М. БЕРЖЕ, Ж.-П. БЕРРИ, П. ПАНСЮ К. СЕН-РЕЙМОН ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ С КОММЕНТАРИЯМИ И РЕШЕНИЯМИ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

Problemes de geometrie commentes et rediges

Marcel Berger, Jean-Pic Berry Pierre Pansu, Xavier Saint-Raymond

CEDIC/FERNAND NATHAN

publi6 avec le concours du

Centre National de la Recherche Scientifique

М. БЕРЖЕ, Ж.-П. БЕРРИ, П.ПАНСЮ, К.СЕН-РЕЙМОН ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ С КОММЕНТАРИЯМИ

И РЕШЕНИЯМИ

Перевод с французского

П. О. МИХЕЕВА, Л. В. СБИТНЕВОЙ и В. В. ТРОФИМОВА под редакцией Л. В. САБИНИНА

МОСКВА «МИР» 1989

ББК 22.151 315

УДК 514

Авторы: Берже М., Берри Ж.-П., Панею П., Сен-Рей- мон К.

815 Задачи по геометрии с комментариями и решениями) Пер. с франц. — М.: Мир, 1989. — 304 с., ил.

ISBN 5-03-001059

Сборник задач по геометрии, составленный известным французским математиком М. Берже с соавторами, дополняющий знакомый советским читателям двухтомный курс М. Берже «Геометрия» (М.: Мир, 1984). В начале каждой главы даны основные определения и теоремы, необходимые для решения задач. Приведены указания к решению, а в конце книги даны полные решения задач. Книга иллюстрирована прекрасно выполненными диаграммами и чертежами.

Для математиков различных специальностей, студентов, школьников старших классов, учителей средней школы,

3|0~ю“к или

Редакция литературы по математическим наукам

ISBN 5-03-001059 (русск.)ISBN 2-7124-0720-2 (франц.)ISBN 5-03-001059 (русск.)ISBN 2-7124-0720-2 (франц.)© Marcel. Berger, Edition CEDIC, Paris, 1982

ISBN 5-03-001059 (русск.)

ISBN 2-7124-0720-2 (франц.)

ISBN 5-03-001059 (русск.)

ISBN 2-7124-0720-2 (франц.)

© перевод на русский язык, «Мир», 1989

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Предлагаемая вниманию читателя книга представляет собой сборник задач по геометрии, базирующийся на переведенной у нас ранее и широко известной книге «Геометрия» (в двух томах) известного французского геометра, в настоящее время директора Института высших научных исследований, профессора М. Берже. В итоге советский читатель получает учебно-методический комплекс, состоящий из учебника и задачника для университетов и институтов. Французская математическая школа традиционно уделяла большое внимание проблемам преподавания геометрии, и далеко не все ее представители недавнего прошлого разделяли новомодную точку зрения о необходимости потеснить геометрию в учебных планах университетов и других институтов. Такие действия были осуществлены в ряде университетов мира и, к сожалению, те же тенденции просматриваются и в СССР. Между тем геометрия была, остается и будет оставаться краеугольным камнем полнокровного математического образования как в школах, так и в университетах и институтах. Конечно, при этом изложение ее нуждается в модернизации, отвечающей запросам сегодняшнего дня, без потери, однако, геометрического содержания.

Книга и задачник профессора Берже демонстрируют современный подход к геометрии, наполняя ее изложение «новым синтетизмом». Достаточно, например, отметить возврат автора к многочисленным иллюстрациям, почти исчезнувшим в трактатах новейшего времени по геометрии. Книга и задачник возникли в результате многолетней преподавательской деятельности автора в Парижском университете в процессе подготовки студентов к специальной учительской степени. Не останавливаясь на анализе текста учебника «Геометрия», что сделано в предисловии к его русскому переводу, отметим некоторые методические особенности данного задачника.

Условия задач собраны в первой части, разделенной на двадцать глав, как и в учебнике, и с такими же заглавиями. Вторая часть содержит краткие указания (подсказки) к решению задач, в третьей части приводятся подробные решения.

Приводимые в начале каждой главы задачника основные определения и результаты делают его относительно независимым от соответствующего курса «Геометрия» и предоставляют некоторую свободу в его использовании. Читатель, знакомый с основными понятиями геометрии, может сначала подумать над решениями задач, а потом расширить свои познания с помощью учебника.

Важным достоинством задачника является наличие в нем двух уровней помощи: кратких подсказок к решению и подробных решений. Указанное обстоятельство чрезвычайно важно в плане самостоятельной работы над материалом. Традиционный по содержанию материал дается в новом оформлении, при этом упор делается на его геометрическое содержание. Задачник насыщен прекрасно выполненными диаграммами и чертежами (224 иллюстрации), что способствует лучшему восприятию материала.

Многочисленные ссылки на текст курса геометрии профессора Берже и специальную научную литературу помогут более углубленно рассмотреть изучаемые вопросы.

Курс геометрии профессора Берже и сборник задач образуют единый учебно-методический комплекс, представляющий собой ценное пособие для студентов, аспирантов и преподавателей высшей школы, да и для всех истинных ценителей геометрии. Ознакомление советской математической общественности с передовым зарубежным опытом преподавания математики особенно полезно в связи с происходящей сейчас перестройкой нашей выс-, шей и средней школы.

Распределение работы по переводу книги было таким: гл. 1, 3 и 9—13 переведены П. О. Михеевым, гл. 2, 4—8 — Л. В. Сбитневой, гл. 14—20 — В. В. Трофимовым.

Л. В. Сабинин

Книга «Геометрия», опубликованная по-французски в пяти томах издательством CEDIC/Fernand Nathan0, была встречена благожелательно. В то же время некоторые читатели нашли текст слишком сжатым, а упражнения в конце каждой главы слишком трудными, и сожалели об отсутствии каких-либо указаний к их решению.

Данная книга предназначена для того, чтобы по крайней мере частично удовлетворить наших критиков. Что касается первого упрека, то объем «Геометрии» (ссылки на нее в дальнейшем мы будем отмечать символом [В]) и широта охваченного в ней материала не позволяли и думать об издании какого-то более подробного изложения. Напротив, подробное решение некоторых упражнений из [В] будет, как нам кажется, полезным и приятным нашим читателям.

Данная книга устроена следующим образом. Мы хотели сделать ее в какой-то мере независимой от [В], и потому для каждой из двадцати глав [В] собрали на нескольких страницах и под теми же заголовками наиболее важные понятия и результаты, используемые при решении задач. Формулировки задач приведены в конце каждой главы. Задачи занумерованы по порядку, но со ссылками на то место в [В], откуда они взяты (таким образом, эти ссылки не являются указанием к решению). В тексте тоже мы часто ссылаемся на [В].

Далее идет специальный раздел «Указания» к решению задач; они могут служить промежуточным звеном между вашим собственным и нашим решением.

Самую содержательную последнюю часть этой книги составляют подробные решения всех задач. Так же как и в [В], мы старались привести как можно больше иллюстраций. В разделе «Решения» ссылки делались как на [В], так и на другие разделы данной книги.

Марсель Берже

’) Ее русский перевод выпущен в двух томах издательством «Мир» в .1984 г, — Прим. ред.

Глава 1

ГРУППЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА МНОЖЕСТВЕ: ТЕРМИНОЛОГИЯ, ПРИМЕРЫ, ПРИЛОЖЕНИЯ

.А. Действие группы на множестве ([В, 1.1])

Пусть X — произвольное множество; мы обозначаем через ©х множество всех биекций (перестановок) (; Х->Х из X в X и считаем, что на ©х правилом (/, §')'—> fog определен закон композиции. Тогда ©х— группа; она называется группой перестановок или симметрической группой множества X.

Далее, пусть G— группа и X — множество; мы говорим, что G действует на X посредством ф, если ф — гомоморфизм группы G в ©х, т. е. если ф удовлетворяет следующим аксиомам:

Ф (g) е ®х для всех g е G,

Ф(gh) = Ф(g) °Ф(Л) для всех g, h^G

(закон композиции в G записывается мультипликативно). Мы будем, как правило, использовать сокращенную запись g(x), вместо ф(^) (х).

Транзитивность ([В, 1.4])

Действие ф группы G на X называется транзитивным, если для каждой пары (х, у) точек из X существует такой элемент g е G, что g{x) = y. Если G транзитивно действует на X, то множество X называется однородным пространством {относительно действия группы G). .

.С. Эрлангенская программа. Геометрии

Примеры транзитивного действия группы на множестве очень часто встречаются в геометрии. Именно в силу этого обстоятельства Феликс Клейн в своей знаменитой «Эрлангенской программе» (1872) определил геометрию как исследование свойств множества, инвариантных под действием соответствующей группы преобразований (подразумевается, что группа транзитивно действует на множестве).

Заметим, что на одном и том же множестве могут действовать различные группы и, следовательно, могут возникать различные геометрии. Так, на аффинном пространстве X мы мо-

жем рассматривать транзитивные действия следующих групп: группы параллельных переносов, группы подобий (соответствует геометрии, сохраняющей параллельность прямых), группы всех аффинных преобразований (соответствует геометрии барицентров), группы унимодулярных аффинных преобразований. См. 2.А, 2.С и задачу 2.4.

Если X — евклидово пространство, то вдобавок можно рассматривать группу собственных движений (сохраняет метрические свойства объектов с учетом ориентации) и группу изометрий (сохраняет метрические свойства), см. 9.А, 9.D.

Сформулированное выше понятие геометрии довольно ограничительно; см., например, гл. 11 и 12 о выпуклых множествах. Не так давно математики начали рассматривать и нетранзитив- ' ные действия групп, но с «достаточно большими» орбитами.

I.D. Стабилизаторы ([В, 1.5])

Пусть группа G действует на множестве X. Стабилизатором или подгруппой изотропии Gx точки хе X называется подгруппа группы G:

Gx = {geG: g(x) = x}.

Если действие группы G транзитивно, то стабилизаторы различных точек X, по существу, одинаковы, поскольку все они сопряжены в G.

Если G транзитивно действует на X, то для любого хе X множество X изоморфно (как множество) множеству левых классов смежности G/Gx, т. е. факторгруппе группы G по отношению эквивалентности «g ~ к тогда и только тогда, когда g = hk для некоторого к е G*».

На основании этого факта можно, по крайней мере теоретически, изучать множество X алгебраическими методами. Например, если G конечна и транзитивно действует на X, то

где #(•) обозначает мощность множества.

Действие G на X называется просто транзитивным, если оно транзитивно и для некоторого (а значит, и для всех) хеХ стабилизатор Gx тривиален (т. е. состоит только из единичного элемента).

LE. Орбиты. Формула числа классов ([В, 1.6])

Если действие G на X не транзитивно, удобно ввести в рассмотрение подмножества в X, на которых G действует транзитивно, именно орбиты группы G: орбитой точки хеХ (под

Рис. I.F.2.Рис. I.F.2.Рис, I.F.3.Рис, I.F.3.

Рис. I.F.2.

Рис. I.F.2.

Рис, I.F.3.

Рис, I.F.3.

действием группы G) называется множество 0(х) = (g(x): g г G} всех образов этой точки под действием элементов G.

Для конкретной группы, действующей на множестве, структура орбит, вообще говоря, может изменяться от точки к точке; см. задачу 1.3.

Если множество X и действующая на нем группа G конечны и подмножество АсХ пересекается с каждой орбитой в X относительно действия G в одной и только одной точке, то имеет место следующее соотношение, называемое формулой числа классов;

*^ = X (*G/*GX).

хеА

.F. Правильные полиэдры ([В, 1.8])

Можно показать, что существует только пять типов правильных полиэдров (которые связаны всего лишь с тремя группами симметрий): тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Доказательство проводится с использованием формулы числа классов и того факта, что отличное от тождественного вращение трехмерного евклидова пространства имеет на единичной сфере в точности две неподвижные точки (см. также 12.-С).

Рис. I.G.I.Рис. I.G.I.Рис. I.G.2.Рис. I.G.2.Рис. I.G.3.Рис. I.G.3.Рис. I.G.4.Рис. I.G.4.Рис. I.G.5.Рис. I.G.5.

Рис. I.G.I.

Рис. I.G.I.

Рис. I.G.2.

Рис. I.G.2.

Рис. I.G.3.

Рис. I.G.3.

Рис. I.G.4.

Рис. I.G.4.

Рис. I.G.5.

Рис. I.G.5.

Рисунки 1.G.1—1.G.5 взяты из книги Y. Bossard: Rosaces, irises et pavages(CEDIC, 1977).

LG. Замощения плоскости и кристаллографические

группы ([В, 1.7])

Рассмотренные выше общие понятия мы хотим применить к изучению замощений плоскости; более подробные объяснения см. в 1.Н ниже.

Определение. Группа G называется кристаллографической группой (пли группой замощения) евклидовой плоскости Е, если она допускает следующее описание: G — подгруппа группы Is+(£) собственных движений (т. е. сохраняющих ориентацию изометрий) плоскости Е, и существует такое связное компактное подмножество Р на Е с непустой внутренностью Р, что

и g^ = E и g^nhW^ 0=>g = h.

geG

Заметим, что существуют замощения плоскости, для которых ни одна группа не действует транзитивно на элементах замоще*

ния; см. 1.Н и задачу 1.4. Отметим также, что типов замощений существует гораздо больше, чем групп G: см. 1.Н и [В, 1.7.7, 1.9.13].

Укажем, что решающий шаг к классификации замощений состоит в нахождении всех возможных групп G с точностью до сопряжений аффинными преобразованиями плоскости. Можно показать [В, 1.7], что таких групп всего пять: они соответствуют пяти рисункам 1.G.1 — I.G.5. .

Если искать группы G среди подгрупп группы Is(E), а не Is+(E) (т. е. если допустить в замощениях перевернутые плитки), то мы найдем двенадцать дополнительных групп (см. рисунки в [В, 1.7.6]).

Для доказательства классификационной теоремы прежде всего необходимо показать, что множество параллельных переносов в G образует решетку, т. е. все параллельные переносы задаются семейством векторов аи + Ьи, где {и, и) — фиксированный базис на плоскости и а, b пробегают множество целых чисел. Затем следует рассмотреть элементы в G, которые не являются параллельными переносами, т. е. вращения; структура их описана в 9.С.

В заключение отметим, что сформулированное выше определение относится только к тем замощениям, которые получаются повторением одной и той же плитки,. но замощения можно строить и на основе некоторого конечного набора плиток (см., например, задачу 1.4).

.Н. Снова о замощениях. Упражнения

Следующие ниже замечания и наглядные упражнения должны прояснить понятие замощения, которое намного сложнее, чем может показаться на первый взгляд.

.Н.1. Замощение не обязано соответствовать действию какой-то группы, т. е. можно представить себе замощение плоскости плитками gt?)» где Р— некоторое связное множество, a g пробегает некоторое подмножество в группе изометрий плоскости, не являющееся подгруппой. Другими словами, подгруппа изометрий, оставляющих инвариантным замощение в целом (так называемая подгруппа инвариантности), не обязана транзитивно действовать на множестве плиток. Тривиальным примером служат непериодические замощения (см. задачу 1.4); подгруппа инвариантности в этом случае конечна, и транзитивное действие невозможно в принципе. Существуют более «регулярные» примеры: так, подгруппа инвариантности периодического замощения, изображенного ниже, далеко не тривиальна,

Рис. 1.Н.1.

Рис. 1.Н.2.2.

но тем не менее действует нетранзитивно, поскольку Р нельзя перевести в Р'.

.Н.2. Впредь мы будем использовать термин замощение только в тех случаях, когда подгруппа инвариантности действует транзитивно. Это означает, что произвольные две плитки замощения не только одинаковы сами по себе, но еще и одинаковым образом граничат с соседними плитками.

Необходимо ясно понимать, что в 1.G мы ввели понятие кри-

сталлографической группы, а не просто замощения плоскости в визуальном смысле. Замощения, которым соответствует одна и та же группа, могут выглядеть совершенно по-разному. Два рисунка 1.Н.2.1 соответствуют группе, представленной на рис. 1.G.1, а рисунки 1.Н.2.2— группе, представленной на рис. I.G.2.

.Н.З. Если мы хотим изучать замощения по картинкам, имеет смысл связать с ними следующие структуры:

группу инвариантности С, т. е. группу всех изометрий, сохраняющих замощение в целом (это будет одна из кристаллографических групп);

подгруппу изотропии S(P) в С, оставляющую инвариантной некоторую заданную плитку Р. (Заметим, что (с точностью До сопряжения) такая подгруппа одинакова для каждой плитки, поэтому можно говорить о подгруппе S(P), не уточняя выбор Р. С другой стороны, S(P) — подгруппа в С, что сильно ограничивает число возможных вариантов.);

степень каждой вершины (степенью или валентностью вершины называется число плиток, которым она принадлежит). Перечисление 11 возможностей для степени см. в [В, 1,9,13].

Степени и группа С позволяют провести две не связанные друг с другом классификации замощений. Мы уже рассмотрели два примера замощений с одинаковыми группами С, но с различными степенями. Возможна и обратная ситуация; пример

двух замощений с одинаковыми степенями вершин, но различными группами инвариантности показан на рис. 1.Н.З. Итак, любая классификация замощений должна учитывать независимым образом эти два критерия.

Более тонкое рассуждение показывает, что замощения могут иметь различные конфигурации даже в том случае, когда С, S(P) и степени вершин одинаковы. Так мы приходим к необходимости рассматривать отношения примыкания между ориен-

тированными границами соседних плиток. Такая классификация достаточно естественна, особенно если учесть тот факт, что она тоньше, чем любая классификация, основанная на С, S(P) или степенях, или какой-то комбинации этих трех критериев: она разбивает все замощения на 93 типа (см. [В, 1.7.7.8]).

.Н.4. О маркировке плиток. Здесь и в других местах книги мы используем маркировку — рисунки на плитках — для того, чтобы показать их ориентацию. Возникает вопрос, нельзя ли обойтись без маркировки, рассматривая только форму плиток? Достаточно часто удается придать плиткам неправильные очертания и тем самым запретить часть симметрий. Действительно, из упомянутых выше 93 типов замощений только 12 не могут быть представлены непомеченными плитками. Поэтому, если интересоваться только формой плиток, остается всего лишь 81 конфигурация.

Упражнение 1. Для пяти кристаллографических групп, содержащихся в Is+(£) (см. 1.G), найдите соответствующие замощения немаркированными плитками.

.Н.5. В заключение заметим, что связь между понятиями кристаллографической группы и замощения не является канонической. Мы определили группу посредством замощения пло

скости, которое она порождает, действуя на заранее выбранную плитку; при этом вершины замощения не обязаны быть изомет- ричными и даже не обязаны иметь одинаковую структуру. (Мы говорим, что две вершины изометричны, если существует изометрия, переводящая окрестность одной из них в окрестность другой. На приведенном рисунке Sj и Si не изометричны.)

С равным успехом мы можем подействовать элементами группы на заранее выбранную

вершину и таким образом полу

чить замощение плоскости, в общем случае содержащее различные плитки. Такого рода замощения называются изогональны

ми, в то время как рассмотренные выше замощения называются изоэдральными. Используя основанную на отношении примыкания классификацию, дуальную классификации изоэдральных замощений, мы получим опять-таки 93 типа изогональных замощений, два из которых невозможно представить немаркиро-

ванными замощениями (ввести маркировку вершин несколько труднее, чем в случае плиток, но и это возможно). Итак, существует 91 тип (немаркированных) изогональных замощений.

Замечание. Только плитки и вершины могут составить основу классификации замощений; что же касается ребер, то они располагаются на стыке обязательно одного и того же количества плиток (а именно, двух) и ограничены одним и тем же количеством вершин (опять-таки двух).

Упражнение 2. Для пяти кристаллографических групп, содержащихся в Is+(£), найдите соответствующие немаркированные изогональные замощения.

ЗАДАЧИ

ТРЕУГОЛЬНИКИ И ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ ([В, 1.9.14]). Можно ли замостить плоскость произвольным треугольником? Произвольным выпуклым четырехугольником? Произвольным четырехугольником?

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ ЗАМОЩЕНИЯ ([В, 1.9.12]). Пусть Gc:Is(£)— такая подгруппа группы изометрий аффинной евклидовой плоскости, что все ее орбиты — дискретные подмножества в Е. Покажите, что для фиксированного а^Е группа G и подмножество Р, определенное условием

Р = (х G Е; d (х, а) ^ d (х, g (a)) Vg g G},

удовлетворяют аксиомам кристаллографической группы.

ПЯТЬ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ ГРУПП, СОХРАНЯЮЩИХ ОРИЕНТАЦИЮ ([В, 1.9.4]). Для каждой из пяти кристаллографических групп, содержащих только собственные движения, определите порядок группы изотропии, структуру группы, типы орбит; рассмотрите представление группы определяющими соотношениями (см. [В, 1.8.7]).

НЕПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗАМОЩЕНИЕ РОБИНСОНА ([В, 1.9.16]). Покажите, что шестью плитками, изображенными на рисунке, можно замостить плоскость. Докажите, что любое замощение плоскости этими шестью плитками непериодично, т. е. соответствующая группа изометрий не содержит нетривиальных паралч лельных переносов.

Задачи

Рис. 1,4.

Глава 2

АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

2,А« Аффинные пространства; аффинная группа

([В, 2.1, 2.3])

Аффинное пространство X — это не что иное, как векторное пространство, на котором действует группа, порожденная линейными автоморфизмами и параллельными переносами; эта группа называется аффинной группой пространства X и обозначается GA(X). Ее элементы суть (аффинные) автоморфизмы пространства X, или, что то же самое, аффинные отображения X на себя. Элементы аффинного пространства X называются точками.

Это приводит к устранению привилегированной роли, которую прежде играло начало (т. е. точка 0) векторного пространства X, и устанавливает равноправие всех точек аффинного пространства X. Конечно, имеются и более изощренные определения понятия аффинного пространства; см. [В, 2.1.1, 2.1.6].

Другая сторона медали — теперь элементы пространства не векторы, а просто точки, так что их уже нельзя складывать и умножать на скаляры! Вычисления, которые по-прежнему возможно производить в аффинном пространстве X (мы будем отличать аффинное пространство X от векторного пространства X, которое его порождает), следующие: для х, у е X можно определить их середину (х + у)/2^.Х (если характеристика поля#= #=2) и вектор у — х = ху в X. Кроме того, если х, у, г лежат на одной прямой и х ф у, то можно вычислить отношение xzlxy, являющееся скаляром.

В результате мы можем также производить вычисления типа х = а+А,и, где а и х— точки аффинного пространства X, и — вектор векторного пространства X, а К — скаляр.

Последнее, но немаловажное, мы можем фиксировать некоторую точку а е X и рассматривать X как векторное пространство с началом в точке а; такую векторизацию аффинного пространства X в точке а будем обозначать Ха. Обобщением понятия середины (которое не зависит от векторизации) является понятие барицентра, которое мы изучим в гл. 3.

.В. Аффинные отображения ([В, 2.3])

Пусть заданы аффинные пространства X и У (над одним и тем же полем скаляров); определим аффинное отображение пространства X в У при помощи их векторных пространств X и У. Множество таких отображений обозначается А(Х; У). Например, если У = К — поле скаляров, то элементы из А (X; К) будут называться аффинными формами (это, по существу, линейные формы с точностью до прибавления константы).

Для каждого аффинного отображения f корректно определено соответствующее линейное отображение f векторного пространства X в векторное пространство У.

(Аффинный) автоморфизм пространства X есть биективное аффинное отображение; обратное к нему отображение также является аффинным. Специальная (или унимодулярная) аффинная группа SA(X) состоит из всех аффинных автоморфизмов f пространства X, таких, что определитель f равен 1. См. задачу 2.4, дающую дифференциально-геометрическое описание этой ситуации. '

Параллельные переносы аффинного пространства X— это отображения хн->х + 6, где^еХ; параллельный перенос на вектор g обозначается t^.

.С. Гомотетии и дилатации ([В, 2.3.3])

Кроме параллельных переносов простейшими аффинными автоморфизмами являются гомотетии. Гомотетия с центром в точке а е X и коэффициентом Хе К обозначается На, х и определяется так:

х i—> а + Ках.

Параллельные переносы и гомотетии образуют группу, называемую группой дилатаций. Следующий раздел содержит их геометрическую характеристику.

2.D. Подпространства; параллелизм ([В, 2.4])

Подпространства (или, точнее, аффинные подпространства) аффинного пространства X— это образы векторных подпространств при действии параллельных переносов некоторой векторизации пространства X. Направление У подпространства У — это векторное подпространство, порождающее У. Подпространства У и £ называются параллельными, если У = Z. Одномерные

(соотв. двумерные) подпространства называются прямыми (соотв. плоскостями); мы называем У гиперплоскостью аффинного пространства X, если У— гиперплоскость (т. е. подпространство коразмерности 1) в X.

Дилатации можно охарактеризовать следующим образом: некоторая биекция f есть дилатация тогда и только тогда, когда образ f(D) любой прямой D есть прямая, параллельная D.

Вычисления в подпространствах становятся возможными благодаря тому, что гиперплоскость может быть определена

Рис. 2.D.

как ядро аффинной формы, не являющейся константой. Подпространства более высоких коразмерностей можно описать аналогичным образом при помощи нескольких аффинных форм; но кроме этого мы можем также, особенно в случае прямых, использовать параметрическое представление вида {« + Хи: Хе К) (для прямой, проходящей через точку а и имеющей направление

Наименьшее (аффинное) подпространство в X, содержащее некоторое подмножество АсХ, называется подпространством, порожденным подмножеством А, и обозначается <Д>. В частности, если х и у — различные точки, то (х, у) обозначает проходящую через них прямую.

Что представляют собой инволютивные автоморфизмы аффинного пространства? (Инволютивный означает, что композиция его с самим собой дает тождественный автоморфизм). Сначала заметим, что если f принадлежит GA(X) и /2 = Idx, то / имеет по крайней мере одну неподвижную точку а; достаточно взять а = (х + Цх) )/2 для произвольной точки х (всюду предполагая, что характеристика поля отлична от 2).

Рассмотрим теперь векторизацию аффинного пространства X в точке а. Мы знаем, что Ха есть прямая сумма Ха = U ® V, при-

чем f — тождественный автоморфизм на U и тождественный-со знаком минус на V: f = Idy— Idy. Следовательно, наша инволюция будет аффинным отражением относительно У параллельно Z, где У и Z — два взаимно дополнительных подпространства (т. е. У ® Z = Xy Отметим еще, что f(x) единственным образом определяется двумя условиями: хЦх^еХ и {х + f (х))/2 еУ.

Независимость; аффинные реперы ([В, 2.2, 2.4])

Пусть х, у, г — три точки в аффинном пространстве X; будет ли подпространство <х, у, г) точкой, прямой или плоскостью? Говорят, что точки {xjz=0 ( к аффинного пространства X ^аффинно) независимы, если размерность подпространства

Рнс. 2.Е.

<х0, хь ..., хь), которое они порождают, равна к. {Размерность аффинного подпространства X равна, конечно же, размерности соответствующего векторного пространства X.) Если X— аффинное пространство размерности п, то симплекс в X— это множество из («+ 1) независимых точек в X. Мы сопоставляем каждому симплексу (x,)z=0 ] п аффинный репер, выбирая точку

*о за начало в X, а векторы (xox,)z=1п в качестве базиса в X. Координаты точки хеХ— это скаляры X, {1=1, ..., п), такие, что

х = х0 + £ Xi (хох,), или хох = Е М {XoXi).ii

Аффинное отображение определяется его значениями на некотором симплексе; в частности, для любых двух симплексов в конечномерном аффинном пространстве X существует автоморфизм, отображающий один симплекс в другой.

2.F. Основная теорема аффинной геометрии ([В, 2.6])

Это единственный «тонкий» результат, вытекающий из предшествующих понятий. Он касается теоретико-множественных

биективных отображений аффинных пространств X и X' (причем заранее не предполагается, что X и X' рассматриваются над одним и тем же полем), переводящих прямые в прямые. Отметим сначала, что в размерности 1 это условие излишне, а в комплексном случае оно выполняется и для отображений, не являющихся аффинными (к примеру, (zb z2)i—>(zb z2)). Наш результат утверждает, что лишь эти два случая типичны для единственно возможных исключений.

Точнее, пусть аффинные пространства X и X' определены над полями К и К'; тогда отображение /: Х-*Х' называется полуаффинным, если его векторизация /: Xa-*X'iW есть полулинейное отображение, т. е. если имеется изоморфизм полей о: К-^К', такой, что

f (Ах + цу) = а (X) / (х) + <т(цШу)

для любых х, у еХа и любых X, р.еК.

' Основная теорема аффинной геометрии утверждает, что если f: Х—>Х'— биекция, переводящая прямые в прямые, и если, кроме того, X и X' имеют одну и ту же конечную размерность п ^ 2, то / — полуаффинное отображение.

.G. Конечномерные вещественные аффинные пространства

([В, 2.7])

В дальнейшем предполагается, что X — конечномерное аффинное пространство над полем вещественных чисел. Такие пространства (особенно размерностей 1, 2 и 3) и изучаются в классической геометрии. Они особенно интересны и богаты содержанием, поскольку имеют отношение к нашему физическому миру.

Начнем с того, что аффинное пространство X имеет каноническую топологию, поэтому можно говорить об открытых, замкнутых, компактных множествах и т. д. (см., например, задачу 2.2). К этим пространствам применимы также методы дифференциального исчисления (см. задачу 2.4).

Одно из важных понятий — понятие полупространства; если У— гиперплоскость в X, то ее дополнение АХ У имеет в точности две связные компоненты, которые называются открытыми полупространствами, определяемыми гиперплоскостью У. Их замыканиями являются соответствующие замкнутые полупространства. Это понятие является основным при изучении выпуклости: см. 11.В, 12.А.

Конечномерное вещественное аффинное.пространство обладает, с точностью до положительного скалярного множителя, канонической мерой, называемой мерой Лебега. Например, если

р— такая мера, порожденная мерой ц векторного пространства X, то мы имеем следующее определение центра (тяжести) компакта К в X с непустой внутренностью К: если хк обозначает характеристическую функцию на К и ц(Ю=^ХкН“ мера К относительно ц, то можно показать, что векторный интеграл

/ц(а)= $ Хк^хеХ

таков, что точка

не зависит от а Е X. Эта точка называется центром компакта К; см. задачу 2.3.

Конечномерное векторное пространство, а следовательно, и конечномерное аффинное пространство может быть ориентировано; это, по существу, сводится к выбору базиса, который объявляется положительным. Любой другой базис, полученный из первоначально выбранного линейными автоморфизмами с положительным определителем, также положителен. Имеются в точности две возможные ориентации, но ни одна из них не является «канонической»; выбор положительной ориентации произволен.

Независимо от того, ориентировано или нет вещественное аффинное пространство X, мы всегда можем рассматривав отображения f е GL(X) с положительным определителем: det f > 0. Мы говорим, что они сохраняют ориентацию (какую бы мы ни выбрали заранее), и обозначаем через GA+(X) подгруппу в GA(X), состоящую из таких отображений. Дополнение к этой группе обозначается GA~(X) и содержит все отображения f, такие, что det f < 0.

ЗАДАЧИ

ТЕОРЕМЫ ЧЕВЫ И МЕНЕЛАЯ ([В, 2.8.1, 2.8.2]). Пусть (а, Ь, с}—треугольник иа аффинной плоскости, и пусть а'е G <6, с>, b' е <с, а), с' е <а, 6> — три точки на его сторонах. Докажите, что три прямые (а, а'>, <6, 6^, <с, с') пересекаются в одной точке (или параллельны) тогда и только тогда, когда

а'Ь Ь'с с'а .,тт х

—— • —— • —у- = —1 (теорема Чевы).

а'с Ь'а с'Ь

При тех же исходных данных покажите, что три точки а', Ь', с? лежат на одной прямой (т. е. коллинеарны) тогда и только

тогда, когда

а'Ьа'ЬасасЬ'сЬ'аЬ'сЬ'а^-=1 (теорема Менелая). с'Ь^-=1 (теорема Менелая). с'Ь

а'Ь

а'Ь

ас

ас

Ь'с

Ь'а

Ь'с

Ь'а

^-=1 (теорема Менелая). с'Ь

^-=1 (теорема Менелая). с'Ь

Рис. 2.3.Рис. 2.3.

Рис. 2.3.

Рис. 2.3.

2.2. СВЯЗНОСТЬ2.2. СВЯЗНОСТЬДОПОЛНЕНИЙ К ПОДПРОСТРАНСТВАМ

2.2. СВЯЗНОСТЬ

2.2. СВЯЗНОСТЬ

([В, 2.8.8]), Покажите, что если X — конечномерное веществен-

ное аффинное пространство и У— его подпространство, то дополнение А\У связно, когда dim У ^ dim А — 2. Будет ли Х\У односвязным (см. 18.А)?

АССОЦИАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕНТРОВ ([В, 2.8.11]). Пусть К—компактное подмножество конечномерного вещественного

аффинного пространства, такого, что А =# 0, и пусть Н — гиперплоскость в X, а X' и X" — два порожденных ею замкнутых полупространства. Мы предполагаем также, что для Н

К'=#0 и К" =#0,

где К' = КГ\Х', а К" = К Л X".

Покажите (см. З.А), что cent (А") есть центр тяжести системы точек cent(A') и cent(A") с массами р(А') и р(А") соответственно, или, в терминологии З.А, барицентр семейства {(cent (А'), ц(А'))> (cent(А"), ц(А"))}. Выведите отсюда, что если еще К выпукло, то

cent (А) е А.

ЭКВИАФФИННЫЕ ДЛИНА И КРИВИЗНА ([В, 2.8.12]). Пусть X — вещественная аффинная плоскость и в X фиксирован некоторый базис. Тогда для любых двух векторов из X мы можем определить det (и, и) относительно выбранного базиса как определитель 2 X 2-матрицы, столбцы которой суть координаты и и v в этом базисе. Пусть с: [а, Ь\->Х— гладкая кривая класса С3 в X. Эквиаффинная длина с (в X относительно выбранного базиса) выражается вещественным числом

6

$(det(?(O, ^W'3dt. а

Покажите, что с и f ° с имеют одинаковую эквиаффинную длину ДЛЯ любого feSA(X); здесь SA(X) = {feGA(X): |detf| = 1} (см. 2.В).

‘ Покажите, что кривую с можно параметризовать ее эквиаф- финной длиной, если для каждого / мы имеем det (с' (/), с"(/))^ь0. Если кривая с параметризована ее эквиаффииной длиной, то число К = det (с", с'"') называется эквиаффииной кривизной. Покажите, что эквиаффинная кривизна также инвариантна относительно действия группы SA(X). Найдите эквиаффинную длину и кривизну для эллипса, параболы и гиперболы в X (всегда фиксируя базис). Подобно тому как кривая на евклидовой плоскости определяется с точностью до изометрии заданием кривизны как функции длины дуги (см., например, Berger М., Gostiaux В. Geometrie differentielle.— Armand Colin, p. 323), покажите, что кривая в аффинном пространстве определяется с точностью до преобразования из SA(X) заданием эквиаффииной кривизны как функции ее эквиаффииной длины.

Глава 3

БАРИЦЕНТРЫ.

УНИВЕРСАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО

8,А. Барицентры ([В, 3.4])

Мы уже имели возможность заметить, что в аффинном пространстве X не имеют смысла операции сложения точек и умножения их на скаляры. Тем не менее на точках аффинного пространства можно ввести операцию, обобщающую понятие середины (х + у)/2 (см. 2.А): взятие барицентра.

■ Если Uxi> ^i)h-i« — семейство точек xt из X, каждая в паре с коэффициентом (или «массой») Xi из поля скаляров К, и У, = 1, то в X корректно определена точка

х = У Х,х{.

i

Ее координаты по отношению к произвольному базису являются линейными комбинациями У ^чхц координат точек Хь Мы называем х барицентром точек х, с массами X;. Так, {(х, 1/2), (У. 1/2)} совпадает с серединой отрезка с концами х и у.

Рис. ЗАЛ,

Если точки х и у различны, то барицентр ^ = Хх + (1—X'jy расположен на прямой <х, у> и корректно определен соотношением X = gy!xy. В более общем случае, когда все Xi равны 1/п {в частности, п#=0 в К), точка (xi + ... + xn)/n называется эквибарицентром точек xt. Это понятие очевидным образом связано с понятием центра масс из физики (см. 2.G, задачи 2.3, 3.2 н 12.3, а также [В, 2.7.5.6]).

Барицентрическое подразделение симплекса (см. 2.Е или [В, 2.4.7]) получается добавлением к симплексу его барицентра и барицентров всех его подсимплексов; см. задачу 3.3.

Отображение аффинно в том и только том случае, если оно сохраняет барицентры; подпространство, порожденное точками

Рис. з.А.2.

fxi}z=i л> — это в точности множество всех барицентров этих точек, когда массы принимают все возможные значения (1В, 3.5]).

В более общем случае, если ^Xi^i, но и £ Л, ^ь О, можно определить барицентр семейства {(хо ^-z)}^—1„ как

В этом случае естественно считать общую массу х равной 5 ^i«

З.В. Ассоциативность барицентров ([В, 3.4.8])

Обсуждаемый ниже результат прост, но имеет разнообразные следствия. Рассмотрим семейство {(xz, X,)} U Цу;, у/)}, объединение двух семейств, и предположим, что

^ 1( О, 2 В/ ^ 0» 5 ^1 + X В/ О’ < / I I

Обозначим через g (соотв. Л) барицентр семейства {(х/,М) (соотв. {(у/, у/)}); тогда барицентр объединения совпадает с барицентром двух точек {5 (Л, ^Ц/)}. (С точки зрения физики это утверждение интуитивно очевидно.) ■ ■

В качестве следствий можно получить следующие классические результаты: во-первых, три медианы треугольника пересекаются в одной точке, и при этом расстояние от вершины до точки пересечения равно 2/3 длины медианы. Во-вторых, середины сторон произвольного четырехугольника образуют параллелограмм ([В, 3.4.10]).

.С. Барицентрические координаты ([В, 3.6])

Пусть {xjf_o j п — симплекс (см. 2.Е) в n-мерном аффинном пространстве X. Тогда любая точка хеХ допускает единственное представление в виде х — XiXt с X^-f=l. Одно- значно определяемый при этом набор из (и-|-1) скаляров называется барицентрическими координатами точки х (по отношению к рассматриваемому симплексу).

В случае когда К = R, множество {Zx + (1 — Х)у: 0 ^ Z ^ 1} барицентров пары (х, у) называется отрезком с концами х и у и обозначается [х, у]. Мы встретимся с этим понятием еще раз, а также с более общим случаем нескольких неотрицательных масс при изучении выпуклых множеств (11.А).

.D. Универсальное пространство ([В, 3.1, 3.2])

С целью формализовать введенные выше понятия рассмотрим присоединенное к аффинному пространству X векторное пространство X: мы определяем его как объединение множества точек с заданными ненулевыми массами (т. е. произведения XX К*) и множества векторов X (см. 2.А). В этом пространстве имеют смысл операции сложения и умножения на скаляры; при этом элементам из X соответствуют нулевые массы. Важно, что X допускает каноническое вложение в X в виде аффинной гиперплоскости, состоящей из точек с единичными массами (см. 2.D). Направление X этой гиперплоскости (в смысле 2.D) действительно является векторным пространством, присоединенным к X.

Полиномы ([В, 3.3])

Исходя из классического понятия однородного полинома степени к над векторным пространством, в случае аффинного пространства определим при помощи векторного пространства X полином степени меньшей либо равной к над X. Обратно, произвольный полином степени к над X можно преобразовать в полином степени к над X, используя переменную однородности (ко-

торая, конечно, является массой). Более того, полином f над X имеет символ f, который является однородным полиномом над X и соответствует старшим членам в f. Не так педантично можно сказать, что полином степени ^ к есть нечто такое, что в произвольной векторизации пространства X представимо в виде суммы однородных полиномов степеней к, к—11,0.

ЗАДАЧИ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ЦЕНТРЫ МАСС ([В, 3.7.16]). Пусть в вещественном аффинном пространстве даны р точек хм, ... ,.., xLp (р ^ 2). Для i = 1, 2р обозначим через x2,i центр масс точек (х^Ру ^ ( Далее, определим по индукции центр масс (эквибарицентр) x*+i, i точек (хй, y)yg6j для всех А^1. Докажите, что каждая последовательность (x*iy)ftaN сходится. Что можно сказать о пределах этих последовательностей при разных значениях г?

ЦЕНТРЫ МАСС ГРАНИЦЫ ТРЕУГОЛЬНИКА И ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ ([В, 3.7.13 и 3.7.14]). Найдите центр масс физического объекта в виде треугольника, образованного тремя

Ряс. 3.2.1.Ряс. 3.2.1.однородными стержнями одинаковой плотности.. Постройте эту точку геометрически.

Ряс. 3.2.1.

Ряс. 3.2.1.

Постройте геометрически центр масс однородной пластины четырехугольной формы. Сравните положения центра масс и эквибарицентра четырех вершин.

ДИАМЕТРЫ БАРИЦЕНТРИЧЕСКИХ ПОДРАЗДЕЛЕНИИ СИМПЛЕКСОВ ([В, 3.7.8]). Пусть S — симплекс в евклидовом аффинном пространстве размерности п; его диаметром d называется наибольшее расстояние между любыми двумя его точками. Покажите, что диаметр каждого симплекса из барицентрического подразделения S не превосходит nd/^n-V 1). Выведите отсюда, что диаметры симплексов, получаемых последовательными барицентрическими подразделениями, стремятся к нулю.

ПРЯМОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ ([В, 3.7.11]). Пусть X— аффинное пространство и W — векторное пространство. Предложите прямое (т. е. не использующее Конструкцию универсального пространства) определение пространства Л(Х; W) полиномиальных отображений степени из X в W. Докажите, что ваше определение корректно.

ЯВНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОЛЯРНОЙ ФОРМЫ ПОЛИНОМА ([В, 3.7.15]). Полярной формой полиномиального отображения / степени к из векторного пространства V в другое векторное пространство IF называется та единственная ^-линейная симметричная форма ф со значениями в IF, для которой f(u) = = ф(п, ..., и) (к аргументов). Покажите, что она определяется формулой

к

Ф("1Е 7(^+...+vly).

/-1к^ <... <lj<k

(*)

ТОЖДЕСТВО ЭЙЛЕРА ({В, 3.7.12]). Напомним, что вещественнозначная функция принадлежит классу Сп, если она п раз дифференцируема и ее n-я производная непрерывна. Пусть X— вещественное векторное пространство и f: X->R— такое С*-отображение, что f(Xx) = X*f(x) для всех xgXhZeR. Покажите, что его производная f удовлетворяет тождеству Эйлера

1ЧхНх) = №) ЧхеХ.

Напишите и докажите аналогичное тождество для р-й производной функции f, когда f принадлежит классу Ср и однородна степени к. Выведите отсюда, что если f принадлежит классу С* и однородна степени к, то она с необходимостью является полиномом.

Глава 4

ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Аффинные пространства обладают серьезным недостатком в том смысле, что в некоторых теоремах встречаются исключительные случаи, например когда прямые оказываются параллельными. Проективные пространства были построены Дезаргом в 1639 г. с целью устранить такое неудобство. Аффинное пространство пополняется бесконечно удаленными точками, которые соответствуют направлениям прямых линий. Но в таком, случае нужно уметь возвращаться обратно к первоначальному аффинному пространству. Эта программа осуществляется здесь в два этапа — главы 4 и 5.

.А. Определения ([В, 4.1])

Проективное пространство — это пространство, элементы которого суть прямые (т. е. одномерные векторные подпространства) векторного пространства. Пусть Е— векторное пространство; будем обозначать Р(Е) проективное пространство, порожденное векторным пространством Е, т. е. образованное прямыми из Е. Алгебраически Р^Е) является фактормножеством дополнения £\0 к началу в £ по отношению эквивалентности «х ~ у в том и только том случае, когда существует ненулевой скаляр к, такой, что y = kx». Размерность Р(Е) на единицу меньше размерности Е.

Примеры. Мы полагаем Рп^ = Р(Кп+') и называем это пространство n-мерным проективным пространством над полем К. См., например, случай конечных полей в задачах 4.1 и 4.5. Наибольший интерес в геометрии представляют случаи, когда А = R или С; см. 4.G. Наконец, если Е* обозначает дуальное к Е векторное пространство, то проективное пространство Р(Е*) находится во взаимно однозначном соответствии с множеством гиперплоскостей векторного пространства Е. Действительно, гиперплоскость можно задать как ядро ненулевой линейной формы, определяемой с точностью до умножения на скаляр.

Подпространства, пересечения, дуальность

([В, 4.6])

Элементы проективного пространства Р(Е) называются точками. Подпространства (проективные) в Р(Е)— это образы (векторных) подпространств векторного пространства Е. Они сами являются проективными пространствами; размерность такого подпространства — это его проективная размерность. При этом точки — нульмерные подпространства, прямые — одномерные подпространства (образы плоскостей в £), плоскости — двумерные подпространства. Гиперплоскости в проективном пространстве £(£)— это образы гиперплоскостей в векторном пространстве Е; следовательно, множество гиперплоскостей тоже находится во взаимно однозначном соответствии с пространством Р(Е*).

В отличие от аффинной геометрии в проективной геометрии уже нет исключительных случаев, связанных с пересечением подпространств. Для любых двух подпространств V и W проективного пространства £(£) всегда

dim «V (J W^ + dim (У Л ^) = dim V + dim W.

В этой формуле мы воспользовались обозначением <Д> для наименьшего подпространства, содержащего множество А (называемого подпространством, порожденным множеством Л), где Д—любое подмножество проективного пространства. Две различные точки х, у всегда порождают прямую <х, у"). Мы говорим, что точки {mji=o ] k проективно независимы, если подпространство </п0, пг\, ..., /nfc> имеет размерность к.

Что представляет собой прямая проективного пространства Р(£*) с точки зрения проективного пространства Р(£)? Она состоит из гиперплоскостей пространства Р^Е), содержащих фиксированное подпространство из Р^Е) коразмерности 2 (т. е. пересечение двух различных гиперплоскостей, или, иначе, в случае когда Р(Е) конечномерно, подпространство, размерность которого на две единицы меньше размерности Р(£)). Мы называем такую прямую в Р^Е*) пучком гиперплоскостей. Пусть, к примеру, Р(£)—проективная плоскость; тогда пучок прямых в Р(£) (связка прямых) есть множество прямых, проходящих через фиксированную точку а в Р(Е)-, как прямая в Р^Е*) оно обозначается а*.

4.С. Однородные координаты; карты ([В, 4.2])

Переход к проективным пространствам, с одной стороны, дает определенные удобства: в утверждениях нет исключительных случаев, однако, с другой стороны, вычисления становятся

более трудоемкими. Предположим сначала, что мы рассматриваем конечномерный случай. Первый способ проведения вычислений состоит в покрытии Р^Е) (частичными) картами. Пусть, например, {е,}^ п — базис в Е и р: Е-^-Р^—каноническая проекция (определяемая отношением эквивалентности, указанным в определении). Тогда точки в Р(Е) вида рЦ1, хь ... ..., хп)) образуют дополнение к гиперплоскости Р(Но), где До = х~* (0). Таким образом, собирая вместе п + 1 дополнений к гиперплоскостям P(Hi), где Ht = х~1 (0), мы можем вернуться к Рф^. Но для проведения вычислений нам еще нужно знать связь между различными картами. На пересечении двух дополнений, ассоциированных с Hi и Щ, имеем

Р^х»xt_b 1, xi+1х„)) —>

Р Vxj ’ xi ’ xt xi’ ’ xi

(см. задачу 4.2). Другой способ проводить вычисления состоит в том, чтобы каким-то образом оставаться внутри Е. Запишем /п = р((хо, X], ..., хл)); Xi называются однородными координатами точки mEPIE) (относительно базиса в Е). Отметим, однако, что они определены с точностью до произвольного постоянного множителя-.

Р^х0, кхъ .... &х„)) = р((х0, х„ .... х„))

для любого к ф 0.

4.D. Проективные реперы ([В, 4.4])

Это понятие основано на следующем замечании. Пусть {ej, ^е'^ (i = l, ..., и+1) — два базиса в Е, такие, что

р (е0 = р (еЭ v/:=1"+ 1’

и

р(е,+ ... +еп+1) = р(е;+ ... +<+1).

Тогда элементы этих базисов пропорциональны, т. е. существует такое к, что е'{ = ket при любом I.

Для произвольного «-мерного проективного пространства Р(Е) мы определим проективный репер как множество Uh,^ 1, .. п+1, состоящее из п + 2 точек в £’(£'), таких, что при любом Z = 0, 1, .... п+1 система из п + 1 точек {m/}/^,t проективно независима. Из вышеприведенного замечания тогда следует, что в Е существует единственный с точностью до произвольного скаляра базис {ejj=o l„+, (а следовательно, и

2 М. Берже и др.

система однородных координат для £(£)), такой, что р(<е^ = т1 (i=l, ..., п + 1) и р (б! + ... + е„+1) = /п0.

Например, если dim (£(£)) = 2, то проективный репер образуют четыре точки х, у, z, t, для которых четыре тройки {х, у, z}, Vx, У- 0> {х> 2, 0 и {у, z, 0 проективно независимы. Однородными координатами этих четырех точек будут (1, 1, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1). '

Морфизмы, томографии, проективная группа

([В, 4.5])

По определению, морфизм из проективного пространства Р(£) в Р(Е')—это отображение / полученное факторизацией линейного отображения / векторного пространства Е в Е’. Важно отметить, что отображение / определено не на всем Р^, а только на дополнении Р(Е)\Р([~1 (0)) проективного пространства Р(Щ0)), определяемого ядром f-l(0) отображения f.

Гомография проективного пространства Р(Е) в Р(Е') — это морфизм, который получается из изоморфизма векторных пространств Е->Е', Гомографии проективного пространства Р(Е) на себя образуют группу, называемую проективной группой пространства Р^Е), которая обозначается GP(£). Это есть просто факторгруппа GL(£)/K*-IdE линейной группы GL(£) векторного пространства Е по (нормальной) подгруппе подобий K*-IdE.

Простой, но очень полезной теоремой является «первая основная теорема проективной геометрии». Пусть Р(Е) и £(£')— проективные пространства одинаковой конечной размерности и \mty {m'^ — проективные реперы соответственно в £ и Е'. Тогда существует только одна гомография g; Р (£)-> Р (Е'), переводящая mt в т' при каждом L «Вторая основная теорема проективной геометрии» есть просто проективная версия утверждения из 2.F (ср. [В, 5.4.8]).

В частности, GP(£) транзитивно действует (на самом деле просто транзитивно; см. 1.D) на множестве проективных реперов. Сравнивая это с аффинным случаем, заключаем, что проективные группы «больше» аффинных; для аффинной группы в размерности п мы можем задать образы только для п 4-1 точек, в то время как для проективной группы — для «4*2 точек.

Например, пусть D и D'—проективные прямые (сами по себе или как подпространства более широких проективных пространств); тогда существует точно одна гомография f: D-*D', переводящая любые три различные точки х, у, z из D соответственно в х', у', г' — любые три различные точки из D'.

По поводу четырех точек на прямой см. гл. 6, а относительно пяти точек на плоскости — задачу 6.4.

.F. Перспективы ([В, 4.7])

Перспективы определяются рисунком 4.F.I. Мы отправляемся от двух гиперплоскостей Н и Н' в Р(Е) и некоторой точки /и, не принадлежащей ни одной из них. Согласно 4.В, для любой точки

Рис. 4.F.I.Рис. 4.F.I.

Рис. 4.F.I.

Рис. 4.F.I.

Рис. 4.F.2.Рис. 4.F.2.

Рис. 4.F.2.

Рис. 4.F.2.

хеН существует единственная прямая <т, х) и эта прямая пересекает Н' в единственной точке §(хУ Перспектива из Н на Н' с центром в точке т определяется соответствием хн->^(х); это гомография.

Когда мы вернемся к аффинным пространствам (см. гл. 5), перспективы тоже будут существовать, но они определены не на

всей гиперплоскости Н; одну из ее гиперплоскостей нам придется исключить (рис. 4.F.2).

.G. Топология ([В, 4.3])

Если Р(Е)—конечномерное проективное пространство над полем R или .С, то оно обладает канонической топологией (фак- тортопологией исходного векторного пространства). Такие проективные пространства всегда компактны. Помимо отсутствия исключительных случаев, связанных с пересечениями, ■ компакт-

ность является еще одним преимуществом проективных пространств по сравнению с аффинными.

ЗАДАЧИ .

МОДЕЛЬ ДЛЯ F3(Z2) ([В, 4.9.9]). В обычном трехмерном пространстве найдите модель конфигурации, образованной точками, прямыми и плоскостями из P3(Z2). Сделайте рисунки.

ОРИЕНТИРУЕМОСТЬ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПРОЕКТИВНЫХ ПРОСТРАНСТВ (первый метод) ([В, 4.9.4]). Для вещественного проективного пространства конечной размерности п найдите знак якобиана для функций перехода n/^-b (у,уп^

। ? / »11 Л_°/-2°/у« "\

У/-1 ’ У/-1 ’ У/-1 У/-1 * У/-1

(определенных на R" \ ayj, (0)).

ОРИЕНТИРУЕМОСТЬ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПРОЕКТИВНЫХ ПРОСТРАНСТВ (второй метод) ([В, 4.9.5]). Путем изучения связности проективной группы GP(P"(R)) выясните, ориентируемо или нет пространство P^R).

ГИПЕРПЛОСКОСТИ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ ([В, 4.9.10]). Пусть {//,} — семейство гиперплоскостей проективного пространства Р(Е) конечной размерности п; найдите соотношение между dim(П Ht^ в Р(Е) и dim^U Ht^ в Р(Г).

ЧИСЛО ТОЧЕК И ПОДПРОСТРАНСТВ В ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ НАД КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ ([В, 4.9.11]). Пусть К — поле из к элементов и Р(Е)—проективное пространство размерности п над полем К. Покажите, что мощность множества р-мерных подпространств проективного пространства Р(Е) равна

Up+1 - 1) Up+1 - ft) ... (fep+1 - ap) '

Покажите, что порядок проективной группы GP(E) равен (F+I-1)(^п+1-^) ... (кп+1 - к”"1') кп.

ТЕТРАЭДРЫ МЕБИУСА ([В, 4.9.12 и 5.5.3]). Постройте в трехмерном проективном пространстве два тетраэдра (а, Ь, с, d) и {a', b', с', d'} так, чтобы каждая вершина первого принадлежала плоскости некоторой грани второго, и наоборот, каждая вершина второго принадлежала плоскости некоторой грани первого (т. е. аЕ(У, с', d'), ... и a' e<b, с, d), ...).

Постройте такие тетраэдры очень простым приемом: методом отправки в бесконечность как можно большего количества точек (ср. 5.D).

S'

Рис. 4.6.

Глава 5

АФФИННО-ПРОЕКТИВНЫЕ СВЯЗИ; ПРИЛОЖЕНИЯ

.А. Проективное пополнение аффинного пространства

([В, 5.1])

В начале гл 4. мы уже показали, почему необходимо выйти за рамки аффинных пространств, присоединив к ним бесконечно удаленные точки. Это возможно осуществить следующим образом. Вместе с аффинным пространством X мы рассматриваем соответствующее универсальное пространство X (ср. 3.D); оно является векторным пространством, а X вложено в него как аффинная гиперплоскость, направление которой есть гиперплоскость векторного пространства из X. Рассматривая теперь про- ективизацию X — Р (X), мы видим, что X является объединением двух непересекающихся множеств: множества, которое канонически отождествлено с X, и множества Р^Х), которое, будучи пространством прямых в X, в то же время является пространством направлений прямых в X. Мы обозначим последнее множество оох = Р(Х). Таким образом, мы пишем X = X U оох и называем оод гиперплоскостью бесконечно удаленных точек или бесконечно удаленной гиперплоскостью. Наиболее важен случай X = К; тогда оол = оо состоит из единственной бесконечно удаленной точки в К и K = KU°o. Это применимо и к случаю K=R: вещественная прямая имеет два «конца», однако R имеет только одну бесконечно удаленную точку. Аналогично, если X = D— аффинная прямая, то ooD— единственная бесконечно удаленная точка прямой D.

От проективных пространств к аффинным

Рассмотрим обратную ситуацию. Пусть Р(Н)—гиперплоскость в проективном пространстве Р(5); тогда дополнение Р(Еу\Р(Щ обладает естественной аффинной структурой, и проективным пополнением полученного так аффинного пространства будет, конечно же, само Р^Е).

Более удобный, хотя и менее «естественный» подход для проведения вычислений обеспечивается использованием координат. Возьмем точку х, описываемую набором чисел (xi, ..., Хп) относительно аффинного репера в n-мерном аффинном простран-

стве X, и вложим X в проективное пространство РП(К) при помощи отображения

U„ ..., х„)н-*р((1, хь ..., х„)).

Для осуществления обратного перехода определим отображение S-> Rn->-X, где S— подмножество пространства Р^К), для которого х0 не обращается в нуль:

Р^о, х„ \/

.С. Соответствие между подпространствами

([В, 5.3])

Пусть ¥— аффинное подпространство в Х\ тогда пополнение ¥ подпространства ¥ естественным образом вложено в X, и мы имеем У = У U оо/, где в действительности оо/ = оо, Q Р — проективное подпространство пространства оо^ (именно, оог = = Р(У)). Два подпространства У и Z параллельны тогда и только тогда, когда oor = ooz.

.D. Метод отправки точек в бесконечность и обратный переход ([В, 5.4])

Используя рассмотренное в 5.А и 5.В, можно применить к аффинным пространствам следующую, часто весьма удобную,

Рис. 5.D.I.

процедуру. Рассмотрим в качестве примера произвольную прямую D на аффинной плоскости X; начнем с построения пополнения X плоскости X. Тогда дополнение X' = X\D есть аффинное пространство, содержащее все точки множества Х\О, но теперь точки прямой D оказываются бесконечно удаленными по отношению к этому подпространству. Например, если Е, F — две

прямые на X, пересекающиеся в точке, лежащей на прямой D, то их образы Е' и Р' в пространстве X' параллельны.

Используя такой прием, мы для начала можем доказать вторую основную теорему проективной геометрии (см. 4.Е, [В, 5.4.8]). Затем мы можем доказать теоремы Паппа и Де- зарга, рассматривая аффинные случаи, содержащие наибольшее число параллельных (см. [В, 5.4]). Здесь мы приведем аффинные варианты этих теорем (проективные варианты — проще).

Теорема Паппа. Пусть X— аффинная плоскость, D и D'— две различные прямые на X и а, Ь, с, а', Ь', с* — шесть различных точек, таких, что a, b, c^D\(D[]D') и a', b', c'^D'^ Х(ОП£>'). Тогда если все три точки <а, b'>(A<a', b), <b, с'> П П <Ь\ с>, <с, а'> П <с', а> существуют, то они лежат на одной прямой.

Теорема Дезарга. Пусть s, а, Ь, с, а', Ь', с' — точки в аффин- ном пространстве, такие, что s, а, а' ^соотв. s, b, Ь' и s, с, с').

лежат на одной прямой. Тогда если три точки <а, Ь^Г^а', Ь'), (Ь, с} f| <6', с''), <с, a) f| <с', а'> существуют, то они лежат на одной прямой.

ЗАДАЧИ

ТЕОРЕМА ПАППА ДЛЯ СЛУЧАЯ, КОГДА НЕКОТОРЫЕ ПРЯ« МЫЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ ([В, 5.5.2]). Сделайте соответствующий чертеж, иллюстрирующий теорему Паппа (см. 5.D) для случая, когда среди рассматриваемых точек есть бесконечно удаленные.

точки, лежащие за пределами вашего чертежного ЛИСТА; НЕДОСТАТОЧНО ДЛИННАЯ ЛИНЕЙКА ([В, 5.5.4 и 5.5.5]). Предположим, что вам дан листок бумаги с одной отмеченной точкой и двумя отрезками прямых, пересекающихся за пределами вашего листа. Используя только линейку, проведите прямую, соединяющую данную точку с точкой пересечения данных прямых.

Теперь предположим, что даны две точки, но ваша линейка слишком коротка, чтобы провести через них прямую. Постройте прямую, проходящую через эти две точки.

ГЕКСАГОНАЛЬНЫЕ ТКАНИ ([В, 5.5.8 и 5.5.9]). Мы определим ткань на вещественной аффинной плоскости Р как совокупность следующих данных: открытое множество А в Р и для каждой точки аеА три различные прямые d,(a) (i=l, 2, 3) в Р, проходящие через точку а и непрерывно зависящие от а. Покажите, что для достаточно близкой к а точки b на прямой di(a) можно определить шесть точек (6z)z-I6 следующим об

разом:

6i = da W П d2(a), b2 = d{ (b^ Пd3(а), b3 = d2(b2) Q dx (я),

64 = ^з(6з)П^2(а)> b5 = dx (b^ П d3 (а), b6 = d-^ (\ dx(a).

Говорят, что ткань гексагональна (или шестиугольна), если be = b для всех достаточно близких точек а и Ь. Пусть

Рис. 5.3.1.

(^\-i, 2, з— ТРИ точки на плоскости Р, не лежащие на одной прямой, и пусть А — дополнение к объединению трех прямых, соединяющих каждую пару точек рг. Определим ткань, полагая cft(a)=<a, р(> для каждой точки аеА. Покажите, что так построенная ткань гексагональна.

Более общо, рассмотрим некоторую кривую второго порядка (конику) С и некоторую не лежащую на ней точку р. Для любой точки х из дополнения к множеству С U р построим две касательные из точки х к кривой С и прямую хр. Покажите, что так построенная ткань гексагональна.

Глава 6•■

ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЯМЫЕ, ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ, ГОМОГРАФИИ

.А. Двойное отношение ([В, 6.1—6.3])

Рассмотрим проективную прямую (саму по себе либо внутри некоторого проективного пространства); тогда для любых различных четырех точек (а/)[=1 2 3 4 на этой прямой можно ввести скалярную величину, которую мы обозначим [cz,] = [czi, cz2, <23, cz4] н будем называть двойным отношением этих четырех точек. Двойное отношение для точек на аффинной прямой должно, по определению, совпадать с их двойным отношением на пополнении 5 = Ди°°о (см- 5.А).

Двойное отношение является проективным инвариантом в том смысле, что если (сц)^ 2 3 4 (соотв. (aOi_i 2 з 4) — четыре точки на прямой D (соотв. на прямой D'), то существование гомографии f; Dv-»D', переводящей точки at в а^, 1= 1, 2, 3, 4, эквивалентно равенству [а(] = |а^|. частности, двойное отношение инвариантно относительно гомографий.

Существует несколько эквивалентных способов определения двойного отношения. При первом полагают [a, b, с, d] = f(d), где /(d)—элемент поля К, единственным образом определяемый гомографией /: D -» К = KU <х> (см. 5.А и 4.Е), которая удовлетворяет условиям /(а) = оо, /(Ь) = 0 и /(с)=1.

При втором способе для D = D'\Jood, где D' — аффинная прямая, полагаем

[а, Ь, с, d] = ^^ ; в частности, [a, b, с, ooD] = ca/cb. da/db

Следующие три соотношения описывают поведение двойного отношения при перестановках выбранных четырех точек:

[а, Ь, с, d] = tb, а, с, d]-1 = [a, b, d, с]"1,

[а, Ь, с, d] + [а, с, b, d] = 1.

Гармоническое отношение ([В, 6.4])

(Мы предполагаем, что характеристика поля 5^2.) Особый и очень важный случай возникает, когда [а, b, с, d] =—1. Отметим, что тогда и [Ь, а, с, d] = [a, b, d, с] = [с, d, а, Ь] = — 1;

в таком случае мы говорим, что две пары точек {а, 6} и (с, d} находятся в гармоническом отношении и что а и b гармонически сопряжены по отношению к с и d.

Например, [а, b, с, ooD] =—1 эквивалентно тому, что с = = (а4-Ь)/2, т. е. точка с — середина отрезка с концами а и Ь. Используя этот факт, можно получить свойство полного четырехугольника; для любых четырех точек a, b, с, d на плоскости (аффинной или проективной) имеем [а, с, у, 6] = —1 для точек, изображенных на приведенном рисунке.

Для доказательства отправляем точки а и б в бесконечность (см. 5.D). Мы получаем параллелограмм, диагонали которого, как известно, делятся в точке пересечения пополам.

.С. Двойственность ([В, 6.5])

Используя идеи из 4.В, рассмотрим в проективном пространстве Р(Е) четыре гиперплоскости Н, (/=1, 2, 3, 4), принадлежащие одному пучку, и пусть прямая D в Р(£) не пересекает подпространство коразмерности 2, определяемое этим пучком. Тогда двойное отношение [Я(] четырех точек на проективной прямой в Р^Е*), порождающей этот пучок, удовлетворяет соотношению

[^] = [дгП0].

Выведем теперь следующий полезный результат. Пусть пг, пг'— две точки на проективной плоскости, m*, пг'*— порожденные ими пучки прямых (см. 4.В). Пусть f: пг*-> пг'*— гомография, переводящая прямую (,т, пг'} в <т', /и). Тогда для всех прямых D из пучка пг* соответствующие точки пересечения DV\HD^ описывают прямую линию. В случае когда Ц<т, т'»^' ^ {т', пг}, точки D f| f(D) описывают некоторое коническое сечение; см. 16.С.

Двойственное утверждение состоит в следующем. Пусть две точки пг, т’ пробегают соответственно прямые D и D' на проек-

тивной плоскости, причем так, что отображение т*—*т' есть томография, сохраняющая точку OQD'. Тогда каждая прямая <т, т') проходит через некоторую неподвижную точку,

.D. Гомографии проективной прямой

([В, 6.6, 6.7])

Мы хотим изучить элементы проективной группы (томографии) произвольной проективной прямой, которая, по существу, есть А* =/CU оо. Выбрав некоторую карту, такую гомографию можно представить в виде

az + Вп„

ZH^^7+T’ где а» Р’ V. SeK, если принять соглашение

f(oo) = a/y н /(—д/у) = оо

^где у 0; для у = 0 полагаем ^(00)= оо).

Если поле К алгебраически замкнуто, то можно изучать гомографию / при помощи ее неподвижных точек. Когда такая

точка только одна, мы отправляем ее в бесконечность; тогда гомография f есть параллельный перенос аффинной прямой, которая получается из нашей прямой отбрасыванием бесконечно удаленной точки. В противном случае пусть а, Ь— две различные неподвижные точки; тогда для f имеем [a, b, т, f(m)] = = const при любом выборе точки т.

Это постоянное значение равно Л/р, где Л и р — два собственных значения матрицы отображения f, имеющей вид

Инволюция проективной прямой — это, по определению, гомо-, графия, квадрат которой есть тождественное отображение, но сама она отлична от тождественного отображения. Аналитическое условие такой гомографии имеет вид

' 1г(Л) = а + д = 0.

Любая инволюция определяется своими значениями в двух точках. Всякая гомография является произведением не более чем трех инволюций. Если К алгебраически замкнуто и а, Ь — две неподвижные точки некоторой инволюции, то [a, b, т, f(m)] = =—1 для любой точкй m (см. З.В).

ЗАДАЧИ

СВЯЗЬ МЕЖДУ ДВОЙНЫМИ ОТНОШЕНИЯМИ для ПЯТИ ТОЧЕК ([В, 6.8.1]). Пусть х, у, г, и, и — пять точек на одной проективной прямой. Покажите, что всегда

[х, у, и, v][y, 2, и, v][z, X, и, ц] = 1.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ РИККАТИ ([В, 6.8.12]). Пусть a, b, с: [а, 0] —> R — непрерывные функции. Рассмотрим дифференциальное уравнение (называемое уравнением Риккати) у'(t)=a(t)z/2+b(t)z/+c(O• Покажите, что если yt (i=l,2, 3,4) — четыре решения этого уравнения, то двойное отношение [z/;(t)]] не зависит от t.

ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ТЕТРАЭДРЕ ([В, 6.8.21]). Пусть Т — тетраэдр в трехмерном проективном пространстве и D — некоторая прямая. Покажите, что двойное отношение четырех точек пересечения прямой D с гранями тетраэдра Т равно двойному отношению четырех плоскостей, проходящих через D и вершины тетраэдра Т.

ПЯТИТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА НА ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ ([В, 6.8.17]). Пусть (яД=1>ф„ 5 — точки на проективной плоскости, и первые четыре из них образуют проективный репер.

Обозначим dij прямую <ai, а^, Покажите, что всегда

1^12» ^13» d\4> ^15] [^23» ^211 ^24i ^2sl №1» ^32> ^34, ^Зб] = Ь

Покажите, что для того, чтобы существовала гомография, переводящая точки (а^^в в другие точки (a{)i=15,необхо

димо и достаточно, чтобы

[^12* ^13’ ^14» ^1б] = [^12» ^13’ ^14’ ^15]

И

[^23’ ^21» ^24’ ^2з] ™ [^23’ ^21> ^24’ ^2з]>

где мы обозначили d'z = ^, а^. Дайте обобщение на случай произвольного конечномерного проективного пространства.

СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА ГОМОГРАФИИ ([В, 6.8.7]). Пусть

а р\ У 6 /а р\ У 6 //—гомография, обладающая двумя различными неподвижными точками а, Ь; покажите, что пара (А, 1/6}, где к=\а, Ь, т, ЦтН при любом т, зависит только от выбора гомографии f и не зависит от порядка точек а и Ь. Пусть отображению / соответ

а р\ У 6 /

а р\ У 6 /

ствует матрицаМ =ствует матрицаМ =ляются корнями уравненияляются корнями уравненияПокажите, что числа {А, 1/6} яв

ствует матрицаМ =

ствует матрицаМ =

ляются корнями уравнения

ляются корнями уравнения

(ад - Ру) А2 - (а2 + 2ру + 62) к + (ад - Ру) = 0.

КЛАССИФИКАЦИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ГОМОГРАФИЙ ([В, 6.8.8]). Пусть исходные данные те же, что и в задаче 6.5, но, кроме того, К = С. Гомографию / называют эллиптической, если комплексное число к или (1/к) равно по модулю 1, гиперболической, если к — положительное вещественное число, и локсодромической в остальных случаях. Покажите, что если M(f) нормировать условием ад — Ру = 1, то эти три случая можно охарактеризовать при помощи «следа» / отображения {, определяемого выражением / = а + д:

/ эллиптическая of вещественно и |/|<2;

/ гиперболическая ■<=>/ вещественно и | / J > 2;

f локсодромическая ■<=>/ не вещественно.

Изучите природу итераций /" (neZ) для каждого из трех указанных случаев.'

Глава 7

КОМПЛЕКСИФИКАЦИЯ

Здесь мы рассматриваем только явные (не внутренние) комплексификации различных объектов; о внутренних комплек- сификациях см. [В, гл. 7]. Объектами, подлежащими комплексификации, будут векторные, аффинные и проективные пространства; при этом будут сохраняться операции векторизации и про- ективизации аффинных пространств.

Необходимо также уметь возвращаться обратно от комплексного к вещественному случаю; это можно сделать корректно лишь тогда, когда вместе с комплексификацией рассматривается сопряжение, как для обычных комплексных чисел. Подмножество ком.плексифицированного пространства только тогда можно перенести в вещественный случай, когда оно инвариантно при сопряжении..

В этой главе мы не будем касаться морфизмов между рассматриваемыми объектами, но и они могут быть без труда ком- плексифицированы. Можно комплексифицировать и многочлены.

7А. Комплексификация векторного пространства

([В, 7.1-7.4])'

Пусть Е — вещественное векторное пространство. Комплексификация векторного пространства Е, обозначаемая Ес, это комплексное векторное пространство, содержащее Е и такое, что Ес = Е Ф IE (где i — ^—1). Каждое zgEc записывается в виде х + iy, где х, у ^Е. Например, для заданного базиса в Е можно рассмотреть вложение (xi, .... xn)t—>(Х] хл) векторного пространства Е в С”, где х,- в правой части — комплексные числа..■

Очень важно ввести в Ес сопряжение а (а не является комплексным автоморфизмом, так как оно только полулинейно), определяемое как n(x+it/)s=x—iy. Всякое подпространство F векторного пространства Е имеет комплексификацию Fc в Ес, которая является комплексным векторным подпространством. С другой стороны, комплексное векторное подпространство Z в Ес является комплексификацией Ес для некоторого F тогда и только тогда, когда a(Z) = Z, и в этом случае Z = Fc для F — = Ef\Z.

Используя перечисленные замечания, легко показать, что всякий эндоморфизм конечномерного вещественного векторного пространства оставляет инвариантной прямую или плоскость.

7.В. Комплексификация проективного пространства

([В, 7.5])

Это теперь легко сделать: мы определяем комплексификацию проективного пространства Р(Е) как Р(ЕС) и обозначаем ее (Р(£))с. Это комплексное проективное пространство, содержащее Р(Е). Сопряжение, по-прежнему обозначаемое а, получается при помощи сопряжения в Ес с последующей факторизацией. Проективное подпространство SC пространства Р(ЕС) есть комплексификация некоторого проективного подпространства из Р(Е) тогда и только тогда, когда о(Ж) = Ж, и тогда 2£ = = (£(]Р(Е))С.

7.С. Комплексификация аффинного пространства

([В, 7.6])

Это более тонкая операция. Пусть X — аффинное пространство; один из способов его комплексификации заключается в том, чтобы векторизовать X (см. 2.А), а затем применить 7.А, получив в результате комплексное векторное пространство Xе, которое порождает комплексное аффинное пространство (см. 2.А). При этом мы получим и сопряжение а, которое характеризует комплексные аффинные подпространства в Xе, являющиеся комплексификацией аффинных подпространств из X, точно так же как в 7.А и 7.В. Отметим также, что(А)с — (Xе).

7.D. Резюме ([В, 7.6])

Суммируя вышеизложенное, мы получаем способ комплексификации проективного пополнения вещественного аффинного пространства X, при котором Х = XU °°х = AU Р^Х) (см. 5.А). Мы находим пространство (Х)С = (ХС)~, которое можно представить в виде Хс = Хси°°х, где оо£ = (Р (Х))с = Р ((Х)с). Отображение сопряжения о на Xе совпадает с объединением сопряжений на Xе и на оо£.

Аналитически мы исходим из «-мерного вещественного аффинного пространства X, затем выбираем аффинный репер, в котором имеем х = (хь ..., хп) для хеХ, и вкладываем X в «-мерное комплексное проективное пространство РЛ(С) при помощи отображения'

Ub ..., х„)н-^р((1, х„ ..., хп)),

где 1, xj, ..., х„ рассматриваются как комплексные числа. Сопряжение в Р"(С) задается равенством

окр^о. гь .zn^ = pkkzQ) zxzn^.

Точки из оо^ при этом имеют вид р((0, z,, ..., z^.

Пример возвращения к вещественному случаю. Предположим, что мы получили после комплексификации четыре точки а, Ь, с, d в оос (другими словами, направления комплексных прямых в Xе), которые переставляются при сопряжении о (но ни одна из них не остается неподвижной). Тогда мы утверждаем, что среди шести прямых, соединяющих эти точки попарно, только две принадлежат к прямым из оох. Действительно, мы можем представить наши четыре точки как а, о (а), Ь, а (6), и тогда этими двумя прямыми будут <а, а(а)>, <Ь, о(Ь)),

Типичными примерами применения развитой выше техники комплексификации являются Построение круговых точек в евклидовом пространстве и приложения этой конструкции. См., к примеру, 8.Н, 9.D, 17.С и задачу 16.3.

ЗАДАЧИ

ЕСТЕСТВЕННАЯ КОМПЛЕКСИФИКАЦИЯ ([В, 7.7.5]). Покажите, что множество Нотк(С; Е) всех R- линейных отображений из Ci в вещественное векторное пространство Е, является естественной комплексификацией векторного пространства Et

Глава 8

ЕЩЕ ОБ ЕВКЛИДОВЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

8.А. Определения ([В, 8.1])

Евклидово векторное пространство Е — это вещественное конечномерное векторное пространство (размерность которого всегда будем обозначать п), наделенное положительно определенной симметричной билинейной формой ф (т. е. ф(х, х) > О при всех х¥=0). Мы записываем ф(х, у) в виде (х|у) и называем это число скалярным произведением (или внутренним произведением) векторов х и у. Число

11*0 = Уф(х, х) называется нормой вектора х. Два вектора х и у называются ортогональными, если (х|у) = 0.

Всегда выполняется неравенство | (х|у) | ^ l|x||||t/IL и введение функции расстояния d(x, z/)=||x— </|| превращает Е в метрическое пространство, которое будет изучено в гл. 9. Подмножество {е,}(=1р называется ортонормированным, если ||е/||=1 для каждого I и (у/|е;) = 0 для любых i=# /.

Линейные автоморфизмы f евклидова пространства Е, сохраняющие евклидову структуру, т. е. такие, для которых ,(/(*) И (!/)) = (*!*/) Для всех х и у, называются (векторными) изометриями. Они образуют ортогональную группу, действующую на Е и обозначаемую 0(E). Элементы из О+(Е) = О(Е')П П GL+(£) = {f е 0(E): detf>0} (см. 2.G) называются вращениями. Для того чтобы / принадлежало 0(E), необходимо и достаточно, чтобы относительно некоторого ортонормированного базиса его матрица А удовлетворяла условию ‘АА = 1, где ‘А — транспонированная матрица кА.

Стандартным примером евклидова пространства является R", наделенное скалярным произведением ((xi, ..., хп) | (^1уп)) = У, х{у{. Любое евклидово пространство размер

ности п изоморфно R"

Двойственность и ортогональность ([В, 8.1])

Мы говорим, что подмножества А, В в Е ортогональны, если №) = 0 для любых а е А и b еВ, Для изучения такого отношения ортогональности удобно ввести канонический изомор-

физм х н-»(у!—* UI у)} между Е и Двойственным к нему Е*. В самом деле, тогда евклидова ортогональность идентична ортогональности между подмножествами из Е и Е* при естественном спаривании.

К примеру, мы обозначим через AL ортогональное дополнение к подмножеству А и определим его как Д1 —(хеД: (х|ц) = = 0 УаеД]. Это множество будет векторным подпространством в Е, и для векторных подпространств А и В из Е всегда выполняются следующие соотношения:

(Дг^ — Д, ДеД1=£,'

(Д + S)1 = Д1 П S1, (ДЛ^^Л^ + В1.

Говорят, что прямая сумма Е=А®В ортогональна, если В=Д<

.С. Отражения ([В, 8.2])

Все инволюции из 0(f) имеют вид f = Ids — Idr, где Е = = 5®Т— ортогональная прямая сумма (см. 2.D и 8.В). Поскольку Т однозначно определяется по S, мы говорим, что f — [ортогональное) отражение, или [зеркальная) симметрия, относительно S.

Любой элемент feO(f) представляется в виде композиции не более чем п отражений относительно гиперплоскостей, и при л ^ 3 каждое feO+(E) является произведением не более п отражений коразмерности 2.

.D. Строение группы 0(E) в случае л = 2

([В, 8.3])

В этом случае каждый элемент из О~(Е) = {/ е 0(E): detf < 0} является отражением относительно некоторой прямой. Более того, О+(Е) коммутативна и состоит из отображений /, матрица которых (в некотором ортонормированном базисе) имеет вид

(

cos 9 — sin6\

sin 9 cos 9 / ’

где 9 — вещественное число («угол» отображения /), определенное с точностью до элемента из 2nZ, при условии, что на Е выбрана некоторая ориентация.

Строение элемента из 0(E) ([В, 8.4])

Для каждого элемента / е 0(E) имеется разложение в ортогональную прямую сумму Е = /+ Ф I- Ф Ri Ф ... Ф Rr, удовлетворяющее следующим условиям:

6363Еше об евклидовых векторных пространствах

63

63

(i) f оставляет инвариантным каждое слагаемое в разложении;

(И) f = Id на /+ и f = —Id на 1_;

(ш) каждое Ri двумерно, и матрица отображения f на каждом Ri имеет вид

cos 9; —sin9z

sin 9Z cos 9Z

Этот результат можно доказать с использованием 8.D и того факта, что каждый элемент feOff) оставляет инвариантной некоторую прямую или плоскость в Е (см. 7.А или задачу 8.2).

Пример. В размерности 3 любое вращение есть вращение вокруг ^неподвижной) прямой в Е, т. е. задается матрицей вида cos 9 —sin 9 О sin 9 cos 9 О

О 01

С другой стороны, в размерности 4 матрица вида

/ cos 9— sin900 х

I sin 9cos 9 ОО I

I 00cosт}— sin т} I

х 00sinт}cos г] /

определяет вращение, не имеющее неподвижных точек (кроме начала координат), если cos 9 =# 1, cosr}=/= Г.

8.F. Углы и ориентированные углы.

([В, 8.6, 8.7])

Пусть Д, Д' — две ориентированные прямые (или полупрямые, т. е. лучи); тогда угол между ними, обозначаемый ДД', есть вещественное число из интервала [0, л], определяемое формулой

(х I х') cos (ДД )-— ||X||HV||-

для любых хе Д, х' е Д', отличных от пуля.

Если D и D' — две прямые, то угол DD' между ними — это число из интервала [0, л/2], определяемое формулой

для любых ХЕЙ, х' е D', отличных от нуля.

Для прямых и ориентированных прямых на плоскости можно Дать более тонкое определение. Это возможно благодаря тому,

/ (д) f (д') = дд',^f (A)f (A^) = — АА', ДД' + Д'Д" = ДД"АА' = А^/ (д) f (д') = дд',^f (A)f (A^) = — АА', ДД' + Д'Д" = ДД"АА' = А^Биссектрисы двух прямыхБиссектрисы двух прямыхнятие ориентированного угла приведенным выше условиям.нятие ориентированного угла приведенным выше условиям.

/ (д) f (д') = дд',

^f (A)f (A^) = — АА', ДД' + Д'Д" = ДД"

АА' = А^

/ (д) f (д') = дд',

^f (A)f (A^) = — АА', ДД' + Д'Д" = ДД"

АА' = А^

Биссектрисы двух прямых

Биссектрисы двух прямых

нятие ориентированного угла приведенным выше условиям.

нятие ориентированного угла приведенным выше условиям.

что в этом случае группа О+(Е) коммутативна (см. 8.D). Ориентированный угол между двумя ориентированными прямыми Д, Д', обозначаемый ДД', — это элемент из О+(Е) (который переводит Д в Д'). Группу ориентированных углов будем обозначать U(E), а групповую операцию — знаком «+». Поскольку на Е тоже есть ориентация, мы можем отождествить О+(Е), а следовательно, и U (Е) с мультипликативной группой U комплексных чисел с модулем 1; последняя в свою очередь может быть отождествлена с R/2nZ посредством комплексного экспоненциального отображения.

Ориентированные углы обладают следующими свойствами:

когда f — вращение;

когда f — отражение;

для любых А, А', А"; эквивалентно АА, = A'A{.

Д, Д' — это ориентированные при

мые 2, такие, чтоД2 = 2Д'; их ровно две: S и —2.

Для неориентированных прямых тоже можно определить по-

DD', удовлетворяющего четырем Соответствующая группа обозначается U (Е). В этом случае прямые S, такие, что DS = SD', тоже называются биссектрисами прямых D и D'; их снова две, но они ортогональны. Это более тонкое понятие угла будет играть существенную роль в гл. 10; см. 10.D, задачи 10.3 и 10.7.

8.G. Подобия ([В, 8.8])

Подобия — это элементы группы GL(E), являющиеся произведением изометрии и

векторной гомотетии; группа подобий обозначается GO(E). Мы положим GO+(E) = GO(E)f| f)GL+(E); это группа подобий, сохраняющих ориентацию.

Имеется много эквивалентных определений подобия. Существенно, что подобия — линейные отображения, сохраняющие от-

Еше об евклидовых векторных пространствах 55 ношения длин, т. е, такие отображения f, что существует вещественное (1 со свойством ||/(х)|| = р.||х|| для любого х. Верно также, что / — подобие тогда и только тогда, когда оно переводит любые две ортогональные прямые в ортогональные. И конечно же, подобие сохраняет углы между прямыми или ориентированными прямыми.

8.Н. Изотропный конус, изотропные прямые,

формула Лагерра ([В, 8.8])

Понятие комплексификации (гл. 7) позволяет нам получить некоторые приятные и полезные результаты, касающиеся подобий. Пусть N: х н-* || х |р = <р (х, х) — квадратичная форма, определяющая евклидову структуру на Е. Пусть Ес и Nc; Ес-*-С".— комплексификации для Е и N; рассмотрим ядро (Мс)-1(0) (отметим, что оно инвариантно относительно сопряжения о; см. гл. 7). Это ядро представляет собой конус, называемый изотропным конусом пространства Е (хотя он находится в Ес, а не в Е).

Если, в частности, Е — плоскость, то изотропный конус со-, стоит из двух прямых /, /, называемых изотропными прямыми плоскости Е (и снова эти прямые находятся в Ёсу, для них °У) = Ё Отметим, что /, J образуют пару, ни один элемент которой априори не выделен. С другой стороны, если Е ориентировано, то мы можем взять в качестве I прямую, угловой коэф- фнциент которой в ортонормированном базисе равен 1 = ^—1.

Подобия в евклидовом пространстве Е можно охарактеризовать как линейные автоморфизмы, которые оставляют инвариантным изотропный конус. В случае плоскости feGO+(£) тогда и только тогда, когда fc^I)—I (что автоматически влечет /с (/) = /), и /еСО~(£) тогда и только тогда, когда /(/) = /.

Для двух заданных прямых D и D' на евклидовой плоскости Е мы можем рассмотреть двойное отношение четырех прямых Dc, D'c, 1, J в Ес (см. 6. А). Формула Лагерра устанавливает связь между этим двойным отношением и углом DD';

ОО' = ^\\о^№, D'c, I, J]) |.

К примеру, ортогональность прямых D, D' эквивалентна гармоническому сопряжению [Dc, D'c, I, J] = —1; см. 17.С.

Для ориентированного угла DD' между D и D' имеется более тонкая формула Лагерра. Согласно ей, [Дс, D'c, I, J] = e2it, где t — некоторая мера угла DD'. Вместе с 6.D это показывает, что условие «угол DD' постоянный» может быть интерпретировано как высказывание: «D' может быть получена из D при помощи некоторой гомографии».

Кватернионы и вращения .

Учитывая ограниченный объем книги, мы лишь упомянем здесь для полноты изложения, что хороший путь изучения О+(3) и 0^(4) обеспечивают кватернионы (см. [В, 8.9]).

.J. Ориентация, векторные произведения, определитель Грама ([В, 8.11])-

В этом разделе мы рассмотрим ориентированное п-мерное евклидово векторное пространство. Такое пространство обладает канонической формой объема Хе, определяемой следующими условиями: это внешняя n-форма (т. е. знакопеременная мульти- линейная n-форма), и ее значение Хе^е„) на любом положительном ортонормированном базисе ех, ..., еп равно 1. В случае п = 3 эту форму называют также смешанным произведением и обозначают просто Хе(х, у, z) — (x, у, г).

Векторное произведение п — 1 векторов хх, ..., хп_х вЕ — это вектор X] Л ... Лх„_1 в Е, определяемый соотношением

U16 ... б хп_х |у) = Л£(хь ..., хп_х, у) ЧуеЕ.

Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы xt линейно зависимы; оно ортогонально всем хи и если хх, ..., хп_х линейно независимы, то векторы хх, ..., хл-ь X] Л ... лхл_1 образуют положительный базис. И наконец,

II х, Л ... л хл_] ||2= Gram (хь ..., хп_х\

где Gram(xi, ..., хр) обозначает определитель Грама набора векторов {х,}:

IIX, II2 (х, I х2) ... (х. I XD)

Gram(x!хр) = det ((х, | х,))Gram(x!хр) = det ((х, | х,))(х2|х,)||х2||2 ... (х2|хр)

Gram(x!хр) = det ((х, | х,))

Gram(x!хр) = det ((х, | х,))

UplxJ (хр|х2) ... ||Хр|Р

заключение отметим соотношение, очень полезное при вычис

лении объемов: Gram(xixn) = (X£(xixn))2.

ЗАДАЧИ

НЕПРИВОДИМАЯ ГРУППА МОЖЕТ СОХРАНЯТЬ НЕ БОЛЕЕ ОДНОЙ ЕВКЛИДОВОЙ СТРУКТУРЫ ([В, 8.12.1]). Пусть Е — конечномерное вещественное векторное пространство, ср и ф— две евклидовы структуры на Е и GcGL(£)— подгруппа линейной группы преобразований векторного пространства Е. Покажите,

что если группа G неприводима (см. [В, 8.12.2]) и GaO(E, ф) П pOff, ф) (т. е. все элементы группы G оставляют ф и ф инвариантными, см. 13.Е), то ф и ф пропорциональны.

ВЕКТОРНАЯ ИЗОМЕТРИЯ ВСЕГДА ОБЛАДАЕТ ИНВАРИАНТНОЙ ПРЯМОЙ ИЛИ ПЛОСКОСТЬЮ ([В, 8.12.2]). Чтобы доказать, что любое отображение feO^E) всегда оставляет некоторую прямую или плоскость инвариантной, рассмотрим какой-нибудь элемент хе 5(B), для которого ||f(x)— х|| минимальна. Покажите, что х, f(x), Щх) лежат в одной плоскости.

ДЕЛЕНИЕ УГЛА НА П РАВНЫХ ЧАСТЕЙ^ ([В, 8.12,7]). Покажите, что для всех «е№ и каждого аеХЦЕ) уравнение пх = а имеет ровно п решений в U(E). Изобразите эти решения на окружности для некоторых значений а и /г = 2, 3, 4, 5.

ПОСТРОЕНИЕ ТРЕХ ПРЯМЫХ ПО ЗАДАННЫМ БИССЕКТРИСАМ ([В, 8.12.10]). Мы называем биссектрисой двух прямых Л и В в евклидовом пространстве любую биссектрису прямых Л и В на плоскости, порожденной этими двумя прямыми (см. 8.F).

■ Пусть S, Т, U — три прямые в трехмерном евклидовом векторном пространстве. Найдите три прямые Л, В, С, такие, что 5 — биссектриса прямых Л и В, прямая Т — биссектриса прямых В и С, a U — биссектриса прямых С и Л. Исследуйте возможность обобщения этой задачи: заменяя прямую лучом, рассматривая более чем три прямые или рассматривая пространства более высокой размерности.

АВТОМОРФИЗМЫ ТЕЛА Н ([В, 8.12.11]). Покажите, что все автоморфизмы Н имеют вид а 91 (а) + Р (^ (а)), гДе реО+(3).

ВЕКТОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ В R3 ([В, 8.12.9]). Пусть а, 6, с — любые три вектора в R3. Докажите следующие формулы:

а А (Ь л с) = (а 1 с) Ь — {а 16) с, (1)

(а А 6, а А с, 6лс) = (а, Ь, с)2, (2)

(а л Ь) л (а л с) = (а, Ь, с) а. (3)

Покажите, что R3, наделенное операциями сложения и векторного умножения, есть антикоммутативная алгебра, которая, не будучи ассоциативной, удовлетворяет тождеству Якоби

а Л (6 Л с) + b Л (с Л а) + с Л (а Л Ь) = 0.

(Такая алгебра называется алгеброй Ли.

Пусть р, q, г обозначают проекции на координатные плоскости в R3. Покажите, что

Аал 6[]2 = Gram (р (a), р(Ь)) + Gram(^ (а), 7(6)) + Gram(r (а), г (6)).

Дайте геометрическую интерпретацию этого результата (см. определение определителя Грама в 8.J).

Исследуйте уравнение xNa = b (при заданных а и Ь); выясните, существует ли решение и единственно ли оно.

Рис. 8.6.

ЕВКЛИДОВЫ АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

.А. Определения ([В, 9.1])

Рассмотрим вещественное аффинное пространство X конечной размерности (которую мы всегда обозначаем п), такое, что порождающее его векторное пространство X (см. 2.А) снабжено евклидовой структурой; в этом случае мы говорим, что X — евклидово аффинное пространство. Стандартным примером является R", рассматриваемое как аффинное пространство.

На X можно ввести структуру метрического пространства, взяв в качестве функции расстояния d(x, у) ='(ху [], или сокращенно d(x, у) = ху. Неравенство треугольника является стро- гим^т. е. если xz = ху + yz, то у принадлежит отрезку [х, z]' (см. З.С). Евклидово аффинное пространство имеет каноническую топологическую структуру (см. 2.G), в которой компактными множествами являются замкнутые множества, ограниченные в метрике d.

Группа изометрий пространства X, т. е. таких биекций X иа себя, что f(x)f(y)—xy для любых х, у из X, обозначается Is(X). Имеет место следующее важное обстоятельство: любая изометрия с необходимостью является аффинным отображением, или, точнее,

Is(X) = {f eGA(A) и fe 0(f)} (см. 2.В). -

Далее, можно определить (см. 2.G) Is^X^ Is(X)f| GA^X); элементы иэ Is+(X) называются (собственными) движениями, а элементы из Is~(X)—несобственными движениями (или антидвижениями).

Подпространства ([В, 9.2])

Согласно 2.D и 8.С инволютивные изометрии евклидова аффинного пространства суть в точности (ортогональные) отражения (зеркальные симметрии) относительно (аффинных) подпространств из X. При этом, в противоположность случаю векторных пространств, подпространство S не имеет однозначно определенного ортогонального дополнения. Действительно, для любой точки хеХ существует в точности одно проходящее че-

рез нее подпространство, ортогональное S. Обозначим его через 7; тогда точка пересечения g = Sf\T представляет собой ту

единственную точку в S, для которой расстояние до х минимально (по сравнению с другими точками из S):

d кх, у) = inf {d (х, z): zg S) == d (x, S).

Расстояние от x до произвольной гиперплоскости Н легко вычислить, если известна такая аффинная форма f, что H = (см. 2.В). Действительно, в этом случае

</(х,

Ilf II

9.С. Строение элемента группы Is(X) ([В, 9.3])

Произвольный элемент в Is(X) есть композиция параллельного переноса в X и изометрии некоторой векторизации для X (см. 8.А). Существует более тонкое разложение. Именно, пусть /g!s(X); тогда существует единственная пара, состоящая из изометрии g пространства X и параллельного переноса t^ и удовлетворяющая следующим условиям: множество G неподвижных точек отображения g не пусто и ^ гС, f -t->° g. Бо

лее того,

6 = Кег^ —Id?) и Uog = goU.

Рассмотрим некоторые частные случаи этой теоремы.

Если /g!s+(X) и f не является параллельным переносом в евклидовой аффинной плоскости X, то f имеет неподвижную точку а, так что )— вращение векторизации Ха, снабженной евклидовой структурой; этому вращению соответствует однозначно определенный угол из U(X) (см. 8.F).

Каждая изменяющая ориентацию изометрия евклидовой аффинной плоскости может быть однозначно представлена в виде l = f^°g) где g = о о — отражение (зеркальная симметрия) относительно прямой D, такой, что $gZ).

Каждая сохраняющая ориентацию изометрия трехмерного евклидова аффинного пространства, за исключением параллель-t

ных переносов, является винтовым движением, т. е. композицией параллельного переноса t^. и вращения, оставляющего непо

движными точки некоторой прямой, параллельной g (см. 8.Е).

9.D. Подобия ([В, 9.5])

Подобиями евклидова аффинного пространства X называются такие его аффинные отображения f, что f е GO (X) — группе подобий пространства X (см. 8.G). Группа подобий обозначается Sim(A'), Подобие f называется прямым (соотв. непрямым), если / е GO+ (.ХУ (соотв. f е GO- (X)); соответствующие множества обозначаются Sim+(A) и Sim-(А}. Каждое подобие, не являющееся изометрией, имеет единственную неподвижную точку, которая называется его центром. Подобия обладают рядом замечательных свойств: прежде всего они сохраняют отношения между расстояниями:

1МЖ1 — ££. лля любых х п х' и'$ (*) f (у) — ху для люОых х, у, х , у .

Они характеризуются также тем, что переводят сферы в сферы и сохраняют углы между прямыми и углы между ориентированными прямыми (см. 8.F).

Процесс комплексификации (8.Н) и пополнения (7.D) может быть использован здесь следующим образом. Рассмотрим комп- лексифицированное проективное пополнение Xе = Xе (J оо^, где оох = Р(ХС). Используя терминологию из 14.А, определим в Р^Хсу омбилику пространства X как квадрику Й=рЦПс)-1 (0)), которая является образом в проективном пространстве оо£ изотропного конуса в X. (Заметим, что омбилика пространства X не лежит в X, но такая терминология тем не менее удобна.) При п = 3 омбилика представляет собой конику на проективной плоскости оо^; при п = 2 она состоит из двух точек p(I), p(J) проективной прямой оо^, образов изотропных прямых в X, Мы также будем обозначать эти точки 1 = р(1) и / = р(7) и называть их круговыми точками X (по поводу названия см. 17.С). Выбор одной из двух круговых точек эквивалентен выбору ориентации в X (см. 8.Н).

Для того чтобы feGA(X) было подобием, необходимо и достаточно, чтобы его проективное пополнение /с удовлетворяло соотношению fc(Q) = Q. Если X — плоскость, то f принадлежит Sim+(Jf) (соотв. Sim-(X)), когда /с оставляет каждую круговую

точку неподвижной (соотв. переводит одну круговую точку в другую).

Условие ортогональности двух прямых D, D' в X формулируется здесь следующим образом (см. 8.Н):

[cog, ооС„ /, /] = -!;

при этом гармоническое отношение берется на бесконечно удаленной проективной прямой в оо^. Формулы Лагерра также имеют место.

Подобия на плоскости ([В, 9.6])

Подобия на плоскости могут быть описаны явно, если отождествить евклидову аффинную плоскость X с .С. при помощи некоторого ортонормированного базиса: точке х = (а, 6) ставится в соответствие комплексное число а + ib, Тогда каждое прямое /соотв. непрямое) подобие может быть записано в виде 2 1—>02(соотв. 2н->О2 + Р).

Углом феЙ(Х) (см. 8.Н) прямого подобия на плоскости называется аргумент комплексного числа а из этого представления. Для любой прямой А (ориентированной или нет) имеем А//А) = Ф.

Группа Sim+(X) содержит интересные однопараметрические подгруппы, в которых сочетаются гомотетии и вращения. В терминах векторизации Ха они представляют собой множества подобий векторного пространства Ха, которым соответствуют (относительно некоторого ортонормированного базиса) матрицы вида

(

ekt cos fit — ekt sin fit \ ekt sin hi ektcoshi)'

где к, h— фиксированные действительные числа и t — параметр группы. Орбиты такой группы называются логарифмическими спиралями-, они обладают тем свойством, что касательные к ним в произвольных точках х образуют постоянный угол с прямой <«, х>.

.F. Метрические свойства ([В, 9.7])

Группа Is(X) транзитивна настолько, насколько это возможно. Пусть к — произвольное натуральное число, )хг} <=]к, (У<}<=1 и - два таких набора по к точек из X в каждом, что

<Цхь Xi) = <Hyb у if

для всех i, }=\, ..., к. Тогда существует такая изометрия f в X, что f(xf) = yi при всех i = 1к.

Но расстояния d,/ = d(x,-, х/) не произвольны; в случае к = = « + 2 кроме неравенства треугольника и его обобщений имеет место следующее универсальное соотношение:

0

1

1

... 1

1

0

4 2

• . . d\, n+2

1

^2,1

0

. . . dX, n+2

= 0.

1

dn+2,1

dn+2,2

... 0

Формула Аполлония использует барицентр g пар {(xz, Я<)} Г(см. З.А) и утверждает, что для любого 2

£ \2х" = £ к^ + ( £ Л^ gz\

Эта формула позволяет решить большое количество задач о геометрических местах точек. Например, множество точек г, таких, что У, К^х] = const, в общем случае есть сфера и, в частности, геометрическое место точек, у которых отношение расстояний до двух фиксированных точек постоянно!

9.G. Длина кривых ([В, 9.9, 9.10])

Пусть М — метрическое пространство с метрикой d. Кривой f в М называется отображение f: [а, 6]-»-Л1 отрезка [а, 6} в М. Ее длина есть точная верхняя грань сумм

’Z.dtf^a.fUi^. a = t0<tx< ... <tn_x<tn = b.

Длина может быть и бесконечной. Отрезком в М называется такая кривая [а, Ь]->М, что d(f(O, ИО) = ^— < для всех ° ^ t ^ V ^ Ь. В частности, для отрезка

длина (/) = d(/(a), /(&)).

Далеко не все метрические пространства содержат отрезки. Метрическое пространство называется превосходным, если для любой пары его точек (х, у) существует соединяющий их отрезок. Евклидовы аффинные пространства превосходны (см. также 18.В, 19.А, 19.В).

В евклидовом аффинном пространстве А метрика d: XX X-*- ->R дифференцируема в любой точке (х, у)^ XX X, такой, что х^у. Ее производная определяется формулой

^кх, у) ku, о) = -4>-(ху \и — и) = IIиII cos (У, ху) — IIиIIcos(«, ху).

0*И

Эта формула называется формулой первой вариации; при этом в последнем выражении имеются в виду углы между ориентированными прямыми.

9.Н. Каноническая мера, объемы ([В, 9.12])

Каноническая мера в конечномерном вещественном аффинном пространстве определяется с точностью до скалярного множителя (см. 2.G), но в случае евклидова пространства каноническая мера определяется однозначно. Она получается перенесением меры Лебега из R” в-Х посредством произвольной изометрии X-^R" и обозначается ц.

Имеет смысл понятие объема 8 (/С) произвольного компакта К в X; оно определяется следующим образом:

2М=$ХкР,х

где %к — характеристическая функция множества К.

Существенные сведения об объемах читатель может найти в [В, 9.12, 9.13], среди них: симметризация по Штейнеру и изо- диаметрическое неравенство.

ЗАДАЧИ

ТЕОРЕМА СИЛЬВЕСТРА ([В, 9.14.25]). Докажите, что если множество из п точек (х;);=1 „обладает тем свойством, что каждая прямая, содержащая две из точек Xt, содержит и третью, то все точки х, расположены на одной прямой.

БИССЕКТРИСЫ ([В, 9.14.3]). Пусть D, D' — две непараллельные прямые на евклидовой плоскости X. Покажите, что множество (хеХ: d^x, D) = d(x, D')} состоит из объединения двух биссектрис для D, D'. Что представляет собой это множество в случае, когда X имеет более высокую размерность?

ОПТИЧЕСКИЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ ([В, 9.14.33]). Пусть С—замкнутая строго выпуклая кривая класса С1 (см. 3.6) на евклидовой плоскости. Покажите, что для любого п ^ 3 существует по крайней мере один оптический многоугольник с п сторонами, вписанный в С. Речь идет о многоугольнике, для каждой вершины которого внешняя биссектриса двух сторон, сходящихся в этой вершине, совпадает с касательной к С в этой точке.

НАХОЖДЕНИЕ ЦЕНТРА ПОДОБИЯ ([в, 9.14.40]). Для четырех заданных точек а, Ь, а', Ь' в R2 постройте центры подобий, переводящих а в а' и b в Ь'.

Рис. 9.6.1,Рис. 9.6.1,

Рис. 9.6.1,

Рис. 9.6.1,

Задачи

КВАДРАТ, ВПИСАННЫЙ В ТРЕУГОЛЬНИК ([В, 9.14.16]). В заданный треугольник впишите квадрат, как показано на рисунке.

ВЫПУКЛОСТЬ УЛИТОК ПАСКАЛЯ ([в, 9.14.18]). Улиткой Паскаля для заданной окружности и заданной точки

мы называем кривую, полу

ченную проектированием этой точки на касательные к окружности (в общем случае кривая, полученная с помощью такой процедуры из другой кривой, называется ее подэрой). Выясните, как зависит выпуклость улиток Паскаля от положения точки по отношению к окружности.

3 М. Берже и др..

ТРЕУГОЛЬНИКИ, СФЕРЫ И ОКРУЖНОСТИ

.А. Треугольники ([В, ЮЛ—10.3])

Треугольник, представляет собой симплекс (см. 2.Е) на евклидовой аффинной плоскости, или, другими словами, тройку неколлинеарных точек х, у, г; мы используем обозначение 9" = = Iх, У. 2}. Эти три точки являются вершинами 9*; сторонами треугольника мы называем отрезки [у, z], [г, х], [х, у], а также их длины, которые принято обозначать а = yz, b = zx, с = ху. ■ Углы 9" суть элементы множества ] 0, л [; они определяются для

ориентированных прямых (см. 8.F) и обозначаются А = ху, хг,

B = yz, ух, C = zx, zy. Мы используем также полупериметр р =ЦаА*Ь + с)/2..

Для треугольников имеет место длинная сводка формул ([В, 10.3, 10.13.2]), но все они являются следствиями нескольких основных:

А -|- В -|- С = л,

а2 = 62 + с2 — 26с cos Л,

sin А sin В sin С 1а b с 2/? '

S = л/р (р — а) (р — Ь) (р — с),

где R— радиус окружности, описанной около 9", a S— площадь 9" (см. 9.Н). Заметим, что sin Л, в противоположность cos Л, не определяет угол А однозначно.

Два треугольника 9" и 9"' называются подобными, если существует подобие (см. 9.D), переводящее вершины 9" в вершины 9"'. Каждое из двух приведенных ниже условий характеризует подобные треугольники (штрихами помечены величины, относящиеся к 9"'у.1

... а' Ь' с'

(О —=-ь=—;

1) А = А', В=В', С = С'.

10.В. Сферы ([В, 10.7])

Сферой радиуса г с центром в точке а (в л-мерном евкли- довом аффинном пространстве) называется множество S(a, г) =

Рис. 10.В.1.

= {хеХ: ах = г}; в случае п = 2 сферы обычно называют окружностями. Если У — подпространство в X, то пересечение УП5(а, г) может быть трех типов: оно пусто при d^a, У)> г; состоит из одной точки при d(a, У) = г (в этом случае мы говорим, что У касается S(a, г) в этой точке), а при d(a, У)< г оно представляет собой сферу в У радиуса ^г2 — ах2 с центром х, где х— такая точка в У, что d^a, Y)=ax (см. 9.В).

Пересечение двух сфер S (а, г) и S (а', г') также может быть пустым множеством, состоять из одной точки или быть сферой в гиперплоскости. Углом между двумя сферами называется такое число ф, что

Если ф = 0 или л, то сферы называются касательными, а если Ф = л/2, — ортогональными. Можно также определить угол между сферой и гиперплоскостью, между двумя гиперплоскостями.

Степенью точки х относительно сферы S(a, г) называется действительное число ха2 — г2; важность этого понятия определяется тем, что ха2 — г2 = ±x<-xf, если прямая, проходящая

через х, пересекает сферу в точках t и 1'. (Степень положитель-' на, если х находится вне сферы, и отрицательна, если внутри.) . Геометрическое место точек, имеющих одинаковые степени от- , носительно двух неконцентрических сфер, представляет собой ; гиперплоскость, называемую радикальной.

Полярность относительно S(a, г) есть геометрическое пре-- образование, которое каждой точке х =# а из X ставит в соответствие гиперплоскость Н^х), пересекающую <а, х) ортогонально • и такую, что d^a, Н{х))=г2/ах.'

Это очень полезное преобразование со свойством дуальности; мы встретимся с ним еще раз в 11.В и в задаче 12.4. Образ подмножества из X есть огибающая семейства гиперплоскостей, полярных его точкам. Заметим, что если xeS(.a, г), то Н^х) — гиперплоскость, касательная к S(a, г) в точке х. В заключение отметим, что полярность относительно сферы является частным случаем полярности относительно квадрики (см. 14.Е).

10.С. Инверсия ([В, 10.8])

Пусть с — точка в X и as R*; инверсией с полюсом с и степенью а называется отображение

i = iC) а: X \ с -* X \ с, определенное относительно векторизации Хс правилом i(x) = = (а/11х||2)-х. Это отображение инволютивно.

Инверсии переводят сферы и гиперплоскости в сферы и гиперплоскости. Они сохраняют также углы между двумя сферами

(между сферой и гиперплоскостью, между двумя гиперплоскостями).

Инверсии могут быть весьма полезны при доказательстве утверждений, в формулировке которых участвуют только углы: если выбрать в качестве полюса общую точку нескольких сфер, то одновременно можно каждую из них перевести в гиперплоскость. См., например, 10.D или задачу 18.7.

.D. Окружности иа плоскости и ориентированные углы

между прямыми ([В, 10.9])

Самое важное свойство окружностей на плоскости состоит в том, что «центральный угол в два раза больше вписанного»,

Рнс. 10.D.1.

или, другими словами, если С — окружность с центром о и а, b— две ее точки, то для любых хеС имеем

соя, ®6 = 2хя, xb.

где углы ориентированные, а прямые ориентированные в левой части уравнения и неориентированные в правой. Несмотря на это, равенство выше справедливо благодаря миожителю 2, см. [В, 8.77.7].

Важным следствием сформулированного результата является условие, Необходимое и достаточное для того, чтобы четыре точки лежали на общей окружности или общей прямой: четыре различные точки a, b, с, d коллинеарны или коцикличны в том и только том случае, если

са, cb = da, db.

Это соотношение имеет два классических следствия.

Рис. 10.D.2.

Прямая Симпсона. Рассмотрим треугольник {а, Ь, с}. Точка х принадлежит описанной около треугольника окружности в том и только том случае, если три проекции х на стороны треугольника коллинеарны.

Теорема Мигеля о шести окружностях. Пусть Ct — четыре окружности, и пусть их пересечениями являются С!ПС2 = = {а, а'}, С2ЛС3 = {6, 6'}, С3ЛС4 = {с, с'}, C4nCi = {d, d'Y тогда a, b, с, d коцикличны в том и только том случае, если ко- цикличны a', b', с', d'.

В заключение заметим, что на плоскости пару окружностей С, С' всегда можно преобразовать с помощью инверсии в очень простую фигуру: если они пересекаются, то это будет пара прямых (см. 10.С), а если нет, то пара концентрических окружностей. В последнем случае имеются два возможных полюса инверсии; они называются предельными точками пары С, С'. Их можно определить через пучки окружностей ([В, 10.10]): предельными являются две точки, через которые проходят все окружности, ортогональные одновременно С и С'.

ЗАДАЧИ

ВЫСОТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ПЕРЕСЕКАЮТСЯ В ОДНОЙ ТОЧКЕ ([В, 10.13.1J). (i) Пусть 9"— треугольник. Постройте треугольник 9"', образованный прямыми, проходящими череЭ вершины треугольника 9" параллельно его сторонам. Используя эту конструкцию, докажите, что все три высоты треугольника пересекаются в одной точке.

(ii) Получите то же утверждение, используя следующее свойство (его также нужно доказать): для любых четырех точек (а, 6, с, d} евклидовой плоскости справедливо соотношение

(ab | cd) + (ос | db) + (ad | be) = 0.

(Hi) Выведите то же утверждение из теоремы Чевы (задача 2.1).

(iv) Получите его, рассматривая круговые точки (9.D) и применяя теорему Дезарга о пучках коник (14.D).

ТРЕУГОЛЬНИКИ, ВПИСАННЫЕ В ОКРУЖНОСТЬ И ОПИСАННЫЕ ОКОЛО ДРУГОЙ ОКРУЖНОСТИ ([В, 10.13.3]). Покажите, что для данного треугольника д' радиус /? описанной окружности С, радиус г вписанной окружности Г и расстояние d между их центрами удовлетворяют соотношению /?2— ^Rr = d2. Пока

жите, что если центры двух окружностей С, Г радиусов R и г соответственно удалены друг от друга на расстояние d и R8— — 2Rr = d8, то для любой точки хеС существует треугольник д', который вписан в С, описан около Г и имеет х своей вершиной. Выведите из этого утверждения теорему Понселе для случая треугольников (16.Н).

ПРЯМАЯ ОБРАЗОВ ([В, 10.13.16]). Пусть д' — треугольник и D— прямая. Покажите, что прямые, симметричные D

относительно сторон треуголь

ника Т, пересекаются в одной точке в том и только том случае, если D проходит через точку пересечения высот треугольника д'. Что происходит, если при этом D вращается вокруг точки пересечения высот?

МИНИМУМ СУММЫ РАССТОЯНИИ ДО ЧЕТЫРЕХ ФИКСИРОВАННЫХ ТОЧЕК ([В, 10.13.8]). Для данного выпуклого четырехугольника найдите минимум функции «сумма расстояний от переменной точки до вершин четырехугольника». Рассмотрите аналогичную задачу для случая выпуклого шестиугольника, описанного около эллипса.

ПОСТРОЕНИЕ КВАДРАТА, СТОРОНЫ КОТОРОГО ПРОХОДЯТ ЧЕРЕЗ ЧЕТЫРЕ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ ([В, 10.13.28]). На евклидовой плоскости даны четыре точки a, b, с, d. Постройте такой квадрат ABCD, что а е АВ, b г ВС, с е CD, d е DA. "

ЗАДАЧА НАПОЛЕОНА - МАСКЕРОНИ ([В, 10.11.2]). Постройте центр заданной окружности, пользуясь только циркулем (но не линейкой). Докажите следующую, более общую, теорему Мора — Маскерони: все построения, выполнимые при помощи циркуля и линейки, можно осуществить также прй помощи одного циркуля.

ЦЕПОЧКА ТЕОРЕМ ([В, 10.13.19]). В этой задаче предполагается, что все объекты находятся «в общем положении». Пусть (/),),_!, 2,з, 4— четыре прямые на евклидовой плоскости, и пусть Ci — окружность, описанная около треугольника, образованного тремя прямыми D( (j^i). Покажите, что четыре окружности Ct имеют общую точку. (См. также [В, 17.4.3.5].) Сделайте чертеж.

Пусть (OJ,d1 5 — пять прямых на евклидовой плоскости, и пусть Pi — точка пересечения окружностей, соответствующих (см. выше) четверке прямых D, (/^z). Покажите, что пять точек pi лежат на одной окружности. Сделайте чертеж.

Сформулируйте и докажите цепочку теорем, двумя первыми элементами которой являются утверждения, приведенные выше.

ОКРУЖНОСТИ ФОРДА ([В, 10.13.29]). Рассмотрим три попарно касающиеся окружности, которые касаются также и прямой D, как показано на рис. 10.8.1. Пусть г и s— радиусы окружностей у и 6, а р — радиус малой окружности. Выразите р, ах, Ьх через ab, г, s, где а, Ь, х— точки касания у, 6 и малой окружности с прямой D.

Далее, рассмотрим две окружности, заданные относительно некоторого ортонормированного репера уравнениями x2 + z/2— — у = 0 и х2 + у2 — 2х — у-f-l=0. Используя индукцию, постройте последовательность окружностей, как показано на рис. 10.8.2. Докажите, что абсциссы точек касания этих окружностей с осью х рациональны. Все ли рациональные числа из [0, 1] могут быть получены таким образом?

Рис. 10.8.2.

Глава 11

ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА

Мы будем работать в вещественном аффинном пространстве X размерности d.

.А. Определения. Элементарные свойства

([В, 11.1, 11.2])

Подмножество S с X называется выпуклым, если для любых х, yeS отрезок [х, у] (см. З.С) также содержится в S. Несколько более слабое условие определяет звездные множества: S называется звездным относительно центра цеХ, если [a, x]c:S для всех xeS. Выпуклыми множествами в R являются всевозможные интервалы.

Пересечение любого числа выпуклых множеств выпукло; в частности, для произвольного подмножества А в X можно указать наименьшее содержащее его выпуклое множество; мы будем называть его выпуклой оболочкой А и обозначать ^(А), Выпуклую оболочку S(Л) множества А можно охарактеризовать как множество барицентров семейств {(х/, Х<)}, где все х< принадлежат А и все X, ^ 0. Теорема Каратеодори утверждает, что при этом можно рассматривать барицентры только тех семейств, которые содержат не более d + 1 точек.

Если S— выпуклое множество, то его замыкание S и его внутренность S также выпуклы. Размерностью выпуклого множества называется размерность наименьшего содержащего его аффинного подпространства <S>. Утверждение dimS = d, d >• 0, означает, что S имеет непустую внутренность.

Теорема Хана—Банаха.

Опорные гиперплоскости ([В, 11.4, 11.5])

В теореме Хана — Банаха утверждается, что если А — непустое открытое выпуклое множество в X и L — такое аффинное подпространство в X, что A f] L = 0, то в X существует гиперплоскость, которая содержит L и не пересекается с А.

На основании сформулированной теоремы можно сделать вывод о том, что через каждую граничную точку замкнутого выпуклого множества S проходит по крайней мере одна опорная к S гиперплоскость, т. е. такая пересекающая границу S гиперплоскость Н, что S целиком содержится в одном из двух определяемых ею полупространств (см. 2.G).

Далее, применительно к выпуклым множествам можно ввести в рассмотрение операцию полярности k(cp, с 10.В и 14.Е)^

Пусть X—евклидово векторное пространство с началом О. Каждому подмножеству A cz X поставим в соответствие полярное к нему множество А*;

А* = {у ^Х: (х |у) ^ 1 для всех х е А}.

Соответствие А н-> А* для компактных выпуклых множеств, содержащих О в своей внутренности, обладает свойством дуальности: (А*)* = А; при этом гиперплоскости, опорные к А, являются полярными к точкам из А* относительно единичной сферы S(0, 1).

И наконец, из теоремы Хана — Банаха следует теорема Хелли: пусть X— аффинное пространство (размерности d) и ST — такое семейство его выпуклых компактных подмножеств, что пересечение любых d + 1 элементов из 9" непусто; тогда пересечение всех элементов семейства У непусто.

.С. Граничные точки выпуклых множеств

([В, П.6])

Существуют различные способы классификации граничных точек; одним из наиболее полезных является следующий: граничная точка х выпуклого множества А называется крайней, если из x=(y + z)/2, где у, zeA, следует, что у —г. В теореме Крейна и Мильмана утверждается, что компактное выпуклое множество является выпуклой оболочкой своих крайних точек.

ЗАДАЧИ

РАЗБИЕНИЕ ПЛОСКОСТИ НА ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА X[В, 11.9.22]). Найдите все разбиения плоскости на два выпуклых множества.

КРАЙНИЕ ТОЧКИ В ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ ([В, 11.9.8]). Докажите, что крайние точки замкнутого выпуклого множества на плоскости образуют замкнутое множество.

ГИЛЬБЕРТОВА ГЕОМЕТРИЯ ([В, 11.9.4]). Пусть А — компактное выпуклое подмножество в X с непустой внутренностью. Для двух различных точек х, у из А положим d^x, у) = = ]log[x, у, и, и]], где и, v — две точки, в которых прямая <х, у") пересекает границу А, и [.] обозначает двойное

отношение (см. 6.А или [В, гл. 6]). Покажите, что функция d; 4XA->-R, определяемая этим равенством и условием d(x, х) = 0 Ухе А, есть метрика. Покажите, что эта метрика превосходна (9.G). Изучите связь между строгим неравенством треугольника (9.А) и свойствами граничных точек А.

ТЕОРЕМА ЛЮКА ([В, 11.9.21]). Пусть Р— полином с комплексными коэффициентами и Р'—его производная. Покажите, что в аффинном пространстве С все корни Р' принадлежат выпуклой оболочке корней Р. В случае когда Р—многочлен степени 3, имеющий различные корни а, Ь, с, покажите, что существует вписанный в треугольник {а, Ь, с} эллипс, фокусами которого являются корни и, и многочлена Р'.

ЗВЕЗДНЫЕ МНОЖЕСТВА ([В, 11.9.20]). Для данного подмножества А с X рассмотрим множество N(A) таких точек а, что А звездно с центром а. Покажите, что N (4) выпукло. Нарисуйте N(4) для некоторых подмножеств А.

МНОГОГРАННИКИ, ВЫПУКЛЫЕ КОМПАКТЫ

.А. Многогранники ([В, 12.1, 12.2, 12.3])

Мы будем работать в вещественном аффинном пространстве X конечной размерности d. Многогранником называется такое выпуклое компактное множество с непустой внутренностью, которое может быть представлено в виде пересечения конечного числа замкнутых в X полупространств (см. 2.G). Мы будем предполагать, что лишних полупространств в таком пересечении нет. В случае d = 2 мы пользуемся термином многоугольник.

Грани многогранника Р представляют собой пересечения его границы с определяющими его гиперплоскостями. Грани сами являются многогранниками (размерности d— 1) в содержащих их гиперплоскостях. По индукции мы определяем A-грани многогранника Р как грани всех его (А + 1)-граней; 1-грани называются ребрами, а 0-грани — вершинами.

Начиная с этого места X — евклидово аффинноепространство.

Для данного многогранника Р можно определить его объем W и его площадь поверхности U(P); площадью поверхности называется сумма объемов всех граней многогранника Р (рассматриваемых как (d—1)-многогранники).

Выпуклые компакты ([В, 12.9, 12.10, 12.11])

Выпуклый компакт с непустой внутренностью можно (в лучшем смысле этого термина) аппроксимировать многогранниками. Это дает нам возможность определить, переходя к пределу, объем i(C) и площадь поверхности U(C) выпуклого компакта С. Эти два понятия обладают вполне приятными свойствами. Например, положим для любого А > 0

В (С, А) = {х е X: d (х, С) < А}; тогда

Я(с)=Пт^^-=^а.

Далее, для всякого выпуклого компакта с непустой внутренностью справедливо изопериметрическое неравенство

81(C) / 8 (С) x^-Wa (d) I р (cf) J *

где «(d) (соотв. 0(d)) обозначает площадь поверхности (соотв.- объем) сферы единичного радиуса в R*. Более того, равенство имеет место только в том случае, когда С — сфера.

Отметим, что последние два результата допускают обобщение на некоторые достаточно «хорошие» подмножества в X, не являющиеся выпуклыми, например на дифференцируемые многообразия (см. задачу 12.3).

.С. Правильные многогранники ([В, 12.4, 12.5, 12.6])

Многоугольник называется правильным, если у него все стороны равной длины и все углы равны. Для любого п ^ 3 существует правильный многоугольник с п сторонами и все правильные многоугольники с п сторонами подобны. Всякий правильный n-угольник можно вписать в окружность. Его группа симметрий состоит из 2п элементов и называется диэдральной группой порядка 2п; она действует просто транзитивно (см. 1.D) на множестве пар, которые состоят из вершины и какого-нибудь выходящего из нее ребра. См. задачу 12.1.

Самый простой путь обобщить это понятие на случай d ^ 3 состоит в следующем: рассмотрим наборы из d элементов (Ео, F\, ..., Ed-i), где каждый Fi представляет собой t-грань и Fi-х с Fi, 1 ^ i ^ d— 1. Многогранник Р правильный, если его группа изометрий б(Р) транзитивно действует на множестве всех таких d-наборов, и в этом случае действие будет просто транзитивным (см. 1.D). Произвольный правильный многогранник можно вписать в сферу.

Примеры правильных многогранников: кокуб Сосд, вершинами которого являются ±е< (i = 1, ..., d) из ортонормирован- ного репера в X; он имеет 2d вершин и 2d граней. Куб Cubd имеет своими вершинами 2м точек с координатами (±1,...,±1) (относительно ортонормированного репера); он имеет 2d граней. Стандартный симплекс Simd; рассматриваемый в гиперплоскости <+i

^ г, = 1 он имеет своими вершинами d + 1 точек et из ортонормированного репера; у него также d+ 1 граней.

Можно показать, что при d ^ 5 все правильные многогранники исчерпываются приведенными выше примерами (конечно же, с точностью до подобия). С другой стороны, при d = 3 имеются два особенных правильных многогранника: додекаэдр

и икосаэдр (рис. 1.F); при d = 4 имеются три особых случая. Существование этих особенных многогранников неочевидно, соответствующая задача может быть сведена к изучению случая d = 3. В задаче 19.1 приводится способ построения правильного икосаэдра; другое построение можно получить, подходящим образом располагая правильные пятиугольники на кубе ([В, 12.5.5]). Наконец, оставив в стороне тонкости, можно непосредственно указать координаты вершин (0, ±т, ±1), ,(±1» 0, ±т), (±т, ±1, 0), где t = (V5+ 1)/2.

ЗАДАЧИ '

ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК ([В, 12.12.4]). Дайте обоснование двум способам построения правильного пятиуголь* ника, показанным на рисунках.

ПОРЯДОК ГРУППЫ ИЗОМЕТРИЙ ПРАВИЛЬНОГО МНОГОГРАННИКА ([В, 12.12.10]). Покажите, что для правильного многогранника в трехмерном пространстве порядок его группы изометрий равен учетверенному числу его ребер.

ТЕОРЕМЫ ГУ ЛЬ ДИНА ([В, 12.12.20.9]). Рассмотрим компакт К на плоскости Р в трехмерном евклидовом пространстве Е. Покажите, что объем компакта СсЕ. образованного враще

нием К вокруг некоторой прямой D, лежащей в Р и не пересекающей К, задается формулой

ЙБ (С) = 2л • d (g, DVW), где g=cent(2<) обозначает центр компакта К (см. 2.G).

Будем рассматривать границу компакта К как однородную нить и обозначим через А центр масс (в обычном смысле этого слова) нити. Покажите, что площадь поверхности С задается формулой

21£(С) = 2л-й(й, DV%P№

\обе площади следует понимать как площади дифференцируемых многообразий).

Найдите применения этой формулы, а также проверьте с ее помощью, правильно ли были вычислены уже известные объемы и площади.

ОБЪЕМЫ МНОЖЕСТВ, ПОЛЯРНЫХ К ЭЛЛИПСОИДАМ ([В, 12.12.2]). Покажите, что если Е— эллипсоид в евклидовом векторном пространстве X, содержащий точку О в качестве внутренней, то полярное к нему множество Е* (см. 11.В) является эллипсоидом с тем же свойством. Их объемы удовлетворяют неравенству £(£)£(£*)^ (P(d))2, причем равенство достигается в том и только том случае, если О является центром £ Jno поводу определения p(d) см. 12.В или [В, 9.12.4]).

ТЕОРЕМЫ БЛЯШКЕ О КАЧЕНИИ ([В, 12.12.14]). Пусть С — выпуклый компакт на плоскости, граница которого является бирегулярной кривой класса С2 (см. Berger М., Gostiaux В. Geometric differentielle. — Armand Colin, 1972, p. 309). Пусть A (соотв. a)—точка на границе компакта С, в которой кривизна максимальна (соотв. минимальна). Покажите, что соприкасающаяся окружность у в точке а может прокатиться по границе, не выходя из С, и что граница может прокатиться по соприка-

сающейся окружности Г в точке А, не выходя из Г. Останется ли справедливым этот результат, если мы заменим у на окружность наибольшего радиуса, содержащуюся в С, или Г — на окружность наименьшего радиуса, содержащую С?

Рис. 12.5.1.

КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

В этой главе Е—векторное пространство конечной раз-1 мерности п над полем характеристики #=2.I

.А. Определения ([В, 13.1])

Квадратичной формой q на Е называется отображение вида х I—> q (х) = Р (х, х),

где Р— билинейная симметричная форма на Е; она определяется формой q однозначно:

^U y^ = xk№A-y^ — qkxt — q^

и называется формой, полярной к q. Ограничение q на подпространство F сЕ также является квадратичной формой и обозначается q\F.

Относительно базиса (ej в Е форма q задается матрицей

Л = (а<у) = (Р(е„ е^.

Если / — автоморфизм Е, которому соответствуют в базисе {ej матрица S, то матрицей q относительно базиса {/(е/)} будет 'SAS (где ‘S обозначает транспонированную к S матрицу).

Пусть Е, Е' — два векторных пространства (над одним и тем же полем), и пусть f: Е->Е' — линейное отображение. Если q' — квадратичная форма на Е', то обратным образом формы q* прн отображении / называется квадратичная форма q (обозначаемая f*q'), определяемая соотношением

q W = ^fq') (*) = q' V to)

для всех хе Е.

Эквивалентность, классификация

([В, 13.1, 13.4, 13.5])

Две квадратичные формы q и q' соответственно на Е и Е' называются эквивалентными, если существует такой изоморфизм /: Е-+Е', что q = f*q'. Классификация квадратичных форм (в случае размерности п над полем К) подразумевает определение классов эквивалентности квадратичных форм на Кп. Соответствующая задача решена только для некоторых специаль- Tlt-TV ПАПАМ К

В случае размерности 1 эта задача решается просто, поскольку из закона преобразования Л >—> ^SAS следует, что образ определителя det Л при факторизации К/(К*)2 (он называется дискриминантом) является инвариантом рассмотренного выше отношения эквивалентности. Это утверждение верно и в общем случае, но для размерности 1 верно и обратное, так что классы эквивалентности взаимно однозначно соответствуют элементам из /(/(К*)2. См. задачи 13.2 и 13.3.

На Ся (или, более общо, на любом векторном пространстве над алгебраически замкнутым полем) существует в точности п+1 классов квадратичных форм, представителями которых являются формы Xz2 6 = 0, 1, .... п (соответствующий инвариант к называется рангом формы).

На R" существует [(n+ 1) (п + 2)]/2 классов квадратичных форм, представителями которых являются формы

Рк

£я2 — Е х\. 1-1i-p+l'

Это утверждение называется «законом инерции Сильвестра».

Квадратичная форма называется нейтральной, если она экви" р

валентна форме q = 2 У xtyt на пространстве К2р; пространство, оснащенное нейтральной формой, называется пространством гр

Артина и обозначается Art2p. Примерами являются форма Е 2;

Р2р

на С2; и форма Е х2, — Е на R2p.

Отметим, что любая квадратичная форма над произвольным полем может быть приведена к диагональному виду, т. е. для нее можно указать базис, в котором соответствующая ей матрица А будет диагональной; в этом базисе q будет иметь вид У, а^ с некоторыми а, е К. Если к тому же £ — евклидово пространство, то такой базис можно выбрать ортонормиро- ванным.

.С. Ранг, вырожденность, изотропия ([В, 13.2])

Для данной квадратичной формы q обозначим через ф линейное отображение из £ в дуальное векторное пространство £*, определяемое правилом Ф(у)= (Р^, у)}, где Р —полярная форма. Ранг q определяется как ранг ф, радикал rad(q) как ядро ф, т. е. подпространство в Е, состоящее из всех таких эле-

ментов у, что Р(х, у) = 0 для любых хеЕ, Таким образом, rank (q) + dim (rad (<?)) = dim E. Форму q называют невырожденной, если ее ранг равен п, в противном случае она называется вырожденной.

Существенное различие между общим и евклидовым случаями в том, что ограничение невырожденной формы q на подпространство в общем случае может быть вырожденным. Подпространство FcE называется сингулярным (соотв. несингулярным'), если ^|/> вырожденна (соотв. невырожденна); оно называется вполне сингулярным, если у|/> = 0, т. е. если q тождественно равна нулю на F.

Изотропный конус q — это подмножество q~x (0) в Е; его элементы называются изотропными векторами. Форма называется анизотропной, если ее изотропный конус состоит только из нулевого вектора.

Начиная с этого места q предполагается невырожденной.

.D. Ортогональность ([В, 13.3])

Пусть Е— векторное пространство, оснащенное квадратичной формой, и F — его подпространство. Ортогональным дополнением к F, обозначается F1, называется подпространство в Е, определяемое как Г1 = (у: Р(х, у) = 0 для всех хер). В общем случае, в отличие от евклидова, сумма F + FL не всегда является прямой, но для любых подпространств F, F' выполнены следующие соотношения:

(.Fj")'l = F; dim F + dim F1 = dim E;

rad F = F1 fl F; F вполне сингулярно <=> F cz F1,(FftF'V — F1 + F'1, (F + FY = F1 n F'1;

E = F®F1 (прямая сумма) <=^F несингулярно <=►of1 несингулярно -фф- F f| F1 = 0.

Группа квадратичной формы ([В, 13.6, 13.7])

Ортогональная группа для (Е, q) обозначается 0(E) или O(q) и определяется как

О (Е) = (f е GL (Е): fq-qV

В фиксированном базисе, в котором матрицей q является Л, матрицы S, соответствующие элементам f из 0(E), опреде-

ляются соотношением 'SAS = A. В частности, detf = ±l, так что, как обычно, полагаем

О* (Е) = U^O (Е): det f = ± 1).

Инволюциями в СЦЕ) являются отображения вида f = Ids — Idr, где E = S®T— ортогональная прямая сумма, и только они; согласно 13.D, они однозначно соответствуют несингулярным подпространствам S. Инволюции называются также отражениями или зеркальными симметриями (относительно S), если dimS = п — 1.

Как и в евклидовом случае, можно показать, что любой элемент из 0(f) представим в виде произведения не более чем п отражений относительно гиперплоскостей, но доказательство в общем случае гораздо сложнее (Картан — Дьедонне); см. задачу 13.5. Одним из существенных результатов является теорема Витта: пусть F, F'— два подпространства в Е и f— такое линейное отображение из F в F', что q |F — f (q |F-); тогда / можно продолжить до отображения из 0(f).

При доказательстве сформулированных выше утверждений полезным оказывается следующий прием. Пусть F — подпространство в f, и пусть его радикал rad(f) имеет размерность s. Пусть G— такое подпространство, что G © rad(F) = F, и пусть {^Jz-i s—базис в rad F. Тогда существует s таких плоскостей Р, в Е, что каждая плоскость Pi содержит Xi и представляет собой пространство Артина относительно q\pt (см. 13.В), Р; и G попарно ортогональны, и ортогональная прямая сумма F = G ф Pv ф ... ф Ps несингулярна (говорят, что F — несингулярное пополнение F). Из этой леммы непосредственно следует, что размерность вполне сингулярных подпространств из Е не превышает п/2; более того, если Е содержит вполне сингулярное подпространство размерности s = n/2, то Е является пространством Артина Art2s. См. также задачу 13.1.

Из теоремы Витта следует также, что все максимальные вполне сингулярные подпространства в (f, q^ сопряжены посредством элементов из 0(f) и, в частности, имеют одинаковую размерность.

.F. Двумерный случай ([В, 13.8])

В случае размерности 2 подгруппа 0+(f) всегда коммутативна, a 0~(f) состоит из отражений относительно прямых; см. задачу 13.4.

В Е либо имеется две различные изотропные прямые, либо изотропных прямых нет; в первом случае с необходимостью f — Art2 и 0(f) может быть исследована аналогично тому, как это было сделано в евклидовом случае (см. [В, 13.8]).

ЗАДАЧИ .

АНИЗОТРОПНЫЕ ФОРМЫ ([В, 13.9.4]). Сведите классификацию квадратичных форм к классификации анизотропных квадратичных форм.

ФОРМЫ В СЛУЧАЕ РАЗМЕРНОСТИ 1 НАД КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ ([В, 13.9.10]). Покажите, что если п=\ и К конечно, то существует в точности три класса квадратичных форм.

ФОРМЫ В СЛУЧАЕ РАЗМЕРНОСТИ 1 НАД ПОЛЕМ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ([В, 13.9.9]). Покажите, что если K = Q и n=dimE=l, то существует бесконечно много неизометрич- ных (Е, ^).

ИСКЛЮЧИТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ ([В, 13.9.16]). Покажите, что 0(E) всегда некоммутативна, за единственным исключением Е = Art2 над полем из трех элементов.

ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ИЗОМОРФИЗМЫ ([В, 13.9.15]). Покажите, что существует такое векторное пространство Е, оснащенное квадратичной формой q, что (Е, q^ допускает изоморфизмы / (т. е. feO(^)), удовлетворяющие следующему условию: для любого неизотропного вектора х вектор f(x)— х— ненулевой изотропный.

ПРОЕКТИВНЫЕ КВАДРИКИ

В этой главе через Е обозначено векторное пространство размерности п + 1 над полем К характеристики =/=2, через Р(Е)—проективное пространство, порожденное Е, а через р; Е\0-+Р(Е)— каноническая проекция. Векторное пространство квадратичных форм на Е обозначим через Q(E), а соответствующее проективное пространство P(Q(E)) через PQ(E). Если q^Q(E)—квадратичная форма на Е, то соответствующая полярная форма обозначается Р. Всегда будем предполагать, что n 1.

.А. Определения ([В, 14.1])

Ненулевой элемент aePQ(E), т. е. квадратичная форма q на Е, рассматриваемая с точностью до ненулевого множителя, называется (проективной) квадрикой в Р^Е). Форма q, представляющая класс а, называется уравнением квадрики а.

■ Образ квадрики а, обозначаемый im(a), определяется как p(q~x (0)\0); im(0) является образом в пространстве Р(Е) конуса пространства Е и может быть пустым. Рангом квадрики a называется ранг одного из ее уравнений. Квадрика называется вырожденной, если вырожденна форма q, и собственной в противном случае. При п = 2 вместо термина «квадрика» используется термин «коника». ■

Обозначения, примеры ([В, 14.1]) '

Пусть a — квадрика в пространстве Р(Е) и S — P(F) — проективное подпространство в Р(Е). Квадрика, которая задается уравнением ^|^ (у—уравнение квадрики а), называется пересечением квадрики а и подпространства S. Обозначая это пересечение af)S, получим, вполне естественно, что im(a(]S) = = im (a) f]S.

Случай п = 1. Если квадрика а имеет ранг 1 (вырожденный случай), то im(a) всегда состоит из одной точки, тогда как если a — собственная квадрика, то ее образ может быть либо пустым, либо состоять из двух различных точек. Из предыдущего следует, что проективная прямая пространства Р(Е) либо не пересекает образа квадрики, либо пересекает его в одной или двух точках (если только эта прямая целиком не лежит в im(a), что возможно в том случае, когда плоскость, определяющая эту прямую, является вполне сингулярным подпространством, см.

.С). Если пересечение состоит из одной точки либо эта прямая содержится в im(a), то она называется касательной к квадрике а.

Пусть а — некоторая квадрика, f — гомография пространства Р^Е) в Р (Е'). Тогда можно определить образ f(a) квадрики а в пространстве Р(Е'у В частности,- в пространстве PQ(£) действует проективная группа. Классификация квадрик пространства Р(Е) означает нахождение орбит этого действия.

Примером квадрики может служить омбилика в евклидовом пространстве (9.D).

В пространстве Р(Е) возьмем однородные координаты (см. 4.С). Пусть уравнение q квадрики а задается матрицей А = (ац). Тогда образ а определяется уравнением

Z aijXiXj = 0.

Например, коника имеет уравнение

ах2 + а'у1 + a"z2 + 2byz + 2b'zx + 2Ь"ху = 0.

Заметим, что если К = R или С, то собственная квадрика является «хорошим» подмногообразием пространства Р(£): гладким класса С°° и даже вещественно или комплексно аналитическим. В каждой точке m образа квадрики имеется касательная (проективная) гиперплоскость, которая совпадает с проекцией в Р^ гиперплоскости, ортогональной к такому вектору х, что р(х)=т (см. 13.D; в 14.Е приведено уравнение этой гиперплоскости).

.С. Классификация ([В, 14.1, 14.3, 14.4])

Из 13.В следует, что все собственные квадрики пространства Р" (С) изоморфны. Поэтому мы можем говорить о комплексной квадрике в размерности п, определяемой уравнением ^22{ = 0. Отметим, что в случае поля К = С. образ im(a) определяет квадрику а независимо от того, собственная она или вырожденная.

В пространстве Pn(R) имеется [(л + 1)/2] + 1 типов собственных квадрик (где [s]— наибольшее целое число, не превосходящее s). Следующие квадрики имеют непустой образ: две точки при п = 1, «эллипс» при п = 2, «эллипсоид» и «гиперболоид» при п = 3. Интересны квадрики с нейтральной формой (при п = 4), см. 13.В. В этом случае im(a) содержит два различных семейства прямых (детали см. в [В, 14.4]). Примерами квадрик с нейтральной формой служат г2 + z2 + г2 + z2 над С и х2 + у2 — г2 — t2 над R,

Образ вырожденной коники, вообще говоря, состоит из двух различных прямых. При л = 3 образом квадрики, вообще говоря, является конус, направляющей которого служит коника.

14.D. Пучки квадрик ([В, 14.2])

Изучим теперь проективное пространство квадрик PQ(E) само по себе. Прежде всего его размерность равна л (л + 3) /2. Для данной точки теР^Е) множество Н(т)— {ае PQ(E): meim(a)} является гиперплоскостью. Поэтому (см. 4.В) для

данных л(л + 3)/2 точек пространства Р(Е) всегда существует по крайней мере одна проходящая через них квадрика. Для коники на плоскости это число равно 5.

Следуя терминологии 4.В, назовем прямую в пространстве PQ(f) пучком квадрик. Пучок определяется двумя различными квадриками или, например, (л2 + 3л — 2)/2 точками пространства Р(Е) (для коник на плоскости достаточно четырех точек). Пучок коник содержит, вообще говоря, п +1 вырожденных квадрик, отвечающих тем значениям (X, 2/), для которых det (ХД + Х'А'^^ О, где А, А'—матрицы уравнений двух квадрик, определяющих пучок.

Теорема Дезарга утверждает, что если фиксировать прямую D, то ее пересечение с квадрикой из пучка есть пара точек (т, /(лг)}, которые соответствуют друг другу при некоторой инволюции прямой D (см. 6.D).

Начиная с этого места a — собственная квадрика.

Полярность ([В, 14.5])

Проективизация отношения ортогональности в пространстве Е относительно q (см. 13.D) дает отношение полярности относительно собственной квадрики а с уравнением q. Известно, что q с помощью полярной формы Р определяет линейный изоморфизм пространства Е на дуальное пространство Е*; обозначим его ср (см. 13.С). Так как пространство Р(Е*) отождествляется с множеством Э^^Е) (проективных) гиперплоскостей в Е (см, 4.А), то квадрика а определяет биекцию между точками m пространства Р(Е) и гиперплоскостями в нем. Обозначим через mL гиперплоскость, отвечающую точке т, и назовем ее гиперплоскостью, полярной точке т. Точка т, такая, что m1 = Н, называется полюсом гиперплоскости Н.

Если У, atjXiXj = 0 — уравнение квадрики а и т = (^), то полярная гиперплоскость т1 задается уравнением У a^zxz=0. То есть мы должны заменит’ь х| на ^(хи a xtx$ на Vz^Xy-b + ^jXi) (обратите внимание на множитель 7г), чтобы написать уравнение полярной плоскости. Таким способом мы можем, например, найти уравнение касательной гиперплоскости в произвольной точке образа квадрики, так как касательная в этом случае совпадает с полярной гиперплоскостью.

Более общо, две точки т=р(х) и п=р(у) пространства Р^Е') будем называть сопряженными относительно а, если Р^х, у) = 0, т. е. х и у ортогональны относительно q. Взяв точки, сопряженные со всеми точками подпространства S пространства Р^Е1), получим подпространство S1, которое называется сопряженным к S. Соотношения из 13.D имеют различные геометрические следствия, например, такого типа. Если ш, п— две точки проективной плоскости, то полюс прямой <т, п> является пересечением m1 Л nL полярных прямых (поляр) для тип. Или еще: чтобы получить касательные к квадрике из данной точки т, надо рассмотреть пересечение образа im(a) с полярной гиперплоскостью т1 точки пи

Если образ im(a) непуст, то мы имеем следующую геометрическую конструкцию для сопряженных точек и, следовательно, вообще для гиперплоскости, полярной точке. Если прямая <т, и) пересекает im(a) в точках а, Ь, то т, п сопряжены относительно а тогда и только тогда, когда они гармонически сопряжены относительно а и 6, т. е.

. [т, п, а, 6] = —1 {см. 6.В).

Свойство полного четырехугольника (см. 6.В) позволяет завершить конструкцию. ■

Рис. 14.В.

Симплекс {т,} в пространстве Р(Е)—это «+1 линейно независимых точек (см. 4.В); он называется автополярным относительно квадрики а, если для любого I полярная гиперплоскость к m.i есть в точности гиперплоскость, порожденная точками т( (j^i). Заметим, что в соответствующем базисе форма q будет диагональной (см. 13.В).

Пусть а, а' — две собственные квадрики с уравнениями q, qf соответственно, и пусть ф, ф'— ассоциированные изоморфизмы. Тогда условие tr (ф-1 о ф') = 0 допускает следующую интерпретацию. След равен нулю, если im(a') содержит симплекс, автополярный относительно а. Обратно, если, например, К—алгебраически замкнутое поле, то можно построить бесконечно много симплексов, вписанных в а' и автополярных относительно а, причем вершину т\ в im(a') можно выбрать произвольно. Будем говорить, что квадрика а' гармонически описана около а. В терминах пространства PQ(£) это условие линейно.

14.F. Двойственность. Тангенциальное уравнение

([В, 14.6])

Множество гиперплоскостей т1, когда /и пробегает im(a), является подмножеством в 56(5)= Р(£*). Что это за множество? Оно является собственной квадрикой; это в сущности квадрика а, рассматриваемая как огибающая своих касательных гиперплоскостей. Обозначим эту квадрику а*. Пусть Д —

матрица уравнения квадрики а относительно некоторого базиса пространства Е. Тогда Д-1 — матрица уравнения квадрики а* в двойственном базисе. Это уравнение называется тангенциальным. См., например, задачу 16.6.

В общем случае мы будем называть произвольную квадрику в Р(Е*) касательной квадрикой. Касательный пучок квадрик — это прямая в пространстве PQ(E*). Один способ построения касательных квадрик таков: нужно взять две собственные квадрики а, р и рассмотреть множество полярных гиперплоскостей точек из im(P) относительно квадрики а. Мы получим касательную квадрику, обозначаемую через ра, которая называется полярной квадрикой р относительно а. Если а — единичная сфера в евклидовом векторном пространстве, то мы возвращаемся к ситуации, описанной в 10.В, 11.В. Если взять базисы, как описано выше, то матрицей дляра будет АВ-1 А, где А (соотв. В) — матрица для а (соотв. для Р).

14.G. Группа квадрики ([В, 14.7])

Пусть q— уравнение квадрики а; группой квадрики а называется образ в Р(Е) группы О (<7). Группа квадрики обозначается через РО(а). Элементы группы РО(а), конечно, оставляют im(a) инвариантным. Теорема Картана— Дьедонне (см.

Рис. 14.G.

10.Е) показывает, что группа РО(а) порождается гомографиями [ пространства Р(£), которые определяются следующим образом. Для точки m из дополнения к im(a) сопоставим точке 1еР^ такую точку f (О» что /(/) лежит на прямой <m, f) и [m, <т, О Л m-S t, f (01 — —1- В случае квадрики с нейтральной

формой (п = 4), рассмотренном в 14.С, группа РО(а), транзитивно действует на прямые из двух семейств, порождающих образ квадрики.

ЗАДАЧИ .

КОМПЛЕКСНАЯ КВАДРИКА И МНОГООБРАЗИЕ ГРАССМАНА IX[В, 14.8.4]). Пусть С(п)—комплексная квадрика в размерности п (см. 14.С), т. е. единственная невырожденная квадрика комплексного проективного пространства Р”(С), задаваемая в п

однородных координатах уравнением У, z^ = 0.

Покажите, что квадрика С(п) гомеоморфна грассманову многообразию ориентированных прямых в пространстве Р'Чк), которое совпадает с множеством ориентированных двумерных векторных подпространств пространства R"+1.

ШЕСТЬ ТОЧЕК НА ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ КОНИКЕ ([В, 14.8.11]). Пусть а — собственная коника, (а, Ь, с} и {а', Ь', с'}—два авто- полярных треугольника относительно а. Покажите, что шесть точек а, Ь, с, а', Ь', с' принадлежат одной конике.

ГАРМОНИЧЕСКИ ВПИСАННАЯ КВАДРИКА ([В, 14,8,10]). Говорят, что собственная квадрика а' гармонически вписана в а, если tr (ф'-1 °ф) = 0. Дайте геометрическую интерпретацию этого условия.

Выведите отсюда, что два треугольника, автополярные относительно одной и той же коники, описаны около одной коники. Докажите также, что если существует треугольник, вписанный в конику С и описанный около коники Г, то каждая точка коники С, из которой можно провести касательные к Г, является вершиной треугольника, вписанного в С и описанного около Г (см. 16.Н и задачу 10.2).

Наконец, покажите, что окружность, описанная около треугольника, который описан около параболы, проходит через фокус параболы.

АФФИННЫЕ КВАДРИКИ

Всюду в этой главе X обозначает аффинное пространство конечной размерности п^1 над полем характеристики

Будем использовать (см. гл. 5) проективное пополнение Х = ^и°°х пространства X, где оох = Р (X) — бесконечно удаленная гиперплоскость.

15.А. Определения ([В, 15.1])

Полином на X степени ^ 2 (см. З.Е) называется аффинной квадратичной формой на X. Векторное пространство таких полиномов обозначим 0{Х). Символ q аффинной квадратичной формы qeQ^X) есть полином степени 2 на X. В произвольной векторизации пространства X можно написать q = q2 + ^1 + 90, где qgEK, qi—линейная форма и q2 = q.

Аффинной квадрикой в X называется такой элемент а проективного пространства QA(X)= P(Q(X)), что если а = р(<7), то ^^0. Если а = р(^), то говорят, что q— уравнение квадрики а. При п = 2 вместо термина квадрика используется термин коника. Образ а — это im(a) = qr"*(0).

Переходя от X к X, мы видим, что имеется биекция • между аффинными квадриками в X и такими проективными квадриками р = а в X, что im(P) не содержит оох. При этом соответствии если а = р(^), где q— уравнение квадрики а, то im(a) = = ini (а) П X и а П °°* = «•

Говорят, что а — собственная квадрика, если этим свойством обладает а; ранг квадрики a — это ранг а, а индекс a — это индекс а.

Уравнение q квадрики а в аффинном репере имеет вид

^ ацХ^, + 2 £ btxt + с, (1) где ^= У, ацхрС). Уравнение квадрики а получается введением '(п4-1)-й переменной t, которая превращает форму (1) в однородную:

■ У anXiXj + 2 у btxtt + ci2.

Ж(М)Ж(М)Рис. 15.В.1.Рис. 15.В.1.£ квадрикой а свяжем матрицы£ квадрикой а свяжем матрицыА = (а1;) и Л =А = (а1;) и Л =ЬхЬхАА61 ... Ь„61 ... Ь„Ь„сЬ„с

Ж(М)

Ж(М)

Рис. 15.В.1.

Рис. 15.В.1.

£ квадрикой а свяжем матрицы

£ квадрикой а свяжем матрицы

А = (а1;) и Л =

А = (а1;) и Л =

Ьх

Ьх

А

А

61 ... Ь„

61 ... Ь„

Ь„с

Ь„с

. 15.В. Приведение аффинных квадратичных форм ([В, 15.2, 15.3])

После соответствующего выбора базиса каждая квадратичная форма может быть приведена к одному из следующих видов;

Г

9 = £ «1*1 (все а( ф 0)тип I,

q = £ а,*, + 1 (все а, =/= 0)тип И,

Г

<7=£а^ + 2х„ (все а, =^ 0) тип III.

Этот факт позволяет классифицировать аффинные квадратичные формы для /( = .0 или R. В частности, если К = R и п — 2, мы получим три типа собственных коник с непустым образом. Эти коники называются эллипсом, гиперболой и параболой.

Рис. 15.В.2.

Rouche et de Comberousse. Traite de Geometric. — Gautier-Villars. Paris.

Если К = R и п=3, то мы получим пять типов собственных квадрик с непустым образом. Эти квадрики называются эллипсоидом, однополостным гиперболоидом, двуполостным гиперболоидом, эллиптическим параболоидом и гиперболическим параболоидом.

.С. Полярность ([В, 15.5])

Полярность относительно собственной аффинной квадрики а определяется как полярность относительно а; это есть отношение в X или, если угодно, в XU00* (см. 14.Е и гл. 5).

Легко видеть, что следующие три условия эквивалентны: квадрика а типа II, гиперплоскость оо* не касается X, полюс С = оо£ бесконечно удаленной гиперплоскости ие находится в бесконечности. В этой ситуации будем говорить, что а — центральная квадрика, ибо в действительности С=оо£ —центр симметрии образа im(a).

Если (|1, ..., Вл)—точка пространства X, то ее полярная гиперплоскость относительно квадрики с уравнением (1) из 15.А задается уравнением (см. 14.Е)

2 aij^iXi + 2 Ь, (В; + Х^ + С = 0.

Тогда уравнение центра (xiхл) имеет вид

2 o^Xf + bt = 0, i=\, ..., п.

Интересный случай полярности имеет место, когда ае оох. Если a — центральная квадрика, то полярная гиперплоскость а£ точки а является аффинной гиперплоскостью, проходящей через центр с, и образ квадрики а инвариантен под действием аффинного отражения относительно аффинной гиперплоскости а1 параллельно направлению а (см. 2.D). Гиперплоскость а1 называется диаметральной гиперплоскостью квадрики а, а при п = 2— диаметром. Возьмем п таких точек аь .... а„ в оох, что симплекс (с, а!ап} автополярен относительно квадрики а (см. 14.Е). Это означает, что точки а< попарно сопряжены относительно квадрики а. Говорят, что прямые, проходящие через точку с в направлениях а,, образуют множество сопряженных диаметров квадрики а.

Распространим понятие диаметра на квадрики типа III (типичный представитель — парабола) следующим образом: вместо того чтобы проходить через центр, все диаметры параллельны в направлении бесконечно удаленной точки квадрики а.

4 М. Берже а др.

.D. Евклидовы аффинные квадрики ([В, 15.6])

Согласно 13.В, каждая собственная аффинная квадрика в евклидовом аффинном пространстве в подходящем ортонорми- рованном базисе задается одним из следующих уравнений:

E^i- ^a^-V 1 или Е а^ —, Ё ^х^-^^

где все а, строго положительны. Эта квадрика называется эллипсоидом, если образ im(a) = 8> может быть записан в виде

8 = 8 ^ = {х еX: ^(х) = 1}, где q— положительно определенная квадратичная форма на векторизации Ха и а — центр образа 8.

В теореме Аполлония утверждается следующее. Пусть 8—эллипсоид с центром в точке а, а {m;}i=1 м „ — множество таких точек 8, что направления amt, i = lп, сопряжены (т. е. прямые <a, mt) являются сопряженными диаметрами эллипсоида 8 в смысле 15.С). Тогда для любого к сумма

^ Gram (т(1mt^ 4<-<ik

определителей Грама (см. 8.J) всех подмножеств из к точек

mt есть постоянная, зависящая только от q, но не от выбора точек пи. Особенно интересны случаи к = \ и к = п; см. задачи 15.3 и 15.4 и замечание 17.D.2.

ЗАДАЧИ

МЕТОД АРХИМЕДА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ ПАРАБОЛЫ ([В, 15.7.6]). Пусть C = im(a)—непустой образ собственной коники на плоскости, m—'точка на плоскости и <т, а), <т, Ь1) — две различные касательные к С в точках а и Ь, проходящие через т. Покажите, что прямая D = <m, (a + b)/2) является диаметром квадрики а и что касательные к а в точках CQO параллельны <а, Ь">. Покажите, что если a — парабола, то D всегда пересекает С, причем в середине отрезка, соединяющего т и (а+ 6)/2. Придумайте геометрический метод построения

последовательности точек на дуге параболы, если известны две ее точки и касательные к ней в этих точках.

Заметив, что площадь треугольника {/п, а', Ь^ на рис. 15.1 равна 1/4 площади {т, а, Ь}, докажите, что площадь заштрихованной части составляет 2/3 площади (т, а, 6} (этот предельный процесс восходит к Архимеду).

ЭЛЛИПСЫ И ПАРАЛЛЕЛОГРАМ-

Рис. 15.1.1,Рис. 15.1.1,МЫ. Покажите, что существуют такие эллипсы, вписанные в данный параллелограмм, что точки касания лежат в середине его сторон. В обозначениях рис. 15.2.1 докажите, что для такого эллипса всегда са= V2 ср.

Рис. 15.1.1,

Рис. 15.1.1,

15.3. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ЭЛЛИПСОИДАХ, I15.3. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ЭЛЛИПСОИДАХ, I

15.3. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ЭЛЛИПСОИДАХ, I

15.3. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ЭЛЛИПСОИДАХ, I

{[В, 15.7.9]). Пусть Q —образ эллипсоида в трехмерном евклидовом аффинном пространстве, а х — фиксированная точка внутри Q (см. 15.D). Возьмем три ортогональные прямые D, Е, F, проходящие через точку х. Точка пересечения Q с D обозначим через а, Ь, с Е — через с, d, а с F — через е, f. Покажите, что сумма

ха • xb хс- xd хе • xfпостоянна. Приведите примеры и обобщения.

Рассмотрим теперь три прямые D, Е, F, проходящие через гочку х и имеющие попарно сопряженные направления относительно Q. Точки пересечения Q с прямой D обозначим через а, Ь, с Е— через с, d, а с F— через е, f. Покажите, что сумма

ха • xb 4- хс • xd + хе • х/ постоянна.

МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ЭЛЛИПСОИДАХ, И ([В, 15.7.20]). Пусть 8— эллипсоид с центром в точке О в n-мерном евклидовом аффинном пространстве (см. 15.D). Рассмотрим множество {а<}<=1„ таких точек, принадлежащих <F,

что векторы Оа, ортогональны. Покажите, что

постоянна.

Воспользуйтесь этим фактом для нахождения огибающей гиперплоскостей, содержащих точки а,.

Используя полярность относительно сферы с центром в точке О (см. 10.В), покажите, что из предыдущего результата вытекает следующее утверждение. Геометрическим местом точек, в которых пересекаются п ортогональных гиперплоскостей, касательных к эллипсоиду, является сфера, называемая ортооптиче- ской сферой этого эллипсоида.

НОРМАЛИ К КВАДРИКЕ ИЗ ДАННОЙ ТОЧКИ ([В, 15.7.15]). Пусть Q — квадрика в трехмерном евклидовом аффинном пространстве и m — некоторая точка. Покажите, что число нормалей к Q, проходящих через т, в общем случае равно шести. Докажите, что основания всех нормалей к Q, проведенных из т, лежат на конусе второго порядка с вершиной в т, которому принадлежат центр квадрики Q и прямые, проходящие через т параллельно осям Q.

СОФОКУСНЫЕ КВАДРИКИ ([В, 15.7.17]). Рассмотрим в R3 семейство квадрик Q(X) с уравнениями

а2 + Х 62 + Х с2 + Х

где а > b > с. Выясните, сколько квадрик Q(X) проходит через заданную точку (х0, уо, £о). Покажите, что в случае, когда через некоторую точку проходят три квадрики Q(X), их касательные плоскости в этой точке попарно о тогональны (см. 1 .В. 17.DL

ПРОЕКТИВНЫЕ КОНИКИ

Во всей этой главе Р = Р(Е) — проективная плоскость над полем К характеристики =#2; положим Р* = Р(Е'). Точку теР мы часто будем отождествлять с ее однородными координатами (х, у, z).

Обычно будет фиксирована некоторая коника aePQ(£) и ее образ С = im (а) (в большинстве случаев а будет собственной с непустым образом); фиксируется также одно уравнение q для а. Пусть а — точка образа С. Касательная к С в точке а иногда обозначается (а, а).

16.А. Обозначения ([В, 16.1])

Общее уравнение коники будем записывать в виде

q = ох2 + ^уг + а"г2 + 2byz 4- 2b'zx + 2b"ху.

В зависимости от того, является ли треугольник р(1, 0, 0), </(0, 1, 0), г(0, 0, 1) вписанным в С, автополярным относительно С (см. 14.Е) или «бикасательным к С», мы имеем для коники три упрощенных уравнения, указанных на рисунке.

Напомним (см. 14.D), что пять точек определяют в общем случае в точности одну конику. Напомним также, что касательная к а в точке (хо, z/o, £о) или, более общо, поляра точки (хо, уо, z0) (см. 14.Е) имеет следующее уравнение:

ахрх + d'yoy+a"zoz + b (у^г + zoy) + Ь'(гйх + х^ + Ь" (хоу + z/gx)=0. Наконец, напомним, что вырожденная коника является либо парой различных прямых, либо «двойной» прямой (прямой «в квадрате»),

Хорошие параметризации ([В, 16.2])

Идея состоит в том, чтобы использовать нижеприведенную картинку для построения параметризации собственной коники С. Мы получим биекцию между элементами из т* (где те С, см. 4.В) и точками С, связывая с прямой Dem* точку в ОрС» отличную от т. Затем мы отождествим т* с К — К U оо (см. 5.А) для того, чтобы получить биекцию R-*C. Такая биекция называется хорошей параметризацией (для собственной коники). Существенный результат здесь состоит в том, что две хорошие параметризации отличаются только. на гомографию пополнения R.

Эквивалентное определение хороших параметризаций таково; они являются отображениями второй степени с образом С, т. е. имеют вид

(X, р) н-> («X2 + u'Xp + ы"р2, vX2 + v'Xp + v"p2,

wX2 + щ/Хр + оу" р2).

Эту формулу можно упростить, положив Х/р = t, при условии Что допускается значение / = оо = оок. Например, хорошей параметризацией коники х2— yz = 0 является (Хр, X2, р2) или, по-другому, (/, t2, 1).

16.С. Двойное отношение ([В, 16.2])

Поскольку понятие двойного отношения четырех различных точек имеет смысл в К (см. 6.А) и инвариантно относительно

гомографий, хорошие параметризации позволяют нам перенести это понятие на С и определить двойное отношение четырех точек пг, (/=1, 2, 3, 4), которое будет обозначаться по-прежнему символом

(mj = [mb m2, m3, тД

(или, если это необходимо, [mJ с). Это число равно двойному отношению четырех прямых <пг, nii) и, следовательно, не зависит от пг.

Из этого свойства вытекает ряд результатов: теорема Паскаля (см. также 16.2 и [В, 16.2.11]) и, по двойственности, теорема Брианшона, в силу которой три диагонали шестиугольника, описанного около коники, пересекаются в одной точке. Эти две

Рис. 16.С.2.

теоремы имеют много вырожденных случаев, см. рисунки. Наконец, мы видим, что если пг и пг'—две точки в Р, a f: m*-*m'*—• такая гомография, что Ц<пг, пг') )^ <т', т), то точка D()f(D), где D пробегает tn*, описывает конику, проходящую через пг и nV (см. 6.С).

16.D. Гомографии коник ([В, 16.3])

Используя хорошие параметризации, мы можем также перенести гомографии с R на С; они будут биекциями С-*С, сохраняющими двойное отношение. Они образуют группу, обозначаемую GP(C). Используя 6.D и 14.G, можно показать, что группа

Рис. 16.D.

GP(C) совпадает с ограничением на C = im(a) проективной группы РО(а).

Важный результат о гомографиях feGP(C) состоит в том, что, когда точки т, п пробегают С, точки <т, /(п)>П<п, /(^0) остаются на прямой, которая зависит только от f и называется осью гомографии. Очень хорош случай, когда f — инволюция: прямая <т, Цпг)> проходит через неподвижную точку, называемую точкой Фрежье инволюции f; она является полюсом оси f (см. построение полярной гиперплоскости в 14.Е).

Для того чтобы узнать, что такое </n, f(m)>, когда f не является инволюцией, см. задачу 16.5.

16.Е. Пересечение двух коник; теорема Безу ([В, 16.4])16.Е. Пересечение двух коник; теорема Безу ([В, 16.4])IVIV

16.Е. Пересечение двух коник; теорема Безу ([В, 16.4])

16.Е. Пересечение двух коник; теорема Безу ([В, 16.4])

IV

IV

' Пусть а — собственная коннка с непустым образом im(a)'=C, а а' — вторая, необязательно собственная, коника с образом С'. Используя, например, хорошие параметризации, можно определить порядок to(m) точки тЕС^С', который принимает целочисленные значения 1, 2, 3 или 4. Пусть ф— уравнение касательной к С в точке т. Если С' касается С в точке т, т. е. уравнение q' коники а' может быть записано в виде q' = ^^ + фф, где кЕК*, а ф— прямая, то м(щ)^2. Если С' соприкасается с С в точке т, т. е. q' = ^</+фф. где ф— проходящая через т прямая, то ©(/и)^3. Наконец, если q' = Л^ + ф2, то со(т) = 4; в этом случае говорят, что С' сверхсоприкасается с С в точке т.

В теореме Безу утверждается, что если поле К алгебраически замкнуто и {(тг, ю,)} — множество точек пересечения СП^ с учетом их порядков, то

Е ®/ = 4.

Возможны только пять случаев: (1, 1, 1, 1), (2, 1, 1), (2, 2), (3, 1), (4), и они нумеруются I, II, III, IV, V соответственно. В случае III говорят, что коники С и С' бикасаюциеся (см. задачу 16.5).

16.F. Пучки коник ([В, 16.5])

Напомним (см. 14.D), что пучок коник — это прямая в PQ(f) или (аналитически) множество коник с уравнениями Xq-Vx'q', где q, q'— два уравнения коник (предполагается, что по крайней мере одна из них собственная), а (Л, V) пробегает К. В случае алгебраически замкнутого поля пучок коник — это множество коник, пересекающих данную собственную конику С в фиксированном множестве {(т,, а).)} ее точек, причем ^ ©f= 4. Итак, имеется пять типов I, II, III, IV, V пучков (см.

рисунки в [В, 16.5]).

Вырожденные коники в этих пучках таковы: три пары прямых в случае I, две пары прямых в случае II, одна пара прямых и двойная прямая в случае III, одна пара в случае IV и двойная прямая в случае V; см. рис. 16.Е.

Напомним, наконец, важную теорему Дезарга (14.D); приложения см. в 17.С и [В, 16.5.5].

16.G. Касательные коники

Вспомним 14.F. Имеем пять типов I*, II*, III*, IV*. V* касательных пучков коник. Геометрически III = III* и V = V* (би- Касающиеся и сверхсоприкасающиеся коники; в случае I* см. задачу 16.6). Напомним, что матрица тангенциального уравнения обратна к матрице точечного уравнения.

16.Н. Большая теорема Понселе ([В, 16.6])

Это тонкая теорема, и ее доказательство достаточно сложно. Она применяется в случае алгебраически замкнутого поля. В ней утверждается, что если С и Г — такие две коники, что существует л-угольник, вписанный в С и одновременно описанный около Г, то найдется бесконечно много таких многоугольников и одну из вершин каждого из них можно выбрать на С произвольно. Простые частные случаи см. в задачах 10.2, 14.3 и 16.5.

Аффинные коники ([В, 16.7])

Уравнение аффинной коники имеет вид

ах2 + 2Ьху + су2 + 2dx + 2еу + f = 0.

Коника собственная, если

a b d

6 с е т^О.

def

Ее бесконечно удаленными точками являются прямые с угловым коэффициентом 0, удовлетворяющим уравнению

'а + 2Z>0 + с02 = 0.

ЗАДАЧИ

ТРЕУГОЛЬНИК, ОПИСАННЫЙ ОКОЛО КОНИКИ ([В, 16.8.2]). Покажите, что если а, Ь, с — треугольник, описанный около С, и а, Р, V—'Соответствующие точки касания, то прямые аа, Z>p, су пересекаются в одной точке. Используйте в своем доказательстве только аналитическую геометрию.

ТЕОРЕМА ПАСКАЛЯ ([В, 16.8.5]). Пусть С — произвольная коника и a, b, с, d, е, f — любые ее шесть точек. Тогда точки <а, 6> f| <d, е>, <b, с> П <е, f> и <с, d> f| <f, «> коллинеарны. Докажите этот результат аналитически, взяв проективный базис, образованный четырьмя из шести рассматриваемых точек.

Рис. 16.3.1,

ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ ДЛЯ КОНИКИ ([В, 16.8.6]). Пусть С — непустой образ собственной коники, а точки р, д, г таковы, что С касается рд в д и рг в г. Покажите, что для любых т, т С выполняется следующее равенство (см. 16.С):

к, г, т, пУс = \рд, рг, рт, рп].

КОММУТИРУЮЩИЕ ИНВОЛЮЦИИ ([В, 16.8.7]). Покажите, что две инволюции собственной коники с непустым образом коммутируют тогда и только тогда, когда и их точки Фрежье сопряжены (см. 16.D).

БОЛЬШАЯ ТЕОРЕМА ПОНСЕ ЛЕ ДЛЯ БИКАСАЮЩИХСЯ КОНИК ([В, 16.8.8]). Две коники С, С' мы называем бикасаю- 1цимися, если найдется такая прямая D не касательная к С, что д' -дЦ-kd2 для некоторого скаляра к, где д, д', d— уравнения С, С' и D соответственно (см. 16.Е). Отметим, что если поле К алгебраически замкнуто, то С и С' действительно касаются друг друга в двух различных точках.

Предположим, что поле К есть либо R, либо Ci (если это не так, то мы должны использовать алгебраическое замыкание К). Пусть )— неинволютивная гомография (отличная от тождественной) собственной коники С. Покажите, что множество прямых <tn, fim)), где т пробегает С, является множеством касательных к некоторой собственной конике, которая бика- сается С в вышеприведенном смысле. Докажите обратное утверждение. Для двух таких бикасающихся коник докажите большую теорему Понселе (16.Н).

Рис. 16.6.1,

КАСАТЕЛЬНЫЕ ПУЧКИ КОНИК ([В, 16.8.10]). На приведенном рисунке показано несколько коник, принадлежащих одному и тому же пучку. Докажите строго, что имеются области на плоскости, в которые не попадают никакие коники из этого пучка.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ КОНИК НАД КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ % [В, 16.8.16]). Изучите пересечение хг— у! = 0 и ху— z* = 0 над полем К, состоящим из трех элементов.

Глава 17

ЕВКЛИДОВЫ КОНИКИ

В этой главе X обозначает евклидову аффинную плоскость, X — ее проективное пополнение, Xе — комплексификацию X (см. 9.D) и {/, /} — круговые точки X. В общем случае С будет обозначать непустой образ собственной коники а из X.

17.А. Напоминания и обозначения ([В, 17.1])

Из 15.D известно, что имеются три возможных класса евклидовых аффинных коник: эллипс, гипербола и парабола. Только у параболы нет центра; она имеет единственную ось (ортогональной) симметрии и вершину. Эллипс и гипербола имеют центр и две оси ортогональной симметрии. Эллипс имеет четыре вершины (за исключением случая окружности), а гипербола две. В подходящем ортонормированном базисе уравнения коники имеют вид■

-^ + -fr ~ 1 = 0 (эллипс),

—1=0 (гипербола),

у2 — 2рх = 0 (парабола).

В случае а = Ь эллипс является окружностью. Гипербола при а = Ь называется равнобочной; ее асимптотические направления взаимно перпендикулярны.

Эллипс получается из окружности с помощью аффинного преобразования (х, у)*-^-(х, (Ь/а)х); этот факт полезен при решении многих задач; см., например, 17.2. Это аффинное преобразование дает для эллипса параметрическое представление it—»(acos/, frsin/), которое превращается в хорошую параметризацию (см. 16.В) при подстановке 6 = tg(//2).

Фокусы и директрисы ([В, 17.2])

Имеется соответствие между евклидовыми кониками (за исключением окружностей) и подмножествами плоскости вида {m: fm = е • d(m, D)},

где / — некоторая точка, a D— не содержащая ее прямая. Будем говорить, что f — фокус коники С, a D — соответствующая директриса (которая фактически является полярой точки /).

Константа е называется эксцентриситетом коники С; для парабол он равен 1, для гипербол больше 1 и для эллипсов меньше 1. Эксцентриситет зависит только от отношения а/b в уравнениях из 17.А или, эквивалентно, от отношения собственных

Рис. 17.В.Рис. 17.В.значенийзначенийматрицы А изматрицы А из15. А.

Рис. 17.В.

Рис. 17.В.

значений

значений

матрицы А из

матрицы А из

Для параболы пара (f, D) определена однозначно; для эллипса и для гиперболы имеются две пары (/, £)) и (f, D'). В этом случае, когда tn пробегает конику С, сумма mf -f- mf" (соотв. | mf — mf' |) постоянна для эллипса (соотв. для гиперболы) С. Справедливо также обратное утверждение. Точки /, f' называются фокусами коники.

Из формулы первой вариации (см. 9.G) вытекает, что касательная к эллипсу (соотв. к гиперболе) в точке m является внешней (соотв. внутренней) биссектрисой для ориентированных прямых mf, mf'. Во «второй малой теореме Понселе» утверждается, что на пло

скости для каждой точки т, через которую проходят две касательные к эллипсу или гиперболе С, две касательные и прямые <m,‘/>, (^i Г) имеют одни и те же биссектрисы.

17.С. Использование круговых точек ([В, 17.4, 17.5])

Обозначим через а проективную конику в Xе, полученную комплексификацией проективного пополнения а коники а (см. 15.А), На бесконечно удаленной прямой оо^ бесконечно удаленные точки коники а относительно круговых точек {/, /} (см. 9.D) могут занимать положения, представляющие особый интерес:

о — равнобочная гипербола тогда и только тогда, когда ее бесконечно удаленные точки сопряжены относительно {/, /};

о— окружность тогда и только тогда, когда ее бесконечно удаленные точки — это сами {/, /},.

Легко видеть, что из формулы Лагерра (ем. 8.Н) и постоянства двойного отношения (16.С) следует найденное нами в 10.D условие принадлежности четырех точек одной окружности. См. также задачу 16.3.

Комбинируя сказанное с теоремой Дезарга для пучков коник (см. 14.D) и взяв D в качестве бесконечно удаленной прямой в X, мы получим ряд результатов о пучках евклидовых коник: направления осей симметрии коники С — это такие точки, принадлежащие оо£, которые гармонически сопряжены относительно {/, /}, а также относительно бесконечно удаленных точек коники С;

всякий пучок коник содержит единственную равнобочную гиперболу, если он не состоит только из таких кривых;

пучок коник содержит окружность тогда и только тогда, .когда направления осей фиксированы; в частности, общие хорды имеют один и тот же наклон по отношению к осям и оси двух парабол пучка перпендикулярны;

барицентр четырех коцикличных точек параболы лежит на ее оси.

Фокусы С—это такие точки, касательные из которых к С ■содержат круговые точки, см. [В, 17.4.3].

.D. Замечания

Множество плоских коник (эллипсы и гиперболы), которые имеют два общих фокуса f, f', обладает некоторыми специальными свойствами. Оно образует касательный пучок (см. 14.F). Детали можно найти в [В, 17.6.3]; см. также задачу 15.6.

Из теоремы Аполлония (см. 15.D), примененной к частному случаю коник, вытекает, что площадь и сумма квадратов сторон параллелограмма, две стороны которого — сопряженные полудиаметры, для данного эллипса есть величина постоянная. Геометрическое построение эллипса по данным двум его сопряженным диаметрам см. в [В, 17.9.22].

ЗАДАЧИ

ХОРДЫ КОНИКИ ([В, 17.9.20]). Для данной фиксированной точки на конике рассмотрим все хорды, которые видны из этой точки под постоянным углом. Найдите огибающую этих хорд. Проанализируйте специальный случай прямого угла.

КОЦИКЛИЧНЫЕ ТОЧКИ И НОРМАЛИ К ЭЛЛИПСУ ([В, 17.7.3, 17.9.15, 17.9.10]). Рассмотрим эллипс в параметризации (a cos/, Z>sin/), где параметр / определен по модулю 2л, и положим 8 = tg//2.

{i) Покажите, что четыре точки, отвечающие значениям па-

раметра tu i= 1, 2, 3, 4, лежат на одной окружности (коцик- личны) тогда и только тогда, когда

/j 4* /2 *1* ^з 4- ^4 ^^ 0 (mod 2л).

(и) Пусть пи, I = 1, 2, 3, 4, — четыре точки на эллипсе; рассмотрим точки /7/, в которых соприкасающиеся окружности в точках mi пересекают эллипс (мы выбираем ni^mt, за исключением случая сверхсоприкосновения). Покажите, что если точки mi коцикличны, то этим же свойством обладают точки гц.

(Hi) Покажите, что нормали к эллипсу, проходящие через точки, отвечающие значениям параметра /,, i — 1, 2, 3, 4, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда соответствующие 0/ удовлетворяют следующим двум условиям:

0102 4" 0103 4- 0104 4* 0203 4* 0204 4* 0304 ~ 0»

. 61020304 = — 1 •

В этом случае ti 4- t^ 4- ^з 4- ^4 — л (mod 2л).

(iv) Если четыре точки эллипса являются основаниями пересекающихся в одной точке нормалей, то окружность, проходящая через три из них, пройдет также через точку, диаметрально противоположную четвертой (теорема Иоахимсталя).

КАСАТЕЛЬНЫЕ ОКРУЖНОСТИ К ДВУМ СОПРЯЖЕННЫМ ДИАМЕТРАМ ([В, 17.9.21]). Покажите, что окружности, которые касаются двух переменных сопряженных диаметров эллипса и центры которых лежат на этом эллипсе, имеют постоянный радиус.

КАСАТЕЛЬНЫЕ ЭЛЛИПСЫ К ОКРУЖНОСТИ ([В, 17.9.23]). Для данной окружности С в X и двух точек а, b на С рассмотрим эллипсы Е, которые касаются С, проходят через а и b и центры которых совпадают с серединой отрезка ab. Покажите, что все эти эллипсы имеют один и тот же эксцентриситет.

НОРМАЛИ ИЗ ТОЧКИ К ПАРАБОЛЕ ([В, 17.9.18.2]). Пусть т, т', т" — основания нормалей. Покажите, что нормали к параболе Р с основаниями в точках т, т', т" пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда барицентр (m + m' + m")/3 лежит на оси параболы Р, а также тогда и только тогда, когда окружность, проходящая через т, т', т", содержит вершину параболы Р. •

Глава 18

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ СФЕРЫ

Всюду в этой главе S = Sd обозначает единичную сферу в евклидовом пространстве Rd+1.

.А. Предварительные замечания ([В, 18.1—18.3])

Сфера является компактным связным топологическим пространством. При d ^ 2 она также односвязана, т. е. каждая замкнутая кривая на S может быть продеформирована в точку (этим свойством не обладают ни окружность S1, ни проективное пространство P"(R)).

Пересечение сферы S с двумерным векторным подпространством в Rd+‘ есть, большая окружность сферы S.

Рис. 18. А.

Для сферы S имеется много возможных представлений, из которых мы упомянем несколько. Во-первых, имеется стереографическая проекция сферы Sd без северного полюса (0, 0, ... .... О, 1) на гиперплоскость Rdc Rd+*. Эта проекция биективна и конформна, т. е. сохраняет углы. Ее определение ясно из приведенного рисунка.

Второе представление параметризует сферу S2 с помощью долготы и широты, т. е. углов ф и 0, таких, что

■X = COS ф cos 6, 0 = 8ШфСО3 0, z = sin0.

На сфере Sd имеется каноническая мера. Объем сферы относительно этой меры равен 2л в случае S1, 4л в случае S2, 2л2 в случае S3 и т. д. (общую формулу см. в [В, 9.12.4.8]), Площадь сферического треугольника с углами о, 0, у равна а + 0 + у — л (см. 18.С).

Внутренняя метрика на S ([В, 18.4, 18.5])

Метрика d^x, t/)=||x — у||, индуцированная на Sd метрикой пространства Rd+1, плохая, так как по отношению к ней расстояние от х до у нельзя реализовать как длину кривой с концами х, у (см. 9.G). С другой стороны, используя скалярное произведение, можно определить ху для х, yeS формулой '

cos(^) = (x|y).

Мы видим, что • • является метрикой на S; она называется внутренней метрикой сферы S. Такая метрика обладает всеми желательными свойствами и, в частности, является превосходной (см. 9.G): отрезок, соединяющий точки х, у, есть кратчайшая дуга большой окружности, проходящей через х и у (см. 18.А). Этот отрезок определен однозначно, за исключением случая у = —х, когда точки х и у являются антиподальными и отрезком служит любая из больших полуокружностей, соединяющих х и у.

_Справедливо строгое неравенство треугольника, т. е. xz = — ху-\-yz тогда и только тогда, когда точка у принадлежит отрезку с концами х, z; см. также задачу 18.3.

Группа изометрий сферы S (относительно внутренней метрики) совпадает с ограничением на S ортогональной группы O(d4- l)=O(Rd+i); см. 8.А.

.С. Сферические треугольники ([В, 18.6])

Тройка <х, у, г), состоящая из трех линейно независимых векторов в R3 с концами на S2, называется сферическим треугольником на S2. Угол в точке х, обычно обозначаемый а,— это угол (со значениями в интервале ]0, л [, см. 8.F) между векторами в точке х, касательными к дугам больших окружностей, соединяющим х с у и х с z. Он вычисляется по формуле

( У~(х\у)х I z-(x\z>x \'

° к Ну —(х|у)*ц I ||z-(x|z)xU‘

Пусть <х, у, г>— сферический треугольник; обозначим через 0 (соотв vr л пи вепш не и (соотв. zV Стооо ми то v ль-

XXРис. 18.С.1.Рис. 18.С.1.ника <х, у, z> называются как отрезки, соединяющие х с у, у с z и г с х, так и их длины, т. е. расстояния между каждой парой вершин. Стандартные обозначения таковы:

X

X

Рис. 18.С.1.

Рис. 18.С.1.

а = уг, b = zx, с = ху.

Имеет место основная формула сферической тригонометрии;

cos а = cos b cos с +

+ sin b sin с cos а. (1) Отсюда мы можем вывести строгое неравенство треугольника, а также формулы

sin а sin 0 sin у ,„. sin а sin 6 sin с ’' '

треугольника, стороны итреугольника, стороны иcos а = — cos р cos у +

треугольника, стороны и

треугольника, стороны и

+ sin р sin у cos a. (3)

Отметим, что синус, в противоположность косинусу, не однозначно определяет угол между 0 и л; см. 10.А. Заметим также, что площадь сферического треугольника равна а+Р+у—л (формула Жирара).

Для того чтобы два сферических

углы которых равны (а, Ь, с, а, р, у) и (а', Ь', с', а', р', у'}, были эквивалентны относительно изометрии сферы S2, достаточно, чтобы у этих треугольников были равны некоторые три элемента, например

а = а', b — b', с = с', нли

а = а.', Р = Р', у = у\ или b—b', с = с', а = а' и т. д.

[(Ср. со случаем подобия треугольников на плоскости R2 (10.А).)’

18.D. Параллелизм Клиффорда ([В, 10.12, 18.8, 18.9])

Это явление свойственно сфере S3. Будем говорить, что две большие окружности С, С' сферы S3 параллельны, если расстояние относительно внутренней метрики сферы S3 от точки теСдо С', т. е. d (m, С') = inf (mm': m' еС'}, не зависит от т. Легко видеть, что такие параллели существуют; примером

служат орбиты однопараметрической группы вращений, действующей в R4 с помощью матриц из 8.Е (для переменной 6 = т|).

Важный результат состоит в том, что для данной большой окружности С сферы S3 и точки т' (неортогональной к С в R4) существуют в точности две параллели С', С" к С в S3, проходящих через точку т'. Окружности С', С" в точке т' пересекаются под углом, равным 2а, где a = d(m', С). В частности, отсюда вытекает, что подмножество

A (a, С) = {m' е S3: d ^т'. С) = а}

для аб]0, л/2[, являющееся топологическим тором, содержит два однопараметрических семейства больших окружностей, параллельных С. Параллели одного семейства пересекаются с параллелями другого под постоянным углом, равным 2a. Две параллели одного и того же семейства не пересекаются; они зацеплены и параллельны одна другой.

Применяя стереографическую проекцию (18.А), чтобы перенести эту картинку в R3, мы получим следующий результат: на торах вращения в пространстве R3 имеется четыре семейства окружностей, а именно меридианы, параллели и два других семейства (называемых окружностями Вилларсо), которые образуют параллели в смысле Клиффорда на сфере S3. Через каждую точку тора проходит по одному представителю из каждого

Рис .18:D.Рис .18:D.

Рис .18:D.

Рис .18:D.

семейства, которые образуют между собой постоянные углы, равные (л/2, а, л/2, —а). Две окружности Вилларсо либо пересекаются, либо зацеплены. .

Окружности Вилларсо можно построить элементарным способом, разрезая тор косыми бикасательными плоскостями. Можно применить также теорию циклид: см. задачу 18.7 и 20.С, а также [В, 20.7.2].

Группа Мёбиуса ([В, 18.10])

Сфера Sd есть однородное пространство по отношению к

торая является группой Ли размерности d(d+l)/2. Эта большая группа, называемая конформной группой или группой Мёбиуса сферы Sd и обозначаемая Mdb(d), имеет размерность (d + I) (d + 2)/2. Ее можно определить несколькими эквивалентными способами.

Во-первых, она является группой конформных преобразований сферы Sd. Она также является группой преобразований, действующей на сфере Sd и порожденной O(d+ 1) и обратными образами при стереографической проекции векторных гомотетий пространства Rd. Кроме того, это есть группа преобразований сферы Sd, переводящих каждую подсферу в подсферу. Эта группа также образована ограничениями на Sd всех инверсий (см. 10.С) и отражений относительно гиперплоскостей пространства Rd+I, которые сохраняют Sd. Наконец, ее можно отождествлять с проективной группой квадрики о с уравнением — ?! Х< + Xd+2 '(см. 14.G) в P(Rd+2); это представление получается переходом к однородным координатам в аффинном уравиеиии 2 *i= 1.

сферы Sd {см. также гл. 15),

ЗАДАЧИ

СФЕРОМЕТР ([В, 18.11.1]). Пусть А обозначает три вершины равностороннего треугольника со стороной а, В — некоторая точка на перпендикуляре к плоскости треугольника.

проведенном через его центр, а е — расстояние от точки В до плоскости треугольника. Покажите, что радиус сферы, проходящей через В и три точки А, равен /? =(п2 + Зе2)/6е.

Можно построить прибор для измерения радиуса сфериче-- ской поверхности на основе приведенной выше формулы. В слу-

Рис. 18.1.2.

Из книги: Bouasse Н. Appareils de mesure (Delagrave, 1917).

чае устройства, изображенного на рис. 18.1.2, объясните действие системы рычагов в верхней части сферометра.

ЛОКСОДРОМЫ ([В. 18,11,3]). Напомним, что локсодрома, или линия постоянного курса, на земной поверхности — это кривая, которая пересекает меридианы под постоянным углом. В проекции Меркатора локсодромы изображаются прямыми линиями; они представляют траектории корабля, идущего постоянным курсом (см. [В, 18.1.8.2]). Покажите, что при стереографической проекции с центром в северном полюсе (18.А) локсодромы переходят в логарифмические спирали (см. 9.Е); см. также задачу 6.6.

НА СФЕРЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ СТРОГОЕ НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА ([В, 18.11.13]). Докажите, используя определители Грама (см. 8.J), что расстояния а, Ь, с между тремя точками х, у, г на сфере удовлетворяют неравенствам

16 — с|СаС6 с .

и равенство возможно только тогда, когда эти три точки лежат в одной плоскости (т. е. расположены на большой окружности, см. 18.А)..

УНИВЕРСАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ ДЛЯ РАССТОЯНИЙ МЕЖДУ ТОЧКАМИ НА СФЕРЕ 3d ([В, 18.11. 4]). Покажите, что если (^z)z-1d+2— любые d + 2 точек на сфере 3d, то расстоя

ния xtXj между ними всегда удовлетворяют соотношению 'det (cos (xzxy)) = 0.

.18.5. ПЛОСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ КАК ПРЕДЕЛ СФЕРИЧЕСКОЙ

ТРИГОНОМЕТРИИ ([В, 18.11.9]). Обобщите формулы (1), (2) и (3) из 18.С для случая внутренней метрики на сфере радиуса R. Затем выясните, что происходит с формулами, когда R стремится к бесконечности.

КАРДАННЫЕ СОЕДИНЕНИЯ, «ГОМОКИНЕТИЧЕСКИЕ» СОЕДИНЕНИЯ ([В, 18.11.16]). Рассмотрим карданное соединение (рис. 18.6.2), у которого угол между осями равен 6. Отношение мгновенных угловых скоростей двух валов является функцией угла между плоскостью одной из вилок и плоскостью, содержащей оси валов. Найдите самое плохое значение для этого отношения. Чтобы это сделать, возьмите две большие окруж

ности С, D на сфере S2, проходящие под углом 6, и на них две подвижные точки т(0, «(О, такие, что т (/) п (/) = л/2. Вычислите самое плохое отношение для 6 = л/3, л/4, л/6.

Докажите, что если два вала А, А* связаны карданными соединениями с промежуточным валом В, вилки которого расположены в одной плоскости, таким образом что А, В, А' лежат в одной плоскости и угол между В, А равен углу между В, Д' (гомокинетическое соединение), то А и А' имеют одинаковые угловые скорости.

Рис. 18,6.2.

циклиды ДЮПЕНА ([В, 18.11.19]). Пусть 2, 2', 2" — три сферы в пространстве R3. Докажите, что при некотором их расположении множество сфер, касающихся 2, 2', 2", имеет в качестве огибающей поверхность, которая получается из тора вращения инверсией относительно некоторой подходящей точки. Выведите различные свойства этих поверхностей. Они называются циклидами Дюпена, и мы снова с ними встретимся в 20.С.

Глава 19

ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ

ГЕОМЕТРИИ

.А. Эллиптическая геометрия ([В, 19.1])

Рассмотрим евклидово векторное пространство Е размерности d + 1 и ассоциированное с ним проективное пространство Р = Р{Е) с канонической проекцией р: ЕХ0-*-Р. Напомним, что Р — это множество (векторных) прямых в £ и, следовательно, факторпространство единичной сферы S(E) = {х е Е: ||х|| — 1} по отношению эквивалентности х ~ —х (склеиваются антиподальные точки).

Эллиптическое пространство, ассоциированное с Е, — это пространство Р, снабженное метрикой d (D, D'^^DD', где В В'— угол между неориентированными прямыми, который изменяется в пределах от 0 до л/2 (см. 8.F), Другими словами, если т, пеР и т = р(х), п = р(у), то тп определяется равенством cos (m/г) = | (х | у) |. Как функция расстояния ху на сфере S (см. 18.В) она удовлетворяет равенству

mn = inf {ху, х(—у)}.

Расстояние л/2 соответствует ортогональным прямым.

Так построенная метрика является превосходной и ее кратчайшие пути получаются проекцией дуг больших окружностей сферы S, длина которых не больше л/2; две точки можно соединить единственным кратчайшим путем, если расстояние между ними меньше л/2, и двумя в случае равенства. Группой изометрий пространства Р является проективная ортогональная группа РО(£) (см. 14.G).

, Что касается треугольников, то между эллиптической гео- ■ Метрией, с одной стороны, и евклидовой, сферической (18.С) и гиперболической (19.В) геометриями, с другой, имеется фундаментальное различие: в эллиптической геометрии два треугольника могут иметь одни и те же стороны, но не быть эквивалентными относительно изометрий пространства Р. Основная причина этого в том, что пространство Р неодносвязно (см. 18.А). Имеется два типа треугольников. Треугольники первого рода являются проекциями треугольников на сфере S, все стороны которых не больше л/2. Треугольники второго рода — это проекции множеств, образованных тремя кратчайшими путями длины не

I'I'Первый, родПервый, родРис. 19. А.Рис. 19. А.

I'

I'

Первый, род

Первый, род

Рис. 19. А.

Рис. 19. А.

более л/2, соединяющими некоторую точку с ее антиподом на сфере S. Например, с точностью до изометрии в пространстве Р имеется два треугольника, все три стороны которых равны л/3. Один из них является проекцией сферического треугольника со сторонами а = 6 = с = л/3 (и соответственно а = (3 = у, где cos а =1/3), а другой имеет в качестве вершин прямые, лежащие в одной плоскости с тремя прямыми, пересекающимися в одной точке, причем угол между любыми двумя из них равен л/3! См. задачу 19.1.

Гиперболическое пространство ([В, 19.2, 19.3])

Проективной моделью, или моделью Клейна, гиперболического пространства размерности п называется метрическое пространство, заданное на множестве

^ = {zg R": || 21|^ 1).

Расстояние d(z, z') в % определяется следующим образом. Пространство R"+* отождествим с шзоизведением R"XR и его элементы обозначим (z, 1)gR"X R = R"+*. Снабдим пространство К"*1 квадратичной формой q*.

а (г. /) = — II z II2 4-/2:

ее полярная форма равна P((z, /), (z', t'^ =—(z],/) +//'. По*, ложим

ch(d(z, z')) =" лк ® q (6)

где g = (z, 1), g'= (z', 1) и ch — гиперболический косинус.

Если и, v — точки пересечения прямой <z, г'} с единичной сферой S"*1 /границей ^), то d^z, z')= Vz | In [г, z', и, и] | (ср. с задачей 11.3); здесь двойное отношение берется на прямой <z, z'> (см. 6А).

Эта метрика является превосходной (см. 9.G): существует единственный кратчайший путь, соединяющий z и г', и он совпадает с евклидовым отрезком [z, z'] (относительно гиперболической метрики, конечно). Грума изометрий модели 98 обозначается G(n). Она совпадает с проективной группой РО(а) проективной квадрики а в P”(R) = P(R"+*), определенной с помощью квадратичной формы q (см. 14.G), и порождается преобразованиями, которые индуцируются в 98 ассоциированными с q отражениями относительно гиперплоскостей (см. 13.Е и 14.G). Эти отражения — инволютивные изометрии, неподвижные точки которых лежат в Н^\98, где Н— любая плоскость пространства R”, пересекающая 98. Если z, г' — различные точки в 98, то множество (z" е^: d^z", z)=d(z”, z')} всегда имеет вид Я()^; оно является гиперплоскостью, равноудаленной от z и г'. Делаем вывод (см. 9.F), что если (z^,^к и (z,)i=Iк — два таких набора к точек в ^, что при всех I, j d(zp z^d^, z^,

то найдется такая изометрия / еО(л), что / (z^ = z't при всех Л В частности, два треугольника «равны» тогда и только тогда, когда их стороны имеют одну и ту же длину (в противоположность 19.А; см. 18.0).

.С. Углы и тригонометрия ([В, 19.2, 19.3])

Труднее определить углы в ^. (Обычные евклидовы углы в ^cR" не годятся для нашей гиперболической метрики, так как они не инвариантны относительно группы G(n)l) Пусть ze98; рассмотрим два вектора и, и е R”, которые «касаются 98 в точке z». Мы хотим работать в пространстве Рп+1, так что возьмем g = (z, 1) и заменим и (соотв. и) на вектор й (соотв. и), ортогональный g относительно q (ср. с 18.0), который является линейной комбинацией g и (и, 0) (соотв. (и, 0)). Имеем

«-(“. ”)+т^6. 8 = (".°)+т^5-

Угол между и, и в точке г определим как такой угол ое|0, л];, .что.

Р (й, б)cos о =. _.

•¥?(«)<?(»)

Для данного треугольника Т = {х, у, г) в ^ мы можем теперь говорить о его сторонах а = d(y, z), b = d(z, х), с — d(x, у) и его углах а, р, у в точках х, у, г, где а — угол в точке х между векторами и — ху и и = хгв соответствии с приведенным выше

(1)(2)(3)(1)(2)(3)определением. Имеют место следующие формулы: ch а = ch b ch с — sh b sh с cos а, sin а sin р sin у

(1)

(2)

(3)

(1)

(2)

(3)

■sh а sh 6 she ’.

cos а = sin р sin у ch а — cos Р cos у.

Гиперболическое пространство $ имеет каноническую меру. Для этой меры площадь треугольника Т с углами а, р, у равна л — а— р — у (ср. с 18.С и 10.А).

19.D. Конформные модели Ч? и Зв ([В, 19.6, 19.7])

В проективной модели углы имели сложное определение; мы хотели бы в некотором смысле связать их с евклидовыми углами. Для этого определим биекцию S: ^-►^ как композицию

Рис. 19.D.1,Рис. 19.D.1,

Рис. 19.D.1,

Рис. 19.D.1,

S «= f о g отображения g: г н-► (z V1 — || z ||2) из ^? в R"+l и стереографической проекции f сферы S” cz R"+1 из северного полюса на R" (см. 18.А). Затем, используя обратный образ метрики пои отображении S. получим новую гиперболическую мет-

рику в шаре ^; с этой новой метрикой шар будет называться конформной моделью или моделью Пуанкаре и обозначаться <@. В модели ^ углы совпадают с евклидовыми углами. С другой стороны, кратчайшие пути не являются больше евклидовыми отрезками прямых; теперь это дуги окружностей, которые пересекают границу S"-1 шара ^ под прямым углом.

Другая модель 36, называемая полупространством Пуанкаре, получается из ^ применением инверсии относительно точки, расположенной на границе полупространства 36. Она все еще является конформной, а ее кратчайшие пути — окружности.

ЗАДАЧИ . ■

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ РАВНОСТОРОННИЕ МНОЖЕСТВА ([В, 19.8.24]) Равносторонним множеством в метрическом пространстве называется любое такое множество V^Ai^x ,,.,п» что все расстояния d(mi, nij) (i < j) равны между собой. Покажите, что эллиптическая плоскость Р содержит равносторонние подмножества из трех точек, попарные расстояния между которыми могут принимать любые значения от 0 до л/2. Классифицируйте их относительно действия группы Is(P). Докажите, что Р содержит равносторонние подмножества из четырех точек с попарными расстояниями, равными arc cos (1/V 3) или arc cos (1/V5). Изучите их поведение относительно действия группы Is(P). Покажите, что с точностью до изометрии плоскость Р содержит в точности одно равностороннее подмножество из пяти точек и одно из шести точек, причем, попарные расстояния в обоих мВо- жествах равны arccos(l/V5)-

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ С ТРЕМЯ ПРЯМЫМИ УГЛАМИ ([В, 19.8.7]). Вычислите на гиперболической плоскости четвертый угол четырехугольника, у которого три угла прямые, а длины сторон, соединяющих два прямых угла, равны а и Ь.

УНИВЕРСАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ ДЛЯ РАССТОЯНИЯ В ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ ([В, 19.8.16]). Докажите, что в n-мерном гиперболическом пространстве для любых «4-2 точек Zi (t = l, .... «4*2) выполняется соотношение

det (ch [d^, zy)]) = 0.

ПРАВИЛЬНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ ([В, 19,8.20]). Пусть п^3 — целое число. Мы хотим изучить на гиперболической плоскости такие n-угольники, что все их стороны равны между собой, а все углы имеют величину 2л/п. Для всякого ли п существуют такие многоугольники? Определены ли они однозначно с точностью до изометрии?

Глава 20

ПРОСТРАНСТВО СФЕР

.А. Пространство сфер ([В, 20.1])

Фиксируем n-мерное евклидово пространство Е и через Q(£) обозначим пространство аффинных квадратичных форм q на Е; q как элемент Q(5) будет символом формы q. Сфера задается формой q, записанной в виде

9 = А||.|р + («|.) + А,

где аеЕ и к, А е R. Это действительно сфера, если А^О и ||а||2 > 4АА. Если А#=0 и ||а||2 = 4АА, то образом является одна точка (сфера нулевого радиуса). Если ||а||2 < Мгк, то образ пуст и мы говорим, что q представляет сферу «мнимого радиуса». При к = 0, h^O получим гиперплоскость (если а=/=0), а при к = 0 и а = 0, h =#0— бесконечно удаленную точку пространства Е.

Рассмотрим теперь в Q(£) векторное подпространство таких форм q, что 9 = &||-||2; обозначим его S(£). Взяв проективи- зацию, получим S(Е) = Р (S(£)). Каноническую проекцию обозначим р; S(E)\0->S(E). Таким образом, мы можем отождествить истинные сферы пространства Е с подмножеством 2 в S(E'), аффинные гиперплоскости с подмножеством @, а сферы нулевого радиуса с самим пространством Е. Дополнение к SU®U£ в 8(E) состоит из сфер мнимого радиуса и еще одной точки, отвечающей уравнению q = 1. Обозначим эту точку оо и назовем ее бесконечно удаленной точкой пространства Е. В отличие от построений гл. 5, достаточных для нужд линейной геометрии, в которой имеется целая гиперплоскость бесконечно удаленных точек, наша конструкция дает в бесконечности только одну точку, одну и ту же по всем направлениям. Это новое пополнение пространства Е будем обозначать £ = £U0°.

Каноническая квадратичная форма ([В,20.2])

Вышеизложенную конструкцию делает полезной введение канонической невырожденной квадратичной формы в S^E), откуда следует существование собственной квадрики в S(E) =

5 М. Берже и др.

= P(S(E)) (см. 14.А). Эта квадратичная форма, обозначаемая р, представляет квадрат радиуса:

Р (А II • II2 + («| .) + А)=^^-.

Ее полярная форма R имеет вид

R (АII • II2 + («I •) + A, А'|| • ||2 + (а'| •) + А') =

= |(а[а')-2(А'А + АА').

С формой р связана проективная квадрика, также обозначаемая р. Ее образ есть в точности В. Ассоциированная с ней проективная группа РО(р) фактически является группой Мёбиуса

МбЬ(/г) (см. 18.Е), если выбрать подходящее отождествление В и Sn.

Естественно рассмотреть отношение полярности относительно р (см. 14.Е). Касательная гиперплоскость к £ в оо есть в точности 0 (с присоединенной бесконечностью). Точки сферы seS(E) представляются как точки пересечения полярной гиперплоскости сферы s с £ (см. рисунок). Центр сферы $ есть точка пересечения (отличная от оо) прямой <s, оо> с £. Две сферы (включая гиперплоскости) ортогональны (см. 10.В) в точности тогда, когда они изображаются сопряженными относительно р точками. Более общо, угол между двумя сферами (включая гиперплоскости) — это вещественное число [s, s') в

Рис. 20.3.1,

Из книги: Koenigs Gabriel. Lemons de cinematique (A. Hermann, 1897).

интервале (0, л/2], которое определяется из следующего соотношения:

cos ([s, s']) = -т=^===-,

Vp (?) P (9')

где q (соотв. q')— уравнение сферы s (соотв. s').

Заметим, что истинные сферы — это точки пространства S(£), которые лежат «вне» Ё. Внутренние точки представляют собой мнимые сферы (они, как оказывается, являются моделями гиперболической геометрии, см. 19.В).

Пучки сфер — это (проективные) прямые в S(f). Они различаются в зависимости от того, пересекает или нет данная прямая пополнение Ё; см. [В, 20.5.6].

Приведенная выше конструкция позволяет продолжить инверсию на пополнение Ё: полюс с отображается в оо, а оо — вс. Инверсии — это фактически такие элементы группы РО(р), которые являются отражениями относительно гиперплоскостей; это означает, что они порождают конформную группу Mdb(n) сферы 5".

20.С. Полисферические координаты ([В, 20.7])

Поскольку пространство Е вложено в $(£"), мы можем описывать его точки, используя однородные координаты в проективном ПРОСТОЯН Т S(E\ (таким nfinaanu О

странстве Е заданы п + 2 координат); при выборе базиса предпочтение отдается такому, в котором р диагональна. Такие координаты называются полисферическими. Циклиды— это такие гиперповерхности в Е, которые являются квадриками в поли- сферических координатах; они представляют собой алгебраические гиперповерхности четвертой степени. Циклиды Дюпена — это те из них, которые имеют два равных коэффициента. Тор вращения является частным случаем циклиды Дюпена; см. задачи 18.7 и 20.2. Некоторые циклиды содержат шесть семейств окружностей; [В, 20.7.2].

ЗАДАЧИ

КАСАТЕЛЬНАЯ ГИПЕРПЛОСКОСТЬ К im (s) В ПРОСТРАНСТВЕ СФЕР ([В, 20.8.1]). Постройте геометрически касательную гиперплоскость к im(s) в S^E).

ТОР КАК ЦИКЛИДА ДЮПЕНА ([В, 20.8.5]) Покажите, что тор является циклидой Дюпена (см. 20.С).

ТЕОРЕМА ДАРБУ ([В, 20.8.7]). Если три точки на прямой описывают три сферы, центры которых коллинеарны, то любая точка данной прямой также описывает сферу с тем же свойством или, возможно, плоскость для одной исключительной точки. Найдите связь между четырьмя точками на прямой и четырьмя центрами сфер, которые они описывают.

УКАЗАНИЯ

Глава 1

Используйте отражения относительно середин сторон.

Каждую из пяти указанных групп движений можно рассматривать как расширение посредством вращения ее подгруппы трансляций, которая является свободной абелевой группой. Таким способом мы получаем полупрямое произведение свободной абелевой группы и циклической группы; теперь можно найти представление для каждой из пяти групп.

Отметим, что плитки подходят друг к другу только в том случае, если они образуют рисунок «в клеточку». Сначала нужно посмотреть, что происходит в углах квадратов, затем дополнить анализ изучением асимметричных вырезов. Можно также сделать некоторое количество фотокопий плиток и попробовать заполнить ими плоскость.

Глава 2

Для доказательства теоремы Менелая рассмотрите композицию гомотетии с центром в точке У, переводящей точку b в точку а, и гомотетии с центром в точке Ь', переводящей а в с. Найдите центр такой гомотетии.

Для доказательства теоремы Чевы выберите подходящий аффинный репер и проведите вычисления в полученных координатах.

Для развлечения докажите каждую теорему, исходя из другой и пользуясь свойством полного четырехугольника (6.В).

Сведите задачу к случаю, когда У нульмерно (т. е. точка). Можно также свести эту задачу к случаю сферы ([В, 18.2]).

Примените цепное правило к композиции foe. Чтобы найти кривизну коник, выберите параметрические представления (a cos/, b sin /) для эллипса, (/, /2) для параболы и (a ch/, b sh /) для гиперболы.

Чтобы доказать существование и единственность кривой с кривизной, заданной как функция длины дуги, рассмотрите дифференциальное уравнение.

>' (а) + К(а) (а) = 0.

Глава 3

Будьте аккуратны в случае р = 2!

Отметим, что барицентрические координаты точки треугольника пропорциональны площадям трех малых треугольников с общей вершиной в этой точке.

В случае четырехугольника двумя различными способами разделите его на два треугольника.

Рассмотрите различные типы точек, которые могут возникать при подразделении, и во всех возможных случаях оцените расстояния между ними.

Рассмотрите векторизацию в точке, затем поменяйте точку.

Заметим, что все частные производные порядка р функции $ являются однородными функциями степени к—р.

Глава 4

Заметим, что точка с проективными координатами (1, 1, .... 1) принадлежит всем картам.

Заметим, что определитель автоморфизма —Id пространства Rn+* равен (—1)"+1.'

Примените соотношения двойственности в векторных пространствах, позволяющие найти ортогональные дополнения к пересечению и сумме подпространств.

Пересчитайте упорядоченные р-иаборы свободных векторов.

Выберите проективный репер, содержащий четыре вершины первого тетраэдра (a, b, с, d). Рассмотрите матрицу гомографии, переводящей а в а', Ь в Ь', с в с' и d в d'.

Глава 5

Воспользуйтесь теоремой Дсзарга {см. 5.D или [В, 5.4.3]) для первой части; для второй части примените первую.

Для случая трех точек примените теорему Паппа (см. 5.D или [В, 5.4.2]), для случая коники и точки — теорему Бри- аншона (см. 16.С). В последнем случае можно также проективным преобразованием перевести рассматриваемую фигуру в аффинную конику с центром в рассматриваемой точке и воспользоваться существованием аффинных отражений относительно диаметров (см. 15.С),

Глава 6

Отправьте в бесконечность точку и или о.

Продифференцируйте двойное отношение четырех решений.■

Используйте перспективу (см. 4.F).

Для установления первого соотношения выберите подходящие проективные координаты. Затем воспользуйтесь существованием гомографии, переводящей один проективный репер в другой.

Глава 7

Вложите Е в Ношв(С; Е), сопоставляя каждому хеЕ отображение s: .0,-^Е, такое, что s(l) = x и s(t) = O.

Глава 8■

Воспользуйтесь общим ортогональным базисом для форм Ф и ф (см. 13.В).

Воспользуйтесь внутренней метрикой на сфере 5(E) (см. 18.В) и рассмотрите расстояние между серединами больших окружностей, соединяющих х с f(x) и Цх) с f(f(x)).

Задача сводится к нахождению корней n-й степени из комплексного числа. .■ ■

Рассмотрите композицию ои ° ат ° 0s отражений as, ат, аи относительно прямых S, Т, U соответственно (см. 8.С).

Используйте тот факт, что единственный автоморфизм пространства R есть тождественный автоморфизм.

Выберите подходящий базис. Интерпретируйте определители Грама как площади (см. 8.J).

Глава 9

Рассмотрите такую тройку неколлинеарных точек, что расстояние от одной из них до прямой, проходящей через две другие, минимально среди всех таких расстояний.

В случае если X не плоскость, просчитайте и определите тип получающейся квадрики.

Рассмотрите максимум функции периметра на топологическом произведении С” кривой С, взятой п раз. Нужно ограничиться подходящим замкнутым подпрост анством компакта С".

Для прямых подобий используйте точку <а, 6) П (а', Ь'Х а для непрямых — геометрическое место точек, для которых отношение расстояний до двух фиксированных точек постоянно.

Начните с построения квадрата, две вершины которого лежат на двух сторонах треугольника и одна сторона параллельна третьей стороне треугольника.

'9.6. Используйте величину р2 + 2р/2 — рр", посредством кото

рой определяется выпуклость кривой р(0) в полярных координатах.

Глава 10'

Применительно к части (iv) напомним, что объединение двух прямых есть коника и что две прямые М, N ортогональны в том и только в том случае, если их бесконечно удаленные точки оом, <х>,у удовлетворяют соотношению [оо^, оо#, /, /] = —1, где {/, /} — круговые точки (8.Н).

Определите расстояние между центрами, рассматривая треугольник, который они образуют вместе с какой-нибудь вершиной; воспользуйтесь формулами из 10.А. Не отступайте! Для доказательства обратного утверждения нужно воспользоваться тем, что уже доказано, и достаточно тонким рассуждением о единственности.

Используйте свойство отражения относительно прямой переводить ориентированный угол между прямыми в противоположный ему (см. 8.F).

Рассмотрите две прямые с заданным свойством и, применяя 10.D, найдите коцикличные точки.

На роль минимума имеется очевидный кандидат!

Покажите, что диагональ АС проходит через однозначно определенную точку окружности с диаметром [a, d],

Для начала докажите, что с помощью одного только циркуля можно построить образ данной точки при действии инверсии, для которой заданы центр и инвариантная окружность. Затем, соответствующим образом подбирая инверсии, используйте эту конструкцию для решения задачи.

Докажите цепочку теорем по индукции, взяв за основу теорему Мигеля о шести окружностях; см. 10.D..

Для того чтобы убедиться, что таким образом можно получить все рациональные числа из [0, 1], следует показать

индукцией по /, что любая точка из [0, 1] вида i//, где i и / -взаимно просты, есть точка касания оси х и окружности Форда радиуса 1/2/2.

Глава 11

Рассмотрите общую границу областей и индуцированное на ней разбиение.

Введите в рассмотрение опорную прямую в точке из замыкания множества крайних точек.

Сначала используйте задачу 6.1 для доказательства того, что метрика на открытом интервале ] и, у [ изоморфна метрике на R. Затем примените отображения перспективы (4.F; напомним, что они сохраняют двойное отношение!).

Вычислите логарифмическую производную для Р, записанного в виде произведения мономов; еы получите, что корни Р' являются линейными комбинациями корней многочлена Р с положительными коэффициентами. Для исследования эллипса примените малую теорему Понселе (17.В); углы при этом следует рассматривать как аргументы комплексных чисел.

Глава 12

При первом построении свободно пользуйтесь свойствами вписанных и центральных углов (10.D), что же касается второго построения — исследуйте результат складывания листа бумаги.

Напомним, что G(P), группа изометрий полиэдра, действует просто транзитивно на «-наборах из 12.С.

Вычислите объем как интеграл от площади поверхности сечений, параллельных плоскости, перпендикулярной D.

Для вычисления площади поверхности можно использовать первую формулу из 12.В и рассмотреть члены первой степени по X в ее разложении в ряд.

Используйте теорему Аполлония (15.D) и 10.В.

Представьте выпуклое множество через его опорную Функцию h, т. е. как огибающую семейства прямых х cos / + + ^sin t = h{t) («уравнение Эйлера», |В, 11.8.12.5]); воспользуйтесь также утверждением о том, что в случае опорной функции h радиус кривизны равен й(/)+А"(О-

Глава 13

Используйте несингулярное пополнение J13.E).

Воспользуйтесь классификацией для случая размерности 1 в терминах А/(А*)2 (см. 13.В).

Подумайте о простых числах.

Примените 13.F.

В пространстве Артина Art2s, отнесенном к подходящему базису, рассмотрите отображения / с матрицами вида

/7 S\

\о U*

Установите, каким ограничениям должна удовлетворять матрица S.

Глава 14

Ортонормированной паре (х, у) векторов пространства R^1, которая порождает ориентированную плоскость, поставьте в соответствие вектор х -f- iy пространства .С"+1.

Примените теорему, приведенную в 14.Е, о гармонически описанных квадриках.

Примените 14.Е, 14.F и предыдущую задачу.

Глава 15

■ 15.1. Используйте полярность относительно С и свойства бесконечно удаленных точек. Площадь параболы может быть получена применением бесконечной геометрической прогрессии.

Считайте параллелограмм квадратом!

Вычислите произведение корней уравнения ^(х-|-Хм) = = 1, где и — единичный вектор. Затем примените теорему Аполлония (15.D).■■

Начните как в предыдущей задаче, затем воспользуйтесь тем фактом, что след матрицы инвариантен относительно сопряжения. Наконец, примените полярность относительно сферы (10.В).

Вычислите коэффициенты уравнения такого конуса в подходящей системе координат.

Вычисляйте с конца; найдите формулы, которые дают координаты точек пересечения Q(u), Q(u), Q(tv), где и, v, w таковы, что Q(u) (соотв. Q(u), Q(w)) является эллипсоидом (соотв. однополостиым или двуполостным гиперболоидом), см. 15.В.

Глава 16

Рассмотрите уравнение х2— yz = 0, когда а = (1,0,0), р = (0, 1, 0), 7=(0, 0, 1).

Возьмите подходящее параметрическое представление С(16.А).

।16.4. Рассмотрите полный четырехугольник (6.В).

'16.5. Используйте такую параметризацию (si, s2, /2), что две

различные фиксированные точки (если понадобится, в комплек- сификации) находятся в (0, 1, 0) и (0, 0,1). Для доказательства теоремы Понселе об zi-угольниках рассмотрите /i-кратную композицию /л отображения / с самим собой.■

Обратитесь сначала к случаю коник, касающихся четырех прямых, чьи уравнения в аффинном репере особенно просты.

Не забудьте рассмотреть касательные к полученным точкам пересечения.

Глава 17

Используйте задачу 16.5 или аналитические вычисления.

Часть (i). При геометрическом доказательстве сначала показывают, что две хорды, определенные четырьмя коциклич- ными точками, имеют один и тот же наклон к осям эллипса (используйте 17.С). Затем переходят к параметру / на окружности (a cos/, a sin /). Аналитически можно написать уравнение четвертой степени, дающее точки пересечения эллипса с окружностью х2 + У2 + 2ах + 2Ру + у = 0. Затем используется связь между коэффициентами этого уравнения и его корнями.

Часть (ii). Используйте тот факт, что соприкасающаяся окружность пересекает эллипс в точке касания с кратностью 3.

Часть (Hi). Для данной точки найдите угол 6, отвечающий основанию каждой нормали к эллипсу, проходящей через данную точку.

Используйте задачу 15.4 в случае л = 2.

Тщательно выбирайте вашу систему координат. Получив уравнение эллипса с центром в начале координат, заметьте,

что эксцентриситет определяется отношением квадрата следа к определителю уравнения.

Рассмотрите параметризацию с помощью хорошо выбранной координаты и используйте соотношения между корнями и коэффициентами уравнения третьей степени, которое дает основания нормалей.

Глава 18

Вопрос о функции рычагов относится к физике!

Воспользуйтесь тем, что стереографическая проекция сохраняет углы.

Используйте определитель Грама данных d + 2 точек пространства R^1.

Используйте первый член разложения функций sin н cos по степеням 1//? в окрестности нуля.

Примените основную формулу сферической тригонометрии к треугольнику, образованному т(/), п(1) и пересечением окружностей С, D. Продифференцируйте полученную формулу по параметру t, для того чтобы найти соотношение между скоростями осей.

Рассмотрите плоскость, содержащую центры сфер 2, 2', 2", и предположите, что сечение каждой из трех сфер этой плоскостью касается двух непересекающихся окружностей. Используйте инверсию, для того чтобы преобразовать эти две окружности в концентрические окружности (10.D). Затем найдите два однопараметрических семейства сфер, огибающими которых является тор. Примените также свойства окружностей Вилларсо (18.D), для того чтобы найти четыре семейства окружностей на циклидах Дюпена. Изучите углы между ними.

Глава 19

Рассмотрите подъем равностороннего множества в проективном пространстве на сферу (остерегайтесь двух различных возможных типов треугольников, 19.А). Учтите, что, по всей вероятности, некоторое отношение к решению этой задачи имеют правильные полиэдры.

Разделите четырехугольник на два и примените формулы из 19.С.

Воспользуйтесь аналогом метода определителей Грама (8.J), приспособленным к квадратичной форме, которая определяет гиперболическое пространство (19.В).

Предположите, что решение известно, и начните с центра многоугольника. '

Глава 20

Напишите декартово уравнение тора. Подумайте, как перейти от декартова уравнения к уравнению в пространстве сфер.

Работайте в векторном пространстве R3. Придумайте гомографию, которая переводит три точки на прямой в центры описываемых ими сфер. -

РЕШЕНИЯ

Глава 1

Первое упражнение в 1.Н: см, рис, 1.1.1—1.1,5.

Второе упражнение в 1.Н: см. рис. 1.II.6—1.П. 10.

Рис. 1. II. 6.Рис. 1. II. 6.Рис. 1.П.7,Рис. 1.П.7,

Рис. 1. II. 6.

Рис. 1. II. 6.

Рис. 1.П.7,

Рис. 1.П.7,

Рис. 1.11.9.

Рис. 1.IL 10.

Из приведенных рисунков ясно, что ответ во всех трех случаях положителен. Основную роль во всех рассматриваемых случаях играют отражения относительно середин сторон. В случае четырехугольника они являются образующими (группы индекса 2) решетки, состоящей из параллельных переносов, по-

скольку середины сторон четырехугольника всегда образуют параллелограмм; см. З.В или [В, 3.4.10].

Существует более простой способ решения этой задачи: прежде всего заметим, что фигура, образованная треугольником и его отражением относительно середины одной из сторон, является параллелограммом. Очевидно, что параллелограммами плоскость замостить можно. В случае четырехугольника достаточно разрезать его на два треугольника и использовать сделанное выше замечание.

Необходимо проверить две аксиомы:

U g^) = E.

g Е О

Затруднения могут быть связаны лишь с доказательством включения Ес U g(P)- Пусть х— фиксированная точка в Е geG

и В — круг с центром в точке х и радиусом d(x, а)+1. Поскольку {g(a): ge 6} —дискретное множество, его пересечение с В конечно. Значит, существует такой элемент geG, что d(x, g(a))^. d^x, h(a)) для любого /ieG. Поскольку g —изометрия, применение g-1 ко всем этим точкам не изменяет отношения между расстояниями;

MhcG d (g-1 (х), а)< d (g-1 (х), g~x о Л (а));

поскольку G— группа, это означает также, что

Nik е G d (g-1 (х), а)< d (g-1 (х), к (а)).

[Таким образом, g*'^eP или xsg(P).

Я(^)ЛЛ(Р)^ 0=*^(Р) = й(П

Поскольку g— изометрия, можно написать

Оледовательно, yegAfW^Оледовательно, yegAfW^g (Р) = {g (х): d (х, a) <d (х, к (a)) Nik г G \ Id} = = (у: d (у, g (a)) <d(y, к (a)) Nik г G\g}.

Оледовательно, yegAfW^

Оледовательно, yegAfW^

dky, g(a))<d(y, к^ Nfk^G\g\ d(y, h^<d(.y, k(a)) Vk<=G\h)

=> g (a) = h (a).

Поскольку g (P) = ^y: d (y, g (a)) < d (z/, к (a)) N/k <= G}, из предыдущего результата следует, что g(P) = h^PY

Пример. В случае группы параллельных переносов получаем фигуру, изображенную на рис. 1.2.1.

Замечание. Форма и размеры фундаментальной области существенным образом зависят от выбора а. Приводимый рисунок

Рис. 1.2.2.Рис. 1.2.2.

Рис. 1.2.2.

Рис. 1.2.2.

иллюстрирует это обстоятельство: штриховкой выделены фундаментальные области, соответствующие трем различным выборам а и группе, порожденной вращениями на угол 2л/3 вокруг точки Щ и отражениями относительно прямой D, не содержащей точки т.

1.3.

Группы собственных движений: стабилизаторы и орбиты

В общем случае группа G содержит нормальную подгруппу Г, которая состоит из всех параллельных переносов из G, и при этом соответствующая факторгруппа конечна. Пусть выбраны представители g\, ..., gp классов смежности GmodT. Если а — точка на плоскости, то ее орбита Ga есть объединение орбит точек gta относительно действия группы параллельных переносов Г, так что все орбиты должны выглядеть более или менее одинаково: как объединения конечного числа изометричных решеток. Существенные различия могут быть связаны только о

Рис. 1.3.1.

числом таких решеток: оно уменьшается, если стабилизатор а нетривиален.

z Действительно, факторгруппа G/Г действует на множестве X решеток; это действие транзитивно, и стабилизатор решетки, содержащей точку а (в G/Г), представляет собой образ в G/Г стабилизатора точки а в G. Поэтому число различных решеток равно Ф(С/Г)/фОа.

Перейдем к рассмотрению примеров.

Группа 1. О = Г, так что все стабилизаторы тривиальны, а все орбиты являются решетками.

Группа 2. Ф(О/Г) = 2. Только вершинам и серединам малых сторон фундаментальной плитки соответствуют нетривиальные стабилизаторы, которые содержат вращения на 180°. Орбиты состоят, вообще говоря, из двух решеток, но имеются две специальные орбиты, каждая из которых содержит только одну решетку. .

Группа 3. ф(О/Г) = 3. Только вершинам плитки соответствуют нетривиальные стабилизаторы, которые порождаются вращениями третьего порядка. Имеется четыре особенные орбиты. ■

• Группа 4. Ф(О/Г) = 4. Только вершинам плитки соответствуют нетривиальные стабилизаторы, которые порождаются вращениями четвертого порядка. Имеются четыре особенные орбиты.

Группа 5. Щ=(6/Г) = 6. Стабилизатор вершины при тупом угле имеет порядок 3, а стабилизаторы двух других вершин — порядок 6. Таким образом, в общем случае орбиты состоят из шести решеток, и имеются три особенные орбиты с двумя, одной и тремя решетками соответственно.

ve? ж ■ f • • •

Рис. 1.3.2.

' 1.3.2. Группа собственных движений: структура и представления •

Группа 1. Покажем, что G имеет следующее представление: две образующие,- параллельные переносы tu и /0, и единственное соотношение tutu = tytu. Действительно, поскольку tu и /в коммутируют, любое другое соотношение приводится к виду $£ = 1> из которого следует, что пи + та = 0, так что п = т = = 0, поскольку и и и линейно независимы. '

Другие группы порождаются параллельными переносами ttt и t„ и вращениями порядка 2, 3, 4 или 6 соответственно. В каждом из этих случаев сопряжение посредством такого вращения является автоморфизмом группы параллельных переносов: если / — параллельный перенос на вектор, пи^та, n,meZ, то t, ^ = rtr~x— параллельный перенос на вектор г (пи + mu), где г — линейное отображение, касательное к г. Таким образом, G изоморфна полупрямому произведению циклической группы, порожденной г, и свободной абелевой группы, состоящей из параллельных переносов, т. е. существует биекция из G на произведение <r> X <tu, t0">, с использованием которой закон композиции в G можно записать следующим образом:

Vе. ъ w tPu^=v^b- ^*

где си + da = г (mu + пи) + (pu + qa\ Покажем, что определяющие соотношения группы G имеют вид М„ = Ми, г" = 1 (а = = 2, 3, 4, 6), rtttr~x = trw, г/„г-1 = /Г(0). Чтобы сделать изложение более ясным, мы рассмотрим случай а = 2; поскольку

г — вращение плоскости на 180°, имеем г2=1 и r(u) = —и, r(v) = —и. Предположим, что в группе G справедливо соотношение

где bt, ci — целые числа (может быть, равные нулю) и а, равны 0 или 1. Поскольку отображение, касательное к произведению, есть r°i+-+a\ число ненулевых а, четно. Используя соотношение Mv — Ми, можно сделать так, чтобы все а, были равны 1. Далее: используя rtur = t_u и rM = t-y, получаем

OijbtjCi Лг -—61/—CiГ lulD *lu I'D >

и исходное соотношение сводится к соотношению между парад- дельными переносами. Выше мы уже показали, что любое со

отношение в группе параллельных переносов сводится к Мо = = Ми-

Группа 3. Поскольку г—вращение третьей степени, имеем г (я) =— u-|-v, г (v) = — и, так что G задается образующими tu, ty, Г И соотношениями М0~Ми, ^—L Г(„Г~Х = 1^ и rtor = t0 .

Примечание. При решении этой задачи разрешается использовать параллельные переносы, вращения и отражения. Если бы мы захотели ограничиться только собственными движениями, то нужно было бы добавить зеркальные изображения плиток IV и V.

Шаг 1. Сначала посмотрим, что происходит в углах того рисунка «в клеточку», который образуется при произвольном замощении плоскости (предполагается, что оно существует) плит-

ками указанного вида. Каждый угол должен быть заполнен. С точки зрения углов имеется всего два типа плиток: III, которые мы обозначим X, и все другие, обозначаемые символом 0. Покажем, что (может быть, после вращения на 90°) плитки типа X расположены в чередующихся столбцах, причем в своих столбцах они занимают каждую вторую клетку.

Только клетки X могут заполнять углы, и при этом все прилежащие клетки должны быть типа 0:

ООО0X00 0 0

В следующем столбце должен присутствовать X, который заполняет углы, оставшиеся свободными от плиток 0; с точностью до отражения он располагается либо на месте а, либо на месте Ь: 0 0 0 6 0 X 0 а 0 0 0

<(i) Пусть X занимает место Ь;

0 0 0

0 0 0 X0 0X000 0 0 0 с

Верхний левый угол клетки с должен быть заполнен, так что в с

имеется еще один X;

0 0 0

0 0 0 X0

0X000

0 0 0 X0

d 0 0 0

По тем же причинам X должен располагаться и в клетке d. Путем итераций можно показать, что X занимают чередующиеся положения в двух столбцах, между которыми расположен столбец из нулей.

Пусть X занимает место а. Посмотрим, где располагается следующий X справа от него. Будем пропускать столбец каждый раз, когда на месте а находится X. Возможны два случая: .

Рис. 1.4.3. Справа — конфигурация Х3.Рис. 1.4.3. Справа — конфигурация Х3.

Рис. 1.4.3. Справа — конфигурация Х3.

Рис. 1.4.3. Справа — конфигурация Х3.

• нам встречаются плитки типа X только на месте а; выше мы показали, что в этом случае X занимает каждую вторую клетку этих строк; это и есть то, что мы хотели доказать, с точностью до вращения на 90°;

нам встретится X, расположенный на месте Ь. Проведенное

выше рассуждение показывает, что в этом случае имеются два столбца с X, расположенными поочередно. Нетрудно видеть, что

все оставшиеся X должны быть расположены следующим образом:

ООО

00000000X0

XОX0XОXоо о

оооооооохо

XXоXоо о

000X0

XXОXоо о

000X0

XXОXоо о

Этим наше утверждение доказано.

Шаг 2. Рассмотрим теперь столбец, в котором имеются X, т. е. плитки типа III. Вверху или внизу плитки X должен распо-

лагаться асимметричный выступ, в этом направлении мы и начнем движение. Мы встретим плитку 0, потом другую плитку типа III. При этом плитка 0 может быть только типа I или IV: см. рис. 1.4.2 (где полукруглые выступы (вырезы) могут быть любого вида — симметричными или асимметричными).

Плитка т может быть только типов I, IV или V; во всех этих

случаях она имеет сверху вырез, как показано на рисунке. Плитка п имеет два выступа и не может быть типа III (так как она ... соседствует с плиткой типа III), поэтому она должна иметь тип VI.

Рассуждение, проведенное на шаге 1, показывает, что плитка типа III занимает либо место а, либо место Ь, но наличие выреза исключает возможность Ь, так что мы получаем конфигурацию, которую будем называть А3.

Шаг 3. Заметим, что каждая плитка X принадлежит единственной конфигурации Х3, вид которой определяется расположением ее асимметричных выступов. В частности, это относится и к плитке X, расположенной справа внизу на рис. 1.4.3.

Рассуждением, аналогичным тому, которое было проведено на шаге 1, можно показать, что конфигурации Х3 располагаются столбцами, разделенными одним слоем плиток типа I, II, IV или V.'

Рассмотрим подробнее одну из конфигураций Х3. Она может выглядеть, например, как на рис. 1.4.4, где только выступы в

серединах сторон могут быть асимметричными. Типы этих центральных выступов (впредь нас будут интересовать только они) в точности совпадают с типами выступов плитки VI, расположенной в центре Аз. Переместимся вверх или вниз в направлении одного из асимметричных выступов. На рис. 1.4.5 центральная плитка конфигурации А3, расположенной справа, должна быть типа VI, потому что она имеет два выступа и не может быть типа III. ‘

Аналогично тому, как это было сделано на шаге 2, можно показать, что четыре конфигурации Ха образуют более крупную конфигурацию, изображенную на рис. 1.4.6, которую мы назовем Х7. Все внешние выступы в конфигурации Х7 симметричны, за исключением, быть может, выступов в серединах сторон. Эти выступы такие же, как у центральной плитки типа VI.

Шаг 4. Аналогичным образом, группируя конфигурации типа Х7 вокруг плитки типа VI, можно получить конфигурацию Х15;

Рис. 1.4.6. Конфигурация Х7

ее структура однозначно определяется центральной плиткой. По индукции можно образовать конфигурации Х2п_1 — квадраты со стороной 2Л—1, все внешние выступы которых симметричны, за исключением, может быть, расположенных в серединах сторон.

Расширяющаяся последовательность X, должна покрывать либо всю плоскость, либо полуплоскость, либо квадрант. В двух последних случаях можно построить новую последовательность, отправляясь от плитки типа III, которая не принадлежит рассмотренной последовательности, и так до тех пор, пока не будет замощена вся плоскость. В результате мы получим либо одну последовательность Xi, либо две последовательности, каждая из которых покрывает полуплоскость, либо три последовательности, покрывающие полуплоскость и два квадранта, либо четыре, каждая из которых покрывает квадрант.

Шаг 5. Периодичность '

Каждый параллельный перенос, который сохраняет струк- iypy замощения, должен отображать любую плитку типа III на другую плитку такого же типа и такой же ориентации. Рассмотрим конфигурации Х3, которым эти две плитки принадлежат. Параллельный перенос должен их совмещать, так как исходные плитки типа III одинаково ориентированы и каждая из них однозначно определяет соответствующую конфигурацию Х3; срентированы эти две конфигурации должны быть одинаково, поскольку параллельный перенос не изменяет структуру замощения в целом. Другими словами, расположение исходной плитки типа III внутри соответствующей конфигурации Х3, Х7 и т. д. сохраняется при параллельном переносе. Это означает, что каждый параллельный перенос переводит одну конфигурацию Х^^ б другую, причем передвигает ее на расстояние, как минимум 1 2” раз превышающее длину сторон плитки (если только он не является тождественным), что не может выполняться сразу для icex п. Таким образом, мы показали, что любое замощение плоскости шестью плитками указанного вида непериодично.

Замечание. При решении задачи мы предположили, что замощение существует, и, отправляясь от этого факта, определили его структуру, показали, что оно действительно существует и непериодично. Можно было начать и с другого конца — с построения замощений. При построении конфигурации X2n_t можно четырьмя различными способами расположить плитку типа VI в ее центре, так что через п шагов мы будем иметь 2" вариантов. Таким образом, имеется бесчисленное множество способов замостить плоскость указанными шестью плитками.

Для доказательства теоремы Менелая предлагается идея использовать группу дилатаций или, точнее, композицию гомотетий: Сначала докажем следующее

Утверждение. Пусть / = Ях>к (соотв. g = Hytil)—гомотетия с центром в точке х и коэффициентом X (соотв. с центром в точке у и коэффициентом р); тогда если Хц=#1, то композиция g°f есть гомотетия с коэффициентом Хр и с центром в точке z, лежащей на прямой <х, у).

То, что композиция gof — гомотетия, уже известно (2.С или '[В, 2.3.3.12]). Три точки z, х, g(f(x)) коллинеарны по Определению; но то же самое верно и для х, g(x), у. Далее, g(f(x)) = = g(x), так что х, gW, у и г — все лежат на одной прямой.

Теперь доказанное утверждение применим к нашей задаче, беря f = Hc'.y и g = Hb'.v.s где Х' = — c'ajc'b и ус ~ — b'cjb'a- По построению f(6) = а и g(a) = с, так что (g ° f) (b) = c. Таким образом, по доказанному выше утверждению центр г данной гомотетии лежит и на прямой (^Ь, с), и на прямой <.Ь', с*'). Отсюда получаем г = <b, с) Q <ЬГ, с'}. С другой стороны, поскольку 4g°hW—c, имеем X'_1p'_I = — zbfzc. Подводя итог, заключаем, что точки а', Ь', с' коллинеарны тогда и только тогда, когда

с'а Ь'с а'Ь j

c'b Ь'а а'с

Легко видеть, что случай Х'ц' = 1 не может возникнуть, по- тому что не может выполняться а'Ь1а'с=\.

Теорему Чевы докажем аналитически. Возьмем (а, аЬ, ас} в качестве аффинного репера, в нем координаты точек а, Ь, с по определению имеют вид (0, 0), (1, 0) и (0, 1) соответственно.

Положим с' = (у, 0), 6' = (0, р), o' = (u, 1 — и); последнее обозначение обусловлено тем, что уравнение прямой <6, с> имеет вид х + у—1=0. Уравнение прямой <6, Ь'> есть х + у/Р = 1, а уравнение прямой <с, с'> есть х/а + у = 1. Таким образом, координаты точки х = <6, &'> П <с, с'> имеют вид

и только тогда, когдаи только тогда, когдаГ «(1 — р) Р (1 - а) \ к ар — 1 1 ар — 1 )"

и только тогда, когда

и только тогда, когда

Точки а, а', х коллинеарны тогда [а(1 — р)/Р(1 — а) ] = и/(1 — и).

С другой стороны,

с'Ь с'ас'Ь с'а1 — а1 — аааb'aРРс 1 -Рb'aРРс 1 -Ра'Ьуа'Ьу

с'Ь с'а

с'Ь с'а

1 — а

1 — а

а

а

b'aР

Рс 1 -Р

b'aР

Рс 1 -Р

а'Ьу

а'Ьу

Имеется много различных доказательств этих знаменитых и просто формулируемых теорем. Самое короткое можно получить, применяя теорему о барицентрах (гл. 3).

Рис. 2.1.3.Рис. 2.1.3.

Рис. 2.1.3.

Рис. 2.1.3.

Теорема Менелая. Представим Ь, = Рс + (1—Р)а и с'= = уа + (1—у) Ь. Точка пересечения a' — ^b', с'> П <£, с) является барицентром точек Ь' и с*\ он не зависит от выбора точки а, т. е.

РуС_(1-Р)(1 _у)6pY-(i-p)(i-v) '

Но тогда (/б/а'с = Ру/[(1—р)(1—у)], откуда

■■ ►■ >

с а 1 — уb с 1 — Р

с'Ь— уb'a— Р

Доказательство теоремы Чевы с использованием барицентров мы оставляем читателю; в заключение покажем, как одну теорему получить из другой. Лучше всего это сделать, используя свойства полного четырехугольника или поляру точки относительно двух прямых, о чем упомянуто в 6.В или {В, 6.5.7].

Рис. 2.14 иллюстрирует свойство, когда четыре точки а', а", Ь, с находятся в гармоническом отношении, т. е. a'bja'c = — a"bla"c. Это показывает, что каждая из теорем может быть выведена из другой.

Сначала введем обозначения, которыми будем пользоваться в этом упражнении. Выберем векторизацию аффинного пространства X в точке 0 подпространства Y и дополнительное подпространство Z\ проекцию на Z параллельно У обозначим р.

XX У не связно, если У — гиперплоскость. В этом случае dimZ = 1. Поэтому ZX0 состоит из двух лучей Z+ и Z~. Достаточно убедиться, что Х\У = p-1(Z+)Up-1.(X~) и что эти два множества открыты и не пересекаются.

ХХУ (линейно) связно, если codim У = dim Z > 1. Пусть Хъ х2— две точки из ХХУ, и пусть z, = p(x/)—их проекции на Z. Поскольку отрезки x^i и z2x2 содержатся в ХХУ, достаточно показать, что можно соединить zi с z2 отрезком, принадлежащим ZX0. Когда zi и z2 линейно независимы, отрезок ziz2 не

проходит через точку 0, и все доказано. Если же Zi и z2 линейно зависимы, то из предположения dimZ> I следует, что мы мо« жем взять точку z3, не лежащую на прямой, проходящей через 2] и z2; тогда мы соединяем Z] и z2 отрезками Z]Z3 и z3z2, ни один из которых не содержит точку 0.

Каждая компонента подпространства XX У односвязна, хогда Y— гиперплоскость. Пусть х(/) —петля (т. е. х(0) = х(1)), лежащая в ХХУ. Обозначая z(/) = р(*(0) проекцию этой петли на Z, можно продеформировать х(/) в z(i) при помощи гомотопии (1 — s)x(0 + sz(t), которая не выводит за пределы ХХУ. Геперь z(/) можно, минуя нуль, стянуть в точку гомотопией (1 — s)z(O + «f/(O).

Х\У не односвязно, когда codim У = dim Z = 2. Отождествим Z с комплексной плоскостью С и покажем, что петля e2iItt не гомотопна точке. Действительно, если бы существовала гомотопия x(s, /) со свойством х(0, ^ = е2*”* и х(1, () = ае еХ\У, то должна была бы существовать и гомотопия на окружности с таким же свойством (достаточно взять z(s, t) = — p(x(s, 0)/|p(x(s. 0)1)- Но, как хорошо известно, такой гомотопии не существует. (Один из способов доказать это — определить аргумент точки z(s, t) по непрерывности, начиная с argz(O, 0) = 0; функция argz(s, 1)—argz(s, 0) непрерывна по s, ее областью значений служит 2л Z и она принимает значение 2л в 0 и значение 0 в 1, что приводит к противоречию.)

ХХУ односвязно, когда codim y=dimZ> 2. Пусть х(0— петля в Х\У. Гомотопия (1—s)x(/) + sz(f) деформирует эту петлю в ее проекцию z^t) = p(x(Z)). Наделим Z евклидовой структурой и продеформируем z(/) в петлю у(/) = z (/)/|]z (0II» лежащую на сфере Sd, d = dimZ—1 (используя гомотопию (1 —s)z(t) + sy(t)). Теперь результат следует из классического факта об односвязности Sd.

Чтобы доказать это, мы начнем с покрытия Sd двумя множествами Sd\y(0) и Sd\—у(0), которые являются открытыми. Из этого вытекает, что для любого t найдется некоторая окрестность Vt, такая, что y^Vt^ полностью содержится в одном из этих двух множеств. Используя компактность отрезка [0, 1], построим его разбиение 0 < Л < /2 < ... <С tm < 1, такое, что //([/,, 6+11) содержится либо в одном, либо в другом из рассматриваемых открытых множеств. Если образ некоторого подынтервала содержит точку —у(0), то мы продеформируем петлю в этот подынтервал, минуя эту точку. Делается это при помощи стереографической проекции л относительно полюса У(0) (см. 18.А); мы выберем точку ю так, чтобы лучи и>л(у(6)) и юл (у (/,+1)) не проходили через л(—у(0)), а затем возьмем векторную гиперплоскость, трансверсальную к этим двум прямым. Лялее яямрним ныбпянный пути ргл пплркпией ня пвя

луча, параллельные выбранной гиперплоскости, и, наконец, вернемся на сферу при помощи обратной стереографической проекции л-1.

Итак, можно считать, что у ([0, 1]) не содержит точки —У (0). (Теперь воспользуемся стереографической проекцией из точки

^-i/'(0), для того чтобы вернуться в Rd, которое, конечно же, односвязно. Это завершает доказательство.

Поскольку ц(Я) = 0, то $ = § + $’ так чт0 ц(Ю =

= р (/(') +Ц (/Г) иХ Х' Х".

1 / г—*С\

a cent (Л) = (ц (/<))“ J \ Хд, (х) ах du + \ Хд„ W ах du ) = \х s Xх е X/

= ^ а cent (Г) + 1g- о cent (К") .

Множество внутренних точек компактного выпуклого множества о

есть пересечение всех открытых полупространств X, таких, что X'id К, поэтому достаточно показать, что если К^Х' и

Оо- о

К^0, то centre Л". Пусть аеН и те К. Для каждого хеХ обозначим f(х) такое действительное число, что f(x)am есть проекция точки х на прямую ат параллельно Н. Если О'1 1 ■" ■►

х ® К, то f (х) > 0, а если х е К, то / (х) > 0. Проекция a cent (/() на прямую ат равна ^ Хк (х) / (х) dp • ат. Поскольку f всюду хе X

неотрицательна и строго положительна на множестве ненулевой меры, то интеграл строго положителен, откуда и следует, что cent(/() принадлежит X.

Рассмотрим по очереди каждую из трех задач.

Инвариантность эквиаффиниой длины и кривизны

Во-первых, заметим, что выражение для длины не зависит от выбора параметризации; если /: [а, ₽]->[а, bl—монотонная функция класса С2, то

$ [det ((с о {У (т), (Со/)"(т))р/з^т = а

= $ [det ^' tV'0 / М, /" (т) с' о / (т) + (/ (т))2 с" ° j (т))]'/з dx = а

= [det ^с' о j (т), с" ° j (т))]1/3 j' (т) dx ='

а b

= ^ [det (с' (0, с" (0)]1/3 dt (мы положили /(т) = 0. а

Теперь пусть f таково, что detf=l. Тогда

6ъ.

J [det ((с о ]У (О, (с о ПУ' (0)11/3 dt = $ [det (h с' (0, Л *" (0)]^ dt, аа

Произвольной паре векторов (х, у) мы сопоставим линейное отображение, задаваемое матрицей со столбцами х, у. Тогда можно написать (f (х), f(y)) — f9(x, у). Отсюда

ь ' ь

j [det U о СУ (0, (f о сУ' (0)Р/3 dt = $ [det Л*/3 [det (? (/), с" (0)]*/з dt, а1

а это влечет свойство инвариантности, если учесть, что det f = 1.

Если det (с' (0, с" (/)) =/= 0, то этот определитель сохраняет постоянный знак, и функция о (0 = ^ [det (с'(т), с" (т))]1/3 dx мо.а

нотонна и всюду имеет ненулевую производную; это доказывает, что кривая может быть параметризована ее эквиаффинной длиной.

Для доказательства инвариантности эквиаффинной кривизны поступим так же, как выше;

K = det^f^Y', ^y") = det(fot, bcw) = detf-det^, с'"), откуда и следует инвариантность относительно отображений / с определителем 1.

Замечание. Знак эквиаффинной длины дуги зависит от ориентации кривой, знак же кривизны от нее не зависит.

Эквиаффииная длина и кривизна конических сечеиий

Любой эллипс в подходящем аффинном репере может быть параметризован так: x = acost, y = Z>sin/ (см. 17.А). В этом репере-'

t

а (/) = ^ (ab)113 dx = (аЬ)Х!31;

о

“таким образом, вся длина равна 2л.(аЬ)!/3. В новой параметризации имеем х = a cos (otafr)-1^) и у = b sin (о (ab),/3); используя методы математического анализа, получаем К = (аЬ)~3!3 (эквиаффииная кривизна эллипса постоянна).

Для параболы выберем аффинный репер, в котором ее уравнение записывается в виде у = х3[2р (см. 17.А); длина равна

X

o(x)=^dtjp = х/р. Это приводит к новой параметризации о

х = ра и у = р&12. В итоге кривизна К = 0, поскольку третьи производные равны нулю (эквиаффииная кривизна параболы равна нулю)..

' Уравнение гиперболы в подходящем аффинном репере имеет вид x = acht, y = bsht. После определения длины а(0 = t

= $ — (abYl3dx = — (ab)1/3t мы получаем новую параметризацию о

x = ach(—о(аЬ)-1,э) и y = Z>sh(—a(ab)-W3y gTO показывает, что кривизна имеет значение К =— (а6)-2/3 (эквиаффииная кривизна гиперболы тоже постоянна).

Внутреннее уравнение.

В а) мы установили, что произвольная кривая класса С3, удовлетворяющая условию det (с' (t), с" (/)) =# 0 при любом t, может быть параметризована ее эквиаффинной длиной и удовлетворяет уравнению К = К(а), где К — непрерывная функция эквиаффинной длины. Все эти рассмотрения сохраняются при преобразованиях из SA(X). Это означает, что если feSA(A),

то образ кривой при действии / на иее удовлетворяет тому же внутреннему уравнению К = 1Цо). Теперь мы рассмотрим следующее обращение этого утверждения: если дана некоторая функция К класса С°, то существует кривая класса С3, экви- аффинная кривизна которой как функция эквиаффинной длины удовлетворяет уравнению К = К(аУ, более того, эта кривая единственна с точностью до преобразований из SA(X).

■ Пусть (т, и, и) — репер на плоскости, где (и, и) — базис; теорема Коши — Липшица гарантирует существование и единственность решения задачи Коши

(1)(1)с'" (о) + К (О)? (о) = о,

(1)

(1)

с' (0) = т, с' (0) = и, с” (0) = и.

Любое решение с задачи Коши (1) удовлетворяет поставленным требованиям:

ст есть эквиаффинная длина дуги, поскольку det (с' (0), с" (0))=1 и производная от функции det (/(о), с" (о)) равна нулю (из уравнений (1));

К(ст) действительно является эквиаффинной кривизной для кривой с, потому что, снова согласно (1), мы имеем

det (с" (ст), с'" (ст)) = - К (ст) det (с" (ст), с' (ст)) = К (ст).

Для доказательства единственности (с точностью до преобразований из SA (А)) предположим, что к (ст) — кривая, удовлетворяющая внутреннему уравнению; тогда существует некоторое отображение f е SA (А?), такое, что f ° к (0) = т, f ° к' (0) = = и, f ок" (0) = и. Это выполняется потому, что ст —эквиаффинная длина, т. е. det(&'(0), Л"(0))=1, и SA(A) транзитивна на аффинных реперах с определителем 1. Поскольку det (7 ° к' (ст), 7° к" (ст)) = 1, дифференцированием получаем det(Jок' (ст), 7° к'" (ст)) = 0, откуда следует, что f°k' (ст) и / ° к'" (о) коллинеарны; коэффициент пропорциональности может быть найден из самого внутреннего уравнения, поскольку оно может быть записано в виде

К (ст) = det (/ о к" (о), 1ок"'^.

А е. fofc удовлетворяет уравнению

10 к'" К о к'

Сопоставив это с определением /, мы видим, что функция fo£ должна быть решением уравнения (1). Теперь единственность, гарантированная теоремой Коши — Липшица, показывает, что (ок = с, и этим завершается наше доказательство.

Замечание. Этот результат позволяет нам сформулировать обращение утверждения Ь). Единственными кривыми с постоянной эквиаффинной кривизной являются конические сечения (эллипсы, если кривизна положительна, параболы, если кривизна равна нулю, и гиперболы, если кривизна отрицательна). В частности, отметим, что любая парабола может быть получена из любой другой некоторым эквиаффинным преобразованием.

Р у

Пусть т— эквибарицентр точек х, о т. е. ^,тхх , = 0.

В этом случае mx2it = (\/р — 1) У, тх1г = — (\/р — \)mxx t. Заметим далее, что т является также эквибарицентром точек /АА

х2 i I поскольку £ mx2 z = — (1/р — 1) Л tnxx г = 0 I, так что ес’ Лt-i'i=i ’/

тественно воспользоваться индукцией: тхк1 — (Д/р—1)Х X^mxk_tii = — (Ylp—\)mxk_Xib и по предположению индукции получаем tnxkit =— (— \/р—1)ктх1Ь Затем проверим, ’’Р

что т также является эквибарицентром точек хк b ^тхк t = ’ i=l ’

= — (— \jp— l)fe /■ тхх { =0. Мы различаем два случая: <-1'

если р — 2, то последовательность не сходится (если только точки различны), так как она поочередно принимает положение то одной из исходных точек, то другой;

если р > 2, то lim mxki {= 0, так что для каждого i после- А -> ОО ’.

довательность хк%1 стремится к т.

Выберем на евклидовой плоскости положительно ориентированный ортонормированный базис и рассмотрим вершины треугольника АВС в заданном ориентацией порядке. Через det будем обозначать определитель координат пары векторов относительно фиксированного базиса.

Центр масс G описанного в условии задачи объекта представляет собой барицентр точек с массами (А', а), (В', Ь) и /С', с), где А'— середина стороны ВС и а — ее длина и т. д. В частности, A'G = (ЬА'В' + сА'С')/(а + b + с), так что

det№, А'В')det№, А'В')^г-г- det (А'С', А'В').^г-г- det (А'С', А'В').

det№, А'В')

det№, А'В')

^г-г- det (А'С', А'В').

^г-г- det (А'С', А'В').

А'В'), от-А'В'), от-кудакудаДалее, | det (Л'С, A'B^^dtA', B')d(G, A'B') = cd(G,

А'В'), от-

А'В'), от-

куда

куда

где | det (А'С', А'В')1 — площадь треугольника А'В'С'. ния от Q до сторон треугольника А'В'С' равны; этогде | det (А'С', А'В')1 — площадь треугольника А'В'С'. ния от Q до сторон треугольника А'В'С' равны; этоd(G, А'В')= det И'С', А'В') 1

где | det (А'С', А'В')1 — площадь треугольника А'В'С'. ния от Q до сторон треугольника А'В'С' равны; это

где | det (А'С', А'В')1 — площадь треугольника А'В'С'. ния от Q до сторон треугольника А'В'С' равны; это

Расстоя- означает, что Q — центр окружности, вписанной в А'В'С'.

Для построения точки G нужно нарисовать стороны треугольника А'В'С' и провести две его внутренние биссектрисы.

лл. Рис. 3.2.2. .репер (О, i, j) и вычислим центр масс однородной треугольной пластины с вершинами О, 1 = 0 + /, J = 0 -V b Его координатами являются. Рис. 3.2.2. .репер (О, i, j) и вычислим центр масс однородной треугольной пластины с вершинами О, 1 = 0 + /, J = 0 -V b Его координатами являютсяРис. 3.2.3.Рис. 3.2.3.

л

л

. Рис. 3.2.2. .

репер (О, i, j) и вычислим центр масс однородной треугольной пластины с вершинами О, 1 = 0 + /, J = 0 -V b Его координатами являются

. Рис. 3.2.2. .

репер (О, i, j) и вычислим центр масс однородной треугольной пластины с вершинами О, 1 = 0 + /, J = 0 -V b Его координатами являются

Рис. 3.2.3.

Рис. 3.2.3.

Рассмотрим теперь однородную пластину в форме четырехугольника с вершинами А, В, С, D. Ее центр масс G совпадает с барицентром центров масс Gv, G2 треугольников АВС и ADC,

взятых с их массами; в частности, G, Gt и G2 коллинеарны. Аналогичным образом, коллинеарны точка G и центры масс Оз, Gt треугольников ABD и DBC.

Далее центр масс треугольной пластины с вершинами и, и, to совпадает с барицентром его вершин (и + и + о?) /3. Для доказательства этого факта выберем на плоскости

11-х1

Хй ~ 1/2' $ ^Х $ Х ^У = Т/2‘ $ ^Х — х^х = 2 (у — у) = з • 00о

11-х1

у8 = 2 dx у dy = (1 — х)2 dx — у. 00о

Итак, для данного треугольника наше утверждение верно. Но треугольник ииш можно рассматривать как образ треугольника

Oil при некотором аффинном отображении, а аффинные отображения сохраняют центры масс пластин и эквибарицентры трех

■точек, так что центр масс пластины uuw действительно совпадает с (и + о + ty)/3..■■■ ■

Для построения точки G достаточно провести диагонали четырехугольника АС и BD, затем найти их середины, а также ■ середины сторон четырехугольника, и наконец, провести восемь медиан для определения четырех барицентров Gb G2, G3, 64. Тогда G совпадает с пересечением прямых G\Gi и G3G4.

Заметим, что в описанном построении используются только аффинные понятия средней точки и прямой, проходящей через две точки; в отличие от случая треугольника из стержней метрические понятия здесь не используются. Это объясняется тем, что аффинные отображения сохраняют центр масс пластины, но не сохраняют центр масс системы стержней.

Пусть С — симплекс из барицентрического подразделе' ния (для S). Он содержит три типа точек: 1) точки х, симплекса 5; 2) точки, полученные при подразделении (п—1)-мерных симплексов из S; 3) барицентр точек из S. Рассмотрим расстояние между двумя точками из С с учетом предложенной класси-# фикации:-

две старые точки. Это невозможно, так как каждый подсимплекс содержит только одну старую точку. Действительно, если бы их было две, они составляли бы простой одномерный симплекс из S, а все такие симплексы должны быть подраз- ' делены.

одна точка типа 2) и одна типа 1) или 2). Обе они должны входить в один ^п— 1)-мерный симплекс, который получается при подразделении (п—1)-мерного симплекса из 2. Так как

диаметр любого (п—1)-мерного симплекса из 2 не превышает d, то по предположению индукции диаметр подразделения ^(п—\^d/n. Для завершения шага индукции заметим, что (п — 1 )/п^ п/(п + 1).

точка типа 1) и точка типа 3). Нужно определить расстояние от х/ до (х0 + •. • + Хп)/(п + 1). Это расстояние равно

но ||х;Х/|| ^ d, так как х<, X/eS, откуда следует, что расстояние nd](« + 1).--

точка типа 2) и точка типа 3). Точка у типа 2) есть барицентр точек типа 1) с массами ^ 0, т. е.

У=2^<» где Z^ = L

так что ||Оу|| = |о2^г1» где О = (х0 + + х^Кп -М) — эквибарицентр точек из 2. Поэтому II Оу|| = ||ЕА,(О*<| ^ ^ ^Хг || Ох,-1|. Но по предыдущему х,е2 влечет ||Охг||^^ для Д' = tidin' + 1). так что ||Oz/||^ ^,ktd' = d'.

Итак, рассмотрены все возможные варианты. Шаг индукции доказан, так что диаметр действительно ^ nd/^n-V 1).

Для доказательства того, что диаметр симплексов, получаемых последовательными подразделениями, стремится к нулю, необходимо лишь разобраться в том, что означает это утверждение. Обозначим через Ср симплекс, полученный р барицентрическими подразделениями (их очень много!). Диаметр Ср ограничен сверху числом (n/(zi + 1)^d, которое стремится к нулю при р-*оо. Это означает, что достаточным числом подразделений мы можем сделать симплекс сколь угодно малым.

Понятно, что полиномиальную функцию на X следует определить как полиномиальную функцию на Ха — векторизации X в точке а. Единственная трудность в том, чтобы показать, что такое определение не зависит от выбора а. Обозначим через ^(Е; №) пространство полиномов на Е степени ^ к со значениями в №, и пусть /е^(^а; №). По определению существует такое отображение ф: Xa-*W, что / = ф°Де, где Д»— диагональное отображение.

Далее, для любой точки b е X существует естественная биекция Х0-*ХЬ) переводящая и в и + Ьа и сохраняющая исходную структуру пространства X. Поэтому мы можем сопоставить отображению f отображение g; Xb-*W, задаваемое правилом g(u) = Ци + ab); для этого отображения

8 (и) = / (о + ab) = ф (ц + ab, и + ab, ... , и + аб) =

= Ф(и, ии)4-бф(аб, ии) 4- ...

+ С*ф (аб, ab, ... , ab, ии) + ... + Ф (об, об, ..., аб).

р раа

Но функция (аб, аб, ..., ab, •, •, ... , •) Л-линейна, по- —► —>—>h раз

этому (ab, ab, ... , ab, и, ... , и) — однородный полином степени h и сумма является полиномом степени ^ к. Таким обра-

зом, g^^k^Xb*, W), и мы будем отождествлять f с g. Определим полином на X как описанный выше класс эквивалентности полиномов на Хо, аеХ.

Замечание. Вычисления показывают, что проведенное рассуждение в случае однородных полиномов неприменимо, поскольку однородный полином на Хо не преобразуется в однородный полином на Хь, так что определить однородные полиномы на аффинном пространстве невозможно.

Поскольку ф симметрична, выражение вида /(«/,+ ... - • • + vt^ можно разложить с использованием полиномиальной формулы; при этом мы получим

к

/-1V<iv<...<lj<k

z z

'/-1 !</,<...<1(<к lv-t-... + lj=k 11

где использовано сокращенное обозначение и'1 ... о^ = ф(о1, ид, Uj), каждый вектор и{ входит в правую часть lt

раз.

Чтобы доказать, что (*) равно ф(щи^, нужно установить, сколько раз входит в сумму (*) каждый одночлен

у? («1+ ••■ равенства суу? («1+ ••■ равенства суИзО равноИзО равноУ<' = У1*У<' = У1*.. Од4 следует, что.. Од4 следует, что+ тк = k) и с каким коэффициентом.

у? («1+ ••■ равенства су

у? («1+ ••■ равенства су

Из

О равно

Из

О равно

У<' = У1*

У<' = У1*

.. Од4 следует, что

.. Од4 следует, что

тк1ьтк1ьчисло N ненулевых членов последовательности mi,., числу ненулевых членов последовательности /1, ..

тк

1ь

тк

1ь

откуда

п) j> N; '

Hi) ненулевые члены последовательности /1/у определены однозначно и представляют собой ненулевые т,;

задание последовательности Ц < ... < ij определяет последовательность /1, ..., /у;

последовательность и, ..., /у определяется заданием индексов h, таких, что mzA = 0.

Из сказанного выше следует, что при фиксированных iv1} существует не более одного одночлена вида о”1.. .и^ в сумме У ; при фиксированном / существует столько

/|+...+/у—А

последовательностей ilt ... , Zy, определяющих одночлен о™1 ... • • • °* *» сколько существует способов выбрать j — N членов

среди к — N нулевых членов последовательности ть а таких способов ровно CV^n = (к — ЛГ)!/((7 — У)! ^к — /)!). Таким образом, в двойной сумме Е . . Е . коэффициент при 1<1<...«1<к 1,+...+1/=к

ui*...UfcA равен (—1)*—/C*t./y)kt/(m|l ... лтгд!) и коэффициент при и™1 ... и™й в сумме (♦) равен

Лk-N

J-N1 к X к /-0

( 0, если М=£к,

=1 П — 1 j 1

•m.f...mJk ' J —j—г. если N = k;

но в последнем случае условие «1 + ... + Шк = к влечет т\= ... =Шк — \. Поэтому существует единственный ненулевой член, равный ui... ие в сокращенной записи или ф (иь..., и*) в исходных обозначениях.

3.6. Продифференцируем по X соотношение f(Xx) = Х*/(*). По правилу дифференцирования сложной функции имеем f'(Xx) (х) = AX6-V(x). Полагая Х=1, получаем тождество Эйлера.

Еще раз дифференцируя по X, получаем

/" (Хх) (х, х) = к (k - 1) Xft-2 f (х)

и т. д. до р-й производной включительно (если оиа существует):

Г' (Хх) (хх)р раа = к (k - 1) ... (к - р + 1) Я6-"/ (х).

Полагая Х= 1, получаем.

fPWх)рраз = й(й- 1) ... (А-р+ 1)/(х)

для любого X EZ.

Далее, продифференцируем соотношение f(hx) = №f(x) по х. Для любого вектора h имеем f'(Xx) (X/i) = №f'(x)h, или /'(Хх)Л = Х*-1/'(х)Л, т. е. производная в направлении к однородна степени к — 1. Дифференцируя р раз (если это возможно), получим, что для любых hx,...,hpeX и Хе R справедливо соотношение рЧХ*) (Ль .... кр) = Х<*-р>/(р)(я) (Аь .... hp).

Заметим, что если / принадлежит классу С° и однородна степени 0, то f(x) = /(O) для всех хеХ, так что / — константа. Это утверждение составит первый шаг индуктивного рассуждения.

Допустим, мы доказали, что все функции класса Се-1, однородные степени к— 1, являются однородными полиномами степени к—1. Пусть f: X-*R — функция класса С*, однородная степени к. Тогда для любого кеХ функция x\-^f'(x)h принадлежит классу С*-* и однородна степени к— 1. Можно написать /'(х)Л = фЛ(х, ..., х)б_1РаЭ, где фм — симметричная tk—1)-линейная форма на X, однозначно определенная значением h. В силу единственности отображение h о ф„ линейно. Отсюда следует, что отображение ф: XXX^-^R, задаваемое правилом Ф(Л, х\, ..., х*_1) = фй(хь .... x*-i), /?-линейно. Далее, запишем /(х) следующим образом:

।1

f (х) = [f (Zx)]':' = ^ (f (tx)) dt = ^f (tx) x d! = о0

= ^ Ф (x, tx, ... , tx) dt = j ^-1ф (x, ... , x) dt = у ф (x, ... , x). о0

Обозначим через 5ф симметризацию ф (она определяется правилом 5ф(хь .... XA)=(1/Zt!) 2 ф(^а(1), .... Ха,»))); тогда

для любого хеХ имеем f(x) = (1/Л)5ф(xi, ..., х*). Поскольку 5ф есть симметричная ^-линейная форма на X, мы получаем, что f — однородный полином степени к.

Вспомните (обратившись, если понадобится, к [В, 4.6.16]), что P2(Z2) может быть представлено в виде треугольника (рис. 4.1.1). Точки изображены тремя вершинами, тремя серединами сторон и барицентром треугольника. Прямые представлены линиями, соединяющими три точки, принадлежащие этим прямым; это три стороны, три медианы и окружность, вписанная в равносторонний треугольник.

Чтобы представить P3(Z2), поступим сходным образом: роль точек предпишем вершинам тетраэдра, роль прямых — линиям, соединяющим три точки, принадлежащие этим прямым, роль

плоскостей отведем поверхностям, содержащим не только семь точек, но также и семь линий, которые изображают семь прямых на плоскости. Нам представляется затруднительным объединить все эти элементы в одну фигуру, поэтому мы сначала перенумеруем элементы такой конфигурации, а затем перейдем к описанию самой фигуры.

Пятнадцатью точками будут: четыре вершины, шесть середин ребер, четыре барицентра граней и барицентр тетраэдра. В качестве прямых возьмем следующие линии: ребра тетраэдра (шесть), медианы граней (четыре раза по три) и вписанные в грани окружности (четыре), четыре отрезка, соединяющих вершину с барицентром противоположной грани, и три отрезка, соединяющих середины двух противоположных ребер (эти семь прямых проходят через барицентр тетраэдра), и, наконец, шесть эллипсов, проходящих через барицентры двух граней и середину противоположного ребра. Все это дает представление тридцати пяти прямых в P3(Z2). Пятнадцать плоскостей подразделяются на четыре типа: грани (четыре), биссекториальные плоскости каждой пары граней (шесть), конусы с вершиной в вершинах тетраэдра и направляющей — окружностью, вписанной в про-

тиволежащую грань (четыре), и, наконец, поверхность, образованную совокупностью четырех конусов, вершиной каждого из которых служит центр тетраэдра, а направляющими — снова окружности, вписанные в грани.

Чтобы показать, как взаимосвязаны друг с другом эти элементы, мы сначала изобразим для каждого типа плоскости со-

Рис. 4.1.4,

держащиеся в ней прямые (рис. 4.1.2). Затем мы рассматриваем этот рисунок с «дуальной» точки зрения; на рис. 4.1.3 показан для каждого типа точки пучок проходящих через нее прямых. Наконец, мы изображаем несколько «самодуальных» картинок, показывающих для каждого типа прямых связку плоскостей, содержащих эти прямые (рис. 4.1.4).

Как показывают несложные выкладки, якобиан функций перехода

задается формулой

° «7*) ='I/O/-!

I/O/-! О ОО l/»/_i

=det

~ <Vo/-i

1/»/_1_

Этот определитель легко вычислить, поскольку имеется только одна возможность выбрать ненулевые элементы нз каждой строки и каждого столбца; в результате

у = (_ !/-'-* f-L-V-1 X= (-1/-1

Попытаемся ориентировать Pn(R). Заметим, что точка р(1, 1, .... 1) принадлежит всем картам P(Rn+*)XP(/7<), Чтобы ориентировать Pn(R), достаточно выбрать ориентацию в каждой точке и потребовать, чтобы при переходе от одной карты к другой эта ориентация изменялась в соответствии со знаком якобиана. Выберем некоторую ориентацию в точке/ = (!,..., 1), например положительную (+1) в карте Ло. Тогда в карте ж ориентация в точке / будет (—1)'. Если Pn(R) ориентируемо, то в карте ж ориентация в произвольной точке будет (—1)', поскольку она должна быть согласована с ориентацией в R", а

л/ есть гомеоморфизм проективного пространства РП(Р)\Р(//,) на R”. Поэтому Pn(R) ориентируемо тогда и только тогда, когда в одной и той же точке только что описанные ориентации не противоречат друг другу. Возьмем произвольную точку с однородными координатами (у0, Уь ..., и„). Согласно карте л, в ней будет ориентация (—1)', а согласно карте л/— ориентация (—1)/. Для перехода от одной карты к другой воспользуемся отображением с якобианом (—1)^_‘(1/У/_1)п+1, Выбранная ориентация будет согласованной тогда и только тогда, когда (l/y/-i)”+1 > 0 для любой точки, а это выполняется в том и только в том случае, когда п + 1 четно, т. е. п нечетно.

GP(Pn(R)) = GP(Rn+1) = GL(R"+‘)/R*Id. Но группа GL(R"+1) имеет две связные компоненты: одна содержит отображения с определителем 1, другая с определителем —1. Факторизация по R*Id с определителем (—l)n+1 сохраняет обе компоненты, если п нечетно, и склеивает их, если п четно.

Чтобы ориентировать проективное пространство, мы можем действовать следующим образом: выбрать какой-либо проективный репер и приписать ему ориентацию а. Любой другой репер может быть получен из первоначально выбранного преобразованием из группы GP(P"(R)), и ему будет приписана ориентация а, если определяемая им гомография принадлежит компоненте единицы в GP(P"(R)). Этот способ приписывания реперам ориентаций обладает свойством непрерывности, так как два близких друг другу репера соответствуют близким элементам группы GP(Pn(R)) относительно топологии этой группы.

Если GP(Rn+1) имеет две компоненты, то имеется два класса ориентаций, и P"(R) ориентируемо. Если п четно, то GP(R"+1) связна и имеет только один класс ориентаций (т. е. все реперы имеют одинаковую ориентацию); это означает, что Р"(К) не- ориентируемо.

Мы действуем в векторном пространстве Е. Пусть Ki для каждого i обозначает гиперплоскость векторного пространства Е, соответствующую Hi. Каждая гиперплоскость Kt— это ортогональное пространство некоторой ненулевой линейной формы kt относительно естественного спаривания, и пересечение гиперплоскостей Kt есть ортогональное дополнение подпространства из Е*, порожденного этими линейными формами. Отсюда

dim(Q Ki) = n + 1 - dim (<U к^

Переходя к соответствующим проективным пространствам, мы можем написать

dim^Q Я,) + 1 = n + 1 - dim((U Н^ - 1,

или ещеили еще

или еще

или еще

dim^n ^^ + dim^U^/^ = n— 1.

Поскольку выбор базиса в Е устанавливает изоморфизм между Кп+Х и Е, то определение числа р-мерных подпространств проективного пространства Р(Е) эквивалентно определению числа (р+ 1)-мерных векторных подпространств в пространстве Е или в пространстве М+1. Мы начнем с определения количества (упорядоченных) (р + 1)-наборов линейно независимых векторов в К"+1. Единственное условие, налагаемое на первый вектор,— отличие от нуля, так что имеется кп+х— 1 возможностей выбора первого элемента; второй вектор не должен принадлежать прямой, порожденной первым вектором, отсюда получаем А"+1— А возможностей; (р+1)-й вектор не должен принадлежать векторному пространству, порожденному первыми q векторами,— это пространство изоморфно К4, откуда получаем кп+х— kq возможностей. Искомое число тогда равно

(Лл+1 - 1) (F+1 - к) • • • (Лп+1 - кр\

Каждое пространство обладает базисом, так что число (р + 1)- мерных подпространств пространства К^1 равно общему числу всех упорядоченных (р + 1)-наборов линейно независимых векторов в К"+х, деленному на число (р + 1)-наборов, порождающих одно и то же подпространство; последнее равно числу (упорядоченных) базисов пространства размерности (р+1), т. е. числу (упорядоченных) (р+1)-на боров линейно независимых векторов в Кр+Х. Но мы только что нашли это число для пространства К^1, поэтому та же формула верна и для пространства Кр+’ после замены п на р. Итак, число р-мерных подпространств проективного пространства Р(Е) равно

(£jj-l)(£+1-

(йр+1 - 1) (*p+1 - k)... (*p+1 - ьр) *

Для подсчета числа элементов в группе GL(E) или, что то же самое, числа базисов в Е мы воспользуемся изоморфизмом GP(E)^GL(E)/K*Id£, но оно также задается формулой для количества (р+ 1)-иаборов после замены р на п. Теперь, разделив это число на кардинальное число пространства К*, получим следующую формулу:

^ GP (£) =^ GP (£) =(A"+l - t)(hn+x -к)... (»“+1 — к"^

^ GP (£) =

^ GP (£) =

(*-D

- (fc^1 - 1)(&"+1 -*)*.. (r+1 - Л-*) ^

4.6. Рассмотрим четырехмерное векторное пространство Е над тюлем К и тетраэдр, т. е. четыре некомпланарные точки аь аг, аз. «4 в проективном пространстве Р(Е). Для проведения вычислений достроим этот тетраэдр до проективного репера, выделив точку а0, не принадлежащую ни одной из граней тетраэдра. Мы покажем, что если некоторый тетраэдр Ь\, Ьг, b3, bt является «тетраэдром Мёбиуса» по отношению к тетраэдру {aj, то одна из гомографий, переводящих at в bt, может быть выражена кососимметричной матрицей в репере а0, ..., а4.

Необходимое условие

Имеется бесконечно много гомографий, переводящих каждую точку at в Ьй мы выберем такую, которая переводит проективный репер а0, ..., а4 в репер ао, Ь\, ..., 64. (В ходе вычислений мы предполагаем, что ао не лежит ни на одной грани тетраэдра {6,} и что никакая точка bi не лежит на ребре тетраэдра {а,}.) Все матрицы, описывающие такие гомографии, пропорциональны друг другу; мы выбираем одну из них и обозначаем ее X. Теперь мы можем выразить условия быть «тетраэдром Мёбиуса»: точка bi лежит на поверхности грани а/а^а; тогда и только тогда, когда хи = 0, и, следовательно, тетраэдр {6/} будет «тетраэдром Мёбиуса» по отношению к {aj тогда и только тогда, когда у матриц X и X-1 на диагонали стоят одни нули. Дополнительное требование, состоящее в том, что bt не лежит на ребре тетраэдра {а/}, означает, что внедиагональные элементы матрицы X ненулевые; /-й диагональный элемент матрицы X-1 пропорционален минору

О хм х1к

•xJt 0 х)к ,

Xfct хк, О

который равен Xjixikxkl -V xtlxlkxki\ из «условия Мёбиуса» следует, что хи = 0 или

хах1кхм !

хЦхк/х{к.

Для удобства положим уц = —Хц/Хц, так что

УцУ1кУк1=^ и умуц = \.(*)

Двенадцать чисел уц, i + U удовлетворяют вышенаписанным соотношениям (*) тогда и только тогда, когда существуют четыре отличных от нуля числа гц для которых yy=zjzc, действительно, как легко видеть, для заданных zt числа z^zt удовлетворяют и наоборот, для чисе и v овлетворяющих

мы можем положить zi = l, zt=yXi для i^l, и тогда можно убедиться В ТОМ, ЧТО уи = yj = zx/zt и (для /^=/^=1) Ун = = УнУи = z//z( (семейство чисел zt определяется числами уц с точностью до общего множителя). Пусть Z— диагональная матрица с элементами zi, .... z4; мы полагаем X'= XZ, и такая матрица определяет гомографию проективного пространства Р^Е1), переводящую каждую точку сц в Ьь К тому же эта матрица кососимметрична, поскольку х'и = ztxl(, х'^ — г^, откуда следует, что

■ хихи = kzilzh {хи1хц} = — УцУу = ~ 1 •

Достаточное условие

Обратно, предположим, что нам задана обратимая кососимметричная матрица X'. В проективном репере а4 она определяет гомографию Д которая переводит ai, ..., а4 в некоторый тетраэдр bi&4, причем 6, е <а/, си, аГ). Гомография f-1 обладает такими же свойствами, поскольку её диагональные элементы равны нулю; это показывает, что {«,} и {6,} — тетраэдры Мёбиуса. Таким образом, тетраэдры Мёбиуса, связанные с некоторым заданным тетраэдром, зависят от пяти параметров, принадлежащих полю К: от шести, определяющих кососимметричную матрицу, нужно вычесть один, поскольку две пропорциональные матрицы порождают одну и ту же гомографию. Ниже приведена матрица, дающая решение для случая, когда 'К—произвольное тело (некоммутативное):

Другое решение

Фиксируем в проективном пространстве Р(Е) некоторый тетраэдр аь .... а4 и в качестве бесконечно удаленной плоскости выберем грань си,, а^, а4 (см. 5.D). Искомый тетраэдр Ьх, ..., Ь4 имеет одну вершину Ьх в бесконечно удаленной точке. Эта вершина может быть задана вектором Ьх (с точностью до постоянного множителя); то же относится и к бесконечно удаленным точкам а2» Оз, «4- Поскольку а^ лежит на плоскости Ьх, Ь3, Ьл, то с точностью до постоянного множителя O2=6i + «6364, иеК. Сходным образом, условия на и а4

позволяют нам записать at = bx + vb2b4 и п4 = bx + wb2b3. Условие того, что «1 принадлежит грани Ь2, Ь3, Ь^, выражается в виде а, = xb2 + yb3 + zb4l где х, у, ге К* и x + y + z==l. Все что теперь осталось сделать, это записать условия на Ь2, Ьз и Ь4. Первая точка лежит на бесконечно удаленной плоскости, определяемой аь а3, сц, так что avb2 есть линейная комбинация Оз и ах, а именно

axb2 = 50з + ta4 = (s + /) 6[ + svb2b4 + twb2b3;

но bx не параллелен плоскости Ь2) Ьз, Ь4, так что s + / = 0 и

atb2 = s (vb2b4 — wb2b3).

Далее, -

'a, b2 = (х — 1) Ь2 + yb3 + zb4 = yb2b3 + г6264,

откуда получаем соотношение юг = иу. Аналогично, условия на Ьз и Ь4 приводят к соотношениям иу = ах и ux = wz. Обратно, для заданных шести чисел х, у, z, u, v, w, удовлетворяющих соотношениям их = vy = wz, и заданного тетраэдра bi, ..., Ь4, такого, что Ьх представляет бесконечно удаленную точку, вышеприведенные формулы определяют четыре точки аь .,., а4, которые образуют тетраэдр Мёбиуса по отношению к тетраэдру (М.

Поскольку доказательство было получено методом отправки в бесконечность точек а, 0, мы изобразим здесь чертеж,

Рис. 5.1.1.Рис. 5.1.2;

который получается, когда мы отправляем в бесконечность точку с, а затем — чертеж для случая, когда в бесконечность отправлены обе точки с н с'.

Для заданных двух прямых D и D’ и точки а проведем две прямые, выходящие из а и пересекающие D и D' в точках

Рис. 5.5.

b и с соответственно. Затем на прямой D выберем точку Ь', отличную от Ь, и проведем из Ь' две прямые Т и Т* параллельно прямым <а, Ь) и <Ь, с>; отметим точку с? = D' П Т'. Проведем через точку с' прямую Т", параллельную <а, с>. Точка пересечения а' прямых Т и Т" позволяет нам провести прямую <а, а'), проходящую через точку пересечения прямых D и D'.

Вторая задача служит приложением первой: для заданных двух точек а и Ь мы мало-помалу проводим две прямые, проходящие через точку b и недалеко от точки а, скажем на расстоянии меньше четверти линейки. Тогда рассмотренное выше построение позволяет нам отметить третью точку на прямой <а, Ь1), которая расположена близко к а. Теперь остается только начертить искомый отрезок.

Мы разобьем это упражнение на три части:

а) Существование точек bi

Нам нужно доказать некоторое топологическое свойство, следовательно, мы должны каким-то образом ввести в R2 топологию. Так как все нормы в R2 эквивалентны, мы введем евклидову, это позволит нам рассматривать углы.

При построении точек bi имеются только две трудности: первая— когда одна из точек Ь, лежит вне множества А, и мы не можем определить d,(bi)’, вторая — когда две прямые, определяющие bi, параллельны, в этом случае точек bi не существует, поскольку мы находимся в аффинной плоскости. Нам нужно по

казать, что если точка b расположена достаточно близко к а, то указанные два случая не могут иметь места.

Рассмотрим три прямые, определяемые точкой а. Они образуют три угла (т. е. неориентированные углы между неориентированными прямыми); обозначим через а наименьший из этих т ех углов. Тепе ь выбе ем е так, чтобы из beBta, g) еле оч

вало, что ЬгА и di (a) di (Ь) >■ а/2 при всех i (такая возможность обеспечивается непрерывностью di). Если fr»eB(a, е), то, поскольку 0 >■ а/2, выполняется abk+i = aft/sin 0 -< •< a6»/sin(a/2). Таким образом, если мы возьмем точку b внутри шара В (a, е sin6 (а/2)), то, конечно, сможем определить точки bi по индукции, потому что по приведенной выше формуле каждая из этих точек будет лежать внутри шара В (а, е), а это и обеспечивает их принадлежность множеству А и тот факт, что две прямые, определяющие Ьцл, не параллельны, поскольку они образуют угол не меньше а/2.

' Ь) Дополнение множества из трех прямых

' По заданным точкам а и b построим точки b\, b2, Ь3, Ь^ и Ьз. Рассмотрим прямую <Ь\, ЬгХ содержащую точку рх, и прямую ’ <Ь3, Ь^, содержащую точку р3, и заметим, что b = <pi, 63> П П<Рз, ЬО, Ьз = <р\, ^4> П <Рз> b^, p2 = <bV) bt)(](.b2; b3).

По теореме Паппа (см. 5.D или [В, 5.4.2]) эти три точки коллинеарны, а отсюда следует, что прямая <р2, Ьз') пересекает прямую <рь а> в точке b6 = b.

с) Ткань, определяемая коникой и точкой

Для данных двух точек а и b мы построим точки 6Ь b2, b3, bt и Ь3. Рассмотрим шестиугольник bbxb2bsb4b3^b) (в таком поряд-

ке!) и отметим, что он описан около коники С. По теореме Брианшона (16.С) три диагонали такого шестиугольника пересекаются в одной точке; поскольку <Ь^, Ь{> и <&3, Ь^у пересекаются в точке р, то третья диагональ <Ьз, рУ должна также пройти через точку р. Это и показывает, что прямая <Ь^ рУ пересекает прямую <а, ЬУ в точке Ь, т. е. 6 = Ь6.

Замечание. Две рассмотренные выше конфигурации являются вырожденными случаями следующей ситуации: дана плоская алгебраическая кривая С третьего класса (т. е. такая, что через каждую точку на плоскости можно провести не более трех касательных к кривой С; такие кривые двойственны кубическим кривым, т. е. алгебраическим кривым 3-го порядка). Тогда соответствующая ткань гексагональна (в действительности верно и обратное: каждая гексагональная ткань может быть получена таким путем). Пример такой ткани приведен на рисунке.

Идея состоит в том, чтобы отправить точку и в бесконечность и применить формулу (1) из б.А. Действительно, для бесконечно удаленной точки рассматриваемой прямой, т. е. v = ooD, мы получаем тогда,>

[X, У, U, ООд] = -^-,[у, Z, U, ООд]=-^-,

уиzu

Гл ZU

[z, X, и, оо0]=^-, хи отсюда и следует нужный результат;

хи уи ZU |

уи ZU хи

Напомним, что двойное отношение для у^ может быть записано в виде

£ кУз — У1НУ4 — у^

ку» — У») (Уа — г/1)

при следующем соглашении: & = оо, если знаменатель равен нулю, а числитель не равен нулю, и 6 = —1, если оба они равны нулю (мы предполагаем, что не все рассматриваемые четыре точки yt совпадают).

Сначала позаботимся о частных случаях: если для некоторого t0 имеем узк^о) = уг(О), то по теореме Коши — Липшица для всех t из интервала определения функций мы имеем уз(О = = Уг(О- Это показывает, что двойное отношение [у((0] не за' висит от t в тех случаях, когда (у3— уз) кУ*— у?) обращается в нуль.

Теперь предположим, что знаменатель не обращается в нуль; тогда мы можем продифференцировать к по аргументу t и получить

к' = КаУз + Ьуа + с — ау\ — Ьу{ - с) (у4 - у2) +

+ (^з * #1) (аУ1 -Vbyt-Vc- ауХ - Ьу2 - с)]/[(у3 — у^ (yt — ^0] -

“ (% - #1) (Ул * У^ К^з + ЬУ2 - аУ2 - Ьу^ <У* - У?) +

+ O's ~ У?) W + ЬУ^ - ауХ - &£/,)]/[(£/3 - У2У (У4 - </1)2]» к' = [(а</з + аух + 6) (у3 — yj (у4 — у2) + (ау4 + ау2 + Ь) кУз — у,) X X кУ4 — УгЖУз — У2) кУ4 — У1)] - кУз — </i) кУ4 - У2^ X

X [(а</з + аУз + Ь) кУз — У2) кУ4 - У^ + к»У4 + аУх + Ь) кУз ~ У2) X

X кУ4 - УхМкЯз — У2У кУ4 - </1)21.

к* =к (ау3 + аух + b + ayt + ау2 + Ь — ау3 — ау2 — Ь — ау^ — аух —

-6) = 0.

Из последнего равенства следует, что двойное отношение £(/) = = [у/(0] не зависит от I.

Обозначим через (sO/-i .... 4 веРшины тетраэдра Г, через (//,),_]4—его грани, а через (az),_14—точки пе

ресечения прямой D с гранями тетраэдра. Пусть Н — произвольная плоскость, содержащая прямую D, но не содержащая точку $4; перспектива из Н на Hi с центром в точке s4 переводит прямую D в прямую Di = Hi(\<D, $4>, в то время как точки аь а2 и а3 переводятся в точки 6Ь 6г, Ь$, расположение которых обозначено на рисунке. Далее, запишем Dt = Hif\<D, Si) для i = l, 2, 3 (как это уже было сделано для i = 4) и изобразим эти точки, заметив, что Di = <04, $/>. Теперь в Hi рассмотрим перспективу с центром в точке $i из Di на <s2, s3>. Это приводит к следующим соотношениям;

[°zl = [^ь ^2» &3> °4] = [^1> $3, ®2» с] = l^4> D3, D2, Dj] =

= [Dlt D2, D3, DJ, откуда [a,] = [<D, s/>].

Поскольку (aj^]4 образуют проективный репер, мы

можем записать в соответствующей системе однородных координат 01 =(1, 0, 0), О2={0, 1, 0), а3 = (0, 0, 1), а4=(1, 1, 1) и

а5='(а, р, у). Затем вычислим двойные отношения, помня, что аРу =/= 0, так как аь не принадлежит ни одной из прямых <аь а»), <а2, аз>, <аз, ai>. Имеем

[d12, d13, dl4,d15]= [(1,0), (0, 1),(1,1), (P, y)] = p/y;.

[d^ d21, dM,d25] = [(0,1), (1, 0),(1,1), (a, y)] = y/a;

[d3b da,, d34,d35] = [(l,0), (0, 1),(1,1), (a, P)] = a/P.

Беря произведение этих трех двойных отношений, убеждаемся, что оно равно 1.

. Это показывает, что если мы хотим определить точку а5 относительно проективного репера (а^,^4, то задание трех

двойных отношений избыточно, и это соответствует здравому смыслу, так как в двумерном пространстве вполне достаточно двух «координат». Следующее рассмотрение имеет целью прояснить ситуацию, для чего мы отказываемся от условия

'а4 ^ (а, , Оз) U (а2, «з) U <Оз, d\Y

Если существует гомография, переводящая точки la^t„x,... 5 в точки (^)^(5> то ясно> чт0 любая проективная величина,

вычисленная для (а,), сохранит свое значение и для (а'). Нас интересует обратная ситуация: предполагая, что [d^, du, dwdi5l = VdV du* d'w <5] и что

[dyp djk, djv d/5] = [dyp d'lk, d'lv dy5],

мы попытаемся доказать, что существует томография, переводящая точки (а,) в точки (o').

Поскольку оба набора точек являются проективными реперами, то существует единственная гомография f, переводящая точки (аД=1 4 в точки (a7)i=x 4! значит, нужно, показать, что из нашего предположения следует, что w<=J(a5). Обозначим через d" прямые (a', / (а5)) и через d" — прямые (ар f (а6)) Тогда, поскольку f — томография, можно записать

[^(/’ ^ik' ^U* ^к] Vip ^ik' ^iV ^"],V^IP ^jk’ ^jV ^/5] “ V^iP ^ik' ^tV d”\-

Но отсюда следует, что d" = (ap a'^ и d" = (a'p a'^. Так как Op йу и a5 не коллинеарны, то d" =/= d" (снова потому, что f—изоморфизм); это означает, что рассматриваемые две прямые пересекаются в единственной точке a'5 = f^a^.

Обобщения. Пусть (at)(=xр+3 — точки р-мерного проектив

ного пространства, причем первые р + 2 точек образуют проективный репер. Для {г, /}с{1, ..., р + 1} обозначим через 1ц множество {1р+ 1}, не содержащее элементов i и /. Четыре гиперплоскости Н( = ((а6)е е ^ а^, Hj — ^a^^, а^, Кц^^^,^, ар^ и Lu = ^fcGl , ар^ принадлежат одному пучку, н их двойное отношение обозначим 6{j = [Ht, Н(, Кф LtjV

Налагая на ар+3 такие же условия, как и на а5 в случае плоскости (предоставляем читателю сформулировать их явно), мы покажем, что двойные отношения 6ц удовлетворяют определенным соотношениям. Для этого будем проводить рассмотрения в проективной плоскости, определяемой точками щ, а, и а*, где /, /, к — три различных индекса из множества {1, ..., р+1}. К точкам а,, ар ак добавим точки арк и ^tik) у которых i-я, j-я и к-я однородные координаты равны соответствующим координатам точек арЛ.2 и ар+3, а остальные равны нулю. Применяя результат, полученный нами для размерности 2, мы выведем соотношения 6ij6jk6ki = 1. Чтобы найти необходимые и достаточные условия существования гомографии, переводящей точки ^а1\_х р+з в точки (а<)< 1 р+з’ мы вступим в точности так же, как в случае р = 2.

Начнем со следующего замечания: если р+1 точек порождают р-мерное проективное пространство, то пересечение р + 1 гиперплоскостей, порожденных каждыми р из этих точек, пусто

'(это можно доказать, перейдя к проективизации следующего результата: если р+1 векторов порождают некоторое (р+1)- мерное векторное пространство, то эти векторы линейно независимы). Прежде всего применим это замечание к гиперплоско- р+1

стям Нс. мы имеем П Ht Ф 0,так что должно существовать некоторое /е {1, ..., р+ 1}, такое, что ар+ъ^Н). Для этого значения /, как легко видеть ар+3 и Ht порождают все пространство, так что можно снова применить то же замечание к Ьц и Hf. Поскольку (fl Lt^Ht = 0, мы получаем, что f) Lu — {ар+3}. Других точек в этом пересечении нет, так как иначе ему принадлежала бы целая прямая, и пересечение этой прямой с Я/ не могло бы быть пустым.

Собирая все эти результаты и действуя тем же методом, что и в случае р = 2, можно показать, что необходимыми и достаточными условиями существования гомографии, переводящей точки (а^ f в точки (a'). д, являются р равенств 6z/ = 6^, где / такое же, как и выше, а i = 1,...,/— 1, /+ 1, • •• ..., р+1. Провести это доказательство мы предоставляем читателю.

Замечание. Это упражнение показывает, что в проективной геометрии можно ввести систему «координат», обладающую большим геометрическим содержанием, нежели однородные координаты, подобно тому, как мы ввели барицентрические координаты в аффинной геометрии.

Перестановка неподвижных точек а и 6 переводит двойное отношение [а, b, т, f(m)] в обратное к нему; это показывает, что пара {&, 1//?} зависит только от f.

а — х р у б — ха — х р у б — хВ соответствии с 6.D имеем £ = Х/у, где X и ц — собственные значения отображения f, т. е. решения уравнения

а — х р у б — х

а — х р у б — х

= 0<=> х2 — (а + б) х + об + у0 = 0.(I)

Но к н 1Д являются корнями уравнения

(х-*)(х-4-)=о<=>х2-(*+т)х+1=°>

так что достаточно найти

причем нам известно, что X и у—решения уравнения (1).

Это выражение симметрично относительно X и р, так что

можно представить его в виде функции от элементарных сим? метрических многочленов, вид которых нам известен из уравнения (1). Другими словами, решать уравнение (1)—это значит напрасно терять время. Достаточно воспользоваться его коэффициентами:

Л । ц X2 + р.2 (X + ц)2 — 2Хр

р X Хр.Хр.

__ (а + 6)2 - 2 (ай - УР) __ а2 + 2ру + й2

ай — уРай — Ру *

так что к и \/к— корни уравнения

х2 - ?г 62 Я + 1 = 0<^ ао —

<ф- (ад - Ру) X2 - (а2 + 2Ру + д2) X + (ад - Ру) = 0.

Заметим, что даже после нормировки ад — Р?=1 Для каждой гомографии по-прежнему имеется две матрицы (отличающиеся знаком). Следовательно, число f = tr / определено только с точностью до знака. Поэтому в качестве инварианта предпочтительнее рассматривать /2 = (а + д)2. Это число не зависит от проективного репера на комплексной проективной прямой, в котором мы выражаем отображение f.

Поскольку рассматриваемые гомографии обладают двумя различными неподвижными точками, уравнение

А2-((2-2)^+ 1=0

не имеет корня, равного 1; это означает, что /2=/=4. Числа к и t2 связаны соотношением t2 = 2 + к + \/к.

Если гомография / эллиптическая, т. е. |fe| = 1, то к + \,к — вещественное число, которое лежит в интервале [—2, 2 [, так что /2 е [0, 4 [.

Обратно, если <2 е [0, 4 [, то существует вещественное число 0, такое, что t2 — 2 = 2cos6; тогда комплексное число к = е‘9 по модулю равно 1 и является корнем уравнения (1), что и доказывает, что гомография f эллиптическая.

Если гомография f гиперболическая, т. е. к — положительное вещественное число, то к 4-1/^ — вещественное число, большее 2, так что t2 — вещественное число, большее 4.

Обратно, если I2 е] 4, оо [, то существует вещественное число 6, такое, что I2 — 2 = ch 9; тогда положительное вещественное число к = е9 является корнем уравнения (1), и гомография f гиперболическая.

Осталась единственная возможность, когда t2 не есть положительное вещественное число; она эквивалентна тому, что гомография / локсодромическая. Это имеет место в том случае, когда < = а + б не есть вещественное число.

/Л ОU р/Л ОU р), а матрица), а матрицадля f" — видедля f" — виде( О( ОТаким образом, мы имеем Ац = 1 иТаким образом, мы имеем Ац = 1 и

/Л О

U р

/Л О

U р

), а матрица

), а матрица

для f" — виде

для f" — виде

( О

( О

Таким образом, мы имеем Ац = 1 и

Таким образом, мы имеем Ац = 1 и

Поведение при итерациях

Если гомография f обладает двумя неподвижными точками а и 6, то эти точки будут неподвижными и при любой итерации f”. Следовательно, гомография f" попадает в один из рассмотренных выше классов (эллиптический, гиперболический или локсодромический), в том и только в том случае, если f" не тождественное отображение. Следовательно, мы должны исключить из рассмотрения множество Un «корней из единицы» в GP (т. е. множество гомографий f, для которых f" = id).

В проективном репере {a, b, т}, где т произвольно, матрица

отображения f может быть записана в виде

^ = 6(Н = А(/Л HfW + i* иЛ='(П=л” + |Л

Если feUn, то k(f)n = 1, так что |й|= 1 и все элементы из Un эллиптические. Ясно, что |&"|=1 тогда и только тогда, когда |й| = 1; следовательно, гомография р эллиптическая тогда и только тогда, когда f эллиптическая, но не принадлежит множеству Un.

Если гомография f гиперболическая, то к — положительное вещественное число; то же самое верно для кп, значит, и fn — тоже гиперболическая. Обратно, если гомография /” гиперболическая, то кп = Х2пе R+; положим X = ru, где г > О и |ы| = 1. С необходимостью получаем u2" = 1, так что гомография ы, мат/ и О X

рица которой в базисе {а, Ь, т^ имеет вид lg L принадлежит множеству и„, в то время как гомография г, матрица ко- (г О X

торой lg r-i гиперболическая и имеет те же неподвижные точки, что и гомография и.

Мы приходим к заключению, что если гомография р гиперболическая, то f либо гиперболическая, либо локсодромическая, н в последнем случае f можно представить в виде произведения гиперболической гомографии г и гомографии и из Un, причем г и и имеют одни и те же неподвижные точки.

Окончательно, если гомография / локсодромическая, то и /"

локсодромическая, за исключением случая, когда f является произведением f = г ° и, где г — гиперболическая гомография, а и е Un и г и и имеют одни и те же неподвижные точки.

Локсодромы ■

Локсодромы, или траектории движения судна или самолета постоянным курсом (в навигации), определены в 18.2; они могут быть охарактеризованы следующим свойством; каждая локсодрома, выраженная в подходящем проективном репере, есть логарифмическая спираль.

Если f — гомография с неподвижными точками а и Ь, то ее матрица в репере {а, Ь, т} диагональна; это означает, что с точностью до томографических преобразований координат f может быть задана как z^f(z) — kz, где кч^О, 1. Записав к = е9, мы видим, что итерации /"(z) располагаются на логарифмической спирали tv-*et9z. Если f— эллиптическая томография, то соответствующая кривая — окружность (курс иа запад); если f — гиперболическая гомография, то соответствующая кривая-прямая линия (курс на север),.

' 7.1. Исследуем пространство Ес = Vs- С.-^-Е, s есть R-линейное отображение). Сначала вложим Е в Ес при помощи отображения xt—* {1 *-*х, i н-> 0). Это вложение определено корректно, так как линейное отображение однозначно определяется значениями на базисных элементах; здесь мы берем |К-базис{1, 1 = ^— 1} для С.

Определим операцию сопряжения о на Ес правилом o(s) = a(s(l), s(i)) = (s(l), — s(z)).

Легко распространить R-линейное отображение /: Е-^Е' на комплексификации Ес, Е'с; комплексификация fc просто определяется правилом

fc(s) = foS.

Функториальное соотношение (g ° f)c = gc ° fc тривиально. Соотношение а ° fc = f^= а тоже легко установить;

оас (»)) = о (/ о S) = а (/ (s(l)), f (s (I)» ='

= (/(s(D), -/(s(O)) = f((s(l), -S«» = Z(<r(s)).

• 8.1. Геометрическая идея здесь состоит в том, что оси эллипсоида {х: ф(х)=1} в евклидовом пространстве (Е, ф) должны оставаться инвариантными при действии G, откуда в случае, когда длины осей различны, следует приводимость О; если же длины всех осей равны, то ф = &ф.

Мы знаем (см. 13.В или [В, 13.5]), что в Е существует общий ортогональный базис {е,} для форм ф и ф. Доказательство этого основополагающего результата состоит в том, что вводится эндоморфизм f евклидова пространства Е, определяемый так:

P(fW> y) = Q(x, у) для любых х, у^Е,

где Р (соотв. Q) обозначает полярную форму для ф (соотв. для ф). Это соотношение определяет / однозначно, поскольку ф ие- вырожденна (см. 13.С или [В, 13.2]). Можно показать, что все собственные значения отображения f вещественны; обозначим их (X,). Нам нужно доказать, что в случае, когда G неприводима, все они равны между собой. Но GcO(E, ф)Г|О(Е, ф), откуда следует, что G оставляют инвариантным оба отображения ф и ф, и, следовательно, то же верно для Р и Q. Отсюда вытекает, что отображение f коммутирует с любым элементом из G; это, конечно, интуитивно очевидно, но тем не менее может быть проверено:

р (f (g М), y) = Q(g (х), y> = Q (х, g"' (у)) =

= Р№, g"4y^ = P^yu^ У)

для любого у, откуда f(g(x)) = g(f(x)) для любого geG, Пусть теперь V — собственное подпространство отображения

/, отвечающее собственному значению X; поскольку g°f = f°g, мы имеем g^V^ = V для любого ge G, откуда V = Е, так как G неприводимо.

Удобнее всего пользоваться внутренней метрикой на единичной сфере S(E) (см. 18.В или [В, 18.4]). Пусть feO(E); функция zt—^zf (z) определена и непрерывна на компактном множестве 5(E), так что она достигает своего минимума по крайней мере в одной точке х. Если f(x) = x или f (х) =—х, то все доказано, поскольку прямая Ох инвариантна при действии f.

В противном случае расстояние xf(x) не равно нулю и меньше л; в частности, (х, f(x)) соединены единственной дугой (дугой большой окружности). Пусть у — середина этой дуги. Поскольку f индуцирует изометрию 5(E) на себя, то образ /(у) есть середина единственной дуги, соединяющей f(x) с f(f(x)) =

Мы утверждаем теперь, что х, f(x), f2(x) принадлежат одной и той же плоскости (проходящей через начало координат)*

В противном случае у, Дх) и f(y) тоже не лежали бы в одной плоскости и потому образовывали бы сферический треугольник, откуда (см. 18.В) га<№)+7йта-у(№)) ч4№№)=

= Y №)) + у №)) = <№» и мы пришли к противоречию.

Решить уравнение пх — а в Й (S’) —это то же самое, что решить уравнение i" = g в О+(Е), где g— поворот на угол а. Введем следующие обозначения:

(

Ь —с X / d — еХ

с b )’ ^ \е d)’

где62 + с2 = </2 + е2 = 1; затем рассмотрим матрицу Р = Q

и обратную Уравненияи обратную УравненияrAet = V—1* ИмеемrAet = V—1* Имеем

и обратную Уравнения

и обратную Уравнения

rAet = V—1* Имеем

rAet = V—1* Имеем

b — ciОb — ciО

b — ciО

b — ciО

ОХ ./ d — ei ОХ .

. =P~’gP и п . , . \ = Р'^Р. b + ci /X 0 d + ei)1

Это означает, что если fa=g, то (d—ei')n=(b—с/) и (d+ez)"= = 6 ci, в чем можно убедиться, возведя P~lfP в n-ю степень.

Обратно, если (d — ei)n = b — ci и (d + ^0" = b + ci (достаточно рассмотреть одно из уравнений, поскольку они сопряжены), то мы получаем fn = g, так как

g = Pg = Pb — ci0b — ci0Оb + ciОb + ci)р”1)р”1ииt = Pt = Pd — el0d — el0° d + ei)° d + ei)P"1.P"1.

g = P

g = P

b — ci0

b — ci0

Оb + ci

Оb + ci

)р”1

)р”1

и

и

t = P

t = P

d — el

0

d — el

0

° d + ei)

° d + ei)

P"1.

P"1.

Итак, мы показали, что /" — g эквивалентно (zf)" = zg, где

Zf = d + ei и zg = b + ci.

(Заметим, что из условия 62 + с2 = d2 + е2 = 1 следует, что 2} и z6 по модулю равны 1.) Искомый результат теперь очень просто вытекает нз того факта, что каждое комплексное число с

Рис. 8.3.Рис. 8.3.

Рис. 8.3.

Рис. 8.3.

модулем 1 имеет ровно п различных корней n-й степени и все они по модулю равны 1.

Примеры даны на рис. 8.3.

Идея состоит в том, чтобы рассмотреть отражения од, От, оу относительно осей S, Т, U соответственно (см. 8.С или [В, 8.2.9]). Они являются элементами группы О+(Е) и, по предположению, удовлетворяют условиям а$(А') = В, ат(В)=С и аи(С) — А. Рассмотрим f = аи ° ат ° as; тогда /(Л) = Л. Поскольку [еО+(Е), оно должно быть или тождественным отображением, или вращением вокруг подходящей оси (см. 8.Е или [В, 8.4.7.1]).

Если f не тождественное отображение, то задача имеет точно одно решение: А является осью для [, и В = аа(Л), С = от^В).

Если же отображение f тождественное, то мы можем взять произвольную прямую в качестве А и положить В = <тз(Д), С =

= 0т(В), как и раньше. Каковы же условия на S, Т, U, для того чтобы композиция f = аи » оу-° as была тождественным отображением?

Рис. 8.4.1,Рис. 8.4.2.Рис. 8.4.1,Рис. 8.4.2.Композиция двух вращенийКомпозиция двух вращений

Рис. 8.4.1,Рис. 8.4.2.

Рис. 8.4.1,Рис. 8.4.2.

Композиция двух вращений

Композиция двух вращений

ДОЛ- S И И ГДОЛ- S И И ГРис. 8.4.3.Рис. 8.4.3.

ДОЛ- S И И Г

ДОЛ- S И И Г

Рис. 8.4.3.

Рис. 8.4.3.

Легко видеть, что произведение ат«0и двух отражений относительно прямых есть вращение вокруг прямой, перпендикулярной как к S, так и к Т, на угол, вдвое больший угла между S и Г. Если / — тождественное отображение, то должно выполняться

агоа5 = аУ1■

откуда следует, что прямая U жна быть перпендикулярна к Т, а также что угол между S

равен л/2, так что угол для аи должен быть равен л. Отсюда видно, что S, Т и U должны быть попарно ортогональны, а это условие является также и достаточным для того, чтобы f было тождественным.

Рассматривая теперь лучи вместо прямых, мы начинаем рассуждать как прежде. Найдем отображение f и его ось А; луч А с необходимостью должен быть лучом, определяемым А, и составлять с лу-

чом S угол, меньший или равный л/2. Но тогда может случиться, что B = as(,A')— луч, который образует с лучом Т угол, больший чем л/2, и в таком случае задача не имеет решения.

Обобщения. Мы можем обобщить предыдущий результат, рассматривая п заданных прямых (Sz)i=1„и отыскивая п прямых (Л;)(_,„таких, что прямая Si служит биссектрисой

прямых Ах и А2, прямая Sa— биссектрисой А2 и Аа и т. д. до Sn — биссектрисы Ап и Ль Здесь может быть применена та же техника, что и раньше, без всяких изменений; мы найдем, что решение существует и что оно единственно, когда композиция as о ... о as не есть тождественное отображение.

Если же попытаться сделать обобщение на случай евклидовых векторных пространств размерности к > 3, то может случиться так, что композиция оу ° or ° Os не оставляет инвариантной ни одну прямую (так будет «в большинстве случаев», см. 8.Е или [В, 8.4.7.3]), и тогда задача не имеет решения.

Замечание. Идея введения композиции аи ° ат ° Os весьма плодотворна в геометрии и может быть использована во многих аналогичных задачах. Для начала можно применить ее к следующей задаче: в аффинном пространстве найти многоугольник, середины сторон которого заданы. Далее можно попытаться осуществить такие два приложения этой идеи: задача Кастильона—• нахождение многоугольника, вписанного в данную окружность, стороны которого проходят через заданные точки (см.(В, 10.11.4, 16.3.10.3]), и большая теорема Понселе о многоугольнике, вписанном в некоторую конику и одновременно описанном около другой, для случая двух бикасающихся коник (см. задачу 16.5).

Сначала вспомним, что R обладает единственным автоморфизмом— тождественным. Действительно, если ф— автоморфизм в R, то ф(1)= 1 и q>(.p/q) = p/q для любой пары целых чисел (р, р), рт^О. Утверждение следует из плотности Q в R и того факта, что ф возрастает (ибо если а ^ 0, то ф(а) = = fo(Va))2^0)- Пусть теперь ф обозначает автоморфизм Н; поскольку R есть центр в Н. мы имеем ф(К)с R и qr’^cK, откуда следует, что ф(К) = R, и значит, ф lR = IdR. Заметим, что квадратные корни из —1 —это чистые кватернионы с нормой 1; обозначим множество таких кватернионов S2. Образы i, j, к будут принадлежать S2 и должны образовывать положительно ориентированный ортонормированный базис в R3, поскольку Ф(0ф(/) = ф(^)- Записав а = b + ci 4- dj 4- ек, приходим к заключению, что

Ф (а) = ф (6) 4- Ф (с) ф (О 4- Ф W Ф (/) + Ф (е) Ф № = — b + ctp (t) 4- ^ф (/) 4- еф (к).

Так как (ф(0, ф(/), ф(^))—положительно определенный орто- иормированный базис, то отображение ci 4- dj 4- ек •—* сф (0 4-

+ ^ф(/) + «р(^) есть вращение в R3. Итак, мы показали, что ф(а) = Ж(а) + р(^(«))> где ре0+(3) зависит только от ф.

Формула (1)

Если b и с коллинеарны, то формула с очевидностью выполнена: обе части ее обращаются в нуль.

Если Ь и с линейно независимы, то три вектора Ь, b^c и b л (Ь л с) образуют ортогональный базис в R3, который можно превратить в ортонормированный. Допустим, что вектор Ь имеет координаты (6, 0, 0), с =(сь с2, 0) и a = (ai, a2, аз). Вычислим координаты обеих частей векторного равенства (1) в таком базисе.

Поскольку базис ортонормированный, можно применить явные формулы для координат векторного произведения:

'Ьс2

0

.С другой стороны,

b

С|

а2Ьс2

: (а | с) b — (а | Ь) с= (а^, + а2с2)

0 — ахЬ

с2=

—ахЬс2,

0

0

0

0

а2Ьсг

b^c= 0 , а Л (6 Л с) = — ахЬсг.

что и завершает доказательство формулы (1).

Примечание. Это решение не является верхом изящества: выписывание координат и вычисления с ними травмирует наше математическое чувство прекрасного. Одиако в данном случае этого вряд ли удалось бы избежать. Используя определение векторного произведения через смешанное и свойство линейности последнего, довольно легко проверить выполнение формулы (1) с точностью до множителя; одиако следует помнить, что смешанное произведение определяется своими естественными свойствами тоже с точностью до множителя, и чтобы определить смешанное произведение полностью, мы должны постулировать, что смешанное произведение ортонормированных базисных векторов равно 1. Отсюда и возникает необходимость во введении базиса. Поскольку мы вынуждены пользоваться базисом, можно записать векторы и в координатах; изобретать способ, при котором координаты не входили бы явно, было бы некоторым лицемерием.

Используя (1), получаем

(а л b) Л (а Л с) = (a Л b | с) а — 0 = (а, Ь, с) а, (акЬ, а кс, b кс^ — ^ак^к^аксНЬ кс) =

= (а, Ь, с) (а 16 лс) = (а, Ь, с)2.. .

То что R3 есть алгебра Ли — довольно простой факт; очевидно, что R3 — алгебра, поскольку умножение л дистрибутивно по отношению к сложению (вследствие линейности), поэтому нужно лишь убедиться в выполнении тождества Якоби. Используя (1), имеем

а л ф л с) + b л (с л а) + с л (а л Ь) =

афз — ^2^3<М] — 63^1, афз — ^1^2афз — ^2^3<М] — 63^1, афз — ^1^2а л b =откудаа л b =откуда= (а 1 с) b — (а | Ь) с + ф | а) с — (6| с) а + (с | b) а — (с | а) b = 0.

афз — ^2^3

<М] — 63^1, афз — ^1^2

афз — ^2^3

<М] — 63^1, афз — ^1^2

а л b =

откуда

а л b =

откуда

и запишем

я.

Ь\

а =

Оз,6 =

^2

Оз

63

Что касается формулы (2), то мы можем воспользоваться координатами без сожалений. Выберем ортонормированный базис

в этом базисе. Далее,

II а л b |р = (я263 — b^V + (Mi — Mi)2 + (М2 — ЬаУ.

С другой стороны,С другой стороны,00р(я) =02.Р(Ь) =Ьца»Ьз00р(я) =02.Р(Ь) =Ьца»Ьз

С другой стороны,

С другой стороны,

0

0

р(я) =

02.Р(Ь) =

Ьц

а»

Ьз

0

0

р(я) =

02.Р(Ь) =

Ьц

а»

Ьз

Gram (р (я), р(6)) =

я3 4~ а^ аф^ -|- Q3b3

М2 + М3 ^+6з

= ^ + а^ ^ + Ь^ - фф2 + я363)2 -

= аф» 4 а& + Ь^ + а^3 - а^ - ^афф, - аф» -

= аЖ — SajibtK + с№ = = (я263 — я3^)3.

Остальные два выражения получаются аналогично.

Интерпретация. Квадрат длины вектора акЬ (который также равен объему параллелепипеда, построенного на векторах (О, а, Ь, аь 6}, поскольку | а Л 6, а л b | = (я, b, алЬ)) равен сумме площадей трех параллелограммов, являющихся проекциями параллелограмма {0, а, Ь, а + 6} на три координатные плоскости.

Подходящим образом выбирая базис, можно расположить этот параллелограмм в одной из координатных плоскостей, что и иллюстрирует соотношение

|| а Л 61|2 = vol (0, а, Ь, а д 6).

Примечание. Тот факт, что мы приравниваем длины, площади и объемы, показывает, что эти понятия не являются внутренними, а предполагают некоторый выбор единицы длины. Окружающий нас мир является евклидовым только с точностью до некоторого множителя. Это означает, что мы не могли бы иметь подобных равенств в физике, где все формулы должны быть инвариантными относительно умножения метрических единиц на постоянную величину; этим объясняется хорошо известная однородность физических формул, чего в нашем случае быть не должно.

Уравнение XNa = b

Единственность*, х ^a = x, Na <=>- (х — х') л а=0 -4=»- х'=х4-ка.

Существование*. очевидно, должно быть (а|6) = 0, иначе решения не существует. Поэтому допустим, что это условие выполнено, и положим х = а(а л 6); тогда по (1)

хла = а(ал6)ла = — оал(ал6) = — а[(а|6)а — а2Ь],.

но (а16) = 0 по предположению, так что х ла = аа2Ь, и выбирая а = 1 /а2, получаем искомое решение. Подведем итог:

если а не перпендикулярно Ь, то решения не существует; ■ если а перпендикулярно Ь, то множеством решений будет аффинная прямая в направлении вектора а, проходящая через точку (1/а2)а л Ь.

Глава 9

Введем на плоскости структуру евклидова пространства и докажем теорему методом «от противного». Предположим, что существует такая тройка (i, /, hy что х(^<х/, х^. Для всех троек (&, h, Г), таких, что х*^<хЛ, xi>, рассмотрим расстояния d<хк, (хь, xi>) и выберем точки а = х(, b = х; и с = xk так, чтобы это расстояние было минимальным среди всех таких троек.

По предположению прямая <6, с> содержит третью точку d из (хе). Значит, по крайней мере две из трех точек Ь, с, d расположены по одну сторону от перпендикуляра D к прямой <6, с>,

проходящего через точку а. Обозначим через О пересечение D и <6, с>; можно считать, что точки расположены так, как указано на чертеже. Но расстояние от с до <а, d1) строго меньше, чем расстояние от О до <а, d), которое в свою очередь меньше расстояния аО от а до <6, d^, что противоречит предположению минимальности.

Примечание. Формулировку теоремы можно уточнить: если п точек (xz)z-1 .. „ в совокупности неколлинеарны, то число прямых, каждая из которых проходит только через две из данных п точек, не меньше Зп/7.

Уравнение d^x, D^ = d(x, D') эквивалентно уравнению D)f-(d(x, D'))2 = 0,

так что исследуемое множество есть квадрика.

Случай 1: X— плоскость. •

Напомним, что биссектрисами прямых D и D' являются две прямые Т и Т', удовлетворяющие условию DT — ТЕ/, в которое входят ориентированные углы между неориентированными пря-

мыми (т. е. элементы U(£), см. 8.F). Напомним также, что если мы предварительно выбрали ориентацию пространства, то такой угол однозначно определяется своим синусом, т. е. числом sin DE/ = Ь е [— 1, 1], где число Ь таково, что одному из двух / а — &\ вращений, переводящих D в D', соответствует матрица! I с положительным а.

Обозначим через р пересечение данных прямых, а через т и т' — ортогональные проекции точки х на D и D'. Синус угла (р, тУ(р, х) может быть вычислен из прямоугольного треугольника ртх1

| sin (р, пМр, х) | = тх/рх.

Итак, интересующая нас точка р удовлетворяет условию | sin <р, т^р, х) | = | sin (р, тГ^р, х)|,

откуда

D<p, х) = ±(р, Xs) D'.

Поскольку D N= D', прямая <р, х> является одной из биссектрис для D, D', так что искомое множество есть коника, состоящая из двух биссектрис для DD'.

Случай 2: X не является плоскостью.

, Пусть Н — подпространство коразмерности 2, ортогональное D и D' одновременно. Если D и D* пересекаются, то множество точек, равноудаленных от D и D', есть объединение двух гиперплоскостей <Т, Ну и <Т', Н>, содержащих биссектрисы Т, Т' для D, D'.

Предположим теперь, что Df\D'=0. Мы хотим определить тип (в аффинной классификации; по существу, этого достаточно) квадрики d (х, D)=d (х, О'). Пусть р~Н f) D, р'=Н П D'; выберем единичные векторы et в направлении D и е2 в е^-, такие, что направление D' есть ав] + ре2; е3— такой, что рр' = уе3, и, наконец, е^, ..., е„ —такие, что (р, е3, ..., е„) есть ортонормированный репер для Н. В ортонормированном репере (р, ei, ..., е„) исследуемая квадрика описывается уравнением

' х| —(рх, — ах2)2 + 2ух3 — у2 = 0;

полагая х] = 0х1 —ах2 и х' = ух3 —у2/2 (указанная замена переменных допустима, поскольку р^О, так как D и D' не параллельны, иу^О, так как D и D' некомпланарны), получаем новое уравнение х2 + х]2 + 2х3 = 0.

В обозначениях из (В, 15.3.2] эта квадрика имеет тип III (1, 1); в случае размерности 3 она представляет собой гиперболический параболоид, см. 15.В.

Основная идея доказательства состоит в том, чтобы рассмотреть многоугольник с максимальным периметром и затем показать, используя формулу первой вариации (см. 9.G), что он является оптическим. Мы должны оставить вне рассмотрения

многоугольники с самопересечениями, хотя именно такие многоугольники (при четном п) имеют наибольшее значение периметра: достаточно взять п раз диаметр множества. Для фиксированного натурального числа п обозначим через Ас С" подмножество в СХ ... ХС (л раз), образованное такими наборами (хь .... х„) из п точек х/( что каждая xt находится на замкнутой дуге кривой от Xi_t до х,+1 (mod л). Поскольку А есть замкнутое подмножество компактного множества С", функция периметра р; A->R, определяемая формулой p^xtх„)) = п

= 2 xi^i+b достигает максимума по крайней мере на одном на- 1'

боре из п точек (а,). Покажем, что эти п точек определяют оптический многоугольник.

Функция хн-^-а;_,х + ха; + 1, определенная на дуге кривой от a,-i до а,+ь принимает максимальное значение при х = аи так что ее производная в этой точке равна нулю. Из формулы первой вариации и строгой выпуклости С получаем, что углы между касательной к С в а, и каждой из прямых <a<-i, at) и <ai, ai+l> равны.

См. также [В, 17.6.5].

а) Построение, использующее инвариантность углов

Нам нужно определить центр со+ такого элемента fe е Sim+(R2), что f(a)=a7 и ЦЬ^=Ь'.

Сначала рассмотрим два частных случая: если а = а', то центром является точка а = а'; если же (а, 6>//<а', У>, то f— гомотетия или параллельный перенос, и в первом случае центром является точка <а, а'> П <Ь, Ь').

Далее, положим е = <а, Ь>(\<а\ Ь'>; точка е корректно определена, поскольку мы исключили из рассмотрения случай, когда

указанные прямые параллельны.

Справедливо соотношение

(а, ю+Ха, Z>) = (а, ю+)(а, е) и, поскольку / сохраняет углы,

(а, ш+)(а, &) = (а, ю+Ха7, Ь^

'(мы работаем сейчас с ориентированными углами между неориентированными прямыми, т. е. с элементами U(£)). Таким образом, можно записать

(а, «>*)(а, е) = (а', ш+Ха, е).

откуда, учитывая свойство углов,

вписанных в окружность (см.

10.D или [В, 10.9.3]), получаем, что а, а7, ю+ и е лежат на одной

окружности; аналогичное рассуждение применимо к Ь, Ь', й+ и е. Следующее построение обосновано проведенными выше рас

суждениями: после нахождения точки е построим окружность Ci, проходящую через точки а, а' и е (если а = е, то Сх—окружность, проходящая через а и а7 и касательная к <а, &> в а). Затем проведем через точки Ь, У и е окружность С2; тогда точками пересечения двух окружностей будут е и ©+.

Замечание. Описанный метод не годится для определения центра со- такого подобия geSim-(R2), что gVa>=a' и g(6) = b', поскольку множество точек х, удовлетворяющих условию (а, х)(а, е> = — (</, х)(а7, е), представляет собой кривую, которую невозможно построить с помощью только циркуля и линейки.

Построение, использующее инвариантность отношения расстояний.

Ниже мы будем предполагать, что исследуемые подобия не являются изометриями, т. е. что ab а'Ь'; это условие не яв-

ляется ограничительным, поскольку в случае изометрий исследование намного проще. Для заданных точек а, Ь, а' и Ь' множество Ci = {х е R2: ха'[ха = a'b'/ab} представляет собой окружность, проходящую через точки

Ci = (аЬЦаЬ — а'Ь'^ а' — (а'Ь'ДаЬ — а'Ь'У) а и

dv = ^аЬ^аЬ + n'b'^ а' + (а'Ь'ЦаЬ + а'Ь'^ а

(см. 9.F или [В, Э.7.6.5]). Множество C2={xeR2: xb'/xb — = a'b'/ab) также является окружностью. Точки пересечения окружностей Ct и С2 являются центрами ю+ и со- подобий fe е Sim+ и g е Sim-, переводящих (а, Ь) в (а', Ь'У Задача будет решена, если мы научимся строить окружности Сх и С2. Построение Ci проводится следующим образом: найдем такую точку Ь", что

(a', b'^IKa, b) и c^b" = a't/•,

точка Ci = <а, а'> П <Ь, Ь") находится на Сь Далее, найдем точку Ь"', такую, что Ь'" находится на <а, Ь> и <Ь", Ь"'}Ц{а', Ь}-, точка d\, такая, что d\ е <а, а'> и <6, d^/f^b'", а'.-), также находится на Сь Построение С2 проводится аналогичным образом.

Построение с использованием комплексных чисел

Аналитическое описание подобий в терминах комплексных чисел настолько просто, что естественно попытаться использовать его для нахождения центров подобий, переводящих (а, Ь^

в (а7, Ь'). Однако получаемые таким путем построения намного сложнее предыдущих и менее геометричны.

Положим а = 0, 6=1, f(z) = az+p, g (2) = az + Р; тогда мы получаем а7 = р и 67 = а + р. Центр ы+ определяется уравнением со+= асо++ р, откуда ш+=р/(1 — а), в то_время как ш~ определяется из уравнения со- = аш“ + Р, откуда со- = мГ + + Р и ю~ = а (аш“ + р) + р, что дает окончательное выражение со- = (ар + Р)/(1 — аа). Итак, задача сводится к следующей: для данных точек 0, 1, р и a + Р найти точки Р/(1 — а) и (ар + р)/(1 — аа). Мы проиллюстрируем решение на чертежах, опуская подробные пояснения.

Имеется стандартный подход к решению такого рода задач. Построим произвольный квадрат {а, Ь, с, d), такой, что а находится на {х, у}, b— на {х, 2} и <а, Ь) параллельна <у, 2>. Обозначим чеоез ' точки пеоесечения поямой \ с <х. Л

и <х, с> соответственно. Гомотетия с центром х и коэффициентом xd'/xd = х<//хс переводит квадрат {a, b, с, d} в квадрат (а', Ь', с*, d'}, удовлетворяющий условиям задачи.

Сравните это с [В, 9.6.6].

Обозначим через а = хО расстояние от точки х до центра О окружности С радиуса г. Уравнение соответствующей кри- "вой в полярных координатах с центром в х и осью хО имеет вид р = a cos 0 + г.

Классическим выражением для определения типа выпуклости кривой р = f (0) относительно полюса служит

/2+2(Н2-/./".

; В нашем случае получаем функцию 2а2 + Заг cos 0 + г2. Итак, исследуемая подэра всегда будет вогнутой по отношению к точке х, за исключением тех значений 0, при которых выполняется

неравенство 2а8 + Заг cos 0 + г2 •< 0. Это возможно лишь в том случае, когда

Но

2а1 + г1 _ .г_ / 2а _ . X /_а. X

Заг 1 — За к г Vkr*7’

поэтому такой случай имеет место лишь тогда, когда г/2 < < a <_r, a 0 находится в интервале ]—л — 0О, —л + 0о[.

Полученный результат интуитивно очевиден. Для а = г кривая представляет собой кардиоиду, которая имеет точку возврата, а д^я очень малых значений а исследуемая подэра близка к окружности, и в этом случае тип выпуклости не меняется.

(i) Обозначим через а, b и с вершины треугольника ^~, а через а', Ь' и с' — треугольника £Г'; поскольку а'Ьас— параллелограмм, имеем а'Ь = са и а'с = Ьа. Повторяя это рассуждение для других точек, получаем, что с— середина а'Ь', Ь— середина а'с' и а—середина Ь'с', Каждая высота треугольника Т\ состоит из точек, равноудаленных от двух соответствующих вершин ^~/, поэтому утверждение о том, что все три высоты пересекаются в одной точке, следует из существования точки, равноудаленной от всех трех вершин треугольника 3"*.

(п) Представим ab = ac-Vcb-, тогда, используя билинейность скалярного произведения, можно получить (aZ>| cd) = (oc| cd)-|- + (cb | cd) = (ас | cd) + (de | be), откуда

(аб | cd) + (ас | db) + (ad | be) — (ас | cb) + (ас | be) = 0.

Далее, пусть а, Ь и с — вершины треугольника 3", и пусть d— точка пересечения высот, опущенных из а и Ь. Имеем (ad | be) = (bd | ас) = 0, откуда (a6|cd) = 0; это означает, что прямая <с, d> есть высота, опущенная из вершины с, так что все три высоты пересекаются в одной точке.

Обозначим через а, Ь и с вершины треугольника 3", а через а', Ь' и с* — основания высот, опущенных соответственно из а, b и с. Справедливо соотношение

а'Ь tg aa'abа'с tg аа'ас

откуда

о^б b'c с'а tg аа' ab • tg bb'bc tg cc’ca

Zc b'a c'btg gg'ac • tg bb'ba tg cc'cb■

Треугольники a'ac и b'bc подобны, поскольку они имеют общий угол при вершине с, и прямоугольны, так что аа'ас — = bcbb* = —bb'bc. Поскольку тангенс — нечетная функция, получаем а'Ь]а'с • b'cjb'a • c'ajc'b = (—I)3 = — 1. Теорема Чевы (см. задачу 2.1) завершает доказательство.

Пусть а, b и с — вершины треугольника 9" и d— точка пересечения высот, опущенных из а и Ь. Тогда и <а, d> U <b, с> и <b, d) L) <а, с> суть коники, которые порождают пучок 8Г всех коник, проходящих через (а, b, с, d}. Прямая на бесконечности оо является собственной по отношению к ЗГ, так что можно использовать теорему Дезарга (см. 16.F): существует такая инволюция f прямой оо, что для всех а из S' пересечение а с оо состоит из точки tn и ее образа f(m). Так как <а, d>_L<6, с>, то две бесконечно удаленные точки коники <а, d>0<6, с> (мы будем обозначать их через т и f(m)) удовлетворяют соотношению [m, f(m), /, Z] = — 1 (где / и У —круговые точки). Аналогичный результат справедлив и для бесконечных точек коники <6, d> U <а, с>. Инволюция определяется своим действием на две точки, так что / можно задать формулой [m, f(m), /, У] = =— 1 (см. 6.D или [В, 6.7.2, 6.7.4]). Коника <с, d^U^a, b) принадлежит 9", так как она проходит через a, b, с, d; это и доказывает, что третья высота также проходит через d. См. также решение задачи 10.3.

Первая часть. Доказательство соотношения /?2— 2Rr = — d2 требует несколько большей работы, чем это может показаться, хотя в нем и нет ничего сверхсложного. Предположим, что углы А, В, С треугольника 9* — (х, у, г) таковы, что В ^ С. Сначала вспомним, как определяются точки касания окружности, вписанной в 9*; длины и, и, w на рис. 10.2.1 удовлетворяют соотношениям u-\-w = b, w + v = а, и + и = с, где а, Ь, с — стороны 9". Используя обозначение р — (а + b + с)/2, получаем и—(р — а)/2, и = (р — Ь)/2 и w — \р — сУ,2.

Обозначим через со (соотв. через О) центр окружности, вписанной в 9* (соотв. описанной около ЗГУ имеем

Угол треугольника (х, со, 0} при вершине х равен (S — С) /2, как это видно из чертежа (воспользуйтесь соотношением А 4^

'+ S + С = л, а также тем, что центральный угол равен удвоенному вписанному; см. 10.D или [В, 10.9.3]). Применим основное

Рис. 10.2.1.

соотношение из 10.А (или [В, 10.3.1]) для нахождения d = ®Chd1 = (юО)2 — (хш)2 + (хО)2 - 2 (ха.) (хО) cos -Ц^- =

= рг । (р-д)2 _ о(р—°)

.cos2 (4/2) cos (4/2) LUb 2'

Отсюда следует, что соотношение, которое мы хотим доказать, эквивалентно следующему:

2R (р — а) В —С (р — а)2 — gp рр /—

cos (4/2) C0S 2 cos2 (4/2) ~O)tg 2 ,

ИЛИ

2/? cos —y—- cos -^(p — a) — 2R sin -y cos -y = 0.

Последнее соотношение эквивалентно, с учетом формул из Ю.А

Хили [В, 10.3.2]) и значения р, равенству

2R cos ™^С- cos -^— (sin В + sin С — sin A) R — R sin А = 0,

В — С л

или 2 cos—^—cos-2sin В — sin С — 0,

которое следует непосредственно из А =я — (В + С).

Вторая часть. Пусть С, С'—две окружности, радиусы которых R, г удовлетворяют соотношению /?2 — 2/?r==d2, где d —

расстояние между их центрами. Выберем произвольную точку х на С. Требуется показать, что можно найти две другие точки у, г, такие, что треугольник {х, у, z} будет вписанным в С и описанным около С'. Проведем из х две касательные к С'; они существуют, потому что соотношение R2 — 2Rr = d2 влечет d <. [< R — г, так что С' расположена внутри С. Пусть у и г — точки, в которых эти две касательные пересекают С. Остается показать, что <у, z> является касательной к С'. ■

■ Мы собираемся применить стандартный метод решения: воспользоваться доказанным выше необходимым условием и соображениями единственности. Правда, рассуждение здесь оказывается чуть более тонким. Окружность С", вписанная в {х, у, z}, имеет радиус г', и расстояние d' = ш'О от ее центра до центра О окружности С удовлетворяет соотношению R2 — 2Rr' = d'2.

Центры ю, <о' должны располагаться на биссектрисе D угла при вершине х. Для произвольной точки / на D обозначим через &(/) ее расстояние до <х, z> (равное расстоянию до <х, у)). Это отображение является аффинным на D, так что, в частности, отображение t ь-» R2 — 2Rk (t) — (/О)2 второй степени и должно иметь не более двух нулей. Очевидным образом оно обращается в нуль в ю и го', но также и в / = х, так что ю' = ю.

Пусть 3* = (а, Ь, с} — рассматриваемый треугольник. Для заданной на плоскости прямой D обозначим через Ь' (соотв. D", D"') прямую, симметричную ей относительно стороны <6, с> (соотв. <с, а>, <а, Ь1» треугольника 3*. Будем говорить, что прямая D хорошая, если эти три прямые пересекаются в одной

точке. Название «прямая образов» оправдано тем, что если х = D' П D" П D'", то отражения х', х", х'" точки х относительно сторон ST суть коллинеарные точки (расположенные, конечно же, на О). Если рассматривать три стороны Т как зеркала, то три образа точки х должны располагаться на «прямой образов».

Идея доказательства состоит в том, что для произвольных прямых D, Е на плоскости три ориентированных угла (см. 8.F)

D'E', D"E" и D'"E"' совпадают, поскольку все они равны —DE в силу 8.F или [В, 8.7.7.3]. Затем нужно воспользоваться условием на ориентированные углы, необходимым и достаточным для коцикличности четырех точек (10.D или [В, 10.9.5]), Далее, предположим, что обе прямые D и Е хорошие и что их отражения пересекаются в точках х и у соответственно; тогда проведенное выше рассуждение показывает, что пять точек х, у, D'(\E', D"(]E" и D"'^"' лежат на одной окружности. Мы получаем следующую лемму:

Лемма. Если обе прямые D и Е хорошие, то и любая прямая, проходящая через D ПЕ, также хорошая.

Это следует из приведенных выше соображений, поскольку для произвольной прямой F, проходящей через D П Е, ее отражения F', F", F'" проходят через точку г на окружности, зада-

ваемой теми пятью точками, о которых мы уже говорили. Эта точка г однозначно определяется, например, углом D'F'.

Остается лишь заметить, что не все прямые на плоскости хорошие и что мы знаем по крайней мере три хорошие прямые— высоты треугольника. Это означает, что хорошими являются те и только те прямые, которые проходят через точку пересечения высот (в частности, мы еще раз получили утверждение о том, что три высоты пересекаются в одной точке).

5пЕ

Рис. 10.3.2.

Из упомянутого выше условия коцикличности следует, что для всех хороших прямых D точки D' f\D" V\D'" лежат на одной окружности. Эта окружность должна быть описанной около нашего треугольника, так как если D—высота треугольника, опущенная, например, из а, то точкой пересечения трех ее отражений будет опять-таки точка а. Обратно, каждая точка этой окружности есть точка пересечения отражений некоторой хорошей прямой.

Бесплатное приложение. В качестве следствий мы получаем три результата. Первый — о прямой Симпсона (см. 10.D или [В, 10.9.7.1]). Действительно, для того чтобы проекции точки х на стороны треугольника были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы были коллинеарны их образы при гомотетии с центром х и коэффициентом 2. При этом мы приходим к прямой образов.

Второй результат состоит в том, что точки, полученные отражениями ортоцентра относительно сторон треугольника, лежат на окружности, описанной около этого треугольника.

Третий результат: гомотетия с центром х и коэффициентом 2 переводит прямую Симпсона в прямую, проходящую через ортоцентр.

Идея построения и в том и в другом случае состоит в том, что для достижения абсолютного минимума имеется очевидный кандидат, а именно — точка пересечения диагоналей.

Рис. 10.4.2.

В случае выпуклого четырехугольника эта точка, очевидно, существует; обозначим ее х. Для любой точки z на плоскости имеем

га + zb + гс + zd = (za + zc^ + (zd + zd) ^ ac + bd.

В силу строгого неравенства треугольника равенство может быть только в том случае, когда z принадлежит одновременно отрезку [а, с] и отрезку [6, d], т. е. z=x. Значит, эта точка реализует единственный абсолютный минимум функции

z н-> га + zb + zc + zd,

т. е. суммы расстояний до четырех вершин выпуклого четырехугольника.

В случае шестиугольника, описанного около эллипса, достаточно применить теорему Брианшона, в которой утверждается, что все три диагонали такого шестиугольника пересекаются в одной точке (см. 16.С или [В, 16.2.13]). Пусть х — точка их пересечения, a z— произвольная точка плоскости; тогда

za + zb + zc + zd + ze + zf ^ ad + be + cf,

причем равенство имеет место лишь в том случае, если z = x.

Замечание. В каждом из двух рассмотренных случаев нетрудно проверить, что «первая вариация» (см. 9.G или [В, 9.10]) равна нулю в точке минимума, поскольку в точке х единичные векторы ха/ЦхаЦ, xb^xb^, хс/ЦхсЦ, xdl^xd\\, например, группируются в пары взаимно противоположных векторов.

Первая идея состоит в том, что, поскольку угол Ad, Аа равен л/2, неизвестная точка А принадлежит окружности Г, диаметром которой является [a, dV Аналогичное замечание относится и к другим вершинам; к сожалению, этого недостаточно. Рассмотрим далее диагональ А= = <А, С> квадрата. Известно, что угол А, Аа равен л/4, поэтому А пересекает Г в однозначно определенной точке — середине дуги (a,d) окружности Г, не содержащей А (см. свойства впи

Рис. 10.5.1.Рис. 10.5.1.санных углов, 10.D или 1В, 10.9]).

Рис. 10.5.1.

Рис. 10.5.1.

В результате мы приходим к следующему построению в случае выпуклого четырехугольника (а, Ь, с, d): провести окружности Г и Г' с диаметрами [a, d] и [6, с]

. . . . . и определить серединых и у дуг (а, d) и (Ь, с), обращенных внутрь четырехугольника. Искомой диагональю А является прямая <х, у). Вершиной А. . . . . и определить серединых и у дуг (а, d) и (Ь, с), обращенных внутрь четырехугольника. Искомой диагональю А является прямая <х, у). Вершиной Аслужит вторая точка пересечения А с окружностью Г и т. д. .

. . . . . и определить серединых и у дуг (а, d) и (Ь, с), обращенных внутрь четырехугольника. Искомой диагональю А является прямая <х, у). Вершиной А

. . . . . и определить серединых и у дуг (а, d) и (Ь, с), обращенных внутрь четырехугольника. Искомой диагональю А является прямая <х, у). Вершиной А

Это построение не всегда осуществимо: например, углы четырехугольника (а, Ь, с, d) не должны быть слишком малыми. Иногда решение не единственно, например, если сам четырехугольник (а, Ь, с, d) есть квадрат.

10.6. а) Построение образа точки при инверсии, для которой заданы центр I и инвариантная окружность I

Мы приведем построение образа такой точки т, что im^>r!2, где г — радиус окружности /; в дальнейшем нам понадобится именно этот случай. Пусть сх и сг — точки пересечения / и окружности с центром т, проходящей через i, и пусть т'— точка пересечения двух окружностей с центрами сх и с2, которые проходят через I (точки i, тит' коллинеарны из соображений симметрии). Для того чтобы убедиться, что т' есть образ т, можно вычислить площадь треугольника 1схт';

А = (с/ • схт' • sin cxi, схт')12 = (г2 sin cxi, cxm')/2.

С другой стороны,

A = (im' • mcx • sin mi, mcx)/2 = (im • im' • sin mi, mc^]2, но два рассматриваемых угла равны, поскольку треугольники imcx и icxm' подобны (они равнобедренны и имеют общий угол при вершине 0, поэтому im-im' = г2.

Построение центра заданной окружности

Пусть С — заданная окружность с центром с (неизвестным!). Выберем на ней некоторую точку I, и пусть 1 — окружность с

центром I, пересекающая С в точках ct и сг. Согласно построению а), образ с' точки с при инверсии с центром i и инвариантной окружностью / есть пересечение окружностей с центрами Ct и сг, проходящих через I. Для нахождения с остается определить образ с' (используя тот же самый метод).

Теорема Мора—Маскерони

При геометрических построениях с помощью циркуля и линейки мы имеем дело с двумя типами фигур: окружностями (понятно, что их можно рисовать с помощью одного циркуля) и прямыми, которые строятся по двум заданным точкам. Нужно

Рис. 10.6.1.Рис. 10.6.2.

показать, что точки пересечения таких фигур можно находить с помощью одного только циркуля. Сначала докажем следующую лемму:

Лемма. Окружность, проходящую через три заданные точки, можно построить с помощью одного только циркуля.

Доказательство. Пусть I, j, k— три заданные точки. Проведем окружность / с центром I и радиусом jk, окружность / с центром j и радиусом ik и окружность К с центром к и радиусом ij. Тогда точки с\ и с^, изображенные на чертеже, находятся на окружности, которая проходит через i, j и к. Далее, рассмотрим инверсию с центром i и инвариантной окружностью /: образ с' искомого центра лежит в Ст Q С2, где Сп— окружность с центром сп, проходящая через L Теперь можно построить центр с (см. а)).■

■ Основываясь на утверждении леммы, доказательство теоремы можно провести следующим образом, Пусть F\ и Р2 — две

фигуры (окружности или прямые), I— точка на плоскости, I — окружность с центром i и ф— инверсия с центром i и инвариантной окружностью /. Тогда ф^) и ф^г) можно построить с помощью одного только циркуля: если Fn— прямая <а, &>, найдем образы ф(а) и ф(&) точек а и Ь, а фСГп) будет окружностью, проходящей через ф(а), ф(&) и I; если Рп — окружность, найдем образы трех ее точек, а ф^п) будет окружностью, проходящей через эти три образа. Таким способом мы можем получить точки Ф^ОПф^г), которые соответствуют точкам fiOfi при действии ф. Для нахождения ^П^ остается применить ф еще раз.

Прежде всего сформулируем цепочку теорем, которые требуется доказать.

Т2л: Пусть (D,)<_iгл — семейство 2« прямых на евклидовой плоскости, Ci — окружность, соответствующая семейству (О/)/^< по теореме T2„-i; тогда 2« окружностей Ct имеют общую точку р.

Тгд+ь Пусть 2л+1— семейство 2n + 1 прямых на

евклидовой плоскости, a pi— точка, соответствующая семейству Ф^^ы по теореме Т2л; тогда 2п+1 точек pt расположены на общей окружности С.

Начнем с теоремы Т2, в формулировке которой заменим предположение «Ci — окружность, по теореме Т] соответствующая семейству Dj (/#=0* предположением «Ci — обобщенная окружность Dj (/#=i)* (см- 20.А или [В, 20.1.5]). Тогда теоремы Т2 и Т3 тривиальны: в первой утверждается, что две прямые, находящиеся в общем положении, т. е. .пересекающиеся, имеют общ ю точку, а во второй — что три ве шины треугольника рас-

Положены на общей окружности (описанной окружности). Теоремы Т4 и Т8 сформулированы в основном тексте. Докажем все теоремы по индукции.

Доказательство теоремы Т2и

Обозначим через Ci окружность, соответствующую прямым (D^isbi по теореме T2n-b через ри— точку, соответствующую прямым (Дь)^ <<,/} по теореме Т2я_2, через Ct, f, е— окружность, соответствующую прямым <Di)i*u. /. »> п0 теореме Т2^3, и т. д. Мы знаем, что Сх и С2 проходят через точку рь 2, значит, эти две окружности пересекаются и в некоторой другой точке р. Покажем, что все окружности Ct тоже проходят через эту точку,

Начнем с четырех прямых Db D^ Di и Df, тогда для четырех окружностей Сх, С2, С2, i, / и Cx.i.j имеем

Сх П С2 — {рь 2, р}, С2 Л Сг, it / = {р2,/• Рг, <}»

Сг, <, / Л Ci, г, / — {pi, 2, г,/, Pt,/} и ^1, г, / Л ^i = {Pi,/> Px,t}-

Но точки рх, 2, р2,,, рх, 2,1,1 и рх, / коцикличны, поскольку все онн лежат на Сх,2, /, так что по теореме о шести окружностях (10.D или [В, 10.9.7.2]) точки р, рг,ц pt, j и рх, t также коцикличны. Отсюда следует, что р е Ci, поскольку Ct — единственная окружность, проходящая через р2, и pi, / и рх, i.

Доказательство теоремы T2n+i

Мы используем те же обозначения, что н в a): pi, Cij и т. д. Точки рх, р^ и р3 определяют окружность С. Покажем, что все

точки pi расположены на этой окружности. Предположим, что имеется по крайней мере четыре прямые Dx, D2, Da и Di. Тогда для четырех окружностей Сь 2, С113, С3, < и Сгл получаем

С(,2 Л Сьз = {рЬ2,з, Р1)> С1,з Л С3, г = {Pi,з,;, Рз)>

С3,1 Л ^2, I = {р2, 3, l> Pl} И ^2, i Л CV1 2 = (рц 2| I, Pi}.

Но Pi, 2, з,'Рь з, <> Р2, з, i и pi, 2, i коцикличны, поскольку они лежат на С,, 2, з, ь так что по теореме о шести окружностях рь рз, р, и рг коцикличны. Отсюда следует, что р, е С.

Начало индукции\

Отметим сначала, что во всех проведенных выше рассмотрениях (включая теорему о шести окружностях) термин «коцикличны» следует трактовать как «коцикличны или коллинеарны» (так что доказательство в случае 2n + 1 =5, где Ci, 2,3, i — прямая, корректно). В силу этого замечания для начала индукции достаточно доказать теоремы Т2, Т3 и Т4. Как показано выше, теоремы Т2 и Т3 тривиальны. Что касается теоремы Т4, то ее можно доказать тем же способом, что и другие теоремы Т2л; при этом вместо теоремы о шести окружностях нужно воспользоваться следующим ее вариантом, который получается применением инверсии с полюсом с (см. формулировку теоремы в 10.D):

Пусть окружности Ci, С2 и прямые D3, О4 удовлетворяют условиям

С1ПС2={й, </}, СгЛ-^з™^» Ь'У O3f]O4 = {c} и

D4nC! = {d, d'y

тогда если a, b, d коллинеарны, то a', b\ с', d' коцикличны.

Замечание. Внимательный читатель обнаружит, что наше доказательство не совсем корректно: это видноиз нашего замечания в с) о термине «коцикличны». Более аккуратное доказательство потребовало бы замены всех окружностей обобщенными окружностями (см. 20.А или [В, 20]) и использования теоремы о шести обобщенных окружностях.

а) Выражение р, ах и Ьх через ab, г и s

Рассмотрим заштрихованный треугольник на рис. 10.8.1. Условие о том, что две окружности, касающиеся D в точках а и х, касаются одна другой, можно переформулировать с использованием теоремы Пифагора в следующем виде: (г + р)2 = = ах2 + (r — р)2, откуда ах2 = 4рг. Аналогично получаем, что xb2 = 4ps и ab2 = 4rs. С другой стороны, возводя в квадрат левую и правую части соотношения ах + хб = ab, получаем ах2 -|- + 2ах-хЬ + Ьх2 = ab2, откуда 4рг + 2 V(4pr) (4ps) + 4ps = 4rs или p(r + V4rs + s) = rs, но V4rs = аб, так что окончательно получаем

р = rs/tr + ab + s).

Далее, запишем ах2 = 4pr = 4r2s/(r + ab + s), умножим числитель и знаменатель на 4г и вместо 4rs всюду подставим ab2;

мы получим ах? = tf^-ab'f^r2 4* 4ab-r + 4rs), или

ах2 = 4г2 • ab2!(4r2 4- 4аЬ • г 4- об2) = (2г • ab/(2r 4- ab))2, или окончательно

ах = 2г • abl(2r 4- ab).

Аналогично находим, что

bx = 2s • аЬЦ2з 4- «6).

Точки касания окружностей Форда с осью х рациональны

В соответствии с формулами из а) отображение R3 в себя, заданное правилом (ab, г, s) > (р, ах, Ьх), отображает Q3 в Q3. Поскольку точки касания с прямой D двух исходных окружностей имеют рациональные координаты (а именно, 0 и 1), аналогичное утверждение справедливо и для всех других окружностей.

Все рациональные числа из [0, 1] могут быть получены таким способом

В соответствии со сделанными выше указаниями к решению, покажем индукцией по /, что любая точка i/Ze[0, 1] (i и / взаимно просты) может быть представлена как точка касания окружности Форда радиуса 1/2Z2. Для Z = 1 точки i/Zs[0, 1] — это 0/1 и 1/1; они являются точками касания двух исходных окружностей, каждая из которых имеет радиус 1/2. Для 1^2 из условий i/Ze[0, 1] н i, / взаимно просты получаем, что 0 <i < I и, следовательно, существуют такие целые числа А и п, что 0 < к ^ I, 0 < п < / и kl — ni = 1. Далее, положив / = = 1 — к и m = Z— п, получаем

0 ^ (ilm) < UH) < (kin) С 1

’(первое неравенство следует из неравенств на к и п, второе и третье — из mt — jl = kt — л/ = 1 > О и последнее следует из

к = (1 + «ОД < (« + ni)/l = и ((1 + t)//) < п,

поскольку i <_ I влечет (l + i)/Z^l). Заметим также, что / и т взаимно просты, а следовательно, взаимно просты к и п, поскольку mi — jl = kl— ni=L Далее, так как 0 < п < I и О < m < /, можно применить предположение индукции к точке а с абсциссой j/m н к точке b с абсциссой к/п; тогда мы получим окружность Форда у радиуса г = 1 /Ът1, касательную к D в точке а, и окружность Форда б радиуса s = 1 /2п2, касательную к О в точке Ь. Проверим, следуя а), что у и б касаются друг друга:

ab2 = ((к/ri') — (j/m))2 = (кт — n/f/t^m1 = l/n2m2 = 4rs,

поскольку

кт — nj = kl — ni=l.

Еще раз используя а), вычислим радиус и точку касания , малой окружности, расположенной между у и б:

р = (4m2n2 ((l/2m2) + (1/mn) - (1/n2)))-* =

= l/(2n2 + Amn + 2m2) = 1/2 (m + n)2 -= 1/2P и

ax = (m3n ((1/m2) + (Т/тп$-х = Vm (m + n) = 1/m/,

так что абсцисса x равна (j/m) + (1/m/) = (//-)- \ ^ /ml=mi/ml= — ill. Таким образом, мы показали, что точка х с абсциссой i/l может быть представлена как точка касания окружности Форда радиуса 1/2/2, завершив тем самым шаг индукции.

Мы предполагаем, что составляющие разбиение множества А и В непусты. Поскольку их только два, они имеют об< щую границу

F = YY^ = A\A = ¥r^ = B\B .

[(граница множества есть дополнение внутренности до замыкания). Более того, F = А П В, так что граница выпукла, поскольку замыкание выпуклого множества и пересечение двух выпуклых множеств выпуклы (см. П.А или [В, 11.2.1]). '

Граница множества имеет пустую внутренность, так что F — выпуклое множество без внутренности. Согласно П.А (или [В, 11.2]), это означает, что размерность F (см. П.А) равна О или 1, поэтому F есть либо точка, либо выпуклое подмножество прямой D на плоскости, т. е. интервал в D.

Сначала рассмотрим случай, когда F—точка. Согласно вышесказанному, внутренность А непуста. Рассмотрим точку аеД и интервал [6, 6'], содержащийся в В (он существует, так как В не может состоять из одной точки). Для каждого хе [6, Ь']1 отрезок [а, х) содержит граничную точку подмножества |а, х]Л^ в [а, х], но эта граничная точка попадает также и в F; в частности, F содержит более чем одну точку.

Итак, мы знаем, что граница F подмножеств А и В представляет собой невырожденный интервал некоторой прямой D на плоскости. НоАПОиВПО также выпуклы и образуют разбиение для D, откуда получаем (переменив обозначения А и В, если понадобится), что либо A f| D = D, либо A f) D есть замкнутый луч с началом в точке х прямой D. И в том и в другом случае F = D.

Далее, пусть Н, Н' — две открытые полуплоскости, определяемые прямой D. Переобозначив, если понадобится, Н и Н', можно считать, что И еА и Н'сВ. Действительно, из проведенного выше рассуждения следует, что если аеА, be В, то отрезок [а, 6] обязательно содержит точку границы

Frl0, *j (Л П [а, х]) с F = D. Поэтому а и Ь принадлежат двум различным полуплоскостям, так что точки из А и В не могут оказаться в одной полуплоскости.

Мы приходим к следующему заключению: существуют два типа разбиений плоскости на два непустых выпуклых множества. В первом случае А —замкнутая полуплоскость, определяемая прямой D (а В — дополнительная к ней открытая полуплоскость), а во втором случае А —открытая полуплоскость, пополненная замкнутым лучом.

Рис. 11.2.1.Рис. 11.2.1.Рис. 11.2.2.Рис. 11.2.2.

Рис. 11.2.1.

Рис. 11.2.1.

Рис. 11.2.2.

Рис. 11.2.2.

С целью подать обсуждаемый результат в надлежащем свете напомним, что множество крайних точек выпуклого множества даже в компактном случае не всегда замкнуто; соответствующие контрпримеры известны уже для размерности 3 (см. ]В, 11.6.5.3]).

Пусть С — замкнутое выпуклое множество и (х,)—последовательность его крайних точек, сходящаяся к некоторой точке х на плоскости; эта точка х принадлежит границе множества С, поскольку граница есть замкнутое множество. Найдем прямую D, опорную к С в точке х, и предположим, что х— не крайняя точка. Тогда по определению (11.С или (В, 11.6.4]) существуют такие точки у и г в С, что х = (у + z) /2 и уф г. Отметим сначала, что у и г с необходимостью принадлежат D, в противном случае они должны располагаться по разные стороны от D и D не может быть опорной прямой (11.В или [В, 11.5]). Поэтому отрезок [у, г] расположен на прямой D и на границе множества С. Более того, граница множества С в некоторой окрестности точки х должна совпадать с [у, z], поскольку внутренность границы пуста.

Последовательность (хг) сходится к х, поэтому для больших значений 1 точки xt будут находиться в открытом интервале ] у, z [ в противоречие с тем, что они крайние.

Для начала заметим, что если точки о, х, у, и расположены так, как на рис. 11.3.1, то двойное отношение [х, у, и, о]1 больше 1. Действительно, отправляя о в бесконечную точку данной прямой (см. 6.А или [В, 6.2.5]), получаем [х, у, и, и] = = хи!уи> 1. В частности, d(x, z/) = log[х, у, и, и], и нет необходимости прибегать к абсолютным значениям.

8 М. Берже и др.

Рис, 11.3.1,

Итак, если t принадлежит отрезку [х, z/f, то из замечания выше и задачи 6.1 следует, что

d (х, 0 + d V, у) — log [х, t, и, о] + log [/, у, и, о] =

= log([x, t, и, у] [/, у, и, o]) = log[x, у, и, u] = d(x, у).

Это, по-существу, означает, что на открытом интервале ]о, и [ рассматриваемая метрика совпадает с обычной евклидовой метрикой на R. Далее, пусть г—произвольная точка из А, не принадлежащая прямой <х, у>. Достроим чертеж так, как

Рис. 11.3.2.

показано на рис. 11.3.2: прямая <х, z> пересекает границу А в точках а и Ь, а <у, г> пересекает ее в точках с и d. Положим р = <а, dXKb, с>, и' = <х, у>Г\<Ь, с>, и' = <х, #> П <а» d> и / = <р, г> П <х, у>.

Рассмотрим перспективу с центром р, отображающую <а, 6> в <х, у) (см. 4.F или [В, 4.7]). Будучи гомографией, она сохраняет двойное отношение, так что [х, г, а, 6] = [х, t, и', у'] ^(х, /, и, у]; последнее неравенство следует из того, что, как мы установили выше, метрика на ]ц, у[ изометрична метрике R.

Рассматривая аналогичным образом перспективу с центром р, отображающую (с, d> в <х, у>, можно показать, что

[z, у, d, с] = [/, у, и', у']>[/, у, и, у].

Перемножая полученные неравенства, еще раз применяя результат задачи 6.1 и логарифмируя (все величины больше 1), получаем

[х, z, а, 6][г, у, d, с]>[х, /, и, у] [/, у, и, и] = [х, у, и, у],d^x, г) + d (z, y)>d(x, у).

Эта метрика превосходна, поскольку открытые интервалы ]у, и[ изометричны К.

Исследование строгого неравенства треугольника приводит к интересным результатам. Очевидно, что если z не принадлежит отрезку [х, у] и d(x, z) + d(z, y) = d(x, у), то мы с необходимостью имеем [7, у, и', у'] = [/, у, и, у], откуда и = и' и у = и'. Это может иметь место только в том случае, если весь отрезок [6, с], так же как и отрезок [a, d], расположен на границе А. ■ Обратно, если имеются две некрайние точки х, у, каждая из . которых лежит иа прямолинейном участке границы, то d^x, z)+.

+ d^z, y') = d(x, у) для бесконечного множества точек г, расположенных вне отрезка [х, у]. С другой стороны, мы можем быть уверены, что наша метрика удовлетворяет строгому неравенству треугольника, если Fr(A) состоит только из крайних точек.

Идея решения состоит в том, чтобы использовать логарифмическую производную полинома Р для нахождения его производной Р'. Полином Р можно представить в виде произведения мономов П (г — г^, где Zt — корни полинома Р. Тогда i

его логарифмическая производная равна

Р'у 1Рг —zi

i

Таким образом, если и — корень Р', то

Р (S~= £ и - z, = Z । “ — 2< । 2(й —z,) = 0.

откуда

Zl« —г, Г2(« —zt) = 0.

I

Но последнее соотношение означает, что и есть барицентр точек 2, с массами |и— z,!-2, которые либо все положительны, либо равны нулю (см. З.А или [В, 3.4.6]). Очевидным образом отасюда следует, что и принадлежит

/квыпуклой оболочке точек Zt

Л \х(см. 11.А или [В, 11.1.8.4]).

ххДалее, пусть Р имеет степень

//3; обозначим его корни через

°’ ^’ с* а КОРНИ его производной ГI^— через и, о. Для доказатель-

/ства сформулированного утвер-

ждения используем вторую ма...лую теорему Понселе (см. 17.В

есть действительное число (аналогично для А (6) и А (с)). Мы вычислим это отношение в явном виде, используя связи между корнями и коэффициентами Р. Объем вычислений можно сократить надлежащим выбором Р, поскольку доказываемое свойство инвариантно относительно изометрий плоскости. Возьмем Р = = «? 4- pz-\-q\ тогда Р' = Зг2 4- р, откуда a 4- b 4- с = 0, abc = =—q, «-|-о = 0 и uv — p/i. Итак, для вершины а, используя а3 4*. Ра 4- q = 0, имеем

ад--’-2f—^ -3.

•^ — pa — q

Пусть х, у — две точки множества М(Д) и г—произвольная точка в 4. Отрезок [х, г] целиком содержится в А, поскольку А— звездное множество относительно х. Но А звездно

Рнс, 11,5.

и относительно точки у, так что весь треугольник {х, у, г) содержится в А. Отсюда следует, что [/, г) содержится в А для любой точки t из [х, у] и, поскольку это справедливо для любой точки геА, множество А звездно относительно I. Тем самым, доказана выпуклость N^A).

На рисунке изображено множество N^A) для области в форме бабочки — это одна точка, а также для звезды — это более темный пятиугольник в середине.

Способ построения, представленный на рис. 12.1.1, несколько длинноват, но мы надеемся, что он понравится читателю своей естественностью и наглядностью. Предположим, что мы достроили чертеж до правильного десятиугольника и что R — радиус описанной около него окружности (см. 12.С или [В, 12.4.3]). Мы также полагаем (в обозначениях рис. 12.1.4) ab = L и ас = М.

Шаг 1. Мы утверждаем, что LM = R2 и М — L — R. Действительно, учитывая свойства вписанных и центральных углов (см.

Рис. 12.1.4.

1D.D или [В, 16.9]), а также тот факт, что сумма углов треугольника равна я, получаем

О а, ОЬ — аО, ас = сО, са = -^-,

baT"bd = Od, Ос = ^,

da, db — dO, dc = n— dO, da = n— (я — Oa, Ob — aO, ac) =Л ; л 2л35~'

Отсюда следует, что треугольники {a, b, d} и (с, d, 0} — равнобедренные, поскольку в каждом из них два угла равны (см. Ю.А (осторожно!) и [В, 10.2.2]). В частности, ab = ad = L и М = = ad + de = ab + Ос = L + R. С другой стороны, треугольники {а, О, d} и {а, с, 0} подобны, так что (см. 10.А или [В, 10.2.7]) ad/aO = аО/ас, откуда следует, что '

LM — ab ■ ас = ad • ас — R2.

Шаг 2. Соотношения LM = R1 и М — L = R однозначно определяют L и М как корни квадратного уравнения

х2-Rx- R2 = 0.

Их значения равны L = [(V5 — 1)/2] R и М = [(V5 + 0/2] R. Геометрическое построение на рис. 12.1.4 можно обосновать следующим образом: очевидно, что ас' — ad* = R, поэтому

ad' • ас' = аО2 ^ R2

в силу свойства степени точки относительно окружности (см.

10.В или [В, 10.7.10]).'

Завершение первого построения. Достаточно воспользоваться Свойством единственности правильных многоугольников (12.С

или [В, 12.4.2]). Поскольку аб с необходимостью равно [(V5 — 1)/2] R, построение действительно приводит к правильному десятиугольнику, из которого можно получить цравильный пятиугольник.

Второй способ: построение с полоской бумаги. Речь идет о построении, которое не является собственно математическим и даже не имеет практического значения. Тем не менее мы покажем, что полученная фигура содержит в себе правильный пятиугольник. Прежде всего заметим, что сгибание полоски бумаги приводит к равным углам (рис. 12.1.5).

Нам нужно показать, что между собой равны пять углов й, б, с, &, ё (и, следовательно, все имеют значение Зл/5) и пять сторон ab, be, cd, de, еа. Перегибания относительно сторон cd, ае, Ьс приводят к следующим равенствам:

d — ё, Ь = 6, ё — d, eb = ec.

Из параллельности ad и Ьс и равенства eb = ес следует, что фигура симметрична относительно прямой, проходящей через е, при этом соответствующая симметрия должна переводить Ь в с и а в d. Отсюда ае = ed и д = Й, так что все пять углов действительно равны. Что же касается сторон, то три перегибания дают be = de, ab = cd и Ьс = еа, так что с учетом полученного выше равенства ae—ed мы приходим к тому, что все стороны также равны. ' '

Напомним, что группа G(P) правильного полиэдра действует просто транзитивно на множестве троек, каждая из которых состоит из вершины, ребра, выходящего из данной вершины, и грани, содержащей данное ребро (см. 1.D и 12.С или [В, 12.5.2.5]). Остается определить, сколько таких троек содержат данное ребро а. Поскольку каждому ребру соответствуют в точности две вершины s, s' и две грани f, f', мы получаем четыре тройки (s, a, f), (s, a, f'), (s', a, f) и (s', a, f'Y

Вычисление объема. Пусть координата г откладывается вдоль оси вращения D, а х так откладывается в Р, что (х, z)— ортонормированные координаты и оси D соответствует х = 0. Обозначим через Д(г) площадь сечения компакта С горизонтальной плоскостью высоты z и предположим, что К описывается двумя функциями f, h: [о, b]->R (т. е. Fr(K) есть объединение графиков f и Л). Тогда мы имеем

6

g5(C)= ^ A^dz (по теореме Фубини), а

, Sp(K)=^dxdz, A^ = kQi4^-№\

Формула

х dx dz

определяет х-координату центра масс g компакта К (см. 2.G). Но 6 /ft(г)\Ь

^xdxrfz=U xdxjdz = -^- (A2(z) — f2(z))dz,

Ка \ toа

так что действительно 8£(C) = 2nrf(g, D)2₽(K).

Примеры. 1. Пусть К — круг радиуса г, центр которого отстоит от D на расстояние R. Тело С представляет собой тор; поскольку центр масс компакта К совпадает с его геометрическим центром, мы получаем следующее выражение для объема тороидального тела С:

8£ (С) = 2л/? (лг2) = ^Rr2.

Пусть К — полукруг радиуса R, диаметр которого лежит на D. Тело, полученное вращением К вокруг D, представляет собой обычный шар радиуса R. Нам известен его объем:

s так что формула Гульдина позволяет нам вычислить расстоя- I ние d от центра масс g компакта К до прямой D ( силу сущест- [ вующей симметрии оно определяет g однозначно):.

14л/?з = 2л^^-, или d = 4rR.

ОАОЛ

Вычисление площади поверхности. Можно было бы приме- ■ нить тот же метод, что и выше, но более поучительно восполь-

зоваться «техникой покраски» (см. 12.В или [В, 12.10.7]*), При доказательстве мы будем обозначать тремя точками (...) члены по X, которыми можно пренебречь. Идея состоит в том, чтобы, используя шары радиуса X, раздуть К и С до поверхности К(Х1 и тела С(Х) соответственно. Тогда, как мы знаем,

8Е(С(Х)) = 8Е(С) + ^Е(С) + ..., -

8Е(/((Х)) = 8р(К) + ^р(/<)+

В силу ассоциативности барицентров получим следующее соот* ношение между центрами масс g(X), g и /г(Х) компактов К(Х), К и К(Х)\/( соответственно:.

8p(K)-g+l'p(K(X)\K).ft(X)

При Х-*0 точка /i(X) стремится к центру масс h однородной нити на границе К. Таким образом, мы имеем

8Е(К(Х)№(Х), D) = 8p(/Q<Z(5, D)-V Х%Р (К) (ЦП. 0)+....

Применим теперь формулу Гульдина для объемов: при лю

, •) См, также [В, 9,12.7. 12,3.8]. — Прим, перев.

бом X имеем 8£(C(X)) = 2n</(g(X)', D)2P(K(X)). Сравнивая члены, содержащие X, в левой и правой частях, получаем

У£(С) = 2л</(/г, D)%p(K).

Примеры. 1. Каки выше, площадь поверхности тора С, полученного вращением окружности радиуса г, центр которой от-

Рис. 12.3.3,Рис. 12.3.3,

Рис. 12.3.3,

Рис. 12.3.3,

стоит на расстояние R от оси вращения D, определяется формулой

2л/? (2лг) = 4л/?г.

Шаг 1. Для начала применим к решению задачи теорему Аполлония (см. 15.D или [В, 15.6.4]), в которой утверждается, что для эллипсоида F с центром о объем параллелепипеда, построенного на множестве (оа(}<-1п сопряженных полудиаметров, есть константа A^F). В частности, этот объем совпадает с тем, который получается в случае, если все aat являются полуосями F. Поэтому %(F) — Р(л)А(F). Отсюда следует

Лемма. Пусть ^aat^t-iп — множество попарно ортогональных радиусов эллипсоида F; тогда

A (F) > П aat.

Доказательство проводится индукцией по п. При п = Г утверждение леммы очевидно. Пусть Н — гиперплоскость, про

ходящая через центр а и содержащая йг, ..,, ап, и пусть аа’х — полудиаметр, сопряженный к Н. Заметим, что расстояние d ото^ до Н удовлетворяет неравенству d ^ аа\. Обозначим через F' эллипсоид, полученный пересечением F и гиперплоскости Н, и заметим, что добавление аа\ к системе сопряженных полудиаметров для F'приводит к системе сопряженных полудиаметров для F. Наконец, заметим, что объ

ем параллелепипеда, построенного на до' и п—1 векторах из Н, определяется произведением d и объема параллелепипеда в Н, построенного на тех же п—1 векторах. Применяя предположение индукции к F', получаем

п п

A (F) ^ dA (F') ^ d П aat ^ aav Ц aat ^ Ц aat. i-2Z—2i

Шаг 2. Пусть S— единичная сфера в X с центром в точке 0. Рассмотрим одну из осей pipt данного эллипсоида Е, и пусть 2at = ptpt — длина этой оси. Обозначим через со центр Е и через |/ — расстояние от со до гиперплоскости, проходящей через 0 ортогонально р(рь

Полярное тело Е* содержит полюсы bt, bi касательных гиперплоскостей Кь К' к Е в ри р{. Точки bb bi лежат на прямой, проходящей через 0 параллельно ptpt, и их расстояния до 0 суть 0bt ~ 1/(сс — В) н 0b\ = 1/(0, + £).

В частности, длина хорды btbt в Е* равна

^‘^1а.1 — §/ + ai +

2а/

а( —$(

Рассмотрим хорду atat, проходящую через центр а параллельно ^Ьь bT). Используя полученное выше неравенство, оче- зВидным образом имеем

Проводя описанную выше процедуру для всех осей ptp7 эллипсоида Е, в итоге мы получим ортогональное множество {aa^i=iп радиусов Е*. Таким образом, в силу леммы и приведенного выше неравенства, записанного отдельно для каждого I, имеем

2(Л = р (н) А(Е*) > р(п) П^ > р(п) Ц^.

Но поскольку (ptpi) — ортогональные оси Е, имеем также

2(Е) = Р(п)Па,.

Отсюда следует доказываемый результат: 8(Е)8(Е*) ^(р(п))2. Если имеет место равенство, то для каждого I должно быть 6z6z = 2/az, следовательно, ^ = 0 означает, что ® = 0, где 0 — центр сферы S. Обратно, если это так, то хорды atat являются ортогональными осями Е’, откуда £(£*) = р (л)П (l/az) и 2(Е)Й(Г) = (р«.

Идея доказательства состоит в том, чтобы использовать уравнение Эйлера или, что эквивалентно, опорную функцию выпуклого множества (см. [В, 11.8, 12.3]), для того чтобы с ее помощью определить кривизну. Точнее, пусть к: R->R+— периодическая функция класса С2 с периодом 2л; тогда семейство прямых, описываемых (относительно ортонормированного репера) уравнениями х cos/ + у sin t = к (/), /eR, является огибающим для замкнутой плоской кривой с параметрическим представлением 11—>(к cos/ — к' sin /, к sin t + п cos /).

Обратно, любое строго выпуклое множество С с (^-гладкой границей можно получить описанным выше способом, если только начало 0 системы координат лежит в С. Действительно, Л(/) определяется как расстояние от 0 до такой опорной к С прямой с направляющим вектором (—sin/, cos/), что вектор (cos /, sin /) направлен от начала координат к этой прямой.

В таком контексте две теоремы Бляшке о качении, которые мы хотим доказать, суть следствия более общего утверждения:

Лемма. Пусть D и Е — два выпуклых множества, определенные такими функциями k(t) и k(t) (см. выше), что к(0) = = 6(0) = 0 и k'(O) = k'(O) — O. Тогда если для всех / кривизна Е в точке касания с опорной прямой с углом наклона / всегда меньше либо равна кривизне D в точке касания с опорной прямой с тем ясе углом наклона, то выпуклое множество Е содержится в D.

Радиус кривизны D (соотв. Е) в точке, отвечающей значению параметра /, авен k(t + А"(/ соотв. 6(/ ^-k" t ; чтобы убе-

диться в этом, достаточно записать центр кривизны как точку касания нормали к кривой с ее огибающей. Нормаль к D в данном случае имеет уравнение —xsint + ycosf = А'(<) (уравнение Эйлера), и центр кривизны представляет собой пересечение этой нормали с — xcos/ — у sin/ = h" (t) (см. выше). Таким образом, мы получаем искомое значение радиуса кривизны (см. рис. 12.5.1).

Известно, что для любого /

Р (О = к ^ + к" ^ <h^-V h" (/) = о (/).

По условию А(0) = £(0) =0 и Н'^ = к'(0) = 0, так что решениями к, к дифференциальных уравнений к + к" == р, h + h" = а являются ti

h (/) = о (s) sin (/ — s) ds, к (t) = ^ p (s) sin (/ — s) ds. оо

Поскольку p ^ о при всех t, имеем h (() ^ к (/) при всех /е[0, л], так как sin(/ —s) обязательно положителен. Более того, подстановкой —/ вместо / можно показать, что неравенство справедливо при всех /.

Далее, методом от противного можно показать, что В содержится в D. Если бы некоторая граничная точка лежала внутри Е, то мы могли бы рассмотреть опорную прямую Д к D в этой точке и опорную прямую 6 к Е, параллельную Д, и для этих двух прямых /t(/)< ЦО.

J г

Рис. 12.5.2,

Рис. 12.5.3,

Доказательство теорем о качении. Для соприкасающегося круга максимального радиуса применим утверждение леммы, взяв в качестве Е этот круг и D = С. В случае круга минимального радиуса возьмем С — Е и этот круг в качестве D.

Как показывает рис. 12.5.3, этот результат неверен, если заменить круг максимального (соотв. минимального) радиуса кривизны кругом максимального (соотв. минимального) радиуса, содержащимся в (соотв, содержащим) С.

Речь идет о непосредственном следствии из существования несингулярного пополнения (см. 13.Е или [В, 13.3.4]) и теоремы Витта (13.Е или {В, 13.7.1]). Действительно, пусть U— вполне сингулярное подпространство максимальной размерности s, содержащееся в Е. Согласно 13.Е, существует такое несингулярное пополнение F для U, что F представляет собой пространство Артина Art2s. Пусть Fx — ортогональное ему подпространство; поскольку F несингулярно, Е может быть представлено в виде ортогональной прямой суммы

E-F^F3- .

f'(13.D или [В, 13.3.2]). Мы утверждаем, что F1- не содержит ненулевых изотропных векторов. Если бы х был таким вектором, он был бы ортогонален U и вместе с U порождал бы вполне сингулярное подпространство размерности, большей s, что противоречит максимальности s. 1

Таким образом, если мы умеем классифицировать анизотропные пространства, такие, как FL, то задачу можно считать ре

шенной, ибо по теореме Витта два разложения вида F ф F всегда изоморфны, а /? = Аг1г$ хорошо изучено.

Мы уже убедились (см. 13.В или [В, 13.1.4.7]), что число классов квадратичных форм в случае размерности 1 над полем К совпадает с числом элементов в К/(К*)2. Для определения этого числа рассмотрим гомоморфизм к н-* к2 мультипликативной группы К* в себя. Поскольку характеристика К предполагается отличной от 2, ядро этого гомоморфизма (изоморфное /(*/(/(*)2) есть ±1, так что оно состоит из Двух элементов, а /(/(/(*)2 из трех.

Соответствующие три квадратичные формы суть вырожденная форма 0, форма х2 и третья форма, которая в случае, когда — 1 не является квадратом в Л', равна —х2. Если —1 есть квадрат, то третья форма будет другой; например, для ^ = Z/5Zj можно взять форму 2х2.

Нам нужно найти бесконечное множество элементов из факторпространства Q/(Q*)2. Для этого заметим, что два различных простых числа р и q с необходимостью имеют в этом факторпространстве разные образы. Доказательство этого утверждения (т. е. того, что p/q не является квадратом в Q) классическое, оно аналогично доказательству иррациональности числа V2.

Пусть Е— двумерное пространство, снабженное невырожденной квадратичной формой q. Прежде всего напомним, чт» если feU’(Е) и geO*(E), то gfg~l = f~l (см. 13.F или

(В, 13.8.1]). Мы повторим здесь красивое доказательство этого результата. Поскольку g' = gf е О~(Е), отображение g', так же как и g, есть отражение относительно неизотропной прямой (это следует из общего утверждения о том, что любой элемент группы 0(E) представим в виде композиции не более чем n = dim£ отражений относительно гиперплоскостей; если п = 2 и отображение изменяет ориентацию, то в композиции участвует только одно отражение). В частности, g, g' — инволюции;

g2 = g'2 = Id5.

Но тогда

■ gk"x=g (ggf) g-1 = g'g~x = ^"’g"1 = (ggTx=Г1, что и завершает доказательство.

Далее, предположим, что 0(E) коммутативна; тогда gfg-*1 = = / = /-*, так что Р = Id£. Но по классификации инволюций (см. 13.Е или [В, 13.6.6]) f может быть только либо тождественным отображением, либо отражением относительно начала, —Id£. В частности, О+(Е) содержит только два элемента ±Id£ (которые различны, поскольку характеристика не равна 2). Но О-ЦЕ) имеет индекс 2 в 0(E), так что порядок О-(Е) также равен 2. Поскольку О~(Е) содержит все отражения относительно неизотропных прямых, то в Е имеется ровно две такие прямые. Но и изотропных прямых там может быть не более двух (в действительности их либо нет совсем, либо две; в последнем случае £ = Art2), так что Е содержит либо только две, либо только четыре прямые. Таким образом, К конечно и число прямых в Е равно порядку К плюс 1. Исключая случай #(/()=!, мы приходим к полю из трех элементов, при этом Е с необходимостью есть Art2.

Остается проверить, что O(Art2) над трехэлементиым полем действительно коммутативна. Это можно сделать непосредственно, либо заметить, что существуют только две группы порядка 4, а именно Z/4Z и группа Клейна (см. [В, 0.2]). Только группа Клейна состоит из элементов с единичными квадратами, так что O(Art2) над трехэлементным полем изоморфна ей и, в частности, коммутативна.

Прежде всего поясним, чем интересен этот результат. Естественный способ доказательства того факта, что ортогональная группа порождается отражениями относительно гиперплоскостей (он хорошо работает в случае, когда нет изотропных векторов, например в евклидовом случае, см.8.С или [В,8.2.12]), состоит в том, чтобы для неизотропного вектора х и данного feO{E) найти такое отражение относительно гиперплоскости, которое переводит х и Цх) друг в друга. С этой целью следует рассмотреть гиперплоскость, ортогональную х— f(x), при этом

вектор х — f(x)' должен быть анизотропным. Утверждение, которое мы докажем, состоит в том, что существуют такие (Е, ^), для которых этот метод не работает.

С целью составить гипотезу о строении f напомним [В, 13.6.7], что из условия, которое мы хотим наложить на / (т. е. что для любого неизотропного х вектор х — f(x)—ненулевой изотропный), следует, что и ядро U = Ker(f — Ide) и образ V = lm(f—Ide) линейного отображения-f—Ide являются вполне несингулярными пространствами и что Е = U -V V. Этим доказано, что Е — пространство Артина Art2$, где s = dim U = = dim V. Этим доказано также, что матрица f в базисе, согласованном с прямой суммой U + V, имеет вид

/ 5\

О //’

поскольку U и V — соответственно ядро и образ для f—Ide. Таким образом обеспечивается изотропность х — f(x) ’(вне зависимости от того, изотропен х или нет), так как для х = (а, 6) имеем х — f(x) = (a— 5(a), 0)еО.

Имеется также условие fsO(E). Матрица формы q в базисе, согласованном с 0+ V, может быть записана в виде

° 1

1 О)*

поскольку E = Art2$ (см. 13.А, 13.В или [В, 13.1.3.8]). Условие feO(E) равносильно соотношению

// SWO 1\М 8\(О 1\

. \0 /Д/ оДо \1 оУ

Отсюда следует единственное ограничение *5 + 5 = 0, т. е. 5 должна быть кососимметричной.

Наконец, для любого неизотропного х вектор х— /(х)' должен быть ненулевым, откуда следует, что S(a)^=0 для любого ненулевого вектора а из U. Поскольку S кососимметрична, это возможно лишь в том случае, когда размерность Е четна (определитель кососимметричной «Х^-матрицы при нечетном п всегда равен нулю). Мы заключаем, что $ четно, т. е. s = 2s' и Е = Аг^'. Для построения f достаточно взять любую кососимметричную матрицу S ранга s = 2s'.

Пусть G —множество ориентированных прямых в n-мерном вещественном проективном пространстве Pn(R). Они находятся во взаимно однозначном соответствии с ориентированными двумерными векторными подпространствами Р в R"+< (см. 4.В или [В, 4.6]). Рассмотрим в пространстве R"+I его каноническую евклидову структуру; каждая плоскость Р может.

быть определена с помощью пары векторов (х, у), таких, что «х|| = ||у|Г=1 и (x|y) = 0.(Q)

Двум таким парам (х, у) и (х*, у/) отвечает один и тот же элемент множества G тогда и только тогда, когда найдется такое вещественное число t, что

x' = xcos/ + у sin t, у' = —х sin / + у cos t.

' С другой стороны, С(п) является образом множества точек в Р”(С), однородные координаты (z0zn) которых удовлетворяют равенству zn + z, + ... + £л = О, где г, — комплексные числа. Требуемая биекция G->-C(n) есть просто факторотобра- жение множества пар (х, у), описанных выше, в пространство .С,п+1, которое задается формулой.

(х = (х0, -..., х„), у = (Уоуп)) 1-» (х0 + *„ + Ц)п\

Образ множества G, очевидно, содержится в С(п), так как для пары (х, у), удовлетворяющей (Q),

равенства zk = lzk, справедливые для всех к при фиксированном А. Тогда [ г* | = | А || zk |. Имеем | А| = 1, т. е. Х = е“, так как

Х|гйГ=Е ^ + Z ^=пн2 + йя2=2

ftкк

и аналогичное равенство верно для г'к. Итак, x' = xcos/-H + ysin/, у'=—xsin/ + ycos/, откуда следует, что определенные двумя заданными парами элементы из G совпадают.

Отображение сюръективно: если ^гк = хк^1ук^— произвольный набор из (« + 1) комплексных чисел, удовлетворяющих условию Цгк = 0, то || х ||2 = || у ||2 и (х|у) = 0. Разделив х и у к

точкой

на ||хЦ (с проективной

Рис. 14.2.1,

зрения ничего не изменится), получим пару, удовлетворяющую (Q)-

Наконец, ясно, что отображение непрерывно и должно быть гомеоморфизмом, так как это биекция на компакт Р"(С) (см. 4.G или [В, 4.3.31),

14.2. Воспользуемся результатом о гармонически описанных квадриках: 14.Е или [В, 14.5.4]. Пусть {а, Ь, с} и {а', Ь\ с'} — два автополярных треугольника

относительно коники

а. Рас-

смотрим конику ос', проходящую через точки а, Ь, с, а', Ь'. По

_гармонически описана около а, поэтому

поляра а' относительно а пересекает а' в двух точках Ь', с".

построению коника с

Итак, эта поляра по определению есть <Ь\ с'), так что Ь', с' и с" лежат на одной и той же прямой и обе пары (6', с7) и (6', с") сопряжены относительно а, следовательно, с' = с".

Приложение. Пусть X — евклидова плоскость, Н — равнобочная гипербола (см. 17.А) в X и (а, Ь, с} —треугольник, автополярный относительно Н. Мы утверждаем, что окружность, описанная около {а, Ь, с), проходит через центр О гиперболы Н.

Мы работаем в проективном пополнении комплексификации X. Через R обозначим пополнение Н (см. 15.А, 17.С или {В, 17.51). Треугольник, образованный О и двумя круговыми точками (см. 9.D или [В, 9.5.51), автополярен относительно Н, так как Н равнобочная, а по определению это означает, что ее бесконечно удаленные точки соответствуют ортогональным направлениям (см. 17.А или [В, 17.1.3)). Итак, четыре точки а.

Рис. 14.2.2.

Ь, с, О и две круговые точки лежат на одной и той же конике, которая должна быть окружностью (17.С или [В, 17.4.2]).

Геометрическая интерпретация этого условия состоит в том, что существует автополярный симплекс {а,} относительно квадрики а, у которого все грани коразмерности 1 (т. е. <а2, ... ..., Чп>, <«1, «а, • • • > «л> и т. д.) касаются а' (такой симплекс будет описанным около а'). Фактически, поскольку тангенциальные уравнения задаются матрицами, обратными к матрицам исходных уравнений (см. 14.F или [В, 14.6.1]), условие tr (у'-* о <р) = 0 можно переписать в виде 1г(ф' ° ф~*) = 0, но это и есть условие того, что а'* гармонически описана около а*. Свойство автополярности симплекса сохраняется относительно двойственности, в то время как понятие вписанного и описанного симплексов меняются одно на другое.

Второе свойство двойственно к описанному в предыдущей задаче (14.2). Рассмотрим два треугольника (а, Ь, с} и (а', Ь', с'},

Рис. 14.3.2.

вписанных в одну и ту же конику. Покажем сначала, что существует коника, относительно которой оба треугольника авто- полярны. Условие того, что две фиксированные точки сопряжены относительно некоторой коники, линейно по коэффициентам ко-

ники в проективном пространстве коник PQ(£), которое имеет размерность 5 (см. 14.D или [В, 14.2]). Итак, мы можем найти конику с пятью парами сопряженных точек {а, Ь}, (6, с}, (с, а), {а', 6'}» {^ сЗ- Но отсюда следует, что точки Ь', с' также сопряжены (ввиду задачи 14.2).

В силу вышесказанного два треугольника, вписанных в конику и сопряженных относительно второй коники, должны быть описаны около третьей коники. Отсюда легко получить много треугольников, вписанных в одну конику и описанных около другой, начиная с одного такого треугольника. Мы уже доказали большую теорему Понселе для п = 3 (см. 16.Н, задачу 10.2 или [В, 16.7]). '

Для треугольника {а, Ь, с}, описанного около параболы Р, мы применим к пополнению Р комплексификации Р (см. 15.А, 17.С или [В, 17.4.1]) полученный выше результат и заметим, что мы уже знаем треугольник, описанный около Р, который образован фокусом параболы Р и двумя круговыми точками. Отсюда следует, что окружность, проходящая через а, Ь, с, проходит также через фокус в силу 17.С или [В, 17.4.3].

Первая часть. Пусть р = (а + &)/2. Мы собираемся рас< смотреть полярность относительно С (см. 15.С или [В, 15.5] )< Полярой точки т служит <а, 6>, поэтому полюсом прямой D=a = </п, р> служит точка х прямой <а, 6>, гармонически сопряженная с р относительно пары точек (а, 6). Поскольку р— середина отрезка [а, 6], это означает, что x = ooD есть бесконечно удаленная точка прямой D.

Полюсом D является бесконечно удаленная точка, поэтому D должна содержать полюс бесконечно удаленной прямой оо* аффинной плоскости (см, 14,Е или [В, 14.5.1]). По определению,

этим полюсом является центр С. По построению поляры точки при помощи точек касания касательных к конике, проведенных из этой точки (см. 14.Е или [В, 14.5.2.6]), мы видим, что касательные к С в точках ее пересечения с D (если они есть) должны проходить через полюс прямой D, т. е. через ооо. Это в точности означает, что эти касательные параллельны <а, 6).

Вторая часть. Если теперь С — парабола, то полюс бесконечно удаленной прямой оох есть точка оос, где С касается этой прямой, так что D параллельна оси параболы (см. 15.С или i[B, 15.5]). Тем не менее D обязательно пересекает С, так как они имеют общую точку ооо. Поскольку ]m, р, s, ooD] = —1, мы должны иметь s = (m + Р)/2 (см. 6.В).

Третья часть. Пусть для параболы даны (т, а, 6}; построим последовательно р=(а + 6)/2, s = (m + р) /2, а' — (т + а) /2, Ь' — (т + 6)/2. Парабола будет касаться <а', Ь'> в точке s. То же построение можно выполнить с тройками (а', а, $} и (6', 6, s) (см. рис. 15.1.5). Получим, что площадь (т, а', 6'} равна 1/4 площади {т, а, 6}. Далее, .

area ((a', s, а}) = area ({o', s, т}) =-|-area ({т, а', Ь'^ =

= -у area ({т, а, Ь}) и т. Д.

Таким образом, искомая заштрихованная площадь равна агеа({/и, a, />})(l-T~2,4"4'~2'4"i"~,,-) = = area((/n, а, b^) (1 — -{- — 4s “ -^ — • • •) =

(

1\2

2 — t _ х^-) =-g- area ({m, a, b}).

Идея состоит в том, чтобы преобразовать данный параллелограмм в квадрат, для которого результат очевиден. Мы воспользуемся подходящим аффинным преобразованием, так

как отношение са/ср инвариантно относительно таких преобразований. Значение этого отношения для окружности, вписанной в квадрат, равно V2; таким образом, оно то же самое и для эллипса, полученного обратным преобразованием из окружности.как отношение са/ср инвариантно относительно таких преобразований. Значение этого отношения для окружности, вписанной в квадрат, равно V2; таким образом, оно то же самое и для эллипса, полученного обратным преобразованием из окружности.

как отношение са/ср инвариантно относительно таких преобразований. Значение этого отношения для окружности, вписанной в квадрат, равно V2; таким образом, оно то же самое и для эллипса, полученного обратным преобразованием из окружности.

как отношение са/ср инвариантно относительно таких преобразований. Значение этого отношения для окружности, вписанной в квадрат, равно V2; таким образом, оно то же самое и для эллипса, полученного обратным преобразованием из окружности.

Примечание. Эта величина V2 позволяет построить восемь точек на эллипсе, для которого известны два сопряженных полудиаметра (см. 15.С или [В, 15.5.10]). Используя эти восемь точек для проведения всей остальной кривой, мы избежим необходимости построения осей (см. [В, 17.9.22]).

Пусть q = 1 —уравнение для Q, где q— квадратичная форма; докажем второе свойство. Пусть и, и, w — три единичных вектора, их направления сопряжены относительно Q и а, b — точки пересечения с Q прямой,

параллельной ц и проходящей через х. Тогда (с точностью до знака) длины ха, xb являются корнями уравнения у(х-|-Хм) = - = 1 относительно X. Если Р — полярная форма для q (см. 13.А или [В, 13.1.1]), то

q (м) X2 4- 2Р (х, и) X + q (х) — 1 = 0.

Произведение ха • xb, таким образом, есть абсолютная величина произведения корней, т. е.

— Т 1 — <7 (*)

Ха-ХЬ = —№"*

Применим это соотношение к случаю, когда х=О— центр Q. Получим ^(м) = (Оа/)2. гДе [О, а']—полудиаметр в направлении и. Проделав то же самое для и и w, мы получим

ха • xb 4- хс • xd 4- хе • xf = (1 — q (х)) ((Оа')2 4- (Об')2 4- (Ос')2),

где Оа', Ob', Ос' — полудиаметры, параллельные и, о, ф соответственно. По теореме Аполлония сумма (Оа')2 4- (Ob')2 4* 4-(Ос')2 постоянна (см. 15.D или [В, 15.6.4]). Если в ортонор- мированном репере уравнение Q имеет вид х2/а2 4-t/2/p2 4- 4-z2/y2 = l, то значение этой постоянной равно а24-Р2 + ?2-

Для того чтобы доказать первое свойство, поступаем в точности так же, как и выше, за исключением того, что теперь три вектора и, о, ф образуют ортонормированный репер, и вместо теоремы Аполлония мы используем приведенную ниже задачу 15.4.

Пусть ^ — квадратичная форма, определяющая эллипсоид § в n-мерном аффинном евклидовом пространстве X, так что 8=(хе.Х: ^(х)=1). Основное наблюдение здесь состоит

Рис. 15.4.1, в том, что матрицы, представляющие q в различных ортонорми- рованных базисах, подобны (см. [В, 15.6.7]). Действительно, если q в одном ортонормированном базисе представляется матрицей Л, то в другом базисе матрица В, представляющая q, будет иметь вид 'SAS. Однако матрица S ортогональна, так как мы переходим от одного ортонормированного базиса к другому,

и потому <S=S-1 (см. 8.А или [В, 8.2.1)), а, следовательно, В = S-1AS действительно подобна Л. Итак, след матрицы А можно обозначить tr(^) и назвать его следом q, так как это понятие не зависит от базиса, в котором записана А.

Пусть теперь {«J — произвольный ортонормированный базис, a VaA — точки, в которых полупрямые (О, и;) пересекают S.

Если а, ■*<«<, то мы должны иметь q (а?) = £q (и^ =* i, так что (OaJ2 = г? = 1/[^ (и,)] и, следовательно,

пп

/-1/-1

п

Если ^=22 W/®?) в базисе, в котором q диагона лизуется, то, в частности, пп

<-1(-1 ‘

Из 9.В или [В, 9.2.6.41 вытекает, что расстояние h от центра О до аффинной гиперплоскости, определенной п точками аи должно быть постоянным и равным

пп

Следовательно, эта гиперплоскость всегда касается сферы S радиуса h с центром в точке О.

Наконец, мы хотим показать, что огибающей этого семейства гиперплоскостей служит S, т. е. каждая касательная гиперплоскость к S получается при подходящем выборе множества (а,). Пусть Н— произвольная гиперплоскость, касательная к S. Поскольку h меньше, чем все а„ то гиперплоскость Н обязательно пересекается с эллипсоидом §, Итак, по индукции мы можем найти такие точки a, (t = 1, ..., п— 1), принадлежащие § и Н, что векторы Oat попарно ортогональны. Наконец, пусть прямая, проходящая через начало и ортогональная п—1 векторам Оаи пересекает эллипсоид 8 в двух точках ап, Ьп. Согласно предыдущему результату, расстояние от О до гиперплоскости, определенной точками at (t = 1, ,,., п— 1) и ап, равно Л и, таким образом, равно расстоянию от О до Н. Это доказывает, что Н проходит через ап или Ьп.

Посмотрим теперь, что происходит с этим свойством при полярном преобразовании относительно сферы с центром в точке О. Проще всего воспользоваться самой сферой S (о полярности относительно квадрик см. в 10.В, 14.Е, 15.С или [В, 10.7.11, 14.5,

), Для п точек си и натянутой на них гиперплоскости Н полярность дает нам п гиперплоскостей Ht и точку к*. Из приведенных выше свойств следует, что каждая гиперплоскость Hi касается эллипсоида 8*, полярного к § относительно S, что Hi попарно ортогональны и их точка пересечения к* принадлежит S.

Если теперь мы начнем с эллипсоида 8"*, который можно считать произвольным, то получим следующий результат: геометрическим местом точек, через которые проходят п попарно ортогональных гиперплоскостей, касательных к эллипсоиду, является сфера, концентрическая с эллипсоидом и называемая его ортооптической сферой.

Задача о нормалях к плоской конике изучалась геометрически, поэтому решим эту задачу аналитически (см. (В, 17.5.5.6)). Рассмотрим, например, случай квадрики с уравнением ах2 + by2 + сг2 + d = 0. Ее касательная плоскость в точке (х0, |/о, zoj имеет уравнение

ахх0 + byyQ + czz0 + d — 0

(см. 15.С или [В, 15.5.5]).

Направление нормали задается вектором (ах0, Ьу0, его), так что прямая, соединяющая (х0, у0, г0) с точкой т —(и, о, w), будет нормалью к Q тогда и только тогда, когда

Хр — U I/O — У Zg — U)

ахдbtjpCZp ‘

Пусть это отношение равно X. Конус с вершиной в точке m = — (w, v, w), содержащий прямые, проходящие через m и парад-

дельные координатным осям, будет иметь уравнение вида

6 (у — у) (г — W) + Л (Z — ty) (х — и) + С (х — и) (у — U) = 0.

Поскольку , udor

Х°~ 1 — Ха ’ У»- \-ХЬ' гй— \—Хс • получаем '

—Хаи—Хбо—Хсаг

X»-U = T^’ У^-^^кь^ zo-ty = TZx7-

Подставляя эти выражения в требуемое уравнение конуса, по* лучим условие

£6соог , т)саоги , tabuoА

(1—Х6)(1—Хс) + (1 — Хс) (1 — Ха) "Г (1 — Ха) (1 — Х6) ^^

ИЛИ

Xabc (^vw + T]ty« 4- ^«и) = ^bcuto + прайса 4- t>uuab.

Это соотношение выполняется при любом значении X, если

Ivor 4- Ч^и 4- ^uv = О,

^ихвЬс 4- хушиса 4- ^uvab = 0.

Таким образом, получим

£ = а (Ь — с) и, т\ = Ь(с — а) и, £ = с(а — b)w.

Уравнение конуса будет иметь вид

а (Ь — с) и {у — и) (z — аг) 4- b (с — а) и (г — аг) (х — и) 4- -

с (а — 6) w (х — «) (у — и) = 0.

Легко убедиться, что это в самом деле требуемый конус и что он содержит центр (0, 0, 0) квадрики Q.

Для данных значений х, у, г уравнение е*3

«<«=^тг+-»4г+-Лт -1 -0

является уравнением третьей степени по X и потому имеет не более трех корней. Мы хотим показать, что оно имеет в точности три корня при любых трех ненулевых значениях х, у, г и что касательные плоскости к соответствующим квадрикам попарно ортогональны. Однако прямая попытка решить задачу приводит к очень запутанным вычислениям.

Идея состоит в том, чтобы двигаться от конца. Пусть и, и, w— произвольные вещественные числа, подчиненные единственным условиям

«е] — с2, 4~ 00[* ие] —62, — с2[, аге]—а2, —62[.

Тогда (см. 15.В или [В, 15.3.3]) квадрика Q(«) (соотв. Qiu^', Q(or)) является эллипсоидом (соотв. одиополостным или дву*

полостным гиперболоидом). Квадрики Q(u), Q(y), Q(w) пересекаются в единственной точке (х(и, и, w), у(и, и, w), z(u, v, w)) с x > 0, у > 0, г >0. Для того чтобы доказать это, мы должны решить систему линейных уравнений относительно х2, у2, z2, которая задается тремя уравнениями Q(m)=0, Q(u)=0 и Q(to)=0. Например, для и и и найдем х2(м, у, to) = (а2 + и) (о2 +

+ и) (а2 + ш)/(а2 — 62) (а2 — с2), у2 (и, У, to) = (62 + и) (62 +

+ и) (62 + to)/(62 — с2) (62 — а2), г2 (и, У, to) = (с2 + и) (с2 +

+ у) (с2 + ш)/(с2 — 62) (с2 — а2).

Итак, отображение (и, у, to) *—*(x(lZ, и, to), у (и, У, to), z(u, у, to)), сюръективно в первом октанте х > 0, у > 0, z > 0. Но так как при фиксированной тройке (х, у, г) для X имеется не более трех возможных значений, то они должны быть в точности равны и, и, w и отображение

. биективно. Следовательно, через каждую точку первого октанта проходит точно три квадрики Q(X): эллипсоид, однополостный гиперболоид и двуполостный гиперболоид.

■ ■ Ортогональность касательных плоскостей в этих точках легко доказать с помощью приведенных выше формул. Касательная плоскость к Q(l) в точке (х, у, г) имеет нормальный вектор (х/(а24-1), у/(62 4-1), z/(c2 + X)). Согласно приведенным выше формулам для х2, у2, г2, получаем

X х а2 + и ’ Ь2 + и ’ с2 + и / I \ а2 + о * Ь2 -)- о ’ с2 + о / / ^।£,г2 (а2 + и) (а2 + о) '" (62 + и) (62 + у) ' (с2 + «) (с2 + о) .

а2 + w , b2 + w, с2 + шп

— (а2 _ 64) (а2 _с2) +(&2 _ f2) (Z,2 _ Q2)+(с3 _ ^2) (f2 _ д2)~ U-

Замечание. Замена координат (х, у, г)н^-(и, v, to), заданная (неявным) обращением вышеприведенных формул, иногда существенна для изучения некоторых свойств эллипсоида

у2«.2 у2

-^ + -^- + -^-1=0.a2Z?2 1 с2

Случай коник значительно проще; он изучен геометрически в 17.В, 17.D.1 или [В, 17.6.3].

9 М. Берже и др.

Напомним, что геометрическое доказательство дано в 16.С (и [В, 16.2.12]). Здесь мы будем работать аналитически с параметрическим представлением /►—»(/, Z2, 1) коники С, заданной уравнением х2 — уг = 0 в таких проективных координатах, что а = (1, 0, 0), Р = (0, 1, 0), у=(0, 0, 1). Касательная к С в точке а = (и, и, w^ определяется уравнением

их — '/1 (VZ + wy'i — 0

(см. 14.Е или [В, 14.5.3]), которое в нашем случае принимает вид tx—'12(12г + У)- Значит, эта касательная пересекает (а, р> в точке с =(1/2, /, 0), а <а, у> — в точке 6 =(//2, 0, 1). Тогда прямые <а, а>, <6, р> и (с, у) имеют соответственно следующие уравнения: у — /2z = 0, х—*/2/2 = 0, tx—'/2у = 0. Итак, точка (//2, /2, 1) принадлежит всем трем прямым.

' 16.2. Рассмотрим шесть точек a, b, с, d, е, f с проективными координатами а=(1, 0, 0), 6=(1, 1, 1), с = (0, 1, 0), d = = (а, 0, у)> ^=(0, 0, 1), / = («', р', у'). Шесть прямых <а, Ь), (b, с), <с, d), {d, е>, <е, f), <$, а) имеют уравнения у = z, x — z, ■^х = аг, Р% = ау, р'х = а'у, у'у = а'г соответственно. Их точки пересечения <а, b)f\<d, е$, (Ь, с> f| <е, f>, <с, cf) f] <L o') имеют координаты (а, р, р), (а', р', а') и (ау', а'у, уу') соответственно. Эти три точки коллинеарны тогда и только тогда, когда опре

делитель

а а' ау'Р р' а'уР а' уу'

равен нулю.

Для того чтобы определить, лежат ли исходные шесть точек на одной и той же конике, заметим сначала, что эта коника

принадлежит пучку, определенному четырьмя точками (1, 0, 0), (О, 1,0), (0, 0, 1) и (1, 1, 1), которые образуют проективный базис. В этом пучке имеются две вырожденные коники с простыми уравнениями у^х— 2) и Х(У— 2)> поэтому любая коника пучка должна иметь вид у(х— г^ = кх\у— г), где к— произвольный скаляр основного поля (см. 16.F или [В, 16.4.10)). Обе точки (а, р, у) и (а', р', у') принадлежат такой конике тогда и Только тогда, когда

Р(« —у) . р'(а' —у') а(р —у) а'(Pz — у') ‘

Наконец, проверим, что это условие совпадает с данным выше условием на определитель.

Можно считать, что в проективной системе координат, в которой р = (1, 0, 0), д = (0, 1, 0) н г = (0, 0, 1), рассматриваемая коника имеет уравнение х2 — yz — О. Пусть m=(s, s2, 1), п = (/, /2, 1). Четыре прямые <р, д), <р, г), {р, т?), <р, п) имеют уравнения г = 0, у = 0, s^y— z = 0, Ру — — 2=0 соответственно. Двойное отношение этих четырех прямых равно двойному отношению пар (0, 1), (1, 0), (s2, —1) и (/2, —1) или точек О, оо, —s2, —Р (см. 16.С или [В, 16.2]); его значение равно P/s2. С другой стороны, двойное отношение четырех точек д, г, т, п иа С равно двойному отношению их параметров (для любой хорошей параметризации; см. 16.С или [В, 16.2.5]), значения которых здесь О, оо, s, /. Итак, двойное отношение равно //s.

Напомним (см. 17.С или [В, 17.4.2]), что очень красивое приложение этого резуль

тата получается, если взять в качестве С окружность на евклидовой плоскости, комплексифицировать и пополнить ее до С, а в качестве д, г — две круговые точки (см. 9.D или (В, 9.5.5]). Если применить формулу Лагерра, а затем вернуться к С (см. 8.Н или [В, 8.8]), то доказанный только что результат превратится в утверждение, что центральный угол равен удвоенному вписанному (см. 10.D или [В, 10.9.3]).

Пусть f, g— две инволюции коники С, a q>, у — их соответствующие точки Фрежье. Согласно определяющему свойству точек Фрежье, для всякой точки те С ее образ f(т) представляет собой вторую точку пересечения коники С с прямой <q>, т"). Аналогично, g(m)—точка пересечения СП<у, m>, f^gi^t)')—

Рис. 16.4.Рис. 16.4.

Рис. 16.4.

Рис. 16.4.

точка пересечения СП<ф, g(m)> и, наконец, g(f(m))—точка пересечения CQ<y, f(m)>. Если / и g коммутируют, то f(g(m)) = = g(f(m)), а ф и у сопряжены относительно С в силу конструкции, упомянутой в 14.Е

или [В, 14.5.2.6].

Обратно, если ф и у сопряжены относительно С, то та же геометрическая конструкция показывает, что точка у'= = <f(g(m)), f(m)>n<m,g(m)> сопряжена с ф относительно С.

Если у = VЕсли у = Vто все доказано: f (g(m) ) = g(f (m)). Если же это

Если у = V

Если у = V

не так, то прямая <у, у') является полярой ф, но тогда m=f(m), g(m) = /(^(m)) н, следовательно, f(g(m)) = g(m) = g(f(m)).

В случае поля R начнем с комплексификацнн С коннки С (см. 17.С нлн [В, 17.4.1]) и комплексификацнн 7 гомографии f. Продолжение / гомографни f на С по предположению имеет точно две неподвижные точки. Можно считать, что это точки (0, 1, 0) и (0, 0, 1), а С задается уравнением х1— yz = 0 (см. 16.А нлн [В, 16.1]). Хорошей параметризацией служит (s, О*-* *-*($/, s2, t^ (см. 16.В или [В, 16.2]).

Произвольная гомография коннки С в этой параметризации задается формулой (s, /)ь-»(as + 6/, cs + d/), но в действительности она должна иметь вид (s, /) •—> (as, d/), так как ее неподвижные точки —это (0, 1,0) и (0, 0, 1).

Прямая, проходящая через точки m = (s/, s2, /2) и f(m) = = (ads/, a2s2, d2/2), имеет уравнение

(a2 — d2) s2t2x + (ad — d2) st3 у + (a2 — ad) ^tz = 0,

или, после упрощений, (a + d)stx + dt2y + as2z = 0. Степень коэффициентов при x, у, г по (s, /) равна двум, следовательно (см. 14.F или [В, 14.6]), семейство таких прямых при переменных and является огибающей некоторой коники Г. Точнее, в координатах (и, и, w), двойственных к (х, у, z), коннка Г параметризована с помощью (u = (a + d)st, v = dt2, w = as2). Тангенциальное уравнение коники Г найдем, исключая s и /; оно имеет внд adu? — (a 4- d) vw = 0. Обычное уравнение получим, переходя к обратной матрице, которая задает тангенциальное

уравнение (см. 14.F или [В, 14.6.1]), а именно

что дает уравнение a-1d-lx2— [4/(а + d)2]yz_—0. Поскольку это уравнение имеет вид х2— yz 4-#kx2 = 0, то Г и С— действи

тельно бикасающиеся коники, а точки касания являются неподвижными точками отображения f.

Рис. 16.5.1.Рис. 16.5.1.Рис 16.5.2.

Рис. 16.5.1.

Рис. 16.5.1.

Если мы иачалис поля Р, то теперь нужно вернуться обратно к С. Поскольку С и 7 получены из вещественной коникн и вещественной томографии, то прямая неподвижных точек отображения f (ее уравнение есть х = 0) является комплексификацией вещественной прямой, а Г — комплексификация вещественной коники Г, которая в самом деле касается коники С в двух точках.

Заметим, что в комплексном случае бикасание можно было бы получить эвристически. В самом деле, если т — неподвижная точка 7, то прямая <7(/и),/и> более или менее представляет касательную к С в точке т (см. рамку в начале гл. 16).

Обратно, если С и Г бикасаются, они всегда могут быть записаны в приведенном выше виде (если понадобится, после

комплексификации). Найдем коэффициенты and, которые определяют томографию f. Затем используем тот факт, что если касательная к Г пересекает С в двух различных точках т и п, то либо п = Цт), либо т = f(n). Более того, если тип различны, то два случая n=f(m) и m = f(n) являются взаимно исключающими, так как гомография, не являющаяся инволюцией, ие- инволютивна ни в одной точке (см. 6.D или [В, 6.7.3]); это можно доказать здесь и прямыми доводами.

Предположим теперь, что (aj, = i л—многоугольник, вписанный в С и описанный около Г, причем Г бикасается С. С точностью до перестановки индексов можно предположить, что для гомографии f, определяющей Г, выполняются равенства f(al) = a2, /(a2) = a3, .... f(an-1)=an, f(an) = ab Идея состоит в том, чтобы ввести п-ю итерацию f;

Гомография fn оставляет неподвижной каждую точку а,. Поскольку любая гомография, имеющая три неподвижные точки на конике С, является тождественной, то f" = Idc.

Тогда для любой точки т на С многоугольник (/и, f(/n). /2(т), •^-‘(/п)) вписан в С и описан около Г.

Примечание. Если число сторон четно, скажем п = 26, то pop = idc, так что ^ — инволюция коникн С. Согласно 16.D (или [В, 16.3.6]), прямые (a;, а^) пересекаются в одной точке, которая не зависит от многоугольника. Более общо, для каждого h между 2 и п — 2 прямые <а,, аА+,>, соединяющие каждую 6-ю вершину а„ являются касательными к конике, бикасаю- шейся С.1

Для данного касательного пучка вещественных коник мы хотим узнать, есть ли в нем коники, проходящие через фиксированную точку на плоскости. Мы рассмотрим только самый сложный случай, а именно пучок коник, касающихся четырех прямых общего положения. Используя проективное преобразование, можно всегда свести задачу к случаю, когда эти четыре прямые имеют уравнения х = ±1, у = ±1.

Поучительно воспользоваться для нахождения уравнений коник пучка двумя различными методами. Сначала рассуждаем непосредственно. Прямые х = ±1 являются касательными к конике

ax2 4- Ibxy 4- су2 + 2dx + ‘ley + f = О

тогда и только тогда, когда каждое из уравнений

а + 1Ьу 4- су2 i Id 4- ley 4- f == 0

имеет двойной корень, откуда следует равенство (е±6)2 = = c(f ± 2d + а). Аналогично, прямые у = ±1 являются касательными тогда и только тогда, когда (d ± 6)2 = a(f ± 2е 4- с). Эти четыре условия эквивалентны системе

eb = cd, db — ae, е2 4- b2 = с (f + a), d2 + b2 = a(f + с).

Отсюда заключаем, что (ас— 62)d = (ac— 62)е=0. В случае когда ас — 62 =#= 0, получаем равенство d = e = 0; тогда

v = 0и = Оv = 0и = О

v = 0и = О

v = 0и = О

(1.0. - 1)(1.0. - 1)(0.1, - 1)

(1.0. - 1)

(1.0. - 1)

Рис. 16.6.1.

а = с и Ь2 = а2 + af, откуда вытекает следующее общее уравнение:

a2(x2 + y2) + 2a6xz/ + 62-a2 = 0. (С)

Заметим, что из геометрического исследования диаметров (см. 15.С или [В, 15.5.8)) следует совпадение центра коники (если он существует) с началом координат.

В случае ас — 62 = 0 уравнения имеют вид (их 4- v'y 4- w^2, что соответствует пучку вырожденных касательных коник, т. е. двум пучкам прямых (см. [В, 14.6.3)).

Коника вида (С) проходит через точку (х, у) тогда и только тогда, когда коэффициенты (а, Ь) удовлетворяют уравнению

(х2 4- У2 — 1) а2 4- 2хуаЬ 4- Ь2 = 0,

а это уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда (х2 — 1) (у2—г 1) ^ 0. Множество решений данного неравенства— это дополнение к заштрихованной области на приведенном рисунке. В самой заштрихованной области не существует коник, касающихся четырех прямых.

При втором методе используются тангенциальные уравнения. В однородных координатах (и, и, w), ассоциированных с декартовыми координатами (х, у, 1 — г), прямые х = ±1, у = = ±1 представляют соответственно точки с координатами (1, 0, ±1), (0, 1, ±1). Это дает нам две пары противоположных

прямых, соединяющих эти точки: и = О, и = О, и 4- v 4- w = 0 и и + у — ® = О.

" Тангенциальное уравнение соответствующего пучка (см. 16.F или [В, 16.4.10]) имеет вид

(и + У + ^) (« + У — w) + XUV = О, или

м2 4-(2 4-X) ио 4-и2 — ну2 = О,

и ему соответствует матрица

/IX 0 \

4 = X 1 О I

Vo о —1 /

(после замены X 4- 2 на X). Тогда(после замены X 4- 2 на X). Тогдаобычное уравнение задается обратной равнаобычное уравнение задается обратной равнав переменных (х, у, z=l)в переменных (х, у, z=l)матрицей Д~1, котораяматрицей Д~1, котораяд-' =д-' =—1X2- 1XX2- 1—1X2- 1XX2- 1XX2- 11X2- 1XX2- 11X2- 1ОООО

(после замены X 4- 2 на X). Тогда

(после замены X 4- 2 на X). Тогда

обычное уравнение задается обратной равна

обычное уравнение задается обратной равна

в переменных (х, у, z=l)

в переменных (х, у, z=l)

матрицей Д~1, которая

матрицей Д~1, которая

д-' =

д-' =

—1X2- 1

XX2- 1

—1X2- 1

XX2- 1

XX2- 1

1X2- 1

XX2- 1

1X2- 1

О

О

О

О

Это дает нам уравнение —х? + 2Хху — У2 + I — X2 = 0, совпадающее с (С).

При у = 0 должно быть г = 0 и, следовательно, получается точка (1, 0, 0). При г = 0 имеем у = 0 и получается та же самая точка. В противном случае

уг Z2/ у V

откуда

Но только 1 есть кубический корень из единицы в поле из трех элементов, так что мы получаем точку (1, 1, 1).

Исследуем касательные к двум коникам в точках их пересечения. В точке (I, 0, 0) обе касательные задаются уравнениями г = 0 (см. 14.Е или [В, 14.5.3]), а в точке (1,1,1) они задаются уравнениями */2(^ + 2) = у и */2(х + у) = г, которые имеют один и тот же вид х 4- у 4- г = 0 в поле характеристики 3. Отсюда следует, что две коиики касаются в обеих точках их пересечения. .

Пусть С — коника и а — произвольная точка на ней. В силу формулы Лагерра (8.Н или [В, 8.7]) и двойственности пучков прямых (4.8 или [В, 6.5.1]) утверждение о постоянстве ориентированного угла между прямыми D, D' эквивалентно тому, что О, рассматриваемая как точка двойственной проективной прямой а*, получается из D* с помощью некоторой гомографии f (применим формулу из 6.D или [В, 6.6.1]). В силу 16.D (или [В, 16.3]) это означает, что существует такая гомография

Рис. 17.1.

/ коники С, что т' = ](т), где т (соотв. /и')— вторая точка пересечения С и D (соотв. С и D'). Теперь применим задачу 16.5. Коника Г, комплексификация которой бикасается комплексифи- кации С, является огибающей семейства прямых <tn, Цгп)У В вещественном случае коника Г не может быть бикасательной к С, так как D и D' всегда различны. .

Если две прямые образуют прямой угол, то f — инволюция, а <т, f(m)) проходит через фиксированную точку — точку Фрежье инволюции f (см. 16.D или [В, 16.3.6]). Эту точку можно найти, используя нормаль к С в точке а и прямые, параллельные осям. Заметим, что если С — окружность, то коника Г является окружностью, концентрической с С. Это утверждение можно доказать либо с помощью замечания, что Г бикасается С в двух круговых точках (17.С или [В, 17.4.2]), либо непосредственно, принимая во внимание факт равенства центрального угла удвоенному вписанному углу (10.D или [В, 10.9.3]).

Коцикличные точки на эллипсе. Дадим сначала геометрическое доказательство. Из 17.С (или [В, 17.5.5]) известно, что т. ум» т. — vrmuvnuuuvjp thuvu тлгпз и тлпктгл тлгпя илгпя

хорды (mh m2) и (m3, m^ имеют один и тот же наклон по отношению к осям. Рассматривая эллипс как образ окружности при аффинном отображении (см. 17.А или [В, 17.7.1]) и обозначая через (тр т'^ и (т'у т'^ хорды этой окружности, образами которых являются (mb т2) и (m3, т4), мы увидим, что две хорды эллипса имеют один и тот же наклон тогда и только тогда, когда этим же свойством обладают соответствующие хорды окружности. Но для окружности угол между хордой ^Щр т'^ и

Рис. 17.2.

осью равен (tY + /2)/2 по модулю л, так как параметр на окружности (который соответствует параметру на эллипсе) есть как раз угол с осью. В результате мы получаем требуемое условие:

A+ks_^(modjl)> или

/ I + /2 + /з + ^4 = 0 (mod 2л).

Интересно аналитическое доказательство. Отметим сначала, что достаточно доказать необходимость приведенного соотношения. В самом деле, если оно необходимо, то /4 однозначно определяется им как функция от /h /2, /3. С другой стороны, эти три точки задают окружность, которая должна пересечь эллипс в некоторой вполне определенной четвертой точке (см 16.F или [В, 16.4.8]). Пусть х2 + у2 + 2ах + 2Ру + у = 0 — общее уравнение окружности на плоскости. Положив 9 = tg(//2), получим

1 - 620

Х ti 1 -|_ Q2 И У 26 J •

Искомое значение параметра 6 является корнем уравнения а2(1 — О2)2 + 46202 + 2аа (1 — в2) (1 + б2) +

+ 4060(1 + 02) +Y(i +02)2=о

четвертой степени по 9. Его важное свойство состоит в том, что коэффициенты при 9 и 93 противоположны. Таким образом, обозначая симметрические многочлены от 9, (7=1, 2, 3, 4) через ст» (А = 1, 2, 3, 4), т. е.

СТ1 == 01 + 02 + 9$ 4~ ®4, СТ2 = 9^ 4" • • • 4" 9394, ®з = 919293 + 9|9о94 4- 9[9394 4" Э^Д, ст4 = 61629394, получим, что для произвольной окружности параметры 9, удовлетворяют соотношению cti + ®з = 0.

Нетрудно проверить, что

\ 2222 /1 — <Т2 т ®4

Отсюда

1е(^ + ^ + ^ + 4) = 0. ИЛИ

Приложение. Если окружность соприкасается с эллипсом в точке, отвечающей значению параметра t, то это значение t является тройным корнем (16.Е или [В, 16.4.3]). Оставшаяся точка пересечения будет отвечать такому значению t', что 37 + 4-7'= 0(mod 2л), например 7'=—3L

Итак, если 7| 4-72 + 7з 4-74 = 0(mod 2л), то мы также имеем 71 4" 7'2 -)- 7з 4" 7<—3 (7, 4- 72 4~ 73 + 74) = 0 (mod 2л).

Нормали к эллипсу. Пусть (и, и) — точка, нз которой мы хотим провести нормали к эллипсу. Такая нормаль пересечет кривую в точке

(a cos 7, b sin 7) =у +6 , —дг)

тогда и только тогда, когда вектор (и— a cos 7, и — 6 sin 7) перпендикулярен касательному вектору (—a sin 7, 6 cos 7) в этой точке. Это дает условие

—a sin / (и — a cos /) 4~ 6 cos t (и — b sin 7) = 0, из которого получим следующее уравнение для 9: 6у94 4- 2 (аи 4-я2 — 62) 93 4- 26 (аи 4- 62 — а2) 9 — bv — 0. Симметрические многочлены о, должны тогда удовлетворять следующим условиям:

о2 = 0 и ст4 = — 1.

В частности, получаем, что выражение

ё 2 А Г 2 т 2 У 1 — ст: + ст4

бесконечно. Отсюда вытекает, что

Z1±^+A±A = ^L (mod л),

или /, + ^2 +/з + ^4 —л (mod 2л).

Обратно, если о2 = 0 н 04 = —1, то ясно, как найти точку (и, у), удовлетворяющую вышеприведенному уравнению, начиная со значений oi и оз-

Приложение. Как следствие получаем теорему Иоахимсталя, поскольку значения параметров для диаметрально противоположных точек отличаются на л н если

6 + ^2 + ^з + ^4 = л (mod 2л), то для точки, отвечающей <« + л, выполняется соотношение /1 -|- /2 Ч- ^з Ч- (^4-Ч~ л) ^^ ®(mod 2л).

Идея здесь в том, чтобы воспользоваться задачей 15.4. Пусть <а, 0, а'> и <Ь, 0, Ь") — два сопряженных диаметра эллипса Е. Центры искомых окружностей лежат на биссектрисах

D, D' этих двух диаметров. Возьмем по одной точке пересечения каждой биссектрисы с эллипсом и обозначим нх через т и п, как на рис. 17.3.1. Сразу возникает сомнение в равенстве расстояний от точек т и п до прямой <а, а'>.

Мы разрешим это сомнение, показав, что прямая <т, п) параллельна <6, Ь'У В самом деле, прямые <0, а> и <0, 6> гармонически сопряжены относительно D и D'. Но тогда, обозначая через х точку пересечения прямой <т, п> с <а, а'>, получим, что гармонически сопряженная точка к х относительно т, п на пря-

\ мой <т, п) должна лежать одновременно на <6, Ь'> н на бесконечно удаленной прямой. Это показывает, что х — середина отрезка [т, л].

Теперь нз элементарных свойств прямоугольного треугольника {0, т, л} следует, что расстояние от каждой из.двух точек т и п до прямой <а, о/> равно расстоянию от 0 до </и, и). Таким образом, радиус рассматриваемых окружностей равен высоте треугольника {0, т, л}, которая в силу задачи 15.4 равна а2р2/(а2 + р2), где а и р — полуоси эллипса Е.

Проведем аналитическое рассуждение. Выберем координатные осн так, чтобы окружность С имела уравнение х24- + у2 — 2ах— &2 = 0, а рассматриваемые точки — координаты

(0, ±6). Пусть их + vy + w = 0 — уравнение касательной к С в точке, в которой происходит касание с некоторым данным эллипсом. Рассмотрев вырожденную конику, образованную двумя прямыми их + vy + w = 0 и х = 0, и взяв пучок, проходящий через эту конику и окружность С, мы убедились, что искомое уравнение для эллипса имеет вид

х2 + У2 — 2ах — 62 + ^х (их + vy + tv) = 0

(см. 16.F или [В, 16.4.10]).

Пусть теперь г — ^ с? 4- 62 — радиус окружности С, а (а+ 4-rcos<, rsin<)— ее точка касания с их + vy + tv = 0. Уравнение этой касательной можно записать в виде

их 4- vy + w = (х — a) cos t + у sin t — г — 0.

Тогда уравнение эллипса можно записать в виде

х2 4- у2 — 2ах — Ь'2 Д- kx ((х — a) cos t 4- у sin t — г) = 0,

и центр эллипса совпадет с началом только тогда, когда исчезнет слагаемое с х, т. е. при к= — 2а (г a cost . Подставляя

это значение в уравнение, получим

Ах2 — 2Вху Су2 = Y, • где

. г — a cos /„a sin t„ 1

b2 (г + a cos /) ’ b2 (г 4- a cos /) ’ b2 "

Из 17.В или [В, 17.2.1] следует, что эксцентриситет эллипса будет известен, если мы знаем отношение между (Д4-С)2 и АС— В2, так как он равен отношению квадрата следа к определителю матрицы, отвечающей такой квадратичной форме q, что эллипс имеет уравнение q=l. Выполняя вычисления, получим константу

г — a cos Z a2 sin2 /

АС — В2 г 4- a cos t (г 4- a cos Ц2 г2 — а2 Ь2

(4 4* С)2/ г — a cos < ^ । V4г24 (а2 4- Ь2^ "

V г 4- a cos t ' /'

.17.5. Дадим аналитическое доказательство. Пусть у2=2рх—

уравнение параболы Р, а (а, Ь)— точка, из которой мы проводим нормали к Р. Уравнение касательной к Р в точке (х0, t/o) есть уу0 = р(х 4- х0) (см. 15.С или (В, 15.5.5]), так что нормаль в этой точке пройдет через (а, Ь) тогда и только тогда, когда р/(х0 — а) ——уо/к.Уо — by Подставляя это значение в уравнение у2 = 2рх, получим уравнение

ро + 2р (р — а) у0 — 2р'6 = О

третьей степени для «/-координаты у0 искомой точки. Сумма трех его корней у, у', у" равна нулю, а это эквивалентно тому, что барицентр трех точек (у2/2р, у), (у'2/2р, у'), (у"2/2р, у") лежит на оси Ох параболы.

Обратное утверждение следует из только что доказанного, так как соотношение

у + у + у" = О

однозначно определяет третью точку как функцию двух первых. Эквивалентное свойство для окружности, проходящей через точки т, т', т", выводится из 17.С (или {В, 17.5.5.3]) и соответствующего свойства барицентров (З.В или (В, 3.4.8]). Воспользуемся случаем для того, чтобы дать аналитическое доказательство утверждений из 17.С ([В, 17.5.5.3]). Если х2 + у2 + + 2ах + 2Ру + у = 0 — уравнение произвольной окружности, то ее пересечения с параболой у2 = 2рх вычисляются с помощью разрешения относительно «/-координаты. Получаем уравнение четвертой степени

^ + »2(4+l) + 2f>s + v-o,

у которого слагаемое с у3 равно нулю, и потому сумма его четырех корней у, у', у", у"' есть нуль. Таким образом, если ' у + у' 4- У" = 0, то, конечно, у'" = О!

В обозначениях рис. 18.1.1 (см. задачу 18.1) имеем г = а1л/б,» тогда R2 = (R— е)2+г2, откуда R = (а2 + Зе2)/бе.

Система рычагов используется для того, чтобы контролировать давление иглы в точке В на поверхность сферы при измерении. Аккуратные измерения требуют учета деформации, вызванной этим давлением, а также давлением в точках А. Например, выполняя последовательность измерений, нужно быть уверенным, что давление меняется очень мало, и это достигается тем, что игла q всегда указывает одну и ту же отметку на шкале.

Линии постоянного курса пересекают меридианы под постоянным углом (см. [В, 18.1.8.2]). Стереографическая проекция сохраняет углы (см. 18.А или | В, 18.1.8.6]) и отображает меридианы в прямые, проходящие через начало координат на плоскости. Следовательно, образы линий постоянного курса при стереографической проекции пересекают прямые, проходящие через начало, под постоянным углом и, значит, должны быть логарифмическими спиралями (см. 9.Е или |В, 9.6.9]). Строгое доказательство последнего вывода использует единственность траекторий гладкого векторного поля и тот факт, что логарифмические спирали действительно пересекают прямые, проходящие через начало, под постоянным углом (так как они инвариантны относительно группы подобий с центром в начале). Можно также непосредственно решать дифференциальное уравнение, соответствующее условию пересечения под постоянным углом.

Требуется показать, что для каждого сферического «треугольника» со сторонами а, Ь, с выполняются неравенства

| Ь — с |^а^6 + с,

и равенство имеет место тогда и только тогда, когда три вершины х, у, z треугольника лежат в плоскости, проходящей через начало. Два приведенных выше неравенства эквивалентны неравенствам

cos (6 + с) ^ cos а ^ cos (6 — с), нли, иначе,

I

cos а — cos b cos с I < j

sin 6 sin с I '

Определитель Грама трех вершин х, у, z равен

(х|х) (х|у)(х|х) (х|у)А — (у|х) (у] у)А — (у|х) (у] у)(2|.t) (Zfy)(2|.t) (Zfy)(Х|2) (y|z) (2|2)(Х|2) (y|z) (2|2)

(х|х) (х|у)

(х|х) (х|у)

А — (у|х) (у] у)

А — (у|х) (у] у)

(2|.t) (Zfy)

(2|.t) (Zfy)

(Х|2) (y|z) (2|2)

(Х|2) (y|z) (2|2)

Из 8.J (или [В, 8.11.6]) мы знаем, что определитель Д равен квадрату объема параллелепипеда, построенного на векторах Ox, Оу, О 2 (где О — центр сферы). Поскольку (x|x) = (z/|z/) = = (^2) = 1 н cosa = (z/|z), cos 6 =(г]х), cos с = (х|г/), то

1 cos с cos b

А =А =cos сcos 6cos сcos 61 cos acos a 11 cos acos a 1

А =

А =

cos с

cos 6

cos с

cos 6

1 cos a

cos a 1

1 cos a

cos a 1

= 1+2 cos a cos b cos c — cos2 a — cos2 b — cos2 c, что можно записать в виде A=sin2 6 sin2 с— (cos a—cos b cos c)2, но A> О, и равенство имеет место тогда н только тогда, когда х, у, z линейно зависимы.

Как и в предыдущей задаче, достаточно заметить, что определитель Грама точек (х,) равен‘

det (cos (xzXy)) = det ((xz | Xy)).

Но поскольку d + 2 точек лежат в Rd+1, то объем параллелепи

педа, порожденного ими в Rd+2, равен нулю. Отсюда следует, что определитель Грама равен нулю.

На сфере S1 радиуса R длина дуги уг, которая стягивает центральный угол величины а, равна Ra.

стремится к нулю. Мы можем, таким образом, рассмотреть перстремится к нулю. Мы можем, таким образом, рассмотреть перИтак, для треугольника {х, у, г) на сфере S1 углы а, р, у при вершинах вычисляются по формулам, аналогичным 18.С (или [В, 18.6.13]), которые получаются заменой а, Ь, с на a/R, b/R, c/R соответственно. Положим е = 1 /R; тогда при R, стремящемся к бесконечности, е

стремится к нулю. Мы можем, таким образом, рассмотреть пер

стремится к нулю. Мы можем, таким образом, рассмотреть пер

вый член разложения в ряд соотношений

cos ea = cos eb cos ec + sin гЬ sin гс cos a,

sin a rsin P sin уsin easin ebsin ec '

Переходя к пределу, получим две формулы а2 = 62 + с2 — 2bc cos a, sin a sin p sin у a bc

(см. 10.A или [В, 10.3]).

Идея состоит в том, чтобы применить основную формулу сферической тригонометрии (18.С). Определим угловое по-

10 М. Верже и др.

ложение первого (соответственно второго) вала функцией 6:/►—» 6 (0 (соответственно с: б—» с (/)); тогда Ь^ и с(0— стороны сферического треугольника {а, т(0, л(0}, где ат(0 = = b^, an{t) = c(t) и угол при вершине а равен углу 6 между осями двух валов. Таким образом,

cos b cos с + sin 6 sin с cos 0 = cos -у = 0, откуда • .

tg b tg C =n .°cos 6

Из предыдущего уравнения, взяв производную по /, получим угловые скорости валов, которые задаются производными функций b и с по t;.

У(1 + tg2 6) tg с + с7 (1 4- tg2 с) tg 6 = 0.

Искомое отношение угловых скоростей равно

1 &' I I tg 6 1 + tg2 С I 1 COS2 6 tg2 6 + 1

I c' I I tg C 1 + tg2 6 ICOS 6 tg2 6 + 1‘

Функция x»—»(l/cos0)[(x2cos20 4-l)/(x2+1)] достигает максимума l/cos0 при x = 0, а минимума cos 6 при x = oo. Таким образом, наихудшее возможное значение отношения двух скоростей равно cos 0, и оно реализуется, когда /л(0 или п(/) совпадают с точкой а или с ее антиподом. При 0 = л/6, п/4, л/3 получаем значения 0,866, 0,707 и 0,5 соответственно. Ясно, что отношение быстро портится, когда угол увеличивается. Однако при соединении двух карданных передач «гомокинетически», как требует симметрия, два крайних вала имеют одинаковые угловые скорости. Скорость среднего вала переменна, но это нисколько не беспокоит пассажиров.

Идея состоит в том, чтобы преобразовать три данные сферы в сферы, лежащие внутри и касающиеся тора вращения. Будем пользоваться основными свойствами инверсий (10.С или [В, 10.8]), не упоминая их явно.

Пусть Р — плоскость, содержащая центры 2, 27, 2", а о, о7, а" — большие окружности ст = Р П 2, а' = Р П 2' и а" = Р П 2". Предположим, что а, о7, о" расположены так, что найдутся две непересекающиеся окружности у, у7, касающиеся всех трех окружностей ст, ст7, ст77. Тогда, согласно 10.D (или [В, 10.10.2]), найдется инверсия с центром на Р, которая преобразует у, у7 в концентрические окружности. Плоскость Р инвариантна относительно этой инверсии. Пусть у, у7 при инверсии перешли в 6, б7, а ст, ст7, о" — в 0, 87, 8".. .

Рассмотрим тор вращения Т в R3, для которого Р является экваториальной плоскостью, и пусть он пересекает Р по 6, б7.

Тор Т однозначно определяется этими условиями. Аналогично, пусть 0, 0', 0"— такие сферы в R8, что Р является их экваториальной плоскостью и 0ПР = О, 0'f)P = 0', 0"fiP = O"N

Предположим, что S— сфера, касающаяся 0, 0', 0" и лежащая вне этих сфер. Поскольку 0, 0' и 0" имеют равные радиусы, центр s сферы S расположен на одинаковом расстоянии от трех

центров р, р', р" этих малых сфер. Таким образом, s принадлежит оси А тора Т. ■

Итак, любая сфера Sc центром в точке seA, касающаяся 0, касается тора Т вдоль целой параллели, проходящей через точку касания Т и 0. Мы можем, конечно, сказать, что тор Т,

ю*

эд»

Рис. 18.7.7.

Рис. 18,7.8.

XI 6 Щ ЭТ0Г0 однопаРаметрического семейства

Т ’ ЧТ° имеет„ся второе однопараметрическое семейство сфер с тем же свойством, а именно, образы 0 при вра- ^","” °0КРУГ °СИ Д; каждая "3 s™ *Р лежит внутр" А а^ м Г° ВД0ЛЬ меРндвана- Сверх того, каждая сфера первого семейства касается каждой сферы второго семейства Р

Теперь вернемся к нашим исходным сферам 2, 2', 2", применяя снова инверсию, рассмотренную выше. Образ тора Т при этой инверсии есть искомая циклида Дюпена. Эта поверхность является однопараметрической огибающей каждого из двух однопараметрических семейств сфер, причем она касается каждой сферы из этих семейств вдоль целой окружности.

До сих пор нам было известно два семейства окружностей на циклиде, вдоль которых каждая из сфер (обоих семейств) касается циклиды (им соответствуют меридианы и параллели TY Эти два семейства пересекаются под прямым углом. Но на Т имеется два других семейства окружностей — окружности Вилларсо (см. 8.D или [В, 18.9]), которые обладают тем свойством, что пересекают меридианы (и, следовательно, параллели) под постоянным углом а, одним и тем же для обоих семейств. С помощью инверсии получаем, что циклида Дюпена также содержит четыре семейства окружностей; углы в каждой точке их пересечения показаны на рис. 18.7.5, причем через каждую точку проходит в точности одна окружность из каждого семейства.

Наконец, из [В, 10.12.3, 18.9.3] вытекает, что две окружности с, с' из семейства окружностей Вилларсо на циклиде ограничивают паратактическое кольцо. Это означает, что каждая сфера, содержащая с, пересекает </ под постоянным углом р, а каждая сфера, содержащая с', пересекает с под тем же углом р.

Примечание. Если 2, 2', 2" расположены ие так, как мы потребовали в начале решения, то получатся аналогичные результаты, но циклиды будут другого типа. Например, если у и у' пересекаются, то их можно преобразовать с помощью инверсии в две пересекающиеся прямые (см. 10.D). Тор Т в этом случае заменяется на конус вращения. Если у и у* касаются, то Т заменяется на цилиндр вращения. Применяя снова инверсию, получим циклиды Дюпена различных типов, но содержащие только два семейства окружностей.

Предварительное замечание. В n-мерном евклидовом или гиперболическом пространстве всякое равностороннее множество содержит не более п +1 точек и для каждой длины а >■ О имеется с точностью до изометрии ровно одно такое множество. Это вытекает из 9.F или [В, 9.7.1]. Как мы увидим ниже, в случае сферической или эллиптической геометрии дело

Рис. 19.1.1.

обстоит иначе. Расстояние между двумя произвольными точками равностороннего множества всегда обозначаем символом а.

Трехточечные множества (треугольники). Пусть {ть т^ т3)—равносторонний треугольник в Р, a Т = \х, у, г)—треугольник иа S, вершины которого проектируются в точки mb т2, от*, ио сам он не обязательно проектируется на треугольник в Р (ие всегда возможно иайти треугольник на S, который проектируется иа треугольник в Р; см. 19.А или ]В, 19.1.3]). Длины сторон треугольника Т могут равняться только а или л — а. Всегда можно заменить вершину треугольника 9" иа ее антипод, и тем самым изменить длины двух сторон на их дополнение до л, а длину третьей оставить без изменения. Таким образом, можно считать, что перед нами одни из следующих двух случаев:

длины всех трех сторон треугольника У равны а;

(и) длины всех трех сторон треугольника У равны л —а.

Заметим сначала, что в любом случае величина а полностью определяет треугольник 9" с точностью до изометрии (о равенстве сферических треугольников см. 19.А или [В, 18.6.13.10]). В частности, все три угла треугольника 9" равны, и в любом случае обозначим их а. Рассмотрим теперь середину t отрезка [у, г]. Из признаков равенства треугольников вытекает, что углы при вершине / в треугольниках {х, у, /} и {х, z, /} одина-. ковы и равны л/2. По тем же причинам угол при вершине х в треугольнике {х, у, /} равен а/2. Применяя формулы сферической тригонометрии (18.С или [В, 18.6.13]), мы заключаем, что в случае (i)

sin (л/2) sin (а/2)sin asin (a/2)

Отсюда получаем соотношение fl . Clfl 4/1\

2 sin у cos-g-= 1,(i)

которое однозначно определяет a как функцию угла а, и наоборот.

Случай (ii) рассматривается с помощью замены а на л — а. Получаем

2 Sin -у Sin у = 1.01)

Если а меняется от л/3 до л/2, то в случае (i) длина а стороны треугольника заключена в пределах от 0 до л/2. В случае (ii) а меняется от л/2 до л/3, когда а меняется от л/2 до л.

Подведем итоги: для каждого aeJO, л/3] с точностью до изометрии имеется один равносторонний треугольник, а для каждого а е [л/3, л/2] имеется два (неизометричных) таких треугольника. Заметим, что случай (i) отвечает треугольникам типа I, а случай (ii)— треугольникам типа II (см. 19.А).

Четырехточечные множества: случай (ii). Если {mi, m2, m3, mJ — равностороннее множество, то таким же является и любое трехэлементное его подмножество. Предположим, что все такие подмножества удовлетворяют приведенному выше условию (ii). В частности, пусть 9" = {х, у, 2}—треугольник на S, который проектируется на {mi, m2, m3} и длины всех его сторон равны л — а. Пусть /— точка на S, которая проектируется в тч. Все расстояния от / до х, у, г равны либо а, либо л — а. В действительности первая возможность исключена, так как, взяв антиподы точек х, у, г, мы получили бы треугольник типа (i), что противоречит нашему предположению.

Из признаков равенства сферических треугольников (см. 19.А или [В, 18.6.13.10]) вытекает, что точка t симметрична х относи-

тельно прямой <у, г>, так как t^=x, Кроме того, если р— середина отрезка [у, z], то мы знаем, что углы в треугольниках (х, у, р) и {х, р, г} равны л/2 (в точке р) и а/2 (в точке х). Мы заключаем также, что t лежит на большой окружности, проходящей через х и р. Однако расстояние от х до t не равно удвоен-

Рис. 19.1.2.

В самом деле, обозначая Ь = хр, получим (см. 18.С или [В, 19.1.11)

cos b = cos (л — a) cos *Ц~— + sin (л — а) sin ^^ cos а.

Используя формулу 2 sin(a/2)sin(a/2)= 1, полученную выше (случай (И)), найдем соотношение

откуда b > л/2 н х/ = 2л — 2хр = 2л — 26. Но х/ = л — а; отсюда b = (л + а)/2 и, следовательно, sin (a/2) = cos a/sin (a/2), поэтому

. a 1. a V32 л

sinT=~ H ■

так как a > л/2. Окончательный вывод состоит в том, что четыре точки х, у, z, t являются вершинами правильного тетраэдра в S. В самом деле, правильный тетраэдру удовлетворяет требуемым условиям, включая sin (a/2) = 1/V3, и определен однозначно с точностью до изометрии. В Р мы можем сказать, например, что равностороннее четырехточечное множество образовано четырьмя диагоналями куба.

Более того, при л > 5 не существует равностороннего «-точечного множества, содержащего подмножества указанного

выше типа, потому что три точки х, у, г однозначно определяют четвертую точку t. В самом деле, / симметрична либо х относительно [у, г], либо у относительно [г, х], либо г относительно Vx, у].

Четырехточечные множества: случай (t). Пусть теперь {mi, m2, m3, ^4} —равностороннее множество, а Т = {х, у, г} —треугольник, проектирующийся на {mi, т2, тз}, длины сторон кото

рого равны а. Если / проектируется в Ша, то расстояние от t до точек х, у, г равно либо а, либо л—а. Взяв, если понадобится, антиподальные точки, можно считать, что эти три расстояния равны либо (а, а, а), f либо (а, а,__л— а). Предположим, что ty = tz = a. Треугольники {х, у, г} и {у, z, /} изометричны, так что точка / симметрична х относительно [у, г], поскольку равенство t = х невозможно! К тому же {х, /] пересекается с [у, z] под

прямым углом в своей середине р.

Итак, из приведенных выше рассмотрений вытекает равен

ство 2sin(a/2)cos(a/2)= 1, и, полагая b = xt = 2хр, получим

1 sin asin a sin (6/2)

Случай b = a приводит к соотношению sin a = sin(a/2), t. e. a = 0 или 2л/3, ио ни то, ни другое невозможно для треугольников, рассмотренных в случае (i). Остается возможность, когда Ь=п — а, т. е. sinasina = cos(a/2), откуда cosa=l/V5> так как

2 sin -у cos у = I.

Утомительное вычисление, включающее cos 5a, приводит к а = 2л/5. Для того чтобы закончить классификацию, лучше начать с правильного икосаэдра (l.F, 12.С или [В, 12.5.5]), даже если мы не знаем еще о его существовании. Одни из путей для его введения следующий. Начнем с нашего множества {х, у, z, /}, все стороны которого равны а, за исключением х/ = л— а, а углы треугольника {х, у, г} равны 2л/5. Существенное наблюдение состоит в том, что большая полуокружность, определенная точками х и t, проходит через х и —х (антипод точки х), причем /(—х) — а, так как xt = л — а. Применяя вращения вокруг оси <х, —х> на углы, кратные 2л/5, получим двенадцать точек

на S (рис. 19.1.4). Они образуют правильный многогранник с двенадцатью вершинами в силу свойств множества (х, у, г, О и замечания выше.

Таким образом, мы показали существование (и единственность) правильного икосаэдра. Вернемся теперь к п-точечным равносторонним множествам в Р (содержащим тройки типа (1)). Они обязательно должны-содержаться в шеститочечном множестве проекций вершин икосаэдра в S. Таким образом,

Рис. 19.1.4.Рис. 19.1.4.

Рис. 19.1.4.

Рис. 19.1.4.

единственно возможные значения — это п = 4, 5, 6. Простые соображения, связанные с рассмотрением антиподальных точек, показывают, что в каждом случае п = 4, 5, 6 имеется только одно с точностью до изометрии n-точечное равностороннее множество. ■

Построим отрезок [«, о] как на рис. 19.2.1; углы при вершинах «, и в треугольнике {u, v, w) обозначим соответственно а, р и положим ■

d(o, w) = x.

Используя формулы из 19.С (или [В, 19.3.1, 19.3.5]), получим

ch х = ch a ch b.ch х = ch a ch b.sin аI sh аsh х ’sin аI sh аsh х ’sin р1sh6shx 1sin р1sh6shx 1

ch х = ch a ch b.

ch х = ch a ch b.

sin аI sh аsh х ’

sin аI sh аsh х ’

sin р1

sh6shx 1

sin р1

sh6shx 1

cos у = sin ^ — а) sin (-у- — р^ chx —

— cos ^а) cos ^-^- — р^ = cos а cos Р ch х — sin а sin р.

sh2 а ch2 х — ch2 а ch2 a sh2 6 sh2x sh2xsh2xsh2 а ch2 х — ch2 а ch2 a sh2 6 sh2x sh2xsh2xОднако

sh2 а ch2 х — ch2 а ch2 a sh2 6 sh2x sh2xsh2x

sh2 а ch2 х — ch2 а ch2 a sh2 6 sh2x sh2xsh2x

cos2 а = 1 — sin2 а = 1

так что cos а = ch a sh 6/sh x, и аналогично cos p = ch b sh a/shx. Итак,

ch2 a ch2 b sh a sh b sh a sh b

COS Y — sh2* ’ sh2* ~

sh a sh b (ch2 a ch2 b — 1),, ,

—о = sh a sh b.

sh2 x

К этой формуле можно добавить следующий комментарий: если числа а и b очень малы, то угол у близок к л/2, что неудивительно, так как гиперболическая метрика локально похожа на евклидову, и наш четырехугольник близок к прямоугольнику.

Рис, 19.2.1.Рис, 19.2.1.Рис. 19.2.2.Рис. 19.2.2.

Рис, 19.2.1.

Рис, 19.2.1.

Рис. 19.2.2.

Рис. 19.2.2.

С другой стороны, а и b должны быть такими, что shashd < 1, а это очевидно в конформной модели (см. 19.D или [В, 19.6]). В случае когда shash6 = 1, четвертая вершина находится в бесконечности; геодезические (в конформной модели это окружности) касаются друг друга в их общей бесконечно удаленной точке.

Будем использовать проективную модель. Для каждой точки zi возьмем такой представитель ^ класса zt в Rn+1, что 9(1<)—1. Таким образом, по определению имеем для всех I, / равенство ch d(zt, г^ = Р^, ^. Теперь мы используем трюк с определителем Грама (см. 8.J, [В, 8.11]) с подходящей модифи-

нацией. Обозначим матрицу формы q в пространстве R”+2 высокой размерности через А, т. е.

О

1

н рассмотрим (п + 2)Х(« + 2)-матрицу S = (^бп+г), образованную вектор-столбцами & в R”+1, у которых добавлена нулевая (п + 2)-я координата. Рассмотрим также матрицу '$, транспонированную к S и образованную соответствующими век- тор-строками. Итак, имеем

/ Р&, W . . . р^, W X

\Р(6п+2> 61) . . . Р(6л+2> бл+з) /

Определитель матрицы S равен нулю, так как она содержит нулевую строку, поэтому det('S4S) = 0.

Примечание. Это доказывает, что в гиперболическом пространстве, так же как в евклидовом (см. 9.F или [В, 9.7.3]) и на сфере (задача 18.4), в размерности п расстояния между произвольными п + 2 точками удовлетворяют универсальному соотношению.

Имеет место единственность. В самом деле, по формулам из 19.С или [В, 19.3.1, 19.3.5] получаем, что если фиксирована сторона d^x, 1^ = 20 (рис. 19.4.1), то расстояние d(x, г) также однозначно определено. По индукции определим расстояние от х до остальных вершин. Единственность вытекает из 19.В (или [В, 19.4.4]).

Существование. Во-первых, заметим, что случаи л=3, 4 невозможны. Прямой метод, изложенный ниже, позволит доказать этот факт, однако можно воспользоваться основным свойством, что сумма углов в треугольнике всегда меньше л (см. 19.С или [В, 19.5.4]). Равенство ЗХ(2л/3) = 2л очевидным образом исключает п = 3, а если бы мы имели четырехугольник, то могли бы разрезать его на два треугольника и получить соотношение 4Х(2л/4) = 2л, противоречащее тому, что сумма углов обоих треугольников меньше 2л.

Покажем, что при п ^ 5 искомые многоугольники всегда существуют. Идея состоит в том, чтобы найти формулы, которым удовлетворяли бы элементы такого многоугольника, если

бы он существовал. Рассмотрим центр О будущего многоугольника и середину р стороны [х, у]; в треугольнике {х, О, р) угол при вершине р должен быть равен л/2, а оба угла при вершинах

Рис. 19.4.LРис. 19.4.L

Рис. 19.4.L

Рис. 19.4.L

О н х должны быть равны (1/2)Х(2л/л) = л/n. Поскольку d(x, р) = а, то в силу симметрии расстояние d(O, р) также равно о. Положим d(O, x) = b и применим формулы получим

sh2 а = —/ — 2. sin’ (л/л)

Поскольку l/sin2(n/n) > 2 для всех п >■ 4, то всегда найдутся равнобедренные треугольники с углами ^л!п при основании. Возьмем такой треугольник (х, О, р) и используем отражения относительно его сторон

(сначала относительно <0, р>, затем <0,у> и т. д.) для построения остальной части искомого многоугольника. Это доказывает сушествование для п^5.

Замечание. Пусть Р— такой многоугольник, как выше. Отражение относительно стороны <х, у") преобразует его в изометрич-

Рис. 19.4.3.

Программа написана Ф. Женин

ный многоугольник Р', смежный с Р по стороне <х, д'). Можно показать (хотя строгое доказательство — довольно тонкое дело), что образы всех отражений относительно сторон многоугольников Р, Р' и т. д, дают замощение гиперболической плоскости. Таким образом, при каждом л ^ 5 имеется замощение плоскости изометричными правильными л-угольниками. Это контрастирует с ситуацией евклидовой плоскости, где наибольшее возможное число сторон такого многоугольника — шесть (см. (В, 1.9.13)).

Рис. 20.1.1,Рис. 20.1.1,

Рис. 20.1.1,

Рис. 20.1.1,

Пусть р— точка образа im(s), a Tps— касательная гиперплоскость к з в точке р (в пространстве Е). Точки q пространства Tps можно охарактеризовать условием, что проходящая через р сфера s' с центром в q ортогональна к $. Таким образом, точки s, s' пространства S(E), соответствующие двум сферам, должны быть сопряжены относительно р (или относительно Ё).

Аналогично, то, что s' содержит р, равносильно тому, что s' и точечная сфера р сопряжены относительно Ё. Таким образом,

искомые точки q— это центры сфер s', которые сопряжены как относительно р (произвольная точка образа im(s)), так и относительно з. Множество таких сфер s' есть в точности пересечение К полярных гиперплоскостей сфер з и р, т. е. пе-

ресечение гиперплоскости Н образа im(s) с рх. Итак, К—касательная гиперплоскость к квадрике im(s) в точке р в проективном подпространстве Н.

Что касается представления для Tps, то это пространство будет состоять из центров этих сфер s', т. е. (см. 20.В или [В, 20.3.4]) точечных сфер, образованных точками пересечения Е с прямыми <оо, $'>. Наконец, это множество есть пересечение Ё с гиперплоскостью, порожденной К и бесконечно удаленной точкой.

Мы должны сделать две вещи: во-первых, найти уравнение тора, например в ортонормированной системе координат (х, у, г) в R3. Затем проверить, что этот тор в самом деле порожден точечными сферами, которые все принадлежат проективной квадрике пространства S(E) сфер в R3. Таким образом, мы должны быть в состоянии перейти от обычных координат в

R* к однородным координатам (см. 4.С) в проективном пространстве S(E). Точка (а, Ь, с) отвечает точечной сфере

(х — а)2 + (у — ЬУ + (г — с)2 = О,

которой соответствует форма А||• ||2+ (а| •)+А = 0, например при значениях к = \, а = —2 (а, 6, с), А = а2 + &2 + с2. Числа А, А вместе с координатами вектора а образуют систему однородных координат сферы All -II2 + (а| •) + А = 0 в пространстве

8(E). Таким образом, точке (х, у, г) пространства R3 ставится в соответствие точка из P4(R) с однородными координатами

(х0, хь х2, х3, х4) = (1, —2х, — 2у, — 2г, х2 + у2 + г2).

Найдем теперь уравнение тора, полученного вращением во* круг оси г окружности радиуса г, центр которой лежит в х, у-плоскости на расстоянии /? от оси. Расстояние от точки до оси г обозначим через р, так что р2=х2 + у2. Координаты то* чек тора удовлетворяют уравнению (р — /?)2 + г2 = г2. Таким образом,

2pR = p2 + z2 + R2 _ г2 =+ у2 + z2 + R2 _ г1,

и окончательно 4/?2(х2 + у2) = (х2 + y2 + z2 + R2— г2)2. Это приводит благодаря предыдущим вычислениям к следующему уравнению в пространстве P4(R):

4/?2W + xl)=.(x4 + (/?8-r2)x0)2, которое, очевидно, задает квадрику.

Решим задачу аналитически. Пусть и — единичный вектор прямой D, содержащей центры х, х*, х" данных сфер 8, S', 8", у— единичный вектор переменной прямой Е, содержащей точки и, i/, и" сфер 8. S', 8", a w—единичный векто п ямой.

соединяющей х и у. Из условий задачи следует, что расстояния ху—г, х'у' — г', х"у" — г" фиксированы (и равны радиусам сфер S, S', S" соответственно). Расстояния хх' = 1', ххГ = Е\ уу1 и уу" также фиксированы.

Ключом к решению служит то, что точка у'" прямой Е всегда принадлежит (переменной) сфере с центром на прямой D в точке х'", такой, что у"' является образом х!" при гомографии D->E, отображающей х в у, х* в у', а х" в у". Остается

Рис. 20.3.

только показать, что для двух таких точек х"' и у"' расстояние Xм* у'" постоянно для любых трех единичных векторов и, и, и», удовлетворяющих приведенным выше условиям.

В координатах / и f(/) на D и Е, таких, что.

t = d^ х^, f^=d^, у^

наша гомография имеет вид f(0 = (a<4- b)/(cf + d) (см. 6.D или [В, 5.2.3]). Поскольку f(x) = y при f = 0, то Ь=0 (так что можно использовать нормировку а = 1), а также уу* = = f /(.cf + d), уу" = t"/(ct"-\-d). Поскольку уу' и уу" фиксированы, величины с и d фиксированы и однозначно определены.

Теперь мы можем вычислить расстояние d(x(0, у (О). Имеем х(/)=х-Н“,

у(/)=У + /(0и = у4-77^Р.

Таким образом,

«ей» »(<)>=|»+^т»—-«-Л||!=|™+7Г5т'>-'“['—

-^+'•+ ет+-ат» If<—»>-'<™р+V».

где а = (оу | у)', р = (у | и), у =(и|у). Величины а — dp и гс^ + у известны, так как даны d(x(n, ytO)®3^ и d^x^t"), yKt"^ = = г". Таким образом, для произвольной фиксированной точки f" расстояние

йМм\ yVV"^ = x"'y"' фиксировано.

Случай, когда точка у'" принадлежит плоскости, возникает для бесконечно удаленной точки х"', т. е. когда равны двойные отношения [х, х*, xf\ ooD] и [у, у*, у", у'"] (см. 6.А или [В, 6.1.4» 6.2.5]), где у'" однозначно определяется из соотношения

(у.у". П=3г.

х'х

Заметим, что в действительности наше доказательство не имеет силы в этом случае, так как точка х,п находится в бесконечности. Для того чтобы провести строгое доказательство, мы можем либо перейти к пределу, либо воспользоваться следующим прямым и более простым рассуждением. Мы должны доказать, что ортогональная проекция точки у'" на О есть фиксированная точка, т. е. что скалярное произведение (и|год-|-; + (1/с)у) (которое выражает I"' в бесконечности) постоянно. Но это скалярное произведение равно величине

rP + v^T^P 4-V).

которая, как мы только что доказали, постоянна.

Примечание. Вообще говоря, точка у"' описывает только подмножество на сфере S'". Это очевидно, так как S, S', S" — ограниченные множества, а уу'" — константа (например, расстояние ху'" ограничено величиной г + уу"'). Однако если ooD и оо£ не сохраняются гомографией, то, когда Г" стремится к бесконечности, радиус сферы S'" также стремится к бесконечности (см. плоский случай, рассмотренный выше).

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ

Цифра, за которой следует буква, соответствует разделу задачника, а цифра, за которой следует цифра,— задаче.

Алгебра Ли (algebre de Lie) 8.6

Антндвнженне (antideplacement) 9.А Аффинная группа (groupe affine) 2.А специальная (унимодулярная)

(special (unimodulaire)) 2.А

— квадратичная форма (forme quad- ratique affine) 15.A

— форма (forme affine) 2.B

Аффинное отображение (application affine) 2.В

— отражение относительно У параллельно Z (symetrie affine autour de У parall61ement й Z) 2.D

пространство (espace affine) 2.A Аффинные коннки (coniques af fines)

16.1

Аффинный автоморфизм (automorphis- me affine) 2.B

инволютивный (involutif) 2.D

репер (repere affine) 2.E

Барицентр (barycentre) 3.A

Барицентрические координаты (coor- donnees barycentriques) 3.C

Барицентрическое подразделение (subdivision baricentrique) 3.A

Бесконечно удаленная гиперплоскость (hyperplan a 1’infini) 5.A

Бесконечно удаленная точка (point a 1'infini) 5.A

Биссектрисы (bissectrices) 8.F

Большая окружность (grand cercle) 18. A

теорема Понселе (le grand theo- reme de Poncelet) 16.H, 16.5

Валентность (valence) l.H

Векторизация (espace vectorialise) 2.A

Векторное произведение (produit vec- toriel) 8.J, 8.6

Векторное пространство, присоединенное к аффинному пространству (espace vectoriel attache a un espace affine) 3.D

Вершины многогранника (sommets d’un polytope) 12.A

треугольника (sommets d’un triangle) 10.A

Винтовое движение (vissage) 9.C

Внутренняя метрика сферы (metrique intrinseque d’une sphere) 18.B

Вращение (rotation) S.A, 8.E

Выпуклая оболочка (enveloppe con- • vexe) 11.A

Выпуклое множество (ensemble con- vexe) ll.A

Вырожденность (degenferescence) 13.C

Гармонически впнсаииая квадрика (quadrique harmoniquement enscri- te) 14.3

описанная квадрика (quadrique harmoniquement circonscrite) 14.E

— сопряженные точки (points harmo- niquement conjugues) 6.B

Гармоническое отношение (division harmonique) 6.B

Гексагональные ткани (tissus hexago- naux) 5.3

Геометрия (geometrie) l.C

Гильбертова геометрия (geometrie de

Hilbert) 11.3

Гипербола (hyperbole) 15.B

равнобочная (equilatere) 17.A

Гиперболическое пространство (espace hyperbolique) 19.В

Гиперболоид двуполостный (hyperboloid a deux nappes) 15.B

одиополостиый (hyperboloid й une nappe) 15.B

Гиперплоскость бесконечно удаленных точек (hyperplan a 1’infini) 5.А

Гомографин ось (axe d’homographie) 16.D

— собственные числа (valeurs prop- res d’une homographie) 16.D

Гомография (homographie) 4.D, 4.E — гиперболическая (hyperbolique) 6.6

коники (homographie d’une coni- que) 16.D

— локсодромическая (loxodromique) 6.6

— эллиптическая (elliptique) 6.6

Гомокннетическне соединения (joints homocinetiques) 18.6

Гомотетия (homothfetie) 2.C

Грани многогранника (faces d’un polytope) 12. A

Граничные точки выпуклого множества (points frontieres d’un con- vexe) ll.C

Группа изометрий модели (groupe d’isomfetrie d’un modele) 15.B

—- — правильного многогранника (groupe d'isometries d’un polytope r£gulier) 12.C, 12.2

— квадратичной формы (groupe d’une forme quadratique) 13.E

— квадрики (groupe d’une quadnque) 14.G

— Мёбиуса (groupe de Mobius) 18.E

— перестановок (groupe de permutations) l.A

Движение несобственное (deplacement) 9.A

— собственное (antideplacement) 9.A

Двойное отношение (birapport) 6.A, 16.C, 16.3

Двойственность (dualite) 6.C

Действие группы на множестве (operation d’un groupe dans un ensemble) l.A

— просто транзитивное (simplement transitive) l.D, 12.C

— транзитивное (transitive) LB

Диаметр квадрики (diametre d’une quadrique) 15.C

— симплекса (diartietre d’un simple- xe) 3.3

Диаметральная гиперплоскость (hyperplan diametral) 15.C

Диаметры сопряженные (diametres conjugues) 15.C

Дилатация (dilatation) 2.C

Дискриминант (discriminant) 13.В

Днэдральная группа (groupe diedral) 12.C

Длина кривой (longueur d’une cour- be) 9.G

Додекаэдр (dodecaedre) l.F, 12.C

Долгота (longitude) 18.A

Евклидово аффинное пространство (espace affine euclidien) 9.A

— векторное пространство (espace vectoriel euclidien) 8.A

Задача Наполеона—Маскерони (pro- Ыёте de Napol6on—Mascheroni)

10.6

Закон инерции Сильвестра (loi d’inertie de Sylvester) 13.В

Замощение плоскости (pavage d’tm plan) l.G

Замощения изогональные (pavages isogonaux) l.H

— изоэдральные (pavages isohed- raux) l.H

Звездное множество (ensemble etoile) 11.A

Зеркальная симметрия (symetrie orthogonal) 8.C, 13.E

Изодиа метрическое неравенство (ine- galite isodiametrique) 9.H

Изометрия (векторная) (isometrie (vectorielle)) S.A

Изотропные векторы (vecteurs isotropes) 13.C

Изотропные прямые (droites isotropes) 8.H

Изотропный конус (cone isotrope)

8.H, 13.C

Икосаэдр (icosaedre) l.F, 12.C

Инверсия (inversion) 10.C

Инволюция (involution) 6.D, 13.E

Индекс аффинной квадрики (indice d’une quadrique affine) 15.A

Каноническая мера (на сфере) (me- sure canonique (sur une sphere)) ISA

топология (проективного пространства) (topologie canonique (d’Un es- paee projectif)) 4.G

форма объема (forme volume canonique) 8.J

Касательная квадрика (quadrique tangentiefte) 14.F

Касательный пучок квадрик (faisceau tangentiel de quadriques) 14.F

Квадратичная форма (forme quadra- tique) 13. A

— аамэотровная (anisobope) 13.C, 13.) '

вырожденная (degeneree) 13.C невырожденная (non degehe-

гёе) 13.C

нейтральная (neutre) 13.B

приведенная к диагональному виду (diagonalisee) 13.В

Квадрика (аффинная) (quadrique (affine)) 15.А

собственная (propre) 15.А

центральная (a centre) 15.С

— (проективная) (quadrique (projective)) 14. А

вырожденная (degeneree) 14.А

собственная (propre) 14.А Кватернионы (quaternions) 8.1, 8.5 Классификация квадратичных форм (classification des formes quadrati- ques) 13.B

— квадрик (classification des quadriques) 14.B, 14.C

Кокуб (cocube) 12.C

Комплексификацня (complexifieation) 7.A, 7.B, 7.C

Комплексные томографии (homograp- hies complexea) 6.6

Конечное поле (corps fini) 4.5, 13.2, 13.4, 16.7

Коника (conique) 14.A, 15.A

Коники сверхсопрнкасающиеся (eoni- ques surosculatrices) 16.E

— соприкасающиеся (coniques oscu- latrices) 16.E

Конформная группа (groupe confor- me) 18.E

Крайняя точка (point extremal) И.С

Кратчайшие пути (segments) 19.A

Кристаллографическая группа (groupe cristallegraphique) l.G

Круговые точки (points cycliques) 7.D, 9.D, 17.0

Куб (cube) l.F, 12.C

Линейка и циркуль (построения циркулем и линейкой) (regie et com-

pas (constructions avec la regie et le compas)) 5.2, 10.6

Логарифмическая спираль (spirale lo- garithmique) 9.E

Локсодромы (loxodromies) 18.2

Маркировка плиток (marquage des paves) 1.H.4

Мера (в аффинном пространстве) (mesure (sur un espace affine)) 2.G

— Лебега (mesure de Lebesgue) 2.G, 9.H

Метод Архимеда (methode d’Archimd- de) 15.1

Многогранник (polytope) 12.A

Многообразие Грассмана (ориентированных примых) (grassmannienne (des droites orientees)) 14.1

Многоугольник (polygone) 12.A

Модель Клейиа (modele de Klein) 19.B

Морфизм проективных пространств (morphisme d’espaces projectifs) 4.E

Направление аффинного подпространства (direction d'un sous-espace affine) 2.D

Непериодическое замощение Робинсона (le pavage necessairement non periodique de Robinson) 1.4

Неприводимые группы (groupes irre- ductibles) 8.1

Несингулярное пополнение (comply- tion non singulidre) 13.E

Норма вектора (norme d'un vecteur) 8.A

Образ квадрики (image d'une quad- rique) 14. A

Обратный образ (квадратичной формы) (image inverse (d’une forme quadratique)) 13. A

Объем выпуклого компакта (volume d’un convexe compact) 12.В

— многогранника (volume d'un polytope) 12.A

— сферы (volume d’une sphere) 18.A

Огибающая (enveloppe) 10.B

Однородное пространство (espace homogene) LB

Однородные координаты (coordonnees homogenes) 4.C

Односвязное топологическое пространство (espace topologique simplement connexe) 18.A

Окружности Вилларсо (cercles de Vil- larceau) iS.D

— Форда (cecrles de Ford) 10.8

Омбилика ((quadrique)ombijlcale) 9.D

Опорная гиперплоскость (hyperpian d’appui) 11.В

Определитель Грама (determinant de Gram) 8.J

Оптический многоугольник (polygone de lumiere) 9.3

Орбиты (под действием группы) (or- bites (sous action d’un groupe)) l.E

Ориентация аффинного пространства (orientation d’un espace affine) 2.G — евклидова векторного пространства (orientation d’un espace vecto- riel euclidien) 8.J

Ориентированный угол между двумя ориентированными прямыми (angle oriente de deux droites orientees) 8.F

Ориентируемость вещественных проективных пространств (orientability des projectifs rtels) 4.2, 4.3

Ортогональная группа (groupe orthogonal) S.A, i3.E

Ортогональность (orthogonality) 13.D

Ортогональные векторы (vecteurs ort- hogonaux) B.A

- множества(sous-ensembles orb

hogonaux) 8.B

Ортонормнроваииое подмножество (sous-ensemble orthonorme) 8.А

Основная теорема аффинной геометрии (theoreme fondamental de la geometrie affine) 2.F

■— формула сферической тригонометрии (formule fondamentale de la trigonometrie sphdrique) 18.C

Основные теоремы проективной геометрии (theoremes fondamentaux de la gdometrie projectif) 4.E

Отражение (ортогональное) (symetrie orthogonale) 8.C, 13.E

Отрезок (segment) 3.C, 9.G

Парабола (parabole) 15.B

Параболоид гиперболический (parabo- loide hyperbolique) 15.B

— эллиптический (paraboloide ellipti- que) 15.B

Параллелизм Клиффорда (parallelis- me de Clifford) 18.D

Параллельный перенос (translation) 2.B

Перспектива (perspective) 4.F, 11.3 (реш)

Плитка замощения (pave) LG Плоскость (plan) 2.D, 4.B

Площадь поверхности выпуклого ком- ■ пакта (aire d’un convexe compact)

12.B

многогранника (aire d’un polytope) 12. A

Подгруппа изотропии (groupe d’isot- ropie) l.D

инвариантности замощения (sous- groupe d’unvariance d’un pavage) l.H

Подобие (similitude) 8.G

сохраняющее ориентацию (directe) 8.G

Подобные треугольники (triangles semblables) 10.A

Подпространства взаимно дополни

тельные (sous-espaces complement taires) 2.D

— параллельные (sous-espace paral- Idles) 2.D

Подпространство вполне сингулярное (sous-espace totalement singulier) 13.C

несингулярное (sous-espace non singulier) 13.C

сингулярное (sous-espace singulier) 13.C

— порожденное множеством (sous- espace engendre par un sous-ensemble) 2. D, 4.B

Полиномы (в аффинном пространстве) (polyndmes sur un espace affine) 3.E, 3.4, 3.5

Полнсферическне координаты (coor- donees polysphdriques) 20.C

Полный четырехугольник (quadrila* tere complet) 6.B, 16.4 (реш)

Полуаффинное отображение (application semi-affine) 2.F

Полулинейное отображение (application semi-lineaire) 2.F

Полупространство замкнутое (demi- espace ferme) 2.G

— открытое (demi-espace ouvert) 2.G

— Пуанкаре (demi-espace de Poinca- rd) 19.D

Полюс гиперплоскости (p61e d’un hyperplan) 14.E

— инверсии (pdle d’une inversion) 10.C

Полярная гиперплоскость (hyperplan polaire) 14.E

— форма (квадратичной формы) (forme polaire (d’une forme quad- ratique)) 13. A

Полярное множество (ensemble polaire) ll.B

Полярность относительно собствеииой квадрики (polarite par rapport й une quadrique propre) 14.E, 15.0

— — сферы (polaritS par rapport 3 une sphere) 10.B

Правильные полиэдры (polySdres гё- guliers) 1.F

Правильный многогранник (polytope rfegulier) 12.C

— многоугольник (polygone r6gulier) 12.1

— пятиугольник (pentagon regulier) 12.1

Превосходное метрическое пространство (espace metrique excellent) 9.G. 19.A

Предельные точки пары окружностей (points limites d’une paire de cer- ties) 10.D'

Проективная группа (groupe projec- tif) 4.E

Проективная модель гиперболического пространства (modele projectif d’un espace hyperbolique) 19.B

— независимость (ind^pendance projective) 4.B

Проективное пространство (espace projectif) 4.A

Проективный репер (герёге projectif) 4.D

Пространство Артина (espace d’Artin) 13.B

— сфер (espace des врЬёгез) 20.A

Прямая (droite) 2.D, 4.B

— образов (droite des images) 10.3

Пучок гиперплоскостей (faisceau d’hyperplans) 4.В

— квадрик (faisceau de quadriques) 14.D

коник (faisceau de coniques) 16.F

окружностей (faisceau de cercles) 10.D

Равностороннее множество (ensemble ёquilatёгe) 19.1

Радикал (radical) 13.0

Радикальная гиперплоскость (hyper, plan radical) 10.B

Размерность выпуклого множества (dimension d’un convexe) 11.A

— проективного пространства (dimension d’un espace projectif) 4.A

Ранг квадратичной формы (rang d’une forme quadratique) 13.0 — квадрики (rang d’une quadrique)

14.A, 15.A

Ребра многогранника (arStes d’un polytope) 12. A

Решетка (r6seau) l.G

Середина (milieu) 2.A

Симметризация по Штейнеру (sym6t- risation de Steiner) 9.H

Симметрическая группа (groupe sy- metrique) LA■

Симметрия относительно У параллельно Z (symetrie autour de У рагаПё- lement a Z)

Симплекс (simplexe) 2.E

— автополярный (autopolaire) 14.E — стандартный (r3gulier) 12.C Скалярное произведение (produit sca-

laire) S.A

Смешанное произведение (produit mixte) 8.J.

Сопряжение (в комплексном векторном пространстве) (conjugaison (sur un espace vectoriel complexe) 7.A

Софокусные квадрики (quadriques homofocales) 15.G

Стабилизатор (stabilisateur) l.D Степень вершины (filet) 1.H.3 — точки относительно сферы (puissance d’un point par repport 3 une sphere) 10.В

Стереографическая проекция (projection st6reographique) 18.A

Стороны треугольника (cdtes d’un triangle) 10.A, 19.C

Строгое неравенство треугольника (inegalite stricte du triangle) 9.A, 18.3

Сфера (sphere) 10.B

—' ортооптнческая (orthooptique) 15.4 Сферические треугольники (triangles spheriques) 18.С

Сферометр (spherometre) 18.1

Тангенциальное уравнение квадрики Equation tangentielle d’une quadrique) 14.F

Теорема Аполлония (theoreme d’Ap- polonius) 12.4 (реш), 15.D. 17.D — Безу (theoreme de Bezout) 16.E — Брианшона (theoreme de Brian-

chon) 5.3 (реш), 16.C■

— Витта (theoreme de Witt) 13.E — Дарбу (theoreme de Darboux) 20.3

— Дезарга (theoreme de Desargues) ' 14.D'

— Картана—Дьедонне (theoreme de Cartan—Dieudonne) 13.E

— Крейна—Мильмана (theoreme de . Krein et Milman) ll.C .

— Люка (theoreme de Lucas) 11.4

— Меиелая (theoreme de Menelaus) 2.1

— Мигеля о тести окружностях (theoreme des six cercles de Miguel) 10.D, 10.6 (реш)

— Мора—Маскеронн (theoreme de Mohr—Mascheroni) 10.6

— Паппа (theorSme de Pappus) 5.D, 5.3 (реш)

— Паскаля (theoreme de Pascal) 16.2

— Сильвестра (theoreme de Sylvester) 9.1

— Хана—Банаха (th6or6me de Hahn—

Banach) 11.В

— Хелли (theoreme de Helly) 11.В — Чевы (theorSme de Ceva) 2.1 Теоремы Бляшке о качении (thSord- mes de roulement de Blaschke) 12.5

— Гульдина (thSordmes de Guldin) 12.3'

Тетраэдры Мёбиуса (tetraedres de Mobius) 4.6'

Ткань (tissn) 5.3

Тождество Эйлера (identity d'Euler) 3.6

Точка Фрежье (point de Fregier) 16.D

Точки аффинно независимые (points affinement independents) 2.E

— гармонически сопряженные (points conjugues harmonique) 6.B

— проективно независимые (points projectivement independants) 4.B

— проективного пространства (points d’un espace projectif) 4.B

— сопряженные относительно квадрики (points conjugues par rapport a une quadrique) 14.E

Треугольник (triangle) 10.A

Углы треугольника (angles d’un triangle) 10.A, 19.C

Угол вращения на плоскости (angle d’une rotation plan) 9.C

— между двумя ориентированными прямыми (angle de deux droites orientees) 8.F

сферами (angle de deux spheres) 10.B, 20.B■

— прямого подобия на плоскости (angle d’une similitude plan direct)

9.Ei

Улитка Паскаля (limacon de Pascal) 9.6

Универсальное пространство (espace universel) 3.D

Уравнение Риккати (equation de Ri- catti) 6.2

— квадрики (equation d’une quadrique) 14. A, 15.A

Фокусы коники (foyers d'une coni- que) 17.B

Формула Аполлония (formule d'Ap- polonius) 9.F

— Жирара (formule de Girard) 18.С — Лагерра (formule de Laguerre)

8.H, 17.C

— первой вариации (formule de la variation premiere) 9.G

— числа классов (formule des classes) l.E

Фундаментальная область замощения (domaine fondamental d’un pavage) 1.2, 19.4 (реш)

Функция расстояния (distance) 9.A

Хорошая параметризация (bonne parametrisation) 16.B

Центр (масс) компакта (centre (de gravite) d’un compact) 2.G

— подобия (centre d’une similitude) 9.D

Центральный* угол (angle au centre) 10.D

Циклиды Дюпеиа . (cyclides de Dn- pin) 18.7 20.2

Циркуль (построения циркулем) (compas (constructions avec compas)) 10.6

Широта (latitude) 18.A

Эквиаффинная длина (longueur iqui- affine) 2.4

— кривизна (courbure equiaffine) 2.4

Эквибарнцентр (centre de gravite) 3.A

Эквивалентность квадратичных форм (equivalence de formes quadrati- ques) 13.В

Эксцентриситет (excentricite) 17.B

Эллипс (ellipse) 15.B

Эллипсоид (ellipsoid) 15.B

Эллиптическая геометрия (geom^trie elliptique) 19.A

Эллиптическое пространство (espace elliptique) 19.A

Эрлангеиская программа (le programme d’Erlangen) l.C

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора перевода 5

Предисловие 7

Глава 1. Группы, действующие на множестве: терминология, примеры, ■ приложения8

. ■ Задачи16

Глава 2. Аффинные пространства18

Задачи.. 23

Глава 3. Барицентры. Универсальное пространство26

■ Задачи29

Глава 4. Проективные пространства».... 31

Задачи 35

Глава 5. Аффинно-проективные связи; приложения ........ . 38

■ Задачи "41

Глава 6. Проективные прямые, двойное отношение, гомографни . . . 43 ■ Задачи 46

Глава 7. Комплексифнкация48

Задачи50

Глава 8. Еще об евклидовых векторных пространствах51

Задачи56

Глава 9. Евклидовы аффинные пространства59

Задачи 64

Глава 10. Треугольники, сферы и окружности66

Задачи70

Глава 11. Выпуклые множества . . . . 74

Задачи75

Глава 12. Многогранники, выпуклые компакты77

Задачи 79

Глава 13. Квадратичные формы82

Задачи ; 86

Глава 14. Проективные квадрики87

Задачи . . . 93

Глава 15. Аффнииые квадрики94

Задачи98

Глава 16. Проективные коники102

Задачи-108

301301Решения . .Глава 1Глава 2Глава 3Глава 4Глава 5Глава 6Глава 7Глава 8Глава 9Глава 10Глава 11Глава 12Глава 13Глава 14Глава 15Глава 16Глава 17Глава 18Глава 19Глава 20Решения . .Глава 1Глава 2Глава 3Глава 4Глава 5Глава 6Глава 7Глава 8Глава 9Глава 10Глава 11Глава 12Глава 13Глава 14Глава 15Глава 16Глава 17Глава 18Глава 19Глава 20292292

301

301

Решения . .

Глава 1

Глава 2

Глава 3

Глава 4

Глава 5

Глава 6

Глава 7

Глава 8

Глава 9

Глава 10

Глава 11

Глава 12

Глава 13

Глава 14

Глава 15

Глава 16

Глава 17

Глава 18

Глава 19

Глава 20

Решения . .

Глава 1

Глава 2

Глава 3

Глава 4

Глава 5

Глава 6

Глава 7

Глава 8

Глава 9

Глава 10

Глава 11

Глава 12

Глава 13

Глава 14

Глава 15

Глава 16

Глава 17

Глава 18

Глава 19

Глава 20

292

292

Оглавление

Глава 17. Евклидовы коникиЩ

Задачи

Глава 18. Внутренний геометрия сферы1*5

Задачи

Глава 19. Эллиптическан и гиперболическая геометрии123

ЗадачиI27

Глава 20. Пространство сфер .. . : 129

Задачи*32

Указания I33

142

' ', ‘ 142

'‘154

163

'" 170

*" 179

*' 183

191

192

200

*208

224

230

241

",, 245

’ 250

258

266

'.' 272

"279

. . , . 288

Указатель терминов

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!

Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва И-110, ГСП, 1-Рижский пер., д. 2, издательство «Мир»,

Учебное издание

Марсель Берже, Жан-Пик Берри, Пьер Панею, Ксавье Сен-Реймон

ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ С КОММЕНТАРИЯМИ И РЕШЕНИЯМИ

Заведующий редакцией чл.-корр. АН СССР В. И. Арнольд

Зам. зав. редакцией А. С. Попов

Ст. научи, редактор Н. И. Плужнихова

Мл. научи, редактор Т. Ю. Дехтярева

Художник В. А. Медников

Художественный редактор В. И. Шаповалов

Технический редактор Е. В. Алехина

Корректор Т. М. Подгорная

ИБ № 6615

Сдано в набор 08.08.88. Подписано к печати 1в.М.89ь Формат 66X96*1*. Бумага ни. жури. сыкт. Печать высокая. Гарнитура литературная. Объем 9,50 бум. л. Усл. печ. л. 19. Усл. кр.- отт. 19. Уч.-изд. л. 16,37. Изд. № 1/6135. Тираж 35 000. экз. Зак/ 706, Цена 1 р. 80 к.

Издательство «Мир» В/О «Совэвспортиннга» Государственного комитета СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 129820. ГСП, Москва, И-110, 1-й Рижский пер., 2.

Отпечатано в Ленинградской типографии М 6 ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграф- орома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 193144, г. Ленинград, ул. Моисеенко, 16. С матриц Ленинградской типографии № 2 головного предприятия ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» нм. Евгении Соколовой Союзоолиграф- прома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.

1 2. Для однородной нити в форме полукруга радиуса R получаем, что расстояние d от ее центра масс до диаметра определяется формулой