4ПРЕДИСЛОВИЕ 1

Этот класс структур и дискретных групп занимает (в силу его значимости) центральное место в книге.

При написании книги автор ориентировался на три класса читателей. Первой их группе —студентам и начинающим исследователям- книга позволит быстро войти в современную проблематику; им адресованы первые вводные главы, делающие книгу . автономной, а также приводимые многочисленные примеры (см. также книгу С. Л. Крушкаля, Б. Н. Апанасова и Н. А. Гусев- ского [3]). Второй группе — зрелым математикам, работающим во многих других областях, и физикам-теоретикам — книга даст некоторые знания и понимание теории дискретных групп преобразований и структур на многообразиях. Специалистам предназначен включенный в книгу новый материал, часть из которого публикуется впервые. В книге мало места уделено клейновым группам на плоскости — замечательное их изложение содержится в книгах А. Ф. Бердона [4] и Б. Маскита [5].-

Настоящая книга является результатом переработки и значительного расширения книги «Дискретные группы преобразований и структуры многообразий» (Новосибирск: Наука, 1983; см. также Апанасов [35]), появившейся в результате чтения автором различных специальных курсов и обсуждений на семинарах, проводившихся в Институте математики Сибирского отделения Академии наук СССР и в Новосибирском государственном университете, а также курса лекций в Институте математики с Вычислительным центром АН Болгарии и Софийском университете им. Кл. Охридского.

Считаю своим приятным долгом выразить глубокую признательность П. П. Белинскому, оказывавшему мне постоянную поддержку и от которого я воспринял любовь к геометрическим методам в математике. Я многим обязан коллегам и друзьям, с которыми обсуждал предмет в течение долгого времени. Благодаря С. Л. Крушкалю я познакомился с этой увлекательной областью математики; рядом ценных замечаний я обязан Н. А. Гусев- скому, Э. Б. Винбергу, О. Я. Виро, В. С. Макарову, Г. А. Маргулису, А. Д. Медных и В. В. Никулину; текст § 4 гл. 8 мне любезно предоставили С. В. Матвеев и А. Т. Фоменко; большая помощь оказана мне прочитавшим рукопись А. В. Тетеновым, с которым многократно обсуждались различные разделы книги; значительной помощью при подготовке рукописи и неоценимым душевным участием я обязан моей жене Заре Рамоновой. Всем им приношу свою сердечную благодарность.

Сентябрь 1988 г.,.

Новосибирск — Академгородок ■ ■ ■ '’■■ 1 ■’1■ ■

ГЛАВА 1

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ§ 1. Риманова метрика и квазиконформность§ 1. Риманова метрика и квазиконформность

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

§ 1. Риманова метрика и квазиконформность

§ 1. Риманова метрика и квазиконформность

Риманова метрика. Под п-мерным топологическим многообразием понимают топологическое хаусдорфово пространство М со счетным базисом, каждая точка х, которого имеет окрестность Uн гомеоморфную евклидову шару <^и^ = Вп. Если последнее условие заменить на гомеоморфность шару В" или замкнутому шару В", то приходим к определению многообразия с краем-, при этом его точки, не имеющие окрестности, гомеоморфной открытому шару, образуют край дМ многообразия М, являющийся многообразием размерности п— 1. Замкнутым называют компактное многообразие без края. Если отображения перехода ф,- о фу1, определенные (для U( П Uj N= 0^ в Rn, являются гладкими, то говорят о гладком многообразии.

Пусть теперь М— гладкое многообразие. Для каждой точки х^М обозначим через Тх (М) касательное пространство многообразия М в точке х (n-мерное топологическое векторное пространство). Рассмотрим множество

Т(М)= U тх(М) (1.1) хем ■

и естественную проекцию р: Т (М)-~ М такую, что р-1(х') = =^ТХ(М). Тройку {Т(М), М, р} называют касательным расслоением многообразия М, а множество р-1^ —слоем расслоения над точкой х С М.

Гладкое многообразие М называют римановым многообразием, если определено гладкое отображение g: Т (Л1) —+ R, которое в каждом слое Тх (Л1) является положительно определенной квадратичной формой. Риманово многообразие (М, g) является метрическим пространством, метрика которого порождается указанными квадратичными формами. А именно для точек уе, ух £ М положим

1

: P(z/o, l/i) = inf ^dy(x)^inf $ g (у (/)) | у'(О I ^. (1-2) ■ V v Vo

где нижняя грань берется по всем непрерывно дифференцируемым кривым у в М, соединяющим точки уй и уг. Функция р: М хM^R обладает всеми свойствами метрики. Для наших целей можно

считать определяющим именно это свойство римановой метрики, и мы можем в дальнейшем по большей части оставлять в стороне такие «изысканности», как касательное расслоение и выбор

скалярного произведения в каждом его слое.

Кривую ус/И называют кратчайшей, если ее длина наименьшая среди всех кривых с теми же концами. Из (1.2) ясно, что кривая у с концами у„ и ух будет кратчайшей тогда и только тогда, когда ее длина равна р(у0, уУр Кривую ус=Л4 называют геодезической, если любая ее точка имеет такую окрестность, что каждая дуга кривой у, попавшая в эту окрестность, является кратчайшей.

' 2. Квазиконформные и конформные отображения. Пусть М и М' — метрические пространства с метриками о и р' соответственно и /: М М' — сохраняющий ориентацию гомеоморфизм. Для Каждой точки у С М определим линейное искажение К У, у) гомеоморфизма /: . . "

sup p'(fW. f(y))

КУ, у)= Ди p^iy-r -,.

го inf p (/W-

P (X. yW

Если КУ, у) ограничено в М некоторой постоянной К^1, то / называют К-квазиконформным, а число К(П = ess sup {К у, ур. у £ KVj — максимальным коэффициентом квазиконформности. Это определение квазиконформности является внутренним, т. е. в терминах метрики пространства. Когда мы имеем дело с гомеоморфизмами многообразий или областей евклидова пространства, мы можем использовать и много других эквивалентных определений квазиконформности (см., например, Караман [1], Решет- няк [2], Вяйсяля [1]).

В случае когда М и М'— области из Rn, это определение эквивалентно тому, что / является гомеоморфизмом из Соболевского класса IE,/ (А1) и существует такая постоянная К ^ 1, что

| grad/ (х) |п ^К det Df (х), х^М, (1.4)

где Df (х) — матрица Якоби отображения / в точке х. Для 1- квазиконформного отображения /(1.4) превращается в равенство, и мы имеем (см. Геринг [1], Решетняк [2]):

. 1) существует ортогональная матрица А и число

|/'(у)|= Нт р'(/(х), /(у))/р(х, у) . (1.5)

такие, что О/(у) = |/'(у)|-А;

отображение / сохраняет (абсолютные) величины углов между кривыми, проходящими через точку у.

Такие отображения / называют конформными..

. Линейное искажение К У, х) инвариантно относительно композиции / с конформным отображением. А именно пусть Хп Х2>

Х3—области в Rn. Если f: Х2Х3 и h: Хг - - Х2 являются соответственно квазиконформным и конформным гомеоморфизмами, то почти всюду К yh, х) = К (f, h (х)).

В силу того что квазиконформный гомеоморфизм /: X —* X' является почти всюду дифференцируемым, мы имеем в X матрично-значную функцию Df и при этом почти всюду det Df (х) #= 0. Более точную (чем К (f, х)) меру квазиконформности гомеоморфизма / дает симметризованная и нормализованная матрица Якоби (см. Решетник [2], Альфорс [3, 7]):

M(f, x) = (detDf(x))-2/”.Df(x)T.Df(x),(1.6)

где Ат обозначает транспонированную матрицу для А. Непосредственно из определения квазиконформности следует, что равенство Му, х) = 1 для почти всех х^Х является необходимым и достаточным условием 1-квазиконформности и, следовательно (Решетняк [1, 2]) конформности гомеоморфизма /.

Ценным свойством семейства квазиконформных отображений является то, что путем нормировки отображений можно превратить любую последовательность отображений в компактную. Это свойство компактности, впервые замеченное П. П. Белинским [1,2], мы сформулируем в следующем виде (ср. Геринг, Мартин f 1])-

Теорема 1.1. В любом бесконечном семействе G К-квазикон- формных автоморфизмов Rn существует бесконечная . последовательность {§■, } различных элементов G такая, что выполнено одно из свойств:. ■... <

существует К-квазиконформный автоморфизм g пространства Rn такой, что■'■

Hm g. = g и Пт g^^g”"1

равномерно в R”;.■'

существуют точки х0, уЙ^Вп (возможно, равные^ такие, что

1Ji™ gt (х) = у0 и lim g;1 (х) = х0 ; \

■,I -> 00I -> 00-' /А

равномерно на компактах из /?”\{х0} и /?n\{t/e} соответственно..

2. Мёбиусовы преобразования -*• .

Стереографическая проекция. Для введения метрики на пополненном пространстве Rn = Rn и {оо} (конформной сфере S") рассмотрим конструкцию, известную под названием стереографиче^ ской проекции. Считаем, что R" вложено в Rn+1 как плоскость {х£/?”+1: хп+1 = 0}, которую можно одно-однозначно отобразить на сферу S"(0, 1) = {xg ^"+1: |х|= 1}, сопоставляя каждой точке

х = (х, 0) плоскости Rnc2Rn+1 единственную точку л(х) пересечения прямой, проходящей через х и еп+1 = (0, . .., 0, 1), со сферой Sn(0, 1) (рис. 1). Эго отображение л: Rn ~*Sn(0, 1) и называется стереографической проекцией. Его можно записать в виде л (х) = х+ t (е„+1 — х), где t ^R — такое число, что | л (х) | = 1. Отсюда получаем

(2*12х«|х|2—1 \ п ./1

v 7 Vlxl2+* ’ |х|24-1|х|2+1 У v '

и, по определению, л(оо) = е„+1.

Перенося при помощи этого одно-однозначного отображения (1.7) метрику со сферы S"(0, 1) (длина хорды) на Rn, поучаем там сферическую метрику s (х, ур.'1

s (х, у) = | л (х) - л (у) | ='

f O + hWiMH^ 6СЛИ ^^’ Ур^ .^(Р " I (i+lxi2)1'2’ если У = о°- V Р

7-Г 2. Отражения относительно сфер и плоскостей. Отражение {инверсия) относительно сферы Sn~4a, r) — {x^Rn: |х — а| = г} записывается в виде

3 {х) = а + (г/\х — а|)2-(х — а) = а + г2 (х — а)*,(1.9)

где через х* = х/|х|2 обозначена инверсия в Sn-l(0, 1).

Отражение относительно плоскости Р(а, r) = {x£Rn: (х, а) = г} (рис. 2) записывается в виде

6 (х) = х — 2 ■ ((х, а) — г) • а* = (1 — 2QJ ■ х + 2га,(1 • 10)

где ( , ) —скалярное произведение в Rn, а матрица Qa состоит из элементов а,ау/|а|2, а = ап ..., an^Rn.

Гомеоморфизмы Rn, являющиеся суперпозицией конечного числа отражений (относительно сфер или плоскостей Rrt) назы-

вают мёбиусовыми преобразованиями Rn: Множество всех мёбиу- совых преобразований Mob (п) образует группу по умножению, называемую общей мёбиусовой группой. -Ее подгруппа, состоящая из сохраняющих ориентацию автоморфизмов, называют мёбиусовой группой и обозначают г//„.

Легко видно, что суперпозиция отражений в плоскостях является евклидовой изометрией. Верно и обратное (см., например, Ананасов [15, предл. 1.1]) — любая евклидова изометрия R” представляется в виде суперпозиции не более чем п + 2 отражений в плоскостях.

Описание всех конформных отображений в пространстве дает теорема Лиувилля (наиболее общее ее доказательство см. в работах Решетняка [1, 2]), утверждающая, что всякое конформное отображение сферы S", п^З, является мёбиусовым преобразованием.

Изометрические сферы мёбиусовых преобразований. Из описания евклидовых изометрий легко получить, что любое подобие в Rn, т. е. отображение g С Mob (n), |g' (х) | = const, записывается в виде g (х) = г • А (х) -j- а, где А (х) — ортогональное преобразование, r>0, a^Rn.

Определение 1.2. Изометрической сферой мёбиусова отображения ggMob(n), отличного от подобия, называют сферу

/(£) = {*€/?": k'W|=l). (1.11)

Это определение корректно. В самом деле, рассмотрим точку q^Rn такую, что g(^) = <», и пусть 3 — отражение относительно сферы S^1^, 1). Тогда g- З (х) = г-А (х) + а, где ' > 0, a^Rn, А (х) — ортогональное преобразование. Отсюда следует, что изометрической сферой для g является сфера (x^R": | det D3 (х) | — = 1/г}. Легко видно, что образ изометрической сферы 1(g) при отображении g есть изометрическая сфера обратного отображения g-1. В самом деле, так как образ g(I (g)) есть снова некоторая сфера S, в окрестности точек которой длины при отображении g-1 не меняются (дифференцирование суперпозиции), то, по определению 1.2, S есть изометрическая сфера /(g-1).

Этот факт и изометричность действия g на /(g) показывают справедливость следующего представления (см. Апанасов [4]).

Предложение 1.3. Каждое мёбиусово преобразование g^ EMdb(n), отличное от подобия, представляется в виде суперпозиции инверсии 3 относительно изометрической сферы 1(g), отражения 6 относительно плоскости Pg такой, что /(g-1) = = 6 (/(g)) и, быть может, ортогонального преобразования U с неподвижным центром q изометрической сферы 1(g)-1 обратного отображения g-1.

Запишем теперь для g = U-Q-3 g Mob(n), g(oo)=/=oo, евклидову изометрию U-6(x) в виде U,(x)4-a, где U g — индуцируемое ею ортогональное преобразование, а вектор a = g(oo) — Ug(q).

Тогда, обозначая через г радиусы сфер / (g) и / (^^^.Рймееецс g(x) = Ug(3 (x^A-g^-U^q^J -

. ^u^rMx-qytx-q^-HHg^WMq'W':. "

= r2W/(x-?)/]x-?|2) + g(ooX (L12)

Этот факт и предложение 1.3 дают' '

Следствие 1.4. Любое g^N\№^ может быть записано в виде,

g^^^UgoV^Hq', , (113)

где Ug —ортогональное преобразование, г > 0, q* £Rn, а отображение V имеет вид.

.\ kx~qM\x-q\\ если g^^oo,

х,если g(oo) = oo. «-,с/

При этом в первом случае q = g-1 (оо), q' =g(oo) — центры изометрических сфер I (g) и / (g-1), имеющих радиусы г.

Автоморфизмы шара и полупространства. Рассматривая пространство Rn как плоскость {х: хп+1 = 0} в пространстве/?"4"1, поставим вопрос о продолжении действия ggMob(n) в пространство большей размерности. Для подобия g(x) = r-A-x + a таким продолжением очевидно будет подобие g в Rn+1, g^ = r-A -х + а, где х = (х, xn+1), а = ^а, 0)^RnxR, А С O(n + 1) —ортогональное преобразование, А|^п = Л, А (еп+1) = ея+1.

Аналогично, пользуясь представлением (1.13) (или предложением 1.3), получаем требуемое продолжение и для g£M6b(n), g(oo)y=oo. При этом все отражения относительно (п—1)-сфер S<=/?", участвующих в записи преобразования g, мы заменяем на отражения относительно n-мерных сфер Sc/?"+1, ортогонально пересекающих R" по сферам S.

Построенное продолжение g единственно и сохраняет верхнее и нижнее полупространства R1^1 и Rl+1. С другой стороны, любой конформный автоморфизм g полупространства /?"+1 (или /?"+1) индуцирует на его граничной сфере Srt = Rn мёбиусово преобразование g. Таким образом, Mob (/?"+1) = M6b (ц).

Рассмотрим теперь Mob (В") —группу мёбиусовых автоморфизмов шара В"(0, 1). Она состоит из суперпозиций отражений относительно сфер (плоскостей), ортогональных единичной сфере S"-1(0, 1). Сфера Sn-1(y, r)c:Rn с центром в заданной точке y£Rn, |g|> 1, будет ортогональна сфере S"-1(0, 1), если ее радиус г = (| у |2 — I)1'2. Из (1.9) видим, что отражение относительно Sn-1(y, г) записывается в виде,,

3AxW + \^rkx-yY /' (1.14)

Из (1.10) и (1.14) получаем, что отображение '>'> ■' ■

'gs(x)=--(l-2Qo).5o.(x), «€В»(0, 1),(1.15)

переводит а£Вп в начало координат, а точку a* = a/|a|2 в оо. Для любого другого g^Mob (Вп), g(a) = 0, отображение ga-g-1 оставляет неподвижным начало координат и, следовательно, задается ортогональной матрицей. Таким образом, любое отображение g^ Mob (Вп), g(a) = Q, есть суперпозиция отображения (1.15) и ортогонального преобразования:.

g = Uoga, U^O^n), a^Bn^,W

Пространства постоянной кривизны..

Существует три вида геометрий, определяемых свойствами метрики пространства и выглядящих одинаково для «наблюдателя», помещенного в любую точку пространства, т. е. имеющих постоянную кривизну в двумерном направлении. При положительной секционной кривизне мы получаем эллиптическую (или сферическую) геометрию, при нулевой кривизне —евклидову геометрию, и при отрицательной кривизне —гиперболическую геометрию (или геометрию Лобачевского).

Эллиптическое пространство. Простейшей моделью «-мерного пространства постоянной положительной кривизны к служит сфера S"(0, 1/й) в евклидовом пространстве Rn + 1. При этом расстояние между точками сферы определяется как длина дуги большой окружности, соединяющей эти точки. Роль прямых в этой геометрии играют большие окружности. Но аналогия с евклидовыми прямыми нарушается тем, что в отличие от прямых, большие окружности пересекаются в двух (диаметрально противоположных) точках сферы. Удобно отождествить диаметрально противоположные точки сферы и определить расстояние между точками с помощью кратчайшей из дуг. Получившееся при этом новое пространство постоянной положительной кривизны к называют эллиптическим пространством или пространством Римана. Если вместо пар диаметрально противоположных точек сферы Sn(0, 1/й) рассматривать прямые, проходящие через эти точки, то эллиптическое пространство будет трактоваться как пространство всех прямых в Rn+\ проходящих через начало координат и мы приходим к понятию проективного пространства RP".

Проективное пространство RPn можно также получить из п- мерного шара с центром в начале координат путем отождествления диаметрально противоположных точек его границы — сферы Sn-1. В пространстве RPn можно ввести однородные координаты, заметив, что координаты (х0, хг, хп) точек прямой, проходящей через начало координат Rn+1, отличаются лишь общим множителем пропорциональности. Расстояние р в пространстве

RPn между двумя прямыми, одна из которых проходит через точку х^ Я"+1\{0}, а другая — через точку у €/?"+1\{0}, можно определить формулой

COS2кр = . .^—г, 0^&р^Л/2, 'Af (116) г (х, х) • (у, у) • Г х '

Г'

где (х, у)—скалярное произведение в Rn+1.

Изометрии сферического пространства (а следовательно, и эллиптического пространства, и проективного пространства RPn) задаются ортогональными преобразованиями в Rn+1 с определителем, равным единице.

Гиперболическое пространство. Для определения пространства постоянной отрицательной кривизны к, рассмотрим в пространстве Rn + 1 билинейную форму . .

-« Vх. УА = —хоу« + х1у1+-..+хпуп. ; (1.17)

''• Рассмотрим также множество V„ прямых в Rn+1, проходящих через начало координат и лежащих внутри конуса [х, х] = О, т. е. прямых, для точек которых выполняется неравенство [х, х] < 0. Для двух элементов множества V„, т. е. для двух прямых, одна из которых проходит через точку y^Rn*x, а другая—через точку x^Rn+x, определим расстояние р (индуцируемое формой (1.17)) формулой

' (U8)

аналогичной формуле (1.16). Из того, что для точек, лежащих внутри конуса [х, х] = 0, выполняется неравенство [х, у]2/[х, х] х х [у, у] > 1, следует, что расстояние р, определяемое формулой (1.18), есть вещественное неотрицательное число, обращающееся в ноль лишь в случае совпадения прямых. Легко убедиться, что оно удовлетворяет обычным аксиомам расстояния — аксиоме симметрии и треугольника.

Полученное метрическое пространство (V„, р) называют п-мер- ным гиперболическим пространством или пространством Лобачевского. Величина к является кривизной этого пространства. Прямые, лежащие на конусе [х, х] = 0, являются бесконечно удаленными точками пространства Лобачевского. Изометрии пространства Лобачевского (У„, р) задаются линейными преобразованиями пространства Rn+1 с определителем, равным единице, сохраняющими форму [х, х] и переводящими в себя каждую полу конуса [х, х] = 0. Такие преобразования называют преобразованиями Лоренца.

Полусфера мнимого радиуса. В качестве второй модели «-мерного гиперболического пространства рассмотрим в Rn+l

верхнюю полу гиперболоидаV,V; -fVvV-’ч-

1Н" = {x€/?"+1: [х, х]= — %о + х? + ... +х= = — 1, х0> 1},

~(1-19)

т. е. полусферу мнимого радиуса i в пространстве с псевдометрикой, задаваемой формой (1.17). Поверхность (1.19) пересекает каждую прямую, проходящую через начало координат и лежащую внутри конуса [х, х] = О, в одной и только в одной точке. Сопоставляя этой прямой указанную точку пересечения, мы получим отображение У„ на полусферу (1.19) мнимого радиуса i, тем самым превратив ее в модель «-мерного гиперболического пространства. Расстояние р в пространстве 41" снова задается формулой

ch ftp = [х, у]'(1-20)

и индуцируется дифференциалом дуги . . и; ,т

к^зг =— dxo + dx^+ ... +dx„.(1.21)

Форма (1.21) является на 1Нп положительно определенной формой. Это получается благодаря тому, что на 1Нп имеет место соотношение для дифференциалов dxp

xodxo — x1dx1 — ...—xndxn = O.(1.22)

В метрике (1.20) пространство 1Нп имеет постоянную отрицательную кривизну к, а его изометриями снова являются преобразования Лоренца в Rn+1, сохраняющие 1Нп. Используя соотношение (1.22), легко показать, что прямые, проходящие через начало координат (а следовательно, и плоскости с этим свойством), пересекают 41" под прямым углом (в псевдометрике (1.21)). Отсюда получаем, что пересечения 1Н" с плоскостями, проходящими через начало координат, являются геодезическими в этой модели гиперболического пространства.

Проективная модель гиперболического пространства. Для ее получения рассмотрим множество точек плоскости {х€/?"+1.- х0=1}, лежащих внутри конуса [х, х] = 0. Очевидно, что это «-мерный единичный шар В"(0, 1), на который проектируется 1Нп вдоль прямых, проходящих через начало координат, по формуле

(хс, хь . .., xJ-^x^Xo, х2/х0, ..., хп/х0\ (1.23)

Так как линейным преобразованиям в пространстве V„ прямых соответствуют проективные преобразования плоскости {х: х0 = 1}g с/?я + 1, то изометриями в этой модели гиперболического пространства являются проективные преобразования «-мерного пространства, сохраняющие внутренность шара В" (0, 1). А так как геодезические в пространстве 1Нп будут проектироваться при отображении (1.23) в хорды, то хорды шара В"(0, 1) будут яв-

ляться геодезическими в построенной проективной модели гиперболического пространства. Из формулы (1.18) можно получить, что в этой реализации пространства постоянной отрицательной кривизны к расстояние р(х, у) между точками х, у^Вп^), 1) определяется следующей формулой:

— 1 ]n f Iх—“ I • I У—SI чэьИ'i - (124)

где а и Р—точки пересечения сферы S"-1(0, —1/к) с хордой, проходящей через точки х и у, причем точка х лежит внутри отрезка [а, у] этой хорды. Из формулы (1.24) видно, что расстояние р(х, у) стремится к бесконечности, если одна из точек х или у стремится к сфере Snl (0, 1), состоящей из точек абсолюта.

Относительно величин углов между геодезическими плоскостями в этой модели гиперболического пространства полезно отметить следующее свойство. Если Lc:Bn(0, 1) — геодезическая плоскость, пересекающая S"-1^ 1) по некоторой сфере Sn"-, то существует точка x£Rn такая, что все касательные плоскости к шару В" (0, 1) в точках сферы Sn~2 содержат ее. Тогда все геодезические в гиперболическом пространстве (хорды в В" (0, 1)), являющиеся отрезками прямых, проходящих через эту точку х, пересекают геодезическую плоскость L под прямым углом.

Нижняя полусфера ST(0, 1) = {х€/?п + 1: 1Х1=1, х„+1 < 0} в Rn+1 дает нам четвертую модель гиперболического пространства. Для введения на ней гиперболической метрики рассмотрим отображение у: В”(0, 1)—+ S" (0, 1), являющееся ортогональным (относительно плоскости {х„+1 = 0} — Rn) проектированием на эту полусферу проективной модели в шаре Bn(0, 1). Обратное к нему отображение р-1 запишется в виде

п+1

У р-Цхг, ...,хт xn+0 = (xt, ...,xnY £ х?= 1. s (L25) : - i=i

Вводя на ST (0, 1) индуцированную из Вп(0, 1) этой проекцией метрику, мы превращаем полусферу в модель гиперболического пространства, в которой геодезическими служат окружности на ST (0, 1), ортогональные граничной сфере dST = Sn-1(O, 1)с/?п (проекции хорд—геодезических из Bn(0, 1)). Сфера Sn-1(0, 1) состоит из бесконечно удаленных точек в этой модели гиперболического пространства. Изометрии этой модели задаются ме- биусовыми преобразованиями пространства Rn+1, сохраняющими ST(O, 1). Это следует из того, что они должны переводить к- мерные полусферы, ортогональные сфере Sn-1(0, 1), в полусферы с этим же свойством.

Из свойства консерватизма углов при мёбиусовых отображениях следует, что углы в этой модели гиперболического пространства совпадают с углами, измеренными в евклидовой метрике.

Модель Пуанкаре в шаре. Введенная в (1,7) стереографическая проекция л отображала пространство Rn на сферу 5" (О, 1). Рассмотрим действие обратного к ней отображения л”1 на полусфере 52 (0, 1). Из формулы (1.7) видим, что

л-1(х) = (х1/(1-х„+1), • -., х„/(1—х„+1)),(1.26)

откуда следует, что л-1(52(0, 1)) = В"(0, 1)с/?п. Стереографическая проекция переводит евклидовы сферы (плоскости) в сферы и сохраняет углы. Поэтому образами геодезических в модели 52(0, 1) при отображении (1.26) являются дуги евклидовых окружностей (прямых), ортогональных границе Sn-1(0, 1) шара В" (0, 1), которые, таким образом, становятся геодезическими для метрики в шаре В" (0, 1), индуцированной отображением л1: 52(0, 1)—>В"(0, 1). Можно показать, что эта метрика р(х, у) в шаре В" (0, 1) имеет следующий дифференциал дуги:

^$2=тм^; (L27)

и задается формулой,

Р(х, у) = 11п[(1-й)/(1+Л)],’ ■ ■(1.28)

где /г = |у|, если х = 0, и /г = |х — у | • | х |/| х—|х]ау |, если х^=0. Единичный шар с метрикой (1.28) превращается в пространство постоянной отрицательной секционной кривизны /г с описанными выше геодезическими. Его изометрии снова, как и в случае полусферы 52(0, 1), задаются мёбиусовыми автоморфизмами шара.

Модель Пуанкаре в полупространстве /?". В полупространстве /?2 = {xg/?n: х„ > 0} метрику р (х, у), превращающую R” в /г-мерное гиперболическое пространство Нп, можно индуцировать при помощи отображений различных моделей. Одно такое отображение получится суперпозицией поворота U пространства Rn + 1, задаваемого (п + 1)х(л+1)-матрицей,.

/1 О \.' Г1;,:/!,</:’ iWJiX’feo

0 -1 ■ :

\О 1 о/

и отображения л-1: 5й (0, 1)—* Rn, обратного к стереографической проекции л:

я-*о[/: 52(0, 1) > R".(1.29)

Другое такое отображение является обратным к мёбиусову отображению в пространстве Rn и отображает на R^ единичный шар В"(0, 1). Легко видно, что это отображение и отображение (1.29) индуцируют в полупространстве R+ одну и ту же метрику р (х, у), в которой дифференциал дуги имеет вид ••

(1.30)(1.30)A2 tZs2 = | dx^jx^.

(1.30)

(1.30)

Гиперболическое пространство Hn^R" с метрикой (1.30) имеет кривизну к < 0, а его геодезическими являются полуокружности (лучи) в /?", ортогональные граничной плоскости Rnl = {х£Rn: хп = 0}, все точки которой являются бесконечно удаленными. Изометриями Нп являются мёбиусовы автоморфизмы полупространства, множество которых образует группу, изоморфную группе Mob (л — 1).

Полезно дать прямое доказательство изометричности действия Mob (Я?)= Mob(n—1) в (R+, р). Для этого заметим, что метрика р(х, у) с плотностью р(х) в области X с S" инвариантна относитель- /но Mob (X), если и только если для

I X и X\/Vm ysnwA/-Рис. 3"Sx треугольников дует равенствоI X и X\/Vm ysnwA/-Рис. 3"Sx треугольников дует равенство/./любого / € Mob (X) и для всех х £ X

I X и X

\/

Vm ysnwA

/-

Рис. 3"

Sx треугольников дует равенство

I X и X

\/

Vm ysnwA

/-

Рис. 3"

Sx треугольников дует равенство

".^|/'(х)| = /Дх)И/(х)).(1.31)

Для вычисления | /' (х) | найдем выражение |g(x) —g(y)|/|x —у|для х,у€/?£. Если 3 — инверсия относительно сферы 'S""'1(a, г), то из рассмотрения подоб-

с вершинами а, х, у и а, 3 (у), 3 (х) (рис. 3)

(,.32)

В то же время, из (1.9) видим, что n-я координата [5 (х)]п точки 3 (х) равна г2хп/|х —а|2. Поэтому

‘V- ‘^Д-'(1.33)‘V- ‘^Д-'(1.33)|Д(х) —У(у)|а|х—</|2

‘V- ‘^Д-'(1.33)

‘V- ‘^Д-'(1.33)

[^ Wb’R (у)1пХп'Уп ’

т. е. отношение в (1.33) является инвариантом для инверсий 3 относительно сфер S"-1, ортогональных Rn-1. Очевидно, что это отношение —инвариант и для отражений относительно (л—^-мерных плоскостей, ортогональных R"-1. Из предложения 1.3 таким образом получаем, что для всех / С Mob (R^)

' \fto-HyH2 . 1Х—у I2 . „

■ [/(*)]»•[/(у)]п хп.у„ , ' и, следовательно,

Пт = (135) у_х I*—У\ хп v ’

Из условия (1.31) изометричности отображения / и соотношения (1.35) непосредственно следует, что метрика р(х, у) в /?” будет инвариантом для Mob (/?+), если ее плотность р^ будет равна |fe|/xn, т. е. дифференциал дуги будет иметь вид (1.30).

Сферы и орисферы в гиперболическом пространстве. Под сферой S^y, г) с центром в точке у^Нп и радиусом г>0 понимается, как всегда, множество S(y, г^ = \х^ Нп; р(х, у) = ^}-

Сфера S(y, г) является (п—1)-мерным ортогональным многообразием семейства геодезических линий, проходящих через точку у.

Мы придем к понятию орисферы, если перейдем от сферы в Нп к ее предельному случаю —когда в качестве центра берется бесконечно удаленная точка у£.дНп.

Орисфера SyciHn с центром у£дНп это есть (п—1)-мерное ортогональное многообразие семейства геодезических линий у: R->H", оканчивающихся в точке у= lim y(Z) (такие геодезические ^ и у2 мы называем асимптотическими*, для них существует постоянная С > 0 такая, что р^Д/), 7з (0) ^ С для всех /^0).

Другое (эквивалентное) определение орисферы Sy с Нп получается заменой функции х*—>р(х, у) в случае сферы S^y, г) на функцию Буземана в случае орисферы Sy с Нп.

А именно, для любой бесконечно удаленной точки у£дНп и для любой геодезической у: R-^Hn, lim у (/) = у, определена функция /7: H"-»R такая, что для всех х£Нп.

МД- lim (р(х, у (/))-/).,‘

Функция /7 обладает следующими свойствами (см. БуземаЯ[!}♦ Еберлейн, Онил [1]):'

/7 равномерно непрерывна и выпукла, в частности, ;_.

|/v(M /v М) I ^С Р М> М"‘

Если геодезическая р асимптотична геодезической у, та к$(5У)~ f4$W) = t— s- в частности, /7 не имеет минимума.

Если геодезическая р асимптотична геодезической у, та /7М3 = const.

Эти свойства показывают корректность определения функции Буземана fy(x) для точки у£дНп как функции /7(х), где у — какая-либо геодезическая, оканчивающаяся в точке у.

Теперь мы можем определить орисферу SyaHn с центром в точке у С дНп и проходящую через фиксированную точку х0 G Н"* как множество

Эта орисфера ограничивает оришар>, ,

ty^<tykx^.

Важно отметить, что орисферы S„ в моделях Пуанкаре гиперболического пространства Нп (в шаре Вп (0, 1) или в полупространстве R^y представляют собой евклидовы сферы, касающиеся абсолюта ЭН® в точке у. В частности, орисферы Smcz R"^Hn с центром в оо. представляют собой евклидовы плоскости-.

М,а = {хСЯ£: Хп = а}, а > 0.-'

Отсюда непосредственно видно, что сужение гиперболической метрики р на орисферу Sy с Нп задает на Sy метрику, превращающую эту орисферу в евклидово пространство R”-1, так как для любых точек х, z^S^.a" chp(x, z)= 1 + |х — г|2/2аа.■

Мёбиусова группа как группа Лоренца <

Матричное представление мёбиусовой группы. Если в качестве модели «-мерного гиперболического пространства взять верхнее полупространство R+ с метрикой, в которой дифференциал дуги имеет вид ds = | dx \!хп, то, как уже отмечалось, каждая его изометрия есть продолжение в Нп мёбиусова отображения пространства Rn-1, и наоборот. В то же время в модели 1Нп с метрикой (1.20), соответствующей кривизне —1, в которой дифференциал дуги ds2 =— (/x^-j-^i+ .. . A-dXn является положительно определенной квадратичной формой (с учетом (1.22)), изометриями являются линейные преобразования пространства /?и + 1, сохраняющие квадратичную форму [х, х] и верхнюю полу гиперболоида vHn, т. е. преобразования, задающиеся (zi-ф 1)х(«+ Yy матрицами Лоренца с определителем 1 (образующие ортогональную группу 50(1, «)).'

Рассмотрим последовательно изометрии (1.23), (1.25) и (1.29) соответственно пространств 'Н", Вп(0, 1), 52(0, 1) и Нп. Взяв их суперпозицию, мы окончательно получим изометрию

ф: 1Нп Нп, действующую по формуле

<р(х0, •х„) = (х1/(х0 —х„), ..., xa_J(xtt-xny 1/(х0 — х„)). .

Обратная к ф изометрия ф-1: Нп^1Нп действует по формуле

ф-^Хи ..., хп) = (|х|а+1, 2xn ..., 2х„_!, |х|2—1)/2хп.’

■ Эта изометрия ф моделей гиперболического пространства задает изоморфизм их групп изометрий, продолжающийся до изоморфизма

Ф*: Mob(«-1) — 50(1, «)/{+!},(1.36)

действующего по правилу — каждому отображению g С Mob (п — 1) сопоставляется («+1)х(«+1)-матрица Т = (У/У, j=o, t,, такая, что

Т-х^ф-1 о g о ф (х), х^ vHn, .।

где g € Mob (/??) = Isom Нп, g\nn-r = g.' " *“

В силу следствия 1.4, каждое мёбиусово преобразование есть суперпозиция переносов, растяжений, инверсии 3 (х) = х/| х |2 и ортогональных преобразований. Поэтому достаточно знать, какие матрицы из 50(1, и) соответствуют отображениям вида:

Используя получаем

изометрии q>, q> и (1.36), в результате вычислений

/1 о 0\‘

’0= о U 0 , 5= f* ®\ .г''-‘ ■

■\0 0 1 JW;,

./([и|=4-2)/2 У1...У„_!-|Ур/2хX -

/У110— Di\. /-

.■\Vrt_!0...1— У„_1.. .у,,

\ ]у|/2У1...УП_1 (2 — |у|2)/2/

./(r2+l)/2r 0...0 (г2—1)/2г\

Г I 00...10 у.

\(г2—l)/2r 0...0 (г2+1)/2г/

1) g^W^x + v, где VGR"-1;■

2) U (x) = U х, где U^O^n — 1);

3) gr (я) = г • х, где г > 0, г ^= 1;

4) 3(х) = х/|х[2.

Используя представление следствия 1.4 для мёбиусова отображения g^Mob (п — 1), g (оо) =/= оо: g (х) = rU3 (х — q)-\-q', где q, q' — центры изометрических сфер / (g) и / (g-1) радиуса И г > О, получаем

- - v : &37)- - v : &37)(1.39)(1.39)Мм^Л/тЛз-т.,.

- - v : &37)

- - v : &37)

(1.39)

(1.39)

В частности, имеют место формулы

^ = [(|7|2-М)(1«'|2+1) + г2-2г(У(7'), q№

Z,^^^'), е,)-^, ^(k'P+O/r. l^i^n-l; (1.40)

*’’ ^o = [(lH?mi<?T+l)-ra + 2r((/(<7'), q№.

где ( , ) —скалярное произведение в Rn, е;-1-й координатный

вектор.

И обратно, если известна матрица Т= (/,/)€ SO (1, п), то соответствующее ей мёбиусово преобразование g € Mob (R^ (изомет

рия //") действует по формулам п ] y = g(xy

(ti»A"hn) 2+ 2 2 *1тхтА"ЧоА"*1П

m= Im— I

tilnn-I

^0 2 xm + 2 2 (^om— ^nm)Xm-\-ti

Замечание. Несколько иной подход к представлению МбЬ(л — 1) в виде группы Лоренца 50(1, л)/{± 1} был дан Кобаяси [1]. Изложенное выше представление см. в работе Апана- сова [3].

Учитывая существование в любой конечно порожденной матричной группе нормальной подгруппы конечного индекса без кручения (не содержащей элементов конечного порядка) (Мальцев [1], Сельберг [1]), из полученного представления приходим к следующему важному факту.

Теорема 1.5. В любой конечно порожденной группе Ga с Mob (л) существует нормальная подгруппа G„cG без кручения, имеющая конечный индекс p(G0, G) е группе G.

Здесь и в дальнейшем под индексом p(G0, G) подгруппы G„ в группе G понимаем мощность факторгруппы G/G№.

Классификация мёбиусовых преобразований. Как было отмечено в п. 4 § 2, группа Mob (л) действует в полупространстве/?+ как Mob(/?"+1). В это же время шар Bn+1(0, 1) является образом полупространства R"+v при отображении h = 3 -6 g Mob (и + 1), где 6 —отражение относительно dR^+1, а 3 (х) = еп+1 + 2(х — еп+1)? /| х — еп+112 — инверсия относительно сферы 5п(еп4.!, К 2). Поэтому имеем индуцированный изоморфизм

h,: Mob^^Mobt/^-^/iMobt/^/i-^MobtB'141). (1.42) Этот факт и теорема Брауэра о неподвижной точке позволяют дать следующее

Определение 1.6. Преобразование ggMob(n) называют:

параболическим, если его продолжение g С Mob (п 4-1) имеет в RY"1 единственную неподвижную точку, лежащую в Rn = dRVv;

локсодромическим, если g€Mob(«+l) имеет в R"vl ровно две неподвижные точки, лежащие в Rn = dR^+1;

эллиптическим, если §^МоЬ(л + 1) имеет неподвижную точку в R%+1.

Указанные классы преобразований исчерпывают всю группу Mob (л). В самом деле, если преобразование ^€МоЬ(л) имеет три неподвижных точки ух, у2, у3 в Rn, т. е. не является ни локсодромическим, ни параболическим, то все точки окружности S1 cr Rn, проходящей через точки ух, у2 и у3, являются неподвижными для g и, следовательно, все точки двумерной сферы S2 с Rn + 1, ортогональной плоскости {х£/Р+1: хп+1 = 0} = /?" и пересекающейся с ней по окружности S1, будут неподвижными точками продолжения ££МбЬ(л4-1). Таким образом, преобразование £^М6Ь(л) является эллиптическим.

Очевидно, что мёбиусово преобразование g и сопряженное с ним ygy'1, где у € Mob (л), имеют один и тот же тип. При этом

параболическое преобразование g сопряжено с отображением 7^7-1 (х) = А (х)+ «, где вектор ag/?"\{0} не ортогонален собственному подпространству для А^О(п). В самом деле, для этого достаточно взять в качестве 7 € Mob (п) отображение, переводящее единственную неподвижную точку у, g(y) — y, в оо. Тогда отображение у£7-1 обязано быть евклидовой изометрией, так как в противном случае методом сжимающих отображений легко доказать наличие отличной от оо неподвижной для ygy-1 точки в Rn. Если же вектор аЕ/?"\{0} ортогонален собственному подпространству для А^О(п), то видно, что g обязано быть эллиптическим преобразованием. В случае отсутствия Л^О(п), т. е. при Л = id, параболическое преобразование g называют чисто параболическим.

Локсодромическое преобразование g С Mob (п), оставляющее неподвижными ровно две точки у, z £ Rn, сопряжено при помощи отображения 7gM6b(n), у(у) = О и 7(21 = 00, с отображением 7§7-1 (х) = г -А (х), где г > О, r^l.aA— ортогональное преобразование. Если А = id, то g называют гиперболическим преобразованием.

И, наконец, эллиптическое преобразование g^Mob (п), имеющее неподвижные точки в Rn, сопряжено с отображением вида А (х) + а, где вектор a£Rn ортогонален собственному подпространству ортогонального преобразования А. Это следует из того, что в этом случае сфера S^cR"1 минимальной размерности k, Y-Ck^Ln, ортогональная Rn и содержащая неподвижную для продолженного отображения g точку в R^1 и все множество неподвижных для g точек в К", состоит из неподвижных для уточек. Взяв в качестве 7gMob(n) отображение, переводящее одну точку из Sk И Rn в оо, а другую —в 0, получим, что ygy-1 € О(п) (поворот вокруг (к—1)-мерного пространства, если gC^n)-

В размерности п = 2m -Е 1 (и только в этом случае) существуют эллиптические отображения g^.o*n, не имеющие неподвижных точек в Rn (для g € Mob (л)\^п — в случае п = 2m). Такими отображениями являются, в частности, отображения g = U6-3 из предложения 1.3 такие, что dim (1(g) A / (S'-1)) = п — 2, a [/y=id — есть поворот вокруг прямой, проходящей через центры изометрических сфер 1(g) и I (g-1) (см. Ананасов [1]).

Классификация подгрупп Ли мёбиусовой группы. Будем рассматривать пространство Rn как граничную сферу (п + 1)-мерного гиперболического пространства //n + 1, где группа Mob (п) действует как группа Isom Нп*х. Если L с: Нп + Х — гиперболическая плоскость, dimLs^n, то обозначим через 3^(1) подгруппу в Mob (п), которая оставляет L поточечно неподвижной, а через &#(Е)— подгруппу в МоЬ(п), состоящую из изометрий плоскости Ев индуцированной гиперболическим пространством Н"*1 метрике. Тогда полная стабилизатор-подгруппа плоскости L в группе Mob (п) получается как

прямое произведение групп 9f (L)Xe^(E). Пусть также &<+(Л)— подгруппа в й* (L), состоящая из элементов, сохраняющих ориентацию L.

Указанную классификацию дает следующий фундаментальный результат Л. Гринберга [1, теорема 1]:

Теорема 1.7. Пусть G —связная подгруппа Ли группы Mob (п) всех мёбиусовых преобразований сферы S" (отождествляемой с группой изометрий гиперболического пространства Н"*1, dHn+1 = Sn).

Тогда справедливо одно из следующих утверждений:

Элементы G имеют общую неподвижную точку в Нп + \ а сама группа G сопряжена подгруппе Ли ортогональной группы O(n-V 1).

Элементы G имеют общую неподвижную точку в Sn = дНп+1, а сама группа G сопряжена подгруппе группы подобий евклидова пространства Rn.

Существует такая гиперболическая прямая 1сНа*\ что G = ТХЛ1(Г), где Г cz 3f (I), а с* (I) есть 1 -параметрическая локсодромическая группа с осью I.

Существует такая гиперболическая плоскость LczHn + l, 2 dim L ^.п, что G = ГХо<+ (L\ где Г cz 3^ (L).

G--о<п. . .

Накрывающие пространства и гомологии

Гомотопическая эквивалентность. Пусть X и Y— топологические пространства, / — отрезок [0, 1], a f: X^Y и g: X —- Y — два непрерывных отображения. Отображения f и g называются гомотопными (f ~ g), если существует непрерывное отображение F: Хх1— Y такое, что F(x, O') = f(x) и F (х, l) = g-(x) в X. Легко показать, что гомотопность отображений есть отношение эквивалентности, разбивающее множество всех непрерывных отображений на попарно непересекающиеся классы, называемые гомотопическими классами. Гомотопический класс отображения / будем обозначать [/].

Топологические пространства X и Y называют гомотопически эквивалентными, если существуют такие непрерывные отображения f: X Y и g: Y-^X, что отображения / о g: Y —* Y и g о f: X ^ X гомотопны тождественным. Если эти отображения сами являются тождественными, то мы имеем случай гомеоморфизма. Класс гомотопически эквивалентных пространств называют гомотопическим типом. Заметим, что несмотря на внешнюю аналогию, понятие гомотопической эквивалентности намного шире понятия гомеоморфности (топологической эквивалентности). Так, например, окружность и кольцо имеют один гомотопический тип, но не гомеоморфны.

Фундаментальная группа. Пусть X — топологическое пространство и х0 g X — произвольная фиксированная точка. Рассмотрим замкнутые кривые (петли) fT: [О, 1]->Х и /2: [0, 1]—*Х, /,(0) =

№f»t (I)= х0. Под их произведением понимается петля -z

[ А(2/),0^/^1/2;

^1(/)=l /2(2/-1), 1/2-</<1.(1ЛЗ)

Заметим, что эта операция сохраняет гомотопность, а именно, если ~/2, g^gi, то и fvg^f2-g,.

Рассмотрим теперь множество лДХ, х„) гомотопических классов петель в точке х0 с операцией умножения, заданной формулой [/1] • [/2] = [/1V2] и (1.43). Это множество л^Х, х0) называют фундаментальной группой пространства X в точке х0. Ясно, что если X линейно связно, то для любых двух точек х0, у0 £ X группы «1 (X, х0) и Л! (X, z/0) изоморфны и, таким образом, можно говорить об абстрактной фундаментальной группе л± (X) линейно связного пространства X.

Если ф: X—* У —непрерывное отображение топологических пространств, то оно индуцирует гомоморфизм

ф«: лх(Х, ^^л^У, ф(х„))(1.44)

по правилу Ф* [/] = [ф ° fj. В частности, если ф — гомеоморфизм, то гомоморфизм ф* из (1.44) является изоморфизмом.

Накрытия. Пусть опять X— топологическое пространство. Накрывающим пространством над X или накрытием называют пару (X, л), состоящую^из топологического пространства X и непрерывного отображения л: X -* X, удовлетворяющего условию: для каждой точки х^Х существует линейно связная открытая окрестность U такая, что каждая компонента связности множества л"1 (U) гомеоморфно отображается на U отображением л, называемым накрывающим отображением или проекцией.

Накрывающие пространства тесно связаны с фундаментальными группами. Эго показывают приводимые ниже несколько важных утверждений, устанавливающих связь между фундаментальной группой пространства X и фундаментальной группой накрывающего его пространства.

Лемма 1.8 (теорема о поднятии путей). Для любого пути f; / —► X с начальной точкой х, £ X существует единственный накрывающий путь f; 1^ X с началом в фиксировачной точке х0£ Ел-1^) и такой, что nof = f.

Лемма 1.9 (теорема о накрывающей гомотопии). Если два пути fi и f2 в пространстве X с началом в точке х0 и с общим концом гомотопны, то накрывающие их пути fi и f2 с началом в одной точке ха £ л-1 (х0) также гомотопны и, кроме того, имеют общий конец.

Лемма 1.10. Гомоморфизм л*: л^Х. х0)—л^Х, х0), х0 £ €л-1(х0), индуцированный проекцией л: X —* X, является мономорфизмом.

Лемма 1.11. Пусть х0 и хг— точки в X с одинаковой проекцией х0£Х. Тогда образы фундаментальных групп лДХ, х0) и л, (X, х,) при мономорфизме л, являются сопряженными подгруппами группы Л! (X, хф\ с другой стороны, каждая подгруппа фундаментальной группы л,(Х, х0), сопряженная с подгруппой л$(л1(Х, х)), получается как образ лДлДХ, х^ для некоторой точки х^л1^).

Иными словами, образы л* (лх (X, х)), где точка х пробегает весь слой л-1(х0), образуют полный класс сопряженных подгрупп группы л, (X, х0).

Определение 1.12. Два накрытия (X, л) и (X', л') над пространством X называют эквивалентными, если существует такой гомеоморфизм <р: X —* X', что диаграмма

коммутативна.

Лемма 1.13. Накрытия (X, л) и (X', л') над X эквивалентны тогда и только тогда, когда для любых двух точек xg X и х' £ X', для которых л(х) =л'(х')--х, подгруппы л* (л,(Х, х)) и л^л^Х', х')) принадлежат одному и тому же классу сопряженных подгрупп в группе Л! (X, х).

Определение 1.14. Накрывающим гомеоморфизмом или преобразованием наложения называют гомеоморфизм /: X —- X, для которого диаграмма

X

коммутативна.

Множество преобразований наложения накрывающего пространства (X, л) является группой (относительно суперпозиции отображений), которую мы будем обозначать G(X,X). Обозначим также через N [л, (nt (X, х))] нормализатор подгруппы л* (л, (X, х)) в фундаментальной группе л^Х, х).

Лемма 1.15. Для произвольных точек х^Х и х^л^^х)

$ 5. накрывающие 1^вЙ#М|6Й1й?вI гбЙОЛОГЙИ :#

имеем место изоморфизм ,чи

G (X, X) s X [лДлх(Х, х))]/л* (лг (X, х)).!(1-45)

Определение 1.16. Накрытие (X, л) называют регулярным, ■если образ л, (лх (X, х)) является нормальной подгруппой фундаментальной группы лДХ, х) в точке х = л(х).

Лемма 1.17. Накрытие (X, л) регулярно тогда и только тогда, когда для любой петли в X с началом х^Х все ее поднятия в X с началом в произвольной точке хСл-1(х) являются одновременно либо замкнутыми, либо разомкнутыми путями. При этом имеет место изоморфизм

G (X, X) = Лх (X, х)/л, (Лх (X, х)).(1-46)

Определение 1.18. Накрытие (X, л) пространства X называют универсальным, если пространство X односвязно, т. е. линейно связно и имеет тривиальную фундаментальную группу лИХ)._

Ясно, что если (X, л) —универсальное накрытие, то вместо (1.45) и (1.46) имеет место изоморфизм

G(X, Х)^Лх(Х) 7'' '(L47)

и порядок группы л, (X) равен числу листов накрытия, т. е. общей мощности слоев л-1(х), не зависящей от выбора точки х^Х.

Лемма 1.19. Группа G(X, X) действует транзитивно на слоях л~1(х), х^Х, тогда и только тогда, когда (X, л) является регулярным накрытием. При этом имеет место естественный гомеоморфизм пространства X на X/G(X, X), а группа G(X, X) действует на X свободно (без неподвижных точек) и разрывно.

Здесь под разрывным действием G (X, X) на X понимается то ее свойство, что для каждой точки х^Х существует ее окрестность U такая, что g(U)nU=0 для всех g^ G (X, X)\{id}.

Второе утверждение леммы 1.19 можно обратить следующим ■образом:

Лемма 1.20. Если пространство X линейно связно и на X действует свободно разрывная группа G его гомеоморфизмов, то (X, л) — регулярное накрытие над Х/G. При этом G — G(X, X/G).

Следующее утверждение является одним из основных в теории накрывающих пространств.

Лемма 1.21. Пусть М— топологическое многообразие. Тогда для любого класса 9? сопряженных подгрупп группы л^/И, х), х^М, существует накрывающее пространство (УЙ, л), соответствующее данному классу 9i, т. е. такое, что л, (Л1 (М, х)) € 9L

Из этого утверждения следует, что для любой подгруппы Нсзл^М, х) существует накрытие (УЙ, л) над М такое, что л^лДУЙ, х)) = Н для некоторой точки хЕл^х). В этом случае подгруппу Н а лДМ, х) будем называть определяющей подгруппой накрытия {М, л), а про само накрытие (УЙ, л) будем говорить, что оно построено по подгруппе Н.

Ниже мы приведем определения и некоторые важные свойства сингулярных гомологических и относительных гомологических групп топологических пространств, а также введем важные для дальнейшего (см. § 5 гл. 5) точные последовательности Майера — Вьеториса, позволяющие вычислять некоторые группы гомологий. Доказательства приводимых фактов и подробное изложение теории гомологий читатель может найти в стандартных курсах по алгебраической топологии (см., например, Спеньер [1], Дубровин, Новиков, Фоменко [2], Дольд [1]).'

Сингулярные гомологии. Пусть X — топологическое пространство, а А— 7-мерный {q^O) стандартный симплекс;

(q)

:Л? + 1: 210, • ■ • ,1■

Сингулярным q-мерным симплексом пространства X называют непрерывное отображение о^: А^-^Х. Обозначим через SqX свободную абелеву группу, образующими которой служат все сингулярные ^-симплексы. Элементы этой группы, т. е. формальные линейные комбинации сингулярных 7-симплексов с целыми коэффициентами, называют сингулярными q-цепями..

Определим граничный гомоморфизм dq; SqX —► Sq_tX, задав его на каждом сингулярном симплексе о4 формулой

^и = 5(-1и-\

-1=0

где а^~1=о|?|д4_1—ограничение отображения о? на Ею грань А^ стандартного симплекса kq. Легко проверить, что ^^+1 = 0 и, следовательно, Kerd9 zd Imd^.

q-мерной группой {сингулярных') гомологий называют ■ группу HqX = Кег^/1т^+1. При этом элементы группы ZqX = Kex дц = = dj1(O) называют q-мерными циклами, а элементы ее подгруппы BqX = Im dq+1 = dq+1{Sq^1X) — q-мерными границами. В этих обозначениях Н qX = ZqXjB qX, а два цикла zq, zq£ZqX гомологичны (т. е. определяют один элемент из HqX), если их разность является границей, zq — z’q^BqX.

Сингулярным комплексом SX пространства X называют последовательность

0 Z t- sox — StX — ... — Sq_1X ^- sqx ^t^sq+1x — ...

Здесь .эпиморфизм е определяется на нульмерных цепях 2^<°оС gS0X по формуле '..:

Изложенное выше естественным образом обобщается на пары пространств (X, Л). Если I; А —*Х— включение, то отображение сингулярных комплексов I; $Д -, SX мономорфно, и поэтому 5Д можно рассматривать как подкомплекс комплекса SX. Фактор- комплекс S(X, A) = SX/SA называют ^относительным^ сингулярным комплексом пары (X, Д). Возникающие при этом гомологические группы Н^Х, Д) комплекса 8(Х, Д) называют относительными гомологическими группами пространства Х(тобД). Заметим, что цепь г £ SX есть цикл (тобД), если дг £ ЗЛ, и граница (тобД), если z = dx-Vy, где x^SX, y^SA. Очевидно, что Нq (X, А) изоморфна факторгруппе ^-циклов (mod Л) по группе ^-границ (mod А).

Введенный выше эпиморфизм е очевидно обладает свойством еД = 0. Пользуясь этим, определим приведенный комплекс SX комплекса SX, положив SqX = SqX, если q^Q, S0X=Kere и dq = dq (заметим, что ^(S, X) cz S0X). Группу гомологий приведенного комплекса SX называют приведенной группой гомологий пространства X и обозначают НХ. Если q#0, то HqX = HqX.

Точные последовательности. Существует сжатый способ описания связей между группами гомологий комплексов С', С и С/С', где С'— подкомплекс комплекса С. Он основан на понятии точной последовательности.

Трехчленную последовательность абелевых групп и гомоморфизмов

с'ЛсЛс"х

называют точной в члене G, если Kerp=Ima.

Последовательность абелевых групп и гомоморфизмов а „«п + 1а-п „i

• • • ' G„ + 1-* G„ —- ил-1 —■

называют точной последовательностью, если каждая ее трехчленная последовательность точна в своем среднем члене.

Положим для этой последовательности G„ = Ker а„ = Im ап+1. Тогда из нее получаются короткие точные последовательности

o_g;—^G^G^^O,

в которых а„+1 является мономорфизмом, а„ — эпиморфизмом, а ядро а„ совпадает с an+1(G^). Следовательно, а„ + 1 является изоморфизмом группы G„ на подгруппу а„ + ] (G'n) с Gn, а ап индуцирует изоморфизм факторгруппы G„/an + 1(G^) на группу G’n_v

Примером точной последовательности является 1ХИ№|*Р‘'последовательность (/ — включение, / — проекция):с

о^дл-Цх4$,(Х,лно, '

характеризующая введенные выше ^-мерные относительные группы гомологий пространства Х(шойД). Она расщепляется для всех q: SqX = SqA®Sq(X, Л).

Последовательности Майера—Вьеториса. Существует точная последовательность, связывающая гомологии объединения двух пространств с гомологиями каждого из них и гомологиями пересечения. Эта последовательность позволяет по индукции вычислять гомологии пространств, склеенных из кусков, гомологии которых известны. Точность этой последовательности тесно связана со следующим свойством вырезания.

Пусть Х„ Х2 — подпространства топологического пространства X (обозначаем триадой (X; Хъ Х2)) и пусть 1к; Хк—-X— включения, к=\, 2.

Триаду (X; Хъ Х2) называют вырезаемой, если выполнено одно из следующих эквивалентных условий:

а) к*'- Н(Х„ Х1ПХ2)^Я(Х1иХ2, Х2);

■ b) к*- н^х^х^ноких^х^-,

с) ^к^- Я(Х1,Х1пХ2)еЯ(Х2, х,пх2)^ а .

^Я(Х1их2, jfgh^);

. d) /,: tfS{Xi, XJs/fSfXiUX^tffXiUX,); w v

e) к". H [S {Xi, X2}/S (Хг П X2)]'

^ H [S (Xt U X^IS (Xt П x2)] = H (X, U X2, Xt П X2);

D p*: H(X, Х1иХ2) = Я[5Х/5(Х1иХ2)]^Я[5Х/5{Х1, X2}],

где S{X,, X2} — наименьший подкомплекс комплекса S(XiUX2), содержащий комплексы 8Хг и SX2; i—включение, р—проекция.

Примеры вырезаемых триад дают С№-пространства, их СН^-под- пространства, а также триады, у которых Xj и Х2 открыты в Х1()Х2. Примером невырезаемой триады служит триада X = R, Х, = (—оо, 0], Х2 = (0, +оо).

Для любой триады (X; Хъ Х2) имеет место короткая точная последовательность

0 S (Хх П Х2) —Н SX^SX, — S {Х„ Х2}0,

где ik и jk — включения. Если триада вырезаема, то гомологическая последовательность для этой точной последовательности имеет вид

• • • - Hq^ (Xi и х2) ^i Hq (Xi П х2)

З^^н.х^н.х^-Дндх^х./Л ... (1.48)

Эту точную последовательность называют (абсолютной) последовательностью Майера — Вьеториса триады (X; Хп Х2).

Для любой триады (X; Хь Х2) имеется также точная последовательность~

О — SX/S (Xt п Х2) —^ SXiSXt © 8Х/8Хг Д Д

-’Д’ SX/S {Хь Х2}о,

где iA, jk — проекции. Если триада вырезаема, то соответствующая гомологическая последовательность имеет вид

. • • - я,+1 (X, х, и Х2) Д (Н, (X, Хх П Х2) Д^Д !Д-Дяд(Х,Хх)©//9(Х,!Х2)(Д-Д Я.(Х, хтих2) Д ... (1.49)

и называется относительной последовательностью Майера — Вьеториса триады (X; Хь X,).

Участвующий в последовательности (1.48) (соответственно (1.49)) граничный оператор <4 совпадает с композицией //g+x(XxUX2)-.^+x(XxUX2, Х2)^

^^(Х^ ХхПХ^Дд^ХхПХ,), соответственно,

Hq+1(X, ХхиХ^Дд^ХхиХ,, Х,)^ = Hq(X2, X, пХ2) —> Яф(Х, ХхПХ2), где все отображения, кроме <?„, индуцированы включениями.

Рассматривая приведенные гомологии, из (1.48) для вырезаемой триады (X; Хи Х2) с Х1Г)Х2=^0 получаем приведенную (точную) последовательность Майера —Вьеториса этой триады:

• • • ^ Hq+1 (X, и х2) Д Hq (X, П Х2) '-Д-Д

ДдЕ^^Ххфд^ДДДя^Ххих^Д...(1.50)

^ ГЛАВА 2■■

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ

it^US'W 9ЖМУ й;Ч-К-МЛл/ООИ. «г.

Обычно свойства многообразий мы исследуем топологическим путем. Однако, как стало ясно в последнее десятилетие благодаря работам У. Тёрстона [1—7], в дополнение к чисто топологическим методам важную роль в теории многообразий играют и геометрические методы. В этой главе мы введем, следуя лекциям Тёрстона [1], важное понятие геометрической структуры на многообразии, пояснив его несколькими важными примерами, и перейдем к естественному обобщению этого объекта —к геометрии орбифол- дов, т. е. многообразий с особенностями. Мы также опишем здесь те «хорошие» геометрии, пользуясь которыми мы должны достичь нового, более глубокого понимания свойств трех- и четырехмерных многообразий. Это изучение мы продолжим в гл. 7.

[§ 1. (X, (?)-структуры на многообразиях

Топологическое многообразие М, задающееся своим атласом {((7z, <p,)}i6j, можно также представить составленным из кусков евклидова пространства Rn, склеенных друг с другом посредством множества $ гомеоморфизмов в Rn. Это множество $ должно удовлетворять следующим очевидным условиям, превращающим его в псевдогруппу локальных гомеоморфизмов открытых множеств в Rn:

сужение g0 любого элемента g£$ на открытое множество в Rn является элементом $;

суперпозиция g о h любых элементов g, h^ (если определена) является элементом $;

обратный элемент для g^ является элементом ^;

если U = U Щ с Rn и g: U-^V—такой локальный гомео- i

морфизм, что gj = g\u €^ для всех /, то g^.

Многообразие, получаемое при таком склеивании кусков Rn •с помощью гомеоморфизмов из псевдогруппы $ называем ^-многообразием. Заметим, что если здесь вместо Rn рассматривать какое-либо топологическое многообразие X, то в случае транзитивного действия $ на X мы не получим новых типов многообразий.

Если $—псевдогруппа локальных Сг-диффеоморфизмов Rn, то ^-многообразие есть Сг-многообразие (при г^1—гладкое многообразие). .■

. Если $—псевдогруппа локальных кусочно-линейных гомеоморфизмов, то ^-многообразие. есть PL-многообразие.

Пусть теперь дано какое-либо многообразие X и действующая на нем группа G гомеоморфизмов. Тогда сужение ее элементов, на открытые множества в X образуют псевдогруппу $. Назовем (X, Офмногообразием многообразие, получаемое склеиванием кусков X при помощи элементов этой псевдогруппы.

Если G—группа аффинных преобразований R", то (/?", G)-mho- гообразие является аффинным.

Если G — мёбиусова группа МбЬ(п), действующая на и-мерной сфере S" = Rn U {оо}, п^З, то (Sn, Mob (п))-многообразие называют конформным. Заметим, что при п=2 аналогичным образом вводимая структура на ориентируемой поверхности М2 совпадает с определением проективной структуры на М2, так как при этом естественным образом отождествляется с группой PSL (2, С) (см. Ганнинг [1], Кра [1], Маскит [3J).

Рассматривая в качестве группы G преобразований евклидова пространства X = Rn его группу изометрий, мы приходим ' к евклидовым многообразиям

((/?", 1зош/?п)-многообразиям).

Аналогично, если G — группа изометрий сферы X = Sn (или проективного пространства RPn) или, соответственно, гиперболического пространства Х = Нп, то (X, С)-многообразия явля

ются соответственно эллиптическими и гиперболическими многообразиями.

Приведем несколько примеров такого подхода.

Пример 2.1 (многообразие Гизекинга). Это неориентируемое некомпактное трехмерное многообразие впервые было описано в 1912 г. Гизекингом [1]. Оно может быть получено отождествлением сторон А и Д', В и В' трехмерного симплекса с удаленными вершинами, где вид отождествления задан ориентацией, граней симплекса, показанного на рис. 4. После такого отождествления сторон происходит отождествление всех шести ребер симплекса. Поэтому в качестве этого симплекса можно взять правильный симплекс в гиперболическом пространстве Я3 с бесконечно, удаленными вершинами (и двугранными углами л/3). Тогда необходимую склейку сторон АА' и В —* В’ осуществляют меняющие ориентацию изометрии гиперболического пространства Я3. Тем самым на многообразии Гизекинга вводится гиперболическая структура. Из следующего примера видно, что это многообразие двукратно накрывается дополнением к узлу «восьмерка».

Пример 2.2 (Тёрстон [1]). Гиперболическая структура на дополнении к узлу восьмерка L, показанному на рис. 5. Это трех-

32

мерМб^?||^5ообразие М = S3\L имеет фундаментальную ^Группу

лг (S3\L) = <х, у: хух Хух = уху Хху>. ^ (2.1)

Узел восьмерку можно «натянуть» на тетраэдр с гранями А, В, С и D. На рис. 6 показан вид сверху такого натягивания. Оно получается соединением зацеплений узла ориентированными отрез- ками, обозначенными уь- и -Н—► , и натягивани- Л Л ем на получившийся одномерный комплекс четы- /х""/Х рех двумерных пленок А, В, С и D. При этом а/ /X \ граница каждой пленки состоит из указанных 4( j 1 отрезков, соединенных частями узла L. Если стя-

V/ 7 нуть эти части границ пленок в точки, то полу- v/ чившийся при этом стягивании двумерный комп-

Рис. 5 ; леке будет представлять собой границу тетраэдра.

• / Первоначальный двумерный комплекс разбивал Z?3 на две области, гомеоморфные шару. Эги две области при нашем стягивании перейдут в два тетраэдра, показанные на рис. 7, а многообразие М =/^ХЕ получится отождествлением их

соответствующих граней с предварительно удаленными вершинами. Из того что при этом склеивании в каждом ребре комплекса будет встречаться шесть двугранных углов, следует, что в качестве тетраэдров надо взять правильные гиперболические тетраэдры (модель Пуанкаре В3 (О, 1)) с вершинами на абсолюте. Тогда указанную склейку их граней могут осуществлять гиперболические изометрии. Тем самым на многообразии М = /?®\Е определяется некоторая гиперболическая структура.

Пример 2.3 (Тёрстон [1]). Гиперболическая структура на дополнении к зацеплению Уайтхеда, показанному на рис. 8. Фундаментальная группа этого многообразия М = /^XL имеет следующее представление:

л1(М) = {х, у; (у-'хух-^-'х-'ухЦух^у-'х^уху-'х-1)^}. (2.2)

Представим зацепление L в виде, показанном на рис. 9, и соединим кривые зацепления ориентированными отрезками -Н—►, т^- и —>■ На получившийся одномерный комплекс натянем пленки А, В,

С, D и Е, граница которых состоит из указанных ориентированных отрезков, соединенных дугами зацепления L. Если эти дуги стянуть в точки, то двумерный комплекс перейдет в границы областей, гомеоморфных шарам В, и В2, причем дВ, = -^ЛиВиСи^иЕ, а дВ2 = Л' и В' и С (J D' U Е', где соответствующие области отличаются друг от друга ориентацией. Склеивая тождественным преобразованием Е и Е', мы можем считать, что

XXРис. 8Рис. 8

X

X

Рис. 8

Рис. 8

двумерный комплекс с пленками Л, Л', . . ., D, D’, получившийся при стягивании дуг L, представляет собой границу октаэдра, сферическая развертка которого показана на рис. 10; при этом вершинам октаэдра соответствуют дуги зацепления. Итак, наше многообразие /?3\Е получается склеиванием соответствующих

сторон октаэдра с удаленными вершинами и представляет собой комплекс, состоящий из одного октаэдра, четырех треугольников и трех ребер. Так как в каждом ребре встречаются при этом четыре двугранных угла, то согласованная склейка возможна на октаэдре с двугранными углами л/2 (у евклидова октаэдра двугранные углы « 109°). Рассмотрим в В3(0, 1) проективную модель гиперболического пространства. Тогда можно показать, что октаэдр, показанный на рис. И, и будет искомым: он имеет вершины на абсолюте и прямые двугранные углы. На этом октаэдре необходимую склейку граней можно осуществить гиперболическими изометриями. Это показывает, что многообразие /?3\Т имеет гиперболическую структуру.

2 Б. Н. Ананасов

Пример 2.4 (Тёрстон [1]). Гиперболическая структура на дополнении к боромеевым кольцам (рис. 12). Это многообразие /?3\L получается склеиванием граней двух октаэдров с удаленными вершинами, что показывается совершенно аналогично предыду- дущему. А именно, из зацепления L получаем сначала одномерный комплекс и, натягивая на него клетки — двумерный комплекс

(рис. 13). Этот двумерный комплекс при стягивании дуг зацепления L в точки переходит в границу октаэдров, развертки которых приведены на рис. 14. При указанной склейке граней октаэдров с удаленными вершинами получается комплекс, состоящий из двух октаэдров, восьми треугольников

и шести ребер. Согласованность склеивания влечет, что двугранные углы октаэдров должны быть прямыми и, следовательно, эти октаэдры можно взять в проективной модели гиперболического пространства. Но тогда склеивающими отображениями могут служить гиперболические изометрии в этой модели. Это показывает наличие на дополнения к боромеевым кольцам гиперболической структуры.

Пример 2.5. Евклидова структура на п-мерном торе, определяемом как декартово произведение п окружностей: Тп — =-- Sxx • • • XS1. Фундаментальная группа л.1(Тп) этого многообразия является свободной абелевой группой ранга п. Тор Тп может

быть получен склейкой противоположных сторон «-мерного параллелепипеда. При этом в качестве склеивающих отображений можно взять евклидовы изометрии (переносы). Тем самым на торе Тп вводится евклидова структура._

Пример 2.6. Аффинная структура на двумерном торе индуцируется склейкой противоположных сторон четырехугольника, отличного от параллелограмма. Такая склейка производится при помощи двух аффинных отображений на плоскости. Но, как мы увидим в дальнейшем, тор с такой структурой не является полным (G, /?2)-многообразием.

Пример 2.7. На внутренности торового слоя Л4 = 7’2х[0, 1] вводится евклидова структура. Это следует из того, что intM гомеоморфно факторпространству R3/G, где дискретная группа G порождается евклидовыми изометриями

gp. x^x + elt g2: xi-*x + e2.

Пример 2.8. Возьмем в качестве компактного 3-многообразия М многообразие (^xfO, 1])/Z2, где группа Z2 действует на торе Тг как накрывающее преобразование над бутылкой Клейна, а отрезок [0, 1] переворачивает. На внутренности этого многообразия М вводится евклидова структура, так как int /И гомеоморфно пространству орбит R3/G дискретной группы G евклидовых изометрий, образующими которой служат элементы gp х*—>х4-е1 и gp х^ ^—Хх, х2+1, —хзу

§ 2. Развертывающее отображение и голономия

Пусть М — некоторое (X, С)-многообразие с атласом ^(U,, ф,)}16^, где гомеоморфизмы ф,-: U,■ X связаны отображениями соседства у,У на пересечениях U {A Up

TiV: хн^фуо фг1^), xG^it.U. nUyY (2.3)

Предположим еще, что многообразие X, из кусков которого склеено М, является вещественно-аналитическим многообразием, а действующая на нем группа G —группа вещественно-аналитических диффеоморфизмов X. Тогда каждый элемент g £ G полностью определяется своими значениями на любом открытом множестве из X. Поэтому можно считать, что формула (2.3) задает локально постоянное отображение многообразия X в группу G (постоянное на любом пересечении ф,- (U, A Uj-)).

Рассмотрим теперь некоторую карту (Glt ф1) и любой путь а на многообразии М с началом x0£.Uv При помощи соотношений (2.3) можно рассмотреть непосредственные аналитические продолжения ф! в карты U,, U,P\U\#= 0. Индукцией по цепочке карт, покрывающих путь а, получаем, что аналитическое продолжение ф! на компоненте a Ai/,- будет иметь вид ^оф,-, где g€;G. Если теперь взять универсальное накрывающее многообразие М

36 ' гл. 2. геометрические структуры .

в виде множества пар (х, а), где х£Л4, а путь а с М соединяет точки х0 и х, профакторизованного по отношению гомотопической эквивалентности, то из предыдущего получаем, что существует глобальное аналитическое продолжение для ч>1$ определенное на универсальном накрывающем многообразии Л1. Это отображение

d: М-*Х (2.4)

называют развертывающим отображением. Из соотношений (2.3) следует, что отображение d является локальным (X, Судиффео- морфизмом, определенным единственным образом с точностью до суперпозиции с элементом группы G. Таким образом, это вложение (2.4) индуцирует (X, б)-структуру на универсальном накрывающем многообразии Л4.

В силу установленной единственности развертывающего отображения d получаем, что каждому преобразованию наложения Ta£G^M, М) (см. (1.47)) соответствует единственный элемент ga группы G такой, что

gad = dTa. (2.5)

Отображение d*: nt (.41) ^ G (Л4, /И) —- G, действующее по правилу (2.5), называют голономией многообразия М. Легко видеть, что оно является гомоморфизмом.

Вообще говоря, голономия многообразия /И не определяет (X, С)-структуру на Д4. Так, можно показать, что голономии, отвечающей аффинной структуре на двумерном торе, построенной в примере 2.6, могут соответствовать другие аффинные структуры, строящиеся подобным образом. Но существует важный особый случай, когда голономия определяет (X, 6)-структуру.

Определение 2.9. Многообразие М называют полным (X, Сумкогообразием, если (М, d) является накрытием над X. Здесь М— универсальное накрывающее многообразие для Л4, а d— развертывающее отображение (2.4).

Докажем достаточное условие для полноты (Тёрстон [1]):

Предложение 2.10. Пусть G — гриппа аналитических диффеоморфизмов, действующая транзитивно на многообразии X и такая, что для любой точки х^Х группа изотропии Gx — ^{^GG: g(x) = x} компактна. Тогда всякое замкнутое (X, Gy многообразие полно.

Доказательство. Пусть Тх (X) — касательное пространство многообразия X в точке х и Q —положительно определенная квадратичная форма в ТДХу Рассмотрев множество {§■ (Q): g£Gxy усредним (с помощью меры Хаара на компактной группе Gx) квадратичную форму Q гак, что она станет инвариантной относительно группы Gx. В касательном пространстве Т,ДХ) в любой другой точке у^Х определим квадратичную форму как образ

формы Q при диффеоморфизме g £ G, g(x) = у. А именно, положим (ds2), = g(Q). (2.6)

Ясно, что это определение (2.6) не зависит от выбора отображения gG.G, переводящего точку х в точку у. Таким образом,, на многообразии X определена инвариантная относительно группы G риманова метрика. Из ее инвариантности следует, что она индуцирует (G-склеивание) риманову метрику на любом (X, G)- многообразии, инвариантную относительно любого (X, G)-oto- бражения.

Если теперь М — замкнутое (X, С)-многообразие, то существует некоторое число е > 0 такое, что любой шар В (у, е) Е М в римановой метрике является выпуклым и стягивается в точку. Если теперь рассмотреть прообраз при развертывающем отображении d любого шара В (х, г/2) с X, то, в силу выбора е >0, он будет объединением попарно непересекающихся и гомеоморфных шару В (х, е/2) его поднятий в 44. Таким образом, пара (44, d) является накрытием над X, т. е. М является полным (X, G)- мпогообразием.

Если X— односвязное многообразие, то любое полное (X, G)- многообразие М легко восстанавливается по образу фундаментальной группы d* ^ (44)) = Г относительно голономии в виде факторпространства Х/Г.

Например, каждое замкнутое эллиптическое многообразие (соответственно гиперболическое или евклидово многообразие) имеет своим универсальным накрывающим пространством сферу (соответственно гиперболическое или евклидово пространство). Такие многообразия определяются своими голономиями d* и восстанавливаются в виде факторпространства Х/Г, где Г = d* (nt (44)).

Для некомпактных многообразий, т. е. многообразий, склеенных из кусков X, имеющих выход к точкам абсолюта, вопрос полноты гораздо сложнее. В дальнейшем мы его исследуем в гиперболическом случае (см. теорему 6.6 § 1 гл. 6).

Закончим этот параграф утверждением о связи свойства полноты (X, С)-многообразия с его полнотой как метрического пространства (в некоторой метрике на этом (X, С)-многообразии).

Предложение 2.11. Пусть группа G аналитических диффеоморфизмов действует транзитивно на многообпазии X и всякая ее подгруппа изотропии Gx компактна. Тогда следующие утверждения эквивалентны'.

1

(1) /И — полное (X, Gy многообразие;

' (2) 44 полно как метрическое пространство;

существует е > 0 такое, что каждый замкнутый шар В (х, е) с: 44 компактен;

. (4) для любого X > 0 каждый замкнутый шар В (х, X) ком- ■ пактен;

существует семейство {Л4а}а6/? компактных множеств, исчерпывающее М, и такое, что Л4а+₽ содержит окрестность множества Ма радиуса [).

Доказательство. (2) => (1). Для того чтобы доказать, что развертывающее отображение d; IW X, являющееся локальным гомеоморфизмом, будет накрытием, достаточно доказать, что любой путь у: [0, 1] X поднимается до пути в М. Допустим, что /, с [0, 1]— максимальное связное множество такое, что путь -у: Д X поднимается в М. Но так как М вместе с многообразием М является полным метрическим пространством, а развертывающее отображение является локальным гомеоморфизмом, то It — одновременно замкнутое и открытое подмножество интервала [О, 1], т. е. /, = [0, 1]. Это доказывает полноту многообразия М.

Доказательства утверждений (2) <— (3) ^ (4) <=} (5) получаются обычными элементарными рассуждениями. Докажем теперь, что (1)=>(3). Для этого заметим, что универсальное накрывающее пространство X многообразия X удовлетворяет утверждениям (2)—(5). В самом деле, на X можно ввести, как мы видели при доказательстве теоремы 2.10, G-инвариантную риманову метрику. Это следовало из транзитивности G и компактности Gx, х^.Х. Но так как G— группа (X, С)-диффеоморфизмов пространства X —тоже транзитивна и группы G(/ компактны для всех у^ X, то и на X задается G-инвариантная метрика. После этого, взяз е>0 такое, что замкнутый шар В (у, t) с X с центром в некоторой точке у^Х будет компактным, из транзитивности группы G получаем выполнение этого свойства в любой точке х^Х. Допустим теперь, что М — полное (X, С)-многообразие. Тогда оно накрывается пространством X. Отсюда и из предыдущего получаем, что /И удовлетворяет утверждению (3). Это завершает доказательство теоремы.

§ 3. Геометрия орбифолдов

Следуя И. Сатаке [1] и У. Тёрстону [1,гл. 13], введем объект, обобщающий понятие многообразия и многообразия с краем.

Орбифолд б есть топологическое пространство, локально являющееся факторпространством R" по модулю действия конечной группы. Дадим формальное определение (Тёрстон [1]):

Оп р е д е л е н и е 2.12. Орбифолд 6 состоит из хаусдорфова пространства Х = Х^ с некоторой дополнительной структурой. X имеет покрытие {U,} открытыми множествами, замкнутое относительно конечного пересечения. Каждому U; сопоставлены конечная группа Gj, ее действие на открытом Uj с R" и гомеоморфизм

Ф/: Ui-^UdG;.(2.7)

Как только Uj cz U,, так существует инъективный гомоморфизм'

W Gi^Gj -.(2-8)

и вложение у щчн,'h^v .

- /^(2.9)

эквивариантное Относительно /,у (т. е. для g^G, и х€^< выполнено ф,7 (g(x)) = ^ (х) ф,у(х), такие, что диаграмма >’

■ ^-.;< .Ui Uj '"

■№ -^-^UytijGi .(2.10)

РU.cU, UjGj ' !

коммутативна.

Заметим, что ф/у определены с точностью до композиции с элементами группы Gj и, соответственно, /,у — с точностью до сопряжения элементами группы Gj. Вообще говоря, не верно, что Ф/* = Фу» ° Фу- когда UiC.UjC.Uk', однако существует элемент g^Gk такой, что■

..£ ° Ф/л = Фл ° Ф//(2Л1)

и

’ g° foAgiW^fjk0 fiAgi), gi^G;. (2.12)

Ясно, что структура орбифолда не должна зависеть от покрытия {(/,}: два покрытия дают одну и ту же структуру орбифолда, если их объединение удовлетворяет определению.

Под $-орбифолдом, где $ —псевдогруппа, понимается орби- фолд, в определении которого все отображения и действия групп соотносятся с $ (см. § 1).

Аналогично, если дано многообразие X и действующая на на нем группа G-гомеоморфизмов, то под (X, СУорбифолдом понимается ^-орбифолд, получаемый склеиванием кусков X при помощи элементов псевдогруппы 3, образованной сужениями элементов группы G на открытые множества в X. В этом смысле мы говорим о дифференцируемом, конформном, евклидовом, эллиптическом, гиперболическом орбифолдах.

В описанной выше ситуации мы говорим, что «Х = Хр есть моделирующее пространство для 6» или «6 есть топологически Xg».■

Так как в дальнейшем мы будем действовать в дифференциальной категории, то мы должны считать, что действие групп G, таково, что в касательном пространстве в неподвижной точке

действие группы Gf определяется подгруппой GL(n, R); в силу конечности G;, это действие должно определяться действием подгруппы ортогональной группы О (и).

' Из определения орбифолда 6 следует, что если мы будем неограниченно уменьшать окрестности точки х£б, то сопоставляемые им группы стабилизируются к группе Gx — локальной группе в точке х. Сингулярное множество 2g орбифолда 6 состоит из тех точек х^Х, для которых Gx-r^{id}. Очевидно, что 6 является многообразием, если 2g = 0. Сингулярное множество 2g замкнуто, так как замкнуто его пересечение с любой координатной окрестностью. 2g нигде не плотно. Это следует из того факта, что нетривиальный гомоморфизм па многообразии, оставляющий неподвижным открытое множество, не может иметь конечный порядок..

Для демонстрации введенных понятий рассмотрим некоторые орбифолды (Тёрстон [1]).'

Пример 2.13 («парикмахерская»), Рассмотрим группу G, порожденную отражениями в плоскостях Р (ех, 0) и Р (ех, 1) пространства R3. Группа G есть бесконечная диэдральная группа DOO = Z2*Z,., Факторпространство R3/G есть слой (x^R3; '0 s// xt </1}. Физически это соответствует двум зеркалам на параллельных стенах.

Пример 2.14 («четырехугольная подушка»). Пусть G —подгруппа индекса 2, состоящая из сохраняющих ориентацию элементов группы Н изометрий евклидовой плоскости, порожденной отражениями относительно четырех сторон прямоугольника R. Группа Н изоморфна D„xD„ а факторпространство R-iH («биллиардный стол») есть прямоугольник R. Факторпространство R^jG^G получается отождествлением сторон двух прямоугольников R и R' при помощи отражения относительно их общего ребра. Топологически орбифолд 6 представляет собой сферу с четырьмя сингулярными точками, соответствующими точкам в R3 с нетривиальными группами изотропии (Z2). Эта сфера имеет риманову метрику нулевой кривизны на дополнении к этим четырем течкам р(, и имеет кривизну Кр = л, сконцентрированную в каждой из четырех точек р,. Окрестность каждой точки р, является конусом, угол которого при вершине (по поверхности) равен л = 2л — /<э .

Пример 2.15 (сингулярное множество есть боромеевы кольца). Рассмотрим три семейства прямых в R3 вида - ч....

(x£R3: x = (t, п, /и-г 1/2)},<

(x^R3: х = (m-V- 1/2, t, к)}, ■ • - .ытее Tv, {х^У?3: х = (п, т+\/2, t)},

где п и т — целые, а / — вещественный параметры. Они отсекают кубы единичной решетки —как показано на рис. 15.!;<

Пусть группа G порождается вращениями на 180° вокруг этих прямых. Нетрудно видеть, что фундаментальной областью группы G (см. § 4 гл. 3) является единичный куб. Рассматривая действие элементов группы на сторонах куба, т. е. отождествляя G-эквивалентные точки границы куба, мы получим факторпространство Q~R3/G. При таком отождествлении •. каждая сторона куба должна сложиться — как раскрытая книга. При этом надо следить за образами осей пово- |>! ротов, которые образуют сингуляр- v> ное множество 2g (рис. 16).1

Факторпространство 0 — R3/G есть ’ сфера S3 с сингулярным множеством 2g, состоящим из трех зацепленных " окружностей—в виде боромеевых г': колец —ср. рис. 12. На дополнении ! ' S3\2g имеем евклидову структуру ; (т. е. метрику кривизны 0), а в точ

Введем понятия накрывающего отображения 6 —* 6 орбифол- дов. Оно, грубо говоря, сводится к тому, что его сужение на достаточно малую окрестность выглядит как U,G' -U[G, где U — открытый шар в R'1, a G' —подгруппа G. Более точно,Введем понятия накрывающего отображения 6 —* 6 орбифол- дов. Оно, грубо говоря, сводится к тому, что его сужение на достаточно малую окрестность выглядит как U,G' -U[G, где U — открытый шар в R'1, a G' —подгруппа G. Более точно,ках 2g — особенности типа конуса с углом л вдоль окружностей зацепления. .■

Введем понятия накрывающего отображения 6 —* 6 орбифол- дов. Оно, грубо говоря, сводится к тому, что его сужение на достаточно малую окрестность выглядит как U,G' -U[G, где U — открытый шар в R'1, a G' —подгруппа G. Более точно,

Введем понятия накрывающего отображения 6 —* 6 орбифол- дов. Оно, грубо говоря, сводится к тому, что его сужение на достаточно малую окрестность выглядит как U,G' -U[G, где U — открытый шар в R'1, a G' —подгруппа G. Более точно,

накрывающим (орбифолдом 6) называется орбифолд О с проекцией р; Х^—-Xg моделирующих пространств, для которых в каждой точке х^Хд существует окрестность U = U/О (где U a R” открыто) такая, что каждая компонента связности V, множества р-1(1/) изоморфна UlGh где Gt-с G — некоторая подгруппа. При этом изоморфизм должен быть согласован с проекцией.

Основным примером накрытия является следующая ситуация. Пусть группа G действует на многообразии М. Тогда М есть накрывающий орбифолд для орбифолда М/G; кроме того, для любой подгруппы G' с G орбифолд М/G' тоже является накрывающим для орбифолда M[G. Так, в примере 2.14 «четырехугольная подушка» является двукратным накрытием для «биллиардного стола».

Можно показать, что любой орбифолд 6 имеет универсальный накрывающий орбифолд 6, определяемый в следующем смысле. Если x£Xg\Sg—базисная (фиксированная) точка орбифолда б, то универсальный накрывающий орбифолд 6, р; 6 —>• б, есть связный накрывающий б орбифолд с базисной точкой х, проектирующейся в х, такой, что для любого другого накрывающего орбифолда б', р': 6'—*6, с базисной точкой х', //(х') = х, существует поднятие q: 6—6' отображения р, являющееся накрывающим отображением орбифолдов (см. Тёрстон [1, предложение 13.2.4); Скотт [4]).

Если б —«хороший» орбифолд (т. е. б имеет накрывающий орбифолд б', Sg, = 0), то 6 накрывается односвязным многообразием М с тривиальной структурой в смысле орбифолда. Тогда можно непосредственно показать, что М есть универсальный накрывающий орбифолд, использовав при этом, что каждый накрывающий б орбифолд должен быть изоморфен MiG' для некоторой подгуппы G' группы G преобразований наложения многообразия М над б.

Определение 2.16. Фундаментальной группой лг (6) орбифолда 6 называют группу преобразований наложения универсального накрывающего орбифолда 6.

Определение 2.17. Орбифолдом с краем называют топологическое пространство, локально являющееся пространством Rn или полупространством (х^/?”: х„^0} — по модулю действия конечной группы —ср. определение 2.12.

Определение 2.18. Подорбифолдом 6t орбифолда б называют подпространство Xgt с: Хд, локально являющееся пространством Rk с Rn (k ^ п) — по модулю действия конечной группы.

Заметим, что в случае, когда Хд является топологическим многообразием, не следует путать ЭХд с дб или с Xdg, как и фундаментальную группу Л! (б) с фундаментальной группой лг (Хд).

Заканчивая обзор некоторых свойств орбифолдов, приведем следующие утверждения. '

Теорема 2.19 (Дунбар [1]). ПустьТ^ ~ подгруппа фундаментальной группы л, (6) хорошего орбифолда б с моделирующим пространством Х^, порожденная преобразованиями наложения, имеющими неподвижные точки {заметим, что N — нормальная подгруппа').; ,

Тогда'

Л! (Х0) Л! (6)/Х.■

Теорема 2.20 (Тёрстон [1, 13.3.2]). Если G — группа вещественно-аналитических диффеоморфизмов вещественно-аналитического многообразия X, то любой (X, С)-орбифолд б является хорошим. При этом определены развертывающее отображение

d: б — X■ ‘

и гомоморфизм голономии,- . -■

d*: лДб)-^ G. ' ' ;!

Теорема 2.21. Пусть в условиях теоремы 2.20 G — группа изометрий, действующая транзитивно на X. Тогда, если орби- фолд 6 замкнут или метрически полон, то 6 является полным (X, О)-орбифолдом, т. е. развертывающее отображение является накрытием. В частности, если X односвязно, то 6 = Х и лДб) действует как дискретная подгруппа группы G.

Заметим, наконец, что понятие орбифолда дает нам механизм для изучения дискретного действия групп на многообразиях, обобщающего свободное действие на случай действия с неподвижными точками. При таком действии большинство понятий, определенных для многообразий в (частности, эйлерова характеристика, ориентируемость, понятие многообразия Хакена и т. д.) переносятся и на орбифолды. Более детальное изложение (с доказательством утверждений этого параграфа) читатель может найти в работах Тёрстона [1], Дунбара [1], Скотта [4]._

4. Восемь трехмерных геометрий Тёрстона

Рассмотрение геометрических структур на многообразиях, т. е. полных локально однородных метрик,приводит (см.Зингер [1]) к рассмотрению геометрий полных однородных пространств X с транзитивными группами изометрий и компактными стабилизаторами точки X. Под геометрией, таким образом, естественно понимать пару (X, G), где группа G (с компактными стабилизаторами Gx, х^Х) действует транзитивно на многообразии X. При этом две геометрии (X, G) и (X', G') эквивалентны, если существует диффеоморфизм X—*Х', переводящий действие группы G в действие (изоморфной ей) группы G'.

При классификации геометрий естественно руководствоваться следующими соображениями:

Пространство X односвязяо (в случае его неодносвязности на ’(X, С)-многообразии М можно рассмотреть структуру, задаваемую универсальным накрывающим пространством X).

, 2. Группа G является унимодулярлой, т. е. существует мера на G, инвариантная относительно операции умножения справа или слева. Иначе на X существует G-инвариантное векторное поле, изменяющее объем, что ведет к отсутствию компактных (X, 0)-многообразий и (X, С)-многообразий конечного объема.

. Группа G является максимальной группой гомеоморфизмов пространства X, имеющей компактные стабилизаторы точек. В противном случае, если G содержится в большей группе G', то любое (X, 6)-многообразие является и (X, С')-многообразием.

Этот подход позволил Тёрстону доказать (см. Скотт [4, теорема 5.1]), что всякая максимальная односвязная геометрия (X, G), допускающая компактное фактормногообразие Х/Г, Г~0, эквивалентна одной из восьми описанных ниже геометрий (X, IsomX).

Перед описанием указанных восьми геометрий заметим, что среди них наиболее интересной, наиболее сложной и наиболее часто встречающейся является гиперболическая геометрия. Другие семь играют роль исключительных геометрий — как в двумерном случае евклидова и сферическая геометрии. В частности, для шести из этих геометрий (за исключением Sol-геометрии) все замкнутые фактормногообразия являются слоениями Зейферта (а всякое слоение Зейферта допускает геометрическую структуру (см. Скотт [4] и гл. 7)). Замечательное обсуждение свойств этих исключительных семи геометрий (вместе с классификацией всех 3-многообразий с геометрией одного из семи типов) содержится в книге Скотта [4]. Здесь же читатель может найти доказательство того факта, что если замкнутое 3-многообразие допускает геометрическую структуру, то определяемая ею геометрия единственна (хотя сама структура свойством единственности может не обладать). При описании этих восьми трехмерных геометрий мы будем указывать односвязное пространство X и группу G, сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов X с компактными стабилизаторами Gx, х^.Х, изоморфными либо SO(3), либо SO(2), либо тривиальной группе SO (1).

Для первых трех геометрий Gx ^SO(3).

Г1. Гиперболическая геометрия (см. § 3 гл. 1).

Г2. Сферическая (или эллиптическая) геометрия (см. § 3 гл. 1) получается при X = S3 и G^S:!xS3/Z. Классификация всех сферических 3-многообразий см. в работах Зейферта [1] или Вольфа [1].

ГЗ. Евклидова геометрия соответствует X = R3 и G ^ R3 X SO(3). Существует только десять негомеоморфных компактных трехмер-

ых евклидовых многообразий. Каждое из них конечнократно накрывается трехмерным тором Т3 (см. Вольф [1, гл. 3]).

Для следующих четырех классов компонента GxcG, содержащая тождественный элемент, есть SO (2).

Г4. Пространство X есть S2xR. Группа G есть произведение группы сферических изометрий S2 на группу евклидовых изометрий прямой R. Существует только два негомеоморфных примера компактных ориентируемых многообразий с этой геометрией: многообразие Хопфа S2xS3 и RP3 # RP3 — единственное замкнутое 3-многообразие, представимое в виде нетривиальной связной суммы и обладающее геометрической структурой.

Г5. Пространство X равно произведению Н2 xR гиперболической плоскости И2 на евклидову прямую R. Группа G его диффеоморфизмов есть произведение группы изометрий Н2 ^5Ц2, R)/ /{±1}) и группы изометрий R. Каждое замкнутое ориентируемое многообразие допускает введение такой (Д2 х R, Isom Д2 х Isom R)- структуры в том и только в том случае, если оно конечнократно накрывается произведением S^xS1, где S1 —окружность, a Sg— замкнутая поверхность рода g > 1 (см. Скотт [4]). Поэтому в дальнейшем такие многообразия будем называть почти тривиальными расслоениями Зейферта (см. подробнее § 5 гл. 8).

Гб. Пространство X = PSL(2,R) является универсальным накрывающим пространством множества векторов единичной длины ДД2 в гиперболической плоскости. (PSL(2,R) топологически- открытый заполненный тор, на котором существует метрика Лоренца постоянной кривизны (см. подробнее Голдман [2, § 2]).) Группа G есть произведение R на универсальную накрывающую группы изометрий гиперболической плоскости Д2. При этом изометрии Д2 действуют за счет своих производных (повороты), a R действует как одновременное вращение всех векторов, оставляющее неподвижными точки Д2. Примером 3-многообразия с такой (X, 6)-структурой является пространство единичных касательных векторов любой поверхности гиперболического типа. Другим таким примером является многообразие, получающееся факторизацией ^Д2 по группе сохраняющих ориентацию автоморфизмов некоторой регулярной сети, например, (2, 3, 7)-сети (рис. 17).

Г7. Nil-геометрия (группа Гейзенберга). Пространство X является скрученным произведением R и R2, а группа G есть R- расширение группы изометрий R2 такое, что точна последовательность

R —>■ G — * Isom R2. (2.13)

Для более наглядного представления пространства X рассмотрим R3 с полем т двумерных плоскостей, устроенным следующим образом. В точках оси R-es = (х ^ R3; Xi = x2 = 0} плоскости поля т ортогональны оси R-e^. В точках любого луча, исходящего из точки на оси Re3 и перпендикулярного ей, поле т состоит из

плоскостей, касающихся этого луча и имеющих в направлении, перпендикулярном лучу, тангенс угла наклона, линейно зависящий от расстояния до оси R-e3 (а именно, равный половине этого расстояния). Иначе, в точках х с координатами (хъ х2, х3) плоскость из поля т определяется векторами

—(хг/2)-е3 и е. + Сх^-еа.(2.14)

Группа G из (2.13) определяется аффинными преобразованиями в R3, получающимися поднятием евклидовых изометрий плоскости

^x£R3; х3 = 0} до аффинных преобразований R3, сохраняющих поле т (задающееся векторами (2.14)) и расстояние вдоль прямых, параллельных оси Re3 (в целом существует 1-параметрическое семейство таких поднятий). Заметим, что изменяющие ориентацию изометрии R2 поднимаются при этом до отображений, изменяющих направление оси Re3.

Указанной (X, С)-структурой обладают все 3-многообразия, яв-

Рис. 17ляющиеся нетривиальным ориен

тируемым расслоением на окружности над тором Т2 (т. е. отличные от Т3\ Если рассмотреть дискретную нильпотентную подгруппу Г в группе G, образующими которой являются отображения

(2-15)(2-15)(х3, х2, х3) I > (х^ —j- 1, х2, х3 ф- х,/2),(х1( Х2, Х3) (Xj, х2 + 1, х3 — хф2),

(2-15)

(2-15)

то факторпространство Х/Г является как раз таким многообразием. Все другие примеры компактных многообразий с такой геометрической структурой конечнократно накрываются многообразиями, гомеоморфными построенному Х/Г.

Другое описание этой геометрии мы получим, определив пространство X как группу Гейзенберга Н, состоящую из матриц

( /1 Xi х3\-|

Н = 0 1 х2 ( ■I \ 0 0 1 / J

При этом группа G есть полупрямое произведение группы Н и группы S1, действующей как группа автоморфизмов Н при вращении плоскости {(Xi, х2, 0)}. При таком описании (X, С)-геомет- рии дискретной подгруппе Г с образующими (2.15) соответствует подгруппа в Н, где хп х2 и х3 — целые числа.

Г8. ScA-геометрия. Последняя (X, С)-геометрия имеет тривиальные стабилизаторы Gx, х^Х. В этом случае, как и раньше, X является группой Ли, а именно разрешимой группой Ли, отве-

чающей точной последовательности,_

R2 -X R, ’(2.16)

где действие R на R2 задается формулой ..

(xn х2) и-> ^е* • Xl е~к-х^.(2.17)

Группа G есть Z2xZ2-pacшиpeниe X, где группа Z2xZ2 действует на (2.16) как группа автоморфизмов, имеющая три нетривиальных элемента, являющиеся вращением на 180°:

(Xl х2, t^^^—x^, — х2, 0,

(хъ х2, ^)i—>(х2, хъ —/),•(2.18)

(хп х2, О1-*•(—х2, — xi, — t\

Многообразием с указанной (X, С)-структурой является любое расслоение на торы над S1, имеющее монодромией линейное отображение с различными вещественными собственными значениями.

§ 5. Классификация четырехмерных геометрий

Хотя свойства топологических 4-многообразий (как показывают результаты Фридмана [1]) можно изучать при помощи методов многомерной топологии, теорема Дональдсона [1] о гладких структурах на R4 показывает необходимость применения в теории дифференцируемых 4-многообразий и мало-размерных методов в том числе и геометрических. И хотя в этом случае в отличие от размерности 3 (см. гл. 8), нет пока соответствующих теорем разложения (см. Мандельбаум [1]), позволяющих применить метод Тёрстона, мы дадим в этом параграфе классификацию четырехмерных (X, С)-геометрий. Классификация эта, основанная на принципах, изложенных выше в § 4, дана в диссертации Филип- киевича [1] (см. также Уолл [1]). Информацию о возникающих 4-геометриях с точки зрения однородных римановых пространств и групп Ли читатель может найти в работе С. Исихары [1], а также в трудах семинара А. Бессе [1].

Список 3-геометрий Тёрстона был организован в терминах ста- билизатор-подгрупп точки пространства X. Такой список в размерности четыре записывается кратко в следующем виде (исполь

зуем только связныеСтабилизатор-подгруппа Gx:SO (4)! SO (2) х SO (2):so(3)VSO (2)V51Г{id}зуем только связныеСтабилизатор-подгруппа Gx:SO (4)! SO (2) х SO (2):so(3)VSO (2)V51Г{id}группы изометрий):

зуем только связные

Стабилизатор-подгруппа Gx:SO (4)

! SO (2) х SO (2)

:so(3)

VSO (2)

V51

Г{id}

зуем только связные

Стабилизатор-подгруппа Gx:SO (4)

! SO (2) х SO (2)

:so(3)

VSO (2)

V51

Г{id}

Пространство X:

S4, R4, H4

CP\ CH2

S2xS2, S2xRS S2x№, R^xH2, H«xH8

S3xR, H3xR

Nil’xtf, PSL^, R^xR, Sol4

F4

Nil4, Sol^, „ (включая Sol’x/?), Sol{

Не останавливаясь на случаях произведений геометрий меньшей размерности, заметим, что здесь имеются четыре неприводимых римановых симметрических пространства — сфера S4, гиперболическое пространство Н4, комплексное проективное пространство СР2 и комплексное гиперболическое пространство СН2. Хотя за модель пространства СН2 можно взять единичный шар в R4 с подходящей метрикой (индуцированной билинейной формой индекса 1 (ср. § 3 гл. 1 и Чен, Гринберг [1])), это пространство отлично от Н\

Оставшиеся случаи более индивидуальны.

Нильпотентная группа Ли Nil4 есть полупрямое произведение R3 х uR, построенное по вещественному трехмерному представлению U группы R, U (() = exp (IB), где

- О 1 о.

В = о 0 1 .

\0 О О/-.

Разрешимые группы Ли Sol^, п являются полупрямыми произведениями R3 Ктт.Д строящимися по вещественным трехмерным представлениям Тт, п группы R, Тт,п(/) = ехр ЦСт, где

/а 0'

■ При этом вещественные а > Р > у таковы, что а-фР-!у = 0 и еа, ft, ev —есть корни уравнения X3 — тХ2 ф-пХ — 1 = 0 с положительными целыми тип.

Если т = п, то р = 0 и пространство So!^,m отождествляется с Sol3x/?, где Sol3 —трехмерная разрешимая геометрия (Г8 в § 4).

В целом Sol^.n — Sol^',«' тогда и только тогда, когда соответствующие матрицы Ст,п и Ст-,п- пропорциональны. Это дает бесконечное множество классов эквивалентности.

Заметим, что наши условия на а., р, у исключили выше случай двух равных корней, т. е. случай т?п2 + 18mn = 4(m3 + и3) + 27. Имея здесь изометричные вращения (SO (2)) первых двух координат, мы получаем геометрию SolJ.

Еще одна разрешимая геометрия Sol* получается как матричная группа

(/* 6 Л 1

О а а : a, a, b, с £ R, а > 0 .

0 1/ J

И, наконец, имеется геометрия F4 с группой изометрий R2 xPSL(2, R) (полупрямое произведение берется относительно естественного действия Р51Д2, R) на R2) и стабилизатором SO(2). Пространство F4 диффеоморфно R4 и имеет метрику знакопеременной кривизны, не являющуюся произведением.

Связь этих геометрий с комплексными и келеровыми структурами (сохраняемыми стабилизаторами GJ читатель может найти в работе Уолла [1].

ГЛАВ A 3'

ОБЩИЕ СВОЙСТВА РАЗРЫВНЫХ ГРУПП С

"\ ■ 'и.^спь , = v -• ■ -лжи X т :х-* . гя-л*.. - г9».-,ак v

г;ч* a, 'I» 1 , .'.м ', 1 гУ L- «.•pvj > мг1 । С

, ; s ■ ‘ ' \ ЩГ-' W С. V .а-лА

Группы со сходимостью " ' 1’

Основные понятия. Структура общих топологических групп не так хорошо понятна, как структура конформных или мёбиу- совых групп, которые интенсивно изучались многие годы. Однако существует некоторый промежуточный класс групп гомеоморфизмов областей на сфере 8", имеющий много общего с мёбиусовыми группами. К его изучению приступили в последнее время много математиков (см. Асеев [1], Геринг, Мартин [1, 2], Тукия [1, 2, 9J, Фридман, Скора [1, 2j). Мы дадим здесь (следуя Герингу, Мартину [1]) краткое описание возникших концепций. Одновременно с этим мы будем выделять некоторые моменты, присущие и мёбиусовым группам.

Пусть G — некоторая группа автоморфизмов области D^Sn = Rn. Тогда G называем К-квазиконформной группой, К ^ 1, если каждый ее элемент является /(-квазиконформным в D. Как показывает теорема 1.1, квазиконформные группы, как и мёбиусовы, обладают некоторым свойством сходимости (компактности), мотивирующим следующее определение.

Определение 3.1. Группу G гомеоморфизмов сферы Sn называют группой со сходимостью, если она обладает следующим свойством: каждое бесконечное подсемейство в G содержит последовательность {g,} различных элементов такую, что справедливо одно из утверждений:

Существует гомеоморфизм g сферы Sn такой, что имеет место равномерная сходимость на 8":

limg, = g, hmgf^g-1.(3.1)

Существуют точки х0, y6^Sn такие, что имеет место сходимость ■

' ling,(x) = t/0, limgf^xJ^Xo,(3.2)

которая является равномерной на компактах из 8"\{х0} и 8"\{</0} соответственно.

Из теоремы 1.1 немедленно получаем

Следствие 3.2. Если G — К-квазиконформная группа на сфере Sn, то G является группой со сходимостью. В частности, каждая мёбиусова группа GaMbb^n) есть группа со сходимостью.

Группу автоморфизмов области DaSn называют дискретной группой, если она не содержит бесконечной последовательности различных элементов, сходящейся равномерно на компактах из D к какому-либо элементу группы.

В случае GcMob(n) это определение эквивалентно тому, что G является дискретным подмножеством топологической группы Mob (п). При этом топология на Mob (п) может быть введена двумя эквивалентными способами. Во-первых, она индуцируется топологией группы Лоренца SO (п + 1, 1) в силу изоморфизма Mob (и) ^ ^SO(n+l, 1)/{±1} (см. п. 1 § 4 гл. 1). Второй подход дает тот факт, что на Mob (п) sMob (Bn + 1) вводится топология произведения О(п+1)хВи+1 (любой элемент g £ Mob (Ви+1) имеет вид Uoga, где ga(a) = 0, a^Bn+1, U^O(n+l); см. (1.15)), эквивалентная предыдущей.

Говорим, что группа G автоморфизмов области DeS'1 действует разрывно на открытом множестве ХсО, если для любого компактного подмножества FсХ множество элементов g^G таких, что g (F) A F #=0, конечно. При этом группу G называют разрывной (клейновой, если GcMob(n)) группой на сфере Sn, если существует непустое открытое множество XcSn, на котором она действует разрывно. Очевидно, что разрывность группы G влечет ее дискретность (отсутствие элементов, близких к тождественному). Обратное неверно. Классический пример этого дает группа Пикара GcM6b(2), состоящая из всех дробно-линейных преобразований w (z)=(az 4- b)l(cz + d) с целочислен ными комплексными коэффициен - тами. Очевидно, что эта группа дискретна. Однако ни в каком открытом подмножестве плоскости она не действует разрывно; образы любой точки плоскости плотны на ней.

Назовем множеством, разрывности Q (G) группы G в области DsSn множество всех точек x^D, для которых существуют окрестности UcD такие, что множества {g^G: g (О') 00^0^ = =Z(U) конечны. Дополнение к множеству разрывности A(G) = = Z)\Q(G) называем предельным множеством группы G. Очевидно, что Q(G) и A(G) являются соответственно открытым и замкнутым G-инвариантными множествами.

Легко видно, что если G — дискретная группа со сходимостью, то для любой бесконечной последовательности различных элементов G существует подпоследовательность {§,} и точки х0, у0 £ S” такие, что выполнено (3.2). Более того, если EcSn — любое G- инвариантное замкнутое множество, card Е^ 2, то х0, уа 5 A(G) сЕ.

Отсюда мы видим, что для дискретной группы GcMob(n) и для ее продолжения G <z Mob (п 4-1) (см. п. 4 § 2 гл. 1) предельные множества совпадают: A (G) = A (G) cSn = Rn и, следовательно, группа G действует разрывно в полупространствах К1^1 и R1+1.

Лемма 3.3. Для дискретной группы со сходимостью G на сфере Sn и для любой точки уг^Х (G) существуют точка хг ё A (G)

11 бесконечная последовательность {g,} сб такие, что ''

'\\mgi(x) = yx, ,Нin gp) (х) = Х1 "'

равномерно на компактах из 5"\{х!} и S"x\{z/1} соответственно.

Доказательство этой леммы непосредственно вытекает из определения предельной точки ух и свойства сходимости группы G.

Эта лемма показывает, что предельные точки Л (G) есть пределы орбит {^/(х)} точек x^Q(G). Более того, если Л(х, G)— множество точек накопления орбиты G (х) некоторой точки х 5 S", то мы имеем включение Л(х, G)cA(G) для всех x^S”. Это включение становится равенством, если G(x)=^{x}.

Элементарные группы. Предельное множество A (G) либо пусто, либо состоит из одной или двух точек, либо совершенно. В последнем случае либо A(G) = S", либо A(G) нигде не плотно на Sn.

Группы, соответствующие первым трем случаям (cardЛ (G) ^ 2) называются элементарными. Они описываются следующим утверждением.

Теорема 3.4. Дискретная мёбиусова группа на сфере Sn элементарна тогда и только тогда, когда она почти абелева (необходимость имеет место и в случае группы со сходимостью).

Для доказательства теоремы нам необходимо классифицировать дискретные циклические группы со сходимостью.

Определение 3.5. Пусть g — гомеоморфизм сферы 8", задающий дискретную группу <g>. Тогда мы называем g;

эллиптическим, если g имеет конечный порядок ordg;

параболическим, если ord g=oo и g имеет единственную неподвижную точку: card (fix g)= 1;

локсодромическим, если ord g=oo и card (fix g) = 2.

Имеет место следующий результат, являющийся классическим для мёбиусовых групп (см. Геринг, Мартин [1, § 5]):

Лемма 3.6. Пусть G—дискретная группа со сходимостью на сфере Sn. Тогда;

A(G)=0, если и только если G — конечная группа эллиптических элементов.

A(G) = {x0}, если и только если G— бесконечная группа, состоящая из параболических и эллиптических элементов g, g(x0)=xfl.

Л(G)-= {х0, у0}, если и только если G содержит только локсодромические элементы g, fix g= {х„, z/0}, и эллиптические элементы, которые либо переставляют точки х0 и у0, либо оставляют их неподвижными. При этом множество локсодромических элементов непусто.

Переходя теперь к доказательству теоремы 3.4, заметим, что нам достаточно доказать элементарность любой абелевой группы G. Допустим противное и пусть (ух, у2, z/3}cA(G). Тогда по лемме 3.3 существуют хх, х2, x3£A(G) и последовательности

{g/, 1}, (g/, =}, {g/, 3} в G такие, что для к = 1, 2, 3 lim g;, к (х) = ук равномерно на компактах из 8и\{х6}. Можно считать, что выполнен один из двух случаев:

У1^Х2, Уг^Х^,(^-^)

У1Т^Х2, У'Л^ Х3, Уз^Х^.(2-4)

Допустим, что имеем (3.3) и пусть непересекающиеся окрестности Ut и U2 точек уг и уг таковы, что 1\с8И\{х2} и t/2cS'1\{x1}. Тогда для фиксированного х£ S^^, х2} Ux U {х} компактно содержится в 8”\{х2} и, поэтому существует ц такое, что для / > /з g/, 2 (^i U W)cf72. Аналогично, для некоторого /\ и для всех />/\ имеем g,. , (t/2 (J ^x^c:Ut. Поэтому для / ^ max {/\, /2) = /0 имеем

g/, i°g/, iW^U^ gj,2°gf,i(x)eU2-

Это противоречит непересекаемости Ut и U2 и абелевости G.

Допустим теперь, что выполнено (3.4) и пусть Uk — попарно непересекающиеся окрестности точек ук, к = 1,2,3, такие, что

^cS-Xtx,}, ^cS-XIXg}, tT3cS"\{x1}.

Если х£ S^x^, х2, х3}, то (как выше) имеем /0 такое, что для всех / > /0

gj, l°gj, 3»gj. 2 W Е Uu gb 2Og,., xOgj,3 W € U2.

Этот факт снова противоречит абелевости G и тем самым заканчивает доказательство теоремы 3.4.

Заметим, что теорема 3.4 показывает полноту определения 3.5: каждый элемент дискретной группы G со сходимостью является либо эллиптическим, либо параболическим, либо локсодромическим. Этот факт имеет важное для униформизации многообразий и теории геометрических структур (ср. § 2 гл. 2)

Следствие 3.7. Если два элемента fug дискретной группы G со сходимостью на сфере Sn совпадают на открытом множестве, то f = g.

Доказательство. Элемент h = f~1og имеет неподвижными точки открытого множества и, поэтому, h — эллиптический элемент дискретной группы G, имеющий конечный порядок. Классический результат Ньюмана [1] о периодических гомеоморфизмах сферы 8Л завершает доказательство того, что /i= id.

Мы закончим этот пункт классической теоремой Бибербаха, качественно уточняющей теорему 3.4 в случае мёбиусовых групп с одной предельной точкой.

Теорема 3.8. Пусть G —дискретная группа евклидовых изометрий. Тогда-.

Если Rn]G компактно, то подгруппа G* переносов — свободная абелева группа ранга п, является нормальной подгруппой конечного индекса p(G*, G) в группе G.

Если RnjG некомпактно, то существует нормальная подгруппа G* конечного индекса y(G*, G), являющаяся свободной абелевой группой ранга к, О^Сй^п— L При этом, с точностью до сопряжения группы G изометрией Rn, группы G и G* имеют следующую структуру.

Запишем Rn = Rk/Rn-k и пусть g: хt-> U (х) + а (UGO(n?), a GR^ —произвольный элемент из G; тогда U (Rk) = Rk, U(Rn~k') = —Rn-i:, aG Rkx{0}. Еслиg — элемент подгруппы G*, mo U |л? = id, m. e. g|^ является переносом.'

Современное доказательство этого факта см., например, в работе Вольфа [1]. Другой подход к теореме Бибербаха см. в замечании 4.18.

Свойства предельного множества. С точки зрения динамики итераций g‘ (х) классификацию гомеоморфизмов g сферы S", образующих дискретные циклические группы <g> со сходимостью (определение 3.5), можно переписать в следующем эквивалентном виде:

g—эллиптический, если g имеет конечный порядок;

g—параболический, если для некоторого x0£S"

limg'(x) = x0, Iimg-'(x) = x0• (3.5)

равномерно на компактах из Sn\{x0};

g — локсодромический, если для некоторых двух тонек х0,

!' Нтя'(х) = у0,limg-'(x) = x0(3.6)

i->CB•■ ) 1'.п -

равномерно на компактах из 5"\{х0} и £"\{у0} соответственно.

Очевидно, что последний случай эквивалентен тому, что существует топологический шар BcSn такой, что g‘ (фсВ для некоторого I.

Следующее утверждение, классическое в мёбиусовом случае, показывает антагонизм параболических и локсодромических точек в Л(С).

Лемма 3.9. Если G—дискретная группа со сходимостью и ее локсодромический элемент g, fixg={x0, у0}, имеет с другим элементом fGG общую неподвижную точку х0, то f(y9) = y9 и для некоторого целого k=^Q fgk = gkf.

Доказательство. Допустим, что х0—отталкивающая точка для g и пусть U, V—шаровые непересекающиеся окрестности точек х0 и у0 соответственно, Е = S"\(f7 и У). Тогда для всех /, больших некоторого /0, и для достаточно больших к имеем

f°g-4E)^U\^x^, gk°fog~J' (E)\U #= 0.

Обозначим через &(/) такое наименьшее к и пусть Н,- = gkl6ofog~E Тогда для j > /0'

к,- (х0) = х0, h, (£) П Е =^ 0..

В то же время li:n h5 (у0) = у0, так как Нт к (/) = оо’. Поэтому для достаточно большого / замкнутые множества>

£! = {%„}, Е2 = (МУо): ^^/}и{у0}, Е3 = Е

попарно не пересекаются и, следовательно, лишь для конечного числа элементов g дискретной группы G могут быть выполнены соотношения

g(Е^ П Ек =£ 0 для к=\, 2, 3.

Таким образом, существуют /\ и /2, /\ < /2, для которых hj = hy , т. е. если j = j2 — j1 и к = кЦ^—кЦ^, то

gk = fogi о/" 1, gkm = logimo[-x,

для всех целых т. Это дает, что Цуд^Уд.

Покажем теперь, что к = ]. Если к < j-, то рассмотрим m > О такое, что

g^-n-цци^си, gG-^mvy^V.

Тогда топологический шар Ug = gimQJ^ не содержит уй и

/ (t7o) = fgim W = gkmf W c gkm (gy-^ ” (U)) = ^0.

Это показывает локсодромичность f и то, что х0 является притя_ гивающей неподвижной точкой для f.

Аналогично, замыкание Уо = g"im (У) не содержит точку х0 и, в то же время,

/ (К) = ^,т (Ю - g"kmf (V)cg-^ ^-^ ™ (V)) = у0.

Это противоречит притягиваемости х0 и доказывает, что k^j. Меняя в этих рассуждениях местами / и f~x, аналогично получаем к -СД, т. е. k = j. Это завершает доказательство.

Следствие 3.10. Для локсодромических элементов f, g дискретной группы G со сходимостью имеет место альтернатива-.

fixgnfixf=0 либо fix g = fixf.

В последнем случае f‘= gJ для некоторых целых i, /'#=0.

Доказательство. В обозначениях предыдущего доказательства мы можем считать, что х0 — отталкивающая точка и для /, если fix g = fix/\ Тогда для j^U имеем р (Е)с: t/\{x0} и, как выше, для любого /" находим целое fe(/) такое, что для h^g^V'of'i выполнено hj (Е) П Е ^ 0. Рассматривая непересекающиеся замкнутые множества Е^^}, Е2 = ^Уо^> Е3 = Е, снова получаем, что h} =hJt для некоторых /\ </V Это показывает, что f-=gk для / = /2—/1 и fe = fe(/2) —fe(ii)-

Предложение 3.11. Если G — не элементарная дискретная группа со сходимостью, то fix G = {х£ S": g^ = x, g€G} = 0 и, следовательно, A(G) = Л(х, G)—множество точек накопления орбиты G (х) произвольной точки x^Sn.

Доказательство. Раньше мы видели, чтоЛ(х, G) = Л (G), если G(x)^=x. Покажем теперь, что fixG = 0.

Лемма 3.6 показывает, что G имеет локсодромический элемент f. Найдем элемент g^G такой, что fix/nfixg=0. Пусть точка Xi€A(G) и последовательность {gz}cGf равномерно сходящаяся на компактах из S"\{x1} к точке ул С Л (G)\fix f, даются леммой 3.3. Допустим, что для всех / , .

fix/nfixgz#=0, ' А ; Mv (3.7) fix/ng;(fix/)^0. (3.8)

Тогда x^fix/, так как в противном случае gj должны равномерно сходиться на fix / к точке уг, что противоречит (3.8) для больших /. Таким образом, свойство Xj #=уг и сходимость lim gj (х) = ух в S" \{xi} показывают, что для больших / все g,- являются локсодромическими. Следствие 3.10 и (3.7) влекут, что fix/ = fixgy- для /'^/0. Если fix /= {х0, у0} и х^Хд, то немедленно получаем противоречие: у0 = lim gj(уп) =yv Таким образом, для некоторого / (3.7) или (3.8) неверны. Соответственно этому мы можем взять искомый элемент g в виде g = gj или g = gjofog^-

Следствие 3.12. Если G — не элементарная дискретная группа со сходимостью, то

A(G) есть наименьшее замкнутое G-инвариантное множество в Sn;

G содержит бесконечное число локсодромических элементов gj С G, fix gj П fix gj = 0, и A(G) есть замыкание локсодромических неподвижных точек;

если G содержит параболический (или эллиптический) элемент g, fixg#=0, то A(G) есть замыкание параболических (эллиптических) неподвижных точек.

Второе утверждение следствия можно значительно усилить (см. Геринг, Мартин [1]), обобщив соответствующий факт для мёбиусовых групп. А именно, будем гсворить, что неподвижные точки локсодромических элементов группы G плотны в A(G)xA(G), если для любых хг, x2£A(G) и любых их окрестностей Е^ V2cS" существует локсодромический элемент в G, имеющий одну неподвижную точку в Vlt а другую в У2 (см. Готчалк, Хедлунд [1, с. 121 —123], Гринберг [1]).

Предложение 3.13. Неподвижные точки локсодромических элементов неэлементарной дискретной группы G со сходимостью плотны в A(G)xA(G).

Доказательство. Следствие 3.12 дает иам локсодромические элементы gi^G, i —1, 2, с неподвижными точками х,-, у,-, где у{ лежат в шарах V,. Заменяя gt на gp\ можно считать, что у,- — притягивающие точки для g,. Из условия ViAV2 = 0 и следствия 3.10 видим, что Х]^х2. Повторным применением следствия 3.12 получаем локсодромический элемент §0£б с отталки-

вающей и притягивающей точками х0 и у0 такой, что {х0, у0} П у^ = 0.

Пусть Uo, Уо, Ux, U 2 — попарно не пересекающиеся окрестности точек х0, у0, хп х2 соответственно. Тогда,

^cS^X^}, Z71c:S"\{x0}, V0cS"\{x2}

и, поэтому, для больших /. .

g-J^aU., g'^cV,, g'(V0)c:V2.

Аналогично,] ■', ; М'

gyy^cu,, g^xu^cu», g^^dVv..^'

Рассматривая hj = gJ‘„-g> • g~>, отсюда для некоторого / получаем включения';' ■ ■' л-

МУ^У21 hyyV^oVv .'

Таким образом, локсодромический элемент h;£G имеет неподвижные точки в шарах VT и У2.

Проблема сопряжения. Естественным путем получения групп со сходимостью является сопряжение какой-либо такой группы (в частности, группы GcMdb(n)) при помощи квазиконформного или топологического автоморфизма / сферы Sn: группа /С/-1 также обладает свойством сходимости. Это показывает наличие групп со сходимостью, не являющихся ни мёбиусовыми, ни квазиконформными группами.

Естественно спросить, можно ли таким путем получить все группы со сходимостью (в частности, квазиконформные группы — см. Геринг, Палка [И) из квазиконформных или мёбиусовых групп?

Положительный ответ на этот вопрос в случае квазиконформных групп на плоскости дали Сулливан [1/ и Тукия [2]; аналогичный результат для квазисимметрических (одномерных квазиконформных) групп на R получил Хинканен [L. Однако для любого п^З Тукия [1] построил квазиконформные (недискретные) группы, не изоморфные как топологические группы (и следовательно, не сопряженные) мёбиусовым группам. Модификация его метода позволяет это сделать и для дискретных групп (см. Мартин [2]). Другой подход к конструкции дискретных квазиконформных групп, не сопряженных мёбиусовым, дали Фридман и Скора [1]. В их конструкции каждый элемент группы G сопряжен мёбиусову преобразованию Sn, но сама G уже несопряжена подгруппе Mob (и). Однако и вопрос о сопряжении каждого элемента дискретной группы со сходимостью мёбиусову преобразованию не прост. Рассмотрим его в каждом из классов.

Эллиптические элементы. По теореме Брауэра — Керекьярто — Эйленберга (см. Эйленберг [1]), каждый периоди-

ческий гомеоморфизм 2-сферы S2 топологически сопряжен ортогональному преобразованию.

В больших размерностях ситуация другая. Монтгомери и Зиппин [1] построили инволюцию / трехмерной сферы, неподвижным множеством которой является дикий узел. Ясно, что f не сопряжена никакому ортогональному преобразованию. Более экзотические примеры можно найти среди контрпримеров к обобщенной гипотезе Смита. В частности, Гиффен [1] показал наличие сохраняющих ориентацию гладких (и поэтому квазиконформных) периодических автоморфизмов Sn, п^4, не сопряженных ортогональным преобразованиям. Положительное решение гипотезы Смита (см. Морган, Басс [1]) показывает невозможность таких контр-примеров при п^-З.

Параболические элементы характеризуются условием (3.5), которое при х0 = оо известно под названием условия Спернера. Удовлетворяющий ему и сохраняющий ориентацию гомеоморфизм Rn называют квазипереносом. Такие гомеоморфизмы плоскости, как показано Спернером и Керекьярто [1], топологически сопряжены евклидовым переносам: хн-^х-ьа.

В больших размерностях (п^З) имеются квазипереносы, топологически не сопряженные переносам (см. Киношита [1] и Хаш [I]), хотя параболические мёбиусовы преобразования топологически сопряжены переносам (см. Хаш [1, с. 59] и Геринг, Мартин [1, 7.29]).

Локсодромические элементы характеризуются условием (3.6). Если при этом они сохраняют ориентацию, то в размерностях п = 2, 3 или п^ 6 доказана их топологическая сопряженность растяжению х>—>2х (см. Керекьярто [2], Хомма, Киношита [1] и Хаш [2]). Возможно это так и в оставшихся размерностях п = 4,5, где задача трансформировалась в задачу четырехмерной топологии.

Действие группы на множестве разрывности

Пространство орбит группы. Из определения множества разрывности Q(G) разрывной группы GcMob(n) следует разрывность действия на нем группы G. Рассмотрим пространство орбит {G(x)}, xgQ(G), т. е. факторпространство Q(G)/G. Пусть л: Q (G) —* й (G)/G — естественная проекция.

Предложение 3.14. Пусть Gc№ob^n')— клейнова группа. Тогда £1(G)/G есть п-мерный орбифолд. Если при этом группа G действует свободно на Й(С), то л: Q(G)-^Q(G)/G является накрытием, a 61(G\!G—многообразием.

Доказательство. Так как выполнение структурных условий орбифолда очевидно, то достаточно показать отделимость Топологического пространства Q(G)/G. Рассмотрим две различные орбиты G(Xj) и G(x2), G(xt) П G (х2) = 0. В силу разрывности

группы G, в любой компактной окрестности точки хг £ й (G) содержится лишь конечное число образов g (х2) точки х2 £ й (G). Поэтому существует такая окрестность U1cQ(G') точки хп что иг П G (х2) = 0. Но тогда х2 П G (U^ = 0 и, как выше, существует окрестность t/2c:Q(G) точки х2 такая, что Оф,) A G(U2) = 0. Это доказывает отделимость Q(G)/G.

Аналогично, если G действует в й (G) без неподвижных точек, то для любой точки xgQ(G) найдется ее окрестность U, непере- секающаяся с образами g(x), ggG\{id}. В этой окрестности проекция л является гомеоморфизмом и, следовательно, л — накрытие, a Q(G)/G—многообразие.

Без учета геометрической структуры, при п^З пространство Q(G)/G всегда является топологическим многообразием. При л^4 это факторпространство может уже иметь особенности. В частности, факторпространство четырехмерного шара по действию конечной ортогональной группы Zkl действующей свободно на граничной сфере, не является многообразием — это конус над линзовым пространством.

Естественная проекция л задает на орбифолде Q(G)/G структуру конформного орбифолда (см. § 1 гл. 2). Она разветвляется над проекциями подобластей Sfcn^(G) fe-мерных сфер Sk, ОСЛ^ <дп—2, имеющих нетривиальные стабилизаторы

Gsfc={g^G: g(x) = x для всех xgS*},

которые играют роль структурных групп орбифолда Й(С)/С.

Компоненты связности. Само множество разрывности й (G) распадается на компоненты связности й,, которых может быть счетное число (их называют также компонентами группы G). Стабилизаторы

Go, -UCG: g(fi,) = fiz.} (3.9)

этих компонент являются подгруппами в G и сами представляют собой клейновы группы. Если стабилизатор (3.9) совпадает с самой группой G, то компоненту й, называют инвариантной. Если йп й2, . ..—полный набор неэквивалентных друг другу компонент, то орбифолд Й(С)/С представляется в виде

Й(С)/С = Й1/СЙ1иЙ2/С£22и • •• (З.Ю)

— объединения связных n-мерных орбифолдов.

Возникают вопросы: сколько компонент может иметь клейнова группа G, сколько среди них может быть инвариантных и какой у этих компонент гомотопический тип?

Для плоских клейновых групп ответы на эти вопросы давно известны. Число компонент связности группы Go^2 равно 1, 2 или оо; инвариантных среди них может быть не больше двух; в случае двух инвариантных компонент остальные компоненты группы являются атомами — односвязными областями с тривиаль-

ными стабилизаторами (Аккола [1]). Все конечно порожденные группы с двумя инвариантными компонентами являются квази- фуксовыми (Альфорс [1], Аккола [1]), т. е. уже не имеют других (неинвариантных) компонент множества разрывности.

С увеличением размерности ситуация совершенно меняется. Во-первых, при любом п^З существуют конечно порожденные клейновы группы Gce^„, множество разрывности которых состоит из двух инвариантных компонент й0 и йъ одна из которых стягиваемая, а другая даже не односвязна (имеет нетривиальные гомотопические группы л6(П1), l^fe^n— 2).

Во-вторых, при любом п^З существуют аналогичные группы Gcc^'„, Q(G) = Qou^i, имеющие две инвариантные компоненты с нетривиальными fe-ми гомотопическими группами nft(Q,), i = 0, 1, к = 1, . . ., п — 2.

В-третьих, при п^З существуют конечно порожденные клейновы группы Gc®8„, имеющие две инвариантные компоненты Qo, Qjc:Q(G) и, кроме того, бесконечное число неинвариантных компонент:

Q(G)\(QOUQ1) = U й .

/=2

При этом неинвариантные (стягиваемые) компоненты йу, / ^ 2, не являются атомами, т. е. имеют нетривиальные стабилизаторы G,^G.

Все три типа конечно порожденных (и даже геометрически конечных) клейновых групп Gco#n, п^З, с двумя инвариантными компонентами, очевидно, не являются квазифуксовыми (ср. выше п = 2). Первые два класса групп будут построены в § 5 гл. 9 в виде граничных групп пространства деформаций фуксовой группы Гс<^„. Пример группы третьего типа будет построен в § 5 гл. 5.

Число компонент множества разрывности. Вопрос о числе инвариантных компонент связности множества разрывности й (G) группы GczMob(n), п^З, решается совсем не так, как при п = 2. Это показывает (конструктивно) следующее утверждение (случай геометрически конечных групп, где ситуация другая, см. в § 5 гл. 5):

Теорема 3.15 (Тетенов [1, 2]). Для любых натуральных чисел к, к0, п: к-^ 1, к^кд^О, п^З, существуют клейновы группы СсД?п, множества разрывности которых распадаются на к инвариантных компонент-.

Q(G) = Q1U-.- U^, (З.П) лу(й,) = 0, 1^/^п—1, О О' sO0. (3.12)

Для доказательства теоремы нам понадобится следующий простой признак инвариантности компоненты множества разрывности (ср. Аккола [1]):

’ Лемма 3.16 Пусть GcMob (п) — клей нова группа, РЙ—компонента ее фундаментальной области, содержащая некоторую точку х0. Если при этом для каждого порождающего g группы G точки g(xy) и х0 можно соединить путем, лежащим в Й^С), то компонента Qo множества разрывности Q (G), содержащая Fo, является G-инвариантной.

Нам понадобится также следующее утверждение (см. Браун [1]): Лемма 3.17. Пусть топологическое пространство X есть объединение возрастающей последовательности Vjciyc... . . . сУ, с . . . открытых подмножеств V,, каждое из которых гомеоморфно Rn. Тогда X гомеоморфно Rn.

Доказательство теоремы 3.15. Для построения по заданным числам п?>3, fe^l, k^aky^O, iруппы G = G (n, k, k0)c: a^u co свойствами (3.11) и (3.12) мы построим систему 5 (и—1)- мерных сфер в Rn, удовлетворяющих следующим условиям: . . С1. Для всех различных о,-, оу£2 имеет место.. .

уinto,- П into; = 0.

, С2. Множество

'Ех = /?и\ U into•(3.13)

оех.

непусто и распадается на к связных компонент сферических полиэдров Рг, . . ., Р1г

СЗ. Если Р — связная компонента множества Fv, то для любой п£2 множество оПР имеет в сфере а непустую внутренность.

С4. Компоненты Р т, т^кв, множества Fv гомеоморфны шару и для любой о £2 область inta(onP) стягиваема на о.

Если семейство 2 с такими свойствами построено, то в качестве клейновой группы G = G (и, к, k0), удовлетворяющей требованиям (3.11) и (3.12) теоремы, можно взять группу GczcTn, порожденную композициями четного числа инверсий относительно сфер из семейства 2.

Разрывность группы G будет следовать из условия С1 и не- пустоты множества (3.17) (ср. следствие 3.30). При этом Fv будет фундаментальным множеством группы G, т. е. Q(G)c6(F2).

Из условия СЗ и леммы 3.16 видим, что для всех т= 1, . . ., к множества

fi„ = int(G(PJ)(3.14)

являются инвариантными компонентами множества разрывности Q(G). А так как, по условию С2, F^ есть объединение Р,, .. ., Рк, то Q(G) = Q1u • • • UHfc.

И, наконец, из условия С4 получаем, что компоненты Йт, т^.к0, гомеоморфны шару. Этот факт получается применением леммы 3.17 к возрастающей последовательности топологических

шаров . г,и,. _ чи> v,,y ' : ?

BjV=intf и g(Pz/!)V 'У .ло-':.<л;' - ■ 3 \ g 6 G (Л') / » . ,? .

где G (М) — подмножество группы G, состоящее Иь всех даю# (на свободных порождающих группы G) длины, меньшей или равной N, т. е. слов вида ' у/

Эко • • • °^ьр 1 s- . ■ ■ ;

где Зк.— инверсии относительно сфер о^.Е^, a i^N. Доказательство гомеоморфности шару множеств BN получается индукцией по номеру N с применением условия С4 стягиваемости области inta(<rnP,,) на сфере 0^2.

Так как для /г = 1, 2 утверждение теоремы 3.15 очевидно (при fe=l—элементарные, при fe = 2—фуксовы группы Gc^„), то нам остается его доказать для fe^3. Мы проведем построения для случая, когда размерность п пространства и число к компонент множества разрывности равны трем; для больших значений к и п они проводятся аналогично.

Сначала построим семейство 2, удовлетворяющее первым трем условиям Cl — СЗ, а потом покажем как добиться выполнения условия С4 (точнее, условия гомеоморфности шару компонент Рт) множества (3.13)).

Начнем с того, что выберем две замкнутые непересекающиеся поверхности SJ, S; в пространстве и «приблизим» каждую из них таким семейством сфер, чго, во-первых, объединение шаров, ограниченных этими сферами, содержит данную поверхность и лежит в некоторой ее окрестности, и, во-вторых, точки касания сфер из этого семейства лежат на данной поверхности. Тем самым мы получим семейство сфер 20, удовлетворяющее условиям С1 и С2. Множество Q ext ° будет распадаться на три компоненты связ-

G € Sq

ности—сферические полиэдры Рд, Р„, Рд. Каждая из сфер оЕ^» граничит лишь с двумя полиэдрами — неограниченным Рд и с одним из ограниченных. Для выполнения условия СЗ необходимо «соединить» каждую такую сферу с тем полиэдром, с которым она пока не соседствует.

Для этого удалим из 20 одну сферу, граничащую с Р„ и одну,— граничащую с Р'2О. Так получается семейство 2ф Множество

П ext о будет связно, а в границе Рд и Рд образуется по отвер

стию. На каждой из сфер О/Е^о возьмем по участку 6,, ограниченному петлей у,- так, чтобы б, со, П Рд. Теперь построим две непересекающиеся поверхнссти S} и Sj, лежащие в Рд и такие, что каждая поверхность S{, / = 1, 2, представляет собой «разветвленную трубку», соединяющую отверстие в границе Р[ с пет

лями у,- на тех сферах о,, которые ограничивают полиэдр Р»~!. Тогда указанные две поверхности S} и Sy будут разбивать множество f| ext о на три компоненты, причем каждая из сфер а 6 20

о, С So будет граничить с каждой из них.

Как и раньше для SJ и So, приблизим каждую из поверхностей SJ и Si некоторым семейством сфер 2\ таким, что, во-первых, о(По; = 0 для всех о^Су, о;, о, £ 2^ (J Si, (3.15) и во-вторых, f|{extoz: п,.б21и2а = Р?иР11иЛ. (3.16)

Выполнение условий (3.15) и (3.16) ведет к тому, что семейство SjUSo будет удовлетворять условиям С1 и С2. Свойство СЗ будет

выполняться только для сфер <т£2о- Каждая же из сфер o^Sj будет граничить лишь с двумя полиэдрами — неограниченным Р® и каким-то ограниченным Plt, i=l, 2. Удалив с границы Ру и Ру по одной сфере из семейства Slt получим новое семейство 2( (рис. 18). Повторяя этот процесс с условиями, аналогичными (3.15) и (3.16), неограниченное число раз, мы приходим к последовательности семейств сфер S^, m = 0, 1, 2, . .., таких, что

fiext^^P^uPmU^'m-(3.17)

Пересечение в соотношении (3.17) берется по всем сферам

о,. С u’sjuS^.(3.18)

/=о

Каждое из семейств (3.18) удовлетворяет условиям С1 и С2, а условие СЗ нарушается лишь для сфер oi£'Sin. Положим

'2= и s;, Ру= и n pi для / = 0, 1, 2. . (3.19)

■т — 0т^О i=m•

Связность полиэдров Рг и Р2 следует из того, что они строятся в (3.19) в виде объединения возрастающей последовательности

связных полиэдров Р- и Р'^. Связность полиэдра Ро = П Р» можно i=0

получить следующим образом: на каждом шаге (3.17), прежде чем строить поверхности (разветвленные трубки) S„ и S^, выберем в P°m_i связную окрестность Ут_г его границы и потребуем,, чтобы поверхности S}n и S^ и сферы семейства 2т содержались в этой окрестности У,п_г. При этом окрестности У: будем выбирать так, чтобы.

W+1, nV; = 0,i=0W+1, nV; = 0,i=0(3.20)(3.20)

W+1, nV; = 0,i=0

W+1, nV; = 0,i=0

(3.20)

(3.20)

а множества Po\V; являлись связными множествами. '

В результате такого построения с добавочными условиями (3.20), мы получаем такие последовательности включений:

Уо о Vt = ... = ... = 0'

П ПП

-Р? = PS=Р0■

’, и и!i .■

0■P-oX^cPiX^c.-.c.-.-P.,

Отсюда очевидно следует связность Р„ (объединение связных множеств Р^ХУ,,,).

Таким образом, окончательно, получаем семейство 2 сфер, удовлетворяющее условиям С1—СЗ.

Рис. 19Рис. 19

Рис. 19

Рис. 19

Желая получить утверждение (3.12) теоремы о стягиваемости компонент Q,, мы требуем от семейства 2 выполнения условия С4. Чтобы оно выполнялось, произведем в нашей конструкции РЯД изменений.

Во-первых, в качестве поверхностей SJ и So возьмем жордановы поверхности, касающиеся друг друга в одной точке (например, две сферы). Это позволяет рассмотреть такое семейство So, что полиэдры Р°и, Р» и Р‘о будут гомеоморфны шару.

Во-вторых, для того чтобы каждая из разветвленных трубок 5^ и Sm разбивала Р?-1 на стягиваемые части, будем строить эти поверхности S,ln и .S,2n следующим образом. Соединим отверстие в границе Р*р-1, j = 0, 1, 2, и участки 6, на сферах о, £ Sm_n ограничивающих РзС/1, с помощью разветвленной стягиваемой кривой Ут, лежащей на границе Р™'1. «Сталкивая» эту кривую на границу каждого из множеств а, АР”-1, добьемся того, чтобы кривая ^ не разбивала ни одного такого множества на части. После этого подклеим поверхность S™ к дР!?"1 ио кривой ^ (рис. 19). Такое уточнение нашей конструкции обеспечивает выполнение и последнего условия С4 и, следовательно, доказывает последнее утверждение (3.12) теоремы. " . f •

Некоторые классы клейновых групп

Фуксовы группы. Клейнову группу GcMob(n) называют фуксовой, если она оставляет инвариантным некоторый шар (полупространство) BnaRn. Предельное множество A(G) фуксовой группы G лежит на инвариантной сфере S"-1 = дВп. Если оно совпадает со сферой, то G называют фуксовой группой первого рода. Если же S"-1\A(G) не пусто, то G —группа второго рода. В этом случае Л (G) — совершенное нигде не плотное на сфере S"-1 множество. Фуксова группа первого рода имеет две инвариантные компоненты: intS""1 = B" и ext Sn-X = Rn\Bn; у групп второго рода имеется одна инвариантная компонента — само Q(G).

Квазифуксовы группы. Эти группы являются непосредственным обобщением фуксовых. А именно это группы G, множество разрывности Q(G) которых есть объединение двух G-инвариантных стягиваемых областей й0 и Qj (л,(й ) = 0, i = l, . .., п— 1, / = 0, 1), имеющее общей границей предельное множество A(G). Заметим, что при п ^ 3 уже недостаточно требовать это свойство от замыкания одной компоненты й0, так как существуют группы G, для которых жорданова поверхность A(G) (даже (п—1)-сфера) не разбивает R" на две стягиваемые области (п. 7 § 3 гл. 7). При п^З уже неочевидным становится само существование нетривиальных (т. е. отличных от фуксовых групп) квазифуксовых групп (особенно конечно порожденных). Впервые они были построены в работах Апанасова, Тетенова [1], Апанасова [11, 12] в связи с изучением пространства деформаций фуксовой группы. Примеры квазифуксовых групп будут построены в § 3 гл. 9. Такой же является группа Gt в п. 4 настоящего параграфа.

S 3. Группы Шоттки. Каждая такая группа есть клейнова группа Gc=c^„ с образующими g^, g„_, m^l, для которых существует 2m непересекающихся замкнутых областей Вп В’^ . . ., В„л Вт пространства Rn, гомеоморфных замкнутому шару, таких, что gz(extSz) = intB;, г = 1, . . т. Легко видно, что группа G обязательно свободна и все ее элементы —локсодромические преобразования. Можно показать аналогично Мирбергу [1], что всякая неэлементарная клейнова группа GczMob(n) содержит нециклические подгруппы Шоттки.

Паутинные группы. Клейнову группу G с Mob (и) называют паутинной, если каждая компонента й,- множества разрывности й (G) имеет своим стабилизатором квазифуксову группу Gz первого рода. Часто сюда еще добавляют требование конечно порож- денности группы G. Паутинные группы впервые были введены в рассмотрение при и = 2 Абиковым [1]. Они обладают тем свойством, что их предельное множество A(G) содержит точки, не лежащие на границе ни одной компоненты й,сй(С):

A(G)^UdQ/.

При п ^ 3 нетривиальные паутинные группы (отличные от квази- фуксовых) впервые были построены автором—(см. Крушкаль, Апанасов, Гусевский [1, 3]). Приведем одно из возможных построений, считая, что размерность пространства равна 3. Другие примеры паутинных групп, основанные на иных идеях, см. в § 6 гл. 5 (пример 5.74).

Пример 3.18. Пусть Q — единичный куб. Из его вершит опишем сферы Sz, lCt;C8, радиуса К 3,3. В качестве сфер Sh 9 <71 14, возьмем непересекающиеся друг с другом сферы с центрами, совпадающими с центрами граней Q, и радиусами (1/2 — К3/6). Все указанные сферы S,-, 1 <Л С 14, пересекаются друг с другом только под углами, равными л/3, а их внутренности покрывают поверхность куба Q. Рассмотрим группу Огс:е.<3, состоящую из композиций четного числа инверсий .7 ,• относительно сфер 8,-, г=1, •■., 14. Из следствия 3.30 следующего параграфа следует, что эта группа клейнова, а ее фундаментальное множество можно взять в виде

14 \ /' 14 \ ■ F<G^= fl extSz П extSz . :

При этом F(G1) распадается на две компоненты —ограниченную FocQ и неограниченную ^c^XQ.

Покажем, что множество разрывности Q(Gj) распадается на две инвариантные компоненты й0 и Qn й,,ий! = й(С]). В самом деле, допустив противное, из открытости й (GJ мы получаем его линейную связность. Пусть yczQ (Gt) — кривая, соединяющая точки 3 в Н Апанасов

O^Fo и оо^/7,. Можно считать, что она пересекается с полиэдрами g(F„) и g^i), g^Gj, минуя их ребра, что каждое пересечение состоит не более чем из одной компоненты и что число пересекаемых полиэдров минимальное (в силу компактности y^^(Gi), это число всегда конечно). Но тогда среди пересекаемых полиэдров найдутся полиэдры gv (Го) и g.2 (F^), g, 5 Gb имеющие общую грань, что, очевидно, невозможно. Учитывая, что F<> U F^ F^G^ — фундаментальное множество группы 0г и применяя лемму 3.16, получаем, что 62(0^ распадается на две инвариантные компоненты: '

Q0 = G1(F0)cQ, Q^GJ^). (3.21)

Из построения группы Ог видно, что й0 и Qi гомеоморфны шару, т. е., что группа Gi квизифуксова. Более того, можно показать методами гл. 9, что Gi получается нетривиальной квазиконформной деформацией из некоторой ко-компактной фуксоьой группы й R3.

Определим теперь группу G как произведение группы Gx с абелевой группой Г ранга 3, порождаемой переносами на координатные векторы еп е,, е3. Группа G = <G1, Г> клейнова, так как внутри полиэдра Го нет G-эквивалентных точек. При этом стабилизатор G„ совпадает с подгруппой Г, а каждый элемент уСГ переводит изометрическую сферу элемента g€G\r в изометрическую сферу элемента ygy-1 С G\T. Отсюда, из леммы 3.20 и из того, что стороны куба Q (фундаментальный полиэдр для Г) являются попарно Г-эквивалентными, следует, что полиэдр Го является фундаментальной областью группы G. Поэтому множество разрывности

й (G) = U g^ (3 22)

группы G распадается на счетное число неинвариантных компонент й,-, i = О, 1, 2, . .., причем первая компонента й0 задается формулой (3.21), а остальные являются ее образами при отображениях y,gG\Gi:

й, = у,(й0), 1^1. (3.23)

Из (3.22) и (3.23) непосредственно следует, что стабилизатором каждой компоненты й(. будет подгруппа Г,сС вида Г, = у/С^г1, i = l, 2, . .., Г0 = С!. Ясно, что все эти стабилизаторы Gq.= =Г, = у/С1уг1 являются квазифуксовыми группами. Таким образом, группа G = <Gn Г? является паутинной.

Вырожденные группы. Так называют неэлементарные конечно порожденные клейновы группы в R", п^2, у которых множества разрывности являются стягиваемыми областями, т. е. имеют тривиальные гомотопические группы. Конструктивных примеров таких групп до сих пор не построено. И этот вопрос остается

одной из нерешенных проблем в теории клейновых групп. В плоском случае (п = 2) доказательство существования таких групп было дано Л. Берсом [4]. Оно опирается на свойства пространства Тейхмюллера и соображения теории размерности. Другое доказательство, также неконструктивное, см. в работе Маскита [5].

Продолжив действие вырожденной группы GcA с плоскости в пространство Rn, п^З, мы, конечно, получим вырожденную группу в пространстве. Однако не ясно, существуют ли специфически пространственные вырожденные группы — например, такие, у которых размерность предельного множества равна л—1.

Заметим, что без условия конечной порожденности группы с аналогичными свойствами легко строятся в любой размерности. Для этого достаточно взять (п — 1)-мерный гладкий диск DaRn, рассмотреть счетное семейство 2 непересекающихся сфер а,-, касающихся диска D с одной его стороны так, что точки касания плотны в D, образовать семейство S', являющееся зеркальным образом относительно диска D семейства S. После этого искомая группа Gds*n со стягиваемым множеством разрывности Q(G) и предельным множеством, содержащим замкнутый диск D, будет порождаться параболическими преобразованиям * g, с изометрическими сферами o. gS (сферы о-С 2' — изометрические для g^1). Эти свойства легко доказать при помощи леммы 3.16 (аналогично примеру Акколы [1]).

Функциональные группы. Это клейновы группы в R", имеющие инвариантную компоненту множества разрывности. Такими группами, в частности, являются фуксовы и квазифуксовы группы, группы Шоттки и вырожденные группы (см. также примеры 6.16, 6.17 и теорему 7.54 в § 5 гл. 7). Особое место в классе функциональных групп занимают конечно порожденные группы, имеющие инвариантную стягиваемую компоненту. Назовем их В-груп- пами (сохраняя название таких групп на плоскости, возникшее в связи с тем, что впервые такие группы (отличные от квазифук- совых) были получены как граничные группы пространств Тейхмюллера фуксовых групп (см. Берс [4], Маскит [2]). Пространственные В-группы будут рассмотрены в § 6 гл. 8.

§ 4. Фундаментальные области

Фундаментальной областью разрывной (клейновой) гриппы G~Mob(n) называют открытое подмножество FcQ(G) множества разрывности, не содержащее G-эквивалентных точек и такое, что ^(G)czG (F). Присоединив к F часть ее граничных точек, мы получаем фундаментальное множество группы G, т. е. множество, содержащее по одной точке из каждой орбиты G (х), x£Q(G). Орбифолд Q (G)/G получается из F отождествлением G-эквивалентных точек границы dF. ■

з*

• Понятие фундаментальной области играет особую роль в теории разрывных групп преобразований. На нем основывается комбинаторно-геометрический метод исследования групп, восходящий к работам Пуанкаре [1, 2] по фуксовым и клейновым группам. Этот метод, с одной стороны, позволяет выяснить строение клей- новой группы как абстрактной группы (т. е. найти ее порождающие и определяющие соотношения) и тем самым устанавливает связь теории клейновых групп с комбинаторной теорией групп (см. Линдон, Шупп [1], Магнус, Каррас, Солитэр [1], Кэннон [1]) и, с другой стороны, помогает доказать разрывность и найти фундаментальную область группы преобразований с данными порождающими. Важную роль при этом играют фундаментальные области специального вида —фундаментальные полиэдры.

Изометрический полиэдр Форда.

Предложение 3.19. Пусть G с Mob (п) — такая разрывная группа, что oo^Q(G) и G„={id}. Тогда множество

P(G) = {xeRn: sup |^(х)|<1} = ^\^(int/(g)) (3.24)

geG\(id}geG\{id}

является фундаментальной областью группы G.

Доказательство. Так как любое отображение g g G\{id} переводит ext/(g) в int/(g-1), то ясно, что /’(G) не содержит G-эквивалентных точек. Остается доказать, что Q(G)cG (P(G)\ Для этого покажем сначала, что для любого к>0 радиусы rg сфер /(g), g^G, обладают свойством:

card {ggG: rg^k\<ao.(3.25)

Из условий теоремы следует, что существует достаточно большой шар В, содержащий орбиту G(oo)\{oo}, т. е. центрывсех изометрических сфер / (g). Продолжая группу G до группы GczMob(n+l) и считая, что G (а точнее yGy-1) действует в некотором шаре, видим, что изометрические сферы / (g) однозначно определяются своими центрами. Поэтому, если бы существовали элементы gj и g2 Е G с произвольно близкими центрами изометрических сфер и радиусами большими к, то образ gig^oo) уже не лежал бы в шаре В. Это доказывает соотношение (3.25). Из него в свою очередь следует, что существует достаточно большое число R такое, что все изометрические сферы / (g), g€G\(id}, лежат в шаре радиуса R.

Допустим теперь, что существует точка х0 и ее окрестность Вй = Вп (х8, г) такие, что Во A G (Р (G)) = 0. Ясно, что тогда существует g0 € G такое, что x05int/(g0). Из нашего допущения следует, что Во не содержит центра q8 изометрической сферы / (g0). радиуса г„. Это влечет, что г < r0 < R. Образ B1 = g0(B„) есть

шар радиуса rt. Используя соотношение (1.32), получаем, что

• ■ „r^-^L->k.r,,(3.26)

Го—г2.•

причем равенство достигается в случае, если х0^/ (g0), а постоянная А = (1 — г2//?2)-1 > 1. Заменим шар Во на шар Вх, центр которого хг ^ int / (gj) для некоторого gt^G и рассмотрим его образ B2 = g1(B1), являющийся шаром радиуса г2 > 0. Причем, 8ак как г, > г, то, аналогично неравенству (3.26), получаем

Г;г.>—т>кгх.(3.27)

;'го — ri

Продолжая этот процесс, мы получим шар — образ g(Bn) шара В0 — В(х0, г), имеющий произвольно большой радиус (3.27) и (по допущению) не пересекающийся с G (Р (G)). Это противоречие доказывает теорему.

Фундаментальную область Р (G) вида (3.24) называют изометрическим фундаментальным полиэдром. Смысл этого названия виден из следующего. Пусть группа G является фуксовой, т. е. оставляет инвариантным шар (полупространство) Вп, который введением в нем метрики, аналогичной (1.25) или (1.27), превращается в гиперболическое пространство. Тогда изометрические сферы 1(g), g£G, будут плоскостями в этом пространстве и, следовательно, Р (G) А Вп является гиперболически выпуклым полиэдром.

Условия Gro = {id} и оо ^ Q(G) не ограничивают общности предложения 3.19, так как переходя к сопряженной группе hGh1, h^o<n, всегда можно добиться их выполнения. Однако иногда это приводит к усложнению. Ниже дается прямое построение фундаментальной области для случая клейновой группы GcMob (п), имеющей нетривиальный стабилизатор G^ бесконечно удаленной точки.

Лемма 3.20. Пусть Р^— некоторый фундаментальный полиэдр (с попарно эквивалентными гранями) подгруппы 0^ = (g £ G: g(oo) = oo} клейновой группы GcMob(n). Тогда

;p^f] {x£Rn: sup |g'(x)| < 1}

g 6 ff\G„

является фундаментальной областью группы G.

Доказательство леммы элементарно (ср. Форд [1, § 35]) и следует из того факта, что элементы h^G^ переводят изометрические сферы / (g) = {х £ R": |g'(x)|=l} элементов ggGxG^. в изометрические сферы / (hgh^1).

Полиэдры Дирихле и обобщенные изометрические полиэдры. Недостатком изометрического фундаментального полиэдра является особая роль, которую играет бесконечно удаленная точка: она

является своего рода центром полиэдра P(G). Этот недостаток устраним. Сейчас мы дадим построение фундаментального полиэдра разрывной группы GcMob (л) с «центром» в любой точке х$ H(G), С,-И-

Введем функцию, аналогичную якобиану deWg(x) отображения g£M6b(n). Для фиксированной точки y£Rn рассмотрим отображение ygMob(n), переводящее ее в оо, и определим для отображения ggMob(n):

% U, ^) = I det (Hygy’1 (у (х))] |.(3.28)

( Покажем, что это определение не зависит от выбора отображения ygMob(n), у(у)=оо. Пусть у1СМбЬ(п), yx(i/)=oo и

, 7j у. Тогда yyf1 — отображение подобия: г = const = det ОууУ (х), det Dy^’-1 (х) = 1/г, и, поэтому

det [Dygy1 (у (x))] = det [ДууГ^УГ^У?1 (ПГ1?! W)] = "

= det[Z)y1gyr1(yi(x))]: (3.29)

- Непосредственно из определения функции a (g, х) вытекают следующие ее свойства:

. Al. cz^g, х) = | det Dg (х) |.

-А2. ^(g, х) = av (y) (ygy \ у (x)) для всех у £ Mob (n).

v A3. a„(yg, х) = а„(у, g(x))-«H(g, x) для всех g, y£Mob(n).

’ ; Кроме того, имеют место еще два важных свойства этой функции: тФ А4. «у (g, х) = (| х — у |/| g (х) — у |)2П • | det Dg (х) |.

' А5. ^(g, х) — cz.x (g'1, у), кроме случая x = y = g(y).

/ Для доказательства свойства А4 рассмотрим в свойстве А2 в качестве отображения у инверсию относительно сферы Sn-1(y, 1). При этом у1 = у, а матрица Якоби имеет вид

Dy (х) = (1 — 29х_у)/| х —у |2,(3.30)

где определитель матрицы (1 —2Qx_y) равен —1. Поэтому можно записать следующую цепочку равенств, доказывающую А4:

а1Д§, x^a^g-^, у (х)) = | det Dygy-1 (у (х)) | =

- (I х - у |/1 g (x) - у |)2" • | det [(1 - 2Qg w _y) • Dg (x) • (1 - 2QX_„)] | = = (I X - у |/| g (x) — у |)2n I det Dg (x) |.

Докажем теперь свойство A5. Пусть х = у. Тогда для любого отображения у С Mob (л), у(у)=°о, имеем

«„(g, (/) = det Dygy"1 (оо),

'y^detDyg-V^oo).‘

Оба эти якобиана (3.31) обращаются в ноль (что доказывает А5), если отображение ygy""1 не является подобием, т. е. если g^^y-

Пусть теперь х^у. Учитывая свойство А2, видим, что достаточно доказать А5 в случае х = 0 и у=оо. В этом случае, левая часть А5 равна detZ)g(O), а правая имеет вид det \D3g~^3 (0)1,

где <7(х) = х/|х|-. Используя полученное в § 4 гл. 1 матричное представление и (3.30), непосредственный подсчет показывает, что этот якобиан в точности есть detDg(O). Это заканчивает доказательство А5.

Зафиксируем теперь точку у GRn и определим для отображений g5Mob(n), g(y)=#u, (п—1)-мерную сферу

М^Ы^Я":^)=U>(3.32}

аналогичную (ср. (1.11)) изометрической сфере / (g) отображения g;

(З.зз)

Можно показать, что отображение g переводит сферу /у (g) в сф>еру /y(g-1), но при этом их радиусы уже взаимно обратны. Аналогично предложению 3.19 доказывается

Предложение 3.21. Пусть GcMob^n)— такая разрывная группа, что y^Q^G) и Gy = {id}. Тогда множество

Py(G)= {xGRn- sup {«y(g, x): g€G\id}<l} = ==n{ext/y(g): g£G\id} (3.34) является фундаментальным полиэдром группы G.

Полиэдр PU(G) своим «центром» имеет точку у и при у = оо совпадает, в силу (3.33), с изометрическим фундаментальным полиэдром Р (G) (см. (3.24)). Если дополнительно предположить, что группа G оставляет инвариантным шар В" —В"(0, 1), то ее действие на всем Rn коммутирует с инверсией Х'.—>х* = х1\х\г относительно граничной сферы дВп. Это показывает, что для таких групп (GcMob (В11)) их обобщенный изометрический полиэдр обладает следующим свойством: Ру (G) = Рц» ДТр Более глубокая информация о полиэдре Ри (G) получается при рассмотрении группы GcMob(Bn) как группы изометрии шаровой модели Пуанкаре гиперболического пространства Нп\■

Предложение 3.22. Пусть GcMob (В")— дискретная группа в единичном шаре, d — гиперболическая метрика Пуанкаре в Вп и пусть точка у£Вп имеет тривиальный стабилизатор Gy. Тогда полиэдр Рц (G) совпадает в шаре Вп с нормальным фундаментальным полиэдром Дирихле с центром у;

Ру^пВ-^-Пу^^ n VGBT d(x, y)<d(x, g(y))}. (3.35) g 6 G\id

Для доказательства этого факта заметим, что сфера Iy (g) ортогональна граничной сфере дВп (см. п. 4 § 2 гл. 1) и относительно ее симметричны точки у и g'(y). Поэтому I„(g)f]Bn является множеством точек, равноудаленных в гиперболической Метрике от точек у и g-1(g):

iy (g) П В- = {x € Bn: d(x, y) = d(x, g~4yW (3-36) После этого наше утверждение непосредственно следует из (3.34).

Предложение 3.23. Для клейновой группы G cMob (и) множество точек y^U^G\ для которых фундаментальные полиэдры Ри (G) имеют на границе G-эквивалентные параболические или эллиптические точки, лежит в объединении не более чем счетного числа сфер размерности не выше п — 1.

Доказательство. Пусть точка y^Q(G) такова, что соответствующий ей полиэдр Ри (G) имеет на границе неподвижные параболические или эллиптические точки а и g(a), где g€G\Ga. В эллиптическом случае обозначим через Sa грань полиэдра Ру (G) максимальной размерности, которая содержит точку а и переходит при отображении g в грань полиэдра Ру (G). В параболическом случае положим Sa — {а}. Тогда из определения Рц (G) имеем для любой точки q£Sa равенство «v (g, <?) = 1. Отсюда, в силу свойства А5 функции a (g, х), имеем для всех q£Sa соотношения a-(l(g-\ У)=\- _

Очевидно, что множество точек у £ Rn, удовлетворяющих для q£Sa всем таким соотношениям, является сферой некоторой размерности т, т^п—\\ S” (а) = ПДq(g~1)- q^Sa}. Таким образом, множество точек у, для которых Ру (G) имеет на границе G-эквивалентные неподвижные точки, содержится в семействе сфер S” (а), т^л-1, имеющем ту же мощность, что и семейство сфер, поточечно неподвижных для элементов группы G. Счетность последнего завершает доказательство.

Псевдо-Дирихле полиэдры. В случае пространств размерности и<'3 полиэдры Дирихле и изометрические полиэдры для дискретной группы G ^ Mob (Вп) обладают определенной устойчивостью числа сторон относительно изменения их центра у в некотором открытом множестве шара Вп (см. Макбет [2], Ёргенсен, Марден [2]). В частности, здесь имеется альтернатива — либо это число конечно для всех у£.Вп, либо нет (Марден [1]).

Однако, как мы увидим в гл. 5 (теоремы 5.26, 5.27), уже в размерности 4 эти полиэдры указанной устойчивостью не обладают. Сейчас мы определим новый вид фундаментального полиэдра в пространствах любой размерности (мы называем его псевдо-Дирихле полиэдром), который совпадает при п-СЗ с полиэдром Дирихле, но уже обладает определенной устойчивостью относительно изменения «центра» (доказательство этого факта и другие свойства новых полиэдров см. в § 3 гл. 5).

Из определения полиэдра Дирихле DM(G) (см. (3.35)), видно, что он есть пересечение полупространств Sy (g), g^G, гиперболического пространства Нп, ограниченных плоскостями Дирихле

Sy (g) = {я € Нп; d(x, y) = d<x, g(y))} (3.37)

и содержащих центральную точку у, G?/ — {id}. %

Для определения псевдо-Дирихле полиэдра DyiG) мы изменим правило (3.37) выбора плоскостей Sy (g) для некоторых элемен-

тов g группы Gc Isom Нп, оставив однако главный принцип. Будем здесь считать для простоты, что G—группа без кручения. Перед определением плоскостей Ну(g) сделаем несколько замечаний.

Если р ^дНп = Sn-1 — неподвижная точка параболического элемента группы Ga Isom №(—Mob (п—1)), то ее стабилизатор GpcG действует на (п—1)-мерной орисфере SpczHn с центром в точке р как дискретная группа изометрий (п—1)-мерного евклидова пространства Rn-1^Sp (см. п. 8 § 3 гл. 1). Поэтому мы можем записать элементы у € 6р (с точностью до сопряжения стабилизатора С^) в следующем виде:

.y(x) = t7(x) + a, и^О(п-Г), a^Rn-\ (3.38)

Будем называть у иррациональным элементом (иррациональновинтовым переносом), если в записи (3.38) его ортогональная составляющая U имеет бесконечный порядок. В этом случае о стабилизаторе Gp, у g Gp, и о самой параболической точке р говорим, что они имеют иррациональный тип.

Применяя к стабилизатору Gp теорему Бибербаха (теорема 3.8), получаем для целого /г гапк Gp каноническое разложение Sp^

Rn-1 = RkX R^6-1 такое, что для любого у £ Gpc Isom Rn-1 в записи (3.38): a£V?ftx{0}, а ортогональное преобразование —

U = (^ ®^, U^Otk), U2eO(n-k-l), (3.39)

где иг имеет конечный порядок. При этом Gp действует на своем fe-мерном G^-инвариантном орицикле (^ R*) как евклидова кристаллографическая группа с компактным факторпространством.

Определим теперь «псевдо-Дирихле плоскости» Н^ (g), ограничивающие И) (g), y^H^gX следующим образом.

Определение 3.24. Пусть g^G— параболический элемент с неподвижной точкой р иррационального типа. Обозначим через Lp ^-мерный G^-инвариантный орицикл (соответствующий подпространству Rk в разложении Бибербаха, /e = rankGp), лежащий на некоторой орисфере Sp с центром в точке р. Пусть точка Уе^Ьр есть ортогональная проекция на орицикл Lp точки у. Она является центром /г-мерного полиэдра Дирихле для действия Gp на орицикле Lp:

Dk(Gp^Lp[}Dy^Gp) = Lp[}Dy(GpY(3.40)

Соответствующее этому полиэдру Dk(Gp^ ко-компактное G^-раз- биение орицикла Lp задается (к — 1)-мерными орициклами *S^-1 (у) = Z^nSy (у) = Sy-(у), ^^Gp,(3.41)

гДе Sy (у) из (3.37).

Определяем теперь Ну (g) для элемента g как ортогональную орициклу Lp гиперплоскость в Нп, пересекающую L по ори- Диклу S*-1^) из (3.41). Ясно, что Ну (g) = Sy« (g).

1 Для элементов g^G, не лежащих в иррационально-параболических подгруппах Gpc:G, полагаем Н (g) S (g).

Предложение 3.23 дает счетное множество плоскостей в Нп такое, что для всех у из его дополнения YD плоскости Sy(g) и S„ (g-1) не содержат различных параболических точек q и g (q) =#q. Кроме того, в силу счетности G, после удаления из YD счетного множества плоскостей, ортогональных соответствующим орициклам Lp в иррационально-параболических точках р, мы получаем .множество Y (G)cHn центральных точек у, для которых и псевдо-Дирихле плоскости Ну (g) любых элементов g^G^cG не содержат параболических точек группы G, отличных от точки р, g (/7) = Р-

Определение 3.25. Псевдо-Дирихле полиэдроз! Dy(G) для группы Gclsom Нп с центром у £ Y (G)cHn мы называем полиэдр, получающийся из полиэдра Дирихле Dy (G) в результате следующего процесса. " - -

Пусть {р,}— все иррациональные параболические точки на границе дОуф\ Положим О0 = О,;(С) и определим по индукции фундаментальный полиэдр D; группы G, получающийся из /),_!• А именно, пусть параболическая точка р£дП;_г соответствует i-му классу сопряженности параболических подгрупп группы G и пусть область R,==int(U {g(OI_1): g^G^}). Тогда g^R^R; и h (R,) A Rj = 0 для всех g£Gp и h£G\Gp. Поэтому полиэдр Dj = Ri A {Hy (g): g£Gp\id} является фундаментальным для группы G. Более того, как и полиэдр D,_i, он не может (в силу выбора у С Y (G)) содержать на границе G-эквивалентных параболических точек.

Исчерпание всех классов параболических точек {р,} приводит к заданию псевдо-Дирихле полиэдра Dy(G\

Замечание 3.26. В пространствах Нп, п-СД, все параболические элементы имеют рациональный тип. Поэтому в размерности п = 2, 3 полиэдр Dy (G) всегда совпадает с полиэдром Дирихле D„(G). При п^4 этим свойством (Dy (G) = Dy (G)) обладают дискретные группы G, не имеющие параболических подгрупп ранга <Дп — 3. Таковы, в частности, ко-конечные группы Gclsom//": vol Hn/G < оо (см. § 4 гл. 5).

Замечание 3.27. Из построения псевдо-Дирихле полиэдра D*y(G') видно, что он не содержит на границе G-эквивалентных параболических точек. Кроме того, по-видимому, этот полиэдр можно задать в виде пересечения всех полупространств Н^ (g), g£ G\id, — аналогично полиэдру Дирихле Dy (G).

Полиэдральное представление группы. Пусть теперь в гиперболическом, евклидовом или эллиптическом n-мерном пространстве X задан некоторый фундаментальный полиэдр Р дискретной группы G изометрий пространства X. Обозначим через

$0 = \gGG: dim Р П g (Р) = п—1} множество элементов группы G, отождествляющих (п—1)-мерные грани полиэдра Р.

Теорема 3.28. Дискретная группа G с Isom X порождается множеством ^а. При этом в качестве определяющих соотношений группы G можно взять всевозможные реберные соотношения следующих двух типов; либо ^g-^1, gY, g^^G- либо gi-g2-.. ... - gk=X, где gi, ■ ■ ■, gkG §o таковы, что gtg;+1 э^ 1, для т ^. ^/г—1 g2 -g2 - ■ ■ - Дт ^ 1 и имеет место соотношение

AimiPngv^fygig.^G ... Ggigv • -gk-i (^)) = ^-2.

Для доказательства первого утверждения рассмотрим’ любой элемент g£G\id, и пусть x=g^x^ соединяется с х0 путем асХ. Тогда существует замкнутая область DcX такая, что acrintD. В силу разрывности группы GocG, порожденной множеством ^а (Go —подгруппа разрывной группы G), компакт D покрывается конечным числом образов у(Д), y€G0. В частности, найдется у0 € Go такое, что То^) покрывает окрестность точки x = g(xoy Отсюда следует, что g = y0€G0, т. е. G0 = G. Второе утверждение получается из рассмотрения всех циклов граничных ребер полиэдра Р, т. е. совокупностей G-эквивалент- ^1ых ребер Р, и того, что разрывная группа не может иметь эллиптических элементов бесконечного порядка. Подробнее см.. Ьаботы Гернстенхабера [1] и Макбета [1].

f Имеет место и утверждение, устанавливающее обратную связь.

Теорема 3.29. Пусть в п-мерном евклидовом, эллиптическом или гиперболическом пространстве X задан полиэдр Р и для каждой его (п—Ху мерной грани А, задана изометрия g; пространства X такая, что:

для каждой (п—Хуграни А, существует такая (п—Ху грань А/, что gig, = Xd","

для каждой (п — хуграни Е полиэдра Р существует последовательность Дх, А2, ..., Ак его (п—Хуграней такая, что gvg2-. .. ■ gk = id и выполнено соотношение

Р П gi (?) (1 g^g, (Р) П • • • П^- ■ • - Дь-гФ^Е, причем полиэдры, фигурирующие в этом соотношении, не имеют попарно общих внутренних точек.

Тогда группа G изометрий пространства X, порожденная преобразованиями {gy}, дискретна. Если, кроме того, полиэдр Р ограничен в X, то он является фундаментальным полиэдром группы G.

Это утверждение следует из более общего результата А. Д. Александрова [1] о заполнении пространства (см. также Абеле [1]). В случае неограниченного полиэдра РсХ = Нп указанных условий оказывается недостаточно для заполнения Нп образами g(P), g^G, т. е. Р может уже не быть фундаментальным

для группы G. Исследование этого вопроса — одновременно с доказательством обобщения теоремы Александрова на некомпактный (неограниченный) случай будет дано в § 1 гл. 6.

Из теоремы 3.29 легко получается

Следствие 3.30. Группа G изометрий п-мерного пространства X постоянной кривизны, порожденная отражениями в (п — \умерных гранях выпуклого полиэдра РсХ является дискретной тогда и только тогда, когда: 1) все двугранные углы полиэдра Р —целые части 2л; 2) если двугранный угол при (п— 2)- грани Е есть нечетная часть 2л, то Р имеет плоскость сим- ,метрии, проходящую через Е. , -

ГЛАВА 4

ДИСКРЕТНЫЕ ГРУППЫ

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ИЗОМЕТРИЙ

К § 1. Арифметическая конструкция ко-компактных групп

Сейчас мы приведем метод построения ко-компактных дискретных гиперболических групп (имеющих компактный орбифолд Hn/G), применимый в любой размерности. Этот метод основан на некоторой арифметической конструкции, восходящей при п = 2 к работам Фрике [1] и Бьянки [1] (см. также Фрике и Клейн [1]) и при п^З к работам Б. А. Венкова [1, 2] и рассматривающей группы автоморфизмов неопределенных квадратичных форм. Дальнейшее его развитие см. в работах Мостова, Тамагавы [1] и Бореля [1] (ср. также § 5).

Итак, рассмотрим в Rn+1 квадратичную форму

fdW = — Kd хЦ-хЦ- . .. 4-х2, (4.1)

где d =Н= 1 — отличное от квадрата натуральное число. Взяв теперь верхнюю полу гиперболоида ^x^Rn + 1: fd(x) =—1, х0>0}, мы, как и в § 2 гл. 1, получим модель гиперболического пространства Нп (полусфера мнимого радиуса), группой изометрий которого является подгруппа О' (td, R) индекса два в группе O(fd, R)dGL(n4- 1, R), состоящая из линейных преобразований пространства Rn+1, сохраняющих квадратичную форму fd и отображающих на себя верхнюю полу гиперболоида.

Определим теперь для любого п^2 группу G = G(n, d) как группу О'(fd, Ady где Ad — кольцо целых чисел квадратичного пoляQ(Kd); иными словами,

G (п, d) = О Ud, Ad) = {М_= (а,-^ € GLn±1 (Ry. а;/ =

= пи^т,У(1^2^2У(1, fd(M.x)^fd(x)}. (4.2)

Теорема 4.1. Для всех п^2 и всех натуральных d, отличных от квадратов и от единицы, G = G(n, d) является дискретной ко-компактной группой изометрий гиперболического пространства Нп.

Доказательство (Сулливан [5]). Сначала мы проведем Доказательство ко-компактности для аналогичной группы G, G = ~ O(f, Z^c2GL4(Ry сохраняющей квадратичную форму f (х) = =—7xo + xi + xi + x| и состоящей из целых матриц. Дискретность этой группы очевидно следует из дискретности GLn(Z) в GLn(Ry

Для доказательства компактности орбифолда H3jG, в силу транзитивного действия на Н3 группы Оу, R) ^ Isom//3, достаточно доказать компактность фактор-группы Оу, R)/Oy, Z), которую можно отождествить с ОУ, /?)-орбитой Ь0—ОУ, R^Z4^c.L целой решетки Z4aR4.

Здесь через L обозначено множество решеток в R1, т. е. дискретных подгрупп, изоморфных Z4. Решетки в Rn характеризуются (с точностью до компактного множества возможностей) двумя инвариантами: объемом V фундаментальной области решетки (V = det А1, где матрица М составлена из базисных векторов решетки) и минимальным расстоянием S точек решетки до ее начала. Вводя на L топологию базисных векторов решетки или эквивалентную ей топологию, индуцированную фактортопологией GLn (R)/GLrl (Z) ^ L, мы будем пользоваться для доказательства компактности ОУ, /?)-орбиты Lo известным критерием компактности Эрмита —Малера (см. Малер [1]):.

Теорема 4.2. Подмножество решеток Lo имеет компактное замыкание в L, если inf S > 0 и sup V < оо.

Покажем теперь, что inf S > 0 на множестве Lo= ОУ, R)- орбите целой решетки Z^R4. А именно, сокращая форму f по модулю 8, видим, что сужение формы / на Z4\{0}c/?4 принимает только ненулевые целые значения. Пусть

U = y£R4: /(х)<1/2}

— окрестность начала координат. Так как /(0) = 0 и / непрерывна, то U не содержит точек из Z4\{0}. Отсюда, в силу сохранения формы /' группой ОУ, /?), получаем, что никакая из точек произвольной решетки из Оу, /?)-орбиты Lo целой решетки Z4 тоже не попадает в U. Это влечет положительность infS.

Имеем supV^l. В самом деле, V(Z4)=1, а все элементы М Lo

группы ОУ, R) оставляют форму / инвариантной и, следовательно, det М = 1.

И, наконец, То замкнуто в L. Если последовательность {Ly} а с/0 сходится к решетке L^L, то сужение на точки решетки У формы f (непрерывной и целочисленной на точках решеток L,) принимает целочисленные значения. Пусть {и,} и {и,} —соответственно базисы для решеток У и Ц с достаточно большим номером /. Переходя к подпоследовательности, можно считать, что и,- близки к и;, fy^^fy,) и f У, ± uk) = fy, ± vk). Это влечет, что УУ,-, ик)) = f (У,, vky для 1 <л, к ^4 и, следовательно, линейное отображение, переводящее у в У, оставляет форму / инвариантной, т. е. является элементом группы Оу, R). Таким образом, решетка У лежит во множестве Lo.„

Доказанные свойства ОУ, /?)-орбиты У и теорема 4.2 заканчивают доказательство компактности H3/G.

В общем случае, G=O'yd, А^, приведенное доказательство модифицируется стандартным образом. Отдельно следует остановиться только на доказательстве дискретности группы G (так как теперь кольцо целых Ad поля Q (Кd) уже недискретно в R).

Заметим, во-первых, что при вложении (тЦ п Kd),—> (m+nKd, т — nKd), т, n^Z, образ кольца Ad образует дискретное подкольцо в произведении колец RxR. Это вложение индуцирует вложение группы G=O'^d, Ad) в группу

GLn + 1(RxR) = GLn+1^xGLnV1W, ■ (4.3)

образуя в ней дискретную подгруппу.

Так как группа G = G(n, d), заданная в (4.2), оставляет форму jd из (4.1) инвариантной, то ее образ во втором сомножителе GL„+1(V?) в (4.3) оставляет инвариантной форму KdxsTМ + ■ • ■ ...-гх„, т. е. является подгруппой компактной ортогональной группы. Отсюда сразу следует дискретность образа G и в первом сомножителе GL„+1(V?) в (4.3), совпадающем с самой группой G. Это завершает доказательство теоремы 4.1.

L §2. Универсальные оценки размеров . ; ■ гиперболических многообразий '

” Целью этого параграфа является доказательство следующего утверждения:

Теорема 4.3. Существует постоянная г = г(п)>0, зависящая только от размерности п, п^2, и такая, что любое полное гиперболическое п-мерное многообразие допускает изометрич- ное вложение шара В(г)с:Нп радиуса г.

Эквивалентная переформулировка этого утверждения для дискретных групп гиперболических изометрий очевидно имеет вид:

Теорема 4.4. Фундаментальный полиэдр Дирихле РсН" любой дискретной без кручения группы Gclsomd", п^2, содержит шар, радиус г = г (п) которого зависит только от размерности п.

Это универсальное свойство дискретных гиперболических групп, примыкающее к глубокой теореме Каждана — Маргулиса [1], для п = 2 было независимо доказано (различными и существенно плоскими методами) сразу в нескольких работах — Харвея [1], Мардена [2], Штурма, Шиннара [1]; для п^З теорема 4.4 была доказана Ананасовым [5]. Другое доказательство теоремы 4.4, допускающее при п = 3 обобщение на группы с кручением, было позже приведено Биленбергом [1]. Заметим, что при пбфЗ можно указать численные значения постоянных г (п) как для групп без кручения, так и в общем случае (см. Штурм, Шиннар [1] и Ватерман [1]).

Перед доказательством теоремы 4.4 приведем два утверждения (Ананасов [5]) о сходящихся последовательностях отображений.

Лемма 4.5. Пусть последовательность {g,-} гиперболических изометрий Нп сходится к id. Тогда существуют подпоследовательность {g^.} и последовательность {у7}с Isom Нп такие, что g = lim ^igiTJ1 является параболическим отображением.

i — « ' 7

Доказательство разделим на три части согласно тому, все ли отображения g,- имеют:

по одной неподвижной точке р, £ Rn-1 = дНп;.

хотя бы по одной неподвижной точке pi^Hn;

по две различных неподвижных точки р,, q,£dHn. '

Легко видно, что в случае (1) в качестве элементов последовательности {у,} надо взять изометрии у;-, сопрягающие gt с винтовым движением xt-^-Ui^x^ + aj, где а^^Кп-г, Ui^O^n—l), U{ (0^ = 0^ | Пу [=1. При этом подпоследовательность {/у} выбирается так, что существуют пределы

lim i/^. = id, lim а; = а£5п"2(0, 1)..

Для доказательства в случае (2) будем считать, что имеем дело с шаровой моделью Пуанкаре гиперболического пространства и рассмотрим отображения ty,- £ Mob (В") такие, что to,- (рр = 0. Тогда опять в силу компактности ортогональной группы О (и) существуют to^O(n) и подпоследовательность {g^.} такие, что lim ty ty.gixsxp1 to ~1 = i d.(4.4)

Обозначим модули отклонений координатного вектора et при ортогональных преобразованиях (4.4) через г, и пусть х; = = К1—Гуе^ Тогда искомая сопрягающая последовательность состоит из отображений ^j = VjWWi., где и,- — гиперболические преобразования со следующими свойствами:. -

у/(—^) = 0, Уу(оо) = х;./(1-гу).'

При таких отображениях уу последовательность yjgi^J1 сходится к параболическому отображению g£M6b(Bn), у которого изометрические сферы /(g) и /(g-1) имеют единичный радиус и соответственно центры (1, q2, ■■■, qn) и (1, —q2, ..., —qn). Яг т • • • + Яп = •

В случае (3) можно без ограничения общности считать, что lim pi = р и lim q; = q. Тогда существует последовательность изометрий w,- такая, что

ty,(p,) = oo, ty,-(ty) = 0, w = lim ty,-^ Isom Нп. , (4.5)

Используя свойства (4.5), получаем представление о■

^igi®?1 W = Г i^ i ТД + aii(4-6)

в котором ортогональные преобразования Ui сходятся к тождественному, положительные коэффициенты г,- сходятся к 1, а длины векторов аг€Л"-1\{0} стремятся к нулю.

Из представления (4.6) уже легко увидеть, что достаточно взять такую подпоследовательность g; , чтобы существовал предел lim а^Даи I, а членами искомой последовательности взять отображения у7-= ^ ,у|а(-. |.

Лемма 4.6. Пусть последовательность {g,} гиперболических изометрий Нп таково, что для некоторой точки х0 £ Нп lim g, (х0) = х0. Тогда существует последовательность {т,} целых чисел такая, что,

lim 5тД = id.(4.7)

Доказательство. Будем проводить построения для модели гиперболического пространства на сфере мнимого радиуса (п. 3 § 3 гл. 1), считая, что точка х0 = е0 = ( 1,0, ..., 0). Запишем каждую изометрию g; в виде gi^UiVj, где U,£ О(п), а V; — гиперболические повороты, lim V, (е0) = е0. Но тогда для соответствующих матриц V, предел норм || I/,Ц равен 1. Теперь зададим последовательность {еу-}, Еу > 0, limey = 0. Тогда существует К, > 0 такое, что для любого Og О (п) найдется m^Z, |m|:C/<y, для которого || Um — 11| < е}. Пусть теперь номер ’) такой, что

||| V, ||,<v —1 | < еу для всех i^ij.(4.8)

Тогда для номера i, ty^i^ty+i, выбираем m^Z так, что

\тДСКь |^-1||<е7.(4.9)

Из условий (4.8) и (4.9) непосредственно следует утверждение (4.7).

Доказательство теоремы 4.4. Будем через d(x, у) обозначать гиперболическое расстояние, через D(х, г) — гиперболический шар с центром в точке х и радиусом г, через Р (G)— фундаментальный полиэдр Дирихле с центром в начале координат для дискретной группы ОсМбЬ(Вп) гиперболических изометрий (в шаровой модели Пуанкаре В"(0, 1)). Доказательство будем вести от противного: допустим, что для любого номера т существует дискретная группа без вручения Gm с Mob (Вп) такая, Что для всех sygM6b(B")

0(0, \/т) <t- Р (wG„w~1).(4.10)

Тогда в группах Gm существуют элементы gm, для которых d (0, gm (0)) ^ 2/т, и мы имеем последовательность {§■,„} изомет-

рий В” со свойством liin g"m (0) = 0. Учитывая лемму 4.6, без ограничения общности можно считать, что

ling« = id.(4.11)

Не меняя обозначений, перейдем от групп, действующих в Bn(0, 1) к сопряженным с ними группам, действующим в полупространстве R^. При этом сопрягающее отображение выбираем так, что начало координат переходит в точку е„ = (0, . . ., 0, 1). Рассмотрим после этого последовательность {m'JczMdb(n- 1) такую, что изометрические сферы / ^w,^ и / (оУт1) проходят через точку еп, а центр сферы / ^w,^ остается неподвижным при отображении gm. Тогда

^„g^-1 (х) = r,„Un (х) -а„,(4.12)

где Uт^Окп— 1), гт > 0, a,p^Rn-x. При этом из (4.11) следует, что limL/„, = id, liinrm=l, linam = 0.

Пусть теперь последовательность {у,} изометрий Нп и подпоследовательность ту- выбраны в соответствии с леммой 4.5, т. е. отображение

g= li п 4jWm gmWm.yf(4.13)

/ ->- z 111

является параболическим. Используя первоначальное допущение и обозначая ...

. Gm! = y,wm Gm w~xyf, .(4.14)

снова получаем, что существуют отображения и,- £ Gm., сходящиеся к тождественному отображению и не имеющие с отображениями из (4.13) общих неподвижных точек (исчерпываем, как выше, все элементы вида (4.12) из стабилизатора группы wm.G,n.Wm^ в точке оо). Обозначая элементы из (4.13) групп Gm через hj, получаем таким образом последовательность двупорож- денных подгрупп <и^ hp групп Gm., образующие и, и h; которых сходятся соответственно к тождественному и параболическому (из (4.13)) отображениям, не являющиеся эллиптическими и не имеющие общих неподвижных точек. Здесь уже кроется противоречие с дискретностью этих групп, так как h{ мало отличаются от переноса на единичный вектор, а изометрические сферы / (и,) имеют произвольно большие радиусы (ср. теорему 4.15).

Дадим строгое доказательство недискретности групп <и,-, Н;> для достаточно больших номеров i (при этом одновременно получим и доказательство теоремы 6.43). Сопряжем группы <и,-, h^ при помощи у; СМбЬ(п — 1), сходящихся к некоторому мёбиусову отображению у и оставляющих неподвижной точку еп Е Нп. Из-за сходимости отображений и,- к тождественному,

отображения у,- можно выбирать так, чтобы " л' '■ ' ' >

Yz^'/Vf1 (я) = rLUi (х) + ait .(4.15)

где Uj^O^n—1), а^К11-1, г;>0 и liin(/, = id, Iima; = 0, liinr, = l. Полученные группы и их образующие будем обозначать по-старому, убирая при этом индекс i (считаем его достаточно большим). Так как отображения и и А не имеют общих неподвижных точек, то отображения А не являются подобиями (в силу (4.15)) и, поэтому, применяя следствие 1.4, можем записать

А(х) = р-А • 3 (х— q^ + 7',(4-16)

где А^О^п—1), 3 (х) = х/1 х |2, q и 7' — центры изометрических сфер / (А) и / (А1) радиуса Ир.

Если q является неподвижной точкой для образующей и, то рассмотрим в группе <у, А> элемент Аъ

Ах (х) = huh-1 (х) = r-1AldA~1(x—q,) + q',(4.17)

где U и г — из (4.15). Тогда из леммы 3.9 следует, что отображение Ах должно оставлять точку q неподвижной: Ai(7) = n. Отсюда и из (4.17) получаем, что q = q' и поэтому образующая А должна быть эллиптическим отображением, что невозможно. Таким образом, точка q не является неподвижной точкой образующей и.

Построим последовательность {А,}<=<и, А>:

h1=hvh~1, —, Az-= A,_1uAf_11, . ..(4.18)

Так как до сопряжений (4.15) групп <и, А> их вторые образующие сходились к параболическому отображению, то существует не зависящая от образующих А постоянная К > 0 такая, что

^(А-1^), е^К.(4.19)

В то же время образующие и достаточно близки к тождественному. Поэтому можно считать, что постоянная К > 0 из (4.19) обладает следующим свойством — d (и (х), x)^k для всех х, d^x, e^s^k; в частности, d(uA-!(<?„), A*1 (cj) <ТГ А.

Этот факт влечет оценку:

d (h, (ej, е„) = d (huh^ (e„), e„) < K-(4.20)

Индукцией по номеру i (аналогично (4.20)) получаем, что для всех элементов последовательности {А,} имеют место неравенства

d^M, е„^К.(4.21)

Теперь для окончательного доказательства недискретности группы <и, А> достаточно показать различие элементов последовательности {А,}. Для этого подставим в (4.18) представления

и (4.16) образующих и и к. Тогда для i=l имеем р^^ (х — q^ + qi = кг (х) = huh"" (х) =

= p3VpAUA-^^-q'WA (У(дНШ- (4.22) где, как было доказано, и (д) — q^O. Из (4.22) простыми вычислениями получаем

Pi = гр/| и (^) — ^ |2.

Из равномерной оценки (4.19) для образующих к следует, что параметры р равномерно ограничены снизу некоторым числом ро > 0, а точки q лежат в некотором шаре Srt-1(0, K^clRA-1. Отсюда и из близости отображений и к тождественному получаем, что р, ^ 2р.

Выписывая для отображений к,, 1'^2, соотношения, аналогичные (4.22), получаем индукцией по номеру I, что все элементы последовательности {А,} имеют изометрические сферы I (к-) радиусов Кр, и при этом .

P, + l>2pz.

Из оценки (4.21) и этого свойства, показывающего различие элементов к; и к, для номеров i V= j, непосредственно следует недискретность групп <и, к>. Это противоречие заканчивает доказательство теоремы 4.4 (и вместе с ней, теоремы 6.43).

Лемма Маргулиса и разложение

гиперболических многообразий ■

6 с Isom Нп и для каждой точки х^ Нп подгруппа GE (х) абелева, а группа Ge(x) имеет абелеву подгруппу конечного индекса.

Доказательство (Тёрстон [1]). В любой группе Ли Я коммутаторное отображение [, ]: НхН->- Н имеет нулевую производную в точке (id, id), а размер коммутатора двух малых элементов ограничен сверху некоторой постоянной (произведением их размеров). Поэтому для любой дискретной подгруппы G^G, порожденной малыми элементами, имеем свойство конечности нижнего центрального ряда

g;=)[g;, g;]^[g;, [g;, G;]]o...o{id}.

Это следует из ограниченности снизу размеров элементов из GE. Таким образом, группа G* нилыютентна. Хорошо известно, что в случае групп гиперболических изометрий свойство нильпотентности группы Gg влечет ее абелевость (это можно показать при помощи классификаций изометрий Нп\

Идея доказательства второго утверждения основана, во-первых, на нахождении Ej > О такого, что группы G' (х) всегда абелевы, и, во-вторых, на выборе такого е < еп что произведение порождающих группы Ge(x) лежало бы в G^x).

Более точно: пусть достаточно большое N > 0 таково, что любое множество, состоящее по крайней мере из N элементов ортогональной группы О(п), содержит по крайней мере одну пару элементов, расстояние между которыми не больше е^З.

Выберем е2, 0 < е2 -С ^й/З, такое, что для любых Д, /2 g Isom Нп, сдвигающих некоторую точку х на расстояние ^ е2, производная в точке х отображения /у о f2 оценивается, с точностью до Ej/6, произведением производных в точке х для и f2.

Пусть теперь е = е2/2М. Тогда произведение 2Я изометрий, переводящих х на расстояние не больше е, переводит х на расстояние, не превосходящее е2. Пусть gx, • • ., gk£ G— порождающие группы 6Е(х). Рассмотрим смежные классы у6Е1(х), где ygGe(x), и покажем, что они имеют представителей, чьи слова в порождающих gi, ■ ■ ■, gk имеют длину меньше N. В самом деле, если у = = git- ■■■ 'Sim—любое слово длины m^N, то можно записать у = а-6-Р; а, 6, p^id, где слово бр имеет длину не больше N, а производная для 6 есть, с точностью до Ej/З, тождественное отображение. Это влечет, что (ар)-1-(абр) = р-1бр лежит вСЕ(х). Поэтому имеем у-СЕ] (х) = аР-СЕ1 (х). Этот факт доказывает высказанное выше свойство смежных классов.

Таким образом видим, что абелева группа G'Jx) имеет конечный индекс в группе, порожденной группами СЕ(х) и 6Е (х) и, следовательно, GE(x)nGE(x) имеет конечный индекс в СЕ(х).

Заметим, что лемма Маргулиса справедлива и в более общем случае дискретных групп изометрий риманова многообразия с ограниченной кривизной— с заменой в ее формулировке абелевых групп нильпотентными.

Пример 4.8. При п^З дискретная абелева группа Г изометрий гиперболического пространства Нп может быть либо циклической Z с локсодромическим или параболическим порождающим; либо свободной абелевой группой Zk ранга к, к^п—1, сопряженной группе Бибербаха, имеющей порождающими евклидовы переносы, быть может, винтовые; либо группой ZxZ,n, сопряженной группе гиперболических переносов и вращений вдоль некоторой геодезической в Нп; либо конечной абелевой группой порядка tn, сопряженной подгруппе ортогональной группы О^п)— при п = 3— Z2xZ2.

Ясно, что при достаточно малом е > 0 (не превосходящем числа 1/т) группа Г в последних двух случаях не может быть группой Gg(x). Еще больше уменьшая е (делая f меньше длины гиперболического переноса в G), видим, что произвольно тонким компонентам M(o. ej многообразия M = HnlG, соответствующего некоторой дискретной группе Ge Isom Нп\ отвечают только параболические подгруппы Г группы G, т. е. подгруппы, сопряженные группе евклидовых изометрий R"-1. '

Тонкие параболические подмногообразия.

Замечание 4.9. Пусть Г — дискретная без кручения группа евклидовых изометрий Rnl. Тогда Г действует в полупространстве R" как группа изометрий модели Пуанкаре гиперболического пространства Нп. При этом для каждой точки 'x^Rn-1 существует /е = /е('х) такое, что для каждой точки х геодезического луча

{('я, xnKR"=Rn-1xR+: xn^tE('x)}

имеет место очевидное равенство ГЕ (х) = Г. Это показывает, что утверждение теоремы Бибербаха (теорема 3.8) о существовании в Г абелевой подгруппы конечного индекса является частным случаем леммы Маргулиса. С другой стороны, полезно получить оценки для чисел 1Е(ху

Здесь имеем три различных случая:

Г состоит из евклидовых переносов;

для любого g'gr\id существует m^Z такое, что gm является евклидовым переносом;

существуют gEF, никакая степень gm, m^Z, которых не является евклидовым переносом («—винтовой перенос с иррациональным вращением).

В первом случае, сопрягая группу Г при помощи гомотетии, можно считать, что минимальная длина вектора переноса в Г равна 1. Тогда элементарная тригонометрия гиперболической плоскости № (см. § 3 гл. 1 или Бердон [4, §7.2]) показывает, что для гиперболического расстояния d(x, g(x)) (где g(x) — х 4- а, [а|=1) имеет место формула

d (х, g (х)) = 2 ArcSh (| х—g (х) |/2 Vхп ■ g ^х^ = 2 ArcSh (1/2х„).

1к Отсюда видим, что е-тонкая часть Нп/Т в случае а) есть фак- |,Торпространство оришара:

(Hn/VW^^RV. х^^Ж ^г(Г) = 2&- (4-23)

где /е(Г) не зависит от точки 'x£Rn-1, а число | а | — минимальная длина векторов переносов из Г.

Во втором случае имеется число тр такое, что для любого g£F существует m<^mr, для которого g"1 есть евклидов перенос. Поэтому, как и выше, для любого 'x^Rn-v заведомо имеет место неравенство

М - !2 She/2

где |а|—минимальная длина векторов переносов (винтовых) из Г.

Для уточнения этой оценки будем считать, что векторы переносов из Г образуют базис подпространства Rkc2Rrt-1 = Rk xRn-k-1 (см. теорему 3.8), и обозначаем 'х = (х?, х1) ^RkxRn-k-1. Тогда любой элемент g^F записывается в виде

g^ = g('x, x„)=g(x°, х1, х„) = (х° + а, ^(х1), хп^ '

где а£Я*\{0}, U ^О^п — к—1)<=О(п—1).

Поэтому, считая 1а|=1, имеем, -

d (х, g (х)) = 2 Arc sh (И 1 + 4 | U (х1) |2/2х„).

Отсюда сразу получаем неравенства, уточняющие получен-

j^iv2I±±L3!

| a l-mp •' ’ 1

2 Sh е/2~ ', г

, Оценки (4.24) показывают, что в случае б) е-тонкая Часть для Нп/Г получается объединением фактор пространства оришара (x^RV- xn>te Г)}/Г и компактного многообразия - ,

){^6/?^: №)<х„^е(Г)}/Г.

1 Компактность последнего доказывают два факта: во-первых, векторы переносов в Г образуют базис в Rk, а во-вторых, для точек 'х = (х°, х1) С RkX Rn~к-1, у которых | х11 достаточно велико (а именно, (/zip—1)/4 ^ | х112), имеет место неравенство

/е(Г)</Е('х).

В последнем случае группа Г имеет винтовые евклидовы переносы g с иррациональной ортогональной составляющей.

Обозначим через Rk, 1 s^ к <2 rank Г ^п — 3, подпространство, базис которого образуют векторы «иррациональных» винтовых

переносов из группы Г, а через [а|—минимальную длину векторов переносов в Г. Записывая точку x^R" в виде х = (х°, х1, хп), где х0^/?*, х1 СRn~k~1, х„>0, получаем аналогичные (4.24) неравенства , .

2She/2 2She/2

Из неравенств (4.23) — (4.25) следует, что во всех случаях е-тонкое подмногообразие в Hn/V обладает следующим свойством: {х = (х% х\ хп^п. Xn>_L£l^_±-41^l/^^ е)/Г —

= тг)(0,Е]^{хе/?- х„> 2^5-}/г-

Здесь через V^ (Г, е) обозначена параболическая ^.-окрестность параболической вершины оо, заменяющая в общем случае Е-оришар, стоящий в правой части этого соотношения: '

^„(Г, е)={('х, x^^R'^xRv- х„^/е('х)}. (4.26)

Тонкие части трехмерных многообразий. Для случая п = 3, который занимает исключительное место в наших описаниях е-тонких частей ориентируемых гиперболических многообразий Hn/G (здесь все параболические элементы сопряжены евклидовым переносам), можно дать полное их описание. Это есть либо фактор оришара с центром в параболической вершине р по действию ее стабилизатора Gp^G (циклическая или свободная абелева группа ранга 2), либо фактор гиперболического цилиндра

ОДЦ = ^х^НЛ; d{x, Ц^Л

с образующей геодезической 1сс№ и радиусом г > 0 по действию циклической локсодромической подгруппы с осью I.

Но на самом деле е>0с указанным выше свойством можно выбрать одно для всех дискретных групп Ga Isom №. Сформулируем это в следующем виде.

Следствие 4.10 (Тёрстон [1]). Существует постоянная е > О такая, что каждая компонента в Л4(о, Е) любого полного ориентируемого гиперболического 3-многообразия М есть либо

фактор оришара по действию групп Z или ZxZ, либо

фактор цилиндра Dr(l), г > 0, по группе Z, где I — геодезическая.

Замечание 4.11. Для фиксированного гиперболического многообразия Л4 конечного топологического типа существует в = = е(Л4)>0 такое, что Е-тонкая часть Л4(о, Е] состоит только из параболических компонент. Однако универсальной постоянной в с этим свойством, т. е. постоянной, отбрасывающей в сторону окрестности гиперболических осей в следствии 4.10 (или в лемме Маргулиса), не существует даже в случае гиперболических 3-много-

образий конечного топологического типа: Бонахон и Отал [1] построили семейство таких многообразий с геодезическими произвольно малой длины. _

Доказательство следствия 4.10. Хотя его можно получить из теоремы 4.4, мы дадим прямое доказательство. Пусть 8—постоянная Маргулиса из теоремы 4.7. Для х€'И(0, 8] обозначим через х ее поднятие в №. Тогда некоторое преобразование наложения л € С передвигает точку х на расстояние не большее е. Если g—гип'рболический элемент, то обозначим через I его ось. Все вращения вокруг /, сдвиги вдоль I и равномерные сжатия Н3 вдоль ортогональных к I геодезических коммутируют с g. Это показывает, что М(о, (] содержит цилиндр Dr(T), где г — УЦ, х), так как d(y, g(y))^e для всех y£Dr(Tp Если отображение g есть параболический элемент с неподвижной точкой р^дН3, то А1(о, 8] содержит оришар, ограниченный орисферой, проходящей через точку х. Таким образом, Мщ. Е] есть объединение ориша- ров и заполненных цилиндров Dr(/). Если среди них два пересекаются, то они определяют два преобразования наложения gn gz € Gcl^L-, сдвигающие точку х на расстояние -Се. Из теоремы 4.7 следует, что gx и g., должны коммутировать, что соответствует концентрическим оришарам и заполненным цилиндрам. Строгая инвариантность этих оришаров и заполненных цилиндров относительно их стабилизаторов заканчивает доказательство.

Многомерные параболические 8-компоненты. Заметим, что при доказательстве следствия 4.10 мы воспользовались тем известным фактом, что любая дискретная группа Gdsom№ имеет в своих параболических точках р^дН3 строго G^-инвариантные оришары Врс:Н3 (см. определение 4.14), т. е. у (Вр) = Вр для всех У € Gp и g (Вр) Г) Вр = 0 для всех g £ GXG^.

Оказывается — это показывает строящаяся ниже клейнова группа GcMob(n), п^З, что указанным свойством вообще говоря не обладают дискретные группы изометрий гиперболического пространства размерности ^4. А именно, Е-тонкие параболические подмногообразия М(о, Е] гиперболического многообразия М размерности п ^ 4 уже не накрываются (при любом в > 0) ориша- рами в Нп. Более точно:

Теорема 4.12 (Ананасов [21]). Существуют клейновы группы С — ®Яп, п^ 3, параболические точки р которых не имеют никаких строго Ср-инвариантных оришаров BpdHn + Y.

Доказательство теоремы развивает идею Г. А. Маргулиса (см. Апанасов [19]) и состоит в построении бесконечно порожденной группы G<=o<„, п^З, с указанным свойством.

Итак, пусть (т,) —какая-либо неограниченно возрастающая монотонная последовательность натуральных чисел, a U£O(n)— поворот бесконечного порядка в R", оставляющий ось ReY не-

подвижной. Сопрягая U, можно считать, что при этом в 2-плоскости с образующими векторами е2 и с3 происходит поворот на несоизмеримый с 2л угол q, 0<q < л.

Нужная нам клейнова группа G будет иметь вид

G=<G0, /г>, h (х) = U (х) п еь (4.27) где свободная (бесконечно порожденная) группа G„ имеет своими порождающими гиперболические преобразования gb t^l, сизометрическими сферами

Hgi^V^R"; \g'^\=.\\ = S-'-4Zb т^ (4.28) радиусов т,. Параболические точки G лежат в орбите G(oo) — — {g-(oo): g" € G}, поэтому их свойства определяются свойствами оо. Ее оришары имеют вид Нr = \х £ R^1 \ х„+1 > г) и при любом г > 0 не могут быть строго G^-инвариантными, так как пересекаются с бесконечным числом изометрических сфер / (gy) таких, что т,- > г. ■

Для построения указанных порождающих g,- обозначим через t;> 0 минимальный угол, образуемый векторами ^Uk^e2y 0^к<С2тД с векторами е2 и—щ. Иными словами,

/,= min {] arccos (е2, Uk (е2)) |, | arccos (—е2, t/ft(e2))|}. (4.29) О <t<mt

Пусть теперь /, = m,/sin (/,/2) и г; = Цс.,, z\ =— /,е2. Так как П.п/,= 0, то можно считать, при необходимости переходя к подпоследовательности, что для всех i^ 1

1/2 </z— т; < пг( < li+1—m/+1. (4 30)

Рассмотрим непересекающиеся шары . .

. Во = В»(О, 1/2), В^Б^г,, т;у (4.31) В’{^Вп(гУ т;у i^l, • -

ограниченные сферами So, 5,- и S), и определим гиперболические образующие g,- следующими условиями: / (gy) = S;, /(gf1) = S-.

Из неравенств (4.30) следует, что группа G^'gx, g2, ...> является свободной чисто гиперболической группой, причем для любого gGG0\{id} существует in такое, что

g( П (ext.S,-n extS;)^ стВ^иВ^. ' (4.32) V 5 ■

Для окончания доказательства осталось доказать Дискретность группы (4.27). Мы докажем большее: fi(G)=^=0. Это будет следовать из того факта, что для всех g'GG\{id} , ( ;

Итак, для целых т^О и для всех i имеем.'

(BiuB'^h'4B.!UBi) = 0, ВопК"ЧВ^ = 0.(4.34)

В самом деле, для Вй соотношение 74-34) следует из того, что h—перенос на вектор единичной длины. Для z ^ 1 и для всех целых т, |т| ^ 2т,, свойство (4.34) следует из того, что S,-и S- имеют диаметры 2m,-, а перенос к™ осуществляется на вектор длины | m | ^ 2m,-. Для оставшихся целых m ^= 0, | m | < 2m,-, свойство (4.34) следует из определения (4.29) чисел t, и связанного с ним выбора чисел /,-, определяющих центры г,- и г\ шаров В, и В-. В самом деле, этот выбор гарантирует, что секторы

Vi=\tx^Rn\ x^Bis / > 0},.1

»v;= {fxeR": хе в;, />0}■

ё пересекаются с множеством, ч л

■'U{^“(V,): m£Z\{0}, |m|<2zn/}.■

::

. Обозначим' . ■,’ -

R- > D = Ulft"f U B/U5;uBiY т€^\{0}|;: '

Из : боб^йошений (4.34) для ^всех i, m^O немедленно получаем

tк'ЧВ.иВ^О, h^B^D,.

r(B,uB^aD = 0.t4"^

В то же время из (4.32) и (4.34) следует, что для любого g" С G0\{id} существует i0 такое, что. . , - ,

гg-(B0UD)<=B,-oUB; ■ -(4.36)

^Запишем теперь любой элемент g£6\{id} в йиде . .. .hnk.x:;+1,■ к. ,(4.37)

где у,^60; у,-=^ id для z=#l, к0 1 и п,-^0 для всех i. Тогда индукция по длине слова (4.37) и соотношения (4.35), (4.36) доказывают свойство (4.33) и тем самым завершают доказательство теоремы 4.12.

Замечание 4.13. Построенная группа СсПотД'*, п^4, обладает кроме прочего еще тем свойством, что ее орисферы не образуют дискретного семейства в Нп. Этот факт был замечен в работе Эпстейна, Пеннера [1] в связи с разбиением на идеальные симплексы некомпактных гиперболических 3-многообразий конечного объема. С незначительными изменениями доказательство теоремы 4.12 было повторено позже в работе Отаке [1].

Строго инвариантные оришары и Й-пики

Действие дискретной группы в оришарах. Пусть GcMob («), п^2,—дискретная группа, имеющая параболический элемент с неподвижной точкой pERn- Считаем, что G действует изометрически в полупространстве Rn*\ наделенном гиперболической метрикой. Как мы уже видели в предыдущем параграфе, важно знать поведение группы G в малых оришарах Врсз Нп 1 \ которые при р=оо являются пространствами

На= ^xERT- хп+1 > а}, а > 0.

Определение 4.14. Область D называют строго инвариантной относительно подгруппы И дискретной группы G, если у(О) = £) для у ЕН и g(D)nO=0 для gEG\H.

Очевидно, что в строго //-инвариантных областях действие группы G полностью определяется подгруппой Н. Этим, объясняется важность следующей теоремы, выделяющей параболические точки р дискретной группы G, имеющие строго С„-инвариантиые оришары ВрсНп + х. "

Теорема 4.15. Если дискретная гриппа GcMob^n), п^2, либо содержит евклидов перенос, либо для некоторой евклидовой t-окрестности Ut (Е) инвариантного относительно параболического стабилизатора G^G подпространства EaRn выполняется включение

G(oo)= [g(oo): gEG^U^EY (4.38)

то существует а„> 0 такое, что оришары HacR++1 строго G„- инвариантны для всех а X а0. Если при этом в группе G^ имеется евклидов перенос на вектор aERn, то а0Х|й|-

Замечание 4.16. Утверждение теоремы для случая п = 2, где всегда G^ состоит из евклидовых переносов, хорошо известно (см., например, Ленер [1] или Шимидзу [1, лемма 4]). Прии^З доказательство этого утверждения в случае наличия в G евклидовых переносов было дано Апанасовым [3] (см. также Апана- сов [13]). Случай, когда 0ю состоит из винтовых переносов, разобран в работах Апанасова [14, 19]. Точность условия (4.38) показывают примеры групп GcMob(n), и^З, построенных в доказательстве теоремы 4.12.

Доказательство теоремы 4.15. Пусть сначала GM содержит евклидов перенос h на вектор aERn- Рассматривая вместо группы G сопряженную ей группу фСф-1, где ф (х) = х/| а |, получаем, что в этой группе имеется перенос на вектор единичной длины, а отношение радиусов изометрических сфер отображений gEGXG^ и xpgxp-1 равно |а|. Поэтому достаточно в случае | а |- 1 доказать, что радиусы изометрических сфер /(g) для g^G\Gw не превосходят 1. '

Допустим, что в G\G„, существует элемент g с изометрической сферой 1(g) радиуса г > 1. Сопрягая группу при помощи переноса, можно считать, что I (g-1) = S"-1 (О, г). Рассмотрим последовательность (g,} cz GXG^: '

go=*g; gi = gi-ihgih, t^l- -(4.39)

Если <7/ и </• — центры изометрических сфер для g, и gf1 радиусов г,-> О, 3 (х) = х/| х |2, то для некоторых и;£О(п) имеем (следствие 1.4)

gi(x) = ^[3 (х— qj + qi (4.40)

Из (4.39) и (4.40) получаем представление для gv через г = г0, U"~U6 и Ga (х)— отражение относительно подпространства Р (а, 0) = \x^Rn; (х, ц) = 0}:

gt (х) = r2U3 (гЧМЭ (х) а) = r4J (г26а3 (U-Цх) + г2а) + а) =

= r4U6aU-13 (x+r2U (a)) + r2U (а). (4.41)

Отсюда следуют равенства

qx =— r2U (a), qi = r2U(a), гг = г2, U1 = UQaU~'L. (4.42)

Аналогично равенствам (4.41) для i^2 получаем

W (x—qt) + q- = gi-xhg?^ (x) =

---r4_-JJ .^„и^хЗ (x — q.-t + Л-iUi-i (a)) q’^ + r^U,-^ (a)^ ...

= Г-^ЩЗ= Г-^ЩЗi - 2.#

= Г-^ЩЗ

= Г-^ЩЗ

x — 2 r2, + v-U.(й) + г2‘и,_г(а) / = о

+ 2 r2, + 1.U,(a). /=o+ 2 r2, + 1.U,(a). /=o(4-43)(4-43)

+ 2 r2, + 1.U,(a). /=o

+ 2 r2, + 1.U,(a). /=o

(4-43)

(4-43)

Отсюда следуют соотношения, аналогичные (4.42):

г;=г2\ q,- = 2 r2i+ ^-UAa)- r2‘-U..Дй),

(4Л4)(4Л4);/ = о

(4Л4)

(4Л4)

■! 'I2'"11‘X1

1Л = (П (^1,/-Ю|-6а.

(4.45)(4.45)Заметим, что здесь U,■ — отражение относительно подпространства ^(^/-i(a). 0)c:Rn. Если теперь отображение U^O(n) таково, что U6aU-16o имеет конечный порядок m£Z, то в дальнейшем будем рассматривать номера i кратные т и такие, что U, = 6a. Если же иваи-16а имеет бесконечный порядок, то в силу компактности ортогональной группы О(п) можно выбирать номера i так, что отображения U,■ становятся е-близкими к отображению 6а. Возможность этого следует из (4.44). Таким образом, можно считать, что

(4.45)

(4.45)

lim Ui = 6a.

Рассмотрим теперь матрицы Тт = (^) С SO (n + 1, 1), соответствующие элементам (4.39) при изоморфизме ф*: Mob (и)—*SO(n+1,1), индуцируемом изометрией ср: Hn+1 —> 1Нп + 1 гиперболических пространств (см. § 4 гл. 1). Преобразования Лоренца Тт-х переводят вектор е0^1Нп + 1 в вектор 7„-е0 ==(/%, /Го, • • •, йи), координаты которого удовлетворяют равенству

(ед2-2(ед2=ь г ■ (4.46)

Изометрия ф такова, что ф(е,1+1) = е0. Поэтому, учитывая следующую из (4.46) оценку |едХ|/оо|, 1 ^Кп+1, из равномерной ограниченности /'о”о мы получаем равномерную ограниченность гиперболических расстояний (ср. следствие 4.17):

d(e„+1, g„(e„+1))<C< оо. . (4-47)

Для оценки члена /Го матрицы Т,п рассмотрим его зависимость от параметров г и U, задаваемую формулами (1.40) и (4.44). Так как г > 1, то при пг -л оо получаем (с учетом (4.45)) следующие эквивалентности:

(1 + | ^ р) (1 + | дт |2) ^ ^ _ 2^ = _ 2гз- = \

‘ 2r^qm, Um^»2r1rn\q,„\.\q'm\«2r4m-2rL ’

где ( , ) —скалярное произведение в Rn, а знак « обозначает равенство с точностью до величин, порядки которых не превосходят г,4,,., = г2™, где r> 1.

Из (1.40) и (4.48) получаем равномерную ограниченность члена t% матрицы Tm £ SO (и + 1, 1) и, следовательно, оценку (4.47). В силу нашего допущения (г > 1) имеем r„j+1 > rm и, следовательно, все элементы последовательности (4.39) попарно различны. Поэтому ограниченность орбиты {g„(?nn)} противоречит дискретности группы G.

Пусть теперь G^ содержит только винтовые переносы /г(х) — = V(x) + а, V € О^п), V(с) = а. Докажем, что и в этом случае радиусы изометрических сфер I (g), g С GXG^, ограничены некоторой постоянной. В противном случае, с учетом условия (4.38), мы можем считать, что для малого е > 0 норма ортогонального преобразования V меньше s и что в G - G^ существует элемент q (х) = = r4J3(х—q) -rq', U £ О(п) такой, что г > 1 4-е, а точки «y—g1 (оо), </' = g(oo) находятся от подпространства Е " Rn векторов переносов из GM на евклидовом расстоянии < е/2.

В самом деле, для выполнения указанных условий нам достаточно взять вместо переноса h его достаточно большую степень hm£ и сопрячь группу G при помощи сжатия х*—»х/(тг-1 а |).

Считаем теперь (не меняя обозначений), что указанные условия выполнены и рассмотрим в группе G последовательность (4.39), построенную по элементам g и h. Непосредственный подсчет (ср.

(4.41)—(4Л4)) дает для ее элементов g, вида (4.40) ‘Соотношения: q^U-rUu^y-^),‘

‘q^qi-i-.-rUU,--^^,>(4.49)

' ’ - Ui = Ui_16oVU^11 п = гДДаД.

Здесь 6и обозначает отражение относительно подпространства Р(у, ^cR", ортогонального вектору y^Rn\ l^O(ny ut- =-V(qi_1)-qi_1Aa.

При этом из наших допущений следует, что г0 = г > 1 4- е > > | а, | > 1. Отсюда и из (4.48) получаем, что радиусы г, > г(3/2)‘ стремятся к бесконечности, a Uj^O^n?) при достаточно больших номерах г близки к преобразованию 6„V (соответствующее i-e отражение определяется вектором, близким к уД. Эти факты и формулы (4.49) доказывают следующие эквивалентности (ср. (4.48)):

(1-Н^)(1-Ш12)~^-2г№,

2r=(^, иДуД)^гДЧДДЧД^г)-^гДх, ' J где знак %: обозначает равенство с точностью до величин, имеющих порядок не выше г*_Р

Применяя (аналогично предыдущему) полученную асимптотику (4.50) к формулам (1.40) для члена /;0 матрицы cp*(g(), имеем его равномерную ограниченность и, следовательно, для последовательности {g,} с G получаем оценку (4.47).

Ограниченность орбиты {g,(e„Ti)} и различие элементов g; (г/+1 > гД противоречит дискретности G и, тем самым, доказывает ограниченность радиусов изометрических сфер 1(g), g£G\G„, и в случае винтовых переносов в G,,. Таким образом, всегда существует а„ 0 такое, что для всех а^а0 и для всех g€G\G„

HaGg (Н^ <= На П int I (g"1) = 0.

Это завершает доказательство теоремы.

Заметим, что приведенное доказательство дает более сильное утверждение. Сформулируем его в случае евклидовых переносов:

Следствие 4.17. Пусть в группе Gc:A46b(zz), п ~^ 2, содержится евклидов перенос h на вектор а 4 Rn Если при этом в G\G„ имеется элемент g, радиус изометрической сферы которого больше |а|, то последовательность {g,} cz G из (4.39) сходится к h.

Доказательство. Мы не будем продолжать наши технические выкладки, а приведем вариант доказательства этого факта, предложенный Г. А. Маргулисом. Преобразуем (4.39) в последовательность g, коммутаторов:

'gi =ghg~1h~\ .. ., gi+1 = gihg^h1.

Ясно, что gi = gih^T и, поэтому' "

.Inn g; = h Ф^ ii n gj = id.'(4.51)

Обозначим через Н группу параллельных переносов, и пусть /ii, hz£H. Положим f = h1ghz, где f и g имеют изометрические сферы равных радиусов, и рассмотрим последовательности:

к = к k = W-\ .... к+1 = Г№\ --•,k = fhrh-y = u, на, ...ai+1 = V^ на, ...

Тогда при i ^ 1 имеем /у = Н^а1 и к = Н^а1. Поэтому для доказательства (4.51) достаточно доказать, что limf, = id.

Заметим теперь, что для у достаточно близких к тождественному последовательность коммутаторов yj = [у, НА, .., y, + i ~ = [Тг» НА, • • • сходится к тождественному отображению. Это утверждение получается из следующих известных фактов:

1. Для любых двух достаточно близких к тождественному элементов end последовательность Ci = [c, сГА, . . •, c, + i = [с,, d], . .. сходится к тождественному отображению.

Элемент h можно сделать достаточно близким к тождественному, заменяя (в силу унипотентности ■ переноса К) для подходящего элемента 6 элемент h на 6/i6-1, а элемент у —на буб1.

Предположим теперь, что радиус сферы /(g) для g^GXG^ достаточно велик. Тогда, в силу сказанного найдутся h^, h.,£H, евклидово движение w и у g Mob (и), достаточно близкое к тождественному, такие, что High, = v-w. Заменяя (как выше) g на hTgh.z, получаем, что g; достаточно близко к тождественному, т. е. имеют место равенства (4.51).

Для завершения доказательства остается воспользоваться свойством г/ + 1 = г, из (4.44), обеспечивающим существование элемента g^G с достаточно большим радиусом изометрической сферы / (g).

Параболические Й-пики и параметризация оришаров. Определим действие мёбиусовой группы на пространстве линейных элементов в Rn, т. е. на единичном касательном расслоении TTARnA сферы Rn, совпадающем при нечетных п с произведением Rn X xSn-1(0, 1), следующим образом (ср. Апанасов [8]). Для пары с = (У, &€RnXS" 1 рассмотрим отображение шс€МбЬ(п), переводящее точку y£Rn в оо, а направление ^S'1"1 в точке у в направление и-го координатного вектора en^Sn-y. Пусть через ( , ) обозначено скалярное произведение в Rn. Определим для любой пары с = (у, ^)eRnxSn^1 семейство 33(c), состоящее из шаров

Вг= (x£Rn\(Ук ^гк), еп)>^-

Очевидно, что различным парам с, сх=^с, соответствуют различные семейства 53 (с) #=53 (с^ и обратно.

Пусть теперь g£M6b(n). Для каждой пары с = (у, UGRn^ xSn~1 однозначно определяется семейство касающихся шаров

B-r=gW),_которое единственным образом определяет пару с* = = VKRnX S" ^ Поэтому мы можем определить действие g на 7\ (/?"), положив g(c) = c*. Это задает действие Mob (и) на пространстве линейных элементов в Rn.

Определение 4.18. Пусть GcMob(n)— клейнова группа, Q с Q (G) — инвариантное относительно группы G открытое множество и у g <9П — неподвижная параболическая точка группы G. Назовем пару с = (у, ^ ^ Rn X Sn-X параболическим Й-пиком группы G, если она неподвижна для стабилизатора Gg с G и если существует шар Вг из семейства 53(c), содержащийся в области Q и строго инвариантный относительно G,r

Из определения видно, что у фуксовой группы, оставляющей инвариантным шар В = Вп(а, 1), каждой неподвижной параболической точке, удовлетворяющей условию теоремы 4.15, соответствуют два параболических Q-пика: В-пик (у, у —а) и /?"\В-пик (у, а —у). Можно показать, что аналогичным свойством обладают группы, полученные из фуксовых квазиконформными деформациями. Однако при п^З уже группы на границе пространства деформаций фуксовой группы (см. гл. 9) могут иметь параболические точки, не соответствующие никаким параболическ им й-пикам в R". Таковы неподвижные точки случайных параболических (с кручением) элементов граничной группы, соответствующие при изоморфизме групп локсодромическим элементам фуксовой группы.

Пусть теперь с = (у, £) —некоторый параболический й-пик клейновой группы G в Rn, а В £ .59 (с) — максимальный шар, содержащийся в й (G). Рассмотрим отображение w € Mob (п) такое, что w(y) = <x>, w(B) = R1,(4.52)

а максимальный строго Су-инвариантный шар из 53 (с) Переходит в полупространство Нг = (х£ R": хп> 1}. Такое отображение w определяется единственным образом с точностью до евклидовых изометрий полупространства R". Поэтому можно определить параметризующую функцию

PcW = Pc,oW = exP{—(“'W- ^)}-

Очевидно, что для любого у^МбЬ(п) имеем■ ; •

Рс. g to = Pv м-1 (? to) •(4 • 53)

Кроме того, функция рс (х) параметризует шары семейства 53(c), так как оно состоит из шаров

ВДу) = Вг(с) = (х^\(у¥ Pcto<rb (4.54)

Будем называть шар Вг(с) орииларом радиуса г с центром в й-пике с = (у, у. Очевидно, что максимальному шару из 53 (с), лежащему в Й(С), соответствует оришар радиуса г=1. Кроме того, макси-

4 Б. Н. Ананасов

мальному строго 6у-инвариантному оришару в параболической точке у дискретной группы G отвечает радиус г=1/е.

Замечание 4.19. Свойство (4.53) показывает 6-инвариантность параметризующей функции рс(х). Это влечет, что элементы группы 6 переставляют оришары равных радиусов, центры которых лежат в какой-либо 6-орбите Q-пика группы.

Более того, заменяя использованную выше нормировку параметризующей функции рс (х) (размером максимального строго 6у-инвариантного оришара) на нормировку, связанную с минимальной длиной вектора переноса, порядком его ортогональной составляющей и размером /-окрестности в условии (4.38), для клейно- вых групп 6 cz Mob (п), п ^2, с параболическими Q-пиками, удовлетворяющими условиям теоремы 4.15, можно доказать, модифицируя доказательство леммы 3 в работе Апанасова [8], существование универсальной константы К = К(6) такой, что для всех Q-пиков с = (у, Q и с' = ^у', £') в различных параболических, точках у фу' оришары Вк^ и Вк^') не пересекаются. Этот факт очевиден, если группа 6 содержит лишь конечное число классов сопряженности параболических подгрупп.

Кристаллографические группы отражений , и вопросы арифметичности . -

Схемы Кокстера. Пусть Р — выпуклый полиэдр (ограниченный гиперплоскостями Нм i£ /) «-мерного евклидова, эллиптического или гиперболического пространства X. Условием того, что группа 6 с IsomX, порожденная отражениями относительно плоскостей Hh дискретна и Р есть ее фундаментальный полиэдр (см. следствие 3.30) является то, что Р является полиэдром. Кокстера, т. е. для любых t, j^I, i^j, гиперплоскости Н,- и Н, либо не пересекаются, либо образуют двугранный угол (содержащий Р), равный п!пц, где n^Z, «(/ ^ 2. При этом соотношения являются определяющими для группы 6, которую мы будем коротко называть группой отражений.

Дискретные группы отражений в евклидовом пространстве (и тем самым на сфере) были изучены в работах Г. Вейля [1], Э. Картана [1] и Г. С. М. Кокстера [1, 2]; в частности, была получена их полная классификация в терминах неотрицательных симметрических матриц Грама. В гиперболическом пространстве Нп, п^З (случай п = 2 описан А. Пуанкаре [1]), подобное описание дискретных групп отражений в гранях выпуклого полиэдра Р конечного объема (называем их в дальнейшем кристаллографическими группами отражений), а также описание комбинаторного строения полиэдра Р, критерий его ограниченности и конечности объема были даны Э. Б. Винбергом [1, 3; 4] (см. также отличный

обзор Винберга [10]). Эти результаты формулируются в терминах матриц Грама и их доказательства основываются на теореме Перрона — Фробениуса о матрицах с неотрицательными элементами. Приведем здесь теорему существования.

Рассмотрим векторную модель Уп zz-мерного гиперболического пространства, точками которой являются лучи в Rn + 1, лежащие в конусе [х, х] = —х§+х^+ • • • +х„<0. Пусть Р cz Уп — выпуклый полиэдр, а векторы el^Rn+1 перпендикулярны t-м гиперплоскостям Hj, содержащим но n-мерную грань полиэдра Р (в метрике, задающейся в (1.18) билинейной формой [х, у]). При этом векторы е; направлены в сторону от Р и нормированы условиями [е,, е,]=1. Между векторами {е,} нет линейной зависимости с неотрицательными коэффициентами. Если теперь гиперплоскости Н; и Hf двух граней Р образуют угол а,у, то положим

»,/ = k, ^] = —cosa,y;'

если они не пересекаются, то... .

az/ = h. ^1 'С -L .. . ;

Матрицу А - (а,у) назовем матрицей Грама гиперболического полиэдра Р. Она обладает следующими свойствами:■

ранг матрицы А равен п+1;

az7=l, a.j^O ki^iY''

матрица А неразложима.

Теорема 4.20 (Винберг [1]). Для того чтобы симметрическая матрица А = (az7) была матрицей Грама некоторого гиперболического полиэдра, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условиям (1)—(3) и условиям:

А обладает хотя бы одной главной подматрицей, являющейся либо положительной матрицей порядка п (С '-матрица) и ранга п — 1, либо неотрицательной матрицей порядка п + 1 (С°-матрицы) и ранга п—1 (такие подматрицы называем узловыми)-,

для всякой узловой подматрицы Вг и всякой ее (^-подматрицы В ранга п— 1 существует узловая подматрица В2, содержащая В и отличная от

Симметрические матрицы, удовлетворяющие условиям (1)—(5), будем называть С--матрицами.

Из приведенной теоремы, в частности, следует полное описание групп отражений в гранях гиперболического симплекса. Для этого нужно лишь перечислить соответствующие С--матрицы, У которых недиагональные элементы имеют вид

а,у = — cos л/п,у или а,у < — 1.

При таком описании удобно пользоваться схемами Кокстера, которые строятся следующим образом. Берутся вершины в количестве, 4*

равном порядку матрицы; вершины и,- и щ соединяются (п(/ —2)- кратной линией или простой линией с индексом пи, где а^ =

=—cos^-; в случае а^=—cos^-; в случае а^с указанием числа —а;).с указанием числа —а;).Рис. 20Рис. 20< — 1 вершины соединяются пунктиром Таким образом, для необходимого описания нужно лишь нарисовать любую связную схему, обладающую следующими свойствами:

=—cos^-; в случае а^

=—cos^-; в случае а^

с указанием числа —а;).

с указанием числа —а;).

Рис. 20

Рис. 20

число вершин равно п+1;

схема не содержится в таблицах Кокстера С * -матриц и С°-матриц евклидовых групп отражений (см. Кокстер, Мозер [1]);

любая подсхема из п вершин либо является объединением нескольких схем из таблиц Кокстера С+-матриц, либо содержится в таблице Кокстера С°- матриц. -

При этом подсхемам первого типа в условии 3) соответствуют обычные вершины симплекса Р, подсхемам второго типа —бесконечно удаленные вершины.

Группы, для которых симплекс Р ограничен, были впервые найдены из комбинаторных соображений Лайнером [1]. Они существуют при п^4. При п = 3 имеется 9 таких групп; при п = 4—

всего 5. Их схемы приведены на рис. 20. Вычислительными мето

дами показывается, что для неограниченного симплекса соответствующие группы существуют лишь при п ^ 9.

Классификация Андреева остроугольных полиэдров. В общем случае классификация кристаллографических групп отражений трехмерного гиперболического пространства получена Е. М. Андреевым [1, 2] (обобщение на случай симплициальных призм см. в работе Каплинской [1]). Эта классификация сводится к исчерпывающему описанию полиэдров Кокстера Р с И3, наиболее важное свойство которых, с точки зрения геометрии, выражается в их остроугольности'. все двугранные углы полиэдра не превосходят л/2.

Так как остроугольные сферические полиэдры, не содержащие противоположных точек, являются симплексами (Картан [1], Кокстер [1]), то у ограниченных остроугольных полиэдров в Нп или Rn многогранные углы при вершинах симплициальны. Выпуклые полиэдры с таким свойством называются простыми, а их комбинаторный тип называется простым комбинаторным типом.

Теорема 4.21 (Андреев [1]). Для существования в трехмерном гиперболическом пространстве Н3 ограниченного остроугольного

КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ОТРАЖЕНИЙ * ЮГ полиэдра Р заданного простого комбинаторного типа, отличного • от симплекса и треугольной призмы, с заданными двугранными углами необходимо и достаточно выполнение следующих условий;

если какие-либо три грани Р сходятся в одной вершине, та* сумма двугранных углов между ними больше л;

если какие-либо три грани Р попарно смежны, но не сходятся в одной вершине, то сумма двугранных углов между ними меньше л;

если какие-либо четыре грани Р смежны «по кругу» (как боковые грани четырехугольной призмы1), то сумма двугранных углов между ними меньше 2л.

У неограниченных остроугольных полиэдров конечного объема в И3 в некоторых вершинах на дН3 могут сходиться четыре грани. Для таких полиэдров имеет место следующий критерий.

Теорема 4.22 (Андреев [2]). Для существования в Н3 остроугольного полиэдра Р конечного объема и заданного комбинаторного типа, отличного от симплекса и треугольной призмы, с заданными двугранными углами необходимо и достаточно выполнение следующих условий;

если в какой-либо вершине Р сходятсятри грани, то сумма двугранных углов между ними не меньше л;

если в какой-либо вершине Р сходятся четыре грани, то все двугранные углы между ними равны л/2;

если какие-либо три грани попарно смежны, но не сходятся в одной вершине, то сумма двугранных углов между ними меньше л;

если какая-либо грань S^ cl дР смежна с гранями S2 u S3 cz cz дР, a S., и S3 не смежны, но имеют общую вершину у ^Slt то сумма двугранных углов, образуемых гранью S^ с гранями S., и S3, меньше л;

если какие-либо четыре грани смежны «по кругу», но не сходятся в одной вершине, то сумма двугранных углов между ними меньше 2л.

Заметим, что подобного типа классификация, вообще говоря, невозможна в пространстве Нп, п^^. Это объясняется тем, что простые выпуклые полиэдры в Нп, п^4, могут иметь больше двугранных углов, чем число степеней свободы (равное для такого m-гранника числу тп — п (п 4* 1)/2). При и = 3 число степеней свободы и число ребер полиэдра Р совпадает и это является причиной совместности линейных неравенств, которыми являются условия Андреева.

Кристаллографические группы в малых размерностях. Наибольшая размерность гиперболического пространства, в котором известны ограниченные многогранники Кокстера (или, что эквивалентно, ко-компактные кристаллографические группы), равна 7. Примеры таких полиэдров в Н4 и И5 найдены геометрическим путем В. С. Макаровым [4]. Они являются иллюстрацией общих методов Макарова построения кристаллографических групп, с ко-

торыми читатель может познакомиться, например, по обзору Макарова [7]. Полиэдры в Я6 и Я7 найдены В. О. Бугаенко [1] как фундаментальные полиэдры Рв и Р7 подгрупп отражений в группах целочисленных линейных преобразований над полем Q (К5), сохраняющих квадратичную форму (ср. § 1):

_J^x№...+4, п = 6, 7. V

’ Схемы Кокстера этих полиэдров показаны на рис. 21.

Наибольшая размерность гиперболического пространства Нп, в котором известны какие-либо кристаллографические группы отражений, т. е. построены многогранники Кокстера (неограни

ченные, но конечного объема), равна 19. Геометрические построения указанных примеров при п^Ю содержатся в работах Макарова [1—7], а при п^19 схемы Кокстера таких многогранников приведены в работах Винберга [1, 2, 4, 6] и Винберга, Каплин- ской [1], при п=18 см. также работу Мейера [1].

Кристаллографические группы отражений в гиперболическом пространстве Нп и соизмеримые с ними группы представляют собой очень частный вид ко-компактных и ко-конечных (Р — ограниченного объема) дискретных групп G a Isom Яп. Например, в Я2п + 1 арифметические дискретные группы, связанные с некоммутативными алгебраическими расширениями поля Q, никогда не бывают соизмеримы с кристаллографическими группами отражений (Вин- берг [1]). Кроме того, при любом п в пространстве Я" имеется бесконечно много несоизмеримых арифметических дискретных ко-компактных групп (см. конструкцию в § 1), в то время, как следует из результатов Никулина [3, 4], Винберга [7], Прохорова [1] и Хованского [1], дискретных кристаллографических групп отражений при достаточно больших п вообще не существует.

Теоремы конечности Никулина и Винберга. Для формулировки указанных выше результатов и результатов об арифметических кристаллографических группах отражений в Я" приведем некоторые определения.

Пусть К — вполне вещественное поле алгебраических чисел, А— кольцо его целых чисел. Квадратичную форму

; ‘ Цх) = 2 ац»^ (а^а^А) аю

$ 5. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ОТРАЖЕНИЙ ЮЗ, сигнатуры (n, 1) назовем допустимой, если для любого нетождественного вложения о: К —* R имеется положительная определенность квадратичной формы ' , ■

ГО = 2 alpXtXj. . у 1, /=о

Известно (Мостов, Тамагава [1]; для Q — K см. Венков [1J; см. также доказательство теоремы 4.1), что в этом случае группа О' У, Л) целочисленных линейных преобразований, сохраняющих форму / и каждую связную компоненту {х£ ^"+т: /(х) =—1}, является дискретной ко-конечной подгруппой в Isom Нп; при этом она является ко-компактной, если дополнительно K^=Q или K = Q, но / не представляет нуля в Q (Венков [1]).

Обозначим через Ог^, Л) подгруппу группы О' У, Л), порожденную всеми содержащимися в ней отражениями. Если эта подгруппа имеет конечный индекс, то назовем форму / рефлективной.

Кристаллографическая группа отражений G с Isom Нп называется арифметической, если она является подгруппой конечного индекса в группе вида О'(/, Л), где / — допустимая квадратичная форма (автоматически рефлективная) над вполне вещественным полем К (— полем определения группы G). Это определение согласуется с общим определением арифметических дискретных подгрупп в полупростых группах Ли (см., например, Рагунатан [1]; Винберг [1], где также дан критерий арифметичности кристаллографических групп отражений в Нп в терминах матриц Грама). Первые примеры неарифметических групп в Нэ (решающие гипотезу Сельберга) были даны В. С. Макаровым [1, 2].

Для кристаллографических и арифметических подгрупп группы Isom Нп в последнее время доказаны многочисленные теоремы конечности, принадлежащие, в основном, В. В. Никулину и Э. Б. Винбергу.

Первым среди таких результатов явилось утверждение Никулина [1, 2] о конечности числа(при фиксированной размерности Нп) гиперболических рефлективных решеток над Z ранга "^ 5. Обобщая это утверждение на произвольные гиперболические решетки с произвольным полем определения, Никулин [3, 4] затем доказал общий факт конечности числа рефлективных форм с точностью до пропорциональности и целочисленной эквивалентности при любом фиксированном п и фиксированной степени поля К. Следствием этого является конечность (с точностью до соизмеримости) числа арифметических дискретных групп отражений для фиксированного п и степени поля определения. Более того, Никулин [1, 2] Доказал, что не существует гиперболических решеток S над Z rg S 20, для которых группа автоморфизмов с точностью до конечного индекса порождена 2-отражениями (см. определение ниже). Усилением и обобщением этого факта явилась следующая теорема конечности. .

Теорема 4.23 (Никулин [4]). Если степень N поля К достаточно велика (N^N0, где N„— некоторая явно вычисляемая постоянная), то в гиперболических пространствах Нп, п ^10, не существует арифметических групп, порожденных отражениями, с полем определения К; соответственно, не существует гиперболических решеток S над полем К, для которых группа автоморфизмов с точностью до конечного индекса порождена отражениями и rg S > 11.

При доказательстве этого результата существенную роль (наряду с некоторыми арифметическими свойствами элементов матрицы Грама, близкими к свойствам известных чисел Пизо —Вид- жиягхавана; см., например, Касселе [1]) играют сравнительно недавние результаты по комбинаторике выпуклых полиэдров с симплициальными гранями (Стэнли [1], Данилов [1]), которые в силу двойственности могут быть переформулированы для простых полиэдров. А именно, используя эти -результаты, Никулин [4] получил следующую верхнюю оценку для среднего числа /-мерных граней у /г-мерной грани простого полиэдра Р при I < к ^ (п + 1)/2,

Теорема 4.24. Пусть Р~ выпуклый замкнутый полиэдр с симплициальными углами в п-мерном пространстве, п^Зк—1, к^2. Тогда среднее число вершин его граней размерности к не превосходит* у ■ ■« ■ ■

/ (Пк I С к \ ■-И .'Ufl'i 71 .141 (I Т1

<j J И TlJSG. -

Из этой оценки Никулина следует, что средняя сложность грани заданной размерности простого полиэдра Р с Нп при увеличении п стремится к сложности куба. Именно это наблюдение для трехмерных граней и играет ключевую роль в доказательстве приведенной выше теоремы конечности Никулина.

Приведем следующий частный случай оценки Никулина.

Следствие 4.25. Среднее число вершин (сторон) двумерной грани простого выпуклого полиэдра РсН" меньше 4 (п — 1 )фп — 2) при четном п и ^п](п—\) при нечетном п.

Этот факт, иными словами, говорит о том, что у простого многогранника большой размерности должно быть в определенном смысле много четырехугольных и треугольных двумерных граней. Используя его, Винбергу [7] удалось получить следующие теоремы конечности, дающие вместе с результатами Никулина надежду на классификацию всех рефлективных форм.

Теорема 4.26. В гиперболическом пространстве Нп размерности п^ЗО не существует рефлективных форм. Иными словами, при п^ЗО в Нп не существует ни ко-компактных, ни арифметических групп отражений.

Теорема 4.27. При zi ^ 22 в Нп не существует арифметических ко-компактных групп отражений с полем определения, отличным от Q(V 5), Q(V 2) и Q(eos^n).

Теорема 4.28. При п^14 в Нп не существует арифметических ко-компактных групп отражений с полем определения, отличным от Q<V"^. Q (KI), Q (К"5); Q (К 6), Q (КХ KD> Q (К 2, К 5) и Q (соз2л/т), где т — 7, 9, 11, 15, 16 или 20.

Замечание 4.29. Недавно А. Г. Хованский [1] получил: важное обобщение оценок Никулина сложности граней простых, полиэдров (теорема 4.24 и следствие 4.25) на случай почти простых (неограниченных) полиэдров. Это позволило Прохорову [1] распространить теорему конечности Винберга (теорема 4.26) на весь класс кристаллографических групп отражений в гиперболических пространствах Нп размерности п > 995.

Приложения к алгебраической геометрии. Заметим, что изучение кристаллографических и арифметических групп важно и интересно не только само по себе, но и для алгебраической геометрии. Приведем один, по-видимому, первый и наиболее интересный пример такого приложения.

Он связан с поверхностями типа АЗ —неособыми односвязными проективными алгебраическими поверхностями над С, канонический класс которых равен 0. Такими поверхностями являются: 1) двулистное накрытие проективной плоскости СР2, разветвленное в неособой кривой степени 6; 2) квадрика в СР3; 3) пересечение квадрики и кубики в СР4; 4) пересечение трех квадрик в СР3.

С каждой поверхностью X типа АЗ связывается форма пересечения на решетке ее алгебраических циклов. Это четная целочисленная квадратичная форма сигнатуры (1, и), где п+1^20— размерность решетки алгебраических циклов. Пусть /х— противоположная ей форма сигнатуры (п, 1).

В 1971 г. И. И. Пятецкий-Шапиро и £ И. Р. Шафаревич [1] доказали для поверхностей X типа АЗ глобальную теорему То- релли и, как следствие, получили описание (в терминах /х) группы автоморфизмов поверхности X с точностью до конечного центрального расширения. В частности, AutX конечна тогда и только тогда, когда группа О' (fx, Z^ содержит подгруппу конечного индекса, порожденную отражениями, ассоциированными с целочисленными векторами е, для которых /х(е) —2 (см. также Никулин [1, 2]). Такие отражения называются 2-отражениями, а целочисленные квадратичные формы (n, 1), группа автоморфизмов которых содержит подгруппу конечного индекса, порожденную 2-отраЖениями, называются 2-рефлективными.

В известной классификации алгебраических поверхностей, полученной классиками итальянской школы алгебраической геометрии в начале нашего века (см., например, Шафаревич [1]), Вопрос об описании групп бирациональных автоморфизмов алгебраических поверхностей (в частности, вопрос об их конечности) оставался до сих пор открытым лишь для двух классов алгебраических поверхностей: поверхностей типа АЗ и поверхностей

Энривекса— факторов поверхностей типа КЗ по инволюциям без неподвижных точек. В связи с этой задачей Никулин [1, 2] перечислил все 2-рефлективные четные целочисленные квадратичные формы сигнатуры (и, 1) при и ^4. Оказалось, что их конечное число и все они связаны указанным выше образом с поверхностями типа/<3. Максимальное возможное значением для них равно 18. При этом изучение четных форм охватывает все возможности, так как нечетная форма 2-рефлективна тогда и только тогда, когда 2-рефлективна канонически связанная с ней четная форма. Это описание было завершено конечным перечислением Винберга (см. Никулин [8]) всех 2-рефлективных решеток в случае и = 3 и соответствующим результатом Никулина для п = 2 (см. Никулин [6, теоремы 1.3 и 2.5]).

Приведенные результаты вместе с теоремами конечности для арифметических групп завершают описание поверхностей X типа КЗ с конечной группой AutX. Описание Никулина [7] поверхностей Энривекса X с конечной группой Aut X завершает важную задачу описания алгебраических поверхностей с конечной группой бирациональных автоморфизмов. Заметим, что другим способом (близким к описанию Никулина поверхностей КЗ с конечной группой автоморфизмов) описание поверхностей Энривекса с конечной группой автоморфизмов получено позднее в работе КонДо t1]- ■ ;

ГЛАВА 5'-!?;;г •'

| ГЕОМЕТРИЧЕСКИ КОНЕЧНЫЕv

ДИСКРЕТНЫЕ МЕБИУСОВЫ ГРУППЫ

4л ' И^': '1 .'4 J 'J.’f,'-«'ЩИЛ ') ";,

§ 1. Свойство локальной конечности -

До сих пор мы имели дело лишь со специальными фундаментальными полиэдрами дискретных мёбиусовых групп G на и-мер- ной сфере S" или в ее подобластях с некоторыми G-инвариантными метриками —с (обобщенными) изометрическими полиэдрами Ру ^G\ с полиэдрами Дирихле Dy (G) и с псевдо-Дирихле полиэдрами D*g^G) (см. § 4 гл. 3).

Перед исследованием их характерных свойств дадим точное определение используемого нами понятия полиэдра. Как мы видели выше, Mob (п) действует в полупространстве Я+ как группа изометрий гиперболического пространства (модель Пуанкаре). Поэтому мы можем ограничиться гиперболическим случаем. А именно, под гиперболическим полиэдром Р мы понимаем подмножество гиперболического пространства Нп со следующими свойствами:

Р = cUintP) (int и cl берутся в Нп);

граница днпР содержится в локально конечном семействе гиперболических (и—1)-мерных плоскостей в Нп; если это семейство конечно, то Р называется конечносторонним;

гранью (или (п — Хугранью) полиэдра Р является множество S такое, что S лежит в некоторой гиперболической (п—1)- плоскости НсН"; int^S является компонентой множества 1п1н(ЯпдР) и 5 = с1н(т1н5). Тогда S есть полиэдр в Я и мы Можем определить индуктивно i-грань полиэдра Р как грань полиэдра, являющегося (1‘+1)-гранью полиэдра Р (понимая при этом под n-гранью полиэдра Р, который может быть и не связным, замыкание компоненты связности для intP).

Теперь выделим определяющие свойства фундаментальных полиэдров Р дискретной группы G изометрий гиперболического пространства Я" (не предполагая при этом ни связности, ни выпуклости Ру.

Ф1. Р — полиэдр в Я".

Ф2. Граница дР в Я" состоит только из граней, т. е. любой компакт КаНп пересекается только с конечным числом сторон

ФЗ. Р — фундаментальная область дискретной группы G. ■‘1Ч Ф4. Стороны Р попарно отождествляются элементами G. -3

Ф5. Каждая точка в Нп имеет окрестность, пересекающуюся лишь с конечным числом различных образов g(F), g^G.

Все эти свойства очевидно выполняются для полиэдров Ру (G) (свойство Ф5 в силу (3.25)) и, поэтому, и для полиэдров Дирихле Du^ и псевдо-Дирихле D^GY При этом свойство Ф5, избыточное на первый взгляд, на самом деле не является следствием свойств Ф1 — Ф4. К этому факту привлек внимание А. Ф. Бердон [2], исследовавший свойство Ф5 в случае клейновых групп на плоскости.

Определение 5.1. Если фундаментальная область Р обладает свойством Ф5, то говорят, что она обладает свойством локальной конечности.

При п = 2 необходимым и достаточным условием, при котором фундаментальная область F дискретной группы Gc Isom № является локально конечной, является гомеоморфность поверхностей №]G и F/G, где F — замыкание F в № (Бердон [2]). А для фундаментальных областей F с достижимой границей dF достаточным условием для выполнения свойства локальной конечности является условие, что для любой точки х^ dF ее кратность п (х), т. е. число " *).

n(x) = card {g£G: g(x)£dF), , . ‘ 1(5.1) не меньше 2. Отсюда следует, что для выпуклых многоугольников Fa:H2 свойство локальной конечности следует из свойств Ф1—Ф4 (ср. Гринберг [4]).

В размерности п^З ситуация меняется: как показывает (см. ниже) результат А. В. Тетенова [3], ни гомеоморфизма FjG ^HnlG, ни попарного отождествления сторон полиэдра F, ни выпуклости полиэдра F не достаточно для его локальной конечности.

Определение 5.2. В размерности п^З мы будем называть правильным такое разбиение полного телесного угла на многогранные углы, что всякая из их граней является общей границей двух таких углов, и всякие два угла разбиения граничат либо по полной (и—1)-мерной грани, либо по /г-мерной грани, l^fe^zi—2, либо имеют общую вершину, а всякая точка пространства принадлежит либо внутренности, либо ^-мерной (1 ^/г-^и — 1) грани одного из углов разбиения.

Лемма 5.3. Пусть 2 = {ог, а2, .. .} — правильное разбиение полного телесного угла. Тогда существуют дискретная группа Gv изометрий Нп и ее фундаментальный полиэдр Р^аНп такие, что (п—\у мерные грани Р2 попарно эквивалентны, а вершины Pv образуют множество С^-эквивалентных точек {Q,}, многогранные углы при которых равны углам а; разбиения 2.

Доказательство. Для построения группы Gs с указанными свойствами выберем точку Q в Нп и построим данное нам разбиение полного угла с вершиной Q. Для каждого многогран-

у $ i. свойство локальной конечности fюд ного угла а,- разбиения 5 выберем пару гиперболических (zi —1)- мерных плоскостей S,- и S-, лежащих целиком внутри углов at и а; соответственно; выберем также гиперболическую изометрию g;, переводящую S; в S; и не меняющую' ориентацию. Потребуем также, чтобы при различных i и / плоскости S,- и Sj не пересекались. При выполнении этих условий группа Gs, порожденная

РИС. 22РИС. 22

РИС. 22

РИС. 22

отображениями gb будет разрывна, и в качестве ее фундаментального полиэдра Р мы можем взять компоненту Я^ХС! (S, U Si), i

содержащую точку Q. Пусть Р: = Р П <$;. Поскольку Нп = U<L, то

полиэдр Р содержится в объединении замыканий своих подполиэдров Р;. Поэтому полиэдр

^-и^Ч^иЛ]^-и^Ч^иЛ](5.2)(5.2)

^-и^Ч^иЛ]

^-и^Ч^иЛ]

(5.2)

(5.2)

является фундаментальным для группы Gs и удовлетворяет требованию леммы (рис. 22).

Замечание 5.4. Построенная группа Gs является фуксо- вой группой второго рода, но, пользуясь комбинированием Клейна, ее можно расширить до группы первого рода с теми же свойствами.

Замечание 5.5. Если разбиение 5 телесного угла в лемме 5.3 состоит из бесконечного числа углов а,, то очевидно, что в окрестности любой вершины Q, полиэдра Р^. свойство Ф5 локальной

конечности для полиэдра Р^ не выполняется. Следующий пример дает конструкцию, реализующую эту возможность.

Пример 5.6. Пользуясь леммой 5.3 и замечанием 5.5, построим дискретную группу Gs гиперболических изометрий (и^З) и ее выпуклый фундаментальный полиэдр Р^, не являющийся локально конечным. Для этого достаточно указать такое правильное разбиение полного телесного угла, в котором существовало бы ребро, общее для бесконечного числа углов разбиения. Или же —указать на сфере S"" такое ее правильное клеточное разбиение, в котором существовала . бы вершина, общая для бесконечного числа клеток разбиения. Не ограничивая общности, будем считать для простоты и ^3. Возь- ' мем некоторую конечную три. ангуляцию сферы Srt~1 = S. ’ Здесь и далее подразумевается, • что стороны треугольников — дуги больших окружностей на сфере. В одном из треугольников (обозначим его АВС) вы— берем две последовательности К точек А; и С,, такие, что Ао =

Рис. 23= A, C0 = C,lim Д, = ПтС,= В,

а триангуляция 2 сферы, полученная из исходной заменой треугольника АВС на систему треугольников А;ВА1+1, Д,С,Д,+1, C,BCi+1 и CiAi+1Ci+1, где i = 0, 1,2, ..., выглядит как на рис. 23. Эта триангуляция 2 будет обладать желаемым свойством, поскольку вершина В будет общей для бесконечного числа треугольников.

Построенная по указанной триангуляции S2 с помощью леммы 5.3 дискретная группа Gs изометрий Н3 (можно считать, что A(Gs) = S2) и ее фундаментальный полиэдр Р2 (см. (5.2)) таковы, что:

л ^ 2, удовлетворяющий условиям Ф1— Ф4, все точки х^дР границы которого имеют кратность п^<оо. Тогда Р обладает свойством локальной конечности.

Учитывая, что конечносторонний полиэдр всегда есть объединение конечного числа выпуклых полиэдров, из предложения 5.8 немедленно получаем следующее утверждение:

Следствие 5.9. Всякий фундаментальный полиэдр Р дискретной группы изометрий гиперболического пространства Нп, п^2, имеющий конечное число попарно эквивалентных сторон (п(х)<оо, х^дР), об адает свойством локальной конечности.

Доказательство предложения 5.8 не зависит отраз- мерности п^З и для простоты мы проведем его при п = 3.

Пусть х — такая точка в Н\ что всякая окрестность этой точки пересекает бесконечное число различных образов gi(P), gt^G, полиэдра Р. Если х;Сgi(Р) — последовательность точек, стремящаяся к х, а у —некоторая точка внутри Р, то каждую из точек Xi мы можем соединить с точкой g,^ некоторой кривой у,-, лежащей внутри полиэдра g, (Р). Поскольку при i —* оо расстояние между точкам i х и gi(y) также стремится к бесконечности, всякая сфера S2 (х, г) радиуса г > 0 с центром в точке х будет пересекать бесконечное число кривых у,-, и поэтому на всякой такой сфере существуют точки, предельные для у,- A S2 (х, г). Отсюда и из рассуждений топологического характера следует, что существует кривая у, предельная для кривых у,-, проходящая через Точку х и пересекающая каждую из сфер S2(x, г). Вследствие этого, окрестности точек кривой у будут пересекать бесконечное число различных образов gi(P), gi^G, полиэдра Р.

Точки кривой у не могут принадлежать внутренности ни одного из полиэдров ^(Р), g£G, равно как и не могут быть внутренними точками граней полиэдров g(P'), так как в этом случае они лежал бы внутри объединения двух (замкнутых) полиэдров g'(P) и g"(^)- Таким образом, кривая у может состоять только из отрезков ребер полиэдров g(P) или точек их вершин. Возьмем теперь ребро w некоторого полиэдра ^„(Р), которое обладает общим с кривой подинтервалом. Ребро w является пересечением двух граней полиэдра gi^P), и по этим граням к gi0(P) примыкают два других полиэдра gix (Р) и g(i (Р) с тем же самым общим ребром ш. Продолжая этот процесс, получаем, что ребро w оказывается общим ребром для некоторой последовательности полиэдров gtm(P), т = 0, 1, 2, ... Ввиду того, что для точек z^w, л(г)<оо, к ребру w может примыкать лишь конечное число полиэдров gim (Р). Причем ребро ш, исключая концы, должно лежать внутри объединения замыканий этих полиэдров. Поэтому точки кривой у не могут быть и внутренними точками ребер полиэдров g^P), g^G. .

J;12 гл. 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИ КОНЕЧНЫЕ МЕБИУСОВЫ ГРУППЫ

Полупрямая у не может целиком состоять из вершин полиэдров g(P}, но не может она также содержать_и точки, не принадлежащие никакому замкнутому полиэдру g (Р), поскольку Р — фундаментальный полиэдр. Полученное противоречие завершает доказательство.

В дальнейшем везде, если не оговорено противное, будем считать, что фундаментальные полиэдры РаНп+х групп G выбираются СО СВОЙСТВаМИ Ф1 — Ф5. .

§ 2. Оболочка Нильсена предельного множества . ■ 'г.

f Пусть Кс Нп — некоторое множество. Говорят, что оно выпукло (в гиперболической геометрии), если для любых двух точек хи х2£К геодезический интервал (хх, х2) тоже принадлежит К. Выпуклая оболочка Н (К) множества К определяется как наименьшее выпуклое множество в Нп, содержащее К.

Определение 5.10. Выпуклой гиперболической оболочкой HG предельного множества A(G) группы G изометрий Нп (или оболочкой Нильсена} называют выпуклую оболочку

HG= H (Л (G))~Q \ТаНп\ T:dH(G} и Т выпукло в Нп}. (5.3)

Выпуклой оболочкой Нильсена дискретной группы Ger Mob (и) называем выпуклую оболочку Нильсена группы изометрий гиперболического пространства Нп+1, являющейся продолжением G в RT1.

В качестве примера рассмотрим группу G изометрий Нп, являющуюся продолжением некоторой фу ксовой группы Г czMob (п—1) на грани ксй сфере дНп — Кп-1. Тогда Л(С) = Л(Г) содержится в некоторой (п — 2)-мерной сфере 8п~2 и, поэтому, HG= Нт лежит в (и — 1 )-мерной гиперболической плоскости, опирающейся на сферу S"-2. Если в качестве группы G взять дискретную группу изометрий Нп, действующую неразрывно на бесконечно удаленной сфере дНп = Яп~\ т. е. имеющей/?”-1 своим предельным множеством, то HG = H".

В общем случае, когда предельное множество Л (6) не лежит ни на какой (п —2)-мерной сфере в /?”-1, оболочка Нильсена HG имеет, очевидно, непустую внутренность, так как она содержит n-симплексы с вершинами в точках хв, . .., х”€Л(С), лежащими в общем положении. При этом f/c\A (G) = clH (intH На}, а ее граница днН0 есть (и— 1)-мерная кусочно линейная поверхность в Нп, изломанная вдоль (и —2)-мерных гиперболических выпуклых полиэдров, имеющих своим одномерным остовом полные геодезические, пересекающиеся только на абсолюте дНп (в точках предельного множества A(G)).

В терминах римановой геометрии внешняя кривизна границы днН0 равна 0, а внутренняя кривизна —это секционная кривизна

$2. ОБОЛОЧКА НИЛЬСЕНА ПРЕДЕЛЬНОГО МНОЖЕСТВА;.' ИЗ

окружающего пространства Нп, равная —1. Более подробно геометрия границы днНа будет нами описана в § 6, где будет показана зависимость ее свойств от размерности п.

Дискретная группа G действует на /7с\А(С) разрывно, являясь там группой изометрий. Рассмотрев обычным образом пространство орбит группы G на //C\A(G), мы получим выпуклый гиперболический орбифолд (ср. § 1 гл. 9), который будем обозначать в дальнейшем через 6С:

6с=[Дс\Л(С)]/С.(5.4)

Если G —группа без кручения, то 13с — многообразие (обозначаем также через Л4С). Если группа G действует на дНп — Rn~1 разрывно, то орбифолд 6С имеет край, который имеет гиперболическую структуру (с особенностями), индуцированную гиперболической метрикой Нп. Существует естественная ретракция р орбифолда с краем

0(С) = [Я"\Л(С)]/С(5.5)

на выпуклый подорбифолд 6С, индуцируемая ретракцией

р: № — Нс.у •(5.6)

Для определения ретракции (5.6) положим / * ' _ f х, если х£Нп, ■ —у

. PW=| Хо) если Х^Н»\НО,(5'7)

где х0 — ближайшая к точке х точка из Но в случае, если х € Нп\Н0;

если же х^ 6Нп\Л (G), то в качестве ближайшей точки х0 берется первая точка касания с Но орисферы ъ' Нп с центром в точке х. Это определение (5.7) корректно, так

как HG — выпуклое множество, а шар

и оришар строго выпуклы в Нп. VvC)

При мер 5.11 (пример «Микки

Мауса»; Тёрстон [1]). Пусть ГсМбЬ (3)7ч

получена продолжением с плоскостиРис- 24

С=дН3 фуксовой группы (обозначаем

также через Г), имеющей инвариантный круг U и униформизи- рующей замкнутую риманову поверхность S = U/T рода 2. Многообразие М (Г) является поверхностным слоем Sx[—1, 1] (см. § 3 гл. 7), ретрактом которого является выпуклая поверхность S^Sx{0) = Alr.

Рассмотрим на поверхности S замкнутую геодезическую а

(рис. 24). Ей в круге U соответствует ось а гиперболического образующего у группы Г, относительно которого эквивалентны стороны а и а' фундаментального многоугольника, лежащие на изометрических окружностях / (у) и / (у-1). Раздвинем эти окружности (увеличив их радиус) так, что углы многоугольника оста-

нутся прежними, а окружность dU будет пересекаться раздвинутыми окружностями под углом <л/2 (рис. 25). Такая деформация фундаментального многоугольника порождает квазиконформную деформацию f группы Г (см. подробнее в п. 3 § 3 гл. 9), переводящую ее в квазифукосову группу G = fTf-1. Для группы G выпуклая оболочка Но уже имеет размерность 3, а ее граница состоит из двух развертывающихся поверхностей Нв и Hv Одну из них, поверхность Нй = р (f ((/)), можно представить следующим образом.

Сторонам а и а' фундаментального многоугольника для Г на поверхности S отвечает простая петля, гомотопная единственной

геодезической р на S (см. рис. 24). Тогда гиперболическая плоскость Н в Я3, опирающаяся на dU, пересекает свой образ g-1 (Н), g = fyf~1, по некоторой геодезической Р, которая является^поднятием геодезической Р на универсальную накрывающую Мр поверхности S. В результате все плоскости 0(Я) отсекут от Н8 некоторую область (ограниченную в евклидовом смысле), граница которой (в Я3) и есть линейчатая поверхность Htt, которая везде плоская, кроме геодезических, являющихся образами_геодезичес- кой р. Проекция этой области на плоскость дН8 = Ц2 показана на рис. 26.

Край 3-многообразия MG (топологически эквивалентного Sx[—1, 1]) состоит из двух поверхностей, одна из которых есть HjG. Эта поверхность получается из поверхности S = HlV^UlV изломом по геодезической Р на некоторый угол (см. рис. 24).

В дальнейшем нам будет полезно следующее простое утверждение, устанавливающее связь между геометрией оболочки Нильсена и геометрией гиперболического орбифолда Hn/G. А именно, в гиперболическом орбифолде Q = HnlG можно определить его «.выпуклое сердце» С (6) (или минимальный выпуклый ретракт) — как минимальный из выпуклых подорбифолдов Хаб, для кото-

рых вложение индуцирует изоморфизм nj (X) —> лх (б) фундаментальных групп (в смысле орбифолда). Оказывает, что С(б) = — \Но\А(бУ\/О = 6о, т. е. имеет место.

Предложение 5.12. Для неэлементарной дискретной группы Gdsom//" орбифолд 60=\Hg\xX(G)"\IG есть минимальный выпуклый ретракт орбифолда 6 (G) = \Нп и И (G)]/G.

Доказательство. Выпуклость орбифолда 6Ga.Hn/Gc.6(G) очевидна из свойств выпуклости оболочки Но. Из определения Но следует и изоморфизм G ^ лх (6С) лг (6 (G)) ^ G, индуцируемый вложением бс с 6 (G). Свойство ретракции 6(G)—*6С получаем из построения ретракции р, индуцирующейся ретракцией р: Нп-^Н0, заданной в (5.7).

В то же время выпуклость какого-либо подорбифолда 6'с: 6(G) эквивалентна тому, что образ его универсального накрытия 6'с:б (G) при развертывающем отображении d: 6(G) —* Нп (J £2 (G) есть d* (л! (6'))-инвариантное выпуклое в Нп подмножество D. В силу изоморфизма лх (б') ^ лх (б (G)) имеем, что группа голономии d* (Л1 (6')) совпадает с группой G. Этот факт влечет, что Z) Г) dHnZ)A(G) и, поэтому, Dz)H0. Таким образом, С (б) = [ЯС\А (G)]/G. .. ,

Предельное множество , < геометрически конечной группы . , ; .

Геометрическая конечность. Из теоремы 3.28 видно, что если у клейновой группы GcMob (п) существует фундаментальный полиэдр Р с конечным числом граней, то клейнова группа G конечно порожденная. Для фуксовых групп GcM6b(2) верно и обратное: конечно-порожденность группы влечет наличие у ее фундаментального многоугольника конечного числа сторон. В дальнейшем мы увидим, насколько большую роль играет это геометрическое свойство фундаментальной области для изучения дискретных мёбиусовых групп. Его важностью оправдывается выделение следующего класса групп.

Определение 5.13. Дискретную группу GczMob(n) называют геометрически конечной, если для ее действия в гиперболическом пространстве Нп+У R"+1 существует конечносторонний фундаментальный полиэдр Р (G)ciHn+1 (удовлетворяющий условиям Ф1 — Ф5 из § 1).

Замечание 5.14. Выход в полупространство R"+1 в определении 5.13 необходим для его инвариантности относительно размерности пространства, в котором действует группа G. А именно известны примеры клейновых групп GcMob(п), п^2, имеющих конечносторонние фундаментальные полиэдры в Rn, но не имеющие тако ых в R“+1. Для конечно порожденных клейновых групп на плоскости это свойство является следствием теоремы конеч-

116 ГЛ. 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИ КОНЕЧНЫЕ МЕБИУСОВЫ ГРУППЫ

ности Альфорса (см. Бердон, Ёргенсен [1]; для п^З подобные примеры см. в книге Крушкаля, Апанасова, Гусевского [3, пример 52] и в работе Апанасова [И]).

Первыми примерами разрывных конечно порожденных групп, не являющихся геометрически конечными, стали вырожденные группы на плоскости. Это их свойство обнаружил Л. Гринберг [2]. До сих пор явных примеров вырожденных групп не построено. Однако есть замечательные примеры двупорожденных дискретных групп Сс»^2 (действующих неразрывно на плоскости, т. е. фуксовых групп Сс^3 первого рода), не являющихся геометрически конечными, но имеющих довольно просто устроенные многообразия R^./G (см. Ёргенсен [3] и Ёргенсен, Марден [1]).

Параболические вершины. При описании геометрически конечных групп, которое будет получено ниже, особую роль будут играть неподвижные точки параболических элементов такой группы, а точнее — параболические- вершины группы. Это те точки, которым в многообразии R^jG соответствуют «проколы».

Более точно (см. Ананасов [13]), пусть G с МбЬ(п) — дискретная группа и z € К" —неподвижная точка некоторого параболического элемента у £ G. Обозначим через GJ максимальную свободную абелеву подгруппу (конечного индекса) в стабилизаторе Gz с 6 точки 2 (см. теорему 3.8), а через k, l^fe^n, обозначим ранг группы Gz.

Определение 5.15. Областью пика группы G в параболической точке г £ R" называют открытое подмножество Uz с Rn такое, что:

П1) Uz строго инвариантно относительно Gz с G, т. е. для всех у С Gz и £ € G\G« выполняются соотношения

^UZ) = UZ, g(Uz)nUz=0;

П2) существует / > 0 [и отображение /i^Mob(n), /i(z) = oo, такие, что.

2 *|>чсй((/г), Ч ?

I'

где к = rankGz, \^k^n— 1.

Определение 5.16. Неподвижную для параболического элемента дискретной группы G с Mob (га) точку z £ Rn называют параболической вершиной группы G, если выполняется одно из условий:

подгруппа Gz с G, имеет ранг п;

существует область пика Uz в точке 2.

При этом rank Gz называют рангом параболической вершины г.

Замечание 5.17. Непосредственно из определений следует, что, во-первых, условия 1) и 2), определяющие параболическую вершину, взаимно исключают друг друга (область пика U, суще-

ствует лишь в случае, когда rank G,-^ и — 1); во-вторых, области пика Uz не содержат предельных точек группы G; и, в-третьих, наше определение совпадает с известным определением cusp-точки в случае клейновой группы G cz <^2 (см. Бердон, Маскит [1]).

Замечание 5.18. Не все параболические точки дискретной группы G с Mob (и) и даже не все ее параболические Й-пики являются параболическими вершинами. Примеры таких дискретных групп G могут быть получены в виде свободного произведения свободной абелевой группы Г ранга k, 1 ^ k ^ п — 1, и счетного

числа циклических локсодромических групп Г,- (проекция фундаментального полиэдра такой группы на плоскость dHn+1 = R№ показана на рис. 27). Таким же свойством обладают группы, построенные в доказательстве теоремы 4.12 из § 4 гл. 4. Примерами Й-пиков, не являющихся параболическими вершинами дискретной группы G cz <^3, являются продолжения в /?3 дискретных групп на плоскости, построенных Ергенсеном и Марденом [1]. У этих групп стабилизаторы 6„ параболической точки оо имеют ранги, равные 1, но при этом параболическая точка оо не имеет области пика.

С другой стороны, непосредственно из определения параболической вершины z^Rn дискретной группы G cz Mob (га) следует, что существует открытое множество Uz cz R"+1 такое, что для числа />0 и отображения /г€МбЬ(п), й(г)=оо, из условия П2 определения 5.15 выполнено:

Uz строго G^-инвариантно; ( П ‘ 1

h(p} zd х^^Г1: 2 ^ > t I 1=6^1

Из этих свойств следует, что оришар hr1 ({%€R”+1: хл+1>/}) строго инвариантен относительно Gz и, следовательно, (оо, еп) является 62-пиком (точнее, /?^+1-пиком) группы G.

Точки аппроксимации. Зафиксировав точку х € Rn, из определения предельного множества A(G) получаем, что его точки аппроксимируются точками орбиты G(x). Однако, эта аппрокси-

мация не равномерная. Среди предельных точек выделяются точки с хорошей аппроксимацией. Впервые их ввел в рассмотрение Хедлунд [1].

Определение 5.19. Пусть GczMob(n), G„ = {id} —действующая в шаре 5" (О, 1) дискретная группа. Предельную точку г €Л(С) G Sn" ^О, 1) называют точкой аппроксимации группы G, если существуют точка xgQ(G) cz Rn, постоянная К > 0 и последовательность {gm} различных элементов G такие, что

|г-^(х)|<’Кт2т, (5.8)

где гт — радиус изометрической сферы /(gm). .

Из формулы (1.32) искажения при инверсии следует, что для любого g€M6b(n), g^oo^^boo, и для всех х, у^^оо, g~1(oo)} имеет место равенство

IgW-^Hj^-r^ (5.9)

Отсюда мы видим, что для любых фиксированных х, y^Q(G) существуют Ki > 0 и К2 > 0 такие, что для всех (за исключением конечною числа) номеров т

KiV^|gm(x)-g,Jy)|^/(2.r£. (5.10)

Сравнивая (5.8) и (5.10), получаем, что в определении 5.19 точку х можно считать произвольной фиксированной точкой из множества разрывности И (G).

Полагая в (5.9) у = 2, получаем, что для точки аппроксимации г и для любой фиксированной точки х, x^z, существуют К > 0 и последовательность {gm} a G такие, что

\gm^-gm^\>K- (5.11)

Легко видно, что выполнение (5.11) в некоторой точке х, х^ьг, эквивалентно его выполнению (равномерному) на компактных подмножествах из /?n\{z}.

Заметим, что скорость аппроксимации, указанная в (5.8), точна. В самом деле, полагая в (5.9) g = gm\ х = г и у = 0, получаем

\z-gm(1oOyVXK3-r2rn, ' (5.12)

где K3 = (2Sup {|g(oo)|: g€G\{id}})-1 зависит только от G. Перейдем от метрических свойств точек аппроксимации к их геометрическим характеристикам. Будем называть областью Штольца S (г) в точке г € дВп конус вида

S(z) = {zCS": |г-х|<Л(1-1х|)}.

Рассмотрим в Вп гиперболическую прямую а, соединяющую точки х и z. Тогда из выполнения (5.11) следует существование компакта Со cz Вп такого, что для той же последовательности ^g,^

f 3. ПРЕДЕЛ^НЫЕЛОЧКИЯ ГЕОМЕТРИ«<ЖАЯ КОНЕЧНОСТЬ Ц9 имеем ’ л,-. - , - ,

’ - ^(<7)ПСО.^0. (5.13)

Обратно, пусть существуют компакт Со cz В” и последовательность различных элементов ^g,,^ cz G такие, что выполняется (5.13). Тогда для той же последовательности {gm} и для точки х выполняется (5.11), так как в противном случае образы gm^ сходились бы к A(G), что противоречит (5.13).

Возьмем теперь в качестве компакта Со множество \х^Вп; d(x, 0) ^d0}, где d(x, у) — гиперболическое расстояние, d0 > 0, и через Dio') обозначим dg-окрестность геодезической о:

О(о) = ^хЕВп" d(x, o^^d^. (5.14)

Тогда мы видим, что выполнение (5.13) эквивалентно стремлению gmW-*2 в области (5.14) для всех точек х из Со, т. е. стремлению образов точки х к точке г в области Штольца S(z).

Собирая воедино сказанное выше, получаем (ср. определение 6.55):

Теорема 5.20 (Бердон, Маскит [1]). Пусть GczMobin)— дискретная группа в шаре Вп и г —ее предельная точка. Тогда следующие утверждения эквивалентны'.

А1. z — точка аппроксимации.

А2. Для любой точки х^СЦП) существует последовательность {^т} с ^ различных элементов и постоянная К > 0 такие, что ^т^-г\<Кг2т.

АЗ. Для любой точки х, x^z, существует последовательность {gm} cz G различных элементов и постоянная К > 0 такие, что \gm(x)-gm(z)\^K.

А4. Существует последовательность {^m} cz G различных элементов такая, что | gm (х) — gm (z) | равномерно ограничено от нуля на компактных подмножествах /?"\{г}.

А5. Для любой гиперболической прямой о cz Вп с концом в z существует последовательность {gm} cz G различных элементов и существует компакт С cz Вп такие, что gm(o)nC V= 0-

Аб. Для любой точки х£Вп существует последовательность {^„} cz G различных элементов и существует область Штольца S(z) в точке z такие, что g,n (х) сходится к г в области S (г).

Заметим, что утверждение А5 теоремы не зависит от сопряжения группы на гиперболическую изометрию. Поэтому, если рассмотреть мёбиусово отображение у С Mob (га), ^(Вп) = Нп, то группа Г = уСу-1 — уже группа в полупространстве Д"^Нп, и точки аппроксимации для G переходят в точки аппроксимации для Г = уСу-1. Здесь в предположении, что oo^A(G), получаем (взяв о вертикальную прямую) такую характеризацию точки аппроксимации г:

существует последовательность различных элементов {gm} cz Г

120 гл. 5. геометрически :ХС№^Н®В!В:-!И^ЭД "

и К > 0 такие, что ;, Т \g(oo)-g(z)\>K. (5.15)

Замечание 5.21. Если g € Mob (п) — локсодромическое отображение, то его неподвижные точки являются точками аппроксимации—в качестве последовательностей {gm} в А5 надо взять {gm} или (g~"‘), а в качестве ст —ось элемента g (инвариантную геодезическую). Если g— параболическое отображение из группы G с Mob (и), а его неподвижная точка г является Q-пиком, то эта точка г не является точкой аппроксимации. Это очевидно следует из А5 и того, что действие группы G в строго С2-инвариантном оришаре определяется параболическим стабилизатором Gz.

Из утверждения А5 теоремы 5.20 непосредственно получаем

Следствие 5.22. Точки аппроксимации {в том числе неподвижные точки локсодромических элементов) не могут лежать на границе фундаментального полиэдра P(G) с Нп дискретной группы G с Isom Нп (обладающего свойствами Ф1 —Ф5 из § 1).

Лемма 5.23.. Пусть G cz Mob (и)-дискретная группа, имеющая конечносторонний фундаментальный полиэдр Р с Hn+1. Тогда множество Pf\X(G) = P* либо пусто, либо состоит из конечного числа параболических вершин группы G.

Доказательство. Заметим, во-первых, что никакая точка из множества Р* не может быть неподвижной точкой локсодромического элемента группы G. Это показывает следствие 5.22.

Пусть теперь х^Р* (считаем, что х— оо). В силу конечности числа попарно эквивалентных граней полиэдра Р на его границе дР существует лишь конечное число различных точек, G-эквивалентных точке оо = х. Пусть это будут точки gi(°°)^P*i OsCi^/, где gj^G, g0=id. Обозначим через G* максимальную свободную абелеву подгруппу стабилизатора G^ (которая может быть и тривиальной). По теореме Бибербаха (теорема 3.8) подгруппа G* имеет в GM конечный индекс, и поэтому существует конечное$число элементов .. ., ^„^G таких, что^

”G„ = G*UG*T1U... UGX- (5.16)

Если теперь^для какого-либо элемента g^G точка оо лежит в g(P*), то рассмотрим некоторый геодезический луч 6czg(P), идущий в точку оо границы d(g(P)). Существование такого луча ст следует из конечносторонности полиэдра Р и того, что его стороны лежат на гиперболических плоскостях (см. § 1). Для луча ст существует элемент g,EG, O^i^/, такой, что геодезический луч gig-1 (о) оканчивается в оо, т. е. элемент gig~* лежит в стабилизаторе G^. Отсюда и из (5.16) следует, что элемент g^G лежит в одном из конечного числа множеств G*hj, h^G, 0 ^ / ^ ml. Это показывает, что имеет место одна из следующих возможностей:■ ■• ■ ■ . .л < ;

G* = {id}. Тогда окрестность оо в Нп + 1 пересекается только с конечным числом образов полиэдра Р и, поэтому, oogQ(G);

свободная абелева группа G* имеет ранг п. Тогда, по определению, оо — параболическая вершина;

группа G* имеет ранг к, l^fe^n—1.

В последнем возможном случае группа G* порождается к (винтовыми) евклидовыми переносами на линейно независимые векторы aj^Rn. Более того (см. теорему 3.8), с точностью до сопряжения группы G евклидовой изометрией, любой элемент ygG* имеет следующий вид (считаем, что Rn = R^xR"-11, где векторы {а,}, l^i^/г, образуют базис Rk):.

у (х) = U(х) + а, U^O(n),-

U\R& = id, ЩДп~к) = R"-\ a£Rk.(5.17)

Отсюда следует, что любой образ g(P), g£G\G^, полиэдра Р лежит внутри одной из конечного числа поверхностей S;- cz Rn+1, О ^ / -С т-1 (ограниченных в евклидовом смысле) или внутри их образов y(S7) при переносах y^G*. Свойство (5.17) элементов у группы G* показывает, что для некоторого / > О все эти поверхности G*(Sy) лежат внутри следующего множества:

.^€ЯП: ,2/К^'-(5-18)

Поэтому внешность U„ множества (5.18) удовлетворяет свойствам П1 и П2 определения 5.15 области пика, т. е. ив этом случае точка х=оо£Р* является параболической вершиной группы G. Это завершает доказательство.

Условия Бердона — Маскита. Перейдем к основному результату этого параграфа, дающему критерий геометрической конечности дискретной группы GczMdb(n) в терминах свойств ее предельного множества.

Теорема 5.24. Дискретная группа G czMob(n), п ^ 2, геометрически конечна, если и только если ее предельное множество k(G) состоит из точек аппроксимации и параболических вершин.

Перед доказательством этого критерия сделаем несколько важных наблюдений и замечаний.

Замечание 5.25. Этот результат (см. Апанасов [13]) является обобщением известной теоремы Бердона —Маскита [1] для дискретных групп на плоскости (га = 2), которая показывает в случае п = 2 эквивалентность условия теоремы 5.24 на предельное множество A (G) условию конечносторонности любого выпуклого фундаментального полиэдра Р cl Н$ группы G. Подобное утверждение (т. е. использующее условие выпуклости) при п^З уже неверно. Это впервые было обнаружено автором в 1973 г. (Апанасов [2, 4]). Позже это было повторено с других точек зрения в работах М. И. Штогрина [1] (в случае R3) и

Б. Боудича [1] (см. ниже теорему 5.26). Исключительность случая п = 2 объясняется тем, что в этом случае параболические элементы группы G с <^2 сопряжены евклидовым переносам (бея кручения) и, поэтому, все параболические точки группы являются параболическими fi-пиками (в R3). При и^З теорема 4.12 показывает наличие иной ситуации.

Теорема 5.26. Пусть 6с1?от/?п, п^З,— дискретная группа евклидовых изометрий, имеющая максимальную свободную абелеву подгруппу G* с G ранга k, l^k^n—2, с подпространством переносов Rk. Если в G* существуют элементы g, g(x') = = U (х) + b, b^Rkx {0} с Rn, U|/?а = id, 17 € О(п), имеющие ортогональные составляющие U бесконечного порядка, то любые полиэдры Дирихле Dy (G) с центрами в точках у € ^"Х^ имеют бесконечное число граней. '

Непосредственно из теоремы 5.26 и предложения 3.22 полу

чается:. .

Следствие 5.27. Пусть группа G из теоремы 5.26 действует в гиперболическом пространстве Нп + 1, п^З, и пусть гиперболическая плоскость Hk+1 с Hn + 1 такова, что dHk+1 z> Rk. Тогда для любой точки у ^ Нп+1\Нк+1 полиэдр Дирихле Dy(G)c//n+I с центром у имеет бесконечное число граней.

Доказательство теоремы 5.26 мы проведем для п = 3 и /г=1. Общий случай отличается лишь формальными деталями.

Итак, пусть порождающим циклической группы G с <^я служит винтовой перенос Т, Т (x) — U (х)-^, где (7^0(3) задает поворот в R3 вокруг координатной оси Т?-^ на угол а, несоизмеримый с 2л, т. е. id для &gZ\{0} и -

U =U =°0 \1

U =

U =

) cos a sma .(5.19)

О— sin a cos а/1

Рассмотрим точку y^R?\R-ex. Тогда полиэдр«Дирихле (в евклидовой метрике р) с центром у.§ iq

Du (G) = {х€ R3' P(x, у) < P (g(x), y), gt G} (5.20)

перейдет в изометрический полиэдр Ру группы Gy — h^Ghy, где Ну — инверсия в R3 относительно единичной сферы с центром в точке у, Ну^ — ео (ср. доказательство предложения 3.22). Заметим, что изометрические сферы / (у) и / (у-1) с центрами q и q’ отображения у (порождающего группу GJ всегда содержат гочку у. Более того, / (у)П/(у-1) = {у} лишь в случае, если y^Rex (= Rk в большей размерности). Если же y^R-elt то / (у) и / (у1) пересекаются по окружности, содержащей у. При этом отображение у есть суперпозиция инверсии относительно / (у), отражения относительно плоскости, содержащей окружность / (у)П/ (у-1), и поворота вокруг прямой, проходящей через точки у и q* (см. теорему 1.3).

Так как центры изометрических сфер 1(g) элементов g = 4n, n£Ze, группы Gy образуют Су-орбиту точки со, то множество Q таких центров можно записать в виде:

Q = VQn = Y"№ п^Z\{0}} = (hjh (у): п£ Z\{0}}. (5.21)

Образ множества Q при отображении hy есть множество (Т"(у): n£Z\{0}}, лежащее на спирали, окружающей первую координатную ось. Поэтому точки qn множества (5.21) лежат на

Рис. 28

спирали, сходящейся с двух сторон (под нулевыми углами) к точке у (рис. 28).

В то же время, так как все изометрические сферы 1(g), g^Gy, содержат точку у, то векторы

v„ = (t/—Тп(°°))/1 У—Тп(°°)| '•

являются единичными нормалями изометрических сфер / (у"). Этот факт, условие иррациональности угла а поворота (5.19) и то, что радиусы г„ сфер 1 (у”) стремятся к 0 при |и| —*-со, показывают, что для любого целого отличного от нуля числа п изометрические сферы элементов уп и у-" имеют сегменты, не содержащиеся в объединении внутренностей сфер 1 (у') и I (у-'), где 111 < и. Отсюда непосредственно получаем, что изометрический фундаментальный полиэдр группы Gy, а значит и (5.20),

124 ГЛ. 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИ КОНЕЧНЫЕ МЕБИУСОВЫ ГРУППЫ имеет бесконечное число граней. Это завершает доказательство теоремы 5.26.

Следствие 5.28. При п^аЗ существуют геометрически конечные группы G с Mob (п), для которых любой полиэдр Дирихле D(J а Нп+1 (с центром в любой точке у^Н"*1) имеет бесконечное число граней.

Для доказательства следствия достаточно рассмотреть в качестве искомой группы G группу, получаемую комбинированием Клейна из нескольких групп Glf . . ., Gm с Mob(n), сопряженных группе, построенной в доказательстве теоремы 5.26. При этом группы G, должны быть достаточно «удалены» друг от друга в тем смысле, что (/?,+ 1)-мерные плоскости НкНг нп*\ 1 $Xfe; ^n—2, 1 ^z <~m, опирающиеся на подпространства переносов групп С£, не пересекаются между собой ^или имеют пустое т\’.

общее пересечение П Д6, + 1 = 0 ). Тогда любой полиэдр Дирихле 0,(0), у^Нпл1, будет иметь (по следствию 5.27) в окрестности хотя бы одной из параболических вершин рг, ..., р,„ группы G бесконечное число граней.

Замечание 5.29. Построенные выше группы Gc lsomhn+1 являются геометрически конечными. А именно, несмотря па бес- конечносторонность полиэдра Дирихле D^ (G) с Нп +1 (в окрестности параболических вершин группы G), построенный в § 4 гл. 3 псевдо-Дирихле полиэдр D‘(G) все-таки имеет конечное число сторон. Для построенных групп это, очевидно, следует из их построения и определения D*y^G). Это наблюдение будет играть важную роль и в общем случае.

Доказательство теоремы 5.24. Необходимость. Считаем, не меняя обозначений, что группа G есть дискретная группа изометрий шаровой модели Пуанкаре в Вп+1(0, 1) (n + 1)- мерного гиперболического пространства. Пусть Р с Вп + 1 — конечносторонний фундаментальный полиэдр группы G. Из леммы 5.23 следует, что множество Ро = Р Л S” (0, 1) состоит из параболических вершин и точек множества Q(G). Считаем при этом, что Р содержит начало координат.

Рассмотрим любую точку z^S" и прямую о, соединяющую точку 0 с течкой z. Имеются две возможности: о пересекает либо конечное число образов сторон полиэдра Р, либо бесконечное.

В первом случае существует g^G такое, что g^^Pb и, поэтому, либо z^Q^G), либо z—параболическая вершина G.

Во втором случае существует сторона S полиэдра Р, бесконечно много образов которой пересекается с а. В этом случае г — предельная точка. Рассмотрим последовательность различных элементов (gm) с G и последовательность {ym} cz S точек такие,

$ з. првделйй&е ^чйи’й' геомгриЙ1^аМ,,1«йЬя^ 125

ЧТО. ' ' .., .,I. ,=.

^(о)П5 = {Г}.(5.22)

Рассмотрев, если необходимо, подпоследовательности, получаем точку y^S, к которой в евклидовом смысле сходятся точки ут. Если при этом точка у£Вп*\ то ее компактная окрестность пересекается с бесконечным числом образов геодезической о и, следовательно, г —точка аппроксимации (утверждение А5 теоремы 5.20). Если точка у лежит на S”, то она является предельной точкой и, следовательно, по лемме 5.23 у—параболическая вершина. В этом случае, сопрягая группу G, перейдем к ее действию в полупространстве Нп+1 (считая, что геодезическая о соединяет точки z и 0, a ?/-оо).

Если стабилизатор G„ имеет свободную абелеву подгруппу ранга п, то проекция на R" полиэдра Р является ограниченным множеством и, следовательно, последовательность (у"'} точек стороны S, oo^S, такова, что И и Уп+1 = °°- Поэтому евклидово т-* а

расстояние | gm (0) — gm (z) | между концами геодезических g„(o), проходящих через точки ym£S, стремится к оо. Это и свойство (5.15) точек аппроксимации доказывают, что z —точка аппроксимации.

Если G„ является конечным расширением свободной абелевой группы ранга к, l^k^n— 1, то существует область пика

U^UeR"" 2 х?>/>о),(5.23)

не содержащая предельных точек, в том числе и образов точки z. Как и выше, из условия

Jin Уп+1=°°(5.24)

получаем существование последовательности {ym} cz Gt с G„ такой, что для некоторого R > 0

XI Ч«8т (z) к R и.. с; Г ■ НЬ (5.25)

и, кроме того,' ■■

Этот факт следует из (5.25) и того, что геодезические, соединяющие точку у„^„,(0) с точкой vmgm(z) имеют точки с произвольно большими (и+1)-ми координатами (см. (5.24)). Свойство (5.26) доказывает наличие в {ymgm} бесконечного числа различных элементов и, вместе с (5.15), завершает доказательство того, что г— точка аппроксимации.

Достаточность. Пусть Р = Dy (G) — любой полиэдр Дирихле группы G с Mob (и), у которой A(G) состоит из точек нппроксимации и параболических вершин. Покажем, что множе-

ство Р* = дР П A (G) состоит лишь из конечного числа параболических вершин. Заметим, что если у Р две пары сторон Slf Sj и S2, Si отождествляются элементами группы gY и g2, то gT = g2 лишь в случае Si = S2. В самом деле, пусть Qt и Qj —полупространства в Нп+1, соответствующие сторонам St и Si и содержащие полиэдр Р. Если S2 не лежит в n-плоскости, содержащей сторону SH то S2 с Qt и, поэтому, g1(S2)AQi=0. Отсюда следует, что gT (S2) является стороной Р лишь в случае, если Sj и S2 лежат в одной «-плоскости, т. е. S! = S2.

Допустим теперь, что полиэдр Р бесконечносторонний. Тогда существует счетное множество различных G-образов полиэдра Р, накапливающихся к некоторой точке г^дР. Следствие 5.22 показывает, что г — параболическая вершина группы G.

Рассмотрим G-инвариантное множество областей пиков U а с <z Hn+1 uH(G) во всех параболических вершинах ogA(G). Тогда подмножество О" = Dy(G)\U Ua компактно и, поэтому, dDy(G) А О’ состоит из конечного числа граней (в противном случае мы имели бы предельную точку на 50 (G), не являющуюся параболической вершиной). Из этого наблюдения немедленно следует конечность множества Р* параболических вершин на границе D^GY

Взяв центр у из множества У (G) cz Нп+1 (дополнения к счетному множеству плоскостей), мы перестроим полиэдр ^(G) в фундаментальный псевдо-Дирихле полиэдр D^G) с параболическими вершинами рт, ..., р,„ (см. определение 3.25). Как и выше для D^G\ дополнение в В*я^ (в Дп+1иЩС)) к областям пиков U; вершин р(, i = 1, .. ., т, есть компакт . Поэтому конеч- носторонность D*y (G) (завершающая доказательство теоремы) получается из следующего свойства псевдо-Дирихле полиэдров:

Лемма 5.30. Пусть все параболические точки дискретной группы G с Isom Нп являются параболическими вершинами. Тогда псевдо-Дирихле полиэдр Dy(G), y^Y(G)c: Н№, в области пика Up его любой параболической вершины р имеет конечное число сторон.

Доказательство. Покажем сначала, что индуктивное определение 3.25 дает невырожденный полиэдр Dy^GY т. е. существует г > 0 такое, что шар В (у, г) содержится в Dy(Gi') любой иррационально-параболической подгруппы С,- cz G.

В противном случае мы получим параболические подгруппы GjCzG, G; (р;) —Pi^dDy(G), р0=оо, у которых длины (евклидовых) переносов ортогональных проекций у* центра у на G,-инвариантных орициклах L; (вокруг р^ стремятся к нулю при возрастании I. Это означает, что в подгруппах G,- имеются параболические элементы g; с изометрическими сферами I (g^ произвольно больших радиусов. Невозможность этого следует из предположения леммы и из теоремы 4.15.

Пусть теперь р — параболическая вершина D*y(GT). Если р рационального типа, то утверждение очевидно. В иррациональном

случае фундаментальный псевдо-Дирихле полиэдр для Gp имеет вид (ср. (3.40)):

D^Gp^LpRDu.^xRrk,

где у*-проекция у на G^-инвариантный /г-мерный орицикл Lp с Нп. Поэтому стороны D* (Gp) попарно О^-эквивалентны и их конечное число в силу компактности полиэдра Дирихле ЕрП f\Dy*(Gp). Этот факт и индуктивное определение 3.25 полиэдра D*y(G) влекут попарное G-отождествление сторон Dy(G) (ср. Форд [1, § 35] и лемму 3.20). Кроме того, предположение леммы и теорема 4.15 дают в каждой параболической точке p^dD*(G), y^Y(G), область пика U, которая пересекается лишь со сторонами D* (G), отождествляемыми элементами стабилизатора Gp. Конечность их числа, показанная выше, завершает доказательство леммы (и теоремы 5.24).

Следствие 5.31. Пусть G с: Mob (п), п"^Л, —дискретная группа. Тогда выполнена альтернатива —все псевдо-Дирихле полиэдры ВДС)сНп41, у£Нп+\ имеют либо конечное число сторон, либо бесконечное.

Аналогичный факт для трехмерных полиэдров Дирихле Dy^G) с. Н3 был доказан А. Марденом [1]. Полиэдры Дирихле в Н4 этим свойством уже не обладают (см. теорему 5.26).

Следствие 5.32. Предельное множество A(G) геометрически конечной группы G oMdb(n), п^2, либо имеет нулевую п- мерную меру Лебега, либо X^ = Rn.

Доказательство. Считаем, что G действует в шаре В"(0, 1). Тогда геометрическая конечность влечет, что точки аппроксимации в A(G) равномерно аппроксимируются, т. е. существует К > 0 такое, что для каждой точки аппроксимации z^A(G) существует последовательность {^„} с G различных элементов со свойством • . '

v-g^^K-^, (5.27)

где г,„ — радиус изометрической сферы I (gm). ”

В доказательстве необходимости теоремы 5.24 мы видели, что если {у™} — последовательность точек, сходящаяся к одной из конечного числа параболических вершин в полиэдре Р, то существуют элементы у,„ из ее стабилизатора такие, что точки ут^„ (0) лежат вне некоторой окрестности множества V?mgm (z)}. Поэтому оценка (5.27) следует из конечности множества PnA(G), формулы (5.9) и свойства (5.10) точек аппроксимации.

Допустим теперь, что A(G) 5^ S"-1 (0, 1). Рассматривая для любого номера т покрытия множества точек аппроксимации Шарами радиусов |z —gm(oo)| и устремляя т к оо, из (5.27) и леммы 6.19 получаем, что A(G) имеет нулевую меру, так как Множество параболических точек не более чем счетно. Доказательство закончено.

гд Замечание. Л. Альфорс [3] доказал эту теорему в случае л = 2. Его доказательство, использующее свойства гармонических функций в гиперболическом пространстве, было обобщено Су Шин Ченом [1] на случай групп G — »^„, имеющих положительную меру множества точек аппроксимации. Предложенное доказательство следует схеме Бердона —Маскита [1] для клейновых групп на плоскости.

Хаусдорфова размерность предельного множества. Утверждение следствия 5.32 можно существенно усилить, доказав, что для геометрически конечных клейновых групп G с Mob (л) хаусдорфова размерность dimwA(G)<n.

Пусть X a Rn — множество из борелевской а-алгебры пространства Rn и пусть для некоторого а > 0 и для каждого е > О /га,Е(Х) = !п{2^№)а7

где нижняя грань берется по всем конечным или счетным покрытиям {£,} множества X шарами (или кубами) £, , диаметры d(£;) которых не превосходят е. Тогда

lim ha.e(X) = ha(X)е -» О

называется «.-мерой Хаусдорфа множества X. Хаусдорфовой размерностью множества X называется число

dim//X = sup {а: /га(Х)^=0}.

Теорема 5.33. Хаусдорфова размерность предельного множества любой геометрически конечной клейновой группы G czNVob^n), л ^ 1, меньше п.

Этот результат хорошо известен для п = 1, т. е. для конечно порожденных фуксовых групп в круге второго рода (Бердон [5], Паттерсон [1]). Для л = 2 он доказан впервые Сулливаном [6], доказательство которого обобщается и для любого п. Ранее Сул- ливан [1, § 3] доказал теорему 5.33 для клейновых групп Gc4„ компактного типа при дополнительном условии равенства нулю n-мерной меры Лебега: p„(A(G)) = 0 (это ограничение снимается следствием 5.32). В общем случае доказательство теоремы 5.33 дано в работе П. Туки я [3].

Заметим, что условие геометрической конечности группы G в теореме 5.33 существенно. А именно, при и = 2 Сулливан [2] построил пример конечно порожденной клейновой группы G с (геометрически бесконечной), для которой dim//A(G) = 2, но 2-мера Лебега равна 0.

Доказательство теоремы 5.33 продемонстрируем в случае группы G сзМоЬ(л) компактного типа, т. е. имеющей компактный орбифолд

6(G) = [//" + 1uH(G)]/G..,

Покажем, во-первых, что существует целое число q такое, что при делении любого n-мерного куба Qa R" на qn равных подкубов (образующих семейство К (Q, д)) найдется по крайней мере один подкуб Q'^K^Q, Я), не пересекающийся с А(С). Доказательство этого основывается на свойстве компактности.

Допустим, что г = d(Q aA(G))/^(Q) ^ 1/2 (если г < 1/2, то существование q(q = 4) очевидно). Обозначим через zQ центр Q, через sQ длину ребра куба Q и через zQ = (zQ, sQ) точку гиперболического пространства //n+IsR"+1. Пусть х, y^Qf\A(G) таковы, что | х —1/| ^d(Q)/2, и пусть геодезическая усН"*1 соединяет точки х и у. Тогда для гиперболической метрики dh

dh(v, Zq)< C0 = ln2 + lnn + /n.

Это неравенство показывает, что> , ■-

dh (^g> zq) С Со,

где Но — гиперболическая выпуклая оболочка A(G) (см. § 2). В нашем случае Ha/G компактно и, поэтому, существует компактное множество К с Нп+1 такое, что для любого куба Q~Rn, QaA(G)^ 0, имеем Zq^G^KY

Пусть теперь Qo с Rn — стандартный куб и р — подобие в R"+1, Р (Q) = Qo. Тогда можно записать

£ = hg,(5.28)

где g^G, g^Zq^GK, a h — некоторый элемент из МбЬ(п). Так как h"^z^J £ К, то множество элементов h из (5.28) является компактным множеством в МбЬ(п). Кроме того,

р (Q П A (G)) = Qo A hg (A (G)) = Qo A h (A (G)),(5.29)

где A(A(G)) нигде не плотно в Rn, a h [пробегает компактное множество в МбЬ(п). Это показывает существование нужного числа q.

Пусть теперь S (Q) = (Q' С К (Q, q)- Q'A A(G) ^= 0}. Из доказанного выше свойства q очевидно следует неравенство

S d(Q')a^C.d(Q)a,(5.30)

Q'eJP(Q)

где a = n и C=l — \Jqn. Неравенство (5.30) остается верным для немного меньших a < и и немного больших С, 1 — 1/^" < С < 1. Поэтому, переходя от (Q) к семействам 5 (Q'), где Q' €^(Q), получаем из (5.30) индуктивными рассуждениями оценку dim^A(G) < п.

Приведенное выше доказательство переносится и на случай геометрически конечных групп G с Mob (и), не имеющих неподвижных параболических точек ранга п (Тукия [6]). При этом в (5.29) множества h (A (G)) образуют семейство подмножеств Rn, В. Н. Ананасов

компактное в топологии Хаусдорфа, индуцируемой метрикой

р(Х, y) = sup{^(x, У), q^y, X): х^Х, у 04(5.31)

на семействе ё замкнутых подмножеств в R”. Здесь X, У О, a <7 — сферическая метрика на Rn, получаемая при помощи стереографической проекции.

Доказательство общего случая (Тукия [3]) получается усовершенствованием приведенного метода. А именно, как и выше, для данного куба Q определяется семейство 2 (Q) его подкубов, покрывающих множество Q п Х(в)\{параболические точки G}. При этом J? (Q) удовлетворяет неравенству (5.30) для некоторых а<п и С < 1 и, кроме того, некоторому условию вблизи параболических точек группы G (которому удовлетворяют и семейства 2 (Q') для всех Q'£2 (Q)'). Построение семейств 2 (Q) позволяет снова применить индуктивный метод и получить требуемое неравенство:• •

.sup/а: lim/ia, e(A(G))=#0\ < п. '•

. ■X е-»0/: э,

§ 4. Теоремы конечности■ ■

для дискретных мёбиусовых групп-

Свойства конечности на плоскости. Основным фактом для фуксовых групп на плоскости является то, что такая группа Г является конечно порожденной тогда и только тогда, когда имеет фундаментальный многоугольник, ограниченный конечным числом сторон, т. е. является геометрически конечной. Этот факт имеет много геометрических, алгебраических и метрических следствий. Для примера, еслиГсД,— конечно порожденная фуксова группа в круге U, то

поверхность S=UfT имеет конечный топологический тип;

накрытие л: U-^ S разветвлено не более чем над конечным числом точек;

группа Г имеет только конечное число классов эквивалентности элементов конечного порядка;

существует только конечное число Г-орбит параболических неподвижных точек;

длины гиперболических переносов в U (гиперболических элементов Г) образуют дискретное подмножество в R;

пересечение двух конечно порожденных подгрупп — снова конечно порожденная группа;

предельное множество A (G) состоит только из точек аппроксимации и параболических вершин.

Уже для клейновых групп на плоскости (= фуксовых групп в R3) указанный основной факт не выполняется. А именно, существуют конечно порожденные клейновы группы, не имеющие

конечностороннего фундаментального полиэдра в Н3. Такие группы получили название геометрически бесконечных (см. предыдущий параграф). Однако отчасти положение здесь выправляется теоремой конечности Альфорса — самым глубоким результатом в теории клейновых групп на плоскости (Альфорс [2], Кулкарни, Щален [1]):

Теорема 5.34. Пусть G с aft^ —конечно порожденная клей- нова группа и й a R1 ее множество разрывности. Тогда

Q/G имеет конечное число компонент;

каждая компонента Q/G получается из замкнутой римановой поверхности конечным числом проколов;

существует только конечное число точек в Q/G, над которыми накрытие л: Q — Q/G разветвлено.

Другая формулировка теоремы Альфорса может быть взята в виде (см. Бердон, Ёргенсен [1]):

Следствие 5.35. Конечно порожденная клейнова группа G с ДК имеет конечносторонний фундаментальный многоугольник в R3 (таким, в частности, является пересечение со сферой R3 замыкания полиэдра Дирихле в Н8, не всегда связное).

Из этой формулировки теоремы Альфорса видно, что бесконечное число сторон фундаментального полиэдра Р (G) с: Н3 конечно порожденной дискретной группы G cz аХ накапливается к точкам из P* = Pr\K(G), не лежащим на границе плоской фундаментальной области группы G. Сферическая мера этого множества Р*, как показали Альфорс и Сулливан, равна нулю. Более того, существует гипотеза, что множество Р* конечно. Подтверждением этой гипотезы является конечность подмножества параболических точек во множестве Р*, полученная Д. Сул- ливаном [3]:

Теорема 5.36. Пусть Gadt^— дискретная группа с N порождающими. Тогда число Nc классов сопряженности нетривиальных максимальных параболических подгрупп группы G конечно и удовлетворяет неравенству NC^5N— 4.

Доказательство этого утверждения основано на анализе конструкций, предложенных Альфорсом [1] при доказательстве его теоремы конечности, в частности, на конструкции рядов Бореля ^аДг — Ьф-1, где Ьп — центр n-го оришара на сфере С = дН8, а ^ — комплексное число, связанное с евклидовым объемом оришара. Эти ряды Бореля используются для определения скрещенных гомоморфизмов группы G в пространстве полиномов четвертой степени и в пространство G-инвариантных автоморфных форм степени —2. При этом рассуледения Альфорса [1] интерпретируются в терминах голоморфных квадратичных векторных полей.

Другой важной частью доказательства Сулливана является его эргодическая теорема о несуществовании G-инвариантного векторного поля (Сулливан [1]; см. также теорему 9.26) и s*

оценки для объемов непересекающихся оришаров, центры которых лежат в некотором концентрическом кольце. Следует отметить используемую и здесь специфику плоского случая п = 2. А именно, важным свойством множества параболических оришаров группы G с Mob (2) является его «дискретность» — никакой ори- шар не может быть пределом последовательности других оришаров. Как заметили Эпстейн и Пеннер [1] это уже не так при п^З; таким свойством не обладают группы G с Mob (n), построенные в работе Апанасова [21] (см. теорему 4.12).

На этом мы закончим обзор свойств конечности при п = 2. Хорошее изложение многих из них читатель может найти в лекции Л. Гринберга [4].

Свойства конечности в пространстве. Пусть GcMob(n), п ^ 2,—дискретная без кручения группа, действие которой рассматривается и в полупространстве R"+1^Hn+1 с метрикой Пуанкаре. Как и при п = 2, нас интересует многообразие М (G) (см. (5.4)) с краем Q(G)/G. При п^З конечно-порожденность группы G уже не дает конечность топологического типа этого многообразия, т. е. нет трехмерного аналога теоремы конечности Альфорса: есть конечно порожденные клейновы группы G с &//3 с инвариантной компонентой Q с Q(G) такие, что фундаментальная группа лх (Q/G) — бесконечно порожденная группа. Пример такой группы был построен Каповичем и Потягайло [1] при помощи разработанного автором блочного метода построения групп G с дико заузленным предельным множеством A(G) = = dQ (см. Ананасов [11, 31], Ананасов, Тетенов [2], замечание 7.27).

В связи с этим фактом единственной возможностью получения каких-либо теорем конечности в размерности п^>3 становится рассмотрение класса геометрически конечных групп GcMob(n). Основным нашим инструментом при доказательстве таких теорем будет изучение «выпуклого сердца» С(М) — М0 многообразия М (G) (его минимального выпуклого ретракта (см. (5.5) и предложение 5.12). При этом, для устранения не- инвариантности его размерности dim MG dim М (G) относительно квазиконформных сопряжений группы G, мы будем рассматривать его регулярную е-окрестность UE (MG) = СЕ (М) и, кроме того, применять разложение многообразия N на е-тонкую и е-толстую части: А(о, Е] UA[E, ®) = N, где е > 0 не превосходит постоянной Маргулиса (см. теорему 4.7). В этих обозначениях сформулируем нашу теорему конечности в виде (см. Ананасов [14, 19]):

Теорема 5.37. Для дискретной без кручения группы GcN\ob(n), п^2, следующие утверждения эквивалентны:

ГК 1. Группа G геометрически конечна.

ГК 2. Для е>0 многообразие UE(MG) имеет конечный гипер" болический объем.

ГК 3. Для е > 0 многообразие (MG)[E, „) компактно.

ГК 4. Предельное множество Д^ состоит из точек аппроксимации и параболических вершин.

ГК 5. Многообразие М (G) имеет 'конечное число концов и каждый такой конец конформно эквивалентен стандартному параболическому концу (многообразия (Д"+1\{оо})/Г, Г с Isom/?”).

Замечание 5.38. Условие, что G — группа без кручения, не является существенным для всех свойств конечности, кроме ГК 2 (где, для гарантии отсутствия в группе элементов произвольно большого конечного порядка, мы должны наложить какие-то дополнительные условия —либо vol М (G) < оо, либо G конечно по- юждена (см. теорему 1.5)). В самом деле, для свойств ГК 1 и 'К 4 это показывает теорема 5.24. В случае свойств ГК 3 и 'К 5 имеется конечнократное накрытие орбифолдов 6 (G) и 60 (см. (5.4) и (5.5)) многообразиями Мо и С (Мо), которым соответствует подгруппа Go с G конечного индекса. В силу конечности числа листов накрытия и того, что p(G0, G) < оо, свойства предельных множеств A(G) и А(С0) и свойства орбифолдов 0(G) и 6G, и многообразий M0 = M(G0') и С (Мо) = МОо аналогичны. Независимый подход к доказательству этих фактов читатель может найти в недавней работе Б. Боудича [1].

Теорема 5.37 и замечание 5.38 показывают корректность следующего определения, эквивалентного определению Тёрстона [1] для трехмерных многообразий:

Определение 5.39. Структура гиперболического орби- фолда 0 называется геометрически конечной, если его группа голономии d*(л, (6)) геометрически конечна.

С л е д ств и е5.40. Гиперболический орбифолдб, rank л2 (0)<оо, имеет геометрически конечную структуру, если и только если для некоторого е > О выполнено одно из эквивалентных условий:

е-окрестность Се(0) выпуклого сердца С (0) орбифолда 0 имеет конечный объем.

г-толстая часть С(0)[Е, ю) выпуклого сердца С (6) с 6 компактна.

Предельное множество группы голономии ^(лД©)) состоит из точек аппроксимации и параболических вершин.

Замечание 5.41. Для дискретных без кручения групп СсМ2 иная схема доказательства эквивалентности свойств ГК1 — ГКЗ, не использующая свойств точек аппроксимации и нуждающаяся в теореме конечности Альфорса для плоских клейновых групп, была предложена В. Тёрстоном [1, гл. 8.4]. С дополнительными ограничениями —все параболические точки группы являются параболическими вершинами —эквивалентность ГК1ФФГК5 для этого *е случая п^2 доказал Л. Гринберг [4]. В этой же работе описана история решения этих задач.

Определение 5.42. Назовем фундаментальный полиэдр ^ ^Нп дискретной группы G с Isom Нп выпуклым в своих концах.

если в каждой точке г £ Р* = Р П A(G) существует opишар BzczHn такой, что Pf\Bz содержит лучи [х, z), х^ Р П Bz.

Для доказательства теоремы 5.37 нам будет необходимо следующее свойство полиэдров, выпуклых в своих концах (ср. Апа- насов [14,19]):

Лемма 5.43. Пусть для дискретной без кручения группы G с: Isom Нп, п^2, многообразие [MG][E, а) компактно. Тогда множество Р* = Р П A (G) предельных вершин любого фундаментального полиэдра Р с Нп, выпуклого в своих концах, либо пусто, либо состоит из неподвижных точек параболических элементов группы G.__

Доказательство. Для замыкания Р полиэдра Р в Нп = = Нп \jdHn обозначим через Рн полиэдр в оболочке Нильсена На:

Рн = РПНо\Л(С), отождествлением G-эквивалентных граней которого получается многообразие Мо.

Допустим, что Р* ^ 0. Тогда можно считать, что оо^-Р* и что полиэдр Рн содержит внутри себя геодезический луч а:

а = ^х^Нп; x=t-en, t ^ 1} с int Рн.

Рассмотрим на луче а последовательность точек у‘ = е„-ехр (i), i^O, удаленных друг от друга на расстояние d(y‘, yi+l)=I.

Из условия компактности многообразия [М0][Е. а), получающегося из Mg = Ph!G при помощи обрезания е-тонких мест, следует существование в группе G последовательности ^g^ таких элементов, что

(5.32)

где у,-: xi-^x exp(—i).

Последовательность элементов g, g G выбирается следующим образом (ср. доказательство теоремы 4.7 и Каждан, Маргулис [1]). Для любого 8>0 найдем номер iE такой, что для всех i ^ iE существуют элементы gL Е g G, переводящие точки yf1 (еф £ ° в е-близкие им точки (элементам gt, Е соответствуют в Мо петли длины меньше е). Рассматривая теперь достаточно малое 6 > О, для любого i можно получить произвольно большое число таких элементов gL ^^G, переводящих точку vf1^^) в е-близкие ей точки. Рассмотрим в касательном пространстве к Нп соответствующие им реперы и выберем среди них е-близкие. Тем самым среди элементов gt,6^G мы выберем элемент g;^G, который имеет в точке yf^ej производную, отличающуюся не более чем на е от тождественного, а точку ^(е^ переводит в е-близкую ей точку. Это доказывает существование последовательности {gz} с G со свойством (5.32).-

В то же время имеет место равенство 1'4”'И1' *' ' ■ ^4

сЦе^ Мн^ГЧ^-й^/е, у^^Ут^)),.

вместе с (5.32) показывающее, что-ч - •. ^я

Это соотношение доказывает сходимость последовательности {у/ёУ+зУГ*} к невырожденному отображению.

Отсюда, применяя теорему 6.43 к последовательности дискретных групп V/G^f1 без элементов конечного порядка, получаем, что отображения у^уг1 и 'Ytgi+iYi1 ПРИ достаточно больших номерах i^ig имеют общую неподвижную точку. Ясно, что таким же свойством обладают и отображения gh gi+i для i^i0.

Выписывая очевидные равенства

d (у1, gi (^9) = d (^ (e„), g,- (yf1 (e„))) = d (en, ^.g^1 (<?„)), ■ из (5.32) видим, что

lim d(y'\ gi(y‘)) = ® i 00

и, следовательно, образы g,(a) геодезической а имеют точку сгущения.

Образы геодезической в дискретной группе с общей неподвижной точкой и состоящей либо из параболических, либо из локсодромических отображений накапливаются либо к этой точке, либо к общей оси локсодромических отображений. В то же время, неподвижные точки локсодромических элементов группы G не могут лежать на границе фундаментального полиэдра Р (см. следствие 5.22). Поэтому все элементы gi для номеров i^i0 являются параболическими отображениями, а точка оо £ Р* яв- ляетя их общей неподвижной точкой. Это завершает доказательство леммы 5.43.

Следствие 5.44. В условиях леммы 5.43 множество Р* предельных вершин фундаментального полиэдра РсН" конечно и состоит (если не пусто) из параболических вершин группы Gchom Нп.

Доказательство. Считаем, что точка z С Р* есть оо. Тогда по лемме 5.43 ее стабилизатор G„ с G является группой переносов (быть может, винтовых) в евклидовом пространстве Rn~1= = б//п\{оо). Обозначим через к, 1^.к^п—1, его ранг и пусть E=Rkc.Rn~1 есть fe-мерное G^-инвариантное подпространство, базисом которого служат векторы переносов из 0ш (см. теорему 3.8).

Допустим, что z = оо не является параболической вершиной. Если при этом предельное множество Л(С) лежит в некоторой евклидовой /-окрестности Ut(E) подпространства Е, то теорема 4-15 дает постоянную К > 0, ограничивающую радиусы изомет-

рических сфер элементов g^GXG^. Поэтому ((+ /Q-окрестность подпространства Е имеет своим дополнением область, удовлетворяющую определению области пика для оо, что противоречит допущению.

Допустим теперь, что к<п—1 и существует последовательность {ут} с A(G), сходящаяся к оо:

lim [№+1)2+-..+(ti2] = <^(5.33)

m -> а>

По модулю действия стабилизатора G„ можно считать, что последовательность предельных точек со свойством (5.33) лежит в проекции фундаментального полиэдра Р на граничную плоскость RnX полупространства R"^Hn, т. е. в фундаментальном полиэдре стабилизатора G^. Соединяя точки этой последовательности с точкой оо геодезическими, мы видим, что они лежат в выпуклой оболочке Нильсена На предельного множества группы G и пересекают полиэдр Рн = Р П Но. Применение леммы Маргулиса (теорема 4.7) и замечания 4.9 (соотношения (4.23) — (4.25)) показывает противоречие подобной ситуации (5.33) с условием компактности подмножества полиэдра Рн, оставшегося после обрезания е-тонких частей, соответствующих е-тонким концам многообразия MG. Полученное противоречие окончательно доказывает, что z = oo является параболической вершиной группы G. Одновременно свойство компактности оставшегося после обрезания е-тонких мест подмножества полиэдра Рн показывает и конечность множества Р* предельных вершин полиэдра Р. Это завершает доказательство следствия.

Основная теорема. Доказательство сформулированной теоремы конечности (теоремы 5.37) будет состоять из доказательства следующих утверждений:

ГК1 => ГК2 => Г КЗ => ГК4.

Обращение этих утверждений следует при этом из теоремы 5.24, которая замыкает указанную цепочку импликаций. Доказательство последнего свойства ГК5 см. в § 1 гл. 7.

ГК1 => ГК2. Пусть Р a Hn+1 ^ R^ — некоторый конечносторонний фундаментальный полиэдр группы G с Mob (п) со свойствами Ф1 — Ф5. Тогда, как показывает лемма 5.23, множество Р* = Р П Л (G) либо пусто, либо состоит из конечного числа параболических вершин группы G. Пусть оо — одна из таких параболических вершин. Это означает (определение 5.16), что либо предельное множество A(G) лежит во множестве L с Rn = dHn+1 евклидово изометричном множеству

{jc€ Л": Яь.ц+• • •+л£ < ^}. t > 0, k = rank G„ < п, либо стабилизатор G^ имеет нормальную подгруппу конечного индекса, порожденную переносами на п линейно независимых векторов из пространства Rn.

6

В первом случае выпуклая оболочка Нильсена На содержится в Lx [О, оо). Так как при этом множество L имеет в п — к линейно независимых направлениях ограниченные размеры, то найдется оришар В„ (т. е. полупространство На = ^х^Нп+1: х„+1>а}) такой, что HG A B„=^Lx [О, оо)]аВ«,. В то же время проекция полиэдра Р на dHn+1 = Rn в оставшихся к линейно независимых направлениях также имеет ограниченные размеры, так как в этих направлениях действуют переносы (вообще говоря, винтовые) из стабилизатора G^. Отсюда следуют неравенства

vol UE [MG A <BjG J] = vol [t/e (BJ А в А в J С

< vol [[/8 (Lx [О, оо)) A B„ A P] < oo, (5.34)

показывающие, что объем окрестности конца многообразия t/e(MG), соответствующего параболической вершине оо, конечен.

Для рассмотрения второго случая заметим, что если группа G„ содержит свободную абелеву подгруппу ранга п, а г — любая предельная точка из A(G), то выпуклая оболочка //(G0O(z))c//0 решетки G^ (z) содержит некоторое полупространство На = = ^х£Нп+1: х„+1>а). Поэтому во втором случае существует оришар Вю = Нгг (с центром в оо) такой, что 6„ = ЯСАВ„. Это влечет выполнение неравенства для объема vol UE [MG A (B^/GJ], аналогичного (5.34), т. е. показывает, что и в этом случае объем окрестности конца многообразия Ue(Mq), соответствующего оо, конечен.

Таким образом, общий вклад в vol UE (MG) объемов окрестностей некомпактностей многообразия Ue(Mq) конечен. Компактность оставшейся части многообразия UE (MG) завершает доказательство того, что vol t/E (/Ис) < оо.

ГК2=^>ГКЗ. Из определения разбиения многообразия М.— ~ А1(0, в] U М^Е, и) следует, что каждая точка из (MG)[8>«,) имеет шаровую окрестность радиуса е/2, вкладывающуюся в окрестность (/е/2 (MG), имеющую конечный объем. Ясно, что таких непересекающихся шаров может быть лишь конечное число. Это Доказывает компактность многообразия (MG)[8- «,>.

ГКЗ=>ГК4. Пусть многообразие (MG)[e, „) компактно, а РсНп+1—некоторый фундаментальный полиэдр группы G, выпуклый в своих концах (см. определение 5.42) и обладающий свойствами Ф1—Ф5 из § 1—такими являются, в частности, все полиэдры Дирихле Dy (6), а также построенные в § 4 гл. 3 специальные псевдо-Дирихле полиэдры D*g(G'), пересечение которых с оришаровыми окрестностями ВрСН^1 параболических вершин р группы G суть конечносторонние фундаментальные полиэдры параболических стабилизаторов GpcG (см. лемму 5.30).

По следствию 5.44 множество Р* = Р A A (G) либо пусто, либо состоит из конечного числа параболических вершин группы G. Поэтому из замечания 4.9 видим, что для достаточно малого

е > О е-толстая часть многообразия Мо обладает следую щими свойствами:

(^о)[е, ®) совпадает с многообразием MG, если полиэдр Р не имеет предельных вершин, т. е. Р*=0;

если Р*^0, то подмногообразие (М0)[Е, ж) (с точностью до компактного множества (см. п. 2§ 3 гл. 4)) получается в результате следующего построения.

Рассмотрим во всех параболических неподвижных точках р группы G-инвариантное семейство непересекающихся строго Ор-ин- вариантных оришаров B6(p')cHn+v, 6 = 6(e), имеющих в G-эквивалентных точках равные радиусы, задающиеся в (4.54). Существование такого семейства следует из следствия 5.44. Тогда область, являющаяся дополнением оболочки Нильсена к этим оришарам:

H0\UB6(p). (5.35)

(здесь объединение берется по всем параболическим неподвижным точкам группы), является инвариантной относительно действия G. Факторизация области (5.35) по группе G и дает, с точностью до некоторого компактного подмногообразия MecMG, компактное многообразие

(MG)[e,„)~|^G\UB6(p)^G.(5.36)

Указанное компактное подмногообразие МЕсМ0 возникает в силу возможного несовпадения параболических 8-окрестностей VP(G, е) параболических точек р с оришарами В6(р) (подробнее см. соотношения (4.23)—(4.25)).

Лемма 3.23 и конструкция псевдо-Дирихле полиэдров (определение 3.25) показывают наличие таких центров у ^ У (G)cBn+1 полиэдров Дирихле Dy(G) и псевдо-Дирихле полиэдров DJ(G), для которых граничные параболические вершины являются попарно не эквивалентными. Положим, с учетом следствия 5.44, P = Dy(G) и P*=^pv ..., рД. Тогда (5.36) перепишется в виде:

(М^с^ГясП (p\Ub6(/7.))1,G. V (5.37)

-,,L \ i=i /J

' Повторяя теперь аргументы доказательства достаточности в теореме 5.24, получаем, что группа G имеет в №+1 конечносторонний фундаментальный полиэдр. Этот факт, вместе с теоремой 5.24 показывают окончательно, что предельное множество A(G) группы G состоит из точек аппроксимации и параболических вершин, т. е. что выполнено свойство ГК4.

Приложения. Мы начнем с нескольких непосредственных следствий из доказанной теоремы конечности (ср. п. 1):

Следствие 5.45. Геометрически конечная группа Gc c|Mob (n), и > 2, обладает следующими свойствами:

G имеет только конечное число классов эквивалентности эллиптических элементов;

G имеет только конечное число орбит параболических неподвижных точек;

длины локсодромических элементов G (переносов в гиперболическом пространстве Hn+l) образуют дискретное подмножество в R;

Q (G)/G состоит из конечного числа компонент.

Следствие 5.46. Соизмеримые дискретные группы Gt, G2cM6b (п), п^2, одновременно являются или нет геометрически конечными.

Следствие 5.47. В геометрически конечной клейновой группе GcMob(n), и^2, имеется нормальная подгруппа G*czG конечного индекса, обладающая следующим свойством:

для любой параболической точки y£Rn группы G со стабилизатором ранга п— 1 существуют е = е(у)>0 и £ = Цу) € S"-1(О, 1) такие, что действие группы G* в оришарах

Bi = В" (у + е^, е), В2 = ВЦу—еЦ е) (5.38) полностью определяется стабилизатором Gy, т. е. для всех f^Gy и g^ G*\G* выполняются соотношения

Т(В,) = ВЬ 8(В^^В1иВг) = 0, 1 = 1, 2.

Замечание 5.48. Из теоремы Бибербаха (теорема 3.8) следует, что каждой точке у из следствия 5.47 в орбифолде Q(G)/G* отвечают два изолированных конца, конечнократные накрытия окрестностей которых конформно эквивалентны проколотому пол- ноторию

^"-r^xlO, <х>) = S1 х • • • X S1 х [0, оо), (5.39) получающемуся факторизацией полупространства {х£/?п: х„^1} по свободной абелевой ранга п—1 дискретной группе Г с Isom /?"-1.

Следствие 5.49. Пусть клейнова группа GcMob(n), п^З, имеет своим предельным множеством X^G) сферу Sk размерности k, l^fe^n — 2. Тогда G геометрически конечна, если и только если выполнено одно из условий:

орбифолд 6 = ^Rn\Sk)lG компактен;

любой конец орбифолда 0 конформно эквивалентен концу некоторого евклидова орбифолда Rn/T, где дискретная группа Г евклидовых изометрий имеет ранг к.

Доказательство (достаточность). Рассмотрим выпуклую оболочку HGczHn+1 предельного множества A(G). Из условий теоремы следует, что На = Нк+1, где d/^+^AfG^S* — 6-мерная сфера. Группа G действует на HG = Hk+1 как дискретная водгруппа группы Isom Hk+1. Таким образом к ее действию на Вк+1 можно применить утверждение 2 следствия 5.40. Для выяс-

нения его взаимосвязи с условиями а) и б), рассмотрим ретракцию р: 6 (G) = [Дп+1\Л(С)]/С -^Qq = H^IG,

задающуюся ретракцией р: Нп+1> Нк^г — HG из (5.7).

В силу того, что к^.п—2, действие группы G на №+l полностью определяется ее действием на множестве разрывности Q(G) = Sn\S*. В частности, в силу непрерывности р, из условия а) компактности орбифолда Q (G)/G = 0 следует компактность минимального выпуклого ретракта 6С, эквивалентная геометрической конечности группы G.

В случае некомпактности орбифолда б некомпактен и орбифолд 6(G). Каждому его концу отвечает предельная точка на границе фундаментального полиэдра Р (G)c:Нп+Х, являющаяся неподвижной точкой параболического элемента группы G. Это следует из того, что концы орбифолда 6 (G) однозначно соответствуют концам минимального выпуклого ретракта 60, которые в нашем случае (k^n — 2) определяются концами орбифолда 6 (им., по условию б), отвечают параболические точки группы G).

Покажем, что все параболические точки у группы G отвечают ее параболическим №+1-пикам, т. е. имеют строго Су-инвариант- ные оришары В^+1сНп+1. В самом деле, стабилизатор GM имеет по условию б) ранг к. Считая у = оо и 8к = Рк, видим, что подпространство Rk, порождаемое векторами переносов стабилизатора G^, совпадает с A(G). Таким образом, выполнено условие теоремы 4.15, доказывающей, что оо есть параболический /?141-пик группы G. Пересечения строго Су-инвариантных оришаров By+1czHn с (&+ 1)-плоскостью Нк+У = НуХ^Х^ являются строго Gy-инвариантными оришарами В^’сН^1.

Из нашего условия б) и вышесказанного о концах орбифолда 6(G) следует, что орбифолд (Нк+1\ и B^^/G, где объединение берется по всем параболическим точкам у группы G, а оришары В^+1 имеют один радиус г > 0, является компактным (наша конструкция обрезала все параболические концы орбифолда 6С, а другие концы по условию отсутствуют). Этот факт и следствие 5.40 доказывают геометрическую конечность группы G.

Для доказательства необходимости условий а) и б) допустим, что орбифолд б некомпактен. Из геометрической конечности G и следствия 5.40 видим, что (k+1)-мерный объем орбифолда бо — = Hk+rlG конечен. Отсюда следует (ср. Биленберг [1]), что всем концам в 60 отвечают параболические вершины y^Sk, стабилизаторы которых имеют ранг/г (так как5* = д№+1 = Л(С)). Таким образом, всем концам орбифолда б отвечают параболические точки со стабилизаторами ранга к, т. е. выполняется условие б). Это заканчивает доказательство следствия 5.49.

Замечание 5.50. Продолжение в R1 с плоскости R1 действия дискретных геометрически бесконечных 2-порожденных

групп Gi и G2 Ёргенсена и Мардена [1] дает примеры применения следствия 5.49. В этих случаях параболическая неподвижная точка у = оо каждой из этих групп Gzc&#4, 1=1, 2, соответствует единственному концу орбифолда 6г = (R^xR^jG;, A (Gy^R2, i = 1, 2, но rank(Gz)oo=l не совпадает с размерностью 2 предельной сферы R2. Следствие 5.49 доказывает геометрическую бесконечность указанных групп.,.■

Инвариантные компоненты .> '.

геометрически конечных групп

В § 2 гл. 3 было показано, что свойства компонент связности множества разрывности Q(G) клейновой группы GcMob(n) при п^З могут сильно отличаться от свойств компонент клейновых групп на плоскости. Это касалось как гомотопических свойств компонент, так и их числа, в том числе, и числа G-инвариантных компонент. В этом параграфе мы покажем, что для геометрически конечных групп GcrMob(n) свойства множества разрывности в основном (ср. пример 5.59) аналогичны соответствующим свойствам клейновых групп на плоскости. А именно имеют место следующие два факта, доказанные А. В. Тетеновым [3, 4]:

Теорема 5.51. Пусть Gс.Mob (п), п ^ 3, — клейнова группа, множество разрывности Q (G) которой содержит две инвариантные стягиваемые компоненты Qo и й4 с компактными Йуб, i = 0, 1. Тогда

6(G) = [№+luQ(G)]/G

компактно, группа G геометрически конечна и Q(G) = Q0U^i-

Теорема 5.52. Пусть GcMdb(n), п^З,— неэлементарная геометрически конечная клейнова группа, имеющая инвариантную стягиваемую компоненту QocQ(G). Тогда имеет место альтернатива:

либо Q (G) = Qo и Q4 и компонента Q4 тоже G-инвариантна;

либо fi(G)\Q0 состоит из бесконечного числа неинвариантных компонент.

Для доказательства этих утверждений нам понадобятся несколько вспомогательных лемм. Так как переход к подгруппе конечного индекса или к нормальной подгруппе не изменяет предельного множества, то везде, если нужно, считаем, что группа не имеет кручения.

Лемма 5.53. Пусть Gcz№b(n)—клейнова группа с инвариантной компонентой ййа£Ц0у Тогда для любой компоненты связности Qz(i^l) множества Q(G)\Q0 и для любой точки ^ £ Rn следующие множества:

Rn\ti„ дй,-, Rn\(Q{-и {A)), dQz\{A},являются связными.•■

Доказательство. В силу G-инвариантности компоненты Qo связны множество Qo U Л (G) = По, а также его объединение с любым числом связных компонент его дополнения в Rn (т. е. множествами Qz). В частности, для i^ 1 связны множества

Rn* 4QZ = Qo U {Q/ j -Ф i}.

Для доказательства связности множества cQz, i^l, рассмотрим любую его открытую окрестность V, каждая связная компонента которой имеет непустое пересечение с dQz. Множества X = QzllV и Y = (Rn\Q,) (J V связны, открыты, в объединении дают все пространство Rn, а в пересечении—окрестность V. Поэтому триада (Z?n; X, У) вырезаема (см. § 5 гл. 1) и для нее имеет место точная (приведенная) последовательность Майера — Вьеториса (1.50), младшие члены которой имеют вид

о = Ят (R^ ^ Н» (V) ^^ Н, (X) е Н» (У) ^н н» (R") =0.

' (5.40)

Здесь 1к„ и jke— гомоморфизмы, индуцированные включениями 1к и jk, к=1, 2, a de— граничный оператор. При этом члены Н^Х) и Я0(У) последовательности (5.40) равны нулю ввиду связности множеств X и У. Это доказывает, что 7/о(У) = 0 и, тем самым, связность окрестности V. Произвольность выбора V доказывает связность границы дЦ-.

Заменив каждое из множеств в предыдущем доказательстве связности 5П, на его пересечение с /?”\{Л}, получаем доказательство связности множества dQz\{A}. А так как дП,\{Л} является границей множества ^”\(fiz и {Л}) в проколотом пространстве /?"\{Л}, то это означает и связность множества /?”\(Й; и {Л}), что заканчивает доказательство леммы 5.53.

Лемма 5.54. Пусть й0 — инвариантная стягиваемая компонента клейновой группы GcMob^n), а р—параболическая вершина группы G ранга к<п. Тогда, если й0 содержит ее область пика Up, то Qo = /?”\{р}, а группа G элементарна.

Доказательство. Сопрягая группу G мёбиусовым отображением h, h^ = oo, и переходя к подгруппе конечного индекса, можно считать, что в R" действует свободная абелева группа G„ евклидовых изометрий (rankG„ = fe < п), оставляющая инвариантными подпространство Rk, его /-окрестность V=Rn\U«) и множество ^0\^ю-

Так как ^0\^„ является сильным деформационным ретрактом стягиваемой компоненты Qo, то ^oXt/» (как и Rn\U„) стягиваемо. Кроме того, Qo\[7„—открытое множество в /?”\СХ

Обозначим

M = (R"\U„')/G„, N^^XU^G,.

Многообразие М является произведением (п —/г)-мерного шара Вп~к на /г-мерный тор Тк,. а его край 5Л4 есть TkxSn-k-1, и этот край (по условиям леммы) лежит в N. -

Так как N и М являются многообразиями типа К (G^, 1), их группы гомологий совпадают. Поэтому, рассматривая точные гомологические последовательности пар (М, дМ) и (М, дМ), получаем (с учетом того, что dMcN), что H*(N, дМ) = Не^М, дМ). Отсюда, в частности, имеем равенство

Hn(N, дМ) — Нп(М, dM) = Z.

Этот факт означает, что многообразие N компактно и совпадает с М. Таким образом, ^6"\U„ = Rn\U„ и Q0 = Rn, что и требовалось доказать.

Замечание. Предложенное доказательство является упрощением доказательства аналогичного утверждения из работ Тетенова [3, лемма 3; 4, лемма 3.2.3], использовавших более громоздкую технику. Это же относится и к доказательству следующей леммы (ср. Тетенов [3, лемма 4; 4, лемма 3.2.4]).

Лемма 5.55. Пусть Йо—инвариантная стягиваемая компонента клейновой группы GcMob (п), а р—ее параболическая вершина ранга п — 1. Если область пика Up вершины р не пересекается с Qo, то Z?"\Q0 несвязно (и, следовательно, все другие компоненты не инвариантны).

Доказательство. Как и в предыдущей лемме, считаем, что р=оо, G^^Z"-1 и для области пика U — U„ обозначим

. M = (,R"xU^G^N = ^lG„.

Имеем также, что подмножество N многообразия М открыто в Д4, имеет пустое пересечение с краем дМ и вложение МсМ является гомотопической эквивалентностью. Так как Hn_l(N) — Z, то в N существует такое компактное подмножество К, для которого индуцированное вложением отображение Hn_v(K) — Hn_v (N) сурьективно.

Докажем, что обе компоненты S1( S2 края дМ многообразия М лежат в разных компонентах связности дополнения Л4\УУ. В противном случае дМ = Si (J S3 содержится в некоторой открытой компоненте связности множества М\К и, поэтому, существует простой путь ус:Л4\/<, соединяющий Sj и S2. Для этого пути у легко показать, что Нп_г (Л4\{у}) = 0. В самом деле, мы Можем вложить многообразие М « Тп-1х [-1, 1] в S" (в виде торового слоя). Его дополнение в S" состоит из двух компонент и поэтому множество (Sn\Af)Uy связно. Этот факт влечет, что //°((5п\М)иу) = 0 и, по теореме двойственности Александера (см., например, Дольд [1, 8.15]), получаем, что Hn_t (М\у) = 0.

Рассмотрим коммутативную диаграмму вложений

Индуцированные этими вложениями отображения в (и—1)-мерных гомологиях также образуют коммутативную диаграмму .

где % — сурьекция, 0—изоморфизм, а ф —нулевое отображение.

Отсюда сразу получаем противоречие, так как фоф(//п_1(/())=0 и в то же время 0°х(^п-1 (КУ = Нп_г (^М) = Z. Это противоречие доказывает несвязность М\Л7 и, тем самым, несвязность множества ^Х^о-

Применение леммы 5.53 доказывает (от противного), что в этом случае все другие компоненты Qf c:Q(G), отличные от Qo, не могут быть инвариантными. Тем самым доказательство леммы завершено.

Доказательство теоремы 5.51. Рассматривая подгруппу конечного индекса, можно считать, что группа G действует свободно в компонентах Qo и Qv Обозначим N^QjG, i = 0, 1, М = [№+1 и Q(G)]/G соответствующие многообразия. Они являются пространствами К (G, 1)-типа, так как л^(У,) и л6 (Д4) тривиальны при k^2, а л,, (Мо) = Л! (Ма = лг (М) = G. Вложения iv: NV-^M, v = 0, 1, индуцируют изоморфизмы гомотопических групп И по теореме Уайтхеда [1] являются гомотопическими эквивалентностями, индуцирующими изоморфизмы групп гомологий многообразий Уо, NT и М.

Рассмотрим многообразие М, полученное склеиванием двух экземпляров (М и М' = М) многообразия М по компонентам Мо и NT его края. Триада (М; М, М') вырезаема (см. § 5 гл. 1) и для нее имеет место точная последовательность Майера — Вьето- риса (1.48), позволяющая вычислить группы Н^Му.

о - я„+1 (М) нп (N.) е нп (ма д

^НДМ^НДМ'^НДМ^...

В этой последовательности d„ — граничный оператор, ЯП(УО) = — Нп (N^ = Нп (А4) = Z, а гомоморфизм /, переводит элемент 0, I)

прямой суммы H^N^H^N^ Z©Z в элемент ((& + Z), —(^ + 0) группы Н^М^^ИДМ'^ Z^Z. При этом ядро Кег/* есть циклическая группа, состоящая из всех элементов группы нп (^о)ф Нп (Л^), имеющих вид (—к, к). Это ядро совпадает с группой Нп+г^М) и поэтому Нп+1(М)= Z, а (п-j- 1)-мерное многообразие М является замкнутым. Отсюда следует, что край дЛ4 многообразия М равен объединению No и Nu а само многообразие М компактно. Этот факт и утверждение ГКЗ теоремы 5.37 сразу показывают геометрическую конечность группы G. Кроме того, из доказанных равенств

Q (G)/G = дМ = No и ^ = (Qo/G) и фг/G)

немедленно получаем, что Q(G) — Q0uOi- Теорема 5.51 доказана.

Доказательство теоремы 5.52. Как мы видели в § 3 и 4, геометрически конечная группа GcMob (п) может иметь на границе dPnZ?” фундаментального полиэдра РсНп+1 в качестве предельных точек только параболические вершины, число которых конечно. Пусть рг, ..., ^ — максимальный набор таких неэквивалентных вершин. Из определения 5.16 параболической вершины р следует, что существует открытое подмножество UpCRV1 (называем областью пика в RT^ со свойствами (см. подробнее в § 3):

Ор строго инвариантно относительно Gpi т. е.

^фр') = 0р и еФР^ир= 0 для 4£Gp, gCG\Gp;

существуют целое к, 1^/г^п (называемое рангом параболической вершины р), элемент /igMob(n), й(р) = оо, и число t > 0 такие, что

- (—"+11

hiJJ^lx^RV1"- 2 x2i>t(,(5.41)

Ii=k+lJ

при k<n множество UpП Rn есть область пика Up в точке р. При этом, как и для оришарсв в параболических Q-пиках— см. предложение 4.19, параметры tj= Цр^ в (5.41), задающие размеры областей 0p. — 0t, можно выбрать так, что для i=£j

Перейдя к подгруппе конечного индекса, видим, что каждой орбите Сф^ в многообразии М — М (G) = [Z?++1 U И (G)]/G соответствует подмногообразие Wt = Oj/Gp., гомеоморфное

B"-»x(0, X^xTS(5.42)

если rankp, = fe< п, и соответственно 7"Х(0, 1), если гапкр, = и. Здесь Tk = S1x • • • xS1—/г-мерный тор. После вырезания из М (G)

всех подмногообразий W ь (=1, ..., т, остается компактное подмногообразие Мс (см. теорему 5.37 и § 1 гл. 7), записывающееся в виде

т

. (5.43). (5.43)44с= 1 (/?^+1UH(G))\U|G((7;) IG.

. (5.43)

. (5.43)

11 Упорядочим точки р;, 1■ ВЛ' • 111 Упорядочим точки р;, 1■ ВЛ' • 1i^ т, так, чтоi^ т, так, чтоrank Gp.= rank р^rank Gp.= rank р^< п — 1 для= п— 1 для— п для< п — 1 для= п— 1 для— п дляi г ii г iг,г,s,s,

11 Упорядочим точки р;, 1

■ ВЛ' • 1

11 Упорядочим точки р;, 1

■ ВЛ' • 1

i^ т, так, что

i^ т, так, что

rank Gp.= rank р^

rank Gp.= rank р^

< п — 1 для

= п— 1 для

— п для

< п — 1 для

= п— 1 для

— п для

i г i

i г i

г,

г,

s,

s,

где r<s</n —целые числа. '

Обозначим через У0 = й0/С компоненту края дМ многообразия 44 = 44(G), а через NOc = Мс П N0 — ее пересечение с краем многообразия (5.43). Как и выше, стягиваемость и G-инвариантность компоненты Qo влечет, что вложение ¥0 —»•■ 44 (G) индуцирует изоморфизм всех гомотопических групп и, в силу теоремы Уайтхеда [1], является гомотопической эквивалентностью.

Дополнение Л4\44с состоит из т компонент связности W, вида (5.42). Замыкания Wг этих компонент в 44 имеют вид T^xfO, l]n-ft‘x(0, 1], где к,- = rank Gp., пересечение W, с подмногообразием Мс имеет вид Tfc'X[0, l]n-fc'x{l}, а его дополнение в dWь т. е. подмножество вида 7^'хд([0, l]"_fe‘) х(0, 1] является пересечением Wг с краем дМ.

Пусть к;<п— 1, т. е. i^r. Тогда №znd44 связны и ^iV\N0= 0. Этот факт является непосредственным, следствием леммы 5.54 и неэлементарности группы G, так как W, П дМ тогда содержится в Уо, когда и, П Rn = UjC.^.

Если к^п, то область пика точки р; в Rn+1, являющаяся объединением двух симметричных относительно Rn экземпляров множества Ub содержится в открытом G-инвариантном стягиваемом множестве

RT1 и По и Rl*1

(его стягиваемость следует из стягиваемости множеств /?^+1 и По, Rl*1 и По и их пересечения й0). Применяя лемму 5.54, в этой ситуации получаем, что

/^+1иПои/^+1 = Яп+1\(р,}

и, следовательно, й0 = Лп\{р/}. Противоречие полученного с условием неэлементарности группы G доказывает, что всегда к, < п.

Наконец, пусть к( = п — 1, т. е. 1> г Тогда множества W, П дМ несвязны и имеют вид Тп-1х{0, 1}х(0, 1) Как и при к{<п—^

лемма 5.54 из неэлементарности группы G выводит, что множества ^, ПдЛ1 не содержатся в N6. Если Wj П No ^ 0, то Wj П (dM\N0) ^ 0 и каждое из мнЪжеств №,-Г)ЛГ0 (считаем / = г +1, ■ • • ,q; q ^s) имеет вид ТП-1Х {0} х(0, 1]. Если Vi^/ П Лг0= = 0 (для i = q+1, . .., s), то пусто и множество Н0П^(-. Это и лемма 5.55 доказывают несвязность Z?n\(Qo U {л})> что, согласно лемме 5.53, означает отсутствие у группы G инвариантных компонент, отличных от Йо. Это соответствует пункту б) теоремы.

Так как каждое из множеств ^,пМс является сильным деформационным ретрактом для Wf, то многообразие Мс также является сильным деформационным ретрактом многообразия М. То же самое верно и для пар (Мс, NOc) и (М, No), и поэтому

Н. <МС, NOc) = Н. (М, N^ = 0.(5.44)

Рассмотрим q— г экземпляров произведения Тпх[0, 1] (если б) не имеет места, то q = m\ где Тп—«заполненный п-мерный тор» ( = п-мерный полнотории), т. е. множество вида

Т" « [0, 1]2хТ"~2 «52(0, 1)хТ""2.

Отождествим подмножество Tn-1x[0, 1] края каждого из таких произведений с одним из мнсжеств WiV\Mc, г + 1 ^1^7. Считаем при этом, что каждое из множеств Tn~f\N6c отождествляется с одним из множеств W, П NOc. Таким образом мы получаем из Мс компактное (« + 1)-мернсе многообразие М, край которого содержит замкнутую компоненту No, получающуюся из «-многообразия Мйс подклеиванием к ее краю q — r экземпляров заполненных «-мерных полноториев Тп.

Каждая из пар

(Т"х[0, 1], f"x{0}), (Т^х^, 1], Т^х^}), (M„7VOC) (5.45)

гомотопически тривиальна. Пара многообразий (М, No) является объединением пары (Мс, УУОс) и пары,

( и (Т"х[0, 1]),., и (7’пХ{0})/),-

пересечение которых есть пара

( и (^-^[О, 1])Л и (Т^хЖ).

\/= I/=1/iiJP:

Рассматривая точную последовательность Л’айера — Вьет^рйСа 0-49) для пары триад,

мы получаем из (5.44) и гомотопической тривиальности пар (5.45), что

Я.(Я^о) = О.(5.46)

Многообразие No замкнуто, и поэтому Hn(j^ = Z. Отсюда и из (5.46) следует, что Hn(M) — Z.~

Рассмотрим теперь точную последовательность пары (44, 544): О - Hn+L (М, дМ) Нп(дМ) -.НДМ)^...

. .. — Н^дМ)-^ Н^М) — Н^М, дМ^Н^дМ^Н^Му

(5.47)

В силу (5.46), в этой последовательности гомоморфизм

Н^дМ) — Н^М) ..'

сурьективен, так как dM^Ne, а Нх (УУ0) = Нг (44). Поэтому-ядро гомоморфизма■

Н^М, дМ)^Н„(дМ)

тривиально и гомоморфизм является вложением. В то же время, Н^дМ^ — Zk, где /г —число связных компонент 544, и поэтому группа НДМ, дМ) не содержит элементов конечного порядка.

В силу компактности многообразия М и теоремы двойственности Пуанкаре (см. Дольд [1, § 7 гл. VIII]), группы //„(44) и Нг^М, дМ) изоморфны. В то же время, из тривиальности группы Н0^М, дМ) и теоремы об универсальных коэффициентах (см. Дольд [1, §4, гл. VI]), имеем Н1 (М, 544) = Нг(М, 544). Отсюда следует, что Нг(М, dM) = Hn(M) = Z.

Из сюрьективности гомоморфизма Н^дМ1) — Но (44) и точности подпоследовательности в (5.47):

Нг (44, 544)— Яо(544) — //„(44)

следует, что Нй^дМ^ = Z<^ Z. Это показывает, что край многообразия 44 состоит из двух связных компонент:

544 = V„uV1.(5.48)

Обозначим через К и L непересекающиеся замкнутые регулярные окрестности компонент Na и Nt края дМ (/г+1)-мерного многообразия 44. В силу того, что окрестности К и L являются евклидовыми окрестностными ретрактами, чеховские когомологии пары (44\K, L) совпадают с обычными. Поэтому —по теореме двойственности Пуанкаре — группы Нк(М\К, L) и Hn+1_k(M\L, К) изоморфны (см. Дольд [1, гл. VIII]).

С другой стороны, пары (М\7<, L) и (M\L, К) гомотопически эквивалентны парам (Л4, N^ и (М, N^ соответственно. Поэтому группы НЦМ, Л/'1) и Нп+1_к^М, No) изоморфны при любом к и, следовательно,

НДМ, ^) = 0.(5.49)

Это означает, что вложение N^M является гомотопической эквивалентностью.

Допустим теперь, что утверждение б) теоремы не выполняется. Тогда каждое из подмногообразий W, в М, i = г V ^, . .. ..., т, пересекается с компонентой N„ по следующему подмножеству своего края:

T’-'x^xfO, i] = rzn^0, а подмножество

{1} Х(0, 1]

является пересечением W, с одной из остальных компонент М,- края дМ. Покажем, что имеется только одна такая компонента. В самом деле, при t = l, .. ., г множества И7,Г)дМ и д№, связны и поэтому при удалении подмногообразия W£ из М число связных компонент края дМ не изменяется. Не меняется число связных компонент края и при замене подмногообразий Wb i = = r+l, • ••, in, на подмногообразия 7’"х[0, 1]. Поэтому число компонент края дМ равно числу компонент края дМ, и наше утверждение о числе компонент N, следует из (5.48).

Рассмотрим компоненту NT края дМ многообразия М. Ее сильным деформационным ретрактом является многообразие Л4спЛ^. При этом каждая петля в многообразии Мг гомотопна в Nt некоторой петле многообразия McnNi. Отсюда следует, что вложение ^ —=■ М индуцирует эпиморфизм групп л, (N^ —-л^М). Это показывает (см. лемму 7.13), что прообраз компоненты N1 = dM\N6 при естественной проекции Q(G) —> дМ есть связная компонента Q1=Q(G)\Q„, очевидно являющаяся инвариантной относительно группы G. Это доказывает выполнение утверждения а) и завершает доказательство теоремы 5.42.

В размерности п = 3 полученные результаты можно уточнить: Следствие 5.56. Пусть СсМбЬ(З) — клейнова группа, множество разрывности Q (G) которой содержит две инвариантные односвязные компоненты йп и Й^ и пусть Ni = Qt/G, t = 0, 1, компактны. Тогда

VH^^tG^iG

компактно, группа G геометрически конечна и й(О) = йоий1.

Доказательство. Оно немедленно получится из теоремы 5.51, если мы докажем стягиваемость компонент Qo и ^. Этот факт является следствием следующего утверждения.

Лемма 5.57. Пусть клейнова группа СсМбЫЗ) имеет инвариантную компоненту QocQ(G). Тогда для любой другой связной компоненты Q,c:(Q (G)\Q0) имеют место равенства

Н^ (й,) = 0, л2 (й,) = 0.

Доказательство. Первое равенство непосредственно следует из теоремы двойственности Александера (см., например, Дольд [1, 8.15]), по которой Я°(/?3\Й,) = Я2(Й,). Необходимое для этого равенство Я° (/?’\й;) = 0, т. е. связность множества /?3\й,-, получается из леммы 5.53.

В случае нетривиальности группы л, (й,) по теореме о сфере (теорема 7.10) существовала бы вложенная в й, двумерная сфера S, не стягиваемая в й,-. Такая сфера разбивает Z?3 на два шара, один из которых содержит множество /?3\Й,-, а по другому S стягивается в точку. Это противоречие заканчивает доказательства леммы 5.57 и следствия 5.56.

Применением леммы 5.57 из теоремы 5.52 получаем

Следствие 5.58. Пусть G — геометрически конечная группа в R?, обладающая инвариантной односвязной компонентой й0. Тогда имеет место одна из следующих возможностей:

Й(С) = Й0;

й(С) = йоий1, компонента й0 стягиваема, а компонента Qj инвариантна относительно G и асферична в размерности 2 (л2 (Й^ = 0);

множество й (С)\Й0 состоит из бесконечного числа неинвариантных асферичных в размерности 2 компонент связности.

Заметим, что условие односвязности в следствии 5.58 является существенным. Это показывает строящийся ниже пример геометрически конечной клейновой группы G в пространстве Z?3, имеющей две инвариантные (неодносвязные) компоненты и бесконечное число неинвариантных компонент (Тетенов [3]).

Пример 5.59. Для построения группы GcX с указанными свойствами нам достаточно указать конечную систему 2 сфер о, в R3 такую, что для любых а^а, либо into,n into7 = 0, либо о,- и Оу пересекаются под углом л)т, m^Z, а множество

FS = Z?3\ U into,-ае 2FS = Z?3\ U into,-ае 2(5.50)

FS = Z?3\ U into,-ае 2

FS = Z?3\ U into,-ае 2

состоит из трех компонент Fo, FT, F2, с последними двумя из которых граничит (по открытому множеству) любая сфера ogS. Тогда группа G = Gx, состоящая из композиций четного числа отражений относительно сфер 0^2, будет искомой. Ее разрыв-

яость следует из следствия 3.30, примененного к продолжению действия G в H^^RX, где Ga:Isom Я4 (ср. пример 3.18). Указанное свойство компонент множества разрывности — инвариантность компонент

Q1 = intG(FaJ^W), Q2 = intG(F2U^ ^^ (5.51) и неинвариантность (бесконечного числа) компонент их дополнения

Й (G)\(Qt и Й2) = int G (F„ и Зг (F„)), (5.52)

следует из леммы 3.16 и из существования сфер ogS, непере- секающихся с Fo. (Здесь Зг — отражение относительно с^.)

Образуем систему S из следующих девяти сфер в R3: аг =

= {x£Z?3: х2 = 0}, o2 = ^x£R3: хгсфера о4 имеет радиус 3 и центр в= {x£Z?3: х2 = 0}, o2 = ^x£R3: хгсфера о4 имеет радиус 3 и центр всферы о6, сг„ и о7 имеют радиус Кб/3 и центры соответственно в точках (1, 0, 0), (3, 0, 0) и (2, 1,0); сферы о8 и а9 имеют радиус К3/3 и центры соответственно в точках (2, 0, 0) и( 1, 1, V2/3).

= {x£Z?3: х2 = 0}, o2 = ^x£R3: хгсфера о4 имеет радиус 3 и центр в

= {x£Z?3: х2 = 0}, o2 = ^x£R3: хгсфера о4 имеет радиус 3 и центр в

При этом в качестве int Qt мы берем те компоненты множества /?3\о,-, которые не содержат точку Л, = (1, 1/2, 10). Поэтому в (5.50) множество Fs состоит из компоненты Fn содержащей точку Л,; компоненты Fo, содержащей точку Ло = (1, 1/2,—10), и компоненты F2, содержащей

= х2}, o3 = ^xGR3: Xt + х2 = 3};точке (о, 0, — VКб + 26/3);= х2}, o3 = ^xGR3: Xt + х2 = 3};точке (о, 0, — VКб + 26/3);точку Л2 = (3/2, 1/2, —1/2). Прямой подсчет показывает, что двугранные углы сферических полиэдров Fy равны л/2, л/3, л/4 или л/6. Кроме того, все сферы о,- £ 5 пересекаются с F] и F, по некоторым дискам, a Fo не пере

= х2}, o3 = ^xGR3: Xt + х2 = 3};точке (о, 0, — VКб + 26/3);

= х2}, o3 = ^xGR3: Xt + х2 = 3};точке (о, 0, — VКб + 26/3);

секается со сферами о,- для> Рис. 29

= 5, .... 9. На рис. 29 пока

гдегдеплоскостиплоскостизан вид получающихся сферических полиэдров F,-,

где

где

плоскости

плоскости

°1, о2, о3 считаем прозрачными, а их пересечения с into,, i^4, заштрихованы. Из наших построений следует, что компоненты

Qj и Й2 из (5.51) являются G-инвариантными, а неинвариант^е компоненты (5.52) образуют G-орбиту полупространства •

^о = {х € R3 х3 < - "/Уб + 26/3} = int G„ (F0U^ (Fo)).

Его стабилизатор GocG есть фуксова группа первого рода в R3, порожденная четным числом отражений в гранях полиэдра Fo, т. е. отражений относительно аъ о2, а3 и о4.

Неодносвязность инвариантных компонент й4 и Q2 может быть показана непосредственно —без применения следствия 5.58. А именно пусть асFT — криволинейный отрезок, соединяющий точки At и А2, лежащие в int(/-1no4) и int(F1ncr3) соответственно, и пусть bcF2 —криволинейный отрезок, соединяющий точки Вг и S2, лежащие в int(F2no1) и int(F2no2) соответственно (см. рис. 29). Замкнутые кривые а и 0, состоящие из объединения когечного числа образов отрезков а и b при отражениях в гранях Fj, содержащих их концы, очевидно зацеплены в R3. При этом ас!?! и 0с П2 и, следовательно, эти кривые не стягиваемы в П,-. Рассматривая образы кривых а и 0 относительно принадлежащих группе G переносов g,n,

gm: (х4, х2, х3) = х^-(х1 4-3/n, х2 —3m, x3), получаем бесконечное число поочередно зацепленных петель, содержащихся в различных компонентах Q4 и Q2 множества Q(G). Отсюда следует, что rankл4(Q,) = оо, i=l, 2.

Полученные выше свойства компонент связности множества разрывности 0(G) геометрически конечной клейновой группы GcMob(n), п^З, имеют топологический характер. Можно их характеризовать и с метрической точки зрения, а именно, можно доказать следующее утверждение (Тукия [6]), показывающее, что при некоторых условиях эти компоненты не могут быть слишком тонкими по сравнению с их евклидовым диаметром (= diamj.

Теорема 5.60. Пусть Qo с fi (G) — инвариантная компонента геометрически конечной клейновой группы GcN\oVj^, п^Ъ, не содержащей параболических подгрупп ранга п. Пусть, кроме того, Qo содержит компоненту связности области пика Uu любой параболической вершины у группыв. Тогда существует постояннаяС >0 такая, что для любого h € Mob (п) и для любого шара В = Вп (х, t) с центром в точке хр h (й0) П Rn и радиусом t, t ^diam,/i(Q0)/2, существует шар В'с5 Г1А (й0) такой, что С diam^S ^ diame В'.

Доказательство этого утверждения основывается на методе компактности, использованном ранее в § 3 при исследовании хаусдорфовой размерности предельного множества Л(6). Следует отметить, что условие теоремы об отсутствии в группе G пара-

болических подгрупп ранга п существенно. Это показывает пример группы О = 6о*Г, где Г — группа, порождаемая переносами Xi—»хА~еь i=l, . .., п, a G„ — клейновая группа, дополнение к фундаментальному полиэдру которой содержится в единичном кубе Q= ^х£ Rn: |х,|<1/2, 1 = 1, ..., п}. Существенность второго условия теоремы видна из следующего построения, основанного на рассмотрении граничной группы пространства деформаций фуксовой группы в Rn (ср. Ананасов [И, 12]).

Пример 5.61. Пусть снова Q — единичный куб в R3. Из его вершин опишем сферы Sz, l^i^S, радиуса Кз/З. В качестве четырех других сфер Sh 9 ^i </12, возьмем непересекающиеся друг с другом и со сферами

S13 = (x€/?3: хг = —1/2}, Su = {xg/?3: Xt = 1/2}

сферы радиуса (1 —К3/3)/2 с центрами (0, ±1/2, 0) и (0, 0, ±1/2). Сферы S;, S;- полученного семейства 2 = {Sz, 1С/^14} пересекаются друг с другом (кроме (i, /) = (13, 14)) под углами л/3 и л/2; сферы S13 и Su касаются в оо.

Группа G = Gxc:Mob(3), состоящая из суперпозиций отражений 3; относительно сфер S,- семейства 2, является клейновой группой и имеет две инвариантные компоненты

^o=U{^(Fo): ^€G}, Qi-Uteffi): g€G},

где FoaQ и Ег— компоненты фундаментального множества’ '■ ^о U Г1 = Аг = f|{extSz-: i=l, ..., 14}, OgextS,-. ■

Стабилизатор G„ параболической вершины оо порождается сдвигом Т на вектор 2ех. При этом область ^x^R3: Хз + ^з>4} является областью пика U„, а ее дополнение содержит «слишком тонкую» компоненту Йо, G (Qo) = По:

{х^/?3: ^ + х;<1)с8||с{х(^3: х|±х|<4},

Для которой утверждение, аналогичное теореме 5.60, не выполняется.

Можно показать, что построенная группа G лежит на границе пространства деформаций некоторой ко-компактной фуксовой группы GjcMob^), аналогичной группе Сг из примера 3.18, а элемент Т является случайным параболическим элементом (т. е. при изоморфизме G^-^Gy соответствует локсодромическому элементу в G^.

Группы, имеющие аналогичные свойства, будут подробнее Рассмотрены в § 5 гл. 9.

Геометрия границы оболочки Нильсена ! !>i 'v-

В § 2 была введена выпуклая оболочка Нильсена HG(zHn+1 предельного множества A(G) дискретной группы GaMob(n), дающая эффективный аппарат исследования дискретных групп и гиперболических многообразий. Здесь мы изучим некоторые свойства ее границы Н* — дцп + хН0 (для п = 2 —ср. Тёрстон [1, § 8.5]), обнаружив в размерности п^З новые эффекты. При этом мы будем предполагать, что предельное множество A(G)c: с Rn клейновой группы GcM6b(n) не лежит ни на какой (п — 1)- мерной сфере Sn-y. Это предположение не ограничивает общности, так как в случае, когда A (G) лежит на /г-мерной сфере Skc.Rn минимальной размерности —1, группу G можно рассматривать как подгруппу Mob (/г), уже удовлетворяющую нашему предположению. .

При указанном предположении имеем, что int//G#=0, а граница Н* = днп+хН0 представляет собой (как граница выпуклого тела) n-мерное многообразие в Hnvl, на котором можно ввести метрику d*, индуцированную гиперболической метрикой d. А именно, для любых двух точек х, у из одной компоненты связности Н* расстояние dt (х, у) определяется как нижняя грань гиперболических длин спрямляемых кривых на Н*, соединяющих точки х и у.

Замечание 5.63. Множество спрямляемых кривых в Н*, соединяющих точки х и у, не пусто (см. Эпстейн, Марден [1]). В самом деле, пусть у0 € int HG. Тогда //n\//G гомеоморфно произведению Д*х(0, оо), где первая координата отвечает точке пересечения луча из точки уа с границей Н*, а вторая координата равна расстоянию вдоль луча до Н*. Пусть С —компонента границы Н*, содержащая точки х и у. Тогда соответствующая компонента Н"\Н0 гомеоморфна Сх(0, оо) и, очевидно, что любые ее точки соединяются спрямляемой кривой. Для соединения х и у спрямляемой кривой в Н* мы немного столкнем эти точки вдоль лучей из точки у, в точки х и у' из Сх(0, оо). При ретракции р: Нп Но спрямляемые кривые, соединяющие точки х' и у', перейдут в спрямляемые кривые на границе Н*. Последнее свойство ретракции обусловлено тем, что она не увеличивает расстояния:

d(p(x), P(.V)X^U, У) . . v Л

для любых X, у£Нп. ~ ' ;

Для доказательства этого метрического свойства ретракции р обозначим через L прямую, проходящую через точки р (х) и р (у), (предполагаем их различными), ориентированную от р(х)к р(у), и пусть А— гиперболический отрезок на L, соединяющий эти точки и лежащий в Но в силу ее выпуклости. Обозначим через

л: Нп —>- L ортогональную проекцию на прямую L. Тогда j > л (х) р (х) < р (z/X л (у),

так как р(х) есть ближайшая к х точка' Но и, следовательно, ближайшая к х точка из А; аналогично для р(у). После этого доказательство завершает свойство неувеличения расстояний при проекции л.

Специальные шаровые покрытия. Наше изучение будет основываться на выделении некоторого специального шарового покрытия 53(G) множества разрывности Q(G) группы GcM6b(n), п ^ 2 (см. Апапасов [29,30]).

Определение 5.62. Максимальным шаром во множестве разрывности Q(G), GcMob(n), называем n-мерный шар BcQ(G), граничная сфера которого не имеет сферы меньшей размерности, содержащей все предельные точки А(6)ПдВ. Семейство максимальных шаров обозначаем 53 (G).

Существование максимальных шаров, т. е. нетривиальность семейства 53 (G), не является очевидным фактом. Это показывает пример эллипса на плоскости (или эллипсоида в пространстве): любой вписанный в него круг касается эллипса лишь в двух точках. Так как бесконечно порожденная клейнова группа Gc сМбЬ(п), п^2, может иметь внутренность эллипсоида (эллипса—при п = ^ компонентой множества разрывности, то из этого примера следует возможность тривиальности 59(G) в случае бесконечно порожденной группы G.

Наиболее простая ситуация складывается в размерности п = 2, где имеет место

Теорема 5.64. Пусть G с Mob (2) —конечно порожденная клейнова группа, предельное множество которой не лежит на окружности. Тогда Й (G) покрывается максимальными кругами из семейства 53 (G), конечного по модулю действия группы G.

Доказательство. Так как переход к подгруппе конечного индекса не изменяет предельного множества, то можно считать, что группа G<=c^2 не имеет кручения (теорема 1.5). В этом случае G действует свободно на поверхности Н* и, по теореме 5.34 конечности Альфорса, H*]G состоит из конечного числа поверхностей конечного типа. Иными словами, гиперболическая площадь Area H*]G ограничена.

Известно, что n-мерная выпуклая оболочка какого-либо множества X в Rn ограничена (п — 1)-мерной поверхностью, состоящей из (п—1)-мерных полиэдров с вершинами в крайних точках множества X. Переходя к проективной модели гиперболического пространства в шаре (см. § 3 гл. 1), мы видим, что крайними точками оболочки Нильсена являются предельные точки группы и, поэтому, граница Н*с:Н3 состоит из многоугольников, лежащих на опорных к Но плоскостях в Н3 и ограниченных непере- секающимися полными геодезическими с концами в A(G). В даль-

нейшем геодезические у = (х, у^н^Н*, х, у^А^, не лежащие внутри плоских кусков границы Н*, будем называть изламывающими геодезическими.

Множеству изламывающих геодезических на Н*, очевидно замкнутому, соответствует геодезическая ламинация L (определение 7.51) на H*/G, состоящая из объединения замкнутых или бесконечных геодезических. Рассматривая для каждой компоненты (H*/G)\L ее дубль (полную гиперболическую поверхность), имеем (см. Тёрстон [1, § 8.5]), что эйлерова характеристика X(H*/G) равна половине эйлеровой характеристики дубля для (H*/G)\L. Отсюда и из формулы Гаусса — Бонне следует, что Area (H*/G\L) = Area H*/G и, поэтому, ламинация L имеет нулевую меру. Этот факт показывает, что H*/G\L состоит из вполне геодезических областей Dh ограниченных либо замкнутыми, либо бесконечными геодезическими и имеющих поэтому площадь ^л (= площадь бесконечного гиперболического треугольника). Отсюда и из ограниченности Area H*[G < оо получаем конечность числа областей D,. Каждой из них отвечает G-орбита непересе- кающихся вполне геодезических максимальных подобластей на Н*, образующая множество л-1 (D,), где л: Н*- - H*/G — естественная проекция. Пусть £>,<=://* —одна из этих областей, лежащая на некоторой опорной плоскости //,- оболочки Но. Так как D; ограничена по крайней мере тремя различными полными геодезическими, то ее абсолют содержит по крайней мере три различные точки из dHj^A^G). Таким образом, областям DjCzH* отвечают максимальные круги В^93^\ среди которых лишь конечное число неэквивалентных — в силу конечности числа компонент Di<z(H*/G)\L.

Пусть теперь zgQ(G). Тогда для некоторого t имеем л op (z) С D, в силу того, что Area L = 0. Если при этом л о р (z) С ^intDz, то р (z) С int £>,- для некоторой Д ел"1 (О,) и, в силу гомеоморфности отображения Р—1 |int£> , точка г лежит внутри максимального круга В^ЗЗ^О): дВ^дН,, D^H;.

Если лор(г)€дО,, то р (г) лежит на некоторой изламывающей геодезической у = (х, у)н^В* и возможны два случая: либо у есть общая граничная геодезическая двух областей D,, DjC. с^Н*, clD^nclD^y, либо у есть предел некоторой орбиты gm^Dj), D^H*, gm^G.

В первом случае, если точка г не лежит внутри одного из максимальных кругов Вн Bj 5 59 (G), определяемых областями Di и D., то г есть общая граничная точка кругов В; и В,. Так как х, у £дВ, П dBf, то это дает включение k(G)(zdBi = dBj, невозможное по условию теоремы.

Во втором (предельном) случае имеем альтернативу: либо

существует Ь,с.Н* такая, что ус: <?£>,•, либо существуют О,, Dj-c: сН* такие, что их орбиты ё,пф^ и gk(Dj) сходятся кус разных сторон. Заменяя D, и D, соответствующими кругами Biy В,^®ф), имеем, что либо г^В/, либо существуют изламывающие геодезические у, = (х;, y^H^dDi, -^ = ф, у^н^дб, такие, что х= lira g„Ax^ = Нт g^x-) и t/= lim gm(y:) = lim g^y^.

m coк com coк oo

Но тогда либо z лежит в gmA^t) или в ёк»ФФ либо В* = = lim gm(Bi)cQ(G'), lim gk (Bj) = В-cQ (G), В* Г) B] = 0 и z^ m ->• coк -* co

^дВ* = дВ-. Так как в последнем случае A^cS1, тоон противоречит условию теоремы. Это завершает доказательство теоремы.

В размерности п^З усложнение ситуации связано, во-первых, с отсутствием пространственного аналога теоремы конечности Альфорса. Это заставляет нас ограничиться случаем геометрически конечных групп.

Другая трудность связана с наличием у элементов g^G ортогональных составляющих бесконечного порядка. А именно пусть оо — параболическая вершина группы G, стабилизатор которой G^, /г = rank Gro ^ п — 2, имеет элемент g, g(x) = U (х) + а, где поворот U £ О (и) имеет бесконечный порядок и U(a) = a. Тогда G^-орбита любого полупространства B„cQ(G), имеющего на граничной плоскости точки из A (G), образует область

W^G^B^x^R”: хи+.-.^п>ф(5.53)

где t — евклидово расстояние плоскости дВ^ до подпространства R\ базисом которого служат векторы переносов из G„.

Область Wroc:ti^G) мы называем максимальной цилиндрической областью параболической вершины оо. Это название объясняется тем, что в силу иррациональности поворота U, граничный цилиндр dW ^ «плотно» (в смысле направлений) покрыт предельными точками группы G, и, поэтому, каждое полупространство BclW^, дВ П 9W „^ 0» не может лежать в 59(G). Отметим тот важный факт, что область ТГ^ содержит область пика ию, на которой ретракция р является гомеоморфизмом. Это свойство позволит нам в дальнейшем работать с цилиндр-областями как с максимальными шарами.

Другой тип максимальных гладких областей дают максимальные конические области С(х, у), х, y^A(G), получающиеся в результате иррационального вращения U некоторого шара (полупространства при х= оо или z/=oo) BcQ (G), дВ П A (G)\{x, у^ф0у вокруг /г-мерной сферы, kt^n — 2, содержащей точки х и у. Поворот U может быть либо ортогональной составляющей локсодромического элемента g^G, fixg = {x, z/}, либо быть предельным Для ортогональных составляющих некоторой последовательности

элементов {^„{cG, для которой х и у являются отталкивающей

и притягивающей точками.

Пример 5.65. Максимальная коническая область С (0, оо) возникает в случае клейновой группы G = G0* <Н>, где Go с:

сМбЬ (3) и h С Mob (3) имеют следующие свойства:

отображение h есть гомотетия, h(x) = rU (х), где г>\, а поворот U вокруг оси R-e3 имеет бесконечный порядок;

фуксова группа Go действует в круге В2 (О, 1) на плоскости R2 = (х £ R3'. х3 = = /}, где t>0 таково, что все изометрические сферы / (g) элементов g £ Go лежат

внутри некоторого фундаментального для <h> сферического слоя Fh (рис. 30).

Тогда максимальная коническая область С (0, оо) такова, что

' 5С(0, оо) = {х£Я3: <2(^ + ^) = roXi, х3>0}, (5.54) где r§ = sup {х? + х|: х = (х1( х2, /) = g(oo), g^ G0\l}, а угол раствора конуса (5.54) равен a0 = arctgy-.

Заметим, что построенная здесь клейнова группа имеет связное множество разрывности. Однако существуют и квазифуксовы группы в пространстве, имеющие в множестве разрывности максимальные конические области. Такие группы будут построены в п. 6 § 3 гл. 9 (см. пример 9.50).

Мы отсылаем читателя к работе Апанасова [30], где он может найти довольно подробный подход к индуктивному доказательству следующего утверждения:

Теорема 5.66. Пусть Gc Mob (и), п^2, — геометрически конечная клейнова группа, предельное множество которой не лежит на (п — V)-мерной сфере. Тогда дополнение во множестве разрывности Q (G) к максимальным цилиндрическим и коническим максимальным областям покрывается максимальными шарами В £ 33(G).

Отметим еще, что использованный подход в указанном доказательстве теоремы 5.66 (в дальнейшем изложении мы не будем ее использовать) основывался на довольно громоздкой технике (очевидно, требующей усовершенствования) вариации немаксимальных шаров во множестве разрывности группы.

Замечание 5.67. Покрытие 33(G) инвариантно относительно группы G, так как для любого В 5 53 (G) и для g£G шар g (В) имеет на своей граничной сфере предельные точки ^(Л (G) П

ПдВ). Это же относится н к семействам максимальных цилиндрических и конических областей в Q(0.

Изламывающие геодезические и плоские части границы.

Лемма 5.68. Пусть GcMob(n)— конечно порожденная при п = 2 и геометрически конечная при и ^ 3 клейнова группа, чье предельное множество не лежит на (n—1)-мерной сфере. Тогда ■ в каждом максимальном шаре В; £33(0), существует область B't : (выпуклая в гиперболической геометрии Пуанкаре шара В;) такая, что В( П Bj = 0 для i^] и

JQ'=U{B;: Bz€^(G)}cQ(G)(5.55)

\*есть открытое множество биективности ретракции р во • множестве и {В, : Bi^S(G^\, при этом р|о—конформный ^гомеоморфизм.

’ Замечание 5.69. В максимальных цилиндрических и ко- ^нических областях W (у) и С(х, у) также можно определить v области биективности W'(у) и С'(х, у) ретракции р—со- е5вершенно аналогично случаю максимальных шаров, который ^будет сейчас рассмотрен. А именно, W'(y) и С'(х, у) есть [минимальные «выпуклые» оболочки предельных множеств гд№ (у) П A (G) и дС^х, г/) П A (G), где выпуклость понимается в том [смысле, что геодезические плоскости в шаре В £ 53(G) заменяются 1на сферы в W (у) и С(х, у), ортогональные образующим цилин- |дров и конусов.

I Доказательство леммы 5.68. Пусть Во С Й (G) — любой ■максимальный шар из Q(G). Если Во совпадает с компонентой |связности Q(G), то сужение р|До есть ограничение на n-шар Во ■поворота в Rn+1 вокруг (и—1)-мерной сферы дВ0 на угол л/2. |Поэтому р конформно отображает Во на n-мерную гиперболиче- |скую плоскость НоаНп+1 (полусферу в R^1), являющуюся компонентой связности в Н* = днп+>Нс. Ясно, что в этом случае В о = Во.

< Пусть теперь Во не совпадает ни с какой компонентой связности (в Q(G). Считая, что в Во введена метрика Пуанкаре, рассмотрим в Во выпуклую (гиперболическую) оболочку множества дВ0 f) A (G) и определим B»tzBa как внутренность этой выпуклой оболочки, |непустота которой есть прямое следствие определения 5.62 мак- усимального шара.

₽ Опишем В' более конструктивным образом. Пусть В), j£J= \~J (В0), суть все шары из ®(G)\B0 или шары из максимальных Щилиндр- или конус-областей, пересекающие шар Во. Для каждого j ^J рассмотрим (и — 1 )-мерные сферы s, и а, = ст0/, пересекающие S0 = dBa по (п — 2)-сфере 30Г|дВ,. Здесь s, ортогональна So, а %■ делит двугранный угол В„ П В; пополам (называем s, плоскостью В Во, а аоу биссектрисной сферой). Для s, и ст0/ определим в Ва ^Их extSy и exto0y как те из компонент B0\Sy и В0\о0у, которые

(5.56)(5.56)содержат В». Тогда, так как («—1)-мерные шары В, П So, j^J, покрывают Q(G)nS0, получаем

(5.56)

(5.56)

Во= Г) extSjcBo = Q exta0/./ e ji s j

Из G-инвариантности семейства 53(G) (см. замечание 5.67) и из (5.56) следует, что для различных шаров Вь В^£ 33(G) всегда в;пв; = 0, в<пв;=0.(5.5?)

Этот факт сразу дает свойство строгой инвариантности областей В’; и В, относительно стабилизатора G,-шара B(g 53(G) в группе G (который может быть и тривиальным), т. е. для всех h^G; и g € G\GZ имеем

h^ = B-i, h^-B;-, g(B;.)nB: = g(B'anB;: = 0, (5.58)

Это свойство и то, что на областях B-c:B/5S(G) ретракция р есть сужение поворотов в Rn^x вокруг (п — 1)-мерных сфер дВ{ на угол л/2, доказывают, что р |q' является конформным гомеоморфизмом. В то же время, для всех / С 7 таких, что сфера дВ, Г) дВ0 не имеет сферы меньшей размерности, содержащей A(G) f) dBs П дВ0, замкнутая область B6j, ограниченная в шарах Во и В, соответственно гиперболическими ПЛОСКОСТЯМИ 8,- и s0 (рис. 31), сжимается ретракцией р до (« — 1 )-мерной плоскости Но П Н,сНп+1, где «-плоскости Но и Н; имеют своими аб

солютами сферы дВд и дВ,. А именно для любой окружности б, ортогональной одновременно «плоскостям» s0, s, и сферам дВ0, дВ;, aof (см. рис. 31),■■-.

р(6ПВ0,) = р(бПо0/)- ,•(5-59)

Это завершает доказательство леммы.■

Лемма 5.70. Пусть Во£ 33(G)— максимальный шар конечно порожденной (при « = 2) или геометрически конечной (при « ^ 3) клейновой группы GcMob(п). Тогда его стабилизатор GocG либо тривиален, либо геометрически конечен.

Доказательство. В силу строгой С0-инвариантности области BgdBg, орбите G(B'g) отвечает связное подмногообразие Мо= =- G (B„)/Gc:Q (G)/G (считаем, что G не имеет кручения), которое переходит при ретракции M(G) —* Mg в связное вполне геодезическое подмногообразие М*о = G(p (B^/GcH^G ограниченного «-мерного гиперболического объема. При «= 2 это следует из

теоремы конечности Альфорса (теорема 5.34 —ср. теорему 5.63), а при п^З —из условия геометрической конечности группы G (теорема 5.37). Отсюда получаем ограниченность vol UE (М») < оо, где UE (MJ) с Hn*xlG — е-окрестность М*о. В то же время A(Go)сдВ0 л A(G) и, поэтому, Ясос:р(Во). Этот факт влечет неравенства

vol IMHgJG0) < vol UE W) < ОО,

дающие (вместе с теоремой 5.37) геометрическую конечность группы Go.

Следствие 5.71. В условиях леммы 5.70 фундаментальный псевдо-Дирихле полиэдр РпсВ'о стабилизатора Go максимального шара Во С .3 (G) в области Во имеет конечный гиперболический объем. В частности, при G0 = {id} volBd<oo.

рДля конечно порожденной клейновой группы GcMdb(2) из теоремы 5.63 и леммы 5.68 видим, что Н* = днНос:Н3 есть замыкание объединения гиперболических многоугольников g(clH рф-)), g^G, граничащих друг с другом по изламывающим геодезическим у, = (х, у)н, где х, у дВ; П A (G) таковы, что геодезическая у? в круге В; с концами х и у лежит на дВ\ ^здесъ Вг, .. ., Вт образуют фундаментальное множество для действия G на $ (G)).

Аналогичную ситуацию в размерности и ^ 3 описывает следующее утверждение, в котором под простой изламывающей геодезической поверхности Н* = днНвс:Нп + 1 понимается геодезическая ^ = (х, у^н^Н*, где х, у ^дВ,Л A(G) таковы, что геодезическая у° = (х, у) в максимальном шаре В; лежит на границе области биективности В-, не принадлежит при этом внутренности никакой ее /г-мерной, к ^2, вполне геодезической подобласти, и р(у°) = у (т. е. у0 лежит на границе некоторой 2-грани в дВ'Д

Лемма 5.72. Пусть клейнова группа GcMdb(n) такова, что;

A(G) не лежит на (и—1)-мерной сфере;

при п = 2 G конечно порождена;

при п^З G геометрически конечна и 0(G) покрывается семейством .59(G) максимальных шаров.

Тогда существует конечное семейство 93/ = (Bi, . • •, Bm}c$ (G) такое, что;

G ( U В;) = Q (G) и G ф\) Л G ф)) = 0 для t #= /, 1 О', / < т.

\i= I У

Для любой компоненты Qo с Q (G) (mod G) существует подсемейство ®ос.93/ соседних друг другу шаров В^®ф), для которых полиэдры о ф’рскр ффс н* граничат друг с другом по общим граням некоторого конечного подмножества их невырожденных полиэдральных углов Й7Ъ ..., W к.

Углы W/ при п = 2 имеют угол раствора л, а при и^З 1с случае отличия W, от полупространств) имеют комбинаторный

Б. М. Аланисов

тип угла \- «щ.. г. ’ г ад»д1';

П/ = {(/%, х„)£Rn~1xR: х„>0, t > 0, x^QA, (5.60) где Qj — выпуклый ограниченный евклидов полиэдр, лежащий на {п — ^-мерной плоскости в Rn-1, не содержащей 0; при этом ребру {(0, xn^Rn-1xR\сП/ отвечает геодезическое ребро угла Wj, являющееся изламывающей геодезической у = (х, у^н — Н*.

Каждой простой изламывающей геодезической у = (х, у^н^Н* {G-эквивалентной ребру некоторого угла W ^ отвечает такое конечное подмножество S3 {у) максимальных шаров, что сферический полиэдральный угол '

В(Т) = П{5: В^®{^ (5.61) имеет своей центральной осью дугу у' окружности, проходящей через точки х и у, р(у') = у.

Доказательство. Так как случай и = 2 уже рассмотрен выше, будем считать, что п^З и выполнено условие 3) леммы. Пусть Рп+1сЯп+1 и Q (G) — фундаментальный конечносторонний полиэдр группы G, не имеющих на дРп+1 эквивалентных параболических точек (полиэдр Дирихле, или псевдо-Дирихле — см. § 4 гл. 3 и лемму 3.21). Пусть рг, .. ., рт — все имеющиеся на дРп+х параболические точки группы G и й^Нп+х и Q(G) — строго Gp- инвариантные области пиков этих точек. Тогда полиэдр

P"+i = P"+i\U UicHn+1uti{G>) (5.62)

является компактом (теорема 5.37), как и полиэдр Р" = P?+1 А & (G).

Так как ретракция р в областях U( = 0( А Н (G) есть конформный гомеоморфизм (повороты в Rn+X относительно центральных сфер дополнений Rn\Ui на углы л/2), то простые изламывающие геодезические у с Я* не оканчиваются в параболических вершинах группы G. Более того, из условия 3) следует, что все области пиков группы G покрываются G-орбитой конечного числа максимальных шаров. Это же условие 3) и компактность Pg дают окончательно конечное подсемейство ЗЗ/С^ЗЗ {G), удовлетворяющее свойству а): элементы В ^33/ определяются тем свойством, что В^ Л Рп 0-

Добьемся выполнения Ь) следующей модификацией семейства 33}. Рассмотрим в каждом классе G-эквивалентных компонент fi(G) по представителю Qo, Й0Л Рп =^ 0 • После этого вместо шаров В, С S3/, лежащих в G(Q0)\Q0, рассмотрим их образы В, = g, {В,) с. cfi0, gj^G, образующие семейство 330, удовлетворяющее Ь). Конечность числа классов G-эквивалентных компонент (теорема 5.37) влечет, что таким образом мы получим в конце конечное семейство S3/, удовлетворяющее Ь).

Компактность полиэдра (5.62), свойства а) и Ь) и следствие 5.71 показывают, что полиэдральные углы конечносторонних полиэдров Р5лВ'ь B,^33z, невырождены и сртеди них есть лишь конечное число неэквивалентных. Поэтому для любой компоненты Qoc=Q(G) гиперболические полиэдры р(В;)сЯ*, В;£330, имеют лишь конечное число неэквивалентных полиэдральных углов ^i, • • •, ^к, все из которых невырождены. Это дает окончательное выполнение Ь).

Для доказательства с) и d) достаточно доказать, что для любой простой изламывающей геодезической у = (х, у^н^Н* существует лишь конечное числов

шаров В £33(0), содержащихBj

на дВ точки х и у (обозначим / семейство этих шаров черезУ' у ')- ~\

33^Y Этот факт следует из I того, что в противном случае к~л

полиэдры B'cBg^(y), имею-\ У)

щие вершинами точки х и у, х должны были бы иметь беско- нечное число различных поли- уч эдральных (невырожденных) уг-/

лов —в противоречие с Ь). По- .. х. 5* У

этому card.® (у) < оо и опреде- (

лен в (5.61) угол В Су), осьюРис. 32

которого служит дуга y'cQ(G) окружности с концами х и у, являющаяся пересечением соответствующих биссектрисных сфер а,у, определяемых шарами Вь В/ЕЗЗ^) (рис. 32).

Заметим еще, что не только р(у') = усЯ*, но и для любой геодезической у“ = (х, г/),сВ,-^53 (у) имеем р(у?)=у. Здесь геодезическая у® в шаре В, лежит в пересечении плоскостей SjdBb определяемых соседними с В, шарами В, g 33 (у)\{В,}. При этом у? является геодезическим ребром полиэдрального угла полиэдра Вувь переходящего при конформном отображении р|в: в некоторый полиэдральный угол W, гиперболического n-мерного полиэдра р^В;)сН*. В силу конформности, угол Wj невырожден и имеет комбинаторный тип (5.60). Лемма доказана.

Замечание 5.73. Угол p^^U/J полиэдра ВуВ^ £ 33 (у), имеющий своим геодезическим ребром у’срз^ (где плоскости к 8ксВ; отвечают шарам Вк £ 33 (у)\{В;}), содержится в сферическом полиэдральном угле V; того же комбинаторного типа. Этот угол Уу имеет своим ребром дугу у'сВ(у) (см. (5.61)) и образован пересечением шаров, ограниченных биссектрисными сферами aik- Важно отметить, что

ЩУ/ УусВу^у)}

(5.63)

есть полная окрестность дуги у' с концами х, у^Аф), р(у')= — у = (х, ^нтН*. Иными словами, углы Vj образуют разбиение полной окрестности дуги у' (при п = 3 на двугранные углы (см. рис. 32)).

Важно также отметить, что полные геодезические на Н*, не лежащие внутри плоских кусков р(В'), В^ЗЗ^Су не исчерпываются простыми изламывающими геодезическими в смысле леммы 5.72, а являются замыканием их ,орбит. Таким предельным, изламы-

.вающим геодезическим при ретракции

р отвечают дуги окружностей bQ(G), к которым сходятся орбиты G(y“), гДе Т? — геодезические ребра полиэдров В^В;, В^ЗЗ^Зу

®3. Группы-стручки и особенности

Рис. 33границы. Хорошую иллюстрацию

метода покрытий Q(G) максимальными шарами дают квазифуксовы группы из строящегося ниже класса. Группы этого класса можно назвать группами-стручками из-за сходства их предельного множества со стручком какого- нибудь растения (рис. 33).

А именно, пусть имеются шары DyDkaRn, п^З, k^n, в общем положении, пересечение которых D^x, y) = r\Di есть сферический /г-гранный угол с вершинами х и у (см. рис. 33 при п = к = 3у Пусть Fh = extl A ext/'— фундаментальная область для циклической группы с локсодромическим порождающим Н, h (D (х, у)) = D (х, у), где сферы I и Г ортогональны граням D (х, у) и xg int/, у С int /'.

Допустим, что имеется конечное семейство S сфер Sm, разбивающееся на подсемейства: к■ 4 '

и ^^У^,(5.64)

где сферы S С S’ ортогональны сфере dD, A dDj, содержащей (п — 2)- мерную грань D(x, у); сферы S^S( ортогональны (п—1)-мерной грани D(x, у), лежащей на dD;. Кроме того, сферы из различных семейств S ^ и S mV соответственно ^; и S;, не пересекаются между собой, а взаимные пересечения сфер семейств Sц и S’t для всех i, j, и их пересечения с I и Г дают двугранные углы, величины которых есть целые части л.

Если внутренности сфер указанного семейства S' покрывают поверхность Fhr\dD^x, у), то из их свойств и из теоремы 6.9 о заполнении пространства следует, что группа

<h, gf. i^3>,порожденная отражениями g£ относительно сфер S^S и ото-бражением И, дискретна, а ее^подгруппа Ge®#, индекса 2 является

квазифуксовой. Последний факт доказывается аналогично квази- фуксовости группы Gy из п. 4 § 3 гл. 3. Предельное множество A(G) группы G имеет вид мелко изломанного fe-гранного угла с заданными вершинами х и у.

Для неограниченной компоненты QocQ(G) покрытие .53(G) будет G-орбитой максимальных шаров В,, являющихся дополнением к D,-, В, = R”\D,: на их граничных сферах ОВ,- лежат, в частности, предельные точки х, у, и их образы относительно отражений в сферах из семейств 9” ц.

Для^лучшего понимания приведем конкретное построение одной такой группы в /?3.

Пример 5.74. Пусть х=0, у = оо, П, = {х£/?3: х,>0), 1=1, 2, 3,

D(x, У^^ЦД оо) = {х£/?3: х, > 0, 1 = 1, 2, 3}.

Возьмем непересекающиеся сферы S23 = S2(х1, г), S13 = S2(x2, г), 812 = 82(х3, г) радиуса г>0 с центрами в точках х' = р-е,, i=l, 2, 3, где 2p-sinл/8 = г^З, т. е.

, Г 2-^1' ■ ■'

—з— • ..

Рассмотрим также сферы.

S^S^-^-^-^3), г), 82 = 82^^=-(е14-^3), г),

83 = 82(у£=-(е1 + е2), г) 4 сферы ■■ j -

/ = 82(0, 7?), г = 82(0, R'),

где R = -г+^—Зг2 , R, = (р2_ r^(R,'

Тогда сферы I и Г ограничивают шаровой слой Fh, фундаментальный для растяжения А,

А: xi—*Хх, Х = 2 (р2 — г2)/(2р2 — г2 — г И4р2 — Зг2).

Сферы Sb i=l, 2, 3, попарно не пересекаются, так как расстояние между двумя их центрами равно р. На рис. 34 показано пересечение построенных сфер с плоскостью {х: х3 = 0}, а на рис. 35 показано пересечение сфер 7, Г и сфер семейства of с границей трехгранного угла D (0, оо).

Легко видно, что все получающиеся двугранные углы полиэдра

Р = ext 7 A int Г П ext 8,- П ext 5и i i. i

равны л/3, и поэтому группа Gczs^3, состоящая из четного числа отражений в гранях Р, является клейновой. Более того, можно

показать, используя метод деформаций (п. 3 § 3 гл. 9), что группа G получается при помощи некоторого квазиконформного отображения /: R3 R3, согласованного с группой G, из фуксо-

вой группы G„ = /С/-1с:с^з, действующей в Н3. На рис. 36 пока

заны пересечения с дН3 = R2 сфер, ограничивающих фундаменталь

ный полиэдр Р (Go) А Н3, vol Р (Go) < оо. Более того, эта деформация / группы Go включается в непрерывное семейство таких деформаций /а: R3 -R3 группы Go, где параметр а — плоский угол стручка—пробегает значения от 2л/3 до л/2. При этом /2«/3 = id, /л/3 = / (см. п. 5 § 3 гл. 9).

Легко видно, что неограниченная компонента Qoc:Q(G) группы G есть G-орбита дополнения R3\D(0, оо), т. е. семейство So (G) максимальных шаров, построенное в лемме 5.68, в нашем случае

*(для Qo) есть объединение

G-орбит трех максимальных шаров Вь i = l, 2, 3:

В; = {х € R3: х, < 0}.

!, В каждом из максимальных шаров В( области биективности ретракции р: Qo Но<~Н*сН4 (для больших R > 0) суть прямоугольные трехгранные углы В-:*

B'i= {хЕТ?3: х; <—R, X] > 0 для /^i],1

чьи геодезические ребра,}

7?={хЕ/?3: Х;<— R, х, = 0 для j^Q *' "^ отождествляются при ретракции р: Qo —► Нд в одну простую изламывающую геодезическую ч=ЦВе4, оо^наН4.■

Важно отметить, что полная окрестность геодезической у на трехмерной поверхности Н*ас^днН0 состоит из объединения замыканий трех полиэдров р(В-), i=l, 2, 3. Однако ясно, что три прямоугольных двугранных гиперболических угла не могут дать полную окрестность геодезической в пространстве Н3.

Это наблюдение иллюстрирует тот факт, что полиэдральный угол в В-, идущий вдоль геодезической у® в шаре В,Е®(у) всегда строго меньше содержащего его полиэдрального угла V,cB" с ребром у', образованного биссектрисными сферами а,7, В то же время это справедливо и для соседних с В, шаров В, Еад\вь дающих полную окрестность дуги у' (см. лемму 5.72, замечание 5.73 и (5.63)). Тот факт, что полиэдры р(5/), В, Е^(т), дают полную окрестность геодезической у = р (у') = р (у®) на поверхности Н*, заканчивает доказательство следующего утверждения:

Теорема 5.75. При п ^ 3 граница Н^Н"*1 оболочки Нильсена HG клейновой группы GcMob(n), имеющей по крайней мере три взаимно пересекающихся максимальных шара В ^33(0), Вг П В2 П Вэ -^ 0, с двумя общими предельными точками х, у^Х (G) на граничных сферах дВ;, не развертывается изометрически в п-мерной гиперболической плоскости Н^Н"*1.

Замечание 5.76. Квазиконформная сопряженность группы G из примера 5.74 с фуксовой группой G0(=e^3 показывает, что указанную развертку Н*аН4 в плоскости Н3 можно осуществить квазиизометрией, растягивающей двугранные углы раствора л/2 до углов раствора 2л/3.

Из стручковых квазифуксовых групп GcMob(n) легко строятся паутинные группы С'сМбЬ(п) в пространстве Rn, п^З (см. определение и пример в § 3 гл. 3).

Пример 5.77. Паутинные группы G'сМбЬ (п), п^З, получаются комбинированием какой-либо стручок-группы G = G(x, у), построенной по углу D(x, у) и семейству (5.64), и конечной группы Г (х, у)сМбЬ(п) с неподвижными точками х, у и изоморфной некоторой подгруппе поворотов ортогональной группы О(п). При этом шары Dx, . . ., Dk, задающие угол D (х, у), должны Удовлетворять тому условию, что D (х, у) есть фундаментальный полиэдр группы Г(х, у).

•г При п = к = 3 существует полный список таких возможностей, «вдающихся углами между тремя ребрами стручка О(х, у).. ■

В частности, в нашем примере, конечная группа.

'Г(0, оо)сО(З)

имеет порядок 8 и порождается поворотами на л/2 вокруг координатных осей.

При помощи леммы 3.20 легко проверить, что получаемая группа G' = <G(x, у), Г(х, у)> будет клейновой группой, фундаментальным полиэдром которой будет служить компонента фундаментального полиэдра группы G(x, у), лежащая внутри Qj с:D (х, у), йгс:П(С). При этом все связные компоненты Q,cQ(G') будут G'-эквивалентны компоненте Qj и, следовательно, их стабилизаторы сопряжены в G' стабилизатору Gq,, т. е. квазифуксовой группе G. Это доказывает свойство паутинности группы G'.

4. Теорема Сулливана. Как приложения метода покрытия Q(G) максимальными шаровыми областями, мы покажем путь замены ретракции р: Q(G)—- Н* — днН0, не являющейся 1-1-значным отображением, на /(-квазиконформное отображение F, коммутирующее с действием группы G: FgF~1 = g для всех g^G (G-эквивариантность). Более точно:

Теорема 5.78. Пусть GcMob(n)— конечно порожденная при п = 2 и геометрически конечная при п^З клейнова группа, предельное множество которой не лежит на (п — \у мерной сфере. Тогда существует G-эквивариантное К-квазиконформное отображение

F; <^G^dHHG, продолжающееся до тождественного на A(G).

Доказательство. Здесь мы докажем этот факт с дополнительным ограничением: при п^З будем предполагать, что Q(G) покрывается максимальными шарами В^ЗЗ^Оу В общем случае схема доказательства не меняется. Единственные изменения, по-видимому технического характера, связаны с рассмотрением наших конструкций в максимальных областях вида W (р) и С(х, у) (см. замечание 5.69).

Рассмотрим согласно лемме 5.72 конечное семейство ЗЗ^сЗ^С) максимальных шаров, чьи G-образы покрывают все Q(G), и зафиксируем некоторый шар В0^33$. Пусть зафиксировано некоторое разложение группы G по стабилизатору GocG (быть может, Go = {id}) шара Ве:

G = gaG8UgiG»U •.., g0 = id.(5.65)

Построим сначала G-эквивариантное квазиконформное отображение

Ф»: U g^B^O^O^ U g^Y(5.66)

1=01=0

Для этого рассмотрим какой-либо псевдо-Дирихле полиэдр Рп + 1сHn+1 U Q (G) группы G (см. § 4 гл. 3). Его пересечение с Q (G) имеет конечное число сторона при п^З этот факт следует из геометрической конечности G (теорема 5.24), а при п = 2— из теоремы 5.35 (вариант Бердона, Ергенсена [1] теоремы конечности Альфорса). Считаем без ограничения общности, что Рп+1П V\B» = P'oV=0.

Определим на Р'о, а вместе с ним —на всех полиэдрах Р’{ = — Р"*^ §rz. (5') —если они существуют, квазиконформные отображения ф,-, 1^0, следующим образом. Если на сфере S, = дВ,есть параболические точки р группы G, то rankp<n и существуют области пика U р с: Q (G), образующие конечное число непересе- кающихся G-орбит и пересекающие шар 5,. Определим отображения ф,- тождественными на пересечениях Р\ П Up, а дополнения к этим областям в полиэдрах В; обозначим Р,= P,-\U Up. При р

этом теоремы 5.24 и 5.34 доказывают компактность этих «полиэдров» Ри 1^0.

Считая, что в шаре Во введена метрика Пуанкаре, обозначим через Sj, ..., sN множество всех (п—1)-мерных плоскостей в Во, которые содержат (п—1)-грани полиэдра Ро, лежащие на дВ'в (s7 «опираются» на (п —2)-мерные сферы дВ0(ДдВ,, В; П Во=^ 0, B7£^(G)). Рассмотрим е>0 такое, что для любых двух непере- секающихся граней (любой размерности) полиэдра Ро их е-окрест- ности не пересекаются. Обозначим, кроме того, е-2А-п-окрестность fe-мерной грани s с дР0 через HE(s).

Пусть теперь геодезическая у0 с Во с концами х, у С Во Г) Л (G) переходит при ретракции р в изламывающую геодезическую у = (х, У^н — Н* (т. е. у0 лежит в пересечении плоскостей s, а Во, соответствующих максимальным шарам В, g 59 (у) с 33 (G) (см. лемму 5.72)), и содержит ребро полиэдрального угла Р0(у°) с Р9. Определим

^(Y0, е) = РопПЕ(у").(5.67)

Вместе с углом Рй (у0, е), «идущим» вдоль у0, рассмотрим содержащий его угол Уо (у') с В"й (того же комбинаторного типа), ограниченный вместо s7 — «биссектрисными» сферами а0/, к.В)^ЗЗ^У\ \{В0}) и имеющий своим ребром дугу у' с концами х и у ( — ось угла В (у) из (5.61)). В угле Ео (у') рассмотрим окрестность Уо (у', е) дуги у', являющуюся объединением Ро (у0, е) и примыкающей к ней следующей области. Эта область вырезается из Bg\Bg геодезическими шара Ва, одновременно ортогональными плоскостям s7 и сферам а0/ (где В} С 53 (у)) и выходящими из точек множества

W(Y°)n(U{sy: В^ОД.(5.68)

Пусть теперь ф7о: Ро (у0, в) —*У0(у', в) —квазиконформное отображение невырожденных полиэдральных углов, оставляющее

инвариантными геодезические, выходящие из множества (5.68), а также (п—1)-мерные плоскости в В„, секущие эти углы ортогонально их ребрам у0 и у' соответственно. Записывая углы Во (у0, е) и ^(т', е) как произведения у°хА° и у'хА', где Л° и Л' суть конусы над (п— 2)-мерными полиэдрами Q° с Q' одного комбинаторного типа, и считая, что вершины конусов Л0 и Л'совмещены, можно сказать, что отображение фт» «растягивает» Л° до Л' вдоль сфер, ортогональных общей оси этих конусов и их граням (ср. Геринг, Вяйсяля [1], Вяйсяля [1]). При этом коэффициент квазиконформности отображения ф7« зависит от величин полиэдральных (при п = 3 — двугранных) углов В„(у°, е) и V0(t', е) (рис. 37)..

Одновременно с i|y аналогично опре деляем квазиконформные отображения ф,

:Рис. 37. окрестностей Hg(s)cP0 /г-мерных граней

s всех углов В„(у°), 2 ^ к п — 2, совпадающие с ф?» на границах dUe (у0) и оставляющие инвариантными геодезические и (п—1)-плоскости в В„, ортогональные граням s. Окончательно /(„-квазиконформное отображение ф0 на Р„ с В„ определяется следующим образом:

■ 1) ф„ = id на Р'о П Up и на дополнении в Во к U{^e(s): sc с дР0 А <383

ф„ = фу» на В„ (у0, е) для любой геодезической у0 с дВ'о, вдоль которой полиэдр В„ с В'о имеет излом (у0 zd {1-грань В„}).

лр0 = xps на Ue(s) для любой /г-мерной (2^/г^п — 2) грани s с дР0 А дВ’й.

ф„ есть растяжение вдоль семейства геодезических в Во, ортогональных одновременно плоскостям Sj и сферам а0/, 1^/^//; ф„ переводит каждую /-ю (п — 1)-мерную грань (с дВ^ дополнения Po\(U{^e(s): 5 с дР'б А дВо, O^dimssCn —2})

в область на сфере а0, и совпадает на границе этого дополнения с отображениями фт« и ф5.

Аналогичные отображения полиэдров В} обозначим ф, и определим для всех i ^ 0 «полиэдры» Р'- = фу- (В •) с g; (Вд) = В'-. Считая, что перед определением всех отображений ф,-, все полиэдры P't (они имеют попарно G-эквивалентные грани) были собраны при помощи элементов G в один полиэдр В' с В'о с Во, а затем (вместе с ф,) возвращены в исходные шары В,, получаем следующий факт.

Конструкция ортогональных растяжений для ф, сохраняет имеющееся G-отождествление граней полиэдров В- и В) —в том смысле, что полиэдры В'- и В/ имеют соответствующие G-эквивалентные грани ф,, ф;.

Кроме того, так как С„-образы полиэдра В' с В„ давали разбиение области В'о (быть может, тривиальное: В' = В' при G„ = {id})

и разбиения ограничивающих Во (п—1)-мерных плоскостей в Во, то полиэдр Р' с Вд, G-собранный из полиэдров Р'-, является фундаментальным полиэдром группы Go в Bq. Достаточное для справедливости этого факта (см. § 1 гл. 6) свойство 1-1-значного полного заполнения окрестностей (п —2)-граней в В„\В^ образами Gg(P') следует из выполнения этого свойства на плоскостях SycB0, содержащих (п—1)-грани дВ'о и из «ортогональности» растяжений в конструкции отображений ф,-.

Теперь для любой точки х^Оо (см. (5.66))

Фо М = ?оф;О£-1(х),

где gEG таково, что g (Рп^г) Э х, а номер i такой, что g-1 (х) С Pi- Отображение ф0: Од • Оо есть согласованное с G продолжение (по симметрии) отображений ф,, i^O, и поэтому является G-эквивариантным /(„-квазиконформным отображением на Од. При этом из конструкции отображений ф,- следует тождественность непрерывного продолжения ф„ на предельные вершины В'-, т. е. на множество G(dBg) Л A(G).

Рассматривая такие же /(/-квазиконформные отображения ф, на G-орбитах других максимальных шаров из 93/= (Во, ... ., Вт) (см. лемму 5.72), мы получаем G-эквивариантное /(-квазиконформное отображение -

/: и {В': Be^(G)}^Q'_, O" = U{B": BEB(G)), (5.69)

продолжающееся по непрерывности до тождественного на A(G). При этом коэффициент квазиконформности отображения / равен К = шах К,.

О < i < til

Лемма 5.68 показывает, что р|й- есть конформный гомеоморфизм. Кроме того, из леммы 5.72 и замечания 5.73 видим, что Q(G)\fi" есть замыкание объединения (п— 1)-мерных сферических полиэдров, лежащих на биссектрисных сферах о,/ (Bit В, Е 93(G), В, л В, =/= 0) и имеющих своим одномерным остовом дуги у' окружностей, соединяющих в 42(G) «крайние» предельные точки х, у (концы изламывающих геодезических у —(х, у)наН*). Каждая такая дуга у' есть ось сферического угла В (у) (см. (5.61)), который разбивается сферами а,, на конечное число полиэдральных углов Vk с общим ребром у' (см. (5.63)). При этом Vk есть /-образ, лежащего в нем полиэдрального угла из В'к а ВкЕЗЗ (у). . .

Пользуясь тем, что отображения фА в шарах Вк и, следовательно, отображение / есть растяжения вдоль геодезических и плоскостей шаров Вк, ортогональных одновременно 1-1-значно соответствующим плоскостям и биссектрисным сферам, получаем аналог равенства (5.59) (см. рис. 31). Это дает согласованность отображения / и ретракции р, из которого в частности следует, Что все точки zk геодезических у£ с дВк с концами х, у (где (х, у)н = у с Н*), проектируемые ортогонально в одну точку гЕ

Су' с В (у) (и, поэтому, переходящие при ретракции р в одну точку, равную p(z)), отображаются отображением / в одну точку, равную г. Такое свойство согласованности / и р показывает, что отображения р о /-1 соседних полиэдров B"t и B'j ^склеиваются ретракцией р в единый G-эквивариантный гомеоморфизм F

( р о f-1 (х\ х С Й",x6Q(G)\Q-,<5-70>

являющийся искомым /(-квазиконформным G-эквивариантным отображением Й (G) на Н*. Очевидно, что F продолжается до тождественного на A(G). Теорема доказана.-

Замечание 5.79. Константа К квазиконформности построенного в доказательстве отображения F: Й(С) - Н* зависит от группы G и, как показывают примеры, эту зависимость нельзя устранить в общем случае (даже при п = 2 —если л1(Й)=#0 (см. Эпстейн, Марден [1, § 2.16])). Однако представляется вероятным существование универсальной константы К (зависящей только от размерности п) для класса квазифуксовых групп GcMob(n), у которых множество разрывности состоит из двух топологических шаров. Наличие такой универсальной константы квазиконформности для квазифуксовых групп на плоскости дает известная теорема Д. Сулливана [4], доказательству которой посвящена большая работа Эпстейна и Мардена [1]. Теорема 5.78 является прямым пространственным аналогом теоремы Сулливана при п^З; при п = 2 изложенные выше конструкции дают новый (значительно более простой) подход к доказательству теоремы Сулливана по сравнению с методом Эпстейна — Мардена [1].

При помощи теоремы 5.78 можно также продвинуться в решении известной задачи о введении в области Й a Rn конформноинвариантной метрики (при п = 2 в любом топологическом диске такой метрикой является гиперболическая). А именно, имеет место

Следствие 5.80. Пусть G с Mob (п), п ^ 3,— геометрически конечная группа, предельное множество которой не лежит на (п — \ умерной сфере. Тогда функция р0 (х, у) = d* (F (х), F (у))'определена для точек х, у из одной ^любой^ компоненты связности Й (G) и задает G-инвариантное расстояние на Й (G) с Rn.

Заметим, что из конструкции (5.70) отображения F: Й —> Н*, спускающего метрику d„ на Н* до метрики р0 на Q(G), легко видно, что метрика р0 соизмерима с известной квазигиперболиче- ской метрикой ka, введенной Герингом и Палкой [1]. Метрика ки определяется в области Й a Rn элементом длины |dx|/p (х, дЙ), где р(х, ОЙ)--евклидово расстояние точки х до границы ОЙ. Для мёбиусовых отображений /iCMob(n) метрика feQ (в отличие от инвариантной метрики рс) является квазиинвариантом:

ка^х, уУ^^каДЦх-), к^УХДк^х, у), где Й' = h (й) с Rn (другой подход см. в § 7 гл. 8).• . ,

ГЛАВА 6

геометрическая и алгебраическая структуры дискретных ГРУПП

Дискретные группы и геометрия разбиений пространства

Хорошо известна тесная связь дискретных групп Gc IsomX движений пространства X постоянной секционной кривизны и правильных разбиений этого пространства. А именно каждой дискретной группе G можно сопоставить правильные разбиения пространства X на конгруэнтные полиэдры g (Р), g £ G, где РсХ- какой- либо фундаментальный полиэдр группы G (см. теорему 3.28); и обратно, каждому правильному разбиению X на конгруэнтные полиэдры Рi ^ Р можно сопоставить (неоднозначно и при некоторых условиях) дискретную группу G с IsomX, для которой Р является фундаментальным полиэдром (см. теорему 3.29). Конкретизации этой связи посвящены классические теоремы А. Пуанкаре [1, 2] о фундаментальном многоугольнике и многограннике и их различные обобщения (Александров [1], Маскит [2], де Рам [1], Зейферт [2], Морокума [1] и Мостов [3]). Целью настоящего параграфа является получение критерия правильного разбиения пространства X свободного от каких-либо ограничений на характер группы разбиения, на объем участвующих в разбиении полиэдров, их числа и т. д., включающего в себя разобранные ранее (см. выше) случаи. При этом мы увидим, что при переходе от размерности п = 3 к п ^4 происходит настолько же сильное изменение свойств разбиений, насколько они изменяются при переходе от п = 2 к п = 3 (см. Ананасов [17, 23, 26]).

Заполнения пространства. В этом параграфе, в отличие от предыдущего (ср. § 4 гл. 3 и § 1 гл. 5), мы не будем требовать от полиэдров не только их выпуклости, но и каких-либо гомотопических свойств. А именно, под полиэдром Р в п-мерном пространстве Хп понимается связное множество такое, что Р = cl (int Р) (внутренность и замыкание в X"), а граница дР принадлежит локально конечному объединению (н— 1)-мерных плоскостей в Хп. Если это объединение конечно, то Р называют конечносторонним. Стороной или (п-!)-г ранью называют множество S такое, что S содержится в некоторой (п — 1)-плоскости X с X", a intxS есть компонента связности множества intx(XDdP) и S = clx(intxS). Таким образом, (п—1)-грань S есть полиэдр в X и, тем самым, имеется индуктивное определение i-граней полиэдра Р как сторон для (/+1)-граней Р.

Под заполнением пространства Хп полиэдрами понимается следующее построение (см. Александров [1]). Задается локально конечный клеточный комплекс Кп, образованный полиэдрами из пространства X". Комплекс может быть бесконечным и рассматривается абстрактно, т. е. образует пространство | Кп | без погружения в Хп. Кроме комплекса задается непрерывная проекция л: | А" | —* А", которая вместе с Кп удовлетворяет следующим условиям.

Среди полиэдров комплекса есть только конечное число Рг, Рт геометрически неравных (в X") —называем их пробными.

Каждая («—1)-грань полиэдра Р^Кп является гранью ровно одного другого полиэдра Р'^Кп.

Любые два Р, Р' ^Кп соединяет цепь полиэдров (конечная последовательность полиэдров комплекса, где каждые два соседних смежны по (п — 1)-мерной грани).

z-грань Q‘, 0^i^n~2, полиэдра Р С К” есть грань другого Р' £Кп, если и только если они соединены цепью, в которой каждые два соседних полиэдра смежны по («— 1)-грани Q, QlcQ.

Сужение проекции л на любой РЕК" есть изометрия.

Если Р, Р' ^Кп смежны по грани Q"-1, то их образы л (Р) и л(Р') лежат (в окрестности образа л((2"-1)) по разные стороны от n(Qn-iy (Если Р и Р' выпуклы, то л (Р) и л (Р') лежат по разные стороны от плоскости грани n(Qn-1); в противном случае это требуется лишь в окрестности этой грани).

Теорема 6.1 (Александров [1]). Пусть выполнены условия I—VI и пробные полиэдры Рг, . . ., РтсХп компактны. Тогда л (I А" |) = Хп, кроме того, проекция л взаимно однозначна, если и только если она взаимно однозначна вокруг каждой (п — 2)-грани комплекса Кп.

В случае «-мерного односвязного риманова многообразия имеется подобный результат Г. Д. Мостова [3] для одного пробного полиэдра Р, внутренность которого есть клетка.

В дальнейшем мы будем рассматривать только «периодические» (правильные) заполнения, т. е. заполнения, для которых отождествления граней пробных полиэдров порождают группу, действующую на комплексе Кп транзитивно (с точностью до конечного объединения пробных полиэдров); при этом комплексКп назовем правильным.

Разбиением пространства Хп будем называть такое его заполнение, при котором любая точка пространства принадлежит хотя бы одному полиэдру и различные полиэдры не имеют общих внутренних точек. Теорема 6.1 как раз дает необходимые и достаточные условия, при которых заполнение пространства X" является его разбиением.

Заметим, что существуют разбиения евклидова и гиперболического пространства (ограниченными) полиэдрами, не являющиеся

$ 1. ГЕОМЕТРИЯ РАЗБИЕНИЙ ПРОСТРАНСТВА " • 175 правильными, т. е. не имеющие какой-либо групповой периодичности. Примеры таких разбиений дают ответ на вопрос, поставленный Д. Гильбертом [1, § 18]. Отметим-среди них разбиение плоскости R3, известное под названием «две курицы Пенроуза» (см., например, Берже [1, пп. 1.7.1 и 1.9.16]; Робинсон [1]); разбиение R5 конгруэнтными звездчатыми полиэдрами (Стейн [1]); разбиения гиперболической плоскости конгруэнтными выпуклыми мно- гоугольникками (Робинсон [2]).

Для правильного заполнения пространства Хп по правилам I—VI пространство | Кп | правильного комплекса Кп накрывает орбифолд 6, склеенный из пробных полиэдров заданным отождествлением их граней (при этом свойства I—VI и определения § 3 гл. 2 показывают, что 6 есть (X, Isom Х)-орбифолд). В то же время, полный (X, Isom Х)-орбифолд 6 задается в виде фактор- пространства Х/G по дискретной подгруппе 0 = ^ (лт (6))с ЬотХп (см. § 3 гл. 2) и, следовательно, может быть получен отождествлением (п — 1)-мерных граней фундаментального полиэдра Р (G)c сХ". Очевидно, что орбифолду 6 =XnlG соответствует правильный комплекс с естественной проекцией, удовлетворяющие условиям I—IV с одним пробным полиэдром Р = Р (G). Таким образом, имеет место

Лемма 6.2. Пусть правильному комплексу Кп с проекцией л и условиями I—VI соответствует орбифолд 6, полученный из пробных полиэдров Рг, ..., РтаХ" заданным изометричным отождествлением их граней. Тогда л Q К" () = Хп, если и только если орбифолд 6 является полным.

Неполные заполнения гиперболического пространства. Критерий для разбиений пространства Хп (теорема 6.1) дает кроме того и условия полноты его заполнения компактными полиэдрами. Однако условия этой теоремы оказываются недостаточными для полноты заполнения гиперболического пространства Н", п^2, если среди пробных полиэдров Р, имеются неограниченные. Впервые этот эффект был обнаружен (по-видимому, Адамаром) для заполнения идеальными симплексами гиперболической плоскости Н\ при котором обычное параболическое отождествление параллельных сторон симплекса заменялось их отождествлением при Помощи гиперболического переноса, имеющего неподвижной точкой рершину симплекса (см. также Маскит [2] и Бердон [2]). Аналогичную ситуацию при заполнении Н3 идеальными симплексами обнаружил Тёрстон [1, гл. IV], исследовавший гиперболические структуры на дополнении сферы S3 к узлу Листинга (восьмерка) (см. пример 2.2). Все эти неполные заполнения обладали следующим свойством «локального топологического подобия».

Для любого полиэдра Р с Нп рассмотрим (п— 1)-мерный абстрактный неориентированный клеточный комплекс, изоморфный границе полиэдра дР в категории абстрактных комплексов. Всякий полученный таким образом комплекс назовем п-мерным абстракт-

ным полиэдром. При этом будем говорить, что полиэдры Р и Р' имеют один комбинаторный тип (Р ~ Р'), если соответствующие абстрактные полиэдры совпадают, т. е. существует взаимно однозначное соответствие между гранями Р и Р', сохраняющее размерность и отношение инцидентности.

Пусть теперь два набора пробных полиэдров Р^, ■ . •, Р^ и Р3, •••, ?т, гДе Л,~Л8 Для i=l, •••,№, задают бесконечные комплексы К" и К" с проекциями лт: | Kt] Нп и л2: \Kt | Нп и удовлетворяют свойствам I—VI. Рассмотрим их связные минимальные подкомплексы Ki с К" и К2с К", образованные такими полиэдрами, что их проекции граничат по некоторым fe-граням, О ^ к «С п — 1, соответственно с множествами

UM?}) и йл2(Р?). ■<=1 i=i • -

Будем говорить, что пары ^К”, л^ и ^Кг, л2) (соответственно, определяемые ими заполнения) локально топологически подобны, если все комплексы Кг и Кг имеют подобные отношения соседства для составляющих их полиэдров и это подобие индуцируется гомеоморфизмом образов:

Л1(|К1|)-Л2(|Кг|). (6.1)

Иными словами, комплексы Kt и /С" с проекциями лг и л2 локально подобны, если они имеют одинаковые схемы отождествления граней пробных многогранников (имеющих одинаковые комбинаторные типы) и для любых изоморфных циклов (п — 2)-мер- ных граней в комплексах Kt и Kt суммы двугранных углов проекций многогранников при гранях этих циклов совпадают.

На множестве локально топологически подобных заполнений пространства Нп, профакторизованном по Isom Нп, можно ввести естественную топологию, объявив заполнения (^Kt, Л1) и ^Kt, л2) близкими, если существует близкое к тождественному отображение Нп-*Нп, локально являющееся гомеоморфизмом (6.1).

В § 1 гл. 2 была построена полная гиперболическая структура на дополнении М^ сферы S8 к зацеплению Уайтхеда (пример 2.3), которой соответствовало правильное разбиение гиперболического пространства Н3 на конгруэнтные правильные идеальные октаэдры с прямыми двугранными углами (см. рис. 8—11), которое мы обозначим ^Kw, л№). Заметим, что зацепление Уайтхеда обладает свойством универсальности (см. § 1 гл. 7, Тёрстон [5], а также Хилден, К. Лозано и Монтезинос [2]).

В следующем предложении, используя метод Тёрстона [1], мы дадим построение всех неполных правильных заполнений (Ка, л«) гиперболического пространства Н3 идеальными октаэдрами, локально топологически подобных заполнению (Ки., л№) (см. Апа- насов [26]).

Предложение 6.3. Множество 3%w неизометричных друг другу гиперболических структур на дополнении Mw к зацеплению Уайтхеда, соответствующих правильным октаэдральным заполнениям гиперболического пространства Н3, задающимися комплексами (Ла, ла) ы локально топологически подобных полному заполнению. (Kw, л^,), вкладывается в виде открытого подмножества в С3.

Доказательство. Опишем множество октаэдров Ра с Н*

с вершинами на дН3 = С (Я3^/?3) и отождествления их граней.

подобные отождествлениям на рис. 38, при которых сумма двугранных углов при эквивалентных ребрах равна 2л (1-1-значность ла вокруг ребер комплекса К^. Для этого разобьем октаэдр Ра на четыре идеальных симплекса с общим ребром (ръ pa\ Как известно, такие симплексы в Н8 с точностью до Isom Н3 характеризуются своими тремя двугранными углами при любой вершине — сумма их равна л —или, что эквивалентно, евклидовым треугольником, по которому пересекает симплекс орисфера

с центром в какой-либо вершине.

Можно считать, что этот треугольник лежит на комплексной плоскости С так, что его вершины суть 0,1 и точка z, Imz>0. Поэтому любой идеальный симплекс в Н3 с вершинами на дН3 = С можно задавать следующими параметрами (см. Тёрстон [1, гл. IV]).

Приписываем каждой из трех пар непересекающихся ребер симплекса комплексные числа z, v,w из С+= {z 5 С: Imz>0}—- они получаются рассмотрением (как выше) вершинных евклидовых треугольников. Тогда эти числа связаны очевидными соотноше

ниями:

(6.2)(6.2)и=1/(1—z), w = (z — l)/z.

(6.2)

(6.2)

Итак, имеем симплексы щ, 1 ^i^4, описывающиеся набором параметров (z,, и,-, w^^C^, которые удовлетворяют восьми соотношениям вида (6.2). Условимся также во всех симплексах параметр Z; приписывать общему ребру (рп р3) (на рис. 39 показан симплекс cFj). Условия равенства 2л сумм двугранных углов при каждом из четырех реберных циклов: (рп р3\ —, у-, -Н—* (см. рис. 38) дают:

ZiZ2z3z4 = 1, w^z^xy^e = 1,f6 3.

= 1, V2ty3Z3Z4V1l«4 = 1.' '

Соотношения (6.2) и (6.3) эквивалентны одному соотношению на

параметры гъ z2, z3gC+:

* (6.4)* (6.4)(zi —1) (?2—1) _ 1—ZiZaZaZ3 1Z1Z2Z3

* (6.4)

* (6.4)

При этом единственному (в силу теоремы жесткости Мостова; ■см. § 2 гл. 9) полному октаэдрическому заполнению (разбиению) Н3 соответствуют единственные параметры z1 = z2 = z3 = i, т. е. октаэдры с прямыми углами. Таким образом отображение

ср: ^ ^ {(Ка, ла)} С2,

задаваемое по формуле ср (а) = (гг (а), z2 (а)), где Zj (а) и z.2 (а) таковы, что гДа), z2 (а) и z3 (а) лежат в С+ и связаны соотношением (6.4), является искомым вложением с открытым образом ф (т^) с С2..

Замечание 6.4. Для описания конкретных неполных заполнений Н3 октаэдрами, о которых говорит предложение 6.3, зададим

вершины определяющих их пробных октаэдров (отождествление граней везде по схеме рис. 38). Для этого зафиксируем три вершины: ^ = 0, р2=1, Рз=°° и> тем самым, исключим изометрич- ные случаи. Тогда из (6.4) получаем, что оставшиеся вершины Р^ Ры Рв октаэдра Ра суть любые точки комплексной плоскости С* с дН3, удовлетворяющие условиям

рМ£С+, р6/р5ес+, ■ -■ .

(Р4~О (Р4 —Рб) Р1'

(Ре— 1) (Ре — Pb)Р='Рб ‘

Описанное здесь множество неполных октаэдрических заполнений Н3 (имеющее вещественную размерность = 4) содержит однопараметрическое семейство:

Pi = 0, Р2=1, Рз=°°, P4=it, Ръ = — 1, Р» = ~ it; t>0.

Заполнения из этого семейства были рассмотрены Макаровым и Гуцулом [2].

Локально конечные заполнения и полнота гиперболических структур. В предыдущем пункте было показано, что условия I—VI заполнения (/<", л) пространства Нп не обеспечивают полноты заполнения, если среди пробных полиэдров имеются неограниченные. Как мы убедимся ниже, полные заполнения должны характеризоваться следующим свойством.

Определение 6.5. Заполнение (К", л) пространства X, задающееся правилами I —VI, называется локально конечным, если выполнено условие:

VII. Любой компакт из пространства X может пересекаться лишь с конечным числом образов л (Р) полиэдров комплекса Кп-

Из теоремы Бибербаха (теорема 3.8) следует, что заполнение Rn неограниченными полиэдрами индуцирует заполнение некоторого подпространства Rk с Rn ограниченными полиэдрами. Этот факт показывает, что свойство локальной конечности заполнения содержательно только в гиперболическом случае, так как в случае ограниченных пробных полиэдров Р с X комплекса К” оно следует из локальной конечности комплекса Кф.

Отметим, что свойство VII не зависит от свойства локальной конечности комплекса К". Если дискретная группа G порождена изометриями пространствами Н", отождествляющими грани пробных полиэдров комплекса К”, то свойство VII эквивалентно локальной конечности фундаментального (быть может, частично фундаментального) для группы G множества, равного объединению и^, (см. § 1 гл. 5).

Теорема 6.6. Гиперболическая структура с голономией d„ на орбифолде 6, dim б ^2, полна, если и только если полиэдры Pi. • • •, Рт ^ Нп с конечным, числом граней, отождествлением которых порождающими группы G = de (лт(б)) получен орбифолд 6, задают комплекс Кп, обладающий свойством VII.

Замечание 6.7. Из свойства локальной изометричности проекции л легко видно, что л является собственным отображением (т. е. прообраз л-1 (С) любого компакта С с Нп есть компактное множество), если и только если выполнено условие VII. Отсюда следует, что достаточность условия VII локальной конечности заполнения в теореме можно получить из общих свойств собственных отображений топологических пространств. Однако мы приведем конструктивное (хотя и более длинное) доказательство достаточности, в ходе которого будут показаны причины возможной неполноты орбифолда б (что будет в дальнейшем существенно использовано).

Доказательство теоремы 6.6. В случае компактных пробных полиэдров теорема очевидно следует из теоремы 6.1 А. Д. Александрова [1]. Поэтому в дальнейшем считаем орбифолд некомпактным. Кроме того, если среди пробных полиэдров имеются невыпуклые, то разбиваем их (п—1)-плоскостями на конечное число выпуклых пробных полиэдров; тем самым переходим к новому набору выпуклых пробных полиэдров, так как такая Перестройка не изменяет группы G —все возникающие дополнительные склеивающие отображения являются тождественными.

Необходимость. Допустим, что свойство VII для пробных Полиэдров Рг, ..., Р„ не выполняется, но орбифолд б = (UP,)/G является полным. Тогда существуют компакт С с Н”, полиэдр ^о=Р,о, l^z0^m, и последовательность различных элемен- 1°в {^1 группы G= ^(л1(6)) такие, что последовательность точек {у™}, ут € С Г) gm (Ро), сходится к некоторой точке у^С. ° силу дискретности группы G последовательность образов gm (у0)

какой-либо точки у6^Р6 сходится к предельной точке z£A(G) (если необходимо, выбираем подпоследовательность). Используя условие выпуклости полиэдров Р; (см. выше), получаем, что для всех / геодезический отрезок, соединяющий точки yj и g> (t/0), сам лежит в полиэдре gj(P^- При возрастании / указанные отрезки сходятся к геодезическому лучу у=[у, z). Очевидно, что любая окрестность произвольной точки этого луча у пересекается со всеми образами g^Po) для достаточно больших номеров /. В то же время условие полноты орбифолда 6 влечет, что U Р, •содержит фундаментальное множество группы G и, поэтому, ■G-образы этого множества покрывают все пространство Нп. Кратность этого покрытия равна 1 в точках, покрываемых внутренностью какой-либо g(Pj), gG:G; 2 —в точках, покрываемых внутренностью какой-либо (п— 1)-грани полиэдра g(P;), и конечна в остальных точках. Это следует из того, что конечносторонние полиэдры Р,- имеют лишь конечное число неравных двугранных и многогранных углов. Отсюда получаем конечнократность покрытия компактов в Нп, что противоречит полученному выше •свойству у.

Достаточность. Допустим, что орбифолд 6 = U Р,Л G V= 1/ '

не является полным, но отождествление граней пробных полиэдров U Pt таково, что любой компакт из гиперболического пространства Н" пересекается лишь с конечным числом полиэдров g(Pi), g^G. Очевидно, что тогда группа G является дискретной и оставляет инвариантными следующие множества:

^ = UU(^)\A(G): g^G, X^i^mV №g = HggHp,

где через Р, обозначено замыкание полиэдра Р, с Нп в Нп = = Нп U дНп.

Факторизуя эти множества по действию группы G, получаем соответственно орбифолды с краем 6 и 6G, 6G с 6 а 6, причем ретракция из (5.6) задает ретракцию р: 6 6g. Более того, условие неполноты орбифолда 6 влечет наличие в орби- фолде 6 геодезического луча с началом в 6G, идущего в неполный конец орбифолда 6 и имеющего конечную длину (см. Хелгасон [1, § 10 гл. I]). В силу выпуклости оболочки Нильсена Но видим, что этот геодезический луч лежит в орбифолде 6G, который поэтому не является полным.

Обозначим Р*= U Р{ nA(G). Точки дополнительного к Р* абсолюта дНп П (U-Р,) при ретракции Н" —* Но переходят в конечные точки области Нильсена и, поэтому, не могут соответствовать концам орбифолда 6G. Кроме того, из геометрической конечности

группы G следует, что множество Р* конечно и его факторклас- сам, т. е. точкам из P*/G, взаимно однозначно отвечают концы орбифолда 6с- Пусть р 5 Р*. Тогда для орисферы Sp в этой точке существует минимальное расстояние между ее 0р-образами, которое определяет число d^p*') для класса p*^P*jG.

Если для всех р* £ P*/G имеем d(p*)=0, то в силу конечности Р* можно построить G-инвариантное семейство непересекающихся орисфер Sp, р ё Р*. Обрезая у Р; соответствующие оришары, получаем при склейке орбифолд с краем, имеющий компактный ретракт 6° подорбифолдом в 6с- Отступим теперь от выбранных орисфер на расстояние / > О и аналогичным образом получим компактный подорбифолд 6f, 60 cz 6t с 6g, являющийся /-окрестностью для 60. Продолжая этот процесс, имеем исчерпание 6g компактными подорбифолдами 6f, s-окрестность которых есть 6t+s- Противоречие этого с неполнотой 6g показывает, что для некоторого р^Р* d(p)>0, т. е. Gp содержит локсодромические элементы. Однако наличие их неподвижных точек на границе локальноконечного фундаментального множества группы G, являющегося объединением конечного числа выпуклых полиэдров Р;, невозможно по следствию 5.22. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы 6.6.

В приведенном доказательстве содержится информация о предельных вершинах пробных полиэдров, дающая доказательство следующего утверждения:

Следствие 6.8. Гиперболическая структура с голномией d* на орбифолдеб, dim 6^2, полученном изометричным отождествлением граней конечносторонних полиэдров Plt ..., Р,„с Нп, полна, если и только если U дР; не содержит неподвижных точек локсо- 1= 1

дромических элементов группы de(n1(6)) о: Isom//".

Правильные разбиения гиперболического пространства. Здесь мы получим условия, при которых заполнение пространства Нп, описываемое комплексом (/С", л), т. е. процесс «.периодического» прикладывания гиперболических полиэдров по целым граням приводит к правильному разбиению Нп.

Теорема 6.9. Пусть заполнение пространства Нп, п^2, задается правильным комплексом (Кп, п) с конечносторонними пробными полиэдрами Рг, ..., Рт^Нп. Тогда это заполнение является правильным разбиением, если и только если оно удовлетворяет условию VII локальной конечности, а проекция л взаимно однозначна вокруг каждой (п-2)-мерной грани комплекса Кп.

Доказательство. Утверждение теоремы о эквивалентности полноты заполнения (л (| /С" |)=Я") условию VII является непосредственным следствием теоремы 6.6 и леммы 6.2. Для доказательства второго свойства разбиения — гомеоморфности проекции л — доста-

182 гл- 6- АЛГЕБРО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГРУПП точно доказать (в силу односвязности Нп), что л является накрытием. Здесь мы обобщим подход А. Д. Александрова [1].

Для этого определим в пространстве | Кп | специальные (шаровые) окрестности (ср. Александров [1]). А именно, если точка у€|А”| лежит внутри какого-либо полиэдра Р, то в качестве ее окрестности возьмем содержащийся в Р шар В {у, г^ с центром у и некоторым радиусом гу > 0. Пусть теперь точка у лежит внутри некоторой /г-мерной (fe^O) грани Qk комплекса Кп. Рассмотрим все полиэдры комплекса, содержащие грань Qk, и, построим в каждом из них шаровые секторы с центром в точке у, не пересекающие никаких других граней, кроме Qk и тех граней полиэдра, которые содержат Qk. В силу условия конечносторон- ности можно найти такое число г,, ? 0, что шаровые секторы в примыкающих к Qk полиэдрах можно взять одного радиуса rti > 0. Объединение всех этих шаровых секторов и дает шаровую окрестность В (у, г ) точки у. Аналогично определяется шаровая окрестность вершины комплекса — как объединение шаровых секторов во всех полиэдрах комплекса, содержащих вершину у. При этом все шаровые секторы берутся такого радиуса г , что они пересекают только те грани полиэдров, что содержат вершину у. Существование такого гу > 0 —одного для всех полиэдров, получается снова из условия конечносторонности Pb is^t^m. Возьмем теперь в одном из пробных полиэдров какую-либо точку у и рассмотрим все точки у'€|А"|, соответствующие ей. В качестве радиусов г^ шаровых окрестностей точек у' можно взять одно Ну > 0. Это очевидно, если у лежит внутри какого- либо полиэдра Р — тогда Ry = ry. Для точки у, лежащей на fe-грани Qk, O^fe^n— 1, в каждом из пробных полиэдров имеется лишь конечное число соответствующих ей точек у'. Это следует из условия конечносторонности и того, что стабилизатор грани Qk в группе Q конечен —в силу условия VII он не может содержать локсодромических элементов. Поэтому при 7? = min/у шаровые окрестности В (у1, Ry) точек у', соответствующих точке у, и будут искомыми, так как любой из полиэдров комплекса равен одному из пробных.

Покажем теперь, что в определении накрытия для проекции л в качестве окрестности U (х) любой точки х£Нп, можно взять шар Вп(х, Ry) = л (В (у, Ry)), где некоторая точка у взята из л-1(х). В самом деле, за исключением тривиального случая (у € int Р,), поверхность шаровой окрестности В (у, Ry) состоит из (п — 1)-мерных сферических полиэдров, вырезаемых на (и—1)-сфере шаровыми секторами. Эти полиэдры образуют комплекс Кп-1 со свойствами I — IV и пространством |Ап-1|, являющимся поверхностью шаровой окрестности В (у, Ry). Проекция л естественно определяет непрерывную проекцию пространства |Ап-1| на (и—1)-мерную сферу радиуса Ry с центром в точке х^Нп, где х —л(у). Это следует из изометричности л на полиэдрах Р^Кп.

Поэтому (и—1)-мерная проекция удовлетворяет свойствам V и VI и по теореме 6.1 пространство IK"^1! отображается на всю сферу. Так как каждая (п — 3)-мерная грань комплекса Кп-1 есть пересечение некоторой (и — 2)-мерной грани комплекса Кп, подходящей к точке у, со сферой радиуса Ry с центром в точке у, то из взаимной однозначности л вокруг каждой (п — 2)-мерной грани комплекса К'1 следует взаимная однозначность (и—1)-проекции вокруг (п —3)-мерных граней комплекса Rn~1. Поэтому пространство |/<п"1| гомеоморфно проектируется на сферу S"'1^, R^ (теорема 6.1). Отсюда и из изометричности л на шаровых секторах получаем гомеоморфизм шаровой окрестности В (у, R^ на шар Вп(х, Ry), осуществляемый проекцией л. Произвол в выборе точки у из л-1(х) и совпадение у всех таких точек радиусов Ry шаровых окрестностей завершают доказательство наличия свойства накрытия у проекции л. Отсюда, в силу односвязности пространства Нп, следует гомеоморфность л. Это завершает доказательство теоремы 6.9.

Жесткость разбиений в размерности больше 3. Пусть ^Кй, л0) - некоторое правильное разбиение гиперболического пространства Нп с пробными полиэдрами Р®, . . ., Р®т (для простоты, конечного объема). Нас здесь будет интересовать возможность деформации такого разбиения в локально топологически подобное неполное заполнение (К, л) пространства Н", т. е. заполнение, для которого существует отображение /: Нп Нп, являющееся G-согласованным гомеоморфизмом на регулярных окрестностях / т \

образов gl U Р®\, g^G. Если при этом через 6 и 6' обозна- м= 1/

чены соответствующие разбиению (Ко, л0) и заполнению (К, л) полный и неполный гиперболические орбифолды, то указанное отображение / опускается до их гомеоморфизма /: 6—*6'.

Замечание 6.10. В п. 2 настоящего параграфа мы убедились на примере правильного октаэдрического разбиения (Кщ„ л^,) пространства Н3 в существовании произвольно близких к тождественному деформаций / с указанными свойствами.

Ниже мы покажем, что в размерности п ^4 имеется супержесткость разбиений, т. е. не существует деформаций правильного разбиения пространства Нп, п ^4, в локально топологически подобные неполные заполнения.

Теорема 6.11. Пусть заполнение гиперболического пространства Нп, п^4, задается правильным комплексом (К, л) с пробными полиэдрами Рг, . . ., РГП cz Нп конечного объема. Тогда эгпо заполнение является правильным разбиением пространства Нп, если и только если оно локально топологически подобно некоторому правильному разбиению (Ко, л0) пространства Нп.

Доказательство. Пусть 6 и 6' — определенные выше п°лный и неполный орбифолды, соответствующие правильному

разбиению (Ко, л0) и локально топологически подобному ему заполнению (К, л). Из следствия 5.40 и теоремы Бибербаха (теорема 3.8) видим, что полный гиперболический орбифолд 6 конечного объема имеет геометрически конечную структуру и любой его конец Е имеет структуру некоторого замкнутого (и—1)-мерного евклидова орбифолда Еп~\ а окрестность такого конца имеет вид (см. § 1 гл. 7):

U ^ = En-Yx\0, ооу (6.5)

В то же время, из следствия 6.8 получаем, в силу неполноты 6'( что существует предельная вершина p'€(UP,), стабилизатор которой в группе голономии G' орбифолда 6' является локсодромической группой (элементарной). Действие этого локсодромического стабилизатора на множестве параллельных геодезических лучей в Нп, оканчивающихся в р’, эквивалентно действию аффинной дискретной группы Г в проколотом евклидовом пространстве /?п-1\{0}, являющейся конечным расширением абелевой группы растяжений (на орисфере Sp- cz Нп гиперболическая метрика индуцирует евклидову метрику, в которой начало координат отвечает оси локсодромического стабилизатора Gp,). Хорошо известно (см., например, Гольдман [6]), что факторпространство (/?п-!\{0})/Г конечнократно накрывается многообразием Хопфа, диффеоморфным S1xS"-2. Полученный факт показывает, что никакая окрестность неполного конца орбифолда 6'= /(6), отвечающего предельной точке р', не может быть гомеоморфка окрестности полного конца (6.5) орбифолда б при п ^4, конечнократно накрываемой заполненным проколотым (п—1)-тором Tn-1x[0, оо) = Sxx • • • xSxx [0, оо). Это противоречие доказывает полноту заполнения (К, л). После этого условие локального топологического подобия заполнения (К, л) разбиению (К», л0) и теорема 6.9 завершает доказательство того, что ^К, л) является правильным разбиением гиперболического пространства.

Тривиальность обратного утверждения заканчивает доказательство теоремы 6.11.

Замечание 6.12. Условие теоремы 6.11 об ограниченности объемов пробных полиэдров Рг, ..., Рт заполнения (К, л) можно заменить более слабым условием их конечносторонности, потребовав дополнительно выполнения следующего условия:

правильное разбиение (Ко, л0) пространства И*, локально топологически подобное заполнению (К, л), таково, что в каждой бесконечно удаленной точке р на абсолюте полиэдров л0(Р”), i=l, ..., т, ранг стабилизатора GpczG либо равен 0, либо не меньше 3.

Для доказательства этого утверждения необходимо перейти от орбифолдов 6 и 6' к их минимальным ретрактам, индуцируемым ретракцией (5.6). При этом концы полного орбифолда,

II

§ 2. СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КЛЕЙНОВЫХ ГРУПП 185 являющегося ретрактом б, гомеоморфны произведению ЕкРХ Х[0, 1 ]”-^-1, где ^ = rank Gp ^3; неполный же конец в этом случае конечнократно накрывается произведением многообразия Хопфа SYxSkP-T на [0, l]n-^-i и, поэтому не может быть гомео- морфен концу полного орбифолда.

Замечание 6.13. Теорему 6.11 можно рассматривать как обобщение того факта (Гарланд, Рагунатан [1, тоорема 7.2]), что для дискретной группы G~ Isom Я”, no\H*4G< оо, и ^4, не существует гомоморфизмов Ф: 6—* Isom Я", произвольно близких к включению.

Прямо противоположную ситуацию при ц = 3 описывает теорема нежесткости Тёрстона [1] (см. также Милнор [4]):

Для некомпактного ориентируемого гиперболического 3-многообразия М —Н3Д, volM<oo, существует бесконечная последовательность гиперболических многообразий Мк = Н3/Фк (Г), аппроксимирующих многообразие М в том смысле, что при k--* оо гомоморфизмы ФА: Г —> Isom Я3 сходятся к включению Г cz Isom Я3 в топологии поточечной сходимости. Более того, vol Mk < vol М сходятся к vol М.

Замечание 6.14. Замечание 6.7 показывает справедливость теоремы 6.9 (дающей условия, при которых гиперболическое заполнение является разбиением) и для заполнений, не являющихся правильными (т. е. непериодическими). Справедливость теоремы 6.11 для таких заполнений остается открытым вопросом. Также неизвестно, существуют ли (и для каких размерностей и) непериодические заполнения пространства Нп неограниченными многогранниками конечного объема.

Свободные произведения клейновых групп

В этом и следующем параграфах мы займемся определениями, свойствами и некоторыми приложениями произведений разрывных групп, которые дают один из важнейших способов построения новых разрывных групп из более простых, с хорошо известными свойствами. Обычно в этом случае рассматривается какое-либо семейство {6,}, 1^3, разрывных групп и группа G = <G;, i^3>, порожденная этим семейством. Задача заключается в нахождении Условий, при которых группа G снова будет разрывной, а также в выяснении алгебраической структуры группы G. Впервые такая задача возникла в работе Ф. Клейна [1], рассмотревшем случай, когда группа G будет свободным произведением групп G,, i = 1, 2. Дальнейшее и далеко идущее развитие метода конструирования Разрывных групп, получившего название метода комбинирования, было дано Б. Маскитом [3—5]. Эти построения, с одной стороны, Тесно связаны с алгебраическими методами свободного произведения групп, свободного произведения групп с объединенной Подгруппой и HNN-расширения групп (см. Магнус, Каррас и

Солитер [1], Линдон и Шупп [1]), а с другой, носят фактически геометрический характер и глубоко связаны с топологией и теорией униформизации (см. Цишанг, Фогт и Колде- вай [1]; § 2 гл. 7, § 3 гл. 8, гл. 9). Мы будем иллюстрировать все приводимые утверждения соответствующими примерами.

Теорема 6.15 (комбинирование Клейна). Пусть {G,}, С,-сМбЬ(и),— семейство разрывных групп, имеющих фундаментальные области F,- и удовлетворяющих следующим условиям;

ext К,- с F у для всех i=^ j, i, j € 3,......

F=intf П FA^0.u-

Тогда группа G=<G,, iE3>, порожденная объединением групп G;, разрывна и является свободным произведением групп Gj. При этом F— фундаментальная область группы G.

Доказательство этого утверждения элементарно и не зависит от характера пространства и группы его гомеоморфизмов (ср. Форд [1]).■

Пример 6.16. Рассмотрим фуксовы группы Сг, ..., G,„ с: с Mob (и), действующие соответственно в шарах Blt ..., Втс Rn, достаточно удаленных друг от друга (так, что выполняется условие 1) теоремы), и представляющие замкнутые гиперболические многообразия М; = B^G,, i=l, т. Тогда порожденная ими клейнова группа G=<GT, . .., G„>czM6b(n) является функциональной — имеет инвариантную (односвязную при и^З) компоненту Qo cz П ext В; и униформизирует замкнутые конформ- г= 1 ные многообразия:

ЩО)/С = МЖи... UM„.(6.6)

При этом многообразие Ме получается как связная сумма многообразий Mi = Bi/G!, t= 1, . .., т (см. § 1 гл. 7):

M^Qo/G^^# ... #/И,л.(6.7)

При /г ^ 3 оно универсально накрывается Qo и уже не гиперболично (не асферично) — в отличие от случая и = 2, когда гиперболическая поверхность Мо имеет род, равный сумме родов поверхностей М,-.

Пример 6.17. Другой важный пример получается рассмотрением семейства 2 попарно непересекающихся сфер в Rn, общая внешность которых имеет непустую внутренность fs (ср. (3.13)). Тогда группа Gv, порожденная инверсиями относительно сфер о £ 2 или инволюциями (эллиптическими преобразованиями второго порядка) относительно сфер о £2, является разрывной и имеет F^ своей фундаментальной областью. Группа Gs при этом есть свободное произведение циклических групп второго порядка. Этот подход уже был раньше использован при построе-

нии групп GczM6b(«), п^З, с заданным числом инвариантных компонент (см. теорему 3.15).

Заметим, что для любой области D с Rn можно рассмотреть такое семейство 2, что F^ и D имеют один гомотопический тип. В этом случае dF% — Л (G2). Это показывает, как заметил И. А. Волынец [2], путь построения клейновых групп G а МбЬ(д), компоненты связности Qo множества разрывности которых имеют заданный гомотопический тип (например, rank Л] (Qo) = k, или rank л2 (Q0) = /n, где m, k — заданные натуральные числа).

В дальнейшем для удобства будем считать, что все рассматриваемые клейновы группы G = Mob (д) содержат бесконечно удаленную точку в Q(G). Это условие не ограничивает общности, так как ему удовлетворяет при подходящем /г^МбЬ(д) группа hGhx.

Через т„(Х) обозначаем меру Лебега множества X из пространства Rn.

Теорема 6.18(1-е комбинирование Маскита).

Пусть Gx, G2 с Mob (п) — разрывные группы с общей подгруппой Н, S с R"— жорданова гиперповерхность, разбивающая Rn на две области Dx и D2, замыкания которых строго инварианты в Сг и G2 (соответственно) относительно подгруппы Н и пусть выполнены условия;

если \, Fx, F2 —фундаментальные области групп Н, Gt, G2, то существует окрестность V поверхности S такая, что

'An V<= Fh i=l, 2; / '(6.8)

АП Dj = П,ПР^ Fh t=l,2.'

Тогда;.

группа G = <G1, G.2> разрывна и изоморфна свободному произведению групп G1 и G2 с объединенной подгруппой Н; .

F = F1nF1 — фундаментальная область группы G; .

если тп(Х(0;)У=0, 1 = 1, 2, то m„(A(G)) = 0;

если g^G—эллиптический или параболический элемент, то g сопряжен в G с элементом из GT U G2.

Доказательство теоремы будет следовать схеме Маскита [5], который доказал эту теорему для клейновых групп на плоскости (ср. Иваску [1]). В процессе доказательства нам понадобятся некоторые предварительные утверждения.

Лемма 6.19. Пусть GcF\bY> (п) — разрывная группа, G„={id}, o°C^(G), и пусть г„ — радиус изометрической сферы элемента £€G\{id}. Тогда

5 г^ < оо.(6.9)

geo

Доказательство леммы (см., например, Ананасов [8, с. 742]) следует из того наблюдения, что образы g(B) внешности достаточно большого шара Вп(х, г) лежат внутри его и Имеют радиусы krl/r.

Лемма 6.20. Пусть S cl Rn — жорданова гиперповерхность, инвариантная относительно подгруппы Н разрывной группы G с Mob (и) такой, что оо £ £2 (G), оо G (S), и пусть существует окрестность V для S такая, что V Г) А ст F, где A, F— фундаментальные области для Н и G.

Тогда для любого разложения.-!

G = Hl}glHuglHl) ...» .;(6.Ю)

где gi G. G, giH D g;H = 0, диаметры d (gi (S)) таКОвы, что

2<ад<<ю. " •(6.H)

= 0

Основная идея доказательства этого утверждения принадлежит Кёбе, который использовал аналогичное утверждение при п = 2 для доказательства того, что "тг (А (Г)) = 0 для группы Шоттки Г на плоскости.

Если для фиксированного g^G мы рассмотрим множество центров q(gh') изометрических сфер отображений gh, где h£ Н, то, очевидно, оно инвариантно относительно группы Н;

q№ = W4^ = h-4q^Y(6.12)

Так как oogQ(G), то для каждого gi, i = 0, 1, . .., из (6.10) найдется единственный элемент hj^H такой, что q (gthi)<L&- Можно считать, что q(^,)€A. Обозначим через S, расстояние q^gi) Д° поверхности S. В силу (6.12), инвариантности S относительно Я и по предположению леммы существует по крайней мере одно i такое, что q(gi) € А Г] Vc F. Отсюда видим, что можно выбрать 60 > 0 такое, что б, > 60 для почти всех номеров i.

Каждый элемент g, имеет представление gi=Ti3t, где 3;— инверсия относительно изометрической сферы / (gi) радиуса г,, а Т,—евклидова изометрия. Поэтому можно записать:

d kgi (S)) = d (3; (S)) <d[3; (Sn~1(q (gi), 6,-))] < r^.

Эти неравенства и лемма 6.19 заканчивают доказательство (6.11).

Доказательство теоремы 6.18. Покажем сначала, что для всякого g ^G, записываемого в нормальной форме:

g^-gn-• ■•■§!,(6.13)

где п > 0 и либо g2iEG2\H, g^i^G^H, либо ga^G^H, g2l + i€G2\H, и для любого хСЕ^ЛпД. имеем g(x)£F.

Допустим, для определенности, что в записи (6.13) giEG^H, т. е. выполняется первый случай. Так как АГ)О1 = Е1ПО1, т0 для х g Dt и giG. Gt\H обязательно gi (х) ^Ьг и gi (х) F- Аналогично, для x^D2 и для giEG2\H имеем gi^x^D'i и gikx^F.

Таким образом, мы видим, что для любого x^F имеют место соотношения gi(x) GD2, g/(x) £F; g2g1(x)^D1, ^ (х) F и т. д. Это показывает, что g (х) F. -

Из предположения II теоремы следует, что

0 =/= р! П D2c А П D2 = Fan Ог, (6.14) т. е. FD О2 ^ 0 • Аналогично (6.14), получаем РпОг#=0. Не" пустота F и то, что для нетривиального g из (6.13) g'(F)nF=0, показывают, что в G нет тождественных нетривиальных слов вида (6.13), т. е. G ^ Gi н G2 — свободное произведение с объединенной подгруппой. Причем, так как H(F) П F=0, а объединение G^Ft П D.,) открыто в Rn, то одновременно нами доказано свойство разрывности группы G, т. е. утверждение а) теоремы. В дальнейшем мы можем считать, что oo^F; это влечет ограниченность S и ее образов g(S) для g^G.

Докажем теперь включения

An V<=FcQ(G). (6.15)

Первое из них очевидно (см. 6.8)). Для доказательства второго заметим, что из условия 11 следуют равенства F П Dt = F2 п Dx и Ff\D2 = F1 ЛО2. Поэтому, рассматривая, как и выше, нормальную запись (6.13) элементов g^G, получаем, что для любой точки х£ F П ЦХ U О2) существует ее окрестность U такая, что g^U) П и^0 лишь для конечного числа элементов g £ G. Остается доказать аналогичное свойство для точек из F П S. Имеем очевидные включения:

Fn5=AnSczAnVczF. (6.16)

Пусть х0 £ F n S и U — ее окрестность, U<z V. Для каждой точки x^U существует h^H и точка у^А такие, что h^ = y. Окрестность U можно сделать настолько малой, что эти точки у можно выбрать из A n V. В противном случае найдется последовательность точек х„, сходящаяся к х0, и последовательность ^h^ czН такие, что lim h,n (xm) = у0 ^ V. Это противоречит тому, что H(S) = S, и у0 при этом будет предельной точкой группы Я. Таким образом, доказали, что для x0EFdS существует такая окрестность Я, что все ее точки //-эквивалентны точкам из А П VcF. Это и доказанное выше свойство — g (F) П F = 0 для g'€G\{id}, показывают, что и для точек х„ С F П S существуют окрестности U такие, что g (Я) П Я =# 0 лишь для конечного чисЛй элементов gG.G. Это завершает доказательство (6.15).

Из теории групп хорошо известно, что хотя представление (6.13) для g^G\H неединственно, число сомножителей п > О определяется по элементу g однозначно (обозначим его через l^l; Для g^FF. |g| = 0). Если при этом в нормальной записи (6.13) Si € Сг\Н (или gx £ С2\Я), то назовем g положительным (соот-

ветственно отрицательным). Рассмотрим теперь некоторое фиксированное разложение группы G:

G = Hu(UanmH\U( UbnmH\,(6.17)

\п,т / \п,т /

где | апт | = | Ьпт | = п, апт > 0, Ьт„ < 0, и для фиксированного л > 0 рассмотрим множества:

T^Ua^^ub^^, Сп=>\Тп. . (6.18)

Пусть теперь С = U Сп и Т = /?"\С. Нашей целью будет поп

казать, что если х^С, то для некоторого g £ G g (x) C F и A^) (j L|A(G2), а также, что TcA^G) и T имеет нулевую меру. Это вместе будет доказывать утверждения Ь) и с) теоремы. "

Опишем Cv Заметим, что для х^^П^ существует g^G^H такое, что g^x^Dv Поэтому любая точка хСС1ПО2 либо предельная для Gt, либо существует g £ Gt такое, что g^ Ё Л П D2cF. Аналогично, если х^СцП^ъ то либо xgA(G2), либо существует g € G2: g^ Ё F. Если жех^ Сг П S, то либохС Л(Д)сЛ (Gj) Г) Л(С2), .либо для некоторого h^H h(x)G^nS = FnS. Таким образом, для х^С] существует g^G такое, что

^(X)€FUA(G1)UA(G2).

Непосредственно из (6.18) в то же время получаем, что для п> 1 ТпсТ^, т. е. для t^l СгсС;+1. Поэтому для любого х^С существует номер п такой, что х£С„, х^С„_1. Так как случай Сг описан выше, считаем, что п > 1 и х^Тп_г. Тогда либо для некоторых у g Е\ и ап_1з ,„ из (6.17) имеем х = а„_1, ,„ (у), либо для y£D2 и b„_i,m имеем х = b„_i, m (у). Для определенности рассмотрим первый случай (второй аналогичен). Тогда у — точка либо Тг, либо Су. Если у^Тг, то по определению (6.18) найдутся г g D2 ag £ G2\Hтакие, что у = g (z). Отсюда имеем x = tz„_1, mog(z), где | ап-1, mog | = п и an_lt mog < 0, что противоречит факту х^Т„. Таким образом, для xgCn, п > 1, найдутся ge Ё G и у0 С Сг такие, что go (х) — у0. Из доказанного выше получаем, что для xg С найдется g^G со свойством g (х) g F (J Л (GjШ Л (G2).

Охарактеризуем теперь множество Т. Заметим, что ^„,„(7)1) а — D, и bnm^D.^czD1 тогда и только тогда, когда п нечетно. Поэтому для фиксированного п выполняется anm(J)^ fl bnm(D2) = 0- Для двух различных представителей ап)1 и апк системы разложения (6.17) запишем a~0a.lk = gr-. . . ■ glt где г > 0, gT^G0xH, £r^Gx\H. Поэтому а^-а^ (Dt)c:D2 и, следовательно, «„„(ООП Па„,. (£>!) = 0. Аналогично, Ьпл (D2) n bnk (D2) = 0 для пг=^к- В то же время, так как для ^Ё(О1иС2)\Я образ g(S) не пересекается с S, то очевидно, что и для g £ G\/7 это так: g(S) П S = 0- Отсюда заключаем, что каждая компонента связности Тпт мно-

жества Тп есть множество одного из двух видов: либо cznm(D1), либо bnrR (Z)2). В то же время Тп ограничено. Это следует из включения co^FcC^ Теперь нам не нужно различать апт и Ьпт.. Вместо (6.17) мы можем записать ~

G= Uc,jH, ■(блэ)

где |c,y| = t и Tjj — область, ограниченная поверхностью cJ7(S).

Применяя к разложению (6.19) лемму 6.20, получаем

»

2d"(c,v(S)) = 5d"(T,v)= 22d"(r'V)<°o.(6.20).

i.

Из сходимости ряда (6.20) следует, что . .*

lim 2^п (Т,7) = 0.(6.21)

Если теперь точка х^Т, то х£ Т, для всех номеров i и, поэтому,, можно указать номер / = /(<) такой, что х^ Т/.у,,,. Из (6.21) тогда видим, что

Hmd(T,,/(,,) = 0.(6.22)

1’—XX

Различие элементов cii/u^ и равенство (6.22) доказывают, что точка х^Т является предельной для G, т. е. ТсА (G).

Это описание множеств Т и С, Т и С = R", заканчивает доказательство утверждения Ь) теоремы: F — фундаментальная область для G. Утверждение с) также получается отсюда, так как из. (6.21) при i—*oo имеем

mn (Т) < mn (Т^ = 2 т„ (TlV) С ®„ • 2 ^" (Ти) _ 0. (6.23) //

Из соотношений (6.23) непосредственно следует, чтотп(А(С) Г) Т)=-0. Остальная часть предельного множества —Л(б)Г)С, тоже имеет нулевую меру, если таковы A(Gi) и A(G2). Это следует из счетности G и того, что

Л(С)пС= и g(A(G1)uA(G2)).

geo

Для завершения всего доказательства остается доказать утверждение d). Пусть g£G. Рассмотрим все элементы G, ему сопряженные и пусть среди них g*—элемент минимальной длины, |g*| = m. Очевидно, что либо /п=1,либо/п — четно. Если т=\, то все доказано. Поэтому допустим, что т четно и будем считать Для простоты, что g* > 0. Легко видно, что g* (Dt)<=О1, а это возможно только для локсодромического g* и, следовательно, локсодромического g. Теорема 6.18 доказана.

Замечание 6.21. Приведенную теорему комбинирования,

как и теорему 6.23 (2-е комбинирование Маскита) можно аналогичным образом доказать и для счетного числа комбинируемых групп.

Замечание 6.22. Хотя теорема 6.18 сформулирована для клейновых групп GcMdb(n), очевидна ее переформулировка в случае дискретных групп изометрий гиперболического пространства Нп, п^2 (ср. п. 3 § 3 гл. 9).

HNN-расширения клейновых групп '

В комбинаторной теории групп хорошо известна (см., например, Линдон, Шупп [1]) конструкция HNN-расширения группы (введена в 1949 г. Г. Хигманом, Б. Нейманом и X. Нейман). Вот ее определение:

Пусть задана группа Г, ее подгруппы А и В, а также изоморфизм ф: А—* В. Тогда HNN-росширением группы Г относительно А, В и ф называют группу

С = <Г, t; t~1-at = ф(а), о^А>.

Для клейновых групп эта конструкция известна под названием 2-го комбинирования Маскита. Условия ее осуществления дает следующая

Теорема 6.23 (2-е комбинирование Маскита). Пусть Г с Mob (п) — разрывная группа с подгруппами Нг и Нг, относительно которых строго инвариантны замкнутые области Dt и D2, ограниченные жордановыми поверхностями Sx и S2 и такие, что существует /£МбЬ(п), /(int DJ = Rn\D2, и пусть выполнены условия-.

если Ап А2 и Г0сА1пА2 — фундаментальные области групп Ht, Н2 и Г соответственно, то существуют окрестности Vj и У2 поверхностей 5г и S2 такие, что А, П V,c:F0, i = l, 2;

A,, nD; = Fon Dh i=l, 2;

F — int {Fo П ext (0! U 0>)} 0 0;

Щ^ = Н2;.

g'(D1)nD2 = 0 для всех g"€r\{id}.

Тогда:

группа 0 = <Г, /> разрывна и F — ее фундаментальная область ;

каждое соотношение в G есть следствие соотношений в Г и условия IV;

если mrt (А (Г)) = 0, то mn(A(G)) = 0;

если g^G— эллиптический или параболический элемент, то g сопряжен в G с элементом группы Г.

Доказательство этой теоремы основано на тех же идеях, что и доказательство предыдущей теоремы и аналогично доказательству Маскита [5] для клейновых групп на плоскости.

Как и 1-е комбинирование (теорема 6.18), 2-е комбинирование может производиться для счетного числа выделенных подгрупп, а также для дискретных групп изометрий гиперболического пространства (см. замечания 6.21 и 6.22).

Ниже мы приведем несколько примеров применения теорем комбинирования. В них будут видны топологические ситуации, в которых возникают свободные произведения с объединенной подгруппой и HNN-расширения. В § 2 гл. 7 мы остановимся на этой связи еще раз.

П р и м е р 6.24. Рассмотрим в/?3 разрывную группу, полученную продолжением с плоскости R3 группы Пикара, т.е. группы,

соответствующей матричной группе с целочисленными комплексными коэффициентами. В группе Пикара рассмотрим подгруппу Gt конечного индекса, порожденную преобразованиями, которым соответствуют матрицы

/1 2\/1 i\/10\

\0 1/ Vo 1/U -'

Легко видеть, что Л (GJ = V?2, a Q(G1') = 1^\R3 распадается на два полупространства. Фундаментальный полиэдр F (G^ можно представить как пересечение внешности изометрических сфер / (gj и I (^з J с полиэдрами {х £ R3; —1 < хг < 0, 0 < х2 < 1} и {х С R3: 0<^1<1, —1<х2<0}. На рис. 40 показана проекция F (GJ на плоскость R3.

Сдвигом F (GJ по оси х3 на 3 получается фундаментальный полиэдр F (G2) группы G2 = yG1y~1, где у (х) = х+е3.

Очевидно, что группы Gt и О2 удовлетворяют всем требованиям 1-го комбинирования Маскита, если в качестве объединенной подгруппы Н взять группу, порожденную переносами gt и g4, а в качестве поверхности 5, строго инвариантной относительно Н, взять плоскость S={xg2?3: х3 = 3/2}.

Из доказательства теоремы комбинирования видно, что разрывная группа G = G1*G2 имеет инвариантную компоненту Qo, н

77В. Н. АнанасовВ. Н. Ананасов

7

7

В. Н. Ананасов

В. Н. Ананасов

й0с{х€У?3: 0<х3<3}, а все неинвариантные компоненты Q, эквивалентны либо полупространству Dt^x^R3; xs>3}, либо полупространству О2=Цх^: х3<0}. При этом Qo —стягиваемая область (гомеоморфная шару). Группы Gt и G2 имеют представление

^i, ^2, g3: g3 (g^1) gsg^g^g^g»1 = [gi, g2] = 1>. (6.24) Представление (6.24) можно преобразовать:

<gz, g3‘ [ga-1, gs]-[g2,g8]-[g2, g^Hgl1, g3l] = 1>. " (6.25)

Тогда из теоремы Райли [1] и параболичности порождающих g2 и gs следует, что многообразия DjGx и DjG2 гомеоМорфны

внешности зацепления Уайтхеда (рис. 41), фундаментальная группа которого

<аи аг; [а^1, ^-[аг1, ar1]-^, af1]-^, «1] = 1> (6.26) изоморфна группе (6.25).

Естественная проекция л: Qo - ^ ^[G задает на многообразии Л40 —Qo/G конформную структуру, а отражение в R3 относительно плоскости S индуцирует на Мо конформную инволюцию (изменяющую ориентацию) <р: Л4О- -Л4О. Множеством неподвижных точек инволюции ср является вложенный в Мо несжимаемый тор S]H, дополнение к которому в Мо распадается на две компоненты связности, гомеоморфные дополнению в S3 к зацеплению Уайтхеда (рис. 42). Это показывает, что многообразие Qo/G гомео- морфно внешности зацепления в S3 = ^3, показанного на рис. 43.

Наличие в Qo/G несжимаемого тора S)H (не параллельного торам границы дЛ40) влечет наличие в лх (Qo/G) непериферической подгруппы Z@Z и, следовательно, негиперболичность многообразия Qo/G (см. § 3 гл. 8).

Как заметил X. Монтезинос, многообразие Qo/G есть четырехкратное разветвленное накрытие дополнения в S3 к торичес- кому зацеплению. Это видно из схемы на рис. 44 последовательных двулистных накрытий рг и р.2.

Этот факт показывает, что при склейке двух экземпляров дополнения к зацеплению Уайтхеда (которое универсально —

см. § 1 гл. 7) получается многообразие, уже не являющееся универсальным—как дополнение к любому зацеплению, получающемуся итерацией из тонического зацепления (Монтезинос).

Таким образом, Q(G)/G есть объединение трех К (л, ^-многообразий, два из которых гиперболические и универсальные (гомеоморфны внешности зацепления Уайтхеда), а третье не является ни гиперболическим, ни универсальным, и гомеоморфно внешности зацепления, показанного на рис. 43.

1 Заметим, что в группе G можно рассмотреть также процесс ^HNN-расширения, при котором отождествляются параболические (подгруппы, в которые входят, соответственно, отображения ga |и Т£зТ-1- Топологически это будет соответствовать отождествлению двух компонент границы дМ0 многообразия M0 = Q0/G. Это ;отождествление задает еще одно вложение несжимаемого тора, (не гомотопного тору S/H. Получаемое многообразие можно рас- ^сматривать как дубль М дополнения к зацеплению Уайтхеда М |относительно его края дМ, состоящего из двух торов (см. по- Iдробнее § 5 гл. 8).

? Пример 6.25. Пример, аналогичный предыдущему, получа- (ется, если в качестве подгруппы Пикара Gt взять группу, порождаемую отображениями, задающимися матрицами

■и имеющую представление

Gi = <gl, gt» g$, gv gig» = g»gi, gtg3g^ = g3gl,

;g^g^g^gX^g^gsgig^- (6-27)

Можно показать (см. Биленберг [2]), что пересечение полиэдра

(6.28)(6.28){%€Я3: —2<xt<2, —1 <х2< 1}

(6.28)

(6.28)

с внешностью изометрических сфер / (g3), 7 (gs1), 7 (g4), ^(gT1) и их образов при сдвигах gT и g2 дает фундаментальный полиэдр F (G^ группы Gt (рис. 45), а многообразие H3lG1 гомеоморфно внешности боромеевых колец (рис. 46), фундаментальная группа которой изоморфна (6.27) (с соответствием ее порождающих параболических элементам g2, g3 и g4).

Как и в предыдущем примере, группы Gx и G2 = yG1y1 (у: хх + Зе3) с объединенной подгруппой Н = <gt, g2: [gi,g2]=-l>

удовлетворяют 1-му комбинированию Маскита, и группа G = G^G2 н имеет инвариантную компоненту £20 и два класса неинвариантных компонент, эквивалентных полупространствам Dt и D4 = Rt. При этом Q(G)/G есть объединение двух гиперболических (универсальных (см. Хилден, Лозано, Монтезинос [2])) многообразий, гомеоморфных внешности боромеевых колец, и конформного К (л, 1 ^многообразия, не являющегося гиперболическим и гомеоморфного внешности зацепления, показанного на рис. 47. Неги- перболичность многообразия ti0/G следует из того факта, что отражение в R3 относительно плоскости S={%£7?3: x3 = 3/2}c:Q0 индуцирует (изменяющую ориентацию) конформную инволюцию ф: Qo/G - Йо/С. При этом множество {xgQ0/G: ф (%) = %} является вложенным несжимаемым в QJG тором S/Н, дополнение к'которому в £i0/G имеет две компоненты связности, гомеоморфные внешности боромеевых колец (рис. 48). Несжимаемость тора SiH и не параллельность его торам границы д (Ho/G) доказывает наличие в Л! (Qo/G) непериферической подгруппы ZvyZ и, следовательно, негиперболичность многообразия Qo/G (см. условия гиперболичности в § 3 гл. 8).

Группу G можно расширить до группы G, дважды применив процесс HNN-расширения— отождествляя параболические под-

группы, содержащие соответственно gs и gt, с параболическими подгруппами, содержащими элементы у^зТ1 и TgiY”1- Полученное замкнутое многообразие М = fl0 (G^G будет параболическим дублем внешности боромеевых ।

Другие примеры применения теорем комбинирования мы приведем в § 2 и 3 гл. 7 и в § 5 гл. 8. В частности, они будут играть важную роль при построении клейновой группы в R\ у которой предельное множество представляет собой дико вложенную в /?3 2-сферу.

§ 4. Граф Кэли и комбинаторная структура дискретной группы

Пусть G— конечно порожденная группа и S = {g^, -..,gm^— множество ее порождающих. Тогда для элементов g^G определим норму |g| как наименьшую длину слова, которым g записывается через элементы 5. Это определяет левоинвариантную {словесную) метрику (*, *) на G, где {а, Ь) = |а-1Ь| для a, b^G. Эта метрика зависит от выбора множества S, однако любые две словесные метрики р и р', соответствующие двум множествам порождающих 2 и S', являются соизмеримыми, т. е. тождественное отображение id: G —* G является квазиизометрией". К-р{а, Ь)^. ^р' {а, Ь)^К' -р(а, Ь), где a, b^G, а постоянные К, К' > О зависят только от S и S'.

Определим граф Кэли К {G,^) группы G (см. Кэли [!)) как неориентированный 1-комплекс, вершины а, b которого однозначно соответствуют элементам а, b группы G и соединяются ребром, если a = bg±T для некоторого g^^- Для задания метрики на графе Кэли К (G, S) рассмотрим убывающую суммируемую функцию /: N^R+ такую, что для любого k^N существуют т, п^М, для которых т•) (г) <PJ{кг) <'п-Цг) (этим условиям удовлетворяет функция Цг) = г-2, /(0) = 1). Тогда длиной ребра в ^{G, S) с вершинами а, b объявляем min {/ (| а |), /-(IЬ |)}, а рас-

стояние <а, Ь> между любыми двумя вершинами а, b в К (G, 2)

определяем как минимум длин ломаных, соединяющих эти вершины.

Как мы увидим ниже, граф Кэли является внутренним инструментом для изучения комбинаторных свойств группы G, а также для изучения действия группы G на гиперболическом пространстве Нп или на G-инвариантных подмножествах из Нп\ддНп.

Пополнение группы. Обозначим через К (6, 2) пополнение Коши метрического пространства (К (G, 2), <*, *>), элементами которого являются классы сходящихся последовательностей вершин K(G, 2). Тогда пополнением 6 = 6(2, /) группы G называется метрическое пространство К (6, 2)\К (6, 2). Каждая точка w£GC£, П может быть представлена последовательностью Коши

{ш,} сК (6, 2), где Wj^G. Такая последовательность называется кратчайшей, если |w, | = i и (w;, zy, + i)—1 для всех i^N. В этом случае элемент щ можно представить как бесконечное слово в алфавите 2, которое на каждом конечном шаге записано в кратчайшем виде или, эквивалентно, как путь в К (G, 2) без возвращения. Записывая каждое слово чу,- из последовательности Коши {ау,}, определяющей элемент w £ К (G, 2), в кратчайшем виде, легко показать при помощи кан-

торовского диагонального построения, что любой элемент w^K (6,2) представим кратчайшей последовательностью Коши.

Пример 6.26. Пусть G-Z*Z, 2 = {а, b) и пусть f (г) — г . Тогда граф Кэли К (G, 2) является деревом, а пополнение 5(2, /) гомеоморфно (как и для любой свободной группы ранга больше 1) канторовскому дисконтинууму. На рис. 49 показано подмножество К(G, 2), имеющее вершины с нормой, не превосходящей 4.

Непосредственно из свойств сходящихся последовательностей и конструкции пополнения получаем следующие простые свойства пополнения группы (см. Флойд [1]):

6(2, /) является компактным метрическим пространством.

Менее очевидным является следующее утверждение Флойда [1]: Лемма 6.27. Пополнение G конечно порожденной абелевой гриппы. G ранга больше 1 является точкой.

Доказательство. Нам достаточно доказать, что для любых двух бесконечных групп G и Н с конечными порождающими множествами Ei и S2 соответственно пополнение 6фН их прямой суммы G®H с порождающим множеством SiUS2 является точкой. Это будет доказано, если мы для любого е > 0 найдем номер n€N и элемент шп^О^)Н такие, что любой элемент g С Gф Н, длина которого |g| больше п, лежит в /((Оф//, 2^ (jS2) на расстоянии меньше е от элемента вип.

Зафиксируем w € G и и^Н, задающиеся своими кратчайшими последовательностями {ш,} и {и,}. Пусть номер пг С N такой, что 2 /(0<е/4. и пусть n = 2nv i= nt

Если элемент g = a^)b имеет длину |g|^n, то при |6]^ni рассмотрим путь в K(G^H, SiU22):

g= a^b—-wnQW-.wn,(6.29)

a-'wn„

где>■ обозначает путь, получающийся приписыванием слова a-Ywn (записанного в кратчайшей форме) и прохождением всех соответствующих такому приписыванию ребер в К (G^H, Sj (j22). Из выбора п и П1 следует, что путь (6.29) имеет длину меньше е.

Если |а| ^«1, то рассмотрим достаточно большой номер n,^N такой, что /(п2) < е/4 (о)„, а). Тогда путь

2 = аф^афу^”Шпфу/^ ,(6.30)

снова имеет длину меньше е. Это заканчивает доказательство того, что <g, twn> < е. Лемма доказана.

Соизмеримые метрики. Пусть теперь Gc Isom//”, n^2,— дискретная геометрически конечная группа, а 2 состоит из элементов, отождествляющих попарно эквивалентные стороны фундаментального (конечностороннего) полиэдра Р = Р^сН". Считая, что Нп с гиперболической метрикой d есть модель Пуанкаре в шаре Вп = Вп(0, 1), а 0 не является неподвижной точкой для элементов группы, определим отображение

ср: K(G, ^-^Н".(6.31)

А именно, каждую вершину, соответствующую элементу g^G, отобразим в g(0); ребро, соединяющее вершины a, b^G, отобразим в отрезок [а(0), 6(0)]н геодезической, проходящей через точки а(0) и 6(0). При этом считаем, что метрика на К (G, 2) либо словесная, либо задается с помощью функции /(г) = г~2.

■ Ясно, что ф является собственным G-эквивариантным вложением, т. е. прообраз ф~1(С) компакта Сс.Нп компактен, для любого g^G g° Ф° g-1 = ф и ф инъективно на вершинах. При этом графы К (G, 5) и ф (К (G, 2)) можно отождествить с графом, двойственным к разбиению гиперболического пространства Нп образами g(P) фундаментального полиэдра Рс:Нп.

Предложение 6.28. Пусть Gdsom Нп, п^2,— геометрически конечная дискретная группа без параболических элементов, а на графе Кэли K^G, 2) задана словесная метрика (*, *). Тогда отображение ф есть псевдоизометрия, т. е. существуют постоянные К и К' такие, что

К~Ч«, b^d^(a), ^(Ь))^К-(а, 6)](6.32)

для всех a, b^K(G, 2), удовлетворяющих одному из условий-, (а, Ь) ^ К' либо d (ф (а), ф ф\) ^ К'.

Доказательство. В силу собственности и G-эквивариантности отображения ф нам достаточно доказать, что существуют постоянные К, К' > О такие, что для всех а £ G, ] а | ^К', имеют место неравенства (ср. Флойд [1])

/С-1 -1 а | ^ d (О, ф (а)) ^/С-1 a|.(6.33)

Так как d(0, ф(а)) = ^(0, а(0)),то правое неравенство в (6.33) следует из неравенства треугольника и конечности множества 2. При этом в качестве постоянной К можно взять число

шах {d(0, g(0)): g£2}.(6.34)

Для доказательства левого неравенства в (6.33) рассмотрим выпуклую оболочку На^Нп предельного множества A(G) (см. § 2 гл. 5), считая, что 0^HG. Тогда из теоремы 5.37 и условия отсутствия в G параболических элементов следует компактность полиэдра.

pH = p^v\HG.

Пусть a=diamHРн и пусть C=max {[a |i а £ G, d (0, а (0)) ^7а}. Тогда для любого g^G разделим отрезок [0, ^(0)]^ геодезической, лежащей в На (в силу выпуклости Но), на непересекаю- щиеся интервалы, длина которых (кроме одного короткого) равна 5a. Так как каждый конец этих интервалов находится от орбиты G(0) на расстоянии, не превосходящем а, то неравенство треугольника дает оценку

I g | ^ С (1+^ (0, g(0))/a).(6.35)

Если теперь d(0, g(0))^l, то из (6.35) следует, что

|g|<(C + C/aH(0, g(0)).(6.36)

Если же |g|^C + C/a, то из (6.35) следует, что d(0, g(0))^l и, поэтому, снова имеет место неравенство (6.36) Это показы-

вает, что левое неравенство в (6.33) выполнено для постоянных

'^' = max{l, С + С/а} и ^^1 = C + C/а. (6.37)

Рассматривая теперь в качестве постоянной К максимальное из чисел (6.37) и (6.34), получаем окончательно постоянные К и К', для которых справедливы неравенства (6.33) и (6.32). Это завершает доказательство предложения.

Полученное предложение 6.28 обобщает утверждения Флойда [1] для геометрически конечных подгрупп в PSL(2, С) и Кэннона [1] для ко-компактных групп Gczlsom//". В случае наличия в группе параболических элементов неравенства (6.32) и (6.33) уже неверны. Однако можно показать и в этом случае (используя схему доказательства для подгрупп PSL(2, С)', Флойд [1]) справедливость следующих оценок:

Предложение 6.29. Для геометрически конечной дискретной группы Gdsom Нп, п^2, существуют постоянные К, К' такие, что для всех a^G, |a|^^', выполнены неравенства

2 In | а| — 21n^^d(0, ф (а)) ^К-|а |.. (6.38)

Доказательство. Пусть снова Рс.Нп — фундаментальный полиэдр группы G, имеющий (в силу геометрической конечности G) только конечное число неэквивалентных параболических вершин ри Р.п на своей границе dPf]A(G). Рассматривая в этих точках р, строго инвариантные относительно стабилизаторов G, = = Gp. cG оришары Bj = Bpi достаточно малого радиуса г, =г > О такие, что G(B;) Л G(By) = 0 для i #= j (см. замечание 4.19), из теоремы 5.37 получаем, что обрезанный полиэдр

Рг = Рн\йо^В() = Рп(н0\й G^i=i\ i=i

является компактным множеством в Н" (но уже невыпуклым).

Определим на множестве Hr = Ha\U G(B;) метрику dr (%, у) < = 1

как минимум гиперболических длин путей в Н г, соединяющих точки х, у^Нг. Очевидно, что d (х, у^^дДх, у) и неравенство становится строгим, если геодезический отрезок [х, у\н пересекает какой-либо оришар g (В,), g^G. Обозначим для а £ G соответственно А(а) = </(0, а(0)) и h' (а) = dr (0, а(0)).

Так как G-инвариантное множество Нг разбивается на компактные подобласти g^Pr), g € G, то совершенно аналогично предложению 6.28 получаем, что для некоторых постоянных К, К' > О и для всех a^G, |a|^^/, выполнены неравенства (ср. (6.33))

/(-^IsK/iVaX^-lal.(6.39)

Для сравнения А (а) и А'(а), т. е. сравнения метрик d и dr, сопряжем гиперболической изометрией группу G так, что Нп будет

полупространством R^ с элементом длины ds2 = |dx|’/x^. Пусть точки х и у лежат на пересечении плоскости {х^Я": х,= 0, i=#l, п} с орисферой дВ^ = ^x^RV *n=U» причем х = = (— /^Т, 0, ..., 0, 1), у = (К^2-1, 0, .... 0, 1), где / — евклидов радиус геодезической дуги (в Я"), соединяющей эти точки. Тогда путь [х, у^с^дВ^ на орисфере дВ^ имеет длину 2К/2—1, в то время как

«(х. g) = in!^^>_in<^z>^=^^l^

vх Ну' — О (— / +—i)(//2_i+(-_z)

= In [(/ +- KF27!)] = 2 In (KF22! + 0

(cm. § 3 гл. 2 или Бердон [4, (7.2.6)], где i = K — 1 их' = x1 + ix„, У* = У1 A-iynY

Из вычислений следует, что длина пути [х, у\вс.дВ„ меньше (Кг2 — 1 + /) = ^<*■ у)/2. А так как к' (а) уменьшается по сравнению с к (а) только при пересечении геодезическим отрезком [0, а (0)]н какой-либо орисферы g^dB^, g^G, то отсюда видим, что

к' (a) ^eh^!\

--- Отсюда и из неравенства (6.39) следует, что для выбранных ранее постоянных К и К' > 0 и для a^G, |а|^Я', выполнено неравенство

A"1-^! <eh<a)/2,

эквивалентное левому неравенству из (6.38). Правое неравенство в (6.37) дается в (6.39) с той же самой постоянной К > 0. Предложение 6.29 доказано.

Пополнение группы и ее предельное множество. Теперь мы можем доказать для геометрически конечных групп GcMob(n), и^1 (повторяя доказательство Флойда [1] для п = 2), что введенное раньше пополнение G группы G можно рассматривать как внутреннее определение предельного множества A(G). А именно, имеют место утверждения:

Предложение 6.30. Для геометрически конечной дискретной группы GcMob(n), n^l, существует непрерывное G-эквивариантное сурьективное отображение Ф: G—*A(G).

Теорема 6.31. Для геометрически конечной дискретной группы GcMob(п), п^1, отображение Ф: G -A(G) является 1-1значным всюду, кроме параболических точек ранга 1, где оно является ^-Х-значным.

Из теоремы непосредственно получаем два важных следствия: Следствие 6.32. Пусть геометрически конечная группа GclNXo6^, п>Х, не содержит максимальных циклических параболических подгрупп. Тогда Ф: G^A(G) есть G-эквивариантный гомеоморфизм.

Следствие 6.33. Пусть М—замкнутое гиперболическое п-мерное многообразие. Тогда существует лх (М)-эквивариантный гомеоморфизм Ф: n1(M)-^Sn~1 (и, таким образом, лДМ) несвободна^.

Доказательство предложения 6.30. Считаем снова, что Нп есть модель Пуанкаре в шаре В"(0, 1), а постоянные К и К' взяты из предложения 6.29.

Пусть a^G— какой-либо элемент, записывающийся словом длины п, причем |а| = п^К'. Если L — ребро графа К (G, 2), соединяющее вершины а и b С G, то, в зависимости от b, L имеет длину либо п~г, либо (п-Н)~2.

Если г (а) — евклидово расстояние между точками 0 иа(0), то из (2.18) следуют соотношения

А(а) = 1п | (1 + г (д))/(1 — г (а)) |, г (а) = (е^- 1)/(еЛ “” + 1). (6.39) Так как для отображения ф из (6.31) гиперболическая длина отрезка ф(ЦсНп ограничена числом max {h(g): ggS}, то существует постоянная С>0 такая, что евклидова длина de (ф (Е)) отрезка ф(Л) ограничена числом С(1 — г (а)2). Отсюда, из (6.39) и из предложения 6.29 получаем

de (ф (L^ < 4С (eh 1а> + 2 + е~Л ‘“’К1 С 4Секп-\

Это показывает, что de (ф (L)) -^ ^С-ек- (длина L), т. е. что отображение ф липшицево. Поэтому ф индуцирует G-эквивариантное непрерывное отображение ф: К (G, 2) — ф (К (G, 2))с//". Сужение отображения ф на G = K(G, 2)\К (G, 2) и дает искомое отображение Ф: G-^A(G). Сурьективность Ф следует из того, что A(G) есть множество точек накопления орбиты G(0); G-эквива- риантность Ф есть следствие G-эквивариантности ф. Доказательство закончено.

Доказательство теоремы 6.31. Так как переход к подгруппе конечного индекса не изменяет ни G, ни A(G), то можно считать (в силу теоремы 1.5), что в группе G нет элементов конечного порядка. Кроме того, так как по теореме 5.24 Л (G} состоит из точек аппроксимации и параболических вершин, то нам надо разобрать два случая —когда г — Ф(да) для w^G есть, точка аппроксимации, либо Ф (да) — параболическая вершина.

Пусть г = Ф (да) —точка аппроксимации и пусть {да,}aG—кратчайшая последовательность, определяющая ш^О. Покажем, что- существует подпоследовательность в {да,} такая, что да, (0)—ф (да,)* сходятся к г, с точностью до конечного расстояния, вдоль некоторой геодезической. Для этого рассмотрим в Нп путь v, начинающийся в точке 0, состоящий из объединения отрезков, [да, (0), да,-+1(0)]н и сходящийся (по свойству {да,}) к точке г.

Из (6.39) видим, что для любых вершин а, Ь^х расстояние между ними вдоль пути v соизмеримо с расстоянием dr (а, Ь)„

где dr — метрика, индуцированная гиперболической метрикой d т

на множестве Hr = HG\U G(B;) (см. доказательство предложе- ния 6.29). Если теперь v, = [0, ^, (0)]^ —геодезические отрезки, то при увеличе .ии t их концы сходятся к г, и поэтому число вершин пути V, находящихся между 0 и оу,(О) и лежащих на ограниченном расстоянии от vz, неограниченно возрастает с увеличением i, Это следует из того, что длина пути в Я" возрастает экспоненциально по сравнению с расстоянием, на которое этот путь отклоняется от геодезической, а также из указанной соизмеримости длины пути v с расстоянием dr. Таким образом, рассматривая подпоследовательность вершин {tw,(O)}, находящихся на ограниченном расстоянии от геодезического луча [0, z)H= lim vz, l-> 00 получаем требуемую сходимость uuz (0) к г «вдоль луча» [0, г^н.

Допустим теперь, что w' ^G и Ф (ш) = г = Ф(ау'). Рассмотрим в кратчайших последовательностях {цу,} и {оу}} подпоследовательности, для которых w,- (0) и w'j (0) сходятся к г (с точностью до конечного расстояния) вдоль геодезического луча [0, г^. Ясно, что тогда можно выбрать последовательность {aJcGтакую, что {а,} содержится в {оу,} и {^/}, а,(0) сходятся к г «вдоль луча» [0, z)^ и для любого произвольно большого 10

{a,: i >Ц П {ш,} #=0, {а,-: 1>1^ П {оу}-} ^0.(6.40)

Тогда последовательность {а,} является последовательностью Коши в K(G, 2) и определяет некоторую точку a^G. Из (6.40) видно, что w = a = w'. Это показывает 1-1-значность Ф на прообразе множества точек аппроксимации.

Если z = Ф (оу) — не точка аппроксимации, т. е. параболическая вершина группы G, то пусть, как и выше, vaHr — путь, построенный по кратчайшей последовательности {оу,}, сходящийся к z и (по свойству параболической точки г) лежащий вне некоторого оришара В2 с центром в точке z.

Используя тот факт, что включение t: Gzc*G есть квазиизометрия в словесной метрике (*, *), аналогично предыдущему можно показать, что w^i^G^, где вложение i: G2—-G индуцируется вложением I. Так как Gz — свободная абелева группа ранга k = k^z\ 1^/?<и—1, то из леммы 6.27 получаем, что при rankGz> 1 пополнение Gz есть точка. Поэтому Ф 1-1-значно на прообразе параболических вершин рангов больше 1.

Если rankGz=l, т. е. G2 = Z, то Gz = Z состоит из двух точек, соответствующих концам Z, и поэтому в этом случае Ф не более чем 2-1-значно. Для доказательства того, что здесь Ф в точности^ 2-1-значно, достаточно доказать инъективность отображения i: Gz G. Пусть Gz порождается элементом g. Две точки

в Gz определяются двумя последовательностями Коши {§•"} и {£-"}. Если ввести на <р (К (G, 2)) метрику, задающуюся евклидовой длиной пути, то отображение <р становится равномерно непрерывным. Поэтому для доказательства инъективности I достаточно доказать, что в этой метрике расстояние между ^(С^и g-m(0) не стремится к нулю. Это очевидно следует из свойства г — параболической вершины ранга 1, так как наша ситуация изомет - рична стремлению gm (еп) и g~M(e„) к оо, где g: xt—>xJre1;en== = (0, ■ 0, 1)€/?^. Доказательство теоремы 6.31 закончено.

Логические проблемы: алгоритм Дена. К числу известнейших задач математики относится вопрос —можно ли считать задание группы образующими и соотношениями, адекватным ее описанием ? В частности разрешимы ли проблемы алгоритмического распознавания по любой паре слов группы G = <2; R> — являются ли равными (или, соответственно, сопряженными) определяемые ими элементы группы G или нет; аналогично, по любой паре групп — изоморфны они или нет. Эти вопросы были названы проблемами тождества, сопряженности и изоморфизма в теории групп. Они тривиальны для свободных групп, а в общем случае оказались недоступно трудными. П. С. Новиков [1, 2] впервые построил группы с неразрешимыми проблемами тождества и сопряженности, и доказал неразрешимость проблемы изоморфизма (см. также С. И. Адян [1]). С этими вопросами связан и пример А. А. Маркова [1,2] четырехмерного многообразия М, для которого невозможен алгоритм, распознающий по любому четырехмерному многообразию, гомеоморфно оно М или нет.

Проблемы тождества и сопряженности были поставлены в 1912 г. М. Деном [1,2], решившим их для фундаментальных групп замкнутых поверхностей Sg рода g> 1:

G = <at, blt .. ., ag, bg. #=[ai, М- ■ •• '[аг, Йг1 = *>•

Его решение основано на алгоритме укорачивания любого непустого слова w, представляющего 1 g G, одним из двух процессов:

удалением из w тривиального слова хх-1, или

если R' = A-B-1— какая-либо циклическая перестановка соотношения R, где длина слова А больше длины слова В, то заменой подслова А в w на слово В.

При этом слово ш называется приведенным по Дену, если оно не может быть укорочено этим процессом.

Этот алгоритм решает и проблему сопряженности в группе G = n1(Sp), которая сводится к рассмотрению пар w и и нетривиальных приведенных по Дену слов. А именно, существует фиксированное целое К = ^р такое, что ш и и сопряжены в G тогда и только тогда, когда существуют циклические перестановки ш' и и' слов w и и соответственно такие, что ш' = шУ и-х в G, где и — слово длины [и|^/(. Ввиду разрешимости проблемы

тождества слов для группы л, (Sp) и конечности числа слов и, |и|<Л, отсюда следует ответ на вопрос о сопряженности слов w и и.

Иными словами, алгоритм Дена для групп G = n1(Sp) можно описать как укорачивание непустого слова ш, представляющего тривиальный элемент в G, при помощи соотношений хх”1 длины 2 и соотношений R' длины К = ^р.

Оказывается, что аналогичное решение (теоремы 6.34 и 6.35) проблемы тождества и сопряженности имеет место и для геометрически конечных дискретных групп G изометрий гиперболического пространства Нп, п^З (G с Mob (n—1)), не имеющих параболических элементов. Возможность такого решения для ко- компактных дискретных гиперболических групп была впервые замечена Кэнноном [1], доказательство которого модернизируется для настоящего случая.

Теорема 6.34. Пусть GcMob(n), п^2, —геометрически конечная дискретная группа без параболических элементов. Тогда существует целое число /? > 0 такое, что любое непустое слово w в порождающих gt^^ группы G, представляющее тождественный элемент в G, укорачивается при помощи соотношений в G длины ^ R.

Если слово w на порождающих из множества 2 не сокращается в результате процесса из теоремы 6.34, будем называть его R-приведенным словом.

Теорема 6.35. Пусть GcMob (n), n^2,— геометрически конечная дискретная группа без параболических элементов и R>0— целое число из теоремы 6.34. Тогда существует целое число R' > 0 такое, что R-приведенные слова w и и представляют сопряженные элементы группы G, если и только если существуют циклические перестановки ш' и и* слов ш и и соответственно и слово и длины Ы</?' такие, что слова ии'и-1 и w' представляют один и тот же элемент в G.

Доказательство теоремы 6.34 (как и доказательство теоремы 6.35 (см. Кэннон [1, теоремы 5 и 6])) основывается на том факте, полученном нами в предложении 6.28, что кратчайшим словом в геометрически конечной дискретной группе GcMob (п), п^2, при отображении ф: K^G, ^- -Hn+1 из (6.31) соответствуют пути в Нп + 1, с точностью до конечного расстояния следующие вдоль геодезических (ср. теорему 6.36). Для конкретизации этого свойства дадим следующее определение.

Зафиксируем постоянные К, К' > 0. Тогда путь ш в К (G, 2) называется (К, К’)-квазигеодезическим, если ф-образ любого подпути иск, |и|^К', при отображении ф: К (G, 2)—- Нп + 1 имеет концы ху и уу, удаленные друг от друга на расстояние

. ^(х„, Ут)Ж-1-\у\«

Из определения квазигеодезических в К (G, 2) и из оценки (6.32) предложения 6.28 можно получить не только (К, /С')-квази-

$ 4. КОМБИНАТОРНАЯ СТРУКТУРА ДИСКРЕТНОЙ ГРУППЫ 207 геодезичность любого кратчайшего пути в графе Кэли К (G, 2), но более тонкое локальное свойство (см. Кэннон [1, теорема 4]): существуют положительные постоянные К", L и U (зависящие от К и К') такие, что из (К, К')-квазигеодезичности любого подпути v, |v|^K", пути w в K(G, 2) следует (L, Ь')-квазигеоде- зичность самого w (т. е. локальная геодезичность влечет глобальную геодезичность).

Допустим теперь, что некоторое слово ш длины | ф | ^ R/2 не может быть укорочено при помощи соотношения длины ^ R, где число R возьмем больше 2 шах (К", L'). Это в точности означает, что каждое подслово исш длины | и|R/2 является кратчайшим.

Так как при этом К" ^ R/2, то из вышесказанного получаем, что слово w является /("-локально (К, /С)-квазигеодезическим и, следовательно, слово w длины больше /?/2 > L' является (L, L')- квазигеодезическим. Поэтому концевые точки ф(а), ф(Ь) пути Ф (ty)c/7n+1, соответствующего слову ш, удалены друг от друга на гиперболическое расстояние

d(q>(a), ^(b))^L-1-(a, b)^ L~1-L' > 0.

Это показывает, что a#=b и, таким образом, w не представляет тождественный элемент группы G.

Наконец отметим, в связи с возможным обобщением теории малых сокращений в комбинаторной теории групп (см. Линдон, Шупп [1, гл. V]), что ее гипотезы для указанного класса групп (геометрически конечных дискретных групп GcM6b(n), п^1, без параболических элементов), как заметил для ко-компактных групп Кэннон [1], выполняются глобально. А именно, глобальная комбинаторная структура таких групп получается из локальной структуры применением линейной рекурсии —аналогично тому, как глобальная структура целых чисел Z получается из локальной при помощи простой линейной рекурсии п—>и+1 на Z.

Проблема тождества для геометрически конечных групп. Здесь мы покажем, как модифицировать описанные выше идеи Кэннона и идеи работы Флойда, Хора и Линдона [1] (давшей решение проблемы для ко-конечных групп Gc Isom Нп и для геометрически конечных групп в случае п = 3) для получения доказательства разрешимости проблемы тождества для всех геометрически конечных гиперболических групп G (GcMob(п), п>1). Существенную роль при этом будет играть наша конструкция фундаментального псевдо-Дирихле полиэдра D*g(G) (см. п. 3 § 4 гл. 3 и теорему 5.24).

Для решения этой проблемы будет использован известный алгоритм Тодда — Кокстера [1] (см. также Джонсон [1]), который можно описать следующим образом. Зададим группу G = = <2; R> в виде G = F/N, где F — свободная группа с базисом 2, a N <] F — нормальное замыкание подмножества R в F. Обозначим через R(k) множество всех слов в 2 вида w = uru-1, где

г С R, а и С F задается приведенным словом длины | и | ^ £. Пусть F (&) — множество всех начальных сегментов слов w£R(k). Тогда отношение эквивалентности ш ~ кш' на F (К). определяется правилом: для слов 1УХ1У2, и'^дЩз Е F (k) полагаем wTw2 ~ к ty1ty0ty2 как только ty0 С R (ку.

Модифицируя формулировку разрешимости проблемы . тождества, назовем для любой функции /: N~* N представление G = = <2; R> f-разрешимым, если слово w^F, |tw| = m, лежит в N тогда и только тогда, когда w~ А1 для k~f(m).

Алгоритм Тодда — Кокстера показывает, что любое представление <2; R> является /-разрешимым для некоторой функции /. Оно является разрешимым в обычном смысле, если при этом функция / является рекурсивной. В частности для конечной группы G можно в качестве / взять некоторую const. Как показано выше, расширенный в смысле Кэннона алгоритм - Дена применим для геометрически конечных групп GcMob(n), n^l, без параболических элементов и, поэтому, здесь в качестве функции / можно выбрать функцию /(m) = m для всех т больше некоторого числа К. В общем случае имеет место следующий результат.

Теорема 6.36. Пусть Gc Isom Н", п^ 2, —геометрически конечная группа с представлением <2; R>, полученном стандартным образом из псевдо-Дирихле полиэдра. Тогда существует натуральное число s такое, что <2; R/ является f-разрешимым представлением для функции:

К) / (т) = [е^] в общем случае ([&] — целая часть числа ку,

/(m) = sm2, если группа G не содержит параболических элементов (или, эквивалентно, если (Нп G& (Gy JG —компакту

Для доказательства этой теоремы мы наряду с графом Кэли К (G, 2), построенном (ср. п. 2) для геометрически конечной группы G по ее конечностороннему фундаментальному псевдо-Дирихле полиэдру D*y (G) с центром у £ Нп, рассмотрим комплекс Кэли, т. е. 2-комплекс №(G, 2), натянутый на граф Кэли следующим образом.

Мы можем без ограничения общности считать, что предельное множество группы G не лежит на сфере меньшей чем (п— 1)- размерности, так как в противном случае мы можем считать группу G действующей в Нк, к <п. В силу геометрической конечности G мы можем рассмотреть (ср. предложение 4.19 и теорему 5.24) G-инвариантное семейство непересекающихся замкнутых оришаров в параболических точках группы G, дополнение Н' к внутренности которых в выпуклой оболочке Нильсена Но (см. § 2 гл. 5) имеет непустую внутренность и содержит центр у псевдо-Дирихле полиэдра D*g(G^ = P.

Обозначим через Т правильное разбиение замкнутой области Н'сН^Н" на ограниченные клетки g(Pr\H'y g^G, каждая

из которых имеет «центр» g(y) и ограничена конечным числом псевдо-Дирихле плоскостей и частью границы дН*. Пусть Т есть G-инвариантное барицентрическое подразбиение клеток в Т, где g(y) играют роль барицентров клеток g^PnH'Y а ребрами являются геодезические дуги (за исключением тех, что лежат в дН'). Тогда мы можем рассмотреть в Н' разбиение Т\ двойственное к разбиению Т и построенное по его барицентрическому подразбиению Т'. И, наконец, определим G-инвариантный комплекс Т* как подкомплекс в Т°, состоящий из клеток в Т°, непересекающихся с дН'.

Теперь граф Кэли KV = K(G, 2) и комплекс Кэли K2=K2(G, 2) можно рассматривать как 1-подкомплекс (соответственно 2-подкомплекс) в Т*. При этом \-ребра в Кх состоят из двух 1-ребер разбиения Т, лежащих в двух соседних клетках разбиения Т с общей (п—1)-мерной гранью. Аналогично, ^.-клетка в К2 является объединением 2-клеток в Т', лежащих в клетках g(Pr\H'Y образующих цикл вокруг (п —2)-мерной грани разбиения Т. Как мы видели, слово w в образующих 2 соответствует замкнутому пути в графе К1, если и только если оно представляет тривиальный элемент 1g G.

В то же время, для любого шара В (у, г)сНп радиуса г>0 пересечение В (у, г) А Н' является односвязным (так как В (у, г) А А Но односвязно (выпукло) и существует ретракция В (у, г) А На на В (у, r^nH'Y Этот факт и то, что И' стягивается к носителю | Т* | комплекса Т*, показывают и односвязность В (у, г) А ; А | Т* |. Поэтому каждый замкнутый путь в графе К1 ограничивает в | У* | диск (не обязательно вложенный), который можно 'столкнуть без изменения граничных точек на комплекс Кэли № (все клетки Т* суть шары). Таким образом, комплекс Кэли К2 ^односвязен.

Определим для натуральных k^N объединение Т* ^ п-мер- |ных клеток в Т*, содержащих вершины w(yY где w^G записы- рвается словом длины |щ|Х&, и пусть № (fe) = Т* (й) А № есть г2-остов для Т* (k\ Если при этом Т° (К) есть объединение Т* (k} ki и-клетками из Т°, имеющими некоторыми (п—1)-гранями (и—1)-клетки из Т*(К), то Т°(&) стягивается к Т*(К). Мы ви- ;дим, что замкнутый путь в К2^ стягивается в Т*^ только в случае его стягиваемости в К2(ф\ Более того, нам нужно показать, что замкнутый путь в К2, задающийся словом w(w 1€G), Ограничивает диск в К2, чья «.комбинаторная сложность-» ограничена функцией /(|щ|)). Здесь под комбинаторной сложностью £(ф) (сингулярного) диска ф: D2 —-К2 (ф (dD^cA1, Ф трансверсально К1 и кусочно гладкое) понимается число (1 + S deg ф |ст , :\°/

Сде суммирование ведется по всем компонентам о для ^Р'^^ХК1), а degф|a обозначает топологическую степень.

■отображения ■■ v- -vw ^ , 'v « yr з г<г.-г \। ■ ■ : .•

ф|а: (а, do) -> (q>(о), дф(о)).?

Предложение 6.37. В условиях теоремы 6.36 существуют положительные целые г, s и t со следующими свойствами. Если w — любое слово над 2 длины |щ| = т, то ш представляет тривиальный элемент в G, если и только если соответствующий ему замкнутый путь в К1 ограничивает кусочно гладкий диск ф такой, что

в случае (А) —ф: D1 К2 ([ге5'”]) и c^^tmes,n\

в случае (В) —ф: D2 —> К2 (sm) и с (ф) ^ tm?.

Доказательство. Предложение 6.37 непосредственно следует из предложений 6.28 и 6.29. В самом деле, правые части их неравенств (6.32) и (6.38) показывают, что существуют положительные целые Sj и 1г такие, что для всех т выполнено включение К2 (m)cB(y, sxm-vkY В то же время, левые части оценок (6.32) и (6.38) показывают, что если определить к(т\—тв случае (В) и, соответственно, fc(m) = e"‘/2 в случае (А), то для некоторых целых s2, t, > 0 всегда имеем

(Г А В (у, m^cr^kH + l^.

Выбирая большие константы si и si, мы можем при этом считать выполненными более грубые включения:

№(m)<=B(y, sim), Т°пВ(!/,т)£Г([^(т)]).(6.41)

Пусть теперь слово w над 2, |щ| = т, представляет 1 в G. Тогда ему соответствует замкнутый путь у в К1 (т), проходящий через у и лежащий, по (6.41), в Т° А В (у, s^mY Конус над у из точки у дает диск (с особенностями) q>: D‘2--B^y, simY состоящий из 2m геодезических треугольников. Следует отметить, что диск ф (D2) может не лежать в Т°(\В(у, s^m), если он пересекает параболические оришары. В этом случае мы (не меняя обозначений) перейдем к новому диску, полученному ретракцией вдоль асимптотических геодезических в параболических точках и такому, что ф (D2) с Т° А В (у, в^т). При этом мы можем считать, что диск ф(О2) состоит из 2m «гладких треугольников» — предварительно сгладив их стороны в точках, где геодезические куски ф (D2) встречаются с параболическими оришарами.

Обозначим через и максимум длин ребер графа Л? (существует в силу геометрической конечности G). Тогда каждый из «гладких треугольников» в ф (О2) имеет одну сторону длины ^ у и две стороны длины ^eSim/2. Если же параболических точек нет, то эти две стороны имеют длины ^s(m. Это доказывает первое требуемое предложением 6.37 свойство диска ф.

Пусть теперь к (т) = ет'г в случае (А) и к (т) = т в случае (В). Из (6.41) видим, что ф (D2) с 7ю (s'2k (sim)). При этом,

повторяя доказательство (6.41), можно показать, что существует целое / > 0 такое, что диск <р (£)2) пересекает не более чем. jmk(syn) n-клеток комплекса Т°. Стягивая Т° на Т*, состоящий из шаров, продеформируем диск <р (с неподвижной границей) в кусочно гладкий диск ф: Б2 —> К2. Более того, этот диск ф имеет (по его построению) комбинаторную сложность с(ф)^ ^ Jmk(s[m), где целое J > 0 зависит от группы G. Теперь, полагая $ = s(, t — Js'i в случае (В) и, соответственно, г = $2, s = [1 ■+ sJ/2], t=J в случае (А), получаем второе требуемое в предложении 6.37 свойство диска. Это завершает доказательство предложения.

Доказательство теоремы 6.36. Пусть w— слово над S длины |да| = /п, которому отвечает путь ^сК2 из точки у. Если у замкнут и ограничивав кусочно гладкий диск <р, то, как видели, у ограничивает клеточный диск с не более чем с(<р) 2-клетками. Последовательное сталкивание через 2-клетки задает гомотопию у в у. Если h— максимальная длина соотношений в представлении группы G=<S; R>, то число ребер у последовательно получаемых при такой гомотопии граничных кривых в К1 ограничено числом m-V (h — 2)-с (<р), так как каждая 2-клетка имеет не более (/i—2)-ребер. Поэтому w ~ к 1, где к = m + (/i—2) с (q>). Предложение 6.37 влечет теперь, что представление <2; R> является /-разрешимым для функции / (m) = m + (h — 2) mtesm в общем случае (А), и для функции /(m) = m+(A—2)/m2 в подслучае (В). Теорема доказана.

Замечание 6.38. Изложенный подход к логическим проблемам теории групп существенно использует геометрию дискретных групп изометрий гиперболического пространства Нп (имеющих разрешимую проблему тождества слов также в силу финитной аппроксимируемости конечно порожденных матричных групп (см. (1.36)); однако это не дает ни понимания геометрии этих групп, ни какого-либо пригодного к применению алгоритма). Другой геометрический подход М. Громова [4] к теории малых; сокращений выделяет новый класс групп (^гиперболические группы», которые, в частности, могут рассматриваться и как группы изометрий пространств переменной отрицательной кривизны с компактными факторпространствами), имеющий большие перспективы в решении проблем тождества, сопряженности и изоморфизма групп. См. также Кэннон—Эпстейн—Холт — Патерсон — Тёрстон [lj.

Геометрическая и алгебраическая сходимости групп

В различных вопросах теории клейновых групп, в частности,, при изучении пространства деформаций группы, важно изучение предела последовательности дискретных групп. Ситуация осложняется тем фактом, что такой предел можно понимать не однозначно. Это впервые заметил Т. Ергенсен (см. Тёрстон [1, гл. 9.1]).

Говорят, что последовательность {G,} замкнутых, в частности, дискретных подгрупп в Mob (п) геометрически сходится к группе GcMdb(n), если

каждый элемент g£G является пределом последовательности gb gi^G,, и

предел любой сходящейся подпоследовательности {g^.}, gi £ Gu, является элементом группы G.

Заметим, что геометрический предел — автоматически замкнутая подгруппа в МбЬ(п) (ср. теорему 1.7). Геометрической сходимости дискретных групп гиперболических изометрий соответствует сходимость (в смысле Ёргенсена (см. § 3 гл. 8)) полных гиперболических многообразий конечного объема. А именно, такое многообразие М представляется в виде /И(о, ej и М[Е, „) = ;И, где А4(о,8] состоит из тех точек, через которые проходит нетривиальная петля длины ^е, а М[Е.«>) содержит точки, через которые проходят нетривиальные петли длины > е (см. § 3 гл. 4). Если теперь М и N — два указанных многообразия, то они называются близкими, если для достаточно малого е > 0 существует диффеоморфизм, приближаемый изометричными отображениями Л4[е, „) —* М[е, X).

Пусть теперь Г — абстрактная группа и р,: Г -МбЬ(«)— последовательность представлений группы Г в группе Mob («). Говорят, что последовательность {р,} сходится алгебраически, если для любого у £ Г сходится последовательность {р, (у)}. Предельное представление р: Г —Mob (п) называется алгебраическим пределом представлений {р,}.

Это определение сходимости соответствует обычному определению «.сходимости групп по образующим-».

И, наконец, пусть Г — счетная группа, {р,} — последовательность ее представлений в группе Mob (и) с дискретными образами ргГ. Последовательность {р,} сильно сходится к представлению р, если р есть алгебраический предел последовательности {р,} и группа рГ является геометрическим пределом последовательности групп {р,Г}.

Ясно, что геометрический предел больше алгебраического, т. е. если представления р,- сходятся алгебраически к р и группы р,Г геометрически сходятся к группе G, то рГсС. Возможность существования неравенства С=т^рГ, т. е. различие между алгебраической и геометрической сходимостью хорошо видны на следующем примере (ср. Тёрстон [1, гл. 9.1]) сходимости циклических дискретных групп G,czM6b(3). „

Пример 6.39. Определим представления р,- циклической группы Z в группе евклидовых изометрий R3. Для этого обозначим x‘ = (i, 0, 0), а через /, —прямую, параллельную третьей координатной оси и проходящую через точку X'. Тогда в качестве образующего группы p,Z возьмем винтовое движение gi

вдоль прямой /,-, переводящее начало координат в точку, имеющую вторую координату (^(О), е2) = 1, и такое, что для некоторого щ € Z, gn‘ (0) = е3.

Алгебраический предел групп pzZ является циклической группой, порожденной сдвигом на вектор е2. В то же время группы p,Z геометрически сходятся к абелевой группе ранга 2, порождаемой переносами на векторы е2 и е3.

Понятно, что этот пример можно изменить так, что алгебраический предел pZ=<xi-^x-f-e2> не изменится, а геометрического предела не будет, или геометрический предел будет изоморфен ZxR, или будет абелевой группой ранга 3 и т. д.

Теорема 6.40 (Тёрстон [1]). Для любой группы Ли £ (в частности, для ^ = М6Ь (и)) пространство замкнутых подгрупп в £ (с топологией геометрической сходимости) компактно.

Доказательство. Рассмотрим любую последовательность {G,} замкнутых подгрупп в S и пусть сначала существует нижняя грань элементов g^G, от тождественного элемента е. Тогда для любого г > 0 существует верхняя грань числа элементов G; в шаре радиуса г > 0. Применяя теорему Тихонова о произведении бикомпактов, получаем, что существует подпоследовательность \Gij\, сходящаяся геометрически к дискретной группе.

В общем случае пусть Те ($) — касательное пространство группы $ в тождественном элементе е и пусть S cz 7Д£) —максимальное подпространство со следующим свойством:

для любого е > 0 существует группа G,, чьи малые элементы соответствуют направлениям в S, покрывающим с точностью до угла е все S.

Из определения S видно, что S замкнуто относительно произведения Ли. Более того, если выберем подпоследовательность {Gi^.} групп, чьи малые элементы определяют касательные, которые по крывают все S, то все малые элементы групп G< определяют касательные, близкие к S. Это показывает, как и в предыдущем случае, что существует подпоследовательность групп, сходящаяся к замкнутой подгруппе Gc^, чье касательное пространство в тождественном элементе е есть подпространство S.

Следствие 6.41. Пусть Г —счетная группа и др. Г — —*M6b(/i)— дискретные представления, алгебраически сходящиеся к представлению р. Если в рГ нет абелевой подгруппы конечного индекса, то существует подпоследовательность pt- .Г, геометрически сходящаяся к дискретной группе G czMdb («). При этом рГ с G и, в частности, рГ — дискретная группа.

Доказательство этого утверждения (Тёрстон [1]) следует из того, что у замкнутой группы G= lim р, Г (существую/ -* ” 7

щей по утверждению теоремы 6.40) компонента связности, содержащая тождественный элемент, должна быть абелевой. Это не-

посредственно вытекает из леммы Маргулиса (теорема 4.7). Но так как pTczG и в рГ нет абелевой подгруппы конечного индекса, то компонента связности группы G, содержащая id, тривиальна и, следовательно, группы G и pTczG дискретны.

Заметим, что в обратную сторону это утверждение неверно. Это показывает пример любой дискретной группы, допускающей автоморфизм <р бесконечного порядка: последовательность представлений р,- = ф' не имеет никакой алгебраически сходящейся подпоследовательности.

Сильные результаты на пути исследования пределов клейно- вых групп на плоскости и связанных с ними пределов гиперболических 3-многообразий получил при помощи техники слоений на римановых поверхностях Тёрстон [1]. Он и Ёргенсен заметили, в частности, что предельное множество алгебраического предела рГ не может резко возрасти по сравнению с Л (р;Г) близких групп р,Г, но в то же время оно может резко - уменьшиться. Это замечание основывается наследующих наблюдениях.

Если G —геометрический предел последовательности 0ь то каждая точка xgA(G) есть предел точек х,-С Л (G,). В частности, для неподвижных точек х элементов g^G (х плотны в A(G) (см. лемма 3.13)) в G,- найдутся элементы g; с неподвижными точками xh близкими к х. Аналогичные рассмотрения имеют место и для алгебраических пределов pG последовательности представлений p,G. Это показывает, что предельное множество не может в пределе увеличиться.

Однако, если GcMdb (2) — любая конечно порожденная группа, то существует последовательность G,cG подгрупп конечного индекса, сходящаяся геометрически к тривиальной группе {id}. Тогда A(G,) = A(G) постоянно, но в пределе Л ({id}) — 0.

Следствие 6.42. Пусть ГсМбЬ(п), п^2, — дискретная неэлементарная группа без кручения и пусть последовательность дискретных представлений р,-: Г —<■ Mob (п) сходится алгебраически к представлению р. Тогда рГ — дискретная неэлементарная группа без кручения.

Доказательство утверждения непосредственно следует из следствия 6.41. Прямое его доказательство дано Биленбергом [1]. Последний факт связан и с утверждением (Апанасов [5]) о сохранении ранга алгебраического предела дискретных групп, которое было нами уже доказано —при доказательстве теоремы 4.4 (о минимальных размерах фундаментальных полиэдров):

Теорема 6.43. Пусть последовательность дискретных групп Gm = <gi,m, ••■, gk, m>c№b (п), п^2, 2<А<оо, такова, что все gi, т не имеют общих неподвижных точек и не являются эллиптическими. Если G=<gi, • gk> —алгебраический предел групп Gm, то все порождающие g; = Tim giim отличны от тож

дественного.

К • Ряд новых свойств алгебраической и геометрической сходимости групп и их соотношение стали известны благодаря недавнему исследованию Ергенсеном и Марденом [3] нового вида сходимости последовательностей дискретных групп и сходимости в смысле Каратеодори их множеств разрывности (или, эквивалентно, сходимости предельных множеств в топологии Хаусдорфа; см. (5.31)). Центральным инструментом этой работы явилось использование геометрии характерных (generic) фундаментальных полиэдров Дирихле Dy(G)a:H3, GczM6b(2), которая оказывается устойчивой относительно изменений центра у полиэдра (см. Ёргенсен, Марден [2]). На нем основано следующее определение.

Последовательность дискретных групп G,cM6b(2) называют полиэдрально сходящейся к группе //сМбЬ(2), если Н дискретна и для некоторой точки у £ Н3 полиэдры Дирихле Dy (Gj) сходятся к D (Н) равномерно на компактах из Н3.

Для более точного определения обозначим для GcMob(2) и для достаточно больших г>0 через DM,r(G) обрезанный полиэдр Дирихле Du (G) А В (у, г). Будем понимать под его попарно G-эквивалентными сторонами стороны, быть может обрезанные,

полиэдра Dy (G). Тогда полиэдральная сходимость G; Н характеризуется тем, что для любого г > 0 существует М = М(г)>0 такое, что:

для каждого отождествления h^H сторон D (Н) и для всех i^N существуют отождествления gjGGj сторон D (Gj) такие, что Нш^, = Л;

если gi^G,- отождествляют стороны Dy,ДС,), то предел А любой сходящейся подпоследовательности {g,} является отождествлением сторон, ребер и вершин полиэдра Dy r (Н) (в частности, /i#=id —(ср. теорему 6.43)).

Роль полиэдральной сходимости видна из следующих результатов Ёргенсена и Мардена [3].

Теорема 6.44. Для любой бесконечной последовательности дискретных групп G,czMdb(2) существует последовательность {А,}сМбЬ (2) такая, что последовательность {G*} = {АДА^1} содержит полиэдрально сходящуюся подпоследовательность {0*^}. Если при этом {G,} сходится алгебраически к группе G, то Gc сН= lim Gim.

Более того, если HcNVdb (2) конечно порождена, то для всех больших номеров i существуют гомоморфизмы ф/ Н Gj такие, что для всех h^H limф,-(h) = h. Если, кроме того, группа G конечно порождена, то чДН) — О{.

Следует отметить, что полиэдральная сходимость не влечет (и в случае фуксовых групп) алгебраической сходимости. Иначе обстоит дело с геометрической сходимостью.

Теорема 6.45. Последовательность дискретных групп 0,с czMdb (2) сходится геометрически к дискретной группе, если и только, если она полиэдрально сходится к дискретной группе; при этом геометрический и полиэдральный пределы совпадают.

Теорема 6.46. Пусть q)z: Г ^G,c:M6b(2) — изоморфизмы на дискретные группы, сходящиеся алгебраически к представлению <р: Г-^ G = ср (Г)сМбЬ (2). Тогда {G,} сходится геометрически к группе G, если и только если для любой сходящейся подпоследовательности lim (pim (yim) = А предельное отображение лежит в

G и для всех больших номеров т -у,^ = (р-1 (h).

Из этой теоремы следует, в частности, что последовательность циклических локсодромических групп <g;> сходится полиэдрально к дискретной параболической группе Г, если и только если она сходится геометрически к Г и никакая подпоследовательность не сходится к тождественному (ср. пример 6.39, модифицирующийся и для локсодромических p,Z).

Важную информацию о сходимости групп G,- дает поведение множеств разрывности Q(G,) = Q,. Говорят, что Qz- сходятся в смысле Каратеодори к открытому множеству Q, если: а) каждый компакт /(ей лежит в Q, для достаточно больших I; и б) каждое открытое множество U, лежащее в бесконечном числе Q,, лежит также и в Q. Если при этом Q = Q(G*), где каждый элемент g дискретной группы G* является пределом некоторых элементов gi^G(, то условие б) выполняется автоматически.

Следующие результаты получены Ёргенсеном и Марденом [3].

Теорема 6.46. Пусть ур ГGz— изоморфизмы на дискретные группы G, cM6b (2), сходящиеся алгебраически к <р: Г —* G, где G— геометрически конечная клейнова группа на плоскости. Тогда {G, } сходится геометрически к G, если и только если Q (G,) сходятся к Q(G) в смысле Каратеодори.

Теорема 6.47. Пусть изоморфизмы 6,: ГGz конечно порожденной без кручения группы Г на дискретные G, czM6b (2) сходятся алгебраически к 6: Г —>- G, а группы G, сходятся геометрически к геометрически конечной группе Н. Тогда-.

Q (G,) сходятся к й(Н^ в смысле Каратеодори.

Для достаточно больших i существуют гомоморфизмы ф,-: Н - - G: такие, что для всех h^H, g^G

/1 = Нтф,(/г), ф,(£) = 9,-9-1(£).

Пусть Нг, ..., Hq — ece несопряженные в Н параболические подгруппы ранга 2, для которых ф,- (//,) являются циклическими локсодромическими группами, и пусть Тц — порождающий элемент ядра Кегф/ гомоморфизма ф,: Н( —» ф, (//,). Тогда Кегф/ является нормальным замыканием подгруппы в Н, порожденной элементами Т i;, l^t^^.

, IV. Если, кроме того, каждая подгруппа Hi содержит элемент из группы G, то существуют Т, £ H,\G такие, что Н = = <0, 7\, . . ., Tq>. _

Заметим, что в III и IV возможно отсутствие параболических подгрупп HjcH, соответствующих циклическим локсодромическим группам. Тогда утверждается, что эта ситуация возможна тогда и только тогда, когда G — H.

6. Структурные и эргодические теоремы Сулливана ' / ,

В этом параграфе мы продолжим изучение действия дискретной группы GczM6b(/i—1) (действующей в Hn^Rn+ изометрически) на ее предельном множестве Л (G) cz дНп = Rn-1 = S”-1, начатое в § 1 гл. 3. Приводимые ниже результаты получены Д. Сулливаном [1].

Определение 6.48. Действие дискретной группы GcMdb(«—1) на сфере dH" = Sn~1 с точностью до множества меры 0 разбивается на две части — диссипативную и консервативную. Диссипативная часть представляет собой объединение попарно непересекающихся измеримых множеств, переставляемых элементами группы (аналог действия G в Нп\ Консервативная часть К с S"'1 характеризуется тем свойством, что для любого ее подмножества ХсК, p„-i (X) > 0, существует последовательность различных элементов {»„} cz G такая, что сферическая (я — 1)-мерная мера Лебега pn-1 (X A g,n (Х))>0 для всех т = 1,2,...

Определение 6.49. Группа GczMdb(«—1) действует на Sn-lx S”-1 (или, что тоже самое, на множестве геодезических в НП) эргодически, если для любой измеримой функции <р на Sn-1xSn-1 условие ее G-автоморфности: ф (х, у) = <p (g (х), g(yY) для Bcexg^G — влечет, что <р постоянна почти всюду.

Бесконечность телесного угла орбиты и эргодичность. Каждое отображение g С Mob (я—1), как было показано в гл. 1, можно представить в виде суперпозиции гиперболического отображения шара Нп и его вращения (в шаровой модели гиперболического пространства). Считая, что на сфере dHn = Sn~1 имеем сферическую метрику dx/(l+|x 2), обозначим через dg(x) линейное растяжение отображения g s«-* в этой метрике; оно изменяется в промежутке [1/Х, X], где Х^1 (см. подробнее в § 2 гл. 9). Дискретные группы G распадаются на два класса —для первого из них ряд JV*“ сходится, для второго нет. Это усло-

G

вие называется условием конечности (или бесконечности) телесного угла. Смысл этого виден из следующего. В шаре Нп для фиксированной точки х и точки у, у^х, пусть 0(х, у) есть величина, обратная площади сферы Sn-1(x, |х — г/1) с центром х, содержащей точку у. Ясно, что 6 (х, у) является плотностью телесного угла с центром в точке х. .

Лемма 6.50. Для группы G с M6b(/i—1) и точек х, у£Н\ x^G(y), услов te ХХ1-" = со эквивалентно условию бесконечности полного телесного угла орбиты G (у) относительно точки х: 2 0(*. §ш = °°. g € G

Доказательство леммы следует из такого соображения. Пусть в Н” имеется растяжение у*-* у [К с очень малым 1Д. Тогда, если точки х и у0 лежат на п-й оси над 0, то 0 (х, у0) и 8(х, yJK) находятся приближенно в отношении 1/Хп-1. Поэтому вообще для фиксированной точки х отношение 0(х, g(y)) к 1/^-1 для больших kg ограничено. Это доказывает нужную эквивалентность.

Другая точка зрения на это условие такова. Обозначим через gx (у) функцию Грина гиперболического пространства Нп с полюсом х£Нп (т. е. положительную, гармоническую в Нп, стремящуюся к нулю в оо и симметричную относительно х функцию). Тогда, интегрируя по радиусу (оо, z/), получаем

У

5х(У) = 5 0(*> z)dz-.(6.42)

Так как 8(х, у) стремится к нулю при стремлении d (х, у) —* оо, то gx(.y)« 9(х, у) для достаточно удаленных у. Поэтому условие X ^1-п < оо эквивалентно существованию на гиперболическом о

многообразии M = HnjG ограниченной функции Грина

ёх (У) = 2 ёх^(уУ)-(6.43)

V€ G

Это наблюдение — основная идея в доказательстве следующего утверждения.

Теорема 6.51. Если для дискретной группы GczM6b(n—1) 2Х1-П = оо, то G действует на геодезических в Нп эргодически. G

Доказательство. Для точки р^Нп рассмотрим меру Пуассона ир на dHn = Sn~1‘. если X с S'*-1, то рр(Х) есть телесный угол, под которым видно X из точки р. Ясно, что и,р является усреднением мер р9, где точки q пробегают сферу с центром в точке р. Свяжем ограниченные измеримые функции <р на S"-^ = дНп с ограниченными гармоническими функциями в Нп при помощи формулы Пуассона, а именно, определим

/г(/?)= $ Wp^ <<р, рр>.. (6.44)

Ясно, что условие <р?£ const почти всюду влечет ft^ const. В самом деле, если х и t/ESn-1 —точки плотности множеств, где значения ф лежат в непересекающихся интервалах, то зна-

чения функции h^p) из (6.44) при р близких к х (соответственно к у) будут попадать в один (соответственно другой) интервал.

Обозначим через Р усредняющий оператор на функциях и мерах в гиперболическом пространстве: /i—>Pf, pi—>цР, понимая под его значениями функцию Р) (х) — среднее от функции f по шару D (х, т]) с Нп с центром х и радиусом ц > О, а если дх — мера Дирака относительно точки х, то бхР есть равномерная мера на D^x, г]) с полной массой 1. Тогда в обозначениях (6.44) <рР, /> = <ц, Pf>, а функции h, полученные по формуле Пуассона (6.44), являются Р-гармоническими, т. е. Ph — h, и, поэтому, оператор Р коммутирует с гиперболическими изометриями.

Лемма. 6.52. Для достаточно больших N плотность в точке N

у меры 2 бхР‘ не меньше С0(х, у), где С — фиксированная постоянная.

Доказательство. Меры дхР‘ получаются симметричным распространением из точки х шагами длины тр При этом для достаточно большого i почти вся масса выходит за пределы любой сферы с центром в точке х. Это получается из-за того, что шары радиуса ц с центрами на такой сфере имеют вне ее больше половины своего объема. Таким образом, вся масса меры дхР$ при I —* со проходит через шаровой слой толщины г] (с центром в точке х). Так как плотность меры 2 6ХР‘: 1) убывает i= 1

при d^x, у^-^оо, 2) зависит лишь от радиального расстояния ti(x, у), 3) каждому шаровому слою толщины ц сообщает по крайней мере единичную массу (а объем такого шарового слоя пропорционален 1/0 (х, у)), то отсюда получаем требуемое неравенство.

’ Введем пространство Т как фактормножество (Нп х Sn~1)/G. рпределим теперь действие оператора Р на пространстве Т, зная действие Р на каждом слое H"xSn~1. Зададим на Т естественную гладкую меру dm: используя семейство мер Пуассона р^ на слоях {yjxS"-1 и естественную меру на Нп, получим G-инвари- рнтную меру dm* на HnxSn~1 и положим dm = dm'/G. Будем [снова обозначать через рр меру на слоях Т. Теперь можем сформулировать основную лемму.■

Лемма 6.53. Плотность меры 2 УфР* относительно dm

стремится к оо при N —> со в почти всех точках пространства Т. Доказательство. Вычислим плотность мер vN = N

— S Pp^xid)' в HnxSn~1 относительно dm' и просуммируем - i=i р

(Эти плотности по G-орбите:

(У, s), (у (у), y(s)), ...' "

Пусть gx (у) — плотность меры Грина 2 6ХР* относительно fe 1

обычного гиперболического объема dh в Н”. Относительно произведения мер dh.xyp (G-инвариантности нет) на произведении HnxSn~1 мера Hnv^ будет иметь плотность, равную g (у)

в каждой точке (у, s) £ HnxSn-1. Для переписывания этой плотности относительно dm' ее надо домножить в каждой точке (у, з) на множитель Радона —Никодима (dy^d^) (s). Поэтому нужная нам плотность имеет вид

(6.45)

Используя у-1, сделаем замену: р, y(s), у (у)*—►Y-1^)» s, У- Учитывая симметрию gx(y) = gyW, ^получаем, что (6.45)' перепишется в виде:"

/ Е^(ТМ)^М.‘(6-46)

.geoи.'.

Из лемм 6.50 и 6.52 следует, что 2 g (у (р)) = оо. Поэтому

V€G

утверждение леммы 6.53 будет получаться из следующей леммы.

Лемма 6.54. Если ^1 gl,^(p)) = оо, то для почти всех

460

s£Sn~l плотность (6.46) бесконечна.

Доказательство. 1) Пусть В —малый шар с центром р и G(B) —его орбита — объединение попарно непересекающихся шаров у (В), y^G. Определим G-инвариантную функцию лв(у) как вероятность попадания из точки у (при случайном блуждании с оператором перехода Р) в орбиту G(B). Очевидно, что лв(у)^1 иРлв^лв. Если лв^1, то G-инвариантная функция Лд —Рлд больше е, е > 0, на G-орбите некоторого меньшего шара. Рассмотрим тождество

<6у + ^ур + • • • + \pN^ ^в~р^в> = <\, Кв> — <Ьурм*\ Лд>.

'(6.47)

Правая сторона (6.47) равна Лд(у) — Р'у+1Лд (у) и, следовательно, ограничена относительно N. В то же время левая сторона при Л^- оо не меньше е • 2 gu (у (р))■ Отсюда следует, что лв = Рлв, 46 О

или, что то же самое, лв(у) = 1. Таким образом, мы почти всегда попадем в G(B), если 2 gti (У (Р)) = 00 •

4 6 О

Из свойства усредненности цр по сфере с центром р следует, что при фиксированных s0 и х0 функция от х, равная (dfi^/dp^J (s0), является Р-гармонической функцией, имеющей

предельные значения + оо в точке s0 и 0 в остальных точках сферы S"-1. Используя стандартную предельную процедуру (см. Кемени, Кнапп, Снелл [1]), можно полупить, что

8*^^^ ; ; . (6.48)

является соответствующей плотностью Грина для случайных блужданий при условии совпадения на оо предела с s0. Из первой части и теоремы Фубини следует, что для почти всех s0 С S"-1 почти все пути из точки у в точку s0 должны попасть в орбиту G^B\

Теперь, если для одной из точек s0 имеем

£ Мт(р))^Ч*о)<к<о°, ■ (6.49)

то (6.49) будет выполняться для всех точек р из достаточно малого шара В. Но тогда условная мера Грина с плотностью (6.48) будет давать конечную меру для G(B), что противоречит тому, что почти все условные пути, начинающиеся в любой точке, совпадают в G(B). Таким образом, они попадают в 0(B) бесконечно часто и, следовательно, мера G(B) бесконечна. Это доказывает леммы 6.54 и 6.53.

Перейдем непосредственно к доказательству теоремы 6.51. Пусть ф (х, у) — непостоянная характеристическая функция на S”-1xS”-1, инвариантная относительно G, и 2^1_п = 00. Пере

ставляя, если необходимо, х и у, по теореме Фубини получаем, что есть множество Y с: S"-1 положительной меры pn-i(K) такое, что ф (х, у) не является постоянной как функция х для всех y^Y. По формуле (6.44) из ф(х, у) на слое 5п-1х^ получаем В-гармоническую функцию . 1ч

h (РДу) = ^ ф (^, У) ^р (х) . . : •

на слое Нпх\у\ и, следовательно, получаем функцию Л(хДу)на пространстве Т, гармоническую на каждом слое (это следует из G-инвариантности функции ф(х, у) и В-гармоничности в (6.44)), что немедленно влечет Ph = h. В силу непостоянства ф(х, у), функция h непостоянна на множестве слоев положительной меры. •

Разобьем функцию А—1/2 на положительную и отрицательную части h+ и h_, и прибавим к равенству В (/г—1/2) =/i—1/2 неравенство

P\h — 1/2|>|В(/1-1/2)| = |/г-1/2|. (6.50)

Тогда из (6.50) получим, что Ph+^h+. Отсюда, используя -лемму 6.53 и повторяя рассуждения первой части доказательства леммы 6.54, получаем почти всюду Ph+=h+. Это влечет, что области во множестве слоев, где задана h+, не могут соединяться при действии Р с их дополнениями. Это противоречие доказывает теорему 6.51.

Коническая аппроксимация.

Определение 6.55. Точка s£Sn-1 = dHn называется точкой (конической) аппроксимации дискретной группы G cz Mob (п — 1), если бесконечно много точек некоторой орбиты G(y), у£Нп, попадают в круговой конус с вершиной s (ср. эквивалентные определения в § 3 гл. 5).

Лемма 6.56. Если точка плотности G-инвариантного множества Y cz S"-1 является точкой конической аппроксимации дискретной группы GcM6b(/i—1), то p^-j (Sn-1\F) = 0.

Доказательство. Пусть хг —характеристическая функция Y, а последовательность {у, } с G такова, что для р£Нп точки у,-(р) аппроксимируют конически точку плотности s0 множества Y. Обозначая снова через р,р меру Пуассона, имеем

Цп-109 = МГ) = 5 Хг^ = 5 У. (Ху)^ = $ ХуС^и»- (6-51)

Очевидно, что при стремлении у, (р) к s0 в конусе правая часть (6.51) стремится к полной мере сферы S”-1, доказывая этим лемму.

Следствие 6.57. Если GcM6b(/i—1) имеет коническую аппроксимацию на множестве Y cS""1, цп-1 (Y) > 0, то коническая аппроксимация имеется на множестве полной меры.

Лемма 6.58. Если G cz Mob (п — 1) имеет коническую аппроксимацию только на множестве Y cz Sn-1, цп_1(И) = 0, то действие группы G на Sn-1xS"-1 (на геодезических Нп) диссипативно.

Доказательство. Рассмотрим орбиту G(p) точки р^Нп и для каждой ее точки q определим D cSn"YxSn"Y как множество геодезических, имеющих меньшее расстояние до точки q, чем до всех других точек орбиты G(p). Ясно, что Dq(A Dq, = 0 для q^=q't q, q' £G (р). В то же время, рассматривая для почти всех пар (s, s') £ Sn~Yx Sn~Y расширяющиеся трубчатые окрестности геодезической, соединяющей s и s', мы наткнемся на первую точку орбиты G(p). Единственность ее для почти всех пар (s, s') следует из условия ц„_1(К) = 0 для множества Y конической аппроксимации и того, что множество пар (s, s'), для которых одновременно несколько точек орбиты G (р) попадают в раздувающуюся окрестность геодезической (s, s'), является счетным объединением множеств (подмногообразий в Sn-Y X S"-1) меньшей размерности. Таким образом, Dq — фундаментальное множество на Sn-YxS"~v (с точностью до множества меры 0), т. е. действие G на Sn-1xS”-1 диссипативно.

Следствие 6.59. Если группа G cz Mob (n — 1) такова, что 2Х1-П = оо, то множество конической G-аппроксимации имеет. G

на Sn~l полную меру.

Доказательство следует из теоремы 6.51, дающей эргодичность действия G на Sn-1xSn-1, что противоречит (лемма 6.58) возможности наличия на S”-1 множества положительной меры, не имеющего конической аппроксимации.

Из доказанных выше утверждений непосредственно вытекает следующий факт, доказанный для S2 Е. Хопфом [1].

Следствие 6.60. Группа GcM6b(/i—1) имеет коническую аппроксимацию либо на множестве меры 0, либо на множестве полной меры. В первом случае ее действие на Sn~1xSn~1 диссипативно, во втором случае —эргодично.

Лемма 6.61. Если группа GcM6b(n—1) имеет коническую аппроксимацию на множестве Y cz S"-1, g„_i(K) > 0, то

2Х1-"= оо.о

Доказательство леммы получается из следующих наблюдений. Лемма 6.61 дает, что р„_, (Sn-1\K) = 0. Рассмотрим положительную измеримую функцию на сфере S"-1, равную в точке s лучшему углу конической аппроксимации в точке s, т. е. наименьшему углу раствора кругового конуса с вершиной в s. Этот угол больше некоторого а > 0 на множестве Yo положительной меры. Угол а определяет размеры шаровой окрестности В точки р, орбита которой аппроксимирует точки из Ya в конусах раствора а. Если теперь суммарный телесный угол орбиты G(5) конечен, то, выбросив из орбиты конечное число членов, мы можем сделать этот угол произвольно малым. Таким образом, множество G (В), видное из фиксированной точки р под произвольно малым углом, аппроксимирует в конусах с углом а>0 множество Yo положительной меры ^(Уд). Это противоречие доказывает лемму.

Полученное выше описание действия дискретной группы на oo-удаленной сфере сформулируем в следующем виде.

Теорема 6.62. Для дискретной группы GcM6b(/i—1) следующие условия эквивалентны-.

S^1-п = в

множество точек сферы дНп = S"-1, имеющих коническую G-аппроксимацию имеет полную жру,

действие G на S'^/S"1 эргодично.

Доказательство теоремы получается применением теоремы 6.51: (1)—>3)), леммы 6.58: (3) => 2)) и леммы 6.61: (2)==>1)).

Замечание 6.63. Полученное описание действия группы GczM6b(n —1) (^1'отЯ") на сфере дНп в случае фуксовой

группы на плоскости (т. е. /г = 2) следует из известных результатов 40-х гг. Е. Хопфа [1, 2] и М. Цудзи [1].л

Орисферические предельные точки и консервативность.

Определение 6.64. Точку s £ дНп = S”-1 называют ори- сферической предельной точкой группы G cz Mob (л— 1), если орбита G^y) некоторой точки yG.Hn входит в любую орисферу с центром в точке s. Будем обозначать множество орисфериче- ских предельных точек через Лл (G).

Для точек s G 5”-1\Лд (G) будем увеличивать радиус орисферы с центром в s до тех пор, пока не встретим некоторую точку q из заданной орбиты. Если такая точка q орбиты при этом единственна, то назовем ее ближайшей к s точкой орбиты.

Теорема 6.65. Для любой дискретной группы G cz Mob (n — 1) и для любого выбора орбиты G (у) cz Нп объединение Ah (G) с множеством точек в Sn-1 = дНп, имеющих ближайшие точки орбиты, есть множество полной меры на сфере" S”-1. Более того, это разделение S"-1 есть разделение действия группы G на консервативную (=An[G)) и диссипативную (=5П-1\АЛ(G)) части.

Доказательство. Допустим, что первая часть утверждения доказана. Докажем вторую—о характере действия группыG. Для этого для любой точки q орбиты G^y) рассмотрим множество Ад, состоящее из тех точек s^S^1, для которых q — ближайшая точка орбиты G(y). Ясно, что множества Aq свободно переставляются группой G, а их объединение LM^ дает множество с диссипативным действием G.

С другой стороны, множество ЛЛ (G) таково, что для любой его точки s имеем sup | g' (s) | = оо. Это показывает, что в ЛЛ (G) g6 G

нет диссипативного подмножества, так как по почти любой диссипативной орбите ряд из якобианов сходится:

У det Dg (х) < ОО.. •;

86 G

Сходимость этого ряда показывается аналогично лемме 6.19 (основано на той же идее, что объединение объемов ограничено).

Вернемся к первой части теоремы. Рассмотрим множество Л0(С) на сфере Sn-1, полученное из Л (G) выбрасыванием подмножества Ah (G) и точек, имеющих ближайшие точки орбиты. Это множество Ag(G) состоит из точек s^S111 таких, что имеется критическая орисфера с центром в s, не содержащая точек орбиты G(y), но любая большая орисфера содержит бесконечное подмножество из G(y). Такие точки получили название точек Гарнет. Мы полностью докажем теорему, если докажем следующее утверждение.

Лемма 6.66. Множество Ло (G) имеет на Sn~1 меру 0.

Доказательство. Допустим противное. Тогда по теореме Н. Н. Лузина (см., например, Лузин [1]) найдем подмножество

XcAc(G), pn_i(X)>0, на котором радиус критической сферы есть непрерывная функция. Пусть s —точка плотности множества X и /i(s) —ее критическая орисферд. Существует бесконечное число точек у* из орбиты G (t/), лежащих вне h^ и сходящихся к s. Для каждой такой точки у' существует запретный участок на сфере S"-1, который не может содержать точек из множества X (так как радиусы критических орисфер в точках запретного участка не могут быть близки к радиусу орисферы Zi(s)). Ясно, что сферическая мера t'-ro такого участка, с точностью до некоторой постоянной, не меньше меры (п—^-мерного диска на S”-1 с центром в точке s и содержащего радиальную проекцию точки у*. Это противоречит тому, что точка s = iimyz является точкой плотности множества X.

Следствие 6.67. Пусть Р (G) с Н" — выпуклый локально конечный (см. § 1 гл. 5) фундаментальный полиэдр дискретной группы G с Isom//". Тогда диссипативная часть действия группы G на сфере дНп есть в точности множество

и g(dH-l^P(G^.

^86°

Следствие 6.68. Если рп_! (Р (G) П дН") = 0, то группа G действует на сфере дНп консервативно.

Обозначим для г > 0 через М (г) подмножество гиперболического многообразия M = Hn/G, состоящее из точек, удаленных от фиксированной точки из М на расстояние, не превосходящее г, а через П(ф с //" — метрический шар гиперболического радиуса г > 0. Тогда условие последнего утверждения допускает такие переформулировки.

Теорема 6.69. Для дискретной группы G с Mob (п—1) следующие условия эквивалентны-.

Уп-1(Р(С)ПдН")=0;

lim vol М (О/vol D(r) = 0;' '

действие G на дНп консервативно-,

множество Xh (G) имеет полную меру на дНп.

Доказательство. Эквивалентность условий 1), 3) и 4) уже получена. Остается доказать, что из условия 1) следует 2) (обратное также просто (ср. § 2 гл. 9)). Рассмотрим телесный угол со (г) пересечения Р (G) со сферой S,-1 радиуса г с центром в точке q полиэдра P(G). Из выпуклости Р (G) следует, что при Увеличении г угол со (г) убывает. Условие 1) дает равенство

lim со (г) = 0.

- Н. Апанасов

Если через а (г) обозначить площадь сферы S? \ то мы имеем

^M-=^a(r)to(r)dr^a(r)dr. ' }(6.52)

Так как со (г) < е для г > г0, то из (6.52) следует неравенство

^щ^ ^ j* а (г) со (г) dr /^ а (г) dr + е- j а (г) dr [ ^ a (r) dr. (6.53) О0г0О

Первое слагаемое в правой части (6.53) при стремлении г к оо стремится к 0, а второе меньше произвольного е > 0. Это влечет выполнение условия 2) теоремы.

Г Л А В A 7■‘'

КЛЕЙ НОВЫ МНОГООБРАЗИЯ

Топологические методы-, , ,,£ >

Пусть G— дискретная группа изометрий «-мерного гиперболического пространства Нп (модели Пуанкаре в шаре или полупространстве). Тогда на абсолюте дНп = Нп~1 она действует как подгруппа мёбиусовой группы. При этом действие группы G разрывно на //nU^(G), где й (G) с/?"-1 —множество разрывности G.

Определение 7.1. Факторпространство■

М (G) = (/7" и Й (G))/G(7.1)

для дискретной группы Gc Isom И" называется клейновым многообразием (орбифолдом, если G —группа с кручением).

Естественная проекция л: Нп и Q (G) —* М (G) задает на М (G) конформную структуру, которая на внутренности int М (G) = Hn/G совпадает с гиперболической структурой. Край дМ (G) = Q (G)/G не пуст, если группа G (сМбЬ(/г—1)) является клейновой на сфере дНп, т. е. Q(G)^0. Группа G изоморфна группе преобразований наложения накрытия (с ветвлением) л и, в случае ее свободного действия, фундаментальной группе л^ (М (G)). Неэле- ментарность группы G влечет (см. гл. 2), что никакая компонента края дМ (G) не является эллиптическим, евклидовым или аффинным многообразием (т. е. при п = 3 не является сферой, сферой с одним или двумя проколами, тором).

Стандартные параболические концы. В даль ейшем мы будем считать (если не оговорено противное), что все рассматриваемые группы G являются неэлементарными группами без кручения и геометрически конечны. Напомним, что последнее условие эквивалентно (см. теорему 5.37) конечности объема е-окрестности многообразия Мо = (H0\A(G))/G, являющегося минимальным выпуклым ретрактом многообразия М (G), а также эквивалентно условию компактности подмногообразия (Af0)[E, «(С Мо, оставшемуся после удаления из Мо е-тонких мест (MG)(o,e]- Каждая компонента е-тонкого подмногообразия (Мо\о, е] Для достаточно малого е > 0 получается факторизацией параболической е-окрестности в HG какой-либо параболической вершины у по ее стабилизатору GycG (см. теорему 5.37). Более точно, если у=со (Нп ^ /?£), то отвечающая этой параболической вершине е-ком-

228 гл. 1, КЛЕПНОВЫ МНОГООБРАЗИЯ . г понента имеет вид . _ . . „ ,

VHofAV^G, Е)]/С„=[ЛОП{('х, х„) € Rnl X R+ хп > t8 ('х)}]^,

(7.2) где параболическая е-окрестность К, (G, е) задается функцией /е, определенной в замечании 4.9 и удовлетворяющей свойствам (4.23) —(4.25). Кроме того, если rankG^fc^zz —2, то оболочка Нильсена Но лежит в слое конечной ширины К > 0:

{{xG/?^ |х,|СК/2, k+iCi^n-lV

Поэтому найдутся строго G^-инвариантные полупространства (х: х„ > г'} с {х: х„>г}, т. е. оришары Вб. (оо)сВб(оо)с/7п с центром в точке у = оо и радиусами 6, 6', 0 < 6'< 6 (см. (4.54) и замечание 4.19), такие, что

В6,(оо)Г)ВосКО0(С, е)пВоаВ6(оо) ЛЯС. - (7.3)

Конечность числа классов сопряженности параболических подгрупп в G и (7.3) доказывают эквивалентность свойства компактности (Л40)[е, «) свойству компактности подмногообразия

Л№ oo)=[//c\UB6(y)]/G. (7.4)

Здесь объединение берется по всем параболическим точкам у группы G, а через В6 (у) обозначены непересекающиеся строго Gp-инвариантные оришары достаточно малого радиуса 6 = 6(e) (см. (4.5)), образующие G-инвариантное семейство. При этом гомеоморфные многообразия (Л4с)[е, а) и М*а [е, оо) отличаются друг от друга на некоторое компактное подмногообразие (см. (7.3)). Кроме того, край многообразия М*а [е, оо) имеет полную евклидову структуру, индуцируемую гиперболической метрикой в Нп. Таким образом, теорема 3.8 Бибербаха для достаточно малого е > 0 дает описание е-окрестностей компонент многообразия (^о)[о.е], гомеоморфных (вместе с е-окрестностями компонент MG(0, е1) многообразиям fn-1x[0, оо) и ЕкхВп-к-1х [0, оо) — в зависимости от величины rank Gy (— zz—1 или /г) параболической подгруппы Gy. Первое из них конечнократно накрывается проколотым полноторием ^n, а второе — проколотым заполненным цилиндром g"’ к индекса к-.

^^T-’-ixtO, оо), ^ к = ТкхВп-к-1х\»1 оо). (7.5)

Используя полученное описание е-тонких концов многообразия Л40 (его е-окрестности, если dimA40<n), мы можем переформулировать утверждение ГКЗ теоремы 5.37 в следующем виде:

Теорема 7.2. Неэлементарная без кручения группа Gc: Isom Нп геометрически конечна, если и только если в многообразии U8(Ma) существует конечное число непересекающихся подмногообразий ^проколотых заполненных многообразий Бибербаха»),

. ' § 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 229 конечнократно накрываемых проколотыми полноториями или проколотыми заполненными, цилиндрами, дополнение к которым в Mti компактно.

Отметим, что условие отсутствия в группе G элементов конечного порядка здесь можно убрать, если заменить в формулировке теоремы указанные подмногообразия на «стандартные параболические концы» (ср. замечание 5.38), которые также конечнократно накрываются многообразиями (7.5). Более того, придавая этому понятию точный смысл, мы сможем перейти к аналогичному критерию для клейновых многообразий и орбифолдов.

Определение 7.3. Будем говорить, что топологические концы е и е' клейновых орбифолдов М (G) и .И (G') для G, G'cMob(n) являются (конформно) эквивалентными, если они допускают конформно эквивалентные окрестности U (е) и U (в') (их внутренности при этом изометричны в гиперболической метрике).

Если клейнова группа Г действует на дНп = Rn ' как группа евклидовых изометрий, то М (Г) имеет ровно один конец ег, который мы называем стандартным параболическим концом. Считая, что rank Г = к и что пространство Rn-1 = Rk х Rn-k-1 разложено в соответствии с теоремой 3.8 Бибербаха (Rk— пространство векторов переносов в Г), имеем параболические области пика

UJxWx£Rn- xLi+...+х^е-2, х„>0}, ; (7.6) которые задают базу окрестностей стандартного параболического конца еГ в виде ^(г)/!; е > 0.

Теорема 7.4. Клейнова группа GcMob(n) геометрически конечна, тогда и только тогда, когда ее клейновый орбифолд М (G) имеет конечное число концов, каждый из которых конформно эквивалентен стандартному параболическому концу.

Замечание 7.5. Эта теорема дает доказательство последнего утверждения ГК 5 теоремы 5.37. При я = 2 она соответствует теореме Мардена [11, где в качестве базы' параболических концов использовались факторы оришаров Вмс:Н3 по параболическим подгруппам ранга 2 (-заполненный проколотый тор) и проколотые заполненные цилиндры, определяемые следующим образом (см. Гринберг [2], Марден [1]).

Параболической вершине р^дН3 с циклическим стабилизатором Gp соответствует cusp-область в R2 (определение 5.15), состоящая из двух касающихся в точке р дисков Dx и D;, инвариантных относительно Gp. Пусть В (р) — оришар с центром в точке р, строго инвариантный относительно Gp, и Я, —замкнутые множества, ограниченные поверхностями O, uS,, где S,— гиперболические плоскости, dS, = dD,, Н, = Н,\5,, t = 1, 2 (рис. 50).

Тогда заполненный проколотый цилиндр % (р)« ФА имеет. вид -" -гцр^в^ин^н^Ср.

Доказательство теоремы 7.4. Достаточность ее условий следует из свойства непрерывности ретракции р: М (G) —> —* Mti (см. § 2 гл. 5). В самом деле, рассматривая параболические области пиков G^, .. ., (7Й со стабилизаторами G.cG, отвечающие конечному числу концов М (G) и конформно эквивалентные (7.6), мы можем взять достаточно малое е> 0 такое, что

p(M(G)\Uint D,./Gz) = MG\U int p (L/./G^Wls,(7.7)

Тогда компактность левой части (7.7) влечет компактность правой и утверждение ГКЗ теоремы 5.37 завершает доказательство геометрической конечности G.

Необходимость условий теоремы следует из конечности классов сопряженности параболических подгрупп в G, которые при этом соответствуют параболическим вершинам группы (см. теорему 5.24). А именно, если Рс:Нп+1— конечносторонний фундаментальный (псевдоДирихле) полиэдр для группы G, то он пересекается лишь с конечным числом параболических областей пика 0,•, i=l,

...,/?, группы, где G (U,) и G (Uj) совпадают при 1 = / и не пересекаются при i=Ai- Поэтому замыкание Ро его дополнения к и, в 7/п+1иЙ (G) компактно и задает фундаментальный полиэдр для действия группы G в дополнении ко всем областям пика группы СЫ^Д?,,

' J^'^J^ (^n+1un(G))\UG(t7z).И

Очевидно, что М (G)\(P0/G) состоит из конечного числа компонент, конформно эквивалентных окрестностям стандартных параболических концов (см. (7.6)). Это завершает доказательство.

Из приведенных выше результатов видно, что анализ топологической структуры многообразий Мо и /И (G) сводится к изучению свойств их компактных подмногообразий. Ввиду недостаточного развития топологии многообразий в произвольной размерности, мы (за исключением § 3) в основном ограничимся анализом трехмерного случая, где в последнее тридцатилетие были решены важные проблемы топологии 3-многообразий.

1 •■ Приведем несколько важных для дальнейшего изложения результатов о трехмерных многообразиях (обозначаем их /И).

Сведения из трехмерной топологий.

Теорема 7.6 (теорема о петле и лемма Дена (Папакирья- копулос [1,2])). Если I — нетривиальная петля на дМ (нетривиальный элемент группы Л! (дМ)), которая тривиальна в М и дМ 3DNл; I —произвольно малая окрестность I, то существует простая петля ГсМ, также нетривиальная на дМ и ограничивающая диск DcM, D f\dM = Г. Если I —простая петля, то в качестве петли Г можно взять ее.

Теорема 7.7 (теорема о цилиндре (Вальдхаузен [1])). Пусть 1г и 1, — непересекающиеся петли на дМ, нетривиальные и свободно гомотопные в М, и пусть N,, N»czdM — их непересекаю- щиеся малые окрестности. Тогда существуют простые нетривиальные в М петли Т^П^ и l'2c.N2, являющиеся компонентами границы топологического цилиндра СсМ, С П дМ = /[ и ^- Если lt (или 1г) — простая петля, то в качестве петли [[ (соответственно 12) можно взять ее.

Теорема 7.8 (теорема Зейферта — Ван-Кампена (Масси [1])). Пусть De М — топологический диск, граница которого принадлежит дМ. Тогда, если M\D имеет две компоненты Мг и М.,, то Л!(М) = n^MJsni(Мф (свободное произведение). Если же M\D связно, то лг (М) = nt (M\D)sZ.

Теорема 7.9 (теорема Кнезера (Хемпель [1])). Пусть М компактно и каждая компонента SadM несжимаема в М, т. е. гомоморфизм л, (S)—- nL (Л1), индуцированный вложением SeM, есть мономорфизм. Тогда, если л, (Л4) ^ G1»G2, то существует вложенная в М двумерная сфера, сплетающая М в связную сумму многообразий Mt и М„, М = М1#М2, причем n1(Mi)^Gi, i=l, 2.

Теорема 7.10 (теорема о сфере (Папакирьякопулос [1], Уайтхед [1])). Если М ориентируемо и л2 (int Л1) ^ 0, то существует вложенная в М сфера, не ограничивающая шар. Если л2 (int Л4) = 0 и л, (Л4) бесконечна, то л3(1п1Л1) = 0.

Если теперь /И = Л4 (G) для некоторой дискретной группы Ga Isom//3 без кручения, то к перечисленным топологическим свойствам Л4 добавляются следующие.

Из теоремы Александера о незаузленности двумерной полиэдральной сферы в трехмерной следует, что каждая вложенная в М (G) сфера ограничивает шар в М (G), т. е. М (G) неприводимо. | 2) Из теоремы о сфере и из 1) следует, что М (G) асферично — 1все гомотопические группы выше первой тривиальны.

I 3) Аналогично, из 1) следует, что М (G) — многообразие Пуанкаре, т. е. каждый гомотопический шар, вложенный в М (G), го- умоморфен евклидову шару. Поэтому, хотя гипотеза Пуанкаре и he доказана для размерности 3, это не отражается на исследовании клейновых многообразий.

‘ Лемма 7.11. Пусть GclsomНп — группа без кручения и S —компонента края dM(G). Тогда гомоморфизм «t(S, 0) --л^ЛЦС), 0) (0 — базисная точка) является мономорфизмом, если и только если все компоненты л-1 (S)czQ(G) односвязны.

Доказательство леммы непосредственно получается рассмотрением универсального накрытия л: Нп и И (G) — -- М (G) и односвязности Нпи-Ц8). Также просто получается доказательство следующих двух утверждений (см. Гусевский [1]).

Лемма 7.12. Пусть группа Gc:M6b(«) имеет инвариантную компоненту Qa<z.Q(G)czRn и So = Qo/G. Тогда гомоморфизм лг(50) * *4 (М (G)) является эпиморфизмом.

Верно и обратное утверждение.

Лемма 7.13. Пусть S —такая компонента края dM(G), что гомоморфизм Л! (S) —- Л! (М (G)) есть эпиморфизм. Тогда й0 = = л-1(5)с:й (G)czRn связно и является инвариантной компонентой группы G.' "

Лемма 7.14 (Туккер [1]). Пусть G—конечно порожденная группа без кручения, int М (G) содержит поверхность S с нетривиальной фундаментальной группой лЦЗ) и гомоморфизм nY(S) — Л! (М (G)) является мономорфизмом. Тогда для любой компоненты S* из л-1(5) замыкания компонент дополнения H3\S* гомеоморфны И3.

Лемма 7.15. Пусть Мг и М., —3-многообразия без края с тривиальными гомотопическими группами л2(М,) = л3(Л1/) = 0, 7=1, 2. Допустим, что ЛК компактной nj (A1a) ^ лг (/Й2). Тогда имеются изоморфизмы групп гомологий..

НДМ^, Z)^H^M., Z), /г = 0, 1, 2, 3, / J" (7.9)

и, в частности, Мг тоже компактно.

Доказательство леммы следует из существования непрерывного отображения /: М^М,, индуцирующего изоморфизм Л! (ЛК) - Л! (Л12) (см. Ху Сы Цзян [П), и теоремы Уайтхеда (см. Спеньер [1, §5 гл. 7]), утверждающей, что это отображение будет индуцировать изоморфизмы групп гомологий (7.9). Компактность ЛЦ следует из H3(Af2, Z) = 0.

В заключение этого параграфа остановимся на нескольких известных методах конструирования 3-многообразий, некоторые из которых допускают прямую реализацию в терминах клейновых групп и тесно связаны с методами комбинирования, построения фундаментальных полиэдров и т. д.

Связная сумма. Пусть М, M^ ЛЦ — «-многообразия (с краем или без края). Предположим, что существуют «-мерные топологические шары B/CintAK, 1=1, 2, и вложения /гд N, = = M,\int В, —- М такие, что /it (МД Г) Л2 (У2) = ^i (дВД = h2 (дВ2) и М — h^ (МД и h2 (У2). Тогда многообразие Л! = ЛК#Л!2 называется связной суммой многообразий Мг и М2. Если при этом М,

Л^, ЛК ориентируемы, то от вложений h, требуется сохранение ориентации. .

Построение многообразий с помощью связной суммы может быть реализовано (в случае униформизируемости) пространственным комбинированием Клейна (см. пример 6.16, теорему 8.46).

Дисковая сумма. Пусть М, Mlt М2 — «-многообразия с краем; £), —топологический диск, принадлежащий краю многообразия /И,-, 1=1, 2; / — гомеоморфизм DT на D.,. Многообразие М, полученное склеиванием Мг и М, по отображению /, называется дисковой суммой многообразий Мг и М2. В случае ориентируемых многообразий гомеоморфизм / должен сохранять ориентацию.

Пусть 6\ и G2cM6b («) — клейновы группы, G = GT*G- — комбинирование Клейна. Тогда многообразие [/?++1 и Q(G)]/G есть дисковая сумма многообразий М (G,), i=l, 2. (Здесь продолженные в /?"+1 группы обозначены по-старому.)

Универсальные узлы и зацепления. Пусть L — узел (простая петля) или зацепление (объединение непересекающихся петель) на сфере S3 или каком-либо 3-многообразии М. Удалением L из М получаем другое открытое 3-многообразие. Такие многообразия играют важную роль при изучении гиперболических многообразий (см. § 5 гл. 8). Здесь также возникает важный класс универсальных узлов и зацеплений (см. Тёрстон [5]). А именно, зацепление L в замкнутом ориентируемом 3-многообразии М называется универсальным, если каждое замкнутое ориентируемое 3-многообразие N содержит зацепление L' — N такое, что А\А' гомеоморфно конечнократному накрытию многообразия M\L.

Теорема 7.16 (Тёрстон [6]). Зацепление Уайтхеда универсально. Для каждого зацепления LcS3 существует зацепление L'tdL, дополнение S3\U которого есть конечнократное накрытие дополнения в S3 к зацеплению Уайтхеда.

Сильное продвижение здесь, дающее новый подход к трехмерной гипотезе Пуанкаре, получили Хилден, Лозано, Монтезинос t Уиттен [1]:

Теорема 7.17. Каждое замкнутое ориентируемое 3-много- 5разие является разветвленным накрытием сферы S® над боро- еевыми кольцами с индексами ветвления 1, 2 и 4.

Следствие 7.18. Пусть Р с. И3 — правильный додекаэдр с прямыми углами. Тогда группа Gtdsom Н3, порожденная поворотами на пД вокруг трех скрещивающихся ребер Р {выделены на рис. 51; ср. пример 2.15), является универсальной, т. е. каждое замкнутое ориентируемое многообразие М гомеоморфно H3/G{M), где G (/VI)— подгруппа G* конечного индекса. При этом лг (М) = 0, если и только если G{M) порождается вращениями.

Хирургия Дена. Пусть L— узел или «г-компонентное зацепление в S3. Вырежем трубчатую окрестность какой-либо компоненты L (граница которой, очевидно, является тором) и вклеим

ее обратно (заполненную) с помощью некоторого гомеоморфизма тора на себя. Такая процедура получила название хирургии Дена.

Более точно, пусть Р(— трубчатая окрестность в S3 t-й компоненты зацепления L, Т^ = дР,-, а, —меридиан (а,~0 в Р^, Ь,—параллель на Т^ (рис. 52), которые считаем образующими НДТ^ RY Тогда обобщенной хирургией Дена на 53\£ = /И с параметрами (тХ . . ., dmY d, = (а,-, р,-) ^ /?2, называется конструкция, дающая многообразие М^,.... d„, полученное приклеиванием заполненных торов к Л^ХК/3,- так, чтобы меридиан на i-м приклеиваемом торе переходил в а^Д^Ь^ Если же t-я компонента

зацепления не затрагивается, то пару d, = (pu, £,) обозначаем через сю (Тёрстон [1]; см. также Каллер, Гордон, Люекке, Ша- лен [1]).

Разбиения Хегора. Пусть М~ замкнутое 3-многообразие. Сплетением (разбиением) Хегора многообразия М называют пару (^, N,), где Nh 7=1, 2,— есть тело с ручками, а многообразие М есть объединение Л^иЛХ где N1r\N2 = dN1 = dN2. (Здесь и в дальнейшем: тело с ручками — это ориентируемое многообразие с краем, которое гомеоморфно дисковой сумме заполненных торов-полноториев.)

Известно, что каждое замкнутое 3-многообразие имеет разбиение Хегора, т. е. может быть склеено из двух гомеоморфных тел с ручками. Так как множество склеивающих гомеоморфизмов в общем случае не поддается описанию, то сказать что-либо о склеенном таким образом многообразии почти всегда невозможно, за исключением некоторых простых случаев, например, сплетений полноториев. Именно пусть замкнутое 3-многообразие М имеет разбиение Хегора рода 1. Тогда, в ориентируемом случае, М является линзовым пространством 1Др, q), где р и ^ — взаимно простые натуральные числа, а в неориентируемом — М гомеоморфно неориентируемому расслоению на двумерные сферы над окружностью (Хемпель [1]).

Склейка граней полиэдра. Пусть имеется полиэдр PcS3, гомеоморфный шару, и его граница —жорданова поверхность,

разбитая на многоугольники, удовлетворяющие обычным условиям триангуляции. Таким образом, мы имеем вершины, ребра и грани, полиэдра Р. Путем барицентрического-подразделения из поли^ эдра Р можно получить симплициальный комплекс (см. Рурк,; Сандерсон [1]). После этого склеим попарно грани Р при помощи сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов так, что вершины и ребра одной грани переходят в вершины и ребра другой. Получающийся при этом комплекс К является 3-многообразием в том; и только в том случае, когда его характеристика равна нулю (см. Зейферт, Трельфаль [1]).

Как уже говорилось в § 1 гл. 2, если склеивающие гомеоморфизмы берутся из группы изометрий какого-либо пространства (гиперболического, евклидова, эллиптического, аффинного и т. д.), то на К вводится соответствующая геометрическая структура. Если Р — фундаментальный полиэдр клейновой группы G, то на ^ = Q(G)/G вводится, по крайней мере, конформная структура (см. также § 1 гл. 6).

Топологические аспекты комбинационных теорем

В § 2 и 3 гл. 6 были рассмотрены некоторые конструкции (комбинирование Клейна—Маскита), позволяющие строить из простых клейновых групп более сложные. Наша цель показать здесь (следуя А. Мардену [1]), что происходит при таком конструировании с 3-многообразием М (G) построенной группы G. Многомерный случай одного класса многообразий будет рассмотрен в § 6 гл. 8.

Свободные произведения. Пусть даны многообразия М (GJ и М (G2) с замкнутыми евклидовыми дисками D^dM (G;), t — 1, 2; если М (Gj) =/И (G2), то требуем /)1Г)£)2 = 0. Под евклидовым диском D понимается такая область, что каждая компонента л'(О) может быть отображена на единичный круг UcsR- мёбиусовым отображением.

Покажем, что существует группа G3 такая, что М (G3) гомео- морфно многообразию, получаемому из Л4 (6,), t = 1, 2, отождествлением дисков Dx и D2 (дисковая сумма). Для построения 63 допустим сначала, что Al (Gj ^/И (G2) (возможность G1 = G2 остается). Обозначим через D( фиксированную компоненту лч(Д) и найдем сопряженную G2 группу G2 (М (G2) = М (G2)) такую, что одна из компонент л-1(Д„) совпадает с дополнением к IX. Тогда группа G3 = <G1, G2>^Gj*G2 (рис. 53), полученная комбинированием Клейна из GT и G2, обладает необходимым свойством.

Если имеем М (Gj = М (G2), то фиксируем вместе с Д* и некоторую компоненту Didл-1 (D2). Ясно, что Z)JnZJ2 = 0. Тогда, если g — мёбиусово отображение, переводящее внешность D( во внутренность Di, а группам Gt^G2^G соответствуют многообразия M(G1) = M(G2) = M(G), то в качестве группы G3 можно

взять G3 = <G, g>^G*<g>. Заметим, что если диски Dy и О2 лежат на одной компоненте края <W(G), то этот процесс дает новую ручку на этой компоненте; если диски D; лежат в разных компонентах края дМ (G), то в результате склейки эти компоненты объединяются в одну компоненту края полученного многообразия М (G3) (рис. 54).

Если допустить касание дисков DT и D^: Dy П D2 = {р}, то в качестве отображения g можно взять параболическое отображение с неподвижной точкой р* = £)^ П D2. Эффект склеивания

дисков Dy и D2 тогда дает пару проколов на соответствующей компоненте края дМ (G3).

Группы Шоттки рода g получаются в результате склеивания 2g дисков на сфере S2 = dH3 (/H(G) —тело с g ручками) Если Gj и G, — фуксовы группы, униформизирующие поверхности родов g; с П; проколами, то G3 = Gy%G., являются функциональной группой с инвариантной компонентой Q0(G3), поверхность Qo (G3)/G3 имеет род gy-g-, и «х + Пз проколов.

Свободные произведения с объединенными циклическими подгруппами. Под орициклическим диском D прокола р на дМ (G) мы понимаем следующее: D конформно эквивалентен кругу с проколом и каждая компонента л-1 (D) является евклидовым кругом или полуплоскостью, инвариантной относительно максимальной параболической подгруппы, определяемой проколом р.

Пусть теперь даны два многообразия М (Gt) и М (G2) с проколами рг на дМ (Gy), р.2 на дМ (G2) и орициклическими дисками Dy и D.,. Тогда существует группа G3 такая, что многообразие М (G3) гомеоморфно многообразию, получаемому из М (Gt) и М (G2) отождествлением дисков Dy и D„. Для построения G3 зафиксируем компоненту D\ с л-1 (Dy) и обозначим через Gp макси-

мальную циклическую параболическую подгруппу в Gx, Gp (D^=D1. Найдем такое сопряжение Сг группы G^, что extDi есть компонента О2‘ —л^1(Э2) и Gp является максимальной циклической параболической подгруппой в 63, оставляющей инвариантной компоненту D^. Тогда G3 = <G1, G'2> Gx QpG^ (рис. 55).

Эта конструкция может быть проведена и для двух различных параболических проколов рх, р., на краю одного многообразия М (G). Для этого зафиксируем для t = 1, 2 компоненты D*t ~ л-1 (£),), где В, — орициклический диск на дМ (G) в проколе р,, и пусть

Рис. 55

G, cz G — максимальная параболическая подгруппа, соответствующая pj. Рассмотрим мёбиусово отображение g, переводящее ext В* в intOj и сопрягающее подгруппы Gp G2 = gG^g-1. Тогда группе G3 = <G, g) соответствует многообразие М (63), гомеоморфное многообразию М (G) с отождествленными орициклическими дисками Dx и D.,.

В частности, для фуксовых групп Gx и G2, униформизирующих поверхности родов g; с п,- проколами, группа G3, получающаяся при склейке одного прокола на дМ (G^ с одним проколом на дМ (G2), является В-гругшой. При этом Qo (G3)/G3 есть поверхность рода (gi + g2) с Hit«2"2 проколами. Две другие компоненты дМ (G3) — поверхности родов g, с п, проколами (см. рис. 55). При склейке двух проколов на одной компоненте дМ. (G^ получается В-группа 63, поверхность Qo (G3)/G3 которой имеет род gx +1 и «! — 2 прокола. Другая компонента ДИ (63) имеет род gx и пх проколов. Таким путем можно устранить все проколы на дМ (6) и прийти к многообразию М (63), имеющему только проколотые заполненные торы.

V 3. Дубль многообразия М (G) относительно части дМ (6). Пусть край многообразия М (G) состоит из поверхностей S,-, t— 1, ..., m, для которых все компоненты в л~1(5,) являются евклидовыми дисками (с точностью до отображений из е42). Тогда, исключая случай фуксовой группы G, можно найти группу Г такую, что М (Г) гомеоморфно дублю М (G) относительно поверхностей 5ц Sm.

Для построения такой группы Г зафиксируем компоненту Dlcn'^Sj) и пусть 34 — отражение относительно окружности dD*v В качестве первого шага рассмотрим группу Gv—<G, 3^3^. Многообразие M(G3) гомеоморфно дублю M(G) относительно поверхности Sf Другим компонентам Sz края дМ (G) на краю многообразия М (GJ будут соответствовать по две поверхности S,y, / ■= — 1, 2, имеющие компонентами n~l(Szz) евклидовы диски.

Следующий шаг —отождествление поверхностей S21 и S22. Для этого фиксируем компоненту Дсл~‘ (S.21). Тогда Зх (Dijczn"1 (S^). Обозначим отражение относительно D» через 3.. Тогда З^г D^ ext Зг (D2) и сопрягает стабилизаторы в GT компонент D2 и Згф*у Поэтому многообразие М (G2), где G2 = <Gt, 313.,G13.231>, гомеоморфно многообразию, склеенному из М (G^ отождествлением S21 и S22.

Продолжая указанную склейку компонент SZ1 и SZ2, i=3, ..., m, мы получим в результате нужную группу Г. При этом 3'1Г5'1-^Г и отражение 3V задает антиконформную инволюцию в М (Г), переставляющую два листа дубля.

Указанная конструкция не работает только в случае фуксовой группы G. В этом случае 3,,3х — \й. Из других соображений видно, что дубль М (G) в этом случае не гомеоморфен многообразию М (Г) для любой группы Г, так как М (G) гомеоморфен произведению S х S1, имеющему нетривиальный центр в фундаментальной группе n1(SxS1). Однако, М (G) « (S3\A (G))/G.

Клейново многообразие функциональной группы

В этом параграфе мы покажем, как работает изложенная в предыдущих параграфах и в § 5 гл. 5 топологическая техника при описании структуры многообразия М (G) = (Нп+1 и Q (G))/G, где GcMob («) —геометрически конечная клейнова группа с инвариантной компонентой QoczQ(G) (т. е. G — функциональная группа). Мы увидим, что свойства таких многообразий размерности «+1 + 4 и «+1=3 существенно различаются.

Начнем со структуры трехмерных многообразий М. (G), где будем следовать А. Мардену [1]. Обозначим S0 = Q0/G, а через S1( • •■, ^ — оставшиеся компоненты края дМ^З). Функциональные группы характеризуются тем, что гомоморфизм Л] (So) —> -^лДЛЦб)) является эпиморфизмом (см. леммы 7.12 и 7.13).

Квазифуксовы группы. Пусть группа G имеет две инвариантные компоненты Qo, QicQ(G). Тогда многообразие M(G) гомеоморфно поверхностному слою Sox[O, 1], а группа G квазифукс ова. Это утверждение верно для конечно порожденных групп G (геометрическая конечность — следствие).

Для доказательства этого факта заметим сначала, что Qo и ^i должны быть односвязными (ср. Аккола [1]). В самом деле, если л, (Qo) #= 0, то по теореме 7.6 существует нетривиальная на So петля, ограничивающая вложенный в М (G) диск D. Диск D делит М (G), так как в противном случае найдется петля yczintM(G), имеющая ненулевой индекс пересечения с D и, следовательно,

не гомологичная петле на поверхности X = &JG, S^ D = 0. Это противоречит эпиморфизму лДХ) —* л^М (G)). Пусть теперь N — компонента М (G)\D, не примыкающая к поверхности Sp Тогда всякая петля в N свободно гомотопна петле на Si и, поэтому, свободно гомотопна петле на D, т. е. л, (А) = 0. Отсюда видим, что каждая компонента л-1(М) гомеоморфна N и, следовательно, А А X является диском, a dD = d(MAS0) является тривиальной петлей на So. Это противоречит выбору диска D.

Покажем теперь на примере компактного случая (So — замкнутая поверхность рода р) схему доказательства гомеоморфности М (G) и поверхностного слоя Sox[O, 1] (подробности и некомпактный случай см. в работе Мардена [1]). Итак, зафиксируем систему простых петель у1( . . ., у2/> на So таких, что у,- пересекает только у,_! и у; + 1 (в одной точке и трансверсально), не пересекаясь с другими петлями yz (рис. 56). Тогда поверхность S0\Uv,- является диском. По теореме 7.7 каждой петле у,- соответствует простая петля y-cSj, вместе с которой они ограничивают цилиндр Сг в M(G). Можно считать, что цилиндр С[ пересекается только с цилиндрами С;_г и С/ + 1 (трансверсально, по одной дуге). Обозначим через CJ = C,x(—е, е) 8-окрестность цилиндра С,. Тогда поверхность d(UG-) является цилиндром, a S0\[S0 A (U С-)] является диском. Аналогично, из того, что U У; ограничивает диск на X следует, что ХХ^ A (U С;)] — тоже диск. Таким образом, intM(G)\UC- есть шар и, поэтому М (G) гомеоморфно слою Sox[O, 1].

Если теперь Go—фуксова группа, униформизирующая замк

нутую поверхность но линейный (а M(G0)^M(G).Его поднятие внутую поверхность но линейный (а M(G0)^M(G).Его поднятие врода g, то мы можем рассмотреть кусоч- потому квазиконформный) гомеоморфизм

нутую поверхность но линейный (а M(G0)^M(G).

Его поднятие в

нутую поверхность но линейный (а M(G0)^M(G).

Его поднятие в

№ U ^ (Go) снова является квазиконформным

гомеоморфизмом, который продолжается до квазиконформного автоморфизма /: Н® ----- Н (см. Геринг [1]). Сужение / на плоскость С дает квазиконформную деформацию группы Go, результатом которой является группа G = /'G0/-1.

ванием всех (конечного числа) проколотых заполненных цилиндров. Допустим, что сШ0 состоит из одной поверхности рода g. Так как G свободна, то гомоморфизм л,: Л! (дМ0)- > nj (Мо) гх G не может быть мономорфизмом. Теорема" 7.6 дает существование простой нетривиальной на дМ0 петли yi, ограничивающей диск Dt в 7И0- Допустим сначала, что петля yt не делит <Ш0 и, следовательно, диск Dx не делит 7И0. Выбрасывая из /Ио окрестность D) = ^!Х(—е, е), получаем компактное многообразие Mlt край которого является поверхностью рода g — 1. Находя следующие петли у,- на дМх со свойствами как у петли у,, мы продолжим процесс до тех пор, пока на g-м шаге не получим замкнутый шар Mg.

Доказательство возможности такого выбора петель у^ у,, . . . (не делящих дМй) следующее. Допустим, например, что все петли у! делят дМй. Имеется две возможности: либо диск Dv делит Мо на две части Мг и М,, отличные от шаров, либо д (M^D^ имеет две компоненты. В первом случае общий род ^/HjU^Al, равен g. При этом простая петля в дМ,Г\дМ6 делит дМ,, i=l, 2, тогда и только тогда, когда она делит д/И0. Кроме того, л1(М0)^ ^ nt (М1)»л1 (М2) и, следовательно, лх (М,) свободны. Поэтому через конечное число шагов (выбирая делящие дМй петли), мы получим многообразие Мп со свободной группой, край которого является тором. Таким образом, мы получаем противоречие с тем, что нетривиальная простая петля на торе не делит его. Во втором случае (две компоненты 5П 52с=д(Л40\О1)) по теореме 7.6 находим на Si простую нетривиальную петлю, разбивающую ^ и ограничивающую в M0\DT диск и т. д. Продолжая этот процесс, получаем подмногообразие М с Л1о, имеющее компонентой дМ сферу. Эта сфера является компонентой дЛ40, что невозможно.

Таким образом, мы доказали, что если G — свободная группа, то M0(G) — тело рода g (заполненная сфера с g ручками). Такими группами, в частности, являются все группы G со связным Q (G). Если группа G, кроме того, является чисто локсодромической группой, то Л40(С) = М (G) и мы видим, что G — группа Шоттки (см. Маскит [1]). В общем случае можно показать, что G будет группой типа Шоттки. ‘

Общий трехмерный случай: группа G изоморфна фундаментальной группе замкнутой поверхности S. Если M0(G)— опять многообразие, полученное из М (G) вырезанием всех проколотых заполненных цилиндров, то Мй (G) гомеоморфно слою Sx[0, 1]. Доказательство этого факта получается аналогично случаю В-групп с использованием следующих двух фактов:

если подгруппа H<=G изоморфна фундаментальной группе замкнутой поверхности, род которой не превосходит рода S, то H = G;

группа G не является нетривиальным свободным произведением своих подгрупп. .

Общий случай получается из уже рассмотренных. А именно пусть S0 = Q0/G. Применяя теорему 7.6, найдем попарно непере- секающиеся нетривиальные на So простые петли у,, не являющиеся границами колец на So и ограничивающие диски DjcM (G). При этом систему петель {у,} возьмем максимальной: на каждой компоненте S'czSoXUy,- гомоморфизм лф: лх (S') —>- nt (М (G)) будет мономорфизмом.

Пусть теперь N — компонента М (G)\UD;. Зафиксируем компоненту А*с2Л-1(А). Тогда ее стабилизатор Go является либо В-группой, либо свободной абелевой группой ранга 2, либо циклической параболической или локсодромической группой. При этом многообразие N является ретрактом М (Go). Таким образом, в общем случае группа G может быть представлена в виде свободного произведения некоторого конечного числа В-групп, свободных абелевых групп ранга 2, циклических параболических и циклических локсодромических групп. Структура М (G) ясно представляется при помощи описания в § 2 склеек, соответствующих такому комбинированию групп.

Многомерные клейновы многообразия. Многообразия М (G)= = (Hn+l U Q (G))/G для геометрически конечных групп GczMob (тг), тг^З, с инвариантной стягиваемой компонентой QoczQ(G) имеют строение, в некоторой степени аналогичное трехмерному случаю. А именно, трехмерное многообразие М (G) для Gcz®^2 с односвязной инвариантной компонентой й0 с Q (G) после заклеивания одних проколов и удаления других превращалось, как мы убедились выше, в поверхностный слой Sgx[0, 1]. При п^З после аналогичных процедур из (п + 1)-мерного многообразия М (G) вместо SgX [0, 1] получается некоторый аналог поверхностного слоя. Такие аналоги можно рассматривать с различной степенью общности. А именно:

Произведение многообразия N0 = ti0,iG на отрезок;

(Б) Многообразие с двумя компонентами края, представляющее собой /i-кобордизм;

Многообразие с двумя компонентами края, представляющее собой гомологический кобордизм.

В последнем случае под гомологическим кобордизмом мы понимаем кобордизм (М; Мо, N^ со следующими свойствами. Пленка М представляет собой компактное многообразие с двумя компонентами края Мо и Mj (замкнутые многообразия), для которого тривиальны все относительные группы гомологий:

НДМ, N0) = H,(M, ^ = 0.

Тройку (Af; No, N^ компактных многообразий с краем называем гомологическим кобордизмом с краем, если |А0, ЫгсдМ, Nn A NT = 0, и для края 6А1 = dM\(N0 U Mi) тривиальны следующие относительные группы гомологий:

Н.(6М, дМ^-НДШ, dN1) = H,(iM, N0) = H,(M, MJ-0.

Заметим, что если выше заменить требование тривиальности относительных групп гомологий на требование тривиальности соответствующих относительных гомотопических групп, то мы приходим к определениям h-кобордизма и h-кобордизма с краем.

Ниже мы увидим, что и при п^З (п + 1)-мерное многообразие М (G) = [№+1 и Q(G)]/G наследует от трехмерных клейновых многообразий структуру «поверхностного слоя» по крайней мере в следующем виде (для простоты рассматриваем здесь компактный случай):

В смысле (А), если группа G есть квазиконформное сопряжение некоторой фуксовой группы в Rn = дНп+1.

В смысле (Б), если группа G имеет две инвариантные стягиваемые компоненты Qo, QiC:Q(G) (см. теорему 7.22).

В смысле (В), если группа G имеет инвариантную стягиваемую компоненту QocQ(G) (см. теорему 7.19).

Более того, как будет показано ниже, существуют четырехмерные компактные многообразия М (G), являющиеся гомологическими кобордизмами (т. е. реализующие (В)), но не обладающие свойствами А-кобордизма (т. е. не удовлетворяющие (Б) и, тем более, (А)).

Перейдем к точным формулировкам.

Теорема 7.19 (Тетенов [4,6]). Пусть геометрически конечная клейнова группа без кручения Ga&ftn, тг^2, имеет инвариантную стягиваемую компоненту QocQ(G), и пусть N0 = Q0/G. Тогда у многообразии /И (G) = (//n+1 и i2 (G))/G существует компактное |n+ Yy мерное подмногообразие Мс со следующими свойствами: ) а) М получается из Мс приклеиванием открытого воротника ЙЛ4сХ[0, оо) к границе ЬМс = дМс\дМ подмногообразия Мсв М\

связные компоненты воротника 6Л4сх[О, оо) конечнократно накрываются цилиндрами

Tn-kxBkX [0, оо), l^fe^n—1, bde Bb—замкнутый k-мерный шар, а Тп-ь — ^п— ку мерный торх | в) край дМс содержит связные непересекающиеся п-мерные многообразия с краем NOc и Nlc такие, что

ММе, ^с) = 0 и Н.(МС, Nle) = 0,"

! кобордизм с краем (Л1С; NOc, А1с) является гомологическим.

При этом NBc — NBG Мс, JVlc=> Мс П (дМ\П0), :dNoc«dNlc, dMc = NocGNlcG(dNocx[0, 1]).

Непосредственно из этого утверждения и теоремы 5.37 получается

Следствие 7.20. Пусть клейнова группа G из теоремы? .19 не имеет параболических элементов. Тогда многообразие М (G) компактно и имеет две компоненты края No = Qg/G и Ni~

= (Q (G)\Q0)/G, а тройка (44 (G); No, VJ является гомологическим кобордизмом.

Можно дать и прямое (без использования теоремы 7.19) доказательство последнего факта (см. Апанасов, Тетенов [2]). Оно, с одной стороны, весьма просто, а с другой — освещает основные идеи доказательства теоремы 7.19.

Доказательство следствия 7.20. Из условия отсутствия в группе G параболических элементов и из свойств геометрически конечных групп (теорема 5.42) видим, что 44(G) является компактным многообразием. Оно, как и компонента No — = ti8IG его края дМ (G) являются пространствами K(G, 1)-типа. В то же время включение Vo с 44(G) индуцирует изоморфизм фундаментальных групп nt (Vo) -nt (44(G)), который таким образом есть гомотопическая эквивалентность: л, (44 (G), Vo) O. Отсюда имеем, что Н* (44(G), Vo) = O. Этот факт, двойственность Пуанкаре и теорема об универсальных коэффициентах (выражающая когомологии через гомологии (см. Дольд [1, VI. 7.10, VIII. 7.2]) влекут, что 77* (44(G), дМ (G)\N0) = 0 и, в частности, H0(dM^\N0) = Z. Таким образом, дМ (G)\V0 состоит только из одной компоненты Nt, Nt = (Q(G)\fi0)/G и при этом Дф (44(G), V1) = 0. Это завершает доказательство соотношений (7.10), показывающих гомологическую тривиальность кобордизма (M(G); Vo, VO-

Доказательство теоремы 7.19. Здесь мы будем использовать обозначения, построения и ряд важных фактов, полученных в § 5 гл. 5 при доказательстве теоремы 5.52, тесно связанной с доказываемым утверждением. А именно, считаем, что максимальный набор неэквивалентных параболических вершин р;, 0 ^ i ^ s, выбран так, что для некоторого целого числа г <7 s имеем

( k: < п— 1 для i С г, rank Gp = <

‘= П — 1 ДЛЯ Г <15^8,

при этом всегда к,< п в силу G-инвариантности и стягиваемости Qo. При этом через W; обозначаем окрестности параболических концов в многообразии 44 (G), с точностью до конечнократного накрытия представляющиеся в виде (см. (5.42)):

W^Ui/Gp. « Tkt х Вп~к* X (0, оо),

где (7, с: Q (G) 1)77"+ 1 —области пиков для р;. При удалении этих окрестностей из 44 (G) остается компактное многообразие 44,., для которого обозначим NOc = Мс A No, где Л70 = Qo/G—компонента края 44(G). Имеем следующие возможности (см. доказательство теоремы 5.52):

rankGp. <п—1 для t^r. Здесь W; А дМ связный W, A No = 0

Для некоторого, q, г <q <^s, и для всех I, г < i^q, имеем rank Gp. =тг—1 и Wj AVo#=0. Тогда W; А (d44 (G)\V0) #= 0■

- 3) Для всех I, q<iiCs, rank Gp. =■ п — 1 и WiV\No = 0. ':'J

Мы ничего не будем изменять в случаях 1) и 3), а в случае 2) -рассмотрим конечнократное накрытие М (G) многообразием М (G'), где подгруппа G' конечного индекса в G такова, что в 2) дчя всех i, г <i <L q, стабилизаторы G'Pi есть свободные абелевы группы ранга п—1. Сохраняя при этом старые обозначения, подклеим к компактному многообразию Мс вместо параболических -окрестностей Wh г <K;q, многообразие T^xIO, 1], где Тп обозначает n-мерный полноторий: )

Тп ж Т"-2х[0, 1 j2.

Полученное компактное многообразие обозначим через М, а компоненту его края, содержащую NOc, через Mo. Тогда, как было доказано (см. (5.48)), край дМ состоит из двух компонент — вторую обозначаем М^ При этом вложения No g> М и Л\ с» М являются гомотопическими эквивалентностями (см. (5.46) и (5.49)). Последний факт и точная последовательность Майера — Вьеториса (1.49)

для пары триад

/q-rX/q-rX

( М; U (Т"х[0, 1]), ^ М1;U (7"Х {!}), !

\/ = 1/\/ = 1.'

показывают (ср. вывод (5.46)), что пара (Л!^, М1С) = (Ме, Мг П Мс) является гомологически тривиальной. Дополнение в дМс к объеди

нению подмножеств NOe и Nlc является множеством вида

q-r

и, поэтому, многообразие Мс является гомологическим коборДЙ#-

мом с краем, ,

и (Т»-1Х[0, !])/=’□ (^ЛМД

Переходя теперь к исходному многообразию А4 (G) (до накрытия), мы видим выполнение фактов а) и б) теоремы и, в связи с в), что лДАДб), No) = 0, так как M(G) и No — пространства K(G, 1)- типа. [Применяя схему доказательства для //ДМ, WJ = О (см. (5.47)) к многообразию, склеенному из двух копий Мс отождествлением подмножеств <5МСсх[0, 1], получаем H^M^G), MJ = 0.

Теперь гомологическая тривиальность исходной пары (Мс, W1(,) следует с помощью последовательности Майера—Вьеториса для пары пар многообразий.

Таким образом получаем, что и исходное многообразие /Ис является гомологическим кобордизмом с краем

q-r и П МД,

каждая компонента которого конечнократно накрывается цилиндром

Т^Х^, 1].-

Это завершает доказательство теоремы 7.19..

Замечание 7.21. Из доказательства теоремы 7.19 (или следствия 7.20) легко следует (ср. Рурк, Сандерсон [1]), что в случае стягиваемости всех компонент Q;gQ(G) построенный выше гомологический кобордизм с краем является обычным /i-кобордизмом с краем. В частности, имеет место утверждение (ср. теорему 5.51):

Т еорема 7.22. Пусть клейнова группа без кручения G с: N\6b (и), тг>2, имеет две инвариантные стягиваемые компоненты Qo, QjC с Q (G) с компактными фактормногообразиями Ne = Qo/G и Nx = --Q^G. Тогда многообразие М (G) также компактно, а тройка многообразий (М (G); No, N^ является h-кобордизмом:

лф(Л1(С), Wo) = лф(М(С), Nx) = 0.

Однако остается открытым следующий важный вопрос:

Будет ли тривиальным А-кобордизм из теоремы 7.22, или, более обще, будет ли при и^З тривиальным (и + 1)-мерный й-кобор- дизм (М (G); &0/G, ^/G), отвечающий геометрически конечной клейновой группе G с двумя инвариантными стягиваемыми компонентами Qo, 0^0(0)?

Этот вопрос является частным случаем гипотезы С. П. Новикова (см. Фарел, Сянг [1, 2], Фарел, Джонес [1,2]) и имеет интересную связь с вопросом о несвязности пространства униформи- зируемых конформных структур на замкнутом гиперболическом и-многообразии, п ^ 3 (см. Ананасов [37]).

Нетривиальные четырехмерные кобордизмы. В этом пункте мы покажем, что гомологические кобордизмы в теореме 7.19 и следствии 7.20 могут быть нетривиальными. А именно имеет место утверждение (Ананасов, Тетенов [2, 3]):

Теорема 7.23. Существуют компактные ориентируемые четырехмерные клейновы многообразия М (G) (с геометрически конечной гиперболической структурой на int М (G) = ^/G), являющиеся гомологическими кобордизмами, но не h-кобордизмами.

Доказательство. Для построения указанного в теореме кобордизма нам достаточно (согласно следствию 7.20) построить геометрически конечную клейнову группу GcMdb(3) без параболических элементов, у которой множество разрывности Q(G)

■состоит из двух G-инвариантных компонент й0 и Qj с общей границей A(G), одна из которых —й0 — стягиваема, а другая неодносвязна: лт (Q^ =/= 0.'

В самом деле, для такой группы G (или для ее подгруппы без кручения из <^3) гомологический кобордизм (М (G); Qo/G, Q^G) не является А-кобордизмом: этому препятствует нетривиальность второй относительной гомотопической группы л2 (М (G), Q^G) =/=0.

Последнее следует из того, что нетривиальность nt (Q^ и стягиваемость (Н4 и Qj) дают нетривиальность ядра гомоморфизма Л! (Q^G) nj (М (G)), индуцируемого вложением ^/Сс/И (G).

Клейновы группы GcM6b(3) с указанным выше свойством мы построим в следующем пункте.

Замечание. При построении группы G мы увидим, что G изоморфна фундаментальной группе некоторого замкнутого ориентируемого гиперболического 3-многообразия. Для таких групп известно (см. Фарел, Джонес [1, 3]), что ее группа Уайтхеда WhG тривиальна (также, как Wh2 G = 0, Ro (ZG) = 0, K_m (ZG) = 0 для m > 0, Whm G 0 Q = 0 для всех m). Это показывает, что возможные условия на группу G, обеспечивающие гомотопическую тривиальность кобордизма М (G) (или совпадение с произведением), должны иметь неалгебраический характер.

Группа с диким предельным множеством. В основе построения клейновых групп GcM6b(3) (даже геометрически конечных) с дико заузленным предельным множеством Л (G) (одномерным или двумерным) лежит идея периодичности заузливания, использованная впервые автором при построении дико заузлен- ной топологической окружности A(G)cS3 (Ананасов [11], ср. пример 9.58; см. также Маскит [5]) и обобщенная позже Громовым, Лоусоном и Тёрстоном [1]. Здесь мы приведем метод построения геометрически конечных групп GcM6b(3), предельные множества которых являются дико (и даже локально) дико вложенными в S3 двумерными сферами, ограничивающими G-инвариантные компоненты Qo U £\ = &(G). Причем одна из них является квазиконформным шаром, а вторая имеет бесконечно порожденную фундаментальную группу (см. Ананасов [31], Ананасов, Тетенов [2] и замечание 7.27).

Дикая сфера Фокса — Артина. Рассмотрим какую- либо заузленную (периодическим образом) дугу Фокса — Артина de R3 с концами х и у (см. Бинг [1, IV. 9] ирис. 58). Под «периодичностью» мы понимаем то, что дуга d инвариантна относительно действия некоторой циклической группы, порожденной гиперболическим преобразованием А^МбЬ(З) таким, что h(x) = x

и Ь.^ = у. Более того, если /(А) = {хgR3: |А'(х)| = 1} и/(А-1) — изометрические сферы для h и /г-1, h (ext J (/г)) = int I (/г-1), то /(/i)nd={x1, x3, x3} и I^^fyd — {x(, x3, x3}, где h^x^ = xt и точки X; и x’t располагаются на d в следующем порядке: хп х,, х3, х(, х2, х3.

Пересечение dh дуги d и слоя ext I (h) П ext I (h-^ состоит из трех дуг:

^A = (Xj, X») U (Х3, Xi) U (х2, Хд)

и образует собой период заузления дуги d, показанный на рис. 59 и 60.

Возьмем теперь окрестность U н трех дуг из dh в области ext/(А) П ext / (Л-1), состоящую из трех непересекающихся цилиндров, образованных объединением конечного числа последо

вательно пересекающихся шаров В,. При этом, в соответствии с

./ .Очевидно, что замыкание объединения сферических колец

vХ, = дВ;\( \3 В,, и int I (h) и int I Qi-^A(7.10)

иЧйх Л*-образов, m^Z, дает границу dU (d) утолщений дуги d: ;.^;:U^= U {hm(Uh)-. m€Z} и [x, y},

являющуюся дикой сферой Фокса —Артина S^ в R3 (рис. 61).

Теперь мы можем образовать конечное семейство ^"сфер 8,, j^J, со следующими свойствами:и ...

'V. С1. Объединение колец Х; покрывается внутренностями -сфер S/.

С2. Для любых i, / либо 8,ПВ, = 0Т либо S,- ортогональна ■сфере дВ(. Это также выполняется и для /(/г) и / (/г-1), взятых вместо дВ(.

СЗ. Если Sy AS6=/=0, то двугранный угол между S, и Sk равен л/m, m^Z.

С4. Если ^. а56^=0, то существует общее кольцо X,- такое, что S, П Х, =^ 0 и Su пХ, =^0.

Рис. 61

С5. Существует одно-однозначное соответствие между сферами 5,€^, пересекающими / (А), и сферами Sj E^, пересекающими / (А-1), такое, что

к^ = 8,.

Иными словами, мы образуем конечное шаровое покрытие для трех цилиндров dU h с хорошими углами между шарами, прямыми углами между шарами и сферами дВ, и условием периодичности. При этом имеющаяся свобода выбора шаров Bt (также, как и дуги d и отображения А) позволяет нам выбирать сферические кольца (7.10) с нужными конформными модулями и тем самым дает возможность получать требуемое семейство ^.

Однако, учитывая жесткость круговых покрытий двумерной сферы (следующую из жесткости компактных гиперболических полиэдров и гиперболических пространственных форм (см. теорему Андреева — Тёрстона в работе Тёрстона [1, гл. 13])), мы не ограничимся указанными аргументами существования нужного семейства g, и приведем его конкретную конструкцию для выбранного типа заузления дуги Фокса—Артина (очевидно, что наш метод применим и для дуг другого типа).

Блочный метод построения сферического покрытия ^. Пусть Р — прямая призма в R3 высотой 17, основанием которой служит многоугольник, равный объединению 55 разных правильных шестиугольников с единичными сторонами и непересекающимися внутренностями. Эти шестиугольники покрывают «сотами» правильный треугольник со стороной

9)^3 (рис. 62), вершины которого являются центрами крайних шестиугольников. Занумеруем шестиугольники построчно, так что три крайних имеют номера 1, 10 и 55, а центральный — 31.

Считаем призму Р разбитой на (55x17) малых (единичных)- призм Р (к, п) единичной высоты, занумерованных парами (k, п), где к, 1^&^17, обозначает «этаж» призмы Р, содержащий Р (k, тг), а п, 1$СтгсС55,—есть номер шестиугольника в основании Р, служащего проекцией для Р (k, п).

Теперь сопоставим трем заполненным цилиндрам, образующим окрестность Uh периода заузления dh = (x1, х2) U (*2, Х3) U U (х3, х^), три непересекающиеся области (ломаные цилиндры) ^(xi> *2), D(x'2) х3), О(х3, х(), полученные объединением малых призм Р (к, п) с номерами (к, п) из следующих множеств пар:

(12,28) (12,29) (12,30) (12,31) (12,32) (12,33) (12,34)

(11,28)(11,34)

.. - , ,(10,34)

D (хь хг) ■(9,34)

'(8,34)

1(7,34)

(6,20) (6,11) (6,1)’ : -; ■ (6,34)

.(4,1)•.(4,34).(3,1)\.(3,34)'(2,1)- .(2,34)(1,14) (1,4) (1,3) (1,2) (1,1)(1,34) (1,33).(4,1)•.(4,34).(3,1)\.(3,34)'(2,1)- .(2,34)(1,14) (1,4) (1,3) (1,2) (1,1)(1,34) (1,33)- ■•(5,1)..(5,34)

.(4,1)•.(4,34).

(3,1)\.(3,34)

'(2,1)- .(2,34)

(1,14) (1,4) (1,3) (1,2) (1,1)(1,34) (1,33)

.(4,1)•.(4,34).

(3,1)\.(3,34)

'(2,1)- .(2,34)

(1,14) (1,4) (1,3) (1,2) (1,1)(1,34) (1,33)

(17,14)(17,4)..; (16,4),(15,4)*(14,4)■v?,i(13,4)■;■(12,4) .......О1-4) (10,4) (9,4) (8,4)(17,14)(17,4)..; (16,4),(15,4)*(14,4)■v?,i(13,4)■;■(12,4) .......О1-4) (10,4) (9,4) (8,4)(17,55) (17,53) (17,50) (17,46) (17,42)(16,55)(15,55)'(14,55)-'(13,55)(17,55) (17,53) (17,50) (17,46) (17,42)(16,55)(15,55)'(14,55)-'(13,55)(12,55) (12,54) (12,52) (12,49)(11,49)(12,55) (12,54) (12,52) (12,49)(11,49)D (хг, Хз) ’ 'D (хг, Хз) ’ 'it,.-it,.-(10,49)(9,49)(8,49)(10,49)(9,49)(8,49)(7,4).(7,49)(6,4) (6,Ц) (6,23) (6,31) (6,38) (6,44) (6,49) ■1 (17,33) (17,34) (17,27) 117,19) (17,10)(7,4).(7,49)(6,4) (6,Ц) (6,23) (6,31) (6,38) (6,44) (6,49) ■1 (17,33) (17,34) (17,27) 117,19) (17,10)■ -1<■ -1<О^Хз, Xi)О^Хз, Xi)(16,10)(15,10)(14,10)(13,10)(12,10)(11,10)(16,10)(15,10)(14,10)(13,10)(12,10)(11,10)-(10,10)(9,46) (9,,42) (9,37) (9,31) (9, 24) (9,46) (9,7) (9,8) (9,9) (9,10)(8,46) •(7,46) \•■."..(6,46)’' .’(5,46)л. '■} ' ■ \-(4,46)/-‘.(3,46):.(2,46)- ''(1,46)(1,42)-(10,10)(9,46) (9,,42) (9,37) (9,31) (9, 24) (9,46) (9,7) (9,8) (9,9) (9,10)(8,46) •(7,46) \•■."..(6,46)’' .’(5,46)л. '■} ' ■ \-(4,46)/-‘.(3,46):.(2,46)- ''(1,46)(1,42)

(17,14)(17,4).

.; (16,4)

,(15,4)*

(14,4)

■v?,i(13,4)■;■

(12,4) .......

О1-4) (10,4) (9,4) (8,4)

(17,14)(17,4).

.; (16,4)

,(15,4)*

(14,4)

■v?,i(13,4)■;■

(12,4) .......

О1-4) (10,4) (9,4) (8,4)

(17,55) (17,53) (17,50) (17,46) (17,42)

(16,55)

(15,55)'

(14,55)-'

(13,55)

(17,55) (17,53) (17,50) (17,46) (17,42)

(16,55)

(15,55)'

(14,55)-'

(13,55)

(12,55) (12,54) (12,52) (12,49)

(11,49)

(12,55) (12,54) (12,52) (12,49)

(11,49)

D (хг, Хз) ’ '

D (хг, Хз) ’ '

it,.-

it,.-

(10,49)

(9,49)

(8,49)

(10,49)

(9,49)

(8,49)

(7,4).(7,49)

(6,4) (6,Ц) (6,23) (6,31) (6,38) (6,44) (6,49) ■1 (17,33) (17,34) (17,27) 117,19) (17,10)

(7,4).(7,49)

(6,4) (6,Ц) (6,23) (6,31) (6,38) (6,44) (6,49) ■1 (17,33) (17,34) (17,27) 117,19) (17,10)

■ -1<

■ -1<

О^Хз, Xi)

О^Хз, Xi)

(16,10)

(15,10)

(14,10)

(13,10)

(12,10)

(11,10)

(16,10)

(15,10)

(14,10)

(13,10)

(12,10)

(11,10)

-(10,10)

(9,46) (9,,42) (9,37) (9,31) (9, 24) (9,46) (9,7) (9,8) (9,9) (9,10)

(8,46) •

(7,46) \•■."..

(6,46)’' .’

(5,46)л. '■} ' ■ \-

(4,46)/-‘.

(3,46):.

(2,46)- ''

(1,46)(1,42)

-(10,10)

(9,46) (9,,42) (9,37) (9,31) (9, 24) (9,46) (9,7) (9,8) (9,9) (9,10)

(8,46) •

(7,46) \•■."..

(6,46)’' .’

(5,46)л. '■} ' ■ \-

(4,46)/-‘.

(3,46):.

(2,46)- ''

(1,46)(1,42)

Опишем теперь из вершин призм Р (k, п\ входящих в наши области О(*, *), сферы S,- радиусами ^З/З. При этом, если S[ nS; ^0, то сферы S, и Sy имеют своими центрами соседние вершины какой-нибудь призмы Р (к, п) и пересекаются под углом л/3. Если В (k, тг)—шар с центром в центре призмы Р (k, п) и радиусом V Н/12, то его граничная сфера S (k, п) ортогональна сферам S,-, описанным из вершин этой призмы Р (&, тг).

После этого рассмотрим в качестве шаров В,, объединение которых должно образовывать три цилиндрические компоненты окрестности Uh, совокупность шаров В (k, п), соответствующих призмам Р (k, п) из областей D(*, »). В качестве же изометрических сфер / (А) и / (/г-1) рассмотрим сферы / (А) = S2 (г7, К83/12) и / (A-1) = S2 (z17, V83/12) радиусов V83/12 с центрами в точках z^ и z17, которые являются центрами первого и семнадцатого этажей, т. е. центрами призм /э(1,31) и Р(17,31). При этом радиус этих сфер таков, что они пересекают (ортогонально) только сферы SZC^ радиусов К3/3, центры которых находятся в вершинах призм Р(1,14), Р(1,33), Р(1,42) (соответственно Р(17,14), Р (17,33), Р (17,42)), ближайших к точке Zj (соответственно к точке z17).

Заметим, что внутренности сфер S,- с центрами в вершинах призм покрывают не всю границу dUh, т. е не все сферические

кольца XczS(k, п) из (7.10). Непокрытыми на этих кольцах остаются шестиугольные и четырехугольные области, соответствующие граням призм Р (k, п). Каждую шестиугольную область, на XcS (к, п) мы покроем внутренностями семи сфер, ортогональных сфере S (к, п). Шесть из них имеют равные радиусы, ортогональны сферам Sz и пересекаются друг с другом под углами л/3; седьмая сфера пересекает шесть других под прямыми углами (рис. 63) и не пересекается со сферами S,.

Каждую четырехугольную область на XcS^k, п) мы покроем внутренностями пяти сфер, ортогональных сфере S(k, п). Четыре из них имеют равные радиусы, у х.ортогональны сферам S. и пересе-

___/каются друг с другом под углами

Лу,3; пятая сфера пересекает четы-

тГю? ,ък Рис. 63 ? *‘ • ;1< Рис. 64 ^ 0

ре других под прямыми углами и не пересекаются со сферами S,- (рис. 64).

Прямой подсчет показывает, что полученное таким образом покрытие сферами границы dUh обладает всеми свойствами С1 — 05 семейства ^, построение которого этим завершается.

Заметим, наконец, что свойства С2 и С4 покрытия ^ (где С2 в случае Sk ПВ, =0 0 и Sfc ПВ,- 0 0 означает, что Sk ортогональна окружности 6,-у = дВ, П дВ^ дают нам возможность «изгибания» цилиндрических поверхностей, образующих dUh, и тем самым, изгибания всей поверхности S, вдоль окружностей, ограничивающих сферические кольца Д'” (X,), i £/, m^Z, — без изменения двугранных углов между сферами нашего покрытия Нт^, m^Z-

Алгебраические свойства группы G. Обозначим через Gj, G2 и Ga мёбиусовы группы, порожденные отражениями относительно сфер Sh внутренности которых пересекают соответственно области D (xt, х2), D (xi, х3) и D (х3, х'0 Применение в R1 первой комбинационной теоремы Маскита (теорема

показывает, что ахл-дулк. я. ?.*и.#чо!кц^о<1о,ч .>:/'№; .;■; «.'.пли ч Gk = Gkl«Gk2* Gk3* Gk fc=l, 2, 3, (7.11)

^12 ^23 ^34 ^П^-цП^

где группы-блоки Gki порождены отражениями относительно сфер из семейства К, пересекающих шар В,-, BjA D (*, *) ^ 0, а объединенные подгруппы Н,,- порождены отражениями относительно сфер из &, внутренности которых покрывают окружность б;,- ~ — дВ, П дВу. '

Тогда, используя непересекаемость сфер Sz, покрывающих различные области D(*, *), т. е. непересекаемость групп GT, G., и Gs, видим (комбинирование Клейна (теорема 6.15)), что дискретная (по свойству СЗ семейства ё) мёбиусова группа G„, порожденная отражениями в сферах семейства К, есть свободное произведение групп Gk; G0 = G1»G2*G3.

- Обозначим через Н, (соответственно 77-) подгруппы в Go, порожденные отражениями в сферах из ^, покрывающих окружности на 7 (/i) (соответственно на / (/i-1)), которые содержат внутри точки Х( (соответственно точки jq), i= 1, 2, 3. И пусть

Н = Нх * Н2 * Н3, Н'= Н(* Н'„* Н3.

Тогда группа G, порожденная группой Go и гиперболическим элементом ft, h (ext 7 (/i)) = int I (hr1), является дискретной группой, полученной HNN-растирением группы Go при помощи элемента h, сопрягающего подгруппы Н и Н' группы Go. Это получается непосредственным применением 2-й комбинационной теоремы Маскита (теорема 6.23), так как замкнутые шары D и D', ограниченные сферами 7 (/i) и /(/i-1), являются строго инвариантными в Go относительно подгрупп Н и Н' соответственно. Таким образом имеем следующее представление группы G:

G=<G1*G2*G3, h; hHh-1 = H't, t = l,2, 3>. (7.12)

Фундаментальным полиэдром группы G является следующий конечносторонний сферический полиэдр F, имеющий четыре компоненты связности —неограниченную F„ и три ограниченных F3, F2, F3.

F = ext 7 (/i) П ext 7 (/i-1) П {ext S,-: S, C^}. (7.13)

Заметим, что продолжая сферы S,, /(h) и I (h-1) до гиперболических плоскостей в Н4, мы получаем конечносторонний выпуклый полиэдр ГлсН1, подобный (7.13) и фундаментальный для действия G в И4. Это показывает геометрическую конечность группы G.

Взяв в G вместо порождающих, содержащихся в группе Gx, их сопряжения элементом h (т. е. элементы из группы hG^1), мы получаем с помощью преобразований Тице (см. Тице [1] или Линдон, Шупп [1, гл. 2 § 2]), что представление (7.12) перепи-

шется в новых порождающих в следующем виде:'

' G = <G2* hG^1» G3, h; hH3h-Y = H3>.(7.14)

Мы можем разбить семейство ^ на три непересекающиеся подсемейства ^1( ^2 и ^з, сферы Sz- которых пересекают соответствующую Ею область D^*, ») (т. е. ^,- отвечает группе Gz). Если теперь взять новое семейство сфер ^ = h (^) и ^2 (J ^3, то отражения в его сферах порождают группу Go,

G0 = G2* hGJi"1* G3.'

н2 нг

Тогда из представления (7.14) очевидно следует, что группа G является HNN-расширением группы Ga при помощи элемента h.

Множество разрывности группы G. Легко видно, что вместо полиэдра F из (7.13) в качестве фундаментального полиэдра группы G можно взять следующий полиэдр:

^ = 1п1(Е„иЁгиЁ3ий(Е1)),(7.15)

состоящий из неограниченной компоненты F„ и ограниченной (связной) компоненты Fo — int (F2 и/1 (FJ и F3), содержащей отрезок (х3, х3) дуги d.

Из построения группы G видим (см. лемму 3.16), что области

Q0=UG(F0) и Qi=uG(FJ(7.16)

являются инвариантными компонентами группы G и, в силу фундаментальности F (как и (7.13)) для группы G, их объединение дает все множество разрывности: Q(G) = Q0U^i.

Деформация группы G. Теперь нам остается убедиться в справедливости следующего утверждения.

Лемма 7.24. Предельное множество A(G) построенной выше геометрически конечной группы G<rMob(3) есть дико вложенная в R3 сфера, разбивающая Q (G) на две G-инвариантные компоненты, одна из которых есть квазиконформный образ шара.

Доказательство леммы будет состоять в построении гомеоморфизма /: Q„ = Qo U A (G) —В замыкания компоненты Qo (см. (7.16)) на замкнутый шар BczR3, квазиконформного в области Qo (квазисимметрического в Qo (см. Ананасов [31])) и согласованного с группой G.

Пусть В, и В,— любые два соседние пересекающиеся шара из нашей конструкции (или /z-образы таких шаров) и пусть 6;/ = = dB.ftdB,. Тогда существует квазиконформный гомеоморфизм /,у, переводящий В(1)В, в шар В,- и конформный в окрестности сферических дисков дВ,\В, и дВ/хВ,. А именно, пусть S, и В,

суть полупространства, причем плоскости dBz\{oo} и дВ7\{оо} содержат начало координат и пересекаются под углом а, 0 < а < < л, по третьей координатной оси 6,-/-= {х £ R8: х1 = х2 = 0}. Пусть также в плоскости /?2 = {х: х3 = 0} имеем естественную комплексную структуру и зафиксировано число С такое, что

0 < £ < л/2, 0 < а < л — 2£.

Тогда квазиконформный гомеоморфизм /,у описывается своим поведением на плоскости C R2 (рис. 65), где,-

fij4z) =

f z,|argz|>n —t„

J z-exp(ia),|argz|sC^,

z-exp (ta-(l — (argz —£)/(л —2£))), £<argz<n —£,' ' '

( z-exp(ia.(l+ (argz —у/(л —2^))), £ —л < argz < — £.

Если здесь вместо шара В7- берется один из шаров, ограниченный изометрической сферой для h. либо h-1, то в качестве /,7

берется гомеоморфизм типа (7.17), переводящий эту сферу в сферу, ортогональную в сфере дВ,.

Рассматривая суперпозицию конечного числа определенных квазиконформных гомеоморфизмов вида (7.17), получаем квазиконформный гомеоморфизм /„

(вкладывающий полиэдр Fo в • шар В), переводящий грани полиэдра Вов грани некоторого полиэдра Fg = f О(РЙ\ лежащие на сферах, ортогональных сфере дВ. При этом, в силу свойства конформности гомеоморфизмов Ду в окрестности дисков дВ,\В,- и дВ,\В7 и из свойств С2 и С4 семейства ^ получаем, что все двугранные углы W и fn (IF) полиэдров Fo и Рй совпадают. Это доказывает следующий важный факт.

Пусть группа Ggc:M6b(3) порождается отражениями в гранях полиэдра Fo, не лежащих на foU W') и на Д (/ (й-1)), и

пусть G' = <G'e, h0/, где гиперболическое преобразование h0 переводит лежащую на /0 (/ (/г)) грань полиэдра F'o в другую его грань, лежащую на /0 (7 (А-1)) (эти грани —суть правильные четырехугольники с углами л/3 в гиперболической геометрии шара В). Тогда, применяя комбинационные теоремы Маскита, получаем, что группа G' есть HNN-расширение элементом htt подгруппы G'o^G', которая в свою очередь (аналогично группе G0<rG) является свободным произведением своих подгрупп СД G) с объединенными подгруппами С'И = С'£ ПС/. Таким образом, информа-

ция (свойство СЗ семейства ^) о двугранных углах (| /0 (W) | — ^ | U/1) полиэдра F'o и представление (7.14) группы G доказывают, что G' с Mob (3) — дискретная группа в шаре В с компактным факторпространством BIG', изоморфная группе G.

Более того, продолжая отображение /0: Рй F'o согласованно с действием групп G и G' на образы G(F0), т. е. на всю область Qo, получаем квазиконформное отображение f: Qo —*• В, сопрягающее действие групп G и G': fGf~1 = G'.

Теперь нам остается продолжить отображение / до отображения /: Qo - В замкнутых областей. Это отображение / получается обычным продолжением по непрерывности, причем теорема Тукия [5j о гомеоморфизмах A (G)- -A (G') предельных множеств, индуцированных изоморфизмом G- - G' (см. теорему 7.30), доказывает, что полученное при этом отображение / является гомеоморфизмом (даже квазисимметрическим)". 1 - ■

Для завершения доказательства леммы нам необходимо убедиться лишь в том, что топологическая сфера Л (G) = дй0 = dQ, ----- — f-1(S2) дико вложена в R3. Это будет следовать из теоремы Александера о незаузленности полиэдральной сферы в R3 (см. Бинг[1, VIII.41) и из того, что л1(Й1)=И=0.

В самом деле, рассмотрим нетривиальную петлю / в неограниченной компоненте F^cQ, полиэдра F (см. рис. 60) и допустим, что она стягиваема в Qj (см. (7.16)). Тогда по лемме Дёна (теорема 7.5) существует диск DcQx такой, что dD = l. В силу компактности диска I), он покрывается конечным числом полиэдров g^FJ, g:^G. В то же время, в силу нетривиальности петли / в /?3\й имеем, что d П D * 0. Поэтому существует g0 £ G такое, что g6 (FJ П d Ф 0. Полученное противоречие завершает доказательство леммы и, тем самым, завершает (с точностью до подгруппы без кручения конечного индекса) конструкцию группы 6 с объявленными выше свойствами.

Замечание 7.25. Множество точек z£A(G), в окрестности которых топологическая сфера Л(G) дико заузлена, является плотным подмножеством в A(G). Это следует из плотности G- орбиты С^х, у}) точек х, у (концов дуги d, неподвижных для гиперболического элемента h £ G) на множестве A(G) (см. следствие 3.12).

Следствие 7.26. Существует квазисимметрическое вложение <р: В <щ R3 замкнутого шара, которое не может быть продолжено топологически ни в какую окрестность каждой точки граничной сферы дВ.

Доказательство следствия непосредственно следует из свойств построенного в лемме 7.24 отображения / (ф = /-1) и из замечания 7.25.

Заметим, что подобный эффект непродолжаемости вложения шара в двух граничных точках был обнаружен Ф. В. Герингом [3] (обоснование см. в работе Г. Мартина, [1]).

Замечание 7.27. В построенной в лемме 7.24 группе G', действующей в шаре В как ко-компактная подгруппа Isom№, каждой подгруппе Сц (=Hif из (7.11)) отвечает вполне геодезический 2-орбифолд S^B/G'. С точки зрения теории деформаций (см. §3 гл. 9) можно сказать, что группа СстМбЬ(З) получается из группы G' в результате «.изгибаний» вдоль этих вполне геодезических подорбифолдов S,;. В этом контексте можно сказать, что многообразие Qo/G получается склейкой блочных гиперболических многообразий М,(факторпространство шара В j по его стабилизатору G,) по вполне геодезическим поверхностям S^czM^

Заметим, что в качестве семейства шаров-блоков В, можно взять шаровое покрытие какого-либо полиэдрального узла в S3 (даже тривиального — (ср. Ананасов [11] и пример 9.58)), где в каждом из шаров В, действует конечно порожденная группа G,-, AfG^^dB,. Если при этом группы-блоки таковы, что соседние G.- и G, имеют объединенную подгруппу G,v (группу поверхности или абелеву группу ранга 2), то, как и выше в (7.11), (7.12), скомби

нированная из этих «блоков» конечно порожденная группа G =

(с дико заузленной границей A (G)), лежащую во внешности шаров В,. Тогда у 3-многообразия Q/G (при некоторых специальных условиях на геометрически бесконечные группы-блоки G,) фундаментальная группа будет бесконечно порождена (практическое осуществление этой конструкции см. в работе Каповича и По- тягайло [1]). Такие 3-многообразия показывают отсутствие теоремы конечности Альфорса для клейновых групп в размерности три (ср. § 3 гл. 5) с нестягиваемыми компонентами множества разрывности; теорему конечности в стягиваемом случае см. в работе Кулкарни и Шалена [1].

Теоремы об изоморфизмах

Здесь мы кратко опишем ситуации, в которых изоморфизм фундаментальных групп многообразий (или клейновых групп) индуцируется каким-либо гомеоморфизмом. Первым таким результатом явилась теорема Феншеля— Нильсена из их известной неопубликованной работы «Разрывные группы неевклидовых движений» (ср. Марден [3], Цишанг, Фогт, Коулдвей [1], Нильсен [1]):

Теорема 7.28. Пусть ф: G —»■ Н — сохраняющий тип элементов изоморфизм нециклических конечно порожденных фуксовых групп в круге U такой, что ф (g) имеет инвариантную дугу в ^ЦН^ди, если и только если g^G имеет такую дугу в

9 Б. Н. Апанасов

Q(G)lT>dl/. Тогда существует гомеоморфизм ф. U -»Uтакой, что ■ ф = /«: g^gf"1-

Первое обобщение этого результата для клейновых групп на плоскости дал А. Марден [1], использовавший для доказательства топологию 3-многообразий и, в частности, глубокий результат Вальдхаузена [3] о существовании кусочно линейного гомеоморфизма Мо (G)Мо (//) компактных 3-многообразий, индуцированного изоморфизмом лл (Mo (G))лх (Мо (Н)). А именно, имеет место

Теорема 7.29. Пусть ф: GИ — сохраняющий тип элементов изоморфизм геометрически конечной без кручения и дискретной групп G, НссаМ». Допустим, что ф индуцируется сохраняющим ориентацию гомеоморфизмом f: Q (6) Q (//), т. е. Ф = /*. Тогда ф индуцируется гомеоморфизмом п3 —* л3, который квазиконформен в случае квазиконформности / и ' является изометрией И3 в случае конформности ф

Другой подход к вопросу изоморфизма геометрически конечных дискретных групп получается из конструкции Тукия [5] гомеоморфизма предельных множеств, играющей ключевую роль в следующей его теореме, которую мы сформулируем для п ^ 2 (ср. Тукия [5, теоремы 3.3 и 3.8]) в виде:

Теорема 7.30. Пусть G и И с Mob (п), п ^2,— неэлементарные геометрически конечные дискретные группы и ф: G - Н — изоморфизм. Тогда имеют место утверждения'.

Если ф сохраняет тип элементов, то существует фи притом единственный) гомеоморфизм

U- K{G)^\{H), (7.18) индуцирующий изоморфизм ф; при этом ^^^д^фг), если Q(G) = 0.

Если ф. Q (G) —> Q (П) — гомеоморфизм, индуцирующий изоморфизм ф, то ф сохраняет тип; при этом отображение

‘ , / /(х), если x^QAG), .

является гомеоморфизмом сферы Rn.

с) Если гомеоморфизм f в б) является К-квазиконформным для некоторого А^1, то f тоже К-квазиконформно.

В размерности п = 2 этот подход позволяет снять ограничения в теореме 7.29, связанные с сохранением ориентации элементами G и И и гомеоморфизмом /. Это становится возможным благодаря следующему глубокому результату Раймана [2] и Тёрстона [1] о продолжении квазиконформных отображений (случай п=1, допускающий возможность и многомерной его интерпретации, см. также в работе Тукия [4]).

Теорема 7.31. Пусть G и ЯсМбЬ(п), п ^ 2, и пусть ф. Rn Rn— квазиконформный гомеомор ризм, индуцирующий изоморфизм ф: G —> И. Тогда существует квазиконформный гомеоморфизм F: Н^ v - Нп+1, являющийся продолжением [ и индуцирующий ф.

Нахождению условий на группы G, Н и их изоморфизм ф (обобщающих условия Феншеля — Нильсена в теореме 7.29), при которых существует индуцирующий ф гомеоморфизм f: Q (G) —► - - И (Я), посвящен ряд работ А. Мардена, Б. Маскита и П. Тукия, рассматривавших различные аспекты этой задачи. Мы приведем здесь лишь теорему Тукия [5] (в этой работе имеется и хороший исторический обзор решения проблемы изоморфизма), дающую наиболее полное описание геометрических изоморфизмов геометрически конечных мёбиусовых групп на плоскости (определения используемых терминов см. ниже):

Теорема 7.32. Пусть ф: G —► G'—сохраняющий тип изомор’ физм неэлементарных геометрически конечных группО, G' сМбЬ (2)- Кроме того,

если A(G) есть окружность, предполагаем, что g^G и ф(?) одновременно сохраняют или нет ориентацию;

если A (G) связно, но не является окружностью, предполагаем, что изоморфизм ф сохраняет пересечения;

если A (G) несвязно, предполагаем, что G, С с оДг, каждая конечная подгруппа в G является циклической, а изоморфизм ф строго сохраняет тип и согласован с ориентацией.

Тогда ф индуцируется квазиконформным гомеоморфизмом F: И3 Н3.

Заметим, что в случае, когда группа G не содержит параболических элементов, то для каждой компоненты D cz Q (G) ее стабилизатор GD есть квазифуксова группа (см. Маскит [6, теорема 4] и Маскит [7, теорема 9 и 1.11]). Поэтому в этом случае в теореме 7.32 достаточно допустить, что ф сохраняет пересечения для всех локсодромических g CG и всех квазифуксовых Г cz G вида Gd или ф^о-) для некоторых компонент 9сй(6)и D'с: cz Q (G').

Определим теперь необходимые свойства сохраняющего тип элементов изоморфизма ф дискретных групп G, G' с МбЬ (2) (см. Тукия [5]):

Строгое сохранение типа требует от ф дополнительно равенства абсолютных величин углов для эллиптических поворотов ?Е G и ф (?) Е G'.

Сохранение пересечения для ф означает, что любой локсодромический g Е G и любая квазифуксова подгруппа Г cz G (точнее, почти квазифуксова Г —конечно порожденная группа с топологической окружностью A (G)) пересекаются тогда и только тогда, когда пересекаются ф (?) и ф(Г). При этом локсодромическое отображение g С МбЬ (2) и «квазифуксова» группа Г пересекаются, если

неподвижные точки отображения улежат в различных компонентах /?2\Л(Г) (т. е. ось lg элемента g трансверсально пересекает оболочку Нильсена Нт\

Заметим, что корректность этого определения следует из пункта а) теоремы 7.30, показывающего, что Л (ф (Г)) = /ф (Л (Г)) есть топологическая окружность (т. е. ф (Г) — «квазифуксова» группа). Это определение обобщает тот факт для гиперболической плоскости Н2 (дающийся теоремой Феншеля — Нильсена о пересечении осей (ср. теорему 7.28)), что для изоморфизма ф: G—G' двух групп из Isom И2 q> (g) = fg^1 для некоторого гомеоморфизма /: Н2 — Н2, если и только если ф сохраняет пересечение осей гиперболических элементов, т. е. гиперболические элементы g, h^G имеют пересекающиеся оси, если и только если оси элементов ф (g) и ф (й) пересекаются. Важность этого условия объясняется тем, что такие изоморфизмы ф в неквазифуксовом случае определяют биективное соответствие компонент Q(G) и компонент Q (О'). Это показывает следующее утверждение Тукия [5]:

Лемма 7.35. Пусть ф: G - G' — сохраняющий пересечения изоморфизм двух геометрически конечных неквазифуксовых мёбиусовых групп в R2. Тогда для любой компоненты D ^ Q (G) существует единственная компонента D'cQ(G') такая, что ^^dD) = dD'. При этом стабилизаторы этих компонент удовлетворяют соотношению ■

Ф(СО) = СЬ„(7.20)

Более того, если D' — компонента Q(G'), то существует единственная компонента Z) cz Q (G) такая, что /51 (dD) — dD и при этом выполнено (7.20).

И, наконец, согласованность изоморфизма ф с ориентацией означает, что ф «сохраняет» (либо «обращает») ориентацию в следующем смысле:

для любого локсодромического g£G и для любой квази- фуксовой подгруппы FczG существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм f: R2 R2, продолжающий /ф ]л <г> и такой, что f (Р (g)) = Р (ф (S')) (здесь p(g) — притягивающая неподвижная точка для g);

если р — любая параболическая неподвижная точка группы G, для которой rank Gp = 2, то существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм /: R2 —► R2, индуцирующий изоморфизм ф^.

Для определения «обращения» ориентации ф следует заменить / в а) и б) на обращающие ориентацию гомеоморфизмы.

Заметим, что согласованность с ориентацией изоморфизма Ф влечет свойство сохранения пересечения для ф.

•№w; ЧА>f|:v А ■. •■; ,

v.3? .гчда,;.'. Ъ'лц-..!■

‘>«е§ 5. Геометрически ручные концы, ,ш “С г л л^П - - Ун компактификация клейновых многообразийл. ’

> . и проблема Альфорса о мере предельного множества ,

1 \ Будем говорить, что некомпактное многообразие Л4 можно компактифицировать {присоединить край), если существует М — компактное многообразие с краем и вложение h; Мс_ М такие, что h (int Al) = int M.

Как мы видели в § 1 (теорема 7.4 и замечание 7.5), любое клейново многообразие /И (G) = (Я" и Q (G))/G геометрически конечной группы G cz Mob {п — 1), п^2, допускает естественную компактификацию. При этом окрестностям некомпактпостей (концов) многообразия Al(G) (их конечное число) конечнократно накрываемым проколотыми пелноториями 3:п и проколотыми заполненными цилиндрами #"’ А, при вложении h: М (G) -^ М отвечают компактные подмногообразия, конечнократно накрываемые

^-^[О, 1] и T^X^-’^^VO, 1], K£sCn-2.

Проблема компактификации клейнова многообразия M(G), т. е. проблема описания структуры его концов, была поставлена в 1965 г. Л. Альфорсом [3], высказавшем при этом гипотезу о простоте такой структуры. Первое сильное продвижение в ее решении (подтвердившее в некотором классе многообразий гипотезу Альфорса) получил Тёрстон [1]. Основным инструментом в этих его исследованиях (сыгравшим важную роль в доказательстве теоремы униформизации 3-многсобразий— см. гл. 8) является изучение свойств геодезических потоков на поверхности S, допускающих реализацию в гомотопическом классе f: S-^M{G). Важную роль при этом играют введенные Тёрстоном геометрически ручные многообразия (которыми, в частности, являются и геометрически конечные многообразия). Исследования Тёрстона получили в некотором смысле завершение благодаря недавним результатом Ф. Бо- нахона [1], доказавшим в основном случае гипотезу Тёрстона о геометрически ручных многообразиях. Для точных формулировок нам будут нужны некоторые определения.

Определение 7.36. Концом некомпактного многообразия М называют семейство E={U^i6i подмножеств U; с М такое, что

каждое U,^E является связным непустым открытым в Л1 множеством с компактной границей dU; = с1Л] U ,\U р

если Uh U.G.E, то существует Uk^E, Uk — Ui[\U

П^-=0;>

ter'

если открытое связное множество U cz М имеет компактную границу dU и U, с U для некоторого U, ^Е, то U ^Е.

L Окрестностью конца Е называют любое подмножество Л4, содержащее некоторый элемент из Е. Конец Е называется изолированным, если не принадлежит никакому другому концу.

Лемма 7.37 (Хуш, Прайс [1]). Пусть М— 3-многообразие с изолированным концом Е. Тогда для любой окрестности N конца Е существует такая окрестность N конца Е, что;

El. NcN.

N замкнуто в М.

N —связное кусочно линейное 3-многообразие, граница которого является связной поверхностью.

N имеет ровно один конец.

Для полных гиперболических многообразий /И в § 3 гл. 4 было определено разложение М = Л4(о, Е] и М[Е, „) на е-тонкую часть и ее дополнение (см. лемму Маргулиса— теорема 4.7). При этом существует постоянная Маргулиса г = е (п), зависящая только от размерности п = dim М, такая, что для всякого х £ М подгруппа в лДМ, х), порожденная петлями длины -<е, является параболической или локсодромической (не исключая тривиальный случай). Для этой постоянной е = е (п) обозначим е-тонкую часть Л4(о, Е] через Mt, а е-толстую часть Л1[Е. „) через Mh. Компоненты подмногообразия Mt являются либо «трубками Маргулиса», т. е. факторами гиперболического цилиндра D (I, г)= {х^ Нп; d(I, х) <г} по действию его стабилизатора G, с лл (/И) (циклической локсодромической группы), либо параболическими (каспами), т. е. факторами параболической окрестности У„(е) с Н" (см. § 3 гл. 4) по действию ее стабилизатора Gp с лг (М) (свободной абелевой группы ранга к, 1^/г^п—1). Каспы гиперболического многообразия М конечнократно накрываются проколотыми полноториями S’" или проколотыми заполненными цилиндрами '6"’ к (см. (7.5) и (4.23)—(4.25)), а их границы в М гомеоморфны соответствующим евклидовым (п — 1)-мерным многообразиям вида /?"-1/Г, где группа Гс с Isom/?"-1 дискретна (ср. теорему 3.8). Заметим, что в размерности п = 3 граница е-тонкой части Mt образована из торов, бутылок Клейна, колец и листов Мёбиуса.

Для гиперболического многообразия М будем обозначать через Л40 его подмногообразие, являющееся дополнением в М к параболическим компонентам его е-тонкой части Mt (Л40— дополнение в М к каспам).

Лемма 7.38. Пусть М —ациклическое трехмерное многообразие, край дМ которого состоит из конечного числа поверхностей конечного типа с нулевой эйлеровой характеристикой. Пусть кроме того л,! (М) — конечно порожденная группа, удовлетворяющая следующему условию;

для любого нетривиального разложения л, (А4) в свободное произведение л, ^М^ = А * В существует замкнутая кривая в дМ, класс которой не сопряжен в Л] (Л4) ни с каким элементом из А или В.

Тогда М содержит компактное подмногообразие Мс коразмерности 0 такое, что вложение (Мс, McQdM) ^(М, дМ) является гомотопической эквивалентностью.

Доказательство этой леммы (см. Бонахон [1, лемма 1.2]) использует обычную топологическую технику 3-многообразий (см. § 1) и основывается на двух фактах, доказанных П. Скоттом [1, 2]: фо-первых, л1 (Л4) конечно представима и, во-вторых, для 3-многообразия М с конечно представимой фундаментальной группой фу (М) существует компактное подмногообразие Л1С такое, что фложение Мг —* М является гомотопической эквивалентностью. Заметим, что здесь пара (N, Р), где N — 3-многообразие, a PcN, Й1тР = т, локально моделируется на (/?+,/?+), где R"1 = {хС Rm- ^>0}, в случае codim Р^1, и локально моделируется на (Л3, У?+ X /?2) в случае codim Р = 0, таким образом, что топологическая граница ЬР в N есть подмногообразие коразмерности 1 bN (ЬР --

dP\d/V, если Р топологически замкнуто).

Предложение 7.39. Пусть М —полное гиперболическое 3-многообразие с конечно порожденной фундаментальной группой Лх(Л4), удовлетворяющей условию («•):-

для любого нетривиального разложения лл (Л4) в свободное (*) произведение А*В существует параболический элемент, не сопряженный в Лх (Л4) ни с каким элементом из А или В.

Пусть, кроме того, Мп — дополнение в М к параболическим компонентам из Mta М. Тогда М„ содержит компактное подмногообразие Мс коразмерности 0, для которого вложение • (Мс, Мс n dMfl) -> (Мо, дМй)(7.21)

является гомотопической эквивалентностью, а граница 6МС —несжимаемой поверхностью (т. е. лх (6Л4С) —» Лх (Мо) есть инъекция).

Доказательство первой части этого утверждения (см. Бонахон [1, предл. 1.4 и лемма 1.5]) непосредственно следует из леммы 7.38 и теоремы Сулливана [3] о конечности числа каспов (теорема 5.36). Второе утверждение о несжимаемости ЬМС следует из того, что в противном случае по лемме Дена (теорема 7.6) существует диск, разбивающий Мс и дающий нетривиальное разложение группы Лх (Л1С) в свободное произведение А*В (теорема 7.8), в котором каждый параболический элемент сопряжен элементу из А или В. Так как при этом вложение Л1(Л4г) —>- лДЛ!) есть изоморфизм, то противоречие полученного факта с условием (*) доказывает несжимаемость 6Л4С.

Заметим, что с помощью результатов Вальдхаузена [3] о достаточно больших многообразиях можно доказать, что подмногообразие Мс с: Мос: М единственно с точностью до изотопии многообразия Мо. Будем называть это подмногообразие Л4С компактным ядром многообразия Мо.

Предложение 7.40. В условиях предложения 7.39 каждая компонента дополнения Л4„\Л4С содержит ровно один конец Е и одну компоненту SE границы дМс. Таким образом, существует

\-\-значное соответствие между концами многообразия Мо и компонентами границы ЬМС его компактного ядра.

Это утверждение (см. Бонахон [1, предл. 1.6]) позволяет дать классификацию концов гиперболического 3-многообразия М. А именно, будем говорить, что конец Е геометрически конечен, если соответствующая ему компонента МЕ с Af„\ Мс имеет геометрически конечную структуру (см. определение 5.46). Конец Е называем геометрически бесконечным, если он не является геометрически конечным.

Среди геометрически бесконечных концов Тёрстон [1] выделил важный класс геометрически ручных концов, пользуясь при этом введенным им понятием несмятой поверхности в гиперболическом многообразии М.

Определение 7.41. Несмятой поверхностью в полном гиперболическом 3-многообразии М называют полную гиперболическую поверхность S конечного объема вместе с изометрией /: S — -М, переводящей для любого x^S внутренние точки некоторого отрезка X геодезической на S, x^intX, в отрезок геодезической в М, а каждый параболический конец в S —в параболический конец многообразия М.

Определение 7.42. Пусть, как выше, Мо —дополнение в гиперболическом многообразии М к его каспам, a N — минимальный выпуклый ретракт многообразия М (см. предложение 5.12).

Пусть Е — конец многообразия А40, определяемый компонентой UE дополнения A4O\A4C (или компонентой Sf границы ЕМ,) компактного ядра Мс с (Ио. Тогда конец Е называют геометрически ручным концом, если выполнено одно из условий:

N Г) UЕ компакт;

множество несмятых поверхностей S', гомотопных S£ и таких, что SL = S' , с UF, некомпактно.

Конец Е называют почти геометрически ручным, если некоторое конечнократное его накрытие (точнее, накрытие UF) с точностью до компактного множества является геометрически ручным концом.

О пределение 7.43. Пусть гиперболическое многообразиеМ имеет компактное подмногообразие А4С, лежащее в дополнении А40 к каспам М и гомотопно эквивалентное многообразию М. Если А4О\А4С является объединением непересекающихся геометрически ручных концов, то многообразие М и его фундаментальная группа лг(Л1) называют геометрически ручными.

Геометрически ручные концы играют ключевую роль в исследованиях гиперболических многообразий. Относительно их свойств Тёрстон [1, гл. 9] доказал следующие важные утверждения.

Теорема 7.44. Пусть М — гиперболическое 3-многообразие и М —такое его накрытие, что Мй имеет геометрически ручной конец Е, ограниченный поверхностью (SE)t и являющийся геометрически бесконечным. Тогда либо vol М < оо и некоторое конечно-

кратное накрытие многообразия М расслаивается над окружностью со слоями SE, либо образ конца Е в многообразии Мо с точностью до компактного множества является почти геометрически ручным концом многообразия М.

Заметим, что упоминавшиеся в гл. 5 примеры геометрически бесконечных дискретных групп G с Ж, сконструированные Ёрген- сеном [3] и Ёргенсеном и Марденом [1], как раз дают многообразия из теоремы 7.44: они, с одной стороны, являются геометрически ручными, а с другой, являются бесконечным циклическим накрытием многообразий конечного объема, расслаивающихся над окружностью (см. также Крушкаль, Ананасов, Гусенский [3, примеры 43, 53 и 63]). Другие примеры геометрически бесконечных многообразий дают гиперболические 3-многообразия М, фундаментальные группы которых действуют в гиперболическом пространстве Н3 как вырожденные группы, т. е. M — H3/G, где Gco//2 = kom+ Н3 есть неэлементарная клейнова группа с односвязным множеством разрывности Q(G) (см. п. 5 § 3 гл. 3). Заметим, что граница пространства Тейхмюллера (см. § 1 гл. 8) геометрически конечной клейновой группы в основном состоит из дискретных групп, содержащих вырожденные подгруппы. Однако, как видно из следующего фундаментального результата Тёрстона [1, 9.6.1], всем этим граничным группам G отвечают геометрически ручные многообразия H3/G.

Более точно, пусть G сс Ж —дискретная группа без кручения, дающая геометрически ручное многообразие М (G) = [Н3 и Q (G)]/G. Рассмотрим какую-либо последовательность {рг} дискретных точных представлений р,с G — <ЛЕ (сохраняют параболические и непараболические элементы) таких, что многообразия М (p,G), соответствующие дискретным группам p,G, являются геометрически ручными и допускают гомеоморфизмы (в гомотопическом классе, сохраняющем параболические проколы и концы) на подмногообразие Мо с М (G).

Теор ем а 7.45. Если представления р, сходятся алгебраически к представлению р (см. § 5 гл. 6), то многообразие М (pG) является геометрически ручным и гомеоморфно подмногообразию Маа М (G) — дополнению к каспам в Л4(С).

Заметим, что при помощи этого замечательного результата Тёрстона [1] все же нельзя получить описание любых клейиовых многообразий М (G), так как неизвестно, лежит ли произвольная вырожденная группа G на границе какого-либо пространства Тейхмюллера Т (Г) фуксовой (или хотя бы геометрически ручной) группы Г с Ж (ср. теорему 7.55).

Для частного случая вырожденной без кручения группы СсЖ, униформизирующей замкнутую ориентируемую поверхность S = = Q(G)/G (Q(G) связно, ^ (Q (G)) = 0), описание многообразия М (G) без предположения граничности группы G дает следующий результат Н. А. Гусевского [1] (ср. следствие 7.54).

*т Теорема 7.46. Пусть G cz ^ — вырожденная группа без кручения и S = Q (G)/G — замкнутая ориентируемая поверхность. Тогда М (G) гомеоморфно Sx[0, оо).

Приведенное свойство многообразия М (G) вырожденной группы G, униформизирующей замкнутую поверхность S, на самом деле имеет место для всех геометрически ручных многообразий. А именно, имеет место следующий факт, обнаруженный Тёрстоном [1, теорема 9.4.1].

Теорема 7.47. Геометрически ручной конец е подмногообразия М„ полного гиперболического 3-многообразия М (см. предложение 7.39) является топологически ручным, т. е. его окрестность Up с МО\МС гомеоморфна произведению Se х [0, оо), где поверхность Se — соответствующая е компонента границы б/Иг.

Доказательство этого факта основывается на довольно сложной геометрической конструкции Тёрстона [1, 9.5.13] следующего собственного отображения: ' .

Теорема 7.48. В любом полном гиперболическом 3-многообразии М с геометрически ручным концом е, отрезаемым гиперболической поверхностью Se (сбМ^, существует собственная гомотопия ■ ■ •

F: S£x[0, оо) ,Л1, : - (7.22)

переводящая поверхность SE в оо конца Е. -

Приведенные теоремы показывают, как устроены окрестности геометрически ручных концов гиперболических многообразий. Почти геометрически ручные концы при этом ничем не отличаются от геометрически ручных —это следует из теоремы 7.47.

Теорема 7.47 показывает, что геометрически ручные многообразия допускают компактификацию, а из теоремы 7.45 следует, что компактифицировать можно любое гиперболическое многообразие, отвечающее точкам замыкания пространства Тейхмюллера геометрически ручной клейновой группы. Эти результаты позволили Тёрстону [4, с. 379] сформулировать гипотезу о том, что все клей- новы группы G с cV/2 являются геометрически ручными. Дальше мы приведем решение Бонахона [1] этой проблемы в основном случае конечно порожденных неразложимых в свободное произведение клейновых групп. Перед этим мы приведем пример геометрически бесконечного многообразия, не являющегося геометрически ручным. Это многообразие задается, естественно, бесконечно порожденной клейновой группой G с &^2.

При м е р 7.49 (Ананасов [27]). Разобьем координатную прямую R-ex на отрезки [16i, 16 (i+ 1)], i С Z, и на каждом из них рассмотрим центры Z; и целые точки xih 1 ^/ ^4, не кратные четырем, которые являются центрами окружностей о,= (х£ R2; | z;—х| = — 15/2} и Oij = (xGR2'- | х— Xjj | = 1}. Пусть теперь для каждого IGZ гиперболические отображения gfl, g^G^U такие, что

giv ext сг;1 —>-int о,-3, g^-. ext о/2int о,-4 (7.23)

порождают клейновы группы G; = <g(1>*<gl-2> (классические группы Шоттки). Тогда группа ;

G = » G;= * <gTj> (7.24) i e z i, j

есть искомая клейнова группа, не являющаяся геометрически ручной.

Группа G оставляет инвариантной окружность ^1Z)A(G), является фуксовой группой на плоскости и оставляет инвариантной гиперболическую плоскость Н2=Цх£Н3: х2 = 0}. Поэтому многообразие М (G) = [A3 (J ^ (G)]/G гомеоморфно произведению поверхности S (G) = [//2\A(G)]/G на отрезок / = [0, 1] (при этом H3/G= = int S (G) — вполне геодезическая поверхность).

Пусть С^Н3, i £ Z,—гиперболические плоскости, опирающиеся на окружности S,- (т. е. сС, = 5() и разбивающие H3\jQ(G) на неограниченную компоненту В и компоненты В,, i^Z (ограниченные в евклидовом смысле), являющиеся топологическими шарами. Факторизуя их по действию группы G, получаем подмногообразия M = B/G = B и BjG = B^Gj^ Mj многообразия A1(G). При этом само многообразие М (G) получается в результате ото- ждествления|замкнутых дисков Pioc:дМ = дВ и Р^адМ,, отвечающих плоскостям С;с.Н\ IGZ (бесконечная дисковая сумма). Каждое из многообразий М,, i G Z, гомеоморфно телу с двумя ручками. Одновременно с описанным разложением Al (G) происходит аналогичное разложение вполне геодезической поверхности S(G)c:Al(G) в сумму бесконечного числа поверхностей S, ™ = (И3 Л B^GjCMi, i^Z, и диска D = Bf}H\ где каждая из поверхностей Sz- гомеоморфна тору с выброшенным открытым диском. Схема описанного разложения трехмерного многообразия М (G) (и поверхности 5(G)) в дисковую сумму многообразий М,, i € Z (соответственно, в сумму поверхностей S,, i £ Z), показана на рис. 66. Отметим, что получаемые многообразия М,- гомео- морфны произведениям Sfx/ торов без диска на замкнутый отрезок /, а вложения S,- с» М; (вполне геодезические в гиперболических метриках int Sz- и int Al,) индуцируют изоморфизм фундаментальных групп Л] (S,) —- л, (Al,), i^Z.

Если бы (единственный) конец Е многообразия Al (G) был бы топологически ручным, то дополнение М (G)\K некоторого компакта AcM(G) было бы гомеоморфно АГ х [О, оо), где M'cM(G) — некоторое компактное трехмерное подмногообразие с краем и, следовательно, окрестность UE = int Al (G)\E имела бы гомотопический тип компактного многообразия M'cM(G). В то же время, с точностью до некоторого компакта, дополнение M(G)\K есть бесконечная дисковая сумма многообразий А1,- ^ Sz X I, | i |^t0, и поэтому имеет гомотопический тип бесконечного букета окружностей. Это противоречие доказывает, что конец Е многообразия М (G) не может быть топологически ручным. Теорема 7.47 пока-

зывает, что многообразие М (G) и клейнова группа G из (7.24) не являются геометрически ручными.4

Сформулируем теперь основной результат Бонахона [1], дающий решение указанной выше гипотезы Тёрстона:

Теорема 7.50. Пусть М —полное гиперболическое 3-многообразие с конечно порожденной фундаментальной группой лДМ) и пусть выполнено условие (*):

для любого нетривиального разложения л1(М) = Л*В в (*) свободное произведение существует параболический элемент в Л](М), не сопряженный ни с каким элементом из А и В.

Тогда М является геометрически ручным многообразием.

Большая часть техники, использованной Бонахоном для доказательства этой теоремы развивает идеи Тёрстона [1—3]. Новой идеей является введение понятия «геодезического потока» на гиперболической поверхности S. Оно обобщает понятие замкнутой геодезической на S. При этом пространство геодезических потоков представляет собой пополнение пространства гомотопических классов замкнутых кривых на S; для подпространства, образованного простыми кривыми, это пополнение дает пространство *§2? (S) геодезических ламинаций, введенных Тёрстоном:

Определение 7.51. Ламинацией L на многообразии М" называется слоение замкнутого подмножества в Мп. Или, точнее, если (Uit ф,)— набор карт, покрывающих замкнутое подмножество АсМ" (носитель LV ф,-: U Rn~kxRk, то ф,(Дл(Л) имеет вид В»-^хВ, где Вак1. При этом отображения соседства ф,у должны

предстйвЛЯПгбся в виде: tn* :?№ ■ ^W/hc-Px tvt< > л .^ ^

где у^В. Слои ламинации L определяют как слои у слоения. Поток, имеющий геодезические слои, называют геодезическим.

РЕсли поверхность S является краем многообразия М (6), то поток у на S не может иметь всю S в качестве носителя, т. е. не превращается в слоение на поверхности S (это следует из рассмотрения эйлеровой характеристики). Дополнение S\y состоит из областей, ограниченных замкнутыми геодезическими или бесконечными геодезическими.

Заметим, что подмножество ycS, состоящее из точек несмятой поверхности S (определение 7.41), содержащихся в единственном отрезке геодезической, переводящемся изометрией / в отрезок геодезической в М, является геодезической ламинацией на поверхности S. При этом изометрия /: S -^ М на дополнении S\y переводит все геодезические отрезки в геодезические отрезки в М. Однако введенное Бонахоном понятие геодезического потока лучше приспособлено для изучения концов многообразия М (G), чем реализация Тёрстона геодезических ламинаций при помощи несмятых поверхностей. С этой точки зрения понятие геометрически ручного многообразия (определение 7.43) можно переформулировать (см. Бонахон [1]):

Определение 7.52. Пусть геометрически бесконечный конец Е гиперболического многообразия М определяется компонентой S£ границы ЬМС компактного ядра многообразия Мос:М (см. предложение 7.40). Тогда конец Е называют просто вырожденным, если для каждой его окрестности UE существует простая замкнутая кривая ycrS^., гомотопная в М замкнутой геодезической "\’*c:UE.

Многообразие М с конечно порожденной nx (Л4) является геометрически ручным, если и только если каждый его конец либо геометрически конечен, либо просто вырожден.

Опишем теперь основные пункты доказательства теоремы Бона- хона, состоящего в доказательстве следующего факта:

Если Е — геометрически бесконечный конец многообразия МосгМ, определяемый компонентой SE края 6МС, то существует семейство фх^ замкнутых простых петель на SE такое, что каждая окрестность U Е конца Е содержит при достаточно больших / замкнутые геодезические а), гомотопные а; в М (будем говорить, что а] стремятся к Е при j -^оо).

В качестве первого шага в доказательстве этого факта на поверхности S£ строится набор замкнутых кривых а, с указанным свойством, но не являющихся, вообще говоря, простыми. Эта часть доказательства не зависит от размерности и существенно упрощается в случае отсутствия в М. параболических концов.

Так как построенные кривые а, непросты, то возникает необходимость доказательства возможности выбора их (с увеличением /)

все более простыми, а именно так, чтобы отношение между числом их двойных точек и квадратом их длины стремилось к нулю при увеличении /. Этот факт получается из следующего обобщения леммы Тёрстона [1, 9.35] об индексе пересечения (см. Бона- хон [1, предл. 3.4]):

Предложение 7.53. В предположениях теоремы 7.50 существует постоянная С, обладающая следующим свойством;

Пусть а^, a2— замкнутые геодезические в М на расстоянии ^d. от поверхности SE и гомотопные двум кривым an «acrS^, причем обе гомотопии не пересекают поверхность SE и подходят к SE с одной стороны. Пусть также каждая из этих геодезических либо не пересекает Мь либо содержится внутри некоторой компоненты тонкого подмногообразия M,c:M. Тогда

i (an а2) ^C-e-d-1 (о^)- I (а2)+4,

где i — индекс пересечения на SE, a Z(a)— длина кривой а в М.

Уточнение смысла того факта, что при j-^oo кривые ау на поверхности S£ становятся все более простыми, получается при помощи понятия геодезического потока на поверхности S?. Пространство ё (SE) геодезических потоков на SE есть пополнение (в некоторой равномерной структуре) множества гомотопических классов замкнутых кривых на поверхности S£. Вводя далее геометрическое число пересечения этих геодезических потоков, обобщающее аналогичное понятие для замкнутых кривых, выводится, что пространство геодезических потоков с нулевым самопересечением совпадает с пространством измеримых геодезических ламинаций (дополнительно к определению 7.12 для таких ламинаций вводится трансверсальная мера, инвариантная относительно переносов вдоль слоев). Это пространство измеримых геодезических ламинаций является также замыканием в ё (SE) гомотопических классов простых петель.

На следующем шаге рассматриваются те ау, которые при некоторой нормализации сходятся в ё (SE) к геодезическому потоку а„. Тогда из соображений непрерывности числа пересечений и оценки в предложении 7.53 показывается, что а„ есть измеримая геодезическая ламинаций на поверхности Sf. При этом геодезический поток а„ является также пределом множества простых петель pfc на S£ (при соответствующей нормализации). Практически, лишь одна компонента рте в ат является пределом для Р6. Но как потом доказывается, р^ и а^ на самом деле совпадают.

На последнем шаге с помощью тонкой техники показывается, что полученные простые петли pfc гомотопны в М замкнутым геодезическим р^, стремящимся к Е, т. е. что каждая окрестность UE конца Е содержит все р^ кроме конечного их числа. Это доказывает, что Е— просто вырожденный конец и, тем самым, что М — геометрически ручное многообразие.

- Следствие 7.54. Пусть М — полное гиперболическое 3-многообразие, конечно порожденная фундаментальная группа л^Л!) которого действует на абсолюте dH3 = RA гиперболического пространства Н3 как функциональная группа (т. е. имеет инвариантную компоненту Qo множества разрывности). Тогда М есть геометрически ручное многообразие.

Доказательство этого факта (замеченного Г. А. Сварупом (см. Бонахон [1, с. 73])) основывается на следующем наблюдении. Пусть M = H3/G, где б^лДМ), GcM6b(2), и пусть Qoc:Q (G) — инвариантная компонента клейновой группы G. Тогда по теореме i конечности Альфорса (теорема5.34) подмногообразиеЛ40с М (дополнение к каспам в М) имеет геометрически конечный конец, соответствующий поверхности Qo/G (конечного типа). После этого без затруднений проверяется, что все другие концы многообразия Л40 таковы, что их фундаментальные группы (т. е. фундаментальные группы, 1-1-значно отвечающих этим концам компонент связности МО\МС (см. предложение 7.39)) удовлетворяют условию (*) теоремы Бонахона (теорема 7.50). Ее применение завершает доказательство.

Теорема Бонахона имеет много других следствий, из которых 'мы приведем только два— связанные с компактификацией многообразий и с проблемой Альфорса о мере предельного множества клейновой группы.

Теорема 7.55. Пусть М — полное гиперболическое 3-многообразие с конечно порожденной фундаментальной группой Л] (Л4) и пусть либо выполнено условие (*):

для любого нетривиального разложения л1(Л1) = А*5 ’ (■:■:) существует параболический элемент в Я; (Л4), не сопря- ■женный элементам из А и В,

либо лДМ) действует на dH3 = R2 как функциональная группа. ' Тогда М диффеоморфно внутренности компактного многообразия. . Доказательство этого факта является непосредственным ■ следствием теоремы Бонахона (теорема 7.50 и следствие 7.54) и теоремы 7.47, доказанной Тёрстоном [1, 9.4.2] при помощи несмятых поверхностей. Однако, как мы увидим, техника Бонахона позволяет дать короткое доказательство теоремы Тёрстона, основанное на результате из классической топологии 3-многообразий, полу- _ченном Фридманом, Хассом, Скоттом [1] и не нуждающееся в тонких приближениях несмятыми поверхностями, проводимых Тёрстоном.

• Из результатов § 1 мы можем получить следующее утверждение о геометрически конечных концах многообразия М (G) = = [№UQ(G)]/G = MU<5T4, где GcMob(n-l), G^n^M):

, Предложение 7.56. Если Е — геометрически конечный конец i полного гиперболического п-многообразия М, то существует его

окрестность, диффеоморфная (S, д<8)х[0, оо], где S —некоторое компактное подмногообразие.

Аналогичный результат необходим и для просто вырожденных концов. Его дает следующее утверждение (см. Бонахон [1J:

Предложение 7.57. Пусть Е — просто вырожденный, конец полного гиперболического 3-многообразия М, удовлетворяющего условию (*) теоремы 7.55. Тогда Е содержится в минимальном выпуклом ретракте С(М)с:М многообразия М. Кроме того, существует окрестность U конца Е, для которой пара (U, U П 5M0) диффеоморфна паре (SE, dSE)x[0, оо).

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что л, (М) = лт (SE), где S£— компонента края д/Ис (см. предлсжение 7.39). В самом деле, пусть /И —накрытие многообразия М такое, что nj (Л1) = Л1(5£). Тогда компонента дополнения Af0\A4c, содержащая конец Е, поднимается диффеоморфно в А10 и конец Е естественно соответствует концу Е многообразия Мо. Этот конец Е просто вырожден (как и Е), так как примыкающая к нему компонента края 6МС диффеоморфна поверхности SEa6Mc. Последнее следует из того, что (S£, dSE) и (Sf , dSf) имеют гомотопический тип пары (VE, dV^, где VE — компонента дополнения Л1О\Л1С, содержащая конец Е. Так как минимальный выпуклый ретракт С (М) содержит проекцию соответствующего ретракта С (М) многообразия М, то конец Е в Мо удовлетворяет заключениям предложения, как и конец Е в многообразии Мп. Поэтому мы можем ограничиться случаем М = М, т. е. когда л, (Л!) = Hj (S£).

Кроме того, так как изменение постоянной Маргулиса е — е(п), п = 3, не меняет топологический тип многообразия М„ = M0(t)zDM, то делая ее достаточно малой, мы можем считать, что трубки Маргулиса в Mt = Al((e) имеют расстояние друг от друга не меньше 1.

Обозначим через SE поверхность, получаемую из SE приклеиванием воротников ^§*х[0, оо) вдоль каждой компоненты края dSE. Так как конец Е просто вырожден, то можно построить семейство <р,< SE — М гиперболически симплициальных вложений таких, что каждая окрестность U конца Е пересекает хотя бы один из образов ф, (§£). Кроме того, диаметр ср,- (S£) по модулю тонкого подмногообразия Mt ограничен одной постоянной, не зависящей от i, а образы ср,- (SE) содержатся в выпуклом ретракте С (М) и попарно гомотопны в С(М). Построение таких вложений основывается на следующей лемме об ограниченном диаметре (см. Бонахон [1]; ср. Тёрстон [1, 8.85]):

Лемма 7.58. Пусть ср: S с» М — вложение компактной связной поверхности S в гиперболическое 3-многообразие М, для ко-

торой ф*: л, (S) —* л, (Л1) является инъекцией, а каждой компоненте dS соответствует параболический элемент из л,(Л1). Пусть у aS — простая замкнутая кривая, а ф(у) гомотопна в М замкнутой геодезической у*. Тогда ф гомотопно отображению ср': SМ такому, что ф'(у) = у*, <p'(dS)czMiu diamg(<p'(S)) ограничен сверху постоянной С, зависящей только от е и топологического типа S.

Здесь diamEX множества X с: М определяется как sup dK(x,y), х, yi х

где полуметрика dg(x, у) определяется гиперболической метрикой М по модулю тонкой части Mt = Mt(e), т. е. как минимум длин кривых (уПЛ40(е)), где кривая у = у (х, у) <z М соединяет точки х и у.

Заметим, что из предположения лг (Л1) = Л1 (S£) следует, что каждая кривая на SE, которую можно прогомотопировать в М во внутренность компоненты МЕ( = U касповых компонент Mt, пересекающих S£), будет гомотопна в SE концу этой поверхности.

Пусть U — окрестность конца Е. Нам нужно показать, что U L МЕ содержит, по крайней мере, один ф,(8£). Без ограничения сбщиссти можно предполагать, что граница 6U в Мо компактна и что U не пересекается с параболическими компонентами из /И(\/И£.

Так как действие группы л^М) на универсальном накрытии № многообразия М собственно разрывно, существует не более чем конечное число цилиндров Маргулиса на расстоянии ^^ от компакта 6U. Индукцией и из того, что цилиндры Маргулиса находятся на расстоянии ^ 1 друг от друга, можно вывести, что существует не более конечного числа цилиндров Маргулиса, которые можно соединить с bU путем, у которого часть, выходящая за пределы цилиндров Маргулиса, имеет длину ^Cv Следовательно, U содержит окрестность U' конца Е в Л10 такую, что U' невозможно соединить путем с 6U, длина которого вне цилиндров Маргулиса <Х\. Таким образом, для любого выбора I, при котором ф, (§£) пересекает U', имеем фактически, что ф,- (SE)\ME содержится в U.

Заметим, кроме того, что по построению симплициальных вложений ф, при помощи леммы 7.57 образы ф,- (S£) содержатся в минимальном выпуклом ретракте С (М) и попарно здесь гомотопны (при «излучении» своих гомотопий из М).

Тогда, если Uo — связная окрестность конца Е, не пересекающая Фо(§£), то эта окрестность полностью содержится в С(М). В результате, если x£U0, то существует окрестность (7<=int(70 конца Е, для которой UO\SU связно и содержит х. Так как Ф, (§£) содержится в U и МЕ, то каждая гомотопия из ф0 в ф/ проходит хотя бы один раз через х, а потому лежит в С (М).

Итак, мы показали, что Uo, а потому и конец Е, содержится в С (М), что и требовалось.

Прежде чем доказывать последнюю часть предложения 7.57 о том, что конец Е допускает окрестность в Мо в виде произведения, заметим следующее. Так как Е просто вырожден, то каждая компонента dSE сохраняет ориентацию М. Иными словами, так как лх (М) = лх (SE), то компоненты дМЕ являются кольцами, а не листами Мёбиуса. В результате приходим к выводу, что каждая окрестность U конца Е содержит <p,(S₽)\AfF. В частности, рассматривая прообраз cpf^dMf), получаем, что для любой окрестности U конца Е dSE можно прогомотопировать в U V\dME (это было бы невозможно, если бы одна из компонент дМЕ была листом Мёбиуса).

Для доказательства существования окрестности в Л10 конца Е в виде произведения рассмотрим окрестность U конца Е. Нам необходимо существование ср,-: SE~* М, образ которого содержится в (7иМ£. Деформируем ср,- так, чтобы пересечения qy(Sf) с дМЕ стали трансверсальными. Взяв затем композицию ср,- с изотопией поверхности SE, можно прогомотопировать ср,- в ср) так, чтобы ср) (dSE)czdME и ср) (SE)czU и МЕ. Кроме того, так как каждая компонента МЕ диффеоморфна S1x/?x [0, оо), можно прогнать ср) (SE) вне внутренности МЕ и сделать так, чтобы ср) (SE) содержалось в (Л

По построению ср) имеем, что ср) |S£; S£»/W„ гомотопно вложению S,. -/Ио, а именно, каноническому вложению. Применим к этому вложению следующее следствие результата Фридмана, Хассе и Скотта [1] (доказанное неявно в§ 2 этой работы в случае д5=0; общий случай дает переход к дублям):

Лемма 7.59. Пусть ф: (S, dS) ^ (Аг, dAj есть гомотопическая эквивалентность, где S —компактная поверхность, а N — 3-многообразие. Если ф гомотопно вложению, то ф гомотопно вложению в малой окрестности образа ф(5).

Используя эту лемму, мы можем дополнительно считать, что <р- (^е) есть вложенное в Мо подмногообразие, содержащееся в U.

Таким образом, любая окрестность U конца Е содержит вложение ср): S£ Ме, гомотопное вложению фо: SF—* Мо. При этом эта гомотопия сохраняет образ края dSE в дЛ10. Считаем без ограничения общности, что ср) (S£) не пересекаются и стремятся монотонно к Е так, что cp)(S£) находятся гомотопически между cp)_i (SE) и cp)+1(S£). Так как ср) и ф)+1 гомотопны, то из результата Вальдхаузена [3] видим, что ср) (SE) и ср)+1 (5Д разделены в МЙ воротником, диффеоморфным S£x[i, £-гП- Объединение этих воротников дает окрестность W конца Е в Мо, диффеоморфную произведению S£x[0, оо). Это завершает доказательство предложения 7.57 и, тем самым, доказательство теоремы 7.55.

Другим важным приложением теоремы Бонахона является следующее утверждение, дающее сильное продвижение в решении проблемы Альфорса. „

Теорема 7.60. Пусть G—дискретная конечно порожденная мёбиусова группа на плоскости R2, либо являющаяся функциональной группой, либо удовлетворяющая следующему условию-.

для любого нетривиального HNN-разложения G = A* или раз- с

ложения G = А^В в свободное произведение с объединенной под- с

группой С, где С есть конечная группа — циклическая или диэд- ральная, существует параболический элемент в G, не сопряженный ни с каким элементом из А или В.

Тогда либо предельное множество Х^ имеет нулевую сферическую меру, либо Л (G) = R2.

Доказательство этого утверждения в счучае группы G без кручения непосредственно следует из теоремы Бонахона (теорема 7.50 и следствие 7.54) и следующего утверждения Тёрстона [1, теорема 8.12.4] о геометрически ручных группах, обобщающего теорему Альфорса [2] о геометрически конечных группах (см. следствие 5.32, ср. также теорему 6.62).

Теорема 7.61. Если фундаментальная группа л, (Л4) геометрически ручного гиперболического 3-многообразия М действует на R2 как дискретная группа G, то либо A(G) имеет нулевую сферическую меру, либо A(G) = R2. В последнем случае G действует эргодически на R2.

Для доказательства теоремы 7.61 рассмотрим для любого G-инвариантного измеримого множества АсЛ(С) гармоническую в Н3 функцию h, являющуюся продолжением характеристической функции множества А. Это G-инвариантное продолжение осуществляется при помощи визуальной меры Пуассона (телесный угол, под которым видно множество на дН3) (см. подробную конструкцию в (6.44)), и поэтому является гармонической функцией в гиперболическом пространстве И3 (градиентный поток grad h сохраняет гиперболический объем):

AZi = div grad/г = 0. (7.25)

Таким образом, имеем на минимальном выпуклом ретракте С (Л4) = MGc:M, Мо = [//0\Л (G)]/G, гармоническую функцию А, которая в силу (7.25) и того, что Л4— геометрически ручное многообразие (см. Тёрстон [1, теорема 8.12.3]), обладает свойством

inf h= inf h. (7.26)

С(Л1) dC(M)

Если Л (G) =/= R2, то для всех х£Н3\Н0 имеем й(х)<1/2 (так как х лежит в некотором полупространстве, замыкание которого не содержит точек из Л (G)). Поэтому из (7.26) получаем,

276 *^'ШйМЙГ-*Й^^ ' '

ЧТО чтыплоЯ нШи^ют уц^т-•‘.'■ДД^-Г1 $мнж "A* АгЦДУцТ

■^Л ^'Лг*^ inf (1-h) >1/2. ''^T^.'! (7.27)

В случае наличия в множестве А точки плотности р функция h^ стремится к 1 при х — р. Это противоречит свойству (7.27) и тем самым доказывает, что А имеет нулевую сферическую меру Лебега. Это доказывает, что Л (G) имеет нулевую меру в R1.

В случае наличия в G элементов конечного порядка доказательство теоремы 7.60 получается сведением к случаю групп без кручения при помощи рассмотрения подгруппы без кручения G'ciG конечного индекса (см. теорему 1.5). Это сведение, при котором A(G') — A(G), становится возможным благодаря следующему наблюдению Бонахона [1]:

Пусть M — H3lG и пусть Моа М— дополнение к параболическим компонентам е-тонкой части Л1(а:/И (как в предложении 7.39). Тогда многообразие М содержит компактное подмногообразие Мс такое, что вложение (Мс, МсПдМ0) (Мо, дМ^ является гомотопической эквивалентностью, а граница 6МС есть несжимаемая поверхность.

Это наблюдение показывает, что G' = nj ('MJ удовлетворяет условию (*) теоремы 7.50 (ср. Хемпель [1, гл. 7], где в теореме 7.1 вместо дМ нужно взять Л4сПдЛ40), и тем самым завершает доказательство теоремы 7.60.

-^1-^1.'"‘Я'Л’.Кк.'"‘Я'Л’.Ккsrsr

-^1

-^1

.'"‘Я'Л’.Кк

.'"‘Я'Л’.Кк

sr

sr

ГЛАВА 8 №;? ^Ч^Шъ ШО^ Ч!^ 1>^^ФШ^^

УНИФОРМИЗАЦИЯ МНОГООБРАЗИЙ

¥'Ф

ф1С:1Ц"1ф1С:1Ц"1И Щ1 IИ Щ1 I.).)§§<GG<

ф1С:1Ц"1

ф1С:1Ц"1

И Щ1 I

И Щ1 I

.)

.)

§

§

. Классический подход к проблеме униформизации м;

Понятие униформизации римановых поверхностей и более общих многообразий возникло в математике в прошлом веке в связи с детальным изучением многозначных аналитических функций. Рассмотрение простейших примеров показывает ее суть: нужно построить универсальную накрывающую М для данного многообразия М, где соответствующие функции (в силу односвязности М) и будут однозначными. Построение накрывающих приводит к рас смотрению областей евклидова пространства и соответствующих дискретных групп конформных автоморфизмов этих областей. Оказывается, что при подходящем выборе областей эти автоморфизмы будут мёбиусовыми, а группы G — разрывными и даже с инвариантной односвязной компонентой Q множества разрывности. Тогда исходное (униформизируемое) многообразие М конформно эквивалентно многообразию Q/G. При этом многозначная аналитическая на М функция / в терминах универсального конформного накрытия л: Q-*Q/G, т. е. функция /ол, становится однозначной.

Полного решения проблемы униформизации до сих пор не получено, за исключением классического комплексно-одномерного случая. Решающая ее здесь теорема Клейна —Пуанкаре состоит в том, что каждая конформная структура ориентируемой поверхности индуцируется римановой метрикой постоянной кривизны. В основном случае отрицательной эйлеровой характеристики, в частности, если род поверхности больше 1, такая метрика задает гиперболическую структуру: малые окрестности на поверхности изометричны окрестностям в гиперболической плоскости, а сама поверхность S представляется факторизацией гиперболической плоскости Н2 ^ S по действию дискретной без кручения группы Г ее движений. В исключительных случаях сферы и тора указанная метрика задает сферическую и евклидову структуру, а поверхность представляется в виде S/Г, где S — сфера C = R? или плоскость C = R\ а дискретная группа Г движений S либо тривиальна, либо есть группа сдвигов с образующей zv-*z-Vto, <о£С\{0}, либо является свободной абелевой

группой ранга 2 с образующими z>—>гч<о1, z>—>z + w2, где Mi> ®2GC\{0} таковы, что Im (co^o,) > 0.

Естественная проекция л: S-* S/Г является неразветвленным накрытием и униформизирует все функции / на римановой поверхности S, поскольку функции /ол однозначны на S.

Иной принцип униформизации, предложенный примерно в то же самое время Кебе, заключается в том, что если риманова поверхность S топологически эквивалентна плоской области Da С, то существует и конформный гомеоморфизм /: SD такой, что группа накрывающих гомеоморфизмов G(S, S) переходит в клей, нову группу Gc-Ж, G = fG (S, S)f~*, с инвариантной компонентой D. Тем самым проблема (аналитической) униформизации сводится к топологической проблеме нахождения всех (вообще говоря, разветвленных) плоских накрытий S ->- S данной римановой поверхности S. Такое решение проблемы униформизации дает,' в частности, теорема Кебе о разрезах, которой соответствует плоское регулярное накрытие поверхности S рода g>l, nj(S) = = <аг, blt ..., b ; П Еа/> М = 1>. с определяющей нормальной подгруппой, порожденной аг, ..., ag. При этом S унифор- мизируется группой Шоттки с g образующими.

Описание более общих теорем униформизации, использующих аппарат квазиконформных отображений и общих клейновых групп на плоскости, можно найти в книге Крушкаля, Апанасова и Гусевского [3], а также в обзорных статьях Л. Берса [5 — 6].

2. Геометрические концепции униформизации

Громова и Тёрстона

Как было отмечено в предыдущем параграфе, любая двумерная поверхность допускает введение на ней геометрической структуры— либо сферической, либо евклидовой, либо (в основном случае) гиперболической. Уже среди трехмерных многообразий существуют такие, на которых нельзя определить какую-либо геометрию, локально моделируемую одним однородным пространством.

Пространства с длиной и выпуклость. Для точной подстановки этой задачи в классе выпуклых пространств мы последуем Громову [2]. Пусть в пространстве X задана функция длин на кривых и тем самым задано расстояние р(х, у), определяемое как длина кратчайшей кривой, соединяющей точки х, у^Х. Тогда пространство X называется выпуклым, если функция р (х, у) выпукла. Иными словами, для любых двух геодезических отрезков

а: [а, b] X, р: [с, d] X .

функция р(а(/!), Р(/2)) выпукла на [я, 6]Х[с, d\. :

Пространство X называют локально выпуклым, если для некоторого покрытия X открытыми множествами ГУ, функция расстояния р(х, у) выпукла для х, y^U,. ^Заметим, что риманово многообразие М локально выпукло тогда и только тогда, когда его секционная кривизна К^СО. Для его выпуклости необходимо и достаточно добавление условия тривиальности его фундаментальной группы л, (Л4). В общем случае пространства X с функцией длины можно так переформулировать классическую теорему Картана— Адамара:

Односвязное локально выпуклое пространство выпукло. В выпуклом пространстве каждые две точки соединяются единственным геодезическим отрезком и, поэтому, оно стягиваемо.

В контексте выпуклых пространств проблема геометрической униформизации может быть сформулирована в виде следующих двух вопросов (Громов [2]):

Пусть М — многообразие /С (л, Yymuna. Существует ли локально выпуклое многообразие, гомотопно эквивалентное многообразию М?

Пусть М — некоторое п-мерное многообразие. Существует ли выпуклое пространство X и дискретная группа G его изометрий такие, что многообразие М гомеоморфно Х/СВ

Ответы на поставленные вопросы имеются лишь в размерности 2. Положительный ответ на первый вопрос для обширного класса 3-многообразий, включающий все известные примеры, дает теория Тёрстона [1 — 4] (см. также Морган, Басс [1]), результаты которого позволили ему с большей долей уверенности сформулировать следующую обнадеживающую гипотезу.

Структурная гипотеза Тёрстона. Внутренность любого компактного 3-многообразия М канонически может быть разрезана на части, допускающие введение геометрических (X, Gy структур одного из восьми типов (см. § 4 гл. 2).

Указанное каноническое разрезание происходит либо по двумерным сферам, вложенным в многообразие М и разбивающим его на две части, отличные от трехмерных шаров (этот процесс, как показал Кнезер (см. Хемпель [1, гл. 7]), имеет лишь конечное число шагов), либо по двумерным торам, несжимаемо вложенным в М. Дадим точное описание этого процесса.

Определение 8.1. Трехмерное многообразие Л4 называется неприводимым, если каждая вложенная в Д4 двумерная сфера ограничивает шар в М. М является достаточно большим (в смысле Вальдхаузена [3]), если в М существует несжимаемая двусторонняя поверхность, край которой (если он не пуст) лежит на краю дМ многообразия. Многообразием Хакена называем компактное неприводимое ориентируемое связное 3-многообразие, являющееся достаточно большим.

Заметим, что за исключением тривиального случая шара многообразием Хакена является всякое неприводимое 3-многообра-

зие М с непустым краем дМ. Другим условием того, что неприводимое 3-многообразие М будет многообразием Хакена, является условие положительности ранга первой группы гомологий Нг(Му

Определение 8.2. Пусть (ц, v) — пара взаимно простых целых чисел, / = [0, 1], и пусть B2c:R2— единичный круг в полярных координатах: В2=^г, 6): г£1, 0<С6^.2лу Расслоенным полноторием типа (а, р) называем многообразие, получающееся отождествлением (г, 6, l) = (r, 6 + 2nv/p, 0) оснований цилиндра В2х1. Образы отрезков {х}х/ при этой склейке суть слои полученного полнотория Р, состоящие (за исключением центрального) из р отрезков. Считаем (с точностью до сохраняющего слои гомеоморфизма), что р > 0 и 0 < v < р/2. Целое р называем индексом расслоенного полнотория. Если ц ; 1, называем центральный слой особым; в противном случае — регулярным. Расслоением Зейферта 2 называют 3-многообразие, являющееся объединением попарно непересекающихся простых замкнутых кривых (слоев). и такое, что каждый слой т имеет замкнутую окрестность Т, состоящую из объединения слоев, которая гомеоморфна расслоенному полноторию Р при помощи сохраняющего слои гомеоморфизма. Такую окрестность слоя называют расслоенной окрестностью. Слой тс2 называют особым, если при указанном гомеоморфизме Т -► Р он переходит в особый слой расслоенного полнотория Р; иначе слой т называют регулярным слоем в 2.

Отождествляя каждый слой т в 2 в точку, получаем 2-мпо- гообразие, называемое многообразием орбит. Естественное отображение на него расслоения Зейферта 2 называют проекцией.

Определение 8.3. 3-многообразие М называют геометрически атороидальным (аторическиму если каждый несжимаемо вложенный в М тор Т2 изотопен компоненте края дМ. Многообразие М называют гомотопически атороидальным, если каждое отображение /: Т2^М, индуцирующее мономорфизм л, (Т2)

Л1 (М) гомотопно отображению Т2-^дМ.

Для многообразия с несжимаемым краем дМ гомотопическая атороидальность эквивалентна тому, что фундаментальная группа nt (М) не разлагается в свободное произведение своих нетривиальных подгрупп, и всякая ее подгруппа, являющаяся свободной абелевой группой ранга 2, сопряжена подгруппе фундаментальной группы некоторого тора из края дМ. Примерами гомотопически атороидальных многообразий являются многообразия из примеров 2.7 и 2.8.

Необходимость разрезания 3-многообразий вдоль нетривиально вложенных торов в структурной гипотезе Тёрстона стала ясна после описания Жако и Шаленом [1] расслоений Зейферта в 3-многообразиях и классификационных результатов Йохансона [1].

Фундаментальную роль в этом описании играют теорема об отображении и ее следствие — теорема о разложении (Жако, Ша- лен [1]), которые формулируются следующим образом. .

ч -Теорема 8.4. В многообразии Хакена М существуют попарно различные подмногообразия^, ..., 2mcintA4, являющиеся расслоениями Зейферта с несжимаемыми р М граничными компонентами и обладающие следующим свойством: любое отображение f: 8 -* М какого-либо расслоения Зейферта 8 с нециклической фундаментальной группой лт (S), индуцирующее мономорфизм f*: лг (S) -» Л! (М) фундаментальных групп, гомотопно в Л4 отображению, образ которого содержится в некотором 2,. Если при этом расслоения Зейферта 2Г в Л4 таковы, что при i^j отображения включения Е^сзМ не гомотопны отображениям 2,. ->- 2,., то множество {2Ь .. ., 2т} единственно с точностью до объемлющей изотопии.

Следствие 8.5. В 3-многообразии Хакзна М существует семейство {Tj, .. ., Тт) попарно различных несжимаемых торов в int М (единственное с точностью до объемлющей изотопии) такое, что:

каждая компонента многообразия, получаемого из М разрезанием вдоль торов семейства {7\, ..., Тп}, является либо расслоением Зейферта, либо гомотопически атороидальным многообразием; '

никакое собственное подсемейство семейства {7\, . .. , Тт) не обладает первым свойством.

Теперь мы можем до конца проследить весь (достаточно канонический) процесс разрезания 3-многообразия Л4 на простейшие куски —которые фигурируют в структурной гипотезе Тёрстона.

На первом шаге производится разложение многообразия М на простые многообразия Мп не представимые в виде нетривиальной связной суммы: М = #М,-. Здесь М,- не подмногообразия в М,

i '

а результат разрезания М по разделяющим 2-сферам и добавления затем трехмерных шаров. Заметим, что хотя в ориентируемом случае слагаемые М, определены при этом однозначно (см. Милнор [2]), семейство 2-сфер, определяющее это разложение, не является единственным с точностью до изотопии.

Полученные компактные простые 3-многообразия М имеют в ориентируемом случае три основных типа: 1) с конечной фундаментальной группой лт(М); 2) с бесконечной л^М) и приводимые, т. е. допускающие неразделяющее вложение 2-сферы; 3) с бесконечной л^М) и неприводимые.

Каждое многообразие 1-го типа есть либо 3-шар, либо замкнуто и тогда накрывается некоторой гомотопической сферой {Хемпель [1]). В этом случае структурная гипотеза Тёрстона переформулируется в виде:

Гипотеза 8.6. Если замкнутое ориентируемое 3-многообразие М имеет конечную фундаментальную группу л^/И), то оно имеет сферическую геометрию.

Таким образом, для выполнения этой гипотезы требуется (кроме выполнения гипотезы Пуанкаре), чтобы все свободные действия конечных групп на сфере S3 были сопряжены ортогональным действиям. Дискуссию о достигнутом здесь прогрессе см. в работах Моргана и Басса [1], Майерса [1], Скотта [4].

Единственным многообразием второго типа является многообразие Хопфа S^xS1 (см. Хемпель [1]), имеющее геометрию S2x/?.

Рассмотрим теперь многообразия М третьего типа, которые, как хорошо известно (теорема 7.19), асферичны;

л2 (Л1)=л3 (А1) = 0.

Если М имеет край дМф0, то он либо сжимаем, либо нет. В случае сжимаемости края дМ можно конечным числом разрезаний вдоль дисков расщепить А1 на части, край каждой из которых несжимаем. Полученные части, отличные от 3-шаров, определены при этом однозначно с точностью до изотопии в А1 (однако разделяющие 2-сферы не единственны с точностью до изотопии).

Таким образом, рассмотрение 3-го типа многообразий сводится к многообразиям с несжимаемым (или пустым) краем. Дальнейшее разрезание таких многообразий осуществляется по несжимаемым торам, единственным с точностью до изотопии, в соответствии с теоремами 8.7 и 8.9.

Здесь выделяются два случая — хакеновых и нехакеновых многообразий. В случае хакеновых многообразий структурная гипотеза Тёрстона доказана —это мы обсудим в следующем параграфе. Нехакеновы ориентируемые неприводимые 3-многообразия М с бесконечной л3 (А1) все замкнуты. Для них структурная гипотеза Тёрстона переписывается в виде:

Гипотеза 8.7. Всякое замкнутое ориентируемое неприводимое нехакеново 3-многообразие либо является слоением Зейферта, либо допускает гиперболическую структуру.

Сейчас известно много примеров таких многообразий и все они удовлетворяют этой гипотезе. Однако продвижений в доказательстве этой гипотезы почти нет (см. Хемпель [2] и Скотт [5]).

В следующих параграфах будет приведен ряд важных результатов (основным из которых является униформизационная теорема Тёрстона), частично подтверждающих ту замечательную гипотетическую картину строения 3-многообразий, которая возникает из структурной гипотезы Тёрстона на смену той ситуации, когда какая-бы то ни было классификация таких многообразий даже и не намечалась. _ . . . . ч

’ГЛ § 3. Теорема Тёрстона о гиперболизации

и гиперболические объемы * s »

Топология гиперболических 3-многообразий. Как показывают униформизационная теорема Клейна — Пуанкаре для двумерных поверхностей (см. § 1) и известные в настоящее время примеры трехмерных многообразий, наиболее богатый класс многообразий составляют гиперболические, т. е. полные связные римановы многообразия постоянной отрицательной секционной кривизны —1. Напомним, что эти многообразия есть в точности факторпространства Hn/G гиперболического пространства Нп по действующим свободно дискретным группам Gclsom Нп. Каковы топологические свойства гиперболического многообразия М? В размерности 3 это, по крайней мере, следующие:

М неприводимо, асферично (л2 (А1) = л3 (М) = 0) и является многообразием Пуанкаре, т. е. каждый вложенный в М гомотопический шар гомеоморфен евклидову шару; кроме того, если 6 ^ л3 (М)— неэлементарная группа, то л^М) имеет тривиальный центр, и для каждой компоненты S края дМ группа лх (S) неабелева; если же М компактно, то л^М) не содержит подгруппы, изоморфной свободной абелевой группе ранга 2 (т. е. Z^Zy

Кроме этих необходимых условий (не являющихся независимыми) отметим, что большинство гиперболических многообразий являются достаточно большими (т. е. многообразиями Хакена); однако имеются и «малые» гиперболические многообразия—среди них гиперболическое пространство додекаэдра (см. Вебер, Зей- ферт [1], или Крушкаль, Апанасов, Гусевский [3, пример 58]).

Замечательный факт, обнаруженный Тёрстоном и составляющий содержание его знаменитой теоремы о гиперболизации многообразий, состоит в том, что эти необходимые условия на М топологического характера являются в некотором смысле и достаточными для существования на М гиперболической метрики. Более точно сформулируем этот факт в виде теорем (Тёрстон [5]):

Теорема 8.8. Внутренность компактного 3-многообразия М с непустым краем имеет полную гиперболическую структуру (т. е. допускает введение метрики постоянной секционной кривизны —1) тогда и только тогда, когда М—неприводимое гомотопически атороидальное многообразие, не гомеоморфное многообразию из примера 2.8.

Теорема 8.9. Замкнутое многообразие Хакена имеет полную гиперболическую структуру, если и только если оно является гомотопически атороидальным.

Достаточно подробное изложение общей схемы доказательства теоремы гиперболизации (или, как ее еще называют, униформи- зационной теоремы Тёрстона), являющееся тем не менее весьма сложным, читатель может найти в работе Моргана [1].

Полное доказательство теоремы гиперболизации Тёрстон предполагает изложить в цикле из семи работ (из которых имеется пока три (содержащие главные этапы доказательства): Тёрстон [2, 3, 4]). В частности, вторая из этих работ содержит подробный разбор случая, когда многообразие расслоено над окружностью (его конспективное изложение имеется также в докладе Сулливана [4]):

Теорема 8.10. Пусть М — компактное 3-многообразие (возможно с краем), расслаивающееся над S1 со слоями=компактным поверхностям отрицательной эйлеровой характеристики. Тогда внутренность А1:

либо имеет полную H^xR структуру конечного объема и может быть описана как слоение Зейферта над некоторым гиперболическим Ч-орбифолдом;

либо содержит несжимаемо вложенный тор, не изотопный компоненте края, и сплетается вдоль этого тора из двух более простых 3-многообразий;

либо (в общем случае) имеет полную гиперболическую структуру конечного объема.

Случаи 1) и 2) взаимно не исключаются, однако случай 3) исключает два других.

Непосредственно из теорем 8.8 и 8.9 о гиперболизации и из следствия 8.5 о разложении многообразий Хакена получаются следующие утверждения Тёрстона [5], дающие сильное подтверждение его структурной гипотезы из предыдущего параграфа.

Теорема 8.11. Структурная гипотеза справедлива для всех многообразий Хакена, а также для компактных неприводимых 3-многообразий с непустым краем.

' 2. Дополнения к узлам. Другой богатый класс 3-многообразий, для которых справедлива структурная гипотеза Тёрстона, дают дополнения в S3 к узлам (всегда неприводимы и гомео- морфны внутренности многообразий, край которых состоит из тора). Для дополнений к узлам в S3 имеет место следующий критерий Тёрстона [5], впервые высказанный в виде гипотезы в работе Райли [2]:

Теорема 8.12. Дополнение SS\K узла К имеет геометрическую структуру тогда и только тогда, когда узел К не является узлом-спутником. Получающаяся геометрическая структура на Sa\K является гиперболической тогда и только тогда, когда вдобавок узел К не является торическим узлом.

Здесь под торическим узлом понимается узел, который может лежать на обычном торе Т2 в /?3. На рис. 67 показан, например, торический узел с параметрами (2, 5). Каждому нетривиальному узлу RdS3 соответствует семейство других узлов, называемых узлами-спутниками К. Это узлы, полученные нетривиальным вложением окружности S1 в малую торическую окрестность узла К. Здесь нетривиальным называется вложение, неизотопное узлу К

и такое, что образ окружности не содержится в шаре, содержащемся в S3\^. В общем, узлом-спутником называется узел-спутник некоторого нетривиального узла KcS3.

Заметим, что теорема разложения Жако—Шалена (следствие 8.5) задает нетривиальное разбиение S3\/( тогда и только тогда, когда узел /< является узлом-спутником.

Если S3\^ допускает гиперболическую структуру, то автоматически volS3\/(<oo в получающейся гиперболической мет

рике. Такие гиперболические структуры для большого числа конкретных узлов и зацеплений в S3 и соответствующие объемы найдены К. К. Адамсом [1], использовавшим для этой цели компьютер.

Гиперболические многообразия конечного объема. Они полностью определяются своими фундаментальными группами (это следует из теоремы жесткости Мостова (см. §2 гл. 9)). При этом для всех четных п = dim М объем V (А4) принимает лишь дискретный набор зна

чений V (М) = С„% (А1) — это следует из

теоремы Гаусса — Бонне, дающей в случае п = 2, что площадь

полной гиперболической поверхности М может принимать лишь значения Е(А1) = 2л/г, h =— 1, —2, . .. Более того, для п^4 имеет место еще большая жесткость (см. Вон [1]):

Теорема 8.13. При п ^4 для любого С>0 существует лишь конечное число попарно не диффеоморфных {или, что эквивалентно, попарно не изометричных) п-мерных полных гиперболических многообразий с объемами, не превосходящими С.

Заметим, что все такие многообразия М, volA4<oo, являются обязательно геометрически конечными (следствие 5.40) и поэтому из теоремы 7.4 получается такое их описание:

Теорема 8.14. Полное ориентированное гиперболическое многообразие М, n = dimA1^3, конечного объема является объединением компактного подмногообразия {край которого, если не пуст, есть объединение {п— \у мерных многообразий Бибербаха Е^1) и, быть может, конечного набора многообразий £?-1х[0, оо)

Для п = 3 теорема Ванга [1] не имеет места, и в этом случае можно дать следующее описание всех гиперболических многообразий с объемом, ограниченным постоянной. Для этого рассмотрим множество 5% всех полных гиперболических 3-многооб=- разий с конечными объемами и определим на нем топологию геометрической сходимости следующим образом (см. Тёрстон [1, гл. V]). Два многообразия М, N ^SK назовем близкими, если для достаточно малого е > 0 существует диффеоморфизм, прибли-

жаемый изометричными отображениями Л1[Е, «^N^, «] дополнений в многообразиях М и N к их е-тонким частям. Это эквивалентно следующему более формальному определению (Бураго [1]):

Определение 8.15. Многообразия М; € 56 сходятся к М £ 56, если для некоторых точек х^М,, х^М и для любых чисел б > О, R > 0 существует i0 = z0 (6, R) такое, что для всех i ^ i„ ■существуют отображения

Л: {z/ € М,< d; (х,; y)^R} = М,. (R) M, обладающие свойствами:'

Цх^х,"

M (R—6)—{у £ M: d {x, y)^R-d}cfi(Mi(R)),'' /

' 3) для всех у, г £ Mj (R)'’

(\-^Ду, г^Ш Ь^ЗД^МЛУ, Z\ .

В терминах определенного выше пространства 56 гиперболических многообразий конечных объемов имеется (см. Тёрстон [1, гл. V]) следующее описание Ёргёнсена таких многообразий:

Теорема 8.16. Непрерывное отображение vol: 56 R+ является собственным, т. е. каждая последовательность из 56 с равномерно ограниченными объемами имеет сходящуюся подпоследовательность. При этом для постоянной С > О существует конечное множество (Л!,, . .., М^с.56, volM/^C, такое, что всякое многообразие М^56, volM^C, получается из Mi„, 1 ^ <о ^ ^. гиперболической хирургией Дена.

Следствие 8.17. Для постоянной С>0 существует зацепление Lc в S3 такое, что каждое полное гиперболическое 3-многообразие М, vol М ^ С, получается из S3\LC хирургией Дена {допускается предельный случай — некомпактноетьУ

Эти два факта связаны с тем эффектом, что если Мг и М2— гиперболические многообразия, причем М2 получено из Мг хирургией Дена, т. е. заменой проколотого полнотория Т2х[0, оо) на лолноторий 8гхВ2(0, 1) (см. п. 6 § 1), то vol М, > vol М2.

Возникает обратный вопрос — насколько много среди многообразий, получаемых хирургией Дена из внешности т-компо- нентного зацепления LcN (N— 3-многообразие), допускающей гиперболическую структуру, гиперболических?

Если параметры хирургии Дена конечны, (d^, . . ., d^ € Е R2X . . . X R2, то в результате хирургии получается замкнутое многообразие MdtДт- Когда (d^, . . ., dm) стремятся к (оо, ..., оо) в топологии декартова произведения 82х ■ . ■ xS2, то многообразия 'Md,dm становятся близкими к многообразию М = М„„. Эта близость подчеркивается и следующим результатом Тёрстона [1], показывающим богатство класса .7^:

Теорема 8.18. Пусть т-компонентное зацепление LcN в 3-многообразии N таково, что М = ^\L допускает гипербо-

лическуюструктуру. Тогдасуществует окрестность UcS2x ...х5г точки (оо, . .., оо) такая-, что любое многообразие Mdldmv (di, . . ., dm) $ U, допускает введение на нем гиперболической структуры.

Рассмотрим в качестве примера такого зацепления L узел восьмерку (см. пример 2.2 и рис. 4). В этом случае возможно полное описание всех многообразий Md„ получаемое при помощи техники слоений (см. Тёрстон [1]):

Теорема 8.19. Обобщенная хирургия Дена на узле «восьмерка» дает замкнутые неприводимые многообразия Md, которые (за исключением шести) являются гиперболическими. Шести негиперболическим соответствуют следующие параметры d = (a, 0):

(1, 0) — тривиальная хирургия, Al(li0) = S3;

(1, 1), (2, 1), (3, 1) — хирургии, дающие расслоения Зейферта и два достаточно больших многообразия (содержит несжимаемую двустороннюю поверхность);

(0, 1) — расслоение на торы над окружностью;

(4, 1)— графовое многообразие.

Пример 8.20. В качестве другого примера рассмотрим^'дополнения к узлам (рис. 68), получаемым при помощи хирургии Дена на одной компоненте зацепления Уайтхеда (допускающего гиперболическую структуру (см. пример 2.3 и рис. 8)). Первый среди этих узлов является восьмеркой. При d2, стремящемся к оо (di — оо) внешности узлов, являющиеся многообразиями M$-dt стремятся к многообразию М^ ю = S2\L—дополнению к зацеплению Уайтхеда. На самом деле имеет место более сильное утверждение Тёрстона [1]: .

Л Теорема 8.21. Все дополнения к узлам MXid2, d^ER2, полученные хирургией Дена из дополнения к зацеплению Уайтхеда, обладают полной гиперболической структурой.

Пример 8.22. Хирургией Дена можно получать из гиперболического многообразия бесконечно много и негиперболических. В частности (см. Тёрстон [1]), такими являются все многообразия ^(i,o),d„d, для (d2, d3)£S2xS2, где М — дополнение к боромеевым кольцам (см. пример 2.4 и рис. 12). Это следует из того, что Aid, о), оо, » = S3\(S} U ££). гДе окружности S}, S) между собой не зацеплены. Поэтому для любых 1Д1, d^^R^xR2 многообразие Мц, о), d„ d, есть связная сумма линзовых пространств. Его универсально накрывает область Q(G)czS3, полученная удалением из S3 совершенного нигде не плотного и не связного предельного множества Л (G):

Mu,o),d2.da = ^(G)/G.

Объем гиперболического многообразия М полностью определяется топологией М в любой (а не только в четной) размерности n = dimM. Это можно увидеть при помощи следующего инварианта, введенного М. Громовым.

Пусть X—топологическое пространство и Ck (X) — векторные пространства сингулярных fe-цепей, имеющие в качестве базисов все непрерывные отображения стандартных симплексов А* в X. Определим норму цепи с^^ар;, где ар А6 , X, в виде ||с||= i

= 2|й,|. Тогда норма Громова на вещественных сингулярных гомологиях определяется следующим образом. Для a£Hk(X, R) полагаем j а [| = inf || г ||, где inf берется по всем сингулярным циклам, представляющим элемент а.

Если теперь М — замкнутое ориентируемое гиперболическое многообразие, то норма )| [Л4] || = || М || его фундаментального класса дает инвариант многообразия М. Этот инвариант обладает тем свойством, что для многообразий ЛД и Л12 и отображения /: Мг М2 имеет место неравенство

|| ^11^1 степень /|.||М2||.18.1)

Заметим, в качестве примера, что для n-мерной сферы Sn, п>1, допускающей отображения /: S" ^ S" со степенями 2 и выше, инвариант Громова || S" || равен 0. В то же время у 0-мерной сферы 8° он равен двум.

Теорему Громова можно сформулировать теперь в следующем виде (см. Тёрстон [1, гл. V]):

Теорема 8.23. Для замкнутого ориентируемого гиперболического многообразия Мп имеет место равенство

vol Л4" = V„-|| Л4" ||,(8.2)

где Vn —объем п-мерного бесконечного правильного симплекса в Нп.

Замечание 8.24. Объемы V„ бесконечных правильных п-симп- лексов в Нп являются верхними гранями для объемов линейных бесконечных п-симплексов в Нп. Это утверждение доказано Дж. Милнором [3, 4] для п = 3 и Манкхолмом [1J для всех п^З. При этом всегда Vk < Vk^l(k~ 1). Например, V2 = л, |/3= 1,0149416. . .

Другая формулировка теоремы Громова может быть записана в следующем виде (ср. (8.1) и (8.2)):

Теорема 8.25. Пусть /: MY-,M2— отображение с ненулевой степенью замкнутых ориентируемых гиперболических многообразий . Тогда

vol Мг ^ |степень /(-vol Л42.

Если в 1) достигается равенство, то отображение f гомотопно накрытию, являющемуся локальной изометрией.

Если vol АД оо, а 3-многообразие М2 содержит такое зацепление L, что MY гомеоморфно M2\L, то vol Мг > vol М.,.

Из приведенных теорем Ёргенсена и Громова вытекают важные следствия.

Следствие 8.26. Множество объемов полных гиперболических 3-многообразий вполне упорядочено, и имеет порядковый тип ю®.

Следствие 8.27. Объем является конечно-!-значной функцией на множестве 5€ полных гиперболических 3-многообразий.

Последний факт можно уточнить (Биленберг [3]):

Теорема 8.28. Для любого натурального N существует выпуклый полиэдр PNaН3, vol PN <оо, являющийся фундаментальным полиэдром по крайней мере для N различных некомпактных многообразий ).

Доказательство. Рассмотрим «достаточно большой» полиэдр Рс^Н3, проекция которого на dH3 = R3 показана на рис. 69. Ему соответствует подгруппа G группы Пикара SL(2, Z (z)) с кД 2 параболическими образующими. Край многообразия М (G) состоит из 2к трижды проколотых сфер, которым параллельны вполне геодезические трижды проколотые сферы S,cH3/G (им отвечают фуксовы подгруппы О, с G). Попарная склейка этих поверхностей с помощью параболических или локсодромических изометрий И3 (т. е. склейка сторон дРГ\дН3 с помощью /, g, h (см. рис. 70)) задает HNN-расширения группы G (см. § 3 гл. 6). В результате всех таких HNN-расширений получаем неизоморфные подгруппы группы Пикара, униформизирующие внешности различных зацеплений с одним и тем же гиперболическим объемом. На рис. 71 показаны три таких зацепления при к=\. Первое из них — боро- меевы кольца (см. пример 2.4), а два других получены из него «.скручиванием'» диска, натянутого на компоненту зацепления. При

к > 1 параболические склейки дают /г-листное накрытие внешности боромеевых колец (см. рис. 72 для к = 4; здесь точка в центре обозначает девятую компоненту зацепления, проходящую

Рис. 70Рис. 70

Рис. 70

Рис. 70

через оо). Замены параболических склеек локсодромическими (т. е. скручивания) дают N = 3к различных зацеплений с одним гиперболическим объемом. На рис. 73 даны зацепления, получен

ные «скручиванием» диска, натянутого на выделенную компоненту рис. 72.

Подобный факт справедтив и для замкнутых многообразий (см. Ананасов, Гуцул [1]).,.

4. Теория сложности 3-многообразий ■ .дата j и вычисление объемов -

: ■ В этом параграфе мы расскажем о новом подходе к гиперболической геометрии, основанном на соединении теории А. Т. Фоменко [3] изоэнергетических поверхностей интегрируемых гамильтоновых систем с теорией С. В. Матвеева [4] сложности трехмерных многообразий.

Гамильтонова механика и класс Н (см. Фоменко [3.5], Фоменко, Трофимов [1]). Пусть М4 — симплектическое многообразие и и = sgrad Н — гамильтонова система дифференциальных уравнений на /И4 с гамильтонианом Н. Оказывается, что существуют и могут быть эффективно описаны топологические препятствия к интегрируемости этой системы. Пусть система уравнений и вполне интегрируема по Лиувиллю на какой-то неособой изоэнергетической поверхности Q (поверхности постоянной энергии), задаваемой уравнением Н = const. Это означает, что вместе с интегралом Н система должна иметь еще один интеграл /, который функционально независим с Н и находится с ним в инволюции (в малой окрестности поверхности Q). Известно, что в этом случае связные неособые поверхности уровня функции / на 3-многообразии Q являются двумерными торами (т. н. торами Лиувилля).

Определение 8.29. Интеграл / называют боттовским (на данной изоэнергетической поверхности), если все его критические точки организованы в невырожденные критические подмногообразия.

В большинстве известных сегодня интегрируемых случаев гамильтоновых систем уравнений интеграл Н является боттовским.

Теорема 8.30. Пусть Q —трехмерная неособая компактная изоэнергетическая поверхность гамильтоновой системы уравнений и, интегрируемой на Q при помощи боттовского интеграла f. Тогда Q представляется в виде склейки некоторого числа полно- ториев D2xS4 и многообразий №xS4, где № — диск с двумя дырками. Склейка таких 3-многообразий осуществляется по некоторым диффеоморфизмам граничных торов.

Определение 8.31. Компактное ориентируемое 3-многообразие принадлежит классу Н, если это многообразие можно получить склеиванием нескольких экземпляров многообразий D2xS4 и N^xS4 по гомеоморфизмам некоторых компонент их краев.

Как следует из теоремы 8.30, любая трехмерная неособая изоэнергетическая поверхность Q гамильтоновой системы и, интегрируемой на Q при помощи боттовского интеграла /, лежит в классе И. Верно и обратное: любое 3-многообразие Q из класса И реализуется как изоэнергетическая поверхность некоторой гамильтоновой системы с некоторым боттовским интегралом /. В случае dQ=# 0 движение соответствующей системы должно быть подчи- 10*

нено некоторым дополнительным ограничениям (Браилов, Фоменко [1]).

Как доказали А. Т. Фоменко и X. Цишанг [1, 2], класс Н совпадает с классом так называемых граф-многообразий Вальд- хаузена [4]. Следует отметить следующее важное обстоятельство: класс Н существенно «меньше» класса всех трехмерных многообразий и заведомо не содержит гиперболических многообразий. Именно с этим связано существование упомянутых выше топологических препятствий к интегрируемости: если какая- нибудь изоэнергетическая поверхность гамильтоновой системы не лежит в классе Н, то эта система не интегрируема в классе боттовских интегралов. Поэтому с точки зрения гамильтоновой механики и симплектической геометрии, весьма актуальна задача конкретного построения примеров многообразий, не лежащих в классе Н (в том числе гиперболических замкнутых многообразий). -

Сложность трехмерных многообразий. Имеет смысл поставить следующие вопросы: как устроено самое простое гиперболическое многообразие? Каков его объем? Чтобы ответить на эти вопросы, нужно формализовать понятие сложности трехмерного многообразия. Такая формализация основана на теории специальных спай- нов. Напомним основные моменты этой теории (см. Матвеев (3, 4]).

Определение 8.32. Компактный С№-комплекс Р в 3-многообразии М называют его спайном, если М или (в случае дМ = 0) М с удаленным открытым шаром коллапсируется на Р. Конечный двумерный С№-комплекс называют специальным полиэдром, если он допускает такую структуру конечного клеточного комплекса, что линк каждой вершины гомеоморфен комплексу ® (т. е. окружности с тремя радиусами), а линк каждой отличной от вершины точки его одномерного остова гомеоморфен окружности с диаметром. Одномерный остов специального полиэдра называют его особым графом, двумерные клетки — ^-компонентами. Компактный С№-комплекс называют почти специальным, если он вкладывается в некоторый специальный полиэдр. Точки почти специального полиэдра, линки которых гомеоморфны полиэдру ф, называют его вершинами. Спайн 3-многообразия называют специальным или почти специальным, если он является специальным или почти специальным полиэдром.

Определение 8.33. Сложность d(M) компактного 3-многообразия М равна /г, если М имеет почти специальный спайн с к вершинами и не имеет почти специальных спайнов с меньшим числом вершин.

Оказывается, что так введенное понятие сложности естественно, тесно связано практически со всеми известными способами

задания 3-многообразий и хорошо согласуется со сложностью многообразий в неформальном смысле этого слова. Естественность сложности сЦМ) подчеркивается следующими двумя важными ее свойствами (Матвеев [4]).

Свойство конечности: Для любого целого числа к

существует только конечное число различных замкнутых неприводимых ориентируемых 3-многообразий сложности к.

Свойство аддитивности: Сложность связной суммы компактных 3-многообразий равна сумме их сложностей.

Поставленный выше вопрос о гиперболическом многообразии наименьшей сложности полезно разбить на два: о самом простом

сложности 2 и девяти многообрасложности 2 и девяти многообранекомпактном и самом простом замкнутом трехмерном многообразии. Ответ на первый из них вытекает из следующей теоремы (Матвеев [4], Матвеев, Фоменко [1]).

сложности 2 и девяти многообра

сложности 2 и девяти многообра

Теорема 8.34. Все компактные ориентируемые неприводимые аторические 3- многообразия с торическими краями сложности d-ДЗ лежат в классе Н, кроме ровно двух 3-многообразий Qt и Q2

зий Q,, З^Ст'^П, сложности 3, которые не лежат в классе Н.

3-многообразия Qx и Q2 удобнее всего описать изображением регулярных окрестностей N (SRt) и N (SR.?) особых графов их минимальных специальных спайнов Rt и R2 (рис. 74). Каждый из этих специальных спайнов имеет по две 2-компоненты с граничными кривыми длины 6. Следует напомнить, что окрестность особого графа полностью задает специальный спайн, который, в свою очередь, однозначно определяет 3-многообразие. На самом деле, многообразие Q2 гомеоморфно дополнению в сфере S3 к узлу «восьмерка» (см. рис. 4), а многообразие Qj является дополнением к некоторому узлу в линзе L5_ , и может быть получено приклеиванием полнотория к одной из компонент края зацепления Уайтхеда (см. рис. 5) в сфере S3 по гомеоморфизму с параметрами (5, 1) (см. п. 6 § 1 гл. 7).

Аналогичное описание допускают остальные многообразия Q,, где 3<iCH. Особые графы их специальных спайнов имеют по 3 вершины и гомеоморфны окружности со вписанным в нее треугольником или двум пересекающимся окружностям с добавленной к одному из ребер петлей. Топологически многообразия Q,, 3^1^ 11, представляют собой дополнения к узлам в проективном пространстве RP3, линзах Le-1, Lli2, сфере S3, линзах Lg_ 2, L6jl, А51, L3 j и сфере S3 соответственно. При этом многообра-

зие Qu гомеоморфно дополнению узла 52, а многообразие Q6 — дополнению узла с 12 пересечениями в сфере S3.

Теорема 8.35 (Матвеев, Фоменко [1]). Внутренности многообразий Qj, l^i^ll, допускают полные гиперболические структуры. Других ориентируемых полных гиперболических многообразий сложности d<3 не существует.

Так как внутренность многообразия из класса И заведомо не допускает гиперболической структуры, то вторая часть теоремы 8.35 следует из теоремы 8.34. Доказательство первой части теоремы основано на построении гиперболической структуры склеиванием идеальных симплексов (в случае i=l, 2 —правильных) и проверке прямым вычислением выполнения согласованности склеек и евклидовости голономий Н^ (z) и Нх^ для мере- диана р и параллели л линка идеальной вершины (ср. § 1 гл. 6).

Другое свойство найденных многообразий Qz, l^zsCll, состоит в том, что они являются компактными 3-многообраз.иями, на которых никакая гамильтонова система не интегрируема (в классе боттовских интегралов). Как отметили Матвеев и Фоменко, любое компактное ориентируемое 3-многообразие является изоэнергетической поверхностью некоторой гамильтоновой системы (не обязательно интегрируемой).

Рассмотрим теперь вопрос о самом простом замкнутом ориентируемом гиперболическом многообразии. Следующая теорема была доказана с помощью компьютера (Матвеев, Фоменко [1]), позднее Матвеев [4] получил прямое ее доказательство.

Теорема 8.36. Все замкнутые ориентируемые трехмерные многообразия сложности не более 8 лежат в классе Н (в частности, являются изоэнергетически ми поверхностями некоторых интегрируемых гамильтоновых систем).

Таким образом, среди замкнутых многообразий сложности d^8 нет гиперболических, и первые гиперболические многообразия могут появиться (и, как увидим ниже, появляются) только на уровне сложности 9.

Минимальные гиперболические объемы. Интерес к конкретным численным значениям объемов замкнутых гиперболических многообразий вызван их глубокими связями со структурой многообразий (см. Новиков, Шубин [1]); в частности они входят в общие неравенства Морса — Новикова, а именно в обобщенные числа Бетти. Особенно интересен остающийся открытым вопрос ю виде многообразия, имеющего минимальный объем Vol (М) среди всех гиперболических 3-многообразий (ср. следствие 8.26). Неизвестен ответ и на аналогичный вопрос среди полных гиперболических некомпактных ориентируемых 3-многообразий. Подобную последнему вопросу задачу среди ориентируемых некомпактных гиперболических 3-орбифолдов (для которых имеют место результаты, подобные изложенным выше для многообразий) решил Р. Мейергоф [1]. Он доказал, что среди таких орбифолдов мини-

мальный объем имеет орбифолд H3/Glt где дискретная группа. G! = PGL(2, G3\ 63 есть кольцо целых в Q (—К 3). Группа GX1 является сохраняющей ориентацию подгруппой индекса 2 в группе, отражений относительно 1/24 части (симметричное деление) правильного бесконечного симплекса. При этом vol H3[GX = Г3/12 « «0,0846... Без условия ориентируемости минимальный объем некомпактного 3-орбифолда равен К3/24 « 0,0423. . .

В классе замкнутых арифметических 3-орбифолдов задача минимизации гиперболического объема решена Шинбургом и Фридманом [1]. А именно, ориентируемый арифметический (см. § 1 гл. 4) гиперболический й-орбифолд минимального объема получается факторизацией гиперболического пространства Н3 по группе Гцс Isom.r Н3, являющейся подгруппой индекса 2 группы отражений в гранях симплекса с диаграммой Кокстера о=о-с=о (см. § 5 гл. 4). Фундаментальным полиэдром группы Га является удвоенный симплекс с диаграммой Кокстера о- =>-о, имеющий ось симметрии второго порядка. Объем орбифолда №/Га может быть вычислен точно при помощи дзета-функции Дедекинда ^ (s) поля k = Q^V 3 + 2Г 5) с дискриминантом — 275, над которым определена Ги. А именно,

vol Я;|/Гц = vol (о—0=0—о) = (275р/Ч% (2)/(2'л6) « 0,03905...

Однако следует отметить, что арифметические орбифолды и многообразия достаточно редки в в отличие от множества всех гиперболических объемов их объемы образуют дискретное подмножество числовой прямой (см. Чинбург [1]).

Изложенные в предыдущих пунктах результаты Матвеева — Фоменко позволяют взглянуть на проблему нахождения минимальных объемов (в каких-либо классах) с алгоритмической точки зрения, которая реализуется на компьютере.

Для построения замкнутых ориентируемых гиперболических 3-многообразий сложности 9 и для вычисления объемов гиперболических многообразий (Q,)p, q, Is^i^ll ((р, q)^ R2 — параметры хирургии Дена), напомним основные моменты метода Тёрстона [1] для хирургии Дена (см. п. 6 § 1 гл. 7).

Пусть /И —компактное ориентируемое 3-многообразие с краем дМ = Т2 (тор с меридианом ц и параллельно /.), а Л4 = Л4\<9/И = — Н3/лг (Л4) получается склеиванием п идеальных симплексов (ср. Эпстейн, Пеннер [1]). Тогда на М можно задавать (неполные) гиперболические структуры, изменяя параметры склеивающихся симплексов (комплексные числа из полуплоскости Imz>0 (см. п. 2

§ 1 гл. 6)). При этом гиперболическая структура симплексов задает гиперболическую (неполную) структуру на М, если и только если выполнены реберные условия склейки, представляющие собой систему из п — 1 независимых уравнений на комплексные параметры симплексов (ср. (6.2) —(6.4) для двух торов края дМ). Множество решений этой системы задает некоторую область Uc^C: Imz>0} (называемую структурной'). Каждой точке z^U отвечает (неполная) гиперболическая структура на М.

Пусть H'^z) и H'x^z) — логарифмы голономий меридиана и параллели, отвечающие точке z^U и представляющие собой комплексные числа (вернее, точки в С\{0} « С). Формула pH’^^-V- + qH’K (z) = 2л1 задает структурное отображение f: U - R"- области U на плоскость R- с координатами (р, q). Если точка (р, q) со взаимно простыми целыми координатами р и q лежит в образе структурного отображения, то результат (р, ц)-хирургии Дена — многообразие Мр, — является гиперболическим. Его объем равен сумме объемов идеальных симплексов. Дополнение к образу / (У) структурного отображения называют структурной лакуной.

Для нахождения образов структурных отображений в случае многообразий Q,, 1 ^1^ И, и вычисления их объемов С. В. Матвеевым и А. Т. Фоменко была составлена программа, согласно которой ЭВМ находила какую-нибудь точку структурной области и перемещала эту точку так, чтобы ее образ при структурном отображении стремился к данной целой точке (р, q) (обычный метод итераций). Тем самым находились комплексные параметры, задающие гиперболические структуры на многообразиях (Q^p, „. Точки, для которых этот процесс сходился, отмечались на плоскости. Множество оставшихся неотмеченными целых точек совпадает с множеством целых точек структурной лакуны. Одновременно с построением гиперболической структуры на многообразии ((),)р, q находились комплексные параметры идеальных симплексов, участвующих в склейке. Задача приближенного вычисления объема конкретного идеального симплекса не вызывает особых затруднений, так как объем идеального симплекса с двугранными углами а, р, у, а + р^-у = л (его противоположные углы равны) равен сумме Л (а) + Л (Р) + Л (у) значений функции Лобачевского (См. Лобачевский [1, 2], Милнор [3]):

600

Л (9) = - In | 2 sin /1 = 9 (1 - In | 29 | + £ з^^ ! ) '

где Bt—1/6, В2=1/39, ...—числа Бернулли.

Полученные результаты Матвеева — Фоменко удобно свести в виде:

Таблица 1

1

1

2

3

-4

5

6

min lim

0,94272

2,02988

0,98139

2,02988

1,41444

2,66680

1,29346

2,66680

1,54361

2,82812

1,54361

2,82812

7

8

9

10

11

min lim

1,42462

2,78186

1,'8400 2,94413

1,26564 2,56898

1 .44106

2,56898

1,40112

2,82812

Теорема 8.37. а) Объемы одиннадцати бесконечных серий гиперболических замкнутых многообразий вида (Qi)p,q, l^t^ll, представлены на рис. 75, где изображено около тысячи значений объемов.

уу11111098 765431098 76543си••у*Iси••у*I1,40112 V1,40112 V1,441061—1,265841—4—1,58400 b1,42462 I—H ^1,5436111,54361 41,2934611b1,41444 |1,441061—1,265841—4—1,58400 b1,42462 I—H ^1,5436111,54361 41,2934611b1,41444 |-t-HH-HHtttfteeen 2,8^812-t-HH-HHtttfteeen 2,8^812■ннжеее г,5бвэ8■ннжеее г,5бвэ8—I 11II II IIIIIIIIIIM— 2,34413■н-н-HHWeee 2,73136—I 11II II IIIIIIIIIIM— 2,34413■н-н-HHWeee 2,73136I I I I 444—HMHMBM 2,81 —и—i—nun ни инпннни 2,66680 44H—II II I IIII Hill 112,66680I I I I 444—HMHMBM 2,81 —и—i—nun ни инпннни 2,66680 44H—II II I IIII Hill 112,666801г1гI I I I II Hill НИМИ 2,0298841III III Il Hill II— 2,02988I I I I II Hill НИМИ 2,0298841III III Il Hill II— 2,02988J- Сложность 2 для ОсJ- Сложность 2 для Ос0,9 10,9 11^1^2Рис. 752Рис. 752,52,533

у

у

11

11

10

9

8 7

6

5

4

3

10

9

8 7

6

5

4

3

си

••у*

I

си

••у*

I

1,40112 V

1,40112 V

1,441061—

1,265841—4—

1,58400 b

1,42462 I—H ^1,543611

1,54361 4

1,2934611b

1,41444 |

1,441061—

1,265841—4—

1,58400 b

1,42462 I—H ^1,543611

1,54361 4

1,2934611b

1,41444 |

-t-HH-HHtttfteeen 2,8^812

-t-HH-HHtttfteeen 2,8^812

■ннжеее г,5бвэ8

■ннжеее г,5бвэ8

—I 11II II IIIIIIIIIIM— 2,34413

■н-н-HHWeee 2,73136

—I 11II II IIIIIIIIIIM— 2,34413

■н-н-HHWeee 2,73136

I I I I 444—HMHMBM 2,81 —и—i—nun ни инпннни 2,66680 44H—II II I IIII Hill 112,66680

I I I I 444—HMHMBM 2,81 —и—i—nun ни инпннни 2,66680 44H—II II I IIII Hill 112,66680

1

г

1

г

I I I I II Hill НИМИ 2,02988

41III III Il Hill II— 2,02988

I I I I II Hill НИМИ 2,02988

41III III Il Hill II— 2,02988

J- Сложность 2 для Ос

J- Сложность 2 для Ос

0,9 1

0,9 1

1^

1^

2

Рис. 75

2

Рис. 75

2,5

2,5

3

3

Минимальные значения объемов внутри каждой серии (Q,)p, q, а также предельные значения объемов (т. е. vol Q,) приведены в табл. I.

В табл. 2 приведена часть серии объемов для многообразий ^Q^p, q. Ноль в таблице означает, что соответствующее многообразие лежит в лакуне, т. е. не является гиперболическим.

Замечание. Так как (Q^p, q« ^-р, _q, то в табл. 2 приведены значения объемов только при р"^0. Из табл. 2 видно, что объемы многообразий (QJ,,, q и (Qj)^ _p_q равны. Это объясняется тем, что они гомеоморфны: циклическая перестановка

0

1

2

3

X 5

у 6

7

8

9

10

10

2,00155

2,00419

2,00651

2,00855

2,01035

2,01195

2,01337

2,01463

2,01576

2,01678

2,01770

9

1 ,99494

1,99853

2,00164

2,00434

2,00669

2,00875

2,01056

2,01216

2,01358

2,01484

2,01597

8

1,98574

1,99079

1,99508

1,99875

2,00190

2,00463

2,00699

2,00905

2,01036

2,01245

2,01385

7

1,97237

1,97978

1,98595

1,99112

1,99548

1,99918

2,00234

2,00505

2,00740

2,00944

2,01122

6

1,95191

1,96342

1,97273

1,98032

1,98658

1,99178

1,99613

1,99980

2,00292

2,00560

2,00790

5

1,91830

1,93755

1,95253

1,96434

1,97376

1,98137

1,98759

1,99272

1,99700

2,00059

2,00364

4

1,85746

1,89322

1,91952

1,93927

1,95438

1,96613

1,97542

1,98288

1,98894

1,99392

1,99806

3

1,73026

1,80779

1,86015

1,89674

1,92309

1,94256

1,95729

1,96867

1,97761

1,98476

1,990." 6

2

1,39340

1,61047

1,73713

1,81610

1,86793

1,90344

1,92867

1,94716

1,96107

1,97179

1,98020

1

0

0,98137

1,41406

1,63388

1,75713

1,83179

1,87994

1,91263

1,93576

1,95270

1,96547

0

0

0

0

1,05545

1,47919

1,67946

1,78790

1,85235

1,89476

1,92336

1,94375

— 1

0

0

0*

0

0

1,26372

1,58865

1,74012

1,82435

1,87630

1/1068

—2

1,39340

0,98137

0

0

0

0,94272

1,28450

1,54358

1,70510

1,80062

1,85999

—3

1,73026

1,61047

1,41406

1,05545

0

0,94272

1,22130

1,42362

1,58317

1,70462

1,79086

—4

1,85746

1,80780

1,73713

1,63388

1,47919

1,26372

1,28450

1,42362

1,54387

1,64581

1,73034

—5

1,91830

1,89322

1,86015

1,81610

1,75713

1,67946

1,58865

1,54358

1,58317

1,64581

1,70858

—6

1,95191

1,93755

1,91952

1,89674

1,86793

1,83179

1,78790

1,74012

1,70510

1,70462

1,73034

—7

1,97237

1,96342

1,95254

1,93927

1,92309

1,90344

1,87994

1,85285

1,82435

1,80062

1,79086

—8

1,98574

1,97978

1,97273

1,96434

1,95438

1,94256

1/2867

1,91263

1,89476

1,87630

1,85999

—9

1,99494

1,99079

1,98595

1,98032

1,97376

1,96613

1,95729

1,94716

1,93576

1,92336

1 ,91068

—10

2,00155

1,99853

1,99508

1,99112

1,98658

1,98137

1,97542

1 ,'96867

1,96107

1,95270

1,94375

УНИФОРМИЗАЦИЯ МНОГООБРАЗИЙ

ребер специального спайна Ri многообразия Qj (см. рис. 74) последовательно продолжается до гомеоморфизмов Rt —* Rlt Qx —* Q1 и №)/>, q (Qi)P, -p-q- Точно так же (или с использованием обратимости узла восьмерки) доказывается, что (Q^p. q~ (Q»)-P, q.

Следствие 8.38. Среди многообразий вида (Q^p, q, l^Cr^il, многообразие (Qi)6, _2 имеет минимальный объем = 0,94272.. .

Гипотеза 8.39 (Матвеев —Фоменко). Многообразие (Qi)5, _2 имеет наименьший объем среди ориентируемых гиперболических многообразий.„

Замечание. Недавно Т. Чинбург и Т. Ёргенсен доказали, что многообразие (Qi)6, _о является арифметическим —как и многообразие (Q2)5.1, точный объем которого (см. Чинбург [2]) задается ^-функцией Дедекинда £Д$) единственного квадратичного поля k (k = Q (р) порождается корнем уравнения т]4 + ц3 — 1 = 0) с дискриминантом = —283:

vol (<22)5. т = 12-283а/2 - efe (2) ■ (2л)-6 = 0,98139. ..

Этот объем является вторым среди объемов многообразий (Q^p, q: ранее Тёрстон [5] предлагал его в качестве кандидата для наименьшего гиперболического объема. Впервые многообразие (Ql)s. -2,

0,94272... = vol(Q^, _2 < vol (Qc)6,, = 0,98139..., как отмечено Чинбургом [2], было описано в диссертации Викса [1] отличным от указанного выше способом —как результат хирургии Дена на дополнении к зацеплению Уайтхеда с параметрами (5,1) и (5, —2); см. также работу Ноймана, Рида [1 ].

Замечание 8.40. Интересно отметить, что самое простое неориентируемое гиперболическое многообразие имеет слож- 1 ность 1 и совпадает с известным многообразием Гизекинга (см. ^пример 2.1). Естественно предположить, что его объема j л; 1,0149416... наименьший среди объемов всех некомпактных t полных гиперболических многообразий. Недавно К. Адамс [3] ) доказал справедливость этого предположения.

' Так как многообразия (Qi)5, _2 и (Q2)5, i получаются приклеи- ? ванием полнотория к многообразиям Qj и Q2, то их специаль- : ные спайны легко строятся из изображенных на рис. 74 спай- нов Rx и Р2. Оказалось, что они имеют по 9 вершин (рис. 76). Из теорем 8.36 и 8.37 получаем косвенное подтверждение гипо- ‘ тезы 8.39 о минимальном объеме:

- Следствие 8.41. Многообразия (Qi)5, _2 ы (Q2)5, i являются : самыми простыми (в смысле сложности) замкнутыми ориентируемыми гиперболическими многообразиями.

( Естественным усилением гипотезы 9.39 является

h Гипотеза 8.42. (Матвеев —Фоменко). А) Приведенное на [рис. 75 распределение объемов многообразий вида (Q,)p, q изображает начальный отрезок ряда объемов всех гиперболических замкнутых многообразий.

Б) Внутри каждой серии многообразий вида Мр, q, где М — многообразие с торическим краем, объем растет вслеи за ростом сложности.

Справедливость последней гипотезы была проверена Матвеевым и Фоменко на большом числе тех многообразий из серий kQi^p, q> Для которых удалось точно найти сложность. Следует отметить, что между многообразиями разных серий такой корреляций между сложностью и объемом заведомо нет, так как

Рис. 76

имеется лишь конечное число многообразий данной сложности, а потому слева от каждой точки накопления (объемов многообразий данной серии) встречаются многообразия сколь угодно большой сложности.

В заключение этого параграфа отметим еще один важный результат, справедливость которого была установлена на основе вычислительного эксперимента: существование невыпрямляемых триангуляций некомпактных гиперболических многообразий. Под триангуляцией Т некомпактного многообразия М здесь понимается его представление в виде склейки трехмерных симплексов с удаленными вершинами. Пусть многообразие допускает (не обязательно полную) гиперболическую структуру. Всегда ли можно эту структуру реализовать склеиванием идеальных симплексов по схеме, отвечающей триангуляции Т? Оказывается, что ответ на этот вопрос отрицателен-, чтобы получить заданную гиперболическую структуру, триангуляцию приходится менять. В основе этого факта лежит следующее наблюдение: многообразие (Q8)2,i является гиперболическим, хотя и отвечает точке (2, 1), лежащей строго внутри структурной лакуны многообразия Q8. Это наблюдение, а также обнаруженная Матвеевым—■ Фоменко [1] зависимость размера структурной лакуны от числа использованных симплексов ставит под серьезное сомнение идею Тёрстона [5, с. 379, проблема 4] об описании предельных геометрий, возникающих при подходе к границе лакуны.

■ § 5. Конформная униформизация многообразий

Структурная гипотеза. Как показывает теорема униформи- зации Клейна—Пуанкаре, изучение конформных структур на поверхностях равносильно изучению их геометрических структур— гиперболических, евклидовых или сферических. Свойства геометрических структур в больших размерностях показывают невозможность подобного подхода. Во-первых некоторые из них обладают известной жесткостью — в отличие от конформных структур (см. гл. 9) и, во-вторых, во многих случаях на конформном многообразии невозможно определить единую геометрическую структуру (см. § 3). Большая гибкость и универсальность конформных структур по сравнению с геометрическими дает некоторую надежду и на возможность единой (конформной) униформи- зации большого класса «-многообразий. Для придания этим словам точного смысла дадим некоторые определения.

Под конформным (= конформно плоским) п-многообразием/орби- фолдом М, как и в гл. 2, мы понимаем (Sn, Mob («))-многообра- зие/орбифолд (в ориентируемом случае (S", о^п)-пространство). Выделением конформной структуры с на М является выделение какого-либо максимального конформного атласа на М. При«=2 это определение совпадает с определением проективной структуры на поверхности, так как в этом случае (S2, <^2) ^ (СР1, Р5Ц2, С)).

Гомеоморфизм /: Мг—*Мг двух орбифолдов с конформными структурами сг и с2 называют конформным, а орбифолды (А4г, с^ и (Л12, с2)—конформно эквивалентными, если / является (S", МбЬ(«))- отображением, т. е. является конформным в некоторых атласах на Мг и М2, задающих конформные структуры сг и с2. Иными словами, конформная структура на Мг, полученная поднятием при помощи отображения / конформной структуры с2, совпадает со структурой ct.

Определение 8.43. Конформную структуру с на «-много- образии/орбифолде М назовем -униформизируемой, если существует клейнова группа G с Mob («) такая, что (Л4, с) конформно эквивалентно некоторой компоненте связности факторпростран- ства Q(G)/G с естественной конформной структурой.

О месте конформных многообразий в классе «-мерных многообразий говорят следующие факты:

Все римановы конформно плоские многообразия являются конформными (здесь под конформно плоским понимается риманово многообразие, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфно и конформно эквивалентную области евклидова пространства). В частности, подклассы конформно плоских много- ■образий образуют римановы многообразия постоянной секционной кривизны —гиперболические, евклидовы и сферические, а также многообразия Хопфа, т. е. многообразия, диффеоморфные

Sn-1xS1 (получаются факторизацией /?п\{0} по циклической группе <А>, где A^GL(n, /?) и det Л > 1).

Для конформных многообразий Мг и М2 их связная сумма М — Мг # М2 является конформным многообразием (Кулкарни [2]).

Важнейшим классом конформных многообразий является n-мерные многообразия, являющиеся компонентами края («+!)- мерных клейновых многообразий (см. гл. 7).

Важным продвижением в проблеме конформной униформизации, т. е. в задаче описания класса конформных многообразий и его подкласса униформизируемых конформных многообразий явилось бы решение следующей гипотезы (ср. Ананасов [25]):

Гипотеза 8.44. Пусть компактное ориентируемое многообразие при некотором разрезании распадается на компоненты, отличные от произведений тора на отрезок и допускающие уни- формизируемые конформные структуры. Тогда внутренность многообразия М (или его конечнократного накрытия') допускает введение конформной структуры, являющейся при этом униформи- зируемой. '

Естественно предположить, что для трехмерного многообразия М. разрезание его на униформизируемые куски должно быть каноническим разрезанием из структурной гипотезы Тёрстона.

Частичными аргументами в пользу высказанной гипотезы являются следующие имеющиеся в настоящее время результаты ):

Теоремы Кюйпера —Фрида —Голдмана (см. п.2).

Теорема униформизации Кулкарни — Пинкала [1], доказанная в более общей ситуации произвольных (X, 6)-структур:

Теорема 8.45. Пусть М — компактное (X, С)-пространство с развертывающим отображением d; М - ■ X и группой голономии Н — imd$ с G и пусть No— пересечение d(M) с множеством тех точек, где Н представляет собой нормальное семейство. Тогда

d\d-^Ns- d"4N6V-N6

является накрывающим отображением.

Из этой теоремы следует (см. теорема 8.55), что каждое конформное многообразие с несюрьективной разверткой имеет конечнократное накрытие с униформизируемой конформной структурой.

Для униформизируемых конформных структур имеется аналог (Кулкарни, Пинкал [1]) теорем комбинирования (см. гл. 6), усиливающий упомянутый выше результат Кулкарни [2]:

Теорема 8.46. На связной сумме Мг^ Мг многообразий с униформизируемыми конформными структурами существует униформизируемая конформная структура.

Нежесткость конформных структур (см. гл. 9) дает возможность вариации геометрических инвариантов многообразий, необходимой для конформной склейки -структур вдоль поверхностей (заметим, что торический аналог предыдущего результата решал бы гипотезу 8.44 при п = 3).

Существование униформизируемой конформной структуры на многообразии Mt и /М2, полученном конформной склейкой / торов края дМх и дМ2 гиперболических (конформных) многообразий Мг и М„ (Ананасов [25] (см. § 6)).

Если в противоположность предыдущему результату потребовать отсутствие склеек между гиперболическими частями разложения Тёрстона— Жаке — Шалена 3-многообразия М, iо условие конформности торических склеек можно отбросить (см. Капович [1]):

Теорема 8.47. Пусть /И—замкнутое многообразие Хакена, фундаментальная группа которого не является разрешимой, а разложение на гиперболические и зейфертовы части не содержит склеек гиперболических многообразий с гиперболическими или евклидовыми^ зейфертовы подмногообразия отличны от Т2х[0, 1]. Тогда некоторое конечнократное накрытие М. имеет униформи- зируемую конформную структуру.

Разрешимые и нильмногообразия. Первыми исследованиями конформных многообразий были работы Кюйпера [1—3], в которых для них были определены развертывающее отображение, гомоморфизм голономии и получены следующие два факта:

Теорема 8.48. Пусть М—замкнутое конформное п-много- образие с конечной п^М). Тогда его развертка d является гомеоморфизмом на сферу S", а само М конформно эквивалентно фак- торпространству Snid*(n^ по свободному действию группы голономии.

Теорема 8.49. Пусть М—замкнутое ориентируемое конформное п-многообразие с бесконечной абелевой л^уИ). Тогда его развертка d есть гомеоморфизм на Rn либо на /?"\{0}. В первом случае группа голономии G = dt(n1(M)) состоит из евклидовых движений, а многообразие М конформно эквивалентно евклидову тору Tn = RniG. Во втором случае G состоит из подобий, а М конформно эквивалентно многообразию Хопфа (Rn\{Q])/G яе « S^xS1.

Последний результат обобщается на общие структуры подобия в следующем виде (см. Кюйпер [3], Фрид [1]):

Теорема 8.50. Пусть замкнутое п-мерное конформное многообразие М является (Rn, Sim Rn\многообразием, где Sim Rn — группа подобий Rn. Тогда его развертка d; M - Sn является гомеоморфизмом либо на R", либо на /?л\{0}. В первом случае группа голономии G = d* (Пу (М)) есть конечное расширение свободной абелевой группы ранга п евклидовых переносов, а многообразие М является многообразием Бибербаха, т. е. конечнократно накрывается евклидовым тором Тп. Во втором случае группа голономии

G есть конечное расширение бесконечной циклической группы подобий, не сохраняющих евклидову метрику, а многообразие М является почти хопфовым, т. е. конечнократно накрывается многообразием Хопфа ^xS"-1.

Благодаря новым результатам в геометрии и топологии многообразий, в частности связанными с вопросами жесткости и уни- формизируемости различных структур, а также с теорией дискретных групп, в последнее десятилетие активизировались исследования и конформных структур на многообразия (мы не касаемся работ по аффинным структурам). Так в 1983 г. Голдман [3] получил следующее обобщение приведенных выше результатов Кюйпера — Фрида:

Теорема 8.51. Пусть М—замкнутое конформное п-мерное многообразие с почти нильпотентной или почти полициклической ранга СЗ фундаментальной группой лДМ). Тогда М накрывается либо сферой Sn, либо евклидовым тором Тп, либо многообразием Хопфа S1xS"-1.

Здесь почти нильпотентной (соответственно, абелевой, полициклической, разрешимой и т. д.) группой называется группа G, имеющая в качестве подгруппы G'g Оконечного индекса р (О', 0)<оо нильпотентную группу. Заметим, что из теоремы 8.50 можно получить соответствующее утверждение и для многообразия М с почти разрешимой лх (М), если воспользоваться следующим результатом Голдмана [3, лемма 1.4]:

Лемма 8.52. Пусть группа Gcz№5b(rf) почти разрешима. Тогда существует подгруппа G' cG конечного индекса, сопряженная в МбЬ(п) подгруппе из Sim/?".

Замечание 8.53. В связи с теоремой 8.51 имеет место следующее важное наблюдение Голдмана [3]. Если среди кусков, на которые распадается при каноническом разрезании (§ 2) внутренность трехмерного многообразия, выбрать те многообразия/И, которые не накрываются многообразием Хопфа S^S2 и имеют бесконечную почти разрешимую фундаментальную группу лт (/И), то они принадлежат одному из трех классов:

(Е) Л! (М) — почти абелева,

• (N) лДМ) —почти нильпотентна, но не является почти абелевой,

' (S) Л! (44) — почти разрешима, но не является почти нильпотентной.

При этом: класс (Е) состоит из конформных многообразий, накрываемых евклидовым тором Т3; класс (N) состоит из 3-многообразий, накрываемых расслоениями над окружностью S1 на торы Т2, чьи склеивающие отображения являются скручиваниями Дена на торе; класс (S) состоит из 3-многообразий, накрываемых гиперболическим расслоением на торы (см. также Еване, Мозер [1]). Все эти многообразия имеют геометрические структуры

в смысле Тёрстона (для класса (N) такая структура задается метрикой группы Гейзенберга — это следует из работы Еванса и Мозера [1], комбинируемой в случае нехакеновых многообразий с работой Скотта [5]).

Из этого наблюдения и теоремы 8.51 непосредственно получается описание некоторого класса замкнутых 3-многообразий, на которых нельзя ввести конформную структуру (но которые имеют геометрическую структуру группы Гейзенберга). А именно, такие многообразия получаются склейкой / компонент края торо- вого слоя Т2х[0, 1], при которой диффеоморфизм

/: Т2х{0}Т2х{1}

(присоединяющее отображение расслоения на торы) не является периодическим. Это показывает следующее утверждение (Голдман [3, следствие С]):

Теорема 8.54. Пусть 3-многообразие М является расслоением над окружностью S1 на торы Т2. Тогда М допускает введение конформной структуры, если и только если присоединяющее отображение этого расслоения является периодическим.

Униформизируемые структуры. Дальнейшее изучение конформных структур связано с вопросом их униформизации. Первым в этом направлении является результат для двумерных структур (т. е. проективных структур на поверхности (см. Ганнинг [1], Кра [1])), утверждающий, что для проективной структуры С на компактной римановой поверхности S рода больше 1 следующие условия эквивалентны:

D = d (S) =0= С,

развертка d: S = Н2 D есть накрытие,

действие группы голономии G = d* (лх (S)) с а<2 разрывно в D и D является инвариантной компонентой в Q(G).

В то же время Маскитом [3] были построены примеры не- униформизируемых проективных структур на поверхностях любого рода больше 1, т. е. структур, для которых d(S)= C^=S2 и развертка d не является накрытием. Аналогичные неунифор- мизируемые конформные структуры имеются и на многообразиях большей размерности — они получаются из гиперболической структуры конечного объема «.изгибанием на угол 2л» вдоль вполне геодезической гиперповерхности (см. Голдман [4]; ср. § 3 гл. 9).

Пространственный аналог результата Ганнинга получается прямым комбинированием теоремы 8.50 о структурах подобия и униформизационной теоремы 8.45 (см. Кулкарни, Пинкал [1]):

Теорема 8.55. Пусть М— компактное конформное п-много- образие с бесконечной лДМ). Тогда следующие утверждения эквивалентны:

Развертка d не является сюръекцией: D = d(M)=#Sn.

Развертка d: М D с Sn есть накрытие.

Доказательство. В силу некомпактности М и компактности сферы S", л1(5п) = 0, импликация б)=>а) очевидна. Обратно, если граница dD (G-инвариант) состоит из одной {х} или двух точек {х, у], то считая х=оо, получаем, что группа голономии С = ^(лх (Л4)) состоит из подобий. В этом случае б) следует из теоремы 8.50. Если же сагбдД^З, то семейство элементов группы G является нормальным в области D; dD zd L (G) (см. Бердон [4, теорема 3.64]). Поэтому из теоремы 8.45 следует, что d есть накрытие над D.

Замечание 8.56. Определение 8.43 отражает тот простой факт, что если мы при исследовании вопросов униформизации хотим оставаться в рамках категории, содержащей теорию накрытий, то под униформизируемой структурой на многообразии М. мы должны понимать структуру, у которой развертывающее отображение d является накрытием на свой образ D = d(M), а группа голономии d* (лл (44)) действует свободно и разрывно на D.

Отбрасывая последнее условие, мы будем говорить, что структура на М почти униформизируема, если ее развертка d есть накрытие. Тогда теорема 8.55, говорит, что конформная структура на многообразии М (за исключением сферических пространственных форм) почти униформизируема тогда и только тогда, когда ее развертка не является сюръекцией.

Кроме теоремы 8.55 имеется другое достаточное условие почти униформизируемости конформной структуры (Кулкарни, Пинкал [1]). Для его формулировки определим для группы GaMob(n) (не обязательно дискретной) множество собственной разрывности 0(G) как открытое множество тех точек x^S", для некоторых окрестностей U которых компактны множества/((/)== — (g Е G: g (U) П U ^ 0}. Можно показать (ср. предложение 3.11), что дополнение этого множества S"\O(G) совпадает с замыканием неподвижных локсодромических точек (т. е. совпадает с предельным множеством орбиты G(z), z£//"+1).

Теорема 8.57. Пусть компактное конформное многообразие М таково, что множество собственной разрывности 0(G) его группы голономии G = dt (лх (44)) связно и имеет конечно порожденную фундаментальную группу лг(0(С)).

Тогда М — почти униформизируемое конформное многообразие.

Следует отметить, что не каждая конформная структура на многообразии 44 является униформизируемой или даже почти униформизируемой. Более того, можно показать существенность условий последней теоремы (см. Кулкарни, Пинкал [1]). Для этого сначала построим почти униформизируемую, но не уни- формизируемую конформную структуру на расслоении Зейферта М = SgxS\ где Sg — поверхность рода g> 1.

Пример 8.58. А именно, пусть группа лх (S?) х Z действует изометрически на H^xR так, что n^Sg) с Isom Я2, a Z дейст-

вует на R как циклическая группа с порождающим h, /i(<) = — t-^a. Тогда многообразие (//2 х 7?)/^ (Sg) х Z) гомеоморфно S^xS1, а его геометрия однородного пространства №х/? определяет на расслоении Зейферта М = Sgx 51 конформную структуру. Образ (ЦМ) при развертке d этой структуры есть область Т?^/?!, где R1 = Re1. При этом легко видно, что для значений а, не соизмеримых с л, a/n^Q, группа голономии Ga = d„ (лт (Sg) х Z) не является дискретной (но ее сужение Go [#, дискретно): эллиптические элементы Ga образуют бесконечную циклическую подгруппу поворотов вокруг прямой Rt. Таким образом, для указанных значений a, a/n^Q, конформные многообразия Ма = = (7?3\7?1)/GO лишь почти униформизируемы. При этом О (Go) == = /?3\/?1

Рассмотрим теперь конформное многообразие М = Мг # М2) где компактные конформные многообразия М, таковы, что первое из них есть построенное выше Ма, а второе не гомеоморфно сфере S3. Тогда, как легко показать, развертка d конформной структуры М есть сюрьекция на сферу S3. Теорема 8.55 доказывает эквивалентность этого факта тому, что конформная структура М не является почти униформизируемой. Заметим, что здесь Л! (О (G)) бесконечно порожденная группа.

Построенные в примере конформные почти униформизируемые многообразия Mq^S^xS1 играют некоторую исключительную роль. Она видна из следующего критерия униформизируемости конформных структур (Камишима [1], Гусевский, Капович [1]), который мы сформулируем в трехмерном случае:

Теорема 8.59. Пусть М — замкнутое конформное 3-многообразие, отличное от сферических пространственных форм и от (Н2х Ry многообразий. Тоге а утверждения а) и 6} в теореме 8.55 эквивалентны униформизируемости М, т. е. следующему,

Группа голономии G = d* (nj (/И)) действует разрывно на D = d(My

Доказательство. Импликация в) => а) очевидна: из разрывности действия группы G на S3 = d(,M) следует конечность 6 и то, что М есть (S3, 0(4))-многообразие. Это противоречие с предположением теоремы показывает, что развертка d не является сюрьекцией.

Докажем, что из а) следует в). Как и при доказательстве теоремы 8.55, можно считать (в силу теоремы 8.50), что card (53\Д) > 2. Поэтому, если группа голономии G дискретна, то Л(С) a dD (см. § 1 гл. 2) и G действует разрывно на D. Таким образом, в случае несправедливости утверждения в), группа G недискретна и, согласно теореме 1.7, возможны только следующие случаи (можно считать, взаимно исключающие друг друга): (1) G плотна в МоЬ(З); (2) существует x^S3 такая, что G(x)= х; (3) существуют х, y^S3 такие, что G((x, у))={х, у};

(4) существует / = S1c:S3 такая, что G(/) = /; (5) существует L = S2czS3 такая, что G(L) = L; (6) Gc 0(4).

Мы завершим доказательство, показав невозможность этого. Невозможность случая (6) следует из замкнутости М и его отличия от сферической формы.

Пусть имеем (3). Тогда, переходя к подгруппе индекса 2 и изменяя координаты, имеем G (0) —0 и G (оо)^ оо. Невозможность (6) показывает наличие локсодромического g^G, g"(0) = 0, g(oo) = oo. Отсюда следует, что {0, оо} </ D, так как в противном случае для x£S3\D hm gn (х) £ {0, оо}, а это противоречит G-инвариантности и открытости D. Считая, что oo^Z), из теоремы 8.50 получаем гомеоморфность развертки d, согласованной с G. Это противоречие с недискретностью G доказывает невозможность (3).

Случай (2) исключается совершенно аналогично случаю (3).

Невозможность случая (1) следует из противоречия G-инвариантности и открытости D с тем, что для x£S3\D и y^D имеем (в силу транзитивности Mob (3) на S3) последовательность kJ <= G такую, что lim gm\x) = y.

Если выполнен случай (5), то можно считать (переходя, если необходимо, к подгруппе индекса 2), что

S2 = \x^R3: х3 = 0}

и группа G оставляет инвариантными верхнее и нижнее полупространства R+ и R3.. Поэтому ограничение действия G на сферу S2 дает подгруппу группы е^2, которую мы обозначим Г. Группа Г дискретна или нет одновременно с группой G. Так как мы можем считать, что Г не имеет инвариантной окружности, и не оставляет инвариантными одну или две точки (это составляет содержание других случаев), то отсюда получаем, что группа Г плотна в <к2. В силу транзитивности действия &^2 на S2 для любых точек х, у Е ^+ существует последовательность ^g^ cz G такая, что Пт^ (х) = у. Этот факт и рассуждения, использованные при разборе случая (1), показывают возможность только следующих случаев: D = R3+, D = R'_ и D = S3. Последнее исключается в силу условия а). Если же D есть полупространство, то в силу односвязности В и того, что d есть накрытие (теорема 8.55) получаем, что d есть гомеоморфизм. Это противоречие с недискретностью группы G доказывает невозможность случая (5).

Для рассмотрения последней возможности — случая (4) — используется следующая

Лемма 8.60. Пусть для конформного 3-многообразия М образ D = d(M) при развертке d есть область Х = {х€/?3: х3 + х|#=0}. Тогда М есть (H2xR, Isom Н2х Isom Ry многообразие, т. е. имеет геометрию типа Г5.

Для доказательства леммы рассмотрим на полупространстве Y = {(х, г, ф) £ R3: г > 0} риманову метрику

dsy = (с?х2 + б/г2)/г24^^ф2,(8.3)

превращающую У в пространство H2xR (см. § 4 гл. 2). На области X введем риманову метрику

ds^ = (dx2 + dx2 + dx^!^ + x|), являющуюся конформно евклидовой. Группа изометрий полученного пространства (X, ds2x^ совпадает с группой мёбиусовых автоморфизмов области X (подгруппой в <^3).

Пусть отображение q; У —* X задается формулой

q (х, г, ф) = (х, гсозф, гзшф).(8.4)

Легко видно, что q является накрытием с циклической группой накрывающих гомеоморфизмов, порождаемой переносом на 2л:

(х, г, ф) (х, г, ф + 2л).

Кроме того, накрытие q является локальной изометрией, так как поднятие при помощи q метрики dsx совпадает с метрикой dsy (см. (8.3) и (8.4)). Этот факт влечет, что в случае равенства d(44) = X многообразие М с римановой метрикой, поднятой из пространства (X, ds3^ при помощи развертки d, является изометричным пространству (К, dsy) и, следовательно, М конформно эквивалентно некоторому (H2xR, Isom Н2х Isom R)- многообразию.

Допустим теперь, что имеется случай (4). Обозначим через Р полуплоскость {х^/?3: х3 = 0, х2 > 0}. Пусть также <^(/) = = kg^=^3- §№ = Ц и е^+ (Р) = {g^,: §(?) = ? и g сохраняет ориентацию на РУ считаем при этом без ограничения общности, что /={х£/?3: х2 = х3 = 0}. Переходя, если необходимо к подгруппе индекса 2, можем кроме того считать, что сужение G|z = Г есть подгруппа а^. Так как случаи (2) и (3) уже разобраны, то для группы Г имеются только две возможности — либо Г плотна в с^х ^е^+ (Ру либо Г —дискретная группа.

Допустим, что выполнена первая возможность. Тогда, в силу того, что D^S3, имеем D с X = R3\L Из условия теоремы и леммы 8.60 следует, что О=^Х, т. е. существует точка x£X\D. Отсюда, из плотности Г в ^#л=еЛ1.+ \Р) и из транзитивности действия группы <^+ (Р) на Р следует (аналогично предыдущему случаю (1)), что на любой окружности.

С (а, г) = {%С X: | х —а |2 = г}, а€/\(о°}, найдется точка р = р(а, r^X\D.

В то же время известно (Гринберг [1]), что из плотности Г в группе е^х следует существование двух эллиптических элементов ех, е2 С Г бесконечного порядка таких, что е^^е^. Обозна-

чим через hx = т^ и й2 = т2е2 соответствующие элементы группы G. Если обозначить через С (а,, г^аХ, г= 1, 2, неподвижные окружности для эллиптических элементов е, (рассматриваемых как элементы е^3), то действие h; на окружности С (а.-, Г;) совпадает с действием на ней эллиптического элемента т,. Если т;- имеет бесконечный порядок, то для точки р; = р^аь г^ £ С (а,-, г,) А (Х\О) замыкание множества

U Т"(А) . - •

совпадает с окружностью С (а,-, т,) и поэтому С (a], r^ с S3\D. Транзитивность действия е^+ (Р) на Р, плотность Г в ^ ^е^+ (Р) и G-инвариантность области D показывают тогда, что 53 = Г, что невозможно. Поэтому найдутся целые пг и п2 такие, что T”' = id. Так как т(в/= е,т,-, то отсюда видим, что и; = h.np = ер^^,1= 1, 2, являются эллиптическими элементами бесконечного порядка и при этом иуи? =#u2uv Этот факт дает плотность группы <иг, и2> В e^j = е^/+ (Р).

Если теперь ф(х) —угол вектора (0, х2, х3) (для х^Х) с полуплоскостью Р, то для найденной выше точки x£X\D получаем, что и вся полуплоскость

{t/G^: ^(у) = ФМ}

лежит в Х\£>. Это показывает, что D либо несвязно, либо односвязно, либо пусто. Следующее из условия а) условие б) дает, что d; М D есть накрытие и, таким образом, первый и последний случаи невозможны. В случае же односвязности D развертка d есть гомеоморфизм, что невозможно в силу недискрет- ности группы G, с действием которой d согласовано.

Допустим теперь, что выполнена последняя возможность — Г = G|, с е^ есть дискретная группа с предельным множеством Л (Г) с:/. Так как D^S3, то Е>пЛ(Г) = 0. Если при этом D =/=53\Л(Г), то при факторизации открытого в 5?3\Л(Г) множества D по действию группы G получается некомпактное пространство D/G, что противоречит компактности многообразия М. Это показывает, что £) = 53\Л(Г). Отсюда получаем, что либо D = X (т. е. Л(Г)=/), либо D есть дополнение в S3 к дисконтинууму Л(Г)<г/ и поэтому односвязно. Невозможность первого случая следует из леммы 8.60. Односвязность D во втором случае влечет, что накрытие d есть гомеоморфизм. Противоречие этого с недискретностью группы G показывает невозможность последнего случая (5) и, тем самым, завершает доказательство теоремы 8.59.

Конформная униформизация дублей . ■

.... аторических многообразий

Мы исследуем здесь задачу об определении униформизируемой конформной структуры на дубле М неприводимого гомотопически аторического компактного n-многообразия/орбифолда М, край которого состоит из конечного числа плоских многообразий/орби- фолдов (конечнократно накрываемых торами Т""-1) и внутренность которого имеет униформизируемую конформную структуру.

Невырожденные В-группы. В трехмерном случае в качестве униформизируемой конформной структуры с0 на intM всегда можно взять гиперболическую структуру конечного объема (теорема 8.8). Обобщением этой ситуации являются конформные структуры сй на int М, униформизируемые невырожденными В-груп- пами, т. е. конформно эквивалентные естественной конформной структуре на Qo/G, где Qoc:Q(G)— инвариантная стягиваемая компонента геометрически конечной клейновой группы GcrMob (и) (называем такие группы невырожденными В-группами в пространстве (ср. § 3 гл. 3)).

Следует отметить, что (в отличие от плоскости) пространственные невырожденные S-группы даже в случае отсутствия в них переферических параболических подгрупп (т. е. случайных параболических элементов) не являются, вообще говоря, квазифуксо- выми группами (у которых Q (G) состоит из двух топологических шаров). Это показывают наши конструкции групп в § 3 гл. 7.

Будем, кроме того, предполагать, что склеивающие отображения компонент края дМ являются конформными. В этих предположениях поставленную задачу конформной униформизации дубля М решает следующая

Т еорема 8.61. Пусть на внутренности неприводимого гомотопически атороидального компактного п-мерного (п ~^ 3) орби- фолда М, имеющего в качестве края дМ объединение т ^ 1 плоских орбифолдов, задана конформная структура са, униформизируемая невырожденной В-группой Сос:МбЬ(/г). Тогда на дубле М орби- фолда М, заданном конформными склейками hh \ ^.i^m, компонент края дМ (сохраняющими структуру орбифолда дМ), существует конформная структура с, униформизируемая некоторой невырожденной В-группой СсМоЦп). Более того, в (М, с) существует семейство конформно вложенных попарно непересека- ющихся замкнутых (п—((-мерных евклидовых орбифолдов Тг, . . - . . ., Тт таких, что (M\ U Т;, с) есть объединение двух конформных орбифолдов, конформно эквивалентных орбифолду (М, с0).

Для доказательства георемы нам будет необходима некоторая конструкция (мы называем ее «параболическим комбинированием^, которая оставляет инвариантным множество невырожденных В-групп.

Параболическое комбинирование. Пусть Go с Mob (п) — невырожденная S-группа с инвариантной стягиваемой компонентой Qo с Q (Go), имеющая параболические вершины р, чьи области пика Up имеют с По непустое пересечение. Последнее условие эквивалентно тому (ср. следствие 5.47), что орбифолд Qo/Go имеет (параболические) концы. При этом из условия стягиваемости и С0-инвариантности компоненты По следует (см. леммы 5.54 и 5.55), что у всех таких параболических вершин р их ранги равны п—1 и, более того, при этом область пика Up состоит из двух непересекающихся (касающихся в точке р) шаров, из которых только один лежит в По. Обозначим этот шар Вр(г), где г < К есть его «радиус», определенный в § 4 гл. 4 (см. (5.54)), а через Sp = Sp (г) обозначим «-мерную плоскость в пространстве Нп+1 такую, что

dSp(r) = dBp(r). - Д8.5)

Пусть Рп*х = Pn + 1 (Go) с Hn+l U И (G) — конечносторонний фундаментальный полиэдр (Дирихле или псевдо-Дирихле), имеющий на границе только конечное число параболических вершин А, • • •, Рт1 G(pi)#=G(pj) для i=^j (см. предложение 3.23 и теорему 5.24). Этими же свойствами обладает и полиэдр Рп = = int (Pn+1 Г) Rn) с П (Go) — фундаментальный (несвязный) полиэдр для действия Go в Rn. Для всех г, l^t^m, рассмотрим В, = Вр. (г,) с Q (Go) и S,- = Sp. (г{) с Нп+ 1 — соответственно шары и «-плоскости, удовлетворяющие (8.5) и имеющие «радиусы» fi < К, где достаточно малое К > 0 таково, что гарантирует не- пересечение G-орбит этих шаров и плоскостей.

Обозначим через 3,- отражения в гиперболическом пространстве Яи+1 относительно «-мерных плоскостей Sj, i= 1, ..., т, и рассмотрим клейнову группу ЗДЗг с Mob (п). Тогда эта группа и группа Go имеют объединенную подгруппу GP1 и, вместе со сферой дВг и фундаментальными областями Рп и Зг (PnY удовлетворяют условиям комбинационной теоремы 6.18. В результате ее применения получаем клейнову группу

G1 = G1(r1) = G0* 3^, (8.6) А.

имеющую инвариантную компоненту ПДСД с По Г) ^i (Но). Конечносторонний фундаментальный полиэдр •

Р^ЦО^ = Р»^ (Go) П 3. (Р"^ (Go)) (8.7)

имеет на границе (неэквивалентные) параболические вершины dil = pi, и pi2 = 31 (р;), i = 2, ..., т, являющиеся вершинами и полиэдра Р" (Gt) Г) Qo (Gi)- При этом шары Bil(ri) = B1 и S,-2(r;) = = Зх (Bi) суть компоненты связности областей пиков этих вершин, лежащие в ^(СД.

Заметим, что шары В(1 при отображениях ^^^МбЬ^) переходят во внешность замкнутых шаров В/2 для всех t = 2, . . ., m; при этом стабилизатор точки р1Ч в группе GT переходит при сопряжении отображением 3^3, в стабилизатор точки pi2. Также легко проверяется, что при всех г = 2, ..., т, наборы

GP/1, G^cG., 1^3,3^ S^dB^, Si2 = dBi2,

зависящие от параметра г = (гх, г2, . . ., rm) £ (О, К)’”, удовлетворяют условиям теоремы 6.23. В результате (т—1)-кратного ее применения получаем клейнову группу

G=G(r) = <G0, ЗДЗ., 3\32, ..., ЗхЗт>, (8.8)

имеющую инвариантную компоненту fi0 (G) a Qo (GJ с й0 Г) Зх (QJ.

Замечание 8.62. Процесс параболического комбинирования допускает следующую простую модификацию. Вместо «тождественных склеек» (8.6) и (8.8) (т. е. свободных произведений и HNN-расширений группы Go, определяемых отражениями 3{ относительно плоскостей S,-, i= 1, . . ., m), мы можем использовать «конформные склейки». Эти «конформные склейки» определяют свободные произведения и HNN-расширения группы Go вида (8.6) и (8.8), где отражения 3, заменены на скользящие отражения относительно плоскостей S, с теми же неподвижными точками р(. Точнее, скользящие отражения являются суперпозициями отражений 3, и параболических преобразований?!,- £Mob(rt), hi (Pi) = Pi, оставляющих инвариантными полупространства №+1\S,-. Кроме того требуем, чтобы эти h, коммутировали со стабилизаторами Gp. с Go:

hiGphi1 — Gp..

Последнее требование эквивалентно тому, что Тц является поднятием конформного автоморфизма h, (п— 1)-мерного евклидова орбифолда

hf. (dB^p^/Gp. _ (dB,-\[p,-})/Gp..

Покажем, что класс невырожденных S-групп замкнут относительно процесса параболического комбинирования.

Теорема 8.63. Пусть невырожденные В-группы Gu G2 а с Mob(п), п^2, с инвариантными (стягиваемыми) компонентами fix и й2 имеют общую максимальную параболическую подгруппу Н = Нр = СгПС2 и (п — 1 у мерная сфера S a Rn, S\[/J с Пх П Н2, разбивающая Rn на шары DT и D2, удовлетворяют условиям теоремы 6.18.

Тогда группа G — Gr*G., является невырожденной В-группой, н

Теорема 8.64. Пусть невырожденная В-группа Gxc МбЪ (п), п^^, имеет максимальные параболические подгруппы Нг и Н2,

относительно которых строго инвариантны шары Вг и В„ из инвариантной стягиваемой компоненты й0. Пусть также существует А € Mob (и) такое, что A (S^ = ext Вг и группа G = = <Сг, Л> —HNN-расширение группы Gt — получается вторым комбинированием Маската (6.23). Тогда G является невырожденной В-группой.

Доказательство теоремы 8.63. По условиям теоремы 6.18 пересечение некоторой окрестности сферы S с фундаментальной областью подгруппы Н лежит в некоторой компоненте Fo с Qx П ^2 фундаментальной области F(G) группы G. Отсюда и из условия инвариантности Qt и П2 относительно групп Gt и G2 соответственно, непосредственно следует, что для какой-либо фиксированной точки х0 £ S П Fo и для любого порождающего g группы G точки х„ и gtx/ можно соединить путем, лежащим в Q(G). Поэтому (см. лемму 3.16) область Q0 = G(/;0) является G-инвариантной компонентой связности множества Q (G). Докажем, что компонента Qo есть стягиваемая область.

Запишем все g € С\Я в нормальной форме:■ ■

g = gn----'gn.(8.9)

где п > 0 и либо g.^iGGtXH, g2,^G2\H, либо g^+i^GT^H и g2l €Gi\H. Из теории групп известно, что длина п>0 определяется по элементу g однозначно; обозначим ее через |g| и для g^H положим |g| = 0. Назовем g положительным — g > О (отрицательным — g < 0), если в (8.9) giGGt\H (соответственно, gi € G2\H).

Для фиксированного разложения группы G:

G = HU ( U аптН\и( U ЬптН\,(8.10)

где | а„т \ = \Ьпт\ = п, апт > 0, Ьпт < 0, и для фиксированного п > 0 рассмотрим множества;

r„=U(UW„№))...(8.11)

и будем считать, без ограничения общности, что оо £ Q (G) и oo^G(S). Тогда из доказательства теоремы 6.18 имеем следующие свойства:

Тп с Т„_г для п > 1.

Компоненты связности Тпт множества Тп суть непересе- кающиеся шары вида аП[Пф-^ или Ьптф.2у■

2^п (Т.у = 2 2 ^" (Ту) < 00 и> поэтому, диаметры (ЦТ,/) i. ii.

удовлетворяют соотношению..

lim 2^"(Л/) = 0.': ' (8.12)

i -► OD j*' '. *"

Обозначим й^ = й (С,)\й,-, i=l, 2. Из условий теоремы следует, что q;dq' = 0, й; с /)2, й; с ог, йоп(й;ий;) = 0. кроме того, можно сказать, что й( касается й' в точке р, неподвижной для параболической подгруппы Н — в том смысле, что существуют шары Вг с Й1, В2 с Й2, строго инвариантные относительно Н в Gx и G, и касающиеся друг друга в точке р.

Рассмотрим наряду с множествами Тп из (8.11) следующие множества: , -

д о„==иа„т№)иь„,л(й;).(8.13)

Из свойств Й- и свойств множеств Тп непосредственно вытекают следующие свойства множеств О„: Оп с Тп с 7'„_1\О„_1; компоненты связности множества Оп образуют непересекающиеся семейства Оп,п вида апт^ с а,,,,,^) или Ь^^) с Ь,1тф2\ При этом единственная компонента апт (й2) (содержащая шар а„,„ (S2)) касается единственной компоненты Ьп_1з m (tt'Y) (содержащей шар bn-i, «№)) в единственной точке —образе точки р.

Из теоремы 6.18 следует, что фундаментальная область F (G) группы G распадается на три части: F= Fo U FT (J F2, Fo cz й0, Fi cz й(, F, с й2. Так как при этом Й- = int G, (F;), i = l, 2, Q0 = G(F0), то из приведенных выше свойств множеств О;, i^l, и О0 = й( и й2 следует равенство

Йо = intl^"\ U О,-\■(8.14)

\1=0/'

По условию теоремы S\{p} с йх Г) Й2 = int (Дп\О^ = й*. Это и стягиваемость инвариантных компонент йх и й2 влечет стягиваемость области Й*. Отсюда же и из условий теоремы 6.18 получаем, что в шарах Dt и D2 существуют строго //-инвариантные шары D’t cz D,, касающиеся друг друга в точке р и такие, что dOt'\{/?} а й*. Считая р=оо, можно выбрать шары D\ и О2 (сопрягая, если необходимо, группу G) так, что их граничные сферы удалены от S на евклидово расстояние 1, а их дополнение есть окрестность V сферы S, о которой говорится в условии I теоремы 6.18.

Обозначим через Т'п подмножества в Тп, получающиеся заменой в определении (8.11) шаров D, шарами D’(. При этом очевидны включения, аналогичные свойствам Тп:

Тп + 1сТ'пс:Тп<=Т,п_1 и ОпсТ'псТп. (8.15)

Рассмотрим «стандартные» касающиеся друг друга замкнутые (Шары в Rn;

(.^ = ^x^Rn: хп <0} с Vx^R": х„ < 1} =А,

' A2 = {x€^: х„>2}.-(8.16)

Для этих шаров определим стандартный диффеоморфизм ср (коммутирующий с группой евклидовых изометрий /?", оставляющей инвариантным полупространство /?"):

(8-17)(8-17)ср: ext (A, U А_,) ^ ext Az

(8-17)

(8-17)

такой, что ф |д = id и для всех у = ф(х), у' = ф(х') имеют место равенства

Ui = Ut = xi для 1=^п и у„ = у; = ф0(хп),

где ф0 — диффеоморфизм интервала (0, 2) на /?+, ф0(х) = хдля х€(0, 1].

Теперь мы можем определить последовательность диффеоморфизмов фк, к 1,

Ф,: intJ^n\U O^-^inti^xU О,.\■ (8.18)

\1=0 У\1 = 0/

Каждый из диффеоморфизмов фА тождественен на R"\Tk, а на каждом из непересекающихся шаров Ткт (= компоненте Тк,

касающейся некоторой компоненты из Ок_!_ z и содержащей некоторое семейство Ок. „) получается (рис. 77) из стандартного диффеоморфизма (8.17) сопряжением при помощи некоторого мёбиусова отображения hkm такого, что

^Ч™ кТь^ " ^XAj, him (Tkm) = int A., h^kT^T^-oo. (8-19)

Диффеоморфизмы фА определяют предельный диффеоморфизм

Рис. 77)= Нш ф! о ф2 о .. . о ф,..(8.20)

к со

Из (8.14) легко видно, что этот диффеоморфизм / отображает инвариантную компоненту й0 группы G на стягиваемую область й* = йх fl Q2. Это показывает, что G—невырожденная S-группа (ее геометрическая конечность очевидно следует из равенства Р" +1 (G) = Р" +1 (G,) П Р" +1 (G?)) •

Таким образом для доказательства теоремы остается доказать сходимость диффеоморфизмов fk = фх о ф2 о . . . о фА и диффеоморф- ность предельного отображения (8.20).

Для этого рассмотрим для любого е > 0 такой номер к, что для всех i ^ к, для всех / и для меры Лебега р„ имеет место

^ДТП<г1 d<T^<£.(8.21)

Существование такого к следует из (8.12). Свойство (8.21) влечет, что для любых номеров m>l^?k отображение f7lof,B —

— срг + 1 о . . . о фм отлично от тождественного лишь на множестве Тг+1, мера которого меньше е. Кроме того, так как это отображение переводит каждую компоненту Tt+1 • в себя, то из (8.21) получаем

1/Т1 ° к^-х\< е дляхСЛ+1- (8.22}

Из (8.21) и (8.22) следует, что для любого е>0 существует номер к такой, что для всех т > I ^ к гомеоморфизмы f„t и ft различны лишь на множестве Tl+1, р„ (Tz+1) < е, где они отличаются друг от друга не больше чем на е, a Ti+1 с Т; для всех I. Это доказывает равномерную сходимость диффеоморфизмов /,■ к гомеоморфизму (8.20). Гладкость отображения / следует из того, что в достаточно малой окрестности любой точки х отображение / совпадает с некоторым диффеоморфизмом /,• с достаточно большим номером i. Этот факт завершает доказательство теоремы 8.63.

Доказательство теоремы 8.64. Мы будем использовать идеи доказательства предыдущего утверждения и алгебраическую технику Б. Маскита [1]. А именно, каждый элемент ggG\{id} запишем (не однозначно) в нормальной форме:

g = fa"og„o of^og^ (8.23)

где gi^Gv, g,, ..., g^id; . . ., o^j^O; если az < 0 и £/+1€^, то а, + 1^0; если а,-> 0 и gz+jC^, то а/+1^0. При этом для любой такой записи неизментым является число

И = 2 KI, " 1 i — 1

которое назовем длиной элемента g. Очевидно, что длина g^G не изменяется при суперпозиции g с любым элементом giCGx.

Назовем (8.23) положительной нормальной формой (g > 0), если в ней gt С Нг и ах > 0. В противном случае считаем форму (8.23) неположительной (g^ 0). Аналогично, g < 0, если в (8.23) giG.H2 и ах < 0; в противном случае g неотрицательно (g^0). Эти свойства элемента g£G\{id}, как и его длина, не зависят от выбора записи (8.23) (см. Маскит [1]).

Рассмотрим разложение G по модулю подгруппы Нг (ср. (8.10)). Тогда все представители фиксированного класса gHx имеют одинаковую длину и одновременно положительны или неположительны. Выберем из каждого неположительного класса длины п представитель апа. Аналогично, для разложения G по модулю подгруппы Я2 из каждого неотрицательного класса gH^ длины п выберем представитель Ьпп и для каждого фиксированного n = 0, 1, 2, . .. рассмотрим множества (ср. (8.11)):

Тп= Ua„m(B1)Ub„m(B2). (8-24)

Известно (Маскит [1]), что ТпсТп_х для п > О и, кроме того, все компоненты связности Тп„, множества Тп, п^О, суть непе- ресекающиеся шары вида а^ДВ^или bnm(B2). Считая, без ограничения общности, что оо £ П (G) и оо £ С(дВг и дВ2) отсюда же (см. лемму 6.20) дополнительно имеем следующее свойство евклидовых диаметров (ЦТц) компонент Т^сЦ аналогичное (8.12): .Нш2?(Т,у) = 0.(8.25)

.. Наряду с множествами (8.24) рассмотрим множество СУ = = Й(GJXfig=О0 и для «XI множества’

1О„=. ljti„m(Q')Ub„„(fi').(8.26)

m

Кроме того, рассматривая в шарах Вг и В2 меньшие шары В'хсВ,, строго инвариантные относительно, подгрупп H,^GX (см. условия теоремы 6.23), и такие, что их образы А (В;) и А"ЦВ^ строго инвариантны относительно подгрупп Н2 и Нх соответственно, определим подмножества Т‘„сТ„, п^О, заменив в определении (8.24) шары В; шарами B't.

Из определений множеств Тп, Т'п и Оп следуют включения для п^О:

Оп+1с:Тп-Т1И Т„+1сТ;\Оп+1.(8.27)

. Заметим, кроме того, что в семействе Оп областей образуются подсемейства Оп.п вида а^ (Q') или bnm^'\ Если при этом компоненты из Q', которых касаются шары Вх и В2 (в том смысле, что существуют шары В*<^ОЦ касающиеся шаров В, в параболических вершинах р,, неподвижных для подгрупп Hf) i = 1, 2) обозначить соответственно через Qx и й2, то Опт обладают следующим свойством. Для каждого п^О в a„+liOT(Q') существует единственная компонента ( = аи+1] т (П2)), касающаяся семейства £„,„(£2), а именно, его единственной компоненты = апт(й1). Аналогично, b„+1.m(Q') «касается» семейства b„m(Q') в единственной точке и это касание осуществляют компоненты b„+i,,„(Qi) и Ьпт(й2У При этом точки касания суть параболические неподвижные точки подгрупп, сопряженных в G группам Нх и Н2.

Пусть теперь F* есть компонента фундаментального множества F (G) = int {Eg П ext (Bx П В.,)}, примыкающая к шарам Вг и В2. Тогда из леммы 3.16 видим, что область Q* = G (X) является G-инвариантной компонентой в Q(G). Покажем, что П, диффео- морфна стягиваемой области Qo и, поэтому, G есть невырожденная S-группа.

Как и в доказательстве предыдущей теоремы 8.63 (см. (8.14)) из свойств (8.26) и (8.27) множеств Оп имеем равенство

.Q^int^X и(8.28)

\1 = 0 /

Аналогично (8.18) и (8.19) для fe^l зададим последовательность диффеоморфизмов7.

Фй: int f^X U О,int ("R” Vil 0,-Y' '

\1 = 0/\1 = 0/■ ;

каждый из которых является тождественным на множестве R"\Tk_i, а на каждом из непересекающихся шаров Tk_i,m (компонентах множества TXV) получается (ср. рис. 76) из стандартного диффеоморфизма (8.17) сопряжением при помощи некоторого мёбиусова отображения hkm £ Mob (п) такого, что

^кт k^k-l, т) " ^"X^l, XX^Xl, m) = Irlt ^ 2>

^кт кТк-1, -л Л Х-1. т) = ОО.

Таким образом построенные диффеоморфизмы фй задают предельное отображение

'/= И п фх о ф2 о . . . о фд Q* —* Qo.(8.29)

1 со

При этом отображение /, являющееся пределом последовательности диффеоморфизмов /, = ф! ° Ф2 ° • • ■ ° ф, тоже является диффеоморфизмом. Этот факт доказывается совершенно аналогично доказательству диффеоморфности отображения (8.30) — с заменой свойства (8.12) на соответствующее настоящему случаю свойство (8.25) множеств Тп из (8.24). Это завершает доказательство стягиваемости компоненты П* и, тем самым, теоремы 8.64.

Торические склейки структур (доказательство теоремы 8.61). Пусть согласно условиям теоремы конформный ор- бифолд (int /И, с„) униформизируется невырожденной S-группой GocMdb(n) с инвариантной стягиваемой компонентой й0с£1(60). Применим к группе Go процедуру параболического комбинирования из п. 2 с учетом замечания 8.62. При этом скользящие отражения К относительно n-плоскостей SicH"'H, задающие процесс параболического комбинирования, определяются теми конформными автоморфизмами h, i-x компонент края дМ (с евклидовой структурой), которые задают дубль М. В результате получим клейнову группу GcMob(n), задающуюся в (8.8) и являющуюся согласно теоремам 8.63 и 8.64 невырожденной S-группой с инвариантной стягиваемой компонентой Q*(rQ(G). Из построения группы G легко видно, что замкнутый орбифолд Х/G есть дубль М орбифолда М, int/M = Q0/G0. Пусть с—конформная структура на М, определяемая естественной проекцией л, л: Q* —* Q*/G.

Заметим, что непересекающимся (по свойству выбора г,- < К) G-орбитам проколотых строго Gp.-инвариантных сфер дВ, (г,)\{р,}, l^i ^т (см. (8.5)), при проекции л соответствуют конформно вложенные в М замкнутые (п—1)-мерные плоские орбифолды

Тг, • • •, Тт (непересекающиеся, непараллельные и несжимаемые). Выбрасывая из Q, G-орбиты этих проколотых сфер, получаем разбиение fi*\ U G (dBz) на компоненты связности R,, образующие две непересекающиеся G-орбиты. Эти две G-орбиты соответствуют двум компонентам, на которые распадается дубль М после выбрасывания Тг, Тт. В качестве двух неэквивалентных компонент из 6 ( U Rj^ можно взять компоненты RT и R2, примыкающие друг к другу по проколотой сфере дВ1\{/?1} и такие, что dRt Г) Л (60) Ф 0, dR., Г) Л фцЗ ДЗ Ji;1) ^= 0. Обозначим стабилизаторы компонент Rt и R2 в группе 6 через Гх и Г2 соответственно. Из (8.8) легко видно, что 1\=--60 и Г2 = hv31Gll3 ф;1.

Так как стандартный диффеоморфизм (8.17) коммутирует с действием евклидовых изометрий в полупространстве Rn+, то аналогично построению диффеоморфизмов ду и / в доказательстве теорем 8.63 и 8.64 (см. (8.18) — (8.20), (8.29)) строятся диффеоморфизмы ■

U R, Q01 /2: R2 ^3. (Qo), (8.30)

согласованные с действием групп [\ и Г2.

Этот факт показывает, что группы Г,, i = 1, 2, действуют в конформной структуре на R,-, поднятой диффеоморфизмом (8.30) с Qo или с А^ (й0), как группы конформных автоморфизмов. Поэтому конформная структура орбифолда (А^/Г1!, с) конформно эквивалентна структуре с0 орбифолда int М = Q0/60, а орбифолд (/?2/Г2, с) антиконформно (с изменением ориентации) эквивалентен орбифолду (int 7И, сй), так как (/?2/Г2, с) конформно эквивалентен h131 (Q0)/i1516051/ij'1. Это завершает доказательство униформизационной теоремы 8.61.

Конформная метрика Кобаяси

Описанный в следствии 5.80 подход к введению конформноинвариантной метрики в области ticR" или на конформном п- мерном многообразии/орбифолде П/6 имеет естественное обобщение, показывающее независимость его основной идеи от использования отображения F: О (6) - - dHG, построенного в теореме 5.78.

Это обобщение тесно связано с понятием максимальных шаровых областей во множестве разрывности й(6) (см. §6 гл. 5) и близко к методу Кобаяси введения биголоморфно инвариантной метрики на комплексном многообразии (ср. Ройден [1] и Фран- цони —Везентини [1]).

Для точного определения указанной конформно-инвариантной метрики, которую мы называем конформной метрикой Кобаяси, мы зафиксируем некоторое n-мерное многообразие/орбифолд М с униформизируемой конформной структурой, накрываемое неко-

торой областью й конформной сферы S" (= образ М при отображении развертки d, d: M-»-Sn). Иными словами, для некоторой клейновой группы GcMob(zz), являющейся группой голономии для М, область й есть инвариантная компонента множества разрывности й (Gj и Л4 = Q/G.

Рассмотрим две произвольные фиксированные точки х, у£М и рассмотрим какую-либо «конформную цепь», соединяющую в М точки х и у, т. е. рассмотрим набор, состоящий из некоторого четного числа 2fe точек z^ z(, . . ., zk, z'k единичного шара В == -- Вп (0, 1) и к конформных отображений Д< В- .В,сМ таких, ЧТО fT(Z1) = x, f^z'^f^^z^^ для / = 1, /.., к—\ и /B(zi) = y (/,■ поднимаются до вложений шаров в область Q).

В силу связности .И и униформизируемости конформной структуры на М такие конформные цепи всегда существуют для достаточно больших k. Поэтому мы можем определить конформную (псевдо)метрику Кобаяси на М следующим образом: ■

, к

. Рм (X, у) = inf 2 (Z/, ?;), (8.31)

где инфимум берется по всем конформным цепям в М, соединяющим точки х и у, a d (*, *) — гиперболическая метрика Пуанкаре в единичном шаре В = В"(0, 1).

Введенная функция р^: МхМ ■ R+ обладает всеми свойствами псевдометрики и будет метрикой, если еще известно, что при х ф у всегда рЛ1 (х, у) > 0. Из ее определения непосредственно вытекают следующие

Свойства конформной метрики Кобаяси:

Если М'—другое конформное многообразие, то всякое конформное отображение f: М —* М' не увеличивает метрики Кобаяси:

Pm'^W, /(у)Хрм(х, у). (8.32)

В частности, метрика Кобаяси инвариантна при конформных гомеоморфизмах, и если М'сМ, то 1

Рм(х, у)<Рлг(х» у).

В силу (8.31), (8.32) и униформизируемости конформной структуры многообразия М эта структура индуцируется метрикой Кобаяси pM. В частности, если эта структура является гиперболической структурой, то метрика Кобаяси на М совпадает с исходной гиперболической метрикой на М.

рЛ1 является наибольшей из псевдометрик р(*, *) на М, для которых имеет место свойство конформной сжимаемости: p(f(x), /(y))^d(x, у) при всех конформных отображениях Л В-^М; х, у ЕВ.

Б !'. Апачасов

■ 4. Еслил: М —* М — конформное накрытие, то.

‘ s 'Рл1(^, У) = 1^Ра(^. У).. (8-33)

где при каждом фиксированном х^лДх) нижняя грань берется по всем точкам у g л-1 (у).

Последнее свойство, получающееся поднятием конформных цепей с М на М, показывает связь метрики Кобаяси р^ на М и метрики Кобаяси Pq в накрывающей области QczSn. При этом последняя метрика Pq получается в результате проекции на область Q путевой метрики на границе оболочки Нильсена границы 5Q в («+1)-мерном гиперболическом пространстве Нп+1, dHn+1 = Sn. Эта проекция основывается на свойствах максимальных шаровых областей в множестве разрывности группы голономии многообразия М и ее частный случай описывается в следствии 5.80.'

Следует отметить, что описанный подход к введению конформной метрики можно распространить и на многообразия с неуниформизируемыми конформными структурами (сообщено автору в октябре 1989 г. Рави Кулкарни; будет опубликовано в совместной работе Р. Кулкарни и У. Пинкала с использованием понятия максимальных шаров в несколько более слабой формулировке, чем в §6 гл. 5). Более того, получающаяся при этом метрика Кобаяси рл1 во всех случаях является гладкой (класса С1) и поэтому для нее можно рассмотреть дифференциальную форму рл, (х, £), определенную на касательном расслоении л: Т (М) -- Л4 над многообразием М, т. е. являющуюся функцией точки х^М и касательного вектора £ g Тх (Л4) = л-1 (х) со значениями в /?+и{0}. При этом конформная метрика Кобаяси оказывается внутренней метрикой, т. е. восстанавливается по своей дифференциальной форме. Более точно это означает следующее.

Дифференциальная метрика Кобаяси рЛ1 (х, £) многообразия М может быть определена равенством:

f

/: 5n(0, 1) ^ УИ конформно, /(0) = х, Df (0) t = 5}. (8.34)

(Если здесь не требовать нормировки /(0) = х, то |/| необходимо заменить гиперболической длиной вектора Л т- е- IHHw. в указанных внизу точках.)

Внутреннее свойство метрики Кобаяси р^ (*, *) выражается в том, что для всех х, у € М

1

Рм(х, y) = inf 5 Рм(т(0. W^dt, :(8.35)

V о-

где инфимум берется по всем кусочно С^гладким кривым у, у: 1 [0, 1]о»А4, соединяющим точки х и у.

Интересно, что в каждом классе конформных метрик на ' замкнутом гиперболическом многообразии М = Hn]V, /г ^ 3, с нулевым тензором Вейля существует метрика постоянной скаляр- ной кривизны, единственная с точностью до скалярного множителя (см. Джонсон — Миллсон [1, Теорема 8.1]). Какая кривизна отвечает метрике Кобаяси и как эта кривизна изменяется при приближении конформной структуры на М к границе пространства 4g (М) униформизируемых конформных структур?

■ 11*

Г Л А В A 9

ПРОСТРАНСТВА ДЕФОРМАЦИЙ ГРУПП И СТРУКТУР

v vА. - >'vj v;,

дЩ‘>Ц'I: -ЧгИ

Ажй.Д ‘л нг ■ : ’ -, 7'’ч -• ■. ^ . /--■щ-4, tb.nqj /

■ wv114 , ■ - 'j■

"§ 1. Деформации локально однородных структур Л

Пусть М — гладкое n-мерное многообразие/орбифолд, на котором задана локально однородная структура, моделируемая однородным пространством X — G/H. Иными словами, на .И задана (X, С)-структура s, определенная некоторым максимальным (X, 6)-атласом (см. гл. 2). Под отмеченной (X, С)-структурой на М понимается класс эквивалентных (X, О)-структур на /Й, где две структуры st и $2 называем эквивалентными, если существует (X, G)-диффеоморфизм /: (М, 5г)-^(М, s.,), свободно гомотопный тождественному отображению. Пространство <У’(Л1) = = if (М; X) отмеченных (G, Х)-структур на М . накрывается пространством S^M) разверток d: М X, снабженным (метри- зуемой) топологией равномерной сходимости разверток на компактах (см. Тёрстон [1], Лок [1]).

В частности, если X = Нп — гиперболическое пространство, а G = Isom Нп ^ SO (п, 1) —его группа изометрий, то таким образом получаем определение пространства 3" (М) отмеченных гиперболических структур на М. Если X есть конформная сфера Sn = Rn с мёбиусовой группой G = Mob (n) ^ SO (п + 1, 1), то <У(М; X) есть пространство % (М) отмеченных конформных структур на М, п^З.

В этой главе нас в основном будет интересовать вопрос —■ насколько однозначно определяются отмеченная (X, С)-структу- ра, в частности, гиперболическая или конформная структуры на орбифолде М? Для более ясного представления остановимся кратко на случае деформаций конформной структуры замкнутой римановой поверхности рода р > 1 (подробнее см., например, Берс [4 — 6] или Крушкаль, Апанасов, Гусевский [3]).

Пространство Тейхмюллера римановой поверхности. Как уже говорилось в гл. 8, каждая конформная структура на поверхности S рода р > 1 задается гиперболической метрикой и, как заметил еще Риман в своем мемуаре «Теория абелевых функций» (1857 г.), классы ее конформной эквивалентности зависят от Зр—3 комплексных параметров (модулей). Вопрос об изучении многообразия этих параметров, его структуры, известен под названием проблемы модулей и для п = 2 получил в последнее время достаточно полное решение. Еще классиками было заме-

§ 1. ДЕФОРМАЦИИ ЛОКАЛЬНО ОДНОРОДНЫХ СТРУКТУР 325 чено, что решение проблемы упрощается, если конформную эквивалентность заменить более слабой, наложив некоторые топологические ограничения, например, фиксируя образующие фундаментальной группы. Это приводит к разветвленному накрытию пространства римановых поверхностей, которое удается описать с помощью квазиконформных отображений. Программа исследований в этом направлении была намечена в работах О. Тейх- мюллера.

Итак, рассмотрим отмеченную замкнутую риманову поверхность S рода р> 1, т. е. пару (S, 2), где

•2 = {tz,, bv, ..., a ycnJS), П [а,, 6,] = 1,(9.1)

— выделенная система образующих nt(S) с точностью до внутреннего автоморфизма л^З). Так как гомотопность двух гомеоморфизмов S —• S' эквивалентна совпадению соответствующих изоморфизмов Л! (S) —* nt (S') (с точностью до внутренних автоморфизмов фундаментальных групп), то рассмотрение гомеоморфизмов отмеченных римановых поверхностей (S, 2) —* (S', 2') равносильно фиксации гомотопического класса гомеоморфизмов S-- S'.

Более того, любые две отмеченные поверхности одного рода гомеоморфны и даже квазиконформно эквивалентны. Это следует из топологической эквивалентности замкнутых поверхностей одного рода и теоремы Нильсена, утверждающей, что всякий автоморфизм фундаментальной группы лх(3) замкнутой поверхности S реализуется геометрически, т. е. индуцируется некоторым топологическим автоморфизмом S, определенным с точностью до гомотопии; имея же гомеоморфизм /: S- S', можно построить гомотопный ему квазиконформный гомеоморфизм (подробности см., например, в книге Крушкаля [1, гл. I, § 6]). Эта конструкция обобщается на произвольные поверхности конечного типа, т. е. получающиеся из замкнутых удалением конечного числа точек.

Если теперь даны гомеоморфизмы ^г S —* Sv и /.,: S—-S2, то они считаются эквивалентными, если fj^1 гомотопен конформному отображению h: S1->S?. Переходя к универсальным накрывающим этих поверхностей (можно взять единичный круг (/), получаем, что ft и f2 поднимаются до автоморфизмов /, и /2 круга U так, что диаграммай;

'-и—— - Б" ' Vi; 1•"

: л II л.’ ^ЦЬ,Г .

коммутативна (и аналогичная для /2); при этом К и /2 совпадают на границе (окружности) dU.'

■ Множество классов эквивалентности [S], отмеченных поверхностей рода р с п проколами или, что то же самое, соответствующих классов эквивалентности [/] квазиконформных гомеоморфизмов, образует пространство Тейхмюллера Т (S) поверхности S. На нем можно ввести метрику

^(L/l, inf In^^of-i). (9.2) 2 fe[f]. Пе[Л]

Если взять вместо S другую отмеченную поверхность Sn то получим изометрию пространства Т (Sj) — • Т (S) по формуле [/o/i]-[/|, где /i — гомеоморфизм 5,-Л. Поэтому говорят об одном пространстве Т {р, п) (классов эквивалентности) поверхностей типа {р, п), в котором изометрии [/ ° Л] - [f] порождают так называемую модулярную группу Mod Т {р, п) пространства Т {р, п), действующую там разрывно. При этом пространство R{p, п) самих римановых поверхностей получается как фактор

Т {р, n)/Mod 7 (/?, п).

Основным здесь является результат Альфорса [1] и Берса [1], решающий проблему модулей — это возможность ввести на пространстве Т {р, п) {является клеткой вещественной размерности йр — 6 + 2п) комплексную аналитическую структуру. Причем структура, согласованная с метрикой (9.2), единственна. Изучение этих вопросов тесно связано с общей теорией униформиза- ции римановых поверхностей.

Устойчивые представления и теорема о голономии. В размерности п^З основным инструментом изучения (X, б)-струк- тур на М, dim М = п, становится развертывающее отображение {развертка) d: М - X (есть непрерывное продолжение координатных карт на М вдоль элементов л^М) (см. гл. 2)), индуцирующее представление (= гомоморфизм голономии, = голономию)

dp G{M, M)^^)--G . (9.3) и, тем самым, определяющее отображение *

hoi: <^ (М)Hom (л, (М), G)/G. . ■ (9.4)

Отображение hoi сопоставляет каждой структуре s£<if {М) класс представлений G-d*, где группа G действует на Нот(л1(Л4), G) сопряжением: gdp л^М)gden1{M)g-1, g^G. При этом считаем, что пространство представлений Hom^j, G) наделено обычной топологией алгебраической сходимости (см. § 5 гл. 6).

Однако голономия {X, О)-структуру определяет, вообще говоря, не однозначно. Так, например, два погружения кольца М в R\ одно из которых имеет самопересечение, определяют на М евклидовы структуры с тривиальными голономиями, не являющимися эквивалентными ни в каком разумном смысле. Более

содержательными являются конструкции Маскита [3] и Голдмана [4] конформных структур на гиперболическом многообразии М", п ^2, с той же (гиперболической)-голономией, но имеющих развертку на всю сферу Sn (ср. п. 3 § 5 гл. 8). Это показывает,, что необходимо изучать локальные свойства пространств ^ (/И), Фундаментальный результат в этом направлении дается следующей теоремой голономии Лока [1, теор. 1.11] (см. также Тёрстон [1, §5.2] и Голдман [1, § 2]):

Теорема 9.1. Отображение hoi в (9.4) есть открытое отображение, поднимающееся до локального гомеоморфизма

59 (М) Hom (nt (М), G).

К сожалению, hoi не является в общем случае локальным гомеоморфизмом. В частности, это так для пространства конформных структур ^ (М) некоторого замкнутого «-многообразия М, п —2т ^1^3, в окрестности его структуры с, для которой d (М) = Rn\Sn-\ В этом случае представление голономии d*: лх(Л4) - Mob («) не является устойчивым в следующем смысле.

Определение 9.2. Пусть Г — конечно порожденная группа и О — простая линейная алгебраическая группа (G— ее вещественные точки), определенная над R и действующая алгебраически на Нош (Г, О) при помощи сопряжения. Представление р С Нот (Г, 6) называют устойчивым, если орбита G-р замкнута в Нот (Г, О) и стабилизатор-подгруппа 2(р) представления р в группе О конечна. Устойчивое представление р называют хорошим, если Z (р) есть центр Zq группы G.

Следует заметить, что приводимость группы G влечет существование алгебраического многообразия X (Г, О), являющегося фактором пространства Нош (Г, G) по действию на нем сопряжением группы G (см. Ньюстед [1]). Однако это многообразие Х(Г, О) не изоморфно пространству орбит Нош (Г, G)/G. В частности, для квазифуксовых представлений фундаментальной группы Г - - лг (Л4) «-мерного замкнутого гиперболического многообразия М в группе SO («+1, 1) имеется следующая ситуация (см. Джонсон, Миллсон [1]):

Для четных п пространство Нош (Г, SO(«+1, 1))/SO(« + 1, 1) есть открытое подмножество вещественного алгебраического множества Х(Г, SO(n-r 1, 1))сХ(Г, SO(n+ 1, 1)). Для нечетных п этот результат не всегда имеет место: существует другая компонента вещественных точек в X (Г, SO^nyX, 1)), проходящая через униформизируемые представления р группы Г в SO(n, 1), соответствующие деформациям в группе SO(n, 2) представления р (с суперпозицией включения SO(n, l)czSO(n, 2), где 8О(п, 2) отождествляется с SO^nyX, 1) сопряжением диагональной матрицей.

Фактормногообразие X (Г, G) определяется следующим образом. Пусть {у!, . . ., ул.} — порождающие Г и пусть {/,, ..., /т —

множество порождающих алгебры инвариантных полиномов на ON, выбранные так, что /у принимают вещественные значения на GN. Тогда определено (не обязательно инъективное) отображение F; Нот (Г, GyG Ст такое, что

F (О • р) = (А (р (71), . . ., р (V.v)) ,...,/„ (р (Тг), • • •, Р (Ы)) - (9.5)

Тогда X (Г, (?) есть афинное многообразие, соответствующее кольцу G-инвариантных полиномов на Нот (Г, (?) (т. е. образ при отображении F, содержащийся в афинном многообразии, определяемом соотношениями на порождающих {уп . .., ^у} и соотношениями на {Л, ..., /,„}). X (Г, (?) определено над R. Множество Х(Г, (?) его вещественных точек есть образ при отображении F классов представлений, на которых {/j, . .., fm\ принимают вещественные значения.

Для устойчивых представлений рёНош(Г, (?) имеет место следующий критерий (Джонсон, Миллсон [1, теорема 1.1]):

Теорема 9.3. Представление pg Нот (Г, б) устойчиво, если и только если образ р (Г) не содержится ни в какой собственной комплексной параболической подгруппе группы G.

Здесь под комплексной параболической подгруппой Р полупростой группы Ли G понимается полный нормализатор некоторой параболической подалгебры, т. е. алгебры, комплексификация которой содержит максимальную разрешимую подалгебру (см. Варадараян [1]).

Обозначим через S = S (Г) множество всех устойчивых представлений р из Нот (Г, OY Это множество открыто в Нот (Г, (?) в топологии Зарисского (см. Ньюстед [1, предл. 3.8]) и обладает тем важным свойством, что отображение F из (9.5) индуцирует гомеоморфизм 5/(?сНот(Г, СУО на открытое подмножество аффинного многообразия X (Г, Оу При этом действия группы G на S и группы б на S П Нот (Г, б) допускает аналитические слои, проходящие через каждое представление р (Джонсон, Миллсон [1, теорема 1.2]); определение слоев для действия группы см. в работе Бореля и Валлаха [1, с. 277].

В дальнейшем нас будут интересовать так называемые квази- фуксовые представления, получающиеся следующим образом.

Пусть Г— группа без кручения, Я—некоторая классическая простая алгебраическая группа, определенная над R с вещественными точками Н и р0: Г Н—вложение, при котором р0Г есть равномерная дискретная подгруппа или решетка (жесткость которой в случае локальной неизоморфности Н группе PSL„(R) следует из теоремы Мостова [2] (ср. § 2)). Пусть имеем кроме того представление H G над R в другую алгебраическую группу G над R, при котором образ Н не содержится в собственной параболической подгруппе G (см. теорему 9.3). Тогда композиция этих представлений с р0 дает дискретные подгруппы в G, образуя пространство деформаций Нот (Г, ОУО. При этом оказывается

(см. также § 3), что это пространство —за исключением случая# когда группа У/ локально изоморфна SO(n, 1) или SU (п, 1)—• является вырожденным: G-орбита представления pg Нот (Г, G) открыта в Нот (Г, G) (см. Джонсон, Миллсон [1, теорема 1.3]).

Положим теперь H=SO(n, 1) и G = 8О(п-\, 1), где группа SO (п, 1) состоит из комплексных точек алгебраической rpynnti сохраняющих ориентацию изометрий квадратичной формы / на Cn+1, f (xn . . .,xn+i) = —Х1 + Х2+ • ■ -+х„+1. Тогда SO(n, 1)состоит из вещественных точек SO (п, 1). Вложение 80 (п, 1)с SO (n+1, 1) определяется стабилизатором-подгруппой последнего базисного вектора.

Определение 9.4. Представление р$Нот(Г, S0(n4-l, 1)) определяет группу рГ ст Isom hn+1, действующую и на абсолюте 8” гиперболического пространства Нп+1. Будем называть р фуксовым представлением, если оно сопряжено представлению

р0: Г —SO(n, l)cSO(n-i-l, 1). (9.6)

Квазифуксовыми называем представления р С Нот(Г,SO(n+1,1)), для которых действие группы рГ на сфере 8п — дНп+1 квазиконформносопряжено действию группы р0Г. Обозначим (/?„(Г) пространство всех квазифуксовых представлений в Нот (Г, SO (п+1, 1)), а через 7\(Г)— пространство классов сопряженности квазифуксовых представлений; Tn(V^ = Rn(V^lSO(n-V-\, 1).

Используя критерий устойчивости (теорема 9.3), а также некоторые результаты Дока [1], Джонсон и Миллсон [1] доказали следующие важные свойства пространств Rn (Г) и Тп (Г), которые мы сформулируем в следующем виде (см. также § 3):

Теорема 9.5. (1) Пространство Rn(E) открыто в Нот (Г, SO (п +1, 1)) и состоит из устойчивых представлений, являющихся хорошими, за исключением фуксовых (сопряженных р0).

Пространство Тп (Г) есть открытое подмножество вещественного квазиалгебраического множества, определяемого образом Нот (Г, SO (п 4-1, 1)) в X (Г, SO (п+1, 1)) при проекции л, индуцируемой отображением (9.5).

Т„(Г)\л(р0) есть открытое подмножество вещественного алгебраического множества X (Г, SO(n+l, 1)).

Если п четно, то Тп(Г) открыто в Х(Г, SO (п+1, 1)).

Заметим, что здесь под квазиалгебраическим подмножеством в Rm понимается подмножество, определяемое полиномиальными уравнениями и неравенствами. Для нечетного п утверждение (4) теоремы, как было отмечено выше, вообще говоря, неверно.

Инфинитезимальные деформации. Пусть80 G <У(М.^—некоторая (X, С)-структура на многообразии (орбифолде) М. Под локальной деформацией структуры зй понимается 1-параметрическое семейство $#€сУ(Л4), которое может быть описано как непрерывное семейство функций перехода <р,у: (— е, г) -»- G, удовлетворяющих для покрытия (1/Д на М условию коцикла—с точностью до

группы G (см. (2.И)): ,

^ij^ik = Ф/А-

При этом локальная деформация st тривиальна, если st задают (с точностью до (X, С)-диффеоморфизма (см. определение ^(М))) одну (X, С)-структуру.

Для изучения деформаций локально однородных отмеченных структур на М (в случае устойчивости их представления голономии Д С Нот (лх (Л4), G)) естественно переходить —в силу теоремы голономии —к деформациям представлений из

Нот (Г, G), Г = л1(Л4).

Определение 9.6. Пусть, как и в предыдущем пункте, Г •есть некоторая группа, G — группа Ли, а р0СНот(Г, G) —некоторый инъективный гомоморфизм с дискретным образом р0(Г). Деформацией представления р0 называем. отображение R; W

Нот (Г, G) окрестности W начала координат в R,n такое, что R (0) = р0, а для / G IT RR^ = pt есть инъективный гомоморфизм pf G Нот (Г, G) с дискретным образом, а отображение f>—>р#у дифференцируемо в W для каждого у^Г (или, если специально оговорено, непрерывно в №).

Две деформации R; ^-*Нот(Г, G) и R': IV" Нот (Г, G) называем эквивалентными, если существует диффеоморфизм ф: U7 - U7', ф(0)~ 0, и дифференцируемое отображение W : WG такие, что R' (ф (/)) = У (/), R (t). Здесь для h^G через h* обозначен внутренний автоморфизм группы G, а именно для всех gEG

h»: g^hgh-1. (9.7)

Деформация R называется тривиальной, если она эквивалентна постоянной деформации.

В случае когда группа Г есть дискретная подгруппа мёбиу- совой группы Mob (и) (или группы Isom Hn+1), мы будем рассматривать деформации, сохраняющие тип элементов (см. определение в § 4 гл. 7). Для этой цели мы можем рассматривать квазиконформные деформации R.

к именно семейство /у квазиконформных гомеоморфизмов сферы S" (или шара Нп + 1), согласованных с группой Г:

ftYft1 € Mob (п) для всех у £ ГсМбЬ (п), (9.8) определяет квазиконформную деформацию R для включения р0: Гс»МбЬ(п), где R(f) = р( = (/,)*.

Корректность этого определения показывают следующие два факта о квазиконформных отображениях.

Предложение 9.7 (Геринг [1], Вяйсяля [1], Решетняк [2]). Если последовательность К-квазиконформных гомеоморфизмов fp X -* Y; метрических пространств поточечно сходится к гомеоморфизму f: X -*¥, то / есть К-квазиконформное отображение.

Теорема 9.8 (Геринг [1], Решетник [1]). Если f: X^Y есть 1 -квазиконформный гомеоморфизм областей в Rn, п^З, то f является сужением мёбиусова отображения.

Для введения инфинитезимальных деформаций мы начнем с определения когомологий Эйленберга—Маклейна [1]. А именно, пусть У —векторное пространство и А: Г Aut V — некоторое представление. Тогда 1-коциклом на группе Г с коэффициентами в А называется отображение с: Г» Г такое, что для всех у, 6 Г имеет место

с(у6) = с(6) + А(6).с(у). (9.9)

Обозначим через 2*(Г, У) пространство 1-коциклов на Г со значениями в V. Элементы Z1 (Г, V) также называют скрещенными гомоморфизмами (со значениями в У). Если при этом для 1-коцикла с существует u£V такое, что для всех у£Г

с (у) = А (у)-и — и, (9.10)

то с называют 1-кограницей. Множество 1-кограниц обозначим В1 (Г, V).

Первая группа когомологий Элейленберга—Маклейна определяется равенством

Н1 (Г, V) = Z1 (Г, П/В1 (Г, V). (9.11) Подобным же образом определяются группы когомологий Нр (Г, V) для р>2 (см. Эйленберг, Маклейн [1]).

Пусть теперь имеется локальная деформация R : I -* Нош (Г, G) представления pg Нот (Г, G), где / — открытый интервал, содержащий 0 (см. определение 9.6); R(t)~ р(. Тогда, дифференцируя равенство р( (уб) = р( (у) • pf (6), получаем

4|,„.Р.(тб)-РГО-(4|,..Р-<6>) + (з-|,.Л'<т»)'Р<6)' <912> Это равенство имеет место в касательном пространстве к G в точке р(уб), причем точка в правой части обозначает соответственно левый и правый переносы. Так как каждый вектор на G можно единственным образом продолжить до левоинвариантного векторного поля на G, то мы можем определить, следуя А. Вейлю [1], элемент с (у) алгебры Ли $ группы G, являющийся продолжением касательного вектора -^ |< д р((у). Из (9.12) следует равенство

- c(y6) = c(6) + Adp(y).c(y), (9.13) определяющее скрещенный гомоморфизм c = cR: Г S, скрученный присоединенным эндоморфизмом Adp представления р. Если при этом R и R' являются сопряженными деформациями, то cR— CR* есть главный скрещенный гомоморфизм, т. е. 1-кограница. Это позволяет дать следующее определение (ср. (9.9) — (9.11)).

Определение 9.9. Инфинитезимальной деформацией представления p = R(0): Г^С называют элемент первой группы когомологий Н^уГ, 'бу

Рассмотрим случай G = Mdb(n) (или G=Isom Hn + 1) и определим этим путем инфинитезимальные деформации, соответствующие квазиконформной деформации дискретной подгруппы R(0)= = Гс:МбЬ (п — 1), т. е. деформации, задающейся семейством /, квазиконформных автоморфизмов сферы /?" (или гиперболического пространства Нп*ху согласованных с группой Г. Для этого введем некоторые определения.

Пусть F: Xxl^Rn, F(х, 0) = х, есть 1-параметрическое семейство почти всюду дифференцируемых гомеоморфизмов X с R» на некоторую область в R". Допустим еще, что отображение t^F^x, t^ft^x) дифференцируемо в 0 для почти всех х^Х и определим

= (9.14)

Тогда Цх, f)=x4-^(x)yo(f) и, если t (х) дифференцируемо почти всюду, то D^ (х, t^E-ф tD^ (х) + о (7) и производная по t при / = О для

|detD1F(x, t^V^-^F^x, ty^-DJ^x, /)

есть удвоенное значение для оператора '

S^ = l(^ + (DE)T)-ltr^£. '

Здесь через Ат обозначена транспонированная матрица А, через tr — функция следа, Е — единичная матрица. Оператор SE известен в механике под названием девиатора тензора скоростей деформации, а равенство 5^ = 0 известно как условие Лиувилля конформности F (х, 0) (см. Серрин [1, с. 30]); он рассматривался также Альфорсом [3, 5, 7] и Решетняком [3] как обобщение оператора производной по 2. Свойства оператора SE позволяют дать следующее определение (см., например, Альфорс [7]), где через ||Д|| обозначена норма (trАт• А)1'2 матрицы А.

Определение 9.10. К-квазиконформным векторным полем на области Xc^Rn называют непрерывное отображение £: X -* Rn с локально интегрируемыми обобщенными производными (^ С tt7] loc (X)) такое, что функция х*—> ||S^ (х)Ц принадлежит/^(Х) и почти всюду ||S^||-^X.

Роль этих полей видна из следующего результата Раймана [1] — Альфорса [5]—Семенова [1] (обобщение см. в работе Селезнева [1]), развитием которого является теорема 7.31 Раймана— Тёрстона.

Теорема 9.11. Пусть £ — К-квазиконформное векторное поле в R1 с компактным носителем. Тогда существует единственная

1 -параметрическая группа гомеоморфизмов ft, порожденная полем £ и удовлетворяющая равенству.

t-'

/((х):■ U(/;,(x))</s. ..

о

При этом гомеоморфизмы ft являются ек' ^-квазиконформными.

Допустим теперь, что семейство F(x, /) = /Дх) квазиконформных гомеоморфизмов (п + 1)-мерного шара Нп + 1 согласовано с дискретной группой Г с Mob (п) и определяет деформацию R-.

Группа Mob (п) действуете Нп + 1 как группа изометрий и поэтому можно определить ее действие на множестве непрерывных векторных полей ц в Нп + 1 по правилу

Y • Л (х) = Пч (у-1 (х)) • л (у~1 (х)).(9.15)

Пусть теперь векторное поле £ в Нп + 1 задано в (9.14) по семейству (/у). Обозначим через 9Л„ и <§и + 1 изоморфные алгебры Ли соответственно группы мёбиусовых автоморфизмов сферы R*1 и группы Isom№ + 1 изометрий гиперболического пространства. Тогда согласованность семейства {^} с группой Г влечет, что векторное поле с (у) такое, что для всех х^Нп+1

'Ш^-lW(9.16)

согласовано с Г и определяет элемент с: Г^.^и+1 группы когомологий Н1 (Г, ^п+1) (и, следовательно, элемент //ДГ, 0J?n)). В самом деле (см. Коуроуниотис [1]), для всех у^Г, х^Н"*1 имеем

С (?) (х) = £ (X) - у • 5 (х) = 5 (х) - Пу (у-1 (х)). 5 (у-1 (X)) =

= D.2F(x, 0)-£ + D1F(x, ОДПу^-Дх))^—£)2F(y-1(x), 0)-£) = = ^ l^g^Y0/?10?-1) (х) и, таким образом, с (у) есть инфинитезимальная изометрия пространства Нп*х.

Как было отмечено в п. 2, отображение hoi: <У (JW^-*

Hom (Kj (Л4), G)/G не является, вообще говоря, локальным гомеоморфизмом. Однако для (X, С)-структуры s € ^(ЛТ), образ которой р С hoi (s) является устойчивым представлением, существуют окрестность U c^af ^М^ структуры s, окрестность Ус с: Нот (лх (Л4), G)/G представления р, а также конечные стабилизатор-подгруппы Нг и Н2 для s и р соответственно URcJR в естественном смысле), задающие конечные накрытия U и V ф^-СПН^ V = VJH^ окрестностей U и V, такие, что hoi поднимается до локального гомеоморфизма hoi: U V (Джонсон, Миллсон [1]). В частности, когда представление р хорошее (определение 9.2), то отображение hoi само является локальным гомеоморфизмом.

. В описанной ситуации инфинитезимальные деформации И (Г, ®) отождествляются с инфинитезимальными деформациями (X, Сестру ктур на М.

’ Однако естественно ожидать, что не всякой инфинитезимальной деформации будет соответствовать некоторая деформация представления pg Нот (Г, G)/G (или структуры s g if (Л4)), т. е. не всякая инфинитезимальная деформация интегрируема. Первым препятствием этого интегрирования является 2-группа когомологий Элейнберга — Маклейна И (Г, ®) (где ®— алгебра Ли группы G). Для точной формулировки этого факта определим (с помощью произведения Колмогорова—Александера (см. Дольд [1, § 8, гл. VII])) для любого элемента с g Z1 (Г, ®), задающего инфинитезимальную деформацию для кривой (р,) в Нот (Г, G), р0=р, следующий 2-коцикл ckjc g Z2 (Г, ®), определяющийся значениями на любых у, 6 g Г по формуле

cue (у, 6) = [с(у), Ad р (у)-с (6)],(9.17)

где справа [*, *] обозначает Ли-произведение в ®.

Тогда необходимое условие интегрируемости можно сформулировать в следующем виде (см. Джонсон, Миллсон [1, предложение 2.1]):

Предложение 9.12. Если cgZ^r, @) задает инфинитезимальную деформацию кривой (р() в Нош (Г, G)/G, то cxjc есть нулевой элемент второй группы когомологий Н2(Г, ®).

Указанное препятствие интегрирования в виде /72(Г, ®) является первым из бесконечной последовательности препятствий для существования деформации (р#), касательной к с. Их конструкция следует из общей теории деформаций Кодаиры—Спенсера. Мы вернемся к этим вопросам в п. 5 § 3 и при изучении пространства деформаций конформных и гиперболических структур, задающихся деформациями соответствующих дискретных мёбиусовых групп.

§ 2. Теоремы жесткости для полных

гиперболических структур и групп изометрий'

в котором фундаментальная группа лх (М) действует посредством голономии как дискретная группа, то эта теорема может быть переформулирована в следующем виде:

Теорема 9.14 (геометрический вариант). Если MY и М2,— полные гиперболические п-мерные, п ^ 3, многообразия (орбифолды), vol At, <оо, (=1, 2, то любой изоморфизм фундаментальных групп <р: Л! (АЦ) -» лг (At2) индуцируется единственной (с точностью до внутреннего автоморфизма') изометрией Мг Л42.

Учитывая то, что гиперболические многообразия имеют К (л, 1)-тип (так как универсально накрываются Нп), а для таких многообразий гомотопическая эквивалентность равносильна изоморфизму их фундаментальных групп, получаем

Следствие 9.15. Если Мг и М, — полные гиперболические п-мерные (п^2) многообразия, vol М, <оо, t = 1, 2, то они го- меоморфны тогда и только тогда, когда гомотопически эквивалентны.

Следствие 9.16. Если М — полное гиперболическое п-мер- ное (и^З) многообразие, volAt<oo, то группа внешних автоморфизмов Out (Hj (At)) = Aut (л! (Л4))/1пп (лх (At)) конечна и изоморфна группе изометрий М.

Замечание. В размерности п = 2 этот результат не верен: здесь Out лх (At) —всегда бесконечная группа.

Доказательство теоремы жесткости вначале было получено Мостовым [1] для изоморфизмов лх (А4Х)-^ лх (А42), задаваемых квазиконформными гомеоморфизмами. В случае некомпактных многообразий полное доказательство дал Прасад [1]. Приведенные формулировки теорем 9.13 и 9.14 (в виде обобщений на локально симметрические пространства) были доказаны Мостовым [2]; для замкнутых многообразий доказательство их также было получено Маргулисом [1]. Кроме указанных доказательств имеются геометрические доказательства теоремы о жесткости, принадлежащие Громову и Тёрстону [1], а также доказательства, основанные на изучении действия фундаментальной группы (посредством голономии) на абсолюте гиперболического пространства, совпадающем с ее предельным множеством (см. Сулливан [1], Тукия [7, 8]). Иной характер носит теорема супержесткости Маргулиса [4] (см. также ее изложение в книге Циммера [1]) для решеток в полупростой группе Ли.

Однако, как будет показано ниже, класс гиперболических многообразий, для которых выполняется теорема жесткости, состоит не только из многообразий (орбифолдов) конечного объема, т. е. многообразий, имеющих геометрически конечную структуру.

Для более ясного понимания существа этой теоремы проанализируем основные этапы ее доказательства (независимые от его вариантов). Перед этим дадим несколько определений.

Определение 9.17. Непрерывное отображение ф. X X' метрических пространств (X, d) и (X', d') называют псевдоизо-

метрией, если существуют положительные постоянные Сг и С2 такие, что

d' (/(х), / (у)) < C\d (х, у} для всех х, у^Х; g 18) d'(/(x), Hy)^^d(x, у^С^ для всех х, у£Х, d(x, у^^С^.

Заметим, что квазиконформный гомеоморфизм является частным случаем псевдоизометрии гиперболического пространства Нп, п^З.

Пусть теперь задан изоморфизм фундаментальных групп лх (Ad) Hi (Л4'), индуцированный псевдоизометрией. Не оговаривая, какова эта псевдоизометрия, дадим следующее определение жесткости деформаций.

Определение 9.18. Полный гиперболический п-мерный орбифолд M = HnlG, G cz Isom Нп, называют жестким в смысле Мостова, если всякая псевдоизометрия между М и другим полным гиперболическим орбифолдом М' гомотопна изометрии.

Определение 9.19. Дискретную группу G изометрий Нп называют жесткой в смысле Мостова, если всякий ее изоморфизм на дискретную группу G' изометрий Нп, индуцированный псевдоизометрией Нп, является внутренним в группе Isom Нп изометрий №.

Анализируя теперь доказательство теоремы жесткости, заметим сначала, что так как полные гиперболические многообразия являются /((л, \у многообразиями (л, (А4) = 0, г^2),то изоморфизм лх (А4) —лх (АГ) индуцируется гомотопической эквивалентностью, т. е. существуют непрерывные отображения Д: М М' и Д: М' - М такие, что ДД и ДД гомотопны тождественным отображениям. От отображений Д можно перейти к их поднятиям у на универсальную накрывающую Нп, обладающим этим же свойством.

Первый шаг в доказательстве теорем 9.13 и 9.14 заключается в том, что отображения Д и Д, индуцирующие изоморфизм групп, могут быть выбраны псевдоизометриями.

Второй шаг заключается в возможности продолжения псевдоизометрий Д: Нп—* Нп на бесконечно удаленную сферу S"-1 = = дНп. Этот глубокий результат получен в общем случае Ефремовичем и Тихомировой [1]. При этом продолженные отображения являются на сфере дНп квазиконформными гомеоморфизмами (Геринг [1, 2]).

Третий шаг заключается в доказательстве того, что для дискретных групп Г изометрий Нп, имеющих фундаментальные полиэдры конечного объема, существует только одна измеримая конформная структура на сфере дНп (с точностью до множества меры 0), инвариантная относительно группы Г.

Четвертый (последний) шаг доказательства дает тот факт, что квазиконформный автоморфизм сферы S0-1, имеющий коэффициент искажения почти всюду равный единице, является

мёбиусовым отображением. Доказательство этого факта дает в окон нательном виде теорема Решетника [1, 3] (см. теорему 9.8).

Гиперболические структуры бесконечного объема. Анализируя эту схему доказательства, Мостов [2] (и независимо Крушкаль [3—5] из других соображений (см. Крушкаль [2])) высказали гипотезу о возможности расширения этого результата на весь класс гиперболических многообразий М без края (независимо от их объема), или, что эквивалентно, на класс дискретных групп изометрий Нп, действующих на дНп неразрывно (d//n = A(G)). Естественно, что основным при этом является возможность расширения свойства, сформулированного выше на третьем шаге: единственность конформной структуры на дНп.

Как показывает следующий результат (Ананасов [7, 11]), этот вопрос в общем случае решается отрицательно.

Теорема 9.20. Класс дискретных групп изометрий п-мерного гиперболического пространства Нп, п^З, имеющих дНп своим предельным множеством, не обладает свойством жесткости деформаций.

Для доказательства нам достаточно построить группу G из указанного класса и ее нетривиальную квазиконформную деформацию (/,), t € I, т. е. семейство квазиконформных автоморфизмов /f пространства Нп таких, что группы Gt = ^tG^ix с Isom Нп и G не сопряжены в группе изометрий Нп. Перейдем к такому построению. Пусть

'Ы< 1/2}(9.19)

— единичный куб в Rnl и {йм} — возрастающая последовательность нечетных целых чисел. Разобьем Q на й?-1 равных кубов Qu и выбросим внутренность центрального куба. Аналогично, на втором шаге разобьем каждый из оставшихся кубов Q1Z на ^-1 равных кубов Qy- и выбросим внутренность центральных кубов. Продолжая этот процесс неограниченно и выбирая надлежащим образом числа кт (например, кт = 3”), можно сделать (п — 1)-мерную меру Лебега тп-1 (К) остающегося в пределе континуума К в кубе (7.42) произвольным числом, лежащим между 0 и 1 (см., например, Хаусдорф [1]).

Рассмотрим множество Ах — проекцию множества А = Q\K на первую координатную ось и зададим отображение /(: QxR —* Rn, t > 0, по формулам . ./t(^i,*П) = (Ы*1), ^, хп\

, х С , х(9.20)

^t(^i)=) ^t{y)dy,• v ’

где измеримая функция ^t^ имеет вид

Д .| 1, если yGi^G

<_;; чМ = \ t> если [—1/2, i/2]\Ax.(9,21^

Очевидно, что отображение ft является квазиконформным (его коэффициент квазиконформности равен t при 1^1 и 1//при0< < /^ 1) и переводит QxR в «.брус»

QtlxR=MQxR) =

= {x£Rn: IxjKG/2, I Xj | ^ 1/2, i#l, n}, (9.22)

получаемый из QxR растяжением по оси ReT в G раз (величина tT зависит только от /, G = 1 только при /= 1). При этом грани QxR переходят в грани (9.22), а на множестве А хR отображе

ние ft из (9.20) конформно (сдвиг на вектор, длина которого зависит от компоненты Q^ с: А (рис. 78).

Для построения дискретных групп G и Gt из нашего класса рассмотрим какую-либо систему {В,} замкнутых непересекающихся n-мерных шаров в R*1 с центрами в R"-1, В; П Rn-1c А, плотно покрывающих множество А. Это семейство {В,} перейдет при отображении ft в семейство шаров {В-} с аналогичными свойствами. Определим теперь группы Г и Г( как подгруппы индекса 2 в группах отражений относительно сфер Si = dBi и, соответственно, 5- = дВ-. Определим еще свободные абелевы группы Н и Ht ранга п— 1, образующими которых являются переносы на координатные векторы еъ е2, .. ., е„_1, соответственно, на векторы txex, е2, . .., en_v Тогда группы G и Gt с Isom Нп из нашего класса определяются как свободные произведения

С = Г*В, Gt = rt*Ht.(9.23)

Из построения видно, что группы G и Gt дискретны, действуют в Rf ^ Нп как группы гиперболических изометрий и Rn~1 = дНп = = A(G) = A(Gt). Кроме того, из (9.23) следует, что в качестве фундаментальных полиэдров Р (G) и Р (Gt) с Rn можно взять

P(G) = (QX/?)\UBZ, P(Ga = (Q,,x/?)\UB[.(9.24)

При этом, очевидно, отображение ft переводит Р (G) в Р(О^ с соответствием всех граней. Продолжим ft до отображения Ф^

R"-*Rn (учитывая устранимость Rn *) по правилу 1 *

Ф#(^) = /#М Для хЕР (G),

gEG, gtEGb

где gt соответствует g при изоморфизме G Gt. Отображение Ot очевидно является /-квазиконформным при / ^ 1 (и 1//-квазиконформным при 0</^1) и, в силу (9.25), согласовано с действием группы G: Gt = Ф,СФ<-1 с с^п. Таким образом, имеем семейство квазиконформных гомеоморфизмов, задающее деформацию Ф группы G (как группы изометрий гиперболического пространства Hn^R* или как подгруппы мёбиусовой группы с^п). Нетриви- альность деформации Ф следует из рассмотрения ее действия на предельном множестве группы G. А именно, пусть gEG— любой локсодромический элемент группы, чьи неподвижные точки х и у имеют не равные друг другу первые координаты: xx^byv Тогда при изоморфизме С^С^Ф^Ф^1 элементу g отвечает локсодромический элемент §'< = Ф,5Ф<"1 с изометрическими сферами того же, что и у g радиуса и с неподвижными точками х1 и у1, где х- = х,-, у\ — у1 для /^1 и | %1 — уг | Г : | х{ — у{ | — в зависимости от того, меньше / или больше 1. Этот факт влечет, что величины гиперболических переносов g и gt = ф^ф^1 различны при /#=1. При тривиальной же деформации длина гиперболического переноса есть инвариант. Это заканчивает доказательство нетривиаль- ности квазиконформной деформации (Ф,) группы G и, тем самым, доказательство теоремы.

Замечание 9.21. В наших рассуждениях основную роль играло то свойство, что (п — \у мерная мера множества предельных вершин тп_г (Р (G) П Т?"-1) полиэдра Р (G) положительна. Как мы увидим дальше, это является определяющим свойством нежестких групп в Нп, п^З.

Замечание 9.22. Из теоремы 9.20 следует простое решение (см. Апанасов [11]) другой задачи, поставленной Берсом [6] и Крушкалем [3—5]: могут ли существовать при т^ (A (G)) > > 0 G-дифференциалы Бельтрами ц (z) dzjdz с носителями еХфусС или всякая квазиконформная деформация клейновой группы G а у№г должна быть конформной на A (G) (ср. п. 3 этого параграфа).

Для положительного ответа на этот вопрос для клейновых групп G с: Mob (п—1), п^З (и, в частности, для групп на плоскости), достаточно взять клейнову группу Go с: a4tn_x и квазиконформные отображения Ф": Rn-X Rn~x, tER+, получающиеся из группы G и отображения Ф( в доказательстве теоремы 9.20 следующим образом. В определении группы G (и отображений Ф#) исключим из системы шаров {В,} некоторое подмножество {В^}. Построенные после этого группу и ее квазиконформную деформацию обозначим Go и Ф#. Тогда семейство квазиконформных

340 ГЛ. 9 пгое№ЛЫ№К'Д1МОТ^

отображений '1'

Ф; = Ф,|^-,: R""^>^(9.26)

согласовано с действием группы Go с e//„_i, являющегося сужением на Rnl действия группы G„ с: о<п. Из этого построения легко видно, что Go — клейнова группа на (и — 1)-мерной плоскости, а Ф”, t^R-, задает ее нетривиальную квазиконформную деформацию, конформную на всем множестве разрывности Q (Go) с: Rn l группы Go.

В частности, если п = 3, получаем клейнову группу Go с: е^2 на комплексной плоскости С и ее нетривиальную деформацию, задающуюся семейством квазиконформных отображений Ф^, t £R_. Характеристикам u^z) отображений Ф” отвечают дифференциалы Бельтрами р/ (z) dz/dz (инвариантные относительно Сф, носители которых содержатся в X (Оф, т, (Л (Go)) > 0.. .

Заметим, что и в этом эффекте определяющую роль играет тот факт, что тп_г (Л (Go) А Р (Go)) > 0 для группы Go с e^-j и ее фундаментального полиэдра Р (Go) с Н".

Перейдем теперь от общего класса полных гиперболических многообразий без края, фундаментальные группы которых действуют неразрывно на дНп, к многообразиям М, чьи фундаментальные группы (через голономию d*( имеют в Нп фундаментальный полиэдр с множеством предельных вершин на дНп нулевой (п — 1)- мерной сферической меры Лебега.

Если обозначить М(г) = (х^М: d(x, 0)^г}, а через D (г) с с№ —шар радиуса г > 0, то из теоремы 6.69 мы видим, что класс таких многообразий характеризуется любым из следующих условий:

Um vol М (r)/vol D (г) = 0;

действие G = d„ (лт (М)) на сфере дНп консервативно;

орисферическое предельное множество группы G = d* (лх (Ad)) имеет на дНп полную меру.

Используя свое описание действия дискретной группы изометрий Нп на дНп (консервативность и диссипативность (см. § 6 гл. 6)), Сулливан [1] дал замечательно полное решение проблемы жесткости в описанном классе многообразий. Объединение его результата с теоремой 9.20 дает полную картину в общем случае (A(G) = d//«).

Теорема 9.23. Пусть М — полное гиперболическое п-много- образие, п^З, удовлетворяющее одному из эквивалентных условий:

фундаментальный полиэдр дискретной группы G=dt(n1(M))cz с: Isom№ имеет нулевую меру на дНп;

действие группы G на сфере дНп консервативно;

lim vol AT (r)/vol £> (г) = 0;

Г -* 00

s 4) орисферическое предельное множество Лл (G) имеет полную меру. Тогда М и G являются жесткими в смысле Мостова.

Замечание 9.24. Условие п^2 существенно, так как квазиконформные автоморфизмы Н2 могут не продолжаться до абсолютно непрерывных гомеоморфизмов S1 = dH2. Это влечет отсутствие жесткости деформаций при п = 2, что доказывается построением ограниченных G-автоморфных функций на Н2. Такие построения проведены в начале века В. В. Голубевым [1, с. 322—351, 401—403] для групп G с Isom И2, у которых множество Р* = Р (G) П П с И- предельных вершин фундаментального многоугольника Р •обладает одним из свойств: 1) pt (Р*) > 0; 2) Р* континуально и Ut (Р*) = 0; 3) Р* счетно.

Доказательство теоремы 9.23 получается заменой третьего шага В доказательстве теоремы Мостова на следующее утверждение.

Теорема 9.25. Пусть v — измеримая конформная структура на 8п, инвариантная почти всюду относительно дискретной группы G с Mob (м), и ^2. Тогда почти всюду на консервативной части действия группы v совпадает со стандартной конформной структурой .

Доказательство Салливана [1] этого факта при п = 2 основано на отсутствии измеримого, почти всюду G-инвариантного векторного поля на консервативной части действия G на сфере S2. Здесь же он заметил, что при сравнении конформной структуры v на 5", п^З, со стандартной возникает (почти всюду) поле определяемых с точностью до растяжений эллипсоидов. Поэтому теорема 9.25 при п^З сводится к следующему утверждению:

Теорема 9.26. Пусть Ga Mob (n), n^2,—дискретная группа. Тогда на консервативной части действия G на S" не существует измеримого касательного поля k-мерных плоскостей, 1 ^ ^ ^ п — 1, G-инвариантного почти всюду.

Доказательство теоремы 9.26 разбивается на два этапа, случай бесконечного телесного угла 2/-" G-орбиты шара в Нп*х в и случай 2^" < 00 —см- лемму 6.50.

В первом случае, 2 / - " — °°, доказательство следует из утвер- G

ждения Салливана [1] о эргодичности действия G на геодезических в Нп + 1 (теорема 6.51): если для измеримой функции ф (х, у) на S" х S" для всех g^G Ц'(х, у) — <f (g (х), g (z/)), то ф почти всюду постоянна. В самом деле, если на консервативной части на S" существует поле касательных k-плоскостей, почти всюду G-инвариантное, то для почти всех пар точек сферы 8” имеется измеримая функция, которая измеряет углы между соответствующими ^-плоскостями в этих двух точках (измерение происходит вдоль связывающей эти точки геодезической в Hn+1Y Эргодичность влечет, что эта функция почти всюду постоянна, и, следовательно, имеем

непрерывное касательное поле, являющееся G-инвариантным. Невозможность этого очевидна.

Во втором случае, 2 ^gn < 00, подробное в размерности п = 2 доказательство Салливана [1] имеет детали (лемма 6 о вариации logg'(z) Для z^A-C и g^G), непосредственно не переносящиеся на многомерный случай. Ниже мы приведем, следуя схеме Салливана [1], подробные аргументы и в пространственном случае.

Итак, пусть 2^- п < 00• Здесь, как и в § 6 гл. 6, предпола- G

гается разложение каждого ggMob(n) в суперпозицию гиперболического отображения с противоположными (полюсами S") неподвижными точками и ортогонального преобразования Sn. Тогда линейное растяжение dg отображения g в сферической метрике изменяется в промежутке [1/Х, X], где Х= Х£ ^ 1, и постоянно на концентрических (относительно неподвижных точек гиперболического отображения) сферах Sy-1 с Sn, параметризованных углом 6, 0^0^ л, где 6 = 0 отвечает точке, в которой dg = X.

Рассмотрим теперь достаточно большое к > 1 и для всех g^G, имеющих Х^/г2, определим шаровые слои Ag, состоящие из точек S", лежащих на сферах S^1 с параметром 0 из промежутка л/г/Х^ ^6^ л/г. Дополнение 5п\Лг распадается на две компоненты — меньшую Eg, где 0 ^0 ^ л/г/Х, и большую Cg, где л/г^0^л. Определим непрерывное кусочное приближение Dg линейного растяжения dg, положив

Г Х//г2,если x£Eg;’

■'D?(x) = < л2/Х02, если хСЛгп50-1;? (9.27)

’< • I /г2/Х, если x^Cg.

В дальнейшем некоторые измерения мы будем проводить и в евклидовом пространстве Rn. Покажем, что происходит для отображения у: xi—>Хх. Для этого перейдем от Rn = Rn U {оо} к сфере S" диаметра 1 (при помощи стереографической проекции). При этом на R" сферическая метрика задается в виде ds = = |dx|/(l + |х|2). Поэтому линейное растяжение dv(x) = X(l + |х|2)/ (1+|Хх|2). Области Е^ соответствует шар ^x£Rn-. | х | ^/г/Х}, где cL^x) изменяется в интервале

[Х(1 + /г2/Х)/(1 + £2), X] с X[1/(1 + ^2), 1].(9.28)

Область Cv имеет вид Cv={xgZ?n: 1//г^|х|}. Здесь d^^ изменяется в промежутке

[1/Х, Х(1 + 1//г2)/(1+Х2/г2)] с= 1/Х-[1, 1+/г2].(9.29)

В шаровом слое A т = {х С Rn: к/Х < | х | < 1//г} отношение d^x^D^x) =

= dv(x)A|x|2 изменяется в промежутке/А.

[|Хх|2/(1 + |U|2), Х(1 4 l/fe2)A|x|2/|U|2j с

с [1/(Н1А2), 1 + WL (9.30)

Из полученных оценок (9.28)—(9.30), переходя к угловому параметру 0 на сфере Sn, видим, что для Bcexg^G, имеющих к^к2, ■отношение dg (x)/Dg (х) равномерно ограничено в областях Eg и Cg, а в области Ag оно произвольно близко к 1 при достаточно больших к. Отсюда получаем, что существуют такие постоянные Ьк и ск, зависящие только от к, lirn ск — 1, что имеют место оценки

volS^^A", No\g^Cg^<bk[k", diam Ag <7 2Ck/k, diam g (A^ ^ %Ck!k.'

Последняя оценка в (9.31) следует из того, что сферы Sfj-1c Ag переходят при отображении g в сферы того же размера (с точностью до множителя, близкого к 1), что и сферы, отвечающие угловому параметру 01 = л2/Х.0. Так как nkfk^Q С лк для шарового слоя Ag, то 0! лежит в промежутке [л/г/Х, л//г], размер которого и определяет постоянную ск.

Пусть теперь К обозначает множество на Sn, где дискретная группа действует консервативно; для любого X а К, цп(Х)>0, существует бесконечно много элементов g С G таких, что рп (X П g (X)) > 0. Условимся также называть модулем концентрического шарового слоя логарифм отношения радиусов его граничных сфер. Тогда из вышесказанного вытекает

Лемма 9.27. Зафиксируем две положительные постоянные 6 и А и множество X с К, цп(Х) > 0. Тогда для дискретной группы G cz к\дМп), 2^-"А°о, существуют точка X, элемент g^G о

и концентрический шаровой слой А такие, что

1) х^ХиА, g(x)^X;

, 2) А и g{A) имеют диаметры меньше 6;

- 3) А и £(Л) имеют модули произвольно близкие к А;

линейное растяжение dg(x) постоянно на концентрических сферах слоя А и изменяется в А на величину, произвольно близкую к exp (2А).

Доказательство. Зафиксируем такое достаточно большое к, чтобы в (9.31) было ^ск1к < 5. Используя дискретность группы G, удалением конечного числа элементов G добьемся выполнения для оставшихся элементов неравенства к]к2 > еХ Из условия 2 ^п <

G

< оо и неравенств (9.31) видим, что удалив конечное число элементов G, можно добиться, чтобы 2V0H^ U £(С^)) для оставшихся элементов g^G была меньше /ип(Х). Поэтому, выбросив из X объединения Eg (J g (Cg), мы получим множество X', тп (X') > 0. Используя консервативность действия G на X', выберем элемент

£ С G из оставшихся (после конечного числа удалений элементов G) такой, что mn(g-1 (X') А X') > 0. Из предыдущего построения следует, что если точка х С g-1 (X') А X', то x^Ag. Из (9.30) видим, что линейное растяжение dg (х) изменяется в слое Ag в промежутке [/г2/Х, V^2]. который (в силу свойства >Jka>e^— после выбрасывания конечного подмножества G) содержит промежуток длиной ехр(2Д), содержащий dg(x). Пусть этот промежуток и определяет нужный шаровой слой Л с S", который тогда удовлетворяет свойствам 1) и 4). Из (9.31) и включения А с Ag следует выполнение для А свойства 2). Для доказательства свойства 3) заметим, что из (9.27) и (9.30) следует, что dg(x^ ведет себя на Ag (и, следовательно, на Л) как л2Д02. В то же время In dg (х) изменяется на А (с точностью до малых высшего порядка) на величину 2Д. Это влечет, что модуль слоя А близок к величине А = In О^ = — (In02/6i)/2. Так как слой g(A) ограничен сферами, имеющими размеры, определяемые параметрами гб^-и г62 для некоторого г, то его модуль равен

In гб^/гй., = 2Д - In 0,/Oi« А. (9.32)

Перейдем теперь от сферы S" к пространству Rn. Пусть здесь заданы множество В и его подмножество А, имеющие отношение объемов тп(Л)/тп(5) = т]. И пусть B' = g-(5), g^Mob(n). Тогда множество Л' —^(Л) содержится в В' в следующем соотношении

тп (g (А))/тп (g (В)) > г]' = 1 - d- (1 - т]), (9.33)

где d — максимальное отношение искажений объемов в различных точках из В (на самом деле, указанное свойство верно для произвольного абсолютно непрерывного по Лебегу отображения g: Rn — Rn). Это видно из следующего наблюдения. Будем считать, что т„(5) = 1, а искажение объемов меняется от 1 до d. Тогда наихудший случай будет при сохранении объема в точках множества А и изменения его в d раз в (В — Л). В этом случае

тп^(,A^imn(g (5)) = т]/(л + d(1 — л))> 1 ~ ^(1 — ц). (9-34)

Ясно, что из оценки (9.34) следует (9.33).

Определим «секторный слой размера X». Это множество Уд, получаемое пересечением шарового слоя, ограниченного сферами с общим центром pa^Rn и радиусами гй и г0-е\ с круговым конусом, вершина которого —точка р6, ось параллельна вектору Уо € R", а образующая имеет с у0 угол А/2.

Лемма 9.28. Пусть XczRn, m„ (X) > 0, и пусть заданы положительные числа ц и А. Тогда существуют 6>0 «Х'сХ, т„(Х')>0, такие, что каждый секторный слой Уд размера А., диаметра меньше 6 и содержащий точку из X', состоит не меньше чем на ц из точек X:

тп (Уд А Х)!тп (Уд) > ц. (9.35)

Доказательство леммы следует из общей теоремы Лебега, говорящей, что почти все точки множества положительной меры являются точками его плотности (см. Е. Стейн [1, § 2 гл. 1]) (здесь мы вместо стандартных шаров можем взять секторные слои Ед, так как все Уд получаются один из другого преобразованием подобия). В самом деле, для почти всех х^Х существует положительное максимальное число 6Х такое, что содержание X в секторных слоях Уд диаметров, не превосходящих 6Л., не меньше тр Тогда функция х*—>6Х есть измеримая положительная функция на X, которая для некоторого 6 > 0 будет превосходить 6 на множестве Х'^Х, тп(Х') > 0. Это доказывает (9.35) для точек х^Х'.

Продолжим (с учетом полученных утверждений) доказательство теоремы 9.26. Допустим, что на консервативной части К -R" существует поле 2 касательных /г-плоскостей, l^fe^C 5^п—1, инвариантное относительно G (почти всюду). Рассмотрим Хс.К, «„(Х) > 0, на котором это поле почти параллельно (с точностью до некоторого угла А). Зададим число т], 0 < т] < 1. Тогда по лемме 9.28 существуют 6t > 0 и подмножество Х'сХ положительной меры такие, что каждый секторный слой Уд размера А (диаметр Уд < 6J, содержащий какую-либо точку из X', состоит не меньше чем на т] из точек X, т. е. выполняется (9.35). Рассмотрим любую точку плотности в X' и рассмотрим стереографическую проекцию R" на сферу S" относительно этой точки. Обозначим через У пересечение X' с шаром В' с центром в этой точке и таким достаточно малым радиусом 62, что линейное растяжение этой стереографической проекции сколь угодно близко к 1 в шаре 2В'. Обозначим через 6 минимальное из чисел 6Х и 6.2.

Теперь для выбранных чисел А и 6 и множества YcKc:Sn, Ри (Е) > 0, найдем точку х, элемент g £ G и концентрический шаровой слой Лс:5” с центром в центре изометрической сферы 1(g), удовлетворяющие лемме 9.27. В слое А рассмотрим секторные слои Уд размера А, содержащие точку х. Так как диаметры Уд и £(Уд) меньше 6sC6i (следует из (9.31)), то по нашему построению имеем, что Уд и g(V\) имеют трпорцию множества X (x^V^cA, g (х) £ g (Уд)с^(Л), х и g(x) — точки X'). Из свойства 4) леммы 9.27 видим, что dg изменяется в Уд на величину, не превосходящую ехр(2А). Поэтому (9.34) дает, что множество точек у€Уд таких, что g(y)^X, содержится в Уд в следующей пропорции:

5МУдП£(Х))/иДУд)> < = 1-^(1-^(9.36)

Т4з (9.34) и (9.36) получаем

Рп (Уд П X П? 1 (^)).\

——’ ^ 1 _ [(1 _ П) + (1 _ Т])] > л-е2Д (1 —п), (9.37)

т. е. множество XHg^JQ дает по крайней мере порцию т]0 =

= т] — е-А(1—ц) секторного слоя Уд. Если теперь мы рассмотрим векторы, соединяющие центр Уд с точками из Xng-1(X), то вариация углов между этими векторами в любом направлении будет не меньше А-г)„. В самом деле, в худшем случае — при совпадении множества Уд f] X f] g"1 (X) с пересечением Уд с некоторым конусом У( раствора / с тем же, что и Уд центром, имеем

.... .//2А'2'

;■\ Sinn“2(pd(p ^ Т]о- \ sin"-2 ф t/ф, - ’:

vО0'

откуда следует, что /^ Д-цо"1 > А-Ло-

Итак, почти всюду G-инвариантное поле 5 касательных /г-пло- скостей параллельно с точностью до угла Д. Прямой подсчет, суть которого видна из рис. 7.9, показывает, что если у и ш— два параллельных направления в точках изометрической сферы / (^. видных из центра под углом а, то их образы 3 (и) и 3 (ш) имеют между собой угол 2а. Поэтому, если углы между плоскостями поля 5 изменялись в интервале от — а до —а + Д, то в поле g (2) они уже будут изменяться от 2Дц0— а до 2Дт]0—ц-- + Д, где а, О^а^Д, — некоторая нормировка. В то же время, в силу консервативности действия G на X, точки этого интервала не должны отходить от нуля на расстояние, превосходящее Д. Ясно, что это не бу

дет выполняться при числах т]0, близких к 1, которые достигаются при выборе чисел т], достаточно близких к 1.

Полученное противоречие доказывает теорему 9.26 и, вместе с ней, теоремы 9.25 и 9.23.

Жесткость многообразий с краем. Полученные выше теоремы жесткости гиперболических структур приводят к следующей естественной задаче.

Пусть М — п-мерный (п^З) конформный орбифолд с краем дМ, конформная структура которого на int М = М\дМ задается полной гиперболической метрикой (vol (int/И) = оо). Пусть, кроме того, имеется квазиконформное отображение f: М —* М' орби- фолда М на подобный орбифолд М', сужение которого на край дМ-^дМ' конформно. Будет ли существовать гиперболическая изометрия

F: int М —> int М', индуцирующая тот же изоморфизм F„ = f*: Л! (At) —- лх (/И') фундаментальных групп?

Эта задача является переформулировкой известной проблемы, поставленной в рамках теории деформаций клейновых групп Берсом [6] и Крушкалем [3—5] (ср. замечание 9.22).

В замечании 9.22 мы показали (модифицируя доказательство теоремы 9.20), что в общем случае полные гиперболические орби- фолды intVW, int Al' не изометричны. Однако случай многообразий с геометрически конечными структурами, разобранный в § 4 гл. 7 (теоремы Феншеля— Нильсена, Мардена, Тукия об изоморфизмах клейновых групп) и теорема 9.25 привели к следующему положительному решению (Апанасов [16]; ср. Салливан [1]) этой задачи.

Теорема 9.29. Пусть М и М' -п-мерные (п^З) конформные орбифолды с краем, конформные структуры на внутренности которых задаются полными гиперболическими метриками дм и дм-. Пусть f: ММ' — квазиконформное отображение, конформное на краю дМ. Если для некоторого (любого) е > 0 м для г-окрестности СесЛ4 минимального выпуклого ретракта C(M)czM (см. предложение 5.12) имеет место асимптотика

(9.38)(9.38)ljm У01{хССЁ: dM№, х)<г)

(9.38)

(9.38)

г-хв vo\(x£Hn: d(0,x)^r]’

то существует гиперболическая изометрия F: int/И —* int АГ, для которой F, = f,: л, (А1) —- лх (АГ). _

Доказательство. Рассматривая развертки d-. М —> R" и d': М' —* /?" и дискретные группы G = dt(nx (AI)), G'=d« (лх (АГ)) с с:Mob (п) из условий теоремы получаем, что группы G и G' можно рассматривать как группы изометрий гиперболического пространства Hn^R), действующие разрывно на R" (J 62 (6) = d (М) и на d(M) = Rn+ U 62 (G') соответственно. При этом квазиконформное отображение /: М —♦ М' поднимается до квазиконформного отображения /: R” -R", конформного на 62 (G)a/?n-1 и согласованного с группой G: }О'Г^С'. Пусть Р с R2 (J 62 (G) — фундаментальный (выпуклый в Н") полиэдр группы G. Докажем, что условие (9.38) эквивалентно условию равенства нулю (п—^-мерной сферической меры Лебега множества Р* = Р П A (G) предельных вершин полиэдра Р: pn_! (Р П A (G)) = 0.

Для этого напомним сначала тот факт (см. гл. 5), что минимальный выпуклый ретракт С(А1)сА1 получается G-отождествлением граней полиэдра Рн = Р П HG, где На<^Нп ^ R” есть выпуклая оболочка Нильсена предельного множества A(G).

Если теперь р„_1(Л*)>0, то почти все точки х^Р* являются точками плотности для Р*, т. е. если 5п-1(х, г) —шар на Rni с центром в точке х и радиусом г > 0, то имеет место равенство

lim = 1. (9.39) ; г_0 ^П-1(Вп Ч*. Г)), ' '

, । Зафиксируем теперь точку х0 € Рн, отвечающую начальной точке 0£С(Л4)сЛ4, фигурирующей в (9.38). Тогда сферическая мера множества Р* равна телесному углу, под которым видно из точки х6 это множество. Отсюда и из (9.39) следует, что предел в (9.38) будет стремиться к мере p„_i(P*), которая по предположению положительна. Это противоречие доказывает, что pn-i(^*) = o.

Обратно, если р„_1(/)*)^ 0, то рассмотрим телесный угол о) (г) той части сферы радиуса г > 0 с центром в точке хй С Рщ которая лежит в пересечении UE (Ри) е-окрестности полиэдра Ри с полиэдром Р. Тогда из выпуклости полиэдра Рн и равенства р„_1(Р/гП nA(G)) = 0 следует, что при увеличении радиуса г значение угла со (г) убывает и стремится к нулю. Если через a„_i(r) обозначим гиперболическую площадь (п— 1)-мерной сферы радиуса г > 0^ то имеем равенства-

vol {х^С£: dM (0, x)<r} vol {х g U£ (Р fI) Г) Р- d (х0> х) ед г} ’ ■ vol{x£//": d (х0, x)<r}vol{x£//": d (х0, х)<г}

. гг

7(9.40)

оо

Отсюда и из того, что для любого 6 > 0 найдется г6 > 0, начиная с которого (для г ^ г6) телесный угол (о (г) меньше 6, получаем, что левая часть в (9.40) не превосходит величины

IГ6г.. ,

''1^ an_! (г) co (г) dr ^ «п-1 (г) dr•

—г+ 6-^ .(9.41)

■■( «п-1 (г) dr^an-i(r)dr

оо

При этом первое слагаемое в (9.41) при увеличении г стре* мится к 0, а второе слагаемое не превосходит произвольно выбранного 6 > 0. Это доказывает выполнение свойства (9.38).

Теперь для окончания доказательства теоремы остается заметить тот факт (следующий из теоремы 6.67), что диссипативная часть действия группы G на дН" = Rn"1 есть в точности множество G (дНп Г) Р\ Это показывает, что группа G действует консервативно на предельном множестве Л (G) положительной меры только в случае Рп-! (Р П A(G)) = 0 и, поэтому (см. теорему 9.25), сужение отображения ~ на Rrt-1 = dHrl является 1-квазиконформным гомеомор* физмом сферы Rn-Y, т. е. является мёбиусовым (теорема 9.8). Отсюда видим, что группы G и G' сопряжены изометрией гиперболического пространства Нп, опускающейся до изометрии F: int М int NV, индуцирующей изоморфизм /,: л1(.,И)^л1(.''И'). Теорема доказана.-

Из теоремы 9.29 при и = 3 следует (см. Салливан [1])

Следствие 9.30. Для конечно порожденной клейновой группы Ос^ИД классы ее квазиконформных деформаций образуют пространство Тейхмюллера для конечного объединения Gt (G)/G = St и • • • U Sm римановых поверхностей Si конечного типа, униформизируемых группой G. Иными словами,

Т(С)^Т(Г1)Х...ХТ(Г„,), (9.42)

где Г,— фуксовы эквивалентны классов неинвариантных компонент £2,c£2(G), соответствующих поверхностям S{, 1 = 1, ..., т.

Это утверждение, известное под названием теоремы разложения, было впервые получено Берсом [3] при дополнительном условии стабильности группы G. Затем Кра [2] устранил это ограничение, а Берс [6] доказал (9.42) без каких-либо предположений конечности (предполагая в правой части (9.42), вообще говоря, бесконечное число сомножителей и подходящую топологию).

Замечание 9.31. Как показывают примеры клейновых групп GocMdb (и—1), п^З, построенные в замечании 9.22, условие (9.38) теоремы 9.29 является точным. Однако при п ^ 4 это условие не является необходимым. Этот факт получается из следующего примера жестких групп GcM6b(rt —1), п^4 (Апанасов [16; 19, пример 9.11]).

Пример 9.32. Для п^4 рассмотрим клейнову группу GcM6b(n—1) (действующую в Hn^RX как подгруппа Isom Я”), множество разрывности O(G)c#"4 которой состоит из двух инвариантных компонент Qo и Q1( а предельное множество A(G) = = dQ0 = 5Q1 имеет положительную (п — 1)-мерную меру Лебега pn_1(A(G))>0.

В качестве такой группы G можно рассмотреть бесконечно порожденную группу отражений относительно семейства сфер в R"-1, внутренности которых покрывают не пересекаясь поверхность Пеано S, p„_iS>0, разбивающую Rn~1 на две области. Такая конструкция проводится совершенно аналогично построению Абикова [1], использовавшего кривую Пеано на плоскости.

У построенной таким образом группы G множество Р* предельных вершин выпуклого фундаментального полиэдра P(G)c сЯпиЮ(6), Р* = Р Г) A(G)cS, имеет положительную меру р„_1 (Я*) > 0. Это, как было доказано выше, эквивалентно тому, что предел в (9.38) отличен от нуля.

Пусть теперь G'cMdb(n—1)—-любая клейнова группа, для которой М' = [Я" U И (G')]/G' есть квазиконформный образ ЦМ^, причем гомеоморфизм /: М —* М' является конформным на краю дМ. Тогда поднятие гомеоморфизма / на универсальную накрывающую продолжается до квазиконформного гомеоморфизма /: Нп —Нп, конформного на Q (G) и согласованного с группой G: fGf~1 — G'. Так как п ^4, то конформные отображения /o = /ta и

)1 = /|Й1 являются сужениями на Qz мёбиусовых отображений, обязанных совпадать на множестве неподвижных точек элементов группы G, плотном в A(G). Это влечет, что /0 (х) = Д (х) для всех xgA(G) и, поэтому сужение / на dHn = Rn~1 есть единое мёби- усово отображение на R"-1.

Таким образом, группы G и G' всегда сопряжены в группе МбЬ(«—1), a Hn!G н Нп/С изометричны. Это доказывает жесткость их деформаций (хотя условие (9.38) и не выполняется). Подобная жесткость деформаций присуща, как видно из доказательства, любым функциональным группам GcMob(n), н^З (ср. Крушкаль [4]). ■

Пространство квазифуксовых деформаций

Пусть GcM6b(n—l)cMob (n) ^ SO («+1, 1) — дискретная группа, т. е. фуксова группа на «-мерной сфере Sn (оставляющая инвариантным некоторый шар Bn^SnY В § 1 для таких групп (или, что эквивалентно, для фуксовых представлений Gc_ с_» SO («4*1, 1)) были определены пространства RH (G) и Тп (G) — = Rn (G)/Mdb (п), где R„ (G) состоит из всех «квазифуксовых» представлений pgHom(G, Mob(n)), дня которых действие группы pG на сфере Sn квазиконформно сопряжено действию группы G, т. е. для которых существуют квазиконформные отображения /: S"- -S", согласованные с группой G и такие, что pG = /G/-1.

Пространство Тп (G) естественно связано с пространством конформных структур на орбифолде Bn[G и при п = 2 носит название пространства Тейхмюллера фуксовой группы G. Поясним эту связь подробнее —сначала в плоском случае.

Пространство Тейхмюллера фуксовой группы на плоскости. Пусть Gс<^2 —фуксова группа первого рода, оставляющая инвариантной полуплоскость HVC и, для простоты, не имеющая эллиптических элементов. Тогда необходимым и достаточным условием согласованности квазиконформного автоморфизма / плоскости С с группой G является следующее условие на его характеристику квазиконформности ц(г):

И (т (z)) V (2)/?' (г) = 9 (z) Для всех у € G, 2 С С. (9.43)

Иными словами, форма y(z)dz/dz должна быть G-инвариантном (дифференциалом Вельт рами). Для изучения связи пространства деформаций группы G с пространством Тейхмюллера римановой поверхности S=H-)G существует два подхода. Вот первый из них.

Рассмотрим комплексное банахово пространство АР (С, G) функций pET^C) таких, что y(z)dz/dz есть G-дифференциал Бель- трами (условие (9.43)) и, кроме того,

р(2) = р(2), ’ (9.44)

с нормой || р Им» = Ц Р Hz.», и его единичный шар Mf(C, G) = — {pgA4s(C, G): ||р||< 1}. Пусть Q — группа (относительно суперпозиции) квазиконформных автоморфизмов Н2 с неподвижными точками 0, 1, оо, согласованных с G, т. е. автоморфизмов Р с характеристикой p€A4f(C, G), и пусть Qo (G) — нормальная подгруппа Q(G), состоящая из всех Р С Q(G), оставляющих неподвижными все точки действительной оси R = dH2. Фактормножество

T(G) = Q(G)/Q0(G)(9.45)

и есть пространство Тейхмюллера группы G, элементы которого— классы эквивалентности — будем обозначать [/**]. Пространство Тейхмюллера Т (G) группы G можно отождествить с пространством Тейхмюллера 7(5) римановой поверхности S=-H-;G, так как условие (9.43) согласованности р с группой G эквивалентно заданию соответствующего квазиконформного отображения на поверхности S, а отношение эквивалентности по подгруппе Qo (G) соответствует отношению гомотопической эквивалентности (см. п. 1 в § 1) отображений поверхности S.

Аналогично (9.2), на Q(G) вводится метрика Тейхмюллера, которая, в соответствии с (9.45), принимает в Т (G) вид

^([А], О = у inf 1п/С(/)(9.46)

/фС1!

и превращает Т (G) в полное связное метрическое пространство.

Второй подход заключается в следующем. Вместо пространства Л45 (С, G) рассмотрим пространство М {Н, G) функций р^ЬДС) таких, что p^dz/dz есть G-дифференциал Бельтрами и р (2) = О в нижней полуплоскости R2. (вместо свойства (9.44)), с нормой || р Ид, = || рЦ^ . Пусть снова М^Н, G) —единичный шар в М^Н, G) и /ц — квазиконформные автоморфизмы С с характеристиками р^УИД/У, G) и неподвижными точками 0, 1, оо; все Д при этом конформны в RP Нетрудно видеть, что равенство /и1 = /ц2 на вещественной прямой R выполняется тогда и только

тогда, когда для соответствующих Р/ЕАУДС, G), полученных из р, продолжением из R- в /К. по симметрии (9.44), будет р1 = /^ на R. Поэтому сужение Р\ц взаимно однозначно соответствует классам [/^], т. е. точкам Т (G) из (9.45). Действительно, при

z £ R2 имеем р‘(г) = Игf^. (2), где /г,- — конформное отображениеz £ R2 имеем р‘(г) = Игf^. (2), где /г,- — конформное отображениеобластиобластиfn^RX) на RP так что если [(^J^^J,‘h'2 ° A11 ^’ W ^‘^^fn^RX) на RP так что если [(^J^^J,‘h'2 ° A11 ^’ W ^‘^^то функциято функция(9-47)(9-47)

z £ R2 имеем р‘(г) = Игf^. (2), где /г,- — конформное отображение

z £ R2 имеем р‘(г) = Игf^. (2), где /г,- — конформное отображение

области

области

fn^RX) на RP так что если [(^J^^J,‘h'2 ° A11 ^’ W ^‘^^

fn^RX) на RP так что если [(^J^^J,‘h'2 ° A11 ^’ W ^‘^^

то функция

то функция

(9-47)

(9-47)

продолжается до квазиконформного автоморфизма С, конформного в C\fU1(R). Следовательно, /г£<^2 и, в силу принятой нормировки, является тождественным.

■ Таким образом, если вместо классов [/ц] из (9.45) исходить из классов эквивалентности [/ц], то (с точностью до изометрического изоморфизма) получим то же самое пространство Тейх- мюллера Т (G). Его точкам соответствуют теперь квазифуксовы группы Gy = /цС/ц1, оставляющие инвариантными внутренность и внешность квазиокружности /ц (/?)<= С.

Пространство 7\ (О) классов квазифуксовых представлений. Продолжая два указанные подхода к пространству Тейхмюллера T(G) в размерности п^З, мы приходим к задачам описания двух пространств дискретных представлений:

Hom(G, МбЬ(п—1))/M6b(n —1) и Hom (G, Mob («))/МбЬ («). Тривиальность первого (как и пространства S' (Нп, G)) дает теорема 8.14 жесткости Мостова. Вторая задача, уточнением которой является вопрос Бореля — Валла ха [1, с. 221—224] о тривиальности инфинитезимальных деформаций (т. е. первой группы когомологий Я1 (G, Д^) (см. п. 3 § 1)), имеет нетривиальное решение и для п^З.■

Это решение, выразившееся в построении гладких кривых в пространстве Тп (G) = Rn (G)/M6b (п) классов сопряженности квазифуксовых представлений группы G, впервые было получено в работах Апанасов и Тетенов [1], Апанасов [11, 12] (бесконечно порожденный случай см. в работе Тетенова [2]). Природа этого явления была сильно прояснена Тёрстоном [1], показавшим «примером Микки Мауса», что подобным деформациям фуксовой группы G на плоскости соответствуют изгибания римановой поверхности H2(G вдоль замкнутой геодезической (см. пример 5.11). С этой точки зрения построенным автором кривым в Тп (G) отвечают изгибания конформной структуры «-многообразия Hn]G вдоль его вполне геодезической гиперповерхности (ср. Лафонтейн [1], Салливан [4]). Дальше мы увидим, как эта идея позволяет оценить снизу размерность пространства Тп (G) тремя различными независимыми методами: исходя из геометрии гиперболического пространства Нп + 1 и фундаментального полиэдра Р (G) с Нп + 1 (Апанасов [24, 28]), исходя из геометрии многообразия Hn+1lG и используя в построении изгибания некоторый предельный переход (Коуроуниотис [1]) и исходя из алгебраических свойств представлений группы (Джонсон, Миллсон [1]).

Перед изучением общих свойств пространства Тп (G) приведем нашу конструкцию гладкой кривой Ф: (0, 1)—*T3(G) для ко-компактной фуксовой группы G в R3, о которой шла выше речь.

Пример 9.33. Пусть Q=^x£R3: |х, |<1/2, t = 1, 2, 3} — единичный куб. Из его вершин опишем сферы S,, 1 -С !8, ра

диусом V"3/3. Они пересекаются между собой под углами л/3, а сфере So = S2(0, V15/6) ортогональны. Построим еще шесть сфер

$ з. npQ^M1№r№^N^^

Sz, 9^i^l4:■ щн-см». щ '.Mirnr

(9.48)(9.48)S9 = S2 (re^ p), Slo = S2 (— ret, p), Su = S2 (re2, p),

(9.48)

(9.48)

Si2 = S2(—^2, P), S13 = S2(re3, p),S14 = S2 (— re3, p),

где {e,}—ортогональный базис /?3, и положим г —5/6, р = К 10/6. Такие параметры дают ортогональность сфер (9.48) сфере So и сферам Sh 1 -+ i ^ 8.

Рассмотрим группу Gadfta, являющуюся подгруппой индекса 2 в группе, порожденной инверсиями 3, относительно сфер S,, 1 ^i^ 14. В качестве образующих группы G можно взять отображения gi = 313i, 2-Сt"^14.Ясно, что группа Составляет инвариантным шар В —В3(0, К15/6). Из следствия 3.30 следует, что группа G — фуксова группа первого рода с компактным фундаментальным полиэдром в В.

Рассмотрим также систему сфер {о, (/)}, которая получается из системы {S,} заменой сферы S14 (с центром — е3-5/6) на сферу а14 (/) с центром — е3 • / и ортогональной соответствующим сферам а,- (/) = S,-, i Ф 14. Очевидно, что ст14(/) имеет радиус Vt2 — / + 5/12. Как и выше, рассмотрим группу G(/)cza^3, порожденную отображениями g^S^St, 2^1^14. Тогда для параметров/, удовлетворяющих условию.

/5(1 + К~5/б\(949j

° 11 + 12 К 5/6 хv '

группа 6(/) будет клейновой. Это вытекает из следствия 3.30, примененного к продолжению группы G (/) в полупространство Нп+1. Отсюда же получаем, что фундамента тьная область группы G (?) имеет вид

14

В'^шЦВ'и^^)), Pf= П ext ст, (0,(9.50)

i= 1

и распадается на две компоненты —ограниченную F^> и неограниченную Ff.

Множество разрывности Й' = Й(С(/)) распадается на две инвариантные компоненты й3 и й{. В самом деле, допустив связность Й' (а следовательно, и линейную связность, так как й' открыто), можно взять кривую бей1, соединяющую точки 0£Н и оо £ F( такую, что она пересекается с образами полиэдров F3 и F(, минуя их ребра и пересекая их не более чем по одному разу. В силу компактности 6, число пересекаемых образов полиэдров F3, F( конечно. Но тогда среди них найдутся полиэдры g^) и g'^, g, g'GG^h> имеющие общую грань, что невозможно в силу изоморфизма группы 6(/) фуксовой группе G. Применяя лемму 3.16 и учитывая, что FJ и FJ — фундаментальная область группы G(/), получаем, что йг распадается на две 12 Б. Н. Ананасов

инвариантные компоненты.*,. •

ОИЩ^ и Q( = G(/)(F0,

имеющие общую границу д^ = dQf = Л (G (/)) и гомеоморфные шару.

В дальнейшем объекты, соответствующие группе 6(5/6), т. е. группе G, будем выделять отбрасыванием параметра /. Из нашего построения и (9.50) видно, что для /G(/o, 5/6) F^aF0, а для /€(5/6, /J — Foc:Ft Для определенности допустим последнее и рассмотрим для фиксированного е, 0<е<5/12, е-слойСЕ—F0\F(06,6~8>. Определим теперь для / £ (5/6, /4) отображение Д

| х для x^F^/"-6)

I фЕ(х) ДЛЯ х£Се, ■

где срЕ — равномерное растяжение вдоль семейства окружностей, ортогональных одновременно сферам S14, - о14(5/6 — е) и о14(/). Отображение фЕ квазиконформно отображает слой СЕ на слой C' = F<\F<c5/e-e), при этом его коэффициент квазиконформности </(/) равен отношению толщины слоя С^ [к толщине е-слоя СЕ. Ясно, что </(/) непрерывно зависит от / и Ни ^(/) = 1.

■ Определим аналогичное отображение /( и для неограниченных полиэдров Ft и Ft Построенные таким образом q (/^квазиконформные отображения

ft Fo F«, ft Fi - F‘

переводят грани, ребра и вершины полиэдров F; в соответствующие грани, ребра и вершины полиэдров Ft i=l, 2; при этом соответствующие двугранные углы равны между собой. Поэтому мы можем продолжить эти отображения по симметрии на образы полиэдров Fo и FT, получив при этом q (/)-квазиконформные отображения

'Фо: inf So Qj и Ф{: ext So —Q(.

Из согласованности отображений Ф( с группой G следует, что их предельные значения для t = 0, 1 на сфере So совпадают. Для доказательства этого рассмотрим множество С последовательностей ^={§я} элементов группы G таких, что существуют пределы lim gm (F) = x^A(G) и определим на нем отношение эквивалентности 9:

в

Ясно, что каждая предельная точка группы G единственным образом определяется своим классом эквивалентности из С/9. Проделаем то же самое и для группы 6(/). При этом имеем, что сходящейся последовательности £ £ С при изоморфизме G-^ G (/) соответствует сходящаяся последовательность tf^Clf). Отсюда

ёЙеД^бт, что существуют и равны радиальные пределы: .ч;

'Нт ФДлх) = Нт Ф((гх) = х(/), x£S0.(9$$

z<l’г>1’. ' - лЦ

Таким образом получаем, что отображение ФИ R" —* Rn, '’ ч«

Г Фо(х), x£intS0;' J

ф<(х)=< х(0,x€S0;i (:

■| Ф( (х), х^ extS0,: ■ ,\

является абсолютно непрерывным на линиях (ACL"), так как оно квазиконформно в /?n\S0 и существуют пределы (9.51). Хорошо известно (Дени, Лионс [1]), что тогда отображение Ф? принадлежит классу Wn, т. е. его координатные функции имеют обобщенные первые производные (в смысле С. Л. Соболева), локально интегрируемые в степени п. Это влечет, что Ф( — отображение с ограниченным искажением. Отсюда и из результатов Решетняка [2] сразу получаем, что Ф' является q (/)-квазиконформным гомеоморфизмом пространства Rn для всех / С (/о, к) (см. 9.49)). Так как по построению Ф( согласованы с группой G, С(/) = Ф((С)с:е^8, и Ф^уe = id, получаем, что семейство (Ф() задает деформацию группы G в смысле определения (9.3).

Нетривиальность этой деформации следует из следующего наблюдения. При изоморфизме Ф(: G - -G(/) элемент J^Jj,СG (гиперболический перенос в Н4) переходит в гиперболический перенос пространства Н4, равный З133*14 С Gt. Легко видно, что геодезическая в IciH4, соединяющая неподвижные точки х, у отображения Э13Э14 ортогональна 3-плоскостям в Н4, опирающимся на сферы S13 и S14. Длина d (13, 14) ее отрезка, заключенного между этими плоскостями, есть длина гиперболического переноса 31а314. При отображении Ф( геодезической / соответствует геодезическая 1Ь соединяющая неподвижные точки переноса ^^^н- Причем длина dt (13, 14) ее отрезка, заключенного между 3-плоскостями в И4 (и ортогонального им), опирающимися на сферы S13 и ст14(/), т. е. длина переноса 3133*14 в Н4 при / > 5/6 больше (/(13, 14), а при /< 5/6 —меньше (/(13, 14).

Однако тривиальная деформация, т. е. сопряжение в МбЬ(З), должна сохранять длины переносов. Таким образом, непрерывное семейство (Ф'), /0 < / < /1, задает нетривиальную деформацию группы G.

Как мы увидим дальше (теорема 9.35), семейство (Ф') зависит гладко от параметра /, и задает кривую в пространстве T3(G),. dim/? 73(G) >6.

Свойства Tn^GY определяемые геометрией фундаментального полиэдра. Считаем, что фуксова группа GczMob(n) действует в инвариантном шаре в Bnc2Rn как группе изометрий гипер-

болического пространства — одновременно с ее изометрическим действием в гиперболическом пространстве Нп^1 ^ R^Y и в гиперболической «-мерной плоскости НпаНп + 1, дНп = дВп. Пусть pn+i _ p»+i(G)cz//n + 1 и Q (G) — некоторый гиперболически выпуклый фундаментальный полиэдр группы G, и пусть Pn = Pn + 1f\Hn и Р = Р”*1 П Rnc:ti (G) — фундаментальные полиэдры группы G соответственно на «-плоскости Нп и в Rn.

Для грани s коразмерности 1 одного (любого) из полиэдров Р, Рп или Рп+г обозначим через S «-мерную гиперболическую плоскость в Нп+1, замыкание которой S = SudS содержит грань s.

Определение 9.34. Грани Sj и s2 коразмерности 1 одного из фундаментальных полиэдров Р, Рп или Pn+V группы G называются 9 (Суэквивалентными, если соответствующие «-плоскости 5Ъ S2c:Hn+1 (s,cS() являются G-эквивалентными: G(SJ = G(S2).

Среди («—1)-граней полиэдра Р (или Рп) выделим множество П = П(О) тех граней s, которые ортогональны всем другим (л—1)- граням s' полиэдра, пересекающимся с s (в том смысле, что sns'^0), и не 9(6)-эквивалентны им.

- Нас будут интересовать сейчас группы G, имеющие фундаментальные полиэдры Р, для которых П (G) #= 0 и множество fl(G)/9 (G) не содержит смежные грани полиэдра в различных классах. В этом случае имеет место следующее утверждение (Ананасов [24]):

Теорема 9.35. Пусть GczM6b(n—1), «^2,— геометрически конечная группа с фундаментальным полиэдром Р без тупых углов с т-элементным множеством 11(G)/9 (6). Пусть, кроме того, различным его классам эквивалентности отвечают несмежные грани Р. Тогда существует гладкое (класса СИ) вложение т-мерного шара в пространство Тп (G).

Доказательство. Рассмотрим m-мерный куб /” = Ц( —Щ,Ь;), где числа а,, Ь,->0 уточним позже. Идея доказательства, развивающая идею примера 9.33, состоит в построении для каждого а = (аь . ..,ат)^/т квазиконформного отображения /а: Rn-Rn, согласованного с группой G и получающегося в результате «сдвигов» (величины которых зависят от а,) всех (л—1)-граней s С ЩС), лежащих в i-м классе множества II(G)/9(G). При таких «сдвигах», сохраняющих свойство ортогональности к смежным граням, полиэдр Р перейдет в полиэдр Р (а), фундаментальный для группы 6(a) = ^/«G/a1. Однако указанное «а,-шевеление» граней полиэдра будет осуществляться, в отличие от примера 9.33, с использованием геометрии полиэдра Рп + 1 и всего пространства Нп + 1.

Итак, пусть S, есть n-плоскость в Нп+1, замыкание которой содержит грань s из i-ro класса II(G)/9(G). Тогда «а,-сдвигу» сферы dS, (т. е. «а;-сдвигу» грани s $(а,)), сохраняющему углы пересечения со смежными гранями полиэдра Р, отвечает поворот

(в Нп+1) плоскости S,- вокруг (п—1)-мерной плоскости 85(ДНп на угол a,-, S,-i-*S,(a,), сопряженный в с^п с линейным отображением, задающимся матрицей _

'.3 / /Е О \ '

Л А^^^о cosa-' Sina/,€O(»+1). (9.52) \ —sina,- cosa,-/

Границы a,-, Ь, изменения параметров а, должны быть выбраны так, чтобы замыкания всех плоскостей S,- (а,-) не пересекались с замыканием плоскостей S7(a7) для любых различных i, / = = 1, .. ., tn. Возможность такого выбора а; > О, Ь,- > 0 следует из геометрической конечности группы G и из непересечения при i =^ j замкнутых плоскостей S,- и Sy. Последний факт есть прямое следствие условия остроугольности полиэдра Р (и, следовательно, Р") и теоремы Андреева [3] о непересечении плоскостей несмежных граней остроугольных гиперболических полиэдров.

Рассмотрим теперь любое а — (аъ ..., ат) £ /т\{0} и произведем для всех i=l, .. ., т а,-повороты в Нп + 1 всех п-мерных плоскостей 5сЯп + 1 (их конечное число), отвечающих i-м классам множества П (<7)/0 (G). Порученные в результате этих поворотов плоскости S (а) ограничивают вместе с плоскостями неподвижных граней полиэдра Рп+1 в Нп+1 некоторый полиэдр Pn + 1(a) того же комбинаторного типа, что и полиэдр Рп+1. Рассмотрим мёбиу- сову группу G (а), порождающими которой являются отображения, отождествляющие грани полиэдра Pn+1(a). Эти порождающие являются элементами группы G в случае, если они отождествляют инвариантные для а,-поворотов грани полиэдра Pn+1(a); в противном случае (если грани сдвигаются) порождающими 6(a) являются суперпозиции порождающих группы G с соответствующими а,-поворотами.

Для полиэдра Pn+1(a), как и для полиэдра Pn + 1, выполнены условия теоремы о полном заполнении пространства Нп+1 полиэдрами (см. теорему 6.9). В самом деле, условие 1-1-значного заполнения окрестности каждого ребра коразмерности 2 у полиэдра Рп+1(а) следует из аналогичного свойства полиэдра Рп+1 и из консерватизма углов полиэдров при наших деформациях. Условие локальной конечности заполнения Нп+1 образами полиэдра Рп+1(а) также следует из аналогичного свойства полиэдра Рп+1 и того, что у группы 0(a) в силу выбора размеров куба не могут возникнуть дополнительные неподвижные точки на границе полиэдра Pn+1r\Rn (по сравнению с группой G) и, тем более, неподвижные точки локсодромических элементов.

Отсюда получаем, что группа 6(a) дискретна и существует естественный изоморфизм ya: G---G(a), заданный иа порождающих группы G (отождествляющих грани Рп+Г).

Рассмотрим q (а)-квазиконформное отображение <ра: pn+i pn+i (q,), ]jrn ^(a)==i. Это отображение в окрестностях а->0

(п —1)-граней $СП(С) полиэдра Рп+1, лежащих на п-мерных плоскостях ScLHn+1, является равномерным растяжением вдоль семейства окружностей, ортогональных одновременно плоскостям 5 и S (а) и являющихся траекториями a-поворотов вокруг соответствующих (п— 1)-плоскостей Sf\Hn. Вне всех таких окрестностей rpa = id. Очевидно, что <ра согласовано с группой G на границе полиэдра Рп + 1 и поэтому его можно продолжить до согласованного с G q (а)-квазиконформного отображения /а: Hn*v ^«*1, положив

' ‘1а^ = ^ДЛЯХ€РП + 1;'^953)

L^X^XaU^^g'Hx) ДЛЯ Х^Рп*\

где в качестве g берется какой-либо элемент g£.G, для которого xGg(Pn + 1)- Отображение fa продолжается на сферу dHn+1=Rn до q (а)-квазиконформного гомеоморфизма /а: Rn —► Rn, согласованного с группой G и задающего квазифуксовое представление

к- G^GVxY g^kgfa-(9.54)

Докажем теперь гладкую зависимость построенной деформации группы G от параметра а£/™ и ее нетривиальность. Первое свойство сформулируем в виде следующей леммы.

Лемма 9.36. В условиях теоремы 9.35 отображение 0: I™ - • Рп (G), со значениями 0 (а) = /«, является дифференцируемым (класса С®).

Доказательство. Покажем сначала, что группа G может быть разложена в некоторое нетривиальное произведение своих подгрупп.

Для этого рассмотрим при любом фиксированном t= 1, .. .,т n-мерную плоскость SaHn + 1, содержащую /г-грань s полиэдра Рп+1 из t-го класса П(6)/9(С). Орбита G(S) разбивает пространство Нп + 1 на компоненты связности Dk, среди которых выделим компоненту D1tdP,1 + 1 и примыкающую к Dt вдоль плоскости S компоненту D2. Пусть стабилизаторы областей Dx, D2 и плоскости S в группе G обозначены Gx, G2 и Gs соответственно.

Возможны два случая — пространство [/7n+1\G(S)]/G либо связно, либо состоит из двух компонент:

DJG,, DjO-p, H^lGcBJDjGf

В первом случае существует элемент у, £ G такой; что у,(2)1)=£)2. Покажем, что в этом случае G есть HNN-расширение группы Gx элементом у,-. Оставляя в стороне очевидный случай, когда y?=id (у,-поворот на л вокруг подпространства в S, который задает

автоморфизм GWGs), можно считать, что у,- ^ Gs. Обозначим S' = = ут1 (S) и через Gs, — стабилизатор плоскости S' в группе G. Пусть D3 — компонента множества Hn + 1\G(S), примыкающая по S's к области Dv Обозначим также А и А' фундаментальные полиэдры подгрупп Gs п Gi и Gs-llGu содержащие Рп+\ а через Рга А П Д' — фундаментальный полиэдр группы G\ (^объединению полиэдров в ЛпО2, Д'А О3 и Рп + 1\ Имеем:

D3 и D3 строго инвариантны в Gt относительно подгрупп GsAG\ и Gs-AGt соответственно, и g(D2)AD3=0 для всех gG^v

уДО^оН^ХГ^ есть область £)п Gs- A Gy = y^Gs A G^j.

Существуют r-окрестности Vs и Vs, плоскостей S и S' такие, что P's A A, Ks, А А' с Ри где 0 < г ^d(S, G(S)\S)/4.

AaD2 = P1AD2, Д'АО3 = ЛАО3.

int {Л А (Я"+1\(О2 U D3^ = Pn + l #= 0.

Свойства 1—5 позволяют применить к группе Gt и отображению у, вторую комбинационную теорему Маскита для гиперболического пространства Нп + 1 (см. теорему 6.23), из которой с учетом свойства 5 следует, что полученная при комбинировании группа есть группа G.

Полученное HNN-разложение группы G = <Gn у{> показывает, что представление /Х G—>G(az) в этом случае можно записать в виде

ГаДе^ё, ГаДу^-А^У^А^о.^ (9.55)

где g^Gx, ^’^УТ1^, а эллиптические отображения (повороты в Яп+1) Л5(а,) и Л5,(а,) имеют неподвижные (/г — 1)-мерные подпространства на плоскостях S и S' соответственно и сопряжены в <Яп ^ Isom+ Hn + 1 повороту Л (а,) из (9.52) на угол а,- С (—А, 6,).

Во втором случае, когда [/7n+1\G(S)]/G имеет две компоненты связности, никакой элемент группы G не переводит Dt на D3. В этом случае Gs = Сг A G2 и мы имеем:

S разбивает Нп + 1 на две области Вг и В2 (DjCzBa и ^cBJ, замыкания которых строго инвариантны относительно подгруппы Gs соответственно в группах Gx и G2.

Если А, Рх и Р2 — фундаментальные полиэдры групп Gs, Gx и 62 соответственно, содержащие Рп + 1, то для i= 1, 2 полиэдры А а В, = В; A Pt не содержат Pn+i и, следовательно, не равны полиэдрам Р,. Кроме того, Ргп Р2 = Рп + 1.

Существует /--окрестность Ks плоскости S такая, что AaVsCzP,-, i=l, 2, где r = d(S, G(S)\S)/4 > 0.

Из первой комбинационной теоремы Маскита (см. теорему 6.18) и из этих свойств получаем, что группа G является свободным произведением групп Gx и G2 с объединенной подгруппой Gs.

Поэтому представление /« : Gi-*G(a/) в этом случае можно записать в виде:

Га^г) = gi- ^.(^Н^И"/)0^^’^/), ? (9.56) где gi^Ck, g^G.^ а эллиптическое отображение А^а^е*,, есть поворот в Hn+l вокруг (и—1)-мерной плоскости на S, сопряженный в с^п повороту Л (а,) из (9.52) на угол а,С(—а;,Ь^.

Из (9.55) и (9.56) видим, что гладкая (класса С”) зависимость представлений /„ от параметра a ^/т следует из вещественно-аналитической зависимости А (а,) в (9.52) от а,-. Это завершает доказательство леммы.

Для окончания доказательства теоремы нам остается доказать нетривиальность и независимость представлений ^л t = 1, • ■ , т. Из определения множества П (G)/9 (G) и доказательства леммы следует, что существует неэлементарная "подгруппа G„^G (ее порождают отождествления смежных к граням из П (G) граней полиэдра Рп+1'), из которой (и, быть может, из других подгрупп G) группа G получается конечным процессом комбинирования (свободные гроизведения и HNN-расширения). Неэлемен- тарность группы Go влечет, что для любого i = 1, ■ •., т, отвечающая i-му классу n-плоскость S, cz Нп +1 (Sz fl Р" :' С П (G)) опирается на сферу dS,, которая разделяет предельное множество A (G) (вне этих сфер лежат неподвижные точки некоторых локсодромических элементов группы Go). Отсюда и из предложения 3.13 (о плотности локсодромических неподвижных точек в A(G)xA(G)) получаем, что для каждого i существует локсодромический элемент gl С G, ось которого 1{^Нп+г пересекает плоскость S, трансверсально. Для этого гиперболического переноса g* определена длина переноса d^d^g^ (в гиперболической метрике d1), а именно для любой точки г € I;

d; = d (z, gi (z)) = inf d (x, g‘ (x)).xe H« + *

При деформации /„.: G—*G(az) элемент g* переходит в элемент /a^'Va-, являющийся переносом в Нп+1 на расстояние d(az) d,— в зависимости от знака а,-. Это следует из того, что для z^l: в силу (9.55) или (9.56) имеет место

d(z, g^z^^d^z, ^ (g'Hz'iY

Так как при сопряжении в группе уЙп длины гиперболических переносов остаются неизменными, то отсюда следует нетривиальность Для всех i=l, . .., т.

Независимость представлений fa., i = 1, . .., т, следует снова из (9.55) и (9.56) и того, что л-плоскости S,-, SjcH"*1, отвечаю-

щие различным t-му и /-му классам из П (G)/9 (G) таковы, что их замыкания не пересекаются. Теорема 9.35 доказана.

Замечание 9.37. Легко видно, что для группы Gcza^s из примера 9.33 card П (G)/9 (G) = 6. Представителями шести различных классов этого множества являются грани, лежащие на непере- секающихся сферах S,-, 9^1^14.

Замечание 9.38. Построенные выше деформации f*a полезно- объяснить с точки зрения геометрий гиперболического орбифолда Hn/G (жесткого —по теореме Мостова: vol Hn/G < оо) и орбифолда Hn+i/G. А именно, если n-плоскость SaHn+1 отвечает (как раньше} i-му классу П(6)/9(6), то построенный в (9.53) q (а,)-квазикон- формный согласованный с G гомеоморфизм /а.: Hn + 1 Нп+1 опускается до q (а,)-квазиконформного отображения орбифолдов

«поворачивающего» n-мерный вполне геодезический подорбифолд S/GscHn+1/G вокруг (п—1)-мерного вполне геодезического под- орбифолда (Н nS)/GsczHn/GczHn+1/G на угол а,. При этом образ Fa. (.Н"^ жесткого гиперболического орбифолда (вполне геодезического в Hn + ')G^ является орбифолд с изломом вдоль (п—\у мерного вполне геодезического подорбифолда (Нп f) S)/Gs. Излом; здесь понимается в том смысле (ср. пример 5.11 и рис. 24 — 26), что орбифолд

Fa. [(Hn\G (S fl НЭД = Fa. ^H"lGMkHn fl S)/Gs) (9.57) является вполне геодезическим орбифолдом, однако геодезические 6на Hn/G, ортогональные к его вполне геодезическому подорби- фолду ^Нп п SyGs, переходят в геодезические на орбифолде (9.57), концы которых встречаются в точках из (Я” П S)/Gs под углом л — а,-.

Поэтому естественно построенные деформации называть изгибающими деформациями —следуя термину Тёрстона для поверхностей.

Замечание 9.39. Можно установить и обратную связь — от (п— 1)-мерных вполне геодезических подорбифолдов в Hn!G к квази- фуксовым деформациям. Так, в случае п = 2, т. е. для фуксовой группы Gcze^, униформизирующей замкнутую поверхность рода р > 1, можно построить фундаментальное множество P^G), состоящее из гиперболических многоугольников Рг, ..., P2D_2 с прямыми углами, для которого card П (G)/9 (G) = Зр — 3. Это число равно числу непересекающихся замкнутых геодезических на поверхности H2lG.

Изгибания вдоль поверхностей. Здесь мы дадим другое (эквивалентное) определение изгибающих деформаций фуксовой группы Gezc/H,., принадлежащее Коуроуниотису [1]. Этот подход позволяет прямо связать с каждым вполне геодезическим (п—1)-орбифолдом

в HnlG изгибающую деформацию из T„(G) (ср. замечание 9.39), •совпадающую с некоторой деформацией /„. из предыдущего пункта. Хотя это определение менее наглядно, оно имеет ряд технических преимуществ, в частности, дает возможность нахождения границ изменения параметров деформаций и соответствующих инфинитезимальных деформаций.

Пусть, как и раньше, фуксова группа G на сфере S" (границе единичного шара Bn+1(0, 1)) рассматривается как группа изометрий гиперболического пространства Bn+1(dBn+1 = Sn) и его п-мерного подпространства НП = ВП(О, 1)<=Вп + 1(0, 1). Пусть в Hn + 1 задана гиперплоскость Ро, ортогонально пересекающая Нп по гиперплоскости РсН" со стабилизатором GpoG, Gp^G, и пусть выполнено свойство

inf (d (g ^Р), P): g € G\Gp} = a > 0. [(9.58)

Будем кроме того считать, не ограничивая общности, что 0 лежит в одной из компонент Hn\G^Py примыкающей к плоскости Р. При выполнении всех указанных условий будем называть Р изгибающей гиперплоскостью для G и обозначим через 5s орбиту G (Р), состоящую (в силу того, что Gp^G) из бесконечного числа непересекающихся плоскостей.

Для каждой плоскости Р^У рассмотрим (как для Р) гиперплоскость RoczHn+1 и обозначим через Рф^Нп+х ограниченное ею полупространство, не содержащее 0. Определим на ^ отношение порядка-. R^Q^R^oQ^. Отметим, что для любых R,Q^fP полупространства Ло и Qg либо не пересекаются, либо одно из них содержит другое (т. е. имеем частичный порядок).

Рассмотрим последовательность шаров В, = В "+1 (0,1 — 1 /t) с <=Вп+1(0,1). Тогда можно использовать конечные (в силу дискретности G) подмножества {Л С 5s: Ro Г) В,- 0}, i ^ 2, для определения биекции q; N -5х такой, что q~x сохраняет порядок.

Пусть теперь заданы вещественные числа а и £ такие, что

0 < £ < л/2, 0^а<л— 2L (9.59)

Определим для них изгибающий гомеоморфизм Ф = Фа, £: С С (см. рис. 65):

Ф». с (2) —.. ..

л —^|argz|, |argz|C, £< argz < л — t,—л < argz < —£, (9.60)л —^|argz|, |argz|C, £< argz < л — t,—л < argz < —£, (9.60){z,.если

л —^|argz|, |argz|C, £< argz < л — t,

—л < argz < —£, (9.60)

л —^|argz|, |argz|C, £< argz < л — t,

—л < argz < —£, (9.60)

z-exp(ia),если

z-exp (ia(l— (argz —£)/(л —2£))), если z exp (ia(l+ (argz4 у/(л—2^))), если

где argz — главное значение аргумента комплексного числа г^ С,

— n<argz^n. Тогда для линейного искажения К(Ф, z) имеем

1,'если л — £^|argz|,

. К (ф, Z) =. К (ф, Z) =1,если | argz |£,

. К (ф, Z) =

. К (ф, Z) =

(л — 2£)/(л — 2£ —а), если £ < argz < л — £,

(л — 2£ + а)/(л — 2у, если £—л < argz < —■

Отсюда видим, что для а и £ из (9.59) Ф = Фа- £ квазиконформно (и конформно «вблизи» вещественной оси).,

Для отрицательных а полагаем при 2£—л < а < 0:‘ ‘

Фа. £ (2) = Ф-а, ; (2) ■'

Для определения изгибания фа, &: /?n + 1/?п+1 отождествим (Ren + Ren+1) с плоскостью C = Ren-V tRen+x и положим

Ф+ = Ф2,Е-- (^1,^n+i)-^i, хп_Х) Фа.£(х„ + 1Х+1)),

(9.61)

Ф”=Фа. г 1ХХ, . .., Х„+1)н->(Х! Хп_И 1оФа.^1{хп + 1хп + 1)),

где через / обозначена инволюция /: С^С г*-*—г.

Заметим, что отображения ф+ и ф~ оставляют инвариантными шар Вп+1(0,1) и полупространство {x€/?n+1: хх > 0}. Более того, для g ^ IsomНпаIsom Hn+\ g(Bn-1(0,l)) = Bn~1(0,l) имеем, что £ф± = ф±£—в случае, если g сохраняет ориентацию Вп“\ иgф± = = фт^-—в случае если g изменяет ориентацию Вп~\

Определим теперь для любой плоскости R^^ гиперболическую изометрию у^ в №И = В"'1'1, являющуюся сохраняющей ориентацию изометрией в НП = ВП и такую, что

^(B^-R, ^(Ах^В-Ч xn>0^ = RL (9.62)

Если при этом R = q (/), / С N, то определим квазиконформное изгибание ф7: Hn + 1 —* Hn+1, положив ф^у^ф+уд1. В силу свойств ф+ и ф~ видим, что это определение не зависит от выбора изометрии у^. Отображение ф7 изгибает Нп внутри Hn + 1 вдоль гиперплоскости R и оставляет неподвижным полупространство /7П\/?, содержащее 0.

Изучая свойства носителей отображений ф7 и множеств, где линейное искажение /С(ф7, х) отлично от 1, Коуроуниотис [1, теорема 4.7] доказал, что итерации этих отображений сходятся к квазиконформному гомеоморфизму Hn+1 Hn+1, согласованному с группой G. Более точно:

Теорема 9.40. Пусть G cz I som Hn — дискретная группа и РсНп—ее изгибающая гиперплоскость со свойством (9.58). Если а, и t, удовлетворяют (9.59) и

ch (а/2) > 1/sin g, .(9.63)

то отображение /а, Е = Н п ф1Оф2о . . . оф;: Н"^1 -> Нп+1 является i -* ®

квазиконформным, гомеоморфизмом, согласованным с группой G.

Следует отметить, что гомеоморфизм /а, ^ не зависит от выбора биекции q: N -3\ у которой q-1 сохраняет порядок, а гомоморфизм

/„: GG (a) ^„G/^c: Isom/7п+1

не зависит от выбора числа L, удовлетворяющего условиям (9.59) и (9.63).‘

Граница изменения параметра а определяется при этом числом т), 0 < т] < л, таким, что cos(r|/2)>= l/ch(a/2). А именно, для любого 6, 0 < 0^г), имеем семейство квазиконформных гомеоморфизмов (/а), согласованных с G, определяющее квазиконформную деформацию

Р: (-0, 0)-/?„(G):.

Замечание 9.41. Изгибающая гиперплоскость Р<= Нп задает, как и в доказательстве леммы 9.36, разложение группы G: G — — <Gi, gP> либо G = Gi * G2 — в зависимости от того, связно или нет пространство [ЯП\С(Р)]/С. Здесь Glf G= и Gp—стабилизаторы компонент ^ и О2 и плоскости Р в группе G, где Du D4cHn\G (Р) примыкают друг к другу по плоскости Р и D2a:P£, а элемент gp^G переводит D} в D2. Алгебраическое доказательство этого факта см. в работе Коуроуниотиса [1, теорема 5.5]; геометрическое доказательство см. в лемме 9.36.

Это разложение группы G сразу доказывает, что представления (9.55) и (9 56) имеют место и для гомоморфизма /„, задающегося гомеоморфизмом /„, £. А именно, в случае HNN-разложения G = <GY, gP>

faU^g ДЛЯ g^Gy, fa^gp^Ap^ogpoAp1,^, .

и в случае G = Gt *? G2'

fa(gi) = gi Для g\€Gi, fa(g2) = Ap(a)og.,oAp1 (a), g^Gt,

где P' — gp1 (P), a Ap — гиперболический поворот в Hn + 1 вокруг P на угол a, Ap|p = id, сопряженный в Isom/7n + 1 повороту A (a) из (9.52).

Отсюда и из (9.55) и (9.56) становится ясно, что изгибающие деформации, построенные в теореме 9.35, совпадают с изгибающими деформациями этого пункта.

Замечание 9.42. Весьма важным является тот факт, что изгибающей гиперплоскости РсН" группы Gclsom^" в орби- фолде Hn(G отвечает вполне геодезический подорбифолд P(GP, r-окрестность которого (для некоторого г > 0) универсально накрывается r-окрестностью гиперплоскости Р. Верно и обратное — каждому вполне геодезическому подорбифолду Mtic.HnlG, имею-

щему в Hn]G r-окрестность вида Л40х[—г/2, г/2] отвечает гиперплоскость РсН" (универсально накрывающая Л40), которая является изгибающей гиперплоскостью группы G(Gp = d* (лДуИд))). Таким образом, построенные изгибающие деформации группы G отвечают изгибаниям орбифолда Hn/G вдоль вполне геодезических подорбифолдов коразмерности 1 (ср. замечание 9.38).

Укажем теперь условия нетривиальности и независимости изгибающих деформаций. При этом будем говорить, что множество XcSn, card Х^ 2, обволакивает т-мерную сферу ScSn, если $ является сферой минимальной размерности, содержащей множество X.

Предложение 9.43 (Коуроуниотис [1, теорема 5.3]). Пусть РсН"—изгибающая гиперплоскость неэлементарной дискретной группы Gc Isom Нп. Тогда изгибающая деформация Р, определяемая гиперплоскостью Р, тривиальна тогда и только тогда, когдаР не пересекается с внутренностью выпуклой оболочки Нильсена HG. ' Доказательство этого факта основывается на существовании локсодромического элемента g^G, ось которого lg^ Нп трансверсально пересекает плоскость Р (следствие из предложения 3.13) и на том, что при сопряжениях в группе Isom Нп + 1 длины гиперболических переносов являются инвариантами (ср. доказательство нетривиальности деформации в теореме 9.35).

Пусть теперь мы имеем не одну, а несколько непересекающихся изгибающих гиперплоскостей РТ, . . ., РтаНп группы Gc: Isom//", G(Pj') A G(Pj) = 0, i-y^j, таких, что для всех Р; и для 3*—

Р т \

G,. = inf{d(P,., QY

Рассматривая (как выше) на множестве У* отношение порядка <| и биекцию q: N- -3\ для которой q-1 сохраняет порядок, мы можем определить (как в теореме 9.40) семейство {/„: Hn*Y-, Нп+Х} квазиконформных гомеоморфизмов, согласованных с G, w = = (^1, •••, щ„) € W "1cRm и задающих деформацию • -

Р: Wm —> Rn (G)<=Hom (G, Isom Hn+iy. too—>/^. ,

Здесь Wm—любая окрестность нуля в /?'”, замыкание которой содержится в множестве

U = ^u£Rm: cos (ц,/2) > 1/ch (а,/2), — л<и,<л},

а нетривиальность Р устанавливается предложением 9.43.

Теорема 9.44 (Коуроуниотис [1]). Пусть р: Rn (G) —* Тп (G) = = Rn (G)/Isom Нп+Х, п^З,—естественная проекция. Если Р icHn — изгибающие гиперплоскости для дискретной группы Gclsom Нп, определяющие нетривиальную деформацию р: Wm —» Rn (G) и такие,

что для всех i Л (G) П дР, обволакивает сферу дР;, то отображение

М ^: r^Tn(G) . J является вложением.

Доказательство. Пусть Р1иР.2с:Нп— изгибающие гиперплоскости для дискретной группы Gclsom Нп, определяющие нетривиальные деформации (5/ (— 0,-, 0,) Rn (G), 0 < 0,- < ah и такие, что Л(С)П5Р, обвалакивает сферу дР,, t= 1, 2. Нам достаточно доказать, что если для ахС(—0П 0^ и а2€(—®2, 02) существует yglsom^n+1 такое, что для всех g^G

Pi (“i) (g) = У 02 (а2) ^У'Г\ (9.64)

то aj —а2 и P.2^G(P1').

Обозначим через /а.: Hn+1Нп+1 отображения, задающие представления Р, (а(). Тогда из (9.64) видим, что квазиконформное отображение /‘^уо/а, коммутирует с элементами g группы G и, поэтому его продолжение на dHn+1 — S" оставляет неподвижными точки x£A(G):

чМх^аДх). (9.65)

Так как Л(С) П &Рг обволакивает(п-2)-мерную сферу дР2адНп и A.(G) <£ дРДСр^Су то Л(С) обволакивает сферу Sn~1 — dHn. Покажем, что отсюда и из (9.65) следует выполнение (9.65) для всех х£.Нп.

В самом деле, из конформности (для всех g С G) сужения fa, |д(ор,) следует, что отображение /а, | G (ар,) определяется отображением /а, | д (о. Если, кроме того, U есть любая компонента множества Hn\G(P1) и R, Q — образы плоскости Ри прилегающие к U, то U конформно отображается отображением /«, в сферу, обволакиваемую множеством taAQGRy Это показывает, что отображение /а, | н» определяется своими значениями на G(dPT) и, следовательно, своими значениями на A(G). Аналогично, отображение /а21 и" определяется своими значениями на Л(С). Отсюда непосредственно следует справедливость (9.65) для всех х£Нп.

Из (9.63) в частности видим, что у отображает вполне геодезические куски поверхности /а, (Яп) на вполне геодезические куски поверхности /а, (Нпу Этот факт доказывает равенство aj = a.2 и влечет, что отображение /^у/а, переводит множество G(P2) в множество С(Р2у Тождество (9.65) завершает доказательство того, что G (Р,) = G(Р2) и, вместе с этим, доказательство теоремы.

Следствие 9.45 (Коуроуниотис [1], Джонсон, Миллсон [1]). Если СсНотЯ" — дискретная группа без кручения, для которой гиперболическое многообразие Hn/G компактно и содержит т не- пересекающихся вполне геодезических (п—1)-мерных связных подмногообразий, то существует гладкое вложение т-мерного шара в пространство Тп (Gy

Инфинитезимальные деформации изгибаний и сингулярности пространств /?„((?) и Tn(G). Для определения инфинитезимальных деформаций для изгибаний, определяемых вполне геодезическими гиперповерхностями в HnlG (см. предыдущие пункты), начнем с вычисления векторных полей, соответствующих семейству квазиконформных гомеоморфизмов /а: Нп+1-^ Нплг.

Имеем для отображения Фа из (9.60) и инволюции /: С * С, / (z) = — z:

(Фа(2))= IZ- da [а=0х' " da |а=о и \ и

Поэтому для отображений фа из (9.61) получаем векторное поле

Пусть также задано векторное поле |: х>—?--^-|а_о (ФаМ)-

Если теперь RG3> = G(P') и фд,а = Уя-Фа-Уя1 (где РаНп — изгибающая гиперплоскость для G), a ^R определено в (9.62), то, используя заданное в (9.15) действие Isom Нп+1 на векторных полях, можем записать

Это свойство дает возможность определить для отображений /а векторное поле из (9.14):

Reg1.

Как было показано в п. 3 § 1, по такому векторному полю задается инфинитезимальная деформация для (/а)ае/ —/?„ (G), а именно элемент cC//I(G,S„ + 1)(5„ + 1—алгебра Ли для I som /7П + 1), задающийся векторным полем (ср. (9.16))

с ^ М = ж L о ^“ (б)= е (х) - 6. е (х) =

= 2 [Тт? - в (х) — (6уЛ) - g (х)] = 2 [T^(*)-(s-V6-*wHto]..

Re.?R\e?

где 8 £ G.

Последнюю сумму можно существенно упростить. А именно,, если 6(6-1(/?)^) = ^^, то у^буб-чд) сохраняет ориентацию шара Вп~1 и имеет место равенство

6у6-№ Цх) = чк ЦхУ - . .■' "

Если же 8(8-1(^)о)¥=^о', то §- = уд18у6-1(д) изменяет ориентацию.

шара Вп-1 и, как было замечено выше, §’-ф± = фт-§'. Поэто»|у' и в этом случае имеет место равенство '; у-лн

Vs ^W —(6Y6-(7?))^W = T/? xW- :Л,м’ '

Это завершает доказательство следующего утверждения (Коуроу- ниотис [1]):

Предложение 9.46. Пусть GczlsomН" — конечно порожденная дискретная группа и РсН" — ее изгибающая гиперплоскость. Тогда инфинитезимальная деформация для изгибания вдоль Р представляется скрещенным гомоморфизмом cPGH}(G, '*Dn+i),

Cp(6)W = 2{T«-xW: R^G(P) и R^b^-^R^.

Подробное алгебраическое исследование свойств инфинитезимальных деформаций для изгибаний 0: (—6, 0) ~Rn(G) (точнее, для их алгебраического аналога) читатель может найти в работе Джонсона и Миллсона [1]. Здесь мы кратко остановимся на связи их свойств с возможными сингулярностями пространств Rn (G) И Tn(G).

Очевидно, что в случае отсутствия у пространства R„ (G) сингулярностей каждым двум деформациям 0, и 0, группы G с инфинитезимальными деформациями сп c.i£H1(G, ^X-h) должна отвечать деформация 0, задающаяся инфинитезимальной деформацией сг + + с2СД1(С, ^п+1). Однако, исследуя кокомпактные дискретные без кручения группы Gczlsom Нп, задающиеся арифметической конструкцией Бореля (см. § 1 гл. 4), Джонсон и Миллсон [1] показали, что если 01 и 02 являются изгибающими деформациями относительно пересекающихся вполне геодезических гиперплоскостей Р, R<z.Hn, PnR=^0, т. е. относительно пересекающихся вполне геодезических гиперплоскостей в многообразии HnlG, то при п^4 инфинитезимальная деформация ср^ сR£ Н1 (G, ^n + i) не является (вообще говоря) интегрируемой. Таким образом, пространство Rn (G) квазифуксовых представлений имеет представление р0 включения Gc Isom Hn+1 своей сингулярной точкой. Более того, если гиперплоскость Q — Hn, G(Q) A (G (Р) A G (R)) = 0, также является изгибающей для группы G, то, как было показано выше, изгибание 0q вдоль Q не изменяет представления р0 на стабилизаторах Gp и GR. Поэтому кривая в Rn(G), отвечающая деформации 0q, состоит целиком из сингулярных точек.

Доказательство этих фактов получается с использованием необходимого условия интегрируемости инфинитезимальных деформаций, дающегося предложением 9.12. А именно, проверяется, что для коцикла ср+сЛ С Н1 (G,>^n+1) его ^-произведение(ср+сд)^ v>(cp-\-cR), когомологичное 2(cp\jcr) и задаваемое по формуле (9.17), является ненулевым элементом второй группы когомологий

H2(G, -би+1) при п^4. При п = 3 этот подход становится невозможным в силу того, что при п = 3 всегда cp\jcr = 0, так как H4G, £>4) = 0.'_

Отметим также, что при указанном подходе остается невыясненным вопрос — имеют ли возникающие сингулярности в пространствах Rn (G) и Тп (G) топологический характер и существуют ли сингулярности в пространствах Я3(С) и Т3 (G) (ср. предл. 9.48)?

Деформации вдавливания и вдавливания с кручением. Эти вопросы в некоторой степени проясняет приводимая ниже конструкция, основанная на примере 5.74 группы-стручка и на полученных нами в § 6 гл. 5 свойствах границы оболочки Нильсена Но предельного множества A(G) (Апанасов [36, 39]).

Пример 9.47. Пусть Goc Isom Я3 — дискретная группа, vo\H3/G<oo, фундаментальный полиэдр Ро = P0(G)c:H3 имеет все двугранные углы л/3 и ограничен восемью 2-плоскостями, опирающимися на окружности, показанные на рис. 36. Пусть Ръ Р», Р3 с Я3 —плоскости, абсолюты которых dP;c:dH3 — R2 являются следующими прямыми:

^x^R2: х^О], ^x^R2: x1 = Vr3-x2),.

{xg/?2: Xi = — К3х2}.'■

Выполнение (9.58) для Pt и теорема 9.40 показывают наличие деформаций Рд (—0,-, 0,)Я$(Оо) с инфинитезимальными элементами с, —Ср. (см. предложение 9.46).

Рассмотрим теперь для любого а из полуинтервала (а0, 2л/3], а0 < л/2, квазифуксову стручок-группу G (а) с: Isom Я4, задающуюся правильным трехгранным углом De„ (a) cz R3 с плоским углом а в начале координат и единичными векторами на ребрах: Ui(a) = elt у, (а), у3(а): (у,-, у,) = cos а для всех i^j. А именно, аналогично примеру 5.74, G(a) задают восемь сфер в R3, ограничивающих ее фундаментальный полиэдр PaaR3\

''V' 'Vz(«) + y/(a)\

Sk (a) = S2( р (a) • — , r(a)L о с

7 ^V7 ]<2(l + cosa)V(9.66)

■-., Sp (a) = S2(p(a)-yft(a), r (a)),

/(a) = S2(0, Я (a)), I'^ = S2^, R'^,

где (i, /, К) получаются различными перестановками из (1, 2, 3). Определяемые с точностью до множителя X > 0 числа р, г, R иЧФ при нормировке р(а) = К 3 задаются равенствами

(9.67)(9.67)Я(а) = К 3 cos-^-— sin-^ ,

(9.67)

(9.67)

Р'^а^У^ 3 cos ^ + sin -^ , г (а) = 2 sin .

Теперь, как и в доказательстве теоремы 9.40, построим q (a) квазиконформное отображение /а: Я4 —>■ Я4, согласованное с груп

13 Б. Н. Апанасов

370 ГЛ. 9. ПРОСТРАНСТВА ДЕФОРМАЦИЙ ГРУПП И СТРУКТУР пой Go (продолжая, согласованно с группами отражений Go = = С(2л/3) и G (а), квазиконформное отображение сра: Pq- > РХ их фундаментальных полиэдров). Семейство таких отображений {/„} зависит вещественно-аналитически от а (см. (9.66) и (9.67)), и задает квазиконформную деформацию группы Go:

о: (а0, 2л/3] — Ra(G): а^1*а.

Из конструкции о видно, что она задает одновременные изгибания (на равные углы а, = а,(а), i = l, 2, 3) относительно плоскостей Рг, Р2, Р3, но не сводится к ним. Последнее следует из того, что при этой квазиконформной деформации группы Go уменьшается длина гиперболических переносов в G (а), соответствующих растяжению I —* Г в группе Go. Это показывает, что инфинитезимальная деформация са такова, что скрещенный гомеоморфизм са — с, — с2 — с3 задает ненулевой элемент №(G0, Ж3).

Предложение 9.48. Представление. о(а) = ра, а0 < а < <2л/3, имеет открытую окрестность в R3(G3), не пересекающуюся с подмножеством, соответствующим изгибающим деформациям.

Доказательство. Заметим, что для любой группы G = = pG0, где представление р С Rn (Go) получено изгибанием вдоль некоторого семейства непересекающихся гиперплоскостей в И", граница ее выпуклой оболочки Нильсена HGciHn + Y изометрически развертывается в гиперболической «-плоскости НпоНп*4 (см. § 6 гл. 5). В то же время, как было замечено в теореме 5.75 и замечании 5.76, для каждого а^(а0, 2л/3) граница оболочки Нильсена Нв(а) группы G(a) может быть развернута в гиперболическую плоскость Н8 лишь при помощи квазиизометрии Н*, растягивающей двугранные углы раствора а до углов раствора 2л/3. Это показывает, что коэффициент квазиконформности любого отображения /: Н4 —>■ Н4, сопрягающего группы G и G (а), не может быть меньше 2л/3а > 1 и, тем самым, завершает доказательство.

Замечание 9.49. Построенную деформацию о естественно назвать деформацией вдавливания орбифолда H8lGa вдоль замкнутой геодезической, по которой пересекаются вполне геодезические поверхности St= P^Gf., i=l, 2, 3,— в случае п = 2 ей отвечает вдавливание римановой поверхности в точке пересечения геодезических (рис. 80). Остается открытым вопрос о существовании подобных деформаций вдавливания вдоль вполне геодезических поверхностей коразмерности 2 в больших размерностях (п^4).

Кроме деформаций изгибания и вдавливания мы построим сейчас еще один тип деформаций конформной структуры гиперболического (замкнутого) 3-орбифолда H8/G — вдавливание с кручением вдоль геодезической. Для его определения мы рассмотрим некоторые специальные квазифуксовы группы на 3-сфере, в некотором смысле подобные группе Ергенсена [3]: как и эта группа, они являются полупрямым произведением геометрически бесконеч-

13. ПРОСТРАНСТВО КВАЗИФУКСОВЫХ ДЕФОРМАЦИЙ 371

Рис. 80 . ,Рис. 80 . ,

Рис. 80 . ,

Рис. 80 . ,

ных нормальных подгрупп*и подгрупп подобий с представлением <х, у. хтуп=1'> (см. Апанасов [36, 40]).

Пример 9.50. Как и выше в примере 9.47, мы зададим

группу GcMdb(2) и ее квазиконформную деформацию ptG =

= GfCMob(3) при помощи семейств сфер в R3. А именно, для любого X > 1 рассмотрим на комплексной плоскости С = R3 три окружности 5г = 5Чгь г,) с центрами z; и радиусами г,- такие, что гх = 1, r2 = X, г3 = Х3, а окружности s,- ограничивают дуговой треугольник, все углы которого равны л/4. Теперь обозначим через z0 наиболее удаленную от точки гг точку пересечения окружностей

{z € С: |z2-z|/|z1-z| = =Х] П {z^C: | z3 —z |/

/I Zj —z| = X3}.

Обозначим через a > 0 и P > 0 соответственно углы между векторами z2 —z0, 21 zo и Z3 Zo, ZY Zg (рис. 81). Применяя перенос на плоскости С, мы можем при этом считать,

чтог0 = 0. Определим локсодромические преобразования 7Дг)= = Хе‘“-г, 72 (г) = Х3е-'р-г, где 71(s1) = s2, T2(sV) = s3. Изопределения углов а = а(Х) и 0 = 0(Х) видим, что lim а (X) = Нт 0 (X) = О,

Х->-1 Х-<-1

а при больших X сумма а(Х) + 0(Х) становится больше л/2. Это показывает, что существует целое т > 0 и соответствующее ему значение X = X(m)> 1 такие, что За (X) + 0 (X) = 2л/т, а 7, и 72 порождают элементарную группу Н = <Т1, 72: Т^пТ;т = 1>.

Полученные в результате наших конструкций числа m, X = — Х(т), а = а (X (т)) и ] Zj | удовлетворяют системе уравнений (теорема косинусов) -

( X2 + XK'2 + l = |z1|2(l—2Xcosa + X2),

J Х6 + Х3Г^+1=|г112(1-2Х3соз(-^-За)+Х3), (9 68) XHX^^ + X^lzJ2 fx2-2X4cos -га^+Х6).

Л' \ \ \ tn J J ' '

Рассмотрим окружность Тг (s3) = 72 (s2) и обозначим через s4 окружность, ортогональную ей и окружностям s2 и s3; пусть также окружность s6 (непересекающаяся с окружностью s4) ортогональна окружностям sn s2 и s3 (см. рис. 81). Пусть теперь 2-сферы S/cR8 ортогонально пересекают плоскость R2 по окружностям s,-, 1^15^5, и Н (ST и S4 U S5) = 5. Тогда сферы семейства S ограничивают в R8 конусообразный (бесконечносторонний) сферический полиэдр Р (его связная компонента в полупространстве R3+ s Н3 есть гиперболически выпуклый полиэдр), двугранные углы которого равны либо л/2, либо л/4:: -

Р = П{extS: h(Si) = S, h^H, i = 1, 4, 5}. ' (9.69)

Пусть теперь дискретная группа ГсМбЬ(З) порождается отражениями в гранях полиэдра Р (т. е. отражениями относительно сфер семейства S), являющегося ее фундаментальным полиэдром (следствие 3.30). Так как элементы группы Н переставляют стороны полиэдра (9.69), то НГЬ.-1 = Г для всех h^H, а полупрямое произведение G =/Ух Г с Mob (3) есть ко-компактная фуксова группа: П (G) = 7?3\7?2.

Для построения нужной нам квазиконформной деформации группы G мы построим семейство квазифуксовых групп {Gt}c: сМбЬ(З), гладко зависящее от параметра t^R, /£(—е, е), G0 = G.

А именно, для достаточно малого е>0, для любого /£(—е, е) и для любого числа X > 1 рассмотрим три сферы S,- (/) = S2 (х), г^), 1 = 1, 2, 3, с центрами x^R3 = CxR и радиусами г), задающимися условиями:

г)=1, [г? = х, Г? = Х3;

x) = (z), /), ^ = (^, X/), x^=(zt X3/).

Каждая из сфер S,- (/) пересекается с двумя другими под углами л/4..

Во внешности сфер £,(/) рассмотрим аналог точки z0, т. е. точку x" = (z", 0), являющуюся наиболее удаленной от х) точкой пересечения плоскости Сх {0} с окружностью, получающейся в результате пересечения двух сфер:<

{х^/?3: |х^ — х|/[х^ — х| = X} n {х€7?3: | х? — х |/| xj — х | = X3}. '

Точка х“ гладко зависит от / и lim х? -= z0.

>0

Обозначим через at = a(/, X) > 0 и 0((/, X) > 0 углы между ортогональными проекциями на плоскость Сх{0} векторов (х2 —х"), (х)— х”) и (х)—х?), (х) —х“) соответственно. Применяя перенос xt—>(х — х?), мы можем считать, что х“ = 0. Определим тогда ортогональные матрицы

/ cosaj sin а/ 0\/cos Pt —sin Pt 0\

Л#=|— sin at cosat ol Bt=lsinPt cos Pt 0 I "\001/\ 001 /

задающие подобия Tlt (x) = ХЛ#-х, Т'2/(х) = Х3В,-х, причем ^(SJOWJO. T2t(S1(0) = S3(0.

Кроме того, для целого числа т, заданного при определении подгруппы НсG найдется число Xt = X(m, /) такое, что 3a(/,X(m)) + + Р(/, Х(т)) = 2л/т, а подобия Tlt, T2t порождают группу Ht = H. Найденные числа Xt = X(m, t), at — a(t, "Цт, t)) и j z/1 являются решениями аналога системы (9.68), составляемой по нашей геометрической конструкции применением теоремы косинусов:

( X2t + XtK 2+ l = |z)|2(l-2XtCOsat + X?) + ^(Xt-l)2, J Х? + XZ3K"2 + 1 = | z) |2 f 1 - 2X? cos - За,) + X?) + t2 (X3 - 1 )% [ X? + X?Г 2 + X? = I z) I2 ( X? -2X?COS (^ - 2at) + X?) +t2 ^-^.

Важно отметить, что в силу гладкости этой системы по t, указанные параметры семейства сфер S^t) и группы Ht гладко зависят от / и при стремлении t к нулю стремятся к параметрам из (9.68), определяющим группу Нп — Н.

Определим еще две непересекающиеся сферы S4 (i) и S5 (/), ортогональные соответственно тройкам сфер 7"1/(53(/)) = 7'2,(52(/)), S2 (/), S3 (0 и Si (/), S2 (/), S3(t) и непересекающиеся с другими сферами из //г°рбиты сфер Sz(Z), t= 1, 2, 3. Последнее свойство является определяющим для е > 0, задающего границу изменения параметра t. Обозначим St = ^t (Si (0 U S4 (t) и S5 (/)). Сферы этого с емейства ограничивают конусообразный, бесконечносторонний сферический полиэдр PtcR2 с двугранными углами л/2 и л/4 (аналог Р — Р6\ Как и выше, дискретная группа rtcM6b(3)t

порожденная отражениями в гранях полиэдра Pt, сохраняется элементами группы Ht (автоморфизмами границы дР^\ /1Г(А~1 = Г<, h^Ht и поэтому их полупрямое произведение Gt = Ht |>< Ft дает дискретную (квазифуксову) группу, изоморфную группе G = G0. Продолжая 2-сферы семейств 2 и S# до 3-плоскостей гиперболического пространства Н4^!^, мы получаем ограниченными ими полиэдры Р4 и Р4, которые квазиконформно отображаются друг на друга с соответствием граничных сфер. Это позволяет нам стандартным образом (см. теорему 9.40) построить согласованный с группой G квазиконформный гомеоморфизм /у: Н4—*Н4, индуцирующий изоморфизм ft: G-* ftGf74 = Gt. Таким образом, в пространстве квазифуксовых представлений группы G мы имеем гладкий путь, задающий третий тип деформации

oT: (—е, e)—*Ts(G): (9-70)

Эта деформация и есть «вдавливание с кручением-» орбифолда №!G вдоль замкнутой геодезической, накрываемой осью {x^/?^:^i = — х2 = 0} = /я локсодромической подгруппы HcG. Ее инфинитезимальная деформация сСТт € Н1 (G, ЭЛ3) задается векторным полем, касательным к оси 1н-

Замечание 9.51. Отличие вдавливаний о от изгибаний р фуксовой группы GcMob (3) характеризовалось наличием у границы оболочки Нильсена Но № а

Рис. 82квазифуксовой группы o(a)G

полиэдральной конической особенности (см. предложение 9.48), невозможной у групп P(a)G. Точно также характеризуется отличие вдавливания с кручением от от вдавливаний и изгибаний: граница дНОх w g имеет изометрически неразворачиваемую особенность типа кругового конуса (без наличия плоских кусков, как в случае о) (рис. 82).

Последний факт связан с тем, что множество разрывности квазифуксовой группы Gt = cx^G (см. (9.70)), содержит максимальную коническую область С (0, со), т. е. круговой конус с осью (xGRs: Х! = х2 = 0} (см. § 6 гл. 5 (ср. пример 5.64)), на границе которого предельные точки образуют иррационально закрученную «спираль».

Заметим наконец, что сравнение свойств построенных выше трех видов деформаций — изгибаний, вдавливаний и вдавливаний с кручением — со свойствами предельных множеств общих квазифуксовых групп (ср. теорему 5.65) позволяет предположить (по крайней мере при п = 3) следующее.

Гипотеза 9.52. Пусть ГсМбЬ(л—1), л^З, vol №/Г < < оо,— ко-конечная группа и f: Sn —* Sn — ее квазиконформное сопряжение такое, что G = /Г/""1 с:Mob (л). Тогда квазифуксова группа G может быть получена из Г в результате суперпозиции деформаций изгибания, вдавливания и вдавливания с кручением вдоль вполне геодезических подорбифолдов в HnfT соответствующих размерностей.

Деформации клейновых групп ' и конформных структур ‘ '

Деформации клейновых групп. Пусть G с Mob (л) —некоторая клейнсва группа, гомоморфизм включения для которой является устойчивым представлением в смысле определения 9.2. Как видно из теорем 9.3 и 9.5, для выполнения этого условия группе G достаточно иметь подгруппы, квазиконформно сопряженные фук- совым группам первого рода на л-мерной сфере Rn. Для группы G можно рассмотреть (аналогично § 1) пространства (афинные алгебраические многообразия) Hom (G, МбЬ(л)) и Нот (G, Mob (л))/МбЬ(л) дискретных представлений, сохраняющих тип элементов (биектив- ность на параболических элементах). Рассматривая подмножества их внутренних точек, распадающихся на компоненты связности, можем применить к ним теорему стабильности Салливана [7]:

Теорема 9.53. Геометрически конечные клейновы группы без кручения Gc.N\ob (л) без параболических подгрупп ранга меньше л—1 являются квазиконформно стабильными, т. е. достаточно близкие к включению элементы Hom (G, Mob (л)) являются К-ква- зиконформными сопряжениями группы G с малым Л — 1.

Эта теорема показывает, что для указанных групп G одной из компонент int [Hom (G, Mob (л))/МбЬ (л)] является пространство Tn(G) = -Р„(6)/МбЬ(л) всех квазиконформных сопряжений группы G на сфере S", топология которого совпадает с топологией Тейхмюл- лера (см. (9.46)).

Рассматривая в int (Hom (G, Mob (л))/МбЬ (л)) непрерывные или гладкие кривые, мы приходим, как и в определении 9.6, к понятию деформаций группы G.

Деформации конформной структуры орбифолда £2 (G)/G тесно связаны с деформациями клейновой группы 6сМбЬ(л). При л = 2 эта связь хорошо видна из следствия 9.30 и п. 1 в § 1. При л^З основным фактом, устанавливающим такую связь, является теорема 9.1 о голономии. Как мы видели в п. 2 § 1, ее следствием является локальная гсмесморфнссть пространства униформизи- руемых отмеченных конформных структур (Я"/Г) (точнее, его компоненты, содержащей гиперболическую структуру) замкнутого гиперболического орбифолда Нп[Г пространству Тп (Г) классов сопряженности квазиконформных представлений ко-компактной фуксовой группы ГсМбЬ(л). Аналогичная ситуация имеет место

и для клейнозой группы GcMob («), у которой предельное множество A(G) отлично от (« — 2)-мерной сферы. Эти факты позволяют переформулировать изложенные выше результаты о деформациях клейновых групп как результаты о конформных структурах с несюрьективными развертывающими отображениями. В частности, это касается деформаций изгибания, вдавливания, вдавливания с кручением вдоль вполне геодезических подорбифолдов соответствующих размерностей, размерности пространства деформаций ё (Q(G)/G), наличия у этого пространства особенностей. В качестве результатов о конформных структурах с нефуксовыми голономиями мы приведем в следующем пункте четыре конструкции деформаций невырожденных В-групп.

Пространство 8 (М) униформизируемых отмеченных конформных структур на трехмерном гиперболическом многообразии М = //3/Г мы рассмотрим более подробно.

Здесь, в отличие от случая двумерных конформных структур, встает вопрос о связности пространства ^ (М) даже для замкнутого многообразия М. Иными словами, будет ли каждая структура с^ё(М) иметь несюрьективную развертку, задающую представление голономии d*: Г—*М6Ь(3) (с дискретным действием группы голономии G = d*r на односвязной компоненте Qoc:Q(G), Qo/G « М), не лежащее в замыкании пространства квазифуксовых представлений?

В теореме 9.58 мы ответим на этот вопрос отрицательно, по модулю гипотезы 9.52 о виде деформаций группы Г, дающих квазифуксовы группы, т. е. об исчерпании таких деформаций изгибаниями и вдавливаниями.

Другой интересной задачей является вопрос о компактности пространства ^ (М) униформизируемых конформных структур на замкнутом гиперболическом многообразии М. В случае же его некомпактности —вопрос о свойствах его граничных точек (ср. §5). Эта задача непосредственно связана с результатами Моргана —Ша- лена — Тёрстона о компактности пространства гиперболических структур на заданной группе (см. Тёрстон [2], Морган [2, 3] и Морган —Шален [1]). Мы приведем ниже один из таких результатов, для формулировки которого дадим точные определения.

Зафиксируем некоторую конечно порожденную группу G без кручения. Гиперболическая n-мерная структура на группе G определяется парой (М, ф), где М — полное гиперболическое «-мерное многообразие, а ф: Gл, (М) —изоморфизм; пара (М, ф) определяется с точностью до изометрий гиперболических многообразий и с точностью до внутренних автоморфизмов групп G илДМ).

Обозначим через (G) множество всех гиперболических «-мерных структур на группе G. Как и в теореме 9.1 о голономии, это множество естественно отождествляется с множеством сопряженных классов представлений р: G^SO(n, 1) с дискретными образами pG и, поэтому, пространство ^"(G) имеет естественную

топологию, индуцированную топологией алгебраической сходимости в пространстве представлений Hom(G, SO(n, 1)). А именно, представления близки, если они близки на конечном множестве порождающих группы.

В качестве примера рассмотрим замкнутую ориентируемую поверхность Sg рода g > 1 и пусть G — ее фундаментальная группа. Тогда <%’2(G) есть пространство Тейхмюллера группы G, гомеоморфное R6^-6. С другой стороны, для замкнутого гиперболического л-мерного многообразия Мп, п^З, пространство гиперболических л-структур на группе С = л1(Л4"), ^"(G), является точкой в силу теоремы жесткости Мостова (см. теорему 9.13).

Как слабая версия теоремы жесткости Мостова для гиперболических многообразий бесконечного объема, имеется следующий результат (Морган [2]):

Теорема 9.54. Пусть М3 —полное гиперболическое трехмер* ное многообразие с конечно порожденной фундаментальной группой 0 = Л!(Л13). Тогда для любого п^З пространство ^"(G) компактно, если и только если группа G не имеет разложения одного из следующих типов:

G = A*CB, где объединенная подгруппа С является циклической подгруппой бесконечного индекса в группах А и В;

G = A*C, где С — циклическая группа.

Из этого результата в частности следует, что пространство <%’” (лх (Л43)) компактно тогда и только тогда, когда компактно пространство Ж3 (л, (М3)). Таким образом, имеет место

Следствие 9.55. Если М — гиперболическое 3-многообразие конечного объема, то для любого п^З пространство $%п (лх (М)) компактно. ••

В то же время мы видим, что для гиперболического л-много- образия Л4 конечного объема пространство ^(М) отмеченньщ униформизируемых конформных структур на М образует подпространство в пространстве ^n+1 (л, (М)) (л+1)-мерных гиперболических структур на фундаментальной группе лх (Л4). Точкам этого подпространства отвечают классы сопряженности представлений р: Л! (М) —* SO (л+ 1, 1) с дискретным образом р(л1(Л1)), действующим разрывно на бесконечно удаленной сфере Sn = dHn*1 гиперболического пространства Нп+1. Отсюда и из следствия 9.55 непосредственно получаем

Следствие 9.56. Пусть М —полное гиперболическое 3-многообразие конечного объема. Тогда пространство % (44) отмеченных униформизируемых конформных структур на М имеет естественную компактификацию *6 (Л4), каждой точке которой соответствует точное представление р: лх (Л4) —* Mob (3) с дискретным образом.

Теорема 9.57. Пространство Sg (М) отмеченных унифарми- зируемых конформных структур на замкнутом гиперболическом

п-мерном многообразии М, п^З, имеющем по крайней мере две непересекающиеся вполне геодезические гиперповерхности, не является компактным.

Доказательство. Рассмотрим в пространстве ^ (М) гладкую кривую

₽: [О, 1)С^(М),

точкам которой отвечают «квазифуксовы» структуры на многообразии М (их представления голономии являются точками пространства Тп (УИ) и задают в качестве групп голономии квазифуксовы группы на n-мерной сфере S”), а граничная точка Р(1) не содержится в пространстве % (М). Эта кривая строится аналогично кривой в доказательстве теоремы 9.66 и граничная точка Р(1) имеет группу голономии G = G(P(1)) со свойствами группы G(,tu т0) из теоремы 9.66. -

В частности, множество разрывности Q(G)cS" имеет ровно две (инвариантные) компоненты Qo и Qn причем каждое фактор- многообразие ОфС, i = 0, 1, не является компактным, так как оно имеет параболические концы, отвечающие случайным параболическим элементам группы G. Это противоречие с замкнутостью многообразия М завершает доказательство.

Следующее утверждение отвечает на вопрос о несвязности пространства ^ (М) униформизируемых конформных структур для некоторых замкнутых гиперболических 3-многбобразий.

Теорема 9.58. На замкнутом гиперболическом 3-многообразии Л4 = H'yV с достаточно большим числом непересекающихся вполне геодезических поверхностей существует униформизируемая конформная структура с^ (М) со следующими свойствами:

c = f(c0) является квазиконформным образом естественной конформной структуры с0 на М, индуцируемой гиперболической метрикой;

ее группа голономии G = dj? с Mob (3) не содержит параболических элементов и имеет инвариантной компонентой топологический шар S20cQ(G)cS3;

ее представление голономии d* не лежит в замыкании пространства изгибающих и вдавливающих представлений группы Г.

Доказательство. Мы построим искомую структуру дС^(Л1), модифицируя конструкцию § 3 гл. 7 нетривиальных гомологических четырехмерных кобордизмов, у которых одна компонента края являлась замкнутым 3-многообразием, допускающим гиперболическую структуру.

А именно, при построении искомой клейновой группы G = d*V, GczM6b(3), мы рассмотрим (как в подп. (7.3)) свободные произведения с объединенными подгруппами с тем отличием, что исходные зацепленные области D(xlf х^, D(xi, Хз), D(xs, х() являются объединениями шестиугольных призм Р (й, п) со следующими номерами (ср. подп. 7.2):

D (xs, *1):D (xs, *1):(17,33) (17,26) (17,17)(16,17)(15,17)-(14,17)'(13.17У.(12,17)(17,33) (17,26) (17,17)(16,17)(15,17)-(14,17)'(13.17У.(12,17)(9,42) (8,42) (7,42)(6,42)(5,42)(4,42)(3,42) (2,42) (1,42)(9,42) (8,42) (7,42)(6,42)(5,42)(4,42)(3,42) (2,42) (1,42)(11,17)(10,17)(9,31)(9,24)(9,16) (9,17)(11,17)(10,17)(9,31)(9,24)(9,16) (9,17)(12,28) (12,29)(11,28)(10,28)(9,28)(8,28)(7,28)(12,28) (12,29)(11,28)(10,28)(9,28)(8,28)(7,28)(12,30) (12,31) (12,32) (12,33) (12,34)(12,30) (12,31) (12,32) (12,33) (12,34)D.(xi, х2):D.(xi, х2):(6,28)[(6,20) (6,12)(5,12)(4,13)(4,12)(3,13)(6,28)[(6,20) (6,12)(5,12)(4,13)(4,12)(3,13)(2,13) (1,14)-(1,13)47,14)(16,14)(15,14)(14,14)(13,14)(12,14)(11,14)(10,14)(9,14)(8,14)(7,14)(6,14)(2,13) (1,14)-(1,13)47,14)(16,14)(15,14)(14,14)(13,14)(12,14)(11,14)(10,14)(9,14)(8,14)(7,14)(6,14). О (^. *»):. О (^. *»):(6,23)(6,31)(6,38)(6,23)(6,31)(6,38)(11,34)(10,34)(9,34),(8,34). '(7,34)(6,34).(5,34)(4,34)(3,34)(2,34)(1,34) (1,33)(17,44) (17,48) (17,47) (17,42)(16,44)'(15,44)■ ■(14,44)■(13,44)'(12,44).(11,44). ' :(10,44)■(9,44)(8,44).■(7,44)''(6,44)'(11,34)(10,34)(9,34),(8,34). '(7,34)(6,34).(5,34)(4,34)(3,34)(2,34)(1,34) (1,33)(17,44) (17,48) (17,47) (17,42)(16,44)'(15,44)■ ■(14,44)■(13,44)'(12,44).(11,44). ' :(10,44)■(9,44)(8,44).■(7,44)''(6,44)'

D (xs, *1):

D (xs, *1):

(17,33) (17,26) (17,17)

(16,17)

(15,17)

-(14,17)

'(13.17У

.(12,17)

(17,33) (17,26) (17,17)

(16,17)

(15,17)

-(14,17)

'(13.17У

.(12,17)

(9,42) (8,42) (7,42)

(6,42)

(5,42)

(4,42)

(3,42) (2,42) (1,42)

(9,42) (8,42) (7,42)

(6,42)

(5,42)

(4,42)

(3,42) (2,42) (1,42)

(11,17)

(10,17)

(9,31)(9,24)(9,16) (9,17)

(11,17)

(10,17)

(9,31)(9,24)(9,16) (9,17)

(12,28) (12,29)

(11,28)

(10,28)

(9,28)

(8,28)

(7,28)

(12,28) (12,29)

(11,28)

(10,28)

(9,28)

(8,28)

(7,28)

(12,30) (12,31) (12,32) (12,33) (12,34)

(12,30) (12,31) (12,32) (12,33) (12,34)

D.(xi, х2):

D.(xi, х2):

(6,28)[(6,20) (6,12)

(5,12)

(4,13)(4,12)

(3,13)

(6,28)[(6,20) (6,12)

(5,12)

(4,13)(4,12)

(3,13)

(2,13) (1,14)-(1,13)

47,14)

(16,14)

(15,14)

(14,14)

(13,14)

(12,14)

(11,14)

(10,14)

(9,14)

(8,14)

(7,14)

(6,14)

(2,13) (1,14)-(1,13)

47,14)

(16,14)

(15,14)

(14,14)

(13,14)

(12,14)

(11,14)

(10,14)

(9,14)

(8,14)

(7,14)

(6,14)

. О (^. *»):

. О (^. *»):

(6,23)(6,31)(6,38)

(6,23)(6,31)(6,38)

(11,34)

(10,34)

(9,34),

(8,34). '

(7,34)

(6,34).

(5,34)

(4,34)

(3,34)

(2,34)

(1,34) (1,33)

(17,44) (17,48) (17,47) (17,42)

(16,44)'

(15,44)■ ■

(14,44)■

(13,44)'

(12,44).

(11,44). ' :

(10,44)■

(9,44)

(8,44).■

(7,44)''

(6,44)'

(11,34)

(10,34)

(9,34),

(8,34). '

(7,34)

(6,34).

(5,34)

(4,34)

(3,34)

(2,34)

(1,34) (1,33)

(17,44) (17,48) (17,47) (17,42)

(16,44)'

(15,44)■ ■

(14,44)■

(13,44)'

(12,44).

(11,44). ' :

(10,44)■

(9,44)

(8,44).■

(7,44)''

(6,44)'

восем-восем-Кроме того, области D (*, *) мы дополним на нулевом и

восем-

восем-

надцатом этажах шестью усеченными (полуправильными) икосаэдрами Р (0,14), Р(0,33), Р(0,42) и Р (18,14), Р (18,33), Р (18,42) (рис. 83, б), соединяя их с предыдущими этажами шестиугольными основаниями.

Такие усеченные икосадры с правильными пяти- и шестиугольными гранями (длины ребер равны 1) получаются из евклидового икосаэдра Р, с ребрами длины 3 (рис. 83, а). Радиусы описанной и вписанной сфер для икосаэдра Pz равны Rt =

+ к °’. Поэтому+ к °’. Поэтому= 3/V2 (И5— 1) И r1=Rr. 3L2±L=

+ к °’. Поэтому

+ к °’. Поэтому

И 3(10—2/5)

наши усеченные икосаэдры имеют вписанную и описанную сферы

соответственно следующих радиусовсоответственно следующих радиусов

соответственно следующих радиусов

соответственно следующих радиусов

г = К3 (3 + К5)/4, £ = /г2 + 1 = -/58 +18^5/4.

После этого, как и раньше в подп. 7.2 § 3 гл. 7, построим 'семейство сфер &, состоящее из сфер S, радиусов 1^3/3 с центрами в вершинах многогранников Р (к, п) из нашего «здания» D= и О (*, *), а также из дополнительных сфер, покрывающих четырех-, шести- и пятиугольные боковые грани «здания» D (ср.

рис. 63 и 64). Для нахождения центров z0 и z1R изометрических сфер /^ и I' гиперболического отображения h мы рассмотрим шесть прямых L(0, j) и £,(18, /), / = 14,33,42, проходящих соответственно (внизу и вверху) через центры Р(0, j) и Р(18, /) и через центры шестиугольных наклонных граней усеченных икосаэдров, примыкающих к нижним граням Р (0, /) (верхним граням Р(18, /))и обращенным к «оси здания» L, проходящей через центры призм Р (к, 31). Эти прямые будут пересекаться в некоторых точках z0, zlg^£. При этом угол <р между прямыми £(0, /) и}£, £(18, /) и осью L таков, что tg <р/2 = И"3/2г = 2/(3 + К5), т. е. <p = arctg-^. Поэтому расстояние между точками z0 и z18

-V 5

равно

17 + 2(г + 2Кз/1ёФ)=17 + 2КТ5 + КЗ(3 + К5)/2.

.-Радиус р сфер I и Г мы найдем из условия, что они ортогонально пересекают ближайшие к z0 (соответственно, z18) сферы S; С & радиусов V3/3 с центрами в вершинах упомянутых на- клонных^шестиугольных граней Р(0, /) (соответственно, Р(18, /)), /=14,33,42. Имеем

р = ]/ (493 —81К5)/24-

Сферы 7 = S2(z0, р) и Г = S2(zlg, р) ортогональны сфере So =

= S2((z0 + z18)/2, г0), имеющей радиус г„,

r. = /(17/2+r'^5K5tg[p)--p-=j/"92HIS3K3+l«KlS57Ts ,

и центр (z0 + z18)/2 в середине отрезка [z0, г18].

Это показывает, что неподвижные точки р, q ^L гиперболического отображения й^МоЬ(З) (7(й) = 7, I (к- '^Г) находятся друг от друга на расстоянии 2г0« 28,37904.

Вычисления показывают, что клейнова группа 6сМбЬ(3), являющаяся (как в подп. 7.3 §3 гл. 7) ^^/-расширением группы отражений в сферах семейства ^ при помощи отображения h содержит в множестве разрывности Й (G) (в неограниченной компоненте йп л1(й1)=^0) внешность сферы So.

В самом деле, среди сфер семейства ^ наиболее удалены от центра (z0 + z19)/2 сферы So центры сфер 8(^*6 радиуса КЗ/З, центрами которых служат некоторые вершины усеченных икосаэдров. Это максимальное расстояние ртах можно оценить так| 13,578091 « У (17/2 + г)2 + (2ГЗ)2 + г < ртах <

< К(17/2 + г)г+12 + /?« 13,788826.

В то же время вершины шестиугольных призм Р (k, п) с D^,*) удалены от центра сферы So на расстояние, не превосходящее

У (17/2)2 + (К2Т+1)2 ~ 10,169323.

Таким образом, во-первых центры всех сфер семейства ^ лежат внутри сферы So радиуса rQ« 14,18952 (т. е. exIS^c:^) и, во-вторых, сущестувуют три различные максимальные шара В, ^ 53 (6), 1=1,2, 3, такие, что ^р, q^ с дВ; П Л (G), оо£В,, Вх A S2 п S3 =/= 0. Кроме того, непосредственно из нашей конструкции областей D (*, *) и из оценки 10,169323 < ртах следует, что семейство максимальных шаров В; с указанными свойствами инвариантно относительно вращения на угол 2л/3 вокруг оси L «здания» D.

Рассмотрим теперь ко-компактную группу Г с Isom Н3, Г ^ G, которая униформизирует No с дМ (G) — замкнутое 3-многообразие из края нетривиального гомологического кобордизма (М (G); No, N^ (ср. доказательство теоремы 7.23) такое, что существует квазиконформное отображение /: 773/Г —>■ No = й8№.

Из построения группы G мы видим непосредственно, что в гиперболическом многообразии 773/Г не может существовать семейство вполне геодезических поверхностей, пересекающихся по замкнутой геодезической у (соответствующей оси / (у) = = (р, q) с Н4 отображения h) и инвариантного относительно поворота третьего порядка вокруг у (что необходимо для прибли-

женин представления Г G деформациями вдавливания). Кроме того, из результатов об особенностях границы dHG оболочки Нильсена геометрически конечной клейновой группы G (теорема 5.75) и из свойств указанного выше множества максимальных шаров В; с: Qt с: Q (G) имеем следующее:

Граница dHG оболочки Нильсена нашей группы G в окрестности геодезической (р, q) с Н4 может быть развернута в часть гиперболической трехмерной плоскости лишь при помощи квазиизометрии Н4 с коэффициентом квазиизометричности Ко > 1. Поэтому, как и в предложении 9.48, получаем существование некоторой окрестности для представления Г —* G, не пересекающейся с изгибающими деформациями. Это завершает доказательство теоремы.

Замечание 9.59. Из конструкции конформной структуры c = f(c0) на гиперболическом многообразии Л4 = №/Г (т. е. многообразия No = Qo/G с естественной конформной структурой, индуцируемой проекцией л: Qo —* Qo/G) видно, что она получается из естественной конформной структуры Н3,Т в результате изгибаний Н3/Г вдоль большого числа х непересекающихся вполне геодезических поверхностей. Однако отвечающий этой деформации путь, лежащий на вложенном х-мерном торе

Тх с» Нош (Г, Mob (3))/Mdb (3)

и соединяющий структуры с0 и с = /(с0), выходит за пределы ^(М): он состоит в окрестности структуры с = /(с0) целиком из неуниформизируемых структур, которым отвечают недискретные голономии d*. Г —>- Mob (3).

4. Деформации растяжения В-групп. Мы коротко опишем здесь четвертый класс квазиконформных деформаций клейновых групп GcMob(n), отличных от определенных выше изгибаний, вдавливаний и вдавливаний с кручением. Эти деформации «растяжения» связываются с переферическими подгруппами в G и мы их опишем на примере невырожденных В-групп G с: Mob (п), униформи- зирующих дубли гиперболических многообразий конечного объема (см. Апанасов [25, 28] и § 6 гл. 8).

А именно, пусть группа G задается группой Go по формуле (8.8), где 3; — отражения относительно гиперболических п-мерных плоскостей S,- = S;- (г”) с Нп+1, строго инвариантных относительно параболических подгрупп G;с:G (максимальный набор: i— 1, ...,m). Эти плоскости S;(r“) опираются на (п—1 [-мерные сферы dS,\{z,} с Qo, являющиеся «орисферами» радиусов г®, 0 < г®<К, в параболических точках 2,- (см. (8.5)).

Если вместо набора г°=(г?, ..., ^^/"^(О, А)” рассмотреть любой другой набор г = (г15 ..., rm) Е/”,\{г°}, то получаемую для него в (8.8) группу обозначим через G(r):

GH = <G6, ЗД^^), 3^5^, .... З^З^г». (9.71)

Для групп G = G(r°) и G(r) можно построить (при помощи фиксированного фундаментального полиэдра P"+i (Go) a Hn+1, имеющего на своей границе только неэквивалентные параболические вершины zn ..., г,п — см. (8.7)) фундаментальные полиэдры pn+i __ pn+i (G), pn+i _ pn+i ^G(r)') с Нп+1 со свойствами:

Рп+^ и Р"+1 симметричны относительно «-плоскостей St = — Sj (г°) и St (г) соответственно;

каждая из плоскостей St-, 3.3 Д8У), 2-^i^m, содержит «-грань полиэдра Pn+1;

каждая из плоскостей ЗДг), З.(г) 3ДгДЗДгУ), 2^Д<.т, содержит «-грань полиэдра Р"+1.

Пусть теперь фг: Р^1- -Р"+1 является К (г)-квазиконформным отображением, согласованным на дРп + 1 с действием группы G. Это отображение фг задается следующим образом. В окрестностях плоскостей, указанных в 1) — 3), фг есть равномерное растяжение вдоль орициклов пространства Нп+1, ортогональных одновременно плоскостям 3,- и 3,-(г), 3.3 ДЗУ) и 3. (г) 3i (г) (8,- (г)) соответственно, l^i^m. Вне этих окрестностей фг = id в одной из'^компонент дополнения, а в другой компоненте есть параболическое отображение /i(rt) = 3. о 3. (г^ с неподвижной точкой z. (в случае Zi = оо, и еп Д^, имеем h(r.y xr->x + 2еп In (r^r^y При этом Фг (S,- п Р"+Ч с= Sz (г), Фг (^.7,- (Sz)) с 3. (г) 3( (г) (8,- (г)), а К (г) — коэффициент квазиконформности — непрерывно зависит от г и Нш КДг) = 1.

Отображение фг продолжается согласованно с группой G (по симметрии) на все пространство Нп+1 = Hn+1 \j дНп + 1 до /((г)- квазиконформного отображения

fr: Н"^ ->Нп+\

задающего квазиконформную деформацию X: 1т н-> Rn (G) растяжения:

Н^-П'. G^G^ = frGf;4(9.72)

Лемма 9.60. Деформация Л: /'” */?„(G) является вещественно-аналитической .

Доказательство. Из (9.71) видно, что деформация X: г —* f* порождается т независимыми деформациями г^Р,. , l^i s^m. При этом для г = (г!, г2, ..., тт^1т.

Гг: G1 = <G0) 31G031>^<G0, ЗДг^О.ЗДг^у, . - //;.: <G„, 5.0.3., З.Зф^^О., 3.G.3., З.ЗДг^. -

" Используя отображение h^r.y первую из этих деформаций •южно^записать в следующем виде:

Гг.и^ё». frs(,g) = fi(r.)o goh(r.) \

где g0£G0, g^^iG03i, а 11^ = Зг о 31(г1) сопряжено при помощи отображения х*-* Ux ((х — zxy\ х — zx |2), (71бО(«), переносу

х^х + 2е„-1п(г?/г1).(9.73)

Аналогично, если параболические отображения к. (г,) имеют неподвижными точки 2,- и переводят S,- в S,(r), т. е. сопряжены при помощи отображений х\—*Щ ((х—z;)/| х — zt |2), 17, ^О(п), переносом

x-»x + e„-In (г^/г,),(9.74)

то представления /* , 2 ^ i ^ т, записываются в виде:-

f^Wi. rr.(313i) = 31Oh(ri)o3ioh(ri)~\ : v

где gi^Gv.

После этого доказательство следует из вещественно-аналитической зависимости от параметра r£lm переносов (9.73), (9.74).

Теорема 9.61. Пусть фуксова группа Go с: Mob (п) первого рода имеет в шаре Нп к изламывающих гиперплоскостей и т классов эквивалентности параболических вершин. Тогда существует окрестность нуля Wm+k с Rm+k такая, что В-группа GcMob(n), задающаяся в (9.71) по группе Go, имеет нетривиальную деформацию D; Wm+k-^Rn (G). Если при этом р\ Rn (G)->-

Tn (G) =/?п (G)/M6b (n) — естественная проекция, то отображение pD: Wm+k - Tn(G) является вложением.

Доказательство. В силу условия строгой инвариантности относительно своих стабилизаторов для изламывающих плоскостей Pj, 1^/^Cfe (см. (9.58)) и для плоскостей S>, l^z^m, видим, что изгибающая деформация 0: Wk —-Rn(G), задающаяся изгибающей деформацией фуксовой группы Go из теоремы 9.44 (или теоремы 9.35), и деформация растяжения X: Im Rn (G) из леммы 9.60 являются независимыми. Поэтому их суперпозиция дает искомую деформацию

D = (P, X'): Н7”+й=Ц7йх{г-г0: г 6(0, КН — Rn (G), где Х'(г) = Х(г + г°).

Для завершения доказательства теперь достаточно воспользоваться теоремой 9.44 и тем фактом, что рХ: 1т Тп (G) является вложением. Последний факт следует (аналогично доказательству теоремы 9.44) из представления леммы 9.60 и из того, что предельные множества групп G и G(r) = /^(G) симметричны относительно сфер dSj и dS,- (г), t=l, ..., т, соответственно.

5. Группы с предельной кривой; дикий узел. В этом пункте мы рассмотрим деформации клейновых групп Г с: Mob (п), не задаваемые квазиконформными сопряжениями. Более того, мы рассмотрим случай групп, представления включения которых не являются «хорошими»: А(Г) = 5"-2. Для простоты мы рассмотрим случай и = 3, считая группу Г фуксовой группой на плос-

кости (=Гс Isom//2). Начнем с первого известного примера дикого заузления предельной окружности Л(рГ) для некоторого р С Нот (Г, Mob (3)) (см. Ананасов [10, 11]).

Пример 9.62. Пусть окружность SfcRi покрыта конечным числом касающихся друг друга в точках p^S1 кругов bh 1 ^ i $С т, границы которых ортогональны S1 (рис. 84) и пусть сферы 8, с. R3 (ограничивающие шары В,) пересекают ортогональна плоскость R4 по окружностям дЬ;. Рассмотрим фуксову группу-

Рис. 84Tj

Г с: Mob (2), порожденную отражениями у,- относительно ' 'dbiy Л (Г) = S1. Фундаментальным полиэдром Р (Г) для ее действия в S3 является внешность шаров В{. Зафиксируем теперь полигональный узел I с S3 такой, что он покрыт последовательно касающимися друг друга в вершинах q, узла 7 шарами*’с граничными сферами а,-, 1 <i<m (о,- Г) Cj Ф 0 ^ I — / = ± 1 (mod m) (рис. 85)). Пусть G с: Mob (3)—дискретная группа, порожденная отражениями 3t в сферах а;ир: ГG —изоморфизм, р’(у,) = 3;.

Предельное множество A(G)cS3 являетсяX топологической окружностью. Доказательство этого факта немедленно следует из теоремы 7.30 Тукия об изоморфизме (мы получим это’независимо). Покажем, что Л(С) дико заузлена (на плотном подмножестве (ср. предложение 3.13)). Пусть Л(/)={ро5 узла Z} (т. е. минимальный род ориентированной поверхности, натягиваемой на узел Z; h (Z) = 0 <^ k — тривиальный узел). Тогда для любого отражения 3, узел 1г = I # 3,-(1), являющийся композицией узлов одного рода, имеет род h^ = 2h (Z) (см. Кроуэлл, Фокс [1]). Если теперь на множестве сфер 2 = G (ог U ... U а^ задан частичный порядок (по включению) и b; 2 —>■ N — биекция (где Ь- сохраняет этот порядок), то мы получаем нумерацию сфер в 2. Она определяет процесс композиции узлов (см. рис. 85) по

правилу: l} = l^ # g, (/y_i), где ^ — отражение в /-й сфере ■из 2; h{lj) = 2ih(l). Пределом этого процесса и является дикий узел Л(б) (род которого не может быть конечным).

Заметим, что этот дикий узел можно квазиконформно «развязать» в R4. В самом деле, из незаузленности I в R4 следует существование изотопии ф: /?4х[0, 1]^7?4, переводящей окружность В1 с R4 в I так, что для любого t^ [0, 1] квазиконформный гомеоморфизм]^: R4 — ^ переводит семейство касающихся шаров В, в семейство шаров В,-(/) = ф( (В,), последовательно касаю- .щихся друг друга в точках р; (Р) = Чч (РгУ dB,(l) = a/, Pi(l) = qi-

Рис. 85

'Тогда аргументы,/использованные в примере 9.33, показывают устранимость окружности В1 для квазиконформных отображений ft- .^XS1Q (q/Г), получаемых согласованным с Г продолжением отображений ф<|/>(г) (фундаментальность полиэдров, являющихся внешностью шаров В, (/), для групп ф,Г следует из следствия 6.8 и того, что точки касания шаров являются параболи- -ческими точками групп отражений). Это показывает, что A(G)= = К (В1) есть квазиокружность в В4 и, кроме того определяет деформацию F: [0, 1] -*Нош(Г, Mob(4)), F(t) = f*t: Г —*/Д’//1, F(0): Г с Mob (4), F(l): Г — G.

Заметим, что указанную конструкцию группы Сиз примера 9.62 можно существенно обобщить (Апанасов [35]). А именно, будем считать, что покрывающие В1 шары Bb 1 X iХт, последовательно пересекаются под углами а,-, а фуксова группа Г с <Мг порождается инволюциями у,-, переводящими в себя i-e стороны Р (Г) = f) ext В;. Сопоставим шарам В,- внутренности В- попарно пересекающихся под такими же углами а,- сфер а,, где а,Л GjN= 0^1 — 1 = = ± 1 (modm). Тогда граничный тор d/LIBX состоит из объеди-

нения сферических колец а-, каждому из которых сопоставим инволюцию Зн 3i(o'i)=:o;, переставляющую его граничные окружности. Пусть теперь группа G a Mob (3), С^Г, порождается инволюциями 3h Ys^i^m. Выясним' условия, при которых Г- иС-образы полиэдров Р (Г) и Р (G) = П ext ог задают разбиения i

дополнений S3 к топологическим окружностям. Для этого продолжим действие Г и G в Н4 и воспользуемся условиями теоремы 6.8. В нашем случае они могут быть переформулированы в следующем виде.

Во-первых, Г (Р (Г) Л Т?2) должно давать правильное разбиение круга В2^Н2, дН2 = 5г, при котором в каждой его вершине встречается равное число (= п) многоугольников. Пусть I есть наибольший общий делитель (т, и). Тогда для некоторых и, v^N: п = 1и, т=1и, имеем

(?«••• ••Т1)и = (Т„-.-.-Т1Г=1,(9.75>

где Tz — Т/ для i — j = 0(modm). Это дает условие на углы ссд (ai + • ■ ■ + «„) и = 2л • у, т. е.

(аг+..•+“„)•« = 2л-m(9.76)

Во-вторых, соответствующие условия на разбиение G (Р(G)), кроме указанного условия на углы, требуют эллиптичность (3т-. . . -31), точнее чтобы отображение (3 т- - - - •5'1)“ было тождественным на двумерной плоскости в Н4, натянутой на окружность О! П т. е. чтобы

(Sm-... •5'1)“(х) = х для всех xCaiH^- (9.77)

При выполнении условий (9.75) — (9.77) мы получаем изоморфные разбиения Н4, которые задают изоморфные разбиения множеств разрывности Q (Г) = S3\S1 и Q (G) « S3\S1 на трехмерной сфере S3 = dH4.

При таком обобщении нашей конструкции примера 9.58 мы получаем как (дико) заузленные предельные окружности K(G)c.S\ так и не заузленные—в зависимости от заузленности или нет полнотория В^ и . .. U В^ с S3. В случае незаузленности роль топологического инварианта конструкции играет угол вращения эллиптического элемента из (9.77).

Замечание 9.63. Аналог приведенной конструкции был независимо и другим путем рассмотрен в недавней работе Громова, Лоусона и Тёрстона [1] с точки зрения введения конформных структур на ^-расслоениях над компактными поверхностями (полной гиперболической структуры на расслоениях Е —* 2 на 2-плоскости над компактными поверхностями 2), удовлетворяющих условию на эйлеровы характеристики:•

lx(£)l<lx(S)b

-При этом здесь замечено, что в случае незаузленности предельной «кривой A(G) (и группы G без кручения) получаемое 3-многооб- ,разие Q(G)/G диффеоморфно почти тривиальному S'-расслоению над компактной поверхностью 2 (т. е. конечно кратное накрытие -есть произведение). Подобный пример с эллиптическим элементом .в (9.77) порядка 2 был также построен Каповичем [1]. В случае -заузленности конструкции 3-многообразие Q (G)/G может быть получено из 51-расслоения над 2 вырезанием торических окрестностей конечного числа слоев и вклейкой вместо каждой из них дополнений торических узлов в S3. В случае касающихся шаров В’( -см. также недавнюю книгу Маскита [5].

Замечание 9.64. Исследуя выше геометрию разбиений Г(Р(Г)) и G (Р (G)) в зависимости от задания чисел т, п, а также условий (9.75), (9.76) можно описать независимые параметры этих разбиений и, с учетом этого исследовать пространства Тейхмюллера для получающихся расслоений- Зейферта. Интересно -отметить, что оно уже будет несвязно в случае, когда в (9.77) -стоит эллиптическое отображение 3т -... - Зл^\, т. е. инвариант и#=1. Подробное описание пространств Тейхмюллера для расслоений Зейферта № с бесконечной лг (М3) (имеющих геометрии H3xR, SL(2,R), R3, Nil, S2xR) дал Ошика [1] ).

§ 5. Граница пространства деформаций

Пусть Г с МбЬ(п) — фуксова группа первого рода (конечно порожденная), действующая в полупространстве R" как группа ■гиперболических изометрий. Для нее определены (см. § 1 и 2) -пространства деформаций Я„(Г) и Тп (Г) = Rn (Г)/М6Ь (и), состоя- лцие из квазифуксовых представлений р: Г -^Mob(n), задающихся квазиконформными сопряжениями группы Г. Рассматривая множество последовательностей {р,} с Тп (Г), р,< Г —- fiTfp1, сходя- -щихся в топологии Та (Г) (эквивалентной топологии Тейхмюллера, задаваемой метрикой вида (9.46)), получаем замыкание 7\(Г). Граничным точкам Тп (Г)\Т„ (Г) соответствуют инъективные представления pg Нот (Г, МбЬ(п)), не являющиеся квазикон- ^формными сопряжениями, но являющиеся их пределами. Непосредственно из «-мерного аналога следствия 9.56 («-мерного -аналога следствия 9.55 (см. Морган [2])) видно, что граничные представления р имеют всегда дискретный образ р (Г) a Mob (п).

При « = 2 свойства граничных точек пространства квазифук- -совых представлений группы Г описываются результатами Л. Берса, Б. Маскита и В. Абикова: граница дТ (Г) состоит из

так называемых В-групп, т. е. клейновых групп с одной инвариантной (односвязной) компонентой, отличных от квазифуксовых. При этом имеются В-группы трех типов — невырожденные, частично вырожденные и вырожденные (см. § 3 гл?3), причем последние составляют (в определенном смысле) большинство граничных групп. Доказано, что: 1) для римановой поверхности 5 = В2/Г существует континуальное множество несопряженных в ®^2 вырожденных групп G с дТ (Г) таких, что Q(G)/G = S; 2) невырожденная группа GG.dT (G) представляет основную поверхность S = So = = Qo/Г, где Qo —инвариантная компонента в Q (G), и еще конечное число поверхностей Slt . .., Sm, соответствующих неинвариантным компонентам в Q (G) и получаемых из S стягиванием в точки некоторых негомотопных петель на S; 3) частично вырожденные группы занимают промежуточное положение между невырожденными и вырожденными группами; они получаются комбинированием Маскита из квазифуксовых и вырожденных групп.

1При п 3 граничные группы G 5 дТ п (Г) приобретают свойства чисто пространственного характера (см. Ананасов [11, 12]):

Теорема 9.65. При п^З существуют граничные группы С = рГ пространства Тп^ квазифуксовых представлений со следующими свойствами;

предельное множество A(G) разбивает множество разрывности Q (G) на две инвариантные компоненты Qo и й^

компонента Qo квазиконформно эквивалентна шару,

гомотопические группы л, (й4) 4=0 для всех i = 1, 2, . .., п — 2. Теорема 9.66. На границе пространства Тп^, п^З, квазифуксовых представлений существуют точки р такие, что клейновы группы С = рГ с о^„ обладают следующими свойствами;

предельное множество A(G) разбивает множество разрывности Q (G) на две инвариантные компоненты й0 “ ^f,

л,- (Qy) #= 0 для всех i = 1, . .., п — 2; / = 0, 1.

Доказательство теорем 9.65 и 9.66 будет состоять в выяснении свойств групп G(tx, 5/6) и G(G, т0), являющихся граничными группами пространства ^(Г), где Г— фуксова ко- компактная группа из примера 9.32.

Итак, пусть Г —фуксова подгруппа индекса 2 в группе, порожденной инверсиями относительно сфер S;, 1 44'444, построенных в примере 9.32 (см. (9.48)). Рассмотрим группы G^t, т), изоморфные группе Г и соответствующие системе сфер {□,■ (/, т)}, получаемой из системы {S,} заменой сфер S14 = S2(—ге3, р) и S13 = S (ге3, р), р = К Ю/б, г = 5/6, на сферы сг44(/, т) и а13(/, т) с центрами соответственно —te3 и те3 и радиусами К /2 — /4-5/12 и Кт2 — т + 5/12, ортогональные соответствующим сферам <т,-(/, t) = S,-, i=1, ..., 12. Как было показано в примере 9.32, значениям / и т, удовлетворяющим условиям /0<^<А, т0<т<т1,

где /0 = т0 и /i = Tt заданы в (9.49), соответствуют квазифуксовы группы G(/, т) = Ф, т (Г), задающиеся квазиконформными представлениями Ф<, т: ?»—>Ф(> туФ^т, где квазиконформные отображения Ф<, т: R3 —* R3 строятся аналогично отображениям Ф/ из примера 9.32 или как в доказательстве теоремы 9.35.

Рассмотрим теперь предельные группы G(/1; т) и G(/x, т0), получающиеся при стремлениях (/, т)—►(^.т) и (/, т)-^ (^ т0). Заметим, во-первых, что они клейновы. Это показывается аналогично случаю непредельных параметров. Фундаментальные полиэдры Ftl,x, Ftl,x„ имеют по две компоненты —ограниченные В”11Т и f“,, То и неограниченные F^.x и F^.x^ Полиэдр Fotl,x, как и все полиэдры F® из (9.50) для непредельных параметров I, односвязен и G Vi, т) —инвариантная компонента Q0(/i, т), является образом шара В (О, V 15/6) при квазиконформном отображении Ф/,,т. В то же время фундаментальные группы оставшихся полиэдров таковы, что "

Л1 Д„ т) ^ Л1 (^. J ^ лх (Д, х) = Z1. (9.78)

Этот факт станет ясным, если заметить, что сферы Oi4(/i, т) °1з(^, т0) и сг14(/1, т0) касаются четырех сфер a, = S,-, 9^1^12, причем точки касания, как показывает прямой подсчет, лежат вне других сфер a; = Sy, 1 ^/ ^8. Поэтому эти точки касания являются неподвижными точками некоторых параболических отображений. Применение леммы 3.16 влечет, что множества разрывности й^, т) и П^, т0) групп G(tT, т) и G(/lf т0) распадаются на две пары инвариантных компонент:

Q (G, т) = QoVx, т) и йг (G, т),

Q (/ъ т0) = Q„ (tx, т0) U Qi (4, т0). (9.79)

В то же время орбиты указанных параболических точек плотны в соответствующих предельных множествах A(G, т) и А(/1,т0). Поэтому из свойства (9.78) следует, что группа G (tx, т) для всех т0 < т < Tt имеет компоненты связности (9.79), удовлетворяющие теореме 9.65, а группа G (/1( т0) имеет компоненты (9.79), удовлетворяющие теореме 9.66. Тот факт, что эти группы принадлежат границе пространства Т3Д, следует из того, что они не являются квазифуксовыми, но в то же время есть пределы групп, соответствующих точкам Т3(Г) (параметрам (/, т), стремящимся к (/lt т) и к (tx, т0)).

Замечание 9.67. При п ^ 3 естественным обобщением невырожденных В-групп на плоскости являются геометрически конечные клейновы группы G с Mob (п), имеющие стягиваемую инвариантную компоненту fi0 с Q (G) (см. их свойства в § 6 гл. 8). Однако теорема 9.66 показывает, что при п^З уже не все граничные точки дТп (Г) соответствуют группам G со стягиваемой

инвариантной компонентой Qoc:Q(G). Более того, построенные в п. 7 § 3 гл. 7 клейновы группы (с дикой предельной сферой) дают примеры пространственных невырожденных В-групп G с: Mob (3), по-видимому, не лежащих в замыкании пространства 73(Г) квази- фуксовых представлений фуксовой группы Г с Mob (3).

Возникающие у граничных групп G^, т) и G^, т0) параболические элементы являются аналогами случайных параболических элементов — им при предельных изоморфизмах Г—*G(/1, т) и Г - G(/1, т„) соответствуют гиперболические (а не параболические) элементы группы Г. Остаются открытыми следующие важные вопросы:

Каковы свойства граничных точек р£дТп(Г) при п^З, у которых дискретные группы рГ не имеют случайных параболических элементов?

Будут ли среди таких групп рГ существовать клейновы группы, множество разрывности которых состоит из одной компоненты связности (при п = 2 — вырожденные группы)?

Представляется вероятным, что ответ на второй вопрос отрицательный.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

А б е л ь с (Abels Н.)-

Geometrische Erzeugnung von discontinuirlichen Gruppen.— Munster, Schr. Math. Inst, der Universitat Munster, 1966.

А би к оф (Abikoff W.)

Some remarks on Kleinian groups//Advances in Theory of Riemann Sur- faces/Ed. by L. V. Ahlfors a. o. (Ann. Math. Stud. V. 66). Princeton Univ. Press. 1971. P. 1—5..

Вещественно-аналитическая теория пространства Тейхмюллера. М;:Мир, 1985.

Адамс (Adams С. С.)"

Hyperbolic structures on link complements. Ph. Dr. Thesis. Univ, of Wisconsin—Madison, 1983.

Thrice-punctured spheres in hyperbolic [3-manifolds//Trans. Amer. Math. Soc. 1985. V. 287. P. 645—656.

The non-compact hyperbolic 3-manifold of minimal volume//Proc. Amer. Math. Soc. 1987. V. 100. P. 601-606.

А д я н С. И.

Неразрешимость некоторых алгоритмических проблем теории групп// Тр. Моск. мат. о-ва. 1957. Т. 6. С. 231—298.

Аккола (Accola R. D. М.)

Invariant domains for Kleinian groups//Amer. J. Math. 1966. V. 88. 329—336.

Александров А. Д.

О заполнении пространства многогранниками//Вестн. ЛГУ. 1954. №2. С. 33—43.

Альфорс (Ahlfors L. V.)

Finitely generated Kleinian groups//Amer. J. Math. 1964. V. 86. P. 413— 429; 1965. V. 87. P. 759.

Fundamental polyhedrons and limit sets of Kleinian groups//Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1966. V. 55. P. 251—254.

Kleinsche Gruppen in der Ebene und im Raum//Festband zum. 70. Ge- burstag von R. Nevanlinna. Berlin: Springer-Verlag, 1966. S. 7—15.

Hyperbolic motions//Nagoya Math. J. 1967. V. 29. P. 163—166.

Quasiconformal deformations and mappings in Rn//J. Analyse Math. 1976. V. 30. P. 74—97.

Ergodic properties of groups of Mobius transformations//Analytic Functions. Kozubnik, 1979/Ed. by J. Lawrinowicz. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer-Verlag, 1980. V. 798. P. 1—9.

Мёбиусовы преобразования многих переменных. М.: Мир, 1986.

Андреев Е. М.

О выпуклых многогранниках в пространствах Лобачевского//Мат. сб. 1970. Т. 81. С. 445—478.

О выпуклых многогранниках конечного объема в пространстве Лобачев- ского//Мат. сб. 1970. Т. 81. С. 256—260.

О пересечении плоскостей граней многогранников с острыми углами// Мат. заметки. 1970. Т. 8, № 4. С. 521—527.

А и о со в Д. В.

Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны//Тр. Мат. йн-та АН СССР. 1967. Т. 90.

АпаиасовБ. Н.

Некоторые характеристики конформных отображений в ^"//Метрические вопросы теории функций и отображений. Вып. 5 (Тр. III колл, по теории квазиконформных отображений и ее обобщениям. Донецк, 1972). Киев: Наук, думка, 1974. С. 3—13.

Об одном классе клейновых групп в /?'//ДАН СССР. 1974. Т. 215, № 3. С. 509—510.

Об одном аналитическом методе в теории клейновых групп многомерного евклидова пространства//ДАН СССР. 1975. Т. 222. С. 11—14.

О клейновых группах в пространстве//Сиб. мат. жури. 1975. Т. 16. С. 891—898.

Одно универсальное свойство клейновых групп в гиперболической мет- рике//ДАН СССР. 1975. Т. 225. С. 15—17.

О соотношении группы SL(n, Z) с n-мерной модулярной группой// ДАН СССР. 1976. Т. 231. С. 1033—1036.

К теореме жесткости Мостова//ДАН СССР. 1978. Т. 243. С. 829—832.

Целые автоморфные формы в 7?"//Сиб. мат. журн. 1978. Т. 19. С. 735—

К проблеме существования автоморфных отображений в пространстве// Вопросы метрической теории отображений (Тр. V колл, по теории квазиконформных отображений и ее обобщениям. Донецк, 1976). Киев: Наук, думка, 1978. С. 3—9.

On invariants of quasiconformal deformations for discontinuous groups// Komplexe Analysis und ihre Anwendung auf partielle Differentialglei- chungen, Teil 3. Halle: Martin-Luther-Universitat, 1980. P. 207—209.

Клейновы группы, пространство Тейхмюллера и теорема жесткости Мостова//Сиб. мат. журн. 1980. Т. 21. С. 3—15.

Nontriviality of Teichmiiller space for Kleinian group in space//Riemann Surfaces and Related Topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Con- ference/Ed. by I. Kra and B. Maskit (Ann. Math. Stud. V. 97). Princeton Univ. Press, 1981. P. 21—31.

Геометрически конечные группы преобразований пространства//Сиб. мат. журн. 1982. Т. 23, № 6. С. 16—27.

Geometrically finite hyperbolic structures on manifolds//Ann. Glob. Anal. Geom. 1983. V. 1, No. 3. P. 1—22.

Дискретные группы преобразований и структуры многообразий. Новосибирск: Наука, 1983.

Condition of conformal rigidity of hyperbolic manifolds with boundari- es//Analytic Functions. Blazejewko, 1982/Ed. by J. Lawrinowicz. Lecture Notes in Math. V. 1039. Springer-Verlag, 1983. P. 1—9.

Неполные гиперболические многообразия и локальная конечность заполнения пространства полиэдрами//ДАН СССР, 1983, Т. 273, № 4. С. 777—781.

Limit set and geometric finiteness of Kleinian groups//Complex Analysis and Applications. 81/Ed. by L. Iliev and V. Andreev. Sofia: Publ. House of Bulgarian Acad. Sci. 1984. P. 14—28.

Параболические вершины и свойства конечности для клейновых групп в пространстве//Сиб. мат. журн. 1984. Т. 25, № 4. С. 9—27.

Cusp-neighbourhoods for Kleinian groups in space//Complex Analysis and its Applications/Ed. by Tutschke. Kongress und Tagungsberichte der Martin-Luther-Universitat, 1984/58 (M 35). Halle, 1984. P. 37—39.

Cusp ends of hyperbolic manifolds//Ann. Glob. Anal. Geom. 1985. V. 3, No. 1. P. 1—12.

Deformations of hyperbolic structures without the completeness conditi- on/Zeits. Anal. Anwend. 1986. Bd. 5, No. 2. S. 99—110.

The effect of dimension 4 in Aleksandrov’s problem of filing a space by polyhedra//Ann. Glob. Anal. Geom. 1986. V. 4, No. 2. P. 241—261.

Thurston’s bends and geometric deformations of conformal structures// Complex Analysis and Applications. 85/Ed. by L. Iliev and 1. Ramada- nov. Sofia: Publ. House of Bulgarian Acad. Sci. 1986. P. 14—28.

Doubles of atoroidal manifolds, their conformal uniformization and de* formations//Deformations of Mathematical Structures. Dordecht: Kluwer Academic Publishers, 1989. P. 93—114.

Заполнения пространства многогранниками и деформации неполных гиперболических структур// Сиб. мат. журн. 1986. Т. 27, № 4. С. 3—19.

Гиперболические многообразия с неручными концами. Ред. Сиб. мат. журн. Новосибирск, 1986. 8 с. Деп. в ВИНИТИ, № 1646—В86.

Деформации конформных структур на многообразиях, связанные с вполне геодезическими подмногообразиями//ДАН СССР. 1987. Т. 293.

С. 14—17..

Метод максимальных дисков в теории клейновых групп и его приложения. Новосибирск, 1986. 48 с. (Препр./СО АН СССР. Ин-т матем. № 19).

The geometry of Nielsen’s hull for Kleinian group in space and quasicon- formal mappings//Ann. Glob. Anal. Geom. 1988. V. 6, No 3. P. 207— 230."- .

Quasisymmetric embeddings of a closed ball inextensible in neighbourhoods of any boundary points//Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. AL 1989. V. 14. P. 243—255.

Two kinds of deformations of conformal structure which are distinct"from bendings//Complex Analysis and Applications. 87/Ed. by I. Dimovski a. o. Sofia: Publ House of Bulgarian Acad. Sci. 1989. P. 5—10.

Новый вид фундаментальных многогранников для дискретных групп// Геометрия дискретных групп. Кишинев: Штиинца, 1990. С. 3—12.

Pseudo-Dirichlet polyhedra and word problem for geometrically fimite hyperbolic groups. Berkeley/California, 1989 (Preprint/02523—89. Math. Sci. Res. Institute).

Discrete groups in space and uniformization problems. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1990.

Deformations of conformal structures and Lobachevsky geometry. Berkeley/California, 1989 (Preprint/02723—89. Math. Sci. Res. Institute).

Hyperbolic cobordisms and conformal structures//Mittag-Leffler Institut. Report no. 3. 1989/90. Djusholm, 1989.

On non-connectedness of the space of uniformized conformal structures on hyperbolic manifold//Mittag-Leffler Institut. Report no. 1. 1989/90. Djursholm, 1989.

Bending and stamping deformations of hyperbolic manifolds// Ann. Glob. Anal. Geom. 1990. V. 8, No 1. P. 3—12.

Deformations of conformal structures on hyperbolic manifolds. Columbus/ Ohio, 1990 (Preprint Ohio State Univ.).

Апанасов Б. H., Гуцул И. С.

Замкнутые гиперболические 3-многообразия одинаковых объемов//Гео- метрия дискретных групп. Кишинев: Штиинца, 1990. С. 17—31.

Апанасов, Нойман, Рид, Зибенман (Apanasov В. N., Neumann W. D. Reid A. W., Siebenmann L. С.)

Topology 90 (Proc. Res. Semester In Low Dimensional Topology at Ohio St. Univ.)/Ed. By B. Apanasov, W. D. Neumann, A. W. Reid, L. C. Siebenmann. Berlin — New York: Walter de Gruyter, 1991.

Апанасов Б. H., Te т e но в А. В.

О существовании нетривиальных квазиконформных деформаций клейно- вой группы в пространстве//ДАН СССР. 1978. Т. 239. С. 14—17.

Nontrivial cobordisms with geometrically finite hyperbolic structures// J. Diff. Geom. 1988. V. 27. (Всесоюзная конф, по геометрии «в целом». Тезисы докладов. Новосибирск, 1987. С. 7.)

Топология геометрически конечных гиперболических 4-многообразий с краем//Топология и ее приложения. Тр. Междунар. Бакинской топол. конф. (Тр. Мат. нн-та АН СССР. Т. 193). Москва: Наука, 1990.

«Вдавливание» конформной структуры вдоль изолированного подмногообразия коразмерности 2//Всесоюзн. конф, по геометрии «в целом». Тезисы докладов. Новосибирск, 1987. С. 8..

Армстронг (Armstrong М. А.)

The fundamental group of the orbit space of a discontinuous group//Proc. Cambridge Phil. Soc. 1968. V. 64. P. 299—301.

Асеев В. В.

Об одном признаке квазиконформности гомеоморфного отображения области на шар//Некоторые вопросы современной теории функций. Новосибирск: Ин-т мат. СО АН СССР, 1976. С. 8—11.

Нормальные семейства топологических вложений//Динамика сплошной среды. 1986. Т. 76. С. 32—42.

Басс, Морган (Bass Н., Morgan J.)

l.The Smith Conjecture / Ed. by H. Bass and J. Morgan. Academic Press, 1984.

Белинский П. П.

О нормальности семейств квазиконформных отображений//ДАН СССР. 1959. Т. 128, № 4. С. 651—652.

Общие свойства квазиконформных отображений. Новосибирск: Наука, 1974.

Некоторые вопросы современной теории функций / Под ред. П. П. Белинского. Новосибирск: Ин-т мат. СО АН СССР, 1976.

Белинский П. П., Лаврентьев М. А.

On locally quasiconformal mappings in n-space//Contribution to Analysis (a collection of papers dedicated to Lipman Bers)/Ed. by L. V. Ahlfors a. o. Academic Press, 1974. P. 27—30.

Бердон (Beardon A. F.)

The Hausdorf dimension of singular sets of properly discontinuous groups// Amer. Math. J. 1966. V. 88. P. 722—736.

Fundamental domains for Kleinian groups//Discontinuous Groups and Riemann Surfaces/Ed. by L. Greenberg (Ann. of Math. Stud. V. 79). Princeton Univ. Press, 1974. P. 31—41.

Inequalities for certain Fuchsian groups//Acta Math. 1971. V. 127. P. 221—258.

Геометрия дискретных групп. M.: Наука, 1986.

Бердон, Ергенсен (Beardon A. F., Jorgensen Т.)

Fundamental domains for finitely generated Kleinian groups//Math. Scand. 1975. V. 36. P. 21—26.

Бердон, Ma скит (Beardon A. F., Maskit B.)

Limit points of Kleinian groups and finite sided fundamental polyhedra// Acta Math. 1974. V. 132. P. 1—12.

Б e p ж e M.■

Геометрия. M.: Мир, 1984.

Берс (Bers L.)

Quasiconformal mappings and Teichmiiller theorem//Analytic Functions. Princeton Univ. Press, 1960. P. 89—120.

Inequalities for finitely generated Kleinian groups//J. Analyse Math. 1967. V. 18. P. 23—42.

Spaces of Kleinian groups//Several complex variables. I. Springer-Verlag. 1970. P. 9—34.

On boundaries of Teichmiiller spaces and on Kleinian groups. I//Ann. Math. 1970. V. 91. P. 570—600.

Униформизация. Модули и клейновы группы//УМН. 1973. Т. 2, вып. 4. С. 153—198.

О модулях клейновых групп//УМН. 1974. Т. 29, вып. 2. С. 86—102.

Б е с с е А.

Четырехмерная риманова геометрия. Семинар Артура Бессе 1978/79. М.: Мир, 1985.

Бинг (Bing R. Н.)

The geometric topology of [3-manifolds//Amer. Math. Soc. Coll. Publ. 40. Providence, 1983.

Бонахон (Bonahon F.)

Bouts des varietes hyperboliques de dimension 3//Ann. Math. 1986. V. 124. P. 71—158.

Бонахон, О та л (Bonahon F., Otal J.-P.)

Varietes hyperboliques a geodesiques arbitrairement courtes: Prepublication. Orsay, 1987.

Борель (Borel A.)

Compact Clifford — Klein forms of symmetric spaces//Topology. 1963. V. 2. P. 111-122.

Борель, Валлах (Borel A., Wallach N.)

Continuous cohomology, discrete subgroups, and representations of reductive groups//Ann. Math. Stud. V. 94. Princeton Univ. Press, 1980.

Б о у д и ч (Bowditch В. Н.)

Geometrical finiteness for hyperbolic groups: Preprint. Univ, of Warwick.

Браилов А. В., Фоменко A. T.

Топология интегральных многообразий вполне интегрируемых гамильтоновых систем//Мат. сб. 1987. Т. 133, № 3. С. 375—385.

Браун (Brown М.)

The monotone union of open /г-cells is an oupen n-cell//Proc. Amer. Math. Soc. 1976. V. 55. P. 461—464.

Бугаенко В. О.

О группах автоморфизмов унимодулярных гиперболических квадратичных форм над кольцом Z ((5+ 1)/2//Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1984. Т. 5. С. 6—12.

Буземан Ю. Д.

Геометрия геофизических. М.: Фнзматгиз, 1962.

Б у р а г о Ю. Д.

Приложение к книге Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны. М.: Наука, 1982. С. 461—472.

Бьянки (Bianchi L.)

Sui gruppi de sostituzioni lineari con coefficienti appartementi a corpi quadratici immaginary//Math. Ann. 1892. V. 40. P. 332—412.

Вада (Wada Masaaki)

Conjugacy invariants and normal forms of isometries of hyperbolic space. Ph. Dr. Thesis. Columbia University, 1986.

В альдхаузен (Waldhausen F.)

Eine Veralgemeinerung des Schleifensatzes//Topology. 1967. Bd6. S. 501—504.

Gruppen mit Zentrum und 3-dimensionale Manigfaltigkeiten//Topology. 1967. Bd 6. S. 505—517.

On irreducible 3-manifolds which are sufficiently large//Ann. Math. 1968. V. 87. P. 56—88.

Eine Klasse von 3-dimensional Manigfaltigkeiten//Inv. Math. 1967. V. 3. P. 308—333; 1967. V. 4. P. 88—117.

Варадараян (Varadarajan V. S.)

1. Harmonic Analysis on Real Reductive Groupsy/Lecture Notes in Math. V. 576. Berlin: Springer-Veralag, 1977.

Ватерман (Waterman P. L.)

An inscribed ball for Kleinian groups/Bull. London Math. Soc. 1984. V. 16. P. 525—530.

Purely ellitic Mobius groups//Holomorphic Functions and Moduli Il^Proc. Workshop at Berkeley/California, 1986. Publ. Math. Sci. Res. Inst. 1988. V. 11. P. 41—57.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫСПИСОК ЛИТЕРАТУРЫзет

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Вебер, 3 е й ф е р т (Weber С., Seifert Н.)г ,}, „ ;

Die beiden Dodekaederaume/'Math. Z. 1933. Bd 37. S. 237—253..

Вейль A. (Weil A.)<

Discrete subgroups of Lie groups. I, II/'Ann. -Math. 1960. V. 72. P. 360— 384r 1962. V. 75. P. 578—602.’

Вейль Г. (Weyl H.)

Theorie der Darstellung kontinuirlicher halb-einfacherGruppen dflrch lineare- Transformationen//Math. Z. 1925. Bd 23. S. 271—309; 1926. Bd24. S. 328—395, 789—791.

Венков Б. A.

Об арифметической группе автоморфизмов неопределенной квадратичной формы//Изв. АН СССР. 1937. № 2. С. 139—170.

Об одном классе евклидовых многогранников//Вест. ЛГУ. Математика, физика. 1954. № 2. С. 11—31.

Викс (Weeks J.)

Hyperbolic structures on 3-manifolds. Princeton Univ. Ph. Dr. Thesis, 1985

B иленберг (Wielenberg N. J.)

Discrete Mobius groups: fundamental polyhedra and convergence^Amer. J. Math. 1977. V. 99. P. 861—878.

The structure of certain subgroups of the Picard group//Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1978. V. 84. P. 427—436.

Hyperbolic 3-manifolds which share a fundamental polyhedron//Riemann- Surfaces and Related Topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Con- ference/Ed. by I. Kra and B. Maskit (Ann. Math. Stud. V. 97). Princeton- Univ. Press, 1981. P. 505—513.

В и и 6 e p г Э. Б.

Дискретные группы, порожденные отражениями, в пространствах Лоба- чевского//Мат. сб. 1967. Т. 72. С. 471—488.

Некоторые примеры кристаллографических групп в пространствах Лоба- чевского//Мат. сб. 1969. Т. 78. С. 633—639.

Дискретные линейные группы, порожденные отражениями//Изв. АН СССР. Сер. мат. 1971. Т. 35. С. 1072—1112.

О группах единиц некоторых квадратичных форм^Мат. сб. 1972. Т. 87.. С. 18—36.

Об унимодулярных целочисленных квадратичных формах^Функцион. анализ и его прил. 1972. Т. 6. С. 25—32.

Some arithmetical discrete groups in Lobachevskie spaces//Proc. Intern. Coll. Discrete Subgroups of Lie Groups and Appl. to Moduli (Bombey, January 1973). Oxford: University Press, 1975. P. 323—348.

Отсутствие кристаллографических групп отражений в пространствах. Лобачевского большой размерности//Тр. Моск. мат. о-ва. 1984. Т. 47. С. 68—102.

Discrete reflection groups in Lobachevsky spaces//Proc. Intern. Congress Math. (Warszawa, August 1983). Warszawa, 1984. P. 585—592.

The two most algebraic КЗ surfaces//Math. Ann. 1983. V. 265. P. 1—21..

Гиперболические группы отражений//УМН. 1985. T. 40. С. 29—66.

ВннбергЭ. Б., Каплинская И. М.

О группах O18jl(Z) и О19Д (Z)//flAH СССР. 1978. Т. 238. С. 1273—12751.

В о л ы н е ц И. А.’’

О фуксовых группах в четномерных пространствах/Сиб. мат. журн. 1986 Т. 27, № 3. С. 200—202.

Волынец И. А., Медных А. Д.

Введение в теорию клейновых групп. Омск: Омский ун-т, 1984. 56 с.. Вольф Дж.

Пространства постоянной кривизны. М.: Наука, 1982.

Вон (Wang Н. С.)

Topics in totally discontinuous groups//Symmetric Spaces (Pure AppL Math. V. 4). Marcel Dekker, 1972. P. 460—485.

398398спибок ЛиУвуатуры

398

398

Вяйсяля (Vaisala J.), ;

1. Lectures on /г-dimensional quasiconformal mappings//Lecture Notes in Math. V. 229. Berlin a.o.: Springer-Verlag, 1971.

Вяйсяля, T у к и я (Tukia Р., Vaisala J.)

Quasisymmetric embeddings of metric spaces//Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. AI. 1980. V. 5. P. 97—114.

Ганнинг (Gunning R. S.)

Я. Special coordinate coverings of Riemann surfaces//Math. Ann. 1967. Bd 170. S. 67—86.

Affine and projective structures on Riemann surfaces/Riemann Surfaces and Related Topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference/Ed. by I. Kra and B. Maskit (Ann. of Math. Stud. V. 97). Princeton Univ. Press, 1981. P. 225—244.

Гарланд, Рагунатан (Garland H., Raghunathan M. S.)

Fundamental domains for lattices in (R)-rank 1 semisimple Lie groups/'Ann. Math. 1970. V. 92. P. 279—326.

Геринг (Gehring F. W.)

Rings and quasiconformal mappings in space^Trans. Amer. Math. Soc. 1962. V. 103. P. 353—393..

-2. Extension theorems for quasiconformal mappings in n-space//J. Anal. Math. 1967. V. 19. P. 149-167.

Extensions theorems for quasiconformal mappings in /i-space//Proc. Intern. Congress of Math. Moscow, 1966/1968. P. 313—318.

Геринг, Вяйсяля (Gehring F. W., Vaisala J.)

■1. The coefficients of quasiconformality of domains in spaceAActa Math. 1965.

V. 114. P. 1—70.

Геринг, Мартин (Gehring F. W., Martin G.)

Discrete quasiconformal groups. I/Proc. London Math. Soc. 1987. V. 55. P. 331—358.

.2. Generalization of Kleinian groups: Preprint. Math. Sci. Res. Inst. Berkeley, 1986.

Г e p и и г. Палка (Gehring F. W., Palka В. P.)

.1. Quasiconformally homogeneous domains//J. Anal. Math. 1976. V. 30. P. 172—199.

Герстеихабер (Gernstenhaber M.)

On the algebraic structure of discontinuous groups//Proc. Amer. Mat. Soc. 1953. V. 4. P. 745—750.

Гизекинг (Gieseking H.)

Analytische Untersuchungen fiber topologische Gruppen. Thesis. Munster, 1912.

Гиффен (Giffen С. H.)

The generalized Smith conjecture//Amer. J. Math. 1966. V. 88. P. 187—198. Голдман (Goldman W. M.)

Affine manifolds and projective geometry on surfaces. Senjor Thesis. Princeton Univ., 1977.

. Discontinuous groups and the Euler class. Ph. Dr. Thesis. Univ, of California, 1980.

Conformally flat manifolds with nilpotent holonomy and the uniformization problem for 3-manifolds//Trans. Amer. Math. Soc. 1983. V. 278. P. 573—584.

Projective structures with Fuchsian holonomy//J. Diff. Geom. 1987. V. 25. P. 297—326.

Голубев В. В.

Однозначные аналитические функции. Автоморфные функции (Б-ка рус. науки). М.: Физматгиз, 1961.

Гордон, Кирби (Gordon С., Kirby R.)

(Ed. by С. Gordon and R. Kirby) Four-Manifold Theory. Contemp. Math.

V. 35..

Готшалк, Хедлунд (Gotschalk W. H., Hedlund G. A.)

Л. Topological dynamics//Amer. Math. Socn. Coll. Publ. 26. Providece, 1955.

Гринберг (Greenberg L.)

Discrete subgroups of the Lorentz group//Math. Scand. 1962. V. 10. P. 85—107.

Fundamental polyhedra for Kleinian groups//Ann. Math. 1966. V. 84.. P. 433—442.

Commensurable groups of Mobius transformations // Discontinuous Groups, and Riemann Surfaces / Ed. by Greenberg. (Ann. Math. Stud. V. 79). Princeton Univ. Press, 1974. P. 227—237.

Finiteness theorem for Kleinian groups//Discrete Groups and Automorphic Functions/Ed. by W. J. Harvey. Academic Press, 1977. P. 324—365.

Г ромов (Gromov M.)

Manifolds of negative curvature//J. Diff. Geom. 1978. V. 13. P. 223—230.

Hyperbolic manifolds, groups and actions/ZRiemann Surfaces and Related Topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference/Ed. by I. Kra and B. Maskit (Ann. of Math. St. V. 97). Princeton Univ. Press, 1981. P. 183—213.

Hyperbolic manifolds according to Thurston and Jorgensen//Semin. Bourbaki 546. Leet. Notes Math. V. 842. Springer-Verlag, 1981. P. 40—53.

Hyperbolic Groups/ZEssays in Group Theory. Publ. MSRI. V. 8./Ed. S. M. Gersten. Springer-Verlag, 1987. P. 75—263.

Громов, Лоусон, Тёрстон (Gromov M., Lawson H. В., Thurston WJ

Hyperbolic 4-manifolds and conformally flat 3-manifolds//Publ. Math.. 1HES. 1988. V. 68. P. 27—45.

Громов, П я т e ц к и й-Ш а п и р о (Gromov М., Piatetski-Shapiro I. I.)

Non-arithmetic groups in Lobachevscy spaces//Publ. Math. IHES. 1988. V. 66. P. 93—103.

Гусевский H. A.

Об одной задаче теории клейновых групп//ДАН СССР. 1977. Т. 234. С. 277—279.

О топологической характеризации групп Шоттки//Сиб. мат. журн. 1979. Т. 20, № 3. С. 651-655.

Группы Шоттки в пространстве//ДАН СССР. 1985. Т. 280. С. 30—33. Гусевский Н. А., К а по в и ч М. Э.

Конформные структуры на трехмерных многообразиях//ДАН СССР. 1986. Т. 290. № 3. С. 537—541.

Гуцул И. С.

Об одной серии компактных трехмерных многообразий постоянной отрицательной кривизны//ДАН СССР. 1979. Т. 248. С. 283—286.

О компактных трехмерных многообразиях постоянной отрицательной кривнзны//Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1980. Т. 152. С. 89—96.

Трехмерные многообразия постоянной отрицательной кривизны и несмятые поверхности//Вопросы дискретной геометрии. Кишинев: Штиинца, 1988. С. 52—68.

О пополнении неполных гиперболических структур//Геометрня дискретных групп. Кишинев: Штиинца, 1990. С. 66—78.

Гуцул И. С., Макаров В. С.

Об одном свойстве Федоровских групп пространства Лобачевского//Тр. Мат. нн-та АН СССР. 1978. Т. 148. С. 106—108.

Неполные 3-многообразия с локально Лобачевского метрикой//Вопросы. дискретной геометрии. Кишинев: Штиинца, 1988. С. 69—76.

Дамиан Ф. Л.

Дискретные группы без кручения в А3, порожденные сдвигами//Вопросы- дискретной геометрии. Кишинев: Штиинца, 1988. С. 77—82.

К построению гиперболических четырехмерных многообразий дискретных, групп. Кишинев: Штиинца, 1990. С. 79—84.

Данилов В. И.

Геометрия торических многообразий//УМН. 1978. Т. 33, № 2. С. 85—134. Ден (Denn М.)

Uber die Topologie des dreidimensionalen Raumes//Math. Ann. 1910. Bd 69..

S. 137—168.

Uber unendliche discontinuirliche Gruppen//Math. Ann. 1912. Bd 71. S. 116—144.

.Дени, Лионс (Deny J., Lions T. L.)

Les espaces du type de Beppo Levi//Ann. Inst. Fourier. 1955. V. 5. P. 305—370.

.Деревнин Д. A.

О расстоянии между неподвижными точками дискретных групп изометрий в пространстве Лобачевского/Сиб. мат. журн. Новосибирск, 1986. 12 с. Деп. в ВИНИТИ № 9010-В86.

'2. Условия дискретности для групп гиперболических изометрий и автоморфизмы гиперболических многообразий: Дис. канд. физ-мат. наук. Новосибирский гос. ун-т, 1987.

.Джонсон (Johnson D. L.)

Topics in the theory of group presentations. Cambridge Univ. Press, 1980. .Джонсон, Миллсон (Johnson D., Millson J. J.)

Deformation spaces associated to compact hyperbolic manifolds//Dicrete groups in Geometry and Analysis (Papers in honor of G. D. Mostow on his sixty birthday). Progress in Math. V. 67. Birkhauser, 1987. P. 48—106.

,Д о л ь д A.-

Лекции по алгебраической топологии. М.: Мир, 1976.. _

.Долгачев (Dolgachev I.)

Integral quadratic forms: applications to algebraic geometry (after V. Nikulin).— Semin. Bourbaki. 35 annee. 611 (1982/83). P. 1—33.

..Дональдсон (DonaldsonS. K.)

An application of gauge theory to 4-dimensional topology/J. Diff. Geom. 1983. V. 18. P. 279—316.

Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко A. T.

Современная геометрия. M.: Наука, 1979.

22. Современная геометрия. Методы теории гомологий. М.: Наука, 1984.

Дунбар (Dunbar W. D.)

Fibered orbifolds and crystallographic groups//Ph. Dr. Thesis. Princeton Univ, 1981.

Еберлейн, Они л (Eberlein P., O’Neil B.)

Visibility manifolds//Pacific J. Math. 1973. V. 46. P. 45—109.

Еване, Мозер (Evans В., Moser L.)

Solvable fundamental groups of compact 3-manifolds//Trans. Amer. Math. Soc. 1972. V. 168. P. 189—210.

Ёргенсен (Jnrgensen T.)

Some remarks on Kleinian groups//Math. Scand. 1974. V. 34. P. 101—108. "2. On discrete groups of Mobius transformations//Amer. J. Math. 1976. V. 98.

P. 739—749.

-3. Compact 3-manifolds of constant negative curvature fibering over the circle// Ann. Math. 1977. V. 106. P. 61—72.

Ёргенсен, Марден (Jorgensen T., Marden A.)

Two doubly degenerate groups//Quart. J. Math. 1979. V. 30. P. 143—156.

. Algebraic and geometric convergence of Kleinian groups: Preprint. Math. Sci. Res. Inst. Berkeley, 1986.

Generic fundamental polyhedra for Kleinian groups//Holomorphic Functions and Modul II. Proc, of Workshop. Berkeley/California, 1986. Publ. MSRI. 1988. V. 11. P. 69—86.

Ефремович В. А., Тихомирова E. С.

Еквиморфизмы гиперболических пространств//Изв. АН СССР. Сер. мат. 1964. Т. 28. С. 1139—1144.

Жако, Шалей (Jaco W., Shalen Р. В.)

Seifert fibered spaces in 3-manifolds//Memoirs Amer. Math. Soc. 1979. V. 21. No. 220.

-Зейферт (Seifert H.)

1. Topologie drei-dimensionalen gefasserte raume//Acta Math. 1932. Bd 60.

S. 147—288.

Komplexe mit Seitenzuordnung//Nachr. Akad. Wiss. Gottingen.' 1975. Bd. 6.

S. 49—80.ТФ. 1

Зейферт Г., Трельфалль В.-

Топология. М.; Л.: ГОНТИ, 1938.

Зингер (Singer I. М.)

Infinitesimally homogeneous spaces//Comm. Pure Appl. Math. 1960. V. 13. P. 685—697.

Зуланке P., Винтген П.

Дифференциальная геометрия и расслоения. М.: Мир, 1975.

И с и х р a (Ishihara S.)

Homogeneous Riemann spaces of four dimensions//.!. Math. Soc. Japan. 1955. V. 7. P. 345—370.

Иваску (Ivascu D.)

The Schottky space in dimensions greater than two//Complex Analysis. Joensuu. 1978. Lecture Notes in Math. V. 747. Springer-Verlag. 1979. P. 167—177.

Йохансон (Johanson K.)

Homotopy equivalences of 3-manifolds with boundaries//Lecture Notes in Math. V. 761. Berlin a. o.: Springer-Verlag, 1979.

К а ждан Д. А., Маргулис Г. A.

Доказательство гипотезы Сельберга//Мат. сб. 1968. Т. 75. С. 162—168.

К а м и ш и м a (Kamishima Y.)

Conformally flat manifolds whose development maps are not surjective. I// Trans. Amer. Math. Soc. 1986. V. 294. P. 607—624.

К a n л и н с к а я И. М.

О дискретных группах, порожденных отражениями в гранях симплици- альных призм в пространствах Лобачевского//Мат. заметки. 1974. Т. 15. С. 159—164.

К а п о в и ч М. Э.

Плоские конформные структуры на трехмерных многообразиях. Ин-т мат. СО АН СССР, 1987. (Препринт №17.);Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30, №5. С. 60—73.

Капович М. Э., Потягайло Л. Д.

Отсутствие теоремы конечности Альфорса для клейновых групп в размерности 3 (в печати).

К а р а м а н (Caraman Р.)

V-dimensional quasiconformal mappings. Bucuresti-Kent, 1974.

К a p т а н (Cartan E.)

La geometrie des groupes simples//Ann. Math. 1927. V. 4. P. 209—256; 1928. V. 5. P. 253—260.

Касселе (Cassels J. W. C.)

An introduction to Diophantine approximation. New York: Cambridge Univ. Press, 1957.

К ё 6 e (Koebe P.)

Uber die Uniformisierung der algebraischen Kurven. II//Math. Ann. 1910. Bd 69. S. 1—81.

К e м e н и, Кнапп, С и e л л (Kemeny J., Knapp A., Snell L.)>

Countable Marcov chains. Van Nostrand, 1966.

Керекьярто (von Kerekjarto B.)

Uber fixpunktfreien Abbildungen der Ebene//Acta Litt. Sci. Szeged. 1934. Bd 6. S. 226—234.

Topologische Charakterisierung der linearen Abbildungen//Acta Litt. Sci. Szeged. 1934. Bd 6. S. 235—262.

Киношита (Kinoshita S.)

On quasitranslation in 3-space//Fund. Math. 1964. V. 56. P. 69—79.

Клейн (Klein F.)

Neue Beitrage zur Riemann’schen Funktionentheorie//Math. Ann. 1983. Bd 21. S. 141—218.

14 Б. H. Апанасов

Кобаяси С., Номидзу К. ■f л'^

Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука. 1981.

К о к с т е р (Coxeter Н. S. М.)

Discrete groups generated by reflections/Ann. Math. 1934. V. 35. P. 588—621.

The complete enumeration of finite groups of the form R? = (RiRj) V=l/J, London Math. Soc. 1935. V. 10. P. 21—25.

К о к с т e p Г. С. M., Мозер У. О. Дж. (Coxeter И. S. М., Moser W О. J.)

Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп. М.: Наука, 1980.

К о к с т е р, Тодд (Coxeter Н. S. М., Todd J. А.)

A practical method for enumerating cosets of a finite abstract group//Proc. Edinburg Math. Soc. 1936. V. 5. P. 25—34..

Кондо (Kondo Sh.).

Enriques surfaces with finite automorphism group//Japan J. Math. 1986. V. 12. P. 192—282.

Коуроуниотис (Kourouniotis C.)

Deformations of hyperbolic structures//Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1985. V. 98. P. 247—261._-

Bending in the space of quasi-Fuchsian structures: Preprint 18.. Univ. Crete, 1988.

К p a (Kra I.)■

On affine and projective structures on Riemann surfaces/J. Analyse Math. 1969. V. 22. P. 285—298.

On spaces of Kleinian groups//Comm. Math. Helv. 1972. V. 47. P. 53—69.

Автоморфные формы и клейновы группы. М.: Мир, 1975.

Кроуэлл Р., Фокс Р.

Введение в теорию узлов. М.: Мир, 1967.

Крушкаль С. Л.

Квазиконформные отображения и римановы поверхности. Новосибирск: Наука, 1975.

Об одном свойстве предельных множеств клейновых групп/ДАН СССР. 1975. Т. 225. С. 500—502; 1977. Т. 237. С. 256.

О носителях дифференциалов Бельтрами для клейновых групп/ДАН СССР. 1976. Т. 231. С. 799—801.

Некоторые теоремы жесткости для разрывных групп//Мат. анализ и смежные вопросы. Новосибирск: Наука, 1978. С. 69—82.

То the problem of the supports of Beltramy differentials for Kleinian groups//Romanian-Finish Sem. on Complex Analysis. Leet. Notes in Math. V. 743. Springer-Verlag, 1979. P. 132—134.

Замечание о жесткости квазиконформных деформаций дискретных групп изометрий гиперболического пространства//Сиб. мат. жури. 1980. Т. 21, № 5. С. 52—57.

Some remarks on Kleinian groups/Riemann Surfaces and Related Topics: Proc, of the 1978 Stony Brook Conference/Ed. by I. Kra and B. Maskit. Ann. Math. Stud. V. 97. Princeton Univ. Press, 1981. P. 361—366.

Инвариантные метрики на пространствах замкнутых римановых поверх- иостей//Сиб. мат. журн. 1985. Т. 26, № 2. С. 108—114.

Крушкаль С. Л., Апана сов Б. Н., Гусе вс кий Н. А.

Клейновы группы в примерах и задачах. Новосибирский гос. уи-т, 1978.

Униформизация и клейновы группы. Новосибирский гос. уи-т, 1979.

Клейновы группы и униформизация в примерах и задачах. Новосибирск. Наука, 1981 (Extended English Edition: Transl. Math. Monographs. V. 62. Amer. Math. Soc. Providence. 1986).

Кулкарни (Kulkarni R. S.)

On the principle of uniformization/J. Diff. Geom. 1978. V.13. P. 109—138.

Some topological aspects of Kleinian groups/Amer. J. Math. 1978. V. 100.

P. 897—911.■

Groups with domains of discontinuity//Math. Ann. 1978. V. 237. P. 253—272.

Conformal and Mobius structures//Conformal Geometry. Aspects of Math. V. E12. Braunschweig/Wiesbaden, Friedr. Vieweg and Sohn, 1988. P. 120—135.'

Кулкарни, П и и к а л (Kulkarni R. S., Pinkail U.)

Uniformization of geometric structure with applications to conformal geometry//Differential Geometry: Proc. Symposium, Peniscola, 1985. Spain/Ed. by A. M. Naveira a. o. (Leet. Notes in Math. V. 1209). Berlin a. o.: Sprin- ger-Verlag, 1986. P. 190—210.

Conformal Geometry/'Aspects of Math. V. E12. Ed. By Kulkarni, Pinkail. Braunschweig/Wiesbaden, Friedr. Vieweg and Sohn. 1988.

Кулкарни, Шалей (Kulkarni R. S., Shalen P. B.)

On Ahlfors finiteness theorem: Preprint. Max Plank Inst., 1984.

Кэли (Cayley A.)

The theory of groups: graphical presentations//Amer. J. Math. 1878. V. 1. P. 174—176.

Кэннон (Cannon J. W.)

The combinatorial structure of cocompact discrete hyperbolic groups/'Geom. Dedicate. 1984. V. 16. P. 123—148.

Кэннон, Эпстейн, Холт, Патерсон, Тёрстон (Cannon J. W., Epstein D. B. A., Holt D., Paterson M. S., Thurston W. P.)

Word processing and group theory. Preprint, Geometry Supercomputer Project, 1990.

К э н э p и, Эпстейн, Грин (Canary R. D., Epstein D. B. A., Green P.)

Notes on notes of Thurston//Analytical and Geometric Aspects of Hyperbolic Spaces. London Math. Soc. Leet. Note Series. V. 111. Cambridge Univ. Press. London a. o., 1987. P. 3—92.

Кюйпер (Kuiper N. H.)

On conformally-flat spaces in the large//Ann. Math. 1949. V. 50. P. 916—924.

On compact conformally Euclidean spaces of dimension 2//Ann. Math. 1950. V. 52. P. 478—490.

Compact spaces with a local structures determined by the group of simi- lary transformations in Rn//Indag. Math. 1950. V. 12. P. 411—418.

Hyperbolic 4-manifolds and tesselations // PjbL Math. IHES. 1988. V. 68. P. 47—76.

Fairly symmetric hyperbolic manifolds// Actes du Congres de Geometrie ’Avignon 1988, to appear (Preprint IHES. 1989).

Лаврентьев M. А., Белинский П. П. ■

Некоторые проблемы геометрической теории функций/'Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1972. Т. 128, ч. II. С. 34—40.

Л а н и е р (Lanner F.)

On complexes with transitive groups of automorphisms//Comm. Sem. Math Univ. Lund. 1950. V. 11. P. 1—71.

Лафонтейн (Lafontaine J.)

Modules de structures conformes plates et cohomologie de groups discrets/' Comptes Rendus Acad. Sci. Paris. 1983. V. 297. Ser. I. P. 655—658.

Ленер (Lehner J.)

Discontinuous groups and automorphic functions. Providence, 1964..

Линдон P., Ш у п n П..

Комбинаторная теория групп. M.: Мир, 1980..

Лобачевский Н. И.;

Воображаемая геометрия//Уч. зап. Казан, ун-та, 1835 (Поли. собр. соЧ. Т. III. М.; Л., 1949. С. 16—70).' ■

Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам^Уч. зап. Казан, ун-та, 1836 (Поли. собр. соч., Т. Ill, М.; Л., 1949. С. 181—294).

Л о к (Lok W. L.)

Deformations of locally homogeneous spaces and Kleinian groups/'Ph. Dr. Thesis. Columbia University. New York, 1984.

Магиус В., Каррас А., Солитэр Д. '"

1. Комбинаторная теория групп. М.: Наука, 1974.71 .ооМ-• ?ч‘

Макбет (Macbeath А. М.)чу.Ч|-

1. Groups of homeomorphisms of a simply connected spaces//Ann. Math. 1964. V. 79. P. 473—488.

Макаров В. С.

Об одном классе разбиений пространства Лобйчевского^ДАН СССР. 1965. Т. 161. С. 277—278.

Об одном классе дискретных групп пространства Лобачевского, имеющих бесконечную фундаментальную область конечной меры//ДАН СССР. 1966. Т. 167. С. 30—33.

Об одном классе двумерных Федоровских групп/Изв. АН СССР. Сер. мат. 1967. Т. 31. С. 531—542..

О Федоровских группах четырехмерного и пятимерного пространства Лобачевского//Исследоваиия по общей алгебре. Кишинев: Кишиневский гос. ун-т, 1968. С. 120—129.

Примеры некомпактных разбиений пространства Лобачевского А" при п < 9//Исследования по дискретной геометрии. Кишинев: Штииица, 1974. С. 120—123.". .

Об одном некомпактном разбиении десятимерного пространства Лобачевского//Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1980. Т. 152. С. 162—164.

Геометрические методы построения дискретных групп движений пространства Лобачевского//Проблемы геометрии. 15. М.: ВИНИТИ, 1983. С. 3—59.

Матричные представления фундаментальных групп некоторых трехмерных многообразий постоянной отрицательной кривизны, обладающих конечной мерой//Вопросы дискретной геометрии. Кишинев: Штиинца, 1988. С. 122—138.

О фундаментальном многограннике дискретной группы движений пространства Лобачевского, его комбинаторике и деформации//Геометрия дискретных групп. Кишинев: Штииица, 1990. С. 110—121.

Макаров В. С., Гуцул И. С.

О некомпактных трехмерных многообразиях постоянной отрицательной кривизны, имеющих конечную меру//Тр. мат. ин-та АН СССР, 1980. Т. 165—169.

Пример неполного нежесткого трехмерного многообразия конечного объема с локально Лобачевского метрикой/Дезисы Ленинградской межд. тополог, конф. Л.: Наука, 1982. С. 95.

Маклейн, Эйленберг (MacLane S., Eilenberg S. Р.)

Cohomology theory in abstract groups//Ann. Math. 1947. V. 48. P. 51—78. Малер (Mahler K.)

On lattice points in n-dimensional starbodies. I. Existence theorems//Proc. Roy. Soc. London. 1946. A187. No. 1008. P. 151—187.

Мальцев А. И.

О изоморфных матричных представлениях бесконечных групп//Мат. сб. 1940. Т. 8. С. 405—422.

О классе однородных пространств//Изв. АН СССР. 1949. Г. 13. С. 9—32. Мандельбаум Р.

Четырехмерная топология. М.: Мир, 1981.

Манкхольм (Munkholm Н. J.)

Simplices of maximal volume in hyperbolic space, Gromov’s norm, and Gromov’s proof of Mostow’s rigidity theorem (followirg Thurston^Topology symposium. Siegen, 1979/Ed by U. Koschorkeand W. D. Neumann. Lecture Notes in Math. V. 788. Springer-Verlag, 1980. P. 109—124.

M a p г у л и с Г. A.

Изометричность замкнутых многообразий постоянной отрицательной кривизны с одинаковой фундаментальной группой//ДАН СССР. 1970. Т. 192. С. 736—737.

Дискретные группы движений многообразий неположительной кривизны/ Proc. Intern. Congress Math. Vancouver, 1974. V. 2. P. 21—34.

Арифметические свойства дискретных групп//УМН. 1974. Т. 29, вып. 1. С. 49—98.'

Арифметичность неприводимых решеток в полупростых группах ранга больше 1//Добавление в книге Рагуната н. Дискретные подгруппы группы Ли. М.: Мир, 1977. С. 277—313.

Полные аффинные локально плоские многообразия со свободной фундаментальной группой/Автоморфные функции и теория чисел. Зап. науч, сем. ЛОМИ АН СССР, 134. Л.: Наука, 1984. С. 190—205.

Марден (Marden А.).

The geometry of finitely generated Kleinian groups//Ann. Math. 1974. V. 99. P. 383—462.

Universal properties of Fuchsian groups in the Poincare metric//Disconti- nuous Groups and Riemann Surfaces//Ed. by L. Greenberg. Ann. Math. St. 79. Princeton Univ. Press, 1974. P. 315—341.

Isomorphisms between Fuchsian groups//Advances in Complex Function Theory. Leet. Notes in Math. 505. Springer-Verlag, 1976. P. 56—78.

Марден, Ma скит (Marden A., Maskit B.)

On the isomorphism theorem for Kleinian groups/Invent. Math. 1979. V. 51. P. 9—14.

Марков A. A.

Неразрешимость проблемы гомеоморфии/ДАН СССР. 1958. Т. 121. С. 218—220.

Мартин (Martin G. J.)

Quasiconformal and Bi-Lipschitz homeomorphisms, uniform domains and the quasihyperbolic metric//Trans. Amer. Math. Soc. 1985. V. 292. P. 169—191.

Discrete quasiconformal groups that are not the quasiconformal conjugates of Mobius groups/Ann. Acad. Sci. Fenn. 1986. V. 11.

Quasiconformal actions on domains in space//Holomorphic Functions and Moduli II. Publ. MSRI. V. 11. Springer-Verlag, 1988. P. 87—112.

Мартин, T у к и я (Martin G., Tukia P.)

Convergens and Mobius qrops,/Holomorphic Functions and Moduli II. Publ. MSRI. V. 11. Springer-Verlag, 1988. P. 113—140.

Маскит (Maskit B.)

On Klein’s combination theorem III//Advances in the theory of Riemann sur- faces/Ed. by L. Ahlfors a. o. Ann. Math. Stud. 66. Princeton Univ. Press, 1971. P. 297—310.

On Poincare theorem for fundamental polygons//Advances in Math. 1971. V. 7. P. 219—230.

On a class of Kleinian groups//Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. 1969. V. 442. P. 1—8.

Some deformations of codimension two discrete groups/J. Math. Kyoto Univ. 1986. V. 26. P. 77—80.

Kleinian groups. Berlin a. o.: Springer-Verlag, 1987.■!'

Масси У., Столлингс Дж..: "

Алгебраическая топология. Введение. М.: Мир, 1977.'■ ’ '1

Матвеев С. В.

Специальные остовы кусочно линейных миогообразий/Мат. сб. 1973. Т. 92. С. 282—293.

Преобразования специальных спайнов и гипотеза Зимана//Изв. АН СССР. 1987. Т. 51. С. 1104—1116.

Сложность 3-многообразий и их перечисление в порядке возрастания сложности//ДАН СССР. 1988. Т. 301. С. 280—283.

Теория сложности трехмерных многообразий. Киев., 1988. 32 с. (Препр./ АН УССР. Ин-т мат., 88-13).

Матвеев С. В., Савватеев В. В.

Трехмерные многообразия, имеющие простые специальные остовы//Со11. Math. 1974. V. 32. Р. 83—97.

Матвеев С. В., Фоменко А. Т.

Изоэнергетические поверхности гамильтоновых систем, перечисление трехмерных многообразий в порядке возрастания их сложности и вычисление объемов замкнутых гиперболических многообразий//УМН. 1988. Т. 43, вып. 1. С. 5—22.

Матвеев С. В., Фоменко А. Т., Шарко В. В.

Круглые функции Морса и изоэнергетические поверхности интегрируемых гамильтоновых систем. Киев, 1986. 31 с. (Препр./АН УССР. Ин-т мат., 86-76).

Медных А. Д.

О полупрямых произведениях разрывных групп преобразований// ДАН СССР 1975. Т. 225. С. 1016—1017.

Группы автоморфизмов трехмерных гиперболических многообразий// ДАН СССР. 1985. Т. 285. С. 41—46.-

Медных А. Д., Веснин А. Ю.

On three-dimensional hyperbolic manifolds of Lobell type//Complex Analysis and Applications, 85/Ed. by L. Iliev and I. Ramadanov. Publ. House Bulgarian Acad. Sci. Sofia, 1986. P. 341—350..

Мейер (Meyer J.)-

Presentation der Einheitengruppe der quadratischen Form F(x) = = —xo + xi+...+xi8//Arch. Math. 1977. Bd 29. S. 261—266.

Мейергоф (Meyerhoff R.)

The cusped hyperbolic 3-orbifold ot minimum volume//Bull. Amer. Math. Soc. 1985. V. 13. P. 154—156.

Hyperbolic 3-manifolds with equal volumes but different Chern-Simons invariants//Low-Dimensional Topology and Kleinian groups. London Math. Soc. Leet. Note Series. V. 112. Cambridge Univ. Press. London a.o., 1987. P. 237—246.

Мейерс (Meyers K.)

Free involutions of lens spaces//Topology. 1981. V. 20. P. 313—318.

Метзгер (Metzger T. A.)

On a fundamental set for the limit set of a Fushsian group: Preprint. Univ, of Pittsburgh, 1976.

On the exponent of convergence for infinitely generated Fuchsian groups// Complex Analysis. Joensuu 1987. Leet. Notes Math. 1351. Springer-Verlag, 198 8. P. 243—251.

Милнор (Milnor J. W.)

Hilbert problem 18: On cristallographic groups, fundamental domains, and on sphere packing//Mathematical developments arisirg from Hilbert problem. Providence: Amer. Math. Soc. 1976. P. 491—506.

A unique factorization theorem for 3-manifolds//Amer. J. Math. 1962. V. 84. P. 1—7.

Hyperbolic geometry: the first 150 years//Bull. Amer. Math. Soc. 1982. V. 6. P. 9—25.

Мирберг (Myrberg P. J.)

Die Kapazitat der singularen Menge der linearen Gruppen//Ann. Acad Ssi. Fenn. 1941. Bd 10. S. 1—10.

Мол нар (Molnar E.)

. An infinite series of compact non-orientable 3-dimensional space forms of constant negative curvature//Ann. Glob. Anal. Geom. 1983. V. 1. No. 3. P. 37—49; 1984. V. 2. No. 2. P. 253—254.

Монтгомери, 3 и п п и и (Montgomery D., Zippin L.)

1 . Examples of transformation groups//Proc. Amer. Math. Soc. 1954. V. 5. P. 460—465.

M онтезинос (Montesinos J.)

. Classical tesselations and three manifolds. Springer-Verlag, 1987.

. On 3-manifolds having surface-bundles as branched coverings//Proc. Amer. Math. Soc. 1987. V. 101, P. 555—558.

Морган (Morgan J. W.)'' ''

On Thurston uniformization theorem for three-dimensional manifolds/The Smith Conjecture. Academic Press, 1984. P.-37—125.

Group actions on trees and compactification of the space of classes of SO(n, l)-representations//Topology. 1986. V. 25. P. 1—33.

Trees and hyperbolic geometry//Proc. Intern. Congress Math. Berkeley/Cali- fornia 1986. Providence, 1987. P. 590—597.

Морган, Ша лен (Morgan J. W.. Shalen P. V.)

Valuations, trees and degenerations of hyperbolic structures//Ann. Math. 1984. V. 120. P. 401—476.

Мороку м a (Morokuma T.)

On discontinuous groups acting on real hyperbolic space I//Proc. Japan Acad. 1976. V. 52. P. 359—363.

Мостов (Mostow G. D.)

Quasiconformal mappings in n-space and the rigidity of hyperbolic space forms//Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 1968. V. 34. P. 53—104.

Strong rigidity of locally symmetric spaces//Ann. Math. Stud. 78. Princeton Univ. Press, 1973.

On a remarkable class of polyhedra in complex hyperbolic space//Pacific J. Math. 1980. V. 86. P. 171—276.

Мостов, Там агава (Mostow G. D., Tamagawa T.)

On the compactness of arithmetically defined homogeneous spaces//Ann. Math. 1962. V. 76. P. 446—463.

Николс (Nicholls P. J.)

Discrete groups on the sphere at infinity//Bull. London Math. Soc. 1983. V. 15. P. 488—491.

Ford and Dirichlet regions for discrete groups of hyperbolic motions//Trans. Amer. Math. Soc. 1984. V. 282. P. 355—365.

Никулин В. В.

О факторгруппах групп автоморфизмов гиперболических форм по подгруппам, порожденным 2-отражениями/ДАН СССР. 1979. Т. 248. С. 1307—1309.

О факторгруппах групп автоморфизмов гиперболических форм по подгруппам, порожденным 2-отражеииями. Алгебро-геометрические при- ложения//Совремеииые проблемы математики. Т. 18. М.: ВИНИТИ, 1981. С. 3—114.

О арифметических группах, порожденных отражениями, в пространствах Лобачевского/Изв. АН СССР. Сер. мат. 1980. Т. 44. С. 637—669.

О классификации арифметических групп, порожденных отражениями, в пространствах Лобачевского#Изв. АН СССР. Сер. мат. 1981. Т. 45. С. 112—142.

Инволюции целочисленных квадратичных форм и их приложения к вещественной алгебраической геометрии//Изв. АН СССР. Сер. мат. 1983. Т. 47. С. 109—188.

Поверхности типа КЗ с конечной группой автоморфизмов и группой Пикара ранга З/Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1984. Т. 165. С. 119—142.

Об описании групп автоморфизмов поверхностей Энривекса//ДАН СССР. 1984. Т. 277. С, 1324—1327.

Discrete reflection groups in Lobachevsky spaces and algebraic surfaces/ Proc. Intern. Congress Math. Berkeley, 1986.

Никулин В. В., Шафаревич И. Р.

Геометрии и группы. М.: Наука. 1983.

Нильсен (Nielsen J.)

Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flachen, I—III//Acta Math. 1927. Bd 50. S. 189—358; 1929. Bd 53. S. 1—76. 1932. Bd 58. S. 87—167.

Новиков П. C.

Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества//ДАН СССР. 1952. Т. 85. С. 709—712.

Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов е теории групп/Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1955. Т. 44.s . ■

Новикове. П.

Гомотопически эквивалентные гладкие многообразия. 1//Изв. АН СССР. 1964. Т. 28. С. 365 — 474.

Новиков С. П., Шубин М. А.

Неравенства Морса и иеймаиовские Л1-факторы//ДАН СССР. 1986. Т. 289. С. 289—292.

Нойман, Загир (Neumann W. D., Don Zagier)

Volumes of hyperbolic three-manifolds//Topology. 1985. V. 24. P. 307—322. Нойман, Рид (Neumann W. D., Reid A. W.)

Arithmetic of Hyperbolic 3-Manifolds//Topology 90 (Proc. Res. Semester in Low Dimensional Topology at Ohio St. Univ.)/Ed. by B. Apanasov, W. D. Neumann, A. W. Siebenmann. Berlin — New York, Walter deGruyter, 1991, to appear.

Ньюман (Newman M.H.A.)

A theorem on periodic transformations of space//Quart. J. Math. 1931 V. 2. P. 1—8.

Ньюстед (Newstead P. E.)

Introduction to moduli problems and orbit space//TATA Inst. Leet. Notes. Springer-Verlag, 1978.

О т а к e (Ohtake H.)

On discontinuous subgroups with parabolic transformations of the Mobius groups//J. Math. Kyoto Univ. 1985. V. 25, No. 4. P. 807—816.

О шика (Ohshika К.)

Teichmiiller spaces of Seifert fibered manifolds with infinite rii//Topology Appl. 1987. V. 27. P. 75—93.

Папакирьякопулос (Papakiriakopulos C.)

On Dehn’s lemma and the asphericity of knots//Ann. Math. 1957. V. 66. P. 1—26.

On solid tori//Proc. London Math. Soc. 1957. V. 7. P. 281—299.

П атерсон (Patterson S. J.)

The limit set of a Fuchsian group//Acta Math. 1976. V. 136. P. 242—273. П и н к а л л (Pinkail U.)

Compact conformally flat hypersurfacesy/Conformal Geometry/Ed. by R. S. Kulkarni and U. Pinkali. Aspects of Math. E. 12. Braunschweig: Fiedr. Vieweg and Sohn. 1988. P. 217—236.

Прасад (Prasad G.)

Strong rigidity of Q-rank 1 lattices//Invent. Math. 1973. V. 21. P. 255—286. Прохоров M. H.

Отсутствие дискретных групп отражений с некомпактным фундаментальным многогранником конечного объема в пространстве Лобачевского большой размерности//Изв. Ан СССР. 1986. Т. 50. С. 413—424.

Пуанкаре (Poincare Н.)

Memoire sur les groups Kleineens//Acta Math. 1883. Bd 3. S. 49—92. Рагуната н M.

Дискретные подгруппы групп Ли. М.: Мир, 1977.

Райман (Reimann Н. М.)

On the parametric representation of quasiconformal mappings^Symposia Math. XVIII. Convegno sulle Transformarzioni Quasiconformi e Questioni Connesse. INDAM. Roma. 1974. P. 421—428.

Invariant extension of quasiconformal deformations//Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. I. Math. 1985. V. 10. P. 477—492.

Райли (Riley R.)

Discrete parabolic representations of link groups//Mathematika. 1975. V. 22. P. 141—150.

An elliptical path from parabolic representations to hyperbolic structures// Topology of Low-Dimensional Manifolds/Fd. by R. Fenn. Leet. Notes Math. V. 722. Springer-Verlag, 1979. P. 99—133.

Де Ра м Ж.|‘

Дифференцируемые многообразия. М.: ИЛ, 1956.

РешетнякЮ. Г.

Теорема Лиувилля при минимальных предположениях непрерывности/ Сиб. мат. журн. 1967. Т. 8. С. 835—840.

Пространственные отображения с ограниченным искажением. Новосибирск: Наука, 1982.

Теорема устойчивости в геометрии и анализе. Новосибирск: Наука, 1982. Робинсон (Robinson R. М.)

Undecidability and nonperiodicity for tilings of the plane//Invent. Math. 1971. V. 12. P. 117—209.

Undecidable tiling problems in the hyperbolic plane//Invent. Math. 1978. V. 44. P. 259—264.

Ройден (Royden H. L.)

Remarks on the Kobayshi metric//SeveraI complex variables II. Maryland, 1970. Leet. Notes Math. V. 185. Springer-Verlag, 1971. P. 125—137.

Рурк К., Сандерсон Б.

Введение в кусочно-линейную топологию. М.: Мир. 1974.

С а с к и н д, Сваруп (Susskind Р. D., Swarup G. А.)

Limit sets of Geometrically finite hyperbolic groups: Preprint, 1988.

С а т а к e (Satake I.)

On a generalization of the notion of manifolds//Proc. Nat. Acad. Sci. USA 1956. V. 42. P. 359—363.

Селезнев В. A.

Об одном методе вычисления коэффициентов квазиконформности в полу- потоке//Динамика сплошной среды. 1987. Т. 79. С. 95—107.

Сельберг (Selberg А.)

On discontinuous groups in higher-dimensional symmetric spaces//Contri- butions to Function Theory. Bombey: TATA Inst., 1960. P. 147—164.

Семенов В. И.

Об однопараметрических группах квазиконформных гомеоморфизмов в евклидовом пространстве/Сиб. мат. журн. 1976. Т. 17, № 1. С. 177—193.

С е р р и н Дж.

Математические основы классической механики жидкости. М.: ИЛ, 1963.

Скотт (Scott G. Р.)

Finitely generated 3-manifold group are finitely presented//.!. London Math. Soc. 1973. V. 6. P. 437—440.

Compact submanifolds of 3-manifolds//J. London Math. Soc. 1973. V. 7. P. 246—250.

Fundamental groups of non-compact 3-manifolds//Proc. London Math. Soc. 1977. V. 34. P. 303—326.

Геометрии трехмерных многообразий. M.: Мир, 1986.

There аге no face Seifert fibre spaces with infinite nj/Ann. Math. 1983. V. 117. P. 35—70.

С п e и ь e p Э.

Алгебраическая топология. M.: Мир, 1971.

Стейн Е.

Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973.

Стейн С. (Stein S. К )

Tiling space by congruent polyhedra//Bull. Amer. Math. Soc. 1974. V. 80.

P. 819—820.

Стейн ли (Stanley R. P.)

The upper bound conjecture and Cohen-Macaulay rings//Studies in Appl. Math. 1975. V. 54. P. 135—142.

Столлингс (Stallings I.)

On the loop theorem/Ann. Math. 1960. V. 72. P. 12—19.

On fibering certain 3-manifolds/Topology of 3-Manifolds. Prentice-Hall.

1962. P. 95—100.

Homology and central series of groups/'J. Algebra. 1965. V. 2. P. 170—181. Сулливан (Sullivan D.)

On the ergodic theory at infinity of arbitrary discrete group of hyperbolic motions/'Riemann Surfaces and Related Topics: Proc, of the 1978 Stony Brook Conference/Ed. by I. Kra and В. Maskit. Ann. Math. Stud. V. 97. Princeton Univ. Press, 1981, P. 465—496.

Growth of positive harmonic functions and Kleinian group limit sets of planar measure zero and Hausdorff dimension two//Geometry Symposium Utrecht, 1980 (N. Kuiper 60-th Birthday Volume). Leet. Notes in Math. V. 894. Springer-Verlag, 1981. P. 127—144.

A finiteness theorem for cusps//Acta Math. 1981. V. 147. P. 289—299.

Travaux de Thurston sur les groupes quasi-fuchsiens et les varietes hyper- boliques de dimension 3 fibres sur SySem. Bourbaki 554. Leet. Notes in Math. 842. Springer-Verlag, 1981.

Seminar on conformal and hyperbolic geometry: Preprint IHES, 1982.

Entropy, Hausdorf measures old and new, and limit sets of geometrically finite Kleinian groups//Acta Math. 1984. V. 153. P. 259—278.

Quasiconformal homeomorphisms and dynamics II: Structural stability implies hyperbolicity for Kleinian groups//Acta Math. 1985. VI 155. P. 243— 260.■ •

Сулливан, Тёрстон (Sullivan D., Thurston W.)

On manifolds with canonical coordinates//L’ens. Math. 1983. V. 29. P. 1525. Тейхмюллер (Teichmiiller O.)

Extremale quasiconforme Abbildungen und quadratische Differentiale//Abh. Preuss. Akad. Wiss. Math.— Naturw. KI. 1940. Bd 22. S. 3—197.

Тёрстон (Thurston W. P.)

The geometry and topology of 3-manifolds. Mimeographed Lecture Notes. Princeton Univ. 1978/79; Ch. 1—9; 1980. Ch. 11, 13

Hyperbolic structures on 3-manifolds, I: Deformations of acylindrical mani- folds//Ann. Math. 1986. V. 124. P. 203—246.

Hyperbolic structures on 3-manifolds; II: Surface groups and 3-manifolds which fiber over circle: Preprint, 1980/1986. P. 79.

Hyperbolic structures on 3-manifolds, HI. Deformations of 3-manifolds with incompressible boundary. Preprint, 1980/1986. 35 p.

Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry// Bull. Amer. Math. Soc. 1982. V. 6. P. 357—381.

Universal links: Preprint, 1982.

A norm for the homology of 3-manifolds/Memoires Amer. Math. Soc. Providence. 1986. No. 339.

Earthquakers in two dimensional hyperbolic geometry//Low dimensional topology and Kleinian groups. Warwick and Durham 1984. London Math. Soc. Leet. Note Ser. 1987. V. 112. P. 91—110.

T e т e н о в A. В.

Инвариантные компоненты клейновых групп в пространстве//Материалы XVII Всесоюзн. науч. студ. конф. Мат. Новосибирский гос. ун-т, 1979. С. 134—141.

Бесконечно порожденные клейновы группы в пространстве//Сиб. мат. журн. 1980. Т. 21, № 5. С. 88—99.

Локально конечные фундаментальные области дискретных групп в про- странстве//Сиб. мат. журн. 1982. Т. 23. С. 190—194.

О числе инвариантных компонент клейновой группы в пространстве. Новосибирск, 1982. 19 с. (Препр./Инст. мат. СО АН СССР, № 17).

Клейновы группы в пространстве и их инвариантные компоненты: Дис. канд. физ.-мат. наук. Инет. мат. СО АН СССР. Новосибирск, 1983.

The discontinuity set for a Kleinian group and topology of its Kleinian manifold. Novosibirsk: Preprint, 1989.

T и.п. e (Tietze HA

Uber die topologischen Invarianten mehrdimensionaler Manigfaltigkeiten// Monatsh. Math. Phys. 1908. Bd 19. S. 1—118.

Трофимов В. В., Фоменко А. Т. (Fomenko А. Т., Trofimov V. V.)

Integbrable systems on Lie algebras and symmetric spaces//Advances Studies in Contemporary Math. V. 2. New York a.o.: Gordon and Breach Science Publishers, 1987.'

T у к и я (Tukia Р.)

A quasiconformal group not isomorphic to a Mobius group/'Ann. Acad. Sci- Fenn. Ser. AI. 1981. V. 6. P. 149—160.

On two-dimensional quasiconformal groups//Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. AI. 1980. V. 5. P. 73—78.

The Hausdorf dimension of the limit set of a geometrically finite Kleinian group//Acta Math. 1984. V. 152. P. 127—140.

Quasiconformal extension cf quasisymmetric mappings compatible with a Mobius group//Acta Math. 1985. V. 154. P. 153—193.

On isomorphisms of geometrically finite Mobius groups // Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 1985. V. 61. P. 171—214.

On limit sets of geometrically finite Mobius groups//Math. Scand. 1985. V. 57. P. 29—43.

A Rigidity theorem for Mobius groups//Invent. Math. 1989. V. 97, No 3. P. 405—431.

Differentiability and rigidity of Mobius groups//Invent. Math. 1985. V. 82. No. 3.

On quasiconformal groups//J. Analyse Math. 1986. V. 46. P. 318—346. T у к и я, В я й с я л я (Tukia Р., Vaisala J.)

Quasisymmetric embeddings of metric spaces/'Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser AI. 1980. V. 5. P. 97—114.

T у к к e p (Tucker T. W.)

Correction to paper A. Marden//Ann. Math. 1975. V. 102. P. 565—566.

Уайтхед (Whitehead J. H. C.)

Combinatorial homotopy I/Bull. Amer. Math. Soc. 1949. V. 55. P. 213—245.

On 2-spheres in 3-manifolds//Bull. Amer. Math. Soc. 1958. V. 64. P. 157—167.

Уолл (Wall С. T. C.)

Geometries and geometric structures in real dimension 4 and complex dimensions 2//Geometry and Topology. Lecture Notes in Math. 1167. Berlin a.o.: Springer-Verlag, 1986. P. 268—292.

Фаррел, Джонс (Farrell F. T., Jones L. E.)

Algebraic K-theory of hyperbolic manifolds//Bull. Amer. Math. Soc. 1986. V. 14. P. 115—119.

Implication of the geometrization conjecture for the algebraic К-theory of 3-manifolds//Geometry and Topology/Ed. by C. McCrory and T. Shifrin. Leet. Notes in Pure Appl. Math. 105. New York: Marcel Dekker, 1987.

К-theory and dinamics. I // Ann. Math. 1986. V. 124. P. 531—569. Фаррел, С я н г (Farrell F. T., Hsiang W. C.)

On Novikov’s conjecture for non-positive curved manifolds. I//Ann. Math. 1981. V. 113. P. 199—209.

Addendum to «On Novikov’s conjecture for cocompact discrete subgroups of a Lie group»//Topology Appl. 1987. V. 26. P. 93—95.

Филипкиевич (Filipkiewicz R. P.)

Four-dimensional Geometries//Ph. Dr. Thesis. Univ. Warwick, 1984. Флойд (Floyd W. J.)

Group completions and limit sets of Kleinian groups//Invent. Math. 1980. V. 57. P. 205—218.

Ф л q й д, X о p, Линдон (Floyd W. J., Hoare A. H. M., Lyndon R. C.)

The word problem for geometrically finite groups//Geom. Dedicata. 1986. V. 20. P. 201—207.

Фоменко A. T.

Multidimensional Plateau problem on Riemannian manifolds. On the problem of the algorithmical recognizability of the standard three dimensional sphere j Proc. Intern. Congress of Math. Vancuver, 1974. P. 515—525.

Топологические вариационные задачи. M.: Изд-во МГУ, 1984.

Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильто* новых систем и припятствия к иитегрируемости//Изв. АН СССР. 1986. Т. 50. С. 1276—1307.

Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем//ДАН СССР. 1986. Т. 287. С. 1071—1075.

Симплектическая геометрия. М.: Изд-во МГУ, 1988.

Фоменко, Цишанг X. (Fomenko А. Т., Zieschang Н.)

О топологии трехмерных многообразий, возникающих в гамильтоновой механике//ДАН СССР. 1987. Т. 294. С. 283—287.

On typical topological properties of integrable Hamiltonian systems. Bochum: Ruhr-Universitat. 92/1987, 1—47.

Ф о p д Л. P." ' ■

Автоморфные функции. M.; Л.: ГОНТИ, 1936.

Фраицони, Везентини (Franzoni Т., Vesentini Е.)

Holomorphic maps and invariant distances. Amsterdam: North-Holland, 1980. Фрид (Fried D.)

Closed similarity manifolds//Comm. Math. Helv. 1980. V. 55. P. 576—582. Фридман (Freedman M. H.)

The topology of four-dimensional manifolds//!. ‘Diff. Geom. 1982. V. 17.

P. 357—453.- '

A conservative Dehn’s lemma//Low dimensional topology. Contemp. Math. 20. Amer. Math. Soc. Providence, 1983. P. 121—130.

A geometric reformulation of 4-dimensional surgery ^/Topology Appl. 1986. V. 24.

Фридман, Скора (Freedman M. H., Scora R.)

Strange action of groups on spheres^J. Diff. Geom. 1987. V. 25. P. 75—98.

Фридман, X а с, Скотт (Freedman M. H., Hass J., Scott P.)

Least area incompressible surfaces in 3-manifolds//Invent. Math. 1983. V. 71. P. 609—642.

Ф p. и к e (Fricke P.)

Uber eine besondere Klasse discontinuirlicher Gruppen reeler linearer Sub- stitutionen//Math. Ann. 1891. Bd 38. S. 50—81, 461—476.

Фрике, Клейи (Fricke P., Klein F.)

Vorlesungen fiber die Theorie der automorphen Funktionen. Bd I—II. Leipzig: Teubner, 1926.

Ф p.p й д e и т а л ь (Freudenthal H.)

Uber die Enden topologischer Raume and Gruppen^Math. Z. 1931. Bd 33.

S. 692—713.

Хаусдорф Ф.

Теория множеств. M.; Л.: ОНТИ, 1937.

Хаш (Husch L. S.)

A homotopy theoretic characterization of the translations in Ert//Composito Math. 1972. V. 24. P. 55—61.

A topological characterization of the dilation in E^Z/Proc. Amer. Math. Soc. 1971. V. 28. P. 234—236.

Хаш, Прайс (Husch L. S., Price T. M.)

Finding a boundary for a 3-manifold//Ann. Math. 1970. V. 91. P. 223—235. Хедлунд (Hedlund G. A.)

Fuchsian groups and transitive horocycles^Duke Math. J. 1936. V. 2. P. 530—542.

Хелгасон C.

Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964.

Хемпель (Hempel J.)

3-manifolds. Princeton Univ. Press, 1976.

Orientation reversing involutions and the first Betti number for finite coverings of 3-manifolds//Invent. Math. 1982. V. 67. P. 133—142.

•СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ;.413

X и л д е н, Лозано, Монтезннос (Hilden Н. М., Losano М. Т., Montesinos J. М.)

The Whitehead link, the borromean rings and the knot 94e are universal// Collect. Math. 1983. V. 34. P. 19—28._

On the universal group of the Borromean rings // Diff. Topology./ Ed. by U. Koschorke. Leet. Notes. Math. 1350. Berlin a.o.: Springer-Verlag, 1989. P.l—13.

Хилдеи, Лозано, Монтезннос, Уиттен (Hilden Н., Losano М., Montesinos, Whitten M.)

On universal groups and three-manifolds // Invent. Math. 1987. V. 87. P. 441—456.

Хинканен (Hinkkanen A.)

Uniformly quasisymmetric groups/'Proc. London Math. Soc. 1985. V. 51. P. 318—338.

Хованский А. Г.

Гиперплоские сечения многогранников, торические многообразия и дискретные группы в пространстве Лобачевского^Функц. анализ и его прилож. 1986. Т. 20. С. 51—61.

Хопф Э. (Hopf Е.)

Fuchsian groups and ergodic theory//Trans. Amer. Math. Soc. 1936. V. 39. P. 299—314.

Statistik der geodatischen Linien in Mannigfaltigkeiten negative Krum- mung//Ber. Verb. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig. 1939. Bd 91. S. 261—304.

X o.n ф Г. (Hopf H.)

Uber die Abbildungen der dreidimensionale Sphare auf die Kugelflache// Math. Ann. 1931. Bd 104. S. 637—665.

X у С ы Цзян

Теория гомотопий. M.: Мир, 1964.

Хэрви (Harvey W. J.)

(Ed. by Harvey W. J.) Discrete groups and automorphic functions. London: Academic Press, 1977.

Хэсс, Рубинштейн, Скот (Hass J., Rubinstein H., Scott P.)

Covering spaces of 3-manifolds//Bull. Amer. Math. Soc. 1987. V. 16. P. 117—119.

Цудзи (Tsuji M.)

Potential theory in modern function theory. Tokyo: Maruzen, 1959.

Цишанг, Фогт, Колдевай (Zieschang H., Vogt E., Coldewey H.-D.)

Поверхности и разрывные группы. М.: Наука, 1988.

Циммер (Zimmer R.)

Ergodic theory and semisimple groups. Birkhauser, 1984.

Чар лап (Charlap L. S.)

Bieberbach groups and flat manifolds. Berlin a. o.: Springer-Verlag, 1986. Чен (Chen Si-Shing)

A theorem of Ahlfors for hyperbolic spaces//Trans. Amer. Math. Soc. 1978. V. 242. P. 401—406.

Чен, Гринберг (Chen Su-Shing, Greenberg L.)

Hyperbolic spaces//Contributions to Analysis (a collection of papers dedicated to Lipman Bers)/Ed. by L. V. Ahlfors a.o. Academic Press, 1974. P. 49—87.

4 и н б у p г (Chinburg T.)

Volumes of hyperbolic manifolds//J. Diff. Geom. 1983. V. 18. P. 783—789.

A small arithmetic hyperbolic 3-manifolds//Proc. Amer. Math. Soc. 1987. V. 100. P. 140—144.

4 и н б у p г, Ф p и д м а и (Chinburg T., Friedman E.)

The smalest arithmetic hyperbolic 3-orbifold/Invent. Math. 1986. V. 86. P. 507—527.

Пятецкий]- Шапиро И. И., Шафаревич И. Р.

Теорема Тореллн для алгебраических поверхностей типа К3//Изв. АН СССР. 1971. Т. 35. С. 530—572.

Шафаревич И. Р.

1. (Под ред. И. Р. Шафаревича) Алгебраические поверхности//Тр. Мат. ин-та АН СССР. Т. 75. М.: Наука, 1965.

Основы алгебраической геометрии. М.: Наука, 1972.

Ш и м и д з у (Shimizu Н.)

On discontinuous groups operating on the product of the upper half pla- nes//Ann. Math. 1963. V. 77. P. 33—71.

Штурм, Шиинар (Sturm J., Shinnar M.)

The maximal inscribed ball of a Fuchsian group//Discontinuous groups and Riemann surfaces//Ed by L. Greenberg. Ann. Math. Stud. 79. Princeton Univ. Press, 1974. P. 438—443.

Эйленберг (Eilenberg S.)

Sur les transformations periodiques de la surface du sphere//Fund. Math, 1934. T. 22. P. 28—41.

Эпстейн, Марден (Epstein D. B. A., Marden A.)

Convex hull in hyperbolic space, a theorem of Sullivan, and measured pleated surfaces//Analytical and Geometric Aspects of Hyperbolic Space. Warwick-Durham 1984. London Math. Soc. Lecture Note Ser. III. Cambridge Univ. Press, 1987. P. 113—254.

Эпстейн, Пениер (Epstein D. B. A., Penner R. C.)

Euclidean decomposition of non-compact hyperbolic manifolds // J. Diff. Geom. 1988. V. 27. P. 67—80.

Ямамото (Yamamoto H.)

Constructibility and geometric finiteness of Kleinian groups//Tohoku Math. J. 1980. V. 32. P. 353—362.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Автоморфизм фундаментальной группы 325, 335

— полупространства 10

— шара 11

Алгоритм Дена 205

— Тодда — Кокстера 207

Алгоритмическая проблема 205

Александера теорема о сфере 231, 256 Александрова теорема о разбиениях 174, 181

— — —, обобщенная 181'

Альфорса теорема конечности 131, 257

— — о мере предельного множества 127, 275

Андреева теоремы о гиперболических полиэдрах 100

Атом 58

Белинского принцип компактности 7 Бельтрами дифференциал 340 Бердона—Маскита условия 121 Берса—Крушкаля проблема 339, 347 — теорема о разложении 349 Бибербаха группа 52 — многообразие 52, 228.

— разложение 53 — теорема 52' ’ ,

Близость многообразий 285 Блочная конструкция «диких» групп 249, 257

Бонахона компактификация многообразий 271

— теорема о концах 268

— — о мере предельного множества 275

Бореля—Валлаха задача 352

— ряд 131

Борромеевы кольца 34, 40

Боттовский интеграл 291

Буземана функция 17

Бутылка Клейна 35

Векторное поле квазиконформное 332

Вершина параболическая 116 — —, ранг 116

Вииберга теоремы конечности 104 — — существования 99

Вложение квазиснмметрическое 256

Выпуклая оболочка предельного множества 112

Выпуклое сердце многообразия 114

Выпуклый ретракт, минимальный 114

Вырезаемая триада 28

Вона теорема жесткости 285

Гамильтонова система 291

— —, препятствия интегрируемости 291

Ганнинга — Кра теорема униформи- зации 305

Гарланда — Рагунатана теорема жесткости 185

Гарнет точка 224

Гаусса — Бойне теорема 285-

Геодезическая 6:

— изламывающая 156

— — предельная 164

— — простая 164

Геодезические асимптотические 17

Геометрии трехмерные 43

— четырехмерные 47

Геометрия гиперболическая (Лобачевского) 44

— евклидова 44

— нильпотентная 45, 48.-ы •

— разрешимая 46, 48■

— №XR 45■

— PSU^, R) 45

— S^KR 45

Гизекинга многообразие 31'

Голономия 36, 326

Голубева нежесткие группы 341

Гомеоморфизм квазиконформный 6

— конформный 6, 301

— локсодромический 53, 57

— накрывающий 24

— параболический 53, 57

— эллиптический 53, 56

Гомологии сингулярные 26

— — относительные 27

— — приведенные 27

Гомоморфизм голономин 36, 326

Гомоморфизм граничный 26 — скрещенный 331 — — для изгибания 368 — — скрученный представлением 331

Гомотопическая эквивалентность 22, 336

Гомотопический класс 22

— тип 22

Гомотопия накрывающая 23

— отображений 22..

Граница пространства деформацга 388, 377т

Грань полиэдра 107, 173

— —, эквивалентность 356 Граф-многообразие Вальдхаузена 292 Грнна функция 218

Громова гиперболические группы 211 — инвариант 288 •— норма 288

— теорема об объемах 288

— униформизация 278

Группа абелева 52

— автоморфизмов квадратичной формы 77

— арифметическая 103

— Бибербаха 52, 86

— вырожденная 66, 388, 390

— Гейзенберга 46

— геометрически бесконечная 116, 140

— — конечная 115

— — неручиая 266

— — ручная 264‘

— граничная 378, 388.'o':.; ■ ■

— дискретная 50i iiqr ■

— днэдральная 40,c,i, ■

— жесткая 336. Ч'=т ( i

— изотропии 36, Iч; ::i-O'

— квазиконформная 49 г ,:п.м , — — квазифуксова 64, 239 oiMfiP! •— —, гипотеза 375 ,iiit!; .p; - •— клейнова 50$<.. ‘у1,

— кокомпактная 77 •— коконечная 285' 7 ‘

— компактного типа128/,

— кристаллографическая 987 7:

— Лореица 187'’/'

— мёбиусова 97

•, матричное представлен'»^'18

— —, подгруппа Ли 21 — модулярная 326'.

— нежесткая 337-'

— нильпотентная 46л,‘.'1 !

— ортогональная 18

— —, комплексифнкацня 'ЙФ

■— отражений 98‘ 1

—паутинная65, 167‘~,

— Пикара 50, 193, 195 л'!'

Группа Пикара, подгруппы 193, 195

— почти абелевая 51, 304

— — нильпотентная 304

разрешимая 304

— преобразований наложения 24

— разрешимая 46, 48

— разрывная 50

— свободная 240

— со сходимостью 49Д(! ‘4<fjf

— — —, дискретная 50' 7"

— стручок 164, 369

— типа Шоттки 240 . !7L' ' ,1'‘

— фуксова 64'

— Уайтхеда 24717

— универсальная 2331 '

— унимодулярная 447' - -

— фундаментальная 22 "■ , — — орбифолда 427

— функциональная 67, 238, 2717'7 — частично вырожденная 388 ^а’-

— Шоттки 65, 236, 240

— элементарная 51'

В-группа 67, 240, 388/ •

— невырожденная 311, 313

Два-отражение 105

Девиатор тензора скоростей 332

Действие группы диссипативное 217, 224

— — консервативное 217, 225

— — на векторных полях 333

— — на геодезических 218, 222

— — на линейных элементах 97

— — разрывное 25, 50

— — свободное 25

— — эргодическое 217, 223, 275

Дена алгоритм 205

— лемма 231

— хирургия 233, 295

— — иа узле «восьмерка» 287

— — на зацеплении Уайтхеда 287

— — на боромеевых кольцах 288

— — обобщенная 234

— —, параметры 234

— —, структурная лакуна 295

— —, структурное отображение 295

Деформации вдавливания 369

— — с кручением 371

— изгибания 352, 361

— —, условия независимости 365

— — — нетривиальности 365

— инфинитезимальные 329

— — изгибаний 368

— — интегрируемые 334

— — представлений 332.

— — структур 329

— —, препятствия интегрируемости 334

, условия интегрируемости 334

Деформации конформной структуры 375

— представлений 330

— — квазиконформные 330

— — сохраняющие тип 330

— — тривиальные 330

— растяжения 382

Дзета-функция Дедекинда 295

Диск евклидов 235

— орициклический 236

Дисконтинуум 198

Дополнения к зацеплениям 32

— к узлам 32, 284

Дубль многообразия 238

— — параболический 311, 313

Ефремовича — Тихомировой теорема о продолжении 336

Ергеисеиа группа 370

— теорема об объемах 286

— эффект сходимости 213

Жако — Шалена теорема о разложении 281

— — — об отображении 280

Жесткости теоремы 334

Заполнение пространства 174

— —, комплекс Александрова 174

— — локально конечное 178

— — локально подобное 176

— — неполное 175

— — неправильное 175

— — октаэдральное 177

— — правильное 174; ।

— —, проекция 174 я ■ ,

Зацепление «боромеевы кольца» 34, 40, 195, 233хр!■ л -

— торнческое 195с‘<<

— Уайтхеда 32, 233 гч

— —, дубль 194

— универсальное 233

Зейферта — Ваи-Кампена теорема 231

— расслоение 280

— — почти тривиальное 45

Изгибание 352, 361

—, инфинитезимальные деформации 368

— римановой поверхности 113

Изгибающая гиперплоскость 362

— гиперповерхность 361

Изгибающий гомеоморфизм 362

Изометрия гиперболическая 12, 16

— евклидова 9

— пространства Лобачевского 12, 16

— сферическая 12

Изоморфизм групп 257<

— обращающий ориентацию 260

— согласованный с ориентацией 260

— сохраняющий ориентацию 260

— — пересечение 259

тип 257

— — — строго 259

Икосаэдр усеченный 379

Индекс подгруппы 20

— расслоенного полноторня 280'

Искажение линейное 6, 342

Картана — Адамара теорема 279

Квадратичная форма 77, 102

— — допустимая 103

— — рефлективная 103

— — 2-рефлективная 105

Квазиперенос 57

Кёбе принцип униформнзации 278

— теорема о разрезах 278

Клейиа комбинационная теорема 186

— модель гиперболического пространства 13

Клейиа — Пуанкаре униформизация 277

Киезера теорема 231

Кобаяси конформная метрика 320

Коборднзм гомологический 242

— — нетривиальный 246

— — с краем 242

Кокстера полиэдр 99

— схемы 99

Колмогорова — Александера произведение 334

Кольцо целых 77

Комбинирование групп 186, 235, 253, . 313

— — параболическое 312

— —, топологические аспекты 235

Компактификация многообразия 261, 271

Комплекс заполнения 174

— — правильный 174; н

— сингулярный 26

— —, относительный 27

Композиция узлов 385

— —, род 385

Компонента клейиовой группы 58

— — — инварнаитиая 58, 141, 149

— — — толстая 152

— — — тонкая 152

Конец многообразия 261

— — геометрически бесконечный 266

—конечный 264

— — — ручной 264

— — тонкий 228

изолированный 261

— —, классификация 264

Конец многообразия, конформная эквивалентность 229

— —, окрестность 261

— — параболический стандартный 133, 229

— — почти геометрически ручной 264

— — просто вырожденный 269

— — топологически ручной 266

Коэффициент квазиконформности 6

Край многообразия 5

Крайняя точка 155

Кривая кратчайшая 6

Кулкарни — Пинкала теорема уни- формизацин 302

— условия почти униформизируемо- сти 305

Кэли граф группы 197, 1991

— — —, вложение 199

— — —, дерево 198■“

— комплекс 208! j

ft-кобордизм 243, 246> 1

— с краем 243

— тривиальный 246.

Ламинация 268'

— геодезическая 156■

— измеримая 270, i ’ > .

—, слой 269’ ’-

Лайнера симплексы 100■

Ли алгебра группы 331

— подгруппы мёбиусовой группы 21

Линзовое пространство 58, 234

Лиувилля теорема 9

— тор 291

— условие конформности 332*

Лобачевского пространство 12

— функция 296

Лока теорема о голономии 327

Лоренца группа 18'

— преобразование 12, 18

Майера — Вьеториса последовательность 29

Максимальная коническая область 157, 374

— цилиндрическая область 157

Максимальный круг 156

— шар 155

Маргулиса лемма 84

— постоянная 84, 262

— разложение многообразий 84, 262

— цилиндр 88

Маскита комбинирование 187, 192

Матрица Грама 220

Мера Грина 220" * . --

— — условная 221

— Дирака 219‘

— Пуассона 218

Мера Хаусдорфа 128-=*<•

Метрика гиперболическая 13—15 — графа Кэли 197 — квазигиперболическая 172 —• конформно-инвариантная 172, 320

— проективная 12

— риманова 5■

— —, Г-инвариантная37•

— словесная 197<

— сферическая 8;.

— Тейхмюллера 326, 351.

— Хаусдорфа 130.

Многообразие арифметическое* 77 .

— асферичное 231

— афинное 31, 328*

— Бибербаха 52, 228

— Вальдхаузена 292.

— геометрически аторическое "• 280 — — ручное 264■.

— — неручное 266•

— Гизекинга 31**■ *

— гиперболическое 31 — — жесткое 336

— — конечного объема 285

— —• минимального объема 294, 299 — — — —, арифметическое 295, 299 — — — —, гипотеза 299

— —, топологические свойства 283

— —, триангуляция 306

— гладкое 5, 30

— гомотопически аторическое 280 — достаточно большое 279

— евклидово 31-

— замкнутое 5■

—• класса Н 291•

— клейново 227,

— —, функциональной группы 238 — конформно неуниформизируекое 305* ' •

— — плоское 301to?'

— конформное 31, 301 ^ц v ■ — — жесткое 346■

— кусочно-линейное 31.

— локально выпуклое 279.

— неприводимое 231* *•

— орбит 280■ ’

— полное 37

— представлений алгебраическое 327

— простое 281

— Пуанкаре 231, 283

— расслаивающееся иад окружностью 284

— риманово 5

— — конформно плоское 301‘ ‘

— с краем 5г■

— топологическое 5, 30-

— Хакеиа 279;

— Хопфа 45• _

Многообразие эллиптическое 31 Множество квазиалгебраическое 329 — предельное 50"

— —, внутреннее определение 202 — —, дико заузлеиное 254, 384 орисферическое 224 — разрывности 50 — —, компоненты 58 — — —, гомотопический тип 389 — собственной разрывности 306 — строго инвариангное 92 — фундаментальное 67 Модулей проблема 324, 326 Моргана — Терстона — Шалена критерий компактности 377

Мостова теорема жесткости 334 ^-многообразие 30

Накрывающее пространство (накрытие) 23, 42

— —, определяющая подгруппа 26 — — орбифолда 42 — — плоское 278 — —, проекция 23 — — регулярное 25

—- — универсальное 25, 42 Накрытия эквивалентные 24 Никулина оценки для полиэдров 104 — теоремы конечности 103, 104 Нильсена выпуклая оболочка 112 — — —, граница 112, 154 — — —, конические особенности 167, 370, 374

— — —, ретракция 113 — теорема 325-

Новикова гипотеза 246

Область пика группы 116 — фундаментальная 67■

— —, локальная конечность 108 — Штольца 118 Оператор усредняющий 219 Орбифолд 38’'

— арифметический 295■ ■

— «биллиардный стол» 40■

— вполне геодезический 366 — гиперболический 39' ,

— —, жесткость 336 — — минимального объема 295 — евклидов 39 — клейиов 227 — конформный 39, 301•

— накрывающий 42 — «парикмахерская» 40 — с краем 42• ■

—, сингулярное множества 48 — универсальный 42-

— «хороший» 42.■

Орисфера 17

Орицикл инвариантный 73

Орициклическое растяжение 383

Оришар 17

—, радиус 97

Оришаров параметризация 96

Отображение квазиконформное 6

—■ конформное 6, 301

— накрывающее 23, 4141,1 (

— развертывающее 36, 43'' ‘'^

— собственное 179‘ "

— эквивариантное 202’ -

Отражение 8

2-отражение 105

(X, Г)-орбифолд 431

Параболическая вершина 116

— — иррационального типа 73

— —, окрестность 88

— —, ранг 116

Параболический пик 97

— элемент случайный 97, 153, 240

Плоскость Дирихле 72

— псевдо-Дирихле 73

Поверхность вполне геодезическая 366

— гиперболического типа 326

— изоэнергетическая 291

— несжимаемая 279

— несмятая 264

— отмеченная 325;1

— плоская 278-

— типа КЗ 105 w ь•

— Эирнвекса 106!: ?,‘

Подмногообразие вполне Геодезическое 366! -

— толстое 84

— тонкое 84

— —, параболическое 86, 88, 89

Поднятие путей 23

Подобие 9

Подорбифолд 42

Покрытие максимальными шарами 155

Полиэдр 173

— абстрактный 176

— гиперболический 107"

— —, классификация 100

—, комбинаторный тип 176

— конечностороиний 107, 173

— остроугольный 100, 357

— пробный 174

— простой 100

— фундаментальный 69, 107

— — выпуклый в концах 133

— — Дирихле 71

■— — изометрический 68, 71

— —, локальная конечность 108

— — псевдо-Дирихле 74, 127

Полноторий 147

Полиоторий расслоенный 280)

, индекс 280> > — —, слой 280:

— проколотый 139

Пополнение группы 198 н!

Последовательность точная 27 •(

— Майера — Вьеториса 29

— расщепляемая 28

Поток на миогообразни 268

— — — геодезический 268

Представление голономии 36

— группы дискретное 328

— — квазнфуксовое 329

— — устойчивое 327;•:/

— — —, критерий 328

— — фуксово 329

— — «хорошее» 327

— — /-разрешимое 208

Преобразование гиперболическое 21

— дробно-линейное50,.:;.

— локсодромическое 20./

— Лоренца 12;

— мёбиусово 9, 20

— параболическое20■, „:

— — иррациональноготипа,78

— проективное 13,

— чисто параболическое 21 , ;

— эллиптическое 20,■ ,

Присоединение края 271

Продолжение действия группы 10, 259

Проекция накрытия 23

— расслоения Зейферта 280,

— стереографическая 7"

Произведение групп полупрямое 47, 371

— — свободное 186, 235

, с объединенной подгруппой 187, 236

— путей 23,,

Пространство выпуклое 278

— геодезических потоков 270

— гиперболических структур ца группе 376

— гиперболическое 12

— — комплексное 48

— —, модель в гиперболоиде 12

— —, — в нижней полусфере 14

, — проективная (Клейна) 13

,, углы 14

— —, — псевдоевклидова 12

— —, — Пуанкаре в полупространстве 15

— —,в шаре 15

— замкнутых подгрупп 213

— измеримых ламинаций 270

— квазифуксовых представлений 329, 350

, граница 388

Пространство квазифуксовых представлений, размерность 356, 365 —• — —, сингулярности 368 — конформных структур 376 — — —, граница 377, 388 — — —, компактификация 377 — — —, компоненты связности 376, 378, 387

— Лобачевского 12

— локально выпуклое 279

— однородное 43, 47

— орбит 57

— —, особенности 58

— орбнфолда моделирующее 39

— постоянной кривизны 11 — проективное 11, 48, 105 — — комплексное 48, 105 — разверток 327 — Римана 11

— с длиной 278

— Тейхмюллера расслоений Зейферта 378

— — римановых поверхностей 324 — — фуксовой группы 350 — эллиптическое 11

Прохорова — Хованского теорема конечности 105

Псевдогруппа гомеоморфизмов 30 Псевдоизометрия 336

Пуанкаре — Александрова теоремы о полиэдре 173

— гипотеза 282

Пуассона формула 218

Путь квазигеодезический 206

— локально квазигеодезический 207 — спрямляемый 154

Разбиение пространства 174 правильное 174, 181, 386 — — —, супер жесткость 183 — угла правильное 108 Разложение группы 358 Размерность Хаусдорфа 128 Разрезание многообразия каноническое 281

Раймана — Тёрстона теорема продолжения 258

Расслоение Зейферта 280

— — почти тривиальное 45

— касательное 5

— на окружности над тором 46

— иа торы над окружностью 305

Растяжение вдоль орициклов 383

— линейное 6, 342

Расширение группы 192, 371

Ретракция гиперболическая 113

Решетка 78, 328

Симплекс гиперболический 100, 289

— — максимального объема 289

— —, объем 289, 296

— —, параметры 177

— — правильный 289

— сингулярный 26

— стандартный 26

Склейка граней полиэдра 234

Слово кратчайшее 206-

— приведенное по Дену 205

— /^-приведенное 206

Сложность многообразия 292

— —, аддитивность 293

— —, конечность 293

Слой поверхностный 239, 242

—, многомерный 242

секторный 344^

тор свой 35-^

— шаровой 342,.;.

Смита гипотеза 57

Соотношение реберное 74

Сопряжения проблема 56 , Спайн многообразия 292'

— —, специальный 292

Спериера условие 57„ 1

Сплетение Хегора 234'

Стабилизатор компоненты 58

— точки 58

Структура афинная 31, 35 — геометрическая 31, 43, 47 — — на дополнении к зацеплениям 31—34

— гиперболическая 31, 324

— — полная 179

— — геометрически конечная 133

— евклидова 31, 35

— конформная 301, 341

— — измеримая 341

— — неуниформизируемая 305, 307

— — почти уииформнзируемая 306

— — униформизируемая 301, 302

— локально однородная 30, 324

— отмеченная 324

— подобия 303

— почти униформизируемая 306

— проективная 31, 301

— — неуниформизируемая 305

— сферическая 31

— униформизируемая 306

Сулливана теорема жесткости 340

— — конечности 131

— — о выпуклой оболочке 168, 172

— — эргодическая 223, 224

Сумма многообразий дисковая 233, 235

связная 232, 301

— — торическая 319

Сфера 16

— дикая 247, 254

Сфера изометрическая 9/

конформная 7i ,

Сходимость групп алгебращескаж 212 -, /

— геометрическая 212, , ,

— полиэдральная 215 — — сильная 212

Каратеодорн 216" и ' .

многообразий 212<

— представлений 212 /‘‘^1

Тейхмюллера метрика 326, 351 — пространство 326, 351' .

Телесный угол орбиты 217,

Тело с ручками 241

Теорема голономии 327

— Жако — Шалеиа о разложении 280

— жесткости деформаций 183, 334, 340, 346

— конечности для дискретных групп 130, 141

— о строго инвариантных оришарах 89

— — петле 231

— — сфере 231

— — цилиндре 231

Тёрстона критерий для узлов 284 — структурная гипотеза 279, 281, 282

— теорема гиперболизации 283

— — иежесткости 185

— — эргодическая 275

Тетенова /<-компонентная группа 59

— теоремы конечности 141, 149

— — о коборднзмах 243

Тнце преобразования 253

Тодда — Кокстера алгоритм 207

Тождества проблема 205, 207, 211

Топология мёбиусовой группы 50 — сходимости разверток 327 — Хаусдорфа иа семействе множеств 130

Тор 34

— афинный 35

— евклидов 34

— заполненный 147

— — проколотый 228, 229

— Лиувилля 291

— несжимаемый 284

Точка аппроксимации 118, 222

— Гариет 224

— орнсферическая 223

— плотности 224

Тукия гомеоморфизм предельных множеств 258

— принцип компактности 129

— теорема об изоморфизме 258

— — о предельном множестве 128

Уайтхеда группа 247! ■■

Узел «восьмерка» 31’’

— дикий 247, 385

— полигональный 385

— ручной 385' ’

— —, род 385,!

— спутник 285

— торический 284, 1 ‘

Униформизация 277

— геометрическая 279

—, классический подход 277

— клейновой группой 301

— конформная 301

— —, структурная гипотеза 302

— поверхности 277

Фактормногообразие представлений

327

Феишеля — Нильсена теорема 257

Фокса — Артина дикая дуга 247

— — — сфера 248

Форда полиэдр 68

Фундаментальное множество 68 — — на множестве геодезических

222

Функция автоморфная 217, 278

— — ограниченная 341

Функция выпуклая 278

— гармоническая 218

— гиперболического объема 289

— Грина 218'

— Лобачевского 296

— Р-гармоническая 219

Хаусдорфова размерность 128,

Хегора сплетение 234

Цепь конформная 321

Цикл ребра 74

Цилиндр заполненный проколотый 228

Эйленберга — Маклейна когомологии 331

Эрмита — Малера критерий компактности 78

Эффект дикого узла 384

— дикой сферы 256

Ядро многообразия компактное 263

Якоби матрица 6, 7

— —, нормированная 7

Якобиан обобщенный 70

ОГЛАВЛЕНИЕ5

Предисловие. '.3

Глава 1. Предварительные сведения 5

Риманова метрика и квазиконформность . 5

Риманова метрика (5). 2. Квазиконформные н конформные 5 отображения (6).

Мёбиусовы преобразования 7

Стереографическая проекция (7). 2. Отражения относительно сфер и плоскостей (8). 3. Изометрические сферы мёбиусовых преобразований (9).4. Автоморфизмы шара и полупро

странства (10).

Пространства постоянной кривизны 11

Эллиптическое пространство (12). 2. Гиперболическое пространство (12). 3. Полусфера мнимого радиуса (12). 4. Проектнв- . ная модель гиперболического пространства (13). 5. Нижняя полусфера (14). 6. Модель Пуанкаре в шаре (15). 7. Модель Пуанкаре в полупространстве Л+ (15). 8. Сферы н орисферы в гиперболическом пространстве (16).

Мёбиусова группа как группа Лоренца 18

Матричное представление мёбиусовой группы (18). 2. Клас

;*'. сификация мёбиусовых преобразований (20). 3. Классификация подгрупп Ли мёбиусовой группы (21).

Накрывающие пространства н гомологии 22

Гомотопическая эквивалентность (22). 2. Фундаментальная

> : группа (22).3. Накрытия (23).4. Сингулярные гомологии

-(26).5. Точные последовательности (27).6. Последователь

ности Майера — Вьеториса (28).

Глава 2. Геометрические структуры на многообразиях 30

(X, С)-структуры на многообразиях 30

Развертывающее отображение и голономия 35

Геометрия орбифолдов 38

Восемь трехмерных геометрий Тёрстона 43

Классификация четырехмерных геометрий 47

Глава 3. Общие свойства разрывных групп 49

Группы со сходимостью 49

Основные понятия (49).2. Элементарные группы (51).

Свойства предельного множества (53). 4. Проблема сопряжения (56).

Действие группы на множество разрывности 57

Пространство орбит группы (57). 2. Компоненты связности (58). 3. Число компонент множества разрывности (59).

Некоторые классы клейновых групп 64

Фуксовы группы (64) 2. Квазифуксовы группы (64). 3. Группы Шоттки (65). 4. Паутинные группы (65). 5. Вырожденные группы (66). 6. Функциональные группы (67).

Фундаментальные области 67

Изометрический полиэдр Форда (68). 2. Полиэдры Дирихле и обобщенные изометрические полиэдры (69). 3. Псевдо-Дирихле полиэдры (72). 4. Полиэдральное представление группы (74).

Глава 4. Дискретные группы гиперболических изометрий 77

Арифметическая конструкция ко-компактных групп 77

Универсальные оценки размеров гиперболических многообразий79

Лемма Маргулиса и разложение гиперболических многообразий84

Разложение многообразий и е-подгруппы (84). 2. Тонкие параболические подмногообразия (86). 3. Тонкие части трехмерных многообразий (88). 4. Многомерные параболические е-ком- поненты (89)..

Строго инвариантные оришары и Й-пики . .92

Действие дискретной группы в оришарах (92). 2. Параболические й-пики и параметризация оришаров (96).

Кристаллографические группы отражений и вопросы арифметич- ности 98

Схемы Кокстера (98). 2. Классификация Андреева остро

ольных полиэдров (100). 3. Кристаллографические группы в • малых размерностях (101). 4. Теоремы конечности Никулина и Винберга (102). 5. Приложения к алгебраической геомет-

■ рии (105).

Глава 5. Геометрически конечные дискретные мёбиусовы группы . .107

Свойство локальной конечности 107

Оболочка Нильсена предельного множества 112

Предельное множество геометрически конечной группы . . . .115

Геометрическая конечность (115). 2. Параболические вершины

. 3. Точки аппроксимации (117). 4. Условия Бердона—Мас- кита (121). 5. Хаусдорфова размерность предельного множества (128).

Теоремы конечности для дискретных мёбиусовых групп . . . .130

Свойства конечности на плоскости (130). 2. Свойства коиечио- сти в пространстве (132). 3. Основная теорема (136). 4. Приложения (138).

Инвариантные компоненты геометрически конечных групп . . .141

Геометрия границы оболочки Нильсена 154

Специальные шаровые покрытия (155). 2. Изламывающие геодезические и плоские части границы (159). 3. Группы-стручки и особенности границы (164). 4. Теорема Суллнвана (168).

Глава 6. Геометрическая н алгебраическая структуры дискретных групп 1,73

Дискретные группы и геометрия разбиений пространства . . .173

Заполнения пространства (173). 2. Неполные заполнения ги-

I перболического пространства (175). 3. Локально конечные заполнения и полнота гиперболических структур (178). 4. Правильные разбиения гиперболического пространства (181). 5. Жесткость разбиений в размерности больше 3 (183).

Свободные произведения клейновых групп 185

HNN-расширения клейновых групп 192

Граф Кэли н комбинаторная структура дискретной группы . .197

Пополнение группы (198). 2. Соизмеримые метрики (199).

Пополнение группы и ее предельное множество (202). 4. Логические проблемы: алгоритм Дена (205). 5. Проблема тождества для геометрически конечных групп (207).

Геометрическая и алгебраическая сходимости групп 211

$ 6. Структурные н эргодические теоремы Сулливана . . . .v. . . .9 217

Бесконечность телесного угла орбиты н эргодичность (217).!

Коническая аппроксимация (222). 3. Орисферические Предель- - ные точки и консервативность (224).'>

Глава 7. Клейновы многообразия 227

Топологические методы 227

Стандартные параболические концы (227). 2. Сведения из трехмерной топологии (231). 3. Связная сумма (232). 4. Дисковая сумма (233). 5. Универсальные узлы и зацепления (233). 6. Хирургия Дена (233). 7. Разбиения Хегора (234). 8. Склейка граней полиэдра (234).

Топологические аспекты комбинационных теорем 235

Свободные произведения (235). 2. Свободные произведения с объединенными циклическими подгруппами (236). 3. Дубль многообразия М (G) относительно части дМ (G) (238).

Клейново многообразие функциональной группы 238

Квазифуксовы группы (239). 2. S-группы (240). 3. Свободные группы (группы Шоттки н типа Шотткн) (240). 4. Общий трехмерный случай (241). 5. Многомерные клейновы многообразия (242).

Нетривиальные четырехмерные кобордизмы (246). 7. Группа с диким предельным множеством (247).

Теоремы об изоморфизмах 257

Геометрически ручные концы, компактификация клейновых мно

гообразий и проблема Альфорса о мере предельного множества 261

Глава 8. Униформизация многообразий 277

Классический подход к проблеме униформизации 277

Геометрические концепции униформизации Громова и Тёрстона 278

Пространства с длиной и выпуклость (278). 2. Структурная гипотеза Тёрстона (279).

Теорема Тёрстона о гиперболизации и гиперболические объемы 283 1. Топология гиперболических 3-многообразий (283). 2. Дополнения к узлам (284). 3. Гиперболические многообразия конечного объема (285).

Теория сложности 3-многообразнй и вычнсленне объемов . . . .291

Гамильтонова механика и класс Н (291). 2. Сложность трехмерных многообразий (292). 3. Минимальные гиперболические объемы (294).

Конформная униформизация многообразий 301

Структурная гипотеза (301). 2. Разрешимые и нильмногообразия (303). 3. Униформизируемые структуры (305).

Конформная униформизация дублей аторических многообразий 311

Невырожденные В-группы (311). 2. Параболическое комбинирование (312). 3. Торические склейки структур (319).

Конформная метрика Кобаяси 320

Глава 9. Пространства деформаций групп и структур 324

Деформации локально однородных структур 324

Пространство Тейхмюллера римановой поверхности (324).

Устойчивые представления н теорема о голономии (326). 3. Инфинитезимальные деформации (329).

Теоремы жесткости для полных гиперболических структур и групп изометрий 334

Случай конечного гиперболического объема (334). 2. Гиперболические структуры бесконечного объема (337). Жесткость многообразий с краем (346).

Пространство квазифуксовых деформаций . . . .350

Пространство Тейхмюллера фуксовой группы на плоскости (350). 2. Пространство Тп (G) классов квазифуксовых представлений (352). 3. Свойства Тп (G), определяемые геометрией фундаментального полиэдра (355). 4. Изгибания вдоль поверхностей

■ , (361). 5. Инфинитезимальные деформации изгибаний и сингуляр-

,. ностн пространств Rn(G) н Тп (G) (367). 6. Деформации вдавлн- * вания с кручением (369).

Деформации клейиовых групп н конформных структур . . . .375

Деформации клейновых групп (375). 2. Деформации конформной структуры орбифолда (375). 3. Пространство # (Л1) унифор- мнзируемых отмеченных конформных структур (376). 4. Деформации растяжения S-групп (382). 5. Группы с предельной кривой; дикий узел (384).

Граница пространства деформаций 388

Список литературы 392

Предметный указатель 415

Научное издание

АП АН АСОВ Борис Николаевич

ГЕОМЕТРИЯ ДИСКРЕТНЫХ ГРУПП И МНОГООБРАЗИИ

Заведующий редакцией С. И. Зеленский'о *.

Редактор Т. А. Панькова, •,

Художественный редактор Т. Н. Кольченко .

Технический редактор Л. В. Лихачева''

Корректоры В. П. Сорокина, Н. Д. Дорохова- ' 1

И Б № 4 10 4 1' ‘ ’

Сдано в набор 27.12.89. Подписано к печати 17.01.91.,

Формат 60X90/16. Бумага тип. № 1, Гарнитура литературная. 1’

Печать высокая. Усл. печ. л. 27. Усл. кр.-отт. 27. Уч.-изд. л. 30,21. Тираж 2100 экз. Заказ № 4 68. Цена 5 р. 60 к.'

Издательско-производственное и книготорговое объединение . «Наука» Главная редакция физико-математической литературыJ

117071 Москва В-71. Ленинский проспект, 15

Ордена Октябрьской Революции■

и ордена Трудового Красного Знамени,.

МПО «Первая Образцовая типография»'"‘

Государственного комитета СССР по печати•“. •

1 13054, Москва. Валовая, 28,

Отпечатано во 2-й типографии издательства «Наука»* -.

121099 Москва Г-99. Шубннскнй пер., бЗак. 1148

Boris N. Apanasov r H

GEOMETRY OF DISCRETE GROUPS AND MANIFOLDS , ,t

Moscow, Nauka, Main Editorial Board for Physical and Mathematical Literature, 1990.

Readership: The monograph is addressed to students and researchers in geometry, topology, algebra and function theory.

From the book’s review: “... The systematic presentation brings the subject to the current research frontier, especialy for the theory of conformal structure deformations which foundation contains author’s works.” Professor Vitaly S. Makarov

Summary: The book covers the geometric theory of discrete groups, the associate tesselations of the underlying space, the geometric and conformal structures on manifolds/orbifolds (in the sense of W. Thurston) and geometry group representations.

The book exhibits the solution of some well-known problems due to L. Ahl- fors, A. Borel and H. Wallach, L. Bers, M. Dehn, C. Kourouniotis, S. L. Kru- shkaT, G. D. Mostow and others.

Contents: Preliminaries (including geometries of 3 and 4-orbifolds and convergence groups). Geometry and arithmetic of discrete hyperbolic groups. Geometrically finite Mobius groups. Geometry and algebra of discrete group. Kleinian manifolds (including cobordisms). Geometric and conformal uniformiza- tion. Geometry of group representations (Theory of deformations).

The author: Boris Nikolaevich Apanasov is Associate Professor of Mathematics, Ph. D. in Mathematics, senior researcher at Novosibirsk Institute of Mathematics USSR Academy of Sciences. In 1981 and 1983, Nauka Publishers printed his books (their English editions—by D. Reidel Publishing Company, Dordrecht; and by American Mathematical Society, Providence, 1986) in the field of discrete groups and uniformization problems.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» -7 Л С - Г 1 f

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ■ • Д

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Л ” ■ ' ?' .

117071 Москва, В-71, Ленинский проспект, 1S ‘ '’

ВЫХОДИТ ИЗ ПЕЧАТИ В 1991 г.: \ >»З Г¥ ; т ’. . С

. КОЛМОГОРОВ А. Н. Математика в ее историческом развитии И Под ред. В. А. Успенского — 12 л. (Темплан 1991 г., поз. 13)

Глубина содержания, увлекательность и доступность — характерные черты работ по истории математики замечательного советского ученого академика А. Н. Колмогорова (1903—1987). В сборник входят знаменитая статья А. Н. Колмогорова «Математика из БСЭ», статьи «Ньютон и современное математическое мышление», «Лобачевский и математическое мышление девятнадцатого века» и ряд других, а также воспоминания А. Н. Колмогорова о математиках 2-го столетия и встречах с ними.

Для научных работников, преподавателей, студентов н школьников.

Предварительные заказы на данную книгу принимаются без ограничения всеми магазинами Книготорга и Академкниги, распространяющими физикоматематическую литературу.

3) стороны Р^ попарно эквивалентны.

Замечание 5.7. В Нп, п^З, возможно построение не локально конечных фундаментальных полиэдров (без G-отождествления сторон), у которых кратность (5.1) граничных точек ограничена, а именно, принимает лишь значения 2 и 3 (см. Тетенов [3]).

Несмотря на существование таких патологических примеров, можно указать достаточные условия локальной конечности и при п^З. Как показывают примеры, эти условия точны.

Предложение 5.8 (Тетенов [3]). Пусть Р а Нп— выпуклый фундаментальный полиэдр дискретной группы G изометрий Нп,

3. Если НC.G — подгруппа конечного индекса, то Н и G липшицево эквивалентны.

2. 5-группы. Группа G является В-группой, т. е. инвариантная компонента Qo односвязна. Пусть многообразие Мй получается из М. ^ выбрасыванием всех проколотых заполненных цилиндров С,-, 1 ^ i ^ п, не пересекающих поверхность So = Qo/Go. Изучая включение групп гомологий Нг^дМ^ Нг (Л10) можно показать, что дМ0^8Й. Как и в компактном случае, показывается, что Мй гомеоморфно слою 5ох[О, 1]. Выясним, как связаны цилиндры С;, 1 6^1 s^n, с элементами G. По теореме 7.7 на So существуют простые непересекающиеся петли у-, l^is^n, которые вместе с петлями у,- вокруг С, ограничивают в Мо цилиндры С/. При этом цилиндр С- делит Мй тогда и только тогда, когда петля у, делит So. Пусть N — компонента из 7H0\UC-, a N* — компонента из л_1(^). Тогда стабилизатор Goc:G компоненты N* является квазифуксовой группой, a N является ретрактом М (60). Элемент в группе G, определяемый петлей у,-, является случайным параболическим (он параболический, но в Qo действует как гиперболический элемент в единичном круге, т. е. не определяет прокола на So) (рис. 57).

ББК 22.152

А 76

УДК 512.7 + 512.817+ 514.174.5+ 515.179 + 517.54

Ананасов Б. Н. Геометрия дискретных групп и многообразий.—М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.— 432 с.— ISBN 5-02-014289-1.

Посвящается современной и быстро развивающейся области геометрии — действию дискретных групп на многообразиях. Отражает происшедшую за последние десять лет эволюцию в теории гиперболических многообразий и дискретных групп преобразований (в частности, в я-мерном пространстве Лобачевского). Сейчас эта теория совершенно преобразилась, и решающую роль при этом сыграли основополагающие геометрические и топологические идеи, выдвинутые У. П. Тёрстоном, позволившие по-новому взглянуть на проблему классификации пространственных структур."

Для математиков — научных работников, аспирантов и студентов старших курсов.

Ил. 85. Библиогр. 477 иазв.'

Рецензент

доктор физико-математических наук профессор В. С. Макаров

1602050000—030А 053 (02)-913-90ISBN 5-02-014289-11602050000—030А 053 (02)-913-90ISBN 5-02-014289-1© «Наук». Фиамамжт, 1991© «Наук». Фиамамжт, 1991

1602050000—030

А 053 (02)-913-90

ISBN 5-02-014289-1

1602050000—030

А 053 (02)-913-90

ISBN 5-02-014289-1

© «Наук». Фиамамжт, 1991

© «Наук». Фиамамжт, 1991

сг ‘ 'Fhq v4,^s'h4> '=!-ш Жж и о'ги.-ф ; -.ляли иИс

,3 4 . Vj-S: ГчШГ.КЦгН';.-,

сП i- ;L4ib 4 i iisiiq JjVi44 Ч.яг. I Hii'i'.'jit^ii wyH ^yiJUiHl'tHSU H1 i - ’ЯЩ^Ц J'-W>U .ЖЗДТК'Я

• Лели ЗфНИ'жэдй'!-. iтм.мдж >нш-i чш..цьг

x тллмщ'. ,к№г.1 ч ^..«ч.а 'ikx-;!! (л-нянштцф № :XAH^ A да.'. Л»? и >Ж«В7 К .ИГН^ОРСТИГ предисловие^.ч^^'з v*x4'

Одним из стимулов, способствующих основанию и развитию теории дискретных групп преобразований (не говоря о потребностях различных областей математики —теории дифференциальных уравнений, теории функций, геометрии, теории чисел, кристаллографии и др.), явилась классическая проблема униформизации многозначных аналитических функций и, следовательно, проблема униформизации римановых поверхностей, которую различными методами удалось решить в начале века Ф. Клейну, А. Пуанкаре и П. Кёбе. Изучая такие группы, в своей фундаментальной работе А. Пуанкаре [1] высказал идею, позволяющую установить связь между теорией клейновых групп, рассматриваемых как дискретные группы движений пространства Лобачевского (гиперболического пространства), и топологией многообразий. Современное развитие сильных методов топологии, геометрии и теории квазиконформных отображений позволило начать реализацию программы изучения пространственных дискретных групп и структур на многообразиях, намеченную А. Пуанкаре и поддержанную в 60-х годах Л. Альфорсом. Большую заслугу в достигнутом прогрессе (особенно в трехмерном случае) имели основополагающие геометрические и топологические идеи Л. Гринберга, Б. Маскита и А. Мардена и совершенно революционную роль сыграли идеи В. Терстона, позволившие в результате по-новому взглянуть на проблему классификации пространственных структур.

Данная книга посвящена этим вопросам. Основное место в ней занимает изучение геометрических и алгебраических свойств дискретных групп автоморфизмов областей пространства, их действия на границах этих областей, а также развитие геометрических методов решения возникающих здесь задач. Получаемые при этом результаты играют большую роль при изложении теории пространств деформаций дискретных групп и некоторых ее обобщений, связанных с униформизацией и топологией многообразий, с проблемой модулей геометрических и конформных структур и возникающим при этом эффектом жесткости деформаций. Характерной чертой книги является систематическое применение геометрических методов, восполняющих отсутствие такого действенного аппарата, как теория аналитических функций на плоскости. Особенно эффективно эти методы работают в случае геометрически конечных структур.