Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
в ПОИСКАХ УТРАЧЕННОЙ ТОПОЛОГИИ
PROGRESSIN MATHEMATICSVOL 62
A LA RECHERCHE DE LATOPOLOGIE PERDUE
I Du cote de chez Rohlin
II Le cote de Casson
Lucien GuillouAlexis Marineditors
BirkhauserBoston • Basel • Stuttgart1986
В ПОИСКАХУТРАЧЕННОЙТОПОЛОГИИ
Под редакциейЛ. Гийу иА. Марена
ББК 22.152 Bll
УДК 519.1
Bll В поисках утраченной топологии: Пер. с франц, и англ./ Под ред. Л. Гийу и А. Марена.— М.: Мир, 1989.— 294 с., ил.
ISBN 5-03-001002-5
Книга содержит фундаментальные результаты по топологии четырехмерных многообразий — важному разделу современной топологии, который имеет приложения в задачах математической физики. В книгу включены не публиковавшиеся ранее работы и подробные комментарии к классическим статьям советского математика В. А. Рохлина. Собранные работы объединяются геометрическим подходом и элементарност: ю применяемых средств, что делает книгу доступной читателю с очень скромной топологической подготовкой. Редакторы книги — известные французские математики.
Для математиков разных специальностей и физиков-теоретиков.
ВВ1602060000—412041(01)—891602060000—412041(01)—8911-8911-89ББК 22.152ББК 22.152
В
В
1602060000—412
041(01)—89
1602060000—412
041(01)—89
11-89
11-89
ББК 22.152
ББК 22.152
Редакция литературы по математическим наукам
ISBN 5-03-001002-5 (русск.)ISBN 0-8176-3329-4 (англ.)ISBN 5-03-001002-5 (русск.)ISBN 0-8176-3329-4 (англ.)© 1986 Birkhauser Boston. Inc
ISBN 5-03-001002-5 (русск.)
ISBN 0-8176-3329-4 (англ.)
ISBN 5-03-001002-5 (русск.)
ISBN 0-8176-3329-4 (англ.)
(g- перевод на русский язык, с дополнениями, «Мир», 1989
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Случается иногда, что очень важная математическая работа, существенно повлиявшая на развитие предмета, по каким-то причинам нс опубликована. Она хорошо известна специалистам: либо она распространялась как препринт, либо был опубликован анонс, либо автор прочитал лекции в нескольких известных математических центрах и разошлись записи этих лекций. В топологии четырехмерных многообразий в таком положении сказалось значительное число фундаментальных работ. Французские математики Люсьен Гийу и Алексис Марен составили из таких работ целую книгу. Перед вами перевод этой книги, дополненный еще двумя работами того же сорта. Читатель получит основательное представление о важнейших аспектах четыреч- мерной топологии.
Размерность 4 много лет занимает особое положение б топологии, а недавно в топологии четырехмерных многообразий произошла настоящая революция. Созданная А. Кассоном п М. Фридманом техника гибких ручек позволила распространить на топологические многообразия размерности 4 технику и результаты топологии многомерных (размерности >4) многообразий. С другой стороны, начатое С. Дональдсоном в 1982 г. применение дифференциально-геометрических и алгебро-геометрических средств, разработанных первоначально в связи с потребностями физики (теория калибровочных полей), дало неожиданное серьезное продвижение в топологии гладких четырехмерных многообразий. Однако многие фундаментальные вопросы по-прежнему остаются открытыми, причем это (наряду с трехмерной гипотезой Пуанкаре) —последние классические фундаментальные вопросы топологии многообразий. Недавние успехи сделали их лишь еще более привлекательными.
Развитие четырехмерной топологии естественно делится на два периода. Как ни замечательны успехи последнего времени, первый период был не менее важным и удивительным. Значение его результатов в развитии всей топологии многообразий кратко описано ниже во введении Л. Гийу и А. Марена. Необычна история первого периода. Одной из первых работ была замечательная работа В. А. Рохлина, выполненная в начале пятидесятых годов и опубликованная в серии из четырех заметок в Докладах АН СССА В ней была доказана, в частности, знаменитая теорема Рохлина о делимости сигнатуры на 16. Результаты сразу получили признание и как бы зажили собственной жизнью. Последняя из этих четырех заметок Рохлина постепенно стала одним из обычных обитателей списка цитированной литературы в работах по топологии многообразий. Однако доказательства, содержащиеся в заметках Рохлина, тогда, по-видимому, никто не разобрал. Тому было несколько причин. Во-первых, текст заметок очень лаконичен; во-вторых, сюжет усложнен тем, что в первой заметке сделана ошибка, которая исправляется в по-
следней. Но главная причина глубже. Примерно тогда же были открыты новые алгебраические методы теории гомотопий, позволяющие вычислять гомотопические группы сфер, а именно для вычисления n:n+3(Sn) Рохлин и предпринял свое исследование четырехмерных многообразий. Рохлин пользовался методом Понтрягина, т. е. редукцией задачи вычисления гомотопических групп сфер к задачам топологии многообразий, и вот, когда появились новые мощные гомотопические методы, стало естественным пользоваться этой связью в обратном направлении. Все опубликованные в пятидесятые и шестидесятые годы после заметок Рохлина подробные изложения его результатов о четырехмерных многообразиях (в частности, и доказательство, опубликованное самим Рохлиным в 1958 г.) были редукциями к результатам о гомотопических группах, к тем самым результатам, в доказательствах которых они первоначально (в заметках Рохлина) играли роль лемм. Только в семидесятые годы понимание роли теоремы Рохлина и внутренние потребности четырехмерной топологии привели сначала к повторному изобретению первоначальных геометрических доказательств, а затем к настоящему прочтению работ Рохлина. Произошло также дальнейшее развитие самой теоремы. В нем опять-таки лидировал Рохлин (по меньшей мере до работы Гийу и Марена 1977 г.).
Гийу и Марен написали подробные комментарии к заметкам Рохлина, помещенные вместе с самими заметками в этой книге. В комментариях собран большой материал, примыкающий к заметкам Рохлина, который охватывает почти все, что было сделано в четырехмерной топологии в течение первого периода ее развития. Это объясняется тем, что, как с удивлением отмечают авторы комментариев, заметки Рохлина «содержат сущность геометрических методов, применявшихся до последних лет в размерности 4 (фактически до самой революции Кассона — Фридмана— Дональдсона: 80-е годы!)».
Следом за комментариями помещены две статьи с различными изложениями обобщений теоремы Рохлина, статья Марена о дифференциально-топологическом типе факторпространства комплексной проективной плоскости по инволюции комплексного сопряжения и статья Марена о топологии плоских проективных вещественных алгебраических кривых. Последняя не входит в оригинальное издание книги и включена по моему предложению (и, разумеется, с согласия Гийу и Марена). Первый ее вариант известен в виде препринта с конца семидесятых годов. В то время топологией вещественных алгебраических многообразий занимались главным образом в Советском Союзе. Этой работой А. Марен вторгся в новую для себя область, причем получил ряд замечательных результатов. Однако его статья не была свободна от недостатков: исправляя ошибку Рохлина, он и сам не
уберегся от ошибок, и, кроме того, некоторые результаты были незадолго до того опубликованы в статье Рохлина. Специально для настоящего издания А. Марен любезно подготовил новый вариант своей статьи, устранив все замеченные недостатки и включив материал другого своего препринта. Эта статья А. Марена удачно дополняет материал предыдущих статей: она дает пример очень содержательного и важного применения обобщений теоремы Рохлина и знакомит с замечательной активно развивающейся сейчас областью, смежной с четырехмерной топологией,— топологией вещественных алгебраических кривых.
В конце первой половины книги помещены заметки исторического характера о теореме Рохлина, написанные В. М. Харламовым и мною по просьбе редакторов оригинального издания.
Вторая часть книги содержит ряд замечательных препринтов последнего времени. Начинается она с элементарного чисто топологического изложения теоремы о G-сигнатуре в размерности 4. Эта теорема сыграла фундаментальную роль в работах о четырехмерных многообразиях. Первоначально она была получена как следствие теоремы Атьи — Зингера об индексе, и на нее распространялась слава нетривиального применения аналитических методов. Следующая работа содержит оригинальное доказательство отличия кобордизмов классических узлов от кобордиз- мов многомерных узлов коразмерности 2. В ней особенно ясно демонстрируется наиболее понятная с точки зрения алгебраической топологии причина уникальности малых размерностей, состоящая в том, что средние размерности с их квадратичными формами двойственности Пуанкаре близки к размерности 1, а значит, к явлениям, связанным с фундаментальной группой. Далее в книге помещены лекции Кассона, в которых были введены его знаменитые гибкие ручки, открывшие путь к топологической классификации четырехмерных многообразий (в частности к упомянутым выше работам М. Фридмана). Завершается книга работой, которая не вошла в оригинальное издание. Это лекции об открытом Кассоном новом инварианте трехмерных гомологических сфер. В некотором смысле инвариант Кассона обобщает инвариант Рохлина. В то же время он позволил решить важные проблемы, связанные с инвариантом Рохлина. Кроме того, можно надеяться, что эта работа дает путь к чисто топологическому пониманию новых аналитических методов Дональдсона и к синтезу этих двух подходов. Таким образом, работы, помещенные во второй части книги, вместе с недавно опубликованным в издательстве «Мир» переводом книги Фрида Д. и Уленбек К. «Инстантоны и четырехмерные многообразия» можно рассматривать как введение в самые последние исследования по четырехмерной топологии.
следней. Но главная причина глубже. Примерно тогда же были открыты новые алгебраические методы теории гомотопий, позволяющие вычислять гомотопические группы сфер, а именно для вычисления Л/г+з(5/г) Рохлин и предпринял свое исследование четырехмерных многообразий. Рохлин пользовался методом Понтрягина, т. с. редукцией задачи вычисления гомотопических групп сфер к задачам топологии многообразий, и вот, когда появились новые мощные гомотопические методы, стало естественным пользоваться этой связью в обратном направлении. Все опубликованные в пятидесятые и шестидесятые годы после заметок Рохлина подробные изложения его результатов о четырехмерных многообразиях (в частности, и доказательство, опубликованное самим Рохлиным в 1958 г.) были редукциями к результатам о гомотопических группах, к тем самым результатам, в доказательствах которых они первоначально (в заметках Рохлина) играли роль лемм. Только в семидесятые годы понимание роли теоремы Рохлина и внутренние потребности четырехмерной топологии привели сначала к повторному изобретению первоначальных геометрических доказательств, а затем к настоящему прочтению работ Рохлина. Произошло также дальнейшее развитие самой теоремы. В нем опять-таки лидировал Рохлин (по меньшей мере до работы Гийу и Марена 1977 г.).
Гийу и Марен написали подробные комментарии к заметкам Рохлина, помещенные вместе с самими заметками в этой книге. В комментариях собран большой материал, примыкающий к заметкам Рохлина, который охватывает почти все, что было сделано в четырехмерной топологии в течение первого периода ее развития. Это объясняется тем, что, как с удивлением отмечают авторы комментариев, заметки Рохлина «содержат сущность геометрических методов, применявшихся до последних лет в размерности 4 (фактически до самой революции Кассона — Фридмана— Дональдсона: 80-е годы!)».
Следом за комментариями помещены две статьи с различными изложениями обобщений теоремы Рохлина, статья Марена о дифференциально-топологическом типе факторпространства комплексной проективной плоскости по инволюции комплексного сопряжения и статья Марена о топологии плоских проективных вещественных алгебраических кривых. Последняя не входит в оригинальное издание книги и включена по моему предложению (и, разумеется, с согласия Гийу и Марена). Первый ее вариант известен в виде препринта с конца семидесятых годов. В то время топологией вещественных алгебраических многообразий занимались главным образом в Советском Союзе. Этой работой А. Марен вторгся в новую для себя область, причем получил ряд замечательных результатов. Однако его статья нс была свободна от недостатков: исправляя ошибку Рохлина, он и сам не-
уберегся от ошибок, и, кроме того, некоторые результаты были незадолго до того опубликованы в статье Рохлина. Специально для настоящего издания А. Марен любезно подготовил новый вариант своей статьи, устранив все замеченные недостатки и включив материал другого своего препринта. Эта статья А. Марена удачно дополняет материал предыдущих статей: она даст пример очень содержательного и важного применения обобщений теоремы Рохлина и знакомит с замечательной активно развивающейся сейчас областью, смежной с четырехмерной топологией,— топологией вещественных алгебраических кривых.
В конце первой половины книги помещены заметки исторического характера о теореме Рохлина, написанные В. М. Харламовым и мною по просьбе редакторов оригинального издания.
Вторая часть книги содержит ряд замечательных препринтов последнего времени. Начинается она с элементарного чисто топологического изложения теоремы о G-сигнатуре в размерности 4. Эта теорема сыграла фундаментальную роль в работах о четырехмерных многообразиях. Первоначально она была получена как следствие теоремы Атьи — Зингера об индексе, и на нее распространялась слава нетривиального применения аналитических методов. Следующая работа содержит оригинальное доказательство отличия кобордизмов классических узлов от кобордиз- мов многомерных узлов коразмерности 2. В ней особенно ясно демонстрируется наиболее понятная с точки зрения алгебраической топологии причина уникальности малых размерностей, состоящая в том, что средние размерности с их квадратичными формами двойственности Пуанкаре близки к размерности 1, а значит, к явлениям, связанным с фундаментальной группой. Далее в книге помещены лекции Кассона, в которых были введены его знаменитые гибкие ручки, открывшие путь к топологической классификации четырехмерных многообразий (в частности к упомянутым выше работам М. Фридмана). Завершается книга работой, которая нс вошла в оригинальное издание. Это лекции об открытом Кассоном новом инварианте трехмерных гомологических сфер. В некотором смысле инвариант Кассона обобщает инвариант Рохлина. В то же время он позволил решить важные проблемы, связанные с инвариантом Рохлина. Кроме того, можно надеяться, что эта работа дает путь к чисто топологическому пониманию новых аналитических методов Дональдсона и к синтезу этих двух подходов. Таким образом, работы, помещенные во второй части книги, вместе с недавно опубликованным в издательстве «Мир» переводом книги Фрида Д. и Улснбек К. «Инстантоны и четырехмерные многообразия» можно рассматривать как введение в самые последние исследования по четырехмерной топологии.
Эта книга посвящена памяти В. А. Рохлина
В. А. РОХЛИН (1919—1984)
Владимир Абрамович Рохлин родился в Баку 23 августа 1919 г. В 1935 г. он поступил на механико-математический факультет Московского университета. Его учителями были А. И. Плеснер (официальный научный руководитель), Л. С. Понтрягин, П. С. Александров, А. Н. Колмогоров. В 1940 г. он окончил этот факультет и его оставили в аспирантуре. В 1941 г., в самом начале войны, Рохлин вступил в народное ополчение. Его соединение было окружено, и 1 охлин попал в немецкий плен. Затем ему удалось бежать и присоединиться к частям Красной Армии; войну он кончил военным переводчиком ( Рохлин бегло говорил по-немецки). Сразу после войны Рохлин был арестован армейскими органами безопасности (как и многие другие бывшие военнопленные), но был освобожден в конце 1946 г. после прохождения госпровсрки.
С 1947 по 1952 г. Рохлин работал в Математическом институте им. Стеклова в Москве, в должности младшего научного сотрудника в отделе Понтрягина. В 1948 г. он успешно защитил кандидатскую диссертацию («Пространства Лебега и их автоморфизмы»), а в 1951 г. — докторскую («О важнейших метрических классах динамических систем»).
В 1952 г. гохлин уезжает из Москвы в Архангельск, где он получает должность профессора математики в Лесотехническом институте. С 1955 по 1957 г. он преподавал в Педагогическом институте города Иванова, а с 1957 по 1960 г.—в Педагогическом институте в Коломне. В 1960 г. Рохлин уехал из Коломны в Ленинград, где стал профессором математико-механического факультета Ленинградского университета и занимал эху должность в течение двадцати одного года. В 1982 г. его вынудили уйти на пенсию, несмотря на то что он еще был полон творческих сил. В. А. Рохлин умер от болезни сердца 3 декабря 1984 г.
Рохлин работал в различных областях математики. Главными об частями его деятельности были теория меры, эргодическая теория, топология и вещественная алгебраическая геометрия. Сначала превалировали теория меры и эргодическая теория. В 1940—1949 гг. он сделал ряд фундаментальных работ, которые оказали большое влияние на дальнейшее развитие предмета. Следурэщпп период (1950—1958) начинается его наиболее из-
вестными топологическими исследованиями — они представлены в статьях, перепечатанных в этой книге. В это же время он опубликовал фундаментальные результаты о кобордизмах и характеристических классах. В 1958 г., когда Колмогоров ввел в эргодическую теорию понятие энтропии, Рохлин возвращается к этому предмету. Он организует семинар по эргодической теории в Московском университете; деятельность этого семинара под его руководством составила существенный этап в развитии эргодической теории (Рохлин жил тогда в Коломне под Москвой и каждую неделю ездил в Москву). С 1965 г. Рохлин занимался главным образом топологией. Основные темы его исследований в этот период: характеристические классы, многообразия малых размерностей и топология вещественных алгебраических многообразий. Современное состояние топологии вещественных алгебраических многообразий во многом обязано Рохлину.
Рохлин был блестящим лектором. Его лекции отличались ясной формой и изяществом, а сочинения — тонким и внимательным отношением к языку. Педагогическая деятельность Рохлина достигла своей вершины в Ленинграде. До его приезда современная топология была там неизвестна. Именно Рохлин сделал топологию очень популярной в ленинградском математическом сообществе. Он создал первый в Советском Союзе обязательный курс топологии для студентов младших курсов и разработал полную систему топологического образования будущих топологов. В Ленинграде Рохлин создал научную школу, представители которой в настоящее время работают в различных областях математики. Контакты и сотрудничество с ним оказали влияние и на многих других математиков. Широта ума и глубокое понимание сути вещей и людей привлекали к нему много очень разных людей. Потеря Рохлина ощутима не только в Ленинграде, но и во всем международном математическом сообществе.
РАБОТЫ В. А. РОХЛИНА
Об одном свойстве метризуемых пространств. — Сб. науч. ст. раб. МГУ, 1938, 5, 19—22.
К теории уплотнений. — Сб. науч. ст. раб. МГУ, 1940, 18, 37—40.
Спектральная теория линейных операторов. — УМН, 1946, 1, № 1, 71 —191 (совм. с А. И. Плеснером).
V Гомотопические группы. — УМН, 1946, 1, № 5—6, 175—223.
О классификации измеримых разбиений. — ДАН СССР, 1947, 58, № 1, 29—32.
О проблеме классификации автоморфизмов пространств Лебега. — ДАН СССР, 1947, 58, № 2, 189—191.
Унитарные кольца. — ДАН СССР, 1948, 59, № 4, 643—646.
Общее преобразование с инвариантной мерой не есть перемешивание. — ДАН СССР, 1948, 60, № 3, 349—351.
Об основных понятиях теории меры. Матем. сб., 1949, 25, № 1, 107—150.
О разложении динамической системы на транзитивные компоненты.— Матем. сб., 1949, 25, № 2, 235—249.
И. О динамических системах, неприводимые компоненты которых имеют чисто точечный спектр. — ДАН СССР, 1949, 64, № 2, 167—169.
Об аппроксимации непериодических потоков периодическими. — ДАН СССР, 1949, 64, № 5, 619—620 (совм. с А. А. Гуревич).
Об эндоморфизмах компактных коммутативных групп. — Изв. АН СССР, сер. матем., 1949, 13, № 4, 329—340.
Избранные вопросы метрической теории динамических систем. — УМН, 1949, 4, № 2, 57—128.
Обзор результатов гомотопической теории непрерывных отображений сферы в сферу. — УМН, 1950, 5, № 6, 88—101.
Аппроксимационные теоремы для измеримых потоков. — Изв. АН СССР, сер. матем., 1950, 14, № 6, 537—548 (совм. с А. А. Гуревич).
Об одном отображении (п + 3)-мерной сферы в я-мерную.— ДАН СССР, 1951, 80, № 4, 541—544.
Классификация отображений (п + 3)-мерной сферы в ^-мерную. — ДАН СССР, 1951, 81, № 1, 19—22.
Трехмерное многообразие — граница четырехмерного. — ДАН СССР, 1951, 81, № 3, 355—357.
Новые результаты теории четырехмерных многообразий. — ДАН СССР, 1952, 84, № 2, 221—224.
Внутреннее определение характеристических циклов Понтрягина. — ДАН СССР, 1952, 84, № 3, 449—452.
Внутренние гомологии. — ДАН СССР, 1953, 89, № 5, 789—792.
Характеристические циклы гладких многообразий.—Тр. 3-го всесоюзного матем. съезда, Т. 2, 1956, 55.
МдТРическая классификация измеримых функций. — УМН, 1957, 12, № 2,
^^хаРактеРистических классах Понтрягина. — ДАН СССР, 1957, ИЗ, № 2,
О комбинаторной инвариантности классов Понтрягина. — ДАН СССР, 195/, 114, № 3, 490—493 Юоьм с А. С. Шварцем).
Внутренние гомологии II,—ДАН СССР, 1958, 119, АЬ 5, 876—879.
Соотношение между характеристическими классами четырехмерного многообразия. — Ученые зап. Коломенского пед. ин-та, 1958, 2, № 2, 3—17.
Спектральная теория динамических систем. — Тр. 3-го Всесоюзного матем. съезда. Т. 3. 1958, 284—292 (совм с С. В. Фоминым).
Об энтропии метрического анаморфизма. — ДАН СССР, 1959, 124, № 5, 980—983
Теория втнренних гомологий.—УМН, 1959, 14, № 4, 3—20.
Новый прогресс в теории преобразований с инвариантной мерой.—УМН, 1960, 15, № 1, 3—26.
Об энтропии автоморфизма компактной коммутативной! группы. --Теория вероятностей и ее применения, 1961, 6, № 3, 351—352.
Построение и свойства инвариантных измеримых разбиений. — ДАН СССР, 1961, 141, АЬ 5, 1038—ЮИ (совм. с Я. Г. Синаем).
Точные эндоморфизмы пространства Лебега. — Изв. АН СССР, сер. матем., 1961, 25, № 4, 499—530.
Энтропия косого произведения преобразований с инвариантной мерой.— Вест. ЛГУ, 17, № 7, сер. матем., 1962, 2, 5—13 (совм. с Л М. Абрамовым).
Аксиоматическое определение энтропии преобразования с инвариантной мерой. —ДАН СССР, 1963, 148, № 4. 779—781.
Дифференциальная топология —Тр. 4-го Всесоюзного матем. съезда, т С 1963, 218—219.
Образующие в эргодической теории. — Вест. ЛГУ, сер. матем, 1963. 18, № 1, 26—32.
Метрические свойства эндоморфизмов компактных коммутативных групп.— Изв. АН СССР, сер. матем., 1964, 28, АЬ 4, 867—874.
Вложение пеориентируемых трехмерных многообразий в пятимерное евклидово пространство. — ДАН СССР, 1965, 160, ЛЬ 3, 549—551.
Диффеоморфизмы многообразия S2XS3. — Изв. АН СССР, сер. матем., 1965, 29, № 6, 1386—1387.
Новые примеры четырехмерных многообразий. — ДАН СССР, 1965, 162, № 2, 273—276.
Образующие в эргодической теории. II. — Вест. ЛГУ, сер. матем., 1965, 20, № "13, 68—72.
Класс Понтрягина — Хирцебруха коразмерности 2. — Изв. АН СССР, сер. матем., 1966, 30, АЬ 3, 705—718.
Площадь и объем. Энциклопедия элементарной математики, кн. 5, Наука, 1966, 5—87.
Лекции по энтропийной теории преобразований с инвариантной мерой. — УМН, 1967, 22, ЛЬ 5, 3—56.
Вложения и погружения в римановой геометрии. — УМН, 1968, 23, ЛЬ 4, 245.*о
О нормальных числах Эйлера проективной плоскости и бутылки Клейна в чегырехмерним евклидовом пространстве —ДАН СССР, 1970, 191, № 1, 27—29.
Двумерные гомологии и двумерные подмногообразия четырехмерных многообразий. — УМН, 1970, 25, № 3, 258.п
Вложения и погружения в римановой геометрии. — УМН, 1970, 25, № 5, 3—62 (совм. с М. Л. Громовым).
Двумерные подмногообразия четырехмерных многообразий. — Функц. анализ и прилож., 1971, 5, ЛЬ 1, 48—60.
Доказательство гипотезы Гудкова. — Функц. анализ и прилож., 1972, 6, ЛЬ 2, 62—64.
Сравнения по модулю 16 в шестнадцатой проблеме Гильберта. — Функц. анализ и прилож., 1972, 6, № 4, 58—64.
Сравнения по модулю 16 в шестнадцатой проблеме Гильберта. II.— Функц. анализ и прилож., 1973, 7, Аз 2, 91—92.
Работы последних лет в топологии вещественных алгебраических многообразий.— УМН, 1974, 29, № 3, 180.
Комплексные ориентации вещественных алгебраических кривых. — Функц. анализ и прилож, 1974, 8, АЬ 4, 71—75.
Начальный курс топологии. Геометрические главы. — Наука, 1977 (совм. с Д. Б. Фуксом).
Тип и сигнатура вещественной плоской алгебоаической кривой. — УМН> 1978, 33, № 3, 145.
Комплексные топологические характеристики вещественных алгебраических кривых.—УМН, 1978, 33, № 5, 77—89.
Новые неравенства в топологии вещественных плоских алгебраических кривых. — Функц. анализ и прилож., 1980, 14, Ab 1, 37—43.
ВВЕДЕНИЕ
Собранные здесь работы сделаны в разное время и в разных местах; в этом коротком введении мы предлагаем ориентиры для включения их в некоторую общую картину. В качестве общего введения в теорию четырехмерных многообразий (с многочисленными ссылками) можно воспользоваться обзором Мандельбаума [Мап, 1980]. История личных отношений между Рохлиным и его теоремой изложена в приложении к первой части настоящей книги.
Первый результат, специально относящийся к размерности 4, содержится в заметке Понтрягина [Р1, 1949] (этот результат независимо получил также Милнор [Mi, 1956], опираясь на работу Уайтхеда [W2, 1949]). Он состоит в том, что два замкнутых ориентированных односвязных четырехмерных многообразия имеют один и тот же ориентированный гомотопический тип в том и только в том случае, если они имеют изоморфные квадратичные формы индексов пересечения. (Позднее Уолл [Wa, 1964] показал, что в таком случае эти два многообразия /i-кобордант- ны.) Затем Рохлин, продолжая работу Понтрягина о вычислении гомотопических групп л^ДЗ”) для р = 0, 1, 2 (см., например, [Р2]), принимается за случай р = 3, и поскольку он пользуется так называемым методом Понтрягина — Тома1), то естественным образом приходит к вычислению групп кобордизмов ориентированных четырехмерных многообразий и к открытию того, что. гладкое замкнутое односвязное четырехмерное многообразие, допускающее спинорную структуру (это эквивалентно тому, что квадратичная форма пересечений принимает только четные значения), имеет сигнатуру, делящуюся на 16 [R1, 1952]. Он указал, что последний результат тесно связан с тем фактом, что л^з^Д £^ Z/24Z. На самом деле Рохлин начинает «доказывать», что л/г+3(ЗД ~ Z/12Z, затем исправляет ошибку и одновременно получает и правильный результат для л^з^), и свою знаменитую теорему о делимости сигнатуры.
Эти результаты были анонсированы в 1952 г. в серии из четырех заметок в Докладах АН СССР. Именно эти заметки здесь
9 Лучше эту часть метода называть методом Понтрягина, поскольку Том занимался не относящимся к пей обобщением.—Прим. ред.
перепечатаны и широко прокомментированы. Сделано это потому, что геометрические методы, которые в них содержатся, давно забыты. На самом деле современники понимали важность результатов Рохлина, но, опираясь на мощь открытых Серром [Se, 1951] алгебраических методов вычисления гомотопических групп, они поставили все с ног на голову, и традиционно формула Рохлина выводится в предположении, что группы л^з^Д известны. Таково доказательство, данное Милнором и Кервером [МК, 1958], где результат обобщен на почти параллелизуемые замкнутые гладкие многообразия размерности 4п. Упомянем также небольшое обобщение Кервера— Милнора [КМ, 1961] теоремы Рохлина, в котором появились характеристические сферы четырехмерного многообразия и таким образом были подготовлены будущие обобщения. Эта заметка [КМ, 1961] к тому же имела больший геометрический привкус, чем формулировка Рохлина, и впоследствии оказалось, что она полезна в связи с Арф-инвариантом узлов (см. Робертелло [Rob, 1965]).
Теорема Рохлина, конечно, налагает ограничения на квадратичные формы, реализуемые как квадратичные формы пересечения четырехмерного односвязного замкнутого гладкого многообразия. Например, форма £8 не может быть представлена таким образом. Но никаких других ограничений не было найдено до недавней работы Дональдсона [D, 1983], в которой доказано, что знакоопределенная форма реализуема таким образом, только если она стандартна Д. Со своей стороны Фридман [F1, 1982] показал, что всякая квадратичная форма реализуема как форма пересечения некоторого четырехмерного односвязного замкнутого топологического многообразия (иногда двух) таких многообразий).
Теорема Рохлина настолько важна и вездесуща, что лежит в основе большинства работ по четырехмерной топологии. Более того, она лежит в основе и работ из других областей, причем иногда совершенно неожиданным образом. Вот три важных примера:
Результат Рохлина позволяет определить ц-инвариант целочисленной гомологической сферы размерности 3 (см. [ЕК, 1962] или [HNK, §?]):известно*), что такая сфера X ограничивает гладкое односвязное четырехмерное многообразие У, квадратичная форма пересечений которого четна. Тогда сигна-
9 То есть разложима в ортогональную сумму одномерных —Прим, ред.
тура о(У) многообразия У делится на 8 и в силу формулы Рохлина вычет р (X) — а ^ mod 2 (рассматриваемый как элемент из Z/2Z) корректно определен (не зависит от выбора У). Классы гомологических кобордизмов (Н-кобордизмов) целочисленных гомологических сфер организуются в группу 6f, и р индуцирует корректно определенное сюръективное отображение р:0^ ->Z/2Z. Относительно p-инварианта были получены многочисленные разрозненные результаты (см. Мандельбаум [Мап, 1980]). Сформулируем последний результат (зима 1985) на эту тему. Он принадлежит А. Кассону (см. последнюю статью этой книги) и использует новые идеи и методы. Существует инвариант Z(X)eZ, определенный для любой ориентированной целочисленной гомологической сферы X, который не является инвариантом относительно //-кобордизмов, но удовлетворяет равенству X, (X) = ц (X) mod 2. Кроме того, Х(—X) = —7ДХ), если —X есть сфера X, снабженная противоположной ориентацией, и Х(Х) = 0, если X—гомотопическая сфера. Для того чтобы полностью охарактеризовать л, к сказанному осталось добавить еще одно несколько техническое свойство.
Еще более удивительным образом формула Рохлина и ц-инвариант оказываются центральными в вопросе о существовании топологических многообразий размерности >5, не допускающих комбинаторной триангуляции [Si, 1970], и в вопросе о возможности все-таки триангулировать их (не комбинаторно) [GS, 1976], [Ма, 1976].
Кэппел и Шейнсон [CS, 1976] построили замкнутое четырехмерное многообразие, имеющее простой гомотопический тип пространства л?4 (и на самом деле, как показал Фридман [F2], гомеоморфное Е'э4), но не диффеоморфное RP4. Эта конструкция основывается на существовании специального реперного поля на торс Г3, которое играло важную роль уже в заметках Рохлина. Для доказательства того, что их многообразие не диффеоморфно Ер4, Кэппел и Шейнсон используют формулу, обобщающую теорему Рохлина, аналогичную формуле, изложенной ниже, но доказывают ее, опираясь на теорему Рохлина.
Фундаментальная роль теоремы Рохлина способствовала тому, что в начале 70-х годов многие топологи обратились к поискам более прямого и геометричного понимания этой теоремы. В частности, устраняется предположение о спинорности и формула обобщаемся до сравнения, в котором участвуют сигнатура многообразия, индекс самопересечения и Арф-инвариант, связанные с ориентированной характеристической поверхностью (т. е. с поверхностью, реализующей гомологический класс, дуальный второму классу Штифеля — Уитни многообразия). См.
Кассон [не опубликовано], Фридман — Кирби [FK, 1978], Мацумото [Mat, 1978].
Рохлин сам знал эту формулу :?) [R4, 1972] и использовал ее для доказательства гипотезы Гудкова о топологии вещественных алгебраических кривых. Побуждаемые теми же соображениями и той же проблемой, мы обобщили эту формулу на случай не- ориентируемых характеристических поверхностей [GM, 1977]. Мацумото немедленно дал этому обобщению свое собственное доказательство. Эти два совершенно геометрических и элементарных доказательства помещены в настоящей книге.
Проблема топологии вещественных алгебраических кривых (первая часть 16-й проблемы Гильберта) естественно приводит к задаче идентификации факторпространства комплексной проективной плоскости СР по инволюции комплексного сопряжения. Марен распознает в нем многообразие, диффеоморфное сфере S4, завершая тем самым исследования Масси [Mas2, 1973] и Кёйпера [Kui, 1974].
Задолго до этого Уитни [Wy, 1940] в одной из первых работ по теории расслоений изучал вложения поверхности F в Р4 и показал, что F-F = 2/(F)mod 4, где y^F)— эйлерова характеристика поверхности Г, a F-F— ее индекс самопересечения в ^4 (всегда нулевой, если F ориентируема). Он высказал также гипотезу, что F-F может принимать только значения 2/— 4, 2%, 2/ + 4, ..., 4 — 2%.
Рохлин сделал шаг в направлении доказательства этой гипотезы [R2, 1970], опираясь на замечание Кервера— Милнора, упомянутое выше. Но доказал ее Масси [Masi, 1969], воспользовавшись теоремой Атьи — Зингера [AS]. Вскоре Рохлин [R3, 1971] и Сян и Щарба [HS, 1970] тем же методом получили многочисленные оценки снизу рода поверхности, реализующей гомологический класс четырехмерного односвязного многообразия. (Тем не менее этим вопрос не был закрыт. Например, для того чтобы узнать, какие гомологические классы многообразия S2 >< S2 реализуются вложенными гладкими сферами, нужно воспользоваться результатами Дональдсона; см. Куга [Ku, 1984].)
Это положение вещей естественно привело топологов к изобретению прямых и, насколько это возможно, элементарны?: доказательств следствий теоремы Атьи — Зингера, применявшихся в таком контексте. Именно это делает здесь для нас К. Гордон в случае действия конечной группы в четырехмерном многообразии (такое доказательство для случая инволюции гладкого многообразия произвольной размерности принадлежит Ениху и Оссе [JO, 1969], а для случая действия конечной группы на
9 С давних пор; см. приложени^Виро и Харламова.
многообразии произвольной размерности — П. Гилмеру (см. статью Гордона)).
Именно эта теорема была затем использована А. Кассоном и К. Гордоном для изучения группы кобордизмов классических узлов. Данное здесь изложение, датированное 1975 г., дополняет последующее второе изложение [CG, 1978]. В добавлении П. Гилмера описано дальнейшее развитие предмета этой важной статьи.
Наконец, в заключение мы приводим здесь три основополагающие лекции Кассона, в которых берут начало недавние выдающиеся достижения Фридмана и Куинна. Если вторая лекция Кассона (которая, быть может, была задумана как первая) напоминает конструкцию многообразия Уайтхеда [W1, 1935], то первая поражает как оригинальностью, так и относительной простотой.
Напомним читателю, что Фридман, следуя идеям Кассона и реализовав несколько смелых технических находок, получил полную классификацию замкнутых односвязных четырехмерных топологических многообразий [F1, 1982]. Все это, так же как и достижения, связанные с именем Куинна [Q, 1982], [Е], относится к четыерхмерной дифференциальной топологии, начало которой было положено Рохлиным (с притоком идей геометрической топологии Бинга). Совсем недавно Дональдсон [D, 1983] ввел в нее объекты, разработанные физиками, и в результате возникло множество идей о гладких четырехмерных многообразиях (например, было доказано, что существует бесконечное число гладких структур на R4! [G. 1985]). См. [FU] и [Е].
Август 1985Редакторы
ЛИТЕРАТУРА
[AS] Atiyah М. and Singer I , The index of elliptic operators: III, Ann. of Math. 87 (1968), 546—604. [Русский перевод: УМН 24: 1 (1969), 127—182.],
[CS] Cappell S. and Shaneson J., Some new four-manifolds, Ann. of Math. (2) 104 (1976), 61—72.
[CG] Casson A. and Gordon C., On slice knots in dimension three, Proc. Sympos. Pure Math., vol. 32, Amer. Math. Soc., Providence, R. I., 1978, 39—54.
Donaldson S., An application of gauge theory to four-dimensional topology, J. Diff. Geometry 18 (1983), 279—315.
Edwards R., The solution of the 4-dimensional annulus conjecture (after Frank Quinn), Contemporary Math., vol. 35, Amer. Math. Soc., Providence, R. I., 1984, 211—264.
[EK] Eells J. and Kuiper N., An invariant for certain smooth manifolds, Ann. Math. Pure Appl. (4) 60 (1962), 93—110.
[Fl] Freedman M., The topology of four-dimensional manifolds, J. Diff. Geometry 17 (1982), 357—453.
[F2] breedman M., The disk theorem for four dimensional manifolds, Proceedings, International Congress, Warsaw 1983.
Freedman М. and Kirby R., Geometric proof of Rohlin’s theorem, Proc. Sympos. Pure Math., vol. 32, Amer. Math. Soc., Providence, R. I., 1978, 85—97.
Freed D. and Uhlenbeck K. Instantons and 4-manifolds, MSRI Series, vol. 1, Springer Verlag, 1984. [Русский перевод: Фрид Д., Улен- бек К. Инстантоны и четырехмерные многообразия. — М.: Мир, 1988.]
Galewski D. and Stern R., Classification of simplicial triangulations of topological manifolds, Bull. Amer. Math. Soc. 82 (1976), 916—918. Compf R., An infinite set of exotic R4 ’s, preprint from MSRI, Berkeley, California, 1985.
Guillou L. et Marin A., Une extension d’un theoreme de Rohlin sur la signature, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. A—B, 285 (1977), A95 — A98.
Hsiang W. and Szczarba R., On embedding surfaces in four manifolds, Proc. Sympos. Pure Math., vol. 22, Amer. Math. Soc., Providence, R. I., 1970, 97—103.
Hirzebruch F., Neumann W. and Koch S., Differentiable manifolds and quadratic forms, Marcel Dekker, New York, 1971.
Janich K. and Ossa E., On the signature of an involution, Topology 8 (1969), 27—30.
Kervaire M. and Milnor J., On 2-spheres in 4-manifolds, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 47 (1961), 1651—1657.
Kuga K., Representing homology classes of S2XS2, Topology 23 (1984), 133—137.
Kuiper N., The quotient space of Cn(2) bv complex conjugation is the 4-sphere, Math. Ann. 208 (1974), 175—177.
Lawson B. Jr., The theory of gauge fields in four dimensions, Lecture Notes for NSF-CBMS conference, Univ, of Calif at Santa Barbara, 1983.
Mandelbaum R., Four-dimensional topology: an introduction, Bull. A. M. S. 2 (1980), 1 —159. [Русский перевод: Мандельбаум P. Четырехмерная топология.—М.: Мир, 1981.]
Massey W., Proof of a conjecture of Whitnev, Pacific J. Math. 31, (1969), 143—156.
Massey W., The quotient space of the complex projective plane under conjugation is a 4 sphere Geom. Dedicata 2 (1973), 371—374.
Matsumoto Y., Secondary intersectional properties of 4-manifolds and Whitney’s trick., Proc. Sympos. Pure Math., vol. 32, Amer. Math. Soc., Providence, R. I., 1978, 99—110.
Matumoto T., Varietes simpliciales d’homologie et varietes topologi- ques metrisables, These Univ, de Paris-Sud, Orsay, 1976.
Milnor J., On simply connected 4-manifolds, Symp. Internat. de Top. Alg. (Mexico 1956) Mexico, 1958, 122—128.
Milnor J. and Kervaire M., Bernoulli numbers, homotopy groups and a theorem of Rohlin, Proc. Internat. Congr. Math. Edinburgh, 1958, 454—458.
Понтрягин Л. С. О классификации четырехмерных многообразий. — УМН 4 : 4, 1949 с. 157—158.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — М.: Наука, 1976.
Quinn F., Ends of maps. Ill: dimensions 4 and 5, J. Diff. Geometrv 17 (1982), 503—521.
Robertello R., An invariant of knot cobordism, Comm. Pure Appl. Math. 18 (1965), 543—555
Рохлин В. А., Новые результаты в теории четырехмерных многообразий. — Доклады АН СССР 84, № 2, 1952, с. 221—224.
[R2] Рохлин В. А О нормальных числах Эйлера проективной плоскости и бутылки Клейна в четырехмерном евклидовом пространстве. —- Доклады АН СССР 191, № 1, 1970, с. 27—29.
[R3] Рохлин В. А. Двумерные подмногообразия четырехмерных многообразий.— Функциональный анализ и его приложения 5, № 1, 1971, с. 48—60.
[R4J Рохлин В. А Доказательство гипотезы Гудкова. — Функциональный анализ и его приложения 6, № 2, 1972, с. 62—64.
[Se] Serre J.-P., Homologie singuliere des espaces fibres, III: applications homotopiques, C. R. Acad. Sci. Paris, 232 (1951), 142—144.
[Si] Siebenmann L, Disruption of low-dimensional handlebody theory by Rohlin’s theorem, Topology of Manifolds, Markham, Ill., 1970, 57—76. [Wa] Wall С. T. C., On simply connected 4-manifolds, J. London Math. Soc. 39 (1964), 141—149.
[Wl] Whitehead J. H. C., A certain open manifold whose group is unity, Quart. J. Math. 6 (1935), 268—279.
[W2]Whitehead J. H. C., On simply-connected 4-dimensional polyedra,
Comment. Math. Helvet. 22 (1949), 48—92.
[WyjWhitney H., On the topology of differentiable manifolds, Lectures
in Topology, Michigan Univ. Press, Ann Arbor, Mich. 1940.
ЧАСТЬ I
В НАПРАВЛЕНИИ РОХЛИНА
ЧЕТЫРЕ СТАТЬИ В. А. РОХЛИНА
i:) Об одном отображении [п + 3)-мерной сферы в п-мер- ную.
[18]*) Классификация отображений (п + 3)-мерной сферы в п-мерную.
[19]*) Трехмерное многообразие—граница четырехмерного. [20]") Новые результаты теории четырехмерных многообразий.
I. ОБ ОДНОМ ОТОБРАЖЕНИИ
(п + 3)-МЕРНОЙ СФЕРЫ В п-МЕРНУЮ )
Формулировка результата. Условимся обозначать через- лг(5лг) r-мерную гомотопическую группу n-мерной сферы Sn, через /2— гопфовское) отображение сферы S в сферу S2 [4] и через £ — операцию3) Фройденталя [3]. Положим
fn = Е /2, £2™/Уз, ^2 =/У^4,
gn = En-2g2 (=fnfn+i), hn = Еп"‘к2 kHnU+\Uv^ ^ >3)
и будем обозначать гомотопический класс отображения так же, как само отображение. Известно, что лз(£2) есть свободная циклическая группа с образующей f2 [6] и что ttrt+i(S") при п ^ 3 и Л/г+ДЗ”) при п ^ 2 суть циклические группы второго порядка с образующими ^ и gn [11], [3], [15]. Известно, далее, что л5(£2) есть циклическая группа второго порядка с образующей ^2 [7], [18], [3]; но группы Л/г+з^) сОЗ полностью не вычислены. Наоборот, поведение гомоморфизма Е полностью изучено на группах Л/г+з(£/2) с п^З [15], [6], но неизвестно на группе л5(52). В этой заметке будет показано, что при п^З отображение hn гомотопически тривиально, так что En^{S2) = 3.
Заметим, что каждое из равенств hn =0 (п ^ 3) имеет своим следствием все остальные; действительно, так как на группе л6(53) и на группах Ллг+з(5/2) с п ^ 5 гомоморфизм Е взаимно однозначен [7], [3], а в группе л?(£4) его ядро пересекается с
*) Номера соответствуют списку работ Рохлина.
9 Доклады Академии Наук СССР, 1951. Том LXXX, № 4, с. 541—544,
подгруппой £л6(£3) только по нулю [18], то Е^3 есть изоморфизм группы л6(53) в группу Лп+з^") (п^4). Пользуясь этим, мы будем доказывать равенство hn = 0 только для больших значений п.
Построение отображений по Понтрягину. Все рассматриваемые в дальнейшем многообразия и подмногообразия являются гладкими и компактными (замкнутыми или с краем). Пусть Мк, к = г— п,— связное или несвязное замкнутое ^-мерное подмногообразие r-мерного евклидова пространства Rr, дополненного несобственной точкой до сферы S\ и пусть в каждой точке а е Мк определена система Fn^ нормированных векторов u^aF ..., Un^aV ортогональных к МЛ и между собой и непрерывно зависящих от а. Реперное поле (F^AP) следующим образом определяет отображение сферы S' в сферу Sn; окрестность Ur многообразия Мк естественно распадается в произведение многообразия Мк на n-мерный элемент1) У", так что для х е Ur мы имеем х = ^а^, т] (х)}, где а (х) е АР, т] (х) е Vn\ мы замыкаем элемент Vn точкой q в сферу Sn и полагаем f(x) = = В (х), если х<=Ъ\ и f(x) = g, если х ее S; — Ur. Подобное же построение может быть проведено в случае, если Мк есть многообразие, лежащее в полупространстве£[ пространства Rr и имеющее на границе Rr-X этого полупространства край Мк-\ при условии, что часть £^ поля Fni индуцируемая им на АР-1, лежит в Rr~x. Мы получаем отображение r-мерного элемента в S^ совпадающее на границе S^1 этого элемента с отображением, порожденным реперным полем (р^А^'1). Это поле мы называем краем поля (Fn|AP).
Реперное поле отображения hn. Пусть еь . . . , еп^— орто- нормированный базис пространства £??! 3(п^2); £о—подпространство пространства R^ с базисом еь е2, е3, е4 и координатами xb Х2, х3, х4; То— двумерный тор, обычным образом расположенный в трехмерном подпространстве х4 = 0 пространства Ro:
Xi = (4 + 2 cos а2) cos ab x2 = (4 + 2 cos a2) sin ab
x3 = 2sina2 (0^ab a2 < 2л),
и Го - трехмерный тор, представляющий собой границу единичной окрестности тора То в Ro*.
х{ = [4 + (2 + cos a3) cos a2] cosab х2 = [4 + (2 + cos а3) cos а2] sin аь
х3 = (2 + cos а3) sin а2, х4 = sin а3 (0 ^ аь а2, а3 < 2л).
}) = «-мерный шар. Во время написания статьи под «-мерным элементом понимался шар размерности п.—Прим. ред.
Обозначим через п (а) единичную внешнюю нормаль к Го в 7?о, взятую в точке a = (ai, «2, ссз) ^ 7"о, и положим
Ux ^ = П (a) COS («j + «2 + «з) ~ ^5 sin («1 + «2 + аз)>и2 (а) = п (a) sin (оц + а2 + «з) + ^5 cos (aj + а2 + аз),zz3 = e6, . ип = еп^\ H3n^ = kuvkaY иДа)У
Нетрудно проверить, что отображение сферы S"+3 в сферу Sn, определенное реперным полем (Нп\То\ принадлежит к классу hH.
Будем теперь рассматривать R^3 как границу полупространства R^4. По п°2 равенство hn = 0 будет доказано, если мы найдем в Rl4 реперное поле (Нп\М4) с краем (Я^|т3).
Простейшее многообразие с краем То есть произведение двумерного тора на двумерный элемент1). Такое многообразие не годится в качестве 7И4, так как поле Нп на него непродолжаемо: его осевой двумерный тор всегда служит для Н^ циклом особенностей в смысле [17], [20].
Построение многообразия М4. Пусть R4 — евклидово пространство; Т2, Г3—торы, расположенные в R4 так же, как торы То, Т3 расположены в Ro, и gi, £2, & — окружности на Г3, определяемые, соответственно, уравнениями а2 = а3^=0, а3 = а1 = 0> «1 =а2 = о. Замкнем R4 несобственной точкой в сферу S4 и обозначим, соответственно, через К4 и Е4 части сферы S4, внешнюю и внутреннюю к Г3. £4 есть произведение двумерного тора на двумерный элемент1) с осевым тором Г2. Сдвинем окружность ^з с Г3 внутрь К4, вырежем ее окрестность, представляющую собой произведение окружности на трехмерный элемент, и гладко вклеим вместо этой окрестности произведение двумерной сферы на двумерный элемент. Такое вклеивание можно произвести двумя гомотопически различными способами; при одном способе S4 превращается в прямое произведение Р4 двух двумерных сфер, при втором — в их косое произведение. Мы выберем первый способ и обозначим через L4 часть многообразия Р\ в которую превратится при этом К4. Возьмем внутри L4 двумерную сферу 22, гомологичную *) лежащему в Т3 двумерному тору ai + ^2 + n3 = 0, вырежем окрестность сферы S2, представляющую собой произведение двумерной сферы на двумерный элемент, и приклеим ее снова, но гомотопически другим способом.
’) — круг. См. предыдущее примечание. — Прим. ред.
Тогда Р4 превратится в некоторое многообразие Q4, a L4— в нужное нам многообразие М4 с краем Р.
Многообразия Л44 pi Q4 обладают следующими свойствами, которые одни только pi существенны для дальнейшего.
При любом гладком приклеивании к М4 произведения двумерного тора на двумерный элемент осевой двумерный тор этого произведения становится -характеристическим циклом [17]. [20]; в частности, Г2 есть двумерный характеристический цикл многообразия Q4;
понтрягинское характеристическое число Х22 [12], [13] многообразия Q4 равно нулю.
Построение поля (Нп\М4). Конкретное построение в 7?Д* поля (Нп\М4) с краем (Н^ДТо) было бы затруднительно, pi мы ограничимся доказательством существования. При большом п во всяком случае существует вложение многообразия Q4 в Rn"R при котором 7И4 попадает в 7??+4, тор Г3 cz Q4 тождественно (по значениям координат аь а2, а3) налагается на тор То pi п-мерная плоскость, нормальная к Q4 в точках тора Т^ попадает в Rn~3. Из того, что Т2 есть двумерный характеристический цикл многообразия Q4, следует, что на /И4 существует некоторое реперное поле (Grt|M4). Изменив, если нужно, знак одного из его векторов, мы сделаем его край (G° | 7"^) ориентированным так же, как поле (Я^Го), и, сравнивая (G^l^o) с (Я^Го), получим некоторое отображение ф тора То в многообразие Г« собственных вращений ^-мерного евклидова пространства. Оба поля G^ и Нп непродолжаемы на £4, и для обоих тор Т2 служит циклом особенностей (см. п°3 и п°4, а)). Так как фундаментальная группа многообразия 1Д состоит из двух элементов, то отсюда следует, что на окружности сз отображение ф гомотопически тривиально. Вырезав Е4 и гладко приклеив к М4 вместо Е4 произведение двумерного тора на двумерный элемент так, чтобы гомологичной нулю в этом произведении стала окружность ^ или ^2, мы увидим подобным же образом, что отображение ф гомотопически тривиально и на этих окружностях. Далее, оно гомологически тривиально в размерности 3; это — следствие равенства ^22(Q4) -" 0 (см. п°4, б). Но всякое отображение трехмерного тора в Ггомологически тривиальное в размерностях 1 к 3, гомотопически тривиально. Поэтому отображение ф гомотопически тривиально, и поле (G° | 73) можно продеформировать в поле (нЭД";. Продолжая эту деформацию в деформацию поля (Grt | Д44), мы и получим нужное нам реперное поле (Яп|Л4й с краем (Нп\То).
КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙU + 3)-МЕРНОЙ СФЕРЫ В л-МЕРНУЮ )
Предварительные рассмотрения. В этой работе применяется понтрягинский метод сведения гомотопических проблем к проблемам теории реперных полей [15], причем используются определения п°2 моей заметки [I]. Гомотопические классы отображений обозначаются так же, как сами отображения. Пусть вь . . ., бг — фиксированный базис в Rr, RoM — подпространство из Rr с базисом б\, ..., вилл и So — единичная сфера в RVY. Классы отображений, порожденных реперными полями (/ДрИ^ст cl Rr с Mfe = So называются сферическими и образуют сферическую подгруппу л ° (S^) гомотопической группы лг(5^), я° (Sn) есть естественная фактор-группа ^-мерной гомотопической группы л^(Г/г) многообразия Гп ортогональных матриц порядка п с детерминантом +1. Именно, пусть ср — отображение сферы So в 1\ п(н)—единичная внешняя нормаль к Su в Ro + в точке ci™ So, Fn (я) — репер, в который матрица ф(п) преобразует репер {/г (я), бк--2> екд.п = ег^, и /— отображение сферы S' в сферу Sn, порожденное полем (Fn\So); класс / определяется классом ср, мы пишем Г = Оф, и D есть гомоморфизм группы пЛ1\) на л? (S/2). Г/2 допускает естественное вложение I в Г/2-i: матрица 1|уГ j = I fi[ у.у ||) определяется формулами 6М = ^Ц, уД^тЮ,- = 0 О /=1, .... О; Y,;+1.„+1= 1. Это вложение связано с операцией Е Фройденталя [3] соотношением ED = DL В частности, Eur (s^) cz л°+1 (Srt+1).
Переходя к случаю к 3, будем считать точки х el R^ кватернионами с единицами еь ег, аз, е^ и будем обозначать произведение и скалярное произведение кватернионов х, у, соответственно, через ху и (х, у). л3(Г3) есть свободная циклическая группа с образующей ср?, определяемой формулами ф3 (а)~ !| Чи (a) lj, \и {а) = (ае^ст1, е/+1) (а е= S^, I, / = 1, 2, 3); л; i SO есть циклическая группа с образующей f3 = Оф3. Класс f3 изучался Блакерсом и Массеем) [1], из результатов которых следует, что Д не делится на 2 и что порядок группы Лб(5) делится па 2; известно также, что этот порядок делится на 3 [16]. л3(Г4) есть прямая сумма двух своих свободных циклических подгрупп с образующими ф4, ф;, определяемыми формулами ф4 = /ф3, ф4(а) =
= || ^ («) ||, мТ^ = (аер е^ (а е Sg; /,/=1,2,3, 4); л)(54) есть сумма двух своих циклических подгрупп с образующими /4 = /?ф4 = = £/з, §4= ^4)4- Легко видеть, что g^ есть класс гопфовского отображения сферы S7 в сферу S4 [5], так что подгруппа {g4} свободна, и известно, что Е есть изоморфизм группы ле(53) в л7(£4) и что вся группа л7(54) есть прямая сумма своих подгрупп £лб(£3) и {g4} [7]; таким образом, лДЗ1) есть прямая сумма подгрупп ^4^ = £л°(53) и {gj. л3(Гп) при п ^ 5 есть свободная циклическая группа с образующей Ф^ = £~4^4; л^+з(^4) ПРИ п^5 есть циклическая группа с образующей gn = D^n = En-Xg^ и известно [3], что £ при п ^ 5 есть изоморфизм группы л^ДЗ4) на группу nrt+4(Srt+1). Наконец, ядро гомоморфизма / группы л3(Г4) на группу л3(Гб) есть циклическая группа с образующей /4 = ф4— 2ф4, и оказывается, что циклическая подгруппа группы л°(£4) с образующей h^ = Dy^ = ^ — — 2g4 есть ядро гомоморфизма Е всей группы л7(£4). Что это ядро циклично — известно, вычислена и его образующая h [18], но в других терминах; мы воспользуемся только тем, что ее гоп- фовский инвариант у (Л) равен ±2, и заметим, что у(А4) = = У (f4)— 2y(g4) =—2. Так как Eh^ = EDy^ = Dly^ = 0, то Л4 е {A}, h^ = Xh, у (й4) = Ху (/z), X = ±1, и h^ = ±Л.
Формулировка основных результатов. л6 (£3) есть цикли. ческая группа порядка 6 с образующей f3; л7(£4) есть прямая сумма своей циклической подгруппы порядка 6 с образующей f4 и свободной циклической подгруппы с образующей g4; л^^З*) при п ^ 5 есть циклическая группа порядка 12 с образующей gn. в частности, л^ (Sn) = л°+3 (S'1) (п>3).
В силу изложенного в п° 1, достаточно доказать, что: а) при большом п л„+3 (8п) = л°+3 (S^); б) при большом п \2gn = 0. Из результатов Л. С. Понтрягина [15] следует, что во всяком классе отображений сферы 8Г в сферу 8^ имеется отображение, порожденное некоторым полем ^F^ Мк) cz Rr, и что всякое поле (£^(74^) cz Rr, порождающее отображение, гомотопное нулю, служит краем некоторого поля (//| д/[^и^ заданного в полупространстве £i+1 (с границей Rr) пространства Rr^x. Отсюда легко вывести, что утверждения а), б) эквивалентны утверждениям: а') при большом п для всякого поля (£„|Л13) cz Rr, у которого М3 П So = 0, существует поле (Gn | М4) cz £?+4 с краем (рп | Л13) + (^|зй, составленным из поля (£,г|Л13) и некоторого поля (£«|So); б') в R^4 существует поле (Hn\N^ с краем (Я^|5о), образованным по схеме п° 1 из отображения класса 12ip„.
Построение поля (G/г | Л14). Пусть Mt — ориентируемое многообразие с краем Afi, гладко гомеоморфным М3; можно показать, что такое Mt существует для всякого ориентируемого замкнутого М3. Вложим Mt в $п+4 так, чтобы край М3 совпал с М3 и плоскости, нормальные к Mt в точках этого края, попали в Rn4"3, и будем продолжать Fn с ЛГ на Mt. Мы получим в Mt класс 22 = 22 (Mt) абсолютных двумерных А-гомоло- гий1) mod2, каждый цикл которого может быть реализован как цикл особенностей. Класс этот при указанных краевых условиях не зависит от способа вложения многообразия Mt в Rn^"4; если [многообразие Mt замкнуто (край М3 пуст), то z2(M4) есть просто двумерный характеристический А-класс [17], [20]. Мы покажем, что существует Mt с z“ = 0. Для такого Mt поле Fn может быть продолжено в поле Gn, определенное на Mt всюду вне шаровой окрестности V4 некоторой точки; полагая М* = Mt — И4 и вкладывая Mt в RnJr4 так, чтобы часть М4 попала в /??+4, ее край М3 + S3, где S3 —граница шара V4, совпал с М3 + S3 и плоскости, нормальные к Mt в точках этого края, попали в 'R^t мы и получим нужное нам поле (GJM4).
Возьмем сначала какое-нибудь связное М4. Сделаем одномерную группу Бетти многообразия Mt тривиальной — например, путем вырезывания окрестностей внутренних к Mt базисных замкнутых путей и вклеивания на их место произведений двумерной сферы на двумерный элемент. Тогда z2 можно будет рассматривать как приведенный mod 2 класс Z2 целочисленных гомологий. Покажем, что индекс f(Z2, Z2) самопересечения класса Z2 можно сделать равным нулю. Пусть Q4— ориентированная комплексная проективная плоскость, Qt—дополнение шаровой окрестности какой-нибудь ее точки, Q2 — ориентированная проективная прямая в Qt иД^, о2—определяемые ею классы целочисленных циклов и циклов mod 2. Ориентируем М^ вырежем из Му шаровую окрестность какой-нибудь внутренней точки и приклеим на ее место Qt, согласуй ориентации. Мы получим новое многообразие Mt типа Му, и из того, что о2 есть двумерный характеристический класс многообразия Q4, легко вывести, что z2 (/И4) = z (Му) + о2. Это — приведенный mod 2
}) А-гомологиями назывались гомологии, а V-гомологиями— когомоло- г ии, — Прим. ред.
целочисленный класс Z2 = Z2 + 22, и z(Z2Z2) = i (Z2, Z2) 4~ + /(22, S2) = z(Z2, Z2)±l, где знак зависит от ориентации Q4. Повторяя этот процесс с надлежащей ориентацией Q4, мы через конечное число шагов получим такое Мл и такой класс Z2, что z(Z2, Z2) = 0.
Пусть Р2 — ориентированная замкнутая поверхность класса Z2 внутри Mi (ср. [20], § 23). В силу равенства i^Z2, Z2) = Q ее окрестность £4 разлагается в прямое произведение поверхности Р2 на двумерный элемент (см. [20], § 18). Вложим Р2, как сферу с ручками, в R3 cz R4 и замкнем R4 несобственной точкой в S4. Пусть Е^— окрестность поверхности Р2 в R4 и g— естественный гомеоморфизм между (У4 и £4. Возьмем внутри S4— £4 окружность, зацепленную с Р2, вырежем се окрестность и, вклеив вместо этой окрестности произведение двумерной сферы на двумерный элемент так, чтобы из S4 получилось прямое произведение Р4 двух двумерных сфер, склеим Mi — У4 и Р4 —£4 при помощи g к новое многообразие Mi типа Mi. Продолжим поле Fn на Mi — £4 и -построим какое-нибудь реперное поле с тошже ориентацией на Р4 — Е\ Пусть Cj, . . ., С»; Ci, . . ., Су — такие базы гомологий края Р3 многообразия Р4 —£4, что i (Са, "Ср) = бар и Caf С^ —те из путей С}, .Ср, на которых полученные два поля негомотопны между собой. Возьмем внутри Р4— £4 сферу S2, гомологичную) в Р4 — £4 циклу С^ + . . . 4- С^. вырежем ее окрестность (прямое произведение сферы 22 на двумерный элемент) и приклеим эту же окрестность гомотопически другим способом (ср. [I], п°4). Тогда Mi превратится в многообразие типа Му для которого г2 = 0.
Заметим для дальнейшего, что многообразие Mv если оно замкнуто, превращается операциями предыдущего абзаца в такое замкнутое многообразие, которое вместе с Mj ограничивает некоторое ориентируемое пятимерное многообразие. Таким образом, если характеристический класс г2 (/И4) замкнутого многообразиями4 может быть получен приведением mod 2 из некоторого целочисленного класса Z2 с i^Z2, Z2) = 0, то существует такое замкнутое многообразие М^ что z2(N^) = 0 и что Mi и Mi вместе ограничивают некоторое ориентируемое пятимерное многообразие.
Построение поля (£n|A^4). Мы покажем, что существует ориентируемое замкнутое многообразие Mi с нулевым двумерным
характеристическим классом 22 и понтрягинским характеристическим числом Х22 [12], [13], равным ±24 9. При всяком вложении такого многообразия в RnJr4 на нем можно построить реперное поле Нп, определенное всюду вне шаровой окрестности У4 некоторой точки. Полагая N^ = Ni — У4 и вкладывая Л^ в Rn"^ так, чтобы часть Лч попала в 7??+4, ее ориентированный край 8\ совпал, с надлежащей ориентацией, со сферой So и плоскости, нормальные кМ4 в точках этого края, попали в R^, мы и получим нужное нам поле ^Hn\N4y То, что его край (Я«|5о) отвечает по схеме п° 1 отображению сферы So в Г« класса 12ф/т, следует из равенства Х22 = ±24; как показывают вычисления, кратность в смысле Понтрягина [13] особенности типа Х22, которую имеет в центре шара У4 поле, построенное на So по счеме п° 1 из отображения сферы So в Гп класса Афы, равна ±2л, и в нашем случае эта кратность равна Х22.
Пусть Qo — ориентированная комплексная проективная плоскость с девятью шаровыми отверстиями и Q4 (/ = 1, . . ., 9) — противоположно ориентированная комплексна я проективная плоскость с одним шаровым отверстием. Склеим Qo, Qi, . . ., Qg, согласуй ориентации, в замкнутое многообразие Мь обозначим через 2/ (/ = 0, 1, . .., 9) целочисленный гомологический класс как-либо ориентированной ^проективной прямой из Q4 и положим Z^ = 325 + 2{ + . . . + 2g. Класс Z2, приведенный mod 2, есть характеристический класс г1 многообразия Л44, и Z(Z2, Z2) = 9/ (si. So) + i (st Si) + ... + г (st So) = + (9 — 1 — . .. — l) = 0. Следовательно (см. п°3, конец), существует такое замкнутое многообразие Я4, что г2(Я4) = 0 и что Мд и Я4 вместе ограничивают некоторое ориентируемое пятимерное многообразие. В силу последнего "'условия мы имеем Х22(М})=Х22(М1) (см. [12], теорема 3), а Х22 ±) = ± 24 (см. [13], §3, Е). Итак, г2 (Щ) = 0, Х22 (± = ± 24.
Замечание. Методами этой работы нетрудно доказать, что Я22(Л44)=0 (mod 3) для всякого ориентируемого замкнутого многообразия М4; если же 22(М4) = 0, то X22(M4) = 0 (mod 24).
9 Связь между проблемой существования четырехмерного многообразия с г2 = 0, но Х22 ± 0, и изучением отображения сферы S"+3 в сферу ± была указана Понтрягиным [12],
ТРЕХМЕРНОЕ МНОГООБРАЗИЕ —ГРАНИЦАЧЕТЫРЕХМЕРНОГО1)
Формулировка результата. Под многообразием в этой работе понимается гладкое компактное многообразие — замкнутое или с краем. Говорят, что многообразие АР ограничивает, если оно гладко гомеоморфно краю некоторого многообразия ЛР+1, которое ориентируемо, если Мк ориентируемо. Результат работы состоит в том, что всякое замкнутое трехмерное многообразие М3 ограничивает. Эта теорема находит применение при классификации отображений (п + 3)-мерной сферы в п-мерную (см. [II], п°3) и высказывалась (для ориентируемого случая) в качестве гипотезы Л. С. Понтрягиным [12].
Мы рассмотрим только ориентируемый случай. В дальнейшем многообразие 7И3 предполагается связным.
План доказательства. Отправным пунктом служит следующий факт:
А. Если ориентируемое замкнутое многообразие М3 вложимо в пятимерное евклидово пространство R3, то М3 ограничивает.
Чтобы вывести из этой леммы общую теорему, мы определим две операции О\ и О2, каждая из которых превращает ориентируемое замкнутое многообразие 7И3 в такое же многообразие и которые обладают следующими свойствами:
Б. Всякое ориентируемое замкнутое многообразие М3 может быть превращено конечным числом операций Оь О2 6 многообразие, вложимое в R3.
В. Если одно из многообразий О1(Л43), О2(А13) ограничивает, то многообразие М3 также ограничивает.
Из лемм А, Б, В непосредственно следует, что всякое ориентируемое замкнутое многообразие 7И3 ограничивает.
Определение операций Ох, О^. Пусть К—тело тора в М3 с дифференцируемыми координатами а, g, т], где а — циклическая координата, а д2 + ц2^ 1. Удалим внутренность тела К и склеим ставший граничным тор £2 + т]2 = 1 в бутылку Клейна В2, отождествив на нем точки (а, ^ т]) и (а + л, g, —т]). Тогда М3 превратится в О1(7И3).
Пусть К7, К" — два непересекающихся тела тора в М3 с координатными системами (а, g, т]) уже описанного типа, индуцирующими в 7И3 противоположные ориентации. Удалим внутренности тел К\ К" и склеим ставшие граничными торы g2 + т]2 = 1
!) Доклады Академии Наук СССР. 1951. Том LXXXI, № 3, с. 355—357»
друг с другом в тор Г2 так, чтобы точки с одинаковыми значениями координат а, £, л совпали. Тогда М3 превратится в О2 (А43).
Доказательство леммы Б. Точка х^М называется кратной относительно отображения f множества М, если существует такая точка у ^ М, что у^х, но Цу) = f (х); если существует только одна такая точка у, то точка х называется двойной. Из результатов Уитнея1) [21] следует, что существует гладкое отображение f многообразия 7И3 в R5, обладающее следующими свойствами: а) ранг функциональной матрицы отображения f равен 3 в каждой точке х^М3; б) все кратные точки отображения f являются двойными и располагаются на непересекаю- щихся замкнутых гладких кривых Ci, С2, . .., СР) Ci, Ci, С2, С", • • • > ^, С" таким образом, что CL дважды налагается на / (С/) (Z= 1, .pY a 1(0^ = f(C") (/=1qY в) две трехмерные плоскости, касательные к /(М3) в точке Цх) = Цу) (у^х), имеют одномерное пересечение для всякой двойной точки х^М3. Пусть Kt) Кр К" — непересекающиеся замкнутые торовидные окрестности кривых С/, С/, С" в Л43 с координатами (а, £, л) (см. п°3). Удалив из 7И3 внутренности всех тел Kt, Кь Kj, мы получим вложение оставшегося ограниченного многообразия М3 в R5. Если произвести на границе многообразия М3 для каждого значения I и каждого значения / склеивания, описанные в п°3, то получится замкнутое многообразие N\ являющееся результатом применения к М3 р операций типа OY и q операций типа О2. Соответствующие склеивания на границе многообразия ЦМ3^ могут быть осуществлены в R3, и мы получаем вложение многообразия N3 в R3.
Доказательство леммы В. Пусть A^OifM3) есть край ориентируемого многообразия MY. Положим на торе |2 + л2 = 1, лежащем в М3, £ = cos р, л = sin р и будем считать, что аир суть координаты на поверхности (бутылке Клейна) В2, связанные соотношением (а, р) = (а + л, —Р). Эту систему координат мы включим в дифференцируемую систему координат а, р, s(—1 ^s^ 1; а и р — по-прежнему циклические координаты), определенных в некоторой замкнутой окрестности U3 поверхности В2 в Mt и связанных соотношением (а, р, s) = (a-|-n, —р, —s), и сделаем это так, чтобы поверхность В2 определялась уравнением s = 0. Окрестность края Mi в Mi разлагается в дифференцируемое прямое произведение края Mi на числовой отрезок. В соответствии с этим мы включим систему координат а, р, s в дифференцируемую систему координат а, р, s, Ц—1 ^
*) Теперь эта фамилия транскрибируется как Уитни. — Прим. ред.
+ ^+1; по-прежнему а и р — циклические координаты, и — 1 + + 1), определенных в некоторой замкнутой окрестности У4 поверхности В2 в Alf и связанных соотношением (а, р, s, 0 = = (а + л, —р, —s, /), и сделаем это так, чтобы окрестность В3 определялась в У4 уравнение?*! t=\, и, следовательно, поверхность В2 определялась уравнениями s = 0, /= 1. Пусть ТУ4— та часть окрестности У4, в которой s2 +/2 ^ 1, и Р3 — ее граница s2 + Р = 1. Положим в W4 s = psiny, ^ — рсозу и будем рассматривать а, р, у как координаты на Р3, связанные соотношением (а, р, у) = (а + л, — р, —у); в них В2 определяется уравнением у = 0. Вырежем из Mt часть ГУ4 и приклеим ее другим способом, пользуясь гомеоморфизмом сС^а, р'= у, V = Р ее края Р3. Тогда Л44 превратится в ориентируемое многообразие М2 (с тем же краем Ait), и В2 будет определяться в Р3 уравнением р = 0. В 1У4 это уравнение определит зело Q3 с краем В2; разрезав Ms вдоль О3, мы и получим ориентируемое четырехмерное многообразие с краем, гладко гомеоморфным М3.
В случае, когда ограничивает многообразие Os^M3), доказательство вполне аналогично. Различие состоит в том, что теперь координаты а, р, s, t вводятся в окрестности тора Т2 (а не бутылки Клейна В2) и не связаны никакими соотношениями.
IV НОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХМНОГООБРАЗИЙ 9
Известно, что всякая ориентированная замкнутая поверхность способна служить границей ориентированного трехмерного многообразия. В моей заметке [III] показано, что всякое ориентированное замкнутое трехмерное многообразие способно служить границей ориентированного четырехмерного многообразия. Для четырехмерных многообразий аналогичная теорема неверна; например, комплексная проективная плоскость неспособна ограничивать. В настоящей заметке дается гомологическое условие, необходимое и достаточное для того, чтобы ориентированное замкнутое четырехмерное многообразие способно было служить границей ориентированного пятимерного многообразия. Оказывается, что всякое ориентированное замкнутое четырехмерное многообразие получает способность ограничивать, если добавить к нему некоторое число надлежащим образом ориентированных комплексных проективных плоскостей. На основе этой теоремы удается выразить понтрягинское характеристическое число четырехмерного многообразия [12], [13] через гомологические инварианты многообразия. Соответствующие результаты получаются и для неориентируемых многообразий. Кроме того, в заметке, на основе ее результатов, исправляется ошибка, содержащаяся в моих заметках [I], [II], посвященных вычислению (п + 3) -мерной гомотопической группы n-мерной сферы.
. Определения. Под многообразием мы понимаем гладкое компактное многообразие — замкнутое или с краем. Каждому ориентированному многообразию Мк отвечает противоположно ориентированное многообразие —Мк, и каждым двум ориентированным многообразиям Мк и Д^ отвечают их сумма Мк + Nk (составленная из непересекающихся многообразий Мк и Nk) и их разность Мк— А^^=7И^ + (—Nk). Условимся говорить, что ориентированное многообразие Мк ограничивает или гомологично нулю и писать 7№ ~ 0, если существует сохраняющий ориентацию гладкий гомеоморфизм между Мк и краем некоторого ориентированного многообразия М^. Далее, условимся говорить, что ориентированные замкнутые многообра-
^-к и Nk гомологичны между собой, и писать М ~ Мк, если Мк— Nk ~ 0. В силу этих определений ориентированные замкнутые ^-мерные многообразия распадаются на непересекающиеся гомологические классы, и эти классы образуют аддитивную группу — ^-мерную гомологическую
Ч Доклады Академии Наук СССР. 1952. Том LXXXIV, № 2, с. 221—224.
Под ред. д, Гийу и А. Марена
группу, которую мы обозначим через £)к. Из элементарных соображений следует, что группы С1 и С тривиальны, а из результатов моей заметки [III], что и группа С тривиальна.
Группа С не тривиальна и даже содержит бесконечную циклическую подгруппу. Действительно, пусть Р4— естественно ориентированная комплексная проективная плоскость, s— целое число и sP4 — многообразие, составленное из s (непересекаю- щихся между собой) экземпляров многообразия Р4, если s ^ О, и из —s экземпляров многообразия —Р4, если s < 0. Понтрягин- ское характеристическое число многообразия sP4 равно 3s (см. [13], § 3, Е), а для всякого многообразия, гомологичного нулю, оно равно нулю (см. [12], теорема 3). Таким образом, все многообразия sP4 попарно негомологичны между собой.
Пусть 7И4— произвольное ориентированное замкнутое четырехмерное многообразие. Обозначим через В приведенную двумерную группу Бетти многообразия 7И4 и через (х, г/), где х ^ В, у^В,— индекс пересечения гомологических классов х, у. Индекс (х, х) представляет собой целочисленную квадратичную форму с дискриминантом ±1, определенную на решетке В. Сигнатуру этой формы мы будем называть сигнатурой многообразия М4 и обозначать через о(Л14). Очевидно, о(—7И4) = = —о(Л14).
всегда можно построить нормальное векторное поле, особые точки которого изолированы и обладают индексами ±1. Вырезав окрестности этих точек и заклеив надлежащим образом каждое из возникших шаровых отверстий комплексной проективной плоскостью с таким же отверстием, мы превратим Alt в новое многообразие М2 cz R, на котором существует нормальное векторное поле без особенностей. Очевидно, М4 ~ М4 + тР\ где т— некоторое целое число. Пусть L7— дополнение правильной окрестности многообразия М2 в сфере S7, которая получается из R7 присоединением несобственной точки, и U5 — образующая относительной целочисленной пятимерной Л-группы1) многообразия L7, выбранная в согласии с ориентацией многообразия М^е Оказывается, что среди относительных циклов класса U5 можно найти многообразие, и притом такое, граница которого гомологична в смысле п° 1 многообразию М2 — пР\ где п — некоторое целое число. Таким образом, М2 ~ пР\ и М4 ~ М4 + тР4 ~ (т+ + п) Р\
Замечание. Наши сведения о гомологических группах £)й старших размерностей ограничиваются в основном тем, что мы знаем о характеристических числах и вычетах Понтрягина [12], [13]. Так как при сложении многообразий характеристические числа и вычеты складываются, а для многообразий, гомологичных нулю, они равны нулю (см. [12], теорема 3), то каждое характеристическое число размерности & определяет гомоморфизм группы £)к в группу целых чисел, а каждый характеристический вычет— в группу вычетов mod 2. Если не считать эйлеровой характеристики (которую здесь следует рассматривать как вычет) и найденного в настоящей работе четырехмерного характеристического числа Х22, то все эти инварианты не вычислены. Характеристические числа имеются только у многообразий, размерность которых делится на 4 (см. [12], § 6, D). Интересно отметить, что и определение сигнатуры, данное выше для четырехмерных многообразий, естественно обобщается на многообразия, размерность которых делится на 4 (под В следует понимать — -мерную приведенную группу Бетти многообразия А4^), и что сигнатура такого многообразия равна нулю, если оно ограничивает.
Неориентируемый случай. Отбросим теперь ориентации и будем рассматривать как ориентируемые, так и неориентируе- мые замкнутые ^-мерные многообразия. Если многообразие Мк гладко гомеоморфно краю некоторого (ориентируемого или
неориентируемого) многообразия Л1/г+1, то мы говорим, что Мк гомологично нулю mod 2, и пишем ЛР ~ О (mod 2). Каждым двум многообразиям № и Мк отвечает их сумма 7№+Л+ и если эта сумма гомологична нулю mod 2, то мы говорим, что № и Nk гомологичны между собой mod 2, и пишем Мк ~ A^(mod2). Гомологические (mod 2) классы замкнутых ^-мерных многообразий образуют аддитивную группу — +мерную гомологическую группу mod 2, которую мы обозначим через ^к. Все ненулевые элементы группы ^к имеют, очевидно, порядок 2. Из элементарных соображений следует, что группа 911 тривиальна, а группа 912 состоит из двух элементов (ее образующей служит класс действительной проективной плоскости Р2: если эйлерова характеристика многообразия Л42 четна, то М2 ~ 0 (mod 2), если она нечетна, то М2 ~ Р2 (mod 2)). Из результатов моей заметки [Ш] следует, что группа 913 тривиальна. Оказывается, что группа 914 состоит из двух элементов^ и что ее образующей служит класс комплексной проективной плоскости Р4. Замкнутое многообразие М4 в том и только в том случае гомологично нулю mod 2Г если его эйлерова характеристика четна; если она нечетна, то М4 ~ Р4 (mod 2).
(п + 3)-мерная гомотопическая группа n-мерной сферы. Вычислению этой группы посвящены мои заметки «Об одном отображении (п + 3)-мерной сферы в п-мерную» [I] и «Классификация отображений (п + 3)-мерной сферы в п-мерную» [II]. В них содержится ошибка, исказившая окончательные результаты. Здесь она будет исправлена.
Мы будем пользоваться обозначениями яДз'2), лДЗ^), f„(n^3) и g+n^4) заметки [И] и обозначением hn (п + 2) заметки [I]. В заметке [I] ошибочно утверждается, что + = 0, если п ^ 3. В действительности класс hn не является нулевым ни при каком значении п. Доказательство основывается на результатах настоящей работы. Именно, методами работы [4] можно показать, что равенство hn = 0 (п^З) эквивалентно существованию ориентируемого замкнутого многообразия Q4 со следующими двумя свойствами (ср. [I], п°4): а) в Q4 имеется гладкий тор Т2, который, во-первых, обладает окрестностью Е\ распадающейся в прямое произведение тора Т2 на двумерный элемент, и, во-вторых, служит двумерным характеристическим циклом многообразия Q4 и остается характеристическим циклом, если вырезать Е4 из Q4 и приклеить снова любым другим (гладким) способом; b) X22(Q4) = 0. В силу результатов настоящей работы свойство Ь) эквивалентно тому, что многообразие Q4 ограничивает, а это, как можно показать, противоречит свойству
*) Это неверно; см. комментарии.
а). Ошибка в заметке [I] сделана в п°4, в том месте, где появляется сфера S2; в действительности сферы S2 с указанными там свойствами не существует. Эта ошибка повторена в заметке [II] (п°3, абзац 3), где ее следствием является ошибочное равенство 12g„ = 0. В действительности конструкция, описанная в п°4 заметки [II], приводит к равенству 12^ = hn^ 0). Так как 2А/г = 0, то 24^ = 0. Равенство (S”) = л°+3 (S”), доказываемое в п°3 заметки [II], остается в силе (в его доказательстве вместо неявно используемого равенства hn=0 должно быть применено равенство 11^= ISgn). Таким образом, образующие групп Л/г+з^") (п ^ 3) указаны в заметке [II] правильно, но порядки этих образующих вдвое уменьшены: в действительности л6(53) есть циклическая группа порядка 12 с образующей ^, л7(54) есть прямая сумма своей циклической подгруппы порядка 12 с образующей ft и свободной циклической подгруппы с образующей gt, Кп+з(5п) при п^ 5 есть циклическая группа порядка 24 с образующей gnXY
Соотношение между характеристическими циклами. Порядок элемента gn был вычислен нами как половина наименьшего из положительных значений, которые может принимать характеристическое число Х22 ориентированного четырехмерного многообразия 7И4 при условии, что двумерный характеристический класс 22(Л44) этого многообразия является нулевым (ср. [II], п°4). Так как указанное наименьшее значение числа Х22 равно 48, то Х22(М4) = 0 (mod 48) и о(7И4) = 0 (mod 16) для всякого многообразия М4, у которого z2(Al4) = 0 (ср. [II], п°5).
Эта теорема имеет следующее интересное применение. Уайтхедом [19] и Понтрягиным [14] было доказано, что гомотопический тип связного замкнутого многообразия 7И4 с тривиальной фундаментальной группой определяется арифметическим типом квадратичной формы (х, х) (см. п° 1). Однако вопрос о существовании многообразия с формой (х, х) заданного арифметического типа (который предполагается, конечно, целочисленным и обладающим дискриминантом ±1) остался открытым. Мы можем дать на этот вопрос отрицательный ответ. Формой (х, х) не может, например, служить принимающая только четные значения положительно определенная форма ранга 8 с дискриминантом 1 (такая форма была построена А. Н. Коркиным и Е. И. Золотаревым [9]). Действительно, если форма (х, х) многообразия
!) В ноябрьском номере Bull, of the Amer. Math. Soc. за 1951 г. появилось сообщение В. Массея и Г. Уайтхеда [10], в котором также утверждается, что Кп ф 0 (д ^ 3) и что порядки групп лб(33) и л,г+3(ЗЭ с п ^ 5 равны соответственно 12 и 24 (структура групп л/г.-3(ЗЭ этими авторами не определена). Из сообщения видно, что эти результаты получены методами, совершенно отличными от моих.
М4 с тривиальной фундаментальной группой принимает только четные значения, то z2(M4) = 0 [22], а тогда о(7И4) = 0 (mod 16). И потому о(Л14)7^8.
ЛИТЕРАТУРА
Blakers A. L., Massey W. S. The homotopy groups of a triad, I, Ann. Math., 53 (1951), 161—205.
Cairns S. S. Introduction of a Riemannian geometry on a triangulable 4-manifold, Ann. Math., 45 (1944), 218—219.
Freudenthal FI. Uber die Klassen der Spharenabbildungen, I, Compos. Math., 5 (1938), 299—314.
Hopf. H. Uber die Abbildungen der dreidimensionalen Spare auf die Ku- gelflache, Math. Ann, 104 (1931), 637—666.
Hopf H. Uber die Abbildungen von Sparen auf Sparen niedrigerer Dimension, Fund. Math., 25 (1935), 427—440.
Hurewich W. Beitrage zur Topologie der Deformationen, Proc. Kon. Ned. Akad. Wetensch., 38 1935, 112—119.
Hurewicz W., Steenrod N. E. Homotopy relations in fiber spaces, Proc. Nat. Acad. Sci USA, 27 (1941), 60—64.
Kneser H. Ein topologisches Zerlegungssatz, Proc. Kon. Ned. Akad. Wetensch., 27 (1924), 600—616.
Korkine A., Zolotareff G. Sur les formes quadratiques, Math. Ann., 6 (1873), 366—389.
Massey W. S., Whitehead G. W. The Eilenberg — MacLane groups and homotopy groups of spheres, Bull. AMS, 57 (1951), 491.
Понтрягин Л. С. Классификация непрерывных отображений комплекса на сферу, ДАН СССР, 19 (1938), 147—149.
Понтрягин Л. С. Характеристические циклы дифференцируемых многообразий, Матем. сб., н. с., 1947, 21 (63), 233—284.
Понтрягин Л. С. Векторные поля на многообразиях, Матем. сб. 21 (1947), 233—284.
Понтрягин Л. С. О классификации четырехмерных многообразий. УМН, 4 : 4, 1949, 157—158.
Понтрягин Л. С. Гомотопическая классификация отображений (п + 2) -мерной сферы в ц-мерную, ДАН СССР, 70, № 6, 1950, 957—959.
Serre J.-P. Homologie singuliere des espaces fibres, III, Applications homotopiques, C. R. Acad. Sci. Paris, 232 (1951), 142—144.
Stiefel E. L. Richtungsfelder und Fernparallelismus in n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, Comment. Math. Helv. 8 (1936), 305—353.
Whitehead G. W. A generalisation of the Hopf invariant, Ann. Math. 51 (1950), 192—237.
Whitehead J. H. C. On simply connected, 4-dimensional polyhedra, Comment. Math. Helv., 22 (1949), 48—92.
Whitney H. On the topology of differentiable manifolds, Lectures in Topology, pp. 101 —141, University of Michigan Press, Ann Arbor, Mich., USA, 1941.
Whitney H. The singularities of a smooth /г-manifold in (2/г—l)-space, Ann. Math., 45 (1944), 247—293.
Wu Wen-Tsun Classes caracteristiques et /-carres d’une wariete, C. R. Acad. Sci. Paris, 230 (1950), 508—511.
КОММЕНТАРИИ К ЧЕТЫРЕМ СТАТЬЯМ В. А. РОХЛИНА
Л. Гийу и А. Марен
В конце 40-х годов Понтрягин свел вычисление групп Л/г+;(5/г) к задачам о кобордантности оснащенных подмногообразий размерности I сферы S^'. Таким образом были вычислены группы л^ДЗ") для 0 I 2 ).
Затем в 1951 г. Рохлин доказал, что всякое замкнутое ориентированное многообразие размерности 3 ограничивает, и вычислил геометрическим способом группу лп+з(5п). Результат вычисления оказался ошибочным (из-за неправомерного использования леммы Уитни в размерности 4). Но в следующем году Рохлин доказал, также геометрическими методами, что сигнатура реализует изоморфизм группы кобордизмов замкнутых ориентированных четырехмерных многообразий на группу целых чисел; используя этот результат, он исправил свое вычисление группы ^+3(5") и получил свою знаменитую теорему, названную его именем: сигнатура замкнутого почти параллелизуемого многообразия размерности 4 делится на 16.
Тем временем вычисление группы лмДЗД было осуществлено методами теории гомотопий (Серр, Масси — Уайтхед); затем Том свел вычисление групп кобордизмов к вычислению гомотопических групп пространств Тома, которое выполняется с помощью спектральных последовательностей. С тех пор эти результаты Рохлина всегда доказывались при помощи гомотопико- алгебраического аппарата. Об этом можно только пожалеть, поскольку работы Рохлина основаны исключительно на геометрии, и его доказательства яснее и экономнее. С другой стороны, и это мы стараемся показать в наших комментариях, эти статьи содержат сущность геометрических методов, применявшихся до последних лет в размерности 4 (фактически до самой революции Кассона — Фридмана — Дональдсона: 80-е годы!).
Цель наших комментариев — облегчить современному читателю усвоение этих статей, доказывая те утверждения Рохлина, которые не представляются нам очевидными.
Мы отказались от подстрочных примечаний к тексту Рохлина и даем комментарии поочередно к каждой из статей. Это создает определенные неудобства, заставляя нас перефразировать текст оригинала и удлиняя тем самым наши комментарии. Они состоят из трех глав. При этом, однако, мы постарались
возможно большую часть комментариев, которые не являются необходимыми для понимания текста Рохлина, поместить в приложения. Краткое содержание каждой главы читатель найдет во введении к ней.
Мы советуем поступать следующим образом: читайте статьи Рохлина; если вам все понятно, то пропускайте комментарии, они ничего не дадут. В противном случае начинайте с комментариев, а затем перечитайте Рохлина. Вы убедитесь, что там на 18 страницах сказано все.
Мы хотим выразить благодарность Владу Сергиеску, сделавшему почти 10 лет тому назад набросок перевода, который позволил нам понять (без теории гомотопий) теорему Рохлина. Благодарим также Сержа Ошанина за точный перевод статей Рохлина на французский и Фрэнсиса Бонахона, который был хорошим «подопытным кроликом» для испытания первых вариантов наших комментариев. Мы признательны Бернадет Барбишон за прекрасную перепечатку статей и комментариев.
О ДВУХ ПЕРВЫХ СТАТЬЯХ
Пусть То —трехмерный тор, стандартным образом вложенный в евклидово пространство R"+3. Описав поле n-реперов Нп, нормальное к То, которое рассматривал Рохлин, мы подробно изложим конструкцию многообразия М4 с краем То, вложенного в RX4 (=R+ X Rn+3) и снабженного нормальным реперным полем, продолжающим Н^ Это содержится в геометрической части первой заметки, ее § 4 и 51). Такая конструкция привела бы к обращению в нуль элемента hn ^ nrt+3 (S"), который получается применением конструкции Понтрягина к реперному полю Н°п. Отнесем в приложение А проверку утверждения Рохлина, согласно которому hn есть композиция трех надстроек над отображением Хопфа. Это позволит перечитать первую заметку и понять вторую, где используются аналогичные геометрические методы.
Ошибка в первой заметке (в действительности hn есть нетривиальный элемент порядка два) состоит в том, что при построении многообразия М4 предполагалось, что гомологический класс тора, вложенного в односвязное многообразие L4, реализуем и вложенной сферой. Так как многообразие L4 задано явным образом, есть соблазн рассмотреть этот контрпример к лемме Уитни более пристально. Мы сделаем это в приложении В, где увидим, что L4 получается перестройкой вдоль боромеев- ских колец с нулевыми оснащениями, а тор Г2 получается из слоя расслоенного зацепления (каковым являются кольца Бо- ромео).
Приложение С содержит определение и свойства характеристических поверхностей.
Читатель заметит, что фундаментальный пример второй заметки— это многообразие Mi, полученное из проективной плоскости раздутием девяти точек. В приложении D мы покажем, что многообразие Mf является объединением пламбинга £8 и многообразия, полученного приклеиванием к Т2Х£2 трех ручек вдоль трех осей тора Г3 = д (Г2 X D2) «с оснащением —1».
Если выбрать в качестве девяти точек фундаментальные точки пучка кубических кривых в СР2, то T2XD2 окажется окрестностью некоторой неособой кубической кривой этого пучка, а ручки получатся из двух исчезающих циклов (исчезающих в
!) В статьях Рохлина они называются пунктами (п°). — Прим. ред.
исключительных дивизорах этого пучка). Это позволит нам дать аналогичное разложение поверхностей Энриквеса и КЗ-поверхности.
1. Top Tq и реперное поле Н°п
Пусть То — тор вращения в евклидовом пространстве R3. Тор То— граница трубчатой окрестности Е тора То в пространстве R4, точка а^ То снабжается координатами (аь а2, а3). где щ е R/2nZ, а3: Т3-> R/2лZ есть такая тривиализация трубки Е, что aR^O) будет краем внешнего воротника тора То в R3 и (аь а2) происходят (посредством проекции трубки Е, л: 73-> То) из обычной, заданной параллелями и меридианами системы координат на торе То. Для всякой точки а из То обозначим через п^ единичный вектор внешней нормали.
Пусть еь е2, ..., ert+3— канонический базис пространства R^+3 (п ^ 2). Рассмотрим реперное поле Нп = {^i, ..., иД, нормальное к Го в Rtt+3, определенное формулами
^i (^) === ^ k^ cos (сц -R а2 -R а3) — 55 sin (сц -R ct2 -R ct3), ц2 W — n M sin («1 + «2 + «3) + 55 cos («J -R a2 -R a3), «/M^^+z для 3</<n.
Рохлин рассматривает это реперное поле, потому что оно порождает посредством конструкции Понтрягина элемент hn е е лп+3 (Sn), представимый композицией трех последовательных надстроек над отображением Хопфа:
^ fz q^ + 2 Еп Rz^ £n ^у оП О ^" iD —————у- >-
(здесь f2: S3—^S2 есть отображение Хопфа и Е— надстройка).
Так как проверка этого факта не зависит от геометрических рассуждений Рохлина, мы ее перенесем в приложение А. Здесь же мы объясним, как Рохлин «доказывает», что h^ есть нулщ для чего он натягивает на пару (То, Н^ пару (7И4, Hn)t где Л14 является собственным подмногообразием полупространства R^+4(={(xo, Xi, . .., Xn) е Rtt+4|xo>O}) с краем дМ4 = То и Нп — поле n-реперов, нормальное к М4 и являющееся продолжением поля Нп.
В конце § 3 Рохлин формулирует следующее предложение:
Предложение. Для всякого собственного вложения ф:Г2Х^2-> -* R?+4, такого, что (ф (д (Т2 X D2)) = То, тор ф (Т2 X О) есть препятствующий цикл к продолжению реперного поля Нп.
Доказательство. Пусть ф0: Т2 X9D2 -^То — сужение отображения ф на край. Можно, считать что фо сохраняет ориентацию. Отождествим многообразие Т2 X 3D2 с Т2 X Т[ = Т^; диффеоморфизм фо гомотопен линейному диффеоморфизму фЬ Конструкцией Понтрягина получаем подмногообразие М2 многообразия цДТ2ХО2) с краем ф1 (* X dD2), снабженное нормальным в ф(Т2ХЯ2) реперным полем {^i, сД, сужение которого на край есть (^) , ТФ1 (^)Р •
Рассмотрим пару (С, Яп+2), где С — окружность ф1 (* X dD2^ И Я°+2 —реперное поле ^(^д)’ 7^ (-^) , (ыь . ... «„)}. Тор ф(Т2Х0) есть препятствующий цикл к продолжению реперного поля Нп в том и только в том случае, если Я° нельзя продолжить на 7И2; следовательно, это имеет место в том и только в том случае, если пара (С, Я^) не ограничивает. Напомним лемму Понтрягина.
Лемма 1. (С, H^vz) есть окружность в пространстве R"+3, снабженная нормальным реперным полем Нп+2, n^L Пусть щ —некоторое ненулевое векторное поле, касательное к С. Тогда пара (С, Яп+2) не ограничивает в том и только в том случае, если отображение f: C-^Vn+^ f(x) = (vb Н/24-2) представляет нулевой элемент группы nJK^). (Vn+з есть пространство реперов в RrtX изоморфное GL(n + 3, R).)
В нашем случае этот инвариант Понтрягина пары (С, Н^^ есть сужение на Ф1(*Х<ЭЯ2) отображения F; То-^Уп^, р^’ “2- аз) = (^1(-^)- МаУ’ ТД^У иД Так как ф1 есть линейный диффеоморфизм, сохраняющий ориентацию, то отображение F гомотопно Fq:
V dcti ’ да2 ’ дфз 1
*) Пара фо (*XdD2), ] Гф0 (, ^ф0 ( -Д-^ ограничивает (ф (*Х^2),
(\ eai 7\ оаз / J /
ЬШ'т»
; так как диффеоморфизм Ф1 гомотопен отобра
жению фо, то пара (ф! (* X пару (Л12, {уь у2}).
ограничивает
Рассматривая канонический базис группы л1 (7g), можно увидеть, что F индуцирует нулевой гомоморфизм в л! *). Это завершает доказательство утверждения § 3. □
Доказательство леммы 1. Пусть А12— ориентируемая связная компактная поверхность в полупространстве R?+4, ограниченная окружностью С. Нормальное расслоение поверхности М2 в R? + тривиально (так как оно ориентируемо и М2 имеет гомотопический тип одномерного комплекса). Препятствие к продолжению реперного поля Н^+ч на М2 есть, таким образом, некоторый элемент у0 группы Л1 (У^+г) (= Z/2Z, так как п + 2 ^ 3).
Препятствие к продолжению реперного поля (е0, у0) ДО реперного поля, касательного кМ2, есть элемент yi из ni(V2) (=^); этот элемент является нечетным, так как он равен эйлеровой характеристике многообразия М2. Пусть f: C-^Vn+i задано формулой /(х) = (е0, Цх)). Рассмотрим у0 и ^— образы элементов уо и у! в Л1(1Хн)при канонических вложениях. Тогда f = y0 + yi в Jti(Vn+4). Гомоморфизм Л1 (Vrt+3)-^Л1 (Г/г+4) является изоморфизмом, и у! представляет ненулевой элемент. Этим доказательство леммы завершается. □
ПОСТРОЕНИЕ МНОГООБРАЗИЯ М4 И ПОЛЯ Н„
Обозначим через К4 внешность трубки Е в сфере S4, полученной из пространства R4 компактификацией Александрова (S4 = R4U°°). Перестройку, превращающую К4 в односвязное многообразие LS можно произвести в D5(= R5U 00) следующим образом:
Пусть d— диск, который является слоем трубки Е, и с; S4X X [О, 2]—>D5— воротник края. Рассмотрим 3? = XKXW 2]U U X 2); многообразие L4 есть граница регулярной гладкой окрестности множества S2, приплюснутой на с (7о X [0, 1]) )► Многообразие Р4 = Е4\^Е есть граница регулярной окрестности дополнения некоторого двумерного незаузленного диска в D5; следовательно, оно диффеоморфно S2XS2. Обозначим через п векторное поле, нормальное к L4 в Ri, продолжающее п (см. рис. 1).
Лемма 2. Пусть т = {с((ан а2, а3), 4) | а1 + а2 + аз= 0 } двумерный тор в L4. На многообразии Е4\т имеется реперное
^ Для проверки этого утверждения читатель может обратиться к последнему абзацу приложения А.
поле Яп, продолжающее Нп^ для которого тор т — препятствующий цикл.
Доказательство. Пусть функция f: L4\r-^R/2nZ определяется формулами
fW = K при х ^ с (ТоХ[О, 1]);
6" ||(1_z) eZ(a.+a2+a,)_;|| ПРИ С^’°3> Z) G
ec^XIO, 1]\т) (см. рис. 2).
Рис. 1. Многообразие Л4.
Рис. 2. Построение поля Йп\ функция Д
Достаточно положить Нп = й\, ..., ип, где для «е£4 й[ (a) = п (a) cos (f (а)) — е5 sin (f (а)), й2 (а) = п (a) sin U (а)) + е5 cos (f (а)), й;(а) = е,+3 при З^г’О.
Рохлин счел тогда, что гомологический класс тора т в односвязном многообразии Ы представляется вложенной сферой S2. Мы находимся в размерности 4, и лемма Уитни неприменима-, на.
самом деле, как мы увидим в четвертой статье, такой сферы и не существует. Допустим, однако, как Рохлин, существование сферы 22 и проследим за дальнейшими рассуждениями.
Покажем сначала, как в настоящее время получают многообразие 7И4 и поле Нп (на самом деле Я2). Рассуждения Рохлина мы объясним потом.
Заметим сначала, что сфера 22 ограничивает некоторый шар А3, вложенный в Ri и пересекающий многообразие L4 только по его границе.
В самом деле, сфера 22 ограничивает, конечно же, некоторый шар D в Ri; сдвинем внутреннюю часть шара D из Ri вверх и приведем ее в общее положение; получим шар D', погруженный в Ri, с границей 2 и с внутренностью, лежащей в Ri+(={(xo,. . . . .., х5) е R? I х5 > О}). Можно считать, что алгебраическое число двойных точек D' равно нулю. Лемма Уитни дает тогда искомый шар А3.
LLL
Рис. 3. Построение шара А3.
Шар А3 позволяет сделать вложенную перестройку вдоль сферы 2; пусть 7И4—>R?~ многообразие, полученное этой перестройкой. Реперное поле Я2 продолжается на дополнение коосевой окружности этой перестройки); так как эта окружность имеет коразмерность три в 7И4 и лД1/2) = 0 для / ^ 2, то поле Я2 фактически продолжается до нормального реперного поля Я2, определенного на всем 7И4.
Техники вложенных перестроек не существовало в 1951 г., и Рохлин предложил совсем другую конструкцию.
Построение многообразия AI4 по Рохлину. Пусть V— трубчатая окрестность сферы 22. Так как индекс самопересечения сферы 22 равен нулю, то имеется изоморфизм трубчатого расслоения окрестности V на трубку-произведение 22Х^2-
Пусть ф: 22 X S122 X S1—диффеоморфизм, определенный равенством
Ф^, у) = (^> у)
(здесь сфера 22 отождествляется cCU°°, а окружность S1 — с единичной окружностью плоскости С).
Пусть гр (х, у)— соответствующий диффеоморфизм многообразия dV. Рохлин полагает
М4 = L4 \ V Ur и Q4 = Р4 \ V U V' = U4 и Е,
где V' — второй экземпляр трубки V.
Затем Рохлин выделяет следующие свойства многообразий № и Q4:
Свойство а). При любом гладком приклеивании к М4 произведения двумерного тора и круга осевой двумерный тор этого произведения становится характеристическим циклом.
Свойство ЬУ Характеристическое число Х22 многообразия Q4 равно нулю.
Доказательство свойств а) и by Прежде всего заметим, что У U Vх есть нетривиальное 52-расслоение над S2, а V и X яв
ляются прообразами двух полусфер базы S2. Приклеивая к QXlO, 1] вдоль VX1 экземпляр тотального пространства S2XD3 нетривиального /)3-расслоения над S2, получим ориентированный кобордизм между Р4 и Q4. Свойство Ь) следует из того, что число Понтрягина) Х22 есть инвариант относительно ориентированных кобордизмов, и Р\ будучи произведением S2XS2, ограничивает.
Вложим этот кобордизм в R^+4, продолжив включение Q4X1 в R?+4. Свойство а) следует тогда из предложения и того, что поле Нп продолжается на двумерный остов многообразия 7И4.
В самом деле, так как сфера S2 гомологична тору т2, то реперное поле Яп продолжается на дополнение V в L4, а ось S2 трубки V есть цикл препятствий. Но L4\ V = 7И4\ V'. Если ось S2' трубки V' также цикл препятствий, можно (сглаживая углы в dV = dV^ построить реперное поле, нормальное к У [J W, циклом препятствий которого будет S2 U Xх2, так что этот цикл гомологичен нулю по модулю 2; это противоречит тому факту, что второй класс Штифеля — Уитни многообразия У U Vх (= S2 X S2) не нулевой. Он двойствен к X2 (см. рис. 4). □
Предыдущие указания должны были помочь читателю по-
нять построение поля Нп, данное в § 5; укажем, однако, следующий вариант доказательства (который использует современное определение классов Понтрягина).
Рис. 4. Если Н^ не продолжается на двумерный остов многообразия М4, то w2 (У U УО^О!
Как мы только что видели, поле Нп продолжается на двумерный остов многообразия 7И4. Так как Л2(Г/г) = 0, то оно продолжается также на дополнение некоторой точки т0 из М4, и препятствие к его продолжению на все М4 есть элемент х из лз(Г«). Комплексифицируем; так как поле Нп получается из поля (п, е5, .еп+з) отображением g; То-> SO (2) cz GL(n, R) и включение SO (2)-> GL (2, С)-> GL(n, С) гомотопно нулю, ком- плексификация поля Нп продолжается до реперного поля, определенного на Q4\m0; препятствие к продолжению на Q4 есть комплексификация хс е л3 уп (С)) элемента х. Однако группа Лз(1Лг(С)) изоморфна Z для п>2 и хс представляет число Понтрягина многообразия Q4, равное нулю в силу свойства Ь). Отсюда заключаем, что х само есть нуль, так как при п ^ 5 отображение ^3(Vn( R) )-^ л3(К/г(С)) инъективно. (В случае п=3, 4 можно также заключить, что х есть нуль, используя равенство нулю класса Эйлера нормального расслоения многообразия Q4 в R"+4 и явное описание стабилизаций л3(К/)-^л3(Vz+i) для i = 3 и 4 (см. § 23—26 книги Стинрода «Топология косых произведений») .)
ПРИЛОЖЕНИЕ А
ОПИСАНИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ХОПФА И ЕГО НАДСТРОЕК
Рассмотрим единичную сферу S3 в С2 и сферу Гаусса S2 = = CUOO = CPI. Отображение Хопфа Н: S3^S2 есть сужение на сферу S3 канонической проекции л: C2\0-^C U°° = СР1, определенной формулой л(Х, У)=У/Х.
Стереографическая проекция из полюса (О, I) сферы S3 на С. Ф R оставляет неподвижной окружность ^о = Н~[ (0). Параметрическое уравнение окружности ^о^
X = cos а + Z sin а, У = 0.
Пусть п (а) = cos а • ei + sin а • е2 — единичный вектор внешней нормали к f о в СХО; канонический базис вещественного векторного пространства С Ф R есть ei = (1, 0), e2 = (i, 0) и е3 = = (0, 1). Окружность ^^Я-Дв) есть пересечение с S3 комплексной прямой, задаваемой уравнением &Х—У = 0. Эта прямая пересекает СХО с индексом пересечения +1, и, следовательно, коэффициент зацепления /(^е, ^о) двух окружностей ^е и ^о равен +1. Реперное поле, которое получается в результате применения конструкции Понтрягина к отображению Хоп- фа, следовательно, параметризуется отображением F2. R/2^Z->- -^^2,3, где Vp, п есть пространство линейно независимых наборов р векторов в Rn: F2 (а) = (cosa • n(a)— sin а • e3, sin a • n(a) + + cosa • e3) (см. рис. 5).
Пусть f2— отображение, отвечающее при конструкции Понтрягина реперному полю F^ и fn = En~2f2 есть (п — 2)-кратная надстройка над /®
Для упрощения вычислений мы примем за модель сферы 5’г компактификацию Александрова 2nXiU°° произведения 2В2Х1п"\ где 7 = ]-1,1 [ и В2 = ^хх, х2) е R21 х? + %2 < Ц
Тогда отображение fn+2 определяется следующими формулами:
— если х = ((1 + х^ cos a, (1+Л sin а, х2, х^ ..., хп+2) ^
eSIX^2X2?(aeS1; (хъ Л В2; ^^+2) е Л, то
fn+2 (^) = (2 cos a • xv — 2 sin a • x2, 2 sin a • xx + 2 cos a • x2,
^3, х^ее2^Х°П
— в противном случае /ЛМ = оо.
Подставляя эти значения, получаем для hn = fn° fn+i ° fn+2 следующие выражения:
— если вектор х записывается в столбец
(1 +4(1 +4(1 +cos YM^siny^) cos(y—0))cos(0 —a))cosa (1 +4(1 +4 0 + COSYU,4-Sin ум2)соз(у—0))cos(0—a)) sin a 4(1 +4(1 + cos Y«i + sin yu2) cos (у — 0)) sin (0 — a)
4(1+ cos YMi + sin yu2) sin (y — 0)
■4 (1 + cosyuj + sin ум2)
x6
_Xn + 3
где (мь u2) e В2, (x6, ..., xrt+3) e 2Г, (a, 0, y) e S1 X S1 X S1, tohn ^ = (2u„ 2u2, x6, xn^ e 2 (S2 X Hi
— в противном случае hn^= oo.
Делая преобразование подобия с коэффициентом 4 и замену переменных ai = a, a2 = Р— а, аз = у — Р и, значит, у = <xi + + a2 + a3, получаем формулы Рохлина:
hnX (0) есть тор Го, обычным образом вложенный в Rcz^Rn+3;
хх = (4 + 2 (1 + cosa3) cos a2) cos a^
x2 = (4 + 2 (1 + cos a3) cos a2) sin ap, x3 = 2 (1 + cos a3) sin a2;
x4=sina3; xt = 0 для 1^5,
где (at, a2, a3)e Г3.
Если n^—единичная внешняя нормаль к Го в R4 в точке а с координатами (аь а2, а3), нормальное реперное поле, порожденное отображением hn, есть
их (ц) = п {a) cos («! + a2 + a3) — е5 sin (at + a2 + a3),
^2 (^) = ^ W sin («J + a2 + a3) + e5 cos («! + a2 + a3),
^3^6> • • • » ^n ^/2+3’
Заканчивая это приложение, заметим, что если ограничить/7-1З
описанное выше вложение тора 7 в /0 на один из сомножите-
лей, скажем на окружность переменных о^, определенную равенствами а, = ау- = 0 ((д /, &)— перестановка чисел (1, 2, 3)), то векторы d/dai и d/doij постоянны, в то время как (д/да^, п^а)) является базисом плоскости eb e&+i; этот базис делает полный оборот, когда ак изменяется от 0 до 2л. Так же обстоит дело с функцией на R/Z со значениями в SO (2) ^GL(n), которая переводит реперное поле VXaY е^ .. ., вм-з) в поле
// cos а& sin а& \\
НМих, .и\\ она ассоциирует .I с a^ I. Это
" v 1п)\г V —sina^ cosa^y V
показывает, что отображение Fq: Т3-+Уп+з индуцирует нулевой гомоморфизм фундаментальной группы. Напомним, что это отображение использовалось для доказательства утверждения § 3; оно определяется формулой
г? /х / д д д
Гл (Ct 1, «о, Ctg) (1Щ > • • • >
d/ у доц да2 да3 и ’ Л
ПРИЛОЖЕНИЕ В
НЕКОТОРЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ МНОГООБРАЗИЯ L4 И ТОРА т.
РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГООБРАЗИЯ L4 НА РУЧКИ
Рассмотрим стандартный тор То в R3 cz R3 (J °° = S3, описанный Рохлиным в § 3:
Пусть К — единичная трубчатая окрестность тора То; она диффеоморфна То X Т В ее дополнении имеются два круга Dy и D^ ограниченные соответственно меридианом тора Т0Х^—1) и параллелью тора ТоХ 1- Двойные воротники дисков Dv и D2 образуют две ручки индекса 2: Ну и Н2. Обозначим через ау и а2 их кооси:
V U HxU Н2 диффеоморфно утолщенной сфере S2XL вложенной стандартным способом в S3. Изобразим эту утолщенную сферу, выворачивая фигуру предыдущего рисунка как перчатку:
S2XIS2XI
S2XI
S2XI
Утолстим предыдущую ситуацию, рассматривая сферу S3 как экватор сферы S4. Окрестность V превратится в v=VXL а ручки Их и Н2 — в Нх = Нх X I и Я2 = Н2 X 1- Объединение PU#iU^2 диффеоморфно S^XIXI^XD^ его дополнение есть трубчатая окрестность D3XSt окружности, зацепленной с тором То в S4. Заменив эту окрестность произведением S2X^2, получим T4(^S2XS2). Пусть Я3 = D\ X ^2 — ручка индекса 2, заполняющая половину произведения S2X^2- Дополнение объединения VU^iU^sU^ в Р4 есть тогда шар размерности 4. Опишем зацепление в S3, по которому приклеиваются ручки, дуальные к Яь Я2, Я3:
Для Я1 и Я2 окружности Si и S2, по которым приклеиваются дуальные ручки, являются удвоениями коосей ручек Нх и Я2.
Они располагаются следующим образом в половине S1 X Я2 произведения SiXS2:
_Окружность S3, по которой приклеивается дуальная ручка к Я3, есть *XdD; при этом получается следующее зацепление:
(мы узнаем здесь борромеевские кольца).
Тривиализации трубок вокруг каждого из трех колец имеют коэффициент зацепления 0: это можно проследить в серии предыдущих рисунков или заметить, что это — единственные тривиализации, которые дают гомологии ранга три на крае многообразия 1Д полученного хирургией (напомним, что дЬ4 = То\
Теперь мы опишем структуру тора на крае многообразия L4, рассматриваемого как результат приклеивания к шару трех ручек с индексом 0 по кольцам Борромео.
Пусть р — вращение на угол 2л/3, которое переставляет кольца Борромео. Образ каждого из трех колец в факторпро- странстве S3/p есть тривиальный узел п. Дополнение к п допускает расслоение на диски, такое, что каждый диск пересекает образ оси вращения р трансверсально в трех точках. Таким об-
разом, дополнение колец Борромео расслаивается; слой F есть циклическое трилистное накрывающее диска с ветвлением в трех точках; таким образом, F есть тор с тремя дырами. Это расслоение продолжается до расслоения многообразия д1Д полученного в результате перестройки, на торы со слоем P = rUAU UZ)2UD3, рДе Di — диск в крае ручки, дуальной ручке Hi. Слой F инвариантен относительно естественного продолжения вращения р на L4 и представляет тор т2 с уравнением а1+а2 + а3 = 0 в 1 о-
Закончим это приложение несколькими упражнениями.
Вычислить монодромию расслоения колец Борромео. Вывести отсюда, что монодромия соответствующего расслоения многообразия L^ есть тождественное отображение: непосредственно проверяется, что многообразие размерности 3, представ
ленное перестройкой по оснащенному зацеплению
тор Г3.
Определить диффеоморфизмы тора Го, которые продолжаются на L4, и вывести, что многообразие, полученное приклеиванием T^XD^ к Г4, диффеоморфно или P4 = S2XS2, или «косому произведению» двух двумерных сфер S2X^2 (^.СР2# (—ОР2)).
Доказать, что если диффеоморфизм тора Т^ продолжается на L4, то он оставляет неподвижным класс гомологий mod 2 тора т. [Указание: всякий диффеоморфизм ф тора Го сохраняет спинорную структуру, порожденную реперным полем Нп (см. приложение С); продолжение диффеоморфизма ф должно сохранять препятствие к продолжению на L4 этой спинорной структуры.]
Доказать, что диффеоморфизм перестановки координат тора То продолжается на L^ (использовать разложение многообразия L4 на ручки).Доказать, что линейный диффеоморфизм тора Го с матриДоказать, что диффеоморфизм перестановки координат тора То продолжается на L^ (использовать разложение многообразия L4 на ручки).Доказать, что линейный диффеоморфизм тора Го с матрицейцей1 °)2 171 °)2 17продолжается до диффеоморфизма сферы S4,продолжается до диффеоморфизма сферы S4,инду-инду-/1цирующего диффеоморфизм с матрицей 2Vo/1цирующего диффеоморфизм с матрицей 2VoО 0\1 О I на То. [ПустьО 17О 0\1 О I на То. [ПустьО 17V\=SyXD2— один из двух полноториев, ограничиваемых тоV\=SyXD2— один из двух полноториев, ограничиваемых тором То в S3 (другой полноторий: V2 = D2XS1). Рассмотрите утолщение V\ = S1 X D3 полнотория Vi, заметьте, что S4\Fi^ ^D2XS2, и воспользуйтесь тем, что лДЗСЦЗ)) имеет порядок 2.]ром То в S3 (другой полноторий: V2 = D2XS1). Рассмотрите утолщение V\ = S1 X D3 полнотория Vi, заметьте, что S4\Fi^ ^D2XS2, и воспользуйтесь тем, что лДЗСЦЗ)) имеет порядок 2.]/1 ОВывести, что 2 1\0 О/1 ОВывести, что 2 1\0 О0\О I продолжается на /Л170\О I продолжается на /Л17
Доказать, что диффеоморфизм перестановки координат тора То продолжается на L^ (использовать разложение многообразия L4 на ручки).
Доказать, что линейный диффеоморфизм тора Го с матри
Доказать, что диффеоморфизм перестановки координат тора То продолжается на L^ (использовать разложение многообразия L4 на ручки).
Доказать, что линейный диффеоморфизм тора Го с матри
цей
цей
1 °)
2 17
1 °)
2 17
продолжается до диффеоморфизма сферы S4,
продолжается до диффеоморфизма сферы S4,
инду-
инду-
/1
цирующего диффеоморфизм с матрицей 2
Vo
/1
цирующего диффеоморфизм с матрицей 2
Vo
О 0\
1 О I на То. [Пусть
О 17
О 0\
1 О I на То. [Пусть
О 17
V\=SyXD2— один из двух полноториев, ограничиваемых то
V\=SyXD2— один из двух полноториев, ограничиваемых то
ром То в S3 (другой полноторий: V2 = D2XS1). Рассмотрите утолщение V\ = S1 X D3 полнотория Vi, заметьте, что S4\Fi^ ^D2XS2, и воспользуйтесь тем, что лДЗСЦЗ)) имеет порядок 2.]
ром То в S3 (другой полноторий: V2 = D2XS1). Рассмотрите утолщение V\ = S1 X D3 полнотория Vi, заметьте, что S4\Fi^ ^D2XS2, и воспользуйтесь тем, что лДЗСЦЗ)) имеет порядок 2.]
/1 О
Вывести, что 2 1
\0 О
/1 О
Вывести, что 2 1
\0 О
0\
О I продолжается на /Л
17
0\
О I продолжается на /Л
17
d) Производя в S4\7q «скручивания Дена» вдоль 1^ и V2,
показать, что:
/X °
линейные диффеоморфизмы с матрицами 0 10 1
Vo 0 1/
1 0 0\
ии0 11 продолжаются на S4, но не продолжаются на /Л
и
и
0 0 17
/1 0 1\
линейный диффеоморфизм с матрицей 0 11 про-
Vo 0 17
должается на L4.
Вывести из Ь) и с), что линейный диффеоморфизм продолжается на L4, если его матрица сравнима mod 2 с матрицей перестановки. Затем вывести из d), что для линейного диффеоморфизма необходимое условие а) является также достаточным.
Доказать, что всякий диффеоморфизм ф тора Г3 изотопен некоторому линейному диффеоморфизму. [Предположите, что ф индуцирует тождественный автоморфизм группы Щ; рассматривая самую внутреннюю окружность, сведите к случаю, когда Ф (Т2 X 0) П Т2 X 0 = 0; затем сведите к случаю, когда ф индуцирует тождественное отображение тора Г2Х0; повторите это рассуждение, чтобы свести к случаю, когда ф индуцирует тождественное отображение объединения Г2Х 0U Г1 X 0 X Г1 U0X
XT2; в заключение воспользуйтесь теоремой Серфа, согласно которой Diff+(S3) является связным.]
Пусть ф — диффеоморфизм тора Г3 и Л44 — многообразие, полученное приклеиванием многообразия L4 к T2XD2 посредством ф:
M^ = U U T1XD1 = L*\3T1XD,zl\dL^ = T^x~<$Vx^r =
Ф= РХдО2 = д(РХО2^.
Доказать, что
1) если рх оф: р2-^Т2 имеет нечетную степень, то М4 диф- феоморфно Р^ = Mid (= S2 X S2) и существует диффеоморфизм между Л4 [J Г X D2 и L4 Ц Р X D2, который сохраняет это раз- Фid
ложение (здесь рх; T2XD2-^T2— естественная проекция).
и) Если Р1°ф: т2-^Г2 имеет четную степень, то М^ диф- феоморфно «косому произведению» S2XS2 двух двумерных сфер (S2X S2 ^ С Р2#(—СР2)) и между двумя такими Л4Ф существует диффеоморфизм, сохраняющий это разложение.
ПРИЛОЖЕНИЕ С
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
Пусть М — ориентируемое многообразие размерности четыре. Поверхность F2 в 7И4 называется характеристической, если она является препятствующим циклом к тривиализации сужения на двумерный остов касательного расслоения многообразия М, т. е. если существует тривиализация t касательного расслоения многообразия М вне поверхности F и для каждого диска D, пересекающего F в одной точке и притом трансверсально, препятствие к продолжению t на диск D есть ненулевой элемент группы Л1 (SO (4)) ^ Z/2Z (напомним, что благодаря ориентируемости многообразия М структурная группа его касательного расслоения редуцируется к SO (4)). Другими словами, гомологический класс, реализуемый поверхностью F, дуален второму классу Штифеля — Уитни w2(M) многообразия М.
Рохлин использует то же понятие применительно к нормальному расслоению. Можно убедиться, что это то же самое, применяя к N = M\F следующее замечание.
Замечание. Пусть Nn — некоторое подмногообразие пространства R^, 2 < п < N — 2. Имеется биекция между множеством гомотопических классов тривиализаций сужения касательного расслоения xN на двумерный остов многообразия N и множест-
ный остов многообразия N его нормального расслоения nN. Эта биекция ставит в соответствие тривиализации t расслоения nN |^[2] класс такой тривиализации f расслоения vXI^], что сумма t® t7 гомотопна стандартной тривиализации сужения расслоения rR^ (в случае п ^ 2 касательное расслоение следует заменить стабильным касательным расслоением).
Например, предыдущая биекция ставит в соответствие три/ д д д \„
виализации} "5сГ" J Т0Ра -^о> инвариантной относи
тельно сдвигов, нормальное реперное поле Я^, которое рассматривает Рохлин.
Гомотопический класс тривиализации сужения стабильного касательного расслоения на двумерный остов многообразия есть спинорная структура на этом многообразии.
Имеется другое определение характеристической поверхности ориентируемого многообразия М4: поверхность F2 является характеристической для М4, если для всякого цикла mod 2, S2 cz cz М4, выполняется равенство S-S = S-F mod 2 (точка означает гомологический индекс пересечения). Равносильность этих двух определений есть формула By, для которой мы сейчас дадим следующее геометрическое доказательство.
Предположим, что цикл S2 представляется1) поверхностью G2. Пусть tG и vG — соответственно касательное и нормальное расслоения поверхности G в М. Так как объемлющее многообразие М ориентируемо, расслоения tG и vG имеют одно и то же препятствие w^ к ориентируемости. Пусть С и С7— две трансверсальные окружности, представляющие это препятствие. Пусть X—поле векторов, касательных к G, и У—поле векторов, нормальных к G, каждое из которых является ненулевым вне окрестности некоторой точки (gx и gY соответственно) из GXCUC;
Пусть X7— поле касательных векторов, ненулевое вне gx U С и образующее там вместе с X базис расслоения tG; пусть У7— поле нормальных векторов, ненулевое вне gy U С7 и образующее там вместе с У базис расслоения ^G. Вне {gx, gy, С П С7} три вектора X, Y, X7 + У7 независимы и образуют реперное поле, касательное к М, определенное на G\{gx, gy, С П С7}. Препятствие к продолжению этого поля на G есть 0 (X) + О (У) + С П G7mod 2, где О (X)—препятствие к продолжению поля X (т. е. эйлерова характеристика ^G^ поверхности G), a O(Y)—препятствие к продолжению поля У, равное G-G. Но для поверхности G2, как известно, /(G) + (wy (G) )2 = 0 mod 2; препятствие к тривиализации сужения на G2 касательного расслоения к М есть, таким
образом, G2-G2, что и устанавливает равносильность двух определений. □
Замечание. Во втором определении следует принимать во внимание все циклы mod 2, а не только те, которые получаются редукцией mod 2 целочисленных циклов: для поверхности Эн- риквеса, описание которой мы дадим в приложении D, пустая поверхность не является характеристической, хотя 2-2 = 0 mod 2 для всякого целочисленного цикла 2. Однако,^ если Hi(M; Z/2Z) = 0, то всякий элемент группы Н2(М; Z/2Z) является редукцией mod 2 некоторого элемента группы H2(M;Z).
ПРИЛОЖЕНИЕ D
МНОГООБРАЗИЕ РОХЛИНА Mf, ПОВЕРХНОСТИ ЭНРИКВЕСА ИКЗ-ПОВЕРХНОСТИ
Во второй статье Рохлину понадобилось многообразие М с сигнатурой —8, обладающее характеристической поверхностью с нулевым самопересечением. Для того чтобы получить это многообразие, он берет связную сумму комплексной проективной плоскости С Р2 и девяти экземпляров многообразия — СР2 — комплексной проективной плоскости с обращенной ориентацией: М^ = СР2 ф 9 (— СР2). Характеристическая поверхность F есть поверхность, представляющая гомологический класс f = (3, 1, ..., l)eZ ф Z9^H2(CP2) ф (Я2(-СР2))9^ ^H2(Mt). (В качестве образующей группы Я2(С:Э2) выбирается прямая СР1, снабженная ее комплексной ориентацией; для Jf = (x0,..., х9) gZ®Z9 = F2^ имеем
9
г = 1
99
следовательно, по модулю 2, Х2 = х0 — ^Xt = 3x0 — ^xt=X- f /=iz=i
и гомологический класс / является характеристическим; с дру- 9
гой стороны, f2 — З2 — ^ 1=0.) i = i
Многообразие Mf. Пусть Со и Соо— такие две кубические кривые, задаваемые в СР2 уравнениями Fo = O и Foo = 0, что общая кривая Ct пучка, порожденного кривыми Со и Соо)» яв' ляется гладкой. Этот пучок определяет рациональное отобра-
жение ф: СР2 — > СР1: пусть X С Р2\С0 П Соо; тогда ф(Х) есть единственное значение параметра р такое, что X е Ct. После 9 раздутий плоскости С/2 получается алгебраическая поверхность СР2, на которой отображение ф всюду определено:
композиция9 раздутийкомпозиция9 раздутий
композиция
9 раздутий
композиция
9 раздутий
Многообразие СР2 диффеоморфно многообразию Рохлина Mi, и собственный прообраз Ct. гладкой кривой пучка принадлежит гомологическому классу р В самом деле, раздутие в неособой точке X кривой С, расположенной на алгебраической поверхности 7И, соответствует связному суммированию пар « С)#(—СР2, СР1).
Поскольку все гладкие кубические кривые диффеоморфны посредством диффеоморфизмов объемлющей плоскости С Р2, из предыдущего следует, что дифференциально-топологический тип пары (СР2, Ct) не зависит от выбора пучка. Займемся теперь изучением топологии пары (СР2, С), выбирая подходящий конкретный пучок.
Так как слой Ct. гладкий, то он имеет окрестность, диффео- морфную произведению Ct X О2 = Т2 X D2; положим Л^ = = М^ \ int (Cto X 4 ^2)> кРаем этого многообразия является трехмерный тор Т3.
Предложение 1. Диффеоморфизм тора Т3 продолжается на N4X в том и только том случае, если он сохраняет ориентацию
Доказательство. Выберем такой пучок, чтобы база гомологий общего слоя Cf была представлена двумя исчезающими циклами, сжимающимися при приближении к двум простым особым слоям) Ctx и Ct. Пусть Dj и D2— диски, заметаемые этими исчезающими циклами в процессе их сжатия, такие, что ф(^1)иф(^2) есть вложенная дуга а, соединяющая ty и С, проходящая через /0 и не содержащая критических значений отображения ф, кроме ty и t2\
Присоединим к СцХ^2 две ручки Нх и Я2 индекса 2, осями которых служат диски Ьх и D2. Пусть V = CtoX D^ U Нх U Я2 —- полученное многообразие; можно сделать так, чтобы V было прообразом при отображении ф диска D, содержащего внутри себя дугу а.
Пусть е— исключительный дивизор поверхности СР2, трансверсально пересекающий общие слои, и пусть D^ = е \ У. Присоединим к Ct. X Я2 третью ручку индекса 2 вдоль диска D^ и образуем
Р = Ct.XD^ ЯШ Я2и Я3 = Уи Я3:
Положим, наконец, образия Q являетсяПоложим, наконец, образия Q являетсяQ = P\ int(СцХ ^У Краем много-
Положим, наконец, образия Q является
Положим, наконец, образия Q является
dQ = d+QUd_Q, где d+Q = Си X 4 д№== т^
В торе T3 = CtoXdD2 окружности, вдоль которых происходит присоединение ручек, — это параллели, не пересекающие
координатных осей; соответствующие оснащения этих окружностей отличаются от оснащений, инвариантных относительно сдвигов, на —1.
Так как сигнатура многообразия N^ не равна нулю (она равна —8), то всякий диффеоморфизм многообразия N4V сохраняет ориентацию. Теперь доказываемое предложение вытекает из следующей леммы:
Лемма. Всякий диффеоморфизм, сохраняющий ориентацию тора Т3 = d+Q, продолжается до диффеоморфизма многообразия Q, тождественного на d_Q.
Доказательство. Перемещая слой Ct. внутри V вокруг особых слоев Сц и С/2, получим диффеоморфизмы многообразия Q, тождественныенаd_Qииндуцирующиена Т3линейные диф-
/110\/10о\
фсоморфизмы aiи«2сматрицами010 IиI 1 10 1.
Vo01/Vo 01/
Многообразие Q обладает диффеоморфизмом (3 порядка 3, индуцирующим на Т3 = д^ диффеоморфизм а, который изотопен циклической перестановке координат. (Если в качестве окружностей, вдоль которых происходит присоединение ручек Яь Я2, Я3, выбрать окружности с уравнениями К = Z = 0, Z = X = 4» X = Y = 4» то диффеоморфизм [3, заданный формулой р (X, 7, Z^=^Z + 4, X, Y + у), переставляет эти окружности и тривиализации ручек, вследствие чего он продолжается на Q.) Сопрягая ai и ц2 ПРИ помощи р, реализуем все элементарные матрицы, а, следовательно, беря их композиции, все элементы группы SL^n, Z). Теперь утверждение леммы вытекает из того, что всякий диффеоморфизм тора Т3, сохраняющий ориентацию, изотопен некоторому линейному диффеоморфизму, определяемому матрицей на SL^n, Z) (см. упражнения в приложении В). □
Предложение 2. Многообразие Q, описанное в доказательстве предложения 1, допускает вложение в N^, такое, что дополнение N^\Q есть отрицательно определенный пламбинг Е^.
Следствие. Внутренний край d_Q многообразия Q есть сфера Пуанкаре.
Доказательство предложения 2. Займемся детальным изучением конкретного пучка кубических кривых.
Фиксируем е > 0, пусть Z^C; рассмотрим многочлен fet(х) = х3 + Зе2х—1. Для /=т^±2г82 этот многочлен имеет три различных корня. Если 1 = 1^— вещественное число, то один из
корней вещественный, а два других х,+ и х,_ — мнимые о
0m (\+) > 0^. Когда t пробегает отрезок [/о, ±2ге3], корни х0 и х± сближаются и в последний момент сливаются.
Рассмотрим пучок кубических кривых Се^, заданных уравнением Fet(X, У, Z) = ZY2— X3— 3s2Z2X + tZ3 = 0, или в аффинных координатах у2 = х3 + Зе2х — t. При фиксированном е положим Ct = C£t. Пусть t^ е R, например /0 = К и у0+ и у0-—• две кривые на С^ определенные равенством у0± = {(х, у, 1)е ^ С/о | х е [х/о, х/0±]}.Из предыдущего следует, что уо+и у0-являются исчезающими циклами, которые образуют базис группы Нх (Ct^ и исчезают на особых кривых С^ и С-^. Девять неподвижных точек этого пучка расположены над бесконечно удаленной точкой (0, 1, 0) оси у и образуют линейную цепочку бесконечно близких точек; пусть . .., eg— соответствующие исключительные дивизоры. Особыми слоями отображения ф: СР2->СР1 являются
ф-Ц— 2Ze3) = C-2i8^ ф'1 (2Z83) = С2г-8з И Ф-1 (оо) = C^U еь
Z = 1
и в СР2 имеет место следующая конфигурация:
Дополнение многообразия Q в СР2 есть регулярная окрестность _7
многообразия С^ U ez — отрицательно определенный пламбинг
Es. □
Замечание. Читатель может, устремив е к нулю в предыдущей конструкции, опознать сферу Пуанкаре в следующих трех обличьях:
край пламбинга £8,
— д-Q,
результат перестройки с оснащением 1 вдоль трилистника к = ((я, у) I У2 = -Л Сферы S3 = {(х, у) е С2| | х |2 + | у I2 = 1}.
Для совпадения ориентаций следует взять положительно определенный пламбинг £8 (в СР2 многообразие Q и отрицательно определенный пламбинг £8 расположены по разные стороны от их общего края).
Поверхности Энриквеса и КЗ-поверхности. Поверхность Эн- риквеса есть эллиптическая поверхность, полученная в результате двух логарифмических преобразований кратности 2 вдоль двух гладких слоев эллиптической поверхности ф: СР2->СР1, которая строится по пучку кубических кривых (см., например, Гриффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. Пер. с англ. — М.: Мир, 1982, т. 2, с. 633—639).
Предположим, что два слоя С+ и С_, вдоль которых мы будем производить логарифмические преобразования, расположены в окрестности-произведении некоторой гладкой кривой Со; представим эту окрестность в виде C0X^D2 таким образом, чтобы кривые С± соответствовали слоям Со X ±1 (здесь aD2 = = {г е С | |г| ^ а}). Действие этих двух логарифмических преобразований равносильно замене произведения C0X2D2 многообразием
R = C0X^-^D^^x, у)~Ц + т, у'1),
где т есть элемент порядка 2 в группе эллиптической кривой Со; идентифицируя Со с Т\ можно взять ^ = (у, О).
Это дает представление поверхности Энриквеса в виде Е =
Замечание. При помощи диффеоморфизмов монодромии на произведении С0Х£2 можно как угодно изменить элемент т. Соображения, основанные на монодромии, неявно используются и тогда, когда утверждается, что логарифмические преобразования вдоль С+ и С_ соответствуют одному и тому же т при отождествлении слоев С+ и С_ с Со посредством тривиализации трубки GqX2D2.
Двулистное накрывающее поверхности Энриквеса есть КЗ- поверхность; в нашем примере она диффеоморфна многообразию
K = N^Cox№-^dA un^n* U N\,
где приклеивающий диффеоморфизм ф: Р = dN^->dN^ = Р задается формулой ф(х, у, 2) = (х + 4> У. — 2).
Замечание. Приклеивание посредством отображения ф': р = dN^x->dN^ = Г3, ф'(х, у, 2) = (х, у, 2)дает то же многообразие К), но оно представляется при этом как накрывающее поверхности СР2, разветвленное над объединением двух гладких слоев: это разрешение особенностей двулистного накрытия плоскости СР2, разветвленного над объединением двух гладких кубических кривых. Читателю предлагается доказать, что КЗ-поверхность диффеоморфна двулистному накрывающему плоскости СР2, разветвленному над гладкой кривой степени 6, и, более общо, найти явные диффеоморфизмы между теми алгебраическими КЗ-поверхностями, которые ему встретятся) (такие примеры см. в гл. VIII и IX (особенно в упражнениях) книги Beauville. Surfaces algebriques complexes — Asterisque n° 54).
О ТРЕТЬЕЙ СТАТЬЕ (R [19])
Окружности двойных точек погружения общего положения
Наиболее важной частью комментариев к третьей статье является разъяснение метода Кнезера сглаживания в многообразии комбинаторных циклов коразмерности ^2.
Мы ограничимся здесь объяснением моделей окружностей двойных точек погружения общего положения, которые Рохлин использует для того, чтобы «исключить эти двойные точки».
Рохлин берет ориентированное многообразие Л4 размерности 3. Для того чтобы показать, что М ограничивает ориентированное четырехмерное многообразие W, он рассматривает погружение общего положения j; М3-^ R и вводит для окружностей его двойных точек операции (71 и С?2, с помощью которых строит многообразие N3, кобордантное многообразию М и допускающее вложение в R5. Многообразие N может быть триангулировано как подполиэдр пространства R5; тот факт, что оно ограничивает, получается тогда методом Кнезера — Рохлина, примененным к множеству X, заметаемому при стягивании многообразия N к началу координат пространства R5:
X = ^у \Эх N, /е[0, 1], такие, что y = txY
Это X есть полиэдральная цепь коразмерности 1 в R5 с гомологической границей dX = N. Теорема Рохлина — Кнезера (теорема 3 следующей главы) позволяет заменить X подмногообразием Ц7 пространства R5 с краем N.
В операции О^ нет ничего таинственного: это просто «круговая вложенная морсовская перестройка индекса 1» (Рохлин неявно использует ее аналог в размерности 4, когда он вычисляет Q4 в четвертой статье); операция О\ менее известна.
Итак, мы проанализируем окружности двойных точек, опишем явно вложенные модели операций 6^1 и б?2 и заметим, что случай, который приводит к более тонкой операции t?i, не может реализоваться в размерности четыре, чем объясняется то, что при вычислении Q4 в четвертой статье Рохлин считает эту часть доказательства тривиальной, тогда как в третьей статье ей посвящена существенная часть текста.
§ 1. Окружности двойных точек погружений общего положения
Пусть/: Л4п+1-> V2n+1 — погружение общего положения*), а ТИ^1 и К2^1 — замкнутые ориентированные многообразия размерностей п + 1 и 2n-R 1 соответственно.
Множество S двойных точек погружения f представляет собой набор окружностей, сужение погружения f на которые,
fi: S-^f(S), есть двулистное накрытие (S определяется формулой S = {х е М 1Зх' х, f (х') = f (х)}). !)
Пусть с — компонента связности множества f(S), и пусть она отождествлена с R/л^ ^ [О, л]/О ~ л. Пусть Т — площадка, трансверсально пересекающая окружность с в точке, соответствующей значению параметра 0 = л. Имеется окрестность У (с) в многообразии V, такая, что если ее разрезать вдоль площадки 7, то получится многообразие У97(с), диффеоморфное произведению [0, л) X R" X R”; кроме того, прообраз f-1 (f(M)n^T(c)) диффеоморфен произведению {О, 1}Х [0, л] X RX и отображение f относительно этих карт определяется формулой f(u, t, х) = = (t,ux, (1 — и^х^ где и^^О, 1}, t е [0, л], леВп (компонента «ц = О» направлена по «вертикальному сомножителю» [0, л]Х0ХВ" произведения [0, л]ХВ/1ХВ", а компонента «и=1» направлена по «горизонтальному сомножителю» [0, л]Х X XX 0 (см. рис. 1).
Заметим, что так как многообразие М ориентируемо, то окружность Х(с) имеет в М окрестность-произведение и отождествления на границе {0, 1}Х[0, л]ХК" нашей карты, которые дают окрестность окружности f-1(c), можно выбрать следующим образом:
(щ л, х) — (1 — и, 0, х), если накрытие ^ нетривиально над с,
(и, л, х) — (и, 0, х) в противном случае.
Отождествления, которые окрестность У97(с) превращают в выглядят тогда следующим образом:
в случае 1) (л, у, г) — (0, г,
в случае 2) (л, у, 2) ~ (0, у, 2).
В обоих случаях отображение f задается формулой
f (и, t, x) = (t, их, (1 — и^ х\
В случае 1) монодромия приклеивания Ут ^ есть отображение (z/, 2)->(2, у), которое меняет местами координаты произведения R^X К”; так как объемлющее многообразие V ориентируемо, то эта монодромия сохраняет ориентацию и коразмерность п погружения должна быть четной: мы установили, что случай 1 может иметь место только тогда, когда размерность многообразия М нечетна.
Отмстим, что выше координаты были выбраны в соответствии с ориентацией многообразия Л1 ).
§ 2. Объемлющий вариант операций Рохлина О\ и б? 2
Идея операций О\ и О^ состоит в том, чтобы произвести непрерывно зависящее от точки t на с устранение особенности — двойной изолированной точки множества, высекаемого образом f(M) на площадке Tt, нормальной к с в точке I (рис. 2).
V2 1V2 1f(O,f,IRn)f(O,f,IRn)fWX^Dn)fWX^Dn)Рис. 2. Операции Ох и (72, показанные на срезе ТрРис. 2. Операции Ох и (72, показанные на срезе Тр
V2 1
V2 1
f(O,f,IRn)
f(O,f,IRn)
fWX^Dn)
fWX^Dn)
Рис. 2. Операции Ох и (72, показанные на срезе Тр
Рис. 2. Операции Ох и (72, показанные на срезе Тр
Точнее, Рохлин удаляет из многообразия 7И полнотория Ki» состоящие из точек, координаты которых удовлетворяют неравенству |х|<| (ОДИН полноторий в случае 1) и два — в случае 2)); затем он вкладывает многообразие N, полученное
отождествлением на границе многообразия М\К, заменяя на М\К погружение f вложением g. Введем для m е f-1 (У (с)) обозначения m = (u, t, х), х = (хь ..., х„)е Rn; тогда вложение g определяется так:
если т^рЧ^иР или Ь1> Г то gkm>) = f (m)
если 4<| х К 1, то 5(0, t, x) = {t, Ф (I *1)(— ^н ^2, • • •, хп\ х\ gUM, x} = (t, х, q> (| х |) (— X!, х2, . хп^, где <р: [4, 1]-> ->[0, 1] —такое С°°-отображение, что
ф(4)=1; ф/(4)^—1; Фи(4) = 0 Для ^>2;
ф(1) = 0; ф^Д1) = 0 для п^1;
ф'^СО для /<1 (см. рис. 3)
ния дают многообразиения дают многообразиеДля |х[ = 4 отображение g отождествляет (ц; t; хх, х2, • • • .хД с (1 — и; t; —хх, х^ .х^. Именно эти отождествле- N.
ния дают многообразие
ния дают многообразие
V2 1V2 1Рис. 3. График функции ср.Рис. 3. График функции ср.Для тех, кто предпочитает неявные уравнения, даем в случае п = 2 следующее уравнение вложенной части многообразия N, находящейся в окрестности V (с):
V2 1
V2 1
Рис. 3. График функции ср.
Рис. 3. График функции ср.
о = F (t, у, z) = у • Z + ф ( I у I2 + I Z I2)
(где R2 отождествляется с С и ф продолжено формулами ф(/) = 4— ^ Для o^z^4> ф(О = о для ^^ О-
Если принять точку зрения «круговых ручек» и «скрученных круговых
ручек», которая подкрепляется приведенными формулами и рисунками, то можно убедиться, что операции О\ и б?2 не выводят из класса многообразий, ориентированно кобордантных многообразию 7И.
Для б?2 достаточно добавить к М\1 одну «круговую ручку» Н = [0, 1] X [0, л] X Dn/(и, 0, х) ~ (и, л, х), отождествляя точки ручки Н, отвечающие значениям параметров (0, t, х) и (1; t; xi, х2, .Хп^ точками многообразия Al X R отвечающими значениям параметров, с ((0; t; х); 1) и ((1; t; — хь х2, х^; 1).
Для операции Ov делается то же самое со «скрученной круговой ручкой» Я = [0, 1]Х[0, u\XDn/^u; 0; хь х2, ..., х/г) ^(1 — и\ л; —Xi, х2, ..., хп): это ориентируемое многообразие, и образ части 5( [0, 1] )Х [0, л] X Dn! ~ его края, па которой делается приклеивание, связен; следовательно, получается опять- таки ориентированный кобордизм.
§ 3. Формулы Рохлина
Рохлин использует тот же кобордизм: многообразие, которое он обозначает через W4, есть нетривиальное расслоение на диски над бутылкой Клейна В2, обладающее сечением; многообразие Q3 есть прообраз лежащей в В2 односторонней кривой при проекции этого расслоения: многообразие W4, разрезанное вдоль Q3, есть расслоение на диски над лентой Мёбиуса 7И2; это наша скрученная ручка Н (в наших координатах расслоение есть отображение л: Я-^7И2, заданное формулой
л ^и\ t; xY) х2, . . ., х^ (и, хх\
где [0, IJXSVfl, х) ~ (О, —х) берется в качестве модели ленты Мёбиуса 7И2, а квадрат DiX^1 берется в качестве модели диска D2, являющегося коосью ручки Я). Многообразие W\ разрезанное вдоль Q3, есть ориентированный кобордизм между границей регулярной окрестности многообразия Q3 (эта граница является полноторием) и расслоением на окружности, ассоциированным с расслоением на диски над 7И2.
Игра Рохлина с угловыми координатами имеет целью показать, что расслоение на окружности, ассоциированное с этим расслоением на диски, диффеоморфно нетривиальному расслоению на интервалы над бутылкой Клейна (которою при построении многообразия N заменяется лежащий в 7И тор К). В этом можно убедиться и непосредственно.
Либо заметим, что расслоение (на окружности) над листом Мёбиуса 7И является регулярной окрестностью прообраза осевой линии листа Мёбиуса 7И; этот прообраз есть бутылка Клейна, регулярная окрестность которой в расслоении (на окружности), не тривиальном над листом Мёбиуса, нетривиально расслаивается на интервалы.
Либо рассмотрим эти два пространства как ориентируемые тотальные пространства нетривиальных расслоений со слоем кольцо над окружностью. (Достаточно скомпоновать проекции расслоений, определяющих эти пространства, с расслоениями ^-^S1 и B2->S1 соответственно.) В нашей модели расслоение над бутылкой Клейна В2 определяется формулой (ц, t, х)-^- х) (случай п = 2 нашей модели).
МЕТОД КНЕЗЕРА СГЛАЖИВАНИЯ ЦИКЛОВ КОМБИНАТОРНОГОМНОГООБРАЗИЯ. ПОПЫТКА КОМБИНАТОРНОГО ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
РАВЕНСТВА Q4 = Z
Введение. Кривая Со, определяемая уравнением ху = 0, имеет единственную изолированную особенность и может быть аппроксимирована гладкой кривой Се, задаваемой уравнением ху = е.
Метод Кнезера ([К]), который мы здесь изложим, является обобщением этой деформации сглаживания на случай, когда вместо алгебраического многообразия с изолированными особенностями имеется всего лишь подполиэдр комбинаторного многообразия, удовлетворяющий некоторым гомологическим предположениям.
Сформулируем результат, который получается этим методом.
Теорема 2. Пусть Кп — конечный ориентированный подкомплекс^) размерности п триангулированного многообразия AW1 размерности я4~1- Предполагается, что цепь К, определенная [ориентированными) п-мерными симплексами комплекса К, есть цикл с целочисленными коэффициентами. Тогда существуют подразбиение многообразия М и подкомплекс N этого подразбиения, который является локально-плоским ориентированным подмногообразием многообразия М и целочисленно гомологичен циклу К.
В случае ориентируемого М эта теорема доказывается в наше время с использованием трансверсальности Тома: двойственным по Пуанкаре элементу группы Нп[М, Z), определяемому циклом К, является элемент группы Я1 (Af, дМ; Z) (если М не компактно, его следует заменить компактной окрестностью подкомплекса /С); тогда этот последний элемент представляется отображением f многообразия М на окружность S1, постоянным на крае дМ и трансверсальным некоторой точке окружности S1 (отличной от точки ЦдМ)). Заметим, что в случае неориенти- руемого М «современное» доказательство этой теоремы не является таким легким, в то время как достаточно лишь небольших изменений метода Кнезера из работы [К] 1924 г., чтобы в любом случае (для ориентируемого или нет многообразия А1) доказать теорему о когомологическом сглаживании: всякий элемент группы Я1 (ЛГ, Z) представляется подмногообразием коразмерности 1 локально плоским и трансверсально ориентированным.
Но сегодня интерес к изложению этого метода в другом. Рохлин в работе [R], где он показывает, что группа кобордиз- мов ориентированных многообразий размерности 3 тривиальна, анонсирует метод Кнезера в случае наличия края, что можно рассматривать как начало «комбинаторной машины» Кнезера, позволяющей сглаживать циклы коразмерности 2; естественно попытаться это развить; препятствие встретится на следующем этапе, но так получается вычисление группы кобордизмов Q4, подобное доказательству того, что Q3 = 0. Однако мы не собираемся давать комбинаторное доказательство теоремы Рохлина
*) Каждый симплекс максимальной размерности п снабжен ориентацией»
и должны будем ограничиться дифференцируемыми многообразиями и использовать теорему Уолла о единственности нормального PL-расслоения в коразмерности 2; но эта теорема не имеет удовлетворительного доказательства (используется теорема Шёнфлиса в случае малой размерности, теория ручек Смейла в случае большой размерности и, чтобы перекинуть мост, требуется теорема Серфа: группа Diff(S3) связна). Заметим, что теорема 1 охлина очевидным образом влечет теорему Уолла (в силу рассуждения, общего для всех размерностей). Так что желательно найти комбинаторное и элементарное в описанном выше смысле доказательство теоремы Рохлина.
В § 1 мы изложим основную конструкцию. Параграф 2 посвящен неориентируемому аналогу теоремы 2, сформулированной выше; теорема 2 будет доказана в § 3. Теорема Рохлина (сглаживание ориентированного полиэдра К при фиксированной гомологической границе, которая есть локально плоское подмногообразие коразмерности 2) будет установлена в § 4; этот результат позволит в § 5 установить аналог теоремы 2 в коразмерности 2. Параграф 6 будет посвящен техническим трудностям, отмеченным выше, которые встречаются в доказательстве теоремы охлина; в § 7 мы потерпим неудачу, пытаясь обобщить теорему Рохлина на коразмерность 2, но зато получим анонсированное выше доказательство того, что Q4 = Z.
В заключение мы сформулируем упражнения, показывающие, между прочим, как, используя метод Кнезера, получить результаты относительно Я1 (М, Z), Я1 (М, Z/2Z), Н^^М, Z).
Основная конструкция
Сначала напомним некоторые понятия комбинаторной топологии. Пусть о — симплекс симплициального комплекса К. Звездой*) симплекса о в К называется подкомплекс комплекса К, образованный всеми гранями симплексов, для которых о есть грань; обозначение: St (о, Я). Линк) симплекса о в К есть подкомплекс, образованный не пересекающимися с or гранями симплексов, для которых or есть грань; обозначение: L(or, К). Если К обозначает первое барицентрическое подразделение комплекса Я и Gi — симплексы наибольшей размерности комплекса o, = of\K\ то все линки L^Oi, К') равны, и этот общий линк обозначается через L(or, К'); объединение звезд St(or,, К') называется звездой симплекса от в К'; она обозначается через St (or, К').
Мы будем использовать следующие известные факты.
* = star (англ.) = site или etoile (франц.).
д St (а, К') = до * L (or, К').д St (а, К') = до * L (or, К').Звезда симплекса о в К? изоморфна джойну симплекса о и его линка в К': St (or, К')~ о*1До, К') (этот изоморфизм является симплициальным, если симплекс от триангулирован симплексами из К'). В результате получается, что граница звезды от в К/ изоморфна джойну границы симплекса о и его линка в К':
д St (а, К') = до * L (or, К').
д St (а, К') = до * L (or, К').
Подкомплекс Кп комбинаторного многообразия MnJrq называется локально плоским в М, если для всякого симплекса ор из К пара линков (L (о, М), L^o, 7<)) есть пара, составленная из сферы размерности п— р—1 + д и незаузленной в ней сферы размерности п— р—1.
Пусть А? —подкомплекс размерности п триангулированного многообразия Мп^ размерности п + q. Мы будем говорить, что К имеет особенности коразмерности ^ с, если К ХК^--^ есть локально плоское подмногообразие многообразия М^К^-^ обозначает (п—с)-мерный остов комплекса /С). Это свойство технически выражается следующим образом:
Для всякого I, 0^1^ с, и всякого (п — 0-мерного симплекса из К пара линков (L(cr, ЛГ), Р(о, К')) симплекса о в М' и в К'(= РДАР) РР-изоморфна стандартной паре сфер (Sz~1+p S^1) (из которых меньшая не заузлена в большей). Симплекс, для которого это свойство нарушено, называется особым.
Теперь мы можем изложить основную конструкцию.
Пусть о — некоторый ^п— с)-мерный симплекс подкомплекса, имеющего особенности коразмерности ^ с. Тогда линк Р(о, К') есть локально плоское подмногообразие Vе-1 размер-
ности с—1 линка L^o, М'), который является сферой размерности q + с— 1 ).
Если линк V ограничивает Wc — локально плоское подмногообразие сферы L(o, М% то Кнезер устраняет особенность комплекса К, заменяя К комплексом
Ку = К \ St (о, ТС) U до * W (см. рис. 2)
Обозначим через Mi подразделение многообразия М, которое триангулирует Ki как свой подкомплекс. Вне звезды St (о, АГ) комплекс Кь равно как и К, имеет особенности коразмерности ^ с. В St (о, М^\до комплекс Ki есть локально плоское подмногообразие). Следовательно, только у тех симплексов т, которые входят в до, пара линков (L(t, Л11), ^(т> ^i)) может быть преобразована. Конечно, чтобы добиться чего-либо, нужно осуществить это преобразование одновременно на всех особых (п— с)-мерных симплексах комплекса К, что может быть достигнуто еще одним дополнительным подразбиением (для всех симплексов о^ из К^^^^К7 звезды St (о, К77) могут пересекаться только в точках границы до).
Отметим связь между этой конструкцией и деформацией кривой Се, рассмотренной во введении: если алгебраическая гиперповерхность с уравнением f = 0 обладает изолированной особенностью в точке х, то в качестве многообразия W можно взять слой Милнора этой особенности, который, как известно, изотопен St (%, ЛГ)П {/“Ч8)}-
Впоследствии вся проблема сводится к тому, чтобы найти условия, гарантирующие существование многообразия W: проблема «поверхности Зейферта» для локально плоского подмногообразия сферы.
Теорема Кнезера (с коэффициентами из Z2)
Теорема 1. Пусть М — многообразие размерности (п+1), снабженное триангуляцией Т, и пусть Кп— конечный подкомплекс размерности п триангуляции Т, который является циклом по модулю 2. Тогда имеется локально плоское подмногообразие
Рис. 2. Основная конструкция в случае п = 2, q — 1, с — 1.
а) о-—отрезок Л0Л1; St (а, М)—октаэдр, объединение четырех тетраэдров A0AiBiBi+1 (i = 0, 1, 2, 3); St(a, К) есть объединение четырех треугольников ЛоЛ^-.
b) L(o, М')—восьмиугольник (bi, i+i — барицентр тетраэдра A^AiBiE^^ bi — барицентр треугольника AoAiBi). Линк Л (а, Л') образован четырьмя точками bo, bi, b2, ba.
с) W— объединение ломаных bibi2b2 и ЬзЬзоЬо.
d) вложенный комплекс Ki.
е) абстрактно Ki имеет изображенный здесь вид.
N многообразия М, гомологичное К по модулю 2, которое есть подкомплекс 2п-го барицентрического подразделения Т^ триангуляции Т.
Доказательство. Допустим, что построен подкомплекс Ki многообразия Mi = T^2i\ который имеет особенности коразмерности (Z + 0 и гомологичен К по модулю 2 (наше построение будет рекуррентным, мы начнем с Ко = К и в заключение положим N = КД.
Пусть О1, .<3N — симплексы размерности (л — (i-f-l)) пересечения КУ1-^^ П Кр где /С^-йЧП! есть остов комплекса Kt и К^ есть барицентрическое подразделение комплекса Ki. Пусть Vj— линк L^Oj, КД; он ограничивает локально плоское подмногообразие Wj сферы L (dp МД. Действительно, если I = О, то, поскольку Ко = К есть цикл по модулю 2, каждый линк Vj образован четным числом точек и, следовательно, ограничивает совокупность непересекающихся дуг Wj окружности L (од МД (см. рис. 2); если i > 0, то утверждение является следствием того, что всякое многообразие коразмерности 1 разбивает сферу (поскольку она односвязна).
Так как звезды St (од МД соприкасаются только по границам симплексов О/, то можно операции Кнезера применить одновременно к звездам всех о/, чтобы получить
^■+1=VKiх у,st ч ч)) у, d°i *
Объединение джойнов U дает гомологию по модулю 2 между Ki и Кж- □
Теорема Кнезера (с целыми коэффициентами)
Доказательство теоремы 2. Допустим, что построен ориенти рованный n-мерный подкомплекс Ki подразделения Mt многообразия 7И, который имеет особенности коразмерности "^ U Д- 1) и целочисленно гомологичен комплексу К (рекуррентное построение начнем с Ко = К и положим N—КД. Мы будем использовать те же обозначения, что в предыдущем доказательстве. Выберем ориентацию для каждого п— (г + 1)-мерного симплекса о,. Так как комплекс Kt ориентирован, линк 1Дар КД есть ориентированное подмногообразие Vj коразмерности 1 сферы Ь^зр МД.
Утверждение. Существует такое ориентированное подмногообразие Wj коразмерности 0 сферы L(op М^, что U^. Q К= =3W ^$ и ориентации многообразий Wj П Vj и dW, совпадают.
В самом деле, для z=0, в силу того, что К есть целочисленный цикл, Vj образовано четным числом 2^ точек, расположенных на окружности, и в точности к из них положительно ориентированы; поэтому в дополнении имеется дуга с противоположно ориентированными концами. Для I > 0 достаточно взять самую внутреннюю компоненту.
Произведем частичную операцию Кнезера на WH полагая
Ki = (Д Х Д St (Т’ К'Г)) й до, * W, U Oj * (7, \ d\vy.
N
Объединение джойнов (J oy * W; дает гомологию между K{ и Kvf (см. рис. 3).
Рис. 3. Частичная операция Кнезера. Сложность комплекса Ki равна 6; слож-ность комплекса К\ равна 4.
Комплекс К- еще может быть особым в коразмерности / Д- 1, но он проще, чем Ко сложность комплекса Ki определяется как максимальное число компонент подмногообразия Vo т. е. линка L^OpK^, где Oj пробегает особые симплексы размерности п— (Z+1). Заметим, что для всякого подразделения подкомплекса К\ особыми симплексами размерности (п — (/Д-1)) являются только симплексы тп-(/+1), которые содержатся в оо и что для такого симплекса линк L(t, К1/') PL-изоморфен Vj\dWj. Таким образом, К- имеет меньшую сложность, чем Кб повторив это построение несколько раз, получим К^ с нулевой сложностью и положим Кнх = К&.
Заметим, что теоремы 1 и 2 допускают относительные варианты: если комплекс К в окрестности некоторого замкнутого
множества является локально плоским подмногообразием (ориентированным в случае теоремы 2), то можно потребовать, чтобы многообразие N совпадало с К вблизи этого замкнутого множества: достаточно применить операции Кнезера только к особым симплексам Oj (т. е. к тем, для которых пара линков (L^Op М^у L(Op К'- ^ представляет собой нетривиальный узел).
Теорема Рохлина
Теорема 3. Пусть Кп есть п-мерный конечный ориентированный подкомплекс (п + 1)-мерного ориентированного многообразия 714”+!. Допустим, что граница цепи R, определенной п-мер- ными ориентированными симплексами из К, есть локально плоское подмногообразие Qn-Y многообразия М.
Тогда найдутся подразделение многообразия М и подкомплекс этого подразделения N, являющийся локально плоским подмногообразием многообразия М, который имеет границей подмногообразие Q и целочисленно гомологичен по модулю Q цепи R.
Доказательство. Будем говорить, что комплекс К имеет особенности коразмерности Д> с, если К \ Д[п~с] есть локально плоское подмногообразие с краем Q \ К^--^; технически это выражается так:
для всякого (л— Z)-мерного симплекса из Q (0 ^ I ^ с) линк L^o, К') есть локально плоский диск в сфере L^o, МД с границей L^o, Q^ (напомним, что, поскольку Q — локально плоское подмногообразие, этот последний линк есть незаузлен- ная сфера);
для (л—Z)-мерных симплексов из K\Q такое же условие, как выше.
Предположим, что построен подкомплекс Ki подразделения М, многообразия М, особый в коразмерности (Z + 1) и гомологичный по модулю Q комплексу К (гомологическая граница подкомплекса Ki есть, следовательно, подмногообразие Q). Мы будем пользоваться такими же обозначениями, как в доказательстве теоремы 2.
Линк L^Op К") есть локально плоское и ориентированное подмногообразие Vj сферы L(^(jp М^, которое имеет непустой край, только если Z ^ 1 и симплекс Oj лежит в Q; в этом случае краем многообразия Vj является линк Цор К" t\Qy который представляет собой незаузленную сферу Sj.
Допустим сначала, что Z ^ 1 и о? лежит в Q.
Утверждение. Имеется диск Dj размерности I, локально плоский в Т(Др М^у с границей Sj и такой, что
в регулярной окрестности Rj сферы S/ многообразия Vj и Dj совпадают;
цикл {Dj (J Vj) \ Rj целочисленно гомологичен нулю вне Ri, т. е. в Ef = L Oj, Мр) \ Rr
Дополнение, а) Если Gj не лежит в Q (а также если / — 0), утверждение справедливо для Dj = Rj = 0.
Если 1 = 0 и Oj лежит в Q, утверждение справедливо, когда Rj есть регулярная окрестность диска Dj.
Дополнение означает только то, что в целочисленном случае гомологическая граница подкомплекса Ki есть подмногообразие Q при 1 = 0, а при 1 имеем H^L^Oj, М^) = 0. В силу утверждения, поскольку сфера Sy незаузлена, она ограничивает диск Dj размерности I. Ввиду существования воротника сферы Sy в D1 и Vj и двойного воротника у Dj и Vt вЕ {Gj, М^, можно в окрестности сферы Sj интерпретировать Dj и Vj как следы двух сечений двух нормальных расслоений сферы Sy в L^o., М"у Используя теорему Уолла ([W]) о единственности нормальных расслоений в коразмерности 2, можно после изотопии диска Dj считать, что эти два расслоения совпадают, и, следовательно, эти два сечения различаются отображением сферы Sy в окружность S1. Так как эти два сечения целочисленно гомологичны (поскольку Dj и Vj ориентируемы), различающее отображение гомотопически тривиально; эти два сечения изотопны, и поэтому можно реализовать условие а) (именно здесь используется условие ориентируемости; по поводу того, что происходит в неорисн- тируемом случае, см. упр. ЗЬ) и Зс)).
Рис. 4. Обматывание диска D, вокруг Sj.
Так как Ej имеет гомотопический тип окружности, условие Ь) автоматически проверяется для i ^ 2, а для i= 1 достаточно взять связные суммы дуги Dj с граничными окружностями маленьких дисков, трансверсальных к Sj (или, если угодно, обмотать Dj вокруг Sy (см. рис. 4)).
Теперь закончим с помощью утверждения доказательство теоремы 3.
Пусть бу — барицентр симплекса Oj и е/ = б/*£(ор М^ — клетка, дуальная клетке ар Рассмотрим £у X [у, 1] ([4, 1] есть
Рис. 5. Заключительная конструкция доказательства теоремы 3.Рис. 5. Заключительная конструкция доказательства теоремы 3.
Рис. 5. Заключительная конструкция доказательства теоремы 3.
Рис. 5. Заключительная конструкция доказательства теоремы 3.
«внешняя половина» образующей [0, 1] джойна; см. рис. 5). На границе множества Е; X [4’ * рассмотрим подмногообразие
Ь = (Д Л Л) X 1 и (Vj n dEj) х [У 1] и (Д л Д) X 4. с ориента-
80 Л. Гийу и Л. Марен. Комментарии к четырем статьям В. Л. Рохлина цией, которую оно наследует от V/, многообразие Т; гомологично нулю в Ej X [4’ 1]’ следовательно, в силу относительной формы теоремы 2, указанной в конце предыдущего параграфа, Т, ограничивает вЕ/Х[4> 1] подмногообразие WV. Положим
^-^uo^x^xH. 1]
и Кнх = К{ \ ( у St (ар К")^ у (^ * wy U * (Д X 4).
N
Объединение (J Oj * 1Г/ есть целочисленная гомология между Kt и1
(Заметим, что, в противоположность тому, что происходило в предыдущих теоремах, джойны о; * Wj не вложены в L^Op K^Y хотя два объединения в формуле, определяющей Лт, вложены.)
Заметим, что в упр. За) представлено более наивное доказательство.
Следствие. Пусть Qn-A— ориентированное локально плоское подмногообразие коразмерности 2 многообразия Мп+\ фундаментальный класс которого есть нуль в Нп_ДМ, ЕД. Тогда для Q в М существует поверхность Зейферта S, т. е. ориентированное п-мерное подмногообразие, локально плоское в М, краем которого служит Q.
Доказательство. Теорема 3 применяется к комплексу Кп, который реализует гомологию нулю многообразия Q в М. □
Замечание. В классическом случае, когда AF+1 = S3 и Q — ориентированное зацепление, можно выбрать точку х0 в S3, из которой зацепление Q видится погруженным только с трансверсальными двойными точками. Возьмем в качестве К конус над Q с вершиной в точке х0(см. рис. 6). Доказательство упрощается, такйкак если применить к особым ребрам конуса К (которые находятся вне зацепления Q) операцию Кнезера (ту, что в теореме 2; поскольку линк состоит из четырех точек, это можно сделать всего один раз!), то комплекс К становится во всех точках, кроме вершины конуса, локально плоским подмногообразием. Применение к нему операции Кнезера дает исторически первое доказательство существования поверхности Зейферта, данное Франклем и Понтрягиным ([FP]); заметим, что эта конструкция приводит к той же поверхности, что и алгоритм Зейферта ([S]).
Рис. 6. Конструкция Франкля — Понтрягина. Два окошка в поверхности Франкля — Понтрягина узла-трилистника прорезаны для того, чтобы видеть, что происходит «внутри».
§ 5. Метод Кнезера в коразмерности 2
Теорема 4. Пусть Кп есть п-мерный конечный ориентированный подкомплекс триангулированного (п + 2)-мерного многообразия М^2. Допустим, что п-мерная цепь К с целыми коэффициентами, определенная подкомплексом К, есть цикл.
Тогда существует подразделение многообразия М и подкомплекс этого подразделения N, который является ориентированным локально плоским подмногообразием многообразия М, целочисленно гомологичным циклу К.
Доказательство. Оно аналогично доказательству теоремы 2. Мы воспользуемся теми же обозначениями. Заметим, что,
6 Под рсд. л. Гийу и А. Марена
поскольку комплекс Рц ориентирован, ориентация симплекса o.^^KV1-^ определяет ориентацию линка Vj = L ^р К^У Следствие теоремы 3 позволяет построить ориентированную поверхность Зейферта Wj для У/; оставшаяся часть доказательства совпадает с соответствующей частью доказательства теоремы 2. □
Возвращение к доказательству теоремы Рохлина
Цепочка теорем 2, 3 и 4 выглядит как начало рекуррентного сглаживания циклов любой коразмерности. Благодаря Тому известно, что эта мечта неосуществима, однако нам кажется интересным запустить «машину Кнезера» и получить геометрическую информацию о фактах, которые создают препятствие: в § 7 мы сделаем попытку доказательства теоремы Рохлина в коразмерности 2, которая потерпит неудачу, но приведет к вычислению ГруППЫ КОбОрДИЗМОВ Q'4.
Аргументация § 4 не будет обобщаться, вместо этого будет использована теорема Уолла. Этот параграф посвящен изучению теоремы Уолла и ослабленного варианта теоремы Рохлина, не использующего теорему Уолла; это тот вариант, который мы обобщим в § 7.
Набросок геометрического доказательства теоремы Уолла
Используя теорию погружений, Уолл сводит свою теорему к тому факту, что если гладкий узел (Srz+2, И^ коразмерности 2 тривиален в кусочно линейной категории, то он тривиален и в дифференциальной категории (2" есть гладкое многообразие, PL-изоморфное стандартной сфере S"). Наметим доказательство, которое Уолл дал этому факту.
В силу единственности регулярной PL-окрестности и теоремы сглаживания Хирша, трубка вокруг 2" диффеоморфна произведению S^XD2, стандартно вложенному в S"+2; построив сечение трубки, получаем, что X" и Sn X 1 вложены в S^XS1. С помощью достаточно большого сдвига бесконечного циклического накрытия SnX R получаем в произведении Sn X R непе- ресекающиеся поднятия сферы S'1 и многообразия XX пусть А— компактная область, содержащаяся в Sn X R между этими экземплярами S" и ХА Обматывая бесконечное циклическое накрытие вокруг X", можно вложить А в S"+2 и образовать А"^1 = = ^п X I U A U D^1 — гомотопический диск, ограниченный сферой X" (см. рис. 7).
Если п + 3, 4, то применяется теорема Шёнфлиса), которая верна в этих измерениях (и была элементарно доказана Шён
флисом и Александером для п=\, 2, а для п^5 была получена при помощи теории ручек Смейла). Уолл блестяще справляется с оставшимися случаями (случай п = 3 наиболее труден), существенным образом используя методы теории ручек и теорему Серфа, утверждающую, что группа Diff (S3) связна.
Рис. 7. Обматывание Уолла.
Таким образом, эта теорема использует наиболее глубокие результаты дифференциальной топологии и особенно неэлементарна в следующем смысле: хотя она верна в каждой размерности, доказательства в разных размерностях различны.
Теорема Рохлина влечет теорему Уолла
С самого начала ясно, что утверждение § 4 влечет теорему Уолла: рассмотрим У"41— гладкую поверхность Зейферта для узла (SWX ^У Согласно утверждению, 2" ограничивает диск Вгг\ который является локально плоским почти дифференцируемым и совпадает с У вблизи 2" (следовательно, вблизи своей границы 2П диск Вп^х есть гладкое подмногообразие сферы S"+2). В силу теоремы Хирша о сглаживании в коразмерности 1 существует почти дифференцируемая изотопия, неподвижная вблизи узла 2", которая переводит Вп^ в гладкое подмногообразие сферы Sw4A Имеется только одна гладкая структура на диске, PL-согласованная с этой PL-структурой (в силу теории препятствий к сглаживанию Манкреса или, если угодно, в силу теоремы Хирша о структуре произведения). Таким образом, узел 2/г ограничивает гладкий диск и, значит, тривиален.
Покажем теперь, что относительная форма теоремы Рохлина*) влечет теорему Уолла.
Рассмотрим (S"+2, H^Xi—утолщение узла (Sn^2, 2"). Пусть У—гладкая поверхность Зейферта для 2" и В— почти дифференцируемый диск, PL-тривиализирующий узел. Вблизи S'^xo рассмотрим утолщение У X [0, е] поверхности Зейферта
V и вблизи S"+2X1 утолщение DXU— 8,1] диска D, а на оставшейся части произведения 8м-2 XI присоединим к этим утолщениям цепь К, осуществляющую гомологию по модулю 2^ между этими двумя поверхностями Зейферта. Относительная форма теоремы Рохлина дает нам локально плоское подмногообразие W произведения 8п^Х1 с краем dW = УХ 0U WX1UDX 1.
Пусть (Е, F)—регулярная окрестность произведения IF XI в паре (S"+2 X Л WT Из существования окрестности-воротника произведения 2"Х/ в Ц7 и единственности регулярной окрестности этого произведения в S^XI следует, что пара (Е, F) изоморфна (S"X D2X Л IXX IX I) и> следовательно, ее «край» (дЕ, F дЕ) ^ (IXX D2 X I, IX X I) есть конкордантность между дЕо П V и dEYf\D (Ei = Е Q S"+2 X i). Замечая, что Ео содержится в Еь строим диск Db совпадающий с V (и, значит, гладкий) в Ео и с D вне Еь (Напомним, что в силу единственности регулярной окрестности EY \ Ео ^ дЕ0 X h см. рис. 8.)
Конец доказательства совпадает с концом первого абзаца п. 6.2. Предоставляем читателю заменить в предыдущем наброске почти дифференцируемую категорию кусочно линейной, применив теоремы Уайтхеда о триангуляции. Заметим также, что теоремы Уайтхеда, как и теорема Хирша о сглаживании (следствие теоремы о структуре произведения), которые используются здесь, являются в отличие от рассуждений Уолла элементарными в нашем смысле.
Напомним, что Рохлин анонсировал свою теорему в 1951 г.), и тогда он не имел в своем распоряжении ни теоремы Уолла,
ни всего того, что использует Уолл; несмотря на многочисленные попытки, мы не смогли дать элементарное доказательство теоремы Рохлина (и тем самым теоремы Уолла)). В следующем пункте мы разъясним эту трудность, доказывая элементарным способом ослабленную форму теоремы Уолла.
Метод сглаживания Кнезера
Речь идет о том, чтобы перенести все конструкции для осуществления операций Кнезера на случай пар линков, которые являются парами С°°-гладких многообразий, поскольку в категории С°° имеются теоремы существования и единственности нормальных расслоений (и эти теоремы элементарны).
Для этого требуется изменить предположения теорем 1, 2 и 3, требуя, чтобы объемлющее многообразие было класса С°°, а для теоремы 3 нужно также, чтобы подмногообразие Q было гладким подмногообразием. Комплекс К должен быть подкомплексом С°°-триангуляции многообразия М, обладающей барицентрическим подразделением, для которого дуальные клетки являются С°°-подмногообразиями. Это относительно легко получается следующим образом: на многообразии вводят риманову метрику класса С°° и какую-нибудь триангуляцию. Тогда существует такое е > 0, зависящее от исходной триангуляции, что эта триангуляция обладает произвольно мелкими подразделениями, в которых толщина ) всех симплексов больше е.
Пусть К — такое подразделение и о — симплекс этого подразделения с вершинами &0, ^ь • kp- Обозначим через е^ множество точек, находящихся на равном расстоянии от всех ki и более близких к каждому кь чем к остальным вершинам подразделения К. Тогда, если это подразделение К достаточно мелкое, то множества в(о) являются гладкими подмногообразиями, изоморфными выпуклым многогранникам. Множества е(а) образуют дуальные клетки, составляющие разбиение, изоморфное разбиению барицентрических звезд подразделения К. (Без подразделения этот результат также верен — это известная лемма Манкреса ([М], теорема 1.4).) Тогда примем за линк L(o, М) гладкую сферу, расположенную внутри е (а) и радиально деформирующуюся на край клетки е(о).
Требование, чтобы особенности имели коразмерность ^ ^(/г+1), заменим требованием, чтобы Ki было С°°-подмного- образием вне своего (п— (/+ 1))-мерного основа. Заметим, что для всякого (п —(1 + 1))-мерного Oj линк L^3bK^ есть трансверсальное пересечение множества КХ.^""^^ с линком L^Oj, М") и что если сгладить углы множества ^+ь расположенные в Kt П (dGj * L(Oj, МХУхдо^, то комплекс Кц-ь построенный операцией Кнезера, имеет особенности в коразмерности >1 + 2.
Мы предоставляем смелому читателю самому сформулировать изменения в § 1—5, следуя данному выше наброску (имеются в виду те изменения, которые нужны, если считать написанное доказательство теоремы 3 предпочтительнее доказательства, намеченного в упр. За)).
В упр. 4 мы укажем, как, используя триангуляцию Манкре- са, можно построить «по Кнезеру» теорию Хефлигера препятствий к сглаживанию PL-локально плоского подмногообразия гладкого многообразия.
Из-за нетривиальности группы кобордизмов О4 терпит неудачу попытка доказательства теоремы Рохлина в коразмерности 2
Пусть Кп — ориентированный n-мерный подкомплекс (п+2)- мерного гладкого многообразия ТИ^; предположим, что граница цепи К определенной n-мерными ориентированными симплексами из К, есть гладкое подмногообразие Q^-1 многообразия М. Попытаемся сгладить К, следуя методу § 4, модифицированному как указано в предыдущем параграфе, чтобы пары линков были парами многообразий класса С°°. Можно построить комплекс Ki, гладкий вне [п — (/ + 1)]-мерного остова комплекса К, с границей Q и гомологичный комплексу К по модулю Q, и проделать это для 1 = 0, 1, 2, 3. Для 1 = 3 в доказательстве этого утверждения нужно воспользоваться тем, что два сечения нормального расслоения линка L^p Q), т. е. сферы размерности 2 в L^Oj, М)— в сфере размерности пять, изотопны*), так как они различаются на отображение S2->-S2, нулевое в гомологиях и потому тривиальное в гомотопиях.
На следующем этапе два сечения различаются на отображение сферы S в S2. Между тем группа л.з(52) является бесконечной циклической, порожденной отображением Хопфа. Заметим,
что цилиндр отображения Хопфа есть проколотая комплексная проективная плоскость, вложенная в сферу S6, рассматриваемую как джойн сфер S3 и S2; краем этой проективной плоскости является незаузленная сфера S3. Таким образом, можно заменить диск D связной суммой проколотых проективных плоскостей.
В случае если исходное многообразие Q имеет размерность 4, эти соображения показывают, что можно сгладить К вне нульмерного остова многообразия Q и что можно сгладить К, присоединяя к К связные суммы проективных плоскостей. Таким образом, получилось вычисление группы четырехмерных ориентированных кобордизмов с доказательством, аналогичным тому, которое дано Рохлиным для группы трехмерных ориентированных кобордизмов.
Замечание о роли § 6. Если не ограничиваться работой в гладкой категории, то последнее рассуждение непригодно, поскольку не имеет места единственность нормального расслоения трехмерной сферы в S6.
Напомним, что группа (относительно связного суммирования) гладких трехмерных сфер, заузленных в S6, изоморфна группе целых чисел. Пусть сфера S3 вложена в S6 и V—поверхность Зейферта этого узла; нормальное расслоение поверхности V в S6 двумерно и обладает классом Эйлера f ^ №^V\ Z). Тогда изоморфизм между группой узлов и Z задастся формулой ру] , > сигнатура (И) — fo f ,
Пусть 6V—нетривиальный дифференцируемый узел; так как в коразмерности 3 не бывает нетривиальных PL-узлов, то узел 6V ограничивает диск D. Воротники многообразий 3D в D и 3V в V рассматриваются как два сечения двух нормальных PL- расслоений узла. Если бы единственность нормальных расслоений имела место, то можно было бы считать, что эти два расслоения совпадают. Тогда заменим диск D связной суммой V' проколотых проективных плоскостей, вложенных как цилиндр отображения Хопфа (Vх удовлетворяет соотношению сигнатура (Ух) = Г °Г)> и можно считать, что эти два сечения (внутренние воротники многообразий V и V' соответственно) совпадают.
Рассуждение из доказательства теоремы 3 дает тогда кобор- дизм W между V и V'\ этот кобордизм на крае является кобор- дизмом-произведением; стало быть,
сигнатура (У) = сигнатура (Vх),
М=М',
что противоречит предположению: сигнатура (V)— f ° f ^ 0.
*) См. комментарии к четвертой статье и упражнения.
Заодно мы проверили следующий «экспериментальный факт»: чтобы показать, что ориентированное четырехмерное PL-многообразие с нулевой сигнатурой ограничивает ориентированное пятимерное многообразие, нужно перейти в дифференциальную категорию.
УПРАЖНЕНИЯ
0) Применить метод Кнезера к бесконечным локально конечным подкомплексам.
Пусть М — триангулированное многообразие
Пусть С1—целочисленный одномерный коцикл, который принимает (на каждом ребре триангуляции) только значения — 1, 0, 1. Пусть N — объединение дуальных клеток таких ребер о, что С1 (о) =# 0.
Доказать, что N есть комбинаторное локально плоское и нормально ориентированное ) подмногообразие многообразия М. [Указание: С1 порождает единственное отображение f: 7И->- ^Si=[0, 1]/0~1, клеточное и линейное на каждом симплексе из М. Заметьте, что N = f-1 (4)-]
Пусть С1—одномерный коцикл со значениями в Z/2Z. Пусть N определено, как в (а).
Доказать, что N является комбинаторным локально плоским подмногообразием многообразия М. [Указание. Докажите, что ограничение коцикла С1 на каждый симплекс поднимается до целочисленного одномерного коцикла, принимающего только значения —1, 0 и 1.]
Пусть С1 есть целочисленный одномерный коцикл на 7И. Доказать, что существуют подразделение многообразия М и коцикл этого подразделения, представляющий тот же класс группы НЦМ; Z), что и С(1), и принимающий только значения —1, 0 и 1.
(а) Показать, что, начиная с § 3, можно всюду заменить условие «комплекс К ориентирован и является циклом» (относительным в случае теоремы Рохлина) условием «каждый симплекс комплекса К максимальной размерности п снабжен такой нормальной ориентацией, что для каждого (п—1)-мерного симплекса о из К сумма ориентаций, полученная на линке L(or, М), равна нулю» (в случае теоремы Рохлина: равна нулю, если ggJ(\Q, и равна 1, если о ge Q, в предположении что комплекс Q снабжен нормальной ориентацией).
Установить таким образом когомологический вариант метода Кнезера.
(Ь) Дать современное доказательство теорем, доказанных в упр. 2а) (которые отличаются от теорем основного текста только в случае неориентируемого 7И). [Указание: используйте трансверсальность Тома для отображений многообразия М в RP°°, S1 и СР2, представляющих элементы групп Нх (М; Z/2Z), НЧМ; Z), НЧЖ Z).]
Найти «современное доказательство» теорем из текста комментариев в случае неориентируемого М.
(а) Другое доказательство теоремы Рохлина.
а.1. Используя методы § 3, рассмотреть случай, когда для каждого симплекса а, комплекса/С^""^1^ П Q линк L^Op К") связен и не существует других особых \п— (/+1) ]-мерных симплексов.
а.2. Заменить в утверждении § 4 условие «диск Dy совпадает с многообразием Vj вблизи края» условием «диск Dy трансверсалей многообразию Уу» и изменить гомологическое условие так, чтобы оно стало применимо в этой ситуации.
Доказать, что Dy U V; есть ориентированная граница области Wj, которую вырезает это объединение. (Обратите внимание на то, что ориентации компонент области Wj не согласованы с ориентацией объемлющего пространства). Для этого доказательства необходима связность многообразия V ь
/Nх N
а.З. Доказать, что Л\Ч1 = ( К. \ (J St (оэ, М^\ U (д^ * W ^Х
N
X U (°7 * ^/) обладает требуемыми свойствами.
Рассмотрим торический тривиальный узел типа (2, 1); он ограничивает диск D и ленту Мёбиуса М, пересекающиеся по отрезку [ц, Ь\ :
Пусть К3 — компактный полиэдр, ограниченный в R3 объединением D U М. Рассмотрим N3 = KUd [конус над D]; это трехмерный полиэдр, граница которого, как цепь с коэффи-
циентами в Z/2Z, есть проективная плоскость
М U [конус над (5Л4)] = RP2.
Ь.1 (для фокусников). Доказать, что линк L^b, N^ есть диск; считая «по соображениям симметрии», что то же имеет место для L^a, N3), «доказать», что N3 есть комбинаторное многообразие.
Ь.2. Разоблачить фокусника, показав, что L^a, N3^ есть лента Мёбиуса.
Используя этот феномен и идеи из (а), дать доказательство того, что группа кобордизмов поверхностей порождается классом проективной плоскости Z ~Л Это доказательство не опирается на классификацию поверхностей.
Пусть N^— локально плоское PL-подмногообразие многообразия ТИ^ класса С°°. Пусть все триангуляции обладают свойствами, сформулированными в § 6 («принадлежат классу С°° и дуальные клетки в них являются подмногообразиями класса С°°»), и триангулируют N как подкомплекс.
Предполагается, что вне (п — с)-мерного остова многообразия М подмногообразие N принадлежит классу С°°.
Пусть Oj есть (п— с)-мерный симплекс из N' П NVn,-c\ Доказать, что пара линков (L(a/, М"), L^Oj, М')) есть сглаживание PL-стандартного узла (S^-^-1, S^-1). Доказать, что коцепь, которая относит (п— с)-мерному симплексу о/ из N' П NVn-c^ класс конкордантности этого сглаживания и 0 — другим (л— с)-мерным симплексам из N\ есть коцепь (надо, в частности, объяснить, как скручены их коэффициенты).
Пусть ок есть \п— (с—1)]-мерный симплекс из NT. Доказать, что, модифицируя пару звезд (St (о^, ТИ"), St(o^, Лг//)) (которая есть пара гладких стандартных шаров ^Вп^-с-\Вп-с-х^ произвольного (но тождественного на границе) сглаживания, можно превратить коцепь, построенную в (а), в кограницу.
Отсюда получается теория препятствий Хефлингера к сглаживанию PL-подмногообразий С°°-многообразия ([Н]).
В случае коразмерности 1 коэффициенты этой теории препятствий равны нулю, и хочется сделать попытку применить этот конкретный метод сглаживания к случаю, когда подмногообразие N имеет край, который является подмногообразием класса С°° коразмерности 2, требуя в процессе сглаживания не трогать край (в силу замечаний § 6 это дало бы элементарное доказательство теоремы Уолла!).
Сделать эту попытку и заметить, что, когда эта конструкция производится на симплексе из Q, в качестве препятствия получается класс конкордантности С°°-диска Зейферта тривиального узла.
В следующем упражнении мы увидим, что обращение в нуль изотопических классов гладких дисков Зейферта влечет теорему Шёнфлиса.
(а) Используя изотопию Александера, доказать, что PL-изоморфизм h; Sn+q Sn+qf такой, что к |sn = id |5/г, изотопен тождественному в классе изоморфизмов, оставляющих неподвижной сферу Sn (свести к случаю, когда к является тождественным в окрестности какой-нибудь точки сферы SnY
Пусть РХ1 и Р^1 — два PL-диска Зейферта тривиального узла (S"+2, SnY Доказать, что имеется PL-изоморфизм к; S'^-^S'74"2, тождественный на Sn и такой, что k(DY) = D2 (использовать воротники дисков Di и Р2 и единственность дисков коразмерности нуль).
Начиная с этого места, мы намечаем доказательство для фокусников теоремы Шёнфлиса в любой размерности.
Используя теорему Уолла о единственности нормальных PL-расслоений в коразмерности 2, прийти к случаю, когда изотопия kt, существующая в силу Ь) и а), сохраняет регулярную окрестность Е сферы SE
Пусть F = S^+2\L, и пусть Р„ есть /г-листное циклическое накрывающее пространства F.
Доказать, что существуют целое число п и два поднятия диска Dy в Fn, скажем D\ и D'v такие, что если knt есть поднятие изотопии, построенной в (с), то след kntPP не пересекает s;x[o, и. '
Пусть в Fn находится поднятие кп\Рр диска Р2. При помощи продолжения изотопии доказать, что область между кпХ (D^ и Dx есть произведение.
Вывести из этого, что в случае, когда D\ и D2 не пересекаются, область, которую они ограничивают в F, есть диск.
Пусть <р: S^-^S^1— локально плоское PL-вложение. Рассматривая сферу S^ как объединение северной и южной полусфер D^ и D_, вывести из предшествующего «доказательство» теоремы Шёнфлиса.
азоблачить фокусника: шаг (с) нельзя сделать, так как Уолл не доказал единственности по параметру нормального расслоения в коразмерности 2. В дифференциальной категории эта единственность имеет место. «Теорема Уолла не позволяет утверждать, что в коразмерности два PL-подмногообразия так же хороши, как гладкие подмногообразия».
Вопрос. Имеются ли контрпримеры к единственности нормальных PL-расслоений по параметру в коразмерности 2?
(а) Всякое сечение нормального PL-расслоения сферы S2 в S5, не зацепленное с нулевым сечением, ограничивает диск в S5. (Используя относительную форму теоремы 4, построить ограни-
ченную сферой S2 поверхность Зейферта V. Зная, что V= VU^3 ограничивает спинорное многообразие, имеющее только ручки индекса 2, сделать вложенную перестройку многообразия V, с тем чтобы превратить его в диск.)
(Ь) Вывести из 6) (а), 5) (а) и аналога утверждения 5) (Ь) в коразмерности 3 единственность нормального расслоения сферы S2 в S5.
ЛИТЕРАТУРА
[FP] Frankl F. and Pontryagin L. Ein Knotensatz mit Anwendung auf die Dimensionstheorie, Math. Ann. 102 (1930), 785—789.
Haefliger A. Lissage des immersions II, a paraitre (depuis 19671).
[K]Kneser H. Ein Topologisches Zerlegungssatz, Proc. Royal Acad.
Amsterdam, 27 (1924), 601—616.
Munkres J. Concordance is equivalent to smoothability, Topology 5 (1966), 371—389.
Рохлин В. А. Трехмерное многообразие — граница четырехмерного. Докл. АН СССР, 81:3 (1951), 355—357; см. с. 30—32 настоящей книги.
Seifert Н. Uber das Geschlecht von Knoten, Math. Ann. 110 (1934), 571—592.
[W] Wall С. T. C. Locally flat PL submanifolds with codimension two, Proc. Cambridge Phil. Soc. 63 (1967), 5—8.
III. К ЧЕТВЕРТОЙ СТАТЬЕ (R [20])
В этой статье Рохлин вычисляет группу Q4 ориентированных кобордизмов четырехмерных многообразий, которая порождается классом комплексной проективной плоскости С Р2 и изоморфна Z посредством изоморфизма qp: Q4->Z, ф( [М4]) = о(7И)=
Х22 (М) / <[М], Рх W> X
= —2—— I —— J, и использует это вычисление для исправления двух первых статей. Мы будем следовать плану Рохлина. В § 1 мы объясним, как Рохлин строит ориентированный кобордизм между произвольным четырехмерным многообразием и связной суммой комплексных проективных плоскостей. Параграф 2 посвящен вычислению группы неориентированных кобордизмов четырехмерных многообразий. (Рохлин анонсирует неправильный результат, который он впоследствии исправил.) В § 3 мы объясним, как исправить две первые статьи и, в частности, как из утверждения Рохлина, согласно которому Q4 = Z, следует, что композиция трех последовательных надстроек отображения Хопфа представляет ненулевой элемент группы л^+з^), вопреки тому, что было «доказано» в первой статье. Мы закончим серией упражнений, связанных с четырьмя статьями Рохлина и указывающих, как можно с помощью геометрических методов Рохлина получить практически все результаты, анонсированные с 1951 г. и касающиеся различных типов кобордизмов многообразий размерностей ^ 4, спинорных структур на таких многообразиях и следствий, которые получаются отсюда в теории гладких узлов.
Вычисление группы ориентированных кобордизмов О4 (§ 2 текста)
Заметив, что достаточно показать, что класс комплексной проективной плоскости СР2 есть образующая группы Q4, Рохлин рассматривает ориентированное четырехмерное многообразие 7И4 и утверждает:
Существует многообразие М^ кобордантное многообразию М и допускающее вложение в евклидово пространство R7.
В самом деле, теорема Уитни утверждает существование погружения общего положения f: M4^R7. Мы видели в примечаниях к третьей статье, что окружности двойных точек из f(M4) имеют в 7И4 тривиальные накрытия: круговые вложенные пере-
стройки индекса один) доставляют кобордизм между многообразием 7И и подмногообразием Мх пространства R7.
Второй шаг состоит в доказательстве того, что связная сумма М2 многообразия Мх с проективными плоскостями допускает вложение в R7, нормальное расслоение которого имеет всюду ненулевое сечение.
Класс Эйлера нормального расслоения ориентированного подмногообразия евклидова пространства равен нулю; нормальное расслоение многообразия М^ в К7 имеет, следовательно, сечение, которое является ненулевым на трехмерном остове многообразия Л4ь Препятствием к тому, чтобы найти ненулевое сечение, определенное на всем Mi, является элемент группы лз(32). Это циклическая группа, порожденная классом отображения Хопфа h\ S3-^S2. Таким образом, существует сечение з нормального расслоения многообразия Mi в R7, ненулевое вне объединения конечного числа непересекающихся шаров В, см Мь таких, что препятствием к продолжению ненулевого сечения на шар Bz является отображение Хопфа h или противоположное ему отображение —h\ если В^О3 есть карта трубчатой окрестности Тх подмногообразия Mi в R7, определенная над шаром В^ то сечение з задается над dBt формулой з(х) = (х, ±lMxx^V Цилиндр отображения Хопфа (или противоположного ему отображения) гомеоморфен комплексной проективной плоскости с удаленным шаром (с ориентацией, определяемой комплексной структурой, или с противоположной ориентацией) и допускает вложение в край трубки Вь которое, соединяясь с
/ N о X
з I Мх \ (J Bj, дает искомое многообразие М2. Многообразие X 1 = 1 /
М2, будучи подмногообразием края трубки Тх, имеет нормальное расслоение со всюду ненулевым сечением (например, поле векторов, внешних к дТх).
Вот несколько формул, подкрепляющих предыдущие утверждения. Если точка проколотой проективной плоскости СРд задается своими однородными координатами [Хо, Х2] (| Хо р ^ ^ | Xi |2 + | Х212), если сфера S3 есть единичная сфера в С2: S3 = = {(Хь Х2)е С2: |Xi |2 + |Х2|2 = 1} и если сфера S2 есть сфера Гаусса: S2 — СР1 = С U 00, то гомеоморфизм между цилиндром отображения Хопфа С (А) = S3 X [0, l]LJS2/(x, Q^^h^ и проко» лотой проективной плоскостью СР2 дается формулой
1№, Х2\ d ^ [/, Хь Х2] (№, Х2) e.S\ te [0, 1 ]).
Вложение СР^ в край трубки Тх дается формулой
г у у у 1 > (2ХоХ\ 2Xq%2 у г у \
1 н V|^o|2 + I^il2 + I^2|2 ’1^012+ 1^112+ 1^212 ’ где
( M0XxM0X2 \
v I x0 I2 +№ p +1 *2|2 ’ UoP + l-YiP + l^lU G
еВ? = {(У,,К2)еС2| I |2 + I< 0
И
^eCUoo-CP^S2.
Для дальнейшего будет полезно рассматривать М2 как раздутие многообразия Му. Для этого предположим, что вблизи края dBtXS2 карты BiXS2 сечение s задается формулой $(У1, У2) = (УЬ Y2; У1/У2). Многообразие М2 в BiXS2 задается уравнением 0 = ДУ1, У2; Z)=Yy— ZY2, или, если угодно, в однородных координатах
0 = F(rb У2ДХй, Х^ = ХйУх-ХхУ2.
В соответствии с тем, будет или нет ориентация карты над шаром Вх согласована с ориентацией многообразия 7И1, получаются модели для случаев, в которых препятствием является отображение Хопфа h: S3-^S2, h(Yy, У2) = Y2/Yy или противоположное ему отображение.
Следующий шаг состоит я построении в крае трубчатой окрестности Т2 подмногообразия М2 такого подмногообразия М3> диффеоморфного связной сумме многообразия М2 и комплексных проективных плоскостей, что его фундаментальный класс [Л13] будет нулевым в группе Я4(57\Т2) гомологий дополнения трубки Т2 в сфере S7 = Р7 U 00•
Предположим, что это сделано. Тогда существует ориентированное подмногообразие N5 дополнения S7\T2, имеющее край М3; так как 7И3 диффеоморфно связной сумме исходного многообразия М и комплексных проективных плоскостей, то это доказывает, что группа четырехмерных ориентированных кобор- дизмов порождается комплексной проективной плоскостью С Р2. Многообразие N может получиться:
или сглаживанием посредством метода Кнезера цепи ц5 в 57\Т2, гомологическая граница которой есть многообразие 7И3;
или методом Тома: имеется отображение f: (ЭТ2-^ С Р (/г), трансверсальное к С Р (п—1) и такое, что f-1(CP(n—1)) =
= Af3). Если X есть образующая группы Я2(СР(/г); то класс f* (X)Н2 (дТ2; Z) продолжается до класса
^H2(S7\T2; Z)). Если п велико (здесь достаточно п^З), то имеется такое продолжение ср отображения f на 57\Г2, что У = Ф*(Х). Можно считать, что ф трансверсально .С Р (п—1), и положить N = ф-1 (С Р (п — 1)).
Нам остается объяснить третий шаг.
Пусть M2~ экземпляр многообразия М2 в крае трубки дТ2, который является образом многообразия М2 при всюду ненулевом сечении. Пусть л; дТ2-^М— проекция трубчатого расслоения.
Утверждение 1. Существует такая ориентированная поверхность F2 в А4?, что цикл MgU л-1 (F) гомологичен нулю в S7\T2 (прообраз л-1 (Т7) ориентирован, и его ориентация определяется прямой суммой ориентации поверхности F и ориентации нормального расслоения многообразия М^ в дГ^.
Утверждение 2. Существует подмногообразие М3 многообразия дТ2, гомологичное в дТ2 объединению AlgU^”^/7) и диффео- морфное связной сумме многообразия М2 и комплексных проективных плоскостей. Более точно, имеется конечное множество {ть ..., тД точек многообразия М2, таких, что n-^mf)^ = л-1(/п/)Г|Л1з есть сфера с индексом самопересечения ±1 в М3 и что л: Ж3\л~1({т1, • тД)^М2\Д?пь пгр} есть диффеоморфизм.
Доказательство утверждения 2. а) Идея состоит в том, чтобы обмотать сечение s вокруг поверхности F, как это показано на рис. 1.
Этот рисунок несколько обманчив, так как на нем коразмерность подмногообразия F в М2 равна 1, и, следовательно, нормальные расслоения подмногообразия s^F) в s (Л42) = М^ и в к""\р) тривиальны. Это не всегда так, и необходимость раздутий вызывается тем фактом, что эти два нормальных расслоения не обязательно изоморфны.
Начнем с введения моделей. Пусть v — нормальное расслоение многообразия ;W2 = s(A12) в дТ2; оно ориентировано. Рассмотрим его как расслоение со слоем комплексная прямая. Трубчатое расслоение Т2-^М2 есть прямая сумма расслоения v и тривиального расслоения вещественной размерности 1, и край трубки Т2 отождествляется с проективизацией расслоения v, поскольку дГ2\{—s (уИ2) } ^ £ (v) и d£2 = £(v)U— х(Л12), где каждый слой л 1 (т) ^ ,С компактифицируется в сферу Гаусса
Рис. 1. Обматывание.
точкой ост = —х(т).Для дальнейших формул лучше ввести однородные координаты и рассматриваться как расслоение на проективные комплексные прямые, являющиеся проективизацией расслоения v ® е, где е — тривиальное комплексное расслоение ранга 1. Точка Р из дТ2 представляется своими однородными координатами [Хр, TpY где Хр^Е^\ ^^Хр^ = р = к^Р\ Тр^ еЕ^, ЦТр)=р=п^, (Хр,ТрШ0, 0) и [ХрЛР] = Щ, Щвтом и только в том случае, если существует такое Хе С, Х^О, что Хр = ХХр и Trp = XT р (через £(£) обозначено тотальное пространство расслоения $).
Пусть ц—нормальное расслоение поверхности s^F) в ЛГ2, рассматриваемое также как расслоение на комплексные прямые (что определяет его ориентацию). Пусть его тотальное пространство £(ц) вложено в ЛД как трубчатая окрестность поверхности s(F). На £(ц) имеются сужение расслоения v и расслоение ц*(ц); пусть t—каноническое сечение расслоения р*(ц); оно ненулевое вне нулевого сечения
(^ (Л = {В, у) е Е (ц) х Е (ц) I ц (х) = ц (у)}; t (х) = (х, х)).
Допуская вольность обозначений, через р*(ц) будем обозначать также такое расслоение, продолжающее ц*(ц) на Ж2 что каноническое сечение / продолжается до нулевого сечения на M^Xs^Y
Используя предыдущие обозначения, получаем уравнение цикла s (М>) U л;”1 (F):
[Хр, ТД е s (Л12) U л-1 (F) в том и только в том случае,если Хр ® t (р) = 0 е v ® ц* (ц).
7 Под ред Л. Гину и А Марена
Пусть е—сечение расслоения v®p(p), трансверсальное нулевому сечению вблизи поверхности F и имеющее носитель, содержащийся в окрестности поверхности F. Искомое многообразие Л13 есть многообразие Мг, задаваемое уравнением
[Х> Тр^ е М8 в том и только в том случае, если
Хр ® I (р) = 8 (р) ® Тр ее V ® ц‘ (и) (^ (v ® ц* (ц)) ® е).
Это уравнение определяет такое подмногообразие многообразия дТ2, что если {mi, .mD} есть множество нулей сечения е на F, то сужение л: ЛЦХл”1 ({mb ..., mp^^- М2\ {mh ..., mp} есть изоморфизм и л-1 (тД = л-1 ктД П А43— сфера S, с самопересечением ±1 в Л13:'). Многообразие 7И3 гомологично ТИ'ЬЩ^), так как при 1, пробегающем отрезок [0, ^многообразие Mte заметает гомологию между Мо = ЛГ2 U 5 (F) и Ме = М3. □
Доказательство утверждения 1. Так как Я4Х7) = 0, то в силу соображений общего положения существует такая полиэдральная цепь ^, что
гомологическая граница д^ цепи ^ есть ЛГ, = s (MJ;
вблизи своей границы цепь ^ лежит в 57\Г2;
дополнение ^Хд^ трансверсально трубке IV
Пусть F — поверхность в ТИ2, гомологичная циклу 2 = М2 П ГЦ^Хд^). Цикл дТ2 П (^Хд^) (=л-1(2) в силу условия трансверсальности 3)) гомологичен, таким образом, л-1(Р) в дТ2. Утверждение следует из того, что ^ \Т2 есть цепь с гра- ницейдТ'.и^—М^ЩдХП^ □
Вычисление группы неориентированных кобордизмов ^4 (§ 3 текста)
Результат, который Рохлин анонсировал в § 3, ошибочен: вещественное проективное пространство RP4 и комплексная проективная плоскость СР2 независимы в $4 (они различаются
числами Штифеля — Уитни (^i)4 и (^2)2). Рохлин разоблачает эту ошибку в последующей статье (Внутренние гомологии. — ДАН СССР, 1953, 89, № 5, с. 789—792) и формулирует там правильный результат: группа ^4 изоморфна Z/2Z®Z/2Z и имеет образующие RP4 и С>-2.
Доказательство должно было быть следующим. Пусть А14— четырехмерное многообразие и Р3 cz Л14 — подмногообразие, дуальное первому классу Штифеля — Уитни. Пусть s — сечение нормального расслоения подмногообразия Р в М, трансверсальное нулевому сечению, и пусть S = s-1(0). В случае когда М = = РР4, можно взять Р = RT3 и S = RP2; так как R Р2 порождает группу 9t2 кобордизмов двумерных многообразий, можно, прибавляя этот пример, добиться, чтобы S ограничивала трехмерное многообразие G3. Многообразие Р ориентируемо (см. упр. I, 0)), и, следовательно, нормальное расслоение поверхности S в Р3 есть ориентирующее расслоение поверхности S, и оно продолжается до ориентирующего расслоения у многообразия G3. Нормальное расслоение многообразия Р3 в М4 продолжается до расслоения р на тотальном пространстве расслоения у, которое вне G3 тривиально. Приклеив тотальное пространство £(ц) расслоения р к М4Х[0, 1], получим кобордизм между М4 и М'\ который имеет характеристическую ассоциированную
гиперповерхность Р' с тривиальным нормальным расслоением. Остается только воспользоваться тем фактом, что Р' ограничивает ориентируемое многообразие Я4 (в силу результата третьей статьи), чтобы получить кобордизм между многообразием М' и ориентируемым многообразием М" (см. рис. 2).
В сущности, это было воспроизведение геометрического рас суждения относительно точной последовательности Рохлина:
О -> W -> Q , № о
--/г1 О —2>
где вторая стрелка относит классу многообразия ЛИ классы многообразия Pn№ дуального к с^1(7И), и класс многообразия 8п-2, представляющего собой самопересечение многообразия Р в М (первая стрелка есть гомоморфизм забывания).
Исправление двух первых статей (§ 4 текста)
А. Исправление первой статьи, h14 ф 0
Пусть hn— класс в группе л„+з(5и) композиции трех последовательных надстроек отображения Хопфа (п^2). В первой статье Рохлин показал, что обращение элемента hn в нуль эквивалентно существованию ориентированного замкнутого многообразия Q4, обладающего следующими двумя свойствами.
В Q4 имеется тор Т2 с окрестностью, разложимой в произведение Е^ = Т2 X D\ являющийся характеристической поверхностью в Q4 и остающийся характеристической поверхностью в многообразии, которое получается из Q4 вырезанием окрестности £4 и приклеиванием ее любым другим способом.
Число Понтрягина X22(Q4) равно нулю.
Затем Рохлин замечает, что, как показывает вычисление группы Н4, условие Ь) равносильно следующему:
bz) Q4 есть край ориентированного многообразия №.
Тот факт, что hn не нуль, сводится, таким образом, к следующему утверждению:
Утверждение. Условия а) и bz) противоречат друг другу.
Доказательство утверждения Рохлина
Предложение. Существует такое подмногообразие G^ многообразия №, что
краем G3 является тор Т2;
на двумерном остове дополнения N\G касательное расслоение многообразия N обладает тривиализациещ для которой G есть препятствующий цикл.
Вывод утверждения из этого предложения. В силу двойственности Пуанкаре, ядро гомоморфизма Я1(Г2; Z/2Z)->- ->£i(G3; Z/2Z) имеет ранг 1. Пусть С — простая замкнутая кривая в торе Т2, гомологический класс которой по модулю 2 порождает это ядро, и пусть F cz G3— связная поверхность с краем С. Сужение на F нормального расслоения подмногообразия G3 в № имеет всюду ненулевое сечение $*). Пусть F' и
*) Так как поверхность Г имеет гомотопический тип одномерного комплекса.
С'— образы поверхности F и кривой С при этом сечении (кривая С выбирается в T2XS1— крае трубчатой окрестности Е4 тора Т2 в Q4). Пусть ф— такой диффеоморфизм произведения FXS\ что ф^ХЕ^С').
В многообразии J4 = Q4 \ Е4 U Е4 тор Т2 не является харак- ф теристическим, так как тривиализация сужения касательного расслоения кривой X dD2 продолжается на диск ^XD2, поскольку она продолжается на поверхность F. Это противоречит условию а). □
Доказательство предложения. Так как тор Т2 является характеристическим в многообразии Q4, то стабильное касательное расслоение многообразия Q обладает над двумерным остовом дополнения Q\T тривиализацией t, для которой Т есть препятствующий цикл.
Пусть К3 ^ N5 — цепь по модулю 2, которая получается как препятствующий цикл к продолжению на № тривиализации t и имеет своею гомологической границей тор Т2. Речь идет о том, чтобы показать, что в качестве К3 можно взять подмногообразие G3 многообразия №.
Цепь К3 имеет коразмерность 2. Но это цепь с коэффициентами по модулю 2. Здесь нельзя применить метод Кнезера для коразмерности 2 непосредственно, так как он требует ориентированной цепи (с целыми коэффициентами). Однако первые шаги этого метода применимы (поскольку число точек в сфере S2 четно, и зацепление в сфере S3 обладает поверхностью Зей- ферта; см. Комментарии о методе Кнезера). Таким образом, мы можем считать, что вне своего нульмерного остова комплекс К3 является подмногообразием. Соединяя деревом все вершины, вблизи которых К3 не является подмногообразием, и стягивая это дерево, можно добиться, чтобы была только одна точка х0 в К3, вблизи которой К3 не есть подмногообразие.
Линк точки хо в К3 оказывается тогда поверхностью М2, являющейся подмногообразием линка точки х0 в №, т. е. подмногообразием четырехмерной сферы. Можно считать, что поверхность М2 связна: достаточно добавить к К3 конус с вершиной в точке хо над утолщениями bi дуг ai, соединяющих в Е(х0, №) компоненты поверхности М2 (см. рис. 3).
Подмногообразие K3\L(x0, К3) реализует кобордизм между тором Т2 и поверхностью М2; из этого следует, что индекс самопересечения поверхности М2 в сфере S4 = L(x0, N) равен нулю.
В этом случае поверхность тИ2 ограничивает поверхность Зей- ферта 1J73 в S4: это получается, как в шаге с) при вычислении Q4, сделанном в § 1*). Тогда достаточно положить G3 =
Рис. 3. Как сделать поверхность М связной.
= (Л^3\А(х0, ^))и^. Конус л'о*^ реализует гомологию по модулю 2 между К3 и G3.
В. Исправление доказательства равенства л^ ьз(Зп)=Лп+з(5п)Х х hCats”) есть^образ /-гомоморфизма /: jt3(SO (/г)) -> л,г+3(5п)].
Во второй статье Рохлин показал, что всякое стабильно па- раллелизованное трехмерное многообразие М3 кобордантно в категории стабильно параллелизованных многообразий стабильно параллелизованному многообразию P2XS\ где Р2 — ориентируемая поверхность**).
Утверждение. Стабильно параллелизованное многообразие P2XSI кобордантно в категории стабильно параллелизованных многообразий дизъюнктному объединению торов Т3.
У В процедуре обматывания теперь размерности такие, какие видны на рис. 1. В последующих формулах нужно заменить комплексные расслоения ранга 1 вещественными расслоениями ранга 1. Сверх того следует заметить, что, так как сфера S4 ориентируема, то расслоение v®]!^^ тривиально, и можно выбрать ненулевое сечение е на F1 (здесь F1 есть кривая га поверхности М2, над которой нужно обматывать). Для сглаживания используется или метод Кнезера с коэффициентами в Z/2, или метод Тома, в котором вместо С 7 (и) используется RP (я) (здесь требуется, чтобы п 4).
Наметим рассуждение: ДР есть край односвязного многообразия Q4 (так как Q3 = 0). Второй класс Штифеля—Уитни щДС4) реализуется ориентируемой поверхностью Р2 (так как /7JQ4) = 0, то приведение по модулю 2р: Н2^\ Z)-^^2(Q4; Z/2^) есть эпиморфизм). Образуя связные суммы пар (Q4, Р2) с (СР2, СР1), можно добиться, чтобы Р2 имела окрестность, разложимую в произведение: ГЛ Р2Х D2- Стабильно параллелизованное многообразие Q4\£4 дает искомый кобордпзм.
Доказательство. Пусть N3— кобордизм, отвечающий перестройке поверхности Р вдоль нульмерной или одномерной сферы, причем в случае одномерной сферы пусть эта сфера разбивает Р. Тогда параллелизация продолжается на ось присоединяемой ручки и, значит, на N3. Это позволяет сначала редуцировать случай, когда Р имеет род ^ 1, к случаю, когда Р есть объединение непересекающихся торов.
Доказательство равенства л^з^) = л^+з(Зп) получается из следующих двух лемм:
Лемма 1. Если hn^ ^^(S") — композиция трех последовательных надстроек отображения Хопфа, то hn е л^+з (Sn).
Лемма 2. По модулю л°+з (S^) любая стабильная параллелизация тора Т3 сравнима или с тривиальной параллелизацией, или с Н,г.
Доказательство лемм 1 и 2. Сначала заметим, что две стабильные параллелизации на связном многообразии 7И3, которые совпадают на одномерном остове многообразия М3, гомотопны на дополнении некоторого шара, лежащего в М3 (поскольку л2(5О(/г)) = 0); следовательно, они различаются элементом из л3(5О(/г)), поэтому элементы из Л/г+з^Д, которые определяются этими параллелизациями, сравнимы по модулю лД-з (^)-
Этого достаточно для доказательства леммы 2, поскольку если сужение стабильной параллелизации на один из сомножителей тора Т3 тривиально, то эта параллелизация сравнима по модулю л°+3(5/г) с параллелизацией, которая продолжается на соответствующий полноторий Г2 XD2; в противном случае параллелизация сравнима по модулю Лп+з^) с hn. □
Для доказательства леммы 1 достаточно рассмотреть многообразие Mt из второй статьи. Это многообразие содержит характеристический тор Т2, имеющий окрестность, разложимую в произведение T2XD2; достаточно заметить, что сужение стабильной параллелизации, определенной на Mt \ Т2, на каждый из сомножителей тора Р = (НРХд^ не тривиально. Для третьего сомножителя это так, потому что тор Т2 характеристический; для двух других это видно на модели, которую мы предложили для Mt в приложении D к комментариям к первой статье: Му есть результат СР2 раздутия плоскости СР2 в девяти базисных точках пучка Ct кубических кривых, тор Г2 есть собственный прообраз Со гладкой кубической кривой пучка Со. Базис гомологий тора Т2 реализуется исчезающими циклами;
будучи исчезающими, они ограничивают в .И? диски, которые имеют индекс самопересечения —1 (возникающий, если их сдвигать в направлении векторного поля, которое на границе касательно к тору Т2). Поэтому индуцированная стабильная парал- лслизация на двух первых сомножителях тора Р также нетривиальна и класс hn сравним по модулю л„+3 (Sn) с этой стабильной параллелизацией тора Г3, которая является нулевой, так как она продолжается на М\\^ XD^ . □
УПРАЖНЕНИЯ
I. Группы кобордизмов Q4, Q3, $3
0) Пусть Мл есть n-мерное многообразие, Vn~x— подмногообразие, дуальное к ^ДЛ1). Доказать, что V ориентируемо. [Указание: в противном случае нормальное расслоение v подмногообразия V в М было бы ориентирующим расслоением (почему?) и ;И = (A1\(E(v))°)[J£(v) было бы ориентируемым.]
Этот результат, принадлежащий Рохлину, получен в его работе «Вложение неориентируемых трехмерных многообразий в пятимерное евклидово пространство» (ДАН СССР, 160, № 3, 1965, с. 549—551). Это блестящая работа, особенно если се сравнить с единственной существующей в литературе альтернативой о вложении в R5 неориентируемых трехмерных многообразий (эта альтернатива Уолла использует спектральную последовательность Адамса!). Очень жаль, что эта работа не была признана. (По-видимому, для критика из Math. Reviews изоморфизм расслоения обязательно тождествен на базе, тогда как Рохлин в этой статье допускает любой диффеоморфизм на базе.)
Дать доказательство равенства Q3 = 0, руководствуясь методами четвертой статьи. Две возможности:
Вложить М3 в R6 и обмотать сечение нормального расслоения над окружностями так, чтобы сделать это сечение гомологически (а затем и геометрически) ограничивающим в дополнении многообразия М в S6 (избегая, таким образом, операций (71 и (72).
Пусть М3 вложено в R5; обмотать сечение нормального расслоения так, чтобы оно гомологически ограничивало в дополнении многообразия 7И в S5.
Варианты доказательства равенства Q4 = Z. Здесь задача состоит в том, чтобы обойтись без операции круговой перестройки 6^2-
Вложить 7И в R8. Обматыванием над окружностями найти сечение, которое гомологически ограничивает в дополнении многообразия М в S8. Сгладить гомологию вне ее нульмерного остова методом Кнезера, используя то, что всякое t-мерное ори-
ентируемое многообразие в S3+/, 0 ^ I ^ 3, ограничивает ориентируемую поверхность Зсйферта. Получается кобордизм между М и многообразием, которое вкладывается в S7. Продолжить так, как это делает Рохлин в 4-й или 3-й статье (см. последний параграф заметок о методе Кнезера).
(по Мелвину). Пусть односвязное многообразие М погружено в R7; доказать, что окружность С двойных точек ограничивает в 7И4 диск D, который нс пересекается с другими окружностями двойных точек, устранить затем окружность С двойных точек при помощи вложенной перестройки индекса 2.
Группа неориентируемых кобордизмов Э13 тривиальна.
(а) Доказать, что неориентируемое трехмерное многообразие ограничивает, при помощи рассуждения, опирающегося на точную последовательность Рохлина.
(Ь) Доказательство, примыкающее к методам 3-й и 4-й статей.
(Ь.1) Показать, что всякое трехмерное многообразие кобор- дантно многообразию М, вложенному в R5 (при устранении двойных точек погружения в общем положении появляется один новый случай: накрытие окружности двойных точек тривиально, а каждый лист имеет неориентируемую окрестность в исходном многообразии).
(Ь.2) Доказать, что имеется окружность С, вложенная в М, вне которой нормальное расслоение многообразия М имеет ненулевое сечение, а препятствие к продолжению этого сечения на диск, трансверсальный окружности С, есть ±2 е Л1 (SO (2)).
(Ь.З) Разрезать М вдоль окружности С, для того чтобы получить многообразие ЛК, вложенное в R5, нормальное расслоение которого имеет всюду ненулевое сечение; многообразие ЛК кобордантно М U V, где V — тотальное пространство расслоения со слоем вещественная проективная плоскость над окружностью. Доказать, что такое расслоение всегда тривиально, так что V ^ S1 X RP2 = d(D2 X RP2). Затем действовать с ЛК, как в упр. 1Ь) (но используя гомологию по модулю 2).
Замечание. Представляется необходимым действовать таким образом, так как метод Кнезера для случая цепей с краем неприменим в неориентируемой ситуации.
II. Группа кобордизмов Qfpm трехмерных многообразий, снабженных спинорной структурой, тривиальна
Тривиальность группы спинорных кобордизмов в размерности 3 эквивалентна сюръективности /-гомоморфизма /: яз^СЦ^Л-^Л/г+з^л) для п^З (в терминологии Рохлина л^3 (X1) = л^з (s'2)). Рохлин доказал этот факт во 2-й статье (с исправлением в 4-й статье). Следующие упражнения позволяют получить этот результат более непосредственно, следуя доказательству из 3-й статьи.
(а) Пусть А43— трехмерное многообразие, снабженное спинорной структурой s. Показать, что можно выбрать погружение многообразия М в R5 так, чтобы многообразие Л4], получающееся из М операциями Ох и О^ обладало такой спинорной структурой si, что (/Hi, si), (М, s) спинорно кобордантны (погрузить М X D2 в данную спинорную структуру).
Заметить, что если многообразие М3 вложено в R5, то кобордизм между М3 и пустым многообразием, построенный в 3-й статье, есть спинорное многообразие (но спинорная структура, индуцированная на крае, может быть отличной от данной спинорной структуры!).
Пусть s и sz— две спинорные структуры на трехмерном многообразии М. Доказать, что спинорное многообразие (Л/, S)U(^> -л спинорно кобордантно (^XS1, s"), где ^XS1 — тотальное пространство расслоения со слоем S1 над поверхностью F с ориентируемым тотальным пространством и нулевым классом Эйлера.
Доказать, что (i) (FXs\ sz/)LJ (RP2 X S1, 5z//) спинорно кобордантно обьединению копий многообразий (Rp2^ S1, szzz); (ii) RP2XS* диффеоморфно связной сумме Rp3#Rp3 двух экземпляров пространства Rp3; (in) всякая спинорная структура на RP3 ограничивает (расслоение над сферой S2 с классом Эйлера ±2 в зависимости от структуры).
Вывести отсюда, что Пзрт = 0.
(а) Пусть М — неориентируемое подрасслоение тривиального расслоения SXXD2 над окружностью. Пусть М'— ортогональное расслоение. Пусть f: S1 X D2~^S' X D2— диффеоморфизм, который при отождествлении SXXD2 с М®М' записывается как id Ф — id.
(a.I) Доказать, что существует такое целое число п, что диффеоморфизм f изотопен отображению (z, t^v—>(г, 22п-1гЧ\
.2) Вывести из этого, что диффеоморфизм пространства RP3 степени —1 переставляет две спинорные структуры пространства R73 (надо будет сначала определить образ спинор-
ной структуры при диффеоморфизме, сохраняющем или нет ориентацию).
) Дать доказательство (а.2) от противного (построить спинорное четырехмерное многообразие с сигнатурой ±2).
Инъективность гомоморфизма забывания Q|pm —>й4
Пусть М— четырехмерное многообразие с сигнатурой нуль, снабженное спинорной структурой.
Доказать, что существует четырехмерное односвязное многообразие Мь спинорно кобордантное многообразию М и вложенное в R7.
(i) Доказать, что нормальное расслоение многообразия Alt в R7 имеет всюду ненулевое сечение. [Указание: рассмотреть его первый класс Понтрягина.]
Пусть £— трубка вокруг Mi в R7.
(ii) Доказать, что существует сечение s нормального расслоения, образ которого находится в д£, гомологически ограничивает в дополнении окрестности £ и обладает в д£ геометрическим самопересечением, состоящим из двух параллельных экземпляров £0 и Fi поверхности F с нулевым самопересечением в Му. [Указание: обмотать сечение, доставляемое пунктом b) (i), над поверхностью СсзТИц, доказать, что спинорная структура многообразия Мх обеспечивает четность класса [G] в Z); использовать то, что Л1Х имеет нулевую сигнатуру, чтобы сделать вывод, что самопересечение поверхности G в All нулевое.]
Пусть Ж5— поверхность Зейферта, ограничивающая s(Mi) в R7, и G3 — самопересечение многообразия U7 в R7: G ориентируемо и dG = F0UA. Пусть G получено склеиванием поверхностей £0 и Fv посредством «тождественного отображения»; внимание! G не ориентируемо.
Доказать, что Л1Х спинорно кобордантно краю д^с расслоения ^g на диски над G.
Построить кобордизм V между G и Я, такой, что (i) расслоение ^g продолжается до расслоения ^у, сужение которого на Н тривиально; (ii) спинорная структура с края расслоения ^,G продолжается до спинорной структуры на крае расслоения ^и.' она индуцирует, таким образом, спинорную структуру на d^H = HXS\ которая спинорно кобордантна исходной структуре.
Построить спинорное многообразие К? с краем Я, такое, что спинорная структура на ЯХ51 продолжается на KXS1.
Абстрактный подход. Пусть Q5 — многообразие, ограниченное многообразием М4 (существующее, поскольку сигнатура многообразия 7И4 равна 0). Построить полиэдральную цепь G3 в Q5, представляющую ^2(Q5). Применяя метод Кнезера, как в
предложении З.А, сгладить G3; доказать, что lC'i(G3) представляется ориентируемой поверхностью F с тривиальным нормальным расслоением в G3, затем продолжить, как в с).
Контроль раздутий, теорема Хефлигера — Беша, заузли- вание сферы S3 в сфере S6
Пусть М— четырехмерное подмногообразие пространства к7. Пусть s — сечение его нормального расслоения, ненулевое в дополнении точки х0; пусть g— расслоение ранга 2, определенное над дополнением точки х0 как дополнительное к сечению s; пусть, наконец, F — поверхность, реализующая класс Эйлера расслоения £.
Доказать, что F есть характеристический цикл многообразия М ([F]2 = ^(М)^ Н2(А4; Z), где [Р]2—приведение по модулю 2 класса [^еэЯДЛТ, Z)).
Доказать, что препятствие к продолжению сечения s до всюду ненулевого сечения есть—-—eZ = t3(S2).
Тогда раздутие состоит в связном суммировании с —^ZZZL экземплярами комплексных проективных плоскостей с обращенной ориентацией. [Указание: вычислить первый класс Понтрягина нормального расслоения многообразия AL]
Доказать, что если имеется обматывание сечения s над поверхностью, не содержащей точку х0 и представляющей класс ХеП^М; Z), то нужно раздуть F-X-VX2 точек (сигнатура
„ а (М) - F • F - 4F • X - MX • X а (Л1) — (F + 2Х^\ становится равной I.
Доказать, что класс Эйлера нормального расслоения раздутого сечения есть F + 2Х—2 «исключительных дивизоровх>.
Теорема Хефлигера — Беша.
Вывести из 1), что если 7И допускает вложение в R7, то существует такая характеристическая поверхность FeH4M; Z), что F-F = сигнатура (Af).
Доказать обратное: если односвязное многообразие М обладает такой характеристической поверхностью F, что F-F = = сигнатура (А1), то М допускает вложение в R7. Пусть g — расслоение ранга 2 над многообразием М с классом Эйлера F и v—расслоение ранга 3, полученное подкручиванием расслоения £@е на элемент — о(М)^ Z = л3(52) = РЧ^з(5О(3))) (Р: SO(3)-^ S2 есть вычисление образа первого базисного вектора).
(Ь.1) Доказать, что тотальное пространство £(v) расслоения v параллелизуемо и что имеется отображение f; (£(v), d(£(v)))->-(S4 X D3, S4XS2) степени 1 (для второй проекции использовать конструкцию Тома нормального расслоения «раз-
дутого сечения», полученного исходя из сечения (0,1) расслоения v на дополнении о точек в М (где v g ® е)).
(Ь.2) Присоединить k = rg Н2(М) ручек индекса 3, чтобы /к
получить гомотопическую эквивалентность ср: V7 = v Е (v) U D3X XZ = 1
ХФ d)->-(S4X D3, д). Доказать, что V7 диффеоморфно произведению S4 X D3. Сделать вывод.
Дифференцируемые узлы сферы S3 в сфере S6. Пусть дан узел, образованный сферой S3, дифференцируемо вложенной в S6.
Доказать, что для этого узла существует поверхность Зейферта V4 и что после некоторого числа связных сумм с цилиндром отображения Хопфа или противоположного отображения любые две такие поверхности Зейферта становятся кобор- дантными.
Пусть F — класс Эйлера нормального расслоения поверхности Зейферта I/4 в S6. Доказать, что -^С5£1ХВ£_^
е Z есть инвариант, который зависит только от узла и принимает все целые значения. (Для доказательства последнего использовать общее погружение тотального пространства расслоения на диски с классом Эйлера 3 над проколотой проективной плоскостью СРо; так как СРо есть тотальное пространство расслоения на диски над сферой S2, то общее погружение есть вложение.)
Доказать, что узел, инвариант которого равен нулю, тривиален. [Сделать вложенную перестройку односвязной поверхности Зейферта с нулевой сигнатурой, замечая, что можно выбрать в качестве V такую связную сумму проективных плоскостей V = ф СР2 ф —СР2, что класс F будет диагональным пп
классом [это следствие теорем Уолла:
существуют такие т, п, что многообразие УфСР2ф —
— СР2 диффеоморфно фСР2ф—СР2; кI
группа диффеоморфизмов многообразия У = фСР2ф — р р
— СР2 транзитивно действует на примитивных характеристических элементах с квадратом 0 группы Я2(Р; 2).]
ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ РОХЛИНА О СИГНАТУРЕ
Л. Гийу и А. Марен
ВВЕДЕНИЕ
Важной нерешенной проблемой является вопрос о том, какие квадратичные формы могут быть реализованы как формы пересечения Ну(М; Z)\H2(M; Z)->-Z ориентированного замкнутого гладкого четырехмерного многообразия М. Недавно Фридман [Fr] показал, что всякая квадратичная форма может быть реализована топологическим многообразием, а в гладком случае Дональдсон [D] установил, что среди положительно определенных форм представимой является только тривиальная1) форма. В общем случае если NF— ориентированное замкнутое четырехмерное многообразие и F2— ориентируемая замкнутая поверхность в 7И4, представляющая в Н^М; Za^Z.^ элемент, дуальный второму классу Штифеля — Уитни lc^(M), то, как говорит нам алгебра, ог(7И)— F-F = 0 (mod 8) [МН, II, § 5], где через F-F обозначен индекс самопересечения класса гомологий, реализуемого поверхностью F, и о(Л4)—сигнатура формы пересечений на Н2(М; R). В случае гладкого многообразия М Рохлин [R2] дал явную формулу для вычисления о(Л1)— — F-F(mod 16) в терминах Арф-инварианта некоторой квадратичной формы q: H2(F; Z/2Z)->Z/2Z. Это было обобщением его более раннего результата 1952 г. [R1] о том, что о(М) = 0 (mod 16), если F — 0 (из этого результата уже следует, что некоторые квадратичные формы непредставимы гладкими многообразиями; например, такова форма Е^ ср. [МН, II, §6]).
Мы даем здесь подобную формулу в случае, когда поверхность не обязательно ориентируема. Такие неориентируемые характеристические поверхности естественно встречаются в работах, связанных с 16-й проблемой Гильберта ([Marl], [А']). Впрочем, и работа [R2] Рохлина посвящена этой проблеме.
Здесь наша главная цель — сформулировать и доказать наше обобщение способом, если и не самым изящным, но простым и прямым, который следует нашим комментариям к работам Рохлина [GM3]. Мы отсылаем к работе Мацумото [Mat], где точка зрения и доказательство слегка отличны от наших. Статья Фридмана и Кирби [FK], в которой дано доказательство формулы Рохлина, содержит, кроме того, мотивировки и комментарии, которых мы не повторяем*).
9 То ecTEj разложимая в ортогональную сумму одномерных форм — Прим. пед.
•J Наша формула опубликована в 1977 г в [GM1]; первый вариант настояцсго текста мы опубликовали в 1980 г. [GM2] (он содержит, к сожа- лспы о, некоторые глупости).
Укажем, наконец, что в недавних статьях Фидлера [Fi] и Тураева [Т] обсуждаются близкие вопросы.
ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТА
Мы работаем в категории компактных гладких многообразий. Пусть Мп—многообразие размерности п, и пусть Е^~2— подмногообразие коразмерности 2. Говорят, что подмногообразие У"-2 является характеристическим, если существует тривиали- зация касательного расслоения многообразия А1\У над двумерным остовом многообразия М, которая не продолжается ни на какой двумерный диск, трансверсальный к V; двумерный остов М берется относительно некоторой триангуляции пары (М, V), ср. [GM3, I, приложение С]. Для включения подмногообразия V в М используется обозначение I: V ^М.
Пусть М4 — ориентированное замкнутое четырехмерное многообразие, и пусть F2— замкнутая характеристическая ^не обязательно ориентируемая) поверхность в М, такая, что /ДЯДЕ2; Z/2Z)) = {0}сгЯДМ; Z/2Z). Тогда можно определить естественную квадратичную форму q: HX(F; Z/2Z)->Z/4Z, ассоциированную с гомологической формой пересечения поверхности F и такую, что имеет место следующее обобщение формулы Рохлина [R2]:
Теорема. офМ)— F-F = <2a^M, F)modl6, где о(М)— сигнатура ориентированного многообразия М, F-F— индекс самопересечения поверхности F в М (ср. [W]) и а(М, F)—инвариант Брауна квадратичной формы q, ассоциированной с парой (Al, F) (ср. [В] и следующий параграф).
Напомним, что число F-F можно определить следующим удобным способом: пусть s — сечение нормального расслоения поверхности F в М, имеющее только простые нули; слегка сдвинув F в направлении s, получим поверхность F' и диффеоморфизм ф: F-^F'. Теперь пересечение F П F' = {х F | ф (х) = х} конечно. Взяв а е F f] F', выберем локальную ориентацию О поверхности F вблизи точки а. Она определяет локальную ориентацию ф(С?) поверхности F' вблизи точки а. Если ориентация б7Фф(С0 многообразия М вблизи точки а совпадает с данной ориентацией многообразия А4, мы отнесем точке а знак г(а) = = +1; в противном случае отнесем точке а знак —1. Ясно, что е(ц) не зависит от выбора ориентации О вблизи точки а. Тогда F-F= £ 8(a).
a^F
Замечание. Если поверхность F ориентируема, то значения квадратичной формы q принадлежат 2Z/4Z ^ Z/2Z и инвариант
а(М, F), который равен в этом случае 0 или 4, идентифицируется с учетверенным Арф-инвариантом квадратичной формы q\ вновь получается известная формула Рохлина [R2], Напомним, что случай F = 0 очень знаменит; он относится к 1952 г. и также получен Рохлиным [R1].
П. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ НА Z/2Z-nPOCTPAHCTBAXИ ИНВАРИАНТ БРАУНА
(ср. [В], [BLLV, приложения])
Пусть V—векторное пространство над полем Z/2Z конечной размерности п, снабженное невырожденной симметричной билинейной формой (х, у^-^х-у со значениями в Z/2Z.
Определение 1. Квадратичная форма на V со значениями в Z/4Z есть отображение q: VZ/4Z, удовлетворяющее равенству
q (* + у) = q (Л + » О) + 2х • у,
где 2: Z/2Z->Z/4Z — единственный ненулевой гомоморфизм.
Замечания и примеры
Имеет место равенство
<7 (0) = <? (О + 0) = 7 (0) + (0) + 2 0 • 0 = (0) + (0), откуда q (0) = 0.
На y=Z/2Z имеется только одна билинейная симметричная невырожденная форма: умножение в поле Z/2Z. Имеет место равенство
0 = ^(1 + 1) = ^ (1) + ^ (1) + 2 1 • 1 =2^(1) + 2, следовательно, ^(1) = ±1.
Таким образом, на одномерном пространстве имеются две квадратичные формы: q^ и q_.
Если q; VZ/^Л—обычная квадратичная форма над полем Z/2Z (см. [МН, приложение 1]), то q = 2q является квадратичной формой на V со значениями в Z/4Z.
Определение 2. Квадратичная форма q: V-^-Z/47, называется нейтральной, если существует подпространство Н половинной размерности, на котором q обращается в нуль (и тогда пространство Н совпадает со своим ортогональным дополнением относительно соответствующей билинейной формы).
Определим обычным образом ортогональную сумму двух квадратичных форм; заметим, что если V = Ei © Е2 есть ортогональное разложение билинейной формы, то q = q 1^ © q |у . Факторизуя полученную таким образом полугруппу квадратич-
ных форм по подполугруппе нейтральных форм, получаем группу Витта IFQ(Z/2Z; Z/4Z) квадратичных форм на векторных Z/2Z-пространствах со значениями в Z/4Z (ср. [BLLV, приложения] ).
Пусть q: У->• Z/4Z— квадратичная форма и х ^ V; положим ф (х) = ехр (-у- g(x)) = lq (х).
Определение 3. Мультипликативным инвариантом Брауна квадратичной формы q называется комплексное число
Y^^C^y^iK-v) (где n = dimV).
Предложение. Отображение у устанавливает изоморфизм между группой Витта WQ(Zj2Z; Z/4Z) и группой корней восьмой степени из единицы.
В аддитивных обозначениях будем писать:
a: U7Q(Z/2Z; Z/4Z) ■=> Z/8Z,
где у = е с а, а е — изоморфизм Z/8Z {корни восьмой степени из единицы}, определенный равенством е (1) = ехр(-^*) = ---^ •
Замечание. Если билинейная форма изотропна, т. с. удовлетворяет равенству х-х=0 для всех х из V, то квадратичная форма q принимает только четные значения: 0 = q (2х) = q(x) + + ^(х), так что q = 2q, где q: V-^Z^Z, есть обычная квадратичная форма, ф принимает только значения 4-1 и —1, а инвариант Брауна у формы q есть классический Арф-инвариант формы q, который принимает значение 4Ь если эта форма чаще представляет 0, чем 1, и —1 в противном случае.
Доказательство предложения
Лемма 1.
Доказательство:\ tq- Д q^ = (£ {Д w(qi (q) —
"\V2/ xeVi.ysV,
=Г(4Т s w]Г(-т^У ^1=^^)-
IAV2 / xeV, J L\V2 7 geV. J
Лемма 2. Если квадратичная форма q нейтральна, то = 1.
Доказательство. Пусть Н cz V — подпространство половинной размерности, на котором q обращается в нуль. Пусть V = Н ® L — разложение в прямую сумму. Тогда если
8 Под род Л Гийу и А Марена
п = dim V, то
у(7)=флг х ш+/)=(фу £ ш(-1)/л=
W2 7 heH,l^LW2 / НеНЛеЬ
= (фТГ X f Х(—0/ Лф(0) + сагс1(Я)1 =\V2/ L/eT\{0) XheH/J
Четвертое равенство следует из того, что билинейная форма является невырожденной, поэтому при / ^ 0 линейная форма ф на Н, заданная равенством ф(/г) = /й, ненулевая (Я совпадает со своим ортогональным дополнением), и, следовательно, принимает значения 0 и 1 одинаковое число раз (dim(Kci^) = = dim Н— 1).
Лемма 3. Если билинейная форма не изотропна, то V разлагается в сумму одномерных ортогональных пространств.
Доказательство. Так как отображение х-^х-х линейно, то из невырожденности следует существование такого сеУ\{0}, что для всякого те V имеем с-х = х-х. Если dim У ^ 2, то существует такой отличный от с вектор у, что у-у=\ (если с-с=1 и у-у = О, то (с + у) • (с + у) = 1) и V разлагается в сумму (у)® (у)1. Так как вектор у отличен от с, то сужение билинейной формы на (,у)~ не изотропно (если z*z = c-z = 0 для всякого те (у)1, то с^Ду^ДД. Доказательство завершается индукцией по dim V.
Лемма 4. Если q— квадратичная форма со значениями в Z/4Z, то форма 4(®q) = q®q®q®q изометрична форме 4(®(—q^, и, следовательно, форма 8(®д) нейтральна.
Доказательство. Пусть W=V®V®V®V, и пусть фп У-^
W, /=1, 2, 3, 4, — отображения, определяемые формулами Ф1М = (0, х, х, х), ц)Дх) = Д, 0, х, х\ ^(х) = (х, х, 0, х^ Ч>Л^ = Д, х, х, 0). Имеем 4 (ф q) (ф, (х)) — 3q Д) = — q (х) и фДЕ) ортогонально к Ф;(Е) для z^/. Искомый изоморфизм есть © ф- УфУфУфу ->W.
Для того чтобы закончить доказательство этого предложения, заметим, что так как форма q^ © q_ нейтральна, то лемма 3, примененная к q © q+ © q_, показывает, что группа U7Q(Z/2Z; Z/4Z) циклическая, порожденная классом q^ (пример 2), порядок которой является, в силу леммы 4, делителем восьми. Леммы 1 и 2 утверждают, что у есть гомоморфизм. Наконец, легко проверить, что уфф = -^-^есть пер
вообразный корень восьмой степени из единицы.
Замечание. Теперь легко установить, что инвариант Брауна квадратичной формы, его ранг и изотропность или анизотропность ассоциированной билинейной формы определяют ее изометрический класс.
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫq: HV(F; Z/2Z)->Z/4Z
Теперь мы находимся в условиях § I.
Определение 4. Перепонка Р2 характеристической поверхности F есть компактная поверхность (не обязательно ориентируемая), погруженная в М, вложенная и нормальная к F вблизи своего края дР cz F и такая, что ее внутренность трансверсаль- на к F.
Пусть f— общее погружение Р2-^М, образ которого f(P) есть перепонка. Граница образа ] (Р) состоит из простых замкнутых кривых поверхности F; обозначим через о препятствие к продолжению нормального расслоения этих кривых (со слоем прямая) в поверхности F до подрасслоения ранга 1 нормального расслоения х-ф погружения f. Напомним, что v(f) определено точной последовательностью 0-^T(P)-^f* (т(М))-^v(f)-^O, где /*(т(А4))— расслоение, индуцированное над Р посредством f из касательного расслоения многообразия М. Легко проверяется, что два погружения с одним и тем же образом приводят к изоморфным нормальным расслоениям и, следовательно, что препятствие о не зависит от выбора Д Это препятствие принадлежит Н2(Р, дР; Л1 (Ер1)^), с коэффициентами, скрученными первым классом Штифеля — Уитни c^i(v(f)). Его значение на фундаментальном классе [Р, дР\^ Н2(Р, дР; Л1(РР1)9, есть целое число, обозначаемое тоже через о и называемое индексом перепонки Р. Положим тогда q'(Р2) = о-\- 2P-Fmod4, где Р-F обозначает число точек трансверсального пересечения внутренности перепонки Р (т. е. f(P)) с F.
Замечание 1. Более геометричное и часто более эффективное в приложениях определение препятствия о таково.
Пусть Р — компактная поверхность и /: P->-v(f)— такое погружение, что:
р о j: Р-^Р — двулистное разветвленное накрытие, где р — проекция тотального пространства расслоения v(f) на его нулевое сечение Р;
погружение / трансверсально к Р (рассматриваемому как нулевое сечение расслоения v(f)), и пересечение /(Р)Г|Р не содержит двойных точек ни j(P), ни Р;
f(dP) есть край трубчатой окрестности кривой дР в F.
Для каждой точки а пересечения P^j(P) локальная ориентация СУ перепонки Р индуцирует (посредством накрытия р j) локальную ориентацию О' поверхности ДР). Если ориентация О ® О' совпадает с ориентацией тотального пространства расслоения v(f), то точке а отнесем знак е(я)=+1, в противном случае — знак —1. Ясно, что е(а) не зависит от выбора ориентации О в точке а.
Тогда о= У е (а).
а е^П/ (Р)
Существование такого погружения можно доказать, устранив особенности объединения образов двух сечений расслоения v(/), находящихся в общем положении по отношению друг к Другу и к нулевому сечению расслоения v(f). Мы оставляем читателю проверку того, что сумма, написанная выше, не зависит от выбора Р и / (это можно сделать непосредственно или доказав указанное выше равенство).
Замечание 2. Если перепонка Р не имеет замкнутых компонент, то она гомотопически эквивалентна букету окружностей; следовательно, в силу стабильности, расслоение v(f) можно представить в виде прямой суммы, одно из слагаемых которой есть тривиальное подрасслоение ранга 1. Далее, два таких тривиальных подрасслоения расслоения v(f) индуцируют два гомотопных подрасслоения сужения ^(П\дР) являющегося тривиальным расслоением. В самом деле, если мы представим наши два тривиальных подрасслоения расслоения v(f) не имеющими нулей сечениями s и s' и если d(vs\dP, s' |др) есть первое препятствие к их гомотопности в Нх (дР; лй (R 8n)z) ^ Z :}:), то ([S, § 36]) 6(d(s\ap, s'^p)1) = o(s|dP) — О (s'|dP), где 5 есть кограница НЦдР; л, (RP*O —> Я2 (Р, дР; Л[ (RP1)^ и о (s |др) — первое препятствие к продолжению сечения s |дР. Следовательно, d (s 1др , s' 1^) = 0, что доказывает гомотопность сужений s ^ и S 1^.
Е[усть so — сужение на дР не имеющего нулей сечения тривиального подрасслоения ранга 1 расслоения v(f) и si— не имеющее нулей сечение над дР, определяемое нормальным расслоением (на прямые) кривой дР в F. Имеем 6d(sb s0) = = o(si)—o(s0)=o(si). Так как 6 — изоморфизм, то можно отождествить наше препятствие о с d^S\,So). Это объясняет связь между нашим определением квадратичной формы q' и тем, которое дано Мацумото [Mat].
В случае когда край дР связен; общий случай не представляет труда и оставляется читателю.
Замечание 3. Пояснения замечания 1 (или вычисления замечания 2) показывают, что если дР связно, то индекс о перепонки Р четен тогда и только тогда, когда дР обладает кольцевой окрестностью в F. В действительности если все связные компоненты кривой дР имеют кольцевые окрестности в F, то о = 2о(у), где о(а)—препятствие к продолжению нормального векторного поля кривой <9Р2 в F до нормального векторного поля (без нулей) перепонки Р2 в v(f) (множитель 2 появляется из-за того, что естественное отображение S1->RP1 имеет степень 2).
В частности, если характеристическая поверхность F ориентируема, то ^Z(P2) = 2(о(у) + P-F)mod 4. Вновь получается определение Рохлина [R2].
Предложение 1. ^Z(P2) зависит только от класса гомологий mod 2 кривой дР2 в F. Это позволяет определить отображение q: НДР} Z/2Z)->Z/4Z.
Лемма. Предположим, что (М4, F^ есть край пары (I/5, G3), где У5 — ориентированное компактное пятимерное многообразие и G3— его характеристическое подмногообразие {не обязательно ориентируемое). Пусть A2 cz G3 — поверхность {не обязательно ориентируемая), такая, что А П F = д^, и пусть Р— перепонка поверхности F {в М) с краем дР = дК. Тогда q'{P) = 0.
Доказательство предложения 1 (вывод из леммы). Если Ро и Pi — две перепонки, края которых представляют один и тот же класс гомологий mod 2, то применим лемму к дизъюнктному объединению {М X {0}, FX {0} ) U {М X {!}, FX {1}) двух экземпляров пары (Й4, F) с V5 = М X [0, 1], G3 = F X [0, 1] и к А2 — результату сглаживания цикла по модулю 2, который реализует в РХ[0, 1] гомологию между dP0czFX{0} и дРхсл cz FX {1} (существование поверхности А2 легко получается при помощи метода Кнезера, см. [GM 3, II. 2]). Тогда в dV имеем ^RoXOTU^iXtl}) =O = q{P;)-q{Po), так как Al X 0 наследует от dV ориентацию, противоположную ориентации многообразия М. Это доказывает первое утверждение. Для доказательства второго заметим, что одномерный гомологический класс z поверхности F может быть представлен семейством простых замкнутых непересекающихся кривых, и так как гДНДР; Z/2Z)) = {0} cz НДМ; Z/2Z), то всякое такое семейство ограничивает двумерную цепь в 7И4, которая может быть сглажена, как выше, чтобы превратиться в перепонку, край которой представляет класс z.
Доказательство леммы (см. рис. 1). Предположим сначала, что край поверхности А2 связен. Самопересечение этого края
д^ в F есть край самопересечения поверхности А в G и, стало быть, является нулевым по модулю 2. Следовательно (так как край дА2 связен), дА2 обладает кольцевой окрестностью в F и, как в замечании 3, если о (у) есть препятствие к продолжению нормального векторного поля ц, определенного на дР = д& в F, до нормального векторного поля (без нулей) к Р в v(f), го достаточно проверить, что о(ц) + P-F = 0 mod 2. Обозначим
Рис. 1.
через v и ц соответственно нормальные расслоения подмногообразия G3 в У5 и А2 в G3, а через Е^) и Е(ц)— тотальные пространства ассоциированных расслоений на диски. Тогда (Г, U) = (E(^ ф ц), Е (ц)) есть трубчатая окрестность поверхности Д2 в (У5, G3). Пусть N^— край многообразия У\1У и Я2 = (Е\1У) U Fr U = N П G. Очевидно, что Я2 есть характеристическая поверхность для ориентируемого замкнутого многообразия Я4.
Пусть s и s'— два сечения расслоения v|v, и пусть s(A2) и s' (А2) трансверсальны друг к другу и к А2. Пусть 1 — сечение расслоения щ совпадающее с векторным полем и на д^2 = дР и не имеющее нулей около А2 П (s (A2) U sz (А2)). Пусть, наконец.
р: А2->-[0, 1] —гладкая функция, равная нулю на РА2 и такая, что р-1 (4*) есть окрестность нулей сечений s и t и точек пересечения сечений s и s'.
Тогда можно столкнуть Л2 в PU/7 и образовать двумерный цикл в N4:
v2 = (P\lhu s ® р/ (Л2).
Согласно формуле By (ср. [GM3, /, приложение С]),
V2. v2 + S2. Н2 = о mod 2.
Пусть и — сечение нормального расслоения v(f) погружения /: Р-^М; пусть его нули отличны от прообразов двойных точек погружения f, и пусть на дР = РА это сечение совпадает с ц. Погружение f продолжается до такого локального вложения f тотального пространства нормального расслоения v(f) в М4, что Ци^Р)) будет диффеоморфной копией образа f(P), трансверсальной к /(Р). Мы сохраним обозначение Р для f(P) и будем писать вместо f(u(P)).
Заметим далее, что гомологический индекс пересечения по модулю 2, Р-и(Р) (корректно определенный, так как OP Q рРм(Р) = 0), есть приведение по модулю 2 индекса о (у) (плюс удвоенное число точек самопересечения погруженной поверхности Р, которое по модулю 2 равно нулю, и потому несущественно). Таким образом,
2 • 2 = [(Р \ ^ и (s®P0л2] . Vu (Р \ 17) и S'© (1 - р) t (А2)] =
— Р . и (Р) + s (А2) • s' (А2) = О (0 + S (А2) • s' (A2) mod 2,
S • Н = [(Р \ W) и (5 ® р/ (А2)] . [(Р \ W) и Fr Щ =
= Р • F ® s (А2) • A2 mod 2.
А так как s(A2) -А2 = s(A2) -s'(А2) в силу гомотопической инвариантности индекса пересечения, то
О = 2 • S ® S • Н — о (и) ® Р • F mod 2.
Чтобы свести лемму к случаю связного РА2, мы сформулируем сначала подлемму.
Подлемма. Пусть (V, О) — собственная пара многообразий (т. е. G O^F = dG) со связным dV. Тогда существует собственное подмногообразие G' многообразия V, край которого dG' есть вложенная связная сумма компонент края dG.
Более того, можно выбрать G' совпадающим с G всюду, кроме окрестностей dyг, вложенных в dV, которые связывают компоненты края dG (притом таким образом, что G и G' представляют один и тот же класс гомологий по модулю 2).
Доказательство подлеммы, которое состоит в устройстве туннелей вдоль дуг, указанных в формулировке, оставляется читателю.
Теперь (можно, конечно, считать, что V связно) мы сводим лемму к случаю связного 5V, проделывая туннели вдоль непе- ресекающихся дуг в G31), связывающих компоненты края 5К Затем можно применить подлемму и получить новое G со связным краем, по-прежнему содержащее А2. Еще одно применение подлеммы к паре (G, А2) завершает нашу редукцию к случаю связного края дД2.
Остается еще раз применить подлемму, чтобы получить перепонку для этого нового А2, которая отличается от старой только в окрестностях тех же дуг и дает то же значение q'. Это нетрудно.
Предложение 2. Отображение q: НДР; Z/2Z)->Z/4Z является квадратичным для билинейной формы пересечения поверхности F:
q (а 4- р) = q (а) + q (Р) + 2а • р.
Доказательство. Рассматривая, если необходимо, дизъюнктное объединение (Л4, F) с (S4, RP2), можно всегда считать, что Н\ (Д; F/^L} разлагается в прямую сумму подпространств размерности 1 (см. § II, лемма 3).
Таким образом, остается только показать, что
9(а + Ю= </(а)-|-^(Р), если а-р = 0;
</(а)= 1 mod 2, еслиа-а=1.
В самом деле, доставляемое условием 1) разложение пространства ДД; Z/2Z) индуцирует разложение формы q, и условие 2) влечет квадратичность формы q на каждом слагаемом.
Чтобы доказать 1). заметим сначала, что в силу сформулированной выше подлеммы можно считать, что F связно. В этом случае, если а-р = О, можно представить аир двумя непере- секающимися системами простых замкнутых кривых. Тогда, если Р и Q являются перепонками с краями а и р, сделаем Р трансверсальным Q, чтобы получить перепонку R = PUQ, край которой есть а + р. Ясно, что q (R) = q Д) ДДДД
Чтобы доказать 2), представим а набором непересекающихся простых кривых а,. В силу 1), q (а) = Е q (а.) и, согласно замечанию 3 § I, (?(а;)^ а,-а, mod 2.
*) Если какая-нибудь компонента края dV не пересекается с G3, ее можно соединить туннелем , не задевающим G, с остальными компонентами Прим. рсд.
Замечание. Мы предлагаем читателю дать прямое доказательство предложения 2, изготовляя перепонку для объединения двух трансверсальных кривых из перепонок, натянутых на эти кривые (ср. с нашей первой версией [GM2]).
IV. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ
Фундаментальные примеры
Пример А. Прямая СР1 является характеристической в комплексной проективной плоскости С Р2; инварианты этой пары: о(СР2)=1, CP^CP^I, а (СР2, СР!) = 0.
Пример В. Пусть с*. СР2->СР2— комплексное сопряжение. Это инволюция, сохраняющая ориентацию, множество неподвижных точек которой R >2 имеет коразмерность 2, и, следовательно, 24 = СР/с — ориентируемое замкнутое гладкое многообразие. Пример В — это пара (S4, RF2). Изучим ее.
24 есть гомотопическая сфера: если p^RP2czCP2, то всякий элемент группы лДИ4,с(р)) представляется петлей, трансверсально пересекающей Rp2(czS4) в единственной точке с(р). Такая петля поднимается в СР2 так, что гомоморфизм с*; Д1(СР2, р)->Л1(24, с(р)) сюръективен и, значит, Д1(24) = 0. Для завершения доказательства вычислим эйлерову характеристику % = 4 (X (СР2) + X (RP2)) = 4 (3 + 1) = 2.
Замечание. Кёйпер и Масси ([К], [Mas2]) показали (независимо), что многообразие S4 PL-гомеоморфно сфере S4 и, стало быть, диффеоморфно S4 согласно трудной теореме «Г4 = 0» Серфа. Недавно Марен получил прямое и элементарное доказательство диффеоморфности [Маг2]. Напомним, что имеются многочисленные способы доказательства того, что S4 гомеоморфно S4; например, обычная функция Морса f: СР2—>R, /([м и, z]) = ут^зру^^ индуцирует функцию Морса на S4 с двумя критическими точками.
Очевидно, что RF2czS4 является характеристической поверхностью и а(24) = 0.
Самопересечение RP2-RP2 в S4 есть удвоенное самопересечение RP2 • RP2 в СР2 в силу естественности класса Эйлера (см. [Masi, лемма 1]). Это последнее число равно —/(RP2), так как его можно вычислить, умножив на I векторное поле, касательное к R^2, с невырожденными особыми точками (ср. [А, лемма 6]). Следовательно, самопересечение RP2 • RP2 в S4 равно —2.
a(S4, RP1)=1: так как пространство Н{ (RP2; Z/2Z) ^ ^ Z/2Z порождено классом проективной прямой RPIczCP1,
в качестве перепонки можно выбрать диски, ограничеН11Ые окружностью RP1 в севере С;?1. Эта перепонка пересекает^ с RP2 то.лько вдоль RP", и ее индекс равен + L В самом ДСЛе’ рассмотрим две прямые Li и L2, определяемые уравнениям11 с вещестЕНэнными коэффициентами, близкие к С.Р1, пересеКа1°" щиеся в. точке, лежащей на RP1; малое изменение коэфФ11' циентов» в произведении уравнений, задающих Lx и Lt, ■t136? неособую конику, которая пересекает RP2 п0 краю трубчатои окрестности проективной прямой RP1 9 RP2 и трансверса^110 пересекает прямую СР1 в двух точках, в каждой с индеКс°м пересечения-j-1 (как комплексная кривая комплексную кривУ10)- Следоват ельно, эта коника дает двулистное накрытие персон- ки, натяичутой на RP1, такое, как в замечании 1 § Щ, из чего мы заключаем, что g(R!P2) = 1.
Рассмотрим теперь пару (M, F) из формулировки теор"кд и заметим сначала, что o(M)^F-F mod 2 (в са_мом деле, ^0™ евырожденная симметрическая билинейная форма на ^' разлагается в прямую «умму, каждое слагаемое которой или (1) или Q qJ с характеристическими элементами £°от' ветственпо 1 и 0; следовательно, F • F = di*n//2(M; 2/^” о (ЛГ) пп 3d 2). Заметим также, что все три «члена доказ** мого сра.Е нения аддитивны относительно несвязного сум^Р " зния. Пример А позволяет поэтому редуцировать доказ^ ’ мую теош му к ее частному случаю, когда <т(ЛЖ) = 0 и, слс^оаа" мм^п^г^т 'а'аЛее> пример В позвол дет считать’ и( 1) и - г-?. Теперь остается доказать, чцто а(М, ^ для этого» будем опираться на следующую леммцу.
«л^еММа' Русть — ориентированное замкнутое иетьФ0^6^" Йоп™Н0гоиб£азие tt ^^ М —замкнутая характеристически" верхность. Если а(М)=о = ^./^ то (И F}=^d(V G), ^ е V есть комп< 1ктное ориентированное пяти^ерное - мноеообр^^ие и
его г{. ехмерное хара ктеристическое подмно.огообРазие-
С помо: цью леммы ле;вко показать, что а(М.', F)^0; в ^3“ом ванная”^! М ПрР3ат?’ ^о квадратичная фор» ма q, aCcoi> P°q яяпл Л VM’^’ неитРа^ьна. Лемма и5 § Ш : утверждае^’ ^о ядро гoмo^ орфизма включения Нх (F; 7,1№>->k HX<NV, Zj^’ °'
тропно. С другой стороны, из двойственности следует, что это ядро имеет размерность, равную половине размерности пространства Н{ (F; Z/2Z); следовательно, q нейтральна.
Доказательство леммы. Так как сигнатура реализует изоморфизм группы кобордизмов четырехмерных ориентированных гладких замкнутых многообразий на группу Z, то 7И = дУ5, где У5 — пятимерное гладкое ориентированное компактное многообразие. Согласно теории препятствий, существует трехмерный относительный цикл G пары (У, 7И) с коэффициентами в Z/2Z, являющийся характеристическим и удовлетворяющий равенству dG = GAM = F. Мы получили редукцию леммы к подлемме.
Подлемма. Пусть У — ориентируемое гладкое пятимерное многообразие с краем; пусть GaV — некоторый относительный 3-цикл с коэффициентами в Z/2Z. край которого dG = G ПдУ есть поверхность с нулевым самопересечением в У. Тогда G гомологичен по модулю dG (ц по модулю 2) подмногообразию G многообразия У.
Доказательство. Мы воспользуемся методами, детально изложенными в [GM3, II. 2], которые были созданы Кнезером и Рохлиным. Можно считать, что цепь G триангулирована и (по соображениям, связанным с воротником) является многообразием вблизи своей границы F = dG. Более того, G, несомненно, есть многообразие вне своего двумерного остова. Используя самые простые методы из [GM3, II. 2], легко прийти к случаю, когда G является многообразием вне своего нульмерного остова. Соединим вершины, в которых G не является многообразием, в поддерево одномерного остова цикла G. Звезда этого дерева в У есть шар В5 с краем S4, совпадающим с линком этого дерева в У. Линк этого дерева в G есть поверхность L, кобордант- ная F посредством G \ В5. Применяя подлемму из § III к парс (У \ В5, G \ В5), можно добиться, чтобы поверхность L была связна.
Так как индекс самопересечения L-L равен нулю в S4 (благодаря наличию кобордизма и ориентируемости многообразия У), то нормальное к L в S4 расслоение на диски Е допускает § 3], можно показать, что s^L) ограничивает в S4\£ (в случае нс имеющее нулей сечение s. Затем, действуя, как в [GM3, III, надобности, «обматывая» сначала сечение s) и, следовательно, что L есть край некоторого подмногообразия сферы S4. Снова можно применить методы из [GM3, II. 2], чтобы сделать цикл G гладким в его классе гомологий по модулю 2. Это завершает доказательство подлеммы, а вместе с нею и теоремы.
Замечания. Конец доказательства подлеммы на самом деле доказывает следующий результат:
Пусть F2— поверхность с самопересечением F-F = 0 в четырехмерном ориентируемом многообразии 7И4, реализующая нуль в Я2(А14; Z/2Z). Тогда существует многообразие G3 в Л14 с краем F2.
Вместе с примером В это дает следующую теорему.
Теорема. Пусть М4— четырехмерное спинорное многообразие и F2— такая характеристическая поверхность, что i^Hx^F; Z/ /2Z)) = {0} cz Нх (М; Z/2Z); тогда
F . р=-ММ, F) mod 16,
где а(М, F)—инвариант Брауна пары (Л4, Fy
Это обобщает старую теорему Уитни [W] (1941).
Теорема (Уитни). Пусть F2—поверхность, лежащая в сфере S4; тогда
F • F^-2Z(F) mod 4.
В самом деле, а(Л4, F) = dim Н2(Б] Z/2Z) = %(F) mod 2.
Частью доказательства, необходимой для того, чтобы охватить сигнатурную часть теоремы, является результат Рохлина: замкнутое ориентированное четырехмерное многообразие М4 ограничивает пятимерное ориентированное многообразие, если о(Л14) = 0.
Таким образом, можно было бы получить доказательство главной теоремы в два этапа:
Доказать теорему, сформулированную выше (в случае спинорного М, на самом деле достаточно для случая Л44 = 54).
Доказать, как в лемме и в начале подлеммы, сформулированной выше, что (Л4, F) |J — g (М) (СР2, СР1)^^4, F') есть край пары (V, G), где V — пятимерное компактное ориентированное многообразие, G — характеристическое трехмерное подмногообразие и F'— некоторая поверхность, лежащая в S4.
V. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПЕРЕСТРОЙКИ И КОБОРДИЗМЫ
Рассмотрим теперь тройку (М, F, ЗГУ где М— ориентированное замкнутое четырехмерное многообразие, F— характеристическая замкнутая поверхность и ^— выбор тривиализации касательного расслоения многообразия М над двумерным остовом дополнения M\F, которая не продолжается ни на какой меридиональный диск поверхности F (такая тривиализация существует, поскольку F— характеристическая поверхность).
Определение 5. Две тройки (7И, F, SF^ и (AT, Ff, SF') называются характеристически кобордантными, если существует
тройка (И, G, ^), где V— ориентированное пятимерное компактное многообразие, G— характеристическое трехмерное подмногообразие и 9 — тривиализация касательного расслоения многообразия V над двумерным остовом дополнения V\G, которые удовлетворяют условиям dV = М Ц (—М^, dG = F U F' и S продолжает ST и ^z. Полученная таким образом группа ко- бордизмов есть группа характеристических кобордизмов, обозначаемая через Q^
Замечание 1, Если в предыдущем определении пренебречь тривиализациями, то полученное отношение не будет транзитивным (статьи [GM1, GM2] в этом пункте ошибочны). Можно пренебречь тривиализацией, если ограничиться парами (Al, F), такими же, как в определении, но с Ну (М; Z/2Z) = 0, поскольку тогда существует единственная (с точностью до гомотопии) тривиализация касательного расслоения М над двумерным остовом дополнения M\F, которая не продолжается ни на какой меридиональный диск поверхности F.
Пусть дана пара (Al, F), где М — ориентированное замкнутое четырехмерное многообразие и F — такая характеристическая поверхность, что 1ДНДР; Z/2Z)) = {0} cz НДМ; Z/2Z), и пусть, кроме того, с — простая замкнутая кривая на F.
Лемма. Результат (Mz, F') перестройки пары (М, F) вдоль кривой с обладает тем свойством, что Fz есть характеристическая поверхность в АГ в том и только в том случае, если д(с)=0.
Доказательство. Пусть Р— перепонка, натянутая на кривую с в многообразии At, и пусть D — двумерный диск, являющийся осью перестройки в АГ. Тогда 2 = P\jD есть двумерный цикл в АГ и 2(2-2 + H-Fz) = 2(о(у) + P-F) = g(c)mod 4, где о (у) есть препятствие к продолжению на Р нормального векторного поля кривой дР в F (ср. замечание 3 § III; конечно, c-c = 0mod2, поскольку перестройка вдоль с возможна). Следовательно, если поверхность Fz является характеристической, то, в силу формулы By, g(c) = 0.
Обратно, пусть 2—двумерный цикл в АГ, который можно считать пересекающимся трансверсально в п точках с коосью перестройки в АГ. Тогда 2 можно рассматривать (после изотопии) как объединение п непересекающихся сдвигов оси перестройки и перепонки Р, натянутой на пс в At; следовательно,
2 (2 - 2 + 2 • Fz) = 2 (о (у) + Р • F) = q (пс) = nq (с) = 0 mod 4,
и поверхность Fz является характеристической в АГ.
Замечание 2. Если с — такая замкнутая простая кривая на F, что q(c) = 0, то (ср. с замечанием 3 из § III) с-с = 0 и перестройка вдоль с возможна.
Пусть тройка (7И, F, 5Г) представляет элемент группы QL и пусть Л^— односвязное многообразие, полученное из М такими перестройками индекса 2 вдоль непересекающихся с F окружностей, что ассоциированный с этими перестройками кобордизм доставляет характеристический кобордизм между (М, F, 9^ и результатом перестройки (уИь F, ЛУУД.
Предложение-определение.В этой ситуации если с — простая замкнутая кривая в F, то qM (с)**) не зависит от выбора Мь Таким образом, определена квадратичная форма q (и инвариант Брауна а(М, F, 9")) тройки (7И, F, 9*У
Тогда q(c) = Q в том и только в том случае, если кобордизм, определяемый перестройкой пары (М, F) вдоль с, есть характеристический кобордизм тройки (М, F, 9" У
Доказательство. Пусть Мх и Л12— два возможных выбора; можно считать, что окружности, вдоль которых производятся перестройки, не пересекаются. Пусть М — многообразие, полученное в результате обеих серий перестроек, которые по отдельности дают Mi и ТИ2. Тогда М односвязно, пара серий перестроек, превращающим (М, F) в (М, F), дает характеристический кобордизм между (Л1, F, 9Л и результатом перестройки (М, F, 9\ и очевидно, что q^ (с) = q^ (с) = qм\с\
Предположим теперь, что перестройка пары на (Л1, F, 9) вдоль кривой с определяет характеристический кобордизм; тогда 7(c) = 0 в силу леммы из § III. Обратно, по лемме, доказанной выше, если q(c) = 0, то у результата (М7, F') перестройки пары (Л11, F) вдоль с поверхность F7 является характеристической поверхностью многообразия М7. Пусть yw, N^—дополнение в (7И1, В) окрестности кривой с; это также дополнение в (М7, F7) окрестности сферы, дуальной к сфере, вдоль которой присоединяется ручка перестройки. Так как W односвязно, то HX^W\N; Z/2Z) порождается меридианами поверхности F П ТБ и две тривиализации касательного расслоения многообразия H7\yV над двумерным остовом дополнения lУ\^, происходящие из тривиализаций касательных расслоений дополнений АфХР и M7\F7 над их двумерными остовами, гомотопны (их разность х ^ H^W\N; 7Д(17} обращается в нуль на каждом меридиане поверхности F П N = F7 П N) • Следовательно, перестройка, связывающая (Afi, F) и (М7, F7), определяет характеристический кобордизм; по определению, то же самое можно
А Известно, что такое многообразие Л1Т всегда существует и что оно зависит от данной тривиализации 9~.
**) q^ обозначает квадратичную форму, ассоциированную, как в § III. С (^ь
сказать и о кобордизме, соединяющем пары (7И, F) и ^М\ F'); отсюда по транзитивности получаем требуемый результат.
Займемся теперь вычислением группы й^.
Теорема. Последовательность 0-^Йс Z $ Z ® Z/8Z —> ^>Z/16Z-^0 с х(М, F, д~)=До(МУ F-F, а^М, F, О и л (х, у; г) = х — (у + 2г) точна. Иначе говоря, (М, F, ^^ ->(о(М), F • F) определяет изоморфизм группы й* на подгруппу индекса 2 группы Z®Z, состоящую из (х, t/)eZ$Z с четной разностью х — у.
Доказательство, (а) Для тройки (х, у, г) г Z®Z®Z/8Z, удовлетворяющей равенству х = у + 2zmod 16, нужно найти такой элемент (М, F, ^)ей^, что х = а(Л4), y = F-F и г = = а(Л1, F, ЭД. Но пример Л § IV позволяет свести эту задачу к задаче реализации троек (0, у, г), где у =—2гmod 16, которую можно решить, взяв дизъюнктное объединение -уД копий примера В.
(1) Пусть (Л1, F, ^ей^; тогда а(М, F, £Г) = 0 в том и только в том случае, если тройка (Af, F, ^) характеристически кобордантна тройке (N, S2, ^)ей5.
В самом деле, если а(Л1, F, ^) = 0, то квадратичная форма q на НДР; Z/2Z), ассоциированная с (M, F, 3^), допускает изотропное подпространство половинной размерности, базис которого может быть представлен непересекающимися замкнутыми простыми кривыми на F. Предыдущее предложение утверждает, что перестройка пары (М, F) вдоль этих кривых даст характеристический кобордизм. Полученная поверхность F удовлетворяет равенству НДР'; 7. /FF^Q, следовательно, F’’= S2. Обратное утверждение также вытекает из этого предложения.
Пусть (М, F, Т)еС; тогда а(Л1, F, g^ = Q = F-F в том и только в том случае, если тройка (Л1, F, ^) характеристически кобордантна тройке (V, 0, ?)ей4. Это следует из (1) и из того факта, что если сфера S2 удовлетворяет равенству S2-S2 = 0, то можно сделать перестройку индекса 3 вдоль нее, сохраняющую характеристичность.
Наконец, тройка (7И, F, £Г) <= Q^ является нулевой в том и только в том случае, если сг(М) = F-F = 0 = а (JVI, F). Это следует из пункта (2), из вычисления группы обыкновенных кобордизмов й4 и из инъективности естественного гомоморфизма включения Й4Рт—^Й^ (ср. [GM3, III, упражнения]).
Замечание. Предыдущее доказательство было написано, чтобы подчеркнуть точку зрения характеристической хирургии; на самом деле нужны только: теорема, которая утверждает, что л о х = 0, пункт (а) для доказательства включения Кег л cz Im х; наконец, инъективность гомоморфизма х, доказанная в пункте (Ь), уже была установлена: это лемма из § IV (доказательство которой начинается с продолжения данной спинорной структуры). Читатель выведет, как в [GM3, III, упр. III. d], доказательство инъективности естественного гомоморфизма включения
ПРИЛОЖЕНИЕ
В этом приложении мы даем набросок определения инварианта а(Л4, F), в котором используется погружение поверхности F в R3. Эту точку зрения нам объяснил Л. Зибенманн, и здесь мы приводим его объяснения.
Квадратичная форма, ассоциированная с поверхностью^ погруженной в R3
Лентой будем называть объединение непересекающихся колец и лент Мёбиуса.
У вложенной в R3 ленты Q выберем согласованные ориентации оси С и края 6Q. Тогда коэффициент зацепления оси С и края 6Q есть корректно определенное целое число t(Q)gZ, не зависящее от выбора согласованных ориентаций.
r(Q) есть инвариант класса изотопных лент, а также класса кобордантных лент (вычислите r(Q), используя пересечение двух поверхностей, лежащих в В4 и ограниченных кривыми С и dQ).
Определим q (Q) = t(Q) mod 4. Тогда q^Q) есть инвариант класса лент, регулярно гомотопных ленте Q.
(Для вычисления инварианта т используют поверхность Зей- ферта зацепления С в R3. Нужно проверить, что преобразование
= -II-
изменяет t(Q) на число, кратное 4. Это сводится к случаю
где t(Q) равно соответственно —2 и +2.
Подобным же образом проверяется, что q определяет гомоморфизм множества классов регулярно гомотопных лент, наделенного операцией дизъюнктного суммирования, на группу Z/4Z. Кроме того, если ограничиться связными лентами, то получается изоморфизм. Регулярной гомотопией можно развязать узел С в R3, а затем воспользоваться равенством
н
Квадратичная форма q\ H^F; Z/2Z)^Z/4Z.
Пусть F— замкнутая поверхность, не обязательно ориентируемая, погруженная в R3. Любой класс x^Hi(F; Z/2Z) реализуется некоторой лентой Q ст F. Шевелением погружения поверхности F в R3 можно добиться, чтобы Q была вложенной. Регулярно гомотопический класс этого вложения корректно определен. Положим q (%) = q (Q). Легко проверить, что вычет q^ корректно определен.
Заметим, что q зависит только от класса погружений, регулярно гомотопных погружению поверхности F в R3 (так как q(jQ) зависит только от класса лент, регулярно гомотопных ленте QczR3). Форма q является квадратичной: q(x 4-у) = q^x)-F + q^yW^x-у mod 4.
Пример [В, пример 1.28]. С ориентированной замкнутой стабильно параллелизованной поверхностью М2 ассоциирована единственная параллелизация произведения М2 X R и, следовательно, погружение М2 в R3. Так как поверхность .И2 ориенти руема, то инвариант Брауна квадратичной формы q оказывается в Z/2Z = 4Z/8Z. Таким образом, имеется отображение множества л2 классов регулярно гомотопных ориентированных поверхностей, погруженных в R3, в группу Z/2Z. Это изоморфизм ]), и ненулевой элемент множества л2 можно представить посэед- ством погруженной ручки ^^^ , объединенной с как-либо погруженным диском 2).
]) Здесь существенно, что М2 4= S2 и что рассматриваются погруженные поверхности, а не погружения, т с. что нс различаются погружения, отличающиеся на автодиффеоморфизм поверхности — Прим. ред.
Погружение, ассоциированное с характеристической поверхностью
Пусть 7И4— ориентированное четырехмерное замкнутое многообразие, и пусть F2— замкнутая характеристическая поверхность (не обязательно ориентируемая). Предположим, что ЯДЛ14; Z/2Z) = 0*). Так как поверхность F характеристическая , то существует спинорная структура на M\F и, следовательно, тривиализация 3^о касательного расслоения многообразия 7И4 над двумерным остовом дополнения (M4\F) (это эквивалентно наличию тривиализации касательного расслоения М4 над (M4\F) без одной точки), которая не продолжается ни на какой двумерный диск, трансверсальный к F.
Так как FP (М; Z/2Z) = 0, то любые две такие спинорные структуры совпадают (их разность есть класс хеНЦМХР;
сужение которого на всякий меридиан поверхности F есть нуль; стало быть, х продолжается до хеНЦМ; Z/2Z) = 0 и х = 0).
Пусть Fo = F\ (несколько точек)—часть поверхности F, на которой существует нормальное векторное поле в М.
Предложение. Существует класс регулярно гомотопных погружений поверхности Fo в R3, корректно определенный следующим способом:
Фиксируем нормальное векторное поле g на Fo, и пусть ц— его дополнение: j®i]=v(F0, 7И)—нормальное расслоение поверхности Fo в М. Тогда тотальное пространство E(i]) расслоения на диски, ассоциированного с ц, есть трехмерное утолщение поверхности Fo. С точностью до изотопии имеется единственный способ получить совпадение первого векторного поля спинорной структуры З^о, определенной на M\F, с ^ вдоль поверхности Fo, сдвинутой в M\F вдоль g. Спроектируем поле ^о на E(i]) параллельно первому векторному полю поля реперов ^о. Это дает тривиализацию 3 касательного расслоения многообразия E(p)zo Fo и, следовательно, погружение g: Е(т|)-^ ->R3.
Для доказательства предложения предположим, что ^, т/, <8Г и gr получаются в результате другой такой конструкции. Покажем, что существует изоморфизм расслоений a: v(F^ М)-^ -^■x(F^ 7И), который переводит g в г] в т/ и ^ в ^' с точностью до гомотопии. Из этого будет следовать, что погружение g |Fo регулярно гомотопно g' Ц.
*) Если HY (М; Z/2Z) ^ 0, но пара (М, Г) снабжена тривиализацией касательного расслоения многообразия М над двумерным остовом дополнения M\F, которое не продолжается ни на какой меридиональный диск поверхности F, то форма q определена, поскольку Ео, сдвинутая посредством 1, восстанавливает эту тривиализацию (см. предложение). Сравните с § V.
Дополнение ц' векторного поля ^ изоморфно ц, так как они оба определяются классом ^i(v). Следовательно, ^, ц' и aSZo приводят, как прежде, к тривиализации cZS касательного расслоения многообразия ЕХл')- Если удастся показать, что а^0 есть тривиализация, гомотопная З^о, то из этого будет следовать, что тривиализация aS гомотопна S'. Чтобы доказать это, рассмотрим каждую компоненту поверхности Ео как ручку индекса 0 с несколькими присоединенными ручками индекса 1. Посредством гомотопии расслоения можно добиться, чтобы изоморфизм а был тождественным всюду, кроме ручек индекса 1, где у тривиализовано и где изоморфизм а проявляется как кручение при движении вдоль оси типичной ручки Н. Так как Н стягиваема, то можно утверждать, что вблизи Н в уИоХЕо (А10 = М\ (точки, удаленные из F^ тривиализация Зго есть произведение тривиализации проколотой плоскости R2\0 = = S!XR на стандартную тривиализацию ручки Н = 1^1. И тогда ясно, что а переводит тривиализацию ЗХ в себя (это не так, если для R2\0 взять тривиализацию, индуцированную тривиализацией плоскости R2).
Полученный выше регулярный гомотопический класс погружения g; R3 определяет единственный регулярный гомотопический класс погружения g: F-^-R3 (это следует из классификации погружений S2 в R3 с точностью до регулярных гомотопий) ).
Согласно п. 1, погружение g ассоциировано с квадратичной формой на H^F; Z^Z) со значениями в Z/4Z, и, следовательно, в конечном итоге инвариант Брауна a(M, F)^Z/8Z.
Мы предоставляем теперь читателю убедиться в согласованности этого определения с нашим. Разумеется, возможно также продолжить доказательство теоремы на языке этого приложения. Мы только наметим доказательство ключевой леммы из § III. Напомним ее формулировку.
Предположим, что (M4, F^ есть край пары (V5, G3), где У5 — ориентированное компактное пятимерное многообразие и G3 — его характеристическое подмногообразие. Пусть A2 cz G3 — такая поверхность (не обязательно ориентируемая), что AQ F = д^ = С — кривая на F. Тогда д([С]) = 0 в Z/4Z, если [C]^Hi(F; Z/2Z)— класс, реализованный кривой С.
В самом деле, так как подмногообразие G является характеристическим, то существует тривиализация касательного расслоения многообразия V над трехмерным остовом дополнения
V\G. Так как А2 имеет гомотопический тип одномерного комплекса, то существует нормальное векторное поле подмногообразия G3, определенное в окрестности поверхности А2. Обозначим эту окрестность через Од. Пусть г]— дополнение векторного поля ё, ^Фл^^Сд, У). Можно считать, что вдоль копии окрестности Сд, сдвинутой в направлении g, первый вектор тривиали- зации совпадает с £, а также что последний вектор тривиализа- ции есть нормальный вектор края дУ5, направленный внутрь У. Тогда проектированием, параллельным полю g, получается три- виализация касательного расслоения многообразия Е(г]|Сд). Сужением на край получается тривиализация касательного расслоения многообразия £(т], Ес), где Fc— окрестность кривой С на F-, конечно же той самой, которая была использована в определении ?([С]).
Отсюда получается погружение g: (Од; Ec)-^(R+, R3). Заметим теперь, что коэффициент зацепления кривой С и dFc равен индексу пересечения gkdG3^ • g (А2), который, конечно, есть нуль, так как g(dG^) и g(A) не пересекаются.
Заметим, что это доказательство в противоположность данному в § III не использует формулу By, т. е. эквивалентность алгебраического и гомотопического определения характеристического класса.
ЛИТЕРАТУРА
[A’] A’Campo N. Sur la premiere partie du 16e probleme de Hilbert, Se- minaire Bourbaki, n° 537 (1979).
Арнольд В. И. О расположении овалов вещественных плоских алгебраических кривых, инволюциях четырехмерных гладких многообразий и арифметике целочисленных квадратичных форм. Функц. анализ и его прил. т. 5, вып. 3 (1971), с. 1—9.
[BLLV7] Barge J., Lannes J., Latour F. et Vogel P. А-spheres, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., 7, fasc. 4 (1974), 463—506.
Brown E. H., Jr. Generalizations of the Kervaire invariant, Ann. of Math. 95 (1972), 368—384.
Donaldson S. K. An application of gauge theory to four dimensional topology, J. Diff. Geom. 18 (1983), 279—315.*
[Ei] Fiedler T. Eine Kongruenz fiir Gitter und ihre Anwendung auf 2^-Mannigfaltigkeiten in 4^-Mannigfaltigkeiten, Manuscripta Math. 46 (1984), 215—227.
[Fr] Freedman M. The topology of four dimensional manifolds, J. Diff. Geom. 17 (1983), 357—454.'
[FK] Freedman M. and Kirby R. Geometric proof of Rohlin’s theorem, Proc. Sympos. Pure Math'., Vol. 32, AMS (1978), 85—97.
1] Guillou L. et Marin A. Une extension d’un theoreme de Rohlin sur la signature, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. A—В 285 (1977), A95 — A98.
2] Guillou L. et Marin A. Une extensione d’un theoreme de Rohlin sur la signature, Publ. Math. Univ. Paris VII, 9 (1980), 69—80.
3] Гийу Л., Марен А. Комментарии к четырем статьям Рохлина. С. 39—109 настоящей книги
Kuiper N. The quotient space of Op (2) by complex conjugation is the 4-sphere, Math. Ann. 208 (1974), 175—177.
Марен А. Несколько замечаний об алгебраических плоских вещественных кривых. С. 162—172 настоящей книги.
Марен А. СР 2/о или Койпер и Масси в стране коник. С. 149—161 настоящей книги.
Massey W. Proof of a conjecture of Whitney, Pacific J. Math. 31 (1969), 143—156.
Mssey Wa. The quotient space of the complex projective plane under conjugation is a 4-sphere, Geom. Dedicata 2 (1973), 371—374.
Мацумото Ю. Элементарное доказательство теоремы Рохлина о сигнатуре и ее обобщения, принадлежащего Гийу и Марену. С. 134—148 настоящей книги.
Милнор Дж. и Хьюзмоллер Э. Симметрические билинейные формы. М.: Наука, 1986.
Рохлин В. А. Новые результаты в теории четырехмерных многообразий. Докл. АН СССР 84 (1952), 221—224; перепечатано в этой книге.
Рохлин В. А. Доказательство гипотезы Гудкова, Фуикц. анализ и его прил., 6 : 2 (1972), 62—64.
Стинрод Н. Е. Топология косых произведений.—М.: ИЛ, 1953.
Тураев В. Г. Кольца когомологий, формы зацеплений и инварианты спинорных структур в трехмерных многообразиях, Матем сб. 120 (162), № 1 (1983), 68—83.
Whitney Н. On the topology of differentiable manifolds, in Lectures on topology, Univ, of Michigan Press (1941), 101—141.
ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ РОХЛИНА О СИГНАТУРЕ И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ, ПРИНАДЛЕЖАЩЕГО ГИЙУ И МАРЕНУ
Юкио Мацумото
Эта статья возникла из лекции, прочитанной на семинаре по геометрической топологии в Институте высших исследований (Institute for Advanced Studies) (1976—1977) и носит пояснительный характер. В § 1—3 мы дадим элементарное доказательство теоремы Рохлина о сигнатуре замкнутого спинорного четырехмерного многообразия. Наше доказательство не требует никакой трудной гомотопической теории и основано на Арф-ин- варианте характеристических поверхностей и четырехмерной группе кобордизмов Н4. По духу оно похоже на недавнее геометрическое доказательство Фридмана и Кирби [3], но мы думаем, что оно проще, чем у них. В последующих параграфах содержится обобщение этих соображений на случай неориен- тируемых характеристических поверхностей замкнутого четырехмерного многообразия и доказывается сравнение по модулю 16, принадлежащее Гийу и Марену [4], которое связывает сигнатуру четырехмерного многообразия, нормальное число Эйлера (= индекс самопересечения) характеристической поверхности и Z/8-Арф-инвариант Брауна [1].
Автор глубоко благодарен профессору Л. Зибенманну за многие ценные замечания по предварительным вариантам этой статьи.
После окончания второго варианта автору показали лекции А. Кассона [2], записанные К. Гордоном. В них дается доказательство теоремы Рохлина, основанное на Арф-инварианте то- рических зацеплений. В деталях его доказательство существенно отличается от нашего.
АРФ-И НВАРИАНТ
Пусть V — конечномерное векторное пространство над Z/2, снабженное неособой симметрической билинейной формой (v, у)—>х-у ^ Z/2. Функция g; V-^Z/2 называется квадратичной (по отношению к форме «•»), если она удовлетворяет равенству q (% + у) = q(x) + q(y) + х-у для всех х, y^V. Такое квадратическое пространство (V, •, q) допускает симплек- тический базис ah . . ., ar, pb . . ., 0r ^ V c az • ay = ₽z • Py = 0, az • Py = 6^ (6Z/-— символ Кронекера). Как известно, Арф-инва- т
риант Arf(^)e Z/2 по определению равен У 7 («»)?(?()•
В этом параграфе мы напомним определение Арф-инвари- анта характеристической поверхности ориентируемого четырехмерного многообразия. Для того чтобы одновременно работать и с Арф-инвариантами узлов, введенными Робертелло, мы не будем исключать четырехмерных многообразий с непустым краем.
Пусть М4—(компактное) связное гладкое ориентируемое многообразие. Пусть F2— ориентируемая поверхность, собственно вложенная в 7И4. Край д/72 предполагается либо пустым, либо гомеоморфным окружности S1. Поверхность F2 называется характеристической поверхностью, если гомологический класс \F\ dF] ^ Я2(ТИ4, dTW4; Z/2) дуален второму классу Штифеля — Уитни ю2(М4). Равносильное условие: индекс пересечения (mod 2) F-x равен индексу самопересечения х*х для каждого х^Н2(М4; Z/2).
Начиная с этого места, мы будем предполагать, что Нх (М4; Z)={0}. Для любой характеристической поверхности F2 можно, следуя [10] и [3], определить квадратичную функцию q; H\(F2; Z/2)-^Z/2.
Пусть С — окружность, погруженная общим образом в F2. Так как Нх (М4; Z) = {0}, то С ограничивает связную ориентируемую поверхность D, погруженную в М4. Можно считать, что D не касается поверхности F2 ни в какой точке. Нормальное расслоение \D поверхности D ориентируемо и потому тривиально, так как D ~ S1 V ... V S1. Заметим, что всякая тривиализа- ция т: vo^DXR2 индуцирует единственную тривиализацию vD ^ ^ dDXR2 на крае. Действительно, «разность» любых двух тривиализаций ть т2 расслоения vD описывается непрерывным отображением g; D ~^SO(2). Так как край dD гомологичен нулю в D, то индуцированное отображение £ 1^ dD-^ SO (2) гомотопно нулю (поскольку SO(2)~KC^ 1)). Таким образом, индуцированные тривиализации совпадают.
Нормальное расслоение vc окружности С в F2 определяет ориентируемое одномерное подрасслоение в vD | . Пусть o(D) — число (по модулю 2) полных оборотов расслоения ^с в ^d |dD по отношению к единственной тривиализации, упомянутой выше. Пусть D-F есть число точек пересечения поверхностей Int(D) и F. Наконец, пусть Self (С)—число точек самопересечения окружности С на F2
Определим q^C^ равенством
q (С) = о (D) + D • F + Self (C)’(mod 2).
Лемма 1.1. Это определение дает корректно определенную функцию q; H^F2; Z/2)->-Z/2, которая является квадратичной
относительно формы индексов пересечения
Нх (F2; Z/2) ® Нх (F2; Z/2) -> Z/2.
Эта лемма будет доказана в § 5 в более общей ситуации. (См. лемму 5.1.)
Обозначим через Arf(F2) Арф-инвариант функции q.
Лемма 1.2. Arf(F2) зависит только от относительного целочисленного гомологического класса \F2, dF^ и класса конкор- дантных вложений 6F2-^dM\
В частности, если дМ4 = 0, то Arf (F2) определяется целочисленным классом [Т72] и можно говорить об Арф-инварианте целочисленного характеристического класса гомологий ^ (т. е. класса, для которого приведение по модулю 2 дуально к ^2(М))). Мы будем обозначать его через АН (В).
Другим специальным случаем является случай узлов, в котором М4 = D4 и dF2 = Sx. Тогда [F2, dF2] = 0 и Arf(F2) определяется узлом K=^dF2-^dM4Y Это и есть Арф-инвариант Робертелло [8] узла К. Мы будем обозначать его через Arf (К).
Доказательство леммы 1.2. Для простоты предположим, что dF2 = 0. (В общем случае доказательство аналогично.) Пусть F^ и Fx — замкнутые характеристические поверхности, для которых [Fo] = [FJ е Н2(М4; Z). Так как ^(Z, 2) = MSCH2), то Fo и Fx L-эквивалентны в смысле Тома. Другими словами, существует ориентируемое трехмерное многообразие У3 в (IntM4)X[0, 1], такое, что У3 П М X {0 = Fi, z=0, 1. Слегка пошевелив, если необходимо, У3, мы будем считать, что проекция р; М4Х[0, 1]-^[0, 1] дает функцию Морса р': У3—^[0, 1] на V3. Тогда Fj получается из Fo последовательным приклеиванием в М4 ручек индексов 0, 1,2, 3.
Легко видеть, что присоединение ручек индекса 0 и приклеивание ручек индекса 1, соединяющих различные компоненты связности, не изменяет Арф-инварианта. Посмотрим, что произойдет в результате приклеивания ручки индекса 1 к одной компоненте поверхности Fo. Полученная квадратичная функция qf есть ортогональная сумма функций q: Hx(F2; Z/2)-> Z/2 и s: Z/2(f?7)@Z/2(/)->Z/2, где пт и / соответствуют оси и кооси приклеенной 1-ручки. Так как m-m = /-/ = 0, l-m = 1 и s(m) = = 0, то Arf(s) равен нулю. Таким образом, Arf(V) — Arf(7).
Итак, приклеивание ручек индексов 0 и 1 не меняет Арф-инвариант. В силу двойственности приклеивание ручек индексов 2 и 3 также не меняет его. □
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ РОХЛИНА
Мы хотим доказать теорему Рохлина в форме, данной им в [10]:
Теорема 2.1 (Рохлин). Пусть М4— ориентированное замкнутое четырехмерное многообразие с НДМ4\ Z)={0}, и пусть g — его целочисленный характеристический гомологический класс. Тогда
Arf(g)^H<)-^)/8 (mod 2),
где а(А14)—сигнатура многообразия М4 и g-g— индекс самопересечения класса g.
Заметим, что о(ЛР) — g-g делится на 8 (ср. [7]).
Если М4— спинорное многообразие (т. е. са2(Л14) = 0), то в качестве характеристического класса гомологий можно взять 0 (нуль). В этой ситуации теорема 2.1 утверждает, что сг(М4) делится на 16. Это классическая теорема Рохлина [9].
Для доказательства нам понадобятся следующие два факта.
Пусть К^Р* q)— классический торический узел типа (р. q) с нечетным р и четным q. Тогда Arf(/((p, ^)) = (1—р2)/8 (mod 2).
Пусть М4 — односвязное замкнутое ориентированное четырехмерное многообразие. Тогда существуют целые числа L пг. п ^ 0, такие, что М4 ф V + 1) Р # IQ = tnP ф nQ, где Р — комплексная проективная плоскость, a Q— комплексная проективная плоскость с обращенной ориентацией.
Факт 1) есть «зародыш» теоремы Рохлина. Используя факт 2, мы можем глобализовать факт 1 и получить из него сравнение Рохлина.
Эти два факта более или менее стандартны. Тем не менее, в следующем параграфе мы дадим им некоторые пояснения.
Доказательство теоремы 2.1. Пусть F^ — характеристическая поверхность, представляющая класс g. Производя оснащенную перестройку дополнения Af4\F2, мы можем сделать и сделаем ЛР односвязным, не используя тот факт, что F2— характеристическая поверхность, и не изменяя Arf(F2).
Обе части формулы, которую мы хотим доказать, аддитивны относительно связной суммы многообразий и прямой суммы характеристических гомологических классов. Таким образом, если сравнение справедливо для любых двух из трех пар (Мь ^). (М2, Е2) И (Mi#M2. 51® Ь). то оно справедливо и для оставшейся пары.
Пусть т^/^Л ®) и f](=^2(Q; Z) — образующие, представленные проективными прямыми. Они являются характеристическими, и формула легко проверяется для пар (Р, г]) и (Q, fj). Таким образом, из замечания, сделанного выше, следует, что нам нужно доказать формулу только для пары (М4 * (Z + + 1)P*/Q, £®щф . . . ©тр^фтн® . . . ®fjz) с каким-нибудь I ^ 0. Но, в силу факта 2), многообразие Af4# (Z+1) В* ZQ диф- феоморфно связной сумме mP^nQ, если / достаточно велико.
Заметим, что каждый характеристический гомологический класс связной суммы пгР ^ nQ записывается как sop Ф ... • • • ® Wlm®^!® . . . ©trAU с нечетными su th Тогда, опять в силу аддитивности доказываемой формулы, доказательство достаточно провести для пар (jP, sr)) и (Q, /р) с нечетными s, L Как легко видеть, ориентации многообразия А14 и характеристической поверхности несущественны. Следовательно, достаточно рассмотреть только случай пары (Р, st]) с нечетным s >0.
Чтобы вычислить Arf(s, г|), мы возьмем алгебраическую кривую С степени s > 0: C={(x:y:z); xs + ys”;z = Оу Кривая С гомеоморфна сфере S2 и гладко вложена в Р всюду, кроме точки (0:0:1). В этой точке кривая С имеет особенность типа xs + ys-x=0. Пусть В4 — маленький шар с центром в особой точке. Тогда С П дВ4 является торическим узлом типа (s. s— 1). Взяв гладкую поверхность G2 и В4, ограниченную этим узлом, мы получим гладкую поверхность К2 = G2 U (С\С П Int В4), представляющую класс sr). Далее, Arf(sr|) равен Arf(f2) = = Arf (G2) = Arf (K(s, s—1)). В силу факта 1), это равно (1 — s2)/8(mod2), а это и есть (о(В)—(sr)) (sr)))/8 (mod 2) , что и требовалось доказать. □
§ 3. ОБЪЯСНЕНИЕ ФАКТОВ 1) И 2)
Факт 1). Следующий удобный путь получения факта 1) был предложен Зибенманном. Напомним, что полином Александера А (К(р, q); Z) торического узла К(р, q) равен (1 — Z)(l— tpq) / /(1 — ^)(1 — tq) (см. [11, р. 178]). Предполагая, что р нечетно, a q четно, имеем А(К(р, q); —\) = р. Результат Левина [6] утверждает, что Arf (К(р, ф) = 0 или 1 в зависимости от того, будет ли А(К(р, q); —1)=±1 или ±3(mod8). Это переформулируется, однако, следующим образом: Arf (К(р, q)) = = (1 — р2) /8 (mod 2).
Имеется другой, более элементарный путь. Он лучше всего применим к случаю К(s, s — 1) (s > 0), который только и имеет отношение к нашему доказательству. Нам понадобится следующая лемма.
Лемма 3.1. Пусть р— двойная точка регулярной проекции ориентированного узла К. Пусть Ci и Со— две компоненты за-
цепления, которое получается в результате перестройки в точке р вдоль скрученного прямоугольника, показанного ниже на рисунке, L^p; К)— коэффициент зацепления кривых Сх и С2. Если К' — узел, полученный из К заменой прохода на переход в точке р, то
Arf (К) = Arf (Kz) + L{p, К) (mod 2).
Доказательство. Пусть В4 (г) — стандартный четырехмерный шар в R4 радиуса г 0. Пусть S3(r) = дВ^ (г). Построим поверхность G2 в B4(l) \ Int В4(4“) со следующими линиями уровня (плюс сглаживание):
Край <5G2 состоит из кривых KczS3(l) и K^czS3^)- Пусть А и В—две окружности в G, определенные формулами
^ = м?и{^; 4'<r^1}u^i,2/7i/2U{pr; 4</-<1}, b = cv
(скажем, в S3(y))- Возьмем поверхность F2 в #4(4") с краем dF2 = K'. Тогда G2UB2 есть поверхность в В4(1), ограниченная узлом К. Так как Bi(G2UB2; Z^ = HX<F2* Z/2)® Z/2(A)® Z/2(B), то разность Art (К) — Arf (/С) равна Арф-инварианту квадратичной функции q на ZI^^^ZI^^BY Из рисунка выше видно, что q вычисляется следующим образом: </(Л) = о(А) = 1 (А — поверхность в B4(l) \ Int В4^), ограниченная окружностью Л), q (В) = I7 • G = Link (Cb С2) (К — поверхность Зейферта узла Сх
в S3 (—), А • А = В • В = 0 и А • В = 1. Таким образом, Arf (g) = = q (А) • q (В) = Link (Cb С2) (mod 2).
Для того чтобы вычислить Arf(/((s, s—1)), рассмотрим регулярную проекцию узла K(s, s— 1):
Пусть К(п— узел, полученный из K(s, s—1) заменой прохода на переход в точках р^ р2, .Pi его проекции. Тогда ^(5—2)——^^— ^ s — 2). Это дает возможность индуктивного вычисления. Взглянув на рисунок, приведенный выше, мы видим, что L(pi\ K(i-n) = i- (s — 1 — i), 1 i s — 2. Таким образом, применяя лемму 3.1, получаем по индукции
s-2
АтИКЦ, s — 1» = Arf (^(s— 1, s — 2)) + У z • (s — 1 — z).
Элементарные соображения показывают, что
5 ~2.( 0 (mod 2) при х — 2^1 (mod 4),
Zj^' (s 1 z) I I(mod2) при s — 2=l(mod4).
Следовательно, начиная с Aгf(^(l, 0)) = 0, мы имеем
( 0 при №0, 1, 2, 7 (mod 8),
Arf (K(s, s- 1)) = < ,Qи o\
( 1 при s = 3, 4, 5, 6 (mod 8).
Ограничиваясь нечетными s >> 0, мы получаем желаемую формулу
Arf <K^s, s - 1)) = (1 - s2)/8 (mod 2).
Факт 2). Это следствие теоремы Уолла [14]. Однако, так как эта теорема далеко не элементарна, мы дадим прямое доказательство, сообщенное автору Зибенманном. Ср. [5].
Предположим, что односвязные замкнутые ориентирован четырехмерные многообразия Л44 и N4 кобордантны. П} W5— ориентированный кобордизм между ними. Разложим на ручки, начиная с ;И4Х[0, 1]:
Г5 = М4 X [0, 1] U ^0Я° и мн1 U Л2Я2 + МН3 + МН4 + ^яЕ
(Х[ — число ручек индекса z). Мы можем сократить ручки дексов 0 и 5. Ручка индекса 1 тривиально приклеиваете' М4 X [0, 1], и ее присоединение равносильно связному суммг ванию по краю многообразия М4Х[0, 1] и вложенного пр< ведения SxXD4. Мы делаем перестройку многообразия вдоль этого вложенного произведения S1 X D4. Тогда S1 > заменяется ручкой индекса 3, тривиально приклеенной М4Х[0, 1]. Двойственным образом, мы можем вырезать 4-j ки и заменить их 2-ручками. Теперь мы можем считать, имеются только ручки индексов 2 и 3.
Так как М4 и N4 односвязны, то, глядя на среднюю пов^ ность уровня, мы видим, что
М4 # pS2 xs2^ qS2 х s2 Г # rS2 x s2 4 sS2 X S2,
где S2XS2 есть нетривиальное расслоение над S2 со слоем Из того, 4toS2XS2*P^S2XS?^P^2P^Q [13], еле/ существование таких I, m ^ 0, что
М4^(Н UP*lQ^N4^(m+ l)P^mQ.
Сигнатура о: Q4-^Z дает изоморфизм, так что каждое М4 бордантно о(Л14)Л Теперь факт 2) следует из полученного bi результата ]).
ИНВАРИАНТ БРАУНА
Напомним определение Z/8-Арф-инварианта Брауна из Пусть V—конечномерное векторное пространство над 2 снабженное неособой симметрической билинейной фор (х, у^-^х*у е Z/2. Под Z/^-квадратичной функцией поним функцию ф: V-^Z/4, удовлетворяющую условию ф(х + ^ = ф(^)+ф(#) +2(х-у) для всех х, y^V, где 2: Z/2-X есть гомоморфизм, переводящий Ь—>2. Такая тройка (V, называется Z /^-квадратичным пространством.
Ортогональная сумма ХФУ двух Z/4-квадратичных i странств X, У определяется очевидным образом. Квадратик пространство неразложимо, если оно не изоморфно ортогон; ной сумме двух нетривиальных квадратичных простран
Существуют только четыре неразложимых пространства, а именно
= (Z/2 (я), •, ф), а • а = 1, ф (а) = 1;
P_ = (Z/2^),ф),ф(а) = — 1;
Т0 = (2/2(6)ег/2«),ф), b-b = с -с = О,
b • с = \, ф(6) = ф(с) = 0;
T4 = (Z/2(6)®Z/2(c), •, ф), Ь-Ь = с-с = О, b • с = 1, ф (6) = ф (с) = 2.
Следуя [7, р. 112], будем говорить, что Z/4-квадратичное пространство Х = (У, •, ф) нейтрально, если V содержит подпространство Н, для которого ф(Я)={0}, Н*Н = {0} и dim Н = 4* dim V. Например, То и Р+Ф Р_ нейтральны. Два Z/4-квадратичных пространства X и Y принадлежат к одному классу Витта, если ХФД^УФ^, где Si нейтрально. Классы Витта Z/4-квадратичных пространств образуют группу Витта W. Мы обозначим класс Витта пространства X через [X]. Тогда, например, [Го] = Ои [Р+] + [Р_] = 0.
Отметим два соотношения:
р^т^р_(®р_^р_ и р_фг4^р^ер+фр+
(при обоих изоморфизмах стандартные образующие правой части отображаются в элементы а + b, a-Vc, a-Yb-Yc левой части). Эти соотношения в терминах классов Витта записываются так: [Т4] = 4[Р__] и [Л] = 4[Р+]. Таким образом, W порождается классом [Р+] и 8[Р+] =2[Р4] =4( [Р+] + [Р_] )=0. В действительности, как мы увидим ниже, группа W изоморфна ^/8 посредством инварианта Брауна.
Пусть X есть Z/4-квадратичное пространство (V, •, ф). Браун [1] рассмотрел сумму
x^V
Комплексное число 7(Х) принимает значения вида V2dimV((l + + 0 /V2)m (m е Z). Действительно, X мультипликативно: Х(ХФ У) = Х(Х)Х(У) и принимает требуемый вид на каждом из неразложимых пространств: X (Р ^) = 1 + i = V2 ((1 + 0/V2) И т. д._
Так как комплексное число(1 +z)/V2 есть корень 8-й степени из единицы, класс вычетов числа m по модулю 8 корректно определен. Он называется инвариантом Брауна пространства X и обозначается через |3(Х)^ Z/8.
Лемма 4.1 ([1, теорема 1.20, ix]). Если X нейтрально, то |3(Х) = 0.
В силу 4.1, р определяет гомоморфизм IF->- Z/8, и так как р(Р+)= 1, то это изоморфизм.
Замечания. 1) ([1, теорема 1.20, vii]). Пусть (V, •, ^)—квадратичное пространство в смысле § 1. Тогда (V, •, 2^) есть Z/4-квадратичное пространство и P(V, •, 2^) = 4 Arf(^), где 4: Z/2-^Z/S— гомоморфизм, переводящий 1 н->4.
([1, теорема 1.20, vij). Для каждого Z/4-квадратичного пространства X = ^V, •, ф) имеем р (X) = dim V(mod 2).
СРАВНЕНИЕ, ПОЛУЧЕННОЕ ГИЙУ И МАРЕНОМ
Гийу и Марен [4] распространили сравнение Рохлина (теорема 2.1) на случай неориентируемых характеристических поверхностей. В этом параграфе мы сформулируем их сравнение. Доказательство будет дано в § 6.
Пусть Л44 — ориентированное связное замкнутое четырехмерное многообразие с Н\ (М4; Z)={0}. Пусть Т72— замкнутая характеристическая поверхность многообразия М4 (в смысле § 1), которая не обязательно является ориентируемой. Тогда мы можем следующим образом определить Z/4-квадратичную функцию ф: ЯД/72; Z/2)-^Z/4. Пусть С — окружность, погруженная в F2. Так как ЯДМ4; Z) = {0}, то С ограничивает связную ориентируемую поверхность D, погруженную в М4. Мы можем потребовать, чтобы D не касалась поверхности F2 ни в какой точке. Так же как в § 1, нормальное расслоение vD тривиально, и на его сужении vd|c индуцируется единственная три- виализация vo|c = CXR2- Нормальное расслоение окружности С в F2 определяет одномерное подрасслоение \с расслоения vd|c- Пользуясь упомянутой выше единственной тривиализа- цией, мы подсчитываем число n^D^ правых полуоборотов подрасслоения vc. На рисунке показаны правые обороты:
Si
Здесь [С] есть произвольно выбранное направление на окружности С и {еь е2} — базис слоя (^ R2) расслоения va|c, который удовлетворяет равенству
где [го]—«радиальное» направление внешней нормали края поверхности D.
Теперь требуемая форма ф определяется равенством
ф (D) — п (D) + 2D • F + 2 Self (С) (mod 4).
Лемма 5.1. ф(У)еь7/4 зависит только от Z/2-гомологиче- ского класса окружности C = dD. Функция ф: НДР2; Z/2)->- -^Z/4 является Z/^-квадратичной.
Пусть (3(А2)— инвариант Брауна Z/4-квадратичного пространства (НДР2; Z/2), •, ф).
Теорема 5.2 (Гийу и Марен), Во введенных выше обозначениях
(5 (МД = F • F + 2(3 (РД (mod 16),
где Р-Р— индекс самопересечения поверхности F (ср. [15]) и 2: Z/8-^Z/16 — гомоморфизм, переводящий 1г—>2.
Следствие. (Обобщенное сравнение Уитни [10].)
о (МД = Р • F + 2/ (РД (mod 4),
где %(F2)— эйлерова характеристика поверхности F2.
Следствие получается из 5.2 в силу замечания 2) предыдущего параграфа. К тому же, в силу замечания 1), мы видим, что в случае, когда F2 ориентируема, 5.2 сводится к 2.1.
Остаток этого параграфа посвящен доказательству леммы 5.1.
Доказательство леммы 5.1. Доказательство делится на четыре шага.
ф(О) зависит только от погружения окружности С.
Возьмем другую погруженную поверхность D' с dD'= С и покажем, что ф (£)')= ф(£)). Покрутив, если нужно, D' вокруг С (ср. [3, рис. 1]), мы можем добиться, чтобы объединение D U D' было гладко погруженной замкнутой поверхностью S. (Мы добиваемся, чтобы внешние «радиальные» векторы поверхностей D и Df в точках их общего края имели противоположные направления.) D и D' определяют тривпализации т и К расслоения vD |с = xD, |с, но они индуцируют противоположные ориентации на слоях (^ 92). Пусть d(— т, тД е Z = ni (SO (2)) — препятствие к изотопности между тривиализациями —т и т'. Тогда
I • I = d (—т, т') ~ 2D - D' = d (—т, т') (mod 2).
Так как поверхность F2 характеристическая, то 2-2 = ^*F (mod 2), но S *F равно
D • F + D' • F + wt (vc) [С] (mod 2).
Появление члена ^i(vc) [С] объясняется так: если расслоение vc ориентируемо (^i (vc) [С] = 0), то мы можем вблизи С сдвинуть 5 с F2, но если vc неориентируемо (^i (vc) [С] — 1), то, приведя 2 в общее положение относительно F2, мы обязательно получим нечетное число точек пересечения поверхностей F2 и 2 вблизи окружности С.
Из (А) и (В) получаем
d (~т, т') = D ♦ F + Df • F + wv (vc) [С] (mod 2).
Окончательно,
п (D') = пф) + 2d (—т, т') + 2wx (vc) [С] (mod 4).
Действительно, число (mod 4) правых полуоборотов подрасслоения vc в vd|c по отношению к —т (вместо т) равно —n(D). Но — n (D) = n^D^ + 2^i (vc) [С] (mod 4). (Доказательство. Если пф\ = 1 или 3(mod4), то vc неориентируемо и, следовательно, Wi(vc) [С]= 1 и n(D) + 2^i (vc) [С] = 3 или 1 (mod 4). Если пф^^О или 2 (mod 4), то vc ориентируемо и w\(vc) [С] = 0.) Поэтому n(Df) = —n(D) + 2d(—т, т7) = пф^ + 2^i (vc) [С] + + 2^(—т. т7), что и требовалось.
Из (С) и (D) следует, что n(D) + 2D-F = пф^ + 2D'* F (mod 4). Это мы и хотели доказать.
В силу 1), можно писать ф(С) вместо ф(/)).
ф(С) зависит только от гомотопического класса окружности С.
Очевидно, что ф— инвариант относительно регулярных гомотопий окружности С. Если С гомотопна С, то Cf регулярно гомотопна кривой, которая получается из С введением некоторого числа двойных точек Уитни (связным суммированием с маленькими восьмерками) [12, §7]. Но для маленькой восьмерки можно взять ограниченный ею малый диск D с D-F = 0. Как нетрудно видеть, п^ = 1 Очевидно, Self (восьмерка) = 1. Таким образом, ф (восьмерка) = 2 + 2-0+ 2-1 = 0(mod 4). Из этого следует, что ф(С7) = ф(С).
Теперь мы знаем, что ф определяет отображение лДЯ)-^
Отображение ф: ni(F2)-^Z/4 является Т,^-квадратичным.
Иными словами, если С* С обозначает произведение петель, то ф (С-С) = ф (С) -г ф (С7) + 2(С-С7). Доказательство непосредственно следует из определения функции ф.
ф: Л!(Р)->2/4 пропускается, через HX(F2; 7J2Y
ПОД реД, Л. ГИЙ' Гг Д
В силу 3), ф (С-Cz) = ф (Cz • С). Таким образом, ф пропускается через ЯД/2; Z). Для того чтобы доказать 4), мы должны только заметить, чтоф (С + С) = 2ф (С) + 2 (С • С) = 2&р (vc) [С] + + 2wx (vc) [С] = 0 (mod4).
Это завершает доказательство леммы 5.1.
§ 6. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 5.2
Начнем с проверки формулы 5.2 в ключевых примерах.
Пусть 9№± — две ленты Мёбиуса в К3. Заклеим края лент Ш1± дисками А± в R4_ = {(х, у, z, w): ау^С0}так, чтобы получились два гладких вложения проективной плоскости RR2: RP+ cz czR4(=S4 {оо}).
9Л+
Утверждение. p(Rpl) = ±l, RP± • RP± = =Р 2 и a(S4) = 0. Таким образом, утверждение теоремы 5.2 выполняется для поверхностей RP± cz S4.
Доказательство. Пусть D — диск в RX = {(x, у, z, w): ш^О}, который перпендикулярно выходит на край R3 = 5Ri вдоль dD = C— центральной окружности ленты €Ш+ или ШР. Сужение vo|c идентифицируется с нормальным расслоением окружности С в R3, которое имеет незакрученное оснащение. Пусть (щ, еД— нормальное оснащение, которое удовлетворяет правилу ориентации (*) из § 5: [го]Х[С]Хе1 Xe2 = [R4] (=МХЫХ[ДХ X [сД ) В настоящем случае [го] = — [ш], так что [С] X щ X е2 совпадает с обычной правой ориентацией ИХ[г/]ХИ пространства R3. Заметив это, мы можем узнать число n^D^ по виду ленты 9№±: п (£)) = +! или —1 в зависимости от того, какой из лент $М+ или 2R_ принадлежит С. Так как D • RP± = 0 и Self(C) = 0, то ф(С)=±1 и, таким образом, p(RP±) = ±l, как и утверждалось.
Теперь докажем, что RP± • RP± = =F 2. Для удобства рассмотрим RP+. Поднимем ленту 2R+ в R3X {4 = {(Р У, 2, w\. ю = г>0}, слегка расширим ее и обозначим то, что получилось, через S5V. Пусть dW X [0, г] — «вертикальное кольцо» в R3 X [0, г]. Здесь д^Т X {г} = сЖ и д$Т X {0} (cz R3) есть зам-
кнутая кривая, параллельная краю дЗЯ+. Возьмем диск А'' в R4, с dA'^dSrXtO}. Допустим, что диск А7 в R4_ изотопен диску A+(=RP+HR-) и пересекает его в общем положении. Пусть RPZ = ЗЯ7 U cW X [0, г] U А7. Индекс самопересечения RP+ • RP+ равен RP7 • RP+ =А7 • А+. Если бы полупространство R4 было ориентировано так, чтобы его ориентация [Ri] совпадала с ориентацией [внешнее направление] X [ориентация края 5R1] = [^]x[R3], то, согласно хорошо известному соотношению, индекс пересечения А7-Д+ был бы равен коэффициенту зацепления Link(dA7, дА+). Но в нашем случае полупространство Ri ориентировано противоположным образом: [Ri] индуцируется из [R4] = [R3] X [^] =—MX[R3]« Следовательно, А7-А.4- = = —Link(dA7, Л+) = —Link(d^7X {0}, c®+) =—2, что и утверждалось.
Доказательство равенства RPl-RP1 = 2 аналогично. □
Теперь рассмотрим общий случай. Если поверхность F2 cz М4 ориентируема, то теорема 5.2 сводится к теореме 2.L Предположим, что поверхность F2 не ориентируема. Тогда она диффео- морфна связной сумме РР2ф . .. ф RP2 (скажем, пт экземпляров проективной плоскости RP2). Пусть Ci— окружность, вложенная в первый экземпляр и представляющая образующую группы Н х (RP2; Z/2). Как и в § 5, возьмем диск Dx, удовлетворяющий условиям (i) dDx = Сь (ii) Вх не касается F2 и (iii) lntDir|C1=0. Так как нормальное расслоение окружности Сх в F2 неориентируемо, то значение ф(Ci) = п(Вх) + 2ВХ-F равно ±1 (mod 4). Вращением диска Вх вокруг Сх мы можем удовлетворить условиям (iv) Вх-F2 = 0(mod2) и (v) n(Dj) — ±1^2 (без приведения по модулю 4). Предположим, например, что n(Dx)=L Существует диффеоморфизм f: Nx N трубчатой окрестности М окружности Сх в М4 на трубчатую окрестность N окружности С (центральной окружности ленты Мёбиуса Ш1+) в S4. Мы можем считать, что /* (М П 22) = N Q Ш1+ и /(М1П^1) = = МП£>, где В— диск из доказательства предыдущего утверждения.
Построим новое четырехмерное многообразие А4Л=(Л4 \IntTV^LJ f
U(S4 \IntM) и новую поверхность F' = (F \ Int Л/\ П 2) |J U(RP+ InWARP+X Тогда НДМ'; Z) =//Дм # S2 • S2; Z). В частности, Я2(Ж; Zp^H^M; Zp^Zp^OTWY где a = [DI|JE)] и p = [слой S расслоения co слоем двумерная сфера, ассоциированного с М].
Е7 есть характеристическая поверхность многообразия М7. Действительно, так как поверхность F характеристическая, 10*
x-F'= x-F = x-x(mod2) для каждого х^Н2<М; Z/2); a-F' равно Dx -F2 = 0 (mod 2) (условие (iv)). Индекс пересечения а-а тоже =0 (mod 2). Наконец, p-F/ = S-^?+, но 5-Ш?+ = = +2 = 0 (mod 2). Ясно, что [3-р = 0 (mod 2). Таким образом, р-Р = р-р. Следовательно, для каждого у<=Н^№; Х)^ мы имеем yF' = y-y (mod 2), что и требовалось доказать.
Подчеркивая роль объемлющего четырехмерного многообразия, мы будем обозначать инвариант Брауна через p(F2,7H). Тогда p(F', NV^ = p(F, Л1)— 1. Действительно, мы вырезали первый экземпляр пространства RP2 из связной суммы PR2 # ••• # RP2 = F2, для которой, согласно нашему предположению, ф(С1)=1.
Выберем на № ориентацию, согласованную с ориентацией [АД и противоположную ориентации [S4]. Тогда F' • Ff = = F * F — RP+ • RP+ = F • F = 2 (ср. утверждение). Таким образом, мы имеем F'• F' -\-2$^Р\ М') = F• F + 2p(F, Al) (то же самое равенство получается также в случае n(DV) =—1).
Очевидно, что o(AF) = о(А1) и F = RP2 * * • • # RP2 (m— 1 экземпляров). Таким образом, сравнение Гийу и Марена (5.2) доказывается индукцией по т.
ЛИТЕРАТУРА
Brown Е. Н. Generalization of the Kervaire invariant, Ann. of Math 95 (1972), 368—383.
Casson A. Lectures on 4-manifolds, Cambridge, Easter 1975.
Freedman M. and Kirby R. A geometric proof of Rochlin’s theorem, Proc. Symp. Pure Math. 32 (1978), 85—97.
Guillou L. and Marin A. Une extension d’un theoreme de Rohlin sur la signature, C. R. Acad. Sc. Paris, t. 285 (1977), Serie A, 95—98.
Kirby R. C. A calculus for framed links, Invent. Math. 45 (1978), 35—56.
Levine J. Polynomial invariants of knots of codimension two, Ann. of Math. 84 (1966), 537—554.
Milnor J. and Husemoller S. Symmetric bilinear forms, Springer, 1973. [Русский перевод: Милнор Дж., Хьюзмоллер Д. Симметрические билинейные формы —М.: Наука, 1986.]
Robertello R. An invariant of knot cobordism, Comm. Pure Appl. Math. 18 (1965), 543—555.
Рохлин В. А. Новые результаты в теории четырехмерных многообразий, ДАН СССР, 84 (1952), 221—224.
Рохлин В. А. Доказательство гипотезы Гудкова, Функц анализ и приложения, 6:2 (1972), 62—64.
Rolfsen D. Knots and links. Mathematics Lecture Series, Publish or Perish, Inc. (1976).
Smale S. Regular curves on Riemannian manifolds, Trans Amer. Math Soc., 87 (1958), 492—512.
Wall С. T. C. Diffeomorphisms of 4-manifolds, J. London Math. Soc., 39 (1964). 131—140.
Wall С. T. C. On simply-connected 4-manifolds, ibid., 141 —149.
Whitney H. On the topology of differentiable manifolds, in Lectures in Topology, The University of Michigan Press, 1941.
CiP2/o ИЛИ КЁЙПЕР И МАССИ В СТРАНЕ КОНИК
Алексис Марен
Факторпространство комплексной проективной плоскости по инволюции комплексного сопряжения есть четырехмерное многообразие. Как мы покажем в конце этого введения, оно гомео- морфно сфере S4. В 1973 и 1974 гг. В. Масси и Н. Кёйпер независимо ([М] и [К]) построили глобально определенные гомеоморфизмы этих пространств. Кёйпер уточняет, что имеется кусочно гладкий изоморфизм, который, если воспользоваться теоремой Серфа Г4 = 0, дает диффеоморфизм*).
Точки зрения, принятые в этих двух заметках, кажутся совсем разными, но если иметь смелость довести до конца вычисления, выражающие в явном виде гомеоморфизм Масси, то получится в точности формула, данная Кёйпером. Это не совпадение: пространство СР2/о завлекло обоих в страну коник, и мы увидим, что Кёйпер «оседлал» двойные прямые, тогда как Масси «окопался» на окружности мнимого радиуса (этим объясняется, почему они не встретились). Настоящая заметка имеет целью пригласить читателя в путешествие по стране коник и на пространство СР2/о — естественное обиталище плоских вещественных алгебраических кривых — при помощи наиболее простых кривых—коник. Мы обсудим также «естественные дифференциальные структуры пространства СР2/о» и увидим, что гомеоморфизм Масси и Кёйпера на самом деле есть диффеоморфизм.
Закончим это введение несколькими соображениями, которыми все пользовались до Масси и Кёйпера, для того чтобы распознать в С Р2/сг сферу S4.
Факторпространство СР2/о есть топологическое многообразие М.
Факторпространство бесконечно удаленной прямой L есть локально плоский и, значит, плоский диск 3?, и М гомео- морфно M/S.
Факторпространство M/S гомеоморфно компактификации Александрова факторпространства дополненя ,Ф2\А ( = С2) по комплексному сопряжению; С2/о гомеоморфно R4.
Подведем итог: СР2/а = М M/S С2/сг R4 = S4. П в ii) iii) iii)
*) Факт гомеоморфности этих пространств хорошо известен с давних пор. В. А. Рохлин рассказывал мне, что ему этот факт сообщил Л. С. Понтрягин еще в конце 30-х годов. В. И. Арнольд в своей замечательной работе 1971 г. о топологии вещественных алгебраических кривых (Функц. анализ и его прил 5 : 3) использовал как известный и очевидный факт то, что эти пространства диффеоморфны. Доказательство, сходное с данным здесь, см. в статье В. И. Арнольда «Разветвленное накрытие СР2~> S4, гиперболичность и проективная топология», Сиб. мат. журнал 29:5 (1988), 36—47. — Прим ред
Читатель сможет провести предыдущее доказательство в кусочно гладкой категории, доказав, что факторпространство трубчатой окрестности бесконечно удаленной прямой и факторпространство дополнительного шара являются PL-дисками (диски даже дифференцируемы, но, так как практически ничего не известно о диффеоморфизме склеивания, без помощи теоремы Серфа нельзя сделать никаких выводов о дифференциальном типе пространства lGP2/o).
В § 1 мы описываем геометрию пространства коник, в которое мы отправим Кёйпера в § 2 и Масси в § 3. Параграф 4 посвящен дифференцируемым структурам; стало быть, читателю предлагается до этого параграфа оставить несколько туманными такие слова, как «есть» (СР2/а есть пространство коник), «изоморфизм» и т. д. Параграф 5 завершает эту заметку несколькими дополнительными фактами, помещенными в упражнениях, которые мы оставляем проницательности читателя.
ПРОСТРАНСТВО ВЕЩЕСТВЕННЫХ КОНИК
Вещественные коники образуют вещественное проективное пространство ^ размерности 5.
Ы. Ojp2/o есть пространство вещественных особых коник, не разбивающих проективную плоскость RP2 Д.
В самом деле, такая коника есть пара сопряженных комплексных прямых. Действительно, дуальная комплексная проективная плоскость, точками которой являются прямые плоскости СР2, идентифицируется с СТ2 таким образом, что комплексные сопряжения переходят друг в друга (например, посредством полярного соответствия р относительно коники Со, определяемой уравнением X2 + У2 + Z2 =0: точка 7И с координатами [ц, и, ta] соответствует прямой с уравнением uX^^Y -VwZ=0y
СРР2/о ограничивает в пространстве вещественных коник выпуклое множество К, образованное вещественными кониками, не разбивающими RP2**). Значит, С:Р2/о гомеоморфно сфере S\
Коника, не разбивающая RP2, имеет уравнение постоянного знака на RP21). Для всякой коники из К можно выбрать то из ее уравнений, которое положительно на RP2, из чего видно, что К есть выпуклое подмножество пространства коник ^.
"р То есть вещественных коник, имеющих изолированную особую точку, таких, как окружность нулевого радиуса (с уравнением Х2+ У2 = 0), и двойных прямых.
Внутренность множества К образована вещественными кониками, не имеющими вещественных точек, такими, как «окружность радиуса —1» (с уравнением X2 + У2 + Z2 = 0).
р То есть задается знакопостоянной квадратичной формой.—Прим. ред.
Так как К имеет непустую внутренность в ^ и ^ есть пятимерное вещественное проективное пространство, то выпуклое множество К гомеоморфно шару В5.
Геометрия особых коник. Однородные координаты [(7, У, W, R, 8, 71] коники из ^ есть коэффициенты ее матричного
/Х\Г и R Т1
уравнения: (X, У, Z) М У = 0, М = R V S .
Vz)S W -
Коника, соответствующая матрице М, особа в том и только в том случае, если определитель матрицы М равен нулю. Пространство ^ особых коник является, следовательно, гиперповерхностью степени 3 в пространстве 48. Гиперповерхность ^ есть объединение пространства / особых неразбивающих коник (внутренность которого составлена из вещественных коник, имеющих единственную изолированную вещественную точку) и пространства X особых коник, распадающихся на две вещественные прямые. Особые точки гиперповерхности У находятся в X П I и соответствуют двойным прямым; это поверхность Веронезе V с параметрическими уравнениями
U = u\ К = у2, 1У = ^2, R = uu, S — vw, T = wu.
ТОЧКА ЗРЕНИЯ КЕЙПЕРА
Кёйпер вкладывает СР2/о в RP3 посредством отображения Ж*. ^([Хь Х2, X^HReM)],
Посредством исключения параметров Xi он находит, что образ лежит в кубической гиперповерхности, которая есть не что иное, как Ж Тот факт, что 9? образована хордами поверхности Веронезе, и вычисление расстояния позволяют ему утверждать, что образ факторпространства .СР2/о есть граница выпуклой оболочки поверхности Веронезе (более точно, поверхность Веронезе V и образ факторпространства Ci2/o находятся в аффинном пространстве J^5, определенном условием U + V + W ^ 0, и именно в этом аффинном пространстве Кёйпер говорит о выпуклой оболочке).
Заметим, что отображение Кёйпера Ж ставит в соответствие точке с координатами [XirX2, Хз] особую конику с уравнением (Х^ + ХоУ + X3Z)(X1X + X2Y + X3Z) = 0. Это замечание и предыдущий параграф позволяют избежать каких бы то ни было вычислений в заметке Кёйпера.
ДИАГРАММА МАССИ
Пусть С — внутренняя точка выпуклого множества К (например, мнимая окружность Со с уравнением X2 + У2 + ^2 = 0) -
Обозначим через у комплексное сопряжение на С. Существует такая конформная биекция ф окружности С на стандартную сферу S2, что ср °у оф-i есть антиподальное отображение сферы s- р.
Пусть Е— некоторое пространство, обозначим через т его инволюцию, которая переставляет координаты произведения Е X Е\ для любого отображения f: Е-мЕ обозначим через отображение Еп~+Еп произведения, действующее по формуле № хд = (/№), ...,*
Обозначим, наконец, через G и И группы конформных диффеоморфизмов произведения СХС порожденные соответственно преобразованиями т и уХ Id в случае Сити у<2) в случае Н.
Комплексная проективная плоскость СР2 изоморфна СХС/т, комплексное сопряжение отвечает отображению, индуцированному отображением у(2).
Этот изоморфизм есть СР2 ^ СР2*-^ СXС/т, где р—отображение полярного соответствия относительно С и где j(d^ = d^G для прямой tie CP2*. Из 3.1 вытекает:
Пространство CjP2/o изоморфно С\С/Н.
Пространство СХ С/G изоморфно RP4.
Симметрическая группа ©4 действует и С4 перестановками сомножителей; пусть С^/^ц — факторпространство этого действия и
i; CXCIG->C\ <Х, У)]) = [(Х У, у(Х) у(У))].
Ясно, что i корректно определено и является изоморфизмом пространства CXC/G на множество неподвижных точек инволюции Х41 факторпространства С^/^^. Утверждение 3.3 получается теперь из следующего утверждения.
а) Четырехмерное комплексное проективное пространство CiP4 изоморфно факторпространству СХ&М, комплексное сопряжение отвечает отображению, индуцированному инволюцией х4;
Для доказательства рассмотрим СР4 как пространство пучков (комплексных) коник, содержащих конику С. Тогда изоморфизм ассоциирует с пучком / четыре неподвижные точки этого пучка: это множество четверок точек коники С.
П Действующее по формуле—> —х.—Прим. ред.
Диаграмма Масси
Масси рассматривает внешнюю диаграмму; интерпретация в терминах коник во внутренней диаграмме объясняет идентификации, которые делает Масси, и почему он их делает:
Гомеоморфизм Масси Ж совпадает с R ^ Ж, где R\ R5X0->-S4— радиальная проекция и Ж— отображение Кёй- пера (здесь 0 — точка С аффинного пространства U + V + W =/=
0, в котором работает Кёйпер).
Для доказательства мы должны ввести следующие обозначения: пусть М, N, Р, Q — четыре точки коники С; через MN обозначается прямая, проходящая через М и N (касательная в точке М к С, если М = N), а через MN-PQ обозначается особая коника, составленная из прямых MN и PQ. Класс точки М в С/у обозначается через [М]; классы пар (М, 7V) и ([М], [^) в СХС/т и (С/у) X (С/у)/т обозначаются соответственно через {М, ^} и {[М], М}.
Вещественный пучок /, содержащий конику С), пересекает край выпуклого множества К в двух различных точках ц i' и множество X1) в некоторой точке х (поскольку ^— гиперповерхность третьей степени, см. рисунок).
Пусть Р, Q, у(Р) и y(Q) — четыре фундаментальные точки пучка /; тогда
Точка I есть PQ-y^ytQ) и отвечает образу пары ^Р, Q} в (схс/т)^ = схс;н.
Точка V есть Py(Q) -y^Q и отвечает образу пары {Р, у (Q)} в (СХС/т)у(2) = СХС/Я.
Точка х есть Py(P)-Qy(Q) и соответствует образу пары {И, [Q]} в <ChXC/^h=CXC/G.
Кроме того, три точки /, V и х отвечают классу точки (Р, Q, у(Р), y(Q)) в С4/®4, представляющему пучок /. Итак, в аффинном пространстве Кёйпера проекция лоР: R5\0-> RP4 есть не что иное, как отображение, которое относит точке М прямую ОЛТ, следовательно, в предыдущем обсуждении установлено совпадение двух отображений R^^ и Ж для одного из двух возможных выборов гомеоморфизма Масси Ж (другой выбор получается как композиция либо с антиподальным отображением сферы S4, либо с инволюцией J^-1 (/)J^-1 (Я) области от
правления) .
§ 4. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ СТРУКТУРЫ НА ФАКТОРПРОСТРАНСТВЕ МНОГООБРАЗИЯ ПО ИНВОЛЮЦИИ, МНОЖЕСТВО НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК КОТОРОЙ ИМЕЕТ КОРАЗМЕРНОСТЬ 2
Пример двух различных структур на факторпространст- ве плоскости R2 по симметрии относительно начала координат Ц, г/)>-^(—х, —у)
На факторпространстве М = R2/ (х, у) ~ (—х, —у) рассмот- рим две карты ф1 и ф2, определенные следующей коммутативной диаграммой:
где фДх, у) = (х2 — у2, 2ху) и *ф2(х, У) = (Зх2 — у2, 2ху).
Две структуры, определенные посредством ф! и ф2, таковы, что отображение л является гладким и его струя порядка 2 не- вырожденна; однако они различны, так как композиция ф2офр! не дифференцируема в начале координат (ф2 ° ^Г1 (^/, у) = (2ц + + V^2 +у2 > *0)-
Комплексная структура на факторпространстве комплексной прямой С' по умножению на —1. Каноническая гладкая структура факторпространства С'Р21о
Пусть D — факторпространство С/2~—2; факторото- бражение C.^-D обозначим через л. Пусть U — симметричная окрестность нуля в Q и ср: 1/ = л ([/)->■ С—карта комплексной структуры на D, в которой проекция л голоморфна. Голоморфная функция (рол: UС, четна и ее можно представить в виде Ф о л (2) = гр (z2), где гр— некоторая голоморфная функция.
Заметим, что индекс ветвления функции ф^л в нуле равен 2; он такой же, как у функции 2^>22, следовательно, производная грДО) не равна нулю и функция гр обратима в окрестности нуля. Таким образом, в окрестности нуля можно написать (гр-Хф) ° дл(2) = 22, и, значит, данная комплексная структура совпадает со структурой, порожденной квадратичной картой ф0, определенной равенством ф0(л(2))=22.
Пусть М— гладкое многообразие и т — гладкая инволюция многообразия М, неподвижные точки которой образуют подмногообразие F коразмерности 2. Предположим, что нормальное расслоение подмногообразия F снабжено конформной структурой. Теорема о трубчатой окрестности и сказанное в п. а) позволяют определить на факторпространстве М/т единственную гладкую структуру, дающую гладкое факторотображение л: М-^-М/т, «конформное вдоль слоев нормального расслоения множества неподвижных точек F».
Так как любые две конформные структуры на нормальном расслоении изотопны, то все структуры, построенные таким образом на факторпространстве, диффеоморфны. На практике используют конформные структуры, определяемые какой-нибудь римановой метрикой. Для комплексной проективной плоскости СР2 естественно взять метрику Фубини — Штуди. (Напомним, что ее можно определить с точностью до постоянного множителя как единственный инвариант унитарной проективной группы РЗЩЗ); в этой метрике комплексные прямые изометричны стандартным евклидовым сферам и вещественная проективная плоскость RP2 обладает обычной евклидовой метрикой, инвариантной относительно ортогональной группы SO(3).) Если интересоваться только конформной структурой на нормальном расслоении плоскости Ер2, то эту структуру можно определить более прямо как структуру, полученную из евклидовой конформной структуры плоскости ЕР2 посредством умножения на I.
Гладкая структура на симметрическом произведении М X М/т поверхности М, снабженной конформной структурой. Диффеоморфизм Масси
Пусть М— риманова поверхность. Пусть ф: U->- С—голоморфная карта окрестности точки х поверхности М и ф: С'ХР/т-^СХС—карта окрестности точки (х, х) диагонали симметрического произведения MX М/т, композиция ко-
торой с проекцией факторизации является голоморфным отображением.
Компоненты ф1 и ф2 карты ф являются симметрическими аналитическими функциями на UXU. Теорема о симметрических функциях утверждает, что это функции суммы $ = ср + ф и произведения р = ср X Ф координат, и, стало быть, ф = Ф(5, р) и можно показать, пользуясь техникой п. 4.2, что функция ф обратима:
Симметрическое произведение обладает единственной голоморфной структурой, относительно которой проекция факторизации голоморфна; эта структура дается вблизи диагонали картами «сумма и произведение».
Заметим, что если нормальное расслоение диагонали в МХМ снабжено конформной структурой, унаследованной от комплексных аналитических структур на М X М и ее диагонали, то факторотображение М X М->-М X М/т конформно вдоль слоев нормального расслоения диагонали и гладкая структура, задаваемая комплексной структурой симметрического произведения MX М/т, определяется этим свойством.
Если М снабжена только конформной структурой и ср, ф: Lr-^C.— две сопряженные карты окрестности точки х^М, то вблизи точки (х, х) диагонали имеются две выделенные сопряженные карты фХф и ф X ф. Заметим, что (фХф, ф) и (фХф, ф) определяют одну и ту же конформную структуру на нормальном расслоении окрестности U в UX U, и, следовательно, прием, описанный в а), определяет на симметрическом произведении 7ИХЛ4/т единственную гладкую структуру, дающую конформную проекцию вдоль слоев нормального расслоения диагонали *).
Следуя по нижней части диаграммы Масси, мы получаем каноническую гладкую структуру на многообразии CXC/G путем отождествления его с (С/у)Х (С/у)/т— симметрическим произведением двух стандартных вещественных проективных плоскостей — и, следовательно, возвращаемся к канонической структуре двулистного накрытия СХС/Н =СР2/о.
^) Заметим, что вне диагонали нельзя надеяться на лучшее, так как выбор сопряженных карт ф, ф и ф, ф в х и у порождает четыре выбора карт в (х, #): Ф X Ф', ф X Ф, ф X ф, ф X Ф, и если х #= У, то диагональный процесс неприменим и нельзя выбрать две сопряженные карты. Заметим, что по теореме Стоуна — Вейерштрасса функции из пучка функций, который содержит координаты этих четырех карт, аппроксимируют всякую гладкую функцию на произведении. Однако вблизи диагонали многообразие М X Af имеет конформную структуру (голоморфные или антиголоморфные карты), п, следовательно, М X А4/т имеет вблизи диагонали единственную такую конформную структуру, относительно которой проекция конформна.
Соображения п. а) непосредственно обобщаются на симметрическое произведение нескольких сомножителей, что делает изоморфизм из 3.3 между СХ С/G и RP4 естественным диффеоморфизмом.
Нам остается теперь показать, что при выборе в качестве коники С окружности Со радиуса —1 с центром в начале координат (с уравнением Х2+У2 + ^2 = 0) структура пространства СР2/о, описанная в и. 4.2, и структура, фактически полученная Масси, которую мы объяснили выше в п. Ь), совпадают. Для этого достаточно проверить, что конформные структуры на нормальном расслоении плоскости RP2, которые характеризуют две эти структуры, совпадают. Группа 50(3) действует в RP2 транзитивно и, очевидно, конформна относительно этих двух структур (в силу определения в 4.2 и поскольку 50(3) переводит конику Со в себя для структуры Масси). Достаточно сравнить эти две структуры в одной точке; выберем начало координат (с однородными координатами (О, О, 1)).
Слой над началом координат нормального расслоения плоскости RP2 в СР2 есть Л^0 = С2/Р2. Ортонормированный базис слоя No для структуры из 4.2 есть (/ei, /е2) ((вь е2)—канонический базис плоскости R2); для структуры Масси это (/, //), где J— направляющий вектор одного из изотропных направлений (направления касательной к Со, выходящей из начала координат: / = ei + /^2).
Итак, в C2/R2 имеем (ei + zX, Дв1 + Х)) = (/е2, lex); последний базис получается из (X, /е2) перестановкой двух базисных векторов, которая конформна.
Возвращение к примеру 4.1 и особенностям отображения Кёйпера
Философия естественных гладких структур на факторпро- странствах, которая выявляется в 4.2, а) и 4.3, а), состоит в следующем. Пусть М — многообразие, снабженное пучком голоморфных функций, определяющим его структуру, и G — конечная группа, действующая в М. Факторпространство М/С снабжено пучком функций, инвариантных относительно действия группы G. Оказывается, этот пучок изоморфен пучку голоморфных функций, определенных на открытом множестве комплексной прямой С в 4.2,а), и комплексной плоскости С2 в 4.3, а), откуда получается гладкая структура на факторпро- странстве.
Применим ту же философию к примеру 4.1 для вещественных аналитических или С°°-функций. Кольцо вещественных аналитических функций или С°°-функций на R2, инвариантных относительно симметрии с центром в начале координат, состоит из функций F(j, g, Ку где F: R3->R — аналитическая или
С^-функция и ^х, у^ = х2, g(x, у) = ху, h^x, у) = у2 (это ясно в аналитическом случае и является следствием подготовительной теоремы Мальгранжа в случае С°°). Это кольцо инвариантных функций изоморфно кольцу функций на конусе с уравнением Y2 = XZ (в случае С°° нужно добавить условия X ^ О, Z ^ О, так как гладкая функция на конусе не определяется ее сужением на одну из полостей). Более того, k; R2/—1-^R3-A(X, У) = = ^Х\ XY, Z2) есть вложение факторпространства R2/—1 в одну из полостей конуса.
Структуры на факторпространстве R2/— 1, делающие проекцию факторизации аналитическим (или гладким) отображением с невырожденной струей порядка 2, получаются проектированием конуса вдоль одной из прямых, лежащих внутри конуса; они классифицируются углом между осью проекции и осью симметрии конуса (имеющей уравнение Y = X— Z = 0). Заметим, что каждая такая структура получается способом, изложенным в 4.2, так как она инвариантна относительно компактной однопараметрической группы линейных отображений, сохраняющих конус, и оставляет неподвижной ось проекции.
Вложение Кёйпера Ж*. СР2/о2 —> / е RP5 есть изоморфизм для структуры с особенностью, определенной вещественными аналитическими (или гладкими) функциями на С г2, инвариантными относительно комплексного сопряжения плоскости С Г2.
Изучим симметрии отображения Кёйпера и для этого наделим пространство квадратичных форм естественной метрикой {М, N) = Тг (М^). Непосредственно получается, что для изометрии Ре 0(3) отображение М-^ФМР есть изометрия пространства квадратичных форм, которая сохраняет след (так как Ф = Р-Г для Ре 0(3)). Отсюда мы делаем следующие выводы:
Образ поверхности Веронезе лежит в квадратичной «сфере» с уравнением О2 + V2 + W2 + 2(Р2 + S2 + Т2) = (U + V + + U7)2*). Это эллипсоид в аффинном пространстве U + V +
О А не l/2+ V2+№2 + 4(P2 + S2 + F2)H^+^ как ошибочно утверждал Кёйпер; нужно заменить 2 на 2-2 в строках 21 и 22 на с. 176в [К].
+ ^^0. Для перехода к аффинным координатам можно положить C+^+VE—1; центром эллипсоида является точка (1/3, 1/3, 1/3, 0, 0, 0): это коника Со.
Радиальная проекция из центра Со на границу квадрики эквивариантна относительно действия группы 0(3) в I = С Р/о и в квадрике. Следовательно, она задает на СР2/о гладкую структуру, определенную с помощью стандартной метрики на RP2 (инвариантной относительно действия группы 0(3)). Это — другое доказательство, подсказанное Масси в замечании 2 в конце его заметки [М].
УПРАЖНЕНИЯ, ГЕОМЕТРИЯ ФАКТОРПРОСТРАНСТВА СР2/а
Во всех этих упражнениях комплексная проективная плоскость снабжена метрикой Фубини— Штуди; пустая коника Со фиксирована, она инвариантна относительно 50(3). Пространство ^ вещественных коник является проективным пространством, ассоциированным с пространством Q вещественных квадратичных форм на СР2; это последнее пространство снабжено обычной метрикой, введенной в конце п. 4.4 (<Л4, N) = = Тг (МФ)). Аффинное пространство ^ Кёйпера, определенное условием Тг(7И)^0, можно рассматривать как гиперплоскость пространства Q с уравнением Тг(7И)=1; таким образом, оно снабжено метрикой, индуцированной метрикой пространства Q.
Если х — точка из СР2, то обозначим через ^(х) поляру точки х относительно Со и через х\ х"— пересечения 2Р(х) с Су, напомним, что х' и хм являются точками касания касательных прямых коники Со, исходящих из х, так что получается следую- цая конфигурация:
Отображение Кёйпера обозначается через ЭС. Коника, составленная из двух прямых d и d\ обозначается через d-d'.
Расположение в аффинном пространстве ^ поверхности Веронезе и Jif (Со)
Пусть x^RP2; доказать, что прямая из ^ соединяющая Со с Ж(х), еще раз пересекает гиперповерхность ^ особых коник в Ж (xz) (= Ж(х")). Вывести из этого, что образ кривой Со при отображении Ж получается из образа плоскости RP2 при Ж (т. е. из поверхности Веронезе) при помощи гомотетии аффинного пространства ^ с центром Со и коэффициентом — у.
Образ вещественной прямой при отображении Ж
Доказать, что особые коники, имеющие особую точку в точке RP2, образуют плоскость
Доказать, что коники, которые имеют изолированную точку х, образуют внутренность диска этой плоскости, который является образом поляры ^(х) при отображении Ж\ доказать, что это есть также пересечение плоскости 9\ с шаром с центром в Со радиуса 1. Доказать, наконец, что 9N есть касательная плоскость в Ж (х') (=Ж(х")) к сфере радиуса - с центром в Со и что она нормальна к Ж(С0) в этой же самой точке.
Образ невещественной прямой
Пусть х — невещественная точка из СР2; доказать, что образ при отображении Ж комплексной прямой ^(х) лежит в трехмерном пространстве, состоящем из вещественных коник, проходящих через х и о(х). Доказать, что Ж(^(х)) есть эллипсоид, касательный к поверхности Веронезе в точке Ж (у), где у — вещественная точка прямой ^(х).
Изучить поведение этого эллипсоида при приближении точки х к вещественной точке.
R ' 2 и Ж (Со), рассматриваемые в S4
Пусть 0 < t < л/2 и 7ИГ — множество точек из СР2, отстоящих на t от RP2 (следовательно, на л/2— t от Со). Пусть Nt — образ множества М: в СР2/о.
Идентифицировать Nt с тотальным пространством расслоения инцидентности прямых из RP2:
Ф = {(Х> d) е RP2 X RP2* I х е d^
таким образом, чтобы первые и вторые проекции соответствовали при отображениях наиболее близкой точке из RP2 и наиболее близкой точке из J^(C0) соответственно.
Доказать, что дополнение плоскости RP2 в S4 = ,CP2/o диффеоморфно тотальному пространству расслоения на диски над RP2 с классом Эйлера +2 и с ориентированным тотальным пространством; нулевое сечение этого расслоения есть ^(Со).
ЛИТЕРАТУРА
Kuiper N. The quotient space of CP2 by complex conjugation is the 4-sphere, Math. Ann. 208 (1974), 175—177.
Massey W. The quotient space of the complex projective plane under conjugation is a 4-sphere, Geom. Dedicata 2 (1973), 371—374.
11 Под ред. Л. Гийу и А. Маоена
НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙО ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПЛОСКИХАЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ
Алексис Марен
ВВЕДЕНИЕ
Как показал Харнак, вещественная плоская алгебраическая кривая) степени d имеет не более М компонент (где М = = g+l=-уL+l), причем эта граница достижима. Кривая, имеющая это максимальное число компонент, является гладкой и называется М-кривой, Гладкая кривая имеет компоненту, не разбивающую плоскость (или одностороннюю компоненту), если и только если степень кривой нечетна; эта компонента единственна и называется псевдопрямой этой кривой. Гладкая компонента, разбивающая плоскость, называется овалом. Число четных овалов (т. е. овалов, лежащих внутри четного числа других овалов) обозначают через р, а число нечетных овалов (т. е. всех прочих) через п.
После решения для случая кривых степени шесть 16-й проблемы Гильберта (классификация топологических типов кривых данной степени. См. [А'])). Гудков сформулировал гипотезу: р — п = k2 mod 8 для Al-кривой четной степени 2^.
В 1971 г. Рохлин ([Ri]) опубликовал доказательство этой гипотезы. Он использовал формулу, связывающую сигнатуру четырехмерного многообразия, самопересечение ориентируемой характеристической поверхности и Арф-инвариант квадратичной формы, определенной на гомологиях mod 2 этой поверхности. Позднее он дал новое доказательство, опирающееся на теорему Атьи — Зингера и пригодное для всех размерностей ([R2]); Харламов и независимо Гудков и Крахнов, применяя тот же метод, получили обобщение на случай произвольной размерности нового сравнения для (7И—1)-кривых: р— п = № ± ± 1 mod 8 ([К], [GK]).
Используя обобщение формулы Рохлина на случай неориен- тируемой характеристической поверхности ([GM]), мы дадим в § II этой статьи единое доказательство этих двух сравнений. Использование неориентируемых характеристических поверхностей представляется необходимым: в приложении А мы приведем контрпример к первому доказательству Рохлина. Изложс-
ние подобных контрпримеров делает необходимым предпринятое в § III изучение ориентаций кривых, разбивающих свою комплексификацию; это изучение позволит нам также установить, что в каждом пучке общего положения кривых четной степени существует кривая, имеющая менее М— 2 овалов, обобщая таким образом результат, высказанный, но некорректно доказанный (см. приложение С) Чепонкусом для степеней, кратных 4 (см. [Che]; правильное доказательство для кривых степени 4 дала независимо Численко [Chi]). Наконец, в приложении В мы дадим примеры двух кривых степени семь, разбивающих свою комплексификацию и имеющих одинаковые комплексные ориентации, но тем не менее находящихся в различных компонентах дополнения дискриминантной гиперповерхности.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СРАВНЕНИЙ
Пусть С — гладкая вещественная плоская алгебраическая кривая четной степени 2А, имеющая N ^ М овалов. Выберем уравнение G=0 кривой С, в котором левая часть G отрицательна на неориентируемой компоненте дополнения 4R\C.
Положим RP+= {х eRP21G (х) ^ 0} и
Rp- = {xeRP2|GCr)<0}.
Пусть с—комплексное сопряжение комплексной проективной плоскости С.Р2; факторпространство СР2/с диффеоморфно сфере S4 (см. [М]). Рассмотрим D — образ в S4 комплексифи- кации Сс кривой С. Так как М = g + 1, то эта связная поверхность имеет эйлерову характеристику % (D) = х (Сс)/2 = 2 — М и ее край состоит из N компонент*); она ориентируема в том и только в том случае, если кривая С разбивает свою комплек- сификацию Сс.
Замкнутая поверхность F = D U RP+ является характеристической поверхностью в S4 (так как Я2(54) = 0!); вообще говоря, она неориентируема (даже если D ориентируема!). Сигнатура cr(S4) сферы S4 равна нулю, и самопересечение поверхности F равно **)
F • F = 4 Сс • Сг + 2 (- % (РРД) = 2 (А2 - (р - я)).
Пусть L— подпространство пространства H{(F; Z/2Z), порожденное компонентами кривой С, и пусть q: Нх ДД Z/2Z) -> —>Z/4Z—форма Рохлина поверхности F([GM]).
Предложение 1. Форма Рохлина q равна нулю на L.
Доказательство. Достаточно заметить, что L порождается границами ориентируемых компонент множества R Эти компоненты BL являются перепонками (см. [GM]), которые не пересекают F и границы которых имеют ориентируемые окрестности в F; следовательно, величина д^ВД) есть удвоенное препятствие к продолжению на BL сечения нормального расслоения dBL в F, т. е. число 2(2%(ЕР+)), которое сравнимо с нулем по модулю 4.
Следствие. 1) Если С есть М-кривая, то р— п— F = 0 mod 8 (Рохлин [Rj] [R2]).
Если С есть (М — 1)-кривая, то р — п — ^2 = ± 1 mod 8 (Харламов [К] и Гудков и Крахнов [GK]).
Если (М— 2)-кривая не разбивает свою комплексификацию, то р— п — &2 =+2 или 0 mod 8 (Харламов [R3, п. 3.4]).
Если С — кривая, разбивающая свою комплексификацию, тор—п— А2 = 0 mod 4 (Арнольд [А]).
Доказательство. В силу формулы Рохлина (см. [GM]), р— п— № по модулю 8 есть инвариант Брауна формы q. Если С есть (М— /)-кривая, то ортогональное дополнение гиперболического слагаемого пространства НДР; 7Д2ТД, содержащего L, имеет ранг I и представляется классами гомологий поверхности D; доказываемые утверждения следуют теперь из классификации квадратичных форм на векторных пространствах над полем Z/2Z (см. [GM]).
ОРИЕНТАЦИЯ КРИВЫХ, РАЗБИВАЮЩИХСВОЮ КОМПЛЕКСИФИКАЦИЮ
Предложение 2. Пусть С — вещественная плоская алгебраическая кривая степени d, все особенности которой — обыкновенные двойные точки и точки возврата. Пусть С— вещественная кривая степени d, близкая к С. Для того чтобы С разбивала свою комплексификацию Со» необходимо и достаточно, чтобы
С разбивала свою комплексификацию Со;
можно было выбрать половину) комплексификации Со
таким образом, что если кривая С ориентирована как край этой половины, то особенности кривой С, которые исчезают при переходе к С, делают это так, как показано на рис. 1.
Рис. 1. Слева — для невырожденных двойных точек, справа — для точек возврата.
Кроме того, ориентация, полученная таким образом для С, определяется на С как на крае половины комплексификации ориентацией этой половины.
Доказательство получается из рассмотрения кривой вблизи вещественной проективной плоскости.
Предложение 3. Кривая, разбивающая свою комплексифика- цию, не может увеличить число своих овалов при деформации, в процессе которой проходится кривая с невырожденной особой точкой.
Доказательство. Предположим, что такая разбивающая кривая С существует. Одна из ее компонент разделяется при прохождении критического уровня. Поэтому особая кривая имеет столько же компонент, сколько С, и не может разбивать свою комплексификацию ). Следовательно, на этой особой кривой в дополнении ее вещественной части имеется путь, который соединяет две сопряженные точки. Этот путь сохраняется и на всякой близкой кривой, что противоречит тому, что С — разбивающая.
Следствие (теорема Чепонкуса ')). Во всяком линейном пучке общего положения кривых четной степени d > 2 сущест-
вует кривая, имеющая не больше М — 3 компонент (7И есть граница Харнака*. М = -- + 1 ).
Доказательство. Кривая называется существенно особой, если она имеет единственную особую точку, эта точка квадратичная и является пересечением двух псевдопрямых. Существенно особые кривые пучка общего положения — это особые кривые пучка, при прохождении которых число компонент кривой не изменяется.
Пусть С и D — две кривые пучка, / = 0 и g = 0 — их уравнения и С\, и— кривая с уравнением Xf+pg = O. Знак формы Xf+ pg на неориентируемой компоненте дополнения кривой Ск. ц меняется только при прохождении существенно особой кривой. Так как в результате прохождения всего пучка форма / преобразуется в —f, то число существенно особых кривых пучка нечетно.
Так как п ^ 2, то особая точка понижает род на 1 и, таким образом, гладкая модель всякой существенно особой кривой имеет самое большее М—1 компонент. Если существует существенно особая кривая, имеющая меньше М—1 компонент, то близкая неособая кривая имеет не больше М— 3 компонент. В том случае, когда все существенно особые кривые имеют М— 1 компонент, они разбивают свои комплексификации, и так как л ^ 2, то они получают единую комплексную ориентацию. Согласно предложению 2, из двух неособых близких (А1— 2)- кривых одна разбивает свою комплексификацию, а другая нет. Так как существенно особых кривых четное число, то в пучке имеется по меньшей мере одна (М— 2)-кривая, разбивающая свою комплексификацию, которая близка к особой, но не существенно особой кривой. В силу предложения 3 неособая кривая, примыкающая к ней с другой стороны, имеет М— 3 компонент.
Приложение А
Контрпример к первому доказательству Рохлина
Напомним вкратце это доказательство для случая нечетного A([Ri]). Рохлин рассматривает У— двулистное накрытие многообразия С.Р2 с ветвлением над кривой Со степени 2k. Прообраз П_ множества RP~ есть характеристическая поверхность для У. Самопересечение поверхности У равно —/(П_) = = —2%(RP~) = 2(р — л — 1), а сигнатура о(У) многообразия У равна 2 — 2&2.
а (У) — П_ • П_
Согласно формуле Рохлина, ^= Arf(^), где
q— форма Рохлина поверхности П_ (см. [RiJ и [GM]); следо-
вательно, сравнение Гудкова эквивалентно обращению в нуль Арф-инварианта формы Рохлина поверхности П_.
Рохлин получил это обращение в нуль, рассматривая следующий базис группы Я1(П-): аь ..., ^р — четные овалы кривой С и [31, ..., рр — прообразы р разрезов bi поверхности RP“ которые разрезают Rp~ в объединение кругов. Рохлин утверждает, что ^(р/) = 0. Он указывает, что bi соединяют четные овалы с нечетными, не уточняя выбор дуг bi для неориентируемой компоненты множества R!P~f; как бы то ни было, Р/ остаются в каждой компоненте поверхности П_. Если бы доказательство Рохлина было правильным, то Арф-инвариант сужения формы Рохлина на каждую компоненту поверхности П_ был бы равен нулю. Мы построим пример, в котором это не так.
Предложение 4. Существует М-кривая степени 10, для которой П- состоит из семи компонент, пять из которых — сферы, а Арф-инвариант сужения формы Рохлина на каждую из двух других не равен нулю
Перед тем как дать этот пример, вычислим ^(az) и ^(Р0, где pz — прообраз отрезка bi из R Р”, соединяющего два овала (безразлично, четные или нечетные).
Пусть az- — четная компонента кривой С, охватывающая щ овалов; диск Di, ограниченный овалом at, поднимается до диска Az, который является перепонкой для ас, имеем
А,- • П_ = % (RP~ П D^ = nt mod 2;
с другой стороны, препятствие к продолжению воротника овала а, в П- до нормального векторного поля перепонки А, равно —X(DZ) =—1. Следовательно, g(az)= 1 + nzmod 2.
Пусть di — дуга в половине А комплексификации Сс, соединяющая концы отрезка bi. Пусть Mi— поверхность с краем Ci = bi U di, нормальная к G = RP~ (J А вдоль ее края и трансверсальная к внутренности поверхности RP-. Прообраз щ поверхности М есть перепонка для pz, которая пересекает поверхность П_ в четном числе точек (в два раза большем числа точек пересечения М П RP-). Так как Ci не обязательно имеет ориентируемую окрестность в G, то мы можем только сказать, что препятствие б к продолжению на щ нормального векторного поля к р в П_ есть удвоенное препятствие к продолжению на 7WZ нормального в G векторного поля к щ. Однако 6 = ^0, где о есть препятствие (которое живет в 7/^7^ к продолжению на All нормального расслоения кривой cL в G. Таким образом, мы имеем
q№i) = Ot если ориентации таковы, как слева на рис. 2;
7(Р0 = L если ориентации таковы, как справа на рис. 2.
Рис. 2.
Описание примера. Он получен методом Гильберта (см. [А'] [G]). На рис. 3 представлены различные этапы построения, которые нужны, чтобы найти, согласно предложению 2, комплексные ориентации промежуточных кривых.
Эта кривая степени 10 имеет 37 компонент: это ЛГкривая. Симплектический базис прообразов ориентируемых компонент поверхности RR- есть (а/, pz) для 6^ ^ 30 (см. рис. 3). Имеем
7(af)=l при 6 ^/^29, <7 (Pz) = 0 при 6<J<J18,
^(«зо) = О, 7(pJ=l при 19 </<30.
Следовательно, Арф-инвариант равен 29—18=lmod2.
Так как для этой кривой сравнение Гудкова выполняется (р = 31, п = 6, А = 5), то инвариант Рохлина сужения формы q на другую компоненту также равен 1 (читатель может проверить это непосредственно!).
Замечание. В случае четного к Рохлин рассматривает вещественную прямую, которую он деформирует в поверхность Е эквивариантным относительно комплексного сопряжения образом так, чтобы она нс пересекала кривую С.
Характеристическая поверхность накрывающего У есть F = Е U П+, где Е и П+ — прообразы в У поверхностей Е и RP+. Рохлин утверждает без доказательства, что Арф-инвариант поверхности F равен нулю. Можно проверить, что Арф-инвариант сужения формы q на Ё равен нулю ).
Мы не умеем вычислять Арф-инвариант сужения формы q на П+; конечно, аналоги пар (а/, £/), рассмотренных выше в случае нечетного k, образуют симплектический базис, но нельзя надеяться, что q^i) = 0, так как это означало бы, что поверх-
М-кривая степени 6М-кривая степени 6М-кривая степени 8М-кривая степени 8Рис. 3.Рис. 3.
М-кривая степени 6
М-кривая степени 6
М-кривая степени 8
М-кривая степени 8
Рис. 3.
Рис. 3.
ность 4|JkP+ ориентируема, и тогда для всякой 7И-кривой выполнялось бы равенство
р — п = k2.
Это равенство не имеет места для 7И-кривой степени 8, построенной на рис. 3.
Приложение В
Две разбивающие Л-кривые степени 7, имеющие одинаковыекомплексные ориентации, но не являющиеся жестко изотопными
Такими являются две кривые А и В типа /LJ6^L5~L 1 11+<1+ U 2">, представленные на рис. 4. Они не находятся в одной и той же компоненте дополнения дискриминантной гипер-
Рис. 4.
поверхности1), так как для Л три прямые, соединяющие три внутренних овала, разъединяют внешние овалы, а для В это не так (аналогичные примеры были даны независимо Т. Фидлером [F]).
Приложение С
Контрпример к доказательству Чепонкуса
Метод Чепонкуса (см. [Che])
Пусть в пучке общего положения кривых четной степени d = 2k даны две кривые с уравнениями f = 0, g = 0. Чепонкус вводит третью кривую вне пучка с уравнением h = 0 и рассматривает связку кривых с уравнением
Xf + ц^ + vA = 0, (Л, р, v)eRP2.
Особые кривые образуют в плоскости RP2 этой связки кривую R степени ) Dd = 3(d — I)2.
Чепонкус утверждает, что можно так выбрать уравнение h, чтобы кривая R была неособой. Тогда, так как число 3(п—I)2 нечетно, то кривая R имеет одностороннюю компоненту. Чепонкус следит, как кривая С, принадлежащая исходному пучку, пробегает эту псевдопрямую. Ее уравнение меняет знак. Стало быть, С — существенно особая кривая, имеющая в каждой из двух компонент дополнения своей особой компоненты изоморфные схемы расположения овалов. Таким образом, неособая близкая кривая удовлетворяет соотношениям
р — п=Х и р + п^Л1 —2.
Так как если d кратно 4, то 7И — 2 четно, в этом случае он получает, что р + п ^ М — 3.
Контрпример
Дискриминантная гиперповерхность имеет особенности в коразмерности 1). Таким образом, всякая связка пересекает дискриминантную гиперповерхность по особой кривой. Можно было бы надеяться на возможность такого выбора h, чтобы осо
!) Речь идет о том, что эти кривые, рассматриваемые как точки пространства всех плоских проективных вещественных алгебраических кривых степени 7 (представляющего собой проективное пространство RP35— проекти- визацию пространства тернарных форм степени 7), лежат в различных компонентах дополнения дискриминантной гиперповерхности, точками которой являются кривые степени 7 с особенностями. — Прим. ред.
бенности были мнимыми или располагались бы на овалах. Как показывает следующий пример, это, к сожалению, невозможно.
Пусть Qi и Q2— Две квартики, каждая из которых состоит из двух овалов, вложенных один в другой. Пусть они пересекаются в 16 точках, расположенных на нечетных компонентах. Согласно Чепонкусу, в пучке, порожденном кривыми Qi и Q2, имеется существенно особая квартика Qo без овалов. Одна из ее псевдопрямых должна содержать одну из 16 точек пересечения и, следовательно, пересекать внешнюю компоненту квартики Qi. Пересечение Qi и Q2 состояло бы тогда самое меньшее из 18 точек, что противоречит теореме Безу.
ЛИТЕРАТУРА
[A'] A Campo N. Sur la 1 — ere partie du 16° probleme de Hilbert, Se- minaire Bourbaki, 31 e annee, 1978—79, n° 537.
[А] Арнольд В. И. О расположении овалов вещественных плоских алгебраических кривых, инволюциях четырехмерных гладких многообразий и арифметике целочисленных квадратичных форм, Функц. анализ и прил. 5:3 (1971), 1—9.
[Chi] Числеико Ю. С. Пучки вещественных алгебраических кривых. Тезисы Ленинградской международной топологической конференции, 1982, с. 28.
[Che] Чепонкус А Л. О гнездах вещественных плоских алгебраических кривых, Литовский матем. сб. 16:4 (1976), 239—243.
[GK] Гудков Д. А., Крахнов А. Д. О периодичности эйлеровой характеристики вещественных алгебраических (М—1)-многообразий, Функц. анализ и прил. 7:2 (1973), 15—19.
[GM] Гийу Л., Марен А. Обобщение теоремы Рохлина о сигнатуре, с. 110—133 настоящей книги.
Фидлер Т. Пучки прямых в топологии вещественных алгебраических кривых, Изв. АН СССР, сер матем, 46 (1982), 853—863.
Харламов В. М. Новые сравнения для эйлеровой характеристики вещественных алгебраических многообразий, Функц. анализ и прил. 7.2 (1973), 74—78.
Марен А. СР2/о или Кёйпер и Масси в стране коник, с. 149—161 настоящей книги.
[Ri] Рохлин В. А. Доказательство гипотезы Гудкова, Функц. анализ и прил. 6:2 (1971), 62—64.
] Рохлин В. А. Сравнения по модулю 16 в шестнадцатой проблеме Гильберта, Функц. анализ и прил. 6:4 (1972), 58—64.
] Рохлин В. А. Комплексные топологические характеристики вещественных алгебраических кривых, УМН, 33:5 (1978), 77—89.
и [W2] Weber Н. Lehrbuch der Algebra, erster und zweiter Band. Chelsea.
Добавление при корректуре-.
[АО] Арнольд В. И., Олейник О. А. Топология действительных алгебраических многообразий. Вестник МГУ сер. 1, № 6 (1977), /—17.
Гудков Д. А. Топология вещественных проективных алгебраических многообразий. УМН 29:4 (1974), 3—79.
Виро О. Я. Успехи в топологии вещественных алгебраических многообразий за последние шесть лет. УМН 41 :3 (1986), 45—67.
ПРИЛОЖЕНИЕ: РОХЛИН И ЕГО ТЕОРЕМА (ПО ПИСЬМУ О. ВИРО И В. ХАРЛАМОВА)
Мы собрали здесь несколько замечаний относительно эволюции теоремы Рохлина по его собственным высказываниям, сообщенных нам О. Виро и В. Харламовым.
После начала пятидесятых годов Рохлин несколько раз возвращался к этому предмету. В 1954—1957 гг. он собирался опубликовать подробное изложение и существенные части написал. Ненаписанные части должны были содержать элементарное введение в топологию многообразий и теорию характеристических классов. План и написанные части имеются в архиве Рохлина.
В 1958 г. он опубликовал [R2] новое доказательство своей знаменитой теоремы о сигнатуре. Это доказательство представляет собой редукцию теоремы к вычислению группы Ллг+З(3'2) (в это время Серр уже опубликовал подробное вычисление группы ^+3(Srt)).
В 1961 г. Кервер и Милнор обобщили до теоремы пример Рохлина (Ri) односвязного четырехмерного многообразия, класс гомологий которого не может быть реализован гладкой вложенной сферой. Эта теорема послужила отправной точкой работ Рохлина по проблеме реализации гомологических классов размерности 2 четырехмерных многообразий. В его архиве имеются заметки, датированные 1964 г., в которых он рассматривает характеристические поверхности F произвольного вида, вводит квадратичную форму ф на H^F; Z/2Z) и доказывает сравнение F-F — о = 8Arf ф mod 16. Рохлин анонсировал этот результат на Международном математическом конгрессе в Москве в 1966 г. Он не публиковал его до 1972 г., когда было найдено применение (доказательство гипотезы Гудкова).
С этого применения начались исследования Рохлина в топологии плоских вещественных алгебраических кривых. Большинство поверхностей, которые естественно встречаются в этой области, неориентируемы. Вероятно, этот факт привел Рохлина к рассмотрению случая неориентируемых характеристических поверхностей. Он не знал инварианта Брауна и получил только следующее сравнение:
о (М) — F • F = 2ф (р) mod 8, где F—неориентируемая характеристическая поверхность четырехмерного замкнутого гладкого многообразия М, функцияф та же, что и у Гийу и Марена, и р— гомологический класс, дуальный w^F). Это сравнение вытекает непосредственно из сравне-
ния Гийу — Марена (поскольку ф(р)^а(Л1, 77)mod4),no иногда более удобно для приложений, так как в нем затрагивается меньше информации относительно ф.
Рохлин не опубликовал это сравнение, быть может, из-за отсутствия интересных применений. Однако он докладывал его на своем семинаре в начале семидесятых годов, в его архиве имеются записи (с доказательствами), датированные этим временем. Теперь мы знаем применение этого сравнения в топологии вещественных алгебраических кривых. Вот оно.
Пусть А—неособая плоская вещественная алгебраическая проективная кривая степени 4k; предположим, что А разбивает множество С Л всех комплексных точек этой кривой и что для всякого четного овала (т. е. овала, охватываемого четным числом других овалов) компонента дополнения Р'р2\Л, для которой этот овал является наружной компонентой края, имеет четную эйлерову характеристику. Тогда р— п = mod 8, где р — число четных овалов и п — число нечетных овалов. Этот результат может быть получен применением сравнения Рохлина к М = = СР2 и F = А_, где А_ — замкнутая поверхность, полученная из компонент дополнения СЛ\Л и неориентируемой части поверхности РР2\Л (оказывается, F-F = p— п—1 + 8&2, ф(р) = = 1). Первое доказательство этого результата найдено В. В. Никулиным [N]; оно опирается на другой подход, доказательство, намеченное выше, принадлежит Т. Фидлеру, ср. [F].
ЛИТЕРАТУРА
[N] Никулин В. В. Инволюции целочисленных квадратичных форм и их приложения к вещественной алгебраической геометрии, Изв. АН СССР, сер. матем. 47: 1 (1983), 109—177.
[F] Фидлер Т. Новые сравнения в топологии вещественных плоских алгебраических кривых, Докл. АН СССР 270:1 (1983), 56—58.
[R1] Рохлин В. А. Новые результаты теории четырехмерных многообразий, Докл. АН СССР 84.2 (1952), 221—224; см. с. 33—38 настоящей книги.
[R2] Рохлин В. А. Соотношение между характеристическими классами четырехмерного многообразия, Ученые записки Коломенского педагогического института, том II, сер. физ.-мат., выпуск 1 (1958), 3—17.
ЧАСТЬ II
НАПРАВЛЕНИЕ КАССОНА
ТЕОРЕМА О G-СИГНАТУРЕ В РАЗМЕРНОСТИ 4
К. М. Гордон
0. ВВЕДЕНИЕ
Теорема о G-сигнатуре Атьи — Зингера [2] успешно применялась к нескольким проблемам теории четырехмерных многообразий. Эти применения включают доказательство Масси [10] гипотезы Уитни относительно вложений неориентируемых поверхностей в R4 и теоремы Рохлина [11] и Сяна — Щарбы [8] о представимости двумерных гомологических классов четырехмерного многообразия вложенными поверхностями данного рода. Она доставляет подход к определению и изучению сигнатур узлов и зацеплений, который, возможно, является наиболее подходящим, особенно когда они применяются к вопросам кон- кордантности. Наконец, она использовалась для изучения кон- кордантности узлов с другой точки зрения в [3] и [4].
Цель настоящей статьи — дать элементарное доказательство четырехмерной теоремы о G-сигнатуре для случая конечной группы G, которое нс использует никакого анализа, а только немного опирается на бордизмы. В частности, заметим, что нам не понадобится знать что-либо о четырехмерной группе кобор- дизмов.
Недавно Гилмер [7] дал чисто топологическое доказательство теоремы о G-сигнатуре для конечной группы G во всех размерностях. Доказательство Гилмера по духу то же, что и наше, но, конечно, значительно более трудное. Так как мы не должны справляться со сложностями общего случая, то мы надеемся, что настоящая статья все же может представлять некоторый интерес для топологов, занимающихся малыми размерностями.
План этой статьи следующий. В § 1 мы дадим основные определения и сформулируем двумерный и четырехмерный варианты теоремы о G-сигнатуре (теоремы 1 и 2). В § 2 мы соберем в лемме 2 начальные факты теории бордизмов, которые нам понадобятся, и в лемме 3 покажем, что g-сигнатуры свободных действий в размерностях 2 и 4 равны нулю. В § 3 мы докажем двумерную теорему о G-сигнатуре. Так как в этой размерности
могут быть только изолированные неподвижные точки, доказательство довольно легко сводится к явному вычислению (лемма 6). Это вычисление делается в § 5. В § 4 мы докажем четырехмерную теорему о G-сигнатуре. Сначала мы покажем, что g-сигнатуры равны нулю для действий без неподвижных точек (лемма 7). После этого случай изолированных неподвижных точек получается точно так же, как в размерности 2. Общий случай, в котором множество неподвижных точек может иметь двумерные компоненты, сводится при помощи стандартного действия в СР2 к случаю, в котором каждая двумерная компонента имеет нулевое нормальное число Эйлера, и затем к случаю изолированных неподвижных точек. В § 6 содержатся некоторые замечания о полусвободном случае и о мультипликативности сигнатуры относительно конечнолистных накрытий.
Более ранняя версия этой работы (в которой речь шла о полусвободном случае) была сделана во время пребывания автора в Институте высших исследований в Принстоне в 1976—77 гг. Я хотел бы поблагодарить институт за поддержку в течение этого периода.
Я хотел бы также поблагодарить Г. Хамрика, Р. Лидерленда, А. Марена и Л. Зибенманна за полезные беседы и замечания.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И Т. Д.
Мы будем действовать в гладкой категории. Пусть М—■ компактное ориентированное 2п-мерное многообразие, возможно с непустым краем. (—1) "-симметрическая форма пересечений
индуцирует эрмитову форму
ф: ЯХЯ-^С,
где И = Нп (М\ С) Нп (М) ® С и
С сф(х- у\ если п четно,
Ф (% ® а, у ® Р) = <_
I /аР(х- у), если п нечетно.
Предположим, что G— конечная группа, которая действует в Al как группа сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов. Тогда форма ф инвариантна относительно индуцированного действия группы G в Я и мы можем выбрать G-инвариантное ортогональное (относительно ф) разложение в прямую сумму Я = = Я^®Я-®Я°, где форма ф является ±-знакоопределенной на Я- и нулевой на Я0. Сужения группы G на Я+ и Я” определяют представления группы G, и G-сигнатура пары (G,A4)
определяется как элемент
sign(G, М) = р'— р”
кольца комплексных представлений R^GY Этот элемент корректно определен и обладает следующими свойствами (которые имеют место во всех размерностях, если мы положим по определению sign(G, 7И) = 0 для нечетномерных 7И):
sign(G,—7И) = —sign(G, 7И).
(Мультипликативность.) sing(G, М X AJ = sing(G, М^Х X sing(G, NY
(Аддитивность Новикова — Рохлина.) Если (G, 7И) = = (G, AIJU (G, ТИ2), причем, возможно, некоторые компоненты края у многообразий М\ и ТИ2 общие, то
sign(G, M) = sign(G, MJ + sign (G, M^.
Если (G, M) = d (G, IF) для некоторого W, то sign(G, M) = 0.
В частности, G-сигнатура определяет кольцевой гомоморфизм
QJG)->7?(G),
где Q*(G) есть кольцо классов G-кобордантных замкнутых G-многообразий.
Для g^ G g-сигнатура определяется формулой sign(g, M) = x(sign(G, Af))(g) =
= tr (g,l^+)-tr kg.\H"Y
Теорема о G-сигнатуре Атьи — Зингера [2] выражает глобальный инвариант sign(g, М) в случае, когда М есть замкнутое многообразие, в терминах локальных данных, а именно в терминах действия элемента g в нормальном расслоении множества неподвижных точек элемента g.
Прежде чем рассматривать двумерный и четырехмерный варианты этой теоремы, нужно ввести некоторые обозначения и соглашения.
Так как мы предполагаем, что группа G конечна, то, говоря о g-сигнатуре sign(g, М), достаточно рассматривать циклическую группу, порожденную g; начиная с этого места мы будем считать, что G — конечная циклическая группа Zm, m> 1.
Всюду в дальнейшем подразумевается, что объемлющее многообразие М ориентировано и что g сохраняет ориентацию.
Кроме того, хотя 7И не обязательно связно, мы будем, не теряя общности, всегда предполагать, что действие эффективно на орбите каждой компоненты.
Множество неподвижных точек преобразования g будем обозначать через Fix(g). Если нам понадобится указать при этом
Под ред. Л. Гийу и А. Марена
многообразие 7И, в котором действует g, то мы будем писать Fix(g, Л4).
Если 6 — 2лг/т, где (г, т) = 1, то мы будем говорить, что 9 имеет порядок т. Через (О, Ь2) мы будем обозначать двумерный диск D2 с 2т-действием, порожденным поворотом на угол 0; край 5(0, D2) этого Zm-многообразия мы будем обозначать также через (9, S1).
Если Е— тотальное пространство Е2-расслоения некоторого SO (2)-расслоения, то символом 9 мы будем обозначать и автоморфизм пространства Е, индуцированный поворотом каждого слоя па угол 9. Если 9 имеет порядок т, это определяет Z^-дей- ствие (9,Е) в Е. Если т = 2, то все это пригодно и для 0(2)- расслоений.
Сначала мы обсудим двумерный случай теоремы о О-снгна- туре. Пусть g порождает Zm-действие в замкнутом двумерном многообразии 7И. Тогда Fix(g) состоит из конечного числа точек Р. Используя Zm-инвариантную риманову метрику на М, мы можем найти трубчатую окрестность каждой такой точки РТ эквивариантно диффеоморфную (9, D2) для некоторого 9 = = 0(Р) (см., например, [6]). Теорема о G-сигнатуре в размерности 2 тогда утверждает следующее.
Теорема 1. Во введенных выше обозначениях
sign(g, ;И) = — i^dgy.р
Теперь рассмотрим четырехмерный случай. Здесь Fix(g) будет состоять из конечного множества точек Р и конечного множества непересекающихся замкнутых связных двумерных многообразий F. Используя снова Zm-инвариантную метрику, можно показать, что каждая точка Р имеет трубчатую окрестность, эквивариантно диффеоморфную произведению (0i, D2) X (02, Е2), и каждое множество F имеет трубчатую окрестность, эквивариантно диффеоморфную ^,Е), где Е — тотальное пространство Е2-расслоения над F. (Конечно, 01 и 02 зависят от Р, а ф — от F.) Заметим, что так как объемлющее многообразие М ориентировано и g сохраняет ориентацию, то и F должно быть ориентируемо, за исключением случая т = 2.
Будем обозначать через е^ число Эйлера нормального расслоения множества F в М (используя локальные коэффициенты, если F неориентируемо; см. [10]). Оно равно алгебраическому числу точек пересечения множества F с его копией, находящейся с ним в общем положении.
Теорему о G-сигнатуре для размерности 4 можно сформулировать теперь следующим образом.
Теорема 2. Во введенных выше обозначениях
sign (g, ,М) = - ctg ^ ctg ^ + 1^ (Л) cosec2 4Г.РF
В заключение введем еще некоторые соглашения и обозначения.
Образующая рассматриваемого 2т-действия будет обычно обозначаться через g; мы надеемся, что это двусмысленное использование буквы g не вызовет недоразумений.
Символ 3^ = 3^(714) будет обозначать множество всех компонент многообразий Fix^), 1 ^ к С т.
Знак Ц обозначает дизъюнктное объединение. Как обычно, если 1г— целое положительное число, то через пМ обозначается дизъюнктное объединение п копий многообразия 7И и (—п^М = = п^—М> = —^пМу
Нам будут часто встречаться ситуации, в которых мы используем тот факт, что, например, некоторое G-многообразие (С, Л4) представляет нулевой элемент группы Q*(G)®Q, т. е. г(6, Л4) = d(G, IF) для некоторого G-многообразия IF и отличного от нуля целого числа г. Так как число г не имеет отношения к нашим целям и просто усложняло бы обозначения, удобно ввести понятие G-объекта, под которым мы понимаем G-многообразие с ненулевым рациональным коэффициентом. Утверждение относительно G-объектов может быть интерпретировано просто как сокращенная запись соответствующего утверждения относительно G-многообразий, полученных умножением на подходящее целое число. Подобным образом мы можем говорить о множестве неподвижных точек G-объекта, о G-бордизме между G-объектами, о G-сигнатуре G-объекта (она есть результат умножения G-сигнатуры на соответствующее рациональное число) и т. д. Конечно, не трудно все это формализовать, но мы не будем это делать.
ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ ЛЕММЫ
Лемма 1. Если никакая компонента многообразия /И не инвариантна относительно g, то sign(g, 7И) = 0.
Доказательство. Пусть Л40—компонента многообразия Л4, и пусть к — такое наименьшее положительное целое число, что gkM^ = Л10. По предположению, к > 1. Очевидно, не умаляя общности, можно считать, что М = [J glM0. Предположим, что dim М = 2и, и пусть
Я„(М0; C) = Ht®Ho®H°o,
где эрмитова форма пересечения ф на НДМ0; С) является ±-знакоопределенной на Н? и равна нулю на Яо, а разложение ортогонально относительно ф. Полагая
н+ = ТХХ
Z = 0
и аналогично для Я™, Я0, мы получаем соответствующее разложение
нп<М; С) = я+фтгфя°, являющееся ^-инвариантным. Но из очевидного равенства tr (gj Я+) = tr (gj Я-) = 0 следует, что sign(g, 7И) = 0. □
Пусть Q*(X) и ХДХ)—группы соответственно ориентированных и неориентированных бордизмов пространства X. Имеются естественные отображения ОДХ) -> Н ДХ\ N ДХ) ЯДХ; Z2).
Все факты относительно бордизмов, которые нам понадобятся, содержатся в следующей лемме; мы дадим набросок ее хорошо известного геометрического доказательства.
Лемма 2. (1) £2ДХ)->Нп(Х) есть изоморфизм для п^З;
последовательность Q4-^Q4(X)-> Я4(Х)->0 точна;
последовательность N^-2*- Я2(Х)-> ЯД+Тф+^О точна.
Доказательство. Рассмотрим класс в Нп(Х), представленный отображением f: К-^Х для некоторого ориентированного п-цик- ла К, и предположим по индукции, что К есть многообразие в дополнении своего (п— ^)-мерного остова. Тогда линк L ^п— k)-мерного симплекса or из К, хотя он может и не быть сферой, будет по крайней мере ориентированным (/г — ^-мерным многообразием. Предположим, что L = дМ для некоторого ориентированного /г-мерного многообразия М. Так как джойны о * L и о^М стягиваемы, то сужение f\o*L продолжается до отображения F: о^М-^Х, и тогда (fXid)UZ определяет отображение ориентированной (п + 1)-мерной цепи КХ1 U ^^^
(a*L)X[l)
в X. Это дает гомологию между f и ф: К'-^Х, где + =(+\ \а*Л) U да*М и Г = Л КХа,£Д F|da,M .Проделав это (если дох х
возможно) для всех (п— к)-мерных симплексов о, получаем в качестве представителя исходного класса из Нп(Х) п-мерный цикл, который является многообразием вне своего ^п— к—1)- мерного остова.
Так как Q1 = Q2 = q3 = 0, то это показывает, что отображение йп<Х^ Нп^ сюръективно для п ^ 4.
Та же самая процедура разрешения особенностей, примененная к сингулярным (п+1)-мерным цепям, опять-таки исполь-
зующая равенства Qt = й2 = ^з = 0, показывает, что отображение £>„(%)-> ЯДХ) инъективно для п ^ 3.
Мы можем также разрешить особенности пятимерных цепей так, чтобы они стали многообразиями вне вершин; тогда линки вершин окажутся некоторыми ориентированными четырехмерными многообразиями. Это доказывает оставшуюся часть утверждения (2).
следует из аналогичных соображений, примененных к неориентированным циклам и опирающихся на равенство Mi = = 0. □
Следующая лемма справедлива во всех размерностях (см. замечание (2) ниже), но в размерностях, с которыми мы здесь имеем дело, она несколько проще.
Лемма 3. Пусть g— образующая свободного 2т-действия в замкнутом многообразии М размерности 2 или 4. Тогда sign(g,M) = 0.
Доказательство. По лемме 2,(1), Q2(BZm) = 0. Другими словами, каждое свободное Z^-действие на замкнутом двумерном многообразии является свободно ZX-нуль-кобордантным. Тогда доказываемый результат для размерности 2 следует из инвариантности G-сигнатуры относительно G-кобордизмов.
В размерности 4 лемма 2,(2) означает, что Q4-^Q4(BZm) является отображением «на». Другими словами, всякое свободное Zm-действие в замкнутом четырехмерном многообразии М свободно Zm-кобордантно очевидному действию в Zm X X V^l^mY Но sign(g, Zm X (W^m)) = Q в силу леммы 1; следовательно, опять sign (g, M) = 0 в силу инвариантности относительно G-кобордизмов. □
Замечания. (1) В порядке обобщения доказательства леммы 3 напомним, что для любой конечной группы G группа H*(BG) аннулируется умножением на |G|.
Из леммы 2 следует, что ЙДВО')® Q = 0 для п = 1, 2, 3, что Q4®Q->Q4(6G)®Q есть отображение «на» и что ^(BG)® ® Q = 0.
Можно показать более общим образом, используя спектральную последовательность бордизмов (см. [6], например), что для любой конечной группы G отображение Q*®Q->- ~^Q*(BG)®Q сюръективно. Тогда обращение в нуль ^-сигнатуры для свободного действия любой размерности получается так же, как в доказательстве леммы 3.
Если 9 имеет порядок ш, то, как следует из утверждения (1) леммы 2, существует некоторый свободный 2Х-объект Q(9), такой, что
dQ (0)^(9, S1).
Определим
а (0) := — sign (g, Q(9)).
(Мы вычислим а(9) в лемме 6 явно.)
Нам нужен также следующий четырехмерный аналог Zm-объекта Q(9). Пусть Q(9)—замкнутый Zm-объект Q(0)Ud(—9, D^. Если 9/ имеет порядок mu i = 1, 2, то Q(9t)X XQ(92) есть Zm-объект, где т — наименьшее общее кратное чисел mi, ш2, и Fix(g) имеет трубчатую окрестность N, такую, что (g, М) ^ (9i, D^ X (92, D^. Определим
Q(9b 92)^-(Q(9I)XQ(e2)\M).
Тогда
dQ(9„ 92)-a((9b D2)X(e2, D2))
и
sign (g, Q (0b 02)) == — a (OJ a (02)
в силу мультипликативности (и аддитивности).
Хотя мы не будем этим пользоваться, заметим, что явный выбор действия Q(9) можно осуществить, взяв Q(9) равным -^-F^mY где F(m) есть m-листное циклическое накрывающее сферы S2 с ветвлением в т точках (и образующая g группы Zm выбрана так, чтобы множество Fix(g, F(m)) имело трубчатую окрестность, эквивариантно диффеоморфную —m(9, D2)). Эта поверхность Q(9) может быть представлена как т последовательно соединенных друг с другом дисков Di, ..., Dm: Di соединяется с D^\ посредством т скрученных лент, 1 ^ I С т (ср. с § 5), и вычисление, аналогичное выполненному в § 5, могло бы быть использовано для определения a (9) из этого представления поверхности Q(9). Однако мы воспользуемся другой моделью, хотя и менее естественной, но геометрически более простой и приводящей к несколько более легким вычислениям.
ДВУМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
Мы сначала докажем следующую лемму.
Лемма 4. Пусть g порождает Zm-действие в замкнутом двумерном многообразии М без неподвижных точек. Тогда sign(^, М) = 0.
Доказательство. Элементы множества ^(ТИ) нульмерны. Пусть Р — такой элемент; тогда Р eFix^) для некоторого /г с 1 <^< т. Без ограничения общности можно считать, что к
минимально (для Р). Выберем окрестность Л(Р) точки Р, представляющую собой маленький двумерный диск, инвариантный относительно gk, так что (gk, N (P^^^Q, D2) для некоторого 6 порядка m/k. Тогда
и g' dWWkS\
где действие переводит i-й экземпляр окружности S1 в (/+ 1)-й (по модулю к) отождествлением для 0 ^ I < к— 1 и поворотом на угол 9 для 1 = к—1. Рассмотрим соответствующее действие в kQ^, и пусть М7— замкнутый 2т-объект
М \U g'N (P)}^kQ (9),i=0/
эквивариаитно склеенный вдоль компонент края. По лемме 1
sign(S", &Q(0)) = 0 и очевидно, что sign I g, (J glN (P) ) = 0.
X Z = 0/
Следовательно, в силу аддитивности Новикова — Рохлина, sign(g, AT) = sign(g, /И).
Так как Z^-действие в kQ\6) свободно, то результат выполнения вышеописанного процесса для каждой орбиты в ^(Л4) есть замкнутый свободный /т-объект М77, для которого sign(g, М77) = sign(g, М). Теперь результат следует из леммы 1. □
Замечание. Совершенно аналогичное рассуждение показывает, что в любой размерности sign(g, Л1) = 0 для любого действия без неподвижных точек, в котором все элементы множества ^(ТИ) нульмерны.
Теперь рассмотрим общий случай. Пусть g порождает Z^-действие в замкнутом двумерном многообразии М. Тогда Fix(g) состоит из конечного числа точек Р. Выберем непересе- кающиеся трубчатые окрестности N (Р) этих точек, удовлетворяющие условию (g, W(P))^(9, D2) для некоторого 9 = 9(Р) порядка пи Вспомните определение числа а(9) (§ 2, замечание (3)).
Лемма 5. Во введенных выше обозначениях справедливо равенство
sign (g, /И) = £ а (9).р
Доказательство. Пусть многообразие
лг = р1\у N^ U LIQ(6)
склеено эквивариантно вдоль U dN (Р) = Ц dQ (9). Очевидно, рр
что Fix(g, М')=0. Следовательно, по лемме 4,
0 = sign(g, М') =
= sign (g, М) + Е sign (g, Q (6)) =p
= sign (g, M) — E « (9)- □p
Теорема 1 непосредственно вытекает из леммы 5 и следующей леммы 6.
Лемма 6. а (0) —— zctgy.
Лемма 6 доказывается явным вычислением на специальной двумерной модели; мы отложим это доказательство до § 5.
Замечание. Изложенное выше доказательство применимо без существенных изменений к действиям в любой (четной) размерности с тем свойством, что все элементы множества 3^ нульмерны, что дает специальный случай так называемой формулы неподвижных точек Атьи — Ботта [1].
ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
Нам понадобится следующее стандартное действие. Пусть гр имеет порядок пт и определяет /т-действие на СР2:
(г0: zx: z^ ^z0: e^z,: z2).
Это действие полусвободно и его множество неподвижных точек есть объединение сферы С.Р1 и точки P={0:0:z2}. В окрестности точки Р это действие эквивалентно произведению (гр, D2)X (гр, D2y а на нормальном расслоении Е сферы СР1 оно эквивалентно (—гр, Е). Мы будем обозначать это действие через (гр, СР2).
Лемма 7. Пусть g порождает 0т-действие в замкнутом четырехмерном многообразии М без неподвижных точек. Тогда sign(g, М) = 0.
Доказательство. Шаг 1. Заменим М таким Zm-объектом, у которого все элементы множества ^двумерны.
Пусть Р— нульмерная компонента множества Fix(gfe) для некоторого к. 1 С к С пт. Мы можем считать, что к минимально (для Ру Выберем окрестность N(Р) точки Р, представляющую собой маленький четырехмерный шар, такой, что ^g\
M(P))^(9h D2)X(92, D2). Пусть
Ж = (м \ V g'N (Р)) U kQ (9!, 92)х i = 0/
—многообразие, эквивариантно склеенное очевидным образом вдоль края.
По лемме 1, sign(g, ^Q(9i, 92)) = 0, и тогда в силу аддитивности sign(g, AT) = sign(g, Л1). К тому же Sr'(Q(9i, 92)) не имеет нульмерных компонент. Следовательно, таким образом мы можем получить Ст-объект МР, у которого <F (М") не имеет нульмерных компонент и sign(g, УИ") = sign (g, 7И).
Шаг 2. Поскольку шаг 1 сделан, мы можем считать, что все компоненты множества ^(М) двумерны; отсюда следует, что различные элементы множества ^(М) не пересекаются.
Пусть F (Л4), так что F cz Fix (g^), где 1 С к С пт. Пусть р— такое наименьшее целое число ^ 1, что gpF = F. Пусть АДР)— трубчатая окрестность поверхности F, эквивариантная относительно gp и такая, что N (F), gN (F). • g^N^F) не пересекаются.
Допустим на минуту, что р > 1. Преобразование gp порождает свободное Zm/p-действие в dN ^, и, согласно замечанию 1 из § 2, (gp, dN (F)) ^ dW для некоторого свободного 7т/р-объекта IF. Пусть
Vjg^ (F)) U Р^х/
—многообразие, эквивариантно склеенное очевидным образом вдоль края. По лемме 1, sign (g, pW) = 0 и аналогично signlg, (J glN (F) ) = 0. Следовательно, по аддитивности, X 1=о/
sign (g, Mz) = sign (g, Л4). Заметим также, что Z^-действие в pIF свободно.
Шаг 3. Повторяя процесс, описанный в шаге 2, мы можем считать, что gF = F для каждого F cz ST (JVT).
Если Fez Fix(g^) и к минимально для F, то g порождает свободное Z^-действие в F и (gk, N (F))^(^f N(F)), где ф = = 2nkr/m для некоторого г, взаимопростого с m/k. Мы утверждаем, что e(F) = 0 (mod k). Действительно, рассмотрим свободное /^-действие в N^F), порожденное преобразованием h = = (—2^r/m)g. Проекция факторизации N(F)-+- N(F)/h является тогда Р-листным накрытием D2-paccлoeний, индуцированных ^-листным накрытием F-^F/g, и, следовательно, e(F) = ке (F/g).
Теперь рассмотрим эквивариантное приклеивание к (7И, F) посредством связных сумм пар, к копий пары (СР2, СР1), где
действие переводит t-ю копию в (/+ 1)-ю (тоО) отождествлением для 0 ^ / < ^—1 и посредством ф (см. начало § 4) для 1 = к— 1. Это дает (М7, F7), где е (Fz) = е (F) + к, и по обычным соображениям sign(g, ЛГ) = sign (g, M). Этот процесс вводит точки Р, gP, .... gk-xP в Fix(gX ЛГ), где Р имеет окрестность ЩР), удовлетворяющую условию (gk, N^P))^^, D^X^, D2). Однако эти точки могут быть устранены следующим образом:
/ £-1 .о X
М77 = ЛГ \ и glN (Р) и kQ (ф, ip).\ г=о /
Так как sign(g, УИ") = sign (g, ЛГ) и &Q(ip, ip) есть свободный Z^-объект, то это показывает, что мы, по существу, в состоянии изменять е(Р) на числа, кратные к, не вводя новых компонент в ЗС Так как е (F) = 0 (mod k), то мы можем, следовательно, добиться, чтобы е(Р) = 0.
Шаг 4. Мы показали, что можно считать все элементы множества З^УИ) двумерными, имеющими е(Р) = 0 и удовлетворяющими условию gF = F. Сужение преобразования g на такое F порождает свободное Z^-действие.
Случай (а). Предположим, что F ориентируемо. Тогда (g, N(F))^(g, F)X(^>, D2) для некоторого ip. Так как Q2(SZ^)® ®Q = 0 (см. § 2, доказательство леммы 3 или замечание (1)), то (g> F)=dV для некоторого свободного Z^-объекта V. Рассмотрим VXD2 как Z^-кобордизм (rel д) между FXD2 и VXS1. Тогда многообразие
М X I U v х D\
где N(Р)Х {1} эквивариантно склеено с FXD\ является Z^-ko- бордизмом между УИ = М X {0} и
М' = (М \N(F))U V XSX.
Так как действие группы Zm в VXS1 свободно, то переход от М к М7 приводит к исключению поверхности F из ЗС Кроме того, sign(g, Mz) = sign(g, УИ) в силу инвариантности относительно кобордизмов.
Случай (Ь). Предположим, что F неориентируемо (в этом случае пт = 2). Тогда N (F) ^ F у D2. Так как КЧ^ВХ^ ® Q = 0 (см. § 2, замечание (1)), то (g, F) ^ дV для некоторого неориентированного свободного Zfe-объекта V. К тому же наше D2-pac- слоение продолжается до расслоения над V (например, F^D2 = =(Fx/)XA где Fy^I есть /-расслоение над F, отвечающее первому классу Штифеля — Уитни w^F); рассмотрим теперь
V ^D2^(V у /) XL где Vy /отвечает классу ^i(V)). Тогда, как и в случае (a), VyD2 есть Z^-кобордизм между F у^ и F^S1, и MXWVyD2 есть 2т-кобордизм, связывающий М = М X {0} с
М' = (М \ W)WV yS1.
Применяя (а) и (Ь) соответствующим образом ко всем компонентам множества ^(7И), мы в конце концов получим свободный Zm-объект М", для которого sign(g, М") = sign(g, М). Тот факт, что sign(g, 7И) = 0, теперь следует из леммы 1. □
Доказательство теоремы 2. Случай 1. Предположим, что Fix(g) не имеет двумерных компонент.
Выберем PeFix(g) и такую трубчатую окрестность N(Р)г что (g, N^)-^X D2)X(02, D2). Пусть
ЛГ = (М \Ar(P))UQ(9i, 02).
Тогда
sign(g, М) = a (9J а (92) + sign (g, М'\
Проделав это для всех Р eFix(g) и применив лемму 7, мы получаем
sign(g, Л1) = X «(91)«(6г),р
что и требовалось.
Случай 2. Предположим, что каждая двумерная компонента F множества Fix(g) имеет e(F) = 0. Многообразие (g, N(F)) для такого F эквивариантно гомеоморфно произведению (id, F)y Х(Ф, D2) или (id, рУуЦр, D2) для некоторого ф в зависимости от того, ориентируемо F или нет. Описанный выше в шаге 4 метод доказательства леммы 7, только теперь для к = 1, дает Zm-KO- бордизм между М и таким Zm-объектом М', что Fix(g, М') не имеет двумерных компонент и имеет те же нульмерные компоненты, что и Fix(g, М). Теперь результат следует из случая 1.
Общий случай. Рассмотрим двумерную компоненту F множества Fix(g) с эквивариантной окрестностью (ф, N^). Определим 8 = ±1 равенством е(Д^ = —e|e(F)| и эквивариантно при-
|е(Г)|
клеим к (7И, F) связную сумму пар ф е(ф, (СР2, СР1)). Полу- f=i
чим, скажем, (Mi, F'L где e(Fz) = 0. Пусть Mz — результат применения этого приема ко всем компонентам F. Так как
sign (tp, С '2) = 1, то в силу аддитивности получаем
sign (g, М') = sign(g, М) — X е
F
Совокупность нульмерных компонент множества Fix(g, М') состоит из таких компонент множества Fix(g, 7И) и некоторой эквивариантной окрестности — ^e^F)^, D2) X (Ф, D2). Так как
F
каждая двумерная компонента F' из Fix(g, М') имеет e(Fz) = 0, то случай 2 дает
sign(g, Л1,) = ^а(01)а(е2) = ^а(9|)а(02)+ ^^(Octg2y-Р'РF
Следовательно, получается равенство
sign (g, Л!) = £ a (0J а (02) + У е (Р) (ctg2 4 + 1) ’РF
дающее требуемый результат. □
ДВУМЕРНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Доказательство леммы 6. Предположим, что 0 имеет порядок т. Пусть 7И0 — двумерное многообразие с краем, показанное на рис. 1, состоящее из двух дисков, соединенных т скрученными лентами; Л10 имеет одну или две граничные компоненты соответственно тому, нечетно или четно т; пусть М— замкнутое двумерное многообразие, полученное заклеиванием граничных окружностей кругами.
Пусть h — показанный на рис. 1 автоморфизм многообразия М, индуцированный поворотом на угол Ъп/т. Если (s, m)= 1, то hs порождает /^-действие в Л1, множество неподвижных точек которого имеет трубчатую окрестность, эквивариантно диффео- морфную
п / 2л5 _9\/л(т+1)5
2 ,— —,, если т нечетно, или
к т )к т/
2 ,, если т четно.
\ т /
Напомним, что пересечения определяют эрмитову форму ф: ЯХЯ-^С, где Н = НХ^М\ С). Пусть со = e^Um. Тогда Я разлагается в ортогональную (по отношению к ср) прямую сумму £0®Я1® • • . ®£т_ьгде Ег есть собственное пространство оператора А*, отвечающее собственному числу сог. Пусть гг — сигнатура сужения формы ф на Ег. Тогда
sign Al) = 52
h
Рис. 1.
Пусть хеН — класс, указанный {А^лч O^s^m — 1} порождает Н и
на рис. 1.
Тогда
ф (ад, АД) = <
-1, +1, О в
s = /+ 1,
s = t — 1, остальных случаях.
m— 1
Очевидно, er= ^ (1ЕГ8ЕхеЕг. Кроме того, s=0
m —1 m— 1
ф(е„ ег) = / £ X оГг,5"/,ф (АД, АД) = s=0 /=0
= 1 У (о/ — ®~г) =
= Im (cor — co-r) = — 2m sin (2лг/т).
Теперь рассмотрим отдельно два случая: пт нечетно и m четно.
m нечетно. В этом случае dim Н = m — 1 и ег Ф 0, 0 < г < m (поскольку ф(ег, ег)¥=0). Поэтому пространство Ег одномерно и имеет базис (еД при 0 <2 г <С т, а £0 = 0. Следовательно,
Допустим, что (s, m)=L Так как т нечетно, то (m+0s представляется в виде 2Л Пусть 9 = л(т + l)s/m = 2л///7к Тогда по лемме 5
т— 1(т—1)/2
2а (29) — а (9) = sign (/^, /и) = X co2rZ — У со2г/;
" r = (m+l)/2г=1
легкое вычисление показывает, что это равно
-^=2-^=2= — 2r ctg 9 + i ctg у .= — 2r ctg 9 + i ctg у .
-^=2
-^=2
= — 2r ctg 9 + i ctg у .
= — 2r ctg 9 + i ctg у .
Полагая (3 (9) = а (9) + Z ctg-|-, получаем, что 2р(29) = р(9) для всех 9 порядка га. Поскольку т нечетно, отсюда с очевидностью следует, что Р(9) = 9. Следовательно, а(9) = — tctg~, как утверждалось в лемме 6.
т четно. В этом случае dim Н = т — 2 и ег ^ 0, если г^О или т/2. Поэтому пространство Ег одномерно и имеет базис {ег} для r^O, zn/2 и Eq = Етр2 = 0. Следовательно,
т — 1.т — 1.
т — 1.
т — 1.
Считая (s, m) = 1 и полагая 9 = 2лх/т, получаем
т— 1m/2—1
2а (9) = sign (h*, М) = ^ cors — ^ tors =
r = m/2+lr=l
m/2—1
--2 £ 1,™__2(l^;)--2ictg4. □r= 1
ПОЛУСВОБОДНЫЙ СЛУЧАЙИ МУЛЬТИПЛИКАТИВНОСТЬ СИГНАТУРЫ
Вышеизложенное доказательство теоремы о сигнатуре в размерности 4 существенно упрощается, если действие полусвободно. В самом деле, в этом случае процесс, описанный в доказательстве теоремы 2, сводит проблему к доказательству того, что sign(g, Л4) обращается в нуль для свободного действия (а не для действия, всего лишь не имеющего неподвижных точек), и можно прямо использовать лемму 3 вместо леммы 7.
Полусвободного случая достаточно для всех применений, упомянутых в § 0 (исключая вычисления в [3]), и фактически
для этих применений можно ограничиться еще более частным случаем, в котором множество неподвижных точек двумерно. Немного другое элементарное доказательство четырехмерной теоремы о G-сигнатуре в последнем случае дано Лидерлендом [9] в терминах сигнатур зацеплений.
Наконец, мы сделаем несколько замечаний о мультипликативности сигнатуры относительно накрытий.
Если конечная группа G действует в N свободно, то стандартное рассуждение с трансфером показывает, что
| G | sign (N/G) — sign N = У, sign(g, ^)
(на самом деле это имеет место, даже если действие несвободно).
В частности, если N замкнуто, то из обращения в нуль g-сигнатур sign(g, ^) для g^ G\{1} следует, что
sign N = | G | sign WG).
Однако эта мультипликативность может быть установлена непосредственно. К тому же нет необходимости ограничиваться регулярными накрытиями. Таким образом, мы имеем следующую хорошо известную теорему, которую часто формулируют как следствие теоремы Хирцебруха об индексе (см., например, [5]).
Теорема 3. Пусть М-^М есть (конечное) п-листное накрытие замкнутого ориентированного многообразия. Тогда signM = = п sign 7И.
Доказательство. Сначала рассмотрим регулярное накрытие ЛТ-^ТИ с группой автоморфизмов G, так что мы имеем свободное действие группы G в М. Так как й#® Q->Q*(BG) ® Q является отображением «на» (см. § 2, замечание (2); напомню, что это элементарно в размерности 4), то существует такое положительное целое число г, что r(G, М) свободно G-кобордантно r(G, GXM), где G действует на GXM умножением слева. Следовательно, sign М = sign (G X ^И) = | G | sign М.
Вообще, пусть М-^М есть /г-листное накрытие, соответствующее подгруппе Н, скажем индекса п в л = Л1(Л4). Тогда Но= П х-1//хесть нормальная подгруппа группы л (и группы
Н) конечного индекса; пусть Мп—^М— соответствующее накрытие. Тот факт, что sign Я = п sign М, следует теперь из регулярного случая, примененного к регулярным накрытиям Мо —> -> Л4, М0->М. □
ЛИТЕРАТУРА
Atiyah М. F. and Bott R. A Lefshetz fixed point formula for elliptic complexes: IL Applications, Ann. of Math. (2) 88 (1968), 451—491.
Atiyah M. F. and Singer I. M. The Index of elliptic operators: III. Ann. of Math. (2) 87 (1968), 546—604. [Имеется перевод: Атья M. Ф. и Зингер И. М. Индекс эллиптических операторов III, УМН 24: 1 (1969), 127—182.]
Casson A. J. and Gordon С. МсА. Cobordism of classical knots, mimeographed notes, Orsay, 1975. [См. также следующую статью этой книги.]
Casson A. J. On slice knots in dimension three, Proc. Svmp Pure Math. XXXII, Part 2, AMS, 1978, 39—53.'
Chern S. S., Hirzebruch F. and Serre J. P. On the index of a fibered manifold, Proc. Amer. Math. Soc., 8 (1957), 587—596.
Com er P. E and Floyd E. E. Differentiable periodic maps. Erg. der Math. 33, Springer-Verlag, 1964. [Имеется перевод: Коппер И Е. и Флойд Е. Е. Гладкие периодические отображения. М.: Мир, 1969.]
Gilmer Р. Topological proof of the G-signature theorem for G finite, Pacif. J. Math. 97: 1 (1981), 105—114.
Hsiang W. C. and Szczarba R. H. On embedding surfaces in four-manifolds, Proc. Symp. Pure Math. XXII, AMS, 1971, 97—103.
Litherland R. A. Topics in knot theory, Ph. D. Thesis, University of Cambridge, 1978.
Massey W. S. Proof of a conjecture of Whitney, Pacific J. Math 31 (1969), 143—156.
[И] Рохлин В. А Двумерные подмногообразия четырехмерных многообразий, Функц. анализ и его прил. 5 : 1 (1971), 39—48.
КОБОРДИЗМЫ КЛАССИЧЕСКИХ УЗЛОВ
А. Дж. Кассон и К. М. Гордон
Узел есть гладкое подмногообразие трехмерной сферы S3, гомеоморфное S1. Мы будем понимать под S3 ориентированную трехмерную сферу; ориентация окружности S1 обычно несущественна. Узел К является срезанным, если существует такой гладкий двумерный диск D cz В4, что К = dD. Узлы Ао, К\ ко- бордантны, если существует гладко вложенное в S3 X / круговое кольцо, пересекающее SX {0 по Kt (z1 = О, 1).
Сложение классов кобордантных ориентированных узлов определяется операцией связного суммирования узлов; множество классов кобордантных ориентированных узлов со сложением является группой, которая называется группой кобордиз- мов узлов 03.
Мы можем также построить группы кобордизмов узлов сферы Sn в сфере Sn+2, скажем 0„+2. Известно, что 0Х2 = О, если п четно [5], что 6? = Он = = • • и 05 0g1 — 01з = • • . и что группа 0| изоморфна подгруппе индекса 2 группы 0$. Существует естественная сюръекция 0?—>65; мы покажем, что она не инъективна. Опишем сначала известные инварианты класса кобордантных узлов.
Узел Кcz S3 ограничивает ориентированную поверхность F cz S3; утолстим F до вложения F X 1 cz S3. Для классов х, у е ^ЯДР), представленных циклами g, ц cz F, положим а(х, у) равным коэффициенту зацепления циклов £ X 0 и r| X 1 в S3. Это определяет билинейную форму а: ЯДР)Х ^i(A)->-Z, такую, что оДх, у)—а^у, х) — (индекс пересечения классов х и у). Мы будем называть а формой Зейферта узла К. Пусть £ = (род поверхности F) = ^X (размерность группы ЯДР)). Будем говорить, что форма Зейферта кобордантна нулю, если она обращается в нуль на подгруппе размерности g группы H^FY
Теорема [6]. Если узел К является срезанным, то всякая форма Зейферта узла К кобордантна нулю. В старших {нечетных) размерностях аналогичное условие является необходимым и достаточным для того, чтобы узел К был срезанным.
Действительно, задача доказательства неинъективности сюръекции 03->0£ равносильна задаче построения несрезанного узла с кобордантной нулю формой Зейферта.
13 Под ред. Л. Гийу и А. Марена
Пример;
t полных оборотовt полных оборотов(t полных оборотов) (-1 полный оборот)(t полных оборотов) (-1 полный оборот)
t полных оборотов
t полных оборотов
(t полных оборотов) (-1 полный оборот)
(t полных оборотов) (-1 полный оборот)
По отношению к указанному базису форма Зейферта имеет И 1 \ / 1 \
матрицу Л = 1 у _} L Положим х = ( w тогДа хг Ах = t + А-и— ц2, что обращается в нуль при t = u(u—1). Таким образом, К имеет кобордантную нулю форму Зейферта, если t = = 0, 2, 6, 12, ... . Мы покажем, что узел К является срезанным в том и только в том случае, если / = 0 или 2.
Узел К называется ленточным узлом, если он ограничивает погруженный диск {ленту) в S3, каждая из особенностей которого имеет указанный тип (два листа, пересекающиеся по дуге, которая лежит внутри одного из листов).
Примеры;
Мирской узелМирской узелУзел грузчика (пример выше, t-^2)Узел грузчика (пример выше, t-^2)
Мирской узел
Мирской узел
Узел грузчика (пример выше, t-^2)
Узел грузчика (пример выше, t-^2)
Ленточные узлы являются срезанными (сдвиньте внутренность ленты в В4 и потом слегка продеформируйте окрестность каждой двойной дуги).
Проблема (Фокса): является ли каждый срезанный узел ленточным?
Наш метод позволяет доказать, что некоторые узлы не ограничивают ленты, не доказывая, что они не срезаны.
Сначала мы дадим довольно простой метод доказательства того, что узлы не ограничивают ленты. Единственное специальное свойство лент, которое нам потребуется, состоит в следующем (см. [3] и [10]).
Лемма 1. Если двумерный диск D cz ЕЕ получается в результате деформации ленты и К = dD сд S3, то гомоморфизм включения nx{S3\K)^nx{B*\D) сюръективен.
Пусть К — узел, двулистное разветвленное накрывающее которого есть линзовое пространство L. Наш метод не ограничивается такими узлами, но для других случаев вычисления еще не сделаны.
Примеры. Узлы с двумя мостами (или четырехсплетения — нем. Viergeflechte) [2], [9]:
имеют двулистные разветвленные накрывающие LPiq, где q/p представляется непрерывной дробью 1/о + l/c2 + ... + \/сп. (Мы получаем узел, если р нечетно, и двухкомпонентное зацепление, если р четно.) Это устанавливает взаимно однозначное соответствие между узлами с двумя мостами и линзовыми пространствами, и мы будем говорить о таком узле1) как об узле q/p. Данный раньше пример был узлом 2/(4Z+ 1) с непрерывной дробью 1/2Z+ 1/2.
Определим теперь инвариант нашего узла К с двулистным разветвленным накрывающим L. Фактически это замаскированная форма стандартного инварианта Атьи — Зингера трехмерных многообразий. Пусть %: ЯДЛ)-^- С* — характер с образом, равным С^ группе корней степени т из 1. Мы будем говорить, что х имеет порядок ш; % индуцируется отображением L->- -^К(Ст, 1). Так как группа бордизмов ЙзК(Ст, 1) конечна, то rL для некоторого г > 0 ограничивает компактное четырехмерное многообразие W над К(Ст, 1). Пусть IF— индуцированное m-листное накрывающее многообразия W, так что д№ = гГ для некоторого m-листного накрытия L многообразия L.
Пусть к—круговое поле (поле деления круга Q(Cm)czC; это модуль над групповым кольцом Z [Ст]. По теореме А4ашке, к проективно над рациональным групповым кольцом Q[Cm], так что оно является плоским над Z[Cm]. Пусть С* (IF)—цепной комплекс многообразия IF (с целыми коэффициентами), на котором автоморфизмы накрытия индуцируют структуру Z[Cm]- модуля. Обозначим через Я* (IF’; к^ гомологии комплекса С, (IF) (^) к; так как к является плоским, то ЯД1Г; fe) = ZVCrnA
9 Такие узлы называются теперь по этой причине еще и рациональными узлами. — Прим. ред.
^H*(WZ) (^ к. Гомологии с коэффициентами в к всегда Z[Cml
будут скручены таким образом.
Форма пересечения Я2(^; к)ХНД№; к^-^к является эрмитовой и, значит, обладает сигнатурой s(IF). Пусть so(IF) есть сигнатура формы пересечения на НД№, Q) (другими словами, обычная сигнатура многообразия IF). Определим офА, х) — = l/r(s(IF)— s0(IF)); очевидно, о не зависит от г.
Предположим, что IFi и IF2—два многообразия над К (Ст, 1) с dlFi = дIF2 = rL. Пусть X=IFiU(—IF2); это замкнутое многообразие над К(Ст, 1) и (s(IFi) —s0(IFi)) —(s(IF2) —s0(IF2)) = = s(X)— s0(X). Легко доказывается, что s, s0 определяют гомоморфизмы группы Q4K(CA, 1) в Z. По модулю кручения группа Q4K(Cm, 1) порождается классом многообразия СР2 (с постоянным отображением в К(Ст. 1)). Так как s(C,P2) = = sa(QP2)=l, то s(X) = s0(X) для любого замкнутого четы- рехмерного многообразия над К(Ст, 1). Отсюда следует, что о (К, х) не зависит от выбора кобордизма IF.
Теорема. Если К — ленточный узел, двулистное разветвленное накрывающее которого есть линзовое пространство L, то
|/7i(L)| есть квадрат, скажем т2;
если х — непостоянный характер, порядок которого делит т, то о /)=±Г
Утверждение (1) верно и хорошо известно для срезанных узлов; оно получается из нижеследующих лемм 2 и 3.
Лемма 2. Если узел К является срезанным, то L ограничивает компактное четырехмерное многообразие IF с НДХХ Q)=0.
Доказательство. Пусть К = dD, D сВ\ и пусть IF— двулистное накрывающее шара В4 с ветвлением над D. Пусть IFZ— бесконечное циклическое накрывающее дополнения B4\D. Пусть Т: H^tW'; Z2) *0 — преобразование, индуцированное образующей группы автоморфизмов накрытия.
Точная последовательность бесконечного циклического накрытия IFZW [Р дает следующую точную последовательность:
Нп (W'- Z2) ЗЛД Нп (1Г; Z2) -> /Д (IF; Z2^Hn_x ^'; Z2)->...
Аналогично имеется точная последовательность:
^нж-, z2) ЭгД нп^. г^ндв\ z^h^ oxo z.^...
Из второй последовательности видно, что 1 — Т есть изоморфизм. Так как группой коэффициентов является ф, то 1 — Р = = (1—Т)2, поэтому из точности первой последовательности еле-
дует, что H^W; Z2) = 0. Так как многообразие W компактно, то H^W; Q) = 0.
Лемма 3. Если образ группы H^L) в Hi(W) имеет порядок т, то | Н\ (L) | = ш2.
Доказательство. НДЦ = О, поэтому имеется точная последовательность
О --> Н2 (W) -> Н2 (W, Ц -> Щ (L) Я1 (IF) -> Нх (IF, L) -> 0.
В силу двойственности и формулы универсальных коэффициентов,
I?/2(IF)| = |Z/1(IF, DA И \HAWy LA = \HX^A;
отсюда следует искомый результат. (Заметим, что здесь существенно то, что мы находимся в размерности 4.)
Займемся теперь доказательством теоремы 1. Напомним, что, согласно предположению, узел К ленточный и L — линзовое пространство. По леммам 1 и 3, ni(L)^Zm? и ni(IF)^Zm. Если
— характер группы Н\^Ц, порядок которого есть делитель числа пт, то х пропускается через Я1(1Е), так что мы можем использовать IF, чтобы вычислить о (К, %).
Пусть С* (IF)—цепной комплекс, соответствующий клеточному разбиению (или разложению на ручки) многообразия W. Модуль СД\Ц свободен над Z[Ст] и имеет по одному базисному элементу на каждую n-мерную клетку многообразия W. Комплекс С (IF) (^) к векторных пространств над полем к ЧСт\
имеет ту же эйлерову характеристику, что и IF, а именно 1.
Напомним, что Нп^\ к) ^ H^W; Z) (^) к. Так как харак- ztcml_
тер х не постоянен, то ZZ0(IF; к) ~ Z (^) к = 0. Так как IF
односвязно, то Н\ (IF; Z) = 0 = НД W; Z), откуда /7i(IF;&) = = 0 = E/3(IF; к). Следовательно, H2(W; к) имеет размерность 1 над к. Подобным же образом HX(L; k) = 0 = НДЦ к), так что форма пересечения на H2(W; к) неособа. Из этого следует, что s(IF)=±l, so(IF) = O, откуда о (К, /) = ±1.
Вычисление а (К, х)- Рациональное число о (К, х) зависит только от трехмерного многообразия L и характера х на Нх(Ц. Сначала мы покажем, как о(К, х) связано с G-сигнатурой Атьи — Зингера.
Пусть А— векторное пространство над к с эрмитовой формой ф: АХА-^к. Предположим, что группа Ст корней т-й степени из 1 действует в А, сохраняя ф. Чтобы избежать путаницы, мы будем обозначать через g-Cl) автоморфизм пространства
Л, отвечающий элементу о) группы Ст. Пусть As=\a^A; g^a = ^saY. тогда Л=Л0®А1© ... ® Ат_х и действие преобразования о) в As есть умножение на o)s.
Заметим, что As и At ортогональны относительно ф, если s^=t. Действительно, если xeAs, у^Аъ то ф(х, у) = ф (gwx, gtoy)= ^Ф^х, со^у) = (oz~^ (х, у\ Приводя ф|л к диагональному виду, мы получим (не единственное) разложение Л5 = Л^ ф ^7® Л®, где форма ф является Чз-определенной на Ад и равна нулю на Л^. Пусть А" = У At, A°=2^s; подпространства Л3^ и Л° являются Ст-инвариантными, форма ф является ±-опре~ деленной на А- и равной нулю на Л°.
По определению ^-сигнатура формы ф равна
О (ф, g») = tr (gm |л+) - tr (gm |л_),
так что о(ф, gto) = 2 <os(сигнатура формы ф |л ).
Положим А = H2(W; k) (на этот раз коэффициенты не- скрученные), и пусть ф есть эрмитово продолжение формы пересечений, имеющейся на Н2^\ Z). Напомним, что выше была описана конструкция, которая по характеру % строила скрученную гомологическую группу H2(1F;&), изоморфную H<XW\ Z) (^) к. Последняя в свою очередь изоморфна
ЧСт\
А ® k, так что
ЧСт\
H^W; k^^As 0 k^Av4Cm]
Форма пересечений H^^W; Z)XH2^W; Z)->Z[Cm] определяется формулой (x, y)= X Ф (x, ^y) co-1. Тензорное умножение на к дает форму пересечений на H2(W; k), определяемую той же формулой. Однако g^y = ^y для у ^ H2(W; k)^Ax, так что
у)= ^ ф(я, И^О)"1 = тф(х, уУ
Предположим, что dW = rL; выше мы определили о (К, %) = = (1/г) (s(U7)-s0(U7)), где
s (IF) = сигнатура формы пересечений на Я2(^’ ^) = = сигнатура сужения ф|Л[.
Следовательно, го^К, %) + s0(IF) = сигнатура сужения ф|Л1, и аналогичное рассуждение показывает, что ro(K, XS) + 5O(IF)=- = сигнатура сужения ф |л .
Можно рассмотреть L как свободное Ст-многообразие; элемент со группы Ст отвечает автоморфизму х-1^) накрытия L-^L. Атья и Зингер определяют инвариант а(£, со) как (1/г)ог(ср, gtoy Мы получаем
— 1m — 1
a(f, ®)= У <ХИК, Х$) + (1/гЦо(Ю) = У ®W, Х$),s=0s=0
если co^l. Так как числа As и A_s связаны комплексным сопряжением, то а(£, со) вещественно.
Обращая эти уравнения, получаем
т— 1
2 a (2,у, У <й5"го(К, Xs) =
С0=#15 = 0 CO^l
m—Ym — Y
= У У or-п ^К, Xs) - У о (К, Xs) = s=0 соs=l
= то^К, Хг) + У a(L, со),
так что о (К, Хг)~ ОМ) 22 «(Д со) (сог — 1) =
С0=# 1
m-Y
= (,lfm)^ a(£, e2Kis?m) cos2 (nrsfm—1) =
s = 1
=— (2/m) 52 а(Д е2л^/т) sin2 ^rsImY
s = 1
Если L — линзовое пространство Lmn,q, то L = S3/Cmn, L = = S^/Cm где Cmn действует в S3 по формуле ^(z, ^) = (£z, t^wY Это определяет выбор некоторого выделенного характера / на Н\Щ. Пусть р: Стгг-^Ст — проекция.
Лемма Хирцебруха [4] утверждает, что a(L, со) = (1/п)Х X 22«(S3, С). Полагая ^ = е^^^^ так что ^ = еМ8*т, мы
^Р~х (со) получаем
(К, /г) = (—2/mn) 52 «(S3, e-^isimn^s\n2 Yx'rslmYs= 1
Действие группы Стгг в S3 продолжается до линейного действия в шаре В4 с одной неподвижной точкой в центре. По теореме Атьи — Зингера о G-сигнатуре [1]
a (S3, e^is!mn^ = ctg ^slmn^ ctg (nqsImnY
так что о (К, xr) = (—^Imn^ 52 ctg(ns/m/^ ctg (nc/s/mn) sin2 (nrs/m).
s= 1
Так как q и т взаимно просты, то достаточно вычислить а (/С, xqTY Если положить z = e™!m1\ то получим о (К, Xqr) —
= (—1/2тп) У PkzSY гДе
2 — 22 — 2q । -q2 -V 22 — 2q । -q2 -V 22 — 222гД^^г^к^т-Ч q । Дпг-З) qгД^^г^к^т-Ч q । Дпг-З) qnqr-1 । n.qr — 3nqr-1 । n.qr — 3\-nqr\-nqrД-пг.Д-пг.
2 — 2
2 — 2
q । -q
2 -V 2
2 — 2
q । -q
2 -V 2
2 — 2
2
2
гД^^г^к
^т-Ч q । Дпг-З) q
гД^^г^к
^т-Ч q । Дпг-З) q
nqr-1 । n.qr — 3
nqr-1 । n.qr — 3
\-nqr
\-nqr
Д-пг.
Д-пг.
Так как P^ = P^z !), to
= 2nqr2ftn — (1/2) 52 (коэффициент при z2mnt в Р(г)).
Рассматривая вклад члена 2^г-1"25^ в последней скобке многочлена Р^, находим
У (коэффициент при z2mnt в Р(г)) =
пг-Х
Z
/T^ ~ 11 I 1 4- Г q^ir — s) ] I 1 I Г *7 ("r — s) — 11 mn j ‘‘ L mn J ‘ L mn J
s = 0
_ Г <7 (s + 1)— 1 1 I1 1Г <7 (rar — s —1) 1Г ? (s + 1) 1
L mn J *‘L inn JL mn J
Пусть A(x, y)— треугольник, вершины которого имеют координаты (0, 0), (х, 0), (х, уУ Пусть intA(x, у)— число точек в А(х, у) с целочисленными координатами, где точки, лежащие на сторонах треугольника, считаются с весом 1/2, (0, 0) не считается, а другие вершины считаются с весом 1/4. Тогда сумма, написанная выше, равна SintA^nr, -^У так что мы получаем формулу аНК, у/г) = 4 (площадь А (^/гг, -^) — int А рг, -^-))-
Следствие. Если q/p есть ленточный узел, то р = т2, и для г=1, 2, ..., пт—1 имеем 4 площадь ^(mrэ —) — intAfmr, —) = ±1.
\ т ) У ’ т /
Мы раньше показали, что узел /< = 2/(4^ + 1) имеет кобор- дантную нулю форму Зейферта, если t = a(u—1). При этом 4^+1 =(2ц—l)2 = m2. Легко подсчитать, что о (К, Х2г) = — 4г2— 2mr + 1, если 2г < т. В частности, о (К, %2) <—1, если m > 3, так что 2/т2 есть ленточный узел в том и только в том случае, если т = 3 (узел грузчика) или 1 (тривиальный узел).
Единственными известными значениями q/m2, удовлетворяющими условию следствия, являются
q = km + 1 со взаимно простыми к, т;
q = (т ± l)d с d\ (2m + 1);
q = (т ± l)d или (2m =F 1) (m ± 1) /d c d\ (m ± 1) и нечетным d.
Эти узлы являются ленточными, и для т^ 105 они — единственные узлы, удовлетворяющие нашему условию (это было проверено на компьютере фирмы Хьюлетт — Паккард).
Теперь мы рассмотрим, до какой степени теорема 1 остается в силе для срезанных (а не ленточных) узлов. Чтобы получить доказательство, мы должны ответить на следующий вопрос.
Проблема. Какие трехмерные линзовые пространства ограничивают компактные четырехмеоные многообразия W с fl^W; Q) = 0?
Описанный выше метод предназначен для решения аналогичного вопроса для многообразий IE с циклической фундаментальной группой. Используя теоретико-групповую лемму из [7], можно работать с многообразием, у которого группа Я1(1Е) циклическая. Общий вопрос представляется трудным.
Мы уклонимся от решения этой проблемы, рассматривая бесконечные накрытия вместо конечных разветвленных накрытий. К счастью, результат может быть выражен в терминах инвариантов о (К; /), вычисляемых по двулистным разветвленным накрытиям.
Пусть К cz S3 — узел, и пусть 7И — замкнутое трехмерное многообразие, полученное из S3 перестройкой вдоль К. Мы используем гомологичное нулю оснащение узла К, так что Н*(М; Z^H^XS2; Z). Будем обозначать через Мп п-лист- ное циклическое накрывающее многообразия М (включая п = = оо), и (временно) через (S3\K)« обозначим ц-листное циклическое накрывающее дополнения S3\K. Отображение Я1((33\/<%)— Н\^Мпу очевидно, сюръективно и имеет ядро, порожденное параллелью узла К. Но параллель узла ограничивает поверхность в (S3XK)n (полученную поднятием поверхности Зейферта узла К), так что группа Ну (Мп) изоморфна группе ^^(S^JO.J. *
Пусть Ь,ч есть ц-листное разветвленное циклическое накрытие узла К; мы больше не предполагаем, что Ln—линзовое
пространство. Пусть %: Нх (Zrt)~^C*— характер порядка т. В композиции с отображениями Нх (Мп) ^ Нх ((S^XK) п)-^- H^Ln) характер % индуцирует m-листные накрытия Мп-^Мп и Моо Мх. Заметим, что Моо-^Мсо является абелевым накрытием многообразия Мп С Группой Cm X Сео.
Так как группа бордизмов Q3(7((Cm X СХ 1)) конечна, то гМп при некотором г ограничивает компактное четырехмерное многообразие Vn над K(CmXCX 1). Пусть У^, Vm V^ — индуцированные накрывающие. Имеем диаграммы
Гм^мД (у^уДг I у j = d j.
Xm^mJXv^vJ
Отождествим групповое кольцо /[СтХС^] с кольцом многочленов Лорана Z.[Cm] [/, /-1]. Напомним, что к— круговое поле Q(Cm); через к^ будем обозначать поле рациональных функций над к. Это модуль над Z [СтХ СХ, причем, как легко видеть, плоский. Пусть С* (Усе)—цепной комплекс накрывающего Уоо, в котором действие автоморфизмов накрытия индуцируют структуру модуля над Z [СтХ Сое]. Обозначим через Я*(У„; &(0) гомологии комплекса С, (У^)(§)&(0;так как
~ ZWGoo\
поле к^ плоское, они изоморфны Н* (У^; Z) (^)к^.
ЧСт><СооА
Согласно Уоллу [11], имеется форма пересечений HZVn; &(0)Х H2(Vn; k(t))-^ k(t). Она эрмитова по отношению к инволюции, переводящей p^/q^ в р (t-1)/q (t-x). Вскоре мы увидим, что она неособа, если т— степень простого числа. Снова следуя Уоллу, мы обозначим через Ь^ЦГ)) группу Витта неособых эрмитовых форм на конечномерных k(t)-модулях. Предполагая, что форма пересечений неособа, обозначим представляемый ею элемент группы L0(&(0) через t(Vn) (поскольку k(t)— поле, это предположение на самом деле не является необходимым). Пусть to(Vn) есть образ обычной формы пересечений на MVn\ Q) в Lo(^(O); определим
т (К, х) = (I/O (/ (7„) - /0 (У J) е Lo (k (/)) 0 Q.z
Очевидно, что т(К, /) не зависит от г, и доказательство того, что о(,К, %) не зависит от W, очевидным образом переделывается в доказательство независимости т(К, х) от Vn. Один шаг состоит в том, чтобы показать, что t (Уп U (—У')) = t (У^ — /(У'); это упрощается, если форма пересечений неособа, так как тогда Н*^Мп; к^)) = 0. Следующая лемма доказывает это.
если т является степенью простого числа; она имеет более важное применение к срезанным узлам.
Лемма 4. Пусть X — связное бесконечное циклическое накрытие конечного комплекса Y. Пусть X— регулярное рг-листное накрывающее пространства X, где число р ^простое. Если H*(Y; Zp)^ НД5Х; Zp), то пространство ПДХ-, Q) конечномерно.
Следствие. Если пт — степень простого числа, то НДМп; k(t)) = Q и форма пересечений на НДУп, k^t^ неособа.
Доказательство. Пусть Т— трубчатая окрестность узла К, и пусть X = S3\L В силу леммы 4, пространство НДХоо\ Q) конечномерно. Следовательно,
Н. (М„; к (0) Н (М^ Q) 0 к (0 = 0.
Отсюда, в силу точности последовательности пары (Vn, МД, следует неособость формы. Чтобы доказать лемму 4, нам понадобятся еще две леммы.
Лемма 5. Пусть X есть р-листное циклическое накрывающее пространства X и число р простое. Если группа H*(X;ZP) конечна, то и группа НДХ; ХД конечна.
Доказательство. Пусть Ср — группа автоморфизмов накрытия. Спектральная последовательность накрытия имеет Е^ — = НДС* НДХ; ZJ) и ф ETa^ Hk^X\ZD ). Отсюда следует, что группа Е^к конечна для всех к.
Предположим, что группа НДХ\ Zp) конечна для всех / < к. Тогда Ец конечна для ] <к. В частности, дифференциал dr: Егг, k+Y_r-> Ео, к имеет конечный ранг для всех г ^ 2. Так как ЕоД конечна, то и Ео, к = Яо(Ср; НДХ\ Z^ конечна. Пусть го моморфизм Т: НДХ; 7Д-^НДХ; 7Д индуцирован образующей группы Ср. Тогда ЕХ к = coker (Т — 1) и (Г — 1)р = Тр — 1 = 0. Отсюда следует, что размерность dim Нк (X; Zp) ^ р dim EX к конечна. По индукции, группа НДХ; Zp) конечна.
Лемма 6. Пусть X— бесконечное циклическое накрывающее конечного комплекса. Если группа НДХ-, 7.Д конечна для некоторого простого р, то пространство НДХ; Q) конечномерно.
Доказательство. Гомологии накрывающего X могут быть вычислены как гомологии цепного комплекса конечно порожденных свободных Z [/, Я1]-модулей. Так как кольцо 7Д1, Еф нё- терово, то гомологические группы накрывающего X являются конечно порожденными Л [/, Я1]-модулями.
Пусть А = НДХ\ Z) для фиксированного п. Согласно формуле универсальных коэффициентов,
Я„№ Q)^Д0QeTorz^-JX); Q) = 4®Q.zz
Так как Q[/, Z-1] — область главных идеалов, то Л (^) Q — пря- z
мая сумма конечного числа циклических Q[^, Z1]-модулей.
Если произведение А ^ Q бесконечномерно, то по меньшей z
мере одно из его циклических слагаемых должно быть свободным. Таким образом, существует ненулевой Q [Z, Z-1] -гомоморфизм ^®Q->Q[E г-1]; сужение на A cz А ® Q дает ненуле- zz
вой Z [/, М]-гомоморфизм Г Л->-С[Е /-1]. Так как А является конечно порожденным над 7Д1, Н], то существует такое отличное от нуля целое число г, что (rf) (Л) ^ Z [/, /-1]. Теперь (rf) (Л)—ненулевой идеал в Z [Е Г-1], так что его аддитивная группа является свободной абелевой группой бесконечного ранга. Отсюда следует, что группа A^)ZD бесконечна.
z
С другой стороны, группа Л (^ Zp изоморфна подгруппе z
группы Нп^\ ZPY По предположению, группа НДХ\ Zp) конечна, так что мы получили противоречие. Это доказывает, что Л ® Q имеет конечную размерность, что и требовалось.
z
Доказательство леммы 4. Следуя Милнору [8], мы сначала покажем, что группа НДХ\ Zp) конечна. Пусть /: НДХ; Zp)-^ -^-НДХ; Zp)—автоморфизм, индуцированный образующей группы автоморфизмов накрытия. Из точности последовательности
Нп+1(У; Zp^Hn(X; 2р)-ДЯ„№ Zp^ ИДУ; Zp)
вытекает, что t— 1 есть автоморфизм группы НДХ-, Zp) для всех п ^ 1. Группа НДХ-, Zp) есть конечно порожденный ZP\Y ^-1]-модуль. Индукцией по числу образующих отсюда получаем, что группа Нп(Х\ Zp) конечна.
Предположим сначала, что X есть р-листное циклическое накрывающее пространства X. По лемме 5, группа НДХ; Zp) конечна. Результат будет следовать из леммы 6, если мы покажем, что X является бесконечным циклическим накрывающим конечного комплекса.
Пусть Ил Х-^-Х порождает группу автоморфизмов бесконечного циклического накрытия Х-^Y. Пусть ^ — образ группы
Н\ (X; Zp) в BJX; Zpy Так как группа Н^ (X; Zp) конечна, то существует такое отличное от нуля целое число г, что (ИДГ^\= = s^. Следовательно, гомеоморфизм hr\ Х-^-Х поднимается до гомеоморфизма Ъ пространства X, и X есть бесконечное циклическое накрывающее конечного комплекса X/h.
Наконец, заметим, что регулярное рг-листное накрытие Х-^-Х может быть разложено в композицию в р-листных циклических накрытий. Результат для //-листных накрытий получается повторением рассуждений, приведенных выше.
Мы показали (лемма 2), что двулистное разветвленное накрытие шара В4 с ветвлением над любым гладким двумерным диском является рациональным гомологическим шаром. Обобщив это рассуждение, можно доказать то же самое относительно разветвленных циклических накрытий с числом листов, равным степени простого числа. Аналогично, разветвленное накрывающее Ln узла К cz S3 имеет рациональные гомологии сферы S3, если п является степенью простого числа. Тогда имеется форма коэффициентов зацепления
которая является симметричной и неособой.
Теорема 2. Пусть К — узел и Ln — его п-листное циклическое разветвленное накрытие, где п— степень простого числа. Если узел К срезанный, то существует такал подгруппа ^ группы Hy^LnV что Х^Х <5^) = 0 и т(Л\ %) = 0 для всякого характера X с х(^) = 0, порядок которого является степенью простого числа.
Доказательство. Предположим, что К = dD с D cz В4, и пусть U — регулярная окрестность D. Пусть Vr— регулярное г-лист- ное циклическое накрывающее многообразия В4\[/, и пусть WT есть r-листное циклическое накрывающее шара В4, разветвленное над D. Заметим, что Mr = dVr и Lr = dWr. Пусть ^ — ядро гомоморфизма I*; НДЕп)-^ Hi(Wn) индуцированного включением. Так как НД^п; 0 = 0, то X обращается в нуль на st X st.
Пусть х- Я1 (L^)-^ С* — характер порядка пт с х(^) = 0. Существует характер х': H^Wi)-^ С* порядка т1 (для некоторого /) с х = Х^*- Имеем коммутативную диаграмму:
ад—^н^ал —Щ- с*
Пусть Vm Wп являются m-листными накрывающими, индуцированными характером %'; мы можем также образовать индуцированное накрывающее VX многообразия Уоо.
Мы утверждаем, что !/„ может быть использовано для вычисления т(^ %), даже если дУп— несвязное накрывающее многообразия Мп. Для проверки этого предположим, что Мп ограничивает У'п над Cm X С^, и пусть У'п, V^ есть /полистные накрывающие, индуцированные композицией НДУ'Л-^С czC и Тогда
' (l',j -' ТО -' (^„ и (-О -1, IV, и (—к;» - так что
Это равенство имеет место в L0{k(t)), где 5 — круговое поле Q (рт1) с С- Таким образом, k^t) — расширение поля ^(Z) степени т1-х. Мы имеем отображение Lo ^к (Z)) —> Lo (k (Z)), индуцированное тензорным умножением на ^(Z) над ЦГ)* Это отображение можно описать также следующим образом: берется матрица с коэффициентами в k(t), представляющая класс из L0(^(Z)), и рассматривается как матрица с коэффициентами в k^ty Теперь У^ есть дизъюнктное объединение т-листных накрывающих пространства V^, циклически переставляемых элементами группы Cmi-\. Таким образом, t ^V^ — t^^V'^ есть образ класса т(^, %) при этом отображении (после тензорного умножения на Q). Значит, нужно убедиться, что p®id$ инъек- т
тивно. Для этого определим отображение Lo (к (Z)) —* L0(k (Z)). Пусть А—векторное пространство над ^(Z) и <, >: АХА-^- -^k(t)— эрмитова форма; тогда мы можем рассмотреть А как векторное пространство над к^ (в т1~х раз большей размерности) и определить k(t) -эрмитову форму на А формулой <х, у)' = (1/т/-1)Тг(х, у\ где Тг есть гомоморфизм следа ^(Z)-> -^-кУ). Это отображение корректно определено на уровне групп Витта. Так как группы Витта порождаются одномерными формами, то, как нетрудно видеть, композиция Тор есть умножение на т1-х. Следовательно, отображение p®idQ инъективно.
Теперь предположим, что т (порядок характера /) есть степень простого числа; У^ есть т^листное циклическое накрывающее пространства VX которое является бесконечным циклическим накрывающим пространства B4\U. В силу леммы 4, группа ИухХ; Q) имеет конечную размерность на Q, так что
это есть периодический модуль над Z[/, /-1]. Отсюда следует, что
HAVn\ kW^H^, Z) 0 k (r) = 0.
ZIVC«]
Следовательно, t^Vn^ =0\ остается только заметить, что ИДУ^ Q) = 0 (обобщение леммы 2), так что to^Vn) = 0. Следовательно, т(К, /) = 0.
Теперь мы объясним соотношение между о (К, %) и т(К, /), приводящее к частичному вычислению инварианта т для узлов с двумя мостами. Пусть V—векторное пространство над ^(0г и пусть ср; ЕХЕ->^(0—неособая форма, эрмитова относительно инволюции p(t)-q^-^ ру-х)/q(t-1y Мы можем определить следующим образом сигнатуру ога(ф) для каждого комплексного числа а, по модулю равного 1.
Пусть А— матрица для ф над ЦГ); мы будем писать А = = А^), чтобы указать, что коэффициенты матрицы А являются рациональными функциями от t. Если |а| — 1 и все коэффициенты матрицы Л (а) конечны, то Л (а) эрмитова и имеет сигнатуру оа(Л). Заметим, что оа(Л) постоянна в некоторой окрестности числа а, за исключением случаев, когда или det (Л (а)) = 0, или какой-нибудь коэффициент матрицы Л (а) бесконечен. Таким образом, оа(Л)—ступенчатая функция с конечным числом точек разрыва. В каждой точке разрыва мы доопределим функцию ога(Л) так, чтобы она была равна среднему значению односторонних пределов функции ор(Л) при р, стремящемся к а.
Если В — другая матрица, представляющая ф, то В = Р'АР для некоторой неособой матрицы Р над k^ty Отсюда следует, что оа (Л) = оа (В), за исключением конечного числа значений аргумента а, и, значит, оа (Л) = оа (В) для всех а. Определим оа(ф) = °аИ) и заметим, что аа индуцирует гомоморфизм ьДк (0)®Q-*Q.
Z
Теорема 3. Пусть К cz S3— узел и Ln — его п-листное разветвленное циклическое накрывающее. Пусть %— непостоянный характер на HyLny индуцирующий накрытие Ln-^Ln- Если нусп-, Q) = 0, то Iог(2<, %)— Сут^к, %) | ^ 1.
Доказательство. Пусть ^ — многообразие, построенное как выше, и предположим, что гМп ограничивает компактное четырехмерное многообразие Уп над Cm X Соо. Мы можем перестройками многообразия 14 добиться, чтобы ni (14) Ст X С^, и сделать тем самым 14 односвязным. Напомним, что Я*(Еоо) есть ЕЦСтДУ, /-1]-модуль, где t представляет автоморфизм накры-
тия Voo -^Vn. Из точной последовательности этого накрытия получаем
Н, (Г„) - Coker (/ - 1: Н, (KJ
= /WO 0 Z.
z[o
на /г, получаемна /г, получаемТензорно умножая над А[Ст]
на /г, получаем
на /г, получаем
я2(Ог; k^H^v»;я2(Ог; k^H^v»;к.к.
я2(Ог; k^H^v»;
я2(Ог; k^H^v»;
к.
к.
Форма^ пересечения на H2(VX; кЦ^ получается из спаривания H2(V^X v72(lzoo)^Z [Cm] [А ^Ч тензорным умножением над Z [Gn] [М-1] на к (Г). Отсюда следует, что форма пересечения на H^V»; ^(0) обладает матрицей Л(/), все коэффициенты коюрой лежат в к\Х /-1]. Заметим, что Л(1) есть матрица формы пересечения на Н2(Удк).
Пусть матрица Л(1) имеет ранг р и дефект v, и пусть B(Z) есть р X р-подматрица в верхнем левом углу матрицы А (Г). Чтобы сделать подматрицу В(1) неособой, мы можем преобразовать матрицу Л(/) при помощи матрицы перестановки. Тогда матрицы В (а) являются неособыми для всех а, близких к 1, следовательно, функция оа(В) постоянна в некоторой окрестности единицы.
Заметим, что |оа(Л)— or^B^^v для всех а, близких к 1. Так как 6(1) имеет тот же ранг, что и Л (1), то оч (В) = оч (Л) = = (сигнатура формы на H2(Vn\ k)) = s (V^). Пусть oi есть среднее значение односторонних пределов сигнатуры оа(Л) при а->1; тогда | од — s (14) | ^ v. По определению, счАТС, х) = = (1/г) (оч — So(IZ)), так что | очт(7<, х) — (1 A) (s(^) — — So(I4)) | ^ v/r. Согласно доказательству инвариантности сигнатуры о(^х), число (1/г) (s(I4) — s0(l4)) зависит только от Мп и х; то же самое верно для v/r.
Предположим, что rLn ограничивает компактное четырехмерное многообразие Wn над Ст. Так как Мп может быть получена из Ln посредством одной перестройки, то гМп ограничивает четырехмерное многообразие Vm полученное из Wn приклеиванием г ручек индекса 2. Хотя Vn не является многообразием, которое обозначалось через Vn выше, значения (1/r) (s(I4) — s0(^)) и v те же.
По предположению, Ln— рациональная гомологическая сфера. Заметим, что Н2(Удк) имеет подпространство коразмерности г, изометричное H^W^k). Форма пересечений на Н^УХ к) является неособой, и форма на Н2(ХХк) имеет дефект v. Отсюда следует, что ^(IZ) — s(l^z)|^r — v. Анало-
гпчное рассуждение показывает, что s0(V«) = s0(IE\), следовательно,
I ТП кк, х) — о (К, X) К v/r + (1 — v/r) = 1.
Пусть К есть узел с двумя мостами q/p и с двулистным разветвленным накрывающим L = Lp,q. Если К является срезанным, то р есть квадрат (лемма 1), скажем р = 12. По теореме 2 т(^> х) = 0 Для каждого характера / на ЯДЕ), порядок которого есть степень простого числа, являющаяся делителем числа /. По теореме 3, |о(Я, %) | ^ 1 для каждого такого характера.
Предположим, что Р = тп, где т— степень простого числа и делитель числа /. Мы показали, что (для некоторого характера х порядка т)
о (Я, Х^Э = 4 (площадь N^nr, qr]m^ — intA(/zr, qr!m)Y
Для того чтобы узел К был срезанным, это выражение (которое всегда есть нечетное целое число, если r^O(m)) должно быть равно ±1 для r= 1, 2, ..., т—1. Рассмотрим, например, узел Я —2//2, который имеет кобордантную нулю форму Зейферта. При 2r < m получаем ог(Я, x2r) = 4nr2/m— 2мг+1. В частности (так как m >2),
с> (Я, X2) = ^nlm — 2м + 1 = 1 — 2м (1 — 2/mY
Если / > 3, то / ^ 5 и / имеет множитель т ^ 5, являющийся степенью простого числа. Так как I2 = тп и т|/, то п ^ 5 и, следовательно,
о (К, х2) ^ 1 — Ю (1 — 2/5) = —5 < — 1,
так что К не может быть срезанным. Это доказывает результат, высказанный в начале статьи: узел 2//2 является срезанным в том и только в том случае, если / = 3 (узел грузчика) или I = 1 (тривиальный узел).
Заметим, что в противоположность теореме 1 теорема 2 ограничивается характерами х> порядки которых являются степенями простых чисел.
Из этого следует, что существуют узлы (например, узел с двумя мостами 94/225), которые не могут ограничивать ленты, но могут быть срезанными.
Наконец, заметим, что условие срезанности узла К может быть всюду заменено условием, что К ограничивает гладкий двумерный диск в гомологическом четырехмерном шаре.
ЛИТЕРАТУРА
Atiyah М. F., Singer I. М. The index of elliptic operators III. — Ann. of Math. 87 (1968), 546—604. [Имеется перевод: УМН 24:1 (1969), 127—182.]
14 Под ред. Л. Гийу и А. Марена
Conway J. Н. An enumeration of knots and links and some of their algebraic properties, Computational Problems in Abstract Algebra, ed. John Leech, Pergamon Press, Oxford and New York, 1969, 329—358.
Fox R. H. A quick trip through knot theory, Topology of 3-manifolds and Related Topics, Prentice Hall Inc., Englewood cliffs, N. J. 1962, 120—167. [Имеется перевод: Фокс P. Краткий экскурс в теорию узлов. Приложение 1 в книге Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов.— М.: Мир, 1967.]
Hirzebruch F. Free involutions on manifolds and some elementary number theory, Symposia Mathematica (Instituto nazionale di alta matematica. Roma), vol. V, Academic Press, 1971, 411—419.
Kervaire M. Les noeuds de dimensions superieures, Bull. Soc. Math. France 93 (1965), 225—271.
Levine J. Knot cobordism groups in codimension two, Comm. iMath. Helv. 44 (1969), 229—244.
Massey W. S. Proof of a conjecture of Whitney, Pacific J. Math. 31 (1969), 143—156.
Milnor J. Infinite cyclic coverings, Conference on the Topology ef Manifolds, Prindle, Weber and Schmidt, Boston, Mass., 1968, 115—133.
Schubert H. Knoten mit zwei Briicken, Math. Zeit. 65 (1956), 133—170.
Tristram A. G. Some cobordism invariants for links, Proc. Camb. Phil Soc. 66 (1969), 251—264.
Wall С. T. C. Surgery on Compact Manifolds, Academic Press, London and New York, 1970.
ПРИЛОЖЕНИЕ К ПРЕДЫДУЩЕЙ СТАТЬЕ
ЗАМЕТКИ О ПОСЛЕДУЮЩЕМ РАЗВИТИИП. М. Гилмер
С тех пор как эта основополагающая статья стала доступной, дальнейшее развитие рассмотренной в ней темы происходило в нескольких направлениях.
Самый недавний и наиболее впечатляющий прогресс основан на результате Дональдсона о том, что некоторые квадратичные формы не являются формами пересечений гладкого замкнутого односвязного четырехмерного многообразия. Ранее Кассон заметил, что если каждый узел с полиномом Александера, равным 1, является срезанным, то каждая квадратичная форма может быть реализована как форма пересечений гладкого замкнутого односвязного четырехмерного многообразия. Таким образом, некоторые узлы с тривиальным полиномом Александера не являются срезанными. На самом деле рассуждения Кассона конструктивны и такие узлы могут быть найдены явно. Разветвленные циклические накрывающие узлов с полиномом Александера, равным 1, являются гомологическими сферами. Таким образом, не существует нетривиальных инвариантов Кассона — Гордона. Кроме того, такой узел имеет кобордантную нулю матрицу Зейферта.
Более непосредственно по следам статьи «Кобордизмы классических узлов» была проделана большая работа. Гилмер [1] показал, что те же методы могут быть использованы для получения оценок снизу рода срезанности узла (минимальный род гладкой собственной поверхности в D4 с краем К).
Лидер ленд [2] получил формулу для т(К, х) (для ^ ассоциированного с Л2) в терминах данных, полученных из поверхности Зейферта узла К. Эта формула обобщает формулу для т(К,Х) в случае, когда род равен 1, и оценку величины Oi(t(K,x))> полученную Гилмером [3].
Гилмер показал также, что характеры х, которые должны продолжаться на Ws, могут быть описаны более точно и связаны с формой Зейферта [3]. Таким способом работу Левина можно нетривиальным образом соединить с работой Кассона и Гордона и получить дальнейшие примеры несрезанных узлов.
Наибольший интерес представляют принадлежащие Ливингстону [4] примеры узлов, которые не могут быть кобордант- ными узлам, полученным из них обращением. Обращение узла К с: S3 получается простым обращением ориентации кривой К. Таким образом, узел и его обращение имеют одинаковые внешности и разветвленные циклические накрытия (эти объекты
рассматриваются как ориентируемые многообразия). Поэтому инварианты Кассона — Гордона не могут различать их. Их формы Зейферта также кобордантны.
Имеется также интересный препринт Д. Купера [5], в котором рассмотрено конкретное семейство узлов и получены очень сильные результаты. Его метод связан с методом Кассона и Гордона,но есть определенная разница. Инварианты Кассона — Гордона нашли также другие родственные применения в топологии. Например, Руберман [6] в своей недавней докторской диссертации нашел новые препятствия к тому, чтобы узел произвольной размерности был сечением тривиального узла на единицу большей размерности1).
ЛИТЕРАТУРА
Gilmer Р. М. On the slice genus of knots, Invent. Math,. 66 (1982), 191—197.
Litherland R. A. A formula for the Casson — Gordon invariants of a knot, preprint.
Gilmer P. M. Slice knots in S3, Quarterly J. of Math.
Livingston C. Knots which are not cobordant to their reverses, Quarterly J. of Math.
Cooper D. Detecting knots which are not slice I, preprint, University of Warwick (1980).
Ruberman D. Doubly slice knots and the Casson — Gordon invariants^ Trans. Amer. Math. Soc. 279 (1983), 569—588.
]) См. также недавнюю работу Ruberman D. The Casson—Gordon invariants in highdimensional knot theory. Trans. Amer. Math. Soc. 306:2(1988). 579—595.
ТРИ ЛЕКЦИИ О НОВЫХ БЕСКОНЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЯХВ ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
А. Дж. Кассон
(Заметки, подготовленные Люсьеном Гийу)
Предисловие. Эти лекции представляют собой первую попытку изучения топологии односвязных четырехмерных многообразий посредством бесконечных конструкций, связанных с процессом Уитни. Первые две лекции были прочитаны обе в Кембридже и Париже в 1973—74 годах; настоящая статья основывается на оригинальных рукописных заметках К. Гордона, которые имели широкое хождение. Третья лекция об Л-кобордант- ных односвязных четырехмерных многообразиях была прочитана в Принстоне в январе 1976 г., и настоящий текст основывается на рукописных заметках Р. Д. Эдвардса и Л. С. Зибенманна. Кассон, Эдвардс и Зибенманн предложили несколько разъяснений при подготовке этих переработанных заметок, но материал, не входивший в первоначальные лекции, отмечен, как правило, квадратными скобками.
Наконец, читатель должен знать, что, используя такую бесконечную конструкцию, М. Фридман мастерским «tour de force» получил классификацию односвязных замкнутых топологических четырехмерных многообразий (см. его статью в J. Diff. Geom. 17 (1982), 357—145, и Seminaire Bourbaki n° 588, fevrier 1982).
ЛЕКЦИЯ 1
ВЛОЖЕНИЕ ОТКРЫТЫХ ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХМНОГООБРАЗИЙ С ТОЧНОСТЬЮ ДО СОБСТВЕННЫХ
ГОМОТОПИЧЕСКИХ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЕЙ )
Теорема вложения. Пусть W — односвязное четырехмерное многообразие. Пусть fh ..., fn: D2^W— такие отображения двумерного диска D2 с краем dD2 = S1, что ft |S1 есть вложение в dW и fi(Sl)(]fj(Sl) = 0 для i#= j. Предположим, что все индексы пересечения ft-fj равны нулю (они определены для j)
и существуют классы pz ^ H2(W), такие, что fc^j — ^ц и индексы самопересечения Р2 = Р;- • Р7 четны (1 ^ i ^ п, 1 ^ / ^ п).
Тогда в W существуют такие непересекающиеся открытые множества Fi, ..., Vn, что для всех I
(Vi F/П^Ю имеет собственный гомотопический тип пары (D2XR2/s1XR2);
V/A^IF есть открытая трубчатая окрестность окружности MS1) в dW;
отображение fi гомотопно связанно на S1 отображению в Vi.
[Работа Фридмана 1978 г. [Fr] вместе с заметкой Эдвардса, также 1978 г. (см. [FrQ]), усиливает эту теорему: оказывается, существуют такие двумерные диски D2 cz Fz для всех I с dDL = = f^dD2), что D? является гладким всюду, кроме, быть может, одной точки и что дополнение FZ\DZ- собственно гомотопически эквивалентно T)2XR2\O2X0. Ничто не противоречит гипотезе, согласно которой это гомотопическое свойство влечет гомеоморфность пары (V/, Di) паре ДУ2 X R2, D2 X 0).]
^Замечание. Множество Fz, построенное ниже, было названо Кассоном и другими гибкой ручкой несомненно потому, что оно может быть вложено туда, куда настоящие ручки, казалось бы, не могут. Вошел в употребление термин ручка КассонаД
Следствие 1. Предположим, что IF4 — односвязное четырехмерное многообразие и классы а, р ^ НДУД таковы, что а-а = = Р*Р = О и а-р=1. Тогда существует открытое множество VaW, собственно гомотопически эквивалентное S2XS2\pt и такое, что а, р е 1ш (Я2 (V)Я2 (IF)).
Доказательство следствия 1. Представив классы а, р отображениями f, g: S2-^IntIF4 общего положения, выберем четырехмерный шар B4czIntIF4, который является регулярной окрестностью точки положительного трансверсального пересечения
образов Ц52) и g(S2). Удалив В4, получим многообразие W^=W^ \ В^ и отображения /о, go: (D2, dD2)-^(WQ, dW0), реализующие а, р^Я2(1Е0). Имеем: f0-g0 = a-^—1 = 0, f0-P=K ^о-а=1, a-a = 0 = p*p, так что теорема, примененная к f0 и go, дает открытые множества, скажем Ei и Е2; положим теперь V = В4 U Vi U V2. □
Связь с хирургией
Если V—настоящее S2XS2\pt, то из W можно вырезать {а, р}, т. е. можно найти такое многообразие IEZ, что IE диф- феоморфно IEZ#(S2XS2) с S2XS2, содержащим аир.
Если у многообразия V хотя бы конец является стандартным (т. е. имеет окрестность, диффеоморфную S3 X [0, оо)), то, заклеив края многообразий Ео = EXS3 X (0, оо) и 1Ео=1Е\Ео четырехмерными шарами, мы получим такие два гладких многообразия Vх и IEZ, что IE = 1Ехф V' с EZ^S2XS2 (гомотопическая эквивалентность, где опять-таки S2 X S2 содержит аир).
Если конец многообразия Е есть конец стягиваемого открытого четырехмерного многообразия Е*, то, заменяя в IE многообразие Е многообразием Е*, получаем компактное гладкое четырехмерное многообразие IEZ, гомологии которого получаются из гомологий многообразия IE убиванием классов а и р. [Выполняется ли какое-либо из этих «если», оставалось в 1979 г. открытым вопросом !).]
Следствие 2. Существует открытое гладкое четырехмерное многообразие, которое имеет собственный гомотопический тип либо S2X52\pt, либо S3XR, но не диффеоморфно никакому замкнутому четырехмерному многообразию с удаленными точками (т. е. его концы не могут быть наделены гладкими воротниками, диффеоморфными S3X R).
Доказательство следствия 2. Пусть 23 = 5О(3)/Л5— пространство додекаэдра Клейна и Пуанкаре. Построим IE4 из 23Х/ посредством одной перестройки, убивающей Л1(23). Многообразие IE односвязно, dW = S3U(—S3) и НД \С^ НД52Х XS2\2pt). В силу следствия 1, существует открытое множество Е cz IE, имеющее собственный гомотопический тип S2XS2\pt и несущее Я2(1Е). Если конец многообразия Е не допускает воротника S3 X R, то все сделано.
Если конец многообразия Е диффеоморфен S3XR, то срежем Е по S3 X 0, заклеим образовавшуюся дыру шаром и
9 Как показал Доналдсон [D], в случае, когда W есть КЗ-поверхность, пи одно из этих «если» выполняться не может. — Прим. ред.
получим из IF односвязное компактное четырехмерное многообразие X с Я2(Л') = 0 и dA'=S3U(—S3). Склеим компоненты края многообразия X и получим многообразие У4 гомотопического типа S3XS1. Тогда бесконечное циклическое накрывающее У имеет собственный гомотопический тип S3XR; но существует 23сзУ, разделяющее два конца. Следовательно, эти концы не обладают гладкими воротниками, диффеоморфными S3XR, так как 23 не ограничивает гладкое стягиваемое четырехмерное многообразие. □
Доказательство теоремы
Гладкое погружение f: D2^W называется нормальным, если оно трансверсально выходит на край dW вдоль вложенной окружности XS1) и все самопересечения являются трансверсальными двойными точками в Int IF, см. рис. 1.
Лемма 1. Пусть IF— односвязное четырехмерное многообразие и f: D2-^W— нормальное погружение. Предположим, что существует такое РеЯ2(1Г), что f-p= 1. Тогда f регулярно гомотопно связанно на S1 такому нормальному погружению g: D2^-W, что W\g(D2) односвязно ).
Доказательство леммы 1. Пусть г—меридиан погруженного диска ДП2у и пусть w е Л1 (IF\f (D2)). Покажем сначала, как убить коммутатор [z, zw] = г(^-1г^)г~1 (w^w)-1. Идея заключается в том, чтобы подвергнуть f регулярной гомотопии, выталкивая «палец» из f(D2), следующий вдоль петли w, так что палец вернется обратно вблизи его исходной точки, где его можно сделать пересекающим ЦП2) в двух новых точках, ска-
жем р и q. На рисунках ниже эти новые пересечения созданы в четырехмерном шаре, лежащем в Int U7, где это сделано так, как показано на рис. 2. Это дает погружение g.
Рис. 2.Рис. 2.ДискД^ гомеоморфа ный D2-ДискД^ гомеоморфа ный D2-
Рис. 2.
Рис. 2.
ДискД^ гомеоморфа ный D2-
ДискД^ гомеоморфа ный D2-
Утверждение. Л1 (W\g(D2)) есть факторгруппа группы a^W\f (D2)), полученная убиением элемента [z,zw].
Доказательство утверждения. Заметим сначала, что л 1 (U7\ (g (D2) U А)) ^ Л! (1Г\/ (О2)), так как ^\ (£ (D2) U А) гомеоморфно Ж\ (/(D2) U я), где а — дуга, показанная на рисунках. Далее, ^7\g"(S2) получается из W\(g (D2)\j А) добавлением Int4, что гомотопически равнозначно приклеиванию
ручки индекса 2, убивающей меридиан диска А. Как подсказывает рис. 3, этот меридиан представляет элемент [z, zw] в л-1 (U7\ (g(D2) U т!)). На этом рисунке изображена окрестность точки р, в которой z и zw могут быть уложены гомотопией на
двумерный тор, лежащий в дополнении пересекающихся листов погруженного диска g^D2Y Этот двумерный тор проколот в одной точке диском А, и на этом проколотом торе кривые 2 и 2- представляют базис фундаментальной группы, и, следовательно, [2, 2W] есть меридиан диска А. Это доказывает утверждение. □
^Замечание. Ниже в этих заметках такой тор будет называться характеристическим двумерным тором для соответствующей двойной точки диска g(D2). В [Fr] он называется the distinguished 2-torus (выделенный (отмеченный) двумерный тор).]
Мы закончим доказательство леммы 1, используя следующие факты:
группа Л1 (IF\f (D2)) порождается элементами, сопряженными элементу 2, так как IF односвязно.
группа ли (IF\f (D2)) совершенна, т. е. HY (IF\f (Z)2)) = = 0, так как из существования (3 следует, что петля 2 гомологична нулю в IF\f(D2).
В силу (1), для того чтобы убить группу Hi (IF\f (D2)), достаточно убить 2. Теперь, используя (1) и (2), мы можем написать 2 = [2иК 2^] • •• [г^, гиЦ. Ввиду тождества [z, Z^'] w = (z^, Z^'z^] каждый коммутатор \zUi, ги1\ можно убить, используя рассмотренную выше конструкцию. Это завершает доказательство леммы 1. □
Доказательство теоремы (продолжение)
Аппроксимируем отображение /и нормальным погружением, совпадающим на S1 с /ь Аппроксимацию мы будем обозначать тоже через /и. Применяя лемму 1, подвергнем /и регулярной гомотопии, связанной на S1, с тем чтобы группа ли (IF\fi (D2)) стала тривиальной, a fi было по-прежнему нормальным. Тогда, в силу теоремы Гуревича, n2(IF, IF\fi (D2)) = Я2 (IF, IF\fi (D2)). Так как frf2 = 0, отображение f2 представляет 0 в Я2(^, IF\fi(D2)). Таким образом, мы можем посредством связанной на S1 гомотопии столкнуть f2 с /и(Я2). Затем, используя лемму 1, мы подвергнем отображение f2 гомотопии в IF\fi(Z)2), связанной на S1, и получим нормальное погружение (которое мы будем обозначать по-прежнему через f2) с Л1 (IF\fi (D2) U f2 (D2)) = = 0. Продолжая, мы находим деформации отображений /ь ... ..., fn, связанные на S1, после которых для всех /, /, / ^/, h (D2^ П Л (Я2) = 0, каждое ft есть нормальное погружение и МШИ UMD2)) = 0.
Эм
Мы попытаемся сделать регулярную окрестность N(fi(D2)) более похожей на ручку, приклеивая утолщенные погруженные диски. Если бы эти диски могли быть вложенными, то требуемая гибкая ручка Vt получилась бы немедленно, но, будучи не в состоянии избежать появления двойных точек, мы постараемся улучшить эти утолщенные погруженные диски тем же способом; это приведет к бесконечному процессу.
В конце этого бесконечного процесса получится множество Vt как внутренность в IE4 объединения всех этих утолщенных погруженных дисков.
Нам понадобится одна лемма.
Рассмотрим гладкое четырехмерное многообразие IE, нормальное погружение /: D2-^W и регулярную окрестность N образа f(D2) в IE. Положим d+N = (граница N в IE) и d-N = = N П (5IE.
Лемма 2. В этой ситуации существуют попарно непер ссекающиеся оснащенные окружности Сь ..., Ck в d^N, по одной на каждое нормальное самопересечение погруженного диска f(D2), такие, что если N получается из N абстрактным приклеиванием ручек индекса 2 вдоль этих к оснащенных окружностей, то получающаяся пара (N,f(S{)} диффеоморфна паре (В4, незаузлен- ная окружность в S3 = dB^. Другими словами, пара (N,d_N) есть ручка индекса 2, т. е. диффеоморфна паре (D^D2, S^D2).
Кроме того, каждую окружность Ci можно выбрать так, чтобы она трансверсально пересекала в одной точке ровно один характеристический двумерный тор Ti в d^N.
Дополнение. Если многообразие IE наделено спинорной структурой, то оснащенные окружности С. можно выбрать согласованными с нею.
[Доказательство леммы 2. Заметим, что N получается из ручки D2XO2 некоторым числом (скажем, &) операций самоплам- бинга, по одной на каждую точку нормального самопересечения погружения.
Поэтому дифференциально-топологический тип пары (N, f(D2)) определяется числом и знаками самопересечений диска f(D2). Таким образом, принимая во внимание возможность разрезать ручку на куски, можно ограничиться рассмотрением случая k = 1. Для этого случая мы построим модель и убедимся в существовании СТ Начнем с картинки:
(Это модель для точки самопересечения с индексом —1, для случая +1 надо было бы заменить проходы на переходы.)
На картинке в Вг = дДХХВ^ видны: полноторий B2XS\ окружность S, вложенная в Int^XS1), проколотый двумер-
ный тор Г0сзВ2Х51 с краем <9В2Х^о, ^Х и окружность С, не пересекающаяся с S и трансверсально пересекающая Т^ в некоторой точке.
Пусть А = В2 \ 4 В2 ^ S1X^4> 1] —кольцо, лежащее во втором сомножителе произведения В2ХВ2. Определим Т=Т^ U дТ0 X X [т> 1] U52X^oXt> эт0 Двумерный тор в дф2ХА^ ^SXXSV.
^Утверждение (доказательство см. ниже). Существует изоморфизм (Л\ f (dD2)) ^ (В2 X A, S), отображающий характеристический тор в d^N на Т.
Из утверждения следует лемма; действительно, В4 = В2ХВ2 есть В2 ХА с ручкой В2 • А-В2 индекса 2, ось которой 0X4^ приклеена вдоль окружности Сг = 0 • д (4 ^2)> изотопной в <5(В2Х^4) окружности С. Кривая С\ как и С, трансверсально пересекает Т в одной точке. Наконец, ясно, что окружность S незаузлена в S3.
Замечание. При любом оснащении окружности Ct многообразие N оказывается шаром В4, но только при одном оснащении пара (N, d-N) оказывается ручкой индекса 2 (т. е. только при одном оснащении полноторий d_N незаузлен в dN). Например, в случае к = 1 модель, которая обсуждалась выше, показывает, что при общем оснащении d_N окажется узлом типа
(с целым числом полных оборотов).
В общем случае мы получим связную сумму таких узлов.
Доказательство утверждения. В силу единственности регулярной окрестности, достаточно найти в В2ХА нормально погруженный двумерный диск D с единственной двойной точкой, с dD = S и такой, что В2Х^4 будет абстрактной регулярной окрестностью диска D. Мы разрежем полноторий горизонтально (вдоль пунктира) на два шараВ2ХВ+ и В^ХВ- с в\ П В- = = S°czS1 и, продолжая этот разрез, разрежем В2 ХА ва два четырехмерных шара В2 X А± = В2 X (^± X [4"> 1])’ каж" дый из которых содержит свою часть S^ окружности S.
Дополним S±, с тем чтобы получить зацепление (или узел) S± в д (В2 X А±) ^ S3, для чего соединим четыре точки разреза двумя дугами /ь 12, вложенными в два шара В2 X [-у, 1] X S0
и незаузленными в них. Тогда S+ есть тривиальный узел в <?(В2ХЛ+) и ограничивает незаузленный двумерный диск D+ в В^ХАа-* С другой стороны, S_ есть зацепление Хопфа, причем тор Т параллелен краю регулярной окрестности каждой компоненты. Следовательно, мы имеем такой изоморфизм 9: В2ХВ2^ ^В2ХА-, что S-^Q^^OUOXS1) и T = 9(S1XS1). Тогда 9(B2X0U0XB2) есть объединение двух вложенных дисков Di и В2 с одной точкой трансверсального пересечения 0(0, 0), для которой Т есть характеристический двумерный тор. Теперь легко видеть, что двумерный диск В = Вц. U В{ U D^ обладает нужными качествами. □
^Доказательство дополнения. Для данной спинорной структуры на N мы сначала построим диффеоморфизм пары (NJ(B2)X переводящий эту спинорную структуру в любую другую. Снова ограничимся случаем k = 1; так как диффеоморфизм, построенный в этом случае, будет тождественным на d_N, это охватывает и общий случай.
В случае к = 1 имеются только две спинорные структуры на /V, и их можно отличить друг от друга по индуцированному оснащению на образующей группы H^N; Z2)=Z2. Мы рассматриваем многообразие N как самопламбинг произведения D2XD2 и в качестве образующей группы НДМ; Z2) берем образ дуги, соединяющей два прообраза двойной точки образа ЦВ^ХО) в В2Х0- Пусть Л2 — кольцо в Int(D2X0), которое не содержит ни одного из этих прообразов и охватывает в точности один из них:
Представим Л2 как /XS1 и в каждом слое (/Xpt)X^2 сделаем скручивание на угол 2л вокруг оси /Xpt, показанной на рисунке. Мы получим диффеоморфизм произведения В2 X D2, который естественно определяет диффеоморфизм s пары (М, ЦВ2)), так как его носитель не пересекается с двумя четырехмерными шарами, отождествляемыми при операции само- пламбинга. Очевидно, что s дает полный оборот оснащения образующей группы HV(N; Z2) и тем самым переставляет две возможные спинорные структуры на N.
Теперь, если оснащение кривой Ci не согласуется со спинорной структурой на N, индуцированной спинорной структурой
многообразия IE, применение диффеоморфизма s дает новую оснащенную окружность s(Ci), оснащение которой теперь согласуется со спинорной структурой, индуцированной на N. □]
Продолжение доказательства теоремы вложения
Пусть N — регулярная окрестность объединения fi(D2)|J ...
ЩпЦЭ2) в W, и положим Wz = WXN, а также d_N = N П 3W и d+N = (граница N в W) = Ж П N. Конечно, N состоит из компонент М, где Ni есть регулярная окрестность образа /Х^2); пусть Сь . Ст — полный набор окружностей в дц-N, полученных последовательным применением леммы 2 к Nx, N2, ♦ Nn.
Многообразие W7 односвязно, поэтому существует отображение ^л (D2, S1)-^(IE/, dyNy сужение которого gx Is1 есть диффеоморфизм на Су. Построим UE абстрактным добавлением 2-ручки ^ к Ж вдоль оснащенной окружности Сх в 3W' и определим относительный гомологический индекс пересечения gx-gx^ eZ как абсолютный гомологический индекс пересечения grgi в Wv, где ^1=^1 U (ось 2-ручки) в Н2^Х Это число gy gy можно определить и в W\ взяв в Wf отображение g'x трансверсальное к gy и полученное из gx сдвигом, который на крае 6W' произведен вдоль данного оснащения окружности Су, и подсчитав затем пересечения.
Замечание. Напомним, что для любого погружения g; F2-+ -^IntM4 поверхности F2 во внутренность четырехмерного многообразия 7И4 мы имеем g • g = х (v (§")) + 2 Self g. Это связывает наш гомологический индекс пересечения с геометрией. У нас есть выбор: добавляя завитки к g, мы можем сделать Self g = 0 и в этом случае g-g = x(v (g)).
Сначала мы, если потребуется, изменим gy, чтобы сделать gi • gy четным.
Если W имеет спинорную структуру, то gygy автоматически является четным, так как оснащение окружности Сх совместимо со спинорной структурой многообразия W (и, следовательно, 1Г).
Если W не имеет спинорной структуры, то существует хе еЯ2(1Е) с нечетным х-х. По предположению, существуют р,еЯ2(1Е), I = 1, .п, для которых ргр- четно и Р/ • //= = 61/. Если P = &iPi+ . .. + bn^m то Р • р четно и (х + Р) X X (*+Р)=х • х + 2х • Р+ р • рнечетно. При подходящем выборе Р, а именно при bi = —x-ft, получаем (х + р) = 0 для всех I. Тогда х + р получается из xf е H2(WZ) и х'-х'= (х + Р) • (х+Р) нечетно. Воспользуемся х', с тем чтобы заменить gx е
9 То есть не вкладывая эту ручку.—Прим. ред.
^H2(W\ dW), если grgi нечетно. Действительно, необходимой заменой является ^ = gj + V, так как g\ • g'x = gt • g^ + 2g1 V >p +%' X xf четно.
Теперь мы хотим сделать grgi=0. Если мы обозначим через tz класс характеристического тора Т[ из леммы 2, l^z^/72, в ИДд^-И), то получим ti-Gj =6ц. Обозначим также через tz образ класса tz в H2(W); тогда т/-т/ = 0 и £гт/ = 61/. Таким образом, если grgx=2k, то (gi — ^rj • (gt —йт^^ • ^— — 2kgx • Tj + ^Tj • т1 = 0, так что gv — ^ii есть подходящая модификация отображения gv
Наконец, по теореме Гуревича, используя то, что gvg\ = О, представим этот класс gx нормальным погружением gx; D2-^W с gy (dD2) = Ci. Так как grr/ = di/, то лемма 1 (с ti вместо (3) позволяет нам модифицировать g\ посредством регулярной гомотопии так, чтобы ли (lE'\gi (D2)) = 0.
Теперь рассмотрим С2. Как и выше, мы можем найти отображение g2: D2-^W\ для которого сужение g2|: dD2-^C2 есть диффеоморфизм, с gs-gs = 0 и g2-T/ = 62/. Кроме того, мы хотим, чтобы g2-g!=0. Но если g2*g\ = — k, то (g2 + ^п) • (g2 + + ^ti) = g2 * g2 + 2kg2 -Ti + Ar ti есть по-прежнему 0 и (g2 + ^Ti)-gi = 0. Таким образом, опять по теореме Гуревича и лемме 1, мы находим нормальное погружение g2: D2^ -^(^Xg^D2)) с g2^dD2^=C2, Л1(^Х(^1П2и^а2))=-0 и ^2 * Т/ = б2Д
Действуя так, мы найдем gx, .... gk-—непересекающиеся нормальные погружения D2^W\ для которых gi\dD2 есть вложение с образом Cf и Д1 \ U (D2)^ = 0. Имеются также такие классы tz е Н2^^, что grxi = 6z/ и tz-t/ = 0 для всех I, j. Итак, для Ж7 и отображений gt все предположения теоремы вложения проверены. Следовательно, ничто не мешает нам повторить конструкцию, проделанную до сих пор. Мы получим последовательность ДА = TV (1), N^, N (3), ... компактных подмногообразий коразмерности 0 многообразия W, где, если
положить P(n) = M(l)U ... иЛДп) и W (,п) = W\P (п), то М(п+1) будет регулярной окрестностью в многообразии W(п) конечного объединения D^ непересекающихся нормально погруженных дисков, края которых образуют семейство С(п)
непересекающихся окружностей в d^N (n) = dN (п)\Р (n) cz cl d\V (n). Положим d-N (n + 1) = N (n + 1) П d^N (п) = N(п Д+ 1)П dW(n). Эта конструкция имеет
Ключевое свойство. Если мы абстрактно присоединим kN(п) набор 2-ручек Я(п+1) по окружностям С(п+1) в d^N^n), как предписывает лемма 2, получится семейство 2-ручек Н^п), приклеенных к d^N (п—1) по окружностям С(п) и с выбранным оснащением (так как мы требовали, чтобы gr gi = 0). Раскручивая это, мы, таким образом находим, что Р(п)иЩп-т + V^p^n— 1)и Н(п) = ... = A(1)UE(2) = E(1) есть семейство непересекающихся 2-ручек.
Положим V = \JP(n). Тогда гибкая ручка Vi будет, по опрс- п "
делению, компонентой множества V, содержащей /ДЕ1).
Теперь мы хотим изучить гомотопические свойства множества Vi. Здесь, не умаляя общности, будем считать, что Vi — V (т. е. n = 1), так как построение для! Vi является конструкцией, начинающейся! с одного fz. Теперь покажем (предполагая без ограничения общности, что п = 1), что
V стягиваемо: действительно, включение Р (г) cz Р ^r + 1) пропускается через Р (г) cz Р (г) U (двумерные диски)-> В (г + 1), где множество Р(г)U (двумерные диски) стягиваемо. Следовательно, л*(К) = 0 и V стягиваемо. □
Л1 (конец множества V^^Z и лцсистема окрестностей конца множества V по существу постоянна. Далее, разделяя! S1 на две полуокружности S^P+U^L, так что <5V = B+X^2U U В1_ • R2, мы получаем, что включение индуцирует изоморфизм группы Л1 (конец произведения! B+XR2) на группу Л] (конец множества У) (доказательство см. ниже).
Гомологии конца множества V тривиальны для! универсальных коэффициентов [л1 (конец множества V)] = Z[Z], так же как и у В± X R2 (см- замечания ниже).
Как известно, из 1), 2), 3) следует, что V собственно гомотопически эквивалентно B2XR2. [Например, в [Sii, р. 490] было показано гомотопически, что из 1), 2), 3) следует, что (У; Вх+ X R2, BL X В2) есть собственный А-кобордизм; доказательство средствами стабильной теории тел с ручками намечено перед последней леммой добавления А.]
Доказательство факта 2). Пусть Е (г) = 6Р (г) U N (г + 1) U UA(r + 2)U ... (с топологией прямого предела), где 6 означает границу в W. Система Е (1) Е (2) *д=) Е (3) . . . эквивалентна конфинальной системе окрестностей конца множества V; именно Е (1)* £ (2)* Е (3)* где Е(г)* определяется сле-
Под род. Л. Гийу л А. Марена
дующим образом. Пусть Q(r) есть воротниковая (1/г)-окрестность границы 6РД) в РДу и пусть Е (г) * = (Q (г) U Е Д^) П V. Это множество ЕДД есть объединение Q(r)U£(r), частично лишенное границы, откуда следует, что ЕД^ гомотопически эквивалентно £(г)*.
Теперь 2) легко получается из следующего утверждения:
Утверждение. Для всех s группа лДЕДД с образующей, являющейся меридианом окружности /(S1), изоморфна Е.
Доказательство утверждения. Так как АДг+1)—регулярная окрестность нормально погруженных двумерных дисков Z)(r+1) с краями в 6Р ДУ из соображений общего положения видно, что щ (бР(г + 1) )-^ Л] (6P(r)U А/(л + 1)) есть отображение «на». В силу ключевого свойства, перестройка вдоль окружност и С(г) в бРД) даст пояс Sx X D2 стандартной ручки НДУ приклеенной к [(S1). Следовательно, образ гомоморфизма
л1(дР(г))^л1(дР(г)иУ(г + 1))
не больше, чем группа 7, представленная меридианом окружности /(S1). Но эта Е действительно там присутствует, что обнаруживается гомоморфизмом, определяемым коэффициентом зацепления с f(D2) в V. Изучая D(r+1), мы заключаем, что
(6P(r)UW(r+ l))^Z*F(r+ 1),
где Р(г-ф1) — свободная группа, имеющая по одной образующей на каждую двойную точку погруженного диска ОДД- 1).
Таким образом, комбинируя три полученных выше равенства для различных г по теореме Ван Кампена, мы находим, что
щДРД)УЫД+ 1)U ... УНДУ^Е^РД^
и образ в niX6P(r)UW+1)U UAf(s+l)) есть группа ZcZ*F(s+ 1), представленная меридианом окружности /(S1). Утверждение и свойство 2) доказываются переходом к пределу при возрастании х. □
Доказательство свойства 2) предоставляется читателям (автор слегка нс удовлетворен нм).
Третий факт во всяком случае нс является необходимым для того, чтобы показать, что многообразие У4, построенное в следствии 2, собственно гомотопически эквивалентно 52ХУ\ \pt. Напомним здесь, что S2 X S2\pt имеет структуру, аналогичную структуре многообразия V, будучи диффсоморф- ным многообразию В4СШ?иЯ2, где Hi, Н^— открытые 2-ручки, копии произведения В2 X 72, приклеенные вдоль зацепления
с нулевым оснащением. Таким образом, мы видим, что 1) показывает, что V имеет правильный обычный гомотопический тип, тогда как 2) показывает, что V односвязно на бесконечности. Теперь с помощью теоремы Браудера — Ливси — Левина [BLL] о крас легко получается собственная гомотопическая эквива-
лентность К S2 X S2 \ (точка). (См. [Si2, приложение].)]
ЛИТЕРАТУРА
[BLL] Browder W., Levine J. and Livesay G. R. Finding a boundary for an open manifold, Amer. J. Math. 87 (1965), 1017'—1028.
[Fr]Freedman M. H. A fake S3 X R, Ann. of Math., 110 (1979), 177—201
[FrQ]Freedman M. H., Quinn F. Slightly singular 4-manifolds, Topology
20 : 2 (1981), 161 — 174.
Siebenmann L. C. Infinite simple homotopy types, Indag. Math. 32 (1970), 4 79—495.
Siebenmann L. C. Amorces do la chirurgie e;i dimension quatre: un S3 X R exotique (d’apres A. H. Casson et M H. Freedman), Semi- naire Bourbakei, Fcvricr 1979, n° 536.
[D] Donaldson S. K., Connections, cohomology and intersection forms of 4-manifolds, J. Diff. Geom. 24 (1986), 275—341.
ПРИЛОЖЕНИЕ A
ГИБКИЕ РУЧКИ СОБСТВЕННО ГОМОТОПИЧЕСКИ ЭКВИВАЛЕНТНЫ:ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЗИБЕНМАННА
Мы объясним элементарное доказательство Л. Зибенманна того факта, что гибкие ручки Кассона имеют собственный гомотопический тип произведения В^Х^2. Чтобы сделать это, мы извлечем из конструкции Кассона ключевые свойства, достаточные, чтобы получить этот собственный гомотопический тип. и рассмотрим их как аксиомы. Надеемся, что это прояснит доказательство; кроме того, такой подход сделает это приложение замкнутым в себе.
Прежде всего нам понадобится несколько определений. Многообразия будут топологическими (или лучше1)), а подмногообразия будут локально плоскими.
Под кобордизмом мы будем понимать триаду многообразий ю=(ХХ d_W, d+VG) с компактным IF, где д_\Х7 pi cLI^—непе- ресскающиеся компактные подмногообразия края 0W (cLIF и 6XV могут иметь край). Мы будем писать lF = |to|.
Если даны два кобордизма u=^U; d^U, d+H) pi о = = (V;d_V, d^V) с d^U = d_V = U П V, то имеется корректно определенный кобордизм из = (U VI V; д-U, d+F). Эта операция композиции ассоциативна. Условимся, что всякий раз, когда мы
!) То есть с дополнительными структурами — Прим, ред
будем писать какую-нибудь композицию, это будет означать (или будет очевидно), что она корректно определена.
Под изоморфизмом кобордизма u=(U; д-U, d+U) на кобордизм у=(У; d_V, d+У) будем понимать гомеоморфизм многообразия U на V, тождественный на d_U и d^U (так что, в частности, d_U = d-V и d^U = d+V).
Наконец, отображение f: Д-^В будет называться покомпонентно гомотопным нулю, если для каждой компоненты До пространства Л сужение f \Ло: А0->В гомотопно отображению в точку.
Теперь мы укажем абстрактные свойства конструкции Кассона, которые здесь представляют интерес. Начиная с этого места, каждый рассматриваемый кобордизм w будет удовлетворять условию dim] ^[ — 4.
Предположим, что для каждого k ^ 1 задан кобордизм hk = ^Hk; д_Нк, 0), т. е. дизъюнктная сумма 2-ручек, каждая из которых изоморфна как триада (и только) произведению (В2; дВ2, 0)ХВ2, и задан такой кобордизм nk = (Nk; d_Nk, d+Nk) с d-Nk = д-Н к и d0Nk = д_Нклд, что выполнены следующие аксиомы:
существует изоморфизм кобордизмов 9^: nkhk + x~^hk\
включение d_Nk^ Nk покомпонентно гомотопно нулю (при всех к ^ 1).
Обозначим через рк=(Рк; д_Рк, д^Р0 композицию пхп2 ... ... пк (которая предполагается корректно определенной). Конечно, многообразие Кассона Р^ есть пример такого Рк.
Предположим, что многообразие d_Nx связно (так что Нх В2 X В2); тогда имеет место
Теорема. В описанной выше ситуации если V = Int{UP^, к ^ 1} U tot 0_РХ), то пара (V, <91/) собственно гомотопически эквивалентна паре (В2Х^, дВ2Х R2).
Доказательство теоремы начинается со следующего замечания.
Основное наблюдение. Если выполнена сформулированная выше аксиома 1), то имеется каноническое вложение ф: V^HX, продолжающее тождественное отображение d_Nx=d_Hx.
Доказательство наблюдения. Определим 0^: пхп2п3 . . . . . . ^^А/г+i"^ ^1п2^з ^k-yhk как отображение 0*, продолженное тождественным отображением, и положим % = 9102 . .. . . . 0&: «1«2«з ■•• п-Лч+х -* hv Теперь определим Ф Ц^„ как □
Используя наблюдение, мы можем теперь предположить, что nkhk+x в точности совпадает с hk\ Nkcz.Hx; PYczP2cz ... .. . cz Hx; Н1эН2Т)Нз V а Нх Заметим, что компакт Y = HX\V может быть представлен как Х\}д+Нь где Х = = П {^; ^^0 и, по определению, д+Нк = дНк \ IntДДНкУ Осторожно: hk есть (Я^; д_Нк, 0), а не (Я^; д_Нк, d^HkY
Доказательство теоремы будет состоять из трех шагов. Шаг 1: V стягиваемо.
Доказательство. Достаточно показать, что включение Рк cz cz Рк+Х гомотопно нулю (так как удаление части края объединения U ^Рь i^ 1} не изменяет гомотопический тип). Но, в силу аксиомы 2), каждая компонента многообразия Н^ гомотопически является конусом над своей окружностью приклеивания, включение д_Нк + х — d_Nk+x ^ Nk+X продолжается до отображения Я/г+i -^-NkMb Следовательно, включение^cl* Pk + i = Рк U Nk+1 пропускается через Рк U Нк+Х = Нх~ *.
Наша следующая цель — показать, что система окрестностей конца многообразия V гомотопически по существу постоянна и равна S1.
Представим д_Нх в виде (/X £2) U (Z X £2) с /^/^[0, 1], W^S1, I()J = S0, так что dV = Int д_Нх = (/ X В2) U V X В2).
Пусть {^+} обозначает фундаментальную систему окрестностей-воротников края d.vHx в Нх с 5+ zd d++1, правильно расположенных как относительно Нь так и относительно IX В2 ^ад_Нх\ Тогда {Я/U 5^} — фундаментальная система окрестностей компакта У в Нх.
Теперь наша цель состоит в том, чтобы показать, что существует следующая гомотопически коммутативная лестница (в которой все отображения, кроме диагональных, являются включениями):
(М э^\у *-(^2иа^)\у ^~(н^д^)\у...
s’ - э'л(/хв2) -*— а^п(/хв2) *3- Э® и(/хв2) tr- •••
Это будет достигнуто следующими двумя шагами.
Шаг 2. У гомотопически пренебрежимо в Ht U д^. для любого i^ 1, т. е. включение (НZU д:+) \У ■=* НZU д+ является гомотопической эквивалентностью.
Шаг 3. Существует гомотопически коммутативная лестница (в которой все отображения, кроме диагональных, являются включениями'):
я,иэ^ вгиа2 н$иа^ ...
К Ь~~
^ Sinais2)э^пд^в2) ^ а^ацхв^ ^
Доказательство шага 2. Сначала заметим, что (Я^д^ХУ есть (Я^и^+) ХА" без некоторой части края, откуда следует, что включение (Н{ (J д+) \ X Н{ U ^+ является гомотопической эквивалентностью. Далее, включение (Я^ U <?+) \X^Hi U д\ есть сумма включения Ht \ X ^ Н{ и тождественного отображения д+\ Я^ c*d+X Яь так что мы должны доказать только, что включение Я^ХХ^Я^ является гомотопической эквивалентностью (ср, [Di, лемма]). Для того чтобы это доказать, заметим, что многообразие Я/ гомотопически эквивалентно набору точек и что включение Ht\X = \ п^п^п^а .-X^Hi очевидным образом индуцирует биекцию компонент. В точности так же, как в доказательстве шага 1, мы покажем, что каждая компонента многообразия | ПгП^1Пщ-2 ... | стягиваема; следовательно, включение (Н[\Х) cz Hi является гомотопической эквивалентностью.
Доказательство шага 3. В силу свойства продолжимости гомотопий, достаточно доказать, что для каждого, целого i ^ 1 включение Hi^i^Hi гомотопно связанно на д+^ПЯ^ отображению Bd^^Hi. Это равносильно тривиальности индуциро-
ванного гомоморфизма лДВЛ+ь dXHi-н)-^ я2(Нр д+Н^, которая в силу теоремы Гуревича равносильна тривиальности гомоморфизма Я2(Я/+1, 5+Я/+1)"^ Н2 ^h, d+Hi). В свою очередь это равносильно тому, что коось каждой компоненты многообразия Н;н имеет нулевой индекс пересечения с осью многообразия Нр Но этот индекс есть также коэффициент зацепления в дН; осей полноториев д^Н^ и д-Н,, который равен 0, так как многообразие d-Hi = d_Ni покомпонентно стягивается в Ni = /Д\/тЗ+1 в силу аксиомы 2).
(Ср. с рисунками в приложении к лекции II.) □
Поскольку мы уже знаем, что гибкая ручка V стягиваема и обладает системой окрестностей бесконечности, гомотопически существенно постоянных с пределом S1, есть много способов доказать, что V имеет собственный гомотопический тип произведения В2Х^2-
Один способ состоит в том, чтобы, используя теорию ручек, показать, что 7XS" диффеоморфно B2XB2XSn (с п ^ 3 для надежности). Дадим следующий набросок доказательства. Так как dV ^слъ внутренность произведения S1 X В2, то теорема о присоединении края из [Si, теорема 10.1] позволяет вложить 7ХВ^ в компактное многообразие V с дополнением Р\7Х X Sn =^п^ гомотопического типа произведения B2XSxX.Sn-) имеющим край 6W, который совпадает с границей края dV, гомеоморфной S’XS’XX Чтобы показать, что W диффеоморфно B2XSxXS^, нужно рассмотреть 17 как /г-кобордизм с фундаментальной группой Т между I X SY X Sn и /XS^S” (напомним, что дВ2 = /[]/). Затем, чтобы заключить, что V диффеоморфно B2XB2XSn, многообразие 7 надо рассмотреть как односвязный относительный /t-кобордизм между IXB2XSn и J X В2 X Sn.
Теперь объясним подробно другой способ, поскольку он кажется нам самым элементарным. Он состоит в проверке для пары (7, IX №\ где 57 ^ (/X В2) U (7 X В2), 1^1 [0, 1], 7U U/^S1, критерия из приложения В. Для того чтобы применить этот критерий, введем обозначения Yn = (Нп U 5+) \ У и
Хп = Yn П (/ х 5 ) = 5+ л и X в^ — 5 , п^\. Тогда как следствие рассмотренных шагов 2 и 3 мы получаем гомотопически коммутативную лестницу
Утверждение, что выполняется критерий приложения В (часть (Ь) теоремы приложения В), равносильно следующей лемме.
Лемма. Для каждого п ^ 1 существует (обычная) гомотопия gt; Yn-yx^Yn между включением gQ и отображением gx с образом, содержащимся в Хп, которая неподвижна (поточечно) на Хп+х.
Доказательство леммы. По предположению, существует гомотопия /Л Yn^x ->- Yn между включением f0 и отображением Л с образом, содержащимся в Хп, так что сужение (Л Л ): Хп4.х^Хп гомотопно в Хп включению ХплЛ<=^Хп. Продолжая вторую гомотопию до отображения Y^yXI^X^ и беря композицию этих гомотопий, мы получим гомотопию (по-прежнему обозначаемую через ft) Yn+x->-Yn с f0 = (включение), Л(У^+1)с: cz Хп и сужением ftL , дающим петлю в пространстве отображений X^x-^Yn, началом которой служит включение Х^х а c:Yn. Так как Хп+х с^Хп — гомотопическая эквивалентность, то эта петля продолжается до петли отображений at: Xn->-Yn, началом которой является включение. Последовательное выполнение гомотопий ft и ax-tofx дает гомотопию ft: У^+i ->- Yn с
fo = (включение), fx(Yn+[) cz Х^ и сужением f^L , являющимся
Ам+1
стягиваемой петлей в пространстве отображений Xn+i Yn, началом которой служит рассматриваемое включение. Это дает отображение (У„+1 X / X 0) U PUi X / X Л U <¥п^ХХХП U (У.+1Х ХОХЛ -^ ¥п, которое продолжается до отображения У^+iX X IX 1-^ Yn, сужение которого на Y^x X / X 1 есть искомая гомотопия (gt). □
Раз мы знаем, что гибкая ручка V собственно гомотопически эквивалентна произведению B2XR2, нам остается показать, что пара (V, дУ) собственно гомотопически эквивалентна паре (B2XR2, XX R2)- Это делается следующим приемом. Мы ищем собственную гомотопическую эквивалентность В2Х R^K, которая участвует в следующей коммутативной диаграмме:
II tдв- х R2 в2 X R2
Мы получим ее как соединение двух квадратов, каждый из которых, очевидно, коммутативен, где г: дВ2 X R2->/X R2— каноническая ретракция:
6V <^ V
||как мы уже знаем
дв2 X R2 IX R2
||(стандартная ретракция)
дв2 х R2 ^ в2 х R2
Это завершает доказательство теоремы. □
ЛИТЕРАТУРА
[Di] Dieck Tom Т. Partitions of unity in the theory of fibrations, Compo- sitio Math. 23 (1971), 159—167.
[Si] Siebenmann L. C. Thesis, Princeton, 1965. Univ. Microfilms n° 66— 5012; Cp. Kervaire, Tata Inst. Lectures, 1969.
ПРИЛОЖЕНИЕ В
ПРИМИТИВНЫЙ КРИТЕРИЙ СОБСТВЕННОЙ ГОМОТОПИЧЕСКОЙЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ЗИБЕНМАННА
Все упоминаемые здесь пространства будут хаусдорфовыми локально компактными сигма-компактными топологическими пространствами. Все отображения (гомотопии и т. д.) будут (по меньшей мере) непрерывными.
Отображение f: X-^Y называется собственным, если прообраз f-^K) любого компакта (= компактного множества) К с Y компактен. Заметим, что собственные отображения переводят все замкнутые множества в замкнутые множества. Заметим также, что гомотопия g: XX^YXL переводящая (х, ^)н-> 1—>kgtXV ^, является собственной тогда и только тогда, когда для каждого компакта К cz Y существует такой компакт A cz X, что включение хе(Х\Л) влечет §^(х)еУ\К для всех t.
Гомотопия g часто представляется как семейство отображений gr. X->-Y, 0 ^ / ^ 1, и часто пределы изменения параметра О 1 опускаются. Однако осторожно: из того, что отображение gt является собственным для всех t, не следует, что g есть собственная гомотопия. (Пример: X=Y=4 с gt(x) = = — ^ + (1 — /)х3.)
Собственные отображения образуют категорию, важную для топологии многообразий. Полезно уметь характеризовать ее гомотопические эквивалентности, т. е. собственные гомотопические эквивалентности, в терминах, не включающих собственную гомотопию. В литературе нет недостатка в полезных критериях, см. [Si], [FHW], [Вг], [CS], [ЕН], но большинство из них сложно доказываются. Цель этого приложения — выбрать критерий, который является основным, просто доказывается и пригоден для того, чтобы показать, что гибкие ручки А. Кассона собственно гомотопно эквивалентны е^андарзным ручкам.
Мы обсудим эту проблему сначала для отображения включения i\ Xc^Y замкнутого подмножества
Теорема. Если дано замкнутое множество X clY, то следующие два свойства эквивалентны*.
X есть строгий собственный деформационный ретракт множества Y вблизи бесконечности в том смысле, что существует связанная на X собственная гомотопия jt: Y-^-X между тождественным отображением id|y = fo и отображением ф с образом, содержащимся в XU (компакт).
Для каждого компакта К cz Y существует компакт LaY, содержащий К, и связанная на X гомотопия (быть может, не собственная) gt; (Y\L)->-(Y\K) между включением g0 и отображением gi с образом, содержащимся в X.
Дополнение. Если X есть строгий деформационный ретракт всего Y, то условие (Ь) эквивалентно тому, что X есть строгий собственный деформационный ретракт пространства Y.
Доказательство теоремы. Импликация (а)=>(Ь) очевидна ввиду того, что в (а) гомотопия собственна. □
(Ь)=>(а). Процедура, которую мы используем, была предложена в [Si, примечание на с. 491]; мы рассмотрим композицию бесконечного числа обычных гомотопий, доставляемых условием (Ь), начиная от бесконечности (компактификации Александрова), так чтобы получить собственную гомотопию (доказывающую свойство (а)).
Если дан компакт KiclY, то условие (Ь) вместе с соображениями о продолжении гомотопий (которые мы оставляем чи-
тателю) ) дает компакт /С+i (настолько большой, насколько мы пожелаем) с 7<zcz^z + 1 (= внутренность компакта 7</+1 в У) и гомотопию h^; ¥->¥, отображающую (У\7</+1)^(Т\/</), оставляющую поточечно неподвижными множества Ki\^X и соединяющую /го) = id с таким отображением Ил\ что Мг) cz (У \ x/w^x^.
Таким образом, начиная с любого компакта ЛХ мы можем по индукции построить компакты /Q, /С, Кз, ...и гомотопии А^» hY\ h^\ . . ., как указано выше, так что У = U Ki.
i
Затем мы можем устроить так, чтобы для всех I
ДЛЯ 1 G [°’
( РР для t е [1/Z, 1].
Сделав это, мы образуем бесконечную композицию:
ht = pPhPW .O<Z<1.
Так как hP оставляет Kt поточечно неподвижным, то эта композиция локально конечна и, следовательно, дает корректно определенную гомотопию hr. У -^ У. Очевидно, эта гомотопия оставляет неподвижным X и соединяет A0 = id с отображением Аь так что h\ (У) cz X U (компакт); в качестве компакта можно взять, скажем, Ai0^)- Таким образом, остается доказать
Утверждение. hr. У—^У, O^Z^l есть собственная гомотопия.
Доказательство утверждения. Мы хотим показать, что если z/e(y\^), то ht^^^Y\Ks-Y\ как замечено во введении, это доказывает утверждение.
Воспользуемся функцией к У(целые числа ^0), определенной условием
Фиксируем (z/, t)^YXI; чтобы определить lit (у), рассмотрим образы yk точки у под действием ht ht ht Следовательно, у = Ук Для к>>Ду^ в то время как ук = к^\укл.^ для всех к и окончательно ht^= у\.
Рассмотрим последовательность у, yi, yi_x, ..., ух, где впредь Z = I (у) • Конечно, yt = hT (у) ^Y \ Ki-
Случай t^l^i — 1) (где i = i(y)). Тогда yi-x = h{t~i} ^y^ = = ZzV"^ (yi) ^ X \ Ki-i X и, таким образом, yi-x = y^ = . .. ...=Ух.
Случай К^АД. Тогда h^ = тождественное отображение для fe^Z—1 и, таким образом, уг = у1-х — . . . = ух.
Случай 1<^\\Д 1/(Z—1)]. Тогда yi-x = hkt-x\y^ е Y \Ki_x и yi-x = у1-2 = .. . = yx по последнему случаю.
Таким образом, в любом случае ht(y) = yi лежит в У\/С/-ь если у е 7<W\K/.
Это доказывает утверждение, а вместе с ним теорему. □
Доказательство дополнения. Доказательство теоремы дает доказательство дополнения, если потребовать, чтобы К\ = 0 и h^? было (обычной) строгой деформационной ретракцией пространства Y на пространство X, которая имеется по предположению. □
Теорема может служить промежуточной ступенькой для получения других критериев собственной гомотопической эквивалентности; ее можно применить к включению X<=*Map (/), где Map(f) есть цилиндр подходящего собственного отображения t X^Y.
В [ЕН] (ср. [CS, приложение 2]) доказано, что X и Y собственно гомотопически эквивалентны в том и только в том случае, если X и Y гомотопически эквивалентны и просистемы окрестностей бесконечности в X и Y эквивалентны в категории гомотопических классов отображений. Однако доказательство более хитрое, чем естественно было бы ожидать. Например, выдвинута гипотеза, что, вообще говоря, неверно, что каждое собственное отображение f: X-^Y, являющееся обычной гомотопической эквивалентностью и дающее эквивалентность вышеупомянутых просистем на бесконечности, само является собственной гомотопической эквивалентностью [Н].
ЛИТЕРАТУРА
[Br] Brown Е. М. On proper homotopy type, Lecture notes in Math, vol. 375, 41—46, Springer-Verlag.
[CS] Chapman T. and Siebenmann L. Finding a boundary for a Hilbert cube manifold, Acta Math. 137 (1976), 171—208.
[EH] Edwards D. A. and Hastings H. M. Every weak proper homotopy eguivalence is weakly properly homotopic to a proper homotopy equivalence, Trans. Amer. Math. Soc. 221 (1976), 239—248.
[FHW] Farrell F. T., Taylor L., Wagoner J. The Whitehead theorem in the proper category, Compositio Math. 27 (1973), 1—23.
[H] Hastings H. M. On weak and strong equivalences in pro-homotopy, manuscript, 1975.
[Si] Siebenmann L. Infinite simple homotepy types, Indag. Math. 32 (1970), 479—495.
ЛЕКЦИЯ II
УДИВИТЕЛЬНОЕ ЧЕТЫРЕХМЕРНОЕ МНОГООБРАЗИЕ
Здесь будут построены кандидаты в четырехмерные контрпримеры к критерию локальной секлидовости компактификации многообразия, доставляемому следующей классической теоремой.
Теорема (Браудер — Левин — Ливси — Уолл [BLL], [WaJ). Пусть Wn— некомпактное гладкое многообразие с компактным краем имеющее один конец. Предположим, что п^З, 4. Тогда IFU(°°) (т. е. одноточечная, компактификация многообразия W) является гладким многообразием в том и только том случае, когда группа Я* (IF) конечно порождена и W является 1 (п—1)/2] -связным на оо.
Для п = 3 теорема по модулю гипотезы Пуанкаре тоже верна (т. е. она верна, если W не имеет слагаемых, являющихся гомотопическими сферами, Уолл [Wa2]).
Мы должны напомнить несколько определений.
Определения: U называется окрестностью бесконечности в W, если множество 1F\L^ компактно.
IF называется k-связкым па оо, если любая окрестность U бесконечности содержит такую окрестность V бесконечности, что любое отображение произвольного ^-мерного комплекса КV гомотопно нулю в U.
IF имеет один конец, если IF 0-связно на бесконечности; эквивалентно, IF имеет один конец, если существует сколь угодно малая связная окрестность бесконечности.
Оснащенным r-компонентным зацеплением называется гладкое вложение /: HS-XZXS3. При г=1 говорят, что оснащенное зацепление / имеет оснащение zieZ, если для различных точек р и а из В2 коэффициент зацепления окружностей /(SzXp) и /(S1^^) равен п.
Удвоение (незакрученное, положительное) D1 оснащенного зацепления / строится следующим образом. Пусть d есть «удво-
*) Удивительная конструкция, представленная в этой лекции, фактически была найдена весной 1973 г., за несколько месяцев до появления «дуальной» конструкции, атакующей проблемы хирургии, которая представлена в первой лскц ш, вышедшей в свет только осенью 1973 г Тс?л не менее теперь эта лекция служит, возможно, наилучшим разъяснением первой
С2 fnKS1*^2)С2 fnKS1*^2)енное» вложение окружности S1 в S3, доставляемое следующейенное» вложение окружности S1 в S3, доставляемое следующей
С2 fnKS1*^2)
С2 fnKS1*^2)
енное» вложение окружности S1 в S3, доставляемое следующей
енное» вложение окружности S1 в S3, доставляемое следующей
Это вложение d\ S S1 X В = дВ2Х В2 cz д (В2 X В2) = S3 выбирается «неподкрученным», так что окружность d(S'k) незауз- лена в S3. Следовательно, d можно продолжить до незаузлен- ного гладкого вложения d\ В--мВХРу (по существу, единственного в силу леммы 0, изложенной ниже) и, значит, до регулярной окрестности d\ В2Х В2-^ В2Х В2, так что d(SY X В2) cz cz int (S1 X В2). В частности, d\slyB2 имеет оснащение 0 в S3.
Теперь, если / — оснащенное зацепление (такое, как выше), то удвоение DI зацепления I есть другое оснащенное зацепление, определенное формулой DI = 1 о r ^d\st у в^\ г (S1 X В2) -> S3. Повторяя эту конструкцию, можно получить О2/= D(Dl), D4, ... . Для удобства обозначений мы часто будем писать 1п вместо Dnl.
Пример А. Пусть h — «зацепление Хопфа» (или «гомологическое зацепление»1))
тогда Dh есть
Определим Dd2h как /zo(idUd): S1 X В2 U S1 X 62-^S3 (U обозначает дизъюнктное объединение); это зацепление выглядит так2):
Любопытно, что зацепление Dd2h симметрично в том смысле, что существует изотопия сферы S3, переставляющая его ком-
поненты (просто расправьте вторую компоненту и посмотрите, что произойдет с первой). Поэтому г-кратное удвоение одной компоненты зацепления и s-кратное удвоение другой его компоненты равносильно (г + s)-кратному удвоению одной компоненты. "
Лемма 0. Любые два незаузленных двумерных диска в В4 с обидим краем переводятся друг в друга посредством объемлемой изотопии, неподвижной на их оби^ем крае.
Доказательство. Пусть D и Df — двумерные диски в В4 с общим краем SIczS3 = <9B4. В силу незаузленности диска D существуют диск Do в S3, ограниченный окружностью S1, двусторонний воротник D0X[—1, 1] диска Do в S3 и воротник Do X Х[—1,1]Х[0, 1] многообразия ВоХ[—1,1] в В4, такие, что диск D находится в этом воротнике и является графиком такой функции d\ D0->-[0, 1), что d-X (0) = dD0 = S1.
В силу незаузленности диска D' существует также диффеоморфизм ф шара В4, неподвижный на S1 и переводящий D в D'.
При помощи рассуждений о самой внутренней окружности (или полуокружности) можно найти изотопию ф/ (сферы S3, а затем и шара В4), неподвижную на окружности S1, соединяющую фо с ф1 и такую, что ф1(О0) и Do пересекаются только по их общему краю S1. Последующее применение теоремы Александера— Шёнфлиса дает изотопию, неподвижную на S1, между фн и некоторым ф2, тождественным на Do. В силу единственности воротников мы можем считать, что ф2 оставляет неподвижным воротник D0X[—1, 1]Х[0, 1] и, следовательно, диск D. Изотопия ф^оф-1, 0 ^ t ^ 2, неподвижна на окружности S1 и переводит D' в D.
Конструкция. По оснащенному зацеплению I: r(S! X B2)->-S3 мы можем образовать тело с ручками М (/) = В4 ^J г (В2 X В2), приклеив г непересекающихся ручек индекса 2 к В4 посредством оснащенного зацепления I.
Используя вложение d\ В2 X В2-^ В2 X В2, определим вложение е\ M(DI)->-M(l), как показано на рисунке:
В пространстве В4 \ X В4 S3 X [О, 1] размещается Dl(SYX Х52)Х[0, 1].
Отождествим M(Dl) с e(M(Dl)) и повторим процесс:
М (/) =0 М (/J =) М (/2) zd . . . zd М (1^) =) М (1^ =) . . . .
Теперь определим компакт X (/) = Г) {М (/J, п^1} и многообразие Ц74(/) = М(1)\Х, которое является открытым подмножеством тела с ручками ХЦ1). Это и есть четырехмерное многообразие, которое нас интересует. Заметим, что X не определяется зацеплением / из-за произвольности выбора в пределах изотопического класса вложения каждого М(1) в M(/«-i) (например, его размерность, очевидно, может быть сделана равной 2, 3 или 4). С другой стороны, само W (Г) корректно определено с точностью до необъемлемой изотопии (использовать лемму 0).
Замечание. Каким бы ни было оснащение х компоненты к зацепления /, оснащение соответствующей компоненты Dk зацепления DI будет нулем. В самом деле, если g— двумерный гомологический класс в XI (к), полученный из объединения конуса над к в В4 и оси ручки индекса 2 в XI (k), то гомологический индекс пересечения g-g равен х. Аналогично, если класс ]]Е H2(M(k)) получается из объединения конуса над Dk в -у В^ и оси ручки индекса 2 d(B2X^2) в M(Dk), то оснащение компоненты Dk есть ц-ц. Но (ср. с предложением 1) включение /И (Dk) XI (к) гомотопно нулю. Следовательно, ^-ц =0-0 = 0.
Предложение 1. Многообразие W = W (I) удовлетворяет алгебраическим условиям теоремы Браудера — Левина — Л ив- си — Холла.
Доказательство. 1) Группа Н*(Ц7) конечно порождена. В самом деле, М(1Д имеет гомотопический тип букета г экземпляров сферы S2, и включение М (/n+i) XI (1п) имеет степень 0; следовательно, оно гомотопно нулю. Таким образом, Х= П М(1п) имеет чеховские когомологии точки, и в силу двойственности Александера
НД^) = НЛМ(П\Х^Н4-ЧМ^, Х) = Н^(М(1), pt);
последняя группа конечно порождена. □
) Ж односвязно на оо. Действительно, W (U) =) W (Д). • •
есть база окрестностей бесконечности в W. Мы покажем, что Л1 (W (U)) = 0 для всякого п. Этого достаточно, чтобы понять, почему Л1(И7) = 0. Чтобы увидеть это, запишем W = U {АД; п"^ X 1}, где Nn = М(0 \ М (Ц. Мы хотим показать, что включение Nn Nn+X индуцирует нуль в Ль Так как АХн = АД Ц (М (Ц' .
Под род. Л. Гийу и А. Марена
\^(^+i)) и MrtQ (M(ZJ\ Af (/„+J) = dM^ то, по теореме Ван- Кампена, достаточно проверить, (i) что включение дМ (1п) <=* N индуцирует нуль в л, и (ii) что включение дМ (/Д <=* (М (/п) \
\МЦпчУ) индуцирует нуль в л^
Чтобы проверить (i), возьмем произвольную петлю а в Лк и (сингулярный) двумерный диск D2 в М(1) с краем а. Делая D2 трансверсальным к осям ручек индекса 2 из многообразия W^U), найдем гомотопию между петлей а и произведением меридианов этих осей.
Чтобы проверить (ii), достаточно доказать, что каждый меридиан оси ручки индекса 2 многообразия М(1^ гомотопен нулю в М (L)\M (ZK+1). В самом деле, такой меридиан ц гомотопен нулю уже в S3 — в границе своей 2-ручки В2Х^ минус Д+ь так как меридиан р гомологичен нулю в д^В2Х B^Xl^i, а окружность незаузлена в д (В2 Х^2).
Другой способ: трюк с перестановкой (см. пример А) позволяет увидеть гомотопию между меридианом ц и постоянной петлей. □
Пример В. Пусть Z— тривиальное зацепление, состоящее из г незацепленных и незаузленных компонент, каждая из которых снабжена оснащением 0. Тогда X = Q {АГ (DnZ), n^l} является гладко клеточным в МЦ), и многообразие w(l) диффеоморфно M(l)\pi. Вот один способ доказать это. Многообразие М(/) может быть вложено в S4 как дополнение букета г окружностей. Как в доказательстве предложения 2, каждая из этих окружностей гомотопна нулю в S4\M(Dl), следовательно, поль-
зуясь соображениями общего положения и выталкивая двойные точки, можно показать, что этот букет г окружностей ограничивает букет г вложенных двумерных дисков в S4\A1 (DZ).
Далее, дополнение регулярной окрестности этого букета двумерных дисков в сфере S4 представляет собой четырехмерный шар, содержащийся в М(1) и содержащий M(Di). Так как Dnl, /2^1, также является тривиальным зацеплением из г неза- цепленных и незаузленных компонент, каждая из которых имеет оснащение 0 (ср. замечание перед предложением 1), то то же рассуждение показывает, что X является пересечением гладких четырехмирных клеток. □
Определение. Зацепление /: (rS^-^-S3 называется гомотопически срезанным зацеплением, если существуют гомотопический четырехмерный шар Q4 с краем S3 и вложение ф: (rB2)-^Q4, такие, что пара (S3, /(rS1)) диффеоморфна паре (<9Q4, ф(гдВ2)).
Предложение 2. Конец многообразия ^(Z) диффеоморфен концу некоторого стягиваемого открытого четырехмерного многообразия тогда и только тогда, когда Dnl является гомотопически срезанным для некоторого п.
Замечание 2.1. Если Dnl является срезанным (или гомотопически срезанным), то и Dn+4 является таким же (ср. рис. (а) ниже).
Доказательство предложения 2. Для начала предположим, что зацепление Dnl гомотопически срезано, скажем, в Q4. Тогда S4 = (В4 U Q4) / {дВ* = <5Q4} есть гомотопическая сфера. Заметим, что АУфД) вкладывается в S4 (так как, согласно замечанию перед предложением 1, Dnl имеет оснащение 0).
Зацепление DhE(видно здесь как 4 точки)Зацепление DhE(видно здесь как 4 точки)
Зацепление DhE(видно здесь как 4 точки)
Зацепление DhE(видно здесь как 4 точки)
Рассуждая как в доказательстве предложения 1, можно показать, что открытое четырехмерное многообразие У4 = 54\П Л{М(Дт): m^n} стягиваемо; очевидно, что
end (У4) = end <W <Dnl^ = end (IF (/)).
Обратно, предположим, что конец многообразия 1F(/) диффео- морфен концу некоторого стягиваемого открытого четырехмер- ного многообразия У4. Тогда для некоторого п многообразие W фп1) = М (Dnl) \ П {^ фт1\ т^п) диффеоморфно окрестности U конца многообразия V. Теперь S4 = \м^ВпЦ U У)/ / {W {Dnl) = Щ = X U У, где X = П W (Dml), m^nY есть гомотопическая четырехмерная сфера, и гомотопический шар Q4 = — S4\B4, где В4 есть шар в МфпЦ = В4 U (ручки индекса 2), дает требуемый результат. □
Предложение 3. Для того чтобы множество X = Е] {7И (ВД), п ^ 1} было гладко клеточным в МД) Д.е. было пересечением гладких четырехмерных клеток), необходимо и достаточно, чтобы п-кратное удвоение Dnl было срезанным зацеплением для некоторого п.
Доказательство. Если X гладко клеточное, то рассмотрим гладкий шар В4 в 7И(/), содержащий X. Существует такое п, что 7И (ВД) = В4 U (ручки индекса 2) с: В4 и, очевидно, Dnl является срезанным в кольце В4\В4.
Для доказательства обратного понадобится лемма.
Лемма 3.1. Если два зацепления / и V конкордантны Д. е. существует такое вложение ф: г (S1 X [0, 1] )-^S3 X [0, 1], что Ф|: r(S1X0)-^S3X0 есть I и ф|: г^Х 1)-^S3X 1 есть Г), то Х = ^^м\пп1), п^\} и Г = [}{M(Dnl'), п>\^ имеют сколь угодно малые диффеоморфные окрестности.
Доказательство. Согласно замечанию перед предложением 1, n-кратные удвоения Dnl и ВДХ, п^ 1, имеют оснащение 0. Заметим также, что из конкордантности I и V следует, что В/ и DU конкордантны (ср. рис. (а) ниже). В силу симметрии, для доказательства леммы достаточно показать, что при каждом
n ^ 1 многообразие М(Dnl) вкладывается в M<J)nV). Это объясняется следующим рисунком:
Лемма доказана. □
Теперь достаточность в предложении 3 вытекает из леммы и примера В, так как срезанное зацепление конкордантно тривиальному зацеплению с незацепленными и незаузленными компонентами. Это завершает доказательство предложения 3. □
Замечание 3.2. Поскольку известно, что множество X гладко клеточное, стандартные «рассуждения Бинга о стягивании» (см., например, [Вг]) позволяют построить гомеоморфизм h; М (/)->-М (Z) /X = МД) U {оо}, являющийся диффеоморфизмом на открытом подмножестве W Ц) множества U/(Z)U {°°}« Заметим, что многообразие IE(Z)U {оо} тогда стягиваемо.
^Замечание 3.3. По-видимому, до сих пор остается открытым следующий вопрос. Пусть зацепление I конкордантно зацеплению Р; верно ли, что тогда end (IE(Z)) ^ end (IE(ZZ)) ?]
Следующие два предложения показывают, что зацепление Хопфа h (ср. пример А) является универсальным для проблем, обсуждаемых в предложениях 2 и 3.
Предложение 4. Если Dn^h является гомотопически срезанным для некоторого п^ 1, то для всякого зацепления I п-крат- ное удвоение Dnl является гомотопически срезанным.
Предложение 5. Если Dn/2h является срезанным для некоторого 1, то Dn^l является срезанным для всякого зацепления I (и IE(Z)UW является сглаживаемым многообразием в силу предложения 3 и замечания 3.2).
Доказательство предложения 4. Пусть D\ и В2— два гладких диска с краем Dn/2h в гомотопическом четырехмерном шаре Рх с краем S^ = дР\ Пусть N^DX)—окрестность диска Dx в Рр рассмотрим 6A(Di)—границу окрестности N(DX) в Р^ (диффео- морфную S^B2). Пусть I — зацепление в S3 = дВ\ N (I)— окрестность зацепления Z в В4 и 8N(Z) — ее граница в В4. Если
г — число компонент зацепления /, то легко проверить, что
Q4 = {г (Р4 х (А)) u (В4 х ^ ^yrbN ФЭ = ^М (/)}
есть такой гомотопический четырехмерный шар, что д1Д = ЕД в dQ4 = S3 (нужно рассмотреть край dD\ как тривиальный узел). Это доказывает предложение 4. □
Доказательство предложения 5. Предположим сначала, что пара непересекающихся дисков, ограниченная в В4 зацеплением Dn/2h, состоит из дисков, незаузленных в В4. Если мы обозначим через и и и компоненты зацепления h и через Dx и В2— двумерные диски в В4, ограниченные соответственно Dr*u и и, то Di cz S1 X В3 = В4\ (регулярная окрестность диска В2), в котором и является осью полнотория S1 X В2 = S1 X В3 П дВК Теперь, если /— какое-нибудь зацепление в S*5, = дВ\ рассмотрим непересекающиеся регулярные окрестности (^У/^3) в В4 каждой компоненты h, 1 ^ i ^ k, зацепления /: очевидно, D^U ограничивает двумерный диск в регулярной окрестности компоненты h. Это доказывает предложение 5 в этом случае.
Следующая лемма сводит общий случай к предыдущему.
Лемма 5.1. Если зацепление Dn/2h является срезанным, то зацепление D (Dn/2h^ = D^n^/2h является срезанным таким образом, что оба диска, ограниченных его компонентами в В4, не- заузлены в В4.
Доказательство леммы (навеянное статьей [GS]). Пусть D2 ст В^— собственно вложенный диск (т. с. дВ4 о дЬ2); обозначим через D; собственно вложенный диск, полученный из D2 удвоением: он получается из двух параллельных копий В? и В2 диска D2 (параллельных в окрестности-произведении диска D2^ в результате соединения их вблизи 5В4 короткой лентой, подкрученной на один полный оборот, как показано на рис. (а).
Рис. (а).
Заметим, что дВ^адВ1 есть в точности нсподкрученное удвоение края дВ2, т. с. В(дВ2 с оснащением 0) = дЭ2.
Утверждение. Если окружность dD2 незаузлена в дВу то диск В" неваузлен в В^ (хотя сам диск D2 может быть заузленД
Доказательство утверждения. Идея состоит в том, чтобы подвергнуть диск В2 cz N (D2) изотопии в yV(dB4U^2) так, чтобы он стал там малым тривиальным незаузленным двумерным диском, (‘-егулярные окрестности ЩД берутся в В4.)
Это делается в два шага. Первый шаг — поворот на 360° одного из дисков, скажем В\, в D2 при неподвижном втором диске В2, в результате чего лента становится незакрученной и незаузленной; см. рис. (Ь) (именно здесь требуется незауз- ленность дВ^у После этого легко найти изотопию объединения BfUB^U (неподкрученная лента) в N ф^У показывающую его незаузленность, см. рис. (с). Это завершает доказательство утверждения, леммы и предложения 5. □
теперь сделать ленту вер7икальной,двигаяее в N^3A)здесь используется то7что окружность Эрг 7не заузленатеперь сделать ленту вер7икальной,двигаяее в N^3A)здесь используется то7что окружность Эрг 7не заузленаполныйповорот на 360°полныйповорот на 360°
теперь сделать ленту вер7икальной,двигая
ее в N^3A)
здесь используется то7
что окружность Эрг 7
не заузлена
теперь сделать ленту вер7икальной,двигая
ее в N^3A)
здесь используется то7
что окружность Эрг 7
не заузлена
полный
поворот на 360°
полный
поворот на 360°
Рис. (Ь).
сделать удар карате по ленте (в N(D))сделать удар карате по ленте (в N(D))Рис. (с).Рис. (с).
сделать удар карате по ленте (в N(D))
сделать удар карате по ленте (в N(D))
Рис. (с).
Рис. (с).
Замечания. Зацепления Bx^h и Bh не являются гомотопически срезанными: первое — из простых соображений, связанных с коэффициентами зацепления в n-кратном (оо ^ п ^ 2) циклическом накрытии сферы В3, разветвленном над одной из компонент зацепления h, второе — потому, что его сигнатура равна -ф-1. Известно, что зацепления D^h и ВЪ^Н каждое ограничивают пары неперссекающихся гладких дисков в многообра-
зии, собственно гомотопически эквивалентном R+ [Fr], но нет никакой информации относительно D^h и D^h. Согласно Фридману и Эдвардсу [Fr, р. 198], Dn^h для п X 5 ограничивает также пару непересекающихся топологических двумерных дисков в В4.
Замечание (Р. Д. Эдвардс). Напомним, что компакт Уайтхеда определяется как пересечение в S^D2 убывающей последовательности полноториев, каждое из которых зацеплено в предыдущем как ^(S1) в SxX^ (см. определение удвоения зацепления). Нетрудно организовать построение множества Х = = (]{M(Dnl); п ^ 0} так, чтобы X оказалось букетом копий надстройки над компактом Уайтхеда, по одной для каждой компоненты зацепления /, а центр букета — общей точкой надстройки и центром шара В4.
Обращаясь к предложениям 3 и 5, можно ограничиться зацеплением Хопфа h и задать
Вопрос: является ли букет гладко клеточным в M^h^
Мы знаем, что положительный ответ эквивалентен утверждению, что /2-кратное удвоение Dnh является срезанным для некоторого п (предложение 3), и из него следует, что XV ^^ ^Al(/z)\pt (замечание 3.2). Применяя предложение 3 независимо к двум компонентам зацепления Л, получаем, что каждая из двух надстроек компакта Уайтхеда сама по себе является гладко клеточным множеством в M(h), однако, вообще говоря, объединение (гладко) клеточных множеств (даже дуг), пересекающихся в одной точке, не является (гладко) клеточным [FA], Заметим также, что предложение 1 утверждает, что этот букет удовлетворяет обычному критерию клеточности, имеющему место в размерностях ^5 [МсМ].
ЛИТЕРАТУРА
[BLL] Browder W., Levine J. and Linesay G. R. Finding a boundary for an open manifold, Amer. J. Math. 87 (1965), 1017—1028.
[Br] Brown M. A proof of the generalized Schoenflies theorem, Bull Amer. Math. Soc., 66 (1960), 74—76. [Имеется перевод в сб. Математика 5 : 5 (1961), 13—15]
[FA] Fox R. Н. and Artin Е. Some wild cells and spheres in three dimensional space, Ann. of Math, 49 (1948), 979—990.
[Fr]Freedman M. H. A fake S3 X R, Ann. of Math., 110 (1979), 177—201.
[GS]Gordon C. McA and Sumners D. W. Knotted ball pairs whose product
mith an interval is unknotted, Math. Aim. 217 5(1975), 47—52.
[McM] McMillan D. R. A criterion for cellularity in a manifold, Arm. of Math., 79 (1964), 327—337.
[WaJ Wall С. T. C. On bundles over a sphere with a fibre euclidean space, Fund. Math. 61 (1967), 57—72.
[Wa2] Wall С. T. C. Open 3-manifolds which are 1-connected at infinity, Quart. J. Math. Oxford (2), 16 (1965), 263—268.
Приложение
Двойственность между этой лекцией и лекцией I
Чтобы лучше увидеть эту связь, мы сосредоточим внимание на следующем эквивалентном варианте конструкции, в котором четырехмерный шар на каждом шаге один и тот же. Имеется естественное вложение е'\ Мф1^->-М^, доставляемое отображением 5z = idU^: M(Dl) = В4 U г {В2 X В2)-^ В4 U г {В2 X ^2) = = МЦу Отождествляя 74 (В (Z)) с ez(74(D(/)), повторим процесс и получим последовательность
M(Z)zd M(DI)zd ... DM^D ....
Определим I(/)-flWR, ^>1} и W4 (Z) = (74 (/) \ X (Z)) U (замкнутый воротник края дМ^)).
Нетрудно показать, что это многообразие W4^ диффео- морфно открытому четырехмерному многообразию, которое мы рассматривали до сих пор, но теперь множество X имеет лучшее пересечение с каждой ручкой индекса 2 многообразия М (/).
Главным объектом внимания далее будет пересечение V4 многообразия W(l) с ручкой индекса 2 В2Х^2 многообразия 74 (Z)— четырехмерное многообразие, не зависящее (с точностью до диффеоморфизма) от I. Заметим, что V4 = В2 X В2\Х, где X—компакт в В2ХВ2 вида П V^ m ^7^1}, а Н^х— ручка индекса 2, содержащаяся в Нп и приклеенная в (дВ2)Х^2 к n-кратному удвоению Dnu незаузленной окружности и = = (<9В2) X 0 (так что Нх = В2 X В2).
Утверждение. V4 есть гибкая ручка Кассона с единственной точкой (положительного) самопересечения на оси каждой сингулярной ручки.
Доказательство утверждения. Действительно, введем (по аналогии с лекцией 1 и ее приложением А) следующие обозначения: Рп = В2ХВ’\HMb N„=Hn\H„iX и пк = ^ь ЬНк, ^Hk+X), где о означает границу в В2 X В2. Заметим, что все пь с /г ^ 1 изоморфны как тройки и что V является телом бесконечной композиции кобордизмов п\п2 ... пь ..., так что достаточно доказать
Предложение. Nk есть регулярная окрестность двумерного диска В2, погруженного в Нк = В2 X ^2 с единственной точкой Р (положительного) трансверсального самопересечения и с краем дВ2 = 0 X дВ2 (так что 6Н& есть регулярная окрестность края дВ2). Кроме того, 6HW является регулярной окрестностью в dNk окружности, которая пересекает ровно в одной точке характеристический двумерный тор Т2 cl dNk двойной точки Р диска В2.
Доказательство предложения. По построению, Н№ есть регулярная окрестность незаузленного двумерного диска, собственно вложенного в НД^ЕР), следовательно, существует диффеоморфизм (по модулю углов!) 9: (Нк, Hk+^-^QB2, 4"^2) X X В2. Результатом действия диффеоморфизма 9 в dHk = S^ является прием перестановки компонент из примера А; получается, что 9 (дЯ^+1) = В2 X (д-у ^2) и что ^(^НД— регулярная окрестность удвоения незаузленной окружности в В2ХВ1:
Но теперь мы узнаем в тройке (9(АЙ); 9(бЯ/г); 6(6НкДД данную в лемме 2 лекции I модель регулярной окрестности двумер-
ного диска D2, собственно погруженного в В4 с одной точкой положительного самопересечения:
Это завершает доказательство предложения и утверждения. □
Обобщим теперь конструкцию этой лекции, допуская на каждом шаге конструкции не один, а некоторое переменное число неподкрученных удвоений; пусть некоторые из них положительны, другие отрицательны, все параллельны и незауз- ленны, как на первом рисунке ниже. Как и выше, мы получим компакт X и открытое многообразие W. Положим V = В2 X В2 \ \ x = w ^^хв^.
Утверждение (обобщенное). V есть гибкая ручка Кассона, и обратно, каждая гибкая ручка диффеоморфна результату такой конструкции.
Доказательство. Расширяя использованное выше обозначение, обозначим через Hk)i с / = 1, 2, ..., п^ ручки индекса 2, вложенные в В2Х В2 на ^-м шаге конструкции; пусть Нь+\, ц ь / = 1, 2, ..., s(£, О,— ручки индекса 2, вложенные в И^ i на (&+1)-м шаге конструкции; пусть Nk) = Hki t \ U ^Hk + X) y, 1 ^ j X S(k, z)}, и пусть nki i = (/V b> t, bH^t, \3^HkA.XiiJ; 1< ^j^s(6, z)}), где символ 6 обозначает границу в В2 X В2. Утверждение вытекает из следующего предложения:
Предложение (обобщенное). Nk, t есть регулярная окрестность двумерного диска D2, погруженного в Hk) i = В2Х В2 с s(k,i) точками трансверсального самопересечения и краем дВ2 = О X дВ2 (так что dHk,i — регулярная окрестность края дВ2). Кроме того, если через Tj, l^j^s(k, i), обозначен характеристический двумерный тор, отвечающий двойной точке Pj диска D2, то 8HtW,ij есть регулярная окрестность в dNk,i окружности, которая пересекает двумерный тор Tj точно в одной точке (и не пересекает никакого другого тора).
Доказательство. Окрестность Nk, t можно представлять себе как s^k, I) копий дополнения В2 X В2\сЦВ2 X В2), склеенных вдоль копий цилиндра В2Х В.
Согласно предыдущему предложению, каждую копию пространства В2 X B2\d(B2 X В2) можно представлять себе как регулярную окрестность погруженного двумерного диска с одной точкой трансверсального самопересечения. Чтобы завершить доказательство, склеим все эти диски:
Вопрос. Существует ли разумная гипотеза о зацеплениях, которая влечет тривиальность всех гибких ручек Кассона (или наоборот)?
Напомним, что для простейшей гибкой ручки Кассона V4, т. е. для ручки, полученной из башни погруженных двумерных дисков, каждый из которых имеет единственную (положительную) точку самопересечения, мы действительно имеем гипотезу, эквивалентную тривиальности ручки V4. А именно, К4 ^ В2 X Х(В2, дВ2^ в том и только в том случае, если для зацепления Хопфа h (см. пример А) существует такое целое число п > О, что зацепление Dnh является срезанным. Это следует из предложения 3 и замечания 3.2.
В заключение приведем прямое рассуждение.
Если V = B2XB2\X есть настоящая ручка, то окружность О X дВ2 ограничивает диск D, который нс пересекает X = П Нп п и, следовательно, не пересекает Нп для некоторого п и тем бо-
лее ее ось В'. Тогда В и В' вместе обеспечивают срезанность удвоения зацепления h.
Обратно, предположим, что зацепление Da^h является срезанным. Тогда, в силу леммы 5.1, окружности Вгг^2^дВ2Х^ и ОХ (ЗВ2 ограничивают непересекающиеся двумерные диски В и В' в В2ХВ2, каждый из которых сам по себе незаузлен. Отождествим В2ХВ2 с Ят, отображая В2ХдВ2 в 6Нт и (по лемме 0) диск В в ось Вт+г1+2 ручки HmWcHm. Имеем Ха а НтА.п^ и можно считать, что В' не пересекается ни с Нтц-п^ ни с Вт^^. Теперь, выталкивая X из В' изотопией с носителем в т1Яш, мы можем поместить X в сколь угодно малую окрестность-воротник Трубки д-Нт = НтПд-Щ, вдоль которой происходит приклеивание. Применяя бесконечно много таких изотопий, мы построим диффеоморфизм между V и В2 X В2; фактически мы показали, что V может быть перестроена так, чтобы Ха(дВ2)ХВ2.
ЛЕКЦИЯ III
ПЯТИМЕРНЫЕ ОДНОСВЯЗНЫЕ й-КОБОРДИЗМЫИ ТЕОРИЯ ГИБКИХ РУЧЕК
Напомним следующую теорему Уолла [Wa].
Теорема. Если М и М/— односвязные замкнутые четырехмерные многообразия с изоморфными квадратичными формами, то они Н-кобордантны. □
Посмотрим на такой /z-кобордизм и проанализируем проблему доказательства диффеоморфности многообразий М и NV.
Теория Смейла дает разложение Л-кобордизма на ручки, в котором имеются только дуально спаренные ручки индексов 2 и 3, так что в среднем четырехмерном уровне N4 имеются пары (Sp S^, l^Z^^, оснащенных двумерных сфер с 5/0 5/ = = 0=5<П5С и Sz • Sz. = 6r, 1 <ж, /^^ (см., например, IMi]).
>- h-кобордизм>- h-кобордизм
>- h-кобордизм
>- h-кобордизм
Заметим, что перестройка многообразия /V4 вдоль сфер Si дает многообразие 7И, а вдоль сфер Sz — многообразие М\
Предположим, что i = 1. В общем случае потребуется больше технических деталей, но вывод будет тот же самый. См. замечание в конце.
Если бы мы могли избавиться от лишних пересечений сфер S и S' (так, чтобы множество S П Sz состояло из одной точки трансверсального пересечения), то Л-кобордизм был бы тривиальным согласно основной теореме Смейла о сокращении ручек [М1]. Что же можно сделать?
Лемма 1 (ср. с леммой 1 лекции I). Сфера Sz может быть так перемещена объемлемой изотопией, чтобы jh (^\ (SUS7)) =0.
Доказательство. л1(/У\3) = 0, так как ?V\S ^ 7И\ (окружности); следовательно, G = Л1 (^\ (S U Sz)) порождается классами петель, сопряженных меридиану z' сферы Sz. Аналогично, Л1 (^\SZ) = 0 и G порождается классами петель, сопряженных меридиану z сферы S.
Следовательно, [G, G]— коммутант группы G— порождается элементами вида [z“, z'y], и, u^G. (Заметим, что g-1 [zM, z'u]5= = [zMg, z'yg].) Ho [G, G] = G. В самом деле, равенства S'-S'= = 0 и S,S'= 1 означают, что гомология нулю в W'\S' в случае петли, лежащей в 7V\(SUS'), может быть так изменена посредством добавления параллельных копий сферы S' и присоединением их трубками, чтобы она также располагалась вне SUS'.
Таким образом,
[22= 11 (Jz, Z *) .
1=1i=1
Теперь при помощи анти-Уитни-процесса для Wi между S' и S убьем [2, 2/w^.
Пусть X— регулярная окрестность объединения SUS' в N\ Заметим, что X просто есть пламбинг двух тривиальных расслоений со слоем диск над S2, так что мы имеем
Утверждение. Существуют непересекающиеся оснащенные окружности в дХ, скажем Сь ..., Ck с k + 1 = 4г (S П S1), такие, что если мы абстрактно приклеим к X ручки индекса 2 вдоль Ch ..., С к, то получим S2 X S2\B4 (посмотрите на модель Уитни). □
Кроме того, можно считать, что каждая окружность Ct пересекает ровно два характеристических тора точек пересечения сфер S и S', каждый в одной точке. Следовательно, используя различные суммы этих торов, мы можем проверить, что предположения теоремы лекции I выполнены, и натянуть на каждую окружность С/ гибкую ручку. Здесь ^ • С\ = 1, тх-С^ =
= 0, (т2—Т1)С1=0, (т2—Т1)С2=1. Мы получаем открытое множество VczM4 собственного гомотопического типа S2XS2\pt, так что S и S' порождают Я2(У). Заметим, что если бы гибкие ручки были настоящими ручками, мы могли бы довести до конца процесс Уитни и, сократив ручки, тривиализовать h-ко- бордизм.
Пусть U получается из V перестройкой вдоль S, a U'— из V перестройкой вдоль S'. Тогда U cz М и U' cz М'.
Лемма 2. Многообразия U и U' собственно гомотопически эквивалентны R\uU диффеоморфно U'.
Доказательство. Первое утверждение очевидно. Чтобы доказать второе, покажем, что существует инволюция а многообразия V, меняющая местами S и S'. Действительно, так как X есть пламбинг, мы имеем его инволюцию, меняющую местами S и S', и можно подвергнуть изотопии окружности Ci так, чтобы каждая из них (глобально) сохранилась. Теперь эта инволюция легко может быть продолжена на сингулярные диски, ограниченные окружностями Ci, и на их регулярные окрестности в N. Продолжая таким образом (см. лекцию I), мы завершаем доказательство. □
Заметим также, что полученная таким образом инволюция множества V сохраняет каждый этап Vt конструкции множества V. Таким образом, если Wi получается из Vi перестройкой вдоль S, a W^ из Vi перестройкой вдоль S', найдены такие сколь угодно большие компакты Wt и W t в 1) и U', что 7И\Ж- диффеоморфно W'^
Заключение. Если М и М' /г-кобордантны, то существуют такое открытое множество U cz М, собственно гомотопически
эквивалентное R4, такой компакт X cz U (например, X = U70) и такая инволюция а: U\X-> U\X, сохраняющая сколь угодно большие компакты Wi cz (7, что М' = (М \ W^a । U U, где а |: U \Wt->U \ wt.
Замечание. В общем случае S есть дизъюнктное объединение двумерных сфер Si, так же как и S'. Нам бы хотелось разделить S{ и S'. для / j, но это не всегда возможно. Что мы можем сделать — это приклеить гибкие ручки соответственно к каждой петле, возникшей благодаря точкам пересечения (в точности так же, как раньше).
Мы получаем теперь открытое множество V cz N, содержащее S U S' и собственно гомотопически эквивалентное Int^(S2X X S2 \ В4) = (Ф S2 X S2^ \ В4 (для некоторого к). &
В общем случае у нас больше нет инволюции на У, меняющей местами S и S', но этого можно добиться предварительным сдвигом S и S' посредством объемлемых изотопий с непересе- кающимися носителями. Пример:
[Mi] Milnor J. W. Lectures on the /t-cobordism Theorem, Notes by L. Sie- benmann and J. Sondow, Princeton Mathematical Notes, 1965.
[Wa] Wall С. T. C. On simply connected 4-manifolds, Proc. London Math. Soc. 39 (1964), 141—149.
По^ ред. Л. Гийу и А. Марена
НОВЫЙ ИНВАРИАНТ ГОМОЛОГИЧЕСКИХ СФЕР
РАЗМЕРНОСТИ 3
По А. Кассону
В 1985 г. А. Кассон построил новый инвариант ориентированных гомологических сфер размерности 3. Этот инвариант дал ему возможность решить старые проблемы, связанные с Наир- tvermutung (см. [М] ), например доказать, что инвариант Рохлина гомотопической сферы равен нулю. Немного позже Таубе дал аналитическое определение инварианта Кассона, открыв этим дорогу Флоеру, который при помощи «гомологии Флоера» дал многообещающее обобщение инварианта Кассона. Одним из результатов этого «ускорения истории» является то, что, так же как и теория «гибких ручек Кассона» (см. [GM], с. 201—244), этот важный вклад Кассона в топологию размерностей 3 и 4 остался в области устной традиции. Кассон изложил эти результаты веской 1985 г. в трех известных докладах, которые пересекли Атлантический океан в виде заметок, написанных С. Акбулатом, К. Милетом, Р. Элвардсом.
Окончательный вариант этого текста был подготовлен А. Мареном.
В противоположность последующему развитию этой области, которое использует тяжелую артиллерию анализа, описанная здесь оригинальная конструкция Кассона вполне элементарна. Это объясняется тем, что впоследствии Кассон привлек * глубокий результат Ньюстеда для доказательства формулы, высказанной им в качестве гипотезы1). Упомянем также другое подробное изложение, принадлежащее Акбулату и Маккарти ([АМсС]).
Формулировка результатов
Пусть К — узел в трехмерной гомологической сфере NL В случае когда необходимо указать объемлющую гомологическую сферу, такой узел обозначают (КспТИ). Через (М, К^ или просто К^ если путаница невозможна, обозначают гомологическую сферу, полученную перестройкой Дена с коэффициентом \/п вдоль узла К (см. [Rf], гл. 9). Через У обозначается множество классов ориентированно диффеоморфных трехмерных ориентированных гомологических сфер.
9 Но которая не была необходимой для наиболее эффективных приложений нового инварианта!
Определение. Инвариант Кассона есть такое отображение %: $?->- Z, что
0) X(S3) = 0 и Х^9^ не содержится ни в какой собственной подгруппе группы Z;
Х(7<^+1)—Х(Кп) не зависит от п; это инвариант узла К, обозначаемый Х'^К), или, точнее, V(KczAf), если возможно недоразумение.
Пусть (К, L)—зацепление с коэффициентом зацепления нуль в гомологической сфере М. Для любых к и I многообразие {К^ Ki), полученное перестройкой Дена с коэффициентом \/к вдоль К и 1// вдоль L, есть гомологическая сфера. Если X— инвариант Кассона, то свойство 1), требуемое в определении, показывает, что
^№+ь ЦМ-ХкКь Ц^-Шьи UWHKb В)
не зависит от к и /; это инвариант зацепления (К, L), он обозначается через Х"(К, L). Ясно, что
ГЦК-Ц = ХЧК^ Ц-ХЧКь ц =
= V(K, Ц^-Х^К, Ц^.
Определение. Инвариант Кассона будем называть хорошим, если
Х"(К, L)=0 для всякого ограничивающего зацепления)
Предложение. Если хороший инвариант Кассона существует, то он единствен с точностью до знака и, кроме того,
X' (трилистник) = ± 1;
З7) для всякого узла К имеем X'(K) = x/2^kW • X' (трилистник)) ;
Х(— М) = — Х(7И)3);
Х(М1#Л12)=^(Л11)+^(Л12);
число Х(М) сравнимо по модулю 2 с инвариантом Рохлина р(Л1) сферы М.
1.4. Теорема. Существует хороший инвариант Кассона, который кроме свойств 0)—6) обладает еще свойством
Если А,(7И)^0, то фундаментальная группа сферы М имеет нетривиальные представления в SU(2).
Следствие, а) Инвариант Рохлина гомотопической сферы или зеркальной гомологической сферы равен нулю.
Ь) Узел К сферы S3 с ненулевым ^A^l) обладает свойством Р 1).
Замечание. Доказательство того, что построенный инвариант Кассона является хорошим, опирается на трудную теорему Ньюстеда. Однако легко видеть, что число Х^^К, L) четно для каждого ограничивающего зацепления.
Отсюда следует, что Х7(К) сравнимо по модулю 2 с 72Ак(1) (достаточно заменить равенства в доказательстве свойства 3) сравнениями по модулю 2).
Свойства 4) и 6) имеют прямые доказательства, которые отмечены звездочкой (которая означает, что мы обходимся без теоремы Ньюстеда).
Так как 6) есть прямое следствие сравнения X' (К) =Р/2^к (1) (mod 2), то первая часть следствия 1.5 не зависит от теоремы Ньюстеда; во второй части следует предположить, что X'(К) отлично от нуля, но в случае, когда инвариант Рохлина — Ро- бертелло 72Ак(1) узла К не равен нулю, это очевидно.
Замечание. Инвариант Кассона не инвариантен относительно гомологической, кобордантности.
Если некоторый узел KclS3 ограничивает гладкий диск в D\ то гомологическая сфера Ki ограничивает гомологический шар (образующая группа Я2 шара Dx с приклеенной ручкой, дающей Кь реализуется гладкой сферой с самопересечением + 1 —достаточно стянуть эту сферу в точку).
Для каждого узла К связная сумма К^—К узла К и его зеркального образа ограничивает гладкий диск в D4 и ^z (Я # — Я) 72Ак#-к (1) = 7г Ак (1).Беря в качестве К трилистник, получаем сквер-узел —К, который ограничивает гладкий диск и для которого инвариант Кассона равен двум, а не нулю. '
Если вы хотите избежать теоремы Ньюстеда, можно обратиться к приложению, где прямо доказывается, что V(K)== — 72Ак (1) для узлов, имеющих незаузленные поверхности Зей- ферта рода 1.
Таким узлом является узел грузчика (рис. 1): он ограничивает диск в D4. Его многочлен Александера равен 5 — 2(Z +
+/-1—1), поэтому его инвариант Кассона равен —2, и, значит, отличен от нуля.
Доказательство предложения 1.3 дано в § 2. Оно является классическим, и читатель, который жаждет новизны, может его пропустить. Построение инварианта Кассона проведено в § 3. Проверка свойств 1) и 2) будет выполнена в § 4. Для свойства 0) нужно провести явное вычисление в одном примере, и это будет сделано в приложении В, где прямо вычислен инвариант
Рис. 1. Узел грузчика
Кассона узла, имеющего незаузленную поверхность Зейферта рода 1. Приложение А посвящено многочлену Александера и его связи с инвариантом Рохлина — Робертелло.
2. Доказательство предложения 1.3
Доказательство проводится в два этапа: сначала доказывается, что из свойств 0), 1), 3) и 3') следуют единственность X и свойства 4), 5) и 6). Затем доказывается, что из 2) вытекают 3') и 3).
Вывод единственности X и свойств 4), 5), 6) из 0), 1), 3) и 3')
Игнорируя знак числа X, можно считать, что для любого узла К
3")=
Лемма. Пусть М— гомологическая сфера. Существуют такое зацепление (К\ ..., К^) в S3, у которого все коэффициенты зацепления ЦК\К^ компонент равны нулю, и такие числа 81, ..., е^, равные ±1, что М получается перестройкой сферы S3 вдоль зацепления (К1, ..., Кп), снабженного оснащением, которое определяется коэффициентами 8Ь ..., sn.
Доказательство. Гомологическая сфера М получается из сферы S3 в результате перестройки вдоль какого-то зацепления. Можно считать, что форма пересечения четырехмерного много-
образия, определяемого этой перестройкой, знаконеопределенна и нечетна. Так как М— гомологическая сфера, эта форма, кроме того, унимодулярна, следовательно, она диагонализуема Достаточно реализовать диагонализацию сложения ручек. □
Доказательство единственности. Согласно лемме, М=(Ке1, • KeJ. Положим Mo = S3 II Mz = (/<e1? . .., для Z=l, 2, ...д. Тогда
Z (М) = X (Мп) = л (МД - л (М^) + . ..
+ A(MJ~A(Mz_1)++ W
В силу свойства 0), Z(Mo) = O, а в силу свойства 1), 7ДМУ—
-ХЦМ^ = едЖ^ М{„^
откуда X(M=LsA (К сМ^, виде Л(М)=£ (еД2) А^-гс_Л1._ ^(U.откуда X(M=LsA (К сМ^, виде Л(М)=£ (еД2) А^-гс_Л1._ ^(U.А'1А'1что в силу 3") записывается в
откуда X(M=LsA (К сМ^, виде Л(М)=£ (еД2) А^-гс_Л1._ ^(U.
откуда X(M=LsA (К сМ^, виде Л(М)=£ (еД2) А^-гс_Л1._ ^(U.
А'1
А'1
Эта последняя формула устанавливает единственность. □
Замечание. Обратите внимание, что в последней формуле многочлены Александера узлов К1 вычислены в многообразии М/_ь а не в S3. Рассмотрим пример, изображенный на рис. 2. Многообразие Mi диффеоморфно сфере S3, и образ узла К2 там незаузлен; следовательно, (К|, К2) есть сфера S3 с нулевым инвариантом Кассона, что согласуется с равенством ^(К'СМо) (0=1= А(^см2) (0-
Упражнение. Вычислите инвариант Кассона многообразия ^^i’ ^е)’ следУя Другому порядку компонент зацепления. Имеем 'Wctm (0 = — 1 + (Z + М1). Постройте поверхность Зейферта для К1 в К| и вычислите многочлен Александера узла К1 в КУ
Доказательство свойства 4). Если М представляется как результат (К^. . .., К^ диагональной перестройки, то многообразие —М имеет представление ^-&р • ^У£.)> где (—К1, ..., —Кп) есть зеркальный образ зацепления ^КЧ ...
.КД. Заметим, что узлы (—К5 cz—vH^A и (К1 cl М[_\) получаются друг из друга естественным продолжением зеркального отношения на результат перестройки и, следовательно, ^(-KLd-\b ^ = ^HciM^^t). Таким образом, равенство /д—Ж)=—Х(М) следует из равенства, данного в и. 2.2. □
Доказательство свойства 5). Оно совпадает с предыдущим доказательством: используется хирургическое представление многообразия ЛК^Л^, которое является «несвязной суммой» хирургических представлений многообразий 7И1 и ТИ2; остается лишь заметить, что многочлен Александера узла не изменяется, когда берется связная сумма объемлющего многообразия и гомологической сферы. □
Доказательство свойства 6). В соответствии с п. 2.1 вся- аПя гомологическая сфера получается из S3 последовательностью перестроек с коэффициентами ±1. Свойство 6), таким образом, следует из свойств 0), 1) и 3/z) и нижеследующего предложения 2.6.1. □
Предложение. Пусть К — узел в гомологической сфере ?Л и е ± 1; тогда
р(м, /<е) — р(Л1) = 72А^(1).
Доказательство предложения 2.6.1. Пусть V и V' — спинорные многообразия размерности 4, ограниченные соответственно многообразиями Л4 и № = ^М,КД. Сигнатуры многообразий V и V' делятся, следовательно, на 8, а инварианты Рохлина многообразий М и Мд по определению, представляют собой приведения по модулю 2 чисел о(17)/8 и о(К')/8.
Пусть W'— объединение многообразия V и ручки индекса 2, приклеенной к V вдоль К посредством тривиализации, определенной коэффициентом 8±1. Край объединения IF7 есть Мд л можно образовать замкнутое многообразие IF=IF7U(— V7). Объединение F оси присоединенной ручки и поверхности Зей- ферта F' узла К в М есть характеристическая поверхность многообразия IF. Класс вычетов по модулю 16 сигнатуры многообразия IF определяется формулой Рохлина (см. [R] или [GM]): '
Здесь форма Рохлина ф характеристической поверхности F есть приведение по модулю 2 квадратичной формы узла1) К,
:) Точнее, квадратичной формы поверхности Зейферта F' узда К (см.при- ДАЖсиие Л или [G], с. 30—33).
следовательно, АгГ(ф) есть R(K)—инвариант Рохлина — Ро- бертелло узла К (см. приложение А). Сигнатура многообразия U7 вычисляется по формуле аддитивности Новикова — Рохлина: о (ИД = о (Il/Z)—or(IZZ) = or(1/)-j-е — o(Vz). Так как индекс самопересечения F-F поверхности F в W равен г, то предложение 2.6.1 вытекает из леммы А2, которая будет доказана в приложении А:
А.2. Лемма. Пусть К — узел в гомологической сфере М; тогда инвариант Рохлина — Робертелло узла К есть приведение по модулю 2 числа ДМДРц
Вывод свойства 3Z) из 2)
Шаг I. Редукция к сличаю, когда К есть узел в S3
Доказательство проводится индукцией по числу п, доставляемому леммой 2.1. Предположим, что свойство 3Z) доказано для узлов в гомологических сферах М, которые получаются из S3 посредством менее чем п перестроек с коэффициентом ±1 вдоль зацепления, состоящего из гомологически не зацепленных компонент (таким образом, если п = 1, то предполагается, чю 3Z) верно для узлов в S3).
Лемма. Пусть М' = Qm, К^ и К — Узел 6 Тогда узел К/ изотопен такому узлу К, происходящему из М, что возникающее в М зацепление (К, Кп) ограничивает.
Доказательство леммы 2.6.3. Образ в Mz поверхности Зей- ферта Fn узла Кп есть поверхность Зейферта F^ узла D\ вдоль которого к № приклеивается ручка, дуальная к ручке, приклеивающейся по узлу Ш к М. Пусть Fz— поверхность Зейферта узла К'. Поверхности F и Fn можно сделать непсресекающи- мися1) посредством изотопии поверхности F\ после чего узел К' и поверхность Ff можно опустить в М и получить искомое ограничивающее зацепление (К, КпУ □
По свойству 2) имеем
;/ (Kz с: мл) = v(Kcz му
С другой стороны, так как никакой цикл поверхности Fz не пересекается с F^ для вычисления матрицы Зейферта поверхности F на окружности, реализующие группы Hy^F^Zy можно натянуть поверхности в Mz, не пересекающиеся с ПД эти поверхности опускаются в М, и узлы ДД cz Mz) и (KczM) имеют одинаковые матрицы Зейферта, а следовательно, одинаковые многочлены Александера; таким образом, УгА^смз^) = V2^^
]) Так как поверхность Зейферта стягивается на букет окружностей.
и равенство X' (Kr <= М') = х1^гамо П) следует из индуктивного предположения V (К с= ЛД = !/2A("(1). □
Шаг И. Случай когда К есть узел в S3
Известно, что, меняя последовательно в диаграмме узла К некоторые проходы на переходы, можно сделать этот узел тривиальным. Так как для тривиальных узлов инвариант Кассона 2/ совпадает с Ч^" (1), то для доказательства свойства 3х) достаточно показать, что эти два инварианта изменяются одинаковым образом, когда проход заменяется переходом.
Рис. 4Рис. 4
Рис. 4
Рис. 4
Пусть К— узел в S3 и С — окружность, ограничивающая круг D, который пересекается с К трансверсально в двух точках с нулевым алгебраическим пересечением. Гомологическая сфера CG диффеоморфна сфере S3, и узел (KczCe) отождествляется с узлом в S3, который можно рассматривать как узел К после того, как над ним произвели (—е)-скручивание Дена вдоль D, или, если угодно (см. рис. 3), после изменения с —в на е знака точки скрещивания двух ветвей узла К, пересекающих круг D.
Пусть р—инвариант, определенный для узлов в S3 и принимающий значения в Z (например, р = X' или р ^ ^АД! )).
Определение. Узел, полученный s-изменением скрещивания, расположенного на D, есть по определению узел к К а <=Се).
Два изменения скрещивания называются дизъюнктными, если они расположены на двух непересекающихся кругах D и D', таких, что две пары точек К П D и Kf\D' не зацеплены на К.
Изменение инварианта р, вызванное изменением скрещивания, расположенного на D, равно
p*(C,K)=p(KczC1)-p(7<).
Лемма. Если ц = X' или ц = УгД"^) и К, D, С обозначают то же, что и выше, то ц*(С, К) не изменяется при изменении скрещивания, дизъюнктном с D.
Доказательство леммы 2.8. Пусть Df— круг, на котором расположено изменение скрещивания, дизъюнктное с D.
Случай р = X'. Так как два изменения скрещивания дизъюнктны, то окружности С и С' ограничивают в дополнении узла К неперссекающиеся поверхности Зейферта (рис. 4). Следовательно, (С, СД есть ограничивающее зацепление в S3 = Ко, которое лежит в Ki. Свойство 2) дает нам два соотношения Х"(С, С')=0. Расписывая эти два соотношения в терминах функции X и перегруппировывая члены, получаем, что Х'ДС, К), вычисленное в С[, равно Х'ДС, К), вычисленному в C'0 = S3. Таким образом, число Х'ДС, К) инвариантно относительно изменения скрещивания, дизъюнктного с D. □
Случай p=V2A/z(U- По формуле Конвея (лемма А1 приложения А) имеем A(^cCi) (^ — А^ (/) = (//2 —/-1/2) А^о (0> гДе Ко — двухкомпонентное зацепление.
Применяя формулу Конвея ко второму изменению скрещивания, получаем
(4(« с(с, О) и - Д(« = <)(0) ~ М - А' w) =
Вторая производная в точке 1 левой части есть удвоенное изменение числа ц*(С, К) при изменении скрещивания, расположенного на Df. Так как эти два изменения скрещивания дизъюнктны, то зацепление Коо имеет три компоненты и ДКоо(1) = О. Член в правой части выписанного выше равенства, будучи произведением трех функций, которые обращаются в нуль при t= 1, имеет вторую производную, равную нулю при t = 1. □□
Конец доказательства свойства 3х). Пусть К, С, D означает то же, что и выше. Используя изменения скрещиваний, дизъюнктные с кругом D, можно добиться, чтобы зацепление (К, С) было зацеплением, изображенным на рис. 5.
Так как узел К тогда тривиален, то для обоих инвариантов (ц = X' и |щ = 1/2Л//(1)) имеем ц* (С, К) = ц(К cz CJ = ц(Кп), где через Кп обозначен узел КаСх, представленный на рис. 6 (вертикальная лента закручена на п полных оборотов). Пусть Cf— незаузленная окружность, охватывающая вертикальную ленту узла Кп (см. рис. 7). Имеем
ц*(с; ^)=н(Кп-1)-н(о
В силу леммы 2.8, р*(С', К^ не зависит от п, в то же время Ко — тривиальный узел и K-i — трилистник Т (см. рис. 6); таким образом,
^(сх, Кп> = ^ЧС\ Ко) = ^(Т\
Так как Ч^т (1) = 1, инварианты Л7 и х1<Лк (1) V (Г) изменяются одинаково при изменении скрещивания и совпадают на тривиальном узле, поэтому они равны. В силу свойства (0) делаем отсюда следующий вывод: так как Х(^) не содержится в собственной подгруппе группы Z, то )ДТ) = ±1. □
Рис. 5Рис. 5Рис. 6Рис. 6Рис. 7Рис. 7
Рис. 5
Рис. 5
Рис. 6
Рис. 6
Рис. 7
Рис. 7
3. Построение инварианта Кассона
А. Представления в S = SU (2)
Отождествим группу Ли SU(2) со сферой S3 кватернионов с нормой 1. Алгебра Ли этой группы обозначается через .S7.
Для любой дискретной группы Г обозначим через К (Г) пространство представлений группы Г в группе S3. Это пространство снабжено компактно-открытой топологией. Через Й?(Г) обозначим замкнутое подмножество пространства ^(Г), образованное приводимыми представлениями, и через ^(Г)—его открытое дополнение (образованное неприводимыми представлениями).
Группа S3 действует справа сопряжениями1) в /?(Г). Это действие пропускается _через S3/{±} = SO(3) и свободно на ^(Г); таким образом, К (Г) есть тотальное пространство главного SO (3)-расслоения с базой Я (Г); пусть л: К (Г)->/?(Г)— проекция этого расслоения.
Свободные группы
Пусть L — свободная группа ранга к. Базис (ць аД группы L определяет гомеоморфизм1) между R(L) и (S3)^.
Пусть Ф: L-^Lf—гомоморфизм свободных групп L и U ранга к и / соответственно с базисами (яр ..., а^ и (уа^ ....а^. Обозначим через ф: (S3)Z-^(S^) отображение, определяемое отображением /?(Ф) при отождествлении пространств R^L'") и R^L) с (S3)z и (S3)^ посредством описанных выше гомеоморфизмов. Касательные пространства к (S3)z и (S3)fe в точках (1, ..., 1) и (1, ..., 1) являются ^z и 3?к.
Лемма. Отображение ф принадлежит классу С”, и его дифференциал в точке (1, . .., 1) можно представить как НЧФ-^у. НДи^^НДЬ;^), если отождествить H^L';^) и Н[ ^L\ ЭД с 3Z и 5?к при помогци базисов (а', . . ., а') и ар. . . . .., а^) групп H^L^Z) и HV(L;Z^ дуальных базисам «> ...,а^ и (а,^) [<Ю = д/, / и ai Ы = б/. /I
Таким образом, пространство R(,L) снабжено С°°-структурой и его касательное пространство в тривиальном представлении функториально отождествлено с Н[ (L; 3?У
Доказательство леммы 3.1. Если для 1 ^ i ^ к
Ф^ = аг , . . . а'у 1,yiNi
где 1 ^ п ^ / и а. eZ, торрется формулойгде 1 ^ п ^ / и а. eZ, торрется формулойотображение ф: (S3)z-> (S3)^ зада-отображение ф: (S3)z-> (S3)^ зада-
где 1 ^ п ^ / и а. eZ, торр
ется формулой
где 1 ^ п ^ / и а. eZ, торр
ется формулой
отображение ф: (S3)z-> (S3)^ зада-
отображение ф: (S3)z-> (S3)^ зада-
№ ..., хд = 1 х .1 ... X .1 , ..., X к ... X к ;\ '13Х1у1
это отображение бесконечно дифференцируемо и его дифференциал в точке (1, ..., 1) определяется формулой
°фid,...лМ’ у^ =
а\у + ... + а' у , . .., а^ + ... akN у к1YNx 1N1 lvК 1В
которая также определяет в указанных базисах гомоморфизм Я^Ф;^). □
!) Который представлению р в R(L) ставит в соответствие (p(^i), ... р(^)) в (S3)\
Определение. Для любой группы Г имеется естественное преобразование:
ф: НДГ;/у^Н3ЩГуЕу
которое элементу а е Я (Г; Z )= Нош (Г; Z) ставит в соответствие гр (a) = R (а) *([/?(/)]) [через /?(&): R(r)-^R^Z) обозначается отображение, индуцированное гомоморфизмом а, а через [/?(/)] — фундаментальный1) класс многообразия
Лемма. Если L— свободная группа конечного ранга, то преобразование гр: НДЕ; Z)-^H3{R{L)\Z) является изоморфизмом.
Доказательство леммы 3.3. гр разлагается в композицию h°^', где h: n3(R(L))->-H3(R(L))—гомоморфизм Гуревича и
ранг(L)
гр'—изоморфизм, так как л3 (R (L)) ^ Ц л3(3?). □ z = i
Следствие. В категории свободных групп конечного ранга имеется изоморфизм функторов гр: Н* (/?(•); Z)->Л*Я1 (•; Z).
Доказательство следствия 3.4. Это получается из 3.3 при помощи теоремы Кюннета и изоморфизмов формул универсальных коэффициентов НДЕДД\ Z)^ Нош(Я3(/?(£); Z); Z), НДЕ; ZJ^Hom^VL; Z); Z). □
Группы поверхностей
Пусть Yg = L2g/N— фундаментальная) группа некоторой ориентируемой поверхности рода g. Сюръекции группы L2g на Г^ соответствует инъекции R (Yg)->- R (L2g), образ которой есть ^-Д!), где д: L2g-^S— отображение вычисления: д(р) = р(6).
Предложение. Множество особых точек отображения д есть пространство &КД2§) приводимых представлений L2g в S3.
Следствие. Если g больше 1, то ^(Г^) есть подмногообразие размерности 6g* — 3 многообразия R^L2gy a ^(Fg) есть подмногообразие размерности 6g—6 многообразия R^L2g).
Доказательство предложения 3.5. Воспользуемся тривиали- зацией касательного расслоения сферы S3 посредством право-
инвариантных векторных полей. Пусть exp: .5? = AS3 —S3— экспоненциальное отображение. Напомним, что присоединенное) представление сферы S3 в L есть двулистное накрытие S3-^SO(3) = SO(^) и что два нетривиальных элемента из SO(3) коммутируют в том и только в том случае, если они имеют одинаковое множество неподвижных точек. Предложение 3.5 вытекает теперь из вычисления дифференциала отображения коммутирования.
Лемма. Дифференциал Т^ отображения коммутирования <8: S3XS3-^S3 в точке (х, у) есть отображеие ^X-iAA определенное формулой
(и, у) н-» Ad^ [(1 — Ady_I)(u) + (Adx_i)(y)].
Доказательство леммы 3.7. Имеем Т1^^, уДи, 0) =
= -^- [лГ1 exp (—tu) у"1 ехр (/ц) уу*хх"хух\ |/=0 =
= —х-хих + х~ху-хиух = X-1//-1 \и — уиу-х^ ух.
Аналогично вычисляется ^1(Х1У)(0, UY □□
В. Определение инварианта Кассона
Пусть l^i Ur 1^2 — разложение Хегора рода g ориентированного трехмерного многообразия М. Обозначим через F* поверхность F с удаленным кругом.
Ориентируем поверхность F (а вместе с ней и РД как край) многообразия У/i, ориентация которого индуцируется ориентацией многообразия М.
Фундаментальные группы многообразий F*, Wi, W2 свободны, следовательно, пространства их представлений в S3 являются произведениями трехмерных сфер.
Введем обозначения: R* = R (Л1 (РД ), Qi = ^(л^И/!)). Q2 =/?(Л1(№2)) и R = R^y, Р)У, значки ~ и А имеют тот же смысл, что и в начале п. А: например, Q! = R ^ (НА)) есть пространство неприводимых представлений группы Л1(Ц71), a Qi = = R (л1 (ИА)) есть факторпространство пространства Qi по действию группы SO(3).
Диаграмме Ван Кампена, в которой все гомоморфизмы — сюръекции:
wo
ЭД)
отвечает диаграмма, составленная из инъекций пространств представлений:
Заметим, что Qi и Q2— подмногообразия половинной размерности многообразия R* (так как гомоморфизмы лД/7*)-^ ->лДЖ) имеют сечения, индуцирующие С°°-ретракции пространства R* на Qi).
Ориентация многообразий R*, R, R, Q^ Q2. Фиксируем ориентацию сферы S3. Ориентации многообразий Qi и Q2 зависят от выбора базисов групп лДИ/Д и лДН/2), так что они произвольны.
Зато ориентация1) поверхности F* позволяет выделить сим- плектические базисы л = (аь Ь^, ..., ag, bg) группы лДР*). Из следствия 3.4 вытекает, что ориентация пространства R*, определенная выбором такого базиса, не зависит от выбора этого базиса.
Ориентируем многообразие R в соответствии с соглашением «база — слой» об ориентации тотального пространства расслоения.
Пусть ^^^Т)—такая локальная карта, что ф|{1}хг есть включение и д-ф — первая проекция; тогда ф: °иу^Т^>- сохраняет ориентацию, если ориентировано как открытое подмножество многообразия R*, окрестность °11 единицы в S3 имеет ориентацию сферы 53 и 7 ориентировано как открытое подмножество многообразия R.
Точно так же многообразие R ориентируется как база правого 5О(3)-расслоения >^:над открытым подмножеством Т, где это расслоение тривиально, R имеет ориентацию произведения X V X so (3) [czS3XrXSO(3)L
Итак, эта ориентация многообразия R не зависит от ориентации сферы S3 (так как ориентация группы 50(3) меняется одновременно с ориентацией сферы S3 и, поскольку R* является произведением 2g (четного числа) экземпляров сферы S3, его ориентация не меняется при изменении ориентации сферы S3).
Пусть Qt ориентированы произвольным образом (выбором базиса групп лДЖ)); ориентируем Qt как базу 5О(3)-расслое- ния Qi~>Qi. Заметим, что при обращении ориентации сферы S3 (если базисы групп лДКА) и TtJlK) остаются прежними) одновременно обращаются ориентации многообразий Qj и Q2.
Лемма, i) М есть целочисленная гомологическая сфера в том и только в том случае, если гомологическое пересечение (Qb Q^r* многообразий Q\ и Q2 в R* разно ±1.
М есть рациональная гомологическая сфера в том и только в том случае, если Qi и Q2 трансверсальна в тривиальном представлении.
Доказательство леммы 3.9. Отождествим многообразие R^ с группой (S3)2^. Пусть m: QiX Q2~^ R*—отображение, заданное формулой /п(^1, ^2)= Я\*Я2.
Из точности последовательности Майера — Вьеториса следует, что 7И является гомологической сферой с коэффициентами в кольце в том и только в том случае, если НДР*; А)—> -^HX(WX; А)®Я1(1^2; А) — изоморфизм. Для A Z это имеет место, согласно следствию 3.4, в том и только в том случае, если (Qt, Q2)R* = ± 1. Для A = Q это имеет место, согласно лемме 3.1, в том и только в том случае, если Qi и Q2 трансвер- сальны в тривиальном представлении. □
Следствие. Если М — целочисленная гомологическая сфера, то пересечение Qi П Q2 компактно.
Доказательство следствия 3.10. В силу пункта ii) леммы 3.9, если ГА есть рациональная гомологическая сфера, то тривиальное представление есть изолированная точка компакта Qi П Q2v поэтому множество QiAQ2\{1} компактно. Если, кроме того, М— целочисленная гомологическая сфера, то тривиальное представление есть единственное приводимое представление из Qi П Q2 = ^(Л1(А4)); таким образом, множество Ql П Q2 = Qi П AQ2\^i(A^) = Qi АУзМИ компактно. □
Замечание. Пусть группа Г сюръективно отображается на свободное произведение Г1*Г2, и пусть Я1(Г1) и Я1(Г2) имеют элементы порядка выше 2; тогда пространство неприводимых представлений группы Г не компактно. В частности, если М— расслоение Зейферта с базой, имеющей эйлерову характеристику < — 1, или если М есть связная сумма двух многообразий, которые имеют Я1 с элементами порядка >2, то Qi П Q не компактно.
В самом деле, пусть р: Tx->Z/pZ и р2: Г2->Z/gZ — два сюръективных гомоморфизма с р > 2 и ^ > 2. Пусть х и у принадлежат $ = TXS3 с |х| = |//|=1. Определим рх, у: Г-^S3 как рх.у°л, где л: Г~>Г1ХГ2 есть сюръекция, и если йеГ1 и b е Г2, то
р, , N - «Р (^^ л). р,., (6) = «р (
Это представление неприводимо только тогда, когда х отлично ОТ -Vy. □
Множества (^ и Q2 являются замкнутыми подмногообразиями половинной размерности некомпактного многообразия R. Так как, в силу следствия 3.10, пересечение Q^^ компактно, то можно, приведя Q} и Q2 в общее положение (посредством изотопии множества $i с компактным носителем), определить гомологический индекс пересечения (Qb Q2)£ множеств Qj и Q2 в R.
Определение. Инвариантом Кассона разложения Хегора Wzi Ur №2 рода g гомологической сферы М называется
t (Qi, Q2X
117,)-4-(-))«
Замечания, а) Если изменяется ориентация многообразия Qi (или Q2), то одновременно изменяется ориентация многообразия Qi (соответственно Q2) и Z(M, W2) не меняется. Из п. 3.8 вытекает, что X(M, W2) не зависит также и от ориентации сферы S3. ,
Знак (—1)^ будет объяснен в предложении 3.15; он необходим для того, чтобы инвариант Кассона не зависел от выбора разложения Хегора гомологической сферы М.
В § 4 мы увидим, что число (Qb Q2)^ всегда четно, потому что S3 -> SO (3) есть двулистное накрытие. Этим объясняется множитель 1/2.
3.14*. Упражнения, а) Ц—М, W2) = —X(M, Ш ^2).
18 Под ред. Л. Гийу и А. Марена
В самом деле, если изменяется ориентация многообразия М, то одновременно изменяется ориентация поверхности F* и, следовательно, ориентация многообразия R*. Таким образом, знаменатель числа % меняет знак. С другой стороны, 6 превращается в —6 и, таким образом, д заменяется композицией прежнего д и отображения вычисления обратного элемента S3—xS3, которое обращает ориентацию сферы S3; тогда из 3.8 вытекает, что ориентация многообразия R и, следовательно, ориентация многообразия R не меняются и числитель % сохраняет знак. □
Ь) Х^М, W2, №Д = Х(М, wx w2y
Доказательство мы, и в самом деле, оставляем в качестве упражнения.
. Предложение и определение. Инвариант Х^М, UX W2) не зависит от разложения Хегора Wi Jr ^2 гомологической сферы М.
Обозначим его через Х(Л4); это и есть инвариант Кассона гомологической сферы М.
Доказательство предложения 3.15. В силу теоремы Рейде- мейстера — Зингера (см. [Re] или [Si]) любые два разложения Хегора гомологической сферы М стабильно изоморфны. Таким образом, достаточно доказать, что Z(7W, UX W2) не изменяется при элементарной стабилизации.
При такой стабилизации поверхность F превращается в F'— связную сумму прежней поверхности F с тором Т; таким образом, R* превращается в R* = S3 X S3 X R*- Кроме того, каждое тело с ручками Wi заменяется телом с ручками Wt — связной суммой по краю Wi с полноторием Ti; меридианы и параллели тора Т гомологичны нулю соответственно в Т2 и X Следовательно, нужно подставить Qi = S3XlXQ вместо Qi и Q2=1XS3XQ2 вместо Q2. Многообразия R* и Qi отождествляются с подпространствами 1 X 1 X R* и 1 X 1 X Qi многообразия R*. Заметим, что Qi nQ2 = Qi П Q2 и что вблизи этого пересечения имеются карты
(R», Q{, Q') = (R3 X R3 X ^„ R3 X о X R„ о X R3 X Я.),
(R', QV Q;) = (R3XR3x£ R3X0XQP 0XR3XQ2) и, следовательно,
(Qh Q;)R,=(-i)dim,Q,,dim№(R3xo, oxr3V^
<Qb Q^ = (-l)dim($l>d^^ 0XR3)r,xRI(Qi, $2^ = = (-l)g(Q1, Q2^„
откуда
(-D^VQi. q=)^(-l)g(Qi, q2)r.(-D^VQi. q=)^(-l)g(Qi, q2)r.= t(-D8= t(-D8<Q„ Q^ (Qi, Q^r,<Q„ Q^ (Qi, Q^r,= X(M,= X(M,wb w^.wb w^.цм, if;, if;)--^-1^'
(-D^VQi. q=)^(-l)g(Qi, q2)r.
(-D^VQi. q=)^(-l)g(Qi, q2)r.
= t(-D8
= t(-D8
<Q„ Q^ (Qi, Q^r,
<Q„ Q^ (Qi, Q^r,
= X(M,
= X(M,
wb w^.
wb w^.
*. Предложение. Инвариант Кассона аддитивен относительно связного суммирования ориентированных гомологических сфер*. % (М7 #М")= X^Н^ ЦУ1").
Доказательство предложения 3.16. Пусть IFi U ^2 и IF^J^X X ^2—разложения Хегора многообразий М7 и М77. Связная сумма М многообразий № и М77 снабжается естественным разложением Хегора. Имеем /?„ = /?* X R" и Qt- = Q£ X Q"- Так же как в предыдущем доказательстве, получаем
(Q„
где g — род F7, g77 — род F77.
Многообразие R есть прообраз антидиагонали А = {(%, у)^ ^S3|xz/=1} при отображении (dz, дД; R; X R* S3 X S3. Следовательно, R содержит R7 X 1 и IX Rf\ a R содержит R7 и R77 как подмногообразия, и вблизи этих подмногообразий R изоморфно произведениям многообразий R' и R77 на окрестности тривиального представления в R77 и R* соответственно. Пусть R— факторпространство пересечения RnR*XR* по действию группы S3 X S3 посредством сопряжений; вне R7 и R77 это есть многообразие, которое содержит R'X R" как подмногообразие.
Множество классов сопряженных неприводимых представлений группы Л1(М)= л^ЛГ)* л^ТИ") распадается на три группы в соответствии с тем, что они:
не тривиальны ни на л^ТИ'), ни на л^М^);
тривиальны на л^М7);
тривиальны на л^М77).
Вычислим вклад в (Qb Qs)r от точек из Qi П Q2 тРех описанных типов.
Можно опуститься в R, так как многообразия Qt и Q2 оба принадлежат R'XR". Тогда получается, что Qj и Q2TpaHC- версальны в R'XR"- Так как01П02 состоит тогда из конечного числа точек, то можно отделить Qj от Q2 (выталкивая Qi вблизи Qi П Q2 из R'XR")- Теперь достаточно поднять эту изотопию в R, чтобы увидеть, что случай
не вносит вклада b(Qh Q2>£.
Локально в окрестности таких точек имеются карты
(R, Qv q2) ~ (R' X R'L Q\ X Q", Q; X Q'H следовательно, эти точки вносят вклад в ')
<Q;XQ7, ^Х9;ууГ = (-1^Q'^^Q", Q"\,;
Этот случай аналогичен и дает вклад
(-d,s"~1)8X q^q",
откуда для Я,(М) = -=-(— If s ,„ п ,— получаем
Я, (/И) =-^-(—1 )s+s"Я, (/И) =-^-(—1 )s+s"Я.Я.№ q'^rAqL q")^№ q'^rAqL q")^
Я, (/И) =-^-(—1 )s+s"
Я, (/И) =-^-(—1 )s+s"
Я.
Я.
№ q'^rAqL q")^
№ q'^rAqL q")^
R"R"2 ( } №2 ( } №
R"
R"
2 ( } №
2 ( } №
(—l)ss (Qp Q2)^" (^1 ’ ^2^ 9"
L(_x\g"
Доказательство свойств 1) и 2) инварианта Кассона
Лемма. Пусть К — узел в гомологической сфере М; тогда существует такое разложение Хегора ИЛ Ur 1^2 сферы М, что К лежит на поверхности F и разбивает ее.
U По лемме 3 1 Q^ и Q^ трансверсальны в тривиальном представлении и локальное пересечение есть ^', Q^)^-
Доказательство леммы 4.1. Пусть S— поверхность Зейферта узла К, которая представлена как пламбинг лент. Спроектируем «вертикально» поверхность S на поверхность F' разложения Хегора гомологической сферы М таким образом, что
проекция является погружением общего положения на осях лент и дополнение образа есть объединение кругов;
в точке «наложения двух лент» видны различные стороны поверхности ).
Поверхность, возникающая из шахматной раскраски (рис. 8, с)) этой проекции, ориентируема, и дополнение регулярной окрестности этой поверхности есть крендель.
Узел К разбивает границу регулярной окрестности этой поверхности. □
Лемма. Пусть W\ UrWC — разложение Хегора многообразия М и К — простая замкнутая кривая на поверхности F, разбивающая ее. Пусть h— скручивание Дена) поверхности F вдоль К.
Тогда Wx U ft" 1^2=1^, Ц W^dWx = F эРи^хеЕ = dW^ есть разложение Хегора многообразия (М,Кп), полученное перестройкой Дена с коэффициентом 1 /п на узле К-
Доказательство леммы 4.2. Пусть 9: R/2ZXI—RlJy^T7— такое вложение, сохраняющее ориентацию, что 9(R/2ZX0) есть кривая К. Скручивание Дена вдоль К определяется как гомеоморфизм W. F^F, где НДх) = х, если х не принадлежит образу отображения 0, и he(Q (щ и) )= 6 (ц + и + 1, у )•
Пусть /1 и И — два экземпляра ориентированного отрезка 9(0Х[—СП), полученные в результате сдвига его внутренности в Ц/i и ^2 при неподвижной границе. Тогда m =/i U—/2 есть меридиан узла К, который, если К ориентирован посредством 9, имеет с К коэффициент зацепления +1 (рис. 9).
Ясно, что W^ J /^ ^2 получается из М посредством перестройки Дена узла К (вне полнотория, образованного окрестностью образа вложения 9, эти два многообразия идентичны).
Новый меридиан есть т' = ^^(/OU—к» который на крае трубчатой окрестности узла К гомологичен т + пК. Коэффициент перестройки Дена, следовательно, равен \/п. □
А. Доказательство свойства 1)
Пусть I^iUr^2— разложение Хегора гомологической сферы М, доставляемое
леммойлеммой4.1. Скручивание Дена вдоль
леммой
леммой
кривой К, разбиваемой F, индуцирует диффеоморфизмы к*. R^^-R* и h: R >R.
По лемме 4.2 инвариант Кассона многообразия (М, Кп)
L(M, 7Q = 4-(-1)sL(M, 7Q = 4-(-1)sравен
L(M, 7Q = 4-(-1)s
L(M, 7Q = 4-(-1)s
Так как кривая К разбивает F, то скручивание Дена вдоль К индуцирует тождественное отображение в гомологиях поверхности F*, поэтому, согласно следствию 3.4, подмногообразие /z* (QJ гомологично Qi, откуда
Пусть R_ = {р е /?|р(К) = —1} есть1) подмногообразие многообразия R*; оно инвариантно относительно действия группы 50(3) посредством сопряжений, и его пространство орбит R- есть гладкое подмногообразие многообразия R. Идея доказательства состоит в том, чтобы использовать тот факт, что вне R_ диффеоморфизм h* эквивариантно изотопен тождественному отображению.
Описание диффеоморфизмов h* и h
Узел К разбивает поверхность на две поверхности F' и F"» Предположим, что отмеченная точка находится в F'. Тогда
R = {(р', р") е /?: X R" I dp' ■ dp" = 1} и h. (рО р") = (р', р" • др'),
где для х в S3 и р" в ^представление р"-х есть представление, сопряженное представлению р" посредством х, которое элементу у относит) элемент х-1 -р” (у) -х.
Предложение. В H^g-^R) существует такой класс 6, приходящий из H^g-^R-Y что
^п+Ч^, ^-(^(Qi), Q2>^ = 2(^(6), М,
h (б) = 8.
Следствие, i) Для любого узла К в гомологической сфере М разность ^(M.Kn+i)—Х^М,КД есть целое число, не зависящее от п (свойство 1).
Для любой гомологической сферы М число 7ДМ) целое.
Доказательство следствия 4.4. i) В силу предложения 4.3 и двух предыдущих формул имеем
(б,
мм, к.м-мм,
Это целое число, не зависящее от п, так как, согласно пункту i) леммы 3.9 (Qh Q2)^n = ± 1. □
Это следует теперь из леммы 2.1. □
Доказательство предложения 4.3. а) Конструкция класса 6. Посредством изотопии с компактным носителем можно сделать многообразие Qi трансверсальным R-, и при помощи соответствующей эквивариантной изотопии можно сделать многообразие Qi трансверсальным R_. Обозначим через Qi- трансверсальное пересечение многообразий Qi и R_ [Qi- ориентировано как база расслоения по правилу «база — слой»: в окрестности пересечения Qi- многообразия Qi ориентированно диффеоморфно многообразию S3\{l}XQi- таким образом, что отображение рн->р(К) соответствует первой проекции].
Пусть б— образ многообразия Qi- X SO(3) = Qi-XS3/{±l} при отображении Ф, которое точке ((pz, p"),g) ставит в соответствие (р', р" • gY Многообразие 6 снабжено ориентацией) произведения, умноженной на (—1)*.
Так как многообразие б инвариантно относительно сопряжения, оно определяет цикл 6 в R_, который неподвижен относительно й (так как отображение Л* тождественно на R-Y следовательно, пункт ii) имеет место.
Ь) Доказательство пункта 1). Пусть Н: (R^XR-^X [0, 1]-^ -^/?*\/?_ есть гомотопия, заданная формулой Я( (р', р") Д ) = = (р\ р"-ехр (tz)), где z— вектор из $ = ТхХ, для которого |г| < л и ехр (г) = др' = др".
Эта гомотопия инвариантна относительно сопряжения и сохраняет R, следовательно, она индуцирует гомотопию в фактор- пространстве
Н: (R\R-)XV\ 1^R\R_.
С другой стороны, так как 1Ц = h и отображение Ht для всякого t касательно к тождественному отображению в приводимых представлениях, то из пункта ii) леммы 3.9 следует, что (*)R_ U (Q2 П Im (Я ° hn X Id[o. п) компактно.
Для отрезка [а, 6] из [0, л] положим
Qia'61 = {р е Qt | d (1, р(Ое[а> 6]};
это множество инвариантно относительно сопряжения, его фактормножество обозначается Q^’^.
Пусть 0<и0<п и ₽„а = ^Д^-С'Л^ + Я^ГХ!*), 1]) (рис. 10).
В силу (*) имеем
<^+1(Qi), ^j? -<^n(Qi), Q2>« =(^(Ы, Q»)^-
Но объединение множеств рц с и0 < и < л есть гомология между pWo и образом рл при Ф фундаментального многообразия (—1 )^Qi-X S3/(S3/{±1}), где действие группы S3/{±1} посредством сопряжений получается в результате перенесения посредством Ф действия группы S3/{±1} посредством сопряжений в R_. Так как Ф пропускается через двулистное накрытие Q^-XS3/{±1} -*Qi XSO(3) • (S3/{±1}), то класс ря равен 2d и предложение 4.3 доказано. □
Замечание. Класс 8 происходит из Я3^_3(^_). Он имеет более простое определение в случае, когда Wv есть воротник одной из компонент дополнения FXK. (Это случай разложения, построенного посредством лемм 4.1 и 4.2.)
В этом случае можно отождествить R* и R" и, рассматривая, как в предложении 3.16, действие группы S3XS3 сопряжениями в R^XR^ получить SO (З)-расслоение пространства R_ над RLXR'l- Класс 8 есть тогда прообраз р-1(А) диагонали А произведения R'_ X RX
Доказательство свойства 2)
Дополнение к лемме 4.1. Пусть ^К, L)— ограничивающее зацепление в гомологической сфере М; тогда существует такое разложение Хегора Uh Ur 1^2 многообразия М, что К и L располагаются на поверхности F и разбивают ее на три части.
Доказательство дополнения 4.6. В силу леммы 4.1, можно предположить, что существует такое разложение Хегора ^ U ^1^2гомологической сферы М, что узел К разбивает F; в силу соображений общего положения можно считать, что поверхность Зейферта зацепления L лежит в У^.
Рис. 10. Жирной линией проведен цикл $и0
Повторяя доказательство леммы 4.1, строим разложение Хегора U^f |J ^IF^ стабилизирующее предыдущее разложение и такое, что L разбивает F". Пусть F" X[-1,1]— двойной воротник поверхности F" с К, лежащим в крае F" X 1 и разбивающим его, и с L, лежащим в крае FffX—1 и разбивающим его. Тогда, если через F" обозначена поверхность F" с удаленным кругом, не пересекающимся ни с К, ни с L, и если Wy есть F" X [—1,1], a Uh— крендель, являющийся дополнением внутренности Wi кренделя Uh в Л4, то искомое разложение Хегора есть Wv Uf uv □
. Лемма. Если ^К, L)—ограничивающее зацепление в гомологической сфере М, то число V (К, L) четно.
Доказательство леммы 4.7. Пусть hK и hL — диффеоморфизмы многообразия R, индуцированные скручиваниями Дена
вдоль К и L; обозначим через б^ и dL соответствующие циклы, построенные в предложении 4.3. Тогда имеем
2 Е 1)г(Qb Q^. V (К, Ц = (hL ^к (QJ), Q2^ -
- <hK (QD. Q^r - ^l (Qi), Qt\ + (Qi, Q^r =
= кнкш, hlVQ^g-HQx, ^ШК-^ьШ, Q2>r +
+ <Qi, ^ = 2^, /^‘(б^-З^, Q2)^ = 4(6k, б^, следовательно, 2/'(/(,£) четно. □
На самом деле имеет место
Предложение. Если ^К> L)—ограничивающее зацепление в гомологической сфере М, то число Х'ДК, L) равно нулю.
Доказательство предложения 4.8. Вычислением, аналогичным предыдущему, устанавливается равенство
2(-l)g(Qb С^/'ЧК, L) = (hL^~bK, q^.
Возьмем представитель класса 6К, построенный в замечании 4.5, и предположим, что кривая L находится в половине F” поверхности F; цикл hL (бк) есть прообраз при отображении р графика действия скручивания Дена hL на R' ~ R". Предложение следует из того, что hL индуцирует тождественное отображение в гомологиях многообразия R_, так как скручивание Дена вдоль L индуцирует тождественное отображение в гомологиях поверхности F”— это содержание следующей теоремы, принадлежащей Ньюстеду.
Теорема. Диффеоморфизм h связной поверхности F* со связным краем, индуцирующий тождественное отображение в гомологиях поверхности F*, индуцирует тождественное отображение в гомологиях многообразия R_, где R- = {р е ^ R^y^F*)) \p^dF*) =—1} и R_ есть факторпространство пространства R- под действием сферы S3 посредством сопряжений.
Ссылки относительно доказательства теоремы 4.9. Ньюстед (см. [N1], теорема 2, с. 246) вычислил чисто топологическим способом размерность гомологий многообразия R-. Затем он получил образующие кольца когомологий многообразия R_t которые, очевидно, неподвижны относительно действия диффеоморфизма, индуцирующего тождественное отображение в гомологиях, откуда следует теорема 4.9 (см. [N2], теорема 1, с. 338). Для этого последнего результата ему потребовались два нетривиальных результата алгебраической геометрии:
R_ гомеоморфно пространству S^ стабильных расслоений ранга 2 на кривой рода g; класс Чжэня этих расслоений равен 1, а их определитель фиксирован (см. [N — S]);
S(g) есть проективное алгебраическое многообразие (см. [Ми]); следовательно, к нему можно применить теорию Лефшеца. □
ПРИЛОЖЕНИЕ А
МНОГОЧЛЕН АЛЕКСАНДЕРА И КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМАОРИЕНТИРОВАННЫХ ЗАЦЕПЛЕНИЙ. ФОРМУЛА КОНВЕЯИ ИНВАРИАНТ РОБЕРТЕЛЛО
Пусть К— ориентированное зацепление в ориентированной гомологической сфере М и F—его связная поверхность Зей- ферта (см. [Rf], с. 118—120, или [G], с. 24—28). Пусть r. FX Х[—1, 1]-)-Л1 — ориентированный двойной воротник поверхности F в М. Форма Зейферта поверхности F есть билинейная форма s, определенная на ^i(F;Z), которая ставит в соответствие двум гомологическим классам, представленным кривыми х и у, лежащими на поверхности F, коэффициент зацепления кривой %+=/(%, 1) и кривой у. Матрица Зейферта1) S поверхности F есть матрица формы s в базисе группы HX{F\7,).
Кососимметрическая форма I = s — ^s является) формой пересечения поверхности F; если К— узел), то она унимоду- лярна.
Симметрическая форма g = s + ^ есть квадратичная форма поверхности F; она четна и в случае, когда К— узел, имеет нечетный дискриминант).
Арф-инвариант приведения q2 по модулю формы q есть инвариант Рохлина — Робертелло узла К (см. [Rb]).
]) Две поверхности Зейферта одного и того же зацепления ставятся изотопными после прибавления к ним тривиальных ручек, и, следовательно, две матрицы Зейферта S-эквивалентны, т. е. становятся конгруэнтны после неко-
г S *0-1
торого числа стабилизаций S i—>*торого числа стабилизаций S i—>*L 0L 00101оо -оо -(см. [G]).(см. [G]).
торого числа стабилизаций S i—>*
торого числа стабилизаций S i—>*
L 0
L 0
0
1
0
1
о
о -
о
о -
(см. [G]).
(см. [G]).
Нормализованный1) многочлен Александера узла К есть Ay<(^)det(F/2S— t~1/2tS). В случае узла это многочлен2) от t и t~\ удовлетворяющий условиям Дк(1) = 1 и ДК(Н) = Дк(О-
Изменение нормализованного многочлена Александера, вызванное изменением скрещивания, задается формулой Конвея.
Рис. 11. Изменение скрещивания
А1. Лемма (формула Конвея). Пусть К-, Ко и К+—три ориентированных зацепления, которые совпадают вне шара В и пересекают этот шар по двум незаузленным дугам, расположенным так, как показано на схемах рис. 11.
Тогда Ак^О - Дк_(0 = (/1/2 - Д^О-
Доказательство леммы А1. Пусть Fo— связная поверхность Зейферта зацепления Ко, которая пересекает шар В по двум непересекающимся дискам, каждый из которых ограничен дугой, лежащей на дВ, и компонентой пересечения В П К. Обозначим через F^ и F_ поверхности Зейферта зацеплений К^ и К-, которые вне В совпадают с /^ а с шаром В пересекаются по лентам, показанным на рис. 11.
Пары поверхностей (F+, Fo) и (F-, Fo) абстрактно диффео- морфны. Пусть (а^, ..., ап)—кривые a Fo, образующие базис группы Н\^Ро; ^), и пусть ао — такая кривая на F±, что последовательность кривых (а0, а^, ..., ап) дает базис группы ^MF±;Z). Если S-, So, S+—матрицы Зейферта, отвечающие этим базисам, то
s_ =
a cv ... сп
b\
ьпi
, s+ = s_ +
1 0О’
0
:0
.0
!) Как следует из примечания 1 на предыдущей странице, ^кд) не зависит от выбора поверхности Зейферта S.
2) Более общо: если группа НуИ*, Z) четного ранга (в противном случае tY/2kKW есть многочлен относительно t и t-Yy
следовательно,
Разлагая определители det (?/2S+— С1/2 ZS+) и det (?/2S_— — Г-1/2/5_) по элементам первого столбца, получаем искомое тождество. □
А2. Лемма. Пусть К — узел в гомологической сфере М; тогда инвариант Рохлина — Робертелло узла К совпадает с приведенным по модулю 2 числам УгА^О).
Доказательство леммы А.2. Квадратичная форма поверхности F с матрицей Q = S+ZS является четной формой с нечетным дискриминантом, следовательно, над кольцом целых 2-адиче- ских чисел она изоморфна ортогональной сумме четных форм ранга 2 (см. [HNK], с. 4—5):
где матрица Р имеет нечетный определитель. Таким образом, 8 Г Г 2а-1
Ак (-1) = det (iQ) = det (Р? ГТ det /I / _ gg
= (det (P)2 JJ (1 — Аар^ = 1 + 4 JJ ap; mod 8.
/-1/=1
Итак, мы получили формулу Левина;
Ак (— 1) = 1 + 4 Art (^2) mod 8.
Ряд Тейлора многочлена Лк(О в точке 1 имеет целые коэффициенты1). Поэтому он позволяет найти в кольце целых 2-ади- ческих чисел значение многочлена Александера для каждого нечетного числа и, в частности,
АД-1) = АД1) +АД-1) • (—2)+ ’/гАД!) • (—2)2 —
-8 J (l/M!)A^(l).(-2r-3.
В силу нормализованности имеем Ау<(1) = 1 и \к^ — ^k^-xV следовательно, А^(—1) = 0, откуда
А^ (—1) = 1 + 472А^ (1) • 4 mod 8.
Сравнением с формулой Левина получаем отсюда лемму А2:
Arf (#2) = V2A"(1) mod 2. □
ПРИЛОЖЕНИЕ В
ИНВАРИАНТ КАССОНА УЗЛА РОДА 1 С НЕЗАУЗЛЕННОЙПОВЕРХНОСТЬЮ ЗЕЙФЕРТА
Теорема. Пусть К — узел в гомологической сфере М, имеющий поверхность Зейферта рода, 1, дополнение которой является кренделем; тогда инвариант Кассона Х'^К) равен определителю матрицы Зейферта этой поверхности ^следовательно, равен V2A"(1)).
/. Неприводимые представления свободной группыс двумя образующими
ПустьL2 = Z*Z — свободная группа с двумя образующими щ и е2; пусть d = efW1^^ и д: /?(L2)-^S3—отображение, которое представлению р ставит в соответствие р(6). Напомним, что в силу предложения 3.5, д является расслоением над S3\ {1}. Пусть л: R (L2) R (L2) — проекция.
Лемма. Существует такое 8 = ±1, что для любого трехмерного ориентированного многообразия V и любого собственного отображения ф: V ^R(L2) имеет место равенство
степень (доф)=8 степень (л°ф).
!) Так как А^(0 —многочлен относительно t и М.
Доказательство леммы В2. Заметим сначала, что, так как Й^ЬД имеет в 7?(L2) коразмерность 2, его дополнение R^L2) связно.
Пусть р — такая точка многообразия ^(L2), что д(р) =—1. Класс представлений, сопряженных представлению р, является трехмерным замкнутым многообразием, содержащимся в слое сН(—1)- этот слой связан, так как база S3\{1} стягиваема и тотальное пространство R^L^ связано. Слой сМ (—1), следовательно, совпадает с классом представлений, сопряженных представлению р, и расслоения 5 и л имеют общий слой, откуда следует лемма (е = +1, если этот общий слой получает одну и ту же ориентацию и как слой расслоения д, и как слой расслоения л, в противном случае е = —1). □
Пусть D — единичный круг плоскости .С и о: DX^^-^ -+R(L2)—отображенное, заданное формулами
/ еИ 0 \
а (а, 0(^1) = ^ 0 е_ц ),
( а-— V1 — I«I2 ^
<т(а, /)(е2) =—__.
W1 — I«I а /
Лемма. Отображения д®^ и лдф являются диффеоморфизмами.
Доказательство леммы ВЗ. Для д^ср это следует из того, что д ° <р есть собственное отображение и, как показывает вычисление леммы 3.7, д^ ф есть субмерсия.
В случае п°ф пусть р—неприводимое представление; воспользовавшись сопряжением, можно добиться, чтобы р(^!) =
/ еи 0 \
=1 у н I с / е (0, л); взяв сопряжение представления р посредством элемента, коммутирующего с р(щ) (т. е. посредством
/а —&\ диагональной матрицы), можно добиться, чтобы р(е9)= у |
\ о с положительным Ь.
Так как элемент, который сопрягает р с таким представлением и принадлежит образу отображения а, единствен с точностью до знака, то л°ф — диффеоморфизм. □
//. Открытое множество неприводимых представлений фундаментальной группы поверхности рода 2
Пусть F = F-V)F-v — поверхность рода 2, объединение двух экземпляров F_ и F+ поверхности Ко рода 1 с краем.
Пространство представлений группы Л1(К) есть R = — {(р_, р+)е R-X ^+|<5(р-) = д(р+)}, где R- и R+ — пространства представлений свободных групп ранга 2 л^/7-) и ^i(F+).
Обозначим через <2/ открытое подмножество многообразия R, состоящие из таких представлений р из R, что p(5(f+)) ^ 1. Согласно лемме ВЗ, в классе представлений, сопряженных каждому представлению рЕ^, имеется единственный элемент вида (a (a, t), р+), где р+ принадлежит R^. Таким образом, идентифицируется с Rv* ориентация многообразия 41 получается из ориентации многообразия R^ умножением на е, если ориентация Ra- определяется ориентацией поверхности F (где 8— знак из леммы В2). Кроме того, если р: F-^F0— отображение, которое складывает F на Fo, то образ p(R(FQ)) содержится в и отождествляется с образом сечения а в R+.
Ш. Доказательство теоремы В1
Пусть Fo — незаузленная поверхность Зейферта узла К. пусть F = F_\jF+ — край регулярной окрестности Wx поверхности Fq и 1Г2— дополнительный крендель.
Выберем симплектический базис (ei,^) группы л^^о) и примем его за базис группы Л1(Ц/1). Выберем такой базис (fi,/2) группы Л1(№2), чтобы матрица коэффициентов зацепления Цеь fj) была единичной. В качестве симплектического базиса группы Л1(К*) возьмем (eF, сГ, et, et), где ef есть кривая ei, сдвинутая в F+.
Вычисление (Qh Q2)^ . В базисах, которые были только что введены, матрицы гомоморфизмов включения Н{ ^F^ Нх (IFJ
Z 0 1 1 О X
и (F) -> Нх (1Г2) равны соответственно . n n 1 I и
//о 1\ . \
V 1ГДе ^~матРица Зейферта поверхности Fo, а
*S — транспонированная матрица. Обозначим через Т матрицу / ° 1 \ ,
I I • S. В силу следствия 3.4, индекс пересечения (Qh Q2)^
равен определителю
ГО 1ГО 1detdet1 0Г1 0Г101ГО0 1 =det 1S JL0101ГО0 1 =det 1S JL01 1 011 1 010 0 10 0 1-det (S-'S) = -1.-det (S-'S) = -1.
ГО 1
ГО 1
det
det
1 0
Г
1 0
Г
101ГО
0 1 =det 1
S JL0
101ГО
0 1 =det 1
S JL0
1 1 01
1 1 01
0 0 1
0 0 1
-det (S-'S) = -1.
-det (S-'S) = -1.
Так как S —'S есть матрица формы пересечения поверхности То, то ее определитель равен 1. □
Вычисление (/2 (Qi), Q^r — (Qb Qs)r. Заметим, что ^i содержится в открытом множестве ^ и что если h— скручивание Дена вдоль К и S — слой расслоения л: Rv->Rr, то открытое множество 4Z содержит также /^(QJ и, в силу леммы В2, ВЗ и В4, цикл h(Q^ «гомологичен» циклу Q} + 2sS в ^^^R^. Следовательно, имеем
(^ (Qi), Q^r (Qi, Q^r ™ б(2е5 • Q^ = 2е2 (Q2 • 5)^ =
--2 deg (Q2n^+^^+).
Итак, имеем морфизм SO(3)-расслоений:
Q2 П ^—-> F+
где отображение Z+: Q2->Rr индуцировано гомоморфизмом включения Л! (F+) -> л} (IFJ. Следовательно, deg(Y) = = deg G+ lQ,n ^) = deg (ZД = deg (Я1 (FJ -> Hx (WJ) - det (S). Третье равенство имеет место в силу следствия 3.4.
Следовательно, (A(Qi), Q2)^ — (Qb Q2)^ = —2 det (S).
Так как g = 2, то получается
zWb Чз)^
1 —2 det (S).
2zrj= det(S). □
ЛИТЕРАТУРА
[AMcC] Akbulut S., McCarthy, Casson’s invariant for oriented homology 3-spheres, an exposition, Preprint, 1986.
[G] Gordon C. McA Some aspects of classical knot theory, «Knot Theory»— Proceedings, Plans-sur-Bex, 1977, Lecture Notes in Mathematics 685, 1—60, Springer, 1978.
[GM] Гийу Л., Марен А., Обобщение теоремы Рохлина о сигнатуре. См. в настоящей книге, с. ООО—ООО.
[HNK] Hirzebruch F., Neuman W. D., Koch S. S. Differentiable manifolds and quadratic forms, Marcel Dekker, New York, 1971.
[M] Marin A. Un nouvel invariant pour les spheres d’homologies de dimension trois, d’apres A. Casson. Sem. Beurbaki 1987—1988, expose n°693 (Fev. 86).
[Mu] Mumford D. B. Projective invariants of projective structures and applications, Proc. Int Congress Math. Stockholm (1962), 526—530.
19 Под ред. Л. Гийу и А. Марена
[Nl] Newstead Р. Е. Topological properties of some spaces of stables bundles, Topology, 6 (1967), 241—262.
[N2] Newstead P. E. Characteristic classes of stable bundles of rank 2 over an algebraic curve, T. A. M. S. 169 (1972), 337—345.
[N — S] Narashiman M. S., Seshadri C. S. Stable and unitary vector bundles on a compact surface, Ann. of Math. 82 (1965), 540—567.
[Rb] Robertello R. An invariant of knot cobordism, Comm. Pure Appl. Math. 18(1965), 543—545.
[Re]Reidemeister K. Zurdreidimensionalen Topologic, Abh.Math. Sem.
Univ. Hamburg 9 (1933), 189—194.
[RI]Рохлин В. А. Доказательство гипотезы Гудкова, Функц. анализ и
прилож. 6:2 (1971), 62—64.
[Rf]Rolfsen D. Knots andLinks, Publish, or Perish, Berkeley,1976.
i]Siebenmann L. S. Lesbissections expliquent le theoremede Reidemei
ster Singer un retour aux sources, Prepublication de Luniversite d’Orsay 1980.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактораперевода 5
В. А. Рохлин(1919—1984) 9
Работы В. А.Рохлина11
Введение14
Литература18
Часть I. В направлении Рохлина . . . 21
Четыре статьи В. А. Рохлина 21
Об одном отображении (п + 3)-мерной сферы в л-мерную21
Классификация отображений (л+ 3)-мерной сферы в л-мерную . . . 25
Трехмерное многообразие — граница четырехмерного30
Новые результаты теории четырехмерных многообразий . .... 33
Литература38
Комментарии к четырем статьям В. А. Рохлина, Л. Гийу и А. Марен . . 39
О двух первых статьях41
Тор Т^ и реперное поле Н^42
Построение многообразия М4и поля Я„44
Приложение А. Описание отображения Хопфа и его надстроек . . 48
Приложение В. Некоторые изображения многообразия L4 и тора
Разложение многообразия L4 на ручки . ... 51
Приложение С. Характеристическиеповерхности56
Приложение D. Многообразие Рохлина Мр поверхности Энриквеса и КЗ-поверхности58
О третьей статье (R[19])65
Окружности двойных точекпогруженияобщего положения . . . 65
Метод Кнезера сглаживания циклов комбинаторного многообразия.
Попытка комбинаторного доказательства равенства Q4 = Z . . . 69
Упражнения88
Литература92
К четвертойстатье(R[20]) 93
Вычисление группы ориентированных кобордизмов П4 .... 93
Вычисление группы неориентированных кобордизмов 914 . . . . 98
Исправление двух первых статей . . .100
Упражнения104
19*
Обобщение теоремы Рохлина о сигнатуре. Л. Гийу и А. Марен . . . .110 I. Формулировка результата . . 111
II. Квадратичные формы на Z2/Z-пространствах и инвариант Брауна 112 III. Геометрическое определение квадратичной формы q-.Hx^F\
Z/4Z115
Доказательство теоремы .121
Характеристические перестройкиикобордизмы124
Приложение128
Литература132
Элементарное доказательство теоремы Рохлина о сигнатуре и ее обобщения, принадлежащего ГийуиМарену.ЮкиоМацумото134
Арф-инвариант134
Доказательство теоремы Рохлина 137
Объяснение фактов 1)и 2)138
Инвариант Брауна141
Сравнение, полученноеГийуиМареном143
Доказательство теоремы5.2146
Литература148
СР2/а или Кёйпер и Масси в стране коник. Алексис Марен149
Пространство вещественных коник150
Точка зрения Кёйпера151
Диаграмма Масси 151
Дифференцируемые структуры на факторпространстве многообразия по инволюции, множество неподвижных точек которой имеет коразмерность 2 154
Упражнения, геометрияфакторпространстваС^2/о159
Литература161
Несколько замечаний о вещественныхплоскихалгебраических кривых. 162
Алексис Марен
Введение162
Доказательство сравнений163
Ориентация кривых, разбивающих свою комплексификацию . . . . 164 Приложение А. Контрпример к первому доказательству Рохлина . • 166 Приложение В. Две разбивающие М-кривые степени 7, имеющие одинаковые комплексные ориентации, по не являющиеся жестко изотопными 170
Приложение С.Контрпримеркдоказательству Чепонкуса171
Литература172
Приложение: Рохлиниеготеорема(пописьмуО.ВироиВ. Харламова) 173
Литература174
Часть 11. Направление Кассона175
Теорема о G-сигнатуре в размерности 4. К. М. Гордон175
Литература192
Кобордизмы классических узлов. А. Дж. Кассон и К. М. Гордон . . 193
Литература209
Приложение к предыдущей статье 211
Заметки о последующем развитии.П. М. Гилмер211
Литература212
Три лекции о новых бесконечных конструкциях в четырехмерных многообразиях. А. Дж. Кассон 213
Лекция I. Вложение открытых четырехмерных многообразий с точностью до собственных гомотопических эквивалентностей213
Литература . . . . 227
Приложение А. Гибкие ручки собственно гомотопически эквивалентны: доказательство Зибенманна227
Литература . . . . 233
Приложение В. Примитивный критерий собственной гомотопической эквивалентности Зибенманна233
Литература237
Лекция II. Удивительное четырехмерное многообразие238
Литература . . . . 248
Приложение. Двойственность между этой лекцией и лекцией I . . . 249
Лекция III. Пятимерные односвязные /i-кобордизмы и теория гибких ручек 254
Литература257
Новый инвариант гомологических сфер размерности 3. По А. Кассону 258 Приложение А. Многочлен Александера и квадратичная форма ориентированных зацеплений. Формула Конвея и инвариант Робертелло 283
Приложение В. Инвариант Кассона узла рода 1 с незаузлениой поверх
ностью Зейферта286
Литература .. . 289
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-п Рижский пер., 2, издательство «Мир».
В ПОИСКАХ УТРАЧЕННОЙ ТОПОЛОГИИпод редакцией Люсьена Гийуи Алексиса Марена
Заведующий редакцией чл.-корр. АН СССР В. И. Арнольд Зам. зав. редакцией А. С. Попов Ст. научн. редакторы А. А. Бряндинская, Н. И. Плужникова
Мл. научн. редактор Т. А. ДенисоваХудожник А. А. ЛукьяненкоХудожественный редактор В. И. ШаповаловТехнический редактор 3. И. РезникКорректор Т. М. Подгорная
И Б № 6971
Сдано в набор 25.01.89. Подписано к печати 10.08.89. Формат 60X90 716. Бумага типографская № 1. Гарнитура латинская. Печать высокая. Объем 9,25. Усл. печ. л. 18,5. Усл. кр. отт. 18,5. Уч.-изд. л. 18,29. Изд. № 1/8473. Тираж 4150 экз. Зак. JVs 69. Цена 2 р. 70 к.
Издательство «Мир»
В/О «Совэкспорткнига» Государственного комитета СССР по печати. 129820, ГСП, Москва, 1-й Рижский пер., 2
Набрано в Ленинградской типографии № 2 головном предприятии ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Государственного комитета СССР по печати. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.
Отпечатано в Ленинградской типографии № 4 ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Государственного комитета СССР по печати. 190000, Ленинград, Прачечный переулок, 6.
В издательстве «Мир»готовится к печати
Громов М. Дифференциальные соотношения с частными производными: Пер. с англ. — М.: Мир, 1990. 33 л.: 3 р. 60 к., 8000 экз.
Монография известного математика (Франция), представляющая собой полный и хорошо составленный обзор применения гомотопических методов к дифференциально-геометрическим, топологическим и иным задачам, которые описываются уравнениями и неравенствами с частными производными. В ней изложена общая точка зрения на теорию разрешимости соотношений. Это наиболее мощное средство исследований в многочисленных задачах геометрии. Изложение замкнутое, книга может служить справочным пособием по теории погружения.
Для математиков разных специальностей, аспирантов и студентов университетов.
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Заблаговременно оформляйте заказы на интересующие Вас книги. Заказы принимаются в магазинах, торгующих научно-технической литературой.
6. Доказательство леммы А. Кнезеру [8] принадлежит конструкция, позволяющая путем постепенного уничтожения особенностей превратить 6-мерный цикл, лежащий в комбинаторном (k + 1)-мерном многообразии, в гомологичное ему 6-мерное многообразие. Слегка видоизмененная и дополненная, эта конструкция позволяет превратить пленку, натянутую на лежащее в (6 + 2)-мерном евклидовом пространстве R^ ориентируемое замкнутое многообразие № в ориентируемое (6+1)-мерное многообразие MW с краем ЛИ. Сказанное имеет комбинаторный смысл; в частности, Л1/г есть подкомплекс комплекса R^"2. а ЛИ^:— подкомплекс некоторого подразделения комплекса R1^2. В этом комбинаторном смысле можно, таким образом, утверждать, что ориентируемое замкнутое многообразие М\ лежащее в евклидовом пространстве R3^, есть край некоторого ориентируемого многообразия /И/г+1.
Пусть теперь ориентируемое замкнутое многообразие ЛИ гладко вложено в R5. Мы заменяем это вложение близким ему комбинаторным вложением ML строим ориентируемое многообразие Mt с краем Л41 и вводим в Mt гладкость [2]. Последнее можно сделать так, чтобы на крае новая гладкость совпала с заданной.
Х22 =
Эти теоремы непосредственно вытекают из следующих пяти лемм: а) для всякого 7И4 существует такое s, что М4 ~ sP4; b) если М4 ~ N\ то о(Л14) = o(N4); с) a(sP4>) = s; d) если М4 - N4, то Х22(М4) = Х22^4у, е) X22(sP4) = 3s.
Предложения d) и е) принадлежат Понтрягину и уже цитировались выше. Лемма Ь) доказывается на основе классических теорем двойственности; лемма с) очевидна. Основную трудность представляет доказательство леммы а). Оно протекает следующим образом. Нетрудно показать, что для заданного многообразия 7И4 существует гомологичное ему связное многообразие Mi, обладающее тривиальной фундаментальной группой и вложи- мое в семимерное евклидово пространство R7. В R7 на Mi
дельном случае. На следующем этапе трудности становятся непреодолимыми; эта неединственность приводит к появлению нетривиальных гладких узлов
S3 С S6 (см замечание в конце этого параграфа).
(*) ЫХШ^Х^М
1) Касательная плоскость к поверхности Веронезе
* Заметим, что х (Сс)/2 ^ х (S2) — ^V = 2—.V, таким образом снова получаем неравенство Харнака.
**) Пусть и — векторное поле, касательное к R р + и трансверсальное к d(RP+), пусть п — нормальное поле к F, продолжающее 1и; суммы индексов нулей поля п на D и RP+ соответственно равны — Со-Со и
3) —М есть многообразие М, снабженное противоположной ориентацией.
2) Для ориентации края мы используем соглашение* ориентация многообразия с краем определяется как (внешняя нормаль) + (ориентация края).