Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ КОМПАКТНЫХ ГРУПП
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Перевод с английского Ю. Б. РУДЯКА
Под редакцией В. М. БУХШТАБЕРА
МОСКВА «НАУКА».
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1980
22.15
Б. 87
УДК 513.83
Glen Е. BREDON
Introductionto compacttransformationgroups
ACADEMIC PRESSNEW YORK-LONDON1972
Бредон Г. Введение в теорию компактных групп преобразований: Пер. с англ. —М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980.-440 с.
Книга посвящена теории действий компактных групп на топологических пространствах и, в частности, на многообразиях. Особое внимание уделяется топологическому аспекту этой теории. Изложенный материал включает в себя общую теорию действий групп на топологических пространствах, теорию Смита, теорию Бореля, теорию локально гладких и гладких действий групп Ли на многообразиях, содержит много примеров и ряд интересных приложений. Книга может быть использована как учебное пособие по специальным курсам топологии. Ее материал дает хороший фундамент для начала самостоятельной работы в теории групп преобразований.
Для научных работников, аспирантов и студентов старших курсов математических факультетов университетов и пединститутов.
20203-136Ь 053 (02)-8020203-136Ь 053 (02)-8032-80. 170203000032-80. 1702030000© Перевод на русский язык. Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1989
20203-136
Ь 053 (02)-80
20203-136
Ь 053 (02)-80
32-80. 1702030000
32-80. 1702030000
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 6
Введение 9
Глава 0. Предварительные сведения о топологических группах и группах Ли 12
Элементарные свойства топологических групп 12
Классические группы 16
Интегрирование на компактных группах 21
Собственные функции на компактных группах 24
Группы Ли 30
Структура компактных групп Ли 34
Глава I. Группы преобразований 41
Действия групп 41
Эквивариантные отображения и стационарные подгруппы . . . .44
Орбиты и пространства орбит 46
Типы орбит и однородные пространства 49
Неподвижные точки 53
Некоторые элементарные конструкции 55
Некоторые примеры О (п)-пространств 58
Еще два примера 64
Накрывающие действия 71
Упражнения к главе I 76
Глава 11. Общая теория G-пространств 79
Расслоения 79
Скрученные произведения и ассоциированные расслоения. . . .81
Скрученные произведения с компактной группой 87
Трубки и срезы 89
Существование трубок 92
Подъем путей 97
Теорема о накрывающей гомотопии 100
Конические орбитные структуры 105
Классификация G-пространств НО
Линейные вложения G-пространств 116
Упражнения к главе П 117
Глава III. Гомологическая теория действий компактных групп119
Симплициальные действия .120
Трансфер ., .. 122
Преобразования простого периода 125
Эйлеровы характеристики и ранги 129
Гомологические сферы и диски 132
Теория Чеха и G-покрытия 135
Действия конечных групп на произвольных пространствах. . .143
Группы, свободно действующие па сферах 149
Теорема Ньюмена 155
Действия торов 159
Упражнения к главе 111 168
Глава IV. Локально гладкие действия на многообразиях 170
Локально гладкие действия 171
Множества неподвижных точек отображений простого периода 175
Главные орбиты 179
Часть множества М*, являющаяся многообразием 185
Редукция к конечной главной стационарной подгруппе . . . .189
Действия на S” с единственным орбитным типом 194
Компоненты пространства B\JE 199
Действия с орбитами коразмерности 1 или 2 204
Действия на торах 213
Конечность числа орбитных типов 216
Упражнения к главе IV 220
Глава V. Действия с небольшим числом орбитных типов 222
Теорема об эквивариантной кромке 253
Теорема о дополнительной размерности 22а
Редукция структурной группы 231
Лемма о выпрямлении и георема о трубке 235
Классификациядействий с двумя орбитными типами 242
Вторая теоремаклассификации 248
Классификацияавтоэквивалентностей 256
Эквивариантноеводопроводное соединение 261
Действия на многообразиях Брискорна 266
Действия с тремя орбитными типами 272
Заузлениые многообразия 278
Упражнения к главе V 284
Глава VI. Гладкие действия 286
Функциональные структуры и гладкие действия 287
Трубчатые окрестности 293
Интегрирование изотопий 302
Эквивариантные гладкие вложения и аппроксимации304
Функциональные структуры на некоторых пространствах орбит 309
Специальные G-многообразия 315
Гладкие заузлениые многообразия 322
Группы инволюций 326
Полусвободные действия окружностей 335
Представления в неподвижных точках 341
Уточнения, использующие ортогональную К-теорию 346
Упражнения к главе VI 354
Глава VII. Когомологическая структура множеств неподвижных точек 356
Предварительные сведения 356
Некоторые неравенства . , ,.,,.,, . . ,362
Zp-действия на проективных пространствах 364
Несколько примеров 374
Действия окружности на проективныхпространствах378
Действия на пространствах Пуанкаре 385
Теорема об инволюциях 389
Инволюции на пространстве S” X S™ 394
Действия группы Zp на S'1 х Sm 400
Действия окружностинапроизведенияхнечетномерных сфер .406
Приложение к эквивариантнымотображениям 410
Упражнения к главе VII 413
Литература 415
Именной указатель 435
Предметный указатель ., . ,437
Изучение действий групп на топологических пространствах, которому посвящена предлагаемая книга, является широко известной и богатой приложениями темой топологии. Большая привлекательность этой темы заключается в том, что она постоянно служит источником новых и часто неожиданных связей топологии с другими разделами математики, в первую очередь с алгеброй и дифференциальной геометрией.
Все наиболее крупные достижения алгебраической топологии оказали существенное влияние на развитие методов изучения действия групп. Например, развитие теорий гомологий привело в 30 —40-е годы к результатам П. Смита по периодическим преобразованиям (см. гл. 111); развитие теории пучков, расслоенных пространств и спектральных последовательностей привело в 50-е годы к результатам А. Бореля по компактным группам преобразований (см. гл. III); развитие дифференциальной топологии в 60-е годы, приведшее к фундаментальным результатам по классификации гладких многообразий, позволило в ряде случаев получить методы классификации гладких действий групп Ли (см. гл. V и VI); развитие экстраординарных теорий когомологий привело в 60-е годы к возникновению экстраординарных эквивариантных теорий когомологий, которые дали эффективные методы изучения множеств неподвижных точек действий циклических групп и торов. В первую очередь здесь необходимо выделить результаты Коннера и Флойда [8] по применению теории бордизмов, а также Атья и Сегала [1, 2] по применению /(-теории (см. гл. VI).
Развитие приложений теории формальных групп Ли в алгебраической топологии позволило в 70-е годы ввести новые, эффективные методы построения и вычисления инвариантов гладких действий групп. Основные результаты в этом направлении были получены С. П. Новиковым и его учениками.
С другой стороны, и развитие теории действий групп оказало серьезное влияние на многие разделы топологии, обогатив их содержательными задачами. Например, популярность и быстрое развитие теории кобордизмов во многом обязано ее успехам
в задачах о неподвижных точках. Более того, при построении геометрических представителей различных важных классов топологических пространств и их отображений, а также при построении нетривиальных контрпримеров к различным утверждениям алгебраической топологии оказались полезными конструкции, возникшие в теории действий групп (см. гл. V и VI).
От читателя книги Бредона требуется довольно высокий уровень подготовки по основаниям топологии (см. Дольд [1], Рохлин, Фукс [1]) и общий университетский уровень подготовки в других разделах математики. Собранный автором материал является хорошим фундаментом для начала самостоятельной работы в теории действий групп, что оправдывает название книги. В то же время, учитывая отмеченную выше связь этой теории с рядом других разделов алгебраической топологии, можно рекомендовать эту книгу всем изучающим алгебраическую топологию, так как она содержит большое количество приложений различных методов и задач, решение которых, бесспорно, поможет лучше овладеть этими методами. От читателя, интересующегося только приложениями тех или иных методов, требуется существенно меньший уровень подготовки.
Среди глав книги необходимо особо выделить последние четыре главы, материал которых впервые излагается в монографической литературе. В главе IV вводятся, а в V и VI главах систематически изучаются локально гладкие действия на многообразиях. Тем самым автор вводит «хорошие» непрерывные действия компактных групп Ли на топологических многообразиях и показывает, что для них верны многие результаты, известные ранее только для гладких действий. Вообще, необходимо отметить стремление автора распространить результаты теории гладких действий групп на как можно более широкую категорию действий. Характерно, например, что понятие гладкого действия вводится только на с. 289. Такой подход, очевидно, позволяет расширить область приложений теории действий групп. В последних главах излагаются также замечательные результаты дифференциальной топологии по классификации гладких многообразий, оказавшие существенное влияние на развитие всей алгебраической топологии.
Отметим, что в книге не отражены замечательные приложения теории кобордизмов к теории групп преобразований. Это связано с тем, что автор не хотел повышать необходимый уровень предварительных знаний читателя и, кроме того, прекрасное введение в эти методы имеется в монографии Коннера и Флойда [8]. В книге отсутствуют также уже упомянутые достижения, полученные с помощью теории формальных групп Ли. Это объясняется тем, что эти методы стали широко известны лини, в 70-е годы. Результаты, полученные в этом направлении до 1975 г.> отражены в обзорах: Бухштабер В. М., Ми-
щенко А. С., Новиков С. П. Формальные группы и их роль в аппарате алгебраической топологии. — УМН, 1971, 26, №2, с. 131 — 154 и Бухштабер В. М. Кобордизмы в задачах алгебраической топологии. — Итоги науки и техники. Алгебра. Геометрия. Топология. М.: ВИНИТИ, 1975, т. 13, с. 231—272.
Издательство «Мир» недавно i ыпустило перевод книги: Сян У .-И. Когомологическая теория топологических групп преобразований. — М.: Мир, 1979. Необходимо отметить, что, несмотря на некоторое пересечение материала книг У.-И. Сяна и Г. Бре- дона, эти книги очень хорошо дополняют друг друга. Первая из них посвящена в основном развитию алгебраического, а вторая — развитию топологического подхода к теории непрерывных групп преобразований.
В заключение хочется выразить уверенность, что настойчивый читатель получит большую пользу и удовольствие, войдя в замечательный мир действий групп на топологических пространствах.
В. /И. Бухштабер
ВВЕДЕНИЕ
В топологии обычно изучаются такие объекты, как топологические пространства, топологические многообразия, полиэдры и т. д. В теории групп преобразований изучаются симметрии таких объектов или, более общо, подгруппы полной группы симметрий. Обычно группа симметрий снабжается естественно определенной ' топологией (вроде компактно открытой топологии), и целесообразно рассматривать эту топологию как часть изучаемой структуры. В некоторых важных частных случаях таких, например, как группа изомегрий компактного риманова многообразия, эта группа симметрий оказывается компактной группой Ли. Это является достаточной причиной для изучения компактных групп преобразований пространств или многообразий. Другим обстоятельством, заставившим нас сосредототочиться на изучении компактных групп, является тот факт, что в этом случае удается получить много сильных результатов и эффективных методов, не имеющих места в общем случае. И вообще, теория компактных групп преобразований в деталях довольно сильно отличается от теории некомпактных групп преобразований.
Как показывает беглый взгляд па список литературы, в последнее время ^ в этой области велись интенсивные исследования. Это убедило нас в необходимости написания такого достаточно обширного введения в эту область математики, которое могло бы быть понятным широкому кругу читателей на уровне выпускников математических факультетов.
Основным препятствием к написанию хорошего вводного курса явилось то обстоятельство, что излагаемая тематика проникла во многие весьма далекие друг от друга области математики. Это делает сложным написание такого учебника, который был бы доступен аспирантам второго года), охватывал бы большую часть предмета и который в то же время подводил бы читателя
!) И сейчас (а со времени написания автором этого введения прошло 8 лет) интенсивность исследований в этой области не ослабела. —Прим, перев.
к некоторым интересным и нетривиальным современным задачам. Чтобы обойти эту трудность, мы постарались придерживаться изложения, требующего минимум необходимых сведений, особенно в начальных главах книги. (Это не относится к главе 0. Читателю с минимальной подготовкой мы советуем прочесть первые три параграфа этой главы, а затем перескочить к следующей главе, возвращаясь к главе 0 по мере необходимости. Большинство же читателей может просто вообще пропустить главу 0.)
Для чтения этой книги необходимо знание начального курса алгебраической топологии. Требования в этом направлении весьма минимальны вплоть до второй части главы III, где нам понадобится теория Чеха. Двойственность Пуанкаре не используется до главы IV, а спектральные последовательности появляются лишь в главе VII. Значительному снижению требований к алгебраико-топологическому образованию читателя способствует то обстоятельство, что мы нигде в этой книге не используем обобщенных многообразий). При этом, конечно, несколько теряется общность формулировок многих теорем, но мы думаем, что эго не страшно. (Большинство современных результатов касается гладких и локально гладких действий, где эта потеря общности практически неощутима.)
Хотя в этой книге мы почти всюду имеем дело с действием компактных групп Ли, читателю не надо знать о группах Ли почти ничего, за исключением нескольких простых фактов о максимальных торах, которые мы излагаем в § 6 главы 0. Эго связано с тем, что мы излагаем в основном те результаты, которые не используют классификационной теории компактных групп Ли, тонких фактов теории представлений и т. д, (такой подбор материала обусловлен еще и чисто эстетическими соображениями).
Мы постарались минимизировать уровень необходимых знаний по дифференциальной геометрии, вводя гладкие действия лишь в главе VI. (На самом деле и в большей части ранее изложенного материала рассматриваются действия, которые являются гладкими, и мы по возможности указываем на это для пользы той (вероятно большей) части читателей, которые знакомы с дифференциальной геометрией.) Основная часть книги (главы IV и V) посвящена изучению тех действий, которые мы называем локально гладкими. Это — категория таких действий, которая представляется нам правильным аналогом категории Тор топологических многообразий. Грубо говоря, эта категория лежит между категорией гладких действий на дифференцируемых многообразиях и категорией непрерывных действий на топологических многообразиях, но в ней отсутствуют многие патологические ситуации, свойственные каждой из этих категорий. Рассмотрение локально
гладких действий было вызвано желанием, с одной стороны, отложить обсуждение гладких действий и, с другой стороны, избежать изучения обобщенных многообразий. Однако локально гладкие действия можно рассматривать как самостоятельный объект исследования (по степени интереса — второй после гладких действий), который в будущем приведет к интересным результатам.
Так как теорию компактных групп преобразований можно, в широком смысле, рассматривать как обобщение теории расслоений, то не удивительно, что мы будем использовать в этой книге элементарную теорию расслоений. Все, что необходимо знать в этом направлении, изложено непосредственно в тексте.
В последнее время наиболее бурная деятельность в теории компактных групп преобразований касалась гладких действий. Большинство последних результатов в этом направлении выпало из нашего рассмотрения в связи с тем, что в этой книге мы не предъявляем высоких требований к предварительным знаниям читателя. Ясно также, что многие из полученных результатов за время публикации устареют, и по этой причине мы их не включили. Значительная часть теории гладких действий на многообразиях охвачена далеко продвинутой теорией бордизмов действий групп. Мы не излагаем здесь этой теории в силу того, что замечательное введение в эту теорию изложено в монографии ее первооткрывателей Коннера и Флойда [8].
Требования к уровню предварительных знаний читателя возрастают по мере изложения материала. Особенно это относится к четырем последним параграфам главы VI и к части главы VII.
Глава О
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ И ГРУППАХ ЛИ
В этой главе мы изложим некоторые предварительные сведения о топологических группах, классических группах и компактных группах Ли. Большая часть материала этой главы довольно редко используется в последующих главах, так что знакомство со всеми изложенными результатами не является необходимым для читателя. Так, даже малоподготовленные читатели смогут, по-видимому, прочесть первые три параграфа этой главы и перейти после этого непосредственно к главе I, возвращаясь к этой главе лишь по необходимости. Некоторые доказательства опущены в связи с тем, что их изложение уведет нас далеко в сторону; однако все результаты легко доступны и могут быть найдены в стандартных учебниках по теории групп Ли, см. Шевалле [1], Хохшильд [1], Понтрягин [1].
Элементарные свойства топологических групп
Топологической группой называется хаусдорфово пространство G, на котором задано непрерывное умножение GxG-*G (соответствием (a, b)>—*ab), превращающее G в группу и такое, что отображение G—>G, заданное обращением g*-*^1, непрерывно. Единица группы G обозначается через е.
Для geG определено отображение левого сдвига Lg; G-^-G на элемент g формулой Lg(h) = gh. Очевидно, что Lgh — Lg°Lh и L^ = (LgV1, так что для каждого g Lg есть гомеоморфизм группы G на себя. Аналогично, определив правый сдвиг Rg: G-^-G формулой Rg (/i) = hg~l, получим, что Rg-Rh — Rgh, Rg-t = (Rg)-i и для каждого g <= G Rg есть гомеоморфизм.
Для двух подмножеств А и В группы G обозначим через АВ подмножество \ab а е А, ЬеВ’ группы G; оно является образом множества АхВ при умножении GxG-^-G. Аналогично А-1 = (а-11а г А} и Ап = ^а1аа...ап\а1 г А}.
Так как Lg есть гомеоморфизм, то множество gU является окрестностью элемента g тогда и только тогда, когда U является окрестностью единицы е. Более того, если U есть окрестность е, то таковыми являются и множества U-1 и U A U-1. Окрестность U единицы е называется симметричной, если U = U-1; легко видеть, что симметричные окрестности образуют базис фильтра окрестностей единицы и этот базис полностью определяет топологию группы G.
Из непрерывности отображения GxGxG -*G в точке (е, g, е) вытекает следующая лемма.
Лемма. Для любого geG и любой окрестности U элемента g существует такая окрестность единицы V, что VgV с U. |
Аналогично, рассматривая умножение G xGx ... xG-* G, получим следующую лемму.
Лемма. Для любой окрестности U единицы е и любого целого п существует такая окрестность V единицы е, что V" с U. |
Предложение. Если Н —подгруппа группы G, то ее замыкание Н—тоже подгруппа. Если Н —нормальный делитель, то Н — тоже нормальный делитель.
Доказательство. Зададим ц: G х G->-G формулой ц (g,/i)= = gh-1. Тогда
р (R X Н) = р (Н х //) = р (Н х Н) = Н,
так что /7—подгруппа. Если // — нормальный делитель, то, поскольку LgRg\ G-^-G имеет вид к—*ghg-1 и является гомеоморфизмом, имеем
gRg-1 = LgRg (R) = LgRgH = R,
поэтому Н — нормальный делитель. |
Предложение. Пусть Н — замкнутая подгруппа группы G. Тогда пространство G/Н левых смежных классов gH по подгруппе Н с фактортопологией, индуцированной каноническим отображением ф: G-+G/H, хаусдорфово, а отображение ф непрерывно и открыто.
Доказательство. Отображение ф непрерывно по определению, а открыто потому, что для любого открытого U с G множество ф^ф (77) = UH = |J Uh открыто. Для доказательства хаус- нен
дорфовости пространства G/// предположим, что giH^g^H, так что gi'ga^H. Из замкнутости Н и леммы 1.1 следует существование такой симметричной окрестности U единицы е, что kUgx'g^ А Н=ф. Поэтому gVgjU А иН = ф, и потому g^U А A gxUH = 0, что влечет g^UH A giUH = ф.
Осталось заметить, что ф (giU) = g,L Н и есть непересекающиеся открытые множества в G/Н, содержащие gxH и g.,H. |
Предложение. Если Н— замкнутый нормальный делитель группы G, mo G/Н— топологическая группа.■
Доказательство. Рассмотрим коммутативную диаграмму
GxG——G
1S >
(G/H) x (G/H) b G/H
где Ч> = фХф, y.(gtH, gJT^gVgiH и тД^, g2) = gVg2- Достаточно доказать, что p, непрерывно. Но для открытого W <= G/H множество щ1 (W) ='ф^1р-1(^) = фР"1Ф-1 (№) открыто, так как ф и р непрерывны, a ф открыто. |
Предложение. Если G —топологическая группа и Go — ее связная компонента, содержащая единицу е, то 60 является замкнутым нормальным делителем группы G.
Доказательство. Так как связные компоненты замкнуты, достаточно доказать, что Go — нормальный делитель. Но множество GoxGo связно, а потому его непрерывный образ GoGo' связен и содержит е; поэтому из включения G0Go1 с Go следует, что Go — подгруппа. Если автоморфизм со: G->G является также гомеоморфизмом, то со (Go) есть связная компонента группы G, содержащая е, и потому co(Go) = Go, в частности, это справедливо для внутренних автоморфизмов LgRg, поэтому Go — нормальный делитель. |
Гомоморфизм ср: G^-G' топологической группы G в топологическую группу G' — это групповой гомоморфизм, являющийся непрерывным отображением. Читатель легко может восстановить доказательство следующего результата.
Предложение. Если ср: G->Н — произвольный эпиморфизм одной топологической группы в другую, то К = ker ф — замкнутый нормальный делитель группы G, и индуцированное отображение ф': G/К ->■ Н непрерывно и биективно. Если G компактна, то ф' открыто и потому является изоморфизмом топологических групп. |
Мы теперь изложим некоторые специальные факты о компактных группах.
Предложение. Пусть G — компактная группа и g^G — ее элемент. Положим А = \gn i п = 0, 1, 2, ...}. Тогда А — подгруппа группы G.
Доказательство. Множество B = \gn'mX\ является подгруппой группы G, поэтому в силу 1.3 В — тоже подгруппа. Если единица е изолирована в В, то множество В одновременно
компактно и дискретно и потому конечно, так что для некоторого и > О имеем gn = e. Предположим теперь, что е не изолирована в В. Тогда для любой симметричной окрестности U единицы е в группе G существует такое п^О, что g4£U. В силу симметричности U можно считать, что п>0. Тогда gn~Y е (g-1^ П А. Так как окрестности вида g~4J образуют базис фильтра окрестностей элемента g-1, заключаем, что g-1 е А, и, следовательно, А = В. |
Если // — подгруппа группы G, то ее нормализатором N (Н) в G называется подмножество группы G, состоящее из всех таких элементов g е G, что gHg~1 = H. Нормализатор является, очевидно, подгруппой, которая замкнута, если замкнута Н.
Предложение. Если G —компактная группа и Н— ее замкнутая подгруппа, то gHg^ — H (m. е. g^N(H)) тогда и только тогда, когда gHg~x с Н.
Доказательство. Определим ф: GxG-^-G формулой Ф (g, k^gkg-1. Пусть элемент geG таков, что gHg~xc2H, и пусть А = {gn I п = 0, 1, ...} такое же, как в 1.8. Тогда ф (А х //) с сН. и непрерывность ф влечет, что ф(Лх//) с Н. В силу 1.8 имеем g-1 е А, поэтому из последнего включения следует, что g-1// g с Н. Следовательно, Н с gHg~x. |
Предложение. Если G —компактная группа, то любая окрестность U единицы е в группе G содержит окрестность V единицы е, инвариантную относительно сопряжений.
Доказательство. Определимф: бхб->бформулой<p(g,^) = = gkg~x. Если U — открытая окрестность единицы, то G — U компактно, поэтому ф (б X (б — П))— компактное множество, дополнение которого V с U открыто, инвариантно и содержит е. |
Заметим, что в общем случае, без предположения компактности (или некоторых других предположений), предложения 1.9 и 1.10 неверны.
Предложение. Если N — вполне несвязный нормальный делитель связной топологической группы G, то N лежит в центре группы G.
Доказательство. Для любого k е N отображение фА: б -> -+N, определенное формулой 'Vi!(,g')=gkg-1, непрерывно. Так как б связна, то множество ф* (б) связно. Поскольку N вполне несвязно, множество ф*(б) должно состоять из одной единственной точки {^}. Поэтому gkg~x = k для всех ge6 и кеК. |
Следующий факт оставляется читателю в качестве элементарного упражнения.
Предложение. Пусть G — топологическая группа и Н — ее замкнутая подгруппа. Если Н и G/Н связны, то G тоже связна. |
Классические группы
Пу-ть К обозначает поле вещественных чисел R или комплексных русел ©. Для матрицы А размера пхп над полем К через А' об^начим транспонированную, а через А —комплексно сопряженную к А матрицу, и положим А* = А*. Пусть М„ (К) — алгебра все/ ■ .дхя)-матриц над полем К; заметим, что она является /г2-мерным векторным пространством над К. Группа (относительно матричного умножения) всех невырожденных (пхп)-матриц над К называется общей (или полной^ линейной группой и обозначается GL(n, К); ее подгруппа, состоящая из матриц с определителем 1, называе ". специальной линейной группой и обозначается SL(n, КУ Ортогональная группа О (я, КУ состоит по определению из всех таких aeGL(«, КУ что АА' = /, где / — единичная матрица, a группа SO(n, К) определяется равенством SO (я, К^О^п, К) П
КУ Мы полагаем О(п) = О(п, К) и SO(n) = SO(n, К).
;/ группа U (п) состоит из таких Л е GL (п, С), что
,SU (я) определяется как SU (я) = U (я) П SL (я, ©). Так
чV1 и det А — непрерывные функции от А и умножение
(К). М„ (К) —>- М„ (К) непрерывно, то все описанные группы отся замкнутыми подгруппами группы GL(n, КУ Так как GL (я, К) определена неравенством det А ^0, то она "крытым подмножеством в М„ ^Ку Из формул, описью ;ю- щ. юты матрицы А"1 через элементы матрицы А, следует, что 1. ипе GL(n, К') отображение Ai—► А-1 непрерывно; на самом дс оно даже аналитично (это следует также из теоремы "• неявной функции, так как умножение Мл (Л) х Мл (^-э-Мл (^ .Щалитично). Отсюда вытекает, что все описанные выше группы Шляются топологическими, с топологией, индуцированной вложением в М„ (К).
Так "чк А*—непрерывная функция от А, то уравнение AA*=I, i еделяющее группу U (я), показывает, что U (я) есть замкнутое ^множество в Мл ((D) = ©"2. Из уравнения АА* = / следует также, что абсолютные значения элементов матрицы А не превосходят единицы, так что множество U (я) ограничено в М, ((D). Поэтому группа U (я) компактна. Так как SU (я), О (я) и S 'п) — ^ ’кнутые подгруппы в Щя), то они тоже являются ком ктнымь группами.
х „ тгъ А —некоторая (я хя)-матрица над К. Если абсолютные значёйЧя элементов матрицы А ограничены числом с, то для матрицы А* _нй ограничены числом (псУ* (это легко доказать индуп^.-гй по ку Поэтому ряды элементов матричного ряда
/ -Г- А -)- А2/2! -|- А®/3! -)-•••абсолютно мажорируются сходящимся рядом1 +nc + (nc)2/2l. +(пс)3/31 + „.
Следовательно, указанный матричный ряд сходится к матрице е-4 = / + Л + Л2/2! + Л3/3!+..„,
причем на любом компактном подмножестве из М„ (/<) сх" химость равномерная. Таким образом, элементы матрицы еА являю зя аналитическими функциями элементов матрицы А, и поэтом'- отображение ехр : М„ (К) ^-Мп (/(), переводящее А в ехр(Л)=-. на- литичпо. Заметим, чтое° = /. Для вычисления якобиевой матрицы отображения ехр в 0 мы используем обычные матричные координаты X;/ и заметим, что для Х=[х(/]:
^ = / + [ху]+[хуР/2!+...=
=[б;/+х(/+ члены высшего порядка].
Поэтому якобиева матрица, являясь (я2 X и2)-матрицей с элементами
д (бу +ху + члены высшего порядка)! _ j 1, если р, р — " 'И dxkl|х=о ~ I 0 в остальньй'1 v
является единичной (и2 хя2)-матрицей. Из теоремы ; „„or функции следует теперь, что ехр является взаимно о^Гн жачц" отображением некоторой окрестности точки ОеМ„(щ которую окрестность точки / е GL (и, К"), и обратное отоб аналитично.,.
Заметим, что
евлв-* = / + ВЛВ-’ + BAAB^i2\ + -..=Дч ■
= ВЦ + А + Л2/2! +.. УЬBeАВ-\
Кроме того, отображение ехр над полем R является ограничение на Mn(^)ciM„^ отображения ехр над полем ©. Для лю1 матрицы 4еМл(С) существует такая матрица BeGLtn, (и), что В АВ-1 является верхней треугольной матрицей . -
В АВ-1 =В АВ-1 =Xi *О "■ ДXi *О "■ Дгде ^ — собственные значения матрицы А.где ^ — собственные значения матрицы А.и ■Тривиальноеи ■Тривиальное;ычисле-;ычисле-ние показывает, чтоние показывает, чтоВеАВ-х=еВАВ-1 =ВеАВ-х=еВАВ-1 =**ООе пе п
В АВ-1 =
В АВ-1 =
Xi *
О "■ Д
Xi *
О "■ Д
где ^ — собственные значения матрицы А.
где ^ — собственные значения матрицы А.
и ■
Тривиальное
и ■
Тривиальное
;ычисле-
;ычисле-
ние показывает, что
ние показывает, что
ВеАВ-х=еВАВ-1 =
ВеАВ-х=еВАВ-1 =
*
*
О
О
е п
е п
и что У1 являются собственными значениями (соответс дующей кратности) матрицы еА. В частности, перемножщ, их, получим, что
det еА = etr (Л’
(где tr(Л) = Хх + ...-f-X„ — след матрицы Л). В частности, де1ел^О для любой матрицы Л, так что образ отображения 'ехр лежит в GL (и, К).
Лемма. Если матрицы А и В коммутируют, то с^ + в — = еАев.
Доказательство. Фиксируем матрицы Л и В и рассмотрим аналитические функции esA+<B и ^Ае?в вещественных переменных s и /. Тогда
esA+z5 = ^^A-VtB^InX- 2 2(sAy(ZB)”-//(/!(rt-/)l)= Пn = Qj = Q
ч=о ' \/=о/
где последнее произведение понимается как формальное произведение матричнозначных степенных рядов от s и /, последнее равенство означает равенство матричнозначных формальных степенных рядов от s и /. Однако последнее произведение есть в точности степенной ряд функции esAetB, что легко проверяется вычислением частных производных по s и /. А так как esA +<в и е5А^в являются аналитическими функциями от s и I, то они совпадают при всех значениях s и /. |
Таким образом, для /1еМ„(/() отображение A^-GL(n, К"), заданное формулой tv—*etA, является гомоморфизмом топологических групп (где групповая структура на К задана сложением). В частности, с-л = (елф’.
Так как GL (и, /С) —открытое подмножество векторного пространства М„(А) над /(, то касательный вектор к кривой в GL (п, К) или М„(А) можно рассматривать как элемент из Жп^КУ В частности, вычисляя касательный вектор) к кривой R-*GL(n, А) вида tv—»efA (при фиксированной Ае\ЦК^, получим
pt А /// д 2\
Нт -—;— = Нт(Л ++ ...) = Л.
Таким образом, вещественное касательное пространство в точке /ебЬф, КА совладает с пространством векторов, касательных к однопараметрическим группам tv-^c,A при / = 0. Аналогично, рассматривая действие группы GL ^п, К) на К", получим, что касательный вектор к кривой tv—>^Ао в К", где Л е М„ (А) и о е Кп фиксированы, есть
,. е1Аи — и ,./ . , М2и ,\.
Нт-— = Нт Лу-У-к,—+ ... = Ли.
Z-.0‘ z —о\21/
Если е,Аи = и для всех t, то Ли = 0. Обратно, если Аи = 0, то с?Ао = (I + tA +...) и = о. Поэтому имеет место следующее предложение.
Предложение. Для и е К" и A^fAn(K) касательный вектор к кривой / *—* efAy при / = 0 равен нулю тогда и только тогда, когда dAv = v для всех t. |
Теорема. Пусть ЛеМ„(Ь).
Если А вещественна, то еА вещественна.
Если А кососимметрична (А'= —Д), то ел<=О(я, (D).
Если А косоэрмитова (Д*= — Д), то еА е U (и).
Если след матрицы А равен 0, то еА е SL (п, (D).
Более того, если А достаточно близка к 0 еМл (С), то справедливы и обратные импликации.
Доказательство. Пусть, например, А' =— А. Тогда (ел)'= = еА- = е~А = (еАу1, так что ReOM, §)у Обратно, если (еА)' = =(еАУ1, то еА' = е~А, откуда следует, что если А достаточно близка к 0, то Д' = —А, так как вблизи 0 отображение ехр взаимно однозначно. Доказательства остальных утверждений проводятся аналогично. |
Отметим возможность различных комбинаций условий, фигурирующих в 2.3. Важно также отметить, что все условия из 2.3 являются вещественно линейными и определяют вещественные векторные подпространства в М„(С), размерности которых легко вычисляются. Поэтому имеет место следующее легкое следствие из 2.3.
Следствие. Пусть GcGL(n, €) — одна из групп GL(n, С), GL(n, R), SL (и, С), SL(«, R), U (n), SU (и), O(n, 0), SO (n, 0), О (и, R) или SO (n, R). Тогда существует такое векторное подпространство Tq в №п (С), что отображение exp: Mn(©)->GL (n, С) гомеоморфно отображает некоторую окрестность точки 0 в То на некоторую окрестность точки I е G. Размерности этих подпространств равны соответственно 2п2, п2, 2п2 — 2, п2 — 1, п2, и2—1, п(п — 1), п(п— 1)/2, п(щ — \у2. g
Пусть UcGL(n, (В)—симметричная открытая окрестность единицы /, на которой обратное к ехр отображение log: U -^-М„(С) определено и аналитично. Пусть V — такая симметричная открытая окрестность точки /, что V2 с U-, положим IF = log(V). Композиция
Г х W V х V U ^ М„ ((D),
где v(g, h^gh-1, является вещественно аналитическим отображением, определяющим отображение (№ ПТа) х(117р 70) -^-Та Последнее есть в точности описание умножения ф в координатах с центром в / е 6, заданных отображением log. Поэтому каждая из перечисленных групп обладает локальными координатами с центром в /, в которых операции умножения и обращения задаются вещественно аналитическими функциями.
Перейдем к обсуждению одного ранее опущенного семейства классических групп, а именно, симплектичсских групп Sp (и).
Группа Sp(n) определяется как группа всех таких (пхп)-матриц А над телом кватернионов, что АА* = 1. Здесь А* = А', где А— кватерпионно сопряженная к А матрица: если А=[ау], то А = =[aZy] и к кватерниону <7 = а + Ь/+ с/+ d£ сопряжен кватернион q = a — bi — cj — dh. Кватернионную (пхм)-матрицу Р можно записать как P=A-\-Bj, где А, В = МЯ(С). Заметим, что jB=Bj, поэтому умножение_ дается формулой (A A-Bf} (С A-Df) = (АС — BD) А- +(AD + BC) j.
Для Р = А + В] положим
, m Г А
Короткое вычисление показывает, что ф есть изоморфизм алгебры всех кватернионных (л хл)-матриц в алгебру комплексных (2л х 2л)- матриц и что ф (Р*) = ф (Р)*. Поэтому Р является симплектиче- ской матрицей (РР* = П тогда и только тогда, когда / = ф(/) = = Ф (РР*) = ф (Р) ф (Р*) = ф (Р) ф (Р)*, что означает унитарность матрицы ф (Р). Легко видеть, что комплексная (2л х2л)-матрица Q имеет вид Q = _д J тогда и только тогда, когда JQJ~l=Q, т Г о, с п
где / =0 . Если Q унитарна, то последнее равенство влечет
Q'JQ = J. Поэтому симплектическая группа Sp(n) изоморфна (посредством ф) подгруппе группы U (2л), состоящей из унитарных матриц, сохраняющих билинейную форму J (т. е. Q'JQ = J'}.
Как и в 2.3, получаем, что если ЛеМ2я(©) и А* = — А, JA + A'J = 0, то ел е ф (Sp (л)); если А достаточно близка к нулю, то верно и обратное.
Поэтому справедлив аналог следствия 2.4 для С = ф(5р(л))^ ^$р(л), причем размерность пространства То в этом случае равна 2л2 + л.
Мы завершим этот параграф определением понятия представления. Вещественным представлением топологической группы G называется ее (непрерывный) гомоморфизм в группу GL (п, iR). Его можно мыслить как действие группы G на R" линейными преобразованиями. Аналогично комплексное представление группы G —это гомоморфизм G->GL(n, 0).
Ввиду вложения GL (л, R)->GL(n, С) каждое вещественное представление определяет комплексное представление, которое называется его комплексификацией. Унитарным (соответственно ортогональным'} представлением группы G называется ее гомоморфизм в группу U (л) (соответственно в О (л)).
Два представления ф, ф: G^-GL(n) называются эквивалентными, если существует такая матрица ДеСЕ(л), что ф(§г) = = Л-1ф (g) А для всех g г G. Они называются ортогонально экви-
валентными, если 4 еО (и), и унитарно эквивалентными, если А е U (п).
Так как преобразование A: R^^R" можно интерпретировать как смену базиса, эквивалентность двух представлений ф, "ф: G-* ->GL(n) означает просто, что они имеют идентичные матричные записи в подходяще выбранных нестандартных (различных для ср и ф) базисах пространства R". В частности, представление ср: G -*GL(n, R) эквивалентно ортогональному тогда и только тогда, когда в R" существует положительно определенное скалярное умножение ( , ), сохраняемое представлением ф (т. е. (ф(£)и, ФД/)ф-Ци, ф для любогоgeG и любых и, cysR"), ибо в этом случае каждая матрица ф Д) будет ортогональна в базисе, ортонормальном относительно этого скалярного умножения.
Интегрирование на компактных группах
Пусть 0 — топологическая группа и /: G-*R —вещественнозначная функция. Для HeG определим функции RJ и ЕД формулами фф (g) = / (g/i) и (Еф (g) = f (h~lg), g = G.
Теорема. Если группа G компактна, то существу т единственный вещественнозначный функционал I (называемый интегралом Хаара), определенный на множестве непрерывных функций на группе G и такой, что:
Hh + fA = UkWHfA;
/ (ф = cl (Д для любого с е R;
если f (ф^=0 для всех geG, то 7 (Д 3= 0;
(Ф 7(1) = 1;
7 фф = 7 (Д = 7 фф для всех h^G. |
Здесь мы не будем доказывать эту теорему. Для компактных групп простое элементарное доказательство, данное фон Нейманом, можно найти у Понтрягина [1]. Для локально компактных групп имеется обобщение этого интеграла, построенное Хаа- ром и обладающее более слабыми свойствами. Его можно найти во многих источниках, см., например, Лумис [1] и Монтгомери и Циппин [4]. (Эти изложения восходят к первоначальному доказательству Хаара. Существенно иное доказательство имеется у Б редон а [9].)
Интеграл Хаара 7 (Д мы часто будем обозначать через y^dg, так что равенство (е) запишется в виде
$ / (gh^ dg = y(g)dg = y (h^g) dg.
Заметим, что если / неотрицательна и не равна тождественно нулю, то в силу компактности группы G существуют такие элементы /г1, ..., hn из G, что функция У Rh.f всюду положительна.
Тогда ^Rh.f^c для некоторого с>0, поэтому п1(ф—с = = I ^^Rh'f — C^^O, и поэтому /(/)>0.
Аналогично доказывается, что если для любого g==G fx (g) 3$ SsMg^ то /(Д)^/^), и 4 (.hi^sup V ^'geEG'j.
Предложение. Пусть А —некоторое топологическое пространство, G —компактная группа и f: GxA-^-R — непрерывная функция. Тогда функция F: A->R, определенная формулой F(a) = ^f (g, a)dg, непрерывна.
Доказательство. Пусть заданы а г А и 8>0. В силу непрерывности / и компактности G существует такая окрестность U точки а, что для всех b^U имеем \Hg, b)—f(g, а)|<8. Тогда \F^- F (а),' = |^(^, b)dg-^f(g, a}dg\ =
= |$№ ^-Hg. afWg\<e
для всех b s U. |
Теорема. Пусть G — компактная группа и f; G xR-VR— непрерывная функция. Предположим, что функция f fg, t) дифференцируема по t и что ее производная df (g, f)/dt непрерывна на GxR. Тогда функция F (t) = у (g, t^dt тоже дифференцируема и
Me-
Доказательство. Для вещественного числа s^O имеем
для некоторого ф е [0, 1]. Так как функция df (g, t^dt равномерно непрерывна на любом компактном подмножестве пространства G xR, то при фиксированном /eR выражение в левой части этого равенства при s^-О сходится к df(g, t^ldt равномерно по g = G. Следовательно, для любого 8>0 найдется такое 6 >0, что ;s'< 6 влечет
»f(gi 0|<8
I sdi1 vs ' |
для всех g е G. Поэтому также
|^f®2+fcHbOdg_jaffei ,)dg|<8] т. е.
откуда следует желаемый результат. |
Индуктивное использование этой теоремы позволяет доказать, что если f: Gx|R"-*-|R —такая функция, что/(^, tvQ является
(при фиксированном g ^G) функцией класса С” по каждой переменной ti и что частные производные всех порядков непрерывны на GxR", то F ..., ^) = $f(g, tv ..., tn)dg тоже есть функция класса С”.
Предложение. Если функция f: GxG^-^ непрерывна, mo\\f(g, ^dgdh = \^kg, h)dhdg).
Доказательство. Каждый из этих двойных интегралов) удовлетворяет условиям, определяющим интеграл Хаара на группе GxG, так что требуемое равенство следует из единственности интеграла. |
Посредством покомпонентного интегрирования можно распространить интеграл на множество непрерывных векторзначных функций f: G^-R”, при этом \ f (g) dg гы". Условия линейности (а) и (Ь) из 3.1 немедленно влекут, что для любого линейного преобразования Т: K-i-P имеем J Т (J(g)) dg = Т ($/ (g) dg).
Для векторного пространства V через GL (V) обозначается группа линейных автоморфизмов пространства V, и представлением группы G на V называется гомоморфизм G^-GL(V). Для вещественного векторного пространства конечной размерности п каждое такое представление эквивалентно (в очевидном смысле) представлению G-*GL(n, R) группы G на евклидовом пространстве; при этом мы требуем непрерывности всех гомоморфизмов.
Основное применение интеграла Хаара состоит в построении инвариантных объектов посредством интегрирования пеинвариант- ных объектов. В качестве иллюстрации этого докажем следующую теорему.
Теорема. Каждое представление компактной группы G на п-мерном вещественном векторном пространстве V эквивалентно ортогональному представлению группы G на R”.
Доказательство. Мы можем предполагать, что V = Rn. Определенное данным представлением действие группы G на R" обозначим через (g, и) >—* go. Как указано в § 2, достаточно найти на R" положительно определенное скалярное умножение ( , ), которое инвариантно относительно G, т. е. (gu, gw^^^y, w) для любых g = G, о, е;гр. Обозначим обычное скалярное умножение в R" через и ■ w; таким образом, и • w = ^ и^ь где и = = (Up ..., и„) и w = <wv, ..., wnY
Положив (и, w) = $ (go) • (gw) dg, получим, очевидно, симметричный билинейный функционал. Он положительно определен, так как для о^О имеем (и, и) = $ (gv) • (gv) dg > 0 ввиду положительности подынтегральной функции. Кроме того, умножение (,) инвариантно, так как (hv, hw) — ^ (ghv) ■ (ghw) dg = = $ (S^) ■ (S™) d^ " (y> w") в СИЛУ свойства (e) интеграла Хаара. |
Аналогичное рассуждение показывает, что любое комплексное представление компактной группы эквивалентно унитарному представлению.
Для двух представлений ф: G-^-GL(y) и ф: С->ОЬ(№) обозначим через ф©ф представление G-*GL (У©^), заданное формулой ((ф©ф)(^))(щ w) = (^(g)v, ф(^)ш).
Представление (конечномерное) ф: G-»-GL(V) называется приводимым, если существует такое подпространство W cz V, 0^Ц7 ^ V, что для всех g нО <p(g)W = W, и неприводимым в противном случае. Представление ф называется вполне приводимым, если оно эквивалентно прямой сумме ф^Э-.-оф* неприводимых представлений ф;. Нетрудно видеть, что в таком случае ф,-единственны с точностью до эквивалентности и порядка следования.
Предложение. Любое конечномерное вещественное представление G-*GL(V) компактной группы G вполне приводимо.
Доказательство. В силу 3.5 мы можем считать, что V = |R" и что представление ортогонально, т. е. ф: G-*O(n). Мы утверждаем, что если подпространство № с: R” инвариантно, то 1У1 = {и = V = R” | и• w = 0 для всех w е W) тоже инвариантно. Это следует из равенства (ф (g) и) • w = и ■ ф (g)' w = v • ф (g-1) w. Поэтому ф = (ф| 1У)©(Ф 11У1), и нужный результат получается очевидной индукцией. |
Собственные функции на компактных группах
Пусть G —компактная группа. На протяжении этого параграфа буквы х и у используются для обозначения элементов группы G. Для данного натурального п пусть V обозначает (бесконечномерное) вещественное векторное пространство всех непрерывных функций /: G^-R” (в большинстве случаев п будет равно 1, но рассматривать общий случай более удобно). Для Д g: G^-^" положим (f, р) = \f (х) • g(x) dx, где под интегралом стоит обычное евклидово скалярное произведение.
Пусть задана непрерывная симметричная функция k\ GxG^-R, к(х, y)=k(y, х) (называемая ядром). Определим оператор К'. V-*V формулой (Kf) (х) = ^к (х, y)f(y)dy. Легко видеть, что К отобра-
жает единичную сферу Д|(/, /) = !} в равномерно ограниченное и равностепенно непрерывное множество функций t).
Кроме того, возможность изменения порядка интегрирования) доказывает, что оператор К симметричен: (К/, g) — (f, Kg).
Функция ср е V, Фт^О, называется собственной функцией (оператора К) с собственным значением AeR, если Кф = 1ф.
Приведем без доказательства три хорошо известных факта, вытекающих из вышеизложенных свойств оператора К Доказательства можно найти во многих источниках, например, Хох- шильд [1], с. 14—18, или Шевалле [1], с. 204—209.
Для любого с>0 существует лишь конечное число таких собственных значений X, что |Л[^с.
Для X ^ 0 собственные функции с собственным значением X образуют конечномерное векторное пространство.
Заметим, что в силу этих фактов можно найти такую последовательность фр ф2, ... собственных функций с ненулевыми собственными значениями сИ с2, . ...что последовательность {|q|} монотонно стремится к нулю, причем (ф/, фД = 6,у, и любая собственная функция с собственным значением X =# 0 является линейной комбинацией тех функций ф,, у которых с, = Х. Следующее важное свойство состоит в том, что
Если g = Kf для некоторой f е. V, то «ряд Фурье» У (g, фД ф,- равномерно сходится к g.
Напомним, что для функций /еУ правый сдвиг Rj е V задается формулой (Ryf) (х) = / (ху), а левый сдвиг Д/g К—формулой (Ly/)(x) = /(z/-1x)^ Так как Rx-Ru = Rxy и Lx-Lu = Lxy, то каждый из этих сдвигов определяет представление группы G иа бесконечномерном векторном пространстве V.
Начиная с этого места, мы предполагаем, что ядро к имеет вид к(х, y)=h(xtr1), где /г: G^-R — такая функция, что /г (х) = = h^x"lY Для любого линейного отображения A: R"->-Rn его композиция с функцией /: G—*К" определяет функцию Аф G-V", так что соответствие Д—► Af определяет (обозначаемое тоже через Л) линейное преобразование А: V V.
Лемма. В описанной выше ситуации Ry-K = К -Ry для любого у, и А = К = К- А. Если, кроме того, h (уху1) = h (х) для любого х, то Ly-K = K- Ly.
Доказательство Вычислим
К (Ryf) (х) = \h (xz^1) f (zy) dz^h (xy (zy)-1) f (zy) dz =
= $ h (xyz-1) f (z) dz = (Kf) (xy) = (Rti (Kf)) (x).
To есть /( — вполне непрерывный оператор. — Прим, перев.
Аналогично
к (Ab (х) = $ h (ху-1) A (f (у)) dy = $ A (h (ху-1) } (у)) dy =
= А $ h (ху-1) f (у) dy = A (КЬ (х).
Для проверки последнего утверждения вычислим
К (LHb W = ^h (хг-1) / (уЧ) dz-^h (ууЧ (y^z)-1 y b f (У1?) dz =
= h (yy^xz-V1) f (b dz = h (y 1xz-v') f (г) dz =
= (Kf) (y1x) = (Lu (Kf)) (x). I
Из 4.1 следует, что каждый сдвиг Ry и каждое линейное преобразование А (такое, как выше) переводят пространство собственных функций с собственным значением X в себя. Для с>0 обозначим iepes Ус подпространство пространства V, порожденное собственными функциями с собственными значениями X при |Л|^с. В силу (а) и (Ь) пространство Vc конечномерно, и оно инвариантно относительно любого Ry и любого А. Положим Vc = (g <= V | (g, f) = 0 для всех feV). Пространство Vc порождено некоторыми ф,-, скажемх), cpn ..., фг. Тогда f е У может быть представлено в виде
/= 5 <А +5 <А ф/)ф<
i = 1\< = 1
откуда следует, что V = VC®Vс • Так как для любого линейного преобразования A: 1R" —► К" имеем (Ag, b = (g> ^'h* т№ А' — сопряженное к А преобразование, то А переводит пространство Vc в себя. Аналогично вычисление показывает, что (Ryg, f) = — (g, Ry-4), откуда следует, что Ry переводит Vc в себя.
Пусть Рс\ V ->- V с — ортогональный проектор, Р J = У, (А Ф*> ф/,
I = 1
переводящий V4 в {0}. Ясно, что Рс-Ry = Ry-Pc и Рс-А = А-Рс, где А и Ry — те же, что и раньше Если, кроме того, h(yxy^Y) = — h(x) для всех xeG, то в силу 4.1 Ly коммутирует с К и потому коммутирует также с Р.
Теорема. Пусть G — компактная группа, Н — ее замкнутая подгруппа и р: H->-GL(n, R) — представление группы Н. Тогда существует такое представление г]: G-^-CL(m, iR) с некоторым т, что р содержится в ограничении представления ц на подгруппу Н, т. е. т]|Д = р©р для некоторого представления ц группы Н.
Т) См. рассуждение после (Ь). — Прим, иерее.
Доказательство. Очевидно, достаточно рассмотреть случай, когда представление р неприводимо. Как и выше, пусть V — пространство непрерывных функций G-^-R". Фиксируем некоторое такое отображение /i: G^-R, что h (х) = h (г-1) и п (уху-х) = h (х) для всех х, у г G. Как и выше, положим (Kf) (х) = $ h (xy~)f (у) dy. Подходящее /г мы подберем позже.
Пусть W с V — подпространство, состоящее из всех таких функций П G^-Rn, что f(ух) = р(у)f(х) для всех у^Н и xeG В этом случае L!ri (f) = р (у) • f для всех угН.
Согласно предыдущим замечаниям для А = р(у) и некоторого О 0 (нужное с выберем позже) пространство W инвариантно относительно проектора Рс и оператора К, так как оба эти оператора коммутируют с любым Ly 1 и любым А = р(у). Заметим также, что для любого xeG оператор Rx переводит W в себя (ио для операторов LM это неверно).
Положим Wc = PtW с W. Сопоставление элементу xeG оператора Rx определяет конечномерное представление г] группы G на Wc. Рассмотрим линейное отображение J". Wc^~Rn, заданное формулой J(f)=[(e). Для угН имеем J (Ryn = (Rtif) (e) = f(y) = = p(y)f(e):=y(y) (f), т. e. отображение J переводит представление т] И в представление р. На ядре отображения J возникает представление р. группы Н; так как Н компактна, то в силу 3.6 имеется дополнительное к ц представление т. Поэтому т] | Н -- = ц©т, и J мономорфно переводит т в р. Если J =#0, то J; т^-р — эквивалентность представлений группы, так как представление р неприводимо, и все доказано. Следовательно, достаточно доказать, что можно выбрать такую функцию h (и, следовательно, такой оператор К) и такое с>0, что существует функция f е Wc, для которой / (е) = J (/) Ф 0.
С этой целью определим функцию g: H^-R" формулой g(y)= = p(y)v, где и = (1, 0,..., 0)eR". Группа G компактна и потому является нормальным пространством, поэтому по теореме Титце1) функция g продолжается до функции g: G^-Rn. Положим
g* 00 = V^Vg^wн
Для х, у еН имеем g (ух) = р (ух) и = р(у)р (х) и, так что g* \H=g. Для любых хе G и z е Н имеем
g* (zx) = V^K^dy- н
= $ Р (z(yz)1)g (yzx) dy=\p (zy-1) g (yx) dy = HH
= P (Z) 5 P (Г1) I UK) dy = p (z) g* (x), H
поэтому g* e W. Так как g* есть продолжение функции g, мы теперь отбросим знак *, считая, что дана вектор-функция g eW с условием g(e) = u = (l, 0, ..., 0). Пусть gt(x) — первая компонента функции g(x), так что £1(с) = 1. В силу непрерывности gv в группе G можно найти такую окрестность U точки е, на которой gt положительна; при этом U можно считать симметричной и в силу 1.10 инвариантной относительно сопряжений. Пусть q-. G->-|R — неотрицательная функция с у(с)=1, равная нулю вне U. Положим•
А Vе) = ^- J (q(уху1) + q(yx-4j-1))dy.G
Тогда h, неотрицательна, h(e) = l, h равна нулю вне U и удовлетворяет условиям h(x) =h(x~1), h(yxy1) = h(x). При таком выборе h имеем (Kg) (е) = \h (еу })g(y) dy ^ 0, так как первая о
компонента \h(tf1)g1(y)dy этого вектора положительна. Напом- о
ним, что в силу сформулированного выше свойства (с) при с->0 последовательность PcKg равномерно сходится к Kg. Поэтому мы можем выбрать с>0 настолько малым, что (Рс Kg) (е) ^ 0. Тогда f = PcKg eWc и есть нужная функция. |
Пусть р: G->-GL(V) — некоторое представление; выберем вектор и е V. Подгруппа 0^= (ge G | р (g) v = v\ группы G называется стационарной подгруппой вектора и или его подгруппой изотропии (см. также § 2 гл. I). Она является, очевидно, замкнутой подгруппой группы G.
Теорема. Пусть Н —замкнутая подгруппа компактной группы G, и пусть U — окрестность единицы е в G. Тогда для некоторого п существует такое представление р: G^-GL(n, R) и такой вектор и е К", что HcG^cUH.
Доказательство. Пусть W — такая симметричная окрестность единицы е в G, что №2 cz U, и пусть /г: G-> p —такая неотрицательная непрерывная функция, что /г (е) — 1, h (х) = h (х-1)
и /t(x) = 0 для x^W. Определим оператор К формулой
(Kf) (х) = \h (ху1) f (у) dy. - G
Пространство G]H компактно и хаусдорфово и потому нормально, поэтому существует такая неотрицательная функция f':G/H ^-R, что f(eH) = \ и f (хН) = О для х^ WH. Определим f: G—»-[R как f(x)=f'(xH). Тогда f(e) = l,f (х) — 0 для x^WH и Ryf = f для всех угН. Положим g = Kf Так как Ru коммутирует с К, то Ryg=g для у^н.
Далее, если 0 ^^(х) = j h(xy~l)f (у) dy, то обязательно найдется такой элемент уеО, что ху1 е W и y^WH, и потому хгХ^Н. Следовательно, g(x) = 0 для x^UH. С другой стороны, g (е) = §/г (У-1) f (y)dy>0. Так как, в силу вышеуказанного свойства (с), последовательность Pcg равномерно сходится к g при с->0, можно выбрать с настолько малым, что для всех xeG-UH имеем (RxPcg) (с) = (Pcg) (х) < (Peg) (е). Выбрав такое с, положим ср = Pcg. Тогда G действует на конечномерном векторном пространстве Vc посредством правых сдвигов Rx, и имеется такой вектор феГ, что /?хф=т^ф для x^UH (так как эти функции принимают разные значения в точке е) и /?уф = ф для всех ц еН, так как Ry коммутирует с Рс.
Поэтому стационарная подгруппа Gv содержит Н и содержится в UH. |
Применяя 3.5 и 4.3 к случаю Н = (е\, получаем такое следствие:
Следствие. Пусть G — компактная группа. Для любой окрестности U единицы е в G существует такой гомоморфизм ф: 0->0(п(, что kerфc:^7. |
Говорят, что группа G не содержит малых подгрупп, если существует окрестность U единицы е в G, не содержащая подгрупп, отличных от {е}.
Следствие. Компактная группа G не содержит малых подгрупп тогда и только тогда, когда она изоморфна замкнутой подгруппе группы О (и). '
Доказательство. Если G не содержит малых подгрупп, то в силу 4.4 имеется мономорфизм ф: G^-O(n). Так как отображение ф взаимно однозначно, группа О(и) хаусдорфова, а группа G компактна, то ф является гомеоморфизмом (и групповым изоморфизмом) на свой образ.
Для доказательства обратного достаточно показать, что группа О (п) не содержит малых подгрупп. С этой целью рассмотрим выпуклую окрестность U нуля 0 в М„ (R) ^ jR”2, для которой отображение exp: 2(7-*GL(n, R) является гомеоморфизмом на некоторую окрестность точки /^GL(n, |k), см. § 2. Предполо-
жим, что Нс ехр (77) —такая подгруппа в GL (п, R), что имеется ВеН, В^=1. Пусть матрица AeU, А^=0, такова, что еА=В. Тогда для некоторого целого г Да 1 имеем 2ГЛ g (277) — 77 и В2Г = e2'A е ехр (277) — ехр (77) в силу 2.1. Но это противоречит тому, что В-г еНс ехр (77). 8
Замечания. Теорема 4.2 хорошо известна, как, впрочем, и все результаты этой главы. Идеей приведенного доказательства автор обязан Уоллаку. Теорему 4.3 (и теорему 5.2 следующего параграфа) получили независимо Мостов [1] и Пале [2], а частный случай 4.4 (и 4.5) впервые доказал фон Нейман.
Группы Ли
В этом параграфе мы изложим элементарную теорию группы Ли, опуская большинство стандартных доказательств и обсуждая лишь важные для дальнейшего факты. Это обсуждение адресуется читателям, которые еще не знакомы с понятием группы Ли (и, возможно, даже с понятием дифференцируемого многообразия). Н\ы намерены лишь сказать, что такое группа Ли, и отметить несколько нужных нам элементарных фактов. Эти факты понятны и правдоподобны, и нам кажется, что у читателя не возникнет необходимости узнать их доказательства. По поводу же доказательств и более подробного изложения этой теории читатель может обратиться к ряду легко доступных источников, таких, как Шевалле [1] или Хохшильд [1].
Топологическая группа G называется группой Ли, если для некоторого п существует такой гомеоморфизм х: U ^-W открытой окрестности 77 единицы ecG на открытое подмножество W е К", что х(е) = 0 и в возникающих в 77 локальных координатах с центром в е групповые операции являются вещественно аналитическими функциями. Более точно, пустьgeU, и пусть xt^ есть t-я координата точки x^gR”. Тогда в некоторой окрестности точки 0 е R2" существуют такие вещественно аналитические функции ф/, что
XI № = ф/ (Xt (g), . . . , Xn (g), X! (А), ..., хп (А))
для любых g и h из некоторой открытой окрестности V cz U единицы е. Аналогично xt (g ’) = + (хг (g), ..., x„ (g)) для g, близких к е, где ф( —определенные вблизи нуля OeR” вещественно аналитические функции.
Однопараметрическая группа у: R->G (т. е. непрерывный гомоморфизм у (7+s) = у (7) у (s)) называется аналитической, если все функции х;»у аналитичны вблизи OeR (мы можем наделить G структурой аналитического многообразия, в которой групповые операции аналитичны, поэтому отображение у будет аналитичес-
ким всюду). Производные at = dxi (у (t^/dt^^о являются координатами «касательного вектора» к у в точке 1 = 0 в системе координат х. Из элементарной теории дифференциальных уравнений следует, что у полностью определяется этим вектором Х = (аЛ>... ..., o„)eR" и, более того, любой вектор XeR” получается таким образом из некоторой аналитической однопараметрической подгруппы у. Из этой теории следует также, что отображение exp: R”->-G, определенное формулой ехрХ = уА(1), аналитично по X вблизи точки 0. Вычисление показывает, что аналитические однопараметрические подгруппы /•—*у^х(0 и t'~*4xkst’l имеют при / = 0 один и тот же касательный вектор, поэтому yiA- (1) = ух (s) для всех s eR. Теперь легко видеть, что якобиева матрица отображения х°ехр в точке 0 есть в точности единичная матрица, и потому из теоремы об обратной функции следует, что вблизи нуля отображение ехр обладает обратным отображением, обозначаемым через log и также являющимся аналитическим (т. е. log «лг1— аналитическое отображение). Заметим, что отображение log определяет систему локальных координат с центром в е (т. е. мы можем положить х = log), которые называются «каноническими координатами первого типа». В этих координатах аналитические однопараметрические группы являются прямыми, проходящими через начало координат. Отсюда легко следует, что любая непрерывная однопараметрическая подгруппа у: R->G является аналитической и потому имеет вид у (/) = exp (/X) для некоторого X е Кл. Из этого важного факта следует в свою очередь, что любой непрерывный гомоморфизм G-^-H одной группы Ли в другую аналитичен вблизи 0; поэтому система локальных координат х с центром в e = G, превращающая G в группу Ли, единственна с точностью до аналитической замены координат. (По этой причине задание такой структуры не включается в определение группы Ли.)
Точно так же, как при доказательстве следствия 4.5, можно показать, что группа Ли G не имеет малых подгрупп.
Пусть Л —замкнутая подгруппа группы Ли G. Внимательное исследование экспоненциального отображения показывает, что вблизи e^G группа Н совпадает с образом при exp: Rn->G некоторого линейного подпространс1ва |/сВл (и фактически с образом некоторой окрестности точки 0 е V). Если V1 — ортогональное (или любое другое) дополнение к V в R", то якобиева матрица (относительно локальных координат) отображения ф: ₽л = V1 ф V-^G вида ф(да, и) = (ехр ю) (ехр и) есть единичная матрица. Поэтому локально обратное к ф отображение определяет систему локальных координат х = (хх, ..., х„) с центром bceG, определенную, скажем, на U = {g<=G (х, (g-) i С 1} и обладающую тем свойством, что любое множество вида U^gH, g^G, задается в ней уравнениями xt = сь 1=1, .... к (где с4 — константы,
определяемые выбором смежного класса gH, и п — k — размерность группы Н). Отсюда следует, в частности, что сама Н является группой Ли.
Применяя это рассуждение к G = O(n) и используя 4.5, получим следующий результат.
Теорема. Компактная группа является группой Ли тогда, и только тогда, когда она изоморфна замкнутой подгруппе некоторой ортогональной группы O(n). J
Пусть Н cz G — замкнутая подгруппа и х — (хг^ — вышеописанные локальные координаты. Пусть, далее, С —множество точек координатной окрестности, для которых х6+1 — ... = хп = 0 (т. е. С = ехр(№), где №—малая окрестность 0 в V1). Тогда множество СН открыто в G, и умножение С х Н->СН является взаимно однозначным соответствием. Положим С'— exp ^- W^, и пусть К с: G — такая подгруппа, что НсКс С'Н. Если К^Н, то К содержит элемент he С, k^=e. Однако прямые, проходящие через начало подпространства С (в указанной системе координат), являются однопараметрическими подгруппами; поэтому, рассуждая так же, как при доказательстве следствия 4.5, получим, что некоторая степень элемента к лежит в С —С', что противоречит предположению К с С'Н. Поскольку С'Н открыто в G, это рассуждение вместе с 4.3 и 4.5 влечет следующий результат.
Теорема. Пусть G — компактная группа Ли и Н a G — ее замкнутая подгруппа. Тогда для некоторого т существуют такое представление р: G->0(m) и такой вектор veRm, что G^H. |
В вышеприведенных обозначениях отметим, что локальное (заданное в окрестности единицы ее G) сечение С множества левых смежных классов по Н в группе G гомеоморфно отображается на окрестность элемента еН г G/Н. Обратное к этому отображение можно использовать для построения локальных координат вблизи еН. Воспользовавшись теоремой 5.2 (и считая G группой Ли), рассмотрим такое представление р: С-*-О(тУ что H = GV. Тогда соответствие gH-^-g^ определяет топологическое вложение 6: G/H^-Rm. В вышеописанных локальных координатах дифференциал отображения 8 в точке еН можно мыслить как отображение, сопоставляющее вектору су е W касательный вектор 8* (су) в точке 1 = 0 к кривой t1—*- р (exp (tm)) (и) в Rm. Так как р(ехр/су) является однопараметрической подгруппой в О(т), то она представима в виде exp (М) с некоторой (m х /п)-матрицей А. В силу 2.2 отсюда следует, что 8* (су) «=» 0 тогда и только тогда, когда и =• eiAu = р (exp (tw)) (и) для всех t; но последнее возможно тогда и только тогда, когда ехр (/су) еОе — Н для всех /, что справедливо только для су = О ввиду включения W сд V1..
Таким образом, дифференциал отображения 9: GfH-*Rm в точке еН мономорфен.
На самом деле координатная система может быть определена и в любой другой точке пространства G/H посредством левых сдвигов данной системы координат. Отсюда следует, что, с учетом этой аналитической структуры на пространстве G/H, множество 6 (G/H) является аналитическим подмногообразием в Rm.
Мы закончим этот параграф обсуждением односвязной накрывающей группы Ли G. Так как топологическое пространство связной группы Ли G обладает хорошими локальными свойствами, то существует односвязное накрытие G пространства G. Выберем раз и навсегда точку e^G, накрывающую точку eeG. Так как GxG — односвязное накрытие пространства GxG, то имеется единственное отображение GxG-*G, накрывающее умножение GxG-*G и переводящее точку (ё, ё) в точку ё. Обозначим это отображение через (g, ft)i—*g%. Каждое из двух отображений (i, h, k)^^gh)k и (g, h, h)^~g^ множества GxGxG в множество 5 накрывает аналогичное отображение GxGxG^-G и переводит (ё, ё, ё) в ё, поэтому они совпадают. Отображение G-*-G, переводящее g в ge, накрывает тождественное отображение G->G и переводит ё в ё, поэтому g§ = g для любого g; аналогично eg=g для любого g е G. Имеется также единственное отображение G->G, переводящее ё в ё и накрывающее отображение g^-g-1 группы G в себя. Обозначим через g-1 образ элемента g^G при этом отображении G-^-G; тогда отображение G—vG вида g>—*gg-1 накрывает постоянное отображение g*—^e и переводит ё в ё. Поэтому gg-1 = e для всех g е G.
Эти замечания показывают, что при данном выборе единицы ёед топологическое пространство G допускает единственную структуру топологической группы, относительно которой проекция G-*G является гомоморфизмом. Так как ё обладает в G окрестностью U, гомеоморфно проектирующейся в окрестность U единицы е в G, то G является группой Ли, называемой универсальной накрываюшрй группой группы G. Ядро К проекции G—>G является дискретным нормальным делителем в G и потому в силу 1.11 лежит в центре группы G. Таким образом, любая связная группа Ли G может быть получена факторизацией односвязной группы Ли G по некоторому ее дискретному нормальному делителю К, лежащему в центре группы G1). Две связные группы Ли назы- х) Можно показать, что любая группа Ли G с указанными свойствами является универсальной накрывающей группы G и потому единственна с точностью до изоморфизма. — Прим, перев.
2 Г. Бредов '
вают локально изоморфными, если их универсальные накрывающие группы изоморфны.
Теперь рассмотрим случай, когда G связна и абелева.
Лемма. Пусть G есть п-мерная связная абелева группа Ли. Тогда отображение ехр: J<n—>-G является гомоморфизмом (где структура абелевой группы на к" задана обычным сложением векторов) и отождествляет R" с универсальной накрывающей группой группы G.
Доказательство. Для фиксированных и, оер определим отображение ф: R->G формулой ф(/) = ехр (Zu) ехр (tv), feR. Так как группа G абелева, то ф является однопараметрической подгруппой. Ее касательный вектор при / = 0 есть в точности р*(м, и), где р*: R”хR”-»-R” — дифференциал в точке (е, е) умножения р: GxG-*G. Так как p(g, e)=g = p(e, g), то р* (u, 0) = w и р* (0, v) = v, и из линейности отображения р* следует, что р* (и, v) = u + v. Поэтому ф есть однопараметрическая подгруппа с касательным вектором и + и, и потому ф(0 = = exp (t (и-фи)). Полагая t = 1, имеем ехр (и-^и) = ехр и ехр и, так что ехр—гомоморфизм. Образ гомоморфизма ехр является, очевидно, открытой подгруппой) в G. Но эта подгруппа также и замкнута, поскольку ее дополнение является объединением смежных классов), каждый из которых — открытое подмножество в G. Поэтому ехр: R"->G является накрытием). |
Отсюда следует, что если G —связная абелева группа Ли, то G^RHN, где N —дискретная подгруппа в R”. Нетрудно показать, что для любой такой подгруппы N существует такой базис иг, .... ип в R", что N порождается векторами vx, ..., vb для некоторого к. Поэтому G^PxR”-6, где Р есть 6-мерный тор (т. е. прямое произведение к экземпляров окружности S1 = U (1) ^ ^R/Z). Таким образом, получаем следующую характеризацию связных абелевых групп Ли.
Теорема. Для п-мерной связной абелевой группы Ли G существует такое к, что G изоморфна произведению Рх^”-6. Д
Структура компактных групп Ли
Этот параграф мы начнем с изложения свойств максимальных торов компактных групп Ли. Мы сделаем это достаточно подробно потому, что эта информация часто будет использоваться нами в последующих главах. Залем мы дадим набросок классификационной теории компактных групп Ли. Доказательства боль-
шинства классификационных результатов мы опустили, поскольку в дальнейшем они не потребуются.
Торическая группа (тор) —это связная компактная абелева группа Ли, являющаяся, следовательно, произведением окружностей. Максимальный тор компактной группы Ли G — это такая ее торическая подгруппа, которая не содержится ни в какой большей торической подгруппе группы G1).
Лемма. Группа МАТ автоморфизмов тора Т дискретна в компактно открытой топологии.
Доказательство. Интерпретируем R” как универсальную накрывающую группу тора 7 = R7Z". Очевидно, что каждый автоморфизм тора Т определяет автоморфизм группы R", сохраняющий подгруппу Z”, и наоборот. Поэтому группа Aut7 может рассматриваться как подгруппа группы AutR" = GL (л, R), состоящая из автоморфизмов, сохраняющих целочисленную решетку Z". Но эти автоморфизмы задаются матрицами с целыми элементами и определителем, равным ± 1, поэтому они образуют дискретную подгруппу в GL (л, R). |
Следствие. Пусть Т — максимальный тор компактной группы Ли G и N(T) — ezo нормализатор в группе G. Тогда группа N (Т)/Т конечна.
Доказательство. Нормализатор N (Т) — замкнутая подгруппа группы Ли, и потому он является группой Ли. Пусть No (Т) —связная компонента группы N (Т), содержащая единицу e^N(JY Тогда в силу 6.1 N0(T) действует на торе Т (посредством сопряжений) тривиально. Если dim No (Т) > dim Т, то имеется однопараметрическая подгруппа у: R-> No (Т), образ которой S не лежит в Т. Тогда S и Г порождают связную абелеву группу, замыкание которой Т' тоже есть связная абелева группа, являющаяся к тому же компактной. Но это противоречит максимальности тора Т, поэтому N0(T) = Т. Так как N (Т) — группа Ли, то 7 —открытое подмножество в N (7), и потому факторгруппа N (Т)/Т конечна. |
Отметим, что факторгруппа N (Т)/Т называется группой Вейля группы G.
Обозначим через %(М) эйлерову характеристику топологического пространства М, т. е. % (М) =^(-l)‘rk//( (M) ).
Предложение. Пусть 7 — максимальный тор компактной группы Ли G, положим N = N(T). Тогда ^(GlN) = X и X (G/7) = ord N[Т.
Доказательство. Группа Т действует на пространстве G/N посредством левых сдвигов (см. гл. I). Так как Т a N, то точка eN е G/N, очевидно, неподвижна относительно этого действия. Дифференциал этого действия в неподвижной точке eN (выписанный в некоторых локальных координатах в окрестности этой точки) задает представление группы Т. В силу 3.5 это представление эквивалентно ортогональному, что означает возможность выбора такой системы локальных координат с центром в eN е G/N, в которой действие тора Т ортогонально. В частности, существует диск Dm с G/N с центром в eN, инвариантный относительно действия группы Т. Поэтому множества Dm, dDm, vnX. Dm и M = G/N — int Dm тоже инвариантны относительно действия группы Т
Нетрудно видеть, что в группе Т существует такой элемент t, множество всех степеней которого плотно в Т (такие элементы называются «генераторами» тора 7). Смежный класс gN е G/N неподвижен относительно / тогда и только тогда, когда tgN — gN, что эквивалентно условию g~Hg^N и, следовательно, условию g^Tg с N, так как степени элемента t образуют плотное в 7 множество. Но это справедливо в том и только в том случае, когда g^Tg — T (т. е. когда g^N), так как 7 есть связная компонента группы N, содержащая единицу. Поэтому единственной неподвижной точкой для / будет eN ^G/N. Так как отображение t не имеет неподвижных точек в dDm = Sm- и гомотопно там тождественному отображению (в силу того, что действие элемента t включается в действие связной группы 7), то из теоремы Лефшеца о неподвижной точкет) следует, что m четно (другими словами, что x(Sm~1) = 0). Аналогично t не имеет неподвижных точек в М = G/N — int Dm и гомотопно там тождественному отображению, так что по той же теореме Лефшеца х(Л1) = 0.
Из точности гомологической последовательности
... -> Hi (М) -> Hi (G/N) Hi (G/N, M) H^ (M) ->...
и того факта, что Ht(G/N, М)^ Hi(Dm, dDm), следует, что X (G/A^) = X (^) + (~ l)m= 1, так как m четно Далее, G/Т является конечнолистным накрытием над G/N с числом листов, равным ord N/Т. Подсчитав симплексы в некоторой триангуляции пространства G/N и в индуцированной триангуляции его накрывающего пространства G/Т, получим, что х (G/T) = ord (N/T) X Xx^/N) = ordN/T. |)
Теорема. Пусть Т —максимальный тор компактной связной группы Ли G, и пусть geG. Тогда существует такой элемент keG, что k^gk е 7.
Доказательство. Рассмотрим преобразование G/T-^-G/T, переводящее НТ в ghT. В силу связности группы G это отображение гомотопно тождественному. Поэтому его число Лефшеца есть x(G/T)=/=0 и, следовательно, оно имеет неподвижную точку кТ. Таким образом, gkT— kT, т. е. k^gkeT. |
Следствие. Любые два максимальных тора связной компактной группы Ли G сопряжены в G.
Доказательство. Пусть Т и Т' — два максимальных тора в G, и пусть t е Т порождает Т' (т. е. степени элемента t образуют плотное в Т множество). Для некоторого geG имеем g^tgeT, и потому g-^TgeT. Но тогда gTg* дэ Т, и это включение должно быть равенством в силу максимальности тора Т'. |
Следствие. Пусть A cl Т— некоторое подмножество максимального тора Т связной компактной группы Ли G. Если для некоторого geG имеем gAg*1 с Т, то существует такой элемент keN^, что как*1 = gag1 для всех аеА.
Доказательство. Рассмотрим в группе G подгруппу ^h е G \ hah*1 = а для всех асА- и обозначим через Н ее связную компоненту, содержащую единицу. Тогда Т с И, и так как Aczg ^Tg, то также g^Tg с: Н. Поскольку Т и g^Tg являются максимальными торами в Н, то в силу 6.5 найдется такой he Н, что НТН*1 — gTg*1. Положив k = gh е N (Т), видим, что как*1 = = ghah^g*1 =gag-1 для всех аеА. |
Следствие. Пусть Т —произвольный тор в связной компактной группе Ли G, и пусть ge G — элемент, коммутирующий с любым элементом тора Т. Тогда в G существует максимальный тор, содержащий как g, так и Т.
Доказательство. Пусть Т6 — некоторый максимальный тор группы G, содержащий элемент g1), и пусть И— содержащая единицу связная компонента подгруппы \h е G\hg = gh\. Тогда Т с: Н и Туе Н, поэтому в силу следствия 6.5 (примененного к Я) существует такой heH, что НТцк*1 еТ. Но hgh*1=g, так что HToh~l и есть требуемый максимальный тор. |
Следствие. Централизатор Z (Т) любого тора Т в связной компактной группе Ли G связен и является в точности содержащей единицу компонентной связности группы N (Т).
Доказательство. Из 6.7 следует, что Z (Т) есть объединение всех максимальных торов, содержащих тор Т, и потому Z (Г) связно. Следовательно, Z (Т) с No (Т). Обратно, No (Т) с: с: Z (7) в силу 6.1. Н
Как и было обещано, теперь мы дадим набросок классификационной теории компактных групп Ли, опуская большинство доказательств.
Рассмотрим действие группы G на себе посредством сопряжений. Пусть dimG = n, тогда дифференциал этого действия в точке esG задает представление Лс1: G->GL(n, R), называемое присоединенным представлением. Так как группа G компактна, то в подходяще выбранном базисе это представление является ортогональным. В силу 3.6 это представление вполне приводимо. Пусть Ео — подпространство неподвижных векторов, a Vn ..., Vк — остальные нетривиальные неприводимые компоненты присоединенного представления. Таким образом, пространство R" представления группы G имеет вид = Еоф V,®.. ,® Vк. Для и е Уо и любого t е R элемент ехр (to) неподвижен при сопряжении, так что ехр (to)—однопараметрическая подгруппа, лежащая в центре группы G. Отсюда следует, что группа exp(V0) = T0 (являющаяся тором) есть в точности содержащая единицу связная компонента центра группы G. Можно показать, что для любого i^l множество ехр (У;) есть связная компактная группа G, ед G; при этом для некоторой малой окрестности и, нуля 0 е V, множество ехр ((/,) является окрестностью единицы eeG, (доказательство этого факта довольно сложное). Ясно, что G, есть нормальный делитель группы G.
Более того, ясно, что группы 6,- простые, т. е. они неабелевы и не содержат нетривиальных собственных связных нормальных делителей (это следует из неприводимости V,) Обратно, можно показать, что любой простой нормальный делитель группы G есть одна из подгрупп Gt, так что это разложение единственно. Если gt^Gt и йе Gj, г Ф j, то ghg^K1 е G; П Gj. Отсюда следует, что если эти элементы g и К близки к единице е, то gh = = hg. Так как все группы G, связны, то заключаем, что (при 1фП Gt и Gj коммутируют. Поэтому включения G; ед G и То cz G индуцируют гомоморфизм ToxG1x... xGft-*-G одной группы Ли в другую, являющийся гомеоморфизмом в окрестности единицы е. Поэтому ядром этого гомоморфизма является конечный (и потому центральный) нормальный делитель группы Тох X GxXxG*. Отсюда вытекает следующий фундаментальный факт.
Теорема. Каждая связная компактная группа Ли G имеет вид
G^(ToxG1x...xGk)/K,
где К — конечная центральная подгруппа прямого произведения, То — содержащая единицу связная компонента центра группы G и Gt —простые нормальные делители группы G. |
Отметим, что если группа То тривиальна, то группа G называется полупростой; любая такая группа локально изоморфна прямому произведению простых компактных групп Ли. Следующий факт показывает, что в формулировке теоремы 6.9 группу
G, можно заменить ее универсальной накрывающей, не теряя при этом свойства компактности.
Теорема. Универсальная накрывающая группа компактной полупростой группы сама полупроста.
Доказательство. Мы ограничимся лишь наброском доказательства. Достаточно доказать, что группа л4 (О) конечна. Так как лДб) абелева, достаточно доказать, что группа //ДО) конечна. Из формулы универсальных коэффициентов следует, что для этого достаточно доказать равенство Д1 (G; R) = 0. Используя теорему де Рама и технику интегрирования, получим, что для доказательства этого равенства достаточно показать, что не существует дифференциальной 1-формы со, инвариантной относительно как левых, так и правых сдвигов (и потому инвариантной относительно сопряжений). Но любая такая 1-форма со=^0 принимает нулевое значение на некотором (/г — 1)-мерном подпространстве V пространства R" (касательного пространства в точке ееС), и потому V инвариантно относительно присоединенного представления. Ортогональное дополнение V1 тогда неподвижно относительно присоединенного представления (так как V1 одномерно, а группа G связна и компактна). Таким образом, отображение exp: V^^-G задает однопараметрическую подгруппу, лежащую в центре группы G, что противоречит полупростоте последней.
Теорема 6.9 дает нам описание всех связных компактных групп Ли при том условии, что мы умеем описывать все односвязные простые компактные группы Ли и центры этих групп. Мы просто сформулируем соответствующие известные результаты. Пусть Aft, Bft, С*, D* — классы групп, локально изоморфных соответственно группам SU(&4~1), SO (2^+1), Sp(&) и SO (2&) (нижний индекс й обозначает ранг группы, который равен по определению размерности ее максимального тора). '
Имеется также пять так называемых исключительных» групп G2, Е4, Е6, Е7, Е8 (их размерности равны соответственно 14, 52, 78, 133, 248).
Известно, что классы А*, Й2=1, ВА, ^^2, СА, #2=3, DA, £2=4, С2, Е4, Еа, Е„ Е8 составляют не содержащий повторений полный список классов локальной изоморфности компактных простых групп Ли. Для малых значений рангов к имеются следующие локальные изоморфизмы: D1^S1 (так что D4 не полупроста), Cj В1 Ац D2 ”=> А1 X А2 И Од Ад.
Рассматривая расслоения над сферами (возникающие из гомеоморфизмов SU (^+1)/SU (й) ^S2*-11 и т. д.), индукцией по к легко доказать, что группы SU (&+1) и Sp(&) уже односвязны, в то время как фундаментальная группа группы SO (я), «2=3, есть Z2- Универсальная (двулистная) накрывающая группа группы 80 (п) называется спинорной группой и обозначаемся через Spin (я).
Центры односвязных представителей простых групп1) указаны в следующей таблице.
О
^к
Вк
Ск
Daft
Daft+i
Ga
f4
Ев
E,
E,
2(G)
Zk+1
Z2
Z2
Za Ф Za
Z4
0
0
Zs
Z2
0
*) Автор имеет в виду одиосвязные представители классов локальной изоморфности простых групп. —Прим, перев.
Глава I
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
В первых пяти параграфах мы приводим определения и простейшие свойства основных понятий, которые встретятся нам в этой книге. Так, топологические группы преобразований определяются в § 1, эквивариантные отображения, эквивалентность групп преобразований и понятие стационарной группы обсуждаются в §2; там же доказывается полученный Глисоном эквивариантный аналог теоремы Титце о продолжении. Орбиты и пространства орбит обсуждаются в § 3, а понятие орбитного типа изучается в § 4. В § 5 обсуждаются множества неподвижных точек.
В § 6 мы описываем три общие конструкции, позволяющие получать новые группы преобразований из данных, а именно: скрученное произведение, расслоенное произведение и эквивариантное склеивание.
В §§ 7 и 8 мы строим ряд удивительных примеров групп преобразований, данных Коннером, Флойдом, Ричардсоном и автором. Эти примеры будут представлять для нас существенный интерес на протяжении всей книги.
В § 9 мы изучаем задачу поднятия действия группы на пространстве X до действия на некотором его накрывающем пространстве.
Действия групп
Под группой топологических преобразований мы понимаем тройку (G, X, 0), где G — топологическая группа, X —хаусдорфово топологическое пространство, 0: G X X -> X — такое непрерывное отображение, что
©(g, ®(h, х)) = 0(gh, х) для всех g, heG н хеХ;
0 (е, х) = х для всех хеХ, где е — единица группы О.
Отображение 0 называется действием группы G на пространстве X. Пространство X с фиксированным действием 0 группы G называется G-пространством (или, более точно, левым G-прост-
ранством; в некоторых случаях будет использоваться также очевидно определяемое аналогичное понятие правого G-пространства) .
Мы часто будем использовать для G-пространства те же термины и обозначения, что и для основного хаусдорфова пространства, считая отображение 0 само собой разумеющимся. В тех случаях, когда из контекста ясно, о каком отображении © идет речь, мы вместо 0 (g, х) пишем просто g^ или gx (для правых G-пространств используется обозначение xg), так что равенства (1) и (2) перепишутся соответственно как g (h (х)) = (g/i) (х) и е(х) = х. Аналогично для CcG и АсХ мы полагаем С (А) = {g (х) | g е С, хе А}. Множество А называется инвариантным относительно действия группы G (или G-инвариантным), если С(Л) = А.
Для g е G зададим отображение ©к: X -> X формулой 9g (х) — ==g(x) = 0(g, х). В силу (1) и (2) имеем 0^°©л = ©^л, и 0е — тождественное отображение 1Х пространства X в себя. Таким образом, ©g©g-' = ©е = lx = ©g-*©^, и потому для любого g е G отображение ©g есть гомеоморфизм пространства X на себя.
Обозначим через Ношео(Х) группу (относительно композиции) всех гомеоморфизмов пространства X на себя. Отображение g*—*©g определяет гомоморфизм 0: G->Homeo (X), ядро которого называется ядром действия 0. Итак, ker © = {gE G |gx = x для любого хеХ}, и это множество есть нормальный делитель группы G. Очевидно, что он замкнут в G.
Действие 0 называется эффективным, если ker© = e (т. е. отображение 0 инъективно), и почти эффективным, если ker © — дискретная подгруппа группы G.
В силу нижеследующего элементарного предложения в большинстве случаев достаточно ограничиться лишь эффективными действиями. Однако в некоторых случаях оказывается удобным рассматривать и неэффективные действия.
Предложение. Любое действие 0 группы G на пространстве X с ядром ker 0 = X каноническим образом индуцирует эффективное действие 0/кег© группы G/N на X.
Доказательство. Определим действие 0/ker0: (G/A)x хХ->-Х формулой (gN) (х) = g (х) и проверим непрерывность этого отображения. Проекция л: G-+-G/N — открытое отображение, поэтому коммутативность диаграммы
GxX—*Х
, v^/ker®
GlN^X
влечет непрерывность отображения 0/кег 0 в силу равенства (0/кег 0)-1 ((/) = (л х 1) (0-1 ([/)), справедливого для любого открытого UdX. Эффективность действия 0/кег0 очевидна. |
Установим теперь некоторые фундаментальные факты, справедливые лишь для действий компактных групп.
Теорема. Действие 0: GxX-э-Х компактной группы G на пространстве X — замкнутое отображение.
Доказательство. Напомним, что пространство X у нас всегда предполагается хаусдорфовым. Пусть множество СсбхХ замкнуто, и пусть у еХ- точка замыкания множества ©(C). Тогда в С существует такая сеть {(ga, ха)} *), что 0 (ga, ха) = = ga(Xa) сходится к у. В силу компактности группы G, перейдя при необходимости к некоторой подсети, можно считать, что ga сходится к некоторому geG. Тогда ха = 0(^1, ga(xa)) сходится к ©(/г1, У^/гЧу)- Таким образом, сеть ^ga, ха)} сходится к (g, g-1 (у)) е С, так как С замкнуто. Поэтому у = 0 (g, g-1 (у)) г е0(С). |
Следствие. Пусть G —компактная группа и X —некоторое G-пространство. Для любого замкнутого АсХ множество С (Л) замкнуто в X, и для компактного А множество G(A) компактно. |
Приведем теперь несколько примеров действий. Во-первых, имеются естественные действия, связанные с любой топологической группой G. Так, если Нс G — замкнутая подгруппа группы G, то G действует на G/Н посредством левых сдвигов Lg (g'H) =gg'H. Ядром этого действия является, очевидно, подгруппа Q gHg~1. Если N (Н) — нормализатор подгруппы Н в группе G, то N (Н) действует на G/Н посредством правых сдвигов Rn (gH) = gn-1H, и очевидно, что ядро этого действия есть Н, так что имеется эффективное действие группы N (Н)/Н на пространстве G/Н. Другой пример—действие группы G на себе посредством сопряжений g(h) = ghg~1. Ядром этого действия является центр группы G. Непрерывность всех этих действий немедленно следует из непрерывности отображений умножения GxG-*G и обращения G-^-G.
Общая линейная группа GL (п, R) действует на R" (аналогичное утверждение справедливо также для комплексных чисел и для кватернионов). Поэтому любое представление G-^-GL^n, R) задает действие группы G на пространстве R". Ортогональные представления G-*O (п, R) задают также действия группы G на единичном диске D” и единичной сфере S"-1 пространства R".
!) Пусть В—топологическое пространство и Г —некоторое направленное множество. Сетью в В называется произвольное отображение Т-»-В. В частности, когда Т — множество натуральных чисел, сеть называется последовательностью.— Прим, рей,
Интерпретируем S1 как множество комплексных чисел единичной нормы и рассмотрим гор T2 = S1xS1. Имеется интересное действие аддитивной группы вещественных чисел R на пространстве Т2, называемое «иррациональной обмоткой» и задаваемое формулой ф (е2я'-$, е2л,'у) = (е2я‘ <x*r\ е2л; Где а _ иррациональное число. Эго действие, очевидно, задается композицией гомоморфизма [R -> Т2 вида г *—* ^е‘1я1г, егягаг) с гомоморфизмом группы Т2 в группу левых сдвигов тора Т2 по себе.
Все приведенные выше примеры весьма важны, но, конечно, они достаточно элементарны. Позже мы рассмотрим много более содержательных и интересных примеров.
Эквивариантные отображения и стационарные подгруппы
Для фиксированной группы G класс G-пространств является классом объектов некоторой категории, морфизмы которой называются «эквивариантными отображениями». Эквивариантное отображение (или G-отображение) — это отображение гр: Х-*У одного G-пространства в другое, которое коммутирует с действиями группы, т. е. <р (g(х)) = g(ф (х)) для всех g = G и всех хеХ. Эквивариантное отображение ф: X -> У, являющееся также гомеоморфизмом, называется эквивалентностью G-пространств. В этом случае обратное к ф отображение ф-1 тоже эквивариантно, так как если у = ф(х), то
Ф-1 kg Ш = Ф-1 (йФ W) = Ф'1 (Ф kg (а'))) = g (х) = g (ф-1 Ш
Два эквивалентных действия топологически неразличимы и по сути дела могут рассматриваться как идентичные действия. Целесообразно также рассматривать как по существу идентичные такие действия, которые переводятся друг в друга некоторым автоморфизмом группы G. По этой причине назовем два G-пространства X и У слабо эквивалентными, если существуют такой (непрерывный) автоморфизм а группы G и такой гомеоморфизм ф: Х-^-У, что ф (g(x)) = а (g) (ф (х)) для всех g = G и всех хеХ.
Пример. Пусть G —циклическая группа порядка 5, элементы которой есть корни пятой степени из единицы. Обозначим через X единичную окружность на плоскости комплексных чисел. Действие (у, г) •—* уг не эквивалентно действию (у, г) t-* y2z. (Почему?) Однако эти действия слабо эквивалентны, так как отображение ун^-у2 является автоморфизмом группы G. |
Пусть теперь X —некоторое G-пространство, и пусть хеХ. Множество Gx = !ge G |g(x) = x} элементов группы G, оставляющих на месте элемент х, является, очевидно, замкнутой подгруппой группы G. Эта подгруппа Gx называется стационарной подгруппой (или стабилизатором) точки х. Так как gGxg 'kgkx))=^
= gGx^ = g^, то gGxg"xc.Ggw Обратно, rxGgWgc.Ga-1&w = = Gx, так что
(2-D Gg^— gGxg
Таким образом, для любой точки, полученной из данной точки х сдвигом на элемент группы G, стационарная подгруппа сопряжена со стационарной подгруппой Gx, и этим способом можно получить любую сопряженную подгруппу.
Предложение. Если ф: X-ч~ Y — эквивариантное отображение одного G-пространства в другое, то для любой точки хе X имеем Gx с Сф |
Заметим, что ядро любого действия есть в точности Q Gx.
Действие группы G на пространстве X называется свободным, если для любой точки хеХ подгруппа Gx тривиальна. Позже мы увидим, что свободные действия компактных групп Ли устроены довольно просто. Действие называется полусвободным, если стационарная подгруппа Gx любой точки хеХ либо тривиальна, либо есть вся G.
Перефразируем приведенные определения: действие группы G на пространстве X эффективно, если каждый элемент цфе перемещает хотя бы одну точку. Оно полусвободно, если каждая точка пространства X либо остается неподвижной при действии всех элементов группы G, либо перемещается при действии всех (нетривиальных) элементов из G. Оно свободно, если каждый нетривиальный элемент группы G перемещает каждую точку пространства X.
Мы завершим этот параграф доказательством следующего важного результата о продолжении эквивариантного отображения.
Теорема Титце —Глисона1). Пусть компактная группа G действует на нормальном пространстве X, и пусть А—замкнутое инвариантное подпространство. Пусть, далее, р: G->GL(n, Ю — представление группы G и ф: А->Rr — эквивариантное отображение, т. е. ф (g (а)) = р (g)- ф (а). Тогда существует эквивариантное продолжение ф: X->Rn отображения ф.
Доказательство. По теореме Титце ф продолжается до отображения ф': Х-э-К". Для построения эквивариантного продолжения мы просто «усредним» ф' следующим образом. Положим ф (х) = ^ р (g"1) ф' (g (х)) dg, где интеграл представляет собой нормированный интеграл Хаара на G (примененный к указанной
!) См. Г лисой [Ц, Пале [3, 4].
векторзначной функции); см. § 3 гл. 0. Тогда для й е G имеем
Ф (й (х)) = $ р (g1) ф' (g (h (х))) dg =
= $ Р (h (gh)-1) ф' (gh (х)) dg = $ р (h) р ((g/i)-1) ф' (gh (х)) dg =
■= р (й) $ р (^-1) ф' (^ (х)) ^ = р (й) ф (х)
в силу линейности операции интегрирования и инвариантности интеграла относительно правого сдвига (элементом Н\ Поэтому отображение ф эквивариантно. Далее, для ае А имеем ф(а) = = ^Р^"1) ^gWdg^\p(g~^HgW)dg = V^=
= Ф(а) в силу эквивариантности отображения ф и нормирован- ности интеграла. Поэтому ф есть продолжение отображения ф. Наконец, ф непрерывно в силу 0.3.2. |
Орбиты и пространства орбит
Пусть X —некоторое G-пространство, и пусть х = Х. Подпространство G (х) = {g(x) g X |g е G} называется орбитой точки х (относительно действия группы G). Заметим, что если g(x) = =/г (у) для некоторых g, h ^ G, х, у н X, то для любого g'ее G имеем g'W=^1i?(A')=g'g"1My) = G(yj, так что G(x)cG(y); обратно, G (у) cG (х). Таким образом, орбиты G(x) и G(y) любых двух точек х, у еХ либо не пересекаются, либо совпадают.
Обозначим через Х/G множество, элементами которого являются орбиты х* = G (х) действия группы G на X (так что х* = у* тогда и только тогда, когда х и у лежат в одной и той же орбите). Пусть л = лх: X-> X/G — естественное отображение, сопоставляющее точке х ее орбиту x* = G(x). Тогда Х/G обычным образом наделяется фактортопологией (множество UcX]G открыто тогда и только тогда, когда л-1(Д) открыто в X), и полученное топологическое пространство называется пространством орбит (пространства X относительно действия группы G).
Если АсХ, то множество л-^ (А) = {g(a) jg е G, аеА} является объединением орбит элементов из А и называется насыщением множества А.
Если U с X открыто, то множество G (£7) = (J g(U) открыто gG О
в силу открытости каждого из множеств g (£/) = 9^ (£/) (напомним, что 6#: X-е X — гомеоморфизм). Поэтому для открытого U а X множество л-1л (£/) = G ((/) тоже открыто, что по определению означает, что множество n(G) открыто в Х/G. Следовательно, проекция л: X-е X/G — непрерывное открытое отображение.
Читатель может заметить, что для иррациональной обмотки тора, Определенной в § 1, пространство орбит имеет тривиальную
8. ОРБИТЫ И ПРОСТРАНСТВА ОРБИТ ® (не дискретную) топологию и поэтому является не очень интересным пространством. Однако, как мы покажем ниже, пространство орбит действия компактной группы G обладает рядом разумно приятных свойств.
Теорема. Пусть группа G компактна и X —некоторое G-пространство. Тогда:
Пространство Х/G хаусдорфово.
Проекция л: X X/G — замкнутое отображение.
Проекция л: Х-* XlG является собственным отображением (т. е. прообраз любого компактного множества компактен).
Компактность пространства X равносильна компактности пространства X/G.
Локальная компактность пространства X равносильна локальной компактности пространства X/G.
Доказательство. Чтобы проверить (2), выберем замкнутое множество АсХ. Тогда G(A) замкнуто в силу 1.3. Но G(A) = л~ал (А), так что л (А) замкнуто по определению топологии в пространстве X/G.
Чтобы доказать (1), предположим, что G (х)=^ G(y). В силу непрерывности отображения G G х\у\G (у) для любого у орбита G(y) компактна. Хорошо известно, что в хаусдорфовом пространстве для любых двух непересекающихся компактных множеств найдутся соответственно содержащие их непересекаю- щиеся открытые множества. В частности, найдется такое содержащее точку х открытое множество U, что U f) G (у) = ф. Так как л(у)^л(Д), то k^U) и (X/G) — л(?7) —непересекающиеся открытые (в Х/G) множества, отделяющие точку х* е Х/G от точки у* е X/G.
Так как все орбиты компактны, то утверждение (3) следует из того общего факта, что замкнутое отображение л: X-> Y является собственным, если прообраз л-1 (у) любой точки у е Y компактен. Для полноты изложения докажем это.
Пусть множество С с У компактно, и пусть Д/а|аеА}— открытое покрытие множества л-1 (С). Для любого у^С имеется такое конечное множество индексов АИ с А, что множества Ua, а<=Ау, покрывают множество л-1 (у). Положим Uy =1Ш1“^ е АД 2D л-1 (у) и рассмотрим открытое в Y множество Vy = = Y — л (X — Uy). При этом y^Vti и л1 (УД С2 Uy. Пусть множества Vy , ..., Vу покрывают множество С; тогда л-1 (С) с: С Л1 (V^) и... и л-1 ^у^ dUyxVi...^ Uy= U {(/„ Iа e АУр 1=1,... ..., n), и последнее множество есть объединение конечного числа множеств семейства ^U^.
Утверждение (4) следует из (1) и (3). Для доказательства утверждения (5) выберем такое открытое множество U а X, что О компактно. Тогда для х е U имеем л (х) е л (G) с: пф), так что
л (Д) — компактная окрестность точки л(х). Обратно, если С — компактная окрестность точки л (х), то л*1 (С) —компактная окрестность точки х в силу (3). |
Сформулируем теперь одну давнюю гипотезу.
Гипотеза (Коннер [9]). Пространство орбит любого действия компактной группы Ли на евклидовом пространстве R" или диске D" является стягиваемым.
Более общие гипотезы такого типа и некоторую интересную конкретную информацию по этой проблематике можно найти у Коннера [9], Коннера и Флойда [1, 2] и ФлойдаЦ].
Сечение проекции л: X-^X/G —это такое непрерывное отображение о: X/G-*X, что по есть тождественное отображение пространства Х/G. Локальное сечение, определенное на открытом множестве U aX/G — это сечение проекции л^^Д).
Вообще говоря, локальные сечения не существуют даже для действий компактной группы Ли. Например, рассмотрим действие подгруппы G = {7, —7} группы 0(3) на R3; не существует локального сечения, определенного в какой-либо окрестности точки л (0) в R8/G. Однако имеется много случаев, когда локальные сечения существуют и оказываются весьма полезными. Позже мы изучим тесно связанное с понятием сечения понятие «среза», отметив пока, что срезы существуют при довольно общих предположениях относительно действий компактных групп Ли.
Предложение. Пусть группа G компактна и X — некоторое G-пространство. Пусть С —замкнутое подмножество пространства X, имеющее с каждой орбитой ровно одну общую точку. Тогда отображение a; X/G-h-X, определенное формулой о(х*) = = G (х) f] С, является сечением. Обратно, образ любого сечения замкнут в X.
Доказательство. Мы должны доказать непрерывность отображения о. С этой целью выберем замкнутое А с С. В силу 3.1 множество от1 (А) = л (А) замкнуто, что и утверждалось. Для доказательства обратного положим С = о (Х/G), и пусть {ха}— сеть, сходящаяся к х е X. Очевидно, lim л (ха) = л (х), поэтому х = Ишха = Ишсглха = ал (х) е X, и потому С замкнуто. |
Имея в виду этот результат, мы часто будем называть «сечением» замкнутое множество, являющееся образом некоторого сечения.
Теорема. Пусть компактная группа G действует на пространствах X и Y Пусть СсХ- замкнутое множество, и пусть отображение <р: C^-Y таково, что если для некоторого geG обе точки с и g(c) лежат в С, то <р (g(c))=g(fp (с)). Тогда <р можно продолжить, причем единственным образом, до эквивариантного отображения ф': G (С) -> Y.
Доказательство. Для geG и сеС положим <р'(g(c)) = = ^(ф(с)); это является единственно возможным эквивариантным
продолжением. Чтобы проверить корректность определения отображения ф', предположим, что g (с) = g* (с'\ Тогда c = g~1g' (с'), так что ф(c) = ф(g-1g(c'))=g-1g'ф(c>) по определению отображения ф, поэтому g(ф (с)) = g^'(с), так что ф' определено корректно. Для проверки непрерывности отображения ф' выберем в G(C) сеть {ха}, сходящуюся к xeG(CY Подберем такие {ga} и {са}, что Xa = gaCa, без ограничения общности (выбрав, если необходимо, подсеть) можно считать, что сеть {ga} сходится к некоторому g г G. Поэтому limca=limgi‘ (xa)=g~1 (х) е С, так как С замкнуто. Положим c = g~1 (х), тогда Пшф'(ха) = Игл ф'(g^) = limgr^ (са) = = g (Ф (с)) = ф' (g (с)) = <р' (х). |
Следствие. Пусть компактная группа G действует на пространствах X и Y, и пусть СсХ- сечение проекции л: X-*- -^■X/G. Пусть, далее, ф: С -^Y — такое отображение, что для всех сеС имеем Gc <= G^ (С). Тогда ф допускает, причем единственное, эквивариантное продолжение ф': X->Y.
Доказательство. Если как с, так и g(c) лежат в С, то g е Gc с 0ф (с), так что ф (g (с)) = ф (с) = g (ф (с)). |
Типы орбит и однородные пространства
Действие группы G на пространстве X называется транзитивным, если у него имеется ровно одна орбита— само X. Примером может служить пространство G/H смежных классов топологической группы G по замкнутой подгруппе Н, на котором G действует левыми сдвигами: 6 (g, g'H)==gg'H.
Для любого G-пространств а X любая его точка хе X определяет единственное отображение ах: G/G^-^-G(x), ах (gG^ = g (х). Используя определение топологии в пространстве G/Gx и непрерывность отображения gi—g(x), получим, что ах непрерывно. Очевидно также, что отображение ах взаимно однозначно и сюръективно. Тем не менее ах может не быть гомеоморфизмом: соответствующий пример дает иррациональная обмотка тора. Поскольку, однако, взаимно однозначное отображение компактного пространства на хаусдорфово пространство есть гомеоморфизм, получаем следующее предложение.
Предложение. Для компактной группы G отображение ах: G]GX-*G (х) является гомеоморфизмом для любого х. |
Заметим также, что если задать действие группы G на G/Gx посредстгом левых сдвигов, а ее действие на G(x) с X — как ограничение действия группы G на X, то ах становится эквивариантным отображением. Таким образом, для компактной группы G любое ах является эквивалентностью транзитивных G-пространств.
В оставшейся части этого параграфа мы сосредоточим свое внимание исключительно на действии фиксированной компактной группы G. Соответствующий класс G-пространств образует кате-
горию, морфизмами которой являются эквивариантные отображения. Полная подкатегория этой категории, объекты которой суть транзитивные G-пространства, называется категорией G-орбйт. Заметим, что в силу 4.1 любой объект этой категории изоморфен некоторому пространству смежных классов G/Н. Поэтому мы займемся описанием морфизмов одного пространства смежных классов в другое.
Теорема. Пусть Н и К — замкнутые подгруппы компактной группы G. Тогда-.
Эквивариантное отображение G/Н -э- G/К существует тогда и только тогда, когда Н сопряжена с некоторой подгруппой группы К.
Пусть элемент а<= G таков, что аНа-1 а К. Определим отображение R^- н: G/H -*G/K формулой Ra’ " (gH) =ga^K. Тогда Ra' н — корректно определенное эквивариантное отображение.
Для любого эквивариантного отображения f: GlH-^-GjK найдется aeG, для которого f (gH) = Ra’ " (gH) и аНа-1 о: К.
Ra’H — Rb'H тогда и только тогда, когда а(г1еК.
Доказательство. Пусть f; С/Я-э-С/Д —некоторое отображение; выберем такой элемент а е G, что f(H) = a~H(. Ясно, что эквивариантность / равносильна условию f (gH) a ga^YK для всех geG. Обратно, формула HgH) = ga-1K задает (обязательно эквивариантное) корректно определенное отображение лишь при том условии, что f(ghH) = f(gH) для всех h е Н. Таким образом, для всех h^H должно выполняться условие gha-1K = ga^K, равносильное условию aha-1 еК для всех he Н, т. е. аНа~г с К. Отсюда следуют утверждения (1) — (3). Очевидно, что Ra’ н = Rb' н тогда и только тогда, когда а~1К = Ь~1К, т. е. ab~4( = K. g
Заметим, что при К — аНа-} отображение Ra’" есть просто правый сдвиг gH I—* gHa-1 = ga^aHa"1 = ga-xK. Более общо, если К о аНа-1, то Ra" " = Re' ^На ‘ • Ra"° *'" есть, следовательно, композиция правого сдвига gH *—* gHa*1 = ga^aHa*1 с естественным отображением G/aHa^-^-GlK, индуцированным включением аНа^аК.
Отметим также, что если аНа-1 а Н, то аНсг1 = Н в силу 0.1.9, так как G компактна.
Следствие. Любое эквивариантное отображение G/Н-> -> G/Н является правым сдвигом на элемент группы N (Н) и эквивалентностью G-пространств. Отображение a»—* R"' н индуцирует изоморфизм группы N (Н)/Н на топологическую (в компактно открытой топологии) группу (относительно композиции) Homeoc (G/H) автоэквивалёнтностей G-пространства G/H.
Доказательство. Заданное правыми сдвигами, действие G[HxN (H)-^-GlH, очевидно, непрерывно, поэтому непрерывной заданное формулой a-* Ra’ " отображение N (Н)/Н -a- Homeoc (G/H)
(см. Дугунджи [1]). Таким образом, отображение Х(Д)/Д->- -► Homeo6 (G/Н) непрерывно, взаимно однозначно и сюръективно и, следовательно, является гомеоморфизмом в силу компактности пространства N (Н)/Н. |
Следствие. Если существуют эквивариантные отображения G]H-*GlK и GK-^-GH, то каждое из них является эквивалентностью, и Н сопряжена с К. |
Локализовав категорию G-орбит по всем эквивалентностям, получим категорию частных, которая называется категорией типов G-орбит. Это есть категория классов эквивалентности транзитивных G-пространств (т. е. орбит). Для G-орбиты X обозначим через type (X) ее класс эквивалентности относительно эквивариантной гомеоморфности. Из сказанного выше следует, что любой класс type (X) содержит некоторое пространство смежных классов G/Н, кроме того, type (G/Д) = type (G/Л) тогда и только тогда, когда Н и К сопряжены в G. Морфизм type (G/X)->-type (G/X) существует тогда и только тогда, когда существует эквивариантное отображение G/H -+G/K, что в свою очередь справедливо тогда и только тогда, когда Н сопряжена (в группе G) с некоторой подгруппой группы X- Если X и У —такие две G-орбиты, что существует морфизм type (X) ->- type (У) (т. е. существует эквивариантное отображение Х->У), то мы пишем type(X)^ ^ type (У). Это отношение задает в множестве орбитных типов частичный порядок, причем type (*) = type (G/G) является минимальным, a type (G) — максимальным элементом. Заметим, что это частично упорядоченное множество) не совпадает с категорией типов G-орбит, но получается из нее посредством отождествления некоторых морфизмов, см. V.4.3.
В силу (2.1) стационарные подгруппы всех точек одной и той же орбиты составляют некоторый полный класс сопряженности подгрупп группы G. Поэтому для орбиты X, эквивалентной пространству G/Н, можно определить ее G-стационарный тип (Н) как класс всех подгрупп группы G, сопряженных сН. Для подгрупп X, Н группы G type (G/Д) 5^ type (G/Х) тогда и только тогда, когда Н сопряжена с некоторой подгруппой группы X; в этом случае мы пишем (Д)^(Х)- Таким образом, частично упорядоченное множество G-орбитных типов канонически антиизоморфно частично упорядоченному множеству G-стационарных типов.
В литературе стационарный тип называется «орбитным типом», а то, что мы называем орбитным типом, никак не называется. Мы предпочитаем введенную здесь терминологию как более выразительную.
Пример. Пусть G — группа вращений SO (3), и пусть X — пространство вещественных симметрических (3 х 3)-матриц со следом 0.
(Заметим, что эти матрицы образуют вещественное векторное пространство размерности 5, так что X?^R6.)
Для geG и х е X положим (используя обычное умножение матриц) 6g(x) = gxg-1. Из курса линейной алгебры хорошо известно, что х и у лежат в одной орбите этого действия тогда и только тогда, когда матрицы х и у имеют одинаковые (с учетом кратности) собственные значения. Обозначив через Y (топологическое) подпространство в R3, состоящее из троек (Xv Х2, Х3), где Xj^Xg^Xg и Х14-Х24-Х3 = 0, получим, что отображение
л: X -+ Y, сопоставляющее матрице х ее собственные числа, расположенные в порядке убывания, обладает свойством л (х) = л (х')о о G (х) = G (х').
Отображение л обладает обратным отображением о: У-+ X, где
О(ХП Xg, Х3) =О(ХП Xg, Х3) =О О'Л2 О о х3_О О'Л2 О о х3_
О(ХП Xg, Х3) =
О(ХП Xg, Х3) =
О О'
Л2 О о х3_
О О'
Л2 О о х3_
Отсюда следует гомеоморфизм Y ^XlG, при котором л соответствует естественной проекции на пространство орбит, а о — сечению.
Далее, равенство Х14-Х24-Х3 = 0 определяет плоскость в! R3, а неравенства Х35йХ2 и Х2^Х3 означают, что Y есть замкнутая область этой плоскости, ограниченная двумя лучами, исходящими из начала координат под углом 60° друг к другу. Это изображено на рис. 1.1.
Стационарная подгруппа точки о(Х1( Х2, Х3) при Х!>Х2>Х3 есть группа матриц вида
± 1 о о
0+1 о .
00+1
Эта группа изоморфна группе Z2®Z2 (так как G = SO(3)). Для
Хх = Х2>Х3 стационарная подгруппа состоит из матриц вида Г О'
О 0 ±1
образующих нормализатор подгруппы SO (2). Аналогично обстоит дело в случае, когда Х1>Х2 = А3. Разумеется, для Х1 = Х2 = Х3 = 0 стационарной подгруппой является сама группа SO(3), а орбитой является одна точка. Пространство орбит вместе с представителями орбитных типов изображено в правой части рис. 1.1.
Неподвижные точки
Точка х G-пространства X называется стационарной, если G(x) = x, т. е. GX = G. Стационарные точки называют также неподвижными точками действия группы G на X. [Иногда неподвижной точкой называют такую точку х, которая остается на месте после действия на нее каким-нибудь нетривиальным элементом группы G, т. е. Gx#[e}. Однако общепринятая точка зрения (которой мы здесь будем придерживаться) состоит в том, чтобы в теории компактных групп преобразований термины «стационарная» и «неподвижная» считать синонимами.] Подпространство пространства X, состоящее из неподвижных точек действия группы G, мы обозначаем через Xе, так что Xе — [х е X |g(x) = х для всех geG}; будет использоваться также обозначение F (G, X). (Разумеется, для подгруппы Н группы G множество точек, неподвижных относительно Н, обозначается через Хн или F^H, X).)
Для линейного представления группы G на R"+1 множество F (G, R"+1) является, очевидно, линейным подпространством в Rn+1. Поэтому для ортогонального действия группы G на сфере S" множество неподвижных точек есть некоторая сфера Sr. Следовательно, если действие группы G на пространстве X эквивалентно ортогональному действию на S”, то Х° гомеоморфно сфере. Естественно спросить, любое ли действие компактной группы на сфере эквивалентно ортогональному. Более легкий вопрос: будет ли множество неподвижных точек действия на сфере являться сферой? Долгое время этот вопрос оставался открытым. Первым продвижением в этом направлении явились положительные результаты Смита.
Эти ставшие классическими важные результаты мы изложим в главе III. Первыми отрицательными результатами в этом направлении были примеры Флойда [2, 7, 9]. Другие примеры такого типа имеются у Бредона [12, 19], Коннера и Флойда [3], Коннера и Монтгомери [2], Флойда и Ричардсона [1] и Кистера [1]. Некоторые из этих контрпримеров мы приведем в §§ 7 и 8.
При изучении групп преобразований часто оказывается полезным рассматривать неподвижные точки подгрупп Н группы G. Имея это в виду, отметим, что для любого G-пространства X и любой подгруппы HcG имеется естественное действие группы N (Н) на Хн, являющееся ограничением действия группы G на X до действия группы N (Н) на Хн. Для доказательства этого достаточно лишь заметить, что N (Д) переводит Хн в себя, так как для х е Хн и п е N (Д) имеем Нп (а) = пН (х) = п (х), и потому п (х) е Хн.
В качестве примера рассмотрим множество Л (Д, G/Н). Смежный класс gH неподвижен относительно Д тогда и только тогда, когда HgHdgH, т. е. g^HgczH. Для компактной группы Ли Д отсюда следует, что g^Hg — H, так как группы g~lHg и Д имеют одну и ту же размерность и одно и то же число компонент связности. Таким образом, в этом случае geN (Д), так чтоF ^Н, G/H) = = N (Н)/Н. Аналогично показывается, что для К a G условие F (К, С1Н)^ф эквивалентно сопряженности К с некоторой подгруппой группы Д.
Другой пример: пусть Д —некоторая подгруппа компактной группы Ли G, а Т — максимальный тор в Н. Рассмотрим пространство F (Т, G]HY Как и выше, легко видеть, что gH a F (Т, ОДД тогда и только тогда, когда g^TgdH. Так как g^Tg — тоже максимальный тор в Д, и все максимальные торы группы Д сопряжены в Д, то существует такой элемент h е Д, что yghY1 Tgh= = h^g^Tgh^T-, иными словами, gh<=N (TY Поэтому g е N (Т) Н, а потому gH е (Д (7) Д)/Д ^ N (Т)/(Н П N (Т)). Очевидно, верно и обратное, поэтому
F (Т, G/H) = (Д (7) НУН ^ Д (7)/(Д П N (7)).
После приведенных выше примеров может показаться, что для любой подгруппы КсН множество F (К, G(Д)) эквивалентно (как Д (К)-пространство) некоторому пространству смежных классов группы N (К). Чтобы предостеречь читателя от этого воз
можного заблуждения, рассмотрим следующий пример.
Пусть группа G = U (3) действует на комплексном проективном
порожденная матрицейпорожденная матрицейпространстве СР2 обычным матричным действием на однородных координатах (г0: г, : г2), и пусть х —точка с координатами (0:0: 1). Тогда Gx — U (2) хU(l)cU(3), и результаты § 4 показывают, что имеется эквивалентность G-пространств СР2 и U (3)/U (2) х U (1). Положим fl = U(2)xU(l), и пусть К — подгруппа порядка 2,
порожденная матрицей
порожденная матрицей
А =А =-1о. о-1о. оо о
А =
А =
-1о
. о
-1о
. о
1 о
0 1
Действие матрицы А на ОР2 имеет вид (г0: zx: z2) ,—* (— z0: ^ : z2), и легко показать, что множество его неподвижных точек есть
несвязное объединение точки (1 : 0 :0) и двумерной сферы (0 : zt: z2). Так как эти компоненты множества F (К, СР2) имеют разные размерности, то пространство F (К, G/Н) не может быть пространством смежных классов.
Некоторые элементарные конструкции
В этом параграфе мы изложим некоторые способы построения одних групп преобразований из других.
(А) Скрученное произведение. Пусть Н — компактная подгруппа топологической группы G, действующая на некотором пространстве А. Тогда на пространстве GxA имеется действие группы Н, заданное формулой (h, (g, a)) t—* (gh-1, ha). Пространство H-орбит этого действия обозначим через GxH А, а Я-орбиту точки (g, а) — через ^g, а]. Таким образом, если [g, a\ = \g', o'], ю существует такой элемент h е Н, что g^ghr1 и a — ha, и наоборот. Определим действие группы G на GxHA, полагая g'\g, a] = ig'g< «Ь
Пусть ie: А-^дхцА задано формулой ie (а) = (е, а]. Тогда ie Я-эквивариантно, так как [е, hd\ = \h, a} = h[e, о]. Очевидно, кроме того, что оно непрерывно и инъективно. Отметим также, что отображение 1е замкнуто, так как оно является композицией A^-GxA^Gхн А замкнутых отображений. Таким образом, 1в — вложение (гомеоморфизм на свой образ).
Проекция GxA->G индуцирует эквивариантное отображение р: GXhA-^- G[H (заданное формулой [g, a\—*gH). Предположим, что проекция л: G-^-GfH обладает локальным сечением (что всегда так, если G — группа Ли). Пусть С с G/Я — замкнутая окрестность некоторой точки, и пусть о: С->-G — некоторое сечение, так что отображение (с, h) •—* о (c)h, сеС, heH, задает прямое разложение СхЯ->-л-1 (С). Рассмотрим отображение СхД-> ->-GXhA, заданное формулой (с, а)>—*[о(с), о]. Оно, очевидно, взаимно однозначно отображает СхА на р~ЦС). Кроме того, оно непрерывно, а также замкнуто, так как является композицией CxA-*GxA-*GxHA замкнутых отображений. Таким образом, это отображение является гомеоморфизмом, и потому проекция р; GxHA-+GlH представляет собой локально тривиальное расслоение со слоем А. (На самом деле здесь в точности изложена конструкция А-расслоения, ассоциированного с главным Я-расслоением 0-*С(Н). В главе II мы изучим эти объекты более подробно и с более общей точки зрения.)
Как мы увидим в главе II, конструкция скрученного произведения играет главную роль при изучении строения групп преобразований.
(В' Расслоенное произведение. Пусть X, Y и Z суть G-пространства, и пусть/: X-^Z и h: K->Z —эквивариантные отображения. Расслоенным произведением (или коамальгамой) XXzY назы-
вается подпространство прямого произведения ХхУ, состоящее из таких пар (х, у), что f (х) = к (у). Диагональное действие группы G на X х У, (^(х, у)) I—* (g (х), g (у)), очевидно, переводит пространство X х ?У в себя и, следовательно, превращает его в G-пространство. При этом проекции Д: ХХ/У->-У и к': XxzY ->Х являются эквивариантными отображениями.
Расслоенное произведение X х zY обладает следующим универсальным свойством: для любого G-пространства W и любых таких эквивариантных отображений a: W-^>-X и ^: IF-^y, что fa, = k$, существует и единственно такое отображение 6: IF-> -*XxzY, что диаграмма
коммутативна. Действительно, 6 задается формулой 6 (ш) = (а (ш), Р (да))-
Отметим, что в диаграмме
XXzY^X
Y
определяющей расслоенное произведение, из сюръективности отображения / следует сюръективность отображения f. Заметим также, что если / открыто, то и V открыто (аналогичное, разумеется, верно и для отображений к и /г'). Чтобы проверить последнее утверждение, возьмем точку (х, y^eXxzY (это означает, что f (х) = g (у)) и выберем некоторую открытую окрестность U точки х. Тогда множество /(П) открыто и у е к"1 ^ ([/)). Пусть У с/г1 (f (£7)) —некоторая открытая окрестность точки у. Теперь, так как, очевидно, отображение f проектирует множество (X XzY) f) (^ X У) на множество У, то f — открытое отображение.
Важным частным случаем является тот, когда Z = X]G, f = nx: X->X/G —отображение на пространство орбит, а на пространстве У группа G действует тривиально. В этом случае расслоенное произведение обозначается через к* (X) и называется расслоенным произведением, индуцированным из X посредством к. Возникает коммутативная диаграмма
к* (X) h--X
1л' |л
У --Х/0
где л'— эквивариантное отображение G-пространства h* (X) в тривиальное G-пространство Y. Следовательно, л' индуцирует отображение a: h* {X^/G -> Y. Так как отображение л сюръективно и открыто, то таково же и л', и потому о —тоже сюръективное и открытое отображение. Если (х, у) и (х', у) —две точки из h* (X), то л(х) = /г(у) = л(х'), поэтому х и х' лежат в одной и той же орбите, и потому в одной и той же орбите лежат так же (х, у) и (х', у).
Отсюда следует, что о —взаимно однозначное отображение, и потому о: /г* (X)/G-> У — гомеоморфизм. Так как о —каноническое отображение, то мы можем представить себе Y как пространство орбит К* (X)/G.
(С) Эквивариантное приклеивание. Пусть X и Y — два G-пространства и Л —замкнутое инвариантное подпространство в X. Если отображение ф: A-^-Y эквивариант но, то пространство X U чУх) (когда оно хаусдорфово) естественным образом наследует действие группы G. В частности, цилиндр и конус любого эквивариантного отображения одного G-пространства в другое снова являются G-пространствами.
Представляет интерес частный случай, когда ф есть эквивариантный гомеоморфизм множества Л на его образ. В этом случае без ограничения общности можно считать, что A=X(\Y есть подпространство как в X, так и в Y, и оба действия группы G на Л совпадают. (Таким образом, X U ФУ есть результат склеивания по тождественному гомеоморфизму 1д.) Мы интересуемся тем, что произойдет, если объединение X U фУ «разрезать» на X и У, а потом снова склеить их по некоторому другому эквивариантному гомеоморфизму ф: А->А. Если ф: Л->Л продолжается до эквивариантного гомеоморфизма Х-^-Х (или Y ->-У), то XUcp^ и ХОфУ изоморфны как G-пространства, где соответствующий эквивариантный гомеоморфизм совпадает с ф на X и является тождественным на Y. Если, однако, ф не допускает эквивариантного продолжения ни на X, ни на Y, то может получиться некоторое новое G-пространство XJ^- Для построения таких примеров нам необходимо найти подходящие эквивариантные гомеоморфизмы пространства А на себя, и мы сейчас изложим один из способов построения таких отображений.
Заметим, что эквивариантные автогомеоморфизмы G-пространства А образуют (относительно композиции) группу Нотеос(Л). Предположим теперь, что дано эквивариантное отображение 6: A-*-G, а>—*83 (запомните это обозначение), где группа G действует на себе посредством сопряжений: Cg (h) = ghg~. Такие отображения S образуют группу, если положить (66')о = 6о6а, так
как (66%,= 6ga6ga = (g6ag-1)(g6^-1) = g6o6;g-1 = g(96,)ag-1. Эту группу мы обозначим через Маре(Л, G).
Определим отображение MapG (Л, G)->HomeoG (Л), 8 i—*6*, полагая 8* (а) = 9а (а). Чтобы доказать корректность этого определения1), заметим сначала, что 6* — эквивариантное отображение, так как 6* (ga) = 8^ (ga) ^g^ag”1 (ga) = g(0a (a)) = g(8* (a)). Далее, отображение 61—* 6* является антигомоморфизмом. Действительно, (9*»Х*) (а) = 9* (X* (a)) = 8* (Xo(a)) = Ха (8* (a)) = Ха(9а (а)) = ==(Ха9а)(а) = (Х9)о(а) = (Х9)* (а). В частности, отсюда следует, что (б-1)* = (в*)-1, так что отображение в* действительно является гомеоморфизмом. (Полезно отметить, что если Л —гладкое многообразие, а G — группа Ли, гладко действующая на Л, то гладким отображениям 8 соответствуют диффеоморфизмы 8*.)
Конечно, все сказанное выше не решает проблемы построения эквивариантных гомеоморфизмов, но, вообще говоря, отыскивать эквивариантные отображения легче, чем эквивариантные гомеоморфизмы и, действительно, приведенная выше конструкция будет использоваться нами в следующем параграфе для построения соответствующих примеров. Мы будем использовать также следующее замечание: пусть эквивариантное отображение 8: A-^-G такое же, как и выше, и пусть на Л х Л группа G действует диагональным образом, т. е. g(a, a') = (ga, ga'). Тогда отображение Лх Л->С, заданное формулой (a, a')f—»9a, очевидно, экви- вариантно. В силу сказанного выше заключаем, что отображение (a, а') I—* (8а (а), 9а' (а')) задает эквивариантный гомеоморфизм пространства Л х Л на себя. Кроме того, из эквивариантности отображения (а, а')>—*(а', а) следует теперь, что отображение (a, a')i—* (8а(а'), V (о)) тоже есть эквивариантный гомеоморфизм.
В следующем параграфе мы будем интересоваться случаем, в котором 9а(а) = а. Здесь же мы отметим, что если а*-*9О — такое эквивариантное отображение, что 9а(а) = а для всех а, то отображение Ах А-»- Лх Л, заданное формулой (х, у)*—* к-♦ (6Х (у), х), является эквивариантным гомеоморфизмом (справедливость этого факта легко устанавливается непосредственной проверкой, и это предлагается сделать читателю).
Некоторые примеры О (п)-пространств
Здесь мы, используя замечания, сделанные в конце предыдущего параграфа, построим несколько О (п)-пространств посредством склеивания пространств S"”1 х D" и S"-1 х D" по эквивариантному гомеоморфизму ф: S"-1 х S"-1-> S"-1 х S""1; при этом рассматривается диагональное действие группы О (и) на прост-
!) То есть доказать, что для каждого 6 е Маро (Д, G) отображение 6*: А -* н- Д вида ai—>8q.(a) является эквивариантным гомеоморфизмом. —Прим, ред,
ранстве Sn-1xD", индуцированное стандартными действиями группы О (п) на S"-1 и D”.
Для того чтобы иметь возможность применить замечания предыдущего параграфа, мы должны найти эквивариантное отображение 6: 8л-1->-0 (ц), где О (л) действует на себе сопряжениями. Такие отображения легко описать следующим образом. Если для хе8лЧ имеем g(x)=x, то 6Х = 9gx = g9xg~1; таким образом, элемент 9Х должен коммутировать с каждым элементом стационарной подгруппы <Цп)х (которая сопряжена с O(n —1)). Отсюда легко следует (поскольку х без ограничения общности можно считать вектором из базиса), что для 6^ имеется всего четыре возможности: быть одной из матриц /, — /, быть отражением относительно ортогональной к х гиперплоскости или быть отражением относительно прямой Rx (последнее отображение есть взятое со знаком минус предыдущее). Из непрерывности отображения 6 следует, что при любом изменении точки х мы все равно останемся в пределах какой-то одной возможности.
Ясно также, что первые два случая не дадут нам никаких новых примеров, а последние два приводят к эквивалентным О (п)-пространствам, поэтому сосредоточимся на четвертом случае, когда 6Х есть отражение относительно прямой Rx, т. е. для хе е 8л-1 и yeR" имеем 6Х (у) = 2 (х • у) х — у. Заметим, что в этом случае 6^(х) = х. Из результатов предыдущего параграфа следует, что отображение ф: S"-1xS”_1->S"~1 xS^1, заданное формулой ф(х, у) = (Ох(у), х), является эквивариантным гомеоморфизмом (на самом деле диффеоморфизмом), это же верно в отношении любой его степени (как положительной, так и отрицательной).
Определим пространство
2^~1 = S'1-1 X D" U ф6 S"-1 X D"
как О (п)-пространство, полученное склеиванием пространства S”-1xD” с самим собой по к-й степени (где к — любое целое число) гомеоморфизма ф пространства 8л-1х8л-1 на себя, и займемся изучением построенных О (л)-пространств.
Так как ф° — тождественное отображение, то So"-’^S^xS", где 8л-1х8л есть О (л)-пространство с диагональным действием (и О(п) действует на 8" посредством стандартного вложения О (л) с О (пф-1)).
Поменяв ролями два экземпляра пространства S"-IxD", получим эквиваленгность 2*"~1 S^R1 двух О (л)-пространств С другой стороны, Si”-1 можно описать как пространство, полученное приклеиванием пространства S”-*xD" к пространству D"xS"-1 по отображению ф': (х, у) i—* (х, 9х(у)) пространства S^xS”-1 на себя (указанное отображение является композицией
отображения ф с перестановкой сомножителей). Но, очевидно, ф' определено для всех у = D" и потому продолжается до эквивариантного гомеоморфизма пространства S”-1xD” на себя. Поэтому, как отмечалось в предыдущем параграфе, Sp-1 эквивалентно объединению S'*-1 х D” U id D" х S^^S^^R^^R" xR", где R" xR" рассматривается как О(п)-пространство с диагональным действием. Таким образом, случай ^ = 1 приводит только к известному линейному действию группы О(п) на S^^’^S2"”. Скоро мы увидим, однако, что случаи ^^2 доставляют нам примеры значительно менее знакомых О (п)-пространств.
С целью изучения многообразий Sp-1 (и 2s 2) вычислим их гомологии. Пусть * обозначает отмеченную точку сферы S", а а и р — соответственно элементы группы Hn-i (S"-1 xS”-1), представленные циклами Sn lx{*} и {^xS”-1. Гомеоморфизм ф индуцирует автоморфизм ф* группы //„-! (S^xS"-1), и ф* (а) = а1а + а2р, где а; —степень композиции S'^x {Д сд Sn l xS'^1 '* ■ S^xS"-1—S'1-1 (здесь pi — проекция), i=\, 2. Аналогично для ф* ф). Далее, из того, что ф(х, *) = (Qx(*). *) и ф(*, у)=(0* (у), *), легко следует, что ф* (а) = (1 + (—1)”)а + р, Ф*ф) = (—1)п-1а, и поэтому
т * —1т * —1
т * —1
т * —1
Вычисляя степени этой матрицы, получим Ф*^[ 1—А] для четного п и ф™т = ^ ^, фнечет_^0 ^j для нечетного п. Далее, из точности последовательности Майера— Вьеториса (здесь i — включение)
..Я/+1 ( 2р™!)_ Hj (S"-1 х S"-1) Q^ ^
М). Hj (S-1 х D”) е Hj (S"-1 х D”) -^ Hj (S^- ’) ^...
Г1 °1[1 ojГ1 °1[о 1]Г1 °1[1 ojГ1 °1[о 1]следует, что Hp^ ‘) =0 для р ^ 0, п - 1, п, 2п - 1 (при п^2). Для j = n—l гомоморфизм (г*, ф^) отображает одну свободную абелеву группу в другую, причем обе эти группы имеют ранг 2, и матрица этого гомоморфизма (в очевидным образом выбранном базисе) имеет вид .
Г1 °1[1 oj
Г1 °1[о 1]
Г1 °1[1 oj
Г1 °1[о 1]
Полагая получаемПолагая получаемп = 2т или /г = 2m 4-1 (при условии m^l и п 5^0)
Полагая получаем
Полагая получаем
нР№~Ч=нР№~Ч=■ Z Z&. о■ Z Z&. одля у = 0, 4т — 1,
нР№~Ч=
нР№~Ч=
■ Z Z&
. о
■ Z Z&
. о
для р = 2т — 1,
в остальных случаях.
/ 4m+i\ / Z для р = 0, 2т, 2m4-1, 4т-Ц, р ( 0 в остальных случаях,
„ ZV4m+h / Z ДЛЯ Р = 0’ ^"^р ( 0 в остальных случаях.
Таким образом, пространство 3'Х+1 имеет те же гомологии, что и пространство S2mxS2m+1, а пространство 2X1»—те же гомологии, что и пространство S4m+1.
Для /г^З пространство S”-1xD” односвязно, поэтому из теоремы ван Кампена вытекает, что и все пространства S^~ односвязны.
В частности, для всех т^О пространство St"+1 есть гомотопическая сфера. Так как это пространство является гладким многообразием, то из доказанной Смейлом обобщенной гипотезы Пуанкаре (см. Милнор [5]) следует, что Si^tr1 гомеоморфно сфере S4m+1. Заметим, что многообразие ЕнТчет' не всегда диф- феоморфно сфере S4m+1, мы обсудим это в главе VI. Разумеется, ЁЬечеч и S5 диффеоморфны просто в силу того, что на пятимерной сфере имеется лишь одна (с точностью до диффеоморфизма) дифференцируемая структура, см. Кер вер и Милнор [1].
Теперь мы покажем, что при нечетном к > 1 действие группы О (и) на пространстве S^m+1 не эквивалентно стандартному ортогональному действию 4 на S4m+1. Для этого мы заметим, что если D'с: D” — стандартное вложение, то отображение <р6: S^xS'11-* -4- S^1 х S"1 переводит подпространство Sr-1xSr 1 в себя, и его ограничение на Sr~1xS'“1 есть отображение <pfc: Sr-1 х 8Л1 S^1 х xS'"1, порожденное стандартным О (г)-действием на S'1. (Это легко следует из того, что две компоненты 6Х (у) и х пары <р (х, у) получаются соответственно из х и у поворотом на угол (х, у) в направлении от у к х плоскости, содержащей х и у. Поэтому <р6 зависит лишь от линейной оболочки элементов х и у.) Таким образом, если Н — такая подгруппа в О (и), что F^H, Dn) = Dr,
то F^H, Si"-1) = 2^~‘ ■ Отсюда непосредственно возникают довольно необычные свойства построенных действий.
Например, пусть и = 3, и пусть Z2—0(1) cz О (3) — стандартное включение. Первая группа гомологий пространства А (0(1), vy = = 51 есть Ze, так что на S5 для любого нечетного k имеется инволюция (гомеоморфизм периода 2) с таким множеством неподвижных точек F, что Нх (F) = Z*
На самом деле 51 в точности есть линзовое пространство L (А, 1). Мы увидим это, если заметим, что поднятие ф: RxR-> ->R XR отображения <p: S x S’-^S^S1 обладает свойством ф (s, /) = = (2s — t, s) (так как Qelrosi,etoil^=e№i№'t\ Поэтому ф — линейное отображение с матрицей Ф = ^ — ^. Очевидно также, что ф* накрывает q? и является линейным отображением с матрицей
П+& -А] m = ф I i-*r
Линзовое пространство L (A, q) можно определить, скажем, так: L (A, q) получается в результате склеивания двух экземпляров пространства S1 х D2 по такому гомеоморфизму S1 х S1 S1 х S1, который накрывается линейным отображением с матрицей ^ *j, где п и q — такие целые числа, что qq' — кп = ±l 1. При этом пространство L(&, q) зависит лишь от |&: и класса вычета iLc/mod Ах). Следовательно, 51 = L (А?, 1 — ^) ^ L (А, 1).
Замечание. Пространство L (A, q) можно описать и как пространство орбит свободного действия группы Zs на S3 cz С2, порожденного матрицей
-^л;^0 -
_ 0е2лС?/^’
Таким образом, для любого нечетного к 0(3)-пространство S* дает нам пример такого О (З)-действия на S3, что А (0(1), S6)^L(A, 1).
Более общо, для i^ 1 О (2m + 1)-действие на пространстве SaVi1 (гомеоморфном, но, вообще говоря, не диффеоморфном сфере S4m+1) не эквивалентно соответствующему ортогональному действию (на S4m+1) ни для какою m^l; даже соответствующие ограничения этих действий на подгруппу О (1) cz О (2m + 1) не эквивалентны, так как Р^О^, 2у4ы1) = S^+i1, a Н2т1 (Sa+i') = = Z2<+i- Аналогично при т^2 ограничение О (2/г +1 ^действия на пространстве Sa+V на подгруппу SO (3) (и, следовательно, на любую подгруппу SO (г), 3^ г sg 2m 4- 1) не экви.
валентно ортогональному действию, так как F(SO(3), Ss?+i1) = = S^h”, а /72т-з(22/тн5) = 22/+1- (Тем не менее позже мы увидим, что SO (З)-действие на ^2<+i эквивалентно ортогональному действию! Замечательно, что О (З)-действие на S2«+i имеет те же орбиты, что индуцированное им SO (З)-действие, причем первое действие все еще неортогонально, а второе — ортогонально.)
Замечание. Эти примеры первоначально были построены Бредоном [12] (см. также Б редон [11, 19]) по существу тем же методом, что изложен в этом параграфе. Позже появились два других метода (Брискорн [1], Хирцебрух и Meйер [1] и Б ре дон [15]), которые позволили построить те же примеры и обобщить их в другом направлении; при этом проявились несомненные преимущества этих методов по сравнению с изложенной здесь конструкцией. Эти идеи мы обсудим позже. Изложенный метод был выбран по причине его простоты с точки зрения вычисления групп гомологий получающихся пространств.
Для дальнейшего изложения нам целесообразно описать стационарные подгруппы и пространство орбит О (и)-пространства S^-1 (и За 2). Пусть G = O(n). Очевидно, что стационарные подгруппы группы G, действующей на S^1-1, совпадают со стационарными подгруппами G-действия на Sn_1xDn. Но G^,= GxГ)Gy есть в точности та подгруппа в G, которая сохраняет линейную оболочку векторов х и у. Таким образом, если х и у линейно зависимы, то О^.уч сопряжена с О(и —1), а если х и у линейно независимы, то G^y^ сопряжена с О (п — 2). Таким образом, О(п)- пространство S^-1 имеет всего два типа орбит, а именно О (п)/О (н — 1) S" и О (п^О (и — 2) V„, 2.
Перейдем теперь к исследованию пространства орбит действия группы G = O(n) на S"-1 хВ" (« з? 2). Пусть В2 с: В"— диск, натянутый на первые две координатные оси; положим * = (1, 0) е sS>cD2 и B+={(tz, 6)eD2 6 2а 0}. Каждую точку пространства S"-1 х В" можно действием некоторого элемента из О (и) перевести в точку, лежащую в {*}хВ". Потом, действуя на эту точку элементом стационарной подгруппы G^—O(n — 1), можно перевести ее в точку (*, у)е{*}хВ2. Так как вектор у полностью определяется своей длиной и углом, который он образует с вектором *, и так как эти характеристики не меняются при действии элементами группы G на (*, у), то {*}хВ2 пересекает каждую орбиту в пространстве S'11 х В" ровно один раз. Следовательно, {*} х В2 есть сечение G-пространства S"-1 х В". Таким образом, (S""1 х В^/О (п)?^
В;, и ясно также, что при этом гомеоморфизме факторпрост- ранство (S'*-1 xSn-1)/O(n) соответствует дуге В! QS1. Так как гомеоморфизм <рй должен индуцировать гомеоморфизм пространства
(S^xS^/O (п) на себя, то 2^ */О(и) еСть объединение двух двумерных дисков по общей дуге на их границах. Следовательно, еГ^’/О^)^D2. (Это можно усмотреть также из некоторых общих фактов, которые мы изложим в последней главе.)
Напомним, что для п^2 и подгруппы О (п — 2) группы О (?г) мы имеем /?(О(и —2), S^”1) = S^ = L (^, 1). Нам понадобится также тот факт, что F(O (п — 1), 2лп-1)=2б. Далее, 21 получается склеиванием двух экземпляров пространства 8° х D1 по гомеоморфизму <p&: 8° х 8° -> 8° х 8°, являющемуся ограничением отображения <р: RxR-*RxR, заданного матрицами
.четГ1 ®1 тнечетГ®
~|о 1J’ V о
Отсюда, очевидно, следует, что ^iej^SoxS^lflBe окружности}, 2нечет ^ S1.
Еще два примера
В предыдущем параграфе мы привели несколько примеров действий, которые, сами не являясь ортогональными, тем не менее имеют много общего с ортогональными действиями. В этом параграфе мы приведем два примера, показывающие, что, вообще говоря, действия компактных групп на евклидовом пространстве или шаре могут довольно сильно отличаться от ортогональных действий.
(А) Пример Флойда — Ричардсона. Для построения этого примера мы сначала изложим некоторые основополагающие факты о группе 80(3). Пусть Н —тело кватернионов; интерпретируем сферу S3 как (мультипликативную) подгруппу в Н, состоящую из кватернионов единичной нормы. Определим действие S3 на Н посредством сопряжения: (<?, <?')>—> i?/^-1; рассматривая Н как вещественное четырехмерное евклидово пространство, увидим, что это действие ортогонально, так как оно сохраняет норму. Ясно, что все точки подпространства R с: Н, порожденного единицей 1 е Н, неподвижны относительно этого действия, поэтому ортогональное дополнение этого подпространства (т. е. подпространство, порожденное элементами i, /, &) инвариантно относительно указанного действия. Таким образом, возникает трехмерное ортогональное представление группы S3, которое определяет хорошо известный гомоморфизм /: S3^-SO(3). Ядро этого гомоморфизма есть в точности {— 1, l}eZ3, и так как обе группы S3 и S0(3)
трехмерны, то из теоремы об инвариантности области *) следует, что гомоморфизм / эпиморфен. Таким образом, f является накрывающим отображением, и потому S можно отождествить с универсальной накрывающей группой группы SO(3).
Обозначим через / икосаэдральную подгруппу группы SO (3) (т. е. максимальную подгруппу, которая переводит в себя икосаэдр или, эквивалентно, двойственный ему додекаэдр, с центром в начале координат). Основной необходимый нам факт состоит в том, что нормализатор группы / есть сама /. Это следует из точного описания всех подгрупп группы SO (3) (см., например, Вольф [1]), показывающего что между / и SO(3) вообще нет подгрупп.
Мы будем пользоваться также тем обстоятельством, что I совершенна, т. е. I совпадает со своим коммутантом [/, 7]. Это легко установить непосредственно, выписав образующие и соотношения группы I. Другой путь состоит в том, чтобы заметить, что в додекаэдр можно вписать пять правильных тетраэдров и что действие группы I на этих пяти объектах задает изоморфное представление группы I на знакопеременную группу степени 5 (К ок стер [1]), а затем использовать общеизвестный факт о простоте этой группы.
Заметим также, что в додекаэдр можно вписать куб, поэтому можно предположить, что I содержит повороты на 180° вокруг координатных осей, порожденных элементами i, /, к.
Положим /'=/-1(/), так что /' — подгруппа порядка 120 группы S3. Заметим, что, так как uri = i, ijr1 —— j, 1кгг= = — к, то /(i) есть поворот на 180° вокруг прямой Ri. Аналогично для Цр) и для Цк). Таким образом, i, j, к лежат в Г, и потому (— \) = ijr1j~1 лежит в [/', /']. Следовательно, /'/[/', /'"^ ^//[/, /] —тривиальная группа.
Рассмотрим теперь пространство смежных классов S= = SO(3)//^S8//'. Так как л, (53)^/', имеем H^^I'/U', /']=« =• 0. Так как S3 — трехмерное многообразие, то из теоремы двойственности Пуанкаре следует, что 23 есть целочисленно гомологическая сфера.
Рассмотрим действие группы I на многообразии 23. Ясно, что Г (и потому /) сохраняет метрику, индуцированную с метрики на S3 накрывающим отображением S3->S3//' = S3. В силу результатов § 5 множество РЦ, S3) = N (П/I = 7/7 состоит в точности из одной точки. Так как / сохраняет метрику, то суще-
ствует открытый фехмерньш диск U с цен гром в этой точке, инвариантный относительно действия группы /. Таким образом, группа / действует без неподвижных точек па ацикличном трехмерном многообразии S3 — U с краем. (Заметим также, что это действие является дифференцируемым.)
Можно доказать, что указанное действие группы / па 23 — U является симплициальным относительно некоторой симплициаль- ной структуры на S3 — U. Это следует, например, из общей теоремы Янга [4] о дифференцируемых действиях. Этот факт легко следует также из того, что S3 можно наделить такой структурой правильного многогранника (К о к ст ер [1]), в которой левые и правые сдвиги элементами Г будут клеточными (а в соответствующем подразделении— даже симплициальными) отображениями. Однако простейший способ состоит, по-видимому, в классическом описании «сферического пространства додекаэдра» S3 (см. Зе й ферт и Трельфалль [1]) как правильного додекаэдра (с внутренностью), противоположные грани которого отождествляются посредством поворота на л/5 радиан (и отражения в центральной плоскости, параллельной этим граням), и рассмотрении на этом пространстве очевидного действия группы I (более удобного, чем описанное нами). (Последние два способа по существу эквивалентны, так как на самом деле додекаэдр есть клетка старшей размерности многогранника S3 и является фундаментальной областью относительно правых сдвигов элементами группы I’, приводящих в конечном счете к указанному отождествлению точек границы этой области.)
Рассмотрим джойнr) А = I * ^ — U) (т. е. объединение 60 конусов2) над S3 — U с диагональным действием группы /. Так как пространство А ациклично и односвязно, то оно стягиваемо. Кроме того, /-действие на А не имеет неподвижных точек. Пусть К — некоторое (возможно, пустое) симплициальное разбиение с тривиальным /-действием. Тогда возникает действие группы / на стягиваемом конечном симплициальном разбиении В = К*-А, множество неподвижных точек которого есть К.
Каждый такой пример следующим образом мгновенно позволяет нам построить пример аналогичного действия на диске. Выберем симплициальное вложение разбиения В в триангулированное евклидово пространство (или сферу) с линейным и симплициальным действием группы /. Например, можно считать В симплициальным подпространством границы дА полного симплекса А, имеющего те же вершины, что и S. В силу известной теоремы Уайтхеда [1] вторая регулярная окрестность D под-
Определение и свойства операции джойн * см. на стр. 68, а также в книге Рохлина и Фукса [1], с. 48. — Прим. ред.
Напомним, что 60 = ord 1. — Прим. ред.
пространства В в ЭД есть диск соответствующей размерности. Кроме того, F (I, D) есть регулярная окрестность разбиения К в F (/, ЭД), и потому она деформационно ретрагируется на К- Таким образом, получена следующая теорема.
Теорема. Для любого (в том числе и пустого) конечного клеточного разбиения К найдется такое действие икосаэдральной группы 1 на диске D” (п велико), что F (/, D”) гомотопически эквивалентно пространству К.
Для случая Р=ф этот пример был построен Флойдом и Ричардсоном [1].
Замечание. Этот пример является единственным (с точностью до тривиальных модификаций) известным примером действия компактной группы на диске, не имеющего неподвижных точек. Можно пытаться строить другие такие примеры, рассматривая пространства смежных классов G/H с компактной G, являющиеся целочисленно гомологическими сферами. Однако, как доказал Б редон [4], из всех таких пространств лишь SO (3)// не является сферой, и известно, что если G(H — сфера, то G-действие на ней эквивалентно ортогональному, см. Монтгомери и Самельсон [1], Борель [3], Понсе [2] (доказательство этого факта вытекает из классификации всех таких пар (G, Н), что GjH является сферой).
Замечание. Хотя множество неподвижных точек может иметь гомотопический тип любого конечного клеточного разбиения, его топологический тип не может быть столь произвольным. Например, все компоненты множества неподвижных точек описанного действия имеют одну и ту же размерность, и вполне правдоподобно, что это справедливо для любых действий компактных групп на сферах, дисках или евклидовых пространствах. В случае дифференцируемого действия в касательном пространстве в каждой неподвижной точке возникает представление действующей группы, и См ит [10] высказал гипотезу, что в любых двух неподвижных точках соответствующие представления эквивалентны (известно, что это утверждение справедливо для дифференцируемых действий связных компактных групп) *)■
. (В) Пример Коннера — Флойда. Здесь мы укажем, как построить действие без неподвижных точек циклической группы Z, на евклидовом пространстве (заметим, что на диске такого действия не может быть в силу теоремы Брауэра о неподвижной точке). Позже мы докажем теорему Смита, из которой следует,
!) В своей фундаментальной работе Агья и Ботт [3] доказали гипотезу Смита для циклической группы простого нечетного порядка, гладко действующей на сфере S2« с ровно двумя неподвижными точками. Затем Милнор обобщил их результат на произвольную циклическую группу сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов, действующих свободно всюду, кроме двух точек.— Прим. ред.
..., хг, хф где х, е R*, и триангулируем £*Л, сделав (первое) барицентрическое подразделение триангуляции, возникающем из произведения R*x...xR* триангулированных пространств. Определим вложение g; K^-Rkr формулой §-(х) = (/(х), /Т (х), /Т2 (х), ...
(х)). Оно эквивариантно, и легко проверить, что g— симплициальное отображение относительно первого барицентрического подразделения триангуляции К (детали см. Флойд [9]) Обозначив через U вторую регулярную окрестность множества g(K) в R6r, имеем 71 ((/) = (/. Тогда U — стягиваемое открытое подмножество в R^, на котором Zr действует (дифференцируемым образом) без неподвижных точек, и это же верно для U xR‘ с любым i и тривиальным действием Zr на R'. Но известно, что t/xR гомеоморфно евклидову пространству (см. Макмиллан и Зиман [1] и Столлингс [1]).
Взяв произвольное конечное симплициальное разбиение L, мы можем заменить S3 пространством S3*L и, проделав с ним описанные выше конструкции, получить такое действие группы Z, на евклидовом пространстве, множество неподвижных точек которого гомотопически эквивалентно L. Итак, доказана следующая теорема.
Теорема. Для любого натурального г, не являющегося степенью простого числа, и любого конечного симплициального разбиения L существует такое т, что для любого п^т пространство R" допускает автогомеоморфизм периода г, множество неподвижных точек которого имеет тот же гомотопический тип, что и L (включая случай Е = ф). g
Замечания. Кистер [1] улучшил вышеизложенную конструкцию вложения и доказал, что для L = ф можно взять т = 8. Известно, что в случае дифференцируемого действия т не может Сыть меньше 7 (Смит [10]). Коннер и Монтгомери [2], модифицировав изложенные конструкции, построили на некотором евклидовом пространстве действие группы 50(3) без неподвижных точек. Они использовали имеющее степень 0 отображение в себя построенного в конце § 4 пятимерного представления группы 50(3) (первоначально найденное Флойдом [12]). Эти конструкции обобщили на действия групп 5О(2п4~1), ol, братья Сян [4], которые, исследуя действие подгрупп, показали также, что любая связная компактная некоммутативная группа Ли может действовать без неподвижных точек на некотором R” (однако, как мы увидим позже, для торов это неверно). Снова, используя джойн с конечным симплициальным разбиением L, можно построить действие, множество неподвижных точек которого гомотопически эквивалентно L Окончательный результат, приводимый нами без доказательства, следующий.
Теорема. Если G — связная компактная некоммутативная группа Ли, то для любого (в том числе и пустого) конечного
симплициального разбиения L существует действие группы G на евклидовом пространстве достаточно большой размерности, множество неподвижных точек которого гомотопически эквивалентно L.
Замечание. Эти примеры убедительно показывают, что в общем случае о группах преобразований нельзя сказать почти ничего. Однако если ввести некоторые ограничения, то удается доказать несколько сильных теорем. Например, мы получим некоторые важные результаты о действиях р-групп и торов. Можно также доказать сильные теоремы о действиях с орбитами малой коразмерности, или с множествами неподвижных точек малой коразмерности, или с небольшим числом типов орбит и т. д. Некоторые из этих ситуаций мы изучим в следующих главах.
9. Накрывающие действия
Пусть задано накрытие р; Х'->-Х некоторого О-пространства X. Естественно спросить, продолжается ли G-действие на X до действия на X’ какой-либо группы О', накрывающей группу О.
На протяжении всего параграфа предполагается, что О —группа Ли (на самом деле мы используем лишь тот факт, что связная компонента Оо единицы группы открыта в О и обладает односвязной накрывающей). Мы предполагаем также, что X связно и локально линейно связно.
Рассмотрим сначала случай, когда группа О связна; пусть О—ее универсальная накрывающая с проекцией л: G*-*G. Пусть е и е* — единицы групп О и О* соответственно, и пусть хо —такая точка из X', что р (хо) есть отмеченная точка хй пространства X. Пусть, далее, в: G х Х->-Х —данное G-действие на X.
Так как включение {е*} х X' -> G* х X' индуцирует изоморфизм фундаментальных групп, то в группе nt (X, х0) имеем
(О • (л х р))# (л! (G* х X', е* х хб)) = Рр Ом (X', х^).
В силу основной теоремы теории накрывающих пространств1) отсюда следует существование единственного отображения 6*: G* х X' X*, накрывающего отображение 6 и переводящего е* х х» в хо. Мы утверждаем, что 9*—действие.
Для доказательства этого заметим, что отображение 0* (е*, ■): Х'-*Х‘ накрывает тождественное отображение пространства X и переводит точку х'о в хо; следовательно, оно само является тождественным отображением. Аналогично каждое из двух отоб-
ражений G* X G* X X' -^Х’, соответственно переводящих (g*, h*, х') в 6*(g*, &*(h*, х')) и ©*(g*h*, х’), накрывает одно и то же отображение G х G X Х-*Х и переводит (е*, е*, хб) в хо. Поэтому они совпадают и, следовательно, 0* является действием.
Более того, 6* не зависит от выбора точки хб, так как для любого накрывающего действия и любой точки хб обязательно 0*(е*, хб) = хб.
Мы утверждаем, что действие 0* коммутирует с любым скольжением Т (т. е. преобразованием Х'-^Х', накрывающим тождественное отображение). Чтобы доказать это, рассмотрим отображение G*xX'^-X' вида (g*, х') Т л0* (g*, Тх'\ Оно накрывает 0 и переводит (е*, х') в Тл0* (е*, Тх') = Т ^Тх' = х'. Следовательно, это отображение есть 0*, и потому 0*(g*, Тх') = = T6*(g*, х’), что и утверждалось.
Предположим теперь, что группа G действует эффективно (это не ограничивает общности), и пусть б"— факторгруппа группы О*, эффективно действующая на X'. Тогда G' накрывает G, и ядро отображения G' --G состоит из скольжений ‘) накрывающего пространства X'.
Если G-действие на X имеет неподвижную точку х, то слой р~л(х) инвариантен относительно G'. Поскольку группа G' связна, а слой р (х) дискретен, то G' оставляет множество р"1 (х) поточечно неподвижным. Отсюда следует, что элементы ядра ker (G'^-G) являются тривиальными скольжениями, и потому G'= G. Итак, доказана следующая теорема.
Теорема. Пусть G —связная группа Ли, эффективно действующая на связном и локально линейно связном пространстве X, и пусть X'X — некоторое накрытие пространства X. Тогда существует группа G', накрывающая группу G и обладающая эффективным действием на X', накрывающим данное G-действие на X. При этом группа G' и ее действие единственны. Ядро гомоморфизма G' -*G есть подгруппа группы скольжений накрытия X' ->Х (в частности, если накрытие X'X конечнолистно, то конечно- листно и накрытие G' -*G). Если G имеет в X неподвижные точки, то G' = G и F (G, X') есть полный прообраз множества F(G, X). |
Теперь обсудим действия несвязных групп Ли G. Пусть Go — компонента единицы группы G. Сначала рассмотрим случай, когда G имеет в X неподвижную точку х0. Пусть хб —точка из X', накрывающая х0; выясним возможность существования накрывающего действия, оставляющего хб неподвижной.
Заметим, что G действует на nt (X, х0) как подгруппа ее группы автоморфизмов, причем Go действует тривиально. Положим J = = р#(я1(Х', хб))сл1(Х, х0). Из теории накрывающих про-
странств следует, что для данного g е G отображение 6g: Х->Х накрывается отображением 6g: Х'->Х', для которого 0g (хо) = Хо тогда и только тогда, когда (8g)#(7) с J. Таким образом, отображения 6g существуют для всех g тогда и только тогда, когда группа J инвариантна относительно G-действия на лДХ, х0). Считая последнее условие выполненным, определим действие 0': GxX'->Х', полагая 6' (g, x') = 6g(x'). Ввиду единственности отображений 6g для проверки того, что 6' есть действие, достаточно лишь установить его непрерывность. Но, как легко видеть, его ограничение Go х X' ->Х' есть отображение из теоремы 9.1, которое, следовательно, непрерывно. Поскольку для любого элемента geG отображение 6' представимо в виде композиции
G х X' G х X' ~ X* М X',
заключаем, что отображение 0' непрерывно на каждом из подмножеств gG0 х X* и, следовательно, всюду. Мы доказали следующий результат.
Теорема. Пусть G — группа Ли (не обязательно связная), действующая на связном и локально линейно связном пространстве X, и пусть задано накрытие р: X' —> X пространства X. Пусть, далее, выбрана точка Хо е X*, проектирующаяся в точку х0 е X, являющуюся неподвижной точкой данного G-действия на X. Тогда и только тогда существует (единственное) G-действие на X', оставляющее неподвижной точку Хо, когда подгруппа р^ (nt (X', хо)) группы nj (X, х0) инвариантна относительно G-действия на Л1(Х, х0). |
Рассмотрим теперь случай, когда группа G не является связной и не имеет в X неподвижных точек. Так как общий случай довольно сложен, мы предположим, что пространство X микро- односвязно1) и, следовательно, обладает универсальным накрытием р: Х*-*Х, и мы изучим сначала возможность поднятия действия на X*. Мы предполагаем также, что G действует на X эффективно.
Для любого geG гомеоморфизм 6g: X-> X можно накрыть гомеоморфизмом X*-^ X* в силу односвязности пространства X*. и любые два таких поднятия отличаются на скольжение.
Взятые для всех g г G, эти поднятия образуют подгруппу G' группы Нотео(Х*), причем имеется естественный эпиморфизм G'-*G, ядро которого есть в точности группа А скольжений (отметим попутно изоморфизм А^лДХ)). Мы должны наделить
!) Точнее, предполагается, что пространство X является связным, локально линейно связным и микроодносвязным. Напомним, что топологическое пространство X называется микроодносвязным, если у каждой точки хеХ есть такая окрестность (Л что гомоморфизм щ (U, х)-»-л1(Х, х) тривиален (см. Рохлин к Фукс (11). — Прим. ред.
G' топологией (разумеется, для дискретной группы G это делается тривиально). С этой целью заметим, что из 9.1 следует существование канонической подгруппы Go группы G, проектирующейся в Go и топологизированной таким образом, что эта проекция является накрытием. Покажем, что Go есть нормальный делитель группы G'. Действительно, выберем g = G' и рассмотрим подгруппу gG'og1 группы G'. Ясно, что из Go на этой подгруппе индуцируется топология, в которой gGog^1 накрывает группу Go. В силу утверждения теоремы 9.1 об единственности, подгруппы Go и gG'.g1 действуют на X* одинаково, поэтому подгруппы Go и gGog"1 совпадают, т, е. Go есть нормальный делитель группы G'. Очевидно, группу G можно топологизировать, считая Go с вышеописанной топологией открытым множеством в G'. Тогда G' становится группой Ли, связная компонента единицы которой есть Go, и 1-*А-> G'—> G ~> 1—точная последовательность топологических групп, где группа А^л^Х) дискретна.
Более общий случай регулярного накрытия р: Х'-^Х тоже поддается изучению. Напомним, что для регулярного накрытия имеем X' X*/N, где N — нормальный делитель Х^ nt (X') группы л1(Х), и что группа скольжений такого накрытия есть А'= А/Х. (Иными словами, регулярность эквивалентна транзитивности действия группы скольжений на слое.) Если N оказался также нормальным делителем группы G', то мы имеем точную последовательность 1 А/Х -> G'/N -> G -> 1. Более того, группа G'/N действует на X' — X*/N, и это действие накрывает G-действие на X. Обратно, если G-действие на X накрывается действием группы, накрывающей (с учетом возможной несвязности группы G) группу G, то эту накрывающую можно расширить, включив туда скольжения. Тогда А' есть ядро проекции этой расширенной группы G" на группу G, так что имеем точную последовательность 1 -> А' G"G 1. Применяя вышеуказанные замечания к накрытию Х*->Х', получим точную последовательность 1-> ->X->G'->G"-^ 1 (где G', очевидно, есть определенная выше первоначальная накрывающая группа, поскольку она эффективно действует на X*, накрывает G-действие на X и содержит А). Таким образом, G"^G’/N, и ситуация свелась к описанной выше.
Тому факту, что N — нормальный делитель в G', можно дать следующую геометрическую интерпретацию. Пусть А —множество классов сопряженности элементов из А; его можно отождествить с множеством [S1, X] классов свободно гомотопных отображений. Аналогично XC^[S', X'], и включение X ст А индуцирует отображение NC—>N:, совпадающее с каноническим отображением [S1, X'HS1, X]. При этом группа G действует на [S1, X] очевидным образом, и из стандартной теории накрытий следует, что соответствующее G-действие на А” получается поднятием элементов из G наверх в G' и сопряжением ими элементов из А (оче-
видно, что на Ас это отображение определено корректно). Так как N есть нормальный делитель в А, то из всего сказанного выше следует, что /V тогда и только тогда будет нормальным делителем в G', когда G-действие на [S1, Х\ сохраняет там (не обязательно поточечно) образ множества [S1, Х']^ЛК Все сделанное выше мы суммируем в следующей теореме.
Теорема. Пусть G —группа Ли (не обязательно связная), действующая на связном, локально линейно связном и мик- роодносвязном пространстве X. Пусть, далее, X' -> X — регулярное накрытие пространства X с группой скольжений X'. Необходимым и достаточным условием существования группы G', накрывающей (в смысле накрытия несвязных пространств) группу G, и эффективного G'-действия на X, накрывающего G-действие на X, является сохранение G-действием на множестве [S1, X] (классов свободно гомотопных отображений) образа множества [S1, X'-. (Заметим, что если группа абелева, то сформулированное условие эквивалентно сохранению при G-действии образа отображения Н1(Х')-^Н1{Х). При этом для максимальной ’) из таких групп G* имеется точная последовательность 1 -> А' -> G' -> G -> 1 §
(Читателю будет полезно рассмотреть случай конечной группы G. Утверждение, что G' можно взять равной G, в общем случае заведомо ложно: читатель легко построит соответствующие контрпримеры.)
Имеется несколько случаев, когда можно устроить каноническое поднятие гомеоморфизмов, что приводит нас к построению накрывающего действия исходной группы; одна из таких ситуаций описана в теореме 9.2. Другой такой случай возникает при рассмотрении двулистного ориентирующего накрытия над неориен- тируемым многообразием. Пусть М — неориентируемое многообразие, М'->М — его ориентирующее двулистное накрытие, и пусть группа Ли G (не обязательно связная) действует на М. Применим к этой ситуации теорему 9.3 с учетом того, что образ отображения [S1, ATj-^S1, Af] в точности состоит из классов, представимых петлями, сохраняющими ориентацию. Так как, очевидно, любой гомеоморфизм сохраняет множество таких классов, то из 9.3 следует, что имеется накрывающее действие группы G', включаемой в точную последовательность 1 -> Z2 -> О' -> G -> 1. Но имеется расщепляющий гомоморфизм G' -> Z2, ядро которого состоит в точности из элементов g', сохраняющих ориентацию. (Так как связная компонента единицы лежит в ядре, то этот гомоморфизм непрерывен.) Таким образом, подгруппа группы G', состоящая из сохраняющих ориентацию элементов, изоморфно отображается на G, так что имеем следующее утверждение.
Следствие. Если группа Ли G (не обязательно связная) эффективно действует на неориентируемом многообразии М, то на его двулистном ориентирующем накрывающем многообразии М' имеется единственное накрывающее действие той же самой группы, для которого соответствующие гомеоморфизмы сохраняют ориентацию многообразия М'. g
Замечание. В некоторых из этих теорем за счет некоторого усложнения доказательств можно ослабить требование, что G есть группа Ли, однако наиболее общие условия нам неизвестны. Теоремы 9.1 и 9.2 мы считаем фольклорными. В частном случае компактной группы Ли G и конечнолистного накрытия локально компактного пространства теорему 9.1 доказали Кистер и Манн [1] методом, отличающимся от нашего. Теорему 9.2 для случая универсального накрытия доказали Коннер и Монтгомери [1], а общий случай получил Коннер и Реймонд [1]. Более общий вариант следствия 9.4 имеется у Б редон а [3]. Теорема 9.2, кажется, никем не был i отмечена.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I
Пусть X —некоторое G-пространство и X —нормальный делитель группы G. Покажите, что имеются канонически индуцированное G/X-действие на Х/Х и естественный гомеоморфизм (X/X)/(G/X) X/G.
Для G-пространства X и А с X положим 0л = {g е G , g (а)=а для всех а е А). Покажите, что:
Л с 8 6Л d Ов;
(И) Н с К Хн = Xх.
Кроме того, положив А' = ХСа, докажите, что:
(Ш) А' 2D А;
^НА'У=А';
(v) (A U By = A' U В',
и, следовательно, при нетривиальном действии группы 0 соответствие A i—► А' задает операцию замыкания!).
Покажите, что в примерах § 7 орбиты, соответствующие граничным точкам пространства D^S^1-/О (п), имеют орбитный тип сферы S”-1 = = О ЩУО Щ — 1у а орбиты, соответствующие внутренним точкам, — орбитный тип многообразия Штифеля ¥„. 2 = О ЩУО Щ — 2).
Пусть G — компактная группа, и пусть 4g Q — множество всех G-орбитиых типов. Топологизируем 4g Q, введя туда наименьшую из всех топологий, в которых для каждой подгруппы Н С2 G множество всех типов, не превосходящих type (G/Н), замкнуто. Докажите, что для любого G-пространства X каноническое отображение XIG-*-4gQ, сопоставляющее каждой орбите ее тип, непрерывно. (Указание. Для каждой подгруппы Н с G рассмотрите образы множеств Хн в X/G.)
Определим G-орбитную структуру как хаусдорфово пространство Y с отображением т: Y -*gQ (см. упражнение 4), и орбитную структуру на G-пространстве X как каноническое отображение т: X(G g Q i). Пусть f: Y -* XlG — непрерывное отображение; покажите, что орбитная структура на индуцированном ) ё’-пространстве /*Х канонически эквивалентна орбитной структуре т ° f: Y->gQ.
Пусть Yi, ( = 1, 2,—два пространства с фиксированными G-орбитными структурами. Говорят, что отображение Г1->-Г2 сохраняет G-орбитную структуру, если диаграмма
коммутативна. Эквивариантное отображение f: Хх-*Хг одного G-пространства в другое называется сохраняющим орбитную структуру, если индуцированное им отображение XjG-t-X^G сохраняет G-орбнтную структуру. Покажите, что эквивариантное отображение тогда и только тогда сохраняет орбитную структуру, когда его ограничение на любую орбиту из Xv является гомеоморфизмом на ее образ (лежащий в Ха).
Пусть К — симплициальное разбиение и G—дискретная группа, сим- плицнально действующая на К. Покажите, что первое барицентрическое подразделение К' разбиения К обладает следующим свойством (где g е G, а а — симплекс из К'у.
(*) Если g(a) = a, то g I а есть тождественное отображение.
Докажите также следующую теорему об эквивариантной симплициальной аппроксимации. Пусть дискретная группа G симплициально действует на сим- плициальных разбиениях К и L, и пусть G-действие на L удовлетворяет условию (*) (где а теперь —симплекс из Ly Предположим, что /: I К ' -> I L ; — эквивариантное отображение ассоциированных с К и L полиэдров. Тогда для некоторого г существует симплициальная аппроксимация g; KrL (где Кг есть r-е барицентрическое подразделение разбиения К) отображения f, которая эквивариантна и такова, что отображение g: i К ! -*■ | L | эквивариантно гомотопно /. (Указание. Возьмите по одной вершине из каждой орбиты G- действия на вершинах из Кг, определите на этих выбранных вершинах подходящее g и продолжите его эквивариантным образом.)
Рассмотрите 5-мерное представление группы SO (3), изложенное в конце § 4. Постройте такое эквивариантное собственное отображение /: R6-* R6, что J—1 (0) = 0 и deg/ = O. (Указание. Рассмотрите множество F(Z2©Za> R-) и вне него сечение действия, построенное в § 4. Используйте следствие 3.4.)
Докажите, что теорема 2.3 Титце —Глисона справедлива также для вполне регулярных пространств X н их компактных инвариантных подпространств А. (Указание. Используйте конструкцию Стоуна —Чеха бикомпактного расширения пространства X.)
Покажите, что если группа G компактна, то окрестность любой орбиты в любом G-пространстве содержит инвариантную окрестность. (Указание. Используйте теорему 3.1.)
Пусть группа G компактна, и пусть f: XW— эквивариантное отображение одного G-пространства в другое, сохраняющее орбитную структуру. Докажите, что индуцированное отображение f: XIG-*YlG тогда и только тогда открыто, когда / открыто.
1) Каноническое отображение т: X]G-*gQ естественно назвать классифицирующим отображением орбитной структуры. — Прим. ред.
Пусть G—компактная группа и X — некоторое G-пространство. Докажите, что если /': X-> X — такое эквивариантное отображение, что диаграмма
/Х_Х'x/g
коммутативна, то / — эквивалентность G-пространств.
Пусть Н, К с G — компактные группы. Покажите, что соответствие а~1К ।—*-RK-H определяет гомеоморфизм
^G/K')H=F<H, G!KV~-^a kGjH, G/K)
пространства неподвижных точек //-действия на G]K с пространством эквивариантных отображений G/H -+G/K, наделенным компактно открытой топологией.
Пусть компактная группа О действует на метрическом пространстве X. Докажите, что существует эквивалентная метрика, инвариантная относительно данного G-действия. Найдите пример, показывающий, что, вообще говоря, равномерное построение такой метрики невозможно (т. е. что эти две метрики определяют разные равномерные структуры) *).
!) То есть, что тождественное отображение не будет взаимно равномерно непрерывным. — Прим, перев.
Глава II
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ G-ПРОСТРАНСТВ
В этой главе мы изучим действия компактных групп Ли с общей точки зрения, в противовес изучению действий на многообразиях или действии некоторых специальных групп Ли.
Эта глава содержит четыре основных теоремы. Первая из них — теорема существования трубчатых окрестностей—доказана Монтгомери и Янгом [1] и Мостовым [1]. Этот фундаментальный результат дает возможность изучать окрестности орбит в G-пространствах. Излагается он в §§ 4 и 5, после данных в §§ 1—3 основополагающих сведений о расслоениях и скрученных произведениях. Этот результат применяется в § 6 для сравнения фундаментальной группы G-пространства с фундаментальными группами его орбит.
Вторая основная теорема есть доказанная Пале [3] теорема о накрывающей гомотопии. Она излагается в § 7, а применяется в § 8 для изучения G-пространств с конической структурой орбит.
Третья основная теорема — теорема классификации, доказанная Пале [3], — излагается в § 9, а применяется в § 10 для доказательства четвертой основной теоремы: теоремы Мостов а [1] об эквивариантном вложении. Последняя утверждает, что любое сепарабельное метрическое пространство, на котором компактная группа Ли G действует так, что там имеется лишь конечное число типов орбит, может быть эквивариантно вложено в евклидово пространство с ортогональным действием группы G.
Всюду, за исключением § 5, наше внимание будет сосредоточено на действиях компактных групп Ли.
Расслоения
В этом параграфе мы дадим определение и изложим простейшие свойства расслоений. Мы не будем в этой книге углубляться в теорию расслоений, отсылая за этим читателя к книгам Стин- рода [1J и Хьюзмоллера [1] (отметим, однако, что в последней эффективным G-пространством названо то, что мы называем свободным G-пространством).
Пусть К — топологическая группа и F — эффективное правое К-пространство. Пусть, далее, X и В —два хаусдорфовых пространства.
Расслоением над базой В с тотальным пространством X, слоем F и структурной группой /("называется отображение р-. X-*-В вместе с таким семейством Ф определенных для некоторых открытых множеств U из В гомеоморфизмов ф: FxU ~-р-хфу каждый из которых называется картой над соответствующим U, что:
Для любой карты феФ диаграмма
FxU—^-p-^U)
и
коммутативна.
Любая точка базы b обладает окрестностью, на которой определена карта семейства Ф.
Если ф: Fx U -^р-А (И) — карта семейства Фи V cl U — открытое множество, то ограничение карты ф на подмножество FxV есть карта семейства Ф.
Если ф, ф = Ф —две карты над одним и тем же U, то существует такое (непрерывное) отображение 0: U-*K, что ”ip (f, и^ — ф (/• 6 (и), и) для любых feF и ueU. Это отображение 6 называется функцией перехода от карты ф к карте ф.
Семейство Ф является максимальным среди всех возможных семейств, удовлетворяющих вышеперечисленным условиям.
Замечание. Так как К действует па F эффективно, то ясно, что отображение 6 из (4) од юзначно определяется отображением ф^ф. Кроме того, отображение ф-^ф индуцирует отображение U —>Мар ^F, Fx U) = Мар (Е, F) хМар (Е, U), переводящее и в (8 (и), с„), где с„ — постоянное отображение F-*U, cn(F) — u. Хорошо известно (см., например, Дугунджи [1]), что если множества отображений наделены компактно открытой топологией, то это отображение непрерывно (и «равенство» есть гомеоморфизм). Следовательно, если К имеет компактно открытую топологию, то 8 автоматически будет непрерывным (по поводу других «хороших» юпологий в К см. Аренс [1]). ,
. Теорема. Пусть р: X -> В — расслоение со слоем F и структурной группой К, и пусть G— некоторая группа, действующая на F слева. Если G- и К-действия на F коммутируют (m. е. (gf)к = §■(/&))> т0 существует единственное G-действие на X, накрывающее тривиальное G-действие на В и такое, что все карты ф: ЕхП-^р-ЦЩ эквивариантны (где G-действие на FxU имеет вид (g, (f, и^>-^-^gf, и)).
Доказательство. Очевидно, что требуемое G-действие определяется условием эквивариантности карт, так что достаточно
проверить лишь его независимость от выбора карты над U. Иными словами, достаточно проверить эквивариантность всех отображений q?-1^: FxU->FxU. Но g(Ф“1ф(/, и)) = ^(/• 6 (и), и) = =^glMW), и) = ^gh-9 (и), и) = Ф"^(gf, и). = ФлФ^(Л и)). |
Главным G-рагслоением, где G — топологическая группа, называется расслоение со слоем G, на котором структурная группа G действует правыми сдвигами (т. е. элемент g структурной группы переводит точку g' слоя в точку g'g; этим определяется правое действие).
Так как обычное действие группы G на себе левыми сдвигами коммутирует с правыми сдвигами, то из теоремы 1.1 вытекает следующий результат.
. Следствие. Для любого главного G-расслоения р: X ->В существует каноническое свободное G-действие на X, накрывающее тривиальное действие на В (» на слое совпадающее с действием левыми сдвигамиу Отображение р; X—> В индуцирует гомеоморфизм X/G^B и потому может рассматриваться как проекция на пространство орбит, ассоциированное с данным G-действием. |
Замечание. В § 5 мы докажем теорему Глисона [ 1 ], из которой следует, что если X — вполне регулярное пространство, на котором свободно действует компактная группа Ли G, то X есть тотальное пространство некоторого главного G-расслоения. Таким образом, в этом случае понятия главного G-расслоения и свободного G-действия канонически эквивалентны.
Скрученные произведения и ассоциированные расслоения
Пусть X — правое G-пространство, a Y—левое G-пространство. Определим левое G-действие на X х Y, считая, что g переводит (х, g) в (xg-1, ay). Назовем скрученным произведением XXqY пространств X и Y пространство орбит этого действия. Иными словами, XXqY есть факторпространство пространства XxY по следующему отношению эквивалентности: для любых фиксированных хеХ, у е Y, geG точки (xg, g) и (х, gy) эквивалентны. Класс эквивалентности (орбита) точки (х, g) обозначается через [х, g], так что [X, g] = [x', g'] тогда и только тогда, когда найдется такое g^G, что х'=xg-1 и у* =gy. Заметим также, что [xg, g]= = Pg guY
Эта конструкция функториальна, т. е. эквивариантное отображение /: У-э-У' одного левого G-пространства в другое индуцирует отображение lAxof: XxaY-^-XxQY', переводящее [х, g] в [х, fg]. Аналогично для правых G-пространств X, X' эквивариантное отображение X -> X' индуцирует отображение XxoY-> -+X'xoY.
Предложение. Если отображение f открыто, то и отображение ix^of открыто.
Доказательство немедленно вытекает из коммутативности диаграммы
Хх/—ХхУ'I IXxQV™— XxQY'
с учетом того, что вертикальные стрелки — открытые отображения. g
В частности, отображение пространства Y в точку индуцирует открытое отображение XXqY-*Xxq*^ X/G.
Последнее можно рассматривать также как отображение орбитных пространств, индуцированное эквивариан I ной проекцией XxY ->Y. Аналогично можно построить открытое отображение X х aY -> YЮ.
Если X и Y — соответственно правое и левое /("-пространства, а X — еще и левое G-пространство (причем, как всегда, левое и правое действия на X коммутируют), то X х KY допускает левое G-действие вида g\x, y] — [gx, у]. Аналогично, если У —правое //-пространство, то таковым является и XxKY; соответствующее действие есть [х, у]й = [х, уК\.
Предложение. Пусть л—правое G-пространство. Отображение XxqG -^ X вида [х, g] •—* xg является эквивариантным гомеоморфизмом правых G-пространств, и обратное отображение есть хн-»[х, е].
Доказательство. Очевидно, что оба отображения корректно определены и взаимно обратны. Непрерывность первого из отображений следует из непрерывности действия XxG-*X и открытости проекции X xG X Ха G, а непрерывность второго очевидна, g
Предложение. Если X —правое Н-пространство, У — левое Н- и правое К-пространство, a Z —левое К-простран- ство, то имеется канонический гомеоморфизм
(XxHY)xKZ X , „(YxKZ), задаваемый формулой
‘[[х, Д, г]^[х, \у, г)].
Доказательство. Отображение определено корректно, так как оно переводит элемент [[x/t-1, hy"\k~\ /^«[[х/г1, кук"Д, йг] в элемент [х/г™1, [/гу^-1, йгП^х/т1, Дук"', fe]] = [x[y, г]]. Его непрерывность следует из того, что композиция (X xY)xZ -> -> (X х hY) xZ-ДХх hY) xkZ — открытое отображение (поскольку соответствующие проекции на пространства орбит открыты). Очевидно, что теми же свойствами обладает и обратное отображение, g
Напомним следствие 1.2: если р: X -* В — главное Х-расслое- ние, то на X имеется свободное левое Х-действие, и проекция р устанавливает гомеоморфизм пространства орбит Х/Х этого действия и базы В.
Теорема. Пусть р: X ->В — главное К-расслоение, и пусть дано правое К-пространство F. Отображение л: ЕХдХ->
-> В вида л (/, х) = р (х) является расслоением со слоем F и структурной группой К; оно называется F-расслоением, ассоциированным с главным К-расслоением. Если ср: К х U -> р-1 (U) — карта главного расслоения над U, то композиция
ф: FxU^4FxKK)xU-+FxK(KxuV-£^FxKp-4m -л-1 (К) является картой ассоциированного расслоения. (Заметим, что ф(Л ^ = V* ф(е> “)]■)
Доказательство. Первое отображение приведенной выше композиции есть гомеоморфизм из предложения 2.2, второе — гомеоморфизм из предложения 2.3, а третье — гомеоморфизм в силу 2.1. Последнее, четвертое, отображение, индуцированное включением р™1 (U) X, есть в силу 2.1 вложение в РхкХ, и его образ есть все л"1 (U), так как все отображения коммутируют с очевидной проекцией на U.
Если ср и ф —две карты над U главного расслоения, а 6: U -> К — функция перехода (так что ф(&, и) = ср (69 (и), и)), то
W «) = [А М «)] = [/, Ф(е-6(и), «)] = [/, у(9(и)-е, «)] =
= [/, 6 (и) ср (е, и)] = [/• 9 (и), ф(е, и)] = ф (f • 9 (и), и)
(по определению левого /(-действия на X), поэтому 9 есть функция перехода от ср к ф.
Так как любой набор карт, удовлетворяющий условиям (1) — (4) определения из § 1, очевидно, содержится в единственном максимальном таком наборе (см. Стин род [1]), то теорема доказана. |
Лемма. В условиях теоремы 2.4 диаграмма
РхХ ^-Х
i
РхкХ -^В
является диаграммой, определяющей индуцированное расслоение.
Доказательство. Так как диаграмма коммутативна, возникает непрерывное отображение из РхХ в тотальное пространство расслоения, индуцированного из расслоения р: Х-^-В отображением л, и легко видеть, что возникающее отображение является взаимно однозначным соответствием (так как К действует на X свободно). Осталось проверить, что оно открыто. С этой целью мы проведем локальное рассмотрение данной диаграммы. Если открытое множествоUcB мало1), то возникает диаграмма
FxKxU ^KxU
|Iproj
FxK(KxU)^FxU^ U,
!) То есть над ним имеется карта. — Прим, перев,
в которой левое вертикальное отображение имеет вид (Д к, и) *—► «-[Д (^. “У!*-“(М, UY Следовательно, индуцированное расслоение—это в точности FxKxU, и интересующее нас отображение имеет вид (Д к, u)i—^(fk, к, и). Но отображение, обратное этому, есть (Д к, и) > (fk-1, к, и), и оно непрерывно. |
Замечание Если группа К компактна, то это утверждение можно доказать также, исходя из упражнения 10 главы I.
Следующая теорема является основным результатом теории расслоений.
Теорема. Пусть р: Х-> В —главное К-расслоениег a Y —левое К-пространство. Определим правое К-действие на Y, полагая yk = k~1y. Тогда имеется естественное взаимно однозначное соответствие между К-эквивариантными отображениями f: X->Y и сечениями f ассоциированного Y-расслоения л: YxKX-> -^-В. Это соответствие задается равенством 7(р(х)) = [/(%), х].
Доказательство. Если Д X Y — эквивариантное отображение, то соответствие х*—|7(х), х] задает отображение Д: X -> ->У ХкХ, и так как
f (кх^у (kxY kx] = [kf(xY kx] = [f(x)kl, Рх] = [/(х), x] = f'(x), то Д индуцирует отображение Д В = X,K-* Y XrX, являющееся, очевидно, сечением расслоения Х->В и описываемое равенством ху
Если j — сечение, то л ((/° р) (х)) = р (х). Из леммы 2.5 следует, что в этом случае имеется единственное эквивариантное отображение 6: X->YxX, для которого диаграмма
коммутативна. Таким образом, 6 имеет вид 6(х) = (/(х), х), где f: X->Y удовлетворяет равенству / (р (х)) = [/(х), х]. Д
Оставшаяся часть этого параграфа будет посвящена изложению материала, который до главы V нами использоваться не будет, но зато там будет играть очень важную роль.
Пусть S и Г —две топологические группы, и пусть А—-правое S-пространство, а А*—правое Т-пространство. Предположим, что А локально компактно, и рассмотрим пространство Мар (Л, А') непрерывных отображений А-v А*, наделенное компактно открытой топологией. Зададим левое (S х Т)-действие на
Мар (Л, Л') формулой ((s, /)/) (п)=/(as)/-1, где/е Мар (Л, Л')1). Предположим теперь, что рх: Х^-В —главное S-расслоение, а ру: YВ — главное Т-расслоение. Тогда их произведение XxY-* ->ВхВ является главным (SхТ)-расслоением. Его ограничение на диагональ пространства В является главным (S хТ)-расслое- нием над В, тотальное пространство которого есть
А = {(х, у) е X х Y | рх (х) = ру (у)}.
Для (х, у) е А положим р (х, у) = рх (х) = ру (у). Как обычно, в силу 1.2 пространство А снабжается каноническим левым (S х Т)-действием, определяемым формулой (s, ГЦх, y) = (sx, ty\ Мы рассмотрим ассоциированные расслоения AxsX и A'xyY над В. Под отображением ф: А х^Х^- А' х rY над В мы понимаем отображение, коммутирующее с проекциями на базу В.
Теорема. В описанной выше ситуации имеется каноническое взаимно однозначное соответствие между множеством отображений ф: A xsX -*- А' х yY над В и множеством (8хТ)-экви- вариантных отображений ф: А->Мар(Л, Л'). Это соответствие характеризуется равенством ф[а, х] = [ф(х, у) (a), yj. Таким образом, каждое из этих множеств находится во взаимно однозначном соответствии с множеством сечений ф ассоциированного расслоения Мар (Л, A'^XsxtA-* В, и это соответствие описывается равенством ф (р (х, у)) = [ф(х, у), (х, у)].
Доказательство. Заметим, что диаграмма
А —Y
является диаграммой, определяющей расслоенное произведение, так что проекция А->Х является расслоением, индуцированным из расслоения ру отображением рх. В частности, АX — открытое отображение. Таким образом, АхА-* АхХ и композиция р: ЛхА->ЛхХ-*- Ах$Х (где у (а, (х, у)) = [а, х]) — тоже открытые отображения.
Пусть нам дано эквивариантное отображение ф: А->- ->Мар(Л, Л'). Отобразим Л х А в A'xiY по формуле (о, (х, у)) *—* ►—*[ф (х, у) (a), yj. Если (х, у) и (х', у')—два элемента из А, то у* = ty для некоторого t^T. Так как
[ф(х, /у) (а), /у] = [ф(х, у)(а)М, ^у] = [ф(х, у) (а), у]
Проверим корректность этого определения. Положим F = (slf t^ f. Тогда ((s2, /2) F) (а) = F {as2) tvp = (((Sp t^ 0 (as2)) К1 = У yas2) sT) <p‘) /21 = =f (а кЧ5МккУх- Следовательно, (s2, /2) ((sp /i)f) = ((s2> ti (sv H)) f- — Прим, ped.
в силу эквивариантности отображения ф, то построенное отображение ДхА->Д'ХтУ пропускается через АхХ. Более того, так как ф(5-1х, у)(а$) = ф(х, у) (а), то построенное отображение пропускается даже через Ах$Х. Иными словами, имеется отображение ф: AxsX->AxtY, для которого ф[а, х] = [ф(х, у) (а), у] (где рг(у)=рк(х)). Так как у: А х А -> А х$Х — открытое отображение, то ф непрерывно, и так как Рх(х) = Рг(у^ то ф —отображение над В.
Предположим теперь, что ф нам дано, и рассмотрим диаграмму
А хд—с*Ахт Y
Так как ф является отображением над В, то точка (ф-ц)(а, (х, у)) = ф[а, х проектируется1) в точку рх (х) = р у (у) базы В, т. е квадрат коммутативен. Правый нижний четырехугольник—это диаграмма из леммы 2.5, определяющая расслоенное произведение, поэтому существует единственное отображение ■р: ДхА-> А' х У, не нарушающее коммутативности диаграммы. В силу коммутативности левого треугольника отображение ту имеет вид р (а, (х, у)) = (г/(а, (х, у)), у) с некоторым р': ЛхА-> ->Д. В силу «экспоненциального закона») отображение ф: А-> ->Мар(Л, Д'), заданное формулой ф(х, у)(а) = р' (а, (х, у)), непрерывно. Коммутативность верхнего треугольника дает нам равенство ф[а, х] = [ф(х, у) (а), у].
Вышеописанная диаграмма может рассматриваться также как диаграмма, в вершинах которой находятся (S х Т)-пространства с очевидными действиями, поэтому отображение р эквивариантно, и потому
(ф(5х, /у) (as-1), Zy) = p(as-1, (sx, /у)) = n ((s, 0. (a, (*. '/))) =
= /(p(a, (x, у))) = (ф(х, у) (a)/-1, /у). Полученное равенство равносильно эквивариантности отображения ф, и потому завершает доказательство первой части теоремы. Вторая часть следует из 2.6. |
Полезно отмерить, что установленное соответствие между ср и Ф носит «локальный» характер. Так как оба расслоения над некоторым открытым UcB тривиалпзукмся, то (при выборе для каждого расслоения карты над О) ф есть просто отображение ф: AxU A' xU, коммутирующее с проекциями на U. Следовательно, (в силу экспоненциального закона) найдется такое ф: 1/->Мар(Л, Л), что ф(а, и) = (ф(и)(а), и) для всех ас A, ueU, так что ср есть сечение расслоения-произведения Мар(Л, A')xU -»-U. Читатель может проверить, что именно это соответствие и дается теоремой 2.7 (если исключить из последней утверждения о ф). Заметим также, что гомотопии отображений над В отвечает гомотопия сечений (это следует из 2.7).
Если подпространство IF ед Мар (Л, Л') инвариантно относительно (S х ^-действия (т е. инвариантно относительно композиции S-действия на А с Т-действием на Л'), то отображению ф над В, ограничения которого на слои лежат в IF, соответствует сечение подрасслоения IF XsxrA^ В В частности, пусть А и Л' —два левых G-пространства с G-действием, коммутирующим соответственно с S- и Г-действиямп. Тогда каждое из пространств Лх^Х и А' х г У каноническим образом становится левым G-пространством в силу 1.1. Пространство Мар(7(Л, Л') = Мар (Л, Л') G-эквивариантных отображений является (S х Т)-инвариантным (так как S- и Т-действия G-эквивариантны). Кроме того, отображение AXsX->A'xTY тогда и только тогда G-эквивариантно, когда его ограничения на слои лежат в MapG (Л, Л') Отсюда получается следующий результат.
Следствие. Если в условиях теоремы 2.7 А и А' являются такими левыми G-пространствами, что каждое из двух (правых) S- и Т-действий коммутирует с соответствующим G-действием, то теорема 2.7 устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством G-эквивариантных отображений ф: Ах SX-* А' ХтХ над В и множеством сечений ф ассоциированного расслоения MapG (Л, А')х sxrA-* В. Ц
Отметим также, что 2.8 позволяет установить взаимно однозначное соответствие между множеством G-эквивариантных гомотопий отображений AxsX-> А' Хт¥ над В и множеством гомотопий сечений расслоения Марс (Л, А') ХвхтА->-В.
Скрученные произведения с компактной группой
В этом параграфе будем рассматривать компактную группу G и изучать лишь скрученные произведения вида GxhA, где Нс с G —замкнутая подгруппа и Л —левое //-пространство. Частично этот случай рассматривался в § 6 гл. 1. Легко видеть, что левые сдвиги превращают СхнА в левое G-пространство, именно: lg» W^ alWVgg'- 4
Предложение. Пусть К с: Н—замкнутые подгруппы группы G. Для любого левого К-пространства В отображение 6хкВ-> Gxн (Н ХкВ), переводящее [g, 6] в [g, [е, 6]], является G-эквивариантным гомеоморфизмом.
Доказательство. Описанное отображение является композицией
G хкВ (G хнН) хкВ - ■ Gxн (Нх кВ)
гомеоморфизмов из предложений 2.2 и 2.3 соответственно. J
Напомним, что так как группа Н компактна, то отображение ip A-*-GxhA, ге(а) = [е, а), является Я-эквивариантным вложением. (Оно является вложением также в случае, когда G G/H — расслоение, так как тогда G х н А — ассоциированное расслоение в силу 2.4. Поэтому ie является вложением и в случае, когда G есть группа Ли (не обязательно компактная), а Н-— ее замкнутая подгруппа. Возможно, впрочем, что 1е всегда является вложением).
Заметим, что отображение GxнА-> G,H, заданное формулой [g, a)*—*gH, является G-эквивариантным; при этом прообраз точки НЩ есть 1Да) = ^е, а]|аеЛ}. Следующее предложение обращает это утверждение. ■
Предложение. Пусть X —некоторое G-пространство, a f: X->G/H— эквивариантное отображение. Положим А = = рг(еН). Тогда А является Н-инвариантным подмножеством, а отображение ср: GxhA-*X, cp[g, а) = g (а), — эквивариантным гомеоморфизмом.
Доказательство. Очевидно, что ср определено корректно, а его непрерывность следует из коммутативности диаграммы
GXAGXA
GXA
GXA
Чтобы доказать, что образ отображения ср есть все X, выберем, такой х = Х, что ^x)=gH, и заметим, что f (g~lx) = еН, так что g^xeA и х = ^ (g^x) = ср [g, g-Ч].
Чтобы доказать, что ср взаимно однозначно, предположим, что cp[g, а] = ф[^', а'у Тогда ga = g'a', так что gH = g(,Ha)) = = Hga) — f(g'a')=g'(f(a'))=g'H, т. e. элемент h^g-^g’ лежит в Н. Следовательно, ga = g'a' = gha’, так что a —ha’ и [g', а'"\ = = Vg'h"1, ha'] = [g, а], что и требовалось.
Для завершения доказательства теперь достаточно проверить, что отображение ср замкнуто. Но это следует из коммутативности приведенной выше диаграммы с учетом того, что А замкнуто в X и GхА^>-Х замкнутое отображение в силу 1.1.2. |
Предложение. Вложение ie: A-*GxhA индуцирует гомеоморфизм А)Н ->(Ох.цАрО (который имеет вид Н(а)>—* ।—>С[б, а]).
Доказательство. Напомним, что вложение ie; A-*GxhA является //-эквивариантным. Следовательно, образ любой Н-ор- биты пространства А содержится в некоторой //-орбите (и, следовательно, в некоторой G-орбите) пространства GxhA, так что фигурирующее в теореме отображение определено корректно. Кроме того, оно непрерывно в силу коммутативности диаграммы
А —*• G х нА
|
А/Н-^СХнА^/О
Так как проекция GxA-*A Я-эквивариантна, то она индуцирует отображение GXhA-* А/Н. Это отображение имеет вид [g, а|>—*На и потому включается в коммутативную диаграмму
СХ//Л\
I \
(GxhA^G-* А/Н
При этом отображение, заданное горизонтальной стрелкой, является обратным к исходному отображению, а его непрерывность следует из коммутативности последней диаграммы. |
Замечание. Пусть f: G* -> G — некоторый изоморфизм и Н = ЦН*). Очевидно, что если А* А — гомеоморфизм, то любое //-действие на А индуцирует Я*-действие на А*, причем пространства О*Хн*А* и GxhA эквивалентны. Применяя это рас- сркдение к внутреннему автоморфизму, задаваемому некоторым g е G, мы видим, что, имея //-действие на А, можно построить ^Я^-действие на копии А* пространства А, причем имеет место эквивалентность GXhA^GxkA* (где K = gHg~1) двух G-пространств.
Поставим себе задачу найти стационарную подгруппу некоторой точки скрученного произведения GXhA. Очевидно, достаточно исследовать лишь точки вида [е, а]. Ясно, что тогда и только тогда geGi,. ai, когда [е, a] = g[e, n] = [g, а]. А это означает наличие такого h^H, что (Я-1, h.(a^ = (g, а). Отсюда следует, что g^Ha, и потому для пространства GxHA имеем
GVe, а1 = Но.
Трубки и срезы
Пусть G — компактная группа, X — некоторое G-пространство, и пусть Р аХ — орбита типа G/H с некоторым Н. Трубкой вокруг Р (или G-трубкой вокруг Р) мы называем G-эквивариант-
ное вложение ср: GxhA-*H (где Л —некоторое //-пространство) на открытую окрестность множества Р в пространстве X.
Заметим, что в этой ситуации любая G-орбита в ОХнА проходит через точку вида Те, а] с некоторым а = Л. Выберем ае А так, чтобы ф[е, а] е Р, и положим х = ф[е, а]; тогда P = G^x\ Из (3.4) следует теперь, что Сх = С^е, a] — HaczH. Но группы Gx и Н сопряжены1), поэтому в силу 0.1.9 Gx — На — Н. Следовательно, любая такая точка ас А неподвижна относительно//-действия.
Так как ie: A->GxHA есть //-вложение, то для случая, когда ф —трубка, композиция фЧ/. А-*Х тоже является //-вложением. Очевидно, в этом случае без ограничения общности можно считать, что АсХ. Это приводит нас к следующему определению.
Определение. Пусть X —некоторое G-пространство, и пусть хеХ. Подмножество S пространства X, такое, что хс8 и GX(S)=S, называется срезом (G-пространства X) в точке х, если отображение GXq 8->Х вида [g, s]i—*g(s) является трубкой вокруг G(x).
Теорема. Пусть X — некоторое G-пространство, и пусть xeScX. Положим Ы = Gx. Следующие условия эквивалентны:
Вокруг G (х) существует такая трубка ф: GxнА-^Х, что ф[е, а] = S.
8 —срез в точке х.
G (S) — открытая окрестность множества G(x), допускающая такую эквивариантную ретракцию f: G(S)-^G(x), что Г ^ = 8.
Доказательство. Из (i) следует (ii) просто в силу того, что в (i) вместо А можно подставить S. Чтобы вывести (iii) из (ii), предположим, что S есть срез, и определим f: G (S) G (х) как отображение, замыкающее до коммутативной диаграмму
GxHS -G(S)
G]H— G^
(напомним, что H — Gx\ Тогда f (g (s)) = g (x) и f, очевидно, обладает требуемыми свойствами. Наконец, если / такое, как в (iii), то ф: GXhS-*X является трубкой в силу предложения 3.2. |
Из импликации (ii)->(iii) легко получается следующий факт.
Следствие. Если 8 —срез в точке х, то g(S) — срез в точке g(x). g
Следующая теорема дает другую характеризацию срезов.
0 Гак как орбитный тин Р есть О/Н, см, 1.4.4. — Прии, перев.
Теорема. Пусть X—некоторое G-пространство, и пусть xeSc.X. Предположим, что:
S замкнуто в G (S);
G (S) — открытая окрестность множества G(x)-,
GHS) = S;
g(S)nS^(Z)=>geG\.
Тогда S есть срез в точке х. Верно и обратное: любой срез удовлетворяет этим условиям.
Доказательство. В силу (i) и (iv) постоянное отображение S-> {лД с: G (х) удовлетворяет условиям следствия 1.3.3 и потому однозначно продолжается до эквивариантного отображения /: G (S)->G (х), заведомо являющегося ретракцией. Если х = = ftes)=g(f(s)) = g(x), TogeG^, и gseS в силу (iii). Следовательно, П1 (х) = S, так что S есть срез. Для доказательства обратного подберем какую-нибудь эквивариантную ретракцию f: G (S)->G (х), для которой f“1(x) = S. Ясно, что тогда и только тогда gs^S, когда x = /(gs) = gQ (s)) = g(x), что в свою очередь эквивалентно условию g^Gx. |
Напомним, что каждое //-эквивариантное отображение /: А ->
А' индуцирует G-эквивариантное отображение 10 xHf: G ХнА-*- ->G Хн А', которое открыто, если открыто отображение /, см. 2.1.
Теорема. Пусть К с Н ед G — компактные группы, и пусть X, А, В — соответственно G-, И- и К-п-ространства. Пусть, далее, ср: G х н А -> X — трубка вокруг G^xY Если для некоторого а^А отображение ф: Н х к ВА — трубка вокруг Н (а), то композиция
6: G хк В - G хн (Н Хк В) ^^G хнА -Ф-Х
является трубкой вокруг G^ а]. (В этой композиции первое отображение есть гомеоморфизм из 3.1.)
Доказательство. Очевидно, что отображение 6 является вложением, и оно открыто в силу 2.1. Кроме того, СФ1е> о1 = = G[e, о], так как ср— эквивариантное вложение, a G[e. а1 = На. Но подгруппы На и К группы Н сопряжены (по определению трубки вокруг Н (а))1), поэтому Сф[е uj имеет орбитный тип GIK. |
Следствие. Если S —срез G-пространства X в точке х, a S'—срез Gx-пространства S в точке s^S, то S'—срез G-пространства X в точке s. g
Следующий факт мгновенно получается из 3.3.
!) Действительно, из того, что * есть /(-трубка вокруг Н (а), следует, что Н (а) имеет //-орбитный тип HjK. Сопряженность подгрупп Ha^i К следует теперь из 1.4.4.—Прим, перев.
Предложение. Если S — срез G-пространства X в точке х, то естественное отображение SlGx->XlG является гомеоморфизмом.
Существование трубок
В этом параграфе мы докажем существование трубок вокруг каждой орбиты вполне регулярного G-пространства, где G — компактная группа Ли. Для этого нам понадобятся некоторые сведения из элементарной дифференциальной геометрии, которые мы, однако, постарались свести к минимуму. Заметим, что в основном в этой книге мы будем иметь дело с такими ситуациями (локально гладкими действиями), где гарантировано существование трубок с рядом хороших свойств.
Первая часть необходимой нам информации содержится в следующей лемме.
Лемма. Пусть G —компактная группа Ли, ортогонально действующая на R", и пусть уйгВп — точка, стационарная подгруппа которой есть Н. Пусть, далее, иг хп — нормальное пространство к орбите G (и0) в точке и 0 (заметим, что V проходит через начало координат1) и потому является подпространством в К"). Тогда существуют такая окрестность U точки еН е G]H, такое локальное сечение ст: U ->G и такое число е>0, что отображение a(U)x V6-VRi, являющееся ограничением действия GxR"->R”, есть гомеоморфизм на открытую окрестность точки и0 в R" (здесь через V8 обозначена я-окрестность точки и0 в V).
Доказательство. Зададим в некоторой окрестности U точки еН е G/H такое дифференцируемое сечение ст, что а(еН) = е. Так как отображение GxR"->R" дифференцируемо, из § 5 гл. О следует, что G/H ^-G (и0) есть диффеоморфизм. Следовательно, отображение действия a(U) х {и0} -*G (и0) G/H, будучи обратным к отображению ст, является диффеоморфизмом на U и, следовательно, его дифференциал в точке (е, и0) есть изоморфизм на касательное пространство к орбите G (и0) с R" в точке и0. Аналогично дифференциал отображения {е} х V V с: R” в точке (е, и0) является изоморфизмом на нормальное пространство V к орбите G (и0) в точке и0. Отсюда следует, что дифференциал отображения ст (G) х У-> R” устанавливает изоморфизм касательного пространства в точке (е, и0)га(П)хУ с касательным пространством в точке и0 е R”. Из теоремы о неявной функции следует теперь, что отображение ст (U) х V -> R" определяет диффеоморфизм некоторой окрестности точки (е, и0) на окрестность точки и0. |
!) Это следует, очевидно, из ортогональности действия группы G на R”, — Прим. ред.
Следствие. В условиях теоремы 5.1 отображение GXhV -> R" вида |g, у j -> go индуцирует для достаточно малого е гомеоморфизм пространства GxnVg) на открытую окрестность G(Vе) точки G(u0) в R”.
Доказательство. Пусть U dG,H такое же, как в 5.1; рассмотрим компактное множество К = G — ст (U)H. Тогда Х(у0)сд cR"- {у0} и X (v0) = Q X (С), где С пробегает все компактные окрестности точки и0 в R". Так как все множества К (С) компактны, то, как известно, любая окрестность множества К (у0) содержит некоторую окрестность вида К (С). Отсюда следует, что для достаточно малых С имеем К(С)ПС = ф. В частности, Х(Уе)П^е—Ф Для достаточно малого 8. Предположим теперь, что для каких-то у и и' из V8 имеем g (у) = g' (у'). Тогда ^«'(у') = = у, так что ^g'^-K- Следовательно, g^g* е о (U)H, т. е. g' = go (иф для некоторых и е U, heH. Поэтому go (u^h (у') = = g(v'), так что о (и) (/1 (у')) = у. Далее, так как группа H — GV() действует на V ортогонально, то H(Vg) = Vg. Следовательно, равенство ст (и) (h (у')) = е (у) влечет в силу 5.1 равенства о(и)=е и /i(y') = y. Таким образом, имеем [g, и] — [^ст(н), /i(y')] = = [go(w)/i, y'\ = Vg'i и']> откуда следует, что для малых 8 исследуемое отображение является взаимно однозначным соответствием. Так как отображение Gx Ve->G (Ке) непрерывно и замкнуто, то таким же является и отображение GxH Ve-*G (Ve). Наконец, так как в силу 5.1 множество G(Vg) есть насыщение открытого в К” множества ст(Д)(И£), то оно само открыто в R”. g
Следствие. В условиях следствия 5.2 отображение G (Vg) ->• G (у0) вида g (v) <—^ g (ой) при малых е является корректно определенной эквивариантной ретракцией. g
Докажем теперь основной результат этого параграфа.
Теорема. Если G — компактная группа Ли, а X — вполне регулярное G-пространство, то вокруг любой орбиты пространства X существует трубка.
Доказательство. Пусть // — стационарная подгруппа некоторой точки %оеХ. В силу 0.5.2 существуют такое ортогональное представление группы G на RR и такая точка uoeR”, что GV(| = H. Устроим отображение ср: G (х0) — G (у0) с: R”, считая Ф Ф (хо)) — g(yo)- В силу теоремы Титце — Глисона 1.2.3 и упражнения 8 гл. I существует эквивариантное продолжение ф: X->R" отображения ф. Выбрав е таким, как в 5.3, положим W = ф-* (G (V8)). Тогда множество G (IF) = W открыто в X и композиция W ^- G(F8)->G(F0) —‘G(x0) является, очевидно, эквивариантной ретракцией ). g
Замечания. Впервые для важного частного случая свободного действия существование трубок доказал Глисон [Ц. В общем случае (при несколько более сильных, чем у нас, ограничениях) соответствующий результат был впервые получен Монтгомери и Янгом [1], использовавшими теорему о селекции Майкла. Вскоре Мостов [1] дал доказательство, по существу не отличающееся от приведенного нами. Идея применения эквивариантной ретракции принадлежит Пале [3, 4].
Из существования трубок вытекает следующий результат.
Следствие. Для любой орбиты Р во вполне регулярном G-пространстве X, где G —компактная группа Ли, найдется такая ее окрестность, что для любой орбиты Q, лежащей в этой окрестности, имеем type (Q)^ type (Р). Более точно, для любой окрестности U единицы е группы G и любой точки х~Х найдется такая окрестность И точки х, что для любой точки у eV найдется элемент иеб, удовлетворяющий условию u-1G„u ^Gx.
Доказательство. Если Р — G (х) и f: G (S)О(ж) — эквивариантная ретракция с Б-ДЦх), то / переводит любую орбиту G(y)csG(S) в орбиту G(x), так что type (G (у)) ^ type (G (х)). ^Если y = useUS, то Gy — иО^и1, a Gs ед G/ (^ = Gx, так что u^GyU ед Gx. |
Следствие. Пусть G —компактная группа Ли и Н — ее замкнутая подгруппа. Тогда для любой окрестности U единицы е группы G существует такая окрестность W a U единицы е, что для любой подгруппы К группы G, удовлетворяющей соотношению К сд WH, найдется такой элемент и е U, что и-1Ки а Н.
Доказательство. Пусть X — пространство всех замкнутых подмножеств пространства G]H (с хаусдорфовой метрикой й^А, B) = maxd.(a, B)~pmaxd(A, b)), и пусть х — точка \еН\ пространства X. Тогда (левое) G-действие на G/Н индуцирует G-действие на X, причем GX = H. Пусть нам дана окрестность U единицы e^G, и пусть V —окрестность точки хеХ, удовлетворяющая заключению следствия 5.5. Очевидно, можно найти столь малое IV сд U, что л юбое замкнутое подмножество пространства G/Я, содержащееся в WH]H, является точкой множества V. Далее, если К а WH, то у = КН]Н — точка множества^-, и, очевидно, К с. Gy. Следовательно, найдется такой ueU, что wxKyU сд u^GyU c.Gx = H. |
Замечание. Следствие 5.6 останется справедливым и без требования компактности группы G, достаточно потребовать лишь компактности группы Н. Доказательство этого более общего результата, использующее некоторые сведения из римановой геометрии, нашли Монтгомери и Циппин [4]. Приведенное доказательство для случая компактных групп принадлежит
Мостов у [1]. Аналогичное доказательство для некомпактных групп получил позже Пале [1].
Пусть G —компактная группа Ли и KcHcG-ee замкнутые подгруппы. Как было показано в § 5 гл. I, действие группы N {К) на пространстве {G/H)K, вообще говоря, не транзитивно. Тем не менее это действие в некотором смысле близко к транзитивному, что показывает следующий результат.
Следствие. Пусть К а Н a G — компактные группы Ли, и пусть N (/<) действует на G/Н посредством левых сдвигов. Тогда пространство (G/H)K/N (К) орбит этого действия конечно.
Доказательство. Предположим, что KgH = gH, так что g-'KgdH. В силу 5.6 имеется такая окрестность W единицы ее 5, что если для некоторой подгруппы L имеем Lee a (W (\ Н) (g^Kg) = W (^Kg1) (\ Н, то найдется элемент h^H, удовлетворяющий соотношению h^Lh cz gplKg- В силу непрерывности умножения и компактности группы g-1Kg можно найти такую окрестность V единицы е, что V^^KgV cz Wg-1Kg. Пусть g'— gv g= gV, и пусть Kg'H = g'H, т. е. v^g^Kgo cz Н. В силу сказанного выше найдется такой h =H, что h~1v~1g-lKgvh cz cl g~^Kg, т. е. guhgr1 е N (К)• Следовательно, g'H = gvHd cz N (K)gH, т. e. g’H лежит в N (К)-орбите элемента gH е {G/H)K. Но из того, что gVH/H есть окресткость точки gH в пространстве G/Н, следует, что каждая N (/()-орбита в пространстве {G/H)K открыта (и замкнута) *). В силу компактности пространства {G/H)K отсюда следует, что их конечное число, g
Важным следствием теоремы о существовании трубок является тот факт, что если все орбиты G-пространства имеют один и тот же тип, то проекция на пространство орбит является расслаивающим отображением.
Теорема. Пусть G — компактная группа Ли, и пусть X —вполне регулярное G-пространство, все орбиты в котором имеют один и тот же тип G/Н. Тогда орбитное отображение X-*X/G является расслоением со слоем G/Н и структурной группой N (Н)/Н {действующей на G/Н посредством правых сдвигов). Обратно, каждое такое расслоение может быть получено описанным способом.
Доказательство. Обратное утверждение следует из 1.1. Чтобы доказать первую часть, заметим, что любая трубка в X имеет вид ОхцА с некоторым А. Но G[e,aj = На cz Н, и из сопряженности подгрупп G[,,oj и Н следует, что На = Н для всех аеА. Иными словами, на А должно быть тривиальное Я-действие. В этом случае имеется эквивариантный гомеоморфизм GXh А ^ {G/H) х А и, отождествляя А с его гомеоморфным
t) Замкнутость каждой орбиты следу'т и i того, ч:о опт ивтютсн допол нением к объединению всех остальных (открытых) орбит. —Прим, первв.
образом А,Н ^(Схи A)]G в пространстве орбит, получим разложение в прямое произведение
<рл: №)ХЛ<рл: №)ХЛАА
<рл: №)ХЛ
<рл: №)ХЛ
А
А
Если фл и фВ —два таких разложения, то коммутативность диаграммы
Ф^Фд: (б/Я^ЦОВ)>(в/Н) X Uns)
и ns
позволяет построить отображение 8: A Q В -> Homeo0 (G/H) (где ФвФд(gH, х) = (6 (x)gH, х)), непрерывное в компактно открытой топологии на группе автоэквивалентностей пространства G/H. Осталось лишь заметить, что в силу 1.4.3 имеем Homeo0 (G/H) я« ^N (Н)/Н. |
Борель [5] заметил, что G-пространство X, все орбиты которого имеют тип G/H, можно расслоить другим способом, но с той же структурной группой N (Н)Щ. Это расслоение описывается следующей теоремой.
Теорема. Пусть G —компактная группа, X —такое G-пространство, все орбиты в котором имеют один и тот же тип G/H, и пусть N = N (Я) — нормализатор подгруппы Н в группе G. Тогда отображение G Хм Хн -> X (переводящее [g, х] 6 g(x)) есть гомеоморфизм. Следовательно, если G —группа Ли (так что отображение G-*GlN есть расслоение), то тотальное пространство расслоения над G/N со слоем Хн, ассоциированного с главным расслоением G^-G/N, эквивалентно пространству X.
Доказательство. Отображение Gxn Xй -*• X сюръективно, непрерывно и замкнуто (потому что отображение GxX-^-X замкнуто, а Хн — замкнутое в X подмножество). Итак, достаточно установить лишь его инъективность.
Допустим, что g(x) = g' (х'), где х и х' лежат в Xй (и, следовательно GX = H = GX.). Положим n = g-'g', так что п(х')=х. Тогда Я = Gx = G„(X') = nG^n-1 = пНп*1, т.е. т N. Следовательно, [g. *] = [£«. ггЧ = Ь'' ^'1- I
Следствие. В условиях теоремы 5.9 включение Хн а X индуцирует гомеоморфизм XH[N ^-X/G.
Доказательство. Отображение XH/N-»-GxnXh является гомеоморфизмом в силу 3.3, a (G х w XH)[G ^ X(G — в силу 5.9. |
5.11. Следствие. В условиях теоремы 5.9 положим К = М,Н. Тогда отображение ДДЩхкХн -*Х, определенное формулой [gH, x]->-g(x), есть эквивалентность G-пространств.
Доказательство. Так как Н действует на Хн тривиально, то
G xNX ^ ((G X X^/H)/(N/H) ^ ((G/M) х XH^KNUT). |
Следствие. Пусть выполнены условия следствия 5.11. Для любого G-пространства Y имеется взаимно однозначное соответствие между G-эквивариантными отображениями X-+Y и К-эквивариантными отображениями Хн -*- YH, и это соответствие задается ограничением отображения X-+Y на Хн.
Доказательство. Имея К-эквивариантное отображение /: XH->YH, определим отображение f: X-*Y как композицию X ?=« (G/H) х кХн -> (G/H) х kVh Y (последнее отображение есть [§Д, //]>-*§•(//)). Тогда для хе Xм имеем /' (g(x))=g(f(x)), так что/|^ = ЛВ „
Заметим, что в описанной ситуации группа К = N (Н)/Н действует на Хн свободно, и соответствующее пространство орбит ХН!К в силу 5.10 гомеоморфно пространству XlG. Применяя к этому действию теорему 5.8, получаем главное К-расслоение лх: XH->XlG (причем лх является ограничением на Хн орбитного отображения X->X(G)). Комбинируя это рассуждение с 5.12 и 2.6, получим следующий результат.
Теорема. Пусть G —компактная группа Ли и X — вполне регулярное G-пространство, все орбиты в котором имеют один и тот же тип G/Н. Положим K = N(H)/H. Для любого G-пространства Y имеется взаимно однозначное соответствие между G-эквивариантными отображениями р X->Y и сечениями f Yн-расслоения YH xKXH -> ХЮ, ассоциированного с главным R-расслоением лх: ХН-*ХЮ. Это соответствие описывается равенством /(лх (х)) = [/(х), х], где х е Хн. |
Читатель легко покажет, что 5.13 является также непосредственным следствием из 2.8.
Подъем путей
В этом параграфе мы используем конструкцию среза для доказательства теоремы Монтгомери и Янга [1] о том, что если X —некоторое G-пространство с компактной группой Ли G, то любой путь в пространстве Х/G допускает подъем в пространство X. Начнем со случая, когда Х/G есть дуга.
Лемма. Пусть G —компактная группа Ли, а X —некоторое G-пространство. Если пространство орбит ХЮ гомео- морфно отрезку I = [0, 1], то орбитное отображение л: X-^-X/G обладает глобальным сечением.
4 Г. Бредон
Доказательство. В силу 1.1.3 пространство X компактно, поэтому оно вполне регулярно *), и, следовательно, допускает срез в каждой точке.
Заметим, что нам достаточно доказать лишь то, что в окрестности каждой точки из Х/G существует (локальное) сечение. Действительно, если a,: [i/n, (z ф-1 )/«]—> X — локальные сечения для 1 = 0,1, ..., п — 1, а элементы §< е G таковы, что^0 = е и^а, (1/п)= = Оц (z'/n), l^t^rt — 1, то отображение о: 1->Х, определенное формулой o^t) = g0g1 ...giQt^ для ifn -< t < (z'+ Vyn, является глобальным сечением. Аналогично, если в окрестности любой точки некоторого открытого множества J а I существует (локальное) сечение, то существует глобальное сечение над всем J.
Теперь, используя двойную индукцию — по размерности и по числу компонент группы G — мы предположим, что утверждение леммы справедливо для действий всех собственных подгрупп группы G. Рассмотрим множество F = Xе и его образ F* а I = Х/G, являющийся замкнутым подмножеством. Действие группы G на X—F не имеет неподвижных точек, и его пространство орбит есть I — F*. Выберем точку угХ—F, и пусть S —срез в этой точке. Так как Gy^G, a S/Gy —содержащая точку у* = л (у) дуга вблизи у* (поскольку S/Gy^G (S^G в силу 4.7), то индуктивное предположение, примененное к Содействию на S, влечет существование вблизи точки у локального сечения для орбитного отображения S-*S/Gy и, следовательно, для орбитного отображения X-F-> ->1— F*. Как показано выше, наличие (для каждой точки у г eX-F) таких локальных сечений эквивалентно наличию глобального сечения орбитного отображения X — FI — F*; обозначим) его через С' с. X — F. Так как С' замкнуто в X — F, то С —С' J А тоже замкнуто в X. Очевидно, что С пересекает каждую орбиту ровно в одной точке и потому в силу 1.3.2 является сечением. |
Теорема. Если X есть G-пространство с компактной группой Ли G, то любой путь f: \->X(G можно поднять в X, т. е. существует такой путь f: 1->Х, что nx«f'=f.
Доказательство. Рассмотрим G-пространство /*Х, индуцированное из X отображением / (см. § 6 гл. 1); напомним, что (/*X)/G^I. Коммутативность диаграммы
/*Х-^ Xat[!л%
IX/G
где ст: I->f* (X)— сечение орбитного отображения, влечет, что /'=Д*о есть искомое поднятие отображения. §
!) По известной теореме о том, что компактное хаусдорфово пространство нормально (и тем более вполне регулярно). — Прим, перев.
Следствие. Пусть X — линейно связное G-пространство с компактной группой Ли G. Если в X имеется хотя бы одна линейно связная орбита (например, группа G связная или Ха =Ф Д), то фундаментальная группа пространства X отображается на фундаментальную группу пространства Х/G эпиморфно. В частности, в этом случае из односвязности пространства X следует односвязность пространства X/G.
Доказательство. Выберем хеХ так, что орбита G(x) линейно связна, и положим х* = н(х). Возьмем такую петлю /: \-*X[G, что f(0) = f(l) = х*, и рассмотрим ее поднятие рА-х-Х. Компонируя в случае необходимости /' с подходящим элементом из G, можно считать, что f (0) = х. Пусть k; I -> G (х) — путь из /'(1) в х. Ясно, что композиция путей f .к (сначала ф, а потом k) есть петля с началом и концом в точке х, проектирующаяся в петлю fAx*, гомотопную петле f. |
Следствие. Пусть G —компактная группа Ли. Если G-пространство X линейно связно, микроодносвязно и вполне регулярно, то пространство Х/G микроодносвязно.
Доказательство. Выберем точку хеX, рассмотрим окрестность V* точки х* е X/G и положим V=n-1(V*). Пусть U — такая окрестность точки х, что U ед V и гомоморфизм л^-^-л^ тривиален. Пусть, далее, S — срез в точке х; можно считать, что S с U. Точка х неподвижна относительно действия группы Gx на S, так что ее можно рассматривать как связную Сд-орбиту в S; поэтому лт (S, х) -> nj (S (Gx, x*) — n1(G(S)/G, х*) —эпиморфизм. Из коммутативности диаграммы
Л! (S, х) л, (V, х)
I I
л, (G(S)/G, х*)->л1(И*, х*)
следует теперь тривиальность нижнего отображения. |
Следствие. Пусть G —компактная группа Ли. Для любого линейно связного G-пространства X гомоморфизм Нг (X; Щ)-> -> НТ (X/G; (Q) эпиморфен (рассматриваются сингулярные гомологии с рациональными коэффициентами).
Доказательство. Из формулы универсальных коэффициентов следует изоморфизм ДДХ; (Q)НУ(Х; Z)®(Q. Возьмем ае гНДХЮ; Z). По теореме Гуревича а представим петлей f: 1-> ->X/G. Накроем эту петлю путем f': \-*Х. Если /'(0) и /'(1) не лежат в одной и той же компоненте связности их общей орбиты, то подберем такой geG, что /' (1) = gf (0). Предположим, что g" лежит в той же компоненте единицы группы G1). Тогда точки
Я Такое п для данного g g G всегда существует, так как в силу компактности группы G группа G/Go является конечной, где Go—компонента единицы группы G. — Прим. ред.
S'"-1/'(1) =g'”f (0) и f (0) лежат в одной и гой же компоненте орбиты G ([' (0)), и потому в этой орбите имеется путь к из#"-*/' (1) в f (0). Тогда композиция путей /' -gf -g^f «... 'gn~lf • к есть петля, проектирующая в петлю ^Ц-...^«\, гомотопную петле /". Следовательно, элемент па г И, ^X;G; Z) есть образ некоторого элемента группы Ну (X), так что элемент а®у — дта)?ДА'п) лежит в образе гомоморфизма Ну^Х; Z)®!)-*H^X/G', Z)®(L), и потому этот гомоморфизм эпиморфеи. |
Теорема о накрывающей гомотопии
Этот параграф посвящен доказательству теорем типа теоремы о накрывающей гомотопии для орбитного отображения X->X/G, полученной Пале [3]. Здесь мы будем пользоваться обозначениями и терминологией из упражнения 5 гл. I; при этом вместо «G-орбитная структура» мы будем писать просто «орбитная структура», если из контекста ясно, о какой группе G идет речь. Сначала докажем одну теорему о G-пространствах, орбитная структура которых разлагается в прямое произведение некоторой орбитной структуры на единичный интервал I.
Теорема. Пусть Y— вполне паракомпактное топологическое пространство1), и пусть G — компактная группа Ли. Пусть, далее, на некотором пространстве W задано такое G-действие, пространство орбит которого есть Ух1, т. е. W/G = Y xl, причем орбитная структура на последнем разлагается в композицию YxI-> Y — ^о, где Y x\-*-Y — проекция (т. е. каждое множество вида {у} х I состоит из одних и тех же орбитных типов). Пусть, наконец, л: W -> Y х 1 — проекция на пространство орбит. Тогда существует такое G-пространство X, что, во-первых, имеется гомеоморфизм X/G^Y, во-вторых, орбитная структура на X имеет вид X/G^Y — ^ц и, в-третьих, имеется эквивалентность G-пространств ср: W — X х I (где G действует на I тривиально), включаемая в коммутативную диаграмму
ух Iух IW*ХХ1
ух I
ух I
Более того, в качестве X можно взять просто л-1 (У х {0}); при этом отображение ф| л-1(Ух{0}): Х-+Х является включением х I—► (х, 0).
!) То есть каждое открытое подпространство пространства У паракомпактно, — Прим, перев.
Доказательство. Сначала отметим, что последняя часть заключения теоремы следует из всего остального, так как ср устанавливает эквивалентность между л'1 (У х {0}) и X х {0}. Мы будем отождествлять У с Ух{0} и Х = л~’(У) с Хх{0}.
Проведем доказательство посредством двойной индукции: по размерности группы G и по числу ее компонент. Предположим, таким образом, что требуемое утверждение справедливо для действий всех собственных подгрупп группы G. Обозначим через F гомеоморфный образ множества Xе в пространстве У, так что ^о^л-ДУх!).
Доказательство состоит из четырех частей, в которых будет сделано следующее.
В части А мы из индуктивного предположения выведем справедливость теоремы для вышеописанного действия на малой окрестности точки (у, f), имеющей вид произведения окрестностей точек у и t, где уе У — F.
В части В мы докажем справедливость теоремы для действия на U уЛ, где U — малая окрестность точки yeY-F.
В части С докажем справедливость теоремы для действия на (У —F)xl.
В части D мы закончим доказательство.
Выберем yeY-F и t е1. Пусть те 1У—точка, проектирующаяся в точку (у, /)еУх1, и пусть S — некоторый срез в точке т. В силу 4.7, мы можем отождествить S/Gm с G (S)/G с сУх1, причем срез S можно выбрать так, что S/Gw = U х [а, 6], где U — окрестность точки у в пространстве У, а [а, 6]—содержащий точку / отрезок из I. Так как GW=^G, то индуктивное предположение влечет существование такого 6в,-пространства Г, что TlGw — U и имеется Св-эквивалентность St=«Tx[a, 6], при которой проекции S->S/GW отвечает очевидное отображение Тх х[а, b]-^U х[а, Ь]. Следовательно, имеются G-эквивалентности G(S)^GXawS^GxQw (Ух [а, 6]) (G х Oty 7) х [а, 6], очевидно, коммутирующие с проекциями на Ux^a, Ь].
Пусть ueY-F. Обычным образом, используя компактность отрезка I (и результаты части А — прим, перев.), покроем множество {у}х! множествами вида Ux\ijn, (i+l)/n], О^г^ syn — \, где U — такая окрестность точки yeY, что имеют место G-эквивалентности л1 (U x[iln, (i"+1 )/«])-* л-1 (Их {г/п})Х xYUn, 0'4-!)/«]- Следовательно, для любого i G-пространства л '1 \U х (i/»}) и Я-1 (^ х К1 + О/я}) эквивалентны, так что вышеописанные эквивалентности можно заменить эквивалентностями вида фг: л^Ах^/», (z+ 1)/»] ^л"1 (U)x[itn, (i’+l)/n] (отождествляя U с Пх{0}). Ясно, что отображение фоф!1 переводит множество n-1(U)x{l/n} в себя. Взяв прямое произведение этого отображения и тождественного отображения 1[|/п, 2/щ отрезка [1/и, 2/п], получим отображение фр л~1 (^')х[1/я, З/^-^л-ЦС^х
х[1/п, 2/н]. Заменим ф, отображением ф! = Ч’-ф1; ясно, что ф0 и ф{ совпадают на их общей области определения. Продолжая этот процесс, изменим отображения ф; таким образом, чтобы любые два из них совпадали на их общей области определения и, следовательно, все вместе давали эквивалентность фу' л-1 (U х 1)-> л-1 (U) х I. Очевидно, можно считать, что фу (х) = = (х, 0) для х г л-1 (И х {0}).
Так как по условию Y — F паракомпактно, то его можно покрыть локально конечным семейством |Уа|аеЛ} таких открытых множеств, для каждого из которых имеется эквивалентность Ф^: л-1 (Va х I)—> л-1 (Va) х I, нормализованная условием фу (х) = = (х, 0) для х е л-1 (Va х {0}) и как всегда коммутирующая с проекцией на пространство орбит Иах1. Вполне упорядочив множество Л, положим Ua= (J Vp. Построим индуктивно такие р <а
эквивалентности фу , чтобы при Р<а на множестве Пр— — U ^v имело место равенство фу = фу . Предположим, Р <у<а
что фУу построены для всех 0< а. Если а —предельный ординал, то Ич = (J Пр. Для y<=Ua найдется такая его окрестность N Р < a
в Y, которая пересекается лишь с конечным числом множеств VY, где у<ба. Если Р и Р' таковы, что оба они больше всех этих элементов у, то, по нашему предположению, фур и фур/ совпадают на n-’GVxI). Поскольку Ha = [J Пр, то мы можем поло- ₽ <а
жить фу = Пт фуя и получить эквивалентность над Пах1.
Предположим теперь, что для а имеется предшествующий элемент а'. Положим Па-= И и W = V,. так что Па = Йи^- Очевидно, что достаточно построить фуик, совпадающее с фу на (И — V)xL Положим ф = фуфу‘: л-1 (И П V) х I — л-1 (И Q V) х I и определим ф,: л1 (И П V) х I л"1 (И П V) формулой ф(х, /) = = (Ф1 (х, 0, 0- Заметим, что ф, (х, 0) = х.
Так как, по предположению, пространство HJE нормально, то существует такое отображение /: Hj Е->1, что /=1 в некоторой окрестности множества U — V и / = 0 в некоторой окрестности множества V — U.
Положим ф'(х, /) = (ipj (х, /(лх)/), /) и заметим, что ф': *’WE)х I -> л-1 (И П V) х I эквивариантно, непрерывно и накрывает тождественное отображение пространства (П П Е)х1. Следовательно, ф' является эквивалентностью в силу результатов упражнения 11 гл. I (на самом деле обратное к ф' отображение получается из ф^1 так же, как ф' из i|,).
Рассмотрим теперь отображение ф'-фу: л1 ((U П V) х !)->, -^л-^^П У)х1. На той окрестности множества U — V, где/ = 1, имеем ф'-фи = ф»фу = фу. Аналогично на той окрестности множества V — U, где/ = 0, имеем ф'-ф^ 1 «фу = Фу. Следовательно, мы можем определить отображение
фу и и (х) =фу и и (х) =фу (х).ф'. ф^М, фи(х).фу (х).ф'. ф^М, фи(х).если л (х) е (U — V) х I, если л (х) е (U Л V) х I, если л (х) е (V — U) х I.
фу и и (х) =
фу и и (х) =
фу (х).
ф'. ф^М, фи(х).
фу (х).
ф'. ф^М, фи(х).
Теперь, проходя ординалы в порядке возрастания, мы получаем G-эквивалентность фг-^: л™1 ((У — F) х I) — л-1 (У — F) х I, коммутирующую с проекциями на (У —F)xl.
Так как л1 (F х I) в точности есть множество неподвижных точек G-действия на W, ю проекция л гомеоморфно отображает его на Fxl. Аналогично л'1^)^/7.
Следовательно, фл можно определить, потребовав коммутатив
ность диаграммы
Fxl
Положим фг = Фг-диФд- Тот факт, что это отображение взаимно непрерывно и, следовательно, является эквивалентностью, вытекает из изложенной ниже леммы, которая, таким образом, полностью завершает доказательство теоремы 7.1. |
Лемма. Пусть G —компактная группа, а X и У — два G-пространства. Пусть, далее, эквивариантное отображение ф: X— — XG-> У и отображение ф: X]G-* Y/G, для которого ф(Х°/С)с с Ус/С, таковы, что диаграмма
X-XQ-^Y|лт plyX/G -^ Y/G
коммутативна. Продолжим ф на все X, полагая ф (х) = лу1 флх (х) для хеХ. Тогда построенное так отображение X-VY непрерывно.
Доказательство. Пусть х е Х°; положим у = ф (х) е YG. В силу 1.3.1 базис фильтра окрестностей точки у имеет вид лу (А), где N пробегает все окрестности точки Лу(г/). Но Ф-1(лу^)) = = лхфл (А) является окрестностью точки х, как это следует из непрерывности отображения ф, так что ф непрерывно в точке х. |
Пусть X и У—-два G-пространства. Напомним, что отображение X/G->Y/G называется «сохраняющим орбитную структуру», если оно коммутирует с отображениями txiG- X/G-^q и ту/s;
YIG-^-^q, классифицирующими орбитные структуры (см. упражнение 5 гл. I). Эквивариантной гомотопией называется эквивариантное отображение X х I ~> У, где X х I несет G-действие (g, (х, /))>—* I—* (gx, t). Заметим, что (X х l)/G ^ (X/G) х I, так что если диаграмма (X/G) х I->■ У/G jproj ДУ/О X/G^g’o
коммутативна, то гомотопия (X/G) х I-> У/G сохраняет G-орбитную структуру. Следующая теорема о накрывающей гомотопии была доказана Пале [3].
Теорема. Пусть G — компактная группа Ли и X, Y— два G-пространства, и пусть пространство Х/G вполне паракомпактно. Пусть, далее, f: X ->Y — эквивариантное отображение и f: X/G-^Y/G —индуцированное им отображение. Пусть, наконец, F': (X/G)х!->У/G — такая сохраняющая орбитную структуру гомотопия, что F'(к*, 0) = f (в частности, f сохраняет орбитную структуру). Тогда существует эквивариантная гомотопия F: X х I -> Y, накрывающая гомотопию F', и такая, что F (х, 0)=f. Более того, если имеется два таких поднятия гомотопии F’, то одно из них является композицией другого с автоэквивалентностью пространства Xxl, накрывающей тождественное отображение пространства lX]G)x\ и тождественной на Хх{0}.
Доказательство. Рассмотрим G-пространство /'*Y, индуцированное из У отображением f. В силу универсальности индуцированного пространства, существует единственное эквивариантное отображение ср: X-^-f*Y, для которого диаграмма
f*Y
XIG—jt^YIG
коммутативна. (Более точно, f*Y=^x*, y)^(X/G)xY\f'(x*) = y*}> где z/*—орбита точки z/ и ф задается формулой ф(х) = (х*, /(х)).) В силу упражнения 5 гл. I, ф сохраняет орбитную структуру; кроме того, оно накрывает гомеоморфизм XlG->lf*Y)lG. Следовательно, ф — непрерывное взаимно однозначное соответствие. Из упражнения 10 гл. I следует, что ф —открытое отображение, и потому оно является эквивалентностью. Таким образом, диаграмма
X У
X]G — YIG
определяет расслоенное произведение.
Рассмотрим индуцированное G-пространство W = F'*Y. Ясно, что W[G^ (Х/G) х I и прообраз) в W множества (X/G)x{0) есть индуцированное G-пространство f'*Y^X. В силу 7.1 получаем IF^XxI, так что имеется коммутативная диаграмма
Xxl - Y
XlGx\-—YlG
где F (х, 0)=/(х) по построению.
Любое другое поднятие Fy. Xxl-^Y отображения F' пропускается через индуцированное G-пространство F’*Y X xl, поэтому Fv есть композиция X X I X X I F- Y. Так как гр накрывает тождественное отображение пространства (X/G)xl, то оно является эквивалентностью, см. упражнение 11 гл. I. |
Теорема. Пусть G — компактная группа Ли и X — некоторое G-пространство. Пусть, далее, В — вполне паракомпактное пространство с заданной G-орбитной структурой В -^о. Если fo и fi —два отображения из В в XIG, между которыми имеется сохраняющая орбитную структуру гомотопия, то индуцированные G-пространства foX и ДХ эквивалентны, причем эта эквивалентность коммутирует с проекциями на пространство орбит В каждого из этих расслоений.
Доказательство немедленно вытекает из теоремы 7.1, примененной к индуцированному G-пространству F*X, где F: Вх\^- -*■ X/G — данная гомотопия. (Это легко следует также из 7.3.) g
Г и поте за. Пусть G —компактная группа Ли и IF —компактное G-пространство. Предположим, что IF/G устроено так же, как цилиндр некоторого отображения, причем на каждой образующей этого цилиндра все точки, исключая, быть может, точку нижнего основания, имеют один и тот же орбитный тип. Наша гипотеза состоит в том, что IF эквивалентно цилиндру некоторого эквивариантного отображения, возникающего из структуры цилиндра отображения на IF.
Конические орбитные структуры
Теперь мы применим теорему о накрывающей гомотопии к исследованию G-пространств, орбитные структуры на которых являются коническими. Пусть R+ —множество неотрицательных вещественных чисел. Определим открытый конус Ѱ над пространством В как факторпространство C°B = (Sx[R+)/(Bx{0}); его
вершину (точку, соответствующую множеству Sx{0}) мы будем обозначать через Ьо.
Определение. Пусть Ту: У->^0 и тд: В->^0 —две G-орбитные структуры, и пусть уг, еУ. Пара (У, ту) называется конической G-орбитной структурой с базой (В, тд) и вершиной у0, если имеется такой гомеоморфизм h; С°В^¥, где Н(ф0)=у0, что диаграмма
СоВ-{6о}Лу_Уо
I1TY
В
коммутативна.
Разумеется, это означает, что пространство У наделено структурой конуса, причем на каждом его луче все точки (кроме вершины) имеют один и тот же орбитный тип. Так как ту —классифицирующее отображение орбитной структуры, то из его непрерывности следует, что орбитный тип точки у0 не превосходит орбитного типа любой другой точки пространства У.
Очевидный пример конической орбитной структуры доставляет нам любое ортогональное действие на евклидовом пространстве.
Теорема. Пусть (У, Ту) и (Ц7, т^ — две конические орбитные структуры соответственно с вершинами у0 и w0 и базами В и D. Пусть f: W -> У — сохраняющий орбитную структуру гомеоморфизм на открытую окрестность U точки у0, переводящий йуо в у0. Тогда существует сохраняющий орбитную структуру гомеоморфизм пространства W на У, совпадающий с f на некоторой окрестности точки ш0.
Доказательство. Мы можем считать, что У = СйВ и W = C°D. Образ множества Вх[0, /] в Ѱ мы будем обозначать через Вх[*, /]; кроме того, множество Вх(0, ос) мы отождествим с подпространством Ѱ — \Ь0\ сеС°В.
Предположим сначала, что выполнены следующие пять условий:
В х[*, 8] с im/;
f(Dx[*, 2])сВх[*, 8);
Вх[*, 5]с/(0х[*, 2));
/(Dx[*, 1])сВх[*, 2);
Вх[*, l]cf(Dx[*, 1))
(см. рис. II. 1). Так как / есть гомеоморфизм на открытое множество, содержащее Вх[*, 8], то f ф х \1)) а В х(1,2) и/(Dx {2})с сйх(5,8) (по той причине, что, например, f(Dx{l}) в точности состоит из граничных в Ѱ точек множества 1фх(*, !])•
Обозначим через sA образ множества А с Ѱ при отображении (b, t)f-*-(b, st). Рассмотрим рис. II.2. Положим Р =
ID-ID-=ДОх[*, 2]) — 2f (D х [*, 1J) и Q = 2/(Dx[*, l])-f.(Dx[*, Определим ср: R+->R+ формулами
ID-
ID-
Ф (0 =Ф (0 =7/2 для 0^/^4,3/— 10 для 4 sg:/ -<5,/ для 5 Л
Ф (0 =
Ф (0 =
индуцирует гомеоморфизминдуцирует гомеоморфизмТогда отображение (Ь, /) >—> ф, ф (/))
индуцирует гомеоморфизм
индуцирует гомеоморфизм
P^.QU.P = f(Dx[l,2])^Dx[l, 2].
Далее, так как / есть гомеоморфизм, то Р Q Q обладает в Q окрестностью-произведением вида О х I (поскольку все эти гомеоморфизмы сохраняют «концы» и орбитные структуры). Следовательно,
Рис. п. 1.Рис. п. 1.
Рис. п. 1.
Рис. п. 1.
Q^QU(OxI)^QU-P^Dx[l,2]. Но C<>B = f(Dxb, 1 ])UQU2QU U4QU-..^(Dxh l])U(Dx[l,2])U(Dx[2,4])U(Dx[4,8j)U...= = C°D. Так как этот гомеоморфизм по построению сохраняет орбитную структуру и является продолжением отображения /(Ох[», 1]), то все доказано.
Теперь мы должны показать, что введение условий (i) —(v) не ограничивает общности. С этой целью введем новую параметризацию конических структур на У и W.
Рассмотрим заданную на В функцию a8(b) = sup{/| {b)x[*, /]с: cim/} со значениями в расширенной вещественной прямой. Так как функция а8 полунепрерывна снизу, то существует такая непрерывная функция a8: B->R, что 0 <a8 (b) < a8 ф) для всех b^B (см. Дугунджи [1], с. 170). Положим В^^ХФ, I^cl сС^ВЛХа^Ьу, и Sas = int Bas. Тогда B^CLim^. Используя обратный к / гомеоморфизм, можно точно так же построить непрс-
рывную функцию р2: D->-iR, где р2 (d) $5sup \t \f(dx(*, /]) <= SaJ, и определить множества Dp, = {(d, f) e C°D , t ^ p2 (d)} и Dp, = = int Dp,. Тогда мы получим, что /(Dp,) с В^. Аналогично можно найти такие функции 0 < «1 < а2 <а4 <а8 и 0<р1<р2, что Ва, с / (Dp,), ЦО^аВа- и Ва,с/(д81). Очевидно, что, устроив
Рис. И. 2.
такую новую параметризацию конусов Y и W, в которой оц и р, будут «поверхностями уровня» и, конечно, в которой Ва. = Вх Х[*, z] и Dpz = Dx[*, z], мы удовлетворим условиям (i) — (v). |
Заметим, что если А —замкнутое инвариантное подмножество G-пространства X, то факторпространство Х/А является G-пространством с неподвижной точкой {А}.
Сформулируем основной результат этого параграфа.
Теорема. Пусть X есть G-пространство с компактной группой Ли G, и А — его замкнутое инвариантное подмножество. Пусть, далее, орбитная структура на (X/AyG является конической с вершиной {А}* и паракомпактной базой. Пусть, наконец, U с.Х — такая инвариантная открытая окрестность множества А, что орбитная структура на (U/A)iG является конической с вершиной {А}* и вполне паракомпактной базой (причем эта коническая структура, вообще говоря, никак не связана со структурой конуса на (XjA^GY Тогда U и X являются эквивалентными G-пространствами, причем эта эквивалентность может быть выбрана тождественной на некоторой окрестности множества А.
Доказательство. В силу 8.2 имеется сохраняющий орбитную структуру гомеоморфизм /: {U/A)/G — (XlA)/G, тождественный на некоторой окрестности точки {Л}*. По этой причине f индуцирует гомеоморфизм F: U(G — X/G, сохраняющий орбитную структуру и тождественный на некоторой окрестности множества А. Более того, из доказательства теоремы 8.2 следует существование такого е>0, что F является тождественным отображением при /<е, где I — параметр, возникающий из конической структуры на {U/A)IG. Пусть F[0> ц — ограничение отображения F на множество тех точек из U/G, конический параметр которых лежит в [0, /]. Тогда отображение Fy, ej накрывается отображением F['o,ej. тождественным на соответствующей части пространства UcX. По теореме 7.3 о накрывающей гомотопии мы можем, очевидно, продолжить Ffo.ei до отображения Т7^, 2в]> накрывающего отображение F[o,2ej. Продолжая этот процесс, мы в конце концов получим отображение F', накрывающее отображение F. Так как F есть гомеоморфизм, сохраняющий орбитную структуру, то F'— эквивалентность (открытость отображения F' следует из упражнения 10 гл. I). |
Следствие. Пусть М — многообразие, являющееся G-пространством с компактной группой Ли G. Пусть, далее, х0 —неподвижная точка этого действия, а орбитная структура на MiG является конической с вершиной хо. Если в окрестности точки х0 имеется такая система локальных координат, в которой G действует линейно, то G-пространство М эквивалентно евклидову пространству с этим линейным G-действием. |
Некоторым обобщением этого следствия является следующий результат.
Следствие. Пусть М есть G-многообразие с компактной группой Ли G. Предположим, что орбитная структура на М/G является конической с вершиной х§ и что в точке х0 имеется срез V, эквивалентный евклидову пространству с линейным Gх,-действием. Тогда М эквивалентно {как G-пространство) пространству GxOxV. |
Замечание. Позже мы увидим, что предположения о линейности действия в некоторой координатной системе (как в 8.4) или на некотором срезе (как в 8.5) эквивалентны предположению о том, что G-действие дифференцируемо в некоторой окрестности точки х0 (в некоторой гладкости на этой окрестности).
Замечание. Теорему 8.2 по существу обнаружили Куан и Реймонд [1] и Куан [2]. Очевидно, в ее формулировку (и доказательство) можно ввести различные специальные структуры, постоянные вдоль лучей. Отметим, например, импликацию теоремы 8.3 для G-пространств, являющихся цилиндрами (с «нижним основанием» А) эквивариантных отображений.
Классификация G-пространств
В этом параграфе мы изложим данную Пале [3] конструкцию «классифицирующего пространства» для G-действий, где G —компактная группа Ли. Так как результаты этого параграфа, равно как и следующего, не будут использованы в остальной части книги, то его можно не читать. Нам, однако, кажется, что этот материал заслуживает большего внимания, чем ему обычно уделяется, и что читателю будет полезно усвоить его. В этом параграфе мы считаем G компактной группой Ли. Под «размерностью» пространства здесь понимается его «размерность по покрытиям».
Для начала изложим некоторые предварительные сведения. Следующие две леммы хорошо известны, но мы затрудняемся дать точную ссылку и потому наметим доказательства.
Лемма. Пусть X — паракомпактное пространство, размерность которого не превосходит п, и пусть \L\ —некоторый (п — \)-связный полиэдр. Тогда любое отображение замкнутого подпространства АсХ в полиэдр L i продолжается до отображения всего пространства X.
Доказательство. Пусть ср: А -> | L ] — данное отображение; рассмотрим открытое покрытие {фл(51у)} множества А, где у пробегает все вершины из L. Так как dimX==S«, то можно найти покрытие 2l = \U\ пространства X, вписанное в {ф-1 (St и)} (т. е. для любого U dll найдется вершина у и со свойством ф(С/П А) с с St Уу) и такое, что размерность нерва К (21) этого покрытия не превосходит п. Пусть {fy} — подчиненное этому покрытию разбиение единицы и g: X -> | К (22) | — соответствующее отображение ), т. е. g(x) = 2 ^и (х) U■ Пусть К (211 А) — соответствующее подмножеству А симплициальное подпространство нерва К(21); по определению оно порождено такими симплексами (Uo, ... , Ur), что Uo П • ■ • • •• П^гП А т^ С- Отметим, что ф (Uo П ■ • ■ П Ur П А) с St vUa П ■. ■ .. .QStyy,.; при этом непустота большего множества эквивалентна тому, что Ууо,... , yUr — вершины некоторого симплекса из L. Для у е К (211 А), у=^ ayU, положим ф (у) = ^ацУи d L. Тогда для ф: | К (211 А) | -> L имеем ф (g (а)) = 2 fu (а) уи- Если fu (а) 5^ 0, то a d U П А, т. е. ф (a) d St уи. Отсюда следует, что Уу е supp <р (а), где через suppz обозначен наименьший симплекс, содержащий точку z. Поэтому ф (g(a)) d supp ф (а), и потому «отрезок», соединяющий ф(§(а)) с ф (а), лежит в L. Таким обра-
зом, между ф-g и ф имеется гомотопия вида (а, /)->/ф(а) — + (1 — О (Ф (£(«)))■ Из стандартных соображений теории препятствий следует, что отображение ф подполиэдра !К(^1Л)1 полиэдра К (27); в (и — 1)-связный полиэдр iLj продолжается до отображения \К (Му-э- .L;. Поэтому (f-q: A-*\L\ продолжается до отображения Х-^>-\Е\. Но так как \Ц есть абсолютный окрест- ностный ретракт, а X — бинормальное пространство1) (так как X паракомпактно), то отображение ф: A-VL\, гомотопное отображению ф»^, тоже продолжается на всё X (см. Спеньер [1], с. 78). |
Лемма. Пусть В — паракомпактное пространство, размерность которого не превосходит п, и пусть Е: ЕВ — расслоение, слоем которого является компактный (п — 1)-связный полиэдр. Тогда любое сечение а расслоения Е над замкнутым подпространством А с: В можно продолжить на всё В.
Доказательство. Покроем В локально конечным набором {СД замкнутых множеств, над каждым из которых g тривиально. Вполне упорядочив множество индексов, положим Аа = A U (J Ср;
в < а
при этом А^ замкнуто в силу локальной конечности покрытия. Продолжим а на Аа индуктивно следующим образом: если а определено на Лр при р<а и а —предельный ординал, то Аа = = [J Лр, и непрерывность сечения а на этом объединении сле-
Р < а
дует из локальной конечности покрытия {СД. Если же элементу а предшествует элемент р, то Аа= А^уС^. Так как Е тривиально над Ср, то а СрПЛр продолжается на Ср в силу 9.1, что определяет продолжение сечения а на всё A,L. |
Будем говорить, что 6-пространство имеет тип СуН, если все орбиты в нем имеют тип GlH. Более общо, пусть S с: ^ — некоторый набор типов; мы скажем, что 6-пространство X имеет тип X- если каждая орбита в нем имеет тип, лежащий в V. Мы сосредоточимся на случае, когда набор £ конечен, и будем в этом случае использовать запись ^ = фх, .... НЕ), где Ht— представители стационарных подгрупп соответствующих (попарно различных) типов. Положим Х^ = {х е X ' type G (х) = type (G/Hy.
Теорема. Пусть Над- замкнутая подгруппа; положим K = N(H)/H. Пусть, далее, Е: ЕВ — главное К-расслоение, тотальное пространство которого Е является компактным (п — 1)- связным полиэдром. Тогда ассоциированное GlH-расслоение У = = (G/H) кЕ-^-В обладает следующим свойством. Пусть X — любое паракомпактное G-пространство типа G]H, для которого dimX/G^cn. Тогда любое эквивалентное отображение ср: А-*¥
замкнутого инвариантного подмножества АсХ продолжается до эквивариантного отображения ф: X -> Y.
Доказательство. В силу 5.13 эквивариантные отображения ф: A-*Y находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с заданными над Л/G сечениями /^-расслоения YH х rXh -> Х/G, ассоциированного с главным расслоением Хн ~^- -*X]G. Очевидно, однако, что YH = КхкЕ Е. Следовательно, любое такое сечение продолжается на всё В в силу 9.2. |
Установим теперь существование расслоений, удовлетворяющих условиям теоремы 9.3. Так как любая ^ группа Ли вкладывается как подгруппа в ортогональную группу, то можно считать, что К = N (Н)/Н есть подгруппа в О (г) для некоторого г. Пусть О (г) х О (л) с О (г 4- п) — стандартное вложение. Тогда отображение
Е = ({а} х О (п))\О (г + п) -> (К х О (и))\О (г + п) = В
(рассматриваются пространства правых смежных классов) является главным ^расслоением и, как хорошо известно, Е есть (л—1)- связный полиэдр. (Это можно доказать, рассматривая расслоения О (г 4- п + 1 )/О (л) -> О (z 4- л)/О (л) со слоем О (г 4- л 4- 1 )/О (z 4-») = = Si+n для i = 0, 1, ... , г— 1.)
Заметим, что на пространстве Y = ^3!ЩхкЕ имеются левое G-действие и правое О (г4-я)-действие. Более того, соответствующее действие группы СхО(г4-л) на Y транзитивно. Следовательно, пространство Y = (G/H')XK Е, удовлетворяющее условиям теоремы 9.3, является пространством смежных классов компактной группы Ли СхО(г4-и). В силу 5.3 Y можно вложить как эквивариантный окрестностный ретракт в евклидово пространство, несущее ортогональное действие группы GxO(r4-n) и, следовательно, группы G. Этот факт будет важен в дальнейшем.
Замкнутый конус CY над G-пространством Y является G-пространством и определяется как факторпространство [0, 1]х//{0}х xY, где G действует на [0, 1] тривиально. Образ точки (/, z/) будет обозначаться через ty и вместо 0z/ мы будем писать просто 0; это вершина конуса.
Следующая лемма играет основную роль при доказательстве теоремы классификации.
Лемма. Пусть Н clG, п и Y такие же, как в 9.3, и пусть У вкладывается как эквивариантный окрестностный ретракт в евклидово пространство с ортогональным G-действием. Пусть, далее, X — такое G-пространство, что Х/G метризуемо и dim Х/G ^ п. Пусть, наконец, А с X — инвариантное замкнутое подмножество, и пусть ф: A-*GY — такое эквивариантное отображение, что ф-1 (0) П Х(Н} = ф. Тогда ф продолжается до экви-
Компактная,—Прим, первв.
вариантного отображения ф: X ->- CY, для которого ip-1 (0) П Х(н) = == Q).
Доказательство. Используя координаты на конусе, представим ф в виде ср (а) =/(а) 6 (а), где f: Л —»-[0, 1], 6: A — Z^-Y; здесь Z = /-1 (0). Обратно, любая такая пара эквивариантных отображений задает отображение, удовлетворяющее наложенным на Ф условиям. Если type G (я) < type G///, то^(а) = 0, так как в У имеются лишь орбиты типа G/Я Так как множество всех орбит типа, меньшего чем type G/Я, замкнуто (его дополнение открыто в силу 5.5), тоф продолжается на него нулем. Следовательно, мы можем считать, что А содержит все орбиты типа, меньшего чем type G/Д. Так как множество всех орбит типа, не превосходящего type G/Д, тоже замкнуто (см. упражнение 4 гл. I), то и множество ЛиХ(д) замкнуто. Кроме того, A f| Xw а: X — Z. Так как Х^./, —X(W состоит из орбит меньшего типа, то Х(Н) — Х{Н} cz Z. Следовательно, отображение 6; Л — Z продолжается на (A — Z)IJX(^) в силу теоремы 9.3 (примененной к Л Q Х(Н) — Z = И И Х(н)) и Хии — Z = XvH\Y Кроме того, f продолжается на ЛиХ(/л в СИЛУ классической теоремы Титце, примененной к индуцированному отображению пространств орбит. При этом можно добиться того, чтобы / было отлично от пуля во всех точках множества Х^ну действительно, можно прибавить к / вещественную (эквивариантную) функцию, равную нулю в точности на А (например, взять расстояние до точки Л/G в некоторой метрике на X/G) и затем поделить эту сумму на большое число с тем, чтобы она не превосходила единицу. В силу существования таких продолжений отображений f и 6 мы без ограничения общности можем считать, что А zd Хн.
По условию Y вкладывается в евклидово пространство Rm с ортогональным G-действием и обладает в Гт окрестностью, эквивариантно ретрагирующейся на Y. Следовательно, отображение 6: Л->-Х — Y продолжается до отображения X — Z^Y"1 в силу теоремы Титце — Глисона 1.2.3. Воспользовавшись имеющейся ретракцией, мы можем продолжить 0 до отображения 6': W-^Y, где IF —некоторая открытая окрестность множества Л—Z в пространстве X —Z. Так как / есть 0 на множестве Zh Z до Л П (X — W), то / можно продолжить нулем на множество A U (J (X — W) и, следовательно, эквивариантно продолжить до отображения f':X-V0, 1] по классической теореме Титце, примененной к пространствам орбит (или непосредственно по теореме Титце — Глисона). Тогда отображение ф: X--*CY, определенное формулой ф (х) = f (х) 6' (х), и есть желаемое продолжение отображения ф. g
Сделаем теперь отступление для того, чтобы обсудить понятие джойна нескольких G-пространств. Если Кп ... , Y к — некоторые
G-пространства, то CYX хСУ2 х.. .xCYk — тоже G-пространство. Канонические отображения СУ/->-[0, 1]=1 индуцируют отображение СУхх...хСУ6--»-1х...х1 = 16 вида (/jf/p ..., 1кук) (,tv ... ..., tkY Джойн У, *. ..*Yk пространств Yk есть прообраз при этом отображении стандартного симплекса Д'г1 с: Р; иными словами, он состоит из точек (/,//,, ... , tkykY для которых £//=!. Очевидно, что стационарная подгруппа точки джойна (tpR, ... , tkyih есть в точности
W = П Gti»i= П V^i i G °}-
Нам необходимо изучить некоторое подпространство джойна. Определим джойн Пале Yt ® ... ® Yk как подпространство джойна Yх ».. . * Yк, состоящее из точек (Цух, ... , tkykY удовлетворяющих условию G^yihUi^ = GM. для какого-нибудь такого i, что G=#0. Заметим, что в этом случае G^, ... ,<У)С:СУ. для всех тех /, что tt^G. Кроме того, джойн Пале является инвариантным подпространством и, следовательно, G-пространством.
Замечание. П а л е [3] назвал эту конструкцию приведенным джойном, однако этот термин мы считаем неудачным в силу того, что он уже использован для обозначения другого понятия.
Теорема. Пусть Х = (Нх, ... , Нку где Hi —попарно несопряженные замкнутые подгруппы из G, и пусть Ki = N (H^Hi. Положим Yi = (G/Hi')XK.Ei, где Et —тотальное пространство главного Ki-расслоения, являющееся компактным (п—\усвязным полиэдром. Предположим, что Y, вкладывается как эквивариантный окрестноетный ретракт в евклидово пространство с ортогональным G-действием. Положим Y = У, ®... ® Yк. Пусть X — такое метризуемое G-пространство типа v, что dimX/Gs=:n. Тогда любое сохраняющее орбитную структуру эквивариантное отображение ф: Л ->- У замкнутого инвариантного подмножества АсХ можно продолжить до сохраняющего орбитную структуру эквивариантного отображения ip: Х-*¥.
Доказательство. Рассмотрим отображение ф: Л->У = = yL ®... ® Yk cz СУ, *.. .* CYk, и пусть ф/: А ->■ СУ, — его композиция с проекцией на CYь Представим ф,- как ф; (a) = ft (а) 6,- (а), где fp Л->-[0,1] и 6г: А — Д' (0)->- У,- — эквивариантные отображения. Мы утверждаем, что если а е А П Х^у то h (а)>0; действительно, в противном случае найдется такой индекс i^i, что Д(а)>0 и Go = Сф(о) = G6j (й) ~ Hj (где ~ есть знак сопряженности), что противоречит условию Ga^ Н,^ Hj при i^=j. Следовательно, функция Y положительна на Af\X^H.y В силу 9.4 отсюда следует, что ф,- обладает эквивариантным продолжением <р;': Х-^- -*CY вида ф[ (х)=Д (х) 6( (х), где Д >0 на Х^у
Положим hi^fil^fi, %(x^=ht(x^i(xY ip (х) = (ip,1р*): X^yCYv*...*CYh. Тогда ^hi= 1, и потому имеем отображение tp: Х^у Yx *... * Yfe. Для хеХу^ имеем Gx oG^^ cz G^. ;х^Нг (так как йг(х)=/=0), поэтому G^ (х) = G^w и GX = G^W. Первое из этих равенств влечет, что ip отображает X в И1®...®У6, а второе —что 1р сохраняет орбитную структуру. J
Определение. Любое G-пространство Y типа 5 = = (Нх, ..., HhY удовлетворяющее заключению теоремы 9.5, называется п-универсальным пространством для G-структур типа 2
Теорема. Пусть ^ = (Нр .... Нк), и пусть Y есть п-универсальное пространство для G-структур типа v. Тогда Y ]G является пространством, классифицирующим G-структуры типа V, что означает следующее1.
Пусть X — метризуемое G-пространство типа v, для которого dimX/G^n. Тогда существует такое сохраняющее орбитную структуру отображение f: X/G-yY/G, что X эквивалентно над XlG пространству ^*Y («над Х]0» означает, что эквивалентность коммутирует с проекциями на X/G).,
(П) Пусть W — метризуемое пространство с dimW'^n — 1. Если f0, ft: W ^у Y/G — отображения, индуцирующие на W одну и ту же орбитную структуру, то G-пространства /0 и fv тогда и только тогда эквивалентны над W, когда между /0 и ^ имеется сохраняющая орбитную структуру гомотопия.
Доказательство. Для доказательства (i) заметим, что из 9.5 вытекает существование сохраняющего орбитную структуру эквивариантного отображения X-^-Y. Оно индуцирует отображение J: X-+f*Y, где /: X/G -у Y/G — индуцированное отображение одного пространства орбит в другое. Тогда / сохраняет орбитные типы, и диаграмма
X—f*Y
\/с/
коммутативна, так что / есть эквивалентность (открытость отображения f следует из упражнения 10 гл. I).
Для доказательства части (ii) рассмотрим эквивалентность h; f§Y -y-t\Y над W. Пусть X = Мь — цилиндр отображения h и А — объединение оснований этого цилиндра. В силу 9.5 объединение канонических отображений f§Y-yY и RY-*Y продолжается до сохраняющего орбитную структуру отображения X-yY. Индуцированное отображение W xl ^X/G-yY/G задает, очевидно, требуемую гомотопию между f0 и R. Обратное легко следует из 7.4. |
Линейные вложения G-пространств
В этом параграфе мы из результатов предыдущего параграфа выведем известную теорему Мостов а [1] о том, что если G— компактная группа Ли, то любое конечномерное сепарабельное метрическое G-пространство с конечным числом орбитных типов допускает эквивариантное вложение в некоторое евклидово пространство с ортогональным действием группы G. (Обратное тоже верно, см. упражнение 2.) Изложенный здесь материал в дальнейшем использоваться не будет, но при изучении гладких действий мы снова обратимся к этой тематике, так как наличие гладкой структуры приводит к важным следствиям.
Теорем а. Пусть G —компактная группа Ли, и пусть X — конечномерное сепарабельное метрическое G-пространство с конечным числом орбитных типов. Тогда существует его эквивариантное вложение в некоторое евклидово пространство с ортогональным действием группы G.
Доказательство. Пусть X имеет тип Ц = (Я1, ..., Да), где Hi — попарно несопряженные замкнутые подгруппы из G. Из упражнения 3 следует, что пространство Х/G тоже конечномерно. Положим dimX/G = n. Хорошо известно, что в этом случае имеется вложение Д: X/G-j-R? в некоторое R? (достаточно взять <7 = 2/14-1, см. Гуревич и Волмэн [1]).
Из конструкций § 9 следует, что построенное после теоремы 9.3 пространство Y является пространством смежных классов группы GxO(r4-«) и, следовательно, пространством орбит некоторого ортогонального GxO(г4-«)-действия. Следовательно, мы можем считать пространства Yt из 9.5 эквивариантно вложенными в единичные сферы S"2'-1 евклидовых пространств 4Ш< с ортогональными G-действиями. Тогда CYt с Dm‘ и имеет место эквивариантное вложение
7 = 7!®...® УасС^Х-.-ХСУаСД Dm'X...xD^cRm, где т = 5 mi и ^ действует диагонально.
В силу 9.5 существует сохраняющее орбитную структуру эквивариантное отображение Д: Х-*УсRm. Определим отображение Д XR? х Rm = R9+m формулой f (х) = (Д (х*), Считая, что G действует на R? тривиально, получим, что отображение / эквивариантно. Так как Д — вложение, то //G = (f,, Д/G) — тоже вложение. Наконец, так как f сохраняет орбитные типы, то оно инъективно. Из упражнения 10 гл. I следует теперь, что / есть гомеоморфизм на свой образ. |
4 Напомним, что х* обозначает образ точки кеХ при проекции X ->- Х/О.—Прим. ред.
Следствие. Если в дополнение к условию теоремы 10.1 пространство X локально компактно, то вложение можно выбрать замкнутым.
Доказательство. Одноточечная компактификация X(J{*} пространства X удовлетворяет условиям теоремы 10.1 и, следовательно, вкладывается в некоторое Rp. Точка * является, очевидно, неподвижной точкой 6-действия, откуда легко следует, что сдвиг пространства Rp, переводящий образ точки * в 0, — эквивариантное отображение. Следовательно, можно считать, что при вложении точка * попадает в начало координат. Тогда отображение Rp — ^0} в себя, заданное формулой у^-^-уГу 2, эквива- риантно и переводит Х = Х — {0} в замкнутое подмножество пространства Rp. |
амеч а н ие. Изложенное здесь доказательство теоремы 10.1 значительно отличается от ее первоначального доказательства, данного Мостовым [1]. Два изложения метода Мостова см. в работах Пале [3, 4].
Отметим, что ортогональное представление группы G, в пространство которого осуществляется вложение из теоремы 10.1, зависит лишь от размерности пространства XjG и от орбитных типов G-пространства X.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ II
Пусть G—компактная группа Ли и X—односвязное G-пространство. Покажите, что если имеется n-компонентная орбита, то порядок любого элемента группы nt (Х/G) не превосходит числа п.
Покажите, что ортогональное действие на R” имеет лишь конечное число орбитных типов. (Указание. Рассмотрите в R" единичную сферу и действие на ней стационарной подгруппы каждой точки.)
Пусть компактная группа Ли G действует на сепарабельном метрическом пространстве X. Докажите, что dimX/G^dimX.
Пусть компактная группа Ли G действует на вполне регулярном пространстве X таким образом, что все орбиты имеют один и тот же тип G/H. Обозначим через Т какой-либо максимальный тор группы G, а через N—его нормализатор в группе G. Покажите, что отображение Gx v Хт ->Х (переводящее [g, х] в g (х)) является проекцией расслоения со слоем H/(N П //). Кроме того, докажите, что каноническое отображение Хт/N -> Х/G есть гомеоморфизм.
Пусть К и Н— замкнутые подгруппы компактной группы G. Пусть, далее, g: X -> В — расслоение со слоем G/Н и структурной группой N(H)/H, а гр Y-* В— расслоение со слоем G]K и структурной группой N (К)/К. Рассмотрим канонические левые действия группы G на пространствах X и У, орбитами которых являются соответственно слои расслоений g и q, см. 1.1. Пусть Map0 (g, г]) — множество всех эквивариантных отображений X-^-Y над В (т. а эквивариантных отображений, коммутирующих с проекциями на В). Постройте такое расслоение Map0 (g, q) над В со слоем (G/K)H и структурной группой' N (H)/HxN (КуК (действующей эффективно), что Г (Map0 (g, г])) = = MapG(g, q), где Г — функтор сечений и равенство множеств устанавливается каноническим соответствием.
Пусть Za действует на сепарабельном метрическом пространстве X размерности п. Покажите, что X допускает эквивариантное вложение в пространство Рзл+2, на котором действие группы Za меняет знак первых п+1 координатах и оставляет без изменения последние 2п+1 координат.
Пусть X—тотальное пространство главного G-расслоения над В. Рассмотрим X как (левое) G-пространство, а Х->В —как проекцию на пространство орбит. Пусть, далее, Н a G—-замкнутая подгруппа и У— пространство орбит //-действия иа X. Покажите, что индуцированное отображение Y В является проекцией ассоциированного //\О-расслоения, где H\G— пространство правых смежных классов группы G по подгруппе Н и структурная группа G действует на H\G правыми сдвигами.
Пусть р: W -> В — главное G-расслоение, и пусть А и Л'—два правых G-пространства. Следуя §2, зададим на Ах® и A'xW G-действия. Покажите, что переход к пространствам орбит устанавливает взаимно однозначное соответствие между эквивариантными отображениями 1р: AxW -* A' xW, коммутирующими с проекциями иа V/, и отображениями ip': Ах gW -* А' X GW над В. Если, кроме того, А локально компактно, то покажите, что экспоненциальный закон устанавливает взаимно однозначное соответствие между вышеописанными отображениями ip и отображениями 1р": Й7 -> Мар (А, А') (где G действует иа Мар (Л, Л') посредством формулы (g (/)) (а) = f (<zg) g-1) и что теорема 2.6 задает взаимно однозначное соответствие между такими отображениями и сечениями ip ассоциированного расслоения Мар(Л, А'')ХС® -*В. Используйте это для того, чтобы дать другое доказательство теоремы 2.7. (Указание. Переходя к теореме 2.7, положите G = SxT и W = A.)
Пусть X—некоторое G-пространство и Н a G — замкнутая подгруппа. Покажите, что G-пространство ОХцХ эквивалентно G-пространству (GlH)xX с диагональным G-действием.
Глава III
ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДЕЙСТВИЙ
КОМПАКТНЫХ ГРУПП
В этой главе мы изучим взаимоотношение между гомологиями тотального пространства, пространства орбит и множества неподвижных точек действия конечной группы. Основным средством изучения связи тотального пространства с пространством орбит является трансфер, представляющий собой гомоморфизм одной гомологической (или когомологической) группы в другую и направленный навстречу гомоморфизму, индуцированному проекцией на пространство орбит. Что же касается множеств неподвижных точек, то здесь основными инструментами являются точные последовательности Смита, возникающие при изучении действий конечных циклических групп простого порядка.
Изложение будет вестись наиболее элементарным из всех возможных способов. В последующих главах мы вернемся к этой тематике и, предполагая у читателя более глубокое знание алгебраической топологии, получим более сильные методы исследования указанных связей.
Мы начнем с изложения теории Смита и понятия трансфера для симплициальных действий на абстрактных симплициальных комплексах. Этот материал достаточно элементарен для того, чтобы быть включенным в начальный курс теории гомологий, и мы верим, что он должен присутствовать в инструментарии каждого тополога.
В §§ 6 и 7 мы используем (как это сделал Смит) метод Чеха, позволяющий распространить эти результаты на более широкий класс пространств.
Последние три параграфа содержат несколько экскурсов в смежные области, причем каждый из них использует теорию, развитую в первых семи параграфах. В § 8 содержатся результаты Смита и Милнора о группах, свободно действующих на сферах. В § 9 изложена теорема Ньюмена в интерпретации Смита, утверждающая, что действие компактной группы Ли на многообразии не может иметь равномерно малые орбиты. В § 10 изложены теоремы типа Смита о действиях торов.
Симплициальные действия
Условимся о терминологии и обозначениях, следуя в основном Спеньеру [1]. Под симплициальным комплексом К мы понимаем абстрактный симплициальный комплекс; таким образом, К есть множество (возможно, бесконечное), в котором задано семейство непустых подмножеств. При этом элементы множества К называются вершинами, а указанные подмножества — симплексами, и требуется следующее:
любая вершина содержится в некотором симплексе;
любое непустое подмножество симплекса есть симплекс.
Непустое подмножество симплекса называется гранью этого симплекса. Симплициальное отображение одного симплициалыюго комплекса в другой —это заданное на множестве вершин отображение, переводящее симплекс в симплекс.
Каждому симплициальному комплексу К отвечает его топологическая реализация или полиэдр. Этот объект является топологическим пространством, обозначаемым через | К L Определение и свойства этой конструкции см. у Спеньер а [1]. При этом мы считаем, что в )/С | введена слабая топология, т. е. некоторое подмножество F тогда и только тогда замкнуто в |/< |, когда для любого симплекса s комплекса К пересечение F Q | s: замкнуто в I s I.
Барицентрическое подразделение (или первый производный комплекс) симплициального комплекса К есть симплициальный комплекс К', вершинами которого являются симплексы из К, а симплексами—множества (s0, ..., s„), где s/ —такие вершины комплекса К’ (т. е. симплексы из К), что после некоторого переупорядочения имеем s0 a s, с:... с: sn (т. е. Si — грань симплекса S/+1). Имеется канонический гомеоморфизм \К* ’^|Ад.
Пусть теперь дана дискретная группа G. (Мы почти всюду будем рассматривать конечные группы G.) Если G симплициально действует на симплициальном комплексе К, т. е. любое соответствующее преобразование является симплициальным отображением, то К называется симплициальным G-комплексом.
Рассмотрим следующие условия, накладываемые на симплициальный G-комплекс К.
Для любого g е G и любого симплекса s из К все точки множества sQgs неподвижны относительно G.
Если g0, ..., gn — элементы группы G, а (у0, у,, ..., ип) и (g^o- •••, №)-Два симплекса из К, то существует такой элемент g е G, что g и, = g, и,.
Очевидно, ни одно из этих условий не обязано выполняться. Например, ни одно из них не выполняется для циклической перестановки вершин двумерного симплекса, и условие (В) не выполняется даже для его барицентрического подразделения.
Заметим, что условие (А) эквивалентно условию
(А') Если у и gv лежат в одном симплексе, то y = gy.
Чтобы вывести (А') из (А), положим s = (g-1y, и) и увидим, что g тривиально действует на y = $Qgs. Чтобы вывести (А) из (А'), выберем у е s П gs и заметим, что тогда (и, gy) cz gs, так что в силу (А') имеем go = y.
Отметим, кроме того, что из (В) следует (А') и, следовательно, (А), так как, если у и go лежат в одном и том же симплексе, то (у, у) и (у, gy) являются симплексами в К, поэтому есть такое g* е G, что y = g'y и gy = g'y, и потому gy = g'y = y.
Предложение. Для любого симплициального G-комплекса К индуцированное действие на барицентрическом подразделении К' удовлетворяет условию (А). Если (А) выполняется для G-действия на К, то (В) выполняется для G-действия на К1.
Доказательство. Вершина s комплекса К' является симплексом s комплекса К, и если s и gs лежат в одном симплексе из К', то s есть грань симплекса gs (или наоборот). Но так как, очевидно, G-действие сохраняет размерности симплексов из К, то s = gs, откуда следует первое утверждение.
Предположим теперь, что К удовлетворяет условию (А). Справедливость условия (В) для К' докажем индукцией по п. Пусть (s0, sv ..., s„) — симплекс из К'. Изменив порядок, можно считать, что в К имеем s0 cz Sj cz ... cz 8п_г cz sn. Предположим, что (goSo, •••, gnSn)~тоже симплекс из К'. По предположению индукции найдется такой элемент gEG, что gsi=giSi при 0^ ^i<Ln. Действуя на симплекс (goso, . ...gA) элементом g-1, получим, что (s0, su ..., s^, g'sn) есть симплекс из К'; здесь g'=g"1gn- Так как симплексы st комплекса К расположены в порядке возрастания (или по крайней мере неубывания) размерностей, то s0 cz Sj cz ... cz «„-л cz g'sn. Но тогда sn_! c s„ Q g'sn, поэтому g' тривиально действует на s„_j в силу (А), и потому g* тривиально действует на всех s,, i<n. Так как g'=g~'gn, то giSt = gs; = gnSi для i<n. Поэтому gnSi = giSi для всех i. Q
Определение. Если /( — такой G-комплекс, что действие любой подгруппы группы G удовлетворяет условию (В), то G-комплекс К называется регулярным G-комплексом, а действие группы G —регулярным G-действием.
Итак, любое симплициальное действие становится регулярным при переходе ко второму барицентрическому подразделению. Следовательно, с топологической точки зрения предположение о регулярности не ограничивает общности.
Для регулярного G-комплекса К определим симплициальный комплекс K[G следующим образом. Вершины в K]G — это в точности орбиты u* = G(u) действия группы G па множестве вершин комплекса К, а симплексами комплекса KjG являются такие подмножества (ио, ..., у^, что (и0, ..., и„) — симплекс в К (это
означает, что существуют такие представители у; классов у*; при этом вовсе не требуется, чтобы все наборы представителей классов у* были симплексами). В этом случае говорят, что симплекс (у0, ..., у„) из К лежит над симплексом (у?, ..., у*) из KlG. (Заметим, что вышеприведенное определение имеет смысл для любого симплициального действия, но для нерегулярных действий мы будем использовать его крайне редко.)
Далее, если (yd, ..., и„) и (щ0, ..., щ„) —два симплекса из К над одним и тем же симплексом (у*, ..., y^) = ^We, ..., w„) из К/G, то в силу регулярности (щ0, .... wn^ = glptt, ..., vn) для некоторого geG. Следовательно, симплексы надданным симплексом из KlG образуют орбиту действия группы G на симплексах комплекса К.
Очевидно, что соответствие у >—► у* определяет симплициаль- ное отображение K-*KjG и, следовательно, непрерывное отображение | К I -*• | K/G ,', а соответствие G ( 5 ^-iyi)|~* 2 ^ (у‘) = 2 ^iUi определяет отображение | К |/G-> | KlG |, даваемое факторизацией
\К\Ю -^\КЮ\
Более того, в силу регулярности горизонтальная стрелка является взаимно однозначным соответствием. Далее, отображение | К | -► | KlG । сюръективно, и из определения слабой топологии (Спеньер [1]) следует, что оно наделяет \KlG\ фактортополо- гией (это верно для любого сюръективного симплициального отображения). Отсюда следует, что горизонтальная стрелка является гомеоморфизмом \K\)G^j KlG\. Кроме того, из регулярности (на самом деле из (А)) следует, что 1 KG ; = | К\°, где К0 — подкомплекс в К, состоящий из всех симплексов, поточечно неподвижных относительно G.
2. Трансфер
Пусть G —конечная группа, К — регулярный G-комплекс, а С (А) — комплекс ориентированных цепей на К (см. Спеньер [1]). Тогда на С (А) индуцируется G-действие вида g[y0, . ••, v»] = = Но, • • ■ > gunY поэтому С (А) является модулем над групповым кольцом ZG группы G (элементы этого кольца суть формальные суммы 2 ngS с Целыми ng\ Норма а е ZG есть по определе- geG
нию сумма всех элементов группы G, т. е. о= ^ g, при этом geG
для любой цепи сеС(/() имеем ac = ’^1gc. Образ оС (А) с: СК гомоморфизма а: С(А)-*С(А) есть подкомплекс.
Аналогично, если La К — подкомплекс, инвариантный относительно действия группы G, то G действует на С (К, Ц = = C(K)/C(L) и оС^К, Ц является подкомплексом в С (К, Ц.
Пусть л: К-*KlG — каноническое симплициальное отображение. Индуцированное им цепное отображение С^К, Ц->- ->■ С (K/G, L/G) обозначим тоже через л.
Лемма, kei {о: С (К, L^C^K, Т)} = кег{л: С^К, L)^ -*С^Ю, L/G^.
Доказательство. Пусть s —симплекс из K]G, и пусть Sj, ..., s„ —симплексы из К, лежащие над s. В силу регулярности мы можем ориентировать s и s, так, что л: s,->-s сохраняет эти ориентации.
Так как {х^ ..., s„} есть орбита G-действия, то n = |G|/[GsJ, где | GI обозначает порядок группы G. Очевидно, что достаточно ограничиться лишь цепями с = 2 ПА- Тогда лс = (2 ni) 5ь так что лс = О тогда и только тогда, когда 2 п‘ = ®- Заметим также, что go (с) = о (с), и так как G переставляет s, транзитивно, то найдется такое целое т, что ос = m-^1si. Суммируя коэффициенты в обеих частях этого равенства), получаем |G|2n« = тп = = m\G\!\ G$1|.
Следовательно, tn = \GS1\^1nu и ос = 0 тогда и только тогда, когда т = 0 или, эквивалентно, ^щ = 0. |
(Заметим, что при замене кольца Z произвольным кольцом А лемма 2.1 будет справедливой при условии, что | G ] не является делителем нуля в А.)
Из 2.1 следует, что существует канонический цепной изоморфизм
оС(К, Ц^С(К, ЦМо = С(К, L)/kern^C(K/G, L/C), так как л, очевидно, эпиморфно. Композиция ц: C(K/G, L/G)^- — ■оС^К, ЦссС(К, Ц изоморфизма, обратного к этому, с включением с* = лс >—* ос индуцирует гомоморфизм
Ц*: Н^КЮ, L/G)^H(K/L), называемый трансфером. Разумеется, л индуцирует отображение л*: Н(К, Ц-*- Н (KlG, L/G). Заметим, что для с* = лс имеем лц (с*) = ло (с) = i G | л (с) = IG |с*, так как л°£ = л. Кроме того, по определению рлс = ас. Таким образом,
л^и* = IG Н№, LlG^H<K!G, LjG\
^ Ц*л* = о* = 2 g^: Н (К, L) -> Н (К, Ц.
Можно определить р для любой группы коэффициентов, обычным образом тензорио помножив группу цепей на группу коэффициентов, и формулы (2.2) останутся справедливыми и в этом общем случае.
Заметим также, что образ отображения р в точности состоит из цепей, неподвижных при действии группы G. Следовательно, для индуцированного G-действия на гомологиях имеем imp* с <= Н (К, L)6. Очевидно, что ограничение л* на Н (К, L)a удовлетворяет равенству
) р*л* = |О|: Н^К, Ца^Н^К, L)a.
Вместе с (2.2) это влечет следующую теорему.
Теорема. Пусть Л. —поле, характеристика которого взаимно проста с i G । или равна нулю. Тогда л*: Н (К, L; Л)с-*- ^H(K/G, UG; Л) и р*: H<K]G, ЫО\ Л)^Н(К, Ц N)G суть изоморфизмы. Кроме того, ядро гомоморфизма л*: Н (К, L; Л)-»- -^H)KIG, ЫО; Л) совпадает с ядром гомоморфизма о... g
Обобщим вышеизложенное, рассматривая подгруппу Н группы G и диаграмму
ККKiH-iS-KieKiH-iS-Kie
К
К
KiH-iS-Kie
KiH-iS-Kie
симплициальпых отображений. (Мы не требуем, чтобы подгруппа Н была нормальным делителем в G.) Как и раньше, обозначения ло, л/7 и KqiH используются и для индуцированных цепных отображений. Положим ол = У, h и оо = 2 К
heHgea
Определим цепное отображение рода: C^K/G, ЫС)-»- С (К/Н, ЫН) как отображение, замыкающее до коммутативной диаграмму
С да, LlG)—^-C{K/H, ЫН)
ПаС (К, L) aHC(jK, L)
поэлементно имеющую вид
Ло^(с) 1(с')о о (с) >-* Он Ы)
где с' = у gjCi, a {gj — семейства представителей правых смежных классов G по Н-
Далее, л0/н (лн (с')) = л0 (с') = mnQ (с), где m^G [/[ Н |. Таким образом, имеется естественный гомоморфизм — трансфер
(ц0/„)Д Н(№ LIG^H^KIH, L/H},
для которого
(ло/„), (ц^)* = [ G |/| Н |: Н кКЮ, LlG> -> Н W, L/G)
для любой группы коэффициентов.
Замечания. В приведенной общности трансфер был описан Флойдом [5] и Коннером [1], см. также Флойд [10] и Б редон [13L Ранее трансфер был определен для накрытий Экманом [ 1, 2] и Ляо [ 1 ], см. также С т и н р о д и Эпстейн [lj.
Эти результаты легко переформулировать для групп когомологий. Так, для любой группы коэффициентов А отображение ц индуцирует коцепное отображение Нот (ц, Л): Нот (С (К, L), Л) -> -> Нот (С (K/G, LlG), Л) и, следовательно, гомоморфизм групп когомологий ц*: Н* (К, Ц А)^- Н* (K/G, L/G; Л). Аналоги формул (2.2) имеют вид
р*л* = (лц)* = IG |,
л*р* = (цл)* = а* = ^ g*.
Справедлив также очевидный аналог теоремы 2.4. Аналогично очевидным образом дуализируется обобщение ц0/// гомоморфизма ц.
Отметим также естественность трансфера. Это означает, что если f: (К, L^-^-^K', L') — эквивариантное симплициальное отображение, индуцирующее отображение f: <KjG, L/G)-+ -^(K/jG, L'/G), то диаграмма
Н (K/G, LlG^HUClG, L'/G)
H^L) H^K^L')
коммутативна. Очевидно, это справедливо уже для цепей, так как р/ (лс) = рл/ (с) = of (с) = f (ас) = /рл (с). Аналогичные утверждения справедливы также для общего случая трансфера (2.5) и для когомологического случая.
Преобразования простого периода
Здесь мы сосредоточим свое внимание на мультипликативной группе G простого порядка р и будем изучать лишь когомологии с коэффициентами в Zp. Пусть К — регулярный G-комплекс. Для простоты обозначений вместо Д/G мы пишем просто К* и отождествляем К?(G с его (гомеоморфным) образом в /(*.
Пусть g - фиксированный образующий группы G. В групповом кольце ZPG рассмотрим элементы о = 1 + g + .. .+ gp-1 и т = 1 — g. Так как gp=l, то от = 0 = то. Так как мы рассматриваем всё над полем Zp и так как (—1)!'^РТ^=1 modp, то о= = тр-1. В частности, при р = 2 имеем а = т.
Для р = т‘ положим 1б = тр‘, так что т = б и а = т.
Пусть L с К — инвариантный подкомплекс. Заметим, что LG=L(\KG. Рассмотрим цепные подкомплексы рС(К, L; Zp) в С^К, L; Zp) для каждого р = т', l^isgp — 1. Областью коэффициентов всегда будет служиib поле ZP; оно обычно не будет фигурировать в обозначениях, за исключением тех случаев, когда это желательно подчеркнуть.
Основным результатом этого параграфа является следующая теорема.
Теорема. Для любого p = V, l^j^p— 1, последовательность цепных комплексов (с коэффициентами в Zp)
0->рС(7<, L)®C<KG, LG)^C(K, Ц-^-рС^К, L)^0
точна. Здесь I —сумма вложений, а р задается формулой с>—>рс.
Доказательство. Очевидно, достаточно рассмотреть лишь те n-мерные цепи, которые целиком лежат в орбите какого- нибудь симплекса s из К, не лежащего вЕ При этом возможны два случая; либо s лежит в KG, либо нет. Для seK6 имеем ts = 0, так что ps = 0 = ps, и все доказано.
Если же s не лежит в KG, то п-мерная цепь в G(s) имеет вид 2 n.-g's, ni — Zp, иоднозначно определяется элементом ^nigt группового кольца X = ZPG. Поэтому достаточно установить точность последовательности
О-> рА-Д А-Т. рЛ->0.
С этой целью заметим, что все ее члены являются Zp-векторными пространствами и что i мономорфно, а р эпиформно. Поэтому достаточно установить равенство dimрЛ +dimрЛ = dimA = = р, где dim —размерность Zp-векторного пространства. Рассмотрим подпространства т‘А, 1 ^ci^p— 1. Ядро оператора т: Л-^Л состоит из элементов с одинаковыми коэффициентами, и, следовательно, оно одномерно и порождается элементом o=l+g + ... . .. + gp-1. Таким образом, dimxA = dimA—1. Но для всех i имеем ker т = Zp<J cz т'Л, так как о = тр”1 = т'тр”‘-1. Поэтому, более общо, dimT/+1A = dimт(т'Л) = dimT'A—1. Так как dimA = p, отсюда следует, что di m т'Л — p — i. g
Определение. Для р = т‘, X^i^p — X, положим
№<К, L; ZP) = H<pC<K, L; ZP)).
Эта градуированная группа называется специальной гомологической группой Смита.
Замечание. Важно иметь в виду, что мы использовали группу рС (К, L; Zp), а не группу рС (К, L) ® Zp.
Обычным образом, короткая точная последовательность из 3.1 индуцирует длинную точную гомологическую последовательность.
Теорема. Для р = т;, l^is^p—1, имеется точный треугольник (коэффициенты — из поля ZP)
HkK.L^
.<*
НЦК, Z) -^*я? (К, L^H^K6, Le)
где степень гомоморфизмов ц и р* есть 0, а степень гомоморфизма 6* есть —1. g
Эти последовательности (треугольники) называются последовательностями Смита. Обычно они используются при р = о и р = т.
Хотя большинство групп Смита нельзя интерпретировать в более привычных терминах, для группы Н°(К, L) это сделать можно. С этой целью заметим, что отображение о: С (К, Ц Zp)-* ->■ С (К, L; Zp) обладает тем же ядром, что и композиция
с (К, L; ZP)^C(K, KG\jL; Zp) -С(К\ Ка (jL*; ZP)
(в противоположность § 2). Это следует из того, что если s— симплекс из К — L, то а(^П1^5) = (^дп1)<5(5) = 0 тогда и только тогда, когда или ^щ = 0, или s<^KG.
Следовательно, соответствие ос*-*л/(с) устанавливает изоморфизм образов этих отображений. Переходя к гомологиям, получим
На(К, L; ZP)^H(K\ KG UL*; ZP).
Более того, ясно, что диаграмма
0^тС(К, L)©C(KQ, LG) -> С(К, L) - оС(К, L) -^0 ^. Оф inci1л| »
0^C(KG UL*,L*) ->C(K*,L*)*-С(К*, KG\M-*)^Q
коммутативна и, следовательно, индуцирует гомологическую лестницу, которую мы здесь не приводим.
Обозначив для краткости рС (К, L; Zp) через С(р), заметим, что при р>2 диаграммы
0-^-С (т) © С <К°, LG) -> С (К, L) -а- С (а) - ■ О
1 тР'2©0| гР-2 I U1CI
ОС (а) © С (/<°, LG)->C(K, L) ^С(т) - -О
и
0->С(о)©С(К°, La)->C(.K, L) Т-С(т) --0
©пе1®1| !;ХР’2
0->С(т)©С(^, LG)-*C(K, L) °-С(о) —О
коммутативны. Возникающие гомологические лестницы приводят к установлению взаимосвязей между последовательностями Смита для р = о и р = т.
Заметим, что из (3.1) для всех /, 1^/^р, вытекает точность последовательности
0->оС)К, Ц-*т'С(К, LV-^C^K, L)->0.
(3.8)(3.8)Поэтому имеется точный треугольник
(3.8)
(3.8)
нАкла
^Чк.ь^нЧк,!)
где горизонтальная стрелка имеет степень —1, а остальные — степени 0.
Эти результаты очевидным образом переносятся на когомологии. Так, можно определить специальные когомологические группы Смита Н^К. L; Zp) =Н* (рС (/(, L; Zp); ZP) как гомологии ко- цепного комплекса Hoin(pC(/G L; ZP)ZPY (Мы используем здесь обозначения Спеньера [1], с. 306.)
Последовательность 3.1 дуализируется в точную последовательность коцепных комплексов, и переход к гомологиям дает точный треугольник Смита для когомологических групп
(3.9)(3.9)нЧк,ь)
(3.9)
(3.9)
H^K,L) ^H^K,L) ФН^К^
где гомоморфизмы /* и р* имеют степень 0, а гомоморфизм б* — степень © 1. Сходным образом дуализируется треугольник (3.8).
Изоморфизм аС (К, Ц ZpV^C(K*, KgGL*\ Zp) влечет изоморфизм.
ник, Ц Zp)^H4K*, KGUL*; Zpy
двойственный изоморфизму (3.4).'
Группы Смита естественны. Более точно, эквивариантное сим- плициальное отображение f: (К, L)-+(K', L') индуцирует гомоморфизмы групп Смита /*: Нр (К, L) -> № (К', L') и /*: Нр (К', L') -»■ -^Нр(К, Ly Очевидно, что эти гомоморфизмы коммутируют с гомоморфизмами в последовательностях Смита.
Более того, отметим (для удобства дальнейших ссылок), что если /о и /1 — эквивариантные симплициальные отображения (К, L^-* -+(K',L') пар регулярных G-комплексов, являющиеся смежными, т. е. для любого симплекса s из К (или из L) f0 (s) и fx (s) лежат в одном симплексе из К' (или из L'), то индуцированные цепные отображения /0, Д: С (К, Ц-*С^К', L') эквивариантно цепно гомотопны. Для доказательства этого упорядочим вершины комплекса KlG. Это упорядочение индуцирует упорядочение вершин любого симплекса s из К, и полученные упорядочения симплексов эквивариантны относительно G-действия на К. Теперь для s = [у0, .. ■, ул] с данным порядком вершин положим Ds =
= 5 (—!);[/оУо. •.., foy4. fiy» /1ул]. Очевидно, чтоОд-|-дО= 4 = 0
^fi-fo и что Dg = gD. (Это все верно, конечно, и для любой группы G, но будет использоваться лишь для рассматриваемого случая группы G простого порядка р.) Так как симплициальное отображение D эквивариантно, то Dp = pD для всех р = т' и, следовательно, D индуцирует цепную гомотопию между ограничениями /0 и К на подкомплекс рС(К, Ly Следовательно, смежные эквивариантные отображения /0 и fT индуцируют одно и то же отображение НР(К, L) -> Нр (К', L') для любого р (и аналогично в когомологиях).
Эйлеровы характеристики и ранги
Здесь мы применим развитую в § 3 алгебраическую технику для описания более явных связей между группами Н (КУ Н (Ка) и Н (К*), открытых Флойдом [3]. Как и в § 3, через К обозначается регулярный G-комплекс, где G — циклическая группа простого порядка р, а К* есть К/G. Областью коэффициентов гомологических групп является, как всегда, поле Zp- Через rk И, (К) обозначается ранг (т. е. размерность) Zp-векторного пространства Н, (Ку
Теорема. Пусть К — конечномерный регулярный G-комплекс, и пусть La К — инвариантный подкомплекс. Тогда для любого
б Г. Бредон
целого п^О и любого р = т', 1^ i ^ р — 1, имеем
гк НЦК, L)+ 2 гкНг(Ж L0^ 2 ткН^К, L\
В частности, если правая часть конечна, то такова же и левая часть, поэтому для всех i^n конечен и ранг rk Hi^K*, L*\JKa). Доказательство. Точность последовательности
Н?+ДК, L)^H?(K, L)®Hi(Ka, L^MK, L)
(из 3.3) показывает, что
Тогда имеемТогда имеемrk Н? (К, Т) + гкД,(№, L^rkH^xkK, ЦА-rk HtkK, L) (напомним, что р и р можно поменять местами) Положим ах = = rk Н, (KG, Lti\ bi = rk Hi kK, L), с, = rk ДГ <K, L), Ci = rk H? {K, L).
Тогда имеем
Тогда имеем
(4.2)(4.2)cn + an ^ C„+] + bn,Сл+1 4~ anVi ^ Сп^г + bn*i,
(4.2)
(4.2)
^л+2А-1 4~ ^л+2А-1 ^^ Cn^k 4~ bn+2k~l,CnA-2k 4“ Unvofc ^s CnA-2kV\ 4“ bn*2h-
Далее, если 2 bi бесконечна, то теорема тривиально верна
Предположим, что для i^n имеем bt < оо. Для n+2^^dimK имеем cn^kVY = 0, так что в последнем неравенстве обе части конечны. Отсюда следует, что и в предпоследнем неравенстве обе части конечны, и т. д. Следовательно, во всех неравенствах из (4.2) фигурируют конечные величины Сложив эти неравенства и приведя подобные, получим с А- 2а‘^2^‘> что и утвержда
лось. Последнее утверждение теоремы следует из того, что в силу
имеем Н-М*, L* \^ KG^ Н^К, Ц. |
Теорема. Пусть К — конечномерный регулярный G-комплекс, и пусть La К — инвариантный подкомплекс. Предположим, что rk Hi {К, L;ZP)<^, ы пустьхкК,М=^к—1УгкН£кК,Ь; ZP) - эйлерова характеристика пары (К, Ц. Тогда
ХкК, Ь)А-кр-^Х(К0Л^ = рхкК*, L*\
В частности, % (Ка, L0) = х 1^, Ц mod р.
Доказательство Дня начала отметим, что все эйлеровы характеристики определены. Из 4.1 следует, что rk Н {Ка, La) <Zco
и rk//(K*, L*U№)<oo. Из точности треугольника
H(K*,L*^
H(K*,LX)K6)^H(lXIKg,L*)~H№^
следует, что гкЩК*, Ь*)<.ж, что и требуется. Мы воспользуемся тем обстоятельством, что если
есть точный треугольник градуированных абелевых групп с deg/ = = 0 = degg и deg/t = —1, то x(S) = %(A) + x(C)- Этот хорошо известный факт следующим образом вытекает из того, что при переходе к гомологиям эйлерова характеристика не меняется (см. Спеньер [1], с. 225). Рассмотрим треугольник как цепной комплекс. Его гомологии тривиальны, и, следовательно, его эйлерова характеристика есть 0. Применительно к градуированным группам А, В, С это дает равенство х (S) — х (Л) — x(Q = 0, что и утверждалось.
Из точности первого треугольника следует теперь, что
Х^*, L^-хЛК*, L*UKOWX<KQ, LGY(1)
Полагая х (Р) = Х(^Р (К, Е)), из точности последовательности Смита (см. 3.3) при р = а получим, что
Х^К, Е) = х(о) + х(т) + х(А"с, LG).(2)
Аналогично из (3.8) получаем
Х(т)=х(т2) + х(о),
Х(т2) =х(т3) + х(у), (3)Х(тР"2) = х(тр-1) + х(ст).
Х(тр-1) = х(а).
Складывая (2) и (3) и приводя подобные, получим равенство Х(/(, Ц = РХ (а) + X (KG, LGY Используя (1) и тот факт, что х (сг) = = ХкК\ L*\jKG^ в силу (3.4), имеем х(К, Ц = РЬДК*» L*) — ~X(KG, LG)) тК°, Lc).|
б»
Замечание. Результаты этого параграфа и их обобщение на случай локально компактных пространств получил Флойд [3]. Дальнейшие обобщения дал Хеллер [2], см. также Суон [2].
Нетрудно доказать эти результаты, так же как и результаты следующего параграфа, используя вместо гомологий когомологии. Читатель, имеющий лишь начальное топологическое образование, может проделать это упражнение в качестве практикума по когомологиям.
Гомологические сферы и диски
Здесь мы применим результаты предыдущего параграфа к изучению частных случаев: действиям на гомологических сферах, дисках и ацикличных комплексах.
Теорема. Пусть G — некоторая р-группа (р — простое). Если К — конечномерный регулярный G-комплекс, являющийся Zp-гомологической п-мерной сферой (т. е. Н (К; ZP)^H(Sn; ZP)), то для некоторого г, -\^.r<ri, комплекс KG является Zp-гомологической r-мерной сферой (где г = — 1 означает, что KG пусто). При этом, если р нечетно, то п — г четно.
Доказательство. Так как любая р-группа разрешима1) (на самом деле она даже имеет нетривиальный центр), то в G имеется нормальный делитель G' je'. Так как F (G, K) — F (G/G', F(G', К)), можно, используя индукцию по порядку группы G, свести все к случаю циклической группы порядка р. В этом случае из 4.1 следует, что rk Н (KG) -С rk Н (К) = 2. Но случай rVH(KG) = \ невозможен, так как тогда х(№)=1^0, 2 mod р, что противоречит 4.3. Если р нечетно, то из 7ЛКс( = 7ЛКл modp следует, что п — г четно, g
Пара (К, L) называется Zp-гомологическим п-мерным диском, если Hi (К, L; Zp) = 0 для i^n и Нп(К, L; ZP)^ZP. Почти так же, как и теорему 5.1, но чуть более просто, можно доказать следующий результат.
Теорема. Пусть G —некоторая р-группа (р — простое), и пусть К — конечномерный регулярный G-комплекс, a L —его инвариантный подкомплекс. Если пара (К, L) является Zp-гомологическим п-мерным диском, то для некоторого г, — 1 $С гп, пара (KG, LG) является гр-гомологическим г-мерным диском. При этом, если р нечетно, то п — г четно, g
Теперь мы покажем, как устроить канонический изоморфизм Нп(К, L)^ Н r(KG, LG) в ситуации теоремы 5.2. Аналогичное возможно сделать и для теоремы 5.1. Мы сосредоточим наше внимание на случае, когда G есть циклическая группа порядка р.
*) И даже нильпотентна. — Прим, перев.
Сначала отметим, что композиция Нп(К, Ц^-Н^^, L)1*- .^Hn(K, L) есть в точности операция умножения на р, где р = т или р = о- Но элементы группы G действуют на Нп(К, L) тривиально, так как ZP не допускает автоморфизмов порядка р. Поэтому, очевидно, р индуцирует нулевое отображение Нп (К, L) -> ■^-НУК, Ц, так что /#р#=0.
Если г = п, то отображение НУК°, La) НУК, L) должно быть изоморфизмом В силу ТОГО, ЧТО Нп+1 (К, L)=0 по 4.1. Если же г <п, то из точности последовательности
О ЯС (К, Ц ^ Н„ (К, L) К Н» (К, L)
следует, что ц инъективно и, следовательно, р*=0 (так как t*p^=O). Аналогично в размерности п имеем р*=0. Следовательно, i*: НУК, L)^H„(K, L) — изоморфизм.
Анализ последовательностей Смита показывает, что
б*: Нрп(К, Ly~H^yK, Ц,б*: ЯС-1(Я, Е^Н^-УК, Ц,
6*: Н?+УК, Ц ~НЛК°, L°)
— изоморфизмы, где ц = р для четных п — г и г) = р для нечетных п — г (в последнем случае обязательно р = 2). Поэтому композиция
Нп(К, Ц^нук, Е)-Н^_УК, L^...
... ^н^ук, ь^нуку ьу
и представляет собой требуемый явный изоморфизм. На первый взгляд кажется, что этот изоморфизм зависит от того, выберем мы р = о или р = т. Но нетрудно проверить, используя (3.6) и (3.7), что в обоих случаях получается один и тот же изоморфизм.
Отметим, что в частном случае теоремы 5.2, при L = 0 и п = 0, из конечномерности и Zp-ацикличности комплекса К следует Zp-ацикличность (и непустота) комплекса KG, где G есть р-группа Для комплекса K*=KjG справедлив и более сильный результат.
Теорема. Пусть G — некоторая конечная группа и К — конечномерный регулярный G-комплекс. Если К ацикличен (над кольцом целых чисел), то KiG тоже ацикличен.
Доказательство. Сначала докажем, что для любого простого р комплекс К* Zp-ацикличен. Кроме того, ограничимся пока рассмоз рением р-группы G. Для нормального делителя
G'cG имеем K/G*«(/(/G')/(G/G'), и индукцией по порядку группы G всё сводится к случаю циклической группы порядка р. В -,том случае из 4.1 при р=о и любом п^О имеем Н„(К*, KG; Zp) = = //°(К; Zp) = 0. Так как комплекс К(! Zp-ацикличен, то К* тоже Zp-ацикличен.
В случае произвольной конечной группы G обозначим через Р ее силовскую р-подгруппу. Тогда в силу сказанного выше К/Р Zp-ацикличен. Из (2.6) следует, что композиция гомоморфизмов ‘H(K/G; Zp}-+ Н (К/P; Zp)-* Н (K/G; Zp) является умножением на iGI/l^i- Так как |G|/|P| взаимно просто с р и Ht/K/P; Zp) = 0 при t>0, то K/G Zp-ацикличен (уже для всех р).
Индуцированная короткой точной последовательностью 0->Z р- ?-Z-*Zp-*G последовательность Нп(К*; Z)-p-Hn(K*; Z)-*- -*Нп(К*; Zp) = 0 точна, поэтому Нп(К*; Z) —делимая группа. Но так как из (2.2) следует, что композиция Нп(К*; Z)->- -*Нп(К; Z) -*• Нп(К*; Z) (где Нп(К; Z) = 0) есть умножение на G , то Нп(К*; Z) = 0 при ц>0. g
Замечание. Теоремы 5.1 и 5.2 фактически доказал Смит [1]. Приведенные доказательства принадлежат Флойду [3], а рассуждения после 5.2 тесно связаны с методом Смита. Теорему 5.4 доказал Флойд [10].
Следующая теорема аналогична теореме 5.4, но условие конечномерности заменяется в ней условием на множества неподвижных точек, что обеспечивает более сильное заключение. Полезно рассмотреть частный случай свободного действия.
Теорема. Пусть К—регулярный G-комплекс, где G— конечная группа, и L — инвариантный подкомплекс. Если для данного простого р имеем Hi(Kp, Lp; ZP) = 0 для i^n и всех р-под- групп Р группы G (включая Р = {е}), то и Hi (К*, L*; Zp) = 0 для i ^ п. Если же это выполняется для всех простых р и, кроме того, Н, (К, L; Zp) = 0 при I ^ п, то Hi (К*, L*; Zp) =0 для i ^ п.
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 5.4, достаточно рассмотреть лишь случай, когда G есть циклическая группа простого порядка р, и мы дадим доказательство лишь в этом случае. Выберем к^п и предположим, что доказано равенство Нр (К, L) = 0 при i < к и р = о или р — т. Из точности последовательности Смита д = Нк (К, К/ -у Нр (К, L)-*- Hk_ i (К, L) ® ©Hk_x (KG, LG^ = 0 следует, что НР(К, L) = 0. Поэтому, индуктивно, Hi(K*, К° U L*)^H° (К, L) = 0 при Так как по аксиоме вырезания Hi(K°\jL*, L*)^Hi(K°, La) = 0 при t^n, то из точности последовательности Hi (KG U L*, L*) -*■ Ht (K*, L*) -*■ ->Н{(К*, KG (J Z.*) следует, что Н,(К*, L*; ZP) = 0 при i^n.
Теперь, обычным образом используя иплуктвные аргументы, легко показать справедливость теоремы для всех р-групп G.
В общем случае доказательство проводится точно так же, как доказательство соответствующего утверждения в 5.4, и мы не будем его повторять, g
Теория Чеха и G-покрытия
В следующем параграфе мы покажем, как, используя чеховские гомологии и когомологии, обобщить результаты предыдущего параграфа на действия на довольно большом классе топологических пространств. В этом параграфе мы изложим необходимые сведения о теории Чеха и покрытиях G-пространств. Мы считаем, что читатель знаком с построением теории Чеха, например, по книге Стинрода и Эйленберга [1]. Отметим, что, за единственным исключением, мы будем работать лишь с самоиндекси- рованнымих) открытыми покрытиями: это упростит обозначения и позволит нам избежать логических трудностей. Все пространства предполагаются паракомпактными и хаусдорфовыми.
Прежде всего мы опишем подходящие типы открытых покрытий паракомпактного G-пространства X; при этом на протяжении всего параграфа G предполагается конечной.
Если И — открытое покрытие пространства X, то для^еС семейство gll = \g (U) | U е М^ — тоже открытое покрытие. Если gll = И для всех g£ G, то 11 называется инвариантным покрытием. Для двух покрытий II и Д'3 покрытие 11 П Д' = {U П V | U е И, Ее Д'} вписано, как в 11, так и в Т'. Очевидно также, что П ^ —инваРиантиое покрытие, вписанное в И. Кроме geG
того, эю покрытие является локально конечным, если таковым является II. Таким образом, для паракомпактного X локально конечные инвариантные покрытия кофинальны) в семействе всех покрытий пространства X.
Назовем пространство X финитным, если оно удовлетворяет «условию Суона», т. е. если в любое его покрытие можно вписать конечномерное подпокрытие (размерность покрытия —это размер
ность его нерва, т. е. число, на единицу меньшее максимального числа (нетривиально) пересекающихся элементов покрытия). Оче
то dim Р| gllто dim Р| gll(м +1) C|-l. В(м +1) C|-l. Ввидно, что если dimiZs^n,
то dim Р| gll
то dim Р| gll
(м +1) C|-l. В
(м +1) C|-l. В
IS6EG .
частности, если X финитно, то конечномерные инвариантные покрытия кофинальны в семействе всех покрытий. Отметим два
Э Покрытие {t/a} называется самоиндексироваиным, если при а Ф р имеем иаФи^. — Прим. перед. ,
важных класса финитных пространств: компактные пространства и конечномерные пространства.
Пусть U — локально конечное инвариантное покрытие пространства X, и пусть / = У и | U е 11\ — подчиненное этому покрытию разбиение единицы. Тогда / называется G-разбиением единицы, если fgU (gx) = /у (х) для всех g, х и U.
По любому разбиению единицы f=\fuV подчиненному инвариантному покрытию И, можно построить G-разбиение /', полагая Vu(x) = -Q-^£U(Bx).
Действительно,
иg и8
и
fhu (hx) = yip 2 fghU (ghx) = yly 2 fg'U (g'x) = fu (x),
88'
что и утверждалось.
Пусть теперь К(#) —нерв инвариантного покрытия II пространства X (т. е. К (#) — симплициальный комплекс, вершинами которого являются элементы U ^г=ф покрытия #, а симплексами—такие наборы (t/0, ..., Un), что Д0П • ■• ^\ип=/=ф)- Тогда K(ZZ) обладает канонической структурой G-комплекса. Пусть f = \fi-' есть G-разбиение единицы, подчиненное покрытию ZZ, и пусть /: Х->| К (#) । — ассоциированное отображение вида / (х) = = 2 fu (x) U• Тогда f эквивариантно, так как f (gx) = ^fu (gx)U = ии
= 2 Ьи (gx) gU^^fu (X) gU = g^fu (X) U = gf (X).
иии
Рассмотрим симплициальный комплекс L и непрерывное отображение k; Х-фЦ. Обозначим через к 'L покрытие пространства X, элементы которого суть прообразы открытых звезд вершин полиэдра |L|. Если L есть G-комплекс и к — эквивариантное отображение, то k^L — инвариантное покрытие. Кроме того, если L удовлетворяет условию (А') § 1, то ему удовлетворяет и нерв K(k"'L). Аналогично регулярность G-комплекса L влечет регулярность нерва K(k-XL). (Для доказательства этого факта полезно переформулировать для нерва покрытия условия (А') и (В) § 1 непосредственно в терминах покрытия, см. ниже.)
Возвращаясь к эквивариантному отображению Д _Х->-1 К (#)|, отметим, что /^К^) вписано в 2/ (на самом деле рхК(22) есть покрытие открытыми множествами U' = (x\fu (х)0} cz U). Пусть
L — второе барицентрическое подразделение комплекса К (ZZ);
отметим, что полиэдры ]Ц и J К (2Z) j идентичны. Тогда Д'й— инвариантное покрытие, вписанное в #, и его нерв К (J~'L) наделен канонической структурой G-комплекса. Кроме того, так как конечномерность К(#) влечет конечномерность L, то конечномерность 11 влечет конечномерность Vх (Q-
Инвариантное покрытие 11 назовем G-покрытием (иногда употребляют термин примитивное покрытие), если его нерв удовлетворяет условию (А) § 1; иными словами, выполняется следующее условие. . '
Для любых U ell и geG из U ()gU ^ ф следует, что U = = gU.
Назовем G-покрытие И регулярным, если его нерв — регулярный G-комплекс, т. е. если для любой подгруппы Н группы G выполнено следующее условие.
Если для элементов Uo, .... Un покрытия U и элементов й0, .... й„ группы Н имеем и0П ... fl Un ф ^h0U0 Q ... \\h„Un, то найдется такой элемент heH, что hU^hiUt для всех i — = 0, 1, ..., п.
Из сказанного выше вытекает следующий результат.
Теорема. Пусть X — паракомпактное G-пространство, где G —конечная группа. Тогда семейство всех локально конечных регулярных G-покоытий кофинально в семействе всех покрытий пространства Х.Если, кроме того, X финитно, то в семействе всех покрытий кофинально также семейство всех конечномерных регулярных G-покрытий, g
Для G-покрытия 11 пространства X обозначим через Tl]G множество орбит G-действия на U (т. е. U е И определяет элемент U' ^U)G и U' = V' тогда и только тогда, когда U = gV для некоторого g). Через Ио обозначим покрытие пространства Х/G множествами вида U* = G (U)/G, индексированное, однако, элементами множества MfG (таким образом, если Gt,U) = G(V), но для любого g имеем U ^gV, то U* и V* считаются различными элементами покрытия Hq). Так как индексированное покрытие и ассоциированное с ним самойндексированное покрытие вписаны друг в друга, то индексация не влияет на группы гомологий или когомологий. Очевидно, что таким путем можно получить любое покрытие ^\Р пространства X]G, так как = (л-1^) о, Если 2/ — регулярное G-покрытие пространства X и Uo, ..., Un — такие его элементы, что Щ П---0^п = ф, то найдутся такие gt е G, что g0U0 0 • • • П gnUn Ф Ф', откуда в силу регулярности покрытия 11 следует, что орбита симплекса (^0Ф> ■■•> gnUn) в нерве К (&) однозначно определяется симплексом ((7о, ..., U„) нерва К (#а)- Итак, мы доказали следующий факт.
Предложение. Если И — регулярное G-покрытие пространства X, то соответствие {gU\ge(j\-*U*=G ФМО задает изоморфизм симплициальных комплексов К (12)/G К (^о)- Ц
Мы нуждаемся еще в нескольких замечаниях относительно G-покрытий. Пусть 11 и Дс —два таких G-покрытия, что ЛР вписано в 11, Мы утверждаем, что существует1) эквивариантное вписывание р: ^У-^-М; это означает, что V czp(V) и p(gV) = gp (V). Чтобы доказать это, выберем по представителю каждой орбиты G-действия на V и на этих представителях определим р произвольно (но так, что Vc2p(V)). Если gV=g'V, где V — один из этих представителей, то (g'g'p (V) П Р (V)) гэ (g-'g'V) П V = V ^ ф, так что gp (V) = g'p (V). Следовательно, можно эквивариантно продолжить р на всё Д°, полагая
P(gV) = gP(V).
Итак, множество G-покрытий, частично упорядоченное посредством эквивариантных вписываний, является направленным множеством. Для множества же просто инвариантных покрытий это, как легко видеть, неверно. По этой причине мы в качестве основного понятия используем G-покрытия,а не инвариантные покрытия.
Разумеется, вписывание р; *У-*11 определяет симплициаль- ное отображение р; К СУ) ->К (И), которое будет эквивариантным при эквивариаитности р. Напомним также, что любые два вписывания р0, рр ЛУ-*11 индуцируют смежные отображения р0 и рх (см. Стинрод и Эйленберг [1], с. 292).
Напомним теперь определение чеховских гомологических и и когомологических групп. Для удобства мы ограничимся рассмотрением таких пар (X, Д), что X — паракомпактное пространство и Д —его замкнутое подмножество. Для открытого покрытия 11 пространства X обозначим через К (И1 Д) подкомплекс комплекса К (11), состоящий из таких симплексов (Go, ..., Un), что Go П • • - П Un П Д Ф Ф, а через К (111 Д) обозначим соответствующий полный подкомплекс в К (11), состоящий из всех тех симплексов (Uo, ..., Un), что и,0Афф и иоО...оип5ь Ф.
Если р; Д^—-2Z — вписывание, то индуцированное симпли- циальное отображение р; К СУ) -*■ К (11) переводит К СУ I А) в К (И | Д) и КСУ’Л) в К(11\А). При этом любые два таких вписывания р, q: ^У -* И индуцируют смежные отображения р, q1. К СУ I А) -* К (111 А) и К (^У । Д) -► К (И I Д). Таким образом, имеются корректно определенные гомоморфизмы Н (К СУ), К СУ I Д)) -* Н (К (11), К (И Д)) и Н* (К (11), К (11\ Д)) -*Н* (К СУ), К(ДА|Д)). Аналогичным образом вместо К везде можно ставить К. Поскольку А замкнуто, то определить
9 Вписывание р: V ^11— это соответствие, сопоставляющее каждому \1 гЧГ такое p^eZZ, что Vcp(V). Ясно, что такое р (V) выбирается, вообще говоря, неоднозначно, поэтому для У, вписанного в 11, имеется много вписываний.—Прим, перев.
чеховские гомологии и когомологии можно так:
Н(Х, Д) = 11тЯ (K(2Z), К (2Z | Д)),
Й*(Х, Д) = НтЯ*(К {11), ¥фИ\А)),
где пределы берутся по направленному множеству всех покрытий 2Z (или, разумеется, по кофинальному подмножеству этого множества)х). Покажем теперь, что при использовании К вместо К мы получим те же самые группы. Это можно доказать стандартным способом, установив кофинальность множества тех покрытий, для которых К = К, что сделано в книге Стинрода и Эй Ленберга [1] для компактных пространств. (Нетрудно, однако, обобщить их доказательство на случай паракомпактных пространств, и это хорошо известно.) Однако этот способ не совсем подходит для наших целей; более удобно вывести желаемый результат из следующей леммы, позволяющей вписывать «подходящие» покрытия для всех подпространств A cz X одновременно и «эквивариантно».
Напомним, что вписывание р: ^-*27 покрытия ^ в покрытие 11 называется звездным, если из V f| V Ф ф следует, что V' с. р (V) (см. Дугунджи [Р, с. 167). В этом случае говорят также, что звездно вписано в 11.
Лемма. Пусть И — некоторое покрытие пространства X и р: Ф"-v 11 — звездное вписывание. Тогда для любого подмножества А пространства X образ отображения р: КСЧ^Д)-»- ->-К(#|Д) содержится в К(#|Д). Если, кроме того, X — паракомпактное G-пространство и 11 —его G-покрытие, то существует G-покрытие Ф", допускающее эквивариантное звездное вписывание р-. ^-*11.
Доказательство. Если (Уо, ..., У „) —симплекс из К(Т|Д) (т. е. М^Афф и УоП-.-П V пФ ф), то Уос:р(У/) для всех I. Поэтому р (Уо) П • • • А Р (ЕД о Уо о Уо А А =^ ф и, следовательно, (р(У0), •• •• р (УД) — симплекс из К (# ' Д).
Докажем последнее утверждение. Покрытие И без ограничения общности можно считать локально конечным. Пусть / есть G-разбиение единицы, подчиненное покрытию iZ, a f: X -Л К (#)| — ассоциированное с ним эквивариантное отображение. Пусть L — второе барицентрическое подразделение нерва К (И); положим ^^-'L. Тогда ^ является G-покрытием, которое, как известно, звездно вписано в 11 (см. Дугунджи [1], с. 167— 173). Существование эквивариантного звездного вписывания следует из рассуждений, приведенных после 6.2; более точно, на пред-
Ч Более подробно о чеховских когомологиях см. Дольд [1], с. 343 и далее, — Прим, перев.
ставителях V G-орбит на ^ выберем р так, чтобы для любого V* условие V" П V ¥= ф влекло включение V а р (V), и продолжим р на всё V, полагая р (gV) = gp (V). |
Нам понадобится также следующая алгебраическая лемма.
Лемма. Пусть D —некоторое направленное множество и (Аа, /а.р} ы (Да, ga,p} —обратные системы абелевых групп над D (так что заданы гомоморфизмы /а,р: Др->Да и ga,f,: В^-*Ва для 0>а). Пусть [6а: Аа-*-Ва) — гомоморфизм обратных систем (т. е. ga,^^ = ^afa,^)- Предположим, что для любого индекса а имеется такой индекс 0>а а такой гомоморфизм ha$: B^-*Aa, что диаграмма
коммутативна. Тогда индуцированное отображение 9: НтДа-> —>limBa является изоморфизмом.
Аналогичное утверждение (с поворотом стрелок) справедливо и для прямых пределов прямых систем.
Доказательство. Пусть Ка = кет 8а и Са = сокег 9а, так что для любого а последовательность 0-> Ка-> Аа-> Ва->Са-^-0 точна. Если 0 таково, что 0>а и имеется гомоморфизм На^, то, очевидно, индуцированные отображения К^-^-Ка и С6-*Са тривиальны, так что имеем диаграмму
0 —> Кр —► Др —> В^ -> Ср —> 0о] |11°
0 —► НаДа —*" Да ~Са —*- 0
Будем писать 0>а, если как Кр-*Ка, так и Ср -> Са — нулевые отображения. (Так как для любого а найдется 0^>а, то, в частности, lim/<p = 0 = limCp. В случае прямых систем отсюда вытекает требуемый результат, так как функтор прямого предела точен. Эго верно также в случаях, когда точен функтор обратного предела; например, когда Аа и Ва есть конечномерные векторные пространства над полем. Этот случай достаточен для наших целей, однако мы все же дадим доказательство в самом общем случае. Оно взято из работы Б ре дон а [16], с. 12.)
Если а = (аа) е Игл Аа (т. е. fa, pap = aa для всех 0>а), и если 6a = 0, то для всех 0 имеем а^еК^, и для 0>а имеем Oa = fa, pap = 0, так что а = 0 и, следовательно, 6 есть мономор-
физм. Пусть теперь Ь=ЦЬа) е ИтВа. Если р^>а, то ba = ga. pbp = = 0а (ФА для некоторого ^ о^ е Аа. Выберем для каждого a такое а„, и если Р^>а, то положим aa = fa, pap. Определение корректно, так как при у>Р>а имеем
6р (fР, Y (^) ^р) = gp. v®Y (^v) 0p^P ” gp. V^Y ^p = О,
и потому 0 = fa,&(h,s^-a^ = fa.N^--U,6^ п0 определению отношения P^>a. Кроме того, для Р>а имеем 6а(аа) = = 0afa, р (й₽) — ga. р 0Р (ap) = ga. р^р = ^а, И ДЛЯ Любого у>« (ВЗЯВ Р > у) имеем fa, v (av) = /«. y^y. Р (flv) = /с=.р (а@) = я«. Следовательно, a = (aa^ определяет такой элемент группы ИшДа, что 9(a) = b. g
Заметим теперь, что из 6.3 и 6.4 следует, что для паракомпакт- ного X и замкнутых подмножеств А, В из X, взятых для всех покрытий 21, включения пар (К (# | Л), К (# I В)) -> (К (# | Л), К(#|В)) индуцируют изоморфизмы предельных гомологических и когомологических групп этих симплициальных пар,
Н (Л, B) = HmW(K(2Z| Л), К(#|В)),
Н* (А, B) = lim^* (К(^| Д), К(^|В)).
f Здесь использован тот очевидный факт, что Н (Л, В) канонически изоморфна группе lim Н (К (21 | Л), К (# | В)) и аналогично для когомологий, так как А и В —замкнутые множества; см. Стинрод и Эйленберг [1], с. 303.)
Важность для нас лемм 6.3 и 6.4 обусловлена следующим предложением и его следствиями 6.6 и 6.7.
Предложение. Пусть И — покрытие G-пространства X, и пусть АсХ — замкнутое инвариантное подпространство. Тогда существует ЧТ, вписанное в 'll и такое, что К (^l Лс) с: cK^H^cKC^H6) и К (^° | Х°) с К (Чф0 = К (ЧТ | Хоу
Доказательство. Можно считать, что И есть 0-покрытие. Первое включение означает, что если V ПА°=^ф (где V е е У), то gV = К для всех g, что по определению всегда выполнено для 0-покрытий. Второе включение означает, что если V П Q А^ф и gV = V для всех g, то Vr\AG=fcQ. Равенство означает, что У?\ХсФф тогда и только тогда, когда gV = V для всех g. Для х е X — Х° обозначим через Ух маленькую (содержащуюся в некотором элементе покрытия 21) окрестность точки х, инвариантную относительно С-действия и такую, что ^Р^П Vx = = ф для g^Gx. Заметим, что gVх П g'Vх Ф Ф тогда и только тогда, когда gVx = g'Vx и g (х) = g' (х). Для х е Xе обозначим
1) Именно, а^=Иа ^Ь^. — При.ч. перев.
через V х маленькую инвариантную окрестность точки х, и если х е Xе — А, то потребуем соблюдения равенства Vx Q А = ф- Тогда окрестности Vx и их образы при сдвигах элементами группы G образуют, очевидно, требуемое G-покрытие Т". |
Замечание. Очевидно, что в ситуации предложения 6.5 имеем К (^ | A)G = K(GA AG\
Из 6.3 —6.5 получаем (см. доказательство теоремы 6.7) следующую теорему.
Теорема. Если X — паракомпактное G-пространство, а АсХ- замкнутое инвариантное подпространство, то имеются канонические изоморфизмы
H(XG, A^limH (К(?/у;, К(27,Л)6),H4XG, Лс) ^limH* (К W^\AW
где U пробегает все G-покрытия пространства X. g
Теорема. Пусть X — паракомпактное G-пространство и А с. X — замкнутое инвариантное подпространство. Тогда имеются естественные изоморфизмы
Н(Х*, Л* J Х^ПгпЯ (К (27)/G, (К (27 Л) (J К (27)C)/G),
Н*(Х\ А*\дХ°)^ПтН*(К(2/уО, (К (271 Л) J К (27)C)/G),
где 11 пробегает все G-покрытия пространства X.
Доказательство. Если И регулярно, то изоморфизм К (27)/G *=« К (27О) из 6.2 индуцирует, очевидно, изоморфизм
(К {U । A) (J К (Ц | XGyiG ^ (К (U ! A (J XGy,G^ К (27О ! (Л* (J X0)).
Таким образом, фигурирующие в формулировке группы гомологий (и когомологий) изоморфны соответствующим группам, построенным посредством пары (К УМУО, (К (27 | Л) U К (27 | X°))/G).
В силу 6.5 имеется кофинальная система G-покрытий 27, для которой
(К (27)/G, (К (27 ! Л) J К (27 | X«))/G) с
с (К (27)/G, (К (27 , Л) U К (27)ff)/G)c
c(K(27)/G, (К (27 Л) (J К (27 XG))/G).
В силу 6.3 имеется такое вписанное в 27 покрытие ПР и такое эквивариантное вписывание, которое переводит пары, фигурирующие в правой части (и, следовательно, в середине) для покрытия ^ в пары, фигурирующие в левой части для покрытия 27. Из 6.4 следует теперь, что эти включения индуцируют изоморфизмы предельных групп гомологий и когомологий. g
Замечание. Разумеется, в 6.6 и 6.7 можно брать пределы по любой кофинальной системе G-покрытий, поэтому можно огра-
кичиться регулярными (и конечномерными для финитного X) покрытиями, хотя мы и не утверждали, что в 6.5 можно найти регулярное ^F. Возможно, что имеется кофинальное множество регулярных покрытий 'Чр, для которых включения из 6.5 являются равенствами. Однако доказать это трудно, и в этом нет необходимости. В случае циклической группы простого порядка покрытия со сходными свойствами построил Смит [1], назвавший их «специальными покрытиями».
Отметим, что если /; X-► Y — эквивариантное отображение 6- пространств, а 12 есть G-покрытие пространства Y, то СХИ = = y*4J \U е 12\ является G-покрытием пространства X, регулярным в случае регулярности И. Отсюда вытекает естественность конструкций, основанных на переходе к пределу по множеству всех G-покрытий или регулярных 6-покрытий.
Действия конечных групп на произвольных пространствах
Здесь мы используем идеи § 6 для распространения результатов предыдущих параграфов на действия конечных групп в более широком классе топологических пространств.
Пусть X — паракомпактное G-пространство, где 6 —конечная группа, и Л сд X— замкнутое инвариантное подпространство. Пусть, далее, 11 — регулярное 6-покрытие пространства X. Имеется трансфер р,*: //(К (2Z)/6, К (2Z | Л)/6) -> Н (К (И), К (И1 Л)), удовлетворяющий условию (2.2). Если "У — регулярное 6-покрытие, вписанное в iZ, то имеется эквивариантное вписывание р: ^IP-^U, так что возникает диаграмма
Н (К (Т)/6), К СУ | Л)/6) ^ Н (К СУ), К СУ | Л))
Н (К (It)jG), К (и | Л)/6) Н (К (11), К (И | Л)),
коммутативная в силу естественности трансфера, причем вертикальные отображения не зависят от выбора р в силу того, что смежные эквивариантные симплициальные отображения K(^ )->- ->К(^) индуцируют смежные отображения K(V)/6-^-K (U)!G.
Переход к пределу дает трансфер щ: Н(Х*, Л*) -> Н (X, Л) (где Х* = Х/6 и Л* = Л/6), для которого справедлив аналог формулы (2.2)
= IО l: Н (X*. Л*) Н (X*, Л*),
‘Ц*л*=а# = 5^: Н(Х, А) — Й(Х, Л).
Подобным образом строится аналог обобщенного трансфера (2.5) и его дуализация в когомологиях. Следующая теорема очевидна.
Теорема. Пусть G — конечная группа, X — паракомпактное G-пространство и А ед X — инвариантное подпространство.
В этом случае для гомологий Чеха справедлива теорема 2.4 с заменой пары (К, L) парой (X, А). Аналогичное утверждение справедливо и для когомологий Чеха, g
Теперь рассмотрим обобщение последовательностей Смита. Итак, G есть циклическая группа простого порядка р, и мы работаем лишь с коэффициентами в 1Р, если специально не оговорено противное.
Пусть И — некоторое G-покрытие пространства X. Рассмотрим специальные группы Не (К (#), К(#|Д))> //p(K(Z<), К (ZC Д)), где р = т', Is^t^p—1. Как показано в § 3, эквивариантные отображения индуцируют гомоморфизмы этих групп. Так как любое G-покрытие ^F, вписанное в 1е, допускает эквивариантное вписывание, то возникают индуцированные гомоморфизмы
tf^KCF), КСЛ Д))->ДР(К(^), WW'WY K(zZM))-*^(K("F), К(^|Д)).
При этом любые два эквивариантных вписывания индуцируют смежные эквивариантные симплициальные отображения и индуцированные цепные отображения эквивариантно цепно гомотопны. Как указывалось в § 3, отсюда следует, что построенные выше индуцированные гомоморфизмы гомологических групп не зависят от выбора эквивариантного вписывания. Следовательно, можно определить группы
(7.3)(7.3)№(Х, Д) = Ijm № (К (^), К (2Z | Д)),Яр (X, Д) = Пш^(К(^), К(^|Д)),
(7.3)
(7.3)
где U пробегает все G-покрытия пространства X.
Так как треугольники Смита 3.3 и (3.9) естественны (в силу 6.6), то возникают индуцированные треугольники
ЙкХ,А^ЙкХ,А^
ЙкХ,А^
ЙкХ,А^
Так как функтор прямого предела точен, то треугольник (7.5) для паракомпактного X и замкнутого А всегда точен. Для
точности треугольника (7.4), однако, на X нужно наложить некоторые ограничения. Так как функтор обратного предела точен на категории конечномерных векторных пространств над полем, в данном случае — над полем 2Р (см. С т и н р о д и Э й л е н- берг [1], с. 283), то треугольник (7.4) заведомо будет точен для компактного X и замкнутого А (так как в этом случае семейство конечных G-покрытий кофинально).
Очевидно, обобщается и треугольник (3.8), а также его когомологический аналог. Этого объяснять мы не будем.
Заметим, что изоморфизм На (К (2Z), К (Ц | Л)) ^ Н (К (H)/G, (К (zZ | Л) U К (2Z)°)/6) (см. (3.4)) естественен, каки двойственный ему изоморфизм (3.10). Поэтому в силу 6.7 имеем изоморфизмы
(7 6)Яа(Х, Л)^Я(Х*, Л*иХО),
'Щ(Х, А^НЧХ*, Л*их°).
Более того, гомологические (и когомологические) диаграммы, индуцированные диаграммой (3.5), естественны, как и изоморфизм вырезания H(KG\jL*, L*)^sH(KG, L0). Следовательно, из (3.5), 6.6 и 6.7 получаем коммутативные диаграммы
+ А^ЙЦХ, A)®Hn(XG, А<^
Иjo®i
...-*Яя+1(Х*, A*\jX°^Hn(XG, AG)^
|л,|%
->//„(X*. Л*)-^^„(Х*, Л*ихс)^... и
...->ЯЛ(Х*, А* и Ха) Нп (X*, Л*)->
Ь(л.
...-*/% (X, А)-Нп(Х, А)^
-НЦХ0, Л°)-Н^ЦХ*, A*UXG)->... 1(0.1)|^
-*Н"(Х, А)®Нп(Х°, А^^Нпа + ЧХ, Л)^...
Аналогично, имеются коммутативные диаграммы, индуцированные диаграммами (3.6) и (3.7).
Теперь мы займемся обобщением результатов §§ 4 и 5. Эти результаты переносятся в основном на когомологии финитных пространств X и их замкнутых инвариантных подпространств А (вместо пар (К, L)) и, за двумя исключениями, на гомологии компактных пар (X, Л). Чтобы избежать возможного неправильного толкования соответствующих результатов, мы всюду приводим полные формулировки. В основном все доказательства проводятся
по аналогии с доказательствами соответствующих результатов §§ 4 и 5, и мы даем их лишь в случае крайней необходимости.
Теорема. Пусть X—финитное G-пространство, где G — циклическая группа простого порядка р; пусть АаХ —замкнутое инвариантное подпространство. Тогда
гкДпр(Х, Д) + 5 гкД‘(Х°, AG^ 2 rk/7z(X, Д).i пi п
Если X компактно, то соответствующее утверждение справедливо и для гомологий.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 4.1. Однако здесь нам придется воспользоваться индукцией вниз от бесконечности. Итак, предположим, что Н‘(Х, Д) = 0 пpи^^^. Мы утверждаем, что тогда и Нр (X, А) = 0 = Н‘ (XG, Дс) при i^N. Действительно, если это не так, то существует конечномерное G-покрытие 2Z пространства X, столь мелкое, что (при К = К (2Z) и Т=К(#|Д)) гомоморфизм Др (X, L) 4) H (KG, LG^-* ->Нр(Х, А) ф Н1 (Х°, Аа) нетривиален при некотором i^N.
Рассмотрим коммутативную диаграмму
Н^К, D^H^K0, L^-H^'1 (К, L)^Hr(K, L) = 0
Др(х, A)^h4xg, ag)6a.hc+^x, д)-^д;(х. А), в которой горизонтальные необозначенные отображения представляют собой композиции пограничных гомоморфизмов б*: Нр-^-Н^1 " и'^н'р- и где г > dim К• Так как Н*(X, Д) = 0, то нижняя строка диаграммы состоит из мономорфизмов, что противоречит нетривиальное™ левого вертикального отображения.
Доказательство гомологического случая оставляется читателю. Оно использует доказательство теоремы 4.1, которая, конечно, сама является частным случаем теоремы 7.9. |
Теорема. Пусть G — циклическая группа простого порядки р, X —финитное G-пространство и А — его замкнутое инвариантное подпространство. Если rkH*(X, A; Zp)<co, то %(Х, Д) + (р — 1) х (Xе, Д°) = рх(Х*, Д*), где % — определенная посредством чеховских Хр-когомологий эйлерова характеристика. Если X компактно, то аналогичное утверждение верно и для гомологий. |
Теорема. Если G — некоторая р-группа (р — простое) и X —финитное G-пространство, являющееся чеховской ^-когомологической п-мерной сферой1), то для некоторого г, —l^r^n,
Х° является чеховской ХР-когомологической r-мерной сферой. Аналогично, если АсХ- такое замкнутое инвариантное подпространство, что (X, А) — чеховский Хр-когомологический п-мерный диск, то для некоторого г, O^rs^n, пара (Ха, Ас) является чеховским Хр-когомологическим r-мерным диском. В обоих случаях, если р нечетно, то п—r четно. Если X компактно, то аналогичные утверждения справедливы и для чеховских гомологий, g
Заметим, что изложенные после теоремы 5.2 соображения позволяют явно описать изоморфизмы, устанавливаемые теоремой 7.11. Обобщая доказательство теоремы 5.4, получим следующий факт.
Теорема. Пусть G —некоторая конечная группа, а X —такое финитное G-пространство, что Н* (X; Z) = 0. Тогда и НЧХ/G; Z) = 0. |
Пример. Тот факт, что аналог теоремы 7.12 не верен для гомологий даже в случае компактных пространств, показывает следующий пример. Рассмотрим S2 как (неприведенную) надстройку над единичной окружностью S1 комплексной плоскости. Пусть f: S2—^S2 — надстройка над отображением S1->S1 вида г>—*гя. Тогда степень отображения f равна 3 и, очевидно, f коммутирует с антиподальным отображением g: S2->S2. Теперь, рассматривая S2 как Z2-npocrpaHCTBo, где образующий группы Z2 действует как g, можно построить Z2-npoCTpaHCTBo 5 как обратный предел последовательности ...—-S2 f-S2 f-S2. Тогда 2/Z2 есть обратный предел последовательности ... = Р2 - Р2 — Р2. Таким образом, //2(2; Z) = 0, так как эта группа является обратным пределом последовательности ,..-3.Z 3-Z J-Z, и, следовательно, 2 ациклично над Z- Но /*: Р2->Р2 индуцирует изоморфизм в гомологиях (так как 3=1 mod 2), и потому Нх (2/Z2; Z)^Z2- (Заметим, что тем не менее 2 не является Z2■aцикличным, так как Нг(2л Х^^Х^А Можно доказать, что для компактного X верен и гомологический аналог теоремы 7.12 при условии, что X гомологически ацикличен над ХР для всех простых р. Это следует из того, что компактное пространство с тривиальными Zp-гомологиями Чеха для всех р имеет тривиальные целочисленные гомологии Чеха (для когомологий аналогичное утверждение неверно). Последнее, однако, доказать нелегко, и так как мы не будем пользоваться этим утверждением, то доказательства мы не даем. Подобное сказанному выше можно отнести и к следующей теореме, доказательство которой вытекает из доказательства теоремы 5.5.
Теорема. Пусть G — конечная группа, X—паракомпактное G-пространство и А—замкнутое инвариантное подпространство. П редположим, что для данного простого р и любой
р-подгруппы Р группы G имеем Н* (Хр, Ар\ Zp) = 0 при всех i -с п. Тогда Й‘(Х*, A*; Zp) = 0 для всех i^n. Если же это верно для всех простых р и, кроме того, Н‘(Х, A; Z) = 0 для всех i^n, то Й1 (X*, A*; Z) = 0 для всех i^n. g
Наиболее интересное приложение этой теоремы и идущего ниже следствия возникает в случае свободного действия. В этой ситуации утверждения будут использованы в следующем параграфе для изучения групп, свободно действующих на сфере.
Следствие. Пусть G — конечная группа, X и Y -па- ракомпактные G-пространства и f: X->-¥ —эквивариантное отображение. Предположим, что для данного простого р и любой р-подгруппы Р группы G отображение }*: НЦ¥Р\ Zp)-»- -*Й‘(ХР; Zр) — изоморфизм при 1<п и мономорфизм при i = n. Тогда (f/G)*: H*(Y*; 2Р) -> Н1 (X*; Zp)~ тоже изоморфизм при 1<п и мономорфизм при i = n для любой р-подгруппы Р из G. Если же это справедлива для всех простых р и, кроме того, *: НЦ¥; Х^НТЦХ; Z)— тоже изоморфизм при i<n и мономорфизм при i — n, то это верно и для (j/Gy1; Й‘(¥*-, Z)-»- ^НЧХ*; Z).
Доказательство. Это легко следует из теоремы 7.13, примененной к паре (Mf, X), где Mf — цилиндр отображения f: X-*Y, и точности последовательности
...->- (X) Н‘ (Mf, Х)-^Й' (Y) L Й= (X) ^...
пары (Mf, X) (кроме того, надо рассматривать аналогичные конструкции для отображений Х*-*¥* и Хр->¥р\ где М( заменено своим деформационным ретрактом Y. g
Следствие. Пусть G — конечная группа, свободно действующая на связных компактных пространствах X и Y. Предположим, что Й1 (X; Z) = 0 и Й1 (Y, Z) = 0 для всех i, 0<Д<п. Тогда для 1<_п имеется канонический изоморфизм Hl(XlG\ Z)^= ^Й‘ (Y/G', Z). Аналогичное верно, если везде заменить Z полем Zp-
Доказательство. Устроим диагональное G-действие на XxY и рассмотрим эквивариантные проекции X X х У-»-У. Они индуцируют в когомологиях изоморфизмы в размерностях, меньших п, и мономорфизмы в размерности п. В силу 7.14 это же верно для индуцированных отображений X/G-<-X XqY ->-Y/G пространств орбит, g
Замечание. Так как X и У компактны, то, применяя теорему об универсальных коэффициентах, можно доказать справедливость заключения следствия 7.15 для произвольных коэффициентов. Заметим также, что такие G-пространства X с когомологиями, тривиальными в размерностях, меньших п, существуют
для любого п; достаточно в качестве X взять джойн п + 1 экземпляров группы G. Следствие 7.15 показывает, что группа H^XfG; Z) при i<_n полностью определяется группой G. Эта группа называется i-й когомологической группой Н‘ (G; Z) группы G. Она, разумеется, может быть определена чисто алгебраически и с коэффициентами в произвольном G-модуле (см. Кар- тан и Эйленберг [1] и Маклейн [1]).
Замечание. Можно попытаться распространить кое-какие результаты на гомологии, используя гомологии Чеха с компактными носителями. Они определяются как Нс (X, Л) = Игл Н (В, С), где (В, С) пробегает пары всех компактных подпространств из (X, Л). При этом точность последовательности Смита имеет место для всех пар G-пространств (X, Л). Разумеется, для доказательства большинства результатов пришлось бы использовать индукцию от бесконечности, как это делалось в доказательстве многих теорем. Это потребует введения ограничения, аналогичного конечномерности пространства X и достаточного для того, чтобы обеспечить равенство Н^ (X*, Л*иХ°) = 0 для достаточно больших I. Мы не будем развивать изложение в этом направлении, так как когомологические результаты по крайней мере не слабее гомологических, и к тому же значительно проще.
Замечание. Примеры § 7 гл. I показывают, что использование поля ZP в теоремах 7.9 и 7.11 существенно. Аналогично примеры § 8 гл. I показывают, что результаты, аналогичные теоремам 7.9 и 7.11, нельзя, вообще говоря, перенести на действия групп не простого порядка. Предположение о финитности пространств тоже существенно. Чтобы доказать это, заметим, что предел S” последовательности вложенных сфер S1 с S2 с ... (рассматриваемый как клеточный комплекс) допускает свободную инволюцию (антиподальное отображение). Кроме того, клеточный комплекс S” стягиваем, так как все его гомологические группы, очевидно, равны нулю. Пусть X —некоторый полиэдр. Тогда джойн Sm*K тоже стягиваем и допускает инволюцию с множеством неподвижных точек /< и пространством орбит Р°°*Х. Заметим также, что (S°°*X)xSn есть и-мерная гомологическая сфера, допускающая инволюцию с множеством неподвижных точек К xS". Итак, утверждения 7.9 — 7.12 утрачивают истинность при отказе от предположения финитности.
Группы, свободно действующие на сферах
В этом параграфе мы обсудим проблему описания тех компактных групп Ли G (включая конечные группы), которые могут свободно действовать на некоторой и-мерной сфере S”.
Если п четно, то проблема почти тривиальна, так как из теоремы Лефшеца о неподвижной точке следует, что в этом случае
каждый элемент g^e группы G должен обращать ориентацию. Так как композиция двух обращающих ориентацию гомеоморфизмов сохраняет ориентацию, то группа G должна быть Z2 или 0.
Если п нечетно, то проблема становится значительно более сложной, и фактически окончательно ее решение до сих пор не дано. Сначала мы докажем один хорошо известный результат, первоначально полученный Смитом [71, который можно найти во многих источниках, см., например, Картан и Эйлен- берг [1], с. 428.
Теорема. Группа Zp©Zp не может свободно действовать на финитной Zp-когомологической п-мерной сфере £л.
Доказательство. Пусть N > п — нечетное целое число. Рассмотрим стандартное действие группы Zp на сфере Sw (действие образующего группы задается диагональной комплексной матрицей diag (е2л'7р, ..., е2л‘7р), действующей на С х... хС = С* о SA', где У = 2^ — 1. Тогда, очевидно, G = Zp © Zp стандартным образом свободно действует на Sw х S^, и пространство орбит этого действия есть L^xL^, где L^ = Syv/Zp- Зададим диагональное G-действие на произведении1) 2Л х (Sw х S") и рассмотрим эквивариантные проекции
2Л©2Л xS-vxS-v-.
В когомологиях /* является изоморфизмом в размерностях, меньших N, a h* — изоморфизмом в размерностях, меньших п, и мономорфизмом в размерности п. Из следствия 7.14, примененного одновременно к / и h, заключаем, что Нп ^nlG\ Zp) содержит подгруппу, изоморфную группе //"(L^xL^; Zp). Напомним, что Н1^м\ ZP) = ZP при O^is^N и H‘(LN; Zp) = 0 при остальных i (это следует, например, из анализа последовательности Смита Zp-действия на S^, а также может быть доказано многими другими способами). Из формулы Кюннета (Спеньер [1], с. 318) следует, что Нп (1Л х L© Zp) ^ ZP © • • • ® Zp («+1 раз). Поэтому Нп (LnlG; Zp) должна содержать подгруппу, изоморфную Zp®Zp. (Если 2Л = 5Л, то 5л/6— топологическое многообразие, что противоречит тому известному факту, что Нп (Мп\ ZP) Zp или Нп (Л4Л; Zp)=0 для любого «-мерного многообразия Мп. В общем случае мы получим противоречие, используя теорию Смита.)
Пусть Zp^K с. G = Zp ф Zp, так что G[K^ZP. Тогда К свободно действует на 2Л и G[K свободно действует на 2Л/К, причем пространство орбит этого действия есть (^//©/(G/A^) ^ 2л/6.
!) Предполагается, что G свободно действует на ^. — Прим. перев.
Применяя 7.9 к обоим этим действиям и используя тот факт, что для свободного действия Но является группой когомологий пространства орбит, получим, что (над полем Zp) rk Нп (Zn/G) sg rk Hn ^n/K) <C rk Hn (S”) = 1, что противоречит установленному выше. |
Более сильный результат, также полученный Смитом, приводится в упражнении 10. Там же намечен другой метод доказательства.
Так как абелева группа циклична тогда и только тогда, когда она не содержит подгрупп вида ZP ф ZP ни для какого простого р, то имеет место следующая теорема.
Теорема. Если конечная группа G может свободно действовать на финитной целочисленно когомологической сфере, то любая абелева подгруппа группы G циклична. |
Группы, каждая абелева подгруппа которых циклична, в точности есть группы с периодическими когомологиями (см. Карта и и Эйленберг [ 1 ], с. 317). Как доказал Суон Д ], любая такая группа может свободно действовать на компактном полиэдре, являющемся целочисленно гомологической сферой. Не все такие группы, однако, могут свободно действовать на настоящей сфере, так как в этом случае они должны удовлетворять следующему ниже дополнительному условию, найденному Милнором [1]. Заметим, что это условие исключает возможность (свободного) действия на сфере ряда групп, удовлетворяющих заключению теоремы 8.2; например, диэдральных групп *) порядка 2г с нечетным г.
Теорема. Если на сфере S" свободно действует группа G, то любой элемент порядка 2 этой группы лежит в ее. центре.
Доказательство. Пусть g е G — элемент порядка 2 и feG — любой другой элемент. Если /g^g/, то из того, что G действует свободно, следует, что равенство /g (х) = g/ (х) не может выполняться ни для какого х е S”. Так как / — гомеоморфизм, то его степень есть ± 1. Поэтому 8.3 вытекает из следующей теоремы.
Теорема. Пусть g-. S"-»-S" — гомеоморфизм периода 2 без неподвижных точек. Если для некоторого отображения ф 8"-^-8л и всех xeS" имеем gf (х) ф fg (х), то степень отображения { четна.
Доказательство. Пусть G = \e, g\^T,1. Положим /И = = (S" х S") — А, где А = {(х, х) | х е S"}—диагональ. Определим G-действие на М, полагая g(x, g) = (gy, gx). Заметим, что Мс = = {(х, g (х)), х е S'1} с М. Мы утверждаем, что Мс — деформа-
9 Группа диэдра Dm порядка 1т определяется для любого целого положительного т. Она состоит из всех элементов вида {а1 Ь1, 0 s£ i < т; / = 0, 1}, подчиненных соотношениям ат = \, &2=1, Ьа=аАЬ. Геометрически группа Dm реализуется как группа симметрий правильного m-угольника. — Прим. ред.
ционный ретракт пространства М. Действительно, рассмотрим точку (х, у)<=М, где x<=Sn, yeS", х=^у. Для Osg/sgl определим F (t, x, у) как такую точку сферы S", в которой прямая, соединяющая) точки х и /z/ + (l — t^g(х), пересекает множество S" —{х}; см. рис. III. 1. Легко видеть, что отображение I хМ -> М вида (С х, у) н—* (х, F (t, х, у)) является сильной деформационной ретракцией М на MG.
Рис. III. 1.
Итак, включение MG-*-M индуцирует изоморфизм в когомологиях.
Возьмем в качестве области коэффициентов поле Z2; тогда неравенства из теоремы 7.9 и изоморфизмы (7.6) при А = ф дают изоморфизм Д' (М/С, MG) Но (М) = 0 для всех L
Следовательно, включение MG-*M/G индуцирует изоморфизм Н‘(М/С) Н‘(Ма) для всех i (это можно вывести также непосредственно из следствия 7.14, примененного к включению MG ->• М). Из коммутативности диаграммы
Н*(.МС)
следует, что Лм есть изоморфизм.
Так как С свободно действует на 8№, то коммутативность диаграммы
О Д" (S"/G) Нп (8п/С)0 ->...
jsteЛ*|
(частного случая диаграммы (7.8)) показывает, что гомоморфизм л* тривиален (так как т = о, то Нп (S") -> Нх (S") есть изоморфизм, и потому второе отображение в нижней строке тривиально; см. также следующее после 5.2 обсуждение, где установлен двойственный результат для гомологий).
Определим теперь эквивариантное отображение ф: S'2->-34 формулой Ф (%) = (/(%), gfg(x)). Коммутативность диаграммы (коэффициенты в Z2)
Нп (МЮ^-2- Hn (S"/G)"м!=к “°
Й" (М)№ (S")
влечет ф*=0. Обозначив через р: M-^-Sn проекцию (х, у)>—* х, получим, что / = рф, так что f* = ф*р* = 0: Йп (Sn; Z2) -► Йп (S"; Z2), откуда следует четность степени отображения f. J
Замечание. Теорема 8.4 и, следовательно, 8.3, будет верна также при замене сферы S" любым п-мерным многообразием 2”, имеющим те же Z2-гoмoлoгии, что и S". Доказательство этого факта требует использования некоторых более глубоких результатов алгебраической топологии, чем использованные выше, так как мы должны заменить геометрические соображения рис. II 1.1 более общими алгебраическими соображениями. Мы, однако, кратко наметим доказательство этого более общего результата. Детали можно найти у Милнора [1]. Очевидно, достаточно доказать лишь то, что включение Ма cz 31 индуцирует изоморфизм в Z2-кoгoмoлoгияx. Последнее можно доказать, показав, что проекция р: М—^5>п есть расслоение со слоем 2" —{точка}. (Это — простое геометрическое рассуждение.) Очевидно, что Ма есть сечение расслоения р. Используя теоремы двойственности Лефшеца и Пуанкаре, мы увидим, что слой 2" — {точка} Z2-aunK- личен, и из теоремы Вьеториса об отображении1) следует, что р индуцирует изоморфизм в Z2-кoгoмoлoгияx, обратный к которому индуцирован включением Л4С cz 34. Доказательство Милнора использует сингулярные гомологии. Мы вместо этого должны были бы использовать когомологии Чеха для того, чтобы иметь возможность применить результаты § 7 непосредственно. В случае сингулярных гомологий тот факт, что лЛ1 индуцирует изоморфизм, требует более обстоятельного доказательства. Подчеркнем, что любое доказательство теоремы 8.3 должно как-то использовать «геометрию» ситуации, так как из упомянутого результата Суона [1] следует, что теорема 8.3 неверна для действий на полиэдральных гомологических сферах (не многообразиях).
Замечание. Ортогональные свободные действия конечных групп на сферах полностью классифицированы в книге Вольфа [1], включающей более раннюю работу Винсента. Там дано очень простое необходимое условие на группы, могущие свободно и ортогонально действовать на какой-либо сфере: именно, любая подгруппа порядка pq (где р и q — не обязательно различ-
ные простые числа) должна быть циклической. (Для разрешимых групп это условие является также достаточным.) Долгое время держалась гипотеза о том, что группа, могущая действовать на сфере свободно, может действовать на сфере) свободно и ортогонально. Недавно Петри [1, 2] и Р. Ли независимо опровергли ее, построив свободное действие неабелевых групп порядка pq (р и q — различные простые числа) на подходящих сферах. Построение этих примеров использует теорию неодносвязных перестроек Уолла [3] и лежит вне поля нашего зрения.
Перейдем теперь к изучению нашего вопроса для компактных групп Ли положительной размерности. В этом случае имеется следующий окончательный и простой ответ. Обозначим группу комплексных чисел (соответственно кватернионов) единичной нормы через S1 (соответственно S). Мы считаем, что S*c:S3, и пусть M(S1,| —ее нормализатор, который в точности есть группа, порожденная подгруппой S1 = (a+ 6z" । а ф-б2 = 1} и элементом / и состоящая из двух компонент: S1 и /S1.
Теорема. Если компактная группа Ли G положительной размерности может свободно действовать на сфере, то G изоморфна некоторой подгруппе группы S3. Более точно, имеется лишь три возможности: G^S1, G^M(S1), G = S3.
Доказательство. Группа G не может содержать в качестве подгруппы двумерный тор, так как она не может содержать подгруппу Z2©Z2. Следовательно, G имеет ранг 1. Мы воспользуемся тем, что имеется лишь три связные компактные группы Ли ранга 1, именно, S1, S3 и SO (3) (последняя двулистно накрывается группой S3).
Итак, содержащая единицу компонента Go группы G может быть лишь одной из трех этих групп. При этом случай G0 = SO(3) невозможен, так как SO (3) содержит Z2©Z22)- Пусть сначала G0 = S‘. Рассмотрим па S1 сопряжение элементом g^G — Go. Имеется лишь две возможности: gtg1 = t или gtg"1 = t1. В первом случае g коммутирует с S1. Пусть п — наименьшее из таких натуральных чисел, что gn,^S\ и пусть h ее S1 — такой элемент, что hn = gn. Тогда для k = gh~l имеем gS^/sS1 и кп = Е Поэтому к и некоторый элемент порядка п группы S1 порождают подгруппу группы G, изоморфную Zn@Zn, что противоречит теореме 8.1. Таким образом, остается лишь вторая возможность: gtg 1 = t 1 для всех t eG0 = S*. Отсюда, очевидно, следует, что G/Go есть группа порядка 1 или 23). Предположим, что G ^G0 = SA и что g^G — G0. Тогда gtg"1 = t-1 для t е G„ и g2 е Go. Далее, g2 = =g (g2)g 1 = (g2)a, так как g2 г Go, поэтому g2= t 1. Ecлиg8•=l,
то Z2фZ2 =«{ + 1, — 1, g, ( —l)g}czG, что противоречит 8.1. Следовательно, g2 = —1. Теперь, переводя ^в / е S®, получим изоморфизм G N (S1).
Предположим теперь, что Gop«Ss. Хорошо известно, что любой автоморфизм группы S3 является внутренним. (Этот факт вытекает из теории классификации связных компактных групп Ли, но мы наметим прямое доказательство. Любой автоморфизм Ф переставляет однопараметрические подгруппы в S3 и, так как все они есть окружности, то имеется естественная метрика, сохраняемая автоморфизмом ср. Отсюда следует, что на касательном пространстве к S3 в единице автоморфизм ср индуцирует ортогональное отображение. Далее, группа всех внутренних автоморфизмов действует на этом касательном пространстве как группа S3/{ — 1, 1}=«SO(3). Следовательно, если есть автоморфизмы, не являющиеся внутренними, то среди них есть автоморфизм, действующий на этом касательном пространстве как -/еО(3). Отсюда следует, что отображение g ।—* g-v является автоморфизмом, а это неверно.) Итак, для любого элемента g^G — G0 существует такой элемент h е Go, что элемент gh-1 коммутирует с 60. Но тогда, рассуждая так же, как в случае С0 = 8!, получим, что (при G^G(I) в G есть подгруппа, изоморфная Zn ф Z«. Следовательно, если G0 = S3, то G = G0.|
Теорема Ньюмена
В этом параграфе мы докажем теорему Ньюмена [1] в интерпретации Смита [4]. Она утверждает, что действие компактной группы Ли (в частности, конечной группы) на многообразии не может иметь «равномерно малых» орбит.
Пусть л: X -> Y — некоторое отображение, и В a Y — замкнутое подмножество. Положим Л = лО (5). Для покрытия ДЛ пространства Y обозначим через л’1^ покрытие пространства X прооб разами элементов из У. Предположим, что отображение л сюръективно.
Лемма. Пусть U — такое покрытие пространства X, что канонический гомоморфизм Hn(K(U), К (# । Л)) -> Нп (X, Л) эпиморф"Н. Если существует такое покрытие G/ пространства Y, что л-1 (У) вписано в И, то л*: Hn(Y, В)->Нп(Х, Л)— эпиморфизм.
Доказательство. Отметим канонический изоморфизм Д(л~1Ф)^ и заметим, что гомоморфизм л*: Hn(Y, В )->- -+Нп(Х, Л) есть прямой предел системы гомоморфизмов
Нч№ К^дВ)) " Д"(К(л Ч^, К(л‘У|Л) Н^Х, Л).
Так как л-1^ вписано в И, то имеем диаграмму
№(К(£), К <U , Л)) Нл (К (л 1 У), К (л *Т| А)-^Нп(Х, А) I =| л*
Я" (К (У), К (У; 5)> Н- (Y, В),
из коммутативности которой следует, что эпиморфность композиции отображений верхней строки влечет эпиморфность гомоморфизма л*, g
Теорема. Пусть X—финитное пространство и А — его замкнутое подпространство. Фиксируем простое р и предположим, что*Н‘(Х, A; Zp) = О при i">n и Нп(Х, A; ZP)^ZP. Предположим также, что для любого собственного замкнутого подмножества С а X гомоморфизм ограничения Нп(Х, A; Zp)->- ~^Нп(С, CQ A; ZP) тривиален. Пусть И— такое покрытие пространства X, что Нп 0^)21), К (2Z : Л); ZP)->H"(X, A; ZP) есть эпиморфизм. Тогда на X не сушестьует эффективного Zp-действия, относительно которого А инвариантно, и такого, любая орбита которого целиком умещается в каком-либо элементе покрытия И.
Доказательство. Предположим, что такое действие существует, и введем обозначение G = Zp. Тогда любая орбита содержится в некотором насыщенном открытом множестве, лежащем в каком-то элементе покрытия К. Образы этих открытых множеств при проекции X -> X* определяют покрытие ^ пространства X*, причем л~1ЛД вписано в И. По 9.1 отсюда следует эпиморфность гомоморфизма л*: Нп фХ*, А*)-^-Нл )Х, Л) (коэффициенты в Zp).
Из теоремы 7.9 следует, что Н‘Р(Х, A) = Q—Hi(Xa, Л°) при i > п, и точность последовательности Смита показывает, что Нп(Ха, Aa) = Q (по предположению о гомоморфизме ограничения). Диаграмма (7.8) превращается в диаграмму
Н^Х*, Л*иХс)^-Дл(Х*. Л*)-»-0
Нпо(Х, А) — - Н^Х, А)^Н"(Х, Л)-*0,
коммутативность которой влечет равенство Н")Х, Л) = (), так что о*— эпиморфизм. Точность последовательности Смита 0 = = Нх)Х, А) ->- И1 (X, А)--На(Х, Л)—>0 показывает, что I* — изоморфизм. Композиция a*i*: Нп(Х, А) ^-Нп (X, Л) есть в точности 2g* Но так как группа Нп(Х, Л) Zp не имеет автоморфизмов порядка р, то g* = l, и потому аЧ* = р = 0, что противоречит эпиморфности о*. (Заметим, что эти результаты можно получить также, следуя 5.2.) |
Теорема. Пусть X —финитное пространство и А— его замкнутое подпространство. Предположим, что Н* (X, Л; Z) = О при i>n и Нп(Х, A; Z)^Z. Предположим также, что для любого собственного замкнутого подмножества С cl X гомоморфизм ограничения Нп(Х, A; Z)—>-Hn^C, СрЛ; Z) тривиален. Пусть U — такое покрытие пространства X, что Нп (К (#), К (# | Л); Z) -> -+Нп(Х, A; Z) есть эпиморфизм. Тогда никакая компактная группа Ли не может эффективно действовать на X так, чтобы А было инвариантным и любая орбита умещалась в каком-либо элементе покрытия И.
Доказательство. Используя точную последовательность 0^-Z->Z-*Zp->0, легко видеть, что все условия наследуются для поля коэффициентов Zp. Так как любая компактная группа Ли содержит циклическую группу некоторого простого порядка р, то теорема вытекает из 9.2. |
Теорема. Пусть М —связное топологическое п-мерное многообразие. Тогда одноточечная компактификация многообразия М допускает такое конечное открытое покрытие И, что никакая компактная группа Ли не может эффективно действовать на М таким образом, что каждая орбита содержится в некотором элементе покрытия U.
Доказательство. Предположим сначала, что М ориентируемо, и пусть X — одноточечная компактификация многообразия М, причем Л = {оо}. Тогда Нп (X, Л)^Z и Н‘(Х, Л) = 0 при 1>п. Кроме того, если V cl М — открытый п-мерный диск, то включение (X, Л) cz (X, X — У) индуцирует изоморфизм Hn(Dn, <9D”)^ г^Нп^Х, X— V)Нп (X, Л). (Эти факты хорошо известны и следуют из теоремы двойственности Лефшеца, см. Спеньер [1], с. 382. Их легко установить также довольно элементарным непосредственным рассуждением.) Для любого собственного замкнутого подмножества С cl X можно найти открытый п-мерный диск V cz X — С, и коммутативность диаграммы
НЧХ, Х-У)——Йп(Х, Л)
О = Я" (С, С) = Н" (С, С n (X - У)) -> Нп (С, С п Л)
влечет выполнение условий теоремы 9.3. Это завершает доказательство в ориентируемом случае.
Чтобы изучить неориентируемый случай, отметим сперва, что имеется простое, явно конструируемое покрытие 11 ориентируемого многообразия, удовлетворяющее условиям теоремы 9.3, где (X, Л) то же, что и раньше. Чтобы построить его, выберем п-мерный диск ЬсгтИ; пусть А”+1 — стандартный (п + 1)-мерный симплекс с вершинами и0, иИ ..., и„+1, и пусть f; Х-э-дА"11 —отображение,
являющееся гомеоморфизмом пространства inW на дополнение к у0 и переводящее X —into в у0. Положим Ut = f (St и,). Тогда покрытие ll = {U1\i = 0, 1, ...,« +1} удовлетворяет, очевидно, требованию Нп{К.{21), К {111 Л)) Нп (X, Л).
Пусть теперь М — неориентируемое многообразие, и пусть L— полиэдр, полученный из дКп добавлением ребра (ф, у0); см. рис. II 1.2. Пусть D и D'— два таких и-мерных диска в М, что Dez int О', и пусть h: M-*L отображает into гомеоморфно на дМ^1 — {и0}, dD в у0, into'—О —в открытый интервал {w, у0) и М — int D'— в w (см. рис. III.2, где и( — точки, отображающиеся в у,).
Рис.Ш.2.
Пусть 11 — покрытие прообразами открытых звезд вершин полиэдра L. Мы утверждаем, что на М нет никакого эффективного действия компактной группы Ли, любая орбита которого умещается в каком-либо элементе покрытия И. Предположим, что имеется такое действие какой-то группы G. Тогда, очевидно, образ диска D при преобразовании любым элементом группы G пересекается с О, и G{D)cz.D'. В силу компактности существует такая связная открытая окрестность V диска D, что G (V) cz int D'. Так как любой образ окрестности V (при сдвиге) пересекается с D, то G {V) связно. Поэтому мы можем положить V = G{V). Но тогда V является ориентируемым многообразием ’) и И f) V есть покрытие множества V того же типа, что и построенное выше покрытие ориентируемого многообразия. Отсюда следует, что G действует на V тривиально. Но это противоречит следующему результату, доказанному также Ньюменом [1].
Теорема. Если компактная группа Ли G эффективно действует на связном топологическом п-мерном многообразии М, то MG нигде не плотно.
Доказательство. Пусть D есть «-мерный диск, лежащий в MG. Подняв при необходимости действие в ориентирующее двулистное накрытие с помощью 1.9.4, можно считать М ориентируемым. Как и раньше, отобразим М в дАл + 1 так, что M — D переходит в и0. Возникающее открытое покрытие одноточечной
компактификации X многообразия М позволяет привести ситуацию к противоречию с теоремой 9.3 (при /4 = {оо}) так же, как это было сделано при анализе ориентируемого случая теоремы 9.4. |
Замечание. Теорема 9.5 есть частный случай более сильной теоремы Смита, утверждающей, что если G — циклическая группа порядка р, то Ма есть обобщенное многообразие над Zp. Это утверждение носит название «локальной теоремы Смита» и может быть найдено в работах Бореля [5], Б редон а [3, 13] и Смита [2]. Однако теория обобщенных многообразий в этой книге не рассматривается. Можно дать не зависящее от 9.3 прямое доказательство теоремы 9.5, используя последовательность Смита. Современную трактовку этого материала в духе первоначальных идей Ньюмена см. у Дресса [1]. Изложенный здесь метод Смита является, однако, значительно более широко приложимым.
Следствие. Пусть М — связное многообразие, на котором- задана метрика. Тогда существует такое е>0, что любое действие компактной группы Ли G на М обладает орбитой диаметра, большего чем е.
Доказательство. Пусть \U0, ..., U^ — такое, как в 9.4, покрытие пространства A4U{°°}, где ooeU0. Тогда компактное множество М — Uo лежит в объединении ^(J ... \JUn. Обозначим через Bt (х) замкнутый шар радиуса е с центром в точке х и выберем е>0 так, что для любой точки х ^ М — U6 найдется такое z, 1 =5 z s^ и, что В2е (х) cz Ut. Предположим, что G действует на М и diamG(t/)^8 для всех уеМ. Тогда для всех у имеем G (у) cz Вк (у). Если х е Ве (z/) - Uo, то yEBt (х) и G ^сгВе (у) cz cz В-гЕ (х) с: Ut для некоторого z. Если же для некоторого у имеем Ве (у) — U0 = ф, ю G (z/) cz ВЕ (у) clU0. Итак, мы пришли к противоречию с выбором покрытия ^Нф В
Следствие. Никакое действие компактной группы Ли G на R" со стандартной метрикой не может иметь орбит, диаметры которых равномерно ограничены.
Доказательство. Следуя 9.6, выберем е>0 для Л4 = КЛ, и пусть число N ограничивает диаметры всех орбит данного действия 0 группы G на R”. Определим новое действие 0', полагая 6g (х) = '^к^уху Тогда
llx-6g(x)j= yv
что противоречит 9.6. |
Действия торов
В этом параграфе мы установим результаты для действий тороь, аналогичные теоремам 7.10 и 7.11. Основные причины, побудившие нас привести эти результаты, состоят в том, что они
будут использованы в двух последующих главах. Сначала мы приведем для действий торов следствия, немедленно вытекающие из предыдущих параграфов. Для большинства приложений их вполне достаточно, но мы также используем прямые методы, получив при этом более сильные результаты. Обозначим через Т окружность со стандартной групповой структурой, так что произведение Т* к экземпляров группы Т есть /г-мерный тор.
Лемма. Для любого простого р множество элементов группы Т*, порядки которых являются степенями числа р, плотно в Г.
Доказательство. Достаточно показать, что объединение всех р-подгрупп группы Т* плотно в Т*. Это в свою очередь следует из соответствующего утверждения для окружности (& = 1), где оно очевидно. |
Теорема. Пусть группа G = Т6 действует на финитной целочисленно когомологической п-мерной сфере X. Предположим, что это действие имеет лишь конечное число орбитных типов и что Н* (Ха; Z) — группа конечного типа. Тогда найдется такое г с четным п — г, — 1г «=; п, что XG — целочисленно когомологическая r-мерная сфера.
Доказательство. Пусть р — простое число, и пусть Hv ... .... Нт — изотропные типы1). Так как элементы группы G, порядки которых являются степенями числа р, плотны в G, то среди них существует элемент g, не лежащий ни в какой подгруппе Пр Тогда XG = Xs, и из 7.11 следует, что Х° есть Zp-когомологи- ческая Гр-мерная сфера, где — 1<гр^п и п — г четно для нечетного р.
Предположим, что XQ^0, и рассмотрим когомологии пространства XG по модулю некоторой его точки Р. Мы утверждаем, что группа Н (Х°, Р; Z) не имеет р-кручения. Действительно, если бы эта группа имела р-кручение, то в силу ее конечной порожденности она содержала бы в качестве прямого слагаемого подгруппу ZpJ, /2=1. Тогда точность последовательности
...-> Д'-^Х0; ХД-^НДХ0; Z) -НДХД Х^НДХ0; ХР)-^...
влечет нетривиальность обеих групп H^iX0; Zp) и Н‘ (Ха; Zp), а это противоречит тому, что Х° есть Zp-когомологическая сфера.
Так как это утверждение справедливо для всех р, то Н‘ (Х°, Р; Z) —свободная абелева группа, равная нулю при i^=rp для всех простых р (это следует из рассмотрения вышеприведенной
!) То есть Hv ... . Нт — все стационарные подгруппы (напомним, чтоб коммутативна). — Прим. персе.
последовательности) и имеющая ранг 1 при i = rp. Следовательно, число г = гр не зависит от р, причем —Isgrsgn, и число п — г четно, g
Аналогично доказывается и следующая теорема.
Теорема. Пусть группа G = T6 действует на финитном целочисленно когомологическом п-мерном диске (X, А), где А замкнуто в X. Предположим, что Н*(Ха, Аа; Т) —группа конечного типа и что данное действие имеет лишь конечное число орбитных типов. Тогда существует такое г с четным n — r, От; г теп, что (Xе, А°) есть целочисленно когомологический r-мерный диск. g
Для большинства наших целей достаточно этих двух результатов, однако они недостаточно сильны для вывода из них, например, того факта, что множество неподвижных точек дейс1вия тора на евклидовом пространстве ациклично над целыми числами (даже в предположениях конечности числа орбитных типов и гладкости действия). Поэтому мы сейчас разовьем технику, направленную непосредственно на изучение действий торов. При этом нам придется предположить, что имеющийся у читателя запас основных топологических сведений несколько шире, чем считалось раньше, именно, он включает в себя теорию изоморфизма Тома — Гизина для ориентированных расслоений на диски.
Пусть окружность Т действует на паракомпактном пространстве X; при этом, как обычно, мы отождествляем Х; с подпространством пространства орбит Х* = Х/Т. Пусть, далее, Л1Л— цилиндр проекции л: X ->- X*. Обозначим через F вложенное в Мя пространство Хгх1, рассматриваемое как цилиндр отображения л|Хт, и положим Х' = Х\дР, так что X' деформационно ретра- гируется на X. Рассмотрим тройку (УИЛ, X', F\ Когомологическая последовательность этой тройки и три точные последовательности пар этой тройки образуют коммутативную «косу тройки», см. рис. III.3.
нЧх'.г^ н^Хм^хЧйЧхЧ ниЧнЧх'.г^ н^Хм^хЧйЧхЧ ниЧ
нЧх'.г^ н^Хм^хЧ
йЧхЧ ниЧ
нЧх'.г^ н^Хм^хЧ
йЧхЧ ниЧ
ЙЦм^ ЙЧ^ hu\x;f^
Рис. III. 3.
Далее, мы можем заменить пары (X', F) и (Л1Л, F) соответственно парами (X, Хт) и (X*, X1). Кроме того, абсолютные группы когомологий црострапств Мл, X' и F можно заменить соответственно абсолютными группами когомологий пространств X*, X и
@ Г. Бредон<
Хт. Для вычисления когомологий пары (Мд, X') мы используем следующую лемму.
Лемма. Если Т действует полусвободно (т. е. свободно вне Хт), то для любых групп коэффициентов имеется изоморфизм № (Мя, ХГ)^НИ(Х*, X')- Для произвольного же 1-действия с конечным числом орбитных типов такой изоморфизм имеется лишь для рациональных коэффициентов.
Доказательство. Пусть N* пробегает множество всех замкнутых окрестностей множества X в X*. Если N — часть цилиндра Мд, лежащая надХ*, то Й*(Х*, XT)^ljm Н* (X*, X*) и И* (Мд, X') ^ lim Н* (Мд, N U X') (Этот хорошо известный факт почти мгновенно вытекает из определения чеховских когомологий и теоремы о связи двойных и повторных пределов. Доказательство близких фактов имеется у Бредона [13], с. 52, и Спеньера [1], с. 411.) Далее, мы можем вырезать из X* окрестность множества Хт и из X—окрестность множества F. В силу 11.5.8, отображение Мд — F—^X* — Хт является в случае полусвободного действия расслоением на двумерные диски, причем расслоение на граничные окружности есть X'—Е->-Х*— — Хт. Ориентируемость этого расслоения следует из того, что оно является главным Т-расслоением. Требуемый изоморфизм вытекает теперь из относительного варианта изоморфизма Тома — Гизина для расслоений на диски. (Мы предполагаем его известным. Для абсолютного случая в сингулярной теории этот материал изложен у Спеньера [1], с. 335, и доказательства легко переносятся и в теорию Чеха. Достаточно общий случай имеется также у Бредона [13], с. 1501).)
Переходя к случаю конечного числа орбитных типов, заметим, что Т содержит циклическую подгруппу Н, содержащую все стационарные подгруппы, кроме самой Т. Так как Т действует в когомологиях тривиально, то из 7.2 для рациональных коэффициентов следует изоморфизм И* (Мд, Х')^Н' (Mn/H, X'lH). Но так как /И я/Я — цилиндр отображения Х/Д^-Х/Т = Х*, а Т/Д действует на Х/Н полусвободно, то требуемый изоморфизм вытекает из уже рассмотренного случая полусвободного действия. 1
Замечание. Можно доказать, что вторая часть леммы 10.4 справедлива и без предположения о конечности числа орбитных типов.
Используя эти изоморфизмы, косу рис. II 1.3 в каждом из двух случаев леммы 10.4 можно превратить в косу рис. II 1.4.
Из нее можно извлечь следующую точную последовательность (коэффициенты произвольные для полусвободного Т-действия и
принадлежат некоторому полю характеристики нуль для действия с конечным числом орбитных типов)
...^^Н‘(Х*, Хт) < Н‘ (XV—-^
^*ХН^(Х*, Х^НЦХ^^^Н^ЦХ*, Хт)<...,
где q* = j*X( = л*/? на рис. III.4. Эта последовательность называется последовательностью Смита — Гизина. Ее впервые получил Б редон [8] из спектральной последовательности Фари, см. также Б редон [13], с. 165. Точность последовательности Смита — Гизина легко доказывается диаграммным поиском по диаграмме рис. 111.4.
, я1^^) нХх*^ йм^Х *
X /к* /V X /
й1Х,х^ Ш 1ГЧх*,х^ HXV
X X X* V X* /* \
Рис. III. 4.
(См. также Уолл [1] для обобщения на диаграммы кос.) Отметим, что гомоморфизм ц* есть просто умножение па некоторый элемент группы № (X* — Хт) — эйлеров класс; это следует из аналогичного факта для классической последовательности Гизина.
Для простоты обозначений мы изучили лишь абсолютный случай. Ясно, однако, что для инвариантного замкнутого подмножества A cz X сказанное выше позволяет построить следующую последовательность Смита — Гизина:
,..^Н!(Х*, Л*иХт)-*-Д;(Х, Л)-^
-^ЙМ(Х*, Л*иХт)Э/Ххт, ЛЧ-^ХЧХ*, Л*иХт)^...
Используя эту точную последовательность так же, как раньше мы использовали последовательность Смита, можно доказать для действия окружности теоремы, аналогичные теоремам § 7. Для того чтобы использовать индукцию от бесконечности, мы должны наложить условия, гарантирующие равенство Н' (X*, Л* J Хт)=0 для достаточно больших L Очевидно, что для этого достаточно конечномерности пространства X, и этого условия достаточно для большинства приложений. Для полноты картины мы, однако, докажем, что достаточно лишь финитности пространств X и X*. (Мы не выясняем того, следует ли финитность X* из финитности X, однако это верно в двух важных частных случаях: для компактных пространств и для конечномерных сепарабельных метрических пространств, см. упражнение 3 гл. II.) Итак, будет доказано следующее щ едложенпе.
Предложение. Пусть окружность Т действует на пространстве X так, что имеется лишь котчное число орбитных типов, и пусть X и X финитны. Пусть, далее, А а X —такое замкнутое инвариантное подпространство, что Н'^Х, Д) = 0 при i^n. Тогда Н‘(Х\ Д*) = 0 при i">n и НЦХ*, Д*иХт) = 0 при i^n. Это справедливо как для рациональных, так и для целых коэффициентов.
Доказательство. Для любой конечной подгруппы К группы Т имеем Д'(Х//(, Д//() = 0 при 1>-п. Для случая рацио- нальпых коэффициентов это следует из 7.2.
Для случая целых коэффициентов мы можем, рассуждая по ишукции, считать, что К есть циклическая группа простого порядка р. Тогда НАХ/Х, А/Х; 2Д = 0 при П>п в силу 7.9 и точности последовательности тройки (Х/Х, A/K\J Хк/К, А/Х) Отсюда следует, что группа Н‘ (Х/Х, А/Х; Zp) p-делима при 1>п, и стандартные рассуждения с трансфером показывают, что эта группа тривиальна (см. доказательство теоремы 5.4, а также упражнение 9). Таким образом, все сводится к случаю полусвободного действия ^
Предположим, что Н^ЦХ*, A* (J Х^^фН1 (Хт, Дт)^0 для некоторого 1>п. Тогда композиция (отображений последовательности Смита — Ризина)
Д'-1 (X*, A* U Хт) Э^Ч^Г, Лт) Д'-1 (X*, A* (J Хт)
ДНЗ(Х*, Д*ихт)
состоит из мономорфизмов. Поэтому достаточно доказать, что любой заданный элемент ро е Д'41 (X*, Л*иХт) аннулируется достаточно большой степенью гомоморфизма р*. Но ро лежит в образе группы Д'41(Х*, Д*иД*) для достаточно малой замкнутой окрестности N* множества X1 и соответствует при изоморфизме вырезания некоторому элементу р е Д'41 (X* — U*, (Л* (J Л/*) — U*), где (7* — некоторая открытая окрестность множества X1 в NV (В случае теории Чеха можно взять (7* лежащей внутри N*, но в данном случае в этом нет необходимости.) Мы воспользуемся тем, что р* есть умножение на некоторый элемент а0 е Н-(X* — Хт). Итак, ^^(Ро) является образом элемента оф в группе ДЙЗ(Х*, Л*0Хт), где а — ограничение элемента а0 на группу Дг(Х* —(7*) Так как замкнутое подмножество финитного пространства является, очевидно, финитным, то достаточно доказать следующую лемму.
Лемма. Пусть В — замкнутое подмножество финитного пространства У. Для любых $еНЦУ, В) и аеНЦУ), где i>0, найдется такое k, что акр=0.
Доказательство. Существует такое конечномерное покрытие 11 пространства У, что аир являются соответственно образами элементов а' =н Н'К (11) и Р' е Н' (К (И), К (И\ В)). Тогда (а')*Р' = 0 при /«+/>dim 11, откуда следует, что а*Р = 0. |
Из 10.6, 10.7 и доказательства теоремы 4.1 легко извлечь доказательство следующей теоремы.
Теорема. Пусть окружность Т действует на X так, что имеется лишь конечное, число орбитных типов, и пусть X и X* финитны. Пусть, далее, А а X — замкнутое инвариантное подмножество. Тогда, с коэффициентами в поле рациональных чисел (Q, имеем
rk/f"-1^*, A*UXT)+ £ rk№2Z(XT, А1)^ § rk№2Z(X, А).
i — 0 t — о
Если группа Н* (X, А) конечно порождена над (Q, то таковы и группы Н* (Хт, Ат) и Н* (X*, А*) и, кроме того, % (X, А) = = Х(Х\ АТ). |
Замечание. Теорема 10.9 справедлива и без предположения о конечности числа орбитных типов, это же верно в отношении всех остальных результатов, использующих лишь рациональные коэффициенты (10.10—10.12).
Для удобства назовем Р-прсстранство X Р-финитным, если пространство орбит любого подтора финитно.
Следствие. Для У^финитного пространства X теоремы 10.2 и 10.3 останутся верными, если в их формулировке везде заменить целые коэффициенты рациональными. §
Следствие. Пусть окружность Т действует на финитном пространстве X так, что имеется лишь конечное число орбитных типов, и пусть X и X* финитны. Пусть, далее, Асе X — замкнутое инвариантное подмножество. Предположим, что № (X, A; Q) = 0 для всех нечетных (соответственно четных) j. Тогда W (X v, Ат; Q) = 0 для всех нечетных (соответственно четных) j и справедливо равенство
2 rk № (Хт, Ат; Щ) = ^ rk № (X, A; Q).
Доказательство. Первая часть немедленно следует из 10.9. Что касается второй части, заметим, что из 10.9 следует равенство НДХ*, A*UXr) = 0 для четных / и что последовательность Смита расщепляется на короткие точные последовательности
0->Нг!(Х, А)->№!ЧХ*. A»UXT)3/72i(XT, Ат)-^
-^lTzi^ (X*. A* |JXT)-^O.
Итак, rk/У (ХТ Л-) + гк/У^^^ Л* (J X')^rk^(X, Л) + +гк/У+1(Х*, Л* J Хт), откуда, после сложений и сокращений, следует желаемое равенство. |
Теорема. Пусть 2 есть V-финитное V-пространство, являющееся рационально когомологической п-мерной сферой. Предположим, что на 2 имеется лишь конечное число орбитных типов и нет неподвижных точек. Для подтора Н ст Т' размерности к — 1 обозначим через г (И) такое целое число, заключенное между —1 и п, что U1 есть рационально когомологическая г-мер- ная сфера. Тогда ч + 1 = У, (г (Я)+ 1), где суммирование ведется н
по всем (k — 1)-мерным подторам Н с: ТС
Доказательство. Так как множество элементов всех подгрупп-окружностей плотно в Т\ то имеется такая окружность, скажем, S, действий которой не имеет неподвижных точек. Точность последовательности Смита — Гизина показывает, что НЧ^н/5;^ = ® при /=0, 2, 4,..., л-1 и НЦ^"/5;^ = 0 при других I. Заметим, что точка х е 2 тогда и только тогда неподвижна относительно действия некоторого подтора коразмерности 1, когда ее орбита имеет размерность 1 (и, следовательно, совпадает с S (х)). Это в свою очередь равносильно тому, что образ х в 2/S неподвижен при (Т*/5)-действии. Кроме того, множества неподвижных точек 2я попарно не имеют общих точек. Следовательно, множество (2/S)T*/s является дизъюнктным объединением множеств вид 2я/5. Как и выше,
®Д®™‘-°' 2г<н)~1,
( 0 в остальных случаях..
Итак, У rk Н'^/S; Щ) = (л + 1 )/2 и
^гкНДОИЗД'^-, (Е)) = ^Угк//-'(2я/5; ^) = -^(г (Щ + 1), гн iн
где первое равенство вытекает из 10.11 и очевидной индукции, g Замечание. Теорему 10.12 впервые получил Борель [5]. Эта теорема легко обобщается и на случай наличия неподвижных точек, что п сделал Борель, но для нас интересен лишь рассмотренный случай. Борель доказал также аналогичное утверждение для действия группы Z;) О ... © Zp.
Теорема. Пусть окружность Т действует на пространстве X так, что имеется лишь конечное число орбитных типов, и пусть X и X* финитны. Пусть, далее, A cz X — замкнутое инвариантное подмножество. Если группа И* (X, A; Z) конечно порождена, то таковы же и группы Н* (Хт, АТ; Z) и Н* (X*, A*; Z).
Доказательство. Докажем сначала, что для группы Zp с: 7 группа Н* ^ХЦР, АЦр, Z) конечно порождена. (Заметим, что это —частный случай упражнения 1.) Композиция гомоморфизмов Н* фХЦр, АЦр, Z)^H*(X- A; Z)^H*(X/ZP, A/Zp; XV согласно свойству трансфера, есть гомоморфизм умножения на р, образ которого конечно порожден, так как этот гомоморфизм пропускается через конечно порожденную группу. Поэтому достаточно доказать, что ядро умножения на р есть конечно порожденная группа. Но это следует из точности последовательности, индуцированной коэффициентной последовательностью 0->Z->Z-> ->ZP->0, так как группа Н* ^ХЦР, А)ХР\ Т^ конечно порождена в силу 7.9. Используя индукцию, легко показать, что группа И* кХЦ™ AfLnX Z) конечно порождена для любой циклической подгруппы Zn cz Т. Итак, задача сведена к полусвободному действию. Но в этом случае все следует из точности последовательности Смита — Гизина с целыми коэффициентами с использованием индукции от бесконечности и точности последовательности тройки (X*, A* U Хт, А*) (сравните с доказательством предложения 10.7). |
Следствие. Если пространство X Тк-финитно, то утверждения теорем 10.2 и 10.3 являются верными и без предположения о конечности числа орбитных типов. |
Пример. Тот факт, что требование конечности числа орбитных типов в теоремах 10.2 и 10.3 необходимо, показывает следующий пример. Пусть в 10.3 п = 0 и А = ф; зададим действие TxS1-^-S1 группы Т на S1 (=Т) формулой (z, z') i—*2”z'. Окружность S1 с таким действием обозначим через S1 (п). Отображение zi—>z2 задает эквивариантное отображение /: S1 (и) —^S1 (2п). Пусть, далее, Р2 — проективная плоскость с тривиальным Т-дей- ствием, и пусть X— объединение (телескоп) цилиндров отображений джойнов
Р2 * S1 (1) -- Р2 * S1 (2) W Р2 * S1 (4) ^...
Тогда X односвязно и ациклично над Z (так как l*f индуцирует в когомологиях тривиальное отображение), поэтому X стягиваемо. Но Хт^Р2х[0, оо) имеет нетривиальные гомологии, Я2(ХТ; Z)^Z2.
Пусть х — неподвижная точка этого Т-пространства X, и пусть Хг —копии Т-пространства X, где точке х = Х отвечает точка Xi е Xt. Приклеим каждое Х; к вещественной прямой, отождествляя точку х, с числом I. Возникшее пространство Y снова стягиваемо, но группа /У2 (Ут; Z) есть прямое произведение счетного множества экземпляров группы Za и, следовательно, не является конечно порожденной. Это показывает, что условие конечности числа орбитных типов существенно и в 10.13. (Легко
доказать, однако, что для компактного X такая неприятность не может случиться.)
Замечание. Теоремы, сходные с теоремами этого параграфа, впервые получили Коннер [3] и Флойд [9]. См. также Борель J5J.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ III
Пусть О — конечная группа и /( — конечномерный регулярный 6-комплекс. Докажите, что из конечной порожденное™ группы Н (К; Z) следует конечная порождениость группы 1ЦК(0; Z)- Обобщите этот результат на когомологии финитных 6-пространств
Выведите из 5.1 юорему 5.2; сделайте это и для обобщений этих результатов на фин иные 6-пространства (см. 7 И).
Пусть 6 —циклическая группа порядка р и К — конечномерный регулярный 6-комплекс. Предположим, что К является Zp-гомологической «-мерной сферой и что KG есть Z^-гомологическая r-мерная сфера. Покажите, что
( Zp для ( = 0,
HiVKlG", Z^) = j Zp ДЛЯ r + 2s£i^n,( 0 для остальных i.
Если К—целочисленно гомологическая «-мерная сфера, то (без каких-либо предположений о KG1) покажите, что при четном п—г имеем
{
Z для 1 = 0, л,
Zp для ( = г + 2, г -ф 4п—2,
0 для остальных i,
а при нечетном п — г (и, следовательно, при р = 2)
( Z для 1=0,
Hi(K/G\ Z) = < Zp для 1 = г-ф2, г4-4,... , п — 1,(( для остальных i.
Докажите также, что при р = 2 число «— г тогда и только тогда четно, когда 6 действует на Нп (К; -Z) тривиально Сформулируйте аналогичные утверждения для когомологий и докажите их для финитных пространств.
Покажите, что последовательность 3.1 точна и для произвольных коэффициентов при условии, что L з А'6 и о есть один из элементов а, т, а р—другой Докажите, что это верно и для произвольной циклической группы 6 при условии, что она свободно действует на множестве симплексов из К, не лежащих в L.
Рассмотрим следующее условие на 6-комплекс К: если (и, и) и (gn, и) — ребра в К. то или g« = «, или gv = o. Покажите, что это условие влечет регулярность и что обратное неверно Покажите также, что действие на втором барицентрическом подразделении комплекса К всегда удовлетворяет этому условию.
Пусть U — локально конечное 6-покрытие 6-простраиства X. Покажите, что оно обладает минимальным инвариантным подпокрытием. Покажите, что если к тому же U— минимальное самоиндексироеанное покрытие, то К(2У)/6=м «к К (#<;)
Обобщите 7.14 па случай отображений f: (X, Д) ->(У, S) замкнутых пар паракомпактных 6-пространств. (Указание. Если Г: Л-* Я—ограничение отображения }: X V, то как включение (X, А)-^Л1г J-^, 'И/'А так и ре-
тракция (Mf, MfV^C1'. iM и иду цир5'юг в когомологиях изоморфизмы. Затем рассмотрите точную последовательность тройки <Mf, Mf (J X, MfY
Пусть G— циклическая группа простого порядка р, и пусть Е— такое связное компактное свободное 6-пространство, что НЧЕ^ = й при 0 < i < У) Положим B = E[G. Эквивариантная проекция (ХхД, XG XЕ> ->- (X, XG) индуцирует отображение (X X G Е, XG х 5) (X *, Х°) пространств орбит (где X—некоторое 6-пространство). Покажите, что для п^ракомпактного X индуцированное отображение НЧХ*, X6-) ->■ /7' (XxG Е, Xе х В) является изомор. физмом при KN и мономорфизмом при i = N (коэффициенты из Zp или Z)- Докажите, что если X финитно и ИЦХ; Zp) = 0 при i > п (где п < X), то ограничение НЧХх0Е\ Zpi-* Н* kXGxB; Zp) является изоморфизмом при п -С i < N — 1 и эпиморфизмом при I — п. (Указание. Воспользуйтесь упражнением 7. Отмстим, что этот факт является основой мощного метода исследования преобразований простого периода, которые мы изучим позже. Для этого, однако, потребуется знание теории спектральных последовательностей.)
Пусть конечная группа G действует на финитном пространстве X, и пусть A cz X—замкнутое инвариантное подмножество. Предположим, что Н‘ЦХ, A; Z) = 0 при 1>п. Покажите, что v//‘(Х/G, A/G; Z) = 0 при i > п.
Покажите, что не существует такого полусвободного (Zp Q Zpl-действия на финитной Zp-когомологической n-мерпой сфере X, которое имеет множеством неподвижных точек Zp-когомологнческую /--мерную сферу F, где — 1т ~сг<п. (Указание. Применив при необходимости двойную надстройку, можно считать, что гф1. Пусть G = 6,х62, где G, — циклическая группа порядка р. Заметим, что F = (№')G2. Рассмотрите проекцию X-»-X(Gv как 62-эквивариантное отображение и изучите гомоморфизм последовательностей Смита (для 62-действия), индуцированный этим отображением.)
Докажите, что конечная группа 6, которая может свободно действовать на компактной целочисленно когомологической n-мерной сфере 2", имеет периодические когомологии периода п + 1. т. е. Н‘(G; Z) = Hi+n+1 (,G; Z) для всех i > 0. (Указание. Взяв джойн нескольких экземпляров сферы 2", увидим, что G может свободно действовать и на когомологической У-мерной сфере SN со сколь угодно большим N. Рассмотрите скрученное произведение T,nXG"SN и его проекции на 2”/6 и "£N/G, являющиеся расслоениями со слоями соответственно Sw и 2". Затем изучите последовательности Ризина этих отображений.)
Пусть группа 6 = S3 единичных кватернионов действует на параком- пактном пространстве X полусвободно. Получите следующую точную последовательность Смита—Ризина (с произвольными коэффициентами)
...-^ИЦХ*, Х^-^НЦХ^Н^ЧХЧ Х^фНЧХ^Н^ЦХ*, Х0')-*...
Обобщите ее на случай пары (X, Л), где А — замкнутое инвариантное подмножество в X,
Пусть X—такое финитное пространство, что группа Д‘(Х, Z) конечно порождена. Предположим, что 6 = ZP, р —простое, действует на X так, что индуцированное 6-действие на Н* (X; Z) тривиально. Покажите, что %(Х) = =%(XG). (Указание. Воспользуйтесь теоремой 7.2 и упражнением 1.)
Глава IV
ЛОКАЛЬНО ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
В этой главе мы приступаем к систематическому изучению действий компактных групп Ли на многообразиях. За небольшими исключениями, результаты, изложенные в этой главе, являются довольно общими. Наше изложение посвящено локально гладким действиям, соответствующую категорию можно считать эквивариантным аналогом категории Тор топологических многообразий. (Мы оставляем без доказательства ряд глубоких результатов об этой категории действий: именно, не доказываются результаты, несправедливые для произвольных действий компактных групп Ли на многообразиях, однако нам кажется, что изучение категории локально гладких действий в будущем докажет свою плодотворность.)
Локально гладкие действия определяются в § 1, где показывается также, что такие действия на R" имеют лишь конечное число орбитных типов. Ориентируемость множеств неподвижных точек и связанные с этим вопросы рассматриваются в § 2. Понятия главных, исключительных и особых орбит вводятся и изучаются в §§ 3 и 4. В § 5 доказывается теорема, позволяющая сводить некоторые ситуации к случаю, когда главная стационарная подгруппа конечна. Параграф 6 посвящен одному результату Бореля о действиях на сфере, которые имеют лишь один орбитный тип. Некоторые общие факты о множестве неглавных орбит изложены в § 7. В § 8 мы доказываем теорему Монтгомери, Самельсона и Янга о том, что локально гладкое действие на R", имеющее лишь орбиты коразмерностей 1 и 2, ортогонально. Теорема Коннера и Монтгомери о том, что действия торов устроены довольно просто, доказывается в § 9. В § 10 мы доказываем теорему Манна о том, что действие на ориентируемом многообразии с конечно порожденными группами гомологий имеет лишь конечное число орбитных типов.
Все многообразия предполагаются паракомпактными, независимо от того, оговаривается это специально или нет.
Локально гладкие действия
Пусть G —компактная группа Ли и М — некоторое G-npocr- ранство. Обозначим через Р некоторую орбиту типа GIH, и пусть V —евклидово пространство с ортогональным действием группы И. Линейной трубкой вокруг орбиты Р в пространстве М называется трубка (G-эквивариантное вложение на открытую окрестность орбиты Р) вида ф: GXnV М. Если х = (р[е, и] —точка орбиты Р, то точка и неподвижна относительно //-действия и, так как на V сдвиг, переводящий у в 0, эквивариантен, то без ограничения общности можно считать, что у —0.
Пусть S —срез пространства М в точке х. Назовем срез S линейным, если канонически ассоциированная с ним трубка GxOxS-*M, [^, s]<—*^(s), эквивалентна линейной трубке, т. е. если С^-пространство S эквивалентно некоторому ортогональному G-пространству. Заметим, что 11.5.2 утверждает существование линейной трубки вокруг любой орбиты ортогонального действия ik" (в следующей главе мы покажем, что это верно и для любого дифференцируемого действия).
Назовем G-пространство М локально гладким, если вокруг любой орбиты существует линейная трубка.
Так как GXhV есть V-расслоепие над G/H, то оно является многообразием. Следовательно, если Л/ локально гладко, то оно должно быть топологическим многообразием. Категория всех локально гладких G-действий является, следовательно, эквивариантным аналогом категории Тор топологических многообразий.
Если G-пространство М локально гладко, то для любой неподвижной точки х е М найдется инвариантная окрестность, G-действие на которой эквивалентно ортогональному. Следовательно, в локально гладком случае М° есть топологическое подмногообразие в М.
Если взять открытые конусы над пространствами из примеров § 7 гл. I, то получатся такие действия на евклидовом пространстве, множества неподвижных точек которых не являются локально евклидовыми в начале координат. Следовательно, не все действия на многообразиях являются локально гладкими.
Предложение. Если М —локально гладкое G-npocm- ранство и К cl G — замкнутая подгруппа, то М есть локально гладкое ^-пространство.
Доказательство. Пусть Р — некоторая G-орбита в Л/ типа G/H. Рассмотрим G как орбиту (G х С)-действия (заданного левыми и правыми сдвигами) и напомним, чю тогда G можно вложить в некоторое R” как орбиту некоторого ортогонального (G х Содействия; см. § 5 гл. II. Ограничим это действие па КхН и рассмотрим орбиту КН точки е в Gc"6i". (Отмстим, что стационарная подгруппа этого действия в точке е есть [(I, ЬЧ\1 ^К^ХЩ
и, следовательно, изоморфна К П Н.) В силу II.5.2 е-шар Уе в нормальном пространстве к КН в R" в точке е есть срез этого (КхЯ)-действия на х". Теперь ясно, гТ0 IF = VK П G есть срез (КхН)-действия на G в точке е. Далее, W эквивалентно (как (К X //^пространство) пересечению Уе с касательным пространством к G (при достаточно малых е) и, следовательно, IF является срезом группы G в точке е для этого (Кх//)-действия.
Положим L = K(\H. Так как ^ х//)-действие на G задает на ней левое К- и правое //-действия, то L = K^\H действует на IF, (/, ю) ।—> IwH1
Считая, что L действует на К правыми сдвигами, на // — левыми (откуда возникает L-действие на IF х Н вида (/, (w, h)) i—* ।—» (/к1/"1, //г)) и используя сказанное выше, увидим что отображение ср: К х l (IF х Н) ->• G вида ф [^, (w, h^\ = kwh есть (КхЩ- трубка в G вокруг КН.
Пусть теперь гр: G xHU-±- М — линейная трубка вокруг данной орбиты Р, и пусть х = гр[е, 0] (напомним, что H = GX). Тогда композиция
(К х L (IF х Я)) х н U^hU. Gx„U -11-- М
является /(-эквивариантным глажением на открытое множество в силу II.2.1. Но
(KxL(W xH^xhU ^Kxl((W xH)xhU^
^Kxl(Wx(HxhU))^Kxl(WxU)
и индуцированное отображение 6: К X л (IF х U) -»■ А/ имеет вид 6 [&, (w, и)] = ф[ф[^, (w, е)], и ] = тр|"АйУ, и]. Следовательно, 8 есть /(-эквивариантный гомеоморфизм на открытую окрестность К- орбиты точки 0 [е, (е, О)] = ф[е, 0] = х. Так как IF и [/ — ортогональные L-пространства (при диагональном L-действии на IF х LT и так как L = KV\H = КХ, то 0 есть линейная К-трубка вокруг К (х) в М. |
Замечание. Это предложение является, конечно, тривиальным следствием теоремы, которую мы докажем в главе VI, о том, что дифференцируемое действие локально гладко. Читатель, хорошо знакомый с дифференциальной геометрией, возможно, предпочтет этот подход.
Так как ортогональное G-действие имеет лишь конечное число орбитных типов (см. гл. II, упражнение 2) и гак как типы стационарных подгрупп G-действия на G х HV возникают из соответствующих типов подгрупп для //-действия на V, то отсюда легко вытекает следующий результат.
Предложение. Пусть /И — локально гладкое G-npocm- ранство и С —компактное подмножество в М. Тогда число орбитных типов тех орбит, которые пересекаются с множеством С, конечно. F
Замечание. Эпи результат справедлив и для произвольного действия компактной группы Ли на многообразии (и даже на обобщенном многообразии), ио соответствующее доказательство значительно сложнее. Общий результат получен Мостовым [2], Флойдом [8] и Манном [1]. Изложение этого результата имеется в книге Бореля [5], гл. VI, VII. Доказательство следующего ниже результата позаимствовано у Флойда [ 11) и содержит некоторые гспекты доказательства общего результата.
Теорема. Пусть М — паракомпактное топологическое многообразие с тривиальными X р-когомологиями для всех простых р (например, ?Л=РЛ). Тогда любое локально гладкое действие тора на М имеет лишь конечное число орбитных типов.
Доказательство. Пусть хг, ха, ... — последовательность точек из М с попарно различными стационарными группами. Так как множество р.ссх замкнутых подмножеств тора Т является компактным метрическим пространством относительно хаусдорфовой метрики d(A, B) = maxd(a, В) 4-max d (А, Ь), то можно считать, переходя при необходимости к подпоследовательности, что ТХ1 сходятся к (обязательно подгруппе) Ис7. В силу II.5.6 и коммутативности группы G для больших i имеем TYlczG. Можно считать это справедливым и для всех I. Допустим, что нам удастся доказать равенство F(Txp ЛТ^ = F (TXj, /И) для достаточно больших i и /. Тогда Т ч оставляет неподвижной точку X;, так что ТХ( cz ТХ(, и аналогично TXj cz ТХ( для достаточно больших i и /, что противоречит нашему предположению. Таким образом, все сводится к следующей лемме.
Лемма. Пусть М такое же, как в 1.3, и пусть G — компактная группа Ли, локально гладко действующая на М. Пусть, далее, (G(-ii=l, 2, .. Д — некоторая послдовательность подгрупп группы G, сходящаяся к G. Тогда для достаточно больших i и j имеем F (G,, MA=F(Gj, М).
Доказательство. Сначала отметим следующий факт Пусть S — тор, действующий на /И, и пусть Кл с К2 cz ... — последовательность его р-подгрупп (р — фиксированное простое число), сходящаяся к 5. Тогда Р(КИ АЛ)оР(К.,, о) ... есть последовательность ХР-ацикличных (и следовательно, связных) многообразий с Р/Д/ф, M) = F(S, .И). Однако размерность dim/-'(Л), .11) с ростом i становится постоянной и, следовательно, по теореме об инвариантности области, начиная с некоторого I, все множества F (К,, ЛА) совпадают Стелс’ятельпо, F(S, ЛА) есть Zp-ацик- личноо многообразие (для всех р). Заметим также, что F (G, Л?) = = П т (Gi, М).
Теперь мы докажем лемму индукцией по dimG. Можно считать, что dimG>0. Переходя при необходимости к подпоследовательности, можно считать все F(G;, М) попарно различными. Так как {G,} сходится к G, ясно, что порядки | G,-1 групп Gt стремятся к бесконечности (где ! Gz- j = оо при dimGz->0). (Чтобы увидеть это, возьмите пересечения групп G, с единичной компонентой группы Go группы G и рассмотрите их проекции на некоторую подгруппу-окружность группы Go.) Следовательно, мы можем выбрать такие подгруппы Hi групп Gu что порядок группы Hi есть степень некоторого простого р (причем р, вообще говоря, зависит от i) и что | Ht | стремятся к бесконечности (так как наибольший примарный делитель числа п стремится к бесконечности при стремлении п к бесконечности). Переходя к подпоследовательности, мы можем считать, что последовательность (НД сходится к замкнутой подгруппе SczG. Тогда dimS>0 в силу того, что | Н, | стремится к бесконечности. При необходимости пересекая Н, с компонентой единицы группы S, мы можем считать S связной группой и, следовательно, тором.
Так как G действует локально гладко и, следовательно, имеет лишь конечное число орбитных типов вблизи любой данной неподвижной точки х, то для больших i вблизи х имеем F (Hi, М) = = F(S, М). Но оба эти множества — связные многообразия, поэтому F(Hit M) = F(S, М) для больших I. Тогда для больших i имеем F(Gi, M) = F(Gt, F(Hi, M)) = F (G£, F (S, 44)) = = F ((GjS)/S), F(S, /И)). Так как dim G/S < dim G, то согласно индуктивному предположению для достаточно больших I множество в правой части этого равенства не зависит от I, что противоречит нашему предположению о том, что все множества F (Gi, М) различны. |
Замечание. В § 10 мы докажем результат Манна [2] о том, что заключение теоремы 1.3 истинно для всех ориентируемых многообразий с конечно порожденными группами гомологий.
Из 1.3 и III. 10.14 вытекает
Следствие. Если М —ацикличное (над целыми числами') паракомпактное многообразие (например, 44 = й"), и если тор Т действует на М локально гладко, то МТ тоже ациклично (над целыми числами). §
Пусть ф: G хн V V — линейная трубка с ф[е, 0] = х. Представление группы GX = H на V называется представлением на срезе в точке х). Мы не называем его срезом представления изотропии) в точке х, так как нельзя указать способа, однозначно (с точностью до линейной эквивалентности) определяю-
Щего представление по точке х. К тому же на самом деле неясно, имеет ли место эта однозначность. (Мы, однако, отметим, что для дифференцируемого действия, когда ср должно быть диффеоморфизмом, представление на срезе однозначно определяется точкой ху В случае, когда х — неподвижная точка, этот вопрос сводится к вопросу о том, будут ли два топологически эквивалентных представления компактной группы Ли линейно эквивалентны, что в общем случае неизвестно.
Мы закончим этот параграф замечанием об определении локально гладких действий на многообразиях с краем. Здесь надо требовать, чтобы для орбит Р, лежащих в дМ, трубки имели вид ср: GXh V+^-M, где ср[е, 0]еР, V+ обозначает полупространство Xj^O в R" = V (Xj —первая координата) и Н действует на V+ ортогонально. (Разумеется, так как V+ должно быть инвариантным, то группа Н должна оставлять хговь неподвижной.)
Множества неподвижных точек отображений простого периода
В этом параграфе мы установим некоторые результаты о множествах неподвижных точек локально гладких действий на М циклической группы G простого порядка р. Наш первый результат гласит, что если М ориентируемо и р нечетно, то М° тоже ориентируемо. Это неверно для р = 2, что показывает пример инволюции (х0: х3 : х2: х3) •—* (— х0: хг: х2: х3) на вещественном проективном пространстве КР3, множество неподвижных точек которой есть объединение точки и RP2.
Теорема. Пусть G — конечная группа нечетного порядка или тор, и пусть G локально гладко действует на п-мерном ориентируемом многообразии М. Тогда каждая компонента многообразия Ма ориентируема.
Доказательство. Случай тора сводится к случаю р-груп- пы, так как каждая компонента пространства М° является также компонентой множества неподвижных точек некоторой группы порядка рк (см. доказательство теоремы 1.4). Кроме того, очевидная индукция (использующая тот факт, что группа нечетного порядка разрешима) сводит случай конечной группы нечетного порядка к случаю циклической группы G порядка р, которым мы и займемся.
Пусть х е М — неподвижная точка, и пусть ее компонента в М° имеет размерность г. Пусть U — содержащий х открытый n-мерный шар, на котором G действует ортогонально (такой шар существует в силу локальной гладкости действия). Обозначим через М+ одноточечную компактификацию многообразия М, так что Л4+ = Л1и{оо}. Так как (Л4+, М* — U) есть когомологическая
клетка в силу теоремы вырезания, то замечание* после III.5.2 (переформулированное для когомологий), устанавливающее изоморфизм 111.(5.3), показывает, что имеется коммутативная диаграмма (где область коэффициентов есть Zp и S = Mt — U)
нг(м1, в°у^ н^м» В) ...^-Ht(M+, В) ^НП(М+, в) нг (Ml, oo) 6’. (Ma-, oo) —Hx (Ma-, oo) 2*. Hn (Ma-, oo)
(вертикальное отображение справа есть изоморфизм в силу ориентируемости Л4). Далее, Нп (М+\ oo) = Zp. Изложенные после III.5.2 (и в доказательстве теоремы III.9.2) рассуждения, использующие последовательности ^мита, показывают, что гомоморфизм 1* в нижней строке есть изоморфизм. Анализ диаграммы показывает теперь, что НГ(М°, (М+ — и)0) Нг (м1, оо) есть мономорфизм.
Если F — содержащая х компонента в MG и F^ = F J {со}, то отображение />: All Fпереводящее все остальные компоненты множества Ма в со, является ретракцией. Поэтому возникает коммутативная диаграмма
Хр^Нг(Ра, F^-U^-H^m!,, (Ma--U)g)II
Н’ (F.v, co) IL Hr (Ml, оо)
откуда следует, что Hr (Fa-, оо)^=0, и поэтому F ориентируемо (так как р нечетно), g
Заметим, что эти рассужденияг) применимы и для случая р = 2 (но это, конечно, не дает ориентируемости). Рассмотрим эту ситуацию более подробно в случае, когда М компактно (исключительно для удобства). Пусть 6Г обозначает композицию Нг (м6) Но+1 (М) — ... — Нр (М) ^* Н" (М) (при 'р = 2 имеем р —о). Мы показали, что отображение 9rjp нетривиально и, следовательно, есть изоморфизм в случае, когда F — компонента М° и М ориентируемо (или р = 2). Далее, имеется изоморфизм Hr (MG) «« PJ Hr (F) с каноническими вложениями /> (и ПроектаVV
циями — ограничениями Hr (MG)^-Hr (F), индуцированными включениями FcMG\ Пусть 0 ^X е Н" (М) — «ориентация» над Zp), и пусть Хр g Hr (F) — индуцированная ориентация много
образия F, где F — некоторая r-мерная компонента пространства М('. При этом Хр выберем так, что 9rjp (ХР) = X. Положим Хр= ГН^ г Hr (MG\ Фиксируем г, возьмем r-мерные компоненты Fx, ..., Fk пространства М° и рассмотрим элемент а = — ^ фЦ, a.^Zp, группы Hr(MGY Ясно, что 6r (X) = (£ а^ X. Далее, гомоморфизм 6*: Нг (Л4°) -> На^ 1 (М) аннулирует а лишь в том случае, если это делает 6, т. е. лишь при ^а< = 0 e Zp. Так как диаграмма 111.(7.8) в нашем случае принимает вид
ЙЦМ)-* НЦМа> —НГ*ЧМ*, Ма) ■л* 1(0. 1) ’=»
ДДЛ!)-* Н^МШИ^М0) — Н^ ''(М),
то элемент а является образом элемента группы Нг (/И*) лишь при 6*(а) = 0, т. е. лишь при £а/ = 0. Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема. Пусть М — компактное ориентируемое (над Zp) многообразие, на котором локально гладко действует циклическая группа G простого порядка р. Тогда Л4а Z;,-гомологично нулю в M* = MjG в следующем смысле; пусть г —некоторое целое число, и пусть Fx, ..., Fk суть r-мерные компоненты множества М°. Тогда существуют такие ненулевые классы Х[ е Hr (Fp ZPY соответствующие классам X, е Hr (MG; ZPY что если ^аще <=im(Hr(M*; Х^^НЦМ0; Z,,)), то ^OeZ,. g
Отметим, что для гомологий аналогичное утверждение указывает на существование таких ненулевых классов р/ е Hr(Fi, Zp) и такого класса р' е Hr (MG — (J Fp ZP) (возможно, нулевого), с образами р; и р в группе Hr(MGY что p-f-^Р/ переходит при гомоморфизме НГ (М°) ->- Hr (М*) в нуль.
Следствие. Компактное ориентируемое над Zp многообразие не допускает никакого локально гладкого действия группы простого порядка р, имеющего в точности одну неподвижную точку. g
Следствие. Если локально гладкая инволюция на компактном многообразии М имеет лишь изолированные неподвижные точки, то число последних четно. Ц
Следствие. Пусть М — ориентируемое над Zp компактное многообразие, и пусть г — максимальная размерность компонент пространства М°. Предположим, что MG имеет лишь одну r-мерную компоненту, обозначенную через F. Тогда F не является ретрактом пространства М*.
Доказательство. Если F — ретракт пространства М*. то ЙГ(М*; ZP)^~Hr (F; ZP) — эпиморфизм, так как ретракция инду-
пирует правый обратный этому гомоморфизм. Но так как все компоненты из М°, кроме F, имеют размерность, меньшую чем г, то Hr (F; Zp) = Hr (MG; ZP), что противоречит теореме 2.2. §
Замечания. Теорему 2.1 доказал Смит [2]. Мостов заметил, что данное Смитом доказательство теоремы 2.1 доказывает, по существу, теорему 2.3. Теорема 2.2 и ее следствия взяты из работы Б редон а [3], где спрашивалось также, можно ли распространить эти результаты на произвольные р-группы. То, что этого сделать нельзя, показывает пример отображения (z0 :zx :z2)i—- н-► (20 : — 22 : zj пространства СР2 в себя, имеющего период 4 и единственную неподвижную точку (1 :0:0) (пример взят у Коннера и Флойда [8]). Аналогично отображения ©Р3^-€Р3 вида (z0: zt: z2: z3) .-* (z0: z2: z3: zj и (z0: z,: z2: z3) f— (z0 : гг: z2: coz3), где co — первообразный кубический корень из единицы, задают действие группы порядка З1, имеющее единственную неподвижную точку (1 :0 :0 :0). Тем не менее Коннер и Флойд [8] высказали гипотезу об истинности следствия 2.3 для гладких действий циклических групп, порядок которых есть степень нечетного простого числа. Позже эту гипотезу доказали Атья и Ботт [2] и Коннер и Флойд [9]. Справедливы ли более широкие обобщения теоремы 2.2 для действий циклических групп порядка рг, р > 2, —остается неизвестным.
Мы закончим этот параграф достаточно простым глобальным вариантом теоремы Янга [2]; ее далеко идущее обобщение будет дано в главе V. Для его мотивировки отметим, что множество неподвижных точек инволюции на сфере является Zg-когомологической сферой. Кроме того, примеры § 7 гл. II показывают, что это множество неподвижных точек может иметь коразмерность 2 и обладать нечетным кручением в гомологиях. Следующий результат показывает, что в коразмерности 1 такого быть не может.
Теорема. Пусть группа G = Z2 локально гладко действует на компактной целочисленно когомологической п-мерной сфере 2 так, что dim2G=n —1. Тогда 2° является целочисленно когомологической (и — 1)-мерной сферой, а 2* ациклично над целыми числами и обладает сечением в 2.
Доказательство. Мы знаем, что f/*(2G; Z^^ «Н*^*-1; Z2). Точность последовательности 0-> Hrt~1 (VG; Z2)-> ->Д"(2, 2G; Z^frO- Z2)-*0 пары (5, 2G) и изоморфизм двойственности Александера Н" ^, 2е; Z,) ^ Н„ (2 — 2G; Z2) показывают, что 2—2G состоит из двух компонент. Пусть Мг и М2 — замыкания этих компонент, так что Af,UAf2 = S и MtnMi = ^G- Рассматривая окрестность любой точки множества 2е, увидим, что G переставляет Mx и М„ и, следовательно, Mi^ M4^h*. Наличие отображения 2->2*^Л4х показывает,
что Л1, есть ретракт сферы 2, поэтому Н* (2*; Z) является прямым слагаемым группы Н* (2*; Z), и потому 2* ациклично. Теперь из двойственности Пуанкаре —Лефшеца Hw (2°; Z)
2°; Z) Hn-i (2*; Z) следует, что 26 имеет те же целочисленные когомологии, что и (л — 1)-мерная сфера. |
Главные орбиты
В этом параграфе мы докажем существование максимального орбитного типа для локально гладкого действия на связном многообразии и обсудим некоторые следствия этого. Подобно большинству результатов этой главы, данный результат может быть доказан и без предположения о локальной гладкости (см. .Монтгомери [6]), однако сделать это значительно труднее. В этом параграфе G обозначает компактную группу Ли, действующую на «-мерном многообразии М локально гладко и так, что М* = = MiG связно.
Теорема. Для G-действия на М существует максимальный орбитный тип G,H (т. е. любая стационарная подгруппа содержит подгруппу, сопряженную с Н). Объединение М^к орбит типа G/H открыто и плотно в М, и его образ М*Н) в М* = = М/G связен.
Доказательство проводится индукцией по размерности п многообразия М. Используя индуктивное предположение, мы сначала докажем требуемый результат «локально». Рассмотрим некоторую линейную трубку GxKV-*M. Тогда К действует па V ортогонально, и потому это действие можно считать открытым конусом над действием группы К на единичной сфере S пространства V. Далее, dimS<dimМ (на самом деле dimV< <dimG, если только К Ф G) и К действует на S локально гладко в силу II.5.2. По предположению индукции, существует такая подгруппа Н группы G, что S(H) открыто и плотно в S п 5*^ связно. (Здесь имеется одно исключение: S есть нульмер- мерная сфера и К действует на S тривиально, но тогда все орбиты ^действия на V тривиальны.) Тогда V№ и У*Н) —открытые конусы без вершин соответственно над 5(/л и S^) или, в случае Н = К, имеем VW = V и У*щ = У. Следовательно, У^ связно, открыто и плотно в V*, и все другие /Сорбиты в V имеют строго меньший- тип (по предположению индукции или просто в силу 11.5.5 и того, что У^ч плотно). Пусть ^Д —другой орбитный тип ^действия на V. Тогда, сделав при необходимости сопряжение, можно считать, что И cl L с. К и H#=L. Тогда Н и L отличаются друг от друга либо размерностью, либо числом компонент и, следовательно, не могут быть сопряжены в G. Так как подгруппы группы К, сопряженные в К, сопряжены и
в G, то отсюда следует, что (G >А V)un = G Хк (V,//,). Кроме того, (G хк V)*m ^ Vub при гомоморфизме (GxK К)* ^ К* из II.3.3, так что V'h связно, открыто и плотно в (GxKV)*.
Итак, для каждой точки х <= М мы нашли окрестность [/*сд/И* точки х* и такое связное, открытое и плотное в U* подмножество U7J, что все лежащие в нем орбиты имеют один и тот же тип, а все остальные орбиты в U/ имеют строго меньший тип.
Для произвольной подгруппы И группы G обозначим через С(т замыкание множества int Л^рУд. Тогда инцидентность х* eCw равносильна тому, что W"; состоит ыз орбит типа G/Н и, следовательно, C^^Ux- Следовательно, С^нч одновременно п замкнуто и отрыто, откуда следует, что С(Н) = М* для нското[ ой (уже фиксированной) подгруппы Н cz G и что С|/<| = С для К, не сопряженной с Н. Тогда М^нч открыто, так как М/ц^У* — = IKf, а также плотно. Кроме того, все остальные орбиты имеют тйп, меньший чем G/Н. Наконец, если Z? — компонента множества Mjn, то, так как W* связно для любого х, то D открыто (и замкнуто) в М*. Следовательно, Mtm — D связно. |
Максимальный орбитный тип, существование коюрого установлено в 3.1, называется главным орбитным типом, а орбиты этого типа называются главными орбитами. Соответствующие стациопар- иьк подгруппы называются главными стационарными подгруппами. Если Р — главная орбита и Q — любая орбита, то имеется эквивариантное отображение Р—^0. Если P^G/H и Q^G/K, то Н сопряжена с некоторой подгруппой группы К, поэтому' без ограничения общности можно считать, что К до Н. Тогда эквивариантное отображение P^-Q является проекцией G/H-^G/K со слоем К/Н. Если dim Р > dimQ (т. е. dim К/Н > 0), то Q называется особой орбитой. Если dimP = dimQ, но Р и Q не эквивалентны (т. е. проекция P — Q является нетривиальным накрытием, так что множество К/Н конечно и нетривиально), то Q называется исключительной орбитой.
Суммируем некоторые элементарные факты, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем.
Теорема. Пусть х е М, K = GX и V —линейный срез в точке х. Пусть, далее, у eV. Тогда'.
К (v) есть главная, исключительная или особая орбита К-дсй- ствич на V соответственно тому, является ли G^ главной, исключительной или особой орбитой G-действия на М.
(И) Если Н а: К — главная стационарная подгруппа К-действия на V (и, следовательно, главная подгруппа G-действия на М), то орбита G (х) тогда и только тогда неособа (т. е. главная или исключительная), когда множество V/Н конечно. В этом случае Н есть нормальный делитель в К и в точности является подгруппой неэффективности К-действия на V.
Орбита G(x) тогда и только тогда главная, когда K = GX действует на V тривиально. В этом случае G х KV = (G/K) XV.
(G X AV), /a = G x KVK = (G/K) X VK.
Если H —главная стационарная подгруппа К-действия на V, то (GxKV\m = GxKV^n.
Доказательство. Пусть орбита К (ш) главная в I/, и предположим (мы можем это сделать), чю Н = Кт с Kv. Так как Gx K(VtH^ открыто в GxKV и состоит из орбит типа G]H, то Н является главной стационарной подгруппой G-действия на М. Так как орбита К (и) является главной, исключительной или особой соответственно тому, будет ли множество К/Н тривиальным), конечным и нетривиальным или бесконечным, то отсюда следует (i). Отсюда немедленно вытекает также (v). Утверждение (iii) очевидно, так же как и первая часть утверждения (ii). Далее, если множество К/Н конечно, то /(-орбиты на V тоже конечны и срез в точке и есть в точное:и малая открытая окрестность точки из V. Следовательно, (в этом случае) Н переводит некоторое открытое множество на себя и потому действует на V тривиально. Отсюда легко следует, что Н есть в точности неэффективная часть /(-действия на V и, в частности, Н — нормальный делитель в К- Отсюда следует (ii). Если G (у) —орбита типа G//(, то К ~G„ с К, откуда G„ = /( (т. е. уе VK). Отсюда вытекает (iv). |
Заметим, что если Л1 есть, например, сфера, то в силу 3.2(iii) главная орбита лежит в сфере М, обладая там окрестностью- произведением. Это —сильное ограничение на возможность быть главной орбитой. (Отсюда следует, что главная орбита стабильно параллелизуема и, следовательно, гее ее характеристические классы равны нулю.)
Теперь мы приступим к более внимательному изучению строения орбит локально гладких действий.
Теорема. Пусть К —подгруппа группы G, и пусть М^у — множество точек, лежащих на орбитах типа G/К. Тогда М№-топологическое многообразие (локально замкнутое в /И), и его замыкание М{к} состоит из точек орбит типа, не превосходящего тип G/К. Проекция на пространство орбит М^ч-* Мда является расслоением со слоем G/К и структурной группой N (КрК.
Доказательство. Если х<=М№, to typeG (х) ^ typeG/K в силу П.5.5. При type G (х) = type G/K любая орбита из Мщ^ вблизи G(x) имеет тип не меньший, чем тип орбиты G( х), и, следовательно, имеет тип, равный типу орбиты G (л). Поэтому М(К> открыто в /И(/о и, следовательно, оно локально замкнуто в /И. Любая орбита Р из Лф;<1 обладает линейной трубкой вида GxKV. Очевидно, что подмножество этой трубки, состоящее из орбит
типа GjK, есть в точности G х к VK G]K х VK и, следовательно, является многообразием в силу того, что VK — линейное подпространство в V. Последнее утверждение следует из II.5.8 (или непосредственно из вышеизложенного). |
Лемма. Для любой подгруппы KclG и любой К-орбиты в М найдется такая ее окрестность, в которой лежит лишь конечное число компонент множества М№-
Доказательство. Индукцией по dimМ можно установить справедливость этого утверждения для действия на линейном срезе единичной сферы. Из компактности следует теперь, что это верно на сфере глобально и, следовательно, верно и в ассоциированной линейной трубке. g
Лемма. Пусть С cz М локально замкнуто и инвариантно. Тогда dim С = max dim (СП М(ю) и dimC* = max dim (С* П Мцо), где К пробегает все подгруппы группы G.
Доказательство. Так как размерность —понятие локальное, то мы можем считать, что в С имеется лишь конечное число орбитных типов. Теперь мы докажем лемму индукцией по числу попавших в С орбитных типов. Пусть подгруппа LclG такова, что С П М(Л ^ Ф и что никакая орбита большего типа не лежит в С. Тогда M(MpC открыто и, по предположению индукции, dim (С — Мщ) = max {dim (С П Мк) | К и L не сопряжены}. Но dim С = max {dim (С — М^), dim (С П М,/.,)}, см. Гуревич и Во л мэн [1], с. 55, что и доказывает лемму (утверждение о С* доказывается тем же способом), g
Теорема. Пусть К —некоторая подгруппа группы G. Если D —компонента множества М^ин то dim (D — D)< dim D. Следовательно, dim (А4*ю — М’^к^ < dim М*ку
Доказательство. Заметим, что орбитные типы в D—D строго меньше, чем тип G/К. В силу 3.5 достаточно доказать, что если К — собственная подгруппа группы L, то dim(Dn ^L))< <dimD. Взяв линейный срез в точке орбиты из D^M^ty можно свести ситуацию к случаю L = G (и к ортогональному действию); иными словами, достаточно показать, что dimMG<;dimO (где О состоит из орбит нетривиального типа). Но если S —сфера в ортогональном дополнении к MG (в ортогональном случае), то S*Q QO cz S(K) —многообразие, а О —в точности произведение MG и (5*ПО)Хр+, так что dim О dim Л4С + 1. g
Для подгруппы К группы G положим
В(ю = {х е М(ю ! dim G (х) < dim G/KV
Ew = {х е Mmq । dim G (х) = dim G/К, но type G (х) ^ type GlKY
Заметим, что оба множества Bw и BVK^ Еш = М^ — Мую замкнуты. Если Н — главная стационарная подгруппа, то М^н^М
И, таким образом, Вип есть в точности множество точек особых орбит, а Е№ есть множество точек исключительных орбит. Для главной подгруппы Н мы положим В — В.щ и E = EW.
Предложение. Для любой подгруппы KaG имеем dim Д,^ $5 dim М /г, —2, dim EiK) оД dim УИШ — 1.
Доказательство. В силу 3.5 достаточно доказать, что dim фкК^ П &М dim Афд-, — 2 (и аналогично для E^Y Однако Вц<>Г\М^ есть расслоение над В’юПМД) со слоем G]L. В силу 3.6 имеем
dim <BW П Мщ) < dim (В*ю П МД,)+
+ dim (G/L) dim VW^-j-dim (G/L) — 1 ^
^ dim М*к\ — 1 +dim (G//Q — 1 = dim M^ — 2.
Другое неравенство доказывается аналогично. J
Теорема. Если d -размерность главной орбиты (т. е. наибольшая из размерностей всех орбит), то 6\mM* = n — d и dim (В* (J Е*) ^п — d — 1. Объединение всех неглавных орбит размерности, не превосходящей t, есть замкнутое множество размерности, не большей чем n — d + t—l. Таким образом, dim В ^п — 2 и dim(BU Д)^п—1.
Доказательство. Если Н — главная стационарная подгруппа, то М^ открыто и, следовательно, и-мерно. Так как Мш) расслаивается над М*Н) со слоем G/Н, то dim /Ида = п — d. В силу 3.6 Aim (В* у Е*) s^n — d—1 и, следовательно, пространство М* = /ИдаиВ* О В* (п —г/)-мерно. Предпоследнее утверждение следует из 3.5 (см. доказательство теоремы 3.7), а последнее утверждение — из предпоследнего или непосредственно из 3.7. J
В дальнейшем нам понадобится следующий факт.
Предложение. Пусть К — подгруппа группы G. Предположим, что М^ имеет размерность к. Тогда
ЙЧС^)^ со; Z2)=^0.
Доказательство. Рассмотрим множество C = G(MK), являющееся в точности объединением всех орбит, тип которых не превосходит типа G[K. Положим N = N(K) и рассмотрим скрученное произведение GXnMk. Это —многообразие, так как оно расслаивается над G/N со слоем Мк. Пусть ср: GXn № -^С— отображение вида <p(g, x) = g(x). Далее, GxN^MK Q/Ида) есть открытое подмножество в GxNMK, и в силу 11.5.9 ср отображает его на М(К) гомеоморфно. Пусть V ед G Хк (Мк П /И(К)) — открытая й-мерная клетка, и пусть W — компонента множества Оху Мк, содержащая V (так что IE —связное ^-мерное многообразие). Пусть, далее, V' = q> (V) — гомеоморфный образ множества V в М^ с С. Отображение <р (являющееся собственным) и вложения образуют коммутативную диаграмму (где + обозначает одно-
точечную компактификацию, и область коэффициентов есть Z2) Н*(С+, C+-V'V$Hk (W+, W+-V)
Нк(С*. оо) -^ Hk(w\, оо),
откуда следует, что Нг (С^, оо; Z2)=#0, как и утверждалось. __ Замечание. Для дальнейших ссылок отметим, что, слегка модифицировав доказательство предложения 3.9, можно получить следующий результат. Пусть Л —такое замкнутое множество, содержащее G (Мк\ что существует ^-мерное многообразие U, являющееся открытьям подмножеством в Л и такое, что U cz Л П ПЛ1№, где & = dim Л^д-;. Тогда Hk(AH оо; Z2) =Л= 0. Более того, если U неориентируемо, то Нк (Л+, оо; Z) содержит 2-кручение. _ Предположим, что G (х) — исключительная орбита, и пусть S — линейный срез в точке х. Если Н cz Gx — главная стационарная подгруппа Сх-действия на S, то в силу 3.2 Н есть в точности неэффективная часть Содействия на S и, следовательно, Gx/H есть конечная группа, действующая на S эффективно. Если S°x имеет в S коразмерность 1,toG(x) называется специальной исключительной орбитой. В этом случае Gx/H имеет порядок 2 и действует па S отражением в гиперплоскости SG$. Следовательно, множество SE точек специальных исключительных орбит открыто вЕ и имеет размерность d + dim S — 1 = d + (п — d) — 1 = n — 1. Если x лежит в исключительной орбите, не являющейся специальной, то для среза S в точке х множество G (S)(GV) = G (S^) имеет размерность dimG(x) +dimSG-v<;d+ (rt —d—l) = n—1. Отсюда следует, что
dim (£ — SZ?)- у/г — 2,dim(£* — SE*)^n — d — 2.
Предложение. Если /И ориентируемо, то все его главные орбиты ориентируемы. Если, кроме того, главные орбиты связны (так что и все орбиты связны), то специальные исключительные орбиты неориентируемы.
Доказательство. Главная орбита Р = G/Н обладает в ориентируемом многообразии М окрестностью-произведением, так что Р ориентируема. Если Q^G/K, К со И — специальная исключительная орбита и G/Н связно, то Q обладает окрестностью вида G X kV га (G/Н) х к/nV и К/Н^^ обращает ориентацию пространства V. Так как эта окрестность ориентируема и G/Н связно, то группа К/Н должна обращать ориентацию многообразия G/H. Следовательно, многообразие G/K — (G/Н) (К/Н) неориентируемо. fl
Следующий результат показывает, что в большинстве интересных случаев множество SE пусто.
Теорема. Если //Д/И; Z2) = 0 и главная орбита связна (а потому и все орбиты связны), то специальных исключительных орбит нет (т. е. dim п — 2).
Доказательство. Из двойственности Пуанкаре следует, что Д”-1(А4+, со; Z,) = 0. Пусть К — стационарная подгруппа точки специальной исключительной орбиты. Тогда пространство ^(А-) (и — 1)-мерно, и из 3.9 следует, что Д'1-1 (D+, оо; Z2)#=0, где D = G ^Мк). Из точности последовательности ^-когомологий 0 = Нга-ЦМ+, оо) ->- Н"-1 (D+, со)->Нп^М*, О^НЧЖ, оо)-^0
тройки (А4+, О+, оо) следует, что Z2-мoдyль Но (М — D; Z2) ^ s^Hn^M+, Dv, Z2) имеет размерность 5=2. Следовательно, множество D несвязно. Так как орбиты связны, то отсюда следует несвязность множества M* — D*. Но множество U*cM*-D* главных орбит связно по 3.1 и плотно в М* (и, следовательно, в М* — D*), так что M* — D* связно; получили противоречие, g Замечание. Основные результаты этой главы были доказаны в большей общности Монтгомери, Самельсоном и Циппиным [lj и Янгом [2]. См. также Монтгомери [6].
Часть множества Ж*, являющаяся многообразием
В этом параграфе, как и в предыдущем, G будет означать компактную группу Ли, локально гладко действующую на п-мер- ном многообразии М так, что Л4* связно. Через d будет обозначаться максимальная из размерностей орбит, так что dimA4* = = п — d. Сначала мы исследуем вопрос о том, насколько А4* похоже на многообразие с краем. Разумеется, М* не есть многообразие с краем, простейший пример этого дает антиподальное отображение пространства К3 в себя. Мы, однако, докажем полезный элементарный результат, что если из М* удалить некоторое замкнутое подмножество коразмерности 5=3, то оставшаяся часть будет многообразием с краем.
Лемма. Если n — d^2, то М* — многообразие с краем.
Доказательство. Обозначим коразмерность главной орбиты через k = n — d (т. е. /г —размерность пространства орбит). Локальную структуру пространства А4* мы исследуем индукцией по к следующим образом. Любая линейная трубка в М имеет вид GxKV, при этом (G XkV)* V* есть открытый конус над S, где S — единичная сфера в V. Но dim М* = dim V* = = dimS*+l. Если к = 0, то /И* дискретно, и если М — сфера, то /И* —одна или две точки (последнее в случае A4^S°). Поэтому при к = 1 М* локально устроено как открытый конус над одной или двумя точками и, следовательно, является одномерным многообразием с краем. Для случая, когда /И есть сфера
и ^=1, пространство М* есть связное компактное одномерное многообразие и, следовательно, есть дуга окружности. Если же ^ = 2, то М* локально устроено как конус над дугой окружности и, следовательно, есть многообразие с краем. |
Лемма. Пусть KaG, и пусть D —компонента пространства М*ю, размерность которой не меньше чем n — d — 2. Тогда в окрестности любой течки из D пространство М* есть (п — (1)-мерное многообразие с краем.
Доказательство. Достаточно рассмотреть линейную трубку GxkV вокруг орбиты точки из D. Так как (GXkV)^ = = G XKVK = (G/K) х VK, то dim VK^n — d — 2. Кроме того, dim К* =/г — d. Если W — ортогональное дополнение к VK в V, то V* IE* х VK и dim W* = dim V* — dim VK (n — d) — — (n — d — 2) = 2. В силу 4.1 W есть многообразие с краем, и, следовательно, (G х KV)* V* W* х VK — тоже многообразие с краем. |
Теорема. Пусть С* cz А4* — объединение по всем KaG всех тех компонент пространства МЪ<у^ размерность которых не превосходит п — d — З. Тогда С* — замкнутое множество, dim С* С ^п — d — 3 и пространство М* — С* есть (n-d)-MepHoe многообразие с краем.
Доказательство. В силу 3.6 С* есть объединение замыканий компонент, фигурирующих в условии теоремы, и в силу 3.4 и локальной конечности числа орбитных типов, это семейство замыканий компонент локально конечно. Следовательно, С* замкнуто. В силу 3.5 dim С* п — d — 3. Дополнение к С* состоит из точек тех компонент пространства М*кх, размерность которых не меньше чем п — d — 2; поэтому заключение следует из 4.2. |
Следующий результат показывает, что в большинстве интересных ситуаций многообразие М* — С* ориентируемо.
Теорема. Если Нх (Al; ZJ = 0 и если все орбиты связны, то (в обозначениях теоремы 4.3) Н^М* — С*; Z2)=0 и многообразие М*—С* ориентируемо.
Доказательство. Отметим точку в М* — С* и рассмотрим коммутативную диаграмму (где С cz М — прообраз множества С* с М*)
^(М-С) ->- Н^М-С; Z)л, (М*‘-С*) -^-Н, (АР— С*; Z)
По II.6.3 л# —эпиморфизм. Горизонтальные отображения эпи- морфны по теореме Гуревича, поэтому и л* — эпиморфизм. Из формулы универсальных коэффициентов (или из анализа точной гомологической последовательности, инд)цнроваипой точной после-
довательностью коэффициентов) 0-*-Z — Z-*-Z20) следует, что гомоморфизм Hl(-; Z) -*- Нх (•; Z2) — эпиморфизм, и рассуждения с коммутативной диаграммой, аналогичные вышеприведенным, позволяют установить эпиморфность гомоморфизма Нг(М — С\ Z2) Нг (М* — С*; Z2)- Далее, dim С d + (n — d — 3) = = п — 3 (см. доказательство 3.7), поэтому из теоремы двойственности Пуанкаре и точности последовательности тройки (Л4+, С+, оо) следует, что
Нг (М — С; Z2)^ Д^1 (M+, Ox Z») Я"1 (М+, сю; Z2)
^Нг(М; Z2) = 0.
Таким образом, группа Н^М* — С*; Z2), являясь эпиморфным образом тривиальной группы, тривиальна. Отсюда следующим образом выводится ориентируемость многообразия М* — С*: если М* — С* неориентируемо, то л^УИ* —С*) допускает в качестве факторгруппы группу Z2, поэтому прокоммутированная группа лДУИ* —С*), т. е. группа Нг(М* —С*; Z), допускает группу Z2 в качестве факторгруппы. Следовательно, умножение на 2 в группе Н, (М* —С*; Z2) не эпиморфно, и точность последовательности Н^М*— С*; Z) -^* Hv (УИ* — С*; Z)-> ->Н1 (М* — С*; Z2) противоречит тривиальности правой группы. Другой способ доказательства ориентируемости многообразия М* — С* — использование Z2-flBoficTB6HHOCTH Пуанкаре. |
Следствие. Если Н1(М; Z2) = 0 и все орбиты связны, то любая орбита (максимальной) размерности d ориентируема.
Доказательство. Замечания в конце доказательства теоремы 4.4 позволяют установить, что многообразие УИ ориентируемо. Главная орбита G/H ориентируема в силу 3.11. Пусть К^>Н, и пусть Q^GgK есть орбита размерности d. Тогда линейная трубка вокруг Q имеет вид GxkV ^(G/H)Xr/hV, см. 3.2. Так как эта трубка ориентируема, то конечная группа К/Н должна сохранять ориентацию на (G/H)xV. Если Q = = (G/H)/(K/H) неориентируемо, то К/Н обращает ориентацию на G/H и, следовательно, на V. В силу 3.12, дополнение множества (GxkV)h = Gxk(V vH/) имеет коразмерность Ss2, и это же верно для дополнения к V — Vh в V. Следовательно, V ц открыто, связно и плотно в V, и К/Н обращает и его ориентацию. Поэтому (GXkV)h ^Vh неориентируемо. Но это невозможно, так как оно является открытым подмножеством многообразия УИ*— — С*, ориентируемого в силу 4.4. |
Замечания. Более общие варианты теорем 4.1 и 4.3 можно найти у Б редон а [1, 5]. В случае УИ=5" или M = Sn следствие 4.5 было доказано Монтгомери [5, 6] несколько иным
методом, и наша теорема 4.4 аналогична одной приведенной там теореме.
Примеры. Пусть G = SO(3), //=--50(2) и N = N(H). Тогда G/H G/N ^Р2 и N/Н Z2- Пусть N действует на S2 посредством гомоморфизма N-^N/H и антиподального М/Н-дей- ствия на S2. Положим М = G х N S4 = (.G/Н) х ^ S1 S2 х ^ S2 (где Z3 действует антиподалыю на каждом из сомножителей многообразия S2xS2). Тогда М ориентируемо, так как Z3 сохраняет ориентацию многообразия 52х52, но AP^S'W^P2 пеориепти- руемо. Это показывает, что для доказательства теоремы 4.4 недостаточно одной лишь ориентируемое!и многообразия М.
Пусть теперь N действует на S:l посредством композиции гомоморфизма N-^-N/H и ^///-действия па S3, являющегося отражением относительно экваториальной двумерной сферы. Конечно, М* S3/N «« D3 ориентируемо. Однако па /И имеются как главные G-орбиты типа G/H ^S2, так и (специальные) исключительные G-орбиты G/'V Р2. Отсюда следует, что ориентируемость многообразий М и М*—С* недостаточна для доказательства следствия 4.5 при наличии специальных исключительных орбит. Если, однако, SE = 6?, то из доказательш ва следствия 4.5 следует, что ориентируемости М и М* — СИ уже достаточно для доказательства следствия 4.5.
Следующий результат показывает, что довольно часто Л4* становится многообразием с краем уже после удаления подмножества коразмерности 4, а нс 3.
Теорема. Пусть Ht(M; Z2) = 0 и осе орбиты связны. Пусть, далее, С* — объединение по всем КаО всех тех компонент пространств Л4(!'/<), размерность которых не превосходит n — d — 4. Тогда С* замкнуто, dimC* щ; и — d — 4 и М* — С*— такое ориентируемое (n — dy мерное многообразие с краем, что Н1(М* — С*; Z2) = 0.
Доказательство. .Мы укажем, как модифицировать доказательство теоремы 4.3 применительно к данному случаю. Предположим сначала, что нам задано такое локально гладкое действие на сфере S, пространство орбит которого 5* имеет размерность 2. Тогда в силу 4.1 пространство 5* есть двумерное многообразие с краем, и в силу 11.6.5 имеем H^S*; G^) = 0. Отсюда следует, что S* есть S2, D2 пли Р2. Вспомнив доказательство леммы 4.2, увидим теперь, что если М*—С* не является многообразием с краем, то там есть точка, окрешность которой гомеоморфна произведению конуса над Р2 на евклидово пространство. Удаление из М* — С* любого множества коразмерности 3 оставит его неориептируемым, что противоречит 4.4. g
Следствие. Предположим, что Л/ компактно и односвязно, что d = n — 3 и что все орбиты связны. Тогда Л4*— односвязное трехмерное многообразие с (возможно, пустым?) краем. '
Редукция к конечной главной стационарной подгруппе
В этом параграфе мы докажем теорему Б ре дон а [2, 5], позволяющую в ряде случаев сводить изучение действий на сферах пли евклидовых пространствах к ситуации, когда главная стационарная подгруппа конечна.
Мы и здесь предполагаем, что G —компактная группа Ли, локально гладко действующая на n-мерном многообразии М таким образом, что М* связно. Размерность максимальной орбиты обозначается через d.
Сначала докажем следующий технический факт.
Лемма. Если KczG, то N (К) действует на Мк локально гладко.
Доказательство. Так как в силу 1.1 Д'(А') действует на М локально гладко, то мы без ограничения общности можем считать, что К — нормальный делитель группы G. Если точка х неподвижна относительно Д-действия и L = Gx (так что KczL), то линейная трубка вокруг G (х) имеет вид GxLV.
Так как К — нормальный делитель, то K\g, у] = !А£, у] = = ^gK, у] = [gS Кх)\, откуда следует, что (G х / VyK = G х l (Ел). Но это есть линейная трубка вокруг G (х) в М^. §
Следующая теорема является основным результатом этого параграфа.
Теорема. Пусть Н — главная стационарная подгруппа и Т — максимальный тор в Н. Обозначим через Мо объединение тех компонент множества Мг, которые имеют непустое пересечение с М^ну Тогда естественное отображение ср: Mo/N(T)-* MiG есть гомеоморфизм множества главных орбит N/Т-действия на Мо на множество главных орбит G-дсйствия на М.
Доказательство. Пусть N = N (Т). Линейная трубка вокруг главной орбиты имеет вид G xHMG/H) X V, и множество лежащих на ней неподвижных относительно Т-действия точек есть (N (H)/H)xV ^(N/(N (уН^хУ в силу замечаний § 5 гл. I. Поэтому (N/(N П Я)) X У есть линейная трубка для N в Мо7. Отсюда следует, что МтдМ ^ М^нУС (и это множество связно, открыто и плотно в M*Y Замыкание множества Мш- лежит is Мо, и <р переводит его в замкнутое множество, содержащее М?т и, следовательно, отображает его на всё М*. Кроме того, Мин открыто в Мо и состоит из Л7-орбит N/(N(yH). Так как по условию Мн имеет общую точку с каждой из компонент множества Мо и так как М^ндП связно, то и Мо/N связно. Кроме того, N/(N П Н) — главный орбитный тип A-действия на Мо. (В п-потти, каж'ая компонента пространства Мо имеет [ азмщ пост т — п — и + .lini NjyX [( Н) п — d Д dim N{T. Если
/С => Я —стационарная подгруппа, имеющая тот же ранг, что и Н, так что Т есть также максимальный тор группы К, то /V действует на ^G/K)T транзитивно. Поэтому на множестве таких орбит ф будет инъективным.
Пусть теперь DcM- множество таких точек х, что группа Gx имеет больший ранг, чем И. Тогда D содержится в множестве точек В с особыми орбитами G-действия на М. Кроме того, если хеОр/И^ т0 С^ПМ содержит максимальный тор группы Gx, содержащий Т (и потому имеет больший ранг, чем Н), так что N (х) — особая N-орбитй в М„ . В силу II.5.7 для каждой группы К дэ Н в УЗ,КУ имеется лишь конечное число W-орбит. Следовательно, прообраз каждой точки при отображении ф конечен, и, как замечено выше, ф взаимно однозначно па (Mq — D)iN.
Так как ф естественно продолжается на одноточечную компактификацию, то оно собственное и, следовательно, замкнутое отображение. Поэтому для доказательства того, что ф — гомеоморфизм, достаточно доказать, что оно взаимно однозначно. Пусть х* е D* и ф-1 (х*) = {xv ..., х*}, ^>1. Пусть Hj, ... ..., Uk — попарно непересекающиеся окрестности точек хг s eMo/N. Так как ф замкнуто, то существует такая открытая связная окрестность V* точки х* е М, что ф-1 (У*) cz 17, U • • • U и». Положим Vt = ф^1 (V*) П Ut- Пусть л: М -*- М* — проекция на пространство орбит, и пусть V = л-1(И*). Так как DQMo состоит из точек особых орбит ^-дeйcтвия, то каждое множество К,- — — (D/N) непусто, так что множество [J (V/— (D/.V)) несвязно.
Так как ф — собственное отображение, взаимно однозначное на MqIN — DiN, то там ф является гомеоморфизмом. Поэтому V* — — D* ^ ф 1 (V* — D*) = (J (V,- — (D/N)) несвязно. Далее, V* связно i
и D П V состоит из точек особых орбит G-действия на V. По множество Vtm главных орбит в V связно и плотно в V* и, следовательно, плотно в И* — D*. Поэтому V* — D* связно. Полученное противоречие доказывает, что ф — гомеоморфизм.
Осталось показать, что ф переводит главные орбиты в главные орбиты. Из сказанного выше следует, что орбита Q ед М» [N является главной, если орбита ф(5)еА4* главная. Предположим, что Q — главная М-орбита, и рассмотрим ф (Q) е М*. Тогда найдется такая точка х, что ф((?) — G (х), причем х можно выбрать так, что Н является стационарной подгруппой Н = Gy = Ky группы К = Gx, действующей на линейном срезе в точке х. Тогда Т оставляет неподвижным отрезок S между х и у, так что х е е Mq и, следовательно, Q —М(х). Кроме того, KJH есть главная орбита /(-действия на S, так что МН ориентируема в силу
3.11. Так как Q — главная орбита, то N П Н = N П К, и мы должны показать, что К = Н. Далее,
kK/НУ ^N П К) НУН ^ kN П КУ kN ^Н> = {точка}.
Если dim Н = dim К, то kK/Ну = К/Н, так что Н^К. Если dim К > dim//, то любая компонента пространства К/Н имеет положительную размерность. Так как в группе Т элементы простых порядков образуют плотное множество, то имеется один из них, например I, не лежащий ни в одной из (конечного числа) собственных стационарных подгрупп группы Т, действующей на К/Н. Но тогда t имеет на К/Н те же неподвижные точки, что и Т, а именно —лишь одну неподвижную точку, что противоречит следствию 2.3. (Имеются и другие доказательства этого результата, использующее более глубокие факты теории групп Ли.) g Замечание. Особые орбиты N (Т')-действия на М^ соответствуют при отображении ф, очевидно, тем орбитам G-действия на М, стационарные группы которых имеют ранг, больший чем rk Н Поэтому ср переводит особые орбиты в особые орбиты. Однако оно может переводить исключительные N (Т)-орбиты в особые G-орбиты в М.
Так как Т — компонента единицы группы //П^, то индуцированное N (Т)-действие на Mor имеет конечную главную стационарную группу, которая есть kHV\NyT.
Пример. Вообще говоря, М^ не совпадает с Мт. Пример : того дает U (2)-действие на СР2 = А1, возникающее из стандартного включения U (2) cz U (3); иными словами, G = U (2) действует на первых двух однородных координатах точки г = (г0: гг: г2) е е СР2- Мы можем считать, что ’21\zi,1=\, откуда следует, что G-орбиты в точности соответствуют точкам с ] г21 е [0, 1]. Поэтому соответствие г>—*|г2' индуцирует гомеоморфизм CP2/G-^- [0, 1]. Орбита |г2| = 0 есть в точности CP1^S2, и ее стационарная группа есть U(l)xU(l). Орбита |г2| = 1 является точкой. Орбиты с 0<|г2|<1 являются трехмерными сферами со стандартным действием группы G = U (2) и стационарной группой U(l)x{e}. Последние и являются главными орбитами, и главная стационарная группа Н = Т = U (1) х {е} является сама своим собственным тором. Заметим, что на каждой главной орбите S3 № U (2)/U (1) группа Т имеет множество неподвижных точек, представляющее собой окружность, и, как легко видеть, эта группа на двумерной сфере —орбите :г2|=0 —имеет ровно две неподвижные точки. Отсюда нетрудно вывести (это, впрочем, делается и непосредственно), что множество неподвижных точек Т-действия на СР2 = /И есть объединение двумерной сферы (которая есть М^) и точки Mr/NkTy Поэтому есть объединение дуги (гомеоморфной М/С) и точки.
Заметим, однако, что если Al = Sn или М = R", то из 111.10.10 и 1.3 следует, что № связно, так что в этих случаях М^ = рдт,
Пример. Пусть связная группа G действует на M = G сопряжениями. Стационарная группа любой точки является ее централизатором и имеет тот же ранг), что и G. Так как в G есть точки (они называются регулярными), централизаторы которых являются максимальными торами, то главной стационарной подгруппой является максимальный тор Т группы G, и главные орбиты в точности состоят из регулярных точек. Далее, Мт является централизатором тора Т и, следовательно, есть в точности Т51). Факторгруппа N (Т)/Т называется группой Вейля группы G, и она действует на ^эффективно. Так как/И7'связ- но, то /И7" = Мт, поэтому из 5.2 следует, что любые два элемента из Т, сопряженные в G, на самом деле сопряжены некоторым элементом группы Вейля. Из этой же теоремы 5.2 следует, что регулярные точки, лежащие в торе Т, в точности есть точки, имеющие относительно действия группы Вейля тривиальные стационарные группы. Разумеется, этот факт теории компактных групп Ли хорошо известен и может быть доказан и непосредственно. (Заметим, однако, что в этом примере все главные стационарные подгруппы, а потому и все стационарные подгруппы, имеют максимальный ранг; поэтому большинство трудностей доказательства теоремы 5.2 исчезнет). Этот пример приведен здесь лишь для того, чтобы указать, что теорема 5.2 может рассматриваться как обобщение упомянутого классического результата.
Напомним, что dim MG «т dim (В* J Е*) Д п — d — 1. Если Т' — максимальный тор в G и действие эффективно, то простым индуктивным рассуждением, использующим теоремы III. 10.12 и III.10.2 (или обычную корню представлений), примененные к единичной сфере линейного среза в неподвижной точке Т'-дей- ствия, можно показать, что dim ЛЯ'к: n — 2rk Т'. Следующий результат Б редон а [5] улучшает оба эти неравенства (см. 5.4 ниже) и демонстрирует полезность техники редукции к конечной стационарной группе.
Теорема. Пусть Н — главная стационарная группа локально гладкого G-действия на п-мерном многообразии М, а d = dim G/Я — размерность главной орбиты. Положим г = rk G — — гк Я, и пусть Т'— максимальный тор в G. Тогда dimM7'^ ^п — d — г). Кроме того, если М есть п-мерная рационально гомологическая сфера, то это неравенство справедливо и в случае МТ' = ф (где надо считать, что dimA47' = —1).
Доказательство. Мы докажем требуемое неравенство индукцией по n = dimM. Сначала мы сведем его к случаю конечной группы Н. Пусть х — точка той компоненты пространства Мт', которая имеет наибольшую размерность. Можно считать главную стационарную группу HazGx стационарной подгруппой точки линейного среза в точке х; обозначим через Т максимальный тор в Н. Тогда хеМ^, и потому компонента пространства Мт', содержащая х, содержится в М^. Положим А = А(7). По индуктивному предположению, примененному к М/Г-действию на му заключаем (ввиду конечности группы (М Q Д)/7), что dimA4r' = = dim (Л40г)Г/г (n — d + dim (М/Т)) — dim (W/7) — r — n — d— r, как и утверждалось. Если /И — рационально гомологическая сфера с MT' = Q!)., то Мт = М^ — тоже рационально гомологическая сфера по 111.10.10, и можно применить приведенные выше рассуждения.
Итак, мы можем считать группу Н конечной, так что d = = dimG и r = rkG. Предположим сначала, что Мт'^ (?) и что х — точка компоненты максимальной размерности пространства Мт'. Пусть S — линейный срез в точке х; заметим, что Т' с= Gx, и поэтому rkG.v = r. По предположению индукции, примененному к сфере S, имеем dim 5Г'=g; [n — dimG(x)] — dimG.v — rkGv = n— — d — r. Пусть л5: S->S/Gx — проекция на пространство орбит. Если К о G — подгруппа максимального ранга, то .V (7') действует на (G/K)T' транзитивно. Таким образом, л.ДЗ7-');;^7''/^^)' П П Gx) и, так как группа N (Т')/Т конечна, то dim ST' = dim л5 (ST'). Аналогично dim /Иг' = dim ля (Л1т''). Далее, лЛ[ (ЛТ7') в точности состоит из тех орбит, стационарные группы которых имеют ранг г, поэтому канонический гомеоморфизм S/Gx GS/G индуцирует гомеоморфизм л$ (S7"') л0$ ((GS)7"'). Следовательно,
dim Мт' = dim ^GSy* = dim ла5 (GS)r' —
= dim л5 (Sr') = dim ST' < n — d — r, что и утверждалось.
Предположим теперь, что М — рационально гомологическая сфера с МТ' = (Ь. Так как случай г=1 тривиален, то перейдем сразу к г>1. В силу III.10.12 (это легко следует и из III.8.1) существует такой подтор 7" с= 7'коразмерности 1, что Мг"^ф. Если х ;= Мг", то группа Gx имеет ранг г — 1, и 7" есть ее максимальный тор. Пусть S —линейный срез в точке х. Тогда пространство л5 (S7") ST"/(N (7") R Gx) имеет ту же размерность, что и ST". По индуктивному предположению, примененному к Сл-дей- ствию на единичной сфере среза, имеем dim ST" ~;[n — dim G (x)] — — dim Gx — (r — 1) = n — d — r + 1. Снова используя то, что n0.s ((GS)7") состоит в точности из тех орбит is GS, стационарные группы которых имеют ранг г —1 ( = rkGx), получаем кано-
7 Г. Вредом
нический гомеоморфизм л05 ((GSy") л$ (7'"). Кроме того, л0$ ((GSy") ^ (GSy"/N (Г") и, следовательно, это пространство имеет ту же размерность, что и пространство MT"/N (Т"). Итак, dim MT"/N (7") = dim л0$((С8)7'") = dim л5(8г") = dim ST" -<: n —d— — r+L Если /г —размерность максимальной орбиты N (Т"Удействия на Мт", то dimAd7" = dim {MT"/N {Т")) -Vk^n — d — r-V\ + +^. Поэтому индуктивное предположение, примененное к действию группы N(T")^T" на Ad7"", влечет — 1 = dim Мг' ■= = dim(A4r")r,=s2(n — d — г + 1 + ^) — к — 1 = л — d — г. g
Следствие. Если G действует на G/Н эффективно, то dim G/H - rk G + rk Н. Следовательно, при эффективном G- действии на М в условиях теоремы 5.3 имеем п — d — г ^п — 2 rk G.
Доказательство. Второе неравенство есть просто переписанное первое неравенство, которое будет иметь место*) в силу того, что на главной орбите эффективного G-действия группа G действует эффективно. (Иначе нашелся бы нормальный делитель, оставляющий поточечно неподвижным некоторое открытое всюду плотное множество.) Для доказательства первого неравенства применим теорему 5.3 к действию максимального тора Т группы Н на пространстве G/Н. Так как (G/H)T = N (Г) Н/Н, то rk G — - гк Я< dim (N (T)/(N (Т) П Я)) = dim ((Д' (7) НуЩ = dim (G/НУ ^
dim G/H - dim Т - гк Т dim G/H - 2 гк Я. g
Действия на 8Л с единственным орбитным типом
Теперь мы исследуем такие действия компак ihbix групп Ли на сферах, которые имеют ровно один орбитный тип. Хотя мы и предполагаем локальную гладкость действия, использоваться она будет весьма незначительно и на самом деле легко может быть опущена. В следующем параграфе мы применим результаты этого параграфа в частном случае ортогонального действия, в котором доказательство проще. По этой причине мы приводим доказательство следующего результата сначала для ортогонального случая, а потом излагаем модификацию, необходимую для доказательства общего случая.
Теорема. HycmbG—компактнаясвявнаяеруппаЛи, эффективно и локально гладко действующая на п-мерном многообразии М, являющемся односвязной рационально гомологической п-мерной сферой. Предположим, что это действие имеет ровно один орбитный тип. Тогда либо G действует на М транзитивно, либо G действует на М свободно и является одной из групп; S, S3 или 80(3). Если, кроме того, М есть Z2-гомологическая п-мерная сфера, то в случае нетранзитивного действия 0^80(3).
Доказательство. Как уже говорилось, сначала мы рассмотрим случай ортогонального G-действия на M = Sn и вместо М. для простоты будем писать 5.
Предположим, что все орбиты имеют тип G/Я, и пусть N = = N (Я) и К = N/Н. В силу 11.5.10 и 11.5.11 имеем SH/N S/G = = 8*, причем SH^-S* в точное™ есть главное Я-расслоение, возникающее из G/Я-расслоения 8->8*. Так как пространство G/Я связно, а сфера 8 односвязна, то из точности гомотопической последовательности расслоения SH->S* следует, что группа Я связна. Так как К действует на сфере 8я свободно, то по III.8.5 К есть либо тривиальная группа, либо S1, либо S3. Свободные К- действия на G/Я и на 5й задают свободное (Я хЯ)-действие на (G/Я) х 8я. Пространство орбит диагснального Я-действия на (G/H)xSH в точности есть (G/H)xKSH, и в силу 11.5.9 имеем (G/Я) Хк SH S. Включение диагональных Я-орбит в (КхК)- орбиты задает отображение ср: S-^((G/H)/K)x(SH/K)^G/HxS*, являющееся, очевидно, расслоением со слоем К X к К = Я и структурной группой ЯхЯ (см. гл. II, упражнение 7). Если группа Я тривиальна, то S^GjNxS*, откуда следует, что G = N = H. Если Я = 51, то стандартные рассуждения с точной Zp-когомологической последовательностью Гизина расслоения <р доказывают, что кольцо когомологий Я* (G/N xS*; Z2) порождается единственным элементом и степени 2; т. е. 1, и, и2, ... , иг — множество всех ненулевых элементов в Я* (G/H xS*; Z2) и ur+1 = 0 (см. Спеньер [1J, с. 621). Из формулы Кюннета (с коэффициентами в Z2) получаем, что
Я2 (G/Я х 8*)^[Я2 (G/Я) ©Я° (8*)] ©
© [Я0 (G/Я) © Я2 (8*)] Я2 (G/Я) © Я2 (8*), где разложение в прямую сумму индуцировано разложением пространства G/NxS* в прямое произведение. Если Я2(С/Я)©0, то и лежит в образе гомоморфизма Я2 (G/Я)Я2 (G/Я х8*). Но тогда иг тоже лежит в образе этого гомоморфизма (и deg иг = — 2г), откуда следует, что dim G/Я = dim (G/Я х 8*). Но тогда 8* есть точка, т. е. G действует на 8 транзитивно. Если же G действует на S не транзитивно, то G/Я должно быть точкой *). Поэтому G — N, и группа Я, будучи нормальным делителем в G и, следовательно, стационарной подгруппой каждой точки, должна быть тривиальной2). Поэтому G = K = Sl. Случай Я = 83 разбирается точно так же, как и предыдущий, только и—элемент степени 4.
т) Если действие не транзитивно, го Н'1 (G/N) =0, поэтому ^(Q/N X 3*) Н- (8*) — (г© п следовательно, dim (G/,V x 8*) = dim S*. — Прим, перез.
-) Гак как G действует эффективно. —Прим, перез.
Ортогональный случай нами разобран, и теперь мы перейдем к общему случаю. Теперь уже пространство Мн не обязано быть сферой, оно может быть даже несвязным, так что для доказательства придется искать другие аргументы. Для начала вместо Мн рассмотрим Л47", где Т—максимальный тор в Н. Действие группы N (Т)/Т па Мт имеет в силу 5.2 лишь один орбитный тип, и, следовательно, все стационарные группы конечны. Из II 1.10.12 следует, что ранг группы N (Т)/Т должен быть равен 0 или 1. Таким образом, либо rkG = rk/7, либо rkG = rk/7+l, откуда следует, что группа К == N (Н)/Н либо конечна, либо имеет единичный ранг1). Если К конечна, то Мп — накрытие пространства М*. Так как в силу 11.6.3 пространство М* односвязпо, то любая компонента пространства Мн является сечением проекции М-*М*. Но тогда Н* (М*) есть прямое слагаемое группы Н* (М), откуда следует, что dim М = dim М*. Итак, группа К = = N(H)/H имеет ранг 1. Пусть М” — некоторая компонента пространства М", и пусть Кг с К — подгруппа, переводящая М” в себя. Тогда М^/Кг = Мн/К = М* (так как М* связно). Пусть ^1 —прообраз группы КА при гомоморфизме N(H)^K- Аналогично построенному в ортогональном случае отображению ср построим отображение ф: М-^-G/N^x М*, являющееся расслоением со слоем Kv Так как М* = МфК односвязно и Л4^ связно, то группа КА связна. Так как rk К) = 1, то Kt есть одна из групп S1, S3 или SO (3) (заметим, что SO (3) является трехмерной рационально гомологической сферой). Точность гомотопической последовательности расслоения ф влечет односвязность G]NxxM*. Следовательно, многообразия G/N; и М* ореитпруемы. Рассматривая для расслоения ф последовательность Гизипа с рациональными коэффициентами, увидим, что кольцо Н^С/^хМ*; (Q) порождается одним элементом и. Рассуждая теперь так же, как в ортогональном случае, увидим, что либо G действует транзитивно, либо G = AIn так что Я = {е} и, следовательно, G = KV т. е. G есть S1, S3 или SO(3). Если, кроме того, М есть Z2- гомологическая сфера, то 0^50(3), так как S0(3) содержит группу Z2eZ2, которая не может свободно действовать на сфере в силу II 1.8.1. |
Замечания. Эту теорему доказал Борель [5] (при несколько более слабых предположениях). Имеется обобщение, данное Коннером [7J (см. также Борель [5]), в котором предположение о единственности орбитного типа заменено более слабым предположением о том, что размерности всех орбит равны (т. е. В = фУ Заключение тоже ослаблено и утверждает лишь, что все стационарные группы конечны. Доказательство этого
х) Для понимания дальнейшего следует иметь в виду, что М* — компактное многообразие (см. 2.3) без края (см. II.5.10).—Прим, перев.
обобщения хотя и сходно с доказательством теоремы 6.1, но требует, по-видимому, использования значительно более глубоких результатов алгебраической топологии, по этой причине мы его здесь не приводим. При этом доказательство Коннера не использовало предположения об односвязности; другое доказательство этого результата имеется у Б редон a [6J. Хотя доказательство Бредона сильно отличается от доказательства Коннера и концептуально проще (оно аналогично доказательству теоремы 5.2), оно довольно запутано и тоже использует некоторые сильные результаты, выходящие за рамки нашего рассмотрения.
Укажем теперь, как освободиться от условия связности в теореме 6.1. Следующий результат фактически является обобщением теоремы II 1.8.5.
Теорема. Пусть компактная группа Ли G (не обязательно связная") эффективно и локально гладко действует на сфере S'2. Предположим, что dimG>0 и что данное дейстие имеет ровно один орбитный тип. Тогда либо G действует на S'2 транзитивно, либо G действует на S" свободно. Таким образом, G есть либо S1, либо S3, либо нормализатор N (S1) подгруппы S1 группы S3.
Доказательство. Обозначим S" через М. Предположим, что действие не транзитивно. В силу II 1.8.5 достаточно доказать, что G действует на М свободно. Пусть Go — содержащая единицу компонента группы G, и пусть Я с: G — стационарная подгруппа. Трубка вокруг любой орбиты имеет вид G/HxV. Так как множество G0/(G0 П Я) X V открыто в этой трубке, то его можно взять в качестве трубки для С0-действия на М. Главной стационарной группой этого действия является G0()H. По тем же причинам для любого элемента ge^G группа GoO^gHg-1) также является главной стационарной подгруппой этого С0-действия, так что ОоП Я и GoO^gHg1) сопряжены в Go. Таким образом, С0-действие на М тоже имеет лишь один орбитный тип GojGQV\H, и в силу 6.1 С0ПЯ = (е}1). Аналогично ОоЯ —подгруппа группы G и (ОоЯ/Я)хУ — трубка для С0Я-действия на М. Поэтому замечания, аналогичные вышеприведенным, показывают, что С0Я-действие имеет лишь один орбитный тип С0Я/Я Go, причем Go есть S1 или S3. Следовательно, для доказательства тривиальности группы Я достаточно рассмотреть случай G = G0H, чем мы и займемся.
Итак, G/Я есть S1 или S3, и М* (теперь) односвязно в силу II.6.2. Из точности последовательности Гизина сферического расслоения М^М* вытекает, что кольцо Н* (М*) порождается одним элементом и степени 2 (для С/Я = 8*) или 4 (для G/Я = S3). Пусть р —простое число, делящее порядок группы Я, и пусть Р — силовская р-подгруппа группы Н. (Заметим, что в случае
ортогонального действия в нижеследующих рассуждениях можно вместо Р брать Я.) Из теорем Силова легко следует, что (G/H)p = (N (Р) НфН (N (P))/(N (Р) П ^) и что это пространство есть Zp-гомологическая сфера размерности 0, 1, 2 или 3, лежащая в G/Я, т. е. в S или в S. Отсюда вытекает, что (Я (PypiN (Р) П Я) ^S', где 0==$i^3. Далее Мр ->- MP!N (Р) ЯР есть расслоение со слоем N (P)/(N (Р) П Щ, и его тотальное пространство Мр есть Zp-гомологическая сфера. Так как М* не является точкой1), то Мр связно). Так как /И* односвязно, то А7 (Р)/(Я (Р) П Я) связно. Следовательно, N (P)nG0 действует на N (P)/(N (Р)ПЯ) транзитивно, и так как Я П Go = {е}, то N (Р) f) GoА/ (P)/(N (Р) П Н) есть либо S1, либо S3 (так как это пространство само является группой). Отсюда следует также, что Мр -> М* — главное (Я (Р) П С0)-расслоение. Далее, если СоаяС/Я есть S1, то и Я (Р) П Go есть S1, и если G0 = GlH есть S3, то Я (Р) П Go есть либо S1, либо S3. Предположим, что G/Я = S3 и что Я (Р) П Go есть S1. Тогда точность Zp-когомологи ческой последовательности Ризина (A7 (7J) П 60)-расслоения МрМ* влечет Я2 (ЯП; Z;,)=t^0, а это противоречит сделанным ранее выводам о кольце Я* (/И*). Следовательно, Я (Р)П6О = Go, так что Go с: Я (Р). Но связная группа не может нетривиально действовать на конечной группе. Следовательно, любой элемент группы Go коммутирует с любым элементом группы Р, т. е. Р лежит в централизаторе Z группы Go. Так как Z П Я содержит любую силовскую подгруппу группы Я, то она имеет тот же порядок, что и Я, и, следовательно, Я есть нормальный делитель в G0H = G. Поэтому Я является стационарной подгруппой каждой точки многообразия М, и потому она тривиальна, что и утверждалось. |
Конечно, теорема 6.2 справедлива и для конечной группы G. Это означает, что имеющее лишь один орбитный тип действие конечной группы па сфере свободно. Это утверждение, однако, тривиально, так как главная стационарная подгруппа действия конечной группы тривиальна (см. 3.2).
Следствие. Пусть компактная группа Ли G локально гладко действует на М. Яредположим, что в некоторой окрестности орбиты G (х) некоторой точки х=еМ имеется ровно два орбитных типа. Пусть у — точка главной орбиты в линейном срезе в точке х. Положим К = Gx, Я = Gy. Тогда имеет место одна из следующих ситуаций.
К действует транзитивно на единичной сфере (гомеоморфной К!Щ ортогонального дополнения к VK в пространстве V, и вблизи х* пространство М* является многообразием с краем М* к.).
Н является нормальным делителем в К и подгруппой неэффективности К-действия на V. Кроме того, группа К либо конечна, либо есть одна из трех групп S1, S3, N (S1).
Кроме того, множество точек х, удовлетворяющих условию теоремы, открыто и плотно 8 B\jE.
Доказательство. В силу 3.2 имеем (G хкVXk^ G хк (У^ и (G XkV^h ^= G хк (У(//>), и по условию эти множества заполняют всё G (У). Следовательно, У = Уки У^.так что К имеет на У лишь два орбитных типа, один из которых — неподвижные точки. Пусть 1У — ортогональное дополнение к VK в У. Тогда /(-действие на единичной сфере пространства У имеет лишь один орбитный тип — KIH. Поэтому из 6.2 следует, что имеет место одна из ситуаций (i) или (ii). Очевидно, что множество точек хгхМ, удовлетворяющих условию следствия, в точности есть множество тех точек из ВуЕ, орбиты которых локально максимальны (в ВОД). Так как семейство орбитных типов локально конечно, то множество всех таких точек, очевидно, открыто и плотно в B\jE. |
Компоненты пространства ДОД
В этом параграфе мы применим теорему 5.2 к получению некоторых результатов о множестве В (J Е неглавных орбит локально гладкого действия на евклидовом пространстве R". Наш первый результат гласит, что при наличии стационарных точек множество B\JE связно. Оно будет связным также в случае, когда ранг главной стационарной группы меньше, чем ранг группы G. .
Наиболее общие условия, при которых B\JE связно, неизвестны, и ниже мы увидим, что оно может быть несвязным. Мы изучим также вопрос о компактности компонент множества В J Е. Мы покажем, что любая такая компонента состоит из одиой- единственной орбиты. Более того, если такая орбита особая, то она является неподвижной точкой, вне которой при условии dirnAl*>l группа G действует свободно.
Как обычно, мы обозначаем через М n-мерное многообразие, на котором локально гладко действует компактная группа Ли G, причем максимальная размерность орбит есть d.
Нам необходима следующая лемма.
Лемма. Пусть G —компактная группа Ли, и пусть Т'—ее максимальный тор. Тогда любая р-подгруппа Р с G сопряжена некоторой подгруппе группы N (Г).
Доказательство. Положим N = N (Т’) и рассмотрим (G/N)T'. Если T’gN = gN, то g-PT'g cz. N, откуда в силу того, что Т' есть содержащая единицу компонента группы N, следует, что g^N. Итак, (G/N)T'=N/N есть точка. В силу III. 10.9 получаем x(G/M) = l. (Заметим, что на самом деле G(N рацио-
нально ациклично.) Далее, х ((G/N)p) = х (G/N) = 1 mod р и, следовательно, (G/N)p ^ф, т. е. Р сопряжена некоторой подгруппе из N. |
Теорема. Пусть М — целочисленно ациклично (например, 34 = fR"), и пусть либо существуют неподвижные точки G-действия на М, либо ранг главной стационарной подгруппы не максимален (либо то и другое вместе'). Тогда множество В'GE связно.
Доказательство. Пусть Н — главная стационарная группа, и пусть rk Н <rk G. Пусть Т — максимальный тор в Н и Т' тэТ — максимальный тор группы G. Многообразие Мт' ациклично1) и потому связно, и лежит в в. Заметим, что G (Мт') состоит в точности из тех точек, стационарные группы которых имеют максимальный ранг. Однако в точности из тех же точек состоит Go (Мт'), где Go — компонента единицы группы G. Следовательно, множество G (MT') = G0(MT') связно. Предположим теперь, что теорема справедлива для случая конечной группы Н. Тогда из 5.2 следует, что (ВиД)П^1г связно. Следовательно, для любого g^G множество g ((В (J Е) П Мт) U G (34 г-) связно. Объединение таких областей по g<=G в точности есть В U Е U G (Мт‘) = S|J Е (в силу 5.2), поэтому S(JS связно, что и утверждалось. Следовательно, достаточно доказать теорему для случая, когда Н конечна. С этой целью рассмотрим сначала какую-нибудь точку х^В. Тогда Gx содержит окружность S, лежащую в некотором максимальном торе Т" группы G. Тогда Ms id Мт", и 34s связно. Следовательно, 34 s U G (34 г) = 34s |J G (Мг") есть связное подмножество из В, содержащее и х, и G(MT-). Теперь рассмотрим точку хе£. В этом случае группа Gx конечна. Обозначим через Р ту ее силовскую р-подгруппу, порядок которой не делит порядок группы Н. Тогда Р не сопряжена никакой подгруппе группы Н и, следовательно, Мр сВ(|£. В силу 7.1 имеется такой максимальный тор T"clG, что Р с N (Т"). В силу III.7.11 (при А = ф и п —0) заключаем, что (Мт”)р = Мт" 0 Мр непусто и, кроме того, Мр связно. Так как G (Мт3 = G (347'), то Мр U (JG(34г')—связное подмножество из виД содержащее и х, и G(MT'). Таким образом, любая компонента множества В j Е содержит связное множество G(Mr'), поэтому BJf связно.
Случай наличия неподвижной точки х0 (при этом подгруппа Н может иметь и максимальный ранг) разбирается аналогично, но более просто: множество G (Мг') заменяется точкой х0. |
Замечание. Для конечной группы G, действующей без неподвижных точек, этот результат не имеет места. Это показывает пример (см. 1.8.3) действия группы Ze = Z2 0Zs па 34= К" без неподвижных точек. По теореме Смита III.7.11 оба множества 34^2
и М^з не пусты. Кроме того, они не пересекаются, и их объединение в точности есть множество всех неглавных орбит. Кажется правдоподобным, однако, что при отсутствии неподвижных точек множество В (J Е не может иметь компактных компонент. Следующая теорема представляет собой частичный результат в этом направлении. (Случай d — п — 1 опущен по техническим причинам. В § 8 мы изучим этот случай полностью.)
Теорема. Пусть М целочисленно ациклично, и пусть d<_n — \. Пусть, далее, С — компактная компонента множества В\^Е. Тогда С в точности есть некоторая орбита G(x), причем rkGx = rkG. Если орбита G (х) особая (т. е. G имеет больший ранг, чем ранг главной стационарной группы), то х —неподвижная точка, G действует вне х свободно и G изоморфна либо S1, либо S3, либо нормализатору подгруппы S1 группы S8 (при условии, что G действует эффективно).
Доказательство. Пусть хеС. Мы можем считать, что вблизи орбиты G (х) имеются орбиты ровно двух типов, так как в силу 6.3 такие точки х плотны в B\jE и, следовательно, в С. Положим K = GX, и пусть Н cz К — главная стационарная группа /("-действия на срезе в точке х (и, следовательно, G-действия на М). Пусть Т — максимальный тор в Н. Можно считать (переходя при необходимости к близким точкам), что вблизи N (Т)х имеются орбиты ровно двух типов. В силу 5.2 для доказательства того, что С в точности состоит из точек некоторой G-орбиты, достаточно доказать, что СПМГ в точности состоит из точек некоторой N (Т’)-орбиты и, следовательно, достаточно рассмотреть случай, когда группа Н конечна (см. 1.5). К этому же случаю, очевидно, сводится и доказательство равенства rkH = rkG.
В случае dim^>0 обозначим через Т максимальный тор в К. Так как /И7"' связно и не пересекается с главными орбитами, то оно лежит в С и, следовательно, компактно. Так как Мт' ациклично, то оно есть просто точка. Однако любая орбита из С, лежащая вблизи G (х), имеет тип G/К и, следовательно, содержит неподвижные точки Т'-действия. Поэтому C = G(x). Так как (GlK)T' = (N (Т') К)/К = N (T')/(N (Т') П К) есть в точности точка, и так как N (Т') содержит максимальный тор группы G, то К имеет тот же ранг, что и G (и в этом случае N (Т*) а с: К).
Предположим теперь, что группа К конечна. Пусть Р — такая силовская р-подгруппа в К, порядок которой не делит порядок группы Н. Как и выше, заключаем, что C = G(x) и что (G(K)P есть точка. Если dimG>0, то эйлерова характеристика пространства GlK есть нуль, так как она есть нуль для его универсального накрывающего пространства. Следовательно, O^x(G//() = — X((G/K)P) = 1 mod р, что невозможно. Поэтому группа G должна быть конечной, и снова заключаем, что rk/< = rkG.
Это заканчивает доказательство того, что C = GY) и что подгруппа K = GX группы G имеет максимальный ранг. Предположим теперь, что орбита G (х) особая. Пусть V — линейный срез в точке х. Тогда в силу 6.3 возможны лишь следующие случаи:
К действует па единичной сфере пространства V транзитивно.
(И) Я —нормальный делитель в К, действующий на V тривиально. Кроме того, К/Н действует на V — {х} свободно, и МН есть либо S1, либо S3, либо нормализатор подгруппы S1 группы S3 (так как dim К/Н /> О').
В случае (i) имеем dimE* = l, так что и dimM* = l. Следовательно, n — d = i, а этот случай мы исключили. Следовательно, возможен лишь случай (ii), так что rk G = rk К = 1 + rk Н.
Предположим, что точка х не неподвижна и что rkG>l. Рассмотрим действие максимального тора Т* группы К (и, следовательно, группы G) на G/М Множество его неподвижных точек N (T')/(N (Т') R К) конечно. Рассматривая сферу вокруг какой- нибудь неподвижной точки и применяя 111.10.12, мы видим, что в Т имеется такой подтор 7\ коразмерности 1, что dim /G/КУ' >0. Но тогда Мт' есть ацикличное многообразие1) положительной размерности, не являющееся по этой причине компактным. Так как УЙ7’1 связно, то оно должно иметь общие точки с некоторой главной орбитой вблизи G (х). Это означает, что тор Г, сопряжен некоторому максимальному тору Т группы Я, поэтому мы можем считать, что 7, — Т. Поэтому dim (G/КУ > 0. В силу 5.2 N (Т) действует на (G/Я)7 транзитивно. Так как "dim Я (Т) (х) >0, то точка х не является неподвижной при действии N (Гут на Мт. Так как rk К = 1 +rk Н, то точка х лежит также в особой орбите этого действия. Итак, для того чтобы показать, что х —неподвижная точка, достаточно рассмотреть случай, когда Я конечна. Если х — неподвижная точка относительно компоненты Go единицы группы G, то она единственная такая точка, так как х — единственная неподвижная точка Т'-действия. Так как G переставляет неподвижные точки Оо-действия, то G оставит точку х неподвижной. Таким образом, для того чтобы доказать неподвижность точки х, достаточно ограничиться случаем, когда группа G связна.
Итак, предположим, что Я конечна и что G— связная группа (и, следовательно, rk G = 1 = гкК). Предположим, что х не является неподвижной точкой, и, следовательно, что К =^=G; тогда должно быть G = S3 или G = SO(3). Так как (G//()7- состоит из одной точки, то К =э N (Г') и, следовательно, К = К(Т'). Если G = S3,
J) Без края.— Прим, перец.
то рассмотрим ее центр L = {—1, 1}с/(. Тогда (G/K)L = GlK^V2. Так как ML 22-ациклично, то ML должно пересекаться с некоторой главной орбитой вблизи G (х). Однако тогда LcH, откуда следует, что L тривиально действует на М, так как L — нормальный делитель в G. Таким образом, группа G, действуя эффективно, должна быть группой SO (3), причем K = N (Г) и Т' = = SO (2). Если элемент к принадлежит компоненте К — Т' группы К и если t ge Т', то k^k '^t. Итак, tkt^^Fk, откуда следует, что Т действует транзитивно сопряжением на окружности К — Т'. Поэтому нормальная конечная подгруппа Н а К должна содержаться в Т'. Однако, как легко видеть, К/Н изоморфна N (Т'), а последняя не изоморфна нормализатору подгруппы S1 группы S3 (например, она содержит группу ^2®Z2, тогда как нормализатор подгруппы S1 группы S3 ее не содержит). Таким образом, предположение, что х не является неподвижной точкой, оказалось неверным.
Согласно 6.2 нам теперь известно, что группа G = K есть либо S1, либо S3, либо нормализатор подгруппы S1 группы S3, и она действует вблизи х свободно вне х. Остается показать, что это верно всюду, т. е. что все другие орбиты являются главными; но это непосредственно следует из 7.2. |
Укажем теперь некоторые нерешенные проблемы, непосредственно связанные с материалом, изложенным в этой главе. Все эти проблемы связаны между собой и, как кажется автору, имеют достаточно глубокую природу. Пусть G —компактная группа Ли (возможно, конечная). Проблемы представляют интерес даже в случае циклической группы G (но не такой, порядок которой есть степень простого числа).
Проблема 1. Если группа G действует на диске D™ с началом координат в качестве неподвижной точки, то будет ли З^'^ф Для такой H^G, что Вфл ^ (О? Будет ли это выполняться в случае, когда действие на границе S"-1 ортогонально?
Проблема 2. Если группа G действует на диске D" и если F (G, Dn) cz int D", может ли F (G, D") содержать более чем одну точку? •
Проблема 3. Если группа G действует на S" х I, то может ли множество F неподвижных точек пересекаться с S"x{0) ине пересекаться с 5лх{1}. Может ли это выполняться, если действие ортогонально на обоих концах интервала? (Заметим, что если бы последнее было возможно, то тогда существовало бы такое действие на 5Л+1, что F (G, S"+1) имело бы компоненты неравной размерности).
Проблема 4 (Реймонд). Пусть группа G действует на К” с неподвижной точкой х. Если jR(%y=0, должна ли точка х принадлежать замыканию множества К"н)?
Действия с орбитами коразмерности 1 или 2
В этом параграфе мы будем рассматривать локально гладкие действия на связном n-мерном многообразии М с главными орбитами коразмерности 1 или 2, т. е. с пространством орбит размерности 1 или 2. Мы покажем, что эти действия на евклидовом пространстве эквивалентны ортогональным действиям.
Сначала изучим случай, когда максимальная размерность d орбиты есть и —1. Тогда, согласно 4.1, М — одномерное многообразие с краем. Пространство U* главных орбит открыто, связно и плотно, и U* также должно быть локально связно в М*. (Это будет ясно, если обратить внимание на часть многообразия над открытым связным подмножеством многообразия М*.) Тогда U* должно представлять собой в точности внутренность связного одномерного многообразия М* с краем.
Теорема. Предположим, что многообразие М не компактно и d — n—\. Если любая орбита является главной, то M^G/Hx'R с тривиальным действием на R. В остальных случаях М эквивалентно Gx«V, где V — евклидово пространство и К действует на V ортогонально и на единичной сфере из V транзитивно. Если М — евклидово пространство, то K = G и M^V.
Доказательство. Согласно сделанному выше замечанию Al*«=s|R тогда и только тогда, когда все орбиты главные. В этом случае М есть расслоение над R со слоем G/H. Так как такое расслоение должно быть тривиальным, то первое утверждение теоремы доказано. В остальных случаях J) М* должно быть лучом [0, оо), и лишь концевая точка не является образом главной орбиты. Линейная трубка вокруг неглавной орбиты имеет вид GxKV, и так как V* одномерно, то К действует на сферах из V с центром в начале координат транзитивно. Так как М* есть конус с вершиной, соответствующей неглавной орбите, то из II.8.5 следует, что М эквивалентно описанной линейной трубке. Далее GXk^ = G/K есть ретракт пространства Gx KV, так что если М — евклидово пространство (или хотя бы 22-ацикличное пространство), то G/К — точка. | '
Замечание. Предположим, что мы находимся в условиях второй части теоремы 8.1, и пусть D — единичный диск из V, так что его край есть орбита /<-действия типа, скажем, К/Н. Тогда GXrD есть расслоение на диски над G/К, и тотальное пространство соответствующего расслоения на граничные сферы есть GxKU<!H>^G!H. В этом расслоении проекция GlH-*GlK в точности есть каноническое эквивариантное отображение. Таким образом, GXj<D — цилиндр эквивариантного отображения G/H -*G]K.
Теорема. Пусть М компактно и d — n—1. Если любая орбита является главной, то М есть G/H-расслоение над М* ^ S1 со структурной группой N (Н)/Н. В остальных случаях имеется лишь две неглавные орбиты типов, скажем, G/Kh i = 0, 1, где Ki^ Н (здесь Н —главная стационарная группа). Более того, подгруппы Ki можно выбрать так, что М эквивалентно объединению двух цилиндров отображений G/Н -*0/Кь i = 0, 1.
Доказательство. Первое утверждение очевидно, так как в этом случае M*^S1. Во втором случае имеем М* = [0, 1], и орбитные типы G/Ki соответствуют концам t = 0, 1 отрезка М* = = [0, 1]. Часть пространства М, расположенная над[0, 1), удовлетворяет условиям теоремы 8.1, и легко доказать, что часть пространства М, расположенная над [0, 1/2], эквивалентна цилиндру Мр отображения /0: G/H=>- G/Ko. Аналогично, расположенная над 11/2, Р часть пространства М эквивалентна цилиндру отображения Д: G/H -^-G/Kv Следовательно, М эквивалентно объединению Мр 0Ф Мр, где ф: G/HG/H — некоторая эквивалентность. Далее, Ф должно быть правым сдвигом R”,H: gH --gn^H на некоторый элемент mN(H), см. 1.4.3. Положим K'i = п^КрюН и определим /], потребовав коммутативности диаграммы
G/H К- G/K'i
G/H G/Ki
(Напомним, что правое вертикальное отображение имеет вид gKii—* gK'yr'= gn-1Kv) Имеется эквивалентность ф: Мр — М; , совпадающая с ф на «верхнем основании» G/Н. Следовательно, /И я» Мр иФ Mf М^ иФ М^, и желаемый результат получается при замене подгруппы Ki сопряженной подгруппой KV |
Теперь изучим случай d — n — 2. Если И —линейный срез в точке х е М и S —единичная сфера в V, то вблизи х пространство Л4* является открытым конусом над S*. Таким образом, пространство орбит имеет «локально коническую» структуру. Заметим, что если d = n — 2 и G (х) — особая орбита, TodimS>l, так что S* есть дуга (так как S не расслаивается над окружностью). С другой стороны, если G (х) — исключительная орбита, то S есть окружность и Gx действует (эффективно) либо как циклическая подгруппа группы вращений, либо как некоторая диэдральная группа (группа симметрий правильного многоугольника), так как эти группы, и только они, являются конечными подгруппами группы 0(2). Если Gx действует циклическим образом, то S* есть окружность, а в остальных случаях S* есть дуга, и очевидно, что тогда х принадлежит замыканию множества SE. Итак, мы имеем следующее предложение.
Предложение. Если d = n — 2, то край двумерного многообразия М* в точности есть B*\JSE*. J
Обозначим через С* множество тех точек х* гдМ*, в любой близости которых тип орбит в дМ* непостоянен. Так как орбитная структура является локально конической, то в этом случае множество С* дискретно.
Лемма1). Если х* е С* — SE*, то размерность орбиты х* строго меньше размерности любой близкой к х* орбиты.
Доказательство. Перейдя при необходимости к срезу, мы можем считать х неподвижной точкой и Л1 евклидовым пространством 2) с ортогональным G-действием. Пусть О0 — компонента единицы группы О. Если лемма неверна, то MG° одномерно и М = MG”X'W, где W — ортогональное дополнение к MG% причем 60 действует на единичной сфере пространства W транзитивно. Кроме того, G/Go должно (нетривиально) действовать на MG°. Но отсюда, очевидно, следует, что W (если отбросить начало) состоит из специальных исключительных орбит G-действия на М, что противоречит условию. |
Мы подошли к основному результату этого параграфа.
Теорема. Предположим, что d = n — 2 и что М целочисленно ациклично. Тогда М^^п и действие эквивалентно ортогональному действию.
Доказательство. Пусть Н — главная стационарная подгруппа. Покажем сначала, что множество В* U Е* связно. Если rk Н <rkG, то это следует из 7.2. Если гкЯ = гкС, то из 1.5 и 5.2 следует, что достаточно рассмотреть случай п = 2 и конечной группы G. В этом случае Л-1^[|<2 в силу известных теорем характеризации плоскости, см. Уайлдер [1]. Возьмем в пространстве орбит М* две неглавные орбиты а* и Ь* и обозначим через а некоторую соединяющую их дугу, внутренность которой лежит в множестве U* главных орбит. (Напомним, что в нашем случае орбита является главной тогда и только тогда, когда ее стационарная группа тривиальна.) Пусть л —проекция на пространство орбит. Тогда со = л-1 (ст) есть граф в плоскости М, вершины которого лежат в орбитах а* и Ь*. Так как а* и Ь* не есть главные орбиты, то в графе со из каждой вершины исходит по крайней мере два ребра. Следовательно, со содержит простую замкнутую кривую и потому разбивает плоскость М; при этом хотя бы одна из компонент множества Л4 — со ограничена. Так как G переставляет ограниченные компоненты множества /И — со, то как объединение V ограниченных компонент, iaK и объединение IF неограниченных компонент множества М — со являются насыщенными множествами. Поэтом\ ,11* — ст= V* U ^* и У*П
*) Предполагается, что d—=n- ‘2 Прим черев
s) С началом в точке х. — Прим. черев.
ПГ* = 0. Итак, дуга о разбивает пространство М*. Так как внутренность дуги о лежит внутри М*\ то как а*, так и Ь* лежат на краю многообразия М*. Но множество V* Jo компактно, поэтому а* и Ь* лежат в одной и той же компоненте края. Так как дМ* состоит из неглавных орбит, то наше утверждение доказано).
Мы продолжим доказательство для случая, когда G связна, а затем укажем, как освободиться от этого ограничения.
Если G связна, то в силу 4.4 имеем Нх^М*; Z2) = 0. Кроме того, М* либо замкнуто, либо имеет связный край. Из классических теорем о двумерных многообразиях следует теперь, что М* гомеоморфно либо плоскости, либо полуплоскости.
Если М* — плоскость, то в силу сказанного выше множество 5*UE* содержит в точности одну орбиту) типа, скажем, G[K. В этом случае М* обладает конической орбитной структурой с вершиной на этой орбите, и из 11.8.5 следует, что M* = GxKV, поэтому G = K действует ортогонально. В силу 8.3 для связной группы G это невозможно.
Итак, М* есть полуплоскость (у3=0 в плоскости {(х, у)\), и множество 5* US'* состоит из граничных точек (у=0). Из 8.3 и 3.12 следует теперь, что Е* = ф, т’. е. дМ*=В*.
Как и раньше, достаточно доказать, что М* имеет коническую орбитную структуру. Иными словами, надо найти такую точку а* г В*, что на каждой из двух компонент множества В* —{а*} орбитный тип постоянен.
Как и в лемме 8.4, обозначим через С* множество тех точек из В*, вблизи которых орбитный тип орбит из В* непостоянен. Пусть о —такая дуга в В*, концы которой а* и Ь* лежат в С*, а внутренность не пересекается с С*. Пусть G[K — тип орбит, соответствующих внутренним точкам дуги о, и пусть A = dimG/K; положим Л = л-1(о), дА = л-1 (a*) U л-1 (6*), и пусть А' = А — дА. В силу 8.4 МтдА<.к. Далее, А' есть связное (&+1)-мерное многообразие, так что Нк+1(,А, дА; Z^)^^- Так как dim Msg ^k — 1, то имеется коммутативная диаграмма (коэффициенты в Z2)
Н^ (В+, В+ - Д') '*■ Н^1 (В+, оо)
Hk+1(A, дА) ^ Н^ЧА)
где все отображения индуцированы включениями. (Так как А компактно, то мы пишем А вместо (Д+, оо).) Пусть цл е
еН^ЧВ, ?о) —образ нетривиального элемента группы Нк^(В+, В — Д') при отображении /*. Тогда 1д (рл) =#0.
Если Д, —прообраз другой такой дуги из В*, то коммутативность диаграммы
H^Bv, В^-A'V>Hk,4B-,
0 = /7*+1(Л1, д^-^^^д,)
показывает, что 1дг (рл) = 0. Следовательно, для разных Д элементы рл различны.
Так как М — В расслаивается над Л4* — 5*^к2 со слоем G/H и, следовательно, содержит G/H в качестве деформационного ретракта, то из теоремы двойственности Лефшеца (при q^n — 2) следует, что
НЧВ^ <>Ч^№ЧМ,Г1 ВЛ^Нп.д-ЧМ-В^Нп_ч-х^1НУ
Так как группа Н* (GlH\ Z2) конечно порождена, то отсюда следует, что множество С* конечно. Следовательно, имеется дуга (или точка) т в В*, концы которой лежат в С* и которая содержит все точки из С*.
Пусть О — являющаяся двумерной клеткой окрестность дуги т в пространстве М*, см. рис. IV. 1. Тогда D есть сильный деформационный ретракт пространства э л ,Л4*, причем имеется деформация,
^К" дЖ CvVсохраняющая орбитную структуру.
''ЖМ®-т-А^По теореме о накрывающей гомо-
У-МШШЙтопни 11.7.3 подпространство л1 (/)) ссгь деформационный ретракт пространства М, и потому оно ацик- ^* лично. Так как, варьируя D, мы сполучим фундаментальную систе-
Рис. IV. 1.му окрестностей л 1 (D)} множе
ства л 1 (т), то Нч (ла (т); Z2) = 0 при 7>0. В силу сказанного выше отсюда следует, что С* есть либо точка, либо пустое множество. Следовательно, /И* имеет коническую структуру и требуемое утверждение получается из II.8.5.
Нам осталось изучить случай несвязной группы G. Рассмотрим G/Go-действие на М/60. Так как оно сохраняет локально коническую структуру на M[G0, то, используя описание действий конечных групп на дугах и на окружности (см. упражнение 3), заключаем, что это действие локально гладко. Предположим сначала, что Go действует нетривиально, так что MjG0
есть полуплоскость. Тогда на границе этой полуплоскости любой элемент группы G/Go должен действовать либо тривиально, либо отражением. Если элемент geG оставляет d(MiG0) поточечно неподвижным, то он также оставляет поточечно неподвижным и всё M/Go. Это легко доказать, используя соображения локальной гладкости (или можно тривиально продолжить действие на другую полуплоскость и использовать теорему Ньюмена II 1.9.5). Таким образом, G/Go, действуя на M/Go эффективно, есть либо тривиальная группа, либо группа Z2- Если G/G0^Z2, то на d^MjGg) имеется единственная неподвижная точка. (Заметим, что MG<> либо есть точка, либо целиком лежит в d^M/Gg), причем в первом случае G сохраняет эту точку.) Из локальной гладкости действия следует теперь, что (44/G0)G — одномерное многообразие с краем, являющимся одной точкой, совпадающей с (Л4/СО)СП ^G^/Go). Так как Af/G = (/M/G0)/(G/G0) односвязно в силу II.6.3, то оно есть полуплоскость, и его край является, очевидно, объединением двух лучей, один из которых — пространство орбит 6/Go-действия па d(M/G0), а другой — множество неподвижных точек G/Go-действия на M/Go. (Это следует из теории Смита или из того, что В* J Е* связно.) Отсюда легко вытекает требуемый результат. Случай тривиальной группы G/Go, т. е. случай G = G0, был разобран раньше.
Если Go действует на М тривиально, то G, действуя эффективно, должна быть конечной группой, действующей на Л4^5<2. Тогда, по аналогии со сделанным выше, можно рассмотреть подгруппу G+ с G преобразований, сохраняющих ориентацию, а затем рассмотреть действие на M/G+ группы G/G+ (тривиальной или изоморфной группе Z2)- (Заметим, что M/G+ есть плоскость и что вне некоторой точки группа G+ действует свободно. Это следует из ряда сделанных выше замечаний). Детали мы оставляем читателю, отсылая его к упражнению 4. |
Замечания. Случай d — n — 1 имеется у Хофмана и Мостерта [2], Монтгомери и Ци п пина [2, 4] и Мостер- та [1] (без предположения локальной гладкости). Теорему 8.5 доказали Монтгомери, Самельсон и Янг [2]. Аналогичное исследование для случая действия на сфере с неподвижными точками и с d — n — 3 провели Монтгомери и Янг [3].
Теперь мы сосредоточим наше внимание на компактных многообразиях с d = n — 2. Доказательство следующего результата принадлежит по существу М о н т г о м е р и, С а ме л ь с о н у и Янгу [2] и может использоваться в качестве альтернативного подхода к части доказательства теоремы 8.5.
Теорема. Предположим, что группа G связна и что d = n — 2. Предположим также, что М — компактное связное многообразие с Н^М; Z) = 0 и что действие имеет особые орбиты. Тогда Е* = ф и М* есть двумерный диск с границей В*.
Доказательство. Из II.6.5 следует, что М* есть D2, S2 или Р2. Из 3.12 и 8.3 следует, что дМ* = В*=^ф. Следовательно, A4*^D2, и надо доказать лишь, что Е* = ф. Пусть т —дуга в М*, внутренность которой лежит в пространстве главных орбит, один конец —в В*, а другой —в Е*. Из доказательства теоремы 8.2 следует, что множество А = л-1 (т) есть объединение двух цилиндров, X = AJTU^, где ф: P-^-Q и ф: Р->-S — эквивариантные отображения главной орбиты в исключительную орбиту Q и особую орбиту S. В силу 4.5 многообразия Р и Q ориентируемы. Если ф есть я-кратное накрытие, то имеется точная последовательность (пары (Мф, Р))
... -*нп г (Q; Z)ф’ Н-2 (Р- Z) Н"-1 (Л1Ф, Р; Z) Д"-1 (Q; Z) = 0.
Так как Р и Q — связные ориентируемые (и —2)-мерные многообразия, то первые две группы являются бесконечными циклическими, и ф* есть просто умножение на к, так как deg ф = &. Следовательно, Нп~1(А, М^; Z) ^ Н"-1 (М^, Р; Z)^Z» Но /Иф содержит S в качестве деформационного ретракта, и ,dim S s^n — 3. Следовательно, Н^ЦА; Z)^Ze- Так как Нп-1 (М; Z)^ Ht(M; Z) = 0, то точность последовательности
0 = Я«-1(Л4; Z^H^tA; ф^НфМ, A; Z)-* ...
показывает, что группа Н9(М — А; 2) ^Н" (М, A; Z) имеет кручение, что невозможно, g
Используя аналогичные рассуждения, мы теперь покажем, что и в общем случае для компактного ориентируемого многообразия М можно получить довольно полную информацию о множестве исключительных орбит.
Теорема. Пусть группа G связна, и пусть М — связное компактное ориентируемое многообразие. Предположим, что включение некоторой главной орбиты Р в многообразие М индуцирует тривиальный гомоморфизм Н1(Р; Z)^- Н^М; Z) (это выполняется, если найдется такая орбита Q, что Hi (Q; Z) = 0; например, если Л4й Ф ф\ Предположим также, что d = n — 2. Тогда:
если Н, (М; Z) не имеет 2-кручения, то специальных исключительных орбит нет;
(И) если есть особая орбита, но нет специальных исключительных орбит, то rkHv(M; Z) = dim//1 (Л4*; Z2), и если Qt,... ..., Qm —исключительные орбиты, лежсицие внутри М*, и каждое каноническое отображение P-^-Qi является к-кратным накрытием, то подгруппа кручения группы НХ(М; Z) есть Хк ©,... • • • ®Zsm.
Доказательство. Замечание в скобках справедливо в силу того, что включение РсМ пропускается через любую орбиту Q,
так как Р можно считать лежащей в трубке вокруг Q, а трубка ретрагируется naQ. Заметим, что если двумерное многообразие М замкнуто, то теорема становится бессодержательнойх), поэтому
будем считать, что М* имеет край дМ* = В* U SE* ^ ф. Обозначим через Л* с М* множество, являющееся объединением дуг,
m = 3, s=2Рис. IV. 2.m = 3, s=2Рис. IV. 2.составляющих край д/И* вместе с s дугами, концы которых лежат на дМ*, и вместе с т такими дугами, каждая из которых соединяет одну из m исключительных орбит в int /И* с краем дМ*; при этом внутренности этих s + m дуг лежат в множестве главных орбит. Кроме того, число s и соответствующие s дуг выберем так, чтобы М* — А* было гомеоморфно плоскости к2.
m = 3, s=2
Рис. IV. 2.
m = 3, s=2
Рис. IV. 2.
Тогда s = dim//](M*; Z2), независимо от того, ориентируемо многообразие М* или нет (см. рис. IV.2). Положим Л = л'1(Л*). Тогда М— А (М* — А*) х P^k2 X Р; по условию отсюда следует, что гомоморфизм Н^М — A; Z)-*H1(M; Z) тривиален. По теореме двойственности Пуанкаре — Лефшеца получаем, что и гомоморфизм Н"-1^, A; Z) -> Я"-1 (М; Z) тривиален. Аналогично, так как М — А связно, то Нп(М, A; Z) -> Нп (М; Z) есть изоморфизм. Поэтому ограничение Нг^М; Z) Нп-1 (М; Z)—>- -»-Нп-1(А; Z) тоже есть изоморфизм.
Если ЗЕ^ф, то из 3.11 следует, что А содержит множество вида I х Q, где Q — специальная исключительная неориентируемая орбита. Из замечания после 3.9 следует, что Н^ЦА; Z) имеет 2-кручение, откуда следует (1).
В случае (И) мы имеем В*=дМ*. Обозначим через Аг часть множества А, лежащую над 5*, а через Л2 — часть множества А, лежащую над остальными дугами. Тогда dim (Aj Q Л2) s^ и — 3 и dimAisgn — 2. Из точности последовательности Майера — Вьето- риса следует теперь, что Я"-1 (A; Z) ^ Нп"' (Л2; Z) и аналогично,
что эта группа разлагается в прямую сумму подгрупп, являющихся гомологическими группами соответствующих дуг. Напомним, что в силу 3.11 Р ориентируемо. Исходя из доказательства следствия 4.6 и используя тот факт, что Qz — изолированная точка в Е*, легко доказать, что любая орбита Qt ориентируема. Из доказательства теоремы 8.6 следует, что дуге из В* в Qi отвечает прямое слагаемое Z», группы Нп~ЦА; Z) = Нп'' (Л2; Z).
Аналогично легко доказать, что каждой дуге с концами в В* отвечает прямое слагаемое, изоморфное Z, откуда следует теорема. |
Замечание. Ясно, что для групп G, заданных в явном виде, анализ действий с d = п — 2 может быть продвинут значительно дальше. Так, Реймонд [2] и Орлик и Реймонд [1] полностью классифицировали действия окружности на трехмерных многообразиях, и Орлик и Реймонд [3J проделали аналогичное исследование для действий двумерного тора на четырехмерных многообразиях.
Теперь мы кратко коснемся случая локально гладкого действия связной компактной группы Ли G на Л4 = S” (/г > 2) при d = n — 2. Можно показать, что при п#=3 обязательно есть особые орбиты, что мы и предполагаем. Тогда по 8.6 имеем М* = D2, S*=dD2 и Е* = ф. Рассмотрим множество С* тех точек из 5* = dD2, вблизи которых орбитный тип орбит из В* непостоянен. Пусть с—■ количество точек множества С*.
Примеры § 7 гл. I SO (и)-действия на S^'"™1 (и 2s 3) пока
зывают, что с может быть нулем и действие может не быть ортогональным.
Приведем пример, когда с—1. Положим G=U(2) и напомним, что имеется гомоморфизм G-*SO(3), ядро которого есть центр группы U (2). Посредством этого гомоморфизма группа G действует на R3, и имеется стандартное U (2)-действие на R4 = (D2. Поэтому возникает диагональное действие группы G = U (2) на сфере S6czR3xR4. Действие па R3 индуцирует на S2 транзитивное дей- / {eR .\ ствие, стационарной группой кото- U(i)xU(l)v' I рого является максимальный тор
к . , / U (1) X U (1) группы U (2). Действие Xна к4 индуцирует на S3 транзитив-
ное действие со стационарной груп- рис [у упой 11(1) =11(1) х {^^S1. Так как
G(,, У) = G, П Оу, то при у Д=0 группа Gvx_ у} либо конечна, либо есть окружность S’. На множестве же S2 X (0}c:S6 группа G действует транзитивно со стационарной подгруппой U(l) х U (1). Так как после некоторого сопряжения подгруппа U (1) х \е\ будет иметь тривиальное пересечение с подгруппой U (1) х U (1), то главная стационарная подгруппа тривиальна. Из 8.3 и 8.4 и того факта, что Е* = ф, следует теперь, что орбитная структура имеет такой вид, как на рис. IV.3 (где указаны стационарные подгруппы).
Для с = 2 пример дается очевидным (SO (m) х SO (л))-дейст- вием на Sm+n cz Rm х R" х R. Другим примером является действие на компактификации пространства из примера § 4 гл. 1.
Для с = 3 пример дается (SO (я) х SO (m) х SO (г) )-действием на Smw'"~1 cz йл х Rm х R'.
Монтгомери и Янг высказали гипотезу, что всегда с^З. Кроме того, нам кажется, что примеры § 7 гл. I являются единственными примерами локально гладких, но не ортогональных действий при d = n — 2 (для случая с = 0 это доказано Б редоном [11, 12]. Некоторые частные случаи мы обсудим в главе V).
Действия на торах
Несмотря на то, что действия на сферах могут быть довольно сложными, действия на торах устроены довольно просто, что мы и покажем в этом параграфе. Именно, если связная компактная группа Ли G действует на торе Т*, то, как мы покажем, сама эта группа есть тор, причем действует она свободно и и проекция на пространство ее орбит является тривиальным главным расслоением. Этот результат установили Коннер и Монтгомери [1], изучавшие более общий случай действий на компактных асферических многообразиях (т. е. на многообразиях, все гомотопические группы которых, кроме первой, тривиальны). Позже Коннер и Реймонд [1] продолжили эти исследования значительно дальше, заполнив при этом пробел в первоначальной работе Коннера и Монтгомери. Мы сосредоточим наше внимание на действиях на торах; в этом случае возможно более простое изложение, использующее теорему Ньюмена (§ 9 гл. Ill). В этом параграфе мы не предполагаем локальную гладкость действия, и на самом деле доказываемые здесь результаты не зависят от остальных результатов этой главы.
Предложение. Пусть на пространстве X действует линейно связная группа G, и пусть И с: G — стационарная подгруппа некоторой точки хгХ. Тогда Н действует на лх (X, х) внутренними автоморфизмами.
Доказательство. Пусть ц —петля с началом и концом в х, и пусть h е Н. Так как группа G линейно связна, то петля 1ш свободно гомотопна петле ц. Но это означает, что гомотопические классы [ц] и h* [ц] сопряжены в группе лт (X, х\ |
Теорема. Пусть компактная группа Ли G эффективно действует на М — Тк, и пусть хеМ- неподвижная точка этого действия. Тогда G действует на лД/И, х) эффективно.
Доказательство. Напомним, что единичная компонента группы G действует на лДМ, х) тривиально. Так как подгруппа группы G, тривиально действующая на лг (М, х), одновременно открыта и замкнута, то достаточно доказать, что если G действует на лДМ, х) тривиально, то и сама G тривиальна. Универсальное накрывающее пространство над М есть R*, и можно считать, что 0 е R* проектируется в х. В силу 1.9.2 G-действие
можно поднять на R\ причем 0 будет его неподвижной точкой. Действие группы G на лДМ, х) можно отождествить с сопряжением элементами группы G преобразований группы A = Z*— группы скольжений универсального накрывающего пространства. Тогда из тривиальности G-действия на пД/И, х) следует, что G коммутирует с А. Заметим, что фундаментальной областью для А является куб Р с R6, где I = [0, 1]. Пусть Л = 6 (Р) ед R*, тогда А — компактное инвариантное подмножество. Для любого уЕр имеем у е D (?) для некоторых zgPhDgA. Тогда G (у) = = G (D (г))= D (G (г)) с D (А), поэтому
diam G (у) diam D (А) = diam А
для всех у. Таким образом, диаметры орбит действия на R* в совокупности ограничены, что противоречит теореме Ньюмена Ш.9.7. |
Теорема. Если связная компактная группа Ли G эффективно действует на М = Т*, то G есть тор, и действие свободно.
Доказательство. Если Я— стационарная подгруппа некоторой точки хе М, то из 9.1 и коммутативности группы л2 (М, х) следует, что Я-действие на nj (М, х) тривиально. Поэтому в силу 9.2 Я —тривиальная группа. Следовательно, G действует свободно. В силу 1.9.1, данное G-действие можно поднять до действия на R* группы 6', накрывающей группу G. Если G' содержит некоторую компактную подгруппу, то она содержит и циклическую подгруппу Я простого порядка. Тогда в силу III.7.1 Я-действие на Rfe имеет неподвижные точки и, следовательно, Я-действие) на М тоже имеет их. Но тогда Я действует на М тривиально (так как G действует свободно) и, следовательно, Я лежит в ядре накрытия G'->G. Но это ядро вкладывается в группу A = Zfc, что противоречит конечности группы Я. Так как универсальная накрывающая компактной полупростой группы Ли сама компактна, то G не может содержать таких подгрупп, и, следовательно, G есть тор, см. 0.6.10. |
Лемма. Если окружность S эффективно действует на М = Т'', то для любой точки хеМ включение S (х) -> М индуцирует мономорфизм Лт (S (х)) Ei (А4).
Доказательство. Из 1.9.1 следует, что существует единственное эффективное действие группы S' на R*, накрывающее данное действие. Из доказательства теоремы 9.3 следует, что S' не может быть окружностью, поэтому S'^R. При этом теорема 1.9.1 устанавливает включение ядра гомоморфизма R->S в группу скольжений А накрытия Rft->A1. Это включение можно (при выборе отмеченной точки х) отождествить с отображением
л, (S) ->- -Tt (УИ), индуцированным отображением S ->- S (х) с Л1, поэтому гомоморфизм л, (S (х)) ->- лх (Л4) мономорфен ^ ]
Замечание. Изложенные результаты верны, конечно, и в случае, когда М — такое пространство, что для некоторого г пространство VxM есть тор (или, на самом деле, когда ХхМ есть тор для некоторого X), так как все теоремы можно применить к действию на ТгхУИ, тривиальному на Р. Это, конечно, не .начительное обобщение, но оно будет удобно для использования в изложенных ниже индуктивных рассуждениях. Отметим, что все исследуемые пространства являются евклидовыми окрест- ностными ретрактами, поэтому для них сингулярные когомологии совпадают с чеховскими. Если читатель пожелает, то он может считать действия локально гладкими, так что эти пространства будут многообразиями.
Теорема. Если mop G действует на торе /И = Т*, то проекция л: УИ-^-УИ* на пространство орбит является тривиальным главным G-расслоением', таким образом, имеется эквивалентность M<=^GxM*, где М* — пространство с тривиальным G-действием.
Доказательство. Сначала мы сведем теорему к случаю, когда G — окружность. Пусть G = G' xS, где S — окружность. Предположим, чго нам известна эквивалентность М^б'хМ', где NV = M]G'. Тогда S действует на УИ' свободно (в силу изложенных выше соображений и замечания или непосредственно). Следовательно, если М' ^ S х (M'/S), то М G' х S х (M'/S)
Итак, предположим, что G = S* и что М после умножения его на некоторый тор само становится тором. В частности, лх (УИ) — свободная абелева группа и л,(УИ) = 0 при z>l. Так как S1 действует на М свободно, то проекция М М* — главное S^pac- слоение. Из 9.4 и точности гомотопической последовательности О л2 (УИ*) -> Л] (S1) -> Л! (УИ)-> Л! (УИ*) —-> О следует, что л,- (УИ*) = = 0 при z>l 9- Так как группа лх (УИ) абелева, то такова и nj (УИ*). Далее, универсальное накрывающее пространство над УИ* ациклично и конечномерно, поэтому в силу теории Смита группа скольжений не содержит элементов конечного порядка. Итак, лх (УИ*) — свободная абелева группа, и поэтому короткая точная последовательность 0-> л, (S1) -*• лх (УИ) -> лх (УИ*) ->0 расцепляется. Так как в этой последовательности все группы абелевы, то Л! можно заменить на Hv Применив к новой последовательности функтор Нот (•, Z) и учитывая, что Я1 (■; Z) =
!) Заметим, что S-*S(x) есть гомеоморфизм по 9.3. — Прим, перев.
Из приведенных автором условий следует, конечно, только, что л2 (Л4*) = 0. Равенство л, (/И*)--0 при i>2 вытекает из точности следующего отрезка гомотопической последовательности расслоения; л; (Л1) ->- лх (Л1 *) s- л;^ (S1) — Прим. ред.
= Hom (#!(•), Z), получим расщепляющуюся точную последовательность 0->- Н1 (М*; Z) Н1 (М; Z)Н1 (S1; Z)->0. В частности, получаем, что включение S1 — Л4 индуцирует эпиморфизм групп КОГОМОЛОГИЙ.
Включение слоя индуцирует коммутативную диаграмму последовательностей Ризина (с коэффициентами в Z)
Я1 (М*) -> Я1 (М) Н° (М*) И- Н2 (М*)
О = Я1 (*) Я1 (S1) Я® (*) Я2 (*) = 0.
Анализ диаграммы показывает, что w = 01).
Рассмотрим теперь универсальное 51-расслоение S”-^CP” (можно использовать расслоение S2V+1^-(DPV с большим Я). Имеются классифицирующее отображение <р: М*->©Р® и коммутативная диаграмма
Индуцированное отображение последовательностей Ризина задает диаграмму
Я0 (СР”) ^ Я2 (СР”)
I ЛР*
я° (М*)->Я2 (М*)
коммутативность которой влечет <р* = 0. Так как <DP°° есть K(Z, 2), то гомотопические классы отображений из М* в СР” соответствуют элементам группы Н2(М*у, при этом классу [ф] отвечает элемент ф* (и), где и е Я2 (СР”)— образующий. Таким образом, отображение ф гомотопно постоянному и, следовательно, расслоение М-^>-М* тривиально. |
Замечание. Очевидно, что большая часть вышеизложенного доказательства стандартна и читатель с хорошей топологической подготовкой сумеет его сократить. Более эффективный вариант по существу того же доказательства имеется у Коннера и Монтгомери [1].
Конечность числа орбитных типов
Здесь мы докажем теорему Манна [2], утверждающую, что любое действие на ориентируемом многообразии с конечно порожденными гомологиями имеет конечное число орбитных типов.
!) Действительно, Н1 (S1) -»• Н° (*) — изоморфизм, поэтому Н1 (М) -* -э- H^M '^ - эпиморфизм, — Прим, перев.
Как обычно, мы ограничимся случаем локально гладкого действия, хотя результат справедлив и без этого ограничения. Мы скажем, что М. — многообразие конечного типа, если все группы Н;(М; Z) конечно порождены.
Лемма. Пусть М — ориентируемое многообразие конечного типа. Для любой компактной окрестности С бесконечной точки со е Л4+ существует такая окрестность С' с: С точки со, что гомоморфизм Н* (С, оо; Z)->H*(C', со; Z) тривиален. (Иными словами, М* когомологически локально связно (clc) в са}.
Доказательство. Если С' с int С, то, как хорошо известно, образ гомоморфизма Н* (М+, С) -v Н* (М+, С') конечно порожден. (Это следует из того, что М является clc в любой размерности; доказательство есть, например, у Б р едо н а [13], с. 77. Здесь мы отметим лишь, что это легко доказать в случае триангулируемого многообразия М. В этом случае, переходя к подразделению, можно найти такой конечный полиэдр К а М, что К с с/И+ —С' и М* — CczmtK. Тогда группа//* (Al+,Af+ — int /0 конечно порождена,и исследуемый гомоморфизм пропускается через нее.)
По условию группа Н‘ (АД, со) ^ НпЧ (М) конечно порождена и из коммутативности диаграммы
НДАД, оД^НДС, оо)^Я‘Ц(Л/+, С)
Я'(М+, оо)-^Яг (С', оо)-э-Я'+1 (М+, С')
следует, что образ гомоморфизма Я' (С, оо)-> Я'(С', оо) конечно порожден. В силу непрерывности чеховских когомологий Пт Я'(С, оо) = Я‘(оо, оо) = 0. Таким образом, любой элемент из* образа гомоморфизма НДС, оД^-НДС, со) переходит в нуль при дальнейшем ограничении на подходящую меньшую окрестность точки оо. Так как образ этого гомоморфизма конечно порожден, то мы можем перевести в нуль одновременно все его элементы. |
Следствие. Заключение леммы 10.1. справедливо и для группы коэффициентов Хр, причем равномерно по р.
Доказательство. Предположим, что лемма 10.1 справедлива для двух включений С" с С' сС. Коэффициентная последовательность 0->Z->Z-^-Zp->0 индуцирует коммутативную диаграмму
НДС, оо; Хр^Н^ДС, оо; Z)
НДС, оо; Х^НДС, оо; гр^Н^(С, оо; Z)
НДС", оо; Х^НДС", оо; ХД
и диаграммный поиск показывает, что гомоморфизм № (С, со; Zp)-> — нцс, оо; Zp) тривиален. |
Заметим, что так как в этом контексте применима формула универсальных коэффициентов, то 10.2 справедливо для любой области коэффициентов, но мы не будем этим пользоваться.
Лемма. Пусть М — произвольное п-мернос многообразие. Предположим, что группа G = ZP действует на М и что Со zd Сг zd ... zd Сл+1 — такая последовательность компактных инвариантных окрестностей точки ооеД., что гомоморфизмы Н* (С,, со; Z,,) -*■ Н* (CiA.A, оо; ZP) тривиальны для всех i. Тогда гомоморфизм Н* (Сз, оо; Zp^-^H (Сл+ь оо; Zp) тривиален.
Доказательство. На самом деле мы утверждаем, что (над полем Zp) гомоморфизм Нр (Со, co) j) нп^‘ + 1 (с^, оо)
Й£~‘ + 1 (С,, со) Э Нп “1 +1 (С?, оо) тривиален как дляр = т, так и для р = о. Это утверждение бессодержательно1) при t = 0 и будет доказано индукцией по i. Последовательности Смита приводят к диаграммам
Н^1 (Со, сю)ф Нп~‘ (CL оо)н (Со, оо)
H^(Ci, ^)^Hnp-‘ (Ci, ео)®Нп~‘(С?, оо) ^Н"-‘ l?1 (Ci, ОО)
Я”-‘'(С<+1, оо)->-Яр 1 (С;+1, оо) QHn ‘(cf+i,oo),
поиск по которым устанавливает справедливость заключения. §
Теорем а. Пусть компактная группа Ли G локально гладко действует на ориентируемом п-мерном многообразии М конечного типа. Тогда в М имеется компактное подмножество К, имеющее общие точки с каждой компонентой множества неподвижных точек действия любой конечной р-подгруппы группы G, и это множество К можно выбрать не зависящим от р.
Доказательство. Пусть /И . == Со zd С, zd ... — такая последовательность компактных окрестностей точки оо оз М+, что гомоморфизмы Н* (С,, со; Zp) Н* (Ci+1, оо; ZJ тривиальны для всех i и всех р. Такая последовательность существует в силу 10.2, и ясно, что она может быть выбрана G-инвариантной. Пусть Р с G — некоторая р-подгруппа. Нам достаточно доказать, что ни одна из компонент множества Мр не лежит в С ^ |)Л). Пусть Мд — компонента многообразия М, содержащая компоненту F множества Мр. Так как Р обладает композиционным рядом нормальных делителей), то в Р имеется нормальный
делитель Рх, действие которого на Мо эквивалентно эффективному Zp-действию на нем1). Пусть М, — компонента многообразия Мо3', содержащая F. Тогда Р действует на Мх (причем Рх действует там тривиально), так что в Р имеется нормальный делитель Рг^>Рл, действие которого на Мг эквивалентно эффективному Zp-действию на нем; пусть Мг — компонента множества М^\ содержащая F. Так как размерности множеств Mi строго убывают, то процесс оборвется на некотором Mk — F с некоторым к^п. Теперь очевидное индуктивное применение леммы 10.3 влечет тривиальность гомоморфизмов И* (Мг, +, оо; Zp) ^-Я* (C(ri +n; Q ^.+, оо; Zp)- Следовательно, гомоморфизм Я* (F+, оо; Zp) -*• Н* (С fl F+, оо; Zp), где С=С(„+1)Я, тривиален. Так как F ориентируемо в силу 2.1 (или р = 2), то Нт (F+, оо; Z)^Яo (F; Zp)^0, где т = й.\тр. Поэтому F фС. |
1 еорема. Локально гладкое действие тора Т на ориентируемом многообразии М конечного типа имеет лишь конечное число орбитных типов.
Доказательство. Предположим индуктивно, что каждый собственный подтор S тора Т имеет на М лишь конечное число орбитных типов. Отсюда, из 111.10.13 и двойственности Пуанкаре следует, что F(S, М) имеет конечный тип. Выберем К сд М так, как в 10.4. Фиксируем простое р, и пусть Pt с Р2 с ... —последовательность р-групп, сходящихся к тору S аТ. Тогда F (Рп М)^ F (Р2, М) тэ... — последовательность многообразий с P|F(P;, M) = F(S, М). Так как каждая компонента множества F (Pi, /И) имеет общие точки с К, то последовательность (F(PU М^\ стабилизируется. В частности, любая компонента множества F (S, Л4) пересекается с К. Дальше доказательство ведется так же, как доказательство теоремы 1.3 (и леммы 1.4), с небольшими изменениями, которые читатель сможет проделать без особого труда. |
Замечание. Имеется теорема Мостов а [2], относящаяся исключительно к теории групп Ли и утверждающая, что результаты, аналогичные теореме 10.5, справедливы для действий любых компактных групп Ли G, если они верны для торов. Теорема Мостова утверждает, что если ^ — некоторый класс подгрупп данной компактной группы Ли G, замкнутый относительно сопряжения, и если множество {СИТ^Се^1}, где Т— максимальный тор группы G, конечно, то %’ содержит лишь конечное число классов сопряженных подгрупп. Изложение этого
результата есть у Бореля [5], гл. VII, и здесь мы повторять его не будем.
Замечание. Если М неориентируемо, то для справедливости теоремы 10.4 (и, следовательно, 10.5) достаточно потребовать, чтобы М и его ориентирующее двулистное, накрытие ЛГ имели конечный тип. Чтобы доказать это, заметим, что для р = 2 теорема 10.4 справедлива и без предположения об ориентируемости. Если р — нечетное и Р — некоторая действующая на М р-группа, то рассмотрим даваемое следствием 1.9.4 Р-действие на М'. Так как порядок группы Р нечетен, то ясно, что №р есть полный прообраз множества Мр. Требуемый результат следует теперь из теоремы 10.4, примененной одновременно ко всем простым числам и данному накрывающему действию. Теорема 10.5 также верна, так как ее вывод из 10.4 не использует ориентируемости.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
Покажите, что главная стационарная подгруппа локально гладкого действия компактной абелевой группы Ли тривиальна.
Пусть компактная группа Ли G локально гладко действует на S"1 или R”, и пусть Я —главная стационарная подгруппа. Положим г = rk G— — rk Н. Покажите, что dim G ((л — г) (п — г-Н 1))/2.
Покажите, что локально гладкое действие конечной группы G на окружности S1 эквивалентно ортогональному действию (и, в частности, что G есть циклическая или диэдральпая группа).
Покажите, что локально гладкое действие на R2 эквивалентно ортогональному действию.
Если окружность S1 локально гладко действует на трехмерном компактном многообразии М, имеющем те же гомологии, что сфера S3, то либо Л4 S3, либо это действие имеет неподвижные точки.
Пусть компактная группа Ли локально гладко действует на связном ориентируемом многообразии М конечного типа. Покажите, что в М есть компактное подмножество, имеющее общие точки с каждой компонентой множества В\)Е неглавных орбит, и что, следовательно, имеется лишь конечное число таких компонент
Пусть на сфере S4 задано локально гладкое действие группы SO(3) с главными орбитами размерности 2. Покажите, что это действие эквивалентно ортогональному действию на S4cR3xk2, являющемуся суммой стандартного представления на R3 и тривиального представления на R2.
Пусть па S4 задано локально гладкое (8О(3))-действие с главными орбитами размерности 3. Покажите, что главная стационарная группа есть Z2 0 Za и что имеется ровно две особые орбиты, каждая из которых — проективная плоскость.
Пусть на S5 задано локально гладкое (8О(3))-действие с главными орбитами размерности 2. Покажите, что F (SO(3), S5) % S2 и что все орбиты, не являющиеся неподвижными точками, есть двумерные сферы.
Пусть компактная связная группа Ли G локально гладко действует на таком л-мсриом многообразии М, что Нх (44; Z2) = 0. Докажите, что п — — dimE четно.
Пусть на ориентируемом /i-мерном многообразии М задано локально гладкое действие связной компактной группы Ли G, и пусть размерность
главных орбит этого действия есть п — 2. Предположим, что МсФф и что М* есть кольцо. Покажите, что если группа n4 (М) абелева, то в int М* нет исключительных орош. (Указание. Рассмотрите накрытия над М* и индуцированные из них проекцией М-^-М* накрытия над М.)
Пусть компактна:! группа Ли локально гладко действует на М" так, что Hv (Мп; Z-2) = 0, и пусть главная орбита этого действия есть Sa*. Покажите, что все неглавные орбиты являются неподвижными точками и что размерность каждой компоненты множества есть п— 2А—1.
Пусть на S'1 или Кл задано действие компактной группы Ли G с главной стационарной подгруппой /7. Пусть Т — максимальный тор в Н, н пусть (G/H)T связно. Покажите, что для любой орбиты Q множество QT связно.
Глава V
ДЕЙСТВИЯ С НЕБОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ОРБИТНЫХ ТИПОВ
В этой главе мы докажем и используем несколько классификационных теорем, касающихся в основном локально гладких действий с двумя или тремя орбитными типами.
В § 1 мы докажем эквивариантный аналог теоремы Брауна о кромке. Однако в последующих параграфах используется лишь неэквивариантный случай.
В § 2 мы изучим такие действия на сферах, для которых множество неподвижных точек имеет размерность, максимально возможную для данной размерности главной орбиты.
В § 3 мы изложим некоторые основополагающие факты о редукции структурной группы расслоения. Эти сведения мы применим в § 4 для доказательства «теоремы о трубке», утверждающей, что если пространство орбит некоторого G-действия является многообразием с краем, и имеется лишь два орбитных типа (один из которых соответствует точкам края), то часть G-пространства, расположенная над кромкой, имеет структуру цилиндра некоторого эквивариантного отображения. Этот результат в локально гладком случае есть аналог относительно простой теоремы о трубчатой окрестности в гладком случае и является основным в оставшейся части главы.
В §§ 5 и 6 мы докажем две классификационные теоремы о таких действиях с двумя орбитными типами, что пространство орбит есть многообразие с краем. Вторая из этих теорем аналогична теореме Ениха и братьев Сян, доказанной ими в гладком случае. Классификация автоэквивалентностей таких действий дана в § 7. В §§ 8 и 9 эти результаты применяются к изучению эквивариантного водопроводного соединения и действий на многообразиях Брискорна.
В §§ 10 и И изучаются такие действия, пространства орбит которых стягиваемы и которые имеют лишь три орбитных типа, один из которых — класс неподвижных точек.
Теорема об эквивариантной кромке
Хорошо известный результат Брауна [1] утверждает, в частности, что край топологического многообразия (паракомпактного) с краем обладает кромкой, т. е. окрестностью-произведением. Здесь мы докажем эквивариантный аналог этой теоремы.
Напомним, что G-орбитной структурой на пространстве X называется отображение пространства X в множество ^q G-орбитных типов. Вообще, если на пространстве X задано «структурное отображение» Х->8 со значениями в некотором раз навсегда фиксированном множестве S, то мы будем называть X структу- ризованным пространством. Структур изованное пространство будет обозначаться тем же символом, что и исходное; структурное отображение будет подразумеваться. Говоря об отображении структуризованных пространств, мы будем иметь в виду непрерывное отображение, коммутирующее со структурными отображениями. Положим I = [0, 1 ] и J=[0, 1). Если X — структуризо- ванное пространство, то мы считаем таковым и пространство XxJ, задав на нем структурное отображение композицией проекции XxJ-*X со структурным отображением на X.
Пусть X — структуризованное пространство и ВаХ — его подпространство (наследственно структуризованное). Мы скажем, что В обладает кромкой (в X), если имеется такой гомеоморфизм (структуризованных пространств) h: Bx3-*U, где U — содержащее В открытое подмножество из X, что h^b, 0) = 6. Далее, В локально обладает кромкой (в X), если любая точка из В имеет в В окрестность, обладающую кромкой в X. Мы покажем, что замкнутое подмножество паракомпактного структуризованного пространства X, локально обладающее кромкой, обладает кромкой в X глобально. В нашем доказательстве мы следуем Брауну [1] с небольшими модификациями, и добавление «структуры» нигде не вносит сложностей!*).
Мы всюду предполагаем, что X — структуризованное паракомпактное пространство и что В — его замкнутое подмножество.
Для отображения р: В^-I положим U^ — {6 е В | р (6) > 0} и 5ц = {(Ь, 0 е В х J i / < р (6)}. При этом S^ называется веретеноподобной окрестностью множества Ц,х{0}. Заметим, что Gtl есть множество типа Fa (счетное объединение замкнутых множеств). Кроме того, если U — открытое типа Fa множество в В, то U паракомпактно, см. Дугунджи [1], с. 165, и является ненулевым множеством некоторой функции B-^-i (см. Дугунджи [1], с. 148). Отсюда легко следует, что веретеноподобные окрестности множества Gx{0} в SxJ образуют для открытого множества U типа F„ базовую систему окрестностей.
Ч Доказательство этого результата можно найти также в книге К е Дг дыш Щ, — Прим. перед. '
224224ГЛ. V. действия с небольшим числом орбитных типов
224
224
(b, t) при(b, t) приФи (Ь, О =Фи (Ь, О =(6, 0) при(6, 0) при(6, 2/ —ц(6)) при(6, 2/ —ц(6)) при(Ь, П & 5ц,(Ь, t) е Sp/2,(6, ij Е S,,Sp/2.(Ь, П & 5ц,(Ь, t) е Sp/2,(6, ij Е S,,Sp/2.Взяв такое же ц, как выше, и положив (ц/2) (6) = р. (Ь)/2, определим отображение <ри: ВхЗ -В х А, полагая
(b, t) при
(b, t) при
Фи (Ь, О =
Фи (Ь, О =
(6, 0) при
(6, 0) при
(6, 2/ —ц(6)) при
(6, 2/ —ц(6)) при
(Ь, П & 5ц,
(Ь, t) е Sp/2,
(6, ij Е S,,Sp/2.
(Ь, П & 5ц,
(Ь, t) е Sp/2,
(6, ij Е S,,Sp/2.
Заметим, что фр сохраняет «вертикали» и, следовательно, сохраняет структуру. Отметим также, что фц: BxJ—S11/2—>
В х J — гомеоморфизм.
Лемма. Пусть U —открытое типа Fa подмножество из В, и пусть Nx и N2 —открытые окрестности множества ?Ух{0} в Вх J. Пусть f: Пг -> N2 — такой (сохраняющий структуру^ гомеоморфизм, что /|£7х{0} есть тождественное отображение. Тогда существуют такой гомеоморфизм f: Пг-*П2 и такая открытая окрестность V множества Ux {0} в Nt П N2, что:_
f и f совпадают на N1 — N1;
/'; У = 1и-
Доказательство. Имеется такое отображение р: В->Л, что Up = 0 и Sp cz ^1 П N2. Пусть V = Sp/2, положим
/' (х) =/' (х) =х для х е 5р/2,ФиМи) Для xe^-Sp/g. |
/' (х) =
/' (х) =
Лемма. Пусть UY и U2 — dea открытых множества типа Fa из В, и пусть К с UYf\U2 — замкнутое относительно Ux П U2 множество. Пусть заданы такие гомеоморфизмы hp Ut х xJ ^- W;, где Wt — некоторые открытые окрестности множеств Ut в X, / = 1, 2, что hi(u, 0) = и. Тогда существует такой гомеоморфизм h'p U2xS^-W2, что:
если и г U2, то h( (и, 0) = и;
найдется окрестность V множества Хх{0} в (tV^t/^xJ, для которой h.U\V = hv\V.
Доказательство. Положим В' = UY U U2 (В' не замкнуто в X). Забудем для удобства об оставшейся части множества В, так что ниже все замыкания берется относительно В' (или В' xJ). Так как В* паракомпактно, то в нем найде1ся такое открытое множество U типа Fa, что KclU и U cl Ux П U2!). Положим W = WY П ^2 и заметим, что hT (W7) cl ВхЗ —открытая окрестность множества Дх{0}. Отсюда следует, что имеется такая открытая (веретеноподобная) окрестность Nt множества 1Ух{0} в B'XJ, что f = hi’h2 — корректно определенный гомсо-
морфизм пространства NxC-Uxl на пространство Х2 = /(Х1), где N2 = / (Nx). В силу 1.1 имеется такой гомеоморфизм /': Sx -^ Sa, что /' и / совпадают на ^ — ^1 и /' | V = 1 v для некоторой открытой окрестности V множества £/х {0} в В' xJ. Положим
//м _ / М для XG^v
2|/i2(x) для xe^xJ)-^.
Легко видеть, что Нг обладает требуемыми свойствами (включая сохранение структуры), g
Замечание. Более подробное доказательство лемм 1.1 и 1.2 читатель найдет у Брауна [1].
Предположим, что U открыто в В и что к-. Ux3-*X (к (и, 0) = «) —кромка. Пусть b0 = Uai пусть 1У — такая открытая окрестность точки Ьо в X, что W ak(Ux3). Тогда имеется такая функция ц: В-» I, что b0 е Uy (т. е. ц^т^О и X (ЗД cz с W). Но тогда k(Sy) = k(Sy). Теперь отображение h; UyXJ-*X вида h(b, t) = k(b, y.(b)t) определяет кромку множества Uy, обладающую тем дополнительным свойством, что для любого открытого У с Uy имеем h(V х J) ПВ = V.
Назовем кромку (открытого множества из В), обладающую этим свойством, нормальной кромкой.
Лемма. Пусть Ux и U2 — dea открытых множества типа Fa из В, и пусть hp UiXJ — Wid X— нормальные кромки (1=1, 2). Положим U = UX\JU2. Тогда существует такая нормальная кромка h: U хЗ —>W aWyj 1У2> нто h | (Ux — U^ x J = = HX\(UX — U2)x3.
Доказательство. Как и в доказательстве леммы 1.2, положим В' = Ux J U2 = U (так что В' паракомпактно) и будем брать замыкания относительно В'. Мы можем представить В' в виде В' = 0^0.2, где О, открыты в В' и Ot cz Ub Положим К = д1Пд2. В силу 1.2 мы можем считать, что на некоторой открытой окрестности V множества К X {0} гомеоморфизмы Нх и Н2 совпадают. Положим У1 = (О1 — К)хЗ. Тогда множество НХ(УХ)Г\В' =ОХ — К не пересекается с О2 — Ov Поэтому ((О2 — — OJ X J) П/г^1 (^ (Vj) не пересекается с (б2 — Ojx {0}. Так как В'хЗ паракомпактно и, следовательно, нормально и так как О2 — О^О,- К, то имеется такая открытая окрестность У2 множества (О2 —Х)х{0} в В'хЗ, что Н2(У2)()НХ(УХ) = ф.
Зададим на Vx U У U К2 отображение к, полагая к | Ух = НХ | Уи к | Уа = Н21 У2 и к | V = Нх | V = Н21 У. Тогда к непрерывно, открыто и взаимно однозначно, т. е. является гомеоморфизмом на подмножество. Так как В' паракомпактно, то имеется функция тр В' ->1, нигде не равная нулю и такая, что Su cz Уг U V U У4.
8 Г. Бредон
826 гл. V. действия с небольшим числом орбитных типов
Кроме того, имеется такая функция т: В'—Л, что т (6) = 1 для b (= Ux — Ui и т (6) — О для b г Ог. Положим ц = max (т, г]). Тогда 5Ц с: Ух U V, U V, функция и нигде не равна нулю и Н (6) = 1 для b е Ux — U,. Отображение h вида h (b, t^ = k (b, ц (b) t) удовлетворяет, очевидно, всем требуемым свойствам. |
Теорема. Если В ~ замкнутое подмножество параком- пактного пространства X, локально обладающее в X кромкой, то В обладает кромкой в X глобально.
Доказательство. Покроем подпространство В открытыми множествами, обладающими в X кромкой. Образы кромок образуют открытое в X покрытие подпространства В. Добавив к этому покрытию множество X — В, получим открытое покрытие пространства X, в которое впишем некоторое локально конечное покрытие 'V. Переходя к покрытию, ассоциированному с разбиением единицы, подчиненным покрытию "У1), получим покрытие пространства X открытыми множествами типа Fo. Итак, возникает семейство {УД открытых подмножеств пространства X, являющееся локально конечным и таким, что каждое множество Ua^Va^B есть Fo и обладает в X нормальной кромкой. Образ кромки множества Utt можно считать лежащим в Уа. Вполне упорядочим множество индексов и положим У„ = |J Ир и ^а =
Р < а
= U Пр=УаП^- Мы индуктивно построим нормальную кром- Р< а
ку h^. U'^xi-^X с образом, лежащим в Ур. При этом для р<а будет выполняться следующее условие: /гр = ha па (Пр — - и ^xJ-
Р^т <а /
Предположим, что для всех р < а кромки hp определены. Если а —предельный ординал, то Ua = |J ^Р- Если b^U^, то
Р < а
имеется окрестность N точки b в U'aa:B, пересекающая лишь конечное число множеств Пр с Р<а. Если элементы т, т' оба больше таких р, то Нх и hX' совпадают на Nx3. Следовательно, определено отображение ha = lim/iT. Легко видеть, что /га г — а
непрерывно, открыто и взаимно однозначно, и потому является гомеоморфизмом на свой образ, лежащий в УД Из того, что семейство {УД локально конечно в пространстве X, следует, что ha — нормальная кромка. (Заметим также, что U» суть множества типа Fa.)
Если же элемент а следует за элементом р, то положим UX = U'^ и иг = и^, так что П1иП2 = ПД Используя 1.3, мы
!) То есть полагая Уа:-|Ра' (0, 1] для каждой функции ц'^, этого разбиения единицы. — Прим, перев,
можем определить ha на и^хЗ, считая, что ha совпадает с h^ на (L^ — U^xJ^U^ — U^xl, что завершает шаг индукции. (Сравните с доказательством теоремы 11.7.1, пункт С.) |
Замечание. Браун [1] дал доказательство для метрического пространства X и произвольного В. Заметим, однако, что из локального существования кромки следует, что В локально замкнуто. Следовательно, В есть замкнутое подмножество открытого множества из X (а X, будучи метрическим, паракомпактно), так что случай, рассмотренный Брауном, следует из изложенного.
Теорема. Пусть компактная группа Ли G локально гладко действует на (паракомпактном) многообразии М с краем В. Тогда существует такой эквивариантный гомеоморфизм h изВ/Л на открытую окрестность множества В в М, что h (b, 0) = Ь, где G действует на Вх1 по формуле g(b, t) = (g(b), /).
Доказательство. Из локальной гладкости действия легко следует, что утверждение теоремы верно локально. Следовательно, BlG локально обладает в MJG кромкой с данной орбитной структурой на M,G. Следовательно, В/G обладает кромкой в MiG, и теорема следует теперь из теоремы Пале 11.7.1 о накрывающей гомотопии. Q
Мы воспользуемся здесь возможностью привести следующую теорему, не относящуюся к изложенному материалу. Она хороню известна, но мы не знаем удобного для ссылки источника. Эта теорема будет несколько раз использована в этой главе.
Теорема. Любое (паракомпактное) многообразие М (возможно, с краем) имеет гомотопический тип клеточного пространства.
Доказательство. Мы лишь наметим доказательство этого известного факта. Многообразие М можно считать связным и, следовательно, его можно вложить как замкнутое подмножество в некоторое евклидово пространство R". Так как М есть абсолютный окрестностный ретракт (см. Ханнер [1]), то имеются окрестность U множества М в R" и ретракция г: П-*М. Далее, R" можно триангулировать так, что М будет лежать в некотором подкомплексе L, лежащем в U. Можно (индуктивно) добавить к L клетки таким образом, чтобы аннулировать ядро гомоморфизма г#: л* (L) -> л* (М) и таким образом продолжить отображение г на новое клеточное пространство К. Иными словами, имеется такое клеточное пространство К, что К td L и г продолжается до отображения ;: К-*М, индуцирующего мономорфизм л*(К)->- -э-л^/И). Так как s^i^ = 1Я, (М), (где i: М — включение), то s# —изоморфизм с обратным i^. Таким образом, is: К -> К — слабая гомотопическая эквивалентность (т. е. отображение, индуцирующее изоморфизм гомотопических групп) и, следовательно, is является гомотопической эквивалентностью, так как А- —клеточное пространство (см. Спеньер, [1], с. 531). Если <р: К->- 8*
физма. Следовательно, имеется относительная последовательность Гизипа
SWi^-M0, х)->-
НЬ1 (M-MG, Sd)-*...
(где точки х е М* — М° отвечают орбитам Sd в М — Л4С). Легкое индуктивное рассуждение с учетом (1) показывает, что Н:(М*—Ма, х) = 0 для всех i, так что М* — Ма — ацикличное пространство. По теореме о кромке имеем М* /И* [J (Mc х I), и М* гомотопически эквивалентно своей внутренности М* — Ма, так что (с) доказано.
Заметим, что главное расслоение, с которым ассоциировано расслоение М — MG^- /И* — М°, имеет вид Мц — MGМ* — М° и является X (Д)/Д-расслоением. Кроме того, так как G действует па GjH = Sd ортогонально, то N (Щ/Н = (.GiH^ — сфера. Положим K = N^H')(H, так что К есть S°, S1 или S3, и пусть Вк — классифицирующее пространство группы К. Тогда описанное главное расслоение индуцируется отображением М* — MG-+BK. Так как М* — MG имеет гомотопический тип клеточного пространства и так как группа л, (S^) действует на группах л; (Вк) тривиально, то препятствия к деформации данного отображения в постоянное лежат в группах Н‘ (М* — MG; л,(Вк)) = 0. Следовательно, расслоение MF‘— MGМ* — MG тривиально. Обозначив через С' с: Мп а М его сечение, получим, что замкнутое множество C = C'\JMG является в силу 1.3.2 сечением проекции М->-М*, что доказывает утверждение (d).
Для доказательства утверждения последнего абзаца теоремы предположим, что имеется два удовлетворяющих условию теоремы действия на многообразиях, скажем, Мх и М,, причем/И*/И2.
Пусть С[ <щ М" (1 = 1, 2) —сечения, существующие в силу (d); при этом гомеоморфизму пространств орбит соответствует гомеоморфизм СХ^С2. В силу 1.3.4 этот гомеоморфизм однозначно продолжается до гомеоморфизма М,^М.,. Предположим теперь, что X — некоторое ацикличное (п — </)-мерное многообразие с краем, и, положив М = d(Dd+1x X), зададим G-действие на РИ, считая, что G действует на D^'1 ортогонально, а на X тривиально. Так как М^О^хХ^^хХ^О^хдХ) и Drf VG^fO, 1], причем SdjG соответствует подмножеству {0}, то по теореме о кромке имеем
М^(ДрД<)Щ[0, 1]хдХ)^Х.
Если М односвязно, то в силу 11.6.3 таково же и М*. Если X М* одпосвязпо, го из теоремы ван Кампена следует’), что
т) Здесь М представлено как /И —-р (D'z'Ц/.ХЦЩ^— Прим, перев.
группа я, (Л4) порождается своими подгруппами — образами групп я, (S^ X X) яг (Srf) и Я! (D'/+1 хдХ) ^л2 (дХ). Но гомоморфизмы п,^)-^^1) и Я! (дХ) -> Я! (X) тривиальны, откуда следует тривиальность группы л, (/И). |
Как доказал Коннел [1], компактное стягиваемое ^-мерное многообразие X с краем S6-1, А=?^3, 4, есть диск D. (Кроме того, при /г >5 край стягиваемого A-мерного многообразия есть сфера S*-1 тогда и только тогда, когда он односвязен.) Так как (п — с!)-мерный диск, очевидно, соответствует случаю ортогонального действия из теоремы 2.1, то имеем следующий факт.
Следствие. Пусть G локально гладко действует на п-мерной гомотопической сфере М с главной орбитой размерности d. Предположим, что dim Л4° = п — d — 1 ^ 2, 3. Данное действие тогда и только тогда эквивалентно ортогональному, когда MG ^S"-^1. Если п — d — 1 ^5, то MG ^Sn~d A тогда и только тогда, когда MG односвязно. В общем случае при п — d — 1 ^5 такое действие вкладывается в ортогональное G-действие на Sn+1.
Доказательство. Для доказательства последнего утверждения заметим, что М* лежит как Al* X {1/2} в X = М* х 3. Тогда X есть стягиваемое (п — d + 1)-мерное многообразие, край которого дХ = (дМ* х J) U (М* X 5J) есть удвоение многообразия /И* и, следовательно, односвязен по теореме ван Кампеиа. Поэтому X^D"^1. Соответствующее G-действие на (п + 1)-мерном многообразии будет теперь ортогональным, пространство его орбит будет X, и ограничение этого действия на/И* х {1/2} с: X эквивалентно первоначальному действию. |
Следствие. Если группа G = S1 действует на п-мерной гомотопической сфере /И, пД^, 5, и если MG ^S"1, то М<=« #=^S”c:|R”+1 и действие эквивалентно ортогональному действию на S", индуцированному вращениями пространства первых двух координат. |
Замечания. Теорему 2.1 доказал Б редон [2] (см. также Бредон [4]) без предположения локальной гладкости. В этом случае доказательство значительно сложнее, так как априори М° не есть многообразие (и на самом деле оно является лишь обобщенным многообразием), и описать главные орбиты труднее. Имеются очевидные аналоги теоремы 2.1 для действий на гомологических дисках и евклидовых пространствах, доказывающиеся фактически тем же способом.
Пусть Г —топологическая группа и ру: УВ —главное Т-расслоенне. Пусть, далее, S —замкнутая подгруппа группы Т. Под S-редукцией данного расслоения мы понимаем главное S-расслоение Рх" Х-*В вместе с S-эквивариантным отображением f над В, так что имеется коммутативная диаграмма
Если X задано, то f называется S-редукцией расслоения V к расслоению X.
Две S-редукции (X, f) и (X', f) называются эквивалентными, если существует S-эквивариантное отображение ф, включаемое в коммутативную диаграмму
Так как ф должно накрывать тождественное отображение базы В, то ф — гомеоморфизм.
Поскольку, имея дело с ассоциированными расслоениями, удобно использовать и левые, и правые действия, в этом параграфе мы будем применять символ S.X для обозначения пространства орбит левого S-действия на X, в отличие от нашего обычного обозначения.
Из 11.2.2 следует, что Т X т Y У — гомеоморфизм. Кроме того, отображение T-*S\T открыто, и потому в силу 11.2.1 и индуцированное отображение Т х т Y -*-(S.T) х т Y открыто. Следовательно, очевидное индуцированное отображение S\T^
S\ (Т X т Y^-^tSVF) X т Y взаимно однозначно, непрерывно и открыто и, таким образом, является гомеоморфизмом. Поэтому проекция S\Y->-T\Yг=^ В может рассматриваться как проекция в ассоциированном (ВТТУрасслоении (S ,T) X i Y -> В. Так как S\X^B, то S-редукция f: X->Y индуцирует коммутативную диаграмму
SV-^SV
Следовательно, ар. В S\X L s Y есть сечение (S хГ)-расслоения SXY-*B.
Заметим, что если S — компактная группа Ли, то в силу II.5.8 T-*S\P есть (главное) расслоение.
Теорема. Предположим, что естественная проекция Т ->8Т является расслоением. Тогда соответствие, сопоставляющее S-редукции f: X-^-Y сечение ар B^S X f-S\Y, является взаимно однозначным соответствием между классами эквивалентности S-редукций главного Т-расслоения Y ->-В и классами эквивалентности сечений ассоциированного 5\Т-расслоения (S\T) х т Ye^S\YВ.
Доказательство. Из того, что Т-э-SJ есть главное расслоение, следует, что п ТХт Y -*(S\T) х т Y — тоже главное расслоение, так как локально оно имеет вид Т х U -> (S\T) х U. Следовательно, проекция на пространство орбит Y-^-SY есть проекция расслоения. Пусть а: В^- S\ Y — некоторое сечение, и пусть a*Y есть S-расслоение над В, индуцированное отображением а из расслоения У->5\У. Тогда имеется коммутативная диаграмма
Так как по условию qa; В-)-В есть тождественное отображение,
то диаграмма
коммутативна. Следовательно, (a* Y, g) есть S-редукция расслоения Y-^-B, для которого ag = a. Если f: XУ — некоторая S-редукция с as = a, то, используя универсальное свойство индуцированного расслоения, получим диаграмму S-пространств
коммутативность которой позволяет установить эквивалентность S-редукций (X, /) и (ст* У, g). |
Замечание. Если f: X->-У — некоторая S-редукция и F: X х I -> У — некоторая S-эквивариантная гомотопия над В, то F, очевидно, индуцирует гомотопию сечений расслоения S\Y->-B. Обратно, так как расслоение над В х I есть произведение некоторого расслоения над В на отрезок I (для паракомпактного В),
то, очевидно, любая гомотопия сечений индуцирована S-эквивариантной гомотопией X х 1->У над В, где В паракомпактно.
Теорема. Пусть Н—замкнутая подгруппа компактной группы Ли G. Пусть, далее, Т = N (И) / Н и S а Т — замкнутая подгруппа. Пусть, наконец, Х->В и Y -> В — главные соответственно S- и Т-расслоения. Сопоставим каждой редукции f: X -*¥ эквивариантное отображение f; (G/H) X s X -*• (G/H) х т Y над В, полагая f\gH, x\ = YgH, /(г)]- Тогда ft—>/' является взаимно однозначным соответствием между S-редукциями расслоения Y к расслоению X и G-эквивариантными отображениями ассоциированных (G/П)-расслоений над В.
Доказательство. Ограничение отображения f на множество неподвижных точек //-действия задает Т-эквивариантное отображение Т X s X ->- Т х т Y. Включение X->Tx.sX вида х-1—*[е, х] В-эквивариактио, и, следовательно, имеется S-эквивариантная композиция X->-TxsX^-TxtY^Y. g
Пусть теперь А — локально компактное пространство, являющееся эффективным правым Т-пространством, где Т — произвольная подгруппа полугруппы Мар(Л, А) с компактно открытой топологией. Пусть S — подгруппа в Т, и пусть X и X'— главные S-расслоения над В. Рассмотрим ассоциированные Л-расслоения ЛхзХ и А X ,s X’. (Заметим, что их структурную группу можно расширить до группы Т, так как /1 х 5^е«(Л х тТ) х $л
Ах т (Т х s Х)А Любому отображению ф над В
AxsX-MxsX'
\в/
отвечает в силу 11.2.7. сечение ф ассоциированного (Мар (Л, Л))- расслоения Мар(Л, Л) X sxsА-*В. Отображение ф назовем Т- эквивалентностью, если ассоциированное с ним сечение ф лежит в подрасслоении Т X sxs А -> В. (Используя карты на (Мар (Л, Л))- расслоении, возникающие из карт на X и X', легко проверить, что Ф — эквивалентность тогда и только тогда, когда ф есть послойное преобразование элементами группы Г.) Аналогично ф называется S-эквивалентностью, если ф есть сечение расслоения S х sxsX-^B.
Замечание. Из того, что T = Mapr (Т, Т), легко следует, что ф тогда и только тогда является Т-эквивалентностью, когда оно индуцировано Т-эквивариаптным отображением Т х s X -*TxsX' над В. Аналогично ф тогда и только тогда является S-эквивалентностыо, когда оно индуцировано S-эквивариантным отображением X -> X' над В. Ясно, что отображение, обратное к Т- (или 5-)эквивалентности, само является Т- (или S-) эквивалентностью.
Следующий результат —основной в оставшейся части главы.
Теорема. Пусть Т — топологическая группа и S — такая ее замкнутая подгруппа, что T^S\T — расслоение. Предположим, что включение S czT есть слабая гомотопическая эквивалентность. Пусть дано паракомпактное пространство В, имеющее гомотопический тип клеточного пространства. Тогда:
Любое Т-расслоение над В обладает S-редукцией, и любые две такие редукции S-эквивариантно гомотопны эквивалентным S-редукциям.
Пусть А —правое Т-пространство, и пусть X и X'— главные S-расслоения над В. Тогда любая Т-эквивалентность ср: А х s X -> А X s X' гомотопна (в классе Т-эквивалентностей) некоторой S-эквивалентности. При этом предполагается, что А — локально компактное пространство и что группа Т снабжена компактно открытой топологией.
Доказательство. Предположим, что В —клеточное пространство. Так как все гомотопические группы пространства S ,Т тривиальны, то все препятствия к построению сечения в любом (З .Т)-расслоении над В равны нулю, и точно так же равны нулю и препятствия к построению гомотопии между двумя такими сечениями. Теперь (а) следует из теоремы 3.1 и сделанного после нее замечания. Аналогично нет препятствий к деформации сечения расслоения Т X sxs A-> В в сечение расслоения S х sxs В. В силу § 2 гл. II такой гомотопии между сечениями отвечает гомотопия между Т-эквивалентностями А X $ X -> А х s X'; отсюда следует (b). g
Использование теории препятствий для получения требуемых результатов возможно и в случае, когда В паракомпактно и лишь гомотопически эквивалентно клеточному пространству С. Например, пусть h: С->■ В — гомотопическая эквивалентное! ь с обратным отображением к: В^-С, и пусть 1Р = 5\У есть (S ^-расслоение, ассоциированное с главным Т-расслоением У над В. Тогда h*W обладает сечением, потому и k*h*W обладает сечением. Но ясно, что W ^k*h*W, так как hk~\ и В паракомпактно. Аналогично обстоит дело с парой (Г х sxs ^ Sxsys^ расслоений над В.
Замечание. Предположение о том, что 7->ST есть расслоение, не используется при доказательстве утверждения (Ь). Утверждение (а) тоже может быть доказано без этого предположения, если использовать теорию классифицирующих пространств, но мы в этом не нуждаемся.
Лемма о выпрямлении и теорема о трубке
Пусть G — компактная группа Ли и Н cz К — ее замкнутые подгруппы. Рассмотрим каноническую проекцию л: G/H-^G/K, и пусть Л1л = (С/Я)х1 [J (G/А) —ее цилиндр. Тогда Мл есть
лх {0}
238238Ф (А = ф (Л) =Ф (А = ф (Л) =(Я(Я)/Я)х{/}Я ОК(Я(Я)/Я)х{/}Я ОКпри /=^0, при / = 0.при /=^0, при / = 0.
238
238
Ф (А = ф (Л) =
Ф (А = ф (Л) =
(Я(Я)/Я)х{/}
Я ОК
(Я(Я)/Я)х{/}
Я ОК
при /=^0, при / = 0.
при /=^0, при / = 0.
ГЛ. V. ДЕЙСТВИЯ с небольшим числом орбитных типов
G-пространство, пространство орбит которого М^ канонически гомеоморфно отрезку I посредством проекции (G/Я) XI ->• I. Мы будем отождествлять Мя и I.
Пусть Homeof (Мя) обозначает группу (относительно композиции) автоэквивалентностей над I пространства Мя (т. е. группу G-эквивариантных гомеоморфизмов, индуцирующих на пространстве орбит тождественное отображение). Эта группа снабжена компактно открытой топологией, которая в силу того, что Мя есть компактное метрическое пространство, совпадает с топологией равномерной сходимости. Очевидно, что Homeof (Мя) — топологическая группа.
Напомним, что группа N(H)QN(K) действует на G/Я и G/K правыми сдвигами (т. е. Rn(gHi — gn^H и т. д.) и что диаграмма
G/Я л- GIK
R„| К
G/Я л. G/K
очевидно, коммутативна. Поэтому на Мл возникает индуцированное (Я (Я) П Я (К))-действие, ядро которого, очевидно, есть Я. Таким образом, имеется мономорфизм (Я (Я) П Я (Я))/Я->■ -> Homeof (Мя), который мы будем считать включением *).
Следующий результат является основным в оставшейся части главы. Причины, по которым он назван именно так, выяснятся позже.
Лемма о выпрямлении. Подгруппа (Я (Я) П Я (К^/Н является деформационным ретрактом группы Homeof (/Ия).
Доказательство. Сначала мы дадим геометрическое описание группы Homeof (Л4Я). Заметим, что G-пространство Мя обладает сечением J, задаваемым смежным классом единицы, т. е. 7 = ({еЯ}х(0, l])U{eK}. Пусть Jt — точка сечения J, соответствующая точке 1е\ = Мя; иными словами, ], = (еН, /) при / #=0 и J6 = eK. Любому ф е Homeof (7ИЯ) отвечает другое сечение ф (J), и так как ф сохраняет стационарные подгруппы, то
Наоборот, любое такое сечение индуцирует в силу 1.3.4 некоторую автоэквивалентность. Более того, соответствие между сечениями и автоэквивалентностями будет взаимно непрерывным, если снабдить пространство сечений топологией равномерной сходи-
Э То есть считается, что (Я(Я) f| N(К))/Н есть подгруппа в Homeof (Л1Я).— Прим. пере».
мости. Для простоты обозначений мы пишем ф (^) вместо ф (Л) и записываем его в координатах, полагая ф(0 = (фо О для <^=0, где ф/ ед N (Н)/Н.
Рассмотрим в Мд подпространство Q = ((/V (Я)/Я) х (О, 1]) U U (N (К)!К) а Мя которое, вообще говоря, не компактно. Положим Qo = N (КУК czQ. Мы можем рассматривать Homeof (Л1Я) как подпространство функционального пространства (Q, Qo)^-0'с с (Мя, GlKY1101. Заметим, что (N (Н) П N (КУ/Н = (М (Я)/Я) П п л-1 (N (КУ!(К). Далее, (N (Н) П N (КУ/Н обладает в М (Щ/Н трубчатой окрестностью И (в качестве которой можно взять вокруг этой орбиты линейную трубку для ((N (Я) П N (К))/Я)-действия на N (ЩЩ левыми сдвигами). Очевидно, что имеются такая малая трубчатая окрестность V и такая деформация F; (N (Н)/Н) XI -> -^N^/H, что
ДЛЯ X и,для x = (N (H^N (K^lH,ДЛЯ X и,для x = (N (H^N (K^lH,F (х, 0) = х,F (х, I) = хF (х, t) = х
ДЛЯ X и,
для x = (N (H^N (K^lH,
ДЛЯ X и,
для x = (N (H^N (K^lH,
F(v, 1) е (М (H)ftN (КУ/Н для и е V.
Определим деформацию D: Qxl—^0 равенствами
D(x, s, t) = (F(x, t), s) для xeN (H)(H и s#0,D(y, t) = У для yeEN(KW-
Тогда D индуцирует деформацию D': (Q, Q0)(l'01XI-> (Q, Qo)(1,0 функциональных пространств, именно, D' (ф, /) (s) = D (ф (s), t\ Очевидно, что она ограничивается до деформации Dp Homeof (7ИЯ) х Xl-> Homeof (МдУ Далее, для ф г Homeof (Л4Я) положим g (ф) = = sup {s > 0 | 0 < / < s => ф/ е V). Тогда g, очевидно, есть полунепрерывная снизу положительная вещественнозначная функция на метрическом пространстве Homeof (Мя). По теореме Даукера (см. Дугунджи [1], с. 170) на Homeof (М л) имеется такая непрерывная функция /, что 0 < / (ф) <g (ф) для всех ф. В частности, заметим, что для 0<.ssg.J (ф) имеем Dv (ф, 1) (s) = D (ф($), 1) = = (F(4>S, 1), 5)е((Я(Я)ЛЯ(К))/Я)х{з}.
Определим операцию умножения элемента х г Мя на число г е I просто как операцию умножения отрезка I на число г и подразумевая при г = 0 каноническую проекцию Мд-^-GlK а Мя. Заметим, что (приг = 0) это умножение не сохраняет подпространства Q, и это основная причина для введения деформации Dv В тех же, что и выше, обозначениях определим другую деформацию Dp Homeof (Мл) XI -> Homeof (Мд1), где
f ОДф, l)(s)для s 5a f (<$>■) t*
I (s/f (ф) <) О, (ф, 1)(/(ф)0 для 5^/(ф)/.
Тогда О2(ф, 0) = Р1(ф, 1), о2(ф, 1) (s) = (s/f (ф)) • Dt (ср, 1)/(ф) для s^f(T)- Второе равенство означает, что (Я (Я)/Я)-координата постоянна, и для малых s она лежит в (N (Я) П N (К))Щ. По этой причине мы можем устроить «деформацию Александера» D3: Homeof (7ИЛ) х I Homeof (Мп), полагая
О3(Ф, f)s =О3(Ф, f)s =у^уО2(ф, 1)((1—/)s) для ^1,у^уО2(ф, 1)(/(ф)) для /=1.
О3(Ф, f)s =
О3(Ф, f)s =
Тогда О3(ф, 0) = О2(ф, 1), О3(ф, 1)(8) = (и(ф), s), где число п (ф) е (Я (Я) П N (К})/Н не зависит от s.
Из последнего утверждения следует, чтоО3(ф, 1) лежит в подгруппе (Я (Я)П N (K^fH группы Homeof (/Ия). Теперь из Dv D2 и D3 можно склеить желаемую сильную деформационную ретракцию пространства Homeof (Мя)на подпространство (Я (Я)("|Я(Я))/Я. g
Хотя мы считали Я подгруппой в Я и л: G/Я->-G/Я —канонической проекцией, можно (и удобно для формулировок и приложений) освободиться от этого условия. Итак, предположим теперь, что л: G/H -*G;К — некоторое G-эквивариантное отображение с произвольными Я и К. Тогда в силу 1.4.2 л имеет вид K = Ra‘H с некоторым a^G, определенным с точностью до элементов подгруппы Я. Положим К'еа"1Ка, К' =э Я, и пусть л' = R^ ’ н — каноническая проекция. Так как диаграмма
G,K'
rS'1'
G]K
коммутативна, то имеется G-эквивариантный гомеоморфизм МЯ'^Мя над !, приводящий к изоморфизму Homeof (МЯ')
«=» Homeof (Мя). Этот изоморфизм отображает подгруппу (Я (Я) Q ПЯ(Я'))/Я па некоторую подгруппу S (л) группы Homeof (Мл), являющуюся там деформационным ретрактом. На самом деле очевидно, что группа
S (л) = (Я (Я) П Я (Я'))/Я = (Я (Я) П «-1 Я (Я) а^Н
действует на Мл посредством коммутативной диаграммы
GIHG;K
iR/7 „ i^ana-*
G/Я ---2 G/Я
где п е Я (Я) П a 1 Я (Я) а.
Теорема (о трубке). Пусть G — компактная группа Ли, и пусть W есть G-пространство с пространством орбит \хВ, где В —связное локально связное паракомпактное пространство, имеющее гомотопический тип клеточного пространства. Предположим, что все точки из {0}хВ имеют орбитный тип G/K, а точки из (0, 1 ] х В — орбитный тип G/Н. Тогда имеются эквивариантное отображение л: G[H -^- G]K, единственное с точностью до эквивалентности главное S-расслоение Х-^В (где S^S^^b и G-эквивариантный гомеоморфизм МЛХs X— W, коммутирующий с каноническими проекциями на пространство IxB. Кроме того, отображение ф = лх$1х: G(H Xs X ^>-GlKXs X задает G-эквивариантный гомеоморфизм f: Мф МЛ Xs X над IxB. (Таким образом, если Wo и W, —подпространства в В, лежащие соответственно над (0(хВ и {1}хб, то имеются эквивариантное отображение ф: IFj-^IFq и эквивалентность M^-W над IxB двух G-пространств, продолжающая тождественные отображения пространств IFO и IFr)
Доказательство. Для доказательства нам будет удобно выбрать подгруппу И cl К некоторым специальным образом так, чтобы в качестве л можно было взять каноническую проекцию. С этой целью выберем точку b е В, и пусть w е IF — точка, проектирующаяся в (0, b) e\xB = W*. Будем считать, что G™ = K, и пусть Д —срез в точке we IF. Выберем в качестве Н стационарную подгруппу1) некоторой точки а е А. (Заметим, что так как точку w можно менять, действуя на нее любым элементом группы N (К), то мы можем свободно заменить Н любой подгруппой, сопряженной с Н некоторым элементом группы К (К)\ Если точка а' е А находится близко к точке а, то Ка' сопряжена в /< с подгруппой группы Ко = Н", но, так как Ка- ~ П в группе G, то Ка-~Н и в группе К. Это рассуждение показывает, что группа Н «работает» для всех точек из В, близких к Ь. Так как пространство В связно, то выбор точки b е В не влияет на выбор группы Н. Мы теперь фиксируем такую подгруппу На К, и пусть л: G/H->■ G/К — каноническая проекция.
Далее, можно выбрать срез А лежащим над множеством вида [О, 2е] X U cz I X В, где U — связная окрестность точки b в множестве В. Над (0,2e)xt/ К-орбитный тип локально постоянен (как было отмечено выше) и потому в силу линейной связности постоянен. Следовательно, часть множества А, расположенная над (О, 2е) х U, есть К/Я-расслоение. Далее, U можно выбрать настолько малой, что над {е}х(7 это расслоение будет тривиальным. А тогда по теореме о накрывающей гомотопии оно будет тривиальным и над (0,2е) х U. Следовательно, это расслоение обладает таким
4 Для G-действия — Прим, перее.
тужащим в А сечением, стационарная подгруппа каждой точки которого есть Н. Добавив к сечению чаоь множества А, лежащую над {0}хП (которая в точности есть AKY мы получим такое сечение пространства IF над [0, 2е)хСС стационарная группа каждой точки которого есть либо Н, либо К. Ограничив это сечение на [0, е]х(7 и применив теорему о накрывающей гомотопии к части пространства W, расположенной над [в, 1]х(7, мы, наконец, получим такое сечение С пространства W над YxU, что стационарная группа любой точки из С есть либо К, либо Н.
Рассмотрим композицию р; IF -►■ I X В -►■ В. Очевидно, что G-пространство M^xU имеет над IxU сечение такого же типа, как построенное выше сечение для р‘(U). В силу 1.3.4 канони- чеокое отображение одного такого сечения в другое влечет эквивалентность Л1Л х U рг1 (U), коммутирующую с проекциями на IX (7 (и с проекциями на UY
Отсюда следует, что р: W^-B есть расслоение со слоем Мп и структурной группой 7= Homeof (Л4Я). Пусть У-> В — возникающее из р главное Т-расслоепие, так что IF Мя X tY и проекция IF->IxB индуцирована каноническим отображением Л4л->1 (т. е. она имеет вид Мя х уУ -►■ IX TY I хВ).
В силу 3.3 и леммы о выпрямлении 4.1 существует S-редукция X У, где S = (N (Н) Y N (KY/H и X ->- В — главное S-расслоение. Возникает индуцированный С-эквивариашпый гомеоморфизм MnXs X ^>- Мпх TY , коммутирующий с проекциями на 1хВ.
Для доказательства оставшейся части теоремы заметим, что S-действие на Л4Л сохраняет там структуру цилиндра отображения. В частности, S-действие коммутирует с проекцией л. Следовательно, отображение лх1у: G/HхХ->GjKxX эквивариантно и индуцирует отображение ф = лх$1 х: G/H XsX-^-G/KXsX. Определим G-эквивариантное отображение/: М^^-Млх s X полагая, fdgH, х], t) = UgH, О, х] при t#=0 и f^gK, х]) = [^К, х] при / = 0. Над малым открытым множеством ОсВ это в точности есть то очевидное отображение, которое переводит цилиндр МЛх\и (отображения лх1у: G/HxU ^-G/KxU) в M^xU. Далее, положив P = (GjHxV0, 1]) + G/K (знаком + обозначено дизъюнктное объединение), получим, что Мя несет фактортопологию, индуцированную канонической проекцией Р-*МЛ. Далее, Мах\и как множество есть в точности Мя X U, но топология в нем есть фактор- топология, индуцированная проекцией P x U -> Мп X U. Используя теперь то, что оба эти пространства хаусдорфовы и, кроме того, Р компактно, легко получаем, что Р X U-*■ Мл xU — замкнутое отображение. Поэтому M^xU обладает фактортопологией, индуцированной проекцией Р х И->- Мл X U. Следовательно, Afnxiy^ яяМпхи, и потому / — гомеоморфизм. В
Очевидно, что проекция л: G[H-^G/K. из 4.2 определена однозначно с точностью до эквивалентности (т. е. с точностью до композиции с эквивалентностями как области определения, так и области значений) G-пространства W. Естественно спросить, насколько однозначно определяется л орбитными типами GjH и G/Я. Можно показать, что во многих интересных случаях л определяется однозначно с точностью до эквивалентности. Следующий результат содержит некоторую полезную информацию об этом.
Предложение. Пусть Н и К —замкнутые подгруппы компактной группы Ли G. Тогда имеется естественное взаимно однозначное соответствие между классами эквивалентности эквивариантных отображений G'H-> G'K и орбитами (N (Н)[Нх X N (К)/КУ действия на (G/K)H. Имеется также взаимно однозначное соответствие каждого из этих множеств с классами одновременной сопряженности в G пар (Н', К'), где Н'сК' и Н' сопряжена с И, а К’ сопряжена с К.
Для НсК тогда и только тогда имеется в точности один класс такой сопряженности, когда (GlK)H = (Я (Я) N (К))/К- В частности, это так, если N (Я) действует на (G/K)H транзитивно, что всегда имеет место для связного (GjK)H.
Доказательство. Напомним, что Rb‘ н >—* Ь-1К — взаимно однозначное соответствие между Map6 (G/H, GjK) и (GlK)H (см. гл. I, упражнение 12). Посредством композиции G-отображений группа Я (Я)/Я = Марс (G/Я, G/Я) действует на Мар6 (G/Я, G/K) справа, а группа N (К) /К — слева. Так как Ra'KRb'HRc’H = = RabcH •—* (Г^а^К, то возникающее (Я (КУК X Я (Я)/Я)-действие на Мар6 (G/Я, G/Я) соответствует каноническому (Я (Я)/Ях X Я (Я)/Я)-действию на (GlK)H (где Я (Я)/Я действует слева, а Я (К)!К — справа). Отсюда следует первое утверждение. Если Я cz Я, то орбита еК этого действия на (СЦК)Н в точности есть (Я (Я)Я^К))1К, откуда следует первая часть второго абзаца теоремы. Если множество (G/K)H связно, то Я (Я) действует на нем транзитивно в силу того, что такое действие всегда имеет лишь конечное число орбитных типов, см. П.5.7.
Перейдем к соответствию с классами пар (Я', Я')- Сопоставим каждой такой паре класс канонической проекции R^',H-. GjH'->- —^G‘K'. В силу 1.4.2 так можно получить любое (с точностью до эквивалентности) отображение) G(H-^-GlK. Если Н'' — aH'cr1 и К" = аК'аЛ то диаграмма
G/Я' ^- G/K'
Re| j^aGlH^GlK”
коммутативна, так что две проекции Re эквивалентны между собой. Обратно, если пары (Я", К") и (Н', К') приводят к эквивалентным отображениям, то имеются такие элементы а, ЬеС, что диаграмма
G/Я' G/X'
GlH”^GlK"
коммутативна. Но тогда Ra 1 Н = Rb ' И , и потому в силу 1.4.2 найдется такой к^К", что Ь = ка. Таким образом, Н' = а"1Н"а и К'= Ь-1К"Ь = а-1к-1К"ка = а-1К"а, так что (Я', К') и (Я", К") — одновременно сопряженные пары. |
В дальнейшем для нас будет наиболее интересен случай, когда G cz О (п), К = G П О (п — 1), Я = G П О (п — 2) п G действует на S'2"1 транзитивно. В этом случае (С)КУ1 = (Sn-iyi есть сфера, содержащая (S^1)0 <я-2) = S1. Следовательно, множество У^КУ* связно, так что в этом случае имеется единственное с точностью до эквивалентности эквивариантное отображение GfH-^-G/K.
Классификация действий с двумя орбитными типами
Пусть X — данное (паракомпактное) многообразие с краем В. Пусть G — компактная группа Ли и НсеК — && замкнутые подгруппы. Предположим, что на X имеется орбитная структура, сопоставляющая орбиты типа G/К точкам множества Вс X и орбиты типа G/Я —точкам множества Х — В. В этом параграфе мы классифицируем G-пространства W над X, т. е. классифицируем G-пространств a IF с данным сохраняющим орбитную структуру гомеоморфизмом W/G—X. Разумеется, классифицируем мы такие действия с точностью до эквивалентности над X.
Заметим, что W здесь не предполагается многообразием. Хотя наше исследование ограничивается в основном случаем локально гладкого действия на многообразии W, это предположение не упрощает изложение (см. замечания к примеру 5.2).
По теореме о кромке, мы можем представить X как объединение Х2 U ([0, 2] хВ) множеств, пересечение которых есть {2}хВ; при этом {0} х В отождествляется с В. Положим Хх —= Х2 (J ([ 1,2] х В), так что X = X, U ([0, 1 ] х В). (Отрезок [1,2] будет использован ниже для описания гомотопии.) Положим В^ЩхВ.
Пусть IF — некоторое G-пространство над X, и р: IF-> X— данная проекция. Тогда р-'В^-В есть G/X-расслоение со структурной группой N (КУК. Обозначим это расслоение буквой а (от слова «сингулярный»). Аналогично р-1Хх -»■ X, есть G/Я-рас- слоение со структурной группой N (Н)/Н, обозначаемое буквой р (от слова «регулярный»). По теореме 4.2 о трубке имеются экви-
вариантное отображение ip: (В0-> р~! (В) над В и такая эквивалентность М^^р-' (I хВ) над 1хВ, которая продолжает каноническое отождествление верхнего основания цилиндра Mlt с /г’(BJ (и аналогично для нижнего основания). Таким образом, W эквивалентно над X объединению тотального пространства Е (р) = =р-'^Хх) расслоения р с цилиндром /Иф эквивариантного отображения гр: Е (р . В0 = р-1 (В,) -^/ж1 (В) = Е (о) над В. (В этом параграфе мы обозначаем тотальное пространство расслоения о через Е (о), и т. д.)
Итак, с точностью до эквивалентности любое такое G-пространство 1И над X можно построить следующим образом: зададим G/Я-расслоение р над Хи G/K-расслоение о над В и эквивариантное отображение гр: Е (р | В0 -*Е (о) над В. Построим W как факторпространство объединения В (р) U ^ по отождествлению подпространства Е(р\Вх) из Е (р) с верхним основанием цилиндра /Иф.
Обозначим через Map6(pi В,, о) множество всех эквивариантных отображений гр: В (р | В,)-»-В (о) над В. С учетом того, что Мар6 (G/Я, G/K) ^(G/K)", из 11.2.8 следует, что имеется расслоение ц = Map0 (р I Bv о) (зависящее от р । В, ио) над В со слоем (G/K)" и структурной группой N ^iHxN (К)!К, при этом имеется каноническое взаимно однозначное соответствие Мар6(р(Вп о) «-> «-* Г (ц) между эквивариантными отображениями над В и сечениями расслоения р. Кроме того, как показывает замечание после II.2.8, эквивариантные гомотопии между отображениями соответствуют гомотопиям между сечениями. Поэтому множество л0Г (р) гомотопических классов сечений расслоения р находится во взаимно однозначном соответствии с множеством классов эквивариантной гомотопности над В отображений Е (р i В^ -> Е (а) над В.
Итак, мы показали, как по данным расслоениям р и о (определяющим расслоение р) и сечению гр е Г (р) построить G-пространство W (р, о, гр) над X. Покажем теперь, что с точностью до эквивалентности W определяется лишь гомотопическим классом [гр| г л0Г (р) сечения гр.
Пусть гр0 и гр1 — эквивариантно гомотопные отображения, и пусть F: В (р | BJ х 1В (о)— соответствующая гомотопия над В. Положим F' (х, t) = (В (.v, 0, 0, так что F'; Е (р 1 В,) х 1 Е (о) XI — эквивариантное отображение над Bxl. Тогда У = (В (р) х I) U Мь- есть G-пространство над X X I с орбитной структурой, индуцированной проекцией на X. Но часть пространства У, лежащая над Хх{0}, в точности есть W (р, о, ф„), а часть над Хх{1} есть W (р, а, гр0. Следовательно, они эквивалентны по теореме Пале о накрывающей гомотопии, см. 11.7.1.
Имеются и другие очевидные избытки в задании данных (р, а, гр). Действительно, пусть ф: В (р) В (р) — автоэквивалент-
ность над X и 9: Е (ст) -»■ Е (ст) — автоэквивалептность над В. Тогда коммутативность диаграммы
е^в^е^)
где ф' есть ограничение отображения ф на Е (р ' В^, влечет эквивалентность М,^-» — М^, и склеивание этих пространств по эквивалентности ф: £(р)->Е(р) индуцирует эквивалентность W (р, а, ф'грб) W (р, а, гр) G-пространств над X.
Примечание. Здесь мы считали, что композиция ф'грб действует так: сначала ф', потом гр, потом 0 (т. е. так, как было бы, если писать отображения справа от аргумента). Это не соответствует нашим обычным соглашениям, и мы извиняемся за это перед читателем. Причина этого состоит в том, что эквивариантное отображение G,H ^СрК и др. являются правыми сдвигами. Если мы не будем пользоваться этим соглашением, то может возникнуть путаница.
Итак, имеется композиционное действие
6:Марс(р, р) хМарс (р । Д ,о) хМар° (ст, ст) -> Map0 (р | Bv ст).
В силу II.2.8 эквивариантным отображениям отвечают сечения расслоений, что приводит к отображению
0: Г ^MapG (р, р)) х Г (р) хГ (MapG (о, ст))Г (р);
при этом для слоев 6 соответствует обычному действию
N (Н)/Н х WY1 х N (КУК -^ (G/KY1.
Описанное действие на Г (р) индуцирует действие на л0Г (р), и так как при действии на отображение гомотопными элементами получим гомотопные отображения, то имеем действие
0О: л0Г (MapG (р, р)) х л0Г (р) X л0Г (Мар° (а, ст)) -> л0Г (р).
Для гомотопического класса [гр] е л0Г (р) отображения гр е Г (р) через [гр]* будет обозначаться орбита элемента [гр] при действии 0О.
Мы показали, что, с точностью до эквивалентности над X, W (р, ст, гр) зависит лишь от р, о и [гр]*. Итак, мы можем обозначать через W (р, ст, [гр]*) соответствующий класс эквивалентности 6-пространств над X.
Замечание. Ясно, что замена расслоений р и ст эквивалентными расслоениями каноническим образом индуцирует новые р и 0О. Следовательно, зависимость 6-пространства IE (р, ст, [гр]*) от р и ст по сути дела есть зависимость лишь от классов (6-экви-
вариантной) эквивалентности [р] и [о] расслоений р и ст над Хх и В соответственно. Кроме того, так как главное расслоение, соответствующее G/Я-расслоению р, получается просто переходом к множеству неподвижных точек Я-действия на X (в силу 11.5.11) ’), мы можем рассматривать [р] как класс эквивалентности соответствующих главных N (Я)/Я-расслоений или, в силу теоремы классификации расслоений, как гомотопический класс [р]е [Xn BNxHmhV где Вn опт — классифицирующее пространство группы N (Н)/Н. (Заметим также, что вместо Хх здесь можно брать X, так как при желании р можно рассматривать как расслоение над X.) Аналогично можно интерпретировать ст как гомотопический класс [ст] е [В, B.veox].
Теорема (первая теорема классификации). Пусть даны регулярное расслоение) р и сингулярное расслоение) о. Тогда сопоставление [ф|*1—* IF (р, о[ф]*) устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством орбит &0-действия на л0Г (р) (где p=MapG (р ' Вх, о)) и множеством классов эквивалентности над X G-пространств над X с данными регулярным и сингулярным расслоениями.
Доказательство. Для начала заметим, что вполне может случиться так, что для данных р и а расслоение р не допускает сечения. Это означает просто, что р и о несовместны в том смысле, что над X не существует G-пространств с данными регулярным и сингулярным расслоениями.
Выше мы уже доказали, что фигурирующее в формулировке соответствие корректно определено и сюръективно. Поэтому осталось доказать, что если W (р, ст, ф) и W (р, ст, ф) эквивалентны над X, то [фР = [ф]*. Итак, пусть имеется эквивариантное отображение /: Е (р) U M^-> Е (р) (J Л1Ф над X (являющееся, следовательно, эквивалентностью G-пространств), гдеф, ф: Е (piBj)-^ -* Е (о) суть G-эквивариантные отображения над В.
Для любой точки ЬеВ часть цилиндра М^., лежащая над I х (Я), эквивалентна как G-пространство над 1 цилиндру Мп некоторого эквивариантного отображения л: GlH-t-GjK. (На самом деле, заменив при необходимости Я и К сопряженными им подгруппами, можно считать л канонической проекцией.) Так как / есть эквивалентность части цилиндра Л4Ф лежащей над I х{Я}, с частью цилиндра Л1Ф, лежащей над I X {Я}, то последняя также эквивалентна цилиндру Л4л. Следовательно, и Л4Ф, и М^ можно рассматривать как Л4л-расслоения над В со структурной группой S = S(n). (Здесь использованы обозначения § 4, т. е. S = (N (Я) П Л N (К))/Н, если считать л канонической проекцией.)
1) А также II.5.10. — Прим, перев.
Так как ограничение /': M^-^-M^ отображения / есть эквивалентность G-пространств над Вх1, то опа является Т-эквива- лентиостью (в терминологии § 3), где Т = Homeof (Мл). Из 3.3 и 4.1 следует, что /' гомотопно в классе Т-эквивалентностей некоторой S-эквивалентности/5: МГ^МТ. Обозначим через/7: 1уМ1;—■- Мф эту гомотопию, так что F (0, х) = /'(х) и B(l, x) = f{ (г). Но /‘-эквивалентность обязательно G-эквивариантна, поэтому F есть эквивариантная гомотопия. Далее, расслоения р | ([1, 2]хВ) и [1, 2]х(р|В,) эквивалентны. Используя этот факт и рассматривая р । В, как верхнее основание цилиндра /Иф, определим F': [1,2] X В (р 1 BJ[1,2] хВ (р 1 BJ формулой В'(/, x) = (t, F (2 — t, х)). Тогда F' можно рассматривать как автоэквивалентность пространства В (р ■ ([1, 2] хВ)) над [1,2]хВ, совпадающую с / (а также с /') над |2}хВ и совпадающую с /I над |1}хВ. Склеивая отображения / над X — X.,, F' над [1,2]хВ и Д над [О, 1]хВ, получим эквивалентность В (р) U /Иф —- В (р) U Мф, продолжающую S-эквивалентность Д: Мф-^М^.
Отсюда следует, что мы с самого начала могли считать ограничение /Я Мф-^-Мц, отображения / S-эквивалентностью. Но тогда, как легко видеть, /' есть отображение цилиндров отображений, индуцированное коммутативной диаграммой
В(р1В1)Х в (о)
Е^В.У^е^
(Коммутативность диаграммы следует из того, что f есть S-эквивалентность; основной момент состоит в том, что S сохраняет на слоях структуру цилиндра отображения.) Отсюда следует, что ср и ф лежат в одной и той же орбите действия О и, следовательно, что [ф]* = [ф]*. |■
Замечание. Как показывает доказательство, если ф, ф: Е (Р | Bi) ->- В (ст) — эквивариантно гомотопные (и, следовательно, приводящие к эквивалентным G-пространствам) отображения, то они лежат в одной и той же орбите действия 0. Следовательно, Ф получается из ф композицией с автоэквивалентностями пространств В (р) и В (ст). На самом деле можно показать, что эквивариантно гомотопные отображения ф и ф отличаются друг от друга лишь автоэквивалентностью пространства В (р). Это следует из того (см. II.5.7), что каждая компонента множества (G/K)11 лежит в некоторой (Я (Я)/Я)-орбите.
Теперь мы применим теорему к некоторым специфическим примерам.
Пример. Пусть (G, К, Н) = (U (п), U(n—1), U(n —2)). Заметим, что данные орбитные типы имеет диагональное U (п)- действие на 54л-1 с (D” XtD^, и его пространство орбит есть диск D3
с краем S-, в точности состоящим из особых орбит U (n)/U(n— 1)^ ^S2"-1 (что читатель может проверить сам, ср. § 7 гл. I).
Рассмотрим теперь некоторое G-пространство IF над D3 с данной орбитной структурой. В силу 4.3 имеется единственное с точностью до эквивалентности эквивариантное отображение
л: U (n)/U (п — 2)-*• U (n)/U (п — 1).
Если л — каноническая проекция, то Л4Я — линейная (замкнутая) трубка вокруг орбиты U (/i)/U (и — 1). Отсюда следует, что любое такое G-пространство IF является (4/г — 1)-мерным многообразием с локально гладким G-действием. Очевидно, что N (Н)/Н ^ U (2) и что N (К)/КLI (1)S. Далее, множество [D3, ВицД содер
жит ровно один элемент [р]. Кроме того, элемент [о] =[S2, Ви (ц] я»Я2(52; л, (S1)) Я2 (S2; Z)^Z характеризуется своим классом Чженя С1 [ст] = [ст] .= Я2(82; Z)^Z- Так как (U (h)/U (ц - 1))и ^* ~2> = = (S2"-1)11^-2’ = S3, то р = Мара (р S2, ст) есть некоторое S3-pac- слоение над S2 (при любом выборе расслоения ст). В силу теории препятствий имеется взаимно однозначное соответствие л0Г (р) «-> Я2 (S2; л2(83))=0. Следовательно, каждое такое U (н)- пространство IF над D3 полностью определяется характеристическим классом С] (ст) главного S’-расслоения, соответствующего (U (rt)/U (и—1))-расслоению о из особых орбит над S2. Далее, пусть Т = {diag(1, г,, ..., г„) — U (/г)) — максимальный тор группы U (п — 1); тогда (U (/;)/U (п - ^у = ф, (U (л)/О (п - 1))г - — (U (n)/U(n — 1))IJ--= З1^ Следовательно, IFr->-S2 в точности есть главное 81-расслоение, соответствующее расслоению о. Так как сг (ст) — эйлеров класс этого S’-расслоения над S2, то из точности последовательности Гизина следует, что H2(WT; Z) ~ = Тк, где к = \сх^ ■ Следовательно, IFт есть трехмерная гомологическая сфера (и, следовательно, настоящая сфера) ’) тогда и только тогда, когда сх (ст) =± 1. Поэтому, если IF — гомологическая сфера, то IF7—тоже гомологическая сфера в силу III.10.2 и, следовательно, с1(о) = ±1. Далее, пусть f: D3-> D3 — отражение диска D3 относительно диска D2. Тогда возникает расслоенное произведение
/*IF->IF
D3 Л D3
Очевидно, что инвариант [ст] = cL (ст) пространства f* (IF) равен взятому с противоположным знаком соответствующему инварианту G-пространства IF.
Следовательно, с точностью до отражения диска D3 любое такое U (п)-действие на гомологической сфере в точности есть линейное действие, описанное выше.
Аналогично изложенному, любое Sp (н)-действие над D5 со стационарными типами 8р(н—1) и Sp(« —2) полностью описывается характеристическим классом [о]еЯ4(84; л3(83))^2 главного 83-расслоения над S4, соответствующего расслоению из особых орбит. Опять-таки, с точностью до отражения диска D5 имеется лишь одно такое действие на гомологической сфере, и это есть диагональное 8р (н)-действие на S"-1 cz Нл х Нл (удвоенное стандартное представление группы 8р(н)).
Замечание. Аналогичный примеру 5.2 случай О (^-действия над D2 со стационарными типами O(n — 1) и О(п —2) более интересен для нас, так как он включает в себя экзотические примеры §7 гл. I. Однако более удобно рассмотреть этот случай с другой точки зрения, что мы и сделаем в §§ 6 и 7. Несмотря на это, интересно проанализировать и этот случай с изложенной точки зрения, так как при этом хорошо проявляется роль действия 0О на л0Г (р), и мы приглашаем читателя сделать это. Упражнение 1 дает другой пример ситуации, в которой действие 0О играет важную роль.
Замечание. Если множество В не связно, то в доказательстве теоремы 5.1 необходимо выбирать для каждой компоненты из В свою проекцию л: GfH-> G(K. Формулировка теоремы 5.1 от этого, однако, не меняется. Более того, нет необходимости даже в том, чтобы все компоненты из В имели один и тот же орбитный тип, т. е. для разных компонент из В подгруппы К могут быть различными (несопряженными). Изменения, которые при этом необходимо ввести в доказательство, очевидны. Теорема 5.1 обобщается и на этот случай, если ее (очевидным образом) правильно переформулировать.
Сначала обсудим необходимый для дальнейшего технический момент. Пусть Y — некоторое G-пространство над X с проекцией р: Y -v X. Тогда для любой компоненты В1 края В проекция р-1 (I х Bt) -> Bt есть Мл-расслоение, где л: 6/Н-^G/K — некоторое (зависящее от I) эквивариантное отображение; этот факт следует из теоремы 4.2 о трубке. Такое отображение л определено лишь с точностью до автоэквивалентностей пространств G/H и GlK\ иными словами, с точностью до соответствующей ему (в силу 4.3) орбиты (N )H)/HxN (К)/7<)-действия на )GlK)H. Назовем G-пространство Y собственным (относительно Н и К), если (для любого 0 отображение л можно сделать канонической проекцией GjH-^GlK. В силу 4.3, если ^GlK)H связно, то все G-npo- странства над X собственные, и это будет выполняться во всех случаях, с которыми мы будем иметь дело. Если В связно, то К можно заменить такой сопряженной подгруппой, что данное Y станет собственным относительно новой пары (Я, К), но одновременно для всех Y этого сделать нельзя.
Если В не является связным, то можно считать К переменной подгруппой, разной для разных компонент; понятие собственного пространства обобщается на этот случай очевидным образом. Так как мы не нуждаемся в таком обобщении, то мы не будем этого делать, чтобы не вводить запутывающих обозначений, однако будет ясно, как сделать соответствующую модификацию.
Рассмотрение только собственных G-пространств Y над X равносильно, в терминологии Ен их а [1], рассмотрению тонких орбитных структур на X. Заметим также (из доказательства 4.2), что Y есть собственное G-прострапство над X тогда и только тогда, когда для некоторой точки ye Y, стационарная подгруппа которой Gy есть К, группа Я является стационарной группой действия группы К на срезе в точке у (над каждой компонентой пространства В).
В дальнейшем изложении в этой главе через л: GjH-^GjK будем обозначать каноническую проекцию. Положим также
S = (Я (Я) П Я (Я))/Я и Я = Я (Я)/Я.
Пусть Y — собственное G-пространство над X с проекцией р; Y-^-X. Пусть р —то же G/Я-расслоение р^Хх-^- Хг, что в § 5. Для дальнейшего будет удобно ввести в рассмотрение главные расслоения. Пусть Р -> Хг — главное Я-расслоение, ассоциированное с расслоением р. Таким образом, мы имеем эквивалентность
h; GjHxn Р'-р^Хх
G-пространств над X,. В силу теоремы о трубке 4.2 и предположения о собственности Y существуют главное S-расслосние Q-^B и эквивалентность к'; Мд xsQ — ■ р ’(I хВ) G-пространств над 1хЯ.
Так как G/Я можно рассматривать как верхнее основание цилиндра Мя, то k' сводится к эквивалентности к: G/HXsQ Р~* (В) G-пространств над Вг. Обозначим через PL часть пространства Р, лежащую над В a Xv Тогда
/' = /1-^: GjHXsQ-^GlH Xn Pi представляет собой G-эквивариантное отображение (эквивалентность) над В,. Согласно 3.2 f единственным образом соответствует S-редукции /: Q->-P1 расслоения Pv к расслоению Q. Итак, G-пространство Y, с точностью до эквивалентности над X, можно построить следующим образом.
Пусть задано G/Я-расслоение р над Xv ассоциированное с главным N-расслоением P-*XV Пусть также дана S-редукция (Q, f) пространства Pt (части пространства Р над В^. Этому соответствует G-эквивариантное отображение
Г" GJHXsQ^GiHXnPi
над Bv Теперь можно построить (собственное) G-пространство
У(р, (Q, f))=(M„xsQ)Ur (G/HxnP) над X.
Очевидно, что если S-редукцию (Q, /) изменить при помощи эквивалентности, то Y (р, (Q, /)) заменится эквивалентным G-npo- странством над X.
Предположим теперь, что феМарс(р, р). [Заметим, что это единственным образом соответствует (например, согласно 3.2) автоэквивалентности РР главных Я-расслоений над Хп которую мы будем по-прежнему обозначать через ф.] Если ф,: Р, -*■ Р — ограничение отображения ф, то склеивание тождественного отображения на M„X$Q и ф на GiHXnP, очевидно, порождает эквивалентность
У(р, (Q, h^YlP, № /ф.))
(здесь, как в § 5, композиция /ф, действует слева направо).
Заметим, что S N = (Я (Я) () N (К)) Я (Я), и вспомним, что согласно 3.1 S-редукция (Q, П задает сечение т е Г (р 1 В,), где г] есть (S Я)-расслоепие, ассоциированное с р. (Итак, тотальное пространство расслоения т, есть (S Х)х^Р-) Кроме того, т зависит только от класса эквивалентности редукции (Q, /). Композиция сечения т с ограничением ф, отображения ф определяет действие.
Ф: Г (г) । В^ xMapG (р, р) ->Г (г); BJ.
Если рассматривать элементы изМарс(р, р) как сечения расслоения MapG(p, р) со слоем Я = Я (Я)/Я, то
Ф; Г (1], BJ х MapG (р, р) (ц , В^
послойно представляет собой в точности каноническое действие правыми сдвигами S NxN S .N.
На основании замечания перед теоремой 3.2 гомотопия сечения т индуцируется S-эквивариантной гомотопией QxY-*PL ото бражения f, т. е. G-эквивариантной гомотопией
(G/HXsQ^xI-^G/HXnPi
отображения /' над Bv Легко видеть, почти так же, как и в доказательстве 5.1, что это изменение отображения /' изменяет У(р, (Q. f)) только внутри класса эквивалентности над X (это же можно заметить, если показать, что гомотопные сечения расслоения г] В, лежат в одной и той же орбите действия Ф). Обозначим индуцированное действием Ф действие на гомотопических классах через Фо: л0Г (ц В,) х л0Г (Марс (р, р))->- л0Г (т]! В^- Итак, мы показали, что Y (р, (Q, /)) с точност ью до эквивалентности над X зависит лишь от р и от орбиты [т]*, где т <= л0Г (т) | BJ есть сечение, соответствующее S-редукции (Q, /) при действии Фп. Пусть Y (р, т*) —класс эквивалентности G-пространств над X. (Как и в § 5, эквивалентность между р и р' индуцирует каноническую эквивалентность между соответствующими т], Фо и [т]*, так что важен лишь гомотопический класс [р]е[Хг, Вд,].
Предположим теперь, что Y (р, (Qo, /0)) и Y (р, (Q,, /у)) эквивалентны над X посредством отображения
(Мя х $ Qo) и f'(G/Я х д-Р)(Мя х $ Q0 и ,'№ х Л-Р),
которое, как и в доказательстве теоремы 5.1, может быть выбрано S-эквивалентиостыо над 1хВ. Если ф —его ограничение на G,HXnP, а гр — его ограничение вида G/H XsQo-^- G/H XsQv то имеем коммутативную диаграмму
G/H xsQo--G;H XsQi
G/HxnP^. G/Hx^P
Следовательно, S-редукции (Qn Д) и (Qo, /оф) эквивалентны. Следовательно, сечения т0 и т, расслоения ц^В,, соответствующие этим редукциям, лежат в одной и той же орбите действия Ф. Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема (вторая теорема классификации). Пусть даны замкнутые подгруппы НсК группы G, и пусть пространство X такое же, как и выше. Пусть дано регулярное расслоение р (т. е. G/H-расслоение над X со структурной группой N (Н)/Н), пусть 1] — ассоциированное с ним расслоение со слоем (N (Я) П Я (Я)) N (Н), и пусть Ф0 — вышеопределенное действие группы л0Г (MapG (р, р) на л0Г(1]1В,). Тогда сопоставление |t]*i—=- Y (р, [г]*) устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством
л„Г (ц! BJ/Фо и множеством классов эквивалентности над X собственных G-пространств над X, имеюсцих в качестве регулярного расслоения данное расслоение р. g
Замечание. Теоремы, аналогичные теореме 6.1, доказаны у Ениха [1] и братьев Сян [4] в случае (более простом) дифференцируемого действия. Читатель может обнаружить в этих статьях (особенно в последней) некоторые неточности. Например, в работе братьев Сян элемент [т]ел0Г (г^йЛ называется «скручивающим инвариантом», и используется так, как если бы он действительно был инвариантом, хотя на самом деле это не так. Сильный вариант теоремы 6.1 в гладком случае будет доказан в § 6 гл. VI.
Теорема 6.1 приобретает довольно простой вид (обнаруженный Енихом) для стягиваемого пространства X. В этом случае р есть тривиальное расслоение (и его тривиализация по существу единственна), а следовательно, таковы же расслоения ц и tjIS,. Поэтому л0Г (т); S,)=[B1, (Я (Я) П N (К)) .N (Я)]. Кроме того MapG(p, р) является тривиальным X (Я)/Я-расслоением над ХИ и любое отображение Л'1-*-Я(Я)/Я гомотопно постоянному отображению, поэтому
л0Г (MapG (р, р)) л0 (Я (Я)/Я),
где справа стоит группа компонент линейной связности пространства X (Н)/Н (т. е. факторгруппа группы X (Н)/Н по ее единичной компоненте). Действие Фо, очевидно, индуцируется действием правыми сдвигами группы X = X (Н)/Н на S\H = (X (Я) Q Л X (К))\Я (Я). Итак, имеем следующий результат.
Следствие. В условиях теоремы 6.1 и при стягиваемом X множество классов эквивалентности собственных G-пространств над X находится во взаимно однозначном соответствии с множеством.
{В, (Я (Я) л N <K^\N (Я)]/л0 (Я (Я)/Я). |
Пример. Пусть (G, К, Я)=(О(и), О(п — 1), О(п — 2)) и X = D2.
В силу 4.3 любое такое действие над D2 является собственным и, очевидно, является локально гладким действием на некотором (2« — 1)-мерном многообразии. Тогда Я = Я (Я)/Я ^ О (2) и S = (Я (Я) Л Я (К))/Я^ О (1) х О (1) ф Z2- Таким образом, S\V = RP1 ^ S1 с обычным О (2)-действием. Заметим, что подгруппа 0(1) с 0(2) действует на S1 отражением. Поэтому группа n0(V)^Z2 действует на [S1, S^VJ^tS1, S1]^Z, переводя т в —т. Следовательно, [S1, 5\Я]/л0(Я) есть множество Z+ неотрицательных целых чисел. Примером рассматриваемых действий над D2 является О (//)-действие на S2"-1, описанное в § 7 гл. I, и мы покажем, что соответствующий инвариант этого действия
на ^1"х со значением в Zp в точности есть ^. Другой метод доказательства того, что О (п)-действия на S2n~’ исчерпывают все такие действия над D2, мы дадим в § 7. Разумеется, наш инвариант можно вычислить непосредственно, используя явное описание действия, однако мы предпочитаем следующий обходной путь. Пусть У»"-1—фиксированное О (^-пространство с данным инвариантом ^eZ+ = [S1, S^]/n0 (Д^). Рассмотрим множество неподвижных точек F(O(n — 2), У»"-1). Имеем О (2) хО (и — 2) а с О(/г), и сомножитель 0(2) можно рассматривать как N (Н)/Н. Аналогично О (1) ХО (1) х О (п — 2) ст О (п), и 0(1) х 0(1) можно рассматривать как (А (Д) Q N (К^/Н = S. Очевидно, что О (2) действует транзитивно как на F (О (/г — 2), О (л)/0 (и — 2)), так и на F(O(n — 2), 0(п)/0(и—1)) и потому F(O(/r), У^-')/0 (/г — 2) канонически отождествляется с У^^’/О (п). Кроме того, очевидно, что лежащий в множестве [S1, (О (1) хО (1))\0 (2)]/л0 (О (2)) инвариант О (2)-действия на F(O(n — 2), у|л ') в точности есть к. Итак, отсюда следует, что имеет место эквивалентность У*^ a=jF(O(h —2), У^”1) О (2)-пространств над D2. Так как имеется также эквивалентность S® F (О (л — 2), 22л—’), то достаточно ограничиться лишь случаем п = 2.
Для й>0 рассмотрим отображение Д: D2->D2 вида /h (2) = zk. Имеется диаграмма
'*x/2n —1ху2^—1
D2 D2
и лежащий в [S1, S\N"\ltt6^N^ инвариант О (/^-пространства ДУ/'1"1 есть, очевидно, jk. Следовательно, имеем эквивалентность ^У/”""1 ^У/”"1 О (л)-пространств над D2. В частности, ^У2"-1 ^ У^л-‘. Заметим, что Д в точности есть проекция на пространство орбит действия группы Zt на диске D2. Следовательно, пространство У1Л-1 ^^УГ”1 несет (Z*хО(л))-действие и, кроме того, сомножитель Z» оставляет неподвижной орбиту 0(п)/0(л —2) над нулем OeD2 и действует свободно вне этой орбиты. Для п = 2 это множество неподвижных точек Zs-действия (и действия любой нетривиальной подгруппы из Z^) есть 0(2)==S1 + S1. По теореме Смита III.7.11 пространство У| не может быть сферой при к=£1. Итак, диагональное линейное О (2)-действие на S3ceR2@K2 должно быть эквивалентно О (2)-действию на У1] (напомним, что Si тоже есть линейное О (2)-пространство). На многообразии S3crG?x(D данное линейное О (2)-действие порождается 5О(2)-действием г($, /) =
= (zs, г/), где 2gS1 = SO(2), и О (1)-действием, которое задается инволюцией (s, /)«—»($, 0- Замена координат
и = (s — it^V 2, у = ( -Н/)/]/2
преобразует это действие в действие, у которого З^действие то же самое, а О (1)-действие задается инволюцией (u, y)i—* (г>, й). В этих координатах окружности ы = 0 и у = 0 образуют (вместе) главную орбиту О (2)-действия, и мы можем считать, что эта орбита соответствует нулю 0 s D2.
Далее, линзовое пространство L* = L (/г, 1) представляет собой факторпростраиство S8/Za, где Z» — подгруппа группы S1, действующей вышеупомянутым образом. Пусть \и, у] обозначает точку пространства Lk, которая является 2*'Орбитой точки (и, у) s S8. Так как Z* — нормальный делитель в 0(2), то существует индуцированное (О (2)/2/.Тдействие на пространстве Lfe. Далее, отображение г,—>zb, очевидно, индуцирует изоморфизм О (2)/ZkО (2) и, таким образом, мы можем рассматривать это действие на Lfc как О (2)-действис. (Итак, S1 действует на Lft по формуле г[и, u]=[zUfeu, гши\ и 0(1) действует по формуле [u, v]i—> [и, ц].) Рассмотрим отображение ф: Lfc->S3,
ф[«, 0]=^, y^/Gu^ + i и^У'2.
Это отображение, очевидно, О (2)-эквивариантно. Если ф[м, у] = = ф[м', у'], то существует такое действительное число />0, что ^tu'y = uk и (/у')* = у/г. Так как
1 = ы2: v j2 = Ли' 2 + , t-u* р = Р (I и' |2 + у' |2) = Р, то /=1. Итак, [м, и] = [и', соу'], где со —некоторый корень ^-й степени из единицы.
Далее, отображение [и, у]-»-[и, соу] определяет Х*-действие на L», и ф можно рассматривать как проекцию на пространство орбит этого Х*-денствия. Более того, это Z/г-действие коммутирует с данным О (2)-действнем, так что совместно они определяют (X* х О (2))-действие па L*.
Диаграмма
Lk ——— S3i ;
L/;/0(2) ^D2 = S3/O(2)коммутативна и, очевидно, является диаграммой, определяющейрасслоенное произведение. О (2)-орбита (fu, у] //=0 или у = 0]неподвижна при Хд-действии на Ьй, и очевидно, что никакая
другая О (2)-орбита не переводится в себя никаким нетривиальным элементом w = Z». Это означает, что Z* действует на L*/O (2) свободно вне единственной неподвижной точки. Таким образом, L*/O (2) представляет собой циклическое ^-кратное накрытие пространства О2, разветвленное над точкой 0.
Отсюда следует, что L*/O (2) ^ D2 (что можно увидеть непосредственно) и что отображение гр в вышеупомянутой диаграмме можно представить в виде fk: D2 D2. Следовательно, О (2)- пространства Lft и У* изоморфны. Так как пространства L* отличаются друг от друга порядком й группы Н^ЪУ), то У|^2| для всех к (интересно отметить, что этот факт указывает на то, что использованное здесь определение пространства L (к, 1) эквивалентно определению пространства Sj). Kak отмечалось выше, это означает, что и в общем случае имеется изоморфизм У^"-1^ ^Х^"-1 О (л)-пространств над D2. Мы доказали следующий результат, который дает классификацию О (и)-пространств над D2 в форме, удобной для некоторых приложений.
Теорема. Рассмотрим О (пупространства над D2 со стационарными типами O(n—1) над St = dD2 и О(/г —2) над D2\S1 = intD2, п ^2. Любое такое пространство У эквивалентно над D3 пространству S^"-1 для некоторого k^Q. Более того, для этого к мы имеем HX(YH; Z) Z/г (^Z при k = Qy где Н = = О (п — 2). Таким образом, 6 (пупространства над D2 классифицируются первой группой гомологий множества неподвижных точек О (п — 2удействия. g
На самом деле мы также показали, что такое О (и)-действие на S^"-1 можно продолжить до (Z*xO (п))-действия с F(Z*, S>"-1)^O(n)/O(n —2). В частности, если к нечетное, то Z» действует на 2^ S5 с множеством неподвижных точек О (3)/О (1)^ RP3. (Мы вновь будем рассматривать эти Z/e-действия в § 9 с другой точки зрения.) Эти примеры впервые построил Хирцеб- рух, рассуждая в духе § 9 (см. Хирцебрух и Мейер [1]) и ответил при помощи них на вопрос, поставленный в работе Бредона [12]. Также Янг [7] независимо от этих авторов другими методами нашел такие примеры.
Замечание. В этом параграфе и в § 5 мы предполагали, что X — многообразие с краем В. Однако мы не использовали полностью это предположение. (Хотя именно этот случай наиболее интересен.) Очевидно, достаточно, чтобы X представляло собой метризуемое пространство, а В —замкнутое подпространство, локально связное, имеющее гомотопический тип клеточного пространства и обладающее в X кромкой Например, X может быть диском D", а Вс. S"'1 — замкнутой полусферой.
Классификация автоэквивалентностей
Пусть группы GzdKtdH и пара (X, В) такие же, как в §6. Пусть Y — собственное G-пространство над В. В этом параграфе мы покажем, как классифицировать автоэквивалентности пространства Y над X с точностью до эквивариантной гомотопии над X. Мы можем считать, что Y имеет вид Y = Y (р, (Q, /)) в обозначениях § 6. Таким образом, Р — главное Х-расслоение над Xt (где N = N (НуН), р — ассоциированное G/X-расслоение G/H хnP->- -^•Nv а /: Q-*P есть S-редукция ограничения Рг расслоения Р на В, (где S = (X (Я) ПN (Х))/Я) и Y = (M^XsQ) U г №xNP), где /': GiHXsQ^GIHXnP индуцируется отображением / п л: G]H -> GlK— проекция.
Пусть § — расслоение GlHXsQ-^-B^^ и Map0 (Е, ^ — расслоение (определенное в II.2.8), сечения которого представляют собой эквивариантные автоотображения расслоения Е над Bv Это расслоение имеет слой X, и его можно также рассматривать как расслоение Х-эквивалентностей расслоения Е над Вх (см. § 3). Теперь очевидно, что / индуцирует изоморфизм
MapG (Е, ') — MapG (р, р) 1 BL
расслоений над Въ который можно рассматривать как отождествление (фиксировав /). Далее, S-эквивалентности расслоения Е образуют подрасслоение расслоения Мара (Е, 6), имеющее слой S. (По определению это расслоение обладает эффективной структурной группой SxS, действующей на слое S посредством правых и левых сдвигов, но легко видеть, что она может быть сведена к группе S, действующей с помощью сопряжения. Аналогичное имеет место и для расслоения Мара (р, р). Однако это нам не понадобится.) Обозначим указанное подрасслоение S-эквивалентностей через
S = MapG(^, Е) cz MapG (р, р) | Bv
Далее, предположим, что мы имеем автоэквивалентность ф: Y -> Y над X. Согласно 3.3 и 4.1 фДхВ эквивариантно гомотопно некоторой S-эквивалентности. Далее, часть пространства Y над [1, 2\хВ эквивалентна [1, 2]х (G/H х nP^ ^[1, 2]x(G/X XsQ). Пусть {фф — соответствующая гомотопия, заданная на AI.4XsQ (где фо = ф), положим ф, = <р,<р1. Продолжим ф/ на [1, 2]х X (G/H XsQ), положив фД$, х) = (s, ф/(2_?) (х)). Далее, продолжим Ф, на [1, 2^x(G/H х$О), положив ф( = ф,ф. Так как ф/ = ф над {2}хВ, то ф/ продолжается над X посредством отображения ф над Х2. Итак, ф гомотопно над X (в классе автоэквивалентностей) отображению фп которое представляет собой некоторую S- эквивалентность над I х В. Аналогично можно видеть, что если две автоэквивалентности пространства Y над X, которые являются
S-эквивалентностями над 1хВ, эквивариантно гомотопны над X, то они гомотопны в классе автоэквивалентностей, являющихся S-эквивалентностями над I х В. Пусть Нотео^ (У) обозначает группу автоэквивалентностей пространства Y над X. Пусть Г (Map0 (р, р), S-Мар0 (£, £))—множество тех сечений Х-расслое- ния Мар° (р, р) над Хь которые над BY принимают значения в S-расслоении S-Map°(^, £) над BY. Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема. Естественное отображение
л0Г (Map0(р, р), S-MapG (^, Е))л0 Homeox (У)
является взаимно однозначным соответствием. J
Здесь л0Нотеох(У) можно рассматривать как множество классов эквивариантной гомотопности над X автоэквивалентностей пространства У. Следующий факт полезен для описания того, как расслоение S-Мар0 (£, |) лежит в расслоении Мар° (р, р).
Предложение. Предположим, что в вышеописанной ситуации расслоение р тривиально. Пусть для данной его тривиа- лизации S-редукция f: Q—^PV задает отображение т: BY-^-S(N так, как в § 6 (т. е. т — индуцированное сечение тривиального S .N-расслоения TiiBJ. Тогда, с учетом индуцированной тривиа- лизации N х Xt данного расслоения Map0 (р, р), слой расслоения S-Мар0^,, |) над точкой b-= В} есть т(б)15т(б).
Доказательство. Выбрав карту с центром в Ь, представим S как лежащий над b слой расслоения Q (такое представление определено с точностью до правого сдвига). Относительно выбранной карты отображение /: Q -> PY = N х BY индуцирует отображение /ь: S->N. Пусть n = f6(e), так что /6(s) = sn. Далее, S-эквивалентность расслоения Q соответствует, при переходе к слою S над В, правому сдвигу Rs (где Rs (s') = s's Д. ИндуцированнаяХ-эк- вивалентпость расслоения р j В, является над b правым сдвигом Rm с некоторым meN. Следовательно, диаграмма
S-^X
S^-X
коммутативна. Применительно к е е S это означает, что пт1— = s^n, т. е. т = п Чп. Если s пробегает всю группу S, то nlsn пробегает множество n^Sn = т (6) *5т(&) в силу того, что по определению т (b) =fb (S) = Sn. (Так как т (Ь) есть правый смежный класс по S, то т (bJ^Sx (6) = т (Ь *) т (Ь), но мы включили S с целью избежать неправильной интерпретации). |
9 Г. Бредом
Следствие. Если пространство X стягиваемо и инвариант [т]* е [В, S\^]/n0 (X) из 6.3 тривиален, то имеется взаимно однозначное соответствие
[X, В; N, 3] - л0 Нотеол (У).
Доказательство. Тривиальность элемента [т]* означает, что сечение т: BV-^SN можно выбрать постоянным отображением, т (5) = Se. При таком выборе в силу предложения 7.2 имеем S-MapG (^Л^ЗхВ^ NxXv и требуемый результат следует теперь из 7.1. g
Пример. Пусть (G, К, Н) = (О(п), О(п—1), О(п — 2)), и пусть X = I, В = {0, 1}. В силу 6.2 имеется лишь одно такое G-пространство над I, а именно — пространство диагонального О (и)-действия на S"-1 х S"-1. В силу 7.3 гомотопические классы автоэквивалентностей пространства S^xS”-1 над I отвечают элементам множества [I, 51; N, 3] = [1, 51; 0(2), О(1)хО(1)]. По любой такой автоэквивалентности можно построить О (^-пространство W (ср) = S"-i X Ол (J (|5Л1 X D над D2. Взяв композиции с обеих сторон отображения ср с такими автоэквивалентностями пространства S^xS”-1, которые продолжаются на S^xD", мы изменим это О (п)-просгранство лишь в классе эквивалентности над D2. Далее, автоэквивалентности пространства S"-1 х Dn над пространством его орбит (которое можно отождествить с верхней половиной диска D2) соответствуют, с точностью до гомотопии, элементам множества [D3, S); N, 3] = л03. Двусторонняя композиция очевидным образом задает действие ¥: л0(3)Х[1, 51; N, 5]хл0(5)-> ->-[[. 51; N, 3]. Так же, как в §§ 5 и 6, легко видеть, что тогда и только тогда W (ф) и W (ф) эквивалентны над D2, когда соответствующие гомотопические классы [ф]е[1, 51; X, 3] лежат в одной и той же орбите действия ¥. Детали оставляются читателю. Имея отображение /: (1, 51) --(X, 3), мы можем, умножив его слева или справа на элемент из 3, получить такое отображение f, что f (0) = е. Ясно, таким образом, что орбиты действия ¥ на [I, 51; N, SJ находятся во взаимно однозначном соответствии с орбитами группы л0(3), действующей на [I, {1}, {0}; N, 3, {е}]==л1(Х, 3, е) сопряжениями. Так как в силу 6.2 с точностью до эквивалентности S^xD* является единственным пространством с таким пространством орбит D3, то имеется взаимно однозначное соответствие между классами эквивалентности О (и)-пространств над D2 и множеством Л; (О (2), О (1) хО (1), е)/л0 (О (1) хО (1)) ^ лх (S1, Za, e)/Z2. гДе Z2 действует на S1 умножением на — 1.
Теперь рассмотрим автоэквивалентность ф пространства S^x X S"-1, определенную в § 7 гл. I. Она имеет вид ф (х, у) = (8Д. (у), х), где 8Х —отражение сферы S” 1 относительно прямой Rx. Будем считать, что Н = О(п — 2) действует на последних п — 2 координатах, так что N ^ N (Н)[Н ^ О (2) действует на первых двух
Координатах. Обозначим через CcS"1 единичную окружность в плоскости первых двух координат, а через С+— полуокружность тех точек, вторая координата которых неотрицательна. Пусть хо = (1,О)еС+. Тогда множество ](х0, у) е S"-1 xS"-1, где у <= С+} является сечением данного О (и)-действия. Кроме того, стационарная группа точки у ?Е ± хй в точности есть Я = О(и —2). Определим отображение /: C+^S1, считая / (у) е S1 = SO (2), поворотом, переводящим у в х0. Тогда для у = С+ имеем ф (х0, z/) = (/ (у) х0, f (У) (у)) = [ (У) (х0, У\ Отсюда следует, что ф соответствует (при соответствии из 7.3) отображению /. (Мы считаем, что С+ параметризована отрезком I, где точке 0 отвечает х0, а точке 1 отвечает —х0.) Заметим, что f (С+) есть дуга, начинающаяся в е, охватывающая половину окружности Sl = SO(2) и кончающаяся в нетривиальном элементе подгруппы Z2 группы S1. При этом отображению ф* соответствует отображение fk, образ которого есть дуга, начинающаяся вей обходящая окружность /г/2 раз. Следовательно, отображения ф6 дают все элементы группы n1(S1, Z2, e)/Z2. Это означает, что любое О (/^-пространство над D2 (с данной орбитной структурой) эквивалентно О (и)-пространству 2 а"-1 с некоторым к. Конечно, это же было доказано в 6.3 другим методом. Изложенный метод, данный по возможности непосредственно (см. Бредон [11]), является, вероятно, наиболее эффективным способом получения этого результата.
Замечание. Вышеизложенный метод по существу совпадает с первоначальным методом классификации О (п)-пространств над диском D2 с данной орбитной структурой. Это было сделано в работе Б ре до на [11] как в топологическом, так и в гладком случае, хотя рассматривалась в основном ситуация, когда тотальное пространство было гомологической сферой (в частном случае нечетного к это эквивалентно тривиальности сингулярного расслоения). На самом деле доказанная там теорема значительно сильнее изложенной здесь, так как в ней рассматриваются действия общих компактных групп Ли (и это приводит к большим трудностям). Читатель может проверить, что этим методом можно легко проанализировать и примеры из 5.2.
Замечание. Рассуждения из 7.4 показывают, что О(п)-про- странства Е*"-1 и 2^Г’ над D2 эквивалентны над D2, так как они классифицируются элементами из Ttt (S1, Z2, e)/Z2. Это, конечно, следует также из 6.4. Эквивалентность этих пространств устанавливается перестановкой экземпляров пространства S^xD", см. § 7 гл. I, но это не есть эквивалентность над D2. Полезно описать соответствующую эквивалентность в явном виде. С этой целью определим отображение ф: S"-1 х D" -> S"-1 х D" формулой ф(х, у) = = (х, йх^у На Sn~IxS"'1 мы имеем ф==Тф, где Т ^х, у) = (у, х). Заметим также, что ф2 = 1. Итак ф*ф= (Т'фУ'ф^Т'ф)6 1 Т== 9*'
= 7 (ф7 )" 1 = ф (ф7У = фф-6, поэтому диаграмма
S^^S^-S^XS"-1
S” 1 х S" ф* S" 1 х S'-
коммутативна. Следовательно, рассмотрев отображение ф: S” 1 х X D"->S" J х D" на каждом из двух экземпляров пространства S"-ixD'!, получим эквивалентность над D2 пространств S^1
И 2-•
Пример. Рассмотрим автоэквиваленгности пространства 2^-1, /г#=0 (случай /г = 0 тривиален). Сначала мы сделаем это над О2. Как мы показали, соответствующий инвариант [т]* е е [S1, S ^]/л0 (^) = Zt- есть \к\, так что любой его представитель т: S’-^-S^ имеет степень zk к. Отсюда легко следует, что часть слоя т(Ь)-15т(b)^S = О(1)хО(1), лежащая в компоненте О (2) — SO (2) ^ S1, отображается на себя с ненулевой степенью при обходе точкой b окружности S1 = dD2. Но это означает, что расслоение Мар°(р, p) = O(2)xD2 не обладает сечением, лежащим в (О (2) — SO (2)) xD2 и индуцирующим сечение расслоения S-MapG ^, £) над S’. Но пересечение SO (2) х D2 Q S-Map0^, £) в точности есть Z2xSl. Следовательно, так как л2(81) = 0, то имеется ровно одна (с точностью до гомотопии) нетривиальная автоэквивалентность пространства S^-1, k=^Q. На главной орбите G/H = О (м)/О (и — 2) эта автоэквивалентность эквивалентна правому сдвигу элементом |"g _°j еО(2)=М (Щ/Н, а на любой из особых орбит G(K = О (п)/О (и — 1) ^ S"1 — правому сдвигу элементом — 1 eO(l) = (V (/<)//( (т е. центральной симметрии). Читатель может проверить, что отображение S" 1X D"-^- S"”1 X D'- вида (х, у) I—* (—х, —у) индуцирует (после удвоения) такую автоэквивалентность пространства S^1-1.
Так как эта эквивалентность сохраняет ориентацию многообразия S^"1, то из сказанного выше следует, что не существует меняющих ориентацию автоэквивалентностей над D2 многообразия 2л—1
Известно, что любой сохраняющий ориентацию гомеоморфизм диска D2 изотопен тождественному отображению. Отсюда и из теоремы Пале о накрывающей гомотопии (см. И.7.3) следует, что любая автоэквивалентность 2^"“' -^ 2^-1, накрывающая такой гомеоморфизм, изотопна (в классе автоэквивалентностей) автоэквивалентности над тождественным отображением. Следовательно, достаточно изучить автоэквивалеитности, индуцирующие отражение
диска D2. Более того, достаточно рассмотреть лишь одну такую авзоэквивалеитность, так как остальные получаются ее композицией с авюэквивалентностыо над тождественным отображением. Однако, как следует из предыдущего замечания, отображение гр: S" 1X D,z -> S'1-1 х D" вида гр(х, у^ = ^х, Ьх(у)) после удвоения и перестановки экземпляров пространства S""1 X D” определяет такую эквивалентность пространства 2|'‘~ч • Очевидно, что на пересечении S" ^S" 1 отображение гр сохраняет ориентацию югда и только тогда, когда п нечетно. Следовательно, автоэквивалентность над отражением диска D2 сохраняет ориентацию тогда и только тогда, когда п четно. В заключение отметим, что обращающая ориентацию автоэквивалентность многообразия S*"-1 существует тогда и только тогда, когда п нечетно.
Эквивариантное водопроводное соединение
Пусть т„ — касательное расслоение на диски к сфере S”, пусть Е(т,.) —его тотальное пространство и р: Е (тл) -►S” — проекция. Пусть, далее, D" —ручной1) «-мерный диск в S”. Тогда над D" имеется карта ф вида
D"xD"-^p-1(D")
D"
где проекциягде проекцияD" х D" D” имеет вид (х, у) >—♦ у. Мы можем
где проекция
где проекция
рассматривать ф как вложение D”xD" в Е (т„). Пусть ц: D"x X D" -> D:IX D" — отображение, задаваемое формулой ц (х, у') =
= (у, х). Тогда мы можем определить водопроводное соединение двух экземпляров пространства Е (тл) как склейку Е (т„) Оц^ (тп) по подмножеству D^xD” (см. рис. V.1).
Более общо, мы можем определив водопроводное соединение нескольких экземпляров проаранства Е (т„) согласно любому графу. Эго означает, что, имея граф Т, мы можем
каждой вершине у графа экземпляр пространства динить указанным выше вершинам и u w, есликаждой вершине у графа экземпляр пространства динить указанным выше вершинам и u w, еслисопоставитьPhc.V. 1.
каждой вершине у графа экземпляр пространства динить указанным выше вершинам и u w, если
каждой вершине у графа экземпляр пространства динить указанным выше вершинам и u w, если
Е (тл) и сое- способом пространства, соответствующие и и w соединены ребром графа. Диски,
') Реализуем сферу S” в виде границы стандартного (л+ 1)-мерного симплекса. Подмножество Р с S'2, гомеоморфное полиэдру, называется ручным в S", если существует гомеоморфизм lr. Sn^>- S’1, при котором Р переходит в прямолинейный полиэдр в некоторой прямолинейной триангуляции сферы S'2.— Прим. ред.
используемые для водопроводного соединения, соответствующего ребру (и, ку), можно выбрать не пересекающимися с дисками, отвечающими другим ребрам, так как при таком соединении отождествляется не более двух точек дизъюнктного объединения пространств Е (тл). Результат этого соединения, обозначаемый через Р2л (7), является 2и-мерным многообразием с краем. (В глад-
Рис. V. 2.Рис. V. 2.ком случае это многообразие обладает углами, которые можно сгладить стандартным способом. Здесь мы не описываем этот процесс ')■) Ясно, как строго описать это многообразие, и мы не будем делать это. Рисунок V. 2 достаточно хорошо проясняет это.
Рис. V. 2.
Рис. V. 2.
Наиболее важные частные случаи возникают, когда Т есть дерево (связный граф без циклов), и этими случаями мы и ограничимся. Некоторые классы деревьев имеют значение первостепенной важности (по причинам,
здесь не излагаемым), мы изобразили эти деревья (с их стандартными обозначениями) на рис. V.3, где к означает число вершин2). В частности, на рис. V.1 изображено многообразие Р2 (А2), а на рис. V.2 —P2(D6).
Рассмотрим стандартное действие группы О (и), О(п)с с0(п+1), на сфере S” и индуцированное действие на Е (т„). Пусть ±х0 —две неподвижные точки О (п)-действия на S". Тогда группа О to действует на каждом из касательных дисков в х0 и в — х0. Очевидно, что при этом проекция касательного диска в х6 на сферу 5Л является эквивариантным отображением. Следовательно, для О (и)-инвариаитного диска D" с: S" с центром в х0 карта ф: D" х D"->-Р-1 (D") может быть выбрана О (^-инвариантной, где О(п) действует на DnxD" диагонально. Так как р,: D" х D" -> D" х 6Л эквивариантно относительно диагонального действия, то возникает индуцированное О (п)-действие на пространстве Р2" (А2) = Е (т„) ЩР (тл). Каждый из экземпляров пространства Е (т„) имеет еще по одной неподвижной точке —точке — х0е5л, и эти точки можно использовать для дальнейшего водопроводного соединения. Итак, для любого к на Р2п (Aft) возникает естественное О (и)-действие. Это рассуждение не годится для других графов, так как в этих случаях нам
*) См. Коннер и Флойд [8], § З. — Прим. перев.
См. стр. 39. — Прим, перев.
для водопроводного соединения не хватает неподвижных точек на S". Однако неподвижные точки О (п — 1)-действия на S" образуют окружность, так что Р2П(Т) допускает О (н — 1)-дей- ствие уже для любого графа Т. Вообще говоря, надо уточнить порядок, в котором ведутся операции водопроводного соединения вокруг неподвижных точек этой окружности, однако для графов рис. V.3 в этом нет необходимости.
А к . . , . . ,
D/cD/c
D/c
D/c
£^(^ = 6,7,8)
Рис. V. 3.
В этом параграфе мы интересуемся в основном О (^-пространствами дР2п (ЛА). Сначала мы покажем, как вычислить гомологии пространства дР2п (7) для любого дерева Т. Ясно, что объединение нулевых сечений S” дисковых расслоений Е (т„) есть деформационный ретракт пространства Р'2п (7) и что это объединение гомотопически эквивалентно букету к экземпляров сферы S", где к — число вершин графа Т. Следовательно, Н; (Р2п (Т)) есть свободная абелева группа с к образующими (нулевыми сечениями) при 1 = п и тривиальная группа при остальных I. Если и 2а 2, то многообразие Р2п(Г) односвязно, и, следовательно, ориентируемо; очевидно, что и многообразие Р2 (Т) ориентируемо. (На самом деле легко видеть, что многообразия Р2" (7) параллелизуемы для всех и 5s 1.)
Рассмотрим более общий случай. Пусть М2п — компактное ориентируемое 2/г-мерное многообразие с краем В'"11, и пусть Hi (Л1) — свободная абелева группа при i = n и Я((М) = 0 при 1фп. Мы покажем, как вычислить Н^В-). С этой целью рассмотрим коммутативную диаграмму двойственностей Пуанкаре — Лефшеца
HiW В^Н^В)
..H2,l-U (В) -> Н2п-‘ (M, B)^ H2n~‘ (M) -> Я2"-1' (B)
Из нее следует, что группы Н^В) и № ^В) тривиальны для i4=0, и—1, п и 2n —1. Кроме того, имеется диаграмма
0-* Н,,^ -> Нп^ Ь-НДМ, В) -^Н „_1(В)->0
О-^Н^ЧВ^Н^М, В^- Нп(ЛГ) Нп(В)
'Для вычисления групп Нп(В) и Н^ (В) достаточно, очевидно, знать матрицу гомоморфизма /* в некоторых базисах свободных абелевых групп Н„ (УИ) и Н„(М, В) ранга к. Эквивалентно, достаточно уметь описывать гомоморфизм А/ф.
Так как Н* (М) — свободная абелева группа, то гомоморфизм вычисления Нп (УИ) Нот (Нп (УИ), Z) есть изоморфизм. Напомним, что он задается операцией ^-умножения ан—>а>^(-), где мы отождествляем группу Но (УИ) с Z- Следовательно, достаточно описать гомоморфизм ф: Нп (Л1) Нот (Н„ (М), Z), задаваемый формулой ф (ос) (Р) = А/* (а) г^ р, где ос, $ е Нп (УИ). Вспомним теперь, что гомоморфизм А 1 есть (в обоих случаях) ^-умножение на фундаментальный класс (ориентацию) [УИ] Е Н2п (УИ, В), т. е. А-1 (®) = и ^ [УИ]. Так как индекс пересечения а-p циклов ос, р е Нп (УИ) есть а • р = А"1 (А (ос) w А (р)), то
а • Р = (А (а) - А (Р))[М] = А (а) (А (Р) - [Л4]) =
= А (ос) р = /*А (а) ^ ₽ = А/* (ос) р = ф (ос) р.
Следовательно, если в группе Нот(Дп(УИ), Z) выбрать базис, двойственный к некоторому выбранному базису свободной группы Нп (/И), то матрица отображения ф будет в точности матрицей пересечения в многообразии УИ относительно выбранного базиса группы Нп(М). Так как ос - р = (—1)лр-а, то эта матрица симметрична для четных п и кососимметрична для нечетных п.
Возвращаясь к многообразию M = P2,1p"b заметим, что в качестве базиса группы Нп(М) можно взять фундаментальные классы нулевых сечений всех экземпляров пространства Е (т„). Итак, любой вершине и,-, 1 = 1, ..., к, дерева Т отвечает базисный элемент аг е Нп (Рм (Т)). Далее, число сс,-• а,- можно вычислить, зная структуру пространства Е (т.,), и это число ещь А. 2 (знак зависит от ориентации пространства Е (т„)) при четном и и, очевидно, «;•«; = 0 при нечетном п. Так как при четном и меняющее сомножители отображение р: D" X D" -> D” х D" сохраняет ориентацию, то ориентации всех пространств Е рЧ можно выбрать так, что а,-а; = 2 для всех и Если i^j, то из геометрических соображений очевидно, что а,ау=±1, если и и ty соединены ребром в Т, и а,ау = 0 в противном случае. Кроме того, а, •(—«у) = — a.iaj. Следовательно, при четном п с учетом
того, что Т — дерево, элементы cq можно выбрать так, что
2,2,аду =аду =1,1,ООесли z = /, если i j и в остальныхесли z = /, если i j и в остальных(у,-, у/) есть ребро в Т, случаях.(у,-, у/) есть ребро в Т, случаях.
2,
2,
аду =
аду =
1,
1,
О
О
если z = /, если i j и в остальных
если z = /, если i j и в остальных
(у,-, у/) есть ребро в Т, случаях.
(у,-, у/) есть ребро в Т, случаях.
Следовательно, матрица пересечений для дерева Ак имеет размер кхк и вид
2 112 1 О1 2 1О 1" 2 1_1 2('2 четно)2 112 1 О1 2 1О 1" 2 1_1 2('2 четно)01
2 1
12 1 О
1 2 1
О 1" 2 1
_1 2
('2 четно)
2 1
12 1 О
1 2 1
О 1" 2 1
_1 2
('2 четно)
-10 1о
— 1 0 1
О01
.—1о.
кп нечетно)
Легко вычислить, что при четном п определитель этой матрицы есть /г+1. Из точности приведенных выше последовательностей следует теперь, что H2m (dPim (А„)) = 0 и H2m~t kdP4m (At.)) есть группа порядка /г + 1. На самом деле об этой группе можно сказать и больше, по и имеющейся информации достаточно для доказательства следующего результата.
Теорема. О yiyпространство дР^кХ^ эквивалентно О (пупространству ^Х^ из § 7 гл. 1.
Доказательство. Пусть п 2а 2. Действие группы 0(п)с с=О(п+1) на Е (т„) эквивалентно1), очевидно, действию на пространстве ортогональных 2-реперов из R”+1. Отсюда следует, что любая стационарная подгруппа группы О (га) либо сопряжена с О (п — 2) (если репер и неподвижный вектор О (п)-действия на кль1 порождают трехмерное подпространство), либо сопряжена с О(п — 1). Отсюда следует, что существует канонический гомеоморфизм F (О (п — 2), дР2п (А6))/О (2) ^дР2п кХ^/О (га) (ср. с 6.3), при котором орбиты типа О (2)/О (1) соответствуют орбитам типа О (zz)/O (га — 1). Ясно также, что имеется каноническая эквива- лешность О ('^-пространств К (О (га —2), дР2п к^^У дР4 (ХУ). Как показано выше, при п > 2 имеем Нх (дР1п (А)) = 0, и отсюда следует (например, на основании IV.4.1, IV.8.3 и 11.6.5) гомеоморфизм №" (А*)/О (л) D2, причем орбиты типа О (га)/О (га — 1) соответствуют граничным точкам. Это верно и для п = 2, что следует из сделанных выше замечаний (конечно, это нетрудно проверить и непосредственно). Следовательно, к пространству дР2'1 (Х^ применима теорема 6.4, и так как группа Нх (дР4 (Xg)) имеет порядок /г +1, то требуемый результат следует из 6.4.
Случай п = 1 также следует отсюда с учетом того, что для любого п имеется эквивалентность О (1)-пространств F (О (п — У), dP^X^dP^M- |
Замечания. Из 8.1 следует изоморфизм //2m-i (дР4т (АД) ^ ^Zk^, легко устанавливаемый и непосредственно. Из 8.1 следует также, что для четного к и любого т пространство gp^mva ^\^ гомеоморфно сфере S4m+1. Для к = 2 мы получа-м знаменитую сферу Кервера, обладающую для подходящих значений m экзотической дифференцируемой структурой. Рассмотрев матрицу пересечений для Е8, увидим, что при /?г :,-?■- 2 многообразие дР4т (Е8) гомеоморфно стандартной сфере S4m *. (При т=1 многообразие дР4 (Е8) есть неодносвязная гомологическая трехмерная сфера. На самом деле это пространство Пуанкаре додекаэдра SO(3)/I.) Для всех' т2а2 многообразие дР4т (Е8) есть экзотическая сфера, называемая «сферой Милнора». На самом деле теорема 8.1 используется главным образом для описания гладких структур на ^ "'. (Разумеется, существует и гладкий аналог теоремы классификации.) Мы обсудим это в главе VI. Рассмотренное выше приложение операции водопроводного соединения к изучению групп преобразований впервые дал Хирцебрух, более обширное изложение имеется у Хирцебруха и Мейера [ 1 ].
Действия на многообразиях Брискорна
Пусть к — неотрицательное целое число, и пусть п ^ 2. Обозначим через W7!"-1 множество всех тех точек (г0, гп ..., г„) комплексного (п + 1)-мерного пространства, которые лежат на пересечении поверхности У^1, заданной уравнением го + г!+ ... . .. + гп = 0, со сферой s г'2 = ! z0 |2 +| Zj |2 + .. .4- г„|2=1. (Можно рассматривать и случай ^ = 0, где z£ = 1, если задать сферу уравнением, например, ?г;2 = 2. Для й^О радиус не имеет значения. Однако случай к = 0 требует специального исследования, и так как он не имеет первостепенного значения, мы рассмотрим его в упражнении 4.)
Ясно, что единственной особой точкой поверхности У^1 является начало координат. Кроме того, если z = (z0, ..., zj е е VT — {0}, то для />0 формула X^t, z) = (fz0, t^z^ ..., Z*z„) задает такую кривую на УТ, что d II A. (Z, z)n2/d/>0. Следовательно, эта кривая нигде не касается единичной сферы Jz52=l, поэтому У^п пересекает эту сферу трансверсально. Итак, W7^"-1 есть (2п — 1)-мерное многообразие. Рассматривая О (и) как подгруппу группы U (и), зададим О (и)-действие на координатах *1. ...» tn- Многообразие WXn-t инвариантно относительно этого
действия. Если положить г, = х,Л-1Уь то это О (п)-действие на (хп ..., х„) и (у,, ..., у^ будет совпадать со стандартным О (п)-действием. Следовательно, это О (п)-действие на ©л+1 можно рассматривать как такое действие на К2ХЙ”ХКЛ, которое тривиально на R2 и представляет собой стандартное диагональное действие на КлхРл, иными словами, оно является суммой тривиального двумерного (вещественного) представления с удвоенным стандартным представлением. Отсюда следует, что стационарные подгруппы О (п)-действия на ©л+1 сопряжены с подгруппами О(н), О (и— 1) и О (и —2). Кроме того, точка (z0, zn ..., z„) тогда и только тогда неподвижна, когда z1 = z2 = ...»=z„ = 0, так что в нет неподвижных точек.
Нам необходимо следующее описание орбит линейного О (н)-действия на С” = R” XR”.
Лемма. Если О (п) действует на С" как подгруппа группы U (/г), п ^ 2, то проекция на пространство орбит может быть отождествлена с отображением ©"-*-V = {(r, p)eRx X© 11 р ; -С г}, заданным формулой
(л, •••• zn)1—* (IZi |2 + -• • +1z„|2, zl-V... + zn).
Доказательство. Положим Zj = Xj + iyj, z = (zu ..., z„), х = (х1, .... xn\ y = (yv .... УпУ Тогда числа r = -z||2 = Ui2 + + |!y’2 и p = zi4-... + z« = i|x|!2 —1|г/1|2 + 2z (x, у) являются инвариантами данного действия. Кроме того, по г и р восстанавливаются Рх|1, ^у; и (х, у). Если х' и у' —другие два вектора с г х*4 = || х||, ||у' j = ||у || и (х, у) = (х', у'), то, как известно из элементарной линейной алгебры, существует ортогональное преобразование йл —^-Кл, переводящее (х', /) в (х, у\ Очевидно, что ! р | =s^ г, и легко догадаться, как, варьируя первые две координаты вектора г, при равных нулю остальных координатах, получить любую пару (р, г), удовлетворяющую такому неравенству. g
Рассмотрим отображение ф: WT-1 -^-S2”"1 вида ф(г0, ..., z^ = = (zv ..., z„)/(j z, I2 + ... +1 z„ |2)1/2. Оно О (п)-эквивариантно, и мы утверждаем, что его можно считать проекцией на пространство орбит Хл-действия на ^Г”1 вида (со, (z0, ..., z„)) ►—* (cozu, zn ..., z„), где co* = 1. Для доказательства этого докажем сначала, что ф сюръективно. Пусть (zzn ..., и^ ^ S"; если выбрать и0 е © так, что и^ = — (Ы1+ ••• +“„)> то расстояние от начала координат до точки X (/, и) = (_Ри0, tkuv ..., /*и„) е ©" с ростом / растет от О до оо. Поэтому найдется такое />0, что Х(/, и) г WT-1 и Ф (X (/, u)) = («j, .. •, ип\ Предположим теперь, что для двух точек z = (z0, ..., z„) и и = (и0, ..., и„) многообразия IF»” 1 имеем Ф (г0, ..., z„) = <р (v0. • • ■, Уп\ Тогда, очевидно, найдется такое
t > 0, что и, = tkz; I = 1, 2, ..., п. Но тогда у* = — (уз + ... + ^) =* = — 1гк (г2 4- ... 4- г®) = tikzk, так что Pz0 = oizo, где со — некоторый корень &-й степени из единицы. Так как обе точки (г0, ..., г„) и (соуо, уп ..., y„) = (f2z0, tfczx, ..., tkzn) = 'k^, г^ лежат в W7^'3 и так как ?Д(С z)J строго возрастает с ростом /, то t = \. Следовательно, (z0, zv ..., г„) = (соу0, уи ..., у;г), поэтому ф можно рассматривать как проекцию на пространство орбит данного Zfe-дей- ствия на U7V-1. Это Zt-действие коммутирует с вышеописанным О(я)-действием, и единственная Zft-инвариантная О(/г)-орбита есть {(О, zv ..., zn) е Wln^\ (это множество является орбитой в силу 9-1).
Итак, Z^-действие на WT Vof/i) имеет ровно одну неподвижную точку и вне этой точки действует свободно. Так как ср сохраняет О («Торбитные типы, то диаграмма
<р S2«-1
^Г’УО (и) ^- S^io (n) Da
определяет расслоенное произведение. В силу сделанных выше замечаний ф есть проекция разветвленного 6-кратного циклического накрытия над диском D2 с ветвлением в нуле (соответствующем орбите WT 3cS2^3). Это означает, что Wt" 3/О(/г)^В2 и что с учетом этого гомеоморфизма отображение ф: D2->D2 имеет вид zi—> г6. В силу 6.3 имеем эквивалентности W*-1У?”1
?=« Sr-1 О(«)-пространств. Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема. Если 6 4=0, то О (п)-пространство S*-1 из § 7 гл. 1 эквивалентно О (п)-пространству W1^1. g
Следствие. Если пик нечетны, то W*'1 гомеоморфно сфере S3"'1. Если п четно, то Нп-А^Г^^Хк и HAW'^-O при i^Q, п — 1, 2/1 — 1. Кроме того, Wk^L^K О- В
Замечание. Многообразия WT"1 ввел Брискорн [1], использовавший их для исследования топологических свойств изолированных особенностей алгебраических многообразий. Ему принадлежит следствие 9.3. Приложение этих конструкций к группам преобразований, и наоборот, было получено X и р ц е- бру хом [2] (см. также Хирцебрух и Мей ер [1]). Исследование значительно более общего и полезного класса многообразий с изолированными особенностями можно найти у Милнора [7].
Заметим, что многообразия WT-1 обладают и дополнительными симметриями, не охватываемыми описанными О(/г)- и Zt-действиями. Действительно, формула (z, (г0, zv .... z^ <—> (z2z0, zkzv ..., Kz^
определяет З^действие па WT коммутирующее с данным О (п)-действием. Следовательно, на W7^-1 имеется S х О (^-действие. Ядро этого действия в точности есть подгруппа порядка 2 с образующей (—1, —/). Заметим, что в наиболее интересном случае нечетного п элемент (—1, —/) не лежит в компоненте единицы группы S1xO(n). Следовательно, для нечетного п включение SO(n)c=O(n) индуцирует изоморфизм S1xSO(n) ^*
— (S1 х О (n))/Z21), так что эффективная часть данного действия есть действие связной группы S1xSO(h).
Эти действия на WT-1 позволяют, посредством использования некоторых стандартных конструкций, строить ряд интересных примеров, и мы дадим их краткое описание. Для простоты считаем 6 = 3 и п = 3. Пусть со — примитивный кубический корень
из единицы, и пусть
о 1 оо 1 оо о—1о о—1еО(3).еО(3).1
о 1 о
о 1 о
о о
—1
о о
—1
еО(3).
еО(3).
г] = О
Lo
Тогда со и т] коммутируют), и преобразование сор имеет на U7;,^S порядок 6. Далее, сот] (г0, г,, г2, г3) = ((ого, zv г2, —г^, так что неподвижные точки преобразования wq образуют подмножество U72№0(2)s^S^-S1. Если вырезать инвариантный диск с центром в некоторой неподвижной точке этого Z.j-действия па S5, то получим Zg-действие на D5, множество неподвижных точек которого есть D’ + S1. Умножив это пространство на отрезок I с тривиальным Ze-действием, получим Zg-действие на D6 с множеством неподвижных точек D2 + (D1xS1). При этом часть этого множества, лежащая в крае S5 = dD6, есть S3 + (SuxS‘) ^S’+S’ + S3.
Пусть теперь С\ и С2 — непересекающие 5-мерные клетки, являющиеся в S5 окрестностями лежащих в компоненте D2 двух неподвижных точек этого Zg-действия. Мы можем считать, что D6 есть куб, и что Cj и С2 —его противоположные грани. Мы можем склеить бесконечно много экземпляров таких кубов (каждый следующий получается из предыдущего отражением относительно свободной грани С/) и считать, что они сходятся к бесконечно удаленной точке, см. рис. V.4. Отсюда возникает Zg-действие на D6 с множеством неподвижных точек F, которое является объединением диска D2 и последовательности цилиндров D^S1, сходящейся к некоторой точке диска D2, см. рис. V.5. Часть множества F, лежащая в крае Ss = dDB, является объединением окружности и последовательности окружностей, сходящейся к точке
этой окружности. Если взять клетки-окрестности Сх и Сг вокруг точек компоненты D’xS1, то можно аналогичной процедурой получить Z6-действие на D6, множество F неподвижных точек
Рис. V. 4.
которого имеет вид, указанный на рис. V.6. Имеются и другие очевидные возможности. Эти действия локально гладки везде, за исключением одной точки. Аналогичным способом можно построить
Рис. V.5.Рис. V. 6.
дикие действия, склеивая вместе Zg-действия на D®, являющиеся конусами над первоначальным Ze-действием на S5 (множество неподвижных точек которого есть S^S1). Проделав это, получим Ze-денствия на D6, множества неподвижных точек которых имеют вид, указанный на рис. V.7 и V.8.
Мы дали эти примеры для того, чтобы показать, насколько сложными могут быть топологические (не локально гладкие) действия. Это же относится к действиям на крае S5 и к действиям на S6, получающимся удвоением действия на D6.
Теперь кратко рассмотрим произвольные многообразия Бри- скорна. Итак, положим се = (я0,..., а^, где аг — натуральные числа, и обозначим через 1^«"-1 пересечение сферы |iz’ = l с алгебраическим многообразием в С"+1, определенным уравнением г°» 4- 4-2“- 4~-- - + 2Й« = 0- Мы ограничимся следующим результатом.
Теорем а. Если а0 взаимно просто с любым аь />0, то для любого элемента $ е Н1 (W^1-1* Z), 0 < i < 2п — 1, имеем ОоР=0.
Доказательство. Положим a = aQa1...an. Для точки г = (г0, zv ..., z^e'S®-1 и />0 рассмотрим вектор ^taia°zv ... ..., ta'anzrt) = С . Норма этого вектора отлична от нуля и строго возрастает с ростом I. Поэтому существует и единственно такое значение t, для которого этот вектор задает точку на единичной сфере S'2"-1 с= О'1. Пусть ф: fl7^”~1-»-S” —отображение, сопоставляющее точке z эту точку. Как и выше, легкие вычисления показывают, что ф можно отождествить с проекцией на пространство
орбит Zag-действия (to, (z0, zv ..., z„)) •—- (сог0, г,, ...,г„) на U7*"1. Заметим, что на W*"1 имеется также S1-действие (г, (z0,... ..., z„)) i-^-(za/a°z0, ..., za/0”z„). Если со — примитивный корень степени а0 из единицы, то соа/а« —тоже примитивный корень степени а0 из единицы, и юа/а‘ — 1 для всех i>0 в силу того, что а0 взаимно просто с каждым а,, I > 0. Следовательно, это S'-дей- ствие содержит данное Zao-действие (с точностью до автоморфизма группы Za„), поэтому Za„ действует на Ht^*""1; Z) тривиально. Отсюда и из III.7.1 следует, что композиция //.(W7*-1)-^- ->- Ht (S2”"1) -*■ Hi (iCa”"1) гомоморфизма, индуцированного орбитной проекцией Zag-действия на W^-1, с трансфером представляет собой гомоморфизм умножения на а0, который, таким образом, является нулевым при 0 < / < 2п — 1. g
Следствие. Если имеется не менее двух таких значений i, для которых каждое из чисел at взаимно просто со всеми а, при j#=i, то W^1 — целочисленно гомологическая ^2п — \у мерная сфера. |
Замечание. Этот результат является частным случаем тонкой теоремы Милнора [7] (см. также Брискорн [1] и Хирце-
272 гл V. действия с небольшим числом орбитных типов брух и Мейер [1]). Можно показать (см. указанные работы) что многообразие W^A односвязно (на самом деле (л — 2)-связно) при л 2s 3, и, следовательно, в условиях следствия 9.5 оно гомео- морфно сфере S2”"1. В указанных работах определена также и дифференцируемая структура на W^-1. В трехмерном случае, при л = 2, многообразие W», вообще говоря, не односвязно, даже в условиях следствия 9.5. Например, можно показать, что ^ы, з, 6) — пространство Пуанкаре додекаэдра SO(3)/I.
Действия с тремя орбитными типами
Для обоснования выбора материала этого и следующего параграфов рассмотрим многообразие Брискорна UR^f- являющееся множеством тех точек (л, v, Zj, ..., zjEtT2, которые одновременно лежат на сфере | и j2 + j и i2 +1 Zj I2 + ... +! zn j2 = 1 и алгебраическом многообразии up-^ и» 4- г, 4- ... -^Zn = 0, где р и q— натуральные числа. (Заметим, что сюда входит и случай 7 = 2, изученный в § 9.)
Группа О (л), действуя на {(zn ..., z„)}, действует и на F^1; при этом, как и раньше, стационарные типы этого действия суть О (л), О(и—1) и О (л —2). Задав координаты л и и точки из W^1, мы увидим, что ими однозначно определяются числа | Zj I2 + . . . + I Zn I2 = 1 — (I U I2 4-1 и I2) и Zi + ... + Zn = — (up + VqY и из 9.1 следует, что отображение ф: W^1-*^4 вида (и, v,z1,...,zn')i—». н-* (л, и) можно отождествить с проекцией на пространство орбит этого О (л)-действия, если описать образ отображения ф. Так как I up + и? | = | г* + ... 4- г„’ sg I z, 4 + ... 4-1 zn '2 = 1 — (I a |2 4-! и 4), to образ отображения ф состоит лишь из пар (и, и), удовлетворяющих неравенству | црф-и» 14-1 л |24-j и 4 < 1. Легко видеть, что при л 2s 2 любая такая пара есть образ некоторой точки из W*",1. Более того, легко видеть, что это неравенство тогда и только тогда становится равенством, когда вещественная и мнимая части вектора (zv ..., z„) зависимы как векторы из R", т. е. тогда и только тогда, когда соответствующая О(л)-орбита не является главной (т. е. ее стационарный тип есть О (л) или О (л — 1)).
Можно показать, что неравенство | цР4-и» |4-1« i24-1 у j2=S 1 определяет четырехмерный диск в С2. Один из способов доказательства этого состоит в рассмотрении действия мультипликативной группы R+ положительных чисел на пространстве С2, заданного формулой /(л, ц) = (/?л, ^и). Так как при фиксированных л и и, (л, у) 4=0, функция tPq । uP-^vi |4~^2? I ч 12 + ^2р I у !2 монотонно возрастает с ростом /, то найдется ровно одно значение /, для которого значение этой функции есть 1. Аналогично, имеется ровно одно значение t, для которого I tqu !2 4-1 tPv 12 = Z29 | л |2 44- Z2^ j v |2 = 1. Следовательно, для любых (л, у) 4=0 траектория
этого потока пересекает каждую из поверхностей | ир 4- уя 14-1 и |2 44-! у 4=1 и \и 2-L у 2=1 ровно в одной точке. Используя этот факт, легко построить гомеоморфизм области, заданной неравен- сгеом | и? Ч~ у'1'4-; и I2 Ч~ । у i2 =^ 1 (т. е. образа отображения ф), на единичный диск ! и 4- ' и '21.
Пространство неглавных орбит можно отождествить с множеством F(O(n — 1), U/^^^/O (1), являющимся в точности пространством орбит инволюции (м, и, г) i—♦ (и, у, — г) на Wp, q = {(и, у, г) s х3 3. ч I2 4-, у I2 4-1 z |2 = 1, «р + у’+ г2 = 0). Кроме того, множество F (О (/2), W^t1) можно отождествить с F(О (1), №3, q\ Как и в § 9, заключаем, что отображение ф: Wp.q-^-Sa, переводящее точку («, У, Z^G^Wp^c в точку(/2^п, йЧ')е$3 (что однозначно определяет число />0), можно отождествить с проекцией на пространство орбит этой инволюции. Тогда F = F(O(V), Wp.^, рассматриваемое как подпространство пространства орбит, есть {(га, у) г S31 «р + уч = 0}. Если изменить координаты в S3 умножением координаты у на корень степени q из—1, то множество F запишется в виде F = ^и, у) е S3 up = u4^. Пусть а и Ь — такие однозначно определенные положительные числа, что а24-&2=1 и ар = Ьч. Тогда множество
YaeWx, Ьемм^ е S31 рх = qy-V т, тг Z}
есть образ при экспоненциальном отображении ^^^-S'xS’cS3 множества всех прямых с угловым коэффициентом p/q, которые проходят через точки (т/р, 0), m е Z. Если числа р и q взаимно просты, то этот образ совпадает с кривой в S3, являющейся тори- ческим узлом типа (р, q).
Итак, пространство орбит 0(h)- действия на Wp"^1 есть диск D4, внутренние точки которого имеют орбитный тип О (п)/О (п — 2); в крае S3 этого диска есть одномерное многообразие, состоящее из неподвижных точек (в нашем случае это торическое зацепление типа (р, р)), а остальная часть края S3 состоит из орбит типа О (п)/О (п — 1). Обобщая эту ситуацию введением дополнительных координат, на которых группа О (га) действует тривиально, можно показать, что пространство орбит является многомерным диском и неподвижные точки образуют лежащее в крае этого диска подмногообразие коразмерности 2 (относительно края).
Перед рассмотрением общей ситуации ’) докажем один общий факт, который позволит при классификации действий с данной орбитной структурой ограничиться действиями без неподвижных точек.
Предложение. Пусть G — компактная группа Ли. Пусть X—локально компактное пространство с данной орбитной
структурой X-VgQ, и пусть F —замкнутое подпространство пространства X, состоящее из неподвижных точек (точек-орбит, имеющих тип G)G\ Тогда отбрасывание множеств неподвижных точек задает взаимно однозначное соответствие между классами эквивалентности G-пространств над X и G-пространств над X —F.
Доказательство. Пусть Y есть G-пространство над X — F. Тогда проекция Y^-X — F на пространство орбит — собственное отображение, и, следовательно, оно может быть продолжено до отображений одноточечных компактификаций Y*-*(X — FV Существует также сохраняющее орбитную структуру отображение X-^(X — F)V, переводящее F в оо. Следовательно, G-пространству Y над X — F можно сопоставить G-пространство IF над X, являющееся расслоенным произведением
IF—У+
X—(X-F)+
Обратно, если IF' — некоторое G-пространство над X, то, рассматривая F как подпространство в IF', мы получаем G-пространство Y = W'—F над X — F. Очевидно, что IF'эквивалентно над X построенному выше расслоенному произведению IF (см. гл. I, упражнение 10). |
Замечание. В дифференцируемом случае предложение 10.1, вообще говоря, неверно, и для получения соответствующего результата необходимо тщательно изучать строение трубчатой окрестности множества неподвижных точек. В связи с этим некоторые теоремы, приведенные в работе братьев Сян [4] неверны, как сообщил нам У.-К. Сян.
В оставшейся части этого параграфа мы будем считать, что Хт — компактное стягиваемое m-мерное многообразие, m2s4, с ориентированным краем Вт-г. Так как многообразие X компактно и стягиваемо, то В, очевидно, представляет собой целочисленно гомологическую сферу. Пусть также Ат"3 сд Bml — ориентированное подмногообразие размерности т — 3 (возможно, дикое1)), и пусть {Ла} — его компоненты. Снабдим Хт О (л)-орбитной структурой (л 5г 2), которая приписывает тип О(л)/О(л —2) пространству int X, тип О (л)/О (п — 1) пространству В — А и тип О(л)/О(п) пространству А. (Нас прежде всего интересует случай, когда Xm = Dm и А связно.)
Далее, В обладает в X кромкой, откуда следует, что X — А — стягиваемое (открытое) многообразие с краем В —А. Таким образом, согласно 6.2, классы эквивалентности О (л)-пространств над
X —Л (и, следовательно, О (и)-пространств над X согласно ЮЛ) находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами множества
\В — А, (О(1)хО (1)) \ О(2)]/л0 (О(2))
МВ-Л, ЗЧ/г^Я^В-Л; Z)/Z2,
где Z2 действует на НХ^В — А; Z) посредством автоморфизма к*—* — к группы коэффициентов Z и, следовательно, переводит уеНЦВ-А; Z) в -у.
Вспомним, что, согласно двойственности Пуанкаре—-Лефшеца и точности гомологической последовательности пары пространств (В”*-1, л™-3), мы имеем двойственность Александера
Нх (В - А^Н^ (В, Л) Нт~3 (А)^Н° (Л) ^ П ыЧАа) П ^ аа
Пусть при этом изоморфизме элементу у е Н1 (В — Л) соответс!- вует элемент {уа}, где уа е Z ^ Н° (Ла). Заметим, что изменение ориентации многообразия Ла изменяет знак элемента уа, т. е. конкретный изоморфизм Н1 (В — Л) ^ р[ X зависит от выбора а
ориентации многообразия, но больше нигде этот выбор роли не играет. Также заметим, что Z2"AeHCTBHe на Я1 (В —Л) приводит к одновременному изменению знаков элементов у„.
Теперь, предположим, что аеЛа —точка, в которой Ла является ручным, т. е. существует полудиск D+ в Хт, дающий локальную систему координат относительно а, а именно
D? = {(xn .... xJI^M, xm^0},
где а —начало координат и BQ D^ = □'"-^{хе D+|xm = 0}, Л П D+ = Dm~3 = {хе D™ xm_2 = xm_j = хт = О}. Для у е Н\В — А) пусть М. у — соответствующее О (и)-пространство над X, которое зависит только от ± у. В силу естественности очевидно, что ограничение Я° (Ла) —Я0 (D™-3) переводит уа в соответствующий инвариант (с точностью до знака) О (и)-действия на части пространства Му над D+. Теперь рассмотрим двумерный диск
С = {хЕ D4. | Xj = . . . = Xm_3 = 0, Xm — 2 + Xm— 1 + Xm = 1 },
и пусть 2 — часть пространства Mv, лежащая над С. Очевидно, что часть пространства М^, лежащая над D+, эквивалентна как О (п)-пространство произведению диска Dm~3 и конуса над 2. Также очевидно, что ограничение
Нх^-х-От-^-. Н^дС)
сохраняет инварианты этих действий. Итак, 2»^ 2^ ~ согласно 6.3, где fe = iya| (считаем, что yaeZ). Если fe^l и и четное, то 2 не является гомологической сферой, так что М^ не является многообразием вблизи данной точки а е Аа. Аналогично, если fe^l и п нечетное, то 2° <1! ^ Е^1" 3 не является гомологической сферой, так что Л!®1" не является многообразием вблизи а (и, таким образом, О (и) действует вблизи а не локально гладко). С другой стороны, если к=Х, то 2 — ортогональное О(//)-прост- ранство, и поэтому О (п) действует локально гладко на MY вблизи а.
Очевидно, что если О(п) действует локально гладко, то А вложено локально плоско. Итак, для локально гладких действий, для всех а обязательно у„ = ±1. Более того, знаки с точностью до одновременного изменения знака являются инвариантами действия (изменение ориентаций многообразий Ач изменяет только соответствие между действиями и наборами знаков).
Назовем действие над Хт послушным1), если ya = ±. 1 для всех а. Это понятие имеет смысл, даже если А — всюду дико вложенное подмногообразие. Мы доказали следующую теорему.
Теорема. Пусть Хт — компактное стягиваемое т-мерное многообразие с краем Вт-1, т^4, и пусть Ат*3 — замкнутое подмногообразие в Вт-1 с к компонентами Пусть Хт имеет О (п)- орбитную структуру, определенную выше. О (^-пространство М над Хт локально гладко тогда и только тогда, когда А локально плоско и действие послушно. Вообще, если действие на М послушное, то оно локально гладко везде, за исключением тех точек А, вблизи которых А дикое (не являющееся локально плоским). Более того, существует в точности 2W классов эквивалентности послушных действий над (X, В, А). Таким образом, если А локально плоское, то существует в точности 2t~1 классов эквивалентности локально гладких действий над (X, В, A). g
Замечание. В гладком случае и для связного А эти результаты получены братьями Сян [4] и независимо от них Е и и- хом [1], см. об этом случае § 7 гл. VI.
Теперь вкратце рассмотрим случай т = 3, который был исключен в предыдущем изложении. Здесь А —конечное множество, состоящее из к точек в Вг = дХ3 (и, следовательно, локально плоское). Теперь, инвариант у принадлежит группе Н1(В — А)^ ^НЧВ, А)^Н0(А) и соответствует набору к целых чисел ya s е //0(Aa), где Vya = 0 (определенных только с точностью до одновременного изменения знака). Снова, действие локально гладко тогда и только тогда, когда уа = ±1 для всех а, и к должно быть четным, так как Цуа = 0. Итак, локально гладкое дейст-
вие классифицируется над X разбиением множества А на два подмножества, состоящих из к?2 элементов каждое. Так как любые два таких разбиения могут быть переведены друг в друга с помощью гомеоморфизма тройки (X, А, В), то отсюда следует, что (для данного к) все эти О (п)-пространства эквивалентны (не над X). Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема. Пусть X3 — компактное стягиваемое трехмерное многообразие с краем В2, и пусть А —множество, состоящее из k>$ точек в В2. Пусть X3 имеет О(п)-орбитную структуру, определенную выше. Если к четное, то существует в точности ( кН ) Классов эквивалентности над X локально гладких О ^-пространств над X, и все эти О (^-пространства эквивалентны (не над X). Для нечетного к не существует локально гладких О (^-пространств над X. Д
Интересно рассмотреть аналогичную ситуацию, когда X3 = = D+ = {(х, у, г) де D31 г 0}, В2 = D+ П S2 и А состоит из к внутренних точек двумерного диска В2. Пусть D2 = {(x, у, 0) е D+}. Наделим Оф обычной О (п)-орбитной структурой, т. е. структурой со стационарными типами соответственно О(п), О(п — 1), О(п — 2) на А, В —А, Оф — В. Тогда локально гладкое О (п)-пространство над D+ будет многообразием с краем, который является частью, лежащей над D2. Как было отмечено, общее рассуждение применимо и к этому случаю. Теперь О (п)-пространство W над этой орбитной структурой определяется с помощью инварианта (с точностью до знака)
Ч = №(В-А>Д (В, Л и S1) Но (А и S1),
где S1 — дВ = 5D2. Итак, у соответствует (при этом изоморфизме) множеству, состоящему из целых чисел уа s Но (АД и числа 6 е еНДЗ1), где 6 = —Sv»’ и эт0 множество определяется только с точностью до одновременного изменения знаков уа и 6. Снова у„ = А. 1 для локально гладких действий. Также очевидно, что | 61 является инвариантом для О (и)-пространства dW (части W, лежащей над D2), т. е. имеем изоморфизм гД/^ДД5 двух О (п)- пространств. Если нам даны числа 6 = — S У« и ^- то ^ = к_ — — к*, где к* и к_ — количества знаков + и — среди у„. Если мы допустим произвольные эквивалентности (т. е. эквивалентности над гомеоморфизмами тройки (Вф, В2, Л)), то числа 'б| и к, очевидно, окажутся единственными инвариантами. Кроме того, feSs 5=|6| и к — 6 — четное число. Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема. Рассмотрим вышеупомянутые О (^-пространства над (РД В2, Л), где Л состоит из кТ>0 точек, лежащих в int В2. Пусть 6 5= 0 — целое число. Если к 3= 6 и к — 6 — четное,
то существует единственное (не над Вф) локально гладкое О (пУ пространство над (DI, S2, Л) с краем, эквивалентным О (^-пространству 2б"-1. Если k<8 или если k — 6 нечетно, то такого локально гладкого О (пупространства не существует, g
Замечание. Заметим, что 10.4 дает другое описание О (п)- пространств Se”-1 над D2. Читатель может проверить, например, что случай 6 = 65^0 из 10.4 описывает О (п)-действие на пространстве Сл+1, ограниченное на подмножество
z£ + 4 + --- + ^ = l, |г0|24-... + !г„^2.
Кроме того, случай 6 = 6^2 описывает О(п)-действие на водопроводном соединении Р2п (A^-j). Нетрудно построить также явные примеры для всех 6^6 с четным k — 6.
Заузленные многообразия
Пусть 2* с Sft+2 — связное ориентируемое подмногообразие (возможно, дикое) (^ + 2)-мерной сферы, и пусть п 5=2. Тогда, согласно 10.2, существует единственное (с точностью до эквивалентности над D''"13) послушное О (^-пространство М2п+к (^к) над D*+3 (с орбитной структурой, такой же, как в § 10, т. е. стационарные типы суть О (и) на 2*, O(n—1) на S6+2 — 2* и О (и —2) на int(D*+3)). Также напомним, что, согласно 10.2, если Xй вложено локально плоско, то М2п*к (2*) есть единственное локально гладкое О (п)-многообразие над (D'?+3, S^2, 2*). В этом разделе мы обратимся к изучению такого пространства М,п*к (26) с упором на нахождение условий, при которых оно представляет собой сферу.
Хотя нас прежде всего интересует локально гладкий случай, будет представлять некоторый интерес (и не составит больших затруднений) рассмотреть также некоторые аспекты дикого случая. Итак, пусть U7 cz 2* — (замкнутое) подмножество диких точек, т. е. множество точек, в которых 2* не является локально плоским. Для удобства гомологических вычислений мы предположим, что U7#=2*, хотя в действительности это не является необходимым.
В тех случаях, когда понятно, о чем идет речь, положим М = Л42я+* (2Д и будем отождествлять 2* с подпространством Л1° ^ пространства М. Через С обозначим часть М, лежащую над SM.
Теорема. Если V =/= X*, то М — Т — односвязное пространство.
Доказательство. Для удобства дальнейших рассуждений заметим, что мы будем доказывать эту теорему, не предполагая 2* связным. Теперь М — W — многообразие размерности 2n~yk^ 5=4 + ^. и 2* — W есть ^-мерное локально плоское подмногообразие. Отсюда следует, что отображение лг (М — 2)-*- лх (М — W)
сюръективно (в действительности оно является изоморфизмом). Далее, С — S (будучи пространством 8”+1-расслоения над S*+2 —S) является (л + ^ + 1)-мсрным многообразием, локально плоско вложенным в М — 2. Если п 5= 3, то (2п + &) — (п + &+1) = n ~ 1 2, так что Hj (М — С) -> л, (М — S) — сюръективное отображение. Однако М — С представляет собой пространство (О (п)/О (п — 2))- расслоения над р*+3, и поэтому отображение nj (О (п)/О (п — 2)) -> -^-л, (Л4 — ^) (индуцированное включением любой главной орбиты) сюръективно. Но так как существует главная орбита в линейном диске в /И с центром в любой точке из М — S, то это включение, очевидно, индуцирует тривиальный гомоморфизм фундаментальных групп.
Теперь рассмотрим случай и = 2. Заметим, что
М-СRft+3х О (2) (R^3хS1) + (R*+3хSJ).
Кроме того, С— S является пространством (О(2)/О(1))-расслое- ния над S6+2 —S^. Проекция О (2)-> О (2)/О (1) S' представляет собой гомеоморфизм на каждой из двух компонент группы О (2). Отсюда следует, что замыкания Xj и Х2 в М — S двух компонент множества М — С являются многообразиями, каждое из которых имеет внутренность, гомеоморфную R*+3xS1 и (общий) край С —S. Так как С — S, являющееся пространством 8г-расслоения над связным множеством Sft+2 —S*, связно, то отсюда в силу теоремы ван Кампена следует, что nj (М — S) порождается образами двух экземпляров группы л, (R^xS1)^^ (S1). Так как соответствующие окружности являются компонентами главной орбиты О (2)-дсйствия, то отсюда следует, как и раньше, что фундаментальная группа отображается в л, (/И — №) тривиально. |
Теорема. Предположим, что W S*. Если У/' есть Z2- когомологическая (по Чеху) сфера, то и MlnJrk (ЕА) представляет собой "^-когомологическую сферу. Если S6 — целочисленно когомологическая сфера и п четное, то и №п*к (5?) — целочисленно когомологическая сфера.
Доказательство. Для упрощения обозначений используем когомологии с компактными носителями. Итак, Н} (U) = Н* (U+, со) для локально компактного пространства U; это также можно определить непосредственно, используя когомологии Александера — Спеньера или когомологии с коэффициентами в пучке; см. Спеньер [1] и Бредон [13]. Для компактной пары (X, А) существует канонический изоморфизм Н* (X, А) ^ Н* (X — А). Здесь мы рассматриваем когомологии с коэффициентом в группе Z2 для первой части теоремы и в группе Z — для второй части.
Пусть геД- W, и пусть (/ — окрестность точки х в М, являющаяся открытым (2 л-]-А)-мерным диском, на котором О(п) действует ортогонально. Пусть U* с D'?+3 — пространство орбит
окрестности U. Тогда U* есть окрестность точки х*^'2к — W а cz S"+2 = dD*+3 в D*+3, являющаяся открытым полудиском.
Далее, U— С представляет собой пространство (О (п)/О(п —2))- расслоения над U* — Sk^ Rk^3, содержащееся в пространстве (О (п)/О (п — 2))-расслоения М — С над Dt+3 — S*+2 р''’3. Так как эти расслоения тривиальны, то, очевидно, включение U — C-* -+Н — С (являющееся гомотопической эквивалентностью) индуцирует изоморфизм И* (I/— С) -> Н* (М — С). Применяя теорему двойственности Пуанкаре, получаем, что это включение индуцирует изоморфизм Нс ^U — С) И* (М — С). Пусть теперь у е 2— другая точка; можно считать, что y^V. Так как U ^^ есть открытая ^-мерная клетка и так как пространство 2* —{у} ациклично, то имеем изоморфизм Нс (U П S) — и* (5 _ j^y Далее, С —2 есть пространство (S'1-1 = О(п)/О (п — 1))-расслоения над S* 2 — 2 со структурной группой О (1) ^ ^ (О (п — 1))/О (н — 1), действующей на S'*-1 антиподальной инволюцией. Для четного п антиподальная инволюция сохраняет ориентацию сферы S” Р так что данное расслоение ориентируемо, а если группа коэффициентов есть Z2, то это расслоение ориентируемо (в смысле теории когомологий) *) для любого п. (Для дальнейших ссылок укажем, что отмеченное обстоятельство является единственной причиной, по которой мы требуем четности числа п в случае когомологий с коэффициентами в Z.) В окрестности точки х имеется подрасслоение U П С — 2 U* П S*+2 — 2 ^%ft+2 — р/г этого расслоения, и включение индуцирует отображение последовательностей Гизина
&(RM -Rfe)Йс (U п с - 2) -> н1с~п
+ I ($/г+2+ I ($/г+2Д' (С-2) -^HVn
+ I ($/г+2
+ I ($/г+2
Гомоморфизм Н* (Р*+2 — R6) -> Н* (S,,+2 — 2)’ является изоморфизмом по теореме двойственности Пуанкаре — Александера, поэтому Н* (U П С — 2) — Нс (С — 2) — изоморфизм в силу леммы о пяти гомоморфизмах.
Суммируя все сказанное выше и используя коммутативность диаграммы
.. .-> Яс (^ П С — 2)Я'(Д Q С) -^Я'(ДП2) ->...
Н^с-^Н!с (С - {у })-* Н1с (2— {у })->...,
!) Автор имеет в виду следующее определение. Расслоение Е со слоем S’ называется ориентируемым, если существует такой элемент u е Нп (Е), что i* (и) — уя, где у„ е Нп (S”) — образующий и U Sn-*• Е— включение,—Прия, перев.
заключаем, что Н* (U П С) Н* (С — {у}) — изоморфизм. Аналогично коммутативность диаграммы
H‘C(U— С)H<(U)
влечет Н* (^) ^Щ(М — {у}).
Но U^R2"*15, откуда следует, что Н* (УИ)^/7* (S2”+6). g Отметим следующее обращение этого результата.
Теорема. Если М.гп,гк (Т^) есть Х2-когомологическая сфера, то и 2* есть 12-когомологическая сфера. Если п четно и №n^k (Sk) есть целочисленно когомологическая сфера, то и S* есть целочисленно когомологическая сфера.
Доказательство. Пусть Т — максимальный тор группы О (и). Если п четно, то Т не сопряжен ни с какой подгруппой группы О(и—1), так что МО№ = МТ. Для произвольного « рассмотрим подгруппу L = О (1) XО (1) X..-XО (1) с О (/?) (и сомножителей) группы О (и). Тогда L не сопряжена ни с какой подгруппой группы О (и— 1),так что М° (л) — ML. Требуемый результат следует теперь из III.10.2 и III.7.11. g
Теорема. Пусть п четно, и пусть ЕЛ — целочисленно когомологическая k-мерная сфера, вложенная в SkJ-2 так, что имеет там не более одной дикой точки (или для случая k = 1 имеется лишь конечное число диких точек). Тогда М2п^k (^к) S2"^.
Доказательство. Если диких точек нет, то утверждение следует из 11.1, 11.2 и обобщенной гипотезы Пуанкаре (см. Коннел [1]), справедливой здесь в силу неравенства 2n + & 5s 5. Пусть теперь 3x2''- единственная дикая точка. Из 11.1 следует, что л, (М — {да}) = 1. Кроме того, из доказательства теоремы 11.1 следует, что если U cz D*-3 — некоторый малый диск с центром в точке w*, то часть пространства М — \w's, лежащая над U — {да*}, односвязна (так как в доказательстве теоремы 11.1 связность пространства 2? не использовалась). Поэтому в силу 11.1 и 11.2 npocipanciво Л1— {да}— стягиваемое открытое многообразие, односвязное па бесконечности. Поэтому по теореме 3 и б е н м а н я а [1], имеется гомеоморфизм М — {да} Rln*k, и потому/И д«52"+й. Если к=1 и 56 имеет конечное число диких точек, то, очевидно, достаточно показать, что в окрестности каждой из этих точек М является многообразием. Но очевидно, что 2 можно так переложить, не меняя вложения вблизи фиксированной дикой точки да, что 2 будет иметь лишь одну дикую точку да. Так как эта операция меняет многообразие М лишь вдали от точки w, то отсюда следует требуемый результат1). g
А) Индукцией по числу точек. — Прим, перев.
Например, имеется О (2)-действие на S6, соответствующее дикому узлу, изображенному на рис. V.9. Заметим, что для подобных изображенному на рис. V.10 диких узлов, являющихся бесконечными суммами ручных узлов, соответствующее О (п)-пространство является бесконечной связной суммой локально гладких ()(/;)• пространств. Например, клеверный лист (торический узел типа (3.2)) отвечает в силу результатов §10 0 (и)-многообразию Sg” + 1 ^ и^з" + * (см. 9.2), где О (и) действует посредством стандартного вложения О (п) ед О (n-j-1). Очевидно, что дикий узел рис. V. 10 отвечает бесконечной эквивариантной связной сумме (по дискам вокруг неподвижных точек) многообразий 2з" + 1. Для случая п = 2 интересно отметить, что подгруппа SO (2) группы
0(2) действует на S3 линейно (см. упражнение 2) и имеет то же множество неподвижных точек, что и группа 0(2). Соответствующая бесконечная связная сумма в точности есть линейное S0(2)- действие на S6. Легко видеть, что для этого О (2)-действия (отвечающего рис. V.10) мы имеем S6/SO (2) S4, и эта сфера S4 (с данной орбитной структурой) в точности есть удвоение диска D4^ S6/O (2). Таким образом, узел рис. V.10, рассматриваемый в сфере S4, становится ручным, так как он отвечает множеству неподвижных точек (лежащему в пространстве орбит) линейного SO (2)-действия на S5. (Разумеется, тот факт, что S1 становится ручным в S4, легко доказать и непосредственно.)
Теперь мы займемся вычислением когомологий пространств АД”41^1) для случая, когда п нечетно и S = S4 —ручной узел в сфере S3 cz D4. Пусть /И3 (S) — двулистное накрытие над S3, разветвленное над узлом S. (Это есть О(1 ^пространство над S3, и оно не является О (^-пространством над D4.)
Теорема. Пусть п нечетно и fe=l. Предположим, что S — ручной узел Тогда Н‘ (Д!2^1 (S); Z) = 0 при I ^ 0, п + 1, 2/г 4-1. Кроме того, Н"*1 (_Mln+1 ^Y, 1^ № Ц№ tj-y, Z).
Доказательство. Заметим сначала, что из теоремы следуют изоморфизмы
Нп (A42n+1 (S); Z) Д^1 (М2^1 (S); Z)
^№(M3(S); Z)^^(A13(S); Z),
так как в силу 11.2 группа Нп*г ^М"*1 (2); Z) конечна1). Кроме того, порядок группы Д,(Л13(2)), как известно, есть А(—1), где А (/) —полином Александера узла 22).
Наши вычисления сначала будут следовать доказательству теоремы 11.2. Единственным местом, где используется четность числа п, является тот факт, что S”~ расслоение С —2 над S3 —2 для четного п ориентируемо. Этот факт позволяет использовать последовательности Гизина. Для нечетного п это расслоение не- ориентируемо, но тем не менее по-прежнему имеет место диаграмма последовательностей Гизина
//[(R3 —R1; Zt)->^ + '1(R3-R1)->
//i(S3-2; ZT)->#+"(S3-2)
Дрп((/ПС-2) Д'+^Р3-^; Z")-*...
Hc^ n (C-2) ->^+1(s3-S;
где Д* (■; ZT) есть когомологии с локальными коэффициентами и где во всех остальных группах когомологий коэффициенты целые. (Локальная система групп обязана своим появлением гомоморфизму ЛД83 — 2)-»- Нх (S3 — 2; Z) ?- Z-^-Z2^ Aut (Z)).
Далее, НЦх3 — R1; Zr) 0 ^ A (S3 —2; ZT) в силу того, что в коэффициентном расслоении Z* имеются сечения с компактным носителем. Используя теорему двойственности Пуанкаре (см. Б редон [13]), получаем, что НЦх3 — R1; ZT) ^ Д2 (R3-RR ZT)^
Нг (S1; ZT) = 0. Следовательно, Д) (R3 — R1; ZT) ->• Щ (S3 — 2; ZT) есть мономорфизм.
Применяя лемму о пяти гомоморфизмах к рассмотренной выше диаграмме точных последовательностей Гизина, получаем, что Нс ^U П С — 2) Н'с(С — 2) есть изоморфизм при / < и и мономорфизм при j = n.
Для диаграмм, использованных в доказательстве теоремы 11.2, получаем, что Н'с (U П С) -> Н'с (С — {z/}) есть изоморфизм при j<n и мономорфизм при j = n. Аналогично заключаем, что H^U)-^-
Н’с (М — [у}) есть изоморфизм при j = п и, следовательно, что НЦМ) = 0 при 0</<и. Из теоремы двойственности Пуанкаре и формулы универсальных коэффициентов следует теперь, что Д'(М) = 0 для /#=0, и, л-]-1, 2/14-1. В силу 11.2 М есть
Х3-когомологическая сфера, так что эта группа должна быть конечной группой нечетного порядка для j — п, zz +1. Снова применяя формулу универсальных коэффициентов и теорему двойственности Пуанкаре, получаем теперь, что эта группа тривиальна для / = п. Пусть х=^у — две точки из S. Тогда №'(М — {//', {х}) = О для /=/=п+1, и осталось вычислить эту группу для / = /г4-1.
Выберем в группе О (и) се подгруппу— окружность Т, являющуюся диагональю в произведении 1 х SO (2) X SO (2) х... X SO (2) cz сО(1)хО(2)х...хО(2)сО(л) (здесь присутствует (и —1)/2 экземпляров группы SO (2)). Рассматривая действия группы Т на многообразии Штифеля О(п)/О(л —2) 2-реперов в К" и (и — ^-мерной сфере О (n)/O (п — 1), мы увидим, что Т действует полусвободно на каждой орбите из М и, следовательно, Т действует на М полусвободно. Кроме того, Т не имеет неподвижных точек на главных орбитах и имеет ровно две неподвижные точки (антиподальные) на сфере S”-1, причем О (1)-действие на Мт переставляет эти точки. Отсюда следует, что МТ^М3^. Кроме того, так как Т действует полусвободно, то имеется последовательность Смита —Ризина (для когомологий с коэффициентами в Z) ...-*ЙЦХ*, Х^НЦХ, {х})-+Н^(Х\ Хг)©
®НЦХТ, {х})-»#^*,
(см. II 1.10.6), где Х = М — ^у\ и X* = XiT. Как мы уже видели, группы № (X, {х}) тривиальны при i^n-VX, и аналогично Н‘(ХТ, {х}) = № (Л43 (S) — ^у\, {х}) = 0 при z'^2. Отсюда очевидным индуктивным рассуждением, использующим последовательность Смита — Ризина, получаем изоморфизмы
^(Х, {х}) —Я„(Х*, ХТ)-Н"2(Х*, Х^...
...—№(Х*, Хту” №(.ХТ, {х}),
откуда следует изоморфизм Н"*1 (Л42л+1 (S)) ^ Н2 (М3 (S)). J
Замечания. Эти соотношения между узлами и О (/г)-много- образиями первоначально отметили Ених [1] и братья Сян [4] в гладком случае. Вычисление гомологий для к=\ другим методом дал X и р цеб р у х[2]. В этой же работе Хирцебруха описана гладкая структура многообразия М2П4г1^1’) для четного и и глад- кого2. Случай й>1 впервые был разобран в работе Бредона [26].
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ V
Рассмотрим над D3xSl такое О (гг)-пространство, у которого на S^xS1 стационарный тип есть О (/г — 1), а на внутренности многообразия D3xSl стационарный тип есть О (и —2). Покажите, что, с точностью до эквивалентности над D^xS1, имеется ровно 4 таких действия и что эти действия отличаются одно от другого тривиальностью или нетривиальностью регулярного или сингулярного расслоения р или а. Покажите, следуя 6.1, что тем нс менее множе-
ство лпГ (г]1 S,) гомотопических классов редукций структурной группы расслоения р Sj к (.V (О (п — 2)) П N (О (п — 1))/О (п — 2) бесконечно
Рассмо1рим О (З)-пространство Ы из § 7 гл. I с нечетным к (напомним, что УЙ яа №&; см. 9.2). Покажите, что подгруппа SO (3) с О (3) транзитивна на каждой О (З)-орбите и, следовательно, что SO(3) имеет то же пространство орбит, что и О (3) (а это пространство есть D2). Покажите, что тем не менее все эти SO (З)-действия эквивалентны линейному SO (З)-действию на У)‘«г35. Читатель, хорошо знакомый с исключительной группой Ли 0.2, может аналогичным образом показать, что действие подгруппы С2 с О (7) на уГ для нечетного к имеет те же орбиты, что и О (7)-действие, но эквивалентно линейному действию на У)3 ^ S1!. (В частности, отсюда для нечетного к следуют гомеоморфизмы У* S° н ур «= S13 без использования обобщенной «гипотезы» Пуанкаре.)
Пусть Лш 3 —подмногообразие сферы S'nl. Рассмотрим О (.^-пространство W над Dm, у которого стационарный тип па Ат-3 есть О (п), на Sm 1 — — Л'"3 есть О (п — 1) и на Dm— Sm“x есть О (п — 2). Покажите, что для не- ориентируемого Ат~3 такие О (л)-действия не являются локально гладкими.
Рассмотрим О (п)-пространство W'^'1-1, являющееся пересечением в Cn+1 = {(z0, Zf • ••> zn)} алгебраического многообразия 1+zi+...4-Zzi = 0 со сферой ; z0 2 Ь, Zj ^H-.^ + j zn р = 2. Положим Zy = x7 +п/7, x = (.r7, ..., х„) e eR”, y = (Vi, ..., yn) e R". Покажите, что отображение (z0, x, y^—> 1—*(h 0, у/ у ) определяет эквивариантную ретракцию пространства W^-1 на свою орбиту. Выведите отсюда эквивалентность О (п)-простраиств W^n — 1
О (п)хо (п _ 1)8", где O(n—1) действует на S" посредством включения О (п) с О (я + 1). Докажите также эквивалентности О (п)-пространств W^n " 1 = cesS”-1 х 8" У^ч—где О (п) действует на Sn""1xSn диагонально.
Проверьте утверждения из замечания после теоремы 10.4.
Пусть Xт —стягиваемое компактное многообразие с краем Вт х. Пусть Ут~4—целочисленно гомологическая сфера, локально плоско вложенная в В"1"1. Покажите, что над Хт имеется единственное локально гладкое U (п)-пространство, для которого стационарные типы на ушА Вт^ — ут 4 и Хт — В,п 1 суть соответственно U (n), U(n—1) и U(n —2). Докажите аналогичный результат для Sp (п)-пространств над Хт, где множеством неподвиж ных точек будет уже целочисленно гомологическая сфера Ут 6 g Вт 1. (В гладком случае этот результат не имеет места.)
Рассмотрим О(« + ^-пространства Xfc = 0(n + 1)Х0 w^n— *, где У^- 1 есть О (п)-пространство из § 7 гл. 1. Покажите, что для всех нечетных к пространства Хк эквивалентны. (Соответственно они эквивалентны и для всех четных к.') В частности, покажите, что для нечетного к АД-= S^xS-" л.
Пусть G = O(n-)-l), К—0{п— 1) и Н = 0(п — 2), п2г2. Рассмотрим G-прострапства над ли жом D6+1 с орбитными типами GfK над S6 и G/// над D6’1. Покажите, что при к^аЗ такие G-пространства над D^i классифицируются элементами группы л6(52), в то время как при к = 2 они классифицируются элементами множества Z+- Покажите, что если X — некоторое такое G-пространство с к^2, то О (?г-|-2)-пространство О (п~|-2)Х0(п^ ^Х эквивалентно пространству О (n-j-2)xo ^S"^1, где O(n—1) действует на S"1* 1 с R”+fc — R"~1xRft+1 как сумма стандартного и тривиального представлений.
Для их2 рассмотрите диагональное действие группы U (п) на S4" 1 с сС^хС”, пространство орбит этого действия есть D3. Покажите, что классы эквивариантной гомотопности над D3автоэквивалентностей таких U (^-пространств находя гея во взаимно однозначном соответствии с элементами группы л8 (U (2)) = Z.
Глава VI
ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
Для понимания этой главы необходимо знание элементарной дифференциальной геометрии. Кое-что из необходимого материала напоминается в § 1 для того, чтобы ввести терминологию и обозначения, но этот материал нельзя считать самостоятельным введением в дифференциальную геометрию.
В первых четырех параграфах мы докажем некоторые основные факты, касающиеся дифференциальной топологии гладких действий компактных групп Ли. Например, мы докажем в § 2 теорему существования и единственности инвариантных трубчатых окрестностей. В § 3 доказывается общая теорема, которая позволяет заменить некоторые типы изотопии эквивариантными изотопиями. В § 4 мы докажем теорему Пале и Мостова о гладком эквивариантном вложении и применим ее к доказательству теоремы о гладкой эквивариантной аппроксимации непрерывных эквивариантных отображений и гомотопий.
В § 5 будет детально изучена индуцированная функциональная структура очень простого типа пространства орбит. Этот факт используется в § 6 для того, чтобы доказать гладкий вариант теоремы о классификации действий над многообразием с краем, изученной в §§ 5 — 7 гл. V для топологического случая. Это, в свою очередь, применяется в § 7, чтобы получить результаты Ениха о заузленных многообразиях, которые в топологическом случае обсуждались в §§ 10 и 11 гл. V.
В последних четырех параграфах нам понадобится значительно более глубокое знакомство с дифференциальной топологией. В § 8 изучаются инволюции на сферах с использованием инварианта Иллса — Кюйпера, результатов § 7 и инварианта Браудера и Петри (мы строим его видоизмененный вариант). В § 9 доказаны некоторые результаты о полусвободных действиях окружности на сферах и дисках. В §§ 10 и 11 используется эквивариантная теория для сравнения представлений в двух неподвижных точках некоторого гладкого действия.
Функциональные структуры и гладкие действия
В этом параграфе мы дадим обзор некоторых элементарных определений и фактов из дифференциальной геометрии. Мы предполагаем, что читатель уже знаком с этим материалом; и он приводится здесь только для связности изложения, введения обозначений и выделения специальных важных для нас понятий. Многие доказательства и поясняющий материал будут опущены, так что читателю не следует считать этот раздел введением в дифференциальную геометрию или дифференциальную топологию.
Следуя Хохшильду [1], определим функциональную структуру на топологическом пространстве X как отображение еУх, которое ставит в соответствие каждому открытому множеству U сХ подалгебру еУ^ (17) алгебры всех непрерывных вещественнозначных функций на U, и которое удовлетворяет следующим условиям:
Подалгебра <У х (17) содержит все постоянные на 17 функции.
Если V с U, то ограничение функции / е -^х^ на V лежит в «^x(V).
Если U = (J Uа есть произвольное объединение открытых множеств, то отображение /: 17 ->R принадлежит еУх(17) тогда и только тогда, когда ограничение / на каждое Ua принадлежит
Иными словами, <Ух есть пучок алгебр, являющийся подпучком пучка ростков непрерывных вещественнозначных функций на X, содержащим постоянный подпучок.
Функционально структуризованное пространство (X, аУх) есть пространство X с функциональной структурой ^х на X. Морфизм ф: (X, аУх)-*(У, еУу) одного функционально структуризо- ванного пространства в другое есть такое отображение ср: X-*Y, что композиция />—*/-ф функций с отображением ср переводит а^у (17) в ofx (ф 47) для каждого открытого 17 с У. Очевидно, изоморфизм определяется как морфизм, имеющий обратный морфизм.
Если ср: X-> У — отображение и еУ — функциональная структура на X, то мы можем определить на У функциональную структуру ф^У", полагая (ф*=У) (17) состоящим из всех таких непрерывных функций [: 17-*R, что /-ф ед еУ (Ф~47). Эта структура Ф*^ называется «функциональной структурой на У, индуцированной отображением ф из структуры ®У». Очевидно ф: (X, аУ)-^ —- (У, ф*»У) есть морфизм.
Если ср: X-4-У — отображение и «У — функциональная структура на У, то мы можем определить функциональную структуру ф*^ на X, полагая (ф*«У) (17) состоящим из таких функций /: 17-^-R, которые локально являются композицией отображения ф С членом структуры S (т. е. для каждого х г 17 существуют
такие окрестность UxaU точки х, открытое множество V с У, содержащее ^(JJX\ и элемент ge^(V), что f = g*<t> на U х. Тогда ф: (X, <[^)-^(У, У) есть морфизм. Назовем ф*^ «функциональной структурой на X, индуцированной отображением ф из структуры ^». Наиболее интересно использовать это понятие в случае подпространства. Если Д с X — подпространство и У — функциональная структура на X, то мы обозначим через У д образ 1*У, где i: Д-> X — включение. Таким образом, для открытого множества U с X алгебра УД (Д f) U) состоит из таких ф\ нк- ций /: ДП^-*₽> что для каждого oeARU существуют окрестность V точки а в X и продолжение отображения /1 А П V до элемента алгебры У (V). Если А открыто, то Уд(А()и) = = У (ДП^), так что Уд представляет собой ограничение структуры У на открытые подмножества множества U.
По определению, С”-функциональная структура на R” ставит в соответствие открытому множеству U с^У алгебру вещественнозначных С^-функций на U. (У-многообразие размерности п (или гладкое п-мерное многообразие) представляет собой паракомпактное хаусдорфово пространство №, наделенное такой функциональной структурой У, что (АР, У) локально изоморфно (R”, (У), т. е. каждая точка х е М имеет такую открытую окрестность U, что (U, У и) изоморфно (V, С”), где V с R" — некоторое открытое множество. Отображение ф: U-*V, осуществляющее такой изоморфизм, называется картой, а У называется СУ-структурой на М. Для гладких многообразий № и Nn морфизм ф: МN их данных С^-структур называется просто гладким отображением (или Сю-отображением, или дифференцируемым отображением). Изоморфизм ф называется диффеоморфизмом.
Рассмотрим полупространство Кф ={(xv ..., х„)еУ |х}^0}. Будучи подпространством пространства К", оно наследует (^-функциональную структуру, которую мы будем также обозначать С”. По определению, СУ-многообразие с краем представляет собой наделенное функциональной структурой паракомпактное хаусдорфово пространство (М, У), которое локально изоморфно пространству (й", С”). Край (возможно, пустой) состоит из таких точек, которые переводятся картами в точки гиперплоскости ху = О, и является гладким (п—1)-мерным многообразием с индуцированной структурой. Если это не будет особо оговорено, то в этой главе слово «многообразие» будет обозначать С '-многообразие без края.
Если Мт и Nn — два С°°-многообразия (без края), то существует единственная С^-структура на MxN, такая, что если соответственно ф: U->km и ф: V Rn — карты в М и N, то фХф: U х V -*Кт+п — карта в MxN. Эта структура возникает, когда рассматриваются произведения гладких многообразий.
Напомним, что группа Ли G имеет единственную С”-струк- туру, для которой отображение GxG-*G вида (g, h^v—*gh”x, является гладким. Гладким действием группы Ли G на гладком многообразии М мы называем такое действие 0: GxM-* М, которое является гладким отображением. В действительности достаточно, чтобы каждое 6г: А4 -> А4 было гладким, но этот факт трудно доказать, и мы не будем рассматривать этот вопрос, см. Монтгомери и Циппин [4].)
Конечно, основным примером гладкого действия является каноническое действие главной линейной группы GL (п) на К”. Далее, GL (п) есть открытое подмножество пространства R”2 (всех nxn-матриц над R) и наследует его С°°-структуру. Гладкость действия 0: GL (л) хR” ->- Rn очевидна. Гомоморфизм групп Ли автоматически является гладким отображением (§ 5 гл. 0), и отсюда следует, что действие G х R"->-R", заданное любым представлением G-^-GL (п), является гладким. Другие примеры можно найти в предыдущих главах. Например, действия группы О (л), данные в § 7 гл. I, и ее действия на многообразиях Брискорна, построенные в § 9 гл. V, являются гладкими. '
Так же, как и в § 1 гл. II, определим С”-расслоение, потребовав дополнительно, чтобы база В и слой F представляли собой С^-многообразия, а структурная группа была группой Ли (это иногда можно ослабить), действующей гладко на F; кроме того, потребуем, чтобы функции перехода U-*K были гладкими. В этом случае тотальное пространство X расслоения имеет каноническую С°°-структуру, которую мы определим, потребовав, чтобы карты ф: F X U ->- р-1 (U) были изоморфизмами функциональных структур.
Если у: R->-М— гладкая кривая на многообразии М, причем у(0) = р, и если / есть С°°-функция, определенная на открытой окрестности точки р, то мы можем определить производную функции / в точке р по направлению у следующей формулой:
При этом Dy называется также касательным вектором к у в точке р. Тогда D = Dy — дифференцирование алгебры ростков гладких вещественнозначных функций в точке р, т. е. D удовлетворяет условиям
D(af-\-bg') — aD(J')-\-bD(g'),
Dyg^f^D^gHD^g^,
где a, beR и f, g — гладкие вещественнозначные функции, определенные вблизи точки р.
Используя локальную координатную систему хи ..., хп вблизи р, мы можем, рассма!ривая / как функцию от л^, .... хп, записать
Г. Векдон
кривую у как отображение / »(^ (/), ..., xn(t)). Тогда
так что Оу = ^а^х- \р, где а: = ^ 1^. Также ^ = 0^, где р, —кривая, заданная координатами Xj (t) = д;.,Е Отсюда следует, что множество касательных векторов D к кривым в точке р образует векторное пространство с базисом д/дх^ ... , д/дхп. Это векторное пространство называется касательным пространством ТР(М) к М в точке р. На самом деле, нетрудно показать, что оно совпадает с векторным пространством всех дифференцирований алгебры ростков гладких вещественнозначных функций в точке р. (Это связано с тем, что мы имеем дело с С°°-случаем. В С-случае, где к конечно, последнее векторное пространство намного больше, чем касательное пространство,.) Объединение Т(М)= и ТР(М) можно превратить в векторное расслоение рем
над М, называемое касательным расслоением к многообразию М, (гладкое расслоение со слоем R" и структурной группой GL (п)).
Если ф: M-^N — гладкое отображение многообразий, то существует индуцированное отображение ф*: Т (M) -*Т (N), переводящее ТР(М) в Тф(р) (W), называемое дифференциалом и определяемое следующим образом: если у: ^-> М — гладкая кривая с у (0) = р, то положим ф* (Dy) = 0^. Итак, если g: Uгладкое и U — окрестность точки ф(р), то
Ф*(Dy) (g) = D^ (g) = ^ g (ф (y (t)))t _6 = Dy(g. ф).
Равенство (ф*О) (g) = D (g-ф) показывает, что дифференциал ф* корректно определен. Если у: R-> М — гладкая кривая, то очевидно, что ^«^"^^ Dy. Если отображение ф: M-*N гладкое и каждое индуцированное отображение ф#: Тр (М) ->- Т^, (р} (N) — мономорфизм, то ф называется иммерсией или погружением. Если ф кроме того инъективно, то ф называется вложением. Если ф кроме того есть гомеоморфизм на свой образ ф (М), то ф (Л4) называется подмногообразием *) многообразия N (в смысле дифференциальной топологии); в этом случае из теоремы о неявной функции следует, что ф: Л4-*ф (М)— диффеоморфизм, где ф(Л4) имеет функциональную структуру, индуцированную функциональной структурой на N.
Лемма. Если 6: [Rх/И-► М — гладкое действие аддитивной группы вещественных чисел на гладком многообразии Д4,
то множество неподвижных точек A4^ совпадает с множеством тех точек реМ, для которых касательный вектор к кривой Хр. R-^-M нулевой, где тр (<) = ©(£, р) = 9Z (р) = t (р).
Доказательство. Если реЖ то хр — постоянная кривая в точке р и От =0. Обратно, предположим, что Dx =0. Для s е X имеем tv (р) (0 = 0,0д. (р) = 9V (тр (/)), так что т, (р) = 9^ • хр. Итак, Dx$ (р) = (9J* (О, ) = (9J* (0) = 0 для всех s eR. Далее, если f: U ->-R есть С”-отображение, определенное вблизи р, то для достаточно малых s мы имеем
^/ (9/ Ш = s = ^f №+z (р))/ = 6 = Ох$(рДП = 0,
откуда следует, что t н—* f (9Z (р)) постоянно (в подходящей окрестности нуля). Применяя это к координатным функциям в координатной окрестности точки р, мы получим, что t н—> 9Z (р) постоянно (вблизи / = 0 и, следовательно, для всех 1, так как 9^+z = 9^9z). Таким образом, р — неподвижная точка. |
Предположим, что 0: G х М->-М — гладкое действие группы Ли G на гладком многообразии М. Тогда орбитное отображение л: M-*MlG индуцирует на М/G функциональную структуру, которую мы назовем индуцированной гладкой структурой. Таким образом, функция /, отображающая открытое множество U с: MiG в R, называется гладкой тогда и только тогда, когда /-л: л-1(П)->- ->-R —гладкая функция. Следует особо подчеркнуть, что использование этой терминологии не означает, что MiG является многообразием (так как обычно это не выполняется). Например, если М = R2 и G = Z2 действует посредством (х, у) i—* (— х, — у), то M/G гомеоморфно R2, но гладкая структура на М/G, индуцированная структурой гладкого многообразия М, не является структурой гладкого многообразия. С другой стороны, если M = R2 и G = Z2 действует посредством (х, у) н—> (х, — у), то MiG гомеоморфно полупространству R+ и, как это в действительности может быть показано, диффеоморфно R1. (Этот замечательный факт не так легко заметить. Он представляет собой частный случай результатов, доказанных в § 4, но для читателя будет хорошим упражнением попытка доказать его самостоятельно.)
Пусть G — группа Ли; напомним, что каждый касательный вектор X в точке beG есть касательный вектор X = Dnx к единственной однопараметрической подгруппе ух: R ->■ G (т. е. ух (s + 0 = = ух (s)yx(0)- Отображение 7e(G)-*G, переводящее X в ух(1), называется «экспоненциальным отображением»; итак ехр(Х) = = Ух(1). Так как ^ / (ух (sO)< = o = s ^ / (ух (O)/ = o = sX, то мы видим, что y^x (О = Yx (si), и exp (sX) = ух (s). Итак, дифференциал exp... отображения exp переводит касательный вектор к кривой
s I—* sX в Dy* = X. Однако это отображение представляет собой каноническое отождествление касательного пространства в точке О вещественного векторного пространства с самим векторным пространством. Итак, при этом отождествлении дифференциал ехр*: Тр (G) -> Те (G) является тождественным отображением. Следовательно, ехр диффеоморфно отображает некоторую окрестность начала координат 0 в Т е (G) в окрестность точки е в G.
Далее, пусть Н — замкнутая (следовательно, являющаяся группой Ли) подгруппа группы G. Тогда Тек.Щ можно отождествить с подпространством пространства Те (Д) касательных векторов к однопараметрическим подгруппам группы G, лежащим в Н. Пусть V — дополнительное подпространство; рассмотрим отображение ф: Te(G) = V xTe^H^G, заданное формулой ф(Х, ¥) = = ехр (X) • ехр (У). Посмотрев на каждый сомножитель, увидим, что дифференциал ф* в начале координат такой же точно, как дифференциал для ехр; т. е. Ф* = 1 на ^(G). Итак, ф является диффеоморфизмом некоторой окрестности начала координат О на окрестность единицы е е G. Если задать в Те(Н) и в V системы координат, то ф будет индуцировать такую систему координат хп ... , хк, yv ... , yh в G с началом е, что левые смежные классы по Н задаются координатными плоскостями xx = cv ... ... , хк = ск (с, —постоянные). Сужая при необходимости область определения этих координат, легко видеть, что подпространство у, =0, ... , У;, = 0 определяет локальное сечение С в е для левых смежных классов по Н (т. е. для канонического отображения л: G-*GlHY Далее, функция, определенная вблизи е на G, является постоянной на левых смежных классах по Н тогда и только тогда, когда она не зависит от координат уР ... , ук- Отсюда следует, что отображение л переводит С диффеоморфно на некоторую окрестность точки еН g G/H, где G]H имеет функциональную структуру, индуцированную отображением л из функциональной структуры на G. Отсюда следует, что G/Н представляет собой гладкое многообразие. Из коммутативности диаграммы
GxG G
Gx^G/H^G/H-Lr
(для всех гладких /) и определения функциональной структуры на G/Н можно вывести, что естественное действие G на G/H является гладким.
Теорема. Если Gx.M^-M — гладкое действие и хе М, то каноническое отображение ах: GiGx-^-M, определяемое как “x(gGx) = g(x), есть вложение.
Доказательство. Так как левые сдвиги пространства G/Gx и операции g: М-^-М, где g s G, являются диффеоморфиз-
мами, то, очевидно, достаточно показать, что дифференциал отображения ax в eGx является мономорфизмом. Если X — касательный вектор в е<Зх к GlGx, то X получается (с помощью дифференциала проекции G-*GlGx^ из касательного вектора Y в точке е группы G. Кроме того, Y представляет собой касательный вектор Y— D^ к некоторой однопараметрической подгруппе у: R-^-G группы G. Если X переходит в 0 е Tv (М), то и D^ переходит в 0. Тогда согласно 1.1 точка х должна быть неподвижной при левом действии группы R, индуцированном гомоморфизмом у: R-^G. Итак, образ у принадлежит Gx, и поэтому у переводится в постоянную кривую посредством проекции л: G-*GjGx. Следовательно, Х = = л* (Dv) = Ол„у = 0, что и требовалось доказать. J
Следствие. Если компактная группа Ли действует гладко на гладком многообразии М, то каждая орбита G (х) является подмногообразием многообразия М и отображение ах; G!GX^>- ->- G (х) является диффеоморфизмом, g
Трубчатые окрестности
Как и в предыдущем параграфе, мы будем считать, что читатель уже знаком с элементарной дифференциальной геометрией и в частности, с понятием риманова многообразия и геодезических линий; или, по крайней мере, что он согласен принять на веру те несколько свойств этих понятий, которые нам понадобятся.
Пусть М — гладкое многообразие. Предположим, что G гладко действует на М. Под (гладким) G-векторным расслоением е на М мы будем понимать такое гладкое векторное расслоение (т. е. расслоение со слоем R” и структурной группой GL (и)) вместе с гладким действием группы G на тотальном пространстве Е (е) с помощью послойных отображений (линейных на слоях), что проекция л: Е(г)-*М эквивариантна. Основным примером, конечно, является касательное расслоение Т (М), на котором G действует посредством дифференциала данного действия на М.
Скалярным, умножением на е называется отображение, которое «гладким образом» ставит в соответствие каждой точке реМ скалярное умножение (положительно определенную симметричную билинейную форму) (■, • )р на слое Ер^ят1^. В терминах карт ф: UxRn — ^(U), скалярное умножение (•, • )р задается положительно определенной симметрической матрицей \atj (р)] для каждой точки peU; т. е.
<ф(Р> (*i^)).Ф(Р. (Уи ••• . Уп))>р = 5хА-./(р)У/.
Ui
Гладкость скалярного умножения означает, что коэффициенты матрицы Uij (р) являются гладкими функциями точки р в U. Ска-
лярное умножение (•, •) на g называется инвариантным (относительно данного G-действия), если
Ш gWg(p) = (». w)p
для всех v, w g Fp и всех р е М.
Легко видеть, что скалярные умножения на g соответствуют гладким редукциям структурной группы GL (м) расслоения g к группе О (и). Нам этот факт не понадобится.
Гладкое G-векторное расслоение е вместе с инвариантным скалярным умножением на g будем называть евклидовым G-расслоением на М.
Теорема. Пусть G — компактная группа Ли, гладко действующая на М, и пусть I —некоторое G-векторнсе расслоение на М. Тогда на g существует инвариантное скалярное умножение.
Доказательство. Сначала покажем, что существует (неинвариантно) скалярное умножение. С этой целью рассмотрим локально конечное покрытие {[/„} многообразия М открытыми множествами, над которыми существуют карты tpa: UaxRn-^- -^л"1)^)- Над каждым Ua мы можем определить скалярное умножение (•, ■)« с помощью карты фа, т. е. задав его единичной матрицей. Тогда, если {/„} — гладкое разбиение единицы, подчиненное покрытию {Ga}, положим (и, w)p = ^^а(р) (v, w^^p для а
и, w е Fp, что, очевидно, определяет скалярное умножение на g. Теперь определим на g новое скалярное умножение, положив
{и, w^p = \(gv, gw^^dg.а
Для h = G имеем
{/iv, hw\h^= Vshy, gh^gMpAdg^ \(gv, gw)g{p}dg = {v, w}p, GG
так что операция {•, •} инвариантна.
Так как подынтегральная функция является гладкой по р и g, то отсюда следует, па основании 0.3.3, что операция {•, •} задает гладкую функцию. Более того, эта функция {•, ■} очевидно, симметрична, билинейна и положительно определена потому, что {v, v}p= ^(gu, gv}g(p')dg>0 для о^О в силу положительности G
подынтегральной функции. |
Римановой метрикой на М называется гладкое скалярное умножение на касательном расслоении Т (М) многообразия М. Итак, мы показали, в частности, что гладкое G-многообразие М имеет инвариантную риманову метрику, если группа G компактна. Говорят, что при такой метрике группа G действует посредством изометрий.
Если ХгТр^М^ где М — риманово многообразие, то существует единственная геодезическая кривая ух: U->M, для которой ух(0) = Р> и касательный вектор DXx в точке р есть X. Здесь открытое множество УсК берется в качестве естественной области определения геодезической кривой. Очевидно, у$х (/) — ух (s/) и экспоненциальное отображение определяется формулой exp (X) = = ух(1)- Это отображение в М определено на некоторой открытой окрестности W сТ(М) нулевого сечения. Кроме того, ехр является гладким отображением.
Заметим, что касательное пространство к Т (Л4) в точке р нулевого сечения (которое мы отождествляем с М) разлагается в прямую сумму Тр (Т (Л4)) = Tv @ Th (пространств вертикальных и горизонтальных векторов), где пространство Т„ состоит из касательных векторов к Тр (Л4) cz Т (М) и, следовательно, канонически изоморфно ТДМ1), a Th состоит из касательных векторов к нулевому сечению М и, следовательно, также канонически изоморфно Тр (М). Ограничение дифференциала отображения ехр на Т,, очевидно, в точности совпадает с отождествлением Т^ с Тр (М), так как ^/(ехр (/Х))< = 0 = ^/(ух (О)< = о = X (/). Кроме того, ехр является тождественным отображением на нулевом сечении и, следовательно, ехр*|ТЛ есть каноническое отождествление Th с Тр^Му Так как дифференциал представляет собой линейное отображение касательного пространства в некоторой точке, то отсюда следует, что в точке р е М с учетом вышеуказанных разложения и отождествлений Тр (Т (УИ)) = T1>^Th = = Тр (УИ) ф Тр (/И), дифференциал ехр*: Тр (М) ф Тр (УИ) -> Тр (М) совпадает с отображением, задающим сложение векторов в векторном пространстве Тр (УИ).
Предположим теперь, что G гладко действует на М и что данная риманова метрика на М G-инвариантна. Тогда, так как геодезические линии и экспоненциальное отображение в терминах римановой метрики определены канонически, то отображение ехр вместе с его естественной областью определения эквивариантно относительно действия группы G на Т (УИ) посредством дифференциала G-действия на М. Вышеизложенные факты, касающиеся экспоненциального отображения — это и есть все, чем мы будем пользоваться в дальнейшем.
Пусть G гладко действует на М, и пусть А cz М — гладкое инвариантное замкнутое подмногообразие. Тогда Т (Л) является подрасслоением ограничения Т (УИ)1 А. Фактор-расслоение N (Л)= =(Т (М) | А)/Т (Л) называется расслоением, нормальным к А в УИ и, очевидно, является гладким векторным G-расслоением над А. Если М — риманово многообразие и G действует посредством изометрий, то Т(Л) имеет ортогональное дополнение Т (Л)т в Т (УИ); А, и 7'(^)L канонически изоморфно N (Л) и представляет
собой евклидово G-расслоение на Л. Под открытой инвариантной трубчатой окрестностью подмногообразия Л в М мы будем подразумевать гладкое G-векторное расслоение g над А и эквивариантный диффеоморфизм ф: Е(^-^-М на некоторую открытую окрестность подмногообразия А в М, такой, что ограничение ф на нулевое сечение А расслоения § совпадает с включением А в М. Если £ —евклидово G-расслоение над А, то ограничение такого диффеоморфизма ф на расслоение D^-^M, слоем которого является единичный диск, называется замкнутой инвариантной трубчатой окрестностью подмногообразия А. Согласно 2.1, любая открытая инвариантная трубчатая окрестность «содержит» замкнутую инвариантную трубчатую окрестность, если G —компактная группа.
Теорема. Если компактная группа Ли G гладко действует на М и если А — замкнутое инвариантное подмногообразие, то А имеет в М открытую инвариантную трубчатую окрестность.
Доказательство. Мы можем предположить, что G действует посредством изометрий относительно некоторой римановой метрики на М. Итак, мы можем рассматривать нормальное расслоение N (Л) как ортогональное дополнение к Т (Л) в Т^Му^А. Тогда экспоненциальное отображение определяется на некоторой открытой инвариантной окрестности U множества Л в N (Л) и это отображение exp: U-^-М эквивариантно. Для аеЛ дифференциал
ехр*: Та (М (Л)) = Na (Л) ф Та (Л) = Та (М) -> Та (М)
есть тождественное отображение. Итак, существует меньшая инвариантная открытая окрестность V множества А в N (Л), на которой ехр* представляет собой изоморфизм на касательном пространстве в каждой точке окрестности V. Это означает, что ехр: У-*М есть иммерсия. Так как А замкнуто, то очевидно, что окрестность может быть взята настолько малой, что ехр’ Ч Л)— А. Так как на А отображение ехр тождественное, то из леммы 2.3 (которая будет доказана позже) следует, что существует еще меньшая инвариантная окрестность W множества А в N (Л), на которой ехр представляет собой вложение. Определим функцию /: Л->К, положив f (а) равным верхней грани множества тех действительных чисел, для которых открытый шар радиуса г, лежащий в N (А), лежит в W. Тогда f(ga') = f(a) для всех аеЛ и geG и / является полунепрерывной снизу положительной функцией на А. По теореме Даукера (см. Дугунджи [1], с. 170) существует такая непрерывная функция h на А, что 0<ЛУА<_ <_f(a\ Согласно теореме о гладкой аппроксимации, мы можем считать, что h — гладкая функция. Используя нормированный интеграл на G, определим гладкую функцию к; Л->-В следующим
образом:образом:
образом:
образом:
А(а)= ^h^dg.о
Тогда 0<^(а)< \ Hga) dg = f (a) \dg = f(a)) и h (go) = к (а) для аа
всех g е G.
Далее, определим гр: N (Л) -*N (Л) формулой
гр (у) =гр (у) =к (л (у)) у(1 + <V, V))1/2’
гр (у) =
гр (у) =
где л —проекция N^-^A. Тогда гр —эквивариантный диффеоморфизм на свой образ, который является открытым множеством
\ргП (Л)ЦМ<&(л (у))}.
Итак, ф = ехр=гр: N^-^-M представляет собой открытую инвариантную трубчатую окрестность подмногообразия А. |
Как было указано, мы еще должны доказать следующую лемму.
Лемма. Пусть X и Y — метрические пространства, и пусть f: X-* Y — локальный гомеоморфизм (т. е. каждая точка х е X имеет открытую окрестность, которая гомее морфно отображается на открытое множество в У). Предположим, что f взаимно однозначно на подпространстве АсХи что МЦА) = А. Тогда А имеет открытую окрестность U, на которой f представляет собой гомеоморфизм на f (U).
Доказательство. Положим B = f(A)c:Y. Мы можем, не нарушая общности, предположить, что f — сюръективное отображение. Тогда для каждой точки у g Y существует точка х е X такая, что Цх) = уи1 гомеоморфно отображает некоторую окрестность точки у в окрестность точки х, так что вблизи каждой точки у можно определить отображение, обратное к /. Так как пространство Y паракомпактно, то мы можем найти локально конечное покрытие {V/a} пространства Y и такие открытые отображения ga: Ua-^-X, что отображения fga являются тождественными на каждом Ua. Пусть {Уа}—такое покрытие пространства Y, что Va cl Ua. Пусть W — множество таких точек у eY, что если г/еУаПУр, то g-x^=g^^jY Тогда отображения &|УаП^ склеиваются и вместе определяют такое отображение g: W -+Х, что fg=lw Так как Д1 (В) = Л и отображение f\A взаимно однозначно, то W g В.
Мы утверждаем, что множество W открыто. Чтобы увидеть это, возьмем у е W и положим g (у) = х, так что / (х) = у. Пусть N — открытая окрестность точки х, на которой отображение / взаимно однозначно. Предположим, что у г Fa, П • • • П У«6, но что у^Ур для Р=Даь ..., а*. Тогда существует открытая окрест-
ность М точки у, не пересекающаяся ни с одним таким множеством Ур. Более того, так как ga\y>) = x, то мы можем взять окрестность М настолько малой, что ga. (М) с: N. Далее, если г г М и если ga. ^ ^=gaj (г), то, так как / взаимно однозначно на N, имеем z = /ga. (г)#=/£а.(г) = г; тем самым мы пришли к противоречию. Итак, MaW и w открыто, что и требовалось доказать.
Далее, отображение g открыто, так как g = grL на каждом открытом множешве VaQIV, и потому g (IV) — открытое множество, содержащее А. Кроме того, отображение f взаимно однозначно на gQ^Y потому что fg=lw Так как отображение / открыто, то оно представляет собой гомеоморфизм из g(W^ на W, и отображение, обратное ему, есть g. g
Следствие. Гладкое действие компактной группы Ли локально гладко.
Доказательство. Пусть G действует на G/H посредством левых сдвигов, и пусть g — (гладкое) евклидово G-расслоение над GjH. Пусть V —слой над точкой eHiH; заметим, что Н действует на V ортогонально. Каноническое отображение ф: GxnV Е (^, определенное как ф^, v] = g(v), представляет собой согласно И.4.4 эквивалентность G-пространств. Итак, если GX = H и ф: £ (£)->-Л4 —инвариантная трубчатая окрестность орбиты G (х) (существующая согласно 1.3, 2.1 и 2.2 для некоторого такого £), то ф-ф есть линейная трубка вокруг G (х) в смысле § 1 гл. IV. g
Для удобства будущих ссылок напомним, что GxnV есть расслоение над GjH, ассоциированное с гладким главным /7-расслоением G-^G/H, и так как Н действует на V гладко, то существует каноническая гладкая структура на GxHV. Так как отображение ф: GxHV -*Е (5) накрывает тождественное отображение пространства GjH и является диффеоморфизмом на слое V, то оно, очевидно, является диффеоморфизмом. Итак, трубка ф - ф: G х nV М есть диффеоморфизм на открытую окрестность данной орбиты G (х). Ниже мы используем этот факт. Заметим, что тем самым мы показали, что локально гладкое G-пространство (G — компактная группа Ли) есть в точности такое G-пространство, каждая орбита которого имеет открытую инвариантную окрестность, обладающую такой О^-структурой, в которой G действует гладко. Это согласуется с термином «локально гладко» (хотя «локально сглаживаемо» было бы точнее). Результаты типа IV. 1.1 о том, что ограничение локально гладкого действия на подгруппу остается локально гладким, теперь тривиально следуют из этих замечаний и 2.4. Определенно неверно, что локально гладкие действия являются (глобально) гладкими в некоторой дифференциальной структуре. Действительно, существуют топологические многообразия, допускающие локально гладкие действия, но не допускающие никакой дифференцируемой структуры. Существуют
также гладкие многообразия, не допускающие никаких гладких З^действий, хотя соответствующие им топологические многообразия допускают локально гладкие S’-действия (см. 9.6).
Заметим, что если peMG, то, применив 2.1 и 2.2 к А= {р}, получим доказательство существования таких локальных координат с центром в точке р, в которых действие группы G задается ортогональным представлением. Этот результат впервые был получен Бохнером [ 1 ].
Из того, что трубка ф-ф в доказательстве 2.4 есть диффеоморфизм, и того, что (GxHV)(m^(G/.ff)x VH, мы получаем следующий результат (см. IV.3.3).
Следствие. Пусть G —компактная группа Ли, гладко действующая на М. Тогда подпространство М^, состоящее из точек орбит типа G/H, есть гладкое подмногообразие (локально замкнутое) многообразия М и представляет собой гладкое GlH-расслоение над пространством своих орбит М*нр 8
Теперь перейдем к вопросу о единственности инвариантных трубчатых окрестностей. Две инвариантные трубчатые окрестности q>: Е (У -*■ М и ф: Е (г]) -*■ М замкнутого инвариантного подмногообразия А cz М называются эквивариантно изотопными, если существуют инвариантные трубчатые окрестности ф^: Е^^-М подмногообразия А, / е [О, I], и эквивалентность гладких векторных расслоений 6: Е (^)-э-Д(т]), такая, что Ф1 = Ф, ф0 = ф-8 и отображение [0, 1] х Е (g) М вида (/, и) и-* ф, (и) гладко. На основании стандартных утверждений, которые мы опустим, можно предположить, что ф/ не зависит от t для всех t, находящихся вблизи 0, соответственно для всех t вблизи 1; отсюда легко вывести, что изотопия представляет собой отношение эквивалентности между инвариантными трубчатыми окрестностями подмногообразия А. (Определение изотопии замкнутых инвариантных трубчатых окрестностей то же самое, за исключением, конечно, дополнительного требования, чтобы 6 было эквивалентностью О (п)-расслоений.) Заметим, что необходима О-эквивариантность отображения 6.
Теорема. Если G — компактная группа Ли, действующая гладко на М, и если А cz М — замкнутое инвариантное подмногообразие, то любые две (открытые или замкнутые) инвариантные трубчатые окрестности многообразияА эквивариантно изотопны.
Доказательство. Заметим, что, как следует из доказательства 2.2, существует инвариантная трубчатая окрестность многообразия А, образ которой содержится и в образе ф, и в образе ф. Так как изотопия является отношением эквивалентности, то достаточно ограничиться случаем, когда образ ф содержится в образе ф. (В частности, определено ф-^: Е ® -> Е (г]).) Тогда формула
ФДп) = ф^уф *ф(/у)]
имеет смысл ’). Нам необходимо изучить отображение ф,(-), когда t приближается к 0.
Пусть ре,4 и пусть хг, ..., хт — локальные координаты в открытой окрестности UcA точки р. Пусть ух, . ., уп — координаты в R" (слое расслоений § и р). Используя карту для т], мы можем считать, что Е (р ' U) = U х R". Тогда хъ ..., хт, Ух, ..., уп можно рассматривать как локальные координаты на М с центром в р, используя ф: (7x|R"->Al в качестве карты (таким образом, ф в этих координатах является тождественным отображением). Используя карту Е (| \U) ^U X R” для g, мы можем представить ф в окрестности точки рЕ Л с£(с) следующим образом: ф(х, z/) = (X(x, z/), р (х, z/)), где Х(х, ^^(^(х, у), ... • •■, ^т(х, у^Е$т, ц(х, z/) —(|иДх, у), ..., ц„(х, У))ЕУ". Так как ф(х, 0) = (х, 0), то Х(х, 0)=х и р(х, 0) = 0.
Итак,
ФНх, у) = ф(у ф-‘ф(х, ty^ = ^X(x, ty), ур(х, ty^
(это равенство определено для достаточно малых /^=0). Далее, функция Z(x, /у) коррек1но определена и является гладкой относительно х, у, t даже для / = 0. Так как р (х, 0) = 0, то по теореме Тейлора мы можем записать
^ (X, У) = 2 ^./ W У/ + S toM. к (*- /7) У/Уьii. к
0). Итак, (х, ty') IJjlJk,0). Итак, (х, ty') IJjlJk,где toi.j.h — гладкие функции и су,у (х) = (друду^ (х, определена функция у pz (х, ty^— У a/,/ (x^-A-t У
0). Итак, (х, ty') IJjlJk,
0). Итак, (х, ty') IJjlJk,
iк
гладкая относительно х, у, t даже для / = 0. 1олее того ф0(х,//) = = (х, ДДу)), где Е/. R"->R" — линейное отображение, заданное матрицей [а/,/ (х)]. Далее, Lx есть в точности дифференциал отображения у у-*р(х, у) в точке у = 0, которая является неособой, так как дифференциал отображения ф в точке (х, 0) задается неособой матрицей
° I.
' I * £.гГ
Итак, 0 = ф-1фо: Е (с.)-^ Е (г)) представляет собой эквивалентность векторных расслоений, заданную в этих координатах формулой 6 (х, у)~(х, Lx(y)) (так как отображение ф в использованных координатах является тождественным).
Это рассуждение завершает доказательство для случая открытых трубчатых окрестностей. Чтобы перейти к случаю замкнутых трубчатых окрестностей (где е и р являются теперь евклидовыми
’) В этой формуле операция умножения иа число 1 jt определяется послойно.— Прим. ред.
G-расслоениями), достаточно показать, что эквивалентность эквивариантных GL (н)-расслоений 6: Е (У -*■ Е (т]) эквивариантно изотопна эквивалентности О (н)-расслоений. На самом деле изотопия будет канонической и будет проходить через GL(п)-эквивалентности.
Напомним некоторые факты из линейной алгебры. Каждой положительно определенной симметрической вещественной матрице Q можно единственным образом сопоставить такую положительно определенную симметрическую матрицу Р, что Р2 = 0, т. е. P = QX№. (Пусть Т — ортогональное преобразование базиса, приводящее Q к диагональному виду, т. е. TQT' = diag(X1, ..., Хпу где Xz>0. Тогда матрица P = QV^ однозначно определяется тем, что ТРТ = diag(]/X1, ..., VX,).). Более того, отображение Q,—► ।—>QX/2 — гладкое относительно матричных коэффициентов. Очевидно также, что если Рг и Р2 — положительно определенные симметрические матрицы, то такова же будет их любая выпуклая линейная комбинация tP^-pCX —t) Рг, 0^/^1. Далее, для произвольной неособой матрицы В образуем положительно определенную симметрическую матрицу В'В. Положим P = (B'Byi2 и 0=ВР~1. Тогда 00' = ВР-^В' = B(PVB' = 5(5'5) ХВ' = 55-1 X хВ'^В' = I, так что О —ортогональная матрица. Очевидно, матрицы Р и О гладко зависят от В. Разложение В = ОР, где О —ортогональная, а Р — положительно определенная симметрическая матрица, единственно, так как для любого такого разложения имеем В’В — (ОРУ (ОР) = Р'О'ОР = РО'ОР = Р2, и, следовательно, Р = (В'ВУ/2. В частности, разложение В = ОР естественно относительно ортогональной замены базиса. Так как Е й г] являются О (п)-расслоениями, то 9: E($)-^-E(vy может быть единственным образом представлено в виде
9: £©-^5©-6"£(т]),
где отображение 9' на каждом слое задается положительно определенной симметрической матрицей, а 9" — ортогональная эквивалентность. Кроме того, 9' и 6" —гладкие (так как О и Р гладко зависят от 6е5) и G-эквивариантные отображения (так как разложение В = ОР сохраняется при ортогональных преобразованиях). Итак, если положить 6/— 66' - (^6'+ (1 — Й /), то получим искомую изотопию между 6 и ортогональной эквивалентностью 6". В
Замечание. Наше рассуждение о существовании и единственности трубчатых окрестностей по существу совпадает с рассуждениями Милнора [3]; также см. Ленг [1]. Из теоремы Тома (см. Милнор [3]) следует, что если многообразие А компактно, то данную замкнутую трубчатую окрестность многообразия А можно перевести в любую другую замкнутую трубчатую окрестность при помощи объемлющей изотопии I х М-ХМ,
которая постоянна по / вис некоторой компактной окрестности многообразия А. Нетрудно доказать существование эквивариантной модификации этого результата, но мы опустим это доказательство по двум причинам: во-первых, оно аналогично доказательству теоремы, которая будет доказана в следующем параграфе; а, во-вторых, эквивариантный результат получается из неэквивариантного посредством применения следующего параграфа.
Интегрирование изотопий
Пусть М — гладкое многообразие. Изотопия многообразия М представляет собой такое гладкое отображение ф: I х М->М, что каждое ф,: М-*М — диффеоморфизм, где ф/(х) = ф(/, х) и Ф/ не зависит от t в некоторой окрестности 0 и в некоторой окрестности 1. (Без ограничения общности можно предположить, что фо— тождественное отображение.) Если группа G гладко действует на многообразии М, то множество фс = {х е М | ф/ (gx) = = £Ф/(х) для всех lei и всех geGj является замкнутым инвариантным подпространством многообразия М и называется подпространством эквивариантности изотопии ф. Если ф°=М, то изотопия ф называется «эквивариантной». Следующий результат позволяет заменить изотопии некоторого типа эквивариантными изотопиями.
Теорема. Пусть ф — изотопия многообразия М, и пусть G —компактная группа Ли, действующая гладко на М. Предположим, что ф0: М-^М эквивариантно и что М — фс имеет в М компактное замыкание. Тогда существует эквивариантная изотопия ф многообразия М, совпадающая с ф на I х ф° и такая, что ф0 = ф0.
Доказательство. Рассматривая композицию изотопии ф с Ф7!, мы можем считать, что ф0 — тождественное отображение. Так как ф — одно и то же для t, находящихся вблизи 0, а также вблизи 1, оно очевидным образом может быть продолжено до гладкого отображения ф: RxM->M (так несколько удобнее). Пусть F; R х Al-*-P X М — диффеоморфизм, определенный формулой F (t, x) = (t, ф(<, х)). Применяя дифференциал F* отображения F к векторному полю d/dt на RxM, мы получим векторное поле X^P^d/dt) на RxM. R-компонента поля X есть, очевидно, d/dt. Интегральные кривые поля X представляют собой образы относительно F интегральных кривых поля d/dt, т. е. кривые t*—*tt, ^/t, х)).
- Используя нормированный интеграл на О, определим на RxM новое векторное поле У посредством формулы
У(А х) = \g* (^(Л g 'ix1dgа
(это интеграл векторнозначногр отображения из G в Ту, х> (RxM)). Тогда
^<л hx)= \' 5* (Ху, g-i kx))dg = ^ (kg)* (Ху, g-ix^dg = h* (Yy, х^, G G
откуда следует, что поле У инвариантно относительно канонического G-действия на T(RxWl). Так как R-компонента поля X постоянна и равна d/dt и так как действие группы G на Т (RxAl) сохраняет эту компоненту, то R-компонента поля Y также совпадает с d/dt.
Предположим, что хЕ(р6. Тогда F(t, х) = gF (t, g~\x) для всех/, поэтому X у. X)—g* (Ху, g-iX)), и следовательно, Yу, Х)^ — Ху, ху
Далее, интегральные кривые векторного поля Y локально существуют в силу теоремы существования для обыкновенных дифференциальных уравнений (см. например, Сте р н бе р г [1], с. 102). Так как Y имеет R-компоненту d/dt и, следовательно, не имеет особенностей, то каждая интегральная кривая в конце концов оказывается вне компактного множества I X (М — int (ф°)). Так как вне этого компактного множества Y = X, то интегральные кривые векторного поля У определены глобально. Это значит, что существует такое гладкое действие 0: Rx(RxAl)-> ->-(RxM) группы R на RxM, что векторное поле, касательное к орбитам (возникающее из поля d/dt на группе) есть Y. Так как R-компонента поля У есть d/dt, то диффеоморфизм (/, х) i—* и-*©(^, (0, х)) имеет вид ©(/, (0, х)) = (^, ф(/, х)), и отображение ф,: хн*ф(/, х) должно быть диффеоморфизмом пространства М. Далее, Ь—► ©(/, (0, х)) = (/, ф/(х)) есть интегральная кривая поля У с началом в (0, х) и t * F (t, х) = (I, ф; (х))— интегральная кривая поля X с началом в точке (0, ф0(х)) = = (0, х). Отсюда следует, что при х е ф° имеем фДх) = фДх) для всех t. Так как поле У G-инвариантно, то отсюда следует, что ф — эквивариантная изотопия. J
Проиллюстрируем полезность теоремы 3.1, применив ее для доказательства следующего факта.
Следствие. Пусть G — компактная группа Ли, гладко действующая на М, и пусть х и у —точки, принадлежащие одной и той же компоненте множества X\G неподвижных точек. Тогда существует эквивариантная изотопия ф: 1 х М -> М, где ф0 — тождественное отображение и ф, (х) = у. Более того, изотопию ф можно выбрать постоянной по t вне некоторого компактного множества.
Доказательство. Мы предполагаем известным тот стандартный факт, что существует такая (неэквивариантная) изотопия Ф, которая является постоянной (следовательно, эквивариантной) вне некоторого компактного множества и которая перемещает х
вдоль некоторого пути в М° в точку у. Так как М—ф° имеет тогда компактное замыкание и так как х e<pG (путь <р# (х) принадлежит М°), то результат следует из 3.1. |
Замечание. Напомним тот факт (упомянутый в § 2), что две замкнутые трубчатые окрестности точки у взаимно изотопны, посредством объемлющей изотопии, постоянной вне компактного множества. Тогда применение теоремы 3.1 показывает, что верен и эквивариантный аналог этого предложения. Итак, мы вывели из 3.2, что фх можно считать отображающим данную окрестность- диск точки х ортогонально на любую данную окрестность-диск точки у (где предполагается, что G действует ортогонально на обоих этих дисках).
Эквивариантные гладкие вложения и аппроксимации
В этом параграфе мы докажем теорему, полученную независимо Мостовым [1] и Пале [2] и утверждающую, что компактное многообразие с гладким действием компактной группы Ли G может быть гладко вложено в пространство ортогонального представления группы G. Более сильные результаты, аналогичные теореме вложения Уитни, были получены Вассерманом [2], причем условие компактности было ослаблено до условия конечности числа орбитных типов, но мы не будем здесь обсуждать эти достижения. Теорема вложения применяется для того, чтобы показать, что эквивариантное отображение может быть аппроксимировано эквивариантно гомотопным ему гладким отображением; см. Б редон [12] и Вассерман [2].
Главным случаем следующей теоремы является, конечно, тот случай, когда М = К = N — компактное многообразие.
Теорема. Пусть G — компактная группа Ли, гладко действующая на многообразия М. Пусть, далее, К — компактное инвариантное подпространство многообразия М и N zd К — открытая инвариантная окрестность К. Тогда существуют такое ортогональное действие группы G на некотором евклидовом пространстве R" и такое гладкое эквивариантное отображение 8: Л4->}Д, которое является вложением (в гладком смысле) на К и нулем вне N.
Доказательство. Пусть Н — замкнутая подгруппа группы G. Согласно 0.5.2 существуют такое ортогональное представление группы G на некотором евклидовом пространстве Уо и такая точка ий е Го, что GVa — H. Предположим, что нам дано ортогональное представление группы G на некотором евклидовом пространстве V' zd V. Согласно 0.4.2 существует ортогональное представление группы G на некотором пространстве W = Уо ф V', продолжающее Д-действие на V. Тогда G действует ортогонально на W = Го Ф V' посредством суммы этих двух представлений.
Рассмотрим отображение ф: G х н V -*• Уо © V* = W, определенное равенством ф^, y] = g0 (уо + у)- Если ф^, y] = ф[g', у'], то g(y0 + y)=g< (у0 + у'), так что g^g' (у0) = у0 и g^g' (у') = у. Итак, /г ^g ’g'ее Я и /1(у') = у, поэтому [g, u] = [g/i, ©’у] —|g', у'], и потому ф есть взаимно однозначное соответствие. Так как G х н V имеет дифференцируемую структуру, индуцированную дифференцируемой структурой многообразия GxV, и так как отображение, задающее действие GxV -*W, гладкое, то отсюда следует, что ф — гладкое отображение.
Стационарная подгруппа точки [е, и] есть Д^, и она же является стационарной подгруппой точки t’0-|-y ^W. Итак, ф диффеомор- фно отображает орбиту точки [е, и] на 6(и04-и) (согласно 1.3). Дифференциал отображения ф в силу этого взаимно однозначен на касательном пространстве к орбите в точке [е, и]. Однако нормальное пространство к орбите точки [е, и] является подпространством пространства V, и ф отображает его взаимно однозначно и аффинно в W, тогда как ф* взаимно однозначно на всем касательном пространстве к G х н V в [е, и]. Согласно эквивариантности дифференциал ф* взаимно однозначен всюду, поэтому ф — взаимно однозначное погружение. Так как ф, очевидно, собственное отображение, то оно является вложением (важно только то, чтобы ф было вложением вблизи нулевого сечения G/H).
Пусть s>r>0, и пусть /: R-»-R — такая гладкая функция, что
/ (() = 1 для t ^ г, /(0 ¥= 0 для t <s, /(0 = 0 для t^s.
Определим ф: G х н V W формулой
Ф^. у] = /(1 yiO-'p'g, у]-
Тогда отображение ф эквивариантно, является вложением для || и <г и нулевым отображением для н и || ^s.
Далее, если хеМ и Gx = H, то G(x) имеет инвариантную трубчатую окрестность вида GxhV. Так как ф[g, и] = 0 для || и || 5=s, то ф можно продолжить нулем на все оставшиеся точки из М. Аналогично, отображение G XhV-*R, заданное формулой [g, у]1—*/(J у ©/г), продолжается до эквивариантного отображения т: (W->R, которое является ненулевым в точности тогда, когда :| и J < г (где G действует на R тривиально.)
Иными словами, для любой точки х е М мы нашли такое ортогональное представление группы G на евклидовом пространстве Wx, такое гладкое эквивариантное отображение фх: М -*• Wx, являющееся вложением на некоторой открытой окрестности U, множества G(x), и такую гладкую эквивариантную
функцию тх: M->R, что тх отлична от нуля в точности на Ux. Более того, мы можем предположить, что ф^ (у') = 0 для точек у, находящихся вне любой заранее заданной окрестности множества U х.
Если КсМ- любое компактное инвариантное множество, то К может быть покрыто конечным числом таких открытых множеств, т. е. К с: UX} U ... \jUXk, и можно считать, что каждое отображение ф.^ обращается в нуль вне данной окрестности N множества К. Отображение 6: М ->■ W4 ®.. .© W^SR* вида
8 (х) = (ф^ (х),... , фх. (х), тХ1 (х),... , тл.„ (х))
является гладким и эквивариантным. Если х, у е U Uxv и если 8(х) = 8(у), то для некоторого i имеем т^ (х) = TVj (у) ^ 0, а это означает, что х, y<=UXi и, следовательно, что х = у, так как фХ1 взаимно однозначно на Ux.. Так как дифференциал отображения фх. взаимно однозначен на Uxv то отсюда следует, что эквивариантное гладкое отображение 0 является вложением на окрестности множества К и обращается в 0 вне N. g
Для дальнейшего наиболее важным приложением теоремы о гладком вложении является теорема о гладкой аппроксимации. Когда мы говорим, что отображение ф: M-^N может быть «аппроксимировано» отображением ф: M->N (с некоторыми свойствами), мы подразумеваем, что для данной метрики на N и для данной положительной функции е: M->R+ отображение ф таково, что dist (ф(х), ф(х))<8(х) для всех хеМ. Это понятие не зависит от специального выбора метрики на N.
Теорема. Пусть G —компактная группа Ли, гладко действующая на многообразиях М и N, и пусть ср: M-»-N — эквивариантное (непрерывное) отображение. Тогда ср может быть аппроксимировано гладким эквивариантным отображением ф: М -> N, которое эквивариантно гомотопно отображению ф посредством гомотопии, аппроксимирующей постоянную гомотопию. Более того, если ф уже гладкое на замкнутом инвариантном множестве А с: М, то отображение ф может быть выбрано так, что оно на А совпадает с ф и гомотопия между ф и ф там постоянна.
Доказательство. Идея доказательства состоит в том, чтобы гладко вложить N в ортогональное представление на R”, аппроксимировать ф отображением ври усреднить эту аппроксимацию по группе для того, чтобы получить эквивариантную аппроксимацию в R", а затем уже применить проекцию нормальной трубки к Nep. Для большинства целей (например, если /И или N компактны) этого рассуждения достаточно для доказательства, но в общем случае мы должны преодолеть некоторые тех-
нические трудности, так как N, вообще говоря, нельзя вложить в представление.
Пусть К — компактное инвариантное множество в М, и пусть V zd ф (К) — такое открытое инвариантное множество в N, что V компактно. Пусть 6: ^-►Rre — эквивариантное гладкое отображение, которое является вложением на окрестности множества V. Пусть U — такая открытая инвариантная окрестность множества К, что U компактно и U с: ф" (V). Аппроксимируем отображение 8ф: М-*-^п таким отображением X: М-^К", что:
X гладкое на окрестности множества К,
Х = 8ф на (^M-U^A.
Напомним конструкцию такой аппроксимации (см. Милнор [2]). Пусть Vx — такая окрестность точки xs М и Хх: Vx->R" —такое отображение, что:
Если х е А П U, то VxaU и Хх — гладкое локальное продолжение отображения Оф | A Q V х (которое существует по определению для достаточно малых Vxy
Если х<= М — U, то V х = М —К и Х^ = 8ф | Vx.
Если xeU-A, то V,cU- А и Хх (у) = 8ф (х) (т. е. Хх — постоянная функция на Vx\
Пусть {/а} — гладкое разбиение единицы, подчиненное некоторому локально конечному покрытию, вписанному в покрытие {Е^}; обозначим через а н-* х (а) отображение вписывания.
Положим X (у) = 2/а(у) X^ta) (у). Это отображение, очевидно, удовлетворяет нашим требованиям, и степень аппроксимации отображением X отображения 8ф может быть сделана настолько точной, насколько мы' пожелаем, если взять окрестности Vx достаточно малыми для точек xeU.
Теперь определим р: Л1->-К” равенством
р (х) = ^ gX (g-ix) dg.
с
Тогда р ^гх) = $ gX (g-^hx) dg = $ yig) X (g^x) dg = /ip (x), так что p — эквивариантное отображение. Далее, для точек у, пробегающих все G^x), имеем ||р (х) - 8ф (х) П = ■] $ (gX (g^x)-£(8ф) (g~4)^ «С max ||Х (у) — (8ф) (у) ||г), так что р аппроксимирует 8ф настолько точно, насколько мы пожелаем. Более того, р — гладкое отображение па некоторой окрестности множества К и равно 8ф на ^M-U^A.
Далее, так как 6 — вложение на некоторой окрестности множества V , то отсюда следует (как в доказательстве 2.2), что
существует инвариантная трубчатая окрестность множества 8 (V) в R”. Кроме того, р, можно предположить настолько точной аппроксимацией отображения 8ф, что для х е qr1 (V) каждый отрезок между ц (х) и 8ф (х) лежит в этой трубчатой окрестности (напомним, что р (х) = 8ф (х) для х е М — U). Пусть г —(гладкая инвариантная) ретракция этой трубчатой окрестности на 8 (V). Тогда отображение tp M-4R”, заданное формулами
( гр(х) для хеф-ЧУ), 11 (Х) =* {
[ р. (х) = 8ф (х) для х е М — и, является аппроксимацией отображения 8ф, и отображения т]/: Л1-»-К", заданные формулами
( Г (fyl(x) + (l -Ч)бф(х)) ДЛЯ ХЕф-^У),
^ Х ( р. (х) = 8ф (х)для х е М — U,
определяют гомотопию между т] = т]1 и 8ф = т]0. Так как т]/ = 8ф вне U, то мы можем единственным образом вернуть тр назад, превратив его в ф/. M-^N, так что 8ф/ = т^ и ф^ = ф вне U. Полагая ф = ф1, заметим, что
ф гладкое на окрестности множества К
ф = ф на (Af —t/)(jA
Кроме того, ф, очевидно, эквивариантно, и с его помощью можно аппроксимировать ф настолько точно, насколько это будет необходимо (аналогично, готопия ф/ аппроксимирует постоянную гомотопию)..
Чтобы завершить доказательство, выберем инвариантную непрерывную функцию f: Л4->К+, являющуюся бесконечной в бесконечно удаленной точке(например, возьмем метрику на одноточечной компактификации (Af/G)+ и положим /(х) = 1/dist (х*, оо)). Пусть Ki = f-1 ([2i, 2i + 1])h L, = f-1 ([2i — 1, 2t]) — компактные инвариантные множества, заполняющие Л4. Положим K=\jKi и L = U Ц. Очевидно, мы можем одновременно аппроксимировать Ф на каждом из попарно непересекающихся компактных множеств Ki и получить такую аппроксимацию (и гомотопию) ф' отображения ф, которая гладка в некоторой окрестности множества К и которая на А совпадает с ф. Аналогично, можно аппроксимировать ф' таким отображением ф": M-*N, которое гладко на некоторой окрестности множества L и совпадает с ф' на гладком замкнутом инвариантном множестве А\ЗК- Так как ф" = ф' на К, то ф" гладко всюду и совпадает с ф на Л. |
4.3. Следствие. Пусть G, М, N такие же, как и в 4.2. Тогда любое эквивариантное отображение M-*N эквивариантно гомотопно гладкому эквивариантному отображению. Кроме того, если два гладких эквивариантных отображения M-*N эквивари-
антно гомотопны, то между ними имеется и гладкая эквивариантная гомотопия.
Доказательство. Первое утверждение вытекает из 4.2. Для доказательства второго утверждения заметим, что данную гомотопию можно считать постоянной (по 0 вблизи концов отрезка и, следовательно, можно продолжить до отображения ’RxM-^-N. Вторая часть следует теперь из теоремы 4.2, если в последней положить 4 = {0,1}хЛ4. |
5. Функциональные структуры на некоторых пространствах орбит
В следующем параграфе мы докажем гладкий аналог теоремы § 6 гл. V о действиях с двумя орбитными типами. Наш вариант этой теоремы отличается от варианта Е н и х а [1 ] и является более сильным — этот параграф содержит некоторые нужные для дальнейшего вычислительные леммы.
Сначала проиллюстрируем трудности в доказательстве гладкого аналога теоремы V.6.1, рассмотрев простой случай инволюции х>—■* — х на R; см. также Е н и х [ 1 ]. Обозначим это действие через в. В этом примере R+ = [0, оо)есть сечение этого действия, и оно может быть отождествлено с пространством орбит. Ених выбрал на орбитном пространстве дифференцируемую структуру, заданную этим отождествлением. Итак, проекцию на пространство орбит R->R+можно рассматривать как отображение xi—> |х|. Пусть, например, f: R+->R+ — диффеоморфизм/ (х) = х + х2. Теорема о классификации, которой мы интересуемся, есть классификация действий над R+, т. е. каждый из классифицируемых объектов представляет собой действие вместе с диффеоморфизмом пространства орбит на пространство R+, и они будут классифицированы с точностью до эквивариантного диффеоморфизма, коммутирующего с отображениями в R+. Итак, (0, 1) и (0, /) —такие объекты. Мы утверждаем, что они не эквивалентны, т. е. что не существует эквивариантного диффеоморфизма f: R->R, который накрывает /: R+->R+. Действительно, очевидно, что f должно иметь вид хн-*х(1 + |х|) или хн-* —х(1 + |х|), но ни одно из этих отображений не принадлежит С”. С другой стороны, мы действительно не хотим различать (0, 1)и(0, /). Чтобы обойти эту техническую трудность, Ених дает классификацию только с точностью до тех диффеоморфизмов модели (здесь R+) пространства орбит, которые сильно изотопны тождественному отображению. (Сильная изотопия—это изотопия, оставляющая неподвижным край). С нашей точки зрения, однако, мы привели этот пример для иллюстрации того, что орбитное пространство имело неправильную дифференцируемую структуру. Вместо того, чтобы использовать сечения для определения структуры, мы используем естественно опреде-
ленную структуру, индуцированную орбитным отображением из структуры на многообразии. В вышеупомянутом примере, мы утверждаем, что эта структура будет получена, если рассматривать xf—»x2eR+ как орбитное отображение и утверждаем, что это исправит аномалию. Это требует подтверждения, которое мы теперь проведем в общем случае.
В этом параграфе мы считаем, что G — замкнутая подгруппа группы О (и), транзитивно действующая на S”"1. Пусть (Хц..., хп, уо..., Ут) —координаты в Кл+т. Будем считать, что G действует посредством включения G а О (п) на координатах xv ... хп и тривиально на координатах уп ..., ут. Пусть л: Rre+m R”+m/G — орбитное отображение: оно задает на R”+m/G индуцированную функциональную структуру (т. е. / — гладкая функция на R"+m/G тогда и только тогда, когда /-л — гладкая функция). Пусть
R«+™->R+xRm
— отображение вида 8 (хъ ..., хп, yv ..., ym) = (r2, yv ..., ут), где гг = х\Д-...-^Хп. Очевидно, существует единственное отображение Ф такое, что диаграмма
коммутативна. Более того, ф — гомеоморфизм и морфизм функциональных структур. Докажем, что ф — диффеоморфизм (и, следовательно, что R"+®/G — гладкое многообразие с краем); см. следствие 5.4.
Предположим, что/: R+xRm->R — некоторая данная функция, и пусть h: Rm+1 = R х Rm -э-R определено следующим образом: h. (х, yv, ..., Ут)=/(я2, Ун •••> Ут)- Заметим, что, кроме того /i(x, yv ... ..., Ут) = (/В) (я, 0, ..., О, уи ..., ут).Очевидно, что имеют место следующие импликации
/ ее С” (R+ х Rm) => (/8) е С” (R”+m) => h е С” (Rm+1).
Теорема, h е С^ (Rm+1) =>/е С” (R+xRm).
Доказательство. Сначала покажем, что если h есть Сю- функция, то и / есть С°°-функция в том смысле, что частные производные по координате х пространства R+ при х = 0 рассматриваются как односторонние производные. Далее, докажем тот хорошо известный факт (лемма 5 2), что из этого утверждения следует, что / есть С^-функция в обычном смысле, т. е. что / локально продолжается до гладкой функции на RxR'”.
Очевидно, что отображение / гладкое всюду, за исключением, может быть, точек края {х = 0}. Предположим индуктивно, что функция Df существует и непрерывна, когда оператор D — моном от д/дх, д/ду^ ..., д/дут, включающий д/дх не более чем к — 1 раз. Будем говорить, что такая функция принадлежит классу С*-1-”. Это, очевидно, выполняется для Д если ^=1.
Так как h — четная функция от х, то ее частные производные по х нечетного порядка обращаются в нуль при х — 0. Итак, при y = ktiv •••» Ут) мы имеем разложение Тейлора
. ,.., й" (0, у) „ .. й'м-2'(0,х
h Ф y) = h (0, у) 4^-^-х2 4- • • • 4(2НТГ2)1+ г (х, У) х2ге,
где г(х, у) есть Сю-функция, и мы считаем 2n>fe, п 5=2. Так как функция г четная по х, то мы можем положить г(х, у)— = s (х2, у), где s есть Ck-1-“-функция в силу индуктивного предположения. Итак,
Цх, у) = /1(0, у) 4—^-х4-...4—^^-x^-Vs/x, у^х". (1)
Пусть D — моном от д/дх, д/дуг, ..., д/дут, в который д/дх входит к раз. Положим Х — д/дх и запишем оператор D в виде TXU, где Т не содержит оператора д/дх. Применяя оператор U к равенству (1), мы увидим, что
иЦх, y) = xnUs(x, yHg(x, у\
где у принадлежит классу С1- “. Итак, достаточно показать, что отображение TX^Us') существует и непрерывно (при х = 0). Далее X (xnUs)x_0 = lim xnUs/x = 0, так как п 5=2. Кроме того, z —о
ТХ (xnUs)x^ = 0. При х=^0 функция s (х, у) принадлежит классу С", поэтому X (xnUs) — nx^Us4-х’'XL's (для х=^0) и, следовательно,
ТХ /xnUs^ = nxn-1TUs-YxnDs (для х^=0).
Достаточно показать, что при х, стремящемся к нулю, этот образ равномерно стремится к нулю в компактной окрестности N точки (0, у0). Так как функция TUs непрерывна (в силу индуктивного предположения), то достаточно показать, что, при х-»-0, xnDs стремится к нулю равномерно в окрестности N. Далее, так как г (х, у) = s (х2, у) принадлежит классу С”, то для х ^ 0
фг^х, y) = (2x)k(Ds)(x2, уН^^, у), где т] включает только те производные от s, порядок которых в X ниже к, и, следовательно, т] есть ограничение на х=^0 непрерывной функции (в силу индуктивного предположения).
Отсюда следует, что функция (2x)* (Ds) (х2, у) ограничена в любой компактной окрестности точки (0, у0). Так как 2п^>к, то отсюда вытекает, что в любой компактной окрестности точки (0, у0), при х->0, x2n (Ds) (х2, у) стремится к нулю равномерно, и, следовательно, что x”(Ds)(x, у) равномерно стремится к нулю в окрестности Л’ при х->0, что и требовалось доказать. |
Как уже было отмечено, здесь доказано лишь, что f принадлежит классу С” в очевидном смысле, когда частные производные д/дх представляют собой односторонние частные производные при х = 0. Чтобы установить совпадение с обычным понятием, мы должны показать, что функция / локально продолжается до С°°-функции на Rm+1. Предположим, что мы можем найти С°°-функцию ср на R"+1 (с координатами х, уъ ..., ут), такую, что ,
Й (О, У) = й (°. У)
дх v 37 дх* ' ■7/
для всех I и у. Тогда, положив /(х, у) = ф(х, у) для х<0, мы немедленно получим, что / е С” (Rm+1) (изменение порядка дифференцирования законно и для /, и для ф). Итак, достаточно доказать следующую лемму.
Лемма. Предположим, что дана последовательность С'°-функций gQ, gv g2, ...: Rm->R. Тогда существует такая С”-функция ф: Rm+1->R (с координатами х, yv ..., ут на Rm+1), что ^ (0, yv ..., ym) = gi (yv • • •. Ут) для всех i и всех у е Rm.
Доказательство. Достаточно найти такую функцию ф, чтобы утверждение леммы было верно в кубе | х | < 1, | У11 < <1, •••, IУт |<1, так как мы можем склеивать такие функции, используя разбиение единицы (в любом случае лемма будет нужна нам только локально). Пусть В: R->R+ —такая С°°-функ- ция, что
В(х) =В(х) =1, если точка х принадлежит некоторой х) окрестности О, О, если |х|^ 1.
В(х) =
В(х) =
Мы зафиксируем эту «промежуточную функцию» раз и навсегда.
Пусть D —моном от д/дх, д/дух, ..., д/дут степени Ь, степень которого относительно д(дх есть d. Пусть п>Ь и а>0; рассмотрим функцию D ^ gn (у) хпВ (ах)}. Это сумма <d Д- 1 функций вида
hnj (у) xn-d*1aiB*-i'> (ах) = xn~dhn,j (у) (ахУВ^1 (ах),
где O^i^d и С^-функции hn.j зависят о т g„, что дает явное выражение для D. (Существует только конечное множество моно- нов степени b и, следовательно, нужно рассматривать только конечное множество функций hn,y. Их явное выражение для нас не важно.)
Заметим, что функция z^'B^ (z) ограничена, так как она обращается в нуль при i z | > 1. Отсюда следует, что существует такая константа Мп, не зависящая от a, j и от монома D (порядка Ь<п), что
\hnj О/) (axyBdi (aY) к Mjn для ji/J^l.
Так как п — d^l, то, после умножения на xn~d и сложения d-f-l^n функций, при ;х!^1 и \yi\^ 1 имеем
^(^"(У) "В(ах)|<Мп\х\.
Положив ап = 2”Л4„, мы видим, что при I yt | ^ 1
ID (д gn (у) хпв (а„х)ШID (д gn (у) хпв (а„х)Шкогда (х^г-^/М, = 1/а„,когда (х^г-^/М, = 1/а„,когда |х|>1/а„,когда |х|>1/а„,
ID (д gn (у) хпв (а„х)Ш
ID (д gn (у) хпв (а„х)Ш
когда (х^г-^/М, = 1/а„,
когда (х^г-^/М, = 1/а„,
когда |х|>1/а„,
когда |х|>1/а„,
так как В(апх) = 0 для п„1х|>1.
Пусть
Ф^ д gn ^xnB^anxY
Для любого монома D степени b ряд
соbсо
S 0Фп = 5j ^Ф^ У- ПФп
ч = 0/2 = 0п = b 4- i
таков, что 1Оф,^<1/2” при п^Ь+1 (и l.z/ii^l). Таким образом, этот ряд равномерно сходится (в кубе) и, следовательно, со
сходится к Dtp, где tp= 2 Ф»- Итак, ф есть С°°-функция. П = 0
Положив D = ddldxd и вспоминая, что В(а„х)=1 для х, достаточно близких к 0, получим, что Оф (0, y)=gd(yy |
Вспомним теперь обозначения, введенные в предыдущей теореме 5.1.
Следствие, f еС”(R+ хRm) тогда и только тогда, когда fB е С” (к”+'”). В
Следствие. Отображение ф: R^^/GR+XRm представляет собой диффеоморфизм и, с юдовательно, R”+m/G является гладким многообразием с краем. В
В силу этого результата, мы можем (для удобства обозначений) отождествить Rn+m(G с R+xRm посредством ср и, таким образом, проекция на пространство орбит отождествляется с 9.
Предположим далее, что /: R+х Rm-> R+х Rm — некоторый диффеоморфизм (для дальнейшего достаточно, чтобы он был определен на некотором открытом множестве, а не глобально). Предположим, что точки края неподвижны относительно /, т. е. /(О, у) = (0, у). Положим /(х, у) = (/0(х, у), f^x, у))<=^+х^т.
Определим отображение ф: R”+m ->R”+m, полагая ф(х, у) = = (Фо (х, у), Ф1 (X, у)) е R” xRm, где
Фо(х, У) = (/о (-И2, у))1/2 ^,
Ф1(х, У) = fi (U 2, у).
Теорема. Отображение ф представляет собой эквивариантный диффеоморфизм, накрывающий f (т. е. 9ф —/б).
Доказательство. Очевидно, что отображение ф экви- вариантно, и оно накрывает f, поскольку
8ф (х, у) = (|| ф0 (х, у) ||2, ф! (х, у)) = ()0 (| х 2, у), ft (|| х Л, у)) = /9 (х, у). Так как f — диффеоморфизм, сохраняющий орбитную структуру, то ф, очевидно, — взаимно однозначное соответствие. Чтобы проверить, что ф —диффеоморфизм, используем теорему Тейлора и запишем
fo(x. uf—ftM У)+х^(0, у) + х2У(х, у),
где & есть С°°-функция. Так как /0 (0, у) = 0и (поскольку f — диффеоморфизм) с(у) = (dfjdx) (0, у) > 0, то мы можем переписать это равенство в виде: /0 (х, у) = хс (у) (1 + xh (х, у)), где h еоь С”-функция. Таким образом, для xeR имеем
Л (А, (х2, У))1/2 - х (с (у))*/2 (1 + x^h (х\ у№» ил и
и, следовательно, для х = (хп ..., xn) е R” имеем
ф0 (х, у) = х (с (у))1/2 (1+ х s2) h (| х Л уУ^, откуда видно, что ф0 есть С^-отображение. Более того, легко проверить (это мы оставляем читателю), что якобиан отображения ф нигде не равен нулю. Следовательно, ф — диффеоморфизм. (Альтернативно, можно заметить, что -.та конструкция, примененная к f~\ дает ф-1). |
Замечание. Теорема 5.1 доказана Уитни [1]. Лемма 5.2 представляет собой очень частный случай теоремы продолжения Уитни (см. Мальгранж [1]), но мы захотели включить достаточно простое доказательство этого частного случая. Есть общая
гипотеза, которая включает 5.1 как очень частный случай и которая формулируется следующим образом. Пусть компактная группа Ли G действует на R" посредством некоторого линейного представления. Из классической теоремы Гильберта о базисе в теории инвариантов, см. Вейль Г1 ], следует, что существует конечное число pv ..., рк однородных полиномов R"->R, которые инвариантны относительно G и таковы, что если р; R”-* ->R —произвольный инвариантный полином, то p = q(pl, ..., рь) для некоторого полинома q: R*->R. Гипотеза состоит в том, что любая инвариантная С”-функция g; R"->R имеет вид g = --= f (pj, ..., р*) для некоторой С°°-функции f. Это, очевидно, дает очень сильные ограничения на функциональную структуру пространства орбит гладкого действия.
Специальные О-многообразия
Пусть G — компактная группа Ли, гладко действующая на многообразии М. Пусть G[H — главный орбитный тип; предположим, что Р ^ G/K — такая неглавная орбита, что в ее окрестности существует в точности два орбитных типа. Тогда Р имеет гладкую трубчатую окрестность, которая эквивариантно диффеоморфна GXkRS где К действует ортогонально на Rfe. Можно предположить (после сопряжения), что Я —главная стационарная группа действия группы К на Rfe. Согласно IV.6.3 существует в точности две возможности; здесь мы предположим, что выполняется первая из них, т. е. мы предположим, что k — n-Vm и что К действует на Rfe посредством некоторого представления Л->О(л)с: с: О (^) и ее действие транзитивно на единичной сфере S”-1 ортогонального дополнения R”X{0} к множеству неподвижных точек (R^ = {0} xRm. Тогда Н можно считать прообразом группы О (п — 1) при гомоморфизме К-*О (п). Далее, группа N (Я) П N (К) действует справа на Gx^R6 (см. упражнение 15), и мы можем считать это действие гладким.
Мы будем говорить, что М — (гладкое) специальное G-многообразие (см. Ених [1]), если существует не более двух орбитных типов вблизи каждой орбиты и если вышеупомянутые условия выполняются для каждой неглавной орбиты. В этом случае М/G — топологическое (т+1)-мерное многообразие с краем (соответствующим неглавным орбитам).
Зададим на MjG функциональную структуру, индуцированную функциональной структурой на М. Далее, если / — вещественнозначная функция на G X к Rfe, инвариантная относительно действия группы G, то ее поднятие на GxRfe не зависит от G-координаты, и, следовательно, / — гладкая функция тогда и только тогда, когда ее ограничение на слой R* —гладкая функция. Итак, вблизи орбиты типа G{K функциональная структура фактормного-
образия совпадает с функциональной структурой, индуцированной с R* посредством орбитного отображения кк->р?/К ^
(ОХк^к)!О.
Из 5.4 можно сделать вывод, что фактормногообразие М/С — гладкое (т+1)-мерное многообразие с краем.
Далее, пусть X — данное гладкое (т + 1)-мерное многообразие с краем В. Мы хотим классифицировать гладкие специальные G-многообразия над X. Иными словами, мы будем рассматривать пары (А4, <р), где М — гладкое специальное G-многообразие и <р: М -> X — гладкое отображение, которое пропускается через фактормногообразие A1/G таким образом, что индуцированное отображение ф*: M{G-*X есть диффеоморфизм. Две такие пары (М, ф) и (М, ф) называются эквивалентными, если существует такой эквивариантный диффеоморфизм р: М-^N, что диаграмма
М—^-^-N
коммутативна. При этом, как и в § 6 гл. V, мы просто будем говорить, что «М и N эквивалентны над X», подразумевая существование отображений ф и ф.
Рассмотрим теперь доказательство классификационной теоремы V.6.1. Напомним, что для формулировки и доказательства последней надо прежде всего выбрать главную стационарную подгруппу Н, а затем выбрать для каждой граничной компоненты Ва многообразия В стационарную подгруппу Ка- Затем надо рассмотреть собственные специальные G-многообразия М над X (т. е. такие, что вблизи точек из Ва многообразие М, как и выше, имеет вид G ХКа R6™, где стационарная подгруппа группы Ка на срезе R*“ есть Н). (Такой выбор Ка и Н временный, и он не будет влиять на утверждение нашей основной теоремы 6.2.) В V.6.1 предполагалось, для удобства рассуждений, что группы К = Ка одни и те же для всех ос, однако очевидно, как сделать обобщение (как и утверждалось там).
Несколько небольших рассуждений (использующих, например, теорему о гладкой аппроксимации 4.2 и ее следствие 4.3) убедят читателя в том, что единственная трудность в проведении доказательства теоремы V.6.1 в гладком случае заключается в нахождении гладкого аналога «теоремы о трубке» V.4.2. (Читателю может показаться, что и это рассуждение также тривиально следует из теоремы 2.2 об инвариантной гладкой трубчатой окрестности, но, в Действительности, это не так. В самом деле, было бы ошибочным использовать дифференциальную
структуру Ениха на М/G, как было бы сделано при доказательстве нашей главной теоремы 6.2.)
Пусть (Л4, ф) — гладкое специальное G-многообразие над X, и пусть Д = ф"1(В) есть объединение неглавных орбит. Тогда А — замкнутое подмногообразие многообразия Л4. Пусть £— евклидово G-расслоение над Дит: Е (У -> М — инвариантная трубчатая окрестность многообразия А. Каноническое отображение Е (У -^-R+ х В, переводящее вектор и из слоя над точкой аеД в (Ю-2, <р (а)) индуцирует диффеоморфизм Е (У/G -S-R+xB в силу предшествующих рассуждений и 5.4.
Используем это обстоятельство, чтобы отождествить Е (У/G с R+xB. Таким образом, т индуцирует т*: R*xB-^X (посредством отображения ф*: MjG^X, которое, в данный момент, мы также рассматриваем как отождествление). Заметим, чтот* (О, Ь) = = Ь и что т*—диффеоморфизм на свой образ (открытое множество). Итак, т* — гладкая кромка множества в X. Далее, гладкая модификация «теоремы о трубке» V.4.2 утверждает не только то, что такая трубчатая окрестность т существует, но что найдется такая трубчатая окрестность, для которой т* совпадает с любой заранее выбранной гладкой кромкой X: R+xB->X. Для простоты обозначений мы будем рассматривать Е (^ как подпространство W многообразия М (посредством вложения т), так что т будет рассматриваться как включение, и аналогично т*: R+xB-^X- будет рассматриваться как включение. (Так как X— данная заранее выбранная кромка, то было бы более логично рассматривать X как включение, но это усложнило бы нижеследующие обозначения.)
Мы знаем (в основном из 2.6), что существует гладкая изо
топиягдетопиягдеF: (R+xB)xI-^X,F: (R+xB)xI-^X,F ((s, b), t) =F ((s, b), t) =(s, 6)X(s, b)(О, у(s, 6)X(s, b)(О, удля t = 0,для t = 1,для s = 0 и всех tдля t = 0,для t = 1,для s = 0 и всех t
топия
где
топия
где
F: (R+xB)xI-^X,
F: (R+xB)xI-^X,
F ((s, b), t) =
F ((s, b), t) =
(s, 6)
X(s, b)
(О, у
(s, 6)
X(s, b)
(О, у
для t = 0,
для t = 1,
для s = 0 и всех t
для t = 0,
для t = 1,
для s = 0 и всех t
(и, конечно, F (•, /)—диффеоморфизм на свой образ для каждого I, т. е. F(-, у представляет собой кромку). Если мы сможем накрыть эту изотопию эквивариантной изотопией многообразия М, то для / = 1 мы получим искомую трубчатую окрестность множества А над данной кромкой X множества В в X. Итак, достаточно будет доказать следующий результат.
Теорема. При вышеуказанных условиях существует (гладкая) эквивариантная изотопия F; W х I -► М инвариантных трубчатых окрестностей многообразия А = ф 1 (В), которая накрывает F.
Доказательство. Пусть be В, и пусть Rm^U' с: В — малая координатная окрестность точки be В. Далее, часть подпространства W из М, расположенная над R+xU' cz R+xB с X, имеет вид Gxk^xU”), где К а О (п) действует на R” ортогонально и на S"-1 транзитивно. Итак, часть пространства 1^x1, находящаяся над R+xt/'xI, имеет вид GXk^xU'xY); чтобы избежать неприятностей в граничных точках, можно расширить I до R, если это понадобится.
Пусть U a U' — координатная окрестность точки Ь, и пусть е>0 настолько мало, что В ([О, 2a)xU xl) eR+xU'. Часть пространства Mxl, расположенная над [0, 2е)хЯх1, есть GXk(DxU xV), где D с R” — открытый шар радиуса (2b)1/2. Пусть Е; R+xBxI->XxI — вложение, определенное формулой Е (s, b, t) = (F(s, b, /), /). Тогда из 5.5 следует, что па [0, 2е]х xUx\ отображение Е накрывается К-эквивариантным вложением DxUx\-*RnxUхХ, которое является тождеством как на {0}xUxI, так и на DxUx\0^ и которое коммутирует с проекциями на I (поскольку эти свойства выполняются для Е). Так как конструкция ОХк(-) функториальна, то это вложение индуцирует G-эквивариантное вложение
ф-1^, 2^xU)xl^GxKlDxUxl)-+
G хк (R" х U' х I) ф-1 (R+ х U') х 1,
накрывающее Е.
Далее, ф"1 ((О, оо) х U) ^ G/H х (0, oo^xU, и М — А — гладкое G/Я-расслоение над X — В со структурной группой N ф^Н. Гладкое эквивариантное отображение Ф"1 ((0, oo)xt/)xI-> -*(М — A)xY, накрывающее Е, определяется своим ограничением на ^еН\х (0, оо) х U х I, и это будет гладкое поднятие отображения Е | (0, оо) х Я х I в главное (N (Я)/Я)-расслоение (М — А^н xY над (Х-В)XI, сравните с II.5.13. Таким образом, ясно, что ограничение ф-1([0, е]хГ) XI-*■ М х I вышеуказанного вложения, склеенное с тождественным отображением на ф-1 ([0, оо) х U) х х{0}, может быть продолжено до гладкого эквивариантного отображения
Еи"- ф~1(Я+хЯ)х1-*Мх1,
которое накрывает Е на R+xt/xL Далее, отображение Еи является вложением, так как оно гладкое, накрывает вложение и сохраняет орбитные типы. Заметим, что Е (х, 0) = (х, 0) и что Ёи(а, t) = (a, t) для аеА.
Пусть U и V—такие открытые множества в В, для которых имеются вложения Ёи иЁу» аналогичные определенным выше.
Покажем, как построить такое вложение Euuv- Пусть
6 = EVEu; (р 1 (R+ X (U А V)) XI Ф"1 (R+ X (U А V)) х I
— отображение, представляющее собой автоэквивалентность, накрывающую тождественное отображение. Оно, очевидно, имеет вид 6 (х, A = (0i (л', А- О- Пусть /: U А V I — такое гладкое отображение, что /=1 на некоторой окрестности множества U — V и / = О на некоторой окрестности множества V — U. Пусть /': ф'1 (5+ х (U А V)) -*■ 1 — композиция /'=/• (проекция) »ф; определим отображение
0' (х, А = (01 Г ИА 0).
представляющее собой другую автоэквивалентность пространства ф-Ч^х^АУ))xl, накрывающую тождественное отображение пространства R+x(^АЮх L
Далее, положим
Ёи^у (х, t) =Ёи^у (х, t) =Ёц^х,^, если ф (х) е Р+х((7 — V), Ёу-У (х, А, если ф (х) е R+x([7 А Ю, Ev(x, t), если ф (х) G R+x(V — U).
Ёи^у (х, t) =
Ёи^у (х, t) =
Очевидно, что это отображение обладает искомыми свойствами.
Теперь, используя локально конечное покрытие пространства В и обычную индуктивную процедуру, можно построить эквивариантное вложение
Ё; № х I = ф-1 (R+х В) х IЛ4 х I, накрывающее Е и такое, что Ё (х, 0) = (х, 0) и Ё ^а, t) = (a, А для йе.4. (Индуктивное рассуждение то же самое, которое дано в доказательстве 11.7.1, и мы его не будем повторять.) Так как Ё накрывает Е, то оно имеет вид Ё (х, t) = (F(x, А, 0 и? является искомой изотопией, накрывающей F. |
Как уже было отмечено, этот результат позволяет нам повторить доказательство теоремы классификации V.6.1 в гладком случае. Заметим, что гладкая классификация в точное и совпадает с топологической классификацией, так как, например, множество классов гладкой гомотопности гладких сечений совпадает с множеством гомотопических классов непрерывных сечений (гладкого многообразия). Вместо того, чтобы формулировать этот результат, мы суммируем предыдущую информацию в следующей теореме. Вначале введем некоторые обозначения и понятия.
Пусть ^“(G, X) обозначает множество (гладких) классов эквивалет пости над гладким многообразием X с краем В специальных гладких G-многообразий над X,.
Для топологического многообразия X с краем В назовем G-прострапство W над X специальным топологическим G-многообразием над X, если орбитный тип над Х — В постоянен, а орбитный тип над каждой компонентой из В постоянен и таков, что каждая неглавная орбита имеет окрестность, которая может быть наделена структурой гладкого специального G-многообразия. Тогда очевидно, что W —топологическое многообразие и что G действует па нем локально гладко. Более того, группа S (л) = ((N (Н) П N (К))Щ из § 4 гл. V действует на дисковом расслоении Мя над G(K посредством эквивалентностей ортогонального G-расслоения. Обозначим через e^°(G, X) множество классов топологической эквивалентности над X специальных топологических G-многообразий над X. Для гладкого многообразия X обозначим через Х° соответствующее топологическое многообразие). Следующая теорема является прямым следствием теоремы классификации V.6.1 и представляет собой ее гладкий аналог.
Теорема. Пренебрегающее отображение q/№°(G, Х)-> Ма (G, Хо) представляет собой взаимно однозначное соответствие. §
Для ясности мы переформулируем этот результат следующим образом.
Теорема. Пусть X — топологическое многообразие с краем, и пусть М — специальное топологическое G-многообразие над X. Для любой Ст-структуры на X (если она существует) найдется такая С^-структура на М, в которой G действует гладко и которая индуцирует данную структуру на X. Более того, если задана структура на X, то эта структура на М единственна с точностью до эквивариантного диффеоморфизма над X. |
Например, (специальное) О (п)-многообразие S*"-1 над D2 из § 7 гл. 1 имеет, в силу своей конструкции, дифференцируемую структуру, в которой О (п) действует гладко. Аналогично, многообразие Брискорна W'^’-1 (§ 9 гл. V) по определению несет данную гладкую структуру, и водопроводное соединение (§ 8 гл. V) дает, после сглаживания углов, гладкую структуру на дР2п (Xk^). На основании V.8.1 и V.9.2 О (п)-многообразия S^”-1, U7)"”1 и dPw (Xk-i) топологически эквивалентны над D2. Следовательно, согласно 6.3 они также гладко эквивалентны над D2.
Напомним, см. § 7 гл. I, что для нечетного & многообразие 2<т-3_топологическая сфера. Его дифференцируемая структура может быть определена из любого из вышеупомянутых трех ее описаний (см. Сян У.-К. и С я н У.-И [3], Б р и с к о р н [1], X и р-
цебрух и Мейер [1] и Б редон [19]). Простейшим методом является задание дифференцируемой структуры при помощи описания многообразия S*m-3 как dp«m~2 (А^), так как в этом случае легко вычисляется инвариант Арфа (см. две последние ссылки). Оказывается, что
4т_3 / стандартная сфера для ^ = ±1 mod 8, 6 '( сфера Кервера для ^ = ±3 mod8.
Сфера Кервера представляет собой по определению многообразие дР4™^2 (А2). Иногда она стандартна (например, в размерностях 4m —3=1, 5, 13, 29, 61), но известно, что она экзотическая, когда т не является степенью числа 2; см. Браудер [1].
Рассмотрим вкратце классификацию гладких автоэквивалентностей специального G-многообразия М над X. Топологический случай рассматривался в V.7.1, и будет представлять небольшую трудность доказательство гладкого аналога этого результата. Часть рассуждения следует заменить следующими замечаниями: предположим, что для евклидовых G-расслоений |, г; над А нам даны две инвариантные трубчатые окрестности о: Е(£)-*М и т: Е(ц)-*-М множества А, которые индуцируют одну и ту же кромку подпространства В в X. Тогда, так как индуцированная кромка определяет длину векторов в £, т], то сгЧ сохраняет норму. Доказательство первой части теоремы единственности 2.6 инвариантных трубчатых окрестностей предусматривает изотопию между о и тб, которая индуцирует тождественное отображение на X, где 6 —изоморфизм векторных расслоений. Так как 6 должно сохранять нормы, то оно представляет собой изоморфизм ортогональных расслоений. Это заменяет рассуждение о гомотопности с S-эквивалентностью в доказательстве V.7.I. Остаток доказательства очевиден, и его можно опустить. Снова, классификация в гладком случае аналогична классификации в топологическом случае. Обозначив через л0 Diffeox (Al) множество классов гладкой изотопии над X автоэквивалентностей многообразия А4 над X, мы получим следующую теорему.
Теорема. Если М—гладкое специальное G-многообразие над X, то пренебрегающее отображение
л0 Diffeo х (М) -> л0 Homeo х (М) представляет собой взаимно однозначное соответствие. §
Замечание. Не представляет никакого труда распространить результаты этого параграфа на случай специальных G- многообразий с краем. В этом случае X будет иметь на границе «угол», который разделяет дХ на две части, причем одна часть
Ц Г. Бредон
В соответствует неглавным орбитам, а другая часть соответствует дМ. Например, X может быть полудиском {хе Dm+11 хг 5& 0}, где В = X П Sm и ср (дМ) = {х е D™141 хг = 0}.
Гладкие заузленные многообразия
В этом параграфе мы будем изучать такие гладкие действия группы G = O(n), «5:2, на компактных многообразиях М, которые имеют три орбитных типа: неподвижные точки, сферы О(«)/О(« —1) и главные о[ биты О («)/О (л— 2). Предположим, кроме того, что орбитное пространство М/С топологически представляет собой стягиваемое многообразие, край которого соответствует особым орбитам, а множество неподвижных точек М° с М/С соответствует связному ориентируемому подмногообразию края коразмерности 2, см. §§ 10 и 11 гл. V. Назовем такое О («^многообразие О (п)-заузленным многообразием.
Из рассуждений § 10 гл. V видно, что в окрестности неподвижной точки из М группа О(«) действует посредством удвоенного стандартного представления; его можно рассматривать как каноническое действие группы О(«) на C" = R"xR". Выберем инвариантную трубчатую окрестность Е(^)->М множества М°, где | —евклидово G-расслоение над М°. Структурная группа расслоения, очевидно, является централизатором подгруппы 0(n)c U(fl)c0(2n) в группе О(2п), и легко видеть, что этот централизатор есть группа 0(2), действующая на С" посредством умножения на скаляры и комплексного сопряжения. (Если мы интерпретируем О (л)-представление в Ik2” как матричное умножение на («х«)-матрицы в пространстве (пх2)— матриц, то структурная группа 0(2) будет действовать на нем посредством правого умножения.)
Лемма. G-расслоение £ над М° тривиально.
Доказательство. Рассмотрим такое множество А векторов z = (zn ..., z„)e(D”, где z = x-A-iy, что 6x{=l=iiy|! и (х, z/)=0. Тогда структурная группа 0(2) расслоения £ сохраняет А. Более того, А является главной орбитой G-действия, и данное на нем О (2)-действие совпадает с действием на многообразии GfH правых сдвигов на элементы группы О (2)<=« /V (Щ1Н, где Н = (Цп — 2). Считая, что Е (t) с М и, следовательно, что Е (£)/G с MiG, получим, что объединение этих множеств А определяет расслоение Q над копией множества М° в int M[G и представляет собой в точности ограничение расслоения главных орбит. Так как MiG стягиваемо, то это расслоение Q тривиально, и поэтому является ассоциированным главным О (2)-расслоением QH над копией множества Мп. Однако в силу вышеприведенных замечаний с этим главным расслоением ассоциировано и g. |
Итак, мы имеем представление трубчатой окрестности множества М° в М в виде ®лхЛ1с, где G = O(n) действует на <D” так, как указано выше. Далее, согласно V.9.1 орбитное отображение C"->-(D7G может быть отождествлено с 6: Сл->К+хС-> ->R+xR2, переводящим z = (zv ..., z„) в ^jlz^ — 2 Izf! > 4 + --- ... + г„у Читатель может непосредственно проверить, используя § 5, что 9 задает индуцированную функциональную структуру в C7G на дополнении к 0 е C7G. (Это без сомнения неверно в начале координат, где, возможно, существует угол или клюв. Однако мы практически ничего не знаем об индуцированной структуре на C7G в начале координат, и поэтому мы не будем делать попыток классифицировать такие О (п)-многообразия М над X, как мы это делали в топологическом случае в § 10 гл. V.)
Далее, гомеоморфизм.
6* х 1: (<D7G) хМ5-> (R+ х С) хMG определяет дифференцируемую структуру на окрестности множества Ма в M(G (заданную выбранной трубчатой окрестностью множества М°). Так как эта структура совпадает с индуцированной структурой на M{G — MG, то мы можем склеить их и получить дифференцируемую структуру на всем MIG, которая превращает его в гладкое многообразие с краем, причем MG — гладкое подмногообразие края коразмерности 2. Заметим, что 6: €л->₽+хС эквивариантно относительно действия на С” структурной группы О (2) расслоения £ и очевидного гладкого О (2)- действия на R+xC- Итак, определение этой дифференцируемой структуры на M/G не зависит от тривиальности расслоения g или использования специальной (гладкой) тривиализации.
Хотя эта структура на M[G не является естественной, она, очевидно, определена однозначно с точностью до диффеоморфизма (сохраняющего подмногообразие Л1С) на основании теоремы единственности для инвариантных трубчатых окрестностей; см. замечание в конце § 2. (Ситуация здесь такая же, какая имеет место при «сглаживании угла» в произведении двух многообразий с краем.)
Теорема. Сопоставление многообразию М пары (MiG, MG) с описанной выше дифференцируемой структурой определяет взаимно однозначное соответствие между множеством классов эквивариантной диффеоморфности О (пУзаузленных многообразий М и множеством классов диффеоморфности пар (X, 2), где X—компактное стягиваемое гладкое многообразнее краем, а 2 — связное, коразмерности 2, ориентируемое подмногообразие многообразия дХ.
Доказательство. Сначала покажем, что любая такая пара (X, 2) реализуема. Пусть R2x2 с дХ —трубчатая окрестность многообразия 2 в дХ. Для точки р е 2 отображение ограничения Н1 (дХ — 2) -> Н' (S1 х {р}) представляет собой изомор-
физм (см. § 10 гл. V). Пусть а е № (dX — 2) — образующий, соответствующий образующему ie/ZOS1). Отображение
И1 (дХ - 2) -> Н1 (S1 х 2) Н1 (S1) @ Н1 (2)
переводит а в (i, 0) для некоторого 0. Далее, элемент 0 е Я1 (2) = = [S, S4 индуцируется некоторым гладким отображением f; 2-t-S1. Рассматривая R2 как С, легко видеть, что отображение R2 х 2-> R2 х 2 вида (г, ^^(z/^)”1, <?) индуцирует на №(S*x2) = = Н1 (S1) ф Д1 (2) отображение (i, 0) *-* (i, 0). Отсюда следует, что мы можем взять трубчатую окрестность R2x2cdX таким образом, что 0 = 0. Также мы можем предположить, что она расширяется до трубчатой окрестности R+xR2x2 многообразия 2 в X. На основании рассуждений § 10 гл. V и согласно 6.3 существует единственное О (п)-многообразие АД над X —2, соответствующее инварианту ±«е Я1(дХ — 2). Часть многообразия АД над (R+XR2 — {0}) х 2 соответствует инварианту (i, 0)еД1($1)ф ©№(2) = №(S1x2)^W1(a(R+xR2-{0})x2). Однако О (^-подмногообразие (©" —(0})х2 многообразия 0x2 также имеет этот инвариант. Итак, MY может быть склеено с 0x2 с помощью некоторого эквивариантного диффеоморфизма над (R+ xR2 — {0}) х 2, и это, очевидно, дает искомое О (п)-многообразие, соответствующее паре (X, 2).
Далее, пусть М и N — два О (п)-заузленных многообразия. Выберем инвариантные трубчатые окрестности множеств неподвижных точек и, следовательно, ассоциированные дифференцируемые структуры на орбитных пространствах М* и N*. Предположим, что h; М* -*№ —диффеоморфизм, переводящий М° в №. Далее, данные трубчатые окрестности в М и N индуцируют трубчатые окрестности многообразия М° в М* и многообразия № в N*. Применив к h подходящую изотопию, мы можем считать, что h ортогонально переводит эту трубчатую окрестность в М* в соответствующую трубчатую окрестность в N*. (Сделаем это для замкнутой трубчатой окрестности и затем перейдем к внутренности.) Над этими трубчатыми окрестностями h, очевидно, может быть накрыт эквивариантным диффеоморфизмом hv так как обе эти трубчатые окрестности тривиальны и имеют вид С” х 2, где 2 ^ MG^ №. Над дополнениями М* — М° и N* — № диффеоморфизм h может быть накрыт эквивариантным диффеоморфизмом h2: М — MG-* N — № на основании теоремы 6.3 о клас- сиффикации специальных G-многообразий, см. § 10 гл. V. Итак, ^ = 1цЧц представляет собой сохраняющую орбиты автоэквивалентность части многообразия М над дополнением многообразия М° в его трубчатой окрестности, которая диффеоморфна (R4 х R2 — {0}) х ХМ°. Из 6.4, V.7.1, V.7.2, рассуждений из V.7.5 и изоморфизма [D2xMc, SOAO; S1, ^^^((D2, S^xM0; Z) Я 1 (MG) = 0,
следует, что ip изотопно в классе автоэквивалентностей, сохраняющих орбиты, тождественному или антиподальному отображению в слоях пространства <ЬпхМ°. Используя такую изотопию, мы очевидно, можем найти сохраняющую орбиты автоэквивалентность <р части многообразия М над трубчатой окрестностью [R+X^XAI0 (включающей нулевое сечение М°), которая совпадает с ф вне некоторой меньшей замкнутой окрестности А множества М°. Тогда отображение й: M->-jV, определенное как ^ф"1 на К+х Х₽2хЛ4° и как h2 на М° — А, представляет собой эквивариантный диффеоморфизм. |
Теперь мы ограничимся рассмотрением случая, когда пространство орбит представляет собой диск. Итак, пусть 2*czS*+2 — гладкое связное ориентируемое подмногообразие. В силу 7.2 существует О (п)-заузленное многообразие М4п+к (2к')1 соответствующее паре (Dft+3, 2*), и оно единственно с точностью до эквивариантного диффеоморфизма.
В следующем параграфе мы намерены рассмотреть случай О (л)-заузленных многообразий М с краем, где М° будет теперь диффеоморфно (с вышеопределенной структурой) множеству D^4 = = {(х,хл+4) g В6441 xft+43s0), где (дМ)/О будет соответство
вать диску D'3 (т. е. хА+4 = 0), множество особых орбит будет соответствовать множеству В = Sk+S П D^4, а множество неподвижных точек М° будет соответствовать подмногообразию W7^1 с В, которое связно, ориентируемо и трансверсально к дВ = 8к+2. Нетрудно проверить, что в этом случае вопрос сводится к тому, чтобы показать, что существует О (^-многообразие Л42”+,г+1 (Ц7*+1) с краем, соответствующее паре (D1+4, Wk+1) и единственное с точност ью до эквивариантного диффеоморфизма. Очевидно, что 5д^2п+й+1 (Ц7*+1) ^дгп^к ру{7*+1).
Напомним, см. V.11.2, что если 2* есть Х2-гомологичес- кая сфера, то и /И2п+6 (2fc) — тоже 22-гомологическая сфера. Аналогично, легко видеть, что если Wk+1 22-ациклично, то и Д42П+А+1 (^*+ij 22-ациклично. Точно так же это выполняется для целых коэффициентов при четном п.
Рассмотрим вкратце вопрос об ориентации. Выберем ориентации для S''42 (и следовательно, для D*+s) и для 1,кс:5к*2. Если /г —четное, то структурная группа 0(2) сохраняет ориентацию пространства С”, так что ориентация на 2* индуцирует каноническую ориентацию на ©пх2* и, следовательно, также на М2л+*(2*). Если п — нечетное, то 0(п)/0(п —2) не допускает автоэквивалентности, меняющей ориентацию; это доказывается посредством явного описания действия на 0(«)/0(п —2) группы 0(2)N (О (п — 2))/0 (п — 2), так что мы можем задать на ней раз и навсегда каноническую ориентацию. Итак, если п нечетное, то ориентация пространства D'',s индуцирует ориентацию на М2п+к (2ft).
Таким образом, ориентированное многообразие S" в ориентированной сфере S*+2 соответствует ориентированному многообразию М^к^к^ с ориентированным множеством неподвижных точек S* и ориентированным пространством орбит, при этом ориентация пространства M2n+*(Sfe) и ориентация пространства S'' канонически связаны, причем для четного п так, как указано выше. Итак, существуют четыре возможные «ориентации» на О(п)-зауз- ленном многообразии, соответствующие четырем ориентациям пары (Sft+2, S*).
Замечание. Результаты этого параграфа получены Е н и х о м [1] и братьями Сян [4]. Аналогичные результаты в случае U (п)- или Sp (н)-действий для гладкого случая неверны, даже если 2 (коразмерности соответственно 3 или 5 в сфере) — сфера. Здесь имеет место существенное отличие от топологического случая, см. упражнение 6 гл. V.
Группы инволюций
Пусть 0< к < п —фиксированные целые числа; рассмотрим множество всех гладких инволюций Т (Т2 = 1) на сфере S'1 (ориентированной) с ориентированным множеством неподвижных точек Sft размерности к. Напомним, что S* представляет собой Амерную 22-гомологическую сферу. С точностью до эквивалентности, сохраняющей (и для S", и для S*) ориентацию, они образуют абелеву полугруппу относительно операции связной суммы, которая определяется следующим образом: предположим, что даны две инволюции Тг и Тг на Sn с множествами неподвижных точек St и 2*. Пусть на R" задана инволюция
(*Р ..., хя)н—(хп .... хй, — х*ц, .... —хпу
выберем канонические ориентации на (R” и на множестве неподвижных точек R*. Пусть ф,: S" — инвариантные трубчатые окрестности точек pt е 2*, сохраняющие обе ориентации (т. е. отображения R^-i-S” и Rfe->S* сохраняют ориентации). Пусть т: R” — {0}->Rn — {0} задается формулой т(хп ..., х„) = (—xv х2, ... • • •. ^п)/5 xi- Тогда связная сумма (S", 7lt St)#(Sn, Т2, St) (или просто 7\ # Л) определяется как (Sn —{p^U^S” —{р2}) с инволюцией ЛОЛ, где ф^ф.лфЕ: ф, (R" — {0})->ф2 (£" —{0}) (несколько менее точно, если О, = ф; (D"), то связная сумма есть склейка (S” — int OJ [J (Sn — int О2) посредством эквивариантного меняющего ориентацию линейного отображения dDx—- дО2). Из 3.2 и следующего за этим пунктом замечания получаем, что связная сумма определяется однозначно с точностью до сохраняющего ориентацию эквивариантного диффеоморфизма. Конечно, инволюция на
(Sn, Tv S*) # (S'2, T2, S2) эквивалентна инволюции на S" с неподвижным множеством, диффеоморфным 2, # 2*.
Лемма. Пусть Т—гладкая инволюция на 8лх1, сохраняющая оба конца. Пусть F — множество неподвижных точек, и пусть F; = F n(S”x{z}) для i = 0, 1. Тогда (F, Fo, FJ имеет Х^-когомологии тройки (S*xl, S^jO}, Sfr х {1}) для некоторого k, — 1- к- н, и F ориентируемо. (Мы подразумеваем, что это заключение истинно для всех трех абсолютных групп когомологий и также для относительных групп пар (F, F„), (F, F^ и 'F, /rU^i)-)
Доказательство. Из теории Смита следует, что Fn имеет те же Х2-когомологип, что и сфера S* для некоторого к, которое мы зафиксируем. Так как Я* (S'1 X1, S" х (О}; Z2) = 0, то из 111.7.9 следует, что Н* (F, Fo; Z2) = 0. Поэтому F связно при £>0 и F должно пересекаться с S^x}!}. (Аналогичный факт имеет место и для к = 0.) Аналогично, И* (F, Fp Z2) = 0. Итак, F, F„ и к\ имеют те же 22-когомологии, что и сфера SA, и включения FuclF и Ft cl F индуцируют изоморфизмы Z2-кoгoмoлoгий. Таким образом, очевидно, что группа H'(F, F0\jFp, Z2) равна 0 для t^l, ^+1 и равна Z2 для i — 1, £ +1. В случае, когда к-= 1, F представляет собой двумерное многообразие с Яо^81Fv и вычисление когомологий показывает, что A^S^l. Ц
В оставшейся части параграфа будем считать, что п^5 и 0<^<и. Пусть Т — гладкая инволюция на (ориентированном) многообразии S;!xl с ориентированным множеством неподвижных точек F размерности к 4- 1, и пусть F() и F^ имеют такой же смысл, как в 8.1. Придадим парам (S;x{0}, Fo) и (8”х{1}, F^ индуцированные ориентации. (Таким образом, в частности, каноническое отождествление 8л->8лх{г} сохраняет ориентацию для 1 = 0 и меняет ее на противоположную для 1=1.)
Предположим, что (Sn, То, 2,,) и (S', Tv S?) - инволюции с ориентированными множествами неподвижных точек X;. Тогда мы скажем, что они Ь-эквивалентны, если существует инволюция Т на 5лх1 с таким ориентрованным множеством неподвижных точек F, как указано выше, и (S'!, То, Sj)^ (S'2 X {0}, Т, Fo) и (S'2, Тг, 2?) — (S'2 х {1}, Т, F^, где ^ означает гладкую эквивалентность, сохраняющую ориентацию инволюций (с ориентированным пространством и ориентированным множеством неподвижных точек), а знак «минус» указывает на обращение обеих ориентаций. Будем через Ф* обозначать множество классов L-эквивалентности всех инволюций на ориентированной n-мерной сфере с ориентированным ^-мерным множеством неподвижных точек.
Теорема. Множество Ф” представляет собой абелеву группу относительно связной суммы Лля 0<_к<п, п -5. Инволюция (S', Т, Х") представляет собой нулевой элемент этой группы
тогда и только тогда, когда Т может быть продолжена как гладкая инволюция на диск Dn+1 zd S”. Обратный элемент задается обращением ориентации.
Доказательство. Главное состоит в доказательстве того, что связная сумма корректно определяет операцию на множестве Ф*. Итак, предположим, что (Snxl, Т, F) и (S”xl, Т', F') реализуют /.-эквивалентность между инволюциями То и Тг и соответственно между ГЦ и TV Так как k>§, то F и F' связны и пересекаются с обоими краями на основании 8.1. Таким образом, в F существует гладкая дуга А, соединяющая точку, принадлежащую 5лх{0}, с точкой, принадлежащей S"x{I}, и трансверсальная к границе; аналогичная дуга А* существует в F'. Тогда можно взять инвариантную трубчатую окрестность N дуги А (она должна иметь вид Дхй” с канонической инволюцией на ^.относительно которой неподвижно R6) и аналогичную окрестность N' дуги А'. Очевидным образом мы можем использовать N и N' для того, чтобы склеить S” х I — А с S” х I — А' эквивариантно относительно Т на первой окрестности и относительно Т* — на второй. Таким образом, получим такую инволюцию / на многообразии П7«+! (ориентированном, с ориентированным множеством неподвижных точек), что (сМ’, /) ^ То # Т'и — Т± # TV В силу теоремы об /i-кобордизме (см. Милнор [5]) легко видеть, что I^^s^xl и, следовательно, инволюция Т0^Т0 /.-эквивалентна инволюции Т, # TV
Очевидно, инволюция (Sn, Т, ЕД /.-эквивалентна стандартной линейной инволюции с множеством неподвижных точек S* с S” тогда и только тогда, когда Т продолжается до инволюции на D”+1. (Для доказательства прямого утверждения «накроем» S" со стандартной инволюцией «шапочкой» на конце /.-эквивалентности; для доказательства обратного утверждения удалим открытый диск из intD'”1.) Пусть (Sn, Т, S*)— инволюция; обозначим через D” инвариантный диск вокруг точки, принадлежащей 2*, и рассмотрим инволюцию Т х 1 на К = (Sn — int D”) х 1 с эквивариантно сглаженным углом. Тогда на основании теоремы об /г-кобордизме К ^ D”+1, и на границе инволюция в точности есть (S”, Т, S6) # #—(S", Т, S6). Так как линейное действие на любом из «слагаемых», очевидно, не меняет связной суммы, то из этих замечаний следует искомый результат. |
Эти группы Ф*, очевидно, представляют основной интерес при изучении гладких инволюций сфер. Для п > 2k достаточно много информации о них было получено ранее Джон сом [2]. Докажем три общих результата, касающихся этих групп, два из которых покажут, что многие из этих групп бесконечны.
Ясно, что если мы рассмотрим инволюции на гладких ориентированных гомотопических сферах, то получим аналогичные
группы 0*. Очевидно, что существует точная последовательность О->Фа->0?->0л, где 0" — группа ориентированных гомотопических сфер относительно связной суммы. Так как 0Л —конечная группа, то некоторый кратный любого элемента из 0* является элементом группы Ф*.
Теорема. Для 1 ^к^п инволюция Т: (z0, ..., z2n+1) н-♦ I—* (z0, ..., z2*, — г2й+1. •••. — г2п+1) на многообразии Брискорна Ц7з"+1 (см. § 9 гл. V) определяет элемент в 0^1 L порядок которого либо бесконечен, либо делится на 22A(22fc"1—1) аА, где ah = 1 для четных к и ак = 2 для нечетных к. Заметим, что, так как W7^41 представляет собой (4п +1)-мерную сферу Кер- вера, то удвоение этого элемента всегда принадлежит подгруппе Ф«11.
Доказательство. Множество неподвижных точек этой инволюции есть М^* + ! (Заметим, что группы гомологий многообразия U7^ + ‘ имеют 3-кручение согласно § 7 гл. I). В доказательстве будем использовать р-инвариант Иллса и Кюй- пера [1] (также см. Монтгомери и Янг [7]). Нам будут нужны только следующие свойства инварианта р. Он определен (в частности) для гладких ориентированных Z2-гoмoлoгичecкиx (4&—1)-мерных сфер 2, которые ограничивают спинорные многообразия. Он принимает значения в (Q/Z и является гомоморфизмом (относительно связной суммы). Существует формула, выражающая р через классы Понтрягина и сигнатуру ограничиваемого спинорного многообразия №. Нам это будет нужно только в том случае, когда №—либо параллелизуемое многообразие, либо Z2-гoмoлoгичecкий (и, следовательно, рационально гомологический) диск, и в этих случаях р (2) = o\W)Jbk е (Q/Z, где а(№)— сигнатура многообразия W (т. е. сигнатура формы пересечений на H2k(W; (Q)) и bk = — 22*+1(22^1- l)aft. (Конечно, о(№) = 0 и, следовательно, р(2) = 0, если W есть Z2-гoмoлoгичecкий диск.) .
Для данной инволюции на №з” + 1 мы используем тот факт, что множество неподвижных точек есть №з*~1 ^ др41* (А2) и что матрица формы пересечений многообразия Д4*(Аа) есть L J (см. § 8 гл. V и V.9.2). Итак, o(Plk (Аа)) = 2.
Предположим, что /п[№зл + ’; Т] = 0 в ©^±1. Тогда инволюция на m-кратной связной сумме многообразий №зл+1 ограничивает такую инволюцию на 64я+2, множество неподвижных точек которой заведомо представляет собой Z2-roMoflorH4ecKHft 4^-мерный диск. Итак, т№з*-1 == №з*~"1 #... # №з6~"1 (т раз) ограничивает Z2-roMoflorH4ecKHft диск, так что р (mW^ ~ ’) = 0. Однако отсюда
следует, что 0 = mp,^Wlk '?) = moUyik (Х^ в (Q/Z, а это означает, что ЬД2 — делитель числа т. j
Замечание. Это не лучшее, что можно сделать. Например, можно также использовать Х-ипвариант Милнора, который определен, в частности, для всех Z2-гoмoлoгичecкиx (4^ — 1)-мерных сфер и задает гомоморфизм к. б^-т-^Щ/Х, после перехода к множеству неподвижных точек. Мы отсылаем читателя к И л с у и Кюйперу [1] за определением этого инварианта и сравнением его с р. В малых размерностях р дает лучшую информацию, чем X, но, вообще говоря, вместе они дают лучшую информацию, чем каждый из них в отдельности. Например, в случае ^ = 6, используя Х-инвариант, можно описанный в теореме 8.3 делитель увеличить в 691 раз.
На самом деле, можно предположить, что элементы, рассмотренные в 8.3, имеют бесконечный порядок. При п = к это можно показать с помощью метода, который мы используем для того, чтобы доказать следующий результат.
Теорема. Для k^2 инволюция Т: (и, и, zu .... z^v—*
(и, у, zv ..., zk v — гф на сфере Брискорна W»k*v (см. § 10 гл. V) определяет элемент бесконечного порядка в 6^±Ь
Доказательство. Пусть 2п 5з к + 2, и пусть G = О (2л — k). Рассмотрим G-многообразие l^g”^, где G действует как О (2л— k) на последних 2п — к координатах1). Заметим, что стационарные типы этого действия суть G, К = О(2п — к — 1) и Н = О(2п — к — 2). Рассматривая это, легко видеть, что представление группы G в окрестности неподвижной точки есть сумма удвоенного стандартного представления с тривиальным (2^+1)-мерным представлением, а срез представления изотропии группы К есть сумма стандартного представления с тривиальным (2^+1)-мерным представлением.
Итак, пространство орбит X = W^^G с топологической точки зрения есть (2^ + 2)-мерное многообразие с краем В. Заметим, что при возрастании п (и, соответственно, при увеличении G), орбиты не изменяются и, следовательно, пространство X не зависит от п. Кроме того, заметим, что F^K, несет индуцированное действие группы Z-2 ^ N (К)1 К, соответствующее данной инволюции Т на ^*в+1. Таким образом, существует каноническое отождествление пространства орбит инволюции Т с пространством В особых орбит: W^1{T^B = dX. Так как к^=2, то (см. V.11.1) №з*+1 и W7^1 односвязны. Так как существуют неподвижные точки, то из II.6.3 следует, что X и В односвязны. Далее, мы утверждаем, что X ациклично и, следовательно, является
диском. Чтобы убедиться в этом, заметим, что все орбиты группы G являются (2и — & — 3)-связными, поэтому для t ^ 2п — к — 3 в силу теоремы Вьеториса — Бегля об отображениях имеем Я'(Х; Z)^
H^WaV1; Z); см. Спеньер [1], с. 445. Далее, в силу V.9.5 ^зл-1 является гомотопической сферой. Таким образом, если взять 2п — к — 3 5з dim X = 2^ + 2, то X окажется стягиваемым. Так как В односвязно, то X^D2W.
Итак, повторяется ситуация из §7. Пусть 226-1^52*+! обозначает подмногообразие, соответствующее многообразию F(T, Й^Д1) = = Й^Д* в Й/?В+7Д = В ^S*1. В обозначениях § 7 имеем
w4avx ^ м4п-Ч^-х\
Взяв m-кратную связную сумму этих многообразий относительно окрестностей неподвижных точек, получим, очевидно, что
для любого целого т>0.
Теперь предположим, что /п[й7д68+1, Т] = 0 в 0^17 Это означает, что существует инволюция Т на D2ft+2, которая продолжает инволюцию, заданную на тй?^41 ^Sto + 1. Тогда F^ = F(T’, D2'1") есть Z2-гoмoлoгичecкий диск. Далее, пространство D2*+2/T' односвязно, и можно показать, что его целочисленные гомологии тривиальны (см. упражнение 3 гл. III). Таким образом, D2**2/?' представляет собой (2^ + 2)-мерный диск, и F^cD^jT', очевидно, имеет край
т^*1 с: 5м 4 7Г = т (Г26 + 7 7) = mB = S2*4 *.
Иными словами, mS2^1 с: S2ft+1 есть край Z2-гoмoлoгичecкoгo диска В2* с: D2fc+2. На основании § 7 отсюда следует, что
тй/^Д1 ^ М№-х ^т^"1^Mto-X <дРгк^дМ1п^к\
Более того, как отмечено в § 7, /И4л (F2k') Z2'aцикличнo. В частности, сигнатура многообразия /И4"^2*) равна 0, поэтому для ^-инварианта Иллса— Кюйпера получаем:
тцИГ^Р^ГД^О в (Q/Z.
С другой стороны, легко видеть, что Й?7Д* ограничивает парал- лелизуемое многообразие сигнатуры ±8; см. Брискорн [I] и Милнор [7|. (В этом легко убедиться, показав, что О (2« — 1)- многообразие HB*"(EJ соответствует торическому узлу типа (3, 5) и поэтому эквивалентно многообразию Й^Д1 (см- §§ Ю и 11 гл V), а также с помощью нетрудного и хорошо известного вычисления
сигнатуры многообразия Р4л(Е8); (см. Хирцебрух [2]). Итак, н(^зл~') = —8/Ьп, так что Ьп — делитель числа 8m. Однако Ьп строго возрастает при возрастании п, а п произвольно и не зависит от т. Это противоречие показывает, что ни одно кратное данной инволюции на W7^1 не может быть продолжено на D‘2*+2. |
Замечание. Существует тесная взаимосвязь между вышеизложенным доказательством и понятием сигнатуры узла; см. Эрл [1, 2]. Например, вместо сигнатуры узла можно использовать технику вышеизложенного доказательства для того, чтобы показать, что любой нетривиальный торический узел в S3 имеет бесконечный порядок в группе Фокса— Милнора кобордизмов узлов; см. Милнор [6]. Можно надеяться, что в случае коразмерности 2 Фп-2 может быть полностью вычислена; см. Левин [2].
Наш следующий результат по существу получен Браудером и Петри [1], которые построили некоторый инвариант для инволюций определенного типа. Мы дадим более сильную геометрическую конструкцию этого инварианта. Кроме того, область определения нашего инварианта будет отличаться от области определения инварианта Браудера и Петри (в их конструкции нижеследующее (а) заменяется требованием того, чтобы МТ было рационально гомологической (2^ — 1)-мерной сферой, где &=#п, а в (Ь) нет необходимости).
В дальнейшем будем предполагать, что Т — сохраняющая ориентацию гладкая инволюция на замкнутом ориентированном (4п — 1)-мерном многообразии М, для которой:
Мт есть такое гладкое (2^ — 1)-мерное многообразие, что Htk_4n(MT; (Q) = 0.
Существует ненулевое векторное поле g, нормальное к Мт в многообразии М.
Существует такое ориентированное 4«-мерное многообразие W, что dW = М и что Т можно продолжить до гладкой инволюции на W.
Заметим, что W7 и Мт могут быть неориентируемыми. Кроме того, Мт (и Л4) может быть несвязным и к может меняться в зависимости от компоненты; при этом условие (а) должно быть справедливо для каждой компоненты в отдельности.
Предположим, что W имеет такой же смысл, как в (с), a £ имеет такой же смысл, как в (Ь). Тогда £ можно продолжить до поля |г, нормального к WT в W, возможно имеющего особенности. Предполагая, что поле ^ мало (это не повлияет на рассуждения), мы можем применить к экспоненциальное отображение, и тем самым получим сдвинутый образ Wr(^i) многообразия W1 в W. Более того, слегка заменив ^, можно предположить, что ^(gj) трансверсально пересекает WT. Тогда WT р WT (|J есть замкнутое (4^ —4п)-мерное многообразие, нормальное расслоение которого,
естественно, является ограничением удвоенного нормального расслоения многообразия W77 в W. При этом ориентация многообразия Vr П ^(Ь) канонически индуцируется ориентацией многообразия №. .Любое другое продолжение S2 поля g, такое, что W77^) трансверсально многообразию WT, гомотопно полю ^, и гомотопию можно видоизменить (сделать ее трансверсальной) так, чтобы получить кобордизм между WT П WT (^) и WT П WT (g2). Так как сигнатура есть инвариант кобордизма, то сигнатура многообразия WT П WT (SJ зависит только от WT и от (ненулевого) класса гомотопий нормального поля £ к Мт в М. Обозначим эту сигнатуру через o(WT-Wr, 1). Рассмотрим, далее, симметричную билинейную форму (ос, Р) = а-7Р, задаваемую пересечением циклов из группы H2n(W; (Q). Сигнатуру этой формы обозначим через Sgn (Т, W). Положим
ЦМ, Т, l) = a(WT-WT, 9-Sgn (7, WV
Мы утверждаем, / (/И, Т, £) не зависит от выбора W. Действительно, если W\ —другое ограничивающее многообразие, удовлетворяющее условию (с), то X = № (J (— ^i) есть замкнутое многообразие с инволюцией. Если £ —некоторое ненулевое поле, нормальное к многообразию Мт в Л4 = Й7ПЙ71, то ясно, что
а(Хт.Хт^о^т^т, ^-o(wT-WT, g).
Более того Sgn (7, X) = Sgn(7, W) — Sgn (T, W^-, см. Атья и Зингер [2], с. 167 и Хирцебрух [3]. Наибольший интерес для нас представляет случай, когда М = 8W — рационально гомологическая сфера; для этого случая последняя формула очевидна. На основании теоремы Атьи и Зингера о G-сигнатуре (см. Атья и Зингер [2], с. 162, а также Хирцебрух [3] и Ених и Осса [1]) имеет место равенство Sgn (7, X) = 0(ХТ • Хту, отсюда следует, что ЦМ, Т, £) не зависит от W.
Заметим, что мы не предполагали М связным. Очевидно, что инвариант ЦМ, Т, £) аддитивен относительно дизъюнктного объединения.
Лемма. (1). Если инволюция (М, Т) является границей инволюции (W, Т), такой, что Hik-in(WT-, (Q) = 0, где 4imWT = 2k (т. е. это равенство выполняется индивидуально для каждой компоненты многообразия WT с соответствующим k), то ст (№Т • Wт, |) = О для любого £ и, следовательно, ЦМ, Т, |) = — Sgn (7, Wy
В общем случае I (/И, 7, £) не зависит от §.
Доказательство. Сначала покажем, что из (1) следует (2). Пусть £ и В' — два ненулевых нормальных поля к МГ в М. Рассмотрим W = MxY с полем £ на Л4гх{0} и полем V на M^xjl} и с инволюцией 7x1. Для множества неподвижных точек Wr =
= МТХ1 в силу предположения (а) имеет место равенство
Н4к-4п^т\ ^^Н4к_,ЦМт-, (Q) = 0.
Так как Н,Ц^ = Н^ЦМ хТ^^ТицМ^, то геометрически очевидно, что форма пересечений на W нулевая. Тогда в силу (1) имеем
0 = — Sgn(Txl, Г) =
= /(A4x{0)U(-M)X{l}, тут, тч = цм, Т, ^-ЦМ, Т, ^.
Итак, достаточно доказать (1).
При доказательстве части (1) мы будем предполагать, что читатель знаком с теорией ^-ряда и с теоремой Хирцебруха о сигнатуре; см. Атья и Зингер [2], с. 156х). Через Y обозначим самопересечение WT Г) WT (^) для некоторого подходящего продолжения ^ поля £; напомним, что Y не пересекается с М = dW. Кроме того, dim У = 4А — 4и. Пусть t: У-^ № — включение. Нормальное расслоение подмногообразия Y в WT изоморфно ограничению на Y нормального расслоения v подмногообразия WT в W. Так как X задается мультипликативной последовательностью, то X (Y) = I* (т), где т = jf (W77) jf (и)'1. (Это — неоднородные абсолютные классы рациональных когомологий.) Итак, o(WT -WT,l) = = a^-L (У) = 2^Z (У) [У] = 2^-?"t* (т) [У] = 2“-2лт (ц [У]). Однако по предположению i* (У) е /Тм-т (WT; (Q) = 0 и, следовательно, a(WTWT, £)=0. |
Так как ЦМ, Т, £) не зависит от £, то будем его обозначать теперь через ЦМ, Т). Заметим, что из определения немедленно следует, что этот инвариант аддитивен относительно связной суммы, так же как и относительно дизъюнктного объединения (где сумма берется в тех точках, которые принадлежат компонентам множеств неподвижных точек одной и той же размерности).
Предположим, что (М, Т) и (М', Т') — инволюции на (4п — 1)- мерных гомотопических сферах с (2А—1)-мерными множествами неподвижных точек. Также предположим, что (М, Т) Т-эквива- лентна инволюции (М', Т'). Если (М, Т) ограничивает некоторую инволюцию на некотором ориентированном 4п-мерном многообразии, то и (ЛГ, Т') ограничивает некоторую инволюцию на некотором ориентированном 4п-мерном многообразии. Таким образом, в этом случае и для п^к определены оба инварианта ЦМ, Ц и / (ЛГ, Т'). Более того, из определения L-эквивалентности и из 8.5 немедленно следует, что ЦМ, Ц—ЦМ', Т'^0. Итак, / определяет аддитивный целочисленный инвариант на его подгруппе определения в Э^-ь к^=п.
Теорема. Для k^n инволюция (и, и, z^ ..., г2«-1)*—* I—* (и, и, zv ..., zft_n — г*, ..., — z^-j) на сфере Брискорна ТГзУ"1 определяет элемент бесконечного порядка в 0^3 $.
Доказательство. Достаточно показать, что инвариант / не равен нулю для рассматриваемой инволюции. Будет несколько более удобным рассматривать соответствующую инволюцию Т на многообразии дР4п (Е8); см. § 8 гл. V. (Как было отмечено выше, на основании классификации заузленных многообразий можно показать, что дР4п (Е8) эквивалентно, как О (2л — 1 (-многообразие, многообразию W7^1. Мы считаем, что это так, но заметим, что при вычислении инварианта / {дР4п (Е8), 7) этот факт не будет использоваться.) Инволюция Т канонически продолжается на Р4л(Е8). Более того, Нгп (Р'" (Е8() — свободная абелева группа ранга 8; она порождается восемью 2п-мерными сферами, которые используются при определении водопроводного соединения; см. § 8 гл. V. В силу этого очевидно, что индуцированная инволюция T* на Н2„ (Р4п (Е8)) есть Г*(а) = (—1)*а. Таким образом, матрица билинейной формы (ос, Р) — ос-Т^р есть умноженная на (—I)6 матрица пересечения для Р4п (Е8), и поэтому имеет сигнатуру ± 8.
Заметим, что множество неподвижных точек инволюции Т на /)4л(Е8( есть P2ft(E8). Далее, многообразия Р4л(Е8) и Р4л~2(Е8) параллелизуемы, и поэтому нормальное расслоение пространства Р4п2 (Е8) в Р4п (Е8) стабильно тривиально. Однако каждое стабильно тривиальное двумерное расслоение само тривиально, так как оно ориентируемо и классифицируется своим классом Чженя сп который стабилен. Итак, подмногообразие Рйк (Е8) ед Р4п~г (Е8) cz Р4п (Е8) имеет ненулевое нормальное поле (действительно, его нормальное расслоение тривиально), и потому его самопересечение может быть выбрано пустым. Таким образом, по определению инварианта I имеем /(^"(Eg), 7) = —Sgn(7, Р4л (Е8)) = ±8. |
Полусвободные действия окружностей
В этом параграфе мы будем рассматривать гладкие полусвободные (т. е. свободные вне множества неподвижных точек) действия окружности S1 на дисках и гомотопических сферах. Предположим, что S1 полусвободно действует на 2Л с множеством неподвижных точек S*. Случай k = n — 2 был уже рассмотрен в 6.3 и V.6.2 (см. также V.2.2). Таким образом, мы можем считать, что &<п —2. Далее, S* —целочисленно гомологическая сфера, но она может не быть односвязной. Примеры даются подходящим S1 = SO (2)-действием на многообразии Брискорна Ws't-^» оставляющим неподвижным многообразие ^3,B, и связными суммами таких действий. Однако здесь мы не будем касаться этого, и предположим далее, что S* — гомотопическая сфера. Анало-
гично, рассмотрим полусвободные действия на D”, оставляющие неподвижным некоторый диск D*. Все результаты этого параграфа имеют аналоги для полусвободных 83-действий, и мы предоставим читателю восполнить очевидные недостающие детали.
Теорема. Пусть S1 действует на D” полусвободно и гладко, оставляя неподвижным, h-мерный диск D* (вложенный любым способе,м в D”). Предположим, что п^Т. Тогда это действие гладко эквивалентно ортогональному действию.
Доказательство. Как уже отмечалось, мы можем предположить, что h<n — 2. Пусть р — внутренняя точка диска D*, и пусть Вп с int D” — инвариантный замкнутый диск, являющийся такой окрестностью точки р, на которой S1 действует ортогонально (такая окрестность существует в силу теоремы 2.2 об инвариантной трубчатой окрестности). Пусть X = D” — int Вп, и пусть Хо = = дВп и X^dD" —две граничные компоненты пространства X. Далее, Вп П D* — замкнутый ^-мерный диск в intD\ и так как любой такой диск переводится в стандартный концентрический диск некоторой объемлющей изотопией, то X f) D*^ S^1 х[0, 1]. Таким образом, существует такая гладкая функция ф: XQD*^- ->[0, I], что ф = 0 на XgOD*, ф=1 на X, П D* и ф не имеет критических точек. Очевидно, что, используя склейки, мы можем продолжить ф до такой гладкой функции ф: X—-[О, 1], что ф = 0 на Хо, ф = 1 на X] и ф не имеет критических точек на Хо, Xj или на X П D* и, следовательно, на окрестности этих множеств. Усредняя, мы получим гладкую функцию ф: Х->[0, 1. вида ф (х) = $ ф (gx) dg, которая инвариантна, равна 0 на Хо и I на X] и не имеет критических точек на некоторой окрестности множества (X П Dft) (J Хо U X].
Положим W = (X — D^/S1; это открытое (п — 1)-мерное многообразие с граничными компонентами IFO = (Хо — D6)/S' = = (дВ" - D^/S1 и W^ = (X] — D'Q/S1 = (dD” — dD^/S1. Так как функция ф инвариантна, то она индуцирует гладкую функцию ф*: IF ->[0, 1], которая равна 0 на Fo, 1 на IF] и критические точки которой содержатся в компактном множестве, лежащем в int Г.
Очевидно, что мы можем модифицировать ф* и, следовательно, ф, изменяя ее только на некотором компактном подмножестве множества int IF таким образом, что новая функция ф* будет иметь только невырожденные критические точки, см. Милнор [5]. Мы предположим, что это сделано.
Далее, используя любую инвариантную риманову метрику на D”, рассмотрим градиентное векторное поле §габф на X. Траектории этого поля в D*QX идут из D*QX0 в D*nXt и, следовательно, существует такая окрестность множества D* Q X, на которой траектории проходят из Хо в Хг. (Если читатель
предпочитает, то можно начинать с (р, определенной на инвариантной трубчатой окрестности множества D* П ^ в X; и тогда это будет совсем очевидно.) Далее, поле grad ф инвариантно относительно З^действия и, следовательно, индуцирует векторное поле ? на W, которое, очевидно, градиентноподобно для ф*; см. Милнор [5], с. 25. (На самом деле с есть grad ф* в очевидной индуцированной римановой метрике на W.) Кроме того вне некоторого компактного множества траектории поля £ проходят из Wo в Wv Итак, даже если W некомпактно, то траектории поля £ или любого векторного поля, которое совпадает с с вне некоторого компактного множества в int F, никогда не выходят из W, т. е. они проходят из Wo или в W^ (за конечное время), или выходят из критических точек или входят в критические точки (когда время стремится к ±оо).
Так как k<n — 2, то X — Dk~Dn — D* односвязно, и включение S”-6-1 ->- X — D* сферы в плоскость, нормальную к D*, индуцирует гомологический изоморфизм и, следовательно, является гомотопической эквивалентностью. Аналогичные замечания можно сделать относительно Хо—D6 и Xj — D*. Так как эти пространства являются главными З^расслоениями, то отсюда немедленно вытекает, что включения W0-^W и Wr-^W представляют собой гомотопические эквивалентности, и гомотопический тип этих пространств такой же, как у S'^^VS1 ^€РГ"1, где г = (п — /г)/2. Итак, (W, Fo, Fj) — односвязный /i-кобордизм.
Отсюда очевидно, что в данном случае можно повторить доказательство теоремы об /г-кобордизме, данное Милнором [5]; тем самым гарантируется существование модификации 9*; №->-[0, 1] функции ф* (и модификации поля £, которую мы здесь не учитываем), причем модификации задаются только в некотором компактном подмножестве множества int V таким образом, чтобы новая функция 6* не имела критических точек и принимала на Wo значение 0, а на U7] значение 1. Взяв композицию функции 6* и орбитного отображения и используя то, что б*=ф* вне компактного множества, получим инвариантную гладкую функцию 6: Х->[0, 1], не имеющую критических точек и принимающую на Хо значение 0, а на Xt значение 1. Тогда grad 6 — инвариантное векторное поле, все траектории которого проходят из Хо в X]. Отсюда немедленно следует, что существует эквивариантный диффеоморфизм X Хо х[0, 1] = дВ"х[0, 1], являющийся продолжением тождественного отображения на Х0 = дВп. Так как S’ ортогонально действует на Вп, то отсюда следует, что данное действие на D” = Вп U X гладко эквивалентно этому ортогональному действию |
Замечание. Очевидно, что метод доказательства теоремы 9.1 можно индуктивно перенести на любой орбитный тип для того, чтобы доказать общую теорему об эквивариантном /i-кобор-
дизме. Однако необходимые предположения настолько сильны, что вряд ли целесообразно давать общую формулировку или доказательство такой теоремы.
Пусть S1 = SO(2) действует на R" как сумма r-кратного стандартного представления с тривиальным ^-мерным представлением, где п = 2гЦ-к. Очевидно, что, с точностью до ортогональной эквивалентности, это единственное ортогональное полусвободное S1- действие на R”, оставляющее неподвижным R*. Обозначим ограничение этого действия на единичный диск D” через D*.
Удалив диск с центром в неподвижной точке некоторого действия на гомотопической сфере, мы видим, что из 9.1 вытекает следующая теорема. Скрученной /с-мерной сферой назовем гомотопическую ^-мерную сферу, которая является результатом склейки двух ^-мерных дисков посредством диффеоморфизма их границ. Напомним, что для , 4 любая гомотопическая ^-мерная сфера есть скрученная ^-мерная сфера.
Следствие. Пусть S1 действует гладко и полусвободно на гомотопической п-мерной сфере Sn (п^7), имея множеством неподвижных точек некоторую скрученную k-мерную сферу Тогда это действие гладко эквивалентно S'-действию на Dk\J($Dk, где <р: dDnk-*dDk — некоторый эквивариантный диффеоморфизм1). |
Так как любое такое отображение ф продолжается до эквивариантного гомеоморфизма пространства D£ посредством взятия конуса, то мы имеем следующий результат.
Следствие. Пусть S1 действует на 5” как в 9.2. Тогда это действие топологически эквивалентно ортогональному действию на S” (т. е. действию на сЮ*ф}), и эта эквивалентность может быть сделана диффеоморфизмом вне некоторой точки, g
Замечания. Случай 6 = 0 теорем 9.1 и 9.2 рассмотрен Стюартом [3]. Коннелл, Монтгомери и Янг [^доказали теорему, аналогичную теореме 9.1, для случая действий на R", используя технику леммы о поглощении. Из их результатов следует усиленный вариант теоремы 9 3. Можно другим способом разложить полусвободное действие на 2”, а именно, вырезать трубчатую окрестность множества неподвижных точек и использовать для описания дополнения теорему об /i-кобордизме. Этот метод в некоторой степени использован Браудером [2], который применил его для того, чтобы доказать, в частности, существование бесконечного множества экзотических примеров для п = 4т+1. Другие экзотические примеры полусвободных S-действий на гомотопических сферах были построены Бредоном [18, 19] и Монтгомери и Янгом [5].
!) Имеется в виду, что па каждом из дисков S1 действует ортогонально.— Прим, перев.
Используя Хг-действие, индуцированное данным З^действием, можно при помощи теоремы 8.6 доказать существование бесконечного множества экзотических примеров полусвободных 84-действий на S4"1-1. Однако следующая теорема даст несколько лучшие результаты (заметим, что для доказательства этих результатов мы не предполагаем полусвободности действия).
Теорема. Пусть S1 действует гладко и нетривиально на ориентированной гомотопической сфере Е4”-1, и пусть это действие продолжается до гладкого действия на некотором ориентированном параллелизуемом многообразии Wln, где dW = 2. Тогда сигнатура g^W) многообразия Wtn есть инвариант действия на Е4"-1.
Доказательство. Предположим, что S=dW’, причем W параллелизуемо и 84-действие продолжается на №'. Мы должны показать, что g(W) = a (U7'). Положим У = 1Уи(—W\ Тогда У— ориентированное почти параллелизуемое многообразие, на котором действует 8*, и мы должны показать, что о(У) = 0. Используем замечательную теорему Атья и Хирцебруха [2], которая утверждает, что если замкнутое спинорное многообразие У (т. е. У— ориентируемое многообразие слш2(У) = 0) допускает нетривиальное гладкое 81-действие, то Л-род этого многообразия равен О, Л (У) — 0. Далее, для почти параллелизуемого 4п-мерного многообразия У имеем ш2(У) = 0 и р/=0, 0</<п, где, pt — рациональные классы Понтрягина. Но о(У) = Т(У), а Л (У) в наших условиях должен быть ненулевым кратным числа Понтрягина р„(У)[У]; см. Хирцеб^рух [1]. Следовательно, о (У) есть рациональное кратное числа Л (У), которое равно нулю, если S1 действует на У гладко и нетривиально. Действительно о(У) =— 22л+1 (2Л-1—1)Л (У), где У —почти параллелизуемое замкнутое 4п-мерное многообразие.) |
Замечание. Этот инвариант можно обобщить, используя рациональный щ-инвариант Иллса — Кюйпера. Обобщенный инвариант можно определить таким же образом, как это сделали Илле и Кюйпер [1] (также см. Монтгомери и Янг [7]), но со значениями в кольце рациональных чисел, а не в группе к ^Ц. Он определяется для того же класса (4п — 1)-мерных многообразий, что и обычный инвариант, но при условии, что S1 действует на этих многообразиях гладко. Его можно вычислить с помощью некоторого спинорного 4п-мерного многообразия 1У (с S1-действием), границей которого является данное многообразие. Разность значений этого инварианта, вычисленных с помощью 4ц-мерных многообразий 1У и 1У', таких, что dW=dW, есть в точности кратное A-рода замкнутого спинорного многообразия W U (—W'), и эта разность равна 0, так как S1 нетривиально действует на этом многообразии. Таким образом, это рациональное число p.(dW), вычисленное с помощью W, есть инвариант
S'-действия на dW. Если dW — гомотопическая сфера, то для вычисления можно использовать любое ограниченное ею спинорное многообразие с 51-действивм. Если W параллелизуемо, то при данном п инвариант ц(5№) в точности равен сигнатуре а^), умноженной на постоянный4) множитель, так что этот инвариант обобщает инвариант из теоремы 9.4.
Следствие. Существует бесконечное множество различных полусвободных 51-действий на S1^1 с множеством, неподвижных точек, диффеоморфным сфере S4-1, для любых 1 <,к<_п.
Доказательство. Рассмотрим (2га + 1)-мерное представление группы S4 = SO(2), являющееся суммой (п — к)-кратного стандартного представления и тривиального (2^ +1 (-мерного представления. Оно индуцирует полусвободное 84-действие на многообразии8) Р4,!(Е8), оставляющее неподвижным Р4*(Е8). (Это же имеет место при к=1, но тогда край <ЭР4(Е8) не является односвязным.) Так как 5Р4"(Е8) и дР4А(Е8) —гомотопические сферы, то некоторые кратные их (относительно связной суммы), скажем, r-кратные, являются стандартными сферами (например, если « = 3 и ^ = 2, то подходит г ==6944). Итак, r-кратная эквивариантная связная сумма этого действия на дР4п (Е8) представляет собой полусвободное действие на S4”-1, оставляющее неподвижным S4*-1 и ограничивающее 81-действие на параллелизуемом 4«-мерном многообразии W = rP4n (Е8), которое имеет сигнатуру g(F) = ± 8г. Связные суммы / экземпляров этого действия, для / = 1, 2, 3, ..., различаются тогда с помощью инвариантов a(j\V)™ ± 8г/. |
Замечание. Из теоремы 9.1 следует, что для « ^ 6 классы полусвободных ориентированных эквивариантно диффеоморфных S1- действий на ориентированных гомотопических «-мерных сферах, оставляющих неподвижной скрученную ^-мерную сферу, образуют абелеву группу 0* (S1) относительно связной суммы. Доказательство теоремы 9.5 показывает, что данное действие на дР4п (Е,) имеет бесконечный порядок в ©^^’(S1) для !<&<«.
Следствие. Существует сглаживаемое многообразие Л412, которое допускает эффективное локально гладкое полусвободное S4-deucmeue, но не допускает никакого нетривиального гладкого S'-действия ни в какой дифференцируемой структуре.
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 9.5, возьмем связную сумму г экземпляров канонического полусвободного 84-действия на Р12(Е8), оставляющего неподвижным Р8(Е8), с таким г, что rdP'^EJ^S11 (подходит г = 992). Пусть Л412 = = rPi8(E8)UD«— гладкое почти параллелизуемое многообразие с сигнатурой ± 8г =^0. На D12 возьмем конус над данным дсй-
То есть не зависящий от выбора параллелизуемого многообразия U7.— Прим, перев.
ствием на г дРм (Е8) S11. Тогда в силу 9.3 действие на Ми будет локально гладким.
Так как Н4(,М1а; (Ц) = 0 = Н8 (,ММ\ (Q), то отсюда следует, что для любой дифференцируемой структуры на /И12 число А (Л/12) есть ненулевое кратное числа о(Л412)#0 и, следовательно, А (Л112) Ф 0. (Альтернативно, можно использовать то, что А (М) есть топологический инвариант пространства М, так как рациональные классы Понтрягина являются топологическими инвариантами многообразия).) В силу теоремы Атья и Хирце- бруха [2], цитированной в доказательстве теоремы 9.4, отсюда следует, что Л412 не несет никакого гладкого З^действия ни в одной дифференцируемой структуре. (Альтернативное доказательство может быть основано на том, что /И12 почти паралле- лизуемо в любой дифференцируемой структуре, так как оно 5- связно и лБ (SO (12)) = 0. Итак, 9.6 действительно является следствием теоремы 9.4.) |
Представления в неподвижных точках
Пусть G —компактная группа Ли и пусть 0: GxM-^-M— гладкое действие группы G на многообразии М. Если хе.М- неподвижная точка, то индуцированное действие группы G на касательном пространстве Т^(М) есть представление 0Х группы G. (Заметим, что если М снабжено инвариантной римановой метрикой, то ©х — ортогональное представление.) Пусть хну— неподвижные точки; сравним представления 6Х и 0У. Если х и у принадлежат одной и той же компоненте множества Ма, то очевидно, что 0Х и 0У эквивалентны, поэтому нас не будет интересовать случай, когда Мс связно. Чаще всего мы будем ограничиваться случаем, когда G = ZP или G = S’.
Подходящим средством для изучения этого вопроса является эквивариантная /(-теория. Нам понадобятся только некоторые элементарные свойства /(-теории и, в основном, будет достаточно книги Атья [2]. Мы будем пользоваться и ортогональной /(-теорией, обозначаемой через КО, и унитарной /(-теорией, обозначаемой через KU Для утверждений, применимых и к тому, и к другому случаю, мы будем использовать обозначение К-
Напомним вкратце некоторые факты, которые понадобятся в дальнейшем. Если X —компактное G-пространство, то /(О(Х) — факторгруппа свободной абелевой группы, построенной на классах эквивалентности [£] векторных G-расслоений £ (вещественных для КОо^Х) и комплексных для KUa^X)) над X по подгруппе, порожденной элементами [^®л]~ [&] —[л]- Полученная фактор-
группа обладает кольцевой структурой, индуцированной тензорным умножением векторных G-расслоений. Для точки * кольцо Ко(*) в точности есть кольцо R^G) [ = /?O(G) или Z?(/(G)] представлений группы G, которое аддитивно изоморфно свободной абелевой группе, порожденной неприводимыми представлениями группы G. Заметим, что Ко — контравариантный функтор. Для любого X проекция е: Х->-* индуцирует из любого представления р группы G векторное G-расслоение е* (р) над X. Эта конструкция определяет гомоморфизм е*: R (G) = Кд (*)-*-Кд (X). Заметим, что е* есть мономорфизм на прямое слагаемое в случае, когда в X имеются неподвижные точки, но в общем случае, при Xе = ф, это неверно. Положим Кд (X) = coker е*. Далее, для любого векторного G-расслэепия £ над компактным G-пространством X существует такое векторное G-расслоение ц, что £ © ц есть произведение пространства X с некоторым представлением р и, следовательно, [^фц] = 8* [р] s Кд (X); см. Атья [2]. Отсюда следует, что любой элемент группы Ха(Х) имеет вид [£] —е*[р], где ^ — некоторое векторное G-расслоение и р —некоторое представление. Отсюда следует также, что для векторных G-расслоений | и ц над X равенство [Е] = [л] в Хо(Х) имеет место тогда и только тогда, когда ё и ц стабильно эквивалентны, т. е. когда существует такое представление р, что расслоения ^фв* (р) и цф8*(р) эквивалентны.
Пусть SX — (неприведенная) надстройка над пространством X с вершинами w0 и wv Включение bf. |ш;}->5Х индуцирует гомоморфизм b*: Кд (SX^ ^ Ка Су?)-^ R (Д'), и мы определим Р: Кд (SX) -^-R (G) как разность Ь* — Ь». Так как Ь?е* = 1, то Рв*=О и, следовательно, гомоморфизм р пропускается через Ko(SX). ,
Предложение. Последовательность Кд (SX) ^R(G)^
— Ка^Х) точна.
Доказательство. Заметим, что эта последовательность получается из последовательности Майера — Вьеториса, если R (G)®R (G) заменить группой R^G), но желательно иметь и прямое доказательство. Гомоморфизмы &*bt индуцируются постоянными отображениями X -*Wi е SX; так как оба эти отображения эквивариантно гомотопны, то e*bo=e*b* и, следовательно, е*р=О. Предположим, что 8*[р0] = 8*[р1]. Тогда е*р0 стабильно эквивалентно расслоению 8*рх; иными словами, найдется такое представление р, что е* (рофр) ^ е* (Р1Фр). Далее, проекция конуса СХ в вершину индуцирует из р,фр векторное G-расслоение ^ над СХ, и Ео эквивалентно над границей X конуса СХ. Следовательно, с0 и ^ можно склеить и получить тем самым векторное G-расслоение над SX. Очевидно, что Р (£) = &* (9— — bo (9=[piФр] - [ро©р]=[pd - [ро]-1
Если ? —векторное расслоение над Х/G, то расслоение, индуцированное из 5 проекций X -* Х/G, есть векторное G-расслоение над X. Оно индуцирует гомоморфизм у: X (X/G)-> Хо (X), который в случае свободного G-действия на X является изоморфизмом, обратное отображение в этом случае строится посредством перехода к пространству орбит G-действия на тотальном пространстве векторного G-расслоения над X.
Пусть теперь Еа -> BQ — главное универсальное G-расслоение, где классифицирующее пространство Во является клеточным пространством с конечными остовами. Пусть В^ есть 6-мерный остов пространства Ва, а Е^ — его прообраз. В основных интересных для нас случаях, когда G = ZP или G = S1, в качестве Eq можно взять бесконечномерную сферу S” = ^J S2n+1. В специальном случае Х = Е^ мы пишем ак вместо 8* и Р* вместо Р, так что последовательность теоремы 10.1 принимает вид
Kq (SE^ ^-R (G) аХ KQ №) = К WY
Мы будем использовать для ак и Р* верхний индекс с в случае унитарной Х-теории и верхний индекс г в случае ортогональной Х-теории.
Теорема. Пусть 0: G х М -> М — гладкое действие компактной группы Ли на односвязном многообразии М, и пусть х и у — неподвижные точки. Предположим, что Н‘(Ва; {лг(М)}) = = 0 при 1 ^i^m, где {л<(А4)} — локальная система групп на Ва, заданная действием группы nj (So) G/Go на л,- (АТ), индуцированным действием 0. Тогда ат (0^ — 0У) = 0.
Доказательство. Заметим, что если группа G связна, то локальная система групп постоянна. Если группа G конечна, то эти группы когомологий совпадают с алгебраическими когомологиями Н‘ (G; {л,- (М)}) группы G с коэффициентами в G- модуле {лг(А4)}.
Рассмотрим постоянные отображения Др Е0->{х} с М и ft: Еа-* \у\ а М. Мы попытаемся устроить эквивариантную гомотопию F между /0 и К на m-мерном остове: F: Е^ xi -* М. В силу 11.2.6 эта задача эквивалентна задаче построения такого сечения над В^хУ расслоения над ВохУ со слоем М, ассоциированного с главным G-расслоением Еох1^-Вох1, которое продолжает данное сечение над ВдХ^О, 1}. Препятствия к этому лежат в группах Нм (Вах (1, 51); ^(Myy = Н* (Ва; {л,-(М)}), 1<Х<т. По условию, эти группы тривиальны, так что требуемая гомотопия существует.
Далее, F индуцирует эквивариантное отображение ф: SEy11-* -* М, переводящее вершину w0 в х, а вершину Ш] — в у. Обозначим через т векторное G-расслоение над SE^, индуцированное
отображением ф из касательного к М расслоения. Представление в слое расслоения т над точкой w0 есть 6^, а в слое над точкой wx есть 6У. Следовательно, Ьо [т] = @хи Ь* [т] = 0У, поэтому р„ [т] — = 6у — 0Х и, следовательно, а„ аннулирует этот элемент. |
Теперь мы применим эту теорему к частным случаям G = ZP и G = S1 (при этом в данный момент р не обязано быть простым). Интерпретируем Zp как подгруппу группы S1 комплексных чисел единичной нормы. Пусть ^ — одномерное комплексное представление вида t" (г) • (су) = znw, где z е Zp (или S1) и w е (D. Для G = ZP имеем tn = t"*p и 1, t, ..., tp-1 представляет собой полный набор неприводимых комплексных представлений группы Zp. Кроме того, t" есть «-кратная тензорная степень представления t. Следовательно, кольцо представлений группы Zp есть RU (ZP) = Z[/]/(! — tp). Аналогично, RU (S1) = Z[^, Z-1] есть кольцо полиномов Лорана от переменной t. Аугментация RU(G)-*Z имеет вид RU (G) = KUQ (*) -> KU (*) ^ Z и сопоставляет каждому представлению его размерность. Ядро этого гомоморфизма называется «идеалом аугментации» и обозначается через / (G). Очевидно, что / (G) = (1 — t)RU (О) для G = ZP или G = S1.
Для дальнейших ссылок дадим краткое описание вещественного случая. Для G = ZP или S1 представление tn-Vt"n является комплексификацией вещественного двумерного представления, переводящего z = e19 в элемент
[
cos пб sin пб! — sin пб cos пбJ
группы 0(2). Для нечетного р или для G — S1 так получаются все неприводимые представления. Для четного р представление ^р/2 является комплексификацией вещественного представления г = е8я;/Р|—♦ (—1) е О (1). Следовательно, в случаях G = ZP (с любым р) и G = 8г гомоморфизм комплексификации RO (G) -> ->-RU(G) инъективен, и его образ состоит из таких представлений peRU(G), что р = р. Здесь р — представление, сопряженное к представлению р; сопряжение имеет вид tt—^t"1.
Далее, для G = Zp в качестве До"-0 можно взять S2"-1 (а для G = S1 можно взять Де"-0 = Д(о”-2) = S2”-1) с действием, задаваемым комплексным «-мерным представлением nt. В книге Атья [2], с. 84, из точности последовательности пары (D2”, S2”-1) выведена точность последовательности
о _> KUQ {SEf-^ RU (G) RU (G) ^ KUQ (E^) 0.
Отображение ф есть умножение на X_t (nt) = У, (— 1)W (nt) « -= (1 — t)n. Следовательно, для G = S’ имеем
ker ajn-i = ker azn-z = I (S1)” = (1 — t)nRU (S1),
так как В%? ^ = Bs? 2). В книге Атья [2] с. 85, доказано, что для G = Z2 ограничение KUQ (ЕсУ~^) -^KUQ (Eq'1^) есть изоморфизм. Аналогичное доказательство можно провести и для общего случая G = ZP- Следовательно, и для G = ZP имеем
ker агл-i = кег а^-г = I (Zp)” = (1 — tyRU (Zp) •
Из 10.2 и этих фактов выводится следующий результат.
Теорема. Пусть © — гладкое действие группы G на односвязном многообразии М., имеющее (по крайней мере) две неподвижные точки х и у. Если G = ZP или G = S1, а также если Н‘ (BQ; {л, (Л4)|)=0 при l^i^2zz —2, то элемент 0X — Qu е RU (G) делится на (I —t)n. |
Заметим, что для G = ZP имеем
. „,( кегТДгпМ для четного I,
Hl (Bq; (М)}) = Н‘(G; 1лДЛ1)}) = | ,„
[ кегУ/ImT для нечетного i,
где T = I—g и N = 1 +g + - • . + gpl — операторы в гч(М), причем g е G = ZP — образующий. Если G = S1, то Вс^СР” и Н‘(Ва; ]л,-(Л1)}) = 0 для нечетных i и Н‘ (Ва; (л,- (Л4)}) ^ л,- (М) для четных L На самом деле, при G = S1 для выполнения заключения теоремы 10.3 достаточно, чтобы группы л,-(Л4) были конечны при четных i и i^2n —2. Это и некоторые другие улучшения теоремы обсуждаются в § 11. В каждом специальном случае всегда удается проверить делимость на (l—/)”, но для G = ZP это, как правило, довольно трудоемкая процедура, так как RU (ZP) не есть кольцо с однозначным разложением на множители. Для большинства случаев достаточно приводимого ниже следствия, которое к тому же удобно для приложений. (Более общий результат в случае степени простого числа имеется у Б редон а [22].)
Следствие. Пусть в условиях теоремы 10.3 G = Zp, где р — простое число. Тогда ©х — ©и делится на р\ где h = = [(л — 1)((р — l)j, т. е. h есть наибольшее целое число, не превосходящее (п — \ )!(р — 1).
Доказательство. Так как tp=\, то (1 — t)p делится на р. Следовательно, / (Zp)p с pl (ZP) (на самом деле здесь имеет место равенство, см. Б редон [22]). Кроме того,
I (ХрУ^ с pl (Zp) I (ХрУ"1 = pl (ZP)P с рЧ (ZP),
и индуктивное рассуждение показывает, что
I (ХрУ^1-! (ХрУ^^р^ С рЧ (Zp).
Следовательно, для п — 1 ;?-h (р — 1) имеем: (1— ty делится на (1 —t)hP-h'x, а последний полином, в свою очередь, делится на ph. |
В следующем параграфе мы несколько улучшим результаты 10.3 и 10.4, используя для этого КО-теорию. В случае р = 2 эти улучшения достаточно существенны.
Замечания. Заметим, в частности, что в условиях следствия 10.4 разность размерностей множеств неподвижных точек в точках х и у делится на ph, а при нечетном р даже на 2рл. Заметим также, что доказательство следствия 10.4 доставляет легко применимый критерий того, что элемент ф (/) е 7 (Zp) типа 0^ — 6У делится на (!—/)" в кольце RU (Zp) = Z [/]/'(! — tP), где р — простое. А именно, если заранее известно, что ф(/) должно делиться на (1—/)” (например, если в этом частном случае применима теорема 10.3), то после умножения ф(/) на (1 — t)', где I — такое число, что n-Vi — h (р — 1)+ 1, к — целое, результат должен делиться на ph. Обратное также верно, что нетрудно доказать, используя тот факт, что I (ZP)p = pI (ZPY иными словами, если (1 — 0'Ф (0 делится на ph и если ф(1) = 0, то ф(/) делится на (1~0я, где п = к (р — 1) — i + 1. Желательно проиллюстрировать это рассуждение примером. Предположим, что группа Z5 действует на 10-мерном многообразии М, и мы хотим проверить, существуют ли такие неподвижные точки х и у, что ©.r = 8-H2 + /3 и 6У = 6 + 2/2 + 2/3. Тогда положим ф(/) = 0л.— — 6у = 2-^2-/3 = (1-0(2 + 2^ + ^)- Если М есть 2-связное многообразие, то ф (/) должно делиться на (1 — /)2. Тот факт, что 2 4-2^ + ^ не делится на 1—/, не препятствует этому. На самом деле, применяя полеченный раньше критерий, подсчитаем, что (1 —/)3ф (/) = (1 — 3/-|-З/2 —/3) (2 —/2 —/3) — — 5/Ц-5/2 делится на 5. Это свойство совместимо с делимостью ф(/) на (1 — /2) (в действительности делимость следует из этого свойства). На самом деле, можно проверить, что
Ф (0 = (2 - /2 - /3) = (1 - /)2 (1 + 2/ + 2/2 + /3).
С другой стороны, если М есть 4-связное многообразие, то ф (/) должно делиться на (1 — /)3. Имеем
(1 -/)2Ф (/) = (! - 2/ + /2)(2-/2-/3)= 1 - 4/ + ^2 + /3 + ^;
это выражение не делится на 5, следовательно, ф(/) не делится на (1 — О3
Уточнения, использующие ортогональную /(-теорию
В этом параграфе мы изложим некоторые уточнения результатов § 10, полученные в результате использования /(О-теории. Получим также некоторые улучшения, предположив, что касательное расслоение многообразия М стабильно делится на р над ^-мерным остовом; под этим мы подразумеваем, что ограничение
касательного расслоения 7(Л1) на ^-мерный остов многообразия М, сложенное с некоторым тривиальным вещественным векторным расслоением, эквивалентно прямой сумме р экземпляров некоторого вещественного векторного расслоения.
Для дальнейших ссылок напомним, что группы KOfS")^ ^n„_!(0(oo)) задаются следующей таблицей: см., например, X ьюзмо ллер [1], с. 341.
п (mod 8)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
% (S'1) ^ л„ , (О (со))
Z
Z2
0
Z
0
0
0
Z
Мы будем рассматривать такие векторные G-расслоения над G-пространством X, для которых ассоциированные векторные расслоения тривиальны. Для изучения этих расслоений рассмотрим пространство Map(G, е; О(М), /) отображений 0: G->O(M), где 6(е) = /, с компактно открытой топологией. Пусть G действует на нем посредством формулы (gQ) (h) = 6 (hg) 6 (g)4. Читатель может непосредственно проверить, что таким образом определяется действие. Следующий результат достигается простым вычислением, которое мы оставим читателю.
Предложение. Если X есть О-пространсп:во, то существует естественное взаимно однозначное соответствие между структурами на Xx^N ортогональных векторных G-расслоений над X и эквивариантными отображениями 6: X^Map(G, е; WY IY Если 0: х*—* 6х —некоторое эквивариантное отображение, то соответствующее действие группы G на X>;kN задается формулой g(x, v) = (gx, 0x(g)-v).g
Очевидно, что гомотопия между такими отображениями определяет на IxXxx" структуру векторного G-расслоения, так что гомотопные отображения определяют эквивалентные векторные G-расслоения.
Рассмотрим пренебрегающее отображение
ф(т): K6q(SE^->KO(SE^\
Лемма. Если G = ZP, где р нечетно, то для любого п отображение ф(2л' тривиально.
Доказательство. Для G-действия на KO(SE^) очевидно, что образ гомоморфизма ф(т) состоит из элементов, инвариантных относительно этого действия. Поэтому достаточно показать, что группа KO^SEg"^0 тривиальна для G = ZP в случае нечетного р. Далее, мы можем считать, что Eq"1 есть джойн Zp^S2"-1, имеющий гомотопический тип одноточечного объединения р — 1 экземпляров сферы S2\ Более того (работая в катего-
рии пунктированных пространств), имеем:
КО (SE^ [£ К; О (оо)] ^ Н2п (Е ^’; л2„ (О (оо))).
Единственным нетривиальным случаем является тот случай, когда ns 0 (mod 4); при этом KO^SE^)^ H2,t (Kg^; Z2)^ ^(Z2)p"1- Можно представлять себе, что эта группа порождается классами когомологий ^ь двойственными к 2п-мерным сферам
(^ * S2" ~ *) U (g +1 * S2" “ *) с Zp * S2n “1 = Е^,
где g — образующий группы Zp. Далее, yv ..., Ур-j образуют базис и ур = — (Y1 + -■ . + ур-1). Кроме того оператор g переводит у, в yi+1 (индексы взяты mod р). Так как р нечетно, то легко проверить, что это действие на группе (Z2)p-1 не имеет неподвижных точек, кроме нуля. |
Для G = Zp имеем Е*К~°-S2"”1 и КО (S£^~ ") = “^(S2"); эта группа есть Z2 для ml (mod4), 0 для m3 (mod 4) и Z для четных п. Обозначим через ^К индуцированное отображение (G = ZP)
. KO„VSE„
и заметим, что для нечетного р это отображение тривиально, за исключением случая гтЗ (mod 4).
Теорема. Если р нечетно, то %„ ] (кег Ц/*-•>) ^ c/(Zp)pW, где р(А) = 2[А/4] + 2.
Доказательство. Сначала покажем, что 0£_ f (ker ф^-1)) с cz /(Zp)11161. Пусть £ —векторное G-расслоение над SEq-1\ где ф[Е] = О. Тогда векторное расслоение, ассоциированное с Е, стабильно тривиально. Прибавление к £ тривиального G-расслоения не изменит его образа при P^-i’ так 410 мы можем п0 существу считать, что ассоциированное с £ векторное расслоение есть SE^q ~ ’’xiR", причем N может быть взято сколь угодно большим. Итак, в силу предложения 11.1, расслоение | соответствует эквивариантному отображению 6: SEq ~ 1)^-/ = Map(G, е; О(М), /). Так как G = ZP, то Y ^O(N)x.. .хО(М) (р —1 раз). Можно рассматривать 6 как эквивариантную гомотопию Ео~^Х XI-> У между двумя постоянными (соответственно в 6 (®0) и 6 (mJ) «концевыми» отображениями. На основании II.2.6 эту гомотопию можно в свою очередь рассматривать как сечение над (BQXdI)U(B(cA-nXi) ассоциированного /-расслоения над Вох1. Таким образом, препятствия к продолжению ограничения 6|S£g”2> до отображения О': SE^-^-Y для некоторого п^Л
лежат в Н' (ZP; {л,- (У)}) для к^ I «с п. Однако л,- (У) = л,- (О (IV)) ф ф... ф Л; (О (^)), и мы можем взять N настолько большим, чтобы все эти группы были стабильными. Так как р нечетно, то эти группы препятствий нетривиальны только для 1 = 3 (mod 4). Таким образом, существует продолжение для п, являющегося наименьшим целым числом, таким, что п^к — 1 ип = 2 (mod 4). Продолжение 6' порождает структуру векторного G-pac- слоения ц на SEc^R^, имеющего в вершинах щ0 и w^ те же представления, что и g. Итак, Р£_] [£] = Р^[п] — кега' скега^ = = / (Zp)(”+2)/2. Легко проверить, что (п+ 2)/2 = ц (Л).
Так как ■ф(/г~1>==0 для нечетного к в силу леммы 11.2, то достаточно показать, что Р'_, (ker^-n) = P^_r (ker ф4-1’) для четного к. Здесь Ес-1* = Se-1, и Во ~ ° = S*~1/ZP —линзовое пространство. Следовательно, существует отображение Во - °-► ->£с-П степени 1, и композиция З^ВЕо^^-ЕВо”1*-^ -> SE^-” = S^ имеет тогда степень р. Отсюда следует, что образ отображения л*: Ro^SBq-1))-> КО (SEo-1)) содержит подгруппу pKO^SE^" "). Коммутативность диаграммы
КО (SB^2«*К0Д5Е6(к~^КО (SB^2«*К0Д5Е6(к~^-*К0^-^>ko6(*)=jzo(g)-*К0^-^>ko6(*)=jzo(g)
КО (SB^2
«*К0Д5Е6(к~^
КО (SB^2
«*К0Д5Е6(к~^
-*К0^
-^>ko6(*)=jzo(g)
-*К0^
-^>ko6(*)=jzo(g)
KO^SE^'^
показывает, что р (ker -фр) с р (ker -ф + Im у) = Р (ker ф), что и является искомым результатом. |
Заметим, что последнюю часть этого доказательства можно применить к случаю р = 2 для того, чтобы показать, что Р (kerф3) = р (кегф), так как ^2к”11 = ф'*-1>, к — нечетное.
Следствие. Если р —простое нечетное и 6 —гладкое действие группы Zp на таком односвязном многообразии М, что НЦХР; {л;(Л4)})=0 для I s^i^k — 1, то для любых двух неподвижных точек х и у представление 0Х — ©У делится на (1 — ^i*-11 в RU (ZP). Более того, если касательное расслоение многообразия М стабильно делится на р над k-мерным остовом, то 0^ — — 0У делится на (1—/)^Ч Здесь р(А) = 2[к/4]4-2.
Доказательство. Рассмотрим построенное ранее эквивариантное отображение SEq- Л4. Касательное расслоение Т (Л4) индуцирует векторное G-расслоение т на SEg”^, причем РФ i[r] = O.v — Оу. Если /г^О (mod4), то фр^— " = 0, и можно применить теорему 11.3. Если же к = 0 (mod 4), то у (к — 1) =
=/?/2, и в силу теоремы 10.3 отсюда следует искомый результат. Что касается последней части теоремы, то по условию ф,Дт] = 0, поэтому можно применить теорему 11.3. g
Используя технику доказательства следствия 10.4, после непосредственных вычислений получим следующее улучшение следствия 10.4.
Следствие. В условиях следствия 11.4, если р — нечетное простое число, то бх — бу делится на р}'^-^ в общем случае и на рх^к' всегда, когда касательное расслоение многообразия М стабильно делится на р над к-мерным остовом. Здесь К ^ = [^-2)]. g
Укажем, что замечания к следствию 10.4 дают более общий и легко применимый метод использования значительно более точной информации, содержащейся в следствии 11.4.
Перейдем теперь к случаю р = 2. В этом случае Е^ = 8п и В^ = RP". Для данного п обозначим через Ф (и) число таких целых чисел i = 0, 1, 2, 4 (mod8), что l^i^n. Числа Ф(») задаются следующей таблицей
п
1
2
3
4
5
6
7
8
^ + 8
Ф(п)
1
2
2
3
3
3
3
4
Ф^+4
Далее, известно, что КО (RP”) — циклическая группа порядка 2Ф(,1), порождающаяся элементом а'(1—/); см., например, Хьюзмоллер [1], с. 342. Таким образом, гомоморфизма': R (Z,) ->• КО%2 (S") имеет ядро ker а' = S^wj (Z2) с RO(Z.^ = = RU^1).
Теорема. Пусть б —гладкое действие группы Z2 на таком односвязном многообразии М, что Н‘ (Z2; {л,-(Л4)}) = 0 для 1 =^i ^k — 1. Тогда для любых неподвижных точек х и у, бх— — 6И делится на 2ф('6-1). Если касательное расслоение многообразия М стабильно делится на 2 над k-мерным остовом, то бх — бу делится на 2Ф (*>.
Доказательство. Первая часть теоремы следует из приведенных выше замечаний и теоремы 10.2. Заметим, что имеется аддитивный изоморфизм / (Z2) Z. Кроме того, стабильное представление группы Z2 полностью определяется кратностью собственного значения — 1, и поэтому 0Х — бу можно рассматривать как разность этих кратностей в точках х и у. Более того, это есть в точности разность размерностей компонент многообразия Л4^2, содержащих точки у и х.
Для того чтобы доказать вторую часть теоремы, напомним (см. доказательства теоремы 11.3 и следствия 11.4), что из пред-
положений вытекает существование векторного 22-расслоения £ на S6 = SE^”^ (с неподвижными точками w^ и су,) с тривиальным ассоциированным векторным расслоением, и такого, что Р*_1 [£] = 6, — 0У. Оно порождает такое эквивариантное отображение 6: S6->Map(Z2, е\ 0(Х), I)^O(N') (относительно инволюции А,—► Л1 на О (Л')), что разность кратностей собственного значения — 1 пространств 6 (су0) и 6 (су,) равна 0^ —0У.
Таким образом, достаточно показать, что для любого такого эквивариантного отображения 6: Sfe—>-О(Х) разность кратностей собственного значения — 1 в пространствах 6 (су0) и 6 (су,) делится на 2Ф1/г). Для того чтобы доказать это утверждение, можно выбрать N сколь угодно большим. Как и раньше, попытаемся продолжить 6 до 6': S6+1 = SE^->O(N\ (В нашем случае проще считать препятствия к продолжению классом [6] е як (О (X)), так как если это препятствие есть 0, то 6 можно продолжить на одну полусферу как отображение, а затем на другую полусферу по эквивариантности. Если fess2, 4, 5, 6 (mod 8), то л*(О(Х)) = = 0, и продолжение существует. В противном случае отображение 0,: S*->O(2X), переводящее q в |6^ Q^ ,^, эквивариантно и для него [9,] = 0 е лй (О (2Х)). Итак, существует продолжение 91: Sfr+1-*O (2Х). Разность кратностей собственного значения — 1 в точках су0 и су, для 6, в два раза больше, чем для 0; но 2ф(*4-Ч = 2-2фФ и в этом случае. Последовательным применением этого рассуждения мы можем в конце концов свети вопрос к случаю, когда Ф№ = Ф(А — 1); т. е. fe = 3, 5, 6, 7 (mod 8). В этом случае (новое) отображение 0 соответствует векторному Z2-paccлoeнию т] на Sk = SE1^” ^ и [5Й_1 [т]] е кегай_1 = = 2Ф(*_ ч/ (23) = 2Ф Wf (Z«). Однако это есть в точности разность кратностей собственного значения — 1 пространств 6(су0) и 9 (су,), что и требовалось доказать. §
Перейдем теперь к случаю б^действий. Напомним, что для 0 = 3 имеем Eq = Eq — 3 , что можно рассматривать как джойн S1*...*S1 п экземпляров группы S1 с диагональным действием. Тогда S2”, как надстройка S2,z = SS2”-1 = = SE^”^, будет всегда нести S1-действие, имеющее две неподвижные точки w0 и су,. Как и в случае группы Z2, удобнее будет использовать теорию препятствий непосредственно. Таким образом, если X —некоторое З^пространство и ср: S2"-> X — эквивариантное отображение, то ср можно эквивариантно продолжить на S2"*2 = S2" * S1-^ X только если [ср] = О е л2Л (X). Обратно, если [ср 1 = 0, то ср можно продолжить как отображение на конус S2” * {е[ с: S2"h2 и, далее, в силу L3.3 продолжить единственным образом до эквивариантного отображения SI,H2->X. Итак, класс
[ф]ел2„(Х) есть единственное препятствие к продолжению ф на S2n+2->X.
Далее приведем рассуждение, которое позволит нам уничтожить препятствие [ф], если оно имеет конечный порядок. Пусть р?: S2n->S2n— отображение, которое является надстройкой над джойном п экземпляров отображения S1^-S1 вида z—* г9. Для 5*-пространства М через УИ(?) обозначим М, снабженное 51-дей- ствием, индуцированным исходным действием посредством гомоморфизма S1—-S вида z>—z9. Очевидно, если ф: S2n->M экви- вариантно, то и Ф"Р9: S2n->A4(?) эквивариантно. Так как отображение р9 имеет степень q", то [ф = Р9] = 0, если [ф] имеет порядок q в л^ДМ).
Более того, если ®(0^Z[^ /-1] = RU (S1) — представление в неподвижной точке х многообразия М, то представление в точке х многообразия Mlg) есть в точности ю^9). Следующая лемма показывает, что эта замена не изменяет делимости на (1—0*-
Лемма. Полином Ц1) делится на (1—0* тогда и только тогда, когда ЦП) делится на (1—0*.
Доказательство. Положим s=l— t и g (s) — / (1 — s) = = f(t). Положим, далее, Н = (1 — s)9 = 1 — h (s), где полином h имеет простой нуль в точке s = 0. Тогда порядок нуля в точке s = 0 полинома /(/9) = f((l — s)9) = /(1 — h ($)) = g(h (s)), очевидно, равен порядку нуля полинома /(0 = ^(0- I
Если S1 действует гладко на многообразии М с неподвижными точками х и у и если л, (М) конечны для четных i при i 2п — 2, то приведенные выше рассуждения позволят нам построить эквивариантное отображение S2"-»-Л1(й), переводящее №0 в х и к»; в у, для некоторого h. Кроме того изменение действия не изменяет порядка делимости 0Л — 0У на (1—0- и, следовательно, 0^ — 6У делится на (1 — t)n в силу рассуждений § ю.
Пусть /(/) — полином наименьшей степени, полученный умножением Qx — Qy^XV' ^-1] на некоторую степень переменной t.' Так как представление 0^ — 6у вещественно, то соответствующий ему полином Лорана инвариантен относительно замены h—♦С1, и, следовательно, полином / (/) имеет четную степень, а его коэффициенты обладают формальной двойственностью Пуанкаре1).
Частное g^ = f(t) (1 — t)~n, очевидно, тоже удовлетворяет условию двойственности. Если п нечетно, то g^ имеет нечетную степень, и поэтому в силу двойственности g(l) = 0. Итак, g^ делится на 1—/. Отсюда следует, что при выполнении описанных выше условий 0,— 0У делится на (1—Z^*1, если п нечетно.
Предположим теперь, что п четно и, в дополнение к указанным выше условиям, что касательное расслоение многообразия М стабильно тривиально над 2л-мерным остовом. Тогда отображение S2n->Mlk^ индуцирует над S2" векторное S’-расслоение, ассоциированное векторное расслоение которого стабильно тривиально. В силу предложения 11.1 это отображение порождает эквивариантное отображение 8: S2" -> Map (S1, е; О(М), /) = П0(^) для некоторого большого N.
Тогда элемент [6] е л2п (ПО (N)) = л2„+] (О (N)) — единственное препятствие к продолжению отображения 6 до эквивариантного отображения S2,,+2-> НО (^). Так как п четно, то эта группа для достаточно большого N есть либо 0, либо Z2. Покажем теперь, как обойти это препятствие. Пусть X: ПО (W) -► ПО (^) задано формулой (Л (ю)) (g) = <o(g2). Определим ф: S2n->- ПО (N) как композицию ф = Х«6 = р2. Тогда ФлО^^рлх)^2), и легко проверить, что отображение ф эквивариантно. Структура векторного S’-pac- слоения на S^xR^, индуцированного отображением ф, задается формулой g(x, v) = (gx, 8P1W (g2) • у), и поэтому представления на слоях в точках х = ш0 и х = Ю1 можно получить из исходных представлений, заменив Z на t2. Так как р2 имеет степень 2”, то О = [ф] е л2П (ПО (N)), и поэтому ф можно продолжить на S2n+2. Отсюда следует, что (0Х —©^(Z2) делится на (1—Z^*1 и, следовательно, (©* —©^(Z) делится на (1 — Z)”+1. Однако тогда оно делится также на (1~~ 0”+2 в силу того, что коэффициенты удовлетворяют двойственности Пуанкаре для случая нечетного п. Таким образом, мы доказали следующую теорему.
Теорема. Пусть Q —гладкое действие группы S1 на многообразии М. Предположим, что л; (М) конечны для всех четных I, таких, что — Тогда 0Х — 6У делится на (1 — Z)“(',-1) для любых двух неподвижных точек х и у. Если касательное расслоение многообразия М стабильно тривиально над 2п-мерным остовом многообразия М, то &X — Qy делится на (1 — Z)™1”’. Здесь со (п) = 2 [л/2] + 2. g
Замечания. Большая часть материала §§10 и 11 взята из статьи Б редон а [22], но здесь мы включили также "некоторые отсутствующие там усиления результатов. Кроме того, в упомянутой статье изучены некоторые вопросы, которые встретятся нам в дальнейшем, а также рассмотрены некоторые явные примеры. Часть этих примеров и приложений мы обсудим в следующей главе.
Г, Вреден
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
Пусть G = Z2 действует на R посредством отображения ли—>—х, Рассмотрим для вещественного числа г>0 отображение ^r R->R+, такое, что л <р
/г (х) = |хк. Тогда jr разлагается в композицию fr: R—-R/G—• R+, где фг — гомеоморфизм. Зададим на R/G дифференцируемую структуру У, потребовав, чтобы отображение фг было диффеоморфизмом. Показать, что У — естественная дифференцируемая структура тогда и только тогда, когда г имеет вид г=2фп для некоторого целого положительного п. (Под «естественной» мы подразумеваем такую дифференцируемую структуру на R/G, что каждый эквивариантный диффеоморфизм R->R индуцирует диффеоморфизм на P/G.)
Назовем дифференцируемую структуру на R/G из упражнения 1 поднимаемой, если каждый диффеоморфизм R/G-*R/G индуцируется эквивариантным диффеоморфизмом R->R. Показать, что структура Уг поднимаема тогда и только тогда, когда г имеет вид r = 2m для некоторого целого положительного т, (Таким образом, индуцированная структура У2 есть единственная структура, которая одновременно является естественной и поднимаемой.)
Доказать утверждение (сделанное в конце § 7) о том, что аналог результатов этого параграфа неверен для I) (п)- или Sp (п)-действий. (У к а м н и е. Рассмотрите, например, ограничение па U (л) с О (2л) с: О (2п + 1) О(2л4-1)- действия на £^ + 1.)
Показать, что группа Ф|, описанная в § 8, имеет элемент, порядок которого либо бесконечен, либо делится на 8. (Указание. Продолжите инволюцию на l^j^Lj с множеством неподвижных точек L (3, 1) до инволюции на S6.)
Показать, что группа Ф”_2 содержит подгруппу, изоморфную кег (2: 0"—>-0"}. (Таким образом, Ф? содержит элемент порядка 2.)
Определить гомоморфизм Ф”_.2^-0'1' который продолжает тождествен, ное отображение на подгруппе, определенной в упражнении 5. Аналогично, по казать, что группа 0" изоморфна некоторому прямому слагаемому группы 9”—1.
Показать, что существует бесконечное множество таких различных гладких полусвободных §3-действий на 54л х, множество неподвижных точек которых есть сфера любой коразмерности, кратной восьми.
Пусть р — нечетное простое число, а ^ — вещественное двумерное представление 1) = /ф-/1 группы Zp. Пусть п — данное целое положительное число; положим /г = |л/(р—1)]. Показать, что для достаточно больших N существует гладкое действие 0 группы Zp на S'^xS^, множество неподвижных точек которого представляет собой такое дизъюнктное объединение S^ + S6 сфер, что если JceS" и yeS6, то 0^ — 0у = р11 (2 — т]) в RO ДрУ Отсюда следует, что если аЗ^Ъ, то а — b=»2ph. Заметим, что в силу этого следствие 11.5 дает для делимости 0X —0У наилучший возможный результат. (Указание. Использовать тот факт, что / (ZP)A <P'll*1 = phI (Zp); сравнить с доказательством следствия 10.4. Следует также заметить, что если р е RU (Zp) лежит в Img^, то р®р лежит в 1т₽^. Сначала рассмотреть случай п =h (р — 1)+ 1.)
Предположим, что 2з действует гладко на S8xS8. Показать, что представления группы Хз во всех неподвижных точках эквивалентны друг ДРУГУ-
Рассмотрим многообразие Штифеля V„,2 = SO (л)/5О (л —2) для л 32 10. Показать, что для любой гладкой инволюции на нем, имеющей хотя бы одну изолированную неподвижную точку, все остальные неподвижные точки также являются изолированными
Пусть Za действует гладко на многообразии, являющемся группой §U (л) для п^З, 5. Показать, что представления во всех неподвижных точках
эквивалентны. (Указание. Использовать тот факт, что для i<2n л,- (SU (h)i есть 0 для четного I и Z Лля нечетного z.)
Пусть Л48 —связная сумма нескольких экземпляров S4x 4. Предположим, что Zs действует гладко на М8 и имеет только изолированные неподвижные точки. Показать, что представления во всех неподвижных точках эквивалентны друг другу.
Пусть Л-1 =s”1xS,!2x ... xs\ где н;^2. Предположим, что S действует гладко и полусвободно на М. Показать, что все компоненты множества неподвижных точек F имеют равные размерности. Построить пример, показывающий, что это неверно, если нг = 2 для некоторого z (например, построить такое гладкое полусвободное 8‘-действие на 82х86, чтобы множество неподвижных точек F было дизъюнктным объединением S‘ + S5).
Пусть X — некоторое G-пространство; предположим, что заданы две структуры ортогонального G-расслоения на XxRw, соответствующие эквивариантным отображениям 6 и 0' пространства X в Мар (О, е; О (АГ), /), как и в предложении 11.1. Показать, что эти G-расслоения ортогонально эквивалентны над X тогда и только тогда, когда существует такое отображение <p: X ->- О (/V) что 6' (g) = Ф (gx) 0х (g) ф (х) 1 для всех хе X и g е О
Пусть О до К —компактные группы Ли, и пусть К действует ортогонально и транзитивно на Sn~i Пусть оо = (0, ...0, 1) е 8" х; положим Н = Ку . Если л: G/H-> G/Л—проекция, то цилиндр отображения /И эквивалентен, как G-пространство, пространству Gx^D”. Любая точка пространства GxK D" имеет вид [g, и], где и е Ry . Показать, что в этом описании правое действие группы S (л) = [Л (//) П Л (Л)]//7 индуцируется отображением (|g, vj, s) ।—► i—*■ [gs, у] для s e N (//) fl N (Л) и v e Ro0- Показать, что оно отображает слой Dn над gK в слой над gsK посредством ku ।—> s~xksu и, следовательно, что действие является гладким тогда и только тогда, когда отображение Sni-^S'11 вида ^у01—> s 1ksu6 ортогонально. (Заметим, что, по-видимому, можно доказать, что на самом деле это условие всегда выполняется. Однако пока не существует никакого изящного или легкого доказательства этого факта, и это, возможно, зависит от трудности классификации однородных пространств МН, представляющих собой сферы. G другой стороны, это условие легко проверить для всех частных случаев, представляющих интерес в этой книге.) '
Глава VII
КОГОМОЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА МНОЖЕСТВ
НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
В этой главе мы вернемся к изучению взаимосвязи между когомологическими структурами пространства и когомологическими структурами множеств неподвижных точек Zp-действий и S’-действий на этом пространстве, и получим при этом более глубокие результаты, чем в главе III. Метод, которым мы здесь пользуемся, изобрел Борель [4, 5]; основы этого метода изложены в § 1. Несколько более общие неравенства для рангов когомологических групп, полученные Хеллером, Суоном и автором, доказаны в § 2.
В §§ 3 и 5 мы исследуем действие на проективных пространствах (вещественных, комплексных, кватернионных и плоскости Кэли) и рассматриваем примеры, иллюстрирующие теоремы § 4.
Общая теорема о действиях на пространствах Пуанкаре доказана в § 6. В § 7 доказана общая теорема об инволюциях, из которой следует, что инволюция на пространстве Пуанкаре нечетной эйлеровой характеристики обладает (непустым) многомерным множеством неподвижных точек.
Действия на произведении двух сфер изучаются в §§ 8 и 9, а действия окружности на произведении нескольких нечетномерных сфер —в § 10.
В § 11 когомологическая техника применяется к изучению конусов отображений с целью получения некоторых результатов об эквивариантных отображениях сфер с линейными инволюциями.
Предварительные сведения
Для компактной группы Ли G обозначим через Eq-*Bq универсальное главное G-расслоение, где классифицирующее пространство Bq является клеточным комплексом, АДмерный остов Вс которого конечен для всех N. Пусть Ес — прообраз подпространства Вц; заметим, что Ес компактно и АДуниверсально. В этой главе для нас наибольший интерес будут представлять случаи
G=*ZP и G = S’. Для иаракомпактного G-пространства X положим Xg = Х XqEq, так что Xq есть пространство ассоциированного расслоения над Bq со слоем X.
Так как для паракомпактных пространств чеховские и пучковые когомологии совпадают и так как Xq паракомпактно, то имеется спектральная последовательность Лере (для любой группы коэффициентов X)
Е^^нЧВс; НЧХ; Ю^н^ЧХс,; К),
где система групп коэффициентов НЧ(Х; К) локально постоянная, но несет каноническое действие группы л1(йб)^л0(С). (Обоснование этого в рассматриваемой общности имеется у Бредова [13], с. 140—145.)
Анализ спектральных последовательностей этих расслоений показывает, что при n > N ограничение Йп(Xgt1; X)->Йп (Хо ; X) является изоморфизмом. По определению положим h^Xq; К) = = 11ш//л(Хб; X). (Неясно, совпадают ли так определенные группы с обычными группами чеховских когомологий пространства Ха в случае, когда пространство XxEq не паракомпактпо, но поскольку такой случай нам не встретится, мы не будем исследовать этот вопрос.)
Используя стабилизацию), нетрудно определить предельную спектральную последовательность Ег^ 9 = Нг (Во; Нч (X; Х))=> ^ЙГ^ЧУХО\ Ку На самом деле этот предельный переход отнюдь не является необходимым техническим средством. Читатель без труда проверит, что) все рассуждения останутся справедливыми при замене пространства Xq с достаточно большим N пространством XQ. Аналогично, для замкнутого инвариантного подпространства Л gl X имеется спектральная последовательное.! ь
Е^ = ХГ(ВО; Й^Х, А; КЙ^Й^бХо, Ао; Ку
На протяжении этой главы множество Х° неподвижных точек G-действия на X будет обозначаться через F, так чтоВ = Хс, а пространство орбит —через X*, так что X* = X/G. Мы будем считать F подмножеством как в X, так и в X*. Заметим, что XQoFQ = FxBa.
При переходе к пространству орбит эквивариантная проекция ХхЕ0->- X индуцирует отображение ср: Хо—-X*.
Предложение. Пусть G = ZP, где р — прсстое число. Тогда для любого замкнутого инвариантного подпространства
Л из X и любой группы коэффициентов гомоморфизм ф*: НЧХ*, Л* J F) -> Н1 (Хо, A0\jF0) является изоморфизмом. Аналогичное верно для G —S1 и рациональных коэффициентов.
Доказательство. Для G = Zp это следует из упражнения 8 гл. III, и аналогичное доказательство проходит для G = S1. Чтобы дать прямое доказательство, заметим, что гомеоморфизм
(С/Я)х0£б^(Сх0Дс)/^ ^ЕфН ^Вн
влечет для любой точки х е X с образом х* е X* гомеоморфизм Ф”1 (а-*) Во Следовательно, для х* ^ F множество ф-1 (х*) ациклично (над (Q для G = S1), и требуемый результат следует теперь из теоремы Вьеториса — Бегля, см. Бредон [13J, с. 142. (При этом используется тот факт, что, например, группа Н‘(X*, F) изоморфна группе когомологий пространства X* — F с носителями в семействе тех подмножеств из X* — F, которые замкнуты в Х*д |
Используя предложение 1.1 и точность последовательности пары (Хо, Fo), мы получаем следующую основную точную последовательность
...->№ (X*, F) Нк (Хо) ^ Нк (Fa) — ^-НМ(Х*, F)
определенную для G = Zp, где р —простое число, и произвольных коэффициентов, а также для G = S1 и рациональных коэффициентов.
Все члены когомологической последовательности пары (Хо, FQ) являются левыми модулями над Н* (Хо) посредством м-умножения, и все гомоморфизмы — модульными гомоморфизмами (правда, связывающий гомоморфизм— лишь с точностью до знака). Проекция Xq^Bq индуцирует гомоморфизм Н* (Во) -> Н* (Хо), который (в силу 1.1) превращает все члены последовательности (1.2) в Н* (йо)-модули; при этом И, /* и (с точностью до знака) 6* суть модульные гомоморфизмы.
Более общо, если А <щ X — замкнутое инвариантное подмножество, то, но аналогии с (1.2), имеется точная последовательность Я*(5о)-модулей:
...-*Нк(ХЧ A*^F)^Hk(XOl Ао)->.
-*Hk(F0, FG?\AQ^H^MX*, A*\)F)-+...
Обычно будут использоваться случаи, когда А = ф или Л—точка из F.
Теперь перейдем к теореме Лере —Хирша. Пусть (Y, У')— пара расслоений над пространством В с проекцией р; Y-*B и
слоем-парой (X, Л)). Пусть далее А —область главных идеалов. Под когомологическим расширением слоя мы понимаем такой А- модульный сохраняющий градуировку гомоморфизм 0: Н* (X, Л; A)^-H*(.Y, Y'; А), что для любой точки b ■= В композиция Н* (X, Л; А) е> Н* (У, У'; А)-> Н* (Хь, Л*; А) гомоморфизма 6 с ограничением на слой (X*, Л6) над точкой be В является изоморфизмом; см. Спеньер [1], с. 331. Важно отметить, что 6 не обязан сохранять произведения.
Следующая теорема выполняется и в более общей ситуации, однако в случае чеховских когомологий, если не налагать на (X, А) или В некоторых довольно сильных условий, возникают технические трудности. В достаточном для наших целей случае, когда S — конечное клеточное пространство, доказательство довольно просто.
Теорема (Лере—Хирш). В описанной выше ситуации предположим дополнительно, что X паракомпактно, Л замкнуто и В — конечное клеточное пространство. Пусть 0 — когомологическое расширение слоя с базовым кольцом А; предположим, что Н* (X, А; А)—свободный A-модуль. Тогда отображение
Н* (В; А)®аН*(Х, Л; А)-* Я* (У, У'; А)
вида р ®ои-* р* ф)и8(а) является изоморфизмом Н* (В■, А)-моду лей.
Доказательство. Заметим, что У паракомпактно и У' замкнуто в У. Мы докажем теорему посредством индукции по размерности и числу клеток пространства В. Итак, достаточно доказать теорему для объединения В = В' (J ФВ", предположив ее справедливой для В'. При этом, в силу гомотопической инвариантности рассматриваемой ситуации, можно считать, чю) В = = В'\зип; В' П Dn = S"-1. Так как dim Sn-1 < dim В, то для S«-i теорему можно считать справедливой. Для диска D" теорема тривиальна. Имеется точная последовательность Майера — Вьето- риса (с коэффициентами в А)
Н1 (В')© № (D") Н1 (S"-1)(В)^...,
которая останется точной и после тензорного умножения) всех ее членов на Я* (X, Л) в силу того, что эта абелева группа является свободным A-модулем. Гомоморфизм, определенный
в теореме, отображает эту последовательность в последовательность Майера —Вьеториса для частей пары (К, К'), расположенных над В' и над D" соответственно, и результат следует теперь из леммы о пяти гомоморфизмах. |
В частности, отсюда следует, что в рассмотренной ситуации к пространству Fq = F у Bq применима формула Кюннета. Таким образом,
H*(FO, For\Ao-, ХоН*(Ва; Л)®лНЧР, FRA; Л1)
в случае, когда Л — поле или, более общо, когда группа H*^F, FQ Л; Л) — свободный Л-модуль.
В теореме 1.4 наибольший интерес для нас представляет случай расслоения Х0->-Ва или (Xq, Aq^-^-Bq (для большей аккуратности надо было бы рассматривать для каждого N расслоения XqВо\ Кроме того, будем рассматривать в основном случай поля коэффициентов А. В этом случае когомологическое расширение слоя существует, очевидно, тогда и только тогда, когда ограничение на типичный слой Н* (Ха, Ао; Л)-*- Н* (X, А; А) эпиморфно. В этом случае говорят, что слой (X, А) вполне негомологичен нулю в расслоении (Xq, Ао).
Напомним, что для нечетного р имеется изоморфизм Н* (В^ ; ZP^ZPVs, t\/(s2), degs = 1, deg/= 2 и / = 0(s), где p —гомоморфизм Бокштейна, ассоциированный с коэффициентной последовательностью 0 Zp -> Zp= -> ZP -> 0. Для р = 2 имеем ^(В^ Z2)^Z2[/], deg/=l. Кроме того, Н* (Bse, Z)^Z[/], deg/= 2. Эти обозначения мы сохраним на протяжении всей главы.
Для произвольной группы коэффициентов К, на которой действует группа G = ZP с образующим g, имеем
для / = 0,для / = 0,для />0 четного, для t > 0 нечетного,для />0 четного, для t > 0 нечетного,Г kerT
для / = 0,
для / = 0,
для />0 четного, для t > 0 нечетного,
для />0 четного, для t > 0 нечетного,
Н‘ (В0-, К)^ kerT/ImM ( kerX/ImT
где Т = 1 — g и N = 1 +g + g2 + - • • + gp'1 — соответствующие операторы на К. Заметим, что, в частности, если К есть Zp-вектор- ное пространство, то rk Н' (Во; К) ^гкК° = гк Н° (Во-, К) для всех I.
Теорема. Пусть группа G = ZP, р — простое, действует на финитном пространстве X. Пусть, далее, А су X —такое замкнутое инвариантное подмножество, что Н‘(Х, A; Zp) = 0 при 1>п. Тогда j*: Hk (Хо, Аа; Z?) -> Hk (Fo, Fo П Ao; Zp( есть изоморфизм при h">n. Если при этом слой (X, А} вполне не ХР- гюмологичён нулю в (Хи, Аа), то j* — мономорфизм для всех к,
так что последовательность
О-^НЧХа, Аа; XpVXtnFo, F0(\Aa-, Хр^
-+нм(Х*, л* ид ZP)->o
точна. Аналогичное справедливо и для G — S1 и рациональных коэффициентов в случае, когда пространство X* также финитно и число орбитных типов конечно.
Доказательство. Первая часть заключения следует из точности последовательности (1.3) и того вытекающего из II 1.7.9, III.7.6 и III.10.9 (для 0 = 8!) факта, что Н‘(Х*, Л*и7?) = 0 при 1">п. (По поводу доказательства последнего факта в рамках излагаемой теории, в противовес теории Смита, см. Б редон [21], с. 249. При этом для случая G = SJ удается снять ограничение конечности числа орбитных типов.)
Если слой (X, Л) вполне негомологичен нулю, то в силу 1.4 Н* (Хо, Ао) есть свободный Н* (8о)-модуль. Для любого а е G^(X*, Л*иЕ) найдется такое достаточно большое г, что tra = 0, поэтому trl* (а) = 0. Следовательно ’), I* (а) = 0 для всех а, и потому /* — мономорфизм, g
Напомним (см. гл. III), что пространство называется финитным, если в любое его покрытие можно вписать конечномерное покрытие.
Теорема. Пусть группа G — XP, р — простое, действует на финитном пространстве X, и пусть A cl X —такое замкнутое инвариантное подмножество, что "^rk Н‘ (X, A; Zp)<co. Тогда следующие утверждения эквивалентны.
Слой (X, А) вполне не Хр-гомологичен нулю в (Хо, Ао).
Действие группы G на группе Н* (X, A; Хр) тривиально и спектральная последовательность Е^q = Hr (Bq", Hq (X, А; Хр')') => => HrQ+q (Хо, Ао; ХР) расслоения (Хо, Ао)-^-Во вырождается.
^гкЯЧХ, Л; Хр) - 2 rk Н‘ (F, Р^А; Хр).
Аналогичное справедливо и для группы G = S1 а рациональных коэффициентов в случае финитного X* и конечно1, mi типов орбит G-действия.
Доказательство. Краевой гомоморфизм Нч (XQ, Aq)-* -^-E°’q -э-Н4 (X, А) есть в точности гомоморфизм ограничения на слой. Кроме того, Е°'q = ЙЧв0; Hq (X, A^ = (Hq(X, A))G. Сле-
!) Так как i* (а) — элемент свободного Н* (BQ)-модуля И* (XQ, AQ).— Прим, персе.
довательно, условие (а) эквивалентно тому, что G действует нт Hq (X, Л) тривиально и что все коциклы из Е^14 доживают до Е ,. Из наличия мультипликативной структуры в спектральной последовательности следует, что эти условия в совокупности эквивалентны условию (Ь).
Из 1.5 следует, что (над Zp) rk//fc(Xo, Ао) = rk Нк (Fo, Fo(] п Ло) при к > п. Но
гк Нк (Хо, Ло) = у; rk Ek"L' < 2 гк Е^*’1 =
= ^гк Нк-ЦВо; НЦХ, А^^ткЩЦХ, ЛуДд ^ткЯ^Х, А)
и при условии (Ь) все неравенства превращаются в равенства (в силу мультипликативных свойств дифференциалов спектральной последовательности). Так как ранг группы Hk(FG, Е0Г\ Ло) = = © (Нк-‘(Ва) ® Н* (F, F П Л)) равен У, rk № ф, F П Л), то отсюда следует, что (Ь) эквивалентно (с). |
Некоторые неравенства
В этом параграфе мы докажем несколько неравенств, обобщающих неравенства Флойда III.7.9.
Теорема. Пусть группа G = ZP, где р —нечетное простое число, действует на финитном пространстве X, и пусть А с X — замкнутое инвариантное подмножество. Предположим, что У rkH‘(X, A; Zp)<oo и что слой (X, А) вполне не Хр-го- мологичен нулю в (XG, Аа). Тогда для любого k имеем
У rk Нк^ (F, РП Л; Zp)^ У гк Нк^ (X, А; Хр\
В частности, если группа Н* (X, A; Zp) тривиальна в нечетных размерностях, то это же верно и для группы Н* (F, FПЛ; ZPV Доказательство. Для удобства обозначений мы опустим А и область коэффициентов. Напомним, что Нт (Хо) фильтруется подмодулями FkHm(.XG), при этом Er;/' = (.FgHrq (Xo^^iFg-^H"4 (Xti')\ Очевидно, что изоморфизм теоремы 1.4 Лере—Хирша сохраняет эту фильтрацию. На самом деле это изоморфизм фильтрованных групп, так как гомоморфизм ассоциированных градуированных групп в точности есть изоморфизм E[’q^E^q. (См. Бредой [13J, добавление. При этом нашему Fh в указанной книге соответствует Fm_kd Фильтрация группы Н* (Ва) 0 Н* (X) имеет вид F*= ® (Н* (Bq) <8 H^ (X)). При этом Н* (Воздействие сохраняет
фильтрацию, так что Н* (Ва) состоит из элементов нулевой фильтрации.
Отображение Нт (Xq)-* Нт (Fq) тоже сохраняет (или, что то же самое, не уменьшает) фильтрацию. Так как для больших m это есть изоморфизм (но не изоморфизм фильтрованных групп), то для больших т горизонтальные отображения следующей диаграммы эпиморфны
Нт (Xq)^ Нт (Ха) Нт (FQ)lFh_> (Fo)
(XqW^H"^ (XQ) (Fo)/Flt_1Hm*1 (Ро).
Вертикальные отображения ф и ф суть умножения на sgeHHBq). Следовательно, 1шф отображается на im ф эпиморфпо. Но Hm+1 (Хо)1Рк-хНт^ (Ха) © (Н”1-9^ (Bq) ® Н9 (X)), и образ гомо- q > к■•
морфизма ф состоит из членов с четным m — q. Взяв m — k четным, получим, что размерность пространства (тф есть ^гк/Д-^ДХ) для f^O. Аналогичное верно и для ф, откуда следуют требуемые неравенства. §
Наложив некоторые ограничения на целочисленные когомологии пространств, можно усилить теорему 2.1, получив следующую теорему, доказанную Хеллером Г2] и Суоном [2]. Заметим, что она справедлива и при р = 2, в то время как теорема 2.1 для р = 2 неверна.
Теорема. Пусть группа G = ZP, где р —простое число, действует на конечномерном пространстве X, и пусть А а X — замкнутое инвариантное подмножество. Предположим, что G действует на Н* (X, A; Z) тривиально. Тогда
^ rk Hfe^(F, F(\A; ZP)^^ rk H^‘ (X, A; Zp).
t>o<>o
Доказательство. Как и раньше, при доказательстве будем опускать обозначение А. Так как X конечномерно, то Нт(Х*, F; Z) = 0 для больших т и, следовательно, /*: Hm(XQ; Z) -> -^Нт(Е0; Z) есть изоморфизм при больших т (m>dimX). Так как для больших т имеем Нт(ХхЕа; Z) = 0, то композиция (являющаяся умножением на р) Нт (Хо; Z)-> Нт (X х Ео; Z)-> ->Hm(XQ-, Z) гомоморфизма, индуцированного проекцией XxEq-> -^ Хо, с трансфером, тривиальна; поэтому умножение на р аннулирует группу Нт(Хо\ Z), которая, следовательно, является Zp- векторным пространством.
Так как G действует на Я*(Х; Z) тривиально, то, как показывает подсчет,
E^^H^Bq; Н^Х; Z))E^^H^Bq; Н^Х; Z))Н^Х; Z)НЦХ; Z)®ZPНЧХ\ Z)*ZPН^Х; Z)НЦХ; Z)®ZPНЧХ\ Z)*ZPдляДЛЯдлядляДЛЯдляг = 0,г>0 четных, г>0 нечетных.г = 0,г>0 четных, г>0 нечетных.
E^^H^Bq; Н^Х; Z))
E^^H^Bq; Н^Х; Z))
Н^Х; Z)
НЦХ; Z)®ZP
НЧХ\ Z)*ZP
Н^Х; Z)
НЦХ; Z)®ZP
НЧХ\ Z)*ZP
для
ДЛЯ
для
для
ДЛЯ
для
г = 0,
г>0 четных, г>0 нечетных.
г = 0,
г>0 четных, г>0 нечетных.
Вычисляя размерности векторных пространств, получаем (для большого т и четного т —&)
dim (Я (Хо; Z)/(Fft_1/7m (Хо; Z))) =
= £dimF£-M< 2 dim ЕГМ =
= ^ (dim(H^(X; Z)®Zp) + dim(№^'(X; Z)*Z„)) = />о
= 2 dim№2' (X; Zp).
/>о
Аналогично,
dim (Я” (Fo; XMkF^Hm (Fo; Z))) = £ dim^(F; Zp),
/>о
откуда требуемые неравенства следуют ввиду того, что /* отображает Нт (Хо; TMFk-x на Нт (Fo-, Х^Вк-х эпиморфно. |
Замечание. Теорему 2.2 можно доказать и для финитного X, а не только для конечномерного, но при этом возникают дополнительные технические трудности, связанные с тем, что группы Я* (X*, FJ^*; Z) (а также Я* (X, Л; Z) и т. д.) могут быть отличны от нуля в сколь угодно больших размерностях. Эти трудности преодолеваются использованием того факта, что указанные группы не имеют р-кручения и р-делимы.
Описанные затруднения, однако, не возникают при доказательстве теоремы методом Суона [2], который аналогичен нашему, но более алгебраичен. Следовательно, для доказательства данного частного результата метод Суона предпочтительнее. Наш метод имеет, однако, то преимущество, что позволяет доказать аналогичный результат и для G = S1, чего нельзя сделать методом Суона.
Zp-действия на проективных пространствах
Пусть р — простое число. Мы будем писать X ~р Y, если X и Y имеют изоморфные кольца Zp-когомологий. Аналогично, мы пишем X ^pPh (п), если Я* (X; Zp)^Zp[nj/(a/,+1), где и = deg а.
Итак, для и = 1, 2 или 4 X имеет соответственно то же кольцо Zp-когомологий, что и РРЙ, СР" или НРЛ. Для и = 8 и /г = 2 пространство X имеет то же кольцо Zp-когомологий, что и проективная плоскость Кэли Cay Р2. Если р = 2, то перечисленные примеры дают полный список возможных значений п и при /iss2. Если р нечетно, то п должно быть четным для h 5? 2 и имеются примеры (см. §4) таких пространств X, что X Р2 (я) для любых нечетных р и четных п. Следующая теорема Б редона [10, 21] является основной в теории Zp-действий на проективных пространствах.
Теорема. Пусть группа G = ZP, где р — простое число, действует на финитном пространстве X~pVh (уг\ Тогда F либо пусто, либо является дизъюнктным объединением компонент Fi^p^1 ДД где h+l = S№+l) ы п^п. Число компонент не превосходит р. Для нечетного р и h^2 все числа п и п{ четны. Кроме того, если nt = n для некоторого I, то ограничение Нп(Х; ТД-»-Нп (Д; Zp) есть изоморфизм.
Доказательство. В силу теорем Смита мы можем считать, что /i^2. Пусть Fo — некоторая компонента множества F, и пусть х е Fo. Рассмотрим спектральную последовательность пары (Ха, ха^ с коэффициентами в ZP. Так как Zp не допускает автоморфизмов периода р, то G действует на Н* (X, х) тривиально. Пусть а~Нп(Х, х) —образующий. Тогда 1 0 а г Н°(Ва)0 ®Нп(Х, п) = Е2П есть коцикл, доживающий до Ею, так как £"2’ *" = 0 при q<n. Но тогда, однако, и любой коцикл 1$а‘ доживает до Ею, откуда следует, что спектральная последовательность вырождается. Следовательно, слой (X, х) вполне негомологичен нулю в (Хо, ха) в силу 1.6. Имеется единственный элемент as Нп(Ха, хД, ограничение которого есть a-HFX, х). В силу 1.4 группа Н* (Хс„ х0) является свободным Н* {Во)~ модулем, порожденным элементами а, а2, ..., ah.
Для нечетного р группа Н* Д, х) в нечетных размерностях тривиальна в силу 2.1. Приводимые ниже соображения относятся к случаю нечетного р и четных размерностей, что объясняет отсутствие 8еНЦВа) в фигурирующих формулах.
Пусть /0: ВохД0, х) = ((/?0)о, х0)->(Х0, х0) - включение; положим
/о (a) = 1 0 Ья + / 0 Ь„_ЙДР 0 bn_4d-\-_. .ДР8 0 bn_kd, (1) где bj e H‘ До, x), bn_kd =^0 и d есть 1 или 2 соответственно для р = 2 или нечетного р. Положим b = bn_kd и заметим, что п — kd=degb>0. Мы утверждаем, что Zp-алгебра И* Дй1 х) порождается элементом Ь.
Действительно, /о в точности есть композиция отображения /"* с проекцией группы Н* (Fo, ха) на ее прямое слагаемое Н* ((F0)o, хо). Так как в высоких размерностях р сюръективно в силу 1.5, то таково же и р. Но образ гомоморфизма /о порождается над Н* (Во) элементами /о (а), р (а2), ..., р^11), откуда следует, что Н* (Fo, х) порождается как Z,,-алгебра элементами bi формулы (1).
Далее, так как в высоких размерностях /о — эпиморфизм, то для достаточно больших г имеем
®b = p (А^а + А/-та? + • ■ • + Ahtr-hm*mu.h), (2)
где т = n/d и At е Zp. Преобразовав правую часть равенства (2) с использованием равенства (1) и сравнивая коэффициенты при Г+к, увидим, что Дх=1. Удалив этот член из обеих частей равенства (2), получим
0 6 - /о kfd) = /о (АгГ~та? + • • • + Ahtr-hm*ma.h).
С другой стороны, умножив (1) на tr и изменив порядок слагаемых, получим
/о (Га) -f^ ^b = r^bnp г*0 bn_d +... +1^-1 0 b»-^.
Из двух последних равенств следует, что
г 0 Ь„ +... + Г^0 bn_ih_x ,d = - /о* (А/ «V 4-... + АнР“аА).
Если мы, используя (1), преобразуем правую часть этого равенства и сравним коэффициенты при одинаковых степенях I, то получится выражение каждого из элементов bn, bn_d, ..., 6П_(61)[/ как полинома от остальных элементов bi (включая b = bnkd), не имеющего линейных членов1). Итак, Ьп ^-пл~ полином от Ь = = Ьп-м и, следовательно, произведение скаляра на некоторую степень элемента Ь. Аналогично, Ьп ^ ^л — полином от b и bn-ik-i^rt и, следовательно, полином от Ь, и т. д. Таким образом, каждый Ь; есть скалярное кратное степени элемента Ь, и, следовательно, Zp-алгебра Н* (Fo, х) порождается элементом Ь.
Отсюда следует, что F0~pPll,> (п) для некоторого 60 и для n0 = deg6s^n. Если р нечетно, то п0 = п — 26 четно даже для
Равенство ^г 4-1 — v; (/г,-+ 1) — это просто переписанное равенство 1.6(c), а последняя часть заключения теоремы следует из приведенного выше доказательства.
Осталось доказать, что F состоит не более чем из р компонент. Для этого рассмотрим проекцию л: Н* (BQ) 0 Н* (F, х)-+
Н* (BQ^ ^) Н° (F, х), которая является кольцевым гомоморфизмом.
Положим л/* (се) = tm 0 с, гак что л/* (№) = timV 0 с*. Так как л эпиморфно, а /* эпиморфно в больших размерностях, ю элементы с, с2, ..., ch порождают Zp-векторное пространство H°(F, х). Так как ср = с, то гк H°1F, х^р— 1 и, следовательно, F состоит не более чем из р компонент. |
Заметим, используя канонические кольцевые изоморфизмы, что с = (с,, с2, ..OeZpB'Zp®...^^0^!)®^0^)®-- - Отсюда и из сказанного выше следует, что все с( е Zp попарно различны и отличны от нуля (кроме того, можно опустить х и рассматривать с0 как нуль). '
Замечание. Для Z2-AeftcTBHft на РРЛ эту теорему доказал Смит [10], используя геометрические соображения, сводящие эту теорему к теореме Смита о действиях на сферах. Эти соображения Су [3] pacnpociранил на случай пространств, имеющих те же когомологии, что и RPh. В общем случае доказательство дано у Б редона [10, 21]. Там же доказаны и остальные результаты этого параграфа.
Замечания. Теорему 3 1 можно интерпретировать следующим образом: если алгебра Н* (X; Zp) порождается одним элементом, то это же верно и для когомологий каждой компоненты множества F неподвижных точек любого Zp-Действия на X. В работе Б редона [21] высказывалась гипотеза, что если Н* (X; Zp) порождается не более чем к элементами, то это же верно и для каждой компоненты из F. Контрпример к этой гипотезе будет построен в конце § 10. Однако возможно, что гипотеза справедлива в случае, когда слой X вполне пегомологпчен нулю в Ха, и это —трудная нерешенная проблема.
Для более детального изучения действия на проективных пространствах мы используем операции Стинрода Напомним кратко пх необходимые нам свойства. Стандартным источником для ссылок является книга Стинрода и Эпстейна [1].
Для р = 2 существуют естественные гомоморфизмы
Sq*: Н^Х, А- г^Н™<Х, A; Za)
со следующими свойствами:
(a) Sq° — 1;
(Ы SfU)=[ f при
[ 0 при r>deg х;
(с) 8уЦху) = ^Sq^x) Sq^^y) (формула Картана).
4=0
Из (с), в частности, следует, что если degx=l, то
Sq‘ (х6) = ^)х^.
Из соотношений Адема (см. цитированный выше источник), являющихся трудным следствием указанных свойств, следует, что если Х~2РЛ(л) и h^2, то и есть степень числа 2. (На самом деле известная теорема Адамса [1] утверждает, что п — = 1, 2, 4 или 8.) Другой полезный факт, касающийся этих операций, состоит в том, что Sq1 есть гомоморфизм Бокштейна, ассоциированный с коэффициентной последовательностью
О —*- Хг ~*■ Z4 ~*• Z2 "*■ 0.
Для нечетного простого р имеются естественные гомоморфизмыPV Нп(Х, А; Хр^Н^^ЧХ, А; Хр),
для которых
(а) ^=1;
pi M = f ХР при 2i = degx, р ( 0 при 2t>degx;
(с) Ркр (ху) = 5 Р‘р (х) Р^2 (у) (формула Картана). <-=о
В частности, если degx = 2, то Р1р (х*) = ^ xr+1'p^1\ Что касается соотношений Адема, то мы будем пользоваться лишь следующим их следствием: Р'рРр = 2Рр.
Для дальнейших целей нам необходимо вычислить действие операции Рр на группе Н1 (НРЛ; Хр). В связи с этим возьмем образующий хеН'2 (СР2Л+1; Х^ и заметим, что Рр (х2) = 2х₽+1 (в силу сказанного выше). Далее, имеется каноническое расслоение /: СР2Л+1-*НРЛ со слоем S2, причем f*: Я4 (HPft; Zp)-> ->• Я4 ((DP2,1+1; Zp) есть изоморфизм. Выберем образующий у е е Я4 (НРЛ; Zp) такой, что /*(у) = х2. Тогда, используя естественность операций Р1р, получаем Р^ (у) = 2у(^+!)/2.
Пусть теперь пространство X таково, что Х~рНРЛ, и пусть геЯ4(Х; Zp). Тогда РрРр (г) = 2Рр (г) = 2гР в силу (Ь). Но Р1р (г) = Az^p+^P для некоторого А е Zp, так как в группе Я2р+2(Х; Zp) других элементов нет. По формуле Картана получаем, что
2г» = Рхр (Аг ^+’>/2) = А ^- г^^Рхр (г) = ^ АЧр.
Если к2?р (так то гр=^=0), то отсюда следует, что Д2 = 4 и, следовательно, что Л = ±2. Следовательно, при h^p имеем Рр (г) = ± 2г(р+1)/2. С другой стороны, имеются примеры пространств Х~8НР2 (так что h = 2<3=»p), для которых РЦг)=0; см. § 4.
Теорема. Если группа G = Z2 действует на финитном пространстве X ~2 РЛ (п), где h^2, то выполняется одно из следующих ниже условий:
F = ф и h нечетно.
F связно и F~2Ph (т), где п = т или п = 2т.
F имеет две компоненты Fx и F4, где F, ~2 Рл (п) и h = = /h + A2+l (.здесь ht может быть равно 0 или 1).
Кроме того, в случае (2) ограничение Нп(Х\ Z2) -«-НфЕ; Z2) является изоморфизмом.
Доказательство. В силу 3.1 F имеет не более двух компонент, и хотя бы одна из этих компонент не ациклична. Пусть Ео —одна из компонент множества F; предположим, что Е« ~2 Р* (т)« где А За 1 и т < п. Докажем, что тогда имеет место случай (2) с п = 2т. Так как h^2, то, как мы знаем, п есть степень числа 2, и на самом деле есть одно из чисел 1, 2, 4, 8. Вместо рассмотрения общего случая (который имеется у Б ре до на [10]) мы сосредоточимся на случае п = 4 — типичном.
Мы воспользуемся обозначениями, введенными при доказательстве теоремы 3.1. Итак, элемент a.~H4XQl хо) при ограничении на слой переходит в образующий ае Н4 (X, х), где х е Ео. Положим
/* (а) = Р 0 с0 + /3 0 сг + Р 0 с2 +t 0 с3 + 1 0 с4,
где Ct^H^F, х) и стф0. Из доказательства теоремы 3.1 следует, что с0 порождает группу H°(F, х) и, следовательно, со = О тогда и только тогда, когда F связно. Допустим, что со=#О. Если т=\ или т = 3, положим 1 = 1, а для т = 2 положим 1 = 2. Вычислим Sq* (а,). Так как г <4, то H4+i (Xq, xg) состоит лишь из двух элементов: 0 и Еа. Однако, как показывает вычисление, элемент /* (Sq‘a) = Sq1 (/* (а)) не содержит членов, содержащих с0. Итак, S^(a) = 0. Далее, /о (a) = Рт 0 b + (*), где 0=#b еН^Р», х), и (*) есть сумма членов вида P*fe®bk, k">m. Тогда по определению числа I имеем
/о (S^a) = Sq1 (/g (a)) =-I4-"1*10 b + (*)#= 0
и, следовательно, S^(a)=/=0. Полученное противоречие доказывает, что множество F связно.
Так как F связно, то F~2Ph(m), и т есть степень числа 2 в силу того, что Л 3s 2. Мы должны показать, что m^l. Дей-
ствительно, если m=l, io
/* (а) = Х0Ь + /0Ь24Л0Ь3 + 1 (%)Ь4,
где b порождает группу Н' (F, х; Z?) п Ь, есть 0 или Ы. (На самом деле Ь8 и Ь4 нас не интересуют.) Как и выше, Sq1 (се) есть либо 0, либо /а и, следовательно, Sq1 (j* (а)) = /* {Sq1^ есть либо 0, либо //*(а). Легко видеть1), что
Sq'j* (а) = t4 0 b +13 ® Ь2 + /2 0 b3 +t 0 Sq'b3.
Таким образом Sq'j* (а) ^ 0, и из формулы Sq1]* (а) - tj* (а) получаем, что b4 = b2 и либо Ь3 = ЬД = ^, либо b3 = b3, b4 = b4. Как и выше, ясно, что Sq2 (а) есть либо 0, либо /2а. Если Ь8 = = 0 = Ь4, то
/* (а) = t3 0 b +I2 0 Ь2,
Sq2 (j* (а)) = t3 ® b +14 ® b2 +12 0 b\
t2j* (a) = Is 0 b +14 0 b2 + (*), что невозможно.
Если же bi = b‘, t = 3, 4, то
S^tftcO^/^b + ^bs + ^ba + ^b5,/Т (а) = t5 0 b +14 ® b2 + i3 ® b3 +1 0 b\
что снова противоречит тому, что Sq2 to?) есть либо 0, либо 12а.
Для доказательства последнего утверждения достаточно показать, что2) j* (a) = Z20b0 1 0 b2. Альтернативой является лишь равенство j* (a) = t2 0 b, но в этом случае Sq2 (j* (a)) = t4 0 b 4+ t2 0 b2, t. e. Sq2 (/* (a)) не есть ни 0, пи X/* (a).
Тот факт, что если h четно, то F^(h, следует из теоремы Флойда III.7.10 о том, что / 0) = % (X) = 1 (mod 2) для четного Ь. Легко дать и прямое доказательство этого утверждения, доказав вырождение спектральной последовательности. Д
Замечание. Если X —конечное клеточное пространство с тем же кольцом целочисленных когомологий, что и ХР', b^2, то для любой циклической группы множество неподвижных точек F не может быть пустым. Это следует из того более сильного факта, что любое отображение Х-*Х имеет неподвижную точку. Доказательство последнего — элементарное упражнение на применение операции Р3 и теоремы Лефшеца о неподвижной точке.
Замечание. Отучай (2) теоремы 3.2 при п = т реализуется, очевидно, тривиальным действием, и для случая замкнутого многообразия X это единственно возможная реализация. Однако для пространств вида (ОР^хВ' имеются нетривиальные возможности
*) Здесь нам пришлось несколько уточнить ход рассуждений автора. — Прим, перев.
для реализации этой ситуации. Удивительные примеры такого рода будут приведены в следующем параграфе.
Теорема. Пусть группа G = Z2 действует на финитном пространстве X-^., Р'! (/г), где h$n2, nya2 и Е^ф. Тогда Нп (X; Z4)^Z4. Если п">2, то G действует на Нп (X; Z4) тривиально. Если п = 2 (т. е. X ~2 СРЛ), то G нетривиально действует на Н2 (X; Z4) тогда и только тогда, когда E^RP'E
Доказательство. Так как п^2, то HZ(X; Z2)=0 при нечетных L Итак, имеется точная последовательность
0-^№(Х; Z2) ^-Н^Х; Z^HpX; Z3)-*0.
Отсюда, с учетом того, что фф: И" (X; Zd НП (X; Z4) есть умножение на 2, следует, что Нп(Х, Z4)^Z4. Рассмотрим спектральную последовательность расслоения (Хо, ха)-^-Ва с коэффициентами в Z4. Имеем
Нп(Ха, ха; Z4^E»^ = H6^BO; Нп(Х, х; Z^H^X, х; Z^, и эта группа есть Z2 или Zi в зависимости от того, нетривиально или тривиально действует группа G. Как и выше, пусть а — образующий группы Нп(Ха, ха; Z2)^Z2. Из точности последовательности
0->№(Хо, xG; Z^H^Xa, хо; ZJ-^
-^Н'ЦХа, ха; Z2) S"- Н^ЧХо, xg; Z2)
следует, что Sq(a)=0 тогда и только тогда, когда G действует на Нп(Х, х; Z4) тривиально. Если п >2, то Н‘(Е, х; Z2) = 0 при нечетных I, см. 3.2, так что /* (Sqra) = Sq1 (/* (a)) =0 и, следовательно, S</1(a) = 0 в силу мопоморфности /*.
Если п = 2 и HpF, х; Z>) = 0, то Sg‘(a)=0 по аналогичным соо'ражениям. Если же п = 2 и H4F, х; Z2)^0, то, как отмечено в доказательстве теоремы 3.2, /* (a) = t ф b + 1 ф Ь2 и, следовательно, р (Sq1 (a)) = Sq1 (р (a)) = P ф b ф-t ф b2 ^ 0. g
Вернемся к случаю нечетного простого р. Наш первый результат усилит ограничение на число компонент множества F.
Теорема. Пусть р —нечетное простое число, и пусть группа G = Zp действует на финитном пространстве Х^рНР'2. Предположим, что или h^p, или X ='-Ph или, более общо1), что Рр(а) = ?!' 2а<р+|,/2, где а —некоторый образующий группы ^ (X; Zp). Тогда F состоит не более чем из (р+ 1 )/2 компонент.
Доказательство. В случае (р + I)/2>А теорема тривиально верна1), так что мы можем считать, что д(р+!>/2^0. Для образующего аЕНЧХг„ ха; Zp) имеем /* (а) = Р ® с + (*), где се№ (F, х) и (*) содержит члены, у которых второй сомножитель имеет положительную степень. Так же, как и в 3.1, можно доказать, что Zp-векторное пространство H°(F, х) порождается элементами с, с2, с3, ...
Так как Р£(а) при ограничении на X переходит в Р'р(а)=* = ± 2а(р +!,/2, то
Р‘р (а) = Лоа(р + О/2 + А^р- п/2 +...4. Ap_xtp"4,
где Л, eZp и Ло = ± 2. Итак,
/* ^р (а)) = I»*4 ® (Лос(р+ ^-\- А^р- ^^...^Ар^А-^,
причем Р‘р^* (а)) = Р^Р ® с+ (*)) = 2Д-1 ® с + (*). Таким образом, Лос(р + !)/2 + А2с<р~ |)/2 + ... + Ар_1с = 2с, и так как Ло = ±2, то из этого уравнения можно выразить cIp+p/2 через с‘, г<(р+1)/2. Итак, с, с2, ..., с(р_ 1)/2 порождают Zp-векторное пространство H°(F, х; ZP), что и утверждалось. |
В двух следующих теоремах мы сосредоточимся на случае р = 3. Имеются аналоги этих теорем и для произвольного нечетного р, справедливые, однако, при более сильных предположениях, см. Б редон [10].
Теорема. Пусть G = 1,a действует на финитном пространстве Х~3НРЛ. Тогда в F имеется не более одной компоненты Fo, такой, что Fo^gHP*, А 3^1. Все остальные компоненты имеют №-тип (или ацикличны1).
Доказательство. При h <. 3 утверждение теоремы вытекает из равенства rkH*(X; Zs) = rkA* (F; Z3). Если же к 3, то а3 Ф 0, где а<=Н4 (X; Z3) — образующий, и, следовательно, Р'Д (а)= = ±2а2. Поменяв при необходимости знак, мы можем считать, что Р3(а) = 2а2. Пусть Fo и l^—две компоненты из F, имеющие HP-тип. Выберем keF,. и пусть ае Н4 (Хо, х0; Z3) — элемент, переходящий при ограничении на X в элемент а. Тогда /*(«) = = /2 ® с+ 1 ® &0+ 1 ® Ьх + (*), где ceH’F; х), boe Н4 (Fn, х), Ь-^ИЦРу) и (*) состоит из членов, не входящих ни в одну из этих групп. При этом cbQ = O и cbj^O (так как с мультипликативно порождает H°(F, х)). Далее, Р3 (а) = 2а2 + АРа, с некоторым Л е Z3. Так как Р3(/2) = 2/4, то
Р^ (/*(а)) = 2/4®с + (*)
И
/* (Р^ (а)) = 2 (/* (а))2 + APj* (а) =
= 2 (Р ® с2 + 2G ® cbx) + А (Р ® с + Р ® b0 + Р ®^)+(*).
Сравнение членов, содержащих bQ, влечет теперь равенство Л=0, после чего сравнение членов, содержащих Ьх, приводит к противоречию. |
Теорема. Пусть Z3 действует на финитном пространстве Х^Нг1, где h^ 3 или h = 2 и Р'3(а)=±2а2 (например, Х = НР2)- Пусть, далее, Fo — такая компонента множества F, что ^о^з СР6, 1г ^2. Тогда Н4(Х\ Z3) ->• Н4 (Fо! ХА есть изоморфизм.
Доказательство. Выберем xeF0, и пусть образующий а тот же, что и раньше. Как и выше, имеем Р\ (а) = 2а2 + АРа с некоторым AeZ3. Мы можем записать также, что /о(а)= = / ® ЬА~ В ® Ь2, где Ь — образующий группы H2(F0, х\ Z3) и BeZ3 Мы должны доказать, что 5^=0. Имеем
Р» (1* (“)) = ^3 ® b 4-t ® Ь3 + 2В ® Ь4,
и этот элемент равен элементу jHP'(ccA = 2jUa.(2 + APjH^ =
= AP®b -|- (2 + АВ) P®b2 + ^Bt ® № + 2В2 ® Ь4.
Следовательно, А = ( и 2+45 = 0, откуда В = — 2. |
Следствие. Пусть G — конечная группа, порядок которой есть степень числа 3, и пусть G действует на финитном пространстве Х^р-Р6, где h^S (или h = 2 и Р^ (а) = ± 2а2). Тогда множество F = Xе содержит не более одной компоненты типа hP. Более того, если Fo — такая компонента из F, что Е0^3€Р6, А ^2, то ограничение Н4 (X; Z3) -> Н4 (Fn; Z8) есть изоморфизм.
Доказательство. Известно, что G обладает фильтрацией G = Оо до G, zd G, zd... zd Gr = (e^, где G//Gz+1^Z3. Первое утверждение теоремы легко доказать теперь по индукции. Что касается второго утверждения, то обозначим через Ft компоненту множества F (Gt, X), содержащую Fo, так что Fo с Fx с Рг с:... cz Fr = X. Тогда Ft есть компонента действия группы Z3^G;/Gz+1 на F<+1. Так как гкЯ*(/70)^3, то это же неравенство справедливо и для любого F, и, следовательно, ни одно из множеств F{ не есть ни S2, ни S4. Если множества Ft и F^ либо оба имеют (DP-тип, либо оба имеют HP-тип, то H4(FiJrp, Х.А-*Н4(Рр Z3) есть изоморфизм в силу 3.1. Из естественности операции Р\ следует также, что Д3(а;) = _Ь2а/, где a, ge H4(Fp, Z3) — образующий и Ft имеет j Р-тин. Следовательно, при переходе от Ft к Ft_x в случае, когда Ft имеет
ДР-тип и /Xj cz F (Z3, Fp имеет ,Р-1ип, можно применить теорему 3.6, что и дает требуемый результат. |
Замечание. Естественно спросить, не будет ли верен аналог следствия 3.7 для действий р-группы с р^2,3. Ответ на этот вопрос неизвестен.
Несколько примеров
В этом параграфе мы дадим несколько примеров, иллюстрирующих теоремы предыдущего раздела.
Введем в H^2, £Р,! и HP'2 однородные координаты точки х, полагая х — (х0: xv:...: xh). Кроме того, считаем НРЛ правым проективным пространством, т. е. (^0: qx\...: qh) = (qaq : qxq :...: qhq),
«Линейные» действия окружности {z е (D л г I = 1} и, следовательно, любой группы Zp па пространствах СР'2 и HPA даются формулами
г (9о : :...: qh)=(zo«qQ : z°^x :...: г '^Л),
где аг —целые числа. (Это действие может обладать ядром, по которому обычно будет производиться факторизация.) Имеется и аналогичное действие группы Z2 на 7Р\ В частности, отображение (q0: qY:...: qh) <—* (iq6 : iqx :...: iqh) определяет на НРЙ инволюцию с F = CP\ Аналогично, на ДРЛ имеется инволюция (z0:z, :... ...: zh) ► (zn: z, :...: zh), для которой F = 5RP,!.
Анализируя вышеописанные действия простым перебором, можно показать, что для X — (RPA, ©РЛ или HP71 эти действия дают примеры большинства возможностей (все возможности при р = 2,3) для F, соответствующих утверждениям 3.1, 3.2, 3.4 и 3.5.
Рассмотрим теперь несколько действий на проективной плоскости Кэли СауР2. Напомним ее определение. Числа Кэли можно определить как пары (а, Ь) кватернионов, где сложение производится покоординатно, а умножение определяется формулой (а, Ь) (с, d) = (ас — db, da A-be). Для числа Кэли х = (а, Ь) положим х = (а, — Ь) и |xj = (|а|2+1&|2)1/2> так что xx=|xj2 = xx. Кроме того, |-Ч/| = |х| |у|. Умножение чисел Кэли неассоциативно, но любые два элемента лежат в ассоциативной подалгебре. Более того, имеется «тождество Муфанг» (zx) (yz) = г (ху) z. Для более основательного знакомства с числами Кэли мы рекомендуем статью Кертиса [1].
Для любого отображения АхВ-*С имеется очевидное индуцированное отображение джойна А* В в надстройку SC (которое пропускается черезS (АхВ)). Для действий группы на пространствах А, В, С, относительно которых отображение АхВ-*С экви- вариантно, индуцированное отображение A*B-*SC тоже экви- вариантно. Операция умножения на множестве чисел Кэли еди-
ничной нормы задает отображение S7 ■ S7-^S7, которое, таким образом, индуцируе! «отображение Хопфа» <р: S15 = S7 *S7 SS7 = S8. Теперь Cay Р2 определяется просто как конус отображения тр. Для построения различных примеров действия групп на Cay Р- мы предпочитаем использовать это определение. Другой подход основан на том факте, что Cay Р2 есть однородное пространство F4/Spin (9).
Теперь мы опишем несколько действий на Cay Р2. Для кватерниона т единичной нормы и числа Кэли с = ^а, 6) положим т(с) = (татч, т6та). Ясно, что это — автоморфизм алгебры Кэли, определяющий $3-действие на 57(при этом—1 = S3 действует тривиально, так что эффективным действием является SO (З)-действие). Умножение S7xS7-^S7 эквивтриантно относительно этого действия и, следовательно, имеется индуцированное эквивариантное отображение S15->-S8, на конусе которого Cay Р2 действует S3. Если т —автоморфизм порядка р(или порядка 4 для р = 2), то он порождает Zp-действие на Cay Р2, для которого /7 = НР2.
Другой пример: пусть со —число Кэли порядка) р, и пусть от действует на S7 по формуле с н-^-соссо. Кроме того, пусть со действует на S7xS7 по формуле^, с2) >—*(юс,, с2со). Тогда умножение S7zS7^S7 эквивариантно в силу тождества Муфанг и, следовательно, оно индуцирует Zp-аействие на Cay Р2. Чтобы описать множество неподвижных точек F, заметим, что если вектор с е S7 перпендикулярен и к 1, и к <о, то С = — с и 2- = = |с+ ю]2 = (С + ®) (с + <м) = 2 + с® + ес, так что ссо = о?с. Итак, для точек с из этой пятимерной сферы имеем югм = с. Если же ceS7 лежит в плоскости, порожденной векторами 1 и со, то соссо = = со2с совпадает с точкой с тогда и только тогда, когда р-2. Так как на S7xS7 описанное выше действие не имеет неподвижных точек, то F есть объединение вершины конуса отображения S7 * S7 -o-SS7 и надстройки над множеством неподвижных точек отображения ci—► соссо. Итак,
„ ( {точка}+ S8 для р = 2,( {точка} 4-S® для р>2.
Легко видеть, что это действие является гладким в некоторой гладкой структуре на Cay Р2. Заметим, что для р = 3 эта ситуация иллюстрирует следщвие VI.10.4 и показывает, что условие в последней части следствия VI. 11.5 нельзя отбросить. Заметим также, что никакое гладкое действие группы Z3 на Cay Р2 не может иметь/7 вида {точка} + Sr, где г ф 6, так как г должно делиться на 3 в силу VI. 10.4 и в тоже время должно быть четным числом, меньшим 8 в силу 3.1. (Это утверждение допускает и чисто кого-
мологпческое доказательство, см. упражнение 10.)Случай г = 0 отбрасывается теоремой Коннера и Флойда [8], с. 170; сравните с доказательством теоремы 9.3.
Приведем теперь другой класс примеров Zp-действий с нечетным р. Вспомним построенное в § 7 гл. I отображение 6: S”'1 ->• О (п), переводящее х в 8Х, где 8Х — отражение относительно прямой Rx. Вспомним также отображение ф: S”-1/S”-1S"-1, ф(х, у) = 8Х (у), имеющее бистепень (2, —1)для четного п и бисге- пень(0, 1)для нечетного п. Следовательно, инвариант Хопфа отображения ф: S2"1 = S"-1 * S'1-1 —>-SS”1 = S", индуцированного отображением ф, равен —2 или 0 в зависимости от того, четно или нечетно число п. Обозначим через Хп конус отображения ф. Итак, для нечетного р мы имеем
( Р2(п) при четном п,^пр ( S" V S2” при нечетном п.
Пространство Хо состоит из трех точек. Далее, ф эквивариантно относительно обычного О(п)-действия на S^1 и диагонального действия на S^xS"1. Следовательно, возникает О (п)-действие на Хп. Если G ед О (п) и F (G, R") = R*, то, очевидно, F (G, Х„) = Xh. Следовательно, для четных к и п, Os^ks^n, и нечетных р имеется такое Zp-действие на Хп^рР2 (л), что F = Хк^рРг Эти примеры реализуют ограничения, которые в принципе можно ожидать при исследовании действия групп чисто когомологическими методами. Например, группа Z3 действует на Х4~3НР2 так, что Е = Х0 состоит из трех точек. Это показывает, что условие на значение операции Рр в теореме 3.4 необходимо и что Рз = 0 на Х4. Аналогично, Zs-действие на Х4, для которого Е = Х2, показывает необходимость условия на значение операции P^ в теореме 3.6, так как отображение Я4 (Х4; Z3) -> Я4 (Х4; Z3) тривиальное, потому что оно пропускается через группу Я4 (Х3; Z3) = 0; см. также упражнение 2.
Мы закончим этот раздел примерами, показывающими существование достаточно интересных действий даже для X^pF, т. е. для случая, когда ограничение Я* (X; Zp) Й* (F, Zp) является изоморфизмом.
Чтобы построить первый такой пример, рассмотрим ^-действие па C2 = R4 вида г^ г2) = (г2гъ г3г2). Добавив бесконечно удаленную точку, получим линейное действие на S4. Пусть A czS4 —орбита точки (1, 1), так что A = ((z2. г3) ;г|=Ц, и заметим, что А не пересекается ни с одной из двумерных сфер F^Va, 0)}, Я3 = {(0, z^, являющихся множествами неподвижных точек, соответственно, действий подгрупп Z- и Z3. Далее, орбита А обладает инвариантной трубчатой окрестностью U^ я^А x^^S^R3 в S4 и S4 —Яа«5ахВ2. Это множество S2xD2
содержит обе двумерные сферы F2 и F3. Мы хотим найти (с точностью до знака) степень включения S2 сд S2 xD2. Однако эта степень есть, очевидно, коэффициент зацепления сферы ^^S2 и окружности A^S1 в сфере S4. Далее, F^ ограничивает трехмерный диск В3 = {(гг, г») г2 0 (z2eR)}, который пересекает А в трех точках {(со2, 1) | <ю3= 1} и все числа пересечения имеют один и тот же знак. Итак, коэффициент зацепления равен 3, и потому степень включения f2cS2xD2 равна 3. Аналогично, степень включения f3cS2xD2 равна 2. Следовательно, подгруппа Z2 (соответственно Z3) действует на S2xD2, и при этом F^S2 лежит в S2xD2 со степенью 3 (соответственно 2). Аналогичные построения приводят к Zp-действиям на S2xD2, причем A^S2 лежит в S2xD2 со степенью q, взаимно простой с р.
Все эти примеры являются, конечно, нетривиальными примерами к теоремам Смита и теоремам 3.1 и 3.2(2) с h=\. Мы дадим теперь обобщение этих примеров для /г>1. Рассмотрим многообразие Брискорна W4^1, заданное в ©2”+2 уравнениями up .г уч^_22л==о, |u|2 + |u!2 + |z1;2+ ... +|г2„^ = 1,
где р и «/ — неравные простые числа. Напомним, что оно всегда является гомотопической сферой. Пусть S1 с SO (2) х ... XSO (2)с с: SO (2п)— диагональная окружность; заметим, что она действует на W'pn+1 полусвободно с А = Г' ^^S1 (при этом F задается уравнениями г,- = 0). Умножение координаты и на корень р-й степени из 1 определяет на W4^1 Zp-действие, которое коммутирует с З^действием и имеет множеством неподвижных точек многообразие ^«-i, заданное уравнением и = 0. Заметим, что W4"-1 fl ^ q = Ф- Инвариантная трубчатая окрестность U окружности W'p g имеет вид S’xR4”, и ее дополнение W4,11"1 — U ^S4"-1xD2 содержит множество WX4" неподвижных точек Zp-действия. Мы профакторизуем теперь это дополнение по ^-действию. Имеется эквивариантное включение S^-t-S^xD2, являющееся гомотопической эквивалентностью. Отсюда следует, что X = = ($««-! х D2)/S* гомотопически эквивалентно пространству ©Р2”-1 (на самом деле, используя теорему об s-кобордизме, можно доказать, что X СР2”-1 к D2, по крайней мере при п=/=2). Имеется такое индуцированное Zp-действие на X, что F = F(ZP, X) — = MX^^V'S1. Напомним, что Н2п (W4ql”V Z)^ZP и что в остальных размерностях их4”-' имеет те же гомологии, что и S4”-1. Используя спектральную последовательность (или последовательность Гизина) З^расслоения W^-'-^-F, легко показать, что Н* (F; Z)^Z[x, у]/(х” — qy, у2), где degx = 2 и degz/ — 2п. Это З^расслоение лежит в З^расслоепии S4”'1xD2-^-X, и из сравнения спектральных последователь!юс гей следует теперь, что степень включения F а X есть ±q. Иными словами, гомоморфизм
Z^Я4”-2(X; Z) ->• Я4"-2 (F; Z)^Z есть умножение на ±<7. (Отсюда следует также, что степень включения W'4n-1 сд S4”-1 х XD2 есть + </.) Так как F ~рСР2л-1 ~р X, то это иллюстрирует 3.1 и 3.2(2) в «очевидно тривиальном» случае. Мы надеемся, что эти примеры заставят читателя более внимательно взглянуть на теоремы § 3.
Действия окружности на проективных пространствах
Очевидно, что для S’-действий на рационально когомологических проективных пространствах можно доказать теорему, аналогичную теореме 3.1. В этом параграфе мы изучим S’-действия на целочисленно когомологических проективных пространствах. Запись X ^ будет означать, что X и Y обладают изоморфными (включая градуировку) кольцами целочисленных когомологий, а запись X ~2Рк(п) будет означать, что Я* (X; Z)^
Z[a]/(aA"1), где deg а = п. Напомним, что для h 5? 2 такие X существуют лишь при п = 2, 4, 8, а для А^З —лишь при п = 2, 4; см. Адамс [1] и Стин род и Эпстейн [1].
Теорема. Пусть X^g^(л), н четно, и пусть на X задано S'-deiicmeue с конечным числом орбитных типов. Предположим, что пространства X и Х/S1 финитны. Тогда множество F = Xsi непусто и состоит из компонент Fi^^PY (п^ с четным п.^п и с /г+1= 2№ + 1)- При этом, если для некоторого i имеем nt = n и h^-l, то ограничение Нп (X; Z)-^Я"(/7/; Z) является изоморфизмом.
Доказательство. Заметим, что в рассматриваемой довольно общей топологической ситуации применимость общей формулы универсальных коэффициентов не доказана; по этой причине мы в доказательстве нигде не используем рациональные коэффициенты. Тем не менее формула универсальных коэффициентов для группы Zp справедлива в силу того, что она вытекает из точной последовательности групп коэффициентов 0-^Z-^Z-^ —>-Zp—>-0. Заметим, что в силу III.10.13 группы Н* (F; Z) имеют конечный тип, и в силу II 1.10. 7 имеем Я' (F; Z) = 0 при F>nh. Пусть «/ — нечетное простое число, настолько большое, что подгруппа Z9 cz S’ не содержится ни в какой стационарной подгруппе, кроме самой S1 и, кроме того, что группа Н* (F; Z) не имеет (/-кручения. Тогда F (Zq, X) = F = F(S1, X). Далее, Z9 действует на Н*(Х; Z) тривиально, и спектральная последовательность (с целыми коэффициентами) расслоения Х^-^В^ вырождается, гак как у всех ненулевых элементов члена Ег обе степени четны. Отсюда следует ненустота множен ва F — f (Z?, X),
379379S. действия окружности на проективных пространствах
379
379
так как группы Н* (JF^; Z) И* (Х^; Z) в высоких четных размерностях нетривиальны.
Из 3.1 следует, что Н* (F\ Z9) = 0 при нечетных I и что vVH*^F; Z9)=/i+l- Так как Н* (F; Z) не имеет ^-кручения, то rk Н* (F; Z)=/i+L Если бы для некоторого простого р группа Н* (F; Z) имела р-кручение, то имело бы место неравенство rk Н* (F; Zp)'>rk Н* (F; Z) = h-¥ 1 = rk Н* (X; ZP). Но так как F = F(ZPr, X) для некоторого г, то это противоречило бы (после применения очевидного индуктивного рассуждения) теореме III.7.9, Следовательно, Н* (F; Z) — свободная абелева группа ранга /г +1 •
Пусть Е„ —некоторая компонента из F. Индуктивно применяя теорему 3.1 для данного простого р, получим, что Ро ~р Рк (т). Следовательно,
//(Ео; Z)//(Ео; Z)Z при г = 0, т, 2т, ..., кт,
//(Ео; Z)
//(Ео; Z)
С в остальных случаях,
и число т четно, т^п. Мы должны показать, что если элемент b является образующим группы Hm(F0; Z)^Z, то и элемент bft е Нкт (Fo; Z) — тоже образующий. Но если bh делится на некоторое простое р, то H*\F0; ZP) имеет не ту, что нужно, кольцевую структуру. Следовательно, Ро Р'' (т). Осталось доказать, что если т = п и & 5=1, то гомоморфизм ХряНп(Х; Z) ->• Н" (Ео; Z)^Z есть изоморфизм. Но это справедливо для Zp-коэффициентов с любым простым р, что легко доказывается использующим 3.1 индуктивным рассуждением, и потому верно и для целых коэффициентов. |
Заметим, в частности, что если X^^(LP,!, то ^ = U^ с Е,~2СРйС где/i+1 = S №+1), причем Я2(Х; Z)-^-/72(E;, Z) есть изоморфизм при ^5=1.
Теорема. Пусть Х^^^р11, h^2, и пусть на X задано S^deucmeue с конечным числом орбитных типов. Предположим, что X и Х/S1 финитны. Тогда в F имеется не более одной компоненты Fo, для которой E0~g--iP6, к^Л; остальные компоненты имеют &Р-тип (или ацикличны). Если Ед^^НР*, к^Л, то Н4(Х; Z)-*H4(F6\ Z) есть изоморфизм. Если Рг^2^к' к^2, то коядро ограничения Z^H4(X; Z)-»-//4(E1; Z)^Z конечно, и его порядок взаимно прост с 6.
Доказательство. Так как F (Z3r , Х) — Р для некоторого г, то наличие не более чем одной такой компоненты Ео, что Ео ^^Т^’ следует из 3.7. Остальные утверждения о типах компонент множества F следуют из 5.1. Если РТ ъР*, ^5=2, то НЦХ; Z3)->-И1 (Fp, Z3) — изоморфизм в силу 3.7, а для Z2
изоморфность доказывается на основании 1еоремы 3.2 и индуктивного рассуждения, использующего 3.1. Следовательно, гомоморфизм Х^НЦХ; Z)->-//4 (Вб Z)^Z является умножением на некоторое целое число, взаимно простое с 2 и 3. | ■
Замечание. Можно ожидать, что отображение W4(X;Z)-> -^П^Рр, Z) является изоморфизмом, но неизвестно, так ли это. Теорема 5.1 и первая часть теоремы 5.2 взяты у Б редона [10j. Случай Х~2СРЛ ранее рассмотрел Су [3], используя геометрические аргументы для редукции этого случая к случаю действия на гомологической сфере.
Возвращаясь к общей ситуации теоремы 5.2, выберем образующий аЕ Н^Х; ZY Спектральная последовательность (над Z) расслоения XSi->Bs*, будучи в нечетных размерностях тривиальной, распадается в серию точных последовательностей
0->B«(Bsl; Z)-*H"(XS-; Z)->№(X; Z)->0.
Следовательно, элемент аеНп(Х; Z) накрывается элементом a е Hn(Xst- Z), и а определен однозначно с точностью до целого кратного элемента ^/2 = р>/2 .1 е ^"(Xs^ Z\ Переводя элементы 1, а, ..., ah, соответственно, в элементы 1, а, ..., ah, получим когомологическое расширение слоя, откуда на основании теоремы Лере —Хирша 1.4 заключаем, что H*(XS6 Z) есть свободный модуль над H*(Bs6 Z)^Z[^] с базисом 1, а, а2, ..., ай.
Применив к а гомоморфизм /*: B*(Xs>; Z) -> Н* (Fsb Z), получим /* (а) = /л/2 0 <? + (*), где с <= Н° ф‘, Z) и (*) состоит из членов, у которых вторые сомножители имеют положительную степень. Для некоторой компоненты Ft из F обозначим через ct е Н° (Fp Z) ограничение элемента с на Ft и заметим, что ввиду канонического отождествления H°(JFt, Z)^Z элементы Ct можно считать целыми числами.
Предложение. Пусть р —простое число. В приведенных выше обозначениях компоненты Ft и Fj множества F (S1, X) лежат в одной и той же компоненте множества F ^Zp, X) тогда и только тогда, когда Ct^Cj (mod р).
Доказательство. Ограничение элемента а на (BJsi есть /”/2 ® с( = с^”/2 0 1. Если хе Ft, то отсюда следует, что ограничение элемента а на xs- = Bsi есть Cttnr2. Так как универсальное пространство Е^ можно выбрать совпадающим с Es*> то возникает коммутативная диаграмма
которая индуцирует коммутативную диаграмму h*(Xs-; г)-^нчхХр\ zq)
Н*^х, 1)^хУ-, 2)->Н*иХр; Zp^H4BXp; Zp)
Нижний гомоморфизм переводит / в соответствующий образующий группы Н2 (В^ ; Zp) ^ Zp, который мы обозначим снова через t для нечетного р и через /2 для р = 2. Пусть а' е ^ Нп (Х^-, Zp) —образ элемента а; заметим, что а' при ограничении дает образующий и' е Йп (X; Zp), являющийся Zp-редукцией элемента а. Из коммутативности диаграммы следует, что а.* переходит в элемент сфч- (niodp) группы Й*^^-, Zp) (или в cttn при р = 2). Однако образ элемента а' при гомоморфизме Г- нчхг- Zp^H^F^Zp, Х^р, Zp^HHB^ гРш ®H*(F(Zp, X); Zp) есть t^^d + ^y где d еНЦР (Zp, Ху Zp), откуда следует, что «часть» элемента d, соответствующая содержащей х компоненте из F (Zp, Ху в точности есть с, (mode). Отсюда следует, что если Ft и Fj лежат в одной компоненте множества F (Zp, X), то ct = Cj (mod р), а обратное следует из того, что отвечающие различным компонентам «части» элемента d различны в силу того, что d мультипликативно порождает кольцо H4F(ZP. X); Zp). |
Следующий факт доказал У.-И. Сян. Этот факт допускает очевидное обобщение на Zp-действия, действия торов и т. д.
Предложение. В указанных выше обозначениях гомоморфизм j*: Й* (Xs>; Z) -> Н* (Fsi; Z) является мономорфизмом, и имеет место кольцевой изоморфизм H*^XS1; Z)^
Z [«, /]/П (.a-Cit)^.
Доказательство. Для когомологий с рациональными коэффициентами гомоморфизм j* есть мономорфизм в силу 1.5, так что если бы можно было применить формулу универсальных коэффициентов, то отсюда следовала бы мономорфность /* над целыми числамиL). В общем случае требуются более тонкие соображения. Для данного элемента группы Н* (Xs>; Z) можно выбрать такое достаточно большое простое р, что образ этого элемента отличен от нуля в группе Н* (Xg ; Zp). Кроме того, р можно выбрать так, что F (Zp, X) = F(S1, X), так что требуемый результат вытекает теперь из теоремы 1.5 об этом Zp-действии
с последующим использованием коммутативное! и диаграммы, связывающей S1- и Zp-денствия.
Докажем вторую часть предложения. Пусть/,: (/",)si с А$, — включение. Тогда /7 (а — с^ = ^А^Ь^ где Ак е Н* (Bs*; Z), a bt g Hni (Fp Z) — образующий. Итак, /* ((а — dt)hi + ') = Щ (а— — Cit)hi+ 1 =0, поэтому ограничение элемента ]} (а — с^*ч^1 на каждую компоненту множества F%> тривиально, и потому /* переводит этот элемент в пуль. Но так как /* —мономорфизм, то [1 (а —с,7)Л‘' 1 =0. Этот элемент есть многочлен степени ^+1=S(^+1) относительно а, и коэффициент при оУ*1 равен 1, так что ahvi выражается через 1, а, ..., с?. Тем самым полностью описывается структура кольца Н* (XSi; Z). |
Обозначим через -q* эндоморфизм zi—>г* группы S1, рассматриваемый как ее вещественное двумерное представление. Тогда, в обозначениях § 10 гл. VI, х\к = t'1t h.
В оставшейся части этого параграфа мы предполагаем, что X СРА и что X есть замкнутое многообразие с локально гладким З^действием. Пусть Fo — некоторая компонента из F, и пусть х г Fo. В нормальной плоскости к Fo, проходящей через х, возникает представление у группы S1. Его можно представить в виде у = 2г]тр где т< —отличные от нуля целые числа. У.-И. Сян утверждал, что для гладкого действия множество \mt\ совпадает, с точностью до знаков, с множеством вида {с; —с0}С + |, где с, —определенные выше целые числа. Позже Петри [3] нашел контрпример к этому утверждению. Мы, однако, докажем в этом направлении один частный результат в локально гладком случае. Более сильные результаты в гладком случае имеются у П ет р и [ 3].
Теорема. Для локально гладкого В^-действия на X (рр/> в приведенных выше обозначениях имеет место формула
t 0
где 2т|т‘ есть представление в слое нормального к Fo расслоения.
Доказательство. Вместо S1 будем писать G. Рассмотрим элемент Р = (а — с^о Ц (а — с0$уч + 1 группы H^^Xg; Z). П\сть i ф о
D2A — инвариантный 2/г-мерный диск в X с центром в точке х е Fo, и пусть U — его вну[ренношь. Тогда X — U ~^ph-\ рй — U'-'^<LPh«_1 и Fl = Ft — U ^2№hi- Так же, как и в 5.4, можно доказать, что при ограничении на (F — U)G элемент р переходи г в нуль группы Н* ((F — U)a\ Z) и, следовательно, Р переходит в нуль группы
Н* ^Х — U)g; Z). Итак, найдется элемент теН’ЧВй, Sq*-'", Z), накрывающий элемент р при гомоморфизме H№(D2g, Sg1-')^ ^Н2ЧХп, (X — U)G) ->• H24XgY Включение слоя индуш рузт коммутативную диаграмму
H2A(Dg,
№ЧЪй\ S2h ) " H2h (X)
где левое отображение — изоморфизм в силу тривиальности спектральной последовательности расслоения (Dc\ В^'ф-^-Вс- Далее, i* (Р) = ah = H2h (X) — образующий, поэтому т —образующий группы Я2Л(Оо, Sg-1).
Положим F П D2h = D2/I». Ограничение на Fq индуцирует диаграмму
II^Я2(Л-Л»> (Bo)0#2/>o(D2/b, s^^^
I> (XG) £ Н2Й №M С H* (BQ) ® H* (Fo\
Ho
/о И = cot ® 1 + 1 ® b0,
где bn^H2(Fa\ Z)— образующий и b0 = Q при h.o = O. Из определения элемента р следует, что
/о (Р) = (1 ® Ьо^- П [("о - cj ^ 1 + 1 ® b6f + 1 =
последовательности
№ф'в, Sb; Z)^№(D^; Z) -А № (Sb; Z)->0.
Но для Н = GlXm ^ S1 имеем Sb = S1 х q Ео ^ S1 х н В-£т ^ В^т. Следовательно, Я2 (Sb; Z)^Я2(В^; Z)^Zm, откуда следует требуемый результат. |
Предложение. Для локально гладкого 81-действия на замкнутом многообразии Х^^СР^ в приведенных выше обозначениях предположим, что {х} = Fo есть изолированная неподвижная точка и что представление в касательном к х пространстве имеет вид £i]m‘. Тогда каждое т, делит некоторое С] — сй.
Доказательство. На самом деле мы докажем больше. Пусть meZ —одно из т,, и пусть N — компонента множества FVLm» X), содержащая х. Тогда N есть многообразие положительной размерности, на котором действует S’ (причем подгруппа Zm действует тривиально). В силу следствия IV.2.3, примененного к подгруппе ZpCS1 с большим р, это З’-действие должно иметь более одной неподвижной точки и, следовательно, N имеет общие точки с другой компонентой Fx множества F = — F (S1, X). (Заметим, что это единственное место, где мы воспользовались тем, что Fo = {х} — изолированная неподвижная точка.) Пусть ф: 1->Я—дуга между х и некоторой точкой у г E^Fxd\N. Отображение ф однозначно продолжается до эквивариантного отображения IxS1->X, где G = S* действует на S1 посредством представления т)”. Стягивая края цилиндра I х S1, получим эквивариантное отображение tp: S2->X, где S1 действует на S2 надстройкой над r]m и где для полюсов и, и сферы Sa имеем тр (и) = х, ^>(и)=у.
Теперь мы можем нормировать а и, следовательно, сь при помощи выбора а г Я2 (Ха, Ха), откуда получим сп = 0. Имеем ip*(a) = da', где а и а'—образующие соответственно групп Я2 (X, х) и Я2 (Sa, u), a d г Z —«степень» отображения гр. Мы утверждаем, что c1 = ±dm (т. е. сх — c0 = ±dm в ненормированном случае).
Для доказательства этого рассмотрим коммутативную диа
грамму
НЧХа, хо) ' Я2(8Ь, ио)
№ фа)№ фа)Я2№)о) ^НЧВаШНЧЧ
№ фа)
№ фа)
По определению элемента сг имеем /Т (а) — cxt 0 1 +(*), и этот элемент переходит в cxt е. Нг фа). Но ipb (а) — единственный элемент, дающий при ограничении на слой элемент тр* (а) = da' е еЯ2(52, и). Следовательно, трЬ(«) = ^а', где а' при ограничении
на слой дает а'. Из теоремы 5.5, примененной к действию на S2, следует, что / (а') = гЕ mt е Н1 (Во), так что j*фо (а) = ± dmt е еВ2(В0). Следовательно, cv = ±:dm в силу коммутативности диаграммы. |
Замечание. Интересно рассмотреть построенный в § 4 пример З^действия на S2xD2 в свете теорем 5.5 и 5.6, хотя это многообразие и не замкнуто. В этом случае, как и в 5.6, можно доказать, что q—с0 = ±:6 и что представление группы S1 в каждой неподвижной точке есть г]2 О л3- Отталкиваясь от этого примера, Петри [3J построил гладкое 51-действие на СР3 ровно с четырьмя неподвижными точками х,, 0-^ i-^З, где со = О, ^ = 7, с2 — 6, с3 = 1. При этом соответствующие представления в точках х0 и хг имеют вид л2 Ф Л3 Ф Л7, а в точках х2 и х3 — вид л2®Л3@Лв-
Действия на пространствах Пуанкаре
Пусть /( — некоторое поле. Пара (X, Л), где Л с: X —замкнутое подмножество, называется парой Пуанкаре формальной размерности п над полем К, если она удовлетворяет следующим условиям:v
) Группа Н* (X; К) конечно порождена.
) Если О и, то НЦХ, Л; Х) = 0, а Нп(Х, Л; К1)?-; К.
) Для всех I ^-умножение //‘(X; К) ® Нп~‘ (X, Л; К) -^Нп(Х, Л; К)^ К является невырожденным спариванием (т. е. спариванием двойственности) *).
Су [4] предположил, что для Zp-действия на финитном пространстве Пуанкаре X (т. е. пары Пуанкаре (X, Л) с Л = 0) над полем Zp каждая компонента множества неподвижных точек F тоже есть пространство Пуанкаре над Zp. Для локально гладких (на самом деле любых) действий на замкнутом многообразии М" это утверждение очевидно и неинтересно, так как в этом случае F должно быть замкнутым многообразием. Однако даже для гладких действий на пространствах типа M^xW эта гипотеза весьма нетривиальна и представляет собой значительный интерес.
Эта гипотеза была доказана Б редоном [10, 21] в предположении, что слой X вполне негомологичен нулю в Хо. Здесь мы приведем доказательство этой теоремы в более общем, относительном случае. Несмотря на кажущуюся простоту этого
результата, он представляет собой довольно мощный инструмент и является наиболее сильным из известных общих фактов о структуре кольца когомологий множества неподвижных точек. Никакого дальнейшего продвижения по части гипотезы в общем случае достигнуто не было, и весьма сомнительно, что это удастся, главным образом потому, что очень трудно доказать что-либо в случае, когда X не является вполне негомологичным нулю в Xq.
Теорема. Пусть (X, А)—финитное пространство Пуанкаре формальной размерности п над полем Zp. Предположим, что G = ZP действует на X так, что А инвариантно и слой X вполне не Хр-гомологичен нулю в Ха. Тогда для любой компоненты Fo множества F = Xе пара (Fo, ЕдП^) есть пара Пуанкаре формальной размерности г^п над ZP- Если р^=2, то п—r четно. Если г = п, то F — Fo, так что F связно, и ограничения Н* (X; Zp)-*H* (F; Zp) и Н* (X, A; ZP)^H* (F, F Л A; ZP) суть изоморфизмы. Аналогичные утверждения верны и для SY-действий и поля рациональных чисел (т. е. р — 0), если и X, и Х/S финитны.
Доказательство. Мы дадим доказательство для нечетных простых р, так как этот случай наиболее труден. Доказательство для р — 0 и р = 2 по существу получается из этого простым выбрасыванием символа s из всех формул. (Доказательство для р = 2 и А = ф явно дано у Б редон а [21].) Далее областью коэффициентов для групп когомологий всегда будет поле Zp. Прежде всего, мы нуждаемся в следующем факте.
Лемма. Пара (X, А) вполне негомологична нулю в (Х0, Аа\
Доказательство. В силу естественности изоморфизма двойственности НЦХ, Л) ^Нош (Я"-'(X), Zp) группа G действует на И* (X, Л) тривиально. Предположим (индуктивно), что в спектральной последовательности расслоения (Хо, Аа)-^Ва все дифференциалы dr, г<Л, тривиальны, a dk тривиален на элементах, у которых градуировка по слою больше, чем I. Для а^НЦХ, Л), а#=0, мы можем считать элемент 1®а элементом группы Fkl ^ EV ^Н° ФаУйд Hl (X, А). Тогда d6(l(g)a) = = С§§с, где С ^ Hk (Во) и с е Н'~к+Х (X, Л). Если С и с —ненулевые элементы, то найдется такой элемент b е н^-'^-х (X) (при этом deg b > 0, так как I < и), что cb ^ 0. Тогда 0 = dk (1 ® ab) = = VM\®aM®b) =-C0cb^=O по предположению индукции1) и в силу того, что X вполне негомологичен нулю в Ха). Эю
противоречие доказывает, что dk (1 ® а) = 0, откуда следует, что dk = 0. В *
Возвращаясь к доказательству теоремы 6.1, выберем xcF6 и интерпретируем Н* (Fo, х) как внутреннее прямое слагаемое группы Н* (F, х); аналогичное проделаем с группой Н* (Fo, FUQ /1). Заметим, что, используя гомоморфизм Н* (X, х) Н* (Ху можно устроить ^-умножение Н* (X, х^) Н* (X, А(-^Н*(Х, Л) даже в случае, когда хфА. Это же верно, конечно, и для других пар.
Многие используемые здесь ^-умножения неявно будут как раз такими.
Пусть г —наибольшее из тех чисел, для которых Hr (Fo, РоПЛ)=/=О. Мы должны доказать, что ранг группы Hr(F0, F0H Л) равен 1 и что если ЬеНЦР„, Fon^)> где 1<_г и Ь^О, то найдется такой элемент сгеНг' (Fa, х), что Ьс=^0, где Ьс е е Hr (Fo, Fo П Л). (Этого достаточно, так как отсюда следует, что гомоморфизм двойственности Н' (Fo, Fo П Л) -> Hom (Hr‘ (F0Y, Zp) мономорфен и, следовательно, rk Я* (Fo, Fo П Л ) rk Н* (Fo); это верно и при Н* (Fe, Fo Q Л) = 0. Но гкЯ* (F, F П Л) = rk Н* (X, Л) = = rk Я* (X) = rk Н* (F) в силу 6.2 и 1.6, откуда следует в свою очередь, что гомоморфизм двойственности есть изоморфизм.) Что касается последнего утверждения, то достаточно найти такой с е № (Fo, х), что Ьс^О хотя бы для какого-нибудь />0, так как повторным применением этого рассуждения мы в конце концов получим элемент группы Hr (Fa, F0ПЛ).
Пусть ср: Я* (X, Л)->Я*(Х0, Ло) — когомологическое расширение слоя. Обозначим ограничение на типичный слой через i*: Н* (Ху, Ао)-^ Н* (X, Л), так что <*ф = 0. Так как композиция X -*Хо^Ва пропускается через точку, то I* (sa) = 0 и I* (fa) =0 для всех а е Я* (Хо, Ло). Ограничение Я* (Хо, ха)->Н* (X, х) мы обозначим тоже через t*. Нам будет удобно выделить следующее утверждение.
Лемма. Пусть sv^(ад еН* (XQ, Ло) — однородный элемент с айф0 и degczn<n. Тогда существует такой элемент а е Я* (XQ, х0), deg а > 0, что 0 #= i* (а) е Н* (X, х) и 0
saV; fap (а,) е Я* (XQ, Ло).
Доказательство. Так как dega0<п, то существует такой элемент о = Н* (X, х), deg а>0, что аао#=О. Пусть cz е е Н* (Хо, хо) — любой элемент, переходящий в а при ограничении на слой. Тогда i* («V р^ (а,)) = i* (а) а0 = аа0 ^ 0. Но в этом случае элемент s«v /цр ^а^ ПрИ ограничении на слой дает не разный 13*
нулю элемент s^)aa0 члена EV* = Е^* спектральной последовательности расслоения (Хо, A^-^Bq и, следовательно, сам элемент sa^ ('ф (^) не может быть равен нулю, g
Возвращаясь к доказательству теоремы, предположим, что О ^= b е Н* (Fo, Fo П А) с: И* (F, ТАЛ). Так как /* есть эпиморфизм в высоких размерностях, мы можем найти целое 1г и такие элементы аь а'£еН*(Х, Л), что tk 0 b = j* [^F (ф (а,) + 5ф (о?))]. Умножив это равенство на s, получим
stk 0 b = j* («V рф (a,.)).(1)
Так как умножение на t мономорфно, то в этом равенстве степень элемента / можно сократить, и мы можем считать, что «о ^ 0.
Предположим, что в равенстве (1) dega0-<n. Тогда в силу 6.3 имеется такой элемент a е Н* (Ха, хо\ что за^^'ф^^^О- Положимv
j* (a) = S (F 0 b£ + st’ 0 b't), где bit b'i^.H*(F, x). Так как /* —мономорфизм, то 0 =£ / * (as У) /‘ф (a,)) = X (^' ® b{ + s/' 0 b£) (stk 0b) =
= v±(s^0^), и, следовательно, Ь{Ь=^О для некоторого L
Далее, это равенство невозможно при deg b = г. Следовательно, deg b = г => deg о0 =/г в (1)(2)
(Заметим, что при р#=2, deg/ = 2 из (1) следует, что п — г = 2^ четно.)
Предположим, что ткНЦЕ6, ^0ПЛ)>1, и пусть b и Ь' — независимые элементы из Hr (Fo, F0A Л). На основании (1) и (2) можно записать:
stk 0 b = /* (sv рф (a,-)), stk ®b' = j* ($v рф (а(')),
где ао#=О и aj у= 0 — элементы степени п. Так как rk Нп (X, А) — ^= 1, то мы можем заменить Ь' таким его скалярным кратным, чтобы имело место равенство tio = ao. Тогда
stk 0(b — b') = j* (step (a, — a'A + st2<p (a2 — a^A----), где deg (a£ — a£) = n — 21 <_n. Но это, после сокращения некоторой степени элемента t, противоречит утверждению (2). Итак, мы доказали, что rk Hr (Fo, Fo П Л) = 1.
Фиксируем теперь элементы Ь<=НЦР6, Г0ПЛ), &=/=0, ий'е еЯ»(Г0, Fon^), где q<.r. Как и в (1), можно найти такие а£, что stm <^)b’ = j* (s£ рф (а'£)), ад ^ 0.
Если deg ао < я, то, как показано выше, существует такой элемент b"^H*(F0, х), что b'b" ^= 0, что и требуется. Итак, пусть degOo = n. Умножив при необходимости Ь' на ненулевой скаляр, мы можем считать, что а^йо1)- Итак, O=^stk^b— — stm 0 b' = j* (s£ /'ф (al)), где степень каждого элемента al =» ^at — a'i меньше чем п, так как ао=О. В силу 6.3, найдется такой элемент ае^*(Х0, х0), что a.sV Ftp (al) Ф 0. Положив /* (“) = S (^ 0 Ь, + st* 0 Ь'£), где bt и Ь£ лежат в Н* (F, х), получим
О^/*^/^ (al)) =
= 2 (Ь 0 bi + st* 0 b'£) (sth ® b — st” 06') = ^ (— stm+l 0 bib’),
в силу того, что элемент ЬеНг (Fo, Fo П А) переходит в нуль при его о-умножении на любой элемент из Н* (F, х). Следовательно, для некоторого i имеем Ь^'=#0, что завершает доказательство того, что (Fo, Fo f| А) есть пара Пуанкаре над ZP.
Предположим теперь, что п = г, и пусть 0=аЬ еНп (Fo, Fo Q Л). Исходя из (1) и (2), получаем 106 = /*(ф(ао)+8ф(ао) + <ф(а1)4- + step (а{) т...), где ао=^О. Из коммутативности диаграммы
Н* (XQ, Aa)^H*(Fa, (F()A)Q)
Н*(Х, Л) — Н* (Fo, ЕоЛЛ)
с учетом того, что I* (ф (а0) + $ф (оо) + •••) = i* (ф (°о)) = ао. следует, что элемент а„еЯ'г(Х, Л) переходит в ЬеНчЕо, ЕоПЛ), Ь=^0. Так как (X, Л) —пара Пуанкаре, то ограничения Н* (Х)->- -*-H*(F0) и Н* (X, Л) ->Я* (Ео, Е0ПЛ) мономорфны. Так как rk Н* (F№, Fo П Л) = rk Н* (Fo) -,rk H* (F) = rk H* (X) = rk H* (X, Л), то они должны быть изоморфизмами. Итак, rk Н* (Fo) = rk Н* (X) = — rk Н* (F), откуда следует, что F0 = F. g
Теорема об инволюциях
В этом параграфе мы докажем простую, но важную теорему об инволюциях и выведем из нее несколько следствий. Имеются аналогичные результаты о Zp-действиях, р>2, но они не столь интересны и полезны, как при р = 2.
Пусть X — паракомпактное пространство и Т: (х, у)'—►(у, х) — инволюция на ХхХ. Напомним определение квадратов Стинрода, см. Стин род и Эпстейн [1]. Сначала строится естественное
!) Автор имеет в виду формулу stk ® b = sV /'ф (а;). Прим, перев, 13* Г. Бредом
отображение (не гомоморфизм)
Р: Нп (X; г2)^Н4"ДХхХ)а-, Z2),
для которого i*P (а) = а ха е Н2п (X хХ; Z2), где I; ХхХ->- -► (X х Х)о — включение типичного слоя, a G = Z2 = {T}. Затем элемент Sqk (а) е Нп*к (X; Z2) задается равенством
i*P (а) = ^ ^-к ® Sqk (а)еН* фа; Z2) ® Н* (A; Z2),где А с X хХ - диагональ (множество неподвижных точек инво-люции Т на ХхХ) и j: SaxA = A0->-(XxX)0 —включение.
У Стинрода и Эпстейна [1] отображение Р определяется лишь для регулярных клеточных комплексов, но в силу его естественности оно легко может быть продолжено до отображения групп чеховских когомологий паракомпактных пространств. Так как это продолжение может не быть для читателя самоочевидным, то мы напомним конструкцию отображения Р и укажем, как его продолжить на чеховские когомологии, в конце параграфа. Пока же будем считать, что все это известно.
Предположим, что на самом X задана инволюция, обозначаемая также через Т. Определим отображение к: Х->-ХхХ формулой /г(х) = (х, Тх) и заметим, что к эквивариантно. Возникает индуцированное отображение hQ: XQ-*.(XxX)Q расслоений над Ва, и диаграмма
X Л Ха J-Fq=BgxF|*hGДхА
XxX-L(Xx’X)o^Ao=SoxA
коммутативна; здесь F — множество неподвижных точек отображения Т; X—> X и к; F -> X А — включение.
Пусть естественное отображение Q: Нп (X; Z2) -*-Н4п(Ха; Z2) определено формулой Q (a) = hGP (а) и d: Х->Х хХ—диагональ. Тогда h = (1 х Т) d; следовательно, i*Q (а) = i*hGP (а) = h*i*P(a( = = h* (аха) = d* (ахТ*а) — а-Т*а. Кроме того, j*Q (а) = j*hGP(a) = = (1 ® k*) j*P (а) = (1 0 к*) S F" 0 Sq‘ (a) = 2 ^ <0 к* фф(ар = = 21'1-1 0 Sq‘ (a\F).
Суммируя сказанное выше, получаем следующий результат.
Теорема. Для любой инволюции Т на паракомпактном пространстве X существует такое естественное отображение Q: Нп (X; Zp-* Н2п Фа> Z2) (не являющееся гомоморфизмом^, что i*Q(a> = a.T*a^^(X; Z2) и i*Q^ = vtn-i0Sqito\F(^ еН*ф0; ггШН*ф; Z2). | v
Следствие. Для любого аеНп (X; Z2) элемент а-Т*аг е Я2" (X; ZpG = Н°фа; Н2" (X; Z2)) = £°’2” начального члена спектральной последовательности расслоения XQ-^-BQ является
циклом всех дифференциалов этой спектральной последовательности.
Доказательство. Этот элемент есть образ элемента Q(a) при гомоморфизме ограничения. |
Заметим, что в случае, когда G действует на Н2л(Х; Z2) тривиально, этот элемент обычно обозначается через 1 (^ а-Т*а г гН° (Ва)®Н2п(Х).
Следствие. Предположим, что G = Z2 действует на финитном пространстве X и что слой X вполне негомологичен нулю в Ха. Тогда ограничение любого класса аеН"(Х; Z2), такого, что а2 0, на множество F нетривиально.
Доказательство. В этом случае Т* = 1, так что i*Q (а) = = а2^0. Так как /*—мономорфизм, то 0 #= j*Q (а) = £ tn~0 ®S^'(o|F) и, следовательно, a!F#=0. g
Следующая теорема дает достаточное условие существования неподвижных точек, а также указывает нижнюю границу для размерности множества F.
Теорема. Пусть Т — инволюция на таком финитном пространстве X, что № (X; Z2) = 0 при 1Т>2п. Предположим, что Т* — тождественное отображение группы Н2п (X; Z2) (например, это так при H2rt (X; Z2)^Z2). Пусть, далее, элемент аг гНп(Х; Z2) таков, что a-T*a=^0. Тогда множество F неподвижных точек инволюции Т непусто и элемент a\FеНп (F; Хг) отличен от нуля.
Доказательство. В силу 7.2 элемент \^а-Т*а есть цикл всех дифференциалов и представляет *) элемент Q (а) г гН2п(Ха; Z2). Отсюда следует, что элемент t (^а-Т*а г е Hv (Bq) ® Н2п (X; Z2) = Ег 2" тоже есть цикл всех дифференциалов и, следовательно, доживает до Ем2'1. Но этот элемент представляет элемент tQ (а) г Н2"*1 (Хо; Z2), так что /Q(g)=/=0. Так как в силу 1.5 /* есть изоморфизм в размерностях, больших 2п, то tj* (Q (а)) = j* (tQ (а)) ф 0, и, следовательно, /* (Q (а)) ^ ^0. Из 7.1 следует, что g|F^0. В частности, F#=0. g
Следствие. Пусть Т — инволюция на финитном пространстве Х^г^пх^п. Если Т*: И (X, Z2)->//'’ (X; Z2) отлично от тождественного отображения, то F ^S".
Доказательство. Пусть а и Ь — образующие группы Нп (X; Z2), где а2 = 0 = Ь2 и аЬ=^0. Так как Т*=#1, то Т* не
может сохранять а и b одновременно, и можно считать, что Т*а=^а. Тогда Т*а = Ь или T*a = a-yb, так что в обоих случаях а-Т*д=/=0. Но тогда a\F ^= 0 в силу 7.4. Так как Нпф\ Х^=^ ^От^ Н° (F; Z2), то 2 ^гкН* (F; Z2)<4 в силу 1.6, и в силу II 1.7 10 rk H*(F; Z2) = x(^) = X(-^-) = ^ (mod 2). Следовательно, F^S". |
Следствие. Пусть X—финитное пространство Пуанкаре над Z2 формальной размерности 2п и Т —инволюция на X. Предположим, что эйлерова характеристика х№ нечетна. Тоеда F^C: и ограничение Нп(Х; 1^-*-Нпф, ZJ нетривиально.
Доказательство. Рассмотрим невырожденную билинейную форму (a, b^a-T* b е №п <Х; Z2)^Z2 на Нп(Х; Z2). Она симметрична 2), так как b -Т*а = Т* ф - Т*а) = Т*Ь-а = а-Т*Ь. Из нечетности х(Х) следует нечетность ранга группы Н" (X; Z2).
Предположим, что (а, а) = 0 для всех а. Тогда в некотором базисе данная форма представима симметрической матрицей В над Z2 с нулями на диагонали и с detS=/=O, detSeZ2. Очевидно, можно считать, что В получена г2-редукцией из целочисленной кососимметрической матрицы А (с элементами 0, 1 и —1). Так как число строк матрицы А нечетно, то det А = —det (— Л) = = — det (А')= — det А, так что detЛ = O. Но так как В есть Z-2-редукция матрицы А, то и detB = O.
Полученное противоречие показывает, что найдется такой элемент а, для которого 0#=(а, а") =а-Т*а, откуда в силу 7.4 следует требуемое заключение, g
Замечание. Следствие 7.6 первоначально получили Коннер и Флойд [8], с. 114, используя методы теории кобордизмов. Соответствующий результат в общем случае получил Б р едон [21].
Следуя обещанному, наметим теперь конструкцию отображения Р. Для C = Z2 триангулируем Е = Еа так, чтобы оно было регулярным G-комплексом (например, было бесконечным джойном шестиугольников). Пусть W — симплициальный цепной комплекс W = C*(E) и е: W-*-Х — аугментация; заметим, что е-Т = е.
Пусть К — симплициальный комплекс. Наделим i К : У : К | х Е клеточной структурой, возникающей из произведения симплици- альных комплексов, и обозначим полученное клеточное пространство через КхКхЕ. Зададим G-действие на КхКхЕ формулой (х, у, е)^—*ф, х, Те). Так как Е — регулярный G-комплекс, то (IК | х | К | х E)/G наследует клеточную структуру; соответствующее клеточное пространство обозначим через )КхК)а- Заметим, что цепной комплекс клеточного пространства КхКхЕ можно отождествить с С* (К) ® С* (К) ® W. Кроме того, его Т-инвариантные
1) Первое равенство следует из того, что Нгп (X; Z2) = Z2- — Прим, перев,
цепи можно очевидным образом считать цепями клеточного разбиения (КхК)а-
Для коцепи и: Сп (К) ->• Z2 положим Р (и) = и ® а ® е, так что Р (и) (с, ® с2 ® w) = и (Cj) а (с2) е (w). Так как Р (и) «Т = Р (и), то Р (и) можно считать клеточной коцепью Р (и) е С2п ((КхК)сЛ Z3)- В книге Стинрода и Эпстейна [1], с. 100, доказано, что отображение Р; Сп (К; Х^-^С2"-((KxK)g\ Z2) индуцирует отображение (естественное для симплициальных отображений) Р: Н" (К; Z2)-»■ Д2" ((КхХ)о; Z2), и мы не будем приводить здесь это доказательство. (При этом на К не нужно налагать никаких условий конечности.) Отсюда можно определить операции Стинрода на К, как это сделано в начале параграфа.
Предположим теперь, что X — паракомпактное пространство и что И = {(/} — его локально конечное покрытие.
Пусть локально конечное покрытие У ={V} вписано в покрытие U, и пусть р; Д3-*-#— вписывание. Возникает индуцированное симплициальное отображение р: К С^) | -> | К (11) |. Пусть f =Vu^ и g ={gv} — разбиения единицы, подчиненные соответственно покрытиям 11 и Дс, и пусть f: X К (11) | и g: X -> ->! К (У) | — соответствующие симплициальные отображения. Далее, для любой точки хеХ точки pg(x) = Vgv (х) р (V) и f (х) = = ^fu(x)ll лежат в одном и том же симплексе (Uo, Uv .... Uk) комплекса W(U), где Ut — элементы покрытия 11, содержащие точку х. Следовательно, отрезок, соединяющий pg (х) и Нх), лежит в | К (И) |, что позволяет установить каноническую гомотопию между 7 и pg. Поэтому fxf и pgxpg эквивариантно гомотопны, и потому (fxf)a гомотопно отображению
(Pgxrg)Q = (PXp)Q-(gXg)Q-. (ХхХ)а^-(К(К)хК(К))о.
Отсюда и из естественности отображения Р для симплициальных отображений следует, что диаграмма.
ЯП(К(^)) -^Я2п ((К^) х k(<u))J _
нпнпяп(к(^)-^яп(к(^)-^(рх?)? Я2"((ХхХ)6)
нп
нп
яп(к(^)-^
яп(к(^)-^
'' у^хд)е
•Я2*((К(<1Г) хк^й)
коммутативна. Поэтому можно перейти к прямому пределу и получить отображения
Н" (X) Нт Нп (К (11)) Нт Н2п ((К (И) х К (lt))Q) ^2п ((X х Х)а), композиция которых определяет отображение Р для когомологий Чеха. (Последнее отображение, вообще говоря, не является изо-
морфизмом, но это не важно.) Тот факт, что все требуемые свойства отображения Р переносятся в теорию Чеха, является легким упражнением и доказываться здесь не будет.
Инволюции на пространстве S” X S"
В этом и следующем параграфах мы изучим Zp-действия на пространствах S^xS™ или, более общо, на пространствах с теми же кольцами когомологий, что и у S^xS”. Так как желательно отделить случай р = 2 от случая нечетного р, то в этом параграфе мы сосредоточимся лишь на инволюциях.
Теорема. Пусть группа G = Ze действует на финитном пространстве X ^2SnxSm, п^т. Если Е^ф, то выполняется одно из следующих условий;
F^2SqxSr, Os^q^n, O^r^m-,
(3) Е^РЧР), n>q;(3) Е^РЧР), n>q;F~2P(?)#(—P2 (<?)), n^q- 1,2,4 или 8;
(3) Е^РЧР), n>q;
(3) Е^РЧР), n>q;
F^2P2(f/) +{точка}, n>q;
F^S^-PS', O^q^m, 0^r<m;
F^S»1).
Доказательство. Так как / (F) = % (X) = 0 (mod 2) и rk Н* IF; Z2)^4, to или F-^S4, или слой X вполне негомологичен нулю в Хо2). В последнем случае из 6.1 следует, что F есть пространство Пуанкаре над Z2- Список (1)—(5) просто перечисляет все возможные кольца когомологий, удовлетворяющие этому условию и неравенствам II 1.7.9. (Неравенство n>q в (3) и (4) и неравенства в (5) следуют из некоторых дополнительных соображений. Их легко получить, рассматривая спектральную последовательность расслоения XQ-*B0. Например, неравенства (5) следуют из того, что образы при гомоморфизме /* образующих кольца когомологий пространства X порождают кольцо когомологий пространства F. См. также доказательство теоремы 8-3.) | v
Отметим, что в случае (2) кольцо Н* (F; Z2) порождается такими классами и и и степени q, что ии = 0 и и2 =— и2 #=0. (Разумеется, над Z2 знак роли не играет.)
Конечно, эта теорема дает слишком поверхностную информацию и не интересна с точки зрения гладких действий на настоящих произведениях сфер. Она была первоначально доказана Су [4] до того, как стала известна теорема 6.1 о пространствах
Пуанкаре и, следовательно, требовала рассмотрения ряда частных случаев.
Возможно, при первом взгляде на список из 8.1 может показаться, что не все случаи из него реализуются. Однако известно, что есть примеры, реализующие все случаи, причем, за исключением случая (4), все эти примеры возникают из действий на настоящих произведениях сфер; см. Су [4] и Б редон [21]. Оставшаяся часть этого параграфа будет посвящена обсуждению наиболее интересных примеров (некоторые из которых являются новыми) и получению о таких действиях более глубоких результатов, чем теорема 8.1. Мы ограничимся в основном случаем гладких действий на SnxSm или, более общо, на S”xSmx[R*.
Мы начнем с построения примеров случая (2). Для 7=1, 2, 4 или 8 рассмотрим 7-мерное векторное расслоение Хопфа qг) над S? и обратное к q расслоение q* (т. е. q* и q задаются противоположными элементами группы n9_t(0(q)).) Тогда расслоение q ф q* тривиально. Пусть е — тривиальное одномерное расслоение и ц —тривиальное й-мерное расслоение, А^О. На (2^ + ^+ 1)-мерном векторном расслоении q©e©q*©p зададим инволюцию, которая тождественна на q ф е и равна — 1 на слоях расслоения q* @ р- Ограничение этой инволюции на ассоциированное сферическое расслоение есть инволюция на S9xS29+,!, множество неподвижных точек которой F есть пространство расслоения S (q ф е), являющееся связной суммой Р2 (7) 44= (—Р2 (7)), где Р2(7) есть RP2, (DP2, HP2 или СауР2 для q соответственно равного 1, 2, 4 или 8. Заметим, что для 7=1 множество F есть бутылка Клейна.
Отталкиваясь от этого примера, дадим конструкции аналогичных примеров в других размерностях. Предположим, что нам даны инволюция Т на S”xSm и такая инволюция на S", что проекция S" х S'”-► S” эквивариантна и Т на слоях линейна. Пусть У и У*—две копии пространства D”+1xSm; положим X = Y UrK*. Обозначив через у* элемент из У*, соответствующий элементу yeY. увидим, что соответствие у*-* у* определяет на X инволюцию, продолжающую инволюцию Т на SnxSmc2X и обладающую тем же самым множеством неподвижных точек F, что и инволюция Т. Далее, X есть пространство 5т-расслоения над S”+1, и проекция X-*-S”+1 эквивариантна. Если это расслоение тривиально, т. е. X^S^’xS™, то мы можем продвинуться еще на один шаг, применив изложенную конструкцию уже к X.
Для рассмотренной инволюции на S2xSt+< с множеством неподвижных точек F = СР2 # (— СР2) это построение приводит
Ч То есть q —такое векторное расслоение, для которого ассоциированное расслоение па единичные сферы есть р: S2?-1-»-S? и инвариант Хопфа Н (р) есть 1 (см. Стин род [1], § 20). — Прим, персе.
к расслоению X->S3, которое тривиально в силу того, что л2 (О (А+ 5)) = 0. Следовательно, имеется такая инволюция на SxSfc+4, что Е = СР2#(—СР2). Проделав еще раз указанную конструкцию, получим З^-расслоение X над S4. Следовательно, X S4 xSk-'4, причем F = CP2#(—СР2)- Препятствие к тривиальности этого расслоения, и, следовательно, к итерированию конструкции, лежит в группе л3 (О (^ + 5)) =# 0. Это препятствие на самом деле отлично от нуля (см. 8.2) и, более того, X не может иметь даже гомотопического типа пространства S4xS*+4. Отталкиваясь от такой инволюции на S4XS8+*, что Е = НР2#(—}JP2), этим способом можно построить инволюции на S"xS8+* с F = = HP2 # (—HP2) для п = 4, 5, 6, 7. Кроме того, получается инволюция с таким F на некотором 58+6-расслоении над S8.
Другой класс примеров доставляют инволюции на X = S(r|® ® е ® и) ~g $9 X 5?+6, &>0, с множеством неподвижных точек S (г] ® е) = Р2 (7) # (— Р2 (7)). Эти пространства не могут иметь гомотопический тип S9xS9+,!, так как операция S72: Hq*k(X; Z2)->- _^,Hiq*k^X\ Z2) ненулевая.
Следующая теорема проясняет ситуацию с этими примерами и показывает, что последние исчерпывают все возможности для 7=1, 2 или 4.
Теорема. Пусть Z2 действует на финитном пространстве X~2S"xSm, п^т, и пусть F~2Р2(7) # (—Т32^)) (так что 7=1, 2, 4, 8). Если операция Sqn: Нт (X; Z2) Нт*п (X; Z2) тривиальна, то q^n<z2q^m, а если она нетривиальна, то п<_т и n — q или п = ^.
Доказательство. Если Sqn нетривиальна, то п<.т, так как иначег) X и S" х Sm имели бы разные кольца когомологий. Пусть xeF, и пусть а е Нп (Хо, ха) и р е Нт (Ха, ха) — элементы, дающие при ограничении на X образующие а и b кольца Н* (X, х)2), так что Н* (Хо, х0) — свободный модуль над Н*(В0^ = = 2аИ с образующими а, р и «р. Мы можем написать
/* (а) = AM ® u + BMq ® w, j* (р) = СМ 0 у + DZm-2? ® w,
где Д, В, С, DeZh и, VElfF, х) и 0 N= w ^ Н~ч (F, х). Так как /*—эпиморфизм в высоких размерностях, то Аи и Си порождают Hq(F, х) и, следовательно, они линейно независимы. Следовательно, А = 1=С и q^n^m. Так как j* (ар) = 1т-*п~м ^ ии и
То есть при п — т. — Прим. перев.
так как элемент оф не является линейной комбинацией (над Н* (Ва)) элементов а и р, то uv ^ 0 и, следовательно, w = uu.
Так как а2 —О и 2n^n + m, то а2 —линейная комбинация (над Я* (в0)) элементов аир. Но /* (а2) =/2”~29 ® и2, откуда следует, что и2 = 0. Если бы и2 было нулем, то кольцо Я* (Е; Z2) не было бы таким, как в условии теоремы. Следовательно, u2 = w.
Предположим теперь, не ограничивая общности, что гомоморфизм Sq9: Нт(Х: 1^-*HW4X\ Z2) тривиален, в противном случае q = n, и доказывать нечего. Итак, Sq9 (р) есть линейная комбинация (над Я* (в0)) элементов а и р. Но
j* (Sq9 (р)) = Sq9 (j* (Р))= ^^У”1®15^""0^^ t™-9 ® w.
Так как в это равенство не входит и, то Sq9 (Р) выражается исключительно через р, но тогда обязательно D#0 и, кроме того, m^2q. Кроме того, отсюда следует, что В = 0, так как иначе можно вместо р взять р—Еила, и новое D станет равным нулю. Итак, имеем j* (а) = tn~9 ® и, j* (^ = tm-q ® и + /m-2? ® w, где w2 = 0, uv = w = u2. Если ^<n<2<y, то Sqn, будучи разложимой операцией (так как п не есть степень числа 2), действует на Нт (X) тривиально. Итак, осталось доказать, что n^2q и что Sqn^O на Я* (X) при n = 2q. Итак, предположим, что п>2^ или что n = 2q, но операция Sq29: Нт (Х^-> Нт*п (Х^ тривиальна. Тогда Sq29 (Р) — линейная комбинация (над Н* (Bq)) элементов а и р. Но
/* (Sq29^ = Sq29 (/*(Р)) =
[т — q\ ,т о _. Г/т — q\ , (т — 2о\1„
=® V +„+ Г ®
\/1\ Ч /\/3
Как и выше, из того, чго в правую часть не входит и, следует, что Sq29 (Р) зависит лишь от р. Но отсюда следует, что
[m—q\(m — q\ . (т — 2q\ ,,
( 2. М2q J(mod2).
Но хорошо известно (см. Стинрод и Эпстейн [1], с. 5), что (^ = 1 (mod 2) тогда и только тогда, когда в двоичное разложение числа А входит 2'. Непосредственная проверка четырех возможностей для q и 2q в двоичном разложении числа m — 2q показывает, что вышеописанное сравнение никогда не имеет места. |
Замечание. Для q = 8 случай и = 2q невозможен, так как гомоморфизм Sq16: Нт (X; Z2)Нт^И (X; Z2) тривиален в силу
теоремы Адамса [1], поскольку Н‘ (X; Z2) = 0 при m<_i<. <m+16. Отсюда следует, что конструкция, приведенная перед 8.2, начатая с такой инволюции на S8xS16+fc, что F = CayP2# #(—СауР2) должна встретить препятствие прежде, чем она дойдет до S15xS16+ft. Следовательно, эта конструкция должна закончиться указанной инволюцией на S"xS16+fe для п = 8, 9 или 11, где следующий шаг обязательно приведет к нетривиальному расслоению над S"+1. Мы высказываем гипотезу, что на самом деле реализуется лишь случай п = 8.
Рассмотрим теперь случай (3) теоремы 8.1, ограничиваясь лишь примерами; см. также упражнение 5. Пусть т —касательное расслоение к S" и е— тривиальное (&+1)-мерное расслоение, А5а0, тогда расслоение тфе тривиально. Возьмем на S" стандартную инволюцию с множеством неподвижных точек S2 и рассмотрим ее дифференциал на т. Распространим возникшую инволюцию на всё т@е, считая, что на е она есть —1. Полученная инволюция индуцирует инволюцию на S^S^-Str^e), для которой F есть ^-расслоение, соответствующее касательному расслоению к S2, так что F = RP3. Этот пример построил Су. Используя тот факт, что СР3 расслаивается над S4 со слоем S2, С у [8] построил аналогичный пример действия на S4xSm, т^5, F = = СР3; см. также § 9. Для больших m конструкцию, изложенную перед 8.2, можно применить для построения таких инволюций на S"xSm, что F = CP3 и /1 = 4, 5, 6 и 7. При л = 8 возникает препятствие к итерированию этой конструкции, но можно показать, что оно тривиально, так что имеется и пример такого действия на S8xSm. Возможно, что такие примеры существуют для всех пз>4.
Примеры действий на SnxS™, реализующих случай (4) теоремы 8.1, не известны, по известны примеры таких действий на многообразиях с требуемыми кольцами когомологий. Для инволюции А I—► Л^1 группы SU (3) ~ ^S3 S5 множество F есть объединение F = СР2 + {точка}, а для канонической инволюции симметрического пространства SU (3)/SO (3) S2 х S3 множество F есть RP2 + {точка}. Следующая теорема значительно ограничивает класс таких инволюций, действующих на настоящем произведении сфер.
Теорема. Пусть Z2 гладко действует на8пх8т. Предположим, что F ~2 (Р2 (7) + {точка}). Тогда для п, т и q имеются лишь следующие возможности: либо q — 2 и (п, т) = (3, 4), либо q = 4 и (п, т) = (5, 8), (6, 8), (6, 9), (7, 8), (7, 9), (7, 10). В частности q ^ 1 и ^ #= 8.
Доказательство. Для применения когомологических методов удобно выколоть из S”xSm изолированную неподвижную точку и таким образом рассмотреть инволюцию на пространстве X~S"\/Sm с F~2P2(<7). Пусть хе7, и пусть элементы ае е Я" (Хо, х0) и ре Нт (Хо, х0) при ограничении на X дают
образующие а и b группы Н (X, х). Обозначим через и образующий группы НЧФ, х). Тогда элементы
/* (а) = АМ ® и + ВМ ® и2,
/* (Р) = СМ ® и + DM4 ® и2
линейно независимы над Н* (в0), так что AD — BC^Q е Z2. В частности, обязательно n^q. Если n = q, то обязательно, /* (а) = 1 ® и, откуда следует, что а при ограничении на F дает и, что противоречит равенству а2 = 0 в силу того, что и2 ^=0. Итак, q<_ п «с т.
Применив VI.11.6 к исходному гладкому действию BaS^xS™, заключаем, что 27 (разность размерностей компонент множества Е) делится на 2Ф|Л). Итак, для 7=1, 2, 4, 8 число п не превосходит соответственно 1, 3, 7, 8. Но при 7=1, 8 это противоречит полученному выше неравенству q<n. Кроме того, для 7 = 2 имеем п = 3, а для 7 = 4 число п. — одно из чисел 5, 6, 7.
Так как п < 27, то для независимости элементов/* (а) и /* (Р) необходимо выполнение неравенства m^2q. Осталось доказать, что m — n<Lq. Предположим, что т — n^q, и заметим, что гомоморфизм Sqq: Нп QC х^HnA q ^Х, х) тривиален даже при m = п + 7. Отсюда следует, что Sq4 (а) зависит над Н* (Bq) лишь от а 5). Но /* (а) = М ® и, так как п < 27, поэтому /* (S7?a) = = Sq4 (j* (a)) — ^ ^t" ® u-\-tn-q ® u2 не зависит от/* (a); получили противоречие, g
Перейдем к случаю (5) теоремы 8.1. Так как S? + S?^S°xS?, то случай q = r неинтересен. Вспомним, например, доказательство теоремы VI. 11.6, содержащее построение эквивариантного отображения qv S" -► О (m + 1) для большого т, где образующий 7 е Z2 действует на S" линейно с двумя неподвижными точками wQ и wx, а на О(т+1) —по формуле 7(Д) = А '. При этом отображение <[ было таким, что
Ф(^о) = 1Ч+1 __/° ? 1 I. и qj L и —1 m-rl
для всех —1^7, г^т, где г — 7 кратно 2Ф|Л). По теореме VI.4.2 о сглаживании можно считать, что ср гладко (его можно взять постоянным вблизи wQ и wj. Тогда для гладкой инволюции Т (х, у) = (7х, ф(х)-у) на S"xSm множество неподвижных точек F есть S^-ES'. Заметим, что при г =—1 это дает пример случая (6) из 8.1. Для 7, г 5^ — 1 эти пимерры реализуют случай (5) из 8.1 и делают это наилучшим способом в силу теоремы VI. 11.6, которую мы здесь переформулируем следующим образом.
Теорема. Пусть Z2 действует на S”xSm гладко, и пусть множество неподвижных точек этой инволюции есть F~,S''/Sr, q^O, г^О и п^т. Тогда г ~q делится на 2® м. |
Замечание. Несколько более слабый результат имеет место и для негладких действий, а также действий на пространствах более общего вида: S"xSmxRfe; см. Бредон [21].
Случай (6) из 8.1 может реализоваться двумя различными способами. Во-первых, может оказаться, что п = т и Z2 действует наДл(Х; Z2) нетривиально. В этом случае, в силу 7.5, имеем q = n. Во-вторых, может оказаться, что Z2 действует на Нч (X; Z2) тривиально, но спектральная последовательность обладает ненулевым дифференциалом. При этом возникает пример, аналогичный построенному выше (где F = S? + Sr приг = — 1). Можно ожидать, что 7+I будет делиться на степень числа 2 (зависящую от п), возможно, даже на 2Ф(Л). При некоторых дополнительных ограничениях такая теорема (скорее всего, не лучшая из возможных) доказана Бредоном [21]. Доказательство основано на детальном изучении спектральных последовательностей расслоений Хо, (Хо, Fo) и Xq — Fq и взаимосвязей между ними. Это —единственное известное нам нетривиальное доказательство (результатов такого типа) в случае нетривиальной спектральной последовательности, но мы его здесь не приводим.
Действия группы Zp на SnxSm
Основная информация о Zp-действиях на S”xSm, где р — нечетное простое число, содержится в следующей теореме. Условие конечной порожденности введено исключительно для удобства. Теорему можно доказать и без него, но ценой значительно более сложных рассуждений.
Теорема. Пусть группа G = Zp, где р — нечетное простое число, действует на финитном пространстве X ~р S” X Sm, п^т. Предположим, что группа Н* (X; Z) конечно порождена. Если F Фф, то возможны лишь следующие случаи;
F ~pSq xSr, и числа n—q и т — г неотрицательны и четны;
F~pP3(7), п, т, q четны, q<.n;
F ~р Р2 (7) + [точка], п, т, q четны, q<_n\
F~pS?-|-Sr и либо п, т, q, г четны и m^q, т^г, либо п четно, т, q, г нечетны и m^q, т"^г, либо т четно, п, q, г нечетны и n^q, п^г;
F~qS4, п четно, т нечетно, q нечетно.
F~pS? + [точка], п = т, п нечетно, q четно, q <_п, р = 3;
F^pP2(7), п = т, п нечетно, q четно, q<n, р = 3.
Кроме того, если X = SnxSm, то в случаях (6), (7) имеем п = т=\, 3, 7.
Доказательство. Если слой X вполне не Zp-гомологичен нулю в XQ, то в силу 2.1 и 6.1 (а также после небольших усилий для доказательства неравенств из (4) и неравенства q<_n в (3;; см. доказательство теоремы 8.3) мы должны иметь следующую альтернативу: либо реализуется один из случаев (1) —(4), либо найдется такое q, что ткН4^; Zp) = 2 и rk HM^F; Zp) = l, и достаточно домазать, что в последнем случае F имеет то же кольцо когомологий, что и в случае (1) при r = q. Соответствующее доказательство аналогично первой части доказательства теоремы 8.2; легко показать, что в Н (F; Zp) имеются образующие и, и с u2 = 0, ии^О и иг = Аиу, A<=ZP, причем Л^О для четных q. Полагая w = v — х!йАи, получим и2 = 0 = ш2 и щу^О, так что F r^pS4 xSq.
Итак, предположим, что X не является вполне не Zp-гомологичным нулю в XQ, так что гкН*ф; Zp)^31). Предположим сначала, что G действует на Я*(Х; Zp) тривиально, например, n=#m. Тогда в спектральной последовательности расслоения (Хо, xq'^Bq имеются нетривиальные дифференциалы2), и из мультипликативных свойств спектральной последовательности вытекает, что первый такой дифференциал есть d=dm-n^: Em2n+i -> ->• EmCn+1, П, который, C учетом изоморфизма Е» * ^Ет-пЦ-Х» имеет вид
d: Н0^® Нт(Х, х^Н^ЦВа)® ЙРЦХ, х).
Пусть d(l ® Ь) = А ® а, где й, 6^=0 и Л ЕЯ^Чйд; Zp), А=^=б. Тогда т нечетно, поскольку для четного т имеем 0 = = d (1 ® Ь2) = 2 (1 ® Ь) (Л ® а) = 2Л ® ab ^ 0.
Из конечной порожденности группы Н* (X; Z) легко следует, что этот дифференциал индуцируется из дифференциала целочисленной спектральной последовательности. В силу того, что НЧВ0; {Нп(Х\ Z)}) = 0 при нечетных I, то отсюда следует3), что п должно быть четным. Итак, в Zp-спектральной последовательности имеем d(l®b) = /r®a, где г — (т — л + 1)/2 и, следовательно, d(t‘ ® b) = tr*‘ ® а и d(s/'®b) =— st*44 ® а. Таким образом, две строчки спектральной последовательности аннулируются4) и строчка Et’n + nt доживает до Е^п + т. Отсюда сле-
дует, что rkH*(F, х; Zp) = 1 и, следовательно, что F ~pSq для некоторого q. Так как xU^^xQ^ — ^ (modp), то q нечетно, и мы получаем случай (5).
Предположим теперь, что G действует на Н* (X; Zp) нетривиально. Тогда п — т. Положим Т=\ — g*, где g —образующий группы G. Тогда Тр = 0 и, следовательно, kerT^O. Итак, в подходящем базисе \а, Ь] пространства Нп (X; Zp) имеем g*^ = a, g*(b') = b — a (в силу того, что det (g*) = (det (g*))p = det (gp)* = 1 и g* =#. I). Далее, g* — тождественное отображение группы №п (X; Zp), так что ab = g* (ab) = a(b — a) = ab — а2, откуда а1 = 0. Если п четно, то № = g* (Ь2) = (b — а)2 = b2 — 2ab + а2 = Ь2 — 2аЬ, так что ab = 0. Но это противоречит двойственности1), так что л должно быть нечетным и ab^O. Простым вычислением легко установить, что X = 1+g* + (g*)2-)-... +(g*)^'1) = 0.
Пусть х е F; рассмотрим Zp-когомологическую спектральную последовательность расслоения (Хо, xQ)-*BQ. Так как N = 0 и ImT = kerT^Zp порождается элементом а, то пространство H2i )BQ\ Нп(Х, x^ = keiT = Hn (X, x^^Zp тоже порождается элементом, отвечающим классу а, и пространство Н2М (BQ; Н" (X, х)) = Н" (X, x)/Im Т = Н" (X, х^Н" (X, х)° Zp порождается элементом, отвечающим классу Ь^ЕЦХ, х). Так как элемент c = ab порождает группу Н2п(Х, х), то он задает образующий группы И1 (Во; Х2л(Х, х)) для любого I. Вычисление умножения в кольце Н* (BQ\ -)^H*(G, •), данное Карта- ном и Эйленбергом [1J, с. 307, показывает, что умножение на 1еН2(Во; Zp) — изоморфизм.
Пусть а0 — элемент группы Е°’"^ЯЛ(Х, х)°, отвечающий элементу а; пусть b0 е Е^ 4 Нп (X, х^Нп (X, х)° —класс элемента Ь, и пусть с0 е Е®’ 2" Н2п (X, х) —элемент, отвечающий элементу c = ab. Тогда Fa0 порождает Е?' ", t‘bQ порождает E»+V,n, tlcti порождает Е^’ 2п и sl‘c(i порождает Е^ + Х’2п. Вычисление умножения в Е^ показывает, что aobo = scQ. (Можно показать, что san = 0, что sb0 = (a6 для р = 3 и sbQ = O для р>3, по мы в этих фактах не нуждаемся.) Рассмотрим дифференциал dn^: Е4 =ЕГ1^1-^ЕП^] ^£-2 вида а,т (с^ = Аг а0 с некоторым А е Zp. Тогда 0 = dn+1 (cobo) = A/ln+I)/2a0b0, откуда следует, что А=0 и, следовательно, спектральная последовательность вырождается. Отсюда вытекает, что rk Н* (F; Zp) —3. Так как %(/7) = х(Х) = 0 (modp), то х(-Е) = 3 и р = 3. Пусть q и
t) Так как а и Ь — базис в Hn <Х\ Zp), го ab ^ь 0 в силу того, что а2 = 0 и X~pS"xS\— Прим, перед.
г —те размерности, обе четные и, возможно, равные, в которых H*(F, х; Z3)=#0. Так как умножение на / есть, очевидно, мономорфный эндоморфизм группы Н* (XQ, Xq), то из доказательства теоремы 1.5 следует мономорфность отображения /*.
Имеется точная последовательность
0 Е\ п Н п (Хо, хо) -> ЙГп’ 2п -> 0;
определим элементы аеНЧХа, ха) и ^^H^^Xq, ха) как образы соответственно элементов а0 и Ьо, и выберем элемент у е е Нгп (Ха, хо), дающий при ограничении на X элемент с0. Тогда 23-базис для И* (XQ, ха) имеет вид {/'а, ('ф, fy, st^V Кроме того, ар = sy + ^l”+1,/2“, где £gZ3. (Кроме того, sa = 0 и S0 =/а, но этими фактами мы не воспользуемся.)
Ясно, что каждый из элементов /* (а) и /* (Р) представляется в виде суммы тензорных произведений, каждое из которых включает в себя хотя бы один мультипликативный образующий кольца H*(F, х). (Отсюда следует, что ^^п1).) Если q = 0 или г = 0, то мы приходим к случаю (6). Итак, пусть 0<qcr, и пусть u^H4(F, х) и velFiF, х)—образующие. Положим
/* (a) = Ast9' 0 и + BsV' 0 и,
/•*(P) = C/»'+10u + Dr-f-|0u,
где 2q' — n — q— 1, 2r' = n — г — 1 и А, В, С, DeZ3. Так как q^r, то ии = 0 = и2. Так как ар =#0, то 0^/* (ар) = АСз^ёхХ и, следовательно, п2#=0 и А, С=#0. Таким образом, мы пришли к случаю (7). Интересно отметить, что, обозначив через рз Z3- гомоморфизм Бокштейна, имеем /* (Р3 (а)) = рз (/* (а))^0, и, следовательно, рз(а) = ±р. (На самом деле, при нашем выборе образующих рз(а) = р.)
Чтобы доказать последнее утверждение, возьмем стандартные образующие a, b е Нп (S" xS"; Z) и положим g* (а) = Аа 4- ВЬ, g* UA — Ca-vDb, так что AD — ВС =\. Так как собственные значения оператора g* суть кубические корни из единицы, то его след есть Л + О = — 1. Отображение
S^xS” Os^xS” proi-.S”
имеем бистепень (А, В), поэтому инвариант Хопфа индуцированного отображения S2n+1 = S" *S”-► SS” = Sn+1 равен АВ. Другая проекция даст отображение с инвариантом Хопфа, равным CD. Следовательно, при п=^1, 3, 7 числа АВ и CD четны, что противоречит системе равенств AD — вС=1 и Л 4-0 =— 1. |
Замечание. Предположим, что X финитно и что при нечетном п имеется аддитивный изоморфизм Н* (X; Z3) ^ Н* (S” X S”; Z3). Предположим, что Z3 действует на X так, что индуцированное действие на Нп(Х; Z3) нетривиально, и пусть F~3P2(p) при 2q^>n. Тогда, как и в данном выше доказательстве, для подходящего ME№(f, х) имеем /* (a) = st4'®u. Полагая Р = Рз (“). где рз — гомоморфизм Бокштейна (что мы можем сделать), имеем j* (P) = /'7'+10u. Следовательно, /* (ар) — stn-4®u\ и этот элемент не зависит ни от /* (а), ни от /* (Р). Отсюда следует, что ар при ограничении на слой дает нетривиальный элемент группы Е^2п= = Е* ^ъН2" (X, х; Z3). Так как этот элемент в точности есть ab, то отсюда следует, что ab#=0. Следовательно, X имеет то же кольцо гз-когомологий, что и S”xS”. Эти рассуждения аналогичны доказательству общей теоремы о действиях окружности, см. Б редон [23], и будут важны для построения одного из следующих ниже примеров.
Для реализации случая (2) из 9.1 заметим, что СР3 есть пространство расслоения на единичные сферы, возникающего из трехмерного расслоения т] над S4. Пусть р —такое стабильное вещественное четномерное расслоение над S4, что т|фр тривиально. Так как игнорирующий комплексную структуру гомоморфизм /<7/(84)->7%(54) является изоморфизмом, то р допускает комплексную структуру. Поэтому имеется полусвободное З’-действие и, следовательно, Zp-действие на S4xSm = S (т)фр), для которого F = S(т]) = СР3. Эта конструкция проходит для четного т^б. В силу VI.11.1 такие 3*-расслоения т]фр находятся во взаимно однозначном соответствии с эквивариантными отображениями S4-> -^MaptS1, е; O(m+1), /) = ЙО(т+1) с тривиальным действием на S4. Так как л4(П0 (m+1)) = п5 (О (m+1)) = 0, то это отображение может быть продолжено до эквивариантного отображения S6 = S1 * S4->-£20 (m+ 1). Таким образом, S1 действует полусвободно также на S6xSm, т 8 — четное, причем F = CP3.
Нам неизвестны примеры, реализующие случай (3) теоремы 9.1. Для р = 3 имеем следующую теорему.
Теорема. На З^хЗ"' не существует никакого гладкого Х3-действия, для которого F ~3 {точка} + Р2(р).
Доказательство. Напомним, что п, т и <7 —четные и q-Cns^m. Согласно VI. 11.5 q должно делиться на 3[Л/4С а несложное вычисление показывает, что это невозможно. |
Примеры, реализующие случай (4) теоремы 9.1, можно найти в упражнении 8 гл. VI. Примеры, реализующие случаи (4) и (5), можно построить, используя VI. 11.1, с помощью техники, аннулирующей препятствия; см. доказательство теоремы VI.11.6.
Чтобы построить примеры, реализующие сл\чай (6), положим л=1, 3 или 7 и будем рассматривать З^хЗ4 как подпростран-
ство пространства SnxSnxSn, состоящее из таких троек (х, у, г), для которых (ху)г=1. В случае /г = 7, для чисел Кэли, напомним, что любые два элемента принадлежат ассоциативной подалгебре (см. Кертис [1]) и, так как г = (ху)-1, то для таких троек имеем (xz/) г = х (yz) и z (ху') = 1. Перестановка (х, у г) —► >—* (г, х, у) определяет такое гладкое 23-действие на SnxSn, что F ^ {х е S" | х3 = 1} ^ {точка} -(-S'1-1. Другое описание этого примера см. Су [4].
Теорема. Пусть Z3 гладко действует на S"xS" так, что F ~3 {точка} 4-S9. Тогда q = n—\.
Доказательство. Напомним, что п = 1, 3 или 7. Так как q — четное в силу теоремы 9.1, то q = 0, если п = 1 *). Кроме того, q = 0 или q = 2, если и = 3. Если и = 7, то q делится на 3 согласно VI.11.5 и, следовательно, q либо равно 0, либо 6. Таким образом, мы должны исключить случай q = 0 (F состоит из трех точек), если и = 3 или п = 7. Предполагая, что q = 0 и удалив диски с центрами в трех неподвижных точках, мы увидим, что утроенное стандартное 23-действие на S5 (для п = 3) или S13 (для п = 7) будет ограничивать свободное ориентируемое Z:,-действие. Иными словами, это стандартное действие будет иметь порядок 3 в приведенной группе бордизмов Q* (Z3). Однако известно, что порядок этого элемента равен З2 для и = 3 и З4 для п = 7; см. Коннер и Флойд [8], с. 150. J
Наконец, вернемся к случаю (7) теоремы 9.1. Этот случай рассматривался в соответствующей литературе. Чтобы построить пример, будем считать, что Z3 гладко действует на S3xS3 так, что Е= {точка} 4-S2, как было построено выше. Удалив изолированную неподвижную точку или открытый диск с центром в ней, получим действие группы Z3 на пространстве Y гомотопического типа S3 V S3 с множеством неподвижных точек S2. Пусть ф: S3-*-
S2 с: У — отображение Хопфа. Пусть, далее, Z3 действует на S5 = S1*S3, оставляя неподвижной S3: попробуем продолжить ф до эквивариантного отображения ф: 85->У. Так как S2 гомотопически тривиальна в Y, то 0 = [ф| ел3(У), и, следовательно, Ф можно эквивариантно продолжить на Z3*S3 cz S1*S3 = S5. Единственное препятствие к продолжению ф на S5 лежит тогда в Hodd (Z3: л4(У)). (Теория этого вопроса рассматривается в работах Бредона [14, 17], иовэтом простом случае продолжение легко построить из конкретных соображений.) Так как л4(У)^ ^ л4 (S3V S3) а« л4 (S3xS3) А«Z2©Z2, то группа препятствий обращается вО и продолжение существует. Положим Х=У U П”, тогда на X имеется ^-действие с F = S2 (J ф D4 = ©P2. На основании замечания, следующего за теоремой 9.1, имеем X~3S3xS3. Попробуем улучшить этот пример. Заметим, что л5(У)а*
n5(S3xS3)^Z©n5(S3xS3)?^Z©Z2®Z2- Кроме того можно считать, что свободное слагаемое порождается отображением, по которому приклеена клетка старшей размерности пространства S3xS3. Обозначим соответствующий элемент через а. Очевидно, что порожденное им прямое слагаемое состоит из инвариантов ZH-действия на л5(У). Далее, [ф] на самом деле есть инвариант этого действия, так как g«ф = ф•g~ф для g^Za. Кроме того, ф допускает такую эквивариантную модификацию, что элемент [ф] группы n5(S3\/S3) изменяется на утроенное кратное любого наперед заданного инвариантного элемента. Изменив ориентацию на S6, тем самым мы изменим также знак элемента [ф]. Итак, можно считать, что [ф] = <т или [ф] = 0. Однако случай [ф] = 0 невозможен, так как тогда X ~ S3 V S3 V S® «е будет иметь нужного кольца когомологий. Таким образом, [ф] можно принять равным <т, и тогда X будет иметь гомотопический тип пространства S3xS3. Заметим, что ©Р2 нельзя вложить в замкнутое многообразие, гомотопически эквивалентное пространству S3xS3, поэтому нельзя сконструировать гладкий вариант такого примера. Вероятно также, что не существует никакого топологического действия на S3xS3, гомотопически эквивалентного этому действию.
Подобный пример возникает из Z3-действ и я на S7xS7, для которого F = {x}4-S6. Здесь существует отображение ф: Sn-*-Se с инвариантом Хопфа, равным 2, и его можно эквивариантно продолжить на S = S1 *SU ->• Y = S7 xS7 — {x}. (В этом случае существование продолжения очевидно, так как л12 (S7 \/ S7) ^ № л12 (S7 х S7) = 0.) Как и раньше, продолжение ф: S13-> У можно выбрать так, чтобы X = y[J$Du имело гомотопический тип пространства S’xS7. Более того, F = SeUvD~3P2(6).
Замечание. Большая часть теоремы 9.1 доказана Су [4], но так как он допустил ошибку в знаке, то случай (7) необходимо было пересмотреть. Теорема 9.3 была сформулирована в статье Б редон а [21] и доказана в его же статье [22]. Очевидно, аналог теоремы 9.1 выполняется для З^действий и над рациональными числами, но тогда случаи (6) и (7) не имеют места.
нечетномерных сфер. Естественно возникает вопрос о том, всегда ли это имеет место; см. Б редон [22, 23]. Ниже будет приведен контрпример, но легко доказать, что это утверждение справедливо в предположении, что слой X рационально вполне негомологичен нулю в Ха. Заметим, что это условие выполняется, когда пх $<
и пхфп2>-пк, так как тогда Н* (X; (Q) порождается трансгрессивными классами, которые при трансгрессии должны переходить в нуль при Рфф.
Теорема. Пусть S’ действует на X~щSn«хS"2х... . ..xS”*, где все nt — нечетные, и пусть это действие имеет конечное число орбитных типов. Пусть, далее X и Х/S1 финитны. Предположим, что слой X рационально вполне негомологичен нулю в Xq- Тогда FSriхS'2х...х8Г», где гi^nt —нечетные.
Доказательство. Пусть классы av ..., а* —базис внешней алгебры Н* (X; Q), где и,-= deg а,-. Пусть а; = ф(а,), где ф— когомологическое расширение слоя; положим /* (ос,) = 2 ^®bi-q, " vq
где фЕН'Н'фР; Q). Так как a]0c2.. ,a.k при ограничении на слой дает произведение ахаг... ак Ф 0, то 0 Ф j* (a^...a6) = = ^t'i®b1.q\..J2 ^(x)^, А и’ следовательно, некоторое произведение b\, q b-2, q ... bk. q не равно нулю. Поэтому элементы b\.q, ..., bk.qk порождают внешнюю алгебру, которая должна совпадать с Н* (F; (Q), так как обе эти алгебры имеют один и тот же ранг, равный 2* = rk Н* (X; Щ). Таким образом Е~щ8г‘ х... ...х8г*, где п = deg Ь(. Qi = nt - 2q,. g
При соответствующих допущениях можно доказать такой же результат для случая, когда слой X целочисленно вполне негомологичен нулю в Хо. Для того чтобы теорема об универсальных коэффициентах была верна для поля рациональных чисел, будем включать в последующие рассуждения условие компактности. Будут добавлены и другие необходимые для применения этой теоремы условия; например, будут рассматриваться локально гладкие действия на открытых или замкнутых многообразиях. Заметим также, что нужные условия на множества неподвижных точек действия группы Zp< выполняются для локально гладких действий на компактных многообразиях.
Теорема. Пусть G = S* действует на компактном пространстве X ^г S”1 х S”2 х... х SX где все щ нечетные, и имеет там конечное число орбитных типов. Предположим, что слой X рационально вполне негомологичен нулю в Хо. Также предположим, что для каждого простого числа р и целого положительного числа i
группы Н* (F (Xpt, X); Z) имеет конечный тип. Тогда F^^S^x X S'"2 х ... х Srfc, где г, < п, — нечетные.
Доказательство. Для данного простого числа р рассмотрим F(=F(Z₽, X). Имеет место неравенство гкЯ*(Х; Zp)2s ^гк/7*(Д; Zp). Так как пространство F, имеет конечный тип, то rkH*^Fp, ZP)3srk Н* (Fp (Q), где равенство имеет место тогда и только тогда, когда F, не имеет р-кручения в гомологиях. Однако S1 действует на F, с множеством неподвижных точек F = F(S1, X) и, следовательно, rk Н* (Fp (Q) Ssrk Н* (F; (Q) = = гкЯ*(Х; Q) = rk И* (X; Zp). Итак, во всех формулах имеют место равенства, и F, не имеет р-кручения. Отсюда следует, что Zp-редукция Н*^Рр Z)^- Н* ^Fp Zp) есть эпиморфизм и что кроме того квадраты нечетномерных классов в Н* (F\ Zp) равны нулю (что тривиально, если р^З).
Мы утверждаем далее, что F; имеет такое же кольцо Zp-когомологий, что и произведение к нечетномерных сфер. Докажем это утверждение, применив индукцию по и Итак, пусть Y = Fp рассмотрим Zp-действие на У с множеством неподвижных точек K = FivV Так как это действие можно продолжить до действия окружности, то действие на Н* (У; Z) тривиально. Рассмотрим спектральные последовательности £*’*(Zp) и Е*' * (Z) расслоения У2 "^EZp с коэффициентами из Zp и Z соответственно. Как было показано выше, rk Я* (У; Zp) = rk Н* (К', Zp), поэтому спектральная последовательность Е*' * (Zp) вырождается. Так как Е“‘ b (Z) -»-ft'b (Zp) — мономорфизм при а>0, то отсюда следует, что ЕТ (Z) также вырождается. В частности, краевой гомоморфизм Я* \Угр' Z) Et * (Z) Я* (У; Z) эпиморфен и, следовательно, Я* (У2 1 Z)-*• Я* (У; Zp) —тоже эпиморфизм. Теперь попробуем повторить доказательство теоремы 10.1 для Zp-коэффициентов. В силу сделанных выше замечаний az е И* (У^ : Zp) можно выбрать так, чтобы они были элементами из Я* ^У^ ; Z). Следовательно, /* (а,-) принадлежит образу гомоморфизма Я*(В2р; Z)®//*(K; ZWH*U^P’
Р^Н* ^KZp. Хр^Н* [BZp, Х,^ /;Н* (К; Zp)
(последний изоморфизм следует из того, что К не имеет р-кручения). Таким образом /* (az) включает в себя только нечетномерные классы в Н* (К; ХРУ Отсюда очевидно, что для доказательства требуемого утверждения можно повторить доказательство теоремы 10.1. Так как F = F\Sk, X) = F^Xpi, X) для каждого р
и достаточно больших i, то заключаем, что F не имеет кручения и F~pSrixSr2x...xSr,= для каждого простого числа р (причем rt могут зависеть от р).
Выберем классы uv иг, ..., uk<=H*(F; Z), задающие базис внешней алгебры Н* (F; (Q). Существует единственное минимальное прямое слагаемое А пространства Н* (F; Z), содержащее up при этом очевидно, что, изменяя иь можно считать ut Х-базисом пространства А. Так как тогда Zp-редукции этих и, Zp-независимы, то они образуют базис внешней алгебры Н* (F; Zp)^ t^H*(F; Z)®ZP- Пусть Л —внешняя алгебра от элементов ир рассмотрим канонический гомоморфизм Л->-Я = Я* (E;Z), который является мономорфизмом, так как Л0Q->-Н0(Е[ — изоморфизм.
Будем считать Л->Н включением. Для каждого простого числа р рассмотрим диаграмму
0->Л -£- A-^A0Zp^OI I Н
О^Я Н^НОТр^
Я/Л ^Н]Х
с точными строками и столбцами. Ее анализ показывает, что факторгруппа Я/Л p-делима для всех р. Так как Я/Л —конечно порожденная группа, то отсюда следует, что HlA = Q, поэтому Л = Я = Я*(Е; Z). |
Пример. Пусть т — касательное расслоение сферы S8, и пусть е— тривиальное двумерное векторное расслоение иад S8. Пусть S1 действует тривиально на т и нетривиально на е над тривиальным S1-действием на S8. Отображение ф: S*xS5->-S8 имеет степень 1; пусть т] = ф* (т®е) —расслоение над S3xS5, индуцированное из расслоения тфе, с очевидным Б'-действием, и пусть X = 8 (tj)— тотальное пространство сферического расслоения, ассоциированного с тр Так как тфе тривиально, то X a^S3xS5xS9. Множество F неподвижных точек S'-действия на X есть расслоение 8 (ф*т) над S3xS5, слой которого есть 7-мерная сфера, и из рассмотрения спектральной последовательности этого расслоения следует, что H‘(F; Q)^(Q для i = 0, 3, 5, 10, 12, 15, и H‘(F, Q) = 0 вр всех остальных случаях. При этом только в группе Я15 (Е; (Q) произведения не равны нулю. Этот пример показывает, что фигурирующее в теореме 10.1 условие того, что слой X вполне негомологичен нулю в Хо, нельзя опустить. Заметим, что лг(Е)0Щ^(Е) для 1 = 3, 5 и 7 и равно нулю во всех остальных случаях и что произведение Уайтхеда (л3 (Е) 0 (Q) х X (лв (Е) 0 (Q) ->• л7 (Е) 0 (Q нетривиально. Это ответ на вопрос, поставленный Бредовом [23].
Г. Средой
Приложение к эквивариантным отображениям
Предположим, что заданы линейные инволюции на S” и на Sm, и что мы имеем эквивариантное отображение ф: 8т->5л. Тогда существует инволюция на конусе отображения X = S” J <rPmrl, множеством неподвижных точек которой является конус ограничения отображения ф на множество неподвижных точек в S™. Ввиду этого интересно изучить инволюции на таких пространствах.
Теорема. Предположим, что Т —инволюция на финитном пространстве X с множеством неподвижных точек F. Пусть хгР; предположим, что
НЦХ, х; Z2)~( Z* длЯn + k'
( 0 во всех остальных случаях
и что операция Sqk: Нп(Х, х; Z2^-*HnJrk(X, х; Z2) нетривиальна. Предположим также, что
№(F, х; Z2)^( Za длЯ l=q’ q^r'
( 0 во всех остальных случаях
и что k^=r. Тогда q-^-r^n. Если г<_к, то 2г = к и операция Sqr: №(F, х; Z2)-* H9+r(F, х; Z2) нетривиальна. Если r>k, то r = k-\-2ki для некоторого целого i>0. (Исключается также возможность того, что fe>0, но г = 0 и И1 (F, х; Z2) ^Z^^Z^d
Доказательство. Используя информацию о структуре алгебры Стинрода, мы получаем, что к — некоторая степень числа 2 и что на самом деле ^=1, 2, 4 или 8. Пусть а-НЧ.Х, х) и &еЯл+*(Х, х) — образующие, так что b = Sqk(a.y Пусть иг г Нч (F, х) и у г НЧА;Г (F, х) — образующие. Пусть агН (Ха, ха) при ограничении на слой переходит в а; положим p = S^6(a)e гНп+к(Ха, х0), при этом р при ограничении на слой переходит в Ь. В силу теоремы Лере—Хирша 1.4 Н* (Хо, ха) есть свободный модуль над Н* (B0) = Z2W с базисом {a, Р}.
Сначала предположим, что либо r>k, либо г^к, но Sqr(u) = 0. Тогда Sq‘(u) = 0 для 0<л^к. Заметим теперь, что /* (pt) не может быть равно ни tn-q^u, ни ^^^^ у, ибо, если бы это имело место, то элементы j* (Р) =/* (Sqk (a)) = Sqk (j* (а)) и /* (a) были бы линейно зависимы над Н* (Воу Итак, /*(а) = /л^® 0 и _|_ р-ч-г 0 о и, в частности, n^q-Vr. Далее, для 1<&либо Sq’ (ос) = t*a, либо Sq‘'(oc) = O. Однако
/* £ф (а)) = Sq* (/* (a)) = ^ . 9у 1^ >‘®иЧ ^ \ ” r j 1- ^ ® и,
Отсюда следует, что . q^ = ^n ч, j (mod2) для всех 0<с<& и что (так как р = Sqk (ос)) ^""^^^я-^-r) (mod 2). Если положить fe = 2m, то последняя формула означает, что двоичные разложения чисел п — q и n — q — r совпадают до m-го члена, а т-е члены различны. Итак, г = k-V (высшие степени числа 2); т. е. г = к 4-2fei для некоторого i>0, так как r^k.
Если г>-к, то теорема доказана. Если г<.к, то полученное выше противоречие показывает, что Sq^u^v. Таким образом, г есть некоторая степень числа 2, и мы должны показать, что 2r = k и что п ^ q + г. Далее, j* (ос) Ф1п~ч 0 и, так как иначе •Sqr (ос) и а были бы линейно независимы, вопреки тому, что r<k. Кроме того, j* (ос) =4 yi-q-r 0 у, так как в противном случае р —S^(oc) и ос были бы линейно независимы над Н* (Во). (Это рассуждение показывает также, что г =0=0.) Таким образом, снова имеет место равенство
и, следовательно, nSaq-V-r. Предположим, что 2г < к. Тогда Sqv ^ равно либо 0, либо Вг (ос). Однако
f (S^(oc)) = S^(/*(oc)) =
и так как I 2( 2r ) (mod 2) для г, равного
некоторой степени числа 2, то это приводит к противоречию; сравните с доказательством теоремы 8.2. j
Перейдем теперь к приложениям этого результата к изучению эквивариантных отображений сфер. Для любого п обозначим через
т Г Д 0 1
отражение на первых и координатах сферы Snc:Rn+1. Тогда F(TU, 8")^8"-“.
Теорема. Пусть ср: (Sm+1, Ta)->-(Sm, Tw) — эквивариантное отображение; допустим, что 0#=[ф] е л® = lim ла+1 (S"). Тогда либо u — w =0 (mod 4), либо и — w = 1. - В последнем случае ограничение ф°: Sm-W ->• Sm~w на множество неподвижных точек имеет степень вида 4/4-2. Более того, если u=^w, то и^2.
Доказательство. Пусть у е Sm+1 — неподвижная точка; положим х = ^(у). Так как H*(Sq, xq; Z-J порождается над
Н* (Bg; Z2) элементом степени т, то отображение фо' H*(Sg, хо)->- -*-H*(Sg+1, до) тривиально. Так как /* —изоморфизм в высших размерностях, то отображение (q>°)*: Я* lSm-™, х; 22)-*-Я*(8т-и+1, у; Z2) тривиально. Эю значит, что degд>0 четно при u — w=l.
Если X = SmUq>Dm+2 —конус отображения д>, то множество неподвижных точек F = XG есть S"1'™ U фа D"1^1. так как д ^ [ф] е л! ^ Za, то отсюда следует, что Sq1: Нт (X; Z2)-»- -^//^(Х; Z2) — изоморфизм. Итак (даже если и — ш=1), для инволюции на X выполняются условия теоремы 11.1 при п = т, к = 2 и г — \ и — w — 2 \. Таким образом, существуют две возможности: г = 2 (mod4) (что включает случай г = к^ и г=1, где Sq1 действует на F нетривиально. Случай г = 2 (mod 4) дает и — и = 0 (mod 4). Предположим далее, что г=1; это значит, что и — ш=1, или Ц —№ = 3.
Если и — щ = 3, то фс: Sm-®"2Sm-® —несущественное отображение, вопреки тому, что S^^O на F. Таким образом, и — — w=l, и поэтому неравенство Sq1#^ эквивалентно тому, что фй. gm-w-^sm-w имеет степень вида 4/4-2, degфG = 2 (mod 4). (Это утверждение следует непосредственно из того, что Яг(Е, х; Z)^ ^Zd для i"=»/n — ty 4~1 и Н (F, х; Z) = 0 во всех остальных случаях, где d = deg ф°, и того, что Sq1 есть Z2-гoмoмopфизм Бок- штейна.) Последняя часть теоремы следует из неравенства q 4- 4-r^n теоремы 11.1, где k^r. |
Точно таким же способом случаи к = 4 и к —8 теоремы 11.1 приводят к следующим двум результатам. Читатель может проверить, что случай к=\ не представляет никакого интереса.
Теорема. Пусть ф: (S^3, ?„)->■ (S™, Т^ — эквивариантное отображение1, предположим, что [ф]е n3^Z24 — нечетное кратное образующего. Тогда либо u — w = 0 (mod8), либо и — — щ = 2. В последнем случае О Ф[ф°] е л]«я Z2- Более того, если u^w, то и 5^4. |
Теорема. Пусть ф: (Sm+7, T^-HS™, Т^ —эквивариантное отображение1, предположим, что [ф] е л^ Z240 — нечетное кратное образующего. Тогда либо u — w^O (mod 16), либо u — w — 4. В последнем случае [фс] е лз Z24 — нечетное кратное образующего. Более того, если иф™, тои^8. g
Замечание. Теорема 11.1 была доказана Бредоном [10]. Описанное выше приложение к эквивариантным отображениям взято из работы Б редона [21], где теорема 11.2 по небрежности неправильно доказана. Если эти результаты скомбинировать с гомотопическими методами, то можно получить много детализированной информации об эквивариантных отображениях сфер с линейными инволюциями. Некоторые сведения об этом можно найти в работах Б редон а Л5, 20].
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VII
Показать, что множество неподвижных точек любого £6-действия на Cay Р2 имеет по крайней мере две компоненты.
Предположим, что Zs действует на финитном пространстве X ~3 HP2 так, что Е~3СР2- Предположим, что Р‘8 = 0 на X. Показать, что гомоморфизм Я4(Х; Хз)Н * (.F; Z3) тривиален.
Привести пример полусвободного 81-действия с множеством неподвижных точек F = CP2 на таком пространстве X, кольцо целочисленных когомологий которого совпадает с кольцом целочисленных когомологий букета s4vse.
Пусть р —нечетное простое число; предположим, что Zp действует на финитном пространстве Х~р№,‘ и что имеется в точности (р+ 1)/2 компонент F, множества неподвижных точек F. Показать, что найдется такая компонента Fo, что Fo~pHP* для некоторого к^О.
Пусть Z2 действует иа финитном пространстве X~gSnxSm, п^т; предположим, что F~2P8(p). Доказать утверждение теоремы 8.1 о том, что n>q. Если ц < 2g, то показать, что 2gs£m<3g.
Предположим, что X —финитное пространство, имеющее то же кольцо Z2-KoroMOflorHfl, что и произведение 2к экземпляров сферы S”. Предположим, что O = Z2 действует на X и что rk(Wn(X; Z2))° = &. Показать, что Х° непусто и что оно имеет то же кольцо 22"когомологий, что и произведение к экземпляров сферы $”.
Пусть, для г=1, 3 нлн 7, <р: (Sm+r, Tn)->(Sm, Т^ — эквивариантное отображение, где Ту определено, как в § 11. Предположим, что [ф]ел®- нечетное кратное образующего и что и ^ г (так что и = ш в силу результатов § 11). Показать, что [ф°]ея‘ также представляет собой нечетное кратное образующего.
Пусть X ~р L2/1+1 для нечетного простого числа р, что означает наличие кольцевого изоморфизма Н * (X; Zp)=»Zp[a, 6]/(а2, 6n+l), где dega=l и 6 = Рр(а) (здесь Рр есть Zp-гомоморфизм Бокштейна). Показать, что если Zp действует на финитном пространстве X-^pL2”"1"1, то F либо пусто, либо представляет собой объединение самое большее р компонент F[ ~_ L2*^', где 2(^« + D=rt+ Ь
Пусть X ~р L2n для нечетного простого числа р, что означает наличие кольцевого изоморфизма Н * (X; Z^^Zpfa, ЦЦа1, 6n+l, ah'1'), ntedega=l и Ь = $р(а\ Показать, что если Zp действует на финитном пространстве Х~ L2”, то множество F неподвижных точек непусто и представляет собой объединение самое большее р компонент Fb где Ft ~р L 1 и Ft ~р L 1 для i * 1 и 2 №+!)=«+1-
Предположим, что Z3 действует на финитном пространстве Х~3СауР2 и что F несвязно. Показать, что либо F ~3 {три точки}, либо F ~3 {точка} -f-Sa.
И. Предположим, что Z2 действует на таком финитном пространстве X, что имеют место изоморфизмы градуированных групп (только аддитивно) я»№ Z2)=y/f»(SnVSn+6; Z2) и Н * (F; Z2)=»w* (S?VS?+r; z2). Предположим, что qs^TKq + r^n+k. Показать, что если г < к, то Sqr=O на F, а если г = к, то Sqr=O на F тогда и только тогда, когда Sqk = O на X.
Построить компактное пространство Х~2^3У^> имеющее инволюцию с F^ СР2. Показать, что такое пространство X не может иметь гомотопический тип букета S3\/S5.
Показать, что если 7 — инволюция hi S3xS6, для которой E^RP3, то Г действует на /Z3 (S:,xS'’, Z) нетривиально.
Пусть S1 = U (1) с U (3) действует посредством сопряжения на X = = SU (3) ~,£ S3xS6. Показать, что это — полусвободное действие с F«=>S1xS’. Пусть аеЯ3(Х5,; Z)^Z—такой единственный (с точностью до знака) элемент, что его ограничение дает образующий группы Я3(Х; Zl^Z. Показать, что при подходящем выборе образующих иеНЦР; Z) и v е Н8 (F; Z) имеет место равенство /* (а) = 1 (х) и-Н ® «•
Показать, что RP” не допускает нетривиального полусвободного действия окружности.
Пусть Т—свободная инволюция на замкнутом ориентируемом 4п-мерном многообразии М4п. Рассмотрите форму пересечений (х, у) = х • Ту на H^M1"; Z). Показать, что эта билинейная форма симметрична и четна (т. е. (х, х) четно для всех х).
Определим 8!-действие на S3xSa формулой z (р, у) = (р, pzp-iqz-1). Показать, что множество неподвижных точек есть F^^xS3. Показать, что это действие продолжается на S5xS3 таким образом, что оно свободно вне 83х83 и, следовательно, оно имеет то же множество неподвижных точек. (Заметим, что первоначальное действие преднамеренно построено так, что оно имеет ядро Za-) Для хеР обозначим через ae//3((S5xS:l)G; xG Z), иеНЦР. х; Z) и oelPiF, х; Z) единственные с точностью до знака образующие. Показать, что при подходящем выборе образующих в H*^BG; Z)® 0H*(F, х; Z) имеем }• (а) = 1 ® о4-2/ ® м. (Отсюда, в частности, следует, что построенное действие не эквивалентно обычному действию-произведению на S6Xf3)- Показать, что для любого элемента [JeFs((S“XS')G, xQ; Z), дающего при ограничении образующий группы //5(S=xS3; Z), имеем /* (Р) = = ±(m/®y4-2(m — 1)/2®и), где m — некоторое (произвольное) число, зависящее от выбора элемента р. В частности, р можно выбрать так, что /* (Р) = = /®о. Для /1^2 построить аналогичные 81-действия на S2n+1 хS3 с F«э «я81х83, которые на уровне когомологий (даже рациональных) отличаются от произведений ^-действий на S2n+1 и S3.
Показать, что, тем не менее, построенное первоначально действие эквивалентно некоторому действию-произведению. Почему это не противоречит полученному утверждению о (произвольно) продолженном на S5xS3 действии?
ЛИТЕРАТУРА *)
Адамс (Adams J. F.)
On the non-existence of elements of Hopf invariant one. —Ann. Math., 1960, 72, p. 20—104. (Русский перевод: Адамс Дж. Ф. О несуществовании отображений с инвариантом Хопфа, равным единице.—Математика, 1961, 5, № 4, с. 3—86.)
Альфорд (Alford W. R.)
Uncountably many different involutions of S3.—Proc. Amer. Math. Soc., 1960, 17, p. 186—196.
Аренс (Arens R.)
Topologies for homeomorphism groups.—Amer. J. Math., 1946, 68, p. 593—610.
Армстронг (Armstrong M. A.)
1. The fundamental group of the orbit space of a discontinuous group. — Proc. Cambridge Philos. Soc., 1968, 64, p. 299—301.
Атья (Atiyah M. F.)
Characters and cohomology of finite groups. — Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 1961, 9, p. 23—64.
К-Theory. — N. Y.: Benjamin, 1967. (Русский перевод: Атья M. Лекции по К-теории.—М.: Мир, 1967).
Атья, Ботт (Atiyah М. F., Bott R.)
A Lefschetz fixed point formula for elliptic complexes, I. — Ann. Math., 1967, 86, p. 384—407.
A Lefschetz fixed point formula for elliptic complexes, II: Applications. — Ann. Math., 1968, 88, p. 451—491.
Заметки о теореме Лефшеца о неподвижной точке. — Математика, 1966, 10, № 4, с. 101—139.
Атья, Зингер (Atiyah М. F., Singer 1. М.)
The index of elliptic operators, 1, —Ann Math., 1968, 87, p. 484—530. (Русский перевод: Атья M., Зингер И. Индекс эллиптических операторов, I. — УМН, 1968, 23, № 5, с. 99—142.)
The index of elliptic operators, III. —Ann. Math., 1968, 87, p. 546—604. (Русский перевод: Атья M., Зингер И. Индекс эллиптических операторов, I, III.-УМН, 1969, 24, № 1, с. 127—182.)
The index of elliptic operators, IV, V, —Ann. Math., 1971, 93, p. 119— 149. (Русский перевод: Атья M., Зингер И. Индекс эллиптических операторов. — УМН, 1972, 27, № 4, с. 162—188.)
Атья, Сегал (Atiyah М. F., Segal G. В.)
The index of elliptic operators, II. — Ann. Math., 1968, 87, p. 531—545. (Русский перевод: Атья M., Сегал Г. Индекс эллиптических операторов, II. — УМН, 1968, 23, № 6, с. 135—150.)
Атья, То л л (Atiyah М. F., Tall D О.)
Group representations, X-rings and the /-homomorphism. —Topology, 1969 8, p. 253—298.
Работы, добавленные при переводе, отмечены звездочкой.
Атья, Хирцебрух (Atiyah М. F., Hirzebruch F.)
Vector bundles and homogeneous spaces. —In: Proc. Symp Pure Math., 8'Providence, Rhode Island: Amer. Math. Soc., 1961, p. 7—38. (Русский перевод: Атья M., Хирцебрух Ф. Векторные расслоения и однородные пространства. —Математика, 1962, 10, № 2, с.
3—39.)
Spin-manifolds and group actions. —In: Essay on Topology and Related Topics, Memoirs dedies й Georges de Rham. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1970. p. 18—28.
Бек (Beck A.)
On invariant sets. — Ann. Math., 1958, 67, p. 99—103.
Берштейн (Berstein I.)
Involutions with non-zero Arf-invariant. —Bull. Amer. Math. Soc., 1968, 74, p. 678—682.
Бинг (Bing R. H.)
A homeomorphism between the 3-sphere and the sum of two solid horned spheres. — Ann. Math., 1952, 56, p. 354—362.
Inequivalent families of periodic homeomorphisms of E8.— Ann. Math., 1964, 80, p. 78—93.
Богомолов Ф. A.
О действиях окружности иа гладких иечетиомерных сферах. — Матем. заметки, 1969, 5, с. 401—408.
Борель (Borel А.)
Some remakrs about Lie groups transitive on spheres and tori. —Bull. Amer. Math. Soc., 1949, 55, p. 580—586.
Le plan projectif des octaves et les spheres comme espaces homog6nes. — C. r. Acad. Sci. Paris, 1950, 230, p. 1378—1381.
Les bouts des espaces homogёnes de groupes de Lie. —Ann. Math., 1953. 58, p. 443—457.
Nouvelle demonstration d’un theoreme de P. A. Smith.—Comment. Math. Helv., 1955, 20, p. 27—39.
Seminar on Transformation Groups.—Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press, I960.
Б о x и e p (Bochner S.)
Compact groups of differentiable transformations.—Ann. Math., 1945 , 46, p. 372—381.
Бохнер, Монтгомери (Bochner S„ Montgomery D.)
Groups of differentiable and real or complex transformations.—Ann. Math., 1945 , 46, p. 685—694.
Locally compact groups of differentiable transformations.—Ann. Math., 1946, 47, p. 639—653.
Groups on analytic manifolds. —Ann. Math., 1947, 48, p. 659—669. Браудер (Browder W.)
The Kervaire invariant of framed manifolds and its generazation. — Ann. Math., 1969, 90, p. 157—186.
Surgery and the theory of differentiable transformation groups. — In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer- Verlag, 1968, p. 1—46.
Free Zn-actions on homotopy spheres.— In: Topology of manifolds. Chicago; Illinois: Markham Publ., 1970, p. 217—226.
Браудер, Ливси (Browder W., Livesay G. R.)
Fixed point free involutions on homotopy spheres. — Bull Amer. Math. Soc., 1967, 73, p. 242—245.
Браудер, Петри (Browder W., Petrie T.)
Semi-free and quasi-free Sl-actions on homotopy spheres.— In: Essay en Topology and related Topics. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1970, p. 136-146.
■ 2. Diffeomorphisms of manifolds and semifree actions on homotopy spheres.— Bull. Amer. Math. Soc., 1971, 77, p. 160—163."
Браудер, Петри, Уолл (Browder W., Petrie, T., Wall С. T. С.)
The classification of free actions of cyclic groups of odd order on homotopy spheres.— Bull. Amer. Math. Soc., 1971, 77, p. 455—459.
Б p а у и (Brown M.)
Locally flat embeddings of topological manifolds. —Ann. Math., 1962, 75, p. 331—341.
Бредон (Bredon G. E.)
Some theorems of transformation groups. — Ann. Math., 1958, 67, p. 104—118.
Fixed point sets and orbitsof complementary dimension. — In: Seminar on Transformation groups. Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press., 1960, Ch. XV.
Orientation in generalized manifolds and applications to the theory of transformation groups. —Michigan Math. J., 1960, 7, p. 35—44.
On homogeneous cohomology spheres. — Ann. Math., 1961, 73, p. 556—565.
On the structure of orbit spaces of generalized manifolds.— Trans. Amer. Math. Soc., 1961, 100, p. 162—196.
Transformation groups with orbits of uniform dimension. —Michigan Math. J„ 1961, 8, p. 139—147.
On a certain class of transformation groups. —Michigan Math. J., 1962, 9, p. 385—393.
Cohomology fibre spaces, the Smith —Gysin sequence, and orientation in generalized manifold.—Michigan Math. J., 1963, 10, p. 321—333.
A new treatment of the Haar integral. —Michigan Math. J., 1963, 10, p. 365—373.
The cohomology ring structure of a fixed point set. —Ann. Math., 1964, 80, p. 524—537.
Transformation groups on spheres with two types of orbits.— Topology, 1965, 3, p. 103—113.
Examples of differentiable group actions. —Topology, 1965, 3, p. 115—122.
Sheaf Theory.— N. Y.: McGraw-Hill, 1967.
Equivariant cohomology theories.— Bull- Amer. Math. Soc., 1967, 73, p. 266—268.
Equivariant stable stems.—Bull. Amer. Math. Soc., 1967, 73, p. 269—273.
Cosheaves and homology. — Pacif. J. Math., 1968, 25, p. 1—32.
Equivariant Cohomology Theories.— Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1967.
A 11,-module structure for 0, and applications to transformation groups. — Ann. Math., 1967, 86, p. 434—448.
Exotic actions on spheres. —In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 47—76.
Equivariant homotopy. —In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.; Springer-Verlag, 1968, p. 281—292.
Cohomological aspects of transformation groups. —In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968. p. 245—280.
Representations at fixed point of smooth actions of compact groups.— Ann. Math., 1969, 89, p. 515—532.
Homotopical properties of fixed point sets of circle groups actions, I.— Amer. J. Math., 1969, 91, p. 874—888.
The set of non-principial orbits of an action on En.— Proc. Amer. Math. Soc., 1969, 23, p. 254—252.
Another exotic action on En.— Proc. Amer. Math. Soc., 1970, 25, p. 437—438.
Regular О (n)-manifolds, suspensions of knots, and knot periodicity. — Bull. Amer. Math. Soc., 1973, 79, p. 87—91.
Бредой, Реймонд, Уильямс (Bredon G. E., Raymond F., Williams R. F.) 1. p-adic groups of transformations.—Trans. Amer. Math. Soc., 1961, 99, p, 488—498.
Брискорн (Brieskorn Е.)
Beispiele zur Differentialtopologie von Singularitaten. — Invent. Math., 1966, 2, S. 1—14.
Вальдхаузен (Waldhause ' F.)
Ober Involutionen der 3-Sphare.—Topology, 1969, 8, S. 81—91.
Вассерман (Wasserman A.)
Cobord ism of group actions. — Bull. Amer. Math. Soc., 1966, 72, p. 866 —869.
Equivariant differential topology.— Topology, 1969, 8, p. 127—150.
A product theorem for equivariant bordism. —In: Topology of manifolds. Chicago, Illinois: Markham Publ., 1970, p. 317—318.
Вейль (Weyl H.)
The Classical Groups.—2nd ed.—Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press, 1946. (Русский перевод: Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления.—М.: ИЛ, 1949.)
Вик (Vick J. W.)
An application of К-theory to equivariant maps. —Bull. Amer. Math. Soc., 1969, 75, p. 1017—1019.
Вольф (Wolf J. A.)
Spaces of constant curvature. — N. Y.: McGraw-Hill, 1967.
Герман (Hermann R.)
On the existence of a fundamental domain for Riemannien transformation groups.— Proc. Amer. Math. Soc., 1962, 13, p. 489—494.
Гиффен (Hiffen С. H.)
The generalized Smith conjecture.— Amer. J Math., 1966, 88, p. 187—198.
Cyclic branched coverings of doubled curves in 3-manifoIds. — Illinois J. Math., 1967, 11, p. 644—646.
Weakly complex involutions and cobordism of projective spaces.—Ann. Math., 1969 , 90, p. 418—432.
Smooth homotopy projective spaces.— Bull. Amer. Math. Soc., 1969, 75, p. 509—513.
Desuspendability of free involutions on Brieskorn spheres.—Bull. Amer. Math. Soc., 1969, 75, p. 426—429.
Глисон (Gleason A. M.)
Spaces with a compact Lie group of transformations.—Proc. Amer. Math. Soc , 1950, 1, p. 35—43.
On groups of homeomorphisms. — In: Algebraical and Topological Foundations of Geometry. Oxford: Pergamon Press, 1962, p. 39—44.
Глисон, Пале (Gleason A. M., Palais R. S.)
On a class of transformation groups. — Amer. J. Math., 1957, 79, p. 631—648. Глюк (Gluck H.)
Piecewise linear groups and transformation groups. — Trans. Amer. Math. Soc., 1970, 149, p. 585—593.
Гольбер (Goiber D.)
P. A. Smith theory and torus actions on a product of two odd spheres.— In: Topology of manifolds. Chicago, Illinois: Markham Publ., 1970, p. 265—267.
Гольдштейн, Л и u и н г е р (Goldstein R. Z., Lininger L. L.)
Action on 2-connected 6-manifolds. — Amer. J. Math., 1969, 91, p. 499—504.
Stability in spin structures. — In: Topology of manifolds. Chicago, Illinois: Markham Publ., 1970, p. 268—273.
Грей (Gray W. J.)
Topological transformation groups with a fixed end point. —Proc. Amer. Math. Soc., 1967, 18, p. 280—294.
Г p и в e p (Greever J.)
Stationary points for finite transformation groups.— Duke Math. J., 1960, 27, p. 163-170.
Гуревич, Волмэн (Hurewich W., Waltman Н.)
Dimension theory.— Princeton, N. Y.: Princeton Univ. Press, 1948. (Русский перевод издания 1941 г.: Гуревич В., Волмэн Г. Теория размерности. — М.: ИЛ, 1948.)
Джонс (Jones L. Е.)
A converse to the fixed point theory of P. A. Smith, I. — Ann. Math., 1971, 94, p. 52—68.
A converse to the fixed point theory of P. A. Smith, II;— Indiana Univ. Math. J., 1972, 22, p. 309—325.
Дик (tom Dieck T.)
Faserbundel mit Gruppenoperation. — Arch. Math. (Basel), 1969, 20, S. 136—143.
Bordism of G-manifolds and integrality theorems —Topology, 1970, 9, p. 345—358.
Actions of finite abelian p-groups without stationary points.— Topology, 1970, 9, p. 359—366.
Д о л ь д A.
. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1966.
Д р е с с (Dress А.)
Newman’s theorem on transformation groups.—Topology, 1969, 8, p. 203. Дугунджи (Dugundji J.)
Topology.—Boston, Massachusets: Alvyn & Bacon, 1966.
Дьедонне (Dieudonne J.)
On topological groups of homeomorphisms.— Amer. J. Math., 1948, 70, p. 659—680.
E и и x (Janich K.)
Differenzierbare Manningfaltigkeiten mit Rand als Orbitraume differenzier- bare G-Manningfaltigkeiten ohne Rand.— Topology, 1966,5, S. 301—320. E и и x, Осса (Janich К., Ossa E.)
On the signature of an involution. — Topology, 196"1, 8, p. 27—30. Зейферт (Seifert H.)
Topologie dreidimensionaler gefaserter Raume. — Acta Math., 1932, 60, S. 147—238.
Зейферт, Трельфалль (Seifert. H., Threllfall W.)
Lehrbuch der Topologie. — Bronx, N. Y.: Chelsea, 1947. (Русский перевод издания 1934 г.: Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — М.; Л.: ГОНТИ, 1938.)
Зибенмани (Siebenmann L. С.)
On detecting Euclidean space homotopically among topological manifolds. — Invent. Math., 1968, 6, p. 245—261.
Илле, К ю й пер (Eells J., Kuiper N. H.)
An invariant for certain smooth manifolds. — Ann. Math., 1962, 60, p. 93—110.
К а л а б и (Calabi E.)
On differentiable actions of compact Lie groups on compact manifolds.— In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. — Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 210—213.
Карта н, Эйленберг (Cartan H., Eilenberg S.)
Homological Algebra.— Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press, 1956. (Русский перевод: Картам А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра.—М.: ИЛ, 1960.)
К а р у б (Karube Т.)
The local structure of an orbit of a transformation group. — Proc. Japan Acad., 1961, 37, p. 212—214.
Келдыш Л. В
1* Топологические вложения в евклидово пространство.—М.: Наука, 1966.
К ер вер, Милнор (Kervaire М. A., Milnor J.)
I. Groups of homotopy spheres, I. —Ann. Math., 1963, 77, p. 504—537.
Керекьярто (KerSkjarto R.)
Ober die periodischen Transformationen der Kreisscheibe und der Kugel- flache. —Math. Ann., 1921, 80, S. 36—38.
Кертис (Curtis C. W.)
The four and eight square problem and division algebras. In: Studies in Modern Algebra (ed. A. A. Albert), vol. 2. Math. Assoc, of Amer. Studies in Math., N. Y.: Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1963.
Кинг (King L. M.)
Slices in transformation groups. —Trans. Amer. Math. Soc., 1970, 147, p. 381—388.
Киносита (Kinoshita S.)
On knots and periodic transformations.— Osaka J. Math., 1958, 10, p. 43—52.
Кистер (Kister J. M.)
Differentiable periodic actions on £8 without fixed points.—Amer. J. Math., 1963, 85, p. 316—319.
Кистер, Манн (Kister J. M., Mann L.)
Isotropy structure of compact Lie groups on complexes. —Michigan Math. J., 1962, 9, p. 93—96.
Equivariant imbeddings of compact abelian Lie groups of transformations.— Math. Ann., 1962, 148, p. 89—93.
Кли (Klee V. L., Jr.)
Fixed-points sets of periodic homeomorphisms of Hilbert space—Ann. Math., 1956, 64, p. 393—395.
К ок стер (Coxeter H. S. M.)
Regular Polytopes. — London: Methuen, 1948.
К о и и e л (Connell E. H.)
A topological A-cobordism theorem for n 5= 5, —Illinois. J. Math., 1967, 11, p. 300—309.
К о и н е л, М о нт го м е р и, Янг (Connell Е. Н., Montgomery D., Yang С.Т.)
Compact groups in En.— Ann. Math., 1964, 80, p. 94—103. Correction.— Ann. Math., 1965, 81, p. 194.
Кониер (Conner P. E.)
Concerning the action of a finite group. —Proc. Nat. Acad. Set. USA, 1956, 42, p. 349—351.
On the action of a finite group on 5лх5л.—Ann. Math., 1957, 66, p. 586-588.
On the action of a circle group.—Michigan Math. J., 1957, 4, p. 241—247,
A note on theorem of Mostow. —Proc. Amer. Math. Soc., 1958, 9, p. 467—471.
On a theorem of Montgomery and Samelson. — Proc. Amer, Math. Soc., 1958, 9, p. 464—466.
A note on a theorem of Liao.— Proc. Amer. Math. Soc., 1959, 10, p. 730—733.
Orbits of uniform dimension.—Michigan Math. J., 1959. 6, p. 25—32.
Transformation groups on а К (л, 1), IL —Michigan Math. J., 1959, 6, p. 413—417.
Retraction properties of the orbit space of a compact topological transformation group. —Duke Math. J., 1960, 27, p. 341—357.
A bordism theory for actions of an abelian group. —Bull. Amer. Math. Soc., 1963, 69, p. 244—247.
Diffeomorphisms of period two.— Michigan Math. J., 1963, 10, p. 341—352.
Seminar on Periodic Maps.— Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1967.
Lectures on the Action of a Finite Group. —Berlin; N. Y.: Springer- Verlag, 1968.
Коннер, Монтгомери (Conner P. E., Montgomery D.)
Transformation groups of К (л, 1), I.—Michingan Math. J., 1959, 6, p. 405—412.
An example for SO (3). —Proc. Nat. Acad. ScL, USA, 1962, 48, p. 1918—1922.
Коннер, Реймонд (Conner P. E., Raymond F.)
Action of compact Lie groups on aspherical manifolds. — In: Topology of manifolds. Chicago, Illinois: Markham Publ., 1970, p. 227—264.
Коннер, Флойд (Conner P. E., Floyd E. E.)
Orbit spaces of circle groups of transformations. — Ann. Math., 1958, 67, p. 90—98.
A note on the action of SO (3).—Proc. Amer. Math. Soc., 1959, 10, p. 354 — 360.
On the construction of periodic maps without fixed points.— Proc. Amer. Math. Soc., 1959, 10, p. 354 — 360.
Fixed point free involutions and equivariant maps.—Bull. Amer. Math. Soc., 1960, 66, p. 416 — 441.
Fixed point free involutions and equivariant maps, II. — Trans. Amer. Math. Soc., 1962, 105, p. 222 — 228.
Differentiable periodic maps. — Bull. Amer. Math. Soc., 1962,68, p. 76 —86.
Periodic maps which preserve a complex structure.—Bull. Amer. Math., Soc., 1964, 70, p. 574—579.
Differentiable Periodic Maps. — Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1964. (Русский перевод: Коннер П., Флойд Э. Гладкие периодические отображения —М.: Мир, 1969.)
Maps of odd period. —Ann. Math., 1966, 84, p. 132— 156.
Конрад (Conrad B.)
Extending free circle actions on spheres to S3-actions. —Proc. Amer. Math. Soc., 27, p. 168-184.
Кошул (Koszul J. L.)
Sur certains groupes de transformations de Lie. Geometrie differentielle. — In: Colloq. Int. Cent. Nat. Rech. Sci. Strasbourg, 1953, p. 137—i41.
Lectures on Groups of Transformations (Tata Inst, for Fundamental Res.). — Bombay: Tata Inst., 1965.
Крэге (Craggs R.)
Involutions of the 3-sphere which fix 2-spheres.—Pacific J. Math., 1970, 32, p. 307-321.
К у M.-K. (Ku M.-C.)
Cohomology structure of orbit spaces. —In: Hung-Ching Chow 65th Anniversary Volume. Taipei, Taiwan: Math. Res. Center, Nat. Taiwan Univ., 1967, p. 89 — 96.
On the action of compact groups. —In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 381—400.
К у м.-к., К у X.-T. (Ku.M.-C., Ku H.-T.)
The Lefschetz fixed point theorem for involutions. — In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 341-342.
Semi-free differentiable actions of S1 on homotopy (46+ 3)-spheres.—Michigan Math. J., 1968, 15, p. 471-476.
On the nonexistence of free differentiable Sanctions on homotopy spheres. — Proc. Amer. Math. Soc., 1969, 21, p. 101-103.
Free differentiable actions of Sl and S3 on homotopy 11-spheres.—Trans. Amer. Math. Soc., 1969, 146, p. 133— 149.
A note on the index of a G-manifold. — Proc. Amer. Math. Soc., 1969, 22, p. 600-602.
К у Х.-Т. (Ku Н.-Т.)
An Euler characteristic formula for compact group actions.— In: Hung- Ching Chow 65th Anniversary Volume. Taipei, Taiwan: Math. Res. Center, Nat. Taiwan Univ., 1967, p. 81—88.
Examples of differentiable involutions. —In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 214— 219.
The fixed point set of Zp in a C* (mb ..., m^; Zp)-space. — In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: SpringerVerlag, 1968, p. 319-324.
A generalization of the Conner inequalities. — In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 401-414.
К у Х.-Т., Манн, Сикс, Су (Ku H.-Т., Mann L. N., Sicks J. L., Su J. C.)
Degree of symmetry of a product manifold. —Trans. Amer. Math. Soc., 1969, 146, p. 133—149.
Куан (Kwun K. W.)
An involution of the n-cell. — Duke Math. J., 1963, 30, p. 443 — 446.
Uniqueness of the open cone neighborhood. —Proc. Amer. Math. Soc., 1964, 15, p. 476-479.
Involutions of the n-cell. — In: Proc. Conf. Transformation groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 343 — 344.
Non-existence of orientation reversing involution on some manifolds.— Proc. Amer. Math. Soc., 1969, 23, p. 725 — 726.
Piecewise linear involutions of SJxS2.—Michigan Math. J., 1969, 16, p. 93-96.
3-manifolds which double cover themselves. — Amer. J. Math., 1969, 91, p. 441-452.
Куан, Реймонд (Kwun К- W., Raymond F.)
Mapping cylinder neighborhoods —Michigan Math. J., 1963, 10, p. 353 — 357. Лазаров, Вассерман (Lazarov C., Wasserman A.)
Cobordism of regular O(n)-manif Ids.— Bull. Amer. Math. Soc., 1969, 75, p. 1365—1368.
Ланд вебер (Landweber P. S.)
Fixed point free conjugations on complex manifolds. — Ann. Math., 1967, 86, p. 491—502.
Conjugations on complex manifolds and equivariant homotopy of MU.— Bull. Amer. Math. Soc., 1968, 74, p. 271—274.
On equivariant maps between spheres with involutions. — Ann. Math., 1969, 89, p. 125 — 137.
On symmetric maps between spheres and equivariant К-theory. — Topology, 1970, 9, p. 55-61.
Лафт (Luft E.)
On contractible open topological manifolds.— Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1971.
Левин (Levine J.)
Spaces with involutions and bundles over P”. —Amer. J. Math., 1963, 85, p. 516-540.
Knot cobordism groups in codimension two.— Comment. Math. Helv., 1969, 44, p. 229 — 244.
Ленг (Lang S.)
Introduction to Differentiable Manifolds. — N. Y.: Wiley (Interscience), 1962. (Русский перевод: Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. —М.: Мир, 1967.)
Ли К. Н. (Lee С. N.)
Equivariant homology theories. — In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 237 — 244.
Ли Р. (Lee R.)
Non-existence of free differentiable actions of S1 and Z2 on homotopy spheres. —In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 208 — 209.
Differentiable classification of some topologically linear actions.—Bull. Amer. Math. Soc., 1969, 75, p. 441 —444.
Piecewize linear classification of some free Zn-actions on S46+3. —Michigan Math. J., 1970, 17, p. 149—159.
Ливси (Livesay G. R.)
Fixed point free involutions on the 3-sphere.— Ann. Math., 1960, 72, p. 603-611.
Involutions with two fixed points on the three-sphere. — Ann. Math., 1963, 78, p. 582 - 593.
Ливси, Томас (Livesay G. R., Thomas С. B.)
Free Z2-and Zs-actions on homotopy spheres.— Ann. Math., 1963, 78, p. 582—593.
Линингер (Lininger L. L.)
On topological transformation groups.—Proc. Amer. Math. Soc., 1969, 20, p. 191 — 192.
Action on S". — Topology, 1970, 9, p. 301 — 308.
Лумис (Loomis L. H.)
An Introduction to Abstract Harmonic Analysis.— Princeton, N. J.: Van Nostrand —Reinhold, 1953.
Льюис (Lewis G.)
Free actions on S^xS" — Trans. Amer. Math. Soc., 1968, 132, p. 531 —540. Лэчер (Lacher R. C.)
Some wild spheres and group actions. — Fundam. math., 1970, 67, p. 195 — 202.
Ляо (Liao S. D.)
A theorem of periodic transformations of homology spheres.—Anne Math., 1952, 56, p. 68-83.
Майерс, Стинрод (Meyers S. B., Steenrog N. E.)
The group of isometries of a Riemannian manifold. — Ann. Math., 1939, 40, p. 400-416.
Маклейн (MacLane S.)
Homology —N. Y.: Academic Press, 1963. (Русский перевод: Маклейи С, Гомология. —М.: Мир, 1966.)
Макмиллан, 3 и ма и (McMilla ■ D. R. J., Zeeman Е. С.)
On contractible open manifold. —Proc. Cambridge Philos. Soc., 1962, 58, fc p. 221 -229.
Манкхольм (Munkholm H. J.)
Borsuk —Ulam type theorem for proper Zn-actions on (mod p homology) n-spheres.—Math. Scand., 1969, 24, p. 167 —185.
Мальгранж (Malgrange B.)
Ideals of Differentiable Functions. — London; N. Y.: Oxford Univ. Press, 1966. (Русский перевод: Мальгранж Б. Идеалы дифференцируемых функций. — М.: Мир, 1968.)
Манн (Mann L. N.)
Compact abelian transformation groups. — Trans. Amer. Math. Soc., 1961, 99, p. 41-59.
Finite orbit structure on locally compact manifolds.—Michigan Math. J., 1962, 9, p. 87 — 92.
Actions of elementary p-groups on S"xSm.—Michigan Math. J., 1964, 11, p. 47-51.
A note on counting isotropy subgroups.—Proc Amer. Math. Soc., 1965, 16, p. 467-480.
Differentiable actions of compact abelian Lie groups on S”. — Proc. Amer. Math. Soc., 1965, 16, p. 480 — 484.
Gaps in the dimensions of transformation groups.— Illinois J. Math., 1966, 10, p. 532-546.
Dimensions of compact transformation groups. —Michigan Math. J., 1967, 14, p. 433—444.
Gaps in the dimensions of compact transformation groups. — in: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 293-296.
Further gaps in the dimensions of transformation groups.— Illinois J. Math., 1969, 13, p. 740-756.
Манн, Су (Mann L. N., Su J. C.)
Actions of elementary p-groups on manifolds. — Trans. Amer. Math. Soc., 1963, 106, p. 115—126.
Медрано Лопес де (Medrano Lopez de, S.)
Involutions on homotopy spheres and homology 3-spheres. —Bull. Amer. Math. Soc., 1967, 73, p. 727 — 731.
Some results on involutions of homotopy spheres.— In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 167-174.
Involutions on Manifolds.—Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1971.
Мейер (Mayer К. H.)
Fixpunktfreie Involutionen von 7-Spharen. —Math. Ann., 1970, 185, S. 250-258.
Милнор (Milnor J.)
Groups which act on S” without fixed points. — Amer. J. Math., 1957, 79, p. 623 — 630.
Differential Topology: Lecture Notes by J. Munkres.—Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press, 1958.
Differentiable Structures: Lecture Notes. —Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press, 1961.
Some free actions of cyclic groups on spheres. —In: Differential Analysis. Bombay Colloq. London; N. Y.: Oxford Univ. Press, 1964, p. 37 — 42.
Lectures on the A-cobordism theorem: Princeton Math. Notes.—Princeton, N. J.: Princeton Univ- Press, 1965. (Русский перевод: Милнор Дж. Теорема об А-кобордизме. —М.: Мир, 1969.)
Infinite cyclic coverings. — In: Gonf. Topology of Manifolds. Prindle, Weber and Schmidt, 1968, p. 115—133.
Singular Points of Complex Hypersurfaces. —Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press, 1968. (Русский перевод: Милиор Дж. Особые точйв комплексных гиперповерхностей. —М.: Мир, 1971.) Милнор, Орлик (Milnor J., Orlik Р.)
Isolated singularities defined by weighted homogeneous polynomials.— Topology, 1970, 9, p. 385 — 393.
Минами (Minami H.)
A Kunneth formula for equivariant К-theory,— Osaka J. Math., 1969, 6, p. 143—146.
Миелин (Mislin G.)
Ratime mit Operatorengruppen und Cohomologie.—Comment Math. Helv., 1968, 43, p. 331—340.
Мойс (Moise E.)
Periodic homeomorphisms of the 3-sphere. —Illinois J. Math., 1962, 6, p. 206 — 225.
Монтгомери (Montgomery D.)
Pointwise periodic homeomorphisms. — Amer. J. Math., 1937, 59, p. 118-120.
Topological groups of differentiable transformations. — Ann. Math., 1945, 46, p. 382-387.
Simply connected homogeneous spaces.—Proc. Amer. Math. Soc., 1950, 1, p. 467 — 469.
Finite dimensionality of certain transformation groups. — Illinois J. Math., 1957, 1, p. 28-35.
Groups on Rn or Sn.—Michigan Math. J., 1959, 6, p. 121 — 130.
Orbits of highest dimension. —In: Seminar on Transformation Groups. Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press, 1960, Chapter IX.
Compact groups of transformations. — In: Differential Analysis, Bombay Colloq. London; N. Y.: Oxford Univ. Press, 1964, p. 43 — 56.
Монтгомери, AI о сто в (Montgomery D., Mostow G. D.)
Toroid transformation groups on euclidian space. —Illinois J. Math., 1958,
2, p 459 — 481.
Монтгомери, Самельсон (Montgomery D., Samelson H.)
Transformation groups on spheres.— Ann. Math., 1943, 44, p. 454 — 470.
A theorem on fixed points of involutions in S8.— Canad. J. Math., 1955, 7, p. 208 — 220.
Examples for differentiable group actions on spheres. — Proc. Nat. Acad Sci. USA, 1961, 47, p. 1202-1205.
On the action of SO(3) on S'1. —Pacific J. Math., 1962, 12, p. 649 — 659. Монтгомери, Самельсон, Циппин (Montgomery D., Samelson H.
Zippin L.)
Singular points of a compact transformation group. —Ann. Math., 1956, 63, p. 1—9.
Монтгомери, Самельсон, Янг (Montgomery D., Samelson H., Yang С. T.)
Exceptional orbits of highest dimension. — Ann. Math., 1956, 64, p. 131-141.
Groups on En with (n —2)-dimensional orbits. —Proc. Amer. Math. Soc., 1956, 7, p. 719-728.
Монтгомери, Циппин (Montgomery D., Zippin L.)
Topological transformation groups, I, —Ann. Math., 1940, 41, p. 778 — 791.
A class of transformation groups in E". —Amer: J. Math., 1943, 65, p. 601-608.
Examples of transformation groups.—Proc Amer. Math. Soc., 1954, 5, p. 460-465.
Topological Transformation Groups.—N. Y.: Wiley (Interscience), 1965. Монтгомери, Янг (Montgomery D., Yang С. T.)
The existence of a slice. —Ann. Math., 1957, 65, p. 108—116.
Orbits of highest dimension. — Trans. Amer. Math. Soc., 1958, 87, p. 284-293.
Graups on S" with principal orbits of dimension n —3, I, II, —Illinois J. Math., 1960, 4, p. 507-517; 1961, 5, p. 206-211.
A theorem on the action of SO(3). — Pacific J. Math., 1962, 12, p. 1385-1400.
Б. Differentiable actions on homotopy seven spheres.—Trans. Amer. Math. Soc., 1966, 122, p. 480-498.
Differentiable transformation groups on homotopy spheres.—Michigan Math. J., 1967, 14, p. 33-46.
Differentiable actions on homotopy seven spheres, IL —In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 125—134.
Free differentiable actions on homotopy spheres. — In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Sprinper-Verlag, 1968, p. 175-192.
М о с т е р т (Mostert Р. S.)
On a compact Lie group acting on manifold. —Ann. Math., 1957, 65, p. 447 — 455.
Some simple observations about Ap-actions. —In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 415-417.
Мостов (Mostow G D.)
Equivariant embeddings in euclidean space.—Ann. Math., 1957 , 65, p. 432-446.
On a conjecture of Montgomery. — Ann. Math., 1957, 65, p. 513 — 516.
Compact transformation groups of maximal rank. —Bull. Soc. Math. Belg., 1959, 11, p. 3 — 8.
Нагано (Nagano T.)
Transformation groups with (n—l)-dimensional orbits on non-compact manifolds.— Nagoya Math. J., 1959, 14, p. 25 — 38.
Нейман (Neumann W. D.)
3-dimensional G-manifolds with 2-dimensional orbits.— In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Ver- lag, 1968, p 220-222.
Ньюмен (Newman M. H. A.)
A theorem on periodic transformations of spaces. —Quart. J. Math., Oxford Ser., 1931, 2 p. 1—9.
Орлик (Orlik P )
On the extensions of the infinite cyclic group by a 2-manifold group.— Illinois J. Math., 1968, 12, p. 479 — 482.
Smooth homotopy lens spaces. — Michigan Math. J., 1969, 16, p. 245 — 255.
Examples of free involutions on 3-manifolds. —In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 205—206.
Weighted homogeneous polynomials and fundamental groups. —Topology, 1970, 9, p. 267 — 274.
On the Arf-invariant of an involution.—Canad. J. Math., 1970, 22, p. 519-524.
Орлик, Реймонд (Orlik P., Raymond F.)
Actions of SO(2) on 3-manifolds. — In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 297-318.
On 3-manifolds with local SO (2)-action.—Quart. J. Math., Oxford Ser., 2, 1969. 20, p. 143 — 161.
Actions of the torus on 4-manifolds, I. — Trans. Amer. Math. Soc., 1970, 152, p. 531-559.
Орлик, Рурк (Orlik P., Rourke С. P.)
Free involutions on homotopy (4k4-3)-spheres. — Bull. Amer. Math. Soc., 1968, 74, p. 949-953.
Occa (Ossa E.)
Fixpunktfreie S1-actionen. — Math. Ann., 1970, 186, S. 45 — 52.
Пак (Pak J.)
Actions of circle groups on spheres and lens spaces.— Bull. Soc. Roy. Sci. Liege, 1966, 35, p. 14-21.
Action of Tn on cohomology lens spaces. —Duke Math. J., 1967, 34, p, 942
Пале (Palais R. S.)
On the existence of slices for actions of non-compact Lie groups.—Ann. Math., 1961, 73, p. 285 — 323.
Imbedding of compact differentiable transformation groups in orthogonal representations. — J. Math. Meeh., 1957, 6, p. 673 — 678.
The classification of G-spaces. — Mem. Amer. Math. Soc., 1960, N36,
Slices and equivariant imbeddings. — In: Seminar on Transformations Groups. Princeton. N. J.: Princeton Univ. Press, 1960, Chapter VIII.
Equivalence of nearby differentiable actions of a compact group. —Bull. Amer. Math. Soc., 1961, 67, p. 362 — 364.
enactions of compact Lie groups on compact manifolds are (^-equivalent to C c-actions. — Amer. J. Math., 1970, 92, p. 748 — 760.
Пале, Ричардсон (Palais R. S., Richardson R. W., Jr.)
Uncountably many inequivalent analytic actions of a compact group on Rn.— Proc. Amer. Math. Soc., 1963, 14, p. 374 — 377.
але, Стюарт (Palais R. S., Stewart T. E.)
Deformations of compact differentiable transformation groups. —Amer. J. Math., 1960, 82, p. 935 — 937.
The cohomology of differentiable transformation groups. — Amer. J. Math., 1961, 83, p. 623-644.
Петри (Petrie T.)
The existence of free metacyclic actions on homotopy spheres.— Bull. Amer. Math. Soc., 1970, 76, p. 1103 — 1106.
Free metacyclic group actions on homotopy spheres. —Ann. Math., 1971, 94, p. 108—124.
Smooth Si-actions on homotopy complex projective spaces, and related topics. — Bull. Amer. Math. Soc., 1972, 78, p. 1056—1059.
Representation theory, surgery and free actions on finite groups on varieties and homotopy spheres.— In: The Steenrod Algebra and its Applications. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1970.
Понсе (Poncet J.)
Groupes de Lie compacts de transformations.—C.r. Acad. Sci. Paris, 1957, 245, p. 13-15.
Groupes de Lie compacts de transformations de i’espace euclidien et les spheres comme espaces homogenes.—Comment. Math. Helv., 1959, 33, p. 109—120.
Groupes de transformations d’un sphere de cohomologie. — Comment. Math. Helv, 1961, 36, p. 148-153.
Понтрягин Л. C.
Непрерывные группы, —M.: Наука, 1973.
Райс (Rice P. M.)
Free actions of Z4 on S3. — Duke Math. J., 1969, 36, p. 749 — 751.
де P а м (de Rham G.)
Sur les complexes avec automorphismes.—Comment. Math. Helv., 1940, 12, p. 191-211.
Реймонд (Raymond F.)
The orbit space of totally disconnected groups of transformation on manifolds.— Proc. Amer. Math. Soc., 1961, 12, p. 1—7.
A classification of the actions of the circle on 3-manifolds. —Trans. Amer Math. Soc., 1968, 131, p. 51-78.
Exotic PL-actions which are topologically linear. —In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 339-340.
Topological actions do not necessarily have reasonable slices. — In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 345.
Cohomological and dimension the oretical properties of orbit spaces of p-adic actions. — In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 354—365.
Реймонд, Уильямс (Raymond F., Williams R. F.)
Examples of p-adic transformations groups.—Ann. Math., 1963, 78, p. 92—106.
Ричардсон (Richardson R. W., Jr.)
Actions of the rotation group on the 5-sphere.— Ann. Math., 1961, 74, p. 414—423.
Родес (Rhodes F.)
On lifting transformation groups.— Proc. Amer. Math, Soc., 1968 19, p. 905—908.
Homotopy groups of transformation groups.— Canad. J. Math., 1969, 21, p. 1123—1136.
Розен (Rosen R. H.)
Examples of non-orthogonal involutions of euclidean spaces.— Ann. Math., 1963, 78, p. 560—566.
Рольфе (Rohlfs J.)
Veraligemeinerte Morse Theorie.—Collect. Math., 1969, 20, S. 5—47, Рохлин В. А., Фукс Д. Б.
. Начальный курс топологии: Геометрические главы, —М.: Наука, 1977. Себастьяни (Sebastiani М.)
Sur 1’invariant d’Eilcnberg — Maclane d’un groupe fini operant sur unc sphere.—C. r. Acad. Sci. Pans, Scr. A—B, 1966, 262, p. A897—A900. Сегал (Segal G.)
Equivariant A-theory. — Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 1968, 34, p. 129-151.
Смит (Smith P. A.)
Transformations of finite period, 1, —Ann. Math., 1938, 39, p. 127—164.
Transformations of finite period, IL —Ann. Math., 1939, 40, p. 690— 711.
Fixed point theorems for periodic transformations.—Amer. J. Math., 1941, 63, p. 1—8.
Transformations of finite period, III: Newman’s theorem. —Ann. Math., 1941, 42, p. 446—458.
Periodic and nearly periodic transformations.—In: Lectures in Topology Ann Arbor, Michigan: Univ, of Michigan Press, 1941, p. 159—190.
Stationary points of transformation groups. —Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1942 , 28, p. 293—297.
Permutable periodic transformations.— Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1944, 30, p. 105—108.
Transformations of finite period, IV: Dimension parity. —Ann. Math., 1945, 46, p. 357—364.
Orbit spaces of abelian p-groups.— Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1959, 45, p. 1772—1775.
New results and old problems in finite transformation groups. —Bull. Amer. Math. Soc., 1960, 66, p. 401—415.
Orbit spaces of finite Abelian transformation groups. — Proc. Nat. Acad. Sci., USA, 1961, 47, p. 1662—1667.
The cohomology of certain orbit spaces.— Bull. Amer. Math. Soc., 1963, 69, p. 563—568.
Periodic transformations of 3-manifolds. — Illinois J. Math., 1965, 9, p. 343—348.
Abelian actions on 2-manifolds.—Michigan Math. J., 1967, 14, p. 257—275. Смит, Ричардсон (Smith P. A., Richardson M.)
Periodic transformation of complexes.— Ann. Math., 1937, 38, p. 611—633. Спеньер (Spanier E. H.)
Algebraic Topology. —N. Y.: McGraw-Hill, 1966. (Русский перевод: Спеньер Э. Алгебраическая топология. —М.: Мир, 1971.)
Стернберг (Sternberg S.)
Lectures on Differential Geometry.-Prentice-Hall, X. J.: Englewood Cliffs, 1964. (Русский перевод: Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии.—М.: Мир, 1970.)
Стинрод (Steenrod N. Е.)
The Topology of Fibre Bundles. — Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press, 1951. (Русский перевод: Стинрод H. Топология косых произведений.— М.: ИЛ, 1953.)
Стинрод, Эйленберг (Steenrod N. Е., Eilenberg S.)
Foundations of Algebraic Topology.— Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press, 1952. (Русский перевод: Стинрод H., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. —М.: ИЛ, 1956.)
Стинрод, Эпстейн (Steenrod N. Е., Epstein D. В. А )
Cohomology operations.—Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press, 1951. (Готовится русский перевод.)
Столлингс (Stallings J.)
The piecewise linear structure of Euclidean space. —Proc. Cambridge Philos. Soc., 1962, 58, p. 481—488.
Стон г (Stong R. E.)
Stationary point free group actions. —Proc. Amer. Math. Soc., 1967, 18, p. 1089—1092.
Notes on Cobordism Theory.—Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press, 1968. (Русский перевод: Стон г Р. Заметки по теории кобордизмов.— М.: Мир, 1973.)
Bordism and involutions.— Ann. Math., 1969, 90, p. 47—74.
Unoriented bordism and actions of finite groups.—Mem. Amer. Math. Soc., 1970, N103.
Complex and oriented equivariant bordism. —In: Topology of Manifolds. Chicago, Illinois: Markham Publ., 1970, p. 291—316.
Стюарт (Stewart T. E.)
Lifting the action of a group in a fibre bundle. —Bull. Amer. Math. Soc., 1960, 66, p. 129-132.
Lifting group actions in fibre bundles.—Ann. Math., 1961, 74, p. 192— 198.
Fixed point sets and equivalence of differentiable transformation groups.— Comment. Math. Helv., 1963, 38, p. 6—13.
Cy (Su J. C.)
On a problem of P. A. Smith. —Bull. Amer. Math. Soc., 1961, 67, p. 422—424.
A note on periodic transformations.— In: Hung-Ching Chow 60th Anniversary Volume. Taipei, Taiwan: Acad. Sinica, 1962, p. 99—107.
Transformation groups on cohomology projective spaces. —Trans. Amer. Math. Soc., 1963, 106, p. 305—318.
Periodic thansformations on the product of two spheres. —Trans. Amer. Math. Soc., 1964, 112, p. 369—380.
A note on the bordism algebra of involutions.—Michigan Math. J., 1965, 12, p. 25—31.
On the classification of transitive effective actions on Stiefel manifolds. — Trans. Amer. Math. Soc., 1968, 130, p. 322—336..
Some results on cyclic transformation groups on homotopy spheres. — In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967- Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 193—204.
An example. —In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 351.
Сулливан (Sullivan R. W.)
Differentiable actions of classical groups on spheres.— Topology, 1970, 9, p. 155—167.
Су о и (Swan R. C.)
1- Periodic resolutions for finite groups. —Ann. Math., 1960, 72, p. 267—291.
A new method of fixed point theory.—Comment. Math. Helv.t 1960, 34, p. 1—16.
Сян У.-И. (Hsiang W. Y.)
On the classification of differentiable SO (n)-actions on simply connected л-manifolds. —Amer. J. Math., 1966, 88, p. 137—153.
On the compact homogeneous minimal submanifolds. —Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1966, 56. p. 5—6.
On the bound of the dimensions of the isometry groups of all possible Riemannian metrics on an exotic sphere. —Ann. Math., 1967, 85, p. 351—358.
On the principal orbit type and P. A. Smith theory of SU (p)-actions. — Topology, 1967 , 6, p. 125—135.
Remarks on differentiable actions of non-compact semi-simple Lie groups on Euclidean spaces.— Amer. J. Math., 1968, 90, p. 781—788.
A survey on regularity theorems in differentiable compact transformation groups.— In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 77—124.
Сян У.-И., Су (Hsiang W. Y., Su J. C.)
On the classification of transitive effective actions on Stiefel manifolds.—■ Trans. Amer. Math. Soc., 1968, 130, p. 322—336.
Сян У.-К. (Hsiang W. C.)
L A note on free differentiable actions of S1 and S3 on homotopy spheres. — Ann. Math., 1966, 83, p. 266—272.
Сян У.-К., Сян У.-И. (Hsiang W. C., Hsiang W. Y.)
Some free differentiable actions of S1 and S3 on 11-spheres. — Quart. J. Math., Oxford Ser. (2), 1964, 15, p. 371—374.
Classification of differentiable actions on Sn, Rn and D” with S* as the principal orbit type. —Ann. Math., 1965, 82, p. 421—433.
On compact subgroups of the diffeomorphism groups of Kervaire spheres. — Ann. Math., 1967, 85, p. 359—369.
Differentiable actions of compact connected classical groups, I. — Amer. J. Math., 1967, 89, p. 705—786.
Some problems in differentiable transformation groups. —In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: SpringerVerlag, 1968, p. 223—234.
The degree of symmetry of homotopy spheres.— Ann. Math., 1969, 89, p. 52—67.
Differentiable actions of compact connected classical groups, IL —Ann. Math., 1970, 92, p. 189—223.
T а м у p a (Tamura I.)
Fixed point sets of differentiable periodic transformations on spheres.— J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. I, 1969, 16, p. 101—104.
Tao (Tao Y.)
On fixed point free involutions of S!xS2.—Osaka J. Math., 1962, 14, p. 145—152.
Толлефсон (Tollefson J. L.)
Fibering 3-manifolds that admit free Z^-actions.— Trans. Amer. Math. Soc., 1970, 147, p. 279—287.
Томас (Thomas С. В )
1 Homotopically distinct actions of finite groups. — Illinois J. Math., 1969, 13, p. 616—623.
On periodic maps which respect a syrnplectic structure. — Proc. Amer. Math. Soc., 1969, 22, p. 251—254.
Obstructions for group actions on S2/l~1. —In: Algebraic «-theory and its Geomteric Applications. Berlin; N- Y.: Springer-Verlag, 1969, p 78— 86.
Троттер (Trotter H. F.)
Periodic automorphisms of groups and knots. —Duke Math. J., 1961, 28, p. 553-557.
Уайлдер (Wilder R. L.)
Topology of Manifolds. —N. Y., 1949.
Уайтхед (Whitehead J. H. C.)
Simplicial spaces, nuclei and m-groups. — Proc London Math. Soc., 1939, 45, p. 243—327.
On involutions of spheres.—Ann. Math., 1957, 66, p. 27—29.
Уильямс (Williams R. F.)
The construction of certain O-dimensional transformation groups. — Trans. Amer. Math. Soc., 1967, 129, p, 140—156.
Compact non-Lie groups. —In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: 1968, p. 366—369.
Уитни (Whitney H.)
Differentiable even functions. — Duke Math. J., 1943, 10, p. 159—160.
Уолл (Wall С. T. C.)
On the exactness of interlocking sequences. — Enseignement Math. [2], 1966, 12, p. 95—100.
Free piecewise linear involutions on spheres.— Bull. Amer. Math. Soc-, 1968, 74, p. 554—558.
Surgery of Compact Manifolds.—N. Y.: Academic Press, 1970.
Уоллес (Wallace A. D.)
Group invariant continue. —Fundam. math., 1949, 36, p. 119—124.
У о н г (Wang H. C.)
A new characterization of spheres of even dimension. — Indag. Math., 1949, 11, p. 286—295.
Compact transformation groups of S” with an (n—l)-dimensional orbit.— Amer. J. Math., 1960 , 82, p. 698—748.
Учи (Ucci J. J.)
On symmetric maps of spheres.—Invent. Math., 1968, 5, p. 8—18.
Уэллс (Wells G. S.)
I. Immersions of G-manifolds, G finite.—Bull. Amer. Math. Soc., 1968, 74, p. 130—132.
Уэст (West J. E.)
Fixed points sets of transformation groups on separable infinite-dimensional Frechet spaces.— In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 446—450.
Ф a p и (Fary I.)
On Hilbert’s theory of closed group actions.— In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 419—428.
Флойд (Floyd E. E.)
Some retraction properties of the orbit decomposition spaces of periodic maps.—Amer. J. Math., 1951, 73, p. 363—367.
Examples of fixed points sets of periodic maps.— Ann. Math., 1952, 55, p. 161—171.
On periodic maps and the Euler characteristics of associated spaces. — Trans. Amer. Math. Soc., 1952, 72, p. 138—147.
On related periodic maps. —Amer. J. Math., 1952, 74, p. 547—554.
Orbit spaces of finite transformation groups, I.—Duke Math. J., 1953, 20, p. 563—568.
Orbit spaces of finite transformation groups, IL —Duke Math. J., 1955, 22, p. 33-38.
Examples of fixed-point sets of periodic maps, II. — Ann. Math., 1956, 64, p. 396—398.
Orbits of torus groups operating on manifolds. —Ann. Math., 1957 , 65, p. 505—512.
Fixed point sets of compact abelian Lie groups of transformations.— Ann. Math., 1957, 65, p. 30-35.
Periodic maps via Smith theory. —In: Seminar on Transformation Groups. Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press, 1960, Chapter III.
Isotropy subgroups of toral groups.— In: Seminar on Transformation Groups. Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press, 1960, Chapter VI.
Флойд, Ричардсон (Floyd E. E., Richardson R. W.)
An action of a finite group on an n-cell without stationary points.— Bull. Amer. Math. Soc., 1959, 65, p. 73—76.
Фокс (Fox R. H.)
On knots whose points are fixed under a periodic transformation of the 3-sphere.—Osaka J. Math., 1958; 10. p, 31—35.
Knots and periodic transformations. — In: Topology of 3-manifolds and Related Topics. New Jersey: Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1962, p. 177—182.
Two theorems about periodic transformations of the 3-sphere. —Michigan Math. J., 1967, 14, p. 331—334.
Форд (Ford L. R., Jr.)
Homeomorphism groups and coset spaces. — Trans. Amer. Math. Soc., 1954, 77, p. 490—497.
Хайнер (Hanner O.)
Some theorems on absolute neighborhood retracts. —Ark. Mat., 1951, 1, p. 389—408.
Хеллер (Heller A.)
On equivariant maps of spaces with operators.— Arn. Math., 1952, 55, p. 223—231.
Homological resolutions of complexes with operators. — Ann. Math., 1954, 60, p. 283—303.
Homotopy resolutions of semi-simplicial complexes. —Trans. Amer. Math. Soc.," 1955, 80, p. 299—344.
Twisted ranks and Euler characteristics. —Illinois J. Math., 1957, 1, p. 562—564.
A note on spaces with operators. — Illinois J. Math., 1959, 3, p. 98—100. Хирцебрух (Hirzebruch F.)
Topological Methods in Algebraic Geometry. — 3rd ed. —Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1966. (Русский перевод: Хирцебрух Ф Топологические методы в алгебраической геометрии,—М.: Мир, 1973.)
Singularities and exotic spheres.—Sem. Bourbaki, 1966/1967, 19, N 314.
Involutionen auf Mannigfaltigkeiten. — In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, S. 148—166.
The signature of ramified coverings. — In: Global Analysis. Tokyo, Japan: Univ, of Tokyo Press, 1969, p. 253—265.
Хирцебрух, Еиих (Hirzebruch F., Janich K.)
Involutions and singularities.—In: Algebraic Geometry, Bombay Colloq. London; N. Y.: Oxford Univ. Press, p. 219—240.
Хирцебрух, Мейер (Hirzebruch F., Mayer К. H.)
О (n)-Mannigfaltigkelten, Exotische Spharen und SingularitSten. —Berlin;
N: Y.: Springer-Verlag, 1968.
Хирш Г. (Hirsch G.)
Sur des properietes de representations permutahles et des generalisations d’un theoreme de Borsuk. —Ann. Sci. Ecole Norm. Sup (3), 1943, 60, p, 113-142.
Sur les groupes d’homologie de certains complexes de recouvrement. — Portugal Math., 1945, 4. p. 225—237.
Хирш M., Милнор (Hirsch M. W., Milnor J.)
Some curious involutions of spheres. — Bull. Amer. Math. Soc., 1964, 70, p. 372-377.
Хирш М., Смейл (Hirsch М. W., Smale S.)
On involutions of the 3-sphere. — Amer. J. Math., 1959, 81, p. 893—900. Холмен (Holmann H.)
Seifersche Faserraume.— Math. Ann., 1964, 157, S. 138—166.
Хофман, Mo стерт (Hofmann К. H., Mostert P. S.)
Elements of Compact Semigroups.—Columbus, Ohio: Merrill, 1966.
Compact groups acting with (n—l)-dimensional orbits on subspaces of n-manifolds. —Math. Ann., 1966, 167, p. 224—239.
Хохшильд (Hochschlld G.)
The Structure of Lie Groups.— San Francisco, California: Holden-Day, 1965.
X у (Hoo S. C.)
Remarks on the bordism algebra of involutions.— Proc. Amer. Math. Soc., 1966, 17, p. 1083—1086.
Хьюзмоллер (Husemoller D.)
Fibre Bundles. —N. Y.: McGraw-Hill, 1966. (Русский перевод: Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства.—М.: Мир, 1970.)
Целле (Zelle К. G.)
Symmetrien von Mannigfaltigkeiten und charakteristishe Zahlen.—Бопп Math. Schr., 1964, N 22.
Чернов, Марс де н (Chernoff P., Marsden J.)
On continuity and smoothness of group actions. — Bull. Amer. Math. Soc., 1970, 76, p. 1044—1049.
Чу (Chu H.)
A note on compact transformation groups with a fixed end point. —Proc. Amer. Math. Soc.» 1965, 16, p. 581—583.
Fixed points in a transformation group.—Pacific J. Math., 1965, 15, p. 1131-1135.
On the existence of slices for transformation groups. —Proc. Amer. Math. Soc., 1967, 18, p. 513—517.
A remark on a conjecture of Seifert.— Topology, 1970, 9, p. 275—281. [у, Кобаяси (Chu H., Kobayashi S.)
The automorphism group of a geometric structure.—Trans. Amer. Math. Soc., 1964, 113, p. 141—150.
Шварц A. C.
Гомотопическая двойственность для пространств с операторами,—ДАН СССР, 1961, 36, № 1, с. 43—46.
Шевалле (Chevalley С.)
Theory of Lie Groups. — Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press, 1946, (Русский перевод: Шевалле К. Теория групп Ли,—Мл ИЛ, 1948, 1958.)
Эйлеиберг (Eilenberg S.)
Snr les transformations periodiques de la surface de sphSre.—Fundam. Math., 1934, 22, p. 28—41.
On a theorem of P. A. Smith concerning fixed points for periodic transformations.—Duke Math. J., 1940, 6, p. 428—437.
Homology of spaces with operators, I. —Trans. Amer. Math. Soc., 1947 , 61, p. 378—417; Errata.—Trans. Amer. Math. Soc., 1947, 62, p. 548.
Эйлеиберг, Маклейн (Eilenberg S., MacLane S.)
Homology of spaces with operators, IL —Trans Amer. Math. Soc., 1949, 65, p. 49—99
Экман (Eckmann B.)
Coverings and Betti numbers.— Bull. Amer. .Math. Soc., 1949, 55, p. 95—101.
On complexes with operators. — Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1953, 39, P. 35-42.
(Erle D.)
Die quadratische Form eines Knotens und ein Satz fiber Knotenmannig- faltigkeiten. — J. reine angew. Math., 1969, 236, S. 174—218.
Quadratische Formen als invarianten von Einbettungen der Kodimension 2.— Topology, 1969, 8, S. 99—114.
(Yang С. T.)
On a problem of Montgomery.— Proc. Amer. Math. Soc., 1957, 8, p. 255—257.
Transformation groups on a homological manifold. —Trans. Amer. Math. Soc., 1958, 87, p. 261—283.
p-adic transformation groups. —Michigan Math J., 1960, 7, p. 201—218. The triangulability of the orbit space of differentiable transformation group. —Bull. Amer. Math. Soc., 1963, 69, p. 405—408.
On the action of SO(3) on a cohomology manifold.—Pacific J. Math., 1963, 13, p. 353—359.
On involutions of the five sphere. —Topology, 1966, 5, p. 17—19,
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адамс 368, 378, 394, 398
Аренс 80
Атья 6, 67, 178, 333, 334, 339, 340, 341,
342, 344, 345
Борель 67, 96, 159, 166, 168, 173, 197, 220, 356
Ботт 67. 178
Бохнер 299
Браудер 321, 332, 338
Браун 223, 225, 227
Бредон 8, 21, 53, 63, 67, 125, 140, 159, 162,163,178,187,189,192,198,213,
231,255,259,279,283,284,304,
338,345,353,357,358,361,362,
367,369,372,380,385,386,392,
395,404,405,406,409,412
Брнскорн 63, 268, 271. 320, 331
Бухштабер В. М. 7, 8
Вассерман 304 Вейль 315 Волмэн 116, 182 Вольф 65, 153
Глисон 41, 45, 81, 94
Гуревич 116, 182
Джонс 328
Дольд А. 7, 36, 65, 139, 162, 187
Дресс 159
Дугунджи 51, 80, 107, 139. >23. 237. 296
Коннер 6, 7, 11, 41, 48, 53, 67, 69, 70, 76, 125, 168, 178, 197, 198, 213, 216, 262, 376, 392, 405
Кроуэлл 283
Куан 109
Кюйпер 329, 330, 339
Левин 332
Ленг 301
Лн Р. 154
Лумнс 21
Ляо 125
Маклейн 149
Макмиллан 70
Мальгранж 314
Манн 76, 173, 174, 216
Мейер 63, 255, 266, 268, 271—272, 320—
Мнлнор 61, 151, 153, 268, 271, 301, 307, 328, 331, 332, 334, 337
Монтгомери 21, 53, 67, 70, 76, 79, 94, 97, 179, 185, 187, 209, 213, 216, 329, 338, 339
Мостерт 209
Мостов 30, 79, 94, 116, 117, 173, 219, 304
Мищенко А. в. 7—8
Новиков С. П. 8, 341
Ньюмен 155, 158
Орлик 212
Осса 333
Ених 249, 252, 276, 284, 309, 315, 326, 333
Зейферт 62, 66 Зибенманн 281 Зиман 70 Зингер 333
Илле 329, 330, 339
Картан 149, 150, 151, 402
Келдыш Л. В. 223, 274
Кервер 61
Кертис 374, 405
Кнстер 53, 70, 76
Кокстер 65, 66
Коннел 231, 281, 338
Пале 30, 45, 79, 94, 100, 104. ПО, 114, 117, 304
Петри 154, 332, 382, 385
Понсе 67
Понтрягин 12, 21
де Рам 39
Реймонд 76, 109, 212, 213
Ричардсон 41, 53, 67
Рохлин В. А. 7, 57, 66, 73
Самельсон 67, 185, 209
Смейл 61
Смит 67, 70, 134, 143, 150, 151, 155, 159, 178, 367
Спеньер 1 11, 120, 122 128 131. 150, 157, 162, 195, 227, 279, 331,’ 359
Сташеф 334
Стернберг 303
Стинрод 79, 83, 125, 135, 138, 139, 141, 145, 367, 378, 389,390, 393, 395, 397 Столлннг 70
Стонг 334
Стюарт 338
Су 367, 380, 385, 394, 395, 398, 405, 406
Суон 132, 151, 153, 363
Сян У .-И. 8, 70, 252, 274, 276, 284, 320, 326
Сян У.-К. 70, 252, 274, 276, 284, 320, 326
Фокс 283
Фукс Д. В. 7, 57, 66, 73
Ханнер 227
Хеллер 132, 363
Хнрцебрух 63, 255, 266, 268, 271—272,
284, 320—321, 332, 333, 339, 341
Хофман 209
Хохшнльд 12, 25, 30
Хьюзмоллер 79, 347, 350
Трельфалль 62, 66
Циппин 21, 94, 185, 209
Шевалле 12, 25, 30
Уайлдер 206
Уайтхед 66
Уитни 314
Уолл 154, 163
Фари 163
Флойд 6, 7, 11, 41, 48, 53, 67, 69, 70, 125, 129, 132, 134, 168, 173, 178, 262, 376, 392, 405
Эйленберг 135, 138, 139, 141, 145, 149,
150, 151, 403
Экман 125
Эпстейн 125, 367, 378, 389, 390, 393, 397
Эрл 332
Янг 66, 79, 94, 97, 178, 185, 209. 255.
329, 338, 339
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аппроксимация эквивариантная гладкая 306
снмплнцнальная 77
Барицентрическое подразделение 120
Бореля равенство 166
Брнскорна многообразие 266—270
Вейля группа 35, 192
Вектор касательный 289
Веретеноподобная окрестность 223
Вершина (симплнцнального комплекса)
120
Вещественное представление 20
Вложение 116
— гладкое 290
— — эквивариантное 304
— ручное 261
— эквивариантное 116
Водопроводное соединение 261
— — эквивариантное 262
Вписывание 138
— звездное 139
Вполне негомологичный нулю слой 361
— паракомпактное пространство 100
— приводимое представление 24
Вторая теорема классификации 251
Главная орбита 179, 180
— стационарная подгруппа 180
Главное G-расслоение 81
Главный орбитный тип 180
Гладкая структура индуцированная 291
Гладкое вложение 290
— действие 289
— многообразие 288
— — с краем 288
— отображение 288
— эквивариантное вложение 304
Гомологии Чеха 139
Гомоморфизм одной топологической груп
пы в другую 14
Грань (симплекса) 120
Группа Вейля 35, 192
— Ли 30
— — полупростая 38
— — простая 38
— —, ранг 39
— общая линейная 16
— однопараметрнческая 31
— ортогональная 16
— полная линейная 16
— симплектнческая 19, 20
— специальная линейная 16
— спинорная 39
— топологическая 12
Группа топологическая, не содержащая малых подгрупп 29
— топологических преобразований 41
— торическая (тор) 35
— универсальная накрывающая группы Ли 33
— унитарная 16
Группы Ли локально изоморфные 34
Действие 41
— гладкое 289
— локально гладкое 170, 171
— — — несглажнваемое, пример 340
— полусвободное 45
— послушное 276
— почти эффективное 42
— свободное 49
— транзитивное 49
— эффективное 42
—, ядро 42
Действия слабо эквивалентные 44
— эквивалентные 44
Джойн 66, 68, 114
— Пале 114
Диффеоморфизм 288
Дифференцн ал 290
Дифференцируемое отображение 288
Евклидово G-расслоение 295
Единицы G-разбненне 136
Закон экспоненциальный 86
Замкнутая инвариантная трубчатая окрест
ность 296
Замкнутый конус 112
Заузленное многообразие 278
Звездное вписывание 139
Изотопия 302
—, интегрирование 302
Изотропии подгруппа 28
Икосаэдр 65
Икосаэдральная подгруппа 65
Иммерсия 290
Инвариант Браудера — Петри 332
— Иллса — Кюйпера 329—331, 339
— Мнлиора 330
Инвариантная риманова метрика 294
Инволюции на произведениях сфер 394 —
400
Инволюций группы 389—394
Инволюция 62
Инвариантная трубчатая окрестность 286
— — —, единственность 259
— — — замкнутая 296
— — — открытая 236
— — —, существование 296
Инвариантное покрытие 135
Индуцированная гладкая структура 291
Интеграл Хаара 21
Интегрирование изотопий 302
Иррациональная обмотка тора 44
Исключительная орбита 180
— специальная орбита 184
Карта 288
Касательное пространство 290
— расслоение 290
Касательный вектор 289
Категория G-орбит 50
— типов G-орбнт 51
Классификации вторая теорема 251
— первая теорема 245
Коамальгама 55
Когомологии Чеха 139
Когомологические группы Смита 128
Когомологическое расширение слоя 359
Комплекс снмплнциальный 120
— —, барицентрическое подразделение 120
— —, вершина 120
— —, топологическая реализация 120
Комплекснфикация (представления) 20
Комплексное представление 20
Коническая орбитная структура 105, 106
Конус замкнутый 112
— открытый 105, 106
Кромка 223
— нормальная 225
Кэли проективная плоскость 375
Левое G-пространство 41, 42
Левый сдвиг 12
Лемма о выпрямлении 235
Лере — Хирша теорема 359
Ли группа 30
— — полупростая 38
— — простая 38
— —, ранг 39 •
Линейная трубка 171
Линейный срез 171
Линзовое пространство 62, 63, 254, 255
Локально гладкое действие 170, 171
— — —, несглаживаемое, пример 340
— — пространство 171
— изоморфные группы Ли 34
Максимальный тор 35
Малая орбита 155—159
Метрика риманова 294
Микроодносвязное пространство 73
Многообразие Брискорна 266 — 270
— гладкое 288
— — с краем 288
— заузленное 278
— О (п)-заузленное 278
— Штифеля 76
Множество G-инвариантное 42
Морфизм функционально структуризован- ных пространств 287
Мостова — Пале теорема 304
Насыщение 46
Насыщенное множество 46
Неподвижная точка 53
Неприводимое представление 24
Нерв (покрытия) 135, 136
Нормализатор 15
Нормальная кромка 225
Нормальное пространство 27
— расслоение 295
Ньюмена теорема 155
Обмотка тора иррациональная 44
Общая линейная группа 16
Однопараметрическая группа 31
Окрестность веретеноподобная 16
Операции Стннрода 369 — 371, 389 — 390
Орбит пространство 46
— —, ориентируемость 186
Орбита 46
— главная 179, 180
— исключительная 180
— — специальная 184
— малая 155—159
— особая 180
Орбитная структура 77
— — коническая 105, 106
Орбитный тип 51
— —, конечность их числа 173, 216
— — главный 180
Орбиты ограниченного диаметра 159
Ортогональная группа 16
Ортогональное представление 20
Особая орбита 180
Открытая инвариантная трубчатая окрестность 296
— — — —, единственность 299
— — — —, существование 296
Открытый конус 105, 106
Отображение гладкое 288
— дифференцируемое 288
— собственное 47
— эквивариантное 44
— экспоненциальное (ехр) 17, 31, 291
Отображения смежные 129
Пале джойн 114
Пале — Мостова теорема 304
Пале теорема классификации 79, 110, 115 — — о накрывающей гомотопии 79, 100.
104
Пара Пуанкаре 385
Первая теорема классификации 245
Перехода функция 80
Погружение 290
Подгруппа изотропии 28
— икосаэдральная 65
— стационарная 28, 44
Подмногообразие 290
Подразделение барицентрическое 120
Покрытие инвариантное 135
— самоиндексированное 135
Полиэдр 120
Полная линейная группа 16
Полупростая группа Лн 38
Полусвободное действие 45
Последовательность Смита точная гомологическая 127
— — — когомологическая 128
— Смита — Гнзина 163
Послушное действие 276
Почти эффективное действие 42
Правый сдвиг 12
Представ пенне вещественное 20
— в неподвижной точке 341
— вполне приводимое 24
— комплексное 20
— на срезе 174
— неприводимое 24
— ортогональное 20
— приводимое 24
Представление присоединенное 38
— унитарное 20
Представления эквивалентные 20
Приводимое представление 24
Приклеивание эквивариантное 57
Присоединенное представление 38
Проективная плоскость Кэли 375
Произведение расслоенное 55
— скрученное 55
Производная 289
Простая группа Ли 38
Пространство вполне паракомпактное 100
— касательное 290
—, классифицирующее G-структуры данного типа 115
— линзовое 62, 63, 254, 255
— локально гладкое 171
■— микроодносвязное 73
— нормальное 27
орбит 46,
Пуанкаре 385.
структурнзованное 223.
— «-универсальное 115
— финитное 135
— Т^-фнннтное 165
— функционально структурнзованное 281
Пуанкаре пара 385
— пространство 385
Ранг группы Лн 39
Расслоение 80
—, ассоциированное с главным расслоением 83
— G-векторное 293
— —, евклидово 294
— касательное 290
— нормальное 295
— регулярное 242
— сингулярное 242
—, структурная группа 80
Расслоенное пронзведеиие 55
Расширение слоя когомологическое 359
Регулярное G-действне 121
— G-покрытне 137
— расслоение 242
Регулярный G-комплекс 121
Редукция структурной группы расслоения
231
Риманова метрика 294
— —, инвариантная 294
Ручное вложение 261
Самонндексированное покрытие 135
Свободное действие 45
Сдвиг левый 12
— правый 12
Сеть 43
Сечение 48
Сигнатура, ннварнантность 339
Симплекс 120
Симплектическая группа 19—20
Снмплицнальная аппроксимация эквивариантная 77
Снмплнцнальный комплекс 120
— —, барицентрическое подразделение 120
— —, топологическая реализация 120
— G-комплекс 120
Сингулярное расслоение 242
Скалярное умножение 293
— — инвариантное 294
Скрученное произведение 55, 81
Слабо эквивалентные действия 44
Слой, вполне негомологнчный нулю 360
Слоя когомологическое расширение 359
Смежные отображения 129
Смита — Гизнна последовательность 163
Смита специальная гомологическая группа 127
— — когомологическая группа 128
— — — —, естественность 129
— точная последовательность гомологическая 127
— — — когомологическая 128
— точный треугольник гомологический 127
— — — когомологический 128
Собственное отображение 47
— G-пространство 249
Специальная гомологическая группа Смита
— исключительная орбита 184
— когомологическая группа Смита 128
— — — —, естественность 129
— линейная группа 16
Спинорная группа 39
Срез 90
— линейный 171
Стабилизатор 44
Стационарная подгруппа 28, 44
— — главная 180
— точка 53
Стационарный тип 51
Стннрода операции 369 — 371, 389—390
Структура орбитная 77
— — тонкая 249
— G-орбитная 77
— функциональная 287
— 28*8 нндУциРова1'иая отображением 287,
Структурнзованное пространство 223
Структурная группа расслоения 80
—, редукция 231
Теорема классификации Пале 79, 110, 115
— — вторая 251
— — первая 245
— Лере — Хирша 359
— Мостова — Пале 304
— Ньюмена 155
— об инвариантности области 65
— об эквивариантной кромке 223, 226
— ~ — симплицнальной аппроксимации
— о трубке 239
— Пале о накрывающей гомотопии 79, 100, 104
— Тнтце — Глнсона 45
Тнп орбитный 51
— стационарный 51
Типов G-орбнт категория 50
Тнтце — Глисона теорема 45
Тонкая орбитная структура 249
Топологическая группа 12
— —, не содержащая малых подгрупп 29
Топологическая реализация симплициаль- кого комплекса 120
Топологических преобразований группа 41
Тор 35
— максимальный 35
Торнческая группа (тор) 35
Точка неподвижная 53
— стационарная 53
Точная последовательность Смита гомологическая 127
— — — когомологическая 128
Точный треугольник Смита гомологический 127
— — — когомологический 128
Транзитивное действие 49
Трансфер 123, 125
Трубка 89
— линейная 171
—, существование 92
Трубчатая окрестность инвариантная 306
— — —, единственность 299
— — — замкнутая 296
— — — открытая 296
— — —, существование 296
Универсальная накрывающая группа группы Ли 33
Унитарная группа 16
Унитарное представление 20
Умножение скалярное 293
— — инвариантное 294
Финитное пространство 135
Функциональная структура 287
— —, индуцированная отображением 288
Функционально структуризоваиное пространство 281
Функция перехода 80
Хаара интеграл 21
Характеристика эйлерова 35
Чеха гомологии 139
— когомологии 139
Штнфеля многообразие 76
Эйлерова характеристика 35
Эквивалентность 6-пространств 44
Эквивалентные представления 20
— 6-пространства 44
Эквивариантная /(-теория 341
— гладкая аппроксимация 306
—- симплнциальная аппроксимация 77
Эквнварнантно изотопные трубчатые окрестности 299
Эквивариантное вложение 116
— водопроводное соединение 262
— отображение 44
— приклеивание 57
Экспоненциальное отображение (ехр) 17, 31, 291
Экспоненциальный закон 86
Эффективное действие 86
Ядро действия 42
Л-род 339
С°°-многообразпе 288 — с краем 288 С°°-структура 288 6-векториое расслоение 293 — — евклидово 294 6-действне регулярное 121 6-инвариантное множество 42 6-комплекс регулярный 121 — симплициальный 120 6-многообразие специальное 315 G-орбитная структура 77 6-покрытие 137 — регулярное 137 6-пространство (левое) 41, 42 6-пространство собственное 249 6-разбиение единицы 136 /(-теория эквивариантная 341 О(г^-заузленное многообразие 322 n-универсальное пространство 115 S-редукция расслоения 232 Т^-фннитное пространство 165
Глен Э. Бредон
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ КОМПАКТНЫХ ГРУПП ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
М., 1980 г., 440 стр. с нлл.
Редактор Ф. И. Кизнер'
Технический редактор В. Н. Кондакова
Корректоры Л. Н. Боровика, Е. В. Сидоркина
ИБ 11380.
Сдано в набор 27.03»80. Подписано в печать 27.10.80. Бумага 60X90Vw, тип. Nt I. Литературная гарнитура. Высокая печать. Усл. печ. л. 27,5. Уч.-нзД. л. 30,74. Тираж 6 800 экз. Заказ № 1238. Цена 3 р.
Издательство «Наука» , Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва В-71, Ленинский пр., 15.
Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного знамени Ленинградское производственно-техническое объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горького Союзполнграфпрома при Государственном комитет СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, 197136, Ленинград, 11-136, Чкаловский пр., 15.
Отпечатано в тип. Nt 2 изд-ва «Наука». Москва, Шубнпский пер., 10. Зак. 4.
если Е — открытое подмножество в R" и ф: —непрерывное взаимно
однозначное отображение, то ф(£) открыто в Rn. Поскольку ker/—дискретная
подгруппа, найдется такая открытая окрестность U единицы 1gSs, что ри взаимно однозначно. Следовательно, /(S3) содержит открытую окрестность еди
ницы eeSO(3), и потому /(S3) — SO(3).— Прим, перев,
= Мар(ДхВ, С), где все пространства Мар наделены компактно открытой
топологией. Название этого закона связано с тем, что Мар (Л, У) часто обо
значают через Vх, так что экспоненциальный закон есть равенство (гомеомор
физм) (СВ)А = СВХ А. Отметим, что этот закон имеет место, если пространство В
хаусдорфово и локально компактно, см. Рохлин и Фукс [1], с. 53,—
Прим, перев.
дыдущему рассуждению, ^eS1, — Прим. реО,
2) См. 0.6.7. — Прим, перев.
= В*\}Е* связно. — Прим, персе.
3. Редукция структурной группы
В этом параграфе мы установим несколько фундаментальных фактов о редукции структурной группы расслоения и докажем
некоторые важные для нас результаты, в учебной литературе
6. Вторая теорема классификации
В формулировке теоремы классификации 5.1 в явном виде участвует сингулярное расслоение о. Иногда это удобно, в частности, в примерах (подобных 5.2), где а несет полную или почти полную требуемую информацию. В других случаях, однако, использование такой теоремы затруднительно. В этом параграфе мы докажем вторую теорему классификации, в формулировке которой не участвует сингулярное расслоение, но которая имеет свои преимущества; в частности, для стягиваемого пространства X она приобретает очень простой вид.
1) В силу Ш.7.9 и 1.6 — Прим, перед.
2) В силу 1.6 — Прим, перед.
8) С учетом нетривиальное™ дифференциала. — Прим, перед.
10. Действия окружности на произведениях
нечетномерных сфер
Г. Б редон