ВВЕДЕНИЕ

В ВАРИАЦИОННЫЕНЕРАВЕНСТВАИ ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Перевод с английского

Г. Г. МАГАРИЛ-ИЛЬЯЕВАи А. В. ФУРСИКОВА

под редакцией .

В. М. ТИХОМИРОВА

ИНБ№ 33 _ НЕ БОЛЕЕ 1Й КНИГИ В* ОДНИ РУКИ И 2Х В РДЕ

ВИВЛИО^ХА КОЛОйЗА ОСКОР^А

Москва <Мвр> 1983

ББК 22.161.8

К 41

УДК 517+519.3

Киндерлерер Д., Стампаккья Г.

Введение в вариационные неравенства и их приложения, Пер. с англ, — М: Мир, 1983. 256 с., ил.

Написанное известными математиками (США, Италия) введение в интенсивно развивающуюся и имеющую многочисленные приложения теорию вариационных неравенств, Эта тематика примыкает к теории оптимального управления с распределенными параметрами и теории уравнений математической физики.

Для математиков, механиков, физиков, студентов университетов.

Редакция литературы по математическим наукам

1702050000-251 ,.

К 041(01)—83 4—83, ’• 1

Давид Киидерлерер, Гвидо Стампаккья

Ст. научный редактор Н. И. Плужннкова. Мл. научный редактор Т. А. Денисова. Художник Е. К. Самойлов. Художественный редактор В. И. Шаповалов. Технический редактор Н. И. Борисова. Корректор Н. Н. Яковлева

ИБ № 3261

Сдано в набор 07.09.82. Подписано к печати 28.10.83. Формат 60Х90'/ц. Бумага типографская № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 8,00 бум. л. Усл. печ. л. 16,00. Усл. кр.-отт. 16,00. Уч.-изд. л. 14,60. Изд._№ 1/1989. Тираж 6000 зкз. Зак. 864. Цена 2 р. 40 к.

Издательство «Мир», 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., 2.

Набрано и сматрнцировано в ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени Ленинградском производственно-техническом объединении «Печатный Двор» имени А,М. Горького Союзиолнграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии н книжной торговли. 197136. Ленинград, П-136, Чкаловский пр., 15. Отпечатано в Ленинградской типографии № 2 головном . -предприятии ордена Трудового Красного Зиамеии Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союз- полиграфпрома при Государственной ■ коЙИтате СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052,.г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.

——,—!

Copyright © 1980, by Academic Press, Inc, L© Перевод иа русский язык, «Мир», 1983

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Теория вариационных неравенств возникла сравнительно недавно, однако за последнее десятилетие она привлекла внимание очень многих исследователей. Ныне эта теория переживает период бурного и интенсивного развития.

Простейшая содержательная модельная задача, которая приводит к вариационным неравенствам, — это задача о кратчайшем пути, соединяющем две заданные точки на плоскости и обходящем некоторые препятствия. Этот кратчайший путь распадается на две части: на участки прямолинейного движения, где он подходит к препятствию или сходит с него, и участки, где приходится идти по границе препятствия.

В теории вариационных неравенств исследуются многомерные обобщения такого рода проблем минимизации. Функция,' доставляющая минимум в многомерной задаче, также имеет, вообще говоря, участки примыкания к границе, а вне таких участков она удовлетворяет некоторому уравнению с частными производными — уравнению Эйлера соответствующей вариационной проблемы. Таким образом, дело сводится к решению уравнения с частными производными со свободной границей, ибо граница области примыкания заранее неизвестна. Такие ситуации характерны для многих проблем физики и механики. Множество приложений задачи со свободной границей находят в инженерном деле —при расчете плотин, двигателей и разнообразных механизмов. Теория вариационных неравенств для многих проблем такого рода (как правило, тех, где так или иначе присутствует выпуклость) дает общую методику их решения. Эта теория создавалась на стыке многих актуальных областей — вариационного исчисления, выпуклого анализа, теории уравнений с частными производными, комплексного анализа и других. В итоге возникла содержательная и глубокая теория, имеющая разнообразные приложения к естественным наукам и к технике.

Книга, предлагаемая вниманию читателя, принадлежит перу видных ученых, внесших значительный вклад в развитие теории. Она задумана авторами как учебник и рассчитана на широкую аудиторию, Это —одно из первых изложений теории вариационных неравенств на русском языке, содержащее основы теории и доходящее до самых современных проблем. К сожалению, авторы книги не всегда воздают должное советским математикам, внесшим большой вклад в развитие вариационных неравенств. Думаю, что книга может оказаться полезной для математиков, механиков, физиков и инженеров, интересующихся теоретическими проблемами и приложениями теории уравнений с частными производными.

Перевод первых пяти глав осуществлен Г. Г. Магарил-Ильяевым, остальные три главы перевел А, В. Фурсиков.

В. М. Тихомиров

Questo volume ё dedicato alia memoria del nostro diletto amico e college Nestor Riviere11 '

ПРЕДИСЛОВИЕ

Стремительное развитие теории вариационных неравенств и плодотворность ее приложений убедили нас в том,, что необходимо написать введение в эту область математики. Настоящая книга —наша попытка осуществить такой замысел. Надеюсь, что она окажется полезной и поучительной. Общая структура книги была нам ясна уже в июле 1976 г., и мы были уверены, что полностью завершим работу над ней в августе или сентябре. Наши прогнозы, касающиеся сроков, оказались слишком оптимистическими, но тем не менее труд закончен и отвечает первоначальному замыслу.

Многие главы книги возникли в результате обработки курсов лекций, прочитанных авторами в Высшей нормальной школе в Пизе, университетах Парижа и Миннесоты, в Колеж де Фране, Институте Миттаг-Леффлера и Северозападном университете. Несколько предложений о возможном использовании книги в лекционных курсах содержатся во введении. ,

Жизни и деятельности покойного Гвидо Стампаккья посвящена работа Ж. Л. Лионса и Э. Мадженеса в Bollettlno della Unione Matematica Italiano. 15(1978), 715—756.

Я хочу выразить глубокую благодарность нашим многочисленным друзьям и коллегам, которые оказывали нам большую помощь в течение этих лет, и прежде всего г-же Саре Стампаккья, без внимания и поддержки которой мы не смогли бы приступить к осуществлению задуманного, а мне не довелось бы завершить эту работу.

Особенно я хочу поблагодарить X. Брезиса за многочисленные полезные обсуждения и постоянный интерес к нашей работе. На разных этапах написания книги большую помощь, нам оказывали С. Мац- цоне, М. Крендалл и Д. Шеффер. Всех их я искренне благодарю. Наконец, мне хотелось бы поблагодарить М. Б. Артци и Б. Томпсона за внимательное прочтение рукописи. ,

Роичи и Миннеаполис

1976—1979

1) Книга посвящается памяти нашего дорогого друга и коллеги Нестора Ривьере,

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

ОБЩИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Rw —евклидово N-мерное пространство (произведение N экземпляров действительной примой R)'.

С^ —комплексное Af-мерное пространство (произведение N экземпляров комплексной плоскости С)"

x=(xv .... xN), у=(уР ..., yN) и 1. д. — координаты в Rw .

ху=х1у14-...4-хЛ,уЛ,=Х'у=(х, у) —скалярное произведение в Rw

IN \1В.

1*1- S*? —Длина хеRN

\ 1 /.

ВДх)—открытый шар радиуса г с центром xeRw

й—открытое (обычно ограниченное и связное) подмножество в R^

дй—граница Й

Й = Й U дй —замыкание Й .-

ini U=0 — внутренность U-

supp и — носитель функции и—наименьшее замкнутое множество, вне которого ■и=0'.

ди/дх/—частная, производная функции и по х, (используются также обозначения: их> djU или йу)

Ux-gradu^z^, .... их^

N

а=(<Хц .... ctjv), а,^0 целые,—мультииидекс порядка | и [а= У] аг

1

Dau =...и [за исключением гл. VI, где D“u=(—z)|a'——...—— и

дx^ ^\дх-h дх^

dx=dx1... dxN—лебегова мера в Rw

Да^^дх^—оператор Лапласа, или лапласиан 1

(• >—билинейная форма, приводящая в двойственность (действительное) бана»

хово" пространство V и его двойственное V'; (. , .): V'xV-#-R

^у-. 7^- Э<-1^ (ТОЛЬКО ВГЛ. VI).

N«ibi — 3 а&<=1N«ibi — 3 а&<=1N“т/^Т/” У! а</&4/i. f-1N“т/^Т/” У! а</&4/i. f-1

N

«ibi — 3 а&

<=1

N

«ibi — 3 а&

<=1

N

“т/^Т/” У! а</&4/

i. f-1

N

“т/^Т/” У! а</&4/

i. f-1

—соглашение о суммировании; по повторяющимся индексам производится суммирование в пределах их изменения; обычно 1 ^ i, / ^ N

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

С (й) (С (Й)) —пространство функций, непрерывных в Й(Й)

С"»(Й)(Ст- ^(Й))—пространство функций, т раз непрерывно дифференцируемых в й (m-я производная которых удовлетворяет условию Гёль- дера с показателем X); см. гл. II, § 4

Ст (О) (Ст- ^ (Й)) —совокупность функций из Ст (й)? которые m раз непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности Й (и m-я производная которых удовлетворяет условию Гёльдера с показателем X)

I? (й)—пространство измеримых по Лебегу функций и иа Й, для кото

рых

^^(«(“Q1"1^)17^00 (1<S<°°)

Х”(Й) —пространство измеримых по Лебегу функций и иа Й, которые ограничены в существенном;

i“lLa>(Q)-=inf {Ai 11 « К М п, в. в Й}

Нт- 8 (Й), Н^- s (Й), Н» (й), Н” (Й), Н~т (Й) — пространства Соболева; см.

гл. II, § 4

//1ос(Й)— совокупность функций нз №№), где Й' G Й—ограниченное подмножество и Й' с й .

^'(Й)—пространство обобщенных функций на Q

L«(0, Т; Н$(0, К))—см. гл. VIII, § 1

ВВЕДЕНИЕ

В этой книге, которая задумана как учебник, мы излагаем основы теории вариационных неравенств и задач со свободной границей, а также приводим несколько выразительных примеров приложения этих теорий. Нами сделана попытка приспособить книгу к широкой аудитории, и именно с этой целью первые несколько параграфов каждой главы написаны в расчете на любого заинтересованного читателя, включая экономистов, инженеров и других наших научных коллег.■

В книге отражен современный взгляд на теорию вариационных неравенств и методы их решения. Проработка ее позволит читателю подойти к самым последним достижениям в этой области.

В принципе наше изложение обращено к читателю, знакомому с теорией уравнений о частными производными, но вместе о тем одна из целей книги —как раз пробудить интерес к изучению этой теории.

Описание необходимых предварительных сведений и некоторые советы по использованию книги в качестве учебника приведены в конце этого введения.

Обсудим прежде всего (на элементарном уровне) вопрос о том, как возникают вариационные неравенства и отвечающие им задачи со свободной границей. Это позволит очертить предмет наших исследований. Начнем о обсуждения нескольких примеров, не давая точных определений..

Пример 1. Пусть f— гладкая действительная функция; определенная на отрезке I = [а, 6], и мы хотим найти точку хое/, в которой f(x0) = minf (х). Возможны три случая:

xGl'

если а<Хо<6, то /' (хо) = О;

если х0 = а, то f (х0) 2а 0;

(Hi) если х0 = Ь, то f (х0) < 0.

Все они могут быть объединены одним соотношением:-

Г(хо)(х —х0)>0 \?xgI,

которое мы и будем называть вариационным неравенством.

Пример 2. Пусть / — гладкая функция, определенная на замкнутом выпуклом подмножестве К евклидова /V-мерного пространства RN, и пусть хоеК — такая точка, что /(хо) =т1п/(х). Поскольку ■хек

К выпукло, для любого х е К отрезок {(1 —Охо + #х|О^^ 1} лежит в К- Рассмотрим функцию

'. O(0 = f (хо + / (х — х0)), 0^^1.

Она достигает минимума при t = 0, и поэтому, как в примере 1,Ф'(O)=gradf(xo)(x —хо)^О ухеК.

Таким образом, точка х0 е К удовлетворяет вариационному неравенству

grad f (хо) (х — Хо) ^ 0 ^хеК.

Если К ограничено, то существование по крайней мере одной такой точки Хо очевидно.

Пример 3. Пусть Й a R^ —ограниченная область с границей Эй и ф —такая функция на Й = Й[)ЭЙ, что max ф^О иф^Она Эй. й

Положим■

■ К = {оеС1(Й)|о^ф в й и о = 0 на Эй}.

Это выпуклое множество. Допустим, что оно не пусто. Будем искать функцию и е К, для которой

$ | grad u |2 dx = min J | grad о |2 dx. ЙVGK q

Если такая функция и существует, то рассуждаем так же, как в предыдущем примере, используя снова выпуклость К. Для каждого veK отрезок {и + #(о — и) |0</^ 1} лежит в К, и, следовательно, функция

Ф (0 = $ | grad {и +t (о — и)) |2 dx, 01,■

й;

достигает своего минимума в точке t = 0. Это означает, что Ф' (0) ^ 0, и мы приходим к вариационному неравенству

.§ grad и grad (v — u) dx ^ 0 yyeK.

й-

В данной задаче появляется множество / = {х е й | ы (х) =ф (х)}, которое называется множеством примыкания, или коинцидентным множеством1). Наличие коинцидентного множества отличает решение вариационного неравенства от решения граничной задачи.

х) В оригинале «set of coincidence», —Прим. ..epee.

Функцию и можно интерпретировать как ординату положения равновесия тонкой - мембраны, находящейся ' поверх тела {(х, x^+l)|x^+1^'ф(x), хе Я} и закрепленной вдоль границы дй, т. е. u(x) = 0, xgЭЯ.

Пример 4. Пусть, как и выше, Я — ограниченное открытое множество, а ф1, ф2, Xi, X2i А. А —некоторые гладкие функции на Я, причем ф1 $5 ф2. Рассмотрим выпуклое множество пар функций

K = {u = (u1, и2)|уг^и2 в Я, уг = фг на ЭЯ, у'г С1 (Я), t = 1, 2}.

Будем искать среди них такую функцию и, что

2 $ {grad и1 grad (у‘ — «') + Ам' (yf — «')} dx 5$.

i Я-

.•^^^Н^1— u^dx yve/<.

. i Я

Это функция, на которой достигает минимума функционал

fW^yJj {Igradu^ + M^dx-J j A°'dx.< Яf я

Решение и = (и1, «2) можно интерпретировать как положение равновесия двух мембран, находящихся под действием сил и не имеющих возможности проходить друг через друга. Коинцидентное множество в данном случае имеет вид■

I = {х е Я | и1 (х) = «2 (х)}.

Пример 5. Пусть Я и К те же, что и в примере 3. Нао интересует функция и е К, график которой обладает минимальной поверхностью среди всех функций из К, т. е.

V К1 + | grad и I2 dx = min (]/1 + | grad у |2 dx. я«ек £

Соответствующее вариационное неравенство записывается так!

уу г К.уу г К.grad « grad (с-к)^^

уу г К.

уу г К.

У 1 + 1 grad и |2 ■

Первые два из рассмотренных примеров относятся к минимизации функции конечного числа переменных и могут быть решены средствами анализа. Остальные примеры аналогичны задачам вариационного исчисления, поскольку они связаны с минимизацией функционалов, определенных на подмножествах бесконечномерных пространств.

Задачи вариационного исчисления обычно формулируются в узких классах функций, в которых они, вообще говоря, не имеют решения. Сейчас хорошо известно, что эта трудность преодолевается

расширением класса допустимых функций до некоторого подмножества в подходящем пространстве Соболева или в более общем пространстве обобщенных функций. В нашем случае существование решений в примерах 3 и 4 легко доказать, исходя, по существу, из свойств оператора проектирования на замкнутое выпуклое множество в гильбертовом пространстве. Пример 5 на первый взгляд кажется более сложным, поскольку здесь мы имеем дело с нерефлексивным банаховым пространством. Однако в данном случае возможен другой подход к вопросу существования решения. Он состоит в установлении соответствующих априорных оценок.

Общая проблема существования решения изучается в первых трех главах книги. Глава I посвящена вариационным неравенствам в Rw и родственному вопросу о неподвижных точках отображений. В гл. II исследуются вариационные неравенства в гильбертовом пространстве, включая неравенства, рассмотренные в примерах 3 и 4. В приложениях к гл. II изложены основные свойства пространств Соболева, а также доказательство регулярности решения уравнения второго порядка с ограниченными измеримыми коэффициентами. Более общие теоремы существования рассматриваются в гл. III.

Поскольку мы понимаем решение в слабом смысле, перед нами встают проблемы регулярности, т. е. исследование гладкости такого решения. Стоит отметить при этом, что эти проблемы для вариационных неравенств отличаются от аналогичных проблем в теории граничных задач. В последней теории чем более гладкими предполагаются данные задачи, тем более гладким, вообще говоря, является ее решение. В вариационных неравенствах ситуация иная. Ограничения, определяющие выпуклое множество, могут препятствовать регулярности решения, допуская гладкость лишь до определенного предела, который нельзя превзойти, какой бы гладкостью ни обладали данные задачи. .

Типичным примером такой ситуации является «задача с препятствием» (пример 3). В этом случае, несмотря на гладкость препятствия ф, можно утверждать лишь, что первые производные решения непрерывны, а вторые производные ограничены (но не непрерывны). Это явление можно наблюдать даже в одномерной задаче. Исследованию подобных вопросов посвящена гл. IV.

Итак, наличие препятствия влечет за собой ограничение на гладкость решения и, как мы отмечали в примере 3, приводит к появлению коинцидентного множества I. Последнее не произвольно, так как определяется вариационным условием примера 3. На самом деле мы увидим, что решение исходной задачи есть также решение уравнения Лапласа с данными Коши на границе д/ множества I. Это предполагает, что 91 обладает некоторыми дополнительными свойствами. Множество 91 называется «свободной границей». Этот круг вопросов (главным образом в двумерном случае) обсуждается в гл. V. Доказывается, например, что если й выпукло, а ф —ана-

литическая строго вогнутая функция, то д/— аналитическая жорданова кривая.

Более общие задачи со свободной границей в пространствах произвольной размерности рассматриваются в гл. VI. Здесь вводится понятие преобразования годографа (или частичного преобразования годографа), которое позволяет выпрямить свободную границу, но приводит к необходимости работать с существенно нелинейными уравнениями. Такой подход пригоден не во всех случаях. Действительно, решая этим способом пример 4, мы пришли бы к исследованию эллиптической системы, неизвестные которой определены на разных сторонах свободной границы. Мы описываем данную ситуацию и, кроме того, развиваем теорию эллиптических уравнений и систем с коэрцитивными граничными условиями. Из многих вопросов, которые могут быть изучены в рамках указанных здесь подходов, назовем задачу об удержании плазмы и эллиптические уравнения с совпадающими данными Кош« на гиперповерхности.

Последние две главы (VII и VIII) посвящены применению вариационных неравенств к некоторым задачам физики и техники. Здесь рассмотрены задачи о смазке подшипника, фильтрации жидкости через пористую перегородку и обтекания жидкостью заданного профиля. Задача фильтрации исследуется и в трехмерной ситуации, что, в частности, приводит к необходимости изучения свободной границы в высших размерностях. В гл. VIII обсуждается задача Стефана.

Мы часто ссылаемся на отдельные результаты теории дифференциальных уравнений в частных производных и других разделов анализа. Часть этих результатов включена непосредственно в текст книги. Это § 4 и приложение гл. II, приложение гл. IV, § 3 гл. VI и др. Другую часть составляют результаты, легко доступные, как нам кажется, не только специалистам по теории дифференциальных уравнений (например, классический принцип максимума, лемма Хопфа о граничной точке, неравенства Кальдерона —Зигмунда). На такие факты мы ссылаемся как на известные либо формулируем их без доказательства. В удобном для наших целей виде они изложены в книгах Куранта и Гильберта [1] («Методы математической физики», т. II) и Берса и др. [1] («Уравнения с частными производными»). Более широкое освещение этих вопросов можно найти в монографиях Морри [1] и Лионса и Мадженеса [1]. В указанных источниках содержатся, в частности, необходимые результаты эллиптической теории регулярности. Мы сожалеем, что не смогли дать полное изложение этого материала.

От читателя не требуется никаких предварительных знаний по вариационным неравенствам, но упомянем несколько работ, появившихся в последние годы, к которым можно обращаться за дополнительной информацией и справками исторического характера: Байокки [2, 3, 4], Байокки и Капело [1], Брезис [1, 3], Кин- дерлерер [5], Лионс [1], Дюво и Лионс [1], Мадженес [1] и Стам-

паккья [3, 4, 5]. В библиографии читатель найдет дополнительные ссылки. •

Наш опыт преподавания показал, что на основе гл. I, II, первой части гл. III и первой части гл. IV можно построить односеместровый курс теории вариационных неравенств. Полезно включить в него первое приложение к гл. II. Если курс служит еще и введением в теорию эллиптических уравнений с ограниченными измеримыми коэффициентами, то можно добавить. приложения В, С и D к гл. II. Если интерес направлен на изучение задач со свободной границей, дополнительный материал можно взять из гл. V и VI или, если акцент делается на приложения, из гл. VII.

Глава

- ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА В R*

НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ

Теоремы о неподвижных точках позволяют решать многие задачи нелинейного анализа. Пусть F: А -> А — отображение множества А в себя. Элемент хе А называется неподвижной точкой F, если F^x^x. Другими словами, неподвижные точки отображения F — это решения уравнения F ^ = х. Первая теорема о неподвижных точках, называемая принципом сжимающих отображений, является абстрактным Вариантом метода Пикара последовательных приближений.

Пусть S — метрическое пространство с метрикой d.

Определение 1.1. Отображение F: S-*S называется сжимающим, если для некоторого а, 0 ^ а < 1,

d(F(x), F(y))^ad(x, у), x,yeS.(1.1)

Если допускается и а=*1, то отображение F называется нерастяги- . воющим..

Сформулируем принцип сжимающих отображений.'

Теорема 1.2. Пусть S — полное метрическое пространство и F: S-^ S — сжимающее отображение. Тогда у F существует единственная неподвижная точка.

Отметим, что для нерастягивающих отображений эта теорема, вообще говоря, неверна. Примером может служить сдвиг на прямой, он не имеет неподвижных точек.

Следующая фундаментальная теорема принадлежит Брауэру. В настоящее время существует много ее доказательств, основанных на идеях, связанных с самыми- различными разделами математики. Формулировка теоремы очень проста. Обозначим через R^ действительное евклидово пространство размерности N^X.

Теорема 1.3 (Брауэр). Пусть F — непрерывное отображение замкнутого шара 2 czR^ в себя. Тоеда у F существует по крайней мере одна неподвижная точка.■

Доказательства теорем 1.2 и 1.3 содержатся во многих книгах (см., например, Масси [1]). Отметим, что в теореме Брауэра шар 5

может быть заменен любым компактным выпуклым подмножеством R*. Установление этого факта —одна из целей следующего параграфа.

СВОЙСТВА ПРОЕКЦИИ НА ВЫПУКЛОЕ МНОЖЕСТВО!

В данном параграфе будут изучены свойства проекции на выпуклое множество в действительном гильбертовом пространстве Н. Именно эта общая ситуация будет полезна нам в дальнейшем. Приводимые здесь доказательства не связаны с размерностью Н, и поэтому всюду можно читать Rw вместо Н.

Лемма 2.1. Пусть К — замкнутое выпуклое подмножество гильбертова пространства Н. Тогда для каждого хеН существует единственная точка уеК, такая что

l*-0l = inf Цх —-nJ-(2.1)

ПЕК

Замечание 2.2. Точка у, удовлетворяющая (2.1), называется проекцией х на К. При этом мы пишем у = Ргкх. ■

Отметим, что Ргк% = х для всех хе К.,

Доказательство леммы. Пусть т)а ® К — минимизирующая последовательность, т. е.

lim 1л» — x|| = d = inf flт]—xj.(2.2)

» —* соцеК

По правилу параллелограмма.

•|х+ур+|х-ур = 21х1а+21ур, х, уеН '

(которое является элементарным следствием свойств скалярного произведения в Ну получаем, что

1л»-Лл|2=2|х-г]*|а-|-21х-г)й1а-4|х-4(т]» + лА)||2- (2.3) Поскольку к выпукло, ■ I (л»+ла) *= к и поэтому da <|х — у (т]*+ла) If- Следовательно,-■'

.1л» —Ла|2<21х —^р + г^ —rjftl2 —4da,

и из (2.2) вытекает, что lim 1л» —ЛA1 = O•

A, А-»оо

Так как Н полно, существует элемент у е К, такой что lim 'ху^у. Кроме того, |х — у^ = lim |х — r)ftj = d.

k-*cok-*a>

Для доказательства единственности проекции достаточно только заметить, что после подстановки в (2.3) вместо п» и Ла любых двух элементов у, у'г К, удовлетворяющих (2.1), получим

Ду —У' Ц2 = 2Цх —t/Ua + 2||x —y'h2 —4||х —4(^Ч-у') ja^4d3 —4d2 = 0, рткуда следует, что у=у'. 8

Продолжим изучение свойств проекции.

Теорема 2.3. Пусть К —замкнутое выпуклое подмножество гильбертова пространства Н. Тогда у = Ргкх в том и только в том случае, когда

(У, Ч-У)^^, ц —у) vn®^-(2.4)

Доказательство. Пусть хе//и у = Ргкх. Поскольку К выпукло, (l-t^y-Vt^^y-Vt^-y^K упеК, 0<Х1, и потому вследствие (2.1) функция

Ф^Нх-у-Цч-У^Нх-у^-ЗЦх-у, п-УЖ’Ь-УР достигает минимума в точке / = 0. Это означает, что Ф' (0) ^ 0, т. е. (х — у, г]— у)^0 при всех цеК, или (у, г] — у)^(х, т] — у) при всех х\гК.

С другой стороны, еслиуеК и (у, т) — у)^(х, п — у) при ч^К, то

0^(у-х, (г]-х) + (х-у)Х-1х-у|2 + (У-х, л-х).Следовательно, ^у — х^^^у—х, г] — хХ|у —хЩт) — х\ и тем самым1^-xKh-^l vn^/c |

Следствие 2.4. Пусть К — замкнутое выпуклое подмножество гильбертова пространства Н. Тогда оператор Ргк не растягивающий, т. е.

|Ргкх-Ргкх'|<|х-х1 ух, х* еН(2.6)

(и, следовательно, непрерывный).

Доказательство. Пусть х, х' е.Н и y — Pv^x, у' = Ргкх'. Тогда (У> П-У)^(х, п-у) vneK, (у', п-у')^*', ч-уЗ хч^к.

Положим ч=У' в первом неравенстве и ч = У во втором. Складывая затем эти неравенства, получим

1У-У'Р = (У-У'. У-У')^(х-х', у—у)<|х-х'||у-у'|, или |у—y'Xfx—х'|. |

Отметим, что заодно нами получено другое доказательство единственности проекции.

В заключение этого параграфа докажем теорему Брауэра для компактных выпуклых множеств.

Теорема 2.5 (Брауэр). Пусть К cIR^ —компактное выпуклое множество и Р; К-*К — непрерывное отображение. Тогда у Р существует неподвижная точка,'f

Доказательство. Пусть 2 — замкнутый шар в Rw, такой что К с: 2. Согласно следствию 2.4, оператор Рг# непрерывен. Следовательно, отображение F «Р?к- 2-* Д’с: 2 непрерывно и переводит 2 в себя. Тогда по теореме 1.3 у него есть неподвижная точка х, т. е. F-PrKx= =хеК- Но Рткх = х, и поэтому F(x) = x. |

ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА О ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВАХ

При изучении вариационных неравенств часто приходится иметь дело с отображениями F линейного пространства X (или выпуклого подмножества К с X) в двойственное пространство X'. С этим мы столкнемся, например, в гл. II и III. Напомним, что двойственным пространством (R^)' к Rw является пространство всех линейных форм a-. RJV->R, х->(а, х) на Rw. Тем самым мы имеем билинейное отображение.

(R^'xR^R, й, х-><й, х>,

которое и приводит (R^V и R" в двойственность. Ясно, что всегда можно отождествить (R^)' с R^, сопоставляя, например, элементу а г (R^)' вектор ла е R^, такой что <«, х) = (лд, х). Возможны различные способы отождествления (R^' с Rw, а также различные билинейные формы, приводящие эти пространства в двойственность, но мы всегда будем считать, что

’(а, х> = (ла, х), flE(R*v)', xeR*,

где л: (RA')'->RA' —указанное отождествление и (•, ■) —скалярное произведение иа Rw. Функцию F: R^-^/R^)' называем непрерывной, если непрерывна каждая из функций F^x), ..., FN(x) в соотношении (F (х), у) = (nF(x), у) = 5 Fj(x) yj. Читатель может проверить,

-i

что это эквивалентно обычному определению непрерывности.

■ Теорема 3.1. Пусть К cR^ — компактное выпуклое множество и F; К-> (RNY — непрерывное отображение. Тогда существует хе К, такое что.

■(F(x), у —х)^0 ^ysR..(3.1)

Доказательство. Равносильное утверждение заключается в том, что‘

gxe/С (х, у — х^^^х — пР (х), у — х) эдеК.

Отображение Prk'U — nF): К-*К, где 1х = х, непрерывно и, следовательно, по теореме 2.5 у него есть неподвижная точка х е К, т. е. х = PrK (/ —.nF)х. По теореме 2.3

.(х, у — х)^(х — nF (х), у — х) ууеК.^ '

■ Следствие 3.2. Пусть х — решение неравенства (3.1), принадлежа- ц$е внутренности К множества К- Тогда F(x)4=Q,

Доказательство. Если хеК, то точки у — х описывают окрестность начала, когда у пробегает К, т. е. для любого £ е Rw найдутся e^sO и у е К, такие что ^, = е(у — х). Следовательно,

(F(x), %) = e(F(x), y-x)^Q уб ^R^.

и поэтому Е(х) = 0. |

Определение 3.3. Пусть К — выпуклое подмножество Rw и хедК. Гиперплоскость

(а, у - х) = 0, а г (R^)' \ {0},

называется опорной к К, если (а, у — х)^0 при всех хеК.

Следствие 3.4. Пусть х —решение (3.1) и хедК. Тогда если элемент Flx^^O, то он определяет опорную гиперплоскость к К.

Действительно, аффинная функция f(y) = (F (х), у — х) неотрицательна при всех у еК.

ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА

Рассмотрим следующую задачу.

Задача 4.1. Пусть даны выпуклое замкнутое множество К в RN и непрерывное отображение F: K-*(RNY. Требуется найти

хеК: (F(x), y — x)^Q ^yeK.

Если К ограничено, то существование решения задачи 4.1 доказано в предыдущем параграфе. Однако в общем случае данная задача не всегда имеет решение. Например, при ^ = R у неравенства

Цх)(у-х)^0 vz/^lR

нет решения, если Цх) = ех. Следующая теорема дает необходимое и достаточное условие существования решения задачи 4.1. Для данного выпуклого множества К положим Kr = К А 2^, где 2R — замкнутый шар в Rw радиуса R с центром в нуле. Возвращаясь к нашему отображению F; K->(RNy, заметим, что по предыдущей теореме при всяком Кр=У=Ф найдется по крайней мере один элемент

Xr^Kr; (F(xr), y-xR)^0 ^yeKR. (4.1)

Теорема 4.2. Пусть Kc$N замкнуто и выпукло и F; К-*- (R^)' — непрерывное отображение. Тогда для существования решения задачи 4.1 необходимо и достаточно, чтобы для некоторого /?>0 решение (4.1) xR е Kr удовлетворяло условию

\xr\<R.(4.2)

Доказательство. Ясно, что если х —решение задачи 4.1, то х является и решением (4.1), как только |х|<2?.

Предположим теперь, что для xR е Kr справедливо (4.2). Тогда xR — решение задачи 4.1. Действительно, так как |xr|<^, то для каждого уеК найдется такое е^0, что w = xR + е(у — xr) еKr. Следовательно,

xReKRcK: 0^{F(xR), w — xr)=&(F(xr), у — х^ ЧУ^К.

Это и значит, что xR — решение задачи 4.1. |

Из доказанной теоремы можно вывести много достаточных условий существования решения. Мы сформулируем одно из них, которое окажется полезным в дальнейшем и приведет к понятию коэрцитивности.

Следствие 4.3. Пусть отображение F: Л"-»-(К*')' удовлетворяет условию

^ ^ ~оо при |х|->оо, хе К, (4.3)

для некоторого хоеК- Тогда существует решение задачи 4.1.

Доказательство. Пусть Н > | F (х0) 1 и К > ] хй | таковы, что (F(x)-F(x0), х — х^)^Н\х — х01 при |х|^7?, хе К.

Тогда

<F(x), X —Х0)^//|Х—X0|+(F(X0), х —Хо>^Я|х —Хо| — -|F(x0)||x — Хо|^(Я-|Г(хо)|)(|х| — |х0|)>0 при |х|>/?. (4.4)

Если теперь xR е KR — решение (4.1), то

(F (xRV Xr - Хо> = — (F (Xr), Хо - Xr) < О

и, следовательно, в силу (4.4), |xr|</?. |

Вообще говоря, вариационное неравенство может иметь много решений. Однако существует естественное условие, гарантирующее единственность. Предположим, что х, х' е К — два различных решения задачи 4.1. Тогда

(F(x), у — х^О ЧугК,

(F(x'), у — х')^0 ^уеК.

Подставляя в первое неравенство у = х', во второе у = х и затем складывая их, получим (F(x) —F(x'), х —х')^0. Таким образом, естественное условие единственности решения заключается в том, что

(F(x) —F(x'), х —х')>0 ух, х* еК, х^х'.(4.5)

Отметим, что это условие и условия следствия 4.3 будут полезны При изучении бесконечномерной задачи. Приведем два определения.

Определение 4.4. Условие (4.3) следствия 4.3 будем называть условием коэрцитивности.

Определение 4.5. По аналогии с (4.5) назовем отображение F; K->(RNY монотонным, если

(F (х) — F (х'), х —х')^0 ух, х’еК,

и строго монотонным, если равенство возможно только при х = х', т. е. когда справедливо (4.5).

В качестве приложения понятия строго монотонного отображения сформулируем следующее

Предложение 4.6. Пусть KieRN — замкнутое выпуклое множество и F: Ki -*- (IR^)' — непрерывное строго монотонное отображение. Пусть, далее, Ka е Ki замкнуто и выпукло. Предположим, что существуют Xj^Kj, /= 1, 2, такие что

<^W, у-Х/>^0 ХУ^Кь / = 1, 2.

Тогда (i) если F(xa) = 0, то Xi = x2;

если F(x2)^=Q и xi^xa, то гиперплоскость (F (хг), y — xa) = = 0 отделяет Xi от Ka)-

Доказательство оставляем в качестве упражнения.

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ,

ПРИВОДЯЩИЕ к ВАРИАЦИОННЫМ НЕРАВЕНСТВАМ

В этом параграфе мы коснемся лишь некоторых элементарных задач, связанных с вариационными неравенствами. В частности, обсудим взаимосвязи между выпуклыми функциями и монотонными операторами. Здесь мы стандартно отождествляем R^ и (R^)'. Пусть f еС1 (К), К с Rw — замкнутое выпуклое множество и F (х) = = gradf(x).

Предложение 5.1. Пусть существует хе К, такое что Цх) = = min Цу). Тогда х —решение вариационного неравенства иеК

(F(x), у-х)^ ХУ^К

(см. пример 2 во введении).

Доказательство. Если уеК, то z = x-Vt(y — х) е К прн 0^ ^/^1, и поэтому функция ^(t) = f(x-\-t (у — х)), O^/^l, достигает минимума в точке / = 0. Следовательно,

0 =^ ф' (0) = (grad f(x), y — x) = (F(x), у-х). |

Для выпуклых функций / справедливо обратное утверждение.

Предложение 5.2. Пусть j выпукла и хе№ (F(x), y~x)^Q ^у^К. Тогда f(x) — minf (z/).

иеК

Доказательство. Действительно, поскольку / выпукла, то

• f^^f(x) + (^W, у — х) vy^K.

Но (f (х), у — х)^0, так что / 0/) 2= / (х). |

Предложение 5.3. Пусть Е dR* и f : Е ->R — непрерывно дифференцируемая выпуклая (строго выпуклая) функция. Тогда отображение F (х) = grad f (х) монотонно (строго монотонно).

Доказательство. Для любых х, х'е£ имеем f(x)^f(x') + + (F (х'), х — х') и f(x')^f(x)-Jr(F(x), х'—х).

Складывая эти неравенства, получаем .

(F (х') — F (х), х' — х)^0 ух, х' е Е.

Следовательно, F монотонно. Доказательство того, что F строго монотонно, если f строго выпукла, аналогично. |

Однако не любой монотонный оператор является градиентом некоторой выпуклой функции. Вот, например, векторное поле, не являющееся градиентом никакой функции:

F(x) = (xlt х2 + <р(Х1)), x = (xi, x2)eR2.

Здесь ф =# 0 — гладкая функция одного переменного Xi е R, такая что |ф(Х1) —ф(х1)|^|Х1 —х{| при всех Xi, xleR. Вычисления показывают, что F — монотонный оператор:

(F (х) — F(x'), х — х') =

= ((*1~Хь Х2-Х2 + ф(Х1)-ф(Х1)), (Xj-xf, Х2-Х2)) =

= | X - х' |2 + (х2 - х2) (ф (Х1) — ф (х?)) 2=

^|х-х'|2- |х2-х2Пф(Х1) — ф(х{)|>

^ | X — х' I2 — 4 I Х2 — Х2 I2 — 4 I Ф (Х1) — ф (xi) I2 ^ 4 I.х ~ х’ I2-

Условия того, что данный монотонный оператор является градиентом некоторой выпуклой функции, подробно изучены Рокафел- ларом [1].

В заключение этой главы упомянем задачу математического программирования, которая может быть сведена к вариационному неравенству.

Дополнительная задача 5.4. Пусть

R^ = {x = (XiХдг) s ; х, 23= 0}

(это замкнутое выпуклое подмножество R^) и F\ R+~>RW. Требуется найти xoeR+, такое что F(x0)eR+ и (F(x0), Хо) = О.

Теорема 5.5.' Точка. хое^+ есть решение задачи 5.4 в том и только в том случае, когда

(F'(xo), у-х»^0 ууеК".

Доказательство. Заметим сначала, что если х0 — решение задачи 5.4, то (F(x0), у)^0 для любого уер^и тем самым

(F(x0), y-Xo) = (F (х0), t/) —(F(x0), x0) = (F(x0), у)^0.

Допустим теперь, что х0 е R+ — решение вариационного неравенства. Тогда у = х0 + еь где е; = (0, .... О, 1, О, .... 0) (1 на i-м месте), есть элемент R+ и, следовательно,.

0<(F(x0), Хо + ^ — xo) = (F(xo), ^) = ^(х0),

т. е. F(x0)eR^. Поскольку y=0eR^, то (F(x0), хо)^О. Далее, х0, F(Xo)sR+, и потому (F(x0), хо)^О, так что (F (х0), хо) = О. |

Комментарии и библиографические указания■

Характеризация проекции на выпуклое множество с помощью вариационного неравенства (см. § 3) использовалась также Лионсом и Стампаккья [1]. Теорема 3.1 доказана Хартманом н Стампаккья [1]. Другое доказательство, в предположении что F монотонно, дано Браудером [1]. В приведенном нами доказательстве использованы некоторые упрощения, предложенные Брезисом. Теорему 4.2 можно найти у Хартмана и Стампаккья [1] или у Стампаккья [4]. Условия следствия 4.3 часто использовались, начиная с работ Браудера [1, 2] иМинти [1, 2].

ВзаимосияЗи между выпуклыми функциями и вариационными неравенствами рассмотрены Рокафелларом [1] и Моро [1J. Последним автором было разииго понятие субдифференциала (субградиента).

Тот факт, что задача 5.4 может быть сведена к вариационному неравенству, был отмечен Карамардяном. Относительно связей между математическим программированием и вариационными неравенствами в R^ см. Манчино и Стампаккья [1].

Упражнения

Докажите предложение 4.6.

Отображение F нз R^ в (R^)' называется циклически монотонным, если для любого множества точек {х01 Хц ..., х„} (л произвольно)

<F (х0), X!—х»> + (F (xj), х, —Х!> + ... + (F (х„), х0 —х„) ^ 0.

Покажите, что F(x)=grad / (х) циклически монотонно, если f—выпуклая функция ■ класса С1.

х 3. (1) Выведите теорему Брауэра о неподвижной точке из теоремы 3.1

Пусть F — непрерывное отображение замкнутого шара S c R^ в себи. Предположим, что для любого х е 52 векторы х и F (х) имеют разные направления. Тогда существует точка ХдеЕ, в которой F(xq)=Q.

[Доказательство. (i) Применяя теорему 3.1 к отображению 1—F, находим, что ахоеК: (х0—F(x0), У~*о)^О ЧУ^К-

В силу условий теоремы 2.5, можно положить y=F (х0) и, следовательно, F (х0) = = х0Г.

По теореме 3.1 существует точка хое£, такая что (F (х0), у—хо)^О при всех yeS. Но x0^dS, так как иначе вектор F (х0) имел бы то же направление, что и х0 Таким образом, в'силу следствии 3.2, f(xo) = OJ

Сформулируйте и решите дополнительную задачу, когда F— непрерывное отображение из К^ в (rW/..

Докажите лемму Кнастера—Куратовского—Мазуркевича:

Пусть X —произвольное множество в R^. Каждому хеХ сопоставим замкнутое множество F (х) в Rw, так что

по крайней мере для одной точки х0 е X множество F (х0) компактно, (ii) выпуклая оболочка каждого конечного подмножества (xlf .,., х„} множе- п

ства X содержит:* в объединении (J F (х;).

l=* I

Тогда Q F (х) ^ ф. .-

xgX

[Доказательство. Поскольку множества F (х) П F (х0) как замкнутые подмножества компакта компактны, для того чтобы доказать лемму, достаточно проверить» что семейство {F (х)}^^ центрировано. Допустим противное, что существует

Конечное множество точек Хц ..., х^, таких что A F [х^ = ф. Пусть Ui—допол-

<=1 к

Нерце к F [х^; тогда (J Ui = RN. i = i"

Обозначим далее через {ф; (х)} разбиение единицы в R^, подчиненное покры- ■

тию {(/;}, т. е. 0<ф,-(х)< L ф< еС°°, suppф,с Ui и 5’Мх)”1 для всех feel

х е R^. Рассмотрим отображение Ф, сопоставляющее х вектор Ф (х) = У ф; (x)xj. i=i

Так как Ф(х) содержится в выпуклой оболочке множества (xi, ..., Х)Л = К, то Ф переводит К в себя. Следовательно, по теореме Брауэра (теорема 2.5) у Ф существует по крайней мере одна неподвижная точка Хе К, Т- е. х = к

= 2 ^< (*) *<• Меняя, если нужно, индексацию множеств U^ можно считать, <=1'

что для некоторого s, s^k

. если ^^если»>з..

Таким образом, X принадлежит выпуклой оболочке множества (xi, ..., х5} и, следовательно, Хе (J F (х,), т. е. ХеР^х,) для некоторого i^s. Это значит,

что Х^ Ut и поэтому ф; (Я) = 0 при некотором Кв, что приводит к противоречию.]

Пусть К — непустое выпуклое множество в R^, состоящее более чем из одной точки Покажите, что существует целое число к, 0<.к^М, такое что К целиком расположено в ^-мер ном линейно^ многообразии в Rw и имеет В этом многообразии внутренние точки. '-

Рассмотрим собственную выпуклую функцию из Rw в R Ц {4-оо}, т. е. такую выпуклую функцию /, которая не равна тождественно 4-оо. Элемент х* е (r^)' называют субградйентом f в точке х, если

f(y)^f(x) + (x*, у— х)yys^.

Геометрически это условие означает, что график аффинной функции у -> f (х) + + (х*, У—х) является опорной гиперплоскостью к выпуклому множеству {(х, Л)е е R^1 k^f (х)} в точке (х, /(х)). Совокупность всех субградиентов х* функции/ в точке х обозначается д/ (х)1). Многозначное отображение df: x-^-df (х) с: R^ называется субдифференциалом f.

Многозначное отображение Л из R^ в (R^) называется монотонным, если1 (У1 —У» Xi—х2)^0 ухп х2 <= Rv, ^«{вАхь <-=1,2, где Ах обозначает образ (быть может, пустой) точки х.

Собственная выпуклая функция f на Rw достигает минимума в точке х тогда1 и только тогда, когда 0 г df (X).

Определим многозначное отображение % замкнутого выпуклого множества К С- cR^ в (r")', полагая у(х) = 0, если хек. и х (х) = {а s (R^)'| (а, у—х) = = б—опорная гиперплоскость к К}, если xsdK- Тогда решение вариационного1 неравенства (3.1) равносильно нахождению хеК, такого что F(x)eX(x)-

Пусть fu ..., fn—гладкие выпуклые функции на Rw, grad ft (х) Ф 0, / = = 1, .... П, н■■

K-lteR^I/, (х)<0, 1^(^п}, к^ф.(Р.1))

Покажите, что если Х/^0, ^j X/> О, f/(xo)^0 и V/(xo) = 0, 1^/^п, то'f=i

I п\

I— 2 X/gradf/(x0)i у—х01=0—опорная гиперплоскость к множеству К в точ-- \ /=1/

ке хд.

Пусть теперь Ft К-t-R^—непрерывное отображение и

хогК: (F (х0), у—хо)^О уу е К. ■

Если Е^х^фО, то (F (Хо), у—Хо)=0—опорная гиперплоскость к К в xq. Следовательно,"

F (х0) + 2 ^/ Ь <х») = 0/=1

для некоторого набора (Хц ..., X„)eR^_. Если F (хо) = О, то можно положить Х/ = 0. Числа Хц ..., Хп называются множителями Лагранжа, а сам результат — условием К.уна—Таккера. Итак, если KcR^ определено формулой (Р.1), Ft К-* -*UN—непрерывное отображение и.

х0 ев К: (Г (х0), у — х0) Э:0 уу ев К,

то ^МЧ- S ^/ grad//(x0) = 0, где Х/ЗеО, //(х0)<0 и X/fz(xo) = O, l^je^n.

Глава

ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ

Многие интересные вопросы теории вариационных неравенств можно выразить на языке билинейных форм в гильбертовых пространствах. Этот подход является обобщением вариационной теории граничных задач для линейных эллиптических уравнений.

Пусть Н — действительное гильбертово пространство и Н* — двойственное ему относительно билинейной формы

<♦. •>: Н'хН^ f, x-*(f, х>.

Скалярное произведение и норму в Н обозначаем соответственно через (•, •) и Н.■

Отображение a: HxH-*R называется действительной билинейной формой на Н, если а непрерывно и линейно по каждому аргументу. Билинейная форма а симметрична, если

.■ а (и, и) = а(и, и) уи, иеН.

Каждый линейный непрерывный оператор Л: Н-*Н* определяет билинейную форму

.а (и, и) = (Ли, и>.(1.1)

Действительно, билинейность очевидна, а непрерывность следует из того, что |a(w, о) | ^сЦиЩид для некоторого с>0. Обратно, если дана билинейная форма а (и, о), то для каждого и отображение u->a(u, и), и г Н, определяет линейный непрерывный функционал на Н и, следовательно, существует линейный оператор Л: Н-*Н', такой что справедлива формула (1.1).

Определение 1.1. Бил инейная форма а (и, и) называется коэрцитивной на Н, если существует такое а>0, что

alp, и)^а||о||2 уиеЯ.(1.2)

Для коэрцитивности а (и, о) необходимо и достаточно, чтобы соответствующее ей по формуле (1.1) отображение Л было коэрцитивно в смысле гл. I (определение 4.4). Очевидно, что коэрцитивная сим-

метричная билинейная форма а (а, о) определяет норму (а (о, о))1/2 на Н, эквивалентную |о|.

Нас будет интересовать' следующая

Задача 1.2. Пусть К cz Н — замкнутое выпуклое множество и j^H'. Требуется найти■

иеК: а(и, и— и)^ (j, и— и) ^оеК. (1.3)

СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ

Теорема 2.1. Пусть а (и, и) — коэрцитивная билинейная форма на Н, К с Н — замкнутое выпуклое множество и f^H'. Тогда существует единственное решение задачи 1.2. Кроме того, отображение f->u липшицево, т. е. если щ и щ — решения задачи 1.2, соответствующие fi и f4 е Н*, то'

Ui-и4^^/а)И1 — Мн'.(2.1)

Заметим, что если К — подпространство в Н, то отображение f-*-u линейно.

Доказательство. Покажем сначала, что справедлива формула (2.1). Пусть щ и иг е К — решения задачи 1.2, соответствующие fi и UeH', т. е.

а^ии v — u^^du v — Ui) ^0 г К, i=l, 2.

Подставим о = иа в неравенство для «1 и о = щ в неравенство для «2. Тогда после сложения получим

а\Щ — щ, щ — Ua) ^ (Д — /2, Wi — Иг).

Вследствие коэрцитивности а

a|ui — u^^dx — fa, u1 — Ua)<!Ui—MH^Ui — Ua\, '.

и тем самым (2.1) доказано1).

Доказательство существования решения разобьем. на несколько этапов. Предположим сначала, что форма а (и, о) симметрична. Введем в рассмотрение функционал

Ци) = а(и, и) —2 di и), иеН.

Пусть й = \хх\Циу Так как'

к

то d^ —(1/а) |Дн-> —оо. Выберем минимизирующую последовательность {«„} для I в К так, чтобы d^/(u„)^d+1/л. Применяя

В частности, доказана едииствениость решения. —Прим, перев.

правило параллелограмма и учитывая, что К выпукло, получим а] «л — Um^^a^Un — Um, Un — Um) =

= 2a(un, un) + 2a(um, ит)-4а(|(а„ + ат), |(«„+«m)) = /=2/ (и„) 4- 2/ ^um) - 4/ (1 («„ + Mm)) ^ 2 [(1 /n) + (1/m)].

Во втором равенстве мы воспользовались очевидным соотношением 4 (/, U„) + 4 <Л Um) -8<h^ (ип + Um)) = 0.

Таким образом, {и„}— последовательность Коши, и, поскольку К замкнуто, она сходится к некоторому элементу и е К. Но тогда I (Un) -*-1 (и) и, следовательно, I (и) = а.

Пусть теперь иеК. Если O^e^l, то и-^-е^и — и) г К и Ци-\-Ци — и))^Ци). Это значит, что (d/de) Z (и + е (о — а)) |8=о ^ 0, или а (и, и — и)^д, и — и). Так как о е К произвольно, то этим доказано существование решения в задаче 1.2 для случая симметричной формы а (и, v).■

Перейдем к рассмотрению общего случая. Для этого введем семейство билинейных форм

at = а0(и, и)4-/6{и, о), 0^/^1,■

где а0(и, о) = у(а(и, о)4-а(о, и)) и 6 (и, и) = ^ (а (и, и) — а (о, и)) — соответственно симметричная и антисимметричная части а, Очевидно, что Oi(u, v) = a(u, v) и at(u, и), 0^/^1, коэрцитивна с той же самой константой а, что и а (и, и).

Лемма 2.2. Если задача 1.2 разрешима для ах(и, и) и всех }гН', mo она разрешима и для аДи, и) при всех feH', где v^/<t4-/0, t0<a/M и M = sup(|6(u, и)|/[иЦоЦ)<4-°о.

Доказательство. Пусть f г Н'. Определим отображение Т: Н-*К, полагая u = Tw, где иеК- такой элемент, что ах(и, о — и)^ ^ (Fh и —и) при всех и е К и

(Fu u) = (f, v) — (t — r)b(w, v), т</<т+/0.

Существование указанного иг К следует из предположений леммы, а его единственность доказана выше.

Пусть ui = Twi и ua = Twa. Тогда по неравенству (2.1)

1 Ui — и2[<(1/а) (/ — т) М | ц)г — щ21 < (1/а) /0А41 wt — щ21.

Поскольку /0А1/а<1, то Т — сжимающее отображение и, следовательно, по теореме 1.2 гл. I, у него есть единственная неподвижная точка и. Подставляя теперь и вместо w, получим, что при т</<т4-/о'

ch (и, u — u)^(j, v — u) ^игК.

Тем самым лемма доказана.

Для завершения доказательства теоремы остается только заметить, что так как задача 1.2 разрешима для симметричной формы а0 (и, о), то после применения конечное число раз леммы 2.2 она окажется разрешимой и для формы а (и, о). |

Отметим, что доказательство теоремы 2.1, как и теоремы 3.1 гл. I, сводится в конечном счете к рассмотрению некоторой задачи минимизации и применению теоремы о неподвижной точке. В случае когда К = Н, теорема 2.1 переходит в лемму Лакса — Мильграма1), которая утверждает, что если а (и, о) — билинейная коэрцитивная форма, то любой линейный функционал у-х^, о) на Н может быть представлен этой формой при некотором и е Н.

СРЕЗКА

Пусть £ с: R^ измеримо по Лебегу, ф е L2 (£) и

К = {у е£2(£)| о^ф п.в. в £}с£2(£).'

Ясно, что К — выпуклое замкнутое множество. Определим скалярное произведение (w, о) на £2(£), полагая

(а, о) = J и (х) о (х) dx.

Е

Очевидно, что это коэрцитивная билинейная форма на £2(£). По теореме 2.1 для каждой функции fsLa(E) существует единственная функция .

иеК; \u(v — u)dx^[f(v — u)dx ^veK. (3.1) в E

Мы утверждаем, что и имеет вид

/(х)<ф(х)2), /(х)^ф(х)./(х)<ф(х)2), /(х)^ф(х).(3.2)(3.2)/ А I Ф^)» .и = шах(ф, = l

/(х)<ф(х)2), /(х)^ф(х).

/(х)<ф(х)2), /(х)^ф(х).

(3.2)

(3.2)

I l\xh

Действительно, согласно (3.2),

^u(u — u)dx = ф(о—ф)^+ $ f(v — f)dx^ в</<ф}<Ф<Л

> $ Ну-ф)^+ $ f(y-bdxt(/^ф)<ф<Л

так как о — ф^О для любого иеК. Следовательно,

J и (о — и) dx 5= J / (у — и) dx ^иеК ЕЕ

и, таким образом, а —решение вариационного неравенства.

*) См. Иосида К. Функциональный анализ Пер. с англ.—М.; Мир, 1967, с. 137.— Прим, перев.

•) Это в есть срезка (truncation), —Прим, перев.

V читателя могут возникнуть вопросы, касающиеся гладкости решения задачи 1.2. В этой связи мы отметим здесь лишь один результат.

Теорема 3.1. Пусть QcR^ (N 5? 2) — открытое множество, 2N/(N — 2)^р^со, ф, / е Нх- ₽(й) и А = {уе£2(й)| и^ф п. в. в й}. Тогда решение и вариационного неравенства (3.1) принадлежит

Доказательство этого утверждения содержится в приложении А. Определение пространств Н^ЦО) и их свойства приведены в следующем параграфе.

ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА И ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ

В нашем подходе важную роль играют пространства Соболева, изучению которых посвящена обширная литература. Особенно часто мы будем ссылаться на книгу Морри [1], где эти пространства ; исследованы весьма глубоко. Свойства пространств Соболева, необходимые для наших целей, собраны в приложении А к этой главе. В этом параграфе мы лишь напоминаем некоторые определения, . а затем в качестве приложения приводим формулировки ряда классических граничных задач и показываем, как можно использовать теорему 2.1 для получения их слабых решений.

Начнем с определений некоторых функциональных пространств. •

Определение 4.1. Пусть й с R^ — ограниченное открытое множество с замыканием й и границей дй. Обозначим через С6 (й) пространство всех /г раз непрерывно дифференцируемых действительных функций на й, а через Ck- к (й), 0 < X < 1, — подпространство тех функций из Ск (й), чьи производные порядка к непрерывны по Гёль- деру с показателем X. Напомним, что иеС°'х (й), или и непрерывна по Гёльдеру (удовлетворяет условию Гёльдера) с показателем X в й, если

[«к= sup?-' Л <+°°-

*,6 £21।।

Функцию и, для которой это соотношение выполняется при Х=1, будем называть липшицевой.

Наборы а, = (аг, ..., aN) неотрицательных целых чисел называют мультииндексами порядка la^aj + ... + адг^О. Для каждого a определен дифференциальный оператор D® = (d/dxi)"1... (dldxN’fN « порядка |а|. Здесь (d°/dx") u = u, X^i^N.

Определение 4.2. В линейном пространстве Ст(й) введем норму -

В и||ят, S JQ) =2 II ^““L5 (Q)> l^s<°°»(4.1)

Q<i« I <m

и обозначим через Нт'-^й^ пополнение Ст (52) по этой норме. Для сокращения записи обычно будем писать Hm (Q) вместо Нт> 2 ($2).

Если предположить, что граница 552 липшицева, т. е. у каждой точки 552 существует такая окрестность U, что 552 Л (7 есть график некоторой липшицевой функции, то можно показать (см. Морри [1], который называет такие области «строго липшицевыми»), что и е Нт‘8 (52) тогда и только тогда, когда ueLs (52) и найдется такая функция gaeL8(Q), |a|^/n, что

J и (х) D^ (х) dx = (-1 )1“ । ^а (х) С (х) йх С” (52). оо

Здесь С” (52) — пространство всех бесконечно .дифференцируемых функций на 52 е компактным носителем.

Определение 4.3. /7”’*(52) —замыкание C”(Q) по норме (4.1).

Определение 4.4. /7т-” (52) — это класс функций из С”-1 (52), производные которых порядка tn — 1 удовлетворяют в 52 условию Липшица.

При определении пространств Я*-8(52) можно было бы вместо С1 (52) рассматривать С°*1 (52) = Нх* ” (52), т. е пространство липши- цевых функций в 52. В этом нетрудно убедиться, если граница 552 липшицева.. Действительно, пусть ueH1'®!^); тогда и допускает продолжение до функции й из Но ” (^) (пространства липшицевых функций на Rv о компактным носителем). Так как й можно аппроксимировать в Я® S(RW), l^s<oo, гладкими функциями (например, соответствующими усреднениями), то и есть предел в Н1-8 (52) гладких функций на 52. Следовательно, С1 (52) cz Нх- ro(52)cz Нх-5 (52), Ks<oo, и липшицевы функции плотны в Н 1>S(Q).

В приведенном рассуждении липшицевость границы использовалась только в одном месте, а именно при доказательстве существования продолжения й. Но по известному варианту теоремы Титце о продолжении функция и г Д'-”(52) допускает продолжение до функции й е Hl’ ” (R^) для любой ограниченной открытой области 52czRw (см. например, книгу Стейна [1]). Следовательно, и для таких областей- Я1-00 ( 52) плотно в Н1-8 (52), s<oo.

Пусть снова граница 552 липшицева. Тогда если область 52® такова, что 52 с: 52 с 52О, то любую функцию и е Н118 (52), 1 s < оо, можно продолжить до функции й е Нх- 8(52О). Кроме того, если «5=0 п.в. в 52, то й^О п.в. в 52О.

По неравенству Пуанкаре существует такое число Р>0, что ^2dx^p $&dx, £е^(52), аq

где £* = (Ц, .... ^“(Д^ .... ^^. Следовательно, |^Ь(О> — норма в НЦй), эквивалентная норме (4.1). Мы всегда будем считать, что

1£1»$(О)=1Мь*<о)*

Пространства Ят-5(й) и H»'8^ при l<s<oo являются рефлексивными банаховыми пространствами, а Н”1^ и H»(Q) — гильбертовыми пространствами.

Определение 4.5. Мы обозначаем пространство, двойственное к Я™’$(й), через H~m-s' (й), (l/s) +(!/$') = 1, или просто через Я~т(й), если s = 2.

Элементы Я-1-8'(й) можно рассматривать как обобщенные производные функций из ft е Ls' (й); точнее говоря, если / е Я-1*s' (й), то найдутся такие функции /0, К, • • •» In ^ Ls' (й), что

{

N,

еея^^).

1J

Перейдем теперь к дальнейшим приложениям теоремы 2.1 — дока* зательству существования слабых решений в классических граничных задачах для уравнения Лапласа.

Задача Дирихле. Пусть f е Я-1 (й) и g е Я1 (й). Требуется найти такую функцию ue№ (й), что

— ku = f в й; u=g на дй.(4.2)

Когда / = /о, Я и и — гладкие функции, смысл задачи (4.2) понятен. Поясним, что значит слабое решение этой задачи. Предполагая достаточную гладкость всех функций, умножим обе части уравнения (4.2) на £еС”(й). Тогда после интегрирования по частям получим

(w, t^H^ (Q) “ 5 ux^xt dx= ^dx.aQ

Здесь и в дальнейшем принимается следующее соглашение: по повторяющимся индексам производится суммирование. Заметим далее, что в общем случае мы можем придать лишь обобщенный смысл утверждению «.u=g на дй», поскольку утверждение «£ = 0 на дй» Имеет лишь обобщенный смысл, а именно что£еЯ^(й), Итак, и е Я1 (й) называется слабым решением задачи (4.2), если

^u^dx^Q, £) у^ЯИЙ), u-geH^Q). (4.3)

Запишем теперь нашу задачу в виде вариационного неравенства. Рассмотрим для этого линейное многообразие М — М8 = {о е Я1 (й)[

v—gsH^Q^. Тогда вопрос о нахождении слабого решения задачи Дирихле равносилен следующей задаче:

Задача 4.6. Найти иеМ: \ Ux^v — u^dx^d, и —и) ^veM.'

Билинейная форма и, р->$ uxuX1dx (являющаяся скалярным произ- ведением на /Д(й)), очевидно, не коэрцитивна на всем пространстве Н1 (Q). Поэтому рассуждаем так. В силу тождества $ их.(о-и),.dx = \ (и-g)x. (о-и^,.dx + $ gx. (о-и^dx, OBВ

функция и будет решением задачи 4.6 в том и только том случае, если и) = и — g — решение вариационного неравенства

$ wx (v — uVdx^(f, v-u)-\ gx, (и-u^dx. (4.4)

Но так как gx. eLa(Q), l^i^AT, то тем самым задача 4.6 равносильна нахождению функции

шеНЦйу. J Wx,^ — ш^хДх^<Р, ?-ю> ^гЩ^, (4.5) в

где FeH-1^ определено соотношением (F, £> = (/, £) — — \ gxJU-dx. По теореме 2.1 существует решение w этой задачи, с *

Но тогда ясно, что u = wJrg— решение задачи 4.6.

Следующий более общий результат предлагается доказать читателю. Если а — билинейная коэрцитивная форма на Щ (О) и К с с Н1 (О) — такое замкнутое выпуклое множество, что К — К = = {« — и | и, и е К) с Но (й), то для любого f е Н-1 (О) ^ueK: а^и,о — иу^(],о—и) ^иеК.

В задаче 4.6 (или см. ее другую формулировку (4.5)) в качестве выпуклого множества выступает все пространство Н» (Р). Следовательно,_

t wxtx.dx = (F, 0 v£ е Н^(Q), JПеНЕБОГЕЕ1ИКНИГИВ$

QОДНИ РУКИ И 2ХВда 1

и, значит, о, 4-g = «— решение (4.3).

ОСКОРКАОСКОРКАБолее общая постановка задачи Дирихле заключается в нахождении такого и, что

ОСКОРКА

ОСКОРКА

— Lu-V"ku = t в Р,u=g на дй.

Снова умножая здесь уравнение на функцию ^ е С” (£2) и выполняя интегрирование по частям, приходим к следующей задаче.

2 Заказ 864

Задача 4.7. Найти такую функцию и е М = {и г Н1 (£2) | и — g е е7Д№)}, что

акиЛ)-^ ^еНЦЦ,(4.6)

где a(v, £) = $ Ux.^.dx + X^ v^dx ^о, ^еНЦЙ).

Мы утверждаем, что форма а коэрцитивна на Н'в (£2), если Х> — 1/р, где р —константа в неравенстве Пуанкаре. Действительно, для каждого t е (0, 1)

alp, У) = ^ о?^+(1 — 0$ v*dx4-X^ u2dx^еве

2s t у о, dx+^ — J + xj f V2 dx.

Выберем теперь t так, чтобы 0<<<Р[(1/Р) + М= 1+PX; тогда alp, v)^ИvЦя1 (й). Отсюда следует (как и в предыдущем случае), что существует единственное слабое решение задачи Дирихле.

Далее будет рассмотрена

Задача Неймана 4.8. В классической ситуации 1когда дй, f, g гладкие) требуется найти такую функцию и, что

— Ди + Хи = f в £2,ди[дп = g на д£2,еде д[дп — производная по направлению внешней нормали к дй.

Умножая уравнение на £ г С1 (£2) и интегрируя по частям, получаем

а (и, £) = $ fldx+ J g^do,(4.7)

QdQ

гдеKdx = \ux.Zx.dx + X\u^dx.

q e ' ‘ e

Выбирая любое X>0 и a = min(l, X), находим, что а (и, v)^ ^a|v|fli(Q). Однако если положить Х = 0, то форма а станет некоэрцитивной, и в этом случае задача Неймана не всегда имеет решение, а когда имеет, то необязательно единственное.

Смешанная задача 4.9. Пусть д£2 = ^£2 (J d2£2 и д^Й^д^Й — ф. Мы хотим найти такую функцию и, что

— Au + Xu^f в £2, и = 0 на д1Й, ди[дп = 0 на дгй.^'^

При Х>0 оператор —Д4-Х приводит к коэрцитивной билинейной форме, как показано . выше. При X = 0 форма еще остается

коэрцитивной, если граница diQ достаточно большая, а именно такая, что гарантируется существование такого 0>О, для которого

$£2dxs^0$&dx уВеСю(^)> £ = 0 на diQ. ЙИ

Это выполняется, например, когда Q —связная область с гладкой границей и diQ имеет непустую внутренность в dQ.

В приведенных выше задачах рассматривались только их слабые решения. Возникает естественный вопрос: в каком смысле эти решения соответствуют их классическим аналогам? Что касается задач Дирихле 4.6 и 4.7 и задачи Неймана 4.8, то их решения обладают той же гладкостью, что и данные соответствующих задач (Берс и др. [1]). Решение смешанной задачи, вообще говоря, удовлетворяет условию Гёльдера, а большая гладкость уже связана со специальной согласованностью данных задачи.

В этой связи сформулируем один точный результат о гладкости слабого решения задачи Дирихле. Он будет полезен при изучении задач с препятствиями, которое мы начнем в § 6.

Теорема 4.10. Пусть Q cR,v — область с достаточно гладкой границей и'

иеН^йу. —Au — f в Q.

Тогда если f s Hm>s (Й), то и s Нт+2- s(5iy 1 <s<oo.

Выражение «— Au = f в Q» здесь означает, естественно, что ^их.Цйх = ^(1х ^еС”(йу ии

За доказательством этой теоремы мы отсылаем к книге Морри.

В этом параграфе были рассмотрены билинейные коэрцитивные формы, причем (ради простоты изложения) только такие, которые связаны со специальным дифференциальным оператором второго порядка —Д.

В следующих параграфах мы будем иметь дело с более общими дифференциальными операторами второго порядка, а именно с дифференциальными операторами дивергентного типа, имеющими измеримые ограниченные коэффициенты.

Пусть функции ^еД(9), i, /= 1, ..., N, таковы, что

(l/A^^tx)^^2 уВ^^ п- в. в О . (4.9) и Л1. Положим

а (и, u) = ^aif(x)ux(x)vXi(x)dx, и.иеНЧ&У (4.10)

Эта форма коэрцитивна на До(^)> поскольку

а (и, о)^(1/А)1их |1*(0) = (1/Л)|ц|д1 (в), иеЩ^, ,.

СЛАБЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА

Начнем с обсуждения понятия неравенства в смысле ^(й). Допустим, что £2 — ограниченная связная область в с границей дй.

Определение 5.1. Пусть и е Н1 (й) и Е с й. Будем говорить, что функция и неотрицательна на Е в смысле Н1 (й), или, короче, «5=0 на Е в Я1 (й), если существует такая последовательность иЛ е е№-®(О), что

«лМ^О ухе Е; ип-*и в №(0).(5.1)

Если -«50 на Е в Я^й), то и неположительна на Е в Я^Й), или, короче, и<0 на Е в ^(й). Если же «50 и ы^О на Е в Я^й), то будем говорить, что ы = 0 на Е в Ях(й). Подобным же образом мы говорим, что и^и на Е в Я^й), если и — и^О на Е в Я^й). Беря здесь в качестве v константу, приходим к следующему определению:

sup ы = inf {At е IR | ы s^ Л1 на Е в Я^й)}. в

Отметим, что совокупность неотрицательных функций на Е cz й в Я^й) образует замкнутый выпуклый конус в Ях(й). Поэтому, согласно теореме Банаха — Сакса1), достаточно требовать, чтобы иЛ-*и слабо в Я^й).

Сравним введенное отношение 5= в Я^й) с отношением 5 п. в. вй.

Предложение 5.2. Пусть й cz R^ — ограниченная область, Е cz й и и е№(О).

Если и^О на Е в Я^й), то и^О п. в. в Е.

Если «5=0 п. в. ей, то и^О на й в Я^й).

(Ш) Если иеНЦО) и и^О п. в. ей, то существует последовательность и„ е Н» ”(й), такая что иЛ^0 в й и ил-*и в Н» (й).

(iv) Если Е открыто ей и «50 п. в. в Е, то и^О на К в Н1 (й) для любого компакта КсЕ.

Доказательство, (i) Пусть ип — последовательность из определения 5.1. Тогда, в частности, «„-*-« в Р(й). Следовательно; существует подпоследовательность в и„, которая сходится к и п. в. вй, и так как «„^0, то «50 п. в. в Е.

(ii) Пусть цл е №■ ® (й) — такая последовательность, что оЛ-*и в Я^й) и п. в. в й. По условию ы = тах(ы, 0) п. в. в й, и мы имеем

max (v„, 0) — ы 1 l« (Q) = 1тах (ул. °) — тах («» 0) | L« (е) < ^,Цд — U^L* (Й)->0 при п-*оо.

0 См. Рисе Ф. и Секефальви-Надь Б. Лекцвв по функциональному анализу. Пер, с франц.—М.: Мир, 1979, с. 92. — Прим, иерее.

Кроме того, §max(v„, 0),dx^$ Уд*dx^C, и поэтому из последова- ее

тельности max (v„, 0) можно выделить слабо сходящуюся в Я1 (й) последовательность, предел которой, очевидно, есть и. Так как тах(и„, 0)^0, то, согласно замечанию перед предложением 5.2, и^О на й в Я1 (£2).-

(ш) Нужно взять v„ е Я*-00 (й) и рассуждать совершенно аналогично предыдущему случаю.

(iv) Пусть КсЕ- компакт и функция £ е С” (Я") такова, что £=1 в {x|dist(x, K)^4dist(^\E, К)}, £ = 0bR"\£

и 0=g^l. Пусть, далее, ф8 —регуляризирующее семейство функций с supp <р6 с: В6 (0). Положим

и»л(х) = и*феп(х)= 5 “Мфв,, (-К-УМУ. 'ве (0)

где е„|0 и е0 < | dist (R^ \ £, К). Ясно, что ауп^О на К. Если теперь v„ е Я1- ” (й) и v„ -> и в Я1 (й), то ип = £тл + (1 — ^) v„ — искомая последовательность. |

Читатель, однако, не должен думать, что введенное выше новое отношение порядка сводится к сравнению функций п. в. В § 6 введенный порядок будет использован для определения емкости множества, и мы увидим, что множество меры нуль (например, замкнутый интервал в R2) может иметь положительную емкость. Следующее утверждение иллюстрирует роль неравенств в смысле Я1 (й) в слабом принципе максимума.

Предложение 5.3. Пусть ueH1 (й) — такая функция, что

sup и = М = inf {т eR|и^т на дй в Я1(П)}< + оо. ае

Тогда для любого k^M имеем max (и—к, 0) еЯ£(й) и max (и—к, 0)^ най в № (й). .

Доказательство. Для того чтобы доказать включение max (и—к, 0) е е Яд (й), достаточно найти такую последовательность v„ е Я1-00 (й), что v„->max(u — к, 0) слабо в Я1^).

Согласно предположениям, для каждого е>0 существует такая последовательность ^еС1(Й), что к — w„ + e>0 на дй и k-Un-V + е->^ —ы + е в Я^й) при п^-оо. Выбирая здесь е = 1/пи обозначая Un = un, получаем, что ^ + (1/п) — ил> 0 на 5й и u„-> и в Я1 (й). Следовательно, липшицевы функции v„ = max (ыл — (1/п)— к, 0) имеют компактный носитель в й. Кроме того (см. приложение А), v„ -*- max (и — к, 0) слабо в Я1^), и тем самым, max (и — к, 0) е еН^).' '

Наконец, заметим, что max (и — k, 0)^0 п. в. в й и, таким образом, max (и — к, 0)^0 на й в Я‘(й) по предложению 5.2 (и). g

Принцип максимума, о котором пойдет речь ниже, относится к уравнениям дивергентного типа с измеримыми ограниченными коэффициентами. Пусть функции oijeL”(Q) таковы, что

(1 /Л) ^ ^ ау (х) ^ ^ Л^ vB е R" п.в. в й (5.2)

и Л^1. Положим

а (ы, и) = ^ ау (х) и,. (х) vx. (х) dx, и, иеН1 (й).

Тогда определен оператор L: Я6 (й)-> Я*1 (й), (Ьи, о) = а(и, о), и, оеЩ(Й\ Мы часто будем писать, что

Lu = — (d/dx,) (ayUx^ е Я-1 (й).;

Нигде не предполагается, что (ау) — симметричная матрица. Задача i Дирихле для оператора L имеет единственное решение. Это уста- ; навливается с помощью теоремы 2.1, подобно тому как в задаче 4.6. ] Другими словами, справедлива.|

Теорема 5.4. Пусть Lu —— (d/dx,) (а,уиХ/), где ау удовлетворяют 1 (5.2). Тогда для каждых ф г Я1 (й) и f г Я-1 (й) существует единст- 1 венная функция.

.ие№^: Lu = f в Й, u = q> на дй.;

Перейдем, наконец, к формулировке принципа максимума.

Теорема 5.5. Пусть ueH1 (й) — решение задачи:

Lu = 0 в й, « = <р на дй,

где Lu = — (д/дх;) ^tyu,^, функции ау удовлетворяют (5.2)ц^еНх (й). Тогда Д« Ол°°(й) ^ sup | ф |. дй

Выражение sup | ф | понимается в смысле Я1 (й). Мы предполагаем, ' дй что оно конечно, так как в противном случае доказывать нечего.

Доказательство. Достаточно показать, что a ^sup ф на й в Я1 (й). дй■

Действительно, если это доказано, то, поскольку — и есть решение исходной задачи с граничным значением —ф, справедливо также и неравенство — u^sup(—ф) на й в Я‘(й), и утверждение теоремы дй

следует из предложения 5.2 (i).

Согласно предложению 5.3, £ = max (и — М, 0) е ЯJ (й) и поэтому

Q^a(u, р= \ayUxLc.дх,(5.3)'

Разобьем множество й на два подмножества {х| £(х)>0} и {х| £ (х)=0}. Так как (см. приложение А)

Ц = 0 п. в. в {х|£(х) = 0}, Ц = их. п. в. в {х|£(х)>0}, то отсюда вытекает, что мХ/(х) £х. (х) = Ц. (х) Ц (х) п. в. в й. Подставляя это в (5.3), получим

О = а (и, £) = $ сц^-Ц dx=a(£, £) 2s £2

^£ j^dx = ^|U)/i(Q).

Следовательно, £ = 0 в Я» (й), и тем самым и — А! ^ 0 на й в Я1 (й). | Отметим одно обобщение принципа максимума (доказательство см. в приложении В). Если и —решение задачи:

Lu = f в й, и = 0 на дй,NN

где f = fo + 2(A)^, Ае^(й), О^г^Я, то Ml=o <С, 5 lAl^tQ, Iо .

при 8>Я.

Определение 5.6. Функция и е Я1 (й) называется суперрешением для L, или L-суперрешением, если

а(и,£)5=0 у£еЯ4(й): £>0 в й. (5.4) Аналогично и есть L-субрешение, если

а(ы, £)<0 у£еЯ4(й):£^0 в й.

Для суперрешений справедлив принцип минимума. Его доказательство (аналогичное доказательству 5.5) мы опускаем..

Теорема 5.7. Пусть иеН1^ есть L-суперрешение. Тогда и (х) 5s inf и п. в. в й. де

Интересным свойством суперрешений является то, что если и и V —два L-суперрешения, то min (u, v) —снова суперрешение. Этот факт будет доказан в следующем параграфе.

ЗАДАЧА С ПРЕПЯТСТВИЕМ. НАЧАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА

В этом параграфе мы в основном рассматриваем задачу с препятствием для уравнения Лапласа, но начать удобнее с более общего случая. Как и прежде, й с: R^ —ограниченная связная область с гладкой границей дй и функции ац г L* (й) таковы, что

(l/A)^^av(x)^^Aga y^R" п. в. в й. (6.1)

Положим

а(ы, и) = ^ац(х)их (х) vx.(х)dx, и, ие№ (Q),(6.2)

о 11'

и определим оператор L: Н^ (Q) -> Н-1 (Q), полагая

(Lu, и) —а (и, v), и, иеНЦй).

Напомним, что если a,v е С1 (Q), то Lu (х) = — (д/дх^ (av (х) иК/ (х)), и е С2 (Q), —эллиптический оператор в классическом смысле.

Пусть гр е Н1 (Q), гр ^ 0 на dQ в Н1 (Q) и

К = К^ = {и е НЦй) | v ^гр на Q в Я1^)}1).

Заметим, что по предложению 5.2 и г К тогда и только тогда, когда пеЯо(й) и и^ф п. в, в Q. .

Задача 6.1. Пусть feH-1^. Требуется найти

иеК: а (и, o — u^^Q, v — u) yveK..

Теорема 6.2. Существует единственное решение задачи 6.1.

Это сразу следует из теоремы 2.1, так как, в силу (6.1), а (и, v)^ ^(1/Л) Цо||я1 (0) при и е НЦй), т. е. форма а коэрцитивна.

Если aij = aji, то решение задачи 6.1 есть решение следующей задачи минимизации:

min {a (v, о) —2(/, о».(6.3)

не К

Приведем одно полезное свойство решения задачи 6.1.

Определение 6.3. Будем говорить, что функция geH1^ есть L — f-суперрешение, если

(Lg-L ^ = a(g, ^-<1, ^Q ^^^Н^).

В частности, решение и задачи 6.1 евть L — /-суперрешение, поскольку u-V^eK для всех 0<С^Я^Й).

В дальнейшем мы не различаем высказывания ««^0 на Q в Я1 (Q)» и «ц^О п. в. в Q» (см. предложение 5.2).

Теорема 6.4. Пусть и — решение задачи 6.1 и g — такое L — f-eynep- решение, что g^ip в Q и g^O на дй в Я1^). Тогда u^g в Q.

Доказательство. Так как §^гр в Q и g^O на 5Q, то ^ = min (u, g)eK и тем самым а (и, t, — u)^(f,^ — u). Далее, ^ — и = — min(tz, g)— ы^О, и потому a(g, ^ — и^^У, ^ — и). Из этих неравенств вытекает, что a(g — и, ^ —ы)^0.

*) Функция гр и задает препятствие (obstacle).— Прим, перев.

Теперь проведем вычисление величины a^g — u, ^ — и) (с учетом того, что £ = min(tz, g)) в явном виде:

0>a(g-«, £-«) = Vutg — u)x ^-u')x.dx =

Q

-$au^~ uV (5 - uV dx = J av (^ - uV (I - uV dx =

Ulg<«)Q*

= a^-u, ^-Ы)Х1/Л)^-ы^(0).'.

Это значит, что £ = «, и, следовательно, u^g в й. f

Отсюда вытекает такое ■

Следствие 6.5. Пусть и —решение задачи 6.1 при f = Q и х|)^Л1 в й, еде М^О. Тогда и^М в й.'

Для доказательства достаточно положить g=M в теореме 6.4.

Задачу 6.1 мы решили ради простоты лишь для нулевых условий Дирихле на границе дй. Заметим, однако, что вариационное неравенство может быть решено и с множеством

К = {v е ^(й)! ц.^ф в й, и — феЯЦЙ)},

где феЯ^Й) и ф^ф на дй в Я^й). В некотором смысле это равносильно решению задачи 4.7.'

Покажем, что вариационное неравенство с множеством К действительно имеет решение. Для этого рассмотрим новое выпуклое множество Яо = {т| е Я^ (й) | г] ^ф —-ф в й}. По теореме 6.2 существует единственный элемент

^гКо" а^, t]-^)><F, т]-^> ^еК»,(6.4)

где FgH*y$ определено равенством (F, ^ = (f, £) —я(ф, 5). ^гН» (й). Положим ы = £ + ф и проверим, что

а (и, v — u)^{f, о —и) ус еК.(6.5)

Пусть и е К; тогда r] = v —феЯ£(й) и ц^ф —ф в й, т. е. П е Ко. Следовательно, по неравенству (6.4)

а(ы, о — и) = а (£ + ф, г] —£) = а(£, п~£) + а(Ф» П —0>

^<h П-5>-а(ф» П~£) + я(ф, П~0 = = <Л HMh v-uy

Итак, и = £ + ф — решение вариационного неравенства (6.5).

Заметим, что аналогичным образом можно обобщить теорему 6.4 и следствие 6.5.

Теорема 6.6. Пусть и и и —два L-f-суперрешения. Тогда w = = min(w, о) тоже L — f-суперрешение.

Доказательство. Положим

/С = {т]еЯ1(й)|т]^пу п. в. в й, т] — юе^(й)}

и допустим, что .

Ee/Cs ^ауЩтх-^Дх^^, q-E) ут^г/С. (6.6)

Согласно теореме 6.4 ), Х^и и Е^ о в £2, следовательно, Е^ =Ctnin(«, о) в £2. Но Ее К, т. е. Е^т1п(ы, 0)=»®, и поэтому X>=*w. Остается только заметить, что решение (6.6) является L— f-суперрешением. |

Определение 6.7. Пусть иеН1 (£2). Будем говорить, что и (х) > О в хей в смысле Н1 (£2), если существуют окрестность Вр(х) и функция ф е Но “(Вр(х)), ф^О и ф(х)>0, такие что и —ф^О на Вр(х) в Я1 (£2).

Ясно, что множество {х е £21 и (х) > 0} открыто.

Пусть и —решение задачи 6.1 с «препятствием» ф. Разобьем £2 на два подмножесгва: открытое множество {хе £2|и(х)>ф(х)} и его дополнение / = /[«], которое, очевидно, замкнуто в £2. Фактически 7—это множество точек х, где и(х) = ф(х).

Определение 6.8. Множество 7 называется множеством примыкания, или коинцидентным множеством, решения и.

Пусть хое£2\7. По определению существуют шар Вр(хь) и функция феCJ0(Вр(Хо)), ф>0 в Вр/а(х0), такие что ы^ф+ф в Я1(Вр(хь)). Следовательно, для любой функции Е е С£° (Вр/а (хь)) найдется такое в>0, что /х+еЕ^ф+^Ф в Я1 (Вр/а (хо)). Поскольку o = u-V^,sK, то, подставляя эту функцию в вариационное неравенство и деля затем на в, получим

а (и, Е) ^</, Е> VE е (Т (Вр/а ^.

Так как это верно, в частности, и для — Е, то

а (и, Е) = <А Е> VXeCT^Bp^y.

Другими словами, Lu = f в £2\/, и, кроме того,

и=ф на 7.(6.7)

Свойство (6.7), конечно, не характеризует полностью решение и, но, тем не менее, интересно отметить, что поскольку

а(и, Е) —(Л Е»0 ¥0<ЕеЯИ^),

то по теореме Рисса —Шварца (Шварц [1]) найдется такая неотрицательная мера Радона р на £2, что

а (и, Е) —(Л Е>=$^ УЕеЯЗД.

о

Тогда, согласно (6.7), мера р сосредоточена в /. Итак, доказана

Теорема 6.9. Пусть и—решение задачи 6.1. Тогда существует неотрицательная мера Района р на £2, такая что Lu=f-^ix в Q и

supp р с: 1 = {х е £21 и (х)=i|> (х)}.

В частности, Lu = f в £2\/.

Теперь нашей ближайшей целью является установление связей между мерой и емкостью. Пусть Е — компактное подмножество £2 и

Кв = \у ё Я„ (£2) |«^ 1 на Ев Я1 (£2)}.

Ясно, что это выпуклое замкнутое множество в Яо(^)-

Определение 6.10. Емкостью множества Е относительно £2 называется в'еличина

cap Е = сарй Е = inf (и, de.(6.8)

°еКЕ 5

Говорят, что множество F с £2 имеет нулевую емкость, если cap 5 = 0 для любого компакта EcF.

Нижняя грань в (6.8) всегда достигается. Действительно, существует единственная функция

аеКв-$a*((v —a),;de^:0 Vue Кв. (6.9)

о

и понятно1), что она есть решение минимизационной задачи (6.8). Функцию а называют потенциалом проводника Е или емкостным потенциалом Е (относительно £2). Если £еЯ»(&) и ^^0, то а+£ е Кв и потому J ax.£x dx 5$ 0. Следовательно, а есть (— Д )-супер- о 1 1

решение, и по теореме 5.7 a 5=0 в £2. G другой стороны, min (а, 1) гКе и

Jmin(a, l)xdx= $ a^dx^ J aj dx = cap Я. О{х|а(х)<1}о

(Здесь неравенство а(х)<1 понимается в смысле п. в. и используется теорема АЛ.) Но а—единственный минимум интеграла Дирихле в Кв. так Что a=min (a, 1), и тем самым O^a^l в £2.

Пусть, далее, о» г Кв П Н1-00 (£2) .и on->a в Я1 (£2). Положим

8(0 =8(0 =0, t.1,0, t.1,/^0,0<f<l,t^l.

8(0 =

8(0 =

0, t.

1,

0, t.

1,

х) См. замечание после теоремы SA.—Прим, персе.

Тогда ty„ = 8(vn) е Кг П^1,00 №). №л = 1 на Е и

^ty^dx^Vnxdx^ J bnxdx-*cap E.

О{х|0<оя (*)<!}Q

Отсюда и из правила параллелограмма следует, что тл->-а в Я# (Я), и мы получаем, согласно определению 5.1, что а=1 на £ в Я1 (Я).

Наконец, если х е Я \ Е и U с Я \ Е — окрестность х, то a + Se/Сл для любого £еС0 (Я), и тем самым

$ аХ}Ц dx = 0 yt; s С* (Я \ E). Q

Итак, доказаны следующие свойства функции аеЯЦЯ):

— Аа^О в Я, —Да = 0 в Я\£,а=1 на £ в Я1 (Я), 0^а^1 в Я.

Как и раньше, по теореме Рисса —Шварца найдется такая мера m = mE, что —Да = т в Я, т. е.

$ а^Ц dx=\ 1dm ^1^Щ (Я).

Обозначим через g(x, y) = ga(x, у) функцию Грина для оператора — А в Я. Тогда по теореме Рисса о представлении получим, что a^x>) = \g(x, y)dm(y), хеЯ, и, следовательно, если формально о

воспользоваться двумя последними равенствами, положив £ = а, то получим-

сар£ = $ axdx = ^ adm^^ J g(x, у)dm(t/)dm(x). QQQ О

Используя свойства функции Грина, эту формулу нетрудно обосновать непосредственными вычислениями.

Теорема 6.11. Пусть /о» fi» ♦••» ^е£2(Я), ^еН1^, и — решение задачи 6.1 для f = fo + S $[dx^ f} е Н"1 (Я) и р — мера, соответствующая и. Тогда суи^ствует такая константа С>0, что р(£)^С(сар£)1/2 для каждого компакта £сЯ. В частности, если сар£ = 0, то р(£) = 0.

Доказательство. Мы предполагаем, естественно, что К^^ф (т. е. ф=СО на ЭЯ). Пусть О^^еС^(Я) и ^^1 на Е. Тогда

{

N1

1J

^п8Л|их|у (О) |^|t« (Q) + ]/р |fok* (Q) Ыь* (Q) + / N\

+ У И/ к* to) j II ^ к* to) = ^8 S* к* (Q)»

где для оценки интеграла J foldx мы воспользовались неравенством

Пуанкаре. Поскольку множество Q (Я) П Кв плотно в Кг, то

V^E^C inf д^к*т = С(сарК)'/2. | teKE

Следствие 6.12. Пусть и — решение задачи 6.1 и I—его коинци- дентное множество. Тогда если сар/ = О, то Lu = f в Я.

Следует отметить, что предположения теоремы 6.11 могут быть ослаблены. Действительно, наилучшая константа С в этой теореме удовлетворяет неравенству С ^ Со {| и, U» <q) +1 f |я-> wb где Со зависит от билинейной формы а и области Я. Таким образом, С связано с ф только через ||и*|Ь (щ, и поэтому, в частности, утверждение теоремы справедливо для каждой функции фе£°°(Я), для которой К^¥= ф.

Вопросы, связанные с гладкостью решения и, будут широко обсуждаться в гл. IV. Здесь же только заметим, что нельзя ожидать принадлежности решения классу С2 (Я). В самом деле, пусть N = 1, Я = (—3, 3), ф(х) = 1 — х2 и '

з

• а (и, v) = $ u'u'dx, и, иеНЦЙ).

-з

Решение задачи 6.1 для f = 0 дается функцией, которая склеена из кусков параболы ф и касательных к ней (ибо такая функция есть наименьшее суперрешение, принадлежащее К), но она принадлежит только классу С1. Подобные задачи (и с иной точки зрения) будут рассмотрены в следующем параграфе. ’

ЗАДАЧА С ПРЕПЯТСТВИЕМ В ОДНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ

Перед тем как обсуждать общие вопросы гладкости решения задачи с препятствием, мы изучим ее одномерный вариант. При этом заметим, что если Я = (а, 0) — открытый интервал в R, то Н1 (Я) — это совокупность абсолютно непрерывных функций и на (а, 0), производные которых и' принадлежат 7?(Я), а /7# (Я) — подпространство функций из № (Я), обращающихся в нуль в а и 0. Пусть

К = {о е Н'в (Я) | и 5$ ф в Я} + ф,

где фе№(Я), тахф>0 и ф(а)<0, ф(0)<О. Положим о

'Р

а (о, у) = $ и'(х)у'(x)dx, и, иеН1^). а

Ясно, что это коэрцитивная билинейная форма на НЦОу По теореме 2.1 для каждого /еЯ-^Я) существует единственная функция ueK: а(и, v — u)^(f, v — u) yv^K. '

Из результатов § 6 вытекает существование такой неотрицательной мерырс носителем в коинцидентном множестве 7={хеЯ|и (х)=ф(х)}, что

-U" = f+p .(7.1)

(в смысле обобщенных функций). Поскольку ф(а)<0 и ф(Р)<0, то 7 компактно в Я и по теореме 6.11 р (Я) = р (7)<оо. Мера р неотрицательна, и поэтому существует неубывающая функция <р, для которой <р' = р (в обобщенном смысле). Понятно, что <р (х) = р ([а, х)). Кроме того, так как feH-1^, то f = F', где FeL4(tiy

Уравнение (7.1) теперь можно записать в виде —u" = F' 4*ф'. откуда получаем, что

и' (х) = — (F (х) + ф (х) + const).

Заметим, что если FeLp^y р> 1, т. е. если / е Т/-1^ (Я), то иеН^Цйу Действительно, функция <р ограничена в Я и, следовательно, ыеС°-Л(Я) при Х= 1 — (1/р).

Предположим далее, что F непрерывна. Тогда функция и' непрерывна на множестве Я\7 = {х е Я | о (х) > ф (х)} и поэтому может иметь разрывы только в точках 7.

Так как <р — неубывающая функция, то ф(х — 0)^<р(х4-0) при х е Я и, стало быть,.

u'(x —0)^и'(х + 0), хе Я.(7.2)

Пусть £е7; тогда и(В) = Ф(В) и ы(х) — и(|)^ф(х) — ф(£). Если х<£, то ■

[о (х) - и (6)]/ (х - В) ^ [Ф (х) - ф (В)]/(х - В)

и, следовательно, о'(В — 0)^ф' (В — 0). Если же х>В, то

[U (X) - и (В)]/(х - В) >[ф (х) - ф (В)]/(х - В)

и потому «'(^ + 0)^ф'(^4-0).-

Теорема 7.1. Если дополнительно к предыдущим предположениям функция ф имеет разрывы вида ф' (х — 0) ^ ф' (х + 0), то и' — непрерывная функция'

Действительно,

и' (В - 0) ^ ф' (В - 0) ^ф' (В + 0) < и' (В + 0), £ е 7,

и, согласно (7.2), и’ (В — 0) = м' (В 4-0), т. е. и' непрерывна.

ПРИЛОЖЕНИЕ А. ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА

В этом приложении для удобства читателя собраны отдельные факты о пространствах действительных функций Hm-S ^у Систематическое исследование свойств этих пространств представлено в моно-

графин Морри [1, гл. З]). Мы начинаем с того, что даем два доказательства теоремы А.1 (см. ниже). В первом из них находит применение «абсолютно непрерывное представление» (лемма А.2), а во втором используется подходящий выбор пробной функции (леммы А.З и А.4). Затем мы указываем некоторые обобщения теоремы А.1, рассматриваем оператор следа и доказываем лемму об /Л-’-склейке.

Далее формулируются и доказываются некоторые леммы типа Соболева и Пуанкаре. В заключение дается формулировка хорошо известной теоремы Реллиха, доказательство которой может быть найдено у Морри [1].

Теорема АЛ. Пусть QcRw и и е Нм(Я), l^s^oo. Тогда шах (о, 0) е Н1-5 (Я) и для X^i^N-

[max (ы, 0)]Xf =[max (ы, 0)]Xf =(А.1)(А.1)их. в {х е Я | и (х) > 0},0 в {х е Я | и (х) 0}

[max (ы, 0)]Xf =

[max (ы, 0)]Xf =

(А.1)

(А.1)

в смысле обобщенных функций.

Поясним суть этой теоремы: производные max (и, 0) определены почти всюду по формуле (А.1). В частности, для любой пробной функции t '

— ( max («, 0) ^х dx = $ [max (и, 0)]Х;^dx = $ их.£dx. a q an{u>0}

Теорему достаточно доказать для случая, когда и е Ид 8 (Я), l^sc+оо. Поскольку £ имеет компактный носитель, то случай s=+oo соответствует теореме Радемахера о дифференцируемости липшицевых функций, которая предполагается известной.

Лемма А.2. Пусть veHg8(Q), l^s^oo. Тогда для каждого i, X^i^N, существует представляющая у функция у,, которая абсолютно непрерывна почти на всех прямых, параллельных оси xt в Я. Кроме того, (d/dx^v^hi п. в. в Я, где h, —представление Н^е!/^, т. е. обобщенной производной у по xt.

Доказательство. Пусть утгС\(Я) — такая последовательность, что

Ущ-^у в Нд8^,Ут-*-и п. в. в Я.

Продолжим функции ут и у нулем за пределы Я; тогда xi

vmW = J (дУт/дх^Хи ..., Xu, t, xi+1, .... xN^di,

где интеграл берется по прямой, проходящей через точку х параллельно оси Xi. Для каждой функции £еС0 (Я) имеем

/ Xi\/оо \

J vm(x)^(x)dx = $ I $ vmtjd<j^(x)dx = J VmxjWH t>di dx.

rNrN \—co/rN\xt /

Далее, последовательность (Vm*J сходится в L$ (Я) к функции hu являющейся обобщенной производной и по хь и поэтому

Л» \/ Х1 \

$ u(x)g(x)dx = J Мх)Н gd/jdx = $ ( $ ht di j £ (x) dx.

rNrN Ц. /RW \—co/

Отсюда следует, что и почти всюду совпадает с функцией иь которая абсолютно непрерывна почти на всех прямых, параллельных оси хь а ее производная dvldxi = ht представляет ^^^(Я).

Таким образом, равенства vXj = lim vmXi = hi можно понимать как в смысле I? (Я), так и п. в. в Я (для некоторой подпоследовательности Umx^. I

Доказательство теоремы АЛ. Покажем сначала, что шах (и, 0) е е/Д^Я), l<s<oo. Пусть и„еС1(Я) и ип-^и в Я114(Я). Ясно, что функции шах (ип, 0) липшицевы и удовлетворяют неравенствам

|тах(«„, 0)| ]., <[u„Li,s ^С(А.2)

"о (О) не (О)

с некоторым С>0. Далее, так как шах (и, 0) е I? (Я), то, очевидно,

J max («„, 0)-max(u, 0)|£в(О)<|ия-и|£,(О).(Д.З)

Из (А.2) вытекает, что последовательность {max (ыя. 0)} слабо сходится к некоторому элементу из Hj’s (Я), а из (А.З) следует, что этот элемент п. в. совпадает с max (о, 0).

Применим теперь лемму А.2 к функции и = max (и, 0). Пусть и, и «i — представления функций у и и соответственно, а ^ и ^ — представления их обобщенных производных, определенных в этой лемме.

Покажем сначала, что если F —любое подмножество Я, где и = 0, то ht = 0 п. в. в F, или, что то же самое,

\Kt dx = 0.(А.4)

F

Для этого заметим, во-первых, что F можно заменить его подмножеством той же меры, где б; = 0, а во-вторых, согласно теореме Фубини (см. (А.4)), достаточно доказать, что ^ = 0 п. в. в FaR, т. е. доказать утверждение для функции лишь 'одного переменного X/.

Если EcR, то F = F'\jN, где F' плотно в F и mesJV = 0. В F' с: R функция 5, п. в. дифференцируема, и понятно, что

ht = (d/dx;) vt = 0 п. в. в F'.

Пусть, наконец, Е — любое подмножество в Я, где о = и. Мы хотим показать, что hi — gi = 0 п. в. в Е. Рассуждаем аналогично предыдущему. После замены Е его подмножеством той же меры, где щ = бь нужно только доказать (по теореме Фубини), что hi=gi п. в. в £cR, Но последнее снова просто проверяется на плотном подмножестве £' с Е. |.

Теорема АЛ может быть выведена также из следующих двух лемм.

Лемма А.З. Пусть беС1^) и |8'(/)|^Л1. Тогда если ие еН1-8^, где Я с R^ — ограниченное открытое множество и l^s<+°°. то 6 (ы) е Н1-8 (Я) и

(d/dxi) 6 (и) = 6' (и)(ди/дх{) п. в. в Я, i=l, .... N.(А.5)

Доказательство. Поскольку иеН^Д), то найдется последовательность функций Ju„} из С1 (Я), такая что ип->и в Н1-8(Я) и ип -> и п. в. в Я. Ясно, что 8 (и^ s С1 (Я), и так как 18 (и„) — 8 (и) | ^ ^М ]«„ — «(, то 8(и„) сходится к 8 (и) в L8 (Я).

С другой стороны, Ь’ (ип)(дип/дх{) = (д/дх{) 6 (и„)-»-6'(и) (ды/дх<) в L8 (Я). Действительно,

8' (и„) ^диДдхд — 8' (и) ^dufdxd = 8' (ип) [(даДдх^ — (du/dx,-)] +

+ [8' («„) - 8' ^ (du/dXi) = Ап + Вп, где Л„->0 в Р(Я), а Вп-*0 п. в. в Я и | Вп |*< ^Шу | du/dXi |f. Следовательно, по теореме Лебега Вя->0 в L8 (Я).

Теперь остается заметить, что обобщенная производная ^д!дх^ 8 (и) есть предел в L8 ^ функций (д/дх^ 8 (иа). Лемма доказана.

Если и е№-‘(О)- такая функция, что и: Я'->-(а, 0), где Я'сЯи 8sС1 ((а, 0)), то (А.5) выполняется п. в. в Я'.

Лемма АЛ. Пусть и s И18 (Я). Тогда

du/dXi = 0 п. в. в Е = {хеЯ|« = 0}, l^hcN.

Доказательство. Для каждых уе[—1, 1] и в>0 положим

0ув (О —0ув (О —— 1,Y+W8),1,— 1,Y+W8),1,— ОО <_t ^ — В (1 +у),— ОО <_t ^ — В (1 +у),— 8(l+v)<f<8(l -у),— 8(l+v)<f<8(l -у),в(1 — y)^t <оо,в(1 — y)^t <оо,

0ув (О —

0ув (О —

— 1,Y+W8),1,

— 1,Y+W8),1,

— ОО <_t ^ — В (1 +у),

— ОО <_t ^ — В (1 +у),

— 8(l+v)<f<8(l -у),

— 8(l+v)<f<8(l -у),

в(1 — y)^t <оо,

в(1 — y)^t <оо,

/<0, t = 0, t>0./<0, t = 0, t>0.

/<0, t = 0, t>0.

/<0, t = 0, t>0.

так что о?8 (0) = у и-

lira aYe (0 = sgnY (0 = е-*0 .

Пусть далее

t

0Y8 (0 = $ °\е (т) ^т»— ОО < / •< ОО.

о

Ясно, что О^еС1^) и 10^е(01^ 1..Следовательно, 078еЯ’5(Я)и (d/dxi) 0Y8 (и) = aY8 («) (d/dxi) и п. в. в Я, l^i<A/.

Поскольку 6Yb(u)-»-1«| п.в. в Я при в-»-0 и | 6V8 (и)| ^| и| еLs(Я), то 0Y8(u)->|u| в Ь*(Й). Более того, при 8->0

(d/dxi) 0Vg (и) -► (sgnY u) (d/dx,) и п.в. в Я,

и так как | (d/dxi) 0Y8 («) I ^ | (d/dxt) u’eL5 (Я), то

(d/dxi) 6Vg (u) -* (sgnY u) (d/dxt) и в Ls (Я).

Таким образом, |и|ЕЯ’'5(Я) и

(d/dxi) | и | = (sgnv u) (d/dxi) и п.в. в Я.

В частности, (d/dxi) | и | = у (d/dxi) и п.в. в Е для каждого у е [—1, 1] и, следовательно,

(d/dxi) I “ I = (d/dxi) u = 0 п.в. в £. |

Несколько проще эту лемму можно доказать, используя упр. 15.

Из леммы А.4 сразу следует, что (d/dxi) max (и, 0) = 0 п.в., где ы^О, и (d/dxi) (max (и, 0) —u) = 0 п. в., где ы^О, т. е. тем самым получено еще одно доказательство теоремы АЛ. Приведем теперь два ее обобщения.

Следствие А.5. Пусть 6(t), — со <t <оо, —кусочно-линейная функция, произвобная которой разрывна лишь в точках'\аг, ... ..., а^}, и и еЯ1-’(Я), 1 ^s^oo. Тогда 6(и) еЯ11$(Я) и 6 (и)х. = = 6' (и) их. (в смысле обобщенных функций), где обе части этого равенства считаются равными нулю, когда х е (J \у\и(у) = аД.

В частности, min(«, 0), | и | е Н1’s (Я).

Доказательство этого простого утверждения мы опускаем. Заметим только, что по лемме А.4, примененной к 6 (и) и и,

(d/dxi) 9 (и) = 0 = (d/dxi) и п.в. в (J {</| и(у) = аД, \^i^N,

I

чем и оправдывается соглашение в формулировке следствия.

Более тонкое уточнение леммы А.4 представляет собой

Следствие А.6. Пусть В — липшицева функция на R, npoueeodHan которой существует вcюdy, за исключением, быть может, множества {аь ..., ам], и и е Н1-5(Й), l^s^oo. Тогда 0(и) е Н1- 5(Я) и

0(tz)*. = 0' (u)uXi (в смысле обобщенных функций).(А.6)

Перейдем теперь к доказательству леммы об Я1- ’-склейке, которая будет полезна при изучении задач со свободной границей. В нем используется понятие следа функции из HXs. Пусть, например, G={x е^Пх^ 1, х^ > 0} и 2 = {xeR;v||x|<l, Х№0}. Оператор следа Т: Hl‘s (G)-> U (£) линеен, непрерывен и обладает таким свойством:

Tv (х) = и (х', 0) уи s Н1- ^(GjcH1-3 (G),

где х = (х', х,у)Е^. Более того, обозначая через Тви след и на 28 = Gn {х|хуу = е}, легко проверить, что

TBv-*Tv в L5^ при е —>■ 0.■

Пусть теперь ^еН'^ЦС) и 7^ — 0. Отождествим £ с ее представлением, которое абсолютно непрерывно на каждом отрезке, параллельном оси xN. Существование такого представления следует из леммы А.2. По теореме Лебега найдется такая последовательность {еД, что ^х', е/)->-0 при в/->-0 для п.в. х'е2.

Продолжим t нулем в область G' = {x||x|<l, х^<0}. Для каждого х‘, такого что Иш^х', в/) = 0, функция £(х', xN^ переменного xN, |xjy|<l, абсолютно непрерывна и

(1-|х'|‘)1/8(1-|*'Р)*/3

$ I ^Af (^ » ^N^ Н <^N =I ^*АГ ^ • ^N^ (^ dxN.

-(l-|x'|i)*/s0

Следовательно, по теореме Фубини X>xN^-Ls ^, где В = {х 11 х | < Ц. Легко показать, что и Ц^Ь5 (В), если i<_N. Таким образом, продолжив функцию ^еРТ-ЦО') (для которой £ = 0 на 2) нулем на G , мы получим элемент из Hx-s(By

Отсюда ясно, что £ = 0 в 2 в том смысле, что £ = lim £„ в Нх-8^, где ^п^Нх'00 (G) и £„ = 0, когда xN<Ajn.

Наконец, заметим, что справедливо и обратное утверждение: если £ е Нх-00 (G) есть предел гладких функций £„, равных нулю в окрестности 2, то 7£ = lim7£n=0. Итак, доказана

Лемма А.7. Пусть ?>е Н'-ЦО), l^s<oo. Тогда Т^ = ^ в 2 в том и только в том случае, когда £ принадлежит замыканию по норме Нх- S(G) множества гладких функций, обращающихся в нуль в окрестности 2.

Из этого утверждения выводим лемму об Нх> ’-склейке.

Лемма А.8. Пусть В —единичный шар в Rw, G+ = {х е В | х^> 0}, G“ = {xsB|xa^<0}, 2 = Bf]{x№0}, и пусть о+еН'ЦО^, ге eB’-s(G-) таковы, что Tv+ = Tu- в 2. Тогда функция

( v+(x), xsG+,'

и (х) = <

■| w'W. х е G ,

принадлежит Hx-S (В)..

Доказательство. Положим ty(x) = u~(x', — х^), если xeG*. Тогда w еН1' S(G+) и Tuv = Tw в 2. Следовательно, T(w — и*) = 0 в S..

Пусть £е s Нх-00 (G) — такая последовательность липщицевых функций, что £е = 0 в 2 и £е-4-ш — и* в HV4G) при е-*0, а и£ е е//*• ет (G+) — последовательность, которая сходится к и+ в //1S(G+). Рассмотрим функции■

у у®^*xeG+US,

— t^(x', —^) + U(-«'» —xN), xgG\

Они, очевидно, липшицевы в В, и ясно, что

tne-n^(B)<he-^^(G+) + t^-(a’-n|)V(G+)->0 при е->0.

Кроме того, 1 ох|£i(В) «climinyve,|L$(B) =с|о? |£$(G) + 8^||£s(G) и тем самым у s //'■5 (В). |

■ Перейдем к формулировкам и доказательствам лемм Соболева.

Лемма А.9 (Соболев). Пусть Й czRN— открытое ограниченное : множество в липшицевой границей dQ и u^Hl-s(Q), l^s<oo. . Тогда

если \^s<N, то игЬ8*^), где l/s* = (l/s) —(1/М), и ■ II “ ^^(Q)^ ^ I “ Ия*1 S(Q)’.

если s>N, то ueC°'k(Q), где X=l — (N/s), и ЦиИ-^со)^ ^ Cl u Li где константы зависят только от, s и NQ.

Первое утверждение этой леммы вытекает из следующего полезного неравенства для функций из Н10-8(Й).

Лемма А. 10. Если \^s<_N, то справедливо неравенство

'i“b*(Q)<C(S*/1*)#“xk»(Q)» иеНо’Ч^»

с константой С, зависящей только от N.

Отсюда и из неравенства Гёльдера следует неравенство Пуанкаре, которое мы сформулируем в удобной для нас форме.

Следствие А. 11. Пусть иеНМД), Вг = {хеВ^| |х|<г}. Тогда

\ и(х)3йх^Сг2 ux(x)2dx, и^Но(Вг), (А.7) ВгВг'

где С зависит только от N.•

Доказательство леммы А. 10. Предположим сначала, что неравенство справедливо при s=l, и покажем, что тогда оно выполняется и при s> 1. Действительно, если иеСЦ'Й'), то lul^’e

g Щ’ (й) и, следовательно,

/$ ]uJs* dxV^^Cfs*/!*)\ux\dx.

\Q/Й

Используя неравенство Гёльдера, получим

( $ | и |s*dxy1/ie)-(1/s'>С Is*/1 *) / $ | их |» dx\r,s.

\Й/\Й/

Так как (1/1*) — (l/s') = (1/s*), то требуемое доказано.

Остается рассмотреть случай s=l. Пусть x = (xi, ..., x^elR^. Из неравенств

№)|^| $|1Ц(£№ i=l, 2, ... . N,

i

где интегралы берутся по прямым ^ = хг, Z= 1, 2, .... N, мы выводим, что

[«(x^-n^Wf |Иж. ф^У^Л i \</

Производя теперь последовательное интегрирование по переменным хъ ..., xN и применяя неравенство Гёльдера1), получим

J | и (х) !"/<"- » dX1(1 /21 •) (JI иХ1 (£) I d^yw" ° X

■ XI ^лг (6)I

\1 2/\1 N/

J j I U (X) |М"- » dX! dxa (1/2-) g $ ] их (х) I d^ dx^N-°...

• • • /$ $ $ I «X (X) | dx! dxa d|sy ,w~ n ...,

\1 2 3/

J |Ы(x)|^/<^-1)dx1...dx^^(l/21’)/J |uДx)|dXl...dxлryvZ(Лr"1, rn\rn)

Таким образом, неравенство доказано для s = 1 с константой С = = 1/21*. |

Доказательство леммы А.9 (П). Покажем сначала, что

| и (х) | ^ С (mes fi)-v» (| и |£, (В)+[1 - (N/s)]-1 diam й | их |£S(B)),(А.8)

если ugW'^Q). Продолжая функцию и до функции из Но '^о).

й с Qo1) (продолженную функцию обозначаем той же буквой) так.

мы видим, что можно ограничитьсямы видим, что можно ограничитьсячтобы I«Ihm(Oi)<cI«Ih1.s(C)»

мы видим, что можно ограничиться

мы видим, что можно ограничиться

рассмотрением функций из Но $(Й). Но если иеНо ’(й), то и есть

предел функций ип е С” (й), и поэтому достаточно доказать неравенство (А.8) только для функций из С” (й).

Пусть хей, Тогда для каждого у е й справедливо равенство

1

u(x) = u(y) +$Ux(x-M(y-x))(y —x)d/a), о

после интегрирования которого по переменной у приходим к соотношению

1

тезЙи(х)= $u(y)dy + $ $ «Дх-Н(у — х)) (у — x)dydt. (А.9) оос

Оценим оба слагаемых в правой части (А.9) по неравенству Гёль- дера. Для оценки второго слагаемого.

1

I = \\ux(x + t(y-x))(y-x)dydt(АЛО)

о о

рассмотрим множества й (/) = {г = х -Н (У — х) | г е Й}, t е [0, 1]. Легко видеть, что mes й (t) = tN mes Й. Тогда

|/|<$ 5 \ux(z)\\y-x\t-Ndzdt^

о. ВЦ)

1

diam Й $ t~N (mes (Й t^MHA [ иж|£, (Q) dt <

0

diam Й (mes Й)^»)—^__|ы,|£,(В)>

и, следовательно, из (А.9) получаем, что

mes Й | и (х) | < (mes Й)^1^) {| о |£, (В) 4. -^^ | их 8^ (В J. |

В частности, доказана непрерывность функций из Н1’8^ при$>АА

Лемма АЛ2. Пусть функция и еН'-8(Вг(х)) такова, что

$ o^dy = 0. Тогда В»Цв/х))<СгВпхЦ^(х)), где С зависит

только от N и s.'

г) См. § 4 гл. II, после определения 4.4.—Прим, перее, а) Если Q звездна относительно х, — Прим. перев.

Доказательство этого утверждения мы оставляем в качестве упражнения.

Закончим доказательство леммы (А.9) (И). Пусть иеНо8 (Q) и х, у ей, |х — </| = б. Рассмотрим функцию

u —6 = u —(l/mesB6) $ ut^d^,.вь^

Ясно, что интеграл от нее по шару Вв(х) равен нулю. Применяя теперь к этой функции неравенство (А.8) и оценивая в нем первый член справа по лемме А. 12, получим

|u(x)-u(y)K|u(x)-c| + |u(y)-c|^

<2C6i-Ws> {1 +2[1 -даН1«х|4»(0),

где С = С (s, NY |

Другое полезное неравенство относится к функциям, равным нулю на подмножестве Вг.

-Г £*- J | их (х) I dx-Г £*- J | их (х) I dxЫКН-1>ЫКН-1>Лемма А. 13. Пусть Е а Вг —такое множество, что mes£^ ^6mesBz, 0<6<1, и функция и е НХЛ (Вг) равна нулю п.в. в Е. Тогда для каждого о>0

-Г £*

- J | их (х) I dx

-Г £*

- J | их (х) I dx

ЫКН-1>

ЫКН-1>

mes {хе В, 11 и(х) |>а} ^

где С зависит только от в.

Доказательство этого утверждения опирается на следующие две леммы.

Лемма А. 14. Пусть feL1 (R^ и

Kf (х) = J (f (^Л x-y |^) dy, x e R",

mes{x|| ЯДх)|>а}<Г£ J IHiOI^]*^ П V®>0-mes{x|| ЯДх)|>а}<Г£ J IHiOI^]*^ П V®>0-— потенциал первого порядка, порожденный функцией f. Тогда существует константа С>0, такая что

mes{x|| ЯДх)|>а}<Г£ J IHiOI^]*^ П V®>0-

mes{x|| ЯДх)|>а}<Г£ J IHiOI^]*^ П V®>0-

r" J

Доказательство. He ограничивая общности, можно считать, что l/KLi(Rjv) = l- Для некоторого xeR" и е>0 положим

КТО- J №-»М<18.

КТО~ J TO!\x-y\N-W

Тогда |№Дх)|^81-лг|Ддг(дЛ9“е1-лг и поэтому |/<еДх)| <а/2, если е = (21аУ/хМ-1\ Следовательно,

mes {х 11 А/ (х) | > о} < mes {х |) К^ (х) | > а/2}.

G другой стороны, KJ е L1 (R^), так как по теореме Фубини -

'$ |Kef(x)|dx< $ \y\1-Ndy = Cx6.

rN\У1<е

Таким образом,-

(а/2) mes {х 11 Kef (х) | > а/2} < $ | KJ (х) | dx < Сга.

rn

и тем самым

mes {х | \Kf (х) | > а} «С mes {х 11KJ (х) |> а/2} ^.

<(2С1/а)е = С(1/а)^-1>. |

Лемма АЛ5. Пусть функция и е Hv>*(Br) равна нулю на Ес.Вг,где mes Е ^ 6 mes Вг, 0<6<1. Тогда существует такая константа р>0, зависящая только от 6 и N, что

|а(х)Кр J (l^^l/lx-y^-^dy, хеВг. в,

• Доказательство. Если х г Е, то последнее неравенство выпол- ' няется для любого р. Пусть хе В,\Е. Рассмотрим функцию г —у (x-j-г^), где ^eS^-1 и SN-l = dB1(0), и положим 2 = {£е - eSjV-1|g^>0: x-V-R^eE^. Тогда если x-V-R^eE, то из - равенства '.~

о

о(х) —o(x + r£) = $(dv/dp)(x + p5)dp

R

следует, что | о (х) | «С $ | у, (х + р^) | dp. Обозначая через do элемент - о

площади поверхности S^-1, а через |S| меру множества 2, получим

2г-

|2||о(х)| = 5 |o(x)|d©< $$ |ox(x + p^)|dpd© = ■ sso

2r

= И (I °АГ (</) l/I^C —Z/l^-*)p^—^Рб/со^г J d^^l/lx-i/^-^di/. SOBr

Остается теперь только показать, что 12 | ограничена снизу положительным числом. В самом деле,

2г

в mes В,«С mes Е «С J da $ pN— 1 dp = [(2r)NlN] 12 |. s о

Следовательно, 121^8^[mesBr/(2r)^] = 8y^)= 1/p(0, N) и тем самым

l«WKP(6, М)^\их(д)\1\х-у\м-^у. | о

Доказательство леммы А. 13. Утверждение достаточно доказать для функций us//1'”(Вг), которые равны нулю на Е, где mes Е ^ в mes Вг. По предыдущей лемме для таких функций

{x||u (х)|^о}с{х|/<(| их |) (х)^о/Р}.

Следовательно, по лемме А. 14

mes {х 11 и (х) ] ^ а} ^mes {х | К ([ их | (х) ^а/p} «С"

<Г(Ср/а) $ l^^ldx]^-11. |

I rn J

Сформулируем без доказательства хорошо известную теорему Реллиха о компактности (Морри [1]).

Теорема А. 16. Пусть Й — ограниченная область с гладкой границей dQ, т^Л и l^s<oo. Тогда если ип-*-и слабо в Hm‘s(Q), то ип^-и в Hm~{-*(Q).-

ПРИЛОЖЕНИЕ В. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ИЗМЕРИМЫМИ

ОГРАНИЧЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

В этом приложении будет получена оценка решения задачи Дирихле

Lu = — (ayUx^.^f в Й, u = 0 на дй, сформулированной в § 5. Эта оценка понадобится в гл. IV. Сначала докажем следующее утверждение.

Лемма ВЛ. Пусть ф — неотрицательная и невозрастаклцая функция на [Ао, со), такая что

Ф(йХ[С/(Л~^)»1|ф(^)|», h>k>k6l(В.1)

где С, а, р — положительные константы и р> 1. Тогда

<p(^ + d) = O,(В.2)

.d® = С | ф (1г0) |М 2®»'»-«.(В.З)

Доказательство. Рассмотрим последовательность kr = ko+<i — — (d^, r = 0, 1, 2По предположению -

(p^iXC^’WlT^r)^, ' = 0, 1, 2 (В.4)

Докажем по индукции, что

Ф(^ХФ(А0)/2-/’1, где ц = а/(1 — Р)<0.(В.5)

При г = 0 неравенство (В.5) тривиально. Предположим, что оно справедливо при 1, .... г, и покажем, что тогда оно выполнено и при г4-1. Действительно, согласно (В.4), .

Ф (М < С [2<^> ®/d®A [| Ф (*о) l^**]

и из (В.З) получаем, что ф (kr+i) ^ ф (ko)/^'*1^. Правая часть этого выражения стремится к нулю при г->4-оо, и, следовательно, О^ф(Ао + й)=^ф(^г)-*О. |.

Теорема В.2. Пусть функции а^ е L* (Й) таковы, что

v | £ |а < ау (х) ^ v£ s R" п-в- в й

и v>0. Пусть, далее, fa, fi, ...» In^Ls^) при s>N и

иеЩ(П): \avux^dx=\^-Hi^dx, ^eHUQ). (В.6) QQ

АГ

Тогда max|u|^оТогда max|u|^о"7 2 * ^ ®L$ (Q) ^mes ^<1/ЛГ) ”<1/$)» ^е К не зависит от v. о

Тогда max|u|^о

Тогда max|u|^о

Доказательство. Положим для ^>0

C = (sgnu)max(|u| — к, 0) =C = (sgnu)max(|u| — к, 0) =и —к, и^к,

C = (sgnu)max(|u| — к, 0) =

C = (sgnu)max(|u| — к, 0) =

0, | и | =С к,и-\-к, и^ — к.

Согласно следствию А.5 и предложению 5.3, ^еЩ (Й). Кроме того, Ц = «*, на множестве A(R) = {xeQ||u(x)|^fc}. Следовательно, vKxlb(O)< 5«уЦЦ^ = \ауихЦйх= ’ йй■

/ Nх1/2

= $ U^+f^dx^b S $ W Кхкчс).л (6)\ о А№1/

Здесь 5 = max(P, 1), где Р— константа в неравенстве Пуанкаре, которым мы воспользовались для оценки первого члена. Отсюда ясно, что.

N’ltl‘H|m«Tltfrtlm+v2 J ^1=0 А (й)

По неравенству Гёльдера

$$ lA^dxW^mesA^))1-^)1),

А (й)\Д (й)/

N

и поэтому ВС Инг (Й> ^ V1 2 *^ ^s (О) tmes А ^^l1 ~<2/”’ Из неРавенства i=0

!) s$:2, так как s> N^ 1.— Прим, перев.

Соболева (лемма А.9) получаем (1/2* = (1/2) — (1/W))

\Л(М/ \Q/

N

<СI?«hJ(Q)<^ 2 Vil^o, [mes A (ft)]1 -<2/’>. i=0

Если ft>ft>0, to A (ft) c A (k) и

(ft -ft)2[mes A (ft)]2/2’ J (| u | — ft)2* dx\2/2‘^ / J (|и| -ky dx^'2*. 'V(6)'/ W)I

Следовательно,

2lMlJ[mes^(ft)]^ = o /

или (N. 2*/2

2«mi-w 1тезл(^> 1=0/

где p = [ 1 — (2/s)] = (2 */2) = [ 1 — (2/s)] [ 1 — (2//V)]-1 > 1, так как s > N. Теперь из леммы B.l вытекает, что mes/1(d) = О,

/ N ..1/2

d = 7|2№(J tmes^w-^, v=o/

т. e. |u(x)|^d п.в. в Q. |

Определение В.З. Будем говорить, что ограниченное открытое множество Q с: IR^ принадлежит классу S, если найдутся такие числа а, 0<а=С1, и р0>0, что для любых xoedQ и р<р0

mes (Вр (х0) \ Q Q 5Р (х0)) ^ а mes Вр (хо).

Теорема В.4. Пусть иеН» (Q) — решение уравнения

NLu = ~dx{ ^Ми^ = 2 ^х1»1=1

где «//(х)^^>v)^|®(v>0), |^у(х)|^Л!, Д-е£#(Й) при s>N и Q класса S. Тогда функция и непрерывна по Гёльдеру, точнее говоря, сушрствуют такие числа ft>0 и К, 0<Х<1, зависящие только от v, М, Q и N, что N.

Заметим, что правую часть уравнения можно заменить выражением

N

fo + 5 ^t, где f0 е Lr (fi), г > W/2.

Действительно, пусть V е Щ (D): — АУ = /0 в DdQ; тогда ^ = = — £ (d/dxf) У,. По неравенству Кальдерона — Зигмунда (мы его напомним в § 2 гл. IV) VX.X} е Lr (D), и из неравенства Соболева теперь следует, что УХ( е I/* (Q) и г* > N.

Доказательство теоремы В.4 будет дано в приложении С.

ПРИЛОЖЕНИЕ С. ЛОКАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ■

Напомним следующее определение:

Определение С.1. Открытое множество Qc^ называется множеством классаЗ, если найдутся такие а, 0<а^1, и р0>0, что для всех х0 е й, Р < Ро и Q (х, р) = Q П ^р W

mes {Вр (х0) \ Щх0, р)} 3$ а mes Вр (х0).(С. 1)

Рассмотрим оператор

Lu = —(пу (x)uX/)Xj(С.2)

и предположим, что

v^a<ay(x)^y, v>0, \сцДх)\^М.

Основная цель этого и следующего приложений заключается в доказательстве такого результата.

Теорема С.2. Пусть игНЦЙ) — решение уравнения

N

Lu = S^,(С.З)

edeJigL^Q), s>N и Q класса S. Тогда и непрерывна по Гёльдеру в Q, или, точнее говоря, существуют такие К>0 и К, 0<Х<1, зависящие только от v, М, Q и N, что

> n \

OSC S»MLs(Q))p\(С.4)

о«. р) \г±1

В приложении В мы уже доказали ограниченность решения и. Теперь же мы должны установить для него оценку (С. 4). Ее доказательство проведем в несколько этапов. Прежде всего нам необходимы локальные оценки решений, суперрешений н субрешений относительно оператора L..

Определение С.З. Функция и г /Дос (Q) называется локальным L-субрешением, если

Jay (х)ы* Ф* dx<0 уфеС*(й), ф^О. (С.5) о

Функция иеЯ(ос(^) называется локальным L-cynep решением, если — и есть локальное L-субрешение, т. е. если имеет место неравенство, противоположное (С.5). Таким образом, локальное решение— это одновременно локальное L-суперрешение и локальное L-суб- решение.

Справедлива следующая теорема, доказательство которой будет приведено чуть ниже.

Теорема С.4. Пусть и — локальное L-субрешение. Тоеда существует такая константа К = К^, М, N), что если х е Q и Q(х, 2р)с g Q, то

шах и^^К Ul/pN')J иЧхУ'2,(С.6)

° <*• Р>IО(х, 2р)/

Следствие С.5. Пусть и —локальное L-суперрешение. Тогда существует такая константа K = K(v, М, N), что если х г Q и Q (х, 2р) с eft, то

min u(x)>/Q(l/pw) ( u^dxV'2.(С. 7)

° <*’ Р>I Q (X, 2р) J

Действительно, (С.7) сразу следует из (С.Б), так как —и есть локальное L-субрешение.

Теорема С.6. Если решение и уравнения Lu = 0 принадлежит Н1 (Q (х, 2р)) и обращается в нуль на dft Q В4р (х), то справедливы оценки (С. 6) и (С. 7).

Если хе ft и 2р < dist (х, 5Q), то эта теорема является элементарным следствием теоремы С.4 и следствия С.5. Если же хеdft, то справедливость ее будет видна из доказательства теоремы С.4.

Для доказательства теорем С.4 и С.6 нам понадобятся несколько лемм. Первая из них аналогична лемме ВЛ.

Лемма С.7. Пусть ф(Л, р) — действительная неотрицательная функция, определенная для всех h>-ko и p<R6, невозрастающая по первому аргументу, неубывающая по второму и удовлетворяющая неравенству

фОЧ Р) ^ (д—ду* (# —p)Y Iv ^* ^)Р»(С.8)

еде h>k>k9, p<.R<Ro Ц С, а, 0, у — некоторые положительные константы, причем 0>1. Тогда если Ь<а<\, то

ф(£о + ^, Ro~ oRo) = 0,(С.9)

A(С10)

Доказательство. Рассмотрим последовательности '"

Ar = Ao+d-(d/2O, Pr-Ro-GRo-HaRo^ (С. 11)

и докажем по индукции, что

ф№-, Рг)^ф(&о, Ro)/^, где ц = (а + т)/(Р — 1).(С. 12)

При г = 0 (С. 12) очевидно. Пусть это неравенство выполнено для 1, ..., г. Покажем, что тогда оно выполнено и при г+1. Действительно, из (С.8), (С. 10) и (С. 12) следует, что-

Ф(^ь p,ti)^C[2(«+v)(r+i)/(d«^р^Р^Ф^о, R<M2^\

Переходя здесь к пределу при г->оо, получаем (С.9). |•

Лемма С.8. Если и — неотрицательное локальное L-субрешение и аеСЦЙ), то существует такая константа K = K(v, М, N), что ■J a?vxdx^ К ^ a®u2dx.(С. 13)

QЯ

Доказательство. По предположению

\atj(x)vX/4>Xtdx^0 ЧФ^НЦЙ*'),

где Й'сЙ и ф^О на Й'. Подставляя сюда ф = а2и, после несложных преобразований получим (С. 13). |

Следствие С.9. При тех же предположениях, что и в лемме С.8, справедливо неравенство

/ $ (ап)4* дх\ш* < К $ a^v2 dx, ^ = -^ — ^-(С. 14)

\я /а

Для доказательства достаточно воспользоваться неравенством Соболева для функций из Я£(Й).

. Следствие С. 10. При тех же предположениях, что и в лемме С.8, имеет место неравенство'

$a2v2dx^K^ а&Рdx[mes {х е Й | au ^0}]4/w.(С. 15)

оя

Эта оценка следует из (С. 14) и неравенства Гёльдера.

Замечание С. 11. Если хедй и о —субрешение в НЦ£Цх, R)), обращающееся в нуль на дй(]^(х), то для 0<p<2R выполнены неравенства.

f ^^Xr^» S v2dx’(C,16)

Q (x. p)Я (x. R)

Г y2dx^(6^_-« f у1 dx[mes{xeй(x, 7?)|о>0}]^. (C.17) 9(x.p)W Q(«,^.

Для доказательства этих соотношений нужно в лемме С.8 и в следствиях С.9 и С. 10 выбрать аеС1^) так, чтобы а=1 в Sp(x), а = 0 вне В2р(х) и |ах|^2/р.

Доказательство теоремы С Л. Поскольку и —локальное L-субрешение, то функция

max (tz, k) — к = и — min (и, А)(С. 18)

также есть локальное L-субрешение для любой константы к (см. теорему 6.6), а при к^ 0 — субрешение в Нг(^(х, 2р)), обращающееся в нуль на dfi f) В1р (х).

Пусть аеСд(Й) таково, что а=1 в Й(х, р), а = 0 вне BR(x), где р<^, и |а,| ^2/(7? — р). Согласно следствию С. 10,

J (u — k^dx^^^py(и — kf dx [mes А (х, Ry^N, (С. 19)

Л(».Р)А (К, Я)

где А (к, p) = {y| u(y)^k} П й (х, р). Если к>-к, то ■

(й — ку mes A (h, р)^ J (и — kydx^ J (u — kydx. (С.20)

Л (й, р)А (6, Я)

Положим

a(h, р) = те5Л(й, р), и (к, р) = $ (и — hydx. (С.21) А (6, р)

Очевидно, что

и (h, р) ^ VW - Р)2] “ (к. Ю [а (к, R^N, а(Й, рХ[1/(й-й)2]и(й, R).

Для любых положительных чисел ^ и г] отсюда следует неравенство

|и(й, р)рja(ft, р)!11^

<{^/[(/?-р)2Чй-й)2т>]}|и(й, Т?)^^^ R)\^/n.(Q.23)

Пусть ^ и т] таковы, что ^ + 'П = 6=1 2^/N = 6i\, где 0 есть положительный корень уравнения 62 — 6 — (2/Л^) = 0, т. е. 6 = (1/2) -|- 4-)/(1/4)4-(2/Л^)> 1. Зафиксируем теперь т] = 1, ^ = Л/6/2 и положим ф(й, р) = |и(й, р)|6|а(й, р) l11. Тогда (С.23) может быть переписано так:

■P^i^^Tjsk^ Rff. ■(С.24)

где h>>k, p<R и 8>1. Следовательно, по лемме С.7 при а=1/2, Ао = О, 7?0 = 2р получим <p(d, р) = 0 и d = K[<p(O, 2p')Y6-1w4K2pУro,2. Отсюда уже просто получается оценка (С.6). Этим доказана теорема С.4. Доказательство же теоремы С.6 (с учетом замечания С. 11) проводится совершенно аналогично. |

Теорема С. 12. При тех же предположениях, что и в теореме С.4 (или в следствии С. 5), справедливо неравенство

max и^ко + к!-^ Г (и - fe0)2 dxV'2 ^' ^У^^*, (с,25) :

где 6 = (l/2) + ]/W)+ №)>!, P<R, A(k, R) = {y^Q(x, /?)| u(y)^k\ “ ho —любое действительное число, если хей (или любое неотрицательное число, если х е дЙ).

Доказательство здесь точно такое же, как и в теореме С.4, но только лемму С.7 нужно использовать с тем к», которое указано, в формулировке теоремы.

Рассмотрим теперь решение эллиптического уравнения

N

Lu = £ (f^t, где h е L» (й), s 2= 2. (С.26)

Теорема С. 13. Пусть и —локальное решение (С.26). Тогда существует такая константа K = K(v, М, N), что если BR (х) = = Й(х, /?)сЙ и s>N, то

Теорема С. 14. Пусть хедй и и —решение (С. 26), равное нулю на дЙ П Br (х\ Тогда выполняется неравенство (С.27).

Доказательство теорем С.13 и С. 14. Пусть и —решение уравнения (С.26) в Щ(^(х, R)). Положим и = о + ®. где w — решение уравнения £и = 0 в Нх(й(х, R)) (в случае теоремы С.14 нужно потребовать, чтобы оно обращалось в нуль на дЙ () BR (х)).

По теореме С.4, следствию С.5 и теореме С.6 получаем

Но, согласно теореме В.2,

/ ( и2 dx\1,s ^ шах | и | [mes Й (х, Я)]172 ^

\Q(x, R) /Q(*’ Ю

<Я1^М0(* W)^z,)[mesfl(x, R№

и, следовательно,

max | u | sg max | ay | + max | у | =с й (х, R/2)й (х, R/2)Й (X, R/2)max | u | sg max | ay | + max | у | =с й (х, R/2)й (х, R/2)Й (X, R/2)RMNfs1)RMNfs1)

max | u | sg max | ay | + max | у | =с й (х, R/2)й (х, R/2)Й (X, R/2)

max | u | sg max | ay | + max | у | =с й (х, R/2)й (х, R/2)Й (X, R/2)

RMNfs1)

RMNfs1)

Теоремы С. 13 и С. 14 доказаны. |

ПРИЛОЖЕНИЕ D. НЕПРЕРЫВНОСТЬ РЕШЕНИЙ ПО ГЁЛЬДЕРУ

В этом разделе мы предполагаем, что Й с: Rw — открытое множество класса S (см. определение С.1). Докажем сначала две леммы.

Лемма D.L Пусть иеН1^» R^ и A(k, R) = {у е Й (х, R) “(У)^^- Тогда если существуют такие константы к» и 0, 0^6<1, что те5Д(й0, R)<8mesЙ(х, R), то для h>k>k<i выполняется соотношение

' (h — k) [mes A(h, R^-tW^K JI «,(01^. (D.l)

Л(А, Я)\Л(а, R)

где K = K$, NY Кроме того, по неравенству Коши из (D.1) следует неравенство

(h - ^ [mes A (h, R)]№-wn

^К2 $ |^(0|гЛтез{А(й, R)\A(h, R)}.(D.2)

Л (ft, R)

Доказательство. Если й>й>й0, то у = min {и, й} — min {и, й} г е Н1 (BR (х)) и mes {х е 5д(х) | у (х) = 0{ =mes {Вл(х)\ А (й, /?)}> >(1— 8)mes##(х). Тогда по лемме А. 13

тезА(й, R)^тезА(й, R)^h — k С Iи* (01л (ft. /?)\л (а, я)

тезА(й, R)^

тезА(й, R)^

что, очевидно, равносильно (D.1). |

Лемма D.2. Пусть <р — неотрицательная и невозрастающая функция на [йо, Af], такая что

th - й)« | ф (й) |Р ^С [М -й]“ [ф (й) - ф (й)](D.3)

(D.4)(D.4)при k<.h<_Mt где а, 0 и С — некоторые положительные конвтанты. Тогда

(D.4)

(D.4)

Нт ф(й) = 0. ь — м

Кроме того, если kn = М — (.М — k0)^2n, то

Доказательство. Так как kn — к^ = (/И — ко^2п и М — кп-1 Ц = (М — ко^й”-1, то, согласно (D.3),=.

|ф(А:л)|р^С2а[ф(А!„-1) — ф(й„)].;

Складывая эти неравенства при п = 1v и учитывая, что ф(#л)^ ^ф(^), получим*

v [ ф (&v) |р ^ 2“С [ф (&0) — ф (^i)].

Следовательно, ф [к^) ^ (2аСф [k^lvy^ и (D.4) доказано. |г

Пусть и— решение уравнения Lu = 0. Определим величины ;

т (г) = inf и, М (г) = sup и.'

« (х. г)а (х. г)

Теорема D.3. Пусть и—локальное решение уравнения Lu = 0 и ’ точка х0 е й такова, что ••

mesX(&o, RX^ mesfi(x0, R),(D.6) '

аде ko = ^(M (27?)+ m (2R)). Тогда■ ,

lira mes A (fi, 7?) = 0,.(D.7)

ft -•M (2R).

Теорема D.4. Пусть x0 e дй, й класса Suu — решение уровне- ния Lu = 0, обращающееся в нуль на дй Q BR (х0). Тойа справедливо - заключение теоремы D.3.",

Доказательство теорем D.3 и D.4. Пусть аеСД(Й(хв, 27?)) и . а=1 в й(х0, /?). В силу леммы G.8 и замечания С. 11, при о = . = max(u, k) — k имеем

." f u,dx<^ J (u —A)’dx.:

A (k, R)A (ft, 2R)

Здесь к — любое число, если хоей, и к^О, если хьгдй. Из ’ леммы D.1 вытекает, что при h>k'

(h-fc)a [mes A (h, R^-o/w^■:

<С[7И(27?) —АрЯ^-^тезЛ^, /?) — mes А (к, 7?)], *

и тем самым (D.7) следует из леммы D.2.J■

Теорема D.5. При тех оке предположениях, что и в теоремах ' D.3 и D.4, существуют такие числа tl, 0<q<l, и Ро>О, что при Р<Р6 ''

<в(р)^т|<о(4р),(D.8)

где <о(р) = М (р) —/и(р)—колебание решения и в й(х0, р).

Доказателмтео. Rua можем предполагать, что выполнено (D.6).

Действительно, так как mes {х е й (хо, 7?) | и (х) ^ А} + mes {х е

Q (Хо. R) I — “ W ^ &} ^ mes ^ (Хо, R), то по крайней мере для одного из двух решений и или — и соотношение (D.6) справедливо. Или же, по-другому, если х0 е dQ, то для одного из этих двух решений ho = (1/2)[М(2/?)4-т(2/?)]^0, и поэтому (D.6) выполняется. Если ho 3= 0 для и, то функция о = шах (и, А) — к равна нулю вне dQ (] f|Bp(x0) и, следовательно, продолжается нулем в BR(x0)\Q (х», R), так что справедливо замечание С. 11. По теореме С. 12, где вместо ко берем

к^ = М (2/?) - [Л4 (2R) — m (2/?)]/2v+1

и v столь большое, что ко>-ко, получим.

М (R/2) ^kv + K[M (2R) - ^] [mes А fa, RyiRtf^/»

с 6>1. Согласно теоремам D.3 и D.4, v можно выбрать так, чтобы К [mes A fa, R^RNy6-1'^ < 1/2 и тем самым

. М (R/2) ^ М (2R) — [/И (2/?) — m (2R^2W.

Кроме того, так как т (.R/2) 2s т (2/?), то <в kR12^ ^ <в (2/?) [1 — (1/2**3)] и теорема D.5 доказана, g.

Известно, что из этой теоремы следует непрерывность по Гёльдеру решения уравнения (упр. 18). Тогда, в частности, локальное решение уравнения Lu = 0 удовлетворяет условию Гёльдера на каждом компакте С в Q, или, другими словами, существуют такие константы К и X, 0<Х<1, зависящие только от v, М, N и компакта, что

' osc и(.у)^К(\ $ utdxMR"]1'2 (p/RY1,

а (*. р) ' \Lq <х, r> ]//(D.9)

0<p</?<dist(C, dQ).

N.

Рассмотрим сейчас решение уравнения Lu= ^ (ft)x., которое обра- <=i*

щается в нуль на dQ.

'.N

Пусть о е Но (Q (х, 8р)) — решение уравнения Lv =S(A)x,. По

ложим u==D + ty, где и> —решение уравнения £щ = 0, равное нулю на dQnSgp(x), Поскольку osc и^2 max |D| + oscty, то по тео

' О (х. р)Q (х, р)

ремам D.5 и В.2 (если ft е Z/(Q), s> N) существуют константы К>0, ро>О, 0<т]<1, такие что

’со (р)^г[а) (4p)+Kp1-(Ws), р<ро-(D.10)

Отсюда следует, что и непрерывна по Гёльдеру на Q, и тем самым доказана теорема С.2..

8*

Замечание D.6. При тех же предположениях, что и в теореме С.2, существуют такие константы /<> О, ро > О и 0 ^ X < 1, что

$ и* dx =с Kp^^, р<р0.(D.11)

Q (х. р)

Доказательство. Достаточно заметить, что и — и (х0) — решение в £2(хо, ро) того же уравнения, что и и, которое равно нулю на 5Qf]Bpo(x0), и что |u(xj —«(хо^гСЛр* при хей(хо, 2р) вследствие теоремы С.2. .

Используя теперь неравенство, аналогичное (С. 16), для неоднородного уравнения и решения u(x) —и(х0), мы получим (D.11). |

Неравенство (D.11), согласно теореме Морри, влечет за собой непрерывность по Гёльдеру решения и. Следует, однако, заметить, что если для двух переменных можно доказать (D.11) и вывести из него непрерывность по Гёльдеру, то для большего числа переменных мы должны сначала установить такую непрерывность, а затем вывести (D.11).

Комментарии и библиографические указания •

Теорема 2.1 впервые была доказана Стампаккья (3]. Другое доказательство дано в работе Лионса и Стампаккья (1]. Специальный случай симметричных форм был изучен раньше. Упомянем также работы Литтмана и др. [1] и Фикеры [1].

Первый пример вариационного неравенства был приведен в § 3. Там препятствием служила функция из L1. В основном методе решения увязываются воедино вариационный подход к решению краевых задач с классической теорией потенциала, ибо при применении этого метода мы ие выходим за рамки соболевскнх пространств №’s (Q). Более того, обобщенные производные функций, обходящих препятствия, явно вычисляются (см. теорему А.1 и следствия А.5 и А.6).

Этот факт был хорошо известен для функций, которые абсолютно непрерывны в смысле Тоиелли и/или Морри, ио для функций из пространств Hv’s (Q), определяемых как пополнение гладких функций в соответствующей топологии, необходимы аккуратные рассуждения. Многие теоремы об эллиптических дифференциальных уравнениях второго порядка в дивергентной форме доказываются с помощью этого результата, например слабый принцип максимума из § 5, а также результаты, свизаниые со знаменитой теоремой Де Джорджи о непрерывности по Гёльдеру решений этих уравнений. . ■

Утверждения § 6, относящиеся к задаче с препятствием, используют результаты уже упомянутой работы Лионса и Стампаккья [1] и работы Леви и Стампаккья [1]. .

В этой главе мы ие затрагивали вопросов гладкости решений (систематическое их изучение отложено до гл. IV), а ограничились лишь рассмотрением в этой связи одномерной задачи с препятствием. -

Некоторые факты, приведенные в приложениях к настоящей главе, относятся к содержанию всей книги. Кроме того, там даны полные доказательства результатов о неравенствах Соболевского типа, об оценках в L” и непрерывности по Гёльдеру решений уравнений второго порядка с измеримыми ограниченными коэффициентами. Изложение последнего материала основано на работе Стампаккья [2], Доказательство леммы А.4 принадлежит М. Крэндаллу, а леммы А. 13—Э Фейму.

Упражнения

Пусть а — билинейная коэрцитивная форма иа действительном гильбертовом пространстве Н, т. е. | а (и, у) | < С j и | j v | и a (о, о) ^ а || о j2 для всех и,ееН (см. определение 1.1), и пусть 0<р<2а/С2. Докажите существование такого числа 6, 0 < 6 < 1, что

|(и, у) —ра(и, о)|<9|иЦо| хи.иеН.

Докажите теорему 2.1, используя предыдущее упражнение (Лионс и Стам- паккья [1]).

Пусть Е: Н ->R (J {+ со}— выпуклая, собственная (т. е. не равная тождественно +оо) и полунепрерывная снизу функция, Тогда существует единственный элемент иеН, такой что

а (и, у—и) + Е (у)—Е (и) ^0упеЯ.

Выведите отсюда теорему 2.1, полагая

I + оо, v ф К.

где f е Н' н К—замкнутое выпуклое подмножество Н.

Пусть Е — подмножество шара B^cR^. Точки вида ^=х+(у—х^д—х|, очевидно, принадлежат сфере S единичного радиуса с центром в х Углом, под которым видно множество Е из точки хеВг, называется (N — 1)-мера множества {£ е 2 | у е Е}; он обозначается ang (х, Е}.

Пусть существует такое т>0, что ang{x, E}^m при всех *е8г Покажите, что если функция и е Н1, 1 (Вг) равна нулю на Е, то для каждого о > 0 mes {х е Вг 11 и (х) | > о} Г(С/о) J | их ^ |_ п,

где С зависит только от Е. [Указание. Приспособьте доказательство леммы А.7 к этому случаю. Рассмотрите билипшицево отображение Т: Я -► Вг, т. е. такое, что 0 < а < j —Ту у\ х—у || < Р <+со при всех х, у е Я; оно является отображением <на>.]

Покажите, что если к е Я1, 1 (Я) равна нулю иа Т (Е) (Е удовлетворяет условиям выше), то справедливо неравенство j и2 dx С ^ u2 dx с некоторой константой С > 0.

Пусть Ес ЙсR^, где Я ограничено н открыто, и функции и е Н1*1 (Я) обращается в нуль на Е. Каким должно быть это множество Е, чтобы для некоторой константы Р выполнялось неравенство

mes {х е Я | ] и (х) | > о} рР/о) | их (О | dyjw/<w —1)

(см. лемму А. 13)? Необходимо ли для этого выполнение условий леммы А. 13?

Используйте упр. 4 для изучения вопроса существования решения (в рамках § 4) смешанной' задачи:

— Аи = /, и = 0 на дхЯ, du/dn=O на д2Я,

где / е Н-1 (Я), дЯ = ^Я U д2Я и д^ П даЯ = ф.

Докажите лемму А. 12.

Найдите функцию

ugK". juXi [v—u)Xidx^y, v—u)

где K = \v е Н' (fl) 1фх^ уг£ф2 в fl}, фх. ф2еД!(й) и фх^0^ф2 на дй.

Пусть Q—область в Rw, f е Н1 (Й), ф е Я1 (й), /< = {у е Н^ (fl) | v^ ip на Q} и

иеК: \их (у—и), dx^ (f, v—u> \3veK(*)

Покажите, что если f s I? (Q) и и e H1 (й), то (*) имеет место тогда и только тогда, когда

— Ди —/3=0, и— фЭ=0и — (Д« + /) (и—ф) = 0 п. в. в й. (*»)

Такой вид задачи называют «дополнительной формой» по аналогии с дополнительной задачей 1.5.4.

Пусть Q — ограниченная область с гладкой границей дй, / е Я-1 (й) и ge е L2 (дй). Изучите для Хе R вопрос существования и единственности функции и е К = {у е№ (О) I "3=0 на дй}, такой что

(|иж (о—и) 4-Х(у —«)1Лс^(/, о —и) + ^£(у—u)dx \jveK

Й 1 '‘Jдй

Выпишите «дополнительную форму» задачи.

Пусть снова й—ограниченная область с гладкой границей дй и / е H~l (Й). Положим

К = {уеЩ(0)| ДоеЩ(й)} с№(Й),

К = {и г V | — Ду^О п. в. в й},

а {и, °) = ^ (д“*/ kvXi + “х?*^ dx.

Докажите существование и единственность функции

иеК: а (и, у — и) ^ (f, и—и') ^иеК.

Запишите задачу в «дополнительной форме». Покажите, что существует константа с>0, такая что [их — u2 ilw8 (Q) sg с J/] — Мн-чау где и<—Решение вариационного неравенства, отвечающее f£.

Покажите, что в задаче Неймана

— Ди=/ в Q, du/dv^g на Эй,

где f е L1 (Q) и gel2 (дй), решение существует, если выполнено условие совместности \fdx-Y- \ gda = 0. Найдите соответствующее условие для случая, й дй

когда / е Н-1 (й) и £ е L2 (5Q).

Пусть Q с: R^— ограниченная область с гладкой границей №, ф1, ф2 е № (Q) и ф1 ^ф2 на дй. Пусть, далее, К —замкнутое и выпуклое множество, образованное парами у=(у!, о2) G Я1 (й)хЯ1 (Q), такими что сА^о2 в Й н сЛ —ф1, у2=ф2 на дй, и пусть, наконец, уъ /2) е Я-1 (й)хЯ-1 (й). Рассмотрите билинейную форму

а(у, й = ( (yi .^ ,4-у= Й Xdx-^ (X^ + ^V)dx, Q ' 1 ■*‘ *’ Q

где X, ц е R, и изучите вопрос существовании функции

иеК. а (и, о—и'^Ух. их — и1')А"Уг- v^-ti1) yv е К,

налагая, если это необходимо, ограничения на X н ц.

Пусть Й с Rn—ограниченная область с гладкой границей дй и Г, Г'— открытые непустые подмногообразия дй, удовлетворяющие условиям: 0) ГПГ'=0,

Г (J Г'=ЭЙ, (iii) Г f)T'— гладкое (N — 2)-мерное многообразие. Пусть, далее, fv fa s Н-1 №)• Рассмотрите задачу: найти такие «1, и»е № (й), что

— Д«,-=/(, i=l, 2, в й,

“1 — «2=0, (dui/dn) + (dua/dn)=0 на Г,

111 = 03=0 иа Г',

где п — нормаль к Г. Найдите ослабленную переформулировку этой задачи и покажите, что у нее существует решение. (Указание. Сформулируйте задачу для билинейной формы на гильбертовом пространстве В = \u=ipv 02) | о,-е Я1 (й), . /=1, 2; о,—02=0 на Г, и1=о2=0 на Г'}.]

Пусть иеН1, р (Вг), где 1 <р<оо и Вг — шар радиуса г в R^ Покажите, что существует такая константа у, что ( | и —у |₽ dx ^ С ( u^dx для некоторого

Вг

С>0. ^Указание. Для любой константы у справедливо равенство и — у = = (max (и, у)—y( + (min (и, у) —у]. Выберем теперь у так, чтобы меры тех множеств, где соответственно обращаются в нуль функции в первой и второй квадратных скобках, были ^ (1/2) mes Вг. Далее нужно воспользоваться леммами А.15 и А.14.]

Докажите следствие А.6. ^Указание; Предполагая, что | и (х) | ^ М, выберите такую последовательность fn е С (— М, Л4), что f„ (/) -> 6' (/) при 1t1 ^ М, t=Aaа№ и покажите сначала, что f„ (и (х)) их. (х) -> 6' (u (х)) uXi (х) п. в. в й. Затем запишите (в предположении, что 6(0) = 0) равенство

U(X)

— ( 6(а(х))^,(х)г/х=— ( Игл f /„ (/) di ^. (х) dx. Q&” —ю О

Указанную здесь последовательность {/„} всегда можно выбрать, полагая, например, fn^—^ У 6'(T)dT.]

| /—т I < 1/л

Пусть и„ 6 Ls (й) и 0^шп е Ls (й) таковы, что ип -*и п. в. в й, x»n-*-w п. в. в й и в L* (й) и |un|^wn п. в. в й. Тогда ип->и в Ls (й). Используйте этот факт для того, чтобы показать, что если ип е Я1, 8 (й) и ип->-и в Я1,8 (й), то | ип | -* | и | в Я1,8 (й) н, как следствие, max (ип, 0) -> max (и, 0) в Я1,8 (й). Можно ли так рассуждать в упр. 14 или лемме А.4?

Пусть го — непрерывная функция, определенная на [0, /?] и такая, что 0^о>(р)^т]ш(4р) + С(р/Д)а, 0^р^/?, где С^0, 0<т)<1 и а>0. Тогда

to (р) 5 2 max (w (/?), СК) (P/R^,0 < р < R/4,

где К—абсолютная константа и X=min(| logT)/log4 |, а). (Указание. По индукции найдется коистанта К, такая -что <о(4-”К)^т)”(о(/?) + СКра, п=1, 2, 3,..., если 4”^K/p^4”+i; тогда К1л^т|?^т|л+1, где <7=(logK/p)/log4 и ш(р)^<о(4-лК).]

Глава 111

ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ МОНОТОННЫХ ОПЕРАТОРОВ

АБСТРАКТНАЯ ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ

Нам пришлось уже встретиться в гл. I с монотонными операторами в конечномерном пространстве. Там монотонность была использована для доказательства единственности решения вариационного неравенства. Данная глава посвящена изучению вариационных неравенств в более общих пространствах. Здесь свойство монотонности найдет важное применение в вопросах существования решения. В предыдущей главе было показано, что вариационное неравенство, порожденное билинейной формой, имеет решение, если эта форма коэрцитивна. Для билинейной формы из коэрцитивности вытекает строгая монотонность, но, разумеется, не наоборот. Так и в общем случае, если выпуклое множество X неограничено, то для существования решения в вариационном неравенстве нужно требовать еще и коэрцитивности соответствующего оператора (см., например, следствие 1.8)..'

Пусть X — рефлексивное банахово пространство, X' — его двойстг венное относительно билинейной формы (•, •): X'xX-»-|R (иногда говорят, что (•, •) задает спаривание X* и X) и X с: X — замкнутое выпуклое множество.

Определение 1.1. Отображение Л: К-+Х' называется монотонным, если'

.(Ли —Ло, и —о)^0 Vм» о® К-(1.1)

Монотонное отображение Л называется строго монотонным, если

из (Ли —Ло, и — о) = 0 следует и = о.(1.2)

Определение 1.2. Отображение Л: К-^Х* называется непрерывным на конечномерных подпространствах, если для каждого конечномерного подпространства МсХ отображение Л: ХП^-^Х' слабо непрерывно.

Определение 1.3. Отображение Л: К-^Х* называется коэрцитивным на К, если существует такой элемент ф s X, что

(Ли —Лф, и —ф)Ди —фЦ->+оо при |и|-»-оо, иеК. (1.3)

Теорема 1.4. Пусть К —непустое замкнутое выпуклое ограниченное подмножество X и А: К-> X' — монотонное и непрерывное на конечномерных подпространствах отображение. Тогда существует элемент.

■иеК: (Ли, и —u)^0 yveK.(1.4)

Отметим, что если А строго монотонно, то решение и этого вариационного неравенства единственно.

Докажем сначала лемму, принадлежащую Минти [1].

Лемма 1.5. Пусть К —замкнутое выпуклое подмножество X и А: К-> X'— монотонное и непрерывное на конечномерных подпространствах отображение. Тогда для того чтобы элемент иеК удовлетворял неравенству.

(Ли, и —и)^=0 уиеК,(1.5)

необходимо и достаточно, чтобы

(Ло, о — и)^0 yveK.(1.6)

Доказательство. Покажем сначала, что (1.5) влечет за собой (1.6). В силу монотонности А,-

' 0 ^ (Ло —Ли, о —и) = (Ло, о —и) —(Ли, о —и) уи, иеК .

и, следовательно, (Ло, о — и)^(Ли, о— и)^0 при всех иеК.

Теперь докажем обратное. Пусть to е К; тогда v = u-VHw — u)eK для всех 0^/^ 1 вследствие выпуклости К. Поэтому, согласно (1.6), при />0 имеем (Л (и4-/(to —и)), /(to —и))^=0, или

(Л(u-Vt(w — и)), to —и)^0 ytoeK. ■

Поскольку А слабо непрерывно на пересечении К с двумерной плоскостью, натянутой на и и to, то при t->Q получаем, что (Ли, to — и) 5= 0 при всех we К. |

Доказательство теоремы 1.4. Без ограничения общности можно считать, что 0 г К. Пусть М. с X — конечномерное подпространство, /: М-^Х — оператор вложения и/': X' -> М' — оператор, сопряженный к /. Билинейная форма (•, •)«, задающая двойственность между М' и М, определяется естественным образом:

(A 1"х> = <П» х)м, хеМ, feX'.■

Обозначим Л"д1 = Л" Г) ЛЛ Л" П/Л4 и рассмотрим отображение /'Л/: Км~*М'. Так как ^ — компактное выпуклое подмножество М и j'Aj непрерывно, то существует такой элемент им г Км. что (j'AjuM. о — — им)м^0 при всех о е Км (теорема 3.1 из гл. I), или Qum = Um, jv = v)■'

(Айм, o-um)^0 ^qKm-■

По лемме Минти (лемма 1.5)

(Ду, y-u^^O vyeKM-(1.7)

Положим S (у) = {и е К | (Ду, у — и) ^ 0}. Ясно, что для каждого у е К множество S (у) слабо компактно как слабо замкнутое подмножество слабо компактного множества К (К ограничено по условию)). Следовательно, множество Q S (у) слабо компактно. Покажем, что

,' пеК'

оно непусто. Для этого достаточно проверить, что

5(У1)П5(уг)П...П5(«т)¥=0(1.8)

для любого набора {Ух, .... уш) с №).

' Обозначим через М линейную оболочку векторов (Ух, ...", ует), и пусть, как и раньше, Км = ^П М- По тем же соображениям, что и выше (см. вывод (1.7)), найдется элемент umeKm, такой что (Ду, у — «лх)^О при всех уеКм- Тогда, в частности, (Ду,-, и; — — “m)^0, i = l и, следовательно, uMeS(0i), Z= 1, ..., m. Таким образом, (1.8) справедливо для любого конечного набора, и тем самым существует элемент и г Q S (у). Ясно, что (Ду, у — — и) ^ 0 при всех у г /С; и тогда снова по лемме 1.5 (Ди, у — и) 0 при всех у е К. |

Решение вариационного неравенства (1.4) не обязательно единственно. Но легко проверить (используя лемму 1.5), что совокупность всех решений (1.4)— замкнутое выпуклое подмножество К.

Следствие 1.6. Пусть Н —гильбертово пространство, КаН— непустое замкнутое ограниченное выпуклое множество и F: К ->К— нерастягивающее отображение. Тогда совокупность всех неподвижных точек F есть непустое замкнутое выпуклое подмножество в К.

Определение нерастягивающего отображения дано в гл. I (опр. 1.1),

Доказательство. Следствие доказывается очень просто. Действительно, положим Н' = Н ив качестве билинейной формы, приводящей Н' и Н в двойственность, возьмем скалярное произведение (-, -) на Н. Легко проверить, что коль скоро F — нерастягивающее отображение,'то I — F монотонно и, значит, можно применить теорему 1.4. Тогда ясно, что любое решение вариационного неравенства для I — F является неподвижной точкой для F:

(u — F(u), у —u)^0 ^и^К^^и — F(u), F(u) — u)^0=^u=F (и). g Сформулируем аналоги теоремы 4.2 и следствия 4.3 из гл. I.

Теорема 1.7. Пусть К,—замкнутое выпуклое подмножество X и отображение А: К-*Х' монотонно и непрерывно на конечномерных подпространствах. Тогда для существования .

ueK: (Au, o — u)5s0 yveK

необходимо и достаточно, чтобы нашлось такое П>0, что по крайней мере для одного элемента u8 eKR, для которого (Aur, о — — uR)^0 при всех v^Kr (где ^/г = ^ П {^ j || п Ц «^/?}), выполняется неравенство ||hr||</?.

Следствие 1.8. Пусть К а X — непустое замкнутое выпуклое множество и отображение А: К-^Х' монотонно, коэрцитивно и непрерывно на конечномерных подпространствах. Тогда

^ueK: (Au, v — и) 3$ О yv г К.

Доказательства теоремы 1.7 и следствия 1.8 вполне аналогичны доказательствам их конечномерных аналогов и поэтому не приводятся.

НЕКОЭРЦИТИВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

В этом параграфе будут рассмотрены некоторые случаи, когда требование коэрцитивности заменяется более слабыми предположениями. При этом ради простоты мы ограничиваемся линейными операторами в гильбертовом пространстве, а порожденные ими билинейные формы будем предполагать неотрицательными. В нижеследующих первых двух теоремах будет объяснен так называемый метод эллиптической регуляризации. • '

Затем мы рассматриваем полукоэрцитивную форму и доказываем для нее теорему существования при некоторых условиях на правую (неоднородную) часть вариационного неравенства.

Итак, пусть Х = Н — гильбертово пространство, (■, •) — скалярное произведение на Н, //'—двойственное к Н относительно билинейной формы (•, •), /С —выпуклый замкнутый конус в Н и f^H'.

Пусть, далее, а — неотрицательная билинейная форма на Н: a(v, оу^О. Определим оператор А; Н-*Н' условием (Аи, оу= = а(и, V). Из теоремы 1.4 следует, что если К ограничено, то 1

auoe^: (Аи0, и — u0)^(f, о — и») чоеК, или эквивалентно '

a«oe^: а(«о, о —«о)^</, V —Ио> Ч^еК.

Аналогичные утверждения верны, если К неограничено, но выполнены условия теоремы 1.7. Однако если К неограничено и условия теоремы 1.7 не выполняются, то решения может не быть.

В следующей теореме доказывается критерий существования решения. При его доказательстве используется процедура, называемая эллиптической регуляризацией. '

Введем следующее обозначение:

Х = {ноеК|<Д«о, V —u0>^<f, V — и0) vy^K\.

Мы уже знаем, что это множество выпукло и замкнуто; увы, оно может оказаться пустым.

Пусть Р — коэрцитивная билинейная форма на Н и geH*. Рассмотрим для каждого е>0 форму a (u, п) + еР(«, v). Ясно, что это билинейная коэрцитивная форма на Н, и, следовательно, по теореме 2.1 гл. II существует единственный элемент

uteK: а(и8, V — «8) + вР(«е, о — ue)^(f+Eg, У — и^ vvsK.

Теорема 2.1. Множество х непусто тогда и только тогда, когда существует такая константа L, нс зависящая от 8, что |«ej^L.

Доказательство. Пусть Х^Ф- Поскольку % — замкнутое выпуклое подмножество КсН, то существует единственный элемент

uoer Р («о, y — u0^(g, и-н0) упех-

Кроме того, по определению х

а(и01 v — Uo)^(h v — u0) yv^K.

Положим v = «8 в этом неравенстве, п = и0 в вариационном неравенстве, определяющем и8, и сложим их. Тогда

а(«о, и8 — и0)+а(«е> “о — ме) + ер(u8, и0 — u8)^e(g, Uo — u^.

Но а («о, и8 — ио)+а(не, и» — и8) =— а(«8 —«о, «8 —«о)^О и, следовательно, Р(«8, Uo — u^^^g, и8 — и8у Так как форма р коэрци- тивна, то

РоЦ«вГ^Р («в. «вХР(«е, «о) + <§, «е-«о><

где С = С(|«0|, g, Р). Используя очевидное неравенство Cja8||^ <(Ро/2)||и8р + [С2/(2Ро)1, получаем, что ||H8||^L = 2 + (C/p0), где L не зависит от е.

Пусть теперь J«e||^L и L не зависит от 8. Тогда существует подпоследовательность {ып} последовательности {и8}, такая что и^-у ->w слабо в Н. Очевидно, we К. Мы хотим показать, что су^х По лемме 1.5 a (v, v — и^) + т]Р (v, о — и^^^, v — «п) + Л (g, о — — и^. Переходя здесь к пределу при т]->-0 и учитывая, что и^-*- -^w слабо, получим

а (о, и — су) ^ (/, и — ty) уи е К.

Теперь снова по лемме 1.5 а(су, V — су)^(/, v — w^ при всех ve е К и, следовательно, w г х- |

Следующее предложение служит важным дополнением к теореме 2.1.

Теорема 2.2. Пусть |«e||^L и L не зависит от в. Тогда и8 сильно в Н сходится к элементу и0, когда е->0, причем

иоех и P(u0, V — u0)5s(g, о — uo) vyGX-

Доказательство. Поскольку Jue|^L равномерно по в, то по предыдущей теореме х^Ф- Но тогда существует единственное решение «о ^ X вариационного неравенства

Р(«о, о -ип) ^(g, v — Uo) vvex-

Так как J ив Ц ^ Ь, то найдется подпоследовательность {«л} последовательности {«е}, которая слабо сходится в Н к некоторому элементу w^H.

В первой части доказательства теоремы 2.1 было показано, что Р(«п, uQ — u^^(g, Uq — u^. Функция Р(о, о) слабо полунепрерывна снизу, откуда Р (су, су) ^ lim inf р ^и^, и^ и поэтому Р (су, и0 — Г) —о — cy)^(g, и0 — су).

Теперь докажем последовательно, что (i) w — u8, (ii) u8-*u0 слабо в Н, (iii) иЕ->и0 сильно в Н.

Поскольку «о е X и Р (“о, о — «о) ^ (g, о —и») при всех о е х, то при wex имеем Р («о, су —u0)^(g, w — uoy Сравнивая это с неравенством, приведенным выше, получаем, что 0 (су — и0, су — — Ио)^О. Но форма Р коэрцитивна и, следовательно, [о» — ы01| = О, т. е. су = «о-

Поскольку «о является пределом любой слабо сходящейся подпоследовательности {ие}, то тем самым доказано, что ие->и0 слабо в Н.

Осталось показать, что эта сходимость сильная. Имеем

Pol«8 — «оЦ2^Р(«в — «О," ие — «о) =Р («8. We — Uo) — Р(«о, и8 — и0).

Так как 0(«о, ив-ио)^-О при в->0 и 0(не, и8 — u0)^(g, и8 — — ио)^-0 ПРИ е->0, то м8->«о сильно в Н. |

Оставшаяся часть параграфа посвящена применению теоремы 1.7 к вопросу существования решения в вариационном неравенстве для некоторого класса некоэрцитивных билинейных форм на гильбертовом пространстве. Эти результаты могут быть использованы для решения задачи с препятствием при граничных условиях неймановского типа (Лионс и Стампаккья [1]) (см. упр. 12) или для исследования задачи Фикеры [1].

Рассмотрим гильбертово пространство Н с двойственным Н' относительно билинейной формы (•, •) и с нормой |-|, эквивалентной Ро(*)4-Р1(-), где

ро(*) — н°Рма> относительно которой

Н — предгильбертово пространство, (2.1, 1)

Pi(•) — полунорма на Н. '(2.1, И)

Предположим, что,

М = {v еН |pi(v) = O}(2.1, in)

— конечномерное подпространство и существует такое Ci>0, что inf p0(v —^)^CiPi(o) voeM.(2.1, iv)

Предположим далее, что a — непрерывная билинейная форма на Н и а (о, о)^а(р1 (о))2 \-ueH « некоторого а>0. (2.1, v) В частности, если а (о, о) = 0, то оеМ, но не обязательно о = 0. Пусть, наконец, КсН- замкнутое выпуклое множество, содержащее 0, и пусть f^H' таково, что $ = $о + [ъ где

I <А, D> | < СгР1 ^ V° е Н,(2.1, vi)

<fo, О<0 ^еМПК. ^О.(2.1, vii)

Теорема 2.3. Пусть выполнены все' предположения (2.1). Тогда

^иеК: atu.o — u'i^Q.o — u) yv^K. (2.2)

Доказательство. Пусть KR = КП {° UN ^^}- Поскольку KR ограничено, то по теореме 1.4

^uRsKR: a(uR, v-uR)^(f, o-uR> yo^KR. (2.3)

Согласно теореме 1.7, решение (2.2) существует тогда и только тогда, когда |ur^<_R для некоторого /?>0.

Теорему будем доказывать от противного. Допустим, что не существует решения (2.2), и покажем, что это приводит к противоречию.

В силу сделанного предположения, решение uR неравенства (2.3) удовлетворяет условию |«RJ = /?. Пусть wr = ^\IR^ur> R^\\ тогда 1^1=1. Кроме того, так как К выпукло, uReK и 0 г К, то wreK. Подставляя о = 0 в (2.3) (Ое^сА) и учитывая (2.1, v), получим

a^pdUR)Y^a(«R. “н^ф uR) ^Hh4ur^ = UWR- (2-4) Следовательно, рг (u^ = О (КR), или .

Px^ = O^lVR\ т. е. pi(te>R)-»-0 при /?->Н-оо.

Поскольку Цсу^|=1, R^l, то существует такая подпоследовательность (которую мы снова обозначаем через {а>#}), что wR->w слабо в Н. Так как К выпукло и замкнуто, то w г К. Далее, рг полунепрерывна снизу, и поэтому pi (w) = 0, так что w е К П М.

Рассмотрим оператор проектирования Р; Н-^М, сопоставляющий каждому v^H элемент т] гМ по правилу: р0(v — i]) = = inf pa(v — ^). Такой элемент т] существует вследствие конечно- teM

мерности М. Покажем, что если ол-*о слабо в Н, то Pvn-+Pv (сильно) в М.

Пусть (•, •)« и (•, ’^1 обозначают скалярные произведения соответственно в М и в его ортогональном дополнении /И1. Заметим, что можно определить (•, • )л следующим образом:

'(«, o)m = j(Po(« + v)-Po(«-v)),‘

и тогда скалярное произведение (•, •) на Н запишется в виде

(«, ») = («, »)« + («, »)Mi.

В частности, если ^еМ, то (о, £) = (о, 1,)м. Следовательно, (Ро, ^ = (о, £) \^еМ. кРу.» С) = (»л, Р уСеМ - и тем самым для некоторого С>0

ЦРОлКИлКС уп..

Так как М конечномерно, то из {»„} можно выделить подпоследовательность (обозначаемую снова через {»„}), для которой Руп->6еМ при п->оо. Но оя->о слабо в Н, и поэтому (Ро, £) = (6, £), если t g М, т. е. 6 = Ро.•

Покажем, что ро^Руз^^Сз^О для достаточно больших R. Действительно, в противном случае найдется последовательность Р->оо, такая что р6 (PwR) -> 0. Поскольку pi^^) = 0(1/]/^'^), то

‘ PoIwr^Po^r-Pwr^PoIPibr^CiPiIwr^poIPwr^O. '

По условию норма [ • # на Н эквивалентна ро (•) + Pi (•) и, следовательно, | wr [ -► 0. Это противоречит тому, что 1 ty^ Ц = 1, й нужная оценка доказана. -

Далее, так как w е М, то Pw =w и, значит,

.р0(т)^с3>0.(2.5)

В частности, Mp/C^fO}, ибо по предыдущему юеМП/С и вследствие (2.5) щ^О. Таким образом (см. 2.1, vii), —(fo, ю) = 2р>0 для некоторого Р>0. По доказанному Pxbr^-Pw = w (сильно) в М, и поэтому найдется такое Ро>0, что — (/о, PwR>^^>0 при всех R^Ro- Тогда с учетом (2.4) будем иметь

аР1 (UR)2 ^ ^f, UR) = (f0, Ur—PUj^-^^o, PUr^ + Qi, Ur)^ ^Ио!н' 'I Ur — P«/?| + R (fo, PxBr) + C2P1 (,Ur).

Следовательно, api (uRf — R (f0, PwR) ^ c (p0 {u^ — PuR) + pi (uR)) ^ ^c'pi^UrY или -R(J0, PwR}^c'pi(uR) = 0(yR). Ho -(f0, Pwr)^ ^P>0 при R^Ro, и мы приходим к неравенству рР^О(ргр), которое, очевидно, невозможно при больших R. Полученное противоречие доказывает теорему. J

ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В этом параграфе в качестве одного из примеров применения теорем 1.4 и 1.7 и следствия 1.8 мы находим решение задачи для полулинейного уравнения.

Пусть Q с R" — ограниченная связная область с гладкой границей дй и /< = {о ЕЛ6(й)|ф1(х)^и(х)^ф2(х) в Q}, где фх, ф2 е е Я1 (Q)_f) L00 (й) и фх(х) ^0^ф2(х), хе5Й. Пусть, далее, функция F-. й х R-*R ограничена и измерима на компактных подмножествах й х R и непрерывна и не убывает, по второму аргументу. Определим оператор L: К-^Н1^, полагая

(Lu, ф> = <— Ди + ^(х, и), <р> = ^ \ux^xt + F(х, и)ф}<1х, фе/Д(й). й ‘

Тогда (Lu — Lv, u — v)=^(u—v)xdx+^(F(x, u^ — F(x, u))(u —u)dx^= йо

^ J (u — и)” dx. Таким образом, L — коэрцитивный и строго моной

тонный оператор на К- Заметим, что L не определен на всем пространстве Я6(й). Но, поскольку К выпукло и замкнуто, легко видеть, что оператор L непрерывен на пересечении любого конечномерного подпространства с К, и, значит, существует единственный элемент

иеК: ^ {«*. (v — u)Xj4-F(x, u)(v — u)} dx^O yoeK. й

КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Пусть отображение a; R"->(R")', а(^ = (а1(^), ..., aN(^, непрерывно и монотонно (см. определения гл. I, § 4). (R")' далее отождествляем с R". В этом параграфе нас будут интересовать некоторые специальные векторные поля, удовлетворяющие определенным условиям роста на бесконечности и коэрцитивности. Более точное описание этих полей дает следующее

Определение 4.1. Будем говорить, что а —сильно коэрцитивное монотонное векторное поле, если существуют такие /?0>0, /ОО и Со>О, что

.|a(^)|^K|6l Vlll>^o.(il)

(а< (6) — <z, (-и)) (6< —-л#) ^= со 15 — Т) |3 yl, t]eR". (4.2)

Для сильно коэрцитивного монотонного векторного поля а имеет смысл выражение (—д/дх^а, (их) в НЦЙ). Оно определяет отображение ЯА(Й) в Н-1^, так как вследствие (4.1) сц (их) е L2^, l^i^N, если и е НЦЙ). Это отображение строго монотонно (определение 1.1), коэрцитивно в смысле определения 1.3 и непрерывно на конечномерных подпространствах (определение 1.2).

В качестве примера рассмотрим векторное поле н(|) = |. Соответствующий ему оператор имеет вид (—д!дх^ а, (нх) = — Ан. Очевидно, что а удовлетворяет всем условиям определения 4.1.

к

Пусть f = А» — 2 ^fdxi) fi e H-1 (Q) и К— замкнутое выпуклое i

подмножество в НЦЙ). Тогда, согласно теореме 1.7 и следствию 1.8, существует единственная функция

ueK:\ai ^^ (° ~ “)*< ^ ^ S {f° (° ~ “) + h <v ~ “Мdx

яя

yv г К.(4.3)

В качестве второго примера рассмотрим векторное поле

аД^-ОН2)^/8^ 6sR" 1<а^2,(4.4)

и оператор.

Ли = - Д ai (их) = - ^ {[1 + ий^)/2 u,J.(4.5)

Здесь мы также можем воспользоваться теоремой 1.7 и следствием 1.8 -для решения вариационного неравенства с оператором А при 1<а^2 и выпуклым множеством

^ = {о е Яо а (^) | У2гф в Q}, Qcz^ ограничено.

Действительно, так как |а(|)|^ 1 +1||“^, то оператор А действует из Яо“(П) в Я_1-“(О). Ясно, что отображение а монотонно как градиент выпуклой функции (1/а)(1 + 12)“/2, непрерывно на конечномерных подпространствах и коэрцитивно в смысле определения 1.3, т. е. для некоторого фо е К

£—$2— 2^-> + оо при V I а -»-+оо.

У—Фо II 1 а1” "ну (Я)1

Но (О)

Проверим последнее. Во-первых, заметим, что

<Аи, и)/\ и | i. а - $ О +«х)(м)/2 ^ dx/ Л | их \»dx\x,a^ нй №I \а/.

^г^/2 $ (I их |“ - 1) dx/Л I и,|аdx\x,a ^ 2 (“-^Я2 И | ux 1“dx^-VX№ -

ЯI \Q)\Q./

При I Hi I.а z^-> + 00- Во-вторых,

OQ (Я)

■t М (“х) La,Дфо! t.a

<;Ли —Лф0, ц— фр)(Ли, и)L (9) н0 (Oj

’Нр’“(Я)Нр’“(Я)Но (Я)

я /\ яHq (Я)

— I а (Фох) |да' (0) |В|

Ч’“(Я)

Справа в этом неравенстве первый член стремится к + оо, когда lul//i.aw->- + 00. а второй и третий члены ограничены. Это и означает, что а коэрцитивно.

Теперь из теоремы 1.7 с / е Н~х- “' (Q) следует существование единственного элемента

иеК: Vl + uxY^,aux.(v-u)x.dx^(h и-и) vy^K- (4.6)

Если а = 1, то оператор А появляется в задаче о минимальной поверхности. Этот оператор выражает значение средней кривизны. К сожалению, к таким операторам нельзя применять абстрактные теоремы § 1. Мы разъясним это позже.

Оператор средней кривизны связан с векторным полем

(4.7)(4.7)ai© = (l + ^)-1/4i, Ki^M, geR"

(4.7)

(4.7)

Строгая монотонность а следует из того, что а есть градиент строго выпуклой функции (1+£2)1/2. Однако векторное поле а не является сильно коэрцитивным, т. е. не удовлетворяет условию (4.2), и вариационное неравенство (4.6) действительно не имеет решения даже при / — О (см. Серрин [1]). Рассматриваемый важный случай (а=1) дает повод для введения понятия локально коэрцитивного векторного поля.

Определение 4.2. Непрерывное векторное поле а^ = ^ах^, ... ..., aN (£)) называется локально коэрцитивным, если для каждого компакта CcR-v найдется такая константа v = v(C), что (а (1) — а 01)) (£ — г]) v | £ — г] |2 при всех §, т] s С. Заметим, что локально коэрцитивное векторное поле монотонно и что векторное поле (4.7) локально коэрцитивно.

В дальнейшем будет полезна следующая .

Лемма 4.3. Пусть а —локально коэрцитивное векторное поле на |R^ и Л4>0. Тогда существуют сильно коэрцитивное векторное поле а и /<>0, такие что а^ = а^ при всех |?|<M, и если

|||>ЗМ, то |а(£)|<К|£|.

Другими словами, лемма утверждает, что вне некоторого шара можно так изменить локально коэрцитивное векторное поле, что новое поле уже будет сильно коэрцитивным в смысле (4.1).

Доказательство леммы. Пусть а — локально коэрцитивное векторное поле. Тогда существует такое v>0, что

(a^-a^^-^^v^-iql2 . vl^l. N<2M.

1, 0<^2М,1, 0<^2М,*^ (О,1^Ш,*^ (О,1^Ш,Пусть, далее, ф и g — гладкие функции на R1, причем ф неотрицательна и

1, 0<^2М,

1, 0<^2М,

*^ (О,1^Ш,

*^ (О,1^Ш,

a g — неубывающая функция и

Предположим еще, что g (t) За с6 > 0 при /^2Л1. Определим векторное поле а^) = ф(| g|)a(g)4-feg(|g|)g, где положительная константа к будет выбрана позже. Мы хотим показать, что й сильно коэрцитивно и удовлетворяет утверждению леммы.

Пусть g, TjeR^ и для определенности |g|^|4l- Тогда о ^ | g 11 ч I 1 ч I2 (6. ч) -1 ч I2 = (ч» 6—ч)=ч • (6 - ч)-

Рассмотрим отдельно несколько случаев.".

I 61=^141^ М. Тогда а^ = а^, Д(ч) = а(ч) и ясно, что (a (g) - а (4)) (g — ч) v | g - ч |2.

3M^|g|<|4|. Тогда 3(g) = ^(|g|)g, a(4) = kg(|ч|)ч и понятно, что (a (g) — a (ч)) (g — ч) = к | g — 4 |2 ^ v | g — 4 |2, если к ^ v.

M^|g|<|4l^2M. Тогда a(g) = a(g) + M6l)6, 3(ч) = = а (4) + kg(\ ч I) Ч и, следовательно,.

(3(g) - 3(ч)) (g - 4) = (a(g) - а(ч)) (g - 4) + feted g]) g - g(h |) ч) (Ё - 4)^ 5sv|g-4l2 + fete(|g|)6~g(l4l)4) (g-4).

Покажем, что k(g (| g |)g — g(| 4 |) 4) (g — 4)^= 0. Действительно, ted 61) 6 - g(h I) 4) (g - 4) = g (I g |) I g - 4 I2 + (g (I g I)-g (I 4 I)) 4 (g - 4). Правая часть этого тождества неотрицательна, так как соотношение |g|<|4l -влечет за собой неравенство g(| g |) «5 g(| ч I) и выше было показано, что ч • (g — ч) 0.

2Л1 ^ j g | =^ | п| ^ ЗЛ1. Тогда a (g) = =ф (] g |) tz (g) + fegr (| g |) g, 3(ч) = Ф(1ч1)«(ч) + ^(1ч1)'Ч и потому

(a (g) - а (ч)) (g - ч) = [ф (| g |) a (g) - ф (| ЧI)«(n)] (6~П) +

+ ^te06|)6-g(hl) П] (6 — П) = Ф (161) («(Е) — a (11)) (6-т)) ++[Ф(16|)-Ф(1л1)1«Ь)(6-г|)+^(16|)|6-т112+Ч^(16|)-

ST(I П 1)1 П (^ — п) ^[ф (I I) — Ф (I Л I)] a (ri) (g-4) + fe6f(l6l)|6-4l2. ибо, как и в случае (3), [g (| g |) — g (| 41)] ч (6 — ч) 0- Поскольку ф —гладкая функция, то

sup |t_ — Al < + ОО.

2M^!gK|T)|<3M IIS HlI

Следовательно, [ф (| g |) — ф (| ч |)1а (ч) (6 — ч) ^ — ^i 16 — ч I2 и, значит, [a(g)-a(4)](g-4)>[^(l6|)-K1]|g-4l2^ >[^o-Ki]|g-4l2.

Выбирая Jfe^max(v, (/<i + v)/Co), получим и для рассматриваемого случая, что [3(g) —3(ч)](6 —4)^=VI6 —ч!2-

Докажем теперь это неравенство для любых векторов £ и т] из IR^. Если |6| = 1111» то нужное соотношение сразу вытекает из предыдущего. Пусть | ^ | < | т) |. Тогда существует не более шести точек 6> i=l/^6, на прямой, соединяющей £ и т), в которых эта прямая пересекает сферы радиуса М, 2Л1 и ЗМ с центрами в нуле.

а^)-а (п) = а ® - а &)+а &) - а <ы+...+а (^ - а (Л) и 6—n=(l£—-nl/IS—£Н)(£—£*)-'

Любые две последовательные точки 6 принадлежат одному и тому же шару, и поэтому

(а (^ - а (т,)) № - т,)=(а ^ - а &» а -EiMIH 1/1 £ - М+

+(а &) - a &)) & - g2) (| ^ _ п |/| ^ - g21)+... ^

^vig-^g-ril/lg-^ + vi^-^IS-ril/l^^^

==v|g — 7]| (|6 —6x14-1 61 — 6Z|-+...) = V|5 — T]P. |

Из доказательства леммы видно, что если локально коэрцитивное векторное поле а класса С1 (RN), то а также может быть выбрано класса С1 (RN).■

Заметим, кстати, что векторное поле класса СЧВ^) локально коэрцитивное тогда и только тогда, когда для каждого компакта С найдется такая константа v = v(C), что

2$(W/^v|X|2 ^еС, KeR”(4.8)

Действительно, если а локально коэрцитивно, то для любого компакта С существует такая константа v = v(C), что

[а (6) — <2 (т^)] <6 — л) ^ •v 16 — n I2 yg, TjeC.

Отсюда следует, что если ^ eintC и tjsIR^, то для некоторого е>0

S to № + ^) - at ®] /^ > v/21 г, I2, 111 < в, или 5^/-1 [£Z, (6 +/т]) — а,(6)]T]Zs= VIТ]I2,|/|<е.

Переходя здесь к пределу при /->0, получим

• _2^;® W^vlni2 vn^l^-

Понятно, что это справедливо для любого £ еС.

Пусть теперь выполняется (4.8). Тогда

(а (6) - а (г])) (6 - п) = 2^(W (ч - ^> А ^ - ^^(^ - ^ ^

^=У|^-Т1|2 уб, T|SC,

где v соответствует множеству, которое является выпуклой оболочкой С.

Кроме того, если | да^др] (g) | ограничено, то это влечет за собой (4.1), но обратное неверно.

Комментарии и библиографические указания

Мы затрудняемся назвать математика, впервые начавшего рассматривать монотонные операторы. Из современных математиков, заложивших основы этой области, назовем прежде всего Браудера [1, 2], Голомба, Минти [1, 2], Вишика [1], Саран- тонелло [1]. Именно Браудер систематически использовал свойство монотонности операторов при изучении нелинейных эллиптических уравнений. Исследование вариационных неравенств в таком контексте проводилось Хартманом и Стампаккья и независимо Браудером. "

Доказательства утверждений § 1 следуют работе Хартмана н Стампаккья [1]. Материал § 2 взят из работы Лионса и Стампаккья [1]. Специальный случай теоремы 2.3 ранее был доказан Фикерой [1]. В § 4 используются результаты, принадлежащие Брезнсу и Стампаккья [4]. Тот случай, когда монотонное векторное поле является градиентом выпуклой функции, рассмотрен Стампаккья [1].

Теория монотонных операторов имеет также интересные приложения к обыкновенным дифференциальным уравнениям и системам (Скиаффино и Троянелло [1], Вергара-Кафарелли [1]).

Упражнения.

Пусть а—билинейная форма на гильбертовом пространстве Н и линейный оператор А: Н -*Н' определен соотношением (Ло, о) = а(и, о). Покажите, что А коэрцитивен на Н в смысле определения 1.3 гл. III в том и только в том случае, если форма а коэрцитивна в смысле определения 1.1 гл. II.

Пусть Я —гильбертово пространство и а—неотрицательная билинейная форма на Я, Докажите, что функция и->-а(и, и) полунепрерывна снизу относительно слабой сходимости в Я, т. е. а (и, и) ^ lim inf а (ие, це) при ив->и слабо в Я.

Докажите, что множество решений вариационного неравенства (1.4) есть замкнутое выпуклое подмножество в К.

Пусть й — ограниченная область в R\ йГ—замкнутое линейное подпространство L® (й), у—непрерывная возрастающая функция, такая что | у (О I ^ Л 4-В | / |, А, В—константы, FeL4[Sy Покажите, что существует единственное не еЖ; и-|-у(и) — F е 9Ск, где 5Г1—ортогональное дополнение к 9С. [Указание. Найдите иеЖ: (tz-|-y (tz)—F, и— и) 5= 0 при всех иее?Г.]

Пусть /( — замкнутое выпуклое ограниченное подмножество гильбертова пространства Я, F". К-> К — нерастягивающее отображение и W: Я-> Я—сжимающее отображение, такое, что W [К) с К- Покажите, что Fe=(l—в) F-j-eW' при 0 < в < 1 является сжимающим отображением из К в К и что если хв—это единственная неподвижная точка FB, то хв сходится при в-»-0 к неподвижной точке F.

Пусть Й — ограниченная открытая область в Rw, Е и F—непустые замкнутые подмножества в О и ф е Я1 (й). Положим

К={о е Я1 (й) | v ^ ф на Е и и ^ ф на F}

и а (и, о)= ( и, о, dx, и,о@№ (Q).

Q 1 1

Покажете, что существует и® К'. o(u, о—и)^0 при всех veK (см. Иорданов [1]). '

Пусть й с й7^—ограниченное открытое множество и Т; I? (й) -> L? (й) — коэрцитивный монотонный оператор. Покажите, что задача нахождения функции и е е L2 (й), такой что и^О, Ти^О и (и, Ти) = 0 п. в. в Й, или эквивалентно min (и, Ти) = 0 п. в. в й, может быть сформулирована как вариационное неравенство: найти

иеК' (Ти, и— и) 3=0 yv е Ki

где K = (v е £,2(Й) | о 3=0 п. в. ай} (см. Брезис, Эванс [1])..

•8. Покажите, что форма a (u, u) = ^u^odx коэрцнтивна на Н^ (Й)(]Я2 (Й), где ЙсР^ ограничено. Обобщите этот результат иа форму а (и, v) = С А^А^и dx.

где А1 и Л2 —линейные эллиптические операторы вида А*и =—^“^“х )x."hx‘u (см. Брезис и Эванс [1], Ладыженская и Уральцева [1]).

Пусть Й с й^—ограниченная область и А‘: Щ (й) f|Нг (й) -> L? (Й), i=1, 2,— эллиптические операторы вида А*и = —^ц^х )*.» <=1. 2. Покажите, что реше. ние задачи Беллмана [1]: найти *

и е Я'(Й) П Я2 (Й): min (Л^—/, Л2и) = 0,

"где /е(.8(Й), есть решение вариационного неравенства: найти иеК' ^ (А1и ~ f) А2 (и —и) dx ^ О упе/С.

где К = {о s Я^ (Й)ПЯ2(Й) | Л2о^0}, Найдите условия, гарантирующие сущест- - вование радения в этом неравенстве (Брезис и Эванс [1]). .. 10. Пусть Я—замкнутое выпуклое подмножество рефлексивного банахова прост- - ранства X с двойственным X* н отображение А: К-*Х' монотонно и непрерывно ; иа конечномерных подпространствах. Тогда для существования '

(I)(I)и е К: (Ли, и—и) 2=0 у v s К

(I)

(I)

необходимо и достаточно, чтобы нашлось непустое ограниченное подмножество С . в К. такое что для каждого ®еК\С найдется оеС, при котором (Aw, v~w)^0. " Кроме того, если К строго выпукло (в том смысле, что для любых и, о е К ’

точки Хи + (1—Х)о, 0<Х<1, лежат во внутренности К) н Л-1 (0) содержит не более одного элемента, то решение (I) единственно. .

Это условие означает, что единственность решения уравнения Ли = 0 влечет

за собой единственность решения вариационного неравенства (I), если только К строго выпукло (Копполетта [1]).'

Покажите, что оператор средней кривизны Аи=—(д/дх^ [u^ /(1 +u2)V2j не *' является сильно коэрцитивным, ио векторное поле р/(1 + р2)172 локально коэрцн- : тивио. .

Пусть й с: й^—область с гладкой границей дй, К={и е Я1 (й) | и2=0 на дй} : N

и f=f0—V (fi)x, е Я-1 (й), причем ( f0 dx < 0. Покажите, что

11Q .■

^иеК". \ux(v—u)JCdx'^{ftv—u) ^иеК-

Запишите соответствующую дополнительную задачу и рассмотрите вопрос о един- сгвеииости ее решения.

Глава IV

ПРОБЛЕМЫ РЕГУЛЯРНОСТИ

МЕТОД ШТРАФА

Нам удалось применить абстрактную теорему существования к решению вариационного неравенства во многом вследствие того, что само понятие решения трактовалось очень широко: мы рассматривали так называемые слабые решения. В настоящей главе детально изучается вопрос о гладкости таких решений.

В граничной задаче для эллиптического уравнения гладкость решения такая же, как гладкость данных задачи. Однако решение задачи с препятствием не обладает этим свойством. Мы уже видели, что решение уравнения второго порядка не принадлежит, вообще говоря, классу С2, несмотря на гладкость данных самой задачи. Этот пример показывает, что наша теория регулярности должна быть специально приспособлена к изучению вариационных неравенств.

В начале главы приводится краткое описание метода штрафа. Следует подчеркнуть, что этот метод (часто используемый для доказательства регулярности решений) иногда может применяться и для доказательства существования, когда не выполнены предположения общих теорем. С этим мы столкнемся чуть позже. Метод штрафа заключается в том, что вариационное неравенство заменяется семейством нелинейных граничных задач и последующим доказательством того, что их решения сходятся к решению исходного вариационного неравенства. Основная трудность при этом состоит в получении подходящих априорных оценок. Отметим также, что существуют различные способы выбора штрафа..■

ИНТЕГРАЛ ДИРИХЛЕ

Пусть fi с Rw — ограниченная связная область с гладкой границей дЙ, фе/^ЧЙ) и ф<0 на дй. Положим

К = К^ = {у е Н» (й) | о ^ ф на й}.

Метод штрафа будет приспособлен к изучению следующей задачи:

Задача 2.1. Пусть feV^. Найти

ueK'. \uXi(v — u)x.dx^\f(y — u)dx yv^K. (2.1) о* о

Мы будем также предполагать, что

f, max(— Aip—/, 0)eI/(Q) для некоторого N <s<oo. (2.2)

Будет показано, что в этих условиях решение и неравенства (2.1) принадлежит Н1**^ f| С1Х(Й), Х= 1 — (N/s). Основным инструментом доказательства при этом является следующая оценка, основанная на теореме Кальдерона— Зигмунда:

Пусть veH\ (й) таково, ««по —Au = F в й, где F г U (й). Тогда

Мя2,,(О)<С0($, Й)1ЛЬ,(О).(2.3)

Интуитивно ясно, что решение задачи 2.1 должно удовлетворять условиям'

— Au=f в й\/, —Ди = — Атр в Z, где / = {х е й | и (х) = ф(х)}, и поэтому нам надлежит найти и как решение следующей задачи Дирихле:.

.(/ в й\/,

— Аи={и = 0 на дй. (2.4)

( — Ахр в I,'

Из результатов § 6 гл. II известно, однако, что —Аи = /+р в й (в смысле обобщенных функций), где р —некоторая неотрицательная мера с носителем в I. Объединяя это с предыдущим, приходим к таким формальным соотношениям:

dp = (—Аф — ^dx в /, dp = 0 в й\7.

Обозначим через 6 функцию

е<Но. ОО;<2-S>

тогда эти соотношения эквивалентны равенству

dp = (—Аф — /) 6 (и — ф)dx в й.(2.6)

К сожалению, у нас нет способа заранее установить абсолютную непрерывность меры р (которая, конечно, следует из (2.6)) и определить, что решение и задачи (2.4) (в которой 1 = 1 (и) и у —известное решение (2.1)) принадлежит К. Но тем не менее (2.6) приводит к рассмотрению следующего семейства задач:

— Аие = (— Аф — f)6e(ue — ф)+/ в й, и8 = 0на дй,

где 68 — последовательность липшицевых функций, сходящаяся к 6 (см. (2.5)) почти всюду в R. Заметим, что поскольку и есть — A — f- суперрешение, то, как известно, /с{х| — Аф(х) —/^0} и можно

заменить — Аф —f на тах(—Аф —Л 0). Граничная задача

— Aue = max(—Аф —f, O)0e(ue —ф) + / в й, иЕ = 0на дй,

называется штрафной задачей.

Лемма 2.2. Пусть функция 6: R1-*^1 равномерно липшицева, невозрастаюшдя и О^0(/)=^1. Тогда если выполнены условия (2.2), то существует единственное

юеНЦЙ): — Асу = max (—Аф — f, 0)6 (су — ф) + / в Й. Кроме того (C0(s, й) — константа в ^-^V

|ty|H2,s(Q)<Co(s, й)(2|Л^(0) + |тах(-Аф-Л 0)|L,(Q)).

Доказательство. Заметим, что так как 6 ограничена, то 6 (су — ф)е е L” (й) для любой функции weI? (й). Следовательно, обобщенная функция Lw, определенная соотношением

<Lty, С> = $ \т\Ц - [max (— Аф - /, 0) 0 (су - ф) + /] Q dx, Q

принадлежит Я-1(й). Мы утверждаем, что L строго монотонно и коэрцитивно на НЦи), Действительно, поскольку функция 0 не возрастает, то

— [max (— Аф — f, 0) 0 (w — ф) — max (— Аф — /,. 0) 0 (у — ф)] (су — у)^0,

и поэтому

{Lw — Lu, w — v) — ^(w — v^dx — $max(—Аф —Д О)(0(су — ф) — ОQ

- 6 (у - Ф)) (су - у) dx > $ (су - У)1( dx = II w - У bl (0)|

Далее, сходимость суя->су в Щ(й) влечет за собой слабую сходимость Lwn-*Lw в Я-1(й), которая означает, очевидно, что L непрерывно на конечномерных подпространствах в HI (й). Применяя следствие 1.8 гл. III, ['получаем существование решения су. Требуемая оценка следует из (2.3). |

(2.8)(2.8)Возьмем теперь конкретную функцию

(2.8)

(2.8)

мо= i-m1о,

и рассмотрим для 8>0 задачу Дирихле: найти

теНЦО.): — Aty =тах(—Аф —/, O)0e(ty —ф)4-/ в й. (2.9)

Перейдем к основному результату этого параграфа

Теорема 2.3. Пусть выполнены условия (2.2) и и —решение задачи ' 2.1. Тогда и е №-s (£2) П С1-X(Q), ^=1 — (Nfs), и, кроме того, если . и8, е> 0, — решение (2.9), то ив-»-и слабо в H2’S(Q).;

Доказательство. Проверим сначала, что ий е К, или эквивалентно, . обозначая £ = ua — max (и8, ip) (5 е Щ (□)), проверим, что £ = 0. В силу (2.9),

- J{uex.^-[max(—Axp-f, 0)9(Ug-ip)4-f|qdx = 0,.

и по теореме Грина § (ipX;£x. + Aip£} dx = 0. Вычитая это равенство я1

из первого, получим

$(ue-tp)*.5*.dx= $[шах(—Агр-f, 0)6g(ue-ip)+Aip+/J£dx. " QЯ-' ■

Так как~

^ _( («8 —АрЦ, если £<°»' ■ '

* I 0, если 5 = 0, то

\£Ldx = $ [max(—Aip-f, O)ee(ue-ip) + Aip + fl£dx.

Я{£<0}'■т-

Но неравенство 5 (*) = “в (х) — гр (х) < 0 означает, что 68(и8(х) — — ip (х)) = 1 и, следовательно,‘

^ dx = $ [max(—Aip —A 0)4-A\p4-/]5dx<0, я {£<о}.

т. е. 5 = 0. По лемме 2.2 последовательность {ие} ограничена в №’s (Q) : и поэтому содержит подпоследовательность {u8J, которая сходится : слабо в №■5 (й) и равномерно в Q к й е №>s (Q) f) С1,х (й), Х= 1—(N/s). • При этом йеК, так как ивеК..

Для того чтобы показать, что й — решение задачи 2.1, мы применим лемму Минти (гл. III, лемма 1.5) к монотонному оператору, определяемому уравнением (2.9). Пусть иеК таково, что v^ip-f-б ; для некоторого 6>0. Тогда"

$ Vx. (у — и8-)х. dx — 5 tmax (— ^ — ^» °)0В' (у ~* 'Р) + Л (у — uB-)dx > 0.

Поскольку и8'->й слабо в Д2-$(й), то, переходя к пределу при в -> 0 и учитывая, что 68 (у — тр) = 0, когда в < 6, будем иметь■

$у*;(у — ^ dx— \Ци — fi)dx^0 уу; ip + б^у е К.\

а 1я

Теперь переход к пределу при 6->0 приводит к неравенству $у*£(у — й)х dx^ ^(у — G)dx yvsK,

Снова применяя лемму Минти, получаем, что fi = и — единственное решение задачи 2.1. Из единственности, в частности, вытекает, что вся последовательность {ы6} сходится к и слабо в H2’S(Q\ |

Аппроксимации, которые мы использовали, обладают рядом интересных свойств.■

Теорема 2.4. Пусть выполнены условия (2.2). Тогда если и —решение вариационного неравенства (2.1) и ив, е> 0,— решение штрафной задачи (2.7) с функцией 8В, определенной по формуле (2.8), то {н6} — неубывающая последовательность и

и (х) =^ ив (х) ^ и (х) + в ух е 52, е > 0.

Доказательство. Пусть е<е' и ^еНЦЙ). Имеем ■

J (нв- - и^Ц dx = $ max (— Ахр - f, 0) [8В< (ив. — xp) - 8В (ыв - хр)] 5 dx= QО

= $ max (— Ахр — f, 0) [8В, (ые< — хр) — 8В. (ые — хр)] 5 dx +

■+ $ шах (—Ахр - f, 0) [86, (u6 — хр) — 8в (ue — ф)] g dx.

Q

Положим здесь g = min(«B' — uB, 0), О^^еНЦЙ); тогда \£Ldx= ( max (—Axp—f, 0) [8B, (uB—xp)—8B-(ue—xp)](«B—ue)dx+ Q ‘{£<0}

+ $ max (— Axp — f, 0) [8B< (ue — ^ — 8e (ue — xp)] 5 dx. - Q■

Функция e6. убывает, и поэтому [8g, (ив- — xp) — 8B- (ue — xp)] (uB- — u^ < ^0, а так как 86(/)<86'(<) при е<е' и 5^0, то [86-(ые —хр) — — 6в («в — ^Ж =^ 0- Эт° значит, что■

\&^х = 0, т. е. 5 = 0 и ив^ив>.х

Из сходимости ив->-и следует, что ив^и, е>0. Заметим далее, что «4-е —суперрешение аппроксимационного уравнения. Действительно, поскольку и — решение вариационного неравенства, то $(«4-8^5*,. dx — J[max(—Ахр —Д 0) 8в(и4-е —xp)4-f]5dx = QQ

= \их.ц dx— \ft,dx^O v5^0.(2.10)

Кроме того, «4-8 = 8^ив на дй. Выбирая теперь 5 = min(«4-в — — «в> 0)(0^=5 еЯ#(52)) и используя (2.7) и (2.9), получим, что «в<« + 8. |

Аналогичным образом, в качестве аппроксимирующей последовательности функций можно взять решения йе задач

— Айе = тах(— Аф-f, 0)6е(й8 — ф) + / в й,й8 = 0 на дй,где

' 1,М0= -(//в), . о, .' 1,М0= -(//в), . о, .t < — 8, — 8 ^ / =^ О, />0.t < — 8, — 8 ^ / =^ О, />0.

' 1,

М0= -(//в), . о, .

' 1,

М0= -(//в), . о, .

t < — 8, — 8 ^ / =^ О, />0.

t < — 8, — 8 ^ / =^ О, />0.

При убывании е функции йе возрастают.

Для того чтобы проиллюстрировать метод штрафа, мы рассмотрели ради простоты изложения выпуклое множество, ассоциированное с однородными граничными значениями. Основная идея заключается в том, что решение вариационного неравенства принадлежит классу №18(^, как только решение соответствующей штрафной граничной задачи обладает этим же свойством. Легко проверить, что утверждение теоремы 2.3 остается верным для выпуклого множества К= = {п е Я*(й)| п^ф в й, v = g на дй}, где g <= №•8 (Й) и ф=^§ на дй.

Перейдем к следующему примеру, который будет полезен при изучении задачи фильтрации (см. гл. VII).■

Пусть й с R^ — область с липшицевой границей дй = д1й1)д2й, где д1й и д2й — непересекающиеся открытые липшицевы гиперповерхности. Это означает, в частности, что определен оператор следа из Н1^ в L2(diQ). Положим

V = {ve//1(Q)|n = 0 на д^}

и допустим, что норма в НЦО) является нормой и в V, т. е. форма

■$ и,гЦ dx, оДеУ,■

й

коэрцитивна на V. Пусть /еА2(й), g, фЕ//*(й), ф^^ на д1й и

7< = {пе№(й)|п^ф в й и и— geV}. (2.11)

По теореме 2.1 гл. II существует единственное

иеК: § их. (v — и)х. dx ^ § f (v — и) dx vuG^- (2.12)

Функция и является также решением дополнительной задачи (доказательство этого мы здесь не приводим)

(— Au — f)(u — ф) = 0 п. в.в й,

_— Au —/^0, и — ф 2s 0 п. в. в Й,

. u = g на д1й, ди/дм = 0 на д2й,

где V —внешняя нормаль к дай. Таким образом, вариационное неравенство (2.12) связано со смешанной граничной задачей (см. гл. II, смешанная задача 4.9). Наша цель — изучить гладкость решения и, предполагая, что оно удовлетворяет условию (2.14) ниже. Подчеркнем, что (2.14) не всегда имеет место: это зависит от того, как устроены множества diQ, д2П и функция g.

Пусть jeL$(£Y), geH2-8^ для некоторого A^<s<oo и

шеНЧЯУ —&w = f в Q,

'131

w = g на diQ, dty/dv = O на дД.' 7

Пусть, далее, существует такая константа Со > 0, не зависящая от /, что

8 8/А»<й) ^ ^о [И Ид® <й)+1£ 8н2. $ <0)].(2.14)

В формулировке (2.13), конечно, имеется в виду, что ^wx^x.dx=\^dx у?е^ w — geV. ио

Теорема 2.5. Пусть feL*^), ф, ge-H2-8^ при N <s<oo, '^^g на 51Й и выполнено (2.14). Тогда решение и вариационного неравенства (2.12) принадлежит Н2> $(^) Л С1, х (й), Х = 1 — (N/s).

Для доказательства теоремы нужно рассмотреть аппроксимационные уравнения

— Aue = max (— Аф — f, 0) 6е (ue — ф) + / в й,

u6 = g на diQ, диЕ/дм =0 на д2П,

где 6е определено по формуле (2.8) и для оценки ие нужно воспользоваться неравенством (2.14). Детали доказательства мы оставляем читателю.

3. КОЭРЦИТИВНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ

Коэрцитивные векторные поля обсуждались в § 4 гл. III. Для того чтобы гарантировать гладкость решения вариационного неравенства, необходимо рассматривать векторные поля по меньшей мере класса С1. В этом случае определение 4.1 из гл. Ш заменяется следующим.

Определение 3.1. Векторное поле а называется ^-сильно коэрцитивным, если at е С1 (R^), 1 i N,

(а (р) —а (^)) (р — ^) ^ v |/? — ^ |г, p.qE^, ^дс^др/Цр^^М, peRN, \<,i, j^N,

для некоторых 0 < vM < oo.

Пусть Q — ограниченное открытое подмножество R^ с гладкой ' границей dQ. Используя (3.1), легко проверить, что отображение у -► — (dldxt) а, (у,), у е Н'о (й), определяет квазилинейный оператор

А: H‘0(Q)-* Н-1^), Аи =— (д/дх^ а, (у,),

который монотонен и коэрцитивен. Если уя-*у в Щ^Й), то вследствие гладкости поля а Аип-*Аи слабо в Я-1 (Q) и, таким образом, А непрерывен на конечномерных подпространствах в НЦЙ). Более того, как было отмечено в конце § 4 гл. III,

фаидрА^^^^ ¥Р» I^R^

т. е. оператор А равномерно эллиптичен в обычном смысле.

Пусть функция ф е С2 (й) такова, что max ф > 0 и ф < 0 на dQ. . о''i

Положим

Л = Л^ = {у е Яо (^)! у ^Ф в й}.

Задача 3.2. Дана функция feL”(&). Найти

иеК: \аДих)(о — и)х. dx^^f(v — u)dx уу е К. (3.2) ,

. Существование решения в (3.2) было доказано в § 4 гл. III, и даже при значительно более слабых предположениях относительно ф и [. Здесь мы обсуждаем гладкость этого решения.

Как и раньше, определим функцию

6е(/) = 1-(Яе), 0</<е,

и рассмотрим задачу Дирихле: найти

шеНЦВ): Лю = тах(Лф — f, 0)68(ю — ф)4-/ в Q. (3.3) i Так же как и в предыдущем параграфе, проверяется, что оператор

A6w = Aw— max(Лф — /, 0)68(w — ф) + А ®еЯ«й,’ строго монотонен, коэрцитивен и непрерывен на конечномерных подпространствах в Ho(Q). Поэтому, согласно следствию 1.8 гл. III, существует единственное решение задачи (3.3) для каждого е>0. " Сформулируем сейчас теорему, которая будет использована при установлении гладкости решения. Доказательство ее приведено в приложении.

Теорема 3.3. Пусть а — векторное поле класса С1 и get” (Q). . Предположим, что существует

ие№ (й): Au = — (djdxA а, (их) = g в Q,

м = 0

и что

(daildp/)(ux(x^^/^v\^,\2 ygelR^ для п. в. х (= Q,

| (да^дрД (их (х)) | ^ Л1, 1 ^ (, / ^ N, для некоторых чисел 0 <v ^М <оо. Тогда для каждого s найдется co = co(s, V, М, Q), такое что |u8H2,s(Q) ^Collgk”^)-

Отсюда сразу получаем

Следствие 3.4. Если а есть (^-сильно коэрцитивное векторное поле (см. определение 3.1), то решение и задачи (3.4) удовлетворяет неравенству || ыЦ^г. 8(й) «СМяк"^

В частности, справедливо

Следствие 3.5. Если feL”(Q) и ие, е> 0,— решение (3.3), то аегН2-8(О)), 1^s<oo и

II “sllH2, s (0) ^Со(21 / к°°(В) + I Афк°°(й)).

Эти результаты позволяют доказать следующую теорему.

Теорема 3.6. Пусть и —решение задачи 3.2. Тогда иеН2-®(Й)П ПС^Ф), l^scoo и 0<Х<1. Более того,

|“11н2-Ча)^о(2|Лу”(й)+Мфк00(й))»

где Co = co(s, Й, v, М), и если ие — решение (3.3), то и6-* и слабо в Н2'* (Й) при е —>■ 0.

Доказательство. Эта теорема по духу аналогична теореме 3.2, но ввиду ее частого использования приведем еще раз основные рассуждения. Прежде всего мы показываем, что ие е К. Для этого рассматриваем срезку t, = ue — max (u8, ф) е Н» (й), ^ ^ 0, и доказываем, что на самом деле ? = 0. Согласно (3.3),

<Ди8, 0 = $ [max (Аф - /, 0) 68 (ие - ф) + fj ^dx у£ s Щ (Й), и

и так как £ е До (^) и Ф— гладкая функция, то

(Аф, 0 = $ A^dx.

и

Вычитая из первого уравнения второе (о учетом того, что 68 (и8(х) — — ф (х)) = 1, когда ^ (х) < 0), получим

(Аив — Дф, ^>= $ [тах(Дф—/, 0) —(Дф—/)]№^0.

{£<0}

Напомним (см. гл. II, приложение А, теорема АЛ), что в смысле обобщенных функций

Г£<°»

1 lo, с>0.

s

Следовательно,

O^S^Allg ^4ф, ?) = § [^i (^6*) di (фх)] кЦе Ф)х, ^ ^^

U<0)

Sav 5 <Ug — ^yxdx = v\Qcdx, (С<0)Я

т. е. ? = 0.

В силу следствия 3.5, последовательность {«е} ограничена в Н1$(£У), и поэтому из нее можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность. Ее предел й есть решение (3.2). Это доказывается точно так же, как в теореме 2.3, а именно дважды применяется лемма Минти (гл. III, лемма 1.5). Детали мы оставляем читателю.

Поскольку решение и вариационного неравенства (3.2) единственно, отсюда вытекает, что вся последовательность {ие} сходится к и. |

4. ЛОКАЛЬНО КОЭРЦИТИВНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ

Теорему существования из гл. III нельзя непосредственно применить, например, к вариационному неравенству, связанному с векторным полем

сц ^ = pd к1 + Р2)1/2, P^RN

(которое участвует в выражении для первой вариации интеграла площади), так как это векторное поле не является сильно коэрцитив- * ным (см. § 4 гл. III). Для того чтобы доказать существование и ~ гладкость решения такой задачи, мы сначала установим априорную : оценку для градиента решения. Затем мы преобразуем наше вектор- * ное поле и тогда сможем воспользоваться предшествующей теорией. $

Нам потребуются для этого некоторые предположения о характере области Q. Напомним читателю, что факт существования реше- - ния граничной задачи

- и

— а/ в Q,дх, У l+u=

и = g на дй

основан на определенных геометрических соотношениях между / и дй.

Напомним также, что векторное поле a = kai, ..., On) еС1 (R^ * называется локально коэрцитивным (см. гл. III, определение 4.2), ; если для каждого компакта С cz Rw найдется v = v (С) > 0, такое что "

[a(p)-a(<7)](p-<7)^v|p-^|2 \jp,q^C. (4.1) :

Пусть феС2(й) удовлетворяет условиям тахф>0, ф<0 * й'' Г

на 5Q. Положим

К = ^={ОеЯ1’"(О)|»^вй}.(4.2)^.

Заметим, что выпуклое множество К расположено в банаховом пространстве липшицевых функций, которое не является рефлексивным. Будем далее предполагать, что Q выпукло.

Задача 4.1. Найти .

и е К: ^а, (их) (у — u)*. dx 3= 0 Vy еК.

Легко видеть, что, согласно (4.1), решение задачи 4.1, если оно существует, единственно. Сформулируем нашу априорную оценку.

Лемма 4.2. Пусть й выпукло, а — локально коэрцитивное вектор-- ное поле класса С1 и и е С1 (Q) П № (Q) — решение задачи 4.1. Тогда || и* к» (П) ^ Цф, к» (Я).

Доказательство. Заметим сначала, что непрерывно дифференци-= руемая функция и — ф достигает своего минимума в каждой точке хек Следовательно,

Кх(х)=фх(х). хе7 = {хей|и(х)=ф(х)}.(4.3)

Так как и>ф в Q\Z, то

Au = — (d/dx.) at (их) = О в Q \ Z

в смысле обобщенных функций. Пусть £ е R^ и ^ еС*(й\ Z); тогда'

'0= ( ai(,ux')(d^/d^Vdx = — «ц (х) (du/d^)x Ц dx,

a\ia\i

где ац(х) = (dai/dpj)(их), 1^1, j^N.

Из Локальной коэрцитивности а и условия | их | eL°°(Q) вытекает, что

Оу (х) ^ ^ v 1||2 уВ^^ п-в- в й\7

и |ау(х)|^А1 п.в. в Q\Z

для некоторых 0<vs^ А4 <оо. Значит, мы можем применить слабый принцип максимума (гл. II, теорема 5.5) к (du/d|)(x):.

| (du/d|) (х) | ^ sup | (du/d^) (у) | < д(й\Л.

^ max (sup | (дф/д£) (у) |, sup | (dufd^ (у) |), xeQ\I.

Второе неравенство следует из соотношения. (4.3), и из него же следует, что

| (du/d|) (х) | < max (sup | (дф/д^) (у) |, sup | (dufd^) (у) |J vx s й- (4-4>

Вследствие выпуклости Q для каждой точки х0 е d^ найдется аффинная функция л, такая что л(хо) = О, л (х) ^ max (ф (х), 0}

4 Заказ 364

98 IV. Проблемы регулярности"

при ХЕЙ, | лх (х) | ^ sup 11|)х (х) |. Покажем, что.

й

О ^ и (х) ^ л (х) ух е й.

Положим для этого ty = min (и, л) е К; тогда J аг (их) (tv — и)*. dx^ 0. *

Ясно, что tv — иеНЦЙ') и Лл =— а,(лх) = 0 в й. Таким образом, J dj (лх) (tv — и)х. dx = 0. Вычитая из этого равенства предыдущее ■ й;

неравенство, получим'

$[аЦлх)-а£(их)](оу-и)х^х^О.■

й-

Поскольку векторное поле а строго монотонно, то ty = и, т. е. : и ^ л. Аналогичным путем устанавливается, что и ^ 0 в й. Пусть п— внешняя нормаль к й в точке х0 е дй; тогда .

0 ^ (1/й) [и (х0 — hn) — u (хо)] < (1 //i) [л (х0 — hn) — л (х0)], й > 0, и поэтому 0 ^ — (ди/дп) (х0) ^ — (дл/дп) (х0) ^ | фх Jloo (Q,. Следовательно, согласно (4.4),

| (ди(д^ (х) | ^ | tpx ||£,<»(й) ух е й.

Наконец, для каждого е> 0 можно выбрать хое й и £ GIR^, такие ' что (ды/д^)(хо) = ЦыхЦь<»(й) —е, откуда получаем неравенство

|«хко°(П)^|’|’хкоо(й) + 8- В'

Центральным результатом является

Теорема , 4.3. Пусть а —локально коэрцитивное векторное поле класса С1 на IR^, Q с= IR^ — выпуклая область с гладкой границей и функция t|>eC2(Q) такова, что шахфХ) и ip<0 на дй.

й

Положим

■ /< = {ue^'co(Q)|u^i|) в й}.

Тогда существует единственное

иеК1. \ai(ux)(v — u)Xidx^Q л^иеК, (4.5) ■й

и, кроме того, и е Н2- *(й) QC1* х(й) для l^s<co, 0^Х<1.

Доказательство. Пусть Л4 — sup ]-фх| и а —сильно коэрцитивное й векторное поле, такое, что■

если IpI^^»

I ftp, если | р | ^= ЗА1.

Такое векторное поле было построено в лемме 4.3 из гл. Ш. Существует единственный элемент

иеК: \ai(ux)(v — u)Xidx^0 yveK

(см. § 4 гл. Ш). По теореме 3.6 ueC1^), и поэтому мы можем применить предыдущую лемму и получить, что

I и, t“(Q) < И Ф* к® <й) = М.

Следовательно, й; (иж) = ае (их) и и — единственное решение (4.5). | ’

Б. ДРУГОЙ МЕТОД ШТРАФАВ этом параграфе рассматривается другой вид аппроксимационных уравнений, который основан на понятии монотонного графика. Мы показываем, что решения этих уравнений сходятся к решению соответствующего вариационного неравенства. Кроме того, это приводит к еще одному доказательству гладкости решения. Дальнейшие вопросы регулярности изучаются в последующих параграфах.Мы всегда будем предполагать, что Й с ^- ограниченная связная область о "~“такую чтоа' (0 ^ О и положим .Заметим, чтоБ. ДРУГОЙ МЕТОД ШТРАФАВ этом параграфе рассматривается другой вид аппроксимационных уравнений, который основан на понятии монотонного графика. Мы показываем, что решения этих уравнений сходятся к решению соответствующего вариационного неравенства. Кроме того, это приводит к еще одному доказательству гладкости решения. Дальнейшие вопросы регулярности изучаются в последующих параграфах.Мы всегда будем предполагать, что Й с ^- ограниченная связная область о "~“такую чтоа' (0 ^ О и положим .Заметим, чтограницейграницей= 0,= 0,если /^0,если /^0,иилинейна, еслилинейна, еслиР8(0=е< + (1/е)а(0,Р8(0=е< + (1/е)а(0,Пшр,(0 = ( °* е-»0I —ОО,-Пшр,(0 = ( °* е-»0I —ОО,-asas|^| достаточно большое,|^| достаточно большое,(5.1)(5.1)

Б. ДРУГОЙ МЕТОД ШТРАФА

В этом параграфе рассматривается другой вид аппроксимационных уравнений, который основан на понятии монотонного графика. Мы показываем, что решения этих уравнений сходятся к решению соответствующего вариационного неравенства. Кроме того, это приводит к еще одному доказательству гладкости решения. Дальнейшие вопросы регулярности изучаются в последующих параграфах.

Мы всегда будем предполагать, что Й с ^- ограниченная связная область о "~“

такую что

а' (0 ^ О и положим .

Заметим, что

Б. ДРУГОЙ МЕТОД ШТРАФА

В этом параграфе рассматривается другой вид аппроксимационных уравнений, который основан на понятии монотонного графика. Мы показываем, что решения этих уравнений сходятся к решению соответствующего вариационного неравенства. Кроме того, это приводит к еще одному доказательству гладкости решения. Дальнейшие вопросы регулярности изучаются в последующих параграфах.

Мы всегда будем предполагать, что Й с ^- ограниченная связная область о "~“

такую что

а' (0 ^ О и положим .

Заметим, что

границей

границей

= 0,

= 0,

если /^0,

если /^0,

и

и

линейна, если

линейна, если

Р8(0=е< + (1/е)а(0,

Р8(0=е< + (1/е)а(0,

Пшр,(0 = ( °* е-»0I —ОО,-

Пшр,(0 = ( °* е-»0I —ОО,-

as

as

|^| достаточно большое,

|^| достаточно большое,

(5.1)

(5.1)

Пусть ф г С2 (й) — препятствие," т. е. тахф>0 и ф<0 на dQ, feL”^) и a = (ai, ..., on)— сильно коэрцитивное Сх-векторное поле. Мы будем аппроксимировать решение и задачи 3.2 решениями иееЩ(й) уравнений

■Лы8 + ре(и8 — Ф) = / в °.(5.2)

Отметим, что так как функция ре иевозрастающая, то оператор о->-Лц + р8(о—ф) —/,ие/ЩЙ),

строго монотонен, коэрцитивеи и непрерывен на конечномерных подпространствах. Поэтому существует единственное решение уравнения (5.2). Его гладкость в й следует из хорошо известной теоремы (аналогичной теореме 3.3) об эллиптических уравнениях.

- Лемма 5.1. Пусть и6, 0<а^ 1, — решение уравнения (5.2). Тогда РМ*»(Я)<С1 HM^w^Vi, l^s<co,

где Ci = 2(2jf||£.<»(0) + МЧ’кс,’(0) + ВЧ’к<»(0)) и сй = с6^, М, s, Q) — константа из теоремы 3.3.

Доказательство. Пусть ае(0 = (1/е)а(0 = Ре(0 —8^- Покажем сначала, что функция ae(Ug —ф) равномерно ограничена по е. Так как ае(/) = 0 ПРИ ^^0, то ae(ue —ф) = 0 на дй. Вычитая Дф из обеих частей в (5.2) и умножая затем полученное уравнение на [а6 (ые — ф)]^1, где р>0 —четное число, получим

(Яи6 - Яф) [ае (И8 — Ф)]р-1 + Ре («8 — Ф) [«в («8 - Ф)]р-1 =

■=(/-Яф)[ае(и6 — ф)]^1.

Интегрирование по частям первого слагаемого в левой части этого равенства приводит к соотношению

$ (Я ие - Яф) [а6 (и6 - Ф)]р-1 dx = а-

= (Р — 1) $ (а< UM — Qi (фх)] (ив — фЦ«в («г - Ф)[а(«е -ф)]р'2dx^Q

вследствие монотонности а, четности р и того, что ав(0^0. Таким образом,■

8 $ (ие - ф) [а6 (и6 - ф^-1 dx + $ («в (ие - Ф)]р dx <.

< S V — ЛФЖ (“е — Ф)]^1^.

■О '

Снова, так как р четно и ta(Z);35 0, оба слагаемых в левой части полученного неравенства неотрицательны и поэтому

[ | ае (ие — ф) |рdx < $ | f — Яф 11 ае (ие - ф) р*1 dx. ао-

Оценивая интеграл справа по неравенству Гёльдера, будем иметь

Цав(Ы8 — ^)IlP(Q) ^И — ^ф6х.Р(Q>l^e^e —Ф)к(й),' или |ав(“8-Ф)к(й)<М-ЛФк(й).

Переходя здесь к пределу при р->-со, получим

Ц а6 (ие — ф) U” (й) < I f — Яф к» (й).(6.8)

Теперь покажем, что сама последовательность {ие} ограничена. Запишем (5.2) в виде

Яи,+еи, = /-ав(ив-ф) + еф = 8,

где geL”(Q). Умножая обе части этого равенства на (и8)р-1 (р четно) и затем интегрируя, придем к соотношению

. (р — 1) $ а< (ивх) uMl (иву*2 dx + в $ 4 dx = ^gu^ ~1 dx." QQQ

Первое слагаемое неотрицательно, так что 0 ^в § uf dx^ $ guB-x dx.

QQ

Теперь снова применяем неравенство Гёльдера и получаем.еЦи^р^^ ^||g||Lp(n), откУДа следует, что

■а II «в к® (О) ^U к® со)-(5-4)

Вернемся к уравнению (5.2) и оценим его члены с помощью (5.3) и (5.4) для 0<е^ 1:

Аив к® (й) ^ 2 (1 f к® № + II / — ^Ф к® (О) + е | Ф к® (Я)) < ^ 2 (21| / к® (Я) + Мф к® (Я) + IIФ к® (Я))s Ci.

Этим доказано первое утверждение леммы. Второе следует из теоремы 3.3. |

Теорема 5.2. Пусть и —решение задачи 3.2, а ив, 0<е^1,-— решение уравнения (5.2). Тогда.

ив-*и слабо в №> S(Q), 1 <s<oo.

Доказательство. Пусть {и6'} — подпоследовательность {и8}, которая сходится слабо к й е Н2- S(Q). Для доказательства того, что й есть решение вариационного неравенства, воспользуемся стандартными рассуждениями. Поскольку оператор

ц->До + Р6(о —ф) —/, иеЩ^, монотонен, то по лемме Минти •

\сц (vx)(v-uB)x.dx+^B(v — ^)(v-uB)dx^ ^f^u-u^dx ОQй

■ yv е Hq* ” (Q).

Пусть и^ф + 6 при некотором 6>0. Тогда Р8(и — ф) = е(и — ф)->0 при е->-0 и, в силу слабой сходимости,

$ at (и,) (и - й)^ dx ^ ^Ko-^dx. аа

Если й(х0) —ф(х0)< —26<0 для некоторых хоей и 6>0, то найдутся окрестность В^ (х0) и е0 > 0, такие что при в' < е0

ив» (х) — ф (х) < — 6 < 0 ух е Вр (х0).

Следовательно,

₽в' (ив- (х) - ф (х)) = s' [и£- (х) — ф (х)] + (1/е') а (и6- (х) - ф (х)) > ^ е'С + (1/8') а (— 6) ух е Вр (х»)

и константа С^О. Отсюда вытекает, что

| Ре’ («е’ ~ Ф) $L” (Я) 3$ 6*С + (1 /в') | а (— 6) ] -> ОО, в' -> 0.

Но это невозможно, и поэтому й^^, т. е. йеК.

Поскольку любой элемент о е К мы можем приблизить функциями и' @6 К, для которых у* > ф, то в результате получаем неравенство

^йЛухНу — “^dx^ $/(у — S)dx уи®К.

ОО

Теперь еще раз применяем лемму Минти и приходим к тому, что й = и — решение задачи 3.2 |

ОГРАНИЧЕННОСТЬ ВТОРЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

В этом параграфе мы показываем, что если поле а и функции ф и f удовлетворяют определенным условиям гладкости, то вторые производные решения вариационного неравенства ограничены, дгбт результат оказывается полезным при изучении коинцидентного множества решения и. Сначала он доказывается для аппроксимационных уравнений (5.2). При этом мы предполагаем, что векторное поле сильно коэрцитивно. Однако следует заметить, что если и —решение вариационного неравенства типа (3.2) для локально коэрцитивного векторного поля, то это поле можно так изменить (в соответствии с леммой 4.3 из гл. III), что и будет уже решением задачи для сильно коэрцитивного векторного поля (см. § 4).

Как обычно, й с: R^ —ограниченная'связная область о гладкой границей дй. Предположим, что векторное поле а^Сг(^) сильно коэрцитивно,

foC1^,(6.1)

функция ф®С2(й) удовлетворяет условиям

тахф>0 и ф<0 на дй.

Пусть функция aeC”(R) такова, что

{

< 0, если / < 0,

= 0, если /^0,

а'(0>0, IsR, и сс^ХО, /@R.(6.2)

Положим рв(0 = 8/ + (1/8)а(0. Очевидно, что р8(0>0 и р8 (/) <0 для каждого t @ R. Обозначим через и8 г Н» (й) решение уравнения

Ли8 + Р8(и8 —ф) = /в й, 0<8^1.(6.3)

Как было показано в § б, решение (6.3) существует и единственно. Кроме того, последовательность {и,}, 0<е*£ 1» ограничена в Н^ *(й) при каждом s, Xs<oo.

Теорема 6.1. Пусть выполнены условия (6.1) и (6.2). Тогда для любого компакта К с Q найдется такая константа С = С (К) > 0, что

SUp|Mex* (Х)|=^С, \^l, i^N^. 0<8=^1.

К 1 ’

Доказательство опирается на оценки снизу несмешанных вторых частных производных. Для их получения рассмотрим неравенство, возникающее после двукратного дифференцирования (6.3). На первый взгляд этот подход не кажется многообещающим. Однако производные высших порядков функции ие выражаются через дивергенции функций из Ls (Q), s>N, и тогда мы можем применить теорему В.2 из гл. II. При этом важную роль в получении дифференциального неравенства играет вогнутость ре.

Лемма 6.2. Пусть ие, Осе ^\ — решение (6.3) и множество KclQ компактно. Тогда существует такая константа Сг = Сг^К\ что для любого направления t е RN выполнено неравенство

. (да/д^ ие (х) ^ С2 ухе К, 0<в<:1.

. Дбказательство. Пусть е G (0, 1] и и = и8. В процессе доказательства мы не будем отмечать зависимость каких-либо величин от в и будем обозначать через const любую постоянную, не зависящую от в, 0<е^1. Удобно будет считать, что ueC4(Q). С этой целью предполагаем временно, что ф, f и а обладают достаточно высокой гладкостью. Поскольку окончательная оценка для Сг зависит только ОТ 1,W)HL”(Q). ^^.“(Я) и supj^fy/^dp^n^ то ясно, что результат справедлив и при предположении (6.1).

Заметим, что для каждого /, \CjcN, '

д®д (да, /диХ ) да, ^иХ у(да, \(ди\

^^^^ = д^\э^ Ш fey ° д^ ^ Wk ^^Wi ^Ux4 \№ * и, следовательно,

д2д (да, ' (д^иХ \ д (д (да, V^“\ 1'

<2 А и=—dr,\^/У ” ^ tat W ^k шУл

Так как Р'^^О, то

J2 Р (U-Ф) = р'(и -ф) («-ф)й + р"(« -Ф) («6-W2^ <р,(Ы-ф)(ц-ф)Й.

Из этих двух соотношений получаем, что

Обозначим через L = Le линейный оператор , д [да/ . .|

Lxi0.

и заметим, что

•5)

^(“^I^M V^^Q, Ki, i^N»

для некоторых 0<v^A4<co, не зависящих от в. Это следствие сильной коэрцитивности а и ограниченности и* (лемма 5.1).

Фиксируем теперь компакт KcQ, и пусть С е С” (й) — такая функция, что С = 1 на К и £ 5ь 0 в & Можно показать, что для любого w е С4 (Q)

Ч^^ыф^ы^ <6-6>

Положим в (6.6) w = u^ и умножим (6.4) на С- Получим

L ^иц) + СР' (и — ф) [и — ф)^ 5$ — ^- ^иц ^ [и^ ц) —

“ 4" (“^ ^ ^ ^') + “^ ^ ® ^ Ц) +

Перепишем это в виде•

L (£ик)+СР' (« - Ф) (« - Ф)& > - ^ ^ ^ V^ Ц) -“ 4" ^ Ш{их} ^+“ц ^ ^ки^ ^/)++ a^(^u^fe^))_4^ и^д^д^^^"

Любое слагаемое в правой части полученного неравенства (за исключением членов, содержащих f) представляет собой произведение вторых производных и на ограниченную функцию или производную от такого произведения. Следовательно, (6.7) можно записать в виде

N

L (Ьи^ + СР' (и - Ф) (и - Ф)ц ^go + 2 ‘-gt^i,(6-8)

N

t№ SUib (Й) <6 const (1 u 1//2, s (fi) + ] fl JL* (Q))

для любого l^s<oo Согласно теореме 5.5 гл. II, существует решение щ е Щ (Q) задачи।

N

.Ltm-ge-V^lgi^ в Q,

щ = 0на dQ,

и по теореме В.2 гл. II

^ L® (Я) < const S i^ 1£» (Я)=const. .•0

Из (6.8) получаем, что

Е^-^НИи-фН^-ф^^О в Q.

Пусть теперь xoeQ-такая точка, где t,u^ — w достигает своего минимума. Если £(хо)=О, то

^(x)uKto“^to^ — a,to) в Q и тем самым

,£(x)“&(X)2S-2|Ml”(Q).

Если же £(хо)>О, то xogQ, L (£и66 — щ) к, ^ 0 и, следовательно,^'(«-^(«бб-^к^О.

Пусть £(х0)>0 и Р' (0>0; тогда ц^(х0)^^(х0) и поэтому

t, (х) ихх (х) - w (х) > £ (х0) «^ (х0) — W (Хо) > £ (Хо) ^ (Хо) — w (х0).

Таким образом,

Eto^to^H^U^Q^Itol^w-i^^ xeQ, и, в частности,

«^ to ^ ^з Vх ® К. |

Доказательство теоремы 6.1. Как и раньше, при доказательстве не указывается зависимость какйх-либо величин от в, 0<е^1. Фиксируем некоторый компакт К сQ, и пусть х0 е К. Без ограничения общности можно предполагать, что их.Х/ (х0) = 0, i^j. Пусть С — ортогональная матрица, '.

V = Mh^) = Хо + С(^-%),

и' {У) = и(х) = и (х0 + ‘С (у — Хо)),

где ^С —матрица, транспонированная к С. Отсюда следует, что и'— решение уравнения

— <91ду^а'Ди^Л-^и'-^ = Г в Q', и'=0 на 5Q'?

где ф' (у) = ф (х), f (у) = f(x) и £У = х0 4- С (Q — х0). Векторное поле а' определяется формулой

а' (р) = С а (‘Ср),

причем векторы а, а* и р понимаются как вектор-столбцы. Согласно (6.1), а' сильно коэрцитивно, ибо:

(аЧр^-аЦу), p-q^^^a^Cp^-a^Cq), ‘Cp-‘Cq^ ’5=v|'Cp —'C<7|2 = v|p —<?|2,

где V —константа коэрцитивности первоначального поля а. Кроме того,

Т/2, l^t, /, k^N.Т/2, l^t, /, k^N.Р^ИР)! / у I №ак (р) I I dpidpm I \*. I. m

Т/2, l^t, /, k^N.

Т/2, l^t, /, k^N.

Следовательно, для и' справедливы заключения лемм 5.1 и 6.2 с константами Сь i = 1, 2, умноженными, быть может, лишь на норму некоторой функции Л переменных. Выберем С1 так, чтобы иу.уДхе)=Ь при i Ф /. Это означает, что про выбранную ранее точку х0 е К мы можем предполагать, что и^Х/(хо) = О, i^j- Тогда

Аи (хо) = — 2 (dciildpi) (их (Хо)) иХ(Х1 (х0)

и (daj/dpi)(«,(xo))^v>O, i= 1, 2, ..., N.

Таким образом,

Са ^ иХ(Х1 (Хо) ^ ^ (| Аи Ь» (й) - (N - 1) С sup | ^ (и, (Хо))

X^i^N, C = min(0, Св), и поэтому в любой системе координат (Xi, ..., Xn) \их.Х/(х0)\^С (К), ХоеК, l=^t, i^N, с некоторой константой С (К). |

Теорема 6.3. Пусть выполнено условие (6.1) и и —решение задачи 3.2. Тогда для каждого компакта KcQ существует такая константа С (К), что.

|«V/(x)j^C(K) ухе К.

Доказательство получается из слабой сходимости ив к и в Н1-®^ и теоремы 6.1.

Следствие 6.4. Пусть выполнено (6.1) и и —решение задами 3.2. Если, кроме того, ф<0 на dQ, то игНй-т^.

Доказательство. Так как ф<0 на dQ, то существует окрестность 90 в Q, где ы>ф, и, следовательно, в этой окрестности Au = f. Теперь стандартные рассуждения показывают, что и еС2 в указанной окрестности, а в ее дополнении и ^ Д2,со по теореме 6.3. ||

ОГРАНИЧЕННАЯ ВАРИАЦИЯ

В этом параграфе мы показываем, что если выполнено (6.1) и УеС3(й), то Аи есть функция локально ограниченной вариации. Это позволит установить ряд геометрических свойств коинцидентного множества.

Перейдем к точным определениям. Пусть со с: Q — открытое множество. Говорят, что функция f е L (со) есть функция ограниченной вариации в со, или f е BV (со), если существует такая константа С>0, что

toI

Вариация V<j функции fsBV (со) определяется формулой ( Nnу

V J = sup 5 $ fut dx & e C” (Q), 5 ^ ^ 1 .(7.1)

I i иi/

Если VJ <oo для каждого co er в cz Q, то мы говорим, что / — функция локально ограниченной вариации, и пишем f е BVioc^Y '

Легко усмотреть, что при N = 1 наше определение переходит в классическое определение ограниченной вариации. Действительно, обобщенные производные функций из BV (со) суть меры (заряды) на со. Это следует из теоремы Шварца, поскольку обобщенные функции Ti^^' (Q),

Фи^-У^^йх-^йх, £зЗД,

' to

неотрицательны. Теперь если fn-^f слабо в L1 и /„еВУ(со), то К/< Пт inf Vafn. '■

. A-*OD;*

Пусть Е ex Q — борелевское множество и фв е BV (П)х). В этом случае будем говорить, что Е — множество конечного периметра (в П), а сам периметр Р (Е) определим как

Р (Е) = Vя (Фв).

Недр EaQ- компактное многообразие с гладкой границей дЕ, то Р (В) —площадь поверхности дЕ в классическом смысле. Таким образом, в общем случае Р (Е) (когда он конечен) служит некоторой характеристикой типа площади поверхности границы Е. ■

Пусть Е —множество конечного периметра. Обозначим через ц,, t=l, ..., N, меры, которые суть обобщенные частные производные Фв, т. е.

$ФвЦ^Ч^, tsC”(Q), i = lN. (7.2) QQ

Если suppSn^ = 0> 70 ясно, что ^ Vf^.dx = 0, и поэтому suppp;c3E, 1=1,..., N.(7.3) г

Формулы (7.2) и (7.3) являются аналогами теоремы Грина для множеств конечного периметра..

Наконец, отметим, что если Е имеет конечный периметр, FcE и mes(E\F) = 0, то Р (£) = Р (F). Это сразу следует из (7.1).-

' Как и в предыдущем параграфе, наша цель — доказать локальный результат. Читателю, который хочет воспринять лишь аналитические идеи доказательства, рекомендуется ниже не обращать внимания на функцию £ и на все граничные интегралы.■

.' Теорема 7.1. Пусть выполнены условия (6.1) и (6.2) и, кроме того,

ф^С’(й). Пусть, далее, ие, Q<a^l, — решение уравнения (6.3). Тогда для каждого открытого множества осесй суще- ' ствует константа С (о) > 0, не зависящая от е, 0 < е =5 1, такая что

Ve^Au^^C^, 0 <е^1.'

■ Перед доказательством этой теоремы отметим два ее следствия.

Теорема 7.2. Пусть выполнено (6.1), феС’(й) и и —решение задачи 3.2. Тогда Au е BVхос^У

Доказательство. Утверждение сразу следует из полунепрерывности снизу вариации. |

Следствие 7.3. Пусть выполнено (6.1), ^еС1^ и Дф — /#0 в й. Тогда если и —решение 3.2, то его коинцидентное множество ■ / = {х е Й | м (х) = ф(х)} имеет локально конечный периметр в й.

■ Доказательство. Поскольку Дм г BVioc (й) н 0 ^ Аф — / е С1 (й), то■.

Ф/(х)=[Дм(х) —f (х)]/[Дф(х) —f(x)] п. в. в й

есть функция локально ограниченной вариации в Й. J

Доказательство теоремы 7.1. Как и раньше, не будем отмечать зависимость каких-либо величин от е, 0<е^1, и будем обозначать через const любую постоянную, не зависящую от е. Рассмотрим следующую последовательность гладких функций ув» б>0, которая аппроксимирует sgnf: • . .

— 1, «О, о, t = о, 1, />0.— 1, «О, о, t = о, 1, />0.' МОК1» ?б(0^°» —ОО</<ОО, .

— 1, «О, о, t = о, 1, />0.

— 1, «О, о, t = о, 1, />0.

Уб(0)=0, limye(0 = sgn/ = ■6-.0

Для данного ® <“ © с: й выберем' такую функцию £ е Cjj° (й), что £*1 на и и 0<£^ 1 в Q..

После дифференцирования (6.3) по направлению £ получим

(d/8^Au-V^4u-^^-^ = WH вй, (7.4)

[(d/ag) Ди] ^6 (и6 - фЕ)+р' (и - ф) (и - ф^ ^76 (и6 - ф^) =

= №№б^-^).(7.5)

Обозначим 7 = 7б(и$ — ф^). Тогда вычисления показывают, что

$ [(Э/ЭУ Ди] £7 dx = $ (3/3^) ау (и,) 7*1 dx 4- J (d/d^) aj (и,) 7^ dx - QQQ

= $ (dajldpi) (их) [(du^dx,) — (дф^/ахО] 7*^ dx+

+ $ (d/ay a, ^и^ i^x dx + J {dajldpi) (и,) (д/дх<) ^ g dx. ОО

Поскольку а монотонно и 7'^0, то

(daj/dpt) (и,) [(ди^/дх,) - (дф£/дх,)] 7х^ dx =

= J/aa/apa (и,) [(аи£/аха—(а^/ахо] [(аи5/аху)—(дф^/ах/)] 7^ dx > 0.

Далее,

— $ [(д/д^) А и] 7^ dx ^ ^ (д/дх/) [(аа;/др#) (u^^g] 7 dx - QQ

— ^(dld^aj^^dx.

Заметим теперь, что

j е;Й (“JM]v*«

•S J sup I^("«)|sup (|<ГьЛ|+|Ц||^,!|)<й:+

SUPPt114

+ f 8ир|ф^||2аж(“-)“^|^’' suppE

и, значит,

- J[(a/aS) Ди]75dx ==;const(IФIe*(.uppD + 1)1“1я2.»(а)(7.6)

Q

для любого s^oo. Эта оценка не зависит от в и б, и поэтому, , используя (7.3), будем иметь

j6P'(“-$)Y6(Ms-lh)(Mi-ih)^dx«^

^const + $ |/ь 11 Те (“б-- ф^ |dx< const

Напомним, что

Нт ^'(и-^Тв^-^)”!^Р(«~Ф)|

для каждой точки из Q. Следовательно, по теореме об ограниченной сходимости $ £ | (d/d|) Р (и — ф)|йх< const. Возвращаясь к (7.2), получаем

$ I (д№ Au^dx^ const + $ £ | (dfld^) | dx ^ const 4- (1 IN) С (o). qa

Теперь после интегрирования по частям приходим к требуемой оценке. |

ЛИПШИЦЕВЫ ПРЕПЯТСТВИЯ

В этом параграфе более детально изучаются задачи а препятствиями с целью включения в рассмотрение липшицевых препятствий, и в частности их важного подкласса многогранных препятствий. Ради простоты изложения мы ограничиваемся условиями § 4, а именно считаем, что Q с RN — выпуклая область с гладкой границей 90 и а —локально коэрцитивное векторное поле класса С1. Пусть функция фе № ” (Q) является препятствием, т. е.

-тахф>0 и ф<0 на 9Q.

Й

Далее нами исследуется

Задача 8.1. Найти

ueKi \аДих)(и— u)Xidx^0 ^veK, й

еде К=К^ = ^и еЯ^*(й)|у^ф в Q}.

Теорема 8.2. Существует единственное решение и задачи 8.1 и, кроме того, luJ^^^^J^^).

Доказательство. Эта теорема есть непосредственное следствие теоремы 4.3. Обозначим /И = 8ир|ф,|, и пусть функции ф^еС^Й) таковы, что

тахф<,>0, фа<0 на дй, |фаА®(ах^М+а о

и Фа-*Ф равномерно в Q при <т->0.

Если иа — решение задачи 8.1 с препятствием фа, то из теоремы 4.3 следует, что

KJLoo(B)<M+a и |uaJLoo(a)<C,(8.1)

где С не зависит от о при малых о. Следовательно, из ^и^ ■ можно выбрать подпоследовательность (обозначаемую снова {и0}), которая сходится слабо в /Л(й) и равномерно в Й к некоторому элементу и е С (й) Л Н1 (Й). Кроме того, так как | и,|£0= (Q) ^ Hm inf Ци^^ (Q)= = М и и^ф, то иеК. '.

Для доказательства того, что и — решение задачи 8.1, воспользуемся снова леммой Минти (гл. Ш, лемма 1.5). Пусть реК и о>ф в. й. Тогда найдется такое о'2>0, что и>ф(У для всех о^ ^о' и тем самым■

^аДо,) (у — ua)Xldx^0 уа^а'. а■

При о-»-0 получаем-

ueK:аг (пх) (п — и)Х/dx ^ 0.(8.2)

Q

Легко видеть, что (8.2) справедливо для любого о е К, и поэтому по лемме Минти и —решение задачи 8.1. Единственность, как всегда, следует из строгой монотонности а. |.

Теорема 8.3. Пусть G — класс всех липшицевых суперрешений оператора Ло = — ^ (ох))х., которые мажорируют ф в й и неотрицательны на дй. Тогда если и —решение задачи 8.1, то

'«(x)=inf#(x) vxe^-

.ее о

Доказательство этой теоремы мы не приводим, ибо оно аналогично доказательству теоремы 6.4 гл. И. Однако сформулируем

Следствие 8.4. Пусть и и U —решения задачи 8.1, соответствующие препятствиям ф и Ф. Тогда если ф^Ф в й, то u^U ей.

Доказательство. Функция U есть суперрешение оператора А и ф^ф^<7. Теперь все следует из теоремы 8.3. |„

Теорема 8.5. Пусть и и и'— решения задачи 8.1, соответствующие липшицевым препятствиям ф и ф'. Тогда

1 И И ^ОО (g) ^ 1 ф ф 1^03 (др

Доказательство. Обозначим /и = Цф—ф'[£Оо(о); тогда из неравенства ф^и следует, что ф'^ф + т^м + т. Поскольку «4-т — суперрешение, то по теореме 8.3 и* ^ и-Vm. Аналогично, u^ti'4-m и поэтому [ и — и' | ^ т. |"

Рассмотрим теперь следующую возможность. Пусть ф я Я1- °°(Й)— препятствие, которое удовлетворяет условию.

’фгС2(<7) для открытого U <^Q,’

По теореме 8.2 найдется такая последовательность {ф0}, что фа .сходится вместе с производными до второго порядка включительно к ф равномерно на компактных подмножествах U. Для каждого ■о>0 обозначим через исеК^а решений задачи 8.1, и пусть ие — аппроксимации ис, определенные в (3.3). (То, что рассматриваемое здесь векторное поле лишь локально коэрцитивно, не столь важно, так как мы можем всегда его заменить (согласно лемме 4.3 гл. III) на сильно коэрцитивное векторное поле, не зависящее от а.) Итак, ,ue удовлетворяет условиям

Лие ^ max (Лф^, 0) 6g (Ug —■ ^рс) ® ^>ие = 0на 50.

Зафиксировав открытые подмножества U" с U' с: U, можно локализовать оценку в следствии 3.4, заменяя ие на £не, где ? — соответствующая срезка. В результате имеем

К Ли8 Ву»(у") ^ CODS! 0 Лфд ||у»(у^ 4* || “el^oo^y^).

Переходя к пределу при е->0, получим неравенство

II Allg Ву»(у») ^ const 0 Лф„ Jy» (у,) 4" 1 Ug Дусо (У'))

и, учитывая, что ВиаВуа>(й)^ВФа Вуа>(й)« приходим к оценке

В иа Вя2, s(y^ < const 0 Лф0 Ву» (у.) 4-1 фа Ву»(а))-

Так как и^и слабо в Я1 (О), то

■Ug-^u слабо в Н2-s(U"), l^s<oo,

и, следовательно,

В и ВЯ2, Цу-, < const 0 Лф BiOo(y9 4- в Ф BL=o (й)>

Этим доказана

Теорема 8.6. Пусть и —решение задачи 8.1, соответствующее липшицеву препятствию ф. Тогда если феС8(Я) для некоторого открытого множества U ей, то u&tP^iU”} для любого открытого множества U" C.U" c;U.

В качестве следствия сформулируем следующий принцип профиля контакта1).

Следствие 8.7. Пусть а —локально коэрцитивное векторное поле класса С2, ф — липшицево препятствие, такое что ф е С2 (Я) для некоторого открытого множества U а51, и Лф = О в U. Тогда если и — решение задачи 8.1, соответствующее ф, то Ли = О в U и либо

и(х)>ф(х) ухе Я,

либои (х) = ф (х) ух е U.

^ В оригинале «principle of the face of contact». —Прим, перед.

Доказательство. По предыдущей- теореме и е№5({/") для любого открытого множества U'c^U'c^U, и поэтому мы можем найти Аи по той же теореме. Ясно, что Аи = 0 в [7"f|(Q\Z). В U*(V имеем и = ^, их = ibx, KiX*V, и, следовательно,

их.х, (х) = ^х.,Дх) п.в. в U"nL

Таким образом, Ли = Лф = 0 в 1Г (в смысле обобщенных функций). Гладкость й означает, что и, феС2-^^”) для некоторого Х>0, По теореме о среднем

. L (и — ф) = — {д/дхА [а,у (х) (д/дхД (и — ф)] = 0 в U",

1

где av (х) = $ (даДдрД {фж (х) +1 [u, (х) - ф, (х)]} dt, о

Это значит, что u — ф —решение уравнения £у = 0, где

'Lo = — (^^[«^(хХду/дх,)].

Вследствие того что функции и, ф гладкие и аь а,; е С1-х (И”), мы можем применить классический принцип максимума и получить неравенство

и (х) — ф (х) > inf (и — ф), xg U",

6U"

за исключением тех хе U", для которых и(х) = ф(х), xeU". J

Если, например, ф—многогранное препятствие, то коинцидент- ное множество состоит из некоторого числа граней и частей ребер; впрочем, оно может состоять лишь из кусков ребер.

Мы можем использовать предыдущую теорему для изучения задачи с препятствием, когда препятствие определено лишь на части Q. Предположим, что £ с: Q — компактное множество и ф g е С (£) допускает продолжение до функции из Н1 (Q). Пусть а — сильно коэрцитивное С2-векторное поле и, как прежде,

Л: НШ-^Н-1^, Аа = — ^1дхДаДох\ игН^.

По теореме 1.7 и следствию 1.8 гл. III существует функция

иеК^- (Аи.у-й)^ v^K*.' ,п ~

^={уеЯ6(0)|и^ф на £},

Обозначим через ®е№ (Q\£) решение задачи

Аш = 0 в Q\£, а> = ф на дБ, w = 0 на 50, и пусть

-| w (х), хе 0\£,

Предположим, что функция ф липишцева в Й. Тогда существует липшицева функция

'&еК$ (Ай, у-и^О ^у г К^.

.K-^eHW)^ в Й}.(8-4)

Докажем, что и = й (тогда, в частности, получим, что (8.3) допус-. кает липшицево решение)..

Поскольку Аф = 0 в й\£, то по предыдущей теореме й = ф или м>ф в й\£. Но в обоих случаях' ;

Ай = 0 в й\£.(8.5)

Пусть уе^и е>0. Положим Уе = тах (ф — у — 8, 0) и заметим, < что Уе = 0 в окрестности дй J Е. Следовательно, у£ е Но (й\£). Определим теперь функцию у^ = у 4- иё е К^. Согласно (8.5),;

(Ай, у — и) = (Ай, Ув—й) — (Ай, у'е) — (Ай, уё — и),^

и так как иё -^Уо = у + уо е К^ при 8->0, то из (8.4) следует, что ?

(Ай, у — и) = (Ай, уё —и)^0.у

. Часто приходится также сталкиваться с тонкими препятствиями, т. е. такими препятствиями, которые определены на подмногообра- ; зиях малых размерностей в й.?

2. ВАРИАЦИОННОЕ НЕРАВЕНСТВО

СО СМЕШАННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ;

В этом параграфе мы показываем, что развитая выше теория ; позволяет решить задачу, имеющую формальное сходство со смешанной граничной задачей. А именно рассматривается вариацион- ' ное неравенство для линейного эллиптического оператора второго ■ порядка на ограниченной области й в R^, решение которого расположено над - заданным препятствием и принимает предписанные $ граничные значения только на части дй.'

Пусть й — ограниченное открытое множество с гладкой границей дй. Ради простоты считаем, что дгй и дай — открытые непере- секающиеся гладкие подмногообразия дй и дй = д1й ид2Й. Положим

V = {y е/Д(й)|у = 0 на д^}.:

Пусть функция ф г Н1 (й) такова, что ф ^ 0 на дхй, и пусть -

К = \у г У|у^ф в й}.■

Рассмотрим равномерно эллиптический оператор второго порядка

A U = — (ауи^хр ау

где коэффициенты ау удовлетворяют обычному условию эллиптич. ности. Оператор А задает билинейную форму

а (и, о)= $ау WUx.^Vx Ax)dx. .

Пусть Т — обобщенная функция, действующая по правилу

■(Т, у) = $ [foy + ^.] dx + $ gudo, о eV,

.QdaQ

где fo, fi, .... f^ g. принадлежат некоторым пространствам Lp.

Если множество ^Q достаточно большое, т. е. такое, что справедливо неравенство Пуанкаре для функций из V, то форма а коэр- цитивна на V, и тогда по теореме 2.1 гл. II существует единственное

иеК: а (и, v — u)^(T, v — u) уиеК. (9.1)

Нас интересует гладкость решения вариационного неравенства (9.1):

Теорема 9.1. Пусть и —решение вариационного неравенства (9.1), еде феЛда(й)П Нх^, ф^О на diQ, foe Lp^ (Q), fjeLp(Q), j = = 1, ..., N, p>N и geH^Q'), q>N — 1. Тогда для некоторой константы С п.в. ей

ф (х) ^ и (х) ^ max (max ф, 0) 4-

■N■

+ ^ IIMlp/2 (й) + SIIMlp (й) + Sg11»(д^ •

Доказательство. Для каждого действительного к^к» = = max (max ф, 0) положим и = min (и, к^еК. Подставляя и в (9.1) и повторяя, по существу, рассуждения, используемые при доказательстве теоремы В.2, получим, что функция

р (к) = mes A (k) 4- {mes [ A (k) f) д2й]} w<tf-o

удовлетворяет неравенству p(/i)<[c/(/i-&)2*]|p,(&)|P, р>1, yh>k>ko.

Теперь утверждение теоремы следует из леммы B.l. J

Теорема 9.2. Пусть и —решение вариационного неравенства (9.1), для которого выполнены предположения предыдущей теоремы. Тогда ueC^^fQ), где X, 0<Х<1, зависит только от й, N, р и q.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы G.2 гл. II и поэтому не приводится.'

Суть теоремы 9.2 в установлении гёльдеровой непрерывности ' решения и. Если ф отсутствует, мы сталкиваемся с проблемой регулярности решения смешанной граничной задачи для эллиптического уравнения, которая может быть разрешена методом усечения, при- - мененным в теореме С.2 гл. II. Казалось бы, можно попытаться - применить к нашим задачам теоремы регулярности, доказанные ’ в § 4 и 5. Однако решение (как нетрудно убедиться) не принадле- ■ жит Н2>р^') ни для какого р<оо. На самом деле такой факт имеет место даже тогда, когда ф отсутствует, но при этом не выпол- йены некоторые условия совместности данных задачи. По этому . вопросу мы отсылаем читателя к работе Шамира [1] о смешанной - граничной задаче.;

Рассмотрим сейчас вариационное неравенство (9.1) с /, = 0, : 1=1, .... N, и g = 0. Его решение может быть аппроксимировано . решениями некоторых квазилинейных смешанных граничных задач, связанных с эллиптическим оператором А.'-

Пусть Дф есть мера на Q, а производная вдоль внешней конор* > мали.

дф/dv = а^хХ,, v = (vb ..., v#) — внешняя нормаль,'

есть мера на dxQ и при этом-

тах(Лф —/, 0) eZ/(&),p>^N,

max (дф/dv, 0) G Lq (d2H), q > N — 1.“

Пусть 6 — невозрастающая липшицева функция на R и 0 ^ ^6(/)^1. Рассмотрим следующую нелинейную смешанную граничную задачу:

Ды = тах(Дф—f, 0) 6(ы —ф)+/ в

.ы = 0на

duldv = max (дф/dv, 0) 6 (и — ф)на

й, diQ, d2Q.

(9.2)

Вариационная формулировка этой задачи может с помощью квазилинейной формы

быть

получена

b^u, t)) = a(.u, и) — $ max (Дф — f, 0) 6 (u — ^)udx — Q

— ^ max (дф/dv, O)0(u —ф)одо.

(9.3)

д,й

Действительно, (9.2) эквивалентна задаче нахождения функции и eV: be (и, v)=\fvdx уо е V.(9.4)

Существование решения (9.4) Следует из общей теории монотонных операторов, рассмотренной в гл. III.

Введем две последовательности функций типа 6:

’ 1,

если

1^ — Мт,

6m (0 —

— mt.

если —

\/m^t ^0,

0,

если

1,

если

t<o,

6m (0 =

— m/-|-l, если

0 <^ 1/т,

0,

если

t^ \/т.

Ясно, что Вт — неубывающая, а 8„ — невозрастающая последовательность невозрастающих функций. Обе последовательности «сходятся» к следующей многозначной функции:

5(0 =5(0 =1,если[0, 1], если0,если1,если[0, 1], если0,если0,0,/ = 0,/ = 0,/>0./>0.

5(0 =

5(0 =

1,если

[0, 1], если

0,если

1,если

[0, 1], если

0,если

0,

0,

/ = 0,

/ = 0,

/>0.

/>0.

на diQ, а ф е №• р (Q) —на diQ, а ф е №• р (Q) —Пусть ф —такая функция, что ф^О решение (единственное) задачи Дирихле

на diQ, а ф е №• р (Q) —

на diQ, а ф е №• р (Q) —

Дф = / в Q, ф = ф на dQ

Рассмотрим замкнутые выпуклые подмножества V:

/< = {уеУ|у^ф на dQ}, ^ = {у s У | у 2=ф в Q}.

Теорема 9.3. Если функция и есть решение вариационного неравенства

и г Кд а (и, у — и) 2$ $f (у — u)dx уу г К, (9.8)

то и удовлетворяет вариационному неравенству

иеК: а (и, v — u)^^f(v — u)dx уи^К. (9'6)

Доказательство. Функция и е К, так как Кед К. Если о г К, то либо у^ф в Q, либо у<ф на некотором открытом подмножестве Q положительной емкости. В первом случае неравенство (9.6) очевидным образом Выполняется, и поэтому далее рассматриваем только ту ситуацию, когда соотношение у^ф в Q не имеет места.

Представим у в виде у = У14-у2, где у1 = тах(у, ф) и у2 = у —ух. Тогда у, е К и у2 е V удовлетворяет условию

у2 =

0 в у —ф в

{х е £21 о 2s ф],

{№ Q |у <ф}.

Поскольку по предположению о а К, то о^ф = ф на дй. Отсюда * следует, что suppuaC^ и, таким образом, п^еЯо(^)- Запишем

а (и, V — u) = a(u, Ui — u) + a(u, v2) и покажем, что.

а (и, Ua) = ^fvadx.(9.7) •*

а ■

Действительно, и есть слабый предел в V П С°- х (Q) последовательности решений u'm е V смешанных граничных задач...

а(и'т, ц) = $ [max (Дф- f, 0) ет(«т-ф) + Л 4^ +-

Qv

4- J [max(d$/dv, 0) 6^ (z4 —ф)] r]da уцеУ. -

Так как Дф = / в О и suppv2cQ, то мы видим, что а(и'т, о2) = “ = ^ fva dx, и после предельного перехода получаем (9.7).

q~

Наконец, вследствие того что « — решение (9.5) и ох е К, приходим к соотношению

а (и, о — и) э= $ f (Oi — «) dx 4- $ foa dx= ^ f(v — и) dx. 'QQQ

Это неравенство справедливо для любого о е К, и тем самым теорема 9.3 доказана. |.

ПРИЛОЖЕНИЕ А. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 8.8

Основная цель этого приложения—дать цабросок доказательства следующей теоремы, сформулированной в § 3.

Теорема А.1. Пусть Й с. RN — ограниченное открытое множество с гладкой границей 5Q, а —векторное поле класса С1, такое что L

(datldpj) (р) g^ > v | g |2 у| s Rw?

и [да^дрД^М, 0<v^Af<oo.j

Пусть далее gaL”^ и. '5

иеНЦйу Аи = — (d/dxi)ai(ux) = g в Q. (А.1) "

Тогда для каждого s> 1 существует такое С6 = Сй^, v, М, О), что " .1ЫИн2- «(QJ^^eH^^CQ)*(А.2) Ь

.dx= \gdx уф s Щ (Й).(А.З).dx= \gdx уф s Щ (Й).(А.З)Доказательство этой теоремы разбивается на несколько этапов. 4 Лемма А.2. В предположениях теоремы А. 1 функция иаНг (Q). С Напомним, что по условию иаНЦй): \ai(ux)ipx

.dx= \gdx уф s Щ (Й).(А.З)

.dx= \gdx уф s Щ (Й).(А.З)

Пусть V еЩ (й) — решение задачи Дирихле

J УхгЛхг^= ^nd* vn •= Щ (й).

По теореме Кальдерона — Зигмунда (см. § 2), если geLs(^, то У е №’ (й) и, следовательно, VX( е Нх-s* (й), где 1/s* = (1/s) — — (1/УУ). Таким образом, (А.З) можно записать в виде

$ сц 1их) Лх, dx = J И^Лх, dx ул e Щ (Й). (A .3') яя

Докажем сначала, что иеНЦЙ). Обозначим через ф,.й первую разделенную разность

Ф(Лxx+hM-f^v -- xn)h

функции ф. Пусть £ — любая функция из Н1 (й) с компактным носителем в й и й'— такое открытое множество, что й'сй. Тогда если хей' и h достаточно мало, то мы можем подставить функцию

(1 /^0 [£ (^1» • • • > xn) ? (^1» • • • > х$ h, ..,, х^)]

в уравнение (А.З') вместо ф. Делая затем замену переменных и используя интегральную форму теоремы о среднем, получаем тождество

J|«„(x, «(«.^.b,-^»^4*-0’(А.4)

где функции а,•/ удовлетворяют равномерно по h неравенствам

У|^|2<ау(х, Л)^/, |ау(х, h^^M.

Пусть а е С”, supp а cz BR (х) cz й' и а = 1 в шаре Вр (х), р <R. Тогда, обозначая ?=а2и,-й, после стандартных вычислений получим

J' fe, л)1^< const Д1/(/? — р)2] $ ul hdx+ $ gadx^

BpW(brWbrw J*

где константа перед фигурными скобками не зависит от h.

Переходя здесь к пределу с учетом того, что й' компактно, получаем

1 и |№ (£20 ^ К (I и Лл/1 (Я) + [g- Цхл (Я))-(А.5)

Из этой оценки можно сделать вывод, что функция и е Щ^ (й) и удовлетворяет п. в. в Q уравнению

. das , ч д^и др,^ dXidXf~S'(А*6)

Для доказательства того, что ие № (Q), мы выпрямляем кусок 5jQ границу дй и получаем в новых координатах тождество.

аналогичное установленному выше. В окрестности dxQ рассматриваем только те разности uSih, которые взяты по направлениям, параллельным дуй. Эти разности обращаются в нуль на д^.

Используя аналогичную схему рассуждений, мы приходим к тому, что в норме Н1 (Q) указанные разности ограничены равномерно по h. Оценка нормальной производной может быть получена непосредственно из уравнения (А.6). Итак, u е № (Q).

Доказательство теоремы АЛ. Переходя к пределу по некоторой подпоследовательности в (А.4) при Л->0, будем иметь.

\<да41др^ ки^ к^чУ^Л ^лШ dx = °-(А-7)

Q

По теореме С.2 гл. II их$ е С1-х (Q') f) Н1 (Q') для некоторого X, 0<Х<1. Следовательно, п. в. в Q

' (А-8)

Если мы выпрямим djQ, то в новых координатах получим тождество, аналогичное приведенному выше. Рассматривая теперь только те разности us>h, которые взяты по направлениям, параллельным dxQ, придем к тому, что производные их$ непрерывны по Гёльдеру вплоть до границы. Кроме того, мы знаем из (Ь), что ux$Xl е A2 (Q).

В силу замечания D.6 гл. II, J г2Дх^ср^~2 + 2Х, где г—* а (*, р)

любая вторая производная функции и, исключая uw т. е. исключая вторую частную производную по нормали. Но и^ могут быть выражены через другие производные согласно уравнению (А.6). Таким образом, имеем

$“^i dx<Cp^-2+2X ■■

а (*, р) '

для s, 1 = 1, 2, .... N и 0^Х<1.

Из хорошо известной леммы Морри следует, что производные их$ непрерывны по Гёльдеру вплоть до границы Q.

Поскольку уравнение (А.6) можно рассматривать как линейное уравнение с непрерывными коэффициентами ^да^дрД (их), то, снова используя результат Кальдерона — Зигмунда, получаем неравенство (А.2).

Комментарии и библиографические указания

Теория регулярности решений вариационных неравенств представляет собой обширную область исследований, и в этих кратких заметках мы, к сожалению, не имеем возможности полностью ее отразить. Основными источниками для материала настоящей главы послужили работы Леви и Стампаккья [1] (§ 2), [2] (§ 3, 4, 8); Брезиса и Киндерлерера [1] (§5, 6 и приложение); Мерти и Стампаккья |1] (§9) и Киндерлерера [1] (§ 9). Подробное изложение предмета дано 9 работе Брезиса [1J (см. также Брезис и Стампаккья [1]). Сжатое изложение

метода штрафа и его следствий (особенно по отношению к теоремам интерполяции) можно найти у Лионса [1].

Понятие конечного периметра, введенное Де Джоржи, получило дальнейшее развитие в работе Миранды [1]. Существование и гладкость решения задачи 4.1, когда я (р) = р/(1+Р2)1/2, рассматривали также Джакуинта и Пепе [1] и Миранда [2], которые изучали параметрическую задачу.

Вопрос о препятствиях, заданных на многообразиях малых размерностей, исследовался Леви [6]. Дополнительные результаты о гладкости решения получены в работах Лени [7), Фрезе [3, 4] и Кафарелли [3].

Общие теоремы существования для случая минимальной поверхности могут быть найдены у Джусти [1], Киндерлерера [1J, Стампаккья и Виньоли [1]. -

По задаче со смешанными граничными условиями отметим работу Бейран-да- Вейга [1].

Связи между коэрцитивностью векторного поля а и гладкостью решения изучались Маццоне [1]. Специальный случай заданной средней кривизны, т. е. неоднородной задачи с полем а (р)=р/(1+р2)1/2, был рассмотрен Маццоне [1] и Герхардом [1]. Герхард [2] также дал другое доказательство теоремы 6.3.

Упражнения

Восполните детали доказательства теоремы 2.5.

Пусть й = {х е Rw | 0<Xj < 1, i = l, ..., М} —единичный куб, f е Ls (й), g в Н2, s (й) для некоторого s, М < s < оо, и

ш е Я1 (й):— ^to=f в Й, ■ ш=§ в №.

Покажите, что шеЯ2,5(й). [Указание. Сведите задачу к случаю g=0. Продолжите щ на область й = |х е Rw | — 1 < xN < 0, 0 < ха< 1, о=1, ..., N — 1}, полагая to(x', х^ =—to (х', —xNy х—(х', х^ей. Покажите, что продолженная функция to является слабым решением уравнения в Q|JQ. Это обстоятельство можно использовать для доказательства гладкости to на плоскостях xN = = хо=0, l^o^N— 1. Далее следует продолжить этот процесс, используя тот же метод отражения.)

Пусть й, / и g те же, что и в упр. 2. Положим

д2й = {х е IR^ | xN = 0, 0<ха < 1,а=1, ...,N — 1}

и обозначим di П объединение остальных частей №. Пусть

to е Я* (й):— Аго=/ в й,a) = g на 52Й, dto/5v=0 на 5iQ

и g = |g,|=0 на границе д2й. Докажите, что w е Я2, s (Q). [Указание. Продолжите сначала to на полосу {—1<х^<0|, полагая to (х', x^=w (х', —^).] 4. Пусть й — выпуклая область с гладкой границей №, «реЯ1, ”(й) и ф=0 на №. Обозначим через К множество липшицевых функций о на й, для которых о^ф в Й и о=0 на №. Сопоставим локально коэрцитивному полю а функцию

и = Т (а) г К: J а{ (их) (о — и),; dx ^0 уи е Я, и

и пусть

U (х) =sup Т (а) (х), хЁЙ.а

Покажите, что Я—функция, ограничивающая иыпуклую оболочку функции max (ф, 0) в Й.

Рассмотрите упр. 13 гл. 11. Покажите, что при соответствующих условиях компоненты решения и «(и1, и2) принадлежат Я2*s (Й) П Я^сю (Й), 1<$<оо. [Указание. Сформулируйте штрафную задачу.)

Глава

ЗАДАЧИ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ И КОИНЦИДЕНТНОЕ МНОЖЕСТВО РЕШЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ ■'

В предыдущих главах основное внимание было уделено вопросам существования и гладкости решения вариационного неравенства. При этом, как мы видели, ограничения на гладкость решения налагались условиями, определявшими рассматриваемое выпуклое множество. Это и привело к необходимости развивать специальную теорию регулярности. Для задач с препятствиями влияние этих условий проявлялось еще и в наличии коинцидентного множества. В настоящей главе мы исследуем некоторые свойства этого множества, главным образом с целью установления признаков регулярности его границы.

Подобные задачи представляют интерес по нескольким причинам. Например, они показывают, какие топологические свойства множества гарантируют его гладкость. Скажем, в задаче 4.1 гл. IV, если область Q с R2 строго выпукла, а препятствие -ф строго вогнуто и гладкое, то д/ — гладкая жорданова кривая.

Кроме того, аналитичность свободной границы заложена в самой сути многих физических задач. Такова, например, задача об устойчивости кавитационного потока или потока воды через однородную пористую среду.

Прежде всего поясним понятие свободной границы. Рассмотрим задачу о препятствием. Пусть Q cz R^ — ограниченное открытое связное множество с гладкой границей dQ и ф е С” (Q) — такое препятствие, что шах ф > О и ф < 0 на дП. Положим К = {и г Щ (Q) | и ^ф а

в Q}, и пусть.

иеК:J их. (v — и)х. dx > 0 \vgK.(1.1)

Обозначим коинцидентное множество для и через

1 = 1 (и) = {хеЙ|и(х) = ф(х)}.(1.2)

Мы уже видели, что функция ы — ф G С1 (Q) достигает своего минимума в каждой точке хе! и, следовательно,

ц = ф и uXt = ^Xl в 1, l^i^N.

Кроме того, Ам = 0 в Q\Z. Таким образом, и можно рассматривать как решение задачи Коши

Ам = 0 в Q\/,

Ы==ф, uXi = ^Xj на 91.’

Существование решения в задаче Коши для оператора А даже с гладкой начальной поверхностью 91 требует, чтобы последняя удовлетворяла еще некоторым дополнительным условиям. Множество 91 — это как раз то, что мы называем «свободной границей».

Укажем на некоторые причины, по которым граница 91 для решения (1.1) должна быть аналитической (если -ф — аналитическая функция), и отметим некоторые трудности, возникающие при переходе к другим задачам. Сначала рассмотрим двумерный случай. Ограничимся пока вопросом об аналитичности. Обсуждение топологических аспектов отложим до § 6.

Сделаем сначала несколько замечаний о функциях двух переменных g(x) = g(xi, х^. Пусть z = x1 + ix2 —комплексная переменная и 2 = Xi —ix2 —ее сопряженная. Мы часто будем писать G(z, 2) = = g-(xi, *2) = g((l/2)(z + z), (l/2i)(z —2)), а также G(z) вместо G(z, 2) (G необязательно голоморфна по z). Допустим, например, что g— вещественно аналитическая функция в окрестности точки х = с. Тогда

gW™ S ajk{xi-c^ (х2-с2)\i, t=o■

где Р?Д сходится абсолютно и равномерно для тех х, для которых |х — 6j достаточно мало. Если y = Ci + ic2, to

O(z, z)- J ay»(^-(z+z)-»iy(^(x-i)-o,)* -.

I, 6=0'

- 2 «л(г-уУ(2-у)А.

Здесь «^ — некоторые константы, а ряд соответственно сходится абсо^уотно и равномерно, когда достаточно малы величины |z — у| и |2 — у]. Пусть С = 6i + 162 — другая комплексная переменная. Ряд 2 «jh (*— уУ (5 — У)6 сходится абсолютно и равномерно для малых значений |z —у | и |£ — у| и является голоморфной функцией по z и {. Таким образом, если g — вещественно аналитическая функция в окрестности точки х = с, то можно считать, что G(z, 6) при ( = 2— голоморфная функция двух комплексных переменных:

. Теорема 1.1. Пусть со — односвязная ограниченная область в плоскости г = Xi + 1х2, Г cz да — жорданова дуга и Г = да f\U для некоторого открытого множества U c=R2. Пусть, далее, и и ф — такие функции, что и г С1 (со U Г), ip — вещественно аналитическая в окрестности <о J Г и

&и = 0 в а,

и=^, uXi = ^Xj на Г, /=1, 2,(1.4)

ДФ^о в ®иг.

Тогда Г допускает аналитическую параметризацию.

Доказательство. Мы докажем существование такой аналитической функции z* (г) в а, что z*(z) = z на Г. Отсюда будет следовать утверждение теоремы.

Допустим, что г = 0€ЕГ. Комплексная производная f(,z) = uX1 — iux, голоморфна в со и имеет непрерывные граничные значения F (z, z) = = ф2,— iipz„ zeT. Рассмотрим в окрестности точки 2 = 0 уравнение

fto = F(z, z*^Y(L5)

Заметим, что оно обращается в тождество, когда z е Г и z* (г) = 2. Далее,

^F(z, z*) I = 4-Дф(0)#=0,дг* ' ’7 |(z, 2*)=(0,0)2’

и поэтому по теореме о неявной функции существует решение z* = = ^(z, f) уравнения (1.5), которое голоморфно по (z, f) в окрестности (О, /(0)). В частности, функция .

z*(z) = £(z, /(z)), zea и |z| мало,

голоморфна по z. В силу единственности неявной функции,

z* (z) = 2, zeT и |z| мало.(1.6)

Таким образом, мы представили 2 на Г как граничное значение голоморфной функции в со. По принципу симметрии это означает, что Г допускает аналитическую параметризацию. Действительно, пусть

ср: G-^a, G = ^ — ^ + ^2, I^KL Im/>0}, cp(O)=O,

— конформное отображение G на со, которое переводит интервал (—1, 1) на Г. Известно, что такое ср существует и cpeC(GU(—L 1))* Положим-

Ф(0 =Ф(0 =Ф(0,Im/^0, |/|<1,

Ф(0 =

Ф(0 =

z*(ср(/■)), Im/<0, |/|<1.

Это голоморфная функция bG|J{^||^|<1, Im/<0}, и из (1.6) вытекает, что оиа непрерывна при действительных I. Тогда по тео^

реме Морера Ф голоморфна в окрестности точки / = 0 и, следовательно, ^->Ф(^), t действительно и |f| мало,

есть аналитическая параметризация соответствующей части Г. |

Топологическое условие, что Г —жорданова кривая, далее будет значительно ослаблено. Но, с другой стороны, ясно, что доказательство не проходит, если ф не аналитична, так как именно в этой ситуации определялась функция 2* = ^ (г, /).

С несколько иной точки зрения (1.7) есть продолжение ф до функции Ф, удовлетворяющей однородному аналитическому уравнению (д/д/) Ф = 0 при 111 < 1. В общем случае невозможно получить продолжение такого ■ вида, и поэтому разработан другой подход, который можно интерпретировать как комбинацию классической теории потенциала и теории Соболевских пространств, и особенно — свойств их следов.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГОДОГРАФА И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА

В этом параграфе мы рассмотрим другой метод определения гладкости 91 — границы коинцидентного множества решения (1.1). Он годится для любых размерностей, но для его применения требуется некоторая предварительная гладкость 91. Этот метод основан на эффекте «выпрямления» свободной границы путем замены исходного уравнения существенно нелинейным уравнением.

Пусть и — решение (1.1),

(2.1)(2.2)(2.1)(2.2)функция ф аналитична и — Аф>0 в Q.

(2.1)

(2.2)

(2.1)

(2.2)

Предположим далее, что

Гед/- гиперповерхность класса С1, иуеС(Ги(П\/)), \^l, j^N,

где «у = иХХ/. Будем считать, что 0 е Г и направление внутренней нормали к Q\Z в 0 совпадает с положительным направлением оси Xi. Положим ш = и—ф и допустим (аналогично (1.3)), что

kw = a в Q\Z,(2.3)

w = 0, Wi = 0, l^i^N, на Г,(2.4)

где а =— Аф — аналитическая функция в окрестности начала. Сделаем замену переменных

yi = -Wi = -wX1> у« = ха, 2^a^N,(2.5)

и введем функцию•

(2.6)(2.6)e(j/) = x1j/i+ty(x).

(2.6)

(2.6)

Мы будем называть (2.5) частичным преобразованием годографа, а (2.6) преобразованием Лежандра. Заметим, что (2.5) и (2.6) отличаются от традиционных определений переменой знака.

Легко видеть, что (2.5) осуществляет взаимно однозначное соответствие в окрестности точки х = 0. Действительно, так как ^ = 0 на Г и (1, 0, ..., 0) —нормаль к Г в 0, то Ш/а(0) = 0, X^i^N, 'l^a^N. Тогда из (2.3) следует, что ши (0) = а (0) > 0, и тем самым (dyldx) (0) невырожденно. Преобразование (2.5) отображает некоторую окрестность точки х=0 в П\/ на множество и а {у [ f/i-<0} и некоторую окрестность х = 0 в Г на 5 с: {t/| t/i = 0}. Используя определение преобразования Лежандра, получаем

du = x1dy1 + y1dxi + dw = x1dy1 + У wadya, .

а> 1■

ИЛИ

У1 = хъ va=wai 2=^а^М.(2.7)

Здесь производные функции о берутся по у, а функции оу —по х. В частности, имеем параметризацию

Х1 = £^0, Х2>Х^* (°’ М^З, (2.8)

подмножества Г' в Г. Вопрос о гладкости Г' сводится к вопросу о гладкости и в С/U 2. Найдем уравнение, которому удовлетворяет функция и в U. Положим у'= ^уг, .... Ум).

Заметим прежде всего, что

Шц ^12 ••• ”• ^iv\

010 |1

. О 01 /.

и вследствие (2.7)

(

Уи У12 • • • У1м\

010 I •

***

001 /

Так как dyldx = (dxldy)-1, то получаем соотношения

Щц = — 1/Уц, СУ1а=У1а/У1ь 2<а<Л(.

Следовательно,

^аа =— Уаа~—» 2 ^ а ^ N.

Теперь из (2.3) и (2.4) вытекает, что

У У>«+ У Уаа~°(УЬ У') = ° В U,

УИа>1.(2.9)

о = 0 на Z,

и при этом — Uu(0)= 1/[уи(0)>0, Уравнение (2.9) —это эллиптическое. уравнение с аналитическими коэффициентами в окрестности у = 0 в U. В этом случае, как хорошо известно (см. Морри [1], § 6.7), и есть аналитическая функция в окрестности t/ = 0 bT/JS. и, таким образом, (2.8) означает, что Г' допускает аналитическую параметризацию в окрестности точки х = 0.

Суммируя сказанное выше, мы приходим к выводу, что если выполнены предположения (2.2), то свободная граница аналитична, как только аналитично препятствие. Аналогично, если феСт'“(Й), то Г класса Ст-1-а., 0<а<1.

Приведенные здесь соображения применимы и к другим задачам. Эти вопросы будут обсуждаться в гл. VI.

Как мы видели, определенные предположения регулярности влекут за собой еще большую регулярность Г. Но условия (2.2) не всегда выполняются. Например; д/ может иметь острия; такой пример встретится в § 4. Некоторые предварительные итоги недавних исследований по регулярности множества Г будут подведены в гл. VI.

СВОБОДНАЯ ГРАНИЦА В ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ ■

Для двумерных задач гладкость свободной границы может быть определена методом, аналогичным методу аналитического продолжения, рассмотренному в § 1. Мы докажем здесь теорему, которая будет полезна в самых различных ситуациях. Она обобщает результаты § 1 в двух направлениях: во-первых, данные задачи и само уравнение не предполагаются аналитическими, а во-вторых, свободная граница не обязательно жорданова кривая. Эта теорема затем будет применена к задаче 1.1.

Рассмотрим сначала вопрос, связанный с продолжением конформного отображения. Всюду в этом параграфе а» обозначает ограниченную связную и односвязную область в плоскости z = xi + ix2. Пусть G«V = G+^2||d<h Imt>0} и.

.ф: G->co(3.1)

— конформное отображение G на со. Тогда ф — аналитическая функция, ограниченная в G, и,- кроме того, площадь А области со выражается формулой А = § | ф' (/) |2 dti di». Поскольку со ограничена, то о'

А<оо и тем самым фе^(Q). По теореме о следе (гл. II, приложение А) предел ф(/1) = Иш Ф^-Н'е) существует для п. в. —1 < е-» 0+

</х<1 и ф(/1)еЛ2(—1, 1)..

Положим.

у = {z е до» | н последовательность {/„} с G:■

Ь-Ие(-1, 1) и z=HmV(f„)}. (3.2)

Ясно, что у компактно и содержит график функции ф(/1), —l</i-< <. 1. Элементарно проверяется связность у. Заметим, что если

128 V. Задачи со свободной границей ■-•-,м■ ■•"

у —замкнутая жорданова дуга в дш, то существует конформное ото* бражение ф области со, для которого у допускает представление (3.2) и при этом феС(С0(—1. !))•„

Теорема 3.1. Пусть функции geH1-”^ и аЕС°'х((/), где

U — окрестность 60, а 0 < X •< 1, таковы, что';

'§£=“ 6 ®’(З-Эу

g^ = 0 yz е у <= дю,(3.4^

|а(г)|^ао>О уг е£Л.

Пусть, далее, ф — конформное отображение G на и и у с дю допу*" скает представление (3.2). Тогда ф еС1-т(СП ^л) для всех т<Х и #<1.»

Для пояснения условий теоремы рассмотрим решение и вариационного неравенства (1.1) для случая N = 2 и положим*

^^(“Ф-'Н2))’ zeQ>»

Где дг - 2 (а*! гдхгУ-

Согласно теореме 6.3 гл. IV, функция g липшицева на компактных - подмножествах £2, когда ф е С2 (£2). Поскольку

^(2) = т А(и-ф) = — {Аф в Q\7,J

то, если функция фЕС2Д(12), 0<Х<1, и имеет ненулевой лаплаСиан, в Q\/ выполнены предположения теоремы. Условия, которые7 обеспечивают подходящий выбор у cz д1, будут обсуждены в дальнейшем.-.’

' ■ Прежде всего мы покажем, что ф' обладает нужными свойствами " суммируемости, и затем продолжим ф до функции, дифференцируе- . мой в указанной точке оси ti.

Пусть zoey. Фиксируем решение g* (z) = g* (z, z0) уравнения ? dg*/dz=sa в U, такое что

g* (zo) = g?(2o) = O.(3.5) ■

Тогда g* г С1-х (U) и*

' g* (z) = a(z0)(2-20) + ₽(z, zo), zeli,(3.6)

' |z-zo|-1|7?(z, г0)! + |₽Дг, г0)Ц-[/?-(г, z0)|^C|z-z0|x (3.7) г

С константой C>0, не зависящей от zoey. Такое решение g* 4 Нетрудно найти. Действительно, без ограничения общности можно считать, что a е С°- х (V) в некоторой окрестности V множества U. ■ Положим"

А^ — ^\^ад^ геП.

Ясно, что Л е Си (£7) и для любого г0 е V

Л (г) = Л (zg) 4* Az (zo) (z — Zg) 4~ a (Zg) (2 — 2g) 4- R (z, Zq), z s Ut

где R удовлетворяет (3.7). Теперь мы можем взять

g* (z) = Л (г) — Л (Zg) - Аг (Zg) (г — Zg).

Комплекснозначная функция f s Н1 (£)), D с R2, называется квазиконформной в D, если sup I f- (z)/fz (г) I = <7 < 1.

D 11

Лемма 3.2. Пусть выполнены предположения теоремы 3.1. Тогда ф допускает квазиконформное продолжение в окрестность действительной оси и при этом

Ф е Нх- s(Gf) BR) yl=^s<oo, 0<#<1.

Доказательство. Достаточно проверить утверждение в некоторой точке /ое(—1, 1). Можно считать, что 4 = 0 и предел Иш ф(18)=гь 8-»0 существует.

Выберем г>0 так, чтобы g* (см. выше) удовлетворяло соотношению

|¥<<(<)|<е<1 в ВДг0\(3.8)

Это возможно согласно (3.5). Пусть £ = g* (z) — сужение отображе-- ния g* на В, (г0). Так как якобиан этого отображения

1^*1 = 4(|^|2-1^12)^М/2)(1-82)>0 В вдг^

то существует окрестность Br- (zg), где g* является взаимно однозначным соответствием и имеет обратное отображение (g*)-1 класса Схх. Предположим, что Br (z0) cz Br- (zQ). Радиус г можно выбрать независимо от г0 е у, если г0 принадлежит компактному подмножеству в у, содержащемуся в уПф(бПВд), /?<1.

Разность h(z)—g* (г)— g(z), zecnjy, непрерывна в ©и?» аналитична в <о и

/i(z) = g*(z) хггТ-(3.9)

Кроме того, h е Н1'03 (ю), так как g* и g обладают этим свойством.

Построим теперь продолжение ф. Пусть 6>0 столь мало, что Ф (^в (0) П G) с: Вг (г0). Определим функцию .

ф(0_|ф(0.■ Im <3=0,

18,-*(»(ф (/))). Im КО.

Легко проверить, что ФеЯ1(Ва(0)). Действительно, ф —конформное отображение на область конечной площади, и потому ф е ^НДВДО) ПО), как было отмечено в начале параграфа. Далее, (g*)-1 — гладкое отображение, а й(ф(£)) —композиция ляпшицевой

б Заказ 864

функции с гладкой. Следовательно, g*-1 (h (ф (/))) е Н1 (В6 (0) f| fl KI Im/<0}). Применим лемму об //^склейке. Для каждого zey, для которого [2 —20 j мало, g*-1 (/1 (2)) = 2 согласно (3.9), и поэтому

Пт^*_1(Л(ф(/ + 1*е))) = ф(0 = Итф(/ + 1'е) для п. в. —6</<6. е-»0е-.О

Таким образом, следы Ф на действительной прямой сверху и снизу равны между собой. По лемме А.8 гл. II Ф е Н1 (В6 (0)),

Проверим, что Ф —квазиконформное отображение, В самом деле, ф-(/) = 0, если Im/>0, Д|<6, и'

(Ф^О/ФДОН^'^Н^^1ш/<0, |Д<6.

Отсюда следует (см. Берс и др. [1], с. 276), что ФеУ-^ВДО)), т)<б, где s=s (е), lims(e) = +оо. В частности, ф е Н1-s (Of) B№ ^. |

е-»0

Рассмотрим теперь функцию w гНх-$ (В), В = {/1111 •< 1}, такую что

1t|-® w7 г Ls (В), где а> 0, s>2, и ст —(2/s)^t>0. (3.10)

Лемма 3.3. Пусть w удовлетворяет условиям (3.10). Тойа существует такое комплексное число с» что,

|!^Ц^-С|^С₽(|^

U IСI < Cr Q MtOt ^ (В) +1 w k«o (В)],

еде константы Cr и Cr зависят от R, s, т.

Хотя эта лемма допускает прямое доказательство, условие (3.10) he вполне очевидно.

Доказательство. По лемме Соболева weG^^BY X=l— (2/s). Теперь напомним формулу Грина в комплексной форме. Пусть g= = u + iu и dz = dXi + idx2. Для каждого множества Е cz Bi с гладкой Границей дЕ и функции geHx-s (В) справедливо равенство

У g-dxidx2 = — у J gdz. вЗе

В частности, если £ аналитична в окрестности Е и ш е Hx- S (В)— функция, определенная выше, то

J w7^dtidt2 = — -^ У w^dt. ЕЗЕ■

Рассмотрим для фиксированной точки ze В функцию Д/)=1/[/ (t — z)] и множества Вв = {Д|Д>е, Д —г|>е, Д|<В}. Подставим это в выражение выше. Тогда после интегрирования и перехода к пределу при в-»-0 (который существует вследствие непрерывности по

Гёльдеру ш) получаем хорошо известную формулу

ш (г) — ш (0)1 С 1,.. .1 ।

+°*гев. (3.11)

8 В

Следовательно,

С = -^-(0) = inn 1^(2-)-^ (0)]=-

= - J t^w, (0 dtidi2 +2^7- f Pw (0 dt.

ВdB

Заметим, что (1/s+l/s' = 1)

/1p/s'

$ Htey ^dtxdt2 I ^|batyf к (В) Ml* l(e“2)s'+1 d| 11} ,

ВIVO)

и если a > 2/s, to (a — 2) s' +1 > — 1 и тем самым правая часть неравенства конечна. Положим

с = —If t-»wT (t) (Из. dt84-~ [ t®w(t)dt;

вев

вычитая эту величину из (3.11), придем к равенству

ВдВ

При гфО

^-^^t^dixdt. ^||М^^(В)|||/Г-2)»'|/-2|-«'^^у/8'. ;

Для оценки интеграла в фигурных скобках воспользуемся хорошо известным приемом. Ясно, что

$|/|(4-2)s'|/-Z|-.'d/ld/2^ f [t[^-2>’'lt-Zl-«,dt1dt2.

В|t|<2

Пусть | z j с 1. Рассмотрим множества

Лх = {/||^-г|<4|г|}, A = {dlN<4|z|. K-z>||2|},

Лз = ^|4|гК|/|<2}

и обозначим

If = $ 111<" ~2>$е |t - г р' dtxdt%.

Ai

Предположим теперь, что ст<2. Тогда | / р-2>s'^2(2-0)s'| z р-2>5' в Ль и, значит,

|г|/2

/1 <= COnst |Zp-2)s' J Р1— s'dp ^ COnst |zp-2)s' + 2 — s’.

0

Далее, \t — z p' < 2s' | z |-s' при t s Л2. Это приводит к оценке 312|/2

/2 ^ COHSt | Zp' $ p(O-2)s' + l dp = const I z|<0-2)s’ + 2-s'# 0

Наконец, | //(/ — z) | ^ 111/(| t1 — | z |) ^ 3, если i e Л3, и поэтому | / p - 2) s-1 / _ г |-s' ^ з$’ । /1(» - 2) s'—$'e Следовательно,

2

/8^ const § p(a-2)s' — S' + 1 dp ^ const [| 2 p-2)s'-s' + 2_

3|zl/2

— 2<®-2)s'-s' + 2J ^ const | 2 p~2)s' —s'4-2’

так как (ст —2)s'— s' + 2 = s'[ст —3 + (2/s')]<0, если ст <2. Таким образом,

(Л+ /г + ^ ^ const I 2 |®-<2/s)-l = const | z |T~V |z|<l, или

li^^^i^idti < const I z Iх, |z|<l.

Второй интеграл (участвующий в определении константы с) оценивается совсем просто, и тем самым лемма доказана для случая ст <2. Но если ст ^2, то

2

-2) s' | / _ z р' dtxdt^ ^ const 5 Р1 -s' dp <оо,

о

и утверждение леммы справедливо (с показателем 1). |

Доказательство теоремы. Покажем, что функция ф (про которую уже известно, что она принадлежит Н^ЦС^В^), 0<7?<1) допускает продолжение до функции на Вр, удовлетворяющей условиям (3.10). После необходимой замены переменных можно считать, что Ф е№s (б). Построим продолжение в точке t = 0. В остальных точ ках интервала (—1, 1) это делается аналогично.

Вспомним про функцию g* (z) и разность h(2) = g* (z) — g(z), которая аналитична в со и удовлетворяет условию

Mz) = g*(z), zey(3.9)

Запишем g* в виде g* (2) = a (z0) (2 — 20) + Д (г, 2) и определим ф* соотношением

А (ф (0) = a (Ze) [ф* (0 - Ze] + R (ф ((), Ф (0)-

Из (3.9) и (3.6) следует, что ф*(#) = ф(/), если Imf = 0, |<|<1. Так как Л(ф(0) голоморфна в G, то

vw—sk^wo- f^f'm

и тем самым вследствие (3.7)

|^(0|^const|v'(0||T(0-^|x, teG. (3.12)

По лемме 3.2 ф' &LS(G) для каждого s, l^s<oo, и поэтому при данном т, 0<т<Х, мы можем взять s столь большим, чтобы о —(2/s)^r>0 для ст = X [ 1 — (2/s)]. Далее, ф*е^(С), так что Ф* е Я1’5 (G). Определим функцию

ф(0 =ф(0 =ф(0, Imf^O, H|<Lф(0, Imf^O, H|<LФ* (0» Imt^O, |^| <1.Ф* (0» Imt^O, |^| <1.(3.13)(3.13)

ф(0 =

ф(0 =

ф(0, Imf^O, H|<L

ф(0, Imf^O, H|<L

Ф* (0» Imt^O, |^| <1.

Ф* (0» Imt^O, |^| <1.

(3.13)

(3.13)

Поскольку w непрерывна при |/|<1, то гуеЯ^^В) по лемме А.8 гл. II (в Я1 или Я1’5), а согласно (3.12), w удовлетворяет условиям (3.10). Следовательно, можно применить лемму 3.3 и получить существование константы с, такой что

[^Ф^^ -с | ^ const |t|1, |t|<7?<l.

Если Imf^O, то о,(0 = ф(0 и мы имеем оценку

.|^=^-c|<const|f|1, |t|<fl<l.

Вместо точки 0 можно было брать любую точку из (—I, I), и поэтому на самом деле доказано, что для каждой точки 4 е [— R, Я^. ₽<l, найдется такое комплексное число с (to), что

l^^^-cWl^Ctlf-^ |с(М|<С^,(3.14)

где CR, CR зависят от R, т, s и от некоторых норм функции ф. Легко проверить с помощью теоремы Коши, что ф аналитична в (7, и, поскольку она удовлетворяет условиям (3.14) для всех Я^Ц она принадлежит С1-х (Gf) BR), /?<1. |

Применим доказанную теорему к случаю, когда препятствие вогнуто.

Теорема 3,4. Пусть й —строго выпуклая область в R2 о гладкой границей дй и феС2-1 (Й) — строго вогнутое препятствие, т. в. max ф>0, ф<0 на дй и я-

-^(z)^>0 v^eR\ 6 £(0,0), гей.

Пусть

иеК: ^uXi(v — u)x.dx^O ^oeKt

К = {у е Н^ (Q) | у 5$ ф в Q},

7 = {геЙ|и(г) = ф(г)}.

Тогда Г = д1 — жорданова кривая, допускаются (^-параметризацию.

Доказательство. Топологическая природа множества I будет обсуждаться в § 6. Допустим здесь, что справедливы утверждения теоремы 6.2, а именно /—связная и односвязная область со связной внутренностью int 7. Пусть, кроме того, й\7 гомеоморфна кольцу. Отсюда следует существование конформного отображения ф верхней полуплоскости t = ti-Vit» с удаленным из нее диском на Q\7, которое переводит [—со, оо] на д1. Это значит, что d7 = {zeR2|g последовательность {/„} с {/1 Im/> 0}: ф (/„)->? и Im /л->0}. Для некоторого заданного г0, для которого <p (.tn)-^z0, можно допустить, что | /п | < 1 •'

Применим теорему 3.1 к с» = ф (G). Множество у определено в (3.2), g(z) = ^ [u (z) — ф (z)] и a(z) = — -^Дф(г). Функция g липшицева в окрестности 1, так как в ней ограничена вторая производная и (см. теорему , 6.3 гл. IV)., Из строгой вогнутости ф следует, что |a(z)|^<=0 на компактных подмножествах О. ■

Таким образом, д! допускает параметризацию / -> ф (7), — оо с <1<_оо, класса С1>т, и тем самым д! — это некоторая кривая. Пусть она имеет двойную точку, т. е. ф (t^ = z0 = ф (t2) и 7i<72. Тогда либо С1 = {ф(0 |/i^/<=Ц или С2 = {ф(/)| — оо</^7ь 72<7<оо} разбивает множество int 7, либо одно из множеств С2 или С2 не является границей открытого множества. Первый случай противоречит тому, что int7 связно, а второй—тому, что 7 = int7, так как нашлась бы точка из Clf которая не была бы пределом внутренних точек I. Следовательно, д! не имеет двойных точек, и, значит, это жорданова кривая. |

■ Заметим, что в последнем рассуждении используется лишь непрерывность параметризации, а не ее гладкость.

(' Отметим также, что на самом деле можно установить и «регулярность» кривой д1, т. е. отсутствие у нее особенностей типа острия (по крайней мере если ф г С3-х (Q)). Это требует более глубокого изучения продолжения w, определенного соотношением (3.13). В самом деле, ф удовлетворяет дифференциальному неравенству

|ty,(z)K9(z) sup Ite>(0 — ОУ(0)1, zeB, (3.15)

Kl = |z|,. /

где q ^ L3 (В) для некоторого s>2. Такие функции обладают рядом свойств, которые присущи аналитическим 'функциям. Дадим здесь

(без доказательства) описание этих свойств.

Теорема 3.5. Пусть w удовлетворяет (3.15), Тогда если

Нт | г-п [ау (г) — оу (0)] | = 0

для некоторого целого п^О, то существует предел

с = Нт г-"-1 [ay (z) — to (0)].

г-0

Кроме того, если Птг^ш (г) = 0 для каждого п^О, то ю(г) = 0 г—0

в окрестности 2 = 0.

Согласно теореме 3.4, сужение w на полуплоскость, где Im ОО, есть нетривиальное конформное отображение. Следовательно, найдется наименьшее целое п, для которого

lim^^-^^-c^O. г-»0 г

Теперь из того, что конформное отображение взаимно однозначно, вытекает, что п = 1 или 2.

Представляется естественным вопрос об условиях, гарантирующих более высокую дифференцируемость кривой у. В этой связи мы сформулируем один результат, доказательство которого оставляем читателю в качестве упражнения.

Теорема 3.6. Пусть выполнены предположения теоремы 3.1 и аеСт-K(U), т^О, 0 < X < 1. Тогда конформное отображение у е е Ст*х-1 (G f| BR) для каждых т < X и R < 1.

Это несколько более сильное утверждение, чем то, которое получено о помощью преобразования Лежандра, поскольку здесь не требуется регулярности кривой д1.

ЗАМЕЧАНИЕ ОБ ОСОБЕННОСТЯХ КРИВЫХ

Теоремы 3.1 и 3.5 показывают, что единственные особенности, которые может иметь кривая у,— это особенности типа острия. Покажем на простом примере, что такие особенности действительно могут возникать. Рассмотрим функцию г = у (() = ? + it*, ц нечетно, отображающую

G={/ = /i + i72|H|<1, Im/>0}

на область co = y(G) в плоскости z = Xi4-ix2. Эта функция переводит (—1, 1) на кривую

Г: Хг^ + х^2, 0^X1 <1.

Построим для достаточно малого е>0 функцию

и е №-00(Ве), Ве-{г||г|<е},.

такую что

(4-1)(4.2)(4-1)(4.2)Ды = 2 ИЫ > О В И П Ве,

(4-1)

(4.2)

(4-1)

(4.2)

и = 0 и иХ/ = О в Be\cd, / = 1, 2;

при этом р = 4^4-1, ^=1, 2, 3, ... . Отсюда следует, что

$«*.(» — u)x.dx^ — 2 $(v — u)dx уиеК, ве ’’Вв■

Где /< = {у G Я1 (Ве) | и^ О и и = и на дВ8}.

Согласно (4.1), коинцидентное множество I = {г | и (г) = 0} функции и будет иметь свободную границу Г П В8 в В8.

TOj что Г допускает аналитическую параметризацию (как гранич- йое значение конформного отображения), означает существование такой голоморфной функции f(z), геи, что f(z) = 2, геу. Действительно, эту функцию можно выписать в явном виде:

^ = F^ = i?-№, t^G.

Для изучения ее поведения найдем г как функцию t. Ясно, что

Р = г — iz^2 +..., 0 ^ arg zI/2 ^ л,

где ... обозначает члены, показатели степени которых больше чем р/2. Таким образом, F (/) = /2 — it* = — г + 2Я и

/(z) = z —2izu/2+..., геи, |г| мало.

Функцию и определим следующим образом:

„(U 41^-Re j/tOdC, 2SM,(43)

. О,ге Вв\ш,

где е>-0 достаточно мало. Так как f(z) = z на Г, то

■ и (z) = uXj (г) = 0 на Г, / = 1, 2.

Определенная соотношением (4.3) функция и допускает разложение

ы (z) = х^ - J ^^ р<и/2) +1 sin ^ + 1) 0 +..., геи, |г| мало, (4.4)

откуда видно, что и (Xi) > 0 при Xi < 0, если р, = 4&+ 1, к= 1, 2,....

Для завершения доказательства того, что и удовлетворяет (4.1), осталось показать, что и "> 0 в и П Вв для некоторого е > 0. Поскольку (р/2)4- 1 2$ 5/2, то

| 2 + O(|z|1/2), если zemf)Be,

U1ClX* 2 | 0,если z е ш\Вв,

а также Ux^z^ — и*,^), геВг, и^ = и^, геВ8.

На каждой вертикальной прямой Xi = 6, |6|<е, и(б + »х2)— выпуклая функция класса С1- *. Ее минимум достигается в точке, где иХ1 (6 + ix2) = 0. Если б<0, то единственной такой точкой является точка х2-=0, и мы видели, что u(xi)>0, если Xi<0. Пусть 6>0. Тогда ы (б + tx2) = и*, (6 +/х2) = 0 при |x2|^6^2, в то время как “*,*, (6 + i'x2) > 0 при | х21 > 6Ц/2. Следовательно, и строго возрастает, когда |х2|>б»/2, и тем самым положительна при этих значениях.

Б. ЗАДАЧА С ПРЕПЯТСТВИЕМ ДЛЯ МИНИМАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Начнем с рассмотрения геометрических свойств двумерной минимальной поверхности в R3 (для задачи в непараметрической форме). Пусть функция ы е С2 (t/), где U с R2 — открытое множество, есть решение уравнения минимальной поверхности в U, т. е.

Ее график

S = {х = (xi, х2, х3) | х3 = ы (г), г = Xi + ix2 е (/} называется минимальной поверхностью. Величина

_ 1 д I VxJ \2 дх, \]/1 + оу

(для не С2 (С/)) называется средней кривизной поверхности, определяемой функцией о. Уравнение (5.1) есть уравнение Эйлера для функционала площади (в непараметрической форме)

F(v) = \VT+^dx.

и

Таким образом, из сопоставления формул получается, что поверхность, на которой достигается минимум площади среди всех поверхностей с данными граничными значениями, имеет нулевую среднюю

кривизну.

VtiVx. \ 1+»VVtiVx. \ 1+»V1+^,Vx.Vx,1+^,Vx.Vx,g = &7) =g = &7) =(5.2)(5.2)Метрика поверхности М = {х е R31 х3 = о (г), г е Щ задается симметричной положительно определенной матрицей

VtiVx. \ 1+»V

VtiVx. \ 1+»V

1+^,

Vx.Vx,

1+^,

Vx.Vx,

g = &7) =

g = &7) =

(5.2)

(5.2)

Каждой точке х е М сопоставим вектор п (х) е S2 внешней нормали к М в точке х,

n(x) = (— vxjW, —vx,/W, 1/117), W = Vl-VUx.

Это отображение индуцирует другую (возможно, вырожденную) мет? рику на М, задаваемую матрицей

пХ1 ■ пХ1 nXl • пх,

«х» 1 Пх, Пх, • ИХ<

Матрица / симметрична и неотрицательна. Минимальная поверхность S обладает тем свойством, что матрицы g и I в каждой точке пропорциональны. Данное утверждение означает, что нормальное отображение S в сферу S2 конформно или антиконформно в зависимости от того, положительна или отрицательна функция пропорциональности. Далее этот факт будет доказан.

Заменяя точку (сь с2, с3) s S2 ее стереографической проекцией на экваториальную плоскость из южного полюса^

С — — (С1 — 1*С2)/( 1 4" С3),

и применяя это к п(х), получаем гауссово отображение поверхности S (минимальна она или нет)

Вследствие того что стереографическая проекция S2 -> © индуцирует метрику на S2, пропорциональную исходной, нужно только показать, что |dC|2, С = f(z), пропорционально метрике, определяемой g.

Лемма 5.1. Пусть U eR2 — открытое множество и и &C8(U)— решение уравнения минимальной поверхности. Тогда

zeU,

где p.(z) = f(z)8.

Эта лемма доказывается непосредственно, но требует длинных вычислений. Более геометрическое доказательство содержится в работе Киндерлерера [3].

Матрица g порождает квадратичную форму g = 511^4- 2gi2 dxidx2 + g22tix|.

Обозначая dz = dx^ + i dxa и d2 — dxi — i dx2, получим

— "4 [(fill— fi22 — ^iguh dz2 + 2 (fin + Йгг) dz dz 4- (gu — gaa 4* 2^12) dz8].

Далее,

№ = ^dz + f;d2^f2^dz + lid212 = = lfzl2№dz2 + (l 4-|p |2)dzdz4-pd28).

Заметим, что P = 8-Д^21812 - ^ = /1 4- «L и 14-|p|2 = ^±^. Следовательно,

Таким образом, мы доказали

Предложение 5.2. Пусть U czR8 —открытое множество и ие е С8 (U) —решение уравнения минимальной поверхности. Тогда гаус-

сово отображение поверхности

S = {х е R31 х3 = и (г), г е [/'} конформно.

Приведенные выше рассмотрения наталкивают на мысль, что можно использовать гауссово отображение поверхности S в плоскость (скажем, комплексного градиента и) с целью установления гладкости свободной границы. Напомним сначала теорему Корна и Лихтенштейна (см. Курант и Гильберт [1]).■

Теорема 5.3. Пусть й cRa — односвязная область о гладкой границей, В = {£ 11 £ | < 1} и функция р s С°- х (й) удовлетворяет условию

.|p(z)|<p0<l в й.

Тогда существует гомеоморфизм ^ = h^ из й в В, такой что h е еС-^^й), h-z=ph2 в й, |h,|>0 в й и h(zo) = O в заранее заданной точке zosQ. Если для fsC1^, где U е й открыто, выполняется соотношение

■Ь = ^Ь в й,

то F^) = f (г) —голоморфная функция от £ в h(U').

Второе утверждение теоремы элементарно проверяется. Действительно,

U = ГЛ + F^ (h)„ f- = Е^+ F^ (h^, д поэтому

0 = р/, — ^ = Ft (ph, - h-) + Ff (ph- - h,) = F? (I P P - 1) h„

Так как |р|<1 и h,^0, то ^ = 0 и тем самым F —голоморфная функция.

Пусть й с R2 — строго выпуклая область с гладкой границей дй и ф е С2-х(й)—строго вогнутое препятствие. Рассмотрим задачу: найти

иеК: f (у — u)x,dx^Q(5.4)

уТ+ыр 1.

для всех о е К, где К = {у е И» ” (й) |у 2$ ф в й}.

Положим I = {z s й | и (г) = ф(г)}. Мы знаем, что такая функция и существует и, кроме того, и s С1- “ (й) П №- ” (Йо) для каждых ае(0, 1) и й0сй0ей.

Теорема 5.4. Пусть I = Z (и) — коинцидентное множество решения и задачи (5.4). Тогда д! — жорданова кривая, допускаюшря С1» '-параметризацию для всех т < 1,.

Доказательство. В процессе доказательства мы воспользуемся теоремой 6.2, так же как это было сделано при доказательстве теоремы 3.4.

Определим гауссово отображение f(z), zeQ, по формуле (5.3). Тогда f— липшицева функция на компактных подмножествах £2, удовлетворяющая уравнению

= в Й\Л

ц = /а

д /\

в Силу леммы 5.1, так как1 ■>=0 в й\/. Кроме того,

если положить

П,}_М^^ гей,l+/l+fc(z)2П,}_М^^ гей,l+/l+fc(z)2(5.5)(5.5)

П,}_М^^ гей,l+/l+fc(z)2

П,}_М^^ гей,l+/l+fc(z)2

(5.5)

(5.5)

то f* e С1-к (£2) и при этом f* (z)—f (z) в /, поскольку Ux#(z')=^X/(z') в 1.

Лемма 5.5. Пусть функция f* определена по формуле (5.5). Тогда lf*(z)|<| £(z)| для гей.

Доказательство. Пусть хоей. После соответствующей замены переменных (модули величин f* и f* при этом остаются прежними) можно считать, что фхл (z0) = 0. Непосредственное вычисление показывает, что

f* = фх^,®! - фх,х,а2 + ib.

fl = Фх,х,а1 + фх,х,О2 - ib,

где ау>0 и 6 — действительные числа. Так как ф —вогнутая функ- щ1я, то фхх/<0 и, следовательно, |Ref?|<|Ref^j. Вследствие того что |1т^=|1ш/^ |, приходим к утверждению леммы.

Для завершения доказательства теоремы построим отображение Q на В в соответствии с теоремой Корна и Лихтенштейна (теорема 5.3) с коэффициентом у. = Т2. Точнее, пусть t, = h(z) удовлетворяет условию h- = ph.2, гей, и р. = /2,(5.6)

и пусть /z(zo) = O в заранее фиксированной точке z0 е д/. Определим функции

F*^=f*^) и FQ = f(z)

и положим

g^ = F*^-F^, ^еВ.

Функция g липшицева в окрестности h(I). Вследствие голоморфности f (9 в В\й(/) имеем

g^) = F^ = f^ + fld^ = a^ в В\Ц1).(5.7)

Поскольку отображение h и его обратное /г1 класса С1- к и f* е еС’.^Й), то аеС°-к(В\ Мы должны проверить, что | а (С) 1=0=0. Из (5.6) немедленно следует соотношение 9h.-1;9t, = ap9h.-1/9£, где |а|=1. Учитывая, что dh^/dt.^O, |р|<1, и используя предыдущую лемму, получаем .

|a(?)| = iaft-vaci|/fn«+/f l^l^-vaeid/i] — [И11/^ 1)>о.

Применим теперь теорему 3.1. Предполагая выполненной теорему 6.2, рассуждаем так же, как и при доказательстве теоремы 3.4. Пусть Со г 91. Рассмотрим конформное отображение ф верхней полуплоскости с выкинутым диском на B\h (I) (топологический образ й\7), которое переводит действительную ось (— оо, оо) на 9h (7) (точный смысл этого обеспечен в (3.1) —(3.2)). Пусть ф (0) = 0. По теореме 3.1 феС1-т(—оо, оо) для каждого т<Х и t-^h1^ (ф(0) есть С1-^параметризация 91.

Далее точно так же, как и в теореме 3.4, доказывается, что 91 — жорданова дуга. |

. Используя этот результат, можно дать непосредственное доказательство аналитичности 91, когда функция ф вогнута и аналитична. (Исторически именно это применение стимулировало разработку значительной части материала § 5.) Доказательство опирается на разрешимость системы дифференциальных уравнений в области комплексной плоскости и использование аналитического продолжения конформного представления минимальной поверхности S={x|x3=u(z), zeQ\/}. Идея связи аналитической функции с ее возможными продолжениями посредством дифференциального уравнения принадлежит Леви [2, 4]. Сформулируем без доказательства следующее утверждение. '

Теорема 5.6. Пусть I = 7 (и) — коинциЭентное множество решения и заЭачи (5.4), и пусть, кроме того, ip вещественно аналитична. ТогЭа 91 — жорЭанова Эуга, Эопускающая аналитическую параметризацию.

ТОПОЛОГИЯ КОИНЦИДЕНТНОГО МНОЖЕСТВА В СЛУЧАЕ, КОГДА ПРЕПЯТСТВИЕ ВОГНУТО .

Если препятствие ф и область Q произвольны, то топологическая структура коинцидентного множества решения задачи (1.1) может оказаться слишком сложной. В упражнениях мы показываем, что для любого числа & найдется такое препятствие, что соответствующее коинцидентное множество имеет по крайней мере к компонент. Однако если препятствие строго вогнуто, а область й cr R2 строго выпукла, то можно доказать, что 7 — односвязная область, совпадающая с замыканием своей внутренности. Этот факт уже был использован при доказательстве теорем 3.4 и 5.4.

Всюду в этом параграфе предполагается, что,

Я — строго выпуклая область с гладкойграницей в плоскости z = xi-Mx2,ф е С2 (Я) — строго вогнутое препятствие, т. е.

-^^U^0 для (0, 0)^(|ь Е2)еРЛ г ЕЙ, (6Л ) a(p) = (ai(p), а% (р)) — локально коэрцитивное

(6.1”) аналитическое векторное поле.'

Пусть

ugK: \aj(ux)(v — u)x.dx^0 yas К,(6.2)

о'

К = {v е Z/J’m (Я) | и 5:ф в Я},.

1 = {z е Я | и (г) = ф (z)}, где 1 — коинцидентное множество решения и вариационного неравенства (6.2). Это решение и существует, единственно и

и s №’s (Я) f] №-00 (Яо) для1 ^ s < оо

и всех подобластей ЯосЙосЯ. Так как ф<0 на дЯ, то I —компактное подмножество Я (гл. IVX теоремы 4.3 и 6.3).

Как обычно, мы определяем оператор А: Ид 00 (Я) -> Н-1 (Я), полагая.

л°=~^;аН0')’ У^-°°(Я).

Вогнутость ф означает, что Лф > 0 в Я. Действительно,

, дда,

^ " “ д^ а) ^ ^ = ~д£^х (Z» ^V/ (Z) = — Тг aV» где

/^>^Hs^-^+^^N

ОС

и у _ Н?*1*1 (г) ‘фхл (2)\

\^.(2) ^.Х,(2)/

Так как a — положительно определенная симметричная матрица, а V— отрицательно определенная симметричная матрица, то — ТгаТ>0.

Лемма 6.1. Множество Я\/ связно.

Доказательств). Поскольку и (z) = 0 > ф (z) для z е дЯ и дЯ связно, то существует только одна компонента Я\/, замыкание

которой пересекает ЗЯ. Предположим, что®'—другая компонента Я\/. Тогда дю' di. Для любого £sC” (со'), С^О,

О <s J [а/(ярх)-а/(их)]Цах« $ ajh (ф - и),^. dx, (О'Ш'

1

где ау1е (г) = ^^ (их (г) +t (^ (z) - их (г))) di.

Это положительно определенная форма вследствие локальной коэрцитивности а. Следовательно, ф — и есть суперрешение эллиптического уравнения и, значит, .

ф (г) — и (г) ^ inf (ф — и), гем'.Л»' '.

Но дю'с:/, и поэтому ф — ы^О в и'. Мы пришли к противоречию с тем, что м' с: Я\/. |

Рассмотрим здесь решение у уравнения

.4v(z) = 0 в ВДгй), гоеЯ, г>0.(6.3)

По хорошо известной теореме о — вещественно аналитическая функция в Вг (г0). Запишем о в виде ряда по однородным полиномам

2

о (г) = о (z0) + 2 ух, (zo) (xj - xj0) + /=i'

+ ^Pm(2-2o), \г-г0\<г, Рт(г-2о)^О. т^п

Если о нелинейна, то можно проверить, что полином Рт наименьшей степени есть решение эллиптического уравнения с постоянными коэффициентами:

Следовательно, Pm(t,) аффинно связано с гармоническим полиномом Reatm для некоторого комплексного числа а и dPm(t,)/d5, аффинно связано с am£*-Vm> 1. Отсюда мы заключаем, что

для данного решения v уравнения (6.3), не являющегося

линейным в окрестности U точки г0, (до/дг) (г) есть (6.4) открытое отображение U.

Определим два отображения Я в плоскость. Первое —это гомеоморфизм Я:

Г(г) = фх1(г)-/ф,.(г), геЯ.

второе — непрерывное отображение Я:

tkz) = u^(z)-iuxAz)> z^i

которое в силу (6.4) открыто в й\/, так как в противном случае и было бы линейным.■

Теорема 6.2. Пусть I—коинцидентное множество решения и задачи (6.2). Тогда ■

/ — связная и односвязная область, которая совпадает с замыканием своей внутренности1,

/(й) = /*(/);

й\/ гомеоморфно кольцу,

int I — связное множество.

Доказательство. Пусть 1г — множество точек гей, для которых касательная плоскость в точке (г, гр (г)):

Пг: у» = и^'

не пересекает й. Это множество не пусто, так как ему принадлежит точка гей, где г| достигает своего максимума. Поскольку ф е С1, то /1 замкнуто и содержит некоторую окрестность г. Кроме того, о (у') > ф (у), если yeti, уёг, вследствие строгой вогнутости ф.

Покажем, что UeL Действительно, у —решение уравнения Аи = 0 в О и у 5а 0 на dti. Следовательно, по теореме 8.3 гл. IV и у в й и тем самым

ф (z) ^ и (г) ^ у (г) = ф(г), zelv

Точка г е Л принадлежит внутренности этого множества до тех пор, пока у не обращается в нуль в некоторой точке yedtl. Если же у(//) = 0, yedti, то пересечение Пг с плоскостью, содержащей й, есть касательная к дй. Такие точки z е U составляют границу Л-■

Обратное тоже верно. Пусть Р е дй. Построим плоскость, которая содержит касательную к дй в точке Р и касается ф в некоторой точке гей. Тогда по предыдущему ze I и соответствие Р->г(Р) является взаимно однозначным и непрерывным отображением вследствие строгой вогнутости ф и строгой выпуклости й.

Для г = г(Р) пусть ю (у) = и (у) — и (у). Эта функция удовлетворяет линейному эллиптическому уравнению

в пересечении окрестности точки Рей. Применим принцип максимума, учитывая, что функция ю(^)^0 в окрестности Р и достигает своего максимального значения, равного нулю. Тогда ?(Р)>?(Р),

где v — внешняя нормаль. Неравенство и(у)>0 в й означает, что o>^(P)--^(P)cos»-^(P)sinO,(6.5)

6 — угол между положительным направлением оси хг и внутренней нормалью в точке Р. Поскольку у —линейная функция и касается ф в точке г, то

O<g(p)cos0^<pw^м

Тангенциальная производная и равна нулю на дй, так что

sine-^(Р) cose и, следовательно,

^(р) —^(p)cos0, ^(Р) —^(P)sin9.

Вместе с (6.5) это показывает, что функция P->f(P) отображает дй на звездообразную кривую Г! относительно начала координат

С другой стороны, П, касается дй в Р, и поэтому

О = ^ (Р) sin 0 -^ (Р) cos 0 =^ (2) sin 0 - g (Z) cos 9.

Следовательно, P->f*(z (Р)) отображает дй на звездообразную кривую Г2. Согласно (6.6), Г, лежит внутри Г2 и не может пересекаться с последней.

Нас сейчас интересует внешняя граница р множества /(й), которая по определению есть граница неограниченной компоненты дополнения к /(Й). Так как /(Й) связно, то р также связно.

Поскольку /(дй)^^ лежит внутри F2 = f* (d/i) = f(d/i), то р П П^(дй) = 0. Отображение f открыто на й\/ и /(й\/)ПР = ф. Поэтому если гей и. f(z) ер, то ге/ и / (г) = f* (г). Значит, /■♦^(PJc/ и является внешней границей /^(/(й)) вследствие того, что /*—гомеоморфизм й. Рассмотрим компоненту V множества f(Q)\f(/). В силу открытости f на й и того факта, что /(дй)е eintf(/), из f(a)edV вытекает, что г ед/. Следовательно, любая компонента U множества ^(У) принадлежит й\/ и dUal. По предыдущей лемме это невозможно, т. е. HQ)\J(7) пусто и тем самым f (й) = f (/) = f* (/)._

Отсюда мы заключаем, что /^^(/(й)) связно, так как f*— гомеоморфизм.

Пусть теперь г0 ед/ и гп е й\/ — такая последовательность, что 2„ -> 20. Отображение f открыто и, значит, f (г„) е int / (й) = = int f (/). Кроме того, f* — гомеоморфизм, и поэтому f*-1 (/ (г„)) е е int /. Далее,

так как 1 = р на /• Таким образом, Z —intZ.

Аналогично проверяется, что й\/ открыто и связно и, следовательно, f (О\/) a int f (I) = int f* (Z) в силу открытости f. Помимо этого f (Q\Z) связно и тем самым f*-1 (f(Q\Z)) с: /0 — компонента intZ. Действительно, пусть Zi—другая компонента int Z и Ziedli, Ui ф df0. Рассматривая последовательность г„ е Й\/, которая сходится к 21, и f*-1 (f* (z„)) е /о, приходим к тому, что 21 е /0. Полученное противоречие означает, что 11 = ф.

То, что Q\Z гомеоморфно кольцу, доказывается стандартным путем. | ■ '

ЗАМЕЧАНИЕ О КОИНЦИДЕНТНОМ МНОЖЕСТВЕ В ВЫСШИХ РАЗМЕРНОСТЯХ

Проведенное выше исследование свойств коинцидентного множества опиралось на теорию функций комплексного переменного и тем самым применимо только к двумерным задачам. Первый шаг к изучению гладкости коинцидентного множества в высших размерностях был сделан в гл. IV, когда был получен критерий конечности периметра множества Z. Здесь мы продолжим эти рассмотрения. Как и в § 1, Q с ^ — ограниченное открытое множество с гладкой границей dQ и препятствие

феС2(й): шахф>0, ф<0 на 5Q.(7.1)

о

Будем предполагать, что неоднородный член вариационного неравенства_'

.f г С1 (Q).(7.2)

Предметом нашего изучения является следующая

Задача 7.1. Требуется найти функцию

■ иеК: ^ux.(v— u)x,dx^ \f(v— u)dx \igK.

С точностью до небольших технических изменений доказательства, приводимые здесь, распространяются и на задачу 4.1 гл. IV.

Теорема 7.2. Пусть выполнены условия (7.1) и (7.2), и —решение задачи 7.1 и I — коинцидентное множество. Пусть, далее,

— Дф — f ^ т] 2> 0 в Q

для некоторого т]>0. Тогда существуют г0>0 и X, 0<Х<1, такие что для каждого х^д! найдется уеВ, (х), для которого

Вх, ((/) с Вг (X) л (Q\Z) и |x-t/| = (l-X)r, Г^Гд.

Кроме того, для некоторого а>0

sup (ы — ф) аг2.

Из отмеченной в этой теореме плотности множества Q\/ немедленно вытекает

Следствие 7.3. В условиях теоремы 7.2 mesd/ = 0.

Доказательство следствия 7.3. Так как I замкнуто, то 61 cl. Далее mes (д/ П Br (х)) mes (/ П Br (х)) mes (Вг (х)\ВХг (у)) _-.,7 ,,

м^м ^Пу1 — Л < 1, ®Nr®NrNr

где ®№mesBi(0). Таким образом, ни одна точка 61 не может быть точкой плотности 61 и, следовательно, mesd/ = 0. |

Доказательство теоремы 7.2. Поскольку I компактно, то существует окрестность Qo этого множества в Q. Выберем г0>0 так, чтобы Д.(л:)а:йо для каждого хе! при г<2г0. Заметим, что м е У/2-00 (Qo) в силу следствия 6.4 гл. IV. Пусть 0>О. Положим

w (х) = и (х) — ф (х) — [1 /(2V)] 01 х — х0 Р, хей,

где х»ед1 — некоторая фиксированная точка. Тогда если х е Q\Z, то

— Ада = — А (м — ф) + 0 = / + Лф + 0 =^ —т] + 0 =^О<0^1т].

Следовательно, — Дда<0 в Br(xo)f|(^\Z), г<го- Согласно принципу максимума, да достигает своего максимума на д(ДДх^ f| Q(Q\Z))czdBr(Xo)U5Z. Предположим сейчас, что х» удовлетворяет условию внутренней сферы относительно Q\Z. Под этим мы понимаем существование такого шара В6 (£) cz Q\Z, что хь е 6В6 (£). Имеем

w (х0) = wX/ (Хо) = о, X^i^N. '

Следовательно, по лемме Хопфа о граничной точке1), х0 —не экстремальная точка да. Кроме того, max да>0.

Вг(*о)П(Й\/)

Если хе 61, то ty(x) = [l/(2V)]0|x —хор^О, и поэтому существует уедВДх0), уф1, такое что да(у)>0, или ' .

.и (у) - ф (у) ^ [ 1 /(2 V)] 0 | у - Хо Р = [ 1 /(2 V)] 0г2 > 0.

Для того чтобы продолжить это неравенство на шар, воспользуемся тем обстоятельством, что их.х. е L” (Qo)- Напомним, что выбор г гарантирует включение Вг (у) cz Q». Поскольку функция (и — ф)х липшицева в Q»> то мы можем написать

и (х) - ф (х) = и (у) - ф (у) + 5 [м,. (у) - фх< (у)] (х, - у,) 4- Д | х - у Р,

где R (х, у) — остаток, и

I Ux. (у) - Ux. (Х0) I ^ II ихх iLoo(fio) | у - Хо |.

Поэтому, вспоминая, что ид. = г|зд. на /, будем иметь

I UXj (у) - ^ (у) | ^ | Ux. (у) - Ux. (Хо) | +1 ^ (у) - Ф^ (-Vo) I

^ const | у — X I ^ С1Г.

Следовательно,

и (х)— гр (х) ^и (у) — гр (у) — с^г | х — у | — |/? 11 х-у |2^ ^[1/(2^]рг2-С1г|х-у|-|/?||х-у|2^ ^ {[ 1/(2^] ₽ - сгт -1R | т2} г2 ^ аг2 > О

для |х —у|^тг, где т достаточно мало, но не зависит от хоед! и а>0..

Если теперь х0 е д/ — произвольная точка, то мы можем найти последовательность х^ е д/, х*->Хо, элементы которой удовлетворяют условию внутренней сферы. По непрерывности и (х) —гр (х) 2а аг2, если |х — у\^тг, и, таким образом, В„(у)сй\/. Переобозначая переменные, т. е. заменяя г на г 4-тг <2г <2г0 и т на Л = т/(1+т), получаем, что

'Bv(y)cBr(%)n(Q\/). |

Часть границы д/, которая не является частью границы int /, в определенном смысле несущественна. Действительно, рассмотрим открытое множество со = Q\int / е> Q\Z в Q и заметим, что Q\Z также открыто в Q. Поскольку to\(Q\/)cd/ и — Au = f в Q\Z, то мы можем сказать, что — Аы = / п.в. в со. Однако со —открытое множество, и, следовательно, теория регулярности для эллиптических уравнений гарантирует, что — Аы = f в со. Другими словами, <0 — наибольшее открытое множество, для которого —\u = f, и в этом смысле мы считаем, что д/\д int / — несущественная часть границы д/.

Комментарии и библиографические указания

Изучение задач со свободной границей, связанных с вариационными неравенствами, было начато Леви и Стампаккья [1]. В случае интеграла Дирихле (^ = 2) было показано, что в условиях теоремы 3.4 и аналитичности гр граница коинци- дентного множества есть аналитическая жорданова кривая Читатель может вывести этот результат непосредственно из теорем 1.1 и 6.2. В § 2 было проведено предварительное обсуждение вопросов, которые получат дальнейшее развитие Прежде чем исследовать более общие задачи, например такие, где непосредственно неприменим принцип симметрии Шварца, полезно было установить некоторые предварительные свойства регулярности свободной границы, скажем, с целью доказательства ее аналитичности. Это мотивировало рассмотрение тех вопросов, которые изложены в § 3 (см. Киидерлерер [3]). При этом было модифицировано доказательство Киндерлерера [4]. Лемма 3.3 и теорема 3.5 связаны С одним результатом Хартмана и Уинтнера [1].

Для гого чтобы проанализировать свойства свободной границы в случае минимальной поверхности, мы сначала показали, что 81 непрерывно дифференцируема (см. § 3 и 5). Аналитичность 81 (когда ф также аналитична) получена как следствие разрешимости системы дифференциальных уравнений, связывающей конформное представление минимальной поверхности {(хь х2, х3) | х3=и (х), (хг, х2) г sQ\/} с ее гармоническим или аналитическим продолжением Эта идея принадлежит Г. Леви, который использовал ее для изучения минимальной поверхно сти с заданной или частично заданной свободной границей (Леви [2, 4]). Примеры, иллюстрирующие такой подход, даны в упражнениях.

Теорема 3.6 принадлежит Кафарелли и Ривьере [2].

Шеффер [1] изучал вопросы существования особенностей у 81. Асимптотическое описание было разработано Кафарелли и Ривьере [1]. Материал § 4 заимствован из работы Киндерлерера и Ниренберга [1].

Результаты § 7 принадлежат Кафарелли и Ривьере [1]. Они служат отправной точкой для исследований свойств коннцидентных множеств в больших размерностях.

Возмущения свободной границы рассматривались Шеффером [1] и Леви (9)

Упражнения ■

Пусть функция ф аналитична в G = {f = (1 + /(211 < | < 1, Im # > 0}, непрерывна в GU(—1, 1) и для каждого (ое[—R, /?], R < 1, существует такое комплексное число с = с(/0), что

| ^"^ ^~с | ^ CR 1 '-'f ^ 'eGUHl, 1), |с|<Ся,

где ц, 0< р^ 1, — некоторое фиксированное число. Покажите, используя теорему Коши о представлении, что ф е С1, u (G П В^.

Докажите теорему 3.6.

Покажите, что в условиях георемы 3.4 81 — «регулярная» кривая, г. е. принадлежит классу С1. [Указание. Вследствие замечаний выше единственные возможные особенности д/ —это острия. Пусть zoedl. Рассмотрите отображение Ф: Вв (Zo) П (Й \ 0 -*■ Ве (z0) fl int I, Ф (z) = f*-1 (f (г)) и заметьте, чтоФ(г)=г, если г е 81.1

Пусть Й = {z е R211 г | < 2}, ф„(г)= 1 — (|г—z„|«/г’), где г„ = 1, г„ —

/ 1 , 1 \'

= 2П0Л“ '

ф»(г) = шах ф„(г), гей.

п<к

Пусть и/, — решение задачи (1.1) с препятствием ф» и /^—соответствующее коин- цидеитное множество Покажите, что Ih имеет по крайней мере k компонент. Покажите также, что ф* можно так видоизменить, что новая функция ф^ будет бесконечно дифференцируемой, а иь будет решением задачи (1.1) с препятствием фд. 5. Пусть G = {z=x+iy 11 z| < 1, у>0}, о = (—1, 1) и ueO^Gl удовлетворяет условиям

Ди = 0 в G, иу= А (х, и, их) на о, -

где функция А (х, и, р) аналитична по совокупности переменных в окрестности х=0, u = u(0), р = и^(0). Покажите, что и может быть продолжена гармонически в окрестность точки z=0, и, следовательно, и имеет аналитическое граничное значение на о (Леви [3]). [Указание. Пусть и—гармонически сопряженная функция к и в G, и (0)=0, и пусть f (z) = u+fo, z=x-f-iy e G. Аналитическое продолжение f может быть найдено путем решения подходящего дифференциального

уравнения. Заметьте, что

7^_f^_2tA (г, 1 [/(г)+7ф], -1[/'(г)+Г5)])-0. гео.

Покажите, что существует единственное голоморфное решение ф уравнения

Ф' (z)-f<z)-2iA (г, | (Ф(г)+/(г)], 1[ф' (2)+/' (г)]) = 0, геС,

где |г| мало, и что ф(г)=/(г), если гео и |г| мало.]

Пусть й — область в плоскости z=xi + ix2, граница которой содержит дугу Г класса С1. Пусть, далее, г=0еГ и иеСЧ^иГ) удовлетворяет условиям

Аи = 0 в й, и=0 на Г, ^=А(х1> на Г,

где А — аналитическая функция переменных хь хг в окрестности 2 = 0, А (0, 0) ^4 т4 0. Покажите, что Г аналитична в некоторой окрестности нуля.

(Теорема Келлога.) Пусть й—односвязная ограниченная область в плоскости г=х1+1х2, граница которой содержит дугу

Г: хг=Цх^, IXiKa, f(0)=0.

Предположим, что feC1,k([—а, я]), 0<Х<1 и ф— конформное отображение G={|<|<1 | Im < > 0} най, которое переводит (—1, 1) на Г и ф(0) = 0. Докажите, что ф е С1,1 (Sr [) (?) для каждых т < X н г < 1. ^Указание. Рассмотрите г* (2)=2 —2if ((г4-г)/2) для достаточно малых |г| и примените теорему З.1.] Продолжите дальше рассуждение и докажите, что ф е С1, (Brf|G), г<1.

Глава VI

ЗАДАЧИ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ

ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ

ВВЕДЕНИЕ

В этой главе будет показано, как используются метод годографа и его обобщения для доказательства гладкости свободных границ. Набросок этой методики был дан в § 2 гл. V. Там новые независимые и зависимые переменные определялись через решение w вариационного неравенства. В этой главе мы пойдем еще дальше. Например, в случае одного уравнения в качестве новых независимых переменных будет взят набор комбинаций производных от хи или сама функция хи. Цель во всех случаях состоит в выпрямлении свободной границы. При этом, правда, получаются нелинейные уравнения. Для доказательства гладкости решений нелинейной задачи можно использовать известные теоремы.

Однако при этом возникает ряд осложнений. Например, в задаче со свободной границей вместо одного уравнения может оказаться система. Кроме того, исходные зависимые переменные могут быть заданы на двух сторонах свободной границы, как это было в вариационном неравенстве для двух мембран (гл. II, у пр. 13). Для преодоления первой трудности приходится изучать нелинейные эллиптические системы. Краткое изложение этой теории приведено в § 3, чтобы условиться о понятиях, используемых в дальнейшем, а также для удобства читателя, не знакомого с основами этой теории. При решении задач, в которых функции определены по обе стороны от свободной границы, вводится преобразование отражения, определяемое с помощью преобразования годографа. Это преобразование всегда приводит к системе уравнений.

Другой важный вопрос состоит в том, чтобы выяснить, будет ли задача после применения преобразований годографа, отражения и т. д. удовлетворять предположениям теории о гладкости решений эллиптических задач. Этот вопрос зачастую является наиболее сложным и технически громоздким. За исключением отдельных примеров, он остается за пределами этой книги (если Af>2). Кратко и без доказательств он обсуждается в § 2.

Наши исследования будут локальными. При этом основная цель состоит в том, чтобы при некоторых исходных предположениях о гладкости Г доказать, что Г обладает такой гладкостью, какую

допускают исходные данные задачи. На этом пути мы хотим использовать условия на свободной границе, которые обеспечивают ее регулярность.

Эта глава не зависит от гл. V.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГОДОГРАФА И ЛЕЖАНДРА: ТЕОРИЯ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ

Пусть иеСа(Й), где Q с: R^ — ограниченная область. На протяжении этой главы используются обозначения щ = иХ1, utj — uXiXj и т. д. Преобразование области Й, определенное соотношениями

уа = ха, l^a^N-1,

УмИм» называется (частичным) преобразованием годографа первого порядка, а функция у (г/), определенная равенством

у (у) = х^ун + и (х), хей,(2.2)

называется преобразованием Лежандра первого порядка функции и. - Предположим, что (2.1) определяет взаимно однозначное отображение Й на область U. Преобразование Лежандра удовлетворяет соот

ношениям

du = хц dy^+Ум dxN -Vdu = xN dy^ 4* 2 иа dya, a<N .

в силу которых.

X^^N-X,

Ум = Хм.

Здесь, и в дальнейшем нижний индекс у и обозначает дифференцирование по х, а у у — дифференцирование по у. Обратное отображение к (2.1) задается соотношениями

х0 = у а,1 а N — 1,

(2.4)

•xN = vN._v '

Кроме того, если и удовлетворяет некоторому уравнению второго порядка, то у также обладает этим свойством. Чтобы показать это, просто заметим, что из соотношенийКроме того, если и удовлетворяет некоторому уравнению второго порядка, то у также обладает этим свойством. Чтобы показать это, просто заметим, что из соотношений/ 1dx I О\—Чуц/ 1dx I О\—ЧуцО1О1dy (dx\-i dx — \dy)dy (dx\-i dx — \dy)ОЧм yNNОЧм yNN° \6— uNn!О1_ УМ-1МyNN° \6— uNn!О1_ УМ-1МyNN

Кроме того, если и удовлетворяет некоторому уравнению второго порядка, то у также обладает этим свойством. Чтобы показать это, просто заметим, что из соотношений

Кроме того, если и удовлетворяет некоторому уравнению второго порядка, то у также обладает этим свойством. Чтобы показать это, просто заметим, что из соотношений

/ 1

dx I О

\—Чуц

/ 1

dx I О

\—Чуц

О

1

О

1

dy (dx\-i dx — \dy)

dy (dx\-i dx — \dy)

О

Чм yNN

О

Чм yNN

° \

6

— uNn!

О

1

_ УМ-1МyNN

° \

6

— uNn!

О

1

_ УМ-1МyNN

следуют равенства

9«М,

“ Unn :

UXN

_ 19«n _

UNN ’ 9xa

uVNa

u”° w

(2.5)

Другими словами,

дха~да

yNd „d

VNNtixN

=UN,

yNN

(2-6)

где dk = dldyk. В частности,

'uaa = vao-(v^N/vNN'), l^a^N—1,

и поэтому, например,

Au = — (l/yjvjv) ~ (1 /Unn) S yaN + S Уста*(2-7)

Более общо, если и удовлетворяет некоторому эллиптическому уравнению, то тем же свойством обладает у (см. упр. 1).

Другую замену переменных, заданную равенствами

уа = ха, Ко^ЛГ-1,

yN — и {X),

будем называть преобразованием годографа нулевого порядка. Свяжем с ним новую зависимую переменную

•^(У^хм.(2.9)

Предположим опять, что (2.8) определяет взаимно однозначное отображение Q на область U. Преобразование нулевого порядка удовлетворяет равенству

dyN = du = ^ uadxa-\-иыдхм^^ uadya-\-uN d^ dd

(2.10)(2.10)T. e. ^0 = — иа/ик> ^N=l/uN.

(2.10)

(2.10)

Отметим также, что обратным к (2.8) является преобразование

(2.11)(2.11)(2.12)(2.12)Ха — Уа^ l^O^A^—1, ^ = ф.

(2.11)

(2.11)

(2.12)

(2.12)

Из (2.10) Следует, что

Отметим еще, что ib „ib®

“NN = — ^Г Ф^^,

поэтому, в частности,'

Аи=—+2^)^ (2,13);

И снова, если и удовлетворяет эллиптическому уравнению, то и ф . обладает этим свойством (упр. 2).■

Применим теперь эти преобразования к изучению одной простой задачи со свободной границей. Как и раньше, Й с: Rv — область. • Пусть 0 s дЙ, и предположим, что около нуля дЙ — это гиперповерхность Г гладкости С1 с внутренней нормалью в нуле, направленной в положительную сторону оси Хы- Пусть и (х) е С2 (Q (J Г) * удовлетворяет задаче-

Ди(х) = а(х), xsQ,-

n’(2.14)

w(x) = 0, ^CkU^-b, хеГ,"7

i-

где a (x) —гладкая функция в полной1) окрестности точки х = 0 и для простоты Ci, ..., cN, be R. Всегда будет налагаться условие невырожденности cw^0. Другими словами, необходимо требовать, ~ чтобы направление c = (ci, ..., с к) не было касательным к Г. *

Мы рассмотрим два случая задачи (2.14). В первом предпола- - гается, что b = 0, cN^0 и а(0)<0. Попытаемся применить в этом » случае преобразование (2.1). Действительно, так как cN^0, то •: и* (х) = О, 1 ^ k ^ N, на Г в той окрестности 0, где дЙ задается с помощью Г. Поэтому (2.14) можно переписать следующим образом: :

Au = a в Q, . u = u* = 0 на Г, l^k^N.(2.15)

Чтобы установить взаимную однозначность (2.1) около 0 в Й, отметим, что так как Uk = 0 на Г и (0, ..., 0, 1) —нормаль к Г вточке х = 0, то■

ико^ = 0, l^k^N, l^a^M-1,

и поэтому, в силу (2.15), unn (0) = а (0) <0. Отсюда вытекает, что (2.1) отображает окрестность нуля в Й, скажем всю область Q, на область U с{^|^лг>0}, а Г —на часть S гиперплоскости yN = Q. ' Следовательно, функция о (у), определенная соотношением (2.2), удовлетворяет равенствам

-U/uNN)- (1/yv/v) ^(у^)2 + 5 Уаа — а(у', 0^ = 0 в U,

о = 0 на S, у' = (уъ .... ум-i)»

!) Под полной окрестностью автор всегда понимает обычную окрестность. В данном случае с помощью этого термина подчеркивается, что функция а (х) определена и является гладкой в области более широкой, чем Я.—Прим. ред.

а Г допускает представление

'Г: xN = yN(x’, 0), (х', 0)eS.(2.17)

Теорема 2.1. Пусть и (х) е С2 (Й (J Г) удовлетворяет (2.15) о а(0)=/=0. Если asC”'e(Br(0)), т^О, 0<а<1, то существует такая окрестность Вр (0), что ueCm+2-a(Qf\Bp (0)) мВр(0)ПГс~ сСт+1-“. Если а аналитична в Вг(0), то Г П ^р (0) также аналитична.

Доказательство. Функция у является решением краевой задачи (Дирихле) (2.16). Согласно Агмону и др. [1, теорема 11.1],

n(t/) е О+2-“([/() S).

Следовательно, У; е С"^1* “(t/J 5) и, в частности, (2.17)—это Cm+b “-параметризация Г. Для завершения доказательства заметим, что так как отображение х = (у', uN (у)) принадлежит классу Ст+1'“, то такой же гладкостью обладает обратное отображение у = у(х'). Поэтому‘

uM=-9N(x)eC"H«(QRBp^

- иа^-уДу^еС^+^^ПВр), l^a^N-1.

Если а(х) аналитична, то отсюда следует, что (2.17) дает аналитическую параметризацию Г (Морри [1] или Фридман [1]). | .

В случае b Ф 0 мы сталкиваемся с другой ситуацией. Итак, предположим теперь, что b Ф 0 и cn Ф 0, и введем новые зависимые переменные (2.8). Опять, так как и = 0 на Г и (0, .... б, 1) — нормаль к Г в точке х = 0, то иа (0) = 0, 1 ^ а ^ N — 1, и поэтому uN (0) = b/cN Ф 0.

Пусть 6/с^>0; тогда (2.8) является взаимно однозначным отображением части й около х = 0, которую мы будем считать всей й, на область 17 g {^|^>0}. При этом Г отображается на часть S гиперплоскости {у | yw = 0}. Из (2.10), (2.13) и (2.14) следует, что

"iS^^i^"“^О +2^)флrJV~o(z,,, ^ = 0 в ^’

(2.18) ^Оа^аА-Ьфы^вм на Г.

• Кроме того, Г можно представить в виде

Г: Xjv = i|)(x', 0), (х', 0)sS.(2.19)

Следующее утверждение мы установим только в аналитическом случае."

Теорема 2.2. Пусть иегСЧйЦГ) удовлетворяет (2.14), где а — аналитическая функция а полной окрестности начала координат, и

предположим, что 6^0 и с^^О. Тогда поверхность Г аналитична около x=Q.

Доказательство. Применим снова теорему 11.1 Агмона и др. [1]. В этом случае граничное условие является условием Неймана, а не Дирихле. Но теорема о гладкости все равно применима, так как это граничное условие коэрцитивного типа. Мы обсудим это свойство более подробно в следующем параграфе. |

Можно ли ослабить предположения этих теорем? Для справедливости теоремы 2.2 достаточно предположить, что и s С1 (QUO» а Г — поверхность класса С1. Для теоремы 2.1 сформулируем следующий критерий..

Теорема 2.3. Пусть й с: R^ — ограниченная область с 0 гдй и иеН2*”^ удовлетворяет (2.15) около х = 0 в й и на дй. Предположим, что о(х) еС°-е(й) для некоторого а, 0<а<1, иа(0)^.

0. Если.

limp-^mestBp^fl^X),(2.20)

■р—0

то'

дй около х = 0 является гиперповерхностью Г класса С1 и ' (Н) иеСЧЙЦГ).

3. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Этот параграф является кратким введением в теорию эллиптиче- . ских систем. Большинство приводимых здесь определений и свойств хорошо известно, однако и читатели, не вполне знакомые с «весами» и их использованием, смогут получить тут необходимые сведения, ие прибегая к другим источникам.

Пусть й с: RN — область, которая в наших приложениях обычно ’ будет либо ограниченной, либо совпадающей с R+ = {z/ е R" | yN > 0}. Положим

D = (DU ..., ОД 0/ = ^. l^j^N.

Пусть Lkj{y, D), \^h, /^n, — линейные дифференциальные операторы с непрерывными комплекснозначными коэффициентами. Рассмотрим систему уравнений для зависимых переменных и1, ..., и”:

IL Lfcj(y, D)u?(y)-UW) в Й, l^k^n, (3.1) , , = 1"

где /» — заданные, скажем гладкие, функции. Каждому уравнению припишем целый вес s*^0, а каждому зависимому переменному —

целый вес 1,5=0 так, чтобы1)

ord Lhj (у, D) ^ sk + t, в Й, 1 ^ ^, / ^ п, max sk = 0. (3.2)

Такое задание весов называется согласованным. Считается, что Ц, (у, D) га 0, если sk +t, < 0. Пусть Ly (у, О) обозначает совокупность членов оператора Lk){y, D), имеющих точный порядок 8к-\-1л тогда Lkj — либо нулевой оператор, либо оператор, однородный по D порядка Sh-Vtj.

Определение 3.1. Система (3.1) называется эллиптической (с весами sk н t,), если

rank (Ц, (у, ?)) = п для любых О Ф £ е R и у е й (3.3) и, кроме того, для каждой пары независимых векторов £, т] е R^ и у g Й полином (по г) р (z) = det (L*, (у, £ + гт])) имеет точно р = = ^ deg р корней с положительной мнимой частью и р = | deg р корней с отрицательной мнимой частью.

Условие о корнях при /V $s 3 выполняется автоматически, но при N = 2 уравнение может удовлетворять условию (3.3), но не удовлетворять условию о корнях. В качестве примера можно взять уравнение Коши — Римана ди№ — f н любые его степени.

Матрица Ц, (у, £) называется главным символом. Предположим, что при фиксированном у0 е Q мы ищем решения однородных уравнений с постоянными коэффициентами

п

5 и^Уо, D)uf(y) = 0, yt=RN, \^k^n,(3.4)

I— 1

имеющих вид и1 (jj) = dels\ d гй, O^geR^. Тогда (3.3) выполняется в том и только том случае, если с1 = ... = с” = 0 для любых O^^eR^, у0 G й. Такие решения называются экспоненциальными. Итак, эквивалентным (3.3) является условие отсутствия нетривиальных экспоненциальных решений у главной части системы (3.1), т. е. у системы (3.4).■'

Общая система уравнений

■■ Fk{y, Du1, ..., Dun) — 0, уей, l^^^n,(3.5)

где символ D обозначает все производные, а не только производные . первого порядка, называется эллиптической на решении и «(и1, ... .... и"), если уравнения в вариациях

п

2 и, (у, D')td = lFle^, DU1^til1)D(Ы«+№«)) |,_о = О (3.6) '

/= i

образуют эллиптическую систему в смысле определения 3.1.

Опишем теперь граничные условия. Эти условия достаточно рассмотреть тоЛько на части S границы дй, принадлежащей гиперплоскости ун = 0- Пусть Bht(y, D), 1^/i^p, 1 ^ / ^ га, — линейные . дифференциальные операторы с непрерывными коэффициентами.

Определение 3.2.,Набор граничных условий'

5 вм<У« ^^(yy^ghty) на ScdQf|{t/w = 0}, 1^Л^р, (3.7) /=1

является коэрцитивным для системы (3.1), если

система (3.1) эллиптична и число 2р = 2 (s/+ Q ^ О четно;

1■

существуют такие целые числа rhl l^h^p, что ord Вм (у, D)^rh +1, на S;.

для каждого УоеЗ однородная граничная задача;

2 L^ (у0, D) и1 = 0 в R+,1 к п,

(3.8) ^В'к^уй, D)u^0 на yN = 0*1^к^ц,

где B’hj — часть BhJ точного порядка rh + tf, не имеет нетривиальных ограниченных экспоненциальных решений вида

uj ХмУ—е^'м'<^ ^унУ» X^i^n, 0^=^' е R^-'.

[Здесь, как обычно, y' = UnyN-x) и ^ = (^, .... ^-г).]

Мы можем также распространить понятие коэрцитивности на нелинейные системы. Набор граничных условий

Ф»(у, Du1, ..., Du”) = 0 на S, 1^Л^р,(3.9)

является коэрцитивным для системы (3.5) на и = (и1и”), если

существуют такие веса Гх, ..., г№, что набор линеаризованных граничных условий ‘

^^(у, оуш-

=^фл(у. D^-VWY ...» D (и” + to”)) |/_о = О в S (3.10)

является коэрцитивным для системы уравнений (3.6) на S.'

В следующих параграфах наша цель будет состоять в сведении с помощью преобразований годографа и Лежандра задач со свободной границей к нелинейным эллиптическим системам с коэрцитивными граничными условиями. Эти системы имеют много интересных евойств, связанных с существованием и единственностью решений, но нас будут интересовать лишь свойства гладкости их решений. Сформулируем здесь теорему, которая нам понадобится в дальней-

шем. Пусть [/ — окрестность 0 в R4 и 5 = д[/П {#№=0}.

Теорема 3.3. Пусть « — (иип) — решение задачи Fk(y, Du1, ..., Dun) — QвU,Х^к^п,

Фй(у, Du1, ..., Dun^ = 0 на S,1^/i^p,

где (3.11) —эллиптическая и коэрцитивная на и задача с весами s*, tj, rh, X^i, к^п, 1^/i^p. Предположим также, что функции Fi, и Фй аналитичны по у и производным от и. Пусть го = = тах(0, 1+гд). Если и) гС(1^г»,аф\38^ при'некотором а>0, то и1 аналитичны в U US, X^j^n.

В качестве первого примера эллиптической системы рассмотрим задачу..

Дц/ = fj в U, X^j^y,,^ahju^gh на S, 1<Л<ц,(ЗЛ2)

»= 1'

где (ah/) — постоянная матрица размера цХц и, как обычно, U — окрестность 0 в R^, a S = dU(\ {^ = 0}. Припишем каждому уравнению вес $д = 0, каждому н; —вес [/ = 2, а каждому граничному условию вес гд = — 2. Система, соответствующая (3.8), имеет вид Д^ = 0 в R^,1 < / ^ р,

2амй/=0 в R^1, 1^Л^р.

Ограниченное экспоненциальное решение этих дифференциальных уравнений дается соотношениями

й^ Хм' • 0 = ^'^ V (0» [ > 0, у' R^-1, q>/(f) = c%-i6'i *, t/е ©, для каждого 0 =# £' s R^1. Следовательно, <р/ ([) = 0, 1 -С / -С р, тогда и только тогда, когда с1 = ... = с*Л = 0 является единственным решением системы

где 0 Ф X е R. Итак, что можно сказать о задаче для двух различных уравнений с совпадающими данными Коши на гиперплоскости У№0? Предварительное приписывание «обычных весов» s1 = s2 = 0r (1 = (2 = 2, rt =— 2, r2 =—1 приводит к «линеаризованной системе»

Дй1 = 0,Дй2 = 0Дй1 = 0,Дй2 = 0в R?,в R?,и1—й2 = 0,„D^-D^-O И R •и1—й2 = 0,„D^-D^-O И R •

Дй1 = 0,

Дй2 = 0

Дй1 = 0,

Дй2 = 0

в R?,

в R?,

и1—й2 = 0,„

D^-D^-O И R •

и1—й2 = 0,„

D^-D^-O И R •

которая не является коэрцитивной. Введем теперь су = н2 —и1; тогда

запишется в виде -■

Дн1 = 0,w = 0,„

вна S. (3.14)

Дда + 1(® + «1) = 0’ DNw = 0v '

Положим s1 = 0, s2 =— 2, fi=2,Положим s1 = 0, s2 =— 2, fi=2,ной частью задачи (3.14) Дй^О, Д® + Хй1 = 0ной частью задачи (3.14) Дй^О, Д® + Хй1 = 0являетсяявляетсяв R^в R^(2 = 4 и ri = — 4, г2 = —3. Главзадачана R"-1.(3.15)Dnto = 0.(2 = 4 и ri = — 4, г2 = —3. Главзадачана R"-1.(3.15)Dnto = 0.

Положим s1 = 0, s2 =— 2, fi=2,

Положим s1 = 0, s2 =— 2, fi=2,

ной частью задачи (3.14) Дй^О, Д® + Хй1 = 0

ной частью задачи (3.14) Дй^О, Д® + Хй1 = 0

является

является

в R^

в R^

(2 = 4 и ri = — 4, г2 = —3. Главзадача

на R"-1.(3.15)

Dnto = 0.

(2 = 4 и ri = — 4, г2 = —3. Главзадача

на R"-1.(3.15)

Dnto = 0.

Взяв и1^', () = е^'ф (() и ©(у', () = ^'$'^((), получим, что ф(() = =е= се-1 S'I #, а £ является решением задачи

ПО-15' |4(O=-^IVIS

5(0) = 0,(3.16)

£'(0) = 0(3.17)

С Дополнительным условием, что sup|£|<oo. Следовательно, 5(0 = = Cotf-^'^ + Cite-^'1' и, в силу (3.16) и (3.17), С0 = 0, — |£'|Со + + Ci = 0. Поэтому Со = С1 = с = О, и, значит, у задачи (3.15) нет ограниченных экспоненциальных решений. С помощью теоремы 3.3 выводится

Теорема 3.4. Пусть решение (и1, и2) задачи (3.13) с Х^О определено в окрестности U точки у = 0 из полупространства {уу>0}. Тогда данные Коши функций и1, и2, заданные на Sc(y,v = 0}, аналитичны.

Приведем второе доказательство теоремы. Применив Д ко второму из уравнений (3.14), получим, что to является решением следующей краевой задачи для уравнения четвертого порядка:

to = 0,

(Д2 + ХД)ю = 0 в U, _ „ на S. (3.18) Dnw = 0

Эта задача коэрцитивна с обычными весами s = 0, ( = 4, ri = — 4, г2 =— 3. Заметим, что / = (2. Следовательно, w аналитична в (/(JS. Так как Х^О, то функция иг =— (1/Х) Дсу — to также аналитична. Приведенное доказательство наводит на мысль, что преобразования, которые нужно произвести в задаче, чтобы она стала коэрцитивной при «обычных весах», сводятся к дифференцированию уравнений.

ДцЧ-Х^ — О в U*, Ди = 0 в 1Г,ДцЧ-Х^ — О в U*, Ди = 0 в 1Г,Интересно сравнить одну простую задачу сопряжения1) с задачей, рассмотренной выше. Положим U* = \yN > 0} f| Bi (0), IF = \уы < 0} f| n Bi (0) и предположим, что функции и1 е С1 ф*), о е С1 (Z7-) являются решениями задачи ’

ДцЧ-Х^ — О в U*, Ди = 0 в 1Г,

ДцЧ-Х^ — О в U*, Ди = 0 в 1Г,

(3.19)(3.19)и1 —и = 0, DNu1-DNv = 0 Н3 Un '

(3.19)

(3.19)

где XsR. Определяя и? (у) е С1 (Z7+) с помощью равенства и2(у) = = и(у', —ум), получим, что

(3.20)(3.20)д^+^-о,и1 —«2=0,

(3.20)

(3.20)

Ди* = 0 В U1 D^-W-O ” !"’“0'

Легко видеть, что эта система коэрцитивна с «обычными весами» Si = Sa = 0, <! = <2 = 2, ri = — 2, r8 = — 1 независимо от того, равно 1 нулю или нет. Следовательно, и и v аналитичны в полной окрестности нуля.

В следующих параграфах нам придется иметь дело с нелинейными системами и граничными условиями. Для проверки эллиптичности и коэрцитивности таких систем удобно иметь критерий, который достаточно применить в одной точке. В оставшейся части параграфа доказано, что система с согласованным выбором весов, которая эллиптична и коэрцитивна в «одной точке», в действительности эллиптична и коэрцитивна в смысле определений 3.1 и 3.2 в окрестности QcR+ и S = Q fl {z/w = 0}- .

Напомним, что рассматривается система уравнений

Fk{y, Du1, ..., Ои") = 0, у ей, l^k^n, ■ (3.5)

ей соответствует система уравнений в вариациях

п

(3.6)(3.6)^Ujky, D^=lFly, D^ + to1)Р^-НИ)^» i.

(3.6)

(3.6)

= 0, l^A^n,

и граничные условия.

Фь(У» Du1, ..., Ои") = 0, yeS, l^A^p, (3.9) с уравнениями в вариациях п

2 вн! (у, D^ = l Фк (у, D (и14- tu1)D (и" + ia»)) |t<=0 - 1

= 0, l^Zi^p.(3.10)

Предположим, что 5/, <6, г6, 1^/, к^п, 1 ^h ^ р, — согласованное множество весов этой системы. Предположим, что 0 является внутренней точкой множества S.

*) В оригинале: transmission problem. —Прим. ред.

6 Зака» 864

Теорема 3.5. Пусть и1, .... ип —решение задачи (3.5), (3.9)вйу5 и Fk, l^k^n, Фд, 1 ^ h ^ р, — аналитические функции от у, и1, ..., ип и производных от и1 для z/eQUS- Предположим, что и! еС1!* г° (Й (J S), г6 = max (0, 1 + т-д). Тогда-если уравнения в вариа- h

циях (3.6), (3.10) эллиптичны и коэрцитивны при у = 0, то задача (3.5), (3.9) эллиптична и коэрцитивна на множестве (й U S) f| Вв (0) при некотором е >■ 0.

Доказательство начнем со следующей леммы. .

Лемма 3.6. Пусть выполнены предположения теоремы 3.5. Тойа система (3.5) эллиптична на множестве (й U S) П 58 (0)-

Доказательство. Коэффициенты операторов L^ (у, D) непрерывны на И (J S. Поэтому если

(3.21)(3.21)rank (Ц/(у, ^ = п для O^leR"

(3.21)

(3.21)

при у = 0, то это же свойство справедливо, если ^sfijS и величина |у| мала.

Предположим теперь, что при у = 0 многочлен

(3.22)(3.22)Р<У, E+zT]) = det(Ly(0, g + zr]))

(3.22)

(3.22)

имеет точно р = | deg Р корней с положительной мнимой частью и р = | deg Р корней с отрицательной мнимой частью для каждой пары независимых векторов 6» f|GR*. Так как Р (у, ^ — однородный многочлен по 6 степени zn = 2p = S(s/+^/)> т0 равенство Р(у, ^+zr))=O имеет место в том и только том случае, если Р^у, rlyb2;^^])™^ Следовательно, условие о корнях многочлена Р^у, £4-zrp выполняется для произвольных векторов £ и ц тогда и только тогда, когда оно выполняется для независимых единичных векторов £, т]. Поэтому из простых соображений непрерывности следует, что если (3.22) выполнено для у = 0, то это соотношение справедливо для у е й (J S, когда |у| мало. |

Чтобы показать, что свойство коэрцитивности также выполняется на открытом множестве, используем соображения, основанные на теореме об обратном операторе в гильбертовом пространстве. Это доказательство, во-первых, достаточно элементарно, а во-вторых, имеет то преимущество, что демонстрирует ряд идей, лежащих в основе изучения эллиптических граничных задач.

Лемма 3.7. Предположим, что система (3.6) эллиптична при у = у6. Тогда для любого к существует хотя бы одно j, такое что степень по ^ многочлена ЦДу0, £) равна $» + #/.

Доказательство. Эта лемма элементарна. Очевидно, степень по ^ многочлена ЦДуй, £), обозначим ее degAfLy^o» Е), не превышает

ShA-tp Предположим, что для некоторого I выполнено неравенство degwLz;(^o. 6)<sz + </, 1 </<п. Мы можем вычислить определитель Р (Уо, 6). разлагая его по /-й строке. Ясно, что алгебраическое дополнение Ll> (у^, £) элемента ЦДув, £) есть однородный полином степени У sk + 5 ^- Поэтому из соотношения k*l h^f

Р(Уе, ^-^U,^ №(у0, £)

следует неравенство

deg# Р (у0, 6) < max (deg# Ц, (^0, £) + 5 8» + 5 М < * \*^< Нф! /

<81 + </ + 2 8* Ц- У, th = Ш.k*l h*i

Следовательно, многочлен Р (уо, (Г, 0) + z(0, 1)) не может иметь m корней, что противоречит предположению о коэрцитивности из определения эллиптичности. |

Удобно ввести понятие коэрцитивности системы обыкновенных дифференциальных уравнений, означающее просто-напросто выполнение длинного списка условий.

Определение 3.8. Система обыкновенных уравнений о постоянными коэффициентами

^Руф^о'^^К^, 0</<оо,Кк^п, (3.23)

^,УуФ<)оЦ0) = ан, Кй<р,(3.24)

1■

где D( =—id/di, снабженная весами sk, tj, rk, называется коэрцитивной, если выполнены следующие условия:

degpyW^St + Z/, deg^6(TXrft + ^, X^k, j^n, 1 ^ Л < р;

(И) для каждого к существует хотя бы одно /, такое что tagp^W-Sb-Vt,;.

р (т) = det (ру (т)) — многочлен степени т = 2(8/4-//) —2р, имеющий точно р корней с положительной мнимой частью и р корней с отрицательной мнимой частью;

единственным решением (о1,..., ул) однородной системы (3.23), (3.24), ограниченным при <>0, является у1 = ... = ул = 0.

Как обычно, ру = 0, если s6 + ^ < О, и т. д.

Если задача (3.5), (3.9) коэрцитивна на функции и в точке у^ то очевидно, что при каждом О^^'е^-1 система'

LUj(ya» V» ^о^О-МО, 0<t<oa, 1<к<п,

S Si/ (y»i £'f D^ pi (0) a^ | ^ h p,|

6*,

является коэрцитивной системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим теперь решение произвольной системы уравнений с постоянными коэффициентами■

^Руф^оЦ^О, 0<t<oo, \^h^n.(3.25)

Заметим, что det(Pk/(Dt))vl (0=0 для любого Z, l^Z^n, и, следовательно, размерность ядра оператора (3.25) конечна. Для проверки утверждения надо умножить матрицу (Pfe# (Dt)) слева на ее присоединенную матрицу0.

Под Н° (R+) понимается замыкание пространства комплекснозначных функций из C”(R+) по норме пространства На. Скалярное произведение в №(R+) определим с помощью соотношения

(и, v)Ho(R+) = $ lu (Z)vW + DU (t) DU(0]dt, u,ue Ha(^). ■ '0.

Пусть дана коэрцитивная система (3.23), (3.24); для любого о^О оператор

Ру (D(y. Hh*0 (R+) -> Я"’* + ° (R+), I < k, j ^ n, непрерывен, и, в силу (ii), можно утверждать, что оператор

'Н‘1*°^Х...хН‘п*а (R+) -> H—-*0 (R+),

.(О1о^^руф^

также непрерывен. Напомним, что «оператор следа»

Я°(Р+)^С, v-^D0-^^

непрерывен. Следовательно, оператор'

Ям (Dty Н‘^а (R+) ->- <0, I ^ h ^ р, 1< j^n,

"о-х/лД^)»^).

непрерывен для любых h, j, если о ^ г0 •= max (rh + 1, 0). Введем обозначения. Положим

V = Я'*+'о (R+) х.. .х Н1п*'« (R+),

№c=tf^~^(R+)x...xtf'o~5»(|R+)x([>i '

и определим непрерывное линейное отображение

Т: V-*W.(3.26)

То есть на матрицу, составленную на алгебраических дополневиб к аде- ментам матрицы (Ру (у)). — Прим. «рее.-

с помощью равенства Tv — f, где v = (o1v”)е У и / — (/i, ...

...» fn, Qi, •••» Оц) s®7', если

^pkADd^y^fk^, Y^h^n,

^ЧуФдоЦО^ам Y^h^p..

Лемма 3.9. Для оператора Т: V-^-W, определенного в (3.26), кегТ = {0} и размерность коядра Т конечна..

Доказательство. Первая часть утверждения. является частью (iv) определения коэрцитивной системы. Действительно, любое решение £ однородного уравнения (3.23) имеет компоненты У (/), которые удовлетворяют уравнению

р (Dt) У (/) = 0, 0 < / < оо, 1 ^ / -С п, .

где р (т) = det (р»> (т)) [см. (3.25)]. Следовательно, У Уд ограничено при />0 в том и только том случае, если оно принадлежит любому На(^, так как т = 0 не является корнем многочлена р(т).

Пусть теперь f = (fi, .... fn, ai, ..., а^) scoker T. Это значит, что для всех и = (и1, ..., о”) е V

(Tv. п- s jf 1p1AdH.+d'i,"‘1 Sp.,(D,)",D'1"‘f.]»+ 6=10 L/=i/=iJ

Ц n

Л=1/=1

Возьмем, в частности, и? е С” (R+). Тогда

(3.27)(3.27)2 П2р.;(О,)»'?»+о?-* 2р.,(О,)»'°'^Ч1<«=0.

(3.27)

(3.27)

л=ю L 1/=1,

Заметим, что, не ограничивая общности, можно считать, что ffe е С00 (R+). Действительно, каждая fk У) ' является пределом в Я~,е+г°(К+) последовательности <Pe*fkU') при е->0, где ф8— последовательность симметрических сглаживателейт) с компактным носителем. Заменяя fk на <pe*fk и преобразуя интегралы в (3.27), получим (3.27) с исходными fk и новыми пробными функциями фе * ц/ s С” (R+). Законность этого основана, конечно, на том, что оператор рк;Фд имеет постоянные коэффициенты.

») То есть функций вида Фе**ф (*/в)/в, где фвС^(—1, 1), ^ф(<)Л««1, ф—четная функция.— Прим, перм, .''■•

Интегрируя по частям в (3.27) и перенося все производные на ^, получим, что оо п, . -"

7 0 6 = 1

и поэтому /1, .... А, являются решениями системы п

5 (^^"ЧМ^МО-О, 0</<оо, \^1^п.

Как отмечалось выше, размерность этого пространства решений конечна, скажем М. Следовательно,

dim coker T^Af + dim©|i = Af + p.. J

Теорема 3.10. Пусть (3.23), (3.24) — коэрцитивная система. Тогда для любого решения v# е Hr»+ti (R+), Y^j^n, задачи ^РмФ^о’ =fb 0<t<co, Y^k^n, ^мФ^и'^-сЦи 1^/КЦ, справедлива оценка-

пг п■

2 1у/ 1^+г0 №+><с|2 if» i^o-ft(R+)+21 1

с константой С>0, не зависящей от о*.

Доказательство. Отображение Т, определенное в (3.26), взаимно однозначно и, согласно последней лемме, имеет конечномерное коядро Е. Поэтому Т определяет непрерывный изоморфизм Т: V->W/E. В силу теоремы об обратном операторе, оператор Т*1 непрерывен. Следовательно, если Tv = f и [/] —класс эквивалентности в W/Е, соответствующий f, то .

ЦуЦу^СЦ^Ц^/д^С inf Bf+^Biy^Cjfj^ gGE■

при некотором С> 0, так как g=0 е Е. Это доказывает теорему. |

Окончание доказательства теоремы 3.5. Так как tjA-Sfe^r^-Vtj, 1 ^/, k^n, и th-\-tj^r0-\-tj, l^A^p, 1 ^/<п, то линеаризованные уравнения (3.6), (3.10) имеют непрерывные коэффициенты. В силу леммы 3.6, система эллиптична в окрестности у = 9. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений при фиксированном 0=/=^'eR^1:■

^L'ki(y',^,D^yi(t) = ffc^, 0 <t<oo, Y^k^n, (3.28) i■

£1W, Z'tDt)vf(O) = a^ Y^h^(3.29)

Нам остается проверить справедливость части (iv) определения 3.8 ДДя этой системы при малом | z/' |. В силу непрерывности коэффициентов операторов L'^, В’^, для любого е>0 существует такое 6 > О, что при | у' | < 6 коэффициенты при т' многочленов Ly 6', т) и Ру (т) ДЛЯ любого / различаются меньше чем на е > 0; то же самое верно для коэффициентов при т' многочленов By (z/', g', т) и Чм (з^» где />у(т) = Ву(0, £', т), qM (т) = B'hi (0, §', т). Следовательно, в силу предыдущей теоремы, решение о е V задачи (3.28), (3.29) удовлетворяет неравенству

ЦЦ

Ц

Ц

V° S»(R+)V° S»(R+)Н /"*■ 0(R+)Н /"*■ 0(R+)

V° S»(R+)

V° S»(R+)

Н /"*■ 0(R+)

Н /"*■ 0(R+)

Поэтому для достаточно малого в

2. «'!„.,+-.2. «'!„.,+-.и+ 5] I Од |1и+ 5] I Од |1

2. «'!„.,+-.

2. «'!„.,+-.

и

+ 5] I Од |

1

и

+ 5] I Од |

1

для функций tV, f6, удовлетворяющих (3.28), (3.29). В частности, любое ограниченное экспоненциальное решение однородных уравнений (3.28), (3.29) равно нулю. |

ЗАДАЧА ОТРАЖЕНИЯ

Наши приложения к задачам со свободной границей начинаются с системы, возникающей при изучении ограниченных плазменных конфигураций в физике. Она напоминает задачу сопряжения (3.19). Предположим, что Г — гиперповерхность класса С1 в шаре BL (0) qR^ проходящая через х = 0 и разделяющая Вк (0) на две части Й+ и Q-. Предположим, что нормалью к Г в 0, направленной в Й+, является (0, ..., 0, 1). Допустим, что а е С1 (Q+ U Г U й~) удовлетворяет соотношениям .

Lu-Vku = 0 в й*, а = 0, ■ Au = 0 в Q-, d«/dv^=O Н3 ’^’ ^

где X (х) — аналитическая функция от х <= Вг (0).

Теорема 4.1. Пусть и—решение задачи (4.1). Тогда Т—аналитическая гиперповерхность.

Доказательство. Применим в этой ситуации преобразование годографа (2.8) нулевого порядка. Предположим, что и>0 в Й+ и

xeBt (0)xeBt (0)(4.2)(4.2)и<0 в Q-. Тогда отображение Уа = Ха, ^ < N, yN = u(x^

xeBt (0)

xeBt (0)

(4.2)

(4.2)

взаимно однозначно отображает шар В8(0) на окрестность U точки у = 0. Можно считать, что (4.2) взаимно однозначно отображает на U шар В^О). Тогда (4.2) отображает Й+ на U+ = {у е U \yN > 0}, Й" на U" = ^yeU\yN<0^ и Г на S = {y е U |у№0}. Как и раньше, определим

^^ = xNl yeU, хеВ^).

Вследствие (2.13)

"^Z^ + ^^^^-^t1 + 2^Нлглг*’Л^’Ч’^аг“0 в и** “^2^aa+i2^a^ ~i(1+2^)^=0 в ^

^eC^^USU^").(4.3)

Как обычно, суммирование ведется по о, l^o^M —1. Задача (4.3) напоминает задачу сопряжения, и мы исследуем ее аналогичным образом. Положим

ф(у) = '|’(у'. — Ук\ yeU*,

что приводит к системе в U*

~ ^ 2 ^ + ^ 2фофоЛГ" ^ (1 + 2 ^) ^+Х ^ ^ ^=0’

- ^ 2ф<,<,+^ 2 <mw - i О + 2ф") (₽лг№°

с граничными условиями

ф —фязО, Фл + ^№=0 на S.(4.5)

Для доказательства теоремы достаточно проверить, что эта система коэрцитивна. В силу локального критерия из теоремы 3.5, достаточно это проверить лишь при у = 0. В силу выбора координат, ^^ = 57(б)>0* ^^в-^)“°’ X^°^N-l« поэтому линеаризованные уравнения для (4.4) с обычными весами s1 = s2^0, (1 = /2=2 записываются для вариаций ф, ф следующим образом:

S 'Fee + O'Fjvat = 0,

” BR?’ <4*6)

2j Фао + йфм elJ

а

где а = и^(0)>0. Линеаризованные граничные условия имеют вид

(4.7)(4.7)ф-ф = О, ф^^-ф^ = 0 на R^-1.

(4.7)

(4.7)

Легко видеть, что у задачи (4.6), (4.7) иет ограниченных экспоненциальных решений, и поэтому система (4.4), (4.5) коэрцитивна. |

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С СОВПАДАЮЩИМИ ДАННЫМИ КОШИ

Пусть нам даны решения двух эллиптических дифференциальных уравнений, определенные в одной области с совпадающими данными Коши на части границы. Что можно сказать об этой части границы? Здесь мы обсудим на простейших примерах аналог системы (3.13) и теоремы 3.4 для задач со свободными границами.

Рассматриваемая задача имеет' определенный самостоятельный интерес. Кроме того, она послужит подготовкой для изучения свободных границ, появляющихся в вариационном неравенстве для двух мембран и в вариационных неравенствах высшего порядка. Чтобы выявить переопределенный характер задачи со свободной границей, не вдаваясь по возможности в технические детали, будем предполагать, что различные величины обладают достаточно большой исходной гладкостью.

Пусть й с Rw — область, граница которой около 0 е дй является гладкой гиперповерхностью Г, проходящей через х = 0, с внутренней нормалью в точке * = 0, равной (0, .... О, 1). Пусть

(5.1)(5.1)(5.2)(5.2)Au* + Xu1 = f1,Au2 = fs в fi’

(5.1)

(5.1)

(5.2)

(5.2)

, «лди1 ди2 „

и1 = и? = 0,-5- = -д- на Г,

где fi, fs — аналитические функции в окрестности й U Г, а X е R. Зиать только, что u1 = u2, недостаточно.

Мы рассмотрим два случая этой задачи, предлагая в каждом свой выбор переменных, определенных в терминах w (*) = и1 (*) — и2 (х). В первом случае мы предполагаем, что fi (0) — f2 (0) =/= 0. Тогда будет применимо преобразование годографа первого порядка, приводящее к коэрцитивной эллиптической системе. Во втором случае мы предполагаем, что fi^fi- Это приведет к задаче четвертого порядка для одной функции ф, которая после соответствующих преобразований также сведется к эллиптической системе, отличающейся, правда, от системы в первом случае. .■

Теорема 5.1. Пусть и1, ^ — решение задачи (5.1), (5.2), причем fi(O)#ft(O). Тогда Г аналитична около х = 0.

Доказательство. Положив щ = и1 —и2, запишем (5.1), (5.2) в виде

(5.3)(5.4)X^i^N. Введем(5.5)(5.3)(5.4)X^i^N. Введем(5.5)(5.6)(5.6)-Дщ + Л.(оу + «2) = /1-/2,_.

(5.3)

(5.4)

X^i^N. Введем

(5.5)

(5.3)

(5.4)

X^i^N. Введем

(5.5)

(5.6)

(5.6)

'Ди8 = /2•

и4 = w = О,dw/dv = 0 на ^'

- В силу граничных условий для ty, ty< = 0 на Г, преобразование годографа

- У = (я, — ^мк хеt2[JГ,

И новые зависимые переменные

х g й U Г.х g й U Г.у1(У) = ^Ул' + ву (*). у2(у) = и2(х),

х g й U Г.

х g й U Г.

Так как нормаль к Г в точке х = 0 имеет направление оси Xn> то

t«ia(0) = 0, X^i^N, X^a^N—X,(5.7)

и поэтому 1У^(0) = Д(0)—^ (0)^=0. Предполагая, что tojyjv(0)<0, получим, что (5.5) отображает окрестность х = 0 в Q, которую мы можем считать совпадающей с Q, на область U с: {у1 yN > 0} и отображает Г на часть гиперплоскости ум = 0. Согласно (2.7), о1 удовлетворяет нелинейному уравнению второго порядка, которое мы выпишем позже (см. (5.8)).■

Остановимся на уравнении для у2 (у). Согласно (2.6),

Л- и4 = dN 4-дмо»\ = д^+тг-д^ — •

дхк "км \"км /№/ "км "\умм/

^ .,2 . /д иМо д \ „2 _ Д2,,2 О У^° л л ..2 1 ("No \ да 2 , 377^ =lOa—7i—«М У = ОаУ — 2 -Г— OaONO -Н-д О№а + °ХО \ "мм /"км\”мм/

Л.Л цДрЛ'Д л (°Nq \ Д ("ко

V"nN \"nn>\"nn<

Таким образом, очевидно, что наше уравнение, будучи по о2 второго порядка, по у1 имеет 3-й порядок. Поэтому при выборе весов необходима аккуратность! Наша новая система для у1, о4 имеет вид

[см. (2.7)]

^У(^)2+УУ«а + ХУ2 = "км "мм *

(5.8)(5.8)(5.9)(5.10)(5.9)(5.10)= fi(vk, y^-Mvk, У')+Л (yjv^k - У1) в и,Я -.«/V ГУ^о л (и1№\ Я fV"N I1 Я 1 U I®№2|Zi М—^\S—1 °" \пк—/Н"пК—^\й—/I т" ■\"мм/\”км'3 "км \"кмч

(5.8)

(5.8)

(5.9)

(5.10)

(5.9)

(5.10)

+ у Ь-У2 - 2 ^ дАУ2 +^У2] +^У2 =

"км \"км/ J \”км/

= h(vk, y'^ — W в U, 9г = 0, у2 = 0 на S.

Суммирование выше проводится по о, l^o^A^ — 1.

Выберем веса sx =—2, sa = 0, ^ = 4, /2 = 2, гг =—4 и г2 =—2. В этом случае <i + s2 = 4, и поэтому главный символ не будет содержать третьих производных от у1.

Для завершения доказательства остается показать, что система (5.8), (5.9), (5.10) эллиптична и коэрцитивна относительно выбранных весов. Согласно принципу локализации, достаточно это проверить при z/ = 0, где можно считать y]VjV(0) = — 1/о>^(0) = 1 и, в силу (5.7), у}0 (0) = 0, 1 i ^ N, 1 ^ а N — 1. Для вариаций и1 и У2 мы получим систему

Д^ + Х^-О,

л-2 n В R"(5Л1)

Ду2 = 0

51 = у2 = 0 в Rw—*.(5.12)

Главным символом (5.11) является матрица

\ 0 -g2/

ранга 2; следовательно, система эллиптична. Легко проверить, что задача (5.11), (5.12) не имеет ограниченных экспоненциальных решений. Поэтому, в силу теоремы 3.3, у1 и у2 аналитичны в U J S, а значит, из представления Г: xjv = y]v(*', 0), (х', 0)gS (см. (2.17)), следует аналитичность Г. |

Обратимся теперь к обсуждению задачи (5.1), (5.2) с fi(x) = f4(xy Тогда (5.3) записывается в более сжатом виде

Q.Q.(5.13)(5.13)Деу +X (w + и2) = 0,

Q.

Q.

(5.13)

(5.13)

Д«2 = /2

Применяя оператор Д к первому уравнению и подставляя полученное выражение для Ди2 во второе, будем иметь.

Д2о> + ХДау = — Xf4 в й.Д2о> + ХДау = — Xf4 в й.(5.14)(5.14)

Д2о> + ХДау = — Xf4 в й.

Д2о> + ХДау = — Xf4 в й.

(5.14)

(5.14)

Для исследования поведения еу на Г установим следующую элементарную лемму.

Лемма 5.2. Пусть w, и4 —решение системы (5.13) с граничными

условиями

u4 = w = Wi = 0 на Г, 1 ^ i ^ N.

Тогда Шц^—О на Г при 1 ^ i, j^N.

Заметим, что условия на Г совпадают с (5.4).

Доказательство. В заданной точке .*" е Г выберем координаты Ь, ...» ^м с осью ^n, ортогональной к Г в х°. Так как wXi = Она Г для любого t, то w^. = 0 на Г для всех i и поэтому

д^~ (х°) = 0 для 1 s$ i $5 W, l^o^N — 1.

В силу (5.13),

5 (х») = - Х[да (х°) + и® (х-)] - 2^ ^ = 0,

что доказывает лемму. |

Наше новое преобразование основано на выборе — wNN в качестве новой независимой переменной. Чтобы в дальнейшем все было обосновано, предположим, что Х^О и dt?/dv (0) = duVdv (0) ^ 0. Докажем сначала теорему в терминах системы (5.1), (5.2), а затем в терминах одной функции да.

Теорема 5.3. Пусть и1, и® — решение задачи

(5.15)(5.15)(5.16)(5.16)Au1 + Хи1 = f,

(5.15)

(5.15)

(5.16)

(5.16)

Ди2 = / 6 fi*и1 = и® = 0,ди^/дч = ди®/дч На ^’

где f —аналитическая функция в окрестности х = 0, a XeR. Предположим, что Х=^0 и duT/dv (0) =/= 0. Тогда Г аналитична в окрестности х = О.

Доказательство. Сведем доказательство этой теоремы к доказательству теоремы, приведенной ниже. Положив, как обычно, да = = и1 — и®, получим, что Дада + ХДда = — X/ в й, и, в силу леммы 5.2, IP-w = 0 на Г для любого мультниндекса а, | а | ^ 2. Заметим теперь, что

'dxN dxidxj W (°) - дх. dxN дх, “> (°) ~ 0

для любых i + / < 2N, так как ^{дхы дх#) да = 0 на Г. Следовательно в силу (5.13),

w (0) = — хГ^ (0) - ^(0)1 - У(0) =(0) 0.

dx»N v ’ p*v дхы | tidxNdx?ax ’. dxNx

Теорема 5.4. Пусть даеС4(ЙОГ) удовлетворяет соотношениям

&®w + Mw = g в й,(5.17)

О°да = 0 на Г для | а | $5 2,

^да(0)^0 на Г,■(5.18)

где X и g — аналитические функции в окрестности х=0. Тогда поверхность Г аналитична около х = 0.

Доказательство. Напомним, что ось хм ортогональна к Г в точке х = 0. В силу (5.18), отображение

z/ = (x', — да^(х)), хеЙ,(5.19)

взаимно однозначно в окрестности нуля в й, за которую, как обычно, мы принимаем всю область й, и отображает ее на область U, которую можно считать принадлежащей полупространству у^>0. При этом гиперповерхность Г отображается на часть S гиперплоскости удг = О. Положим

хей.хей.(5.20)(5.20)^ky) = xNyN-V®Nkx),ф2 (У) = S ^аакх)<KN — I

хей.

хей.

(5.20)

(5.20)

Определим из (5.17) уравнения для ф1 и ф2. Так как ф1—это просто преобразование Лежандра функции wN относительно (5.19), то

фа3®^, l^o^N— 1; фл^ХлЬ

где, как обычно, нижний индекс у ф' означает дифференцирование по переменным у, а у w — дифференцирование по х. Кроме того,

®NNN =—l/ф^^» «»NNNN = Vtaw/№w)*>

®>NNaa — (4>No/4>NM^a— (флго/ф^) кфма/фмм)^ 1 ^ О ^ N — 1. Далее,

S waax = Ф? - (ф^т/фk^) ф^ 1 ^ Т < N — 1, a<N.'"

5 ^аатт == Фтт — 2 (ф^т/ф^^) флГт + (фkт/ф^^)a ^NN ~ a<N

•— k^Nr/^NN^ флг + (ф!vт/фk^)^ (ф^т/ф^^) фм-

Записав (5.17) в виде■■

®NMMn + ^ S a,aa^^+ S - “Wm + ^U»AW + У — g»

a<Na, x<N\а /-

получаем отсюда уравнение для ф1, ф2

^(ф1, ф2, У) = 0 в U,^(ф1, ф2, У) = 0 в U,(5.21)(5.21)где..^-^?+2Хгде..^-^?+2Хфммфммф# +ф# +a. KN+ (^Г^") (^Г^Ф^ + ^Ф1-Ум) — sky*» фМX'VNN'nWnN' 1a. KN+ (^Г^") (^Г^Ф^ + ^Ф1-Ум) — sky*» фМX'VNN'nWnN' 1(5.22)(5.22)в U. Второе уравнение получим, дифференцируя ф2 двумя способами:в U. Второе уравнение получим, дифференцируя ф2 двумя способами:У, WaaN = ф^/фк» a<NУ, WaaN = ф^/фк» a<N2 ^Ма™-^ 2 V®- 2 L4’®0 в<Л .a<N <км2 ^Ма™-^ 2 V®- 2 L4’®0 в<Л .a<N <км_(W1vY?n 1_(W1vY?n 1

^(ф1, ф2, У) = 0 в U,

^(ф1, ф2, У) = 0 в U,

(5.21)

(5.21)

где..

^-^?+2Х

где..

^-^?+2Х

фмм

фмм

ф# +

ф# +

a. KN

+ (^Г^") (^Г^Ф^ + ^Ф1-Ум) — sky*» фМ

X'VNN'nWnN' 1

a. KN

+ (^Г^") (^Г^Ф^ + ^Ф1-Ум) — sky*» фМ

X'VNN'nWnN' 1

(5.22)

(5.22)

в U. Второе уравнение получим, дифференцируя ф2 двумя способами:

в U. Второе уравнение получим, дифференцируя ф2 двумя способами:

У, WaaN = ф^/фк» a<N

У, WaaN = ф^/фк» a<N

2 ^Ма™-^ 2 V®- 2 L4’®0 в<Л .a<N <км

2 ^Ма™-^ 2 V®- 2 L4’®0 в<Л .a<N <км

_(W1

vY?n 1

_(W1

vY?n 1

Таким образом, ^(ф1, Ф2) = S (ФмФуу — (фуа)2) — фу = О в и. (6.23)

Итак, ф1, ф2 —решение уравнений (5.21), (5.23), удовлетворяющее граничным условиям.■

ф1 = 0, ф2 = 0 на S.(5.24)

Выберем веса sx = 0, s2 =—1, <i = 3, (2 = 2, rx =—3 и r2 =—2. При линеаризации уравнений в точке у = 0 заметим, что

ф/ (0) = Ф/ (0) = Ф^ (0) = ф^ (0) = ф», (0) = 0

для Ко, t^N — 1, /=1, 2. Для вариаций ф1 и ф2 получим из (5.22), (5.23), что'

w+w=^^+^-(or 2 ф"°а+ 2 ф^=°« a<N a<N(525)

^ф1 + ^22ф2 = фУУ (0) У, фат — фу = 0 a<N•.

в и

+ф1 = ф2 = о на R*-1.(5.26)

Символ системы (5.25) имеет вид

где й = фуу (0)^=0. Определитель этой матрицы равен

L (£) [(^у/а3) + (2/а) £ ^ + а (2 &)2] =

= - а [(^/а2) + 2 ^]2 = - а | (Г, ^/я) |4 для 0 ^ ^е R^

Следовательно, система эллиптична в окрестности «/ = 0.

Наконец, проверим коэрцитивность этой системы. Положив

Ф1^', 0 = ^(0^'. Ф*^', П = Ь(О^, Q=^'eR"-', получим для ^i и £2 систему обыкновенных дифференциальных уравнений при />0:

(У^'-(2/а)|^|2^-|^ |Ч2 = 0,.а|£'|2^ + ^ = 0,

^1(0)-^(0) = 0.

Дифференцируя первое уравнение и подставляя в него второе, получим после умножения на а3, что

^*—га2)^ P£f+«*I6Z Г^1=о.

Следовательно, считая, что а>0, получим

^ (/) = C]te~a 15' \* + с2е-а 15'1(.

В силу граничного условия, с2 = 0. Далее,

О = | Г |аЬ (0) = (1/а) [(1/а2) £Г (0) — 21 £' |2 К (0)] = (С1/а) | Г |8

и, значит, ci = 0. Следовательно, ^ = ^ = 0. Теорема доказана, g

Сделаем ряд замечаний относительно предположений теорем 5.1 и 5.3. Преобразование (5.5) определено, а окончательное уравнение имеет непрерывные коэффициенты, если мы предположим только, что u1, u4 eC2-a(fi(jr). Однако для применения теоремы 3.3 мы должны знать, что у1 е С4> “(//J S)- Из-за нашего выбора весов последнее включение может быть получено с помощью теоремы 2.1, примененной к тому из уравнений (5.3), которое содержит w. Так как

^-^2-Х(да + аа) еСа-“(йиГ),

то to еC4-a(fi|JГ), ГеСза и преобразование у=(х', да^) и его обратное принадлежат С8-“• Так как и„ (t/) = дао (х), l^o^/V—1, a Vn = xn, то все производные функции у1 принадлежат С8 “ и, следовательно, и г С4'a (U U S).

Аналогичным образом можно ослабить предположения теоремы 5.3. Дифференцируя уравнение для да в (5.13) по xN, получим задачу

&wN + X (wN + a^) = 0 в £2,

даот = 0 на Г, 1^/<Л^,

с ограничением Wnnn (0)=/= 0, которое появляется из-за предположений теоремы 5.3. Так как да^, «w е Cl a(Q|jr), то можно применить теорему 2.1. После некоторых рассуждений (упр. 13) можно заключить, что даеС4-“(йиГ), а ф1 и ф2, определенные в (5.20), принадлежат соответственно Ca-a(U (J S) и С2’“ (U U S). На самом деле применение этих рассуждений приводит к С”-результату, что совсем не так в случае задачи § 6, к рассмотрению которой мы сейчас переходим.

6. ЗАДАЧА О ДВУХ МЕМБРАНАХ

В предыдущем параграфе мы выясняли, как определить поведение свободной границы, когда с одной стороны от нее задано несколько функций. Вопрос, рассматриваемый здесь, заключается в определении гладкости гиперповерхности, когда две функции заданы по одну сторону от нее, а третья функция — по другую сторону. Такое расположение функций наводит на мысль использовать, как в § 4, преобразование отражения.

Сначала мы поставим задачу, а затем покажем, как она появляется из вариационного неравенства. Пусть Г —гладкая гиперповерхность

в R^, проходящая через х = 0, с нормалью в точке х = 0, направленной по оси хм. Предположим, что Г разделяет окрестность начала координат на области й+ и Й-, причем вектор (0, ..., 0, 1) является в х = 0 внутренней нормалью для й+. Пусть и1, и4 еС2(й*0Г)П С] С2 (й- U Г) f] С1 (Й+ U Г U Й-) удовлетворяют соотношениям

(6Л)(6Л)Д^ + Хи1 —А,А 2 7 в й*

(6Л)

(6Л)

Дй2 = /2

и1 = и2,

ы} = и® в й", l^i^N, (6.2)

, Au1 + (X/2)u1 = (fi + f2)/2,

где fi, f2 —заданные гладкие функции в й+иГ(_|й", a XeR. Граничные условия для d, включенные в (6.1), (6.2), состоят в том, что и/ при переходе через Г имеют гладкость С1. .

Пусть й с Rw — ограниченная область с гладкой границей дй и №, № е С2 (дй) — заданные функции, причем № >■ h.4. Обозначим через К выпуклое множество пар функций

/С = {(v1, o^l^^o1 в й, «I = W на дй и в^еЯ1^), /=1, 2}. Пусть fn f2 — заданные, скажем гладкие, функции на й, а (и1, и2) — решение вариационного неравенства

J (и) (ц1 — и1)/ + и® (v2 — и2),- — Хи1 (ц1 — и1)] dx

^ —$ [А (у1 — “х) +/г (у2 — и2)] dx для (ц1, и2)еК. (6.3)

'Q

Существование и свойства гладкости функции и1 являются предметом упр. 13 гл. II и упр. 5 гл. IV. Мы предположим, что ы^е№ ,(й), 1 ^ s < оо, и определим коинцидентное множество функций

. / = {хей|и1(х) = и4(х)}. .

Легко проверить, что ■■

(6Л)(6Л)-■ Ди1 + Хи1 = fi,

(6Л)

(6Л)

. , в Й\/.Ды2 = /2

Положим п1 = а14-^, ц2 = и2 + £, где £еС”(й). Тогда ц1^^2 в й и, следовательно, (о1, и2) е К. Подставляя эту пару (о1, v2) в (6.3), получим, что

- Ди1 + Ди2 + Хи1 = fi + fi п. в. в Й.

Поэтому из равенств u} = u? в /, l^i^N, а также иц=и!) п. в. в I получим равенство

-W + ^u^^i + to п. в. в /.(6.5)

Из этих рассмотрений следует, что (6.4), (6.5) можно переписать в виде (6.1), (6.2) около достаточно малой части Г границы д! соответствующей гладкости.

Однако далеко не очевидно, что задача (6.1), (6.2) переопределена. Действительно, отбрасывая временно уравнение в й", получим задачу

■ Au14-Хы1 = Д, 'и^и2,

■&и4 = Ь в й+‘ ^ = Л^ на г»

.dv dv

где V —нормаль к Г. Эта задача, вообще говоря, коэрцитивна и, следовательно, разрешима, когда Г имеет лишь конечную гладкость. Очевидно, мы должны использовать информацию, заложенную в уравнение (6.2) в £2'. Чтобы справиться с этой трудностью, введем ив = = и1 — и2, ив' = иг-^-и2. Тогда

[А 4" (Х/2)] ив 4- (Х/2) ив = fi — fi в й+,

г (1/2)ш + [А + (1/2)]ш' = Л + /2 в й+иГ1|й",(6.6)

^ = ^ = 0 в Г (J й“, Xs^is^N. .

В силу второго уравнения,

Aty' = fi + f2 — (Х/2) (ty' 4- ty) е №•s (Q+ (J Г (J й"), s < со. •

Вследствие теоремы о гладкости решений эллиптических уравнений w’ еЯ4-Ч$+иГий")сС3.“(й+иГи$~), Кз<оо, 0<а<1. Наложим теперь условие невырожденности .

Л(0)-М0)-Х«Ч0)¥=0.(6.7)

Тогда ив является решением задачи

Aty(x) = a(x, ty) = fi(x)-fa(x)-(X/2)[ty'(х)4-т* W] в Й+, .

-(и.О)

ty = ty, = 0 на Г, l^i^/V,'

с функцией а(х, ty), аналитической по ty, класса С3-® по х и удовлетворяющей условию а (0, 0)=^0. Справедлива

Лемма 6.1. Пусть

и1, и2 е С2 (й+ U Г) П С2 (й* Ц Г) fl С1 (й+ U Г (J Й")

удовлетворяют (6.1), (6.2), где Г —гиперповерхность класса С1. Предположим, что выполнено условие (6.7). Тогда существует такая окрестность Вр (0), что. ив = и1 — и2 е С6- “ ((Й+ (J Г) f| Вр (0)) и Г — гиперповерхность класса С*а около х = 0.

Доказательство. Достаточно применить теорему 2.1 к функции ty, удовлетворяющей (6.8). J

К сожалению, этот прием не может быть повторен для доказательства включения Г еС”,

Введем преобразование годографа первого порядка

у = (х', — wN(x)), хеО?,'(6.9)

которое, как мы можем предположить, взаимно однозначно отображает Й+ на область U полупространства ум>0, а Г —на часть S гиперплоскости yN = 0. Положим

v(y) = xNyN + «>(1x'), xgQ+, у <a U.(6.10)

Обратное отображение к (6.9) задается соотношением

g* О/) = (У\ «n (У)), yeU\jS,(6.11)

которое, конечно, отображает U в Й+. Пусть теперь С — любая константа, превышающая ЦОу^коо^,-и.

§"(.У) = (У'» vN(y)-CyN), yeU\jS.(6.12)

(6.13)(6.13)Когда y = ky\ 0)eS, Г^А^У'» «М O))=g+(y) g Г. При этом, в силу нашего выбора константы С, g- отображает некоторую окрестность 0 в U, скажем все U, в Q-. Используя это новое преобразование отражения, мы определим новые зависимые переменные .

(6.13)

(6.13)

Уй/)”®'^^).

Докажем, что три функции у, ф+ и ф- удовлетворяют коэрцитивной эллиптической системе.

Теорема 6.2. Предположим, что

и1, и1 е С2 (Й+ U Г) (] С2 (ST U Г) (] С1 (Й+ U Г (J £2')

являются решением задачи (6.1), (6.2). Пусть fi и fa аналитичны ■ в окрестности х = 0 и■

■fi (0) —/а (0) — Хи1 (0) д& 0.(6.7)

Тогда Г аналитична в окрестности х = 0.

Доказательство. Начнем с вычисления системы уравнений для у, ф+ и ф-. Нашей отправной точкой является система (6.6). Справедливы соотношения, в которых dh = dldyh".

д^ = 9°д^ = 9°vHa °NNvHa °NNдк»дк»51 я9xn vNN N51 я9xn vNN NN — 1,ДЛЯ X G Й+,N — 1,ДЛЯ X G Й+,

д

^ = 9°

д

^ = 9°

vHa °NN

vHa °NN

дк»

дк»

51 я

9xn vNN N

51 я

9xn vNN N

N — 1,

ДЛЯ X G Й+,

N — 1,

ДЛЯ X G Й+,

для x e Q".для x e Q".1«J<M-1,

для x e Q".

для x e Q".

д1 Д.

dxN VNN~^ N

Перед вычислением уравнений определим граничные условия для у, <р+ и ф- на ум =0. Как обычно для преобразования Лежандра, у = 0 при ум=0- Так как да' непрерывна в окрестности Г, тоф+ = ф~ при yN = 0. Наконец, (dldxN)W непрерывна в окрестности Г и поэтому

зЛ-^Ф+ = ^гw' = „ -'"г 9 nV пРи Ун = ^.

Итак,

-Ld^+ -—^д^ф- = o. .-

УММyNN L

Первое из уравнений (6.6) преобразуется известным образом.

В силу (2.7),

У (у»^)2 + Ууот = Л(улг. у, Ф+. У) в U, (6.15) yNN VNM^“

где Fx (ум, у, q>+,y) = fi (у', Ум) - ft (у', vN) — (№) (~yNVM + у + ф+)— аналитическая функция своих аргументов.

Продолжим так же, как при доказательстве теоремы 5.1. Рассматривая второе из уравнений (6.6) и обращая внимание только на х е й+, получим, как в (5.9), что

+ У кф+-2^5^Ф+-(М2^Ф+] ++ У кф+-2^5^Ф+-(М2^Ф+] +

+ У кф+-2^5^Ф+-(М2^Ф+] +

+ У кф+-2^5^Ф+-(М2^Ф+] +

+ (-^-Уд^ф+ = Г2(У^, у, ф+, У) в U, (6.16) \умм/ - ■

где'

Fa(Ум. у, Ф+. У) = Ыу\ Уы)+Ы.У', Ум)-№)1— ^/№^ + ^ + ф+)•

НУ»НУ»Очевидно, что Ft — аналитическая функция своих аргументов. Заметим, что £У(х) = 0 при xgQ", Следовательно,

НУ»

НУ»

■ + -—^c9n^.v—У Г^вФ" — 2 ^з^ дкдвф + yNN С \yMNtiNN ь

++9n<T = F3^n, Ф", У) в и, (6.17)

^№с/ J \yNN — U'

где Fa (vN, Ф-, у) = fi (У’, Ум) + fa У» «к) - W2) Ф"-

. Зададим веса % = — 2 для (6.15) и $2 = 53 = 0 для (6.16) и (6.17), t„ = 4, (+ = 2, L = 2 для у, ф+ и qr и гг = —4, ra = — 2, r3 = —1 соответственно для граничных условий (6.14). При линеаризации этих уравнений при z/ = 0 . предположим, что vNN (0) = а> 0. Отметим, что Удг»(0) = 0, l^o^^—1. В линеаризованные уравнения не входят члены третьего порядка по у, а в линеаризацию последнего граничного условия не входят члены второго порядка по у. Для вариаций 8, ^ и ф- получается система

5 0аа + ^ а^ + у Ф+ = 0>

o<N

'2 Ф»» + отФ^ = ° в R^,(6.18)

.a<N

2 Ф<™ + (С — а)8 Ф^ = °’ a<N

У = 0,

'ф+ + ф- = О на RW-1,(6 19)

^Ф^ + с^а^= °'

Легко видеть, что эта система эллиптична и, так как С —о>0, не имеет ограниченных экспоненциальных решений.

Итак, коэрцитивность задачи (6.15), (6.16), (6.17) с граничными условиями (6; 14) установлена. В силу леммы 6.1, функции у, ф+ и qr обладают гладкостью, необходимой для применения теоремы 3.3. Следовательно, у, ф+, qr аналитичны в окрестности нуля в U U S. Теорема доказана. j-

Комментарии и библиографические указания .

Преобразования годографа и Лежандра используются в различных областях: от динамики жидкости до теории выпуклых тел Они возникали, например, в исследованиях Фридрихса потоков с кавитацией (Фридрихе [1]) и исследоиа- ниях Леви уравнения Монжа—Ампера (Леви [1]) Сведения, приведенные в этой главе, основаны на результатах работы Киндерлерера и Ниренберга [1]. Теорема 2.3 о гладкости получена Кафарелли [2]. Широко изучались краевые задачи для эллиптических уравнений и систем. Сошлемся, например, на работы Агмона, Дуглиса и Ниренберга [1, 2], Лионса и Мадженеса [1], Морри [1]. .

' Материал § 4—6 заимствован из работы Киндерлерера, Ниренберга и Шпрука [1]. За дальнейшими подробностями о задачах с плазмой мы отсылаем к работам Темама [1, 2] и Киндерлерера и Шпрука [1]. Элегантное доказательство теоремы 3.4 при N=2, предложенное Леви (Леви [5]), состоит в аналитическом продолжении и^—iu^ с помощью функции Римана ураинения А-|-А. Это доказательство в духе тл. V. Подобный метод можно использовать и для доказательства теоремы 5.3 в случае N = 2. Другие обобщения и техника, используемая при изучении задач со свободной границей высокого порядка, даны и работе Киндерлерера, Ниренберга и Шпрука [2].

Теория существования и . ладности решений в задаче о двух мембранах развита в работах Вергара-Кафарелли [2, 3, 4J. В последних работах исследуются нелинейные мембраны.

Упражнения

Пусть о—преобразование Лежандра функции и, определенное в (2 2) относительно (2.1). Покажите, что если оператор F (№и, Du, и, х) эллиптичен на и и О^ф^и, Du, v, y) = F (D2u, Du, и, x), то G эллиптичен на и.

Пусть ф— преобразование Лежандра нулевого порядка функции и, определенное в (2.9) относительно (2.8). Покажите, что если оператор F эллиптичен на и и Я (О^ф, Оф, ф, y)=F фги, Du, и, х), то Я эллиптичен на ф.

Пусть L(D)—эллиптический линейный оператор с гладкими коэффициентами порядка 2р, р.^1, определенный в окрестности U точки х=0. Докажите коэрцитивность задачи

1ф)и=1в ЯП{У„>О},

D^u=ghна 5 = ЯП{!/л, = 0}, 1^Л^ц.

Исследуйте этот вопрос для задачи

ЦО)Н в Оп^Х},D^u—gj на S = {!/№=O}nf/.

где O^hj </г2 <... <Ац=^2т —1

В упражнениях 4—7 определите, эллиптичны или нет, или при каких условиях эллиптичны приведенные ниже системы.

4.4.Л^+ги2»^?. „ вЛ^+ги2»^?. „ в5.5.^«^ У Д^/г,^ o^NdX"2 &«“ +с^“ ^^^«^ У Д^/г,^ o^NdX"2 &«“ +с^“ ^^в R*в R*6.6.®и1 А_д г = 0dXi ^дхг *и0—и1 =0, в dxiД и«-и2=0 ох2®и1 А_д г = 0dXi ^дхг *и0—и1 =0, в dxiД и«-и2=0 ох2R».R».7.7.ДтиЧ-Сци2»/!,арп-иЧ-с^Дпи8—/,ДтиЧ-Сци2»/!,арп-иЧ-с^Дпи8—/,Р*Р*при различных предположениях относительно т, р, п.при различных предположениях относительно т, р, п.

4.

4.

Л^+ги2»^

?. „ в

Л^+ги2»^

?. „ в

5.

5.

^«^ У Д^/г,

^ o^NdX"

2 &«“ +с^“ ^^

^«^ У Д^/г,

^ o^NdX"

2 &«“ +с^“ ^^

в R*

в R*

6.

6.

®и1 А_д г = 0

dXi ^дхг *

и0—и1 =0, в dxi

Д и«-и2=0 ох2

®и1 А_д г = 0

dXi ^дхг *

и0—и1 =0, в dxi

Д и«-и2=0 ох2

R».

R».

7.

7.

ДтиЧ-Сци2»/!,арп

-иЧ-с^Дпи8—/,

ДтиЧ-Сци2»/!,арп

-иЧ-с^Дпи8—/,

Р*

Р*

при различных предположениях относительно т, р, п.

при различных предположениях относительно т, р, п.

Проверьте, являются ли приведенные ниже задачи 8—10 коэрцитивными.

8.Ди = 0в <^>0,

аи+b-^- и = 0 на xN = 0.

9.

Д«1 = 0, в х„ > 0, Ди2+Хи2=ОN

и1 — и2=0, д . , дна xN = 0.

Э*КdxN

10.

Au1=fi,.

д«2+х^=/2 в Xn> *

и^=^—их = 0 на xN=0. dxNN

11. Краевая задача

lgU=f в й = {геСПг1<1}.

u=g на дй = {г е С 11 г | = 1}

не коэрцнтивна, так как оператор d/dz = у [(d/dxi) +1 (д/дх2)] не удовлетворяет условию о корнях. Тем не менее отображение Г: Hs (й) -*HS-X (Q^xH^^VdQ), определенное по этой краевой задаче, имеет нулевое ядро. Покажите, что, однако, dim coker Т=со. ^Указание: у, g) е coker Т тогда и только тогда, когда

2л

J^f dx+ § ugd9=0 ^еС-»(аИ QО

Предположим, что Г —гиперповерхность класса С1, разделяющая окрестность начала координат на й+ и Й-, как в § 6. Пусть

Ди = 0вй+,

йи=0вй-,

tz = O,«++«;—ф(х) = 0наГ"

где и*, и~ —нормальные производные функции и соответственно со стороны й+ и й~, а нормаль v направлена в сторону й+. Допустим, что и*=£0 на Г. Что можно сказать о гладкости Г?

Докажите, что из предположений теоремы 5.3 следуют включения

tse^'^QUr), ф1 eC3-a((/US) и ф2 е С2- “ (UU S).

Пусть р (г) —полином степени 2р. с корнями avац в верхней полуплоскости и Ящ.!, ..., а^ в нижней полуплоскости. Покажите, что общее решение уравнения

p(D<)u(/)=0, —со<<<оо, D^—idldt,

определяется формулой

u(0 = f eizl dz, — оо < t < оо,

Г

где Г—любой контур, охватывающий корня av ..., а^ многочлена р, а 9(2) —полином степени Не выше 2р—1. Ёсли «(/)-*0 при t-t-co, то

и (0 = С et(z Д^й? dz, —00 < t < 00,

Р W

где р+(г) = (г—^...(г—Оц), degg^p —I и Г—контур, охватывающий av ...,Оу. Покажите также, что-

D*u(0)=0, еслиfe-f-deg? sg р —1.

Рассмотрите следующий вариант задачи об ограниченных конфигурациях плазмы. Даио Х>Хо, X»—наименьшее собственное значение оператора—Д вй с краевыми условиями Дирихле. Найти такое и е Н1 (Q), что

—Ди+Хш1п(и, 0) = 0в й,

и = 1 на дй.

Переформулируйте этот вопрос в терминах «проблемы Беллмана», гл. III, упр. 8—10..•

Глава VII

ПРИМЕНЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ

ВВЕДЕНИЕ

К числу привлекательных черт теории вариационных неравенств следует отнести ее применимость к большому количеству проблем, имеющих физический интерес. О некоторых из них будет рассказано в этой главе. Перечислим их. Это проблема смазки (§ 2), стационарная фильтрация жидкости через пористую перегородку как в двумерном, так и в трехмерном случаях (§ 3—6), обтекание жидкостью заданного профиля (§ 7 и 8) и малые изгибы упругой балки (§ 9). Эти проблемы формулируются в терминах вариационных неравенств для эллиптических операторов с выпуклыми множествами допустимых функций того же типа, как в задаче с препятствиями. В следующей главе изучается задача Стефана, связанная с оператором теплопроводности.

В нескольких случаях в первоначальной постановке задачи требуется найти решение задачи со свободной границей, которое само по себе не является решением вариационного неравенства. Однако с помощью вспомогательных преобразований оказывается возможным ввести новое зависимое переменное, являющееся решением вариационного неравенства. Мы показываем, что это новое неизвестное может быть выбрано как решение задачи Коши, включающей исходное неизвестное.

ЗАДАЧА ТЕОРИИ СМАЗКИ

В этом параграфе будет рассказано об одной простой задаче механики—о смазке подшипника. Применение теории вариационных неравенств позволяет продвинуться в ее изучении. Ищется распределение давления в тонком слое смазывающего вещества, т. е. жидкости с данной вязкостью т). Эта жидкость находится в узком зазоре G между двумя поверхностями: валом St и подшипником S6, движущимися относительно друг друга. Давление р должно удовлетворять уравнению Рейнольдса в области G, которое будет записано ниже в подходящей для нас форме, вместе с некоторыми граничными условиями.

Сосредоточим внимание на случае, особенно интересном для техники (рис. 1). Рассмотрим смазанный цилиндрический подшипник,

где 2, и 26 —части круговых цилиндров с параллельными, но различными осями высоты 2Ь. Предположим, что 26 находится внутри 2„ 2, неподвижна, a 26 вращается с постоянной угловой скоростью со. Обычно давление достигает некоторого минимального значения рс, связанного с давлением парообразования в смазывающей жидкости, ниже которого смазочный слой отделяется от 2, или 26, образуя область кавитации /. Эта область кавитации заполнена паром с постоянным давлением рс. Так как рс близко к атмосферному давлению, то полагаем рс = 0. Наша изначальная формулировка задачи должна быть уточнена с учетом этого явления. Мы ищем функцию

Рис. 1. Цилиндрический подшипник.Рис. 1. Цилиндрический подшипник.

Рис. 1. Цилиндрический подшипник.

Рис. 1. Цилиндрический подшипник.

р^О в G, удовлетворяющую уравнению Рейнольдса там, гдер>0. Так как через границу множества кавитации масса не перемещается, то dpldv = 0 на d/f|G. где v —нормаль к 61.

Введем цилиндрические координаты г, 6, г с началом координат в центре 2, и g углом 6, 0 ^ 6 ^ 2л, измеряемым от линии максимального зазора между центрами (рис. 1). Так как зазор между подшипником и осью предполагается очень малым, мы считаем р функцией только переменных биг, что позволяет формулировать задачу в плоскости переменных биг. Чтобы записать уравнение Рейнольдса, введем некоторые параметры. Пусть r, = 1 — радиус 2^, г» —радиус 2Й, е — расстояние между осями 2» и 2Й и е = е/(1—гй), 0^ в < 1, — эксцентриситет подшипника. Положим Q = {(9, г)|0< <9<2л, |г|<Ь}. Тогда задача, которая здесь обсуждается, принимает следующий вид.■

Задача 2.1. Найти функцию р(9, z)eC1(Q) и область / с £2, такие что

AkP)=a — ^a^ — ^a^ = f в й\л (2.1)

р>0 в &\1»р>0 в &\1»(2.2)

р>0 в &\1»

р>0 в &\1»

p = dp/dv = O на dlftQ,(2.3)

р(9, Ь) = р(0, — 6) = 0, 0^9^2л, и р(2л, г) = р(О, г), — b^.z^b,^'^

где а= (l+ecos9)8 и /=6<от|в(1 — r^-^sinO. (2.5)

Отметим, что в этой постановке из-за (2.3) необходимо предполагать поверхность д/ П Q гладкой. Первое из граничных условий (2.4) означает, что смазка может свободно втекать с обоих концов из резервуаров при атмосферном давлении. Второе из граничных условий —это обычное условие периодичности.

Предположим, что поверхность 5/ П £2 действительно гладкая и выполнено (2.3). Тогда, положив р = 0 в /, получим С1 (Q)-продолжение функции р в (Q\/)U^cQ. Представляется разумным заменить (2.3) условием

р = 0 в /.

В этом случае й\/ становится в точности множеством, где р положительна. Условия (2.1), (2.2), (2.3) можно записать следующим образом:

р^Ои р(Ар — Л = 0 в £2.

Решение этой задачи может быть найдено с помощью решения вариационного неравенства, точнее, задачи 2.2, приведенной ниже. Оно будет обладать дополнительным свойством, что Ар — f^O в £2.

Обозначим через НЦЙ) подпространство пространства Я1 (£2), элементы которого и удовлетворяют равенствам

(2.6)(2.7)(2.6)(2.7)ц(0, z) = v(2n, z),|z|<b,

(2.6)

(2.7)

(2.6)

(2.7)

и(9, 6) = и(9, — 6)=0,0^9^2л,

и положим

Я = {це=ЯИЙ)|п^0 в £2}.

Решение задачи 2.1 определяется с помощью решения р следующей задачи.

Задача 2.2. Найти такое р еК, что для всех чеК будет, а^р, у — p)^^(v —p)d9dz, где о

а (и, ц) = ^ а (ueue + и^,) d9dz,(2.8)

а

причем а и f определены в (2.5).

Легко проверить, что а (и, о) коэрцитивна на НЦ&). Поэтому из теоремы 2.1 гл. II выводится существование единственного реше-

ния р(9, г) задачи 2.2. Более того, р — гладкая функция в й. Чтобы доказать это самым простым способом, преобразуем й в кольцо О в плоскости переменных x = (xi, х») с помощью отображения

X! = (a + b + z) cos 9, ха = (а + &-J-z) sin 9,(2.9)

где а>0 фиксировано. Тогда

0 = {xeRa|a<|x|<a4-2b}

и отрезки z = — b и г — Ь отображаются соответственно в окружности | х | = а и | х | = я + 2Ь, ограничивающие О. В силу условий периодичности из (2.6), соотношения (2.9) определяют непрерывное отображение НХ (й) на Н» (О). При этом К преобразуется в замкнутое выпуклое множество К = |п е 77» (О) | п^ О в О}.

Для функции g(9, г) положим g(x) = g(9, г) и определим

"..(xl-^G^ + xi).

, х а (л) /\1

аи (х) = -утр - XiXa) = ам (х),

081 w - | X | \х* + | х Is/ •

Вместо задачи 2.2 рассмотрим вариационное неравенство .

иеК: f atjux (у — и)х dx > С f (у - и) -Д- уу е К, (2-Ю)

решение которого и(х)=р(х). В силу теоремы 2.3 гл. IV, ра еН^-ЦОу, следовательно, р е Н4>$ (й), 1^s<oo. Таким образом, доказана

Теорема 2.3. Существует единственное решение р(9, г) задачи 2.2. При этом р е Н4- *(й)f|С1-х(й), l^scoo, 0<Х<1.

Опишем кратко некоторые свойства решения р. В частности, можно отметить, что, как бы медленно ни вращался внутренний цилиндр S6, кавитация всегда присутствует, т. е. I ^ф.

■ Теорема 2.4. Пусть рАр, г) — решение задачи 2.2 и / = {(9, г) е е й | р (9, г) = 0} — множество кавитации. Тогда

р(9, г) = р(9, -г);

^1^Ф-'

Доказательство. Для доказательства (I) отметим просто, что и (9, г) = р (9, — г) является решением задачи 2.2. В силу единствен* доети-решения, р(9, г) = ^(9, —г),

Для доказательства (И) предположим, что 1=ф. Тогда р —единственное решение задачи Дирихле-

Ap = fр = 0р(0, г) = р(2л, г)Ap = fр = 0р(0, г) = р(2л, г)(2-11)(2-11)в Q, • для z = b и г = — Ь, для —b^z^b.

Ap = f

р = 0р(0, г) = р(2л, г)

Ap = f

р = 0р(0, г) = р(2л, г)

(2-11)

(2-11)

Элементарные вычисления показывают, что и (6, г) =—р(2л —6, г) также является решением задачи (2.11), следовательно, и = р в Q. В этом случае, однако, р^ К, так как есть точки, в которых эта функция отрицательна. Следовательно, 1^=Ф- 1

Другие интересные свойства р даны в упражнениях. Обратим внимание на зависимость решения от эксцентриситета е. Для этого перепишем а и / из (2.5) в виде

а = а8 = 1 4-еР (6, z, в), f = fe = ef0 . (2.12)

и через ро обозначим решение неравенства

р»еК:р»еК:J Ц Р» Й (у - Ро) + £ Ро ^ (v - ро)] dO dz

р»еК:

р»еК:

(2.13)(2.13).5= 1 А> (о — ро) d6 dz для о е К.

(2.13)

(2.13)

Теорема 2.5. Если р6 — решение задачи 2.2 для ав и fe, а р0 определено в (2.13), то |ре — вр0|я>(q>Се2, где С>0 — константа.

Функцию ро можно рассматривать как первый член в асимптотическом разложении для р8. Доказательство оставлено в качестве упражнения.

ФИЛЬТРАЦИЯ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ПОРИСТУЮ ПЕРЕГОРОДКУ

. В этом параграфе мы опишем задачу фильтрации жидкости через пористую плотину, предполагая геометрию плотины очень простой. Более общая задача изучается в § 5, 6. Рассмотрим два резервуара воды, разделенные земляной плотиной. У этой плотины бесконечная длина и постоянное поперечное сечение, состоящее из проницаемой вертикальной перегородки и непроницаемого горизонтального основания. Таким образом, мы пришли к двумерной задаче, определенной в прямоугольнике R, который является поперечным сечением вертикальной перегородки. Неизвестными в задаче являются (в поперечном сечении) влажная часть Q с: R плотины и распределение давления воды. Мы дадим их точное описание в терминах задачи со свободной границей, а затем посредством введения новой неизвестной функции преобразуем ее к вариационному неравенству (рис. 2). ^тематическое описание этой физической проблемы таково.

Задача 3.1. Пусть a, h, Н eR, причем а > 0, 0<.h<.H. Найти убывающую функцию у = ф(х), О^х^а, с y(ty = H и <p(a)>>h и функцию и (х, у), (х, у) ей, где

й = {(х, У)|О<у<<р(х), 0<х<а}, удовлетворяющие следующим условиям*.

ы(х, у) — гармоническая функция в й и непрерывная на й, и (О, у)—Н для О^у^Н*,

( h при O^y^h,

(И) и (а, у) = {lх

I у при И^у^^ (а), ии(х, О) = О при 0<х<а;

и (х, у) = у, ди/дч (х, у) = О при у— у (х), О < х < а, где v — внешняя нормаль к кривой у = ц>(х).

Рис. 2. Пористая перегородка в двумерном случае.

Соотношение между пьезометрическим напором жидкости и и давлением р определяется формулой

и(х, у) = у + (1/у)р(х, у), (х, у)ей,

где гравитационная константа соответствующим образом нормирована, а у — удельный вес жидкости. Необходимо отметить, что в задаче неизвестными являются как область й, так и функция и (х, у). На неизвестной части

Г: у = ф (х), 0<х<а,(3.1)

границы дй функция ы(х, у) должна удовлетворять двум условиям — условиям Коши — и поэтому Г является свободной границей. Наша цель состоит в переформулировке этой задачи со свободной границей в виде вариационного неравенства. Условие (iii) налагает некоторые требования гладкости на Г.

Предположим прежде всего, чтозадача 3.1 имеет решение {ф, «}, где ф — гладкая функция, а и е Н1 (й) П С° (й). Из (i), (И) и второй части условия (iii) вытекает

Лемма 3.2, Решение и задачи 3.1 удовлетворяет уравнению

j t «»С*+«yW dx dy * О (3.2)

для любого £ е С1 (25), равного нулю в окрестности отрезков 5Qf|{x = 0} и 5Qf|{x = a}.

Справедливость леммы следует из формулы Грина

- J Au£dxdy = j Yu^x-Vuy^yXdxdy — j g^ds. QQ30

Лемма 3.3. Пусть и eH1^ — решение задачи 3.1. Тогда и(х, у^у в Q.

Доказательство. Заметим, что физически это означает не что иное, как утверждение о неотрицательности давления жидкости. Отметим прежде всего, что и (0, у) ^ у, и(а, у) ^ у и и (х, у) —у на Г. Положим

Г 0,еслии^у.

£ = min(u —у, 0) = { уи — у, если и<_у.

Функция £ неположительна и обращается в нуль при х = 0 и х = а. Кроме того,

^ _( 0 при и^у,

I и, при и<у,

t J0 при и^у,

( ин — 1 при и < у.

Применим предыдущую лемму, учитывая, что £ = 0 на Г:

0 = ^“^x+Uyt.yAdxdy =$ (y + ^ + E,)dxdy=

а<жу}

= $(K+«+U^“

Q

= №+y)dxdy+$[£(x, <p(x))-Ux, 0)]dx=

Q0

= $(S + «)dxdy-^(x, 0)dx^ J(^ + £»dxdy, Ы0Q

причем в последнем неравенстве исполь овано, что £^0. Следовательно, £ = 0 в й, и поэтому и 5= у в й. |

При фиксированном х е (0, а) величина протекания плотины, или

<Р (X) расход воды, дается формулой — J их(х, t)dt.

о

Лемма 3.4. Пусть и-^решение задачи 3.1. Тогда

Ф(х)

^ \ иДх, t)di=^H»-he) для 0<^х^,»,(3.3)

Доказательство. Действительно, выбирая в качестве £ = £(х)' функцию только переменной х, равную нулю при х = 0 и х = а, мы получим, в силу леммы 3.2, что

0-$И*)о0-$И*)оФ (х). ОФ (х). Оux(x, t^dt dx.ux(x, t^dt dx.

0-$И*)о

0-$И*)о

Ф (х)

. О

Ф (х)

. О

ux(x, t^dt dx.

ux(x, t^dt dx.

Ф (X)■

Следовательно, J их(х, t) dt = const = k, но о

о Ф (X)

£=И J «X(x,/)d/dx=l Ju(x, 1^ = ^№-Н% I0 05Я.

В отличие от решения р (6, z) проблемы смазки функция и (х, у) сама не является решением вариационного неравенства. Какие свойства можно использовать в прямоугольнике

(ЗЛ)(ЗЛ)Я = {(х, у)}0<х<а, 0<у<Н}

(ЗЛ)

(ЗЛ)

для получения вариационного неравенства? Функция у (х, у) = = и (х, у) —у непрерывна на й и обращается в нуль на Г. Продолжим у непрерывно на 7?\й, положив ее там равной нулю. Это продолжение у принадлежит Н1 (Д), поэтому, в силу леммы 3.2, для 1^0?^

$ [Ух^+«Л1 ^ d9 = S № + У A] dxdy=' •

RЯ

= $ [«Х+ иУЦ dxdy - J ^ dxdy = ' ОQ

= — ^vdxdy = — ^lo^dxdy, QR

где I а — характеристическая функция й. В результате этих вычислений получаем равенство

-Д(Ы-У) = 2/У в R,(3.5)

понимаемое в смысле теории обобщенных функций. Это наводит на мысль ввести новую функцию w (х, у), являющуюся решением задачи Коши''

w0 = y — u в й,'

:_0 на Г.<3-в>

Задача (3.6) интегрируется:

Ф (X).■

'«'(х, у)= J [ы(х, t) — t^dt, (х, y)eQ. (3.7)

и

В силу (3.6). и предполагаемой функция'Г м>(х,.^(х, у) = ( 0В силу (3.6). и предполагаемой функция'Г м>(х,.^(х, у) = ( 0гладкости Г, wx = 0 на Г. Поэтомугладкости Г, wx = 0 на Г. Поэтомуу), (х, у) е й,у), (х, у) е й,(х, у) е R \ й,(х, у) е R \ й,(3.8)(3.8)

В силу (3.6). и предполагаемой функция'

Г м>(х,

.^(х, у) = ( 0

В силу (3.6). и предполагаемой функция'

Г м>(х,

.^(х, у) = ( 0

гладкости Г, wx = 0 на Г. Поэтому

гладкости Г, wx = 0 на Г. Поэтому

у), (х, у) е й,

у), (х, у) е й,

(х, у) е R \ й,

(х, у) е R \ й,

(3.8)

(3.8)

принадлежит C^R) и удовлетворяет соотношениям

w = |gradtv| = O на /?\й.

Это свойство наводит на мысль, что w может быть решением вариационного неравенства. Продолжая эти формальные рассуждения, мы, в силу (3.5), приходим к предположению, что —Дй =— lQ в R, и, значит,

— ДЙ(О — Й)^: — (U — w) П. В. В R

для любой у^О в R. Но отсюда, конечно, следует, что в качестве выпуклого множества К допустимых функций для нашего вариационного неравенства мы должны взять множество неотрицательных о с подходящими граничными условиями. Выберем эти граничные условия и докажем теперь строго, что w является решением вариационного неравенства.

В силу (3.6) или (3.7),

^(0, У) = ^Н-уУ,Q^y^H,

, хO^y^h,(3.9)

®(а» у) = (.

( 0,й^у^ф(а).

Вследствие (iii) и леммы 3.4

ф (х)

wx(x, 0)= $ и,(х, t)dt + [u(x, ф (х)) - ф (х)] ф' (х) = о

ф(Х)■

= f и,(х, t) di = 1 (№-№),

и поэтому

iy (х, 0) = |№ + [l/(2a)l(/i2-№)x, О^х^а. (3.10)

Обозначим через g(x, у) функцию, определяющую граничные значения ш(х, у) в й, и продолжим ее до функции из Н2'” (R), тоже обозначенной через g, с помощью формулы

g(x, у^g(x, у^VH- у? + VW | [(А — у)2 — (Я — у )■], 0 ^ у < А, •

g(x, у^

g(x, у^

L(H-y^—[х/(2а)](Я—у)2,h^y^H.

Отметим, что йе№№, так как по предположению ыеЯЧй).

Кроме того, из соотношения wv = у — и ^ 0 в й следует, что '

й>0 в R.(3.12)

Лемма 3.5. Пусть ш—функция (3.8), где w — решение задачи Коши (3.6). Тогда для всех ^еС6^, равных нулю около х = 0, х = а и у —О,

$[Sx£jr + mv^]dxdf/ + $ 7Q£dxdi/ = 0, RR

где IQ — характеристическая функция множества Q.

Доказательство. Положим £ = Ху. гДе X и X* равны нулю на нижней и боковых сторонах R; например, положим

Х(*. У) = \Цх, ^dt.0

Тогда, интегрируя дважды по частям и учитывая, что хотя бы один из двух множителей в интегралах по dQ равен нулю, получим, что

$ [“4^ + t^y] dx dy = J V6^, + tWyEy] dx dy =

ЯQ

= $ V®xXxU + xs)uivu\ dxdy = Я

= \l—wxyXx+WyXwAdxdy^- ^w^Vyds^ QdQ

= $ I™»» (Xxx + XW)J dx dy - J Wy^M, ds»\wu^xdx dy. QdQQ

Далее, в силу леммы 3.2 и соотношения (3.6),

J [йх£х + йуЦ dxdy ^\(y-u)^dxdy^

RQ

= — J grad у • grad x dxdy + J grad u* grad x dxdy =* QЯ

= — \ Xydxdy«=— ^dxdy. J ЯQ

Так как в нашей постановке Q является неизвестной, то данная выше характеризация к» не может быть использована для решения задачи 3.1. Мы показали, однако, что — M&=IQ в R. Положим

К «"^иеН1 (R)\u^0 в R и u = g на д/?}.(3.13)

Так как geK, то К — непустое замкнутое подмножество из Н1^ вне зависимости от предположения о существовании и. Кроме того, в силу (3,9) —(3.12), 5>еК. Для любого и е К можно приблизить и — Ф функциями Е, удовлетворяющими условиям леммы 3.5.

7 Зажа* 854

Поэтому

$[twx(o — й)х 4-^(0 — й),] dx di/= — J (v — w)dxdy=> RQ

= — $(0“w)dxdy+ J (v — w)dxdy=>

R' R\Q 1

= — ((u — w)dxdy-j- J vdxdy^ — J(v — w)dxdy, RR\QR

так как o^O в R. Итак, доказана

Теорема 3S6, Пусть {ф, и} — решение задачи 3.1 о ие г Н1 (£2) Q С° (£2) и еладкой ф. Пусть во —решение задачи Коши tt)v=»y — u в £2,.'

йу=Э на Г: 1/«=ф(х), 0<_х<.а,

'■ (w в £2,

и w = L'

.(О в R\U.

Тогда ® удовлетворяет вариационному неравенству

w s К: $ [о), (о — @)х+®»(о — ®„)]dxdy^

^ — ^(v — w)dxdy , уоеК, (3.14)

еде К определено в (3.13). Кроме того, й«|(х, у)|щ(х, у)>0}.

Из теоремы 3.6 вытекает

Следствие 3.7. Если {ф, и\—решение задачи 3.1 с и^Н1^)^ ПС°(£2) и еладкой ф, то решение задачи 3.1 единственно.

В противном случае вариационное неравенство (3.14) имело бы более одного решения.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ ПОСРЕДСТВОМ

ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ

Теперь наша цель будет состоять в нахождении решения исходной задачи с помощью изучения вариационного неравенства (3.14). Билинейная форма, связанная с интегралом Дирихле.

а(м, о)-=$ [uxo, + uvOgldxdy, и, veH^R), .

R

которую для краткости мы назовем формой Дирихле, коэрцитивна на НЦК^ Поэтому из теоремы 2.1 гл. II вытекает существование единственного решения задачи (3.14), которое мы обозначим через ^(х, у). В дальнейшем мы докажем, что и=ьу--хоы и множество

Г = дйЛ^> где П = {(х, у)|to(x, у)>0}, образуют решение задачи 3.1. Изучение свободной границы Г само является частью этого плана. Доказательства, данные здесь, по существу, двумерны. Их обобщение на высшие размерности приведено в § 6.

Наша ближайшая цель — гладкость решения ю. Чтобы применить теорию о гладкости из гл. IV, мы должны доказать, что решение и задачи Дирихле

■ - —Ди=/ в R,

' и=Н на dR (4,1)

принадлежит №-р (R), если feLp (R), ah г Ha*p (R), где 2 ^ р <оо. Этот результат не очевиден в окрестности вершин прямоугольника R, так как здесь 9R теряет гладкость. Задача (4.1) имеет единственное решение ueH4R}, например, в силу теоремы 2.1 гл. II. Заменяя и на u — h, можно взять Н = 0.•

Продолжим и в область R* = {(х, у) 10<х<а, -—Н<.у<.0\, положив.'

’ I— к (х, — у), (х, y)eR*.

В силу леммы об //^склейке (гл. II, лемма А.8), й е Н1 (R () I\ Q/?*), где Гх={(х, 0) 10<х<а} —основание плотины. Более того, для любого х0, б<х0<а, при малом 8

. HeH4RRBeVc0, 0)) Л #а (Я* Л ^«(xoi 0))

в силу теории гладкости решений эллиптических задач. Заметим, что

■— &й<=1 п. в. в /?и^*1(4.2)

’ I — f(x, — у), (x,y')eR*.

Мы утверждаем, что (4.2) выполняется в смысле теории обобщенных функций. Для проверки этого, выбрав £ s С5° (В8 (хо, 0)), где 0<хь<а, а е>0 мало, и положив Bi•= R Л В8 (х0, 0), В^«»/?*Л Л В8 (хо, 0), проведем следующие вычисления:'

$ [2x^+28C8]dxdy = J [и^х + й8Ц(1х(1у+ J [uxlx + u^8]dxdy =

веBeвв •

= $ %dxdy — J и8(х, 0)£(х, 0)dx4- в+|Х-Хо|<8

+ -/(х, — уК^х» y)dxdy+ J u8(xt 0)^(х, O)dx = в;.[x-x.ice

= J f^dxdy.

Здесь использовано, что след функции ия на Г^ Вв(х0, 0) определен, так как ие№(ВвП/() и и е № (5еП R*). Следовательно, (4.2) выполняется в смысле теории обобщенных функций, и поэтому й является решением задачи

— Au = f в /?U^*>

2 = 0 на х = 0.

Так как х = 0 —гладкая поверхность, то, в силу теорем о гладкости, и е №•» (Ве (0, 0) П (R U R*))- Таким образом, установлена гладкость в точке (х, у) = (0, 0). Гладкость в других вершинах прямоугольника R устанавливается аналогично. Итак, решение ш задачи (3.14) удовлетворяет включению

щ eH1-p(R'){\C1-k(R) для Кр<оо, 0<Х<1.

Определим

Q - {(х, у) г R | to (х, у) > 0}(4.3)

и отметим, что Ato= 1 в Q и to = tox = tog = 0 в /?\О.

Для упрощения описания Q положим

Г0={(0, у')\°<У<Щ. г1 = {(*. 0)|0<х<а},

Г2 = {(а, УНО<У<Ц» Г8= {(а, у)\Н<у<Н^и Г4 = {(х, /7)|0<х<а}.

Так как to достигает своего минимума на Г3иГ4, то в помощью прямых вычислений устанавливается

Лемма 4.1. При введенных выше обозначениях

tox^0наГ8,tog^OнаГ4,

' to, = 0 на Г4, tox ^ 0 на Ги.

wv=наГ3,toB ^ 0наГ2,^’^

wu^ 0 на Го,

еде w —решение задачи (3.14).

Докажем теперь следующую лемму.

Лемма 4.2. Решение w задачи (3.14) непрерывно вместе «о своими 1 вторыми производными в окрестности ГоЦЛОГг в R и

toxx = 0 на Го U Ге, а шяя=\ на Гх. (4.5)

Доказательство. В силу непрерывности to и положительности g на Го U Г1 (J Г2, существует окрестность в Q множества ГоЦ^иГг. Так как Ato=l в О и £еС2-х(ГоиГ1иГ2), то, в силу теорем о гладкости, для каждой пары (х0, z/o) е Го (J ^ ЦГа существует такой шар Вв(хо, у о) с достаточно малым е, что m еС2-х(В6(х0, Уо){]Й),

0<Л<1. Следовательно, w„ = 1 — wyy = 1 — gyy = 0 на Г0иГ2 и к,уу= 1[£,„= 1 —gxx= 1 на Г2. |

Следующая лемма приводит к интересным заключениям о свободной границе Г.

Лемма 4.3. Решение w задачи (3.14) удовлетворяет условиям

wx ^0 и wy^Q в R.(4.6)

Доказательство. Воспользуемся принципом максимума. Мы знаем из нашей теоремы о гладкости, что wx, wy^Cb-x(R), 0<Х<1, и wx = wy = 0 в /?\й. Так как Ащ, = ДаУу = 0 в Q, то

Wx =С sup Wx и Wy ^ sup Wy.даso

Рассмотрим wx. Вследствие предыдущей леммы wxx = 0 на Го U Га, поэтому, в силу принципа максимума Хопфа *), w, не достигает здесь своего максимума. Следовательно,

wx<: sup w„ Г = дЙ\(Г0иГ1иГ2иГзиГ4).

гиг, иг, иг,

В силу Непрерывности, w, = 0 на Г, а на Гг(J Г3(JГ4 имеем w,^0. Следовательно, ш^Овй.

Перейдем к рассмотрению wy. Так как (к»и)4,= 1>0 на Гп то максимум wy не может лежать на 1\. Легко видеть, что wy^0 в других точках дй. |

Для любой точки Ро = (х0, уо) s R положим

ОК = {(*. У) s R | х > х0, У>у^»

<&. = {(*. y^eR\x<x0, у<у0}.

Лемма 4.4. Если PeR\9., то QpcR\^, и если Р & R ftdQ, то Qp аЙ.

Доказательство. Пусть Ро s/?\й; тогда ш(х0, уо) — О. Так как, в силу леммы 4.3, wx ^0 и Шу^О в R, то w(x, у) = 0 при х^х0 или у^уо и, значит, ^ос^\й. Следовательно, ф^с^ХЙ.

Если Р е R Л ЗЙ и Qp не содержится в Q, то существует точка Ро с: Qp, в которой w (х0, у») = 0. В силу сказанного выше, Qf0 с с^\й. Но PeQp„ что противоречит включению Р е R Л дй. g

Перейдем к последней подготовительной лемме.

Имеется в виду следующее утверждение. Пусть и (х)^ const —гармоническая функция в области G с границей ЭС и в точке х0 е dG функция | и (х) | принимает максимальное значение. Тогда если в точке х» для и (х) определена производная по нормали ди]д\, то ди (x0)/dv ч^ 0. Это утверждение было независимо установлено О. А. Олейник и Э Хопфом. — Прим, перев.

Лемма 4.5. Решение w задачи (3.14) удовлетворяет условию wv=0 на Г*. Кроме того, дй f) Г4 = ф и дй П R ^ Ф* ’

Доказательство. Пусть О<хо<а.' Выберем достаточно малое X так, чтобы О<хо<хо + Х<а. Тогда

^(Хд+Х, Н^ — фу^Хо, Щ»■'

«е— lim ^-{[ю(х04-Х, Я—т])—а;(х0+Х, Я)]—[ю(х0, Н—т^—ю^хй, Я)]}= 1)-»0+ Ч'

= - lim ^{[^(хо + Х, Я —т;)—£(х0 + Х, Я)] —

п-»о+ Ч

— [ю(х0, Я-т))-£(х0, Я)]}=*

-- lim ^[iy(x0 + X, H — ^ — w^xo, H — i})] =

П-*0+ ч--

= —X lim -^юж(хо + 9Х, H — t^'SbO, • п-»о+ ч

так как а<ж^0 на R. Следовательно, юн(х, Я) — неубывающая по х функция. Так как она равна нулю при х = 0 и х = а, то wu(x, Я)=0 для 0<х<а.

. Другое доказательство этого утверждения можно получить с помощью леммы 4.3.'

■ Теперь если (х0, Я) е дй, то интервал о = {(х, Я) 10 <х <хо}сдй; в противном случае при некотором Р е R П дй выполнялось бы включение (х0, Я) е QJ. Для (xi, Я) е а имеем Дю, = 0 около (хъ Я) и wx достигает своего максимального значения 0 в (хх, Я). Следовательно, wxu^xx, Я)>0. Но, в силу первого утверждения леммы, wxg (xi, Я) = шух (хъ Я) = 0. Поэтому дй Q Г4 = ф и, значит, АЙД/г^ф. I

Теперь мы можем определить

Ф (х) = inf {//1 (х, i/)e/?\fi}, 0<х<о,

Ф (0) = lim ф (х) и ф (о)« lim ф (х).^’^)

'.*-»0+х-*а-

.Точка (х, ф(х))гдй, 0<х<а. В силу леммы 4.4, дйПО? = 0 .для Р = (х, ф(х))г^\й, поэтому ф —невозрастающая функция. -В частности, выписанные выше пределы существуют. Наконец, так как Юу^О, то

'Й = {(х, у)|0<у<ф(х), 0<х<а},

где, напомним, й—множество, определенное в (4.3)..

■ Лемма 4.6. Множество дй0 /? не содержит отрезков^ параллельных осям х или у. Следовательно, ф — непрерывная и строго убываю- йухя функция. ■.

Доказательство. Для доказательства от противного предположим, что существует отрезок а, параллельный оси у и содержащийся в дй П Д- Тогда существует область U с й с ас dU, такая что ю е С” (U U ст) и, в силу леммы 4.3*

Фши = 0 в Ui u’y^O в и^

w=wx = wM = Q на ст.

Итак, неположительная гармоническая функция шу достигает своего максимума на ст, поэтому,, используя принцип максимума Хопфа, получаем, что (и>у)х<.0 на ст. Однако вследствие приведенных выше условий и гладкости w имеем (Шу)х = ^ух = ^ху = 0 на ст. Таким же образом доказывается, что множество дй fl Д не содержит отрезков, параллельных оси х. |

Итак, множество Г = дй П Д = дй\(Г0 U Г1U Гз U Гз U Г4) может быть описано следующим образом:

Г: У = ф(*), 0<х<а, ''

с функцией ф, определенной в (4.7).

Теорема 4.7. Пусть w —решение неравенства (3.14). Положим

й = {(х, у) е Д | № (х, у) > 0}.

Тоеда Г = dfi П Д — аналитическая кривая.

Эта теорема непосредственно следует из теоремы 1.1 гл. V, в которой и = ш — ^12^, а ф = — у|г|2, г = х-Н{/- Мы закончим обсу- ' ждение задачи 3.1 следующей теоремой.

Теорема 4.8. Задача 3.1 допускает единственное решение {и, ф}. А именно пусть w—решение вариационного неравенства ■

^[tyx(o — w)x4-Wy(D-^to)y]dxdy^

‘ ^ — J (о — to) dx dy ^usK, 'R

где K=\t)E №(#)| o>0 в Д и u=g на дД} eg, определенной в (3.11), и положим u = y—wy. Определим ф(х), 0<х<а, о помощью (4.7). Тогда {и, ф} — решение задачи 3.1. Кроме того, ие гС°-х(й), а кривая у = ф(х), 0<х<а, допускает аналитическую параметризацию.’

Доказательство. Остается проверить (3.2), откуда легко следуют условия (1), (и) и (iii). Пусть Е —гладкая функция в Д, равная

нулю в окрестности х = 0 и х = а. Тогда

$ (иХ+uv^ dx dy = 5 [— w,y^x + (1 - Wyy) £J dxdy = оo

= $ (— tfxA+ ^xUdxdy = и

= I (— WXy^x+Wxx^y)dxdy =

a

[ tDx^xdx+oyx^gdy= ( WxCxdx = ^^ ( ^xdx = 0.

W5R0

Мы не будем проверять, что <р(а)>й. |

ФИЛЬТРАЦИЯ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ПОРИТСУЮ ПЕРЕГОРОДКУ

С ПЕРЕМЕННЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ

Мы продолжим изучение задачи фильтрации, рассмотрев вопрос, для формулировки которого из-за сложной геометрии плотины требуется три независимых переменных. А именно предположим, что наша

плотина имеет переменную толщину, а ее боковые стенки вертикальны1). Основная трудность, с которой мы столкнемся при постановке

Ч Очевидно, боковые стенки такой плотины не являются плоскими. Эта плотина перегораживает водонепроницаемый желоб с горизонтальным плоским дном и плоскими вертикальными боковыми стенками. — Прим, перев.

вариационного неравенства, состоит в определении граничных условий на основании плотины для элементов выпуклого множества допустимых функций. В предыдущем случае они были линейными, но теперь это будет не так. Решение этой задачи требует более глубокого исследования свободной границы.

Рис. 4, Основание трехмерной плотины, М=Вх(0, Я).Рис. 4, Основание трехмерной плотины, М=Вх(0, Я).

Рис. 4, Основание трехмерной плотины, М=Вх(0, Я).

Рис. 4, Основание трехмерной плотины, М=Вх(0, Я).

Сначала мы опишем классическую задачу (рис. 3 и 4). Рассмотрим плотину Af, заданную соотношением

Af = {xeR3|gi(xi)<x2<gr2(x1), 0<xi<o, 0<х3<Я},

где а>0, В>0, а функции ^еС2’х([0, а]), Х>0, удовлетворяют соотношениям

(5.1)(5.1)gi (0) = gi (0) = gt (а) = g^ (а) = 0,gi (Xi) <gt (xi),0 ^ xi < а.

(5.1)

(5.1)

Пусть В —основание, а Т — верхняя поверхность Af:

B={x|0<Xi<a, gi (Xi) <х2 <g2 (Xi), х3=.О},

T = {x]0<Xi<a, gi(xi)<x2<g2 (Xi), х3 = Я}.

Для заданного А, 0<А<В, обозначим через ф: В->[0, /7] непрерывное отображение, удовлетворяющее условиям

ф(хь gi(xi)) = B и ф(хь gi^^h, О^х^а. (5.2)

Для каждого такого ф положим

Р = {хеЛ4|0<х3<ф(х'), / = (хь х?)};

это множество будет соответствовать влажной части плотины. Для соответствующих частей границы мы примем следующие обозначения:

Gi = {х е М | х2 = gi (xi), 0<Xi<a, 0<х8<Щ,

G2 = \xeM\x4 = g8^Xi), 0<хг<а, 0<х3<А},

G£ = {xe -W|x2=g2(xi), й<х3<ф(х'), 0<Xi<a},

S" = {xe Л?|Х1 = 0, gi(0)<x2<g2(0), 0<х3<ф(0, х2)},

S+ = {xeA?|xi = a, gi^a) <x8<g^a\ 0<х3<ф(а, х2)}, и, наконец, Г = {х е Л?|х3 = ф(х'), х'еВ}.

Поставим теперь задачу..

Задача 5.1. Найти функцию ф(х'), х* е В, удовлетворяющую (5.2), U функцию и, определенную на й, такую что

Ди = 0 в й, иеС(й), и = Н на Git

{

h на G2, ди1111

а- = 0 на В [J S (J S , х3 на О2, ov

и = х8 и ди/дч = 0 на Г.

Как. обычно, в постановке задачи мы предполагаем, что ф достаточно гладкая для того, чтобы условие (iii) имело смысл. Как и в случае задачи 3.1, переформулируем настоящую задачу в виде вариационного неравенства, в котором ф не возникает явно. Действительно, как .и в (3.6), предположим существование решения ugH1 (й) задачи 5.1 и определим новую функцию w (х) как решение задачи Коши

wx, (х)=х3 — и(х), хей; к>(х) = 0, хе Г. (5.3)

. Хотя w (х) можно выразить в виде интеграла, эта явная форма не требуется. Продолжим w на все М, положив ее равной нулю на Л4\й. Из нашего предположения о гладкости Г следует, что w е С1 (Л?) и к» = | grad а | = 0 в ЛГхй.

Перед тем как двигаться дальше, полезно напомнить принцип максимума для смешанной краевой задачи. Пусть й a |RV — ограниченная область с липшицевой границей дй, и предположим, что 1\ и Г2 —открытые подмножества ЭЙ, причем

•^0^=0, Г,иГ2 = дЙ.(5.4, i)

Наконец, предположим, что 1\ «достаточно велика», так что форма Дирихле коэрцитивна на функциях, равных нулю на Гь т. е.

К1ячй)<С|Схк*(й) для С”0 на Гъ (5.4, И)

(а/РСЙ), с константой С>0 (не зависящей от Q.

Легко доказать существование единственного решения игН1^) задачи

— Ди = / в £2,

(5.5)(5.5)u=g на Гь

(5.5)

(5.5)

du/dv = h на Гя,

для заданных feL®(Q), деНЦЙ) и heL1^1), где v обозначает внешнюю нормаль к Г2. Действительно, пусть Vg и И» —аффинные подмножества пространства Н1 (£2) функций о, таких что и = g на Pt и о = 0 на Г1 соответственно. Тогда и является решением слабой задачи

u^Vg. \ux^Xldx=^,dx-V^ h^da ^е¥0.(5.6)

Ввиду (5.4, И) существование является следствием теоремы 2.1 гл. II.

Предложение 5.2. Пусть Q удовлетворяет (5.4), а и —решение задачи (5.5), где f eL® (£2), g e H1 (Q) и heL® (Г2). Тогда если f О в £2 и h^O на Г2, то maxu^max g.

о г.

Доказательство предложения легко получить, взяв в (5.6) £ = = max (и —к, 0) е Vo> где & = maxg.

Лемма 5.3. Пусть w — функция, определенная в (5.3). Тогда ьвеНЦМ), ш>0 и wK,^0 в М.

Доказательство. Очевидно, что w = № (Af). Далее, tyXs = xs — и е е /Д(й) и удовлетворяет соотношениям Дш>х, = 0 в £2, хвх, = х8 — Н ^0 на Gi, wx, = x8 — h^O на G4) wx = 0 на GJ(JГ. Кроме того, дц)х,/д^ = О на S+U$“ и dwxJdv =—1 на В. Поэтому, в силу предложения 5.2, wXl =5 0 в £2. Отсюда следует утверждение леммы. |

Для описания выпуклого множества допустимых функций, которое появится при выводе вариационного неравенства, исследуем граничные условия для w. Легко проверить, что

ш>(х) = у(//-х3)2,xeGi,

w(x) = y(h-xs)2,xsG1)y^^

w (х) = 0,xeG$,

ц>Х1(х) = 0,xsdAf, Xi = 0 или Xi = a.

Кроме того, докажем такую лемму.

Лемма 5.4. Пусть Оо (х'), х* a В, обозначает решение смешанной задачи

— Да0 = 0вВ,

а0 = у№дляxa = gi(x!),O^Xi^a,

ао = у№дляx2 = g2(xi),O^Xi^a, (5-8)

Эа^-0дляt*-0' ?><0)<x,<g.(0),

■Xi = a, g! (a) <x2<g2 (a).

Тогда

^Чо^Н1 в В(5.9)

и решение w задачи (5.3) удовлетворяет в В условию гу = а0.

Доказательство. Заметим сначала, что в В существует липшицева функция, принимающая на кривых x2 = gi (xi) и x2 = g2\xiV O^xi^a, граничные значения, требуемые для а0. Следовательно, у задачи (5.8) существует единственное решение a0 е Н1 (В). Применяя предложение 5.2 к ссо и — а0, получим (5.9).

Отметим, что wX1X, = — иХ1 и wx,x, = — uXv следовательно,

■<р (*')

к>. (/, 0) = — $ их (x't x8)dx3, /=1, 2.о

Пусть функция ф (х') е С” (В) равна нулю около кривых х2 = gi (xi) и х2 = g2 (xi), 0 ^ Xi ^ а. Тогда, взяв £ (х) = ф (х') и применив теорему Фубини, получим, что

J [tyX1 (х', 0) фХ[ (х') + wx, (х', 0) ф„ (х')] dx' — в

Ф(х')

в —И [“хЖ, Хз)фх1(Х,) + «х2(х', Х3) фх, (х')] dx3 dx'=

В О■

ф(х')

= —$ $ их (u)tx (x)dx = — ^их (x)L (x)dx = 0, ВОй

так как и является решением задачи 5.1. Поэтому к»(х', 0) —решение задачи (5.8). Теперь утверждение леммы следует из единственности решения задачи (5.8). |

Позволим себе некоторую вольность в обозначениях и будем впредь понимать символы S+ и S’ в следующем смысле:

S-={xeR3|xi = 0, gri(0)<x2<g2(0), 0<х3<Я} czdAf,

S+ = {х е R31 xi = a, gi (a) <x2<g2 (a), 0 < x3 < Щ c= dM.

Доказательство следующего утверждения аналогично доказательству леммы 3.5 и оставляется читателю.

Лемма 5.5. Пусть с» — функция, определенная в (5.3). Тогда для любой £ еС™ (Д), равной нулю около dM\(S+\jS~),

$ wxtx dx+ J /в№ = 0, м *М'

где /0 —характеристическая функция множества £2.

Положим Gj+ = {x|x2 = ^2(^1). 0<Xi '- Оо(И

^Н-х8у «М= |(Л-х3)2 0 0

< a, h < х3 < Н] и определим на В, на Gu

на G2,(5.10)

на G^, на Т.

Множество

y< = {oe№(Af)|v^0 в М и о = а на dAf\(S+US")}(5.11)

является выпуклым замкнутым непустым подмножеством пространства Н1 (М). Чтобы доказать, что К не пусто, продолжим просто а до неотрицательной функции из Н1 (М). Например, пусть 6 (х') е eC”(|R2), лричем 0^8^ 1, 8 = 1 около кривой x2 = gi(xi), O^Xi^ а, и 8 = 0 около кривой x2 = g2(xi), O^Xi^a. Пусть ф (х3) е С00 (R), причем 0^ф^1, ф(0) = 1 и ф = 0 при x8^h. Продолжим а на М с помощью формулы

«М = ? [2“о Iх') — 2#х3+*з] 9 (^7+

+ [ 1 - 8 (х')] {1 [2а0 (х')—2hx3 + х|] ф (х3) +

+1 [max ф - х3, О)]2 [ 1 - ф(х„)]} -18 (х') [2а» (/) - №] > •(5.11')

Такое продолжение имеет то преимущество, что as№-f(Af), если аоеЯ2"$(В); это свойство поможет нам в наших рассмотрениях, связанных с гладкостью. Итак, К ^ ф независимо от того, существует и или нет.

Теорема 5.6. Пусть {«(х), ф(х')} — решение задачи 5.1 с иг еЯЧФП^Й) и гладкой ф(х'). Определим w соотношениями

wx,^x3 — u в Q,

tw = O на Г: х3 = ф (х'), х'гВ, ^’^)

и продолжим w нулем в Л1\£2. Тогда

юг К: \wx(v^w)Xldx^—^(v—w)dx ^огК, (5.12) мм

причем К определено в (5.11). Кроме того,"

■Q = {х е М | w (х) > 0}.

Доказательство. В силу лемм 5.3 и 5.4, we К. Пусть теперь се К. Вследствие леммы 5.5

$ wx(и — w)x dx-v $ (u-w)dx = мм

■ ^wx.^o — w)x dx-V \ lQ(,o-w)dx-V- $ (v — w)dx = м 1мМ\Й

= $ и dx ^ 0,

M\Q•

так как о —we Н1 (КГ) обращается в нуль на dAf\(S+|jS'). |

Следствие 5.7. Задача 5.1 допускает не более одного решения.

Это справедливо, конечно, потому, что вариационное неравенство (5.12) имеет единственное решение.

6. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ В ТРЕХМЕРНОМ СЛУЧАЕ

Как и в § 4, будем искать решение задачи 5.1 с помощью вариационного неравенства (5.12). Кроме того, мы обсудим свойства свободной границы. И снова наш первый шаг — доказательство гладкости w^xY

Теорема 6.1. Существует единственное решение к>(х) вариационного неравенства (5.12). При этом w е №>8(Л!)ПС1- ХЦ?) при l^s<oo и 0<Х<1.

Существование и единственность w являются следствием теоремы 2.1 гл. II. Для доказательства гладкости w мы должны проверить, что решение и задачи

— Ku = f в М,

u = h в dM\(S+US~),(6.1)

ди/д» = 0 на S+ J S"

принадлежит №•8 (Af), если f е Ls (Af) и h е №•8 (Л4), и, кроме того, проверить, что граничное условие а(х), определенное в (5.10), является сужением функции из №•8 (Му Доказательства обоих этих утверждений аналогичны нашему обсуждению задачи (4.1): сложности возникают в ребрах М и вершинах основания В, но в обоих случаях функции можно продолжить до решений уравнений в №■ ”- областях. При этом важную роль играют условия (5.1). Их достаточно для применения теории о гладкости решений эллиптических задач. Мы сформулируем эти факты в виде лемм, доказательства которых оставим в качестве упражнений.

Лемма. 6.2. Пусть Оо(х'), х' е В —решение задачи (5.8). Тогда Оое №•s (В) и, следовательно, ае№- ' (Af), где а — функция (5.11').

Лемма 6.3. Пусть и —решение задачи (6.1) с feU^M) и he е №• ЦМ), l<s<oo. Тогда tz г АГ2-• (Af).

Определим

u(x) = x3-tyJtl(x), хеМ,

Q = {xs Af |к>(х)>0),'

где w — решение неравенства (5.12). Таким образом, ueC°-k(Q) и Аи = 0 в Q.

•Лемма 6.4. Пусть w —решение задачи (5.12). Тогда wx,^^Q для хеМ и, следовательно, wx, (х)<0, а и(х)> х3 для xeQ.

Доказательство. Полезно отметить, что так как Оо>0 на В, а функция к» непрерывна, то при некотором 8>0 существует «плита» Bx(0, S)czQ. Поэтому В czdQ.-

В Q Wx,— гармоническая функция. Для х е dQ f| Af имеем ty(x) = |gradty (х)| = 0, поэтому ^ (x) = 0. Предположим теперь, что х г dQ \ Af. Если х е Gi U Ga U Gt* U T, то wx, (у) ^ 0 или в силу прямых вычислений, или в случае хеТ потому, что к> 5$ 0 в Af и w (х) = 0. Если хеВе dQ, то

w*A (х) = 1 - [а^, (х) + к»х^ (х)1 = 1 - АОо (х) = 1 > 0.

Таким образом, х не может быть точкой, где wx, достигает своего максимума.

Наконец, предположим, что х е S+ (J <$"*, скажем х eS~, и wx, (х) ф 0. Тогда, в силу непрерывности wx„ существует окрестность х в Af, где wx, ^=0, и, следовательно, существует окрестность х в Af, где w > 0. Пусть е > 0 настолько мало,' что В8 (х) f| Af a Q, поэтому Ве (х) П S~ с dQ. Так как Aty = 1 в Ве (х) П Af и wX1 = 0 на Ве (х) (] S", то w — гладкая функция в BE(x)QAf. Можно вычислить теперь, что xbX1X1 = Q в В8(х)ПВ“, поэтому, в частности, х не может быть точкой, в которой w*, достигает экстремального значения. Следовательно, max Wx, = max wx, ^ 0

dQGiUCtUGa+UT

и, в силу принципа максимума, гуж,(х)<0 в Q. |

Из леммы следует, что w убывает вдоль каждой прямой, параллельной оси х3. Введем

Ф(х') = 1п{ {x3|x = (xz, x3)eA)\Q} =

= inf {х81 w (х', х8) = 0}, х's В.

Из непрерывности w вытекает, что ф (xj) ^ lim inf ф (х'), xi е В. Х--Х-

Определим следующее множество точек Г:

Г: Х3 = ф(х'), х'^В,(6^)

Заметим, что £2 допускает описание

х' е В}.х' е В}.(6.5)(6.5)■‘ й = {х е М |х8<ф(х'),

х' е В}.

х' е В}.

(6.5)

(6.5)

Лемма 6.5. Пусть to —решение неравенства (5 Л2\ Тогда ty,, (х) = 0 для хеТ.

Доказательство. Наше доказательство основывается на идее, отличной от используемой в лемме 4.5. Пусть и (х) = у (Н — х8)2. Мы утверждаем, что о — w^O в £2. Так как эта разность является гармонической функцией в £2, необходимо только вычислить ее значения на 5Q. Имеем

и (х) = to (х) = 0, у (х) ^ 0 = to (х), v(x)^to (х),и (х) = to (х) = 0, у (х) ^ 0 = to (х), v(x)^to (х),если х s Т,если х s Т,если х е Af f| Э£2, если х е Gi U Ga U G^*,если х е Af f| Э£2, если х е Gi U Ga U G^*,(6.6)(6.6)

и (х) = to (х) = 0, у (х) ^ 0 = to (х), v(x)^to (х),

и (х) = to (х) = 0, у (х) ^ 0 = to (х), v(x)^to (х),

если х s Т,

если х s Т,

если х е Af f| Э£2, если х е Gi U Ga U G^*,

если х е Af f| Э£2, если х е Gi U Ga U G^*,

(6.6)

(6.6)

и, в силу (5.9), у(х) =у №^<Zo(x) = jy (х), если xeScdQ.

Рассмотрим, наконец, (5+и5~)Пдй. Будем рассуждать как в последней лемме. Ввиду описания £2, данного в (6.5), для каждого х е (S+ U S~)f|5£2 можно найти шар В6 в £2 с хе дВ6, если только х не принадлежит (d£2f|Af), где (6.6) выполняется по непрерывности. В силу принципа максимума Хопфа, в каждой такой точке х, где и — w достигает экстремума, ее нормальная производная не обращается в нуль. Но так как to — решение неравенства (5.12), то

^(у-ю) = ± Д (v-ty) = 0 на S+US"

Следовательно, у — к» ^ 0 в £2.

Для х е М \ £2 разность у (х) — to (х) = у (х) ^ 0. Поэтому to (х) =С ^у(х) в Af и ty(x) = y(x) = 0 на Т; следовательно,

Пока мы не можем показать, что {и, ф} является решением нашей задачи, но мы можем сделать следующий промежуточный шаг.

Теорема 6.6, Пара {и, ф}, определенная в (6.2), (6.3), является слабым решением задачи 5.1. Другими словами, ^uxZx.dx—0 для всех

^ е № (Af), обращающихся в нуль около Gi (J 62 U Of, причем

и= Н на Gltи= Н на Gltи =и =h наха наh наха наG»,Оа++ПЙ.G»,Оа++ПЙ.

и= Н на Glt

и= Н на Glt

и =

и =

h на

ха на

h на

ха на

G»,

Оа++ПЙ.

G»,

Оа++ПЙ.

и и=х^ на Г-

Доказательство. Действительно, для любой £, равной нулю около Ci (J G2 U Ga+, получаем, что

$ “^Ц ^ = И- ^1*8^1 ~ “* Vsk2+(* ~ wVs) Ц] ^ =

ВQ

= $ (— Wx^Xt — Wx^x. + Юх^х, + ™х»х^ dx = й

= J ( l^Xixfot HDxaxJeXi 4" ^XtXt^x, 4" ^x2x,Cx3) dx =

= J (®хЛх2Х3 4" ®х5>Х1Х» ®X,CxiX, ^Xa£x3X3) dx —-

M

— $ (WxlU4-®x1Cx1)dx1dx24- J tyx^dxedxg-b 6MdM

$ Wx,Udxidx8 = — $ (tyx,£x,4-tyx,Wdxidxe = 0, . dMB|JT

так как tw |s = «о — гармоническая функция и w = 0 на Т. Напомним, что wXx = 0 на S+U5" и £ обращается в нуль около GiUGaUGf'.

Другие свойства и очевидны. Заметим, в частности, что и^хУ>х3 при х е й, и (х) = Хз при х е Г. |

Теперь мы должны показать, что {ф, «}— классическое решение задачи 5.1. Для этого необходимо исследовать гладкость Г. Мы начнем наш анализ со Следующей теоремы.

Теорема 6.7. Пусть w —решение неравенства (5.12), а Г—свободная граница; х3 = ф (х'), х' е В. Тогда ф — липшицева функция в В.

Зная только определение Г, нельзя быть уверенным даже в том, что Ff|Af замкнуто в AL Теорема указывает, что дЙ|4Мс:Г. То, что Г = dQ Q ?И, или, иначе, что ф(х')<Я для х е В', будет следовать из гладкости ф. Для доказательства теоремы мы сначала обсудим несколько лемм.

Лемма 6.8. Продолжим w на Вх$, 2Я), положив ■

~ f ^ (х), х г М,

0, х^М.

Тогда w е Н^°° (В х (О, 2Н)).

Доказательство. Мы знаем, что w е Дьс” (Af). Наша цель — показать, что wx.Xj е L” около Т, верхней грани М. В силу леммы 6.5, доказательство этого факта совсем просто. Действительно, мы утверждаем, что S является решением вариационного неравенства

weK; \wx (v — w)Xidx^~ \ (v — w)dx ^иеД,

где D = Bx(0, 2/7) и К= {у s Н1 (D) | и^0 в D, и = а на д/И\(5+и5-иЛ> у = 0 на dD\dAf}, а определено, как обычно, соотношением (5.10).

Для и е К произведение

^(у-®) = §(у-'гу)-0 на дМ.

Это следует из граничных условий на дМ\Т, а на Т, в силу леммы 6.5, wv (у — гу) = хуХ1 (у — гу) = 0. Поэтому

$ x»xt (У — w)xt dx = J w,t (У - w)Xi dx =

DМ

= — J Агу (у — ry)dx + ( ^ (у — ха) dx — — С (у — ry)dx^ МдМЙ

^ — ^ (у — w)dx — $ udx =—\(v — w)dx. QD\fiО

В силу теоремы 6.3 гл. IV, u>eHV(DYt

Лемма 6.9. Пусть хоеГ и Вг(х0) с: Вх(0, 2/7). Тогда существует конус ArcR+={xeRs|x3>0}, такой что ^(х)=гу,(х)-^0 дйУ

для х г Вг(2 (х^) и(х) < 0 для х е Q П Вг/2 (х0), как только £ е

гЛгП52.

Доказательство. Определим t, (х) е С1-1 (Br (х0)) cz Н2>00 (Вг (х0)) с помощью формулы

(0,р^г/2,

И ДЛЯ O^^eR® И 8>0 положим

У (X) = 6• ГУХ(х) + ГУ (х)-8^(х), хе В, (х0).

Так как Ау = Агу — еА£= 1 — еА^^О в ЙПВг(х0) для достаточно малых е = е (г), то

у (х) max и, х^Вг (х0) П й-д(ЯПВг(^0))

Предположим, что х е Г. Тогда если х е М, то гу (х) = | grad гу (х) | = О, а если хеТ, то, в силу леммы 6.5, гу (х) = I grad гу (х) | = 0. Таким образом, у ^ 0, х е Г. Для любого другого х е д (Q Q В, (0)) справедливо включение х е дВг (0) f) Q. Рассмотрим два случая. Сначала предположим, что гу (х) ^ е/2. Так как wx. (х) — липшицева функция 8 5f(xg), равная нулю при х = х0, то, применяя предыдущую лемму,

получим, что

V (х) = ^ty,, (х) + g2ty„ (х) 4- &0х, (*) + W (х) - в£ (х) < < С1 (г) КПП? + ^Wx. (х) 4- 8/2 - 8.

Когда ^з^О, то, в силу леммы 6.4, ^8tyXj(x)^0. Выбирая £* + £* достаточно малым, скажем Сг^^ + ^^е^, получим, что у(х)^0 при р = г и гу (х) 'С е/2.

С другой стороны, если ty(x)^e/2>0, то гу,,(х)<0 и, значит, o(x)<8/2 + ^3ty^(x) + ty(x) —8<.

— 8/2+ ^з sup №xs+ sup 1У^ (:«>е/2}ПВ,(^) ВДх^ ^0 при p = r, w (х)^ е/2,

когда ^достаточно велико. Таким образом, v(x)^0 в ЙПВг(х0). В частности, £(х) = 0 при р^г/2 и, значит, ^-гух^5-гу*4-гу^О В Вг/2(х0). I

Доказательство теоремы 6.7. По заданному хоеГ выберем г> 0 так, чтобы Вг (х0) с В х (0, 2Я), как в предыдущей лемме, и возьмем х е ГП Вг/4(х0). Тогда гу убывает по любому пути х+^, 0^/^г/4, ^eArf|S2. Мы можем взять Л, открытым в R3, поэтому, в силу равенства гу(х) = 0, множество

x + {^|0</<r/4, £ eArf|S2} аМ\Q.

Предположим также, что гу(</) = 0 и

.уех+{^|-г/4<«0, ^еЛ^В2}.

Тогда х еу+{/^ |0</<г/4, 6 eArf|S2} с М \Q, что противоречит включению хе Г. Следовательно,

■ ■х+{^| —г/4</<0, ^еЛ,ПВ2} c=Q.

Но это показывает, что ф —липщицева функция. |

Следствие 6.10. Пусть w —решение неравенства (5.12), функции и, ф определены соотношениями (6.2), (6.3), а Г — соотношением (6.4). Тогда Г — аналитическая поверхность, а {и, ф} — классическое решение задачи 5.1.

Доказательство. Так как поверхность Г липшицева, то применйм критерий 2.20 из гл. VI. Следовательно, Г—класса С1 и wXjX/e еС (Q (J Г). Поэтому утверждение следствия вытекает из теоремы 2.1 гл. VI. |

Следствие 6.11. При предыдущих обозначениях ф(х')<Я для х' еВ.

Доказательство. Предположим, что ф (х$) = Н, так что (xi, Я) г е Г П Т. Сравним еще раз | (Я — xs)a с w в й, но теперь, в силу гладкости ф, лемму Хопфа о граничной точке можно применить к (xj, Я). Следовательно,

в «, Я).

Но каждый член равен нулю. В силу этого противоречия предположение ф(х$) = Я неверно. |

ОБТЕКАНИЕ ЗАДАННОГО ПРОФИЛЯ: ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ

Определение потока жидкости, обтекающего заданный профиль, состоит в установлении скорости жидкости в каждой точке области в предположении, что эта скорость подчинена некоторым условиям на профиле и на бесконечности. Покажем здесь, как один особенно простой случай можно свести к вариационному неравенству. Это случай обтекания стационарным безвихревым потоком несжимаемой жидкости симметричного выпуклого профиля в Ra. Исходная функция тока будет преобразована в неизвестную функцию из вариационного неравенства, аналогично тому, как это делалось при изучении задачи фильтрации. При этом, однако, областью определения неизвестной функции вариационного неравенства будет плоскость годографа потока жидкости. Параметры вариационного неравенства будут зависеть только от заданного профиля, заданной на бесконечности скорости жидкости и какой-нибудь оценки максимума скорости жидкости во всей области. Эта оценка может быть получена a priori (см. теорему 8.7).

Чтобы формализовать нашу физическую проблему, предположим, что в R2 задан замкнутый выпуклый профиль ^, симметричный относительно оси х, и начало координат содержится внутри ^. Пусть G= Ra \ ^ — открытое множество и v — внешняя нормаль к ^, которую мы предположим определенной везде на 55s, за исключением, быть может, Двух точек, А и В с координатой у = 0.

Задача 7.1. Найти скорость q = (9i, ?3), определенную на G и удовлетворяющую условиям:'

q — векторное поле класса С1 в G, непрерывное на G; ■

divq^^ + ^ = O в 0; .

rotq = ^-^ = 0 в G;

q-v = 0 на dG;

qi(x, y)-^qm a qa(x, y)-*0 при (x, y)-*oo;.

qx (x, y) = qx (хь — у) и q^ (x, y) = — ?3 (x, —у) (.симметрия).

Здесь qoo>0 — заданное число.

Предположим теперь, что решение q задачи 7,1 существует. Тогда, в силу (И) и (Hi), локально в G существуют две функции Ф и ф, такие что

Ф, = фу = <71 и фу = —фх = ^,(7.1)

Эти функции называются соответственно потенциалом скорости и функцией тока, и приведенные выше соотношения утверждают, что они удовлетворяют уравнениям Коши —Римана. Кроме того, функция комплексного переменного

V (2) = qi (х, у) - iq2 (х, у), z = x-\-iy в G, (7.2)

определена и голоморфна в любой точке области G.

Исследуем некоторые свойства V, полезные при изучении вопроса о существовании решения задачи 7.1. В силу (v), мы видим, что У(г)-*ую при |г|->-оо, следовательно, V допускает разложение

ОО

V^ = q^^ около z = oo. Из-за условия симметрии (vi)

.(7.3)

н поэтому але₽ при л 3=1. Выбирая направление обхода против часовой стрелки для контура 5^ = 60, получим, в силу теоремы Коши, что $ V (z) dz — Suia^ Кроме того,■

дО

$ V (z)dz = $ ^dx + ^dy + t $ qxdy-q^dx. ' ■дазадо

В силу граничного условия (iv), qidy — q2dx = Q на dG и, значит, интеграл является вещественным. Поэтому аг = 0, что означает, что циркуляция симметричных потоков около 5s равна нулю. Следовательно, в G существует такая однозначная голоморфная функция Ф(г), что Ф'(2) = К(г), причем Ф(г) допускает разложение

ОО

ф (*) = q^z - 2 ^ около 2 = °0-(7Л)

■Л=1..

Функции ф = КеФ и ф=1тФ являются соответственно потенциалом скорости и функцией тока. Эти функции Гармоничны в G и, в силу непрерывности q, принадлежат CX(G). Кроме того, вследствие (7.3) Ф (2) = Ф(г); таким образом, ф (х, — у) = — ф (х, у) для г е G и, в частности, ф (х, 0) = О, г = х е G. В G справедливы также соотношения (7.1). Более того, в силу (iv), тангенциальная производная ф равна нулю на 55s, а поэтому ф = 0 на 55s...

Теорема 7.2. Пусть ^<^ь+= ^^ П {z J Im 2 3=0}, и предположим, что 5^+ — кривая класса С2-х, включая ее концы. Тогда существует единственное решение задачи 7.1.

Мы предполагаем, конечно, что ^ — выпуклый профиль.

Доказательство. Для проверки единственности достаточно про* верить единственность ф. Заметим, что для любых двух функций тока фиф разность ф —ф есть гармоническая в G функция, равная нулю на д<^ и стремящаяся к 0 на со. В силу принципа максимума, ф — ф = 0..

Существование' является следствием теоремы Римана о конформных отображениях. Пусть f —конформное отображение G на D= ={С ll^l> 1}» такое что f(oo) = oo и /'(оо)>0. Тогда f —взаимно однозначное голоморфное отображение области G, f (z) ^ 0, | f (?) | ->- оо при | ? | ->- оо и /' (?) стремится к положительному пределу при ] ? | —>- оо. Кроме того, f непрерывно отображает G на D.

Так как область G симметрична, а /указанными выше свойствами определяется однозначно, то /(2) = /(?). Определим теперь

^-тЫ^+жЬ zeG1

и положим V (?) = Ф' (?). Тогда функция V голоморфна в G и V (2)= =V (z), поэтому выполнены условия (ii), (Hi) и (vi). Так как

то V (г) ->- дю при | ? | ->- оо. Кроме того,

,ф (?) = Im Ф (?) = VUf (оо)] (1 — | f (?) |-2) Im f (?)(7.5)

и, следовательно, ф = 0 на 55s.

Остается показать, чтoq = (фy, — фД непрерывно в.G. Как только это становится известным, (iv) следует из равенства нулю ф на dG. Мы оставляем эти детали читателю. |

Пусть А и В —концы кривой д^, определяемой в формулировке теоремы. Заметим, что q (А) = q (В) = О, . так как q2 (х, 0) = 0 и lim q-v = 0, а односторонний предел v при г-»-А по предположе- Z-* А

г е■

нию отличен от (0, ±1).

Установим несколько полезных для дальнейшего свойств ф.

Предложение 7.3. Пусть ^ — функция тока задачи 7.1. Тогда ф(?)>0 для ?еG+={?еG|Im?>0}..

Доказательство. В силу (7.5), функции ф(?) и Im f (?) имеют одинаковый знак. Кроме того, / отображает 0П{г|1т? = 0} на Df| Л {^| 1т^ = 0} с /'(оо)>0. Следовательно, f (G+) = {£ е D11т £>0} и, значит, Imf(?)>0 для zeG+. |

Предложение 7.4. Пусть ф—функция тока задачи 7.1. Тогда ф, = КеУ>0 в G\jdG, кроме точек г —А, В (где V = 0).

Доказательство. Гармоническая функция ф достигает своего минимума на dG+, где ф = 0. Следовательно, в силу принципа максимума, dip/dv > О на dG+,‘ исключая точки ? = А, В, где эта функция не определена. Поэтому фу(х, 0)>0 для (х, 0)edG+, (х, 0)У=Л, В, и так как ф = 0 на д^, то фу>0 на д^+, кроме точек А, В. Итак, фу^0 на дС+ и гармонична в G+, следовательно, фу>0 в G+. |

ОБТЕКАНИЕ ЗАДАННОГО ПРОФИЛЯ: РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ

Мы хотим записать задачу 7.1 в новых переменных и новых неизвестных функциях. Новые независимые переменные будут получены посредством преобразования годографа и, как легко догадаться, новая

Рис. 5. Физическая плоскость.

неизвестная функция будет связана с соответствующим преобразованием Лежандра. Рассмотрим преобразование годографа ?->-У(г). Ниже приводится теорема, доказательство которой оставлено в качестве упражнения. -

Теорема 8.1. (а) Функция qx (х, 0) убывает от q» до 0, когда х растет от — оо до А,, и растет от 0 до qm, когда х растет от В до оо. '

(Ь) Множество V (дУ5*) является простой замкнутой кривой. Если S+ — открытая ограниченная компонента R2\ У(д^+), то (0, q^ с: S+ и преобразование годографа г -> V (?) взаимно однозначно из Q+ на 2+\(0, gj.

Обратимся к рис. 5 и 6. Удобнее немного изменить преобразование годографа. Пусть 6Л е (0, л] (бве [—у л, 0)) —угол между осью х и касательной к д^+ в точке А (В). Предполагая дД+ строго выпуклой и гладкой, получим, что для каждого 6 е (6В, 6Л) существует единственная точка Р е дД*, такая что касательная к дДч в Р образует угол 6 с положительным направлением оси х. Обозначим координаты точки Р через (X (6), Y (6)). Из предположения, что дД+ — кривая класса С2-х, следует включение (X (6), Y (6)) е еС*'х([88, 6л]). Обозначим через R (6) радиус кривизны кривой д^+ со знаком минус. В терминах 6 величина R (9) в точке (X (6), У (6)) задается формулой .

Для ze(L, z^A, В определим■.

0 4- la = W (z) = — i log V (z) = — arg V (z) — i log | V (z) |, (8.2) причем ветвь логарифма выбрана так, чтобы — 0л < arg V(z)< — 0в- Для точки г = X (0)-Н'У (6) д^+

V (г) = | V (г) | ^‘0(8.3)

в силу (iv); таким образом, IF (z) = 0 — i log | V (г) |, ze д^. Следо-

Рис. 6. Плоскость годографа.

вательно, кривая Г, определенная соотношением F=1F (д^), допускает представление

Г: о = /(0), 0В<0<0Л,(8.4)

где / (0) = — log | V (X (0) + i¥ (0)) |. Отметим, что / (0) е С1-к (0Д, 0л) и Игл /(0)= Игл /(0) = +оо. Из теоремы 8.1 следует, что отобра- 9->-9 в9"*еЛ

жение г -> IF (z) взаимно однозначно из G+ на открытую область ©, определенную соотношением

^ = {0 + io | о > I (0), 0в < 0 < 0л}\{^ I о ^ ст^},

где а^log^.

. Определим функцию тока в ^ в терминах наших новых переменных:

ф(0, ст) = ф(х, у), B-\-io^^-

Так как ф — гармоническая, a IF — антиголоморфная функция, то ф — гармоническая функция в ^. Кроме того, ф(0, ст) = 0 на Г, ф(0, <т) = 0 при ст>стоо и ф->0, если 0 4-йг->-оо. В точке iaro функция ф имеет, однако, особенность, и поэтому она не равна тождественно нулю. Для более глубокого понимания всего этого мы отсы-

лаем читателя к у пр. 9, однако такой подход для нас не удобен. На самом деле можно вычислить фа и фе на Г, так как очевидно, что пара ф, Г является решением следующей задачи со свободной границей:

Дф = 0 в ^,

.ф = 0 на d^Xf^},

Л = 0 ^- = ^ ® 6-0 на ГV ’ да\+(dl/My На

Хотя мы воздержимся также и от этого подхода, мы хотим подчеркнуть, что решение задачи со свободной границей дает с помощью (8.3) и (8.4) распределение скорости жидкости вдоль профиля д^+. А именно'

Ц9) = — log|V(z)(= — log|q|, 6b<6<6a,

и поэтому дг = е^№ cos 6, a q^ = е^19) sin 6. В этом состоит отличие от наших предыдущих задач с препятствиями и физических приложений, в которых свободная граница всегда являлась границей изменения в поведении решений. Здесь вместо этого она дает распределение скорости вдоль профиля.

Так же как в задаче фильтрации, мы предпочтем новое зависимое переменное, которое появляется как решение задачи Коши. Как ни парадоксально, но использование преобразования годографа искушает нас ввести преобразование Лежандра. Точнее, обсудим

Метод 1. Функция и (9, а) вводится как решение задачи

(8-5)(8-5)и0 + и = фв ^,

(8-5)

(8-5)

и = ие = ио = 0 на Г.

Метод II. Функция и (9, а) вводится как модифицированное преобразование Лежандра от ф:'

и (6, а) = ф (х, у')—хф*(х, у) -у^и(х, у)-

- е-° [X (6) sin 6 - У (6) cos 9]. (8.6)

Теорема 8.2. Существует единственное решение и (9, о) задачи Коши (8.5), и оно является преобразованием Лежандра (8.6). Кроме того,

(-В-гЧ»), в s(8.7)

аде R (9) — величина (8.1).

Следовательно, методы I, II эквивалентны. Предположим на минуту, что теорема доказана, и, выбрав произвольное т<_ min Ц9\ 6в <6<.0Л

положим Й = (8В, 8л)х(/п, оо). Продолжив и нулем для 6 +toe ей\^, получим, в силу (8.6), функцию из C^QxIictIct^ct^}), которая удовлетворяет соотношению

$[и9(у — и)в + иа(и — u)a]d9do^ Je^R (9) (у — u)d8da (8.9) а о

для у 5=0 в Q, имеющих компактный носитель и равных нулю в окрестности {ictJct^ct^}.

Таким образом, наше новое и является подходящим кандидатом на решение вариационного неравенства. Обратимся теперь к доказательству теоремы 8.2.

Доказательство. Отметим прежде всего, что если у (9, ст) — любое решение уравнения иа + и = f в ^, то (д/да) (eav) = e°f. Поэтому если у = и (9, ст) и f = ^>0, то при каждом 8 функция е°и (6, ст) строго возрастает как функция от ст. Так как е°и (9, ст) = 0 на Г, то и (9, о)>0 в S5. С другой стороны, если у —это разность двух решений задачи (8.5), то f = 0 и, значит, е°у(8, ст) = £(0) является функцией только 9 и может быть вычислена на Г, где £ (8) = 0. Следовательно, решение задачи (8.5) единственно.

Покажем теперь, что это решение получается из (8.6). В силу определения 8, ст, данного в (8.2), фу-Нф^^"0 (cos 8 — tsin8), или фх =— e~asin8 и фу = ег° cos 8, e + ios^. Положим пока «о=ф— — хф, —уфу. Тогда du0 = — xdф, —ydфy, или

du0 ^ е~° (х cos 9 + у sin 8) d8 + е~° (у cos 8 — х sin 8) da. (8.10)

Пусть теперь и = ио — е~а (X (8) sin 9 — Y (8) cos 8); тогда, вычисляя с помощью (8.10) дий1да, получим, что

иа4-м = ф в ^. (8-5), Вспоминая, что х = Х (9) и y — Y (8) на Г, получим, что и = 0 на Г. Следовательно, иа = 0 на Г, так как ф = 0 на Г и справедливо (8.5') Наконец,

^ = в"? [X (9) cos 8 + Y (8) sin 6] - ег° [X (9)cos8 + y(8)sin9]-

— e~a[X'(8) sin 6 — У'(6) cos 8] = 0 для 9 4-(ст ё Г, так как равенство tg 8 = У' (8)/Х' (8) является определяющим свойством 8.

Функция ф —хф,—уфу является гармонической в G+, а отображение z-*-6-\-1а антиконформно, поэтому ф — хф, — уфе = и0 — гармоническая функция переменных 9 и а в ^. Следовательно,

Au = — A(e-®[X (9) sin 9 — У (9) cos 9]) = — e~°R (9) в ^ если иметь в виду, что X* (9) =R (9) cos 6 и У' (9) = R (9) sin 9. |

Чтобы завершить наш план, придадим точный смысл неравенству (8.9), определив условия, которым и удовлетворяет «на бесконечно-

сти» и на луче {wjo^o^}, а также показав, что и обладает необходимыми свойствами интегрируемости.

Теорема 8.3. Функция и (6, ст), определенная соотношениями (8.5) или (8.6), непрерывна на 25, если на луче о^а ее доопределить следующим Образом: и(0, а) = Не-0, oSso,», где л = У(0) — высота профиля д®1*.

Доказательство. Отметим, что функция Ф(г) из (7.4) удовлетворяет соотношениям

Ф — х^х - уфе = Im (Ф (г) - гФ' (z)),

»и-^-2^-

ю |г| велик.

Так как при 6 4- io -*■ iam соответствующее zeG* стремится к оо, то и (6, ст) = Im (Ф (г) — гФ' (г)) — er” [X (6) sin 6 — У (6) cos 6] -*

-*У((У)е~а« = Не~а<п при 6 4- io ->- iom.

Рассмотрим теперь точку io^ с ei>ooo- Она имеет два прообраза в дО*, (хи 0) с Xi>0 и (х2, 0) с х2<0. В каждом случае, когда 6 4-/ст находится в окрестности iau соответствующая точка (х, у) находится в окрестности (хъ 0) или (х2, 0), поэтому, в силу (8.6), и (6, о)-*- -*-Her°s если учесть, что ф, = — e-^sinG. |

Следствие 8.4. Пусть и—функция, определенная в (8.5) или (8.6), a H=Y (0) — высота профиля Тоеда

0 ^ и (6, о) ^ Не-0 для 0 4- io е О(8.11)

о, в частности, ueL1^.

Доказательство. Мы должны показать, что в ^ выполняются неравенства (8.11). Положим v(6, ст) = Не-0 cos 6. Эта функция гармоническая и положительная в й, так как — л/2^6в<6д^л/2. Таким образом, — А (и — о) = — ku = e~°R (6) ^0 в ^ и, следовательно, согласно принципу максимума, sup (и — о) ^ sup (и— о), если известно, что и ограничена. Оставляя проверку этого на конец доказательства, заметим, что и—о= 0 на io, ст^стю, и и —о = — и^0 на Г. Следовательно, (8.11) имеет место, если только мы проверим, что и ограничена.

В силу непрерывности и, установленной в теореме 8.3,0^ и (6, o^k для 6-\-io е S?, о^20^. Далее, для некоторого М>Ь имеем ф(6, о)^М при 6 4-fos^, 0^20^, так как точки 64- io ест ^20^ соответствуют точкам г в ограниченным |z|. В силу (8.5), ^{еаи) =

=еа^ в ^, и поэтому

0^и(6, о^^М^Х—е2а®-а') в ^, о^ЗОу,. J

Лемма 8.5. Пусть и —функция, определенная в (8.5) или (8.6). Тогда и^НЦИ).■

Доказательство. Нам нужно только проверить, что grad ueL2(Q). Возьмем для этого любую функцию и е С” (Q) Q Щ (Й), удовлетворяющую условиям

и (0, а) = Не-” для а ^ а^,

|у(6, о)\^2Не-а в ^,Дуе/.°°(Й)•

и supp и cz ^ U {fa [а^а^};

это последнее условие введено для удобства. Пусть Во(ст) eC^dR), причем 0 Во ^ 1 и

„ ,( 1, а^О,

МаНо, а&1.

и положим Вл (ст) = Во (ст — п). Пусть, кроме того, г]0 е С” (R2), 0 ^ < По 1 и'

/п 1 ПРИ I6 1 + 1 ^I> Ь110 '( 0 при |6| + |ст|< 1/2,

и положим т]„(6, а) = т|о(пО, п (а — аю)). Наконец, положим £„(6, ст)= =MCT)rh(9, ст)..'

После интегрирования по частям получим,

^ | grad (и — o)la^nd6da= ^ | grad (и — v) |2В„(/6(/ст =

О5

= — $ Д (u — v) (« — у) Bn d6 da — $ (и — у) grad (и — и) grad Bn d6 da. sb$' '

Далее, .'■

J (w — v) grad (и — v) grad B„d6 da = ^ J grad (u — v)2 grad Bn d8da= ' $sb"

= - -^ ^ (u-v)2 A^dQda. "

В силу этих двух соотношений,.

J |grad(u-v)|2B„deda=.

о'

= — У (и — ст) Д (u — v) Вл d9 do + у f (« — у)2 ДВл</в da ^-

sb. s~

< | и - у |l=o (Q) | Д (и - у) Iloo (Q) + ^ 1 и - у Щоо (0) f I ДВп | dQ da.

Вследствие (8.11) правая часть неравенства конечна.

При этом $Ag„dedo остается ограниченным при п->-оо. Действительно, для достаточно больших п носители grad В» и grad гр, не пересекаются. Поэтому А^, = п2 Аг]0(п9, и(ст —стю)) + ^о (ст —п), откуда следует оценка

$ | А£„ I d6 da < n2JI Ar]o(n9, п(ст —CT00))|dedCT +

■61/(2л)<|е| + |а—аю| <l/n

+ J |^(CT-n)|d9dCT^ n<a<n+l

•С л || Ar]o |l* (R») + л I ^ |l* (₽). |

Теперь мы подошли к заключительной части нашего исследования. Положим

АГ = {у ^ /7о (Q) | v S= О в Q и у(0« ^ = Нета при ст^стю}. (8.12)

В силу непрерывности следа (см. приложение А к гл. II), К является замкнутым выпуклым подмножеством пространства Яо(Й).

Теорема 8.6. Функция и, определенная в (8.5) или (8.6), удовлетворяет неравенству ;'

и г Kt j[Ke(y — к)е + «а(У — u)a]d9dc^

^ J R (6) e-" (v — и) de da \veK. (8.13)

Q

Доказательство. Вследствие теоремы 8.2 и леммы 8.5 мы знаем, что иеК. Достаточно показать, что (8.13) выполнено для у г АГ П П£°°(Й); общий случай получается с помощью срезки. Для любого veKQ^tQ)

grad и grad (у — и) £„ d9 da = J grad и grad (У — к) ^ de da =

Q5

= — J Ам (у — u) £„d9 da — J grad и grad £„ (о — m) de da =

= J /? (6) r” (v — m) £„ d6 da — J grad и grad ^ (у — m) de da.

Далее, ^We-^y —и)£„ de do ^$ $ # (6) е-^у — м)^, de do, так как So

. x _ , м = 0 на Й\^ и t'^Os Q.'

Таким образом, для доказательства (8.13) достаточно показать, что

$ grad и grad £д (о — u)d6do->0 при п->оо. (8.14)

Для достаточно больших п имеем grad £„ = grad £„ + grad т]„. Рассмотрим сначала вклад от £л:

grad и grad £л (о — и) d6 da =

=Jgrad и grad g„ (v — u) d6 da I ^

5П(6+1а|л<а< л+1),’I

^P^njv —и[£со(д) Ц^Цдоцд) / J| grad и I2 d9 daY/a -*- 0

\л a < n +1/

при n -> оо, так как | grad к | e L2 (Q). Далее, для т]л имеем

grad и grad т]л (и — и) dS da ^grad и grad т]л (и — и) dS da ^5 grad и grad т]„ (и — к) d6 da

grad и grad т]л (и — и) dS da ^

grad и grad т]л (и — и) dS da ^

^| grad «|2d0 daV2 ->«ооКМл/^| grad «|2d0 daV2 ->«ооКМл/Snie+ialiei+la-acoKl/n}

^| grad «|2d0 daV2 ->

«ооКМл/

^| grad «|2d0 daV2 ->

«ооКМл/

-*0 при п-*-оо,-*0 при п-*-оо,^ С [ v — я |доо(д)п || grad т]о ||l«> <q)

-*0 при п-*-оо,

-*0 при п-*-оо,

опять из-за того, что | grad и | е L2(Q). Это доказывает (8.14) и завершает доказательство теоремы. |

В соответствии с нашей обычной линией мы теперь можем рассмотреть вариационное неравенство (8.13), которое может быть сформулировано, если известны параметры Q, а^, Н и R (8). Из них Н и R (6) являются функциями профиля ^, а аю =— log <7,» задано. Множество Й = (05, 0д)Х(т, оо) зависит от ^ через 6Д и 6Д и от m^min / (6). Напомним, что

/(6) =— log|q|^— log(max|q|)> — оо,(8.15)

потому что скорость жидкости ограничена в G и, в частности, вдоль профиля дЗ\ Аккуратная оценка для m может оказаться полезной при вычислении решения.

Вариационное неравенство (8.13) можно разрешить и получить искомое решение задачи 7.1. Для этого достаточно заметить, что форма Дирихле а (и, v) = $ [«е^е + wava] d8 da коэрцитивна Ha#J(fi).

Q

В заключение отметим, что оценка для max | q |, встречающегося в (8.15), может быть найдена a priori. .,

Теорема 8.7. Пусть r= max |/?(6)|>0. Тогда max|q|^ бц < е < 6 л93**

^Чоа®-”*! ^ Оо<0 — единственное решение уравнения (14-ст)е~° = = 1~(Я/г).

Доказательство этой теоремы мы оставляем читателю.

ИЗГИБАНИЕ СВОБОДНО ОПИРАЮЩЕЙСЯ БАЛКИ

С малыми изгибаниями жесткой балки, лежащей на заданном препятствии, связано вариационное неравенство высшего порядка. Мы исследуем эту задачу, ограничиваясь случаем одномерной балки. Задано а, 0<а<оо, положим й =(—а, ajeR1, и пусть i|) — гладкая функция на Й, причем

тахф>0 и ф<0 на 5Й.(9.1)

Я

Пусть V = № (й) П Я£(й), и положим

К = {у е V | у ^ ф в й}.(9.2)

-Очевидно, Л —выпуклое замкнутое подмножество V.

Определим билинейную форму

a(v, w) = ^v" (t)w" (t)di, v, w e V.(9.3)

Я

Легко проверить, что a(v, w) коэрцитивна на V. Норма на V задается выражением |у' 1д=(Я) + |у"к2 (Q)» поэтому для проверки коэрцитивности достаточно доказать неравенство

|у/k'CQi^Cly'lLHQ), v eV,

с некоторым С>0. Действительно, если и eV, то иеС1^) и у(а) = у(—а) = 0. Пусть у ей —точка, в которой у'(у) = 0. Тогда

°'W2= j | о' (О2 df = 2 J у' (/) у* (0<й <2 j | у' (0 11 у' (01dt. им—а

Интегрируя по Й и применяя неравенство Шварца, получим, что

I о' |ь« (й) ^ 4а | у" |у (й).(9.4)

Мы хотим изучить следующую задачу.

Задача 9.1. Дано jeV', найти

иг Кг а^и, v — u)^(J, v-^u) yveK.

Теорема 9.2. Существует единственное решение задачи 9.1.

Доказательство состоит в непосредственном применении теоремы 2.1 гл. II. Заметим, что и е С1-1/2 (Й), так как й g R1. Изучим некоторые свойства решения. Для £еС“(Й), £5=0, функция иЦ-^еК, поэтому отображение ^-*а^и, £) — (/, t) является неотрицательной обобщенной функцией. В силу теоремы Шварца, существует такая мера рЗ»0, что

аки, ^- (А С> + $£ Wdp (0, S е Со”(Й),(9.5)

я

и, кроме того, suppрg{(|«(О^ФЮ}-

Из этого представления мы выведем некоторые свойства гладкости и. Например, справедлива.

Теорема 9.3. Пусть и — решение задачи 9.1 с f=0. Тогда (d^dPju— функция ограниченной вариации и (d?/di3)u непрерывна в Й.

Для доказательства отметим, что, в силу (9.5), обобщенная функция (d4/dl4')u = dp., где р^О. Следовательно, можно найти такую растущую функцию т^, что (d3!dt3) и = т (t) = ц ((0, /)) + с- Утверждение доказано. Въедливый читатель заметит, что функция и" лип- шицева в Й.-

Обратим теперь наше внимание на способ получения свойств гладкости посредством штрафа. При построении соответствующих аппроксимаций будет использовано само и. Определим кгк) как решение задачи второго порядка

и8 — еи8 = и в й, Mg(a) = Mg(—a) = 0,(9.6)

где и — решение задачи 9.1.■.

... Лемма 9.4. Пусть и8 — решение задачи (9.6). Тогда и8 е К П Н4^) и и^(а) = ^(-а) = 0.,

Доказательство. Так как u s № (Й), то и8еН4(О). В частности, и8 е С8 (Й). В точке х е Й, где и8 (х) = min и8 (t), и8 (х) 2s О, поэтому

«г (х) — ф (х) = и (х) — ф (х) + SUs (х) 2s U (х) — ф (х) 2s 0.

Следовательно, и8 е К. |

Лемма 9.5. Предположим, что f е Н-1 (Й) и функция ив определена с помощью (9.6). Тогда существует такая константа С>0, что lUeh«(Q)<CVk-4Q) для 0<е<1.•

Доказательство. Запишем f в виде / = fo — (d/d/) fi, f0, Л s L? (Й). Тогда■

a^u, v — u^(J, v — u>= $[fo(v — к) + A (n — w)'] df

или, в силу леммы Минти (лемма 1.5 гл. III), a(v, и — и)^ $[Му_ и)+А(у — uY"\dt yv е К. Q

Выбрав и = и8, получим о — и = еи8, и поэтому-

a(we, «0^ $l/oue+h«e,']d/.

Так как и^ (а) = и[ (— а) = 0, то, интегрируя по частям в первом члене, получим, что а(и8, и8) = —^(Ug")2d/. Поэтому а

| Ms" Ilf (ti) ^ I /о R\<Q) I We k* (Q) 4-1 /1 k‘ (Q) I “e" k2 (Oh

Ввиду того что «в е Я» (Q), можно воспользоваться леммой Пуанкаре, и, следовательно, Ц Ыв k2(Q)=^4a||i4"k«(Q)- Поэтому

II «е к2 (Я) =^ 4а [ /о к* <я) + II fi к* (Я)-

Отсюда следует утверждение леммы, так как uBeV. |

В рассматриваемом одномерном случае приведенная ниже теорема имеет, по существу, то же содержание, что и теорема 9.3. Однако метод доказательства (леммы 9.4 и 9.5) может быть использован также и в высших размерностях.

Теорема 9.6. Пусть и —решение задачи 9.1 с f^H~1(Q). Тогда иеНЧ^ПС2-1^^..

Доказательство. Нужно только показать, что ие -*- и в некотором смысле. Действительно, в силу предыдущей леммы, Ц«в к2(Я)^С-<со для 0 <8^1, поэтому ввиду (9.6)

Ив — ык2(Я)^е||«;к2(Я)=^8С->-0 при 8т->0.(9.7)

Существует подпоследовательность, сходящаяся слабо в Я® (Q) к некоторой функции, которая вследствие (9.7) должна совпадать с и. Поэтому ие№(й). |

Комментарии и библиографические указания ■

Проблема гидродинамической смазки обсуждалась О. Рейнольдсом в 1886 г. И А. Зоммерфельдом в 1904 г. Ее формулировка в виде вариационного неравен* Ства предложена Чиматти [1].

Асимптотика из теоремы 2.5 также появилась в этой работе, а аналогичные разложения на асимптотические ряды установлены Каприцем и Чиматти [1].

По задаче фильтрации имеется обширная литература, появившаяся как до, так и после возникновения вариационных неравенств. Интересная идея решения задачи фильтрации предложена Ренато Каччиополи (см. статью К. Миранды [1]). Преобразование (3.7) ввел Байокки [1]. Это стимулировало большое количество исследований по данному предмету. Мы отсылаем читателя к работам Байокки [2, 4]. По поводу обобщений и дополнительной литературы имеется недавняя книга Байокки и Капело [1]. Существование интервала фильтрации (ft, ф(п)) с ф(а)>й показано Фридманом и Йенсейом [1]. -

Многомерная задача из § 5 и 6 была сформулирована в работе Стампаккья [6]. Анализ свободной границы в этом случае проведен Кафарелли [1]. Доказательство теоремы 6.7 является модификацией соответствующего доказательства из работы Альта [2].

Имеются другие методы исследования задачи фильтрации. Мы отсылаем читателя к работам Альта [1] и Брезиса, Киндерлерера и Стампаккья [1].

Общую библиографию о потоках жидкости можно найти в книге Берса [1]. Здесь мы следуем работе Брезиса и Стампаккья [2]. См. также работу .Стампаккья [8]. Хотя настоящий метод использует симметричность потока, он применим также к сжимаемой жидкости (Брезис и Стампаккья [3]), к кавитации (Бре- зйс и Дюво [1]) и к потоку в канале (Томарелли [1]). (См. упражнения.)

Мы только чуть-чуть коснулись теории вариационных неравенств высокого порядка. В качестве примеров работ в этой обширной области упомянем работы Вилладжо [1, 2], Фрезе [2], Кафарелли и Фридмана [1], Брезиса и Стампаккья [4] и Стампаккья [7].

8 Заказ '864

Среди приложений, не рассмотренных в книге из-за недостатка места, отметим задачу упругопластического кручения. Здесь аыпуклое множество допустимых функций имеет вид K = {v е Я} (£2) | | vx | sg 1 п. в. в £2}. Читатель может обратиться к работам Брезиса [2], Брезиса и Стампаккья [!}, Кафарелли и Ривьере [4] и Тиига [1]. Мы кратко коснулись задачи об удержании (ограниченных конфигурациях) плазмы и ее формулировки в виде вариационной задач i (см. гл. VI, § 4 упр. 15). В дополнение к сделанным там ссылкам сошлемся иа работу Берестыцкого и Брезиса [1]. Имеются вопросы в теории стационарного вихревого потока, которые приводят к аналогичным рассмотрениям; см. Френкель и Бергер [1].

Упражнения

Пусть £2 с: Р^ — область и ф е О (Й)—препятствие, скажем тахф>0 и ф<0 иа д£2. Пусть К = {о г Я} (£2) | ф в £2}. Рассмотрим вариационное неравенство ■и е К: ^ихАи—u)x.dx^^f{v—u)dx sju е К,

где f е L00 (£2)—заданная функция. Покажите, что эта задача не обязательно эквивалентна следующей задаче со свободной границейг найти замкнутое подмножество I с £2, такое что — &u=f в £2\/, и = ф в 1 и и е С1 (£2).

Рассмотрите одномерный случай. Когда эти две задачи эквивалентны? Как связана эта задача с задачей о смазке подшипника, рассмотренной в § 2?

Докажите теорему 2.5. {Указание. Сначала возьмите о=0 в (2.8), чтобы доказать, что jgrad ре Цу (Q) ^Сг. Затем умножьте (2.13) на е2, положите и=рв/ее К и прибавьте результат к (2.8) с и = ер», р = реЛ

Для решения задачи 2.1 покажите, что

^■р(6, z)=gO при 0<г <6, ^ р (6, 2)^0 при — 6<г<0,

{Указание-, (д/дг) р подчиняется принципу максимума в £2\/.] -

Пусть М с: f^—область, ^eS^- cR^ и, наконец, / — гладкая функция на М. Рассмотрите задачу: найти пару (£2, и), £2 с М и и е С (£2), такую что

— ^u=fв £2,*

«=0, ^=^-v на д£2(]А1-

Введите новую неизвестную функцию и запишите задачу в виде «почти вариа- циоиного неравенства», что означает, что граничные условия элементов К остаются неопределенными. При каких дополнительных предположениях относительно и на дЛ1Пд£2 эта задача может быть переписана как вариационное неравенство? Чтобы начать исследование, запишите задачу в слабой форме.

Пусть to—решение вариационного неравенства (3.14), и предположим, что Ф (а) > h. Покажите, что w 0 Я2, 00 {Ry

Рассмотрите задачу 3.1 для плотины переменной пористости Более того, предположите, что пьезометрический напор и {х, у) еС (£2) удовлетворяет уравнению ^ (* (*. У) «х (*. У)) + ^ (А (*» У) иу (*• У»=0 в й

и граничным условиям задачи 3.1, где k{x, y)=^^+8tyi >0 в R и£'(у)^0 при h-^y^H..

Введите новую неизвестную функцию ш{х, у) как решение задачи Коши ■ -wv=— e8'v> {и— у)в £2,

су=-0на Г.

(Бенчи [1]).

Докажите лемму 6.2..

Докажите лемму 6.3.

(Пример из гидромеханики.) Предположим, что профиль в задаче 7.1 задается формулой ^={z| |zKl} и <7со=1- Тогда конформное отображение / из теоремы 7.2 сводится к /(z)=z. Вычислите Ф (z), ф(г), V (г) и решение и (6, о) вариационного неравенства, В частности, исследуйте особенность ф(в, о) в точке 6-f-iG = /0^=0.

Предположим, что профилем в задаче 7.1 является эллипс S®=<z

и <7оо=1- Найдите решение задачи 7.1 в явном виде.

Исследуйте стационарный поток сжимаемой жидкости около симметричного выпуклого профиля, В этом случае имеется -заданная функция плотности р (х, у), такая что (ii') div (pq) = O, (iii') rot q = 0 в G и выполнены также условия (i), (iv) — (vi) задачи 7.1. Предполагается, что р=Л(| q |). Имеются потенциал скорости ф и функция тока ф, удовлетворяющие соотношениям q=gгadф, ОД^фу и №= — Фх (Брезис и Стампаккья [3] и Стампаккья [8]).

Предположим в задаче 7.1, что жидкость обтекает тот же выпуклый профиль, расположенный в середине канала. Найдите вариационное неравенство для этой задачи (Т. Томарелли [1]).

Изучите возможность кавитации в задаче 7,1 (Брезис и Дюво [1]).

(Деталь доказательства теоремы 7.2.) Пусть L: Z=x (s)+«y (s), 0 <s< 1, — замкнутая дуга класса С'^'с некоторым Х>0 во итором квадранте плоскости г=хЦ-1у с z(0)=0, и для малого е>0 положим

U = [z | у >у (s), если х^О, и у > 0, если х^0}П{г 11 г | < е}.

Предположим, что ф е С (Я), причем

Дф=0 в U,

ф=0 для zeL и для 0^z<e.

Тогда для некоторого р > 0 имеем ф г С1, ц (U П {г 11 z | < 6}) для любого 6 < е. [Указание, Предположив, что касательная к L в точке г=0 образует с положительным направлением оси х угол а, л/2«£а«£л, рассмотрите отображение 2_>_zn/a (Брезис и Стампаккья [2]).]

Докажите теорему 8.1. [Указание. Используйте принцип аргумента, т. е. индекс отображения z -* V (z) (Брезис и Стампаккья [2]).]

Докажите теорему 8.7. [Указание. Положите■

h «а =Ve"° +ге~Ос° ~"° <°~°о=) + Нв~°” -ге~а”,О^аго + а6,

"О < Одд -|- ОО,

и докажите, что решение и (6, о) вариационного неравенства удовлетворяет условию u^h. Следовательно, и=0 при а<а00+оо> поэтому 1(6)>а +о0, 6Д<8<6Л.]

Решите задачу 9.1 для V = {о е Я2 (й) | у=у'=0 на ЭЙ}.

Рассмотрите задачу 9.1 для размерности N>\. Покажите, что решение и существует й что и е № (й).

Предположим, что в задаче 9.1 К = [и е № (Й) Л Н^ (Q) | | у" (01 ^ ₽}. Покажите, что решение существует и, более того, принадлежит Н**5 (Q).

Опишите двойственное пространство V к пространству из задачи 9.1 и к вариантам этого пространства, приведенным выше.

Пусть N > 1, Проведите формальный анализ задачи со свободной границей, соответствующей задаче 9.1, в духе гл, VI. Хотя уравнения имеют высший порядок, они могут быть записаны в виде системы уравнений второго порядка, когда а (и, у) = J Au До dx.

Пусть Г: у=ф(х), 0 <х<а,—свободная граница в задаче 3.1. Проверьте, что ф(х)—аналитическая функция от х (сошлитесь на теорему 6.7).

Глава VIII

ОДНОФАЗОВАЯ ЗАДАЧА СТЕФАНА

ВВЕДЕНИЕ

Однофазовая задача Стефана описывает таяние куска льда (нулевой температуры), находящегося в области, заполненной водой. В общей задаче Стефана исследуются процессы изменения фазы в теплопроводящей среде, когда энергия, т. е. тепло, поглощается системой. Неизвестными при этом являются: (i) распределение температуры воды как функция пространства и времени и (и) свободная граница соприкосновения воды и льда. Чтобы найти распределение температуры, необходимо решить уравнение теплопроводности в области, заполненной водой; поверхность соприкосновения определяется с помощью закона сохранения энергии. Мы ограничимся случаем одной пространственной переменной. Это даст возможность узнать многие характерные особенности проблемы, избежав многих технических сложностей. В наибольшей степени это относится к нашим исследованиям свободной границы с помощью преобразования Лежандра. Пусть Т>0 и $о>О заданы. Рассмотрим классическую задачу Стефана.

' Задача 1.1. Найти функцию 0(х, О и кривую Г: / = s(x), x>s0, удовлетворяющие условиям

■-@хх+^=0 в {(X, OI«W<^<n.

(0 = 0

{ О , / X , для (х, 0 ^ Г, (0У(Х) = — k’

0(х, 0) = /i(x) для 0<x<s0,

0(0, 0=5(0 для 0</<Т,

где h (х) > 0 — начальная температура, g (t) 3s 0 — тепло, полученное в момент времени t, и k>§ —удельная теплота плавления льда.

Функция 0(х, 0 интерпретируется как температура воды в точке х в момент времени t, а кривая Г задает поверхность раздела льда и воды. В момент времени / вода занимает подмножество {x|s(x)<0, причем предполагается, что $(х) = 0 при x^s0. Отметим, что 0 (х, 0 = min 0 = 0 для (х, 0 s Г, и поэтому 0,^0 на Г. Следовательно,

(1.1)

и, значит, кривая Г монотонна. Именно это свойство однофазовой задачи позволяет без труда свести ее к вариационному неравенству.

Покажем, как это сделать. Пусть 7?>So>0. В дальнейшем мы будем считать R зависящим от начального значения, к и т. д. Положим D = (0, /?)х(0, Ту Вариационное неравенство будет получено для функции u(x, ty определяемой соотношениями

t

и^х, 0— $ $(*> t^x, s^^t^T,s^^x^R,

u(x, 0 = 0,0<<<s(x), So^x^R, (1.2)

. и (x, 0 = $®(x, T^di, O^t^T, ' O^x^Sq. о

Выведем дифференциальное уравнение для и, предполагая, что 0 и s —гладкие функции:.

t

и* U» ^= ^ ®*Сх» ^dr —s'(х) 0(х, s(x)) = sW

= j 0х(х, т) dv, s(x')<t<T, So<x<R.

S(X)

Точно так же

tt'

UXxkx, 0= $ 0*x(x, T) dT — s' (x) 0X (X, s(x))= $ 0/(x, T)dT-b& = s(x)s(x)

= 0(x, t^-\-k = ut^x, t)-\-k, s(x) <t <_T, s0<.x<R.

Аналогичным образом получаем равенство'

Uxx(x, t) = ut(x, t^ — h^xy 0<t<T, 0<x<so.

Положим поэтому

[ h(xy 0^x<So,

V S<.X<R(i-3)

iHO^gCOdz, O^t^T,(1.4)

e

где, напомним, A>0, a g и h — гладкие положительные функции соответственно на [0, Т] и на [0, sQy Обозначив через К множество неотрицательных функций из L2 (О), условия на и можно переписать в форме альтернативы:

(—UxxA-u^ku — и) — f (V — u) = 0,и>0дляиеК

ИЛИ"

4— «жх+“»)(у — “) — /(у — u)=®kv^0, u=»0 для vsKi

Такая запись условий при заданном 7>0 приводит к следующему вариационному неравенству.

Задача 1.2. Найти функцию ие!Ж Т; №(0, R^^K, такую что ut е К,

.(—UxxA-Ut^v — u)^f(v — ы) . п. в. для у е К,

ы = ф для O^t^T, х = 0,.

и = 0 для O^t^T, x — R,. и = 0 для 7 = 0, O^x^R.

Здесь использовано обозначение L2 (0, Т; Н2 (0, R)) для пространства функций и(х, t), удовлетворяющих неравенству

т R.

'$$ («2 + Ых + «У dxdtcco.

о о

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ

Найдем решение задачи 1.2 с помощью приближений с соответствующей штрафной функцией. Штраф подберем так, чтобы доказательства существования и гладкости решений были возможно проще. Для в>0 выберем ре(/)еС”(R) со свойствами

р8 (/) = 0,если/ ^ 8,

Рв(О) = —1,(2.1)

Ре(/)>0Иpg (0^0,— СО</<8.

Далее, построим последовательность fe (х) гладких функций на [0,7?], которые равномерно ограничены и при 8->0 стремятся, убыйая, к функции f(x), определенной равенством (1.3). Наконец, выберем П(х)еС^(R), такую что

(

1 для 0 х s0, а2

0 ДЛЯ з So =5 X,

и 0 ^ т| (х) ^ 1, хе R. Для заданных Т > 0 и в > 0 рассмотрим смешанную краевую задачу.

Задача 2.1. Найти функцию и(х, t), (х, ()eD, такую что

в D,7 = 0, O^x^R, O^t^T, х = 0, 0 ^/^7, x = R,в D,7 = 0, O^x^R, O^t^T, х = 0, 0 ^/^7, x = R,(2.2)(2.3)(2.2)(2.3)— Uxx + Я/ + &pg (u) = fe

в D,

7 = 0, O^x^R, O^t^T, х = 0, 0 ^/^7, x = R,

в D,

7 = 0, O^x^R, O^t^T, х = 0, 0 ^/^7, x = R,

(2.2)

(2.3)

(2.2)

(2.3)

. U = 8T|, и = ф + в, и = 0,

еде к > 0—константа из задачи 1.1, а $ определено посредством (1.4).

Хорошо известно, что задача 2.1 допускает классическое решение и = ий\ см. Фридман [2].

Лемма 2.2. Пусть и6, е> 0,— решение задачи 2.1 в D. Тогда существует е0>0, такое что 0«С(ди6/д^ (х, ^«СК, где К >0 не зависит от е, 0<8^е0.

Доказательство. Продифференцируем (2.2) по / и применим принцип максимума. Для w-dug/dt получим

-ГУ^-^ + йрПЫв^-Ов D,

W = fe + RT]xx-k^M, / = 0, ty = i|/,. х = 0, v '

w = 0,х = R.

Так как Ре(пе)^0в О, то, в силу принципа максимума, min/minty, 0\^ty(x, 0 < max /max w, 0\ в D, (2.5) \8pd )VPD )

где dpD — параболическая граница D, т. e. dD\{(x, T)|0<x</?}. Оценим сначала левую часть этого выражения. Учитывая, что

/е^/ и О^и8(х, 0) = 8Т](х)^8 ДЛЯ 0 6$ X 6$-| So, получим, что

ty (х, 0) ^= / (х) + ВТ]^ (х) =

= /i(x)+8T]^(x)^0, O<x<fso,

для е^ во, где е0 достаточно мало, потому что А(х) положительна на [0, So). С другой стороны,

W^X, O)=fe(x)—^Ре(0)^А(х) + ^^0 ДЛЯ |so^X^So,W(X, 0) = /е(х) —&Рв(0)2з& —& = 0ДЛЯ So<X<R.

Следовательно, ty(x, 0)^0 для 0<х<7?. На вертикальных сторонах границы•

. ty (0, /) = ф'(/)=^(/)>0 для 0</<Т, w(R, /) = 0для 0<_1<Т. ■

Слэдовательно, min /min ty, 0\ = 0.

Х5^/

. Рассмотрим теперь правую часть неравенства (2.5). Чтобы доказать неравенство ■■

max /max ty, 0\ <^ max (max g, K^-sR, VPD )

где Ki не зависит от e^e0, нужно лишь заметить, что

I и + елхх - ^Ре («в) I < sup I fe I + 8 sup | T]xx | + к < Kv

Теперь утверждение леммы следует из (2.5). |

Лемма 2.3. Пусть и6, 0<в^е0 — решение задачи 2.1. Тогда

I Ре («е) к“ (D) =$ 1для О < е < е0.

Доказательство. Вследствие предыдущей леммы du8/dt^O в D, поэтому, в силу (2.3), и6^ t)^0 в D. Учитывая свойства ре из (2.1), получаем, что

—1^ре(ые(х, /))^0, если (х« t^^D. |

Обратимся теперь к существованию и единственности решения вариационного неравенства.

Теорема 2.4. Существует единственное решение и задачи 1.2. При этом и, их, и(, uxxeL”ф) и и^О, u.^OeD.

Пусть и8 — решение задачи 2.1. Тогда при е->0

и6->и слабое Н^рфу \<р<оо,

и для каждого I, 0</<Т0,

' ие-*и слабое H2'P(Q, R), 1<р<оо.

Следовательно, ие-^и равномерно наВ и и8х^>-их равномерно в (О, R) для любого t е (О, Т)..

Доказательство. Ввиду предыдущих лемм решение и8, 0 <8^80, задачи 2.1 удовлетворяет соотношениям

■II Uexx [10О (Д) = j fg U8t &р (Wg) Hz00 (D) ^

life 11+ K-V^^Cy, 0<8<80.

Следовательно, u8X(x, t) — семейство функций, равномерно ограниченных по е, ибо, в силу леммы 2.2, иЕ равномерно ограничены. Поэтому -■

в “е 11^1. p(o) = ^|«e|pdxd/ + ^|tie,|Pdxd/ + ^|«e<lP^^^C2, DDD

где С2 не зависит от 8, 0<8<е0. Отсюда следует существование последовательности 8'->0 и функции ие Н^рфу 1^р<оо, таких что

и6.-*и в НМф)’(2.6)

и равномерно в D. В частности, «^0 и удовлетворяет граничным условиям задачи 1.2.-

Кроме того, для каждого фиксированного t, 0<_t<.T, некоторая подпоследовательность последовательности и8- сходится слабо к и в /72-р(0, Ry 1^р<оо. Но и8'-*-и равномерно в В, откуда следует, что вся последовательность ые-->-ы слабо в №■₽((), Ry 0 < t < Т. В частности, ихх е L” фу

Для завершения доказательства того, что и является решением задачи 1.2, возьмем иеН^фу удовлетворяющее неравенству t»^

^6>0. Умножая (2.2) на у — ие и замечая, что ре (и) = 0, если е <6, получим, что

(— Uex* + «ед (и -и8)-к [ре (и) - Ре («е)] (» ~ «в) = fe (« - «в),« < 6-

Интегрируя по хе [О, 7] и учитывая, что [ре(у) — ре(ые)](и — и^^ ^0, получим неравенство

RR

$ (— «8** + «в0(у — ue)dx^ fe(v — u6)dx. оо

Взяв в-»-0 и используя слабую сходимость, будем иметь

RR

(—uxx + ut)(v — u)dx^^f(v—u)dx.(2.7)

оо

G помощью замыкания устанавливается, что (2.7) справедливо для всех у ^ 0, у е L2 (0, R). Отсюда следует, что и — решение задачи 1.2.

Легко видеть, что решение единственно в L2(0, Т; Я2(0, R)). Отсюда следует, в частности, что вся последовательность ив сходится слабо к и в И1-р (D) и в Ha-p(0, R) для каждого /, 0</<7. Неравенство ы^О вытекает из леммы 2.2. |

Следствие 2.5. Пусть и —решение задачи 1.2 и

Q(0 = {xe(0, R)\u(x, 0>0}, О^КТ.

Тогда Q(t)czQ (t') для t <_t', t, V e [0, 7].

Доказательство. Это очевидно, так как и — липшицева функция и ы^О. |

Покажем теперь, что заданные 7>0, /?>0 можно выбрать так, что и = 0 в окрестности x = R. Отсюда следует существование свободной границы. Сначала докажем теорему сравнения, аналогичную нашему слабому принципу максимума из гл. II.

Лемма 2.6. Пусть f^f и ф^ф, а и, й — решения задачи 1.2 соответственно с f, ф и f, ф. Тогда и^й в D.

Доказательство. Пусть К* — множество неотрицательных функций у из 77(D), удовлетворяющих граничным условиям задачи 1.2 (у (0, I) = ф). Тогда для у s К* справедлива интегральная форма задачи 1.2:

$ $[й*(у — й^хЛ-й/^и — d)^dxdt ^^f (у — й) dxdt,уе К*,

оо

В этом выражении можно взять у = шах(ы, й) е К*, таккакф^ф. Следовательно,

55 [^* (“ — »)* +й/ (“ — й)] dxdt ^5 V (u — u)dxdt.

аа(2.8)

4 = {(*> 01 и (х, t)>u (х, 0}-

Далее, отметим, что — ы^ + «, = / п. в. в Л, так как на этом множестве ы>й^0. Следовательно, для £ = тах(ы — й, 0), равной нулю на dpD,■

- $ $ [^ + «^] dx di\\^dx dt.(2.9) .

DD

' Записывая (2.8) в терминах С. будем иметь-

.' WVdx^ti№dt^fXdxdt.(2.10)

Складывая (2.9) и (2.10) и опять используя определение £, по-' лучим

-$^dx^-|^(x, T^dx^^-hUxdt^. DОD

Поэтому £ = 0 п. в. в D, т. е. тезЛ = 0. g .•

Мы можем теперь построить точное решение задачи Стефана, которое используем для оценки сверху нашего решения и. Обозначим через Nm множество

^ = {х||х|<Л4(/+1)^},

где М — положительная константа, которая будет определена ниже. Положим 0(х, 0 = ^(х/(^+1)1/2) и ^(^ t^ = x — М (1 +01/а. х^О, t ^ 0, где

.F^ = C\er-WdX,-C' .

с С, С', удовлетворяющими соотношениям ^(01^6-^=к,(2.11)

FW=C\e-Vl^-C' = Q.(2.12)

■м"’

Легко видеть, что 0(х, /) и кривая Г, определенная соотношением Ф(х, /) = 0, являются решением классической задачи Стефана 1.1 с й(х) = Г(х), О^х^М и g (t) = F(O), O^t^T. Следовательно, 0 определяет решение й задачи 1.2 с помощью (1.2). Отметим, что удельная теплота плавления к в случае 9, f и в случае и одна и та же. •.

Очевидно, что С = ^-ем*/4 -*-со при Л4->оо, в то время как

ммC'-^j^-WM d^4 2(” + 1)&Mi-n'Vi <оо

м

м

ограничено при М->со. Следовательно, при достаточно больших М имеем H(x)^h(x) и g(t)^g(t).

Теперь, используя лемму 2.6, можно заключить, что й^и в D. Так как й(х, 0 = 0 при х^ М (/ + 1)1/2, то

'Q(0cz{x|0<x<M(?4-l)^}, O^t^T.-

В итоге получаем

Предложение 2.7. По заданному Т> О можно найти такое /?>0, что решение и задачи 1.2 равно нулю в окрестности x = R.

Доказательство. Достаточно выбрать М, как выше, и R> >уИ(Т-+1)1/2. 1

В дальнейшем всегда предполагается, что R выбрано столь большим, Ито выполнено утверждение предложения 2.7. Положим

Q = {(x, 01«(х, 0>0},

Q(0 = {x|(x, OeQ}, 0<t^T,(2.13)

T = dQf) D.

Теорема 2.8. Пусть и —решение задачи 1.2. Тогда Г, определенное в (2.13), допускает представление Г: х = о (0, 0^^ ^Т, где о — непрерывная возрастающая функция от t с s0 = о (0) < о (0 при t>0.■• •

" Доказательство. Покажем сначала, что О (0 связно, откуда будет следовать, что ст (0 корректно определена. Интервал (0, s0) cr Q (0 для любого t, так как М/^0. Предположим, что (хъ х2) —компонента открытого множества 0(0, не содержащая (0, So). Тогда — иХх(х, 0 =— к — щ(х, 0"<0 в (хь Ха), поэтому, согласно принципу максимума, '

и(х, 0^max(«(xi, 0, и(хе, 0) = 0,. xi<x<x2.

Полученное противоречие доказывает связность О (О- Определим’

a (t) = sup {х | х я Q (0}, 0 < t < Т,'

o(0)«=s0..

Так как Q(0 с О(/') для t<,V, то ст —монотонная функция. Предположим теперь, что Xi = ct(0< Нт ст(Г) = х2 для некоторого I, t’-*t•

.t*>t

0«<Т. В этом случае прямоугольник

Q = {(x, т) | X] 4-е<Сх<Х2 — в, /^t-cTJczQ

при малом е > 0 и

— u*jf-|- Щ== к в Q,

ы(х, 0 = 0 ДЛЯ Х14-8<Х<Х2—8.

В силу результатов о гладкости решений параболических уравнений, и — гладкая функция в Q и поэтому

ll(X, t^ = Ux^X, t^ = Uxx(X, 0 = 0 ДЛЯ Х1 + е<Х<Х2 — 8.

Из этого уравнения находим, что ut(x, Ц = — к для Xi4-e<x< < х2 — 8, следовательно, ыт (х, т) < 0 в окрестности из Q точки (4(xi + xa), ^)- Это противоречит утверждению нашей теоремы существования, т. е. теоремы 2.4. Таким же образом можно показать, что о(0 непрерывна при стремлении к t снизу. ■

Наконец, покажем, что a^">s0 при />0. Допустим противное, т. е. что o(/0) = s0 для некоторого /0>0. В силу монотонности о, а(/)=$о для O^t^to. Рассмотрим прямоугольник ■

■Q = {(X, 0|$Ь-е<Х<8Ь, 0</<#0}СЙ .

при малом е>0 и заметим, что

— uxxJru1 = f = h^O . в Q, и = 0для x = s0, 0<t<.t61

'Ы>0ДЛЯ x = s0 — е, 0</</0.

Так как их непрерывна в D ни достигает минимума при x = s0, то n^(s0, 0 = 0 для 0<^<Л-. (2.14)

Рассмотрим решение у(х, /) задачи Дирихле'

= в Q,

у = 0 на dpQ,

где дД — параболическая граница Q. Так как h ^ 0, то у ^ min У = 0 в Q. Следовательно, согласно принципу максимума Хопфа —Фридмана, -

'иД$о, 0<0, O<t<to.(2.15)

С другой стороны, и — у является решением уравнения теплопроводности BQcu-y>0 на dpQ. Следовательно, так как и отлично от у, то (ы —y)x(so, 0<0, потому что и — у достигает здесь своего минимума. Комбинируя это неравенство с (2.14) и (2.15), получим требуемое противоречие:

О^ыДзо, О<у*($о» 0<°> 0«<^.|

Полезно отметить, что Г —липшицева кривая в координатах, полученных из (х, /) поворотом на л/4. Следовательно, для функции 1е№ (й) определено сужение на Г из L2 (Г).

СВОЙСТВА ГЛАДКОСТИ РЕШЕНИЯ■

Для изучения свободной границы Г в задаче Стефана полезно знать, являются ли функции ихх(х, /) и ихДх, /) непрерывными в Q в окрестности Г. Этот факт устанавливается в два этапа. Сначала методом штрафа доказывается включение uteH1(D П{/^/о>0}. Затем применяется слабый принцип максимума и метод Бернштейна для доказательства липшицевости функции ut в Q около Г.

Лемма 3.1. Пусть ив, 0 с г ^г0, —решение задачи 2Л. Тогда |^^^х> 0|^^ для O^x^So/6, 0<t<T, |^(х, 0|<С для O^x^so/6, 0<t<T, где С>0 не зависит от е, 0<е^е0..

Доказательство. Из начального условия (2.2) получаем, что ые(х> 0) = е при O^x^So/З, поэтому, так как иы(х, /)^0 в D,

-ив(х, /)5$e при O^x^So/3, O^t^T.

Следовательно, pe(ue(x, 0) = 0 ПРИ O^x^So/3, O^t^T и ив является решением уравнения

^гхх ~Ь ^et = /е* ® "^ ^ "^ So/З, ® ^С / "^ ^•

Утверждение теперь следует из стандартной теории Шаудера для уравнения теплопроводности (Фридман [2]). |'

Лемма 3.2. Пусть ив, 0<е<е0, — решение задачи 2.1. Тогда

J J и6х< (х, ty dxdt^C, 'D■

• еде С>0 не зависит от е, 0<в^80.-

Доказательство. До конца доказательства положим и = ив, р = ре и w = utB. Дифференцируя уравнение (2.2) по t и умножая на ш, получим, что

•— С1У£«хх + £«С1У<+^р,(и)С1У2 = 0 в D.

Интегрируя это равенство на (О, R) при фиксированном/, 0<Lt<_T, будем иметь

'Rrr

— J u)U)xxdx + ^- ^ J йуМх-|-&у Р' (u')w1dx = 0.(3.1)

Проинтегрируем первый член по частям. Тогда RR

■ ^^wxyxxdx = ^wxdx-Vw(0, 0^(0. t) — w(R, t)wx(R, f) = °о

R

'=$£0£дх_+ю(О, 0^(0, 0,

0.

так как w(R, t) = Ut(R, t) = Q. В силу предыдущей леммы, |оу (О, О оу* (О, ОI ^ I Ф< (О ые*/(О, Ol^const^p

Поэтому, вспоминая, что р' (ы)^О, получим из (3.1), что RR

j.By^dx+у^ j w2dx^Cv оо

Интегрируя это. неравенство на (О, Т), найдем, что

т RR

— ю(х, О)2] dx^C^.— ю(х, О)2] dx^C^.^ J t«|dxd/4-l J [ву(х, R)2

— ю(х, О)2] dx^C^.

— ю(х, О)2] dx^C^.

Согласно лемме 2.2, | ю (х, 01^ ^» гДе ^ не зависит от в, следовательно,■

Т R'

Ww^dxdKAT + RK2. | .. О 0■

Лемма 3.3. Пусть ие, Q<г ^гй, — решение задачи 2.1. Тогда при 0 с ст ^t

Ri R'

J UgxtUi ()2dx+J J utit^x, x)2dxdx^^, . ■ оa .0.

где C>0 — константа, не зависящая от в, 0<8^в0.

Эта лемма чуть посложнее. По сути дела она приводит к критерию интегрируемости решения и, о котором упоминалось в начале параграфа, Между прочим, мы используем здесь предположение, что Рв'(0<0.

Доказательство. Как и раньше, положим и = и6, р = ре и w = и^. Дифференцируя уравнение (2.2) по / и умножая на u>t» получим, что — wxxwt + О’/ + &Р' («) ЕУ/йУ = 0 в D, а после интегрирования на (0, R) будем иметь RRR’

' — J йУ^ю,dx + ^ tvzsdx4-A^ Р'^вуву,dx = 0.(3.2)

.ооо

Мы начинаем, как обычно, с первого члена: RR■

-"$ wxxpe(dx = \ ayxay^dx + ay,(O, 0^(0, 0 = 00.

R'

'= И f By^dx + tyx(O, 0бУ/(0, 0, 0<t<T.

Граничный член при x = R отсутствует, так как там w = wt = 0. При х = 0, используя лемму 3.1 и наши предположения относительно гр, заключаем, что

|еу,(О, 0^(0, Ol^l^xCO, 011^(01^,

где Сг не зависит от е, Осе^Вд. Следовательно, в силу (3.2),

RRR

IH^+S^^+I^N Р'(и)^Мх^С3.(3.3)

00о

Для оценки последнего члена запишем равенство

RRR

( P' (u) ^ ty2 dx = J ^- [P' (u) су2] dx — f P" (u) су8 dx.

Так как су 5= 0 (в этом месте мы существенно используем лемму 2.2)

R

и, кроме того, Р"(и)<0, то — $ p"(u) tyMxSaO. Поэтому о

RR

f P'(u)^adx>5 J P4«)^dx.

Подставляя эту оценку в (3.3), получим, что

RR

4$ f [и»?+ A₽'(«)№*] dx+ ( w’dx^C.

Интегрируя это неравенство на (т, 0» где т<0 получим оценку

RtR

( [“’x (x, tf + Ap' (u) w (x, 0г] dx + 2 J J wl dx dx* ^ оto

R

<2C2(/ —т) + $ [^(x, т)2 + Ар?(и)су(х, xf\dx.

Так как эта оценка выполнена для каждого т</, то мы можем проинтегрировать ее по т на' интервале (0, ст), где а < t. В резуль-

тате получим, что

RtR

a J wx(x, 02dx + 2a^ wXdxdx^

Оа О

R№

^ а [шх (х, О2 + ЭД' (“) ^ U, О2] dx + 2а ^ Ют dx dx =5

Оа О

о R

з + У У Г®* (х, т)2 + кии (х, т) ^ р (ы (х, т)) j dx dx $5

Т RТ R

s + J J фл: (х, т)2 dxdx-j-Kk ^ ^ Др (и (х, т)) dx dx $5

Т RR

^Cs + J $ щДх, x^dx dx + Kk\ [Р (ы (х, Т^ — ^^и^х, O))]dx^ 0 0О■

Т R

^С3+$ J wx(x, x)2dx dx + 2RKk. о о

Здесь мы использовали тот факт, что Р' и w неотрицательны, а также лемму 2.3. Ввиду леммы 3.2 лемма доказана. |

Теорема 3.4. Пусть и — решение задачи 1.2. Тогда существует такая константа С>0, что для каждого а>0

rt R

^ ихДх, I)adx+^ у utt(x, т)2dxdx^— для а<_1<Т. оа о

Доказательство. Утверждение немедленно следует из леммы 3.3 в силу слабой сходимости uBt к ut в U*. В частности, заметим, что ut е Н1 (Df| {(х, /)|/^а}) для каждого а>0. |

Приступим к следующей части нашей программы: доказательству липшицевой непрерывности ut около Г.

Лемма 3.3. Пусть и —решение задачи 1.2, а Г — соответствующая ему свободная граница. Тогда для (х0, 4) ^ Г существует такая окрестность U точки (х0, #о), что иДх, !)<0 в U f| й.

Доказательство. Это утверждение элементарно. В силу теоремы 2.8, существует окрестность и точки (х0, 4) ® Г, такая что U а {(х, t) | х> >s0, />0}. Следовательно, f(x) = — к в U и

ихх (х, 1) = иДх, t^ + k^k^O в U f| Q.

О

Поэтому ux^xt t) = —$ ихх(у, t) dg<;0 в 0 П Q. (

X

Лемма 3.6. Пусть Г —свободная граница, соответствующая решению и задачи 1.2, uQ=^(x, t) || х — х01 <е, 0</0 —^<6} длязадан- ных (х0, УеГ и е>0, 6>0. Предположим, чтоху, 0sZP(Qn^). причем

' -и^+ш/Х) в5ЛЙ»

■-6х*+@/ = 0в£?пй».

ху 5$ 0 на др (Q П й),

где др (Q Л й) = д (Q Л Q)\ {(х, Л)11 х — х01 < е} — параболическая граница множества Qf|Q. Тогда

ту ^9 в Q Л й.

Доказательство этого принципа максимума аналогично доказательству слабого принципа максимума из гл. II. Мы оставляем его в качестве упражнения.

Лемма 3.7. Пусть и —решение задачи 1.2 и Г — ее свободная граница; Тогда для каждой точки (х0, МеГ с Л^6>0

О ^ ut (х, /0) ^ Ci (х — х0)2 — сйхих (х, t) . для (х, t) е Q Л й, где ^ сй и г — положительные константы, не зависящие от (х0, tQ) е Г, <о^6>0, a Q = {(х, /)||х —х0|<е и |t —Л|<е}.

Доказательство. Подытожим сначала наши знания об щ. Мы знаем, что, в силу теоремы 3.4, существует такая окрестность Q= ={(х, 01 |я — Хо|<е, |/ — <о|<е}, что щеН^Оу Так как кривая Г липшицева, то и( имеет след и, (о (Л, 0 на Г Л Q- Чтобы увидеть, что этот след равен нулю, заметим просто, что иДх, t) = ИтыДх + р, 0 ц-. о

в fP^Q) и что «/ = 0 в С\Й. Так как оператор следа является непрерывным отображением из H^Q) в Л2 (Г f) Q), то Тгг«/ = 0.

Заметим также, что

— Utxx + и# — о в Q f| Й.(3.4)

Положим

ху (х, t)=ci(x—х»у — сгхкх (х, 0. (х, Л е Q Л ^>

и выберем Ci>0 настолько большим, что сг (х — х^^щ (х, t) для (х, 0 ^ 9Р (Q П й). Это, очевидно, возможно, так как ц, = 0 на Т. Выберем теперь Са>0 настолько большим, чтобы

— хУхх + ®/ = —2cj + 2c2Uxx^ — 2^4-2^62 > 0 в (?ЛЙ. (3.5)

Согласно лемме 3.5, их (х, t) ^ 0 в Q Л й при соответствующем Q, поэтому xy^Ut на dp(Qn^)- В силу (3.4), (3.5), мы можем применить принцип максимума из леммы 3.6, и, следовательно, 0^«/(х, /)< ху (х, Л. (я, 0 е Q Л &. I

В частности, из этой леммы следует, что ut непрерывна.

Теорема 3.8. Пусть и —решение задачи 1.2, а Г —ее свободная граница. Тогда для каждой точки (х0, 0) е Г существует такая окрестность U этой точки, «апо и^еН1'®^.

Доказательство. Достаточно доказать, что ut е №■ ” (U f| Q). Выберем Q, как в предыдущих леммах; тогда выполняется заключение леммы 3.7. Положим @ = и(. Применим здесь метод С. Бернштейна, но не к функции 0, чья гладкость на Г неизвестна, а к ее аппроксимациям (Бернштейн [1])..

Пусть а (5) е С” (R) — сглаживатель. Положим

ал(5) = (1/Л)а(£/Л) для 0</i<l, к

6л (X, 0 = $ «д (х - 5) 6 (5, 0 й^, (х, О е Q,. о'.

QA = {(x, 0|0<х<о(0 —А, 0</<Т}.

Отметим, что — ©л^+бд^О в Qftf|Q и

0 < 0» (х, 0 К sup 0 в fift П Q-(3.6)

Выведем теперь из оценки леммы 3.7 оценку для 0Ах на Г f]Q. Заметим сначала, что, когда (х, 0 s дЯд П Q» существует такое у, что lx — y\ = h и (у, <)гГ. Поэтому, в силу леммы 3.7,

0^ sup 0(|, 0^ SUP 6(5,0^■

I*—ll<#I»—8К2Д

. < sup ^(у-^-с^щД, 0}<сД |y —11<2й

так как иДх, /) —липшицева функция по х. Итак, мы установили, что

0^ sup 0(5, t^^Cih для (х, t) е dQft f| Q. (3.7) l*—11<#

Для любой точки (x, Z)QdQftf|Q ввиду (3.7) имеем

^ sup 0(5,0$l«Ax(x-5)|d5^

(3.8)(3.8)^1 sup 0(5,0 f I ocn (T]) I dr] 5^ <?2.

(3.8)

(3.8)

Выберем теперь функцию 5^C”(Q), 0^5^ 1, 5=1 около (x0, 0), и положим

И' = ауд = 526л« + р6й, (х, 0®9ЛЙл.'

Применяя к су оператор теплопроводности, получим, что

- Асу + wt2 ^6U + 4^0ftx0ftxx + 0^ [(^), - ^ + р]} ^

^ - 2 {(1 - 8) ^@и + 0^ [р + Шх - ^ - (4/8) ^]} ^ о ,(3.9)

для р^О, зависящих только от С. Следовательно, в силу принципа максимума, а также (3.8) и (3.6),

су (х, О ^ max су с| + Р (sup 0)2.%(плП<?)

Рассматривая это неравенство в окрестности U точки (х0, 0), где С=1, и переходя к пределу при /г->-0, получим, что

I utx (х, 01 $5 const в Q П U.

В частности, отсюда следует, что и* — липшицева функция по t, поэтому, применяя оценку леммы 3.7, легко вывести, что

О ^ ut (х, 0 ^ const У (х — Хо)2 — (/ — О)2 ’

когда (хо, <0)еГ, а (х, /) е U f| Q. Для завершения доказательства теоремы нужно ввести осреднение Та функции и( по переменной / и рассмотреть дифференциальное неравенство, аналогичное (3.9), для функции г = гк = ^м-\-^1х. Восполнение деталей рассуждений предоставляется читателю. |

Закончим этот параграф следующей теоремой.

Теорема 3.9. Пусть и —решение задачи 1.2, а Г —ее свободная граница. Тогда для каждой точки (хо, <о)^Г существует такая окрестность U этой точки, что их;с, их( е С (Q f] и^.

Доказательство. Выберем U, как в предыдущей теореме. Так как uxx = u(-Vk для (х, 0е^П^« то ихх не только непрерывная, но и липшицева функция в U f] Q. Дифференцируя по t, получим, что u(xx = utt eLm(Un^, и поэтому

\их<(х, h—Uxt^x', 04<^|х —х'|, (х, t), (х', t)^UQQ,

с константой (?, не зависящей от t. Более того, ихЬ будучи решением уравнения теплопроводности в U f| Q, непрерывна в этой области.

Наконец, пусть (х, О е Г f| U и (х, Г) е U f| Q. При заданном 8>0 справедлива оценка

\Uxt<x, Г)-ихДх, t')]^]uxi(x, t^ — Uxt^x-e, 01 +

+ \их«(х — е, h-UxtU-e, И1 + 1“л:/(х — e, П — uxt(x, 01^ ^2Се + |ы,/(х — е, t) — ихДх — е, /')!•.

Следовательно, lim | и,( (х, 0 — u,t (х, f) |Следовательно, lim | и,( (х, 0 — u,t (х, f) |^2Се, что доказывает тео

Следовательно, lim | и,( (х, 0 — u,t (х, f) |

Следовательно, lim | и,( (х, 0 — u,t (х, f) |

рему. 1

16»

4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА

Применение преобразования Лежандра к краевой задаче со свободной границей для и приводит к новой задаче с гладкой «свободной» границей, однако с сильно нелинейным уравнением даже в простейшем случае. Пусть в этом параграфе и обозначает решение задачи 1.2, а Г —ее свободную границу. Если (х0, ^о) е Г— заданная точка, то пусть U — ее окрестность, такая что их е С1 (Й (] U). Так как кривая Г липшицева, то легко проверить, что из включений ихх, ияеС (Q f] t/) следует, что их е С1 (й (] U), и в действительности их допускает ^-продолжение на всю окрестность U.

Введем теперь преобразование

s--«,(x,o, ^nsU.(4а)

Т =

Это отображение является отображением класса С1, причем д (£, т) / ихх^х, Г) uxt (х, #)\

01)*1 '

Так как ихх(х0, to) = k>O, то отображение д(£, т)/д(х, t) обратимо в точке (х0, ^о)> и поэтому (4.1) отображает окрестность, скажем С/ПS2, взаимно однозначно на область Gcz{(|, т)|£>0}. Напомним здесь, что их < 0 в й около Г. Кроме того, U П Г отображается на подмножество 5 с {(£, т) | g = 0}, ввиду того что их = 0 на Г.

Преобразованием Лежандра функции и является функция

о(£, т) = х£ + «(х0> (£, т)еС1)2, (х, О^^Л^-

При этом

dv = х d£ + $ dx 4- их dx + ut dt = x dg + u( dx,

или v^ = x и vx = ut. В частности, на основании (4.2) дх 1 1

Наша задача со свободной границей имеет вид -uxx-Vut = — h в ЙП1/, и — их — 0 на Г f| U.

В терминах о эта краевая задача записывается следующим образом:

(4-4)(4-4)(l/v^ + vt^ —^ в G, о = 0 на S.

(4-4)

(4-4)

Новая задача (4.4) является параболической, потому что линеариза* ция L оператора, соответствующего этой задаче, имеет вид

“=a[i^+<B+'^]L=-(£«/,*>+c<!

таким образом, L — параболический оператор с непрерывными коэффициентами. Из теории нелинейных параболических уравнений (Ладыженская и др. [1]) следует, что ueC^GIjS)- Поэтому Г f] f7: х= =i^(0, т), где |т — т0f мало, является (^-параметризацией части Г. Итак, доказана

Теорема 4.1. Пусть и —решение задачи 1.2, а Г —ее свободная граница. Тогда Г —кривая класса С”.

Заметим, что, вообще говоря, Г не может быть аналитической.

Комментарии и библиографические указания .

. Классическая задача Стефана для произвольной размерности обсуждается в работе Фридмана [3]. Интерпретация однофазовой задачи в виде вариационного неравенства предложена в работе Дюво [1]. Дальнейшее развитие этого подхода и исследование свойств решения этого неравенства имеется в работе Фридмана и Киндерлерера [1]. Обсуждение ряда общих вопросов, касающихся свободной границы, читатель найдет в работах -Киндерлерера и Ниренберга [2, 3]. Интересное доказательство бесконечной дифференцируемости Г (jV=l) предложено Шеффером [1]. Кроме того, в этом случае показано, что поверхность Г аналитична, если только подаваемое тепло задается аналитической функцией (Фридман [4]).

Недавно Кафарелли и Фридман [2] показали, что температура в М-мериой одиофазовой задаче непрерывна.

По образцу задачи Стефана можно решать многие задачи, связанные с вариационными и квазивариационными неравенствами параболического типа. К ним относятся, например, задачи о времени остановки, задачи оптимального и импульсного управления. Мы отсылаем читателя, например, к работам Бенсуссана н Лионса [1) и Фридмана [5].

БИБЛИОГРАФИЯ

Агмои, Дуглис, Ниренберг (Agmon S., Douglis A., Nirenberg L.)

Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions. I, Comm. Pure Appl. Math. 12 (1959), 623—727. [Русский перевод: Агмои С., Дуглис А., Ниренберг Л. . Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях. — М.: ИЛ, 1962.]

Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions. II, Comm. Pure Appl. Math. '22 (1964), 35—92.

Альт (Alt H.)

A free boundary problem associated with the flow of groundwater, Arch. Rational Meeh. Anal. 64 (1977), 111—126, ■

The fluid flow through porous media: regularity of the free surface, Manus. Math. 21 (1977), 255—272.

Байокки (Baiocchi C.)'

Su un problema a frontiera libera connesso a question! di idraulica, Ann. Mat. Рига Appl. 92 (1972), 107—12?.

Free boundary problems in the theory of fluid flow through porous media, Proc. Int. Congr. Math., Vancouver, 1974, Vol. II, pp. 237—343. Canadian Math. Congress.

Problemes й froqtiere libre et ln6quations variationnelles, C. R, Acad. Scl. Paris 283 (1976), 29—32,

Free boundary problems ajid variational inequalities, SIAM Rev.

Байокки, Капело (Baiocchi C., Capelo A.)■

Disequazioni variazionali e quasi varia?ionali, Applicazioni a prot>lemi di frontiera libera, I, II, Quaderni dell’U. M. I., Pitagora, Bologna (1978).

Бейраи-да-Вейга (Beirao da Veiga H.)-

Sulla Holderianita della soluzioni di alcune disequqzloni vqri^zionali ton con- dizioni unilaterale al bordo, Ann. Mat. Рига Appl. 83 (1969), 73—112.

Беллмаи (Bellman R.)■

Dynamic Programming. Princetqn Upiv. Press, Princeton, New Jersey, 1957. [Русский перевод: Беллман P. Динамическое программирование. — М.: Мир, I960.].

Беисуссаи, Лионс (Bensoussan A., Lions J.L.)'

Temps d’arrtt optimal et controls impulsionnel, Vol. I, Dunod, Paris (1977). Беичи (Benci V.)

On a filtration problem through a porous membrane, Ann. Mat. Рига Appl. 100 (1974), 161—209.

Берестыцки, Брезис (Berestycki H-, Brezis H.)

Sur certains problemes de frontiere libre, C, R, Acad. Scl. Paris 283 (1976), 1091—1094.'

Бериштейи С. H.

Ограничение модулей последовательных производных решений уравнений параболического типа, — ДАН СССР 18, 7 (1938), 385—388,

Берс (Bers L.)

Mathematical Aspects of Subsonic and Transonic Gas Dynamics, Chapman, London, 1958,

Берс, Джон, Шехтер (Bers L„ John F„ Schechter M.)

Partial Differential Equations, Wiley (Interscience), New York, 1962, [Русский перевод: Берс Л., Джон Ф„ Шехтер М. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1966.]

Браудер (Browder F.)

Nonlinear monotone operators and convex sets in Banach spaces. Bull. Amer. Math. Soc, 71 (1965), 780—785,

On a theorem of Beurling and Livingston, Canad. J. Math. 17 (1965), 367—372. Брезис (Brezis H.)

1. Problemes unilat6raux, J. Math, Pures Appl, 61 (1972), 1—168.

Multiplicateur de Lagrange en torsion elastroplastique, Arch. Rational Meeh, Anal. 41 (1971), 254—265.

Monotonicity methods in Hilbert spaces and some applications to non-linear partial differential equations, in Contributions to Non Linear Functional Analysis (E. Zarantonello, ed.) pp, 101—156. Academic Press, New York, 1971. Брезис, Дюво (Brezis H., Duvaut G.)

Ecoulement avec sillage autour d’un profile sym6trique sans incidence, C. R. Acad. Set. Paris 276 (1973), 875—878.

Брезис, Киндерлерер (Brezis H„ Kinderlehrer D.)

The smoothness of solutions to nonlinear variational inequalities, Indiana J. Math. 23 (1974), 831-844.

Брезис, Киндерлерер, Стампаккья (Brezis H., Kinderlehrer D., Stampacchia G.)

Sur une nouvelle formulation du ргоЫёте de I’&oulement 3 travers une digue, C. R. A. S. Paris 287 (1978), 711—714.

Брезис, Стампаккья (Brezis H., Stampacchia G.)

Sur la regularity de la solution d’inequations elliptiques, Bull, Soc, Math, France 96 (1968), 153—180.

The hodograph method in fluid-dynamics in the light of variational inequalities, Arch. Rational Meeh. Anal. 61 (1976), 1—18.

Une nouvelle methode pour 1’etude d’ecoulements stationnaires, C. R. Acad. Sci. Paris 276 (1973), 129—132.

Remarks on some fourth order variational inequalities, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 4 (1977), 363—371.

Брезис, Эванс (Brezis H., Evans Li)

A variational inequality approach to the Bellman-Dirichlet equation for two elliptic operators, Arch. Rational Meeh. Anal. 71 (1979), 1—13.

Вергара-Кафарелли (Vergara-Caffarelli G.)

Su un problema ~al contorno con vincoli per operatori differenziali ordinari, Boll. Un. Mat. Itai, 4 (1970), 566—584.

Regolaritk di un problema di disequazioni variazionali relative a due membrane, Rend. Acad. Llncei 50 (1971), 659—662.

Vafiational Inequalities for Two Surfaces of Constant Mean Curvature, Arch. Rational Meeh. Anal. 56 (1974), 334—347.

Superficie con curvatura media assegnata in Lp; Applicazioni ad un problema di disequazioni variazionali, Boll. Un. Mat. Hal. 8 (1973), 261—277.

Вилладжо (Villaggio P.)

Monodimensional solids with constrained solutions, Meccanica 2 (1967), 65—68.

Stability conditions for elastic-plastic Prandtl—Reuss solids, Meccanica 2 (1968),-46-47,

Вишик M. И.

Квазилинейные сильно эллиптические системы дифференциальных уравнений, имеющие дивергентную форму. — Труды Моск. Мат. об-ва (1963), 12, с. 125—184.

Гарабедян (Garabedian Р.)

Partial Differential Equations, Wiley, New York, 1964

Герхард (Gerhardt С.).

Hypersurfaces of prescribed mean curvature over obstacles. Math. Z. 133 (1973), 169—185.

Regularity of solutions of nonlinear variational inequalities, Arch. Rational Meeh. Anal. 52 (1973), 389—393.

Де Джорджи (De Giorgi E.)

Sulla differenziabilita e analiticith delle estremali degli integral! multipli regolari, Mem. Accad. Sci. Torino 3 (1957), 25—43. [Русский перевод: Де Джорджи Е. О дифференцируемости и аналитичности экстремалей кратных . регулярных интегралов. — Математика, сб. пер. (1960), 4:6, с, 23—38.] Джакуинта,.Пепе (Giaquinta М., Pepe L.)

Esistenza е regolarita per il problema dell’area minima con ostacoli in n varia- bili, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 25 (1971), 481—507.

Джусти (Giusti E.)

Minimal surfaces with obstacles, CIME course on Geometric Measure Theory and Minimal Surfaces, Edizioni Cremonese, Rome, pp. 119—153 (1973).

Дюво (Duvaut G.)•

Resolution d’un probleme de Stefan (Fusion d’un bloc de glace й гёго degre), C. R. Acad. Sci. Paris 276 (1973), 1461—1463. ■.

Дюво, Лионс (Duvaut G., Lions J. L.) •

Les Inequations en Mecanique et en Physique. Dunod, Paris, 1972. [Русский перевод: Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства и механике и физике. — М.: Наука, 1980.]

Иорданов (lordanov I. V.)'

Prooleme non-coercif pour une inequation variationnelle elliptique й deux

' contraintes, Serdica 1 (1975), 261—268, Каприц, Чиматти (Capriz G., Cimatti G.)

On some singular perturbation problems in the theory of lubrication, Appl. Math. Optim. 4 (1978), 285—297.

Карамардян (Karamardian S.)

The complementarity problem, Math. Programming 2 (1972), 107—129. Каратеодори (Caratheodory C.)

Conformal Representation. Cambridge Univ. Press, London and New York, 1932. [Русский перевод: Каратеодори К. Конформное отображение. — М. — Л.: ГТТИ, 1934.1

Кафарелли (Caffarelli L.)

The smoothness of the free surface in a filtration problem. Arch. Rational Meeh. Anal. 63 (1976), 77—86.

The regularity of free boundaries in higher dimensions, Acta Math. 139 (1978), 155-184.

Further regularity in the Signorini problem.

Кафарелли, Ривьере (Caffarelli L. A., Riviere N. M.)

On the rectifiability of domains with finite perimeter, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 3 (1976), 177—186.

Smoothness and analyticity of free boundaries in variational inequalities, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 3 (1976), 289—310.’

Asymptotic behavior of free boundaries at their singular points, Ann. Math. 106 (1977), 309-317.

On the Lipschitz character of the stress tensor when twisting an elastic plastic bar, Arch. Rational Meeh. Anal. 69 (1979), 31—36.

Кафарелли, Фридман (Caffarelli L. A., Friedman A.)..

The obstacle problem for the biharmonic operator, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 6 (1979), 151—184.

The one phase Stefan problem and the porous medium equation: Continuity of the solution in n space dimensions, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 75 (1978), 2084.•

Киндерлерер (Kinderlehrer D.)

Variational inequalities with lower dimensional obstacles, Israel J. Math. 10 (]971), 339—34§,'•"

The coincidence set of solutions of certain variational inequalities, Arch. Rational Meeh. Anal. 40 (1971), 231—250.

How a minimal surface leaves an obstacle, Acta Math. 130 (1973), 221—242.

The free boundary determined by the solution as a differential equation, Indiana Unto. Math. J. 25 (1976), 195—208.

5. Variational inequalities and free boundary problems, Bull. Amer. Math. Soc. 84 (1978), 7—26.

Киндерлерер, Ниренберг (Kinderlehrer D., Nirenberg L.)

Regularity in free boundary value problems, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Ser. IV 4 (1977), 373—391.

The smoothness of the free boundary in the one phase Stefan Problem, Comm. Pure Appl. Math. 31 (1978), 257—282.

Analyticity at the boundary of solutions of nonlinear second-order parabolic equations, Comm. Pure Appl. Math. 31 (1978), 283—338.

Киндерлерер, Ниренберг, Шпрук (Kinderlehrer D.,‘Nirenberg L., Spruck J.)

Regularite dans les problemes elliptiques a frontiere libre, C. R. Acad. Scl. Paris 286 (1978), 1187—1190.

Regularity in elliptic free boundary problems, I, J. d’Analyse Math. 34 (1978), 86—119..'

Regularity in elliptic free boundary problems, II, Annali della SNS (to appear). Киндерлерер, Стампаккья (Kinderlehrer D., Stampacchia G.)

A free boundary problem in potential theory, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 25 . (1975), 323—344.■

Киндерлерер, Шпрук (Kinderlehrer D., Spruck J.)

The shape and smoothness of stable plasma configurations, Annali della SNS 5 (1978), 131-148.

Копполетта (Coppoletta G.)

A remark on existence and uniqueness in the theory of variational inequalities, Boll. Un. Mat. Itai, (to appear).

Кураит, Гильберт (Courant R., Hilbert D.)

Methods of Mathematical Physics, Vol. II, Partial Differential Equations, especially p. 350. Wiley (Interscience), New York, 1962. [Русский перевод: Курант P. Уравнения с частными производными — М.: Мир, 1964.]

Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н.

Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — М.: Наука, 1967.

Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. ■

Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. —М.: Наука, • 1973.

Леви (Lewy Н.)

A priori limitations for the solutions of the Monge-Ampere equations, II, Trans. Amer. Math. Soc. 41 (1937), 365—374. [Русский перевод: Леви Г. Априорные ограничения для решений уравнений Монжа — Ампера. — УМН, 3 (1948), 2, с. 191—215.)

On the boundary behavior of minimal surfaces, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 37 (1951), 103—110. MR 14, 168.

A note on harmonic functions and a hydrodynamical application. Proc. Amer. Math. Soc. 3 (1952), 11—113..

On minimal surfaces with partially free boundary, Comm. Pure Appl. Math. 4 (1952), 1—13, MR 14, 662.

On the reflection laws of second order differential equations in two independent variables. Bull. Amer. Math. Soc. 65 (1959), 37—58."

On a variational problem with inequalities on the boundary, Indiana J. Math, 17 (1968), 861—884.

The nature of the domain governed by different regimes, Atti del Convegno Internazionale Metodi valutativi nella fisicamatematica, Accad. Naz. Lincet (1975), 181—188.

On the coincidence set in variational inequalities, J, Diff, Geom, 6 (1972), 497—501.

Inversion of the obstacle problem and explicit solutions, Ann, Scuola Norm. Sup. Pisa (to appear). '

Леви, Стампаккья (Lewy H„ Stampacchia G.)

On the regularity of the solution of a variational inequality, Comm, pure Appt. Math. 22 (1969), 153—188.

On existence and smoothness of solutions of some noncoercive variational inequalities, Arch. Rational Meeh. Anal. 41 (1971), 241—253.

Лере, Лионе (Leray J., Lions J. L.)

Quelques resultats de Visik sur les problemes elliptiques non lineaires par les methodes de Minty-Browder, Bull. Soc. Math. France 93 (1965), 97—107.

Лионс (Lions J. L.)-

Some remarks on variational inequalities. Proc. Tokyo Con}. Functional Anal, Appl., Tokyo (1969), 269—281.

Лионс, Мадженес (Lions J. L., Magenes E.)

Problemes aux Limites non Homogines, Vols. I. II, III. Dunod, Paris, 1968— 1970. (English transl.: Springer, New York, 1972.) [Русский перевод: Лионс Ж--Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. — М.: Мир, 1971.1

Лионс, Стампаккья (Lions J. L., Stampacchia G.)

Variational inequalities, Comm. Pure Appl. Math. 20 (1967), 493—519.

Литтман, Стампаккья, Вайнбергер (Littman W., Stampacchia G., Weinberger H.)

Regular points for elliptic equations with discontinuous coefficients, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, 17 (1963), 43—77. [Русский перевод: Регулярные точки для эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами. — Математика, сб. пер. (1956), 9 : 2, с. 72—97.[

Мадженес (Magenes Е.)

Topics in parabolic equations: some typical free boundary problems, Proc, NATO Adv. Study Inst., Likge (1976).

Маичино, Стампаккья (Mancino О., Stampacchia G.)

Convex programming and variational inequalities, J. Opt, Theory Appl. 9 e, 3—23..

:y W. S.)-

Algebraic Topology, An Introduction. Springer, New York, 1967. [Русский перевод: Масси У., Столлингс Дж. Алгебраическая топологии. Введение. -* М.: Мир, 1977, с. 7—278.]

Маццоне (Mazzone S.)

Existence and regularity of the solution of certain nonlinear variational ine- ■ qualities with an obstacle, Arch. Rational Meeh. Anal. 57 (1974), 115—127.

tin problema di disequazioni variazionali per superficie di curvatura media assegnata, Boll. Un. Mat. Itai. 7 (1973), 318—329.

Мертв, Стампаккья (Murthy M. К. V., Stampacchia G.)

A variational inequality with mixed boundary conditions, Israel J. Math. 13 S, 188—224.--

, у G. J.).

Monotone (non linear) operators in Hilbert space, Duke Math. J. 29 (1962), ■341-346.

On a «monotonicity» method for the solution of nonlinear equations in Banach spaces, Proc. Nat. Acad. Scl. U. S. A. 50 (1963), 1038—1041.

Миранда К. (Miranda C.)-

Su un problema di frontier a libera (Symp. Math. П), pp. 71—83. Academic Press, New York, 1969.'

Миранда M. (Miranda M.).

Distribuzioni aventi derivate misure: insieme di perimetro localmente finito, Ann. Scuola Norm. Pisa 18 (1964), 27—56.

Frontiere. minimali con ostacoli, Ann. Un. Ferrara XV1.2 (1971), 29—37. Mopo (Moreau J. J.)

Principes extremaux pour le probleme de la naissance de la cavitation, J, Мё- canique 5 (1966), 439—470,"

Мерри (Morrey C, B„ Jr,)

Multiple Integrals in the Calculus of Variations. Springer, New York, 1966. Рокафеллар (Rockafellar R. T.)

Convex Analysis. Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersy, 1970. [Русский перевод: Рокафеллар P. Выпуклый анализ. — М.: Мир, 1973.] Сарантонелло (Zarantonello Е. Н.).

Solving functional equations by contractive averaging, Tech. Rep. 160, Math. Research Center, Univ, of Wisconsin, Madison, Wisconsin (1960).:

Серрин (Serrin J.)

The problem of Dirichlet for quasilinear elliptic differential equations with many independent variables, Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A 264 (1969), .413—496.

Скиаффино, Троянелло (Schiaffino A., Troianiello G.)'

Su alcuni problem! di disequazioni variazionali per sistemi variazionali ordinari, Boll. Un. Mat. Itai. 3 (1970), 76—103.

Стампаккья (Stampacchia G.).■

On .some regular multiple integral problems in the calculus of variations, ' С. P. A. M. 16 (1963), 383—421.'

Le probleme de Dirichlet pour les equations elliptiques du second ordre a coefficients discontinus, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 15 (1565), 189—258.

Formes bilineaires coercitives sur les ensembles convexes, C. R. Acad. Sci. Paris 258 (1964), 4413—4416.

Variational inequalities, theory and applications of monotone operators. Proc. NATO Adv. Study Inst., Oderisi—Gubbio (1969).

Variational inequalities, Proc. Internal. Congr. Math., Nice (1970), 877—883. ’6. О фильтрации жидкости через пористую среду с переменным поперечным

сечением. — УМН 29 (1974), вып. 4, с. 89—101.

Su una disequazione variazionale legata al comportamento elastpplastico delle travi appoggiate agli estremi, Boll. Un. Mat. Itai. 11 (4) (1975), 444—454.

Le disequazioni variazionali nella dinamica dei fluid!, Atti del convegno Inter

. nazionale, cMetodi valutativi nella' fisica-matematica», Accad. Naz. Lincel (1975), 169—180..

Стампаккья, Виньоли (Stampacchia G., Vignoli A.)■

A remark on variational inequalities for a second order nonlinear differential operator with non-Lipschitz obstacles. Boll. Un. Mat. Itai. 5 (1972), 123—131. Стейн (Stein E. M.)

Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions. Princeton Univ, Press, Princeton, New Jersey, 1970. [Русский перевод: Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. — М.: Мир, 1973.] Темам (Temam R.)' ■'

A non-linear eigenvalue problem: the shape at equilibrium of a confined plasma, Arch. Rational Meeh. Anal. 60 (1975), 51—73..

Remarks on a free boundary problem arising in plasma physics, Comm, Partial Differential Equations 2 (1977), 563—585..

Тинг (Ting T, W.)

Elastic-plastic torsion, Arch. Rational Meeh. Anal. 24 (1969), 228—244, Томареллн (Tomarelli F.)

Un probltaie de fluidodynamique avec les inSquat ions variationnelles, C, R. Acad. Sci. Paris 286 (1978), 999—1002.

Фикера (Fichera G.)

Problemi elastostatici con vincoli unilateral!: 11 problema di Signorini con ambigue condizioni al contorno, Atti Accad. Naz. Llncei Mem, Cl, Sci, Pis, Mat. Natur. Sez. la (8) Vil (1963—1964), 91—140.

Фрезе (Frehse J.)

On the regularity of the solution of a second order variational inequality, Boll. Un. Mat. Itai. 6 (1972), 312-315..

On the regularity of the solution of the biharmonic variational inequality, Manuscripta Math. 9 (1973), 91—103.

Two dimensional variation problems with thin obstacles, Matti, Z, 143 (1975), 279-288,

On Signorini’s problem and variational problems with thin obstacles, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 4 (1977), 343—362.

Френкель, Бергер (Fraenkel L., Berger M.)

A global theory of steady vortex rings in an ideal fluid, Acta Maih. 132 (1974), 13—51.'

Фридман (Friedman A.)

On the regularity of the solutions of non-linear elliptic and parabolic systems of partial differential equations, J. Math. Meeh. 7 (1958), 43—60.

Partial Differential Equations of Parabolic Type. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1964. [Русский перевод: Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. — М.: Мир, 1968.]

The Stefan problem in several space variables, Trans. Amer. Math. Soc. 133 (1968), 51—87.■

Analyticity of free boundary for the Stefan problem, Arch. Rational Meeh.

■ Anal. 61 (1976), 97—125.

On the free boundary of a quasi variational inequality arising in a problem of quality control, Trans. Amer. Math. Soc. (to appear).

Фридман, Йенсен (Friedman A„ Jensen R.)

Convexity of the free boundary in the Stefan problem and in the dam problem, Arch. Rational Meeh. Anal. 67 (1977), 1—24.

Фридман, Киидерлерер (Friedman A., Kinderlehrer D.)

A one phase Stefan problem, Indiana Unto. Math. J. 24 (1975), 1005—1035. Фридрихе (Friedrichs К. O.)

Ober ein Minimumproblem fiir Potent ialstromungen mit freiem Rande, Math. Ann. 109 (1934), 60—82.

Хартман, Уинтнер (Hartman P., Wintner A.)

On the local behavior of non parabolic partial differential equations, Amer. J. Math. 85 (1953), 449—476.

Хартман, Стампаккья (Hartman P., StampacchiaG.)

On some nonlinear elliptic differential functional equations, Acta Math. 115 (1966), 153—188..

Чиматтн (Cimatti G.).

On a problem of the theory of lubrication governed by a variational inequality, ■ Appl. Math. Optim. 3 (1977), 227—242.

Шамир (Shamir E.)

Regularisation of mixed second order elliptic problems, Israel J, Maih, 6 (1968), 150—168.

Шварц (Schwarz L.)

1. Theorie des Distributions. Hermann, Paris, 1966.

Шеффер (Schaeffer D.)

A stability theorem for the obstacle problem, Adv. in Maih. 17 (1975), 34—47,

A new proof of the infinite differentiability of the free boundary in the Stefan problem, J. Differential Equations 20 (1976), 266—269.

Some examples of singularities in a free boundary, Ann, Scuola Norm, Sup, Pisa Cl, Sci, (4) 1 (1977), 133—144,•

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Банаха—Сакса теорема 36

Беллмана—Дирихле задача 86

Бельтрами уравнение 138—141

Бернштейна метод 242

Билинейная форма 26

Брауэра теорема о неподвижной точке

17, 23

Брезиса и Эванса теорема 86

Векторное поле в задаче о минимальной поверхности 82

коэрцитивное 20

класса С1 84

локально коэрцитивное 82 ■

монотонное 21

Веса эллиптической системы 157, 158

Выпуклая функция 22, 69

Гауссово отображение 137, 138

Гёльдерова непрерывность 30

Годографа преобразование 125, 152,

170, 173, 179, 215, 244

Действенность банаховых пространств — В Rw 18 .

Дирихле задача 32, 35, 38, 94, 159, 181

Дополнительная задача 22 — форма 70

Емкость 43

Задача" об изгибании ■ балки 223—225 обтекании профиля 212—214 удержании (об ограниченных конфигурациях) плазмы 167, 180, 182

— о смазке подшипника 184, 188 фильтрации жидкости 188

— • липшицевым препятствием ПО

многогранным препятствием НО,

— со свободной границей 122, 183, 245

— с препятствием 39

для интеграла Дирихле 87

коэрцитивного векторного

поля 81, 94

локально коэрцитивного

векторного поля 97

одномерная 45

— — — определенным на части Q

с неймановскими граничными условиями 78, 86

со смешанными условиями 114, 117

штрафная 89, 91, 99

тонким препятствием 114

Кавитация 185, 187, 227

Кальдерона—Зигмунда неравенство 88

Квазивариациоиное неравенство 245

Квазиконформное отображение 129

Келлога теорема 150

Кнастера—Куратовского—Мазурке-

вича теорема 24

Коиицидентное множество 10, 42, 139, 176, 187, 194—200, 208—211

Конечный периметр 107, 108

Копполетты теорема 86

Корна и Лихтенштейна теорема 193

Коши задача 123, 189, 191, 202, 217

Коэрцитивная система обыкновенных дифференциальных уравнений 163

Коэрцитивные граничные условия 158

Куна—Танкера условие 25

Лежандра преобразование 125, 152, 153, 167, 169, 178, 217, 244

Л^ма об Я1-склеЙке (matching lemma)

Линейные уравнения второго порядка с ограниченными измеримыми коэффициентами 57—60, 65—67, 105

Липшицева функции 30

Липшицево препятствие НО

Максимума слабый принцип 38 в параболическом случае 241

смешанной задаче 202

Минимальная поверхность 137

Минти лемма 73, 90

Морри лемма 68, 120

Неймана задача 34, 70

Неподвижная точка 15

Непрерывность на конечномерных подпространствах 72

Нерастигивающее отображение 15, 74, 85

Ограниченная вариация 107

Оператор коэрцитивный иа выпуклом множестве 72

.— монотонный 72

— некоэрцитивный 75

— порожденный коэрцитивным векторным полем 94

локально коэрцитивным векторным полем 96

— следа 51

— строго монотонный 72

Оптимальное управление 245

класса НМ 51

— — липшяцевых 31

— квазиконформное 129

Проекция на выпуклое множество 16

Производная функции из НМ 47, 49

Пуанкаре неравенство 52, 71

слабого типа 55

Пьезометрический напор 189

Радиус кривизны 215

Рейнольдса уравнение 185

Реллиха теорема о компактности 57

Свободная граница 123

Сжимающее отображение 15

S-класс множеств 59, 60

Скорости распределение .212

— потенциал 213

Смешанная задача 34, 69

Соболева лемма 52

— пространства 30, 31, 46

Сравнение решений вариационных не

равенств 111, 233

Срезка (truncation) 29

— решений 58, 63

Стефана задача 228—230, 232, 234, 235

Субдиффереициал 25

Субрешение оператора второго порядка 39

Суперрешение оператора второго порядка 39

Потенциал первого порядка 55

— проводника 43

Порядок в Н1 36, 40

Принцип профили контакта 112

Продолжение функций аналитических 125

гармонических 149

Угол, под которым видно множество 69

Упругопластическое кручение 226

Эллиптическая регуляризация 75 — система 156—159, 162

ЮОЬ>ОЮЮСО ОО О —’ ОО соСОСО ь. О О Ср О 1О срЬ-QtQCOOсчсчюоою•«и—. — —. —. СЧ сч счсчсч сч сч со со со^Ю СО СО СО СОг*Г* Г*-ОО со QOЮОЬ>ОЮЮСО ОО О —’ ОО соСОСО ь. О О Ср О 1О срЬ-QtQCOOсчсчюоою•«и—. — —. —. СЧ сч счсчсч сч сч со со со^Ю СО СО СО СОг*Г* Г*-ОО со QO

ЮОЬ>ОЮЮСО ОО О —’ ОО соСОСО ь. О О Ср О 1О срЬ-QtQCOOсчсчюоою

•«и—. — —. —. СЧ сч счсчсч сч сч со со со^Ю СО СО СО СОг*Г* Г*-ОО со QO

ЮОЬ>ОЮЮСО ОО О —’ ОО соСОСО ь. О О Ср О 1О срЬ-QtQCOOсчсчюоою

•«и—. — —. —. СЧ сч счсчсч сч сч со со со^Ю СО СО СО СОг*Г* Г*-ОО со QO

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора перевода . . • Предисловие Список обозначений Введение . . . .

Глава I. Вариационные неравенства в Rw

Неподвижные точки

•2. Свойства проекции на выпуклое множество

Первая теорема о вариационных неравенствах

Вариационные неравенства

Некоторые задачи, приводящие к вариационным неравенствам . . . . Комментарии и библиографические указания .'. . Упражнения

Глава II. Вариационные неравенства в гильбертовом пространстве

Билинейные формы ..

Существование решения. . . .,

Срезка

4. Пространства Соболева и граничные задачи

Слабый принцип максимума

Задача с препятствием. Начальные свойства

Задача с препятствием в одномерном случае Приложение А. Пространства Соболева,

Приложение В. Решения уравнений с измеримыми ограниченными коэффициентами

Приложение С. Локальные оценки решений Приложение D. Непрерывность решений по Гёльдеру Комментарии и библиографические указания Упражнения

Глава III. Вариационные неравенства для монотонных операторов

Абстрактная теорема существования .. .

Некоэрцитивные операторы

Полулинейные уравнения

Квазилинейные операторы

Комментарии и библиографические указания

Упражнения 85

Глава IV. Проблемы регулярности87

Метод штрафа 87

Интеграл Дирихле 87

Коэрцитивные векторныеполя 93

96 99102 107 ПО 114 118 120 12196 99102 107 ПО 114 118 120 121Локально коэрцитивные векторные поля

96 99

102 107 ПО 114 118 120 121

96 99

102 107 ПО 114 118 120 121

Другой метод штрафа

Ограниченность вторых производных

Ограниченная вариация

Липшицевы препятствия .

Вариационное неравенство со смешанными граничными условиями Приложение А. Доказательство теоремы 3.3 Комментарии и библиографические указания "Упражнения

Глава V. Задачи со свободной границей и коинцидентное множество реше-ния 122

Введение 122

Преобразование годографа и преобразование Лежандра 125

Свободнаяграницавдвумерномслучае 127

Замечаниеобособенностяхкривых 135

Задача с препятствием для минимальной поверхности 137

Топология коинцидентного множества в случае, когда препятствие вогнуто 141

Замечание о коинцидентном множестве в высших размерностях . . . .146

Комментарии и библиографическиеуказания 148

Упражнения 149

Глава VI. Задачи со свободной границей для эллиптических уравнений и . систем'. 151

Введение 151

Преобразования годографа иЛежандра:теорияодногоуравнения . .152

Эллиптические системы 156

Задача отражения 167

Эллиптические уравнения ссовпадающимиданнымиКоши169

Задача о двух мембранах 175

Комментарии и библиографические указания 180

Упражнения ' 181

ГлаваVIL Применение вариационных неравенств 184

Введение 184

Задача теории смазки■ 184

Фильтрация жидкости черезпористую перегородку 188

Решение задачи фильтрациипосредством вариационных нераненств 194

Фильтрация жидкости через пористую перегородку с переменным поперечным сечением 200

■ 6. Решение задачи фильтрации в трехмерном случае 206

Обтекание заданного профиля: плоский случай 212

Обтекание заданного профиля: решение с помощью вариационных неравенств 215

Изгибание свободно опирающейся балки".223

Комментарии и библиографические указания 225

Упражнения 226

Глава VIII. ОдиофазоваязадачаСтефана 228

Введение ..228

Существование и единственность решения ..230

Свойства гладкостирешения 237

Преобразование Лежандра 244

Комментарии и библиографические указания .245

Библиография 246

Предметный указатель 253

и теоремы вложения.—М.: Наука, 1977; Бесов О. В., Ильин В. П., Николь

ский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. —М.:

Наука, 1975.—Прим, перев.

j/i/e-'-ZA^^lfd^ i/el^a, —^»l£e6‘ 0/“!)+ ••• +(,/а») = 1-

Дн^О, Ди2 + Х«2 = 0 в U,(3.13)

и1 —«2 = 0, Dnuv — Dnu^ = 0 на S,

PURE AND APPLIED MATHEMATICS

A Series of Monographs and Textbooks

AN INTRODUCTION

TO VARIATIONAL INEQUALITIES

AND THEIR APPLICATIONS

DAVID KINDERLEHRER

School of Mathematics

University of Minnesota

Minneapolis, Minnesota

GUIDO STAMPACCH1A f

Scuola Normale Superiore Pisa

1980.

ACADEMIC PRESS

A Subsidiary of Harcourt Brace Jovanovich, Publishers

NEW YORK LONDON TORONTO

SYDNEY SAN FRANCISCO

Д. КиндерлерерГ Стампаккья