ГЛАВА 1

ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА:

СУЩЕСТВОВАНИЕ И РЕГУЛЯРНОСТЬ

В этой главе мы вводим понятие вариационного неравенства и устанавливаем общие теоремы существования и единственности. Результаты по регулярности доказываются для некоторых классов вариационных неравенств, именно: задача с препятствием, случай ограничений на градиент, задача с препятствием для би- гармонического оператора и случай тонких препятствий.

Мы описываем некоторые физические задачи, для которых применимы установленные теоремы существования и регулярности такие, как (i) фильтрация воды через пористую перегородку (ii) упругопластическое кручение, (iii) задача Стефана о плавлении твердого вещества.

Пример

Пусть £2 — ограниченная область в R”. Обозначим H/m’p(Q) класс функций м(х) G Lp(El^ таких, что их обобщенные производные D“u = О?1... Ef^u порядков I а | Ст принадлежат Ар(£2); здесь а = (аь ..., а„), | а | =«!+...+ ап,В4 = Э/дх, и обобщенная производная Ваи определяется по формуле

fBau-i^(x)dx = (—1)|а|J«(x)D“^(x)dx е Со”(£2) я

(С” (£2) — класс функций из С” с компактными носителями в £2).

Пространство И"”,р(£2) является банаховым с нормой

l«lm,p=( 2 f\Dau\pdxy<p, lw|p = |u|0

I а К т П

где 1 С р < оо; для р = °° определим

1«1т,~ = 2||О“«|| ~. . =5 ess sup | Ваи |,

.|а|<тL|а|<т Я

где Ва и понимаются в обобщенном смысле.

Известно (см. [94с, 109]), что С” (£2) О И/т,р(£2) плотно в W,n,p(Q,). Замыкание С” (£2) в Wm,p(5V) обозначается IV™'р (£2). Применяются также обозначения

Нт-р(П) = Wm-P(n), Нт(П) = ^т’2(П), Н^СЯ) = И/^’2(£2).

Рассмотрим функционал

G(u) = J| Ч и |2 dx - 2 Sfudx(1.1)

яя

и замкнутое выпуклое множество в Я'(Я)

К = { м: м — g G Но(П), и > р п.в.},(1.2)

где / — заданная функция из L2 (fi), р (х) - непрерывная в И функция и g G G Н1 (Л). Предположим, что g > р; тогда К непусто.

Рассмотрим задачу: найти функцию и такую, что

и - g G H^Y), G(u) = min G(u).(1.3)

v-geH1, (n)

Предположим, что и - решение этой задачи. Тогда

G(u + ef) > G(u) Д 6 С0“(П), e G R, откуда легко выводим, что

/Vm-Vf - /Я = 0. nn

Следовательно, если и G №(£2), то /(Дм + /К = 0, так что

п

Дм + / = 0 в £2.(1.4)

Это уравнение понимается, конечно, в смысле "почти всюду”; условие м - g G G Hq (£1) есть обобщение граничного условия Дирихле (см. [94с, 109])

м = g на Э£2.(1.5)

Таким образом, решение задачи на минимум (1.3) является также решением задачи Дирихле (1.4), (1.5).

Рассмотрим следующую вариационную задачу: найти функцию м такую, что и G К, G(u) = min G(v).(1.6)

иЕК

Если м - решение этой задачи, то для произвольных vGA' и0<е<1 функция и + е(и - м) = (1 — е)м + еи принадлежит К, и, следовательно,

G(u + е(и- м))Х7(м), что приводит к неравенству

f^u- V(u - м) > //(и - м) V и G К; и G К.(1.7)

Если, кроме того, и 6 НгДД то

/(Дм + ДД- м) < 0 Vu G К; и G К,(1.8)

и, полагая и=и + £, $">0, $"G С” (£2), получаем

Дг/ + f < 0.

Если функция м непрерывна, то множество

Я = { х G £2: м(х) > ^(х)}(1.9)

открыто. Для любой £ G Cq (/V) функция и = м ± Я принадлежит А' при условии, что е > 0 достаточно мало. Тогда из (i .8) имеем

Ди + / = 0 в N.

Таким образом, мы показали, что если и — решение задачи (1.6), принадлежащее Я2 (П) П С(П), то

Ди + / < 0, и > р,(J .10)

п.ь. в

<Ди + Дки - р) = 0

м - g G НоДД\

Задача (1.6) представляет собой пример вариационного неравенства. Любой из вариантов (1.7), (1.8), (1.10) также будем называть вариационным неравенством) . Более общую формулировку вариационных неравенств мы дадим в § 2. Множество К называется множеством ограничений. В случае К вида (1.2) Ф называется препятствием, (1.6) - задачей с препятствием, (1.9) — некоинцидент- ным множеством, а

Л = {х G Я: и(х) = <р(х)}(1-Н)

- коинцидентным множеством}; граница Г = dN Г) Л некоинцидентного множества в Я называется свободной границей.

Ниже будет доказано, что (при достаточно гладких /, g, ф) решение и задачи с препятствием принадлежит С1 (Я) (фактически даже W^” (J2)). Так каки - ф достигает своего минимума в И на коинцидентно^и множестве, то

и — р = 0, V(n - ф) = 0 на Г.(1.12)

Мы можем рассматривать и как решение задачи Дирихле

Ди + / = 0 в N,

и = gна dW A ЭЛ,0 *3)

м = Фна 3N П Г

с дополнительным условием

Vu = Vp на ЭЛ’ П Г,(1.14)

компенсирующим то обстоятельство, что Г априори неизвестна. Такая точка зрения полезна при решении вариационных неравенств в одномерном случае. Однако если п > 1, то Г может оказаться сильно нерегулярной, и поэтому мы не будем пытаться решать задачу с Препятствием посредством (1.13), (1.14).

Рассмотрим частный случай п = 1, / = 0. Тогда вариационное неравенство (1.6), (1.2) заключается в минимизации интеграла

6

/ [и'(х)] 2dx а

при условиях и (а) = uls u(b) = м2 и и(х) > ф(х); положим и^ > Ф(я), «2 > ^(6). Предположим, что р(х) строго вогнута. Из (1.13), (1.14) выводим, что кривая у = и(х) (и(х) — решение) состоит из трех частей:

отрезок прямой /г, соединяющий точки (a, и4), (a',ip(a')) и касательный к у = ip(x) в х = а’;

дуга 7: 7 = pQc), а < х < b’;,,„

отрезок прямой Z2, соединяющий (Z>', <р(б')), (Ь, и2) и касательный к у = р(х) в х = Ь*.

Свободная граница состоит из двух точек: а’ и Ь*. Если ф"(я) < 0, то

и" (а — 0) = 0 ^ p"U*^ = и"(а1 + 0).

Таким образом, и" (х) имеет скачок в точке х = а . Пример показывает, что, вообще говоря, и ^ С2. Действительно, разрывы производных второго порядка решений задачи с препятствием обычно имеют место при переходе через свободную границу.

Задачи

Решить задачу с препятствием

u" < 1 — ох (а — const), и > О, (и" — 1 + ах) и = О

в 0 < х < 1 при граничных условиях:

и(0) = 0, и(1) = 1;

и(0) = 0, и'(1) = 0.

Решить вариационное неравенство в шаре BR = { jx | < Л) из R":

-Ди > —р, и > 0, (—Ди + д)и = 0;

и G H^Br),

где д — вещественное число. (Отметим, что при д < 0 коинцидентное множество пусто.)

Предположим, что п.в. bBrCR"

—Ди > f, и > 0, (Ди + f)u = 0

и.

/ < —7, u < М

где 7, Л/ — положительные константы. Показать, что если R2 > 2пМ1у, то и(0) = 0. [Указание. Пусть и = и - 7| х |2/2л, тогда —Ди < 0 в G = BR Г) (и> 0};

если и (0) > 0, то максимум и положителен и достигается на ЭBR.]

Рассмотреть задачу о минимуме длины

6

/ [1 + (и'(х))2 ]1 /2 dx а

на множестве кривых и = и(х), соединяющих точки (а, и^, (b, и2) и подчиненных ограничению и(х) > lOO, где ^ строго вогнута. Описать минимизирующую функцию.

Общая теория существования и единственности

Пусть К — замкнутое выпуклое множество в вещественном гильбертовом пространстве Н и у0 — элемент из Н. Тогда существует единственный элемент х0 G GK (называемый проекцией у0 на К), ближайший ку0, т.е.

II *0 - У о II < II х - у 0 || Vx G К'

или, эквивалентно,

(х0 - Уо, х - х0) > 0 Vx G К.(*)

Взяв в качестве Н подходящее пространство со скалярным произведением

(и, и) = JVu- V и, п

легко видеть, что задача (*) для х0 включает (при соответствующем К') вариационные неравенства из § 1. В этом Параграфе мы обобщим далее постановку задачи (*)

и докажем существование н единственность для вариационных неравенств в 'Весьма общей форме, вполне достаточной для всех последующих приложений. . "

Пусть X — вещественное рефлексивное банахово пространство с двойственным (сопряженным) X*. Обозначим (, > отношение двойственности между X и X'.

Оператор A; О (А) ^ Хг (с областью определения £>(4) С Х^ называется монотонным, если

{Аи — Аи, и - и) > О Vu, и G D(Ay

Когда область D(A^ выпукла, оператор А называется полунепрерывным, если при любых и, и G 0(4) отображение

[О, 1] Э t -» <A(tu + (1 — f)и), и - в) ' непрерывно.

Для произвольного конечномерного подпространства М С X будем обозначать / инъективное отображение jx = х из М ti X, а /* — двойственное отображение из X1 в М', т.е. если /е X*, тоpf есть сужение/наМ. Если pAj непрерывно на МГАВ(4) при любом конечномерном М, то будем говорить, что оператор А непрерывен на конечномерных подпространствах В (4).

Теорема 2.1. Пусть оператор А-. X ^Х1 монотонный и полунепрерывный (В (A) = ХУ Тогда для любого ограниченного замкнутого выпуклого множества КС X существует элемент и0С К такой, что

<Аи0, u-uo)>0 Vu е К.-’(2.1)

Теорема 2.2. Пусть К - ограниченное замкнутое выпуклое подмножество X, оператор 4: В (А ) ->■ X* монотонный, В(А) = К и А непрерывен наконечномерных подпространствах D (А). Тогда существует элемент и0 G К, удовлетворяющий неравенству (2.1)..

Отметим, что в теореме 2.1 мы налагали требования более слабые на непрерывность А и более сильные на размеры области определения 4. Неравенство (2.1) называется вариационным неравенством.

Доказательство обеих теорем основано на лемме Минти.

Лемма 2.3. Пусть оператор А: К -* X* монотонный и полунепрерывный.

Тогда и0 удовлетворяет (2.1), если и только если"

<4и, и — и0 ) > 0 Vu G К. .(2.2)

Здесь К — произвольное замкнутое выпуклое множество.

Доказательство. В силу монотонности А■

О < <4 и — Аи0, и - и0 ) = (А и, и — и0 > — <Аи0, и — и0),

так что (2.1) влечет (2.2). Для доказательства обратного отметим, что при произвольном w С К элемент и = tw + (1 - г)и0 = и0 + f (w - u0) принадлежит К, если О < Г < 1. Используя (2.2) получаем

<4(u0 + t(w - u0)), w - u0 ) > О,■■

отсюда при t ->0 имеем (2.1) для произвольного и = w€ К.

Доказательство теоремы 2.2. Шаг 1. Рассмотрим сначала случай, когда К С Rm ,А : К -> Rm и < Аи, и) заменено на (Аи, и), где (•, • ) обозначает скалярное произведение в Rm. Мы предположим непрерывность А, но не будем требовать монотонности. Вариационное неравенство

(Аи0, u-uo)>0 VuCK,(2.3)

можно переписать в виде

(и0, и-н0) > («о - 4и0, и - u0) Vu С К.

Для любого w G К существует единственный элемент и0 £ К такой, что

(и0, v - и0) > (w - Aw, и - и0) Vi; G К, .

а именно и0 = Рг^ (w — A w) (= Tw), т.е. u0 — ближайший к w— Aw элемент из К. Операторы I - А: К -> Rm и PrK: Rm -* К непрерывны, поэтому непрерывен и оператор Т: К -* К. Так как К - ограниченное замкнутое выпуклое множество в Rm, по теореме Брауэра о неподвижной точке заключаем, что Т имеет неподвижную точку «о G К, т.е. Тий = и0, откуда непосредственно следует (2.3).

Шаг 2. Пусть теперь К С М, М — конечномерное банахово пространство, оператор А-. К -»Л/ непрерывный, но не обязательно монотонный. Тогда утверждение теоремы с небольшими изменениями в обозначениях следует из шага 1. Действительно, введем базис е15.. ., ет в М, и пусть

М Э и = Е«,е, <—* и G Rm,

где и = («1,..., ит). Можно однозначно определить по формуле (A u,v) = < Аи, и) оператор А , который будет непрерывным. Применяя шаг 1 для А , получим требуемое утверждение для А.

Шаг 3. Для произвольного конечномерного подпространства М С X определим /,/* так же, как и выше. По предположению отображение j*A;: КОМ -»М' непрерывно. Согласно шагу 2 существует элемент ум ЕКОМ, удовлетворяющий неравенству

М'А]ум, г-^>>0 ^zEKHM. '

Поскольку (j*AjyM, £)= (Аум, ?) МЛЕКОМ, то

<Аум, z-ум) > 0 VzGKHAf

или, ввиду леммы 2.3,

<Az, z-ум) >0 VzEKOM. (2.4)

Для произвольного «ЕК положим

S(y) = tuGK: (Av, и - и) >0}.

Очевидно, S является слабо замкнутым подмножеством в К, а так как К ограничено и X рефлексивно, то S слабо компактно. В силу (2.4) S (и) ^ ф. Если мы покажем, что

S^^-)^ .. .ГА8(иту-^ф Vvi,...,um, 1 < т < =°,(2.5)

то получим, что A S (и) + ф. Но точка и0 G A S(v) удовлетворяет (2.2) «ек«ек ■

и, следовательно, также (2.1). Таким образом, остается установить (2.5).

Обозначим Млинейное пространство, порожденное Vj, . . ., vm. Согласно шагу 2 существует элемент ум ЕКПМ такой, что

<Аум, г-у^ >0 Хг&КПМ.'

Поэтому (Az, z-yM")>0 Vz GK ПМ и,в частности,

<Аи,, и£ -ум) >0,1 < z< т.

Это означает, что ум G S (и,-), и, таким образом, (2.5) выполнено.

Доказательство теоремы 2.1. Шаг 1. Пусть М — произвольное конечномерное подпространство X; определим /,/*, как и выше. Тогда

j'Aj отображает ограниченные подмножества М

в ограниченные подмножества М’.(2.6)

Действительно, в противном случае существует последовательность и„ 6 М, О < II ип К Стакан, что II j*Aun В ->°°. Монотонность А означает, что

<J*Avn-j*Au, vn — и) ^ О MuGM.

Следовательно,

/ iAu \

V" O/^u’и"”7 >0,

]Аип

где Уп = ГТ-7 ■

II у/1Уп II

Так как уп — элементы из М1, то существует подпоследовательность у .-*■ у, IIу II = 1. Можно также предположить, что ип< ->■ и. Йо тогда (у, и - и) > О VuGM, откуда у = 0; приходим к противоречию.

Шаг 2. Пусть М такое же, как и выше, тогда j'Aj непрерывно. Действительно, в противном случае существует последовательность ип G М, и„ ->и, j*Avn -*w (мы используем здесь (2.6) и wGM* такие, что w ^j*Aи. Поскольку

<J*Av„—j*Au, vn—u>>0 MuGM,

то < w - ]*Аи, и — и ) > 0 ив силу леммы 2.3

< w — j*Av, и - и > > 0 VuGM.

Полагая и = и — z, z G М, получаем w — j*Av = 0; приходим к противоречию.

Шаг 3. Согласно шагу 2 А удовлетворяет всем условиям теоремы 2.2. Таким образом, теорема 2.1 следует из теоремы 2.2.

Лемма 2.3 означает, что множество всех решений вариационного неравенства (2.1) замкнуто и выпукло. Докажем теперь единственность.

Монотонный оператор называется строго монотонным если из (Аи — Аи, и - и > = 0 следует и = и.

Теорема 2.4. Если А — строго монотонный оператор, то существует не более одного решения вариационного неравенства (2.1).

Доказательство. Если ut, u2 — Два решения, то

(Аиь и - и^ >0 VuGA.

Полагая в этом неравенстве и = и2 при / = 1 и и = Ui при / = 2, а затем складывая, получаем

(Aut -Аи2, Ut ~и2) < 0,

откуда и, =и2.

Аналогично рассуждая, можно установить единственность решения в случае < Аи - Аи, и - и> > all и — и II1+6, а> 0, 8 > 0.(2.7)

Теорема 2.5. Пусть оператор А такой же, как в теореме 2.1 или 2.2, и пусть имеет место (2.7). Если /1, /2 - элементы из X1 и ubi = 1,2,- решения

(Аиь v-ut) > (fj, v-u{> VvGK,(2.8)

тоI

llwi — u211^- < IIA —Ally».(2.9)

a

Действительно, подставляя в (2.8) и = и2 при z = 1 и и =ut при z =2, а затем складывая, получаем

<Aui ~Au2, Ui ~u2) > |(A -/2, uv -u2>|, откуда, используя (2.7), выводим оценку (2.9).

17172. А. Фридман

17

17

Теперь мы распространим теоремы 2.1 и 2.2 на случай неограниченного множества К. Предположим, что оператор А коэрцитивен в следующем смысле: существует элемент ф0 ЕК такой, что

1'

—— (Аи—Аф0, и-ф0)

11 и11'■(2.10)

vEK, Dull-*'».

Теорема 2.6. Пусть К - неограниченное замкнутое выпуклое множество и оператор А такой же, как в теореме 2.1 или 2.2. Если оператор А коэрцитивен, то существует решение (2.1).

Отметим, что теоремы 2.4 и 25 справедливы и при неограниченном К.

При доказательстве используется идея усечения. Для произвольного R > 0 введем ограниченное выпуклое множество

KR=KC\ {Ou II< Rl

и обозначим uR решение вариационного неравенства, соответствующего KR. Если

lluRll</? для некоторого R> 0,(2.11)

то uR является решением (2.1). Для любого и Е К существует достаточно малое е > 0 такое, что w = uR + e(v — uR^ принадлежит Kr . Следовательно,

0< ^AuR, w-ur) = e<AuR, u-uR), ■

откуда вытекает (2.1) c uQ=uR для произвольного и GК. Остается доказать (2.11).

Из условия (2.10) получаем, что для любого С > 0 существует R > 0 такое, что R > II ф0 II и

<Аи — Аф0, и — фо") >С%и — ф0% Х/иЕК, И и П >/?.

Возьмем С> II4^O II. Тогда

'(Аи, и — фд) > (С - II 4<р0 II) II и — фу II >

>(С- ИЛ^о ОСЬ»- »^011) >0.

Если (2.11) не выполняется, то luR II = R. Тогда, полагая и = uR в последних неравенствах, получаем <.AuR, uR - фо") >0 в противоречии с тем, что uR удовлетворяет вариационному неравенству.

Мы приведем другой метод доказательства существования; он применим только лишь в гильбертовых пространствах, но очень прост.

Обозначим V вещественное гильбертово пространство, V* — его двойственное (•, •) — двойственность между V и V'. Пусть К — замкнутое выпуклое множество в V и / — элемент из V*. Рассмотрим билинейную форму а(и, и) на V X V. Предположим, что она ограничена, т.е.

|a(u, v)| < Cllullllvll,■(2.12)

и коэрцитивна, те..

e(u, u)> all u II2 VuGK (a>0).(2.13)

Теорема 2.7. Существует единственное решение и Е К вариационного неравенства.

а(и, и--и) > {[, и — и) Х/иЕК.(214)

Кроме того, отображение f ~*и непрерывно в следующем смысле :

•-ц211г^ - II/, -Л V,(2.15)

а

гдеи; обозначает решение, соответствующее fj.

Эта теорема вытекает из предыдущих результатов (если определить А формулой (Ли, и> = а (и, и) - </, и); А - линейный оператор), но доказательство ее можно провести проще.

Доказательство. Чтобы доказать (2.15) (и единственность), положим и = и2 в вариационном неравенстве для «1 и и = ut в вариационном неравенстве для и2, а затем сложим. Получим

«(«1 — И2, И] -и2)^ </, -Д, uY -и^,

откуда следует (2.15).,

Для доказательства существования положим (/, и) = (/,и),где (•, •) обозначает скалярное произведение в И, а / — некоторый элемент из V. В случае а(и, и) = = (и, и) решением (2.14) является и = Рг^/. В общем случае, если а (и, и) симметрична, то скалярное произведение в V определим следующим образом: ((и, и)) = = а(и, и). Положим </,и> = ((/, и)).Решение и есть проекция (в метрике ((■, ))) элемента / на К.

Если а (и, и) не является симметричной, то введем

1

s(u, и) = - [д(и, и) + д(и, и)],

1 о(и, и) = - [а (и, и) а (и, и

- симметричную и асимметричную части а (и, и) .-Положим

at(u, и) = s(u, и) + taku, и)(2.16)

для 0 < t < 1. При t = 0 существование уже установлено. Теперь, шаг за шагом, докажем существование на Г-интервалах О < t < Г,, tx < t =5 Г2 и т.д. до t = 1. При этом используем (2.15) и теорему о неподвижной точке для сжимающего отображения.

Предположим, что существование при всех 0 < t < tj уже доказано. Обозначим т = tj и перепишем

at(u, и - и) > kf, и -- и >(2.17)

в виде

атки, и - и) > kf, и - и > + (т — t)o(u, v — и).

Пусть Fuku^ = кf, v) + (т — t^cku. у)- Это ограниченный линейный функционал на V, и поэтому его можно записать как kfu, и), fu G V*.

При произвольном w G V рассмотрим вариационное неравенство

aT{z, и - z) > kfw, и - z> VuGК; zGK.

Оно имеет единственное решение z, которое мы обозначим Tw; в силу (2.15) •

II TW1 - Tw2 II < - II-fw II < C| t - т| II w, - w2 II.

Полагая | Z - а| < 1/2С, заключаем, что Т является сжимающим в V. Следовательно, Г имеет неподвижную точку и,т.е. Ти = и, что и означает (2.17).

В заключение этого параграфа приведем результат об устойчивости относительно изменения выпуклого множества К. Для простоты формулировка дается только в ситуации теоремы 2.7. Нам потребуются следующие условия:

Кп - замкнутые выпуклые множества;^

$-lim/iCn = К = w-lim^n.

Последние равенства означают: (i) если х Е К, то существуют х„ Е Кп такие, что Их„ - х II ->0, (И) слабый предел любой последовательности х^,, xn,G Кп,, принадлежит К, условие (ii) выполняется, например, если Кп С К.

Теорема 2.8. Пусть а (и, в) и К такие же, как в теореме 2.7, и пусть Кп удовлетворяют (2.18), fn Е V, fn-*f в V1 и ип - решения

ип&Кп, alu^u-и„) > <Jn,v - ип> 4vG.Kn.(2.19)

Тогда и„ -*и слабо в V.

Доказательство. Если ип &Кп, то

a Ii ип - и II2 < а(и„ -v,u„ - и) = а(и„. ип - и) - а ( и, ип - и) <

^fn. “п - v> + СИ и II II ип - и II <

(СII и И + I! fn II у,) II ип - и II.

Принимая и = ип -* и* Е К, выводим, что Iiu„II < С (с другой константой С). Следовательно, из любой подпоследовательности и,г можно выделить слабо сходящуюся. Если мы покажем, что из слабой сходимости и„ -*w вытекает, что w является единственным решением (2.14),то получим утверждение теоремы.

Поскольку и-*а(у,и^ непрерывно,

д(и, н„)-+д(и, w).'(2.20)

По лемме Минти

a(vn,v„ -и„) > (fn,yn -“п>

для любого и„ GK„ . Возьмем v^K и ип так, что II и„ - и II -> 0. Тогда

|д(п.п -un)-a(vn,v„ -u„)| =

= |а(и-v„,v-ип) + a(v„,v-и„)| <

СII и - vn Ii II и — ип II + СII vn II II и — vn II < СII и — vn II ~» 0.

Следовательно,

a(v,v-ип) > (fn,vji -ип> + еп, еп-*0.

Наконец, заметив, что

<fn,vn -и„){f, и - w>,

и используя (2.20), получим

я(п, и - w) > </, и - w).

Поскольку w Е К, то w есть (единственное) решение вариационного неравенства (2.14).■

Задачи

Предположим, что существует элемент i^0 £ А" такой, что (I + 9)^о е К при некотором 9 >0. Показать, что условие■■

(Л у, у>

-> оо, если и Е К, и -> оо

II и II

влечет (2.10); Л предполагается монотонным.

Пусть форма а (и, у) такая же, как в теореме 2.7. Тогда существует ограниченный линейный оператор Л : И -> И' такой, что

ц(щ и) = < Ли, и) V и, у Е И

Для произвольного / £ V* справедливо равенство,

(/, и> = (А/, у) VoE И, где

Л: V'->V, ИЛИ- 1.

Показать, что если Р А II = М и 0 < р < 2а/М2, то существует 9, 0 < 9 < 1, такое, что

| (м, у) - ра(и, у)I < 9 II и II II у II V и, у G V.

[Указание. Записать левую часть как (и - рХАи, и).]

Пусть F (и) — функция из V в (-°о,м]. Предположим, что для любых X > 0 и линейного ограниченного функционала А на V существует и € Г такой,что

(у, у) + Х/Ду) + L (и) < (и, у) •+ Х/До) + L (и) V у£ И(2.21)

Показать, что элемент и единственный и доказать, что существует единственный элемент uE И такой, чго

а(и, м) + F(u) < а(и, у) + F(v) VvEK- (2.22)

[Указание. Положить Ф„ (у) = (и, ц) - р[а (и, и) + F (и) ] и доказать, что для любого иЕ И существует единственный элемент w = Tu такой, чго

(w, w) - Фи (w) < (w, V) - Фм (и) V и Е У, и оператор Т сжимающий.]’

Пусть F ^ - функция из И в (—°°, °°], F ^ + ж, F выпукла и полунепрерывна снизу в слабой или сильной топологии (так как F выпукла, то это одно и то же). Тогда существует единственный элемент wE V такой, что

а(и, v - и) 5» F(u) - F(u) VvEK(2.23)

[Указание. Чтобы проверить условия задачи 3, можно заменить XF + L на F. Показать, что (2.21) эквивалентно следующему: функционал J (и) = - II и II2 + + F ^ имеет минимум в И. Доказать, что минимум достигается, взять F (у,) < “° и у0 так. чтобы

А(у) - Г(У] )9= (и0, у - Ht) VuEK.

Используя эго неравенство, показать, что минимизирующая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.]

Показать, что результат задачи 4 приводит к теореме 2.7.

[Указание. Взять /•’ (у) = ~ </, у > при у Е A, F (у) = °° при у $ КД

§ 3. FF2^-регулярность для задачи с препятствием

В этом параграфе мы рассмотрим задачу с препятствием (введенную в § 1) для общих эллиптических операторов второго порядка. Существование решения можно получить из общих теорем § 2, здесь же нас будет интересовать, главным образом, регулярность решения. Мы дадим новый метод доказательства и существования и регулярности решения одновременно.

Напомним некоторые общие факты из теории эллиптических уравнений [94 с, 109])._

Обозначим С“(П) (0 < а < 1, £2 — открытое множество в Я”) пространство функций и (х), непрерывных по Гёльдеру (с показателем а), т.е.

7/а(и) = sup х.уеп7/а(и) = sup х.уеп|u(x)-u(y)||х-у|а|u(x)-u(y)||х-у|а

7/а(и) = sup х.уеп

7/а(и) = sup х.уеп

|u(x)-u(y)||х-у|а

|u(x)-u(y)||х-у|а

Пространство С“(£2) банахово с нормой IIuIIq, = II u 110 + На(и),

где 11и110 = sup |u(x)|. xen_

Аналогично, и принадлежит Cm+a(f2) Qn — положительное целое), если

11 “ L+a = 11 “ Um + 2 Ha(D^u) < ”, I0l=m.

где llullm = S IID^uIIq.

I0l<m

Рассмотрим оператор

_”32u”du

Au= — 2 aij(x) + S Ь,(х^— + c(x)u; i,/=l' dx;dxy-i=ldx,

А называется эллиптическим в £2, если

е^а„(х)^>Хх\^2е^а„(х)^>Хх\^2(Хх>0)(Хх>0)

е^а„(х)^>Хх\^2

е^а„(х)^>Хх\^2

(Хх>0)

(Хх>0)

для всех х G £2,* £ G R”, и равномерно эллиптическим .если

Шаудеровские граничные оценки. Предположим, что d£2 локально класса С2+“, ФСС2+“(£2) и '

SUy-la + 211 6,lla + llclla< К,

^ац(х)^>Х\^\2 VxG£2, ^GR” (Х>0).

Если и G С2 (£2),

Au = f в £2, и = Ф на Ь£2,

Ы12+а< С(11/11а + 11и110 + 11Ф112+а),

где С — константа, зависящая только от X, К и £2.

Шаудеровские внутренние оценки включают нормы Hullm+a, определяемые следующим образом:

_|u(x)-u(y)|__

Н,.а (и) = sup d’ +“ -, На = НОа,

х.уеп х-у |х-у|“

где dx = dist(x, Э£2), dxy = min(dx, dy\

Ыв= Hu Uo +Ha(u\

Шт+а= 2 sup|dW«(x)| + S H^D^uY 1^ Km S2l0i=m

Если HnHm+a < ”, говорим, что и принадлежит Ст*а(£1\

Шаудеровские внутренние оценки. Предположим, что £2 - ограниченная область с диаметром, не превосходящим D, / € Са (£2) и а^, bj, с — измеримые функции, удовлетворяющие условиям

2ЦД* + ЕВМа + Ма < К,

^ац^^^>\\^ ^хб^Л^К" (Х>0).

Если u Е С2 (£2) О L°°(Q) и Аи = / в £2, то

ыГ2+а < с(1Гла + Иц|1о),

где константа С зависит только от X, К и D.

Если и 6 Ст+а(П0) ДЛЯ любого открытого множества £20, £20 С £2, то пишем: и Е Ст+“(£2). Из внутренних оценок Шаудера можно вывести, что если ац, Ь, и с, /принадлежат Ст +“ (£2), то и принадлежит Ст+2+“(£2).

Нам также понадобятся эллиптические Лрч>ценки при 1 < р< °°. Здесь предположения на Л, / слабее:

|а,7(х)-а,7О)|< ш(|х-у|)(3.1)

(ш(2)-*0, если 2-*0),

2 ayW^^X^I2 ^хеПЛЕК" (Х>0),(3.2)

С/= I

S|ay| + Sl^l+JcK К.(3.3)

£р-оценки. Пусть Э£2 класса С2 локально, /Е £р(£2), Ф Е И'2,р(£2). Если uEW2,p(£2), Ли=/в £2, и - Ф ЕНу(£2), то

1«12,р< С(1ЛР + 1Ф12,Р).

где константа С зависит лишь от X, К, модуля непрерывности со и области £2.

Внутренние эллиптические £р-оценки имеют вид

1«12>Р< С(1ЛР + 1«1Р)=

где G - произвольное компактное подмножество £2 (| и | ^р обозначает ^^-норму и в б7) и С - константа, зависящая только от X,К, ш, £2 и G.

Нам потребуются также локальные £р-оценки в подобласти G С £2, для которой dG П 8£2 =Л ф. Предположим, що Gt - открытое множество, G С GtC £2, 3G О О Э£2 содержится во внутренности Э(/1 П Э£2, dG П £2 С Gv. Если

' Au=f в Git ^u- ^GH^(G^

для любой f € С°°(/?") такой, что f = 0 в окрестности 9Gi Ci Ю, то

И.р^Лр' + 1<‘ + 1*ф-

Строгий принцип максимума. Предположим, что выполнены (3.2), (3.3) и с(х) > 0. Пусть м - функция из №(Ю) Ci С(Ю), удовлетворяющая неравенству

А и < 0 п.в. в Ю.

Если м достигает положительного максимума в некоторой точке х° G Ю, то и = const в Ю (и тогда с = 0 п.в.).

Этот результат распространяется также на функции и, не обязательно непрерывные в Ю; "максимум" и заменяется на "существенный супремум" и если ess supM положительный и совпадает с ess supM для любого шара с центром в х° S1в

и произвольным малым радиусом, то м = const. Это означает следующее:

если и € Н\Щ О Hq(SI), А и < 0 п.в. в Ю,

О(3.4)

то и п.в. в U.

Доказательство см. в [70, 43].

Шаудеровские граничные оценки могут быть использованы для решения задачи Дирихле

А и =f в Ю, и = Ф на ЭЮ(3.5)

при условии с > 0, где A, f, Ф, Ю удовлетворяют таким же условиям, как и при выводе оценок. Решение и принадлежит С2+ “(Ю).

Аналогично можно использовать внутренние оценки для решения (3.5) в классе С2 + “(Ю) О С( Ю). Здесь требуется, чтобы A, f удовлетворяли условиям, при которых выведены внутренние оценки, Ф была непрерывна на ЭЮи для любой точки х° € ЭЮ существовал локальный барьер (см. [74, 109]). Барьер существует, если найдется шар В такой, что

ВОИ = ф, дВ П ЭЮ = { х0} ("условие внешнего шара").

Подобным образом для решения задачи Дирихле можно использовать Lp- оценки при тех же условиях на A, f, Ф, Ю, при которых эти оценки выведены (см. [2,109]).'

Единственность задачи (3.5) следует из принципа максимума, сформулированного выше.

Теперь напомним основные неравенства Соболева. Пусть

111

- = , где 1 < р<°°. Если

qрп

м€И'1’р(Ю) и ЭЮ класса С1, то

I u\q <С| и! 1>р, если рк п,(3.6)

п

НиНо, <С| «11 р, если р>п и а= 1,(3.7)

’Р

где С — константа, зависящая только от р, пи Ю.

Из (3.6) следует, что оператор вложения

/: Й'1'р(Ю)->-£‘?(Ю)

(3.8)(3.8)(3.9)(3.10) (З.П)(3.12)(3.13)(3.14)(3.9)(3.10) (З.П)(3.12)(3.13)(3.14)

(3.8)

(3.8)

(3.9)

(3.10) (З.П)

(3.12)

(3.13)

(3.14)

(3.9)

(3.10) (З.П)

(3.12)

(3.13)

(3.14)

ограничен. Имеем также [94с, 109]

/: ^‘^(П) -> L1-^) компактно,

111

если р<п, г > 0,— <

грн

Обозначим C0,1(fi) пространство функций, непрерывных по Липшицу, с нормой

" I м(-х:) — w(jm)| и о 1 = и По + sup .

х.уея |jc — j'j

Это фактически пространство С“(£2) при а= 1. Аналогично определяется C^’V S2) как пространство С1п+а (П) при а=1. Пространство Cm,l(Q) определяется как С'"+“ (П) при а = 1._

Напомним [109], что и€. Ст'!(И), если и только если u€ H'm+l,“ (Q). Напомним также, что если и € Н1 (П), то и* ЕН' (П) и п.в.

I Du. если и > 0, Du = ।

I 0, если и < 0;

кроме того,Du = 0 п.в. на любом множестве, на котором и — константа. Пусть у>(х) (препятствие) — функция, удовлетворяющая условию ^ec2(fi).

Предположим, что

коэффициенты оператора Л принадлежат С“(П),

А равномерно эллиптический в S2, с(х) > 0;

ЭП класса С2+%

feC"^, gGC2+a^),

g> Ч> на 9Q.

Пусть ре (г) (0 < е < 1) — функция класса С“ по г такая, что

ti(O>0,

Ре (0 -* — °°, если t < 0, е -*0,

Ре(г)~*О, если t > 0, е -* 0,

Ре^СС, Ре(О)>-С,

где С - константа, не зависящая от ё. Рассмотрим задачу со штрафом

Аи + Ре^и — ip)= f в П,

u = g на 9Q

Лемма 3.1. Существует решение и =и£ задачи (3.13). Доказательство. Положим для произвольного N>0

Pe,N (0 = max (min {PE (t), N), -N)

и рассмотрим задачу

Au *Se,N (U ” ^"f в П- u = g на ЭП.

Для каждого и € LP(Q) (1 < р< °°) существует единственное решение w€ U'2,p(Q) задачи

Aw=f-PE>N(y^ в £2,

w-geH№,I }

удовлетворяющее оценке

I w^,p <R,

где константа R не зависит от и. Полагая w= Ги, видим, что Т отображает шар из Zp(£2) с центром в нуле и радиусом R в себя и Т компактно в силу (3.8). Теперь можем применить теорему Шаудера о неподвижной точке:

Непрерывное отображение Т, переводящее выпуклое замкнутое множество S банахова пространства в компактное подмножество S, имеет неподвижную точку.

Следовательно, Ти = и для некоторого и = uEir , а это означает, что и — решение задачи (3.14).

Поскольку u = uEiN принадлежит 1V2’P(Q) для любого р < °°, функция 3e,n^ — Р) непрерывна по Гёльдеру. Из общих результатов по регулярности для эллиптических уравнений с коэффициентами класса С“ следует, что uG С2+а (£2). Теперь оценим функцию f(x) = 0eiw(u — l) ■ По определению Зе имеем f(x) <С, С не зависит от Л', е. Рассмотрим минимум д функции f (х). Предположим, что

Д = ^°), д<0, д<0е(О).

Тогда х° ^ Э£2, так как иначе

Д = №° ) = М U ~ tO > Зе, w(0) > 0е (0) -

С другой стороны, если х° £ £2, то в силу монотонности Pe^(t) по / также и — ф принимает минимум в точке х°, причем минимум неположительный. Из доказательства принципа максимума следует, что Л (u - i) <0 в х°. Но тогда (3.14) дает

Цх°)>Дх°')-Аф(х0)>-С.(3.16)

Таким образом, мы показали, что

I Sc,n (“e.w —1)1 <С, Снезависитот e,N.(3.17)

Отсюда следует

НИие>^ !10 <С

и ввиду Лр-оценок

I ^е, W I 2, р С.

Так что, если N достаточно большое, то ие N будет решением задачи со штрафом (3.13).1’

Возьмем последовательность е = ет -> 0 такую, что

иЕ^и слабое №,р(£2)Vp<°°.

Следовательно, иЕ-*и равномерно в £2. Поскольку | 0Е(ие - ^)| <С, выводим, что и ^ ф,

Зе ^е — ё5) "* 0 на множестве { и > ф},

lim 0Е (иЕ - ф) < 0.

е^О

Окончательно,

Au = f п.в. на { u> ^} ,

Au^ f п.в. в f2.

Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Теорема 3.2. Предположим, что имеет место (3.9)— (3.11). Тогда существует решение и вариационного неравенства

А и — />0, и> <р, (Аи — /)(м — i) = 0 п.в. в Q,(3 18)

u=g на ЭП,(

и и G W2,p(fi) для любого р <°°._

Теорема 3.3. Пусть их, и2 - решения из И/2,2 (П) ОС(П) вариационного неравенства (3.18), отвечающие f х и f2 соответственно. Если fx > f2, тоих > и2 п.в.

Теорема сравнения влечет единственность.

Теорема 3.4. В предположениях теоремы 3.2 решение вариационного неравенства (3.18) единственно.

Из этого следует, что решение и, построенное в теореме 3.2, не зависит от выбора функций Зе.

Доказательство теоремы 3.3. Предположим, что открытое множество G, где и2 > их непусто. Так как и2 > их > 0 на G,

Аи2 = f2, Аих >fx.

Следовательно, А(и2 — их) <0 в G. Также и2 — их = 0 на 9G. Поэтому в силу принципа максимума и2 — их <0 в G; приходим к противоречию.

Теорема 3.2 может быть улучшена за счет ослабления условий на Л,/, g и ^. С точки зрения приложений нас интересует, в частности, ослабление условий на <р. Для этого напомним понятие усреднения.

Пусть р(х) — функция из С” (Rn) с носителем в единичном шаре такая, что р > 0, Jpdx = 1.

Положим Pg (х) = 8~”р(х/8) для любого 6 > 0 и рассмотрим усреднение

( ^su)^^ f P&(x-y)u(y)dy

VuGLp(n\ 1<р<=].

Напомним [2, 94^, 109], что J^u принадлежит С” (Я”) и

i J& и — u\lP^ -* 0, если 8->0

для любого компактного подмножества К из П.

Непрерывная функция ф(х) на открытом множестве fi0 CR" удовлетворяет -неравенству

d2V/

в смысле распределений (в ^'(Qo)), если для любой функции f £ С” (^о) > £ > 0, выполняется неравенство

Jt — > 0;

8£2

здесь 9/9$ — производная по направлению $. Полагая £ = р§, заключаем, что Э3

-- (Js^>0 os■

в обычном смысле в £2 при условии, что £2 GQ0 и 8 < dist (£2, 8£2О).

Теперь заменим условие (3.9) следующим:

> -С в У) (£20) для любого направления $,> -С в У) (£20) для любого направления $,(ЗЛ9)(ЗЛ9)(3.20)(3.20)^еС0’1^), d2ip

> -С в У) (£20) для любого направления $,

> -С в У) (£20) для любого направления $,

(ЗЛ9)

(ЗЛ9)

(3.20)

(3.20)

"dF

где £20 — окрестность £2.

Последнее условие означает, что

Полагая

Ф6 = Л5^ + | СИ2^- | С|х|2,

легко находим, что-

10^1 < С,'

^S > -С,(3.21)

Э?3v

<ps(x)-*<p(x) равномерно в £2 при 6 -*0, где С — константа, не зависящая от 6.

Теорема 3.5. Пусть (3.10), (3.11) и (3 19) имеют место. Тогда утверждение теоремы 3.2 справедливо. '

Доказательство. Повторим доказательство теоремы 3.2, заменив р на Фь в задаче со штрафом и полагая, например, 8 = е. Из (3.16) при ^ = Is видим, что если

АрьС С, Сне зависит от 8,(3.22)

то все оценки остаются справедливыми независимо от 8; полагая 8 =е -*0, получим, как и раньше, что решение (3.18) принадлежит W2,p(£2) для любого р< °°. Таким образом, остается доказать (3.22) .

Для любой точки х° £ £2 мы можем выбрать ортогональное преобразование так, что в точке х = х° п 92■

Sa«(x°)переходит в Д.

Ьх^дх, !

Вейлу (3.21) получаем (3.22).

Напомним оценку

1^>(Э12)< сИ1н*(я) vV/ec*(S2)

(9£2, к примеру, класса С1). Поскольку С1 (£2) плотно в Я1 (£2),если 9 £2 класса С1 (см. [94с и 109]), то любая функция из Я1 (£2) имеет след в С2 (9 £2). Оператор следа является линейным непрерывным оператором из Я1 (£2) в L2 (9 £2), совпадающий с ’’сужением ф на 9£2’’.когда ^€С*(£2).

Пространство, двойственное к Яд (Я), обозначается через Я-1 (Я). Предположим, что

UyGC0’1^),

и (33) имеют место,

/ея-*(я), ренЧ^,

gEH4n\ эяес1,(

и введем билинейную форму

,, ( _ Эи ди/_ ^ац \ ди1

е(м)= J 2а;/-— + S16/ + S-— ) — V + сии .(3.24)

dXj dXj\ ox, / dx;l

Вариационное неравенство (3.18) можно переписать в виде

а(и, и - и)> ^f, и - и) VuGK; и GK,(3.25)

где

К=(иеЯ*(П); v-gGH^n), v>p ns. в Я).(3.26)

Если а (и, и) коэрцитивна, то теорема 2.7 дает существование единственного решения задачи (3.25), (3.26). Существование также можно установить в случае некоэрцитивной формы а(и,и), но с(х)>0 (см. [34]).

Задачи

Пусть выполнены предположения (3.23), а(и, и) коэрцитивна и с > 0. Предположим, что /€£Р(Я),

^еи/2’р(Я), эяес2, g^w^^v \<р<*.

Доказать, что решение и вариационного неравенства (3.25), (3.26) принадлежит М2’Р(Я).

[Указание. Умножить дифференциальное уравнение в (3.14) на 10е,л1р~20ел и вывести оценку

/1^,Л^-^)1₽< с.1

Распространить теорему 3.2 на случай

К= { и€Яо(Я); ч?< и< ф ns.},

где р, ф G Сг(Я), ^ < и < ф на дЯ. Это задача с двумя препятствиями, в решение и удовлетворяет условиям

Au-f>0, если и < ф,

Аи -/< 0, если и>р,

Аи - /= 0, если р < и < ф.

Распространить также на этот случай теорему 3.5.

[Указание. Рассмотреть уравнение со штрафом

Аи + (Зе(и -р) + 7е(и - Ф^А

где у^ (?) > 0, 7е (?) -*°°, если t > 0, е -^0 и 76 (г) -^-0, если t < 0, е -*0.]

Предположим, что а (и, и), определенная в (3.24), коэрцитивна. Пусть «1, «2 - решения (3.25), (3.26), отвечающие fi,pi,gi и f2,pi,ga соответственно. Показать, что /1 >/2, ч>\> ц>г, gi> gi влечет Ui >иг.

[Указание. Подставить и = тах(М], м2) в вариационное неравенство для Mj и и = min(«!, м2) в вариационное неравенство для м2 и вывести, что a(ut - м2, (м2 ~М1)+) >0.)

Рассмотрим вариационное неравенство

-м" + ам >/, м > 0, (-м" + аи — f)u = 0 ns. в R, а> 0.

Показать, что если /"’ имеет N < °° нулей, то свободная граница состоит из не более чем N+ 1 точек; предположить, что uGW^^R)-

Пусть а (и, и) такая же, как в (3.24), и предположим, что а (и, и) коэрци- тивна вЯд(П). Будем говорить, что и - локальное решение (3.25) при

К= (и€Я1(£2); и>ф п.в.},’

если

а(и, т)(и - м)) > ffpfv-u) VuGK, т?€Со(£2), г?>0. я

Доказать: если i^ G №^(£2), / G Zp(£2) им — локальное решение (3.25), то м G £ ^,Р(П).

IOC v 7

[Указание. Для любой функции у G С^ (£2), у = 1 на £2', 0 < у < 1 в £2 (£2' С £2), пусть

К^ = (и€Яо(£2); п>уч? ns. в £2).

Показать, что

9 / Эу \ а^уи, v - ум) > J/у(и - ум)<£с - J S м( а» —■ ) + яя дх, у Эх, /

Эм Эу

+ 2av ^—("”7“)^ + ОХ( ОХ;

/ ^ii \ Эу

+ fZIbj + 'Z— )-—м(и-ум)с6с Vo GAL.

я у j йх(/Ьх{

Из задачи 1 следует'

1ум|2>р< C(lMli,p + l/lp + l7^l2>p).]

Доказать, что решение задачи со штрафом единственно.

Пусть £2 — область в 7?" и £2j = £2 ПВК, £22 = BR\Q — непустые области, где BR — шар с радиусом R. Предположим, что Э£2 A BR, класса С1 для некоторого R > R, и положим Г = Э£2 A BR. Предположим, что Mi € Я1^,), Mi = м2 в смысле следов. Показать, что функция

( Mj в £2j,

( м2 в £22

принадлежит Я1 (BR). Этот результат называется леммой о Н1 -склейке *).

[Указание. Возьмите £2 = { хп > 0} и определите иг^х', хп) = м2(х', -х„), У = Ui - и2 в £2,. Существует Vme С1 (£2), Vm V в Я1 (£2,), Vm(x', 0) -*0 в L2 (Г). Рассмотрите усреднения

7eW(x)= JpE(x'-y', хп -уп-2e)w(j)dy'

Я, '

и положите

Vm=J’emVm в £2Х (em-*0),

-„( ^т(х',хя)в £2,,

I »1т(х, -Хп)-Ут(х, -Х„) В Я2,-

где ulm G С1 (S21), vlm -► Mj вЯ‘(П,). Показать, mo^Z^G Я1 (BR),Zm -*и в L1 (Вr) и (для подходящих em) {Zm} — последовательность Коши в Я1 (Sr).]

W 2,00 -регулярность для задачи с препятствием

Будем считать, что

^■€С2+“(£2).(4.1)

Теорема 4.1. Пусть предположения (3.10), (3.11), (3.19) и (4.1) имеют место. Тогда решение и вариационного неравенства (3.18) удовлетворяет условию

ием^щ).

Доказательство. Без потери общности можно предположить, что Ь, = = с = 0, иначе можно заменить / на f — ЪЪ, (дм/дх;) — см (напомним, что и 6 G W^2,p(£2)). Введем у?5, как в (3.20), и рассмотрим задачу со штрафом

Лм+^е(и-^б)=/ в £2,.

u=g на ВП.^-2)

Мы уже знаем, что решение и = иЕ,ь удовлетворяет условию

|м|2>р<С для любого 1<р<°°,(4.3)

где С — константа, не зависящая от е, 5. Для дальнейшего удобно выбрать функции Зе (t) так, чтобы

/Зё(Г)>0, 0е(т)<О длявсех/.(4.4)

Предположим сначала, что / = 0. Заметим, что, согласно теории регулярности решений эллиптических уравнений, и 6 С4+“(£2). Продифференцируем уравнение в (4.2) дважды по направлению £ и получим

Аи^ +0ё(и - ф&)(и^ -t>6,к) + 9Uu-ФбИ«е ~Фбд?=1о, где

да« д3м _, д2а„ Д2 и

70 = 25 —1+ 2—.

д£ Эх, дх, д£ д£2 ах, дх/

Так как 0'ё<О,

Лм^ +0е(м - ФьИ*^ -ф&Д^>1о.(4.5)

Пусть £2] — произвольная компактная подобласть в £2 и £ G Со (S2), s = 1 на £2ц f > 0. Тогда

^($ии) ~ Muf^ =

' Э? Э3мд^

2 2 ац — — 2 ОцUtt = /1.

axf axfa^ 1 ах, axs 5 5

Вычитая Лм{^ из (4.5), получаем

^(f«H) + ^e(“ - ФбИ»» -Фь.и^1! +^о-(4-6)

Каждый член в /, + f/0 вида aD3u может быть записан в виде D(aD2u) - Da ■ D2u. Ввиду (4.3) и предположения, что коэффициенты а^ принадлежат С2+“, мы видим, что

/1 +^о=^о + 2 Digi,(4.7)

1■

где

п

2 |&|Р<С С не зависит от е,5.(4.8)

о

Теперь нам потребуется лемма Стампаккьи (см. [109, теоремы 8.25, 8.27 и 8.30, а также формулу (8.15)]).

Лемма 4.2. Предположим, что (3.2), (3.3) и оценка \ Datj\ СК выполнена в ограниченной области £2 и а (и, и), определенная в (3.24), коэрцитивна в Н1 (П),г.е.

а(и, и)>с0(1 и |1а)2VwG//1^) (с0>0).

Предположим также, что для любой точки х° G 9 £2

lim inf R~n mes ^BR (x°)\ £2) > 0, r -> о

BR^') = Ux-x°\<RV

Пусть gx, . . . , gn - функции из Ьр(р,) ug0 - функция из Lp*2 (fi) для некоторого р > п. Пусть ф - непрерывная функция на 912. Тогда существует единственная функция w€C(fi) ПН1^) такая, что

п

Aw = g0 + 2 Dtgi в £2, i = 1

w = ф на 9f2.

Кроме того,

llwll0<C( 2 |gz | + | g01 /2 + max| ф I), i=ian

где С — константа, зависящая только от X,K,Sl.

Не ограничивая общности, можно предположить, что оператор Л коэрцитивный (т.е. а (и, и) коэрцитивна ). Действительно, в противном случае заменим А на коэрцитивный оператор Я + к (к > 0) и добавим к^и^ к правой части (4.6). Таким образом, согласно лемме существует решение w G С(Т2) П Hq (£2) уравнения

^w = /i+f/0> w£Hg($l)

такое, что

llwll0<C, С не зависит от е, 6.(4.9)

Так как/j + f/0 е С“, в действительности w € С2+“ (£2).

Функция V= ^и^^ — w удовлетворяет неравенству

AV + $"0ё(м - ¥?$) (и^^ — ^Рь,^^) ^ 0 в ^-(4.10)

Теперь оценим V cwwyy.

Предположим, что V достигает отрицательного минимума в некоторой точке х° € £2. Поскольку К = 0 на Э£2,х° должна принадлежать £2. Но тогда

ДК(х°)<0,

BHBSWOTWAКОЛОХЗАОСКОР^АBHBSWOTWAКОЛОХЗАОСКОР^Атак что в силу (4,10) и того факта, что РеО ) > 0, £(х°) (и^(х°) - ^.^(х0))^ 0.

BHBSWOTWAКОЛОХЗА

ОСКОР^А

BHBSWOTWAКОЛОХЗА

ОСКОР^А

Следовательно,

V(x°) = f(х°)utt(x°) - w(x°)> ^(х^фбд^х0^ - w(x°)>- С.

Мы доказали, таким образом, что V > - С и поэтому в силу (4.9) f «^ > - С, т.е.

м^ > - С в каждой компактной подобласти £2.(4.11)

Для произвольной точки у е £2 можно взять ортогональное преобразование переменной х так, что в новых переменных

Au = - Ди + 2biDiU в у.(4.12)

Так как |0е| < С, из (4.2) выводим, что | Au | <С, и ввиду (4.3), (4.12) находим

| Ди | < Со, Со не зависит от е, 8.

Из этого соотношения и (4.11) очевидно, что

0 С и^ + С С Со + иС.

Таким образом, | u^ | < С, Сне зависит от е, 6. Поскольку £ —произвольное направление, можно выразить смешанные производные ux.Xj через линейные комбинации и^ + и^^ при подходящих направлениях £, г? и тогда получим | их.х. | <С в у. Окончательно, оценки | D^u | < С в у можно принять независимыми от у, если у меняется в компактной подобласти £2. Для завершения доказательства теоремы напомним, что и = и€ ,6 , и положим 6 = е ~*0.

Выше мы предположим, что / = 0. Если/ф 0, то определим и0 из задачи

Au0=f в £2, Uo^g на Э£2

и проведем рассуждения с и = и — и0 и препятствием ^ — и0.

Теперь докажем W1 ’”-регулярность в окрестности граничной точки х° 6 Э£2. Доказательство носит локальный характер и применимо также в случае х° G £2 (это доказательство отличается от данного в теореме 4.1, но более сложное).

Предполагаем; существует окрестность No точки х° 6 Э£2 такая, что ацеС^Ч^оГАПУ(4.13)

Теорема 4.3. Пусть выполнены предположения (3.10), (3.11)Л (3.19) и (4.13). Тогда существует окрестность Nточки х° такая, что и Е И*2’” (WH £2).

Доказательство. Положим

~„ du

f =f - Lbjси.

Тогда вариационное неравенство для и можно переписать как вариационное нера-

8 НЕ БОЛЕЕ 1Й КНИГИТ')

3. А. Фридман33

венство с эллиптическим оператором Ло и неоднородным членом f ; по геореме 35 /£ С” (В). Далее,пусть

Aouo=f в £2, u0=g на ЭП;

продолжим «о как функцию класса С2+ав. окрестность 3D. Взяв и =и — ы» + С|х]2, 5 = ^ - и0 + С| х |2, получим вариационное неравенство для и с препятствием 5 и неоднородным членом Л0(С1х|2); заметим, что ^^ > 0, если С достаточно большое. Таким образом, не ограничивая общности, можно предположить, что

/сС2+а(ту0 ПП), g&C3+a(N0 ПП),,

bf = c = O,(4.14)

^^ > 0 в ^'(О о) для любого направления £, где £20 ~ окрестность £2 .

Временно предположим, что

х°=0, bUONo = {х„ = Д) Wt,

£2 Г\П0 лежит в { хп > 0} ,(4,15)

= 0, если i<in,A

; на х„=0.

«пи = 1J

Пусть.

х = (х',хп), х' = (х2х„_1),

В(г)= (Jx'ICr),

£2(г,8,,82) = Д(г)Х (82,82),

£2(г, 8) = £2(г, 0,8),

Э'£2(г,8)=Э£2(г,8)\В(г)Х {0},

г и 8 берутся достаточно малыми. Нам потребуется аналог леммы 4.2.

Лемма 4. 4. Пусть и € С1 (£2 (г, 8) ), е(х) измерима, 0 <е(х) <С* и

Аои + еи = Ьо+ S в £2(г, 8),(4.16)

i = 1 Эх,-

ЭиА

Эхgl у 1а'я.(г,$) -8-(4J7)

0Х" В(г)х{о)

где (4.16) понимается в смысле Нх .акд - функции из Lp. Пусть

у= S^|hzlLp + |g |L- + lilL-,

где нормы берутся, скажем, по £2 (2г, 8). Тогда

lUL"(n(r, 6))^^’

где С — константа, зависящая только отА0,Ь,т и if..

Доказательство. Пусть

Ли1 +eui = 0 в £2(г, 8),

dui,

=g на В(г)Х { 0} ,(4.18)

Эх„

vt=g на Э'£2(г, 8).

Можно переписать эту систему в слабой постановке, «(V1.O+ f, , gt=O Vfe^^r.S», в(г)х{о}(4.19)

?=g на а'£1(г,8Х

и установить существование решетя стандартным L2 -методом. Но- можно также построить решения другим путем, который будет полезным при выводе равномерных оценок и 1.

Пусть Gm — усреднение и. Так как у G С1,

gm=Gm^>g равномерно в Э/П(г, 8),(

йСт

gm =»g равномерно в fl (г) X { 0} .

Если Vm - решение (4.Т8) с g^, gm т то Um = Vm - Gw удовлетворяет условиям

A Um + eUm = - AGm - eGm = Fm нН (г, 5),

—— = 0 на S(r)X{0},

Эх„

Um = 0 на d'Q(r, 8).

Для построения Ут используем правило отражения:

(4.20)(4.20)- .( w(x*, хп), если хп>0,

(4.20)

(4.20)

w(x , хп) = <

(w(x,-xn), если хп<0.

Обозначим продолжение согласно (4.20) функции Um (соответственно Fm, е, ау при всех /, / за исключением i = п, j * п и i ^n,j = и) Um (соответственно Fm, е, ау). При I =л, f^n’wi=£n,j'=n полол® м для х„ < 0

ani(x’, х„) = а1п (х', хп) = - ain(x', -х„),

и обозначим их ау. Продолженный оператор Л обозначим Я. Ввиду (4.15) коэффициенты ау непрерывны по Липшицу. Очевидно также, что

AUm*?Um=Fm в П(г, -6,8),

Um = 0 на ЭЩг,-8,8).

Эта задача, очевидно, имеет решение в С2 +“ (Q (г, - 8, 8) \ В (г) X {- 8, 8} ) и Vm =Um + Gm есть решение (4.18) ^gm,gm.

Далее, выведем оценку

“ ^т ^"(п(г, 6)) ^ ^’(4-21)

где С не зависит от т и С*; напомним, что 0 < е(х) <С*. Для доказательства положим

U=Um -X(l -хп) (\>\\gm^).

Тогда

AU + eU= — еХ(1 —хп)<0 в £2(г, 8),

так что U не может достигать положительного максимума во внутренних точках.

Максимум не может также достигаться на х„ = 0, поскольку

= ^т + ^ > 0 на . хп = 0.

дхп

Следовательно,

II С7Нь-> <С, где С не зависит от т (и С*) • То же самое справедливо для Um. Теперь можно взять подпоследовательность т -»<» и получить решение u, = lim Um (4.19). Также

II V! Н£”(П^ 5)) <С С не зависит от С*.(4.22)

Остается оценить и2 = и — ич. Используем опять отражение и получим для и2 уравнение

~„ ЭЙ;

. Ли2+еы2 = й0 + S;(4.23)

Эх,'

здесь hj для 0 </ < и определяются по правилу (4.20), a hn продолжается по формуле

hn(x', -хп)= -hn(x’,xn).

Имеем

и2=0 на д£2(г,-6,6).(4.24)

Пусть иz — решение задачи

Au1 = hj в П(2г, — 6,6),

и, = 0 на границе.

Существование и1 следует из стандартной теории существования [109]; кроме того, для любого 1 < р < °°

Э-/ ди' \Эд.-,- d2uz

h,-Ai) = S—=

Эх, \ Эх/ /dxz dxz Эху

в силу Лр-оценок для и1 (внутренних относительно цилиндра £2 (2т, — 6, 6), но вплоть до границы х„ = ± 6).

Далее, пусть и1 — решение задачи

а,/ 3\

Au-ki в £2| - г, -8,8 \2'/

и,= 0 на границе.

Тогда vlGW1’p(n(r, -6,6)).

Наконец, пусть.

Аи=1г0 в f2(r,-6,6),

a v./ Эи' Л \

и — 2,1 +и' । на границе.

\ dxi ■

Функция

/ Эи' \ л

V^i — + и ) + и

\ Эх, /

есть решение задачи

' Д Эй,

ЛК = й0 + 2 —- в П(г,-8,8),

/ = 1 Эх,

К = О на границе;

I уравнение понимается в слабом смысле. _

Возьмем О II И 11^ ~. Тогда функция V = С ± (V — и^ удовлетворяет условиям

AV*eV=(C± F)e>0 в П(г,-8,8),

К>0 на границе.

Напомним [142], что принцип максимума для слабых решений (например, вй1) остается справедливым, если ац € С2. Таким образом, можем заключить, что

V >0 в £2(г,-8,8).

Следовательно,

II и2 П^=о <2С.

Комбинируя последнюю оценку с (4.22) и вспоминая, что и = и, + Uz, получаем утверждение леммы.’

Замечание 4.1. Лемма 4.4 распространяется на случай, когда условие Неймана в (4.17) заменяется на

u = g наД(г)Х(О).'(4.25)

Важно отметить, что этот результат не является следствием леммы 4.2. Новый момент в лемме 4.4 (и в ее варианте с (4.25)) заключается в том, что константа С , ограничивающая | и | L о», не зависит от С*. Далее мы будем применять лемму в случаях, когда нет априорных оценок от С*.

Напомним задачу со штрафом

Allg + (3g (ие — ^е) — f ^ ^,

Uc=ge на ЭЮ,

где£е = g + Се выбирается так, что ge > ipe на Э$2,и оценку

| Аие lL~ + | ре | оо < С, С не зависит от е.(4.26)

Отметим, что ие^С\М0 ПЩ.

Лемма 4.5. Для произвольных малых 8, г имеет место оценка

I ме 1^2, “(П^, 5)) < С

где С - константа, не зависящая от е .

Доказательство. Пусть ze — решение задачи

Az6 +3ё («е - Фе^® = -?0ё («е - 1еМ «Ре -

W Ние-«Ре> d(U6-^e)

-^е(Це-«Ре^ац в Щ2г,28),

dXi dxi(4.27)

az6

= О на S(2r)X{0},

Эх„

z6=0 на Э'Я(2г, 28),

где f - функция из Со”^$2^—г, — — 8, — 8^, f = 1 в Щг,-5,8), 0<?<1и df(x', О)/Эх„ = 0. Покажем, что

\z6\l”№26»<C.(4.28)

Для доказательства опустим индекс е и положим? = —Аи. Тогда

-z*^u-^=f(4.29)

и (если берем 0е(г) = 0 для г > 0)

z = / на х„ = 0,.

Э?Э/

= — на хп = 0.

Эх„Эх„

Применяя —А к (4.29), получаем

Az + /3'(w - p^z =.

= —Af— £\u -ф)Аф- ^"(u - ^ац (и - р)Х{ (« - Ф)хГ

Умножая на f.легко выводим

A^zVSXu - ^)(Г?) = -Uf- ^\и -р)Ар +

+ (Ai)z - гБду^.?,. - ^"(и - Ф^а1, (и - <р)х;(и - ^Xj.

Сравнивая с дифференциальным уравнением для z = ze, находим, что

Д(?? -z)+/3'(u - xp^z -z) =

= -Uf+(A?)z - ^a^Xizx.=F.'

В силу (4.26) можно записать F в виде

” Эй/

й0 + S , SI h: | -р <С для любого р <<»,

z = 1 Эх/ '

где С не зависит от е. Следовательно, можно применить лемму 4.4 (заметим, что е(х) = /З'(ие — 1/>е) неотрицательна, но у нас нет априорной оценки е; см. замечание 4.1, выше). Заключаем, что

I - z |Л”(П(2Г)26)) ^^>(4.30)

где С не зависит от е, и, таким образом, получаем (4.28).

Теперь определим функции zt для 1 < Z, / < и:

(4.31)(4.31)^zij + Ре (ие ~~ <РеУ2ц ~ ^Ре(ие ~‘РеУ^е, x/xj ~ — ?Ре(ие — 'РеУСЦе — 'РеУх^е ~ РеУх^ в Я(2г, 28), Zy = 0 на S(2r) X {0}, если 1 < z, / < и — 1 или i=j = п,

(4.31)

(4.31)

= 0 на S(2r)X{0}, если i = n или / = и Эх„ "

№,/)*(«,«)],

Zy =0 на Э'П(2г, 28).

Заметим, что и =и£ удовлетворяет условиям * Ue.xjx^gxjXj на S(2r)X{0} для 1 <z, /<и- 1,

и£-хпхпи£-хпхпп2 ац8Х1х; на S(2r)X{0)п2 ац8Х1х; на S(2r)X{0)

и£-хпхп

и£-хпхп

п

2 ац8Х1х; на S(2r)X{0)

п

2 ац8Х1х; на S(2r)X{0)

п - 12 «ц8Х1х,УU = 1'п - 12 «ц8Х1х,УU = 1'И 9_ 9

п - 1

2 «ц8Х1х,У

U = 1'

п - 1

2 «ц8Х1х,У

U = 1'

"T ue,xixn ~ ~ dx„ ' ” йх1

наД(2г)Х{0} для !</<« — !.

Если теперь применим Э2/дх,дх, к Аие + 5е(ие — ^ — f, то получим уравнение, ана-

zV таким же путем,zV таким же путем,логичное таковому для z^. Тогда можно оценить ?ме>

zV таким же путем,

zV таким же путем,

(4.32)(4.32)(4.33)(4.33)как выше оценивалась ^z — ze. Таким образом, получим аналогично (4.30) I Sue, XjXj ~ zij 1ь°°(П(2г, 25)) ^ ^’

(4.32)

(4.32)

(4.33)

(4.33)

где С не зависит от е. Следовательно, если покажем, что

^if'L (П(г, 5))

то получим утверждение леммы.

Рассмотрим Zjn. Выберем Сх >0 так, что

С, atjС, atj5n8y„ *6jv6in5n8y„ *6jv6in(4-34)(4-34)

С, atj

С, atj

5n8y„ *6jv6in

5n8y„ *6jv6in

(4-34)

(4-34)

— равномерно положительно определенная форма.

Функция С, z€ ±z£n удовлетворяет условию

AQCiZ6 ±z£n) + /3£(ue -^(Ctz6 ±z[n) =

~ ^e (Ue ~ *РеУ(~С1 A<pe i >Pe,x, хпУ"~

(4.35)(4.35)— f/5e (lZe — <pe) [ Ci S Oij(lle — ipey Xj(.ue ~ ^еУ Xj—

(4.35)

(4.35)

±(«6 -^к. («е ,-^)х„

Так как ipe, ^ > 0 для любого направления £, то ip£ выпукла и, таким образом, 0Ре,х,х^У положительно полуопределенная. Вспоминая (4.34), выводим, что первый член в правой части (4.35) неотрицательный. Второй член в правой части также неотрицательный в силу (4.34). Так что

А(С12£ ±z£lnV^(ue-^HCiZ£ ±Zi„)>0.

Положим И' = Ci ze ± z®n. Тогда

Э

W = 0 на S(2r)X{0},

Эх„

W= 0 на З'$2(2г; 28).

Применяя принцип максимума к И-’, получаем

C1ze+z£„>0 в П(2г, 28)

и, следовательно,

\z£n\^CxZe СС(4.36)

(здесь использовано (4.28)). Аналогично можно установить (4.33) для всех z£n и z^‘*n-„

Окончательно, так как z >0 (например, в силу (4.36)), имеем

Cxze ±z^ >0 на S(2r)X{0),

если 1 < z, / < и или если i = j = п. Поэтому действуя, как и раньше, можем установить, что

|z* KC,ze.

Это завершает доказательство леммы 4.5.

Теперь можно легко закончить доказательство теоремы 4.3. Возьмем для простоты х° = 0, 6SI П No = \.хп = 01П No, $2 И No С 1хп > 0), локальный диффеоморфизм

Xj=Xj- , если 1</<и—1.

&пп

Тогда Ли преобразуется в Лои + Ахи, где Ло такой же, как в (4.16), а Л t и включает в себя производные младших порядков и. Уравнение со штрафом можно переписать в Ао П П так:

^О«ё +/?е(мё -¥’e)=/l[^(^') = MeWh

где fx = f - Л! ue. Можно преобразовать это уравнение в другое с/i G С2 + “ (равномерно по е) и другой с, как первый шаг доказательства теоремы 4.3. Теперь применим лемму 4.5, перепишем оценку ueVx'l в терминах ие (х) и устремим е к нулю.

Задачи

Обобщить результат из задачи 5, § 3 о И^с-регулярности на случай K'^’J”- регулярности.,

Пусть ipx, . . . , ^т принадлежат C2(Q), $2 — ограниченная область. Доказать, что ф = maxt^!, . . . ,vpml удовлетворяет условиям у € С °’1 ( $2) и ^ > - Св У '($2) для любого направления 5 (С — константа)._

Положим BR (х°) = {| х - х° | <Л}, BR = BR (0). Пусть и 6 C(S R), — Ди > 0 в 4b\BRl (т.е. и супергармоническая) и supp(- Ди) = К; таким образом, и гармоническая вне К. Предположим, что и > 0 в BR, м(0) < X, sup и < X. Показать, что к

для любого 0, 0 < 9 < 1, справедливо неравенство и(х) < Cq X в Bqr (Сд - константа, не зависящая от и)

[Указание. Пусть Aw = 0 в Br , w = и на 3Br . Тогда и - w > О, w > 0.

По неравенству Харнака•

w(x) <Се w(0) < Се X в BeR.

Но u-w < и < X в Хи тогда также в BR.]

Пусть и — решение вариационного неравенства

и G К; J Vи • V(u - и)> 0 VuEK, п

где/

К = {и£Но(П), v>ip в 52},

I G С( 52), i < 0 на Э52, $2 — ограниченная область в R". Предположим, что м(х°) = = ip(x0) и существует гармоническая функция h в ВДх0^ С $2 такая, что

sup | h - ^ | < X.

ВДх")

Показать, что

sup |м-<р|<СХ, С - константа.

Вг/2^°)

[Указание. Функция и = и - h + X супергармоническая в 5г(х°) и в > 0, и(х°)<2Х, и(х)<2Х на supp(— Ди).]

Если в задаче 4 у(т) — модуль непрерывности ^ и 7t (г) — модуль непрерывности V<p (оба убывающие), то

sup (и - i) < C^VY

В^х^

sup (м - v>) < Сщх (г).

вг/2(х°)

[Указание. Возьмите й(х) - ^(х°) или h^ = 1<Л°) + V<p(x°) • (х - х0).]

Пусть U — открытое ограниченное множество в Rn, h G C(t/), h — гармоническая в U. Предположим, что для любой точки х° G ди

sup | Л(х) —/z(x°) I < 7(р) Vp<p0.

Вр(х°) гт и

Тогда для любых х, х' 6 U

!/z(x) — й(х')| < 7(| х - х'|), если |х-х'|<р0.

[Указание. Применить принцип максимума к функции и(у) = = h^y + х - х') - h( у), где у изменяется в области U' = { у G U, у + х - х' &U}.\

Пусть U, h — такие же, как в задаче 6, gE C'{U), и пусть 7i(p) — модуль непрерывности Vg, 7i(p) убывает, если убывает р. Показать, что если для любых х°еги, р<ро(ро>О)

sup I А(х)-^(х)|<С0Р71(Р),

Вр<х°) гт и

то hGC' (U ) и для любых х, х' G U

I Vh(x) — V/z(x')| < C7i(2 I x -x'|) (С — константа) .

[Указание. Пусть х € (/, х° - ближайшая точка 9 U к х, р = | х° - х | < <Ро/2, у€52р(^0)^ U. Тогда

I Цу) -^(х°) - Vg(x°) • (у - х°) | < 2(С0 + l)P7i(2p).

Поскольку функция z( у) = /z(у) - g(x°) + V#(x°) - (у - х°) гармоническая в Вр(х) С С В2р(х°) ^ U, имеем

I Vz(x)| < (С/р) sup |z |<С7,(2|х-х° I). авр^

Таким образом, V/z непрерывно продолжается в U, и можно применить задачу 6.]

Пусть и — решение задачи 4. Тогда:

если ^(х) имеет модуль непрерывности 7(р), то и имеет модуль непрерывности Со 7(Р)-

если Vx^ имеет модуль непрерывности 7i(p) (7i(p)^ при рО» то Vxu имеет модуль непрерывности С71(2р). Константы Со, С могут зависеть от расстояния 6 от {<р > 0) до 9 $2.

[Указание. Показать, что в малой П-окрестности ЭП почти всюду и > >ф + е0 (е0 >0). Пусть

u(x)= lim J udS,

г -» О | ЭВГ | йВг(х")

где | дВг | — площадь поверхности дВг. Тогда и полунепрерывна снизу, множество U = {и > ^} открыто и содержится в П-окрестности ЭЙ. Применить задачи 6 и 7 с и = й.]

Пусть $2 — ограниченная область с границей класса С2 + “, и пусть х° £ $2. Предположим, что h гармоническая в BR (х°) И $2 и h > 0 в BR (х°) О $2, h = 0 на BR С*0) П 9 $2. Тогда для любого 0, 0 < в < 1,

sup /z<Cg/z(x°) (неравенство Харнака).

B9R(x°) п п

[Указание. Выразить h через функцию Грина в области $2* с границей класса С2, где

ве,д(х0)ППС $2* СВя(х°)ПП (0<0!<1).]

(а) Показать, что если 9 $2 € С2 + “, то константы С, Со в задаче 8 можно взять не зависимыми от 6.

(б) Распространить результат задачи 8 на случай ^ < 0 на 9S2.

[Указание. Обобщить задачу 4, используя задачу 9.]

Обобщить результаты задачи 10 на случай вариационных неравенств для общего эллиптического оператора Л с а,,, Ъ^ с, f из С"^).

[Указание. Сначала аппроксимируйте ф усредненными функциями. Соответствующее неравенству Харнака см. в [161 е].]

§ 5. Задача фильтрации

Перегородка из пористой среды (скажем, земли) с параллельными вертикальными стенками имеет ширину а в разрезе и разделяет два резервуара жидкости (скажем, воды) с уровнями у = Н и у = h. Переменная у — высота, х -- расстояние от стены резервуара с более высоким уровнем жидкости. В стационарном случае согласно закону Дарси

v = -kVu,(5.1)

где v— скорость жидкости, к — константа проницаемости и и(х, у) = у + р(х, у) у — сила тяжести и р(х, у) — давление. Отметим, что мы рассматриваем здесь дву мерную перегородку, которая может служить также моделью трехмерной, если се' чения плоскостями z = с не меняются с с. Функция и называется пьезометрическим напором. Закон сохранения массы V • v = О приводит к равенству div(fcVu) = С в влажной части перегородки. Положим для простоты к^х, у) = 1. Тогда можнс считать, что часть перегородки, занятая жидкостью, описывается в виде

W = lXx,y); 0<x<a, 0<у <^(x)L

I

где у = ip(x) - ’’свободная граница”, отделяющая влажную часть от сухой (рис. 1)

Функция и удовлетворяет условиям .

Дм = О в W,(5.2)

Эм - = 0 на Г;

(5 3) y = tp(x\ 0<x<a,.

где v — внешняя нормаль (т.е. поток через Г является касательным к Г),

и(0,у) = Н, если 0<у<Н, u(a,y^ = h, если 0<y<h,(5.4)

и(а,у) = у, если h<y<vp(xy

Это следует из непрерывности и того, что

р(.х,у) =р(.х,у) =Н - у в резервуаре с уровнем жидкости Н, h - у в резервуаре с уровнем жидкости h, О в части перегородки, не занятой жидкостью.

р(.х,у) =

р(.х,у) =

Кроме того,

(5.5)(5.6)(5.5)(5.6)и(х,у) = у на Г,

(5.5)

(5.6)

(5.5)

(5.6)

(0 < х < а),(0 < х < а),и, наконец, иу (х, 0) = О

(0 < х < а),

(0 < х < а),

если дно перегородки непроницаемо.

Предположим, что существует решение и (5.2) —(5.6). Покажем, что функция р(х,у) = м(х,у)-у

тогда положительна в W. Действительно, р гармоническая в ^ р = 0 на Г U Г3,

р > 0 на Го U Г2 и рх не может принимать отрицательный минимум на Pj, так как ру = z<y - 1 = -1 на Г,.

Таким образом, в силу принципа максимума

в W.

(5-7)

Теперь сведем задачу (5.2) —(5.6) к вариационному неравенству, предполагая, что >р€ С1, u<=C4WUF)OC(Wy

Положим

w(x,y) =

У’О)•

/ [м(х, t) - Г] dt, если 0<_у<¥>(х),

(5.8)

О, если ^x^<y <Н.

Подсчитаем

wy (х,у) = ~и (х, у) + у,

¥>(х)

H'x(x,j) = J ux(x,t)dt (в силу (5.5)),

(5-9)

¥>(х)

*\x(x,jO = $ ихх(х, t) dt + ^’(x)ux(x,tp(x)).

У

Так как

-ip\x)ux +иу = 0 на у = ф(х^ (в силу (5.3)) и

*(*)

■/ uxx(x,0dt=- J Uyy(x, t}dt- -Uy(x, v?( j)) + Uy(x,j>), УУ

находим, что

wxx = иу = - wyy

1 [в силу (5.9)].

Тем самым

△w =1 в IV.

(5.10)

Кроме того, ввиду (5.7)

(5.11)

Пусть

Тогда очевидно, что

w - О, △w = 0<l в £2\ИЛ

(5.12)

Можно также проверить, что &w <0 в смысле распределений, $' ($2). Окончательно

w = g на Э£2,

(5.13)

где g — непрерывная на ЭЯ функция,

?(О,у)=|(Я-у)2,

,

g(a, у) = — (й-у) , если 0<y<h,

gxx^x,0^ = 0, если 0<х<д,т.е.

Н2 /х\ h2 х

^(х, 0) = — (1 - —,(514)

\а) а а

g~0, п.в.на ЭЯ.

Полагая

К= UGH2^, u = g на ЭЯ,и>0 в Я),(5.15)

находим, что w — есть решение вариационного неравенства

f Vw V(u- w)>-f (и- w) VuGK; wGK.(5.16)

nn

Обратно,если w - решение (5.16) и множество

IV - { (х, У) 6 Я; w(х, у) > 0}

дано в виде

0<y<ip(x), 0<х<а и ф(х)<Н,

то функция

и U, у) = у - wy (х, у)

вместе с ^ решает физическую задачу (5.2) - (5.6) в некотором обобщенном смысле; если ф и и» достаточно ’’регулярны”, то и, ф решают задачу (5.2) — (5.6) в обычном (классическом) смысле. Далее будем рассматривать вариационное неравенство (5.16) и установим существование достаточно гладкого решения wh свободной границы у = ф (х).■

Теорема 5Л. Вариационное неравенство (5.16), (5.15) имеет единственное решение w,uwG W1,p (Я) О И^” (Я).

Доказательство. Существование единственного решения w следует из общих теорем § 2. Для доказательства того, что w € W2,₽(fi), мы должны модифицировать доказательство теоремы 3.2, так как ЭЯ не принадлежит С2+“: ЭЯ имеет четыре угла. Докажем следующее: существует решение задачи со штрафом

-Дм6 +S6,N(u^ = - 1 в Я,'

ие = g на ЭЯ;

и6 непрерывно в Я (см. задачу 2). Можно показать, как в § 3, что

1/З^КС, |Дие|<С,

где С не зависит от е, N. Используя Lp-оценки, выводим, что

I ие 1и,2,р(П0) ^^.(5.18)

где Яо С Я, Яо не содержит угловые точки ЭЯ. Теперь можно применить результаты § 4 для вывода оценки

I ме I< С(5.19)

Окончательно, И^^-оценки выполняются также в окрестности каждой угловой точки; см. задачу 3. Таким образом.

(5.20)(5-21)(5.20)(5-21)I ие I и/2-Р(я) ^^

(5.20)

(5-21)

(5.20)

(5-21)

Теперь можно устремить е к нулю и действовать так же, как в § 3.

Лемма 5.2. Справедливы неравенства■

wx < О, wy < 0 в О.

До казательство. Положим

W= { (х, у) G П; w(x, у) > 0) .

Так как w G W2'P(ST) для любого р < °°, множество W открыто и wx непрерывна в $2. Отметим, что Д wx = 0 в W. Таким образом, если показать, что wx в W не может принимать положительного максимума на dW, то из этого будет следовать, что wx <0 в Wh, следовательно, также в Q._

Предположим, что wx достигает максимума в W в точке х°. Мы хотим показать, что wx (х°) <0.

Если х° G Э W П П, то wx (х°) = 0. Если х° = (х, 0), то wx (х°) = gx (х°) < 0.

Если х° G Э W П { х = 0 } , то (так как w > 0 в некоторой ^окрестности точки х°) (wjx = wxx = 1 - Wyy = 1 -gyy = О в х°,

если х° ^ (0, //), так что wx не может достигать максимума в этой точке. Такая же ситуация будет если х° = (а, у), 0 < у < h.

Далее, если х° = (д, у), h <у <Н, то w(x°) = 0. Однако, так как w(x) > 0, получаем wx(x°) < 0. Наконец, поскольку w(x, Н) = 0, имеем также wx (х, И) = = 0 и доказательство неравенства wx <0 завершено.

Доказательство того, что wy <0, аналогично. Здесь

wy<0 на {х = 0} U {х = д, 0<у <h} ,

Wy = 0 на (х = a, h <у <Н},

и-у<0 на (у = Н}, так как w(x, Я) = 0, w>0,

(wy)y = 1 ~ wxx = 1113 Э W П {у = 0} ,

wy = 0на ЭИ^ПЭЛ.

Из леммы 5.2 легко выводим, что для любой точки х G (0, д) найдется число <р(х) такое, что (х, у) G W, если и только если 0 <у < <р(х) и ^(х) монотонно убывает.

Лемма 5.3. <р(х)непрерывна.

Доказательство. Предположим, что ^(х0 + 0) < <р(х0 - 0) для некоторой точки 0 < х0 < а и положим

R = {О, у); 0<х<х0, ф^х0 +0)<yC<t>(xo -0)}.

Функция w(x, у) = w^x, у) - — (х — х0)2 гармоническая в R, и w = wx =0 при

х = х0. Ввиду единственности продолжения (см. задачу 4) w = 0 в Д, что приводит к противоречию.

Подобным образом доказывается

Лемма 5.4. Если 0<Хх<хг<аи ip(xty< Н, то ip(x2) < v>(Xi).

Лемма 5.5. <р(х)<//, если 0<х<а. .

Доказательство. Сначала покажем, что

Wy(x, Я) = 0.(5.22)

Для любой точки 0 < х < х* < а имеем

Wy (х\ Я) — wy (х, Я) =

1,,

= lim — [w(x , Я) — w(x ,Я- е) — w(x. Я) + w(x. Я- е)] = е^й е

.

= lim — [w (х, Я - е) - w (х, Я - е)] > О, е->0 е.

так как wx < 0. Таким образом, wy (х. Я) монотонно возрастает в х. Так как она обращается в нуль в точках х = 0 и х = а,, она должна быть равной нулю тождественно, откуда следует (5.22).

Если утверждение леммы неверно, то ^(х) = Я для х из некоторого интервала 0 < х < xj. Поскольку имеет место (5.22), приходим к противоречию (ввиду единственности продолжения) так же, как и в предыдущих двух леммах.

Резюмируем сказанное в следующей теореме.

Теорема 5.6. Свободная граница есть кривая у = <р(х), где tp(x) — непрерывная, строго монотонно убывающая функция.

В гл. 2 мы разовьем общие результаты по свободным границам для вариационных неравенств. Эти результаты означают для задачи фильтрации, что <р(х) аналитическая. Мы докажем также, что <р(х) вогнутая и <р (а — 0) > h.

Задачи-

Пусть Qr = {(х, у); х > 0, у > 0, х2 + у2 < R2} , Ди = f в QR, и =g на BQR\ {(0, 0)}, где f Е Z“ (2Л), g непрерывна на BQR, и непрерывна в Qr \ { (0, 0)} , и G L~ (Qr) ■ Доказать, что и (х, у) ->g(0, 0), если (х, у) -> (0, 0).

[Указание. Пусть W — строгий барьер в (0, 0), т.е. Д W < -1 в QR, W Е GC(Qr), W>0b Qr\ {(0,0)} , W(0,0) = 0 (например,.

" 111

W=7 - —

L2ap (х + а)р + (у + а)р .

для произвольного а > 0 и некоторых 7 > 0, р > 0). Показать, что для любых е > 0, 7? > 0 и некоторого к > 0 в Qr

к IVi (g(0) - м(0)) + е — т?1п(х2 +у2)*/2 > 0.]

Доказать, что существует решение (5.17)._

[Указание. Аппроксимируйте 12 гладкими £Lm и g гладкими gm в Пт; обозначьте иет соответствующие решения (5.17). Тогда

и - Дме + /Зе (ие) = -1 в 12. Кроме того, ие = g на ЭП за исключением, быть может, угловых точек.[

Пусть QR,u,f,g такие же, как в задаче 1. Предположим, что g Е W2,P(QR) при некотором 1 < р < °°. Доказать, что для любого 0 < Ro < R

I и l^-Pce^^ <C[I^ 'w2-p(Qr) + 1^1£р(2Л)^ ’

где С - константа.

[Указание. Предположим, что g = 0 и определим

и (х, у^ =и (х, у^ =и(х,у\ если у > О,-м(х, -уУ если у<0.

и (х, у^ =

и (х, у^ =

Аналогично продолжим f. В продолженной области^ функция и принадлежит Я1 (в силу задачи 7 из § 3). Покажите, что Дм =/ в Я1 (Qr). Утверждение следует тогда из Lp-оценок в окрестности гладкой части границы.]

Пусть и — гармоническая в прямоугольнике R = {0 < х < а, 0 < у < Ь}, uG С1 (R) и м = му = 0 на х = 0. Доказать, что и = 0 в R.

[У к а з а н и е. Продолжить м нулем и показать, что м гармоническая в окрестности (х = 0} .]

Предположим, что коэффициент проницаемости к не константа: к = к(уУ Заменим (5.8) на

и-(х,у) =

j k(t)(u(x, t) — t)dt, если 0<j

У

?<4><х),

Определим

0, если у >^(х).

н

G(0,y) = J k^HH-Odt, у

h

G^a.y^f k(t)(h - t)dt, если y<h, у

G(x, 0) = G(0,0)( 1 — — ) + G(a, 0) —, если 0 <x <a, \ a /a

G = 0 почти всюду на ЭЯ,

К = иенЧ^З, v = G на ЭЯ, и>0).

Показать, что w решает вариационное неравенство

JVw V(u-w)>-J(v-w) VvGK; w£K nя

Доказать, что если /с'(у) > 0, теорема 5.6 остается верной.

[Указание. Покажите, что wx <0 и (e-h w)y <0, где eh = fc.]

§ 6.'Задача упруго-пластического кручения. W 2 ’ р-регуляриость

Будем рассматривать вариационное неравенство с ограничением на градиент: найти функцию м такую, что

и€К,

/ Vm- V(u- u)dx>ц/ (и - u)dx VuGK,(6.1)

яя

где

(6-2)(6-2)к= Ьен^пу, | Vu|<l п.в.) .

(6-2)

(6-2)

Здесь д - данное положительное число и Я — ограниченная область в Rn. Сначала объясним, как возникает такая задача в физике.

Пусть £2 — ограниченная односвязная область в R2 и Q - цилиндр {(xi,x2)€Q, 0<х3</};

Q представляет собой стержень из идеально упруго-пластического материала, закрепленный у основания (х3 = 0) и закрученный на угол о у вершины (х3 = /). Далее, предполагается, что на боковой поверхности Q нет внешних воздействий. Если а достаточно мало, то и деформация мала. В предположении, что объем, занимаемый Q, не изменяется при кручении, из теории упруго-пластично ста следует, что две не обращающиеся в нуль компоненты тензора напряжений oX1,3 и ох,х можно записать как Mi, где и (потенциал напряжений) - решение (6.1), (6.2) с д = 2Ха, X - коэффициент сдвига.

Если и = m(xj, х2) найдено, то вектор смешения (ut, и2, и3) в У подсчитывается из формул

ui=ax3x2, u2=ax3xi, u3 = аф (х3 ,х2).

где ф определяется из уравнений

ЭФЭФдидиЭХ!ЭХ!= “0 + Х)~ ,Д Эх2= “0 + Х)~ ,Д Эх2д фЭх2д фЭх211диди~-(1+х) — Дdxi~-(1+х) — Дdxi

ЭФ

ЭФ

ди

ди

ЭХ!

ЭХ!

= “0 + Х)~ ,Д Эх2

= “0 + Х)~ ,Д Эх2

д ф

Эх2

д ф

Эх2

1

1

ди

ди

~-(1+х) — Дdxi

~-(1+х) — Дdxi

и у = Х(х 1 * х2 ) _ решение задачи

Ди+ V • (xVm)=-д в П,

(6.3)

X = 0, если | Vu|<1.

Предположим, что £2 - неодносвязная и что она имеет конечное число ’’дырок”, скажем, £2],..., £2/,.

Каждая £2,- есть область с односвязной границей Э£2,-. Положим

£2* = £2 U ( U £2,)

1= 1

и рассмотрим вариационное неравенство v

uGK*.

'(6-4)

/ Vu • V (u - u)dx > д f (v-u)dx VvEK*, яh

где

(6.5)(6.5)К* = { u S^(£2*), | Vu I < 1 п.в., Vu = 0 в каждой £2Z}.

(6.5)

(6.5)

Здесь и имеет такую же физическую интерпретацию, как и выше.

В дальнейшем будем изучать (6.1), (6.2), только когда £2 односвязна, и (6.4), (6.5), когда £2 имеет конечное число ’’дырок”. Многое из результатов, которые мы получим для (6.1), (6.2) будут верны, однако, и в случае, когда £2 многосвязна.

Можно рассматривать (6.1), (6.2) как частный случай (6.4), (6.5).

Согласно общим результатам из § 2 существует единственное решение вариационного неравенства (6.4).

Для произвольных множеств Gx, 62 обозначим

d(х, Gi) = dist (х, 6'i), d (Gt, 62 ) = dist (Gi, 62j.

49494. А. Фридман

49

49

Введем функции

р(х^ = max { ск — d(х, Ofc)}(xG/?n),(6.6)

OCk<h

ф(х) = max {ск + d(x, £lk)}(xGR"\(6.7)

о</с<л

где По = Rn\£V, с0 - О и ск — сужение и на Пк, и — решение (6.4). Заметим, что р, ф непрерывно по Липшицу с константой 1. Так как [ Vu | <1, легко находим, что

|q-c;|<d(fifc)Q;).(6.8)

Также

и ~ р = ф = ск в £1к,

и = р = ф = О на ЭЯ*.(6-9)

Положим j

^)= ~ / IVU |2-pfu.

яя

Тогда решение и задачи (6.4) таково, что

J(u^ = min J(и).

иек*

Поскольку и* G К* и J(u* ) <J(w), где неравенство строгое, если mes {и < то и > 0 в Я. Таким образом, в частности, ск неотрицательны.

Отметим также, что

р (х) < и (х) < ф (х) [и — решение (6.4) ],

СО} >0,

(6.10)

0<u<d(x, ЭЯ) [и - решение (6.1)].

Так что решение задачи (6.1) принадлежит множеству

К = { uGHq (Я), 0 < и < d(x, ЭЯ) п.в.}, а решение задачи (6 4) - множеству

К* = ( uGHo(n*\ рСиСф п.в.}.

(6.11)

(6.12)

(6.13)

Рассмотрим вариационные неравенства иек,

/ Vu • V (и - u)dx> д/(и - u)dx ЧиеК, яя

(6-14)

иек*,

/ 7и • V (и - u)dx > д / (и - u)dx Мсек*. яя

(6.15)

Первое есть задача с препятствием, второе — задача с двумя препятствиями.

Теорема 6.1. (i) Решение задачи (6.1) является решением задачи (6.14). (п) Решение задачи (6.4) является решением задачи (6.15).

Отметим, что в определении к* константы ск зависят от решения и задачи (6-4).

Доказательство. Достаточно доказать (ii). Поскольку К * D К*, достаточно показать, что решение и неравенства (6.15) принадлежит Л'*.

Удобно работать с вспомогательным вариационным неравенством

йек\

/ Vи - V(и - u)dx + е / u(v - и)dx >(6.16)

яя

>ult»-u^dx X/vGK\■

где е > О.

Продолжим и нулем в R” \$2*. Возьмем произвольно е е R" так, чтобы р = = | е | было достаточно малым, и рассмотрим функции

u+(x) = шах {й(х - е) — р, ц(х)},'

и" (х) = min { и(х + е) + р, и (х)}

и множества

Е* = { Щх - е) — р> й (х)} ,

Е” = { й(х + е) + р < w (х)}.

Так как и (х + е) + р> p(x + е) + р> у (х) и w (х - е) — р < ф (х), имеем

ip(x) < w" (х)< w (х) < w + (x) < |Д (х) в Я.

Поэтому и* и и- принадлежат К*. Кроме того, Е* С П, Е~ С Я, Е* = Е~ + е и почти всюду

[ Vw(x - е) в £"*",

Vw + (x) =.

I Vu(x) в 9,\Е*,

Г Vu(x + е) в Е”,'

Vu"(x)= .

■I Vw(x) в П\Е~.

Подставляя и = и + в вариационное неравенство для и , получаем

J Vu(x) • V(u(x - е) - и (х)) +

+ е J й(х)(и(х - е)-и(х)-р)>р f (и (х - е) - р - и (х)\ Е*Е*

Теперь подставим и = м- в вариационное неравенство для и и после замены х -^ -* х — е получим

$ Vu(x - е) ■ V(tZ(x) -^(х - е)) + е J и(х - е)(w(х) - 17(х - е) + р) >

Е*Е*

>р J (и(х) + р +и(х - е)).

Е*

Складывая эти два неравенства, находим, что

/ I V(m(x) -и(х - е)) I2 +

+■ е f (и(х) - и (х - е) + р) (м(х) —Те (х - е)) > 0. е*.

Так как и (х) — и (х — е) + р < 0 в Е* , mesE+ = 0. Аналогично mes Е ” = 0 и, таким образом,

I и(х - е) — и(х) I I е I.(6-17)

Вспоминая, что и зависит от е (скажем, Те = we) и устремляя е к 0, выводим такое

же неравенство, как (6.17), для решения и задачи (6.15). Следовательно, IVu I < < 1 и и G К*..

Поскольку препятствия <^, ф не принадлежат, вообще говоря, даже С1, мы не можем вывести дальнейшую регулярность и из результатов § 3 и 4.

Докажем регулярность другим методом, предполагая, что

9Q локально липшицева и удовлетворяет условию внешнего шара.(6.18)

Последнее условие означает, что существует R > 0 такое, что для любой точки х° € 3Q существует шар В с радиусом R такой, что

В О П= ф, в Cl 3Q = { х°) .

Теорема 6.2. Если (6.18) выполняется, то решение и задачи (6.4) удов

летворяет условию

Ди G Lp (Q) для всех 1 < р < °» .(619)

До к а з а т е л ь с тв о. Построим функции и€ из К*, которые аппроксимируют и и равномерно регулярны. Более точно, рассмотрим задачу

1

-△ме + we + f 1У " 1 &№lue - и) = О в П,(6 20)

и^-^еН^У(6.21)

Докажем, что для некоторого we G £P(Q) существует решение ие задачи (6.20), (6.21) и

I we • /.Р(Я) < С С не зависит от е,(6.22)

иее к*.(6.23)

Предположим, что это доказано. По лемме Минти

J Vu ■ V (и - и) > р J (и - и), $2я

и, полагая и - и€, получаем

/ Чи€ ■ V (ие - и) >р У фл, - и\■(6.24)

яя

В силу (6.22), (6.23) и (6.20) Дие G £Р(П). Так как

j' ^ие ■ Vw = — J Дие • w яя

для любого w G С” (П), то последнее соотношение верно для w G Hq ($2). Следовательно, из (6.24) получаем

- S Аие • (и, - и) >р(ие - и).

Вычитая -Дис из (6.20), имеем

1

-С р ” 1 J iue -U ^ - f W£ (tie - М) > Д / (Ue - и), $2ЯЯ

где q -■ pl (р - 1) ■ Используя (6.22), находим, что

i

/ lue - и I9 < С( f lwf - иГ5У‘ Ср”71■

я

и, таким образом.

( f 1не -u \q)4 < СЕ.(6.25)

Затем можно вывести из (6.20), что

/1Дие1р<С,(6.26)

откуда следует, что ие -■* и при е 0 и

/1Д»1Р<С'

Остается построить ug,we.

Для произвольного 0 < 6 < 1 пусть (3g (г) - функция класса С1, удовлетворяющая условиям 0$ (/) > 0, 0s (t) = 1, если t > 6, (3g (г) = -L если г < -6, ! (3g (г) I < < С/5, и пусть у — произвольное положительное число .

Нам потребуется лемма сравнения.

Лемма 6.3. Пусть 6^ - ограниченная непрерывная строго монотонно возрастающая функция, 6(0) = 0, и пусть Ft, tpt(i = 1,2) - функции из C°(Q), ut G Я1 (Q) П C(Q), fi - ограниченное открытое множество, у > 0 и

-Д»! + y0s(ut - ^) + 6 (их - Fi) < 0 в S2,

—Дн2 + 706 («2 - «а) + 5 (и2 - F2) > 0 в П.

Тогда

иг — и2 < maxlsupO^ - и2),

ап

■(6.27)

sup (Я, - F2), sup(<pi -у>2)}. яп

Доказательство. Положим и = ut — и2 и обозначим М правую часть (6.27). Пусть х° G Q,u(x°) = maxu. Если и(х°) >М,то х° G Q и п

Ut — «pt > U2 — l^, ut — Ft> и2 — F2 в х°.

Следовательно,

706 («1 - 11) > 706 (“2 - <Рг\ -

5(mi - Ft) > 6(и2 - F2)

в окрестности N точки х°. Но тогда —Ди < 0 в N, что противоречит принципу максимума.

Теперь можно взять произвольные функции <р0 е К*, F G К*, ^0 — ^ G G НЦПУ F - <р G Яо (Я) и любую ограниченную непрерывную строго монотонно возрастающую функцию б (Г) такую, что 5(0) = 0. Рассмотрим задачу: найти и такую, что

- Ду + у/36 (v — ^о) + 5 (и - F) = 0 в Q,(6-28)

v-^enUn").'■(6.29)

Отметим, что оператор Л, определенный по формуле

< Ли, w> = J [Vu ■ Vw + 70s (и - «po)w + 9 (и - F) w].

строго монотонный из выпуклого множества р + Яо(Щ пространства Я1 (Я) в двойственное к Н^^Я). Следовательно, в силу теорем 2.2 и 2.4 существует единственное решение и = и5 задачи (6.28), (6.29). Функция и6 принадлежит С°(Я) (см. задачу 1).

Пусть х° G ЬЯк, и предположим, что шар В = {Ixl < R } удовлетворяет условиям В П $2 = ф, В П ЭЛ^ = {х°} . Для произвольных w G К*, w — р G Но(Я), имеем

| w (х) - ск | < inf | х - у | < | х | - R, у е а як

так как w=ck на dfl^ и | V w | < 1. Полагая

5+ (х) = 1 х | - R + с к + 6,

получаем 5* — w > 6 и, в частности,

6 (5+-Г) > 6 (6)> О,

70б(6*-1о) > 70s (6) = 7-

Так как также

-Д 6* > -С, С зависит от R и diam (Л),

приходим после подходящего выбора 7 > Ск неравенству

— Д6* + 7(3$ (6* - i^o) + 9 (6* — F) "> 0.

Для вывода неравенства и& <8* в Я теперь можно применить лемму 6-3. Следовательно, если х G Я, х° G д Як, то

и& (х) — ug (х°) < | х | - |х° | + 6 < |х - х° | + 6.

Аналогично (с 8~(х) = — |х | +R + Ск —6)

ug (х) - и5 (х°) > - |.х - х° | - 5.

Таким образом,

| ug (х) - Ug (х°) | < | х - х° | + 6 (х G Я, х° G ЭЛ).(6.30)

Для произвольного е & Rn такого, что | е | = р мало, введем открытое множество

Я' ={х G Я, х + е G Я}.

Функция ug(x) = Ug(x + е) удовлетворяет уравнению

-Ди$ + -ур6(уб - р^* 6 (и1 -F') = 0 в Я',

где <ро (х) = р0 (х + е), Р'Хх) = F (х + е). Можно сравнить Ug с и5' в Я', используя лемму 6.3. Ввиду (6.30) имеем

^Р, I и5 - Ug I < Р + 5. an

Так как также | V ро | < 1, | V F | < 1, получаем по лемме 6.3

sup | ug - и5' | < p + 6.(6.31)

W =

/1М\Р 1 t / 1sgn t,

\ е /

6e(t),если | Г | < С,

~t-C

5(0 =

0е((7) + , если t > С,

~t^C

0_(—С) + , если t < —С,

.t

1

Теперь возьмемТеперь возьмемгде С > 2 diam Л. Ввиду (6.30)

Теперь возьмем

Теперь возьмем

0(иб(х)-^) = 0е(Д6(х) - F), если F G К*.

Полагая F = и, для соответствующих и& имеем

- Д us + 7^6 (и5 - ^о) + ^(и6 - и) = 0.

Ввиду (6.31) можно взять последовательность {5} такую, что и& -*ие равномерно в Q при 5 "*0, .

70s(»б -фо) ~* we *-слабо bZ”(£2).

Тогда, очевидно, ие есть решение (6.20). Кроме того,

lwe lL”(n) < С

и в силу (6.31)

■|ие(х)-ие(_и) I < lx -у I, ■

что означает | V ue | < 1. Таким образом, ue G К*. Это завершает доказательство теоремы 6.2.

Задачи

Показать, что решение задачи (6.28), (6.29) непрерывно.

[Указание. Для Omt Л, ЭПт достаточно гладкие, ^ т~*Ф, Фт гладкие, решения ит *-слабо сходятся в £(~с (Л) к и; используйте барьеры.]

Вычислить явно решение вариационного неравенства (6.1) в случае, когда Q - шар{| х | <R).

То же самое для задачи (6.4) в случае, когда Я — кольцо { р < | х | < /?}.

При и = 2 в задаче 2 вычислить х и3 (6.3) и вектор перемещения в задаче упруго-пластического кручения.

Рассмотреть вариационное неравенство с двумя препятствиями (6.15), (6.13). Доказать следующий результат (аналог задата 5 из § 3) о локальной W2,p-perynflp- ности. Пусть О 0 С П j С О, Q t открыто, О 0 С П i U Г,, Q i С ft U Г21 где Г) — открытые подмножества ЭПи П С Г2. Предположим, что Г2 G С2 + “ и ф, ф£ G И'2,р(П1), 1 < р < оо. Тогда и G И'2,Р(ПО).

§ 7. Задача упруго-пластического кручения.

^“’-регулярность

Тео рема 7.1. Решение и задачи (6.4), (6.5) принадлежит И'2,“ в любом компактном подмножестве области П,и

где С - константа.

Отметим, что никаких предположений о регулярности 9S2 не делается.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай

(7.2)(7.2)| Ci - Cj | < d (Ц., Ц), ЭП G С2 + “

(7.2)

(7.2)

где с, — постоянные значения и в областях П, и с0 =0. Тогда препятствия ^, ^удовлетворяют неравенству ^(х) < ^(х) в Q ; напомним, что ^(х) = i^(x) = Cj в £2,. Введем е-усреднения

^(х) = (Je^)(^), ^(х) = (J£i//)(x) (xG/?")_

Если pc - pE + 8t, где 4e < 8e < 5e, to

{ x G Г2; d (x, 9Q) > 4e} C { x G Q; ^(x) < i//e(x)} C

(73)(73)C {x G Q;d(x, 9£2) > e).'

(73)

(73)

Кроме того, что по лемме Сарда можно выбрать 8е так, что 9 {<ре < i//c} G С”. Легко видеть, что

(7.4)(7.4)|V^e I < 1. I ^ФЕ | < 1 В R".

(7.4)

(7.4)

Пусть De = {х G Q; pE (x) < фЕ (x)} , и обозначим uE решение вариационного неравенства (6.15), (6.13) с рЕ, фЕ,ВЕ вместо р, ф, £2* соответственно. Положим

Л^ ={х G De; рЕ(х) < uc(x) < i//e(x)},

А, ={х G ВЕ; uf(x) =i2>eW},

Л2 = {х G ВЕ; ue(x) = l^e^)}.

Так как ре, фЕ — функции из С”, иЕ G W1,P(BE^ для любого р< °° (§ 3, задача 2) и, таким образом, Ne - открытое множество и А,- — замкнутые множества. Отметим, что в силу (7.4)

|Vue|<l на ЭД.(7.5)

Для произвольного направления £ функции ие^ гармоническая в Ne и

ре.^ < 1 на dNe Ci Ai,

фед < 1 на । dN€ Г) Л2.

Вспоминая также (75) и применяя принцип максимума, получаем ме ^ < 1 в Ne. Так как £ произвольно,то

(7-6)(7-6)IV ме | < 1 в Ne.

(7-6)

(7-6)

Заметим, что в De препятствия рЕ, фЕ никогда не равны. Следовательно, локально поведение свободных границ Ft = 9Af (Т De такое же, как в случае задачи с одним препятствием. Далее нам потребуется один результат о таких свободных границах.

Лемма 7.2.

Если у G Ne,y-*x G Fj, то lim inf (ue - чЛ ^ > 0.

Если у G NE, у ** x G F^, to lim inf (^e - ис)^ > 0.

Примем lim inf равномерен no x G F{ П <2' для любого замкнутого подмножества £2' GDE. Лемма содержится в теореме 3.6 из гл. 2.

Будем использовать обозначение d (х) = d (х, Э £2).

Лемма 13. Для любого направления £

” ад^ ■<77)

'<7‘8)

для всех хЕ 12 таких, что <2 (х) > е.

Доказательство. Пусть х° G $2. Тогда

l(x°) = max { с, -d (х°, Э£2,)} = с, - d(x°, ЙП,) = с; - |х° -у0 |

для некоторых/ и у0 G 9S2,, где I х° -у0 | = d (х°, Й53,) = d (х° ). Положим

(х) = с, - |х - х° |.

Тогда

Ф (х) > с, - d (х, ЭЦ) > Cj- | х - у0 | = у (х)

и ^(х0) = 7(х°). Из этого следует, что для любого единичного вектора е и для произвольного 0 < И < | х° - у0 | разностные отношения второго порядка

. 2 г Оч - ^° +/i<?) + ^(х° -^)-2^(Х°)

^h.e^(x ) =—2

И

не меньше, чем Дй2,е7(х°). В силу теоремы о среднем

^h.e^h.e7 (х°) >7 (х°) >1^(х) ’1^(х) ’

^h.e

^h.e

7 (х°) >

7 (х°) >

1

^(х) ’

1

^(х) ’

где х лежит в интервале (х° — he, х° + he}. Поэтому

Че^х0>>>Че^х0>>>1d<xb}-h ‘1d<xb}-h ‘

Че^х0>>>

Че^х0>>>

1

d<xb}-h ‘

1

d<xb}-h ‘

Так как это верно для всех х° G S2 таких, что d (х°) > h, имеем также

Д^е^>е(х) >Д^е^>е(х) >1d(x) - h — е ’1d(x) - h — е ’

Д^е^>е(х) >

Д^е^>е(х) >

1

d(x) - h — е ’

1

d(x) - h — е ’

если d(x} > h + е. Полагая h -> 0, получаем (7.7). Доказательство (7.8) аналогично.

(7.9)(7.9)Лемма 7.4. Для любого направления ?

(7.9)

(7.9)

I «е,«М I < С( р + —

\ d (х) -е /

при почти всех xGDe,C - константа.

Доказательство. Так как ие G W2,p, то для любого направления р

^е,ЛЛ ^,ЛЛ П.В. В Л, .

В De -окрестности Л, имеем иЕ < фЕ, поэтому

—Дие > д п.в. в Л,.

(7.10)

(7.П)

Диях GA, из (7.7), (7.10), (7.Н) получаем

1

d (х) - е

= Д ие(х) —

и

< ^е, « (*) = иеЛ6 =

и1и - 1

, ?! Ue-r4rli ^ ^^~,?! ^e-Tlir4^ ^

где £ и т], образуют ортогональную систему. Таким образом,

— < иЕ,„(х) < -ц + ——п-в.вЛ,.(7.12)

d (х) - еd (х) - е

Аналогично-

и - 11

-и - С и^.« (х) С п'в- в Л2‘^7ЛЗ)

d (х) - еd (х) - е

Для оценки иЕ,^ соответствующем подмножестве Ne применим принцип максимума. Но сначала требуется оценить эту функцию вблизи свободной границы. Для этого рассмотрим случай х G F,. По леммам 7.2 (1) и 7.3

1

lim inf иЕ,^ (у) > <pe66 (х) > - —.

у & ned (х) - e

у -* х

Эти неравенства верны также для всех направлений р,- (1 </Си — 1) таких, которые образуют с ? ортогональную систему. Таким образом,

/1 А

lim inf/ue>n (у) + — > 0.

\d (х) - е /

Так как (р„ = ^ )

lim sup

" /1 '

2 ( ие,п^1(у) + — = i\d (х) - е

и \и

^ие (У) + — ) = -М + —

,d (х) - е /d (х) - е

получаем

1

- — < lim inf “e,» (У) <

d (x) - e у e Ne

У — x

(7.14)(7.14)И

(7.14)

(7.14)

< lim sup u€,u (У) < -Д + j-t у e Ned (x) - e

если xGFb где lim inf, lim sup равномерны по x. Аналогично n — 1

-M - —— < lim inf u£s6t(y) <,

d (x) — e у e n£ у X

1

< lim sup uE,»M < T7T>(7-15)

уемЕd (x) —e

y-*x

если x G F2.

Далее, установим, что

I “e.u W I < д + -),(7.16)

\ Р/

если x G Ne, d(x, dZ)6) = p, для любого-фиксированного достаточно малого р при условии, что е < р/8. Отметим, что

dist(B2p/3(x), Э£>Е)>е + р/12.

Пусть х° G М6ъ d(x°, dD6") = р, и рассмотрим функцию иЕ (у) = ие(х° + ру) в Bi, гдеBR ={у; |у | < R}. ВыберемоС С* (В^) так, что о= 1 иВ^з-

Вейлу (7.12), (7.13)

|AMe|<cfp+-)(7.17)

\ р/

п.в. в Aj U Л2 О {х; |х - х° | < 2р/3}. Поскольку Ди6 = -ц в Ne, (7.17) верно

также п.в. в {| х - х° I < 2р/3). Вспоминая (7.6), получаем

I Д(иео)| <С( ц + — )р2 в В2/3. \ Р/

Из эллиптических Ьр-оценок тогда следует, что

|uefflw2-P(B1/2)<C^+-^P

для любого р < 00, в частности

Далее, распространим эту оценку до р = °°. Для этого введем функцию т G G С” (В]/з), т = 1 иВ1/4, и открытое множество

Ne,p ={у; х° +pyGNey

(7.19)(7.20)(7.19)(7.20)-7 л I У I-7 л I У Iесли п>3,если п>3,*V)=)11— — In —*V)=)11— — In —если п = 2если п = 2

(7.19)

(7.20)

(7.19)

(7.20)

-7 л I У I

-7 л I У I

если п>3,

если п>3,

*V)=)11

— — In —

*V)=)11

— — In —

если п = 2

если п = 2

Имеем ^й6 = -црг в Л^р. Используя (7.18), находим

^«еТ)у1У{-—- .

где

Обозначим И(у) фундаментальное решение -Д, т.е.

'_Г(и/2)

7” " 2(п — 2)л"/2

Тогда функция

, av(y-z)

g(y) = 4 гh^dz

Ne,p dZj

удовлетворяет уравнению dh

kg =в М£-Р

d.v;

в смысле распределений. Ввиду (7.20)

Функция (иетУ,.у. - g тогда будет гармонической в N£iP П S1/4, и в силу принципа максимума, а также (7.12)—(7.15), (7.21) находим

^ие,У{, yjtx )1^С^Д+ р/ *‘

что дает (7.16).

Таким образом, мы завершили оценку ие>^ на границе открытого множества Ne C\{d(x, aD6 > р} ввиду (7.14)-(7.16). Применяя принцип максимума, получаем / 1 \

I “e,U КЦ д+- ) ’\ Р /

в этом открытом множестве. Утверждение (7.9) следует из (7.12), (7.13).

Теперь можно закончить доказательство теоремы 7.1. Сначала возьмем е -> 0 и заметим, что ip£ -*ip, фе г* ^ равномерно и ие -*и равномерно; и — решение задачи (6.4), (6.5); см. задачу 4. Чтобы устранить первое ограничение в (7.2), аппроксимируем с,- посредством Ос,-, 0 < 0 < 1, и затем положим 9 -* 1. Для устранения второго ограничения в (7.2) аппроксимируем О областями Пт D £2 с гладкими границами — класса С” ; см. задачу 5.

Определение 7.1. Пусть и — решение задачи (6.4), (6.5). Множества .

£ = {| ?м(х)|<1}ПП, Р = {| Vu(x)|= 1} ПП

называются соответственно множествами упругости и пластичности.

Задачи

Пусть Р* = {и = </?} ПД

P"=U = ^nn, Е =^>р<и<ф\OSI.

Показать, что Р = Р* U Р", Е=Е.

[Указание. Если и(х°) = у?(х°) = Су - d(x°, df2y) = с; - |х° -у0 ],у° Е Е ЭПу, то u£ = </?g = -1 вдоль отрезка х°у°. Обратно, если и^ (х°) = 1 и у?(х°) < < и(х°) < Ф(х°), то применить принцип максимума к и$ в компоненте No множества N, содержащей х°, и вывести, что м£ = 1 в Л^.]

Если х° Е Р и и(х°) = у?(х°) = с, - d(x°, dfiy) = С; — |х° -у0 |,у° Е ЭОу, то весь отрезок х°у° — множество пластичности. /

[Указание. Функция w(x) = u(x) — (су - d(x, dfiy)) удовлетворяет неравенству bwfbl < 0 вдоль х°у° (I — направление от х° к у0) и w(x°) = w(y°) = О, следовательно, w = 0 вдоль х°у°.]

Пусть Q — односвязная область в R1 с границей локально класса С3+о'; обозначим Кь .... Ку углы ЭЮ, т.е. точки пересечения С3+“-кривых, образующих Эй. Показать, что решение (6.1), (6.2) принадлежит MZ’“(Q0) для любой подобласти й0 такой, что й0 Сй \ { Ку,. . ., И, } .

[Указание. Ввиду результатов [109, р 382] d(x, Эй) - класса С3+“. Использовать теорему 7.1 и задачу 1 из § 4.]

Доказать, что и = lim ие есть решение (6.4), (6.5); Эй предполагается клас- 0

саС3+а.~

[Указание. Рассмотреть сначала пробные функции и, р Си< ф, такие, что и = ф в 6-окрестности ЭЙ, и затем аппроксимируйте и такими функциями и, замечая, что и Е С1 (й) ввиду задачи 2 из § 3.]

Если ит — решения, соответствующие £1т и йт I й, то ит -*и п.в.

[Указание. Если и принадлежит К* и должным образом продолжается вне й, то J(u) < lim inf Jm (um), Jm(um) < Jm(v) = Ди). ]

771 -* 00

Параболические вариационные неравенства

Пусть й — ограниченная область в R" и Qt = й Х(0< К Г). Будем говорить, что оператор ut + Аи, где

_ ”Э2и”Эи

Аи =-Ъ ан(х, t) + 5 bi(x, t) +с(х, t)u

.j=lЭХудХу1=1Эху

с коэффициентами, определенными в Qt, параболического типа в точке (х, f), если

где dpQj = Э£2 X (О, Т) U О X {0} — параболическая граница QT. Шауде- ровские оценки, установленные в § 3, имеют параболические аналоги. В определении константы Гёльдера возьмем

|и(х, 0-и(х', Г')|

Я„(и) = sup ;—; ,

где.

d^x, А. (х'. г')) = | х - х' | + 1t - t* I1 /2

- параболическое расстояние. Определение ||ы |]„ для и = и (х, t), заданной в QT, тогда аналогично определению, данному выше для функций и(х) в £2. Далее, положим

II U lh+a = II и ||о + || Dxu Цо + II Dxu ||а + II D^u ||„ + Н^афхи)т где

„гI v(x, О-v^x, г')I

Н! +а (У) = sup•

Шаудеровские граничные оценки утверждают:

11и|12+а<С(11Л1а Ли11о +UII2^(8 3)

где предполагается, что имеет место (8.1),

S||a</||a+S||6z||a+||c||a</r,(8.4)

h9Q класса С2+“, константа С зависит лишь от X, К и Qt-

Внутренние шаудеровские оценки также справедливы для параболических операторов. Подробности см. в [94а и 130].■

Для параболических операторов можно установить также АР-оценки. Здесь предполагается дополнительно к (8.1) (для всех х Е Qr), что ац, Ьь с — измеримые функции, удовлетворяющие неравенствам

S I atj(.x, t) — ац(х, t') | < w(| x - x' | + | Г - t* |),

w(X) I 0, если X I 0,(8.5)

SI bt(x, 0 1 + |c(x, Z)| <K,

и 9Q класса С1. Тогда решение (8.2) удовлетворяет неравенству

/ [I u |₽ + | £)^ц |₽ + | £>^.ы |₽ + | £>fu |₽]с/х с7г<.

Qt

<C J \f\pdxdt + C f [\g\p+\Dxg\p + \D2xg\p+\D2g\p]dxdt (8.6) QtQt

для всех p> 1, р=ЛЗ/2. Доказательства см. в [164] или [88].

Для произвольной точки Р° = (х°, t°) из QT обозначим С(Р°) множество всех точек Р Е QT, которые можно соединить с Р° непрерывной кривой х = x(s), t = = t^ (0 <$ <s°), содержащейся в QT) так что Г($) возрастает по $, следуя по кривой отР кР°.

Строгий принцип максимума. Предположим, что А + Э /Э Г параболический в QT и с(х, г) > 0. Пусть и — функция, определенная в QT такая, что Dxu, Dtu, Dxu непрерывны в QT и

Аи + — < 0 в QT. Э?

Тогда для любой точки Р° G Qr, если

и (Р°) = sup и > 0,

С(Р°)

то д = const в С(Р°). Этот результат справедлив также, если Р° G Л X {7} при условии, что и непрерывна в Qt и,П X {Г}.

Другой вариант принципа максимума утверждает, что если м принимает неотрицательный максимум в QT в граничной точке Р° Е йИ X (0, Т], и если д < д (Р0) в некоторой 07-окрестности Р°, то

Эд„

> 0 в Р°

Эд

для любого внешнего (относительно Q) направления ц в Р°. Здесь предполагает-

,-„ Эд

ся, что и принадлежит С в Су-окрестности Р (иначе берется как lim inf ко-

Эд

нечных разностей) и имеется шар ДСП такой, что Р° Е ЙВ.

Существование единственного решения (8.2) может быть установлено на основе либо шаудеровских оценок, либо £р-оценок. Первый подход (с шаудеровскими граничными оценками) требует большей гладкости данных, именно: чтобы выполнялось (8.4), ЭЛ была класса С2+а, правая часть (8.3) была ограниченной и выполнялось условие согласования

gt+Ag=f на ЭПХ{0}.

Решение тогда регулярно; именно: Dxu, D^u и Dtu непрерывны по Гёльдеру в QT. При использовании внутренних шаудеровских оценок требуется лишь, чтобы ЭЛ удовлетворяла условию внешнего шара и g была непрерывной на bpQT. Тогда Dxu, D^u, Dtu непрерывны по Гёльдеру в QT (см. [94а]).

Второй подход требует меньшей гладкости данных, но производные Dxu, Dxu, Dtu берутся только как слабые производные в Lp.

Если Чхац существует и ограничен, то можно ассоциировать с оператором А билинейную форму

zЭд Эд ~ Эд \

я(Т, м, и) = /( 2 «у+ T.btи + cuv )dx,(8.7)

я \ Эх, ЭхуЭх,- /

где bi = bt + S .

ЙХу

Положим (и, w) = /uwdx. Тогда первая начально-краевая задача может быть я

переформулирована в слабой постановке:

(дt) и - д) + a^t; и, и - u) = (f, и - и) для п.в. Г Е (0, 7),

VuG^Ver),(8-8)

v=g на Ърйт-

Преобразование й = е kt и отображает ut+Au=f в

ut + (А + к)и = e~ktf

и а(Г; и, и) в

a(t; u,v) = a(t; и, и) + к(й, и).

Если к достаточно большое, то а коэрцитивна. Без потери общности можем предполагать, что

aVt\ u,m)>Xo/(IVu |2 + u2)dx (XQ>0\(8.9)

Такие преобразования могут использоваться также в вариационных задачах, обсуждаемых далее, поэтому всегда можем предположить (если Vxatj Е £°°), что выполняется (8.9) и с(х, t) > 0.

Пусть К — какое-нибудь замкнутое выпуклое подмножество H^Qt). Рассмотрим следующую задачу: найти и такую, что

uGK,

(ut, и - u) + a(t; и, и - и) > ( Г и - и)

(8.10)

V vGK для п.в. ТЕ(0, ТУ ■

Эта задача называется параболическим вариационным неравенством. Мы будем изучать здесь только один вид вариационного неравенства, который сейчас опишем.

Пусть р^х, t) — функция, определенная в 2т с равномерно непрерывными производными Dxp, Dtp, D^/p; р <£ на ^pQT. Рассмотрим выпуклое множество

X' = {ue№(2T)u = g на dpQr, и>р п.в.},(8.11)

где равенство и = g на dpQT понимается, как обычно, в смысле следов. Вариационное неравенство (8.10) с К вида (8.11) называется параболической задачей с препятствием, ар — препятствием.

Единственность и устойчивость решений параболических вариационных неравенств (8.10) с К общего вида легко следуют из условия коэрцитивности (8.9), как и в § 2.

Для доказательства существования в задаче с препятствием используем метод штрафа. Вводя функцию ^е (Г) как в (3.12), § 3, рассмотрим задачу

ut + Аи +(Зе(и - p)=f в QT,

u=g на Эр2г-(8-12)

Предположим, что

.1), (8.4) выполнены, с>0, ЭЮЕС2+'\

/, 8. Dxg, Dxg, Dtg принадлежат С“(2Г).(8.13)

Лемма 8.1. Если выполнены условия (8.13), то существует решение и = и€ задачи (8.12) и

\Мие-р)\<С,(8.14)

где С не зависит от е..

Доказательство использует такие же аргументы, как в § 3, и оставляется читателю.

Теперь можно использовать параболические £р-оценки, чтобы вывести, что и6 -* и равномерно в Qt и и — решение (8.10). Более точно, и удовлетворяет задачеТеперь можно использовать параболические £р-оценки, чтобы вывести, что и6 -* и равномерно в Qt и и — решение (8.10). Более точно, и удовлетворяет задачеut + Au >fи>хр(ut + Au- f^Vu - у?) = 0ut + Au >fи>хр(ut + Au- f^Vu - у?) = 0u=g на dpQT.u=g на dpQT.п.в. в QT,п.в. в QT,(8.15)(8.15)Единственность следует из коэрцитивности, если предположитьЕдинственность следует из коэрцитивности, если предположитьI Dxatj I <сI Dxatj I <с(8.16)(8.16)(так что a^t, и, и) можно было определить). Резюмируем:Теорема 8.2. Если выполнены (8.13), (8/16), то существует единственное решение задачи с препятствием (8.10), (8.11) и(так что a^t, и, и) можно было определить). Резюмируем:Теорема 8.2. Если выполнены (8.13), (8/16), то существует единственное решение задачи с препятствием (8.10), (8.11) иDxu, D^u, Dtu принадлежат Lp(Q-r) VI <р <°°.Dxu, D^u, Dtu принадлежат Lp(Q-r) VI <р <°°.(8.17)(8.17)Отметим, что (8.17) означает, что и непрерывна по Гёльдеру по х и t с любым показателем /3 > 1. Мы опишем другой подход к изучению задачи со штрафом, который обеспечивает более высокую регулярность. Для простоты допустим, чтоОтметим, что (8.17) означает, что и непрерывна по Гёльдеру по х и t с любым показателем /3 > 1. Мы опишем другой подход к изучению задачи со штрафом, который обеспечивает более высокую регулярность. Для простоты допустим, чтоatj, bj, с, ф не зависят от t, ft ограничена, g = 0.atj, bj, с, ф не зависят от t, ft ограничена, g = 0.(8.18)(8.18)Заметим, чтоЭйие ,/ ЭмЕ\2~^<Ue - У>) ~ = 0e(Ue - У>)( — J > 0 П.В. atot\ ot /Заметим, чтоЭйие ,/ ЭмЕ\2~^<Ue - У>) ~ = 0e(Ue - У>)( — J > 0 П.В. atot\ ot /(8.19)(8.19)Полагая ие = и, дифференцируя уравнение в (8.12) по t, а затем умножая на (Эм/Э?)2*-1 (к — положительное число) и интегрируя по £2, в силу (8.19) получимПолагая ие = и, дифференцируя уравнение в (8.12) по t, а затем умножая на (Эм/Э?)2*-1 (к — положительное число) и интегрируя по £2, в силу (8.19) получим2k —12k '2k —12k 'f ftf ftdxdx(8.20)(8.20)

Теперь можно использовать параболические £р-оценки, чтобы вывести, что и6 -* и равномерно в Qt и и — решение (8.10). Более точно, и удовлетворяет задаче

Теперь можно использовать параболические £р-оценки, чтобы вывести, что и6 -* и равномерно в Qt и и — решение (8.10). Более точно, и удовлетворяет задаче

ut + Au >f

и>хр

(ut + Au- f^Vu - у?) = 0

ut + Au >f

и>хр

(ut + Au- f^Vu - у?) = 0

u=g на dpQT.

u=g на dpQT.

п.в. в QT,

п.в. в QT,

(8.15)

(8.15)

Единственность следует из коэрцитивности, если предположить

Единственность следует из коэрцитивности, если предположить

I Dxatj I <с

I Dxatj I <с

(8.16)

(8.16)

(так что a^t, и, и) можно было определить). Резюмируем:

Теорема 8.2. Если выполнены (8.13), (8/16), то существует единственное решение задачи с препятствием (8.10), (8.11) и

(так что a^t, и, и) можно было определить). Резюмируем:

Теорема 8.2. Если выполнены (8.13), (8/16), то существует единственное решение задачи с препятствием (8.10), (8.11) и

Dxu, D^u, Dtu принадлежат Lp(Q-r) VI <р <°°.

Dxu, D^u, Dtu принадлежат Lp(Q-r) VI <р <°°.

(8.17)

(8.17)

Отметим, что (8.17) означает, что и непрерывна по Гёльдеру по х и t с любым показателем /3 > 1. Мы опишем другой подход к изучению задачи со штрафом, который обеспечивает более высокую регулярность. Для простоты допустим, что

Отметим, что (8.17) означает, что и непрерывна по Гёльдеру по х и t с любым показателем /3 > 1. Мы опишем другой подход к изучению задачи со штрафом, который обеспечивает более высокую регулярность. Для простоты допустим, что

atj, bj, с, ф не зависят от t, ft ограничена, g = 0.

atj, bj, с, ф не зависят от t, ft ограничена, g = 0.

(8.18)

(8.18)

Заметим, что

Эйие ,/ ЭмЕ\2

~^<Ue - У>) ~ = 0e(Ue - У>)( — J > 0 П.В. atot\ ot /

Заметим, что

Эйие ,/ ЭмЕ\2

~^<Ue - У>) ~ = 0e(Ue - У>)( — J > 0 П.В. atot\ ot /

(8.19)

(8.19)

Полагая ие = и, дифференцируя уравнение в (8.12) по t, а затем умножая на (Эм/Э?)2*-1 (к — положительное число) и интегрируя по £2, в силу (8.19) получим

Полагая ие = и, дифференцируя уравнение в (8.12) по t, а затем умножая на (Эм/Э?)2*-1 (к — положительное число) и интегрируя по £2, в силу (8.19) получим

2k —1

2k '

2k —1

2k '

f ft

f ft

dx

dx

(8.20)

(8.20)

мы предположили (временно), что для п.в. t

(8.21)(8.21)-- е ЬЧП).

(8.21)

(8.21)

Используя (8.9), находим, что второй член в левой части (8.20) ограничен снизу величиной

Поэтому функция

(Йи \2кф(')=Д — ) dxп\ dt /

удовлетворяет неравенству

2fc —1

(8.22)(8.22)Ф'+7Ф<СФ 2к <7Ф/2+С]

(8.22)

(8.22)

для некоторых 7>0, С>0, Ci>0, которое дает (так как Ф(0) С (7) .

(8.23)

Из этого и леммы 8.1 получаем (для и = ие)

J\Au\pdx^C Vl<p<”.(8.24)

я

Предположение (8.21) не нужно, если брать конечные разности (8.12) относительно t и умножать на (Д^м)2*-1, где Д^ц — конечно-разностное отношение и относительно t.

Теперь можно обратиться к £р-оценкам и заключить, что для п.в. t € (О, Т)

/ [| Dxи |р + | D2xu |р + \Dtu |р ]Лс < С.(8.25)

я

Полагая е -* О, получаем такое же неравенство для решения вариационного неравенства. Таким образом, справедлива

Теорема 8.3. Пусть выполнены (8.13), (8.16) и (8.18). Тогда решение вариационного неравенства (8.15) удовлетворяет (8.25).

Следовательно, для п.в. t производная Dxu(x, t) непрерывна по Гёльдеру с показателем/3 < 1.

Изложенное доказательство (8.25) подходит также для переменных коэффициентов оператора А и vp, g, зависящих от t (более точно, если имеет место (8.13), если ipt, Dx>p,Dxip принадлежат C(QT) и если

а^, ^хОц, bi, с и их первые производные по t ограничены;

^tt, Stt ограничены,(8.26)

то оценка (8.25) верна; подробности см. в [94g].

Далее, опишем кратко И/2’“-оценку. Для простоты возьмем Дм = —Дн. Введем фундаментальное решение п

К(х, t) = (4тгг) 2 ехр(-1 х |2 /4г)с

Если g (х, t) непрерывна по Гёльдеру в QT, то (см. [94а]) функция г ,•

w(x, t) = J $ К(х -у, t-т) g(y, T)dy dr о я

есть решение wt—^w=g в QT.(8.27)

Кроме того, ^V^q-tV^^iAq-tY если Р>1+и/2- "(8-28)

Используя этот факт, можно повторить доказательство теоремы 4.1 с заменой лем-

мы 4.2 на (8.27), (8.28). Получим,что

u^(x,t)^-C.

в любом компактном подмножестве QT (и = «е).

Далее, дифференцируя уравнение со штрафом по t, имеем

(ut\ - Aut + ffe(u->p)(ut- »t) = О (у = феу

Рассуждая, как и выше, выведем оценку

±uf > -С в компактных подмножествах. (

Так как | Зе I < С, то

ut - Д и < С

и мы получаем, как и раньше, и^ <С. Таким образом, доказана

Т е о р е м а 8.4. Если в теореме 8.2 ay = by, bt = 0, с = 0 и препятствие ф такое, что

Ф липшицево по х и t,

Ф^ ^ ^ —С в ЗУ (Qr) для любого направления l,Qr — окрестность Qt , где С - константа, то решение и вариационного неравенства (8.15) удовлетворяет условию: ■

Dxu, Dx и, Dtu принадлежат E"oc(Qt\

Этот результат распространяется также на случай оператора А с переменными коэффициентами.'

Задачи

Доказать лемму 8.1.

Завершить доказательство теоремы 8.2.

Восполнить детали в доказательстве (8.23).

Доказать (8.28).•

Доказать теорему сравнения: е^ли и - решение (8.10), (8.11) и если и - решение аналогичной задачи с f, g, $, то / > f,g'^g,p'^<p влечет и > и.

Предположим, что ns. в Qr,t =br х (о, У)

П.В. В Qr, т — ^R X (0, У),П.В. В Qr, т — ^R X (0, У),ut - Д и > f и > 0,

П.В. В Qr, т — ^R X (0, У),

П.В. В Qr, т — ^R X (0, У),

(ut - Д и - Ли = 0, ■

где f <-Ч,и <М (7,М положительные) и и G С( Qr^t)- Показать, что если 0Д2 > > 2nMh, (1 —0) Т > М/ч для некоторого 0 < 0 < 1, то и (0, У) = 0.

[Указание. См. задачу 3 из § 1.]

Рассмотрим вариационное неравенство в Rn X (0, Г)

(8.29)(8.29)и > 0; (ut - Д и) (и - и) > ftp-и) п.в. Vu > 0, и (х, 0) = и0(х),

(8.29)

(8.29)

где и0 > О,ио G L1 и f, ft е L” . С помощью задачи со штрафом получить существование решения ue R (х, t) в { | х I < R, t < У), обращающегося в нуль на {| х | = = R ) и положить е -*0, R -**> для доказательства существования решения и (8.29),

удовлетворяющего условиям

ut, Dxu, Dxu € Lp в компактных подмножествах Rn X (О, T),

м (х, f) - f К (х - у, t) м0 ( v) dy -* 0, если г -* О

Rn‘

где К - фундаментальное решение и

I ut - Дм | < С, если м0 G L~.

Если в задаче 7 /< -у (у > 0), то существует Го < 00, зависящее от м0 и v такое, что если Т > То, то и (х, t) = 0 при t > То.

[У к а з а н и е. Сравнить с М- г.]

Если в задаче 8 м0 имеет компактный носитель, го и (х, t) = 0 при | х | > Ro для некоторого 7?0 < °°.

[У к а з а н и е. Сравнить с д (Ло -г)2]

Если в задаче 8 м0 (х, t) -* 0 при | х | -*°°, то и (х, г) = 0 для каждого t > 0 при | х | > R (г), R (/) < 00.

[Указание. Если м (х0, to) > 0>то рассмотрите

в {м > 0, | х — х0 I < R, t < t0); v принимает положительный максимум на параболической границе.]

Пусть 5 (г) ■- носитель t -* и (х, г), и предположим, что /, и0 такие же, как в задаче 7, /< -м < 0, S (0) = supp м0 ограничен и м0 G L” . Доказать, что

S (Г) С S + В (Со V11 In t1) для всех малых г,

где Д(р) ={| х | < р},С0 >0.

[У к а з а н и е.Еслим (х0, г0) > 0, то рассмотрите функцию U= и-с | х-х0|2 в

G = ( dist (х, S (0)) > е, t < t0, и (х, г) > 0 } ,

Uпринимает положительный максимум на границе G в (х*, t*). Кроме того,

м(х*, r‘) < JK(x* -у, t*)u0(y)dy + Ct*. ]

Если в задаче 11 /> -v0 > 0 и м0 > 0 > 0 на S (0), то S (г) D 5 + В (с0 т/Т[1п г Г) ДЛЯ всех малых t.

при некотором с0 > 0.

[Указание, и > 0 J К(х - у, t)dy - vot.]

§ 9. Задача Стефана

В этом параграфе мы рассмотрим задачу о плавлении твердого вещества и сведем ее к параболическому вариационному неравенству. Затем мы опишем некоторые специальные свойства решения.

Пусть G - ограниченная область в R", граница которой состоит из двух С2+“-гиперповерхностей Го и Г1 таких, что Го лежит внутри Г1 и ограничивает односвязную область Go (рис. 2). Пусть Br ={| х | < Я) — шар, содержащий G и £2 = Br \ Go, Qt = = £2 X (0, Т). Предположим, что вначале область G заполнена водой, a Rn\(G О Go) -

льдом при температуре 0°С. Обозначим 9 = 9(х, t) температуру воды. Нам заданы начальная температура

О (х, 0) = h (х) на G X { 0} и температура вдоль границы Го для всех t

9(х, t) = g(x, Г) на Го X [0, °°).

(9.1)(9.2)(9.1)(9.2)Предполагается, что h, g положительны. Следовательно, лед начнет таять и область N(t), занятая водой, будет расширяться. Часть dN(t), граничащая со льдом,

(9.1)

(9.2)

(9.1)

(9.2)

называется свободной границей. Предположим, что свободная граница задана уравнением s(x) — t = 0 (при s(x) > t в области льда). Тогда вдоль свободной границы

(9-3)(9.4)(9-3)(9.4)9 = 0 (непрерывность температуры), ^хв^х 5 = —к (сохранение энергии), где к — положительная константа. Наконец,

(9-3)

(9.4)

(9-3)

(9.4)

9t - ДО = 0 в области (9 > 0} .

Задача нахождения решения 9, s в (9.1), - (9.4) называется (классической') однофазной задачей Стефана. Преобразуем задачу в вариационное неравенство для и, где и определяется следующим образом:

г

/ 9 (х, т) d т, при х G П \ G, t> s (х), s(.x)

и (х, t) =и (х, t) =0, если xG n\G, t < s(x).

и (х, t) =

и (х, t) =

J 9 (x, t) d t, если x G G. . о

Для x G £2 \G, t> s(x) имеем

uXi (x, t) = f 9x.(x, T)dr- sx.(x) 9 (x, s (x)) =

= / 9х^х,т)йт,

uxix^x, t) = f 9XjX. (X, t) dr - sXj(x) 9Xj (x, s (x)).

$00

Следовательно,

tt

Ди (x,t) = J ДО (x, T)dT + к = J 0T(x, f)dT + к = ut(x, t) .+ k. s(x)s(x)."

Аналогично

t

Ди (x,f) = /0T (x, t)dr = ut (x, Г) -h, если x G G. о ■’

Полагая

(к (х), если х G G, /СО = '

1— к,еслих Е И\и,

(9-5)

находим, что

ut - A и = f, если и > 0.

Кроме того, очевидно, что ut — Ди = 0 >/", если и = 0. Функция и на dpQj принимает значения ф, где

t

fs(x,r)dr, если х G Го, t > 0,

о•

Ф (х, 0 = •

(9.6)

0, если t = 0 или если | х | = R.

Вводя выпуклое множество

К= { v G Hl(QT), и>0 пл.вСг, и = ф на dpQT\,

(9.7)

мы видим, что и есть решение вариационного неравенства и£К,

/ ut (у - м) dx + / V и • V (и - и) dx "> / /(и - и) dx ^v G К, ппп

(9-8)

для п.в. t G (0, Т).

Теперь предположим, что

gG С2+“(Г0 X [0,Т]), g > 0;

hGC“(G ), h>0 в G.■

(9-9)

Из доказательств теорем 8.2 и 8.3 выводим (аппроксимируя / гладкими функциями), что существует единственное решение вариационного неравенства (9.8) и

Dxu, Dxu, Dtu принадлежат £°°((0, Г); Рр(Щ) для любого р< °®.

Отметим, что поскольку / не дифференцируема по х, теорему 8.4 непосредственно применить нельзя. Однако мы докажем следующую теорему.

Теорема9.1. Решение и задачи Стефана (9.8) удовлетворяет условиям

0 < ut < с, с < °°,

Dxu, Dxu принадлежат £”oc(f2\G) X (0, Т).'

(9.Ю)

(9.Н)

Доказательство. Пусть 0 < За < dist (Го, Ft) и q(x) - функция из

Со (К”) такая,что 0<ц<1 и

[ 1, если dist (х, Го) < 2а, т?(х) = {

I 0, если dist (х, Го) > За.

Пусть

fe (х) = h (х) ie (х) - к (1 - Фе (х)), (е > 0),

где фе - е-усреднение характеристической функции Ge — е-окрестности G. Наконец, пусть Зе (О — штрафная функция из задачи со штрафом, удовлетворяющая дополнительному требованию

Зе(О) = -к, Зе (0 = 0> если t > е. •

Рассмотрим задачу со штрафом для и = ие:

м, - Дм + 36 (м)= /6 в QT, '

и = ф + е на Го X (О, Т),

м = ет? в fi X {0},.

(9.13)

м = 0 на ЭВЛ X (О, Т\х

Заметим, что начальные и граничные условия согласуются на bG X {0}. Как обычно, ие -*и при е -*0,где и — решение задачи (9.8). Докажем,что

дме ".

О < — < С.(9.14)

bt-

дм6

Дифференцируя (9.12) по г, получим для w = — уравнение

bt

Wt - Д W + Зе («е) W = О В QT

и условия'■

W = /е + е Дт? -Зе(м6) при t =0,

ф, на Го X (О, Т"),

О на .ЭВд X (0,Т)..

По принципу максимума

min( min w, 0} < w (х, t) < max( maxw, 0}.(9.15)

»pQt8р6т

Для оценки левой части заметим,что/е >/, 0<м6 (х, 0) <е,если dist(x, Го) < < За, и ие (х, 0) = 0, если dist (х, Го) > За. Следовательно, если е достаточно мало, то

w (х, 0) > 0 при х G G,

W (X, 0) = /е - 0е (0) > к - к = 0 при х G Br \G.

Легко видеть, что w > 0 п.в. на bpQT. Поэтому левая часть в (9.15) неотрицательна. Нетрудно проверить, что правая часть в (9.15) не больше С, и (9.14), таким образом, доказано. Полагая е -*0, получаем (9.10).

Для произвольного г > 0 положим

ДГ(Г)={х е П; м(х, г) > 0);

N(f)~ открытое множество. Из (9.14) имеем ut > 0, следовательно,

N(t) С ZV(z'), если t < г'.(9.16)

Мы покажем, что

N (О) С N (z), если z > 0.(9.17)

Действительно, предположим противное: существует точка х° G Г1 такая, чтох0 G djV(Zi) для некоторого Zi )>0. Вейлу (9.16) отрезок

ltl ={х = х°, 0 < Z < Zj)

лежит на границе открытого множества

Dtl = U N(s). о < $ < г, '

Поскольку для почти всех Z производная О^и (х, Z) непрерывна по х, получаем

Dxu(x, z)= 0 для п.в. (х, z) G Zfi .(9.18)

Функция

и (х, z) = и (х, z + 8) - и (х, z), 8 > 0,

есть положительное решение уравнения теплопроводности в G X (0, tx — 8) (так как ut > 0) и обращается в нуль на граничном отрезке ltl-s- Следовательно, по принципу максимума,.

V х и (х, Z) ^ 0 п.в. на ltx, •

что противоречит (9.18).

Из (9.17) получаем, что f = -к для всех z > е0 (е0 > 0) в окрестности свободной границы; здесь е0 — произвольное малое число. Таким образом, можно применить результат о регулярности (теорема 8.4) и вывести (9.11).

Введение шара Br вызвано только соображениями удобства, чтобы вариационное неравенство можно было рассматривать в ограниченной области. Далее, нам хотелось бы показать, что решение не зависит от R, если R достаточно большое. Для этого достаточно показать, что свободная граница не пересекает ^Br X (0, Г) при достаточно больших R (зависящих от Г).

Докажем следующую теорему.

Теорема 9.2. Существует положительная константа М такая, что

N<t) С {| х | < M<t + 1 } для 0 < t <Т,(9.19)

М зависит от supg, sup h, G и k, но не от Т.

Доказательств/о основано на сравнении (см. задачу 5 из §8). Построим радиальное решение классической задачи Стефана в виде

0(х,О = /0(х,О = /|х|Vr +1|х|Vr +1

0(х,О = /

0(х,О = /

|х|

Vr +1

|х|

Vr +1

с s (х) — Z = 0, заданной явно: | х | = Mx/t + 1, и

/(2) = С/?1'"Z/(2) = С/?1'"Zexpexp4 /4 /ax - С.ax - С.

/(2) = С/?1'"Z

/(2) = С/?1'"Z

exp

exp

4 /

4 /

ax - С.

ax - С.

Выберем С, С* так, что

1СМ-п ехр( - ) = к,

\4 /

ОО/ #*2 \

С J ?х-п ехр(- — \d^ -С* = О,

мX 4 /

и тогда условия свободной границы выполнены. Заметим, что

к яI

С = — М expl — J если М -* °° 2\4 /

С' остается ограниченной при М -* 00.

Следовательно, данные h, g, соответствующие 6 (относительно G), удовлетворяют неравенствам

h > h, g > g,..

если M достаточно большое. Выбирая R > М х/Т + 1, можно сравнить вариационное решение и (соответствующее 6 ) с и; получим м> и, откуда утверждение следует.

3 амечание 9.1. Далее мы всегда будем брать усеченный шар BR, так что R > М х/Т + 1. Тогда свободная граница будет оставаться в компактном подмножестве Br X [О, Т].

Теорема 9.3. Производная Dxu равномерно непрерывна в {и > 0} П П {е < Г < Т} при произвольном е > 0.

Доказательство. Достаточно показать, что если (xm, tm^ ^ (х0, t0), где и (xm, tm ) > 0, и (хо. to ) лежит на свободной границе, то их. (хт, tm) -►0. Предполагая, что утверждение неверно, положим, для определенности,

«хДхт, tm) > р > 0.(9.20)

Пусть.

х^ = хт + 6еь Хо = х0 + 6С{, 8 > 0

и е, — единичный вектор по z-му направлению. Для почти всех t D^ непрерывна по Липшицу по х с константой С, не зависящей от г. Запишем

Полагая т -*°° и используя (9.20) и неравенство и(.Хд, Гд) 5s 0, получаем 80 > С82, что невозможно, если 3 < 0/С.

Задачи

Пусть g(x, г) > Со > 0 для всех х G Го, t > 0. Показать, что существуют достаточно малое д >0и Го >0 такие, что решение задачи Стефана удовлетворяет условию N(t) D { |х| < ц<1 } Для всех Го < t < Т; То зависит от с0 и G, но не зависит от Т, h.

Показать, что свободная граница в задаче Стефана при л = 1 задается уравнением х = s (г), где s (?) непрерывна, и строго монотонно возрастает по t.

Продолжить g на 8BR X (0, Г) нулем и рассмотреть задачу: найти ограниченную измеримую функцию 6 (х, г) > 0 такую, что

г at

H(6^+a(9^t)dxdt = j J g—dSdt- fa(9o)^(x,0)dx,(9.21)

qto an ov я

где t - произвольная гладкая функция в QT, f = 0, если х G ЭЮ или t = Т и а (5) = -а (9 (х, ?)) — измеримая функция такая, что

а(6(х, [))=в(х, t), если 6(х, t)>0,

-к С а(в(х, ?))< 0, если 0(х, ?) = 0;

наконец, 0о(х) = 5(х, 0). Хорошо известно [94b], что эта задача имеет единственное решение, которое можно получить аппроксимацией а^ функциями am(t), a'm(t) > 0- Заметим, что (9.21) можно записать (в смысле распределений) следую- щи м образом:

а

-ДУ + — л(У)=0, dt

(9.22)

О - g на ЭП X (0, Г),

5 = 0 на ПХ {0}.

Пусть

т

и(х, П= J 6(х, rfdT, (x,t)€QT.(9 23)

о

Доказать, что 6 — решение (9.21), если и только если и — решение задачи Стефана (9.8).

[Указание. Если 6 — решение (9.21), то

ut — Ди — f" 7(Mf),

где т(ыг) =6 - л(5) > 0, так что

(ut - Дм) (и - ut) > if (и - ut)

Vu>0, u,>0;'

обратно; (9.24) влечет (9.21). Покажите, что если и — решение (9.8), то оно — решение (9.24).]

§10. Вариационные неравенства для бигармонического оператора

Вариационное неравенство

-Ди>0, и> ф, Ди(и-^)=0 ,

в R2 соответствует задаче о мембране, расположенной над препятствием <р. Если вместо мембраны мы имеем дело с двумерной пластиной, то вариационное неравенство будет таким:

Д2м>0, и>ф, i^2u^u-^=0.

Чтобы сформулировать эту задачу более точно, введем ограниченную область П С Rn с С2 +а-границей (0 < а < 1). Пусть <^ (х) - функция из С2(П) такая, что <£ < 0 на Э П. Введем выпуклое множество

К = (иеЯо(П); и><р пз. в Ш-(ЮЛ)

Рассмотрим вариационную задачу. Найти функции м такую, что

и СК,лота

/| Дм|2Дх = тш /|Ди|2Дк, пиек

или, эквивалентно,

и С К,

/ ^иД.(и-u^dx> 0 VuG^.(ЮЗ)

Согласно результатам § 2 существует единственное решение этой задачи. Полагая u=M+ef (е>0Л>0, ^еСо(П))

в (10.3),найдем,что

д = Д2м >0

в смысле распределений. Следовательно, д есть мера на К. Поэтому д(К) < °® для любого компактного подмножества КС П (см. [159]).

Позже мы докажем, что и G W 2g” (Я) и uG С2(И) для и = 2.

Лемма 10.1. Существует функция w такая, что -.

w = Дм п.в. в П;

w полунепрерывна сверху в П;

для любых х° G Я и последовательности шаров Вр(х°) с центром в х° и радиусом р.

f wdx I w(x°), если p I 0.

Bp(x°)

Здесь мы использовали обозначение

,1

fw- ——- Jw,(10.4)

AIA | A

M|— мера A, где A - либо шар, либо граница шара.

Доказательство. Пусть

wp(x)= f ku^dy.(105)

Покажем сначала, что для любой точки х° GCL

wp (х°) Убывает по р.(10.6)

Для любой функции и G С" можно написать

Дм(х°)= -f (^u)dS - J ^2u)Gpdx, SpBp

где Bp = Вр (x°), Sp = дВр игде Bp = Вр (x°), Sp = дВр и7и(г2 " -p2 "),7и(г2 " -p2 "),2л г2л гесли п > 3 (7„ > 0), если и = 2если п > 3 (7„ > 0), если и = 2(Ю.7)(Ю.7)

где Bp = Вр (x°), Sp = дВр и

где Bp = Вр (x°), Sp = дВр и

7и(г2 " -p2 "),

7и(г2 " -p2 "),

2л г

2л г

если п > 3 (7„ > 0), если и = 2

если п > 3 (7„ > 0), если и = 2

(Ю.7)

(Ю.7)

есть функция Грина для — А. Аналогично, если р'> р, то

Ди(х°) = f (Au)dS - f U^u^G ,dx.

S,в , p

pp

Так как Gp < Gp,, получаем при условии Д2и > 0

/ Ди < ^- Ди

sp SP'

и. интегрируя по частям,'

(10.8)(10.8)f Ди < f Ди.

(10.8)

(10.8)

вр 8Р'

В общем случае, для uG/72(£2), Д2и> 0, можно ввести 1 /т-усреднения ^ =Л/т(Дм), где

J6(v) (х) = //Е(х -у) v(yW,

je(x) = e-nKx/e),

7(^) = 7о(^1),

/о

/о(7)~ 0, если |г|> 1,

7oW>O, J7o(|x|)dx = 1.•

Поскольку ДГт > 0, (10.8) имеет место при замене Ди на К,„. Полагая т -*°°, получаем неравенство (10.8). Окончательно имеем

wp(x) I w(x) при р 2 0,(10.10)

где w(x) — некоторая функция.

Так как каждая функция wp. непрерывна по х,

и’(х) полунепрерывна сверху.(10.11)

Вспоминая, что Ди eL^ot, имеем также'

Ир(х) Ди (х) п.в. в £2.

Следовательно, w = Дм п.в., 'по вместе с (10.10), (10.11) завершает доказательство леммы.

Теорема 10.2. В любой точке х° G £2 такой, что х° G suppp, справедливо неравенство

w(x0)^ Д<р(х°).(10.12)

Доказательство. Продолжим и как функцию /7^.(7?”) и обозначим и6 е-усреднения и. Пусть хс G £2. Предположим, что для некоторых 6 > Ои окрест-

ности W точки х° неравенство

we(x)-<p(x)>6 VxGW(10.13)

справедливо для всех достаточно малых е. Пусть ч € С£ (W ), 17 > 0, - такая, что 77 = 1 в окрестности W 0 точки х°. Тогда ДЛЯ любой функции f ЕСо^о), |^| < 5/2, функция

и = 7?Не + (1 - т?)м ± f

принадлежит К. Взяв такую и в (10.3) и затем устремляя е к нулю, получим (так как ие^к в Я^^ /ДмД?=0./

Таким образом, Д2м = 0 в 1Г0 и, следовательно, точка х° не лежит в носителе д . Так что если х° Е suppp, то существуют последовательности хт -*х°. и е,„ -*0 такие, что u€m(xm)-ip(xm^0.(10.14)

По формуле Грина

Mc(xm)=,f u€dS - J Дме(у) У(хт -y)dy,(10.15)

где Врт = { iy - хт | < р), Sp,m = йВр т и Г(z) = Gp, Gp такая же, как в (10.7) при г = I z |, есть функция Грина для —Д в Вр т. Аналогично

фДХт^ f ^edS - f Д.р<(у)У<хт-y'ydy.(10.16)

Sp,mBP,m

Поскольку и> ip, то we>ip6, так что

f ме> f Ve-

Используя это неравенство и (10.14), получаем, сравнивая (10.15) и (10.16), что

lim inf [ J Дие (y)K(xm - y)dy - / ^( (у) У(хт - у)е?у] > 0. (10.17) Вр,т твр>„, т

Можно записать■

J Дме(у)К(хт -y)dy =

вр,т

= J ауУ(хт -у) f j^y - z^Au^dz =

Вр.т|y-z|<e

= J J" je(xm -У- z)y(z)dz^u(y)dy + Xe,m =

Bp.m \xm-y-z'<e

= J УсП(хт -y^£ku(y)dyvXe.m,(10.18)

Bp,m

где \e-m -* 0, если e -> 0 (равномерно по от). Подобное соотношение справедливо для второго интеграла в (10.17). Поэтому

lirn inf J Уе,п V) (w - i^p)dy > 0.

m^” Bp-m m

Ввиду теоремы о среднем существуют точки хт р ЕВр т такие, что ■

w(xm,p)- М(хт>р) > -Зт,

Зт -^ 0, если от ^°°.

Можно предположить, что хП11Р -* х и тогда из-за полунепрерывности сверху w

имеем неравенство

w(xp) - Д<р(хр) > 0.

Полагая р ->0, хр -*х°, получаем (опять же используя полунепрерывность сверху и»)

w(x°) — Д<р(х°) > 0.■

Теорема 10.3. Если и — решение вариационного неравенства (103), го ДМ££;ОС(П).

Доказательство. Возьмем произвольную точку_х° G 12 и обозначим Вр шар с центром в х° и радиусом р. Выберем R так, чтобы BR С Q и ( € Cq (ВR), f = 1 в B2Rf2, 0< f< 1 всюду. Для любой точки хеД2д/з

Дие(х) = Дие(х)£(х) = — $ V&^ue^dy,

Br

где V=GR, Gp такая же,как в (10.7). Получаем

Дме(х)=— J КД2ме -

BR]2

- J К[Д2ие? + 27(Дне)-7? + ДмеД?].(10.19)

Br\BR(2

Поскольку иЕН^ (R"), то

/|Дме|2<С,(10.20)

п

где С не зависит от е.

Заметим, что suppVf содержится в GR = BR\B2R/3. Следовательно,

J У7(Дие) V^-f AueV(EV?).

Br\BR/2GR

Используя последнее равенство и (10.20), получаем из (10.19)

Дме(х)=- J V^uc- J KA2wef + ae(x),(10.21)

BR(2Br\BRI2

где |ae(x)|< С, если xEBR]2.

Интегрируя по частям (подобно тому, как в (10.18)), приходим к формуле

/ У(х-y)A2u€(y)dy = / Ие(х-^)Д2п(^)+^,(10.22)

BR(2BR(2

где /Зс(х)->0, если xGBR;2, е->-0.

Рассмотрим теперь интеграл

И(х)= J V(x -y)dp(y).

BR/2

Он существует как собственный, т.е. существует

lim / И(х -y)dp(y)

6->О {|х-у|>б}

y&BR/2'

для почти всех х. Действительно, это следует из теоремы Фубини, так как для любого к < °°

J dp(y) J Vtx-y^dx^C f dp(y)< °°.

yeBRI2lx|<fcBR]2

Отметим, что V полунепрерывна снизу. .

Далее, Ve (z) = У(г), если |z| >e (так как V гармоническая и усреднение берется по сфере) и V£ (z) < V(z),если |z | < е. Следовательно,

lim У ^е(х-у)^м(т) существует и равен К(х) п.в.(10.23)

е-*о BR(2

Аналогично (10.22) имеем для xGBRi2

■/ V(.x-у)Д2ме(уЖу)^ =

Br\BR(2

=/МКУ')*'!* - уЦ) А2 и (у) dy+ре(х),

Br\BR/2,

где РЕ(х)-»0, если е -+0. Поэтому

, У V(x-y)A2ue(y^(y)dy-*'

Br\BR(2

"*. JУ(Х - у) А2и (у) ^(.y)dy,(10.24)

BR\BR)2

если х G BR/2> е ^ 0. Теперь можно записать

Аие = fu(z)Ajs(x - z^dz = fAu(z)/e(x -z)dz =

= fw(zMe(x - z)dz = f fX€(p)w(p,8)dS9dp,.

о

где (p, 9) = (p, 81,.. ., 8n_ j) — сферические координаты иХДр) - гладкая неотрицательная функция. Поскольку

1

fw(p, 9)dS0 4 w(x) пои р 4 0,

где шп — площадь единичной сферы, по теореме о среднем

Дне(х)-» w(x) при е ^0.

Комбинируя последнее соотношение с (10.22) — (10.24), выводим из (10.21) при е -*0, что

w(x)=-K(x) — У f(y)K(x-у)Д2д(у)аф+8(х),

BRXBRH .(10.25)

|3(х)|<С,v 7

для x&BR]2.

Далее нам понадобится следующий принцип максимума (Эванса).

Лемма 10.4. Пусть Z — супергармоническая функция в Rn; Z полунепрерывна снизу в R" и v = - AZ - мера. Предположим, что Z (х) -* 0, если | х | -* °° и положим S = supp V. Если Z СМ на S, где М > 0,toZ СМ в R".

Доказательство см. в [66] или [132]. ~.

Применим этот результат к Z = V — У(°°У, мера v есть сужение д наВрд2. По теореме 10.2"

н,(х)>Д<р(х) на supp д.

Так как интеграл в правой части (10.15) неотрицателен,

V(х) < — w(x) + 3 (х) < С на supp v, ив силу леммы 10.4

У(х)СС в R".

Замечая, наконец, что интеграл в (10.25) ограничен в Br^, заключаем, что I w| <Св Br^. Доказательство закончено.

Теорема 10.5. Если и — решение вариационного неравенства (10.3),го

ибИ^Й).

Доказател ь с тв о. Можно записать

“е= J W^x-y^A^u^y^dy, xGBr(2,

Br

где W — фундаментальное решение Д2:

7n I х |4 ", если и = 3,

или л > 5,

W(.x) =

1

In, если л = 4,

|х|

7Л | х |2(1п | х | - 1), если

где 7П — константы, подобранные так, что Д2М=3

(3 - мера Дирака).

(10.26)(10.26)Разлагая Д2 (?ие) = f Д2ме + .. . и выполняя интегрирование по частям, находим, используя оценку | ДЙе | <С (вытекающую из теоремы 4.3), что

(10.26)

(10.26)

“е= J W(x-y)£(y)A2ue(y)dy+Р€(х), B2R/3

где | О^Д, (х)| <Св BR(2 для любой производной О“. Можно непосредственно проверить, ЧТО

Э2Э2Эх2Эх21 X-- Д W>-с,2 /1 X-- Д W>-с,2 /(10.27)(10.27)

Э2

Э2

Эх2

Эх2

1 X

-- Д W>-с,2 /

1 X

-- Д W>-с,2 /

(10.27)

(10.27)

1 \2х)д )W=72L2 / |хР1 \2х)д )W=72L2 / |хРгде с — положительная константа, и

1 \2х)

д )W=72L

2 / |хР

1 \2х)

д )W=72L

2 / |хР

(10.28)

если п = 2.

Применяя Э2/Эх/ — Д/2 к обеим сторонам (10.26), ввиду (10.27) и неравенства £Д2ме > 0, получаем

/ Э21 х

(—-А)ие>-с / £(y)A2ue(y)dy - С.

\Эх/2 /।B2R/3

если X G Br /2если X G Br /2Поскольку последний интеграл равен J" Uy^udy-C, |С|<С, B2R(3

если X G Br /2

если X G Br /2

с другой константой С, то

Br(2.

Так как в силу теоремы 10.3 Ди локально ограничено, то же верно для Ди£ и, следовательно,

д2ие

™>-С в

Эх2

Но тогда

д2ие

—- = Дие - ЭХ;

BR(2-

5 92 “е* i Эх?

поэтому

Э2ие

Эх2

I

<С В BR/2.

Устремляя е к нулю и замечая, что ху может быть любым направлением, выводим утверждение теоремы.

В следующей теореме мы ограничимся рассмотрением случая п = 2.

Теорема 10.6. Если и = 2, то иСС2^).

Доказательство. По формуле Грина, если Вг (х° ) С П, то

Дие(х°)=- У ДиеdS - J GZX2u£dx, авг(х°) Эр вдх°)

где G = (1 /2тт) In г /р - функция Грина с полюсом х° и р = | х - х° I • Так как | Дие | < < С на компактных подмножествах Q, то

1

У In —— в,(х°)|х° -

Д2ис( y)dy < С.

Отсюда следует, что мера ре = Д2ие удовлетворяет неравенству

де(Д,(х°))<де(Д,(х°))<С1п(1/0 ’С1п(1/0 ’(10.29)(10.29)

де(Д,(х°))<

де(Д,(х°))<

С

1п(1/0 ’

С

1п(1/0 ’

(10.29)

(10.29)

если Вг (х° ) С К, КС £2, где С зависит от К. Применяя оператор □,

Э2Э2

П = 7" —7" ,

Эх2Эх2

к обеим частям (10.26), получаем

Оие(х)= у е^х, yWAyViAxY &2R/3

где 7е(х) непрерывна по х € BR[2 равномерно относительно е и, в силу (10.28), F(x, у) — ограниченная функция, непрерывная по (х, у) при х Фу. Поэтому ввиду (10.29)

de(Br( у)) -» 0, если г ->0 равномерно относительно у, е.

Согласно теории потенциала

(10.30)(10.30)□ие(х) равномерно непрерывна по х.

(10.30)

(10.30)

когда х принадлежит произвольному компактному подмножеству Л' С Q, равномерно по е, 0 < е <е0 (К).’

Поэтому для последовательности е -» О имеем

Оме-»Ом равномерно по х€К,(10.31)

где □« понимается как представитель обобщенной функции □«. Таким образом, существует представитель uXiXi — «х2х3, непрерывный в £2. Заменой переменных xY + х2х, - х2

X] , х2 ^— ,

х/2V2

находим, что их х также имеет непрерывный представитель в £2. Объясним последнее утверждение более подробно. При е ^0

ме,х~*мх, ие,у-*иу, ие,ху ^ ^

равномерно на компактных подмножествах. Следовательно, (Ux)^ и (иу)х существуют и совпадают с U. Полагаем, естественно, U = uxv. Таким образом,

(цх)у = (иу>х = иху существует и непрерывна.(10.32)

Лемма 10.7. Функция w непрерывна в £2.

До казательство. Обозначим 5 носитель д = Д2и. По теореме непрерывности для субгармонических функций [66], если сужение w на S непрерывно, то функция w непрерывна в £2. Так что достаточно показать

если Ро =(x0,y0)eS,(10.33)

то w| s непрерывна в Ро. •

Пусть Рт = (xm, ут) е S, Рт ^Ро так, что если ат - угол между Р»Рт и осью Оу, то.■

ат 0, если т -> °°,

1(10.34)

1Лп + 1 -Ло|<~ I Ли " Ло I.

Докажем, что

w(Pm)-> w(P0).(10.35)

Возьмем для простоты (хо,Уо) = (0,0) и рассмотрим квадрат

Rm = V^<y<ym, |х|<ут/2).

Можно написать

IV = ixu = ихх - иуу + 2(иуу - фуу) + Ъруу п.в.(10.36)

Так как м - ^ = 0. V (и - ^) ~ 0, в Рт, то

Л (и у у -ipyy')dxdy =

Ут№Ут!^

= J (Uy -^^.y^dx - J (Uy - 1ру)(х,0)Дх =

-ym/2Z-ут12У•

Ут!^ x

= J J (Uxy - ^xy) ^,Ут)^ dx - ~Ут1^ xm

Ут /2 _r

J J («xy "^xy)(^,0)^dx.(10.37)

-Ут О Ь

Из равенств (при и = и - ^)

О = их ^хт >Ут) — их (О, 0) _

= [ux(xm ,Ут) — их^хт 1 0)] +

+ [ux(xm, 0) — пх(О, 0)] -

Утхт

= / uxy^xm,y^dy* / uxx(x,OW, оо

получаем

(мху(О, 0) + &т)Ут + О(\хт I) _ 0 (8щ ”*0)^ так как иху непрерывна и | йхх | < С.

I Rm I В mI Rm I В mИ <иуу - ^у0 dx dy = от /2,И <иуу - ^у0 dx dy = от /2,(10.38)(10.38)Ввиду (10.34) 2ху(0,0) = 0. Следовательно, можно вывести из (10.37) 1

I Rm I В m

I Rm I В m

И <иуу - ^у0 dx dy = от /2,

И <иуу - ^у0 dx dy = от /2,

(10.38)

(10.38)

o„, -* 0, если m-*°°,

где | Rm | - площадь Rm .

Пусть U — непрерывный представитель обобщенной производной ихх — иуу. Введем непрерывную функцию# = U + 2g>yy. Тогда из (10.38) имеем

°т ~* 0, ecjiH m ">о°.

Пусть Вт — шар с центром Ро и радиусом ут, и пусть Р е Вт. Обозначим Вр (Р) шар с центром Р и радиусом р. Очевидно, Rm С ВцУт (Р). Пусть М - верхняя граница w —g на компактном подмножестве £2, содержащем Ро. В силу (10.39)

f (w -#)< ХМ + (1 - X) от (0<Х<1),

где X не зависит от т при условии, что w достаточно большое. Так как функция w субгармонична, a g непрерывна, левая часть последнего неравенства не меньше величины

w(P) -g(P) +nm,

где r?m ->0, если m -»°°. Следовательно,

w(P) - #(Р) < ХМ + (1 - X) ат + цт < Х'М

для любого X < X' < 1, если т достаточно большое. Таким образом,

w-gCX'M, если РеВт,т>т0.

Повторяя рассуждения, проведенные выше, получим

w - g < (Х')кМ в Втк,

и тогда

I вт | вI вт | в; (w-g^(xfM^o,; (w-g^(xfM^o,

I вт | в

I вт | в

; (w-g^(xfM^o,

; (w-g^(xfM^o,

если к -» 00. Поскольку w субгармонична и g непрерывна, левая часть не меньше

w(P0) -g^Pk), Ркевтк. Следовательно,

w(Po)^g(Poy(10.40)

Дия произвольного малого h >0 рассмотрим прямоугольник

Th = (хт <х<хт + h2, ym<y<ym+hV

Можно записать

И <Ут+к У) (Р - ^vy dx dy =

Ту'

й2

= / (и - ^) (хт + х, + Л) dx - о

й2

$ (и- ^) (хт + х, ут) dx - о

й2

f h (н -(х,„ + х, ут ) dx Jx - 1г - J3.

С

Так как

|( и - ^ (хт 1- х, ут) I < С | X I2 ,

| (и ^у (хт + х, ут) | ^ С | х |, получаем

W^OiY \JY\^Ch\

а также, замечая, что Jx ^ 0,

ess sup [(ут + h - у) (и - ^)у„] > - Ch2.

Г h

Таким образом, существует точка 5й ^ Tj, такая, что

и-«2й) -gtohV^- Ch.

Полагая h -+0 и используя полунепрерывность сверху w, находим, что

■ w(Pm) > lira sup w«)h) > lim g(Qh) = g(Pm).

Следовательно,

w(P,„)>g(P,„) дня любой Pm.(10.41)

Доказательство верно также для Ро. так что w(P0) > g(P»)- В силу (10.40) имеем w(P0) =я(Р0)>аиз (10.41) получаем lim inf w(Pm^ > g (Po) - w(P0). Поскольку vv полунепрерывна сверху, (10.35) верно.

Для завершения доказательства (10.33) предположим противное: Pm С S, Рт G S, Рт -*Р0> Рт -*Р0 и w(Pm)-> A, w(Pm) -^А, 1деД ФА. Выделяя подпоследовательность, можно предположить, что (10.34) выполнено. Тогда4 = Пт и’(Р,„) = = w(P0). Аналогично А = iv(P0), приходим к гцютиворечию. Мы доказали, что ихх* + иуу, ихх - uvy имеют непрерывных представителей. Следовательно, ихх имеет непрерывного, представителя, скажем, Uu. Можно написать для любых х,у <= S2, малых |х-х0|,

uxU, vl -- и.х(х-1, у) = f Uh^, y)d^

То

и, таким образом, заключить, что ихх(х, у) существует и совпадает с Со. Аналогично иуу существует и непрерывна. Ввиду (10.32) доказательство теоремы завершено. Замечание 10.1. Результаты этого параграфа справедливы также для вариационного неравенства (10.2), (10.1), если Я§(Й) заменить на Н2 (42) ПНо(П). Вариационное неравенство (10.2), (10.1) называется задачей с препятствием. Другие интересные вариационные неравенства возникают при ограничениях на вторые производные и; см. § 12.

Задачи

Рассмотрите задачу со штрафом

Д2ме+j3e(ue-i)= 0 в 42, м.€Яо№),1

где Ре(П = тё(О,

lev) !

[ 0, если t > 0.

Покажите, что эта задача имеет решение и€, получаемое при минимизации f [| Ду |2 + 7е(У - ^)1 dx, иЕН^.

Покажите также, что

/|Дие|2^С,/7е(ие-^)<С

иие -+и слабо в Но (42), где и — решение (10.2), (10.1).

Пусть 42 = {| х | < 1} С/?2,<р=е-г2,г = |х|,0<е<1. Докажите, что соответствующее решение (10.2), (10.1) есть функция и = и (г) и

(а) (u>ip) совпадаете {г >8} для некоторого 3,0 < 3 < 1,

(Ь) 7= Дм (1) > 0 и

если г > 3,

(с) 3 = Зе -> 0, если е ^0 и, следовательно, функции Ди не имеют модуля непрерывности, равномерного относительно е.

Рассмотрите вариационное неравенство

иЕК, f Au Д(у - и» $f(v-u) X/vEK,

где Э 42 6 С1 и

К = {и&Ну ПН2(П), а<Ду</? п.в.},

а < 0 < Р- Покажите, что решение дается формулой и = т(ру где ДР = fa 42, р^ 6 Но (42) и т^ = t, если а < t < Р, r(t) = а. если t < а, T^t) = Р, если t>p. Следовательно, Ди Е B'O1’P(42) для любого 2<р<°° (но, вообще говоря, и ф С3).

Введем конечно-разностные отношения второго порядка

^ih «<?:)^ih «<?:)и(х + Ле,-) — 2и(х) + и(х -.- йе,)

^ih «<?:)

^ih «<?:)

й2

Пусть и G H2(U), и > ip, vpe С2(П), ^ G С» (42), 0 < ф < 1. Покажите, что если ip

выпуклая, то

и + еф Aih и>ф,

если е, h достаточно малы.

Пусть

1”

#(-х) = 1 - - exp [ г S (х - х?) ],

21=1

где х° = (х®, . . ., х®) G £2. Покажите, что если р GC2(£2), то существуют достаточно большие числа г, я и достаточно малая окрестность U точки х® такие, что g > 1/2 и (^ - a)g выпукла в С/.

Докажите, что решение (10.3), (10.1) принадлежит/^3 с (£2).

[Указание. Возьмите

и = и + eg-1 £2 Д/й [(u - <z)g]

в (10.3), ?€СО2(£2), 0<Г<1.]

§11. Тонкие препятствия

Пусть £2 — ограниченная область в Rn с границей класса С3 и 50 — гиперповерхность в Rn класса С3 такая, что

50 делит £2 на две области £2+, £2_(11.1)

(рис. 3). Будем использовать обозначение 5 = 50 Г) £2, так что Э5 С Э£2.

Пусть р — непрерывная функция, определенная на S, класса С2 на S такая, что 1<0 на 95, тах<1>0.(И-2)

Введем выпуклое множество

К = (иен^п), и>р п.в. на 5}(11.3)

и билинейную форму 1 " Эи Эд a(u,v)= f 5 ам (х)-—-—dx, Я ij = 1 OXi OX;

где

5д;/(х)5,^>А;|512 V?G«", xG£2 (fc>0),

(11.4)

Sllez/lli+a^^-

Рассмотрим вариационное неравенство

и£К,(11.5)

а(и, и - и) > ОV и G К.

Будем называть его задачей с (внутренним) тонким препятствием; ^ — тонкое препятствие.

Прежде чем изучать эту задачу, докажем лемму, применимую к эллиптическим операторам общего вида

._"Уи ”Эи

Аи = — 2 Oij(x) + 2 Ь;(х) + с(х)и

М = 1 SXjSXji = 1Эх,- J

при условии, что

2«ц (х) ^i ^ > к | £ |2 (к > 0),

SUyll,+SIIM,+1И11<К(И.6)

(с>0).

Лемма 11,1. Предположим, что Au = f в П, £2 - ограниченная область, и и GC3(Q)O С1 (£2),

НЛ10« ||7/||0<Л/Ш>1).(11.7)

Если.

| и | CJf, | Vu | <М на Э£2, то

[и!<СМ, ^й\<СМ в П,

где С - константа, зависящая лишь от к, К и £1.

Доказательство. Предположим, что £2 С {xt > h), и возьмем

и= 1(Х>0).

Если X достаточно большое, то и > 0, Av > 0 в £2. Применяя принцип максимума к Си ± и, получим | и | < СМ.

■ Для оценки I Vu | используем прием Бернштейна, применив принцип максимума к функции w = U\U\ + ?u2 с подходящей константой 7 > 0, где цх = Эу/Эхх, и использовано правило суммирования по повторяющимся индексам.

w,-= 2uxux,-+ 27uu,-,

Wy = 2uKiuKj + 2ux uKij + 27W» и, + 2уииц, так что

Aw = -2ациК!иК, - ги^аци^ -

- 2уау ut u( - 2уиац Uj, + 2bt uxuKi +

+ 2yubtUi + cuxux + 7cu2.

Отметив, что

(Ди)х =AuK- ам, x и,, + Ь;, x 4 + cxu, получаем

Aw = 2y Au + 2ux(Au)x +

+ 2.их(ац, KUij - bi, xUi-cxu)-

- 2aijuxiuxj - 2yaijuiu) - усиг - cuxuK.(118)

Используя предположения (11.6), (11.7), находим

/lw<C|Vu |[|V2u| + | Vm | +Л/] л-уСМ-

- 2kuXiuXi - 2yk | ^u |2 <

<,-kuKiUM + C\Vu |2 + CM2 + yCM-2yk\vu |2,

где константа С зависит от к, К, но не зависит от у. Выбирая у достаточно большой, приходим к неравенству Aw < СМ2 с другой константой С. Теперь можно применить принцип максимума к CM2v - w и вывести оценку wCCM2 в £2; следовательно, | Дн \<.СМ.

Нам потребуется также следующий результат [161 f] (см. также [109]).

Лемма 11.2. Пусть с?(х) = dist(x, Э£2) для х е £2, m > 2 - целое, 0 <а < 1. Если Э£2 G Ст (Ст + а), то существует П-окрестность N границы Э£2 такая, что

d(x) GCm(N)[Cm+a(N)].

Вернемся к вариационному неравенству (11.5) и предположим, что и — решение. Выбирая и = и + £е с f е Со“ (£2), f > 0 на 5, находим, что и — слабое решение неравенства

3 / Эн \

-S( ац )>0 в £2.(11.9)

Эх,- \ Эх/ /

Кроме того,'

_ Э / Эн\

S( а« — ) = 0 в n\S.(11.10)

ЭХ; \ ЭХу/

Если и принадлежит С'(£2+) и С1(£2_),то ди ди

+ >0 на 5;

Эд Эд'

здесь д* — внешняя конормаль к 8 относительно £2+; т.е. рт — имеет направление вектора (ац(х)cos(x, у/)), где v? — компоненты внешней относительно £2 + нормали v1 к 8. Если м(х) > ^(х), то в действительности мы имеем равенство; таким образом, на 5

и > р,

, /ди ди \

(и - р)1 —— + ) = 0.

\.Эд Эд"/

Теорема 11.3. Существует единственное решение и вариационного неравенства (11.5), причем цеС0,1 (£2).

Доказательство. Существование и единственность следуют из результатов § 2. Множество

= {xG 5, ^(х)>0)

является компактным подмножеством £2.

Пусть х* =f‘(s) — локальная параметризация 8. Тогда гиперповерхности

S5 ;х* = f!(s) + p'(s)6(|6|мало),

где (?'($), . . . , ^"(s)) — вектор v = v~ в /(s), параллельны 5, отстоят на расстояние 6 и лежат в 12 + при 6 > 0 и в 12_ при 6 < 0 при условии, что f^ — сужение на малую окрестность 5,._

Продолжим ф как функцию класса С2 в 12 так, что для некоторого достаточно малого 50 > О

^(/■(хЭ + ^б)^/^)),

если | S |<S0, dist(/(s), 8,) < 50, и ф<0 на 912.

Пусть d(x) — функция класса С2(12+), совпадающая с dist(x, 8), если dist(x, 8,) < 50, и не меньше, чем 50/2 всюду в 12+. Определим d'^x) аналогичным образом относительно 12_. Пустьd(x) = d^x) в Й±.

Для произвольного е > 0 рассмотрим теперь препятствие в области *)

<?2(х)

<A,(x) = i(x)-—-—.(11.12)

Это препятствие принадлежит С2(12), положительно в окрестности 8. и строго отрицательно в окрестности 912 и на 5\S„.

Рассмотрим вариационное неравенство

и£^К£1(1113)

«(uc, и - ие)> О VvEKe,

где

К£ = {i> E//q(12), и>ф£ в ш,(1114)

и положим

Если и£ — решение (11.13), то

Аи£ > 0 п.в. в 12.

Поскольку, кроме того, и£ EHq (12), по принципу максимума имеем и£>0 в 12.-(11.15)

Следовательно, коинцидентное множество

Ле = (хЕ12, и£ = ф£}

должно содержаться в множестве { Ф£ > 0}. Откуда

ЛеС{^(х)>0, d2(x)<e<^(x)}, ЛеП5С5,.(11.16)

Пусть w — решение задачи Aw = 0 в 12, w = ф на 8, ' w = 0 на Э12\5.

Ввиду принципа сравнения u£>w в 12 + . Поэтому если х Е ЛЕ, то d2(x) w(x) < i^(x) — .

е

Так как w непрерывна по Липшицу в некоторой £2 +-окрестности 8„

w(x) > w(x°) - С\х -- х° |,

где х° — ближайшая к х точка на 8 (т.е. | х — х° | = d(x); заметим, что | х — х° К

< const ■ х/е в силу (11.16)). По определению i(x) в Q\S

l(x) = i(x°), если | х - х° | достаточно мало,

откуда■

так что d(x) < Се. Таким образом, мы улучшили (11.16):

Ле П £2 лежитв Се-окрестности 5..(11.17)

Функция ие удовлетворяет условию

иЕ = О в £2\Ле.

Из (11-17)

|ue | = lle КС В ЛЕ,

I Vue | = | 7<Д, I <С В ЛЕ.

Применяя лемму 11.1, получаем .

I ие | + | V ие | <С в £2\Ле.(11.18)

Теперь возьмем последовательность ие, равномерно сходящуюся к и в £2 такую, что V ие V и * -слабо в С” (£2). Ввиду леммы Минти

а(и, и - ие) > О,

если и G Яо1 (£2), и > фе, в частности, если и G Со“(£2), у > <р на 5 при достаточно малом е. Для таких и имеем

а(и,и - и)>0.

Аппроксимируя v G Яо*(£2), видим, что последнее неравенство справедливо также для любого и G Яо1 (£2), у > i на 8. Таким образом, и совпадает с и, и в силу (11.18) |VU КС.

Это завершает доказательство теоремы.

Рассмотрим случай, когда гиперповерхность 8 удовлетворяет условию

5СЭ£2, 8*П,.(П-19)

и предположим, что i < 0 на Э 5. Пусть

К = {уеЯ*(£2), у = 0 на Э£2\5, y>i на S}.(11.20)

Соответствующее вариационное неравенство (11.5) называется задачей с препятствием на границе или задачей Синъорини. В этом случае формально имеем иа 8 и — i > 0, Эи

> 0,(11.21)

Эд

Эи

(и - i) —— = О, Эд

где д - внешняя конормаль. Теорема 11.3 распространяется на данную задачу. Действительно, так как

J | v |2 ^CJ IW I2 пп

для любых и G С1 (42), v = 0 на Э42\5 (см. задачу 4), д(и, и) коэрцитивна и, следовательно, задача Синьорини имеет единственное решение.и. Рассуждая так же, как при доказательстве теоремы 11.3, можно показать, что и G C0,1(Q).

Вернемся к задаче с тонким внутренним препятствием и докажем дальнейшую регулярность решения. Рассмотрим сначала частный случай:

JVu-V(u-u)>0 VvEK, и€К, '(11.22)

50 — гиперплоскость.(11.23)

Положим х = (хп . . . , Хщ), где т = п - 1, у = хп иХ = (х,у) и50 = {у = 0}. Напомним, что коинцидентное множество

А = {(х, 0), и(х, 0) = ^(х) }

является замкнутым подмножеством 42. Мы будем часто отождествлять точки х и (х, 0).

Теорема 11.4, Решение и принадлежит С1 + “(42+) и С1 + “(42_) для некоторого 0 < а < 1.

При доказательстве используются леммы, приведенные ниже. Начнем с задачи со штрафом

-&ие,б +Рб(иЕ,&-ie) = 0 в 42,(11.24)

иЕ, 6 = 0 на d 42,

где 08(?) < 0, 08(?) > 0, 08 (?) <0, 08 (?) 0, если г>0, 6 40, 08 (0) -* 0, если 6 4 0, и 06 (?) — °°> если t < 0, 5 4 0. Имеем

—Дне 5^0

и, следовательно, uEi& > w (w такая же, как в теореме 11.3). Действуя, как и выше, можем показать, что

|Vue,6l<C.(11.25)

Поскольку иЕ)б > уЕ в 42-окрестности 342, оценка не зависит от е, 5, Дие>8 = 0 в этой окрестности и поэтому

|D2ue>6 |<С в 42-окрестности 342.(11.26)

Дифференцируя уравнение со штрафом дважды по произвольному касательному направлению т в х-пространстве, получаем

—Д(ОТт ^е, 8) + 0 (^е, 8 Фе^^тт^Це, 5 i^e) ^ 0.

Если DTTue> в принимает отрицательный минимум в точке Х° € 42, то

^ттме, 8 ^Вттфе ^~С В Х°.

Ввиду (1.1.26) заключаем, что

DtTue,8 >-Св 42.(11.27)

Полагая, что 6 -* 0, а затем е -* 0, получаем следующий результат.

Лемма 11.5. Имеют место неравенства

итт> — С, иуу^С в 42\А.

Лемма 11.6. Пусть supiTT <Мдля всех т. Если Д >М, (х0, 0) ^ Л и s

hXo (X) = i(x0) + Vi(x0) • (х - х0) + Д(| х - х0 I2 -my2),(11.28)

то для любого открытого множества Q такого, что (х0,0) Е Q С £2 верно неравенство w^{u-hx )>0.(11.29)

" 0

Доказательство. Имеем и > hx в (х0, 0) (так как д(х0, 0) > ^(х0)). Поскольку и - hXo — гармоническая функция в Q\A, в силу принципа максимума sup (и - hx ) > 0.

Э(2\А)0'

Но так как и — hXo < 0 в А, если А >М, получаем утверждение леммы.

Из леммы 11.5 следует, что иу - Су - ограниченная монотонная функция при у >0 и при у < 0, поэтому пределы.

О] (х) = Пт иу (х, у), о2 (х) - Кт иу (х, у)у I Оу t О

существуют. Временно предположим, что

П симметрична относительно { у = 0}.(11.30)

Тогда и(х,у) = и(х, — j) и а2(х) = а2(х). Пусть а(х) = а^х). В силу (11.11)

а(х)<0, если (х, 0)ЕЛ, т.е. если и(х, 0) = ^(х),(11.31)

а(х) = 0, если (х, 0) Е5\Л =N, т.е. если д(х, 0)><р(х).(11.32)

Требуется доказать непрерывность по Гёльдеру о. Начнем с того, что установим непрерывность по мере.

Лемма 11.7. Пусть (х0, 0) Е N. Существуют положительные константы С, С такие, что для любого малого 7>0 имеется, шар ВсУ(х), содержащийся в В^у(х0) И Х7, гдеХу = (xES, о(х)>—7}.

Доказательство. Возьмем цилиндр

Q = 5c,7^o)X(-C27,C17),■

где Сг <С1,и применим лемму 11.6. Будем различать два случая1

sup(u — hXo) достигается в точке (xi, е) на боковой поверхности цилиндра; эд °

sup (и - hx ) достигается на одном из оснований цилиндра, скажем в ' эд 0

(Xi,C27).

В случае (i)

u(xv, е) > hXo (Xi, е) = ^х0) + V^(x0) ■ (х, - х0) +

+ Л(|Х! -х0 I2 - me2)>^хх) * СаЧ2,

поскольку е<С2 7<^7 = |х2 - х0 |. Кроме того, если

(х2 - Х[) ■ v(u - i)(X!, е) > 0,

то (так как итт >-С)

(и - ф) (х2, е) - (д - <р) (х,, е) =

= (х2 -Xi)-V(w -<р)(х1,е) + Я(ц -^)ТТ>-С372

при условии, что С4 достаточно мало. Следовательно,

(и -^)(х2,е)>0.

Покажем, что для х2, как в (11.33), имеем а(х2) > -7. Действительно, если о(х2) < --7, то (и - ^) (х2, 0) = О (по (И .32)), откуда

(u - i) (х2, е) = (ы - ^) (х2, е) - (и - <р) (х2,0) =

= ео(х2) + Лиуу < -7€ + Се2 < 0,

если С2 достаточно мало (так что е < С27).,_

Множество точек х2, удовлетворяющих (11.33), содержится в шаре ВСт(х).

Так как а(х2) > —7В этом шаре, доказательство завершено.

В случае (ii) запишем

u(xY, С27)>АХо(хь C27)>^(x0) + V^(x0) (х, -х0) +

+ Д(|Х1 -xoj2 -/и(С27)2)>^(х1)-С5(С27)2.

Как и раньше, если

1^2 -Xil< С6(С27)2,(П34)

(х2 -xt) • V(u - ^)(хь С27) >0,

д(х2, С27)-<^(х2) >-С7(С27)2.

Поскольку, с другой стороны,

и(хг, С27) —^(х2) =

•= о(^2)С27 + Лиуу < а(х2)С27 + С(С27)2,

заключаем, что о(х2) > —7, если Сг достаточно мало.Множество точек х2,удовлетворяющих (11.34), очевидно, содержится в шаре ДС7(х).

В следующей лемме используется такой простой факт: если w — неотрицательная гармоническая функция в Д,(х)Х [0, 1], w>l в В5 X (0), где 5 > 0, Вь CBt(x),(11.35)

то w>e(5)>0 в В1/2(х)Х (1/4,3/4).

Лемма 11.8. Если (х0 • 0) EN, то существует число а, 0 < а < 1, такое, что а(х) > -С\х -Хо1а

с некоторой положительной константой С.

Доказательство. Докажем методом индукции, что

uy>Sk в В fc(x0)X [0,7*],(11.36)

7

где 0 < 7 < 0 < 1. Изменяя масштаб и, можно считать что (11.36) верно при к = 0. Для перехода от к к к + 1 рассмотрим для малого д > 0 функцию

иу+9к

w=(n37)

-Д7 + 0

Эта функция гармоническая в В к (Ху) X (0, 7*). Ввиду леммы 11.7, заменяя 7 на Д7*, имеем

w> 1 в В Лх)^ {0};

здесь д следует выбрать достаточно малым (но независимо от к, у и 3 =3 (д) также независимо от к, у). Используя (11.35), (после подходящего изменения масштаба) выводим, что

иу+0*—дуА+^киу+0*—дуА+^к> с > О> с > О" 1 . Bfi7fc/2(xo)X 4^-" 1 . Bfi7fc/2(xo)X 4^-VV. Так как у << /3, получаем. Так как у << /3, получаем

иу+0*

—дуА+^к

иу+0*

—дуА+^к

> с > О

> с > О

" 1 . Bfi7fc/2(xo)X 4^-

" 1 . Bfi7fc/2(xo)X 4^-

V

V

. Так как у << /3, получаем

. Так как у << /3, получаем

иу>-£к* - рк

для некоторого малого Х>0, X не зависит от ^, у, к. Если 0 < у< у*/4,то

Uy(x,7) = иу^х, ^ 'Yk^-uyy(x,y)>-pk + - ^к -Сук>

>-(i--Uk, v<y<-v.

\4/4

Выбирая у < 1/2, /3 > 1 — Х/2, завершаем доказательство для к + 1. Утверждение леммы следует из неравенств (11.36).

Завершим доказательство теоремы 11.4. Так как о = 0 в N, из леммы 11.8

о(х) - о(х0) = а(х)> -С[х -х01“,

если х0 EN, х GS. Поскольку о(х)< 0, получаем

I а(х) - о(х0)| < С|х-х0|“, x0EN, x£S.(11.38)

Имеем и = ф в intA, поэтому функция и регулярна в каждой из областей S2+, S2_ (вплоть до границы). Если Xj и х2 принадлежат Л и

|х, -х2|< min{d(xb N), d(x2, N)V =d2,

то ввиду внутренней регулярности

C|Xj -х2|

|o(xi)-o(x2)| < < С\хх -х2|1/2.

d

Если |х, - х2| > d2, то пусть х0 — точка из N, расстояние от которой до Xj и х2 не превышает |х, - х211/2. Применяя (11.38) с х=хх, х = х2, получаем |о(Х1)-о(х2)|< С|х-х0|“^2..

Таким образом, мы доказали, что о(х) непрерывна по Гёльдеру в некоторой Л-окре- стности ЭЛ. Так как о(х) = 0 в А, то о(х) непрерывна по Гёльдеру (с показателем а) в некоторой окрестности ЭЛ. Но тогда ввиду результатов теории потенциала и принадлежит С1 +“ вплоть до границы с обеих сторон S; см. задачу 4.

Теорема 11.4 в предположении (11.30) доказана. В общем случае возьмем область £2 0 С £2, симметричную относительно {у = 0}, такую, что £2оп{У=О) содержит S* = { х €5, </>(х) > 0} и положим

ДКо = О в £20,

V=u на Э£20.

Тогда й = и - V есть решение задачи с тонким препятствием в S20, где препятствием

служит J(x) = ф(х) - У(х, 0), и и = 0 на 9Q0- Можно теперь применить теорему 11.4 к и и получить тем самым утверждение для и.

Распространим теорему 11.4 на случай общих вариационных неравенств (115), предполагая, что

2Я//(х)^->Ш12

MEER", хЕП (fc>0),(11.39)

^ЕС2^),. ^6 С4.

Предположим также, что

5={у = 0),(Ц.40)

aZn(x,0) = 0, 1<2<И-1.|

Здесь использованы обозначения Х = (х, у), х = (xt;..., xn-i), как и выше.

Теорема 11.9. Если выполнены условия (1139), (11.40)_, то решение и вариационного неравенства (115) принадлежит С1+а($2+) и C1+a(S2_) при некотором 0 < а < 1.

Замечание 11.1. Условия в (11.40) не очень ограничительны. Действительно, предположим, что (11.40) не выполнены, и пусть Xй — точка на S. Тогда существует диффеоморфизм окрестности V точки Х° на область V такую, что V С\ S отображается на плоскую область в [у' = 0 } (где (х', у') — новые координаты) и новые коэффициенты а^ удовлетворяют условиям

ain(х', 0) = 0, 1 < z < и — 1;

относительно построения такого диффеоморфизма см. § 4. Новый оператор будет содержать члены первого порядка, однако это не влияет на доказательство теоремы 11.9. Таким образом, если в некоторой малой окрестности V точки Х°

и><р на ЭКАЯ,(11.41)

то можно применить теорему 11.9 в V.

Начнем с обобщения первой части леммы 115.

Лемма 11.10. Для любого малого 5 > 0 существует константа С > 0 такая, что если

р0 = dist((x0, у0), А)>0,'

го

иТт(Хо;Уо)> — ’'(11.42)

Ро

где т — произвольное касательное направление.

Доказательство. Применяя операторы DT и DTT к уравнению со штрафом в (11.24) (с заменой Д на А) и положив и = ие-&, <р = <ре, 0 = 0е, получим

Аит + Р'(и - ip) (ит - iT) = y.Dt(DTa^DjU>,(11.43)

^Аитт + f Р'(и - <р) (итт - ^т) >■

> f SO,[(2DTац - DTju) + DTTatjDjul = fJ,(11.44)

где f — произвольная неотрицательная функция.

Заметим, что доказательства (11.25), (11.26) остаются без изменений и в рассматриваемом случае оператора А. Умножая (11.43) на ^ (ит — <рт) (где f > 0, f е Яд (Я)) и интегрируя по Я, после интегрирования по частям получим

Vf I V(mt - <рт)|2 + КАфт(ит ->рт)<’

< CJ| Vf I\ит-^т\\\7(ит-^\*.^^ДОтацП}иА (ит -<рт).(11.45)

Интегрируя по частям в последнем интеграле и используя (11.25), (11.26), находим

J|VuT|2<C,(11.46)

где константа С не зависит от 6, е. Пусть и= min{ итт — tpTT + X, 0}.

Ввиду (11.26) можно выбрать X > 0 достаточно большим так, что и = 0 в окрестности ЭП. Пусть к — положительное нечетное число; возьмем f = -ик в (11.44).

-У vkA(uTT - ч>тт) - JvkA<prT > -f vkJ.(11.47)

Первый член в левой части не меньше величины

<?Л Vu^k+1)^2|2(<?>0).

В правой части имеем члены вида

L t = $ukD^aDTiu\ Lt - Ju^bD^.

Интегрируя по частям, получаем

Zi = -k$vk-xvlaDTiu = -fcJ‘u^"1W2u/y^k_1)/2aDT/K, откуда

1ЛК С(Л V^1)/2!2)1/2^*-1!/^2)1^

Интегрируя по частям, в силу (11.25) получаем

|£2|< C/|Sfuk|.

Таким образом, из (11.47) следует неравенство

yi Vv(*+i)/2,2 ^ сЛ7ик|+С/уй-’!7,7т|2.(11.48)

Для оценки последнего интеграла возьмем f = vk-x в (11.45). Тогда, используя интегрирование по частям в правой части и (11.25 ), получаем оценку

CjIVv*-1! + СЛ?^-1! IVt^l + С/у*"1^^!-

Следовательно,

Л Vi/*+i)/2p < CJIVh*-1! + Cj|Vyk| +

+ С/и*"1^^! + C/IV^"1! |VuT|.(11.49)

Полагая к = 1, в силу (11.46) выводим

Л Vu|2 < С, откуда /у2 < С.'(11.50)

Затем улучшим (11.39) при к^ 3, используя неравенства

| Л^ик|< JI Vy^+D/iiu^-n/2 <

< 7?Л Vu^k + 1^2|2 + - Jvk-X,

Г) т? мало;

Jvk-1|VuT| = /u(k+1)/2v(k-3)/2|VuT|<

< tiJu*1*1 + - Juk-3|VuT|2,

7?

JIVufc-|VuT|< Л Vu(k+1)/2|u(fc-3)/2|VMT|<

< т?л Vu^'4"1)/2!2 + - /и*-3|7мт|2.

Последний член можно оценить так же, как последний член в (11.48). Получаем для него оценку величиной

C/I^V-3! + CJ'|Vufc"3l |VuT| + C/uk-3|VuT|.

Собирая все оценки вместе в (11.49), находим для к > 3

/! Vu<* + 1>/2|2 < C/|Vufc-‘| + С/| Vu*-3! +

+ C$uk”3WuT\ + C/|Vufc-3| |VuT|. I(11.51)

Полагая к = 3 и используя (11.46), (11.50), получаем

/|Vo2|2 < С, следовательно Ju4 < С.(11.52)

Теперь можно, действуя аналогичным образом, улучшить (11.51) для к > 5; затем подставим к = 5 и выведем

/|Vu3|2 < С, /и6 < С

и тд. Наконец, vk G IV1’2 для всех к, в частности

u~T£Lp дчя всех 1 < р < °°.(11.53)

Поскольку выведенные выше оценки не зависят от 6, е, то же верно и для и = = limu6ie. Следовательно, (11.53) имеет место для решения и вариационного неравенства.

Для завершения доказательства леммы представим uTTQC0^ в Sr№)) ( где

Хо = (*о> Уо)» ~ Ро < г < ~ Ро) посредством функции Грина Gr цля А (в

№):Э6.

DTTu^=- J DTTu +$ СгАфтти\(1154)

авг(х0) др вг(х„)

Отметим, что в ДРо/2(^о)■

Сх

A(DTTu)= 20^,, где 1т,|< — >(11.55)

Ро , ввиду внутренних эллиптических оценок, так как и удовлетворяет эллиптическому уравнению Ли = 0в Вр (Yo) и \Du\C= С.

°11

Интегрируя обе части (11.54) по г, - р0 < г < - р0, получим

42

DTTu<X^ = f m(X)DTTu(X) + J M(X)A(DTTu),(11.56)

BPo/2BPo/2

где (см. задачу 5)

0< т^ОДГ1.

|V«|£-(»,.„)< C,..''

Вейлу (11.53), (11.55) и (11.57) из (11.56) выводим

DTrM(X0) > -С-Ср(”-1>/<<?-1>|(2)ттЫ)-|лр,

где 1 /р + 1 jq = 1. Поскольку р можно взять произвольно большим, нолу аем (11.42).

Ввиду (11.40), (11.25) и внутренних оценок \««пО(Пи\ < С, если 1 < i < и — 1,

поэтому из леммы 11.10 получаем

(1158)(1158)С

(1158)

(1158)

иуу< для любого малого 8>0.

1у16

Следовательно, иу - Су1-5 - ограниченная монотонная функция при у > 0 или у < 0 и, таким образом limuy (х, 0±) существует.

Теперь возьмем область Qo, симметричную относительно { у = 0}, такую, что Яо 1^ {у = 0) содержит множество 8, (где у? > 0). Пусть

и*(х, у) = и (х, у) + и(х, —у).'

Эта функция симметрична по у и и*(х, 0) > 2<р(х) вблизи dQ0 ^ ^ Имеем

ЭЭЭх,-Эх,-^х.у^ац^х, -у))^х.у^ац^х, -у))du*(x, у)du*(x, у)

Э

Э

Эх,-

Эх,-

^х.у^ац^х, -у))

^х.у^ац^х, -у))

du*(x, у)

du*(x, у)

в й0, где

Откуда следует, что / — ограниченная функция.

Определим <р*(х) = 2^ (х) и о*(х) = иу (х, +0). Для установления леммы 11.6 для и* (с препятствием </>*) возьмем

йХо =фЧХ0) + V</(Yo) • (х -х0)+Д0(|х -х0|2 -Ny1^;

N достаточно большое так, что AhXa > 0 и Ао> sup |D2ip|. Поскольку

С

(вместо иуу С С), доказательство леммы 11.7 нуждается лишь в' незначительной модификации; утверждение здесь следующее:

#С7(*) с 5^, (х0) П X 9 для любых 0< 9 < 1.

Для распространения леммы 11.8 на рассматриваемый случай построим функцию w0 такую, что

Д(н’0+иу) = 0 в К,

w0 = 0 на дК, 1

где К — цилиндр В fc (х0) X (0, yfc). Так как w0 G С“, находим (после изменения

7

масштаба)

Iw0|< C-rk“.

Теперь заменим w в (11.37) на функцию иу +Pk + w0 + Cyfc“ w= ,

-p.-tke +9k

где 0 < 9 < 1. Поскольку Дн' = 0, можем действовать, как и раньше, для доказательства (11.36) по индукции. Располагая леммой 11.8, выводим, что а*(х) € С“ в окрестности V границы ЭЛ. Функции

«i(x,y)=u(x,y),u2(x,y)=u(x, -у)

удовлетворяют условиям.

И,Н; = О (Л,- эллиптический) в £2+,

duidu2'

w1-w2=0,= 2o’GC"bH

ЭуЭу

Ввиду известных результатов по регулярности для эллиптических систем [ЗЬ] отсюда следует, что и, G С1 +“ в £2 + U V. Это дает утверждение теоремы 11.9.

Замечание 11.2. Теорема 11.9 остается справедливой (с очевидными модификациями) для задачи Синьорини.

Замечание 11.3. Функция

и= Re(z3/2} = r3/2cos(30)/2 (-яС 0 < тг)

является решением задачи с препятствием ^ = 0 на оси х она не принадлежит С1+“ в { у > 0} для любого а> 1/2..

Задачи

Рассмотрим задачу Синьорини

uGK, JVu • V(u - u)dx > ff(u-u)dx VuGK,1

nn.

где

K = (иеяЧП), V>O на Э£2 }.

Доказать: если решение существует, то J fdx С 0 (условие J fdx < 0 является и ■ пп

достаточным; см. [141]).

Найти решение задачи 1 в случае £2 = {| х | < 1}, f= const.

Решить:

и" = 7, если — 1 < х < 1,■

н(- 1)=0,

u(l)>0, и(1)>0, (uu')(l) = 0.

Показать, что если Д и = 0 и Dr = {(х, у); у > 0, | х |2 + | у |2 < R2 } и иу = а на у = 0, об С“, то к € С1+“(0До) для любого Ro < R.

[Указание. Представить и через функцию Неймана в полупространстве У>0-]

Доказать (11.57). [Указание. Введите X* =Х0 + Ро-^-]

Рассмотрим задачу Синьорини

иеК, f Vu-V(v-u)>-Jf(v-u) VuGK, пп

где К определено в (11.20) с <р = 0,/"€ С“ (£2), и выполнено (11.9). Положим

ЛО = -H^—G(х, ^)dx (^ G Э£2), п

где G(x, S) - функция Грина для - Д в 42. Доказать: если So € int 5 и / (So) < О, то u (So) >0.

Рассмотрим задачу с тонким препятствием в условиях теоремы 1И4 в предположении, что л = 2 и ^(х) аналитическая. Доказать, что Л состоит из конечного числа интервалов.

[Указание. Пусть v — гармоническая сопряженная к и в

Im г > 0 (z = х + г», /-'(z^utx, y) + zu(x, у), F'(z)=G + iF,

Ф(г) — голоморфное продолжение ^(х). Тогда

(F’(z)-Ф’(г))2 -(G+iF-Ф')2

голоморфна в Im z >0 и на у = 0 равна

ф-Ф\х^2 - V1 + 21(и-Ф'(х))У&Я.

Следовательно, g = (U - Ф')2 - V2 имеет аналитическое продолжение на {у <0) . Далее, g Ф 0, так как g = - V2 на Л и J V(x, Q)dx Ф 0. Если g(x) < 0, то - Г(х) > >0 и х G Л; если g(x)> 0, то xGTV; если х - точка свободной границы, го. ?(х)=0.]

Рассмотрим задачу с тонким препятствием для пластины:

/ ДиД(п-и1>0 VyG/f; и£К,

где 42 - круг { х2 + у2 < 1} и К = ( и G //о (42), п(^, 0) > tp(x) }. Предположим, что ^ £ С2 и ^(±1) < 0. Доказать, что u G WS’P(U) V р < 2 (и, следовательно, и G W2-'^) Vr <=о).

[Указание. Для любой точки - 1 < х0 < 1 существует окрестность U точ ки (х0, 0) такая, что если и G К то функция

ие = и + eg""1 f2 (х) Д 2h [(а + n)g]

принадлежит К для произвольного малого е > 0, где f G С» , f = 0, если (х, 0) ^ U, 0 <f < 1, д - некоторое вещественное число и

1

g(x) = 1 — — (егх - егх°) для некоторого г>0;

см. задачи 4 - 6 из § 10. Подставим ие в вариационное неравенство и выведем, что ux G Н2. Далее, ввиду симметрии (д/д^Ди сохраняет знак на у = 0 (в смысле распределений). Поскольку Ди гармонична в 42+, отсюда вытекает, что

Э

у = Оу = О— Ди Эу

у = О

у = О

Представим Э (Ди)/ду через функцию Грина в 42+ и покажем, что она принадлежит Lp (42+) для любого р < 2.]

§ 12. Библиографические замечания)

По теме вариационных неравенств недавно вышли две книга: Байокки и Ка- пело [20], Киндерлерера и Стампаккьи [126b]. Назовем также краткий обзор Кин- дерлерера [122с]. Систематическая теория существования для вариационных неравенств впервые была развита Лионсом и Стампаккья [141]. Изложение § 2 соответствует работе Стампаккьи [167а]; метод, схематично описанный в задачах (1.1) — (1.5) взят из [141]. W2,р-оценки для задачи с препятствием впервые получены Леви

и Стампаккья [138а—с]. Метод штрафа использовали Брезис и Стампаккья [53а]; см. также Брезис [45а] (откуда взята задача 5, § 3), Герхардт [104а] и Лионс [140]. Аналогичные результаты при условии Неймана на границе получены Мурфи и Стампаккья [149].

Результат о локальной IV2’“-регулярности (теорема 4.1) получен Брезисом и Киндерлерером [49]; частный случай ранее изучил Фрезе [93а]. Глобальная И/2,“ - регулярность установлена Йенсеном [116с]. Задачи 3-11 из § 4 основаны на работе Каффарелли и Киндерлерера [62]; см. также [581]. Фрезе, Моско [184] и Фрезе [93е] доказали непрерывность по Гёльдеру для решений задачи с препятствием в случае негладкого препятствия.

И/2,р-регулярность для двух препятствий дбказал Брезис [45а] и локальную 1Г2,00-регулярность - Кеффарелли, Киндерлерер [62] и Шипот [71а].

Задачу фильтрации (см. § 5) исследовал Байокки [19а], схожие задачи рассматривал Бэа [26]. Физическая задача поставлена Ланшон в [131], там же был выведен вариационный принцип; см. также монографию Дюво, Лионс [81]. Брезис [45b] решил задачу (6.3). Теорему 6.1 доказали Брезис и Сибони [52]; 1Г2,Р- регулярность (теорема 6.2) установлена Брезисом и Стампаккья [53а] для выпуклых £2; изложенный здесь вариант принадлежит Герхардту [104b]. Локальную И/2,р-регулярность для общих вариационных неравенств с ограничением на градиент недавно получил Йенсен [116d].

Теорема 7.1 (W2,“ -регулярность) принадлежит Каффарелли и Ривьере [63е]. Другой метод, основанный на рассмотрении задачи со штрафом

-Ди +3е (I VM I2 - 1) = -Д,

недавно предложил Эванс [85] в случае односвязной области. Результат Эванса обобщил Вигнер [181]; см. также [191]. Простой, но полезный результат из задачи 2, § 7 впервые был замечен Тингом [172b].

И^’^-регулярность для параболических вариационных неравенств с одним или двумя препятствиями доказана Брезисом и Фридманом [94d, е, g]. Оценки носителей решений, приведенные в задачах 8—12 из § 8, выведены Брезисом, Фридманом [48]. Брезис [45а] изучил вариационные неравенства (8.10) с замкнутыми выпуклыми множествами К общего вида. Метод доказательства, схематично представленный в задачах 10—11 из § 8, взят из работы Эванса и Кнерра [87а].

Дюво [80] преобразовал однофазную задачу Стефана в вариационное неравенство. Теоремы 9.1 и 9.2, а также задача 9.3 взяты из статьи Фридмана и Киндерлерера [97]. Относительно двухфазной задачи Стефана см. Фридман [94а, b, h], Рубинштейн [156] и библиографию в указанных работах.

Однофазная задача Стефана с сверххолодной водой изучалась Фридманом [94f], Йенсеном [116b] иванМоербек [144а, Ь].

Материал § 10 изложен в статье Каффарелли и Фридмана [58d]. Фрезе [93b, с] ранее доказал К'2’”- и И/3,2-регулярность. Каффарелли, Фридман и Торелли [60b] доказали ^’“-регулярность для соответствующей задачи с двумя препятствиями и дал контрпример, показывающий, что решение вообще говоря, не принадлежит С2, если п > 2.

Задача 3 из § 10 дается по статье Брезиса и Стампаккья [53d]. Они рассмотрели такое вариационное неравенство с множеством вида Ка р = { и G Яо (£2), а < < Ди <0}- Каффарелли, Фридман, Торелли [60а] исследовали такое вариационное неравенство при - а= ^ = е>0и доказали, что когда £2 — прямоугольник или правильный треугольник, решение и = ие удовлетворяет условию (1/е)Дие -*■ U при е ->-0, где U - решение задачи с препятствием для оператора -Ди препятствия J2(x) = = (dist(x, Э£2))2.

Эванс и Кнерр [87b] изучали упруго-пластические задачи для пластин; ограничение представляет собой дифференциальное неравенство, включающее вторые производные и. Они доказали W3,2-регулярность.

Задачи 4-6 из § 10 основаны на работе Фрезе [93b].

Содержание §11 соответствует работе Каффарелли [56d]. В несколько поздней работе Киндерлерер [122d] получил аналогичный результат, используя другую регуляризацию штрафом. Леви [137а—с] изучил непрерывность по Липшицу решения в двумерном случае и показал, что коинцидентное множество состоит из конечного числа интервалов в случае аналитического препятствия (этот результат приведен в задаче 7 из § 11). Аналогичные результаты получены в [16]. Фрезе [93d] показал непрерывность первых производных при любой размерности; см. [93d], где даны подобные результаты для тонких препятствий для минимальных поверхностей. Результат задачи 8 из § 11 получен Каффарелли и Фридманом. Недавно Шилд [188] установил IV 2,00-регулярность в n-мерном случае для задачи с тонким препятствием для Д2 и С2-регулярность при п = 2.

Задача Синьорини для систем моделирует деформации в линейной упругости. Впервые она изучалась Фикерой [89] .Фикера установил существование решений в Я1. Киндерлерер [122е, f] доказал, что решения принадлежат Я2 и вывел оценки коинцидентного множества; при и - 2 он показал, что решение принадлежит С1,а.

В недавно вышедшей монографии [192] приведено большое количество примеров задач со свободной границей, возникающих в физике и механике.

ГЛАВА 2

ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА: АНАЛИЗ СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЫ

В этой главе будут изучены регулярность и конфигурация свободной границы. Показано, что если некоинцидентное множество имеет положительную плотность в точке х0 свободной границы, то в окрестности этой точки свободная граница гладкая. Положительная плотность в х0 некоинцидентного множества вытекает (при подходящих условиях) из общих теорем, доказательства которых здесь приводятся.

Для вариационных неравенств из пт. 1, возникающих в физических задачах, в зтой главе будет установлена гладкость свободной границы, а также изучена ее форма. В главу включены результаты по устойчивости для свободных границ и примеры вариационных неравенств, в которых свободная граница имеет особенности.

§ 1. Преобразование годографа

Покажем, что если свободная граница класса С1, то она фактически сколь угодно гладкая при условии, что коэффициенты уравнения и препятствие достаточно гладки. Рассмотрим для примера вариационное неравенство

Ди>/, и>0, (Ди -f)u = О

(1.1)

в области G С Rn и обозначим Q некоинцидентное множество { ы >0}, а Г - свободную границу. Таким образом,

Ди = fв Я,

. и = 0, Vu = 0 на Г.

(1.2)

(1.3)

Потребуем:

Г класса С1, иЕС1 в йи Г,

(1.4)

(1.5)

где последнее условие означает, что Вги непрерывна в (1 и имеет непрерывное продолжение на Г. Докажем регулярность Г в окрестности произвольной точки х° G е Г, причем не требуя, чтобы и, Г, Q были обязательно из вариационного неравенства (1.1); Q - произвольная область в R" и Г — открытое подмножество Э Q.

Теорема 1.1. Предположим, что выполнены (1.2)-(1.5) а х° е Г. Тогда

(i) если /(х0) * 0 и f класса С1 в окрестности х°, то Г класса С1*" для любого 0 < а < 1 в некоторой окрестности х°;

(И) если f е Cm+^ (m > 1 целое, 0 < Д < 1) в окрестности х°, то Г класса ^m + i+0 Q некоторой окрестности х°; .

если f аналитическая в окрестности х°, то Г аналитическая в некоторой окрестности х°.

Доказательство. Возьмем, для определенности, /(х0) > 0. Подберем локальный диффеоморфизм х -* у и преобразование и(х) в и(у) так, чтобы Г локально отображалось в у^ = 0 и и удовлетворяла эллиптическому уравнению { У1 < 0} с нулевыми данными Дирихле нау1 = 0. Тогда утверждение теоремы будет следовать из известных результатов по регулярности на границе для эллиптических уравнений.

Положим

дид2и

Ui ~ —,= —:— •

дх,дх[ дх]

Для простоты возьмем х° = 0 и предположим, что внутренняя нормаль к Г в х° имеет вид (1,0,.. ., 0). Продолжим и i как функцию класса С1 в окрестность 0.

Заменой переменных

уа=ха (2Са<п\ yt=-ut '(1.6)

определим новую функцию и (у) следующим образом:

и(у) = Х1У1 + и(х\(1.7)

Тогда

и< = 0 на Г,

Uia (0) = 0 (1 < / < п, 2 < а < п),

и из (1.2)

«и(0)=Г(0)>0.

Следовательно, det(dy/dx) * 0 в 0, так что (1.6) действительно является локальным диффеоморфизмом. Он отображает окрестность 0 в £2 на открытое множество IV в { У1 < 0} и окрестность 0 на Г - на открытое множество 5 на у i = 0; 0 6 5.

Заметим, что

duty') = Xidyi +ytdxi + du =

И

= Xidyi -utdxi + 2 UjdXj = i=t

nn

-xidyi+ 2 uadxa = x1dy1 + 2 uadya,(1.8)

a=2a=2

так что '

Ui=Xi, va=ua (2CaCn\(1.9)

n

где и, = ди/ду/. Так как IS задана уравнением у t = 0 с произвольными уа ( 2 (yaV ■. а- 2

мало), соответствующие точки в х,--координатах имеют вид

Xi = Ui(0,y2,. .. ,у„), ха=уа (2<а<л).

Таким образом,

Эи

*i = — (0,х2,... ,х„)(1.10)

Эу1

есть локальная параметризация Г вблизи 0, и остается лишь'установить гладкость ив W U 5.

Для нахождения дифференциального уравнения для и заметим, что

С другой стороны, так как Xi = У1,х01=уа (^^аСп),

(1.И)(1.12)(1.13)(1-14)(1.И)(1.12)(1.13)(1-14)

(1.И)

(1.12)

(1.13)

(1-14)

(1.И)

(1.12)

(1.13)

(1-14)

/ду\ /ЭхЧ"1 Поскольку! — )=( — ) , то \дх/ \Эу/

1Via

«п=-— , ula = (2<а<п\

Unии

Тогда

ди» " dva йу, uag = = 1

dxyr- i dy,- dx^

Ui д ^1 в

= - va 1 uip + vag = uap (2 < a, 0 < n),

Ull

и в силу (1.2)

1 ” ,”

-— - — 2 u*a + 2 Ц^-Дипу ) = 0 в W, l/l 1 l/i i a = 2a = 2

гдеу’ =(У2,... ,УП)- Из (1.3) получаем

и(0,у') = 0 на S.

Уравнение (1.13) имеет вид

ФОХ и, и,,. .., и„, и,!,... , и,„,. .-. , и„ J ,.. ., и„„) = О

или, более коротко,

Ф(у, и, Du, D1u) = 0.

Такое уравнение эллиптическое в у° относительно частного решения и(у), если матрица

/ ЭФ \

( — )(1-15)

хди// /

положительно определенная при и = и (у) в у = у0. В рассматриваемом случае Ф = О эллиптическое в у - 0; фактически, матрица (1.15) диагональна: (Х^ с

Хи =-1/ип(0)>0, Хаа = 1 (2<а<п\

Теперь можно применить результаты о локальной регулярности для эллиптической задачи (1.13), (1.14); (1) следует из теоремы 11.1' [За]; (ii) - из теоремы 11.1 [За] и (iii) — изп. 6.7 [145] или [94с].

Теорема 11.1 обобщается на случай решений уравнения

F(x, и, Du, D2u) = 0 в П,

EEC1 по всем переменным.^ *^

Теорема 1.2. Пусть и, Г удовлетворяют (1.3)-(1.5), (1.16), и предположим, что F эллиптично относительно и (х) в некоторой точке х° е Г и

F(x°,0,0,D2u(x°))*0.

Тогда

Г класса С1 *а для любого 0 < а < 1 в окрестности х°;

если F G ст*@ (щ > 1, 0 < /3 < 1) по всем аргументам, го Г G Ст+1+^ в некоторой окрестности х°;

если F аналитическая по всем своим аргументам в окрестности х°, го Г аналитическая в некоторой окрестности х°.

Доказательство. Рассуждаем так же, как и ранее. Единственный момент, требующий проверки, - то, что если Ф определяется из уравнения

Е^х, у, Du, D2^ = Ф(у, и, Du, D2v),

то Ф эллиптично в у = 0. Из (1.11), (1.12) находим, что в у = О

йиа@ _ Эмщ _ 1Эин _ 1

диа^ ди1а Ui 1диц и] 1

и все другие частные производные диу[дикт обращаются в нуль. Поэтому

ЭФ_ дЕ duyдГ

2 ~ ^k^m = 2 S -- ^k ^т - 2 -£, ^j,

5vkmк,т i,j buy 9vkmi,j dUy

где ?! = 51/^11 (0), Sa = Sa (2 <“ <«), и эллиптичность Ф следует из эллиптичности F.

Преобразование (1.6), (1.7) можно взять в более общем виде

(1-17)(1-17)(1.18)(1.18)(1.19)(1.19)(1.20)(1.20)У а = ха (А + 1 < a < л),

(1-17)

(1-17)

(1.18)

(1.18)

(1.19)

(1.19)

(1.20)

(1.20)

Ур = -ир (1<0<к), к

и= L хауа + и.

а = 1

Так же имеем:

если Е(х, у, Du, D2u) = Ф (у, и, Du, D2u) и Е эллиптично относительно и в 0,

то Ф эллиптично относительно и в 0.

Преобразование

У<=-“х, (Ki<n)

называется преобразованием годографа; (1.17) — частичным преобразованием годографа. Преобразование (1.20) и

п

и = S х{у4 + и

i= 1

называется преобразованием Лежандра. Мы будем называть также (1.6), (1.7) (и, более общо, (1-17), (1.18)) преобразованием Лежандра.

Теорему 1.1 можно использовать для изучения задачи с препятствием, если известно, что свободная граница класса С1 и решение и - класса С2 вплоть до свободной границы.'

Далее, установим аналог теоремы 1.2 для параболических уравнений. Для простоты ограничимся только случаем С"..

Пусть Л — открытое множество в пространстве R"*1 переменных(хb..,х„,Т), Г — открытое подмножество ЭЛ и

ОЕГ;

Г класса С*;

Г не касательно к t = 0 в начале координат;0 21)

и и Dxu принадлежат С* (Я U Г);

и = 0, §гадхи = О на Г;

ut - F(x, t, и, Dxu, Dxu) = 0 в Я.

Теорема 1.3. Дели (1.21) имеет место и F эллиптично относительно и(х, t) в 0,FG С” по всем своим аргументам,

/40,0,0,0, Л2и(0))#=0,

то Г класса С°° в некоторой окрестности 0.

Доказательство. Можно предположить, что локально Г задана в виде

*1 = Ф(х2,. .. ,xn,t\'

где ф G С1 и Xi < ф в £2; кроме того,

^х,(0)-0, их.х.(О) - 0

за исключением иХ1 х (0) > 0. Продолжим и t как функцию класса С1 на всю окрестность нуля и рассмотрим преобразование

У = (- и1( х2,. .. ,х„), s = t, v = xtyx +и.

Тогда и удовлетворяет уравнению

иг-Ф(х, t, и, Du, /)2н)=0,'(1.22)

гдеф эллиптично; кроме того, и = 0 Hayt = 0. Теперь применим результаты о регулярности на границе для нелинейного параболического уравнения (1.22); далее см. [123а].

Для других задач со свободной границей можно применять аналогичные преобразования. Рассмотрим здесь один важный случай:

F(x, и, Du, 0^ = 0 в Я,(1.23)

и = 0, g(x,grad и) = 0 на Г.(1.24)

Теорема 1.4. Пусть выполнены (1.4), (1.5), (1.23), (1.24),^ (х, pt,... ,p^G Е С2,

9g

(0, grad w(0)) + 0, ип (0) Ф 0

9рп

и F эллиптично относительно и в 0. Тогда

Г G C2+“ для любого 0 < a < 1 в некоторой окрестности О;

если F G Ст+3, g G Ст+1*9(пг> 1, О < 0 < 1) по всем аргументам, то Г G с^+з+З в некоторой окрестности 0;•

если F, g аналитические по всем аргументам в окрестности О, то Г аналитическая в некоторой окрестности О.

До казательство. Предположим, что внешняя нормаль к Г имеет направление положительной х„-оси и продолжим и как функцию класса С2 на всю окрестность 0. Предположим, что н„(0) > 0 и применим локальный диффеоморфизм

У=^хх,.. . ,хп_х,и^\(1.25)

функция и (у) теперь выбирается следующим образом:

vly) = x„.(1.26)

Тогда Г отображается в уп = 0 и

дхдхдрдрдудхдудх11I 0I 0Ux, ....U,Ux, ....U,п —п —ппIIооMlMlUn — 1Un — 111U«U«UnUnUnUn

дх

дх

др

др

ду

дх

ду

дх

1

1

I 0

I 0

Ux, ....U,

Ux, ....U,

п —

п —

п

п

I

I

о

о

Ml

Ml

Un — 1

Un — 1

1

1

U«

U«

Un

Un

Un

Un

Следовательно,

dx„ дуаdx„ дуаUqUqUnUn(1(1UnUnax,, дунax,, дундУп ~= u,dxnдУп ~= u,dxnи„1и„1ппVnVnду, дх.ду, дх.ппaa= ua= uaUaUaU,lU,lи),и),

dx„ дуа

dx„ дуа

Uq

Uq

Un

Un

(1

(1

Un

Un

ax,, дун

ax,, дун

дУп ~= u,

dxn

дУп ~= u,

dxn

и„

1

и„

1

п

п

Vn

Vn

ду, дх.

ду, дх.

п

п

a

a

= ua

= ua

Ua

Ua

U,l

U,l

и),

и),

откуда

UnnUnnUnn^U^Unn^U^dydxndydxnUnnU?.UnnU?.UnaU„a=- "unUnaU„a=- "unду„ду„U„U„ох„ох„unaUnunaUn^a ^nnUn^a ^nnUn«У«УU«gUa9 = UnU«gUa9 = Un^anupnUn ' U*^anupnUn ' U*Unn 'a - UaVg —-Unn 'a - UaVg —-")")

Unn

Unn

Unn^U^

Unn^U^

dydxn

dydxn

Unn

U?.

Unn

U?.

UnaU„a=- "un

UnaU„a=- "un

ду„

ду„

U„

U„

ох„

ох„

una

Un

una

Un

^a ^nn

Un

^a ^nn

Un

«У

«У

U«g

Ua9 = Un

U«g

Ua9 = Un

^anupn

Un ' U*

^anupn

Un ' U*

Unn 'a - UaVg —-

Unn 'a - UaVg —-

")

")

Используя эти формулы, можно вычислить, например, что 1п—12"—1ип—1

ди-^2 yaa +— -S иаиап^ ( 1 + Sy2)(1-27)

1?^й “ 1^пot ~“ 1^пot - 1

и, в общем случае, 0 = F(x, и, Du, D*uy= Ф(.у. у, Du, D'v)(1.28 )

и Ф эллиптично в 0.

5 У1, • •• ,Уп-1. V,5 У1, • •• ,Уп-1. V,Функция и также удовлетворяет граничному условию ^1_ ип-11

5 У1, • •• ,Уп-1. V,

5 У1, • •• ,Уп-1. V,

0»17л Ни

нау„ = 0. Так как dg/dpn + 0, можно записать это условие в виде ^п=Кух,. .. ,y„_i, и,и,,.. . ,иЯ-1), где h такой же гладкости, что и ? . Это граничное условие является условием типа Неймана и результаты по регулярности на границе, упомянутые выше, справедливы и в этом случае.

Отметим, наконец, что граница Г вблизи 0 представима в виде х„= u(xi, . . . • • •> х„_ [, 0), так что Г имеет ту же гладкость, что и и.

Замечание 1J . Предположим, что п = 2/и

Дм = 0 в П,

Эл(1-29)

=■ 0, I grad u | = 1 на Г, 0 G Г, аг

где г - нормаль и и, Г удовлетворяют (1.4), (1.5). Тогда гармонически сопряженная функция и, и (0) = 0, удовлетворяет условиям

Ди = 0 в $2, Эи и = 0, -—= 1 на Г аг

и и G С2 (£2 UГ). Применяя теорему 1.4, заключаем, что Г аналитическая. При п > > 2 такое утверждение неверно. Действительно, функция и(х) = хх удовлетворяет (1.29) С Г G С1, где Г - произвольная гиперповерхность вида

Хп = ^(Х2,- • • . <„-1).

Задачи

Доказать (1.19); здесь ' va = xa, ма = -уа (а<£),■

ир = ир (0>к),

dv= 2 xadya +2 ugdy9,

а < к9 > к

к п - к

- uaj - элемент (а,/)- uaj - элемент (а,/)^■(a<fc).^■(a<fc).

- uaj - элемент (а,/)

- uaj - элемент (а,/)

^■(a<fc).

^■(a<fc).

М = -у? =2 уГ(1у^ (g<k<r),

а к

Urs ^rs +^ ига У” (к "Cl", $).

а < к

Пусть выполнены условия теоремы 1.1 с х° = 0 и Г: Xi = ^(х2, . . . .х^. Можно ли доказать теорему 1.1, используя преобразование

уа=ха(2<а<л), >4 =х, -^(х2,...,х„)

(которое отображает Г в у ] = 0) си (у) = и (х) ?

Для задачи Стефана в одномерном случае

6t - 6ХХ = 0, если х<$(г),■

9=0, 6Х = — s'(0> еспи x = s(0, доказать, что если s G С и 9 G С вплоть до свободной границы, то s G С” .

[Указание. Используйте преобразование у = х - s (г) или у = x/s (г) и возьмите и (у, г) = и (х, t) .J

Регулярность в двумерном случае

Определим

Э1 / Эд \

Dz = =- (i),

9z2 \ dxjЭх2 /

д1 / дд \

D_ = -^- =- (+ i)

z dz2 \3X1дх2 /

и используем обозначение w (xi, х2) = w (z), где z = Xi + zx2. Как обычно,

Br=Uz\<R\ BR(z0)= {\z-z0\<R}.

Нам потребуется формула Грина в комплексной форме. Пусть w = и + /и . Тогда для любого ограниченного открытого множества Е с границей ЙЕ G С1 (кусочно) и для любой функции и G Нх *s (2 < s < 00)

- i

/ и_ВххВхг=/ vdz.(2.1)

Е z2 ЭД

Заметим, что и G СХ(Е\ X = 1 — 2/s > 0.

Пустьz0,zi — две точки в Е, z0 +zx; определим

Ее =Е П {| z - z0| >е, |z-zil>e}, е>0.'

Рассмотрим функцию

w(z) - w(z0)

u(z) = ,

(г_г0)т(2-21)

формулу Грина

w_ (z) ДххДхг +w_ (z) ДххДхг +(2.3)(2.3)_2 г 11

w_ (z) ДххДхг +

w_ (z) ДххДхг +

(2.3)

(2.3)

(Zt-Zo)"1я Е (Z-Zq/”(Z-Z,)

+ J w(z^dz,

2m ЗЕ (z - z0) (z-zt)

где w такая же, как в (2.2).

В этом параграфе мы получим результаты по регулярности свободной границы в двумерном случае. В отличие от § 1, где априори предполагалась гладкость границы (класса С1), здесь мы предполагаем лишь, что свободная граница - дуга Жордана.

Теорема 2.1. Пусть Л — односвязная Область в R1, граница которой есть кривая Жордана, и пусть Г - дуга Жордана, ГС 9 П С BR (для некоторого R > О). Пусть и - функция из С1 (£2 иг) uf.tp- аналитические функции в BR. Если

(2.4) (2-5)(2.4) (2-5)(2.6)(2.6)&u=f в 9.Г\ВК, u = ip, ^ u=V*P на Г,

(2.4) (2-5)

(2.4) (2-5)

(2.6)

(2.6)

/ - Д^ ^ О в BR,

то Г допускает аналитическую параметризацию.

Докажем возможность локально аналитического представления; в действительности это означает, что аналитическое представление имеет место глобально [27, с. 376].

Доказательство. Функция

~1 ,1

/(z) = — J In--KOdt^n(2.7)

2hbr \ z — t \

вещественная и аналитическая, так как Д/ = — /^Поэтому достаточно доказать теорему в случае / = О, иначе можно рассмотреть и - / вместо и.

Мы получим аналитическую параметризацию в окрестности z° е Г; для простоты положим z° = 0. Пусть.

V*u = uXi -iuXi = 2uz,

Х?*'Р = Ч>х1 -^Хг”^-■

Можно непосредственно проверить, что 2D-Х7*и = Ди = 0 в П, те. V*u голоморфна в П. Функция V *1 (*!, х2 ) разлагается в степенной ряд

ILa^x^ (|Х!|<28, | х21 < 25)

при некотором 5 > 0. Записывая

_ Z + Z_ Z - Z

получаем разложение

V *»(z, z)= ^ЬХц zx zu,

где ЬХц теперь комплексные коэффициенты и V *<р (г, z ) = V *у (х t, х2 ) • Ряд сходится при I z | < 5, | z | < 5, и можно продолжить его как голоморфную функцию двух переменных z, f по формуле■

^*Ч>(2,^ = ЪЬХи2х^.'

Рассмотрим уравнение для f:

Vvp(z,^) = Vu(z).(2.8)

По предположению-

_1

D_ V*»(z, z ) = D_ V*^(xb х2) = — Д^^О zZ2■

в BR и в силу (2.5), (2.8) имеет место, если z G Г, f = Г. Следовательно, можно применить теорему о неявных функциях. Из нее следует, что существует единственное решение f = f (z, V *и (z)) = t* (z) уравнения (2.8) в окрестности z = 0, £ = О и f (z, w) голоморфна по (z, w) в окрестности (0,0). Напомним, что

t*(z) = z , если zer,(2.9)

откуда видим, что сопряженные точки Г являются граничными значениями голоморфной функции.

Чтобы ввести аналитическую параметризацию, возьмем конформное отображение t -»■ g (г) из полукруга G = {| г I < 1, Imr > 0 } на Я. Так как Я односвязна и Г - дуга Жордана, существует g, отображающая вещественный интервал I = = { г 2 + Oz; -!<?!<!} на Г и такая, что g непрерывна и взаимно однозначна из G и / на Я U /; см. [27, с. 369]. Таким образом, g дает непрерывную параметризацию Г, и мы докажем, что эта параметризация аналитическая. Для простоты пусть g (0) = 0. Рассмотрим функцию.

I g(t), если Im г > 0,

Ф(Г)= (2.10)

1?Ч#(Г)), если Imr<0.

Эта функция голоморфна, если | г I < е, Imr #= 0 (где е достаточно мало, так что g (г) есть область, в которой f * голоморфна). Поскольку Фтакже непрерывна вдоль Imr = 0, можно применить теорему Морера и получить, чтоФ(г) голоморфна в { I г | < е }. Так что, в частности,# (г) аналитическая при вещественных г, | г | < е.

В оставшейся части параграфа мы ослабим условия аналитичности, заменив их на условия Ст+х-гладкости. Удобно использовать обозначения комплексного случая также и для эллиптического уравнения. Таким образом, рассмотрим уравнение

w- = к в ППВК.(2.11)

Предположим, что

w = 0 на Г, •(2.12)

к ФО в BR.(2.13)

В применении к (2.4) —(2.6) возьмем

w = uz-tpz,(2.14)

и тогда (2.4)-(2.6) дают (2.11)-(2.13) с 4к = f - Д^.

Теорема 2.2. Пустк Q, Г такие же, как в теореме 2.1,и пусть # (г) — конформное отображение G £2 (непрерывное и взаимно однозначное из G UZна П UZ, как и выше). Предположим, что w GH1*" (П), k G Сх (BR) для некоторого 0 < X < < 1, и выполнены (2.11) —(2.13). Тогда для произвольных 0 < р < Хи 0 < р< 1 имеем g(t) &.Cl+il в <t GR- - p<t < р).

Доказательство. Продолжим к в R1 как функцию класса Сх. Пусть

1 , к&)

A(z) =J ——d^d^ (R>R) я br- ^-z

и дня некоторой фиксированной z0 G Г (| z0 I < 1) положим

w*(z) = A (z) - A (z0) - Az (z0) (z — z0).

Тогда w*eCw(B8) и

w^ = k, w(z0) = w£ (z0) = 0.(2.15)

Записывая

w(z) = A(z0)( z- z^+R^z, z0) (zGBR\(2.16)

находим, что

Iz-ZqI"1 |/?(z,z0)| + |/?2(z, z0)| + | /?-(z, z0)|<C|z-z0|x.(2.17)

Заметим (ввиду (2.13), (2.15)), что для любого малого e >0 w*'

—— <е<1 в Br^o\(2.18)

w- z

если г достаточно мало. Якобиан преобразования z -*w*(z) таков:

- (I w; |2 -1 w^ |2) < 0 в Sr(z0).

Поэтому это отображение является С1+А-диффеоморфизмом из 5r(z0) в окрестность 0; обозначим обратное отображение w* ~1.

Функция Л (z) = w* (z) — w(z) голоморфна в П VJBR, непрерывна в П UP и в силу (2.12)

h(z) = w*(z) на Г.(2.19)

Определим в В8

Ф(г) =Ф(г) =g(t\ если Im г > 0, -’(2.20)

Ф(г) =

Ф(г) =

w*-1(A(^( г))), если 1тг<0,

где 5 выбрано достаточно малым так, что

g(B8 О {Im г > 0}) С Sr(z0).

Предположим для простоты, что g (0) = z0. Заметим,

J \V g |2 dtidt2 = area Я <=, n

так что g e Hx (G). Поскольку h липшицева, то отсюда следует, что сужение Ф на Im г > 0 (< 0) принадлежит Н1. Применяя утверждение задачи 7 из § 3 гл. 1, заключаем:

ФенЧв5у.

Следующие формулы можно установить непосредственными вычислениями для функции G (z), z = к (г),

DfG(k(t)) = DzG<k(t^Dtk^ + D- G(k(t)) Dtk^F),

D- G(k(t^ = Dz G(k(t)) D^k(t) + D- G(k(t»D-k(f)\

Имеем также

Dt k(t) = D-k(t), Dt k(t) = D1k^t\

DZG-X _

D-G" Z

D2G■

D-G ‘

Если G(z) имеют обратную G 1 (z), то, применяя D- к G 1 (G(z)) = z, получаем

Используя приведенные формулы, из (2.20) выводим, что

±LФгW7в силу (2.18),еслиIm г 5>0, тоФ7Фг<е < 1±LФгW7в силу (2.18),еслиIm г 5>0, тоФ7Фг<е < 1в BR.в BR.г | < 6, Im г < О. Поскольку, кроме того, Ф- = g- = О, еслиг | < 6, Im г < О. Поскольку, кроме того, Ф- = g- = О, еслиФункция Ф6Я* (Sg), удовлетворяющая такому неравенству, называется. е-квази- конформной", см. [40, с. 269]. Имеем Ф 6 Я-1 ^(В^^), где s = s(e)-> °=,<еслие -> ~*0. Отсюда geHv,s в S5/2 О {1тг>0}. Если вместо го=О возьмем другую точку г о 6 (— 1,1), то получим, что для любого малого 5 > 0

±L

Фг

W7

в силу (2.18),

если

Im г 5

>0, то

Ф7

Фг

<

е < 1

±L

Фг

W7

в силу (2.18),

если

Im г 5

>0, то

Ф7

Фг

<

е < 1

в BR.

в BR.

г | < 6, Im г < О. Поскольку, кроме того, Ф- = g- = О, если

г | < 6, Im г < О. Поскольку, кроме того, Ф- = g- = О, если

g e.Hx,XG UBV _s) для любого 1 < $<°°. (2.21)

Для дальнейшей регулярности g используем другое продолжение g (г) наЛтг < 0. Сначала определим g*(f) в G по формуле

й&(_0) = A(zo)^(O - Zo) + R(g<0, g(f)\(2.22)

где A(z, z) определяется (см. (2.16)) следующим образом: w*(z) = k(z0)^-z0) + + R(z, z). Из (2.19) следует, что g*(t) = gO), если Im t = 0. Применяя Dt к (2.22), получаем (так как h (g (?)) голоморфна)

D7R(g(t),^?)),

‘*(z0) *

так что, согласно (2.17), .

I ^(0 I < CI ^(0 11 g(0 - z0 Iх, z0 = Л(0). (2.23) Теперь в силу (2.21) имеем g G H1,s и, таким образом, g G С1 “ ^$, g* 6 L. Отсюда для любого 6 > 0

И“а1^1 е L\G П В^ь), о = А(1 - 2/s).

(2.24)(2.25)(2.24)(2.25)< сл|тГ,< сл|тГ,Отметим также, что g* G LS(GY Таким образом, функция

(2.24)

(2.25)

(2.24)

(2.25)

< сл|тГ,

< сл|тГ,

если

t е вр, о < р < 1, к | < сл,

где

^^\-аи-ХЧв^^т~Цзу

С зависит лишь от р, s, т. Доказательство предлагается провести читателю самостоятельно (см. задачу 1).

Применяя лемму к Ф, получаем

< const 1t Г,< const 1t Г,Ф(0 - Ф(0) - с г

< const 1t Г,

< const 1t Г,

если | t | < р< 1; это справедливо, в частности, для g(Z). Поскольку Zo = О можно заменить на любое t0 G (— 1, 1), для произвольного 0 < R < 1 имеем

^Wj^fUo)t- to^Wj^fUo)t- toсОо)сОо)^ Cr 11 — t0 |T,^ Cr 11 — t0 |T,(2.26)(2.26)

^Wj^fUo)t- to

^Wj^fUo)t- to

сОо)

сОо)

^ Cr 11 — t0 |T,

^ Cr 11 — t0 |T,

(2.26)

(2.26)

t0 G (-R, R), \t \ < R,

где k(k) I < C^ и CR, C'r - константы, зависящие от R, s, т и H1,4-норм g. Следовательно, g* (z0) существует и g* (z0) = c(Z0). Кроме того, меняя z, t0 местами в (2.26), находим

k(0 - c(z0)| < 2Q|t-z0 Г,

так что g G C1+t(-R, R).

Обобщим теорему 2.2 на случай более высокой дифференцируемости параметрического представления g (Z), используя обозначения из теоремы 2.1.

Теорема 2.4. Пусть Я, Г такие, как в теореме 2.1, и пусть

и G С’-'ф U Г), / G С"1*"^), у? С Cm+2+“(BR),

где m > 0, 0 < а < 1. Если и удовлетворяет (2.4)-(2.6), то параметрическое представление z -g(t) границы Г принадлежит классу cm + 1+Q.

Доказательство проведем по индукции. Предположим, что для любого -1 < Zn < 1, Z G GCABr,

8<Л = 5 c,(z0)(Z - Г0У + O(1)(Z-Z0)m + a, i = 0

где q(Z0) - функция от Zo и

£ к,(Г0)1 + ЮО)! < t = 0

если -R < z0 < R (R < 1),

где CR зависит от у), / и R. Случай m = 0 был рассмотрен в теореме 2.2. Без потери общности можем взять / = 0 (иначе рассмотрим и -f, где / такая же, как в (2.7)). Предположим для простоты, 4rog(Z0) = 0. Можно записать

х2) - Pm + ^z. z) + A(xi, х2),

где

Pm + I(z,()= S —(О!п1^*^0))гЦ^

;+i< т*1 Z!/ Iz

|Л(ХЬХ2)| < C|Z |'"+* + »

Положим A(z) = Л^ь^г) и рассмотрим уравнение для f:

Pm + ik?, О + A(z) = V*u(z).(2.27)

Заметим, что в силу (2.6) (при / = 0)

Р_Рт+АгД) = D-^*^ + O(|zr+“) =

= | A^(z) + О(|гГ+“) ^ 0,

если | z | достаточно мало и по (2.5)

^ + i(z, О + A(z) = V(z), если z € Г, f = z. Следовательно, по теореме о неявных функциях можно разрешить (2.27) единственным образом. Решение f * (z) имеет вид

Vk^ = f(z. V*u(z) - A(z)), где f (z, w) голоморфна no z, w. Так как Ли Vu непрерывны по Липшицу, то также и f * (z) непрерывна по Липшицу в окрестности z = 0.

Выбирая f = f * (z) в (2.27) и применяя D-, ввиду Ди = 0 получаем

D^m H(z, t*(z))^ + D-A(z) = 0 в Я.

Но первый член в левой части не равен нулю, следовательно, Щ(з)1 < С1гГ + й в Я.

Теперь продолжим g(f) в Im t < 0 по формуле ( gUYесли Im t > 0,.

Ф(г) = (—

lf*(?(t)), если Im t < 0, и положим

Ф(0 = Ф(0 - 2 cy(z0)(r-z0)'. i = О

(2.28)(2.28)Тогда для г, Im Г ^ 0, |Ф,| < C|z-z0 |т+а.

(2.28)

(2.28)

Поэтому можно применить формулу Грина (2.3):

^(О_^(Го) = _ £1 1

(Z-Z0)m + 1тг |z|<l (z-fo)'”+1 Z — t

111 ~

+ J Ф(г)</г.

2lTi |zl=l (Z_. f0)m + 1 z - Z

Определяя t*m + i(z0) как значение правой части при Z -> Zo, можно доказать (см. задачи 1, 2), что cm+1 (t0) существует и

^(z) - Ф(т0)(Z-Zd)m+1^(z) - Ф(т0)(Z-Zd)m+12л2лст+1 (го)ст+1 (го)|z | < 1|z | < 1ф_(z-Zo^+^z-Z) 2ф_(z-Zo^+^z-Z) 2(z)dxi dx2(z)dxi dx2j Z — Zo1-1=1 (Z -Zo^+^z-Z)j Z — Zo1-1=1 (Z -Zo^+^z-Z)4'(z)c?z4'(z)c?z(2.29)(2.29)

^(z) - Ф(т0)(Z-Zd)m+1

^(z) - Ф(т0)(Z-Zd)m+1

2л

2л

ст+1 (го)

ст+1 (го)

|z | < 1

|z | < 1

ф_

(z-Zo^+^z-Z) 2

ф_

(z-Zo^+^z-Z) 2

(z)dxi dx2

(z)dxi dx2

j Z — Zo

1-1=1 (Z -Zo^+^z-Z)

j Z — Zo

1-1=1 (Z -Zo^+^z-Z)

4'(z)c?z

4'(z)c?z

(2.29)

(2.29)

Правую часть можно оценить в силу (2.28) величиной const I z - Zo |“.

Таким образом, получили разложение

т +1

г(0 = S Ci(tn)(t-toy + O(1)(|r-f0 r‘ + ,+“), i = О

гдегде

где

где

< Го < Я)< Го < Я)m +1

< Го < Я)

< Го < Я)

s 1^о)1 + 10(1)1 < С (-R г = О

для t G G О BR при любом 0 < R < 1. Включение g G cm*Y*a теперь следует из стандартных рассуждений (см. задачу 3).

Далее, мы хотим доказать, что в условиях/теоремы 2.4 с т > 1 параметрическое представление z = g^O границы Г невырожденное.

Теорема 2.5. Пусть выполнены условия теоремы 2.4 с m = 1. Тогда для любого -1 < г 0 < 1

(2.30)(2.30)hm* О,

(2.30)

(2.30)

- ГО Q - Го)"

где либо п = 1, либо п = 2.

Доказательство. Рассмотрим функцию g* (г), определенную в (2.22).

Из (2.23) (так как мы можем взять X = 1) имеем

|gl(Z) | < С| g'(r) 11 ^Г) - z0 I,

С - константа. Поскольку 10^47)1 = \D-g*^\2=-t

И D^g (г) = О, то функция Ф (г). определенная в (2.25), удовлетворяет неравенству |Ф (z)| < g(z) sup |Ф(Г) - Ф(0)|, ltl = kl

где ( 0в { Im z > 0} "3 BR,

8^ i C\g\z) | в {Im z < 0} Ci BR

для некоторого г > 0. Напомним, что ф G Н1 ,$ для любого s > 2 (г зависит от s). Нам потребуется следующая

Лемма 2.6. Предположим, что w G Н' ’S(B) для некоторого s >2(В = Вх),

I w (z) | < q^zA sup . | w(r) - w(0) I, z G B, 11| = 1г |

q^L4BY•(231)

Если w ^ 0 в некоторой окрестности г = 0, то существует целое п > 1 такое, что ■ w(z) - w(0) lim——■— = с 4= 0.

z -» 0 Z

Предполагая, что лемма верна, можно применить ее к Ф (rz) и вывести, что (2.30) имеет место для некоторого п > 1. Если п > 3. то

^(0 ~gUo^ + с(Г- Го)" (с * 0)

не может быть взаимно однозначным отображением G в £2, следовательно, и < 2, и теорема доказана.

Доказательство леммы 2.6. Сначала покажем, что если lyefl1'^) для некоторых s > 2, 0< Л < 1 и lzy"-aw- е l\br), iz\"n(W(z) - W(0)) G U4BRy

где о > 0, n - целое положительное число, то

W(z) - JV(O)

--с CC\z\\

2-(2.32)

I z | C p < R,

где X = 1 — 2/s, г = min (о + X, 1),

c = Jr"n"' W^dtxdh +— /^""'(^(O - W^dt, (2.33) Л Br2л/ Br

C = c$'\r-n-°W7»iS(Ba iR'-^W- «W^R - py', cs зависит только от s; доказательство см. в задаче 4.

Далее мы хотим показать, что если для функции w из леммы

lim |zrn(w(z) - w(0)) = О,

IzMo(2.34)

и > О целое,

то для любых 0 < R < 1, 0 < 5 < 1

I z Г"”' I W(z) - w(0) | < С|| t"n(wy) - w(0)|| ~

L vbr>(2.35)

г e o(t-6)p,

где С зависит только от s, 5 и L\BR )-нормы q.

Доказательство. Возьмем для простоты w(0) = 0 и предположим, что

I w(z) | < AVz Г"'7

V(2.36)

для | z I = р < R, А > 0, о > 0.

Ввиду предположений относительно w условия (2.32) тогда удовлетворяются с W = w. Следовательно,

P""’TI^)I < MIMI^^ + ^""^IMl^^CR - рГ, (2.37) где т = min (о + X, 1).

Если 7 = о + X, то, используя неравенство R-n-o\ w| < А на ^BR, получаем

p^n-a-x|H,(z)| < {cjl?!^-^) + RX"X<R - р)-‘) А.(2.38)

Если 7 = 1, то легко выводим

р-^Ч^(г)| < {<-sHII^(Br) + R4R - РУ^А.(2.39)

Поскольку (2.36), очевидно, имеет место при о = 0 (в силу (2.34)), получаем (2.38) с о = 0. Рассмотрим теперь итерационный процесс. Пусть т — положительное целое число, такое, что т + 1 < 1/Х ^т. Выберем малое р >0 и о = (/" — 1 )Х для/ = 1,..., т. Из (2.38) имеем для каждого/

< { с + туАв -хН\р-п-и"пхад\\Г(ВкУ(2.40)

а из (2.39) с a = (m - 1)A —

II р"""1 w|| £“(В(1т))л) <

< (С + n-ifl-1+O"-1>x)||p-'"-(m-1>XM,|| L"tB у(2.41)

Применяя (2.40) с R = Rj_ t = Ro (1 — г?)7-1 для / = 1, 2,..., т, а затем (2.41) с R = Rm = Ло (1 — 1})т и перемножая левые и правые части этих неравенств, получаем (2.35) с 1 — 5 = (1 — т?)'”.

Для п = 0 (2.34) справедливо. Следовательно, из (2.35)

Izp"-1 |w(z)| < Сi

и ввиду (2.31) применим (2.32) к W =w; и тогда существует

Если с = 0, повторяем процесс с л = 1. Отсюда (2.42) верно при л = 1. Опять же, если с = 0, можно получить (2.42) с л = 2 и т.д. Таким образом, для завершения доказательства леммы остается показать, что

если w такая же, как в лемме.

(2.43)(2.43)то равенство lim | z \~nw(z) = 0 z -♦ О.

(2.43)

(2.43)

не имеет места при л > 0.

Схему доказательства см. в задаче 5.

Задачи

Доказать лемму 2.3.

[Указание. В силу (2.3)

и(0 - и(0)11! u(z)

= _- J --и (z^dx1dx2 + — / -dz.

tit в z(z - t)2ni as z(z - r)

Обозначим с правую часть этого равенства при г = 0: 1,1

с = — — / z*2 v-dx^dx^ + J” z 2vdz.

п в 2Ini дв

Покажите, что с конечно и,

и(г) - и(0)■

_ с = t t11и

= - - / —-и dxtdx2 +— J —-dz.

It в z (Z - t) 22л1 эв z2(z-t)

Первый интеграл оценивается величиной llkr^n^ [Jkl^-2^' к-гГ5’^^ ]1/я', где 1/s + 1/$' = 1. Если а< 2, разбейте область интегрирования на три части: Ло = { к-Г|< (1/2)| Г|), { |z| < (3/2)| Г|}\Л0,.

{|z| > (3/2)И|)\ЛО. .

Показать, что правая часть (2.29) ограничена величиной const | Г — г 0 1“-

Пусть g^ определена для 0 < t < 1. Предположим, что для любого 0< s < 1

g(r) = S c,(s)(Z - s)' + O(l)(l t - s |" + a)(0 < a < 1),

i = о

где | c,(s) | < С, I 0(1) I < С, С - константа.

Доказать, что g G C"+“.

[У к а з а н и e. Возьмите n = 2. Очевидно,

co(s) = ^(s), c,(s) = g'(s),

и из разложений

g(a + й) - g(a) = hc^cf) + О(й2),

g(a) — g(a + h) = —hct(a + й) + О(й2)

следует, что ct G С1. Разлагая в а - й

g^a + й) + g^a - й) — 2# (я) = 4й2с2(« - й) + 0(й2+“),

затем заменяя й на —й и сравнивая, получаем с2 G Са„ Предел конечно-разностных отношений второго порядка D^g = lim Д2# (z) равен с2 (z). Из

g(a + й) - g(a) = hct(a) + й2с2(д) + О(й2 + “),

g^a + 2й) — g^a + й) = hct^a + й) + й2с2(д + й) + О(й2+“)

получаем, что

_Ci(a + й) — С|(д)

Д2 g(.a + й) = —— + 0(1)

и с'| (а) существует и равно с2 (а). ]

Доказать (2.32).-

[Указание. Выразить (^(z) — B/(O))z-” по формуле Грина и применить процедуру из задачи 2.]

Доказать (2.43)..

[Указание. Найти выражение для z_"w(z) по формуле Грина в BR и для/(р) =/„(р) = sup |z_"w(z)| вывести формулу

\г\ = Р‘

F(p)<C||/| 11 11 -z Г' ||£^(flR) + Cf^Rx!s II I t - z I"1 ll^'(3BR).

где | z | = p, l/$ + ijs' = 1. Возвести обе части неравенства в степень s', умножить на | z |-,$ и проинтегрировать по z G BR. Тогда

/ /(p/p-J'<CR2-^ nkpfp-^CfVRy'R1-8'.

BRBR

Если w(z0) Ф О, | z0 | достаточно мало, то

Pon<CR"n, Po = |zol, ’

что невозможно, если п ->°°.]

Доказать следующую теЬрему: пусть Я — строго выпуклая ограниченная область в J?2 и р — строго вогнутая функция из С2(Я) (т.е. (Э2<р/Эх,Эх/) отрицательноопределенная) с условием <р < 0 на ЭЯ,

max <р = <р(х*)> 0 (х*€Я).

Пусть и — решение вариационного неравенства

—Дп>0, u>ip, —&и(и-<р)=О в Я, и = 0 на ЭЯ.

Тогда:(а) некоинцидентное множество N связно; (б) коинцидентное множество Л связно.

[Указание. Для доказательства (б) пустьх0 G ЭЯ, л^ — плоскость, касательная к ЭЯ в х0 и z = р(х) [х = (хь х2)], скажем, в (х, 7(х)) G R3. По принципу сравнения L (х) > м(х), где х3 = L (х) - уравнение для пХо и |V£(x0)l > > |Vu(x0)l, V£(x0), Vm(x0) направлены по но/рмали к ЭЯ в х0. Отображения

Г^ х0 V£(x0) = 7^(7 (х )),

Го: ^о и(х0)

взаимно однозначны (поскольку Я строго выпукла) и Го С int Гj, Отображение х ->■ Vi(x) взаимно однозначно (так как р строго вогнута) отображает 7 на Г] и х* в 0. Поэтому оно отображает int 7 на внутренность Fj, следовательно, Го = = V 1(7) для некоторой кривой 7, лежащей внутри 7. Так как и < L, свободная граница Г лежит вне 7 и ^Ограничено Г и ЭЯ. Отображение

a = (V^)"‘Vu (xGN)■

открыто, о(Г) = Г и о(ЭЯ) = у лежит внутри 7 и, следовательно, внутри Г. По (а) o^N) связно. Но тогда Л\Г = o(N) U int 7 также связно открытое множество. ]

Из задачи 6 можно легко вывести, что N гомеоморфно круговому кольцу. Дополнительные рассуждения показывают, что можно применить теорему 2.1 (отметим, что Г априори не предполагается жордановой кривой); подробности см. в работе Деви и Стампаккья [138а].

Общие свойства свободной границы

В этом параграфе мы установим два основных факта для задачи с препятствием:

свободная граница имеет меру нуль;

если у G Г (свободной границе), то

lim inf£>11(w(x) - i(x)) > О, х — у

х е N

где р — препятствие, N — некоинцидентное множество и i — произвольное направление.

Сначала рассмотрим простой случай:

—Дм+/>0, и >0, (—Дм+/)м = 0 в Я,(3.1)

где Я - ограниченная область в Rn,f& С“(Я) (0 < a < 1), затем перейдем к общим эллиптическим операторам и препятствиям общего вида.

Как и раньше, полагаем-

У^хЕЯ, м(х)>0},-

Л={хЕЯ, м(х) = 0}, г = э^nя.

Напомним, что и G С1-1(Я). Для простоты можем предположить, что и G С^^Я).

Докажем сначала простую лемму о невырожденности, утверждающую, что и не может быть равномерно мало в некоторой окрестности точки из N при условии / > const > 0.

Лемма 3.1. Предположим, что / > X > 0 в И, и пусть х0 - произвольная точка из N. Тогда для любого шара ВДхо) G Я

sup [м(х) — u(x0)] > Хг2/2п.(3.2)

5г(*о)■

Доказательство. Предположим сначала, что х0 G N. Функция

X,

w(x) = и(х) - и(х0)| х - х0 |

2п

удовлетворяет неравенству △w> 0 в АГ к w(x0) = 0. Следовательно, по принципу максимум^ supwB АГ О Вг(х0) неотрицательный и достигается на границе. Но так как w < 0 на UN, то должна существовать точка xt Е дВг(х0) Cl N такая, что w(xi) > 0, откуда следует (3.2).

Если х0 ф N, мы применяем (3.2) к последовательности точек xm G N, хт -*х0. Полезна следующая

Лемма 3.2. Пусть и - произвольная неотрицательная функция из C1,1(D), где D - открытое множество в Rn. Пусть | Dtju | СМ для всех i, /. Если и(у) < 82 для некоторого yEDu

dist(у, 90) > max (5, В),

где 5, h - некоторые положительные числа, то

Wu{y)\CCM8

(CM=M+i)

и для любого вектора в{

(3.3)(3.3)h т

(3.3)

(3.3)

J f Dtiu(у + te^dtdт> -См8(5 + й). о о '

Доказательство. В неравенстве

0 < и(у+$е,) = u(y) + u,(y)s + J J D((u(y + te^dtdT(3.4)

о о

(где s < dist(^, 90)) выберем et по направлению, дня которого u( (у-) = —|VuC^)l и возьмем s = 5. Тогда

0<62 — |Vu(^)| 6 + -82М.

Из последнего неравенства получаем оценку | Vm(jO I ССМ&, используя которую можно применить (3.4) с s = h и произвольным вектором и получить (3.3).

Следствие 3.3. Если хЕ N, dist(x, Г) < е, dist(x, ЭЯ) > 50 > 0, го

(3-5)(3-5)(3.6)(3.6)и(х)ССе2,

(3-5)

(3-5)

(3.6)

(3.6)

|Vt<(x)|<Ce,

где С зависит только от С111 -нормы и в Я и от 80.

Действительно, (3.5) вытекает из того факта, что и = Vu = 0 на Г и и 6 С111; (3.6) следует из (3.5) и леммы 3.2.

Теорема 3.4. Предположим, что f> Х>Ов Я. Еслих0 G Г, dist(xo,9Q) > > So > 0, то

для всех 0 < е <е0, где у и е0 зависят только отХ, 50 и С1'1 -нормы и.

Здесь мы использовали обозначение: | Л | — мера Лебега множества А.

Доказательство. По лемме 3.1 существует точка у G дВ6 (х0) такая, что u(y)>Xe2/2n.

Используя (3.6), получаем для достаточно малого 5

и(х) >6Се2 >0,и(х) >6Се2 >0,2п2п

и(х) >6Се2 >0,

и(х) >6Се2 >0,

2п

2п

если |х—у|<6е. Таким образом, существует шар ВбДу), содержащийся в ^2б(хо), в котором и > 0. Так как 5 можно выбрать не зависящим от е (для достаточно малых е), получаем требуемое утверждение.

Напомним, что для произвольного измеримого множества S

для почти всехх0 е S, т.е. почти все точки 8 имеют плотность 1. Так как по теореме 3.4 все точки Г имеют плотность, отличную от 1, верна

Теорема 3.5. Если / > X > 0, то свободная граница имеет меру Лебега равную нулю..

В следующей теореме мы изучим поведение вторых производных Dttu вблизи границы; здесь мы не предполагаем /> 0, но для простоты считаем/ = const.

-С_1-С_1(3.8)(3.8)Теорема 3.6. Пусть f = const, у G Г, dist(y, ЭЯ) > 50 > 0. Тогда если х &N, то'’

-С_1

-С_1

(3.8)

(3.8)

7 , е = , Unix-у II62(и — 1)

где С — положительное число, зависящее от п, 60 и С1 11-нормы и.где С — положительное число, зависящее от п, 60 и С1 11-нормы и.ИмеемИмеемОци(х) >Оци(х) >-С-СI In dist (х, Г) IеI In dist (х, Г) Iе(3-9)(3-9)

где С — положительное число, зависящее от п, 60 и С1 11-нормы и.

где С — положительное число, зависящее от п, 60 и С1 11-нормы и.

Имеем

Имеем

Оци(х) >

Оци(х) >

-С

-С

I In dist (х, Г) Iе

I In dist (х, Г) Iе

(3-9)

(3-9)

(ЗЛО)(ЗЛО)и, в частности,

(ЗЛО)

(ЗЛО)

lim inf Du(x) > 0, если у G Г. х — у х е ^

Доказательство. Возьмем для простоты у = 0 и определим

-Мк = inf DHu.•

S2 — k

Оценим последовательно Mk для всех к таких, что Мк > 0. Пусть х 6 N, | х | < < 2- ^*+1\ ВДх-) - наибольший шар, содержащийся в N. Тогда s < 2- <fc+1> и существует точка у0 G дВ$(х) А Г. Пусть уг — точка на отрезке ху0, расстояние от которой до у0 есть 5s; 6 мало, но тем не менее определимо. Если \Пци | <Af, то

М ,

и(yi) < — (5s)2. Предположим, что (е{, х - у0 > 5$ 0, где е( — единичный вектор

по i-му направлению. Применяя (3.3) с у = Уь h = y/b s, получим

' У J В51и(ух * te^dtdT> -СЬ3^тхг. о о

Если < е/; х - у0 > ^ 0, то заменим е,- на -е, в рассуждениях выше и заметим, что D_j; _(и = Dtiu. Отсюда

sup Di,u(y1 + Г(± е,-))>-С6!/2(3.11)

О < f <6 S

и отрезок ух + Z(±e<) отстоит на расстояние не менее Ss/2 от <)Bs(x) (для 0 < t < < V^s). Функция w= Dtlu + Мк гармоническая в 3$(х) и положительная там (так как Bs С В2-к) ; в силу (3.11) w( у) > Мк - СЪ^1 для некоторой точки у G € Bs_ssf2 - Теперь используем неравенство Харнака (см. лемму 3.9):

w(x)> w(y )с8”-1 (с>0).(3.12)

Следовательно,

Оии(х)>-Мк + с(Мк -С61/2)6"-*.(3.13)

Выбирая 6 так, чтобы С81/2 = е0Мк, где е0 достаточно мало (е0: 6 < 1/2, если С81 /2 = е0М), получаем

D,.,u(x)>-Mfc +СМ2”'1.

Поскольку х — произвольная точка такая, что | х | < 2~(k+1 \ то

-Мк^>-Мк*СМ^п-\■(3.14)

Можно показать по индукции, что

с подходящей С. Таким образом,

-М*>-С|1п|х|Ге,

если 2-(fc+1) < | х К 2-k, откуда следует (3.8).

Обобщим результат на случай / # const и эллиптических операторов вида

Э2мЭи

Аи = -^а«(х)+ ^ЬДх)+ с(х)и.(3.15)

■Ьх^х,дх4 ■

Вариационное неравенство имеет вид

(Лм-/)>0, и>ф, (Аи -/) (и - ^ = 0 в $2.(3.16)

Предположим, что решение и принадлежит Cl,1(Q) и/G С“, ^ G С2+“. Без потери общности можем взять Ь4 = 0, с = 0, иначе включим члены ^b4uXj + си в /. Можно также предположить, что ^ = 0, иначе рассмотрим и - ^ вместо и. Таким образом, не теряя общности, можно свести (3.15), (3.16) к

' ”Э2м

Аи = -S Д//(х) — ,(3.17)

i,/=1Эх.Эх,-

(Аи -f)>0, и>0, (Au-f)u = 0 в £2.(3.18)

Будем считать, что

ацес2*0-^), /ес^Щ(319)

для некоторого 0 < а < 1.

Доказательство леммы 3.1 остается верным, если возьмем

и’(х) = w(x) - ы(х0) - Ху | х - х0 |2

с положительной у и достаточно малой (зависящей от константы эллиптичности А). Таким образом,

sup [и(х) - w(x0)] > Хуг2, если х0 G N.(3.20)

ВАхо)

Теоремы 3.4 и 3.5 остаются без изменений. Для удобства ссылок сформулируем теорему

Теорема 3.7. Лемма 3.1 и теоремы 3.4 и 3.5 верны для решения задачи (3.18).

Некоторые нетривиальные ситуации возникают в доказательстве теоремы 3.6.

Теорема 3.8. Утверждение теоремы 3.6 остается верным для любого решения задачи (3.18).

Доказательство. Чтобы действовать так же, как в теореме 3.6, мы должны иметь возможность применить неравенство Харнака к некоторому малому возмущениюDifu + Мк. Для этого отметим сначала, что

^•ii ~ fif'"^- ^^jk.i^ijk "*" ^ &ik,iiUjk,(3-21)

да«к^uл

где а)к j =, и^к = и т.д. Пусть и - решение задачи

’ Эх,- ' dXjdX/dXfc

Аи° = / в В$(х), м° = 0 на дВ$(х).

Тогда и0 G С2+а, и выписывая оценку Шаудера, для и(у) = s"2u°(x + sy) в {|у I < 1}, находим

\U° 1с2 + а < С|/|са,

где нормы берутся в Bs (х) и С — положительная константа, не зависящая от s.

Формально

Аин = fii + 1^QiK,iu°ijk + ^аЛ.и^к-

Пусть и1 — решение задачи

Аи 1 = - 2 5 ajk, i и^к в Bs (х),

д’ ~ 0 на дВ$.

Тогда опять же

.| U1 1с2+а < С|/1са,

Au1. - -l^ajk jU^ 2'5Laj-k,iiu^k + Sa/t^-u^.

Далее, пусть и2 - решение задачи

Дк ~ ^ ^)к,Ци^к ~~ ^ ajk,i^jk ® ^хС^)}

м2 = 0 на дВ^х).

Тогда

I U2 1^2+a ^ Cl/I^a. Окончательно, если Л и = 0 в В$(х), и = и®.+u* + п2 на ЭВ$(х), то функция и = и®.* и! + и2 — и удовлетворяет

Au=fu в В$(х), и=0 на ЭВ$(х),(3.22)

I v lc0 < const для некоторого /3 > 0.

Из (3.21) видим, что

АиИ = fa* go + 2 Djgb i = i

где go, gj — функции класса L°°. Следуя изложенному выше методу, можно найти функции и, такие, что

Avo=go, Avj = Djgj (Kj<n) в ВДх), и,- = 0 на ЭВ$(х)

I и,- |см < С для любого 0 < и < 1. Пусть

И = и + Su,-. / = о

Рассмотрим функцию w=DHu- V + Mk+Cs^ в В$(х).(3.23)

Она есть решение уравнения Aw= 0. Напомним неравенство Харнака [ 161 е]:

Лемма 3.9. Пусть и удовлетворяет уравнению д2иди

-Еа»(х) + S6,(x) + с(х)и = 0

dXjdXjдх,-

в Вр. Предположим, что ^ау^Д^ХШ2,^\ЬД<М, ОСс^М,

Хац^-ау^у^^А \х-у Iе, Х>0, М>0, А>0, е>0.

Если и положительна в Вр, то для любых | х | < р(2, | у | < р 1Р(р — 1 у1)"-1

у p-lxlР

где у - положительная константа, зависящая только от X, М, А, е. Далее, так как I И|с0 < const, И = 0 на ЭВ$(х),

можно выбрать С достаточно большой в (3.23) так, чтобы w была положительной в В,(х). Применяя неравенство Харнака, как и в доказательстве теоремы 3.6 (см.

получаем (ср. (3.13)).

Оци(х)>-Мк -Cs0 +т8"-ЧМк -C81/2 - Cs0).

Выбирая 6 также, как и раньше, получаем (см. (3.14))

1 > -Мк*Ш2п-х - С2-0к.

и можем вывести, что Мк < Ск-6.

Определение 3.1. Для любого ограниченного множества минимальным диаметром S (обозначается MDS) называется нижняя грань расстояний между парами параллельных плоскостей Пь П2 таких, что S содержится в полосе, образуемой П!, П2.

В двух следующих параграфах мы будем изучать поведение свободной границы в окрестности точки х° G Г. Для простоты возьмем х° = 0. Рассмотрения будут зависеть от ’’толщины” Ав 0, что выражается в терминах

(3.24)(3.24). MD(AПЛ,)

(3.24)

(3.24)

5 г (A) =

Легко проверить, что

I А П 8, | с0 ■ ' С 6,(А) < 2(3.25)

I ° г I

(с0 — положительная константа).

Действительно, для г = 1 это очевидно, а при произвольном г устанавливается путем изменения масштаба.

Следующая фундаментальная теорема принадлежит Каффарелли [56b] и будет доказана в двух следующих параграфах.

Теорема 3.10. Предположим, что / > X > 0 в $2. Тогда существует положительная неубывающая функция о(г\

0<г<г0, а(0+) = 0.

такая, что если для некоторого 0 <r<rQ

8,(А)>а(г),(3.26)

го для некоторого г > 0 ГП S~(0) задается поверхностью класса С1:

^i — ^(^1, • • • > *i— 1, ^/ + 1, • • * »-^n) (X G С )

и и принадлежит C2((/V и Г) П В~ (0) ).

Ввиду (3.25) справедливо также

Следствие 3.11. Если

I АП8,| lim sup > 0,■(3.27)

г - о | 8, |

то утверждение теоремы 3.10 остается верным.

Доказательство теоремы 3.10 показывает, что а(г) можно выбрать не зависящим отх° G Г при условии dist(x°, ЭГ2) > 50 > 0.

В теореме 3.10 и — решение обшей эллиптической задачи с препятствием (т.е. (3.18)). Сначала мы рассмотрим, однако, частный случай

Л =-А, /=1,(3.28)

и только в конце (см. § 5) отметим необходимые в общем случае модификации.

Выпуклость коинцидентного множества

Результаты этого параграфа будут использованы в § 5 при доказательстве 'теоремы 3.10.

Определение 4.1. Функция и принадлежит классу Рг (М), если

и G С1 -ЧВ,). sup I Dyu I <М(4.1)

■в,

для всех производных Dy = DjDj,

и>0 в Вг,'(4.2)

0 G Г,'(4.3)

Ды = 1 в М(4.4)

где n = ueb„ и(х)>о), г = элт в,..

Положим Л ={х GBr, u(x) = 0) и запишем У = N(u), Л = Л (и), Г = Г (и). Отметим, что и (0) = 0, Vu (0) = 0. Для любого фиксированного s > 0 1

«sW = Tu ($х) s

принадлежит Рг^ (Л/), если и 6 Р, (М) и

Л(и$) = А,(«), N(us) = N^u), Г (м,) = Г$(и), где по определению Es = {х, sx G Е} для любого множества Е.

Предположим, что

и^ G Р,т(Ж гт -* г», го >0, u<m) -* «о(4-5)

равномерно на компактных подмножествах ВГе. Тогда, очевидно,

lim Л (u”1) С Л(и0),(4-6)

m *

где lim Х(ит ) означает множество всех предельных точек последовательности tXm^.XmE Читу

Л е м м а 4.1. Если (4.5) имеет место, то uQ G Рг. \М^ и

to N^u”^ С jv^'(4.7)

m

Доказател ь с т в о. Предположим, что

уЕ to N(um')\N(u0\ m —► ое

Тогда и0 = 0 в Ве (у) для некоторого е > 0 и в то же время существует последовательность ym EN(u^ ) такая, чтоут -*у. По лемме 3.1

sup и^ > e2fon,

Ве12(Ут~)

и так как и^ -*и0 равномерно b Ве (у), если е достаточно мало, то sup «о > е2/8л > 0; ве(у)

приходим к противоречию.

Очевидно, что ив удовлетворяет (4.1), (4.2) и (4.4). Ввиду (4.7) справедливо (4.3) для м0 и тем самым и0 G РГв (MV

О п р е д е л е н и е 4.2. Если

uwEP,M, ет4 0,uwEP,M, ет4 0,и^ -> и0 ети^ -> и0 етравномерно на компактных подмножествах R"равномерно на компактных подмножествах R"(4.8)(4.8)

uwEP,M, ет4 0,

uwEP,M, ет4 0,

и^ -> и0 ет

и^ -> и0 ет

равномерно на компактных подмножествах R"

равномерно на компактных подмножествах R"

(4.8)

(4.8)

(т\ то м0 _ выпуклая функ-(т\ то м0 _ выпуклая функ-(напомним, что и^т^ получается из м^т^ изменением масштаба), то назовем м0 блоуап-пределом^ рдяи^

(т\ то м0 _ выпуклая функ-

(т\ то м0 _ выпуклая функ-

Лемма 4.2. Если и0 — блоуап-предел для и ция в R".

Доказательств о. По теореме 3.6

П“и<Г2^ = ^й*0*1^^ > -C|ln(em |х|)| е.

Следовательно, для фиксированного R > 0 функция

wm^ = и^тНх) + С |1п(ет/?)Ге |х|2

выпукла в Br (т.е. Z)« w> 0 для любого направления /) и wm -*и0 равномерно в Br Таким образом, м0 выпукла.

Если и G Рг (42) и и выпукла в BR, то будем говорить, что и принадлежит P,W'

Л е м м а 4.3. Предположим, что и G Р*(М), епА 0, и€т-*и0 равномерно в компактных подмножествах BR. Тогда в подходящей системе координат м0 принимав! одну из следующих форм:.

М*) = 2 аАх<?, at> 0,5 а( = 1/2,(4.9)

1=11=1

1 * „•

“oW = - (х„У.(4.10)

Доказательство. Рассмотрим сначала случай

int А (и) = ф.(4.11)

Поскольку и выпукла, то множество Л(м) выпукло и поэтому должно лежать в ги перплоскости. Но тогда Дм =1 пв. Следовательно, м0 является неотрицательным решением Дм0 = 1 в Rn. Так как

| DjDjUo | < М, х € Rn,.

можно применить теорему Лиувилля к D{D;ио • Получим, что D,DyM0 = const Поскольку, кроме того, м0 (0) = 0, Мо > 0, имеем (4.9).

Предположим, далее, что

1п1А(м) ^ ф.(4.12)

Пусть х G А (м). Так как А (и) выпукло, то emtx G А(м) для любого t > 0 при условии, что emt < 1. Таким образом, tx G А(мс^) и

А(м0) Э lim л(“еж) 5 C(A(u)),

где С(Х) обозначает конус, порожденный К (с вершиной в начале координат). Если х ф С(Л(и)), то х1 ф С(Л(и)) для всех х' таких, что | х - х' | < 5 (6 достаточно мало). Но тогда етх ^ N^ если 0 < ет < 1 и тем самым х' G N(ue ^. Используя лемму 4.1, выводим, что х' G 7V(m0) и> следовательно, х G VV(u0) (действительно, NQuq') выпукло и

int Л (u0) D i®t С (Л (и)) * О,

поэтому, если х ^ W(u0), то существует открытое множество в { | х* — х | < 6), содержащееся в int Л (и0) ) ■

Таким образом, мы доказали, что А(и0) = С(Л(и0)).

Возьмем произвольный вектор - С(, внутренний относительно A(uo). Тогда любая прямая, имеющая направление е{, пересекает N(u0) по полупрямой, вдоль которой D^u^ > 0 в силу выпуклости и0 Фе ~ производная по направлению е^ и Dj и0 = 0 в начальной точке (которая принадлежит Г(и0)). Следовательно, Dt u0 > 0 в А(ы0) и по принципу максимума

D{u0 > 0 в N(uoy(4.13)

Покажем, что Л(ы) — полупространство. Действительно, иначе записывая х = (р cos6,p sin 6,х3,... ,хп\

имеем.

Л (и0) С < х, 90 < 9 < 2л — 90)

для некоторого л/2 < 60 < л. Если л/2 < 9; < 90, то функция

h (х) = р”/291 cos (л9/29,)

гармоническая и обращается в Нуль на 9 = ± 9,. Отсюда для некоторого достаточно малого с > О

D,m0 ^ ch,

если 9 = ± 9, или если | 9 | < 9!, | х | =6>0(с зависит от 6). По принципу максимума тогда

D^ > ср1*116* cos (1(61200,

если | 9 | < 9,, | х | <8. Так как п/2в{ < 1, приходим к противоречию с непрерывностью по Липшицу DjU0 в 0.

Таким образом, мы доказали, что Л(и0) ~ полупространство, скажем,(х„ > 0). В силу единственности решения задачи Коши отсюда получаем, что и0 должна иметь вид (4.10).

Обозначим а (х, у) угол между векторами хи у.

Лемма 4.4. Для любых € >0,8 > 0 существует X = X (е, 8) такое, что если и Е G Р* (М и 8[ (Л(и)) > е (8] (Л) определено в (3.24)), го в подходящей системе координат

А(м) D Вх О х; а (х, -е„) <А(м) D Вх О х; а (х, -е„) <(4.14)(4.14)

А(м) D Вх О х; а (х, -е„) <

А(м) D Вх О х; а (х, -е„) <

(4.14)

(4.14)

N(и) D В\ П ^х; а (х, е„) < 8

Доказательство. Если утверждение неверно, то существуют последовательности Хт 1 0 и и^ G.?!*^), для которых (4.14) нарушается в любой системе координат. Тогда для произвольной системы координат ej, . . . , е„ хотя бы одно из соотношений

, х[Я

(4-15)(4-16)(4-15)(4-16)^(uw)^ Вхт П |х;а(х,-е„) < ~-6

(4-15)

(4-16)

(4-15)

(4-16)

N (u(m)) D BXfn П |х; а (х, е„) < - - 6 j

не выполняется.

Заметим, что если (4.15) имеет место в какой-то системе координат, то то же будет верно и для (4.16). Действительно, в противном случае найдется вектор е^т^, а (е^ - еп) < я/2 — 6,

такой, что se^m^ ^ N(u^m^) для некоторого 0 < s < Хт. Поскольку (в силу (4.15)) малая окрестность — se^m^ принадлежит Л^”1)), то ввиду выпуклости Л.(и^т'') имеем О G int А^”1)); приходим к противоречию. Согласно приведенному выше замечанию заключаем, что уже (4.15) неверно в произвольной системе координат.

Возьмем последовательность и^т ^ : и^т ^ -* и равномерно в произвольном компактном множестве. Тогда и Е Р* (М\ Для любой последовательности замкнутых множеств Ат С Вх имеем (см. задачу 1)

бДИт Дт) > 11т бДД^)..(4.17)

Поскольку Л (и) Э Пт Л (и(т1), то 61(Л (и)) > е. Но тогда выпуклое множество Л(и) имеет непустую внутренность. Из доказательства леммы 4.3 следует, что в подходящей системе координат конус Л(м) будет полупространством {х„<0}.

С другой стороны, так как (4.15) не выполняется, можно найти в каждом выпуклом конусе раствора меньше, чем я/2 — 5, единичный вектор s'”, содержащийся в N(u^m^') и, таким образом, е = Um е^т^ G N(u) (по лемме 4.1). Это противоречит предыдущему выводу о том, что Л(и) — полупространство.

Л е м м а 4.5. Если и G Р* (М), б ^4 (Л (и) ) > е> 0, го существует система координат, положительное число д и функция g (xi,.. ., х„) класса С1 такие, что

Л(и)О Вм С {х;х„ < g(xx,_ . ,x„_!)L(4.18)

д и модуль непрерывности grad g зависят только отМ и е.

Доказательство. Так как

Л(и)П В1/2(у) D Л (и) П В1/4;

если | у | < 1/4, то

МП(Л(м) П Д1/2(у)) > MD(A(u) П Д1/4) = (1/4)51/4(Л(и))>е/4.

Следовательно,

лемма 4.4 справедлива при любой точке(4 ^

уе Г, |у |< 1/4..

По лемме 4.4 с у = О G Г для любого 6 = 1/т найдется система координат (е^^ (/ = 1, . . . , и) такая, что имеет место (4.14) с еп = е^^. Поскольку Л(и) выпукло, любая прямая х° + te™ пересекает Л(и) по отрезку,лежащему в (Г < Г0} и^м) -

по отрезку, лежащему в {г < Т° } (рис. 4). Если х = S xf е^ , то можно представить х° + t°e” по формуле

Х„ =№) (х'= (х2,...,х„))(4.20)

иЛ(м) — неравенством x„<gm (х').

Важно отметить, что если мы используем координатную систему с началом в нуле, в которой направление еп близко к направлению е^”1 \ то замечание относительно х° + te^m^ остается справедливым также для х° + ten при условии, что | х° | достаточно мало (рнс.4).

Так как (4.14) верно для (е^т^ в Вхт (Хт зависит от 6 = 1/,-и и е; Хт "*0), то при подходящем выборе е^ (1 < г < и - 1) для последовательности е^ -* -*е® имеем

(е») = Т”^\

(4.21)(4.21)где Тт — ортогональная матрица и

(4.21)

(4.21)

Тт -* I, где I - единичная матрица.

Из (4.14) получаем

|^(х')-^(0)|С ,

< |Х | < хт , |х |т

а из (4.21) легко выводится, что

(4.22)

если I х' | < Хж, где Рт -* 0;

здесь х„ = g° (х) — представление Г(м), которое существует в координатной системе (е?) (при х = 2х(е?) согласно сделанному выше замечанию после (4.20), и из (4.21). Из (4.22) мы видим, что g° (х') дафференцируема в 0 и градиент равен нулю.

Ввиду (4.19) можно провести такие же рассуждения относительно любой точки у € Л(м) такой, что | у ( мало. Таким образом, существуют системы координат

(е™* ?) и предельная система (при т -»<») (е®^) такие, что Л(м) можно представить в ро окрестности у (р0 не зависит оту) в виде

хп <gm,y(x') или хп < g°’y(x'\.

где х = HLx(e™’y или х = Zxte°’y соответственно. Кроме того,

l^0^^')-^°(0) |

< 0m,

если | х' | < Хт , 0т -* 0.'(4123)

Система координат е ™ ■ у связана с е®,у по формуле

ет, у = тт,У^0,Уу

где Тт,у -* / равномерно относительно у. Отметим также, что (е°’у) связана с (е®): ^.-У) -= Т°>у(е»\(4.24)

Т0,у-* I, у-* 0(4.25)

(при подходящем выборе е°,у, 1 < z < и — 1) это следует так же, как (4.21), из утверждения (4.14) для у = 0 и для у, близких к 0.

Можно переписать неравенство (4.23) в терминах (е®), принимая во внимание (4.24) и (4.25); из (4.23) получим

g°(y + h) - g° (у) = hc^y) + ho (1),

где о(1) ~* 0 при | й | -»0 равномерно относительно у, н | с (у) | <С. Это означает g° G С1.

Задача

1. Доказать (4.17). ==

[У к а з а ни е. Пусть А = lim Am = Cl U Am, n = 1 m = n

Dn = U Am. m = n

Тогда Dn ( А и любая e-окрестность А содержит Dn, n> n^ (e).]

Регулярность свободной границы в случае положительного MD (Л)

Лемма 4.4 имеет смысл для любой иGPt(My

Л е м м а 5.1. При заданных е > 0, 6 > 0 существует р^ = До (е, 6) такое, что если и G Pi (М) и 6р (А(и)) > е для некоторого 0 < р < р0, то в подходящей системе координат

Mu') D Вpxiz ^{х;-хп > 2рХ&},

NCu) D BpXi2 HU;x„ > 2рХ6} , ■(51>

X = X (е, S) определена в лемме 4.4.

' Заметим, что правые части в (4.14) представляют собой пересечения конусов с шаром, а (5.1) — пересечения полос с шаром.■

Доказательство. Если утверждение неверно, то найдутся последовательности

uw G Р^М\ рт > О, рт I О, такие, что в некоторой системе координат хотя бы одно из соотношений

A(u(m)) D ВртХ1Т П U;-xn > 2ртЛ5} ,

Nku^ ^ВРтХП П<х;хп > 2ртЛ5} не выполняется.

Подпоследовательность и^т ^ сходится к функции и G Р* (Af). Используя Рт

соотношения

Л (и) D Иш Л(и(т)), Niu) => lim N(uwy РтРт

приходим к противоречию с леммой 4.4.

Выберем теперь е < 1/8,5 < 1/8. Тогда (5.1) влечет

5рх/2(Л(и))> 1 -45 > 1/2, и поэтому можно опять применить лемму к рХ]2. Действуя по индукции, получаем следующее утверждение.

Л е м м а 5.2. Пусть е < 1/8, 5 < 1/8; определим А = А(е, 5) так же, как в лемме 4.4, и р0 = ро (е, 5), как в лемме 5.1. Если и G Рх (М), и р < р0, то существует система координат (е^) (1 </ Си) такая, что

Л(и) ^Вр^к п{-х^ > р^У^,(5.2)

П^^ВрЩг>к n{x^ >p(A/2)k45}.(5.3)

Здесь (x^k\ . . .-, x^) - координаты точки в системе координат (е^-). Мы хотим показать, что системы (Ик)) сходятся к системе (е<°)), и затем повторить доказательство леммы 4.5. Для этого потребуется оценка Л^м.

Д е м м а 5.3. При условиях леммы 5.2 существует рЕ (0,1) такое, что

Dtiu > -Мрк-Х в N (и^ П BpW2V(5.4)

Доказательство. Пусть h - гармоническая функция в Вх Г) {хп < 1/2} такая, что

h = 0 на хп = 1/2, h = - 1 на ЭВ, h { хп < I/2}.

Тогда

-М = inf h > -1. s 1 /2

Предположим (по индукции), что

DHu > -Мрк~х в N(u) О Вр^т.(5.5)

Выбирая е^к + *) так, чтобы он был вертикальным, рассмотрим функцию w (х) = Мрк""1 h (

в Л^(и) |^Вр(х/2) • Функции w и Duu гармонические в этом множестве и w СОИи на

N(u) П ЭУр(Х/2)к (всилу (55)) ина dN(u) Cl Bp(X/2)fc (в силу (3.10)).

Применяя принцип максимума, получаем.

DHu > -Мцк в Вр^^х ..

Ле м м а 5.4. Если и G С111 (Br), и > 0, к (0) = 0 и Оци > —т на интервале

Охо (I х0 | < R), т > 0, то для 0 < Г < 1-

и (fx0) < |х0 |2 т + и (х0).1(5.6)

Доказательство. Предположим, что и (toхo') =max и (tx).

О < t < 1'

Если Го = 1,то (5.6) очевидно. Если, с другой стороны, to < 1,то Dt u(toxo) =0, где

i имеет направление такое же, как х0/| х0 I • Из соотношения’

О = и (0) = и (Тох0) + JfDHu > и (t0Xo) -т |х0 |2 получаем

и (tx0) < и (tQXo) < т | х0 |2 < т | х0 |2 + и (х0).

Ле м м а 5.5. Пусть выполнены предположения леммы 5.2 и

6к = (ЗМп)Ч2ц<к - 2^2р(А/2)к "*,

х е N (и) n (Bp(xmk\BPtxmk + 1).

Тогда существует точка у такая, что | х — у | < 6к, и точки sy содержатся в N(u) для всех s:

s>Y, \sy\ С р(Х12)к-\.(5.8)

Доказательство. По лемме 3.1 существует точка у такая, что | х - у | < сек и

и(у)>6^!2п.(5.9)

Пусть $ такое же, как в (5.8). Полагая в предыдущей лемме х0 = sy, г = 1/s и замечая в силу леммы 5.3,что

DH и > -Мрк ~ 2 на Охр, имеем

к(у)<1$у|2Л/дк-2+и($у).

Подставляя (5.9) и учитывая (5.8) и определение 0к в (5.7), отсюда выводим, что u(sy) > 0.

Заметим, что в предыдущей лемме

„(fc-2)/2

а(х,у)<С—, С=С(п,М),(5.10)

так что а(х, у) -* 0 при к->°°.

Лемма 5.6. Пусть выполнены условия леммы 5.2. Тогда существуют положительное число к0 = к0(е, 5) и константа С = С(е, 5) > О такие, что в подходящей системе координат ' '

(5.11)(5.11)A(«)3Bp(X/2)fc0 n'x;a(x,-e„)< - - C5j,

(5.11)

(5.11)

^^(х/г)*0 П^;а(^.еи)< -^^(х/г)*0 П^;а(^.еи)< -С5 j.С5 j.(5-12)(5-12)

^^(х/г)*0 П^;а(^.еи)< -

^^(х/г)*0 П^;а(^.еи)< -

С5 j.

С5 j.

(5-12)

(5-12)

Эта лемма является важным усилением леммы 5.2, где вместо конусов (в (5.11), (5.12)) мы имели лишь полосы (в (5.1)).

Доказательство. Возьмем еп как е^ с к = к0 — 1 (см. лемму 5.2 относительно определения е^). Предположим, что (5.11) неверно. Тогда существует точка Xj такая, что

X; € N(u) ^ Sp (Х/2) A Sp (Х/2 > 7 + 1,]>к0,

и

а(хь-е^)< ^ - СЬ.(5.13)

По лемме 5.5 существуют точкаyj и отрезок sy, в N(u), где

s>l, | $>>/| <р(Х/2),_ *.

Положим Xj_ ] = sjXj, | sjXj | = p(X/2)/_ *. Тогда

xi- 1 €N(u)O (Bp^/2yi- ABp^^^j)

и

(в силу (5.10)). Повторяя этот процесс шаг за шагом, найдем последовательность точек X;, к0 < i </, такую, что

XiGN(u)ndBp<xmi

И

alXi,Xi_t) С-^ц^-^!2.

Таким образом, х = Х/Со удовлетворяет условию xGN(.u)ndB к и

а1х,Х])<.Ср^»-2^2[С=С(Х,д)].

Если С (в (5.11) и (5.13)) берется не меньше пяти и к0 достаточно большое, то а(х, -е„)<я/2 - 45

и мы приходим к противоречию с леммой 5.2.

Для доказательства (5.12) отметим сначала, что доказательство (5.11) применимо не только относительно 0, но и любой точки х G Г(и), | х | достаточно мало,

скажем,скажем,х€Г,х€Г,хЕВ кР^гГ»хЕВ кР^гГ»

скажем,

скажем,

х€Г,

х€Г,

хЕВ к

Р^гГ»

хЕВ к

Р^гГ»

к0, С можно взять не зависящими от х.

Если (5.12) неверно для всех положительных констант С и целых к^ > 0, то для любой достаточно большой константы С* найдется точка х0:

х0€Г(и)П5к п х>®(х, еп) ^ — ~ С*6 .

°1 ’(1/2)р(Х/2)у V > П) 2|

Ввиду предыдущего замечания Л(и) содержи^ (внутри ^ур(Х/2)к°^окрестности х0) конус с вершиной х0 и углом раствора я/2 - С6. В силу (5.2) ось этого конуса должна образовывать с —еп угол не больше, чем Со6 (Со — константа). Следовательно, если С* достаточно большая, то конус содержит 0 внутри; приходим к противоречию.

Доказательство теоремы 3.10. Рассмотрим сначала случай Аи = = —Ди, /= 1. Лемма 5.6 для и G Pi (Л/) дает то же утверждение, что и лемма 4.4 для и G Р^Му Поскольку доказательство леммы 4.5 основано только лишь на заключении леммы 4.4, то же доказательство годится и в случае и GPt(My Отсюда Г есть поверхность класса С1 в окрестности 0. Остается доказать, что и € G С2 ((У U Г) П Sp) для некоторого малого р > 0. Рассмотрим функции Dy и в N. Мы должны показать, что если х -* х0 G Г, | х0 | <р, то Dy u(x) сходятся к пределу, равному

< v, е,) • < v, ej >,

где <а, Ь?) обозначает скалярное произведение a, b, a v — внутренняя нормаль к Г в х0, заметим, что v непрерывна вдоль Г. Положим р0 = ^(х0).

Достаточно взять х0 = 0 и еь касательный к Г в 0, и доказать, что

lim Dyu(x) = 0.'(5 14)

х -► о

х 6 N

Тогда из уравнения — Ди + 1 = 0 имеем lim Dviu(x)=l.

х -* о х е n

Предположим, что (5.14) неверно. Тогда существует последовательность хт -► 0, хт GN, такая, что

(5-15)(5.16)(5-15)(5.16)|Oj/u(xm)|>T?>0.

(5-15)

(5.16)

(5-15)

(5.16)

Пусть ут — ближайшая к хт точка на Г. Введем функции

^т 00 -^т 00 -u(2 I xm ут |x+jym)(21хт -ут |)2

^т 00 -

^т 00 -

Поскольку утхт имеет направление внутренней нормали к Г(и) в ут, и(х) > 0 в области, близкой к полупространству. Следовательно, um(x) > 0 в области, которая приближенно является полупространством {(х, хт — ут > > 0} или (опять же в приближенном смысле) {<х, р0> > 0). Отсюда для подпоследовательности ит такой, что ит -* w равномерно на компактных множествах, w = 0, если (х, v > < 0 и N(w) содержит полупространство (<х, р0> > 0}. Так как w выпукла, то A(w)

совпадает с { <х, г0> < 0}. В силу единственности решения задачи Коши получаем

Так как В\Хт_ ут\(2(хт) С N(uY то Дит = 1 в Si/4(r0/2) Для всех достаточно больших т. Следовательно,

lim Z?/, ит (у0/2) = Di, w(y0/2) = 0

(поскольку е} — касательное направление); приходим к противоречию с (5.15).

Доказательство теоремы ЗЛО в общем случае аналогично. Здесь надо использовать теорему 3.8 вместо теоремы 3.6. Единственное отличие будет в доказательстве леммы 5.3 — следует его модифицировать подобно доказательству теоремы 3.8. Заметим также, что блоуап-предел решений уравнения Аи = / является решением уравнения

Ъац\^Пци = /(0),

так что лемма 4.3 и доказательство и G С2 остаются без изменений.

Задача

Обобщить доказательство леммы 5.3 на общий случай вариационного неравенства (3-18).

§ 6. Свободная граница в задаче фильтрации

Пусть О -- цилиндр в Rn + 1:

П = ВКо Хк0<у<т,

где BR - шар {| х | < R}, х = (xj,. .., хп). Будем писать X = (х, у).

Рассмотрим вариационное неравенство

-Дц+/>0, м>0, (--Ди+/)и = 0 з П(6.1)

и положим, как обычно, N=<u>0V А={и = 0), r=d?Vnfi.

Предположим, что

/еС^П); fy>0. />0вП,(6.2)

и = иу = 0 на BRgXty = HV(6.3)

uv < 0 в П.(6.4)

Тогда для любой xEBR„

(х,у) 6N. если и только если у < ^(х),(6.5)

где ф(х) - некоторая функция со значениями в [0, Я]. Таким образом, N есть х-подтрафик и Г — х-график.]

Теорема 6.1. Если Х° = (х°, р°) G Г, го существует окрестность К = = Вр (х°) X {i у - у0 i < р) точки Х° такая .что ГП V задается в виде

У= Ф(х), |х-х°|<р,(6.6)

и ф непрерывна по Липшицу.

Доказательство. Возьмем для простоты х° = 0. Напомним, что и G

С С1’^^) и без потери общности можно предположить, что и G С1,1 (£2) (иначе

заменим S2 на S2 О {^ > е) для некоторого малого е > 0 и используем теорему 4.3 из гл. 1). Функция иу удовлетворяетNусловиям

-Z^uy = -fy <0, Uy СО.

Поэтому по строгому принципу максимума

иу<0вЛГ.(6.7)

Для произвольного R > 0 положим

Nr = [SR X (0.Я)] ON.

Для любого вектора е€/?”,|е|<1,иК>0, А > 0 рассмотрим функцию

w = - Киу + еих - Аи1(6-8)

в N2R, где R такое, что B2R С ВКд. Так как -

Aw = -Kfy + efx - Af,

то в силу (6.2) если А достаточно большое (не зависящее от К, е), скажем, А>Ай, то

△w< —1 в N2R;(6.9)

можем взять А = А0..

Пусть 6 — малое .число, которое уточним позже; оно зависит только от R. Очевидно,

w = 0 на dNR О Г

и по (6.7),

w>0 на dNR, n{X;dist(X, Г)>5)(6.10)

для всех R С R' C2R

при условии, что К > К(5). Если можно показать, что

w>0 на dNR n{X;0<dist(X,r)<5),(6.11)

то можно применить принцип максимума (см. (6.9)) и получим

w>0 в Nr.(6.12)

Теперь методом от противного установим (6.11) при условии 5 < 50(Д).

Предположим, что существует точка X = (х ,у ) такая, что’

w(X)<0, xedBR, dist(^,r)<5.

Рассмотрим функцию

w(X) = w(X) + | X - X |2

2(n+l)

в N2R ■ В силу (6.10)

w(%)>0 на ^N2R n{X;dist(A', Г) >5}.

Кроме того, w > 0 на Г. Если

XEdN2R, dist(^,E)<5,

то, так как mGC1,1 и и = 0, Vm = 0 на Г,

w(X)>-Kuy-(А + 1)С08 - 2(.7?2 >0, С0>0,

при условии, что 6 < R2/С с некоторой константой С (зависящей от К, R, 6). Замечая согласно (6.9), что Диг < 0 в N2R, из принципа максимума получаем w > О в N2r- Это противоречит предположению о том, что

w(X ) = w(X)<0.

Установив (6.16), будем использовать теперь только слабое утверждение:

-Киу + еих > 0 в Nr .

Так как это верно для любого вектора е, | е | < 1, и любого фиксированного К > О, то существует конус М с вершиной х° и раствором 7 > О, ось которого параллельна -еп + J = (0,0,..., 0, — 1), такой, что

МП VCN.

То же верно (с той же 7) относительно любой точки Xе, X* G Г, лежащей в малой окрестности Х°. Поскольку N, кроме того х-подграфик, то конус с М* с вершиной Х° раствором 7 и осью, параллельной е„ +,, должен быть таким, что М* Cl V принадлежит Л. Но тогда

|ф(х)-ф(х°)|

; < С7,

|х-х°|

и доказательство окончено.

Теорема 6.2. При условиях теоремы 6.1

(О фес1 и иес2(дгиг),

(п) если fE cm + a (m > 1 целое, 0 <а< 1), то ф G Ст + 1 +“,

если f аналитическая, то ф(х) аналитическая.

Доказательство. Утверждение (1) следует из теорем 6.1 и 3.10. Заметим, что теорема утверждает возможность представления класса С1:

X,- = /1(х, ,... ,х,_ !, х,-+ ], ... ,х„,хи+ ,),

Поскольку, однако, ф липшицева, ЭЛ/Эх„ + 1 ^ 0, и можно использовать теорему о неявных функциях для обращения (6.13) в хи +, = ф(х) с ф Е С1. Утверждения (ii), (ill), следуют из теоремы 1.1.

Рассмотрим теперь задачу фильтрации из § 5 гл. 1. Непосредственно из теоремы 6.2 вытекает

Теорема 6.3. Пусть и = ^(х) - свободная граница в задаче фильтрации из § 5 гл. 1. Тогда <р(х) аналитическая для 0<x<auip '(х) < 0 для 0 < х < а.

Действительно, так как wy < 0 в некоинцидентном множестве W, то у = ^(х) аналитическая. Поскольку wx < 0 в W, то, кроме того, обратная функция х = <4x5 аналитическая, тем самым ^'(х1) Ф 0.

Теорему 6.2 можно применить также к трехмерной задаче фильтрации. Предположим, что перегородка £2 (из однородного пористого материала) в R3 задана в виде

П=< 0<х3 <Н, 0<х, <а, gi(x1')<x2 <g2(xl)},

где х3 направлена вверх по вертикальной оси. Слева от поверхности Gt: х2 = = Ri (*i) - резервуар с водой уровня Н, справа G2: х2 = g2 (х,) - резервуар с водой меньшего уровня h (0 < h < Н). Перегородка непроницаема на поверхностях So: Xi = 0, Sa: X] = а и на дне В : х3 - 0. Обозначим Г верхнее основание х3 = Н.

Полагая u(x) = р(х) + х3 (р - давление), ищем функции м(х), ^(xt, х2) такие, что

Дм = 0 в влажной части (р > 0), и=Н на G], и = h на G2 П {х3 < й}, и = х3 на G2 П {х3 > й},

и

Эм/

и = х3, — = 0 на свободной границе Г: х3 =i(xt,x2). Эи

Пусть ^(х,, х2) — решение задачи

Д^ = 0 в В,

g = ~Н2 на {х2 ^(Х])},

1 .

g= -h2 на (х2 =g2(x!)},

dg

= 0 на { х, = 0} U { X] = а).

ЭХ!

(6-14)

Предполагая, что

^,'(0) = ^'(«) = 0,

Kl(JCi)<g2(Xi)<

(6.15)

легко установить существование решения g в С1 (S). Определим теперь

w(x1,x2,x3)= J (u(xt,x2,r)- Odt, ■

g(x,,x2) в

у(Я-х3)2

В,

в G

g(x) =

1

2

.2

О в G2 Г) {x3 > h } и на T.

Действуя формально, найдем, что w — решение вариационного неравенства

wG.K,

J Vw • V(u — w) dx> -f (и - w^dx, ^u£K,(6.16)

гд,е■

K = UeH4n\ v>0,v = g на Э?2\(5О US,)).(6.17)

Теорема 6.4. Существует единственное решение вариационного неравенства (6.16), и

dw/dx3 <0e П,

(й) свободная граница задается уравнением х3 =. ^(х,, х2), где ф аналитическая в В.

Доказательство. Существование, единственность и W^ -регулярность следуют из общей теории, гл. 1. Чтобы вывести W2,р-регулярность вблизи угловых точек границы, скажем х3 = Я, используем отражение относительно х3 = Я и рассмотрим

w(x,w(x,х2,х3) =х2,х3) =[ w(X], х2, х3), если х3 <Я,

w(x,

w(x,

х2,х3) =

х2,х3) =

I w(xj ,х2,2Я - х3), если х3 >Я

(подробности см. в [167 Ь]);

Доказательство неравенства dw/dx3 < 0 вытекает из принципа максимума, как в § 5 гл. 1.

Далее, сравнивая, находим, что

1

w < — (Я-х3)2

и, следовательно, dw/dx3 = 0 на х3 = Я. Теперь для получения (ii) можно применить теорему 6.2.

В оставшейся части параграфа мы сконцентрируем внимание на двумерном случае и получим более полную информацию о свободной границе. Один из основных доказываемых здесь результатов состоит в следующем.

Теорема 6.5. Пусть у = ^(х) - свободная граница в задаче фильтрации из

гл. 1. Тогда

ф'{х) строго монотонно убывающая,(6.18)

/(0) = 0, /(а) = -«,(6.19)

ФЦП>И.(6.20)

Последнее неравенство показывает, что линия просачивания {х = a, И < у < <ф(а)} — непустое множество; этот факт хорошо известен в гидродинамике.

Лемма 6.6. Решение w вариационного неравенства (§ 5, гл. 1) удовлетворяет условиям

0<wxx<l, 0<wy>. <1.(6.21)

Доказательство. ПустьЯ*>Я, Г2, = (0<х<а, 0<у<Н*},

[ g на ЗП, П { у <Н},

8* I 0 на ЭП. П {у>Я},

К, = {иеЯ1(П,), v>0, v=g, на 9Q,}-

Пусть w, — решение вариационного неравенства

w, ек,'

f Vw,V(u - w,)> - f (и - w#) MvEK,. я.

Ввиду единственности находим, что w = we. Таким образом, достаточно установить (6.21) для w,.

Рассмотрим задачу со штрафом

— Д w+ <3€(w) = — 1 в Т1„(6.22)

w=g8 на ЭП,,(6.23)

где gs отличается от g* только в 6 -окрестностях точек (0, 0), (О, Я), (а, 0), (d, Л); gS ес4и

Э2£5д4£5Э2£5д4£5Эх2Э2Эх2Э2Эх4Эх4= 0 в (0,0) и (tz, 0),= 0 в (0,0) и (tz, 0),VVg& (О, У) < С,g& (О, У) < С,

Э2£5д4£5

Э2£5д4£5

Эх2

Э2

Эх2

Э2

Эх4

Эх4

= 0 в (0,0) и (tz, 0),

= 0 в (0,0) и (tz, 0),

V

V

g& (О, У) < С,

g& (О, У) < С,

T-rg6(a,y) < С, оу

Э2

—уЯбСк.О) < с. Эх^

Обозначим we6 решение. Выбирая 0е так, что Зс < 0, получаем, что С = d2weS/9x2 удовлетворяет неравенству

,„ /dweA2

(6.24)(6.24)-д£+^(и,е5к=--№е5)(-т—) >о

(6.24)

(6.24)

\ Эх /

в Q,. Далее, на {у = 0} имеем £ > — С; на {у = Н*} f = 0 на {х = 0} и на {х = ff} -

Э2

f = 1 “ T4g5 "Pe(g8)>”C. ду2

Следовательно, по принципу максимума С > -С’ в Я,. Аналогично d2we5/dy2 > >-С в П,. Так как

. Awe5 = 1+0e(we5)< 1

(если /3f < 0), то

I D2we5 | < С, | О2we5 | <С.

Теперь, устремляя 6 к нулю, получаем

|D2we|<C, |О2и-е|<С,(6.25)

где we - решение (6.22) при условий

we=g на 9Q,.

Полагая е -+ 0, заключаем, что wxx,wyy — ограниченные функции.

Если сможем доказать, что

wxx > 0, wyy > 0 в W = { w > 0} ,

то будем иметь (6.21), ввиду того, что Aw = 1 в W. Достаточно показать, что wxx > О в И/.

• По теореме 3.6 wxx > 0 на свободной границе. Гармоническая функция w^^ непрерывна и положительна на остальной части Э W за исключением, быть может, множества точек (0, 0), (О, Я), (а, 0), (a, h), (а, ^(п)). Обозначим эти точки Xt (1 <z <5). Если мы покажем, что

(6.26)(6.26)liminf wxx (х, v) > О,

(6.26)

(6.26)

то принцип максимума даст w,, > 0 на W.

Поскольку wxx ограничена в W, (6.26) следует непосредственно из следующей леммы типа Фрагмена—Линделефа.*

Лемма 6.7. Пусть D - ограниченная область и (х0,у0) — точка на dD. Предположим, что существует отрезок прямой о такой, что о П D = ф и (х0,у0) принадлежит границе о. Пусть и - ограниченная гармоническая функция в D и

71 = lim inf и(х, у"),

"(X.yl — Ug.y^

(x,y)e5D

7i = lim supu(x, у). (х,у)-^(х„,у0)■

(Х,у)е 3D

Тогда

7i < lim infu(x,y)< lim sup ц(х, у) < 7,. (х,у)-* (х0,у0)(х.у)-* (х„,у0)"""

(х,у)еэо' (х,у)еэо

Доказательство. Предположим для простоты, что (х0, у0) = (0, 0) и

о = {(р, 0); в = тг, 0 < р < Pi),

где (р, в) — полярные координаты. Для любого е > 0 рассмотрим гармоническую функцию

w = А р1 ^3 cos (0/3) — е In р + (71 + е) — и

в D^ = D П {т) < р < р0 } . Если А достаточно большое, то w > 0 на D^ О {р = р0 } . Так как, очевидно, w > 0 на остальной части границы D^, если т) положительно и достаточно мало, мы получаем w > 0 в О„ и, следовательно, в Do. Полагая е -> 0 и затем р -*0, имеем

lim sup и(х, у) < 72.

(.х,у')-<х0,у0')

кх.уЧ^о

Точно так же можно доказать неравенство с lim inf и.

Лемма 6.8. Для произвольной точки (х0, <р(х0)), где 0 < х0 < а, функция wyy не может принимать экстремального значения в (х0, <р(х0)) относительно любой W-окрестности (х0, <р(хо))- (Здесь W — некоинцидентное множество.)

Доказательство. Дифференцируя соотношения

w^x, ip(x)) = 0, wy (х, ip(x)) = 0,

получаем

wxx + wxylp = 0, wxy + Wyy^ = 0(6.27)

и, подставляя wxx = 1 — wyy,

Wyy<x, <p(x)) =1,'(6.28)

1 + (<P(x))

>у,у(х, <p(x)) = .(6.29)

1 + (/(x))27

Докажем лемму методом от противного: предположим, что wyy достигает локаль-

ного экстремума в (х0, Ф (х0)) ■ Тогда

d2фХх)ф"(х)

О = — wyy(x, <р(х)) = - —:;——(6.30)

dx yyV(1 + (/(х))2)2V 7

В X = х0.

По теореме 6.3 ф' (х0) ^ 0, следовательно, <р"(х0) = 0. Из (6.29) тогда получаем d

wxv^x, ф(х)) = 0 в х = х0.(6.31) dx

Но на у = <р(х)।

d— ™хУ dxd— ™хУ dxwXyX + ^ХууФ —Wyyy + И,ХХ*'|РwXyX + ^ХууФ —Wyyy + И,ХХ*'|РЭ= А— wvy,bv ууЭ= А— wvy,bv уу

d

— ™хУ dx

d

— ™хУ dx

wXyX + ^ХууФ —Wyyy + И,ХХ*'|Р

wXyX + ^ХууФ —Wyyy + И,ХХ*'|Р

Э

= А— wvy,bv уу

Э

= А— wvy,bv уу

где А Ф 0. Таким образом dw>iy/dy = 0 в (х0, <р(х0)), что противоречит принципу максимума.

Лемма 6.9. Предположим, что

-Aw + 1 > 0, w > 0, (—Aw + l)w = 0

< С, | wyy | < С< С, | wyy | < Св П = { х > 0, у > 0, х + у < е0} , | wXJC

< С, | wyy | < С

< С, | wyy | < С

w(0,y)7

и w(x, 0) = 0,- ■—-,

у22

если у 0, 0 < 7 < 1.

Пусть, кроме того, свободная граница представляет собой кривую у = ф (х) и ф G С1 [0, 61 ] для некоторого et > 0. Тогда

(6.32)(6.32)7 = 1/(1 + (/(О))2).

(6.32)

(6.32)

Доказательство. Положим X = <р'(0). Рассмотрим семейство функций we(x, у) = (l/e2)w(ex, еу) (0 < е < 1).

Все они решают то же вариационное неравенство, что и w, поэтому, так как

\п^а^с, \D2yWe\<c,

существует последовательность we, сходящаяся к и равномерно. Очевидно,

Ди = 1 в {х > 0, у > 0, у > Хх},

7 ,Э

и(0,у) = —у2, и(х, Хх) = 0, —и(х, Хх) = 0. 2Эи

Функция

(Хх - у)2 и = и -

2(Х2 + 1)

гармоническая в { х > 0, у > 0, у > Хх} и обращается в нуль на у = Хх вместе со своей нормальной производной. Следовательно, она равна нулю тождественно. Но равенством (0,у) = Одает (6.32).

Лемма 6.10. (1) Если ф (0) = lim ф* (х) существует, то ф\й) = 0.

х -» О

(п) Если ф (д) = lim цз* (х) существует, то ф (д) > Л, ^' (д) = —°°.

х а

14514510. А. Фридман

145

145

Доказательство. Утверждение (i) следует из предыдущей леммы. Для доказательства (ii) предположим, что

^(д) = Н.(6.33)

Пусть 7 = —уз' (д), и рассмотрим сначала случай 7< °°. Из (6.28) получаем

w„(x, ^(х)) -* 72/(1 + у2), если х а.

Кроме того, wxx (д, у) = 0, если 0 < у < И. Вводя гармоническую функцию

71 /у — hл \л

z(x, у) = - (arc tg + - , д = - + arc tg 7,

1 + 72 д \а - х2 /2

видим, что wxx - z -► О, если (х, у) = (х, ф (х)), х t д или если (х, у') = (д, у), у t h.' Применяя лемму 6.7, находим ил^ — z -*0, если у =h,x t д. Следовательно,

л 72

н’ (х, НА -►— , если х -► д.

2д 1 + 72

Применяя теперь лемму 6.9 для множества

{х < а, у < К, (д - х) + (h - у) < е0} ,

получаем

л 721

2д 3(1 + 72)" ~ 1 + (1/7)2 ’

что невозможно, так как 7 > 0.

Таким образом, ^' (д) = —00 и в силу предыдущих рассуждений wxx (х, й) -* -> 1 /2, если х -*д. Применяя опять лемму 6.9, получаем

_ 1

1 + 0 ’

что невозможно. Так что предположение (6.33) приводит к противоречию.

Доказав неравенство ф (д) > И, введем гармоническую функцию

у — ф^

z(x, у) = A arc tg + В,

а — х

где

72л

A arc tg 7 + В = — , — — А + В = 1.

1 + 722

Тогда / л 72\ / / л

В = ( + arc tg 71 / ( — + arc tg 7

\ 2 1 + 72\2

Как и в предыдущем доказательстве, находим, что wXA. — z ^- 0, если (х, у) = = (х, ф (х)), х t д, или если (х, у) = (д, у), у t ф (д), откуда по лемме 6.7

wxx(x, ф(а^ — z(x, ф(аУ) ->■ 0, если х ->• д.

Следовательно,

нхх(х> ^(«)) S, если х а.

Применяя теперь лемму 6.9 для { х < а, у < ф(а)} , выводим, что■

В = 1/(1 + (1/Т)2).

Но это невозможно, если 7^ °°. Таким образом, либо 7 = 0, либо 7 = =.

Предположим, далее, что 7 = 0. Чтобы прийти к противоречию, рассмотрим функцию V = wx - ewy в области

Ds = Va — & <х< a, h + 5 < у < ф(х)},

где 6 достаточно мало. Напомним, что ф(а - 8) < 0. Тогда•

в некоторой окрестности (а — 8, ф(а - 5)) при условии, что е достаточно мало. Так как V = 0 на Г то V < 0, если

х = а - 8, ф(а - 8) — 17 < у < ф(а - 8).

для некоторого достаточно малого 17 = 77 (8) при условии 0 < е < е0 (8). Поскольку w^ < 0 в остальной части dDg\r и wy = 0 на {х = а, А + 8 < у <

< Ф (я) ) , ТО

V < 0 на 9D8,

если е достаточно мало. По принципу максимума

V < 0 в D8.(6.34)

Если 7 = 0, то д/дх — е(Э/Э^) есть производная по внутреннему направлению к D& в (х, ф (х)), где х близко к а, и из (6.34) w < 0 в О$ в точках, близких к (а, ф (а)), что невозможно.

Таким образом, у Ф 0 откуда 7 = —°°. Это завершает доказательство леммы 6.10.

Лемма 6.11. Пусть z — ограниченная гармоническая (не постоянная) функция в ограниченной области D; Xt,. .. , Xk — граничные точки D такие, что для каждой Ху существует отрезок оу, а,- О D = ф, Ху G до,. Предположим, что z непрерывна на D\ {Ху,. ..,Х^) . Если

(xQ,y0) е D, а = z(x0,y) Ф z(x,y)

для всех (х, у) G 3D,■(6.35)

(х,у) Ф Ху (1 < / < к),

то существует простая кусочно-аналитическая кривая S,

S С {z = а), (х0,у0) е 5,

такая, что S можно параметризовать, х = х (t), у = у (I) (—00 < t < °°), и

(^(0, у(0) "* Ху,если t -* =,

■ (x(t), y(t)) -► Ху, если t -* — °®,'

где Ху Ф Xt.

Доказательство. Кривые уровня { z = а } функции z, исходящие из точки (х0, ^0) образуют локально m аналитических кривых, и угол между двумя составляющими равен а]т. Если т > 1, то (х0, Уо) — точка ветвления.

Построим 5 шаг за шагом, продолжая ее из концевых точек. Если концевая точка не является точкой ветвления, то продолжение локально единственно; если же она - точка ветвления порядка т, то мы можем выбрать одну из 2m — 1 дуг.

До тех пор пока S остается в компактной подобласти Dx CD, мы можем получить на каждом шаге новую дугу длины не меньше с (с зависит от Z>t); 5 не может иметь точек самопересечения, иначе z = о в области, ограниченной частью S.

Следовательно, если Do С Do С Dt С Dx CD (Df — ограниченные области), то 5 должна покинуть Dx через конечное число шагов (иначе должно быть бесконечно много дуг с длиной не меньшей с > 0, пересекающих произвольно малую окрестность некоторой точки из Dx). S может входить в Do, но затем опять должна ее покинуть; таких передвижений от йОхвО0 - конечное число (иначе опять же будет бесконечно много дуг с длиной не менее с, пересекающих произвольно малую окрестность некоторой точки из dD0).

Параметризуем 5: х = x(t),y = y(t), -°° < t < ”. Пусть УБ - 8-окрестность Хх,..., Хк и Do — такая, что bD0 лежит в 8-окрестности bD. Если | г | > Тб, Тб достаточно большое, то dist ((х(Г), у (О), bD) < 8, и ввиду (6.35) получаем, что (х (Г), у(Г)) е У 6, если 8 достаточно мало. Поскольку 8 произвольно, получаем (6.36). По лемме 6.7 и принципу максимума заключаем, что X; Ф Xf.

а м е ч а н и е 6.1. В приложениях часто мы будем иметь дело не с точной формулировкой леммы 6.1, а некоторым несколько отличающимся ее вариантом.

Поскольку свободная граница аналитическая, w имеет аналитическое продолжение через свободную границу. Следовательно, функцию wyy нельзя продолжить как гармоническую функцию в область, содержащую W U Г.

Л е м м а 6.12. Функция ф* (х) не может принимать локального минимума в интервале 0 < х < а. (

Доказательство проведем от противного. Предположим, что ф (х) имеет локальный минимум в некоторой точкехо, 0<х0 < а, и пусть а = wyy (х0,ф (Хо)). Тогда

^(х.^х)) > а, ^ если х ^ х, | х - х0 | мало.

Следовательно, существует по крайней мере две кривых уровня wyy, { wyy = а}, исходящих из (х0, ^(х0)) и входящих в ИЛ Таким образом, существует открытая компонента G множества W П { wyy < а } такая, что (х0, Ф (х0)) CbG.

Обозначим Sx hSi кривые уровня { wyy = а}, которые выходят из (х0, ф (х0)) и ограничивают йС так, что Sj^ находится слева от S2 вблизи (х0, <^(х0))- Такие кривые не могут пересечься в IV (за исключением (х0, i(x0))), так как иначе wyy = = а в G (по лемме 6.7 и принципу максимума).

Каждая St не может пересекать свободную границу, так как иначе по лемме 6.8 wyy = а в множестве, ограниченном S, и Г.

Далее, wyy = 0 или 1 на й W\ Г (за исключением, возможно, точек (О, И), (а, /г), (а, ф (а)), в которых Wyy может быть разрывной). Таким образом, можно применить доказательство леммы 6.1 для доказательства того, что Sf непрерывны вплоть до концевой точки Р/, Рх ^ Р2, и только следующие случаи могут иметь место:

(О Рх = (О,Н),

Рх = (а, Л), Р2 = (а, ф,(а)), ф(а) > Л.

В случае (ii) возьмем любую кривую уровня, исходящую из (х, ф (х)), х < х0, wyy fc Ф (х)) > а- Тогда Wyy = 0 > а вдоль Т Концевая точка Т должна также совпасть с Pi. Поэтому применяя лемму 6.7 (вблизи (О, Я)) и замечая, что wyy = 1 на х = 0, получаем 1 > а > 0; приходим к противоречию.

В случае (ii) ввиду равенства wyy (а, у) = 0 при h < у < ф (а) рассуждая так же, как и выше, получаем Р > а и, аналогично,

Wyy(x. ф(х^ > wyy(x',i(x')).

если х* < х. Следовательно, ф'(х) монотонна и, в частности существует ф\а - 0). Но тогда по лемме (6.10) (ii)

а < wyy(x, ф(х)) -* 0,

если х -* а; приходим к противоречию.

Доказательство теоремы 6.5. В силу леммы 6.12 ф'(х) монотонна. Следовательно, можно применить лемму 6.10 и получить, что

</(0) = 0, ф\а) = —°°, <р(а) > к.

Окончательно заключаем, что ф'(х) убывает.

Задачи

Доказать, что w^^ и wyy непрерывны в ^\ {(а, й)} ; w такая же, как в теореме 6.5.

Рассмотрим задачу фильтрации с проницаемым дном: иу(х, 0) = 0 заменится на иу(х, 0) = 7(х) (0 < х < а). В вариационном неравенстве единственное изменение будет в граничном условии на^ = 0:

w(x, 0) = к(х), где к” = /(х),

*(0) = Нг[2, к^ = Л2/2.

Предположим, что 7(0) = 7(a) = 0, к(х) > 0. Доказать, что

wy < 0;

если I (х) > 0, то wxx > Ои ^' (х) < 0 при 0 <х <х0, ^' (х) > 0 мри х0 < <х <а;

если х0 < а, то ^' (а - 0) = 0;

если 7(х) изменяет знак т раз. то ^' (х) изменяет знак, самое большее, т + 1 раз.

Пусть w такая же, как в теореме 6.5. Доказать, что

(О wxy "* °°> если (*. У) (д- ^)>

wxy > 0 в W;.

</(х) — (1/л)1п(а - х) G С“(0,а].

[Указание. Для (i) рассмотреть ■

z(x, j) = [ In (у2 + (а - х)2) -- In «у - hf + (а - х)2)] +

2л

у - hуу - h■

+ arc tg — arc tg

2л L a — xa — x .

и показать, что J = wy — z гармоническая и гладкая функция в W-окрестности (а, Л).

Для (ii) надо рассмотреть отображение годографа / - р + iq, где р = — wxy, q = 1 — wyy и показать, что / отображает W взаимно однозначно и конформно на область, ограниченную пулами q = 0, р < 0; q = - 1, р < 0i и полукругом р2 + q2 + + q = 0,р <0. Для (iii) следует использовать отображение

(х, j7) = (ия(х,^), иу(х,у)У?

где и = w - х2{2. Показать, что оно взаимно однозначно, и что и(х, j ) =и(х, у')

гармоническая;

u(x,0) = -х2/2, если х > -а, и(х, 0) = -а212, если х < -а;

v(x,y) — z(x,y) G С” для (х, у), близких к (-а, 0), у < 0, где

z(y,y) = —-ху[1п(х2 + у2) - 1п((х2 + у2) + у2)] + 2 17

+ (у2 - х2) arc tg — — arc tg+ (у2 - х2) arc tg — — arc tgarc tgarc tgх +ах +ал + —л + —2 ]2 ]V-O^.O)V-O^.O)v-(ux,0) гv-(ux,0) г--In—— + p0(x),л x - a--In—— + p0(x),л x - a

+ (у2 - х2) arc tg — — arc tg

+ (у2 - х2) arc tg — — arc tg

arc tg

arc tg

х +а

х +а

л + —

л + —

2 ]

2 ]

V-O^.O)

V-O^.O)

v-(ux,0) г

v-(ux,0) г

--In—— + p0(x),л x - a

--In—— + p0(x),л x - a

где

Po G С" [a - e, a].]

Рассмотрим постановку задачи 5 из § 5 гл. 1 при

( 1, если уп<у<Н, и v) =

\к, если 0<у<уо,

и к > 1, так что к^у"^ не возрастает. Пусть кп^у^ = к(у), если 1у - у0 | > 1/п, 1 < ^„(у) < к. Обозначим w„ решение вариационного неравенства (с соответствующим кпу Доказать, что wnx < 0 (так что свободная граница дается уравнением х = фп(у)) и 0 <w„ хх <к. Показать, что

wx<0, wxx и wyy ограничены, если у=£уо;

0<wx<&, w^X);

свободная граница есть х = ф^у), где ф(,у) аналитическая, если у ^уо;

существует ф(_у0 ±0).

[Указание. См. теорему 7.2.]

[В [58в] доказано, что (а) ^(у) имеет не более одного локального максимума и не более одного локального минимума (есть примеры с немонотонной ф); (в) ф^у') имеет не более одной точки перегиба при у > уо и не более одной точки перегиба при у < уо; (с) если а и 0 — углы, образованные отрицательной осью с касательными к Г в у = уо, идущими вверх и вниз соответственно, то имеет место следующий закон рефракции: .

либо а = 0, J3 = л, либо « = л, 0 = 0, либо л/2 < а < л, tg2a = к, (3 = а — л/2, либо 0<а<л/2, tg2a = £, )3 = се + л/2.]

7. Регулярность свободной границы в задаче упруго-пластичности

(7.1)(7.2)(7.1)(7.2)Лемма 7.1. Предположим, что '

(7.1)

(7.2)

(7.1)

(7.2)

-bu+f> 0, и>0, (-^Ди + f)u = 0 в Й, f>X>0, \u\ci,iwCM<=,

где £2 - область в Rn+1, пересекающая цилиндр

KR=BRXlO<y<bY

Пусть G - область в KR П N (/V = {ы > 0}) такая, что ЭО П (BR X {0 < у <6}) содержится в Л = {м = 0}, 9G П{у = 6} содержит точку (х°, 6), 9G ^{у = 0} содер-

жиг точку (х1,0) е Г. Тогда

/ (п + 1)ЛА1/2

6 <2) R"С73)

Доказательство. Следуя доказательству леммы 3.1 при

X

w(x, у) = и(х, у) -- --- { | X - хт I2 + (у - уту },

2(и + 1)

где хт -* х°, ут -* Ь, заключаем, что

X 2 sup и > b .

ЭС Л{у = о} 2(л + 1),

Так как, однако, и(х', 0) G Г, левая часть не больше (1/2)M(2R)2, откуда имеем (7.3). Эта лемма особенно полезна в случае п = 1. Приведем ее вариант, удобный для применения в задаче упруго-пластичности.

Предположим, что

£2 = {aj <х<а2, 0 <у <1(х)}; 7(х) непрерывна;

.(7-4)

N = Vax <х<а2, 0<у<ф(х)};

е < ф(х) < 1(х) для некоторого е > 0.

Заметим, что Г содержит точки (х, ф(х)), где х принадлежит некоторому подмножеству {О] <х <а2Г

Теорема 7.2. Предположим, что (7.1), (7.2), (7.4) выполнены и f = 1. Тогда ф(х) непрерывна.

До казательство. Предположим, что ах < х0 < а2, V'(xo) < ((^о), тогда (х0, ф(х0)) G Г. Должны существовать последовательности хт I xQ, хт t х0 такие, что ф(хт) -* ф(х0), Ф(хт) -* ^(х0). Действительно, иначе и > 0 с одной стороны от интервала {х = х0, ф(х0) < у < ф(зс0) + е} , что противоречит единственности в задаче Коши (здесь использовано условие f= 1).

Покажем, далее, что ф(х^ < НхУ если |х - х0 I достаточно мало и ф^х^ -* -*ф(х0), если х-*х0.

Действительно, если это не так, то существует последовательность х^ -* х0 такая, что

Ф(Хт)->|/'(^о)+5о

для некоторого 80 > 0. Можно предположить, что каждая точка х„, лежит в некотором интервале (х,, хк), хт такая же, как в первой части доказательства, причем

Ф(Х))-* Ф(х0), ф(хк)^ ф(х0);

здесь / = j(my к = к(т). Пусть

х*т е^хьхк\ ф(Хт)= max ф(х) = Нт.

Xj < X < х^

Обозначим G интервал {х = х^, hm < у < НтУ где hm = max{i//(X;), Ф(хк)}, и пусть К - прямоугольник {xj < х < хк> Нт < у < HmY Применяя лемму 7.1 с Kr = К, получаем

Нт - hm < С | хк - Xj | -+ 0, что противоречит тому, что lim (Нт - hm) ^ 50 > 0.

Пока что мы установили, что множество 5 = {ф(х) < /(х)} открыто и ф непрерывна ва каждом отрезке из этого множества. Предположим теперь, что х0 6 5\5, at <х0 < аг - Если хт -*х0, то, очевидно,

Hm inf ф(хт)> ф(х0),

и так как ф(х0) = /(хо), то Иш ф(хт) = i//(x0). Окончательно, ф(х) непрерывна в любой точке х0 G 5.

Рассмотрим задачу с препятствием

-Ди + у > О, и > ф, (—Аи + У) (и - <р) = О в Q,

„(7-5)

I и lci,i(I2) <Л/<°°, ф£С3, где Q — область в R".

На коинцидентном множестве Л имеем У — Д<р > 0 п.в. на Г почти всюду У — Аф > 0; действительно, если (У — Д<р) (хо) < 0, х0 G Г, то и = и - ф удовлетворяет неравенствам —Ди > 0, и > 0 в окрестности хо, что противоречит строгому принципу максимума, поскольку и(х0) = 0.

Чтобы применить результаты § 1—5, надо установить неравенство у — Аф > О на Г. Приведем полезные достаточные условия выполнения этого неравенства.

Лемма 7.3. Пусть выполнено (7.5); предположим, что

f-М, Г(У-Д^)'

не обращаются в нуль одновременно.

Тогда f - Аф > 0 на свободной границе для и.

Доказательство. Пусть Ф ~ f — Аф. Предположим, что ^(хо) = 0 в некоторой точке х0 G Ги придем к противоречию. Так как V ф(х0) ^ 0, то для любого малого е > 0 и R > 0 имеем ф< 0 в Ке T\BR(x0), где Ке - конус:

Ке = {-<х-х0,Фф(х0)>е |х -х0 I}.-

Функция и = и - ф тогда удовлетворяет неравенству

-Ди>0 в К6 П5д(х0),

и, так как и > 0, ио строгому принципу максимума

и>0 в Ке Г\Вк(хоу

Немного увеличивая е, можно предположить, что

и>0 на ^eOd5R(x0).

Поскольку раствор конуса Ке можно сделать сколь угодно близким к л/2, существует (согласно задаче 6) гармоническая функция вида

й(х) = |х-хо|ЛУх(0) в К6,(

где 1 < X < 2; 0 — угол Между хох и осью Ке; h(x) > 0 в Ке, /г(х) = 0 на йКе.

По принципу максимума и(х) > ch^ в Ке И BR (хо) для некоторой малой константы с > 0. Следовательно,

и(х)><?Ух(0)|х -х0|х

вдоль оси Ке. Так как, однако и(хо) = 0, Vu(xo) =0, то'

и(х) <Л/1 х - х012,

что противоречит предыдущему неравенству.

Теперь можно перейти к рассмотрению свободной границы в задаче упругопластичности. Для большей ясности изложения сначала рассмотрим случай с односвязной областью И, при этом ограничимся двумерным случаем.

Предположим, что ЭИ состоит из конечного числа непересекаюшихся дуг 51, . . . , Sm и концевая точка V; дуги 5, есть начальная точка дуги 5, + j (Sm +1 = = 5], Гт = Ио); предположим также, что каждая 5, принадлежит С3+а вплоть до концевой точки.

Определение 7.1. Обозначим а, угол, образованный 5,- и 5, +1 в И/, обращенный в И. Если а, > л, то будем говорить, что И,- - вершина входящего угла; если оц < л, то будем называть И/ вершиной выходящего угла. Для упрощения изложения в дальнейшем всегда считаем что а,- ф it.

Определение 7.2. Ребром И будем называть множество всех точек х0 6 И таких, что dCx') не принадлежит С1*1 (К) в любой окрестности V точки х0; здесь d(x) = dist(x, ЭИ).

Па рис. 5 указаны ребра различных областей.

Чтобы охарактеризовать ребра с геометрической точки зрения, нам понадобятся несколько лемм.

Лемма 7.4. Если d(x0) = |х0 - у I = |х0 - z |, гдеу, z - различные точки ЭИ, то d(x) не дифференцируема в хй.k (

Доказательство. Вдоль отрезков хпу и xoz функция d^ линейна и ее производная равна — 1; направления xQy0, xoz различны. Если d(x) дифференцируема в хо, т° I Vd(x0)l = 1 и должно быть лишь одно направление /, вдоль которого dd^x^dl = — 1; приходим к противоречию.

Замечание. Обозначим Ro множество всех точек х0€ И таких, что d(x0) = = I х0 - у I = I х0 — z | по крайней мере для двух различных точек у, г е ЭИ.

Лемма 7.5. Пусть х0 € И \R0; обозначим уй = у(х0) точку на ЭИ, ближайшую к х0, a z0 - центр соприкасающейся окружности в у0 (предположим, что у0 - не угловая. Тогда (16 С1,1 в некоторой окрестности х0 если и только если х0 *z0.

Доказательство. Точка z0 не может лежать между х0 и у0, иначе у0 не будет ближайшей к х0. Если х0 * z0, то согласно [109, с. 382] d G С3+“ в окрестности х0 и

к

Ad(x) = - —- ,(7.7)

- kd

где к = к(х) — кривизна ЭИ в точке у = у (х), ближайшей на ЭИ к х. Если z0 - концевая точка и х0 лежит в интервале yozo, то £(х0) > 0 и Ad(x) становится не-

ограниченной при х = х0 ^ z0. Таким образом, d не принадлежит С1,1 ни в какой окрестности Zo-

JIe м м а 7.6. Пусть в предыдущей лемме у0 угловая точка (тогда она - вершина входящего угла). Тогда d принадлежит С1,1 в некоторой окрестности х0, если и только если х0 ^ zb Хо ^ ^г, где z-t - центры соприкасающихся окружностей, соответствующих двум дугам ЬТ1, пересекающимся в у0.■

Действительно, если/,- - отрезок, соединяющий у0 cz,-, то регулярностьс/содной стороны от I; такая же, как выше, тогда как в секторе между I; и /2 имеем d(x) = = |х-у01. Таким образом, остается проверить, что производные d с обеих сторон от /,- совпадают. Но так как производная d по направлению /,- равна 1. то производная d по направлению, нормальному к /,-, должна стремиться к нулю при подходе с каждой стороны I, (так как | Ad 1 = 1).

Замечание. Будем говорить, что точка х0 принадлежит множеству Rx, если существует в точности одна точка у0 е ЭП такая, что d(x0) = |х0 - Уо I их0 - центр соприкасающейся окружности у0 (или центр одной из двух соприкасающихся окружностей, если j'о — угловая точка).

Из предыдущих трех лемм получаем следующий результат.

Теорема 7.7. Справедливо следующее соотношение;

R=ROURV

Если нет входящих углов, то A] CR0, так что R=R0-

Теорема 7.8. Ребро R лежит в множестве упругости Е.

Доказател ь ств о. Пусть х0 € Ro. Тогда

d(x0) = |х0 - То I = l^o - Ti L

где уо ^ ЭП, Ti е ЭП, То *У\■

Согласно задаче 2 из § 7 гл. 1, если х0 6 Р (множество пластичности), то u=d на прямолинейных отрезках 1р х0Т/- Следовательно (см. доказательство леммы 7.4), и не дифференцируема в х0, что невозможно.

Предположим, .далее, что х0 ^Ri, х0£Р, и обозначим у0 ближайшую на 9Q к х0 точку. Предположим сначала чтото — не угловая точка. Тогда

u=d на /: х0 Vo;

V (и - d) = 0 на /

(так как и - d < 0 в ТТ),(7.8)

d2t/(x)к

■ 9т?21 - kd ’

если х = (0, ?7) х0 = (0, 0),

где (£,р) - координаты, р нормально к / и £ направлена вдоль /; (7.8) следует из доказательства (7.7). Поскольку и <d, необходимо, чтобы

Э2м

Эт?2 ’

где производная второго порядка понимается как предел конечно-разностных отношений второго порядка и. Таким образом, ди/др не липшицева в любой окрест- ностихо, что невозможно.

Если j'o - угловая точка, то она необходимо является вершиной входящего 92J(x)

угла, и легко найти, что - (в смысле предела конечно-разностных отноше-

ний второго порядка) стремится к — °° при х = (0, т?) -»х0. Далее можно рассуждать так, как и выше.

Теперь параметризуем Э£2: х, = fi(s) (0 <s <L) и запишем х = (хь х2), /(s) = (Л($), fi(s3Y Обозначим p(s), $ Ф sh где s, — параметр, соответствующий Vj, внутреннюю нормаль к ЭЛ в /($). Предположим сначала, что нет входящих углов. Тогда, согласно задаче 2 из § 7 гл. 1, существует неотрицательная функция 8(s) такая, что

Л = {х; х = /(s) + tp(s), 0 < t<5(s), 0 <s <Z).

По теореме 7.8

dist(/(s) + 5(s)y(s), 9S2) = 8(s),

X6 = (/($) +8(s)(y($) + e))e£'V0<e<6j,

где X6 ^ R, если 0 < e < e$ и X6$ G R; e$ равномерно положительно в любом замкнутом интервале s, не содержащем параметры s, угловых точек.

Таким образом, можно воспользоваться доказательством теоремы 7.2, если сможем доказать, что

ц + Д</<0 на Г(7.9)

(напомним, что по теореме 7.8 dGC3+01 в окрестности Г).

Пусть х0 G Г. Определим

к

^=ц + Д(/ = ц(ввиду (7.7)).(710)

— kd

Обозначим I направление УоХо, где у0 — ближайшая на 90 точка к х0. Нам хотелось бы применить лемму 7.3 для вывода (7.9). Предположим, что ф(х0) = 0. Тогда по (7.10) к > 0 в Хо и, так как Ък/Ы = 0 в х0, то

Эх// к2 М к2

- =- = ——— > 0.

9/(1 - kd)2 Ы (1 - kd)2

Таким образом, лемма 7.3 дает утверждение (7.9).

Теперь, находясь в условиях применимости теоремы 7.2 (точнее, доказательства теоремы 7.2), получим непрерывность функции 8($); отметим, что 8($) может

принимать значение ’’нуль".

Определение. Если 8 (s) > 0 при а< s < < b и 8(a) = 8(b) = 0, то множество пластичности

Ра-ь = < f(s) + tv(s); 0 < t < 8(s), а < $ < Z>}

назовем компонентой пластичности или петлей пластичности.

Если доказано, что свободная граница любой компоненты пластичности, т.е.

Га,б = {Z(s) + 8(s)y(s); a<s<b),

есть непрерывная кривая, то по теоремам 2.4 и 2.5 Го ь обладает невырожденной параметризацией класса С2+“. Но Га>6 может иметь острие. Следующая теорема исключает такую возможность.

Теорема 7.9. Коинцидентное множество имеет положительную плотность в каждой точке ха свободной границы при условии, что d & С3*а в некоторой окрестности х0.

Доказательство. Пусть х0 е Г и у0 — ближайшая к хи точка на ЭЛ, Уо не угловая (рис. 6). Для простоты возьмем _у0 = (0, 0), х0 = (0, h), А > 0. Пусть Xj = 'PtW, х2 = ^г(О - локальная С2 ^-параметризация Г в окрестности х0 такая, что ^i(O) = 0, 12(0) = А. Достаточно рассмотреть только случай ч>1(0) = <^з (0) = 0, ^i'(O) = 0, ¥>2(0) ^ 0, так как по теоремам 2.5 и 3.4 это — единственно возможный случай, при котором может быть неверно утверждение теоремы; Г имеет острие как на рис. 6.

Для t ф 0 вблизи 0 имеем ^2(г) ^ 0, и поэтому свободная граница есть поверхность класса Сг и и принадлежите2 вплоть до границы.

Функция w = uXi — 1 отрицательная в Е, w(xo) = 0. Так как в х0 выполняется условие внутреннего шара, то по строгому принципу максимума wXj < 0 в х0, т.е.

«х2х2 < 0 в х0;(7.11)

производная понимается как lim sup разностных отношение иХ1.

Дифференцируя равенство

(“ -^)x2^i(0, ^2(0) = о

по t, получаем

(И - ^)х,х2/1(0 + (и - d)x2x212(0 = 0.

Поделив на I2O) и устремляя t к нулю, имеем (так как и и d принадлежат С1,1)

(“ -<^)x2x2(^i(0,^2(0)->0.

Поскольку d линейна вдоль уохо, то

dx1X1 -* 0, если (х1(х2)-»х0,

следовательно,

«х2 х, 0 При (хь Х2) ^ Хо вдоль Г.

Применяя лемму 6.7, получаем

“х2х200"* 0, если хЕЕ, х-*х0,

что противоречит (7.11):

Рассмотрим, наконец, часть границы, для которой ближайшая точка на ЭЛ - вершина входящего угла. Предыдущие рассуждения распространяются на этот случай с незначительными изменениями (здесь так же нужен вариант теоремы 7.2). Отметим, что препятствие в этом случае аналитическое.

Определение 7.4. Если Го — связная компонента Г и для некоторой х0 G Го ближайшая на ЭЛ точка — вершина входящего угла Уь то соответствующее множество пластичности (ограниченное Го и ЭЛ) назовем входящей компонентой пластичности или входящей петлей пластичности.

Применяя теорему 7.9 и следствие 3.11, можно теперь установить следующий фундаментальный результат.

Теорема 7.10. Свободная граница является локально поверхностью класса Ст +“ (т > 3, 0 < а < 1) или аналитической, если часть ЭЛ имеет параметризацию класса Ст *“ или аналитическую соответственно. Любая открытая часть Г, чьи ближайшие на ЭЛ точки совпадают с вершиной входящего угла, аналитическая.

Задачи

Пусть $2 — многосвязная двумерная область и и - решение вариационного неравенства (1.6.4). Для ^, фвида (1.6.6), (1.6.7) определим: верхнее ребро R* - множество точек х» е £2 такие, что ф не принадлежит С1,1 ни в какой окрестности х0. Аналогично определяем нижнее ребро R" относительно ф. Множество R = = R* U R" называется ребром. (Определение зависит от решения и, т.е. от констант су.) Доказать: RCE.

Распространить теорему 7.10 на случай, когда Р* А Р" = ф (р- определены в задаче 1 из § 7 гл. 1).

Пусть и G Яо($2‘), фе Си < фе, где фЕ, Фе определены так же, как ф, ф, но с Cj + е вместо с;. Показать, что,

J ^Vul2 -2ц J v > J \Vu\2 -2ц J и.

я*я* я*я*

Предположим, что $2 имеет только одну ’’дыру” Qi и и = Сц в $2^ Пусть С. = dist(9Qi, 9 £2*). Показать, что если С^<С« и д > | S2i |/| Э£21 I, то

Р~\Р* = $2 О ^и = ф, и<ф} + ф.

[Указание. Предположим, что и > ф п.в., так что Дм > -ц. Для малых е > 0, если ( = max {0, р + е -и),тои + $6 Нд (S2‘), ф6 Си + ( < ф6. Используйте задачу 3.]

Предположим, что 9f2i имеет угловую точку W такую, что

\W-Z1\ = \W-Z2\ = C„, ZjGbn*,

лучи у, ч= WZj формируют угол 8, 0 < 0 < л, и сектор, получающийся вращением WZV на 0 в положение WZ2, содержится в $2. Обозначим S область, ограниченную WZX) WZ2 и 9 $2*. Доказать, что если Сц = С», то для любой окрестности G точки Ц/ пересечение (G’ О X) А (Р~ \Р* ) имеет положительную меру.

[Указание. Если это не так, то Дм > — ц в G A S. Пусть Ди = — ц в G Cl £, и = м в 9 (G A S ); I — линейная функция такая, что / = м на WZ] U tVZ2 (i V / | > 1): 5 = и - I + дг2/4, где г = r(x) = |х - W |. Тогда Ди = 0, получаем и G С1*6 в G А А £, так что bvjby < — 1 в W, у — биссектриса S.]

Рассмотрим конус

А^ = (х; х„>0, cos"l(x„/|x|)<^}.

Доказать, что если ф < л/2 и я/2 — ф мало, то существуют 1 < X < 2 и функция и = | х |ХД(0) (где 0 = cos"1 (х„/| х |) такие, что функция и = | х |ХД (0) гармоническая и положительная в К^ и и = 0 на ЬКф .

[Указание. Если Д (0) = g(z) > z = cos 6, то

(z2 - l)/' + (n- l)z/-X(n - 2 + X)g = 0,

и тогда g(z) = C^n~2^2 (z), где C^ - функции Джегебауэра [84, с. 178]. Если X Ф 1, то С^ (z) -* const z и Д(0) -» const cos 0. Первый нуль функции Д(0) (при X > 1), есть в = фк < я/2 (иначе | х | xfx (0) > схп (с > 0) в {хи > 0, | х | < 1 } по принципу максимума и в силу непрерывности фх -^ я/2, если X 2 1.]

§ 8. Форма свободной границы в задаче упруго-пластичности

В этом параграфе $2 - односвязная двумерная область, 9Q состоит из дуг Si,.... Sm класса С3+“, и угловые точки обозначены V, (И/ = St A Sf+1). Углы 9Q в Vt обозначаются а, и предполагается, что а, # я (см. § 7).

Начнем исследование свободной границы в окрестности вершины входящего угла У,. Положим а = а7/2 (так что а > л/2), 0 = а - л/2 и введем полярные координаты (г, 0) с началом в V,, так что касательные к Sj, S) + v в Р) будут лучи 9 = — а и 0 = а соответственно.

Теорема 8.1. Существует непрерывная положительная функция р(9), определенная для - ^< 9 < 8, такая, что

Цг,8);0<г<р(8), -КК0)СР.(8.1)

Таким образом, окрестность вершины входящего угла всегда содержит сектор пластичности с раствором а7 - л.

Сначала установим лемму, представляющую собой слабый вариант теоремы в случае, когда П — сектор D..

Лемма 8.2. Пусть D = { (г, 9), 0<г<г0,|9|<?},7> л/2. Обозначим соответственно Е и Р множества упругости и пластичности в D. Тогда существует отрезок а = {(г, 9), 0 < r< rt, 6=0}, содержащийся в Р.

Доказательство. Рассмотрим функцию ив = хиу - ухх в области Е* = = Е И { 9 > 0 }. Она гармоническая (так как Див = (Еи)6 = (- д)е = 0) и обращается в нуль на части дЕ* , где г = г0 (так как и = 0, если г = г0), и на 9 = 0 (по симметрии) . На отрезке 9 = у имеем ив < 0 (так как и = 0 ня 9 = у, и > 0 везде). На части свободной границы дЕ* будет и9 = d9 <0, так как d убывает по 9 вдоль любой дуги окружности из Е + . По принципу максимума и9 < 0 в Е + .

В меньшем множестве■

Eq = Ь'С1 { 0 < 9 <7 — л/2, г<г0/2),

Р - подграфик ( г < /(0) ) ; /(0) может априори быть равной нулю для некоторых значений 9. Так как и9 <0 в Е* и d(r, 9) = г в Eq , то (и - d)9 <0 в Eg . Следовательно,/^) монотонно убывает по 9,0 < 9 < у - л/2.

Далее, если утверждение леммы неверно, то /(0) = 0 и из монотонности f вытекает, что /(0) = 0, если 0 < 9 < у — л/2. Ввиду симметричности имеем также /(0) = 0, если - 7 + (л/2) <0 < 0. Пусть

G’= {(г, 0); | 0 | <7 — л/2, 0<г<го/2),

В = ОП [0<г<т0/2 }.

Тогда G содержится в Е и поэтому Ди = -р в G. С другой стороны, если х G B\G, то либо х е Е и тогда Ди = - ц < 0, либо х G Р и тогда почти всюду Ди < Дс? = 0 (так как d линейна в B\G).

Таким образом,

Ди < 0 п.в. в В.

Рассмотрим гармоническую функцию

и = er"/27 cos Л0/27 (с > 0) в В.

Предположим, что

ди

— ^0 в (го/2, ±7),(8.2)

ОР

где р - нормаль. Тогда, если с достаточно мало, то и< и на дВ. Поскольку Ди> Ди п.в. в В, то принцип максимума дает и > и в В. В частности,

и (г, 0) > и(г, 0) = сг*12у.

Так как, однако, и (г, 0) < d(r, 0) = г и л/27 < 1 приходим к противоречию, если г -*0- Это завершает доказательство теоремы при условии, что (8.2) верно.

Утверждение (8.2) справедливо (по строгому принципу максимума), если существует ZT-окрестность (г0/2, ±7), являющаяся зоной упругости. С другой стороны, если такой окрестности нет, то имеется отрезок пластичности, исходящий из точки (г5/2, ±7) и ортогональный {6 = +7}, где г0* произвольно близко к г0. Имеем

Заменяя при необходимости область В на

В* = {0<г<г5/2, -7<6 <7},

и рассуждая, как и выше, получим, что и > и в В* и, следовательно, придем к противоречию.('

Доказательство теоремы 8.1. Возьмем произвольное направление 9 = 6о в (—(3, (3) и сконструируем область D так же, как в предыдущей лемме, чтобы D содержалось в £2, ее ось сииметрии была { У = во } и выполнялось соотношение

7 = л/2 + (0- | Уо 1)/2.

Обозначим uD решение и, соответствующее области D. Получаем в D, что и в Си. Кроме того, и Cd-гвдолъ луча 9=9О, если г достаточно мало. По лемме 8.2 uD (G ®о) = г, если г достаточно мало, скажем, г < г . Следовательно, и (г, Уо) = если г < г, т.е. (г, Уо) Поскольку г можно взять не зависящим от Уо ПРИ условии, что 90 сужается на замкнутый интервал из (—(3, /3), доказательство закончено.

Далее изучим свободную границу вблизи Ук - вершины выходящего угла; здесь ак < л.

Теорема 8.3. Если Vk - вершина выходящего угла, то существует окрестность BR (ук) точки Vk такая, что £2 П BR (^) - зона упругости.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда Sk, Sk+1 — прямолинейные отрезки, и введем полярные координаты с началом в Vk так, чтобы некоторая £2-окрестность точки Vk имела вид

G = {{г, 9)-, Q<r<r0, — а<У<а}, ак = 2а.

Напомним, что Ди = — д в Е и Ди = Дг/ п.в. в Р. Так как Р A R = ф и ФЛ — ограниченная функция в G\R (в действительности с ограниченной производной), то

Ди ограничена в G.’(8.3)

Предположим теперь, что а > л/4 и рассмотрим функцию

7Г лУ.1,, ,

v = r cos— + — О -х tg а) 2а 2

в G. Она удовлетворяет неравенству

Ди = 1 — tg2 а < 0 в G.

Кроме того, и = 0 на У = ±а и и > 0, если г = г0 при условии, что г0 достаточно мало и нормальная производная и отлична от нуля в (г0, ±а). В силу (8.3) заключаем по принципу максимума, что

и < Си в G

при некоторой положительной константе С. Следовательно,

и (г, 9) С Cdrv <d<2 (n = л/2а — 1 > 0),

если г достаточно мало, скажем г < 5. Таким образом,

G П { г < 8 } СЕ.

Рассмотрим сначала случай а <я/4. Достаточно доказать, что

Цг^СС; -а<9 ^0, г<6 ^Се/(8.4)

при условии, что 3 достаточно мало; доказательство для 0 <0 < а аналогично.

Пусть Qi — область, содержащая £2, такая, что d£2i содержит точки Vk и £21 А А { г < г0} - сектор раствора у > я/2 и у < я; кроме того, две дуги д£2ь которые встречаются в Vk, — прямолинейные отрезки и один из них лежит на 0 = — а. Если обозначить w упруго-пластическое решение, соответствующее £2t, то по принципу сравнения и < w в £2.

Согласно проведенному выше доказательству

w< di/2 в некоторой £2i-окрестности Vk,

где dx - функция расстояния до £21. Так как dx = d, если - а < 6 < 0, г достаточно мало, то и < d в этом множестве, и получаем (8.4).

Доказательство теоремы для случая, когда Sk> Sk + X — прямолинейные отрезки, закончено. В общем случае преобразуем £2-окрестность Vk в сектор G такой, как выше, при помощи конформного преобразования /. Обозначим z = g(z) функцию, обратную к z = /(z). Тогда можем записать

g(z) = (A(z7))1/7, у = я/а>1,

где т? = /1(f) отображает область £21, ограниченную частично двумя гладкими кривыми Тх, Тг, образующими угол я в их обшей точке (начале координат), в Im 77 > > 0; Тх и Ti переходят в {Im т? = 0, т? > 0 } и {Im т? = 0, т? < 0 } соответственно.

Обратная к h функция к принадлежит С1+е ({Im т? = 0, | т? I < ео }) для некоторого е0 > 0, и согласно общим результатам по регулярности для эллиптических уравнений (см. [180]) принадлежит С1+е вплоть до границы. Покажем, что для некоторого 1?о > 0

|V.fc|>c>0, если 1тт?>0, |т?Кт?0.(8.5)

Используя (р, 6) как полярные координаты f, заметим, что для любого малого -Х>0 функция'

и = р sin 6 + р2-К cos(2 — Х)0

положительна на границе £2i А { | f | = р0 }, если р0 достаточно мало (psinS > > - const р в £2i вблизи f = 0). Следовательно, Си > | Im h | на этой границе, если С достаточно большое, и по принципу максимума

I Im h |< Си < const р в £21.

Согласно внутренним оценкам для гармонических функций.

|Г(1т/1)|<С'

вдоль биссектрисы Тх, Т2 - Следовательно,

I V*|> с > О

вдоль биссектрисы Im 17 = 0. Так как к € С1+е, имеем также (8.5).

Из (8.5) вытекает, что'

IV h К С в некоторой £21-окрестности 0(8.6)

и фактически, НЕС1*6 вплоть до границы.

Полагая u(z) = u(z), где z =g(z), находим

Ди = |/ I2 Ди,

где правая часть — ограниченная функция (в силу (8.6)).

Тогда, применяя к и доказательство предыдущего частного случая, заключаем, что

и <Cdrv вблизи начала координат,

где v = (л/2а) - 1, d - функция расстояния для преобразованной области и г = = Iz |. Так как d < Cd, г < Сг, получаем и Cdll в некоторой Г2-окрестности Ук, и доказательство закончено.

Неизвестно, будет ли число компонент пластичности конечно в П. Однако, когда ЭЛ содержит линейный отрезок X, можно досказать, что число компонент пластичности, связанных с X, конечно..

Теорема 8.4. Пусть X — замкнутый интервал, содержащийся в одной из открытых дуг Si. Тогда число компонент пластичности, связанных с X, конечно.

Доказательство. Возьмем для простоты X = { а ^хх СЬ,х2 = 0 } и предположим, что имеется бесконечное число компонент пластичности/*/ вида

Р/= { а, < х < Ьь 0 < х2 < у (х/)}.

Пусть

НЛ = шах ^(х).

'а, < х < bt

Если /" -*°°, то bt - at -*0 и также Hi ->0. Следовательно, любая прямая х2 = р (р> > 0 и мало) пересекает только конечное число Х(т?) компонент пластичности и Х(т/) -»°° при т?-*0.

Рассмотрим подобласть ETl С Е А { х2 > р } (рис. 7). Она ограничена кусочноаналитической кривой 7 в Е, частью ЭР, и некоторыми интервалами,лежащими на х2 = т?. Выберем 7 так, что d(x) = х2 в Е^ для всех малых р; у не зависит от р. (Если Pt сгущаются в X/ = а, то возьмем7 так, чтобы она начиналасьв X/ -а — е для некоторого малого е > 0, если (а - е, 0) имеет ^-окрестность упругости; иначе 7

будет начинаться на свободной границе на {х/ = а - е ), модификация 7 в точке X] = b аналогична.)

На каждом интервале {х2 = р, dt < х, < с / ) на ЬЕ^ с концевыми точками на Г функция (и - d)Xi = uXv аналитическая и меняет знак (так как_п - d = 0 в концевых точках и и - d < 0 внутри). Можно выбрать точки di < dj < ё} < в/ так, что

«X; (xi, р) < 0, если di<xi <dt,

их, (.xi,p)>0, если ё/Сх/ <е/.^'^

Теперь рассмотрим поверхности уровня Д/ и Г,- для { их = const} , которые начинаются в (<7/, т?) и (е), т?) соответственно. По лемме 6.11 эти кривые могут продолжаться до тех пор, пока не покинут £0 = U Е-. Отметим, что их = ч>о

= (и - d)x = 0 на ЗР# и тем самым Д(, Г,- не может покинуть Ео на свободной границе. Они не могут быть также произвольно близки к {х2 = 0 } поскольку их^ = О на {х2 = 0 }. Наконец, в силу (8.7) они должны покинуть Ей на 7 в точках Mt (в которых знак их меняется) и М( предшествует Mj вдоль 7, если то же верно для начальных точек кривых на х2 = 17.

Следовательно, их меняет знак на 7 по крайней мере (2Х(т?) — 1) раз, число это растет до бесконечности при т? ■+ 0. Но поскольку иХ) аналитическая в окрестности 7 и 7 кусочно-аналитическая, это невозможно.

Теперь оценим число компонент пластичности, связанных с X. Возьмем

X = 5i = {(xi,0); 0<Xi <6) ;

Го =(0,0), Г, =(6,0)

и положим д - .S2 U ... U Sm. Предположим, что некоторая ^-окрестность Si лежит на { х2 > 0} .

Пусть х =/($) (0 <s <L) - параметризация ЭГ2 с/(0) = Го,/($1) = Г^ Рассмотрим сначала случай, когда

нет входящих углов.(8.8)

Функция расстояния d(x) дифференцируема вдоль х = /($),$#$/ (/($/) = Гу). Пусть

3d.

di(s)= — (/($)), если Эх!

<Л($) = <Л($,+0) (di(0Vdi(L,0K'

Предположим, что

множество { s; di(s)=O, 0<s<L} состоит из конечного числа

точек Л,- и интервалов Jk.(8.9)

Следовательно, di (s) меняет знак (с положительного на отрицательный или наоборот) конечное число раз. Пусть

к равно числу изменений знака di(s) с положительного на отрицательный,

когда s возрастает от s = st до s = L.(8.10)

Обозначим Pi,..., Рт компоненты пластичности, связанные с X; по теоремам 8.3 и 8.4 и предположению (8.8) г < °°. Можем записать

Pj = {(х,,х2); 0 <х2 < ^(Xj), а, Схх < бу } ,

где ai <bi < д2 <Ьг <... < b^_ 1 Сат<Ьт; отметим, что

ах > 0, Ьт< Ь.

Согласно § 7 ^(xi) положительна и аналитическая в каждом интервале а, < хх < < bj; она непрерывна и равна нулю в xt = Oj, Xi = бу. Пусть ^(xi) = 0, если xt

^ U (Oj, bj).

i= 1

В каждом интервале {zzy С Xi С бу } функция р имеет конечное число Nj то чек, в которых она достигает локального максимума (эти максимумы строгие так как р аналитическая).

Теорема 8.5. Каждое Nf конечно и

^Nj^k.(8.11)

Следствие 8.6. (i) Общее число компонент пластичности, связанных с X конечно и не больше k; (ii) если число петель пластичности, связанных сХ,в точности к, то в каждом интервале {aj < х < бу) существует точка Cj такая, что v(xi) строго возрастающая, если af < хх < Cj, и строго убывающая, если с, < xt < bf.

Следствие 8.7 Если $2 - выпуклый многоугольник, то для любой стороны Sj существует не более, чем одна петля пластичности, связанная с Sj; если она задана в виде

{/($) +v(s)r, ОС t <h{s), Aj Cs CBj> , то h(s) строго возрастающая в некотором интервале Aj <s CCj и строго убывающая в интервале Cj С s <Bj.

Для облегчения доказательств теоремы 8.5 начнем с некоторых вспомогательных результатов. Предположим, для определенности, что dx ($) > 0, если $ > $i, $ — $1 мало и dx (s) < 0, если s - L, L - s мало; доказательство других случаев аналогично. '

При / = 2 к имеется разбиение

$1 = $1,1 ^ $1,2^$1,3 <---^$1,т = $2,1 С $2,2 < • • • <$2,т, = = $3,1 <$3,2<--- ^Sl,mt~

- $1+1,1

< $1+1,2

С . . • С$|+1,от-^

такое, что

dx^>0,

если

$1,1 <S<S1,2 (sl,2 <s1.2).

dx^ = 0.

если

$1,2 <$<$1,3 ($1,2 <$1,з),

dx&>0,

если

$1,3 <$<$1,4 ($1,3 <$1,4)>

<М$) = 0,

если

$1,4<$<$1,5 ($l,4<$l,s).

dx^>0,

если

$1,5 <$<$1,6 ($1,5<$1,б),

dx^<0,

если

$2,1 <$<$2,2 ($2,1 <$2,2)»

(8.12)

dx^=0.

если

$2,2 С $ C$2,3 ($2,2 ^$2,з),

dx^>0,

если

$2,3 <$<$2,4 ($2,3 <$2,4),

dx(s)<0,

если

$Z+1, 1 <$<$1+1,2 ($1+1,1 <$1 + 1,2),

dx(s) = O,

если

$1 + 1,2 <$ < $Z+1,3 ($1 + 1,2 <$1 +1,з)-

Тем самым dx ($) изменяет знак в точках $i,m,, Si,mi, • • •, Si.mp Точки V{ (2 < i С C m - 1) не обязательно совпадают с f(sj m^, т.е. st может лежать в некотором интервале ($Г)Р, $г,р+1). Некоторые из интервалов [$/,у, $(,/ + 1], где dx = 0, могут состоять из единственной точки.

Напомним, что свободная граница может быть записана в виде

■ X = f(s) + v(s)h(s),

где р - нормаль к ЭЯ в /($) и h(s) > 0; для точек, где й(х) = 0, нет интервалов пластичности, исходящих из f^ и перпендикулярных Э Я.

Рассмотрим функцию

~ 3d

<Ш= —(Д$) + |,($)й($)) (0<s<Z)(8.13)

в точке s = $° такой, что s9 ^ s{ для 1 < z < т, и

d1(s°)>0.(8.14)

В силу непрерывности di (s) > 0 в некотором интервале | в -$° | < 60- Следовательно, некоторая Я-окрестность/(х°) имеет вид

g(x2)<xi Cgta) +51, I^2-^|<5j,

гдех! = g (х2) - часть ЭЯ и

/(з0)^#^®), 4) = х°.

Пусть

/=/($°)+р($0)й($°)=(^, у?).

Предположим, что й(х°) > 0. Тогда х° - точка на ЭЯ, ближайшая к у°. Очевидно, что для любого положительного и достаточно малого р луч, исходящий из у4 = = (у9 -Р.у9) в направленииу°х^,пересекает ЭЯ в (х^.х^) = хл и

| х4 - у17| < |х° -у° |;

фактически, так как g' (х2) — ограниченная функция, то

| х4 -у4 | < | х° -у°| - ст? (с>0),

откуда d (у71) < d (у9) — ст?, поэтому

d1(s0) = dx,(y0)>c.(8.15)

Так как V (u - d) = 0 на свободной границе, заключаем, что

«Х1 (/($") + у($°) А($°)) = ^($°) > с > 0,(8.16)

если й (5°) > 0. Соотношение (8.16) выполняется также в любой точке s° такой, что й($°) = 0 и существует последовательность sk такая, что

*(,*>>0.(817)

Предположим теперь, что й (s°) = 0, но (8.17) не выполняется. Тогда й ($) = 0 в окрестности 5°. Следовательно, существует Я-окрестность W точки х°, которая будет множеством упругости. Так как

-△п = д>0, ы>0 в ^

и = 0 на ЭЯ,

Эи

по строгому принципу максимума имеем т—— (х°) > 0. Вспоминая (8.14), вы- Эи (s°)

водим, что ux {f{s°}) > 0. Таким образом, доказано, что

если di(s°) >0, то di(s°)>0,

uXi (/($"))+ р($°)й($°)>0.-(8Л8)

Аналогично можно показать, что если di (s°) < 0, то

dx(s°) <0, uXiU(.s°^ + v(s^h(s°')<0.

Наконец, если dt(s) = 0 в открытом интервале а< $ < Р, то {/(s),a<s<P) — конечный отрезок, параллельный оси Xj, следовательно,

Л(«) = 0, mx,(/(s) + p(s) h(s)) = О, если а < s < р.

Пусть

du

«]($)= (/($) + f(s)й($)), 0<s<£,(8.19)

если $ ^$/ и Ut(s,) = u1(si + 0). По теореме 8.3 й ($) = 0 в окрестности $ = s,.

Теперь можем подвести итог:_

Лемма 8.8. Утверждение (8.12) имеет место с dx (s) илиих ($) вместо d(s)\ кроме того,

dx(s) = ux(s) = 0 если Q<s<sx.(8.20)

Определение 8.1. Точки/($) = р (s) й (s), для которых, и Дх) = 0, будем называть плоскими точками. *) Множество плоских точек состоит из конечного числа точек и конечного числа дуг (называемых плоскими интервалами) ).

Отметим, что плоские интервалы соответствуют [0, sj и тем интервалам [$1,2>$1,з]> [$i,4, $i,s]>-- в (8-12), длякоторых dx (s) = Ои которые не сводятся к одной точке.

Функция их гармонична в Е и имеет гармоническое продолжение в окрестность внутренности каждого плоского интервала.'

Доказательство теоремы 8.5 будет использовать анализ кривых уровня. Потребуется следующий вариант леммы 6.1.

Лемма 8.9. Через каждую точку х° € Е, где иХ1 (х°) = 0, проходит кусочноаналитическая кривая

{* = 7(0, -°°<t <°°),

содержащаяся в множестве Е, вдоль которого их = 0, 7 не имеет самопересечений и‘

7(+°°)= цт 7(f),^(—оо)= Пт 7Д)

существуют и принадлежат дЕ.

До к а з а т е л ь с т в о аналогично доказательству леммы 6.11. Здесь используется лемма 8.8, в силу которой y(t) должна отстоять от всех точек дЕ за исключением плоских точек и плоских интервалов. Отметим, что 7 не может колебаться вблизи плоского интервала I (при t -* 00 или t -> — 00), так каких имеет гармоническое продолжение в окрестность внутренности I.

Обозначим ХЕ часть X, не лежащую в тех компонентах множества пластичности, которые связаны с X, и пусть д0Рх обозначает^ объединение свободных границ компонент пластичности, связанных сX.Пусть Хо = ХЕ и &оРХ- Аналогично опреде- m .

лим множества рЕ, доР* и д0 = рЕ U д0Ри для р = U S;.

j = 2

■*) В оригинале ’’flat point’’. - Примеч. пер.

Рассмотрим теперь петлю пластичности Р, (1 </ <т). Она имеет вид

О <х2 <’P(*i), OjCxiCb,-.

Предположим, что 0 - точка локального максимума <р. Тогда

^(Xi)<^(/3),(8.21)

если а,-<Р — 50 <Xt <Р + &0 <bj, х^Р

для некоторого 6 0 > 0.

Лемма 8.10. Существует кривая уровня у, {иХ1 = 0), заданная в виде

7:{х = 7(0, 0<т<°°}

такая, что 7(0) = (0, tp^)), 7 (г) € Е, если 0 < г < °°, и 7(°°) = lim 7 (г) принад- t

лежит до\Хо-

Доказательство. Для любого малого 6 >0,6 < 60,

и^-8, *Ш < d^-5,^№= l(0),

и (0 + 5, ^(0)) < d^ - 6, ^(0)) = ^(0).

Следовательно,■

ux(0 -8i,i(0))>O,

ux(0 + 62,i(0) + e)<O

для некоторых 0< 6h 62 < 6. В силу непрерывности

Mx(0-8i,l(0) + e) > 0,

ux(0+62,i(0) + e) < 0,

если е > 0 достаточно мало. Следовательно, имеется число 6е — 6! < 6е < 62 такое, что

их^ + 5е, i(0) + e)=O.(8.22)

Поэтому существует кривая уровня { их = 0}, начинающаяся в «3, ^(0)), и содержащаяся в области Е (за исключением ее начальной точки).Продолжим эту кривую тем же способом, что и при доказательстве лемм 6.11 и 8.9. Остается показать, что 7(°°) е д0\ Хо.

Если это не так, то 7(°°) € Хо и существует подобласть Ео С Е, ограниченная 7 и частью Хо такой, что их = 0 на ее границе. По лемме 6.7 и принципу максимума отсюда следует, что иХх = 0; приходим к противоречию.

Доказательство теоремы 85. Рассмотрим сначала случай, когда k = 1, и возьмем (для определенности) dx (s) положительной при s — sx (s -s t мало) и отрицательной при$ -L (L —s мало).

Обозначим д0 ($', $") часть д0, соответствующую s' <$ <$", а р0 ($) — точку д0, соответствующуюs.

Предположим, что имеется кривая 7 (как в лемме 8.9), такая, что 7(— °°), 7(+ °°) лежат на д0. Тогда

7(-«>) = До(о1), 7(+°°) = До(°2), $1<о1<о2<£.

Обозначим Д! кривую, полученную из д0 заменой д0 (oi, а2) на 7, и параметризуем 7 параметром s, Oi < s < о2.

Обозначим Ех подобласть Е, ограниченную Хо, рх, и предположим, что существует другая кривая типа 7, скажем 7t ,в Е^ такая, что 71 (— °°) и 71 (+ 00) лежат в Д!. Затем преобразуем д! в кривую д2, заменив часть Д1 от 7i (— 00) до 71 (+ 00)

на 7i. Опять параметризуем д2 параметром $ так, что $ меняется в интервале $1 < Cs < L. Можно повторять этот процесс шаг за шагом. Отметим, что на первой ступени точки 7(— °°), у(+ 00 ) не могут совпадать и не могут лежать в одном и том же плоском интервале (иначе uXi = 0). Аналогично на втором шаге точки 71 (- °°), 71 (+ о») не могут лежать на дуге Д1, вдоль которой иХ1 = 0 и тд. Вспоминая лемму 8.8, заключаем, что построение кривых ри, д2, • • • должно окончиться при некотором /. Тем самым нет кривых уровня 7у (как в лемме 8.9) в подобласти£/,ограниченной Ло, Uj, ДЛЯ которых 7у (— о°) G д,-, 7у (+ ■») G Uj■

Предположим для простоты, что Uj = До, но доказательство с несколько более сложными обозначениями верно для общего случая Uj ^ До- Таким образом, мы предполагаем, что

нет кривых уровня 7 как в лемме 8.9

таких, что 7(т) G Ей 7(—°°), 7(+°°) лежите д0-(8.23)

Рассмотрим кривую 7, как в лемме 8.10, и положим 7(1- 00) = po(sO)>si < < s° < L. Обозначим XOi часть Ло от (0, 0) до (/3, ^ (/3)) и Х02 - дуга X0/X0i• Обозначим Dx область, ограниченную Uo ($1, s°) Хо] И7,иД> — область, ограниченную Uo (s°,L), Хот и 7.

Рассмотрим сначала случай, когда

Uj(s)>0, если $i <$<$”,

и 1 ($) > 0, если $° < s < L..^ "^4)

По принципу максимума

иХ1 >0 в Dx,'(8.25)

иХ1 <0 в £>2.(826)

Из (8.25) следует, что (и - d)xi > 0 в подмножестве Dx, состоящем из всех точек х, для которых d (х) = х2. Это неравенство влечет следующее условие:

функция x2=i(Xi)(8.27)

монотонно возрастающая при 0 < Xi < /3.

Аналогично из (8.26) выводим, что

функция х2 =i(xi)'(8.28)

монотонно убывающая при 0<xt <Ь.

Следовательно, может быть не более одной петли и 9? (xi) имеет единственный строгий максимум. Таким образом, в рассматриваемом случае доказательство теоремы завершено.

Предположим, далее, что (8.24) не выполняется. Пусть, для определенности, для некоторого s*,s° <s*< L,

Ux{s)> 0, если $i <$<$*,

Ui(s)^0, если s° <$<$*,

Mi(s)<0, если s* <s <s* +8 для некоторого малого 8>0,(8.29)

Ui($)<0, если s* <s<L.

Тогда получаем (8.27), как и выше.

Так как их (s) изменяет знак вдоль Uo ($°, L}, имеется кривая уровня 71 bD2 для { их = 0 }. По (8.23) 7] (- °°) и 71 (+ 00) не могут лежать в Uo (s°, £) • Они не могут также лежать на Хо2. Следовательно, можно взять 71 (-°°) G Хо2 и 71 (+«•) G

е д0 (s°, £). Пусть о, определена по формуле д0 (»i) = 71 (+ °°)• Если Ui (s) изменяет знак ВДОЛЬ До (5°, О1) (или ВДОЛЬ До (о1, L^, то можно построить кривую уровня 72 для { их = 0}, лежащую в области, ограниченной 7, 7( и д0 (s°, о1) (или до (о1 ,£)) и частью Хо2. Для этой кривой

71 (~ °°) G Хо2, 72(+ °°) = До(о2) € До(*°, о1)

(или д0(а2)ед0(а‘,£)).

Опять, если Д| ($) изменяет знак вдоль одной из дуг д0($°, о2), д0 (о2, L) (или До (°’ • ст2), До (ст2, L^, то можно построить кривую уровня 7з для { их =0}, которая начинается на Х02 и кончается на соотретствующей дуге, скажем в о3,и т.д. Так как никакие две концевые точки кривой 7у не могут лежать в одном и том же плоском интервале, то процесс построения кривых должен быть завершен.

Следовательно, существует кривая уровня, скажем 7у, такая, что 7у (- °°) 6 G Х02 и ту (+ оо) = д0 (оу), 5° < оу <$*,и Uj ($) = 0 на д0 (o;s*) = 0. Следовательно, U] ($) <0 на до (оу,2.) и И] (5) > 0 на До ($|, 01).'

Рассуждения, следующие за (8.24), показывают, что ^ (х,) монотонно возрастает при 0 < X] < 6 и монотонно убывает при 6 < X] < Ь, где 7у (— °°) = (6, ^>(6)). Это завершает доказательство в случае к = 1 и показывает, что (так как 6 = Р) кривая уровня 7у должна совпадать с 7, т<. s0 = о.

Рассмотрим теперь случай общего к. Пусть ^, (1 <7 <7V) — точки строгого локального максимума для ^(xi). Построим кривые уровня 7' для { их = 0} (так же как в лемме 8.10), которые начинаются в (Ру, у>(Ру)); каждая 7; должна оканчиваться в некоторой точке д0 (оу) и 7Z П"^1 = 0,если/ ^i (иначеДд. = 0).Пусть

7° =До($1,ст,), 7VV+I =д0(аЛг,1),

обозначим Dj область, ограниченную 7у, 7/ + 1, До (сту, ст/ + 1) и ХОу, где Хоу - часть Хо ОТ Ру до Ру + |.

Вдоль каждой дуги д0 (оу, Oy + i), 1 </ CN — 1,зиак ut (s) не может быть фиксированным (иначе ^ будет монотонной в (Ру, Ру^)). Также не может случиться, что знак меняется в точности один раз с положительного на отрицательный; это бы означало, что ^(xi) возрастает в некотором интервале (Ру, Ру + 77) и убывает в интервале (Ру + т?, Py + i) (согласно доказательству при к = 1; заметим, что их = 0 Ha7z, т/+1).•'

Следовательно, Ui (s) меняет знак с отрицательного на положительный в каждом интервале (оу, о, +1). Наконец, условие и 1 (s) < 0 не имеет места на всем интервале (О, О|) (иначе ^(Х]) будет убывающей для 0 < X] < Pi), аналогично,условие Wi ($) > 0 не может быть выполненным на всем интервале (aw+i> £)• Таким образом, число изменений знака с положительного на отрицательный для Д| ($) вдоль До равно, по крайней мере, к. Доказательство закончено.

Теорема 8.11. Теорема 8.5 остается верной и без предположения (8.8).

Доказательство теоремы предоставляем читателю (см. задачу 1).

Рассмотрим случай, когда ^ — прямоугольник:

£2 = { - а <Х| <я, -b<x1<bV(8.30)

По следствию 8.7 существует, самое большее, четыре петли пластичности:

Pi = { -a<xi <а, - b <х2 < - Ь + ^(х^} ,

Р2 = {-Р<Х2 <р, -я <х, <-а + 1//(х2)},.

Рз - отражение Рх относительно Х|Юси;(8.31)

Р^ — отражение Рг относительно хг-оси.

Обозначим / биссектрису dfi в (— я, — 6), т.е.

• I; х2 =Х] + я - Ь,.

р(х) — отражение точки х = (хь х^ относительно I, где х2 ^Х! + а — Ь, а р* — сопряженное р.

Теорема 8.12. Если b <а,то р* (P-i) С Pi •

Доказательство. Пусть

D = {(хь х2); х2 <х, + я - Ь, -а <хх <-а + 2Ь),

ВХ=ВПЕ..

Рассмотрим функцию'

w(x) = и(рх) — м(х) в Вх.

Так как

-Дм(х)<д в p(T>i), — Ди(х) = р в Вх,

то

Aw < 0 в Dx.

Граница Di состоит из пяти дуг 7^: 7!, лежащая на прямой /; 72, лежащая на прямой х2 = — Ь; 7з, лежащая на bPv; 74, лежащая на Э^ и 75, лежащая на прямой X] = — я + 26.

На 7] имеем

w(x) = м(рх) — м(х) = м(х) - м(х) = О.

На 72:

w(x) = м(рх) — и(х) =

= м(-я, х2) - и(хь - 6) = 0 — 0 = О (Xj + я = х2 + 6).

На 7з U 74:

w(x) = м(рх) — d(x) < О,

Так как и(х) = </(х), <i(px)<d(x). Наконец, на 75:

. w(x) = и(рх) — и(х) = 0 - и(х) < 0.

Таким образом, w (х) <0 на границе Вх. Применяя принцип максимума, получаем, что

w(x)<0 в Вх.

Отметим, что для каждой точки х° G Dx такой, что рх° Е ЬР^, имеем

d^px0^ = dist (рх° ,7), 7 - прямая х2 = - Ь,

откуда d (рх°) =d(x°). Поскольку и {рх°) =d (рх°), то м (рх° ) = d (х°). Следовательно, .

w(x°) = м(рх°) - м(х°) = d(x°) - м(х°).'

Так как w(x°) < 0, то м(х°) >d(x°), что невозможно. Противоречие показывает, что нет точек х° в Dx, для которых рх° Е ЭР2, т.е. р*(д/,2) содержится в Рх. Это завершает доказательство.

Рассмотрим сначала случай, когда

5 - треугольник со сторонами 71>72,7з>(8.32)

и обозначим | 7,-1 длину 7,. По следствию 8.7 множество пластичности состоит из трех петель Pt, 7} связано с 7,- (оно может быть пустым множеством).

Обозначим I биссектрису угла 71,72 и пусть рх — отражение х относительно I, когда л: меняется в полуплоскости, содержащей 7!. Обозначим р* сопряженное р отражение.

Теорема 8.13. Если 172 I < 17i I. то р* (Р2) с Л •~

До казател ьство. Обозначим D* треугольник со сторонами 72,73,I, где 73 С 73 и I С I , и положим

D = p»(D*), DX=DHE.

Так как | 72 I < I 71 I, р* (7з) (и следовательно, также р* (D*)) содержится в О. Углы треугольников D*, D в точке I П 73 равны, и поэтому они меньше, чем тт/2. Следовательно,

если х € дР3 ОD, то d(px) — <7(х)<0.(8.33)

Рассмотрим функцию w(x) = и (рх) — и(х) в Dx. Согласно (8.33), если х3 € дРэ О И Z>i, то

w(x) = и(рх)) - d(x) Cd(px) -d(x) С 0.

На остальной части bDx должны иметь w (х) < 0 (как в доказательстве теоремы 8.12). Так как — Aw <0 в Dx, по принципу максимума w (х) < 0 в D. Из этого неравенства можно теперь вывести, как в доказательстве теоремы 8.12, что р* (Р2) С p(Pi).

Метод доказательств теорем 8.12 и 8.13 основан на принципе отражения. Этот принцип может быть применен также и в других ситуациях. Рассмотрим случай, когда О — не обязательно многоугольник.

Определение 8.2. Пусть х° G ЭЛ, х° не является угловой точкой, 7V0 (х°) обозначает нормаль к ЭЛ в х°, а а — отражение относительно No (х°). Предположим, что■

о(ОПГ_)СПС Т+,(8.34)

где Т_, Т+ - две полуплоскости, на которые No (х°) делит плоскость. Тогда будем говорить что х° обладает свойством отражения.

Теорема 8.14. Пусть х° = / ($°) не является угловой точкой, и предположим, что

у0 = f(s°) + v(s0)p0(s°)

- точка свободной границы, т.е. f (s° ) + v (s°) р е Р, если 0 < р <^ po(s°), f(s°) + + v (s°)p € Е, если р = Po(s°) + е для любого малого е >0. Если х° обладает свойством отражения с полуплоскости Т+, содержащей точки f(s),s >s° (s - s° мало), то

— po(s)>O в s=s°.(8-35)

ds

Доказательство. Рассмотрим функцию

w(x)= u(o"*x)-м(х) в Е+ Е А а(О П Т_).

Она удовлетворяет условию

Aw < д - Au = 0 в Е*.

Ha ЭС+ имеем

w(x) = O, если xG7V(x°),

w(x) = 0 — u(x) < О, если х G o(9S2 Г) Т_),

w(x) = м^,1) - d(x) <d(a;‘) - d(x)< О,

если х G дЕ* Ci a(Q Г) Т_)

(при выводе последнего неравенства использовалось (8.34)). Следовательно, по принципу максимума w <0 в Е^, т.е.

u(a^1)<u(x), если xGE+.(8.36)

Обозначим d_, d,, функции расстояния от кривых х =/($), s <$°,их=/($),$ > s°. Положим1

1= {/(s°) + pp(s°), O<p<po(s0)}.

Тогда

^i = d-, grad d_ = grad d+ = v(s° ) на 7.

Вводя ортогональные координаты (р, $) (где х = f (s) + р (s) р), имеем

99

d± = 0,d± = 1 на 7.■

9sЭр

Кроме того (см. (7.7), (7.8)),

Э2Э2Э2Э2

—-dt = d±=0, ——d+ = —-d_ на 7.

Эр29s9p9s29s2

Следовательно,

Wxe)-d_(x_J| = O(e3),(8.37)

если xE лежит на нормали к W(x°) в /(s°) + p(s°)p0(s°) и

хЕ G Т*, dist(xe, 7) = е, х_е = а'*хЕ.

Предположим теперь, что (8.35) неверно, т.е. предположим, что

d А

— ро^°)<0-.(8.38)

ds.

придем к противоречию. Из (8.38) получаем, что х£ G Е, х_Е G Р для малого е > 0, поэтому

n(x_e) = d_(x_e).

С другой стороны, если о, т имеют касательное и нормальное направления к свободной границе в точке у, то в у

(u-d)oo = (u-d)OT=0,(u-d)TT^0.

Следовательно,

и(хЕ) <d+(xE) — Се2 (ОО).

Используя (8.37), выводим, что

и(хЕ) <d_ (х_е) + О(е3) - Се2 = и(х_е) + О(е3) - Се2, что противоречит (8.36), если е достаточно мало.

Обозначим Д| первый квадрант плоскости. Предположим, что Л удовлетворяет следующему условию:

ЭЛ класса С3 + “,

О(8.39)

Л симметрична относительно оси х и оси у.

Множество Э Л И R । имеет вид у = f(x), 0 < х < а, где

/'(х)<0,(8.40)

/"(х)<0,(8.41)

f\x)

;неубывающая.(8.42)

[i+(/W)3'2

Условие (8.41) означает, что Л выпукла, а условие (8.42) — что кривизна в точках (х,/(х)) поверхности Э Л О R^ неубывающая при возрастании х.

Лемма 8.15. Если Л удовлетворяет условиям (8.39) --(8.42), то свойство отражения выполняется в каждой точке ЭЛ.

Доказательство этой геометрической леммы см. в [59].

Следствие 8.16. Пусть Л — область, удовлетворяющая (8.39) —(8.42). Тогда свободная граница состоит из двух кривых-.

Г+ : (х, /(х)) + р0(х) v* (х), -а < х < а,

Г_ : (х, -/(х)) + р0(х)р_(х), —а<х<а,

где 0 < а < а, Ро^-х) = р0(х\ н±(х) - внутренняя нормаль к дПв (х, ±/(х)); функция р0(х) монотонно убывает по х при 0<х<а.

Отметим, что если а = 0, то нет точек свободной границы, тогда как, если р0(а - 0) > 0, то две кривые образуют одну связную кривую.

Пример. Если Л - внутренность эллипса

то условия (8.39)-(8.42) выполняются.

Задачи

Доказать теорему 8.11.

[Указание. Использовать теорему 8.1, чтобы обобщить лемму 8.8.]

Распространить теорему 8.5 на случай когда X — дуга окружности {г = г0, 5! <0 <02^ иих заменено на ив; отметим,что Дц9 = 0 в Е.

Пусть г = h(0) — свободная граница вблизи вершины входящего угла. Оценить число локальных максимумов h в терминах ddl'dO вдоль ЭЛ (см. задачу 2>-

Доказать, что если Л имеет Т-форму с осью в качестве оси симметрии, то нет компонент пластичности, с основаниями на тех сторонах ЭЛ, которые параллельны оси Xi, и одна из концевых точек которых есть вершина входящего утла.

Рассмотреть правильный пятиугольник. Обобщить теорему 8.12, доказав, что если Р{ — петля пластичности с основанием на стороне 4 и i /; I < i 4 I, то р^ (Pf) С С рр где рц — подходящее отражение.

То же доказать для правильного шестиугольника.

Доказать, что Е содержится в ер-окрестности ребра R, где ем -* 0, если /1 -> оо; в действительности ем = С/д, С>0, см. [58 f]. (Этот результат показывает, что теорема 8.5 дает лучшую сценку при больших д.)

Если И - прямоугольник, то для всех достаточно больших р Е содержит (с/д)ч>крестность ребра (с > 0).

В обозначениях (8.30), (8.31) доказать, что а) ^(х() имеет в точности одну точку отражения в интервале 0 < х, < а; в) </(а - 0) = 0.

[Указание. Использовать метод из § 7.]

Свободная граница в задаче Стефана

В этом параграфе для оператора теплопроводности будем использовать обозначение

Ни = Au — ut.

Функция и. удовлетворяющая уравнению Ни = О,1 называется тепловой', если и удовлетворяет неравенству Ни > 0 (< 0) в смысле распределений, то она называется субтепловой (супертепловой')).

Задачу Стефана мы изучали в гл. 1. Здесь будем считать выполненными условия (9.9) а также условия на область, поставленные в § 2 этой главы.

В § 9 из гл. 1 было доказано, что

N(0) С N(t), если t>0,(9.1)

где N(t) = {х€П; м(х, г)>0) и

Эм

0 С — < С,(9.2)

^uG^Foc-(93)

Напомним, что при доказательстве (9.2) использовалась задача со штрафом (912) из гл. 1. Дифференцируя параболическое уравнение по г, получаем уравнение

-Н(—- + P'CkJ—- = 0, \ аг /

из которого согласно принципу максимума выводим, что

L > 0,■ dt

отсюда следует (9.2) при е -> 0.

Заметим также, что

-HI) < 0-

\д/ /

и, следовательно,

Жи^Х),. (9.4)

т.е. температура ut субтепловая..

Покажем здесь, что ut непрерывна, а затем распространим результаты § 3--5 на параболический случай.

Введем параболическое расстояние

d((xj\(,х0,Г0)) = {|х-х0 I2 + |Г-/0 |},/7

и модули непрерывности

ы£(г) = С | In г Ге (О 0, в > 0),(9-5)

а7(г) = С2-|1п'’'7 (ОО, у>0).(9.6)

Т е о р е м а 9.1. (i) Температура ut непрерывна 8 ИХ [О, Т].

Для любого компактного множества К С П X (О, Т) температура ut равномерно непрерывна с модулем непрерывности ы£(г) при любых 0 < е < 2/(и — 2), если и > 3 и о7(г) при любом 0 < у < 1/2, если п = 2.

В модулях непрерывности г - параболическое расстояние.

Для доказательства теоремы нам понадобятся несколько лемм.

Лемма 9.2. Пусть w - ограниченная субтепловая измеримая функция, определенная в цилиндре D X (О, ТУ Тогда существует функция w такая, что (i) w = w п.в. в D X (О, Т), (ii) w полунепрерывна сверху в D X (О, Г), (iii) для любого шара К, KCD, если z удовлетворяет условиям

^z — z^ ~ О в К X (fg, ^i)(0 < fg < ^i < Т*),

z = w на параболической границе КХ (t0,t1), то

z>w в К X (t0, G).

Доказательство см. в [58с].

Начиная с этого момента считаем, что Ut — представитель обобщенной функции U, для которого выполняются свойства (i)—(iii).

Продолжим h нулем в П\5.

Лемма 9.3. Функция и, непрерывна в t = 0.

Доказательство. Покажем, что

N(f) содержится в 5 (Г)-окрестности G,

где 5(Г)-^0, если t-^-0.(9-7)

Действительно, в противном случае существуют точки (xm, tm^ такие, что u(xm,tm) >0, tm -> 0, dist(xm,G)>2c>0.

Рассмотрим функцию

ит(х, t) = и(х, () - — (| х - хт |2 + (tm - Г)) 8и

на множестве R точек (х, Г), таких, что и(х, t) > 0 и

\ х — хт |<с, 0<t<tm.

Очевидно, Нит > О в R и vm (хт, tm ) > 0. По принципу максимума и должна принимать положительный максимум на параболической границе R, скажем, в (xf, г[”). Таким образом,1

u^.t?^ — (|xm-х? |2 +(tm -Г]”))-(9.8)

8n

Так как f™ = 0, это невозможно, а поскольку ^х™, г]”) не может лежать на свободной границе, должно выполняться равенство lx"1 - х[” | = с. Следовательно, (9.8) дает

*с1

и(хГ,^)> —,^{x^,G)>c,

8n

что опять же невозможно, так как h(x) = О, если х ^ G. Поскольку и, > 0: и(х, т)>0, если xGG.

Из (9.7), (9.9) и ограниченности и, выводим, что

(9-9)

f | ut(x, t) — й(х)| dx -* 0, если Т-*0;

(9.Ю)

здесь использован тот факт, что Tj класса С1.

Докажем теперь непрерывность и, в точке (.у, 0); достаточно взять ув Г1; Пусть К — малый шар с центром у, и пусть w€ (е > 0) — решение задачи

△we - wet = 0 в К X (е, 1),,

wc =ut на параболической границе Л" X (е, 1).

Ввиду (9.10)

w6(x, г) -* w°(x, Г), если е ^0.

Из леммы 9.2 для любого е > 0 имеем ut(x, Г)< w6(x, г). Следовательно, и, (х, Г) < w°(x, г).

Поскольку w°(x, 1) = й(х) непрерывна в у,

w°(x, г) й( у) = 0, если х-^-у, t-»0.

(9.11)

(9.12)

Вспоминая, что и, > 0 и используя (9.12), находим

ut(x, Г) ^-0, если х-^-у, Г->0.

Рассмотрим теперь случай и > 3.

Лемма 9.4. Пусть 0 < 6 < 1/2 и f6(x, t^ - непрерывная и неотрицательная функция, определенная для | х |< 1, 0 < Г < Л, такая, что

fg >0,если| х |=1,0 < t < X,■

fg >0,если|х|<1,г = 0,

fg >1,если|х |<в,0<f <Х0/2,

Hfg < 0 в смысле распределений в (|х | < 1, 0 < t < X), где 0< Хо < X. Тогда для

любого 0 < /3 < 1, если Хо достаточно большое (не зависящее от 6Д^, fe(x,n>C9n~2'

для | х | < /3, Хо < t < X,

где С - положительная константа, зависящая только от Р, Хо, X.

(9.13)

Доказательство. Пусть g — решение задачи

Ag-gt = 0, если |xj<l, 0<Г<°°, g=0, если |х|=1, 0<Г<°°, g(x, 0) = | х |2 “ " - 1, если | х | < 1.

Тогда g > 0 и

/ Хо\ 1,

< Ч^х^ П-1)’

если | х | < |30, 0о < 1, при условии, что X 0 достаточно большое.

(9.14)

Применяя принцип максимума к функции

/ 1 х I2 ” - 1 z(x, Г) = f9 (х, Г) - ( 02-„“

^,0 \ е2-" -1/^,0 \ е2-" -1/z > 0 в этой области.z > 0 в этой области.11±1111^12 e2-”-i11±1111^12 e2-”-i(ОО),(ОО),(*)(*)в области 5 < | х I < 1, 0 < Г < Хо/2, находим, что Используя (9.14), заключаем, что

^,0 \ е2-" -1/

^,0 \ е2-" -1/

z > 0 в этой области.

z > 0 в этой области.

11±1111^1

2 e2-”-i

11±1111^1

2 e2-”-i

(ОО),

(ОО),

(*)

(*)

если | х | < 0О, где 0 < 0О < 1. Теперь представим f6 (х, Г) в ( I х | < 0О, (Хо/2)<f <

< X} через функцию Грина. Используя неравенство (*), получаем (9.13) (с другой константой С).

Доказательство теоремы 9.1 для и > 3. Пусть (х°, Г°) — точка в fi X (О, Г) такая, что и(х°, г°) = 0. Докажем непрерывность ut в этой точке. Произведем преобразование координат так, что х° = 0, t® = 0, тем самым и будет решением вариационного неравенства в окрестности V начала координат.

Для любого положительного к, к>к0, положим

1\={(х,0; Jx | =С4~Л, -2Х04-*:<Г<0},

где Хо — достаточно большая константа, которую определим ниже, а к^ достаточно большое так, что Гдо СКВ дальнейшем С, С, будут обозначать различные константы, не зависящие от к.

Пусть

mk = suput, Мк = max(mfc,Ск~е},'

где е — положительная константа, которую определим ниже. Справедлива Лемма 9.5 Для любого б > е/2 справедливо неравенство

mk*i <Мк+1mk*i <Мк+1^1 ~^1 ~С \ кНп-2) )С \ кНп-2) )для всех к> к0для всех к> к0(9-15)(9-15)

mk*i <Мк+1

mk*i <Мк+1

^1 ~

^1 ~

С \ кНп-2) )

С \ кНп-2) )

для всех к> к0

для всех к> к0

(9-15)

(9-15)

Доказательство. Пусть

1 о

w‘ (х, г) = — J ut(x,t + h)dh.

4_4-2fc

Так как w* — свертка субтепловой функции ut с положительным ядром, она также субтепловая.

Поскольку и(0, Г) = 0, Dxu(0, t) = 0, если Г < 0, и так как Dxu — ограниченная функция, то

—зтт-J ut(x,t + h)dh < —^u(x,t) < —^С\х\2.

4_2кI 4 2k4

— 4

Следовательно,w*(x,t)C -^,Следовательно,w*(x,t)C -^,еспи 1x1 =еспи 1x1 =115 >0.5 >0.(9.16)(9.16)

Следовательно,

w*(x,t)C -^,

Следовательно,

w*(x,t)C -^,

еспи 1x1 =

еспи 1x1 =

1

1

5 >0.

5 >0.

(9.16)

(9.16)

(9-17)(9-17)

(9-17)

(9-17)

Введем координаты х=4кх, t' = 42kt

и функцию

w(x', t') = w*(x, t);

Pt отображается на |х'|<1, — 2Xo<r<0 и

Aw - wf > О, если | V | < 1, —2X0 + 1 <f’ < 0,

< mk,< mk,еслиеслиеслиеслиI V | = k~sI V | = k~s

< mk,

< mk,

если

если

если

если

I V | = k~s

I V | = k~s

Пусть

MkMkMk — Ck-28Mk — Ck-28(w-Ck^28)(w-Ck^28)(9.18)(9.18)

Mk

Mk

Mk — Ck-28

Mk — Ck-28

(w-Ck^28)

(w-Ck^28)

(9.18)

(9.18)

в | х' I < 1, -2Х0 + 1 < t' < 0.

Тогда можно применить лемму 9.4 к функции 1 - и/Мк с 0 = к-8 и получить

1 _ 111112Cifc-6(»-2)^^ >0)

Мк

если | х' | < Р, —Хо < г' < 0 при условии что Хо достаточно большое. Таким образом,■

и(х',г')<^(1 -С^к"8^-2^.

Следовательно, из (9.18) имеем

wC(Mk - Ск-28^! -Ctk-^^-^VCk-26 = = Мк(1 -Cik-8^~2^) + CClk~sk~S(n-2).

Выбирая е < 26, заключаем, что w^x, t')<Mk(\ -Ск-8^-2^, если | х | Ср, -Хо < / < 0.

Положим z(x', t') = ut(x, г) и рассмотрим функцию h(x , t'^ = Мк — z(x', t')'

для | х |</3, -Xo + l<f'<O.

В силу (9.19)

J h(x , s)ds>Мк - f z(x',s)ds =

t' - it' - it'- i

t' - i

t' - i

= Mk-w^x\t'^CMkk-8^-2X .

Кроме того, h > 0, Ай — ht < 0. Пусть h — тепловая функция, определенная в { | х* | < 3, — Х0‘ + 1 < t' < 0}, имеющая те же граничные значения как и h на параболической границе. По лемме 9.2 h > h. Выражая h через функцию Грина в {| х | < СР, -Хо + 1 < t' <01, находим, что .

h(x, t')>CiCMkk-8^-2y>(Ci>0).

в меньшем множестве (| х* | Ср0, —(Хо/2) </'< 0), где Р0<р. Поэтому z{x, t')CMk -CiCMkk-8^-2\

Выбирая р0 = 1/4, получаем (9.15).

177177А. Фридман

177

177

Теперь пусть 8 таково, что 5(и — 2) < 1 (и тогда е < 2/(и — 2)). Докажем по индукции, что тк<С*к~€, если к>кх..

Это неравенство, конечно, имеет место для любого данного кх > к0, если С* достаточно большое (зависящее от кх). Предполагая, что это неравенство верно для к, получим, согласно определению Мк,

Мк = С*к-€, если С* > С. Далее, по лемме 9.5

mk+i< С*к-е [1- ^тД^у] < С\к*\уе,

так как

С /k+V\~e

— < I I > если к > кл;

кЬ<п-2)\ к /

кх определяется так, что это неравенство верно при к > кх; кх не зависит от С*.

Завершив доказательство по индукции, можем теперь записать:

ut(x, г)< С*к-Е,

если |х|< 4"к, -2М"-2,С< Г< 0.

Это означает, что

ut(x, r)< С|1т(|х|2 + И)Ге(9.20)

при условии, что (х, t) лежит в малой окрестности (0, 0) и г < 0. Неравенство (9.20) показывает, что ut непрерывна снизу в точке (х°, ?°) = (0, 0) свободной границы и uf(0,0 — 0) = 0, т.е.если х-*х°, 11t®, то

иДх, f)-*ut(x°, t° — 0) = 0.

Для доказательства непрерывности сверху в произвольной точке свободной границы (х°, г°) возьмем для простоты (х°, г°) = (0, 0). Пусть f — решение задачи

Д^—Гг”О, если |х|< д, 0< г< д,

f (х, Г) = ut(x, t - 0) на |х| '=д, 0< Г< д,

и на |х | < д, Г = 0.

Так как ut(x, 0 — 0) удовлетворяет (9.20) с f = 0, функция f непрерывна в (0,0) и фактически

?(х, г)< С|1п(|х|2 +Г)Г£

(как видно из представления f через фундаментальное решение). Поскольку ut субтепловая, имеем (по лемме (9.2) ut < £. Следовательно, (9.20) верно для t > 0. Это завершает доказательство (i) теоремы 9.1.

Для доказательства утверждения (ii) положим, Р = (х, f), Р = (х, t) — две точки в К X (8, Г]. Обозначим d(P, Р) параболическое расстояние от Р до P.adp — параболическое расстояние от Р до параболической свободной границы, т.е. до той части свободной границы, точки которой (у, s) таковы, что s < t. Определим dp аналогичным образом и положим

dpp = min(dp, dp).

Так как ut — ограниченное решение уравнения теплопроводности вне свободной

границы, согласно внутренним оценкам Шаудера имеем

|МДР)-МДР)| < С^Р.Р))1/2,

(9-21)

если d(P, Р)< (dppV • Предположим, далее, что

(dppf<d(P,P).

(9.22)

В силу (9.20)

ut^C C|lnd?r%

(9.23)

ut(P)< C|lndPr£.'

(9.24)

Предположим, для определенности, что dpp = dp. Тогда

d,< d(P,pyi2

в силу (9.22) и'

dp < d(P, P) + dp< C(d(P, Р)У /2.■

Используя зто в (9.23), (9.24), находим, что

|нг(Р)-М,(Р)|< С|1п^(Р,Р)Г£..

Вспоминая (9.21), завершаем доказательство теоремы. (Отметим, что е можно взять как произвольное положительное число, меньшее чем 2/ (и — 2).)

му 9.4, взяв 1 ^(х,0)=1п — • 1*1Вместо (9.13) теперь получимf9(x, t) > Cln - •Заменим (9.16) следующим условием:С1w*(x, f) <> если |х|<•22*4л2*Это позволяет доказать неравенствотк^< Мк( 1 -при условии, что(Мк = max(mfc,2-1к } , е'< е, где тк определены так же, как выше.Можно теперь показать по индукции, что для любого 0 < £тк < С2~*при условии, что е < 1 — 6. Тем самым показано, что ut(x, ?)< Се~кУ,> < е' имеемму 9.4, взяв 1 ^(х,0)=1п — • 1*1Вместо (9.13) теперь получимf9(x, t) > Cln - •Заменим (9.16) следующим условием:С1w*(x, f) <> если |х|<•22*4л2*Это позволяет доказать неравенствотк^< Мк( 1 -при условии, что(Мк = max(mfc,2-1к } , е'< е, где тк определены так же, как выше.Можно теперь показать по индукции, что для любого 0 < £тк < С2~*при условии, что е < 1 — 6. Тем самым показано, что ut(x, ?)< Се~кУ,> < е' имеемДоказательство теоремы 9.1 для п = 2. Модифицируем лем-

му 9.4, взяв 1 ^(х,0)=1п — • 1*1

Вместо (9.13) теперь получим

f9(x, t) > Cln - •

Заменим (9.16) следующим условием:

С1

w*(x, f) <> если |х|<•

22*4л2*

Это позволяет доказать неравенство

тк^< Мк( 1 -

при условии, что(

Мк = max(mfc,2-1к } , е'< е, где тк определены так же, как выше.

Можно теперь показать по индукции, что для любого 0 < £

тк < С2~*

при условии, что е < 1 — 6. Тем самым показано, что ut(x, ?)< Се~кУ,

> < е' имеем

му 9.4, взяв 1 ^(х,0)=1п — • 1*1

Вместо (9.13) теперь получим

f9(x, t) > Cln - •

Заменим (9.16) следующим условием:

С1

w*(x, f) <> если |х|<•

22*4л2*

Это позволяет доказать неравенство

тк^< Мк( 1 -

при условии, что(

Мк = max(mfc,2-1к } , е'< е, где тк определены так же, как выше.

Можно теперь показать по индукции, что для любого 0 < £

тк < С2~*

при условии, что е < 1 — 6. Тем самым показано, что ut(x, ?)< Се~кУ,

> < е' имеем

если |х| < 4-*, —2Хо4-2<: < Г < О, где у может быть произвольным положительным числом, строго меньшим 1/2.

Остальная часть доказательства такая же, как в случае и > 3.

Займемся изучением свободной границы. Будут использоваться следующие обозначения:

N — некоинцидентное множество.

Nt = N^ = {х; (х, r)G7V},

Л — коинцидентное множество,

Л, = {х; (х, t) 6 Л),

Г — свободная граница,

Г,= {х;(х,г)ег}.

Функция и удовлетворяет уравнению Ни = к в окрестности любой точки (х0, (t0 > 0) свободной границы; для простоты положим к = 1.

Так как Ди = 1 + и, > 0, то по лемме 3.17

если (х, r)G.VUF, то sup и(х, t) > — •(9.25)

x'ejvfnaflr(.x)2n

Теорема 9.6. Мера Лебега множества Гг равна нулю.

Доказательство аналогично доказательству в эллиптическом случае (теорема 3.5); здесь используется условие (9.25).

Нам потребуется следующее неравенство Харнака.

Лемма 9.7. Пусть и - положительная тепловая функция в цилиндре Zy = = {|х| < 1. 0 < t < у), и пусть (у, t) G Zy, [у | = 1 —5, t = 52; где 0 < 5 < < min(l/2, у/2). Тогда-

и(0, у) >с6"+2и(у, 0(с>0).

где с - константа, зависящая только отп, у.

Относительно доказательства см. задачу 1.

Вернемся к вариационному неравенству для задачи Стефана.

Лемма 9.8. Для любой производной второго порядка иц по пространственней переменной справедливо неравенство

иц(х, О > C\\nd(x, Т)| 4( е= —- b(9.26)

\2(и —

где (х, Г) ё N, d(x, t) - параболическое расстояние до параболической части свободной границы. '

Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.6. Обозначим -- Мк инфимум иц в цилиндре'

Zk= Ux\< 2^, 0< t< С!*2^

(берем (0, 0) G Г) и заменим шар В$(х) в доказательстве теоремы 3.6 на цилиндр

Zs(x, /) = Bs(x) X (г - Cs2, t);

цилиндр содержится в Д', и его параболическая граница содержит точку (у0, т0) свободной границы. Теперь определим уд как и выше; т.е. yt получается сдвигом на расстояние 6s по направлению к центру х шараД$(х) (отметим, что u(yt,t0) < < С (6s)2). Далее, выберем ti > То так. что

/1 > (3s)7 и г, < /0 Т (6s)2

(тогда и(уь Л.)< C(8s)7).

Действуя так же, как в доказательстве теоремы 3.6, выводим

«цО. Г1)>-С5*/2

для некоторого у, лежащего внутри £5(i_8)(x)- Теперь применим неравенство Харнака (лемма 9.7) и продолжим доказательство так же, как в теореме 3.6.

Пусть (х0, Го) ~ точка свободной границы. Определим

MD(Af ПВАхо^

ьг№ •

г

Тогда справедлив аналог теоремы 3.10:

Теорема 9.9. Пусть (х0, Го) — точка свободной границы, /0 > 0. Тогда существует положительная неубывающая функция о(г) (0 < г < г0) с а(0+) = 0 такая, что если для некоторого 0 < г < r0 /

5Г(Л) > о(г),(9.27)

то существует окрестность V точки (х0, Го) такая, что V П Г может быть представлена в виде

Xi = k(xt,..., х,_х, х|+1,... , х„, Г),

где k G С1, и все вторые производные и ф^.и, DxDtu, D2u) непрерывны в (N U Г) О V.

Из результатов § 1 тогда следует, что к G С" и и принадлежит С“(^и Г) О П И).'

Следствие 9.10. Если

|ЛГ ПДДх0)|■

lim sup> 0,'(9.28)

г-*о Вг.

то утверждение теоремы 9.9 справедливо.

Оставшаяся часть параграфа посвящена доказательству теоремы 9.9. Мы начнем с простого замечания, касающегося скорости роста Nt;

если ВрСх^С Ati, то Bp_Ch С At +hi при условии,(9.29)

что С — достаточно большая положительная константа.

Действительно, если у0 EBp_Chlxx) ON ^, то согласно (9.25)..

sup и^х, tx * h2)> cC2h2 (с>0)..

’ Bp(.xty

Используя ограниченность ut, имеем sup u(x, ?i)>0,

если С достаточно большая; пришли к противоречию.

Возьмем для простоты (х0. Го) - начало координат.

Для каждого t можно рассмотреть и как решение эллиптического вариационного неравенства

-Au>f {f~l+ut),

и>0,

■ ифАи -/1= 0.

Поскольку и, непрерывна, можно применить результаты из § 4 и 5. (Отметим, что

непрерывность по Гёльдеру / требуется в доказательстве (3.8); в § 4—5 требовалась лишь непрерывность /.) Заключаем, что существует система координат (хь... . .., х„) и окрестность V точки (х0, /о) = (0, 0) такая, что Г, А 7 представима в виде

xn=g(xx*п-1Ло)(9.30)

с непрерывной Dx.g и непрерывной в (Nte U Г,о) А V производной Dxu(x, t0).

Из (9.29) видим, что условие (9.27) остается верным также в произвольной точке (x^fi) G Г вблизи (х0, Ро) с со(г) вместо о(г) при достаточно малой константе с > 0. Таким образом, для любого tx, близкого к г0, существует система координат и представление (9.30) (с tx вместо г0) Гг П И. Свойство (9.29) показывает, что в действительности можно использовать ту же систему координат (Xjх„) для всех G, близких к г0; кроме того, g принадлежит С1/2 по t. Итак, имеет место

Лемма 9.11. Существует система координат (Xjх„) и окрестность V точки (х0, г0) = (0, 0) такая, что ГОУ представима в виде

x„=g(xxх„_ь t),(9.31)

где Dx g непрерывна в (хь ..., xn-i) равномерно относительно t,g принадлежит Сх*2 по t и NOV имеет вид

х» < g(xx,.. ., x„_b г);

наконец, Dxu непрерывна по х равномерно относительно t в (NU Г) О V.

В дальнейшем будем предполагать (что допустимо), что

gXi(x0, t0) = 0 для 1 < / < п - 1.

Запишем: х* = (х ь . . . , х„_,), у = х„.

Лемма 9.12. Пусть и - непрерывная субтепловая функция в цилиндреZ = = { |х | < 1, 0 < t < 7}; предположим, что v<MeZuv<pe цилиндре Zo = = { х G Go, 0 < t < 7 } таком, что mes Go > в > 0, д = Мр., М > 0. Тогда существует число X, 0< Х< 1, такое, что и(0,7) < ХМ; X зависит от у, 6.

Действительно; если и - функция тепловая в Z, и и = и на параболической границе, то можно представить и через функцию Грина в цилиндре { |х| < р, 0 < t < 7 } и выбрать р так, чтобы

ро<р< 1, mes(dSp AG0) >с0,

где с0 и ро - положительные числа, зависящие только от 6. Используя леммы 9.11 и 9.12, можем теперь показать, что

ut < Cds(x, Tf) для некоторого 5 > 0,(9.32)

где d(x, Л) = dist(x, Л).■

Действительно, доказательство аналогично доказательству леммы 5.3 с заменой Duu на ut и й(х) — на тепловую функцию h(x, t); лемма 9.12 применяется для получения верхней оценки — h, меньшей 1.

Так как g 6 Сх,2 по Г, то в силу (9.32)

и t (х, t) < Cd5 ((х, f). Г),(9.33)

где d((x, t). Г) — параболическое расстояние от (х, t) до параболической части свободной границы.

Из (9.33) и внутренних оценок Шаудера имеем (см. рассуждения, следующие за (9.21)):

ut непрерывна по Гёльдеру в (х, Г) в (N U Г) О V с показателем 5 > 0.(9.34)

Поскольку Uyy -* 1 при (х, Г) -* (х0, Го), то иуу > 1/2 в (/VU Г) О V,если V достаточно мало; следовательно,

-иу(х', g^x, t) - т?) >тй2, если i? достаточно мало, т? >0.(9.35)

Следующая лемма позволит оценить DxDtu в терминах Dxu и D2u — в терминах DxDtu.

Лемма 9.13. Существуют положительные константы С^, Ci такие, что

ut<x',y,f)< -C^UyCx'.y, tVCid1((x',y),rt')(9.36)

в NOV.t

Доказательство. Введем цилиндры

2Р1€(хг, fi) = { (х> s); Iх ~*il< Р. tx-e< s< t^(9.37)

для малых р, е. Для произвольной хх = (х\, у^ G Tfi сравним в ^П Zpe (xt, ?t) тепловые функции ut и w = -Аиу — и + (|х — xj2 + (ft — Г))/(2п + 1). Легко видеть, что w > 0 на параболической границе (за исключением (х -, tx) ), если А достаточно большая, и что Cw > ut на параболической границе, если С достаточно большая; здесь было использовано (9.35).

Применяя принцип максимума, получаем

Cw>ut в N nZp e(xx, ?i).

Так как (хь Г1) может быть любой точкой свободной границы, получаем (9.36).

Лемма 9.14. Производные DxDtu, D2u ограничены в N C\V.

Доказательство. Рассмотрим усреднения по пространственным переменным

(J6u)(x, Г) = ~Jp(”—-^(у, Ody, е \ е /

где р G С", р> 0, р(х) = 0, если |х| > 1, и $p(x)dx = 1. Оценим DxDtu по методу Бернштейна. Для этого рассмотрим функцию

z(x, t)=?2(x. 0IVx(J£u,)i2 *A(Jeutf (А>0),(9.38)

где f G Со в окрестности V точки (х0, Го), 0 < £ < 1 и f = 1 в меньшей окрестности Гд точки (х0, Го)- Обозначим De множество всех точек (х, г) GWO И таких, что dist(x, Л,) >е. Полагая в = JE и t, подсчитаем в De:

M-zt = 2г2 s е2.х. ОДх.еХ1вХ1Х. +

+ 2{А + ^(KXi)x,. - ^t} S52 > 2t2(l - е^02х +

I 2 о1

+ 2 А - - 1?П2 +2(^,Х.-^г >0

для 0 < е < 1, если А достаточно большая. Таким образом, z не может достигать максимума внутри.

Из леммы 9.13 следует, что если (х, Г) ё De, dist(x. Tf) < 2е,то 0< ut < С. Следовательно, 0 < 0 < Се и, как легко подсчитать,

|5Х/КС,

если (х, Г) G 9De, dist(x, Tf) = е. Поэтому г < С на ЙВ€, О1куда г < С в De и,

в частности,

|VxJe(«f)|< С.

Полагая е ~*0, получаем

\DxDtu\^ С

в некоторой TV-окрестности (х0, г0).

Теперь введем усреднение J€ по времени и обозначим его J€. Рассмотрим также функцию

z(x, t) = ^2(x, t) \ Dt(Jeut)\2 + A{^x(Jeut)\2 (А >0)

в множестве О6, точки (х, г) которого характеризуются следующим условием: (х, Г - е) принадлежит некоторой А-бкрестности (х0, г0); здесь функция f такая же, как функция f, использованная в (9.38), но имеет меньший носитель.

Полагая О = Jcut, вычисляем:

Az - zt = 2f2 ^92хЛ 82 Кх et6tx. -

i 1 i 17

-^te2*^aJ^iA^x /111,1* 1 .

Используя соотношение 9t = ДО и ограниченность 9 tx., находим, что Д? - zr > 0, если А достаточно большая.

Далее, если (х, Г — ye) G dDe О Г для некоторого 0 < у < 2, то по лемме 9.13, используя ограниченность uyt и то, что g GC^2, находим, что

0 С ut < Се.

Отсюда следует, что 0 < 9t < С на части границы <Ше, которая находится вблизи Л. Следовательно, z < С на ЭОе, и по принципу максимума z < С в De. Заключаем, что

l£>f(ZeMf)i< с

в De П Hi, где V\ — некоторая окрестность (х0, г0)- Полагая, что е -*0, получаем ограниченность utt.

Следствие 9.15. Если Вр(х) С At ((х, Г) близко к (х0, т0), р мало), то для подходящей положительной константы С имеем

Bp-Ch^WAt+h

для всех малых h > 0; следовательно, g непрерывна но Липшицу по t.

Доказательство такое же, как доказательство (9.29), но здесь используется ограниченность им.

Теперь, располагая леммой 9.14, можно закончить доказательство теоремы 9.9 с несколько модифицированным методом Лежандра; доказательство схематично представлено в задачах 7—10. Здесь же будем рассуждать в духе анализа, проведенного в § 4 и 5.

Лемма 9.16. Для любдй производной второго порядка иц (по пространственной переменной или по времени)

иц(х, t) > -Cde(x, t)

2(9.39)

(для некоторых e >0, ОО)

в N Cl V, где d (x, t) - параболическое расстояние до параболической части свободной границы.

Доказательство. Так как Г непрерывна по Липшицу (в И) и и,, - ограниченная тепловая функция, то пределы иИ на Г (некасательные) существуют, т.е. они образуют функцию fH G L" (р)\ ц - тепловая мера (см. [121]). Пусть — М = ess sup/,-,- на Го, где Го - фиксированная открытая Г-окрестность точки (х0, ?о) и А' — компактное подмножество Го. Пусть О—TV-окрестность (х0, fo) иЭУП Г = Го.

Для любого малого h > 0 положим

Dh = { U, 0; кх, 0 е D, (х, г) + Хе, G D Vо < X < h) ,

где е, - единичный вектор по/-му направлению. Рассмотрим функции 2 й »

Fh=T^^ f0 +re^drds,

пhо о

I

'2h

^ =/г^о /uiMГ) +re^drds.

Тогда HF*h= 0в DhK F*h.~* иц в В, если h -* 0. Покажем, что

v„(x, tx) > -М - Срек(х, t),(9.40)

где рк - параболическое расстояние до параболической части границы К. Действительно, доказательство аналогично доказательству леммы 5.3; здесь используются лемма 9.7 и непрерывность по Липшицу функции g. Отметим, что принцип максимума (который необходим для доказательства) остается справедливым, когда граничные значения понимаются как некасательные пределы; фактически, это следует из единственности представления ограниченных тепловых функций через функцию Грина [121].

Из (9.40) выводим, что

F‘h > -М - Ор^ + he)(9.41)

с другой С.

Пусть

^iDh = {(х, Г) G dDh; (х, t) + Хе, G К для некоторого 0 < X < h}.

Если X < h!l, то

/ / и„^х, 0 + re,)drds = и^х, г) + he,) > 0

и, следовательно,

Flh > ~(314)М.

Если X < й/2, то F^ > —ЗМ/4. Таким образом, в обоих случаях Fh + Fh ^ ~(Л^М на Э,£>й

и согласно доказательству (9.40), примененному к Fxh + А'^, Fh + Fh ^ -Oi^M + Срек в Dh.

Полагая, что h -* 0, получаем

и„(х, 0 ^ -(7/8)М + Срек(х, г)

и, когда (х, г) стремится к К, . ess sup fjj > —(7/8)Л/.и, когда (х, г) стремится к К, . ess sup fjj > —(7/8)Л/.Взяв К t Го, получаем -М > —1М(%, откуда М < 0.Теперь можно применить доказательство (9.40) еще раз для вывода (9.39).Лемма 9.17. Пусть т? — произвольный единичный вектор в пространстве переменных (х', t) = (xiх„_ j, t), и пусть Хх = Хт?, X > 0. ТогдаВзяв К t Го, получаем -М > —1М(%, откуда М < 0.Теперь можно применить доказательство (9.40) еще раз для вывода (9.39).Лемма 9.17. Пусть т? — произвольный единичный вектор в пространстве переменных (х', t) = (xiх„_ j, t), и пусть Хх = Хт?, X > 0. Тогда№)-^(0)^(0) = hm х -* о X№)-^(0)^(0) = hm х -* о Xсуществуетсуществует(9.42)(9.42)и для некоторых е>0, ОО (не зависящих от т?)и для некоторых е>0, ОО (не зависящих от т?)5^0^ - „(0) >5^0^ - „(0) >(9.43)(9.43)Доказательство. ПустьДоказательство. Пустьg„(0) = lim sup х — оg„(0) = lim sup х — о№) - g(0)X№) - g(0)X

и, когда (х, г) стремится к К, . ess sup fjj > —(7/8)Л/.

и, когда (х, г) стремится к К, . ess sup fjj > —(7/8)Л/.

Взяв К t Го, получаем -М > —1М(%, откуда М < 0.

Теперь можно применить доказательство (9.40) еще раз для вывода (9.39).

Лемма 9.17. Пусть т? — произвольный единичный вектор в пространстве переменных (х', t) = (xiх„_ j, t), и пусть Хх = Хт?, X > 0. Тогда

Взяв К t Го, получаем -М > —1М(%, откуда М < 0.

Теперь можно применить доказательство (9.40) еще раз для вывода (9.39).

Лемма 9.17. Пусть т? — произвольный единичный вектор в пространстве переменных (х', t) = (xiх„_ j, t), и пусть Хх = Хт?, X > 0. Тогда

№)-^(0)

^(0) = hm

х -* о X

№)-^(0)

^(0) = hm

х -* о X

существует

существует

(9.42)

(9.42)

и для некоторых е>0, ОО (не зависящих от т?)

и для некоторых е>0, ОО (не зависящих от т?)

5^0^ - „(0) >

5^0^ - „(0) >

(9.43)

(9.43)

Доказательство. Пусть

Доказательство. Пусть

g„(0) = lim sup х — о

g„(0) = lim sup х — о

№) - g(0)X

№) - g(0)X

Если 0 < Xi < Х2/2, to

g(^Xj)-g(0)g(XXi)-g(0)

L—< + CXe(9 44) AlA2

Действительно, рассмотрим шар (ХХг = (х^ , tx^

В = Вс„хА+е(х'х , g(XxJ 4 С'ХГе, tx\

Поскольку g непрерывна по Липшицу, если c'lC" достаточно большое, то В С Л. Следовательно, если (9.44) неверно для некоторого большого С, то можно применить параболический аналог леммы 5.5 и получить следующее: существует интервал (аналог { sy } ), содержащийся в N, который либо пересекает В, либо проходит выше В; в обоих случаях приходим к противоречию. Отметим, что лемма 5.5 основана на лемме 5.3 (параболический аналог которой есть лемма 9.16) и распространяется на параболический случай с минимальными изменениями.

Доказав (9.44), возьмем последовательность Xi = Х1;- -*0 такую, что

№,) - ^(0)

g4(0),

и из (9.44) получаем

g(Xx,)-g(0)_

lim inf > gn(0)-

x, 0 X2 i

Следовательно, предел (9.42) существует. Наконец, (9.43) вытекает из (9.44) при Xi ^0.

Обозначим С(х0, г0) конус, порожденный всеми касательными g4 (0), развернутый в N. Аналогично определим конус С(х, г) для произвольной точки (х, г) € € Г П V.

Лемма 9.18. Конус С(х, г) — выпуклый-, так как g G С^, конус образован двумя гиперплоскостями.

Доказательство. Достаточно показать, что С(х0, Го) выпуклый. Введем направления т?1, ч?2 в (х*, Г) — пространстве и касательные лучи уу в направлении g4/.(0). Пусть (х'., g(x., tj), tj) — точка из Г с расстоянием X от (х0, г0) и лежащая на расстоянии о (X) от уу (при X -I 0). Применим лемму 9.17 с заменой (х0, Го) на (x'l, g(x'i, Zi), ft) и т? —направлением от (xi,/1) до (х2, Г2).Обозначим (Xi, fi) точку в интервале от (xi, Г1) до (х2,Г2), которая делит его в отношении 6: (1—9); (9.43) дает

“(хдл(хд, Л) - СХ1+е, 7 ) > 0.

Пусть X •* 0, находим, что

%,(0) + (1 + 9)g42(0) € С(х0,г0),(

и доказательство закончено.

Доказательство теоремы 9.9. Начнем с доказательства того, что касательный конус С(х0, Го) — гиперплоскость:

С(х0,г0) = <У = g(xo,to") + А0(хь - хо) + Л1(Г-Г0)}.(9.45)

Мы уже знаем, что С(х0, г0) образован двумя гиперплоскостями

у = a(t- г0) + g(xg, Го), t>t0,

У = b(t -t0') + g(x'0>t0), t<t0..

с b < а. Надо показать, что а = Ь.

Напомним, что .

|Vg(xi,0 - Vg(x2,t)l < "(Ix'i - х2 I},

I Uij(Xi , t) - и{/(х2,0 I Codxj - X2 I),^946)

где иц —любые производные второго порядка по пространственным переменным и а (X) 10 при X I 0.

Возьмем три точки на вертикальном отрезке

А. = (xo,g(xo, г0) - «> 'о),

В = (xo,g(xo, Го) -«, Го + 3),

С = (xo,g(xo,ro) - а, Го - 3)

(а > 0, 0 > 0).

Поскольку g непрерывна по Липшицу, если 0 = <?(а), то все эти точки лежат в N. Так как иуу (х0, Го) = 1, то ввиду (9.46) имеем

В силу леммы 9.17 и липшицевости g

.g(x'0,t0 + 0) = g(Xo,ro) + «0 + et(0),

g(^'o,ro - 0)= g(xo,ro) - 60 + e2(0),(9.48)

- C0t+0 < e,(0) < C0-

Отметим, далее, что

uyy(xo, g(xo, r0 + 0), Го + 0) = (cos0)2,(9.49)

где 0 — угол между осью у и ’’прбстранственной” нормалью к g в (xo,g(xo, Го + 0),

/о + Р). Для оценки 6 используем тот факт, что g возрастает по t:

О < g(x', t0 + Р) - g(x’, t0) = g(Xo, t0 + P) - g(x'o, t0) +

+ ^'(^0, Го + P)(x' - *o) + ®dx' - 4 l)lx' - x'o |.

Для x1 - Xg в направлении ±Vx’g(xo, to + P) имеем

&'(^o> to + 0)(x' - *o) = ±tg в | x' - Xo I.

Полагая |x' - Xq I = P1*2 и используя (9.46), получаем

I si» в I < „«Ч^ t ^” < ««I1'2) + C5'l\

Выберем

P = oll2(V^)a.(95°)

Тогда

I sin 6 | < Co1 /4(V» )V“ + a(.\/P )•

Из (9.49) следует, что

Uyy(xo, g(x'o, to + P), to + P) > 1 - Ca1^2(y/a)a + a2(VP)-

Вспоминая (9.46), (9.48), находим, что

u<B) - (Д]2)(ар + e.OD + a)2 >

> -Co? [a(Afa) + a2(i/a) + а*/2(-у/а)а]

с некоторой константой M > 0. Аналогично

и(С) - ^H^-bp + е2(0) + а)2 >

> -Со? 1о(Ма) + o2(i/a) + о1 ^2(\/а)а].

Таким образом,

/ 5 u(S) + u (С) - 2и(А) > ^а - b)o? (с? '2^х/а)) + (e^Z?) +

+ e2(S))a - Ca2a(V«) - Co3 a*/2( у&).(9.51)

С другой стороны,

/ = (н(Д) — u^A)) +■ (u(C)u(A)) < (sup ut — inf u^a1/2(Va )a,

где J, = AB, J2 ~ AC. Поскольку utf ограничена, то

/ < Са(>Уа )a2,

что противоречит (9.51), если только а^Ь. Таким образом, (9.45) доказано.

Сходимость в (9.42) равномерна как относительно выбора точки (х0, t0) свободной границы, так и относительно направления т?. В силу (9.45)

g(x’, t’) - g(x’o, to) = (x' - x'o)g^'(Xo, to) +

+ O' - to)gf(x'o, to) + 7(1 x' - Xo | + 11' - to I),

где 7(A) -* 0, если X -»• 0. Следовательно, g € С1 в (х', t’).

Докажем, далее, что

utj ->■ 0, если (х, t) ->■ (х0, t),(9.52)

для произвольной производной второго порядка (по пространственным перемен-

ным или по времени) такой, что направление i касательно к свободной границе в (х0. ?о)•

Сформируем разностные отношения

1

Fh = -(«/((*. О + he^ - Uj(x, Г))

в открытом множестве

Dh = {(X, 0 € N ГА V, (х, t) + he; е N П VL

Так как g € С1, то.

Э,,

— g -* 0, если (х , /) -+ (х0, Г).

де,-/

Замечая, что и, (х, g (х', t), t) = 0 и | О2 и | < С, получаем Fh = е (5) в о-окрестности (х0, fo). пересекающей Dh, где е (6) -»0 при 5 ~*0.

Имеем также

\Fh\<C в Dh.

Представим теперь Fh через функцию Грина (см., например, [121]) и выведем, что_.

\Fh I < 2е(8)

в б'-окрестности (х0, г0), пересекающей Dh, где 5' достаточно мало. Полагая А ~*0, получаем

I ujj | < 2е(б)

в этой окрестности, откуда получаем (9.52).

Остается доказать,что существует lim иии, где v — нормаль к свободной границе в (х0, Го). В силу (9.52) достаточно доказать это, когда и — лишь какое-то некасательное направление. Но для v в направлении оси у limuvv существует.

Задачи

Доказать лемму 9.7

[Указание. Представить и через функцию Грина Gx ((у, s) в цилиндре ,Э ”

{I V | < 1} с центром в (х, ?). Следует (i) оценить — Go 0 (р — внутренняя нор- ЭЭр ’

маль) снизу и -— Gy>4_t сверху на боковой поверхности d/Z7; (И) оценить G0 Q Эр’’

снизу и Gy>7_f сверху на верхнем основании dTZ7. При К(|х|, Г) = К(х, t) - фундаментальном решении уравнения теплопроводности -

^(1 х |, 0 - АГ(1, ?о) С Gq.oG х |, Т)

(|х | < J, t < t0\

так как KtQ, г) > 0, если у < 2/и. Следовательно,

д" ^;o,c(l, Эрд" ^;o,c(l, Эр^о)^о)— АГ(1, Го) = —е-'/4''др 'Дн+2)/2‘о— АГ(1, Го) = —е-'/4''др 'Дн+2)/2‘о(С > 0),(С > 0),

д

" ^;o,c(l, Эр

д

" ^;o,c(l, Эр

^о)

^о)

— АГ(1, Го) = —е-'/4''

др 'Дн+2)/2

‘о

— АГ(1, Го) = —е-'/4''

др 'Дн+2)/2

‘о

(С > 0),

(С > 0),

Go,o(lx|, У) > C(e~^^f^ - е"'^) (С > 0).

Для оценки ЬСу3(ех, s)[bv (et = (1,0,..., 0)) при s > t положим: S - полупространство, касательное к 3(Z7 вдоль eb и Gy>t (х, s) — функция Грина для S. Так как G*>f > Gy>t, то

Э ■СухI ех — у |2 С

— Gv f(ei,x) <exp — < ,

bv’ ^s _ t^n^n F 4(s-05" + I

поскольку | 61 — у | > S, s — t < S2.

Ha bTZy, если yn = dist (y, dS), xn = dist (x, dS), to

CGy.Ax,^ < — 0CGy.Ax,^ < — 0expexp/ ^«\\ 2 /\ 20 // ^«\\ 2 /\ 20 /— exp— expХ„Уп2S2Х„Уп2S2C xnyn * 5" 62C xnyn * 5" 62< ^0 - 1*1);< ^0 - 1*1);

C

Gy.Ax,^ < — 0

C

Gy.Ax,^ < — 0

exp

exp

/ ^«\

\ 2 /

\ 20 /

/ ^«\

\ 2 /

\ 20 /

— exp

— exp

Х„Уп

2S2

Х„Уп

2S2

C xnyn * 5" 62

C xnyn * 5" 62

< ^0 - 1*1);

< ^0 - 1*1);

наконец, если у > 2Jn, следует повторить приведенные выше выкладки несколько раз.]

Предположим, что Го — граница шара ВГо, и запишем Aw в полярных координатах:

Aw = rY-п(гп ~ 1 wr)r + г"2 Aw.

Предположим, что

g(x, Г) - g(x, 0) - Гу2А ( /g(x, s)ds) > 0 на Го X [0, Т],

о

(г2А(х))г < о в G.

(Последнее условие означает (так как h > 0 в G), что Go U G звездна относительно любой точки, близкой к началу координат). Пусть и =rn-vur. Доказать:

-Ди + ^Lll^ + Uf = Г .

= r»-4r2f)r - 2rn~2ut

в смысле распределений в N;

и < 0 в N.■

[Указание. Взять w = e-atv и пробную функцию f = e~atmax (w — M, 0), где М = max w.]

N^ звездна относитбльно любой точки, близкой к началу координат; следовательно, Г, липшицева:

N задается локально в виде

X, = g(xt,..., xt_ i, xf+!,..., x„, 0

C g e c”.

Некоинцидентное множество для задачи Стефана имеет вид t < </>(х), где ip — непрерывна по Липшицу.

[Указание. Используйте метод доказательства теоремы 6.1 для того, чтобы показать, что Aut + ’LctxXi — и положительна, если 'Lc2 < 1 и А достаточно большое. ]

Рассмотрим одномерную задачу Стефана

ut - их = 0, если 0 < х < $(?), t > О,

их(0, I) = /(?), е«1и * > 0 (/(?) < О),

и(х, 0) = й(х), еслиО < х < b (6 > О, h^ > О),

u(s(?), 0 = О, если ? > О, ds

их^О, О =если f > О,

где/ (0) = ft*(O), h(b) = Ои/, h непрерывны. Сделаем преобразование

X

u(x,f) = / u(x, т)с?т,

чтобы свести задачу к вариационному неравенству с условием Неймана в х = 0. Доказать, что существует единственное решение с s' (?) > 0, s € С°°.

Предположим, что в задаче 4

й'(х)<0, й"(х)>0,

/z"(x)

^' ^ монотонно возрастающая

и/ = 0. Доказать, что s'(t) строго монотонно возрастающая.

[Указание, а) Показать, что их < 0, ut > 0; b) z = ut/ux удовлетворяет параболическому уравнению и не принимает локального экстремума на свободной границе; с) рассмотреть кривые уровня { z = а }, они регулярны для ns. а (по лемме Сарда). ]

Распространить результат задачи 5 на случай/^ 0, но/ (?) < 0.

[Указание. Показать, что z не может принимать минимум на х = 0.]

Использовать лемму 9.14 для того, чтобы вывести: Г, € С1+х для любого 0<Л<1.,

[Указание. Пусть |а = ха - ха0, а <и,

Sn =-Ux^x.tY х0 =(x0i,. .. ,хо„)е Ft,

и(О = ^„ +u(x, ?).

Тогда

F(D2u)

в U = { £, |„ < О, 11 I < е } , и = 0 на |„ = О, где / = 1 + ut € С0,1. Функция w = = и$д(Р < и) удовлетворяет эллиптическому уравнению в U, w = 0 на |„ = 0; применить эллиптические £р-оценки и вывести, что и € С2+х. Наконец, Г, представима в виде х„ = и6п.]

Пусть G — область в R" и S — открытая гиперповерхность ^G класса С1+х. Если •

Aw=/ в G, weC2(G)riC°(G), w=g на S, где /e£“((7),gec1+x(5), то w€C1+x(G US).

[Указание. Предположим, что / = 0. Пусть

J^a — ^а (® < л), Уп — ^п Ф^ )>

где S задана в виде х„ = ^ (г ) . Тогда z (у) = w -- g удовлетворяет условиям

д

Lz = - 5 — ga (уп < 0),

z = 0 на у„ = 0,

Согласно доказательству леммы 4.2 из гл. 1 z £ См для некоторого 0 < д < 1 и из теоремы 9.2 и [За] имеем z G С1 +х.]

Согласно задачам 7 и 8 ut € С1*^^ и Г,) пиуи - окрестность х0, с постоянными Гёльдера для мгх/, uXiX., не зависящими от t. Используя это, непрерывность g(x', /) и монотонность g по / доказать, что wf^, их.х. непрерывны по t,

В постановке задачи 9 показать, что Г класса С* в окрестности (х0, t^.

[Указание. Взять конечные разности в соотношении

Ux^.g^jYl^OA

Показать, что, вообще говоря, температура в задаче Стефана не будет непрерывной по Гёльдеру, если и > 3.

[Указание. Рассмотрим радиально симметричное решение

и(х, 0 = й(г, г) (г — | х I)

такое, что (0,1) есть точка свободной границы и

N = {(х, t\, t > o(r)}, A - { (x, t\, t < o(r)} , o(0) = 1,

Ввиду невырожденности u(r, 1)> er2 (c>0). Если ut непрерывна по Гёльдеру, то для некоторого е > 0

й^г, Л<Ое, если 1 -8 <t< 1, 8 = о(г\

Следовательно, м(г, г) > 0, если 8 - сог2-6 (Со > 0) и тем самым

АС((хд); 0 < 1 — t <сог2 ~с } .

Так как ut - барьер для Nb (0,1), приходим к потиворечию с тем известным фактом, что для уравнения теплопроводности в N не существует в (0,1) барьера, когда А лежит в зоне параболического типа см. [82, 165], где дано вероятностное доказательство; другое доказательство следует из критерия Винера [86].]

§ 10. Устойчивость свободных границ

В этом параграфе мы рассмотрим как эллиптические, так и параболические вариационные неравенства и установим оценку меры множества { м > е } (когда препятствие тождественно равно нулю). В качестве приложения докажем: а) свободная граница имеет конечную меру Хаусдорфа Нп_х, б) если свободная граница гладкая для какого-то решения и вариационного неравенства, то свободная граница для любого другого решений и такого, что | и - и мало, также будет гладкой.

Для простоты в качестве эллиптического оператора рассматривается оператор Лапласа. Таким образом, мы изучаем задачу

- Дм*f>0

п.в. в Г2,п.в. в Г2,(10.1)(10.1)м > 0

п.в. в Г2,

п.в. в Г2,

(10.1)

(10.1)

(- Дм +/)м = 0

(10.2)(10.3)(10.2)(10.3)где £2 — ограниченная область в R". Предположим, что /ес0-1^), иЕС1’1^),

(10.2)

(10.3)

(10.2)

(10.3)

Пусть

М-| и 1С1,1(П), F-I/|с°д (^)

и, как обычно, обозначим N, Л, Г некоинцидентное множество, коинцидентное множество и свободную границу соответственно.

Для произвольного множества Е С Rm и е > 0 запишем

Е^ =kxGRm-, dist(x,£■)<€),f

E^_e)=UeE; disl(x,Rm \E)>e} .

Пусть

(Ю.4)(Ю.4)Ое = {х€^ | Vu(x)|<e}.

(Ю.4)

(Ю.4)

Обозначим м(^) меру Лебега множества К С Еп,и пусть Л (ЭК) обозначает площадь поверхности границы ЬК множества К.

Следующая лемма является фундаментальной для всех результатов этого параграфа.

Лемма 10.1. Для любого компактного множества КС йс границей S класса С1

(10.5)(10.5)д(оепх:)<се(д(х:) + л(5))

(10.5)

(10.5)

при всех е >0; С зависит только отМ, F,Х, К.

Доказательство. Пусть О*е = { х Е

h‘ =h‘ =- еD,u,. е,- еD,u,. е,еслиеслиеслиеслиеслиеслиDtu > e.Dtu > e.

h‘ =

h‘ =

- е

D,u,

. е,

- е

D,u,

. е,

если

если

если

если

если

если

Dtu > e.

Dtu > e.

Тогда

J Vh* VDtudx + J hlM)tudx = кк

= / к‘о„^и) dS, s

ккгде Dv — производная по внешней нормали. Следовательно, / \^Dtu^dxC $ \h'Dtf\dx +

к

к

OgD К

+ / \h*DvDiU |с?5<Се(д(/С)+Л(5)).

s'

Суммируя no z и используя тот факт, что Of Э Ое для каждого/, получаем

/172и|2с?х<Се(д(Х£)+Л(5)).

Ое п к ,

Так как, наконец,

|V2|V211X2X2nnnn

|V2

|V2

1

1

X2

X2

n

n

n

n

то получаем (10.5).

19319313. А. Фридман

193

193

Следствие 10.2. Пусть К — произвольная область из fl <_е^ с границей S класса С1. Тогда

рЦ0<и<еЧ Г>К)<Се(р(К) + А^.(10.6)

Действительно, по лемме 3.2.

{ 0 < и < е2} П К С ОСе П К

с некоторой константой С, и по лемме 10.1 выводим (10.6).

Следствие 10.3. Если х е Г П П (_g) (5 > 0), то для всех е > 0

ц(ВДх)ПОСе)/1плч

- >7,(10.7) й(Ва

где Си у - положительные константы, зависящие только отМ, F, X, 5.

Доказательство. По лемме 3.1 существует точка уе Ве (х) такая, что с 1 е2 < м ( у) < с2 е2 (с, > 0).

По лемме 3.2 |Vu(y)| Сс3е, и поэтому существует шар Все(у) (с >0),в котором и > 0. Так как также и < с4е2 в этом шаре, то | Vu I < Се (по лемме 3.2) и тем самым шар содержится в Осе, откуда следует (10.7).

Теорема 10.4. Если К — произвольная область с границей 8 класса С1 такая, что К US С fl, то

Яя-^ГПХХСО/^+Д^)).(10.8)

Здесь Нп_х — (и — 1)-мерная мера Хаусдорфа. Напомним, что согласно определению для любого множества Е CtRn

Hn_k(E^ Пт inf е~к^р(В^,(Ю.9)

е-о {В,-}

где { В,} — произвольное семейство открытых шаров Bt с центрами в В и радиусом е, покрывающее Е. Можно ограничиться подпокрытием { В,} таким, что каждая точка из Е содержится лишь в конечном числе Nшаров; ^нe зависит от выбора покрытия и е.

Доказательство. Возьмем покрытие FAX ^_е) шарами Bt с центрами в Г А Х(_е) и радиусом е, имеющее не более, чем Nперекрытий в каждой точке. По следствию 10.3

СNC

^р(В^<— Хр(В{ПОСе)<— р(ОСепку

тт

Оценивая правую часть по лемме 10.1, получаем

Нп-АГОКоЗСС

для любого Ко С Х(_5) при'некотором 5 > 0; С не зависит от 5. Полагая Ко t К, получаем (10.8).

В следующей теореме мы имеем дело с двумя дэешеииякш и i, м2 вариационных неравенств

— Дм,- +/} > 0

па. в fl,па. в fl,(10.10)(10.10)^ > 0

па. в fl,

па. в fl,

(10.10)

(10.10)

(- Дм, + /)м1 = 0

где

fi G С°’ЧЩ, и1€Схл(П),

fi > X>0 в n.(10.11)

Определим:

N(U{) - некоинцидентное множество для и,,

Л(и^ — коинцидентное множество для и;,

• Г (и,) - свободная граница для и{.

Теорема 10.5. Пусть (10.10),((0.11) имеют место. Тогда если

l«i -m2Il” (п) <е2, то (0-

p((A(uT}AA(u2)) Л $2(_ер<Се (О 0),(10.12)

где С зависит только от С0'1-норм ft, Cv -нормы ut и\; (и)

(A(u2))(-coe)CA(U1)C{M2<e2)(Со>0),(10.13)

где Со зависит только от С1 •*-нормы и, и от X.

Доказательство. Так как A(«i) С { и2 < е2 } , то по следствию 10.2 ulfMu.) \ Л(«2)). Л П(_е)) < Се, откуда вытекает (10.12). Для доказательства первой части (10.13) заметим, что ес- лих е N(ux), то по лемме 3.1

sup ut > CoOe2,

BCoeW In

если Co достаточно большое, и тогда sup u2 >0, 8С„е(*)

что означает х^(Л(и2)\

Теорема Ю.б./Тусть (10.10), (10.11) имеют место и К, К1 области с границами класса С1 такие, что

К* С К, КСИ, c0 = dist(K',dAO>0.

Если Г (и О ПК — поверхность класса С1, то Г(и2) ПК — поверхность класса С1 при условии, что

I “I - “2lL-(n,) <е0;(10.14)

е0 достаточно мало, зависит от С0,1-норм fa, Сх’х-норм щ, X, с» и ^оценки на Г (иг) ПК.'

Доказательство. Пусть х0 € Г(и2) Л К. В силу (10.2), еслие2 = е0 достаточно мало, то условие

МО(Л^2) Л 5,(х0)) >а(т). Г

теоремы 3.10 выполняется. Следовательно, Г (и2) класса С* в окрестностих0.

Но теореме 1.1, если ft € Cm+“(0 < а < 1) для некоторого целого тп> 1, то по теореме 10.6 получаем Ст + 1+0!-гладкость свободных границ.

Распространим полученные результаты на задачу Стефана. Напомним, что

- Ди + uf > — 1 I

и > О[ пл. в Л*,

(— Ди + ut + 1) и = О J

где £1* — некоторая окрестность свободной границы и uf >0,

ut, Dx и принадлежат Z^.

Отсюда следует, что для каждого t > 0

ku=f, f=\*ut>\ в £1* ON.

Определяя

O€,t= U\\^xu{x, T)|<e) , Nt = {x; (x, Z)G^}

(10.15)(10.16)(10.17)(10.18)(10.15)(10.16)(10.17)(10.18)и аналогично Лг, Г,, согласно доказательству леммы 10.1 можем вывести

(10.15)

(10.16)

(10.17)

(10.18)

(10.15)

(10.16)

(10.17)

(10.18)

ц{Ом ПК)<Се(д(К)+Л(5)),(10.19)

где К — любая область в R", содержащаяся в малой окрестности точки х; х G Г.

Аналогично

д(5е(х)П0Се аР(#е(х))д(5е(х)П0Се аР(#е(х))o (xera,o (xera,цЦх;0<и(х, Г)<е2} П К) < Се^К) + Д(5)),

д(5е(х)П0Се аР(#е(х))

д(5е(х)П0Се аР(#е(х))

o (xera,

o (xera,

^-^^ПЮ^СМ^ + Л^)). Далее,

д((Л,(иа ДЛДи2)) П П“) < Се,

если U; — два решения задачи Стефана такие, что

l“i ~M2L°°(n*)<e2’ а £2“ - область, П** С 12*, П" = {х;(х, r)GQ**} .

Кроме того',

(Л,(и2))(_Се)СЛ,(и1)

с некоторым О 0. В итоге получаем следующий результат.

Теорема 10.7. Пусть их, и2 - решения задачи Стефана. Предположим, что свободная граница для их представима в некотором цилиндре D (в { t >0}) по формуле■ j

xn =^i(xi,... ,х„_ь 0, 8i GC1.

Пусть 8 — произвольная малая положительная константа. Если

l“i -M2lz~(D(S))<e0,

где е0 достаточно мало {зависящее от 5), то свободная граница для и2 в В^.^ представима в виде

xn=^2(xi,...,x„_br), g2GC”.

Здесь О(5) = {(х, /); dist((x, r),D) <8},a£>(_8) определено аналогичным образом.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 10.6

Задачи

Если

-Ди;+/,>0, и{>0, (— Ди,- + У) Uj = 0 п.в. в £2,и,- = 0 на Э£2, где дПеС2+а, fiEL”^),

то для любого е >0

|ui - и2|£~(П) <е,(

если |/! -/2 1£~(П) достаточно мало.

Если свободная граница для и\ в теореме 10.6 локально (скажем, в К) представима в виде

хп =fi(x!,... ,x„_i), fee1,

то свободная граница для и2 задается [в произвольном подмножестве К' С К, с0 = dist(K', ЭК)> 0] в виде

ХП=/2(Х1,...,Х„_1),

где Лес1 и | Л - /21 < Сео*1; С зависит от тех же констант, что и е0.

Теорема 10.6 и полученные результаты неверны, если условие невырожденности у > X не выполняется. Проверить это утверждение в случае п = 1 при

- и" > 0, и> д и" (и - i) = 0 в — 1 < х < 1, u(-1) = и(1) = 0, ^(х) = ех2, — 1 <е< 1.

Обобщить теоремы 10.6 и все предыдущие результаты на случай эллиптического оператора

d2uЭи

Au = - Sa,7(x) + Sb^x).

дх,дх}Эх,

[Указание. Для леммы 10.1 надо проинтегрировать по частям J h*eDtfA

. Свободные границы с особенностями

Пусть £2 - выпуклая область в Rn с границей класса С2, симметричная относительно хп = 0. Отождествим Rn-V с гиперплоскостью { (х', 0); х е R"-1 }, где х' = (х,х„_!). Пусть Е — открытое множество в Rn~1 О 12 и F - замкнутое

множество в R"- 1 П £2 такие, что Е С F. Запишем эти множества как непересекаю- щиеся объединения их открытых и замкнутых компонент, соответственно,

E=UEb F=UFh(11.1)

и предположим, что

Е^СЕ; Vz.

Пусть ip — функция класса С2 в £2, <^<0наЭ£2ии- решение задачи с препятствием

f Vu-V(u-u)dx>0 ЧиеК; ueK;(11.2)

где К = { и G Но (И), и > ^ п.в.}. Обозначим Л коинцидентное множество, а Л - его внутренность. В следующей теореме установим разложения

Л = U Л.-, Л,- - замкнутые компоненты,

='(11.3)

Л = U Ло/, Ло/ - открытые компоненты

такие, что

Ej = \ojORn-\ F^AjdR"-1.(11.4)

Теорема 11.1. Пусть Е, F такие, как указано выше. Существует строго супергармоническая функция ^ класса С” (т.е. Ду? < 0) в И, <р < 0 на ЭП такая, что для решения и имеет место разложение (11.3) с соотношениями (11.4).

Отсюда следует, что когда (х', 0) — точка сгущения компонент F^ свободная граница имеет бесконечно много компонент в любой окрестности (хо, 0).

Интересно сравнить эту ситуацию с положительным результатом, полученным в [138а] (см. также задачу 6 из § 2) в случае, когда р - строго вогнутая функция; N гомеоморфна кольцу и, если ф аналитическая, Г - кривая Жордана, допускающая аналитическую параметризацию.

Доказательство. Для любого открытого множества О С Rm существует неотрицательная функция а(х) G С” такая, что О = {х G Rm; а(х) > 0}. Действительно, если В, = Bn.(Xj) образуют покрытие О шарами, содержащимися в Ос г, < 1/2 и f G С”, f (х) > 0, если | х | < 1, f (х) = 0, если | х | > 1, то можно взять

а (х) = 5 а/ Ч (а, = (г,-/). \ г/ /

Пусть О = Е С Rn~1 и построим а (х'), как и выше. Положим

Г+ = {(х',а(х')); х'бППД"-1} ,

Г_ = {(х',-а(х')); х^ПОД"-1}

и разобьем Q на три множества

Q+: х„>а(х'),

Q_: х„ <-а(х'),

Л : -а(х')<х„ <а(х').

Отметим, что ЕС inf (Л) О Rn~ 1. '

Рассмотрим задачу Коши

Ди = 1 + h в Q. + ,(11-5)

Эи

и=0, =0 на Г+.(11-6)

Эхп

Лемма 11.2. Существуют функции и, h из С” (П+), для которых имеют место (11.5), (11.6) и h обращается в нуль на Г+ вместе со всеми своими производными ; кроме того,

и>0, Ди>0 в Q + .(П-7)

Доказательство. Используем соотношение'

Ди = 1 в П +

и (11.6) для того, чтобы подсчитать формально производные

Vjt(x)= —р V на Г+ Эх*.

(предполагая, что и е С”) и затем определим

и(х',х„) =

~,,(х„ — а(х'))Л

= S uHV)?^^-»^ )))1-5—;(11.8)

fc = 2^!

здесь f -- срезающая функция одной переменной класса Со”, f = 1 (в окрестности начала координат. Если выберем, например, I

ck=2+ 5|£>%к|,«,

iPKfcL

то ряды в (11.8) сходятся равномерно в £2+ вместе с каждой своей производной и согласно определению ик

Ди(х) — 1 и все ее производные(119)

сходятся к нулю при dist (х, Г+) -* 0.

Возьмем с2 = 0 и рассмотрим первый член в (11.8)

Т=-^ и2(х')(х„-а(х'))2.■

Легко подсчитать, что

и2 = (1 + j Va I2)-1,

и тем самым Т положительна в Q+. Увеличивая ск, если необходимо, можно остаток ряда сделать произвольно малым, скажем

|и-Т|<Г/2.■

Следовательно, и> 0 в П+. Записывая

1 х2 | Va|2 + 2х„ а — а2

Т" 2 Х" 2(1 +| Va|2 ’’

видим, что ДТ- 1 можно сделать произвольно малым, если а(х') заменить предварительно на еа(х') с достаточно малым е. Тем самым ДТ > 1/2 в П+. Увеличивая ск, если необходимо, получим Ди> 0 в П+. Определяя h = 1 - Ди и вспоминая (11.9), завершаем доказательство леммы.

Теперь определим и в 12 по формуле

( и(х', -х„), если х€П_, и(х) =

■ I 0,если х е А,

и положим

/= Ди в n+ U П_,

/= 1 в А.

Тогда/е С" (П), /> 0 в П.

Пусть ф - решение задачи

дф=-/в £2, ф = — и на Э£2.

Тогда и = и + ф удовлетворяет условиям

Дм = 0

В

П\Л,

м = 0

на

эп,

м = ф, Х7и=Х7ф

на

ЭЛ,

м> ф

в

и\л.

Таким образом, и есть решение вариационного неравенства с препятствием ф, и первое соотношение в (11.4) верно.

Чтобы удовлетворить второму соотношению в (11.4) заменим ф на (р(х) = = ф(х) - Р(х'), где ре С", Р> 0 и

F=W; 0(х') = О)

[/3 построено таким же образом, как и а, но с заменой Е на Щп-1 П Q)\F]. Множества {м = ф }, {м = ^} могут отличаться лишь на множество меры нуль. Следовательно, и - решение задачи с препятствием, соответствующее препятствию ^. Так как ф = — и на ЭИ, ф < 0 на ЭИ за исключением, возможно, на ЭИ О R"-1 и (так как F С И П R"- г) Р(х') < 0 на этом множестве; таким образом, ^ < О на ЭИ.

Далее, Аф < -е < 0 для некоторого е и, заменяя /?(х') на 6Д(х') с достаточно малым 5, приходим к неравенству Ар < 0. Наконец, так как ^ < ф на (И О С Rn-1')\F, второе условие в (11.4) также выполняется; доказательство закончено.

Далее дадим примеры аналитических супергармонических препятствий, для которых свободная граница имеет особенности.

Возьмем аналитическую кривую Г, самопсресекающуюся в одной точке А вида ”<*” как на рис. 8 (такая кривая дана в задаче 2), и пусть Л обозначает замкнутое множество, охватываемое Г, а V - некоторую окрестность Г.

Рассмотрим задачу Коши

Ай = 1 в N,

~ Эм,

м = 0, — = 0 вдоль Г.' Эр

По теореме Коши — Ковалевской эта задача имеет единственное аналитическое решение м в WU Г при условии, что окрестность К достаточно мала. Так как

Э2м

—~ = 1 > 0 на Г, Эр2

й > 0 в N.

Продолжая й в Л нулем и полагая

м = м—|х|2/2, р = — |х|2/2,

заключаем, что имеет место

Теорема 11.3. Функция и имеет решение в £2 задачи с препятствием

— Su>0, и> р, Su (и - ^) = 0 в £2

со строго вогнутым аналитическим препятствием р, и свободная граница Г имеет точку самопересечения в А.

Можно также простроить примеры, в которых область N не сужается до малой окрестности Г; такие примеры даны в следующих задачах.

I

Задачи

Пусть £2 — область в R1, Л — замкнутое подмножество, ограниченное кривой Г кусочно класса С1, N = £2\Л. Пусть /(z) - голоморфная функция в N, непрерывная в W U Г и такая, что f = рх - iру на Г, где G С1 (Г). Тогда функция и (z) = = Re Jf^dz есть однозначная гармоническая функция в N и и = р, Vu = Vp на Г.

Пусть

P(z) = z2 +2+z-2.

Тогда

a(eie ) = cos в + ei | е2'9 + 1 j2

и образует кривую Г формы ”«»” при 0 <0 < 2л с точкой самопересечения, соответствующей 6 = я/2. Показать, что для малых е > 0 кольцо А = { 1 < | z | < 2} отображается посредством 6 взаимно однозначно на множество N; внутренняя граница Доесть Г и внешняя граница - а {| z | = 2 }.

Пусть Л — множество, охватываемое Г, £2 = N U Л. Это обозначение будет использовано в двух следующих задачах.

Пусть

у?=- - (X2 +/).

Тогда/ = рх - ipy на Г, если/(z) = -z на Г или f^a^ ) = - o(z) на | z | = 1, или если

(o(z) = a(z), z = 1/z на | z | = 1). Правая часть голоморфна в N. Если и такая, как в задаче 1, удовлетворяет условию

и> р в NU Э£2,(*)

то проверить, что и решает задачу с препятствием в £2, где р - препятствие и Г - свободная граница.

Доказать (*).

[Указание. Так как

/ /(z)6?z = / /(O(z))cr'(z)6?z, 0(7)7

ТО (*) сводится к

W=u-ip= Re J [o(z)-<7(г-1)]о'(г)б?г> О, zo

если 1 < | z | < 2 с любой | z0 | = 1. Можно записать о = о+ + ео_; тогда о± (1/z) = = + о (z). Если

W=a* eb * егс,"

'tf = (Ima+)2, а(ге'9)= — (г- — ) sin2 9 > О,

4 \ г/

если | z | = 2, z ф + 2. При z = ±2 имеем b > 0, так что И/ > 0 на | z | = 2; W не может принимать минимума в {1 < | z | < 2} поскольку

В задачах 2 4 взять P(z) = (z — 2 + z-1)2 и сконструировать пример (с той же ^) свободной границы Г вида

а(е*° ) = cos 9 + ez | е2'9 — 1 |4 sin 9

(О < 9 < 2тт);

она имеет острие в о (1) (рис. 9)."

. Библиографические замечания

Изложение свойств преобразования Лежандра и материала § 1 соответствует работам [189а, Ь[ и [123а]. Шеффер [158b] предложил метод, описанный в задаче 3 из § 1. Преобразования Лежандра применялись также для эллиптических систем уравнений и минимальных поверхностей [124а, Ь].

Теорема 2.1 принадлежат Леви и Стампаккья [138а]. Теорема 2.4 установлена Каффарелли и Ривьерой [63а]. Все другие результаты § 2 взяты из работы Киндерле- рера [122b]. .

Результаты § 3 -5 принадлежит Каффарелли [56b, е], см. также [56а]; оригинальное доказательство теоремы 3.10 появилось в [56b]; доказательство, представленное в § 4 и 5 взято из [56е],.

Теорема 6.1 доказана Альтом [5а]. Трехмерная задача о перегородке впервые была поставлена Стампаккья [167b] и Гиларди [106а]. Теорему 6.5 установили Фридман и Йенсен [95b]; результаты в задаче 3 из § 6 взяты также из [95b]. Результаты задачи 2 установлены Фридманом .[941] для т = 1 и Йенсеном [116а] для m > 1. Другое доказательство теоремы 6.5 дано Криером [75]; выпуклость свободной границы для другой задачи фильтрации получили авторы [42]. Задача фильтрации с несколькими слоями изучалась Байокки, Коминчиоли, Мадженес и Поцци [21], Байокки [19а], Байокки и Фридман [22] и Бенчи [28], а также Каффарелли и Фридман [58а, Ь]. В [58з, Ь] изучается форма свободной границы и асимптотическое поведете, когда один из слоев становится очень тонким. Предельная задача

есть задача со свободной границей со смешанными условиями Дирихле — Неймана на границе.

Задача о перегородке с граничными условиями, зависящими от времени (см. также мало сжимаемые жидкости), изучалась Фридманом и Йенсеном [95а, с], Фридманом и Торелли [99] и Торелли [174а—с].

Преобразование Байокки (§ 5 гл. 1) можно применить для установления существования в случае некоторых перегородок, не имеющих формул прямоугольника, в двумерном пространстве (см. [19b]). Задача фильтрации для перегородок общего вида с произвольным числом резервуаров и с произвольной размерностью будет изучена в гл. 5; методы полностью отличны от методов, описанных для прямоугольных перегородок. Будут доказаны существование, единственность и аналитичность свободной границы. Для сооответствудгщей эволюционной задачи отсылаем читателя к работе Гиларди [106b], который установил существование ’’слабого” решения.

Регулярность свободной границы в задаче упруго-пластического кручения была доказана Каффарелли и Ривьере [63с]. Лемма 7.3 взята из [63а]. Теорема 7.7 принадлежит Каффарелли и Фридману [58f]; соответствующие результаты были доказаны Тингом [172а, Ь]. Задачи 1-5 из § 7 взяты из [58f] (см. также [71b]).

Теоремы 8.1, 8.3 и 8.4 установлены Каффарелли и Фридманом [58f], теоремы 8.5 и 8.11 - Фридманом и Поцци [98], остальная часть § 8 изложена из [59]. Более ранняя работа для" регулярных многоугольных областей была сдалана Тингом [172а, Ь].

Задачи упруго-пластичности с несколькими материалами рассматривались Каффарелли и Фридманом [58п]; см. также [46]. Задачи разгрузки изучались Каффарелли и Фридманом [58q], а также Тингом [172с, d].

Теорема 9.1 принадлежит Каффарелли и Фридману [58с]. Теоремы 9.6, 9.8 и 9.9 взяты из [56b]. В лемме 9.14 мы заменили оригинальное доказательство доказательством, данным Киндерлерером и Ниренбергом [123b]; завершение доказательства теоремы 9.9 по схеме, описанной в задачах 7-10 § 9 изложено по работе [123b].

Для одномерной параболической задачи со свободной границей Фридман [94h] доказал, что свободная граница аналитическая, если граничные условия аналитические. Другое доказательство дано Киндерлерером и Ниренбергом [123с].

В § 9 задача 2 основана на работе Фридмана и Киндерлерера [97], задачи 4 и 5 - на работе Фридмана и Йенсена [95b]. Задача 6 взята из [94j] и задача 11 сформулирована Каффарелли (частное сообщение). Некоторые результаты по свободной границе в двумерном случае можно найти в [56с].

Теорема 10.6 и все предшествующие ей рассмотрения в § 10 принадлежат Каффарелли [56f]. Шеффер [158а] ранее доказал более слабый результат: если Г(«1) класса С” и иг — и2 мало в смысле пространства С", то Г(«2) класса С". Метод Шеффера основан на теореме Мозера и обобщен на параболические вариационные неравенства в [111].

Примеры из § 11 (а также задачи) принадлежат Шефферу [158с]. Положительный результат для и = 2 бьш доказан Леви и Стампаккья [138а] для — А и Киндерлерером [122а] для минимальных поверхностей. Каффарелли и Ривьере [63b] изучали природу особых точек свободных границ при п = 2. Двумерная задача со свободной границей исследовалась Киндерлерером и Стампаккья [126а].

Вариационные неравенства использовались в задачах о потоке, проходящем через заданный профиль [53b, с; 190; 115; 162а, Ь; 173] см. также [83]). Вариационные неравенства появляются также в задачах смазки; см. Каприц и Чиматти [65] и Чиматти [72].

В теории стохастического контроля задачи об оптимальном времени остановки могут быть сведены к вариационным неравенствам; см. [34; 94g]. Наконец, задачи с частичным наблюдением, такие как некоторые задачи секвенциального анализа, могут быть сведены к вариационным неравенствам; см. [581, о; 94j, к].

ГЛАВА 3

СТРУИ и полости

Если минимизировать функционал

ЛСО^ |Vu|2 + //и +

на классе функций и G К, где

К = {и; и — и° ЕН^), п>0}, и0 G Н1 (£2), и0 > 0, то минимизирующая функция и является решением вариационного неравенства

-Au>f, и>0, (^и- f)u~0 п.в.в Q.

В этой главе мы минимизируем функционалы

7(u) = J |Vu|2+//7{и>0} (/>0) п12

на том же множестве А', где 1Д - характеристическая функция множества Л. Отметим, что функционал J(y) теперь уже не непрерывен, хотя и полунепрерывен снизу.

Такие функционалы (с / =const) возникают в задачах со свободной границей

Дм = 0 в {м>О) ;

дм

м = 0, — = const на свободной границе $2ОЭ{м>0/, dv

представляющих задачи о струйных и кавитационных течениях. Мы приведем общую теорию для минимизирующих функций и и затем перейдем к решению задач о струях и полостях.

§ 1. Примеры струй и полостей

В этой главе мы рассматриваем лишь безвихревые течения несжимаемой невязкой жидкости. Это означает, что вектор скорости есть Vy?, где у? (потенциал скорости) удовлетворяет уравнению Ду? = 0 в жидкости. Если поток двумерный, то гармонически сопряженная функция называется функцией тока, а если поток трехмерный с осевой симметрией (с осью х в качестве оси симметрии), то функция 0, определяемая равенствами

1^у = - - ^х>У1^у = - - ^х>У(1-1)(1-1)1

1

^у = - - ^х>У

1

^у = - - ^х>У

(1-1)

(1-1)

^х ~ Фу» У

называется функцией тока. В обоих случаях Qpx, $у) представляет собой скорость в жидкости и линии тока (т.е. линии, вдоль которых касательная имеет направление скорости) задаются уравнениями ф = const.

Мы рассмотрим две ситуации: а) в жидкости существует полость, б) часть Г границы жидкости окружена воздухом.

В случае а), если жидкость быстро движется, то полость заполнена смесью пара и газа и давление р в полости постоянно (мы имеем дело здесь лишь со стационарными задачами). По закону Бернулли

1, '

р + — I V ^ |2 + ^у = const(1.2)

2

во всей жидкости, при условии, что вектор силы тяжести направлен противоположно направлению оси у. Так как давление непрерывно при переходе границы жидкости, го р = const на границе полости и ввиду (1.2)

,

— | V^|2 +#у = const на Г,(1.3)

где Г - граница полости. Кроме уого, так как Г - линия тока, то

ф = const на Г.(1.4)

В случае б) давление р вне жидкости тоже постоянно, так что по закону Бернулли опять имеем (1.3); (1.4) также справедливо.

Задача а) называется задачей о полости, а задача б) - задачей о струе. Конечно, имеются также задачи о течениях, включающие в себя, как струи, так и полости (рис. 10, су На рис. 10 жирными линиями указаны фиксированные границы.

Если особо не оговорено, сила тяжести в наших рассуждениях не учитывается, т.с. считается, что g = 0 (задачи с гравитацией изучаются в § 18 и 19). Таким

образом,

' Вф

— = const на Г, если и = 2, Эу

1 Вф

= const на Г, если п = 3, у Bv

поток симметричен относительно оси х.

Мы не рассматриваем здесь трехмерные потоки без осевой симметрии.

Теперь мы проведем подробные выкладки для некоторых примеров, используя конформные отображения; применение метода (называемого методом годографа) ограничено случаем двумерных потоков. (

Начнем с примера Киргоффа (1869 г.) симметричного потока, обтекающего с единичной скоростью вертикальную пластину, с концов которой сходят свободные линии тока (рис. 11, а). Введем модуль скорости q = | V<p |, комплексный вектор скорости и + iu (м = фХ) и = Фу), комплексный потенциал f = ф + гф и переменную годографа

df •-«в

w = = и - i и = qe .

dz‘

Образцы физической плоскости в плоскости / и в плоскости w изображены на рис. 11, Ь, с.

Идея состоит в параметризации / и w одним и тем же параметром t; t изменяется в комплексной плоскости с удаленным вещественным интервалом (—1, 1) (рис. 11, d) : .

_ z /1 \,

f = kt2, — (w - — ) = t-1, 2 \ w /■

где t = ±1 соответствует концам пластины. Используя соотношение w = dfjdz, мож-

Рис. 11

но найти параметризацию z =z(t) свободной линии тока. Действительно,

df — = w dzdf — = w dz11ГГ1 \1/2^-91 \1/2^-9

df — = w dz

df — = w dz

1

1

Г

Г

1 \1/2

^-9

1 \1/2

^-9

где ветвь квадратного корня выбирается так, что w -* О, если t -* 0. Тогда

z = Jdf = Ик /(1 + VF- t2)dt, dfо

и к = 2/(4 + я) — длина пластины. Верхняя свободная линия тока описывается формулами

X = [fVPl — 1п( 1 + \Д2 — 1)1 ,

4 + 7Г(1.5)

/22

у = — + (t - 1) для t>l.

"24 + я

Далее мы используем метод годографа для изучения задачи о струе с симметричным соплом, образованным двумя прямолинейными отрезками, каждый из которых наклонен под углом ая к оси (рис. 12, д). Образы в плоскостях/и w изображены на рис. 12, Ь, с, а в плоскости t (рис. 12, cZ) мы исключаем интервал (-”, —1). Тогда /

w = /’(z) = (VI - t2 + it)01,w = /’(z) = (VI - t2 + it)01,

w = /’(z) = (VI - t2 + it)01,

w = /’(z) = (VI - t2 + it)01,

и свободные линии тока задаются формулами

(1.6)(1.6)0< t< 1.

(1.6)

(1.6)

Обозначим у0 координату у точки В, а у„ — предельную высоту верхней свободной границы при х

Число

Сс — у<»1уо

называется коэффициентом сужения сопла. Легко посчитать, что (из (1-6))

( 1/2, если а = 2,

Сс.=(1.7)

I тг/(у + 2), если а = 1.

Сопло с а = 2 называется насадком Борда; формулу (1.7) впервые (1766 г.) установил Борда на основе физических рассмотрений.

Ниже установим существование решений для струй и полостей и докажем, что фх, фу имеют постоянные знаки (при у > 0) для некоторых геометрических форм сопел и препятствий (для полостей). Мы установим также асимптотическое поведение ф на бесконечности. Используя зти факты, можно применять метод годографа для некоторых специальных геометрических форм; в частности, будут выполнены (1.5) и (1.6).

Задачи

Лобовое сопротивление' D пластины (рис. 12) вычисляется интегрированием разности давлений на обеих сторонах:

1/2-

D = f (p-pc)dy,.(1.8)

-1/2

рс — давление в полости.

Показать, что D = р//(4 + л) (коэффициент лобового сопротивления есть CD = D/I = л/(4 + л)).

Показать, что у ~ csjx вдоль верхней свободной границы при х -* °° (с — const).

а) Проверить (1.5), (16).

Доказать, что для произвольного a G (0, 2)

1ал/1а\/а\2

—= 2 —.— sin —Ф( —+— )—Ф( — )——,

Ссл2\24/\4/а.

где Ф(х) — логарифмическая производная гамма-функции.

Доказать в случаях плоскости и осесимметричного потока, что

3q

+ kq = 0 в жидкости,(1.9) ди

где q = | Vp), v — нормаль к — кривизна линии тока (берется положительной, когда линия тока выпукла относительно той части, на стороне которой нормаль положительна).

Вариационная задача

Пусть £2 - область в R*\ не обязательно ограниченная; предположим, что Э£2 кусочно класса С1. Пусть 8 — непустое открытое подмножество Э£2 с границей 38 кусочно класса С1. Пусть м° — функция, удовлетворяющая условиям

^EL^), Vu°GL2(n), и°>0.

20920914. А. Фридман

209

209

Введем выпуклое множество

Л" = {ие2,*ос(П), VveL2^), и=и° на 5} и функционал

J№= / [I Vu |2 +/{и > 0}Q2]dx,(2.1)

где Q — заданная неотрицательная измеримая функция, а 1А — характеристическая функция множества Л.

Теорема 2.1. Если J(u°) < °°, то существует функция и & К такая, что J(u) = min J (и).

и е к

Доказательство. Так как функционал J неотрицательный, то существует минимизирующая последовательность ит, т.е.

umGK, J(um)-*a = inf J (и)(0<a<ec).

и е к

Поскольку последовательность { Vum} ограничена в L2^) и ит - и0 = 0 на S, то (м,„ - и0 } ограничена в L2(^l О BR) для любого шара BR с большим радиусом R. Следовательно, существует функция и в К такая, что для подпоследовательности

Vum^-Vu слабо в Z2(S2),

ит -* и п.в. в £2.

Кроме того, найдется функция у G L”(£2) такая, что

Ц«т > о) 7 *-слабо в L"^.

Далее, для любого большого R.

J [|Vu|2 + ymin(Q,/?)2] <

•п л BR

< liminf J |Vum|2+ lim J I«u > oi min(Q, R2) < m - ” n Л BRm - - Ы П BR 1'

< ИтУ(мт).

Полагая R ^ °° и замечая, что у = 1 п.в. в { и > 0), заключаем, что

Дк)< / (| Vu |2 +yQ2) <limJ(Mm).

Далее предполагаем, что

0 < Grain ^ G < Gmax < °°-(2.2)

Определение 2.1. Функция и G К называется локально минимизирующей, если для некоторого малого е > 0 имеем J(u) CJly) для любого v G К такого, что

|| V(u - w)|lLz(n) + || /(„ > о) - /{м > о}И^ 1 (п) < е.

Лемма 2.2. Если функция и локально-минимизирующая, то она субгармоническая и (по лемме 1.10.1) имеется представитель и, для которого

и(х)= lim / и VxGS2.(2.3)

гЮ Вг(х)

Кроме того, и полунепрерывна сверху.

В дальнейшем всегда будем иметь в виду этот представитель.

Доказательство. Для неотрицательной функции ГЕС<Г(Л)

J(m-ef)-J(u)>0 Ve>0,

откуда следует, чтоJVf Vu<0, т.е. и субгармоническая.

Лемма 2.3. Если функция и локально минимизирующая, то

О <м < sup u°.

я

Доказательство. Следует использовать неравенство ДиД > Ди) с ие — и — emin(u, 0) и ие = и + е min (sup и0 - и, 0).

я

В § 3 мы докажем, что и является непрерывной функцией (фактически, непрерывной по Липшицу). Из этого-следует, что ^ножество {и >0} открыто. Воспользуемся этим фактом при установлении двух следующих результатов.

Лемма 2-4. Если функция и локально минимизирующая, то она гармоническая в открытом множестве { и > 0}.

Доказательство. Следует использовать неравенство

Ди*е^)> Ди) с ГеСо”({и>0}),

| е | достаточно мало.

Теорема 2.5. Пусть функция и локально минимизирующая и Q2 G ЕЯ^1 (Q). Тогда

lim /(| Х7и |2 - Q2)p ■ v — 0(24)

6 I 0 9 { и > е}

для любого п-мерного вектора р с компонентами из Су (£2), где v - нормаль.

Доказательство. Для любого вещественного е (|е| мало) положим гДх) = х + ет?(х) и определим ие по формуле ие(те(х)) = и^ху Тогда и£ Е К и

0<J(tt£)- Ди) =

= { J [IVu(DTe)-‘Р+Q2t£] detDTE -[IVu р + Q2]) =

{« > o)

= e J QVu P +Q2)V -p +

{“ > o)

+ e J [-2VuDpVu + VQ2 p] + o(e).

{“ > o}

Отсюда следует, что линейный по е член обращается в нуль и, так как функция и гармоническая в { и > 0),

0= j V ■ [(I Vu |2 + Q2)p — 2(p • V«)VM] =

(» > o}

= lim /[(|Vu |2 + Q2)p — 2(p Vu)Vul -v =

f И 3 { и > e }

= lim J (Q2 - | Vu |2)p • v.

e 4 0 3 { и > e }

Теорема 2.5 показывает, что если свободная граница Э{и > 0) класса С1 и и принадлежит С1 в { и >0} равномерно вплоть до свободной границы, то

I Vu | = Q па свободной границе.(2.5)

Замечание. Так как ДиД <Ди) VuG; К. то

min J(u) = min Ди)-

v ^ Кv е к , v s о

Задачи

Используя сферические координаты

х = (rcos^sinO, rsin^sinS, rcos9),

определим функцию•

м(х) = rmax{/(9)//'(90). 0},

где

1 — cos 9

С(9) = 2 + cos9 In—

1 + cos9

есть решение задачи

((sin9)/')'+ 2(sin9)/= 0,f '^—^ = 0

и 90 - единственный нуль функции f на (0, тг/2).

Показать, что и гармоническая в { и > 0}, |Vu| = 1 на Э{и>0/\{0); д{м>0) имеет особенность в начале координат и |7и|<1 — се (с >0), если 90 + е < 9 < тт 9с — е.

Показать, что функция и не является минимизирующей относительно J, когдаП = 5,(0), 5=ЭП, м° =м, Q = 1.

[Указание: 90 ~ 33°, cos29o > 1/2 и для 90 < 9 < тг/2

(sin9)/”(9o)>(sin9o)/’'(9)(l + (cos29o)/(9)).

Используя это, показать, что если fe(x) = 4е( 1 /г - 1),

ие = max (и - Ге, 0),

то,

32

е"3/2(ДиЕ) - Дм))-^ — it VT^oXV^singo) -

тг/2

- / (Л9))-3/2[($т9)/Д?о)-(8т9о)Л9)]^

Рассмотрим функционал

Ja(v) = / [I Vu |2 + Q2(i/)“] dx ■ (0<а<1)

и определим Ka = { v G К, Q2(u4)a G Z,2(£2)}. Распространить теорему 2.1 и лемму 2.2 на случай Ja, Ка.

3. Регулярность и невырожденность

Из теоремы 2-5 следует, что если свободная граница гладкая, то для любой точки х0 свободной границы имеем

u(x + x0) = Q(x0)max{-x- Дх0), 0} + о(|х|)(3.1)

при | х | -> 0, где v — внешняя (относительно {и >0} нормаль. В этом параграфе мы выведем слабую формулировку (З.Г) в терминах усреднений и. Оценка сверху дана в лемме 3.1, а оценка снизу - в лемме 3.3. Первой оценки достаточно, чтобы заключить, что и непрерывна но Липшицу (теорема 3.2).

Мы часто будем использовать изменение масштаба. Если и — локально минимизирующая в Вр (х0 ) С П, то

1

мр(х) = — м(х0+рх)(3.2)

Р

локально минимизирующая для 2р(х) = Q(x0 + рх) в Вх = Вх (0).

Лемма 3.1. Существует положительная константа С* = Сп Qmax (Сп зависит только от п) такая, что для любой (локально) минимизирующей и в каждом (малом) шаре Вг(х0)С П

— J и>С* влечет и>0 в Вг(х0).(3.3)

г ьвг(х„)

Доказательство. Идея доказательства заключается в том, что если усреднение и на ЭДг(х0) большое, то, заменяя и в Вг(х0) на гармоническую функцию и с граничными значениями, равными и, мы уменьшим значение функционала, за исключением, конечно, случая и = и.

Пусть и гармоническая в Вг(х0), и = и на дВг(х0); положим и = и в О.\Вг(хо). Так как и > 0, и положительна в Вг(х0). Очевидно, и G К и, следовательно,

J(u)<J(v)

по определению минимума; в случае локального минимума мы должны взять г малым. Отсюда получаем

J (IVhI2+Z{„> 0}Q2)< / (IVup+Q2)

Br(x0)‘' Br(x^

или

/ I V(H-u)l2<eLx / Лм = 0}-(3.4)

Вг(х^Вг(х<д'

Оценим меру Вг(х0) Г) { и = 0? сверху через левую часть (3.4). Изменяя масштаб, можем предположить, что Вг(х6) = Вх. Для произвольной £ G ЪВХ определим

rt = inf {г; 1/4<т<1) и м(г£) = 0},

если множество таких г непусто, и r^ = 1, если это множество пусто. Для почти всех функциях и(т^) принадлежит Н1 по г, г G [1/4, 1] (и, таким образом, С1/2 по г), так что, если г^< 1,то

u(re^) = u(r^)- u(rt^) =

1 d

= У — (и- v)(r^)dr< r^ dr

< VT^t; [ J \ V(u — u)(r^) \2dr ^ 2.

С другой стороны, по формуле Пуассона v(r^)>cn(\ -rt) f и, cn>Q.

Следовательно,

0 - г₽) ( f и )2 < Cn / | V(u - u)(r^)\2dr.

Это неравенство, очевидно, остается справедливым при r^ = 1. Интегрируя по $,

в силу определения г^ получаем из (3.4)

. Г '{U = o}( fu^^Cn /iv(u-w)!2 < c„g^ax = 5i\51/4ЙВ.BiB. X *

Заменяя в приведенных выше рассуждениях на #1/4 (5с), где х G dS1/2, приходим к аналогичной оценке с 5^4 (5с) вместо Вхщ. Складывая эти неравенства и используя (3.3), находим

(С )2 J Ци = о} С C„Qmax / ^{u = о}’ В,В,

Таким образом, если С* достаточно большое, то I^u = oj = 0 п.в. в Вх, т.е. и = и п.в. и в силу 2.3

и = и > 0 всюду в Вх.

Замечание 3.1. Если в лемме 3.1 5г(х0) не содержится в Q, но Sr(x0) А О ЭП класса С2 + “ и и = 0 на Вг(х0") А ЭП, то утверждение (3.3) остается справедливым (и считаем продолженной нулем в Rn\Siy, более точно, для любых 0 < к < 1, е > 0 существует положительная константа Скс такая, что, если Ск=Ск е Qmax, то неравенство’

г"*1 эвг(х0)\вег(эп) ,е

влечет неравенство и > 0 в ВкДхУ} А П, где Ser(dQ) — (ег)-окрестность Э Q.

Теорема 3.2. Имеем и € С0,1(Г2).

Доказательство. Если x€Sl, и(х)>0, то по лемме 2.2

i и > и(х)> О

8Вг(х)

и из леммы 3.1 заключаем, что и > 0 в некоторой окрестности х. Таким образом, множество { и > 0) открыто.-

Пусть D, D' — открытые ограниченные множества такие, что D С D', D1 СП; р0 = dist(Z>, bD'y Для произвольной точки х € D такой, что и(х) > 0, пусть ВДх^ - наибольший шар в D' А (и > 0}. Если г <р0, то ЬВДх) содержит точку свободной границы. Следовательно, по лемме 3.1, если г достаточно мало (скажем, г < г0 ), то

1

-j- и < С*

г+е Вг+^х^

для достаточно малых е > 0. Кроме того, ввиду субгармоничности и, имеем

1„

—$ и < С*.(3.5)

Г ЭВг(х)I

Если г > min(p0, г0), то, так как и полунепрерывна сверху и, следовательно, ограничена в О', имеем

— i и < с(3.6)

г авг(х)

с другой константой С. Наконец, если С = max (С*, С), то

1 г

|Du(x)|<C— "f и < С в £>А{?<>0).

г SBr^x')

Поскольку Du(x) = 0 п.в. па {м = 0}, то и е Со,1(О,у

Теперь установим оценку ’’невырожденности" для средних от и.

Лемма 3.3. Для любого 0 < к < 1 существует положительная константа С. - CnkQmm (Сп<к зависит только от п, к) такая, что для любой (локально) минимизирующей и и каждого шара (малого) Вг(х0)СО,

(3.7)(3.7)если — f и < С„ то и = 0 в Вк(х0). Г дВг(х0)

(3.7)

(3.7)

Доказательство. Идея доказательства заключена в следующем: если среднее от и на ЗВг(х0) мало, то, заменяя и на функцию w, обращающуюся в нуль и Вкг(х0), мы уменьшим J.■

Изменяя масштаб, можно взять Вг(х0) = Вх. Выберем функцию е х/к и(х)= шах 1-Фк(|х|), О',

-Фк(х/к)'

Rln(R/r), если и = 2,(38)

R — г, если п = 1

есть фундаментальное решение и

1л

е= sup и < Сп к ти,(3.9)

так как и субгармоническая.

Заметим, что и = 0 в Вк. Так как и > и на 3S ,-, то min(u, и) будет допусти- Vк

мой функцией, если продолжить ее как и вне В . Таким образом, J(u) <

< J(min(u, и)), что означает

J (|Vu|2> o}Q2) </(| V min(u, и) |2 — | Vu |2) =

вкв^кХВк

= J V(min(u, и)- и) ■ V(min(u, и) + u) = f Vmax(u - u, 0)- V(v + u) < B^kXBk' в^ХВк

< -2 J Vmax(u - u, 0) • Vu = 2 J uVu • u< Cn> ke J" u.(3.10)

В rr\BkЪВк’ SBk

Мы хотим оценить f и через левую часть (3.10). Для этого, используя определе- авк

ние е (см. (3.9)), запишем

J ^Сп>к ( J и+ / | Vu 1)<

авквк вк..

(lV»l2+/{„>0}<?2)(lV»l2+/{„>0}<?2)е1

(lV»l2+/{„>0}<?2)

(lV»l2+/{„>0}<?2)

п, кп, к"дгг Чих))0*

п, к

п, к

Vmtn Вк vVnnn

<c”‘^(^+l) J <|v“|2+'b>l>)e,> ^min Wmin / B^

Подставляя эту оценку в правую часть (3.10), находим, что и = 0 в Вк, если e/Qmjn достаточно мало, т.е. если

и достаточно мало (по (3.9)).

65 ,

Замечание 3.2. Лемма 3.3 остается справедливой, если Вг(х0) не содержится в Q и и = 0 на Вг(х0) П 3Q (и продолжается нулем в В”\ О).

Следствие 3.4. Для любой ограниченной области D, DCSI, и для некоторого достаточно малого числа d0 > 0 существуют положительные константы с, С такие, что если шар Bd(x), где х € D, d < d0, содержится в { и > 0 } A Q и дВ^х) содержит точку свободной границы, то cd(x~) < и^х) < Cd(x).

Следующий результат можно сравнить с теоремой 3.2 из гл. 2.

Т е о рема 3.5. Существуют положительные константы 0 < с < с0 < 1 такие, что для любой локально минимизирующей и и каждого малого шара Br(x0) С Q с центром х0 € 9{и > 0)

| Дг(х0)П{и>0}|

с<<СО.(3.11)

15,1

Из этого следует, что 9{и > 0} имеет меру Лебега нуль.

Доказательство. Возьмем х0 = 0. По лемме 3.3 существует точка у € dBr^ такая, что и (у) > сг. Поскольку и субгармоническая, то

f и > — и(у) > -(0<*<1).

кг ъвкАу> кг к

Выбирая к достаточно малым, можно применить лемму 3.1 для вывода неравенства и > 0 в ВкДуУ которое дает оценку снизу в (3.11)..

Для установления верхней оценки выберем и так же, как в доказательстве леммы 3.1. Тогда

J =^ JI V(u - и))2 > — f 1и - и I2 > — f | и - и |2

ВгВгГ Вгг вкг

(к мало). Если у &Вкг, то по теореме 3.2 и лемме 3.3

(и - u)(y) = и(у) - и(у) > (1 - Ск^ S' и - Скг > авг

> (1 - Ск)С\г - Скг > ст (с> 0)

для достаточно малого к. Таким образом,

откуда следует верхняя оценка в (3.11).

Определение 3.1. Пусть и локально минимизирующая и ДРб(х^) — последовательность шаров в 12 таких, «то рк -» 0, хк ->х0 € 12 и и(хк) = 0. Последовательность функций

1 ик(.х)= и(хк л-ркх^ Рк

называется блоуап-последовательностъю.

Так как |Vuk(x)j<CB каждом компактном множестве из R”, если к достаточно большое, и так как мк(0) = 0, то для подпоследовательности имеем:

ик^и0 в C^oc(Rn) VO<a< 1,

Vuk^Vuo *-слабо в Zjoc •

Функция и о называется блоуап-пределом.

Напомним, что расстоянием Хаусдорфа d(A, D) между двумя множествами Л, D называется число

inf(e: U Be^"2>D, U Ве(х^Т)А\. хЕАxED

Лемма 3.6. Имеют место следующие свойства;

d{uk > 0} -* Э(и0 > 0) ио расстоянию Хаусдорфа;

Л“к>о} ^{и0 >0} 6 ^lod •

если хк G Э{и > 0}, то 0 G d{u0 > 0);

Чик -> Vu0 п-в.;

если Q непрерывна, то и0 абсолютно минимизирующая для Q(x0)e каждой ограниченной области.•

Доказательство. Для доказательства а) заметим, что если 5г(у) А А Э{и > 0} = ф и и0 = 0 в Вг(у), то ик равномерно малы в ВДу) при больших к, и ввиду невырожденности (лемма 3.3) ик = 0 в Дг/2; если и0 > 0 в Вг(уУ то ик > 0 в Дг/2(у)-Следовательно, Дг/2(у) А Э{ык > 0}= 0; если к достаточно большое. С другой стороны, если Дг(у) А д^ик > 0}= ф, то ик гармонические в Дг(у), и то же верно для и0.

Леммы 3.1 и 3.3 остаются справедливы для и0, что следует из предельного перехода для ик; следовательно, доказательство теоремы 3.5 также верно для и0, так что

Э {и 0 > 0} имеет меру Лебега нуль.(3.12)

Таким образом, r-окрестность Vr этого множества в пересечении с любым шаром Br имеет меру pr, r , где p.r r 1 0, если г I 0. Имеем

если к достаточно большое, откуда следует в).

Для доказательства с) заметим, что в силу лемм 3.1 и 3.3, еслихк — точка свободной границы для ик, то для любого малого г, скажем 0 < г < г0,

1

с < — у ик<С

для некоторых с>0, О0; г0 не зависит от к. Полагая к -► «>, получаем

1

с < — г «о < G

Г ЭВг(х0)

что означает OGd{uo>O}.

Ввиду а) для любого компактного множества Е С (u0 > 0}U int(u0 = 0} функция ик гармоническая в Е, если к достаточно большое, так что V ик -* VuQ равномерно в каждом таком множестве при к -* °°. В силу (3.12) получаем d).

Для доказательства е) выберем ограниченную область D, ОСП. Для любых функций и, и - и0 €Я0* ,2(D), и т?€Со(Я), 0 < т? < 1, положим

wfc = w + (l -i7)(Mfc -м0), Qk(x)=Q(xk + ркх).

Поскольку и локально минимизирующая (если к достаточно большое), то /(i^i2+'{Ufc>0}&)< /(ivyfci2+/{Ufc>0}^)-

Полагая к -* °° и используя d), получаем

HIVuol2 +7{„0>0)е2(х0)] <

< л ivup + /{п= 1} /{и> 0}е2(х0)1 + л{0 < „ < 1} с2(^)-

Выбирая о так, чтобы г) - 1 в Dj, D; t D, имеем nivtiop +1. >0)е2(х0)]< nivui2 +л>0)е2(^)]

для любой функции и такой, что и — и0 EHq ,2(П); это завершает доказательство.

Задачи■

Доказать утверждение из замечания 3.1.

Обобщить теорему 3.2 на случай и Е C°’*(Q U S^ на любом открытом подмножестве Si С 9Q при условии, что Sj класса С2+“ и u° Е C2+a(S!).

[Указание. Сравнить с доказательством теоремы 8.5.]

Доказать утверждение из замечания 3.2..

Рассмотрим

М») = /(IVu|2+X/{v>0})

si

с u° = 1, X > 0. Согласно принципу симметризации (см. § 7) любая абсолютно минимизирующая функция и должна быть вида и = и (г), г = |х|, и ввиду § 4 для м(г) существует не более, чем конечное число точек свободной границы. Доказать, что: а) минимизирующая функция ик единственна; б) если 0 < X < Хо, то м\ = 1; в) когда Х>Хо, то иЦг)= 0,если и только если 0О<Ях и Rk>0, Rk t при Xt.

Предположим, что 9Q\S ограничено. Если и0 имеет ограниченный носитель, то любая локально минимизирующая функция имеет ограниченный носитель.

[Указание. Пусть 9Q \Br С S, м° = 0 в 9Q \Br , D - B^r \Br , (след и) Ф 0 на 3D О Q. Продолжим и нулем в R" \(Br U Щ (тогда м субгармоническая) и положим

Ди = 0 в D, и = и на йВ^

Функция (е>0)

[ и + е min (и — и, 0) в 12 О В, ие = 1

I и в П\О

принадлежит^и{ие>0} = (и>0}. Показать, что

/ I Vmin(v-M, 0)|2 = - — 7(ме)1е = 0 <0, n node

так что и < и в D; следовательно,

С = sup u<°°,

Э B^R

и по принципу максимума и < С в Rn \B^r . Далее следует действовать как в лемме 3.3 (см. замечание 3.2).]

Регулярность свободной границы

Введем понятие пологости в начале координат О (О£ Э{ и > 0}) по направлению е„ положительной оси хп; определение зависит от параметров а+, а_, т.

Определение 4.1. Пусть 0 < а+, о_. < 1, (т> 0.

Будем говорить, что и принадлежит классу пологости F(a+, о_. т) в Вр, если

Oed{u>0};

u(x) = 0 при хп>о+р;

и(х)> -Q(0)(x„ + о_р) при хп < -а_р;

|Vu | <Q(0)(l+т) в Вр;

osc Q< Q(0)t.

ВР’

Если в определении 4.1 начало координат заменить точкой х0 и направление еп - единичным вектором г, то и принадлежит классу уплощения) F(o+, о_, т) в Др(х0) по направлению v.

Теорема 4.1. Пусть функция Q непрерывна по Гёльдеру и и локально минимизирующая. Тогда для любой ограниченной области D, DC^l, существуют положительные константы а, в, оо, т0 такие, что справедливо следующее: если

uEF(o, 1, °°) в B^x^CD по направлению v,(4 1)

где о^оу и р<т0о2^, то

Врц (х0) О Э{и > 0} — поверхность класса Сх +“,

она задается уравнением хп = ф^хх, . . . , хп_ i), <р G Сх+“, если направление оси хп берется в направлении v.

Условие (4.1) называется условием пологости.

Теорема 4.2. Если п = 2 и Q непрерывна по Гёльдеру, то для любой локально минимизирующей и свободная граница д{и > 0} есть локально класса Сх+а кривая.•

Эти две фундаментальные теоремы принадлежат Альту и Каффарелли [6а]; доказательство длинное и здесь не приводится.

Комбинируя теоремы 4.1 и 4.2 с теоремой 1.4 из гл. 2, можно получить дальнейшую регулярность свободной границы. В частности, верно

Следствие 4.3. В предположениях теоремы 4.1 или 4.2, если функция Q аналитическая, то свободная граница аналитическая.

Некоторые леммы

В доказательстве теоремы 3.2 оценка (Dul может зависеть от и; действительно, из (3.5), (3.6) имеем

|Z)u(x)|<C(l+ sup u).(5.1)

BrW

В некоторых приложениях важно иметь оценку Du, которая не зависела бы от sup к. Такая оценка дается в следующей лемме об ограниченности градиента.

Лемма 5.1. Пусть D - ограниченная область, DC 9.. Существует константа С > 0, зависящая от D, £2, Qmax такая, что для любой минимизирующей и, если D содержит точку х0 свободной границы, для и, то

|Vm(x)|<C при xCDC\^u>0V(5.2)

Доказательство. Пусть р0 = dist(D, д£2). Для каждой х € D И{ц > 0} найдутся точки xt,. .. , xk = х в D (к зависит от р0) такие, что

Х]СВГо (х^) для j=\,...,k, г0=р014.

Выберем к0 € {1, 2, . . . , к) наибольшим среди таких, что Д2г0 (,хк) содержит точку у о G Э(и > 0}; такое к0 существует, поскольку Д2г0 (xi) содержит х0. Тогда и гармоническая в В2Го (х/_ ।) для j > к0 + 2 и по неравенству Харнака

и^х.^С J и — Си(хр_ху

9fl2r0 (V/- 1 )

Так как и субгармоническая, имеем, кроме того,

м(х* +!) < С / и<4СС*г0

ав^у,)

по лемме 3.1. Следовательно, и(х) < С для каждой х СОт.е. supu < С, где С зависит D

только от Q, D, Qmax. Используя эту оценку в (5.1), завершаем доказательство леммы.

Замечание 5.1. Если и лишь локально минимизирующая, то проведенное выше доказательство остается верным при условии, что г0 выбрано достаточно малым (зависящим от е в определении 2.1); С тогда зависит также от е.

Замечание 5.2. Если мы используем замечания 3.1 и 3.2, то найдем, что лемма 5.1 распространяется на случай, когда D пересекает Э£2 при условии, что ЙО И ЭЯ содержится в открытом подмножестве Т С 9Q класса С2+“ и и = 0 на Г.

Следующий результат, существенно опирающийся на предыдущую лемму, связан с поведением свободной границы вблизи фиксированной границы области и устанавливается в случае, когда Й — двумерная область. Обозначим У = (х, у) точку из Q.

Пусть G - область в Q, ограниченная четырьмя кривыми:

У=У1‘, У=У1 +h <h > 0);

7i: Х = Х'^У 72: Х = Х\0,

где 0 < г < Г. Предположим, если X* (г) = (х'(т), y\t)), то

yi <у7(0<У1 +^ ПРИ 0< t < Т;

У7(0) = У1, у’^^уг+Н; х0 <х'(т)<х0 +6.

Кроме того, у2 лежит справа с(г 71; более точно, х*(0) <х2(0) и 7t,72 не пересекаются. Предположим, наконец, что

71, 72 принадлежат д{и>0},

(5.3) и>0 в некоторой G-окрестности 7] U72,

— открытое подмножество ЭЛ класса С2+“ ,(5 4)

и = 0 на 5], C=dist(G, d£2\5i)>0.

Лемма 5.2. При указанных выше условиях имеем

h С С8,(5.5)

где константа С зависит только от С*, ЭГ2, Smax, 6m in, supu0.

Доказательство. В силу задачи 2 из § 3 получаем (5.1) с П вместо Sr(x); ввиду леммы 2.3 заключаем, что

|Du(X)|<C в G,(5.6)

где С зависит от тех же констант, что и в утверждении леммы. Пусть Go = { ХЕ G; и(Х)>0), а=у!, b=yt + h; применим формулу Грина к у - а и и в Go:

дуди

I и — ds -/ — (у - a)ds = 0.

эс0эс„ ov

Так как и = 0 на dG0 Г){а <у <Ь} иу - а = 0 н^ {у = а}, а также — ди/ди > О на 9G0 О (я <у <Ь), то

ди

f Q^y-a^dsC f udx + h J —dx.(5.7)

T,UT2ЭС0Л{у = 6}bG„ n(y = 6) ^V

Используя (5.6), находим, что второй член в правой части ограничен величиной Ch S, а первый член ограничен С82 (поскольку u<CS). Замечая,что

/ Q(y -a)ds>Qminh2,

71 Ut2 получаем из (5.7)

Gmin^2 ^Ch8 + С52,

откуда утверждение (5.5) следует.

Замечание 5.3. Предыдущее доказательство остается верным, если у] лежит на ЭП и

ди

- — >Q на у,.(5.8)

dv

Замечание 5.4. Хорошо известно [108], что если

Ди = 0 в П, и е с°(пу и = ф на 9Q и если So = Br^Xq) П ЭП - поверхность класса С1+“ и ф Е C1+a(S0), то и Е С1 +a(S0). То же верно также для общих эллиптических операторов с гладкими коэффициентами. Используя этот факт, можно заменить требование принадлежности классу С2+“ в задаче 2 из § 2 и в замечании 5.2, а также в (5.4) на требование принадлежности классу С1 +“.

Сходимость свободных границ

В этом параграфе мы установим для случая п = 2 общую теорему о сходимости свободных границ, соответствующих локально минимизирующим функциям ит. Эта теорема может быть также использована, когда свободные границы, соответствующие ит, сходятся к фиксированной границе.

Пусть U — открытое множество в R2 такое, что U A П Ф ф, U не обязательно содержится в Q. Продолжим ит нулем в Г7\П и предположим, что ит G С°ф\ Qm суть константы Хт; таким образом, ит > 0 и

Дит = О в Unkum>0\

. и А д{ит >0} класса С1+“(0<а< 1),(6.1)

- = Xm на ис\й<ит>0^ (Хт > 0),

Эр

(6-2)(6-2)где v - внешняя нормаль. Предположим, что при т-*°° Xm X (X > 0), ит-^-и равномерное U, uGH'^U), Vит -► Vи слабое L2^U^, f/A{Um >0} -> (/А { ц >0) по мере, UH d{u>0) еС1+“.

(6-2)

(6-2)

Теорема 6.1. Пусть ит — локально минимизирующая функция, удовлетво-

ряющая (6.1), (6.2). Тогда

Д м = 0в и О { и > о),

(6-3)

Эи,

— — = X на U А Э(и > 0). Эр

(6.4)

(6.5)(6.5)Доказательство. Для любой неотрицательной функции f € Со (1Г) имеем

(6.5)

(6.5)

Хт / ^ = -J 7Г?пт^ -jvrvu ®(um>o) {мт>о){»>о}

ввиду предположения Un { ит> 0 }-► U Г) {и> 0). Используя последнее свойство,

можем также вывести, что

J f < Um inf J f.(6.6)

d(u>o) m->oo a{um>0}

Действительно, для любого вектора У = (Ут, Уг) такого, что /) € Со(60, У? + Ут < 1, имеем

У U-v = $ VH*- У v-fy= / и-v. d{u>o} {u>o}(“m>0}a(um>o)

ВзявУ=У/ такой, что f=v на Uj О Э{м> 0), где Uj^ U, находим

J f < lim inf " J ^

UjH8{y>0}m^~ 3{um > 0}

откуда следует (6.6).

Из (6.5), (6.6) получаем'

3 { и > о}{ и > о}

Так как д(и>0) € С1+“, то м также принадлежит С1+“ вплоть до этой границы

(см. замечание 5.4), и мы имеем

а поскольку f произвольная, то

' ди Х<- — . dv

Для доказательства обратного неравенства возьмем произвольную точку Хо = = (х0, у0) в t/Od(u>0}. Тогда существует последовательность точек ХтЕ U такая, что Хт^»Х0, и(Хт) = 0. Действительно, в противном случае будем иметь Дит = 0 в некоторой окрестности V точки Хо и поэтому также Ди = 0 в И. По принципу максимума тогда и= 0 в V, что противоречат предположению 10еЗ{и>0}.

Выберем г малым и области Dm СДГ(ЛГО) С Uтакие, что

Br(X0)C>dDm -*Дг(Х0)ПЭ{и>0) в С1+#3(О<0<а),

ит>0 в Dm,(6.7)

^т Ф Dm .

Для определенности можно предположить, что

ВГ(ХО) О Э {и > 0} задана уравнением У =/to>/'(xo) = 0,

Dm = ВДХ0) П { у <fm (х) },

fm (x) = f(x)-ет, ет ФО, если т-*=.

Пусть .

0,если | х| > 1.

Определим функцию

/х — х0\

Л, т (х) = fm to + STIV_), $ > о,

\ ^/2 /

и область

Ds,m = ВГ(ХО)С\ (у <fs,m(x)} .

Тогда D0>m = Dm и в силу (6.7) имеется значение s = sm такое, что

Um 0 В В$т ,т,.

ВГ(ХО) A dDSm<m содержит точку свободной границы, скажем, Хт = (хт, ут), те Ут =fSm,m(Xm) И

Sm^O, если /п-*0.. (6.9)

Пусть Dm =DSm >m ; ит ~ решение задачи

Дит = 0 В Dm, .

Vm =0 на дбт ПДД^о), ит = ит на dDm П дВДХ0).

Так как Дит = 0 в Dm, то по принципу максимума ит> ит в Dm и, следовательно, Эм» (%™) Эит(Х„)

.lo.lU)

В силу (6.9)

f$m,mW ^fW В C1+^.

Поэтому ввиду эллиптических оценок и т в Dm П Sr/2№) сходятся кмв(м>0)П

HSr/2(-To) в смысле С1+^. Можно считать, что Хт~>Х при т->°° и согласно (6.9) XeSr/2№)n9{M>0} .

Тогда

dvm(^m) _^ ди(Х)

ЭмЭм

Ввиду (6.10) получаем неравенство

(6.И)(6.И)Э«№

(6.И)

(6.И)

Эм

Полагая г-*0, выводим (6.11) в X = Х0; доказательство завершено.

Задачи

Распространить результаты § 2,3, 5,6 на случай функционала

7(в) = /17(в) = /1VuVuУУ2\+ 02Ци> o^jУ dx dy,2\+ 02Ци> o^jУ dx dy,

7(в) = /1

7(в) = /1

Vu

Vu

У

У

2\

+ 02Ци> o^jУ dx dy,

2\

+ 02Ци> o^jУ dx dy,

где f2 — двумерная область; здесь

Э2мЭх21Э2мЭх21Э2мЭмЭ2мЭм1 Эм,— — = 0 в { м > 0 ), У йу1 Эм,— — = 0 в { м > 0 ), У йуУУ— = Q на свободной границе, Эм— = Q на свободной границе, Эм

Э2м

Эх2

1

Э2м

Эх2

1

Э2м

Эм

Э2м

Эм

1 Эм,

— — = 0 в { м > 0 ), У йу

1 Эм,

— — = 0 в { м > 0 ), У йу

У

У

— = Q на свободной границе, Эм

— = Q на свободной границе, Эм

v — внешняя нормаль. (Теорема 4.2 также распространяется на этот случай и фактически все результаты § 2—6 справедливы для функционалов

$ [«17(^)вА вА +2^{и>о}1 dx

с S1CR" при условии, что (я,/) - положительно определенная матрица, ау(х) гладкие.)I

[Указание. См. леммы 8.3 и 8.6.]

То же для функционала

70(и) = /I ^u + eQI^x^dx,

где £lCRn, е - единичный вектор в R", и для функционала

VuVu7, (в) = / —+eQIvп у7, (в) = / —+eQIvп уУУии2о} ydxdy,2о} ydxdy,

Vu

Vu

7, (в) = / —+eQIvп у

7, (в) = / —+eQIvп у

У

У

и

и

2

о} ydxdy,

2

о} ydxdy,

где fi CR2.

§ 7. Симметричные перестановки

Далее, в этой главе и в следующей, мы будем использовать некоторые хорошо известные факты о симметризации функций. '

Пусть Е — открытое множество в двумерной полосе {(х,у); — а < х< а} и Ер = ЕО {х = р}. Обозначим |£р| одномерную меру Лебега множества Ер; пусть

Е*р= j(p^);-j \Ер\<у< 7^р|}-(7-О

Множество

Е* = U Е*(7.2)

—а < р <а

называется симметризацией Штейнера множества Е относительно прямой у = 0.

Если Е замкнуто, определяемI

Е*р=^р,уУ--\Ер\^у^-\Ер\^

и тогда Е*, определяемое по формуле (7.2), будем называться симметризацией Штейнера множества Е.

Очевидно, mesE = mesE*. Можно показать, что если Е открыто (замкнуто), то Е* открыто (замкнуто).

Пусть и(х, у) — непрерывная неотрицательная функция, определенная в прямоугольнике'

6а.ь = Ux,y>,-a <х <а,-Ь <у <Ь\ '

такая, что и(х, у) = и(х,—у). Для фиксированной точки х рассмотрим функцию и(у) = и(х,у) и множества

о-1 [с, °°), и-1 (с, °°) для с > 0,

где ц”’(Л) = {у € [- b, Z>]; v(y) € А }. Обозначим (и-1 [с, °°))* и (и-1(с, °°)У отрезки

I 1 *1 f

iv [c,°°)lj и|и*^(с,°°)||

соответственно. Определим, что

и* (*, у) = с, если и только если

у € (и-1 [с, '»))* \(и-1 (с, ”))*.

Отсюда следует, что и*(х, у) =и*(х, -у); и*(х, у) монотонно убывает по у при у > 0 и

mes{ у;и* (х,у)€ (с, J)} = mes{ у; и(х,у)Е (c,d)}

при любом 0 < с < d. Можно также показать, что

jg^u* (х,у), х) dx dy = Jg(и (x,y), x)dxdy0-3)

для любой непрерывной функции g и

fu* (х, у) w* (х, у) h (х) dx dy >

> fu (х,у) w(x,y) {t (x) dx dy,(7.4)

если w удовлетворяет тем же свойствам, что и, и h - неотрицательная непрерыв-

22522515. Л. Фридман

225

225

ная функция. Если h >0, w>0, то в (7.4) имеет место строгое неравенство за исключением случая и*= и пи.

Используя (7.3) и аппроксимацию, можно теперь определить и* также, когда и — произвольная функция из L1; это будет функция четная по у, убывающая по у при у > 0 и удовлетворяющая (7.3), (7 .4).

Определение 7.1. Функция и*(х, у) называется перестановкой и(х, у) в убывающем порядке по переменной у, или симметризацией Штейнера функции и (х,у) относительно прямой у = 0.

Теорема 7.1. Если и & H^Qa^, и> 0, и(х, у) = и(х, —у), и(х, Ь) = 0, то

f \Vu*\2h(x)dx dy < J \Vu\2h(x)dx dy(7.5)

Qa, bQa, 6

для любой непрерывной неотрицательной функции h (х).

Этот результат в основном содержится в [154] (см. также [92] и [103]).

Можно подобным образом определить перестановку в возрастающем порядке по переменной у, предполагая, что м> 0, и(х, 0) = 0 и м(х, у) = «(х, —у). Эта функция для произвольного х монотонно возрастает по у при у > 0 и имеет ту же функцию распределения в у как и и(х,у) т.е.

ше$(у;ы(х,у)ЕЛ} = ше${у;м* (х,у)Е А} .

Можно также определить перестановку в возрастающем порядке по у относительно меры у dy вместо dy. Следующий результат доказан в [102].

Теорема 7.1’. Если и* — перестановка и в возрастающем порядке по у относительно меры у Ду, то

/ | Vu*|2y dxdy < / | ^u^ydx dy.(7.6)

Qa, bQa, b

Пусть (r, 0, z) — цилиндрические координаты в R3, и предположим, что и(х), p(r,z), р>0, p(r,z) = p(r, -z).

Пусть и*— перестановка в убывающем порядке по переменной z. Справедлива Теорема 7.2. Имеет место неравенство

и*(х)и*(у}ГС и(х)и(у)

J J dxdy> J J dxdy,|7.7)

R3 R3|x — yl-R3 R3 lx — yl

где равенство выполняется, если и только если и* = и п.в.

Неравенство (7.7) вытекает из следующего результата.

Теорема 7.3. Если f^, g(x), h(x) - четные неотрицательные функции и f\ 8е» h* — их симметричные (относительно х = 0) перестановки в убывающем порядке, то

И r(x)g*(y)h,(x-y')dxdy> ff f(x)g(x)h(x-у) dx dy. (7.8) RRRR

Доказательство приведен^ в [112]; утверждение о равенстве в (7.8) следует из доказательства.

Теперь введем сферически симметричные перестановки в убывающем порядке. Пусть и(х) определении ограниченном открытом множестве SICR" и

p(f) = mes {xG П; |м(х)| > ?} .

Определим

и* (г) = inf {t > 0; p(t) < г}

IF

ir”/2 и* (x ) = иЧъА r = |x|, Tn = ~~• F(I + n/2) Тогда u*(r) убывает и

/ g(u*(x))dx = fg(u(xy)dx(7.9)

для любой непрерывной положительной функцииg; кроме того, f u*v*dx> f uvdx, R"G

иии принадлежатL2(G). Справедлива

Теорема 7.4. Если и € Wv,p (G), 1 <p <4% то

J IVu*lpdx< JIVulpdx.(7.10)

RnG

Этот результат для p = 2 дан в [154], а для. других р-в [ 169]. В заключение приведем обобщение теоремы 7.3 из [163-J.

Теорема 7.5. Пусть f,g,h - неотрицательные функции. в R" и f*, g*, h* - их сферически симметричные перестановки в убывающем порядке соответственно. Тогда

Л f*Wg* (х) h* (х-y)dxdy>

RnRn

> Л №g^h(x -y)dxdy.

RnRn

Задачи

Доказать (7.3).

Доказать (7.4).

Показать, что теорема 7.2 следует из теоремы 7.3.

Доказать теорему 7.4 для р = 2, п = 1.

Доказать, что если и(х,у) непрерывна, что и*(х,у) непрерывна.

§ 8. Осесимметричные струйные течения

Пусть N — непрерывная кривая X = Х^ = (х(г), у^) (0 <? < °°) такая, что: 2Д0) = А, где Л = (0,1), Х = Х(г) есть ,у-график, у(0>1,(8.1)

Щг)|->~, если г-*°°, X(f) кусочно класса С1+“(0<а< 1), VX(t ± 0) ^ 0 для всех 0 <Г < °°.

Второе условие в (8.1) означает, что любая прямая у =Уо, которая пересекает N, пересекает N либо в одной точке, либо по одному отрезку. Мы предположили для простоты 2Г(0) = (0, 1), но все последующие результаты верны также для общего случаяЛ'(О) = (x(0),j(Q)),y(0) >0.

Пусть

А' = (—а, 1), А" = (-а, 0)

для некоторого а > 1 и

/1 - луч у = 1, х >0,

/о - кривая, состоящая из АА\ А'А" и интервала у = 0, — °° < х < —а.

Пусть Й - область в R2, ограниченная WocbM х и lt, a D— подобласть П, ограниченная Nwl0 (рис. 13).

Определение 8.1 .N называется соплом.

Определение 8.2. Пусть Z?+=Z?2n{y>0}. Задачей об осесимметричной струе называется задача о нахождении функции и(х,у) Е C°(R 4.), кривой класса С1 Г:Х=Хо(О = (х0(Г),у0(?)) (ОСТ <°°) в R., и положительных параметров X, Q

таких, что

ЗД) = Л,(8.2)

Го = Г \ { А} не пересекает N,(8.3)

хо(0 °°, Уо(0 -*h Qh> 0),

Xo(Z)-» l, уо (/)-»0,если ?'(8.4)

криваяN U Г класса С1 в окрестности А,(8.5)

0<u<Q в R + ,(8.6)

и(х, 0) = 0, если —00 < х < *>,(8.7)

' и = енаУ,(8.8)

Lu = Q в R+^ U<QV(8.9)

где d2uд2и1ди

Lu = —- + —- - — — , Эх2ду2у ду

[д(и <Q^\N^ CvR+ совпадает с Го,(8.10)

так что и = Q на Г,

и ЕС1 в {u<Q} -окрестности любой точки Го и

1 ди<8И)

- — = х на Го, у 0V

где v - внешняя нормаль к Го и

и EC^Br (Л) П { u < Q} ) для некоторого R >0.(8.12)

Определение 8.3. Функция и называется функцией тока, Г (или Го) — свободной границей, X - скоростью на свободной границе и 2itQ - потоком.

Поток, протекающий через плоский участок Г в R3, определяется по формуле

F=JVvp-vdS (г - нормаль к Г), т

где ф - потенциал скорости. В осесимметричном случае (см. § 1), если Т = {и < Q } П п {^ = ль) , то

F= J фх2.1хуdy = $2ttuydy = 2ixQ. т

Заметим, что, так как и = Q на NUV, то NUV есть линия тока.

Из условий (8.2) —(8.12) можно вывести (см. задачу 1),что

и, -0, — uv ~*Х,если х-*°°,(8.13)

х ’ у у

равномерно в {и < Q} П {у >й/2}.

Следовательно,

й = (2Q/X)1/2.(8.14)

Если" (и, Г, X, Q) - решение задачи о струе, то (Ри, F,PX,PQ) - также решение этой задачи при любом Р>0. (Отметим, что h не изменится при таком изменении масштаба.) Поэтому начиная с этого момента считаем параметр Q фиксированным. Мы ищем решение (и, Г, X), соответствующее данному Q.

Предположение 8.1 гарантирует, что свободная граница Г лежит в { 0 < у < 1} , т.е. и = Q в А+\ £2. Поэтому далее заменяем R+ на £2.

Определение 8.4. Условие (8.2) будем называть условием непрерывной стыковки*), а (8.5), (8.12) — условием гладкой стыковки*).

Теорема 8.1. Если сопло N удовлетворяет (8.1), то существует решение задачи об осесимметричной струе.

Способ доказательства теоремы 8.1 связан с вариационным подходом (см. предыдущие параграфы). Нам потребуются области QM, усеченные слева и сверху.

Рассмотрим сначала случай, когда либо y(t) -*°°, если t -**, либо y(t) -* -> у^ < °° и *(0 —°°>если

Пусть N^ (для произвольно большого ц, ц> а) - часть N, соответствующая X(t), 0<t <Т^.

Рассмотрим горизонтальный отрезок

Оц = к<х,у(Тц)У,-р<х<х(Ти))

и вертикальный

тм= {(-Д,у);0<у<у(Гм)};

Тц выбирается так, что х(г) > -д, если 0 <г <ГМ и Ти -**, если д -*<*>. Пусть Qp - область, ограниченная ^, оц, тм, 1Х и прямой {у = 0, -д < х< 00 } (рис. 14) .

Предположим, далее, что у (Г) ^у» <°°, х(Г) -»+<», если t -*<*. Затем определим Тр, как выше, и положим

О^ = {(X(ТДуУу(Тр} <у<у(Тр) + ц}, оц= {(х,у(Гм) + д);-д<х<х(Гм)) , Тр = {(~ii,y);0 <у <у(Тр) + ц}.

Теперь определим Лм как область, ограниченную ^, оц, тц, Ц , где Np — объединение {^(Г)^^?^^ } с Ор . Определим класс допустимых функций

Кр = IviveH^^CiBR) 4R>0,

О < и < Q, и = Q на Np U lt, и = 0 на тц и на { -д < х < °°, у = 0),

на Op }на Op }(8.15)(8.15)х + д

на Op }

на Op }

(8.15)

(8.15)

v = Q

x(Tp) + ii

и функционал

А,мМ= /ПрА,мМ= /Пр1- Vu-X/(u<e}\De1- Vu-X/(u<e}\De2у dx dy,2у dx dy,(8.16)(8.16)

А,мМ= /

Пр

А,мМ= /

Пр

1

- Vu-X/(u<e}\De

1

- Vu-X/(u<e}\De

2

у dx dy,

2

у dx dy,

(8.16)

(8.16)

где е — единичный вектор (0, 1).

3 а д а ч a Jx,p .Найти и = и\,р^Кр такую, что

J\,a^ = min -К.цМ(8-17)

Член Ци < gj\ D в J\,p требует некоторого объяснения. Так как свободная граница есть д{ и < Q}, то (и < Q} можно заменить на {и > 0} в функционале в (2.1). Далее, наша цель состоит в нахождении свободной границы, которая не уходит ’’бесконечно глубоко” влево в S2, т.е. которая не входит в некоторую областьD с достаточно большим д; по этой причине мы включили компоненту Dh I. Конечно, мы должны доказать позже, что свободная граница не касается оВ.

Функционал■

Л,м(^) =Л,м(^) =1- VuУ1- VuУ+ ^I{v<Q}\Djydxdy+ ^I{v<Q}\Djydxdy(8.18)(8.18)

Л,м(^) =

Л,м(^) =

1

- Vu

У

1

- Vu

У

+ ^I{v<Q}\Djydxdy

+ ^I{v<Q}\Djydxdy

(8.18)

(8.18)

обращается в бесконечность для каждой допустимой функции. Поэтому мы будем

работать с функционалом 7х,м(и); последний (как увидим) остается конечным для потоков, почти горизонтальных при х -»°°.

Так как по предположению h < 1, в дальнейшем всегда будем считать, что

X>2Q.(8.19)

Доказательство теоремы 8.1 начинается здесь и кончается в § 12.

Схема доказательства следующая. Мы решаем задачу Jx, ^,с произвольными X, д, а затем показываем, что для некоторого X = Х(д) это решение является также решением задачи о струе в усеченной области £2^. Полагая затем д -*°°, получим требуемое решение.

Мы не можем рассматривать непосредственно функционал

Jx(u) = J пJx(u) = J п12

Jx(u) = J п

Jx(u) = J п

-Х7и-ХЦи<0^\ве ydxdy,(8.20)

так как, вообще говоря, Jx (и) =°° для допустимый функций.

Установим для/х,м результаты, аналогичные результатам, полученным в § 2,3.

Лемма 8.2. Задача Jx,n имеет решение.

Доказательство. Так как X > 2Q, функцию

и0 = min(Xy2 j2,Q1(8.21)

для х > 1 можно продолжить как функцию в Км и

А,м(«о)<°°.

Теперь возьмем минимизирующую последовательность ик такую, что

ик^и слабо в HY ,2(ПМ ПBR) ЧВ>0,

ик и п.в. в Г2М,

Цик <Q^\D "*Т *-слабо в £°°(ПмПДд) V/?>0.

Тогда

fVuk'\

^4uk<Q\De\^f слабо в £2(ПмПДд) V7?>0,

\ где/ = Vy I —- - Хуе ) . Так как у = 1 пл. в { и < 2) \ D, у = 0 в D, то ХУ /

А,д(“)< / l/l2 <Hm infЗх,ц(ик).

S1 ^к -► оо

Лемма 8.3. Существует положительная константа С, не зависящая от ц, X, такая, что для любого шара Br (X0) С Пц,гдеХ° = (х°,^°), г<у°(2,

—^- (Q-u)>CXy° влечет u<Q в В,(Х°\

Г ЬВДХ0-)

где и = иХ ц - произвольное решение задачи Зх,ц-

Доказател ьств о. Пусть

Lv=0 в ДД%°),

и = и на ЭВГ(Х°\

Определим и = и в ЛМ\ВГ (Д'0) • Тогда Jx, ц (и) </х, м (и), так что 1■

О > f — V(u - и) ■ V(m + и) -

ВАХ0) у

э.

-2Х— (u-v)-X f уЦи=е^\п.

в AX0) дуВАХ0) 1

Первый интеграл равен величине -

/- I V(u - и)|2

вах°) у

(см. доказательство леммы 3.1). Второй интеграл равен нулю. Следовательно, Л I V(u-u)|2 <ЗХ2(/)2 f I^q}. вах°)вах°) х

Вводя

Q-u(X°+rX)Q — v(X°+rX)

и (^) , и (%) =

имеем

1 du

L и = A v= 0 в В i (0),

й>0в В^О) и

J IV(u-v)l2 <ЗХ2(у0)2 f /{5 = о}-(8.22)

5,(0)В, (О) 'v

Теперь можем действовать, как при доказательстве леммы 3.1, заметив, что L равномерно эллиптический в Вх (0) независимо от г .

Лемма 8.4. Для и = их, ц справедливо неравенство

u{x,y)<Qy2lh2x, где й„ = (2QA)‘/2.(8.23)

Доказательство. Определим и0 в Пм по формуле (8.21). Тогда min {и, ы0} - допустимая функция. Следовательно,

0>/х м(ы)-/Х м(тт(ы, м0)) =

1

= J — V(m - min(M, м0)) • V(m + min(u, и0)) -

- 2Х J (м - min(M, м0)) +

пм\о ду

+ ^ f yU{u<Q} — ^{min(u,u0 )< Q} = ^1 +А +/з. П p\D Имеем

1

/1 = f — 7(тах(м - м0,0)) • V(u +ы0).

У

Поскольку можно интегрировать только по {и>и0} , то

/1 = / — | Vmax(u - и0,0)|2 + «м У

+ 2 / — V(max(u - и0,0)) • Vu0. у

Последний интеграл равен

Э

/ Xтах(и-но,О) =

nMn{u0<Q} Эу

= _/X max(u - u0,0) = 0,

Пмп{у >o}n a{u0 <2}.

так как и0 = Q > и в последнем подынтегральном выражении. Таким образом,

Л = / - | V(max(u - и0,0))|2. “м У

Далее,

/2 = - 2Х/ max(u-uo,O) =

(Пм\о)п {u0<Q} Эу

= — 2Х _/тах(м - м0,0) = 0.

(Пм\о)п{у>о}п Э{ио<2}

Наконец,

Л = х2Л = х2/^ ц\^/^ ц\^У(/{и<е) - Z{u<Q}U{Uo <2})-У(/{и<е) - Z{u<Q}U{Uo <2})-= -х2= -х2о •y/{“ = e}n{u0<Q}-о •y/{“ = e}n{u0<Q}-

Л = х2

Л = х2

/

^ ц\^

/

^ ц\^

У(/{и<е) - Z{u<Q}U{Uo <2})-

У(/{и<е) - Z{u<Q}U{Uo <2})-

= -х2

= -х2

о •y/{“ = e}n{u0<Q}-

о •y/{“ = e}n{u0<Q}-

Комбинируя эти оценки, получаем

0> / — I V max(u - u0,0)|2 — Пц У

"х2 Z УЦи = 2} п {«„ < 2} >

r/ Vua 2\

>/у( - X2 ) +

(ПМ\О) п{» = 2} ^{»о < е) X У /

+/-|V(u-u0)|2 =/-|V(u-u0)|2.

Пм n(u0 < u < 2} уПмП{и0 <и <2}у

Следовательно, u < и0 в Лм А{ и0 < Q} О {и < 0}.

Теперь можно применить доказательство теоремы 3.2 (с очевидными изменениями) в компактных подмножествах Лм- Таким образом, и непрерывна в Лм и, очевидно, также на т^. Тем самым и(х, у) < Q, если у > 0, у мало и х близко к — д. Учитывая непрерывность и, выводим, что u <и0 в QM, где и0 < Q.

Теорема 8.5. Функция и = и^, м непрерывна по Липшицу в каждом компактном подмножестве S.^, которое не содержит А или точки, где ЭЛМ ^ С1+“.

Доказательство. Непрерывность по Липшицу в компактных подмножествах Л следует так же, как в теореме 3.2. Для доказательства непрерывности по Липшицу вблизи 1Х заметим, что если расстояние г от X до д(м <Q) меньше расстояния s от X до 1Х, то можем рассуждать, как в теореме 3.2. При s < г, положим Х° = (х, 1), если X = (х,у), и s° = min(l/2, х), Во = В$о (Х°). Пусть

Lu = 0 в До П { у < 1},

и = 2 на ЭД0 П { у < 1},

и = 0 на До П {у = 1}.

Так как Q - м есть L-субрешение и Q - и < 0 на ЭД0 ^ { у < 1}, то Q — и < и. К функции и(Х') = и(Х° + $°Х') можем применить эллиптические оценки и получим, что и(Х° +s°%')<C|y' |,

если X' = (х', у') Е Д]/2(0) ^ { у’ < 0}. Следовательно, если s = 1 — у < s°/4, то |V«2-w)(^)l < — У (2-п)<— / и < -^ .(8.24)

S ЭВ^(Х)S ЭВ^(Х) su

Первое неравенство в (8.24) выводим, используя выражение функции w^X') = = (2 ~ м)^ + sX') в { | X' | < 1} через функцию Грина для соответствующего рав

номерно эллиптического оператора L и применяя затем оператор V.

Остается доказать непрерывность по Липшицу вблизи у = 0. Если Х° = (х°,у°), где 0 <у° < йх/2 и г0=у°/2, то по лемме 8.4

м<Ху2/2, Lu = 0 в ВГо(Х°\ .

Поэтому нормализованная функция й^Х^ = и(Х° + гоХУго удовлетворяет условиям

__1 -

м <С, Дм — йу =0 в Вх (0),

2 +у

которые означают, что

I Vu(^°)| = r01 Vn(0)I <Су0.

Лемма 8.6. Существует константа с > 0, не зависящая от X, ц, такая, что для любого шара ВДХ°) с центром Х° = (х°, у0) Е S2\D и радиусом г^у°12 имеет место следующее утверждение-.

— f (Q - и) < сХ1у°(8.25)

Г ЭВГ(Х°)

влечет и = Q в Вг/8(Х°) П (fi\(D U Вг (Д')));

здесь u=ux,li и Q-u продолжена нулем в ВГ(Х°)\С1.

Доказательство. Множество

BHa<X°)O^\(DUBr(A'W

можно покрыть шарами вида.

В^^Х^СВ^^Х^П^ХО)

с Г] = г/16; таким образом, достаточно доказать, что и = Q в каждом таком шаре.

Вводя

ед- ^Г -^

имеем

L й = 0 в В

Lu >0 в { у>—ух/г^

где X1 = (х1, у1). По предположению

(

Х° — X *\ ),(8-26)

где 5 выбрано достаточно малым. Это означает, чтодак как Д2(0) С Вв ((Х° - X1 )/г), sup и < С6Ху°.(8.27)

в2

Пусть и — решение задачи

Lv = 0 в В2гДХ1)\ВгДХ1),

v = Q на дВГ1 (Д'1), и = и на 9В1Г1 (X1).

Определим v = Q в Вг^ (X1) и и = и вне ЙВ2Г1 (X1). Тогда тах(и, и) есть допустимая функция. Действуя, как при доказательстве леммы 3.3, имеем

0 < А, м(и) - А, м(тах(и, м)) =

= / — V(min(u - и, 0)) • Х(и + и) - 2Х /—min (и - и, 0) +

п уn\D ду

+ X2 / У^и < Q) n {и = Q) =Л+72"|"7з- п\о

Интегрируя по частям, получаем, что /2 > 0, так как min (...) неположителен на верхнем основании и равен нулю на нижнем. Далее, 1.„ 1

/1 = / — I Vmin(u - и, 0) |2 + 2 / — V(min(u - и, 0)) • W > п уп у

1,Vu

>/— I Vrz I2 - 2/(Q-u) — • v ,

вГ1(Х") УdBrjx1)У

13>сХ2у°/ Ци<оу

вГх (X *)

Комбинируя эти оценки, получаем

или, в терминах нормализованной функции м и соответствующей ей и, J (I Vm I2 +сХ2у02/{~ > ,)< С / ?| Vn -И.(8.28)

В,‘' ЭВ,

В силу (8.27) и < й < СЬ\у° на ЭВ2, а ввиду внутренних эллиптических оценок в #3/2

|Vu ^XCSAj0

и правая часть в (8.28) оценивается тогда величиной (см. доказательство леммы 3.3)

C8Xy°|(c8XZ +о) + ~б /1 Vm

Iхе/в,2 в, j

Выбирая е = (С8Х_у°)~*, получаем из (8.28)

О-52^0)2/^ >0} <0’

так что и = 0 в Вх. Это завершает доказательство.

Следствие 8.7. Для любого малого 8 > 0 существует константа С8 > О, не зависящая от ц, X, такая, что

u = Qe (П\Я)П Цу>С6кх^\Вь^,

гдекк = у.а1Х^1г.

Доказательство. Так как

У° Q

- J (Q-u)< , Х°ЕП\О,

г авг(х")г у°

полагая г = _р°/2, с (j»0)2 = С/Х, по лемме 8.6 имеем u = QHBr(X°).

Лемма 8.8. В некоторой окрестности А1 выполняется неравенство u<Q.

Доказательство см. в задаче 2.

Задачи

Доказать (8.13), если X^t) G С2+“.

[Указание. Рассмотрите ип(х, у)=и(х + п, у) и примените теорему 1.4 из гл. 2.]

Доказать лемму 8.8.

[Указание. Пусть Lu = 0 в В^ (Д') ^D, u=Q на В8 (Д') О ЭР, и - и на дВ8 (Д ) A D. Покажите, что и <;Q — Ст2!3, рассмотрев

w(z') = (С - и)0), 2 = х + iy, г =2г'3. J

Свободная граница — кривая х = k (j)

/

Поскольку результаты § 4 применяются также к общим эллиптическим уравнениям с гладкими коэффициентами, свободная граница

Гх,м = д{мл,м<0} П {Q\PJ

локально аналитическая. В этом параграфе мы покажем, что I\ „ - непрерывная кривая х= кХи (j1) или, коротко, х = X (.у) •

Лемма 9.1 Пусть \j2Q СХи о - отрезок, соединяющий точки (х0 ± Ь,_у0) G G Я\О,Ь > 0. Если решение и = их>и задачи Jx ^ удовлетворяет условию

u = Q в окрестности о,

(х0, У1) - точка свободной границы такая, что ух > у0.

то b <С, где С - константа, зависящая только от Л.

Доказательство. По лемме 8.4 имеему0 5® с0 > О, где с0 зависит только от Л. Для любого s0 > 0 положим

1\ = ] (х,у);|х-х0|<й,у-у0 = №

где т?(х) определена в (6.8), и пусть s — наименьшее значение s0, при котором Г$о касается свободной границы в некоторой точке, скажем, (х, у). Заметим, что

|х — х0| <V^, $<С0,

где Со — константа.

Для фиксированного большого т рассмотрим область Е, ограниченную Г$, у =у0 + m и х = х0 - Ь. Пусть w — решение задачи

Lw = 0 в Е,

w = Q на Г„

w = 0 на ЭЕХГ,.

Так как и — суперрешение в {у > 0} (после продолжения и = 0), и > w и

1 Эи 1 Эи*

х=_<_в<х,у\(9.1)

у др у ди

Предположим, что утверждение леммы неверно. Тогда сказанное выше имеет место для последовательности b, b -*<*.

Выберем подпоследовательность так, чтобы соответствующие значения

Xх — х0

- , Х0,у0,8,у, —

Оxfb

х-х0

сходились, и пусть Хоо - lim; тогда х„ G [—1,1].

Vb_ ~

После преобразования в направлении х так, чтобы (х, у) лежала на оси у, видим, что Е сходится к полосе

Е„ = {у0 + sr?(x„) <у <у0 + т)

и (х, у) сходится к (0. ус + sr?(x«,)). Кроме того, функции wсходятся к реше нию И задачи

L IV = O вЕ„,

1V = Q на у =у0 + sr/(x„)=y1,

IV = 0 на у = у о * т.

Ввиду единственности (см. следствие 9.10)

W.Q ti^t^

(Уо *ту -У1

и тогда (9.1) дает

1 ЭИ'

X < lim

2(?(уо + т)2 -у?2(?(уо + т)2 -у?20.20.1 ЭИ’ у ди1 ЭИ’ у ди(О-у,)(О-у,)6--. оо У ЗУ

2(?

(уо + т)2 -у?

2(?

(уо + т)2 -у?

20.

20.

1 ЭИ’ у ди

1 ЭИ’ у ди

(О-у,)

(О-у,)

если ш достаточно-большое; приходим к противоречию с (8.19).

Лемма 9.2. Существует минимизирующая функция и =их1Ц такая, что их> 0.

Доказательство проводится симметризацией. Так как, однако, Пц неограничены, введем другое усечение. Для произвольного R >0 положим

(9.2)(9-3)(9.2)(9-3)i 1р

(9.2)

(9-3)

(9.2)

(9-3)

Jx,u,R^ = fVv-XJj„<Q^\De\ ydxdy.

ЯдП(д:<Д}|у1J

Согласно доказательству леммы 8.1 существует решение u=ux,!i)r задачи

иек,,

Jx,u.r(u)= min A,m,r(v). иеки

Обозначим и* перестановку и^х, у) в возрастающем порядке по направлению х. Так как и(—д, у) =0, полагая и(х, у) = и(— 2д — х, у), можно применить теорему 7.1. Следовательно,

/— |Vu-l2</- IVm|2.

ЯдЛ{х<Я}уПдП{х<Я}у

Член

.,Su

Jt = -XJ— =

(Яд\о)п {u<Q} п {х<я} йу

,du°

= -Х J — = -Х J и(х, l)-xe« (Яд\Я)П(х<Д} Йу-а

также убывает в результате перестановки. Следовательно, существует минимизирующая функция ux.g.R, монотонно возрастающая по х. Так как (см. задачу 1)

Ux,y.,R ^их,ц п.в..(9.4)

для последовательности R-*°°, где uXjM — минимизирующая 2Х м, приходим к требуемому утверждению.

С этого момента будем рассматривать только те решения их,ц, которые удовлетворяют неравенству■

d

— их.цСх^^О.(9.5)

ох

(В §10 мы покажем, что задача JX>M имеет единственное решение их,и, удовлетворяющее (9.5).) Из (9.5) выводим, что

{ иХ1Дх,у^<а^ П (0<у<1) =

= {(х,у);-Д<х<Хх.д(у),0<у < 1}(9.6)

для некоторой функции Xx>M (у), которую для краткости обозначим к (у).

Лемма 8.4 показывает, что .

к (у) = 00, если 0 < у < h х.

Теорема 9.3. Если \>2О, то к(у) = кх^Су) есть ограниченная непрерывная функция для hx< у < 1; кроме того,

хх,д= lim frx,M(y) существуети -а<Ххц<°°(9.7)

у 11’

iim ^х-д(у) = «>,.(9.8)

У Vhx

функция у - тх.ц^х), обратная к х =kxliL(_y), существует и дифференцируема для всех достаточно больших х, причем

lim т'х^х^О.(9.9)

Доказательство дается в следующих леммах.

Лемма 9.4. Функция к^у^ непрерывна в (0, 1) со значениями в [— д,°°].

Доказательство. Функция к (у), очевидно, полунепрерывна снизу. Пусть 0 < у0 < 1, х0 = к (уо) < 00 и предположим, что существует последовательность Уп^Уо такая, что ^(уп) > х0 + е для некоторого е>0. Тогда отрезок о = = {(х, у0); 0<х-х0<е} принадлежит свободной границе. Следовательно, L и = 0 в верхней или нижней окрестности V отрезка о и

1 Эи

и = Q, — — = X на о.

То Эуt

Ввиду единственности решения задачи Коши

X , / X Л

“ = 2 у 7 ^v в

а ввиду единственности продолжения имеем и = Q на отрезке { (х,уо); — Ц < х < хь), что невозможно._

Лемма 9.5. Если (х0, у о ) — точка свободной границы в Q\D,to

и = О в (х0 + С, °°)Х (у0, 1),(9.10)

где С такая же, как в лемме 9.1.

Доказательств о. По лемме 9.4 для любогое > 0

и(х, у) = Q, если х > х0 + е, | у - у01 < 8,

при условии, что 8= 8(e) достаточно мало. Следовательно, u=Q в окрестности отрезка

I Т =То, l^ — (х0 +Ь)1<г>)

для b > 0. Теперь, применяя лемму 9.1, выводим (9.10).

Лемма 9.6. Существует число h G [Л^, 1] такое, что

к (у) < 00, если h< у < 1,

к (у) = 00, если 0 < y<h.

Доказательство. Пусть h = inf {у; fc(y) < °° } . По лемме 9.4 к Qi) = 00. Возьмем последовательность уп I h такую, что — а <к(уп) <°°. Применяя лемму 9.5 с у0 =Уп> находим, что к(у) < °°, если у„ < у < 1; отсюда следует требуемое утверждение.

Лемма 9.7 .Предел fc(l) = limX(v) существует и /с (1) > -а. у t 1 '

Доказательство. Если первое утверждение неверно, то имеем ситуацию, противоречащую лемме 5.2; (см. задачу 1 из §6). Второе утверждение следует из леммы 8.8.

Лемма 9.8. (!) Если fc(l) > 0, то

1 Эм

Х<— — на у=1, 0<x<fc(l),(9.11)

у Эп

где v - внешняя нормаль.

Если fc(l) < 0, то

Х> — — на у=1, Ц1)<х<0.(9.12)

у Эр

где v - внешняя нормаль к D.

Если fc(y0) = —а для некоторого у0 в (0,1), то 1 Эи

Х>в (-а,уоу(9-13)

у ОР

где р - внешняя нормаль относительно D. ЭЭЭЭ

Заметим, что — = — , — — , — соответственно в (9.11), (9.12), (9.13), ЭрЭуЭу Эх

причем в (9.12) и (9.13) производные понимаются как нижние пределы разностных отношений.

Доказательство леммы см. в задаче 2; далее потребуется только часть (i).

В дальнейшем используется следующий результат типа теоремы Фрагмена— Линделёфа.

Лемма 9.9. Предположим, что

L^^ 0, еслих > 0,0 < у < 1,

ф <=М, если х > 0,0 < у < 1 (М > 0),

ф^х, 0) <0, ф^х, 1) <0, если х > 0.

Тогда lim sup ф <0. дг-юо

Доказательство. Для любогое > 0 рассмотрим функцию

Му2'

w = ^-—— _ех (r2 = х2 * у2) г

в {0 < х < Ne, 0< у < 1}. Она удовлетворяет неравенствамLw> 0 и w<0 на границе, если Ме >М!е. По принципу максимума имеем w<0, т.е.

ф (х, >’■)<. Му2 jr3 +ех,

если 0 < х< Ne, 0<у< 1. Полагая е -*0, получаем ф(х, у) <Л/у2/г3, откуда следует утверждение.

Следствие 9.10.Предположим, что-.

Ьф>0, если -°° < х< °°,0 <у < 1,

Ф^М, если -°°<х<оо,0<у< 1, ф(х, 0) <0, ф(ус, 1) <0, если —00 < х< °°. Тогда1

ф(х,у) <0 для -°° < х< °°, 0 < у < 1.

Действительно, по предыдущей лемме для любого 3 > 0

ф( ±^8 > У) < 8 при 0 < у < 1

при условии, что N§ достаточно большое; следовательно, по принципу максимума ф(х,у) < 8, если -N6 < х< Ns,0 <у < 1.

Лемма 9.11. Если К> 2Q,to к(0) < 00 (и, следовательно, h < 1).

Доказательство. Предположим, что к(0) = °°. Рассмотрим функции ип(х,у) = и(х + п,у) (и = 1, 2,.. .). Они удовлетворяют условиям

^U" |в (х > 1 — п, 0 <у < 1} , |Vu„|<c)

ип (х, 0)= 0, еслих> —и,

1 Эн„

ип = Q,> X, если у = 1, х> -и;

У ^У

здесь использовано (9.11). Поэтому для подпоследовательности имеем: ип-*и равномерно в компактных подмножествах {0 < у < 1} и

Lv = 0 в (0<у<1) ,'

у(х,0) = 0, если -°°<х<оо)

ди•

п ~ 2> — — >Х, если —°° < х < °°,у = 1.

ду

По следствию 9.10 и = Qy2, и поэтому

Таким образом, 2Q > X; приходим к противоречию.

Завершение доказательства теоремы 9.3. Мы уже знаем, что 0<й< 1 и к\у) -»°°, если y^h. Но тогда свободная граница удовлетворяет условию пологости из § 4 для всех значений х = к(у) таких, что х> х0, причем х0 достаточно большое. Следовательно, для х> х0 свободная граница может быть записана в виде у = m(x) с — е0 <т'(х) <0, где е0 — произвольное малое положительное число, при условии, что х0 достаточно большое. Таким образом, (9.9) имеет место."

В силу теоремы 1.4 из гл. 2

|т"(х)| < С, если х > х„(9 14)

|Z>u| + ID2 и I < С в { и > 0} П {х >х,} .

Напомним, что

на у = т^.на у = т^.(9.15)(9.15)и = Q

на у = т^.

на у = т^.

(9.15)

(9.15)

1 Эи = Х у dv

Для любой последовательности хп -»°° рассмотрим функции и„(х, у) = м(х + п, у). Тогда для подпоследовательности имеем: ип^и равномерно в компактных подмножествах {0 < у < 1} , и в силу (9.9), (9.14), (9.15) и эллиптических оценок

Lu = 0 в (0 <у <h},

и(х,0)=0, если —°°<х<°о, 1 ди

v = Q, — — =Х, если — °° < х < °°,у = h.

^У

241241А. Фридман

241

241

Используя следствие 9.10, имеем v=Qy2/h2, и поэтому IQfh2 =Х. Таким образом, h = hx и доказательство теоремы 9.3 закончено.

Лемма 9.12. Если X 4 1Q, то хх.ц -*°°.

Доказательство. Предположим, что хх,ц -*х < 00 для X = Xn 4 IQ. Тогда для подпоследовательности имеем: Uxnill ~*v равномерно в компактных подмножествах 42 и и есть минимизирующая функция, соответствующая X = 2Q. По лемме 8.4 v < Q в 42 и поэтому согласно теореме 6.1 (адаптированной к L )

1 до_

u = Q, — — = 22 на у = 1,х >х .

.у дл

Ввиду единственности решения задачи Коши

о(х,у)=6у2 всюду в 42, что невозможно.

Задачи

Доказать (9.4).

[Указание. См. лемму 3.6.]

Доказать лемму 9.8.

[Указание. Используйте метод доказательства теоремы 2.5.]

Монотонность и единственность

С настоящего момента полагаем а = ц (см. рис. 14).

Теорема 10.1. Задача Зх,ц имеет единственное решение их.ц, удовлетворяющее (9.5).

Доказательство. Предположим, что йх,ц — другое решение, и положим

«1 = мХ,д> м2 = uX,ii-

Введем функции

У| = min(M,, u2) = их Л и2,

1’2 = max(u,, u2) = U] V и2.

Покажем, что

•^х, д (“i) "*"^х,д (“г) — -^х,д (у 1) "*"^х,ц (у2 ) •( Ю-1)

Действительно, если мы распишем обе части, то увидим, что достаточно доказать, чтб для любого 0 < R < 00

/— (I VM1|2 + |Vm2I2) =

ЯдЛ^х</?} у

= J - (17У1|2'+|7у2|2),(10.2)

Пдп {х</?} у

,. ,/ dut Эм2 \

X J ( — + ) =

(Пд\ D) п [х <R} \ ду ду /

= Х J /^L+^\(Ю.З)

(Пд\О)^{х </?} \ ду ду

^2, yVluv<QX +/{u2<e}) =

(Яд\О)П{х<Л) 1 *'1*

= ь2, ЯЛ^еГЛ^ <<?})•(Ю-4)

(Яд\Р)П{а<Я) 1 ''* ’

Теперь (10.2) и (10.4) очевидны, а (10.3) сводится к очевидному соотношению:

RR

J (ux(x,V) + u2(x,iy)dx= J (и,(х, 1) + и2(х, l))dx. —а—а

Так каки,- ЕКд,то J^^u, ) <JxM (и,), так что в силу (10.1)

Л,д(«,) = Л,м(у.)-(10.5)

Покажем, чтоf

еслиО<и1(^°) = и2Я0)<С,то(106)

либо их >и2, либо и2>цх в окрестности Х°.

Действительно, пусть V — круг с центром Х° такой, что 0 < и, < 0 в V для i= 1,2, и пусть w определяется условиями

L w = 0 в V,

w = U| вне V.

Если (10.6) не выполняется в V, то и, не является решением уравнения Lvx = 0 в V и

IVw]2 < |Ущ |2

V у V у

Следовательно,

Я.дИ< А.дОЛ^ A,M(«i);

пришли к противоречию, так как w Е К^.

Из (10.6) следует, что если их фиг, то соотношение 0 < Ux^X0) = иг(Х°) < Q не может выполняться в произвольной точке Х° Е И, иначе по принципу максимума их - иг в окрестности Х° и, в силу единственности продолжения, также в S2M; здесь используется (следующий из (9.5)) факт, что множества (0 <и, < Q} связны.

Заключаем что

либо их>иг в Им,(107)

либо и2 >UX В Ид.

Рассуждения, приведенные выше, не дают единственности, но они могут быть применены к соплам общего вида (не только к тем, которые удовлетворяют (8.1)). Далее мы используем несколько модифицированные рассуждения для доказательства единственности, когда сопло естьу-график.

Если их, и2 — два решения, продолжим и, полагая и = Q вправо от N и и = 0 влево от х = -д. Для е > 0 определим

uf(x, у) = их(х- е, у),

их=и1ли2, иг=их\/и1

и обозначим J^ ^ функционал ^х,м. соответствующий Ид, D€, полученным из Ид, D при отображении х -^ х + е. Покажем, что

^,М(«Г)+ А,м(и2)= ^,д(«|)+ Ух.^гУ(10.8)

Доказательство фактически такое же, как доказательство (ЮЛ) и зависит от выбора а = д. Отметим сначала, что uf минимизирует функционал /^ д и Ut принадлежит соответствующему классу допустимых функций, и2еКц. Следовательно,

А.,д(м*) = *^х,д(У1)> А, д(«з)- ^.дС^г)'

Действуя, как и выше, заключаем, что либо ut > и2 всюду, либо иХ < и2 вав'ву. Однако, так как и, <и2 в некоторых точках из N^, то

и^х- е, у)<и2(х,у).(10-9)

Полагая е -* 0, получаем И] <и2. Аналогично показывается, что и2>их.

Теорема 10.2 Если X, < Х2, го

Т-(6-«х,,д) >-7-(е-«х,,д).(10.10)

Доказательство. Положим

1

Ui = — (С - иХь

VX=UX\/U2, и2=их /\и2,

К6, д (^Х;, д) ~ ^t ^Vu^ ■

Тогда, как и в доказательстве (10.1),

/(ui) + J(u2) = Дих')+ J^v2y(10.11)

Так как 0 < XjUi < Q. то 0 < их < й[Хь так что Q - X, и,- принадлежит Кц- Следовательно,

•К,, ц(иХь ц) < 1Х/, ц(2 - X,-и,) = X? /(и,)

и из (10.11) выводим, что

J(u,)= Ди^.

Теперь, как и ранее, можно показать, что либо их > и2, либо и2 > их всюду в $2у. Поскольку (по теореме 9.3) их > и2 в некоторых точках (х, у) таких, что х -* =», получаем (10.10).

Следствие 10.3. Если 2Q<Xx < Х2, то

к\ ц(уЗ> кх Ду\

2(10Л2)

если hx< <у <1, кХ1О’)>-а.

Доказательство. По теореме 10.2

кх, ,^У)> кХ1,^уУ

Для доказательства строгого неравенства предположим, что

^о 5кХу, м(у0) = ^х2, д(То)> -а.

а“Х, , дЙРа“Х, , дЙРВ (хо,Уо)-В (хо,Уо)-Тогда по принципу строгого максимума (используя задачу 1) имеем

а“Х, , дЙР

а“Х, , дЙР

В (хо,Уо)-

В (хо,Уо)-

Так как (х0, у0) лежит на обеих свободных границах, то

1 Э

= 1 в (^о,То) 0=1,2);, Л,- у ди '

приходим к противоречию.

Лемма 104. Если Хп~>Х, X>2Q, то

ихп, ц ~* “х, м слабое Н^ и п.в.;(10.13)

kxn.^yVkx.^y') для каждого у£(Нх,Ц.(10.14)

Доказательство. Применяя доказательство леммы 3.6 для любой подпоследовательности ихп,ц, такой, что

их^ц"*™ слабо в Н^ ип.в.,

имеем: w есть функция, минимизирующая Jx.^-i Ввиду единственности получаем утверждение (10.13). Из леммы 3.6 с) вытекает (10.14) при у < 1. Для доказательства (10.14) при у = 1 предположим противное. Тогда для подпоследовательности имеем:■

*x„,M(lWx,M(l) + /3,/3*0.

Если /3 < 0, то по теореме 6-1

Эих (х, 1-0) = X, У ду .

если kxifl(V) + Р < * < ^х, ц (1), так что ввиду единственности решения задачи Коши их,ц = Qy2,

где Q = 2Х; пришли к противоречию. Если 0 > 0 и &Х-м(1)<0, то можно опять применить доказательство теоремы 6.1 и получим

1 дих Дх, 1 +• 0)’

= 0>

у оу

если frX(J(l)<x<0, что опять же приводит к противоречию. Если /3>0и^х,м(1)> >0, то приходим к противоречию с леммой 5.2 (см. замечание 5.3).

По лемме 9.11

^х,м= *х,м(Г)е(0,°°),

если X > 22, X — 22 достаточно мало, и по следствию 8.7

хх, м < 0, если X > X,

где X не зависит от а, д.

Определение 10.1:

S^ = { X; X > 22, хх м > 0),

2' -U; Х>22, хЛ,,г<0),

Хм = sup (X; X G 2^).

Как отмечено выше,

22<ХМ<Х,(10.15)

X не зависит от д.

Из следствия 10.3 имеем

S; = < X; 26<Х<ХМ), S; = { X; Хм<Х<оо).(10.16)

Выберем Л = X/2Q в лемме 9.1 и обозначим С* соответствующую константу С. Если X G S^, то X < X , хх, м > 0, и лемма 9.1 показывает, что свободная граница тогда должна лежать в {х > - С*}. Полагая

а0 = 1 +С\ д>а0,(10.17)

имеем следующее утверждение.

Лемма 10.5. Если ХЕ Ед, то свободная граница лежит в {х > 1 — a0V

Таким образом, свободная граница не пересекает dD.

Завершим этот параграф оценкой градиента вблизи начальной точки свободной границы.

Лемма 10.6. Пусть ХХц = (^х.д, 1)- Тогда для некоторого R>0

I VMx> MW I ^ С в S1CaBr(Xx д),(10.18)

где С - константа, не зависящая от р.

Доказательство. Пусть г = | X - Хх_ м |. Достаточно установить оценку

|Vm(X)|<C в nnU<r<2^(10.19)

для достаточно малого $ (с С, не зависящей от 0). Положим

u0W = ^и(Хх,дМХ)

- [151

в В - <| XI <-, Хх,м + РХЕЙ^,

и пусть

G={X; 1 <Ш<2, Хх,м + PXEQ.Y

Тогда"

д 1 ди0'

u^—Qq,= X на свободной границе у да

и.

O^u^CQp, где Qp = Q/&.

Можно применить теперь доказательство леммы об ограниченности градиента (лемма 5.1 и замечание 5.2) к Qg - и0 с В, G вместо D, Я соответственно. Выводим, что | Vu0 | <С в В, и получаем (10.19).

Задача'

Пусть Qo — подобласть Q, ограниченная { у = 0}, кривой No в { у > 0 } и прямолинейным отрезком х = х0 (возможно, что х0 = +°°). Пусть

Lu > 0, и <=М в Г20,.

и < 0 на { у = 0 } и на No.

Тогда и < 0 в Qo.

§11. Теоремы о гладкой стыковке

Теорема 11.1. Если хХ и = О, то NV)rK,u непрерывно дифференцируема в окрестности А.

Доказательство состоит из нескольких этапов. Сначала мы изучим блоуап-предел последовательности

и^Х^ ~ (Q — и(А + уХ)}, и=иХц,(11.1)

7

при 7 = 7„ -> 0. По лемме 10.6

|VM7(X)|<C

в каждом компактном подмножестве G С R2, которое содержится в Q7 = = { X; иу(Х) > 0} при условии, что 7 достаточно ь^ало (С не зависит от G).

Из доказательства леммы 3.6 для подпоследовательности имеем: и7” -* и0 равномерно в компактных подмножествах, где и0 ф 0. Кроме того, и0 — функция, доставляющая абсолютный минимум функционалу"

J(u)= J(|Vu|2+X2/{u>o})(11.2)

в любой ограниченной области. Положим■

П° = ^Х; и°(Х)>0}.

Отметим, что и^ < 0. Если

касательная к N в А дается формулой(11.3)

ах + Ру - р = 0, а2 + 02 > 0, то для а =# 0 граница £2° есть _у-график. состоящий из луча

№: ах + Ру = 0, У>0,(11.4)

и свободной границы Г° = д{м° >0}\№-

Лемма 11.2. Если а^О, то Г° есть луч

Г°: ах + Ру = 0, у<0, и Vu° = const.

Доказательство. По теореме 4.2 Г 0 аналитическая. Имеем также

Да0 = 0 в 12°,

и0 = 0 на № U Г°,

дм0п

= X на Г°. да

Рассмотрим сначала случай, когда

Г° — связная кривая, исходящая из 0.(11 -5)

Покажем, что

| Vu° |<Х в £2°.■(11.6)

Для доказательства этого рассмотрим отображение

h: Х-^Х' = Vu°(X), ХеП°.

Так как и0 аналитическая, h есть открытое отображение и, следовательно, А(£2°)

есть область, граница которой 9/z(Qu) состоит из всех точек вида

Нт/г(Х"), где ХпЕП°, dist(^", ЭП°)->0.

Заметим, что

Vu0(X)eN',(П7)

если Хе№, где

N' — прямая: —ах'+0у' = О и

|Vu°(X)| = X, если Х£Г°.(11.8)

Используем эти факты для того, чтобы показать, что

Эй (£2°) содержится в круге |Х'|<Х.(11.9)

Действительно, если (11.9) неверно, то, так как | Vu° | < С, имеется замкнутый круг В' ( | X' - X* | < 80) такой, что

В' Пк(И°) = ф,

B'nh^l0) непусто, не пересекает N' и {|Х'|< X}.

Введем обозначение

z=x*iy, если Х = (х,у'),

z* = х* + iy*, если X* = (х*, у*), и рассмотрим аналитическую функцию

80

9(z) = — в £2°.

и “ + iu®, - z*

Тогда существует последовательность точек z" такая, что

(11.10)(11.10)г"€П°, |9(z")|-> 1.

(11.10)

(11.10)

С другой стороны, I 9(z) | есть ограниченная субгармоническая функция и |9(z)| < < 90 < 1 на (№ О Г°)\0. Так как № U Г° естьу-график, то существует прямолинейный отрезок с концом в нуле, который лежит вне £2°. Следовательно, можно применить лемму 6.7 из гл. 2, для вывода того, что

lim sup | 9(z) | < 90 при z -* 0 + 0Л

Таким образом, limsup | 0(z)| < 60 при dist(z, 9Q°) -> 0, если только | 9(z)| < const в Д°. По теореме Фрагмена - Линделёфа отсюда следует, что |9(z)| < 90 в ^°» что противоречит (11.10).

Установив (11.9), мы им^ем из (11.8), что субгармоническая функция |Vu°(X)| в £2° достигает своего максимума в £2° на Г °. Вспомнив соотношение 9q

+ kq = 0 вдоль линии тока, где q = | Vu° |, к — кривизна (см. задачу 3 из § 1), Эр

выводим, что

Г° выпукла в сторону жидкости.(11.11)

Далее, введем конформное отображение о единичного круга Е на $2°, отображающее комплексные числа ц -/в 0им соответственно. Так как Г° U № - кривая

Жордана то о непрерывно и взаимно однозначно отображает Е на Г2 (ввиду извест-

ной теоремы о конформных отображениях; см., [27, гл. 4, § 8]). Можно выбрать о так, что оно отображает часть 9j В границы дЕ (по часовой стрелке от —/ до /) на Г° и агЕ = аЕ\ЬгЕ-в№.

Предположим теперь, что Vu° ^ const. Тогда к = и® ° а — конформное отображение Е в множество В, равное пересечению {| X* | < X} с одной из двух полуплоскостей, определяемых прямой —^х' + ау' = 0.

Так как

к? = Umk(z) при z -> ±i, zGdjE,

существует, множество предельных точек k(z) при z -* ±z, zGE, состоит из интервала у4, соединяющего к^ с к^. (Это следует из применения леммы 6.7 из гл. 2 к функциям

к, ±carctg(x/(±z-^)), с > 0,'

где к = kt + iki). Следовательно, если у1 не лежит на ЭВ, то к^Е) есть собственное подмножество В. Но тогда доказательство (11.9) можно применить (с подходящим кругом В' в В \ fc(B)) и прийти к противоречию.

Таким образом, мы доказали, что 9к(Е) С ЭВ и, следовательно, к отображает Е на В. Так как ЭВ и ЭВ - кривые Жордана, то согласно свойствам конформных

отображений (см. [27, гл. 4, § 8]) к непрерывна в В. Но тогда

zz”m-*8x/ “+ ——Y если Х-*А,(11.12)

\V«2 + 02V“2 + 02 '

и®(Х) -*-бх/—+ — —\ если |Х|-»°°,(11.13)

xV^2 + 02 хА2 + З2

где 8 = 1 или 8 = -1.

Поскольку и$ < 0, мы должны иметь а = 0, что противоречит предположению а ^ 0-■

. Таким образом, мы установим, что Viz0 = const.

Остается доказать (11.15). Сначала покажем, что

(П-14)(П-14)(11.15)(11.15)—- 1^)1 lira конечен.

(П-14)

(П-14)

(11.15)

(11.15)

у t I ■ 1-у

Действительно, предположим для начала, что

-» +оо

1 -Уп

для последовательности уп t 1.

Пусть Хп = (^(^п), Уп), тп = \Хп I, возьмем блоуап-последовательность и,п для Q — и относительно ВГДА)\ для подпоследовательности имеем: и,п -* U. По теореме 6.1

Uy(x, 0, -0) = -X, если 0<х<1,

и, следовательно, U(x, у) = —Ху, если у < 0. Кроме того, U(x,у) = 0, если у > 0 (так как U гармоническая в области справа от сопла и обращается в нуль на самом сопле и на множестве { у = 0}). Заменяя U в В,(— 1,0) (г мало) на гармоническую функцию U (U = U на ЭВ,. (—1, 0)), мы уменьшим значение функционала /((/), вследст-

к(У„)1 - Упк(У„)1 - Упвие чего придем к противоречию с тем фактом, что U — локальный минимум. Если

к(У„)

1 - Уп

к(У„)

1 - Уп

-* —00 для последовательности уп t 1,

то мы используем теорему 6.1 и выводим, что для блоуап-предела U

U = Ху, если у > О,

что невозможно, так как U = 0 на №.

Из (11.14) и невырожденности следует, что для любого малого г> 0 граница дВг(А ) пересекает свободную границу для и в точке ^к^Уг^УЛ так> что

<Чуг\ У^С <с |х|<1 -у}(11.16)

для некоторого с > О-

Поскольку и ° < 0, то и°(х, у) > 0 если и только если х < &0(у) для некоторой функции к0( у). Из (11.16) мы видим, что для последовательности z„ t О

k0(zn) конечно, ko(zn)-*O.(11.17)

Предположим, что {у <у <&} — максимальный интервал, на котором к0(у") имеет конечные значения. Покажем, что

(3 = 0.(11.18)

Действительно, если <3 < 0, то либо к0(Р — 0) = —°°, либо к0(Р — 0) = +°°. Рассмотрим первый случай и положим

Г': х = к0^, 7<у<р.

Ниже Г' есть связная компонента D множества { м° > 0). Функция | Vu° | субгармоническая в D, равна X на 3D и ограничена в D. По теореме Фрагмента — Линделёфа отсюда следует, что | Vm° | < X в D. Но тогда (см. (11.11)) Г' выпукла в сторону жидкости, что противоречит условию к0(Р — 0) = —°°.

Если к0(Р — 0) = °°, то имеем противоречие с леммой 5.2. Таким образом, (11.18) доказано.

Из (11.16) и (11.18) следует, что свободная граница Г° состоит из Г' (с (3 = 0, Аг0 (0) = 0) и, возможно, одной горизонтальной прямой т6 = {у = 8)см° = 0 в {у > 8}- окрестности т5. Если такая т5 есть часть свободной границы, то Л0(у + 0) = —°°. (Если к0(7 + 0) = +°°, то должны быть точки свободной границы между Г' и т5.) Однако, доказательство (11.11) показывает, что, если Г' выпукла в сторону жидкости, то возникает противоречие с условием £0(у + 0) = —°°. Следовательно, Г° совпадает с Гг и (11.5) установлено.

Лемма 11.2 распространяется на случай а = 0; см. задачу 3-

Завершение доказательства теоремы 11.1. Рассмотрим сначала случай, когда наклон Nb А конечен, т.е.

т =-0/а конечно.(П-19)

Мы докажем, что1

к(у) - &(1)

-> т, если у t 1.(И .20)

У- 1

Если (11.20) неверно, то существует последовательность у„ 11 такая, что

Иглп -* *>Иглп -* *>к(У„)-к(1)Ул - 1к(У„)-к(1)Ул - 1т > 0.т > 0.(11.21)(11.21)

Игл

п -* *>

Игл

п -* *>

к(У„)-к(1)

Ул - 1

к(У„)-к(1)

Ул - 1

т > 0.

т > 0.

(11.21)

(11.21)

Полагая у = у„ = 1 — уп, можем предположить, что

М7(^) = М7"(Х)-*м°(Л,

где и7 такая же, как в (11.1). Свободная граница для и7 дается формулой

х = к'Чу> = - (£(1+уу)-£(1)),

так что

^7”(—1) =^7”(—1) =А:(у„)-^(1)А:(у„)-^(1)1 -Уп1 -Уп

^7”(—1) =

^7”(—1) =

А:(у„)-^(1)

А:(у„)-^(1)

1 -Уп

1 -Уп

Таким образом, (11.21) влечет lim |fc7"(-1) + т|>0. и -► ООj

По лемме 11.2 к0 (— 1) = - т, где к° - свободная граница для и0. Следовательно, lim | F"(-l)-it0(-1) |>0, И -» оо

что невозможно согласно доказательству леммы 3.6 а).

Наконец, если т = ±°°, то согласно задаче 3

^(у) —1У-1^(у) —1У-1', если у t 1.', если у t 1.

^(у) —1

У-1

^(у) —1

У-1

', если у t 1.

', если у t 1.

Для завершения доказательства теоремы 11.1 рассмотрим сначала случай

т = 0.(11.22)

Из (11.20) получаем

1

1^(1 + ТУ)-^(1)1 = е(уу), ТУ

e(r) I 0, если е I 0.

Отсюда следует, что если — 2 < у i, у2 < 0, то 1

1^7(У1)-^7(У2)1<- Щ1 + ТУ1)-Ц1)1 + т

+ - |fc(l +уу2)-^(1)1 <4е(2у). т

Следовательно, для любого 8 > 0 существует у0 (8) > 0 такое, что |fc7(yi) — - ^7 (У2) I < 5, если - 2 < у ь у2 < 0, у < у0 (8).

Таким образом, условие пологости из § 4 выполняется. Поэтому

d— ^7(У)d— ^7(У)<7?<7?в у = - 1,в у = - 1,

d

— ^7(У)

d

— ^7(У)

<7?

<7?

в у = - 1,

в у = - 1,

где т? можно выбрать произвольно малым при условии, что 8 <80(т?) и у <у0 (8). Заключаем, что

| к\\-Т)1<^ если у<Уо(8о(т?)),

т.е. к* (у) -*0, если у t 1.

В случае т Ф 0 мы сначала выполним ортогональное преобразование (х, у) -* -* ^*. У) в окрестности Л так, что в новых координатах наклон Nb А будет равен нулю. Применяя предыдущее доказательство и затем возвращаясь к исходным координатам, получим соотношение’

к\у>-*т, если у t 1..

Это завершает доказательство теоремы 11.1.

Теорема 11.3. Если Хх,и = 0, то иХ м непрерывно дифференцируемо в замыкании множества { их, д < 6 1 О Д6 (Л) для некоторого 8 > 0.

Доказател ь с т в о. Положим d(x) = dist(^, TV). Пусть TVt - гладкая кривая, исходящая из Л и лежащая в { и < Q }, которая образует угол 6 с касательной к Nb А, 0 < 9 < я/2. Покажем следующее: если и = Q - и, то

и- Xd(X) = o(r)(11.23)

(г=|Х-Л|, xeNty

Действительно, в противном случае существует последовательность Хп G N^, гп = | Хп- Л | -*0 такая, что

| y(X„)-W(X„)|>cr„, ОО.(11.24)

Придем к противоречию, используя блоуап-последовательность 1

и„(Х)= — (Q-u(A+rnXD. гп

Отметим, что

1

v(X„) = u„(Yn\

Гп(11.25)

Х„-А

где Yn= —, |У„|=1.

Как и в доказательстве теоремы 11.1, имеем Un^X^ -* и0 (%) равномерно на компактных подмножествах У?2 и

и0^ = \Хх\

где d(АЗ = dist (TV0 UP0). Таким образом, если Yn -* У, то

u„(Yn)-*Xd(Y), |У|=1.

Из (11.25) тогда получаем

у(Л„)=Хг„2(У)(1 +о(1)).

Кроме того, так как Хп G Nt, то

- d(Xn)

d(Y) — — п -*0 гп .

и, следовательно,

u(X„) = Xd(X„)(l +о(1));

получили противоречие с (11.24)._

Доказав (11.23), теперь продолжим ^Укак кривую N = NUN класса С2 и обозначим Dr (R положительно и мало) область, ограниченную TV и 3Br(A')1 которая

содержит часть ^,исходящую из Л. Пусть w - решение задачи £w = O В Dr, w = О на N,

где v - внутренняя нормаль. Тогда (см. замечание 5.4) w € С1+“ и, следовательно, w(X) = WO + o(r)(11.26)

где г = | X - А |, d^ = dist(X, jV).

Обозначим Gr подобласть DR, ограниченную N, Nx и dBR (А), и пусть W определяется следующими условиями:

£И/ = 0 в Gp,'

1^=0 на (NUNx")oaGp,

W=C на ЭЯР(Л) Cl dGp

для некоторого р< R. По задаче 1

VHV)->0, если Х-*А.(11.27)

Рассмотрим функцию

Z = и — (1 + е) w - И/ (для любого е > 0)

в Gp. Из (11.23), (11.26) мы видим, что Z < 0 на bGp Л Nv, если р достаточно мало. Очевидно также, что Z = 0 на dGp Л ^и Z < 0 на dGp Cl Э5р(Л) .если С достаточно большое. Следовательно, по принципу максимума Z < 0 в Gp.

Ввиду (11.26), (11.27)

ew > W в Gp Cl ВР(А),

если 8 достаточно мало, скажем, если 8 <80 (е). Поэтому

и - (1 + 2е) w < 0 в G^.

Так как и -- (1 + 2е) w = 0 на N Г> dG^ , то

Эи9w

<(1 + 2е) на NnB6(A\ диди

Аналогично

ЭиЭиdwdw>(1 — 2е) диди>(1 — 2е) диди

Эи

Эи

dw

dw

>(1 — 2е) диди

>(1 — 2е) диди

и ввиду условия w G Сх*“ заключаем, что

Эи

Пт существует и равен — X.

x£N ди

X -► А

То же, конечно, верно для X G Гх>м , X -* А. Поскольку NU Гх, р — кривая класса С1, то отсюда следует, что производные их, иу вдоль N U Гх,д СУТЬ непрерывные функции. Так как эти производные также ограничены в 5$ (Л) Ci {u < Q) для некоторого 8 > 0, мы можем применить теорему Фрагмена — Линделефа (см. за-

дачу 2) к функциям их и иу/у (обе удовлетворяют однородным эллиптическим уравнениям без членов младших порядков) и вывести, что их, иу непрерывны в А.

■ Следствие 11.4. Если хХ1 м ^ 0, то кривая АХх, м U Г\; м непрерывно дифференцируема в окрестности Хх, м и Vux> м равномерно непрерывно дифферент* руема в {иХ )1 < Q} H BS (Хх*р) для некоторого 8 > 0.

Доказательство такое же, как доказательство теорем ИЛ и II3; см. задачу 3.

Следствие 11.5. В условиях следствия 103

Доказательство. Если х0 = кх , Д1) = кХ1, м (1), то для некоторого малого 8 >0

(1128)(1128)ut >w2(l + е)

(1128)

(1128)

на (и2 >01 П85 (^о) (и, = их. Д

где Хо = (х0, 1) и е — некоторое малое положительное число. Фактически, (11.28) следует из принципа максимума, ввиду того, что «1 >п2 на замыкании множества {и2 > 0} А ЭДб (^о) Для некоторого 8 > 0.

Из (11.28) получаем

Эи]диЭи]диди2диди2ди(1 +е) в Хо(1 +е) в Хо(11.29)(11.29)

Эи]ди

Эи]ди

ди2ди

ди2ди

(1 +е) в Хо

(1 +е) в Хо

(11.29)

(11.29)

где каждая производная существует в силу следствия 11.4 и равна 1; пришли к противоречию.

Задачи

Доказать (1127)..

[Указание. Сделайте конформное преобразование и используйте замечание 5.4.]

Обобщить лемму 6.7 гл. 2, на случай эллиптических операторов

L = '2,aijUx.Xf + 'Sbiux..

.3. Доказать теорему 11.1 в случае а = 0.

[Указание. Если № = {х>0,у = 0} , то надо показать, что

> — оо, если у t 1.

. 1 -У

Если (11.15) выполнено, то по теореме 6.1 получаем U = — Ху (у < 0) для блоуап- предела и J(U) можно уменьшить заменой U в Вг{— х0,0) на гармоническую функцию U'(U= U на дВг (-х0,0)). Если

^(Ул)..'. .

। - ■■■ ОО < ОО( *)

-Уп ’’

следует взять блоуап-предел U для

^„(Х)- — (Q- и(А +гпХ)), г„ = [Х„—А1, г»'

где Хп = (к^Уп), у и). Так как (11.15) было исключено, дВг пересекает свободную границу для U при любом г < 1. Теперь можно действовать так же, как в доказательстве (11.15),и доказать, что № ига линейно; пришли к противоречию.

Если TV0 = { jc < 0, у = О) и £(У«)

-Уи

то применяем доказательство леммы 5.2 в области G, ограниченной N, х = Л (у), {х = 01 их = {к(у„)} , ввиду того, что dujdv = Ху на свободной границе и du/dv > > 0 на dG DN; соотношение (*) опять приводит к противоречию.]

. Существование и единственность

для осесимметричных струйных течений

Пусть Хм - такое же, как в определении 10.1; положим им = «хм,м, Гм — свободная граница для им.

Лемма 12.1 Свободная граница Гм начинается в А.

Доказательство. Возьмем Х„ I Хм. Тогда

Ь= Ит кХп М(Г)

неотрицательно ввиду непрерывности (лемма 10.4). Если b > 0, то kXiU(l) > 0 для X > Хм, X — Хм достаточно мало (см. опять лемму 10.4) и мы приходим к противоречию с определением Хм .

Ввиду леммы 105, теорем о гладкой стыковке (теоремы 11.1 и 11.3) (им, Гм, \3 удовлетворяет всем свойствам решения задачи о струе с Qu вместо S2.

Теперь возьмем последовательность р = рп -*°° такую, что

иЦп~*и слабое Н^ и п.в.вЯ.

Так как 0 <uM < Q, эллиптические оценки имеют место для иц в ограниченных подмножествах £1\D равномерно относительно р. Так как их > 0, свободная граница для и есть у-график. Теорема 9.3 остается справедливой с тем же самым доказательством для и; таким образом, свободная граница имеет вид

Г: х = к(у\ hx<y<\.

Лемма 10.5 означает, что Г не пересекает 3D (за исключением начальной точки Л).

(12-1)(12-1)Далее мы покажем, что £(1) =0.

(12-1)

(12-1)

Действительно, доказательство аналогично доказательству (10.14) для у = 1.

Если имеет место условие непрерывной стыковки (12.1) для и, Г можем применить теоремы 11.1 и 11.3, чтобы получить гладкую стыковку. Эти теоремы локальны и применимы к и так же, как и к иХц.

Таким образом, мы установили, что (и, Г, X) образует решение задачи о струе; это завершает доказательство теоремы 8.1.

Следствие 12.2. Для решения (и. Г, X) задачи о струе, построенного выше, свободная граница имеет вид х = к^у'), hx < у < 1.

Для единственности мы требуем, дополнительно к (8.1) следующее:

существует точка О’ = (— Ь, 0) (Ь > 0) такая,2)

что N звездна относительно О’.

Теорема 12.3. Если N удовлетворяет (8.1), (12.2), то решение задачи о струе единственно.

Док азательство, Предположим, что (и, Г, X) и (и, Г, X) - два решения. Множества A’ U Г и W U Г звездны относительно О'. Однако для доказательства единственности требуется не только этот факт. Действительно, в силу (12.2) и условия гладкой стыковки существует точка О" = (- b", 0) (с b" > Ь) такая, что~ (i) А звездна относительно О" , (ii) любой отрезок от О" до Хне пересекает Г и Г. Для простоты возьмем А = (й", 1), О" = (0, 0). Свойств (i) и (ii) достаточно для проведения доказательства единственности. _

Без потери общности можем взять X > X. Рассмотрим сначала случай

Х> X.(12.3)

В силу (8.4), (8.14) Г лежит ниже Г для достаточно больших х. Полагая

«Р(х) = «(Рх) (Р>о),

имеем: существуют числа р < 1, такие, что

{«<(?} С {ир<0}.(12.4)

Пусть р — наибольшее число с таким свойством. Если р < 1, то существует точка Х°, которая принадлежит границе каждого из множеств в (12.4) (так как ир Сив { и < У) по принципу максимума). Кроме того, Xй должна принадлежать свободным границам для обеих функДий; здесь и в предыдущем предложении мы использовали свойства (i) и (ii).

Таким образом, из принципа максимума

т.е. рХ > X, что противоречит (12.3).

Если р = 1, то мы опять действуем, как раньше с Х° = А, и получаем X > X; пришли к противоречию.

Рассмотрим далее случай

X = X. -(12.6)

Если Г и Г заданы для больших х уравнениями у = т^ иу = т(х) соответственно, то

lim т(х) = lim (т^х).

X °®X ^ °®

Следовательно, существует р С 1 такое, что (12.4) имеет место. Если, для такого наибольшего р, р < 1, то существует точка Х° такая же, как и выше, и мы получим рХ < X; пришли к противоречию. Если, однако, р = 1, то мы берем Х° = А и получаем, как в доказательстве (11.24),

дидрдидр>(1 + е)>(1 + е)дидрдидр/в А/в А

ди

др

ди

др

>(1 + е)

>(1 + е)

ди

др

ди

др

/

в А

/

в А

для некоторого е >0, т.е. Х> (1 + е)Х, что невозможно.

Задачи

Предположим, что

N удовлетворяет (8.1), х(г) -*-<*, если t(12 7)

N равномерно класса С1 вблизи «®.

Если цп -*«>, их, цп -* их слабо в Н^ и пз. в S2, то будем говорить, что их - реше-

(12.8)(12.9)(12.8)(12.9)СуСуI ^И, - и2)| < ■I ^И, - и2)| < ■ш3 ’ш3 ’если у < е0| X |,если у < е0| X |,(12.10)(12.10)HI ’HI ’если у>е01^1,если у>е01^1,

(12.8)

(12.9)

(12.8)

(12.9)

Су

Су

I ^И, - и2)| < ■

I ^И, - и2)| < ■

ш3 ’

ш3 ’

если у < е0| X |,

если у < е0| X |,

(12.10)

(12.10)

HI ’

HI ’

если у>е01^1,

если у>е01^1,

ние задачи J\. Доказать: если и ь и2 —два решения задачи J\,m длях< -х0 (с некого рым х0 >0)

| V и,-1 < Cmin^y, 1), l«i -и2|<С//|^|3,

где е0 — малое положительное число. .

[Указание. Дия доказательства (12.8) вблизи у = 0 используйте лемму 8.4 и рассмотрите (1/т0)и(Х0 + г0Х). Для доказательства (12.9) следует применить принцип максимума к '

Су2Су2

Су2

Су2

Предположим, что и^, и2 - два решения задачи Д. Пусть i (х) € С”, v> (х) = = 0,еслих> — д + 2,у(х) = 1,еслих< — д + Х,ч>^ 0, | </?’ | <2. Определим

и2 = м2 + (и, - и2)</?,

У] = «i V и2, и2 = Uj Л и2,

и 2 = и2 +(и2 - и2)^.'

Доказать: если

1- Vu У1- Vu У-M(u<e}V>e ydxdy,-M(u<e}V>e ydxdy,

1

- Vu У

1

- Vu У

-M(u<e}V>e ydxdy,

-M(u<e}V>e ydxdy,

то для любого к > д

J Х.к^ + ^Х,к(и2)>Ух,к(У1) '"Jx.ktPl) - Tl(k\

где т^к) -*0,если к

Используя задачу 2, доказать единственность решения и\ задачи Jx.

Используя задачу 3, установить непрерывность их в X, т.е. если Хи ^ X, то их^ "*и слабо в Hjoc (см. теорему 10.4). Доказатыеорему 8.1 (предполагая выполненным условие (12.7)), показав, что для некоторых X функции их удовлетворяет условиям непрерывной и гладкой стыковки.

. Выпуклость свободной границы’

Мы будем изучать форму свободной границы для задачи об осесимметричной струе. Предположим, что

N вогнута в сторону жидкости, т.е.

£2О(у>1) — выпуклая область.(13.1)

257257Теорема 13.1. Если Nудовлетворяет (8.1), (13.1), го свободная граница выпукла в сторону жидкости.

257