у) элементов ж, у поля определяют только у2 точек плоскости S2iq, а именно точки, соответствующие столбцам Pq+2, Pq+з, • ■ ., Рп (n = q2 + q + 1) таблицы Г (у). Не существует упорядоченных пар (ж, у) — иначе говоря, пар неоднородных координат, соответствующих столбцам PY, Р^, . . ., Pq+1 таблицы; распределения знаков в этих столбцах получены не из поля GF (у), а были заранее определены как стандартные распределения во внешнем и среднем Г-крюках. Соответствующие этим столбцам у + 1 точек называются идеальными точками плоскости S^,q.

Аналогично, упорядоченные пары 1т, 6] элементов поля определяют только у2 прямых плоскости, а именно прямые, соответствующие строкам lq+2, 1д+з, . . ., 1п таблицы. Никакая упорядоченная пара [т, 6] не отвечает ни одной из строк Zlf Z2, . . ., lq+v представляющих те прямые плоскости S2-g, которые пересекаются в идеальной точке Pv Строка Zx представляет прямую, содержащую все идальные точки плоскости S2,q; эта прямая называется идеальной прямой плоскости Slig.

Мы уже видели, что прямые, задаваемые уравнениями у = тх — Ьх и у = тх — Ь2, пересекаются в точке Рт+2, которая является идеальной. В этом смысле мы говорим, что две указанные прямые параллельны. Аналогично, среди прямых Z2, Z3, . . ., Zg+1 любые две считаются параллельными.

В аналитической геометрии евклидовой плоскости, расширенной путем присоединения идеальных элементов, уравнение

у = тх — b

выражает прямую, пересекающую ось у; причем т есть угловой коэффициент прямой, а число b (взятое с подходящим знаком) есть расстояние от точки пересечения прямой с осью у до начала координат. Таким образом, обнаруживается тесная аналогия между классической проективной плоскостью и плоскостью Галуа. Данное уравнение выражает прямую на евклидовой плоскости или на плоскости Галуа соответственно тому, является

ли координатное поле полем действительных чисел или одним из полей GF (у).

На плоскости 52,9 можно ввести и однородные координаты; это позволит включить в координатную систему точки Ри Рг, . . ., Pq+1 и прямые 1Х, 12, . . ., Z9+i- Рассмотренная выше аналогия позволяет, по существу, ввести однородные координаты обычным образом. Мы, однако, не будем здесь входить в подробности, а отметим только основные моменты.

Пусть дано координатное поле К = GF (q), и пусть его элементы обозначены цифрами 0, 1, 2, . . ., q —1 (с принятыми ранее соглашениями).

Для точки с (неоднородными) координатами (ж, у) тройка (хц ж2, ж3) однородных координат определяется равенством fo, ж2, т3) = (kc, Ху, X), где X £ К и X ^ 0.

Для точек Рт+4 (т = 0, 1, . . ., q — 1) однородные координаты определяются как тройки (1, т, 0), где элементы т считаются элементами из К.

Точке Рх приписывается тройка однородных координат (0, 1, 0).

Аналогично, для прямой с (неоднородными) координатами [тп, 6] тройка 1^, и,г, н3] однородных координат определяется равенством 1^, u2, u3] = 1pm, —р, —p6J, где р ( К и р ^ 0.

Для прямых Zr+2 (г = 0, 1, . . ., q — 1) однородные координаты определяются как тройки И, 0, —г], где элементы г считаются элементами из К. Прямой 1Х приписывается тройка однородных координат [0, 0, Ц.

Из этих определений следует, что тройка (0, 0, 0) не задает никакой точки, а тройка [0, 0, 0] не задает никакой прямой; далее, инцидентность точки fo, ха, х3) и прямой [и^ u2, и3] имеет место тогда и только тогда, когда выполняется равенство

иххх + и4х4 + и3х3 = 0.

Бурное развитие геометрии Галуа обязано, безусловно, тесной аналогии между геометрией на плоскости Галуа и аналитической геометрии на классической проективной плоскости, а также далеко продвинутой теории конечных полей. Теорию плоскостей Галуа можно к настоящему времени считать завершенной главой в теории конечных геометрий.

Замкнутые подплоскости конечной проективной плоскости

Сделаем теперь некоторые замечания об особой роли аксиомы 13. Из истории развития проективной геометрии видно, что аксиомы 1Х и 12 хотя и выражают наиболее важные структурные свойства проективной плоскости, однако, взятые сами по себе, определяют слишком общую структуру. В процессе развития проективной геометрии предпринимались попытки сузить понятие проективной плоскости путем введения дополнительных аксиом, с тем чтобы теория не исчерпывалась бедными по содержанию — в силу их чрезмерной общности — теоремами. В действительности иногда случалось, что добавление новых аксиом только усложняло теорию и вместе с тем приводило к понятию, ненамного более общему, чем попя - тие классической проективной плоскости.

Приведем здесь две модели — в качестве примеров плоскостей, определяемых только аксиомами It и 12.

1° «Точками» и «прямыми» являются соответственно вершины и стороны треугольника на евклидовой плоскости с их отношением инцидентности.

2° «Точками» являются точки Рт, Р^ . . ., Pk (к> 2) прямой Zo на евклидовой плоскости и точка Ро, лежащая вне этой прямой, а «прямыми» — прямые Р^Рц Р0Рг, . . ., Р0Рк, Zo; отношение инцидентности то же, что и на евклидовой плоскости.

В модели 1° теоремы (d) и (е) из 1.1 остаются верными, а в модели 2° — нет.

Таким образом, естественно ввести дальнейшие аксиомы, ограничивающие понятие проективной плоскости.

Роль аксиомы, эквивалентной 13 — прямая имеет по меньшей мере три точки,— впервые изучалась Фано. Система аксиом I была введена с целью выделения из общего понятия проективной плоскости понятия конечной проективной плоскости.

Исследуем теперь одну простую геометрическую модель.

На рис. 11 представлен правильный 21-угольник Р, в котором с помощью знаков о, ®, ® выделены три правильных семиугольника А, В и С:

Р = Р^Р2- . .P2i = AyB1C1...AiBiC-; = A IJBIJC.

■ Рассмотрим подпятиугольник ’^i^i^s^io^ia = А уА^В^А^С^ = Лх ■

многоугольника Р. Все 10 хорд, соединяющие всевозможные пары вершин этого пятиугольника, имеют разные длины. Поэтому пятиугольник Л можно рассматривать

как прямую плоскости порядка 4, задаваемой многоугольником Р. (Остальные прямые получаются иэ Лх вращением в направлении, показанном на рисунке стрелкой.)

Возьмем теперь подтреугольник

/11А2А,4 = Р^Р ^Р 1й = Л^

семиугольника А. Стороны этого треугольника имеют разные длины; следовательно, Л^ можно рассматривать как прямую плоскости порядка 2, задаваемую многоугольником А. Остальные прямые этой плоскости получаются из Л^ поворотами вокруг центра многоугольника А на углы 2клП. (к = 1, 2, ..., 6) в направлении, указанном стрелкой.

Считая, что все многоугольники Р, А, В, С, Лх и Л^ суть точечные множества своих вершин, мы видим, что справедливы следующие утверждения:

P = AUBUC, А П В = В П С = С П А = 0,AQA1 = AfcA1, ВПЛх = 52, СПЛ1 = С4.

Вращением на угол 2л/21 (на угол 4л/21) многоугольник А переводится в многоугольник В (в многоугольник С); при этом треугольники, представляющие прямые плоскости порядка 2, задаваемой многоугольником А, переводятся в треугольники, представляющие прямые плоскости порядка 2, задаваемой многоугольником В (многоугольником С).

Этот пример подсказывает следующее определение.

Подплоскостъю конечной проективной плоскости называется конечная проективная плоскость, точки которой составляют правильную часть множества точек исходной плоскости и каждая прямая которой есть подмножество некоторой прямой исходной плоскости.

Термин «подплоскость» используется в литературе также и в других случаях. С целью отличить приведенное определение будем иногда предпосылать этому термину термин «замкнутая» и говорить о замкнутой подплоскости. Пока что, однако, нам предстоит иметь дело только с понятием подплоскости в указанном здесь смысле.

Пусть S — конечная плоскость порядка п, a S* — ее подплоскость порядка т. Из нашего определения следует, что т < п. Пусть Р, Е S* и Р2 Е S*. Если Z* — прямая плоскости S*, соединяющая точки 1\ и Р2, то Z* с Z, где Z — некоторая прямая на S. Поскольку Z состоит из n +1, a Z* из т + 1 точек, то прямая Z содержит п — т точек, не принадлежащих Z*. Мы будем говорить, что прямая Z* дополняется этими п — т точками до прямой Z. Аналогично, плоскость S* дополняется до плоскости S; мы будем выражать это обстоятельство, называя S расширением S*.

В примере, приведенном на рис. 11, получилось, что п = 4 и т = 2. Впоследствии мы увидим, что плоскость Галуа порядка 9 имеет подплоскость порядка 3. Таким образом, в некоторых случаях п = т2. Известен также пример плоскости, не являющейся плоскостью Галуа и имеющей подплоскость порядка 2, так что в этом случае п > т2.

Теорема. Если проективная плоскость порядка п имеет подплоскостъ порядка т, то либо п = т2, либо п ^т24-т (теорема Брука).

Доказательство. Пусть S* и S имеют прежний смысл. Пусть, далее, Z* — прямая из S*, a Zc S — ее расширение. Рассмотрим точку Y Е Z, не содержащуюся

в Z*, а следовательно, и в S*. Множество Р* = S* — Z* содержит (тПт + 1) — (тп + 1) = zn2 точек. Удалив прямую Z из пучка прямых плоскости S, проходящих через точку У, мы получим множество L из п прямых. Исследуем отношение инцидентности для множеств L и Р*.

Пусть х* — прямая плоскости S*, соединяющая две точки из Р*, а х — соединяющая те же точки прямая плоскости S, так что х* cz х. Прямые х* и Z* пересекаются в точке плоскости S*, не принадлежащей Р* и отличной от Y. К так как х* Q Z* = х f] Z, то никакая прямая из L не может содержать двух точек из Р*. С другой стороны, всякая точка из Р* лежит на одной из прямых множества L (а именно на прямой плоскости S, соединяющей данную точку с точкой У), т. е. т2 прямых из L содержат по одной точке из Р*. Если иных прямых в L нет, то п = т2.

Допустим теперь, что L содержит более т2 прямых и у — прямая из L, не имеющая общих точек с Р*. Каждая из m2 + m + 1 прямых плоскости S, являющихся расширениями прямых плоскости S*, пересекает прямую у; однако никакие две из пих не могут пересекаться с у в одной точке, поскольку общая точка этих двух прямых должна принадлежать S*, а у не содержит точек из S*. Таким образом, число точек прямой у не может быть меньше числа прямых на плоскости S*, т. е. n-|-l^m2 + т + 1. Значит, если и ^ т2, то п"^т?+ т.

Позднее мы увидим, какую важную роль играет понятие подплоскости при изучении строения конечных проективных плоскостей. Мы также дадим исчерпывающее описание подплоскостей плоскости порядка 4, приведенной на рис. 11.

Понятие конечной аффинной плоскости

С точки зрения аксиоматики понятие аффинной плоскости проще понятия евклидовой плоскости. Однако по традиции сначала строится теория евклидовой плоскости, а затем на основе этой теории вводится понятие аффинной плоскости. Более того, возможен и такой подход, при котором сначала из евклидовой плоскости получается проективная плоскость, а затем уже от проективной плоскости путем удаления из нее одной прямой (и, конечно, всех точек этой прямой) приходят к аффинной плоскости.

В получившейся плоскости аксиома 12 уже не выполняется, поскольку две прямые, пересекавшиеся в изъятой точке, становятся непересекатощимися. Кроме того, зта плоскость обладает тем свойством, что через всякую точку, ге лежащую на какой-либо прямой, проходит единственная прямая, не пересекающая этой прямой. Две непересе- кающиеся прямые называются параллельными. Удаляя то одну, то другую прямую, мы будем получать различные аффинные плоскости, но все они изоморфны друг другу )•

Прежде чем определить аффинную плоскость аксиоматически, мы рассмотрим классическую схему на конкретном примере.

Возьмем конечную проективную плоскость, заданную таблицей рис. 7. Вычеркнем из таблицы строку (прямую) Z, и вместе с нею столбцы (точки) Рг, Р2, Ра, Рк и Р5. Оставшуюся часть таблицы обозначим символом Гг<(4). Полученную структуру будем называть аффинной плоскостью (порядка 4), ассоциированной с проективной плоскостью порядка 4.

По таблице непосредственно проверяем следующие свойства Гг>(4).

Аффинная плоскость состоит из 42 = 16 точек и 42 -|- 4 — 20 прямых; каждая прямая состоит из 4 точек, и через каждую точку проходят 5 прямых. Множество всех прямых можно разбить на 5 классов по 4 прямых в каждом классе так, что любые две прямые одного класса параллельны, а любые две прямые разных классов пересекаются: через каждые две точки проходит единственная прямая; через точку, лежашую вне какой-либо прямой, проходит единственная прямая, не пересекающаяся с первой прямой; точки Р9, Р10 и Рп не коллинеарны.

В случае произвольной таблицы Г (у) ассоциированная таблица Г'1^) обладает теми же свойствами — с точностью до числовых значений параметров.

Однако изоморфизм таблиц Г'1(4) и Г1 «(4) (s^ 1) сразу не очевиден. Чтобы убедиться в том, что изоморфизм имеет место, заметим, что перестановками строк и столбцов таблицу Г (4) можно снова превратить в циклическую

таблицу Q (4), приведенную на рис. 6, и что с помощью циклических перестановок можно, не нарушая распределения знаков в таблице Q (4), любую ее строку сделать первой.

Таблица инцидентности любой плоскости Галуа приводится к циклическому виду (теорема Зингера). Таким образом, в случае плоскости Галуа классический способ построения аффинной плоскости из проективной реализуется в полном своем объеме.

Известны, однако, такие конечные проективные плоскости, которые, при устранении из них разных прямых, приводят к неизоморфным аффинным плоскостям *). Поэтому в символе S1 верхний индекс, обозначающий устраняемую прямую, существен.

Обратимся теперь к аксиоматическому определению конечной аффинной плоскости. Параллельность двух прямых будем понимать как их совпадение либо как отсутствие у них общих точек; при таком определении отношение параллельности становится отношением эквивалентности. Абстрагируя свойства плоскости ГГ1 (4), мы определим аффинную плоскость порядка q с помощью следующей системы аксиом А: "

Ат. Любые две различные точки инцидентны ровно одной прямой.

А2. Существует одна и только одна прямая, инцидентная данной точке и параллельная данной прямой, не содержащей эту точку.

А3. Существует треугольник (три точки, не инцидентные одной и той же прямой).

А4. Существует прямая, состоящая из q (g > 1) точек.

Множество всех прямых, параллельных какой-либо одной прямой, называется классом. Считая такие классы идеальными точками, мы — следуя традиционному подходу — получаем проективную плоскость порядка q, ассоциированную с данной аффинной плоскостью. Однако аффинная плоскость, полученная из этой проективной; плоскости устранением какой-либо прямой, не обязательно изморфна исходной аффинной плоскости. /

*) Примером так»! плоскоетждаляется плоскость <юря*№ 9, представленная на рее. 45 ж 46.•

Различные виды конечных гиперболических плоскостей

Пусть дана конечная плоскость ); если для всякой пары [Z, Р], состоящей из прямой Z и точки Р вне этой прямой, число прямых, проходящих через Р и не пересекающих Z, равно нулю, то конечная плоскость проективная; если это число равно единице, то она аффинная.

От этих частных случаев перейдем к общей ситуации: для каждой неинцидентной пары [Z, Р] множество прямых, проходящих через точку Р, разобьем на два подмножества — подмножество р прямых, пересекающих Z, и подмножество v прямых, не пересекающих Z. Число элементов множеств р и v обозначим соответственно через 1 р | и | v |. Если для каждой пары [Z, Р] выполняется условие | v | > 1, то плоскость будем называть гиперболической. Если найдутся такие целые неотрицательные числа М (> 1) и т, что для всякой пары [Z, Р] выполняются условия | v | = М и | р | = т, то мы будем говорить о регулярной гиперболической плоскости.

В последнее десятилетие появилось несколько исследований по гиперболическим плоскостям, и теперь известно, что существуют нерегулярные конечные гиперболические плоскости. Мы здесь ограничимся изучением регулярных конечных гиперболических плоскостей.

Ряд авторов определяет гиперболическую плоскость, называемую иначе (т, п)-плоскостью, следующей системой аксиом Н*:

Н*. Для любых двух различных точек существует единственная инцидентная им прямая.

Н*. Для любой прямой существует не инцидентная ей точка.'

Н*. Существует такое число п > 1, что для любой [Z, Рупары | v | = п.

Н*. Существует прямая, состоящая из т^> 0 точек.

Из этих аксиом читатель без труда выведет следующие теоремы:

1° Число всех точек и число всех прямых плоскости равны соответственно

(т + п)(т —1)4-1 и -m"V-n [(m4-n)(m—1)4-1]).

2° Число т является делителем числа п (п — 1).

3° При т > 2 плоскость (т, 2) не существует.

К сожалению, система И* приводит, как мы увидим, к излишне широкому понятию гиперболической плоскости, охватывая и такие фигуры, которые тривиальны и не выражают существа дела. Определим минимальное число элементов в модели Н* и укажем такую минимальную модель в евклидовом пространстве.

Из аксиом системы Н* и теоремы 1° вытекает, что минимальной (т, п]-плоскостью должна быть (2, 2)-плос- кость, если она существует. Но она. как мы сейчас увидим, действительно существует и состоит из 5 точек и 10 прямых.

Пусть в трехмерном евклидовом пространстве выбрано 5 точек Р1? Р2, Р3, Р4 и Р5, никакие три из которых не лежат па одной прямой и никакие четыре пе лежат в одпой плоскости. Обозначим через 1Г- прямую, соединяющую точки Рг и Р, (г Ф я; г, s — 1, . . ., 5),— всего имеется десять таких прямых. Эти точки и прямые будем считать «точками» и «прямыми» (2, 2)-плоскости. Мы получим модель, удовлетворяющую всем аксиомам системы Н* (рис. 12).

Будем пока искать другие модели также в евклидовом пространстве. Обозначим найденную фигуру из 5 точек через v (5) п укажем следующее обобщение: пусть у/ (А')

означает фигуру из точек Рп Р2, . . ., Рк, никакие три из которых не лежат на одной прямой и никакие четыре не принадлежат одной плоскости. Число прямых PrPs = lrs (r^s', г, s = l, 2, . . ., к) в

фигуре ^(/с) есть (к —1)/с/2. Легко видеть, что модель V(^) удовлетворяет определению (2, к — 3}-пло- скости. На рис. 13 изображена модель у (6), т. е. (2, Зрплоскость.

Таким образом, имея дело с системой аксиом Н*, мы получаем бесконечную последовательность тривиальных фигур v(5), v($)> V(7), ... в качестве моделей конечной регулярной гиперболической плоскости. Постараемся поэтому усовершенствовать систему Н*, с тем чтобы исключить из числа моделей все ^-фигуры.

В сущности, достаточно заменить требование ш > О в Н* несколько более сильным требованием т>2, из которого, в силу теоремы 3°, будет следовать, что случай п п >• 1 в Н* можно ' заменить видоизмененная, система акс

Рис. 13.Рис. 13.2 невозможен, т. е. условие условием п > 2. Однако эта том также будет допускать2 невозможен, т. е. условие условием п > 2. Однако эта том также будет допускатьнекоторые тривиальные модели. Для преодоления этих

Рис. 13.

Рис. 13.

2 невозможен, т. е. условие условием п > 2. Однако эта том также будет допускать

2 невозможен, т. е. условие условием п > 2. Однако эта том также будет допускать

трудностей мы воспользуемся иным подходом к определению гиперболической плоскости, предложенным Кроувом.

Мы введем понятие, роль которого раскрывается в одном замечательном свойстве обычного пространства. Рассмотрим подмножество Т плоскости, содержащее по меньшей мере две точки и не являющееся прямой, но обладающее следующим свойством: всякая прямая, соединяющая две точки из Т, содержится в Т.

На обычной евклидовой плоскости подобного собственного подмножества Т не существует. Аналогично, если взять конечную проективную плоскость, то подмножество Т должно содержать какие-нибудь две точки А и В, а значит, и все g +1 точек прямой АВ. Далее, в Т должна найтись точка С, отличная от точек прямой АВ. Но тогда все прямые, соединяющие точку С с точками прямой АВ, также принадлежат Т, т. е. Т совпадает со всей плоскостью. Однако каждая фигура у (/с), являющаяся, согласно Н*, гиперболической плоскостью, содержит правильное подмножество Т с указанным выше свойством. В самом деле, в качестве Т можно взять любой подтреугольник фигуры у(Х). Если плоскость содержит правильное подмножество Т, то будем называть это подмножество трактом. плоскости. Таким образом, евклидова, а также классическая и конечная проективная плоскости не имеют трактов.

Для определения гиперболической плоскости Кроув предложил систему аксиом, которая обеспечивает отсутствие трактов на плоскости. Рассмотрим следующую систему аксиом Н:

НР Для любых двух точек существует, единственная инцидентная им прямая.

Н2. Существуют такие числа тип, что, какова бы ни была прямая I, через любую точку Р, не лежащую на I, проходит т прямых, пересекающих I, и п прямых, не пересекающих I.

Н3. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.

Н4. (т - I)2 > п > 2.

Фигуру, удовлетворяющую системе Н, снова будем называть (т, п)-плоскостью. ’

Нетрудно доказать, что для числа точек и числа прямых <т, п)-плоскости остаются верными выражения, указанные в теореме 1°.

Теорема К р о у в а. В плоскости, определяемой системой Н, не существует трактов.

Доказательство. Допустим, что плоскость S, удовлетворяющая системе Н, содержит тракт Т. В тракте Т найдутся три точки, не лежащие на одной прямой, скажем точки А, В и С. Возьмем произвольную точку Р £ S\T; через нее проходят X = т + п прямых, причем, в силу Н4,

131310107575161619192222Рис. 14.Рис. 14.

13

13

10

10

75

75

16

16

19

19

22

22

Рис. 14.

Рис. 14.

X < т + кт — I)2 = ттг (тп — 1) + 1. Соединим точку С со всеми точками прямой АВ — получится т прямых, содержащих в общей сложности т (т — 1) + 1 точек

плоскости, которые все принадлежат Т. Соединив все эти точки с точкой Р, мы получим т (т — 1) +1 различных прямых, проходящих через Р, поскольку точка Р не может лежать ни на какой прямой, проходящей через две точки из Т. Таким образом, мы пришли к противоречию, и теорема доказана.

Теорема. Фигура, удовлетворяющая системе аксиом Н, существует.

Доказательство. В силу Н4 плоскость с минимальным числом элементов, удовлетворяющая системе аксиом Н, должна быть (3,3}-плоскостью, если таковая существует. В силу теоремы^!0 (3,3)-плоскость должна состоять из 13 точек и

26 прямых. Такая плоскость 26 действительно существует, ее таблица инцидентности приводе- .

1 а на рис. 14. Множество точек этой (3,3}-плоскости можно разбить следующими двумя способами:

Д U ^9 U ^11 U /25 U Р9 и ^1 U ^18 U ^22 U ^24 U ^2> при этом каждая точка плоскости, отличная от Р2 и Рв, может быть представлена единственным образом как точка пересечения некоторой прямой из первого разбиения с некоторой прямой из второго разбиения.

Плоскости Галуа и теорема Дезарга

Когда проективная геометрия была впервые построена как обобщение евклидовой геометрии, теорема Дезарга о перспективных треугольниках выступала лишь в каче-

стве следствия других, более простых теорем. Позднее, в поисках путей для независимого обоснования проективной геометрии, теорема Дезарга приобрела фундаментальное значение. В последующем изложении теорему Дезарга будем иногда для краткости называть D-теоремой или теоремой D.

Исследуя возможности введения координат на проективной плоскости без привлечения евклидовой метрики, Гильберт показал, что этой цели можно достигнуть с помощью теоремы Дезарга.

Гильберт фиксирует три точки О, U и У на прямой и, опираясь на аксиомы инцидентности и D-теорему, указывает две конструкции, каждая из которых по любой паре точек прямой, отличных от У, позволяет найти определенную точку прямой, также отличную от У. Эти геометрические операции зависят только от выбора тройки точек О, U, Г. Одну из операций Гильберт называет сложением, другую — умножением и доказывает, что для этих операций выполняются все аксиомы поля, кроме аксиомы о коммутативности умножения. Для коммутативности умножения необходимо и достаточно, чтобы выполнялась еще теорема Паскаля (сокращенно: Р-теорема) о шести точках, располагающихся по три на каждой из двух данных прямых. Эти факты легли в основу построения координатной системы без использования метрики.

Таким образом, стремясь получить аксиоматическое определение проективной плоскости, Гильберт сосредоточил свое внимание на D-теореме и Р^теореме. Он доказал, что теорема Дезарга не выводится из аксиом инцидентности для плоскости. Поэтому теорему Дезарга следует присоединить в качестве четвертой аксиомы к трем аксиомам инцидентности, определяющим проективную, плоскость. Гильберт доказал, что в этой расширенной системе аксиом теорема Паскаля недоказуема. Напротив, как было показано Гессенбергом, при добавлении к аксиомам инцидентности в качестве еще одной аксиомы теорема Паскаля получается система — обозначаемая IP, — в которой теорема Дезарга выводится.

Если проективная плоскость задается системой аксиом IP, то ее аналитическая геометрия, как было показано Гессенбергом, почти не отличается от аналитической геометрии классической проективной плоскости; разница

5151'1.10. ПЛОСКОСТИ ГЛЛУА И ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА

51

51

лишь в том, что в первом случае координатное поле необязательно является полем действительных чисел.

Придерживаясь намеченной здесь схемы, мы получаем бесконечно много проективных плоскостей, включая плоскости Галуа, рассмотренные ранее.

Завершим это краткое изложение истории вопроса построением плоскостей Галуа и рассмотрением некоторых теорем геометрии этих плоскостей.

1° Пусть К = GF (7), q = рт (р— простое, аг — целое положительное число). Рассмотрим множество всех последовательностей (х15 х2, х3) из трех элементов поля К (короче — троек элементов из К), за исключением последовательности (0, 0, 0). Это множество разобьем на классы следующим образом: две тройки (xlt х2, х3) и (ylt у,, у3) тогда и только тогда принадлежат одному классу, когда найдется такой элемент X g К, X =# 0, для которого

Pi = Xxj, у2 = Хх2, уз = Хх3.

Эти классы будем называть точками. Всякий класс однозначно определяется одной из своих троек (х,, хг, х3\ Всякую тройку будем называть однородной координатной тройкой точки, которой эта тройка принадлежит.

Поскольку GF (у) содержит q элементов, то множество всех троек — исключая тройку (0, 0, 0) — состоит из у3 — 1 элементов. Далее, X может принимать q — 1 значений, поэтому в любом классе содержится q — 1 элементов, откуда получается, что число точек (классов) равно у2 + у + 1.

Подмножество множества всех точек, определяемое уравнением

^i^i + ^^з Н- G3X3 — 0,

где элементы av а2, аэ принадлежат К и не все равна нулю, будем называть прямой. Ясно, что если ...

Ы = Ха., Ь* = Ха2, b« = Ха« (X £ К, X у= 0),

то уравнение.

^i®i *4" Ь2х2 4- 63X3 = 0

определяет то же подмножество, что и первое уравнение. Как мы вскоре убедимся, верно и обратное: если эти два уравнения определяют одно и то же множество точек,

/

то их коэффициенты удовлетворяют приведенному выше условию.

Для каждого поля К справедливы следующие теоремы:

А. Если тройки (Xj, х2, х3) и (уп у2, у3) определяют две различные точки, то существует единственная, с точностью до множителя X, ненулевая тройка [а15 а2, а3], удовлетворяющая условиям

’ , , ''о,i^i + а2х2 + а3х3 = 0,.

•’4/. <-а<У1 + агУг + азУз = 0.. , . л-и .

1^1. ^Ый/Йй существует такого X € К, * 4tb Ьднб ИЗ ураййвИЙ;

•--1 а-уХу -]— а2х2 -|— а3х3 — 0,#

- _ ЬуХу + Ь2х2 -| Ь3х3 = 0' ■' / ’ .

получается из другого умножением на X, то найдется единственная, с точностью до множителя ц, ненулевая тройка (х15 х2, х3), удовлетворяющая каждому из этих уравнений.

Но эти две теоремы как раз и означают, что для точек и прямых — как они здесь определены — выполняются соответственно аксиомы 13 и 12.

Из теоремы А следует, что тройки [ах, а2, а3] и [6П Ь2, 63] определяют одну и ту же прямую тогда и только тогда, иогда существует X у= 0 такое, что bj = = Ха, у = 1, 2, 3). Поэтому ненулевая тройка lay, а2, а3| называется координатной тройкой прямой; элементы этой тройки называются однородными координатами прямой.

Аксиоме 13 удовлетворяют следующие четыре точки: (1, 0, 0), (0, 1, 0) (0, 0, 1), (1, 1, 1).

Наконец, определим число точек на каждой прямой. Для этого рассмотрим, например, прямую [1, 0, 0], т. е. прямую, заданную уравнением

1-Ху + 0-ж3 + 0-х3 = 0.

Ясно, что этому уравнению удовлетворяют те и только те тройки, «которые имеют вид (0, х2, х3). Из элементов поля К можно составить ^2 различных пар; поэтому, если не считать тройки (0, 0,-0), которой не отвечает никакая точка, то получится q1 — 1 троек указанного .вида — по q — 1 троек в q + 1 различных классах. Следовательно,

данная прямая, а значит и всякая другая прямая, содержит g + 1 точек, т. е. плоскость имеет порядок q.

Определенная таким образом плоскость называется плоскостью Галуа над координатным полем GF (у) и обозначается символом S2,q.

2° Взаимозаменяемость точек и прямых по принципу двойственности выражается во взаимозаменяемости знаков (...) и I...] в принятых выше определениях.

Во избежание недоразумений следует с осторожностью пользоваться в проективных пространствах терминологией и понятиями векторных пространств. Можно, например, считать тройку (zlt z2, z3) линейной комбинацией троек (xj, х2, х3) и (у1т у2, у3) с коэффициентами из К и писать

. X fo, х2, х3) + р (уь у2, уз) = (zx, z2, z3),

если X, р £ К и выполняются равенства-

zx = Х^ + РУ1, z2 = Хх2 + ру2, z3 = kr3 + ру3.

Тройки fo, х2, хзУ (yv у2, у3) и (zj, z2, z3) определяют три точки, скажем X, У и Z; однако запись XX + + рУ = Z, равно как и выражение «линейная комбинация точек» некорректны ввиду их неоднозначности.

В самом деле, буквы X и У обозначают классы, состоящие из q — 1 троек; выбирая в качестве представителей этих классов различные тройки, мы, очевидно, будем получать различные линейные комбинации (zx, z2, z3). Если при этом X ^У, то среди полученных линейных комбинаций найдутся такие, которые принадлежат разным классам.

Проиллюстрируем эту ситуацию на следующем примере.

Пусть К есть поле классов вычетов по модулю 3, т. е. К = GF (3). Таблицы операций для этого поля будут

х 0 1 2:.

00 12112 022 0 1■ А00 12112 022 0 1■ А0000,

00 12

112 0

22 0 1

■ А

00 12

112 0

22 0 1

■ А

1012.■ - |. л

20 2 1j

Выпишем множество всех координатных троек, разбив его на классы:

Pv

Г (1, 0, 0),Г (0, 1, 0),J (0, 0, 1),

1 (2, 0, 0);1 (0, 2, 0); Рз; 1 (0, 0, 2);

Рй

( (1, 1, 0),Г (1, 0, 1),f (0, 1, 1),

1 (2, 2, 0); 1 5' 1 (2, 0, 2);1 (0, 2, 2);

Pl'.

J (1, 1, 1),J (2, 1, 0),J (2, 0, 1),

( (2, 2, 2); Р&‘ 1 (1, 2, 0); Рй" 1 (1, 0, 2);

J (0, 2, 1), J (2, 1, 1), - 1 (0, 1, 2); Рп: 1 (1, 2, 2); " ‘ f (1, 2, 1), f (2, 2, 1), "

12' 1 (2, 1, 2); 13- 1 (1, 1, 2).

Каждый класс состоит из двух троек. В каждом классе можно выбрать в качестве представителя ту тройку, у которой последний ненулевой элемент является единичным элементом, поля К. Такой выбор представителей вскоре нам пригодится.

Возвращаясь к интересующему нас вопросу, выясним, что может означать выражение «линейная комбинация точек» Р8 + 2Р13. Возможны следующие выборы представителей для пары точек Р8, Р13:

(2, 1, 0), (2, 2, 1); (2, 1, 0), (1, 1, 2); •

-и? (1, 2, 0), (2, 2, 1); (1, 2, 0), (1, 1, 2). '

Комбинация Р8 + 2Р13 означает при этом поочередно тройки (0, 2, 2), (1, 0, 1), (2, 0, 2), (0, 1, 1), иначе говоря, точки Р6, Р5, Р5, Р6, т. е. получается две, а не одна точка, как было бы в случае векторного пространства. Легко проверить, что получившиеся две точки Р5 и Р6 лежат на прямой

а^ + х2 + 2х3 = 0,

соединяющей точки Р8 и Р13; более того, эти четыре точки исчерпывают множество' точек данной прямой.

Вообще, для ненулевых элементов Х,р 6 К = GF(q) и Pj, Ph^S,,q комбинация XPj + рР^, как можно про-

верить, неоднозначна и заключает в себе q — 1 точек, получающихся при различных выборах троек в качестве представителей точек Pj и Р^. И опять-таки указанные q — 1 точек вместе с двумя исходными точками исчерпывают множество всех точек прямой, соединяющей Pj и Ph.

Однако можно устранить неоднозначность линейной комбинации точек путем подходящей нормализации соответствующих однородных координатных троек. Выше уже был указан один способ нормализации: из q — 1 эквивалентных координатных троек, определяющих точку, выбирается тройка, последний ненулевой элемент которой является единичным; эта тройка будет называться нормированной координатной тройкой точки.

Теперь мы следующим образом определим точку С, которая будет считаться линейной комбинацией ХА + рВ точек А и В с коэффициентами X и р: пусть точки А и В имеют нормированные координатные тройки ^av аг, а3) и (Ьг, b4l 63) соответственно; тогда за точку С принимается точка, определяемая однородной координатной тройкой

(Хаг + р61т Ха4 + р62, Ха3 + р68).

Конечно, указанная тройка не обязательно будет нормированной.

Ясно, что если X = р = О, то линейная комбинация ХА + рВ не является точкой, ибо тройка (0, 0, 0) не определяет никакой точки. Далее, если X =# 0, но р = О, то точка С совпадает с А; аналогично, при X = 0, но р =# 0 точка С совпадает с В. Очевидно, что если X' = оХ и р' = = ор, то линейные комбинации ХА + рВ и Х'А + р'В либо задают одну и ту же точку, либо обе равны тройке (0, 0, 0). Таким образом, если р =# 0 и комбинация ХЛ + рВ отлична от тройки (0, 0, 0), то она определяет ту же точку, что и комбинация vA + В, где v = Хр-1. Следовательно, общее число точек, определяемых всевозможными комбинациями вида ХА + рВ, можно найти, перебирая все комбинации вида чА + В для различных v £ К и присоединяя к ним точку А, которую нельзя представить в последней форме (если она отлична от точки ву

Легко видеть, что если А Ф В, то ХА + рВ = (0,0,0) тогда и только тогда, когда (X, р) = (0, 0).

Далее, если v ^= v', то точка тЛ + В отлична от точки т'Л + В, иначе мы имели бы

(v' - av) А + (1 - о) В = (0, 0, 0), откуда, согласно сделанному замечанию, следовало бы V — от = 0 и 1 — о = 0, т. е. v = v' — вопреки предположению.

Таким образом, получается q различных точек, отвечающих q значениям т, и поэтому общее число точек, определяемых комбинациями вида ХА + pS, равно q-V- 1-

Пусть иххх + и2х2 + и3х3 = 0 есть уравнение прямой, соединяющей точки А и В. Поскольку

ихах + u2a2 + и3а3 = 0, uxbx + и2Ь2 + и3Ь3 = О, то-

«1(^1 + Ц^1) + и2(Ха2 + ц62) + и3(Ха3 + ц63) = О, т. е. всякая точка, являющаяся линейной комбинацией исходных точек, принадлежит данной прямой; более того, указанными точками исчерпывается множество всех гочек этой прямой, ибо всякая прямая плоскости Галуа порядка q содержит в точности q + 1 точек.

3° Воспользуемся теперь полученными результатами и докажем, что теорема Дезарга верна на любой плоскости Галуа.

Теорема. Пусть шесть различных точек образуют два собственных треугольника АХА2А3 и ВХВ2В3. Если прямые АХВХ, А2В2, А3В3 имеют общую точку D, то точки

Су = Л2Л3 Q В2В3, С2 = А3АХ Q В3ВХ, , .

Сз = А ХА 2 Q ВхВ2■

все различны и лежат на одной прямой d.

Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай, когда точка D совпадает с одной из шести данных, точек. Пусть, например, D = 4V Тогда точки Ах, А2 и В2 лежат на одной прямой, и то же верно для точек Ах, А3 и В3. Поэтому С3 = АХА2 П ВХВ2 = В2 и С2 = = А3АХ П В3ВХ = В3. Далее, точка А2А3 Q В2В3 = Сх не может совпасть ни с В2, ни с В3 (иначе получилось бы А2 = В2 или А3 = В3, что противоречит условию

теоремы). Таким образом, точки Ci, С2 = В3 и С3 = В2 все различны и лежат на одной прямой d = В2В3.-

Рис. 15.

Перейдем теперь к общему случаю (рис. 15). Точки Bv Вг и В3 можно представить (необязательно в нормированном виде) как линейные комбинации

В^ = ХЛ^ 4- D, В^ = цЛ2 4- D, В3 — уЛ 3 4“ В

(X ^ 0, р ^ 0, v =^ 0),.

где для точек Л15 Л2, А3 и D берутся нормированные координатные тройки. Отсюда получаем

Вх В2 = ХЛ^ цЛ2, В2 В3 = рЛ 2 — уЛд, , В3 — Bt = v Л3 — Х.41.

Комбинация В, — Вг есть некоторая точка С3 прямой ВХВ2, а комбинация ХЛ,— цЛ2 есть точка прямой AVA2. Следовательно, С3 = АхАг Q ВХВ2. Рассуждая аналогично, получаем, что точками пересечения соответственных сторон треугольников являются точки

Сх — цЛ 2 — уЛ3, С2 —• уЛз ХЛ^, С3 —ХЛ^ — р.Л2. Эти точки различны. Действительно, если бы две из них, скажем Сх и С3, совпадали, то для некоторого о т^= 0

выполнялось бы равенство ц/12 — vA3 = a (vH3 — MJ. Отсюда следовало бы

рЛ2 + aUj = (1 + ст) vH3, ^pv -4= О,

т. е. точки Лп А 2 и А3 лежали бы на одной прямой, вопреки условию теоремы.

Пользуясь приведенными выше выражениями, задающими точки С], С2, С3 в виде линейных комбинаций, находим

Су + с2 = (-1)-с3.

Таким образом, точки Съ (\ и С3 лежат на одной прямой. Теорема доказана.

"Теорема. Проективная плоскость порядка q, определенная аксиомами 1П I2, I3, D, изоморфна плоскости Галуа.

Доказательство этой теоремы будет дано в главе 2, посвященной детальному изучению геометрии плоскостей Галуа.

» Недезаргова плоскость'

В первых примерах (моделях), показывающих невы- водимость теоремы Дезарга из аксиом Д, L, 13, прямые содержали континуум точек (примеры Гильберта и Моултона). Затем были указаны примеры конечных плоскостей, в которых теорема Дезарга неверна (примеры Веблена и Веддербарна). Четыре с половиной десятилетия спустя Холлом был найден особенно поучительный пример. Плоскость Холла содержит лишь счетное множество точек на каждой прямой. Хотя модель Холла бесконечна, мы рассмотрим ее здесь, поскольку из нее можно извлечь примеры конечных недезарговых плоскостей.

На рис. 16" представлено несколько первых таблиц из последовательности таблиц инцидентности Т1, Т2, Т3, . . . Члены этой последовательности называются ступенями определяемой нами плоскости (столбцы, как обычно, считаются точками, а строки — прямыми ступени). Первая ступень представляет собственный четырехугольник, для которого выполняется аксиома 13. Поскольку каждая ступень является расширением предыдущей ступени, то аксиома 13 выполняется для всех ступеней.

Последовательность ступеней построена таким образом,что 1х выполняется для нечетных ступеней, а 12 — длячетных. Рассмотрим новую последовательность таблиц:тх = т1, т2 = т2 — т1, т3 = т3 — т2, . . .

Это таблицы, состоящие поочередно из «прямых» и «точек», добавляются к таблицам последовательных ступе ней — к каждой ступени присоединяются либо недостающие в ней «точки пересечения», либо недостающие «соеди-

•••••••••••••••••••••••••••••••-••••••••••••••••••••••••••••••••••••-••••••••• •••••••••••-••••--•••••••• •••••••••••-••••--••••

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

-

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

-

•

•

•

•

•

•

•

•

• •

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

-

•

•

•

•

-

-

•

•

•

•

•

•

•

• •

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

-

•

•

•

•

-

-

•

•

•

•

Рис. 1G. г . ’

Для каждой пары строк (столбцов), не содержащих двух знаков • в двух клетках какого-либо одного столбца (одной строки), добавляется столбец (строка) с двумя знаками в соответствующих клетках. Разумеется, на каждой стадии число добавляемых столбцов (строк) конечно, так как подлежащая расширению таблица инцидентности имеет только конечное число различных пар строк (пар столбцов).

Этот процесс попеременного добавления строк и столбцов продолжается неограниченно. В самом деле, если бы на некотором этапе очередную ступень нельзя было бы расширить ни за счет новых строк, ни за счет новых столбцов, то выполнялись бы обе аксиомы 1Х и 12 (а также

и аксиома 13, поскольку она выполняется для Т1); следовательно, мы получили бы конечную плоскость. Однако таблица инцидентности конечной плоскости имеет по

Рис. 17.Рис. 17.

Рис. 17.

Рис. 17.

крайней мере три знака инцидентности в каждой строке и каждом столбце. Между тем полученная нами таблица инцидентности содержала бы строки или столбцы, добавленные на последнем этапе расширения, а в них было бы только два знака инцидентности, и мы пришли бы к про

тиворечию.

Из способа построения таблиц вытекает, что фигура

Н = т\ и т2 и т3 и ...

удовлетворяет аксиомам 11? 12, 13 и поэтому является проективной плоскостью, однако не конечной.

На рис. 17 показана часть Т5 таблицы Н. Уже по этой части можно проверить, что плоскость Н недезаргова. Рассмотрим таблицу Т5 и изображенную рядом с ней графическую схему. Треугольники АгА2А3 и ВгВгВ3 образуют перспективную пару относительно центра D. Однако это перспективное ,'соответствие не является осевым: точки Съ С2, С3 определяют попарно три прямые d12, cZ23, ^3i и, значит, не лежат на одной прямой.

Рассмотрим последовательность ступеней плоскости и найдем для каждой ступени число точек и число прямых. Мы получим последовательность пар чисел, в которых первое число есть число точек, а второе — число прямых:•

(4, 6), (7, 6), (7, 9), (9, 13), (13, 33), . . .’

Выпишем аналогичную последовательность пар чисел для конечных плоскостей порядков 2, 3, 4, . . .:

(7, 7), (13, 13), (21, 21), (31, 31), (57, 57), . . .

Сопоставление этих двух последовательностей наводит на один любопытный вопрос: можно ли дополнить таблицы Т2 и Т4 соответственно одной и четырьмя строками с таким распределением знаков, чтобы получились таблицы инцидентности конечных плоскостей соответственно порядков 2 и 3?

Положительный ответ на этот вопрос вытекает из рис. 18 и 19. Совмещая в одной строке распределения знаков в строках Z7, Z8, Z9, дополняющих Т2 до Т3, мы получим некоторую новую строку Z7. В результате присоединения строки Z7 = Z7 (J Z8 (J Z9 к таблице Т2 получается таблица рис. 18. Далее, если строки, дополняющие Т4 до Т6, объединить последовательно по три, то получатся четыре новых строки:

Z10 = Z10 (J 11г (J Z]2, Zn = Z13 (J Z14 (J Z15,

Z12 = Zie (J Z17 (J Z18, Z13 = Z18 (J Z2o U ^21 • . *

Рис. 19.Рис. 19.

Рис. 19.

Рис. 19.

Присоединение этих четырех строк к таблице Т4 дает таблицу рис. 19. Легко убедиться, что таблицы рис. 18 и 19

Рис. 18.

являются таблицами инцидентности конечных плоскостей порядков 2 и 3 соответственно.

. Коллинеации и группы коллинеаций,

конечной плоскости

Как нетрудно догадаться по названию, в этом параграфе мы намерены распространить на конечные геометрии некоторые хорошо известные понятия классической проективной геометрии. Все факты, не являющиеся следствиями аксиом Ij, 12, 13, мы исключим из нашей геометрии, а остающиеся] факты будут специализированы в соответствии с аксиомой 14. Это и есть путь, ведущий к построению конечной проективной геометрии.

Прежде всего нам придется иметь дело с такими взаимно однозначными отображениями плоскости в себя, которые сохраняют коллинеарность точек (плоскость при этом рассматривается как точечное множество). Эти отображения характеризуются следующими условиями:

Каждой точке плоскости сопоставляется единственная точка, называемая ее образом.

Любая точка плоскости является образом единственной точки, называемой ее прообразом.

Образы любых трех точек тогда и только тогда принадлежат одной прямой, когда сами эти точки принадлежат одной прямой.

Рассмотрим в качестве иллюстрации рис. 20 и 21. На обоих рисунках представлены конечные плоскости порядка 3. Между этими плоскостями установлено взаимно однозначное соответствие — соответствующие друг другу элементы обозначены одной и той же буквой. Оставим пока в стороне три вида обозначений для знаков инцидентности. На рис. 21 три идеальные точки указаны стрелками и три прямые изображены в виде кривых; «прямая» {Pj, Р^, Р„ Р^ = 1Х на рисунке не представлена.

В случае конечной плоскости отображения, удовлетворяющие условиям (1), (2), задаются подстановками (так же как и отображения множества прямых, если выполняются условия, двойственные условиям (1), (2)). Подстановки точек и прямых будут записываться в круглых и квадратных скобках соответственно. Рассмотрим в нашем примере два отображения: отображение точек

_ / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13\

® — \ 12 8 5 И 10 1 2 3 13 9 4 6 7/.

и отображение прямых

_ Г1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 134°-[4692513 11 8 7 12 13 10 р

Здесь выражение (•"£•••) пишется вместо (• • ■ ^ • • •) и означает, что образом точки Р, является точка Р), или, что то же самое, Pj есть прообраз Ph; аналогично для прямых.

Условия, двойственные условиям (1), (2), (3), будем обозначать соответственно (1*), (2*), (3*). Очевидно, со удовлетворяет условиям (1), (2), ан — условиям (1*), (2*). Вообще, любая из 13! подстановок точек (прямых) удовлетворяет условиям (1), (2) (соответственно условиям (1*), (2*)). Но отнюдь не для каждой подстановки точек выполняется' условие (3) (для подстановки прямых — условие (3*)).

Например, отображение со переводит точки Р2, Р3, Р^, лежащие на одной прямой, в точки Р8, Р5, Ри, также

Л' Л В 6 С в’ D’ С*

Рис. 20.

лежащие на одной прямой; неколлинеарные точки Рч, Р8, Р9 переводятся в неколлинеарные точки Рг, Р3, Р13; точки Pv Р2, Р3 лежат на одной прямой, а их образы Р12, ^8, ^з — нет; неколлинеарные точки Р5, Р6, Р10 переводятся в коллинеарные точки Р10, Рт, Р9. Итак, отображение со не удовлетворяет условию (3). Подобным же образом ст не удовлетворяет (3*).

На самом деле из 13! подстановок точек лишь 24-33-13 = 5616 удовлетворяют условию (3); мы опускаем здесь доказательство этого факта. Ясно, что если отображение (подстановка) л точек удовлетворяет условию (3), то подмножество точек тогда и только тогда составляет прямую, когда образ этого подмножества при отображении л есть прямая. По этой причине отображение, удовлетворяющее условиям (1), (2), (3), называется коллинеацией. Например, для плоскости, представленной на рис. 20, подстановка

(1.12.1)(1.12.1)/1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13\ \7 И 9 4 3 12 8 10 13 2 6 1 5/

(1.12.1)

(1.12.1)

является коллинеацией. С помощью таблицы инцидентности этой плоскости и ее графической схемы (на рис. 21) легко найти подстановку X прямых, индуцированную подстановкой л:

(1.12.2)(1.12.2)Г 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13"1 112 9 6 2 10 5 4 8 3 7 1 13 11J *

(1.12.2)

(1.12.2)

Из того, что условия (1), (2), (3) выполняются для отображения л, вытекает, что для X выполняются условия (1*), (2*), (3*). Аналогично, исходя из отображения X, удовлетворяющего условиям (1*), (2*), (3*), мы получаем отображение л, индуцированное X, для которого выполняются условия (1), (2), (3). Таким образом, хотя следовало бы говорить о коллинеации (л, X) или (X, л), можно ограничиваться указанием лишь л или X, ибо л однозначно определяет X и наоборот.

В нашем примере точки Р^ и прямая Z8 совпадают со своими образами, т. е.

::*4—* °4 и ^8 —* "«М

Ф, Кащеев

Точки и прямые, обладающие этим свойством, называются неподвижными (инвариантными) точками и прямыми коллинеации.

Однако из того, что прямая Z8 неподвижна, не вытекает, что какие-либо ее точки также неподвижны, как это видно из подстановки

/3 5 9 13\'

\9 3 13 5/ ’.. .

являющейся ограничением отображения л на множество ^8 = {^3, ^5, ^9, Р 1з}"

Аналогично, прямые, проходящие через неподвижную точку, не обязательно неподвижны, как показывает, например, подстановка

Г 1 11 12 13"]'

' L12 1 13 11J ’

являющаяся ограничением отображения X на пучок прямых {Zj, Zu, lw Z13) с центром в точке Р4. Вообще говоря, можно только утверждать, что неподвижная прямая и пучок прямых с неподвижным центром отображаются при коллинеации в самих себя.

Существует, однако, коллинеация, имеющая неподвижную точку и неподвижную прямую, которые обладают одним замечательным свойством. Чтобы проиллюстрировать это свойство на примере, рассмотрим на плоскости, представленной на рис. 20 и 21, отображение точек

/1234 5 6 7 8 9 10 11 12 131 И 3 2 4 12 13 И 8 9 10 7 5 6/

и индуцированное им отображение прямых

/119 41л _Г1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13"]''

л —[ 1 4 3 2 9 10 8 7 5 6 11 12 13J'

В этой коллинеации все четыре прямые l4, 1И, 112, Цз^ проходящие через неподвижную точку Р4, неподвижны. Точку, обладающую указанным свойством, называют центром коллинеации. Аналогичное свойство выполняется для неподвижной прямой 13: все четыре точки Р1у Р8у Р 91 ^10, лежащие на неподвижнои'прямой 13, неподвижны; прямая с таким свойством называется осью коллинеации. Естественным образом возникают следующие два вопроса:

1° Всегда ли коллинеация, обладающая центром, обладает и осью, и обратно?

2° Может ли коллинеация, отличная от тождественной, иметь несколько peiiTpoBj или несколько осей?

Ответы на эти вопросы будут даны позднее. Заметим только, что тождественная коллинеация представляет собой отображение, в котором каждая точка и каждая прямая неподвижны, более того, каждая точка^является центром, а каждая прямая — осью.

В приведенном выше примере центр Р4 коллинеации не лежит на оси коллинеации 13. Свяжем теперь каждую точку, отличную от неподвижных точек Рг, Р^, Р3, Рв, Р1В, с образом этой точки. Аналогично, каждую прямую, отличную от неподвижных прямых 1г, l3, lu, l12, Z13, свяжем с образом этой прямой. Мы получим следующие пары:

(Ра, Р^, (Р3, Р2), (Pi, Ри), (Рц, Р,), 1^2, ^*1» [^4i ^гЬ U?> ^в!» [^8, ^тЬ(Ра, Р^, (Р3, Р2), (Pi, Ри), (Рц, Р,), 1^2, ^*1» [^4i ^гЬ U?> ^в!» [^8, ^тЬ(Рб, Л2), (Р6, Р13), (Ри, Рб), (Ри, Рб), [^5, ^э],[^6, ^1о1>[^9i ^sli 1710, ^б1,(Рб, Л2), (Р6, Р13), (Ри, Рб), (Ри, Рб), [^5, ^э],[^6, ^1о1>[^9i ^sli 1710, ^б1,

(Ра, Р^, (Р3, Р2), (Pi, Ри), (Рц, Р,), 1^2, ^*1» [^4i ^гЬ U?> ^в!» [^8, ^тЬ

(Ра, Р^, (Р3, Р2), (Pi, Ри), (Рц, Р,), 1^2, ^*1» [^4i ^гЬ U?> ^в!» [^8, ^тЬ

(Рб, Л2), (Р6, Р13), (Ри, Рб), (Ри, Рб), [^5, ^э],[^6, ^1о1>

[^9i ^sli 1710, ^б1,

(Рб, Л2), (Р6, Р13), (Ри, Рб), (Ри, Рб), [^5, ^э],[^6, ^1о1>

[^9i ^sli 1710, ^б1,

в каждой из которых второй элемент является образом первого. Легко видеть, что всякая прямая, соединяющая точки какой-либо пары, неподвижна; прямые, отвечаюгцив всем указанным парам точек, пересекаются в центре Р^. Коллинеация, обладающая подобным свойством, называется перспективой относительно точки (перспективой из точки). Аналогично, точка пересечения любых двух прямых, составляющих какую-либо из перечисленных выше пар прямых, лежит на оси 13. Коллинеация с таким свойством называется перспективным соответствием относительно прямой. В нашем примере мы получили центрально-осевую коллинеацию.

Приведем еще один пример центрально-осевой коллинеации, а именно рассмотрим отображение

И 1/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 \

\1 2 3 4 7 5 6 10 8 9 13 И 12/

и индуцированное им отображение

И 1 9«11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 1

(1.12.0)[1 2 3 4 6 7 5 9 10 8 12 13 11J

Неподвижная точка Рх этой коллинеации является ее центром, а неподвижная прямая lY — осью, причем на этот раз Рг lv

Если центр лежит на оси, то коллинеацию называют элацией ), в противном случае коллинеация называется гомологией. Таким образом, первый пример был примером гомологии, а второй — примером элации.

Из элементарной комбинаторики известно, что все подстановки n-элементного множества образуют группу — полную группу подстановок данного множества. Коллинеации конечной плоскости составляют подгруппу полной группы подстановок, действующих на множестве точек плоскости, поскольку, как легко видеть, произведение двух коллинеаций и обратный элемент для всякой коллинеации также являются коллинеациями. Эта подгруппа называется группой коллинеаций конечной проективной плоскости. Согласно Эрлангенской программе Ф. Клейна конечная проективная геометрия сводится к изучению группы коллинеаций. С этой точки зрения можно объяснить, например, тот факт, что в книге М. Холла «Теория групп» большая глава посвящена в основном геометрии конечных проективных плоскостей. Важную роль в изучении групп коллинеаций играют гомологии и элации.

Все степени какой-либо коллинеации образуют циклическую группу. Так, в примере рис. 2 степени коллинеации _ / 1 2 3 4 5 6 7\

Л \2 3 4 5 б 7 1/

составляют группу порядка 7. При этом коллинеация л не имеет неподвижных точек. Задача о приведении таблицы инцидентности конечной плоскости к циклическому виду сводится к отысканию подобной подгруппы в группе всех коллинеаций плоскости.

Коллинеации, квадраты которых совпадают с тождественной коллинеацией, имеют глубокий геометрический смысл. Такие коллинеации называются инволюциями. Коллинеация л, заданная подстановкой (1.12.3), является инволюцией. Поскольку эта инволюция представляет собой центрально-осевую коллинеацию, то ее можно считать аналогом осевой симметрии на евклидовой плоскости.

Роль оси симметрии играет здесь ось коллинеации — прямая Z3, а прямым, перпендикулярным к оси симметрии, соответствуют прямые, проходящие через центр Р4.

Порядком коллинеации л называется наименьшее целое положительное число г такое, что л' есть тождественная коллинеация. Для полноты изложения отметим, что порядок коллинеации (1.12.1) равен 8, а коллинеации

- 3.

Связь между центрально-осевыми коллинеациями и теоремой Дезарга будет изучена позднее, но уже сейчас из рис. 21 непосредственно видно, что любой треугольник, составленный из неинвариантных точек, и его образ при центрально-осевой коллинеации находятся в перспективном соответствии как относительно центра, так и относительно оси коллинеации. Например, в случае коллинеации (1.12.3) с центром Р^ и осью 1а образом треугольника P5PePu является треугольник Р1аРхаРч.

Как мы видим, между понятиями коллинеации на конечной плоскости и коллинеации на классической проективной плоскости существует значительная аналогия; используя эту аналогию, можно доказать многие теоремы конечной геометрии. Имеются, однако, и такие свойства конечной плоскости, которые существенно отличаются от свойств классической проективной плоскости и поэтому не могут быть доказаны по аналогии. Например, для классической проективной плоскости справедлива следующая теорема: для всякого отображения

_/Л В С D\

Л° \ Л' В' С ПЧ ' * "

четверки вершин собственного четырехугольника ABCD па четверку вершин собственного четырехугольника A'B'C'D' существует единственная коллинеация л, ограничение которой на множество {Л, В, С, D^ совпадает с л0. Эта теорема выполняется также и для плоскостей Галуа, но не для всякой конечной плоскости. Первую часть этого утверждения мы только проиллюстрируем на примере, вторую же докажем.

В силу свойства (3) любая коллинеация переводит собственный четырехугольник снова в собственный четырехугольник. Четырехугольник ABCD = Р5РаР8Р6 рис. 20 переводится в четырехугольник A'B'C'D' = PaPi0PiaPi4

того же рисунка отображением.

_ /5 8 9 6\Ло" U 10 13 12 / >

которое реализуется коллинеацией л, заданной подстановкой (1.12.1).

|Прежде’чем доказывать вторую часть нашего утверждения, сделаем несколько замечаний относительно плоскости Фано (рис. 22).

На классической проективной плоскости диагональные .точки собственного четырехугольника составляют собственный треугольник, как показано на рис. 22, а. Диагональные точки, т. е. точки пересечения противоположных сторон четырехугольника,— это в данном случае точки Р5, Рв, Рч:

Р5 = РА п W, Р6 = РА П РА, \..

□ Рч = ^^4 П РаР3. ,

Треугольник Р&Р6РЧ — собственный. ‘

Однако некоторые конечные плоскости допускают собственные четырехугольники с диагональными точками, лежащими на одной прямой. Рассмотрим, например, плоскость Фано, представленную на рис. 22, Ь. На этой плоскости все диагональные точки четырехугольника

P^PgPe, т. е. точки

Р1Ь = Р1Р‘1Г\Р 3^*6, Рт = Р1Рз^\Р 2^*6,

■ Р5 = Р 1^*6 П РгРз^ 1

лежат на прямой Z5. Всего на данной плоскости имеется семь собственных четырехугольников. Каждый из них получается удалением из плоскости точек какой-либо прямой, которые как раз и являются диагональными точками остающегося собственного четырехугольника.

Таким образом, на каждой плоскости следует различать два вида собственных четырехугольников:

1° Четырехугольники, диагональные точки которых образуют собственный треугольник,— обыкновенные четырехугольники. 1

2° Четырехугольники, диагональные точки которых лежат на одной" прямой,— четырехугольники Фано. В случае плоскости*Фано это такие четырехугольники, множество вершин и диагональных точек которых совпадает с множеством всех точек плоскости.

Отметим без доказательства, что на плоскости Галуа либо все четырехугольники обыкновенные, либо все они — четырехугольники Фано. Вторая возможность осуществляется, например, в случае плоскости Фано и в случае плоскости порядка 4, представленной на рис. 7. Существует плоскость порядка 9 (не являющаяся плоскостью Галуа), которая содержит как обыкновенные четырехугольники, так и четырехугольники Фано. Ясно, что, в силу свойства (3) (стр. 63), всякий четырехугольник Фано переходит при коллинеации в четырехугольник Фано, а обыкновенный четырехугольник — в обыкновенный.

После этого отступления вернемся к доказательству нашего утверждения относительно отображения л0, переводящего четырехугольник ABCD в четырехугольник A’B'C'D*. Согласно сделанному выше замечанию имеется конечная плоскость, не являющаяся плоскостью Галуа, которая содержит как обыкновенные четырехугольники, так и четырехугольники Фано. Если в качестве одного из рассматриваемых четырехугольников выбрать четырехугольник Фано, а в качестве другого — обыкновенный, то отображение л0 нельзя будет, очевидно, продолжить до коллинеации.

В дальнейшем плоскостью Фано будет называться всякая плоскость, не содержащая обыкновенных четырехугольников (т. е. плоскость, все собственные четырехугольники которой являются четырехугольниками Фано).

Сохраняющие коллинеарность отображения аффинной и регулярной гиперболической конечной плоскости

Рассмотрим аффинную плоскость порядка q, определяемую системой аксиом А. Эта плоскость состоит из q2 точек и q (q + 1) прямых. Выделим из множества всех подстановок ^-элементного множества точек подмножество подстановок, которые удовлетворяют условию (3), сформулированному в начале параграфа 1.12. Легко проверить, что указанное подмножество подстановок есть подгруппа в группе всех подстановок. Эта подгруппа называется группой коллинеаций аффинной плоскости.

Из определения сразу же следует, что при аффинных коллинеациях сохраняется параллельность прямых. Действительно, если а || Ъ и а ^= Ь, то множество a' f] Ъ', где а* и Ъ' — образы прямых а и b при аффинной коллинеации, пусто. В противном случае существовала бы точка Р' такая, что Р' Е а' и Р' £ Ь', и для ее прообраза Р выполнялись бы условия Р^аъР^Ъ, а это противоречит исходному предположению.

Пусть So — аффинная плоскость и Go — ее группа коллинеаций. Дополним плоскость идеальными точками, определяемыми как общие точки параллельных прямых, и идеальной прямой I, состоящей из этих точек. В результате получится новая плоскость S с группой коллинеаций G. На самом деле, группа Go изоморфна подгруппе G (I) тех коллинеаций группы G, которые оставляют неподвижной прямую I. Мы уже знаем, что аффинные плоскости, полученные из S удалением различных прямых, могут быть неизоморфны между собой; это находит свое отражение в том факте, что группы Go (1^ и Go (1^, отвечающие каким-нибудь прямым 1г и Z2 из S, необязательно изоморфны друг другу.

При изучении строения аффинных плоскостей важное значение имеют следующие виды центрально-осевых кол-

линеаций, различаемые по той роли, которую играют в них идеальные элементы:

Если центр коллинеации не является идеальной точкой, но ее ось совпадает с идеальной прямой, то коллинеация называется гомотетией, а центр коллинеации — центром гомотетии.

Если центр и ось коллинеации являются соответственно идеальной точкой и идеальной прямой, то коллинеация называется переносом. Гомотетия и перенос аналогичны одноименным преобразованиям в классической геометрии.

Если центр коллинеации — идеальная точка, а ее ось не является идеальной прямой, то коллинеация называется осевым аффинным преобразованием.

Если центр коллинеации — идеальная точка и лежит на оси коллинеации, которая, однако, не является идеальной прямой, то такую коллинеацию естественно было бы называть аффинным сдвигом. Общепринятого термина для обозначения этого понятия не существует, в немецкой литературе используется термин «Scherung».

Приведем следующий пример аффинного сдвига. На рис. 21 аффинная плоскость порядка 3 задается точками Р5, Р6, . . ., Р12 и прямыми Z2, Z3, . . ., Z13 (некоторые из них изображены на рисунке в виде кривых). Отображение точек

■ /5 6 7 8 9 10 11 12 13\ ' ' ■ . Я - U 5 6 8 9 10 12 13 11/ ' ” ,

и индуцированное им отображение прямых - •

,[ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13-1 , Л — L2 3 4 9 10 8 12 13 И 6 7 5J '

отвечают всем требованиям определения (d). - '• ‘ '^ ■ ’

Кроме проективной и аффинной плоскостей мы уже имели дело еще с одной фигурой, также именуемой конечной плоскостью. Речь идет о регулярной конечной гиперболической плоскости. Ясно, что и в этом случае можно было бы исследовать группу сохраняющих коллинеарность отображений плоскости на себя. Поскольку в дальнейшем мы не будем заниматься гиперболическими плоскостями, проанализируем подробно пример гиперболической плоскости, приведенный на рис. 14. Прежде всего

отметим следующий удивительный факт: в то время как порядок группы коллинеаций проективной плоскости порядка 3 равен 5616, порядок группы коллинеаций нашей плоскости, хотя эта плоскость также состоит из 13 точек, равен всего лишь 6. В обоих случаях из общего числа 13! подстановок берутся только те подстановки, которые сохраняют принадлежность любых трех точек одной прямой. Общее число троек точек, принадлежащих одной прямой, для проективной плоскости из 13 точек составляет 52, а для нашей гиперболической плоскости из 13 точек — 26. Таким образом, в последнем случае на выполнение условия (3) (стр. 63) налагается вдвое меньше ограничений. Но несмотря на это число допустимых подстановок получается в данном случае значительно меньше. Отбор подстановок, сохраняющих коллинеарность, является, по-видимому, трудной комбинаторной задачей; эта задача, однако, упрощается, если принять во внимание свойства некоторых указанных ниже фигур.

Рассмотрим две непересекающиеся" прямые а и Ъ на плоскости рис. 14 и точку С, не лежащую ни на одной из них. Каждая прямая плоскости содержит три точки; через каждую точку проходит 6 прямых, и если взять какую-либо прямую и точку вне ее, то из 6 прямых, проходящих через эту точку, 3 пересекают данную прямую, а 3 не пересекают. Следовательно, может случиться, что в фигуре Cab не всякая точка прямой а проектируется из С на прямую Ь; более того, существует такая фигура Cab, что ни одна точка прямой а не проектируется на прямую b и ни одна точка прямой b не проектируется на прямую а; например, можно взять

С — Р1, а — Zg, — ^12*

Если каждая точка прямой а проектируется из С на 6, то семерка точек, состоящая из точки С и точек прямых а и Ь, называется перспективной семеркой точек (рис. 23, i). На плоскости рис. 14 мы имеем следующую перспективную семерку:

С = Pu, а = Z15 = {Р3, Ръ Z\2}, b = Z16 = VPv Р^ Р^. Точка Р1г считается центром этой семерки. Укажем еще две перспективные семерки:

С = Р^ а — ^ — {Pi, Р31 Ри}, ^ = ^гз= \Р7, ^е, Р5}

И

С = Рis, л = Z14 = {Р2, Р^ ^ц}, ^ = Z18 = {P8, Рз, Р^.

Отметим, что точка Р13 является общим центром этих двух семерок. Точка Рг не является центром никакой перспективной семерки точек. В соответствии с этими примерами

ii

. . Рис. 23.

можно дать следующую классификацию точек нашей гиперболической плоскости: двойные центры (точки Рг, Р8, Р9, Рц), простые центры (точки Рв, Р12, Р1Я) и обыкновенные точки, т. е. точки, не являющиеся центрами (точки Рг, Р3, Р^, Р5, Р-, Рю).

Все 7 = 4 + 3 центров образуют весьма замечательную фигуру (рис. 23, И). Все простые центры лежат на одной прямой 16 = ^Рв, Р12, Р13}; назовем ее простой осью. Три из четырех двойных центров также лежат на одной прямой Z]4 = {Р2, Р9, jPh}; эту прямую будем называть двойной осью. Четвертый двойной центр — точка Р8 — не лежит ни на одной из этих осей, но три простых центра проектируются из этой точки в двойные центры, при этом каждая из трех проектирующих прямых называется смешанной осью.

По свойству (3) отображений, сохраняющих коллинеарность, образы перспективных семерок точек и только они снова являются перспективными семерками точек. Отсюда следует, что при этих отображениях двойные центры переходят в двойные центры, простые центры — в простые центры, обыкновенные точки — в обыкновенные

точки. Более того, точка Ра всегда должна быть неподвижной, поскольку остальные три двойных центра лежат на одной прямой. Таким образом, эта точка обладает свойствами, выделяющими ее среди всех других точек плоскости; ее поэтому можно было бы назвать главной точкой плоскости. Из наших утверждений относительно сохранения типов точек вытекает, что образы простых, двойных и смешанных осей также являются осями тех же типов.

Теперь нетрудно убедиться, что сохраняющие коллинеарность преобразования гиперболической плоскости исчерпываются следующими шестью преобразованиями:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

И

12

13

Л1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

И

12

13

Л-2

7

2

5

10

3

12

1

8

И

4

9

6

13

л3

4

9

7

1

10

13

3

8

2

5

11

12

6

л4

3

9

10

5

7

12

4

8

11

1

2

13

6

"5

10

И

1

7

4

13

5

8

2

3

9

6

12

"в

5

11

4

3

1

6

10

8

9

7

2

13

12

Таблица Кэли этой группы подстановок имеет следую- щий вид (вместо каждого элемента лй пишется его индекс к\.

х|

1 2 3 4 5 6

1

1 2 3 4 5 6

2

2 1 4 3 6 5

3

3 5 1 6 2 4

4

4 6 2 5 1 3

5

5 3 6 1 4 2

6

6 4 5 2 3 1

Если сопоставить элементам л^ л2, л3, л4, л5, л6 соответственно перестановки abc, acb, bac, bca, cab, cba, то окажется, что эта' таблица есть таблица умножения для полной группы подстановок трехэлементного множества {а, Ь, с}.

Полученными здесь результатами, дополняющими результаты параграфа 1.9, мы завершаем исследование (3,3)-плоскости. ,

Конечные проективные плоскости и полные ортогональные системы латинских квадратов

В этом параграфе мы будем заниматься комбинаторными задачами, с которыми в настоящее время имеет дело математическая статистика. Но первая такая задача была рассмотрена еще Эйлером в 1782 году.

Знаменитая задача Эйлера, так называемая «задача о 36 офицерах», состоит в следующем. На военном параде 36 офицеров нужно выстроить в каре из шести шеренг по шесть офицеров в каждой, причем известно, что от каждого из шести родов войск в параде участвует шесть офицеров шести различных рангов и в каждой шеренге и в каждом ряду должно быть по одному офицеру каждого рода войск и каждого ранга. Эйлер пришел к выводу, что эта задача не имеет решения; весьма сложное доказательство этого факта было найдено Тарри лишь в 1900 году.

Из неразрешимости задачи Эйлера вытекает, как будет доказано впоследствии, невозможность конечной проективной плоскости порядка 6.

Прежде чем ввести некоторые понятия комбинаторики, нам потребуется определить одну алгебраическую структуру. Пусть Q — конечное множество из q элементов, и пусть операция на Q (которую мы будем называть умножением) удовлетворяет следующим аксиомам:

Если a g Q и 6 ^ Q, то аЪ = с € Q.

Если а, Ь, с С Q и а ^ 6, то ас 5^ Ъс и са ^ сЪ.

Примером, реализующим такую структуру, является четырехэлемептное множество Q = {a, b, с. d} с операцией, которая задана таблицей на рис. 24.

В качестве примера можно было бы взять таблицу Кэли любой группы, поскольку групповая операция удовлетворяет указанным выше аксиомам, однако рассматриваемая структура не обязана быть группой. Действительно, в пашем примере (fie) d = ad = с и Ъ (cd") = = ba = b, т. е. операция не ассоциативна.

Конечную структуру, определяемую условиями (1), (2), будем называть конечной квазигруппой.

В таблице умножения конечной квазигруппы каждая строка и каждый столбец представляют собой некоторую перестановку элементов множества Q; следовательно,

всякий элемент из Q встречается ровно один раз в каждой строке и в каждом столбце, т. е. клетки, занятые каким- либо элементом, распределены диагональным образом. Диагональные распределения, соответствующие разным элементам, не перекрываются, их называют параллельными. Так, параллельными будут распределения цифр 5 и 1 'в таблице па рис. 25.

Таблица размером qXq, заполненная элементами q различных видов таким образом, что всякая строка и всякий столбец таблицы содержат ровно по одному элементу каждого вида, называется латинским квадратом порядка q. Ясно, что всякий латинский квадрат задает операцию некоторой квазигруппы. Элементы основного множества Q латинского квадрата будут обычно обозначаться как индексы 0, 1, 2, . . ., q — 1.

Рассмотрим класс всех латинских квадратов с основным множеством Q = {0, 1, 2, . . ., q — 1}. Введем важное понятие ортогональности двух квадратов этого класса.

Сначала, однако, определим операцию, сопоставляющую каждой паре (Llt L2) латинских квадратов порядка q таблицу размером q X q, каждая клетка которой содержит упорядоченную пару элементов — первый элемент пары берется из гомологичной ) клетки квадрата Ln

а второй — из гомологичной клетки квадрата Ь2. Эту таблицу будем обозначать буквой U и записывать: U = = Lj И L2 (см. примеры на рис. 26 и 27).

Если все д2 упорядоченных пар элементов из Q содержатся в таблице U = 1^ П Ь2, то пару (L^ L2) будем называть ортогональной. Ясно, что если пара (Ьц L2)

27О7ОгОг727О7ОгОг7LzРис. 26.LzРис. 26.021120п2602200211021120п2602200211Рис. 27.Рис. 27.22^7/^722^7/^7

2

7

О

7

О

г

О

г

7

2

7

О

7

О

г

О

г

7

Lz

Рис. 26.

Lz

Рис. 26.

02

11

20

п

26

02

20

02

11

02

11

20

п

26

02

20

02

11

Рис. 27.

Рис. 27.

22^

7/^7

22^

7/^7

ортогональна, то такой же будет и пара (L2, Lj). Таким образом, определенное выше отношение симметрично. Оно называется отношением ортогональности. Заметим, что не для всякой таблицы V размером q X q, содержащей все упорядоченные пары элементов из Q, существуют латинские квадраты LT и Ь2 такие, что LT И L2 = V. Например, в случае q = 3 таблица '

/(0,0) (0,1) (0,2)\V= (1,0) (1,1) (1,2)

\(2,0) (2,1) (2,2)7

не может быть получена из латинских квадратов с помощью операции И. На рис. 26 квадраты Lj и L2 не ортогональны, тогда как на рис. 27 изображены ортогональные квадраты. Ясно, что никакой латинский квадрат порядка q > 1 не ортогонален самому себе.

Теперь мы можем сформулировать упомянутую в начале параграфа теорему Эйлера — Тарри в следующем

виде: не существует ортогональной пари квадратов порядка шесть.

Нетрудно проверить, что квадраты Lj и L2, представленные па рис. 28, образуют ортогональную пару. Квадрат Lj, полученный из квадрата L2 применением к его элементам подстановки 0,1,2,3 -> 2,0,3,1, также ортогонален Lj. Легко видеть, что и вообще всякая подстановка элементов основного множества переводит латин-

преобразовании одного из квадратов пары (L1, L2) отношение ортогональности между квадратами этой пары сохраняется.

Предположим теперь, что мы построили из элементов множества Q — {0, 1, 2, . . ., q — 1} всевозможные латинские квадраты порядка q и хотим выбрать из них г попарно ортогональных. Чтобы узнать, существуют ли такие г квадратов, достаточно, в силу сделанного замечания, рассмотреть квадраты, первые столбцы которых одинаковы; можно даже считать, что первый столбец каждого квадрата, читаемый сверху вниз, в точности совпадает с перестановкой 0, 1, 2, .... q — 1. Если из множества латинских квадратов можно выбрать подмножество г попарно ортогональных, то это подмножество называется r-элементной ортогональной системой латинских квадратов порядка q.

Теорема. Если г-элементная ортогональная система латинских квадратов порядка q существует, то г < q.

Доказательство. Пусть Llt L2, . . ., Lr — ортогональная система квадратов и первый столбец каждого квадрата совпадает с перестановкой 0, 1, 2, . . . . . ., q — 1. Предположим, что r^q. Второй элемент первой строки каждого квадрата L; (i = 1, 2, . . ., г) можно выбрать q — 1 способами. Поскольку имеется

по меньшей мере q латинских квадратов, то у каких-то двух из них, скажем L, и L(, на втором месте первой строки окажется один и тот же элемент к. Но тогда пара (к, к)

столбце, и на втором месте в первой строке, что противоречит ортогональности квадратов Ls и Lr. Теорема доказана.

На рис. 29 представлены три латинских квадрата порядка 4, их первые столбцы одинаковы. Легко убедиться, что эти квадраты попарно ортогональны. Отсюда видно, что для некоторых значений q выполняется соотношение г = q — 1. Однако если q = 6, то по теореме Эйлера — Тарри г < 2.

Ортогональная система, для которой г = q — 1, называется полной ортогональной системой.

В некоторых вопросах, особенно в математической статистике, важно уметь строить ортогональную систему латинских квадратов заданного порядка q, содержащую максимально возможное число квадратов. Это очень трудная задача, в общем виде она не решена. Достаточно сказать, что только несколько лет назад было доказано существование ортогональных квадратов порядка 10, причем доказательство основывалось на явной конструкции. Если q = рт (где р — простое), то существует полная ортогональная система латинских квадратов порядка q. Мы докажем это утверждение, используя некоторые рассмотренные ранее свойства конечных проективных плоскостей.

Пусть q = рг. Рассмотрим таблицу Г (q) плоскости S^q- Рисунок 30 соответствует случаю q = 22. Мы отделяем в таблице часть, состоящую из q X (q — 1) квадратов, а именно прямоугольник шириной в q и высотой

в 5 — 1 квадратов, расположенный в нижнем правом углу таблицы. Каждый знак инцидентности в этой части заменяем номером столбца квадрата, который этот знак содержит. Таким образом, каждая строка выделенного прямоугольника будет содержать перестановку номеров О, 1, . . ., 5 — 1 (рис. 30, i). Если все столбцы каждой

столбцевой полосы совместить в одном столбце, то получится столбцевая полоса из q — 1 квадратов (рис. 30, и). Обозначим квадраты этой полосы через Ln L2, . . ., Lg^. Построение указанным способом системы квадратов по таблице Г (9) плоскости 52,д будем называть к-процедурой и записывать в виде Г (д) -> (Lx, L2, . . ., Lg_j).

В примере на рис. 30 процесс Г (5) -> (Llt L2, L3) приводит к полной ортогональной системе латинских квадратов, поскольку получившиеся квадраты Lx, L2, La совпадают с квадратами, представленными на рис. 29. Мы утверждаем, что цри любом q Х-процедура, примененная к таблице Г ^q) плоскости S2.q, дает полную ортогональную систему латинских квадратов порядка q.

То, что каждая из таблиц Lx, L2, . . ., L^ является латинским квадратом, легко вытекает из свойств Dn П2, D3 таблицы Г (5), указанных в параграфе 1.4. Докажем теперь, пользуясь геометрическими соображениями, что всякая пара (Ls, L;) (s t; s, t = 1, 2, . . ., q — 1) — ортогональная.

I“

Рис. 31.

Допустим, что для некоторых s и t, 8^=1, пара (Ls, LO — не ортогональная. Это означает, что в таблице Ls можно указать такие две клетки, содержащие одно и то же число а, что числа Р и у, содержащиеся в гомологичных им клетках таблицы L(, равны: Р = у.

Воспользуемся обозначениями, которые применялись в параграфе 1.5; Пусть s = mv и t = m2, и пусть две клетки, выбранные в таблице Ls (и гомологичные им клетки в таблице L(), будут (6ц ^) и (Ь2, ж2) (рис. 31). Положим ос = г/1? Р = у2, У = Уз- Из описания Х-про- цедуры и устройства таблицы Г (7) (см. параграф 1.5) видно, что пары (а, Р) и (а, у) в таблице Us< = Ls ^ L( получаются переносом соответствующих чисел из квадратов CmiX1, Cmvc\ Ст2Х\ Ст2Х\ т. е. в клетках (^, yj, (^2, ^1), (^1, //2), (^2, Уз) этих квадратов находятся соответственно числа а, а, Р, у. Это можно следующим образом записать с помощью уравнения у = F (ж, т, Ь),

выражающего инцидентность точки (я, у) и прямой Ьп, Я: У1 = F fo, Шу, by), уг = Р (хг, т.у, Ь2), уг = Е (жп т2, by), у3 = Е (х2, т2, Ь2\'

Учитывая условие 0 = у, мы получаем

F (^и nty, by) = F (х2, ту, b2), F fo, т2, by) = F (ж2, т2, Ь^).

Покажем, что эти равенства несовместны. С этой целью воспользуемся моделью, изображенной на рис. 32, в которой уравнение у = F (ж, т, Ь) интерпретируется так же,

как и на рис. 10 параграфа 1.5. Из условий тг =^ т2, Ьг =£ Ь2 и Ху =£ х2 следует, что для фигуры, изображенной на рис. 32, имеет место

Ву^В2, Л1т^Л2, Су^=С2.

Кроме того, АгА2 Ц ОХ, так как Уу = F (^, тх, by1) = = F (х2, ту, Ь2). Следовательно, точка D = АуА2 f) OY имеет координаты 0, yv Треугольники АуВуСу и А2В2С2 перспективны относительно идеальной прямой и D = =Л1Л2П5152. Поскольку для плоскости S2,q справедлива теорема Дезарга, мы получаем, что D^ СуС2. Поэтому

условие Р = у (т. е. у2 = у3) означало бы принадлежность точек/), С15 С2 одной прямой, параллельной оси ОХ, что невозможно ). Полученное противоречие доказывает ортогональность пары (Ls, L;).

Теперь мы установим, что по всякой полной ортогональной системе латинских квадратов порядка q можно построить проективную плоскость того же порядка.

Мы не будем пытаться обратить Х-процсдуру, поскольку такое обращение не всегда возможно.

Пусть имеется полная ортогональная система Ln L2, . . ., Lg_j латинских квадратов порядка q с элементами из множества’ Q = {0, 1, . . ., q — 1}. Пример такой системы представлен на рис. 33.

О)(Z)(3)(4)

0

1

г

3

4

0

г

4

7

3

0

3

7

4

2

0

4

3

2

7

1

г

3

4

0

1

3

0

2

4

1

4

2

0

3

1

0

4

3

2

2

3

4

О

7

г

4

1

5

0

2

0

3

7

4

г

1

0

4

3

3

4

0

1

2

3

0

г

4

7

3

7

4

2

0

3

г

7

0

4

4

О

7

г

3

4

1

3

0

2

4

2

О

3

7

4

3

2

7

О

Гис. 33.

Систему L1? L2, . . ., Lq_x будем сокращенно обозначать символом LQ, а каждый индивидуальный квадрат системы — символом (£), где £ — элемент множества Q* ={1,2, . . ., q — 1}. Клетку системы LQ, расположенную в квадрате (£) на пересечении строки с номером | и столбца с номером т) (Е, т) ^ Q), будем обозначать через (L п, 9-

Обыкновенными точками будем называть пары (ж, у) элементов из Q, а идеальными точками — одноэлементные множества (z), z £ Q, и (оо). Таким образом, в общей сложности получается q^ + q + 1 точек.

Множество точек (0), (1), ...,(§ — 1) и (оо) будем считать идеальной прямой. Определим также два семейства прямых:

Прямой первого семейства будем считать множество, состоящее из идеальной точки (0) и обыкновенных точек (ж, Ь), где ж пробегает множество Q, а b — фиксированный элемент этого множества. Число таких прямых равно, следовательно, q.

Прямая второго семейства — это множество, состоящее из идеальной точки (оо) и обыкновенных точек (а, г/), где у пробегает множество Q, а а — фиксированный элемент из Q. Число таких прямых также равно q.

Мы знаем, что клетки, содержащие элемент / (Е Q), распределены в любом латинском квадрате диагональным образом. На рис. 33 выделено диагональное распределение клеток с элементом 2 в латинском квадрате (3). В связи с подобными диагональными распределениями в системе LQ мы будем говорить о диагональных прямых [/, £], а именно, прямая [/, £] определяется как множество, состоящее из идеальной точки (£) и обыкновенных точек (ж, у) таких, что клетка (ж, у, £) содержит элемент /. Легко видеть, что число диагональных прямых [/, £] (/ Е Q, С Е Q*) равно q (q — 1).

Таким образом, в общей сложности мы определили 1 + 2q + q (q — 1) = g2 + q + 1 прямых. Каждая прямая состоит из g -j- 1 точек. Систему из точек и прямых, полученную указанным способом из LQ, будем называть фигурой 5, а переход от LQ к S, LQ -> 5,— ^-процедурой.

Теорема. Фигура S, получающаяся в результате применения, ш-процедуры к полной ортогональной системе латинских квадратов, является проективной плоскостью порядка q.

Доказательство. На рис. 34 приведена графическая модель, на которой изображены точки фигуры S (соответствующей примеру рис. 33). Идеальная прямая, а также прямые первого и второго семейств представлены на рисунке прямыми линиями. Каждая диагональная прямая будет изображаться ломаной из q звеньев, заканчивающейся идеальной точкой данной прямой (на рисунке изображены только Прямая [2, 3] и прямая [0, 4]).

Сначала мы докажем, что любые две прямые пересекаются в единственной точке. Ограничимся случаем

г

двух диагональных прямых — остальные случаи очевидны непосредственно из определения. Пусть даны две диагональные прямые [г, г] и [у, s], где г =/= s. Ввиду ортогональности квадратов Lr и Ls пара (i, у") встречается в таблице Urs = Lr ^ Ls ровно один раз; пусть эта пара

попадает в клетку (£, ц) таблицы Urs. Это означает, что число i попадает в клетку (£, ц, г) и число ] попадает в клетку (^, ц, s). Поэтому точка (|, ц) будет единственной общей точкой прямых [г, г] и [у, s].

Аналогично, существование и единственность прямой, соединяющей две точки, непосредственно очевидны во всех случаях, кроме двух: когда одна точка идеальная, а другая обыкновенная и когда обе точки (а, 6) и (с, d) обыкновенные, причем а с и b =^ й.

В первом случае рассмотрим обыкновенную точку (а, Ь) и идеальную точку (у). Если у = 0, то прямая первого семейства, содержащая точку (а, 6), будет искомой; если / = оо, то искомой будет прямая второго семейства, содержащая эту точку; наконец, если у Е Q* и клетка (a, b, f) содержит элемент г, то единственной прямой, соединяющей точки (а, V) и (у), будет диагональная прямая [i, у].

Во втором случае рассмотрим q + 1 прямых, соединяющих точку (а, Ь) со всеми идеальными точками. Любые две из этих прямых пересекаются в единственной точке, и каждая такая прямая содержит q + 1 точек, поэтому всего на этих прямых лежит (q + 1) q + 1 = q2 + q + 1 точек фигуры 5, т. е. все ее точки. Следовательно, одна и только одна из этих прямых содержит точку (с, d).

Наконец, ясно, что точки (0), (оо), (0, 0), (1, 1) являются вершинами собственного четырехугольника. Теорема доказана.

Эта простая комбинаторная теорема позволяет считать геометрию конечных плоскостей одним из разделов комбинаторики. В этом разделе имеется много трудных задач, некоторые из них не решены до сих пор.

Интересно было бы проанализировать связь между X- и со-процедурами; мы, однако, не будем этим заниматься.

Композиция линейных функций и плоскость D(X, У)

В этом параграфе будет установлена связь между конечными проективными геометриями и некоторыми конечными алгебраическими структурами.

Мы начнем с рассмотрения линейных функций у = ах + Ъ, заданных на поле действительных чисел R; при этом будем пользоваться геометрическим представлением этих функций на евклидовой плоскости. Графически поле R изображается

осью х. Линейная функция есть отображение

х -> ах + b (а ^ 0)

поля R на себя, которому отвечает следующая геометрическая операция на евклидовой плоскости (рис. 35). Пусть на плоскости дана система координат. Рассмотрим наряду с осями координат прямую Zo, соединяющую единичную точку Е = (1, 1) с началом координат О. Пусть прямая I

задана уравнением у = ах + Ь (а Ф 0). Указанное выше отображение может быть следующим образом описано с помощью прямой I. Возьмем точку х на оси абсцисс и проведем через нее прямую 7, параллельную оси у. Прямая 1 пересечет прямую I в точке Р. Проведем через точку Р прямую 2, параллельную оси х. Прямая 2 пересечет прямую Zo в точке Ро. Проведем через точку Ро прямую 3, параллельную оси у. Прямая 3 пересечет ось х в точке х', которая называется образом точки х. Если дана точка х', то ее прообраз — точка х — получается из х' теми же действиями в обратном порядке. Ясно, что если прямая I пересекает прямую Zo, то отображение имеет единственную неподвижную точку, а именно точку оси х с той же абсциссой, что и точка пересечения прямых Z и Zo.

Пусть даны две линейные функции

If. х —> ах + Ь и If. х -> сх + d (а ^ 0, с ^= 0).

Под композицией ZXZ2 = Z этих функций будем понимать функцию

х -> с (ах + b) + d.

Операция композиции линейных функций, вообще говоря, не коммутативна даже для функций, определенных на R, поскольку равенство cb + d = ad + b выполняется тогда и только тогда, когда имеет место один из следующих случаев: '

1° По крайней мере одна из прямых lv 12 совпадает с Zo.

2° Прямые 1г и Z2 совпадают.

3° Обе прямые 1У и Z2 параллельны прямой Zo.

4 1^ П Z2 Zo.

Эти четыре возможности можно свести в одно условие, а именно: прямые Zo, Z1T Z2 (необязательно различные') являются элементами одного плоского пучка прямых; при этом условии композиция I = Z1Z2 = 1^ будете конечно, элементом того же пучка.

Легко видеть, что операция композиции ассоциативна.

Дадим теперь геометрическую интерпретацию композиции линейных функций (рис. 36). Пусть две линейные функции порождаются соответственно прямыми 1г и Z2. Исходя иэ произвольной точки х на оси абсцисс, мы выполняем следующее построение. Пусть: (1) прямая.

проведенная через точку х параллельно оси у, пересекает прямую 1Х в точке Рг; (2) прямая, проведенная через точку Рх параллельно оси х, пересекает прямую Zo в точке Ро; (3) прямая, проведенная через точку Ро параллельно оси у, пересекает прямую 12 в точке Р2\ (4) прямая, проведенная через точку Рг параллельно оси х, пересекает прямую хРх в точке Р. Тогда прямая Р^Р пересечет

прямую Zo в точке Р', а прямая, проведенная через точку Р' параллельно оси у, пересечет ось х в точке х'. Варьируя положение точки х на оси абсцисс, мы получаем отображение x-vx', являющееся искомой композицией функций. При этом точка Р описывает прямую Z = IJ^ порождающую это отображение. Четырехугольник РхР0РгР, опирающийся на прямые Zo, lXl Z2, называется координатным четырехугольником.

Пусть точки А = Zo р 1Х и В — Zo П Z2 — различные и не идеальные. Если точка х выбрана так, что точка Ро совпадает с точкой А, то точка Р совпадает с точкой D, получающейся в пересечении прямой Z2 с прямой, проведенной через точку А параллельно оси у. Аналогично, если точка Ро совпадает с точкой В, то точка Р совпадает с точкой С, получающейся в пересечении прямой 1Х с прямой, проведенной через точку В параллельно оси х. Система координат и заданные прямые Zo, lv 14 одно-

значно определяют четверку точек ABCD; получившаяся фигура является как бы ортогональной проекцией тетраэдра. При этом всякий координатный четырехугольник можно считать проекцией плоского сечения тетраэдра, параллельного сторонам AD и ВС (и разбивающего тетраэдр на две треугольные призмы: АРхРй-ВРРг и bpopvcpxpy

В случае конечной плоскости можно указать аналог понятию линейной функции, а именно тернарную функцию, определенную в параграфе 1.5. Решающим, однако, является следующий вопрос: какая функция получается в результате композиции тернарных функций? Если выбраны две тернарные функции F (—, тх, Ьх) и F (—, т^ Ъ^ (т^ т2 ^0), то существует ли тернарная функция F (—, и, Ь) (т =^ 0) такая, что для всех х х' = F (ж, т^ b^ & х" = F (ж', т2, Ъ^ =>

=> х" = F (х, т, Ь)?

Исследуя этот вопрос, мы будем по-прежнему пользоваться рис. 36, только теперь будем считать, что построение четырехугольника ABCD выполнено на конечной плоскости. Наш вопрос равносилен следующему: всегда ли (т. е. при всяком ли ж) вершина Р координатного четырехугольника, опирающегося на прямые Zo, lv l^, лежит на прямой CD"?

Рассмотрим треугольники СРХР и ВРйРг и следующее соответствие между их вершинами: ■ ■ • •

(С Pi Р 1

\В Ро PJ '

— вершине С сопоставляется вершина В и т. д.; эти треугольники перспективны относительно центра X, являющегося идеальной точкой. Стороны СРХ и ВР0 пересекаются в точке А, а стороны РХР и Р0Р2 — в идеальной точке Y. Теперь нам потребуется теорема Дезарга в следующем ослабленном виде: если два треугольника перспективны относительно фиксированной точки X и одной из трех точек пересечения соответственных сторон треугольников является фиксированная точка У, то указанные три точки коллинеарны. Применяя эту теорему к рассматриваемым треугольникам, мы получаем, что точка В, являющаяся точкой пересечения прямых Л У

и Z2, лежит на прямой СР. Таким образом, ослабленная теорема Дезарга играет роль необходимого и достаточного условия принадлежности точки Р прямой I = CD. Легко видеть, что ту же роль играет и теорема, которая получается из ослабленной теоремы Дезарга, если в ней поменять местами X и Y. Действительно, из того, что треугольники .

1 (D Рг Р \ \ : .

V U р0 pj ■

перспективны относительно центра У, мы можем заключить о принадлежности точки С прямой ВХ. Ослабленную теорему Дезарга в указанной выше формулировке будем обозначать символически D(X, У).

Р=Ж/=53

Рис. 37. 5

' Будем пока предполагать, что теорема D (X, У) выполняется, и рассмотрим рис. 37. Связь между рис. 36 и 37 выражается следующим соответствием:,

/А В С DРг Ро Р2 Рl0 ly l2 I \

\ 51 С3 Щ, В2Су Ау А2 С2 q Сд й2/•_

Фигуру на рис. 37 тоже можно считать изображением пространственной фигуры. В сечепии тетраэдра ВгС3АаВ2 плоскостью, содержащей прямую YX, получается четырехугольник 6'1Л1Л2С2; точнее, стороны пространственного четырехугольника А3ВуС3В2 пересекаются плоскостью в вершинах плоского четырехугольника CyAyA^C^. Из

этой фигуры) легко! усмотреть, что X и У^ можно менять ролями.

Предположим, что дана плоскость, удовлетворяющая аксиомам 1п 12 и 13, и две различные точки X и У на этой плоскости. Мы сейчас докажем, что из теоремы D (X, У) для плоскости вытекает теорема D (У, X), и обратно. Для удобства будем считать, что порядок данной плоскости больше 2; нетрудно проверить, что для плоскости порядка 2 обе теоремы D (X, У) и D (У, X) справедливы.

Путь теорема D (X, У) верна. Рассмотрим два треугольника Л1516'1 и А2В2С2 такие, что прямые АХЛ2, ВХВ2 и СХС2 пересекаются в точке У (рис. 37); таким образом, эти треугольники перспективны относительно точки У. Положим АХВХ П А2В2 = С3, ВХСХ Q В2С2 = А3, Ci^n С2А2=В3, и пусть, в соответствии с условием теоремы D (У, X), В3 = X.

Рассуждая от противного, допустим, что прямая А3С3 не проходит через точку X. Пусть прямые ХА3 и АХВХ пересекаются в точке С (=^С3). Тогда мы получим пару треугольников -■... ,4 - . . • . ,

• I ^3 Сх С2 \ , ’\ С Ах А2) 1 " ' . '

которые перспективны относительно точки X = В3. Тогда в силу нашего предположения о том, что теорема D (X, У) верна, точки Вх, У и В = А3Сг П И2С будут лежать на одной прямой. Но в этом случае прямая А3С2 пересечет прямую ¥ВХ как в точке В2, так и в отличной от нее точке В, что невозможно. Следовательно, прямая А3С3 проходит через точку X, т. е. теорема D (У, X) также верна.

Вернемся теперь к рис. 36. Мы предполагали, что А и В — две различные неидеальные точки. Остается еще определить, какие линии описывает вершина Р координатного четырехугольника, опирающегося на прямые Zo, lv Z2, в следующих случаях: когда А ^ В и В — идеальная точка; когда А 5^ В и А — идеальная точка; когда точка А обыкновенная и А = В; когда обе точки А и В идеальные. Предполагается, что теорема D (X, У) имеет место.

Чтобы исследовать первые два случая, обратимся к рис. 38, г и 38, И. Если прямая Z2 параллельна прямой Zo,

w

то, установив соответствие

/Л Ро Pj\\D Р2 Р )’

мы получим пару треугольников, перспективных относительно точки Y. Поскольку АР0 || ВР2 и P0Pi II PJ\

Рис. 38.

то по теореме D (У, X) прямые АРХ и DP параллельны. Таким образом, точка Р всегда лежит на прямой, проведенной через точку D параллельно lv Аналогично, во втором случае точка Р всегда лежит на прямой, проведенной через точку С параллельно Z2.

Два других случая представлены на рис. 39, i и 39, и. Если обе точки А и В совпадают с обыкновенной точкой

на прямой Zo, то рассмотрим два координатных четырехугольника, опирающихся на наши прямые, один из которых дает точку Р, а другой — точку Q. Рассмотрим пару

треугольников; .

(Р» Qo Qz\ .

\рг Q1 Q перспективных относительно точки X; из теоремы D (X, У) следует, что P0Q2 и P^Q пересекаются в некоторой обыкновенной точке 'S, лежащей на прямой AY. Применяя теорему D (X, У) к паре треугольников

/ Р о Рг *?2 \\Р1 Р Q )’

перспективных относительно точки X, мы получаем, что точки S, У и QP П QJ\ лежат на одной прямой, скажем прямой t; следовательно, прямая I = QP проходит через точку А = t П Z2. Фиксируя точку Q и варьируя точку х на оси абсцисс, мы заставим переменную точку Р пробегать прямую AQ. Аналогичные рассуждения применяются в четвертом случае; разумеется, в этом случае прямая I параллельна прямой Zo.

Заметим, что, ввиду соответствия между тернарными функциями и наклонными прямыми (т. е. прямыми, не параллельными ни одной из осей) в данной системе координат, можно вместо композиции двух тернарных функций говорить о произведении двух наклонных прямых.

В итоге доказана следующая

Теорема. Произведение двух произвольных наклонных прямых проективной плоскости тогда и только тогда является наклонной прямой, когда для плоскости выполняется теорема D (X, У).

Подобную плоскость будем для краткости называть плоскостью D (X, У). Отображение х -^ х', порождаемое наклонной прямой, будем называть Х-отображением (рис. 35). Отображение, соответствующее прямой Zo, является тождественным. Если отображения Х17 Х2 и X соответствуют прямым Z17 Z2 и Z = ZTZ2, то произведением отображений Xj и Х2 является отображение X (рис. 40). Поскольку умножение отображений ассоциативно, то умножение наклонных прямых также ассоциативно.

Пусть L означает множество наклонных прямых с операцией умножения, определенной выше. Множество L содержит нейтральный элемент Zo, т. е. для каждой прямой I £ L имеет место Z0Z = ZZ0 = Z. Рисунок 41 показы-

вает, что для всякой ^прямой Ц € L существует прямая Ц^ L такая, что ZrZ2 = Zo, т/е. для всякой наклонной

жащего прямую Zo,жащего прямую Zo,

жащего прямую Zo,

жащего прямую Zo,

прямой имеется прямая, играющая роль обратного элемента относительно операции умножения прямых. (В случае евклидовой плоскости прямая, обратная Zlt полу-

чается зеркальным отражением Zj относительно прямой Zo.) Обозначим множество ^-отображений через А. Мы можем подытожить наши результаты следующим образом.

Теорема. Множество L есть группа относительно операции умножения наклонных прямых, а множество А есть группа относительно умножения отображений.

Как известно, произведение двух прямых пучка, содер- содержится в этом пучке;

кроме того, прямая, обратная прямой этого пучка, снова принадлежит данному пучку. Следовательно, пучок, содержащий прямую Zo, относительно определенной выше операции умножения прямых образует подгруппу группы L.

При этом предполагается, конечно, что из пучка исключены прямые, проходящие через его центр параллельно осям. Если S — точка прямой Zo, обыкновенная или идеальная, то множество наклонных прямых, проходящих через 5, равно как и подгруппу, образуемую этими прямыми, будем обозначать через S.

В заключение этого параграфа мы вкратце наметим схему, позволяющую применить описанную выше теоретико-групповую конструкцию^ для^сведения задач геометрии к задачам теории групп. В настоящее время это наиболее плодотворный метод в конечной геометрии.

Пусть дана группа G порядка g (д — 1). Пусть G имеет g + 1 подгрупп, одна из них порядка д, а остальные — порядка g — 1, причем каждый элемент группы G, кроме нейтрального, принадлежит ровно одной из этих подгрупп. Пусть П обозначает множество всех указанных подгрупп. Множество П называется покрытием группы G, а подгруппы из П — компонентами этого покрытия. Мы снабдим группу G следующей структурой:

Наклонными прямыми будем считать элементы группы G.

Обыкновенными точками будем считать смежные классы gP, где Р — подгруппа из П порядка g — 1, a g С G.

Идеальными точками будем считать смежные классы gP0, где Ро — подгруппа из П порядка g, a g С G.

Мы покажем сейчас на примере, что из этой структуры получается конечная плоскость. Пусть G — полная группа симметрий правильного тетраэдра (в этом случае g = 4). Выпишем таблицу Кэли для этой группы, обозначая элементы группы натуральными числами с условием, что нейтральный элемент обозначается числом 1 (рис. 42). Компонентами покрытия тогда будут

/ Л = {1, 2, 3}, В = {1,5, 12}, С = {1,6, 8},

” ‘ " О = {1,9, 11}, г/= {1, 4, 7, 10}.

В самом деле, элемент 1 является единственным общим элементом любых двух компонент и, кроме того, ^USUCUSU^ = G. ■ .

4 Ф. Картоси "

Составим с помощью таблицы Кэли смежные классы, считающиеся обыкновенными точками:

Л = {1,2, 3}, Р4 = {1, 9, И}, Р7 = {4, 9, 2}, Ло = {7,8, 9}, Лз = {Ю, 5, 9},Л = {1,2, 3}, Р4 = {1, 9, И}, Р7 = {4, 9, 2}, Ло = {7,8, 9}, Лз = {Ю, 5, 9},Р2 = {1, 5, 12}, Р5 = {4,8, 12}, Л = {4, 6, 5}, Л1 = {7,3, 5}, Р14 = {Ю, 2, 6},Р1в = {Ю, 3, 8}.Р2 = {1, 5, 12}, Р5 = {4,8, 12}, Л = {4, 6, 5}, Л1 = {7,3, 5}, Р14 = {Ю, 2, 6},Р1в = {Ю, 3, 8}.Рз = {1, 6, 8}, Р6 = {4, И, 3}, Р8 = {7, И, 6}, Р12 = {7, 12, 2}, Р15 = {10, 12, И},Рз = {1, 6, 8}, Р6 = {4, И, 3}, Р8 = {7, И, 6}, Р12 = {7, 12, 2}, Р15 = {10, 12, И},

Л = {1,2, 3}, Р4 = {1, 9, И}, Р7 = {4, 9, 2}, Ло = {7,8, 9}, Лз = {Ю, 5, 9},

Л = {1,2, 3}, Р4 = {1, 9, И}, Р7 = {4, 9, 2}, Ло = {7,8, 9}, Лз = {Ю, 5, 9},

Р2 = {1, 5, 12}, Р5 = {4,8, 12}, Л = {4, 6, 5}, Л1 = {7,3, 5}, Р14 = {Ю, 2, 6},

Р1в = {Ю, 3, 8}.

Р2 = {1, 5, 12}, Р5 = {4,8, 12}, Л = {4, 6, 5}, Л1 = {7,3, 5}, Р14 = {Ю, 2, 6},

Р1в = {Ю, 3, 8}.

Рз = {1, 6, 8}, Р6 = {4, И, 3}, Р8 = {7, И, 6}, Р12 = {7, 12, 2}, Р15 = {10, 12, И},

Рз = {1, 6, 8}, Р6 = {4, И, 3}, Р8 = {7, И, 6}, Р12 = {7, 12, 2}, Р15 = {10, 12, И},

Теперь, по определению, элементы 1, 2, . . ., 12 являются наклонными прямыми (чтобы подчеркнуть, что

7

г

3

4

5

О

7

8

9

10

11

11

г

3

1

5

О

4

8

9

7

11

11

10

3

1

г

О

4

5

9

7

8

11

10

11

«

8

и

1

11

9

та

1

О

7

5

3

5

9

10

г

11

7

и

3

4

8

О

1

6

7

и

3

10

8

и

1

5

9

4

г

7

11

о

та

8

3

1

5

11

4

1

9

8

11

4

и

9

1

1

в

10

5

3

7

9

10

5

и

7

1

3

4

11

О

1

8

10

5

9

7

1

11

4

11

3

1

8

О

11

О

7

8

3

10

5

11

1

1

9

4

п

4

8

9

1

11

5

—

10

2

3

7

5

Рпс. 42.;"

это прямые, их можно обозначить lv Z2, . . ., Z12), a Plt Р2, . . ., Р1в — это обыкновенные точки; мы поэтому можем интерпретировать некоторые инцидентности. Например, можно считать, что запись Ри = {7, 3, 5} означает инцидентность точки Ри наклонным прямым Z7, Z3, Z5. Или же, пользуясь данным выше перечнем классов, можно сразу сказать, что прямая Z3 (=3) проходит через точки Plt Pe, Ри, Р1в, откуда следует, что

эта прямая содержит четыре обыкновенные точки. Действуя таким образом, мы приходим к таблице инцидентности из 12 стро < и 16 столбцов, которая содержит по три знака инцидентности в каждом столбце и по четыре — в каждой строке. На первый взгляд в этой таблице не угадывается никакого знакомого распределения. Если, однако, переставить строки в соответствии с подстановкой

/1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12^ U 4 7 10 3 12 6 9 2 5 8 И/'

сохраняя порядок столбцов, то мы получим таблцду ИВВДИ дентности, изображенную на рис. 43.

Сразу же легко заметить, что эту таблицу можно дополнить строками и столбцами с таким распределением знаков инцидентности, что получится таблица рис. 7. Новые строки будут соответствовать ненаклонным прямым и идеальной прямой, а новые столбцы — идеальным точкам.

Задачи и упражнения к главе 1■ v,‘

Задачи и упражнения различной степени трудности будут приводиться в конце каждой главы. Они имеют целью, во-первых, дополнить материал каждой главы, во-вторых, привить читателю практические навыки в обращении с новыми идеями, а быть может, и побудить его к самостоятельным исследованиям.

В Г-таблице проективной плоскости порядка 4 (см. рис. 7) сохраняется известный произвол для распределения знаков инци-

дентности в 6-части. Как с помощью строчных и столбцевых преобразований привести это распределение к некоторому заранее определенному виду, доказав тем самым, что существует только одна проективная плоскость порядка 4?

Исходя из правильного 31-угольника, вписанного в окружность, найти путем перебора его максимальный вполне неправильный подмногоугольник. Как можно упростить перебор?

Пусть для правильного многоугольника с g2 -|- g Д- 1 вершинами, вписанного в окружность к, существует вполне неправильный выпуклый подмногоугольник Л с g -|- 1 вершинами. Показать, что при g = 4 центр окружности к будет лежать внутри подмногоугольника Л.

Пусть дан правильный 43-угольник, вписанный в окружность к. Пусть каждые две из каких-нибудь его семи вершин соединены хордами (общее число этих хорд равно 21). Показать путем перебора, что среди этих хорд найдутся две хорды равной длины.

Можно ли раскрасить точки плоскости порядка g > 2 в два цвета, белый и черный, так, чтобы каждая прямая содержала точки каждого цвета? Можно ли это сделать при g = 2?

Доказать, что диагональные точки всякого собственного четырехугольника на плоскости Галуа 52|4 лежат на одной прямой (таблицы операций поля GF (4) приведены в параграфе 1.6).

С помощью рис. 7 и таблиц операций поля GF^ проверить справедливость следующих утверждений. Координаты пяти точек плоскости 5214 удовлетворяют уравнению г? + xi + ^ = 0 п пяти точек — уравнению х^ + z2z3 = 0. Первые пять точек лежат на одной прямой, и из вторых пяти точек в точности две лежат на этой прямой.

Рассмотреть последовательность расширяющихся таблиц из параграфа 1.11 (рис. 16 и 17). Определить число строк и столбцов в таблице Тй.

Для (3, 3)-плоскости, заданной таблицей рис. 14, справедливы следующие теоремы. 1. Отношение параллельности не транзитивно. 2. Существует четырехугольник, не имеющий диагональных точек. 3. Существует пара треугольников, перспективных относительно точки, никакие две соответственные стороны которых не пересекаются. Доказать эти теоремы с помощью рис. 14.

Хотя ряд свойств удается проиллюстрировать с помощью плоскости порядка 4, имеются, естественно, другие свойства, например недезарговость, для иллюстрации которых эта плоскость непригодна. Мы поэтому рассмотрим еще две плоскости порядка 9 (таков наименьший порядок плоскости, отвечающей нашим целям). Поскольку таблицы инцидентности этих плоскостей слишком громоздки, мы не будем приводить их полностью.

Прежде всего составим таблицы операций поля GF (9); они указаны на рпс. 44.

И. Построение таблицы инцидентности Г (9). Следуя примеру, представленному на рис. 7, мы можем расставить знаки инцидентности в первых 10 строках и первых 10 столбцах. Остающаяся Гб-часть разделена на 9 X 9 квадратов. Диагональное распределение, соответствующее элементу к в таблице сложения поля GF (9), будем называть ^-распределением. Всего получается, таким образом,

9 диагональных распределений. Занумеруем квадраты Гв-части так, как показано на таблице G рис. 45 (таблица G совпадает с таблицей умножения поля GF (9), приведенной на рис. 44).

Рцс. 44.Рцс. 44.

Рцс. 44.

Рцс. 44.

Расставим знаки инцидентности в Гв-части так, чтобы любой квадрат с номером к имел Ar-распределение. Это предписание согласуется с общим правилом построения Г (д)-таблицы по произвольному полю GF (д) (параграф 1.6).

6 " V

ОООООООООО12365678О21687356036716582О68156257О5766г813О63528761075831626О86275165ОООООООООО12365678О21687356036716582О68156257О5766г813О63528761075831626О86275165ОООООООООО1г365678Ог1587356036101112131615О48161718192021057гг2326252627О63131516101211О75252726222423084192120161817ОООООООООО1г365678Ог1587356036101112131615О48161718192021057гг2326252627О63131516101211О75252726222423084192120161817

О

О

О

О

О

О

О

О

О

О

1

2

3

6

5

6

7

8

О

2

1

6

8

7

3

5

6

0

3

6

7

1

6

5

8

2

О

6

8

1

5

6

2

5

7

О

5

7

6

6

г

8

1

3

О

6

3

5

2

8

7

6

1

0

7

5

8

3

1

6

2

6

О

8

6

2

7

5

1

6

5

О

О

О

О

О

О

О

О

О

О

1

2

3

6

5

6

7

8

О

2

1

6

8

7

3

5

6

0

3

6

7

1

6

5

8

2

О

6

8

1

5

6

2

5

7

О

5

7

6

6

г

8

1

3

О

6

3

5

2

8

7

6

1

0

7

5

8

3

1

6

2

6

О

8

6

2

7

5

1

6

5

О

О

О

О

О

О

О

О

О

О

1

г

3

6

5

6

7

8

О

г

1

5

8

7

3

5

6

0

3

6

10

11

12

13

16

15

О

4

8

16

17

18

19

20

21

0

5

7

гг

23

26

25

26

27

О

6

3

13

15

16

10

12

11

О

7

5

25

27

26

22

24

23

0

8

4

19

21

20

16

18

17

О

О

О

О

О

О

О

О

О

О

1

г

3

6

5

6

7

8

О

г

1

5

8

7

3

5

6

0

3

6

10

11

12

13

16

15

О

4

8

16

17

18

19

20

21

0

5

7

гг

23

26

25

26

27

О

6

3

13

15

16

10

12

11

О

7

5

25

27

26

22

24

23

0

8

4

19

21

20

16

18

17

Рис. 45.

На рис. 46 даны 27 диагональных распределений, из которых только 9 (под номерами 0, 1, . . ., 8) были использованы при построении таблицы Г (9). Мы не останавливаемся здесь на устройстве остальных 18 распределений. Эти распределения потребуются нам для построения таблицы инцидентности Г* плоскости порядка 9, не являющейся плоскостью Галуа.

«Й

ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Возьмем Г-структуру размером 91 X 91. Распределим знаки в первых 1 + 4 X 9 = 37 строках и первых 37 столбцах так же, как и в таблице Г (9), рассмотренной выше. Распределение знаков в оставшихся 6x6 квадратах [Задается таблицей V на рис. 45: например, индекс 24, встречающийся в двух клетках этой таблицы, означает, что оба соответствующих квадрата имеют распределение, указанное под номером 24.

(Таблица Г* не может быть изоморфна таблице Г(9), поскольку для первой число различных распределений 6 = 27, а для второй 6 = 9.)

Доказать, что плоскость Галуа порядка 9 не содержит четырехугольников Фано, в то время как плоскость порядка 9, определяемая таблицей Г*, содержит как обычные четырехугольники, так и четырехугольники Фано; найти по таблице Г* примеры тех и других.'

Показать, что для плоскости, определяемой таблицей Г*, теорема Дезарга не выполняется, т. е. что эта плоскость недезаргова. Заметим, что это не означает антидезарговости, поскольку, как можно убедиться на примере, на этой плоскости имеются как конфигурации, удовлетворяющие теореме Дезарга, так и конфигурации, не удовлетворяющие ей.

Показать, что плоскость, определяемая таблицей Г*, имеет подплоскость порядка три.

(Это позволяет нам говорить, что Г (3) имеет своими расширениями как Г (9), так и Г*. При этом Г* содержит четырехугольник Фано п, таким образом, обладает подплоскостью порядка 2. Отсюда следует, что плоскость порядка 2 можно расширить как до дезарго- вой, так и до недезарговой плоскости (например, расширениями Г (2) служат Г (4) и Г*).)

Выбрать какую-нибудь Г-таблицу и найти композицию двух прямых (с помощью координатных четырехугольников).

*

В заключение сделаем несколько указаний к решениям упражнений 13, 14 и 15.

Рассмотрим в таблице Г* строки с номерами 1, 4, 6, 22, 28, 68, 65 и столбцы с номерами 1, 3, 8, 29, 32, 52, 55. В пересечении этих строк н столбцов получается таблица Г (2). Аналогично, пересечение строк и столбцов с номерами 1, 2, 3, 4, И, 12, 13, 20, 21, 22, 29, 30 и 31 дает таблицу Г (3).

Из той же таблицы Г* находим, что треугольники

/ ^40 ^59 ^80 \

,1^54 ^85 Рвв'•

перспективны относительно точки Р6, а их соответственные стороны пересекаются в точках P4g, P2i 11 ^34! эти точки не коллинеарны, так как■

^48^81 = ^131^81^34 = ^50 й ^34^48 = ^48"

Глава 2

ГЕОМЕТРИИ ГАЛУА

После изложения основных понятий в главе 1 мы займемся теперь наиболее изученным разделом конечных геометрий, а именно геометриями пространств Галуа. Чисто арифметический способ, с помощью которого определяются пространства Галуа, и аналитический подход к изучению их геометрии с особой силой подчеркивают сходство между классической проективной геометрией и геометрией Галуа. В дальнейшем мы будем рассматривать главным образом плоскую геометрию, хотя и определим и-мерное пространство Галуа порядка q, обозначаемое Sn, q. Изучение случая п > 2 привело бы к значительному увеличению объема книги, однако не обогатило бы нас новыми методами.

В связи с аналитическим подходом мы будем часто использовать понятия и теоремы, относящиеся к теории конечных алгебраических структур. Поскольку эти сведения могут быть незнакомы читателю, мы приводим в Приложении в сжатом виде необходимые факты из алгебры. , , , ,

Понятие пространства Галуа ' '

Арифметическая характеристика пространств Sn<q представляет собой обобщение процедуры, изложенной в параграфе 1.10. С точки зрения такого подхода можно считать, что мы имеем здесь дело с геометрической алгеброй. Действительно, мы будем изучать алгебраические понятия, пользуясь языком геометрии, поэтому более уместно говорить именно о геометрической алгебре, чем об алгебраической геометрии.

Пусть г — натуральное число, р — простое, и q = рт. Поле GF (д) будем, как и ранее, обозначать К. Предположим, что xj £ К, / = 1, 2, . . ., п, и рассмотрим совокупность всех последовательностей (а^, х2, . . ., хп\

Число таких последовательностей есть qn. Разобьем всю совокупность последовательностей на классы следующим образом. Будем считать, что две последовательности (хи х4, . . ., х^ и (х', х'г, . . ., х„) принадлежат одному классу в том и только в том случае, когда существует X £ К, X =#0, такое, что xj = Хх; для всех j = 1, . . ., п. Вводя обозначение (х) = (Хц . . ., хп), имеем:

(х') = (х;, . . ., х;) =

= (Ххь . . ., Xxn) = X (хх, . . ., хп) = X (х).

Для последовательности (0,0, . . ., 0) ее класс состоит только из нее самой. Условимся эту последовательность, называемую иногда не-точкой или пустим пространством, из дальнейшего рассмотрения исключить. Оставшиеся qH — 1 последовательностей разбиваются на классы, причем каждый класс содержит q — 1 последовательностей. Следовательно, число классов есть

(^ _ 1)/(g _ 1) = 0n p

Определенные таким образом классы будем называть точками, а сами элементы хъ х2, . . ., хп последовательности (хх, х2, . . ., хп) данного класса — однородными координатами точки. Множество всех точек будем обозначать Sn_1-q и называть (и — 1)-лериыл1 пространством Галуа порядка q.

В данный момент мы знаем относительно этого множества лишь то, что число точек в нем есть

«п-1 - Г"1 + ^‘-2 + • • • i 1-

Однако самый способ построения этого множества с помощью поля К позволяет ввести в нем определенную структуру, напоминающую классическую проективную геометрию. Набросок такой структуры был дан в параграфе 1.10 для случая п = 3. Этот набросок мы хотим теперь обобщить. Введем ряд понятий, играющих существенную роль в определении геометрической структуры Sn_lt g.

1° Пусть даны последовательности (ап, а5г, . . ., а^) и коэффициенты Хь где / = 1, 2, . . ., k, X; £ К, ац 6 К для Z = 1, 2, . . ., п. Будем называть линейной комбинацией данных последовательностей, образованной с помощью данных коэффициентов, последовательность

(Ьг, Ь2, . . ., Ь„), где.

bi = ХгаХ1 + Х2а2/ + . . . + ^айа!--.

Введем в связи с этим такие обозначения:

(b) = (bv b2, . . ., Ь^ = Хг (аи, а12, . . ., а1п) +

+ Х2 (а21, а22, . . ., а2п) + . . . + Xk (ак1, ак2, . . ., аАп)=

= Хх (а^ + Х2 (а2) + . . . + Xft (аку

2° Будем называть фиксацией координатной последовательности для данной точки выбор одной определенной координатной последовательности из q — 1 последовательностей, задающих данную точку. Если произведена фиксация, то во всех рассуждениях, касающихся данной точки, мы пользуемся выбранной координатной последовательностью.|

3° Будем называть нормированием координатной последовательности данной точки такую фиксацию, при которой последний отличный от нуля элемент последовательности есть единичный элемент поля К. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между точками и их нормированными координатными последовательностями.

4° Будем называть линейной комбинацией Х^! + + Х2Л2 + . . . + ).кАк данных точек Л у, образованной при помощи данных коэффициентов X; (/ = 1, 2, . . ., Л), последовательность■’'

(Ь) = Хх (а,) + Х2 (а^ + . . . + Ха («а), где (ау) обозначает нормированную последовательность для точки А; (/ — 1, . . ., ку Последовательность (Ь) (уже не обязательно нормированная) либо определяет некоторую точку ) S, либо же (Ь) = (0, 0, . . ., 0), т. е. (Ь) есть пустое пространство, обозначаемое 0.

. Мы будем говорить, что точки Аг, А2, . . ., Ак образуют (линейно') независимую систему точек, если равенство

Х^! + к2А2 + . . . + ХкАк = 0 •,\

возможно лишь в случае. ; t V л '

Х1 = Ху = . . . = Хк = 0..

Рассмотрим две линейные комбинации

^1^1 + Х2Л 2 + • • • + ^hAh И Х'Л,^ + Х'Л2 + • • • + ^hAh, где точки А х, Л2, . . ., Ah образуют линейно независимую систему. Пусть эти комбинации суть последовательности

^bv ъ2, ..., ъ^ и (ь;, ъ;, ..ь;).

Могут ли эти две последовательности принадлежать одному классу? Иначе говоря, существует ли такое v £ К, v =# 0, что.

Ь^ = vbv b^ = vb2, . . ., b'n = vbn?

Очевидно, это возможно лишь в том случае, когда

v (ХхЛх 4- Х2Л2 + . . . + ХдЛд) —

— (^1^1 + Х2Л2 + • • • + ХдЛд) = (vXx — ^i) 4г +

+ (vX2 — X2) ^ 2 4" • • • + (уХд — Хд) Ah = 0.

Согласно определению линейно независимой системы точек, это означает, что•

X' = уХц X' = vX2, . . Хд = уХд. .. . ч

Таким образом, для точек, представимых в виде линейных комбинаций линейно независимых точек Л!, Л2, . . ., Ah, последовательность коэффициентов Хх, Х2, . . ., Хд играет сходную роль с последовательностью однородных координат для точек из S^, д. Это позволяет нам сказать, что (Хх, Х2, . . ., Хд), где

(Ч Х2, . . ., Хд) #= (0, О, . . ., 0),

есть последовательность однородных координат для точки

ХхЛх + Х2А2 + . . . + ХдЛд,

относительно заданной линейно независимой системы {41, А 2, . . ., А д}.

Рассмотрим теперь множество всех точек X^i + + ХгАг + . . . + ХдЛд, порожденных линейно независимой системой {Л!, Л2, » . ., Лд}. Очевидно, каждая из базисных точек А; является элементом этого множества: для этой точки следует взять Х/ = 1иХг=0 при i ^ j.

Совершенно ясно, что существует взаимно однозначное соответствие между указанным множеством точек и пространством Галуа Sh_i q, так что указанное множество содержит

0„_х = ^^ + qh’2 + . . . + 1

точек. Это множество точек называется подпространством пространства Галуа 5n_lt g, порожденным системой точек {Лх, Л2, . . ., Ahy В случаях к = 2, к = 3 или к = = п — 1 определенные таким образом подпространства называются соответственно прямыми, плоскостями или гиперплоскостями.

Рассмотрим теперь точки из Sn_lq, определенные с помощью координатных последовательностей

Аг (1, 0, . . ., 0), Л2 (0, 1, . .0), . . ., Ап (0, 0, . . ., 1).

Очевидно, указанные точки образуют независимую систему. Подпространство, порожденное этой системой, совпадает со всем пространством Sn_liq; действительно, точку, отвечающую координатам (а^, хг, . . ., жп), можно записать в виде линейной комбинации ЖхЛх + х2Л2 + . . . + хпАп. Таким образом, Sn_1-q есть подпространство в себе самом; мы будем называть его несобственным подпространством.

Простое число р называется характеристикой поля GP (рг). Мы будем также называть р характеристикой пространства Sn_x, рг. Позднее мы дадим интересную геометрическую интерпретацию характеристики пространства; эта интерпретация может быть распространена на неде- зарговы плоскости.

Пространство Галуа как конфигурация ’ его подпространств' “ '

В этом параграфе будет идти речь о теоремах, относящихся к свойствам инцидентности, а также к операциям объединения и пересечения подпространств пространства Галуа.

1° Если система точек {Лх, Л2, . . ., ЛД независима, то каждая ее подсистема также независима.

Докажем сначала независимость подсистемы {Л2Д А3, . . ., ЛА}. Допустив противное, мы получили бы,:

что существует последовательность (Х2, Xs, . . ., Хй) ^= ^= (0, 0, . . ., 0), для которой Х2Л2 + Х3Л3 + . . . . . . -|- ХЙЛ й = 0, т. е. ХгЛ1 ~Ь Х2А 2 ~Ь • • • Л- ХЙЛЙ = 0? где Хг = 0, но (Х1( Х2, . . ., Хй) =# (0, 0, . . ., 0). Однако это по условию невозможно. Если теперь принять во внимание, что порядок точек в системе безразличен, то повторным применением нашего рассуждения можно доказать независимость любой подсистемы исходной системы Mi? Л2, • • ч Лй}.

2° Если система {Лх, Л2, . . ., А й} не является независимой, то она содержит точку, являющуюся линейной комбинацией остальных точек системы; обратно, если одна из точек системы является линейной комбинацией остальных точек, то система не является независимой.

В самом деле, если система не является независимой, то существует последовательность коэффициентов Хп . . . . . ., Хк, не равных одновременно нулю, для которой справедливо соотношение X^j + Х2Л2 + . . . + XkAk = = 0. Не ограничивая общности, можно считать Ху ^= 0. Тогда • .

Л у = Х'Л2 + Х^Л3 + . . . + ХЙЛЙ, ■

где Ху = ХуХ"1 (/ = 2, 3, . . ., X).

Обратно, если имеет место соотношение Аг = Х'Л2 + + Х^43 + . . . + ХЙЛЙ, то, полагая Хг = 1, Ху = —Ху (/ = = 2, 3, . . ., X), получим ХуЛ у + Х2Л2 + . . . + XkAk = = 0, причем среди элементов Ху, Х2, . . ., Хк имеются не равные нулю. Это означает, что система {Лу, Л2, . . ., Лй} не является независимой.

3° Множество S, состоящее из точек вида Р = ^Лг + 4- ^Мг + • • • + lkAh, где Лу, Л2, . . ., Ак — фиксированный набор точек, есть подпространство.

Если система {Лт, Л2, . . ., Лй} независима, то 5 есть подпространство по определению. Пусть теперь система не является независимой. Выбрав подходящим образом порядок точек, будем иметь Аг = Х2Л2 + Х3Л8 + . . . . . . + XkAk. Обозначим через S' множество точек вида Р = £'Л2 + ^з + . . ■ + UAk. Если Р е S, то Р Е S', так как из Р = ^гАг + £2Л2 + . . . + S,kAh следует Р = = (^Х2 + ^2) Л 2 + (^Хз + ^з) А з + . . . + (U» + |fe) Ак. Очевидно также, что если Р Е S', то Р Е S. Следовательно, S = S'. ~

Повторяя это рассуждение, мы придем в конце концов к независимой системе точек {Лл+1, А к+г, . . ., Л^}, h ^ к — 1, причем 8=8' = ...= S(h), где S^h) обозначает множество точек вида ^й+1Лл+1 + . . . + ^Ла, являющееся уже подпространством. Таким образом, 8 есть подпространство, содержащее

6а-1 = q^1 + ^^ + . . . + 1

точек.,'

4° Множество точек, порожденных подпространством ) 8, совпадает с 8.

Пусть 8 — подпространство, порожденное независимой системой точек {Л1Т Л2, . . ., Л&). Рассмотрим какие- либо точки

S, = ХдЛт + Х,2Л2 + . . . + Х/ьЛь (/ = 1,2,..., Z) из 8, причем будем предполагать, что коэффициенты kjt выбраны таким образом, что координатная последовательность для каждой из точек Bj является нормированной.

Рассмотрим теперь точку,

Р = ^В. + ^2 + • • • + ^Bv <■ <-

ОчеВИДНО,,/‘

Р = т]1Л1 + т]2Л2 + . . . + т]кЛк,■

где т]Л = А^ + X2h^2 + . • . + kuh Qi = 1, 2, . . ., ку Отсюда видно, что Р^ 8.

5° В подпространстве 8, порожденном независимой системой {Лъ Л2, . . ., Л^}, существует не более к независимых точек.

Число всех точек рассматриваемого подпространства есть бь-р Согласно 4° каждая точка подпространства, порожденного независимой системой ^Вг,Вг, . . .,В^ точек из 8, принадлежит 8, следовательно, 6^ ^ 6h_r Отсюда вытекает I <С к.

Мы уже знаем, что в пространстве 8п_г q система из п точек, определяемых координатными последовательностями (1, 0, 0, . . ., 0), (0, 1, 0, . . ., 0), . . ., (0, о, 0, . . ., 1), является независимой системой точек. Следовательно, в этом пространстве существует не более

п независимых точек. Любая максимальная система независимых точек пространства называется базисом, а число точек базиса минус 1 называется размерностью пространства. Очевидно, это соответствует употреблению указанных слов в обычной геометрии. (Прямая есть одномерное пространство, плоскость — двумерное; прямая порождается двумя из ее точек, плоскость — тремя.) Таким образом, в символе 8п_11Ч первый индекс обозначает размерность. Разумеется, пространство, содержащее более одной точки, имеет различные базисы. Например, любая из двух систем:

(1, 0, 0, . . ., 0), (0, 1, 0, . . ., 0), . . ., (0, 0, 0, . . ., 1) и

(1, 0, 0, . . ., 0), (1, 1,0,.. ., 0), . . ., (1, 1,1, . . ., 1), содержащих каждая п точек, является базисом пространства Sn -i,q-

В дальнейшем пространство Галуа размерности п будет обозначаться Sn; при этом предполагается, что q фиксировано.

Пусть Sk, Si^ Sn заданы таким образом, что Sk с: Sn и SjCS„, к ^ I. Рассмотрим ряд предложений о пересечении и объединении подпространств Sk и S

6° Если множество S* = Sk П Si не пусто, то оно является т-мерным подпространством в Sn, где т ^ к.

Пусть {<21, <22, • • ч Om+i} будет максимальная независимая система точек в множестве S*. Очевидно, т ^ к. Каждая точка подпространства Sm, порожденного этой системой точек, принадлежит множеству 5*, ибо, в силу 4°, эта точка должна принадлежать как Sk, так и S;. Если бы существовала точка Q такая, что Q 6 S*, но Q $ 8т, то, в силу 2°, система {(Д, Q-^ • • ■, Qm^ <2} была бы независимой системой точек, что противоречит нашим допущениям. Таким образом, 5* = 8т.

Подпространство 5* = 8т называется пересечением подпространств 8к и 8:; оно является максимальным подпространством, содержащимся в обоих данных подпространствах.

7° Если множество Sk П Si пусто, то к + I <; п.

Допустим, рассуждая от противного, что к + I ^ п. Тогда А: + 1 + ^ + 1 > та + 1 - Пусть {Лг, Л2, . . ., Л к+1) и {5П 52, . . ., Si+1} — линейно независимые системы

точек, порождающие Sk и Si соответственно. Базис пространства 8п состоит из п + 1 точек; следовательно, система

Mi, . . Ак+1, Въ . . Bt+1),

содержащая к + I + 2 точек, не является независимой. В силу 2° можно считать, что точка 5г+1 есть линейная комбинация остальных точек системы. Положим, что

В i+i = ^1Лг + ■ • • + Xh+Mh+i + PiSi + • • • + Ц1В1.

Тогда

^Mi + . . . + Хк+]Л^+1 = —цг5г — . . . — HiBi + Bl+v

Последний из коффициентов в правой части отличен от нуля, следовательно, правая часть есть точка из Sf, эта точка, как показывает левая часть, принадлежит 8к, что противоречит условию. Предложение 7° доказано.

Если множество <5кГ|5г пусто, то подпространства 8к и Si называются расходящимися или независимыми. Необходимым условием этого является к + I < п.

Пусть теперь 8к и St — два произвольных подпространства в 8п. Пересечение всех подпространств, содержащих 8к и Si, называется объединением *) двух данных подпространств. Очевидно, объединение подпространств 8к и Si можно определить эквивалентным образом как подпространство наименьшей размерности, содержащее оба данных подпространства.

8° Если Sk. Si с 8п и Sk П 8t пусто, то для объединения 8Г имеем г = к + I + 1.

Если мы допустим, что г -< /с + Z + 1, то число точек в любой независимой системе, принадлежащей 8Г, будет < к -J- I + 2. Но тогда система точек, составленная из двух систем {Яь Л2, . . ., Hft+1} и ^Вг, Вг, . . ., Bi+1), порождающих соответственно 8к и 81, не будет независимой. Используя рассуждение, примененное в доказательстве предложения 7°, выводим отсюда, что подпространства 8к и Si имеют общую точку.

♦) Не следует смешивать с объединением В.теоретико-мможе.- ственном смысле, т. е. с множеством Sk U Sp— Прим, иерее.* . ‘

Наше допущение, таким образом, приводит к противоречию. Теорема доказана *).

9° Если Sk, S i cl Sn и Sk ^\ Si = Sm (m ^ 0), то для размерности объединения Sr подпространств Sk и Si справедливо соотношение г + т = к + I.

Подпространства Sk и Si порождаются независимыми системами точек, содержащими к + 1 и Z + 1 точек соответственно. Эти системы можно выбрать таким образом, что каждая из них будет содержать независимую систему {С1? С2, • • ., Cm+J, порождающую Sm. Пусть указанные две системы суть

{Л}, . . ., Ак_т, С-1, . . ., Cm+i} м '

{^ъ . . ., Bt_m, Сг, . . ., Cm+i}.

Мы утверждаем, что система точек {Лп . . ., Ак_т, Bv . . ., Bi-m, Cv . . ., Cm+J является независимой, т. е. что соотношение

^1^1 + • • • + ^к-щАк-т + v^ + . . . + vm+1Cm+1 =

= Pi^j -|- . . . + y,i-mBi_m возможно только в случае, когда все коэффициенты равны нулю.

В самом деле, если отличные от нуля коэффициенты встречаются в этом соотношении, то по крайней мере один из коэффициентов ц^ не равен нулю — в противном случае, ввиду независимости системы {Л1Т . . ., Лк_т, Cv . . ., Ст+1}, были бы равны нулю также и все коэффициенты X и v. Так как точки В независимы, то отсюда следует, что выражение, стоящее в правой части нашего соотношения, определяет настоящую точку; обозначим последнюю Р. Поскольку каждая из точек В принадлежит подпространству 8^ мы имеем Р С Si. С другой стороны, выражение, стоящее в левой части, показывает,

♦) Следует учесть, что в любом случае г < к + Z + 1. Действительно, если {Лп . . ., Лд+1) и {Вц . . ., Вг-ц} — базисы Sk и Si соответственно, то множество точек, порожденное системой {А,, • ■ ., А^+1, Bv . . ., Вг+1), есть подпространство размерности к + Z + 1. Это подпространство очевидным образом содержит Sr. Отсюда г ^ к + Z + 1.— Прим, перев.

что Р Е 8к. Следовательно, Р Е 8т. Таким образом, точка Р представима как в виде линейной комбинации точек В, так и в виде линейной комбинации точек С:

? ~ ^1^1 + ^2^2 + • • • + £т+1Стп+1 =

= p^j + Ц252 + • • • + Hl-m^l-m*

Это, однако, противоречит предположению, что система {Cj, . . ., Cm+1, Ви . . ., Bi-^ независима.

Итак, мы видим, что можно выбрать к + I — т + 1 независимых точек из 8к и 8^ Эти точки не могут содержаться в подпространстве размерности меньшей, чем к + I — т, откуда следует г ^ к + I — т. С другой стороны, подпространство, порожденное этими точками, содержит 8Г, следовательно, к + I — т^г. Доказательство закончено.

10° Точки (^j, хг, . . ., хп+1) пространства Sn_q, удовлетворяющие уравнению

^i^i Ч~ а^х^ "4“ . . . “I- ап-^хп-^ — 0,

где коэффициенты av . . ., ап+1 £ GF (q) не равны одновременно нулю, образуют гиперплоскость. Обратно, все точки произвольной гиперплоскости удовлетворяют некоторому уравнению указанного вида.

Докажем первое утверждение теоремы. Если последовательность (xv ж2, . . ., хп+1) удовлетворяет данному уравнению, то, очевидно, и любая последовательность (ж', х'г, . . ., x'n+i)~{kx1, Ххг, . . ., Хх,^ также ему удовлетворяет; мы можем, следовательно, говорить просто о точке, удовлетворяющей уравнению.

Ясно, что не все точки пространства Sn_q удовлетворяют данному уравнению: если предположить (что не ограничивает общности) аг ^= 0, то получим, что точка (1, 0, 0, . . ., 0) не принадлежит множеству 8, определяемому данным уравнением.

Очевидно также, что если каждая из независимых точек {Яр . . ., Л ^^принадлежит 8, то любая точка подпространства Sk_t, порожденного {Лъ . . ., Ль}, принадлежит 8.

Из двух последних утверждений следует, что 8 не может содержать и + 1 независимых точек. Покажем, однако, что 8 содержит п независимых точек. Будем

считать, что ах ^ 0,— этого можно добиться перенумерацией индексов (если необходимо); пусть —а^1 = q (/ = 2, 3, . . ., и + 1). Очевидно, каждая из п точек (с2, 1,0,.. ., 0), (с3, 0, 1, . . ., 0), . . ., (сп+1, 0, 0, . . ., 1) удовлетворяет данному уравнению. Легко также видеть, что эти точки независимы. Обозначим их соответственно С?, С3, . . ., Сп+1. Всевозможные точки вида

^2^2 + ^3 + • • ■ + ^n+l^n+l

исчерпывают S, так как в противном случае S содержало бы более и независимых точек, что невозможно. Тем самым мы доказали первую часть предложения 10°.

Рассмотрим теперь какое-либо подпространство Sn_v т. е. подпространство, порожденное п независимыми точками. Точки

(1, о, о, ..., о), (о, 1,о,..., о),...; (0, 0, 0, . . ., 1), образующие базис пространства Sn q, не могут все вместе лежать в подпространстве 8п_г; допустим, что первая из них не принадлежит Sn_v Пусть Z12, Z13, . . ., Zln+1 — прямые, соединяющие первую точку с каждой из остальных соответственно. Каждая из указанных прямых должна иметь общую точку с 8п_л. Пусть эти точки — скажем, 52, В3, . . ., Вп+1 — задаются координатными последовател ьностями

(Ь2, 1,0,.. ., 0), (Ь3, 0, 1, . . ., 0), . . ., (Ьп+1, О, О, . . ., 1) соответственно. Очевидно, указанные точки образуют независимую систему и каждая из них удовлетворяет уравнению

2-1 ^2^2 ’ ЬзЖд . . . b^+jX^+j = 0.

Множество точек, определяемое этим уравнением, состоит только из точек вида ■

Цг^2 + Рз^з + • • • + Ип+А+п

так как более чем п независимых точек удовлетворять уравнению не могут. Мы доказали, таким образом, вторую часть теоремы. ~

Сделаем теперь некоторые замечания к доказанным теоремам.

Прежде всего, сравним формулы г = /с + ^+1иг = = к + I — т, фигурирующие в 8° и 9° соответственно, т. е. формулы, дающие размерность объединения ST двух подпространств Sh и St пространства Sn_q. Первая из этих формул относится к случаю, когда Sh |~| St есть пустое множество, вторая — к случаю, когда указанное пересечение Sm содержит по крайней мере одну точку, т. е. когда т "^ 0. Если мы условимся считать, что пустое множество имеет размерность —1, то первая формула может рассматриваться как частный случай второй.

Наше второе замечание значительно важнее. Очевидно, уравнение

^1*^1 ~Н ^2^2 ~~^ * * * ~~^ ^п+1^п+19,

в котором не все коэффициенты равны нулю, и уравнение 'Кй-^Ху Ч- Xtl^X^ Ч- • • • Ч- ^^n+l^n+l " 9, где X =# 0, определяют одно и то же множество точек. Допустим, что уравнение

^1^1 4“ ^2*^2 Ч~ • • • Ч- ^п+1^п+1 = О . определяет это же самое множество. Как связаны в этом случае коэффициенты а и №\

Рассмотрим сначала базис

Аг (1, 0, 0, . . ., 0), Л2(9, 1, 0, . . ., 0), . . ..

. . Лп+1 (9, 0, 0, . . ., 1)

пространства Snq. Изменив, если нужно, нумерацию координат, можно считать, что точка Л! не удовлетворяет уравнению, определенному с помощью коэффициентов а, и, следовательно, не удовлетворяет уравнению с коэффициентами Ь. Подпространство Sn_1, определенное уравнениями, пересекается с каждой из прямых A^Aj Q = = 2, 3, . . ., п + 1) в единственной точке, и п полученных таким образом точек образуют независимую систему. Если мы выразим координатные последовательности этих точек в терминах коэффициентов каждого из уравнений, то получим1

( —а*’а2, 1, 9, .. ., 9), ( —а”1^, 9, 1, .,,, 9), .. .\"

• ...(^a^ffln+b 0, Ojf. 4^1).

И'::

(-67% 1, 0, ...,0), (-6^, 0, 1, . ..,0), ...

о, о,

Но, согласно нашему допущению, эти два множества состоят из одних и тех же п точек, следовательно,

Ь1 = Ха1, Ь2 = ^.а2, • • •, Ьп+! = Хап+1,,

где X = Ьга~1 =# 0.

Таким образом, мы можем отождествить гиперплоскости с классами последовательностей из и + 1 элементов, не равных одновременно пулю, как мы это делаем с точками. Чтобы отличать задаваемые таким образом гиперплоскости от точек, мы используем обозначение [un иг, . . ., un+1l, где элементы uv и2, . . ., пп+1 называются однородными координатами гиперплоскости. Таким образом, точка (^ц . . ., жп+1) и гиперплоскость [ult . . ., wn+1] инцидентны в том и только в том случае, когда и1х1 + • ■ • + ип+1хп+1 = 0. Ввиду симметрии между элементами и и х в условии инцидентности, в пространстве Sn-g справедлив принцип двойственности. Согласно этому принципу, если какая-то теорема верна в пространстве Sn_q, то, поменяв в утверждении теоремы ролями точки и гиперплоскости, мы получим другую теорему, которая также верна в 8пЛ.

В пространстве Галуа можно ввести понятие, совершенно аналогичное двойному отношению в классическом проективном пространстве. Пусть нормированные последовательности (аг, а2, • • ., «п+1) и (Z>i, 62> • • •> 6п+1) определяют две независимые точки А и В. Рассмотрим точки ХЛ + щВ = С и рЛ + аВ = D, где С отлична от А и В, a D отлична от А. Мы будем понимать под двойным отношением (ABCD) точек А, В, С, D, заданных в указанном порядке, элемент

(ABCD) = Х-^ра-1 = 9,

координатного поля.т .-ч,

Мы увидим, что это понятие дает возможность развивать геометрию Галуа, используя штейнеровский подход к проективной геометрии.

В заключение заметим, что множество нетривиальных решений системы однородных линейных уравнений, опре-

деленных Над полем Галуа, есть в точности пересечение множества гиперплоскостей в пространстве Галуа, отвечающих данным уравнениям; первое из этих понятий принадлежит алгебре, второе — геометрии.,

Обобщение теоремы Паппа на плоскости Галуа

В последующем изложении мы ограничимся случаем плоскости Галуа и будем использовать результаты параграфов 1.10 и 2.2. Прежде всего рассмотрим следующую теорему Паппа для классической проективной плоскости.

Если прямые их, и2, и3, и^, принадлежащие одному пучку, пересекаются прямой а, не принадлежащей пучку, соответственно в точках Х1? Х2, Х3, Х4, то двойное отношение (ихи2и3и^ четверки прямых равно двойному отношению (ХхХ2Х3Х4) четверки точек.

Двойное отношение четверки прямых, принадлежащих одному пучку, определяется двойственным образом к двойному отношению четверки коллинеарных точек. Пусть [аг, а2, а3] и [Ьх, Ьг, 63] — две нормированные линейно независимые координатные последовательности и а, b — соответствующие им различные прямые. Прямая с, проходящая через общую точку прямых а и Ь, характеризуется последовательностью координат (не обязательно нормированной)■

[сх, с2, с3] = [Хах + р£>х, Ха2 + р^2, Ха3 + рЬ31, что записывается кратко с = Ха + рб. Другая подобным же образом выбранная прямая будет d = pa + ab. Под двойным отношением (abed) рассматриваемой четверки прямых, в данном их порядке, понимается элемент

'(abed) = Х-1рра-1

координатного поля.

■ Мы будем использовать следующую сокращенную запись:

.[ux, U4, U3] = [и], (хх, Х2, Х3) = (х),

•UXXX + и2х2 + и3х3 = [и] (х),- •

1^и^х, Хик2, Хи^31 = X [н^х, uk2, и^3] = X [иД, '

■ (Ххкх, Xxk2, Ххкз) = X (хкх, Xk2, Хкз) = X (х)^.- ; ’

Ниже, говоря о двух различных прямых, мы будем подразумевать две нормированные линейно независимые последовательности координат. Пусть [п^ и [п]2 — такие прямые. Пусть две другие прямые, проходящие через точку пересечения [гх]г и [п]2, будут [п]3 = X [пД + р [п]2 и [п]4 = р [иД + ст [п]2. Аналогичным образом рассмотрим четверку точек, принадлежащих одной прямой: пусть эти точки будут

(яД, (ж)2, (ж)3 = a (яД + Р (яД, (ж)4 = у (яД + 6 (z)2.

Условия теоремы Паппа запишутся следующим образом:

[zz]t (ТД = 0,[u]2 (z)2 = о, [пД (ж)2 = § =# 0,

[п]2 (^Д = т] ^ 0, [п]3 (;г)3 = 0, [u]4 (z)4 = 0.

Для линейных комбинаций, которыми являются [п]3, [п]4, (z)3 и (ж)4, последние два из написанных уравнений означают, что пара элементов (Д ц) удовлетворяет соотношениям

Хр • § + ца • ц = 0,рб-§Доу-ц = 0.

Рассматривая эти два соотношения как систему уравнений с неизвестными Д ц и учитывая (Д ц) Д= (0, 0), находим, что определитель системы есть нулевой элемент координатного поля:

Хр<ту — царб = 0.т.

Если X, с, а и 6 отличны от нуля, то это соотношение" может быть представлено в виде

Х'^рсг-1 = а^Руб"1.

Но выражение, стоящее в правой части, есть двойное отношение четверки точек (аД, ДД, (аД, (аД, а выражение в левой части есть двойное отношение четверки прямых [пД, [п]2, Д]3, [п]4. Таким образом, мы проверили справедливость теоремы Паппа для плоскости Галуа.

Рассмотрим три различные точки АД АД, Х3 прямой. Любой точке АД отличной от Хг, можно сопоставить двойное отношение (Х1Х2Х3Х4). Легко видеть, что таким путем мы получаем взаимно однозначное соответствие

между элементами координатного поля К и точками данной прямой, отличными от Xv При этом, как нетрудно видеть, нулевой и единичный элементы из К отвечают соответственно Хг и Х3. Эти заключения могут быть двойственным образом перенесены на четверку прямых, принадлежащих одному пучку.

Из определения двойного отношения очевидным образом вытекают следующие свойства:

(а)(ХгХ2Х3Х^ + (ХгХ3Х2Х0 = 1;

(аа)(ХгХ,Х3Х0 - (Х^Х^) = 0;

(ааа) - если (Х1Х2Х3Х4) ^ 0, то

^Х^.ХзХОЧХхХ.Х.Х^ = 1.

Доказательства предоставляем читателю.

Результаты, полученные в этой главе, могут с первого взгляда вызвать мысль о полной тождественности между геометрией Галуа и классической проективной геометрией. Однако это не так; мы обсудим теперь некоторые свойства, которые указывают на существование различий между этими двумя геометриями.

Начиная с этого момента наш подход уже не будет чисто алгебраическим; там, где это окажется удобнее, мы будем обращаться к рисунку.

Докажем, что двойное отношение есть инвариант проектирования. Обратимся к рис. 47. Согласно теореме Паппа имеем (ABCD) -- (abed') и (А' В'CD"') (abed1), откуда следует (ABCD^ — (A'B'C'D'Y При этом не обязательно предполагать, что В = BY как показано на рисунке; мы использовали лишь тот факт, что b Y\ и — В и Ъ С и' = В'. Более того, мы не предполагаем, что прямые a, b, с, d различны, так как теорема Паппа остается верной и в том случае, когда d = b или d = с. В частности, теорема Паппа остается справедливой для S2>2, когда имеются только три прямые, проходящие через общую точку.

Более сложно обстоит дело с доказательством соотношения (АВХУ') = —1, относящегося к рис. 48. Мы применяем полученный выше результат сначала к проектированию из точки С, затем к проектированию из точки D,

Находим !'

<ABXY^ = (UVZY) и IUVZY) = фАХУ\Отсюда вытекает (ABXY) = (BAXY). Обозначая этотэлемент через 0, получим на основании указанных вь^ще

- Рис. 47.. .

свойств двойного отношения, что 92 = 1. Заметим, что мы использовали тот факт, что точки А, В, С, D опре

деляют собственный четырехугольник, и получили, отправляясь от них, три дальнейшие точки, именно:,

U = АС Ц BD, V = AD^BC, Х^АВЦСВ, i

Итак, мы должны решить уравнение 02 = 1; вместе с тем следует дать геометрическую интерпретацию решения. В случае К = GF (2Г) решение существенно другое, чем в случае GF (рг), р ^=2.

Если поле координат есть GF (2Г), то уравнение 02 = 1 имеет одно и только одно решение, а именно 6 = 1. (Любой элемент поля характеристики 2 совпадает с противоположным ему элементом по сложению.) Следовательно, в этом случае мы имеем (ЛВХУ) = 1, откуда следует X = У; это означает, что прямая I = UV пересекает прямую АВ в точке X = У. Такой случай невозможно реализовать па рис. 48; рис. 22, Ь больше подходит для изображения этого факта.

Мы можем, таким образом, сделать следующее заключение: любой ^собственный^ четырехугольник на плоскости Галуа четного порядка есть четырехугольник Фано.

В случае поля GF (рг) при р ^ 2 существует ровно два решения уравнения 62 = 1. Это — единичный элемент 1 и противоположный ему элемент по сложению; эти элементы отличны один от другого. Докажем, что (ЛВХУ) =# 1. С этой целью рассмотрим нормированные тройки координат для точек А, В, С и D. Точку D можно представить следующим образом:

D = ХА + цВ + vC, X- p-v =# 0.

Так как X = АВ р CD, то координатная тройка (не обязательно нормированная) для X есть ХА + рВ = = D — хС. Подобным же образом ХА + хС = D — р,В = = U и цВ + хС D — ХА - V. Значит, U — V = -=ХА — цВ = У. Выражения

, ХА + цВ = X и ХА — р,В = У

имеют место безотносительно к характеристике координатного поля. Теперь непосредственно находим, что (ЛВХУ) = (-р)’1 = -1.

Приведенное выше рассуждение, не использующее теорему Паппа, очевидно, ближе к сути дела, чем то, которое мы дали для случая X = У. Точки X и У совпадают тогда и только тогда, когда существуют р и ст такие, что (р, ст) =/= (0, 0), но рХ + стУ = 0, т. е. X (р + ст) А + + ц (р — ст) В = 0. Отсюда, ввиду независимости Л и В, следует р + <J = Р — ст = 0, и, значит, ст = —ст 7^ 0.

Следовательно, X = Y тогда и только тогда, когда <т = = —ст, т. е. в том и только в том случае, когда поле имеет характеристику 2.

Как заключение мы получаем следующий результат.

Диагональные точки любого (собственного) четырехугольника на плоскости Галуа нечетного порядка определяют собственный треугольник.

Из доказанного ясно, что аналогия между плоскостями четного порядка и классической проективной плоскостью не столь тесная, как между плоскостями нечетного порядка и классической проективной плоскостью. Поэтому в ряде случаев необходим совершенно разный подход к плоскостям четного и нечетного порядков.

Координаты на плоскости Галуа

Пусть (Лц Л2, Л3} — независимая система точек в S2-q, где Alf Л 2 и Л3 заданы нормированными тройками координат

(ап, а12, а13), («21, а22, а23), («31, а32, а33) соответственно.

Рассмотрим точку Е такую, что

рЕ = Ау + Л2 + Л3;

эта запись означает, что последовательность (е15 е2, е3), определяющая точку Е, получается нормированием последовательности

(«ы + а21 + «31, «12 + «22 + «32т «13 4" «23 + «зз)-

Очевидно, система точек {Лх, Л2, Л3, Е) не является независимой, но любые три из этих четырех точек образуют независимую систему, т. е. мы имеем дело с вершинами собственного четырехугольника. Фигура, состоящая из таких четырех точек, называется системой координат или системой отнесения; первые три точки называются фундаментальными точками, четвертая — единичной точкой. (Система аксиом, определяющая конечные плоскости, гарантирует, что такой четырехугольник существует.)

Пусть система координат выбрана следующим образом:

л; (1, о, о), л; (о, 1, о), л; (о, о, i); е° (i, i, i).

Тогда координаты точки Р (хъ х2, х-^ можно рассматривать как коэффициенты линейной комбинации

Х^" + Х2А° + ХдАд,

порождающей точку Р. Если мы возьмем теперь другую, произвольно выбранную систему координат, то эта же самая точка Р будет порождаться другой линейной комбинацией фундаментальных точек:К

(2.4.4)(2.4.4)аР = ж'Л! + х 'Л 2 + ж'Л3.

(2.4.4)

(2.4.4)

Это позволяет сопоставить точке Р другую последовательность координат, а именно (ж', я', x'3Y

Условимся называть (^j х2, х^ координатами точки Р относительно системы координат {Л °, Л °, Л °, £°} или старыми- координатами Р, a (x'v я', z') — координатами Р относительно системы координат {Л1; Л2, Л3, £} или новыми координатами Р. Легко получить, используя (2.4.1) и (2.4.4), следующие соотношения между старыми и новыми координатами:

(2.4.5)(2.4.5)■ ахг— и11х1 -|- а21х2 -|- а31а:3, < ох2 = я12а:1 -)- и22х3 -ф- а32^3, . ах3 = a13^ + а23хг -Va^.

(2.4.5)

(2.4.5)

При ртом линейная независимость фундаментальных точек эквивалентна отличию от нуля определителя

ан а21 а31

«12°22°32

«13«23а33

выразить КЗ — кау линей-выразить КЗ — кау линей-Обратно, координаты х^ х2, х3 можно (2.4.5) — с точностью до множителя р =# О

выразить КЗ — кау линей-

выразить КЗ — кау линей-

ные функции от координат ^^ 1 э 2i ^ 3 *

(2.4.6)(2.4.6)• р^; = Cuxt + с1гх2 + с13х3,< р^2 = С21Хг + с22х2 + c23x3l_ рх3= C31XL + С32^2 + Сзз^з,

(2.4.6)

(2.4.6)

причем матрица этой системы обратна матрице системы (2.4.5).

Линейное преобразование (z) ->- (z'), определенное с помощью (2.4.6), мы будем называть невырожденным линей.

ным преобразованием. (Употребление термина «преобра- ) зование» не грозит в данном случае недоразумением.)

Из (2.4.2) получаем Лх + Л2 = рЕ — А3, что дает , точку Е3 = ЛХЛ2 П А3Е. Подобным же образом, линей- ) ные комбинации х^Аг + х'Л2 = аР — х'3А3, получаемые ' из (2.4.4), дают точку Р3 = АгА2 (] А3Р (рис. 49). Будем ■

предполагать, что х^-х^-х' Ф 0. Рассмотрим четверку точек Аг, Л2, Е3 = Аг + Л2, Р3 = х'^ + х'^А^. Очевидно,

(АгА2Е3Р3) = ххх2 т.

Аналогичным образом получим точки Ех = Л2Л3 Г| АгЕ и Рх = Л 2Л 3 (] АгР, для которых

(Л 2Л эЕ^^ = х2х3 1,

и точки Ей = АэАг П АгЕ и Р2 = А3Аг р АаР такие, что(А3А1Е2Р 2) = ^3^1 ‘-

Из этих соотношений следует.

(•^1-^2-^з^>з) ‘ (А гАэЕ^^) • (Л3Л1£'2Р2) = 1.

Обратно, пусть дана последовательность ненулевых алементов (§lt g2, £3). Точки Л2, Л3 и Ег = Л2 + Л3 Определяют единственным образом точку Рх на прямой

Л 2^3 такую, что

Подобным же образом, точки Л3, Лг и Е2 = А3 + А определяют единственную точку Р2, для которой .

Пусть точка Р = AtPt fl А 2Р2 задается линейной комбинацией T]^! + т]2Л2 + г]зЛ3; тогда, согласно предыдущему,

(AtAAP^^ (A^EJ^-^.'

43.41

Мы имеем, следовательно,\,

Вг Ла Вз _ Лз ■'’ J •

Вз ~ -Из ’ В1 41 *'?•

откуда вытекает1

г । Вг _ 'I2• • р •''’.

. Bl T)1 ’‘

т. е. " ,

(11, i2, Is) = (pili, РЧа, РЧз),

где р #= 0. Из полученного равенства мы заключаем, что если Р3 есть точка, определенная двойным отношением (А^^ЕдРз) = ^l’1, то прямая, соединяющая Р3 и А3, проходит через точку Р = АгРг П А2Р2.

Заметим, что если ^^^ = 0, то точка Р будет лежать на одной из прямых Л]Л2, А2А3 и А3Аг. Точнее, если |г = 0, но |2£3 Ф 0, то Р есть точка прямой А2А3, определенная двойным отношением'(Л 2Л a^PJ = ^Ij1, и аналогично для точек на двух 'других прямых; если |г = 0 и В2 = 0, то Р = Аа; если |2 = 0 и |3 = 0, то Р = Ат; если |а = 0 и ^ = 0, то Р = А2.

Подводя некоторый итог, можно дать геометрическое истолкование координатам точки в произвольной системе координат. Пусть Л1? А2, А3 и Е суть фундаментальные точки и единичная точка некоторой системы координат. Из g2 + g + 1 точек плоскости ровно 3 (g + 1) — 3 лежат на сторонах треугольника А^А^А^, поскольку

каждая прямая содержит q + 1 точек. Мы можем установить взаимно однозначное соответствие между остальными д2 — 2g + 1 точками плоскости и классами троек (хх, ж2, z3), удовлетворяющих условию z1-z2iz3 Ф 0. Это соответствие получается следующим образом. Пусть Ех (соответственно Е2, Е^ будет проекция Е из Лх (соответственно из Л 2, Лд) на Л2Л3 (соответственно на Л3Л], Л^з). Зададим тройку (zlt z2, z3), где хх-х2-хэ Ф 0. Рассмотрим три точки Pv Р2, Р3, определенные с помощью двойных отношений

(ДАВД^, ^3^) = ^,

^E2P2) = ^.

Тогда прямые АХРХ, А2Р2 и А3Р3 пересекаются в некоторой точке Р. Сопоставив последовательности (ж17 х2, х.^ эту точку Р, мы получим требуемое соответствие. Что касается точек, лежащих на сторонах треугольника АХА2А3, то их характеристика была дана выше.

Все, о чем говорилось в предшествующей части этого параграфа, можно без особого труда перенести по двойственности на координаты прямой. Кратко изложим соответствующие результаты — детали предоставляются читателю.

Системой координат теперь будет система прямых {щ, а2, а3, е}, из которых никакие три не имеют общей точки. Роль точек Eh Р, выполняют прямые et и рг, соединяющие точку пересечения aj р ак с точками е р at и р р at соответственно; здесь (/ к Z) означает поочередно (1 2 3). (2 3 1) и (3 12). Вместо (2.4.7) мы имеем теперь соотношения

(ajahetpi) = п,^1,

определяющие координаты [м^ п2, п3] прямой; в ислю- чительных случаях, когда прямая проходит через точку а3 р ак или в точности совпадает с а}, для ее координат [ult п2, п3] имеем соответственно пг = 0 или ut = ик = 0.

В терминах первоначальной системы координат (2.4.3) коэффициенты в уравнении прямой мы рассматривали как координаты прямой, 'а инцидентность между точкой ^хх, х2, х^) и прямой Д, п2, п3] выражали равенством иххх + ы3^2 + ы3ж3 = 0.

Пусть мы изменяем систему координат для точек. Всегда ли можно найти такую систему координат для прямых, чтобы инцидентность между точкой и прямой выражалась точно таким же образом? Это означает: если новые координаты точки и прямой суть соответственно (ж[, ж', #3) и [u', u', Uj], то точка лежит на прямой в том и только в том случае, когда

^1^1 Н~ ^2*^2 ^” “з^З 0, .■ * . :>. ^-^l

Чтобы дать ответ па поставленный вопрос, необходимо исследовать зависимость между первоначальными координатами точек и прямых. Пусть координаты (z1T z2, z3) точки относятся к системе координат (2.4.3), а координаты l^, u2, и3] прямой — к системе координат

^ [1,0,0], а' [0,1,0], а3 [0, 0, 1]; е° [1, 1, 1].

Из соотношения инцидентности [u] (z) = 0 следует, что прямые^, а*, а° суть Л°Л°, Л°Л° и Л°Л° соответственно. Таким образом, фундаментальный треугольник — один и тот же для обеих систем координат, только в случае координат точек он рассматривается как фигура, состоящая из трех точек, а в случае координат прямых — как фигура из трех прямых.

Найдем, далее, связь между единичной точкой и единичной прямой, а также выясним, как они соотносятся с фундаментальным треугольником. Оказывается, что здесь имеет существенное значение характеристика координатного поля. Если координатное поле есть К = = GF (р7), то необходимо рассмотреть по отдельности три случая: р = 2, р = 3 и р =^= 2, 3.

Рассмотрим сначала случай р^ 2, 3 (см. рис. 50, где мы заменили Е°г на Ег и т. д.). Без труда находим координаты точек E°v Е2, Е°3:

.^(0,1,1,) S’(l,0, 1), 7^(1, 1, 0). V"

ПуСТЬ . "‘• ■■ •1

уп^-Ё?, е°Па;«Е*3 rf ft а^-Е^-А'^

5 Ф« Картеси.

Уравнения четырех прямых суть

-е°: ^ + ж2 + £3 = 0,

а°: хх=0,

а^ ж2 = 0,г аз:ж3 = 0.

Отсюда непосредственно находим координаты точек пересечения, указанных выше. В нормированном виде они будут

^’(О, —1, 1), £*°(-1,0, 1), Е*°(—1,1,0).

Из (2.4.10) и (2.4.11) легко выясняется структура полной фигуры отнесения, если р ^= 2, 3.

Рис. 50.

1° Точка Е° не лежит на прямой е°.

2° Тройка точек E°v Е^, Е^ есть собственный треугольник.

3° Каждая''из систем точек {Л;, А^, Е\, Е*°}, где (] k Z) = (1 2 3), (2 3 1) или (3 1 2), представляет собой гармонический ряд, т. е. четверку коллинеарных точек, двойное отношение которых равно —1. Действительно, Aj + A°h = Ei и Aj — A°k = Е*°, откуда следует, что (А^А^ЕГ) = -1 и Е\ + ЕТ-

4° Фундаментальный треугольник Л°Л°Л° и треугольник Е°Е°Е3 перспективны с центром Е° и осью е°. Это вытекает непосредственно из Л; — Л^ = Л)° и Е] — E°h = = ЕГ-

Рис. 50 [иллюстрирует эти четыре свойства.

Рассмотрим теперь случай р = 3. Здесь выполняются свойства 2°, 3° и 4°, однако ввиду того,-что 3-1 = 0, имеем Е° £ е°.

* 4 В случае р = 2 остается в силе только свойство 1°; вместо же свойств 2°, 3° и 4° имеем следующее: точки Е° = Е*°, Е°2 = Е*6, Е°3 = Е*° суть три различные точки прямой е°.

То обстоятельство, что фундаментальный треугольник и единичная точка определяют однозначно единичную прямую,, остается верным во всех трех случаях.

Теперь мы можем вернуться к вопросу о выборе фигур отнесения {Л1Т Л2, Л3, Е^ и {ах, а2, а3, е} для новой координатной системы.

Рассмотрим прямую, определяемую уравнением игхх + + игх3 + и3х3 = 0 относительно первоначальной системы координат. Для новых координат точек прямой мы получаем, согласно (2.4.5), уравнение

,

— (а^и-^ Д- а12и2 Д- a13u3) xv 4- — («21^1 + а22м2 + а23мз) -^а 4"

+ "у (asiwi 4" ^32^2 Н~ «зз^з) ^3 = 0.

Обозначим коэффициенты при ж', я', ж' в этом уравнении соответственно u'v и21 и3.

Таким образом, уравнение прямой в новых координатах будет

и^ + “Да 4" и3х3 = 0, . J и мы назовем прямые, выражающиеся в новых координатах уравнениями ж[ = 0, х'2 = 0, х3 = 0, прямым# отнесения (новыми), а прямую -rf

24 4- ^2 + ^з = 0- 1

единичной прямой (новой). Итак, новые коэффициенты определяются с помощью такого преобразования:.

(2.4.12)(2.4.12)- ffzz; = anu14-a12u24-a13zz3, < оп2 = азхи3 -р я22и2 4" а23ы31 _ ои3 = а31их 4- а32ы2 4- а33и3.

(2.4.12)

(2.4.12)

Матрица этого линейного преобразования получается транспонированием из матрицы преобразования (2.4.5). Следовательно, она имеет тот же самый определитель А ^ 0. Это означает, что преобразование обратимо; обратное преобразование имеет вид

(2.4.13)(2.4.13)" PU1 = ciA+С21М2 +^А*< Рм2 = c12ui + с22и3 + c32U3i

(2.4.13)

(2.4.13)

. Р^з = C13U1 + C23U2 + С33и3.

Из (2.4.11) — (2.4.13) становится ясно, что отношения инцидентности между фигурами (И^ Аг, А3, Е) и {«!, а2, а3, е) те же самые, что и между фигурами {И;, а;, а;, Е^ и К, а\. «;. еу

Следовательно, мы можем рассматривать коэффициенты [и', и', и'] уравнения прямой в новых координатах как координаты прямой.

В заключение проверим, [как - ведет себя двойное отношение при линейном преобразовании.

Пусть (^j, х2, х3) и (у1Г у2, у3) — нормированные координатные тройки, определяющие точки X и Y соответственно. Рассмотрим точку Z, определенную с помощью тройки (не обязательно нормированной)

(zlt Z2, Z3) = (X^i + py15 Xx2 + py2, Xx3 + py3).

После преобразования (2.4.6) новые координаты точек X и У, в нормированной форме, будут (ра?', pa:', ра:') и (р*у[, р*у2, Р*Рз) соответственно, где р, р* ^= 0. Точка Z будет иметь тогда координатную тройку

(Хрж; + рр*у[, Хрж; + рр*у2, Хр^ + рр*^)-

Подобным же образом, новые координаты точки Т, полученной как линейная комбинация X и Y с коэффициентами v, ю, будут

(vpa:' + top*y'v vpa:; + юр*у;, vpa:; + №р*у'3У

Итак, в первоначальных координатах двойное отношение (XYZI”) = X_1pvco_1, a-в новых координатах

_ (XYZD = (Хр)-с(рр*).(Ур).(фр*)Ч J ;

Но

(Xp)~1-(|ip)-(vp)-(top*)'1 = X-1pv(o-1, откуда следует такое заключение: двойное отношение не зависит от выбора системы координат.

Отображения, определенные с помощью линейных преобразований

Пусть линейное преобразование"

(2.5.1)(2.5.1)' РЖ1= ^i^i Ч" ^12^2 4* стз^з,* Р3^ = ^А 4~ с22а-2 4~ с23Яз,. Р^з= сзт^14” Сзг-^г 4" с 33X3

(2.5.1)

(2.5.1)

является невырожденным (т. е. определитель С матрицы, составленной из коэффициентов, не равен нулю). Будем интерпретировать его как отображение плоскости S2,q в себя. А именно, пусть fo, хг, х3) и (х'п х2, х^) означают нормированные тройки, отнесенные к одной и той же системе координат, скажем к первоначальной системе {4°, 4°, 4”, Е°у Очевидно, первая тройка будет нулевой в том и только в том случае, когда вторая тройка — нулевая: это вытекает из условия С 7^ 0. Следовательно, невырожденное линейное преобразование (2.5.1) выражает взаимно однозначное отображение плоскости S^q на себя. Будем записывать это отображение С (X) = X', где С обозначает матрицу, составленную из коэффициентов в (2.5.1) *), а X и X' обозначают точки, определяемые тройками (^j ж2, ж3) и (ху х2, х^) соответственно. Обозначая С-1 (X) отображение, определенное с помощью матрицы С-1, обратной к С, можем записать С-1 (X') = X, т. е. отображение С-1 (X) является обратным к отображению С (X).

Установим теперь некоторые свойства отображения С (X). Мы уже знаем, что уравнение

и^ + игхг + и3х3 = 0 .‘ 'd>

эквивалентно

(2.5.3) где

и^ + и'Х + и'3х'3 = 0, .

" оиг = C11U1 + ^12U2 + С13и3,

(2.5.4).

^^г = ^щ^т “Ь С33и3 + С33и3, . OU3 = C31U1A-C32U24-C33U3.

Здесь Cjh обозначает алгебраическое дополнение для элемента Cj^ матрицы С ). Итак, образ множества точек, удовлетворяющих уравнению (2.5.2), есть множество точек, удовлетворяющих (2.5.3). Мы получили следующий результат:

1° Отображение С (X), определенное формулами (2.5.1), переводит прямые в прямые.

Соотношения (2.5.4) выражают тот факт, что прямая, определенная тройкой [azz(, он', ом'], является образом прямой, определенной посредством нормированной тройки l^, м2, м3]. Мы можем, следовательно, сказать, что отображение С (X) индуцирует взаимно однозначное отображение множества прямых на себя. Из предложения, доказанного в конце параграфа 2.4, вытекает следующее:

2° Отображение С (X) сохраняет двойные отношения.

Иначе говоря, если отображение переводит точки A,B,C,D прямой в точки А', В', С, D', то последние коллинеарны и справедливо равенство (ABCD) = (A 'В'CD').

Рассматривая отображение (2.5.4), можно двойственным к 1° и 2° образом получить:

Образ множества прямых, принадлежащих одному пучку, есть снова множество прямых, принадлежащих одному пучку; при этом, если прямые а', Ъ', с', d' являются образами прямых а, Ъ, с, d, то справедливо равенство (abed) = (ab'e'd').

Начиная с этого места, отображение множества точек, определенное с помощью линейного преобразования, и индуцированное им отображение множества прямых будем называть совокупно линейным отображением. В параграфе 1.12 мы встретились с понятием коллинеации, т. е. взаимно однозначного .отображения плоскости на себя,

сохраняющего прямолинейное расположение точек. Очевидно, любое линейное отображение есть коллинеация. Однако значительно труднее определить, является ли всякая коллинеация линейным отображением.

2.6. Линейное отображение данного четырехугольника в другой данный четырехугольник

Рассмотрим собственный четырехугольник, образованный точками 4° (1, 0, 0), А°2 (0, 1, 0), 4° (0, 0, 1) и £j (1, 1, 1) в плоскости S^,q. Наряду с ним рассмотрим другой четырехугольник, образованный точками

4, («д, Uj^, dj^} ki = 1> 2, 3, 4), никакие три из которых не принадлежат одной прямой; координатные последовательности точек Aj предполагаются нормированными.

Линейное отображение

(2.6.1)(2.6.1)• рж1 = Х1а11хг4~ X2a21x3 Ч- Х3а31а:з,рж2 = Хщ^Я^ -]- Х2« 22^-2 Ч~ Хз«32^з,. Р^З ~ ^Х^ХЗ^Х Ч- X2<Z23^2 -]- Х3О33Ж3,

(2.6.1)

(2.6.1)

отнесенное к системе координат (Л°, 4”, 4°, Е0}, где р, Х1( Х2, Хаозначают четыре отличных от нуля элемента, сопоставляет точкам 4°, 4°, 4° точки 4lt 42, 43 соответственно. Это отображение является невырожденным, поскольку его определитель есть

4* = Х^^,

где(2.6.2)где(2.6.2)4 =4 =«и«12«13«и«12«13а21^22а23а21^22а23а31°32«33а31°32«33

где

(2.6.2)

где

(2.6.2)

4 =

4 =

«и

«12

«13

«и

«12

«13

а21

^22

а23

а21

^22

а23

а31

°32

«33

а31

°32

«33

в силу же независимости точек Аг, 42, 4Э элемент А не равен нулю.

Подходящим выбором коэффициентов Хп Х2, Ха можно добиться того, чтобы было ,. ....

{

#41 = ^Х#ХХ Ч~ ^2#2Х Ч~ Х3«31,. . ..... -

«42 = Хх<1х2 Ч- ^2а22 Ч~ ^За32> ,,'.

а^з = Х|«|3 Ч* X2«g3 + Х3а33,

т. е. чтобы точка Л4 являлась образом точки Е°. Действительно, ввиду независимости точек А, каждый из миноров третьего порядка матрицы

аи а21 аз1 а41

#12 й22 #32 й42а13 а23 й33 а43

не равен нулю. Следовательно, система уравнений (2.6.3) имеет единственное решение Xlf Х2, Х3, причем все три этих элемента отличны от нуля.

Подводя итог, можно сказать, что существует линейное отображение, которое переводит вершины собственного четырехугольника А°А°А°Е° в вершины другого произвольно выбранного собственного четырехугольника АхАгА3Е.

Обозначим это отображение ф, а обратное отображение ф-1. Отвлекаясь от прежних обозначений, запишем отображение ф-1 в виде )

(2.6.4)(2.6.4)Ф-1:Ф-1:' Р< = “1А +«12^2+ «13^3, ' P^s= ^21^14" ®22^2 4" ^зз^-зт' Р< = “1А +«12^2+ «13^3, ' P^s= ^21^14" ®22^2 4" ^зз^-зт(det (оул) =# 0).(det (оул) =# 0).

(2.6.4)

(2.6.4)

Ф-1:

Ф-1:

' Р< = “1А +«12^2+ «13^3, ' P^s= ^21^14" ®22^2 4" ^зз^-зт

' Р< = “1А +«12^2+ «13^3, ' P^s= ^21^14" ®22^2 4" ^зз^-зт

(det (оул) =# 0).

(det (оул) =# 0).

. Р^з — «зА 4~ агч.хг 4" Язз^з

Пусть Вх, В2, В3, Bt — произвольно выбранный собственный четырехугольник. Рассмотрим линейное отображение, переводящее точки Л °, Л °, Л ° и Е° соответственно в точки Въ В2, В3 и S4; пусть это отображение

(det (bjh)=£ 0).(det (bjh)=£ 0).{Я^х = ЬиХг -|- Ьх2^2 4" ^13-^3i <Та:2 = Ьмхг -)- ^22^2 4" ^2з^з, ^з = Ъ31х1 4" ^32^2 4" Ь33Х3

(det (bjh)=£ 0).

(det (bjh)=£ 0).

Пусть отображение ф-1 переводит точку X, определенную с помощью нормированной тройки (жп ха, ж3), в точку X*, определенную нормированной тройкой (ж,', ж', ж'), а отображение ф переводит X' в точку X", задаваемую нормированной тройкой (ж'', ж", ж"); тогда отображение X X" называется композицией (или произведением) отображения ф-1 (рассматриваемого как первое) и отображения ф (второго) и обозначается ф-1ф.

Мы утверждаем, что отображение ф-1тр снова является линейным.

В самом деле, рассмотрим линейное отображение

(2.6.6)(2.6.6)Р0#! = CuXi 4“ С43Х3 4" С^з^з,< Р*7^ = С2Д 4“ СггХг 4- С23жэ,. Ртаз= С31Д 4_ Сзг^-з ^4 Сзз^з,

(2.6.6)

(2.6.6)

где коэффициенты суть

(2.6.7) Cj^ bj^a^h 4“ bj2a2h 4~ ^Уз^зй (/, & = 1, 2, 3).

Тогда непосредственным подсчетом, основываясь на (2.6.4) и (2.6.5), легко показать, что отображение ф-1ф = т задается формулами (2.6.6).

Обозначим матрицы, отвечающие отображениям ф-1, ф и т, соответственно А, В и С. Равенство ф-1ф = т обусловлено тем, что В-А = С. Так как для определителей имеет место равенство В-А = С, то из А ^= О, 5=^0 следует С =# 0.

Резюмируя, можно сказать, что для любых двух собственных четырехугольников АгА„А3А4 и В1В2В3В4 на плоскости существует линейное отображение, которое переводит точки Аъ А 2, А3, А^ соответственно в точки Si, В„ В3, В4.

Единственность линейного отображения, удовлетворяющего условиям т (A j) = В; (/ = 1, 2, 3, 4), можно доказать, например, следующим образом. Предположим, что указанным условиям удовлетворяют два различных линейных отображения т4 и т2. Так как т4 ^ т2, то существует по крайней мере одна точка Р такая, что т4 (Р) = Р', т2 (Р) — Р" и Р' ^ Р". Разумеется, точка Р отлична от каждой из точек Aj. Точно так же точка Р должна быть отлична от точек A3A2 Q А3А4, А2А3ПА1А4, А3А3 (~| А2А4, поскольку линейное отображение переводит точку пересечения снова в точку пересечения. Далее, точка Р не может лежать ни на одной из прямых AjAh. Действительно, в противном случае, скажем, если Р лежала бы на прямой А3А4 и Р ^ U = А4А2 Q А3А4, точки Р' и Р" лежали бы на прямой В3В4, причем каждая из них была бы отлична от U* = В4В2 Q В3В4. Поскольку линейное отображение сохраняет двойные отношения, мы-должны были бы тогда иметь (A3A4i7P) = (B3B4U*P'^

и (AgA^UP) = (B3BJJ*P"). Вытекающее отсюда равенство (В3В^и*Р") = {ВзВ^и*Р“) влечет за собой Р' = Р", что противоречит сделанному допущению. Итак, Р не может лежать ни па одной из прямых AjAk. Тем самым, Р' и Р" не могут лежать ни на одной из прямых В,Вк, или, что то же самое, прямая Р'Р" может содержать не более одной из точек В;. Значит, мы можем считать, что она не проходит, скажем, через Bv Итак, прямые V и Z", соединяющие В1с Р' и Р" соответственно (т. е. образы прямой АгР = I при отображениях тх и т2 соответственно), не совпадают. Кроме того, ни одна из них не совпадает ни с одной из прямых В,Вк. Если мы введем обозначения АгАк = 11к и BYBk = tlk, то условие сохранения двойных отношений для тх и т2 даст равенства

' (^12^13^14^) ~ (^12^13^14^ )

И ' '

(^12^13^140 = (^12^13^14^ )’

из которых будет следовать (УУ^') = (^ViJ"), а зна" чит, и V = Z". Полученное противоречие завершает доказательство единственности т.

Понятие овала на конечной плоскости

Мы снова будем изучать аналогии с классической геометрией, но теперь плоскости нечетного и четного порядков должны рассматриваться раздельно.

Эллипс на евклидовой плоскости есть частный случай замкнутой кривой, называемой овалом. Число точек пересечения овала с прямой есть 2, 1 или 0. Соответственно этому прямая называется секугцей, касательной или внешней прямой относительно овала. Мы будем искать фигуры, обладающие этим свойством, на конечной плоскости (не обязательно плоскости Галуа). Прямая на конечной плоскости есть некоторое подмножество, состоящее из q + 1 точек; поэтому кажется естественным потребовать, чтобы и овал состоял из такого же числа точек.

Итак, будем понимать под овалом множество Q из q 4- 1 точек на конечной плоскости порядка q, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Прямую будем называть секугцей, касательной или внешней прямой отно-

сительно овала, если число общих точек овала и прямой равно соответственно 2, 1 или 0.

Легко привести пример овала на плоскости Галуа.

Рассмотрим на S2iq множество й0 точек, определяемое уравнением

х1ха — я2 = 0.

Очевидно, точками Qo являются (1, 0, 0), а также q других точек, определяемых последовательностями (со2,1, ю), где со пробегает все элементы координатного поля. Таким образом, Qo содержит ровно q + 1 точек.

W? 1 (Oi и2 1 0)2 «^ 1 ИзW? 1 (Oi и2 1 0)2 «^ 1 ИзМы должны еще проверить, что любые три (различные) точки множества Qo линейно независимы, но это следует непосредственно из тождеств

W? 1 (Oi и2 1 0)2 «^ 1 Из

W? 1 (Oi и2 1 0)2 «^ 1 Из

1

0

0

<0?

1

(01

= ©2 — ©!

to2

1

(О2

= (Ю1 —Ю2) (СО2— (Оз) («з — ®1).

Попытаемся выяснить, сколько секущих овала Qo проходит через фундаментальную точку (0, 0, 1). Если точки (0, 0, 1), |(®?,'1, (Ох) и (®|, 1, (02) коллинеарны, то, рассмотрев определитель, составленный из их координат, получим соотношение о2 — со2 = 0. Отсюда, ввиду (о^Ог, следует (о2 = — Wj. Если q четно, то (о2= —(о1=о1, что исключается; в этом случае не существует секущих, проходящих через (0, 0, 1). Но число всех прямых, проходящих через эту точку, есть ^ + 1; следовательно, каждая из них содержит одну и только одну точку из й0. Другими словами, любая прямая, проходящая через (0, 0, 1), является касательной к овалу. Такое положение, конечно, невозможно для овалов классической геометрии. В случае, когда q нечетно, только фундаментальные прямые [1, 0, 0] и [0, 1, 0] являются касательными, проходящими через (0, 0, 1); эти прямые проходят через (0, 1,0) и (1, 0, 0) соответственно. Через фунда-

ментальную точку (0, 0, 1) здесь проходит столько секущих, сколько существует неупорядоченных пар, состоящих из элемента и противоположного ему (по сложению), исключая (0, 0); это значит, что существует (q — 1)/2 секущих, проходящих через (0, 0,1). Остальные (q — 1)/2 прямых, проходящих через (0, 0, 1), являются, очевидно, внешними прямыми. Таким образом, в случае нечетного q фундаментальная точка (0, 0, 1) ведет себя подобно внешним точкам овала в классической геометрии: через нее проходят две касательные к овалу, а также прямые, пересекающие овал, и прямые, не имеющие с овалом общих точек.

q + 1 точек овала й0 на плоскости Галуа четного порядка определяют попарно (д -Ц)д/2 секущих; при этом через каждую из точек овала проходит q секущих. Прямая, соединяющая точку овала с фундаментальной точкой (0, 0, 1), является касательной, и эта касательная вместе с q секущими, проходящими через данную точку овала, исчерпывает все прямые плоскости, инцидентные с данной точкой. Укажем еще раз, что все касательные овала й0 проходят через фундаментальную точку О (0, 0, 1). Эта особенная точка по отношению к овалу — не лежащая, однако, на нем — называется ядром овала. Точки овала вместе с его ядром образуют множество из q + 2 точек такое, что на каждой прямой лежит не более двух из них. Любое такое множество называется гиперовалом. Дальше мы увидим, что гиперовалы существуют только на плоскостях четного порядка.

В последующей части параграфа плоскость порядка q не обязательно означает плоскость Галуа порядка q. Вопросы, которые мы будем здесь обсуждать, требуют для своего решения лишь совершенно элементарных комбинаторных соображений.

1° Рассмотрим сначала овалы в плоскостях нечетного порядка. Овал й плоскости состоит из q + 1, т. е. из четного числа точек. Обозначим их А 0, Аъ . . ., A q. Изопределения овала следует, что если мы соединим точку Ак поочередно с каждой из остальных точек, то получим q различных прямых, а. (<7 + 1)-я прямая, проходящая через Ah, является касательной. Таким образом, через каждую точку овала проходит касательная, имеющая эту точку своей точкой касания.

Возьмем произвольную точку овала й, скажем точкуЛ 0, и рассмотрим касательную а0 к овалу в этой точке. Пусть остальные точки касательной будут Pv Р2, . . ., Р q. Каждая из остальных q касательных к Й должна проходить через одну из точек Pv . . ., Р qi так как в противном случае нашлась бы точка Р{, через которую проходила бы только одна касательная а0, а все остальные прямые, проходящие через Р^ были бы секущими или внешними прямыми. Однако это невозможно, так как точки Лп . . ., Aq лежали бы тогда на секущих, проходящих через Ptl и число q было бы четным. Таким образом, через каждую точку касательной, отличную от точки касания, проходят две ) касательные; такие точки называются внешними точками относительно овала. Из наших рассуждений следует, что число внешних точек равно (g + 1) q!2. Если из всей плоскости, насчитывающей ?2 + ? + 1 точек, удалить q + 1 точек самого овала и (g + 1) ql2 внешних точек, то останутся (q — 1) q!2 точек, ни одна из которых не лежит на касательной. Такие точки называются внутренними точками относительно овала.

Итак, подобно прямым, точки плоскости также разделяются на три класса по отношению к овалу: внешние точки, точки овала и внутренние точки. Можно было бы считать, что такое разделение на классы аналогично ситуации, имеющей место в классической плоскости. Однако в случае конечной плоскости порядка q любая внешняя прямая состоит из (q + 1)/2 внешних точек и такого же числа внутренних точек.

Это утверждение вытекает из того факта, что каждая касательнай пересекает внешнюю прямую во внешней точке, причем через эту точку проходят ровно две касательные.

Из подобного же рассуждения следует, что каждая секущая содержит (д — 1)/2 внешних точек и столько же внутренних.

2° Рассмотрим теперь овалы в плоскостях четного порядка. Число точек овала, равное q + 1, теперь нечетно. Через каждую точку овала/-как уже говорилось, прохо-

дит одна касательная; все остальные прямые, проходящие через точку овала, являются секущими.

Рассмотрим секущую I, соединяющую точки Л у и Лй овала. Через каждую из остальных q — 1 точек прямой I проходит касательная к овалу. В самом деле, если бы прямая I содержала точку Р, через которую не проходит касательная, то, соединяя Р с каждой из указанных q — 1 точек овала, мы получили бы секущие, что невозможно, так как q — 1 — нечетное число. Так как число касательных в точности равно числу точек прямой I. то через каждую точку из I проходит теперь ровно одна касательная.

Пусть М будет точка пересечения двух касательных к овалу, скажем а0 и аг. Соединим М с каждой из точек овала. Ни одна из прямых, полученных таким образом, не является секущей, так как в противном случае через одну и ту же точку секущей, а именно через М, проходили бы две касательные (а0 и аД, что, по доказанному, невозможно. Следовательно, каждая прямая, проходящая через М, должна быть касательной к овалу. Точка М называется ядром овала. Множество из q + 2 точек, составленное из овала и его ядра, называется гиперовалом.

3° Множество, состоящее из к точек конечной плоскости, не более чем две из которых коллинеарны, будем называть к-дугой- Если Л-дуга не содержится ни в какой (^ + 1)-дуге, то она называется полной. Овал в плоскости четного порядка является неполной (д + 1)-дугой, так как он содержится в гиперовале, являющемся (д 4- 2)-дугой.

Теорема Бозе). Если в конечной плоскости порядка q существует k-дуга. то k^q + 2 в случае четного q и k^.q + 1 в случае нечетного q ).

Эта теорема легко следует из 1° и 2°. Допустим, что q четно. Пусть Ао будет произвольная точка Ar-дуг г. Соединяя Л0 с остальными точками &-дуги, получим к — 1 различных прямых, но полное число прямых, проходя-

щих через Ло, есть g + 1; отсюда к — 1^7 + 1, т. е. &<1<7 + 2.

Допустим теперь, что q нечетно и существует Zc-дуга, для которой к > q + 1. Взяв какие-либо q + 1 точек &-дуги, получим овал Q. Пусть Ло будет точка &-дуги, не принадлежащая овалу Q. Соединим 10 с точками из Q, тогда получим q + 1 различных прямых, являющихся секущими &-дуги, но касательными к овалу Я. Отсюда следует q + 1^2, но для конечной плоскости q + 1^3. Полученное противоречие доказывает второе утверждение теоремы.

Коники в плоскости Галуа '

Начиная с данного момента мы вводим понятие коники как точечного множества Яо, определенного уравнением (2.7.1), и приступаем к изучению свойств этого множества, которые аналогичны свойствам коник в классической проективной плоскости.

Полином второй степени, фигурирующий в (2.7.1), неприводим над любым конечным полем. Однако нам придется встречаться и с полиномами, которые приводимы над некоторыми конечными полями.

Указанные ниже примеры можно рассматривать при любом координатном поле GF (q\

1° Уравнение хгха = 0 определяет множество, состоящее из 2^ + 1 точек; это множество есть объединение всех точек прямых ^ = О и z2 = 0. Очевидно, оно не является овалом.

2° Уравнение ж, — х\ 0 определяет множество, являющееся объединением точек прямых хх — х2 = 0 и хг + ха = 0; это множество тоже не является овалом.

Следующий пример относится к случаю, когда координатное поле имеет характеристику 2.

3° Уравнения ж, + ж2 + ж32 = 0 и хг + хг + ха = 0 определяют одно и то же множество точек. Это множество состоит из q + 1 точек прямой и, следовательно, не является овалом.

Следующие два примера также относятся к координатному полю GF (2Г), но первый из них мы рассмотрим для случая г = 2, а второй — для случая г = 3. Приве-

дем таблицы операций для GF (8) в том виде, как они будут использоваться дальше (рис. 51).

В случае координатного поля GF (2Т) множество точек, определяемое уравнением ж® + хгхг + ж® = О, содержит фундаментальную точку (0, 0, 1); для любой другой точки из этого множества обе координаты хг и хг не равны нулю.

■+

О

7

г

3

4

5

6

7

X

О

7

2

3

4

5

6

7

О

О

1

2

3

4

5

6

7

’ 0

0

О

О

О

О

О

О

О

7

1

О

3

2

5

4

7

6

7

О

7

2

3

4

5

6

7

г

г

3

О

1

6

7

4

5

2

О

2

4

6

3

7

7

5

3

3

2

1

О

7

6

5

4

3

О

3

6

5

7

4

7

2

4

4

5

&

7

О

7

2

3

4

О

4

3

7

5

г

5

7

5

5

4

7

6

1

0

3

2

5

О

5

7

4

2

7

3

6

6

6

7

4

5

2

3

О

1

6

О

6

7

1

5

3

2

4

7

7

5

5

4

3

2

7

О

7

о

7

5

2

7

6

4

3

Рис. 51.

Предположим, что хг Ф 0, тогда замена xYx~^ = z приводит к уравнению z2 + z + 1 = 0. Из условия q = 2Г следует —1=1, так что наше уравнение может быть записано в виде z (z + 1) = 1.

4° Рассмотрим решения уравнения над GF (8). Из таблиц операций непосредственно видно, что при z = 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7 произведение z (z + 1) поочередно равно 0, 6, 6, 2, 2, 4, 4. Таким образом, уравнение z (z + 1) = 1 не имеет решений над GF (8), и множество точек, определенное уравнением х2 + xYxz + х2 = 0, состоит из единственной точки, а именно (0, 0, 1).

5° Рассмотрим теперь решения уравнения z (z + 1) = 1 над GF (4). Таблицы операций были даны в 1.6. Теперь при z = 0, 1, 2, 3 произведение z (z + 1) есть соответственно 0, 0, 1, 1. Таким образом, z = 2 и z = 3 являются решениями, и мы видим, что уравнение х2 4-x^-V^2 = 0 эквивалентно (xY + 2ж2) ^xY + Зх2) = 0. Следовательно, искомое множество есть объединение точек двух прямых, т. е. снова не овал.

После проведенного нами разбора примеров естественно возникает вопрос: какому условию должны удов-

летворять коэффициенты уравнения второй степени, чтобы определенное этим уравнением множество точек было овалом? Можно поставить и следующий вопрос: всегда ли для данного овала, определенного уравнением второй степени, существует такая система координат, в которой уравнение овала принимает вид хгх2 — ж2 = 0? Ответы на эти вопросы будут даны позже. Сейчас мы ограничимся только изучением геометрических свойств специального овала Qo, определенного уравнением (2.7.1). Вообще говоря, мы будем рассматривать произвольное координатное поле GF (д) = К, но в частных случаях будем специализировать значения q. При необходимости будем обращаться к рис. 52.

Рассмотрим множество, состоящее из g2 — 1 пар (X, ц) #= (0, 0), где X, ц € К. Разобьем это множество на классы, приняв (X, ц) и (X', ц') принадлежащими одному классу в том и только в том случае, когда существует отличное от нуля р £ К такое, что рХ = X', рц = р'. Очевидно, мы получим таким путем (^2 — l)/(g—1) = = q + 1 классов, т. е. столько, сколько точек содержит овал Qo. Легко видеть, что соответствие между классами и точками множества Qo, заданное формулами

Xj = X2, х2 = ц2, х3 = Хц,

будет взаимно однозначным. Таким образом, задавая точку (X2, ц2, Хц) парой (X, ц), мы параметризуем Qo. Эта параметризация сильно упростит наши рассуждения.

Теперь мы можем вывести важные геометрические свойства овала Qo.

Точки

Ij (1,0,0), Л2 (0,1,0) и £(1,1,1)

из Qo параметризуются парами (1, 0), (0, 1) и (1, 1) соответственно. Пусть Р будет точка из Qo, отличная от .4 х, А2 и Е, параметризованная парой (X, ц). Будем говорить, что прямая, соединяющая произвольную точку из Qo с Аь проектирует эту точку из Ар, касательную к Qo в точке Ах будем считать проектирующей Aj из этой же точки. Далее, будем обозначать Ах (АХ12ЕР) двойное отношение прямых, проектирующих Ах, А2, Е, Р из точки Ар Аналогично, А2 (АХА2ЕР) будет обозначать двойное отноше-

ние прямых, проектирующих те же четыре точки из Лг. Согласно теореме Паппа (рис. 52) имеем

А ^AYA2EP) = ^a^e^ = ^А3АгЕхР^ = х^г и.

А 2 (AtA2EP) = (яд^Рз) = (A^gEaP^ ь= я^з1, '

где.-

(xv х2, х3) = (X2, р2, Хр);'

следовательно, ^з^г1 = ^з1 = Хр*1 = 9 и, тем самым,.

Аг (А^ЕР) = А8 кА1А2ЕР^ =9.'

Если Р пробегает множество Qo X А1Т то Рг пробегает aY \ Л3, следовательно, ^А3А2ЕХР^ = Хр*1 = 9 пробегает элементы поля К. Значения 9 = 0 и 9 = 1 отвечают положениям Р = А2 й Р = Е соответственно.

Обратно, каждому значению 9 соответствуют точка Рг из а2 \ А3 и точка PY из ^ X ^з- Таким образом, каждое значение 9 определяет одну точку A2P2f\A1P1 = P на Qo.

Итак, мы доказали следующую лемму.

Если установить соответствие между прямыми, проектирующими точки А^, А2, Е, Р овала Qo из точки Аг,

и прямыми, проектирующими те же точки из Л2, то будет выполняться равенство (2.8.3). С помощью неоднородного параметра 0 устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками множества Qo X Л! и элементами координатного поля К.

Пусть Q (g2, т]2, gp) — точка овала, отличная от Р (X2, р2, Хц). Координаты точки ЛД, П QP = Лз, как легко видеть, будут

(Ц + pg, 0, рр).

Ясно, что точку Р* можно рассматривать как проекцию Р па прямую ЛзЛ3 = а2 из точки Q. Заменяя Р по очереди на Av Л2, Е, получим точки

л* = лх (1,0,0), л:^,о,т,), ^(g+n.o.n); .

следовательно,■

^цл^+л:, р3*=хт!л*+рл:

и

(Л*Л*2?*Р£) = т)-‘ • 1ДЛ • p-i = Xp-i = (ААЕзРзУ

Применяя теорему Паппа к проектирующим четверкам прямых, получаем теперь следующую лемму.

Все четверки прямых, проектирующие четыре фиксированные^ точки Лп Л2, Е, Р овала Qo из любой другой точки овала, имеют одно и то же двойное отношение.

Можно, таким образом, говорить о двойном отношении этой четверки точек.

С помощью доказанной леммы и теоремы Паппа можно распространить понятие двойного отношения на любую четверку точек овала. Для этой цели следует воспользоваться еще одной леммой, которая устанавливает проективный характер соответствия между двумя пучками при некоторых условиях.

Тривиальный случай q = 2 и малоинтересный случай q = 3 исключим из дальнейшего рассмотрения. Пусть U и V будут две различные точки плоскости, а, Ъ и с — три различные прямые, проходящие через V, а , Ь' и с' — три различные прямые, проходящие через U (рис. 53). Обозначим Л, В и С точки пересечения прямых а, Ъ и с с прямой а'; аналогично, пусть А', В’ и С будут точки

пересечения прямых а', Ъ' и с' с а. Очевидно, А = А'. Положим А* = А,В* = СВ' ^С'В^С* = А*В* fl СС; прямую А*В* обозначим I. Пусть х и х’ будут какие-то две прямые, проходящие через U и V соответственно и удовлетворяющие условию

(abcx) = (а'Ъ'с’х'у,

пусть также

X = х П а', X' = х' П а.

Прямая С*Х пересекает I в некоторой точке Х15 а СХ’

пересекает I в точке Х2. Из теоремы Паппа' следует, что (abcx) = (АВСХ) =

_ .= С (АВСХ) =’ .

, Д ,-= (А*В*С*Хх).....

Аналогично,,: ,

(a’bVx’) = (А*В*С*Хй),":

поэтому из (2.8.6) находим

(А*В*С*Хг) = (А*'В*С*Х^.

Отсюда имеем Хг = Х2, т. е. прямые С'Х и СХ' пересекаются в точке, лежащей на I.

При любом выборе прямой х среди множества q — 2 прямых, отличных от а, 6, с и проходящих через У, мы получаем, в силу (2.8.6), соответствующую прямую ж', проходящую через U и отличную от а', Ъ', с'. Легко видеть, что таким путем мы приходим к взаимно однозначному соответствию .

/а Ъ с х ...\ ' ‘

■ <р: Ц И | •

Ь' с' х' .

Более того, мы показали, что при любом выборе х определенные выше прямые С’Х и СХ' пересекаются на прямой I. Отсюда ясно, что для каждых четырех прямых ^j хг, Хд, х^ проходящих через У, и соответствующих им (посредством <р) прямых x'v ж', я', х*4 мы должны иметь равенство

^х^х^ = кх'хх'гх/4У

Наши рассуждения подытоживает следующая (третья) лемма.

Соответствие <р взаимно однозначно и сохраняет двойное отношение; другими словами, <р является проективным соответствием.

Нижеследующая теорема непосредственно вытекает из наших трех лемм. Она аналогична теореме Штейнера, относящейся к хорошо известному свойству коник на классической проективной плоскости.

Соответствие между двумя пучками, составленными из прямых, проектирующих точки овала Яо из двух фиксированных точек того же овала, является проективным, если соответствующие прямые пучков проектируют одну и ту же точку овала.

Близость между свойствами множества Яо на плоскости Галуа и свойствами коники на классической проективной плоскости служит оправданием тому, что мы называем это множество коникой. С этого момента множество Qo и только оно будет называться коникой на плоскости Галуа. > • . . «

Точечные конфигурации порядка 2■

на плоскости Галуа четного порядка .

На протяжении этого параграфа координатное поле К будет предполагаться полем характеристики 2.

Рассмотрим наиболее общий вид уравнения второй степени с коэффициентами из К:

/ (ж) = а^ + а2ж + а3ж| + 6^3+

62Ж3Жд -р 63Ж^Ж2 — 0.

Мы будем искать критерий неприводимости уравнения второй степени над К.

Если Ъх = Ъг = Ъ3 = 0, то уравнение (2.9.1) может быть записано в виде

/ (ж) = 0: с=ж= + с^ + с3ж3 = (с^ + с2ж2 + с3ж3)2 = 0 *), где с| = аг (t = 1, 2, 3).

Пусть (6) = (Ь15 62, Ь3) Ф (0, 0, 0). Предположим, что / (ж) можно разложить на два неэквивалентных линейных множителя, т. е. / (ж) = а (ж) р (ж), где

а (ж) = эд + сс2ж2 + а3ж3 и /

Р (ж) = p^j + р2Ж2 + р3Ж3.■

Тогда данное уравнение запишется в виде.

«1Р1Ж3 + сс2р2^ + а3Рз^ + (а2р3 + а3Р2) ж2ж3 +

+ («зРг + а1Рз) ^3^1 + («1Р2 + a2Pi) ^2 = 0.

Рассмотрим систему уравнений-

^ххх + а2ж2 + а3ж3 = 0,.

Pi*^ 14" Рг^г + Рз^з = 0. .

Одно из решений этой системы будет,

рЖ1 = а2рз а3р2, рж2 = сх3р1 1 с%1Рз, рж3 = cCjP2 cc2pj.

Так как координатное поле имеет характеристику 2, то можем записать это решение по-другому:

р^ = а2р3 + а3р2, рж2 = а^Д а^з, рх3 = ахр2 Д а2рх, т. е.

ржх = bv рж2 = Ьг, рж3 = Ь3.■

Мы установили следующий факт.

Если квадратичная форма / (ж) разлагается в произведение двух линейных множителей, то f (b) = 0. (1)

Покажем теперь, что если каждая точка плоскости удовлетворяет уравнению f (х) = 0, то все коэффициенты уравнения равны нулю. (2)

Действительно, подставляя в уравнение координаты фундаментальных точек (1, 0, 0), (0, 1,0), (0, 0, 1), получим аг = 0, а2 = 0, а3 = 0. Следовательно,

/ (ж) = 0: йхж2ж3 + Ь2х3ху Д Ь^х^ = 0,

и так как этому уравнению удовлетворяют также точки (0,1,1), (1,0,1), (1,1,0), то Ьх = 0, Ь2 = 0, Ь3 = 0. Утверждение (2) доказано.

■**.

Пусть X (жх, х3, х3) и У (рх, у2, у3) — две точки плоскости. Допустим, что точка Z ^хх Д рл^, Хж2 Д цу2, \х3 Д Д цр3) = (zx, z2, z3) прямой ХУ удовлетворяет рассматриваемому уравнению, т. е. / (z) = 0. Это можно записать более подробно следующим образом:

/ (я) -X2 + ф (ж, у) -Хр Д / (у) -р2 = 0,. ,

где (в случае характеристики 2):

ф (ж, у) = ЬЪ^г + Ь2ж3) ух +‘

“Ь ^Ь3хх ~|- ЬуХ3^ у3 Д (^г3’! Д ^х^г) Уз-

Непосредственно ясно, что ф (ж, у) = ф (у, xY

Мы можем теперь определить некое симметричное отношение между X и У. А именно, мы скажем, что две точки сопряжены (относительно множества точек, заданного уравнением / = 0), если ф (х, у) = 0.1

/ /

Предположим, что две сопряженные относительно множества / = 0 точки X и Y существуют и что ни одна из них не принадлежит этому множеству, т. е. что / (ж) = = а ф 0, / (у) = у ф 0 и ф (ж, у) = 0.

Очевидно, точка Z = XX + цУ, X, р =Л 0, будет принадлежать указанному множеству в том и только в том случае, когда

аХ2 + ур2 = 0.

Пусть это равенство имеет место; тогда уравнение ст2 = а ,2/ X \2,

=—будет эквивалентно ст= —и, значит, будет иметь единственное решение ст в поле характеристики 2. Таким образом, мы можем сказать, что прямая, содержащая сопряженные точки X и Y, не принадлежащие фигуре / = 0, имеет с этой фигурой единственную общую точку Z; иначе говоря, прямая XY есть касательная к фигуре, a Z есть точка касания. (3)

Рассмотрим теперь точку В (61т Ь2, Ь3). Очевидно, при fo, ж2, ж3) = (Ь1, Ъг, 63) все коэффициенты в (2.9.3) обращаются в нуль, поэтому

Ф (6, у) = 0.

Итак, любая точка плоскости сопряжена точке В. (4)

Далее, полагая в (2.9.3) (ж17 ж2, ж3) = ^уг, у^, у^, получим ф (ж, у) = 0. Следовательно, любая точка плоскости сопряжена себе самой. (5)

Предположим, что /(b) = а =/= 0, так что полином / (ж) неприводим. Используя тот факт, что В сопряжена любой точке плоскости, можно легко найти число точек фигуры, определенной уравнением / (ж) = 0. Если Y — какая-либо точка плоскости, то, согласно (3), прямая BY содержит только одну точку Z указанной фигуры, т. е. она касается фигуры в точке Z. Число прямых, проходящих через В, есть q + 1, следовательно, фигура содержит ровно q + 1 точек. Точка В называется ядром фигуры. Таким образом, можно сказать, что фигура, имеющая ядро, состоит из q + 1 точек. (6)

Допустим теперь, что В принадлежит фигуре. В этом случае, если точка Y, (у) Ф (Ь), принадлежит фигуре, то и каждая точка прямой BY принадлежит фигуре. (7) Ибо, если / (Ь) = / (у) = ф (Ь, у) = 0, то (2.9.2) выполняется при любом выборе пары (X, ц).

Пусть X, У, Z = XX + цУ — три различные точки фигуры, принадлежащие одной прямой. Тогда / (ж) = = / (у) = 0 и / (z) = ф (ж, у) -Хр =0, откуда следует, ввиду условия Хр, Ф 0, что ф (ж, у) = 0. Это, однако, означает, что любая точка прямой ХУ принадлежит фигуре. Можно, следовательно, сказать, что если три точки прямой принадлежат фигуре, то любая точка этой прямой также принадлежит фигуре. (8)

Если точки В и У (=/= В) принадлежат фигуре, то, согласно (7), каждая точка прямой BY принадлежит фигуре. Если при этом фигура содержит точку У, не лежащую на прямой BY, то она содержит и все точки прямой BY*. В этом случае из (8) следует, что никаких других точек фигура не имеет. Действительно, если бы точка Уо фигуры не принадлежала ни одной из прямых BY и BY*, то, рассмотрев какую-нибудь прямую I, проходящую через Уо, и обозначив через Уг и У* ее точки пересечения с BY и BY* соответственно, мы получили бы, что три точки Уо, YI, У*, лежащие па прямой I, принадлежат фигуре. Но тогда, согласно (8), все точки прямой I принадлежали бы фигуре. Так как при этом I есть любая прямая, проходящая через Уо, то получается, что все точки плоскости принадлежат фигуре. Согласно (2) это означало бы, что все коэффициенты в / (ж) равны нулю, что по предположению исключается. Таким образом, можно заключить, что если / (6) = 0, то фигура не является овалом. (9)

Суммируя сказанное выше, приходим к следующей теореме.

Теорема. Множество точек, отвечающее уравнению второй степени / (ж) = 0, является овалом тогда и только тогда, когда / (6) ^ 0.

Любой овал, получаемый таким путем, т. е. определяемый уравнением второй степени, называется кривой второго порядка и обозначается дальше $*).

Известно, что на плоскости Галуа порядка 2Г, г > 2, существует овал, не являющийся кривой второго порядка. Мы не будем на этом останавливаться.

где(2.9.6)где(2.9.6)По аналогии с классической проективной плоскостью можно ввести поляритет, определяемый кривой второго порядка. Множество точек Y, сопряженных данной точке X относительно кривой ^ второго порядка, называется полярой точки X. Из уравнения (2.9.3) видно, что точка У (г/j, у2, уа) лежит на поляре точки X тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнению (2.9.5)и^уу + игу2 + иауа = 0,

где

(2.9.6)

где

(2.9.6)

• pu^O+^ + ^g,< ри2 = ЪаХу 4- 0 -(- ЪуХа,_ рп3 = Ъ2Ху + \х2 + 0.

Так как точка X сопряжена самой себе, а также точке В, то поляра X есть, очевидно, прямая ВХ. Следовательно, для точек любой прямой, проходящей через В, полярой служит эта же самая прямая. Поляра ядра В есть вся плоскость, ибо, полагая (^j, хг, х^) = (6П Ь2, 63) в (2.9.6), получаем [и^ п2, п3] = [0, 0, 0].

Итак, справедлива следующая

Теорема. Если В есть ядро кривой второго порядка ¥, то множество поляр идентично множеству прямых, проходящих через В, т. е. множеству касательных к кривой.

Эта теорема показывает, что отношение полярности

на плоскости четного порядка совершенно не похоже на соответствующее отношение для классической проективной плоскости.

В заключение поставим вопрос: какие взаимоотношения существуют между произвольной кривой *6 второго порядка и специальным овалом Qo? Этот вопрос будет обсуждаться в следующем параграфе.

Каноническое уравнение кривой второго порядка на плоскости Галуа четного порядка

Мы будем по-прежнему считать, что характеристика поля К равна 2.

Рассмотрим невырожденное линейное отображение

ахг = СууУу + Су2у2 + СузУз-,

Ф:G3C2 = c2yyyA-c22y2-V c2aya,

► 0^3 = caxyx + с^уг + caay9l

матрицу которого будем обозначать С. Если мы выберем треугольник отнесения для системы координат (г/р у2, у3), как в (2.4.3), а именно 4°=(1, 0, 0), 4°=(0, 1, 0) и 4° = =(0, 0, 1), то образ А* точки 4^ = будет иметь координаты (с1г, c2i, c3i) = (сг) (i = 1, 2, 3). Образом стороны аг треугольника отнесения будет являться прямая

Cii^j 4- С2i^2 4- С3;Ж3 = 0 (i = 1, 2, 3),

где С^ обозначает алгебраическое дополнение элемента с,к в матрице С (/ = 1, 2, 3; к = 1, 2, 3).

Пусть снова / (ж) есть квадратичная форма, фигурирующая в (2.9.1), и пусть СцЪ1 + C3ib2 + C3ib3 = Ct (i = 1, 2, 3). После несложных вычислений находим, что <р преобразует / (ж) в квадратичную форму g (у), где

g (у) ^ / (С1) -у\ + 1 ^ "УХ + / W "УХ +

4" ^1 "УгУз + С2 'У3У1 + С3 'УхУ!.

Выберем теперь коэффициенты в <р так, чтобы А* и А* принадлежали кривой 44, определяемой уравнением / (ж) = = 0, и чтобы А* = В было ядром кривой. Тогда / (cj) = = / (Ь) ^ 0 и / (с2) = / (с3) = 0, а также Сг Ф 0, С2 = = С3 = 0, поскольку В (=4*) лежит на прямых А*А* и 4*4* (4*4* и 4*4* касаются кривой в точках 4*, 4* соответственно и проходят через ядро).

Итак, уравнение g (у) = 0 приводится к виду

(2.10.2)Пусть(2.10.2)Пустьg (У) = / М • УХ + Сг • у2у3 = 0.

(2.10.2)

Пусть

(2.10.2)

Пусть

а обозначает такой элемент поля К, что а2

— у^ 7 и пусть р и у — такие два элемента К, что ру =

Рассмотрим невырожденное линейное отображение . ;. руг = аг3, '‘

■ ' ■•;- Ф= РУг = ^21" ■1

. РУз = ?21..

Это отображение переводит (2.10.2) в уравнение

Zj z2+z2 = 0, которое в случае поля К характеристики 2 совпадает с уравнением

(2.10.3)(2.10.3)z^ — z3 = 0.

(2.10.3)

(2.10.3)

Эффект отображения фф = ® эквивалентен такому выбору системы координат, при котором точки отнесения 4°, Л° и единичная точка Е” лежат на й, а точка отнесения Л° есть ядро й. Иначе говоря, взаимоотношения новой системы координат с % такие же, как взаимоотношения старой системы координат с Qo. Мы скажем, что уравнение кривой Г приведено к канонической форме (2.10.3). Таким образом, справедлива следующая

Т е о р е м а. Любые две кривые второго порядка на плоскости Галуа четного порядка эквивалентны (относительно линейного отображения) ).

Ссылаясь на эту теорему, мы можем при выяснении свойств кривых второго порядка ограничиться кривой й0: ххх2 — ж, = 0. Докажем, например, аналог следующей теоремы классической проективной геометрии: поляра одной из диагональных точек четырехугольника, вписанного в конику, есть прямая, соединяющая две другие диагональные точки. Рассмотрим кривую

й0: ^2 — ^з = 0

и на ней — четыре точки:

, Qi (^i, Pr ^iPi), Qi (^2> Ра’ ^гРг)» , . • Qs (^» pl, ^зРз)’ Qi № pL ^pJ- ‘ Прямыми вычислениями находим, что

(?1(?2 П QaQk = ^1 (^1^2’ Р1р2’ 0),?

; с, ^3 П QlQk = ^2 (^1^21 Р1р2’ ^1Рг)’

QiQt П QiQa ” ^з (^1^21 Р1Р21 ^гРх)-

Рассмотрим теперь прямую ^. iplp2’ ^1^2’ 0], которая проходит через ядро (0, 0, 1), т. е. является касательной; эта прямая проходит и через диагональные точки Вг, D2, D3. Координаты точки касания D прямой d с линией й0 суть

P^l = XjX2, Р^2 ~ Р1Р2’ Рж3 = V ^1^2plp2 = V

(v £ К, поскольку каждый элемент из К является квадратом) .

Мы уже' знаем, что касательная к кривой ^0 в некоторой точке есть поляра этой точки относительно $0 и что через каждую точку, исключая ядро, проходит одна и только одна касательная. Таким образом, прямая d является полярой каждой из точек Du Dy D3. Мы доказали следующую теорему.

Т е о р е м а. Диагональные точки четырехугольника, вписанного в кривую второго порядка на плоскости Галуа четного порядка, лежат на одной касательной к кривой; эта касательная служит полярой каждой из диагональных точек.

Точка касания прямой, содержащей диагональные точки четырехугольника, с кривой называется точкой, ассоциированной с четырехугольником.

Точечные конфигурации порядка 2.:

на плоскости Галуа нечетного порядка. .

В этом параграфе координатное поле К считается полем нечетной характеристики.

Некоторые детали доказательств мы будем теперь опускать, так как они повторяют рассуждения, используемые в классической проективной геометрии.

Общее уравнение «фигуры второго порядка» можно записать в следующей форме:

f^ = 0: а11х214-а22х224-аэзх23 +

2а12хТх2 + 2а23х2х3 -|- 2я31жзЖ1 = 0.

Условимся считать ajh = ahj, тогда симметрический определитель

°н а12 а13

•4

(2.11.2)

■ : л=

а21а22а23

а31 а32 а33

будет называться определителем фигуры второго порядка.

Квадратичная форма / (ж) разлагается в произведение двух линейных форм в том и только в том случае, когда Л = 0; следовательно, условием неприводимости f (х) является Л ^ 0. Если это условие выполнено, то множество точек, определяемое уравнением / (ж) = 0, назы-

вается кривой второго порядка или квадратичной кривой. Здесь слово «кривая» подчеркивает тот факт, что фигура не содержит прямых. Квадратичную кривую (где это потребуется) будем обозначать 1g.

Пусть X и У будут две точки, заданные неэквивалентными координатными последовательностями (жь ж2, ж3) и (Уы Уз- Уз) соответственно. Точка Z, являющаяся линейной комбинацией X и У, принадлежит кривой 1g, если

/ ^ = / (Хж + цу) =

= / (ж) -X2 + 2ф (ж, у) -Хц + / (у) -р,2 = О, где '(

ср (ж, у) = (а^ + а12ж2 + а13ж3) yj +

‘'+ («21^1 + «22^2 + аЗЗЖз) Уз +

•"Ь (азА "Ь аззжз "Ь ^зз^з) Уз-

Ввиду того, что ajh = ahJ-, имеем, очевидно,

Ф (ж, У) = ф (у, ж) и ф(ж, ж)=/(ж).

Мы скажем, что точка У сопряжена точке X относительно кривой 1g, если

ф (ж, у) = 0.

Из (2.11.5) следует, что сопряженность есть симметричное отношение между двумя точками; при этом точки кривой 1g сопряжены сажи себе.

В необходимых случаях мы будем использовать некоторые хорошо известные теоремы теории полей Галуа. Некоторый элемент поля называется квадратом, если он равен квадрату хотя бы одного элемента поля. Среди q — 1 отличных от нуля элементов поля нечетной характеристики имеется (у — 1)/2 квадратов и ровно столько же не-квадратов. Каждый квадрат является квадратом в точности двух элементов, и эти два элемента противоположны друг другу по сложению. Существует элемент S ^= 1 поля, называемый примитивним элементом, такой, что

S9"1 = 1 и S" =/= 1

для всякого п, меньшего q — 1. Таким образом, каждый ненулевой элемент поля может быть представлен как

степень элемента 5; в частности, все отличные от нуля квадраты являются четными степенями 8.

В качестве примера рассмотрим элемент 3 в таблице, приведенной на рис. 44: З1 = 3, З2 = 7, З3 = 8, З4 = 2, 3s = 6, З6 = 5, З7 = 4, З8 = 1. Мы видим, что квадраты в поле GF^ суть О, З2 = 7, З4 = 2, З6 = 5, З8 = 1; эти элементы стоят как раз на главной диагонали таблицы умножения.

Наконец, рассмотрим корни квадратного уравнения аж2 + Ъх + с = 0 в конечном поле, а именно элементы

(— ЪД-У№— 4ас)/2а и (— b— V ^— 4ас)/2а.

Если d = № — кас есть отличный от пуля квадрат, то существуют в точности два (различных) корня; если d = 0, то имеется только один корень; если же d не является квадратом, то уравнение не имеет решений. Если Ъ = 0 и —с!а есть квадрат (но с =Л 0), то существуют два корня и их сумма равна нулю.

Приняв во внимание эти алгебраические факты, продолжим изучение кривой %.

Точки пересечения кривой % с прямой можно найти, используя (2.11.3) и (2.11.4). Число таких точек будет всегда 2, 1 или 0; соответственно этому прямая называется секущей, касательной или внешней прямой.

Пусть X и Y — две точки, не лежащие на кривой $, но сопряженные относительно кривой. Если прямая XY пересекает кривую в точках Р и Q, то (XYPQ) = (—1) — это следует из (2.11.3).

Множество всех точек, сопряженных данной точке X относительно кривой с€, является прямой; эта прямая называется полярой точки X. Ее уравнение будет (2.11.4), где xv х2, ха фиксированы (координаты точки X). Если точка X лежит на кривой ^, то ее поляра есть касательная к кривой в точке X.

Если четырехугольник QtQzQ^b вписан в кривую %, то его диагональные точки

Dy = QiQ^ П <?3<?4, У2 = <21<2зП Q^Q^ Da = QyQ, n Q2Q3 образуют треугольник, в котором каждая сторона является полярой противолежащей вершины. Такой треугольник называют автополярной фигурой относительно кривой $ иди автополярным треугольником,

Сопоставив каждой точке ее поляру, мы получаем взаимно однозначное отображение, задаваемое, согласно (2.11.4), формулами

(2.11.7) л(ж) = [и]: <(2.11.7) л(ж) = [и]: <puj = аихх + а12х2 + а13х3. ри2 = a21^i Н" ^зг^г 4" Ягз^з Ри3 = ^зЛ + ^32^2 + ЯЗЗ^З

(2.11.7) л(ж) = [и]: <

(2.11.7) л(ж) = [и]: <

где м1, м2, и3 суть координаты прямой линии — поляры точки fe, х2, х3\ Это отображение линейно, и его определитель Л есть как раз определитель уравнения кривой г6. Ввиду Л =# О отображение л имеет обратное, следовательно, каждая прямая является полярой одной и только одной точки. Эта точка называется полюсом данной прямой. Отображение л (ж) = [и] называют поляритетом, установленным с помощью кривой

Если поляра некоторой точки X пересекает кривую в двух точках, то прямые, соединяющие эти точки с X, являются касательными к кривой.

Рассмотрим теперь невырожденное линейное преобразование .

(2.11.8)(2.11.8)" P^i — С11У1 + с12Уг + с1зУз1

(2.11.8)

(2.11.8)

P^2 = С21У1 + ^22У2 + С23УЗ'

. Р^З — С31У1"\- С32У2"\- сззУз-

Как и прежде, точка отнесения Л t для новой системы координат (yv у2, у3) имеет первоначальные координаты М = (с1Ь c2i, сзг) (i = 1, 2, 3) ).

С помощью у квадратичная форма / (х) преобразуется в g (у), где

g^^f^y^ + f^y^ + f^y^-v'

4- 2q> (сь с?) УзУ2 + 2q> (с2, с3) у2у3 + 2q> (с3, с^ y3yv

Конкретный вид формы g (у) зависит, естественно, от взаимного расположения треугольника АгА2А3 и кривой

Наибольший интерес представляют следующие три случая:

1° Треугольник A1t2A3 вписан в кривую $.

2° Треугольник АгА2А3 является автополярным треугольником относительно ^.

3° Стороны АгА2 и А2А3 треугольника АгА2А3 касаются кривой ^ в точках Аг и А2 соответственно.

Соответственно этим случаям уравнение g (у) = 0 запишется:

b12yAy2 + b23y2y3 + b31y3y1 = 0;it‘ '

/•пуЬ^ + Ь^ + ЬззУ^О,.,'

ЬггУгУг + Ь33у^ = О,1-

где Ьл = f (cj) и b3k = 2ф (cj, с^, если i=£k.'’ " *

Третье уравнение можно упростить дальше с помощью линейного преобразования

Р" Pzi ~ Р1У1» Pz2 = Рг^2> Р2з = У у

где Pj = b12 и Р2 — ^зз! это преобразование приводит к уравнению канонического вида

z^ —г“ = 0.

Мы перешли от исходного уравнения / (ж) = 0 к каноническому уравнению с помощью линейного преобразования о = ур. В зависимости от того, как понимается со, этот факт можно истолковывать двумя различными способами:

1° со понимается как преобразование системы координат. Это будет означать, что уравнение кривой ^ принимает канонический вид (2.11.9) в подходящим образом выбранной системе координат.

2° со понимается как линейное отображение на плоскости. Это означает, что исходная кривая ^ переводится линейным отображением в кривую ^0, определяемую (в той же самой исходной системе координат) уравнением а\х2 — Жд = 0.

Так или иначе, мы можем теперь сказать, что любая кривая^ второго^порядка есть овал. Позже будет показано, 6 Ф. Картеси

что обратное утверждение тоже справедливо, а именно: на плоскости Галуа нечетного порядка каждый овал есть кривая второго порядка.

Комбинируя результаты этого параграфа с результатами 2. 10, мы видим, что любая кривая второго порядка ^ на плоскости Галуа произвольной характеристики имеет каноническое уравнение хгх2 — ^ = 0. Поэтому в следующем параграфе мы не будем делать различия между случаями нечетной и четной характеристик.

Соответствие между двумя пучками прямых

'.Пусть А и В будут две различные точки плоскости Галуа. Предположим, что установлено некоторое соответствие между прямыми пучка прямых, проходящих через В, и прямыми пучка прямых, проходящих через А. Для каждой пары соответствующих прямых можно найти точку их пересечения. Фигура, образованная точками пересечения, называется проективно порожденной траекторией, полученной с помощью данного соответствия. Разумеется, если отображение обладает тем'свойством, что прямая АВ соответствует самой себе, т. е. она является общей прямой данного соответствия, то эта прямая будет одной из компонент траектории. В общем же случае из всех точек прямой АВ только точки А и В принадлежат траектории, так как прямая, проходящая через Ли соответствующая прямой АВ, пересекает АВ в точке А, а прямая, проходящая через В и соответствующая АВ, пересекает АВ в точке В.

Если рассматриваемое соответствие является проективным и прямая АВ соответствует самой себе, то траектория состоит из прямой АВ и еще одной прямой, как можно легко вывести из теоремы Паппа. В этом частном случае проективное соответствие между двумя пучками называется перспективным (или перспективой).

Ниже мы будем рассматривать траектории, образованные точками пересечения прямых двух проективно соответствующих пучков, причем соответствие между ними не будет перспективным. ■

Пусть дан собственный четырехугольник PJ\PtQ (рис. 54). Пучок прямых с центром Рг переводится в пучок с центром Рг с помощью проективного соответствия, уста-

навливаемого с помощью данного четырехугольника следующим образом (предполагается, что плоскость Галуа имеет порядок >2). Пусть

_ p^-i^pa-i'v PiP2=k-*p2Q=i;,ргРа=13-* ргр3=ia.

Каждой прямой I из оставшихся q — 2 прямых пучка Рг мы сопоставляем прямую V пучка Рй таким образом, чтобы было

(^УзО = (^АМ )•

Пересекая I и V, мы получаем точку Р проективно порожденной траектории. Таким образом, траектория

состоит из q + 1 точек Рг, . . ., Pq+V Мы можем получить уравнение траектории {Рц . . ., Рд+1}, воспользовавшись линейным отображением со, при котором

р^л;, р2->л;, р3-*а;, р^е°.

Так как соответствие между пучками Рг и Р2 задано условием сохранения двойного отношения и так как линейное отображение тоже сохраняет двойные отношения, то для любой из точек Р° = <о(Р) должно выполняться равенство л;(л^£°ро)=л;(л;л;яо^°) = е,

откуда для множества точек Р° получается уравйейив хгхг — ^ = 0. Если это уравнение преобразовать посред-

6*

ством со-1 (х) = у, то мы получим неприводимое уравнение /(у) = 0 второй степени, которое и будет уравнением исходной траектории. Итак, уравнение множества точек пересечения соответствующих прямых двух проективно (но не перспективно') связанных пучков есть неприводимое уравнение второй степени.

Далее, мы теперь знаем, что кривая 'б, определяемая неприводимым уравнением второй степени, всегда может быть переведена с помощью линейного отображения в овал О0. Следовательно, кривая, определяемая неприводимым уравнением второй степени, всегда может быть получена как множество точек пересечения соответствующих прямых двух проективно (но не перспективно') связанных пучков.

Теперь можно легко доказать следующую теорему.

Теорема. На плоскости Галуа порядка >3 существует одна и только одна кривая второго порядка, проходящая через пять данных точек, никакие три из которых не коллинеарны.

Предположим, что пять точек Ри Рй, Р3, Pt, Р5 принадлежат одновременно двум различным кривым второго порядка ^ и ^2. Так как каждая из этих кривых состоит из q + 1 точек, то кривые могут быть различными только в том случае, если ^ содержит по крайней мере одну точку X, не принадлежащую ^2.

Поскольку кривая второго порядка обладает всеми свойствами овала й0, сохраняющимися при линейном отображении, она должна иметь следующее свойство: двойное отношение четырех прямых, соединяющих какие- либо четыре точки кривой с какой-то другой точкой Р кривой, не зависит от выбора точки Р (предполагается, что четыре точки берутся всякий раз в одном и том же порядке). Таким образом, для кривой ^ мы имеем

^i WW = Рь (РгР^\Х).

Рассмотрим теперь кривую ^2, которая не проходит через X. Она пересекает прямую РгХ в точке /\ и в точке X*, отличной от Х/так что Р5Х и Р5Х* различны и

Рх кР^РзРхХП - Р5 (P2PsPtX^.

Поскольку’X* CPiX, X* + X, то

Л №W) = Р1 (Р,Р3Р^Х) = = р5 (PJ><№ = Рь WAX*).

Отсюда следует Р5Х = Р5Х*, вопреки нашему допущению. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.••.

8 Ь-г‘к

Рис. 55. .

Подобными же рассуждениями можно доказать следующие теоремы.

■Прямая, проходящая через вершину собственного четырехугольника, определяет (как касательная) совместно с другими вершинами четырехугольника одну\ и только одну кривую второго порядка.

Вершины собственного треугольника и две прямые, проходящие через различные ^вершины и не являющиеся сторонами треугольника, определяют одну и только одну кривую второго порядка.

В качестве иллюстрации предыдущих фактов обсудим вопрос о порождении неприводимой кривой второго порядка с помощью пяти точек, никакие три из которых не коллинеарны.

Обратимся к рис. 55. Пусть точки Pv Р2(—А), Р 3, Р^, Ps^ Рв (=^) таковы, что никакие три из них не лежат

на одной прямой. Предположим, что эти шесть точек лежат на кривой второго порядка g. Из наших допущений следует, что q > 4 и, далее, что пять точек

Р^Р. П Р. Р. = и, Р^Рз П Р5Р6 = YP A n P6P1=W, Р^з П Р^з = X, Р3Р, П РзР6 = Y различны. Рассмотрим прямые, проектирующие точки Рь Р3, Р^, Р5 кривой g из точек А и В соответственно. Из свойств кривой g и из теоремы Паппа следует, что

А (РгРзР.Рз) = В (Р^зР^з), А (P1P3PiP5)=(UXPiP5),

В (Р^зР^з) = ^WP3PtYy

Сопоставляя эти равенства, находим, что

(UXPJ^ = (WP3P.YY

Проекции точек Р5, X, Pt прямой Р^з = а из точки У на прямую Р3Р^ = b суть точки У, Р3, Р^; если, далее, мы примем, что проекция точки U есть точка S, то по теореме Паппа будем иметь

(UXPJ^ = (SPJ\YY

Отсюда и из предыдущего равенства следует

(WP3P^ = (SP3PtYY

что и доказывает совпадение точек S и W. Таким образом, точки U, У и W лежат на одной прямой I. Итак:

Если шестиугольник Р^^РзР^Р^Рд вписан в кривую второго порядка, то три пары его противоположных сторон (при данном порядке следования вершин') пересекаются в коллинеарных точках.

Если кривая g определена пятью точками Рг, Р2, Р3, Р^, Р5, то любая из оставшихся q — 4 точек кривой может быть принята за точку Р6 из предыдущей теоремы. Тем самым мы получаем способ построения оставшихся q — 4 точек кривой g.

А именно, данные пять точек определяют точки прямой Ь, в которых эта прямая встречает стороны треугольника РгРгРз', вместе с Р3 и Р^ получается уже пять точек прямой Ь. Любая из оставшихся q — 4 точек прямой b может играть роль указанной ранее точки W. Выбор же

точки W приводит к точке Рв путем следующих построений:

UW = I, Р3Р3 П I = v, P5V n PXW = Р6.

Полученная таким способом точка Р6 лежит на кривой ’С, так как в противном случае мы получили бы противоречие доказанной выше теореме. Варьируя точку W, находим q — 4 экземпляра точки Р6.

Теорема Сегре

В этом параграфе наши рассмотрения будут относиться к плоскости нечетного порядка. Легко показать, что любая кривая второго порядка обладает следующим свой

ством: треугольник, вписанный в кривую второго порядка, и треугольник, составленный из касательных в вершинах первого треугольника, перспективны. Это свойство называют я-свойством. Сегре принадлежит идея о том, что овал, обладающий л-свойством, есть кривая второго порядка. Благодаря этому исследование овалов на плоскости Галуа нечетного порядка может быть преобразовано в чисто алгебраическую задачу.

Прямые, касательные к произвольному овалу Q в вер

шинах вписанного треугольника А^^Ад, являются сторонами треугольника СгС^С3 на рис. 56. Если овал обладает л-свойством, то прямые A hCh (k = 1, 2, 3) встречаются в общей точке Е. Примем Л1Л2Л3 за фундаментальный треугольник и точку Е за единичную точку, тогда координаты точек Ch будут

Сг (-1, 1, 1), С2 (1, -1, 1), С3 (1, 1, -1).

В самом деле, при подходящем выборе элемента ^к имеем Ch = скАь + Е, т. е. к-я координата точки Ск

есть Xft = £ft + 1, остальные две координаты равны L Так как точки Cv Сг1 А 3 коллинеарны, имеем

X, 11 х2 о оX, 11 х2 о о1

X, 1

1 х2 о о

X, 1

1 х2 о о

1 =0,

1

т. е. ХгХ2 = 1. По симметрии имеем Х2Х3 = 1 и X3Xj = 1. Из полученных трех равенств следует Х^ = Х2 = Х3, и так как Сн Ф Е, то Xh =—1. Этим доказано (2.13.1).

Выберем на овале й произвольную точку Р, отличную от точек Ль, и рассмотрим касательную е в этой точке:

Р (ап а2, а3) и е: 6^+ е2х3 + е3х3 = 0.

Так как точки Лй и Ск (/с = 1, 2, 3) не лежат на прямой е, то е1т е2, е3 отличны от нуля и

с^ + ей + е3 = сг ^ 0, е3 e2 Н- ^з = ^2=^0, Ci + е2 — е3 = с3 Ф 0.

Пусть ]kl будет произвольная перестановка чисел 1, 2, 3. Найдем координаты точки Е} = е Q СкСь Легко видеть, что прямым

С2С3: [0, 1, 1], CjCp И, 0, 1], С^-. [1, 1, 0],

отвечают точки

■\ ; ^1(62 —е3, — et, ej, ’^/•

. Е2 (е2, е3 ej, е2), jл

^з ( ез, ез, ei ег)-

Касательная к овалу й в точке Р есть прущая; Г* ОШУДа имеемъ» ,> 1 , . ■ л .

егаг + е2а2 + е3а3 = 0. ' * ' tA 4 'й

Теперь непосредственно находим прямые ' • *, . j.

CiP". (а3 — а2, а» + «1» —«1 —а2Ь' г

52Л3: [е3 — е,,—е2,0],'j;v^i

^3^2: [е2 —^,0,— е3].

Так как по предположению овал й обладает л-свой- ством, вписанный треугольник РА3А^ и треугольник

С1Е2Е3, образованный касательными к овалу в вершинах первого треугольника, перспективны. Следовательно, прямые СуР, ЕгА3 и Е3А2 принадлежат одному пучку. Отсюда вытекает, что определитель, составленный из координат этих прямых, равен нулю: : •

а3 а2 сз с, е2 etа3 а2 сз с, е2 et“з + а1— «2 О“з + а1— «2 О— ах — а2О— ез— ах — а2О— езО Og-j-OjCi — е2Ci ОО Og-j-OjCi — е2Ci О01 о2О— ез01 о2О— ез

а3 а2 сз с, е2 et

а3 а2 сз с, е2 et

“з + а1

— «2 О

“з + а1

— «2 О

— ах — а2О

— ез

— ах — а2О

— ез

О Og-j-Oj

Ci — е2

Ci О

О Og-j-Oj

Ci — е2

Ci О

01 о2

О

— ез

01 о2

О

— ез

(Второй определитель получен из первого вычитанием из первого столбца суммы двух других столбцов.) Отсюда находим, учитывая сг Ф О, что («1+ «а) eai = («з+°1)е3- Заменяя касательный треугольник Е2Е3Сг поочередно на Е3ЕХС2 и ЕхЕ2С3, получаем с помощью таких же рассуждений еще два равенства. Итак, .

(2.13.6)(2.13.6)Л \ -; Н'ЛЛ^) -.Л \ -; Н'ЛЛ^) -.■ (а1 + а2)е1 = («2 + аз) е3,< («г + аз) е2= (аз + а1) е1,. (аз + а1)е3 = (а1 + а2)е2.

(2.13.6)

(2.13.6)

Л \ -; Н'ЛЛ^) -.

Л \ -; Н'ЛЛ^) -.

Отсюда заключаем, что все суммы aj + ^k отличны от нуля: в случае, если бы одна из них равнялась нулю, две другие, в силу ех ^ О, е2 ф 0, е3 ^ 0, тоже были бы нулями, что давало бы ах = а2 = а3 = 0, т. е. противоречило бы смыслу чисел av а2, а3.

Из (2.13.6) и сказанного выше вытекает существование такого элемента р € К, отличного от нуля, что

(2.13.6')(2.13.6')ре4 = 0 -{- а2 4* л3,ре2 = ах 4- 0 4- я3,ре3 = ах -j- а8 4- 0.

(2.13.6')

(2.13.6')

Если теперь мы рассмотрим кривую второго порядка V, определяемую уравнением. ,

ХХХ2 4" ^2^3 + ^3^1 .= О»'

то устанавливаемый с ее помощью поляритет

и'Г- ^‘и^ь.Г^ Ui; <1и'Г- ^‘и^ь.Г^ Ui; <1■ рМ1 = 0 4- х2 4- ^з»< ри2 = Ж14-04-£з,„ ри3 == Z1 4" 2^2 4" О

и'Г- ^‘и^ь.Г^ Ui; <1

и'Г- ^‘и^ь.Г^ Ui; <1

будет, в силу (2.13.6'), переводить точку ( ах, <z2, а3) в в прямую [elf е2, е3]. Таким образом, каждая из q + 1 точек овала й обладает тем свойством, что ее поляра относительно 6 проходит через эту точку. Другими словами, каждая точка овала й принадлежит кривой 6. Так как число точек в й и 6 одинаково, мы заключаем отсюда, что *6 = й. Полученный результат может быть сформулирован в виде следующей теоремы.

Теорема 1. На плоскости Галуа нечетного порядка любой овал, обладающий п-свойством, есть кривая второго порядка.

Пусть К — произвольное поле Галуа. Произведение всех элементов множества К* = К \ 0 обозначим П а\ Хорошо известно, что

П (а) = - 1,

где —1 обозначает элемент, противоположный по сложению к единичному элементу поля. (Если число элементов поля К простое, то соотношение (2.13.7) выражает теорему Вильсона.) Доказательство следующей теоремы основано на соотношении (2.13.7).

Теорема 2. На плоскости Галуа нечетного порядка комедий овал обладает п-свойством.

Доказательство. Пусть фундаментальный треугольник Лр42у13 вписан в овал й. Уравнение прямой, проходящей через вершину Aj, но отличной от сторон AjAk и AjAi, может быть представлено в виде

xk = cxt ' с £ К*)

(где ]kl есть циклическая перестановка элементов 1, 2, 3). Пусть уравнения касательных в точках Аг, Л2, А3 будут соответственно

Я?2 —" О^Х^з^ Ж3 — ®^2*^li*^1 ~~ ^3*^2

(очевидно, ага2а3 ^ 0). Если точка Р (а^, а2, а^ овала отлична от фундаментальных точек, то уравнения прямых Zi = АХР, 12 = А2Р, 13 = А3Р будут соответственно

х2 = Х^д, х3 = X2zx, хх = Х3ж2,

где Х( Ф 0, X, ^ аг i_= 1, 2, 3). Так как Р лежит на каждой из прямых 1и 12, 13, имеем

■ а2 — к^а3^ а3 — к2а^, а^ •— Х3л2,-

отсюда'

. Xj — ^2^з^,^2а3«1 ,^3 — ^1^2^""

и, следовательно,■

Х1Х2Х3 = 1.

Для каждой из q — 2 точек овала й, отличных от Л1Т Л2, Л3, мы получаем, таким образом, три элемента Хх, Х2, Х3 таких, что ХД2Х3 = 1. Пусть S обозначает произведение всех q — 2 произведений Х^Хд. Очевидно, Хг будет принимать каждое значение, исключая аг, один и только один раз (i = 1,2,3). Следовательно, в произведении a1a2a3S каждый элемент из К* будет встречаться ровно три раза, т.е.

.^«гаэ^ = (П (а))3.’

Но в силу (2.13.8) имеем S = 1 и в силу (2.13.7) П (а) = = —1, следовательно,

а^аз = —1.

Теперь мы можем определить вершины треугольника, образованного касательными к й в фундаментальных точках. Обозначим касательную в точке Aj через tj. Координаты касательных будут

t<. [0, —1, aj, t2: l«2, О, —11,1—1» «з, °L

Отсюда находим координаты точек ^ = Z2 П ^з, С2 = = ^3 П ^1> ^3 = ^1 П ^2*

Cv (a3, 1, а2а3), С2 (а3аг а15 1), С3 (1, а1а2, а2).

Таким образом, уравнения прямых АуСу, А2С2, А3С3 суть

£3 = ^г^З^г»^1 “ ^З^Х^З»*^2 = ^1^2*^1

соответственно, и мы легко замечаем, учитывая (2.13.9), что эти три прямые проходят через точку

Q (а3ау, —ay, 1).

Отсюда вытекает, что ^треугольники АуА2А3 и СуС2С3 перспективны относительно точки Q. Теорема 2 доказана.

Из теорем 1 и 2 вытекает следующая

Теорема 3. Любой овал на плоскости Галуа нечетного порядка есть кривая второго порядка.

В заключение, чтобы подчеркнуть различие между плоскостями Галуа нечетного и четного порядков, приведем тривиальный пример, показывающий, что теорема 3 неверна для плоскости Галуа четного порядка. Мы знаем, что в каждой такой плоскости q + 1 точек кривой второго порядка совместно с ядром образуют гиперовал. Исключим из гиперовала одну из точек, принадлежащих кривой. Оставшиеся q + 1 точек образуют другой овал, но этот овал не является кривой второго порядка, если q >- 4; в противном случае мы имели бы две кривые второго порядка с q общими точками, что противоречит теореме о единственности кривой второго порядка, проходящей через данные 5 точек.

Дополнительные замечания относительно конструкции плоскостей Галуа

В этом и следующих пяти параграфах мы сообщаем некоторую дополнительную информацию, главным образом алгебраического характера. Ее можно было бы изложить и в начале главы, но мы отложили это с тем, чтобы возможно быстрее рассмотреть интересные и неожиданные геометрические свойства прямолинейных фигур, овалов и квадратичных фигур.

Напомним, что в параграфе 1.6 была описана явная конструкция ПЛОСКОСТИ 8г_а с помощью [пары таблиц [Л, МА операций в поле GF^q) . Однако будет ли пара [Л, МА однозначно определяться числом q, а если нет, то какого рода связь существует между плоскостями, определенными с помощью различных пар таблиц? Займемся сейчас этим вопросом.

Как обычно, будем обозначать элементы конечного поля GF (д), где q = рг, целыми числами 0, 1, 2, . . . . . ., q — 1, считая при этом, что нулевой элемент обозначен 0, а единичный элемент 1; далее, элементы простого подполя GF (р) обозначим

О, 1Д . ., р - 1, f ,

где 1 + 1 » 2, 1 + 1 + 1 = 3 и т. д. ; : ‘

■ Тем самым таблицы операций для подполя GF (р) определены однозначно, и таблица сложения (соответственно умножения) поля GF (у) будет содержать в своем левом верхнем углу таблицу сложения (соответственно умножения) поля классов вычетов по модулю р.

Перечислим теперь некоторые понятия и теоремы теории конечных полей.

Число элементов в К = GF (у) есть | К | = рг, число элементов в Р = GF (р) есть I Р I = Р- Степень поля К над Р, обозначаемая | К | : | Р |, равна г.

Очевидно, К можно рассматривать как векторное пространство над подполем Р; тогда] К] :| Р| есть в точности размерность этого пространства. Каждый элемент поля К удовлетворяет уравнению хч — х = 0, т. е. множество элементов поля есть множество корней полинома хч — х. Поле К-содержит элемент 8 такой, что Sq = 8, но 8п ^ Ф 8 при любом п < q. Этот элемент называется примитивным корнем уравнения. Очевидно, последовательность

О, 1, 8, S2, . . ., Si-2 i;di

должна содержать все элементы поля К.

В качестве’пример а укажем элемент 5=3 поля GF (9) (см. рис. 44). Легко проверить, используя таблицу М, что упомянутая выше последовательность состоит в этом случае из элементов 0, 1, 3, З2 = 7, З3 = 8, З4 = 2, 35 = б, 36 = 5, 37 _ 4, т е из всех элементов поля.

Пусть К и L — два конечных поля, оба порядка q, и пусть х -> х' есть взаимно однозначное отображение К на L. Если это отображение обладает свойствами (,х+уУ= = х' + у’ и UyY = х'у' (где ж, у £ К, х', у' € L), т. е. если оно сохраняет операции, то оно называется изоморфизмом, а в случае К = L — автоморфизмом. Очевидно, тождественное отображение х -^х поля на себя, которое мы обозначим е, является автоморфизмом. Могут ли существовать другие автоморфизмы? Если q = р есть простое число, то других автоморфизмов быть не может; однако, если q= рТ, причем r> 1, то существует г автоморфизмов (включая е).

А именно, отображение х -> хр является автоморфизмом; если обозначить его а, то все автоморфизмы поля

будут.' .■■■

е, а, а2, . . ., аг-1.• ~!s;!

Автоморфизм а называют фробениусовским. •».:/

В качестве примера перечислим все автоморфизмы поля GF (8) (см. рис. 51). В этом случае?.

/О 1 2 3 4 5 6 7х/0 1 2 3 4 5 6 71 - ’

-8\01234567/’ “— U 1 4 5 6 7 2 3/’

A М2_/0 12345671

“ — U 1.6 7 2 3 4 5/ •■■

Каждый автоморфизм поля К индуцирует тождественный автоморфизм его простого подполя Р. Например, в случае поля GF (9) (см. снова рис. 44), где г = 2, существуют в точности два автоморфизма, а именно 8 и

_ /О 1 2 3 4 5 6 7 81

“ —Ь 1 2 8 6 7 4 5 зЛ' ■

и каждый из них оставляет на месте элементы 0, 1 и 2 поля Р.

Наконец, укажем способ построения таблиц операций для поля К из q = Рг элементов, где г >• 1.

Как уже говорилось, элементам простого подполя Р мы сопоставляем целые числа 0, 1, . . ., р — 1. Среди элементов множества К \ Р существует такой, который является корнем неприводимого полинома степени г над Р. Выберем такой элемент и обозначим его р; соответствующий неприводимый полином пусть будет / (ж).

Мы можем теперь установить взаимно однозначное соответствие между элементами поля К и полиномами степени не выше г — 1 над Р. А именно, полиному

аг_1хг-1 + . . . + ахх + а0 (д0, . . ., аг_х £ Р) . следует сопоставить элемент■

«г -iPr'Y + • • . + atp + д0 поля К.

Пусть элементам s и t отвечают полиномы g (х) и h (ж) соответственно. Тогда элементу s + t будет отвечать полином g (х) + h (ж), а элементу s-t — полином g (ж) h (ж), редуцированный по модулю / (ж). Таким путем мы можем получить таблицы [А, М\ операций в поле К. Указанный

способ имеет ту особенность, что при любом выборе элемента р таблица сложения А будет одна и та же, в то время как таблица умножения М будет, очевидно, зависеть от полинома / (ж), имеющего р своим корнем.

ОООООООааО12345578О21687354О36г581к7О485677г3О5781346гО63174285О754гг?837О84732576ОООООООааО12345578О21687354О36г581к7О485677г3О5781346гО63174285О754гг?837О84732576

О

О

О

О

О

О

О

а

а

О

1

2

3

4

5

5

7

8

О

2

1

6

8

7

3

5

4

О

3

6

г

5

8

1

к

7

О

4

8

5

6

7

7

г

3

О

5

7

8

1

3

4

6

г

О

6

3

1

7

4

2

8

5

О

7

5

4

г

г?

8

3

7

О

8

4

7

3

2

5

7

6

О

О

О

О

О

О

О

а

а

О

1

2

3

4

5

5

7

8

О

2

1

6

8

7

3

5

4

О

3

6

г

5

8

1

к

7

О

4

8

5

6

7

7

г

3

О

5

7

8

1

3

4

6

г

О

6

3

1

7

4

2

8

5

О

7

5

4

г

г?

8

3

7

О

8

4

7

3

2

5

7

6

О

О

0

О

О

О

О

О

О

О

7

г

3

4

5

6

7

8

О

2

7

6

8

7

3

5

4

О

5

6

4

7

7

8

г

5

О

4

8

7

г

3

5

6

7

О

5

7

7

3

8

2

4

6

О

6

3

8

5

2

4

7

7

О

7

5

г

6

4

7

8

3

О

8

4

5

7

7

3

2

Рис. 57.

Рассмотрим, например, поле К = GF (З2). Здесь имеются три неприводимых полинома степени 2 над Р = GF (3), а именно:

tv х2 + 1, /2: ж2 + х + 2, /3: х2 + 2х + 2.

Шесть элементов из К \ Р являются корнями этих полиномов. Таким образом, мы имеем здесь три возможности для выбора полинома / (ж). Это приводит к трем парам таблиц: [Л, ЛР1’], [Л, М<2>], [Л, М(3>] (М’1’, М^ М^ представлены на рис. 57). Соответствующие поля обозначим К(1), К<2), К(3). Легко проверить, что каждое из

отоб>Мвении .т

' ,?1 2 3 4 5 6 7 8\! 4

.• \о 1 2 7 8 6 5 3 4Л . . ?

Kd)^^3)- /0 1 2 3/ 5 6 7 8\'9

1 2 4 5 3 8 6 7^

является изоформизмом.

В действительности такое положение является общим. Любые два поля, состоящие из одинакового числа q элементов, изоморфны *). Доказывать это мы здесь не будем.

Обозначим плоскости, построенные исходя из [Л, А/(1)], [Л, М(2)] и [Л, М(3)], через 5^,^ S‘% и 5'^ соответственно **).

Как соотносятся друг/другом плоскости 5^ и^5‘%? Мы не получили бы взаимно однозначного соответствия между ними, приняв, что точке с координатами (xv х2, ж3) отвечает точка с теми же самыми координатами. В самом деле, например, последовательности (2, 6, 5) и (5, 1, 8) представляют одну и ту же точку (ее нормированные координаты (8, 7, 1)) на плоскости 8£д, но разные точки (а именно (3, 4, 1) и (6, 7, 1)) на плоскости S^q.

Однако ненулевой тройке элементов (хъ хг, х^ поля К’1’ отвечает точка Р на плоскости S^’q. Отображение р переводит хг, х2 и; х3 в какие-то элементы х', х' и х3 поля К(2), и тройка (^x'v ж', ж,) определяет точку Р' на плоскости S^q. Таким путем мы получаем взаимно однозначное отображение

Р*: ^> ^S^ индуцированное отображением р: К(1) —> К<2). Отображение р* сохраняет линейную зависимость или независимость между точками, и, следовательно, любым трем коллинеарным точкам плоскости S^q отвечают три коллинеарные точки плоскости S2% (и обратно); короче, р* сохраняет коллинеарность.

Легко видеть, что построение отображения р* исходя из изоморфизма р может быть перенесено на плоскости любого порядка.

*) Однако до сих пор^ мы пользовались той парой таблиц [Л, М\ для поля порядка д, которая строится по методу параграфа 1.6.

**) На самом деле здесь g = 9.— Прим, перев.

г Взаимно однозначное отображение одной конечной плоскости на другую конечную плоскость, сохраняющее коллинеарность, называется изоморфизмом или коллинеацией-, в случае, когда плоскссть отображается на себя, мы называем изоморфизм автоморфизмом.

Таким образом, можно сказать, что различные пары таблиц, задающих поле из q элементов, определяют с точностью до изоморфизма одну плоскость Галуа порядка q.

Коллинеации и гомографии на плоскости Галуа

Как мы указывали в предыдущем параграфе, все плоскости Галуа данного порядка q изоморфны друг другу. Кроме того, нам известно, что линейное отображение, преобразующее плоскость Галуа в себя, сохраняет как коллинеарность точек, так и двойное отношение.

Мы знаем также, что в случае классической проективной плоскости из сохранения коллинеарности следует сохранение двойного отношения. Для классической проективной плоскости линейное отображение (определяемое аналитическим путем) и коллинеация (определяемая геометрически) — эквивалентные понятия. Для плоскости Галуа это не так.

На плоскости Галуа коллинеация необязательно сохраняет двойное отношение; в случае, если она сохраняет его, она называется гомографией. Рассмотрим снова плоскость Галуа порядка 9, представленную таблицей сложения рис. 44 и таблицей умножения М№ рис. 57; обозначим эту плоскость 8. В параграфе 2.14 уже определялся автоморфизм а поля GF (9), отличный от тождественного. Приведем его снова:

а: х -*• а?, или, в форме подстановки,

/0 1234567 8\'

rt* II■ *

\0 1 2 8 6 7 4 5 з/

Мы знаем, что автоморфизм а индуцирует автоморфизм а* плоскости, т. е. коллинеацию. Ее запись: .. <

{

p^i= ^i 4" 0 4~ О, рЖ;=о+х|+о, (о^рек).,,

рх, = 0 4- о 4- х® ikh- Д1 у.!?>: ю; '

Оказывается, а* не сохраняет двойное отношение. Рассмотрим, например, точки

Л (1, 1, 0), В (4, 8, 1), С (1, 5, 1), D (2, 3, 1). Под действием а* они перейдут в

А' (1, 1, 0), В' (6, 3, 1), С' (1, 7, 1), D' (2, 8, 1).

С помощью таблиц операций легко проверить, что

6-А+В = С, 7-А+В=В, 4-А' + В' = С',5-А' + В' = D'.

Добавим к этому, что автоморфизм а переводит элементы 1, 6, 7 в 1, 4, 5. Рассмотрев теперь двойные отношения, получим

0 = (,ABCD^ = А : А = 6, 0' = ^A’B'C’D^ = А : А =4.

Беря композицию линейного отображения ф с а*, получим коллинеацию плоскости 5; однако эта коллинеация -

' та; = апх; + а12ж® + а^,

а*ф:тж; = а2х^ + а22^ + а2з^,

. та; = ж31^ 4- «зз^г + азз^з

не будет гомографией.

Вообще, можно получить целое семейство коллинеаций плоскости, составляя композиции линейных отображений с отображениями, индуцированными автоморфизмами поля. Однако мы не можем быть уверенными в том, что каждая коллинеация плоскости получается таким путем. К этой проблеме мы еще вернемся в параграфе 2.17.

Пусть теперь число элементов поля К есть снова q = рг. Если ф — невырожденное линейное отображение с коэффициентами ajK g К, то отображение

тж1 — йц^ -j-a^^ +а13ж^ ,

(2.15.1)(2.15.1)ф(: тж; = а21жР‘ + а22жР‘+«2з4‘, - 'ra:i =»а81ж11 + ^зг-^г "Ь аззж8 >

(2.15.1)

(2.15.1)

где 0 ^ < ^ г — 1, является коллинеацией. Покажем, что из всех ф( только ф0 = ф является гомографией.

Обозначая образ точки Р при отображении x|)t черве Р', можем записать для любой четверки коллинеарных точек А, В, С, D равенство .

(2.15.2)(2.15.2)^А'В'СП^^ЦАВСв/.^А'В'СП^^ЦАВСв/.

(2.15.2)

(2.15.2)

^А'В'СП^^ЦАВСв/.

^А'В'СП^^ЦАВСв/.

фигура играет также важнуюфигура играет также важную

фигура играет также важную

фигура играет также важную

Отсюда видно, что ^А' B'C'D'^ = ^ABCD^ лишь в случае t = 0).

Характеристика конечной проективной плоскости

Мы будем теперь интерпретировать характеристику поля GF^ свойством замкнутости некоторой фигуры в плоскости S = S2,q- Эта " роль в описании строения конечных плоскостей.

Рассмотрим точки}

О=^0 (0, 0,1), Х(1,0,0),. У (0, 1,0), Ро (1,1,1) плоскости S (рис. 58); иначе говоря, OXYP0 есть фигура отнесения плоскости 5. Пусть Z = ОР6 fl XY, т.е. Z = (1, 1, 0). Прямые х, z и ^изображенные на рис. 58, задаются уравнениями х2 = 0, х3 = 0 и х2 = х3 соответственно; прямая у имеет уравнение х1=0.

Построим теперь многоугольник с 2р сторонами, где р есть характеристика координатного поля К, следующим образом.■

Исходную точку Qo проектируем из Z на е, полученную точку Рй — из У на ж, полученную точку Qx — из Z на е, полученную точку Рх— из У на х и так далее, т.е.

проектируем попеременно из Z и У на е и х. Координаты каждой точки получаемой последовательности легко определяются по координатам предыдущей точки. Таким путем после р — 1 шагов получаем точки

Рр-г (р - 1, 1, 1) и Qp_x (р - 1, 0, 1).

Рассмотрим теперь точку Рр_х = ХР0 П ZQP-r Очевидно, Рр-Х (р, 1, 1) = (0, 1, 1), поскольку поле К имеет характеристику р. Тогда Qp = XQ0 Q YPp_x = Qo. Таким образом, рассматриваемый процесс замыкается после 2р проектирований. Особого рода многоугольник с 2р сторонами, получаемый указанным способом, будем обозначать Ро. На рисунке он изображен с помощью жирных линий.

Мы могли бы провести такое же построение, исходя из любого собственного четырехугольника O*X*Y*P*, и получить многоугольник подобного же вида. Это очевидно, поскольку существует коллинеация i|) (ср. 2.6), которая преобразует четырехугольник O*X*Y*P* во взятый нами первоначально четырехугольник OXYP0l и тогда требуемый многоугольник есть образ Ро при отображении ip’1.

Для краткости обозначим исходный четырехугольник через N, а рассматриваемую конструкцию, начинающуюся с него, через л (N) или (там, где это не может вызвать недоразумений) просто л; замкнутый многоугольник, порожденный описанным процессом, обозначим Р (т. е. л (N) = Р). Из способа построения Р ясно, что четырехугольник N можно однозначно восстановить по данному многоугольнику Р.

Многоугольник Р можно описать следующим образом. Его вершины образуют последовательность из 2р точек Ро. Qo^ Pv Qv • • •, Pp-v Qp-1 такую, что

последовательности PO,PX, • . ., Pp-i и QO,QX, . . . . . ., Qp_x. лежат соответственно на прямых е и х;

прямые PtiQ6, PxQi, • • ., Pp-iQp-i пересекаются в точке Z, а прямые P(jQx, PXQ^ • • •, Pp-iQo — в точке Y;

точка е f) х = X совместно с точками У и Z образует коллинеарную тройку точек.

Определенный такйм^образом многоугольник Р, очевидно, порождается как раз четырехугольником Q0XYP0. Если дана проективная плоскость Н (необязательно плос-

кость Галуа), то можно пытаться найти многоугольник Р с такими свойствами. Допустим, что для данного четырехугольника N существует число р и многоугольник с 2р сторонами, удовлетворяющий условиям (а), (Ь) и (с). Если р — наименьшее число такого рода, то мы говорим, что на плоскости, II выполняется условие «р = 0» относительно данного четырехугольника N. Если же условие «р = 0» выполняется для каждого собственного четырехугольника на плоскости с одним и тем же числомр, то мы! говорим, что в плоскости Н справедлива теорема «р = О» или что плоскость имеет характеристику р.

Если для четырехугольника N выполняется условие «2 = 0», то N есть четырехугольник Фано. Если это же условие выполняется для каждого четырехугольника на плоскости Н, то Н называется плоскостью Фано. Структура плоскости Фано полностью описана Глисоном. Некоторые математики (особенно Ломбардо Радиче и Паппа) рассматривали плоскости характеристики 3. Ломбардо Радиче высказал предположение, что все плоскости характеристики р являются плоскостями Галуа.

Вернемся, однако, к случаю плоскости Галуа (снова будем пользоваться рис. 58).

Если исключить из прямых е и х четырехугольника Q0XYP0 = TV0 все точки Р, и Q, (i, j — 0, 1, . . ., р — 1), то па каждой из этих прямых останется q — р + 1 точек. Выберем какую-нибудь одну из оставшихся точек прямой х; обозначим ее ^о, где s > р — 1. Пусть Р* будет проекция ^о из точки Z на прямую е. Проводя описанное выше построение, получим последовательность точек (Ро, (?so, Pl, <21, . . ., Р^, <2p-J, где Р^х и QtEe (i = 1, . . ., р — 1); соответствующий многоугольник обозначим Р8р. Таким путем можно разбить множество точек прямых е и х, отличных от точки X, на множества вершин рГ-1 многоугольников, каждый из которых имеет р вершин на прямой е и р вершин на х. Обозначим эти многоугольники

Ро, Рр» Ргр, • • ^ ^(p^-iv

Очевидно, каждая вершина многоугольника Ро является неподвижной точкой коллинеации а* (индуцированной фробениусовским автоморфизмом а), которая переводит

каждую из точек Qo, X, У, Ро системы отнесения в себя. Однако, вообще говоря, мы не можем сказать ничего определенного об образе многоугольника Psp (s 5^ 0) при коллинеации а*. В частном случае, когда а* есть коллинеация плоскости S2>q, индуцированная автоморфизмом х -^ х3 поля GF (9) (д = З2), многоугольник Р3 переходит в Ре (а Ре — в Р3).

Другой пример коллинеации а* мы приведем для плоскости 52,4- Используя таблицы операций, данные в параграфе 1.6, найдем, что а* осуществляет следующую подстановку:

/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 \ “*:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 12 18 19 21 20 14 15 17 16 j ’

где чцсла служат индексами точек (и прямых) на рис. 7 и 10. Например,

^15 = {Р'а, Pi, Рis, Pie, Р©}-*■ ^19 = {Рб, Pi, Р12, Ргь Рм^-

Множество коллинеаций плоскости Галуа в себя

Мы будем искать коллинеации плоскости Галуа характеристики р, для которых точки (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1) являются неподвижными точками. Очевидно, тождественное отображение е есть одна из таких коллинеаций. Более того, в случае классической проективной плоскости никакая коллинеация, кроме тождественной, не оставляет на месте указанные четыре точки. В противоположность этому для плоскостей Галуа можно указать примеры нетождественных коллинеаций, удовлетворяющих поставленному условию. Таковы, скажем, коллинеации (2.17.1)©°: px^xf, рх'2 = хР\ px'3 = xF

(t = l, .. ., г —1)

плоскости 8г_рТ, индуцированные степенями автоморфизма со: х -*• хр поля К = GF (рг).

Мы утверждаем, что не существует других коллинеаций, удовлетворяющих поставленному условию, кроме

©° = е, ©1, ©2, . . ., ©г-1.

Прежде чем доказывать это положение, подчеркнем особо тот факт, что плоскость Sa-I^ над простым подполем

Р поля К есть (замкнутая) подплоскость плоскости 52,д над К и каждый автоморфизм х ->- xpt поля К индуцирует коллинеацию со* плоскости S2_q, оставляющую па месте каждую точку подплоскости S2-p. Это вытекает из того, что любой автоморфизм поля К переводит каждый элемент из Р в себя.

В последующих рассуждениях мы будем ссылаться на рис. 59 и 60 и пользоваться обозначениями, введенны

ми в начале предыдущегоми в начале предыдущегопараграфа.параграфа.

ми в начале предыдущего

ми в начале предыдущего

параграфа.

параграфа.

' . Рис. 59.' . Рис. 59.( Рис.’60.( Рис.’60.

' . Рис. 59.

' . Рис. 59.

( Рис.’60.

( Рис.’60.

Рассмотрим точки А (а, а также определенную ими точечную суммуРассмотрим точки А (а, а также определенную ими точечную сумму, 1) и 5 (6, 0, 1) Прямой х, , в арифметическом смысле,, 1) и 5 (6, 0, 1) Прямой х, , в арифметическом смысле,

Рассмотрим точки А (а, а также определенную ими точечную сумму

Рассмотрим точки А (а, а также определенную ими точечную сумму

, 1) и 5 (6, 0, 1) Прямой х, , в арифметическом смысле,

, 1) и 5 (6, 0, 1) Прямой х, , в арифметическом смысле,

(2.17.3)(2.17.3)А + в = С = (а + Ь, 0, 1). 7

(2.17.3)

(2.17.3)

Точку С можно построить, исходя из А и В, следующим образом: пусть ZA = [1] и [1] (] е = £7; пусть BE = [2] и [2] f) z = 5; пусть US = [31; тогда [3] П х = С. Назовем это линейное построение построением а.

Координаты точек, участвующих в построении, легко подсчитываются. Прямая е содержит все точки вида (5, 1, 1), и так как Z + А = (1, 1, 0) + (а, 0, 1) = = (а + 1, 1, 1), то

. /i/V^v:. , . »=:Ы... U = (а + 1, it, 1). • :^*-.чй

Прямая z содержит все точки вида (5, 1, 0), и так как Е - В = (1, 1, 1) - (6, 0, 1) = (1 - b, 1, 0), то

S = (1 - Ь, 1, 0).

Все точки прямой х, кроме X, представимы в виде (|, 0, 1), и так как U — S = (а + 1, 1, 1) — (1 — b, 1, 0) = = (а + Ь, 0, 1), то

С = (а + Ь, 0, 1),

что подтверждает правильность построения точки С.

Аналогично, рис. 60 показывает способ построения, исходя из А и В, точки

А -В = С = (ab, 0, 1).

Построение можно осуществить так: пусть АЕ = [1] и [1] П z = Т; пусть BY = [2], ОЕ = / и [2] f) / = V; пусть VT = [31; тогда [3] П х = С. Это построение обозначим р.

Правильность такого способа построения точки С проверяется следующим образом. Имеем Т = (1 — а, 1, 0), так как Е — А = (1, 1, 1) — (а, 0, 1) = (1 — а, 1, 0). Прямая / содержит все точки вида (5, |, 1), и так как В + b-Y = (6, 0, 1) + (0, Ь, 0) = (6, b, 1), то

V = (6, Ь, 1).

Наконец, так как V — b-Г = (b, b, 1)—(6 — b-а, Ь, 0) = = (6 -а, 0, 1), то

С = (а-Ь, 0, 1).

Пусть теперь со* — любая коллинеация, оставляющая на месте точки О, X, Y и Е. Обозначая, как обычно, образ точки Р через Р’, будем иметь для точек прямой х (А + 5)' = А' + В' и (А -5)' = А' -В*. Это означает, что действие коллинеации со* на точки А (а, 0, 1) прямой х совпадает с действием (на элементы а) некоторого автоморфизма координатного поля К. Итак, действие коллинеации со*, оставляющей неподвижными точки О, X, Y и Е, на прямую х совпадает с действием на эту прямую коллинеации, индуцированной автоморфизмом со1 координатного поля К. ~

Легко видеть, что точка W (—1, 1, 0) может быть получена из фундаментальной фигуры линейным построе-

нием: а именно, она является точкой пересечения прямой XY с прямой, соединяющей точки ХЕ П OY и YE П ОХ

ппIIА'Рис. 61.А'Рис. 61.лл(рис. 61). Отсюда следует, конечно, со* (TV) = TV. Значит, образ прямой I = AW есть прямая A’W = Г, а образ точки А = OY П I — точка OY П = = А'. Если координаты точек Л и А' суть (а, 0, 1) и (а',0, 1) соответственно, то координаты точек А и А' можно найти следующим путем:

п

п

I

I

А'

Рис. 61.

А'

Рис. 61.

л

л

а• TV + А = (— а, а, 0) +

' а' • TV + Л' = ( — а', а', 0) + °*+(а', 0, 1) = (0, а', 1) = Л'.' а' • TV + Л' = ( — а', а', 0) + °*+(а', 0, 1) = (0, а', 1) = Л'.+ (а, 0, 1) = (0, а, 1) = А,

' а' • TV + Л' = ( — а', а', 0) + °*+(а', 0, 1) = (0, а', 1) = Л'.

' а' • TV + Л' = ( — а', а', 0) + °*+(а', 0, 1) = (0, а', 1) = Л'.

Это показывает, что действие коллинеации со* на прямую OY = у совпадает с действием на эту прямую коллинеации, индуцированной указанным выше автоморфиз-' мом со*.

Пусть теперь Р = (а, Ъ, 1) есть общая точка прямой, проектирующей точку Л (а, 0, 1) из У, и прямой, проектирующей точку В (0, Ъ, 1) из X. Пусть А' (а', 0, 1) и В' (0, Ъ’, 1) — образы точек А и В; тогда из двух последних утверждений следует, что Р* (а’, b', 1) есть образ точки Р как при коллинеации со*, так и при коллинеации, индуцированной указанным выше автоморфизмом. Следовательно, коллинеация со* сама индуцируется автоморфизмом поля К. Этим доказано утверждение (2.17.2).

Рассмотрим теперь линейное отображение X, переводящее вершины собственного четырехугольника N = = OXYE в вершины данного собственного четырехугольника N' = O'X'Y'E', и коллинеацию ср, удовлетворяющую тому же условию, но не обязательно совпадающую с X. Очевидно, отображение

ф = срХ"1

есть коллинеация, оставляющая каждую из точек О, X, Y, Е на месте, т. е. коллинеация, индуцированная

некоторым автоморфизмом поля К. Отсюда следует, что каждая коллинеация плоскости Sa,g на себя может быть представлена следующим образом:

(2.17.6)(2.17.6)рж; = а^' + а^ + a^1, рж^йг^ -Va^xP* 4-а23хР<, (7 = 0, 1, ..., г — 1), Р^з = аз1^г + «зг^ + азз^?'

(2.17.6)

(2.17.6)

где определитель, составленный из коэффициентов а,^ не равен нулю.

В заключение подсчитаем число всех коллинеаций плоскости Sa-q. Для этого нам нет нужды обращаться к (2.17.6), воспользуемся простыми комбинаторными соображениями. Существует ровно одно линейное отображение, переводящее данный (упорядоченный) собственный четырехугольник OXYE в любой другой данный (упорядоченный) собственный четырехугольник O’X'Y'E'. Следовательно, чтобы найти число линейных отображений, достаточно подсчитать, сколько собственных упорядоченных четырехугольников можно выбрать среди q2 + q + 1 точек плоскости.

Точку О' можно выбрать q^ + q + 1 различными способами. Если О' выбрана, то X' можно выбрать q2 + q различными способами. Если О' и X' выбраны, то за Y' можно принять любую точку, не лежащую на прямой О'Х\ что дает ^2 способов. Наконец, если фиксированы О', X' и У', то за Z' можно принять любую точку, не принадлежащую прямым О'Х\ O'Y', X’Y', что дает д2 + q + 1 — — [3 {q + 1) — 3] = to — I)2 способов. Таким образом, число упорядоченных собственных четырехугольников, а значит, и число всех линейных отображений равно

to2 + <7 + 1) to + 1) ?3 to - I)2.

Если еще учесть, что существует ровно г автоморфизмов поля К, то получим, что число всех коллинеаций плоскости Sa>q есть•

Г ^ + q + 1) (q + 1) (q - I)2.

г Легко видеть, что множество всех коллинеаций плоскости является группой. Число элементов этой группы

быстро возрастает с ростом порядка плоскости. Например, для плоскости Галуа порядка 9 порядок группы коллинеаций равен (см. (2.17.7)) 84 913 920 ).

Дезарговы конечные плоскости

В этом параграфе мы будем рассматривать плоскости, для которых справедлива система аксиом ID, объединяющая систему аксиом I и теорему Дезарга. Начиная с этого момента плоскость порядка q, удовлетворяющую

ID, будем обозначать Daq. Наша цель — показать эквивалентность понятия плоскости S2,q (определенного арифметическим путем) и понятия плоскости D1>q (введенного геометрически).

1° Согласно аксиомам Ilt 12, 13 существуют четыре точки, скажем, -

А, (=0), Л2 (=Х), Л3 (=У) и Е, никакие три из которых не лежат на одной прямой. На рис. 62 изображен случай евклидовой плоскости (дополненной идеальными элементами), когда X и У суть идеальные точки.

Пусть ОЕ = е и Z = е П ХУ. С помощью четырехугольника OXYE можно определить на множестве

е*=е \Z Эве операции, называемые соответственно сложением и умножением.

Под сложением а точек А и В (в указанном порядке) понимается следующая конструкция, приводящая к точке, называемой А + В:

Пусть ВХ Л OY = U и UZ Л AY = V,

тогда VX Л OZ = А + В.

Под умножением ц точек А и В (в указанном порядке) понимается следующая конструкция, приводящая к точке, называемой А -В:

12.18.2) Пусть ВХ Л EY = U и UO Л AY = V,

тогда VX Л ЕО = А -В.

Сравним операции а и ц. В обоих случаях, исходя из данных точек, строятся (в обозначениях, данных на рис. 62) элементы [1], U, [2], [3], V, [4], S. Конструкция ц использует обе точки О и Е, в то время как конструкция а использует только О. Роли точек Z и О в конструкции а берут на себя в конструкции р точки О и Е соответственно .

Наша программа будет состоять в следующем: из аксиом системы ID мы постараемся вывести, что операции а и ц задают на множестве е* структуру тлела. Сначала мы рассмотрим те аксиомы тела, справедливость которых на е* вытекает из 1Ъ 12 и 13, а затем уже те, которые требуют присоединения теоремы Дезарга.

Следующие факты очевидны. Если в конструкции а положим А = О, то У = U, [4] = 11] и, следовательно, О + В = В. Аналогично, если В = О, то [1] = OX, U = = О; тем самым, [2] = е и V = А, так что А + О = А. Если А = О = В, то U = О = V и [1] = ОХ = [4], [31 = OY; следовательно, 0 + 0 = 0. В итоге имеем:

(Aj) Если Р £ е*, тоО + Р = Р + О = Р.

Таким же образом можно проверить два основных свойства операции ц:

(Мо) Если Р ^е*, то О -Р = Р О = О.

(Mj) Если Р Е е*, то- Е-Р = Р-Е = Р.

Если даны точки S и А, то,обращая последовательность построений а, можно найти точку Q такую, что А + Q =

= 5. Аналогично, если даны S и В, то можно найти такую точку Р, что Р + В = S. Такие же заключения справедливы в отношении конструкции ц, если только А О, соответственно В ^ О. Таким образом, имеют место свойства:

(Аа) Если С, S £ е, то существуют единственная точка Р и единственная точка Q такие, что Р + С = S и С + Q = S.

(М2) Если С, S ^ е* и С#О, то существуют единственная точка Р и единственная точка Q такие, что Р -С = = S и C.Q = S.

Чтобы проверить дальнейшие свойства, нам придется использовать теорему Дезарга.

(А3) Если А, В, С £ е*, то справедливо соотношение (А + В) + С = А + (В + С).

При доказательстве будем ссылаться на рис. 63.

Конструкция а участвует в рисунке четырежды: при построении точек А V В, В + С, (А + В) + С и

А + (5 + С). Последние две конструкции на рисункеА + (5 + С). Последние две конструкции на рисункене завершены *).

А + (5 + С). Последние две конструкции на рисунке

А + (5 + С). Последние две конструкции на рисунке

Чтобы доказать (А3), рассмотрим треугольники BUyVt и V2t74V4, которые перспективны относительно точки Y. Согласно теореме Дезарга пары соответствующих сторон пересекаются в трех коллинеарных точках X, Z и W, где W = BVX П Т2Т4- Таким образом, точки X, Z и W коллинеарны (на рисунке W есть идеальная точка). Рассмотрим теперь треугольники VTB (А -г В) и Г4Т2Г3, которые также перспективны относительно Y. Одна пара

соответствующих сторон пересекается в точке W, другая — в точке Z; следовательно, третья пара пересекается в точке, принадлежащей прямой WZ. Так как последняя прямая пересекает прямую Vj (А + 5) в точке X, то через эту точку пройдет и прямая V3V4. Этим доказано (А3).

Доказательство следующего свойства снова опирается на теорему Дезарга. Соответствующие построения показаны на рис. 64.

(А4) Для любых двух точек А и В из е* имеем А + В = = В А А. '

Чтобы это доказать, рассмотрим точки U^X Q BY — = С, UxX f) AY = D и V\X П OY = W. Треугольники ABC и VxUxW перспективны относительно оси XY; соглас-

но теореме Дезарга прямые U^B, Ур-4, DC, соединяющие соответственные точки, пересекаются в одной точке, а именно в точке D. Итак, прямая WC проходит через точку/). Рассмотрим теперь треугольники L\VyD и t/2V2C, перспективные относительно оси X У; по теореме Дезарга прямые UJJ2, УхУ2, DC должны пересекаться в одной

точке, а именно в точке W. Следовательно, точки Vv V2, W коллинеарны, т. е. прямые УгХ и У2Х совпадают. Это означает, что Л + В = УхХ П е* = ^2^ Л е* = В -У А.

Таким образом, операция сложения а на множестве е* удовлетворяет (Ар), (А2), (А3) и (А4), т. е. относительно этой операции е* является коммутативной группой.

(М3) Если А, В, С — три точки из е*, то

(А-В^С = А-ф.С\

Доказательство этого утверждения иллюстрируется рис. 65. Оно подобно доказательству (А3).

На рис. 65 конструкция ц применяется четырежды, а именно для построения точек.

А-В, В-С, (А-В)-С, А-(В-С). '

Рассмотрим треугольники BUtVt и Р2^4^4> которые перспективны относительно точки Y. Согласно теореме Дезарга соответственные стороны пересекаются в точках, лежащих на одной прямой; следовательно, точка W = = ВУг f) У2У4 лежит на прямой ОХ. Рассмотрим теперь треугольники (А -В) BVX и У3У2У4, которые перспективны относительно Y; из теоремы Дезарга следует, что прямая WO должна содержать точку пересечения прямых У3У4 и (А -В) Vv Но последняя прямая пересекает WO в точке X, значит, прямая У3У4 проходит через X, откуда и следует наше утверждение.

Итак, операция р, на множестве е* \ О удовлетворяет (Мх), (М2) и (М3), т. е. относительно этой операции е* X О является группой.

Если мы сравним систему аксиом, определяющую тело, с установленными выше свойствами

(Ах), (А2), (А3), (А4), (МО, (МО, (М3),

то обнаружим следующее: для установления того, что (е*; а, р) есть структура тела, достаточно проверить выполнение аксиом правой и левой дистрибутивности.

Сейчас мы только сформулируем недостающие свойства; их доказательства будут даны после рассмотрения некоторых следствий из свойств (А) и (М).

Мы должны доказать, что для любых трех точек А, В, С из е* справедливы равенства

(Di)А-(В + С) = А.В + А-С t

и

(D2) (В + С).А = в.А + С-А..^г

Заметим, что при доказательстве свойств (А) и (М) мы не рассматривали специально случаи совпадения точек; однако наши утверждения верны и в этих случаях, что легко докажет сам читатель.

2° Свойств (А) и (М) уже достаточно для введения координатной системы на плоскости и, в как й-то степени, для развития аналитического подхода к геометрии плоскости.

Будем обозначать (как это сделано на рис. 66) фундаментальные точки X и У координатной . - "vm через *

и р; соответственно и другие точки фундаментальных прямых ОХ и OY будут обозначаться греческими буквами.

Сравнивая рис. 62, иллюстрирующий определение операции а, и рис. 66, мы видим, что если зафиксировать точку В и заставить точку X пробегать множество е*, то прямая [2] = I, участвующая в построении точки X + В = У, остается неизменной. Более того, точка Р, играющая роль вспомогательной точки V, будет пробегать

Рис. 66.

все точки прямой Z, за исключением точки £. Таким образом, можно установить взаимно однозначное соответствие между точками прямой LP, = I (исключая t) и упорядоченными парами (X, У) точек прямой О£ = е (также без £), удовлетворяющими соотношению У = X + В; при этом соответствии, очевидно, U = Р0-+(О, В).

Определение. Точечными координатами точки Р $ ^Л относительно системы координат О^,х\Е будем называть упорядоченную пару (X, У) точек множества е* таких, что

Р = Хр П YL где X = Рх\ (] е, У = Р^ П е.

Поскольку точки прямой |р мы исключаем, то данное определений позволяет снабдить координатами лишь q1 точек проективной плоскости порядка q.■

. г Соответствие между точками Р плоскости и упорядо- е^Ч^нными парами (X, У) аналогично введению координат (я, у) Н^9^Г@(ЧНОЙ плоскости.

1 / ф, Картес.11230''

Возвращаясь к прямой I рис. 66, мы можем теперь сказать, что уравнение множества I* = Z \ g есть , -

Z*: У = X + В.

Очевидно, когда точка В пробегает все точки множества е*, индуцированное ею множество Z* заполняет всю плоскость, за исключением точек прямой grp

Аналогичные рассуждения можно провести для части рис. 66, иллюстрирующей операцию р. Если зафиксировать точку М и заставить точку X пробегать множество е*, то прямая [2] = Z, участвующая в построении точки X -М = У, остается неизменной. Точка Р, играющая роль вспомогательной точки V на рис. 62, будет пробегать все точки множества Z* = Z \ р. Таким образом, можно установить взаимно однозначное соответствие между точками множества Z* и упорядоченными парами (X, У) точек множества е*, удовлетворяющими соотношению У = X -М; при этом соответствии, очевидно, Ро = U (Е, М). Можно, следовательно, сказать, что уравнение множества Z* есть

У = X -М.

Если точка М пробегает все элементы множества е*, индуцированное ею множество Z* заполняет всю плоскость, за исключением точек линий Ор и grp

С помощью уравнений вида У = X + В и У = X -М могут быть описаны лишь 2q — 1 прямых плоскости. Рассматривая прямые, проходящие через точку гр но отличные от grp мы видим, что их точки характеризуются условием постоянства первой координаты х = А, в то время как вторая координата пробегает все точки е*. В этом смысле можно сказать, что уравнение любой из таких прямых есть

Рц: X = А (А Е е*\

Таким образом, еще q прямых снабжаются уравнениями.

Введем теперь координаты прямой как упорядоченные пары точек._

Определение. Координатами прямой /, не проходящей через точку т), относительно системы координат О^цЕ назовем упорядоченную пару [М, 5] точек множества

е*, определяемых следующим построением (рис. 67):-

|> = /п&п,'

< М = ^Пе, где F = Етх^т, т = О\1, [ В = и^ п е, где U = / П Оч\.

Очевидно, это построение может быть обращено, т. е. прямую / можно однозначно восстановить по данной паре \М, 5]. Построение позволяет приписать координаты

лишь таким прямым — их число есть q\— которые не проходят через точку т]. Отношение между координатами [М, В"\ прямой / и точечными координатами (X, У) любой точки этой прямой (исключая р) выражается уравнением прямой /:

(L): У = X -М + В.

Справедливость (L) можно легко установить следующим путем (рис. 67). Прямая / и точка Р определены соответственно парами точек \М, 5] и (X, У). При построении точки X -М, исходя из X и М, роли точки U, прямой [2] и точки V играют соответственно точка F, прямая т и точка Q. При построении суммы X -М + В роль прямой [2] берет на себя прямая I. Таким образом, единственное, что нужно проверить,— это что точка V£ f) е совпадает 7*

с координатой Y точки Р, т. е. что прямая VP проходит через точку ^.

Для этого рассмотрим два перспективных треугольника (X -М) OQ и VUP. Одна пара соответствующих

сторон пересекается в точке £, другая — в точке р, т. е. в обоих случаях — на прямой £ц. По теореме Дезарга прямая ^Л является осью перспективности. Так как эта ось пересекает прямую (X -М) Q в точке £, то прямая VP должна проходить через 5, что и требовалось доказать.

Очевидно, (2.18.4) и (2.18.5) суть частные случаи (2.18.8). Первый из них отвечает случаю М = Е, второй — случаю В = О.

3° Используя свойства операций аир, можно ввести понятие линейной функции точки (рис. 68).

Пусть М и В — две точки из е*. Прямая /, определяемая парой \М, 5], порождает линейную функцию Y = = / (X; М, В), где X и У принадлежат е*. Явное выражение для /(X; М, В) есть X -М + В. И обратно, функция такого вида порождает прямую, если М и В фиксированы.

Следуя обычной аналитической геометрии, мы называем прямые О£, Оц и точку Е соответственно осью х, осью у и единичной точкой системы координат. Если дана прямая / и указана проекция одной из ее точек Т на ось х

из точки т] или же на ось у из точки £, то по этим данным точку Т можно восстановить однозначно. Так, например, на рис. 68 точка Р восстанавливается по (X, О), а точка <2 - по (О, У).

Теперь мы можем вернуться к доказательству свойств (DD и (D2).

Чтобы доказать свойство (Dx), рассмотрим четыре прямые, заданные указанными ниже уравнениями:

■;и: Y = X-C,

.р: Y = X.(B-VC),:■

' g: Y = X-B + C,;

‘'/: Y = X-B-VA.C ''

(рис. 69}. Координаты точек и f] уг = Q и и f] i/2 = Q' (определяемые из уравнения прямой и) суть (Е, Е -С) =

= (Е, С) и (А, А -С) соответственно. Аналогично, из уравнений прямых g и / можно найти координаты точек

Р = g П у, Р' = f Пу, R = g Л z/i, R' = / П у», эти координаты указаны на рисунке. Поскольку первые координаты прямых g и / обе равны В, точка g П f лежит на прямой £р (на рисунке эта точка обозначена 0). Таким

образом, треугольники PQR и P'Q'R' перспективны относительно оси ^Л- Отсюда по теореме Дезарга следует, что прямая RR' проходит через точку О. Значит, прямая и) имеет уравнение вида У = X -М. Поскольку точка R лежит на этой прямой, имеем Е -М = В + С, т. е. М = = В + С. Следовательно, уравнение w есть Y = X \B-VC') и w совпадает с v. Отсюда, в свою очередь, следует, что

координаты точки R' суть (Л, А -В + Л -С); но 7?' лежит на прямой /, поэтому координаты R' суть (Л, Л -(В + С)). Отсюда имеем А -(В + С) = А -В + А -С, что и требовалось доказать.

Докажем теперь свойство (D2)- Для этого рассмотрим следующие четыре прямые (рис. 70):

е: Y = X, с: Y = X + C,

I: Y = X-A, ft Y = X-A + C-A.

Вспоминая определение .конструкций аир,, легко нахо? дим из написанных уравнений координаты точек

С = 1^уг, D' = lftySl U' = C'^y, У' = /Пуъ

а именно:

С' = (С,С-А), D' = (B + C,(B + C).A), .

U' = (O,CA), V* = (B,B.A^C.A).

Сравнивая первые члены уравнений для е и Z с первыми членами уравнений для си/, замечаем, что обе точки ерс = ^и/П/ = ^ лежат на прямой £р. Таким образом, треугольники VUU' и DCC (где D = В + С, как показано на рисунке) перспективны относительно точки |, откуда по теореме Дезарга следует, что точки р, С и dt Q cZ2 = 6 (где d1 = U'V и cZ2 = DC') коллинеарны. Но тогда треугольники VU'V и DC'D' перспективны относительно оси ^р, поскольку соответствующие прямые пересекаются в точках j6, X, р, лежащих на этой оси. По теореме Дезарга отсюда находим — учитывая VD р U'C = |,— что прямая VD' проходит через точку ^. Но тогда вторые координаты точек D' и У' совпадают, т. е. (5 + С) -А = = В А + С -А, что и требовалось доказать.

Итогом наших рассмотрений является следующая

Теорема. Операции а, (х относительно заданного собственного четырехугольника ОЪ\Е определяют на множестве е* структуру тела.

В действительности эта структура является даже структурой поля. Это следует из хорошо известной теоремы Веддербарна, которая утверждает, что операция умножения в конечном теле всегда коммутативна. Следовательно, (2.18.8) можно записать по-другому в виде

У = М-Х + В.'

Это уравнение аналогично уравнению у = тх + Ъ прямой в обычной аналитической геометрии.

4° Рассмотрим плоскость Галуа S2>q над координатным полем К порядка q. Сопоставим точкам

Л3(0, 0, 1), Е (1,1,1), Лт (1,0,0), А2 (0,1,0) этой плоскости точки

о, Е, £, л

плоскости D2q. Пусть / — прямая в плоскости S2q, определяемая уравнением и^ + и2х2 + и3х3 = 0. Предположим, что / не проходит через точку ^А21 т. е. что

zz2 #= 0. Рассмотрим точку Р (х^ х3, х3), не лежащую на прямой АгА31 т. е. удовлетворяющую условию а;3 ^ 0. Если мы положим

—^ = тек, -^. = дбК; ^- = х^К, ^- = у£К, U^ Ид Zg Zg

то каждая точка прямой /, кроме точки, для которой х3 = 0, будет удовлетворять уравнению

у = тх + Ъ.

В частности, это означает, что существует взаимно однозначное соответствие Q между элементами поля К и точками прямой у = х плоскости Sliq, исключая точку (1,1, 0), а именно:

Q (ж) = (ж, х) для ж £ К.

Легко видеть, что точечные операции а и ц, порожденные четырехугольником А3ЕАгА4, превращают множество точек (х, х) в поле К*, изоморфное К.

В самом деле, обратимся к построениям, показанным на рис. 62.

В случае операции а, если А (а, а) и В (Ь, 6), уравнение прямой [1] есть у = Ь и U (0, Ь); уравнение прямой [2] есть у = х + Ь, и уравнение [3] есть х = а, откуда следует V (а, а + Ь); уравнение [4] есть у = а + Ъ, и, следовательно, прямая у = х пересекает ее в точке 5 (а + Ъ, а + Ъу

В случае операции р имеем Е (1, 1), А (а, а), В (Ь, Ь), уравнение прямой [1] есть у = Ь и U (1, Ь), так что уравнение [2] есть у = xb, уравнение [3] есть х = а и V (a, ab); уравнение [4] есть у = ab, следовательно, прямая у — х пересекает [4] в точке 5 (ab, ab).

Мы видим, что операциям аир над точками соответствуют операции сложения и умножения над координатами этих точек, так что отображение Q поля К на К* действительно является изоморфизмом.

Поскольку точечные операции, устанавливаемые при помощи четырехугольника ОЕ^, сообщают множеству е* в плоскости D3>q структуру поля из q элементов и поскольку поля, имеющие одно и то же число элементов, изоморфны, приходим к заключению, что поле на множестве g* изоморфно подю К*, определенному выше,

Теперь становится очевидно, чтоD4, qaSM- две изоморфные структуры ), и, таким образом, понятия дезар- гоеой плоскости порядка q и плоскости Галуа порядка q эквивалентны.

В заключение отметим, что для справедливости системы аксиом ID не обязательно требовать выполнения теоремы Дезарга (точнее, аксиомы Дезарга) в полной общности; достаточно потребовать, чтобы она выполнялась для некоторых специальных случаев. Действительно, в приведенных выше доказательствах была использована справедливость теоремы лишь в нескольких частных случаях. Но справедливость в этих частных случаях влечет за собой, как мы видим, справедливость теоремы Дезарга в общем виде; более того, с помощью теоремы Веддербарна получаем, что будет верна и более сильная аксиома Р (аксиома Паскаля — Паппа)). Важность этих замечаний проявляется при изучении плоскостей, в которых существуют пары треугольников, перспективных относительно точки, но не перспективных относительно оси. Такие плоскости называются недезарговыми. Разумеется, на недезарговой длоскости могут встречаться и такие пары треугольников, пля которых теорема Дезарга выполняется (пример такой плоскости фигурирует в упражнении 14).

2.19. Задачи и упражнения к главе 2

Пусть шесть различных точек Рг, Р2, Р3, Р4, Рь, Рв плоскости Галуа выбраны так, что Pi, Р3, РБ лежат на прямой и и Р3, Р4, Рв — на прямой v, но при этом точка и f) и = Q не совпадает ни с одной из данных шести точек. Докажите, что точки РгР4 Л П Р4 Р-, - (?1, ^2^3 Л Рь Р» = Q1 и Р3Р4 Л РвРг = <2з ОТЛИЧНЫ

от Pt (i = 1, . . ., 6), от Q, отличны друг от друга, а также что эти три точки лежат на одной прямой w.

Пусть условия упражнения 17 усилены требованием коллинеарности точек Q, Q^ Qa. Докажите тогда, что коллинеарность точек Qv Qa, Q$ можно вывести из аксиом системы ID.

Рассмотрим на плоскости Фано (т. е. на плоскости, удовлетворяющей системе аксиом I и теореме Фано) шесть точек Рп . . . . . ., Рв, удовлетворяющих условиям упражнения 17. Докажите, что коллинеарность точек Q, yn Qa, Q3 следует из аксиом системы IF.

В литературе встречается термин «конечная паскалева плоскость». Будем понимать под этим конечную плоскость, в которой выполняются аксиомы I и аксиома Р, т. е. выполняются все аксиомы системы IP. Добавление аксиомы Р влечет за собой следующее: тройка точек Qlt Qa, Q3, построенных по точкам Р1( . . ., Рв из упражнения 17, коллинеарна.

Докажите, что на паскалевой плоскости справедлива следующая теорема Т: если из шести точек Рп Ра, Р3, Р4, Рь, Рв не более чем две коллинеарны и прямые РгР2, Р3Рв и Р4Р5 имеют общую точку И^, а прямые Р4Р41 РгРз и Р5Р« — общую точку W2, то прямые Р4Рв, Ра Р6, Р3 Р4 также имеют общую точку.

Из упражнения 20 вытекает, что теорема Т есть просто переформулированная теорема Р. В некоторых случаях удобнее пользоваться теоремой Т.

На проективной плоскости порядка 5 для любого овала существует 10 «внутренних» точек и 10 «внешних» прямых. Докажите, что 10 внутренних точек лежат по три на каждой «внешней» прямой и что эти 10 точек являются точками дезарговой конфигурации, т. е. 6 из 10 точек являются вершинами двух перспективных треугольников, одна точка есть центр перспективности, а три остальных точки лежат на оси перспективности.

Рассмотрим точки

В4 (0, bv 1), Ва (1, О, Ьа\ В3 (Ь3, 1, 0),■ .

Ci (0, си 1), С2 (1, 0, с2), С3 (с3, 1, 0)

плоскости Галуа порядка g > 4; пусть

bj ^ ci и 6А ^ °(/ = 1, 2, 3).

Докажите, что данные шесть точек удовлетворяют уравнению второй степени тогда и только тогда, когда а^ОдЬ^Ьз = 1.

Докажите, что в плоскости Sa-q справедлива теорема Паскаля — Паппа.

Выведите из последнего утверждения, что теорема Т верна в плоскости S2,q.

Докажите, что точечная операция ц на плоскости Da>q коммутативна ).

Г лава 3

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ КОНФИГУРАЦИИ

И СЕТИ

В этой небольшой главе мы будем иметь дело с понятиями, которые возникли из наглядных построений, но впоследствии получили абстрактное истолкование и приобрели важную роль в построении теории конечных плоскостей.

Понятие геометрической конфигурации

Пусть дана таблица m X л из m строк и п столбцов. Если в некоторых ее клетках содержится знак инцидентности е, а остальные клетки пусты, то эта таблица называется таблицей инцидентности. Конфигурации 2lt 22, 23 на рис. 71 являются таблицами инцидентности.

Исходя из множества столбцов таблицы инцидентности, можно каждой строке таблицы сопоставить подмножество этого множества, а именно подмножество тех столбцов, которые содержат знак инцидентности в рассматриваемой строке. Если не сделано каких-либо оговорок, то строки будем нумеровать числами от 1 до т, а столбцы — числами от 1 до п. Тогда получается, например, что таблица на рис. 71 задает в множестве {1, 2, 3, 4, 5, 6} следующую систему подмножеств: {1, 2, 3}, {1, 2, 5}, {1, 3, 4}, {2, 3, 6}, {2, 5, 6}, {3, 4, 6}, {1, 4, 5}, {4, 5, 6}.

Сравним теперь три таблицы инцидентности на рис. 71. Произведем в таблице 2Т следующую перестановку столбцов:

- - - , . . ./1 2 3 4 5 6 \

(1 2 3 5 4 б) -

а затем — следующую перестановку строк:

; -_ /1 2 3 4 5 6 7 8\

Лг7 5 6 2 3 48Г'

Композиция этих двух перестановок является примером элементарного преобразования, и это преобразование т переводит 2Т в 2г: т (2Х) = 22. Легко видеть, что таблицу 23 нельзя получить подобным преобразованием из 2Х или из 22. Действительно, в системе восьми подмножеств, соответствующих строкам 23, имеется подмножество

Рис. 71.

{1, 2, 4), пересечение которого с каждым из остальных семи подмножеств не пусто. Это свойство сохраняется при элементарных преобразованиях. Однако в системе подмножеств для 2 2 каждое подмножество не пересекается по меньшей мере с одним из остающихся семи подмножеств.

Две таблицы инцидентности, которые получаются одна из другой элементарными преобразованиями, называются изоморфными; в противном случае их называют гетероморфными. Говорят, что изоморфные таблицы определяют одну и ту же структуру инцидентности, тогда как гетероморфные таблицы инцидентности задают различные структуры.

Если в таблице инцидентности из т строк и п столбцов каждая строка содержит v знаков, а каждый столбец р знаков инцидентности, то такая таблица называется таблицей конфигурации или, короче, конфигурацией. При этом типом конфигурации считается матрица

(

п т\ р v / -

Число J = mv = пр является, очевидно, общим числом знаков инцидентности, содержащихся в таблице. Все три

конфигурации на рис. 71 имеют тип'1

Из этого примера видно, что тип мало что говорит о структуре конфигурации.

Конфигурация является симметричной, если т = п (и, значит, v = ц). Симметричная конфигурация показана на рис. 72. С другой стороны, все три конфигурации на рис. 71 не симметричны.

Фигуру на евклидовой плоскости, изображенную на рис. 72, можно отождествить с приведенной на том же

рисунке таблицей конфигурации, если сопоставить точкам фигуры столбцы таблицы с теми же номерами, а прямым — соответствующие строки этой таблицы. Любая таблица, полученная подобным образом, во всякой своей подтаблице размером 2x2 имеет по крайней мере одну пустую клетку. Конфигурация, удовлетворяющая этому условию, называется геометрической. Разумеется, не всякая геометрическая конфигурация допускает реализацию на евклидовой или хотя бы на классической проективной плоскости. Действительно, рассмотрим какую-нибудь конечную проективную плоскость. Всякая такая плоскость представляет собой геометрическую конфигурацию, удовлетворяющую даже некоторым дополнительным условиям (эквивалентным аксиомам 1х и 12). Однако мы знаем, что даже плоскость порядка 2 не реализуема на классической проективной плоскости. , . . , .

Пусть таблица конфигурации 2 есть таблица инцидентности из т строк и п столбцов. Выберем в этой таблице какие-нибудь т* (-<т) строк и м* (<п) столбцов. В пересечении этих строк и столбцов получается т*п* клеток, которые вместе с содержащимися в них знаками инцидентности составляют таблицу 2*; эта таблица, вообще говоря, не является таблицей конфигурации. Например, в случае таблицы на рис. 72 подтаблица, получаемая в пересечении строк и столбцов с номерами 4, 5, 6, есть таблица конфигурации, а подтаблица, образованная пересечением строк 1, 3, 9 и столбцов 1, 2, 6, таковой не является. Если подтаблица таблицы конфигурации 2 сама является таблицей конфигурации, то ее называют подконфигурацией 2. '

Одна из основных задач при исследовании конечной проективной плоскости заключается в том, чтобы установить, существуют ли у этой плоскости определенные подконфигурации и если существуют, то каково их число.

Пятиугольники, вписанные друг в друга

Мы рассмотрим теперь некоторые любопытные конфигурации на классической проективной плоскости. Кажущиеся, возможно, тривиальными, эти конфигурации, однако, часто приводят к простым и интересным интерпретациям абстрактных геометрических понятий.

Будем считать сторонами многоугольников А = = АгАг . . . Ап и В = В^В^ . . . Вп прямые АгА3, А3А3, . . ., АпАг и BYB3, BJB3, . . ., ВпВ1 соответственно. Многоугольник будем называть обыкновенным, если никакие три его вершины не коллинеарны, и особым — в противном случае. Прямая, соединяющая две вершины многоугольника и не являющаяся его стороной, называется диагональной прямой или, более коротко, диагональю.

Если можно установить такое взаимно однозначное соответствие между сторонами многоугольника А и вершинами многоугольника В, что каждая сторона проходит через соответствующую вершину, то многоугольник А считается описанным относительно В, а многоугольник В — вписанным относительно А. Для этого отношения примем обозначение А )-В. ■

На рис. 72 и 73 представлены таблицы инцидентности геометрических конфигураций одного и того же типа

С з).

а также их геометрические реализации; легко видеть, однако, что эти таблицы гетероморфны. Рассмотрим на обоих рисунках треугольники

А = {1, 2, 3}, В = {4, 5, 6}, С = {7, 8, 9}.

В обоих случаях имеем

А )- В С )- А.'

Таблицы инцидентности не могут быть переведены одна в другую с помощью элементарных преобразований — в этом состоит их различие с комбинаторной точки зрения.

В то же время геометрические представления этих конфигураций на классической проективной плоскости позволяет понять, чем они отличаются также и геометрически. В самом деле, пусть треугольники А и В таковы, что А )- В, и требуется построить треугольник С, удовлетворяющий условию В У- С )- А; тогда, в случае фигуры на рис. 72, одну из вершин треугольника С, скажем вершину 7, можно выбрать на прямой {5, 6} произвольно, после чего две другие вершины 8 и 9 однозначно определяется, как это следует из теоремы Паскаля, примененной к шестиугольнику 1 9 2 4 6 5 *). С другой стороны,

в случае фигуры на рис. 73, положение точки 7 на прямой {5, 6} фиксировано. Действительно, при перемещении точки 7 по направлению к точке 5 точка 9 =k45 f) 37 также сместится в сторону точки 5, тогда как точка 8 = 46 (] 17 сдвинется к точке 4. Следовательно, при смещении точки 7 прямая {8, 9} изменит свое положение и не пройдет через точку 2.

Пусть А и В — два треугольника на классической проективной плоскости, все шесть вершин которых — различные точки. Легко доказать, что отношения А--^ В и А )- В не могут выполняться одновременно. Удивительно, однако, что для пятиугольников это возможно, т. е. существуют два пятиугольника А и В, вписанные друг в друга.

Мы докажем это утверждение, используя одну пространственную фигуру. Пусть в пространстве выбраны точки 1, . . ., 5, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости (рис. 74). Рассмотрим пространственные пятиугольники А = 1 2 3 4 5 и В = 1' 2' 3' 4' 5' = = 1 3 5 2 4. Обозначим их стороны через а^ . . ., а5 и bv . . ., bs соответственно. Стороны каждого из этих пятиугольников являются диагоналями другого. Десять сторон данных пятиугольников определяют десять треугольников. Пять из них имеют по две общих стороны с А и по одной с В, а остальные пять — по две общих стороны с В и по одной с А. Плоскости таких треугольников попарно различны. Так определенная пространственная конфигурация из 5 точек, 10 прямых и 10 плоскостей называется 6-конфигурацией. Исследуем теперь сечение 6-конфигурации плоскостью 2, не проходящей ни через одну из ее вершин.

Пусть прямые aj и bj пересекают эту плоскость в точках А} и Bj соответственно. Рассматривая прямые пересечения секущей плоскости с плоскостями конфигурации, мы сразу же замечаем, что имеется коллинеарная тройка из двух А -точек и одной S-точки, а также коллинеарная тройка из двух S-точек и одной А-точки. На рис. 75 показано, какого вида получается при этом фигура.

Этот рисунок свидетельствует о том, что для пятиугольников отношение А )- В )- А действительно может выполняться. Кроме того, нетрудно доказать, что конфигурация, подобная данной, дезаргова. Так, например, осью

пары треугольников А2А3В5, В2А4А5, перспективных относительно точки Вг, является прямая BtATB3.

Вершины конфигурации двойного пятиугольника на рис. 76 занумерованы числами от 1 до 10, и в соответствии с этой нумерацией на рис. 77 составлена таблица инцидентности данной конфигурации. Эта таблица наглядным образом выражает отношение между двумя пятиугольниками.

На рис. 78 представлена таблица инцидентности, полученная из предыдущей таблицы элементарными преобразованиями. Она позволяет судить о структуре конфигурации с несколько иной точки зрения, а именно считать, что конфигурация состоит из пары треугольников {5, 6, 7} и {8, 9, 10}, перспективных относительно точки 1 и относительно оси (2, 3, 4}.

Теорема пятиугольника и дезаргова конфигурация

1° В связи с конфигурацией двойного пятиугольника можно получить некоторую теорему замыкания, эквивалентную теореме Дезарга. Обозначим сторону пятиугольника А, противоположную вершине Ah, через ah; аналогичные обозначения примем для пятиугольника В. Далее, проекцией (А, а), А ^ а, будем считать преобразование, которое каждой точке X ^= А ставит в соответствие точку X' = АХ П а- Цепью проекций будем называть композицию некоторого числа проекций, в которой всякая очередная проекция применяется к точке, полученной от предыдущей проекции. Цепь проекций называется замкнутой, если каждую точку она переводит в себя; число проекций в замкнутой цепи называется длиной цепи. Теперь будет доказана следующая

Теорема пятиугольника. Если теорема Дезарга верна, то цепь проекций

Ms, а^, (А3, «г), Мп as), М4, а3), (А2, а^

переводит произвольную точку Вг стороны аг пятиугольника А в ту ясе точку Вг (рис. 75).

Доказательство. В указанной цепи проекций первая проекция переводит точку В1 в точку В5, вторая — точку В5 в точку Bh, третья — точку В^ в точку В3, четвертая — точку В3 в точку В2. Отсюда вытекает, что тре-

угольники В2А2В3 и АьВ5Вк перспективны относительно центра Av Но тогда осью перспективы является прямая Л3Л4 = 04, причем сторона В5А5 треугольника А5В5Вк пересекает эту ось в точке Bv Если теорема Дезарга верна, то сторона А2В2 треугольника В2А2В3 должна пересекать ось в той же точке. А это как раз и означает, что проекция (Аг, а^ переводит точку В2 в исходную точку Bv

Можно сказать, что теорема пятиугольника представляет собой теорему Дезарга, переформулированную в виде некоторой теоремы замыкания. Возможна еще и такая формулировка: для любого пятиугольника А и любой точки на прямой аг найдется пятиугольник В, удовлетворяющий условию А У- В }- А и притом такой, что одна из его вершин совпадает с данной точкой прямой av

2° Имея в виду расстановку знаков в таблицах инцидентности дезарговой конфигурации на рис. 77 и 78, мы будем говорить о распределениях в и Г или, короче, о таблицах в и Г соответственно. В каждой из этих таблиц содержится по 30 знаков инцидентности. Заметим, что конфигурация, не являющаяся геометрической, т. е. содержащая подтаблицу 2x2, все клетки которой заполнены знаками инцидентности, не допускает реализации ни на какой проективной плоскости, поскольку две различные прямые проективной плоскости не могут пересекаться в двух различных точках.

В дальнейшем мы будем называть дезаргову конфигурацию (с таблицей, содержащей 30 знаков инцидентности) обыкновенной дезарговой конфигурацией.

Если теперь обратиться к таблице Г на рис. 78, то можно заметить, что, поместив в ее левой верхней клетке тридцать первый знак инцидентности, мы получим расширенную таблицу инцидентности, которая снова является геометрической конфигурацией ). Однако, поместив тридцать первый знак инцидентности, скажем, в правую нижнюю клетку, мы придем к расширенной конфигурации, уже не являющейся геометрической. В этом смысле

можно говорить о свободных и фиксированных клетках исходной таблицы.

На рис. 79 указаны свободные клетки таблиц инцидентности рис. 78 и 77. Мы пока интересуемся возможностью расширения таблицы за счет одного знака инцидентности. Заметим, что каждая строка и каждый столбец таблицы имеют в точности одну свободную клетку.

При расширении исходной Г-таблицы путем введения в ее клетку, помеченную на рис. 79 цифрой 1, допол

нительного знака инцидентности, мы приходим к специ-

называть ее Dj-конфигурацией. Сравнение моделей обыкновенной D-конфигурации и специальной В1-конфигура- ции показывает, что в первом случае каждая прямая состоит из трех точек и через каждую точку проходят три прямых, тогда как во втором случае имеется точка, через которую проходят четыре прямых, и имеется прямая, состоящая из четырех точек (на рис. 80 указанные точка и прямая выделены двойными линиями).

Для получения расширенной таблицы мы выбрали из 10 свободных клеток на рис. 79 клетку под номером 1. На самом деле выбор любой другой свободной клетки приводит к той же самой конфигурации. Действительно, любую из клеток с номерами 2, 3, . . ., 10 можно перевести в левую верхнюю клетку с помощью такого элементарного преобразования, которое не меняет распределения первоначальных 30 знаков инцидентности, показанного на рис. 78. Например, поместив 31-й знак инцидентности

в клетку 9 и переставив строки согласно подстановке'

о = (7, 9, 4, 8, 3, 10, 2, 5, 1, 6),' „ -

а затем столбцы — согласно подстановке

со = (10, 6, 4, 5, 8, 1, 9, 3, 7, 2) ),

мы получим распределение, совпадающее с распределением на рис. 80. Таким образом, добавление одного знака инцидентности дает единственную Dj-конфигурацию.

В таблице инцидентности Dj-конфигурации на рис. 80 содержится на четыре свободных клетки меньше, поскольку после введения дополнительного знака инцидентности в клетку 1 клетки 2, 3, 4 (рис. 79) перестают быть свободными. Следовательно, дальнейшее расширение можно осуществлять, помещая новый знак инцидентности только в одну из клеток 5, 6, 7, 8, 9, 10. Здесь опять-таки несущественно, какая из этих шести клеток выбирается, так как в любом из шести случаев таблицу инцидентности можно подходящим элементарным преобразованием привести к виду, показанному на рис. 81. При этом происходит дальнейшая потеря свободных клеток; для последующего расширения свободными остаются лишь клетки 4, 7 и 10. Полученную в результате двойного расширения конфигурацию будем называть ^^-конфигурацией.

На рис. 82 изображена реализация этой конфигурации. В ней имеются две точки, через которые проходят

Щ Если, однако, пытаться произвести дальнейшее рас-Щ Если, однако, пытаться произвести дальнейшее рас-четыре прямых, и две прямые, состоящие из четырех точек.

Щ Если, однако, пытаться произвести дальнейшее рас-

Щ Если, однако, пытаться произвести дальнейшее рас-

из клеток 4, 7, 10 выбирается. Точнее говоря, выбор любой из клеток 7, 10 дает одну и ту же конфигурацию, но эта

конфигурация не эквивалентна той, которая получается при расширении с помощью клетки 4.

Рассмотрим сначала расширение, получаемое с помощью клетки 7. Если знак инцидентности поместить в клетку 7, то клетка 4 перестает быть свободной и дальнейшее расши-

-рение возможно только за

'' счет клетки 10 [(рис. 83).

Получающаяся несимметрическая таблица инцидентности допускает реализацию на классической проективной пло

скости.

Чтобы сделать отношение инцидентности более обозримым, можно преобразовать таблицу инцидентности в симметрическую таблицу. Это достигается с помощью следующих перестановок строк и столбцов:

а = (10, 4^5, 6, 1, 9, 8, 7, 2, 3),

/ ю = (7, 4, 8, 9, 1, 6, 5, 10, 2, 3)..... /

В результате этих преобразований мы приходим к фигуре, которую будем называть Т) э-конфигурациейд она содержит три особых точки, через которые проходит

Рис. 83.Рис. 83.

Рис. 83.

Рис. 83.

Рис. 84.Рис. 84.модели из точекмодели из точек

Рис. 84.

Рис. 84.

модели из точек

модели из точек

по четыре прямых, и три особых прямых, содержащих по четыре точки. Эта симметрическая таблица инцидентности представлена на рис. 84.

При расширении D^конфигурации путем введения знака инцидентности в клетку 4 обе клетки 7 и 10 перестают быть свободными: в этом

случае мы получаем полную конфигурацию (т. е. конфигурацию, любое дальнейшее расширение которой не будет уже геометрической конфигурацией, рис. 85). Подтаблица данной конфигурации, получающаяся в пересечении первых семи строк и столбцов, есть не что иное, как конфигурация Фано (конечная плоскость порядка два), откуда вытекает, что для этой конфигурации не существует

и прямых на классической проективной плоскости.

Построенную полную конфигурацию будем называть Т)з-конфигурацией. В ней тоже содержится три прямых,

состоящих из четырех точек, и три точки, через которые проходит по четыре прямых. Однако фигура, составленная из этих особых точек и прямых, отлична от соответствующей фигуры в случае П3-конфигурации. Можно также

сказать, что Вз-конфигурация является расширением конфигурации Фано (F-конфигурации).

Вернемся теперь к таблице инцидентности В3-конфигу- рации, приведенной на рис. 84. Ее верхняя левая клетка

еще остается свободной. Поместив в нее знак инцидентности, мы получаем полную конфигурацию (рис. 86). Построенная D^конфигурация содержит четыре прямых,

имеющих по четыре точки, и четыре точки, через каждую из которых проходят четыре прямых.

^^-конфигурация не имеет модели на классической проективной плоскости.

В самом деле, допустим, что плоскость л, рассматриваемая как плоскость трехмерного пространства, содержит такую модель. Пусть S — произвольная точка, не при-

надлежащая л. Спроектируем нашу модель из точки S на какую-нибудь плоскость, которая параллельна плоскости, проходящей через эту точку и прямую Z = {1, 2, 3, 4). Обозначим образ точки к через к'. Поскольку 1 £ Z, каждый из образов' 1', 2', 3', 4' будет идеальной точкой. Следовательно, стороны треугольника-образа 8' 9' 10' и стороны описанного около него треугольника-образа 5'6'7' попарно параллельны (рис. 87). Это означает, что точка пересеченная 1' прямых 5' 8',6' 9', 7' 10' является центром подобия указанных треугольников, т. е. не является идеальной точкой. Из полученного противоречия и следует наше утверждение.

Если обозначить исходную дезаргову конфигурацию через Do, то для конфигураций на рис. 78, 80 , 82 , 83 , 85 и 86 принимаются соответственно обозначения Do, Dn D2, D3, Dg и D4. Нижний индекс показывает, сколько знаков инцидентности добавлено к исходным тридцати, а верхним индексом отмечены полные конфигурации. Говоря о «D-конфигурации», мы будем иметь в виду одну из конфигураций Do, Dlt D2, D3, D3, D4.

3° Прямая D-конфигурации, содержащая четыре точки, называется особой прямой, и точка, через которую проходят четыре прямых,— особой точкой конфигурации. Особые точки и прямые сами составляют подконфигурации, а именно такие:

Dr Точка и содержащая ее прямая.

D2. Две точки, через каждую из которых проходит по одной прямой.

D3. Три точки, через каждую из которых проходит по одной прямой; эти точки и прямые задают перспективную пару треугольников с неособой точкой в качестве центра и неособой прямой в качестве оси.

Dg. Три прямые с общей (неособой) точкой, содержащие каждая по одной из трех точек одной (неособой) прямой.

D4. Особые элементы О3-конфигурации, а также их ось и центр, лежащий на этой оси.

Мы уже видели, что D3 и D4 не имеют реализаций на классической проективной плоскости, но допускает ли каждая из этих конфигураций вообще реализацию на какой-либо плоскости? Мы покажем, что плоскость Галуа порядка четыре содержит D3-конфигурацию, а плоскость Галуа порядка три — О4-конфигурацию.

Рассмотрим таблицу на рис. 7 (стр. 22). Выберем строки с номерами

1,2,3,6,7,8,10,11,14,16

и столбцы с номерами.

1,2,3,4,6,7,8,10,11,12..

Переставим их следующим образом:'.

г /^‘6, 1, 2, 3, 7, 10, И, 8, 14, 16'-

и 'Т ■’

'1,2,6,10,3,7,11,4,8,12’

соответственно. После такой перестановки в пересечении этих строк и столбцов получится таблица 10 X 10, совпадающая с таблицей рис. 85.

Если же в таблице на рис. 8, Hi (стр. 24) взять строки

1,2,3,4,6,7,8,9,11,12 и столбцы.

1,2,3,4,5,7,9,10,12,13.’

и соответственно переставить их в порядке

2, 3, 4, 7, 9, 12, 6, 8, 11•

и

2, 3, 4, 5, 10, 13, 7, 9, 12, то в пересечении этих строк и столбцов получится таблица 10 X Ю, отношение инцидентности в которой полностью соответствует фигуре на рис. 86.

Понятие геометрической сети

В параграфе 1.5 мы видели, каким образом точки конечной плоскости могут быть параметризованы на ее евклидовой модели с помощью двух семейств прямых — семейства прямых, параллельных оси ж, и семейства прямых, параллельных оси у. Мы ввели также «диагональное» семейство прямых конечной плоскости, изображаемых на евклидовой модели кривыми линиями. Это приводит нас к следующему определению.

Будем называть сетью множество ri1 элементов, называемых точками, если для этого множества выполнены следующие условия:

Существуют три семейства подмножеств £, т), £, содержащих по п подмножеств, называемых прямыми, причем каждая прямая состоит из п точек.

Любые две прямые различных семейств имеют одну и только одну общую точку; любые две различные прямые одного семейства не имеют

общих точек. (Таким образом, каждое семейство содержит все 7 и2 точек.)2

Для любой точки в каж- 3 дом семействе найдется единст- 4 венная прямая, которой эта у точка принадлежит.У

Структуру сети можно изо- 7 бразить в . виде таблицы и X и 5 следующим образом. Клетки 9 таблицы будут представлять Ш точки сети, ее строки — под

множества семейства £, ее столбцы — подмножества семейства ц, а ее и не имеющих общих клеток диагоналей — подмножества семейства £ (под диагональю по-прежнему понимается набор из и клеток таблицы, по одной в каждой строке и каждом столбце). На рис. 88, например, наборы темных и светлых кружков изображают две непересекаю- щиеся диагонали.

Выписывая по порядку для последовательных строк таблицы номера столбцов тех клеток, через которые проходит фиксированная диагональ, мы получим перестановку, однозначно определяющую эту диагональ. Так, диагонали из темных и светлых кружков на рис. 88 задаются соответственно перестановками

1, 3, 4, 5, 7, 6, 9, 10, 8Эг;

и!

6,5,4,3,2,1,10,7,8,9.

Занумеровав прямые каждого семейства сети числами от 1 до п и записав в каждой клетке таблицы номер содержащей ее диагонали, мы получим, как легко видеть, латинский квадрат.

Числовая таблица, представляющая собой латинский квадрат, может быть истолкована как таблица некоторой

операции, причем имеется несколько вариантов такого истолкования, каждому из которых отвечает своя операция. Поместив в заглавной строке и заглавном столбце таблицы какие-нибудь две перестановки чисел 1, 2, . . ., п

Z24343Z2243Z5Z24Z24343Z2243Z5Z24Рис. 89.Рис. 89.

Z

2

4

3

4

3

Z

2

2

4

3

Z

5

Z

2

4

Z

2

4

3

4

3

Z

2

2

4

3

Z

5

Z

2

4

Рис. 89.

Рис. 89.

(не обязательно одинаковые), мы зададим тем самым следующую операцию ° на множестве этих чисел: если на пересечении строки с номером у и столбца с номером к

2.Рис. 90.2.Рис. 90.

2.

Рис. 90.

2.

Рис. 90.

находится элемент s, то полагаем j о к = s. Рассмотрим, например, таблицы U и V на рис. 89. Операция, задаваемая таблицей U, не обладает ни левым, пи правым нейтральным элементом. В случае операции с таблицей V существует только левый нейтральный элемент, а именно элемент 1. Если бы в заглавном столбце таблицы V стояла перестановка 1 2 5 3 4, то элемент 1 был бы также и правым нейтральным элементом.

Рассмотрим конфигурацию, изображенную на рис. 90 и напоминающую центральную проекцию параллелепи-

педа. Возможен особый случай, когда точки X, Y и Z коллинеарны, но мы не приводим здесь соответствующей фигуры. Если исключить точку U вместе с тремя пересекающимися в ней прямыми, а также прямые XZ и YZ, то получится конфигурация из 11 точек и 12 прямых. Ее называют конфигурацией Рейдемейстера и обозначают символом R. В случае, когда точки X, Y и Z коллинеарны, говорят о микро-конфигурации Рейдемейстера и пользуются обозначением Ro).

Если в каждом из семейств |, ц, £ сети можно выбрать по четыре прямых с теми же отношениями инцидентности, что и в В0-конфигурации, то мы будем говорить о R0-koh- фигурации данной сети.

Теперь можно поставить вопрос о том, при каких условиях на проективной плоскости существует ^-конфигурация или К0-конфигурация. Этот вопрос тесно связан с выполнимостью соответственно теоремы Дезарга и того ее частного случая, когда центр перспективы пары треугольников лежит на оси; указанный частный случай будем называть микро-теоремой Дезарга и обозначать MD.

Возьмем на плоскости три различные точки X, Y и Z. Выберем какую-нибудь точку 1, не коллинеарную ни с какими двумя из них. Выберем еще по одной точке на каждой из прямых IX, 1У и 1Z. Пусть это будут соответственно точки 4, 2 и 5. Рассмотрим следующие прямые и точки:

' 2Х, 4У, 2ХП4У = 3; 5 У, 2Z, 5У Л 2Z = 6;

5Х, 4Z, 5X(W = 8; 6Х, 8У, 6ХП8У = 7.

Если добавить сюда еще прямую 37 и если прямая 37 пройдет через точку Z, то получится либо R-, либо R0-koh- фигурация.

Если на плоскости выполняется D-теорема (соответственно MD-теорема), то, в силу перспективности треугольников 1 2 4 и 5 6 8 относительно точки Z, точки U, X и У коллинеарны. Но так как треугольники 2 4 3 и 6 8 7 перспективны относительно оси XY, то точка Z лежит на прямой 37. Итак, R-конфигурация и И0-конфигурация

222 гл. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ КОНФИГУРАЦИИ И СЕТИ могут существовать и на плоскостях, отличных от классической проективной плоскости.

По аналогии с R-конфигурацией на плоскости для сети также можно ввести понятие R-конфигурации. В связи с этим для сети формулируется следующее условие (см. рис. 90): пусть {^, ж2, х3, х^, {уъ у2, у3, у^ и {z1; z2, z3} — любые подмножества семейств ^, ц и £ сети; если ^1П Уг Е Ezn ^ПУхЕгь ^1ЛУ4Ег2, а?2П Уз € 22, ЯдЛУгЕгд, ^АУхЕЗд, а х4П y3 E з4 и ж3П y4E 24, to z4 = z4 ( = z4) (условие Рейдемейстера). Сеть, удовлетворяющую этому условию, называют К-сетъю.

Вернемся теперь к таблицам U и V на рис. 89. Выше уже отмечалось, что они существенно различны. Подчеркнем это различие также с еще одной точки зрения. Рассматривая латинские квадраты, соотнесенные сетям, как таблицы операций, мы можем исследовать, как истолковываются R-конфигурации в терминах этих таблиц.

Таблица задает на множестве N = {1, 2, . . ., п^ операцию о по такому правилу: если для Xj,yh, Zi^N элемент z; находится в пересечении строки с номером х} и столбца с номером yk, то Xj ° Уь = ^г. Определение R-сети на языке таблицы операции выражается в следующем виде. Если

^1 О уг = Хг О yv Х^ о у^ = Х2 ° у3 И Х3 о у2 = Х^ о уг, то

^3 0 У 4 = -$4 ° У3"

Это легко следует из того факта, что прямые семейств сети, отвечающие данному значению параметра с (EW), представляют собой множества клеток, удовлетворяющих соответственно условиям х = с, у = с, х о у = с.

Рассматривая латинские квадраты как матрицы, мы можем выразить свойство R также в следующей простой форме: если эта матрица имеет подматрицу

ТО в каждой ее подматрице вида' •

, /с *ХИ, ах йди ^ с)'

,\ с * / ’ \ а 6 / ’ \ * с / ■ ■ ■ ■ г» я /

' > 3.5. ГРУППЫ И К-СЕТИ f v. 223 на месте, отмеченном звездочкой, должен находиться элемент d. Мы будем выражать этот факт, говоря, что матрица удовлетворяет условию прямоугольника.

Проверяя теперь таблицы операций U и V на рис. 89, мы обнаруживаем, что в первом случае соответствующая матрица удовлетворяет условию прямоугольника, а во втором — нет. Например, из первой и второй строк таблицы V и второй и третьей строк можно составить соответственно матрицы t л.

где 3^5. .

Группы и R-сети

Конечная группа может быть задана с помощью так называемой таблицы Кэли. Вообще говоря, отнюдь не просто установить, задает ли некоторая наперед взятая таблица операции группу. Особенно кропотлива и громоздка проверка ассоциативности операции, определяемой таблицей; трудно также выяснить, когда структуры, определяемые двумя таблицами, изоморфны. Существование и единственность обратных элементов и нейтрального элемента проверить проще. Если число элементов основного множества равно q, то для проверки условия (ab)c = а(Ьс) потребуется 4?3 обращений к таблице, поскольку для каждой из д3 троек элементов а, Ь, с нужно последовательно найти по таблице ab, (aby, be, а(Ьс).

Мы сейчас покажем, что подход к таблице операции как к сети можно применить к исследованию ассоциативности операции. Условимся называть операцию умножением, а нейтральный элемент — единичным элементом. Пусть заглавная строка и заглавный столбец представлены последовательностью натуральных чисел 1, 2, . . ., q, где 1 — единичный элемент. Таким образом, наша таблица будет таблицей операции лупы, т. е. квазигруппы с единичным элементом. Посмотрим, как отражается свойство R, т. е. условие прямоугольника для таблицы операции, на самой операции.

1° Таблица операции, удовлетворяющая условию R, обладает следующим свойством: если

. хг = у2, ж3у2 = xk, хгу3 = у4,

то''

х3Ук = адз-

Это следует из равенств предыдущего параграфа, определяющих условие R, в которых положено хг = уг = 1.

Из (3.5.1) получаем

^3 ^1Уз) = ^эУк = хку3 = (ж3у2) Уз = (х3х1') у3.

Поскольку полученное равенство х3 (ж2у3) = Чз^») ys выполняется для любой тройки (ж2, хэ, Уз) элементов основного множества Q = {1, 2, . . ., д), то операция ассоциативна. Итак, если таблица операции квазигруппы Q с единичным элементом удовлетворяет условию R, то квазигруппа является группой.

2° Допустим теперь, что таблица операции задает группу с основным множеством Q. В этом случае мы имеем

Чу)"1 = уЧ"1.

Пусть x3y2 = х^, х-Дз = х2уг и хр^ = ХзУз- Из равенства хгу2 = х^, в силу единственности обратного элемента, получаем

У1Ч11 = yiW-.

Последнее равенство вместе с предыдущими дает '

(едЖЧШ^^

или.

‘ж3у4 = хку3.

Мы установили, что таблица операции группы, рассматриваемая как сеть, обладает свойством R.

Результаты пунктов 1° и 2° подытоживает следующая Теорема. Таблица операции квазигруппы с единичным элементом, рассматриваемая как сеть, удовлетворяет условию прямоугольника тогда и только тогда, когда квазигруппа является группой.

Условие существования единичного элемента у квазигруппы существенно. Рассмотрим, например, таблицу U

на рис. 89. Легко убедиться, что она удовлетворяет условию прямоугольника, но не содержит нейтрального элемента; операция не является также и ассоциативной, так как , . .

(2-3) 4 = 1-4 = 3, 2 (3-4) = 2-1 = 4. ,

Задачи и упражнения к главе 3

Сформулировать специальные условия, определяющие структуру конфигурации двойного пятиугольника в случаях конфигураций Do, D4, D2, D3, D3, D4.

Выяснить с помощью таблицы Г (4) на рис. 7, сколько дезарговых конфигураций имеется на конечной проективной плоскости порядка четыре.

Из определения Г (д)-таблицы, приведенного в параграфе 1.4, и вытекающих из него свойств Dx, D2, D3, D4 легко следует, что латинский квадрат можно получить следующим путем.

В каждом квадрате С1к (А = 0, 1, . . ., д — 1) каждый знак инцидентности заменяется числом к, а затем все эти квадраты совмещаются в одном. Получающийся при этом латинский квадрат порядка q обозначим через L.

Снабдив латинский квадрат L, полученный в предыдущем примере, заглавной строкой и заглавным столбцом из чисел 1, 2, . . ., q, мы получим таблицу операции квазигруппы, но не обязательно квазигруппы с нейтральным элементом (т. е. лупы); обозначим эту таблицу Q.

Доказать, что путем подходящих перестановок строк и столбцов таблицу инцидентности можно преобразовать в таблицу, по- прежнему удовлетворяющую определению Г-таблицы и притом такую, что соответствующая таблица Q задает лупу.

Пусть Q — таблица из предыдущего примера. Доказать следующий факт: для того чтобы эта таблица задавала группу, необходимо и достаточно, чтобы теорема Дезарга выполнялась на конечной плоскости, определяемой таблицей Г (q), во всех случаях, когда осью является прямая lv а центром — одна из точек Рц ^2, . . Рq+f

Замечание. Возвращаясь к недезарговой плоскости, которая соответствует таблице Г* (9), заданной на рис. 45 (стр. 101), мы можем проверить по таблице V на рис. 45 с помощью ряда квадратов С10, С11, . . ., С18, что эта плоскость обладает свойством, указанным в упражнении 30. Кроме того, как было отмечено в комментариях к упражнениям главы 1, на этой плоскости сушествует пара перспективных треугольников, для которых теорема Дезарга не выполняется. Если считать прямую 1Х идеальной, то эта плоскость будет так называемой плоскостью трансляций.

8 ' Ф. Кяртеси

Глава 4. -

НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ■ ГЕОМЕТРИЙ К КОМБИНАТОРИКЕ

" ' ■ В этой главе мы применим некоторые свойства конечных проективных плоскостей к решению ряда комбинаторных задач. Мы будем заниматься экстремальными задачами комбинаторного анализа, а также реализациями экстремальных геометрических фигур (графов), дающими решения этих задач. Первый параграф, в котором излагается некоторый'вспомогательный материал, может быть опущен читателем без ущерба для понимания дальнейшей части книги. В параграфе, посвященном понятию графа, приводятся лишь самые необходимые сведения, касающиеся графа как геометрической структуры.

Теорема замыкания для гиперболического пространства

Пусть а и Ъ — две прямые в пространстве Бойаи — Лобачевского. Факт взаимной перпендикулярности прямых а и b будем выражать записью а X Ь. Если а X Ь, то будем говорить, что две прямые образуют крест. Пусть прямые gv g2, g3, g^ попарно скрещивающиеся, a njh означает прямую, перпендикулярную прямым g, и gk. Всего имеется шесть таких прямых, и для них выполняется следующая

Теорема. Если п1г X пз4 и nls X н42, то ntl X п23. То же самое верно и для евклидова пространства.

В условии теоремы говорится о крестах, образованных 10 = 4 + 6 прямыми, поскольку прямая п;к перпендикулярна прямым gj и gk, и теорема утверждает, что существование 14 крестов влечет существование пятнадцатого креста. ,

* Диаграмма, показанная на рис. 91, дает ясное представление о комбинаторной структуре указанных 15 крестов. Точка Gj представляет прямую gj, а точка Njk —

прямую njk нашей фигуры ;| две точки соединены ребром, т. е. отрезком линии, в том случае, когда соответствующие прямые образуют крест; сами точки диаграммы изображены в виде маленьких кружков. Эта фигура является так называемым графом Петерсена. Граф легче изобразить,

будетбудетизученаизученачем описать. Структура данного графа позднее, а пока обратимся к доказательству нашей теоремы.

будет

будет

изучена

изучена

В доказательстве будут использованы хорошо известные теоремы классической проективной геометрии и факты, касающиеся сферической модели Пуанкаре для гиперболическошгеометрии.

Начнем с модели Пуанкаре.

Поверхность сферы проектируется из одной ее точки на плоскость. Точки этой плоскости представляют |К0мплексные числа. Моделью гиперболического

мо-мо-пространства служит внутренняя часть сферы,

мо-

мо-

делыо прямых являются дуги окружностей, лежащие внутри сферы и пересекающие ее под прямым углом; две концевые точки дуги не считаются точками прямой. Если проекциям концевых точек дуги, представляющей прямую а, отвечают комплексные числа ах и аг, то эти числа определяют прямую а однозначно. Прямые а-. (ах, а^ и Ь; (Ьп Ь2) считаются лежащими в одной плоскости гиперболического пространства тогда и только тогда, когда точки сферы, соответствующие комплексным числам а^ аг; blt b2, лежат на одном и том же круге сферы; они считаются перпендикулярными, если удовлетворяется следующее условие для двойного отношения:

(а^^Ь^ = —1.. .

Это условие можно также представить в виде ^1 + <г2)(Ь1 + Ь2) = 2 (агай + Ь^^.'

Можно было бы также рассмотреть модель на комплексной декартовой координатной плоскости, т. е. на множестве пар комплексных чисел. Пусть

А (axaz, ах + а^ и. В (bxb2, bx + b^ v

8*■'

— две точки плоскости, для которых аг, а2, &i и 62 удовлетворяют указанному выше условию. Рассмотрим теперь на плоскости параболу, заданную уравнением

у2 = 4х.

Пару точек Р' (х', у'), Р” (х", у") будем называть сопряженной относительно этой параболы, если выполняется равенство

у'у* = 2 (ж' + ж").

Очевидно, указанные выше точки А и В являются сопряженными точками относительно параболы. Таким образом, в этой модели пара А, В сопряженных относительно параболы точек соответствует кресту, образованному парой прямых а и Ъ в первой модели, и обратно.

Точка Gu соответствующая данной прямой gXl сопряжена с каждой из точек А12, N13 и А14, отвечающих соответственно прямым пХ2, пхз и пи. Поэтому последние три точки лежат на одной прямой — поляре точки Gv Аналогично, тройки точек (A^, А28, Ам), (WiS, А28, -^34)» (TV14, N24, N84) коллинеарны — они лежат соответственно на полярах точек G2l G3 и Gv Следовательно, шесть точек NJk являются шестью вершинами полного четырехсторонника, образованного полярами точек G,.

Условия пХ2 X п^ и и18 X пк2 теоремы означают, что диагональные пары вершин N12, N^ и N18, N42 полного четырехсторонника являются сопряженными парами точек. Отсюда, однако, в силу хорошо известной теоремы Гессе, вытекает, что третья пара вершин является сопряженной парой. А это означает, что отношение n14 X п23 выполняется, что и доказывает теорему.

Справедливость этой теоремы в евклидовом пространстве может быть установлена исходя из случая гиперболического пространства с помощью предельного перехода. Таким образом, эта теорема может считаться абсолютной в смысле Бойаи.

Некоторые основные факты, касающиеся графов

В настоящем параграфе мы рассмотрим понятие графа в узком смысле, а именно понятие так называемого геометрического графа.

Под графом будет пониматься фигура, составленная из точек и ребер, соединяющих точки, если выполнены следующие условия:

1° Множество точек не пусто.

2° Каждое ребро соединяет ровно две различные точки. 3° Две точки соединены самое большее одним ребром. Пример графа, удовлетворяющего этому определению, показан на рис. 91.

Граф, не имеющий ребер, называется пустим. Если любые две (различные) точки графа соединены ребром, то граф называется полним. Полный граф, если он конечен, т. е. содержит конечное число точек, можно реализовать в виде множества вершин правильного п-угольника, каждые две вершины которого соединены отрезком прямой. Число точек,графа называется его порядком, а число ребер — его классом. Таким образом, на рис. 91 представлен граф порядка десять и класса пятнадцать. Любой граф порядка п можно получить из полного графа того же порядка удалением некоторого числа ребер.

Пусть А и В — две точки графа. Говорят, что существует маршрут, соединяющий точки А и В, если существует такая последовательность точек {Pj, Рг, . . ., Ps}, что точки А и Рг, Рг и Рг, . . ., Р8_Т и Р8, Ps и В соединены ребрами. Граф называется связным, если для любых его двух точек существует соединяющий их маршрут. Число ребер, составляющих маршрут, называется длиной маршрута. Маршрут, соединяющий точку с самой этой точкой, называется циклом. Кратчайший цикл графа на рис. 91 состоит из пяти ребер, а самый длинный — из девяти ребер. Если в точке сходится к ребер, то говорят, что эта точка имеет степень к. Если все точки графа имеют одну и ту же степень к, то граф называют регуляр- ним графом степени к. Наш пример на рис. 91 представляет собой регулярный граф степени три. Длина кратчайшего цикла графа называется обхватом графа. Обхват графа на рис. 91 равен 5. Обхват графа либо равен нулю, либо не меньше трех (в силу пунктов 2° и 3° определения). Деревом называется непустой связный граф, не содержащий циклов; отсюда следует, что обхват дерева равен 0. Цикл, проходящий через каждую точку графа, называется гамильтоновой цепью, а граф с такой цепью — графом Гамильтона.

Если удаление точки связного графа делает граф несвязным, то эта точка называется точкой сочленения графа. В нашем примере на рис. 91 точки сочленения отсутствуют. Если дерево содержит хотя бы два ребра, то оно имеет точку сочленения. Точки дерева, не являющиеся точками сочленения, называются концевыми точками. Каждые две точки дерева соединены единственным маршрутом.

Рис. 92.

Действительно, если бы две точки дерева были соединены двумя маршрутами, то эти два маршрута либо составляли, либо содержали бы цикл. Длина маршрута, соединяющего две точки дерева, называется расстоянием между этими двумя точками.

Если множество точек графа можно разбить на два непересекающихся подмножества таким образом, что любое ребро соединяет точки разных подмножеств, то граф называется дихроматическим или двудольным. Граф на рис. 94 (стр. 233) — бихроматический, точки разных подмножеств изображены светлыми и темными кружками.

Конечно, граф имеет много различных моделей с присущим каждой модели способом выделения основных элементов графа и тех пар точек, которые соединены ребрами. Поэтому в ряде случаев бывает чрезвычайно трудно установить, представляют ли некоторые две модели один и тот же граф. Например, оба графа на рис. 92, по существу, совпадают с графом па рис. 91, т. е. оба являются графами Петерсена.

Понятие изоморфизма существенно необходимо в теории графов. Взаимно однозначное отображение <р множе-

ства точек графа Г на множество точек графа Г', сохраняющее отношение связности, называется изоморфизмом, а в случае отображения графа на себя — автоморфизмом. Сохранение отношения связности означает, что две точки тогда и только тогда соединены ребром, когда то же самое верно для их образов. Если указанное отображение <р существует, то^графы Г и Г' называются изоморфными, в противном случае они называются гетероморфными. Очевидно, изоморфизм является отношением^эквивалентно- сти на множестве графов. Легко проверить, что графы на рис. 92 изоморфны. Изоморфные графы^в теории графов не "различаются.

Непосредственно видно, что определенные выше свойства и числовые характеристики графа (связность, регулярность, порядок, класс, обхват, степень точки, длина маршрута и т. д.) инвариантны относительно изоморфизма. Кроме того, нетрудно доказать, что‘автоморфизмы графа образуют группу. Если занумеровать точки графа порядка п числами'от 1 до п, то автоморфизмы графа будут выражаться перестановками множества (1, 2, . . ., и}. Интересная задача заключается в определении группы автоморфизмов графа, например графа Петерсена. Мы, однако, не будем здесь этим заниматься.

Вообще, описание того"или’иного графа может привести к интересным теоремам. Мы, например, отмечали, что описать граф Петерсена сложнее, чем изобразить его. Попробуем, однако, охарактеризовать его в терминах введенных выше инвариантов.

Граф Петерсена (рис. 91) есть регулярный граф степени к = 3, обхвата*/ = 5. Такими же свойствами обладают и многие другие графы; пусть, например, вершинами и ребрами графа являются вершины и ребра додекаэдра. Этот граф, как и граф на рис. 91, регулярен, имеет степень 3 и обхват 5. Вместе с тем рассматриваемые графы, очевидно, гетероморфны, поскольку порядок одного из них 10, а другого — 20. Постараемся определить минимальный порядок регулярного графа' степени 3 и обхвата 5. Обозначим этот минимальный’ порядок через /(3, 5) = п.

Всякий граф степени к = 3 имеет точку, из которой исходят три ребра; на рис. 93 эти точка и ребра обозначены буквами О и еп еа, е8, а другие концы трех указан-

ных ребер — цифрами 1, 2, 3. Из точек 1, 2, 3 должно

исходить еще по два ребра, концы которых дают еще шесть точек графа, а именно точки 11, 1-2, 2-1, 2-2, 3-1, 3-2. Следовательно, граф должен включать в себя 9 ребер,

а составленная из них фигура должна быть деревом, поскольку обхват данного графа Z = 5. Итак, всякий граф,

удовлетворяющий условиям к = 3,I = 5, содержит по край

ней мере 1 + 3 + 6 = 10 точек, следовательно, / (3, 5) > 10.

Но граф на рис. 91 имеет порядок 10, откуда получается, что f (3, 5)= 10.

Всякий граф с параметрами к = 3, Z = 5 и п=/ (3, 5)=10 будем обозначать символом (10; 3, 5), а общее число классов изоморфизма таких графов — символом g (3, 5) = г. С помощью рис. 93 легко установить, что g(3, 5) =1.

В самом деле, выбе

рем на дереве рис. 93 какую-нибудь точку степени

1, скажем точку 1-1. В этой точке начинаются еще

два ребра, конец одного из них совпадает либо с точкой 3*1, либо с точкой 3-2, а конец другого — либо с точкой 2 *1, либо с точкой 2-2. Указанные четыре возможности, по существу, представляют собой одно и то же. Например, поворот ломаной е32 — е3д на 180° вокруг оси е3 индуцирует изоморфизм, переводящий ребро 1 -1 — 3 -1 в ребро 1 -1 — 3-2. Поэтому без потери общности можно считать, что граф содержит ребра 1-1 — 2-2 и 1-1 — 3-2. Продолжая процесс определения ребер графа в соответствии с условием Z = 5, мы получаем ребра 2-2 — 3-1, 3-2 - 2-1,^ 2-1 - 1 -2 и 3-1 - 1 -2. В результате получается граф, изображенный на рис. 91.

Таким образом, с точностью до изоморфизма граф Петерсена представляет собой единственный регулярный граф степени 3 наименьшего порядка, кратчайший цикл которого имеет^длину^.

Обобщения графа Петерсена ?

Мы будем обозначать через Г (га; к, I) регулярный граф степени к и обхвата Z, имеющий наименьшее число п = = / (к, Z) точек. Разумеется, не для всяких к и Z регулярный граф степени к и обхвата Z вообще существует, но если он существует, то число п — f (к, Z) однозначно определено. Тогда возникает новая задача: найти число

g (k, Z) = г (т. е. число классов изоморфизма). Общие результаты о возможных значениях га и г и реализациях экстремальных графов весьма немногочисленны. Мы отметим сейчас некоторые специальные случаи.

1° Экстремальные графы существуют при к = 3 и I = = 7 или Z = 8.

2° В этих случаях / (3, 7) = 24 и / (3, 8) = 30.

3° В тех же случаях g (3, 7) = 1 и g (3, 8) = 1.

Граф Г (га; k, Z) по аналогии с^графом, рассмотренным в предыдущем параграфе, будем называть (обобщенным) графом Петерсена. Прежде чем доказывать общие теоремы об этих графах, рассмотрим один частный пример, который будет полезен для понимания структуры таких графов.

Постараемся выяснить, существует ли граф Петерсена при к = 3 и Z = 6.

Допустим, что он существует. Рассмотрим какое-нибудь его ребро (на рис. 94 ребро 1—1*). Отметим один конец

этого ребра светлым кружком, а другой — темным. Двигаясь от данного ребра симметрично вправо и влево, будем в соответствии с предположениями к — 3, I = 6 строить дерево, являющееся частью нашего графа. Процесс

построения дерева продолжаем до тех пор, пока расстояние между «свободными концами» ребер не станет равным 6 — 1=5. При этом каждое

новое ребро должно иметь на одном конце светлый, а на другом — темный кружок. Ввиду Z = 6 получится, жак нетрудно видеть, дерево, показанное на рис. 94.

длина которого равна 6длина которого равна 6’ Это дерево содержит 7 темных и 7 светлых точек, и, следовательно, / (3, 6) = п^14. Мы можем теперь продолжить построение графа, не добавляя новых точек; если, например, соединить ребром точки 2 -1 и 3 -2 *, то условие Z=6 не нарушится, так как это ребро замыкает цикл, Действуя таким образом, мы

длина которого равна 6

длина которого равна 6

получаем граф, изображенный на рис. 95, который удовлетворяет определению графа Г (14; 3, 6); чтобы убедиться в этом, достаточно подсчитать число ребер в каждом цикле. Следовательно, / (3, 6) = 14.

На рис. 95 светлые точки обозначены буквами lj, а темные — буквами Рк (j, к = 1, 2, . . ., 7). При этом

устанавливается следующее соответствие между графом на рис. 95 и таблицей инцидентности на рис. 2 (стр. 11): точкам Рк соответствуют точки плоскости, а точкам lj — прямые плоскости. Если понимать отношение принадлеж

ности точек одному ребру как отношение инцидентности, то нетрудно будет убедиться, что наш граф является моделью плоскости Галуа порядка два.

Исходя из данного примера, можно предположить, что для А = д' + 1и/ = 6, где q = рТ есть степень простого числа, существует экстремальный граф Г (n; q + 1, 6), порядок которого п = / (q + 1, 6) = 2 (q2 + q + 1), и что моделью этого графа является плоскость Галуа порядка q.

' Тот факт, что / (q + 1, 6) ^ 2 (g2 + g + 1), можно доказать так же, как и в случае А: = 2 + 1 = 3. А именно, рассмотрим следующее симметричное дерево. Возьмем одно ребро и из двух его концов проведем по q ребер, а из 2q свободных концов этих ребер — еще по q ребер. В построенном таким образом дереве получится в общей сложности 2 + 2g + 2g2 точек, а наибольшее расстояние между его свободными концами будет равно 5.

Ясно, что если граф с параметрами А: = д + 1иА = 6 существует, то он должен содержать такое дерево. Следовательно, / (q + 1, 6) ^ 2 (g2 + q + 1).

Построим теперь граф по таблице инцидентности конечной плоскости порядка q следующим образом. Возьмем q2 + q + 1 «темных» и столько же «светлых» точек; первые точки занумеруем теми же числами, что и столбцы таблицы, "а вторые — теми же числами, что и строки. Соединим ребрами те и только те пары из одной светлой и одной темной точки, для которых в пересечении соответствующей строки и соответствующего столбца содержится знак инцидентности. Мы, очевидно, получим регулярный граф степени q + 1, состоящий из 2 (q2 + q + 1) точек. Каждое ребро этого графа соединяет одну светлую и одну темную точку, поэтому граф является бихроматическим. Ясно, что никакой его цикл не может состоять из нечетного числа ребер. Не может также существовать и цикла из четырех ребер, ибо в этом случае для таблицы инцидентности не выполнялись бы аксиомы 1Х и 12. Следовательно, длина кратчайшего цикла должна быть не меньше шести. Но по аксиоме 13 плоскость обладает собственным треугольником, которому на графе соответствует цикл из шести ребер. Отсюда и из оценки, полученной выше, следует, что / (q + 1, 6) = 2 (q2 + q + 1). Таким образом, мы доказали существование экстремального графа Г (2 (g2 + g + 1); д + К 6).

Граф Г (2 ^ + q + 1); q + 1, 6), построенный по таблице Г ^, является моделью плоскости, определяемой этой таблицей. Обратно, можно построить 5 (д)-таблицу, определяющую плоскость порядка q, по всякому графу Г (2 (q2 + q + 1); q + 1, 6). Граф и соответствующая ему таблица представляют собой две эквивалентные модели. Особой правильностью отличается граф инцидентности в случае плоскости Галуа. (Мы пользуемся термином «граф

инцидентности» с целью подчеркнуть эквивалентность гра

фа и таблицы инцидентности.)

В силу хорошо известной теоретико-числовой теоремы Зингера таблицу инцидентности всякой плоскости Галуа,

как уже отмечалось ранее вкак уже отмечалось ранее вРис. 96.Рис. 96.связи с рисунками 5 и 6 параграфа 1.3, можно привести к циклическому виду.

как уже отмечалось ранее в

как уже отмечалось ранее в

Рис. 96.

Рис. 96.

В этом случае можно строить граф инцидентности по й-таблице плоскости. Эта таблица предварительно перестраивается таким образом, чтобы в пересечении строки 1^ со столбцами Рг и Р2 содержались знаки инцидентности. Такая перестройка всегда возможна: в противном случае в многоугольнике А отсутствовала бы сторона, стяги

вающая угол <р (см. рис. 5, стр. 17). Построение графа по

этой й-таблице можно произвести следующим образом (рис. 96).

1° Вершины правильного 2 (q2 + q + 1)-угольника попеременно обозначаются светлыми и темными кружками; они будут служить точками графа.

2° Выбирается какое-нибудь направление обхода, и

светлые точки нумеруются одна за другой в этом направлении последовательными числами 1, 2, . . ., q2 + q + 1. Аналогичным образом нумеруем темные точки, приписывая им индексы 1*, 2*, . . ., (q2 + q + 1)*, где точка с индексом 1* берется между точками 1 и q2 + q + 1. Строке I, й-таблицы мы сопоставляем светлую точку с индексом /, столбцу Рк — темную точку с индексом к*, а инцидентность прямой lj и точки Рк понимаем как наличие ребра, соединяющего точки j и к*.

Этот симметричного вида экстремальныйуграф, соответствующий плоскости Галуа, будет не только бихрома- тическим, но также и графом Гамильтона.

В итоге наших рассмотрений получается следующая Теорема. Граф инцидентности плоскости Галуа является регулярным дихроматическим гамильтоновым графом степени q + 1 и обхвата 6, имеющим наименьший возможный порядок.

Одна экстремальная задача комбинаторики ..

Экстремальная задача, рассмотренная в предыдущем параграфе, заключалась в определении минимального числа п вершин графа степени к и обхвата I. Мы ставим сейчас аналогичную задачу об определении максимального числа ребер графа с теми же параметрами. Эта задача представляет собой геометрическую интерпретацию одной проблемы Заренкевича, формулируемой следующим образом.

Пусть для некоторого п имеется бихроматический граф из п светлых и п темных точек, не содержащий цикла длины 4. Требуется определить максимальное число ребер такого графа и построить соответствующий экстремальный граф. (Искомые число и граф будем обозначать соответственно F (га) = е и Г (га, е).)

Удобнее иметь дело не с самими такими графами, а с их матрицами инцидентности, т. е. следующими матрицами п X п:

1° Строки матрицы соответствуют светлым точкам, обозначенным буквами Р^ а столбцы — темным точкам, обозначенным буквами Р*. j, к = 1, 2, . . ., п.

2° Если точки Pj и Рь соединены ребром, то элемент матрицы равен 1, в противном случае он равен нулю.

На языке матриц наша задача состоит в том, чтобы определить наибольшее число единиц в матрице порядка п, состоящей из единиц и нулей и не содержащей подматриц вида

требуется также построить соответствующую экстремальную матрицу.

Строки и столбцы матрицы, рассматриваемые как векторы, будем обозначать соответственно через а> и а^. В силу условия, исключающего подматрицы Z, имеем:

при / У= к'

(а;, ah) = 0 или 1 и (а*, а*) = 0 или 1,•

где выражения в скобках означают скалярные произведения соответствующих векторов. Скалярное произведение строки (столбца) на себя есть натуральное число, равное числу единиц в этой строке (в этом столбце).

Примем обозначения■

a£ = pk, ar = aft (fc= 1, 2, ..., n).

Обозначив число единиц в матрице через Ц , получаем (4.4.3) Pi + р2 + • • • + рп = °i + <т2 + • • • +о’п = ц.

Мы пришли к следующей арифметической задаче: при данном п найти наибольшее число ц, удовлетворяющее условиям (4.4.1) — (4.4.3), и построить матрицу, отвечающую найденному числу ц.

Ключ к решению этой арифметической задачи дает хорошо известное неравенство

1(С1 + с2+ . .. +сп)2Сс=4-с=+ ... + с2,

которое применяется здесь к целым неотрицательным числам с15 с2, . . ., сп; равенство в (4.4.4) имеет место тогда и только тогда, когда <4 = с2 = . . . = сп = 0.

Рассмотрим равенство

(аг+а2+.. .-рап)2=.. . .

= (а2 + а2 + . . . + а2) + 2 (ап а2) + . • • + 2 (ап_ъ ап).

Левая его часть равна числу о2 + о2 + . . . + оД, которое, в силу (4.4.3) и (4.4.4), больше или равно ^; в то же время второй член правой части, ввиду (4.4.3), не может превосходить числа п (п — 1) и равен этому числу только тогда, когда каждые две строки дают в скалярном произведении единицу.

Отсюда.

т. е. '.'1;.

Т ПТ1 ~.^> -^^ °*.

Следовательно, для положительного числа Т1 выполняется неравенство

(4.4.5)(4.4.5)1]<у (1 +У4п — з) п.1]<у (1 +У4п — з) п.

(4.4.5)

(4.4.5)

1]<у (1 +У4п — з) п.

1]<у (1 +У4п — з) п.

Вывод этого неравенства показывает, что случай равенства имеет место тогда и только тогда, когда . '

o'! = ст2 = . . . = оп и (an aft) = 1

(7, к = 1, 2, . . ., п; ] Ф fc).

Аналогично, исходя из скалярного квадрата суммы столбцов, мы получаем следующее необходимое и достаточное условие для равенства в (4.4.5):

Р1 = р2= • • • =Р„ и (а*, а£) = 1 (/, к = 1, 2, ..., п; j^ к).

Таким образом, условия (4.4.6) и (4.4.7) эквивалентны Если существует матрица, удовлетворяющая одному из них то она удовлетворяет и другому, и в этом случае Т) = = n (1 + ]/ 4r — 3)/2 = е.

Пусть теперь для некоторого натурального q имеем

(4.4.8)(4.4.8)n = g2 + g + 1.n = g2 + g + 1.

(4.4.8)

(4.4.8)

n = g2 + g + 1.

n = g2 + g + 1.

Тогда из (4.4.5) получаем Л <i (g2 + q + 1) (д + !)• Сравнивая теперь (4.4.3), (4.4.6) и (4.4.7), мы видим, что условие Л = (д2 + 7 + 1) (g + 1) = е может выполняться только тогда, когда в каждой строке и в каждом столбце матрицы содержится по g + 1 единиц. С другой стороны, если существует проективная плоскость порядка д, то матрица, полученная из ее таблицы инцидентности заменой клеток, содержащих знаки инцидентности, единицами и пустых клеток нулями, в точности удовлетворяет условиям (4.4.6) и (4.4.7). Кд

Таким образом, если существует плоскость порядка д, то задача полностью решается: мы не только находим максимальное число ребер е = (g + 1) (д2 + д + 1), но и строим граф, имеющий указанное число ребер. ■

Граф дезарговой конфигурации

Между рис. 75 и 92 существует определенная связь. На первом из них представлена общая дезаргова конфигурация (реализованная в виде двух вписанных друг в друга пятиугольников).

Рассмотрим следующее соответствие между множеством точек графа на рис. 92 и множествами точек и прямых дезарговой конфигурации на рис. 75: , ,

1 2 3 4 5 ^1 ^3 ^5 ^2 ^4 ,а1 а3 Д5 а2 Я41 2 3 4 5 ^1 ^3 ^5 ^2 ^4 ,а1 а3 Д5 а2 Я46 7 8 9 10 \ 51 53 В5 В2 В* j, ^1 ^3 ^5 ^2 ^4 /6 7 8 9 10 \ 51 53 В5 В2 В* j, ^1 ^3 ^5 ^2 ^4 /

1 2 3 4 5 ^1 ^3 ^5 ^2 ^4 ,а1 а3 Д5 а2 Я4

1 2 3 4 5 ^1 ^3 ^5 ^2 ^4 ,а1 а3 Д5 а2 Я4

6 7 8 9 10 \ 51 53 В5 В2 В* j, ^1 ^3 ^5 ^2 ^4 /

6 7 8 9 10 \ 51 53 В5 В2 В* j, ^1 ^3 ^5 ^2 ^4 /

В этом соответствии каждое ребро истолковывается двойным образом. Например, ребро, соединяющее точки 4 и 10 на рис. 92, означает, во-первых, что вершина Ла на рис. 75 принадлежит прямой 64 = ВхВй и, во-вторых, что прямая аг = Л4Л5 проходит через вершину S4.

В этом смысле граф Петерсена является графом инцидентности дезарговой конфигурации. Действительно, концевые точки ребер, исходящих из некоторой точки графа, означают в точности те прямые (соответственно точки) конфигурации, которые инцидентны точке (соответственно прямой), отвечающей выбранной точке графа.

Следует подчеркнуть, что граф на рис. 92 представляет собой двойную диаграмму конфигурации: при истолковании отношения инцидентности с помощью ребер, считая один из концов ребра образом точки конфигурации, следует считать другой конец образом прямой.

Коллинеации конфигурации D на себя образуют группу. Очевидно, исследование этой группы может производиться в терминах группы автоморфизмов графа Петерсена. Заметим, что циклы длины s переходят при автоморфизме снова в циклы длины s, и ограничимся здесь рассмотрением циклов длины 5, т. е. циклов наименьшей длины, составленных из ребер графа. Мы утверждаем, что имеется 12 таких циклов, составляющих 6 пар по два не пересекающихся между собой цикла. Вершины этих непересекающихся циклов попарно соединены (непересе- кающимися) ребрами. Эти пять ребер образуют стягивающую систему графа, состоящую из наименьшего числа

ребер (каждая точка графа принадлежит, по крайней мере одному ребру).

Одно из таких разложений графа на непересекающиеся два цикла показано на рис. 92. Предположим, что ребра пятиугольника (1, . . ., 5) выкрашены в красный цвет, а ребра пятиугольника (6, . . ., 10) — в зеленый цвет. Допустим, далее, что всякое ребро, соединяющее красную и зеленую точку, например ребро 1 — 6 выкрашено белым.

Ясно, что всякий другой пятиугольник графа содержит ровно два белых ребра. Красные концы белых ребер либо соединены красным ребром, либо маршрутом из двух красных ребер, и соответственно этому зеленые концы соединены либо маршрутом из двух зеленых ребер, либо зеленым ребром. Имеется по пять пятиугольников того и другого видд, и они образуют пять пар непересекающихся пятиугольников. Учитывая пару из красного и зеленого пятиугольников, получаем, что общее число пар пятиугольников в графе равно шести.

Аналогичные рассуждения позволяют исследовать циклы большей длины. Интересно отметить, что граф Петерсена и граф додекаэдра, для каждого из которых к = 3 и Z = 5, имеют одинаковое число пятиугольников, а именно 12.

Задачи и упражнения к главе 4 »; - ..

Доказать, что теорема, рассмотренная в параграфе 4.1, эквивалентна следующей теореме замыкания. Пусть даны три попарно скрещивающиеся прямые, не параллельные одной плоскости и такие, что ни одна из них не перпендикулярна двум другим; пусть для каждой прямой построена прямая, перпендикулярная как к данной прямой, так и к прямой, перпендикулярной двум другим прямым. Тогда существует прямая, перпендикулярная всем трем построенным прямым.

Теорема, сформулированная в задаче 31, эквивалентна также следующей теореме. Пусть все углы двух пространственных пятиугольников прямые и никакие две из десяти сторон не параллельны. Допустим, что сторонам одного пятиугольника можно таким образом сопоставить стороны другого, что несоседним сторонам отвечают соседние стороны. Тогда, если четыре пары соответствующих сторон взаимно перпендикулярны, то это же верно и для пятой пары.

Доказать существование графа Г (га; 3, 7); доказать также, что п = 24 и г = 1. Построить этот граф в виде возможно более простой фигуры.

Доказать существование графа Г (л; 3, 8); доказать также, что л = 30 и г = 1. Построить этот граф в виде возможно более простой фигуры.

Доказать, что граф Г (86; 7, 6) не существует.

Определить число циклов каждой длины в графе Г (10; 3, 5).

Доказать, что коллинеации, отображающие общую дезар- гову конфигурацию на себя, образуют группу, изоморфную группе подстановок из пяти элементов.

Мы дадим несколько указаний к решениям этих задач, так как некоторые из них весьма трудны, а другие довольно громоздки.

33*. (Указание к задаче 33.) Вершины правильного 24-угольника, вписанного в окружность, занумеровать в каком-нибудь направлении числами от 1 до 24. Провести следующие 12 хорд: 1,18; 2,14; 3,10; 4,21; 5,17; 6,13; 7,24; 8,20; 9,16; 11,20; 12,19; 15,22. Эти 12 хорд вместе с 24 сторонами многоугольника исчерпывают множество ребер искомого экстремального графа.

34*. Рассмотреть такие 15 пар вершин правильного 30-угольника, вписанного в окружность: 1,18; 2,23; 3,10; 4,27; 5,14; 6,19; 7,24; 8,29; 9,16; 11,20; 12,25; 13,30; 15,22; 17,26; 21,28. Хорды, соединяющие эти пары точек, вместе с 30 сторонами многоугольника исчерпывают множество ребер искомого экстремального графа.

. Поскольку не существует проективной плоскости порядка шесть, искомый граф не существует.

. Рекомендуется рассуждать в соответствии с фигурой Г* на рис. 92.

Г лава 5

КОМБИНАТОРИКА И КОНЕЧНЫЕ ГЕОМЕТРИИ

Начальное развитие теории конечных геометрий шло по пути аналогий с классической геометрией. Однако вскоре теория стала испытывать сильное воздействие со стороны комбинаторики и алгебры. В этой главе мы рассмотрим более детально упоминавшиеся ранее связи между конечными геометриями и комбинаторным анализом. •

5.1. Основные понятия комбинаторики

Пусть Н = {1, 2, . . ., и} — конечное множество, состоящее из v элементов (обозначенных целыми числами). Любое взаимно однозначное отображение множества Н на себя называется подстановкой на Н. Совокупность всех подстановок множества Н образует группу. Эта группа называется полной группой подстановок на Н, а любая ее подгруппа Г называется просто группой подстановок.

Пусть с £ Н. Группа подстановок Г называется транзитивной на множестве Н, если для любого элемента х £ Н существует подстановка из Г, переводящая с в х.

Понятие транзитивности можно сформулировать так, чтобы оно не зависело от выбранного элемента с из Н. Пусть хну — два произвольных элемента из Н. По предположению, существуют такие ст, т £ Г, что са = х и ст = у. Обозначим через стл подстановку, обратную ст, и через со композицию стл и т: стл-т = со. Тогда со 6 Г и ж® = (жст-1)т = у, так что в группе Г имеется подстановка, переводящая х в у.

Если группа подстановок Г не транзитивна на множестве Н, или, как говорят, интранзитивна, то Н можно разбить на подмножества, на каждом из которых Г транзитивна. Эти подмножества называют областями транзитивности множества Н. Два элемента а, Ь £ Н тогда

и только тогда принадлежат одной области транзитивности, когда в группе Г существует подстановка о, для которой а° = Ъ. В этом случае можно сказать, что а и Ъ связаны, посредством Г. Легко видеть, что отношение «связанности» рефлексивно, симметрично и транзитивно, т. е. является отношением эквивалентности-, области транзитивности суть классы, эквивалентности. '

7г545078910111213^71г345078910111213бг7г510312181149О13бз49711013382511126з»591057124811121366g10171741358239612бе511431610897213127г545078910111213^71г345078910111213бг7г510312181149О13бз49711013382511126з»591057124811121366g10171741358239612бе51143161089721312Рис. 97а.Рис. 97а.бгвзб-,б5безгsi%себ5—_ — —— ——.S3С5б.ве5гб*бибебгбе6iбз35S3бе6iб-,бгS6в-,б5б?бзб.бгвзб-,б5безгsi%себ5—_ — —— ——.S3С5б.ве5гб*бибебгбе6iбз35S3бе6iб-,бгS6в-,б5б?бзб.g; a; S; О* Gg Sgg; a; S; О* Gg Sgб,б,бг636g=6бг636g=6Рис. 97b.Рис. 97b.

7

г

5

4

5

0

7

8

9

10

11

12

13

^7

1

г

3

4

5

0

7

8

9

10

11

12

13

бг

7

г

5

10

3

12

1

8

11

4

9

О

13

бз

4

9

7

1

10

13

3

8

2

5

11

12

6

з»

5

9

10

5

7

12

4

8

11

1

2

13

6

6g

10

17

1

7

4

13

5

8

2

3

9

6

12

бе

5

11

4

3

1

6

10

8

9

7

2

13

12

7

г

5

4

5

0

7

8

9

10

11

12

13

^7

1

г

3

4

5

0

7

8

9

10

11

12

13

бг

7

г

5

10

3

12

1

8

11

4

9

О

13

бз

4

9

7

1

10

13

3

8

2

5

11

12

6

з»

5

9

10

5

7

12

4

8

11

1

2

13

6

6g

10

17

1

7

4

13

5

8

2

3

9

6

12

бе

5

11

4

3

1

6

10

8

9

7

2

13

12

Рис. 97а.

Рис. 97а.

бг

вз

б-,

б5

бе

зг

si

%

се

б5

—_ —

—

— —

—.

S3

С5

б.

ве

5г

б*

би

бе

бг

бе

6i

бз

35

S3

бе

6i

б-,

бг

S6

в-,

б5

б?

бз

б.

бг

вз

б-,

б5

бе

зг

si

%

се

б5

—_ —

—

— —

—.

S3

С5

б.

ве

5г

б*

би

бе

бг

бе

6i

бз

35

S3

бе

6i

б-,

бг

S6

в-,

б5

б?

бз

б.

g; a; S; О* Gg Sg

g; a; S; О* Gg Sg

б,

б,

бг

63

6g

=6

бг

63

6g

=6

Рис. 97b.

Рис. 97b.

Пример, приведенный на рис. 97а и 97b, изображает группу Г подстановок множества Н = {1, 2, . . .,13}; элементы этой группы обозначены Ор сг2, . • •, о6. Если мы рассмотрим элемент 8 g Н, то непосредственно увидим, что группа Г интранзитивна на множестве Н. Легко указать ее области транзитивности:

Н1 = {8}, Н2 = {2, 9, И}, Н3 = {6, 12, 13),

Н4 = {1, 3, 4, 5, 7, 10}; Н = Н, U Н2 U Н3 U Н4.

Если исключить из рис. 97а столбцы 2, 6, 8, 9, И, 12, 13, то оставшиеся столбцы будут изображать группу, состоящую из 6 подстановок множества Н4. Рассмотрим разбиение этого множества

' 'Н4 = Н41 U Н42 U Н43,,;(1< Ц

гдеЛ) ’ *4.

Н41 = {1,4}, Н42 = {3, 5}, Н43 = {7, 10}.

Это разбиение на непересекающиеся подмножества обладает тем свойством, что любая из подстановок о^, . . ., сг6 преобразует каждое из указанных подмножеств снова в одно из этих подмножеств (возможно, в то же самое).

Пусть группа Г транзитивна на множестве Н. Если можно разбить Н на несколько (по крайней мере два) непересекающихся подмножеств, из которых хотя бы одно содержит не менее двух элементов, и любой элемент группы Г отображает каждое из подмножеств снова в одно из подмножеств, то группа Г называется импримитивной. Если же Н не допускает такого разбиения, группа Г называется примитивной. Любая транзитивная группа на Н, содержащая простое число элементов, является примитивной.

Степенью группы подстановок множества Н будем называть число | Н | = v. Если группа подстановок Г транзитивна на множестве Н, то порядок группы, т. е. число | Г | = g, делится на степень группы — доказательство эторо факта предоставляется читателю в качестве упражнения. Если g = и, группа Г называется регулярной.

Транзитивная абелева группа всегда регулярна. Доказательство снова предоставляем читателю.

Рассмотрим теперь возникшее сравнительно недавно в комбинаторном анализе понятие, которое исключительно важно с точки зрения конечных геометрий.

Пусть задан набор непустых подмножеств (называемых блоками) множества Н, причем:

1° Число элементов множества Н есть заданное натуральное ЧИСЛО V.

2° Число блоков есть заданное натуральное число Ь.

3° Каждый блок состоит из одного и того же числа элементов. Обозначим это число к.

4° Каждый элемент множества Н принадлежит одному и тому же числу блоков. Пусть это число есть г.

5° Каждая пара различных элементов множества Н принадлежит одному и тому же числу блоков. Пусть это число есть X.

Набор блоков {В!, . . ., ВД, удовлетворяющий перечисленным условиям, называется блок-схемой. Разумеется, существование или единственность блок-схемы с данными значениями параметров v, b, к, г и X нуждаются в специальном исследовании. Пусть, например, и = 21, Ъ = 21, к = 5, г = 5 и X = 1. В этом случае можно утверждать не только существование, но и единственность блок-схемы. А именно, рассмотрим проективную плоскость порядка 4. Примем множество всех точек этой плоскости за Н, а пря-

мые будем рассматривать как блоки. Получим, очевидно, блок-схему с указанными выше значениями параметров. Напомним, что плоскость такого вида единственна — это плоскость Галуа порядка 4 (см. рис. 7, стр. 22) ).

Пять параметров блок-схемы не являются независимыми. Действительно, блок-схему можно представить с помощью таблицы инцидентности, подобной таблице рис. 71. Число знаков инцидентности, содержащихся в таблице, можно подсчитать двумя способами: по столбцам, что дает и-г знаков, или по строкам, что дает Ъ-к знаков. Таким образом,

. и -г = b -к.

Далее, число пар знаков в каждой строке есть Сд, следовательно, число всех пар такого типа, содержащихся в таблице, есть Ъ -Сю Но существует ровно X строк, каждая из которых пересекает данную пару столбцов по квадратам, содержащим знаки; поэтому число тех же пар равно Х-С^. Отсюда находим Ък {к — 1) = Ху (у — 1). Сравнивая с (5.1.1), получаем отсюда

X (у - 1) = г (к - 1).

Условия (5.1.1) и (5.1.2) необходимы, но недостаточны для существования блок-схемы данного типа. Например, эти условия выполнены при у = 43, b = 43, г = 7, к = 7, X = 1, однако мы знаем, что проективной плоскости порядка 6 не существует.

Мы уже видели — а именно на примере проективной плоскости порядка 4, — что существуют блок-схемы, для которых у — Ь. Для таких схем, в силу (5.1.1), должно быть к = г. В этом случае мы говорим о симметричной (у, к, ХУ схеме. Можно также называть ее симметричной

(и, к, ^-конфигурацией. Необходимое условие существования блок-схемы такого типа есть (5.1.2) или, ввиду симметричности,

X (v — 1) = к (к — 1).

Разумеется, это условие выполняется в случае проективной плоскости порядка q, когда и = у2 + q + 1, к = = q -f- 1, X = 1.

Не входя в подробности, укажем, что необходимое условие существования симметричной (г, к, Х)-конфигурации было известно еще двадцать лет назад. Высказывалось предположение, что это условие является также и достаточным; однако до сих пор доказать это не удалось. Условие формулируется для нечетного и и состоит в следующем: уравнение :

С-1 V

z2 = (/c —Х)х2 + ( —1) 2 -Ху2

должно иметь решение в целых х, у, z (не равных одновре-1 менно нулю). Подтверждение достаточности этого условия представляется весьма трудной задачей.

Рассматривая определение симметричной (г, к, Х)-кон- фигурации, можно прийти к обобщению этого понятия — так называемым t-^v, к, Хусхемам. Последние определяются следующими условиями:

1° Множество Н состоит из и элементов.

2° Каждый блок есть подмножество, состоящее из к элементов.

3° Любое подмножество из ( элементов содержится ровно в X блоках.

Это обобщение — не просто искусная выдумка; напротив, оно совершенно естественно возникает в теории конечных плоскостей, как мы увидим в ближайших параграфах.

Две основные теоремы инверсной геометрии

Так называемая мёбиусова (или инверсная) плоскость получается из евклидовой плоскости присоединением единственной идеальной точки, которая считается принадлежащей всем прямым плоскости. После такого присоединения мы уже не делаем различия между прямыми линиями и окружностями, и те и другие теперь называем цикла-

ми. Это позволяет достичь единой формулировки теорем евклидовой геометрии, относящихся к пересечению прямых и окружностей.

Структура мёбиусовой плоскости «идентична» структуре сферы в том смысле, что существует стереографическое отображение (стереографическая проекция) сферы на плоскость Мёбиуса. Пусть t — прямая, проходящая через центр сферы, и U — одна из точек пересечения этой прямой со сферой. Рассмотрим плоскость, ортогональную прямой t, как мёбиусову. Точка Р сферы, отличная от U, считается соответствующей точке Р' плоскости, если прямая РР' проходит через U, а точка U отвечает идеальной точке плоскости. Такое отображение сохраняет циклы, пересекающиеся окружности на сфере переходят в пересекающиеся циклы на плоскости с сохранением угла между ними; при этом сферическим циклам, проходящим через U, отвечают прямые на плоскости. Именно это свойство стереографической проекции наводит на мысль рассматривать прямые на плоскости как циклы, когда плоскость дополнена идеальной точкой.

В математической литературе прошлого столетия много говорилось о так называемом ассоциированном точечном октете, который может быть определен следующим образом. Три квадрики, не содержащие общих кривых, могут иметь ровно восемь общих точек; фигура, состоящая из этих восьми точек, называется ассоциированным точечным октетом и обозначается R (8). Среди множества всех квадрик, проходящих через точки октета R (8), может оказаться сфера Г и квадратичная поверхность, состоящая из двух плоскостей. Изучение этих специальных случаев приводит к двум основным теоремам инверсной (или действительной инверсной) геометрии. Опишем теперь точно конструкцию специального R (8).

Рассмотрим замкнутую цепочку, образованную циклами сх, сг, с3, с4 сферы Г, где предполагается, что

циклы сх и с2 пересекают друг друга в точках Аг и Ви циклы с2 и с3 пересекают друг друга в точках А 2 и В2, циклы с3 и с4 пересекают друг друга в точках А3 и В3, циклы с4 и сг пересекают друг друга в точках А4 и В4. Плоскость цикла ch обозначим уд. Четыре плоскости в общем случае образуют грани тетраэдра; пусть Ch есть вершина этого тетраэдра, противоположная грани ^h.

Очевидно, точки Лк, Bh (к — 1, 2, 3, 4) составляют ассоциированный октет, поскольку они могут быть получены как общие точки трех квадрик, а именно: сферы Г, пары плоскостей у^ у3 и пары плоскостей у2, 74-

Описание этого специального R (8) можно дать, не используя замкнутой цепочки циклов, следующим образом. Пусть некомпланарная четверка точек ^Си С2, С3, С^ обладает тем свойством, что каждая из прямых CVC2, С2С3, С3(\ и С4С1 пересекает сферу Г в двух точках. Полученные при этом восемь точек сферы образуют фигуру R (8).

Два указанных способа приводят к одной и той же восьмерке точек сферы. Но способ, связанный с замкнутой цепочкой циклов, может быть интерпретирован на плоскости Мебиуса.

Опишем некоторое вырождение фигуры R (8). Оно получается, если плоскости yfe различны, но четверка точек Ви Л 3, Вэ принадлежит одной плоскости у. Это возможно лишь в том случае, когда прямые AxBt, А3В3 и А2В2 имеют общую точку С (через эту точку проходят три плоскости у2, у3 и у). Так как прямая А^В^ является линией пересечения плоскости ylt инцидентной с прямой А1В1, и плоскости у4, инцидентной с прямой А3В3, она также должна проходить через точку С = А^В, (] А3В3. Итак, вырождение состоит в том, что прямые AhBh (к = 1, 2, 3, 4) имеют общую точку С (тетраэдр вырождается в этом случае в четверку плоскостей, пересекающихся в точке С). Следовательно, четверка точек (Л2, В2, А^, В^ также компланарна. Разумеется, четыре компланарные точки на сфере принадлежат одному циклу. Таким образом, нами доказана следующая

Теорема. Если (,Ah, Bh), к = 1, 2, 3, 4,— четыре пары точек, определенные с помощью замкнутой цепочки циклов на сфере, причем Ах, Въ А3, В3 принадлежат одному циклу, то А2, В2, А4, В^ также принадлежат одному циклу.

Эта теорема верна и в случае плоскости Мёбиуса (т. е. она является теоремой инверсной геометрии) и может быть легко доказана с помощью стереографической проекции. Будем называть ее ^-теоремой.

Вернемся теперь к специальной R (8)-конфигурации, определенной с помощью тетраэдра С общего вида. Имеется

классическая теорема, устанавливающая, что если точки Ah (k = 1, 2, 3, 4) компланарны, то и точки Вк тоже компланарны.

В терминах замкнутой цепочки циклов этот факт дает теорему инверсной геометрии, называемую теоремой Мигу эля или М-теоремой .(рис. 98).

./.\М-т е о р е м а. Пусть

. • .; V четыре пары (Лк, В^ то

./чек опРеделены с помощью

замкнутой цепочки циклов.

уXТогда четверка точек В k бу-

/ е I / Дх?\j^ет концикулярной ) в

\ том и только в том слу-

»I / / I чае' поедп концикулярна

I\/уСг четверка точек Ah.

\—"УТА* Эту теоРемУ можно по-

\\с4 У ус лучить как следствие более

)х/ сильного результата, отно-

-><~-сящегося к ассоциирован:рис ggным точечным октетам.

Здесь, однако, мы приведем совсем элементарное доказательство (рис. 99).

Возьмем произвольную сферу, в ней — некоторую точку и будем проектировать плоскую фигуру из этой точки на сферу. (Мы должны доказать существование цикла с*, содержащего четверку Вг, Вг, В3, S4.) Затем сферическую фигуру снова отобразим с помощью стереографической проекции из точки Ал сферы на плоскость. В итоге получим на плоскости фигуру той же структуры, что исходная фигура, но теперь циклы сг, с2, с будут прямыми линиями, поскольку на сфере эти циклы проходят через центр Аг проектирования (рис. 100). Так как оба последовательно примененных нами отображения сохраняют циклы, достаточно показать, что точки Вг, В2, В3, В4 на рис. 100 кон- цикулярны.

Утверждение, подлежащее доказательству, можно истолковать следующим образом: если ни одна из точек Аэ, В4 и В2, лежащих на -сторонах треугольника А2А4Вг, не совпадает с вершиной этого треугольника, то описан-

ные окружности треугольников В2Л2Л3, В^АдА^, B1BiBiпроходят через общую точку В3. Это есть так называемаяные окружности треугольников В2Л2Л3, В^АдА^, B1BiBiпроходят через общую точку В3. Это есть так называемаямалая теорема Мигуэ- ля; ее легко доказать, используя теорему о вписанных углах.Подобными же рассуждениями можно доказать и N-теорему. В этом случае мы должны ' доказать существование цикла с*, содержащего точки А 2, В2, Л4, В^ ' - рис. 98. Первый шаг снова заключается в проектировании плоской фигуры на сферу Г, второй шаг — в после- : дующем проектировании из Л 4 сферы снова проектирований получаеймалая теорема Мигуэ- ля; ее легко доказать, используя теорему о вписанных углах.Подобными же рассуждениями можно доказать и N-теорему. В этом случае мы должны ' доказать существование цикла с*, содержащего точки А 2, В2, Л4, В^ ' - рис. 98. Первый шаг снова заключается в проектировании плоской фигуры на сферу Г, второй шаг — в после- : дующем проектировании из Л 4 сферы снова проектирований получаейРис. 99.Рис. 99.на плоскость. После двух фигуру, изображенную нана плоскость. После двух фигуру, изображенную на

ные окружности треугольников В2Л2Л3, В^АдА^, B1BiBiпроходят через общую точку В3. Это есть так называемая

ные окружности треугольников В2Л2Л3, В^АдА^, B1BiBiпроходят через общую точку В3. Это есть так называемая

малая теорема Мигуэ- ля; ее легко доказать, используя теорему о вписанных углах.

Подобными же рассуждениями можно доказать и N-теорему. В этом случае мы должны ' доказать существование цикла с*, содержащего точки А 2, В2, Л4, В^ ' - рис. 98. Первый шаг снова заключается в проектировании плоской фигуры на сферу Г, второй шаг — в после- : дующем проектировании из Л 4 сферы снова проектирований получаей

малая теорема Мигуэ- ля; ее легко доказать, используя теорему о вписанных углах.

Подобными же рассуждениями можно доказать и N-теорему. В этом случае мы должны ' доказать существование цикла с*, содержащего точки А 2, В2, Л4, В^ ' - рис. 98. Первый шаг снова заключается в проектировании плоской фигуры на сферу Г, второй шаг — в после- : дующем проектировании из Л 4 сферы снова проектирований получаей

Рис. 99.

Рис. 99.

на плоскость. После двух фигуру, изображенную на

на плоскость. После двух фигуру, изображенную на

рис. 101, где q и с2 — прямые (в евклидовом смысле) линии. Рассматривая нашу плоскость как плоскость Мёбиуса, мы должны теперь доказать, что точки Л2, В^ В4 коллинеарны (в евклидовом смысле), поскольку Л4 есть иде-

альная точка плоскости. Но это легко следует из теоремы, относящейся к прямой степеней трех окружностей: В4 есть степень окружностей с3, с4, с.

В двух последних доказательствах прослеживается общая идея: из справедливости специальной М-теоремы (см. рис. 100) и специальной N-теоремы (см. рис. 101) выводится справедливость теорем в общем виде двукратным применением стереографической проекции.

Мы будем теперь изучать вопрос: существуют ли конечные плоскости, аналогичные инверсной плоскости, и верны ли в них теоремы, аналогичные М-теореме и N-теореме?

Конечные инверсные геометрии!v •

Ht-(r, к, Х)-схемы‘

Мы уже знакомы с интересным примером блок-схемы t-^v, к, X), а именно с конечной проективной плоскостью, для которой t = 2, и = g2 + q + 1, к = q + 1 и X = 1. Теперь мы можем указать пример, отвечающий случаю t = 3, v = g2 + l,^ = 9-bl,X=l, пользуясь геометрическим языком. Для определенности будем считать q = 3. Рассмотрим таблицу инцидентности, показанную на рис. 102, где столбцы отвечают точкам Ро, Plf . . ., Р9, а строки — циклам clt сг, . . ., с30 (соответственно).

Легко проверить, что эта Структура, содержащая 10 точек и 30 циклов, обладает следующими свойствами:

Кг Любой цикл содержит точки.

К2. С любой тройкой точек инцидентен единственный цикл.

К3. Если Pj t сТ и Р h б ст, то существует по крайней мере один цикл cs =^= сг, для которого Pj б сз и l' п б с»-

К4. Существуют 4 точки, не принадлежащие одному циклу (4 неконцикулярные точки').

Аксиомы Кн К2, К3, К4 образуют вместе систему аксиом, которую мы будем обозначать К.

Плоскость, удовлетворяющая система аксиом К, называется инверсной плоскостью или плоскостью Мёбиуса. Если число точек такой' плоскости конечно — как в рассмотренном выше случае,— мы говорим о конечной плоскости Мёбиуса.

,. Возникает ряд вопросов:

1° Сколько таблиц инцидентности, подобных таблице предыдущего примера, можно построить?

2° Какими общими свойствами обладают все инверсные плоскости?

Мы не станем давать подробные ответы на эти вопросы,Мы не станем давать подробные ответы на эти вопросы,а рассмотрим только общий план изучения таких плоскостей.

Мы не станем давать подробные ответы на эти вопросы,

Мы не станем давать подробные ответы на эти вопросы,

1° Пусть р — нечетное простое число. Рассмотрим трехмерное пространство Галуа над координатным полем К = GF (р‘) и параллельно с ним — классическое проективное пространство. В последнем случае уравнению •

^-Р^ + д;^^

отвечает единичная сфера. Если проектировать точки сферы, за исключением U (0, 0, 1, 1), из точки U на (фундаментальную) плоскость х4 = 0, получим стереографическое отображение сферы на плоскость. Рассматривая то же самое уравнение (5.3.1) над координатным полем К, получим в пространстве Галуа квадрику, называемую овалоидом. (Мы понимаем под квадрикой множество точек, определенное уравнением вто

Рис. 102.Рис. 102.рой степени; если квадрика содержит более одной точки и не

Рис. 102.

Рис. 102.

содержит прямых, она назы

вается овалоидом.) Любую точку овалоида, не лежащую в плоскости х4 = U, можно принять за центр U проектиро- Ъания. Мы будем называть проекции плоских сечений овалоида на фундаментальную плоскость х4 = 0 «циклами».

Изображенный на рис. 102 пример может быть получен именно таким путем. Мы берем овалоид (5.3.1) над

координатным полем GF (3) и проектируем его точки из U (0, 0, 2, 1) на плоскость, образуемую точками ^xv ха, х3, 0). Читатель легко проверит, что все точки овалоида (кроме Щ суть

21(0, 0, 1, 1), <?2 (0, 1, 0, 1), <?а(0, 2, 0, 1), (?4 (1, 0, 0, 1), 25(1,1,1,0), 2б(1,2, 1,0), 27(2,0,0,1), 28(2,1,1,0), 2а (2, 2, 1, 0).

Обозначим проекцию точки Qj через Pj. Очевидно, 2s = ^5, 2б = ^6, 2s = ^8, 2» = остальные проекции суть

Рх (0, 0, 1, 0), Ра (0, 1, 1, 0), Р3 (0, 2, 1, 0), Р4 (1, 0, 1, 0), Р7 (2, 0, 1, 0)...

Если вместо (xv ха, 1, 0) воспользоваться неоднородными координатами (хи х^, то будем иметь ..

Л (0,0), Р2(0, 1), Р3 (0,2),'

, Л (1,0), Р5(1, 1), р6(1,2),

Л (2,0), Р8(2, 1), Р9(2, 2).

Таким образом, мы получили точки аффинной плоскости третьего порядка. Ее пополнение идеальной точкой Р10 (отвечающей U) есть плоскость Мёбиуса порядка 3 (ср. рис. 8, Ш и первые 12 строк рис. 102).

Теперь можно найти плоские сечения овалоида {^, 21, 2а,1- • ч 29} ~ ^- Так как прямая имеете овалоидом не более двух общих точек, каждая тройка точек овалоида определяет единственную плоскость. Каждая такая плоскость имеет с овалоидом четыре общие точки, и если спроектировать их из точки U на фундаментальную плоскость, будем получать множества из четырех точек, образующие циклы на плоскости Мёбиуса. Таблица инцидентности точек и циклов в этой плоскости и представлена как раз на рис. 102.

2° Понятие овалоида в пространстве S3,q можно определить по-другому — более геометрично. Оставив в стороне случай q = 2Г, будем понимать под овалоидом подмножество из ?2 + 1 точек проективного пространства порядка q, обладающее тем свойством, что никакие три точки в нем не коллинеарны (ср. с параграфами 2.7 и 2.13).

Число общих точек плоскости и овалоида не может превышать числа точек овала на плоскости порядка q, т. е. не может превышать q + 1 ). Однако это число (если только оно >1) не может быть и меньше, чем q + 1. В самом деле, рассмотрим плоскости, проходящие через точки Qj и Qh (j ^ к) овалоида. Прямая ljh = QjQh и любая точка расходящейся с ней прямой определяют плоскость; отсюда число плоскостей, инцидентных с прямой ljh, есть q + 1. Пусть в этих плоскостях лежат соответственно л17 л2, . . ., л?+1 точек овалоида. Учитывая, что точки Qj и Qh принадлежат каждой из'этих плоскостей, находим

лх + л2 + . . . + л^ = (q3 + 1) + 2g = (q + I)2.

Но л^ ^ q + 1, и, значит,

. лг = л2 = . . . = п^+1 = q + 1.

Таким образом, плоскость, содержащая по крайней мере две точки овалоида, имеет с овалоидом ровно q + 1 общих точек.

Число плоскостей, проходящих через данную точку овалоида и имеющих с ним более одной общей точки, есть q1 (q + IVq = q3 + q. А так как число плоскостей, инцидентных с данной точкой пространства, есть q3 + q + 1, то среди них существует ровно одна плоскость, касающаяся овалоида (т. е. имеющая с ним ровно одну общую точку).

Число таких касательных плоскостей к овалоиду равно, очевидно, q3 + 1. Но число плоскостей, содержащих более одной точки овалоида, равно отношению числа троек точек овалоида к числу троек точек овала, т. е. числу

•Cg2+1/Cg+1 = q3 -f-^.

Отсюда находим, что число всех плоскостей, содержащих хотя бы одну точку овалоида, равно (g2 + 1) + (q3 + q) = = q3 + q3 + q + 1, что совпадает с числом всех плоскостей пространства.

Итак, любая плоскость пространства или касается овалоида, или пересекает его в q + 1 точках.

Этот результат является неожиданным, так как в классическом проективном пространстве только линейчатые

квадрики обладают свойством пересекаться со всякой плоскостью.

Следующие несколько свойств читатель легко установит самостоятельно.

Любая внешняя по отношению к овалоиду прямая инцидентна двум касательным плоскостям ид — 1 плоскостям, пересекающим овалоид по овалам.

Прямая, касающаяся овалоида, инцидентна одной касательной к овалоиду плоскости и еще д плоскостям, пересекающим овалоид по овалам.

Как уже упоминалось, прямая, пересекающая овалоид в двух точках, инцидентна д + 1 плоскостям, пересекающим овалоид по овалам.

Получающиеся таким путем три вида пучков овалов аналогичны эллиптическим, параболическим и гиперболическим пучкам окружностей на обычной сфере.

Каждая точка овалоида содержится в д (д + 1) овалах данного овалоида, всего же на овалоиде имеется д (g2 + 1) овалов. Число овалов, не пересекающихся с данным овалом, равно д (д — 1) (д — 2)/2 ), а число овалов, касающихся данного овала, есть д2 — 1.

Таким образом, мы дали комбинаторную интерпретацию понятию овалоида и полностью выяснили структуру инцидентностей точек и овалов, исходя из элементарных (комбинаторных) соображений. Так как каждые три точки овалоида определяют в точности один овал и так как овалы овалоида как точечные множества можно рассматривать в качестве блоков, овалоид служит реализацией блок- схемы 3-(щ к."АУ где v = g2 + 1. к = д 4- 1, X = 1.

Связь между инверсной геометрией, т. е. плоскостью Мёбиуса порядка д, и блок-схемами 3-(д2 + 1, д + 1, 1) легко усматривается из того факта, что плоскость Мёбиуса с ее циклами изоморфна (посредством стереографической проекции) «сфере», заданной в пространстве Галуа порядка д уравнением (5.3.1), с ее «сферическими циклами». И эта сфера с ее циклами есть не что иное, как определенный выше овалоид с его овалами.

Можно, таким образом, утверждать существование неограниченного числа конечных плоскостей, удовлетворяющих системе аксиом К, которая, тем самым, заслуживает изучения.

Некоторые теоремы, относящиеся к плоскости Мёбиуса

Сравнивая примеры, изображенные на рис. 102 и 101, мы видим, что если сопоставитьТциклам с1? с2, с3, с4, с рис. 101 строки cv с3, с30, с22, с23 рис. 102, то столбцы Р^ Р6, Р10; Р3, Р-1, Р9, Рг будут отвечать точкам пересечения Аъ А2, А3; Вх, В2, В3, В4. Далее, строка с2 рис. 102 соответствует прямой с*, проходящей через три точки Л2, В2, В^, т. е. теорема, аналогичная N-теореме классической инверсной "геометрии, имеет место для фигуры рис. 102.

Можно поставить вопрос, верны ли М-теорема или N-теорема для инверсной плоскости, определенной аксиоматически. Мы лишь кратко опишем результаты, которые известны по этому поводу.

Если для некоторой плоскости Мёбиуса верна теорема Мигу эля, плоскость называется мигуэлевой или просто М-плоскостъю.

Конечная инверсная плоскость тогда и только тогда является мигуэлевой плоскостью, когда она изоморфна нелинейчатой квадрике в пространстве Галуа. При этом точкам плоскости сопоставляются точки квадрики, прямым — плоские сечения квадрики, содержащие более чем одну точку этой квадрики.

В пространстве нечетного порядка любая пелинейчатая квадрика является овалоидом, и обратно. В пространствах четного порядка это неверно (ср. теорему Сегре).

Таким образом, в случае нечетного порядка можно говорить об овалоидоподобных плоскостях вместо М-пло- скостей.

До сих пор известны лишь овалоидоподобные мёбиусовы плоскости; свойства этих плоскостей зависят от свойств соответствующих овалоидов.

Соберем теперь факты, касающиеся числа точек и циклов на М-плоскости порядка q:

Mv Число всех точек плоскости есть q2 + 1.

М2. Число всех циклов есть q (q2 + !)" .

9 Ф. Картсси ' '

М3. Каждый цикл инцидентен q + 1 точкам. '■ М4. Каждая точка инцидентна q (q + 1) циклам.

М5. Каждый гиперболический пучок состоит из q + 1 циклов.

Мв. Каждый параболический пучок состоит из q циклов.

М7. Каждый эллиптический пучок состоит из q — 1 циклов.

Заметим, что число циклов гиперболического пучка в точности равно числу точек одного цикла.

Отношения инцидентности в конечной плоскости можно весьма прозрачным образом изобразить в виде матрицы инцидентности. Эта матрица получается из таблицы инцидентности вписыванием 0 в каждый пустой квадрат и заменой каждого знака инцидентности на 1. Полезность матрицы инцидентности мы уже показали при рассмотрении экстремальной комбинаторной задачи. Теперь нас будет интересовать, сколько раз символ 1 содержится в матрице инцидентности, когда имеются п элементов и т блоков, т. е. в матрице из п столбцов и т строк, если столбцы рассматриваются как точки, а строки как циклы, причем 1 и 0 обозначают соответственно инцидентность и неинци- дентность. Предполагается, что система точек и циклов удовлетворяет требованиям системы аксиом К ). Число всех символов 1 в матрице обозначим ц.

Из аксиомы К4 следует, что матрица содержит не менее 4 столбцов. Из К2 следует, что в матрице не менее 4 строк. Таким образом, т]^12.

Количества единиц, содержащихся в строках матрицы, обозначим соответственно Х1? Х2, . . ., Xm, в столбцах — ль л2, . . ., лп. Очевидно,

Хт + Х2 + . . . + Хт = л7 + л2 + • ■ • "Т лп = т].

Сами векторы строк, соответственно столбцов, обозначим xt, . . ., жт и уп . . ., уп. Установим ряд соотношений между числами X, л и векторами ж, у.

Очевидно, ж) = Xj и у] = л^, так что

+ Ж2 +.'..+ Жт = Х7 + Х2 4- . ^т = л» - : (о.4.2) <. •

I У1 + У2 + • • -+Уп = л1 + л2+ . . . +л„ = Т|. х ■

Для сумм векторов-строк, соответственно векторов- столбцов, мы имеем, с одной стороны, соотношения

(5 4 3) {(^ + ^+... + Жт)2 = л^ + л^

I (Ус + УгЛ" ... +Уп)2 = ^! + ^2 + • • • +^т,■

а с другой — соотношения

(5.4.4)(5.4.4)(i^ к).(i^ к).(2 Ж;)2 = >2 ХН 2 ХуХ1п 111

(5.4.4)

(5.4.4)

(i^ к).

(i^ к).

(W=2y;+2wiii

Сопоставляя (5.4.2) — (5.4.4), находим

(^ + V2+...+^)-

— (^1 + ^2 + •• • + ^т) = 5 V jVk- 1

Обозначим скалярное произведение у,Уь через со^ (/ ^ к\ Пусть наибольшее из этих чисел есть о. Так как число таких произведений есть п (п — 1), находим из (5.4.5) (5.4.6) (X2 + Х2 + ... + Х„)— (^-1 + ^2+ • • • +^т)-^

<^®П (п —1),

где равенство достигается в том и только в том случае, когда любое из чисел ®7к равно со (условие (а)).

Хорошо известно, что для любого набора чисел сх, с2, ...

. . ., с8 справедливо неравенство

С? + С2 + • • • + ^2>^1 + С2+ ••■+С«)2 (

причем знак равенства имеет место только в случае^ = = с2 = . . . = cs (условие (0)). Отсюда и из (5.4.6) имеем следующее неравенство:

ц ^сои (п-1).

В свою очередь из этого неравенства, а также из ц > О следует

2т)^т4-У m2 + 4comn(n— 1),

9*

причем равенство имеет место в том и только в том случае, когда выполнены оба условия (а) и (Р).

Сформулируем каждое из этих условий^в терминах инверсной геометрии. Условие (а) означает, что через каждые две точки должно проходить одно и то же число циклов. Условие (р) означает, что каждый цикл должен содержать одно и то же число точек; пусть это число есть v. Формулируя для таблицы инцидентностей полученные результаты, можно сказать следующее.

Для данных со, т, п рассмотрим все таблицы инцидентностей типа т X п такие, что число строк, пересекающих некоторые два столбца по квадратам, содержащим знак •, не больше со, и существует пара столбцов, для которой это число равно со. Назовем таблицы такого рода 0 (со; т, п)-таблицами. Пусть ц обозначает число всех знаков • в таблице. Для 6 (со; т, н)-таблиц число ц не может превышать границы, определенной неравенством (5.4.7); обозначая эту границу через Е (го; т, и), можем записать

1] ^ Е (со; т, п).

Число ц достигает своей верхней границы Е тогда и только тогда, когда каждые два столбца пересекают в точности со строк по квадратам, содержащим знак инцидентности, и при этом каждая строка содержит одно и то же число v знаков инцидентности.

Легко видеть, что если 0 (со; т, п)-таблица удовлетворяет этим условиям, т. е. имеет указанное выше экстремальное свойство, то она характеризуется некоторой степенью регулярности также и относительно своих столбцов: в каждом из столбцов имеется одно и то же число знаков инцидентности.

Мы докажем это утверждение с помощью одного вспомогательного понятия. Назовем звеном таблицы любую пару знаков инцидентности, расположенных в одной и той же строке; под членами звена будем понимать два столбца, содержащие знаки инцидентности данного звена.

Определим теперь, скольким звеньям может принадлежать (как член звена) произвольно выбранный столбец Pj. Подсчет можно осуществить двумя различными способами:

1° л; строк таблицы пересекают столбец Р; по квадратам, содержащим знак инцидентности, и в каждой из этих строк имеется еще v — 1 знаков. Отсюда число звеньев, членом которых является Р,, равно л, (у — 1).

2° Столбец Р, входит в п — 1 пар столбцов таблицы. Каждая пара столбцов содержит со звеньев. Отсюда число звеньев, членом которых является Р^ равно ® (и — 1).

Сопоставляя результаты двух подсчетов, находим

Отсюда и следует наше утверждение: лх — л2 = . . . = = лп (= р).

Таким образом, инверсные геометрии могут служить источником экстремальных таблиц. При этом согласно М15 М2, М5 имеем

п = q1 + 1, т = q (q2 + 1), со = q + 1,

а согласно М3, М4 v = q + 1, р = q (q + 1). Подставляя значения т, п, ю в (5.4.7), получим справа следующее число:

^q (q + 1) № + 1).

Структура инцидентности и t-блок-схема

Блок-схему /-(к, к, к) можно рассматривать как некоторую специальную структуру инцидентности. Соответствующая таблица инцидентности характеризуется следующими свойствами:

В каждой строке таблицы имеется ровно к знаков инцидентности:

к^ — к^ — . . . — ^тм — ^*

Для любых t столбцов существуют ровно к строк, пересекающих каждый из этих столбцов по квадратам, содержащим знак инцидентности.

Из этих свойств /-блок-схемы вытекает еще одно свойство:

Все столбцы содержат одно и то же число знаков инцидентности.

Доказательство (3) будет дано позже; сначала сделаем ряд замечаний.

Рисунок 102 представляет блок-схему 3-(10, 4, 1). В предыдущем параграфе мы упоминали о том, что эту схему можно также рассматривать как блок-схему 2-(10, 4, 4). (А именно, каждая пара точек на М-плоскос- ти порядка 3 инцидентна в точности четырем циклам.)

В действительности справедлива следующая

Т е о р е м а. Каждая t-блок-схема есть одновременно f-блок-схема для любого целого t', 2 <С t' <С t.

Пусть 0 есть таблица инцидентности блок-схемы t-^v, k, X). Тогда число строк, пересекающих любые t столбцов по заполненным квадратам (т. е. квадратам, содержащим знак инцидентности), есть одно и то же число X. Выберем какие-либо t — 1 столбцов таблицы 0. Рассмотрим строки, пересекающие каждый из этих столбцов по заполненным квадратам; пусть число таких строк равно т. Если мы исключим остальные строки, а также выбранные t — 1 столбцов, то останется таблица О', которая будет содержать и' = и + 1 — t столбцов и т строк. Каждый столбец таблицы 0' пересекает ровно X строк по заполненным квадратам. Отсюда число звеньев в 0' будет и'к = X (к + 1 — ty Это число можно подсчитать и при помощи строк. Первоначально каждая строка содержала к знаков, после же удаления в каждой строке таблицы 0' остается только к + 1 — t знаков. Отсюда общее число знаков в таблице 0' есть т (к + 1 — t\ Сравнивая оба подсчета, имеем

* и -]- 1 —-t

Это число не зависит от выбора t — 1 удаленных строк; оно полностью определяется параметрами t, v, к, X первоначальной блок-схемы. Теперь ясно, что первоначальную блок-схему /-(к, к, X) можно рассматривать как блок- схему t'-(v, к, X'), где t' = t — 1, а X' = т. Повторяя это рассуждение нужное число раз, докажем нашу теорему.

Вернемся теперь к доказательству свойства (3) /-блок- схемы.

Данная нам 0-таблица блок-схемы /-(к, к, X), по доказанному, является в то же время таблицей блок-схемы 2-(к, к, X*). Как было показано в конце предыдущего параграфа, каждый столбец блок-схемы 2-(к, к, X*) содер-

жит одно и то же число знаков инцидентности, что и доказывает (3).

2° Назовем автоморфизмом i-блок-схемы точечное взаимно однозначное отображение, которое блоки отображает в блоки. В этом смысле мы говорим об отображении, сохраняющем блоки, а также об образе блока.

Автоморфизмы t-блок-схемы образуют группу.

Если элементы i-блок-схемы обозначить 1, 2, . . ., и, то каждый автоморфизм может быть выражен подстановкой множества {1, 2, . . ., к). Таким образом, группа всех автоморфизмов i-блок-схемы превращается в подгруппу полной группы SB подстановок степени и.

В последние годы изучение групп подстановок сильно способствовало изучению i-блок-схем.

Группа, образованная всеми автоморфизмами i-блок- схемы, называется полной группой автоморфизмов, а ее подгруппы называются просто группами автоморфизмов.

Группа Р„ подстановок множества Н = {1, 2, . . ., п} называется k-транзитивной, если для любых двух подмножеств множества Н, состоящих из к элементов:

X = <хг, х2, . . ., xhV Y = ^Уг, у2, . . ., у^, существует подстановка л € Рц такая, что

Уз = ^(/ = 1, 2,А).

Очевидно, если группа к-транзитивна на множестве Н, то она и h-транзитивна для любого к ^ к.

Приведем (без доказательства) теорему из теории групп подстановок.

Теорема (Кофмаи). Пусть М есть плоскость Мёбиуса порядка q, группа автоморфизмов которой А отображает подмножество Н плоскости М, состоящее из к (> q + 1) точек, в себя, причем индуцированная ею на Н группа подстановок 3-транзитивна. Тогда Н совпадает с М и в плоскости М справедлива теорема Мигуэля.

Задачи и упражнения к главе 5

Найдите полную группу автоморфизмов графа Петерсена. (Связь с полной группой автоморфизмов D-конфигурации упрощает решение этой задачи.)1

Докажите, что порядок любой группы подстановок, транзитивной на множестве Н, делится на число элементов в Н.

Докажите, что транзитивная абелева группа всегда регулярна.

Пусть g — 2r. С помощью квадрики

^1^2 4" ■’V» 4“ Р^З 4" р^4 — о,

определенной над координатным полем К = GF (2Г), строится плоскость Мёбиуса, где элемент р ё К обладает тем свойством, что рж2 + х + р есть неприводимый полином над К. Воспользовавшись этим, составьте таблицу инцидентности для плоскости Мёбиуса порядка 4.

Постройте таблицу инцидентности плоскости Мёбиуса порядка 2 и найдите полную группу автоморфизмов этой плоскости.

Глава 6“4

НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ КОНЕЧНЫХ ГЕОМЕТРИЙ

В этой последней главе мы расскажем выборочно о полученных сравнительно недавно интересных результатах в теории конечных геометрий.

Плоскость Фано и теорема Глисона

Фано впервые обратил внимание на важную роль, которую играют в теории конечных геометрий плоскости — названные затем плоскостями Фано,— в которых диагональные точки любого полного четырехугольника коллинеарны. Спустя более половины столетия (в 1956 г.) появилась фундаментальная теорема Глисона, раскрывающая структурные свойства этого класса конечных проективных плоскостей. Оказалось, что любая плоскость Фано изоморфна плоскости Галуа четного порядка. Таким образом, изучение проективных пространств, в которых каждый плоский четырехугольник есть четырехугольник Фано, уже не связано с какими-либо новыми принципиальными проблемами, изучение этих пространств можно считать, с указанной выше точки зрения, завершенным.

Г Докажем сначала лемму, относящуюся к плоскостям Фано; из этой леммы следует, что порядок каждой плоскости Фано есть четное число.

Лемма. Плоскость Фано допускает координатную структуру, в которой порядок каждого элемента абелевой группы, порожденной сложением точек, в точности равен 2.

Доказательство. Рассмотрим операцию ело- жения точек, для иллюстрации которой нам служил рис. 62 на стр. 187. Все, что можно получить в этой связи без использования теоремы Дезарга, т. е. опираясь только на аксиомы системы I, справедливо для каждой плоскости Фано. Таким образом, мы должны доказать, не используя D-теорему, что для любых трех точек А, В, С пря-

мой е, отличных от точки Z, т. е. для любых трех точек А, В, С множества е*, имеют место равенства

А + А = О, А + В = В + А,

(А + В) + С = А + (В + С).

Рассмотрим сначала сумму А + А. Согласно нашему допущению, диагональные точки четырехугольника ОА UV, т. е. точки OU П Л V = У, О А П UV = Z и UA Q OV =

= В, лежат на одной прямой (на рис. 62 это идеальная прямая плоскости). Поскольку теперь В = А, прямые A U и UX совпадают, откуда следует R = X. Таким образом, О, V, X коллинеарны, и точка OZ П VX, играющая роль суммы А + А, совпадает с О. Этим доказано, что порядок каждого элемента равен 2.

Докажем теперь, что А + 4 В = В + А (для иллюстрации см. рис. 103). Рассмотрим

следующие три четырехугольника, вершины которых задан# своими неоднородными координатами:

а: {(6, 6), (а, а), X, У},

р: {(а, а+ 6), (0, 6), X, У},

у: {(6, 6 +а), (0, а), X, У}.

Диагональные точки этих четырехугольников образуют следующие коллинеарные тройки:

{17, (а, 6), (6, а)}, {17, (а, 6), (0, а 4- 1)},{17, (Ь, а), (0, b + а)}.

Отсюда, в свою очередь, вытекает коллинеарность пяти точек:

U, (а, Ь), (1, а), (0, а + 1), (0, b + а).

Последние две точки должны совпадать, так как в противном случае соединяющая их прямая у должна проходить через точку U. Итак, (0, а + б) и (0, б + а) совпадают, и А + В = В + А.

Из наших рассуждений также следует, что прямая d инцидентна точке (ж, у) в том и только в том случае, когда

х + у = h (где /г = а + ^ = Ь + «).

Проверим, наконец, ассоциативность сложения

■ Рис. 104..-

(рже. 104). Для этого рассмотрим четырехугоиштаов . а: {(с,& + с), (а, а + &), X, У},(

;^ 'р: {(а, а + (Ь + с)), (0, Ъ + с^ X, У),

v ;;у: {(с, (а + Ь) + с), (0, a^b), X, У}.-^;

Тройки диагональных точек для каждого из НЖХКОЗМ*- неарны. Эти тройки суть. ' ; ' . л#

{(с, а + 6), (а, Ъ + с), UY 1-

{(а, Ъ + с), (0, а + (6 + с)), UY ' " ^.

"{(с, а + 6), (0, (а + 6) + с), UY’

Таким образом, следующие пять точек оказываются коллинеарными:

U, (с, а + Ь'), (а, Ъ + с), (0, а + (6 + с)),(О, (а + Ь) + с).

Если бы последние две из этих точек не совпадали, то соединяющая их прямая у должна была бы пройти через точку U, что невозможно. Следовательно, эти точки совпадают, откуда имеем

а + (Ь+ с) = (а + 6) + с,

— ассоциативность сложения доказана. Тем самым доказана и вся лемма.

Итак, операция сложения точек превращает множество е в абелеву группу, в которой порядок каждого элемента равен 2. В силу хорошо известной теоремы теории групп, если каждый элемент абелевой группы имеет порядок 2, то порядок всей группы есть 2Г.

Еще раз отметим тот факт, что в доказательстве леммы мы ни разу не использовали теорему Дезарга.

2° Плоскость Фано обладает R-свойством (см. параграф 3.4) при любом выборе трех коллинеарных точек X, У, Z. Рассмотрим множество, элементами которого являются прямые, проходящие через точку X, причем каждая из этих прямых берется без точки X; обозначим это множество через {ж}. Подобным же образом пучок прямых, проходящих через точку У, образует множество {у} и пучок с центром Z — множество {z}. Семейства прямых {ж}, {z/}, (z) образуют R-сеть; этот факт эквивалентен ассоциативности операции, порожденной сетью *), а как мы видели, ассоциативность имеет место в случае плоскости Фано. Глисон был первым, кто сделал далеко идущие следствия из этого факта; он дал новое истолко-

вание R-конфигурации, которое будет ниже названо G-z/c- ловием. Введем сначала ряд новых понятий.

Пусть Z-произвольная прямая на плоскости Фано и А, В, U — три различные точки этой прямой (рис. 105). Пусть, далее, z и г — прямые, проходящие через U и отличные от I. Если наша плоскость имеет порядок q, то точки

UАС

Рис. 105.

прямой z, отличные от U, можно снабдить номерами 1, 2, . . ., q. Проектируя точки 1,2, . . ., q из А на прямую г, получим отображение множества i \ U на г \ U; обозначим это отображение [i“r] ). Взяв его композицию с проектированием [г^1, получим отображение

множества i \ U на себя, т. е. подстановку множества (1, 2, . . ., q) (образы точек 1, 2, . . ., q при этой подстановке обозначены на рис. 105 через 1', 2', . . ., q'y Различным положениям прямой г отвечают q таких подстановок; обозначим совокупность этих подстановок через

/

Очевидно, множество (“ ₽) подстановок просто транзитивно на множестве точек i \ U. Это означает, что если Р € i \ U и Р' 6 i \ U, то существует в точности одна прямая г такая, что подстановка (6.1.1) переводит Р в Р'. Действительно, эта прямая должна соединять U с АР П ПВР'.

Аналогичным образом, произведение проектирований

является подстановкой множества i \ U (рис. 106). Разумеется, эта подстановка может обладать свойством — как

Рис. 106.

это показано на рисунке — оставлять некоторую точку Т 6 i \ U неподвижной. В связи с этим мы формулируем следующее

Условие G. Если при некотором выборе трех различных точек U, А, В на прямой I, а также четырех прямых I, р г, з, проходящих через U, подстановка л имеет неподвижную точку в множестве i \ U, то и любая другая точка этого множества неподвижна относительно л.

Если мы сравним точки U, А, В рис. 106 сточками Z, X, У рис. 90, то легко обнаружим, что условие G эквивалентно условию R.

3° Вернемся к рассмотрению множества (“^) подстановок. В этом множестве всегда существует подстановка, оставляющая на месте каждый элемент из i \ U; чтобы получить эту подстановку, мы полагаем в (6.1.1) г = I.

Для каждой подстановки, принадлежащей (“^), обратная подстановка снова принадлежит ^^j (рис. 107). Чтобы это доказать, рассмотрим какую-либо точку S £ z \ У и ее образ Л при подстановке I гг I I „• I- Прямая у, соединяющая точку U с 8'А П SB, совместно с прямыми s = z и г образует четверку прямых (z, г, s, j) такую, что подстановка л, индуцированная этой четверкой, оставляет

точку 8 неподвижной. Но тогда, в силу условия G, каждая точка из z \ U неподвижна относительно л, а значит, подстановка | индуцированная прямой у, обратна подстановке ^“ Р. , индуцированной прямой г. На рисунке этот факт выражен записью у = г-1.

Произведение любых двух подстановок из множества 'j есть снова подстановка из (“^)- Чтобы это доказать,

рассмотрим подстановки, индуцированные г и s (соответственно), где г и s — любые две прямые, проходящие через U и отличные от I. На рис. 108 показано последовательное действие этих подстановок на элемент 1(4 \ U.

Подстановка

индуцированная г, переводит точку 1 в точку 5 = 3. Подстановка

индуцированная s, переводит точку 5 = 3 в точку 5. Следовательно, произведение подстановок [г] и [s] переводит 1 в 5. Однако существует прямая / такая, что подстановка

также переводит 1 в 5. Таким образом, подстановки [г] [s] и [у] оказывают одно и то же действие на точку 1. Ввиду

справедливости условия G отсюда следует, что [г] Ы и [у] одинаково действуют на любую точку из г X, U. Значит, [г] и = [у] и \п е (“р).

Итак, рассматриваемое множество (“Р) подстановок содержит тождественную подстановку, вместе с каждой подстановкой содержит обратную и вместе с любыми двумя подстановками содержит их произведение. Следовательно, это множество есть группа.

Обратно, если исходить из предположения, что множество (аР) является группой, то условие G будет выполняться. В самом деле, пусть подстановка [г] [s] оставляет

неподвижной некоторую точку множества i \ U, скажем, точку 1. Поскольку [г] [s] совпадает с некоторой подстановкой [у], то отсюда находим, что [у] оставляет неподвижной точку 1. Но в таком случае прямая / совпадает с I, т. е. [у] — тождественная подстановка. Тем самым, справедливо условие G.

Тот факт, что множество ^ “^ ) подстановок образует группу, будем называть условием G*. Тогда полученный нами результат может быть сформулирован как

Лемма Глисона. Условие G (а значит, и R) эквивалентно G*.

Подчеркнем, что наши утверждения относятся к любому выбору прямой I на плоскости.

4° Мы будем теперь изучать строение плоскости порядка q, удовлетворяющей условию G, связывая этот вопрос со сдвигами (элациями) на плоскости. Очевидно, сдвиги всегда существуют — примером их может служить тождественное отображение. Если пара (U, Z) определяет более чем один сдвиг, то во всяком случае число таких сдвигов не больше q. Сдвиги, определяемые (G, Z), образуют группу; эта группа будет обозначаться Г (U, I).

Каждый элемент этой группы индуцирует на прямой I, проходящей через U, подстановку, сохраняющую U; эта подстановка, если только она отлична от тождества, не имеет других неподвижных точек, кроме U. Так как элемент группы Г (U, I) однозначно определяется парой точек (Р, Р') (отличных от 1Г) прямой г (где Р' есть образ Р), то подстановки, индуцированные на прямой г сдвигами из Г (U, I), взаимно однозначным образом представляют элементы группы Г ^U, Z).

Условимся выражать записью Р' = Р •№ тот факт, что точка Р' есть образ точки Р при отображении (о прямой i на себя. Для любого сдвига (о £ Г (U, Z) имеет место соотношение коммутативности

(6Л.4) [;]“ = “[«]•

Рисунок 109 поясняет это равенство: точки Р, Q = = Р- ^“ J ,А коллинеарны, точки Р', Q', А'— тоже, при этом А' = А. Вместо Р', Q', А*, разумеется, можно записать

274 гл. 6. некоторые дополнительные вопросы -

Р-to, P-^J-w, А. Мы видим, что точка Р-[^ ф<о есть не что иное, как проекция точки Р-ы из А на прямую /,—

к этом и состоит как раз условие (6.1.4). Как следствие имеем еще одно правило коммутативности:

где прямая г проходит через U.(•

Очевидно, справедливы соотношения

<6л-6>'

где I, /, к суть прямые, проходящие через U, и 1 обозначает тождественное отображение.

Рассмотрим теперь па прямой i какую-нибудь под стаповку а, которая коммутирует с каждой подстановкой £“j LpJ ’ где ^ — ЛК)бая прямая (отличная от Z), проходящая через U, иА£1, B£l, A^U^B^A. Докажем, что о можно расширить до отображения а* всей плоскости такого, что а* 6 Г (U, I).

Пусть Р — точка плоскости, не инцидентная прямым i и I; прямую PU обозначим / (рис. 110). Действие искомого отображения а* на Р можно получить, взяв произвольную точку А, отличную от -17, на прямой Z. А именно, положим

В случае, когда Р Е Z, положим

Р-а* = Р.

Определенное таким образом отображение а* есть коллинеация. Чтобы доказать это, достаточно рассмотреть действие а* на любую тройку коллинеарных точек, из которых одна лежит на фиксированной прямой I. (Ибо, если каждая из троек X, У, V и У, Z, V коллинеарна, где

Рис. 110.

У Е Z, то X, У, Z есть также коллинеарная тройка.) Пусть точки Р и Q лежат соответственно на прямых у и к, проходящих через U и отличных друг от, друга, а также от прямых Z и i; пусть, далее, PQ П Z = В ^= А. Пусть Р' = Р • о* и Q' = ^-а*, В' = В -а*; очевидно, В' = В. Мы должны проверить коллинеарность точек В, Р', Q’.

Из коллинеарности В, Р, Q следует -;л ■ 7, . v\ ■

Далее, проекция точки Р' (лежащей вместе с Р на прн- мой у) из точкм В на прямую к может быть записана в виде ■

er Г # Т^р.^.Г Р ]

/

откуда следует, если учесть определение о*, а также соотношения (6.1.5) и (6.1.6), что

=PL’]-[“J4,U

Таким образом, имеем

Р'.-О'.

Это означает, что, проектируя точку Р' прямой / из В па прямую к, мы получаем в точности точку Q'. Тем самым коллинеарность точек В, Р’, Q' доказана. Теперь остается лишь учесть, что Ра*=Р, когда P^Z, и мы убеждаемся, что ст* есть сдвиг, т. е. ст* £ Г (Z7, Z).

Полученный нами в этом пункте результат можно сформулировать так.

Вторая лемма Глисона. Существует взаимно однозначное соответствие между элементами группы Г (U, Г) сдвигов и подстановками прямой i, коммутирующими с каждой подстановкой из /аР\ при любом выборе \ i /

точек А и В. Подстановки множества i \ U, принадлежащие (а^- представляют сдвиги из Г (Z7, Z).

5° В этом пункте мы изложим в общих чертах доказательство основной теоремы Глисона, которая устанавливает достаточное условие дезарговости конечной плоскости. Глисон доказал свою теорему, используя некоторые факты, относящиеся к конечным группам. Мы укажем сначала — под названием «теорема Глисона»— следствие из этой теоремы для плоскости Фано. А именно, на плоскости Фано, как мы показали, сложение точек обладает свойством ассоциативности. Этому факту соответствует такое следствие основной теоремы.

Теорема Глисона. Каждая плоскость Фано дезаргова.

Сформулируем теперь основной результат.

Основная теорема Глисона. Если конечная проективная плоскость, порядок которой есть степень простого числа, удовлетворяет условию G*, то эта плоскость дезаргова.

Доказательство существенно опирается на теоремы, которые носят сугубо алгебраический характер.

Итак, будем предполагать, что выполняется условие G*, т. е. что подстановки ЕЯ ЕЯобразуют группу; последняя обозначается символом (“^)- Очевидно, подстановка

атна катна ккак совокупность обрат-как совокупность обрат-

атна к

атна к

как совокупность обрат-

как совокупность обрат-

ных элементов к элементам данной группы образует ту же самую группу, то имеем равенство

(6.1.7)

Возвращаясь к рис. 106, замечаем, что порядок группы ( ; ) в точности равен порядку плоскости, т. е. р , где р — простое. Действительно, если известен образ К* точки К на прямой I, то этим однозначно определяется прямая г, индуцирующая данную подстановку (эта прямая соединяет точку U с КА П К'Ву, но образ К' фиксированной точки К может быть выбран q = рг способами.

Рассмотрим теперь группу всех подстановок множества i \ U, состоящего из рт точек; обозначим эту группу Q;. Пусть D £ I \ U, D 4= И, и пусть прямая у пробегает множество из рг прямых, проходящих через U и отличных от I. Элементы (подстановки) групп

можцосвязать в пары

. Гр 1Г “ 1 Г “ 1Г61

L И J L it J ’ L ij J L ji J ■

Произведенне подстановок пары есть .

Когда прямая / пробегает множество всех прямых, проходящих через U (кроме Z), указанное произведение про-

бегает все элементы группы I 1 .

Будем обозначать подстановки

кратко через В, и Dj. Далее, обозначим подгруппы

ГД (?). (?)

группы Qi символами В, D, G. Таким образом, мы можем сказать, что каждый элемент группы G может быть представлен в виде произведения BjDj, где 5,ЕВ, Dj С D; обратно, каждое произведение BjDj принадлежит G. Но тогда при любом выборе прямых г и s (проходящих через U) из BTDT 6 G, BSDS £ G следует (BrZ)r) \bsDs^ 6 G. Но последняя подстановка, будучи элементом группы G, представима в виде BkDh:

(BrDr) (BSDS) = BkDh.

Отсюда следует

и, тем самым,

DBS В D.

Вместе с тем, если воспользоваться равенством

в^^^п^-цв^л •

то получим

BDsDB.

Сопоставляя два включения, находим B-D= D-В, т. е.

(6Л.8)

Итак, для пар А,'Х точек множества I \ U = = (Л, В, . . ., L, . . ., Z), где точка А фиксирована, а X пробегает все элементы множества Z \ U, все группы

имеют порядок q = рт и любые две из этих групп

коммутируют.

По хорошо известной теореме ) теории групп произве- дснис

(6.1.9)*=(?)" •(“‘ГЛ?)

будет являться р-группой', отсюда, в свою очередь, следует, что центр этой группы содержит подстановки, отличные от тождественной (см. Приложение, стр. 301).

Пусть В есть подстановка, принадлежащая центру группы К и отличная от тождественной. Мы уже видели, что ^“^j (^) с°ДеРжит (^j; следовательно, В коммутирует с каждой из подгрупп I Г I ■ Но В есть подстановка множества i \ U; поэтому из доказанной ранее леммы следует, что группа Г (U, Z) содержит преобразования, отличные от тождественного. Отсюда, в свою очередь, со ссылкой па формулируемую ниже теорему Т (также принадлежащую Глисону), следует, что на рассматриваемой нами плоскости верна теорема Дезарга. Этим завершается доказательство теоремы Глисона.

Приведем теперь формулировку теоремы Т.

Теорема Т. Если группа Г (U, Z) сдвигов конечной плоскости, где U ^1, содержит преобразования, отличные от тождественного, то в этой плоскости для прямой Z и точки U справедливо утверждение теоремы Дезарга.

Доказательства этой теоремы мы не приводим.

Завершающую часть доказательства основной теоремы Глисона можно разделить на следующие две части.

Сначала из условий теоремы Т выводится справедливость микро-теоремы Дезарга для рассматриваемой плоскости (т. е. теоремы Дезарга в специальном случае, когда центр перспективы лежит на оси перспективы). Затем применяется известная

Теорема Цорна — Леви. Любая конечная, микро-дезаргова плоскость является дезарговой.

Эта классическая теорема в действительности является: алгебраической, ее доказательство редуцируется к дока

зательству теоремы Веддербарна, утверждающей, что каждое конечное тело является полем.

6° Предпринимались отдельные попытки упростить доказательство теоремы Веддербарна и теоремы Цорна — Леви, так же как и теоремы Глисона.

Построение новых плоскостей из плоскостей Галуа

Когда в конце прошлого столетия Гильберт показал, что теорема Дезарга не следует из аксиом инцидентности, он использовал метод, который был затем упрощен почти до уровня тривиальности Моултоном (1902 г.) в его остроумной модели. Для начала мы рассмотрим моултоновскую

модель, затем покажем, как идеи Гильберта и Моултона могут быть использованы в теории конечных проективных плоскостей.

1° Будем исходить из классической проективной плоскости. Изменим определение «прямой», но так, чтобы аксиомы системы I оставались верными в новой «плоскости» (рис.

. Для этой цели разобьем плоскость осью х на две полуплоскости 2 и 2'. Каждую прямую, имеющую

положительный наклон (к оси xY изменим следующим образом: ее луч, лежащий в полуплоскости 2', заменим лучом, имеющим вдвое меньший угловой коэффициент: tg со = 2tg со'. Таким образом, первоначальная прямая изламывается в точке Г, и полученная ломаная рассматривается как новая «прямая». Все остальные прямые (т. е. прямые, образующие с осью х тупые или прямые углы, а также параллельные оси а?) остаются прежними. Легко показать, что на определенной таким образом плоскости Моултона выполняются аксиомы Ц, 12, 13, 14— читатель сделает это самостоятельно.

Рассмотрим, далее, на классической проективной плоскости дезаргову конфигурацию, порожденную парой тре-

угольников АВС и А'В'С, перспективных относительно центра D и оси d (рис. 112). Если мы деформируем исходную плоскость в плоскость Моултона, беря в качестве оси х прямую, перпендикулярную d, то структура нашей конфигурации остается неизменной, исключая сторону АВ треугольника АВС. На новой плоскости «прямая», соединяющая точки А и В, будет ломаной BATZ. Мы можем, следовательно, сказать, что треугольники А ВС и А 'В'С на плоскости Моултона перспективны относительно точки D, но не перспективны относительно оси, поскольку точки X; У и Z, в которых встречаются соответственные стороны, не лежат на одной прямой: Z^d = XV. Разумеется, на повой плоскости можно указать и такие конфигурации,

для которых теорема Дозарга если сдвинуть конфигурацию

Например, указаннуюНапример, указаннуювыполняется, из 10 точек,выполняется, из 10 точек,на рисунке, вниз так, чтобы все точки оказались лежащими в полуплоскости 2, то получится как раз такой случай.

Например, указанную

Например, указанную

выполняется, из 10 точек,

выполняется, из 10 точек,

Итак, теорема Дезарга независима от аксиом системы I.

Аксиомы инцидентности позволяют ввести понятие параллелограмма. Можно ввести также понятия переноса, вектора, сложения векторов, если противоположные стороны параллелограмма интерпретировать как равные векторы. Однако для того, чтобы отношение равенства между векторами было транзитивным, систему аксиом I необходимо расширить.

Пусть на классической аффинной плоскости прямые, несущие векторы AjA^ = а, В^Вг = Ъ, СгС4 = с, раз-

личны и параллельны (рис. 113). В силу MD (микро-дезар- говой) теоремы выполнение равенств а = Ь, а = с влечет за собой b = с; поскольку АгА 2В2Вг и А1А2С2С1 суть параллелограммы, то, в силу MD-теоремы, четырехугольник ВгВйСгСг тоже является параллелограммом. Однако

если MD-теорема для данной плоскости неверна, то может нарушаться и транзитивность равенства векторов.

Рассмотрим, например, плоскость, полученную из обычной плоскости моултоновской деформацией относительно оси х. На этой плоскости имеем А181 || А 2В2 и А1С1 || А 2С2, однако прямые В^^ и В2С2 не параллельны — они пересекаются в некоторой точке М. Следовательно, 6 у= с, хотя а = Ь и а = с. А

Разумеется, для векторов на плоскости Галуа отношение равенства является транзитивным, поскольку теорема Дезарга здесь справедлива без всяких ограничений. Если бы удалось найти для таких плоскостей способ, аналогичный моултоновской конструкции, то оказалось бы возможным получать из плоскостей Галуа недезарговы плоскости. Это — весьма интересная задача, поскольку плоскости Галуа нам хорошо знакомы, тогда как примеров недезарговых конечных плоскостей мы знаем лишь один, а именно плоскость порядка 9. Разумеется, поиск процедуры, аналогичной моултоновской, на плоскости Галуа затруднен тем, что здесь отсутствуют метрические понятия (неясно, что должно соответствовать «излому прямой цододеителрнргр раклона» в конструкции Моултона).

Дадим теперь подробное описание некоторого способа построения повой плоскости исходя из данной конечной проективной плоскости 2. Эта новая плоскость 2' также является проективной плоскостью, ее порядок совпадает с порядком исходной плоскости 2. Описываемая нами конструкция изменяет некоторое число прямых плоскости 2, заменяя их таким же числом искусственных прямых. Искусственная прямая состоит из того же числа точек, что и прямая плоскости 2.

Покажем сначала на примере, как осуществить такое построение.

2° Рисунок 114 показывает в сопоставлении таблицы инцидентности для плоскости Галуа 2 порядка 4 и для ее производной плоскости 2'. Обе плоскости состоят из одних и тех же точек; Zc-й точке (k = 1, 2, . . ., 21) отвечают к-е столбцы обеих таблиц. Строки обеих таблиц, имеющие номера!, 14, 15,. . ., 21, совпадают; строки 2, 3, ■ • ., 13 различны. А именно, прямые Г2, Гя, . . ., Ги пл скости 2' получаются заменой прямых Z2, 13, . . •, 113 плоскости 2 подмножествами из пяти точек (не являющимися прямыми на плоскости 2), четыре из которых образуют собственный четырехугольник, а пятая есть одна из его диагональных точек. Например, из сравнения таблиц мы видим, что подмножество Z2 = {Р1? Р6, Р7, Р10, Рп} содержит точки Ри Р,_ Рч прямой Z2 и точки Pv Р10, Ри прямой Z3; РТ есть диагональная точка четырехугольника

Легко проверить по рис. 114, что подмножества Z2, Z3, ... . . ., Z(3 представляют собой пятерки точек, принадлежащих следующим прямым плоскости 2:

Zz, Z3;Z3,Z2;Z4, Z5;Z5, Z4;?

Ze, Z3;Z7,Z9;Z8, Zc;Z9, Z7; * ..

Zio, Z7s;Zu, Z12;Z12, Zn;Z13,Z10.

Общая диагональная точка первой четверки четырехугольников есть Pv второй — Р2, третьей — Р3.

Непосредственным путем можно было бы проверить, что для таблицы 2' выполняются три аксиомы инцидентности. Однако проще осуществить такую проверку, преобразовав таблицу 2 с помощью перестановки

/8 9 10 И 16 17 18 19\.. .

;(10 И 8 9 18 19 16 17/.

ГЛ. 6. НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОС

ее столбцов (другие столбцы при этом остаются неизменными), а также транспозиции■.

строк; получится как раз таблица S'. Преобразование опт = л, как и другие подобные ему элементарные преобразования, не нарушает справедливости аксиом 1Ь 12, Is- Следовательно, S' есть снова таблица инцидентности конечной проективной плоскости порядка 4, что и доказывает наше утверждение.

Мы знаем, однако, что существует лишь одна, с точностью до изоморфизма, плоскость порядка 4, а именно плоскость Галуа порядка 4; поэтому в данном случае наша конструкция не может привести к педезарговой плоскостй (в общем случае, однако, это не так, чему примером служит q = 9).

Как уже говорилось, искусственная прямая состоит из четырехугольника и одной из его диагональных точек; для четырех таких прямых диагональной точкой является Рг, для других четырех — Р2, еще для четырех — Р3; остальные две диагональные точки суть (для тех же четверок) идеальные точки Р2 и Р3, Р3 и Pv, Р^ и Р2 соответственно ).

Если мы исключим идеальные точки искусственных прямых, то получим 12 множеств вершин четырехугольников исходной плоскости; эти четырехугольники, естественно, являются четырехугольниками Фано ), с общими тройками (коллинеарных) диагональных точек. Из таблицы S' можно видеть непосредственно, что любые два из указанных 12 четырехугольников имеют самое большее одну общую вершину. Два четырехугольника, не имеющих общей вершины, определяют искусственные прямые с общей (идеальной) диагональной точкой; такие четырехугольники следовало бы называть параллельными. Каждая собственная (не идеальная) точка плоскости S является общей вершиной ровно трех из 12 четырехугольников.

Далее, из рисунка видно, что каждая из прямых Z14 = — 14' ^15 = ^15 , " • - ^21 = ^21 плоскости 2', являющихся одновременно прямыми исходной плоскости, содержит одну вершину каждого из 12 четырехугольников (но, разумеется, не содержит ни одной из его диагональных точек).

Как существенный итог проведенного нами анализа отметим следующее: искусственные прямые плоскости порядка 4 суть подплоскости порядка 2 (тем самым — плоскости Фано), имеющие в качестве идеальных точек три фиксированные идеальные точки исходной плоскости.

Теперь мы подготовлены к тому, чтобы рассмотреть обобщение разобранного выше примера.

3° Мы будем иметь дело с плоскостями (не обязательно плоскостями Галуа), порядки которых п суть квадраты: п — q2 (при этом q не обязательно является степенью простого числа). Пусть 2 — какая-либо плоскость такого рода, 1Х — прямая плоскости 2. Будем рассматривать 1г как идеальную прямую, а ее точки Рг, Р^, . . ., Pqi+x— как идеальные точки. Если исключить из 2 идеальные элементы, получим аффинную плоскость, состоящую изн2 = = д4 точек. Потребуем, чтобы для плоскости 2 выполнялось следующее

Условие. Пусть выбраны некоторые q + 1 точек прямой 1р. Р^, Р2, . . ., Pq+1. Рассмотрим любые две точки А и В, А ^= В, не принадлежащие 1г и такие, что АВ П П = РТ, 1< Г< q + 1. Тогда существует собственная подплоскостъ 2*, содержащая каждую из точек А, В, Рг, Р2, . . ., Р q-u, н0 не содержащая других точек прямой lv

Будем обозначать подплоскость 2*, упомянутую в условии, символом (И; А, В), где И = {Р1Т Р2, . . ., Pq+J. Постараемся описать конструкцию этой подплоскости и выяснить ее свойства (рис. 115).

Подплоскостъ (Н; А, В) = 2* имеет порядок q.

Это непосредственно вытекает из того факта, что ровно 7 + 1 точек прямой 1Х принадлежат 2*.

Пусть АВ П Zj = РТ, APj = ab BPh = bh, где Pb Рh, Рт — различные элементы из Н. Из определения подплоскости следует, что aj П bh = Cjh С 2*. Таким путем мы получаем, однако, лишь q (q — 1) точек. Добавив к ним q + 1 точек 'Р^ Р2, . . ., Р ч^г, а также точки А и В, получим уже д2 + 3 точек, принадлежащих 2*. Еще q — 2 точек из 2* получаются проектированием мно-

жества Н \ ^Рь Ph, Рг} из точки Cjh на прямую АВ. В итоге имеем уже ^2 + ^ + 1 точек из 2*. Но подплоскость порядка q должна содержать именно столько точек,жества Н \ ^Рь Ph, Рг} из точки Cjh на прямую АВ. В итоге имеем уже ^2 + ^ + 1 точек из 2*. Но подплоскость порядка q должна содержать именно столько точек,Рис. 115.Рис. 115.

жества Н \ ^Рь Ph, Рг} из точки Cjh на прямую АВ. В итоге имеем уже ^2 + ^ + 1 точек из 2*. Но подплоскость порядка q должна содержать именно столько точек,

жества Н \ ^Рь Ph, Рг} из точки Cjh на прямую АВ. В итоге имеем уже ^2 + ^ + 1 точек из 2*. Но подплоскость порядка q должна содержать именно столько точек,

Рис. 115.

Рис. 115.

Тем самым мы указали способ построения всех точек из 2.

Существование подплоскости ^Н; А, В) = 2* влечет за собой единственность этой подплоскости.

Это следует из указанного выше построения, дающего все 92 + 7 + 1 точек подплоскости 2*.

На рис. 115 точки исходной плоскости 2, образующие плоскость 2*, изображены темными (остальные точки изображены светлыми кружками).

Подплоскостъ 2* *) на исходной плоскости 2 пересекает в единственной точке каждую прямую, проходящую через точку множества 1г \ Н и отличную от Ц.

В самом деле, пусть Р^ £ lv но Ph $ Н. Пусть, далее, В есть собственная (не идеальная) точка подплоскости 2*. Если ВР^ = и пересекает 2* в некоторой точке А, то мы должны иметь АВ = ВРН = и. Так как А, В £ 2*, точка пересечения прямой и с Ц должна принадлежать В, что противоречит нашим допущениям. Если 2* и Ph фиксированы, то число прямых и в точности совпадает с числом собственных точек из 2*, т. е. с q2. Следовательно, каждая собственная прямая, проходящая через точку Ph, пересекает подплоскость 2* в единственной точке.

Если множество Н и собственная точка В фиксированы, то число подплоскостей (Н; А, В) = 2* есть ? + 1.

Для доказательства рассмотрим прямые и = BPh и v = APk, Рк ^ Н (см. рис. 115). Ни прямая и, ни и не имеют общих точек с подплоскостью 2*, отличных соответственно от В и А. Через каждую собственную точку X прямой v проходит подплоскость, которая инцидентна Н; действительно, если мы рассмотрим собственную точку Y такую, что Y g XPj, Р, f Н, то (Н; X, У) и будет требуемая подплоскость. Следовательно, проектируя точки множества Н из В на прямую и, мы получим все точки Dj (J = 1, 2, . . ., q + 1), в которых подплоскость, принадлежащая В и Н, пересекает прямую и; при этом различным точкам Dj будут принадлежать различные подплоскости (Н; В, Dj) = 2^. Отсюда число рассматриваемых подплоскостей есть q + 1.

Если множество Н фиксировано, то число подплоскостей (Н; А, В) = 2 * равно q3 + q.

Каждая из 72 собственных точек упомянутой выше прямой и содержится в q + 1 подплоскостях, и каждая подплоскость пересекает и в собственной точке; отсюда число подплоскостей есть 73 + q.

Если собственная точка Р не содержится в некоторой подплоскости 2*-, инцидентной Н, то существует единственная подплоскость 2*, содержащая Р и такая, что 2* П 2* = Н.

В этом случае мы говорим, что подплоскости 2* и 2* параллельны друг другу, и выражаем это записью 2* || 2*.

Весь смысл конструкции производной плоскости именно в этом предложении. Если заменить в нем слово «подплоскость» словом «прямая», то получится следующее утверждение: если дана прямая и точка вне ее, то существует одна и только одна прямая, содержащая данную точку и параллельная данной прямой. Заметим, что это утверждение будет верно и в том случае, когда вместо данной подплоскости 2* мы возьмем прямую и такую, что и П 1Х $ Н. В самом деле, согласно S3 прямая и пересекает в идеальной точке только «обычную» прямую, соединяющую Р С и П lv

После этого замечания обратимся к доказательству S6. Условие и f| Ц Н выполняется для q1 — q прямых и,

проходящих через точку Р; каждая из этих прямых пересекает 2* в одной собственной точке X. Это дает q~ — q собственных точек из 2*; остальные д2 — (д2 — д) = q собственных точек будем называть У-точками. Очевидно, каждая прямая PY плоскости 2 может пересекать идеальную прямую 1Х только в точке, принадлежащей Щ такая прямая не может содержать две различные У-точки, скажем Ух и У2, ибо в противном случае подплоскость 2* должна была бы (в силу S2) совпадать с (Я; Y^ У2) и, значит (по доказанному ранее), содержать все точки прямой Y^^ (на плоскости 2), в том числе Р, что противоречит условию. Однако q подплоскостей (Я; Р, Y) = = 2* не исчерпывают все множество подплоскостей, проходящих через точку Р, ибо число последних, согласно S4, равно q + 1. Значит, найдется ровно одна подплоскость 2*, проходящая через Р и не имеющая с 2* общих собственных точек.

4° Опираясь на предложения St — S6, можно построить производную плоскость для 2, которую будем обозначать 2'.

Мы сохраняем все точки исходной плоскости, за исключением точек прямой 1г, т. е. переходим сначала к аффинной плоскости 2, которая получается из проективной плоскости 2 исключением lv Мы сохраняем все прямые исходной плоскости, идеальные точки которых лежат в Я, но, разумеется, эти идеальные точки мы исключаем из прямых. Будем называть эти прямые г-прямыми.

Мы исключаем все остальные прямые и вместо них вводим в качестве «прямых» подплоскости 2*, определенные с помощью Я, но при этом, разумеется, точки из Я мы снова исключаем. Будем эти прямые называть s-прямыми. .

Теперь, если не делать различия между г-прямыми и s-прямыми, называя те и другие просто «прямыми», то получим производную аффинную плоскость 2'. Следующие структурные свойства этой плоскости легко вытекают из ее построения:

2' состоит из q4 = и2 точек и q4 + q2 = и2 + п прямых.

Любая прямая в 2' состоит из д2 = и точек; через любую точку проходят g2 + 1 = n + 1 прямых.

Ю Ф, Картесц 117

Таким образом, число элементов в 2- как раз такое, какое необходимо для построения аффинной плоскости порядка q\ Что эти элементы действительно образуют аффинную плоскость, вытекает из следующих свойств 2':

А'. Существует одна и только одна прямая, проходящая через две данные (различные) точки (см. ^ и S2).

А'. Если даны прямая и точка вне ее, то существует одна и только одна прямая, содержащая данную точку и параллельная данной прямой (см. S6).

А'. Существует собственный треугольник (это очевидно, поскольку существуют по крайней мере две различные г-прямые).

Мы перечислили аксиомы, определяющие аффинную плоскость.

Если мы расширим аффинную плоскость 2' — классическим способом, т. е. присоединением идеальных точек, определенных классами эквивалентности параллельных прямых,— то получим проективную плоскость того же порядка. Последняя и есть производная плоскость 2'.

«Минимальный» пример, дающий нетривиальный результат, получается применением указанной процедуры к плоскости Галуа порядка 9. Производная плоскость в этом случае будет недезарговой. Заметим, что в общем случае исходная плоскость 2 необязательно должна быть дезар- говой.

Кроме рассмотренного выше способа построения новых плоскостей, существуют и другие способы; обсуждать их здесь мы не будем.

Обобщение понятия аффинной плоскости / л и

Мы уже видели, что аксиомы инцидентности проективной плоскости не обеспечивают выполнения теоремы Дезарга. Вместе с тем хорошо известно, что аксиомы инцидентности проективного пространства размерности выше 2 столь «сильны», что из них следует справедливость теоремы Дезарга — даже в том случае, когда оба рассматриваемых треугольника лежат в одной и той же плоскости пространства. ’

Естественно возникает вопрос: можно ли так «ослабить» аксиомы проективного пространства, чтобы среди

пространств, удовлетворяющих новой системе аксиом, содержались недезарговы пространства?

Одна из возможностей заключается в использовании метода «центрального изображения» в дискриптивной геометрии. Другие подходы были исследованы Ломбардо Радиче, (1951 г.), Е. Снернером (1960 г.), А. Барлотти (1962 г.); мы расскажем здесь только об идеях Барлотти.

1° Из метода центрального изображения мы выберем лишь некоторые специфические детали, которые позволяют ввести понятие трехмерного аффинного пространства по Барлотти.

Рассмотрим классическое проективное пространство размерности 3. Выделим в нем плоскость, которую будем считать идеальной. Возьмем, далее, еще одну плоскость л, которую примем за плоскость проекций; пусть центр проектирования есть некоторая точка К (собственная), не принадлежащая л. Образом произвольной точки Р, Р ^ К, пространства будем считать точку л fl КР = Р'. Такое отображение определено на всем пространстве, но не является взаимно однозначным. Однако это обстоятельство можно исправить введением других элементов, позволяющих однозначно восстановить исходную точку. Для этой цели мы рассмотрим сначала некоторый способ взаимно однозначного изображения'прямых, а также плоскостей; это позволит нам определить взаимно однозначным образом изображение точек.

Прямую или плоскость пространства будем изображать парой элементов, из которых один является следом данной прямой или плоскости, а другой задает ее направление. А именно, следовой точкой прямой I будем считать точку л ["] I = N h а следовой прямой плоскости о — прямую л ["] ст = па. Направляющей точкой прямой I будем считать точку Мь в которой прямая, параллельная I и проходящая через К, пересекает плоскость л, а направляющей прямой плоскости ст — прямую та, по которой плоскость, параллельная а и проходящая через К, пересекает плоскость л. (Мы не будем сейчас обсуждать случаи специального расположения прямой I и плоскости а по отношению к «системе отнесения» К, л; эти случаи легко разберет сам читатель.) Можно сказать, что пара ^N^ М^ есть модель прямой I пространства, а пара (па, та) — модель плоскости а.

Ю*

С помощью этих моделей очень удобно выражать отношения инцидентности и параллельности. Действительно, отношение I С о равнозначно Ni С па, Mt Ё та, а отношения I || g, I || а, ст || т^ равнозначны соответственно Mi = Mg, Mt £ та, та = тх. Укажем также следующий очевидный факт: следовая прямая и направляющая прямая плоскости параллельны друг другу. Другими словами, па П т0 £ и, где и — идеальная прямая плоскости л.

Любое утверждение относительно прямых и плоскостей пространства (или, в силу двойственности, относительно прямых и точек пространства), выраженное в терминах инцидентности и параллелизма прямых, можно превратить в некоторое утверждение о свойствах плоскости л. Идея Барлотти как раз и состояла в построении модели, подобной указанной выше, исходя из плоскости, которая необязательно является дезарговой. Рассмотрим теперь этот вопрос более подробно.

2° Пусть л будет проективная плоскость порядка q, и пусть и — произвольная прямая вл, a U — произвольная точка на и. Будем говорить, что и есть фундаментальная прямая, a U — фундаментальная точка. Наряду с парой и, U мы фиксируем еще пару прямых тип, отличных друг от друга, а также от прямой и и удовлетворяющих условию т П п = U.

Определим аффинное пространство S, реализованное посредством модели в плоскости л, следующим образом. Под точкой Р будем понимать пару пр, тр прямых плоскости л, удовлетворяющих условиям Л И 5 ;

пр ^ и =# тр и U =# пр П тр £ и. f, Мы пишем в этом случае Р = (пр, т^. '

Под прямой первого рода (r-прямой) пространства S будем понимать пару NT, МТ точек плоскости л, удовлетворяющих условиям

МДи, МДи;

под прямой второго рода (s-прямой) — пару точек N8, М8 плоскости л такую, что

U ^ N 8 ^и и М s ^ U.

Задание прямой выражаем записью г = ^NT, Мг) или s = = (^„ Ms).

Определим теперь отношение инцидентности между точками и прямыми, а также отношение параллельности между прямыми одного рода (параллелизм между прямыми разных родов исключается).

Инцидентность между точкой А = (nA, тА) и г-прямой г = \Nri Мг] понимается следующим образом: Nr £ пА, Мт £ тА, а инцидентность между точкой А и з-прямой s = [Ns, Ms] означает, что точки

М„ пА П п, тА П т

коллинеарны и Ns = пА ^\ и.

По определению, параллельность двух прямых первого рода гt = [АГ1, МТ1J и г2 = [Arj, МГД означает, что тройки точек

• NrltNr„U и MT1,MT„U

коллинеарны. Параллельность двух прямых второго рода 8Х = [AS1, AfsJ и s2 = INS1, AfsJ означает, что тройка точек М81, MSi, U коллинеарна.

Легко показать—читатель сделает это, самостоятельно,—что если л есть дезаргова плоскость, то построенное указанным способом аффинное пространство (модель) есть обычное аффинное пространство; идеальные точки последнего вводятся условием: «множество всех прямых, параллельных данной, определяет одну идеальную точку, являющуюся общей точкой этих прямых».

Однако, если л есть недезаргова плоскость, полученная методом, изложенным в параграфе 6.2, мы уже не получаем обычного аффинного пространства. Фиксируя свойства этого пространства, мы приходим к системе аксиом, которая является более слабой, чем система аксиом, описывающая аффинное пространство Галуа. Однако мы не будем здесь развивать эту программу; мы лишь укажем без доказательства, что наша модель удовлетворяет следующей системе аксиом, описанной Спернером:

SAP Двум различным точкам инцидентна одна и только одна прямая.

SA2. Каждой прямой инцидентно одно и то же число точек; это число называется порядком пространства.

SA3. Параллельность прямых является отношением эквивалентности. '

SA4. Если дани точка Р и прямая I, то существует одна и только одна прямая, проходящая через Р и параллельная I.

Задачи и упражнения к главе 6

Рассмотрим следующую специальную форму теоремы Паскаля:

«Пусть четверки точек U, 4Ъ А надлежат соответственно прямым а и«Пусть четверки точек U, 4Ъ А надлежат соответственно прямым а из, А5 и U, А2, А4, Ав при- ft а ^ Ь. Тогда тройка точек

«Пусть четверки точек U, 4Ъ А надлежат соответственно прямым а и

«Пусть четверки точек U, 4Ъ А надлежат соответственно прямым а и

U, X = АгА2 па4а5, У = = А 2А з П А 6А в лежит на одной прямой и». Этот частный случай теоремы Паска- я ля называется малой теоремой Паскаля (МР-теоре- мой); см. рис. 116. Докажите, что MP-теорема справедлива для плоскости Фано.

Пользуясь обозначениями рис. 116 к упражнению 43, убедиться, что в случае плоскости Фано порядка g > 3 прямые А4А4, 4245, А3Ав пересекаются с прямой и в одной точке (точке V на рисунке).

Пусть а и 6, а^ьЪ,— две фиксированные прямые,

4Х и А2, 4х =/= А2,— две точки прямой а,В4 и В2, В4 #= В2,— две точки прямой 6, причем все указанные четыре точки отличны от

а П b = U. Точки

41^1 П А2В2 — Р, А4В2 П 42В! Р

называются сопряженными (друг другу) относительно пары ^а, Ь) прямых. Докажите, что если на плоскости справедлива МР-теоре- ма, то совокупность точек, сопряженных относительно {а, 6} данной точке Р (Р а, Ь), есть некоторая прямая Zp, проходящая через U. (Прямая Zp, сопоставленная указанным образом точке Р, называется полярой точки Р относительно {а, Ь}.)

Докажите следующий факт: если точка Q принадлежит прямой Zp из упражнения 45, причем Q + U, то Iq = UP. Прямые Z = Zp, V = Zq называются сопряженными относительно ^а, Ь}.

Если прямые Z и V из упражнения 46 сопряжены друг другу относительно {а, Ь}, то прямые а и Ь сопряжены друг другу относительно {Z, Z'}. Докажита.это предложение.

В дальнейшем, говоря о сопряженности прямых Z и V относительно {а, Ь}, мы будем понимать под этим, что прямые Z и V сопоставлены друг другу в указанном выше смысле, причем а =# b ^ =/= I =/= а и а П b С Z.

На плоскости Фано каждая прямая I сопряжена самой себе относительно {а, 6}. Докажите этот факт.

Плоскость, в которой выполняется MP-теорема, называется MP-плоскостью. Докажите, что на MP-плоскости четного порядка существует прямая, сопряженная самой себе относительно {а, Ь).

Пусть прямая I на MP-плоскости сопряжена самой себе относительно {а, 6}. Докажите, что тогда I сопряжена самой себе относительно любой пары {и, и}, где и + I ^ и + и и и П у € Z.

Если на МР-плоскостп прямая Z сопряжена самой себе относительно {а, Ь), то а сопряжена себе относительно {Ь, Z).

Докажите, что на MP-плоскости четного порядка справедливо следующее: если три различные прямые а, Ь, с проходят через общую точку, то прямая с сопряжена себе относительно {а, Ь).

Докажите, что любая MP-плоскость четного порядка является плоскостью Фано.

Располагая решением последней задачи, можно вывести из теоремы Глисона, что справедлива следующая

Теорема Люнебурга. Любая MP-плоскость четного порядка является дезарговой.

Нижеследующие задачи могут потребовать значительных усилий, но являются весьма поучительными.

Мы уже знакомы с таблицей инцидентности плоскости Галуа порядка 9 (см. в этой связи рис. 44, 45, 46); в частности, мы знаем, что подтаблица Г(3) таблицы Г(9), расположенная в пересечении строк и столбцов с номерами

2, 3, 4, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 29, 30, 31,

представляет собой таблицу инцидентности подплоскости порядка 3. Обозначим плоскость Галуа, описываемую таблицей Г (9), через S и рассмотрим множество Н= {Р], Р2, Р3, Р4). Легко проверить, что, например, подплоскость (Н; Р13, Р20} имеет указанную выше таблицу инцидентности Г (3). Постройте таблицу инцидентности производной плоскости (для S), определенной с помощью Н по методу параграфа 6.2. Полученная таблица из 91 X 91 клеток дает ясную картину этой сравнительно сложной структуры.

Постарайтесь установить некоторые свойства производной плоскости S' порядка 9 с помощью ее таблицы инцидентности. Например, докажите, что эта плоскость недезаргова.

Проверьте справедливость аксиом Спернера для модели Барлотти.

Следующая интересная задача возникает при попытке ввести понятие плоскости в пространстве, фигурирующем в упражнении 56. Плоскость есть множество, содержащее по крайней мере две прямые, причем:

ВР Любая прямая, соединяющая две различные точки плоскости, принадлежит этой плоскости.

В2. Если две различные прямые принадлежат одной и той же плоскости, то они либо параллельны, либо имеют общую точку.

Если базисная плоскость П модели не является дезарговой, то мы пока не знаем, определяют ли две пересекающиеся прямые плоскость, удовлетворяющую Bn Bs.’

Докажите, что совокупность точек Р = (пр, тр^, удовлетворяющих условию Пр = тр, образует плоскость.

В случае модели пространства, реализованной в плоскости П, выясните, когда две прямые лежат в одной плоскости (которая, однако, не того типа, что в упражнении 57).

Упражнения 43—58 продолжают темы, затронутые в главе 6. Упражнения в конце предыдущих глав носили такой же характер. Приведем теперь некоторое количество упражнений, относящихся ко всему материалу данной книги. Они позволят читателю с различных точек зрения подойти к вопросам, изложенным в книге.

Следующая система аксиом определяет трехмерное пространство.

РТ0. Пространство S есть множество абстрактны® элементов А, В, . . ., называемы® точками, и элементов а, Ь, . . ., называемы® прямыми, удовлетворяющих аксиомам-.

РТр Если А, В С S и А Ф В, то существует в точности одна прямая I такая, что А £ I, В £ I. (В этом случае мы пишем АВ = Z.)

РТ2. Пусть А, В, С б S и не существует прямой I такой, что А, В, С £ I. Если Р С ВС и Q g СА, причем Р ф Q, то существует такая точка В, что R £ PQ и R £ АВ.

Мы можем ввести понятие плоскости в терминах этой системы аксиом следующим образом. Пусть три различные точки U, V, W не лежат на одной прямой. Рассмотрим множество, состоящее из точек всех прямых UQ, где Q € VW; это множество назовем плоскостью и будем обозначать (U, VW). Продолжим перечень аксиом пространства.

РТ3. Каждой прямой принадлежат по крайней мере три различные точки,

РТ4. Существует не менее одной прямой.

РТ5. Все точки пространства не могут принадлежать одной прямой.

РТв. Все точки пространства не могут принадлежать одной плоскости.

Если из пространства S, удовлетворяющего системе аксиом РТ, удалить одну плоскость, вместе с ее точками и прямыми, то придем к понятию аффинного пространства. Обратно, покажите, каким образом это аффинное пространство можно расширить до проективного пространства, удовлетворяющего системе аксиом РТ, путем присоединения идеальных элементов.

Сравните систему аксиом аффинного пространства, определенного в упражнении 59, с системой аксиом Спернера.

Следующие задачи относятся к геометрии плоскости, в которой выполняются аксиомы It, 12, 13.

Автоморфизм плоскости называется перспективной коллинеацией, если: 1) существует фиксированная точка К, называемая центром, такая, что точки любой прямой, проходящей через К, отображаются в точки этой же прямой; 2) существует такая прямая, называемая осью, что каждая точка этой прямой является неподвижной точкой. ~

Докажите, что перспективная коллинеация, имеющая более чем один центр, является тождеством; то же самое для перспективной коллинеации с более чем одной осью..

Пусть даны прямая t, точка К, а также точки Ри Р', удовлетворяющие условиям

К ё РР', К ^ Р ^ Р' =£ К, Р О, Р' $ t.

Докажите, что существует не более одной перспективной коллинеации с центром К и осью t, такой, что образ точки Р есть Р*.

Определите максимальное число перспективных коллинеаций с центром К и осью t, причем К ё t.

Докажите, что если автоморфизм проективной плоскости имеет ось, то он обладает п центром; обратно, если автоморфизм имеет центр, то он обладает и осью.

Рассмотрим следующие два условия: 1) для каждой пары точек (Р, Р') существует перспективная коллинеация с осью t и центром К, переводящая Р в Р'; 2) пусть даны два треугольника, перспективные относительно центра К и такие, что две пары соответственных сторон пересекаются на прямой t; тогда третья пара соответственных сторон тоже пересекается на L Докажите, что эти условия выполняются или не выполняются одновременно.

Докажите, что справедливость условия 1) из упражнения 65 для любого выбора центра К и оси t эквивалентна выполнению теоремы Дезарга.

Пусть Кх + Кг, Kt ё t, К2 ё t. Пусть, далее, лх и л2 — перспективные коллинеации с осью t и центрами Кг и К2 соответственно. Докажите, что отображение ntn2 также является перспективной коллинеацией с осью / и некоторым центром К ё t, где Ki К ^ К2.

Пусть оба центра К\ п К2, Кх ^ К2, лежат на оси t, и пусть Г (Kj, /) = Г, У = 1, 2) обозначает группу всех перспективных коллинеаций с центром Kj и осью I, аГ(<)= Г обозначает группу всех перспективных коллинеаций с осью t, центры которых принадлежат t. Допустим, что каждая из групп Гх и Г2 содержит более одного элемента. Докажите, что тогда Г есть коммутативная группа (теорема Бэра).

Замечание. Известно, что если Г1 = {1} и Г2у={1}, то группа Г не обязательно коммутативна.

Дополним условия предыдущего упражнения условием, что плоскость конечна. Докажите тогда, что каждый элемент группы Г, кроме единицы группы, имеет один и тот же простой порядок р (теорема Бэра).

Рассмотрим расширение системы аксиом инцидентности, в котором четвертая аксиома D есть некоторый вариант ограниченной выполнимости теоремы Дезарга. Определите координатную структуру, предполагая, что плоскость конечна.

Упражнения 59—70 мы сочли нужным включить, чтобы дополнить основной текст книги, в котором анализу аксиом не уделялось большого внимания. После этих упражнений даже начинающий читатель лучше прочувствует необходимость строгого аксиоматического подхода.

ПРИЛОЖЕНИЕ

В настоящем приложении содержится, прежде всего, краткое алгебраическое резюме. Не весь излагаемый здесь материал необходим для понимания читателем содержания книги, ио зато при желании он сможет пополнить свои алгебраические познания, не обращаясь к другим источникам. Кроме того, здесь приводятся дополнения к основномуматериалу книги, представляющиеся одновременно и интересными, и полезными.

Общие сведения об алгебраических структурах

1° Произведением А х В = С множеств А и В называется множество упорядоченных пар »^а, Ъ\ где а £ А и 6 £ В.

Пусть даны множество Н = {1, 2, . . ., п} и группа подстановок Г этого множества. Стабилизатором элемента z £ Н называется следующая подгруппа группы Г:

Гж = {л 6 Г | жя = ж}.

Орбитой элемента х относительно группы Г называется множество хТ = {жл | л £ Г}. В обоих случаях через Xя обозначается элемент, в который подстановка л переводит х.

Чтобы лучше^представить себе эти два важных понятия, рассмотрим примеры, приведенные на рис. 97а и 97b (стр. 244). На этих рисунках элементы Н обозначены цифрами!, 2, . . ., 13, а элементы Г — буквами^, о2, ••• . . ., cr6 (Oj — единичный элемент). Легко проверить, что, например, Ги = {ffj, п3} и что это множество составляет подгруппу группы Г; Г3 = {Ojj, т. е. Г3 является единичной тривиальной подгруппой; Г8 совпадает со всей группой Г и является другой'тривиальной подгруппой. Легко также проверить, что Зг = {1, 3, 4, 5, 7, 10}; 2Г = = {2, 9, И}; 8г = {8}.

Группа подстановок Г множества Н называется регулярной, если для каждого ж £ Н имеет место Гх = 1.

2° Пусть А — произвольное непустое множество и А х А — согласно сказанному выше, множество всех упорядоченных пар

(ж, у) (ж, у е А).

Отображение множества А х А в множество А называется бинарной операцией, при этом образ пары (ж, у) обозначается символом х о у. Непустое множество А называется основным множеством операции.

Можно составить следующую иерархию множеств с бинарной операцией.

Группоид, обозначаемый символом (А, о), есть множество А с бинарной операцией, обозначаемой знаком о. Если множество А группоида конечно, | А | = и, то таблица операции группоида есть таблица п X п, в которой элемент ж « у Е А находится в клетке пересечения строки ж и столбца у. Группоид можно считать заданным, если выписана его таблица операции.

Квазигруппа есть группоид (А, о), в котором для любых двух элементов а, Ъ £ А каждое из уравнений а о х = Ъ, у о а = Ъ имеет в точности одно решение. Таблица операции конечной квазигруппы является латинским квадратом. Квазигруппа с единичным элементом называется также лупой.

Полугруппа есть группоид (А, °), в котором для каждой тройки элементов а, Ь, с выполняется условие а о (6 о с) = (а о Ь) о с. ■

Группа есть лупа, являющаяся в то же время полугруппой. Таблица операции конечной группы уже рассматривалась в связи с понятием R-сети.

Абелева группа есть группа (А, о), в которой для любых двух элементов а, Ь С А имеет место а о Ъ— boa. При одинаковом порядке элементов в заглавной строке и заглавном столбце таблица операции абелевой группы симметрична относительно главной диагонали.

Очередность образования этих понятий наглядно представлена в виде направленного графа на рис. 117. Буквы, приписанные точкам графа, означают: G — группоид, К — квазигруппа, F — полугруппа, С — группа, А — абелева группа.

3° Укажем теперь некоторые теоретико-групповые понятия и теоремы, играющие особо важную роль в конечных геометриях.

Циклическая группа. Группа называется циклической, если она содержит элемент, множество степеней которого исчерпывает всю группу.

Если группа G содержит две такие подгруппы А и В, что каждый элемент g £ G можно единственным образом gпредставить в виде g = йЬ, где й £ А

••’ и b £ В, и для любых элементов

./й £ А и Ъ ^ В имеет место аЪ = Ьа,

/х.то группу G называют прямым про-

yPcQ\>Л - изведением подгрупп А и В и пишут:

X/G = А X В. Аналогично определя-

^\п /"^ ется прямое произведение нескольких

• подгрупп группы G.

•' Теорема Лагранжа. Если X—

" srW'^'r'pv1 подгруппа конечной группи G, то |G | делится нацело на | А |.

<5,4Следствием этой теоремы являет

- ся тот факт, что порядок любого Рис. 117. ' элемента конечной группы служит ' делителем порядка группы. Другое следствие состоит в том, что группа простого порядка является циклической.

Примерной группой (р-группой) называется группа, порядки всех элементов которой являются степенями некоторого заданного простого числа р.

Элементарной группой называется группа, в которой порядок каждого элемента, отличного от единичного, есть некоторое заданное простое число. Очевидно, всякая элементарная группа является р-группой.

Нормальный делитель. Подгруппа N группы G называется нормальным делителем группы G, если для каждого элемента х £ G множество N х = \пх | re £ N} совпадает с множеством xN = ^хп | n^N}. Это записывается в виде N < G.

Инвариантный элемент. Элемент с группы G называется инвариантным, если он перестановочен с каждым элементом группы G, т. е. если сх = хс для всякого х е G.

Центр группы. Инвариантные элементы группы G образуют ее нормальный делитель Z (G), называемый центром этой группы.

Теорема. Если, порядок группы является степенью простого числа, то ее центр содержит элементы, отличные от единичного элемента.

ГСопряженные элементы группы. Два элемента а и Ъ группы G называются сопряженными, если существует

Рис. 118.

такой элемент g, что ag = gb, т. е. если g~xag = b. Говорят также, что а получается трансформацией элемента Ъ элементом g. Если g~*ag = а, то элемент а называется инвариантным относительно трансформации элементом g.

Сопряженная подгруппа. Если для подгрупп А и В группы G найдется такой элемент g £ G, что Ag = gB, т. е. g-1Ag = В, то подгруппа В называется сопряженной подгруппе А в G. Говорят также, что подгруппа В получается трансформацией подгруппы А элементом g. Если g"xAg = А, то подгруппа А называется инвариантной относительно трансформации элементом g. Поскольку нормальный делитель группы инвариантен относительно трансформации любым ее элементом, то его называют также инвариантной подгруппой группы.

Мы покажем сейчас на примере, как понятия теории групп позволяют сжато выражать некоторые геометрические факты. Чертеж слева на рис. 118 (где Р — фиксированная точка, t — фиксированная прямая, X — переменная точка, пробегающая множество всех точек плоскости) приводит нас к следующей теореме. Результат последовательного отражения точки X относительно пря-

мой t, полученного образа относительно точки Р и этого нового образа опять относительно прямой t совпадает с результатом отражения точки X относительно точки Р', симметричной точке Р относительно прямой t. Сформулируем этот факт в терминах группы движений плоскости. Отражение относительно точки Р обозначим через л. Очевидно, л2 = 1, т.. е. л = л-1. Аналогично, обозначив отражение относительно прямой t через т, получаем, что т2 = 1, откуда т-1 = т. Теперь наше геометрическое утверждение о трех последовательных отражениях может быть выражено следующей формулой: л' = т-1лт. Чертеж справа на нашем рисунке показывает, что три последовательных отражения — относительно точки Р, затем прямой t и, наконец, снова точки Р — равносильны отражению относительно прямой t', симметричной прямой t относительно точки Р. Это можно выразить формулой: т' = л-1тл.

Кроме того, легко проверить, что условие принадлежности точки Р прямой t равносильно условию лт = тл. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что в первом случае условие т-1лт = л означает совпадение точек Р и Р', тогда как во втором случае условие л-1тл = т означает совпадение прямых t и V.

Преимущества языка теории групп становятся особенно убедительными, если выраженные на этом языке геометрические понятия и отношения попытаться выразить также средствами аналитической геометрии. Достаточно, быть может, ограничиться следующим примером:

Р: (ж, у)]Р: л]

г Р £t: u = mx + b,л г Р Ct: лт = тл.

t: [ш, 6] J аt:

После этого небольшого отступления продолжим наш обзор по теории групп.

Теорема Силова. Если порядок конечной группи делится на степень рТ простого числа р, то эта группа имеет подгруппу порядка рг.

Силовская подгруппа. Если | G | = pks и $ не делится на р, то подгруппы порядка рк группы G называются силовскими р-подгруппами.

Следствие 1. Если порядок конечной группы делится на простое число р, то в группе имеется элемент порядка р.

Следствие 2. Порядок любой конечной р-группы является степенью числа р. .

■ Основная теорема об абелевых группах. Любая конечная абелева группа разлагается в прямое произведение циклических групп, порядки которых являются степенями простых чисел; множество степеней простых чисел, являющихся порядками указанных групп, однозначно определяется порядком самой группы.

Это надо понимать следующим образом: если | G | = = pVpV- • • P^i то можно указать такие циклические группы Ах, А2, . . ., Afc порядков р^, р^, . . ., рт^ соответственно, что G = Ах X А2 X . • ■ X Afc. Отсюда следует, что конечная абелева группа однозначно определяется с точностью до изоморфизма конечным набором степеней простых чисел.

4° Переходя к множествам с двумя бинарными операциями, мы-ограничимся только самыми важными фактами. Основное множество будем обозначать буквой А, а две операции — символами ± и Л (или, если зто не сможет вызвать недоразумения,— знаками + и -). Системы с двумя операциями будут записываться в виде (A, A, А) или в виде (А, +, •).

Кольцо есть такая система (A, А, А), что система (A, А) является абелевой группой, система (А, А) — полугруппой и операция А дистрибутивна относительно операции А, т. е.

- (а А&) Ас = (аАс) А(6Ас), с А (« А Ь) = (с A a) А (с А Ь).

Кольцо является обобщением системы (Z, +, •) целых чисел, однако в кольце (1) условие ah = Ьа может нарушаться и (2) равенство аЪ = 0 может иметь место и тогда, когда а^О и Ъ =^0.

Тело есть такая система (А, А, А), что система (А, А) является абелевой группой, система (А', А), где А' получается из А удалением нулевого элемента (т. е. нейтрального элемента абелевой группы), является группой и операция А дистрибутивна относительно операции А- Если система (А', А) также является абелевой группой, то тело называют коммутативным (или полем).

Теорема. Кольцо является телом тогда и только тогда, когда оно содержит не менее двух элементов и оба уровне-

ния а ,Х х = Ъ и х ^ а = Ъ разрешимы для любых элементов а, Ъ £ А, где а А 0.■

Тело служит обобщением системы (Q, +, •) рациональных чисел, однако требование коммутативности умножения опускается.

Теорема Веддербарна. Всякое конечное тело коммутативно.

Эта глубокая теорема сыграла важную роль в развитии конечной геометрии.

Квазитело есть такая система (A, А> А), что система (A, А) является абелевой группой, а система (А, А) — квазигруппой с единичным элементом (т. е. лупой), причем имеет место левая дистрибутивность, т. е. для любых трех элементов а, Ъ, с £ А выполняется равенство

а А (Ь I с) = (a A b) I (а А с).

Если имеет место также и правая дистрибутивность, то квазитело называется дистрибутивным.

Если операция А ассоциативна, то квазитело называется ассоциативным.

Альтернативное квазитело есть дистрибутивное квазитело, для которого выполняются следующие условия:

а(а'х') = х, если а^Ои аа' = 1; /^•

^ха'^а" = х, если а" АО и а'а" = 1. V'"'

Теорема. Дистрибутивное и ассоциативное квазитело является телом.

Укажем, как можно построить неассоциативное квазитело. Пусть К = GF (<?), q = рг, р Ф 2, г > 2. По системе К = (А, +, •) строится новая система К* = (А, А, А) следующим образом. Полагаем (А, +) = (А, А), а операцию А определяем условием а А Ь = а-b, если существует такой элемент с £ А, что а = с2, и а А Ь = а-№ в противном случае (т. е. если а не является квадратом). Нетрудно доказать, что К* есть квазитело, и притом неассоциативное. Для нас этот пример представляет особый интерес, поскольку с помощью координатной системы на К* можно получить недезаргову конечную проективную плоскость.'

Иерархия систем с двумя бинарными операциями изображена на рис. 119. Буквы на схеме означают: G — кольцо,

Q — квазиполе, D — дистрибутивное квазиполе, А — ассоциативное квазиполе, Т — тело, К — коммутативное

тело.

5° Векторное (линейное) пространство над полем К есть абелева группа М Гэлементы которой называются векторами) такая, что для всякого элемента а £ К и всякого вектора а £ М определен вектор а-а £М (называемый

Рис. 119.Рис. 119.скалярным произведением а на а) и выполняются следующие условия:

Рис. 119.

Рис. 119.

Для любых a, b € М и а, рек

а - (а Д- 6) = а-а 4-а- 6,

(а + Р).а = а-а + Р-а,

(а- р)-а = а- (Р-а),

1-а = а,

где 1 — единичный элемент поля К.

Линейная независимость. Система {аг1 а2, ..., ак} векторов векторного пространства М называется линейно независимой, если из равенства

Xi^i + Х2и2 -Д • • . Ч- ^{J^ — 0

следует, что

Хт = Х2 = . . . = Х^ = 0.

Базис, размерность, координаты. Если в пространстве М не содержится линейно независимой системы из га -|- 1 векторов, а система {ет, е2, . . ., еп} из га векторов этого пространства линейно независима, то эта система называется базисом пространства М, а число п — его размерностью. Если система (е1, е2, . . ., еп} является базисом и для элементов ^, Е2, . . ., £п £ К и вектора ас £ М выполняется равенство

х = ?iei + Ь2е2 4-4- ^пеп,

то последовательность (^, ^2, . . ., Еп) называется координатной п-кой вектора х в базисе (ех, е2, . . ., еп).

Теорема. Всякий вектор х векторного пространства можно единственным образом выразить через векторы базиса в виде

при этом нулевой вектор выражается координатной п-кой (0, 0, . . ., 0).

6° В заключительной части этого параграфа мы постараемся проиллюстрировать тесную связь между развитием проективной геометрии и алгебры. В 1942 году Бэр исследовал проективные плоскости, обладающие следующим свойством: если I — идеальная прямая, Y — фиксированная идеальная точка, а точки Р и Р' таковы, что Р ^=Y, Р' ^Y, У Е РР', Р, Р' ^ Z, то существует перспективная коллинеация с осью I и центром У, переводящая точку Р в точку Р'. Это — так называемые (У, ^-транзитивные плоскости. Позднее изучались плоскости трансляций, которые представляют собой (У, /)-транзитивные плоскости для всякой точки У прямой I. Оказалось, что понятие плоскости трансляций эквивалентно понятию алгебраической плоскости над квазителом.

Чем сильнее условия, налагаемые на множество трансляций плоскости, тем более строгим ограничениям удовлетворяет координатная система.

Если потребовать, чтобы существовали всевозможные перспективные коллинеации, имеющие в качестве центра любую из двух фиксированных идеальных точек, а в качестве оси — прямую, проходящую через другую из них, то множество соответствующих координат образует ассоциативное квазитело.

Если потребовать, далее, чтобы существовали всевозможные элации, имеющие в качестве центра фиксированную идеальную точку, а в качестве оси — любую прямую, проходящую через эту точку, то множество соответствующих координат образует дистрибутивное квазитело. (Напомним, что в определении квазитела содержится лишь требование дистрибутивности слева.)

Плоскость, на которой существуют всевозможные элации, имеющие в качестве центра фиксированную идеальную точку, а в качестве оси — прямую, проходящую через эту точку, можно назвать двойственной плоскости трансляций. Общепринятого термина для обозначения подобных

плоскостей нет, в немецкой литературе пользуются термином «Scherungsebene».

Правое квазиполе есть система (Q, J_, А) такая, что система (Q, J_) является абелевой группой (ее нейтральный элемент обозначается через 0); (Q', А), где Q' = Q — {0}, является квазигруппой с единичным элементом обозначаемым символом 1); для каждого элемента а Е Q (имеет место а-0= 0-а=0; для любых элементов а,&, с Е Q выполняется равенство (а I Ь) А с — (аДс)_£ (Ь Ас); еслиа^=Ь, то уравнение f—х А Ь) I (ж Д, а) — с имеет одно и только одно решение в Q, где —х обозначает элемент, противоположный элементу х в абелевой группе (Q, -L).

Известно, что в случае конечного правого квазитела последнее требование является следствием предыдущих четырех. Ц 1965 году • Бартолоцци построил примеры собственных конечных левых квазител, содержащих р2Г элементов, где р =^ 2. Термин собственный означает здесь, что эти квазитела не являются ни коммутативными, ни ассоциативными и что правая дистрибутивность не имеет места. Укажем еще, что уже в 1931 году, исследуя плоскости, удовлетворяющие аксиомам Ц, 13, Ц и MD-теореме, Муфанг пришла к понятию альтернативного квазитела. Мы, однако, изучали в этой книге конечные плоскости, а как следует из теоремы Цорна — Леви, конечных альтернативных квазител не существует.

7.2. Сведения из теории конечных полей и теории чисел

Простейшим примером конечного поля является поле классов вычетов по модулю р (р — простое число); оно будет обозначаться здесь символом Пр (или короче — просто буквой П).

Изоморфные поля. Если существует взаимно однозначное отображение поля К на поле К' такое, что для любых a, b Е К и а', Ь' Е К' из

а ->■ а’, Ъ -*Ъ'

следует

а + b -*а* + b', ab -*-а'Ь'

(или, как говорят, отображение сохраняет операции), то поля К и К' называют изоморфными; символически это записывается в виде К ^ К'.

Теорема. Отношение изоморфизма рефлексивно, симметрично и транзитивно1, при изоморфном отображении поля К на поле К' нулевой и единичный элементы поля К переходят соответственно в нулевой и единичный элементы поля К'.

Подполе, простое поле. Если подмножество К поля L само является полем (относительно операций, заданных в L), то К называется подполем L, a L — расширением К. Символически это записывается в виде К s L. Если поле не имеет собственных подполей, то оно называется простым.

Теорема. Всякое конечное поле имеет единственное простое подполе, и это подполе изоморфно полю П по некоторому модулю р.

Характеристика. Пусть в конечном поле имеет место равенство e + e + ...-(-e = O, где е — единичный элемент поля, а число слагаемых в сумме слева равно п. Наименьшее число п с таким свойством называется характеристикой данного поля.

Теорема. Характеристика р поля К есть простое число, и простое подполе поля К изоморфно полю Пр.

Линейная независимость в поле А относительно поля П. Пусть для любых двух элементов а £ А и с £ П определено произведение са £ А. Если из равенства c^A-c^ + . . . + спап = 0, где ah £ А, с^П (k = 1,2,..., га), следуют равенства сг = с2 = . . . = сп = 0, то система элементов ап а2, . . ., а„ поля А называется линейно независимой относительно поля П.

Ранг поля. Если элементы а17 а2, . . ., ап поля А образуют максимальную линейно независимую систему относительно поля П, то число п элементов этой системы называется рангом поля А относительно поля П (обозначается: га = А : П).

Степень расширения. Если П S А, то ранг А относительно П называется степенью расширения А поля П.

Теорема. Если П с Г с: А, то (А : П) = (А : Г) • (Г: П).

Символом А Ы обозначают множество многочленов одной переменной х с коэффициентами из А, в котором сумма и произведение многочленов определяются обычным образом, с тем только условием, что подсчет коэффициен-

тов ведется по правилам для операций, заданных в поле А. В качестве примера рассмотрим конечное поле А, таблицы операций которого приведены на рис. 44 (стр. 101); пусть, например, даны два многочлена:

а (х) = 2ж3 + х + 1 и Ъ ^ = 5ж4 + Зж3 + 1х + 6.

Пользуясь таблицами операций, легко проверить, что а (х) + Ъ (ж) = с (ж) = 5ж4 + 5ж3 + 8ж + 7,

a (xyb (х) = Чх1 + 6ж® + Зж5 + х4 + 6ж3 + 7ж2 + 4хЦ-6.

Ясно, что степень произведения двух многочленов равна сумме степеней сомножителей, тогда как степень суммы двух многочленов может быть меньше степени каждого из слагаемых.

С помощью указанных выше понятий и фактов можно сформулировать ряд теорем, играющих важную роль в геометриях Галуа.

Основная теорема. Число элементов конечного поля есть степень простого числа; для всякого числа q, являющегося степенью простого числа, q = рТ, существует поле из q элементов; любые два поля из q элементов изоморфны.

Ясно, что характеристика поля из q = рТ элементов равна р.

1° Любой элемент поля в степени рт, где рт — число элементов поля, равен самому себе. В случае простого поля это утверждение совпадает с теоремой Ферма.

2° Каждый элемент поля является корнем р-й степени; более точно: когда х пробегает все элементы поля, хр дает некоторую перестановку элементов поля.

3° Для любых двух элементов поля а, Ъ

^а + by = ар + bp, UbY = арЬр.

4° Отображение х ^-хр есть автоморфизм поля (автоморфизм Фробениуса). Все автоморфизмы поля являются степенями этого автоморфизма.

5° Мультипликативная группа конечного поля является циклической.

6° Пусть аг, а2, . . ., aq_x — все ненулевые элементы конечного поля, тогда

Я1&2 • • • ®q-l —^5

где —1 означает элемент, противоположный единичному, в аддитивной группе поля. Формулируя это утверждение для поля классов вычетов, мы получаем теорему Вильсона: (р — 1)!= —1 (mod рУ

Сделаем следующее замечание по поводу теоремы"Вильсона. В ней указывается некоторое характеристическое свойство простых чисел, а именно: для всех составных чисел п, за исключением числа 4,

(п — 1)! = 0 (mod ri'),'

тогда как для каждого простого числа р -

(р — 1)! = —1 (mod р).

7° Пусть дано поле А из рт элементов и его простое подполе Пр (т. е. поле классов вычетов по модулю р). Выберем в множестве Пр Ы какой-нибудь неприводимый многочлен

о, (х) = хт -]- а^хт ^ -]- • • « -]- ат ,. ,■

и рассмотрим множество всех многочленовf

с (х) = с,-^"1 + ст_г^"г + . . . + с0 " степени г — 1 с коэффициентами из Пр; число таких многочленов совпадает с числом упорядоченных г-ок (cr_lt сг_2,. . ., соу составленных из элементов поля Пр, т. е. равно рг. Указанное множество многочленов является полем относительно операций сложения и умножения при условии, что произведение и сумма многочленов приводятся по модулю р и по модулю аАх\ Это поле изоморфно полю А.

Напомним, что эта теорема уже использовалась при построении конечных полей. Там же объяснялось, в чем заключается приведение суммы и произведения, но мы повторим это еще раз. Коэффициенты результата заменяются их наименьшими неотрицательными вычетами по модулю р. Степень произведения может оказаться больше, чем г — 1, но она меньше, чем 2г — 1. В этом

случае результат заменяется остатком, полученным при делении на многочлен а (х).

8° Число квадратных корней из элемента конечного поля может быть О, 1 или 2. Если поле имеет характеристику р = 2, то каждый его элемент имеет ровно один квадратный корень; если р ^ 2, то множество ненулевых элементов поля разбивается на два таких подмножества с равным числом элементов, что элементы одного подмножества не имеют квадратных корней, а элементы другого имеют два квадратных корня. Последнее подмножество образует подгруппу мультипликативной группы поля.

9° Сопоставим каждому элементу d поля Л из 2Г элементов элемент

А- • ■■+d.

Тогда поле разбивается на два таких подмножества по 2' -1 элементов в каждом, что для элементов одного подмножества D = 0, а для элементов другого D = 1.

10° В любом поле четной характеристики уравнение z2 + z+ d = 0 неразрешимо при D = 1 и имеет два различных решения при D = 0, где D определяется по коэффициенту d в соответствии с 9°.

11° В любом поле четной характеристики уравнение ж2 + Ъх + с = 0 имеет единственное решение при b = 0, а при b ^ 0 подстановкой

z = xb-1, d = cb-2

приводится к уравнению z2 + z + d = 0.

12° В поле нечетной характеристики число решений уравнения х2 + Ъх + с = 0 равно 0, 1 или 2 соответственно числу квадратных корней из элемента Ъ2 — 4с.

Заметим, что теоремами 8° — 12° приходится пользоваться при исследовании кривых второго порядка на плоскости Галуа.

В заключение нашего обзора, посвященного конечным полям, отметим, что раздел теории чисел, известный под названием циклические разностные базы, также можно считать одним из приложений теории конечных групп. Первый значительный результат в этой области был получен Зингером, который в своей работе, появившейся в 1938 году, построил примеры простых циклических раз-

постных баз. Результат Зингера позволяет непосредственно получать таблицы инцидентности плоскостей Галуа. (См. текст, относящийся к рис. 5 и 6, стр. 17, 20.)

7.3. Сведения из теории плоскостных тернарных систем

Понятие проективной плоскости, возникшее из понятия классической проективной плоскости, постепенно обобщалось, и одновременно с этим обобщалось понятие координат, служивших для алгебраического описания плоскости. Когда возникла потребность в алгебраическом описании недезарговых плоскостей, для задания координат стали применяться новые виды алгебраических систем, так называемые тернарные системы — с операцией, определяемой на множестве троек элементов основного множества. При фиксировании того или иного элемента тройки получаются некоторые бинарные операции, в терминах которых можно описать существенные свойства тернарных систем.

Пусть задано некоторое основное множество S, имеющее не менее двух элементов. Пусть каждой упорядоченной тройке (т, х, 6) элементов из S сопоставлен определенный элемент из S, обозначенный символом (хтВу Тогда отображение (т, ж, 6) -> (жтб) будем называть тернарной операцией, а систему (S, ( ))— тернарной системой.

Различные виды тернарных систем определяются с помощью аксиом для тернарных операций. Названия этих систем скорее связаны с «исторической традицией», чем выражают существо дела.

Плоскостное тернарное кольцо (обозначается PTR). Эта система определяется следующими аксиомами:

0Г Для любых а,Ь,с С 8 существует единственный элемент u £ S такой, что (абы) = с.

02. Для любых а,Ь,с,d С S при условии а ^ с существует единственный элемент и £ S такой, что (ыаб) = (ucd).

63. Для любых а, Ь, с, d С S при условии а ^ с существуют два элемента и, и £ S, такие, что (auv1) = Ъ и (сыр) = d.

Промежуточное тернарное кольцо (обозначается ITR). Эта система удовлетворяет аксиомам PTR, а также следующим аксиомам:

04. Для любых а, Ь, с, d, t, х £ S при условии а^с из равенств (ай) = (ей) = d следует равенство (жй) = d.

05. Для любых а, Ь, с, d, t, х £ S при условии а^ с из равенств (йб) = (йб) — d следует равенство (<жб) = d.

Тернарное кольцо Холла (обозначается НТВ). Эта система удовлетворяет аксиомам PTR, а также следующим аксиомам:

0О. Множество S содержит элементы 0, 1, (0^ 1), и для любых а, б £ S (аОб) = (Оаб) = б, (а10) = (1а0) = а.

0*. Для любых а, 6, с£8иа^0 уравнение (жаб) = с имеет в S ровно одно решение.

Для тернарных колец справедливы следующие теоремы:

1° В PTR пара (и, р), существование которой утверждается в аксиоме 03, единственна.

2° В ITR аксиомы 04 и 05 независимы от предыдущих аксиом.

3° Пусть основное множество PTR конечно. Тогда аксиома 03 является необходимым и достаточным условием равносильности систем аксиом 0О, 0t и 0П 02, 03, 0О, 0*.

4° Каждому четырехугольнику OXYE на плоскости, определяемой системой аксиом I, можно сопоставить координатную систему (К, ( )), а именно НТВ, такую, что существует взаимно однозначное соответствие между множеством точек плоскости, за исключением точек прямой XY, и множеством упорядоченных пар (ж, у) элементов из К; прямой на плоскости отвечает при этом либо множество пар, удовлетворяющих условию ж = а, либо множество пар, удовлетворяющих условию у = (жтб), где а, б, т — фиксированные элементы множества К.

Важно отметить, что координатная система НТВ, вообще говоря, зависит от выбора четырехугольника.

5° Пусть система (К, ( )) есть НТВ. Будем считать «точками» упорядоченные пары (ж, у) элементов из К, а прямыми — множества пар, удовлетворяющих условию ж = а, и множества пар, удовлетворяющих условию у = = (жтб). Тем самым мы получим аффинную плоскость с основным четырехугольником, имеющим следующие вершины: точка О — пара (0, 0), точка Е — пара (1, 1), точки Y и X — идеальные точки прямых, заданных соответственно уравнениями ж = 0 и У = 0,

ЛИТЕРАТУРА

Мы не в состоянии привести здесь исчерпывающий список литературы по конечным геометриям вплоть до настоящего времени. В превосходной монографии Дембовского, упоминаемой в следующей ниже краткой библиографии, на 48 страницах дается полная библиография за период с 1782 по 1968 год.

Мы указываем здесь статьи и монографии, позволяющие глубже изучить те разделы, которые лишь едва намечены в этой книге.

Книги

Блументаль (Blumenthal L. М) A Modern View of Geometry.— San Francisco: Freeman, 1961.

Б у с а к e p, С а а т и (Busacker R. G., Saaty T. L.) Finite Graphs and Networks.— N. Y: McGraw-Hill, 1966.

Дембовский (Dembowsky P.) Finite Geometries.—Berlin: Springer, 1968.

Керекьярто (Kerekjarto B.) Les Fondemantas de la Geometry. Tome 2: Geometry projective.— Budapest: Academiai Kiado, 1966.

Редей (Redei L.) Algebra. Vol. 1.— Budapest: Academiai Kiado, 1967.

Риордан (Riordan J.) An Introduction to Combinatorial Analysis.— N.Y.: Wiley, 1958.

С e г p e (Segre B.) Lectures on Modern Geometry.— Roma: Cremo- nese, 1961. В книге имеется приложение: Ломбардо Радиче (Lombardo Radice L.). Non-Desarguesian Finite Graphic Planes.

Холл (Hall M.) The Theory of Groups. — N.Y.: The Macmillan, 1959. Русский перевод: Холл M. Теория групп,— М.: ИЛ, 1962.

Статьи

А цел (Aczel J.) Quasigroups, net and nomograms.—Advances Math., 1965, 1, p. 383—450.

А ц e л, К a p т e с и (Aczel J., Karteszi F.) Funktionskomposition, vertauschbare Funktionen und Iterationsgruppen vom geometri- schen Standpunkt a us.— Math.-Phys. Semesterberichte, 1967, 14, № 1, S. 79-88.~

Барлотти (Barlotti A.^Una construzione di una classe di spazi affini generalizzati.— Boll. Un. Mat. Itai., 1962, 17, p. 394—398.

Бартолоцци (Bartolozzi F.) Su una classe di quasicorpi (sinist- pi) finiti.— Rend. Mat., 1965, 24, p. 165—173,

Бозе (Bose R. С.). On the application of the properties of Galois fields to the problem of the construction of hyper Greco-Latin squares. — Sankhya, Ind. J. Statistics, 1938, 3, p. 323—338.

Брук, Райзер (Bruck R. H., Ryser J. H.) The non-existence of certain finite projective planes.— Canad. J. Math., 1949, 1, p. 88— 93.

Глисон (Gleason A. M.) Finite Fano planes.— Amer. J. Math., 1956, 78, p. 797—807

Зингер (Singer J.) A theorem in finite projective geometry and some applications to number theory.— Trans. Amer. Math. Soc., 1938, 43, p. 377—386.

К a p т e с и (Karteszi F.) 1. Piano finite ciclici come risoluzioni di un certo problema di minimo.— Boll. Un. Mat. Itai., 1960, 15, p. 522—528.

Alcuni problemi della geometria d’incidenza.— Confer. Sem. Mat. Univ. Bari, 1963, 88, p. 1—14.

К в и с т (Quist B.) Some remarks concerning curves of the second degree in a finite plane.— Ann. Acad. Fenn., 1952, 134, p. 1—27.

К о ф м а н (Cofman J.) Triple transitivity in finite Mobius planes.— Atti Accad. Naz. Lincei Rend., 1967, 42, p. 616—620.

К p о у (Crowe D. W.) The construction for finite regular hyperbolic planes from inversive planes of even order. — Coll. Math., 1965, 13, p. 247-250.

Люнебург (Luneburg H.) 1. Gruppentheoretische Methoden in der Geometrie.— Jahresber. Deutsch, math. Ver., 1967, 70, S. 16— 51.

Transitive Erweiterungen endlicher Permutationsgruppen. — Berlin: Springer (Lecture Notes in Math., 84), 1969, S. 1—119. Рейман (Reiman I.) Su una proprieta dei 2-disegni.— Rend. Mat., 1968, p. 1—7.

Розати (Rosati L. A.) Piani proiettive desarguesiani non ciclici.— Boll. Un. Mat. Itai., 1957, 12, p. 230—240.

С e г p e (Segre В.) 1. Ovals in a finite projective plane.— Canad. J. Math., 1955, 7, p. 414—416.

Introduction to Galois geometriecs.— Atti Accad. Naz. Lincei, Memorie, 1967, 8, p. 135-236.

Селе (Szele T.) Elemi bizonyitas a veges testek elmeletenek alapte- telere.— Mat. Lapok., 1956, 7, p. 249—254.

Таллинн (Tallini G.) Le geometrie di Galois a le loro applicazioni alia statistica e alia teorie dell’informazione.— Rend. Mat., 1960, 19, p. 379-400.

Туран, III о ш, К ё в a p и (Turan P., Sos V., Kovary T.) On a problem of K. Zarenkiewicz.— Coll. Math., 1954, 3, p. 50—57.

Фано (Fano G.) Sui postulati fondamentali della geometria proiet- tiva.— Giorn. Mat., 1892, 30, p. 106—112.

Холл (Hall M.) Projective planes.— Trans. Amer. Math. Soc., 1943, 54, p. 229-277.

Ц a n n a (Zappa G.) Piano grafici a caratteristica 3.— Ann. Math.

Рига Appl., 1960, 49, p. 157—166.

Ш n e p н e p (Sperner E.) Affine Raume mit schwacher Inzidenz und zugehorige algebraische Strukturen.— J. reine und angew. Math., 1960, 204, S. 205—215.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ*)

' 1 ■ Г- •' !

7^;

Автоморфизм 173, 177'

Ассоциированная плоскость 43

Ассоциированный точечный октет " *

248

Аффинная плоскость 42—44

Аффинное преобразование 73

Базис 112, . . ■ ■

Бихроматический граф 230

Блок 245 Блок-схема 245.. • -

Внешняя прямая 138, 159

— точка 141

Внутренняя точка 141

Гамильтонова цепь 229'

Гамма (Г-) крюк 21

— (Г-) таблица 23

Гетероморфные графы 231

— таблицы инцидентности 204

Гиперболическая плоскость 45

Гиперовал 140

Гомография 177

Гомологичные элементы 26

Гомология 68

Гомотетия 75

Граф 229,

— Гамильтона 229

— Петерсена 227

Группа коллинеаций 68

— подстановок 243-

Двойное отношение 118—124.

Двойственность 9, 118'

Дезаргова конфигурация 210—

218

Дерево 229

Диагональная точка 70

Диагональное распределение 23

Единичная точка 124

Замкнутая цепочка 248

Идеальная точка 44“’

Изоморфизм 13, 173, 177#ч

Изоморфные графы 231‘j

— ПЛОСКОСТИ 131I

— таблицы инцидентности 204 ■,’

Импримитивная группа 245- -;

Инвариантная прямая 66’

— точка 66•;

Инверсная плоскость 247,;

Инволюция 68.

Интранзитивная группа подстаНЬвок ■ 243-

Инцидентность 8:

Каноническая форма 156

Касательная 138, 157, 159-

Квадрика 253

Квазигруппа 77

Класс графа 229

Классическая проективная геометрия 9

— проективная плоскость 7

Классы эквивалентности 244

Коллинеация 65

Комбинаторная структура 11

Конфигурация 204

— Рейдемейстера 221

Кривая 156, 158

й-транзитивная группа перестановок

Латинские квадраты 78

Линейная комбинация 51

Линейное преобразование 133

Максимальное подпространство 112 ;

Маршрут 229;

Модель Холла 58

Недезаргова плоскость 58■

Независимая система точек 107

Независимые подпространства ИЗ 1

Неподвижные прямые66■

— точки 66i

Не-точка 106'

Нормирование координатной последовательности 107'

^-теорема 249

*) Термины приложения не

входят в указатель.

Обхват графа 229

Объединение (двух подпространств)

Обыкновенная дезаргова конфигурация 211

Овал 138

Овалоид 253

Однородные координаты 106, 118

Омега (О-)таблица 21

Параллельность 44

Пересечение подпространств 112

Плоскость Галуа 49—54

— Мёбиуса 247

— порядка q 11

— трансляции 225

— Фано 8, 265

Подплоскость 41

Полная группа подстановок 68, 243 — ортогональная система латинских квадратов 77, 78

Полный Г-крюк 21

— граф 229

Полюс прямой" 160

Поляра точки 159

Порядок графа 229

Преобразования (ы-, а-, т-) 12

Примитивная группа 245

Проективная геометрия 9, 49

— плоскость 11

Прямая 8, 51

Прямоугольник знаков 23

— квадратов 26

Пустой граф 229

Система аксиом для регулярной гиперболической плоскости 48

— аксиом для трехмерного пространства 296

— координат 124

Специальная дезаргова конфигурация 212

Стереографическое отображение 248

Ступени плоскости 58

Сферическая модель Пуанкаре 227

Таблица инцидентности 13, 20, 26, 28

— конфигурации 204

— Кэли 223

Теорема Глисона 276

— Дезарга 56

— Зингера 44

— Кроува 48

— пятиугольника 210

— Сегре 167

Тернарная операция 28

Точка 8, 51

— графа 229

— сочленения графа 230

Тракт 42

Транзитивная группа подстановок

243

Фигура Фано 7

Фундаментальная точка 124

Фундаментальный треугольник 129,

131

Размерность пространства 112

Ребро графа 229

Регулярная гиперболическая плоскость 45

Регулярный граф 229

Самосопряженная точка 152, 158

Секущая 138, 159

Сеть 218

Система аксиом для аффинной плоскости 44

Система аксиом для плоскости Мёбиуса 247

8КС10°МиЛЯ проективн°й плоскости

— аксиом для пространства Галуа

Центрально-осевая коллинеация 67

Центр коллинеации 66

Цикл графа 229

Циклическая группа 68

— таблица инцидентности (Q-таблица) 20

Циклический вид 44

Четырехугольник Фано 71

Элация 68

Элементарное преобразование 204

Ядро овала 140

ОГЛАВЛЕНИЕ *

Предисловие'■ 3

Символы и обозначения 15

Глава 1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К КОНЕЧНЫМ ГЕОМЕТРИЯМ

Конечная плоскость’7

Изоморфные плоскости, таблицы инцидентности . . .11

Конструирование конечных плоскостей. Циклические плоскости 15

Г-таблица конечной проективной плоскости 21

Системы координат на конечной плоскости 28

Понятие о плоскостях Галуа и полях Галуа 32

Замкнутые подплоскости конечной проективнойплос-

■ кости 39

Понятие конечной аффинной плоскости 42

Различные виды конечных гиперболических плоскостей45

Плоскости Галуа и теорема Дезарга 49

Недезаргова плоскость 58

Коллинеации и группы коллинеаций конечной плоскости 62

Сохраняющие коллинеарность отображенияаффинной

и регулярной гиперболической конечной плоскости . .72

Конечные проективные плоскости и полные ортогональные системы латинских квадратов 77

Композиция линейных функций и плоскость D (X, У) 88

Задачи и упражнения к главе 1 99

Г л а в а 2:

ГЕОМЕТРИИ ГАЛУА

Понятие пространства Галуа 105

Пространство Галуа как конфигурация его подпространств 109

Обобщение теоремы Паппа на плоскостиГалуа...119

Координаты на плоскости Галуа 124

Отображения, определенные с помощью линейных преобразований 133

Линейное отображение данного четырехугольникав

другой данный четырехугольник 135

Понятие овала на конечной плоскости 138

Коники в плоскости Галуа 143

Точечные конфигурации порядка 2 на плоскости Галуа четного порядка 150

Каноническое уравнение кривой второго порядка на плоскости Галуа четного порядка 154

Точечные конфигурации порядка 2 на плоскости Галуа нечетного порядка 157

Соответствие между двумя пучками прямых 162

Теорема Сегре 167

Дополнительные замечания относительно конструкции плоскостей Галуа 172

Коллинеации и гомографии на плоскости Галуа...177

Характеристика конечной проективной плоскости..179

Множество коллинеаций плоскости Галуа в себя...182

Дезарговы конечные плоскости 187

Задачи и упражнения к главе 2 201

Г л а в а 3 .

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ КОНФИГУРАЦИИ И СЕТИ

Понятие геометрической конфигурации 203

Пятиугольники, вписанные друг в друга 206

Теорема пятиугольника и дезаргова конфигурация 210

- Понятие геометрической сети 218

Группы и R-сети 223

Задачи и упражнения к главе 3 225

Г л а в а 4:

НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГЕОМЕТРИЙ К КОМБИНАТОРИКЕ

Теорема замыкания для гиперболического пространства 226

Некоторые основные факты, касающиеся графов . . .228

Обобщения графа Петерсена 2.33

Одна экстремальная задача комбинаторики 237

Граф дезарговой конфигурации ■.240

Задачи и упражнения к главе 4 241

Глава 5

КОМБИНАТОРИКА И КОНЕЧНЫЕ ГЕОМЕТРИИ

Основные понятия комбинаторики 243

Две основные теоремы инверсной геометрии 247

Конечные инверсные геометрии и <-(р, к, Я)-схемы . .252

Некоторые теоремы, относящиеся к плоскости Мёбиуса 257

Структура инцидентности и i-блок-схема 261

Задачи и упражнения к главе 5 ,,...,..., .263

Глава 6 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ

КОНЕЧНЫХ ГЕОМЕТРИЙ■

Плоскость Фано и теорема Глисона 263

Построение новых плоскостей из плоскостей Галуа.280

Обобщение понятия аффинной плоскости 290

Задачи и упражнения к главе 6 294

7. ПРИЛОЖЕНИЕ

Общие сведения об алгебраических структурах ...298

Сведения из теории конечных полей и теории чисел..307

Сведения из теории плоскостных тернарных систем..312

Литература . и 314

Предметный указатель.'. . .’’М 316^

■./К,- . . , - й*-’:' "', • *'ЧУ'*!6: №.Л1'

Ференц KapmecuЛ9№:6::-/

“Введение в конечные геометрии *’ ^ -, . , ’ ..

М., 1980 Г., 320 стр. силл.A4W»«.f

Редактор П. Р. Камышинский !'" к lolWe/.fl'- у м1, ;

Техн, редактор Е. В. Морозова

Корректор А. Л. Ипатова

ИБ № 11541- *

Сдано в набор 04.09.79. Подписано к печати 23.01.80. Бумага 84х1081/з2- тип. № 1. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. Ус- ловн. печ. л. 16,80. Уч.-изд. л. 15,41. Тираж 7 500 экз. Заказ № 0446. Цена книги 1 р. 40 к.

Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва. В-71, Ленинский проспект, 15

Набрано в Ордена Трудового Красного Знамени Московской типографии № 7 «Искра революции» Союзполиграфпрома Государственного Комитета СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, Москва 103001, Трехпрудный пер., 9

Отпечатано во 2-й типографии издательства «Наука», 121099, Москва, ;

Шубинский пер., 10, Зак. 2795*

Ф. Картеси