Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ЧАСТЬ I
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ
Пример вариационной задачи. Понятие корректно поставленной задачи
Задача о препятствии. Рассматриваемый ниже пример на основе физической задачи позволит нам ввести понятие задачи вариационного типа (причина использования термина «задача вариационного типа» будет ясна из последующего). Ради простоты мы рассматриваем случай задачи с одной независимой переменной, который приводит нас к обыкновенным дифференциальным неравенствам. Но если вместо упругой струны рассмотреть упругую мембрану, а вместо двумерной преграды —трехмерную, то получим пример задачи, в которой уже появляются частные производные и возникают соответствующие неравенства.
Рассмотрим тело А с: R2, которое будем называть препятствием (преградой), и две точки Ръ Ра, не принадлежащие А (рис. 1.1). Соединим Рг и Ра невесомой упругой струной, которая не может проходить через А. Нас интересует форма, принимаемая данной струной. Чтобы ее описать, введем систему прямоугольных координат Оху, по отношению к которой точки Рг и Ра имеют координаты (0,0) и (/,0) соответственно. Предположим, что в выбранной системе координат (на отрезке, которым мы интересуемся, т. е. на Ю,/1) «нижняя часть» границы препятствия А задается кривой у = ф (х). Из практики следует, что если у = и (х) — кривая, форму кото- торой принимает струна, то
и(0) = «(0 = 0(1.1)
(поскольку струна соединяет точки Ръ Р^); кроме того, струна не проходит через А, поэтому
«(хХф(х),(1.2)
а поскольку, будучи упругой и невесомой, она должна принимать выпуклую форму, то
и"(х)>0;(1.3)
далее,.
«(х)<ф(х)=Ф- и" ^ = 0(1.4)
(т. е. там, где нет касания тела струной, она принимает линейную форму), так как струна стремится принять форму с наименьшей
допустимой длиной—в частности, если бы не было препятствия, ее длина равнялась бы I.
Соотношения (1.1)—(1.4) эквивалентны (1.1)—(1.3) с соотношением
[и (х) — гр (х)1 и” (х) = 0.(L5)
Действительно, если (1.4) верно, то или и (х)—гр (х) = 0, или я" (х) = 0, т. е. верно (1.5). С другой стороны, если верно (1.5), то при и (х) ^= гр (х) имеем и" (х) = 0, и тогда в силу (1.2), и (х) =# =# гр (х) лишь при и (х) < гр (х).
Соотношения (1.1)—(1.3) и (1.5) составляют математическую формулировку изучаемой нами физической задачи, а отыскание функции и (х), удовлетворяющей этим
соотношениям, и представляет собой вариационную задачу, которой (как мы увидим ниже) можно поставить в соответствие вариационное неравенство, В последующем мы будем ссылаться на данную задачу как на задачу 1.0.
Пространства исходных данных и пространства неизвестных. Задача 1.0, однако, не является полной (замкнутой), поскольку мы
не определили гладкость, которой должна обладать неизвестная функция и (х) (т. е. мы не определили пространство функций, которому должна принадлежать и (х)), а также гладкость, которую мы требуем от заданной функции гр (х) (т. е. не определено функциональное пространство, из которого выбирается гр (х)). Ясно, что для конкретной функции гр (х) мы можем определить ее гладкость непосредственным изучением. Однако, если мы хотим решить «задачу о 'Струне и препятствии» в общем случае, то мы не можем фиксировать функцию гр (х), а можем лишь задать некоторые из ее свойств, т. е. задать пространство, которому она принадлежит.
Понятие замыкания задачи не следует смешивать с понятием корректности, о котором мы будем говорить ниже. Как можно заметить из последующих рассмотрений, процедура замыкания задачи далеко не является общепринятой. Так, из физических соображений функция и (х) должна быть непрерывной (в противном случае в струне должен быть разрыв), но она, например, не обязательно должна быть дифференцируемой. В случае формы струны, изображенной на рис. 1.2, мы будем иметь недифференцируемую функцию и (х), и если в этом случае мы ищем и (х) в классе С° ([0, Л) (что было бы естественным), то например, условие (1.3), не имеет смысла. Здесь ■форма струны по-прежнему остается выпуклой, однако математическое описание этого факта следует изменить. И очень важно так определить функциональные пространства, в которых ставится задача, чтобы было ясно, как понимать записанные математические выражения. Например, если гр — заданная функция из С2 ([0, Л),
и мы ищем и (х} в С2 ([О, Л), то (1.1)—(1.3), (1.5) можно понимать в обычном смысле. Если жеф принадлежит С1 ([О, Л), и мы ищем и (х) среди функций С1 (10, Л), имеющих абсолютно непрерывную производную, то (1.1) и (1.2) могут все еще рассматриваться в обычном смысле, однако (1.3) и (1.5) должны быть записаны в таком виде, чтобы они были справедливы почти всюду. Заметим, что если и € £ С1 ([0, Л) и и' € АС ([О, Л)), то и" (х) существует почти всюду.
Задачи вида:
«для заданной функции ф € С2 ([0, Л) (или ф € С1 ([О, Л)) найти функцию и £ С4 ([О, Л (или и С (и £ С1 ([О, Л) : и* € АС ([О, Л))), удовлетворяющую (1.1)—(1.3), (1.5) в обычном смысле (соответствен- У и
Рис. 1.2Рис. 1.2но (1.1) и (1.2) — в обычном смысле, а (1.3) и (1.5) — почти всюду}» являются замкнутыми задачами, даже если в обоих случаях выбранные пространства не являются наилучшими из подходящих для постановки задачи. (Отметим также, что в приведенной постановке
Рис. 1.2
Рис. 1.2
задача может и не иметь решения и, кроме того, предположения относительно ф являются слишком ограничительными.)
Корректно поставленные задачи. Для корректной постановки- задачи недостаточно задать пространства, при которых математические выражения имеют смысл. Поэтому мы вводим следующее понятие.
Задача вида
«для заданного множества (dn £ Ф^п=х N исходных данных dn из топологических пространств фп требуется найти множество (ит£ Um}m=x, м неизвестных элементов ит из топологических пространств Ит, удовлетворяющих множеству (Ch}k=x к Услови^ > которые связывают в терминах пространств ^п и Um неизвестные с исходными данными», •
называется корректно поставленной, если для каждого множества исходных данных (dn} существует только одно множество неизвестных (ит} (они будут называться решениями}, удовлетворяющих условиям (Сд), и, кроме того, ит изменяются непрерывно при немN
прерывном изменении dn в топологиях пространств П Ит и П $п соответственно.
Заметим, что во многих задачах (в общем случае нелинейных) исходные данные (dn} могут быть «скрыты» в условиях {Ck}. С другой стороны, линейные задачи также могут включать задачи с непрерывной зависимостью решений от «коэффициентов», которые появляются в {Сд}.
Одна из основных задач функционального анализа состоит в том, чтобы определить пространства, в которых задачи из некоторого класса могли быть корректно поставленными (или для каждой конкретной задачи найти пространства, в которых она является корректно поставленной), т. е. такие пространства, в которых можно доказать существование, единственность и непрерывную зависимость решений от исходных данных. Необходимо заметить, что задача может быть корректно поставленной по отношению к различным пространствам, и тогда надо в принципе выбирать формулировку, которая накладывает наименьшие ограничения на исходные данные. Однако здесь мы должны также принимать во внимание возможность изучения «свойств гладкости» решений.
Некоторые результаты о существовании
Сейчас мы рассмотрим некоторые примеры задач, в которых можем гарантировать существование решений, а также упомянем некоторые фундаментальные результаты, которые будут полезны в дальнейшем. Результаты, которые приводятся без доказательства, можно найти во многих книгах по функциональному анализу (см,, например, [35, 40]).
Теорема Хана — Банаха. Рассмотрим первую задачу.
Задача 1.1 Пусть В — банахово пространство и у € В\ \ {0}. Требуется найти элемент L € В', такой, что L (у) = 1 (как обычно через В' мы обозначаем пространство, сопряженное к В).
Тот факт, что задача 1.1 имеет по крайней мере одно решение является элементарным следствием следующей теоремы.
Теорема 1.1 (теорема Хана — Банаха). Если В — нормированное пространство и V — линейное многообразие в В, то каждый линейный непрерывный функционал над V можно продолжить • линейным непрерывным функционалом над В с той же нормой.
Теорема Хана — Банаха решает также проблему продолжения непрерывных линейных функционалов, и в дальнейшем мы ее часто будем использовать.
Теорема Рисса. Продолжим рассмотрение задачи о представлении линейных непрерывных функционалов.
Задача 1.2. Пусть Н — гильбертово пространство и L 6 Н'. Требуется найти элемент Ul € Н такой, что Vo € Н L (р) == = kUL, фн •
Ответ на вопрос о существовании решения этой задачи дается теоремой Ф. Рисса.
Теорема 1.2 (теорема Рисса). Если Н — гильбертово пространство, то для каждого L^H' существует один и только один элемент uL^H такой, что VvEH L (v) = ^uL, v)H. Кроме того, имеет место равенство ||«Ll|Ha II Мн”
Интересно отметить, что эта теорема дает не только существование и единственность решения задачи 1.2, но и непрерывную зависимость решения от исходных данных (поскольку оператор, ставящий в однозначное соответствие каждому элементу L элемент ut, , 12
есть изометрия). Таким образом, задача представления линейных непрерывных функционалов является корректно поставленной задачей в каждом гильбертовом пространстве с топологией, порождаемой нормой.
Теорема Банаха о неподвижном точке. Очень важные теоремы Хана — Банаха и Рисса являются результатами «векторно-топологического типа». Теперь же рассмотрим результат, который не зависит от векторной структуры.
Пусть (S, d) — полное (непустое) метрическое пространство и пусть Т : S -*- S — оператор сжатия, т. е.
Ы<1 Ух,y^S d(T(x), T(y))^kd(x,y).(1.6)
Задача 1.3. Требуется найти элемент х 5 S такой, что х = = Т (х) (т. е. требуется определить неподвижную точку оператора Г).
Существование решения данной задачи следует из следующей теоремы.
Теорема 1.3 (теорема Банаха о неподвижной т о ч к е). Если (S, d) — полное (непустое) метрическое пространство и Т : S -> S — сжатие, то существует одна и только одна неподвижная точка оператора Т.
Доказательство. Единственность. Предположим, что существуют две различные неподвижные точки х, х оператора Т,_т. е. х = Т(х), х = Т(х) и х^х. Поскольку Т—сжатие, то d (х, х) = d (Т (х), Т (х)) ^ kd(x, x)<.d (х, х), и мы приходим к противоречию.
Существование. Рассмотрим последовательность {хп}, определяемую рекуррентным соотношением
х* = Т(хп_х), п=1,2,.„,(1.7)
и покажем, что независимо от выбора х* = х0 эта последовательность сходится к неподвижной точке оператора Т. Заметим, что
Хп = Т(хп_х) = ТЧхп_2) - ... = г (х0)(1.8)
и что из (1.6) для каждого п
Ух, yes d (Г (х), Т1 (у)) С knd (х, у).(1.9)
Поэтому при m ^ п мы можем последовательно записать соотношения d (xn, xm) = d (Т (Хд), 7*" (Хо)) ^ k d (Xg, xm_n) ^
< kn [d (x0, xj + d (xv x4) + ... + d (xm_„_P xm_„)] ^
<^d(x0,x1)[l +£-b-.+^-n-1=d(x0,x1)(£"^n/(l —£)- (1-Ю) которые показывают, что {xn} есть последовательность Коши. Поскольку (S, d) — полное, то эта последовательность сходится. Обо-
значим ее предел через х. Чтобы показать, что х есть неподвижная точка, достаточно заметить, что оператор Т непрерывен (см. (1.6)), поэтому Т(х) = ДИш х^ = iim Т (хп) = Нт хп,, = х. □
п п п ' *
Из теоремы Банаха следует, что задача 1.3 корректно поставлена в непустом полном метрическом пространстве, так как эта теорема дает существование и единственность неподвижной точки (поскольку «исходные данные» в рассматриваемой задаче отсутствуют, то проблема о непрерывной зависимости от них решения не возникает; однако обращаем здесь внимание на замечание, сделанное после определения корректно поставленной задачи).
Интересно отметить, что доказательство существования неподвижной точки обладает важной особенностью: оно — конструктивно. Действительно, мы доказали существование неподвижной точки, указав процесс, которым она может быть найдена. Справедливо и то, что предел х находится за счетное число шагов процесса, и мы можем приблизиться к нему сколь угодно точно при осуществлении конечного числа шагов, оценив при этом допускаемую ошибку. Так, если мы примем за приближенное решение элемент х = хп, то погрешность d (х, х) не будет превышать d (xv х0) X X #7(1 - к\
В качестве первого приложения теоремы Банаха отметим результат, вытекающий из ее доказательства (теорема Пикара): если £2 — открытое множество us R2, а /: £2 R — непрерывная по обеим переменным функция, удовлетворяющая по у условию Липшица, то для заданной точки (х0, у0) £ £2 задача Коши у' = / (х, у), У М = У о корректно поставлена локально (т. е. существует такое е > 0, что на (х0 — е, х0 + е) существует единственное решение этой задачи, непрерывно зависящее от исходных данных).
В гл. 3 мы приведем еще одно приложение теоремы Банаха, а в гл. 9 будут представлены другие теоремы о неподвижной точке.
Глава 2. МИНИМИЗАЦИЯ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ
Основная теорема
Общая задача о минимизации. В этом разделе мы найдем достаточные условия для того, чтобы следующая задача о минимизации имела одно (или одно и только одно) решение.
Задача 2.1. Для вещественного векторного пространства Е, функции f;E-*K и множества X clE требуется найти минимум функции / в X, т. е. требуется найти точку х0£Х такую, что fM = inff(x).
х^Х'
Условия, которые мы ищем, включают предположения относительно Е, f и X.-
Поиск «хороших» условий. В частном случае, когда £ = R", f непрерывна и X компактно, теорема Вейерштраса дает существование минимума функции / в X. Но в действительности из этой теоремы следует также существование и максимума, а это приводит нас к выводу, что предположения теоремы слишком сильные. Поэтому проанализируем их, чтобы получить некоторую полезную информацию для нашей задачи.
функция / предполагается непрерывной. Следовательно, R" нужно рассматривать как топологическое пространство. Отсюда первая проблема: «независимо от того, необходимо или нет предположение о непрерывности f, нужно ли использовать топологическую структуру R"»? Функция fj : R -*• R, определенная как
к (*) = | *| Для хУ= 0 и f (0) = 1 (рис. 2.1), позволяет нам дать, утвердительный ответ: fT не имеет минимума на R (точная нижняя граница функции ft (R) есть 0, и она не достигается). Описание характера функций, таких как /ь требует топологической структуры. Поэтому мы заключаем, что пространство Е должно быть наделено топологией. Будет также полезно, чтобы Е имело структуру векторного пространства. Итак, мы требуем выполнения следующего1 условия.
(Hl) Е — топологическое векторное пространство.
С другой стороны, функция /2 •' R -> R, определяемая как к (*) = |*|> если х^= 0 и f2 (0) = —1 (рис. 2.2), которая имеет минимум (—1 при х = 0) и не является непрерывной, показывает, что непрерывность функции f в общем случае не является необходимым условием.
Теперь вспомним понятие полунепрерывности снизу (сверху). Если Т — топологическое пространство, то функция f : Т ->- R называется полунепрерывной снизу в точке х0 6 Т, если для семейства открытых окрестностей К (х0) точки х0 имеем: Ve > 0 3t/g € € К (х0) Vy g Ue f (у) ^ f (х0) — е. В случае, когда топология в Т может быть задана посредством сходимости последовательностей (подобно метрическим топологиям, примером которых является так называемая естественная топология в R"), мы можем также сказать, что «/ : У ^- R является полунепрерывной снизу в х0 € Т, если для каждой последовательности {хп} (хп^-х0) имеем lim^f(x„)^ ^ / (х0)». (Мы будем использовать символы Пт' и Пт" для обозначения соответственно нижнего и верхнего пределов; другими часто
встречающимися здесь обозначениями являются Пт и Пт inf для Пт' и Нт и Пт sup для Нт"). Понятие полу непрерывности сверху вводится аналогичным образом.
Вернемся к нашей проблеме. На самом деле функция f2 полунепрерывна снизу (чего нет для fj, поэтому мы будем требовать выполнения следующего второго условия.
(Н2) t полунепрерывна снизу в топологии пространства Е.
Это предположение можно сформулировать и так: f полунепрерывна снизу в соответствующей топологии пространства Е. (В дальнейшем нас в основном будут интересовать бесконечномерные векторные пространства, в которых в отличии от конечномерных можно ввести несколько «естественных» топологий.)
Проанализируем теперь предположение о компактности X. ■Функция f3: R -> R, определяемая как /3 (х) = е-*1 (рис. 2.3), показывает, что это предположение необходимо. Тем не менее, мы требуем большего относительно Д— это подсказывается функцией /4 : R -> R, имеющей вид f4 (х) = 1 — е-Л‘ (рис. 2.4).
Можно было бы пойти и по другому пути (который, однако, не является естественным): сделать X = R компактом, например, способом Александрова, и положить f3 (оо) = 0. Тогда f3 имела бы только один минимум, равный нулю, в точке х = оо.
Изучим введенные выше функции f3, f4 и попытаемся выяснить — что же влияет на различие в их поведении. Рассмотрим множества уровней этих функций. Напомним, что для заданной функции f : Т -> R и для значения а 6 R множество уровня функции / по отношению к а есть множество
^а (/) = Г* ((- оо, а]) = Vx € Т : f (х) < а}.(2.1)
Замечаем, что множества уровней функции /4 являются компактными, если а < 1, в то время как подобные множества функции f3 не являются таковыми. В этом и состоит различие (в изучаемых нами вопросах) между двумя функциями. Чтобы увидеть, что ft имеет минимум на R, достаточно заметить, что если а1<а2, то L (f4) cz Lq (f4) и, следовательно, семейство компактных множеств (естественно, что мы ограничиваемся непустым набором членов этого семейства) {ДДА)} (а 6.— оо, 1)) обладает свойством конечного пересечения и поэтому имеет непустое пересечение: точки этого пересечения, равные {0}, являются точками, в которых достигается минимум.
Мы искали минимум функции f4 на R. Если бы мы попытались сделать это, например, на X = (—оо, 0), то могли бы заключить, что в этом случае минимума нет, поскольку точная нижняя граница здесь равняется нулю, т. е. значению, которое не достигается в точках множества X. Отметим также, что в действительности компактными множествами должны быть множества La (/) П X. Из приведенных рассуждений следует, что естественно потребовать выполнения условий:
(НЗ) X — замкнутое непустое множество.
Если X = 0, то задача не имеет смысла: f (X) = 0 с R и ) inf 0 не существует в R.
4(Н4) За £ R La (/) П X — непустое компактное множество.
Э В условиях (НЗ), (Н4) подразумевается, что X замкнуто или Г*компактно по отношению к той же самой топологии, в которой f ^полунепрерывна снизу. Очевидно, что для а <а множества Lo (/) П >*(1 X не обязательно должны быть компактными, так как (Н2) предполагает, что Ln (f) являются замкнутыми множествами (заметим, что E\La(f) —открытые множества). Интересно отметить, что функции, непрерывные в топологии R, имеющей в качестве подбазиса семейство {х € R : х > a, a £ R}, являются полунепрерывными снизу в смысле, определенном выше. (Дополнительные сведения о полунепрерывных снизу функциях можно найти в [359, с. 23; 901.)
Условие (Н4) трудно проверять. Поэтому представляется удобным найти условия, которые гарантировали бы (Н4). Так, если топология Е такова, что (как и в случае конечномерных пространств) компактные множества ограничены и замкнуты, то достаточно потребовать, чтобы множества La(f) Л X были ограниченными. Для этого, в свою очередь, достаточно, чтобы выполнялось условие:
(Н5) X — ограниченное множество
или чтобы для f имела место коэрцитивность (для простоты, мы предполагаем, что Е — нормированное пространство; см. (Н9)).
Ит /(х) = оо.||*Цд-»0о*€ХИт /(х) = оо.||*Цд-»0о*€Х(Н6)
Ит /(х) = оо.
||*Цд-»0о
*€Х
Ит /(х) = оо.
||*Цд-»0о
*€Х
2 К. Байокки, А. Капало
Кс пцитивность f предполагает ограниченность множеств La у. (так как, если существует такое а, что множество La (/) неогран и чено, то можно извлечь из него последовательность х„ , для кото ■ । |! хп ||£ -> оо, что совместно с (Н6) противоречит соотношению Hxn'^aY Это условие исключает из наших рассмотрений функции, такие, как /3 (см. рис. 2.3), /4 (см. рис. 2.4).
Теперь мы (с помощью частного случая задачи) выясним, какие пространства мы можем выбирать в наших исследованиях, чтобы огран ченность замкнутых множеств La (/) f) X предполагала их компактность. Тогда мы получим не только описание подходящих пространств Е, нои другие условия, налагаемые на/ и на X. Пусть Е=Н — бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство. Здесь мы имеем естественные топологии — слабую и сильную. По отношению к последней из них замкнутые и ограниченные множества не обязательно компактны (например, шар единичного радиуса (х € Н : || х (н^ 1} не компактен), но ограниченные слабо замкнутые множества слабо компактны (что справедливо для любого нормированного пространства; см. [35]). Итак, можно было бы работать в слабой топологии, однако условие слабой полунепрерывности / (см. (Н2)) трудно проверять.
Обсуждаемая проблема упрощается, если мы к введенным выше условиям добавим предположение о выпуклости, так как выпуклые множества сильно замкнуты тогда и только тогда, когда они слабо замкнуты (что справедливо при любой топологии пары двойственных пространств — см. [645, с. 34]). А чтобы множества La (f) f) X были выпуклыми, достаточно выпуклости X и La (f). Следовательно, мы приходим к условиям:
(Н7) X — выпуклое множество.
(Н8) f : Е -> X — выпуклая функция.
Условие (Н8) сформулировано для / с учетом следующей теоремы.
Теорема 2.1. Если f : Е -> R — выпуклая функция, то Уа € R множество La (f) выпуклое.
Доказательство. Если хх,хг^Еа^\ то Дх^^а, Дх2)^а; поэтому VXG[0, 1] /((1 —X)xt + Хх2) ^ (1 —X)/(xJ + Х/(х2)^ ^ (1 — Л) а 4- Ха = а. □.
Как упоминалось выше, основные свойства топологий гильбертова пространства Н (которое мы выбрали как основу в проведенном нами рассуждении, поскольку гильбертовы пространства являются непосредственными обобщениями конечномерных пространств) остаются справедливыми в любом рефлексивном нормированном пространстве. Таким образом, естественно ввести следующее условие.
(Н9) Е — рефлексивное банахово пространство.
В этом предположении мы также накладываем условие полноты Е (поскольку неудобно работать с неполными пространствами).
Основная теорема. Учитывая условия (Н1)—(Н9), мы можем сформулировать следующий основной результат.
Теорема 2.2 (теорема о минимизации выпуклых функционалов). Если Е — рефлексивное банахово пространство, f : Е —► R— 18
выпуклая полунепрерывная снизу функция, X =^ 0 — замкнутое выпуклое подмножество из Е и X ограничено ^цли f коэрцитивная то задача 2.1 имеет решение. Это решение единственно, если f — строго выпуклая.
Доказательство. Заметим, что не обязательно определять топологию, по отношению к которой / полунепрерывна снизу, поскольку выпуклые функции слабо полунепрерывны снизу тогда и только тогда, когда они сильно полунепрерывны снизу (см. [90]). Далее, множества La (/) сильно замкнуты (поскольку / сильно полунепрерывна снизу) и являются выпуклыми (поскольку / — выпуклая). Поэтому эти множества слабо замкнуты и, следовательно, такими же являются множества X П £а (/), которые, вследствие ограниченности X (или коэрцитивности /), ограничены и, в силу рефлексивности нормированного пространства Е, слабо компактны. Существование минимума гарантируется тем, что это семейство слабо компактных множеств обладает свойством конечного пересечения. (Очевидно, что существует по крайней мере одно непустое множество X П La (/)). Если функция / строго выпуклая, то минимум (который обозначим т) достигается только в одной точке множества X; если бы он достигался в двух точках хг, х2, то выпуклость множества X позволяла бы записать
^рЧг^^Т H^i) + 4 fM = m,
что приводит к противоречию. □
Минимизация квадратичных функционалов. Теорема 2.2 гарантирует существование и единственность решения следующей задачи.
Задача 2.2. Пусть Н — гильбертово пространство, К с а Н — непустое замкнутое выпуклое множество, L ^Н*, а функция / : Я -> R определяется по формуле
/W = 4-|kl|^-i(4(2-2)
Требуется найти элемент ий^К такой, что
/(«о) = inff(v).
Условия теоремы выполнены, поскольку Н рефлексивно, К^ 0 есть замкнутое выпуклое множество и / строго выпукла и коэрци- тивна (так как / (о) > -^-1| и Ц^ — || L \\н, || и ||^
Но теорема не дает процедуры построения решения, и ее утверждение не является конструктивным результатом. Эта неконструктивность есть следствие того, что мы используем свойство конечного пересечения семейства слабо компактных множеств X П La ф, которое гарантирует непустоту пересечения, но не показывает, как получить это пересечение.
В силу теоретической важности задачи 2.2 мы докажем существование ее решения (снова неконструктивным способом)
независимо от теоремы 2.2. С этой целью положим
i = inff(y)(2.3)
сек
и, вспомнив определение точной нижней границы, запишем (при i > — оо)
Vn£N Зип^К f(vn)^i + l/n.(2.4)
Отметим, что если бы мы знали, как строить последовательность [уп), то приводимое ниже доказательство также было бы конструктивным. Из (2.2), (2.4) следует, что
-уН^Ня-L(vnXi + 4’(2.5)
поэтому
4|1М^4~4Д1Чя'11Мд;(2.6)
отсюда получаем Yn || уп ||н ^ Л4 6 R- Теперь из последовательности ограниченных по норме элементов можно выделить слабо •сходящуюся подпоследовательность. Пусть такой подпоследовательностью является {yn J, и пусть у^ — ее (слабый) предел. Поскольку К слабо замкнуто, то у^ С К; ясно, что у^ — точка, в которой достигается минимум. Действительно, из сходимости Упк~^ у^ следует, что lim' || и„к ||н > II у^ ||я (см. [35]) и Hpn^^-L^u^ (в силу определения слабой сходимости). Применяя операцию lim' к неравенству
i+^>f(Vnft)=4llM^-Mv^(2-7)
получаем
^tIK^-Mv^/OU-М
Таким образом, согласно (2.3) имеем Цу^ = 1, т. е. существование решения задачи 2.2 доказано
Приведенные рассуждения могут быть усилены, если показать, что Уп^-у^. Для этого докажем, что для всей последовательности {уп} (а не только для определенной выделенной подпоследовательности) имеем уп-^уоо. Докажем это методом от противного. Предположим, что {уп} не сходится слабо к vw. Это означает, что
ЗКН' Зе>0 3{пЛ}Л=1х Yh Щипь-У^хь. (2.9) Однако, поскольку || v^ ||н ^ М, то мы можем выделить из {y„h} слабо сходящуюся подпоследовательность {y„h }, и пусть у^— ее слабый предел. Теперь повторим для ^иПк } рассуждения, примененные к {уПй}, и заключим, что / (у^,) = I, а это, в силу единствен- 20
ности минимума [ и того, что из (2.9) имеем и'^^и^, приводит нас к противоречию.
Чтобы доказать сильную сходимость ип^-иоо, заметим, что Нт || ип ||н = 1| v^ Uy,* так как соотношения Hm" || vn ||„ > Нт' || vn ||„> >11^11,, и lim" || vn ||н> || п^ ||н не могут выполняться одновременно, поскольку в этом случае из (2.7) мы имели бы i>f(uoo).
Нам осталось лишь вспомнить, что в гильбертовом пространстве сходимость норм, совместно со слабой сходимостью дает сильную сходимость. Этот результат справедлив и при более общих предположениях относительно пространства /7; действительно, достаточно, чтобы Н было локально равномерно выпуклым нормированным пространством — см. [31].
Вариационная формулировка задачи о минимизации
Вариационные неравенства. Рассмотрим следующую задачу.
Задача 2.3. Пусть Н — гильбертово пространство, L £ Н' и 0 — замкнутое выпуклое множество из Н. Требуется найти элемент и0 6 К такой, что
(2.10)(2.10)(«о. и0 — v)H < L (и0 — и) Vv^K.
(2.10)
(2.10)
Наша ближайшая цель состоит в доказательстве следующей теоремы.,
Теорема 2.3. Задачи 2.2 и 2.3 эквивалентны, т. е. элемент м0 является решением задачи 2.2 тогда и только тогда, когда и0 есть решение задачи 2.3.
Доказательство. Сначала мы покажем, что если и0 есть решение задачи 2.2, то м0 является также решением задачи 2.3. Если и0 — решение задачи (2.2) (тогда и0 € К) и и — любой элемент из К, то мы можем рассмотреть отображение вида
X^F^ = f(Xu0 + (l-l)v)([0, 1]^R)(2.11)
(здесь Хи04-(1 — Х)и£К), которое имеет минимум при 1=1. Следовательно,
(2-12)
(отмечаем, что 1 является наибольшим значением на интервале, на котором функция F (1) определена, и что F (Л) дифференцируема); вспоминая вид функционала (2.2), имеем
4" (т II ^«0 + (! - А) О \\2Н - L (Хи0 + (1 - X) ц))1 < 0, (2.13)
или (после простых вычислений)
(2.U)(2.U)(«о>«о — v)H^L(u0 — о).
(2.U)
(2.U)
Чтобы показать, что если н0 — решение задачи 2.3, то и0 — также решение задачи 2.2, достаточно доказать единственность решения задачи 2.3, поскольку это свойство уже доказано для задачи 2.2, и тогда, учитывая уже изложенное выше, сразу же получим требуемое утверждение. Доказательство проведем от противного. Пусть иъ и2 — два решения задачи 2.3; тогда
(«р «! — у)н < L (их — у) Vyg/g,(2.15)
■(и2, и2 — у)н < L (и2 — у) Vv^K.(2.16)
Полагая у = и2 в (2.15) и у = «л в (2.16) (этот прием здесь необходим, поскольку мы не можем вычитать соответствующие части неравенств (2.15) и (2.16)), имеем:
(«л, иг — и^н ^L^ — u^,(2.17)
(ы2, ы2 — «л),, ^ L (ы2 — »л).(2.18)
Суммируя полученные неравенства и учитывая линейность L, получаем соотношение
(ы, — и2, «л — и2)н < 0,(2.19)
которое показывает, что их = и2. □
Мы называем задачу 2.3 вариационной формулировкой задачи 2.2 о минимизации, а соотношение (2.10) — вариационным неравенством или неравенством Эйлера для задачи о минимизации (отметим, что (2.10) фактически состоит из card К неравенств). '
Вариационные уравнения. В частном случае, когда К = Н, задача 2.3 формулируется так:
Задача 2.4. Пусть Н — гильбертово пространство и L g g Н’. Требуется найти элемент и0 g Н такой, что
(«0, ии)н = L (ф) Vw g Н.(2.20)
. Это оправдано тем, что при К = Н имеем V w g Н 3 у g К и0 — у = w и Vm g Д 3 у g К и6 — у = — ш.
; Теперь задача 2.4 есть не что иное, как задача 1.2, а, поскольку из теоремы 2.2 (или соответствующих рассуждений, проведенных при изучении задачи 2.2) и из теоремы 2.3 следует, что задача 2.4 имеет одно и только одно решение, то мы заключаем, что доказали теорему Рисса. Заметим, что если мы хотим доказать теорему 2.3 снова в этом частном случае, то (2.11) и (2.12) принимают соответственно вид
X-^^ + tl-^y) (R->R),(2.1Г)
[-^«Ч-.-0-pi2')
В соответствии с принятой выше терминологией мы называем
вариационным уравнением Эйлера, соответствующим задаче о минимизации — задаче 2.2 при К = Н.
22
Геометрическая интерпретация. Теорема Риоса позволяет дать интересную геометрическую интерпретацию задач 2.2 и 2.3. Действительно, эта теорема позволяет записать (2.2) в виде
Г^=-^\\у\\н-^*>^нГ^=-^\\у\\н-^*>^н(2-21)(2-21)
Г^=-^\\у\\н-^*>^н
Г^=-^\\у\\н-^*>^н
(2-21)
(2-21)
(с и* = иЛ. Поскольку минимизация /(у) над К очевидно эквива.
Рис. 2.5Рис. 2.5лентна минимизации (снова над /Q функционала
Рис. 2.5
Рис. 2.5
^(У) = /(У) + ^-1!«*^ =
+4-||“*Ин-4ну-"*|1н.
(2.22)
(2.23)(2.23)(т. е. задаче минимизации расстояния от и* до К (рис. 2.5)), то задачи 2.2 й 2.3 эквивалентны отысканию проекции и0 элемента и* на К. Последнее определяется соотношением
(2.23)
(2.23)
«о € К: («о — “*> “о — у)н 0 Vy € К,
которое показывает, что и0 — и* и и0 — у образуют тупой угол.
Проекции на выпуклые множества
В дальнейшем мы будем использовать понятие проекции на выпуклое множество гильбертова пространства, поэтому введем определение проекции и приведем некоторые ее свойства.
Определение 2.1. Пусть Н — гильбертово пространство и Кс Н — непустое замкнутое выпуклое множество. Если и € € Н, то проекцией элемента и на К называют элемент Рк (и) € К такой, что
1|«-^(«)Пн<Н“-у|1н ^и^. (2.24)
Другими словами, можно сказать, что Рк (и) есть элемент множества К, ближайший к и. Заметим также, что соотношение (2.24) есть не что иное, как (2.23), лишь иначе записанное.
Приведенное определение имеет ясный смысл, для заданного элемента и£ Н его проекция на К существует и единственна, что вытекает из фактов существования и единственности решения задачи 2.3. С другой стороны, любопытно, что среди слабо замкнутых множеств гильбертова пространства выпуклые множества — един-
ственные, для которых может быть дано логически последовательное и ясное определение проекции.
Операторы проектирования. Проекцию Рк (и) элемента и на К можно затем интерпретировать как результат применения к и оператора Рк : Н -> К- Некоторые свойства этого оператора задаются теоремой 2.4. Прежде чем ее сформулировать, вспомним, что оператор Т, определенный на метрическом пространстве (S, d), называется не растягивающим, если (ср. с (1.6))
Ух, у € S d (Т (х), Т (у)) ^ d (х, у).(2.25)
Введем также понятие монотонного оператора, которое является обобщением понятия монотонно возрастающей функции.
Определение 2.2. Пусть Н — гильбертово пространство и А : Н -> Н— оператор (не обязательно линейный). Оператор А называется монотонным, если
(Л (У1) — Л (у2), Vi —у2)н^° ^VvVa^H, (2.26) н строго монотонным, если он — монотонный и
(Л (yj — А (у2), ух — о^н = 0 => ог = о4.(2.27)
Теорема 2.4. Пусть Н — гильбертово пространство, К с с. Н — непустое замкнутое выпуклое множество и Рк есть оператор проектирования на К. Тогда Рк является не растягивающим, сильно непрерывным и монотонным, но не сильно монотонным.
Доказательство. Сначала отметим, что соотношение (2.23) для проекции при использовании обозначений, введенных в определении 2.1, может быть записано в форме
(Рк(«)-«, Рк(н)-У)яС0 Уу6К. (2.28)
Чтобы показать, что Рк монотонный, зафиксируем uv и4 и запишем неравенства
(PK^ — Uv Рк^ — ^н^0 ^у^К,(2.29)
(PK(u2)-u2, Рк (uj — у)н ^ О VoEK.(2.30)
Полагая y = PR(u2) в (2.29) и и = Р^щ) в (2.30), что мы можем сделать, поскольку Рк (щ) € К, имеем.
(PK(«J Щ Рк(и^ + к2, Рк (i*i) Рк(м2))н^0, (2.31) поэтому
О Pr (Mi) Pr (ыа) Ин ^ (Ы1ы2> Рк^и0 Pr (mz))h У^р ы2 € Н,
(2.32)
что в частности дает монотонность оператора Рк. Кроме того, если К = Н, то Рк = 1 (тождественный оператор), и здесь имеем строгую монотонность. Однако в общем случае, при К^Н, оператор
24
р не является инъективным (и поэтому не будет строго монотонным): если ы0 $ К, то Рк («0) ^ «0> однако Рк (Рк (ы0)) = Рк (м0). Чтобы показать, что Рк нерастягивающий, достаточно применить к (2.32) неравенство Шварца, после чего получаем
П Рк (“1) -Рк ^ Пн < II «1 - «2 Пн И Рк («1) - Рк (“2) П«. (2.33)
(2.34)(2.34)или, после деления на ЦР^^)— Рк(ы2)11н (заметим, что если Рк (»i)— ^к (“а) = 0> то (2.25) справедливо),
(2.34)
(2.34)
II РК (til) РК (Мз) Пн ^ И Ы1 М2 Пн-
Сильная непрерывность сразу же следует из (2.34). □ Геометрическая интерпретация нерастяжнмости Рк показана на
нерастягнвающего операторанерастягнвающего операторарис. 2.6: для пары иъ и2 в (2.34) имеет место знак С, т. е. оператор уменьшает расстояние, а для пары «з, «4 имеет место знак =, т. е. оператор сохраняет расстояние.
нерастягнвающего оператора
нерастягнвающего оператора
В заключение отметим, что множество неподвижных точек оператора Рк есть множество К и, кроме того, как показано в 1727, с. 246], множество неподвижных ■
всегда является замкнутым выпуклым множеством.
(2.35)(2.35)Замечание 2.1 (проекции на выпуклые конусы). В частном случае, когда К — выпуклый конус, вершина которого находится в нуле (т. е. такой конус, что К + К с К ч^К с KVK^O; как обычно, если Л и В — два подмножества вещественного (или комплексного) векторного пространства и X, р Е R (или С), то мы полагаем ХЛ + цВ = {Ха + рй : а Е Л, b € В)), неравенство (2.28) эквивалентно паре условий
(2.35)
(2.35)
(Рк (а) — и, и)н ^ О Vu Е К,
(Рк (и) — и, Рк («))н = 0.(2.36)
Действительно, если (2.36) и (2.35) выполнены, то их разность дает (2.28). Обратно, если справедливо соотношение (2.28) и К — конус, то (2.35) н (2.36) также выполняются, поскольку, принимая в (2.28) у = Рк (а) + w (отмечаем, что К + К с К), имеем
(Рк(и) — и, PK(u)-PK(u)-w)H^ Vw^K, (2.37)
т. е. получаем (2.35); полагая затем в (2.28) и = 0, получаем неравенство (Рк(и) — и, Рк(и))н^0, которое совместно с (2.37) (прн и> — Рк(и)) дает (2.36).
Более подробное изучение проекций на конусы можно найти, например, в [728].
Глава 3. ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Основная теорема
Билинейные формы. Функционал (2.2), рассмотренный в задаче 2.2, является частным случаем квадратичного функционала вида
f(v) = -g-a(y,y) —L(y),(3.1)
где L^H’, а:НхН->К — билинейная форма
2
^(РА + Рг^г- ^1 + ^2)= £ y.lXja(ui,vjy (3.2) <./=i являющаяся непрерывной, т. е.
3/W6R ]a(u,y)|<M||u]|H||y||H Vu,u^H. (3.3)
Действительно, достаточно принять а (и, у) = (и, у)#, и мы получаем непрерывную билинейную форму (при М = 1); эта форма также симметрична, т. е.
а (и, у) = а (у, и) Чи,о£Н,(3.4)
и обладает свойством коэрцитивности на Н (при а = 1):
3a£R, а>0 а^и, u)^a||u||^ Vu^H. (3.5)
Если же а (и, и) есть коэрцитивная симметричная непрерывная форма, то функционал (3.1) не является более общим по сравнению с (2.2), так как при сделанных ограничениях мы можем записать его в форме
ж4|Ц<-Ш .I3-6)
где |||-||1я— норма, порождаемая скалярным произведением вида
((и, и))н = а (и, у) Vu, и^Н;(3.7)
так как нормы ИЛн, ||] -1||// эквивалентны, то непрерывные линейные функционалы для данных двух форм одни и те же (двойственность не меняется относительно эквивалентных норм и поэтому — относительно эквивалентных сильных топологий). Отметим, что эквивалентность исходной нормы ||-Цн и новой нормы ||| • |||я (очевидно, что ((-,-))я есть скалярное произведение, и поэтому |||'Шл# действительно является нормой) следует из соотношений а || у Hj^a (у, у) = = ((у, v^H = III у 111^ = ((у, о))н = а (у, у)< МII у Ц^..
■ Задачи о минимизации и вариационные задачи. Мы уже показали эквивалентность задач 2.2 и 2.3. Поэтому естественным является вопрос об эквивалентности следующих задач (не обязательно корректно поставленных).
26
Задача 3.1. Пусть Н — гильбертово пространство, Kg а Н — непустое замкнутое выпуклое множество, и пусть f : Н -*- -> R определяется формулой (3.1), где L £ Н', а — непрерывная билинейная форма. Требуется найти элемент и0 € К такой, что
V0 6K.(3.8)
Задача 3.2. Пусть Н — гильбертово пространство, К G с Н — непустое замкнутое выпуклое множество, L € Н', а — непрерывная билинейная форма. Требуется найти элемент и0£ К такой, что
а (и0, и0 — и) ^ L (м0 — и) Vo ^ К.(3.9)
Следуя рассуждениям доказательства теоремы 2.3, рассмотрим отображение F: [0,1 ] -> R:
X->F(X) = f((l-X)u0 + M,(3.10)
которое имеет минимум при X = 0 (если f имеет один минимум при и = и^, т. е.
FQ^>F^ VX^tO, 1] Vu6K;(3.11)
следовательно,
[TfwL>°-<зл2>
Учитывая линейность L и билинейность а, можем записать:
4к [т а (О - ^) “О + ^. (1 - ^ u^W-L ((1 - X) «0 + Ху)] I -
= у а (и0, и — и0) + ^-и^-Ци-и^, (3.13) поэтому
у a(u0,u0 — о) -ту а(«0 — y,u0)CL(u0 — у).(3.14)
Если а симметрична, то соотношение (3.14) тождественно соотношению (3.9); нам осталось только доказать снова первую часть теоремы 2.3.' "
Если а несимметрична, то разобьем а на симметричную часть as и кососимметричную часть ад:
«(а,„)„+ «(»,?>-«(=■.»> _^(^ 0 + „л („,„,
(3.15) Поскольку
а(и, и) = as(и, и) Vu^H,(3.16)
то мы можем записать функционал (3.1) в виде
МЦа8М-Ь№,(3-17)
повторяя все вычисления для этой новой (но эквивалентной ) формы
представления функционала, мы вместо (3.14) получаем соотношение
уа5(ы0,ы0 —и) +-|-as(u0 —и, »0XL(u0—и),(3.18)
или
as(«o,«o — v)^b(«0 — у) Vyg^(3.19)
Мы можем теперь сказать, что, если задача 3.1 имеет решение, то справедливо неравенство (3.19), а также заключить, что, если а несимметрична, то задачи 3.1 и 3.2 не эквивалентны. Если, кроме того, воспользоваться аналогией между вопросом об этой эквивалентности и теоремой 2.3, можно найти условия, при которых задача 3.2 имеет единственное решение. Так, если иъ и2 — два решения задачи 3.2, то мы можем записать:
a(up «! — v)^L(«1 —v) Vv^K*(3.20)
a(u2, u2— y)^L(«2 — у) Vv^K;(3.21)
полагая, в (3.20) у = н2, а в (3.21) у = их и суммируя эти два выражения, после обычного изменения знака в (3.21) получаем
а^ —u2,«!—ы2)^0.(3.22)
Накладывая на а ограничение вида
а (и, и) ^0=>м = 0 Vu^K — К,(3.23)
или, что эквивалентно,
а («,«):> 0 Yu^K— К н а (и, и) = 0 $и = 0,(3.24)
мы из (3.22) заключаем, что если решение задачи 3.2 существует, то оно единственно. Однако, из соотношений (3.24) не следует существование такого решения. Чтобы найти условия на форму а, при которых решение существует, вернемся к функционалу (3.1). Является или нет форма а симметричной, этот функционал может быть записан в виде
f(0=4i№s-Lw.с3-25)
где смысл обозначения IH-HIh.s очевиден. Чтобы для (3.25) были выполнены предположения теоремы 2.2 и поэтому существовало решение задачи 3.1, достаточно, чтобы а (или as) удовлетворяла условиям типа
а («,«)-> оо при ||н||н->оо, и^К.(3.26)
Но мы введем бол е сильное ограничение — требование коэрцитивности а на К — К‘.
3«>0а(я—у,ы — у)^а||н — у|[^ Yu,y£K. (3.27)
Отмечаем, что (3.27) подразумевает (3.23), а (3.27) предполагает 28
также (3.26) — это как показывают соотношения
а(и,и) = а^и— су,и— су) 4-а(ы,су) + а(су,и) — а(су,су)^
>а^и — w,u — су) — МII су|[w(IJ су]lw + 2||и||н)>
>а(« —су.и —су) —М ||су |[н(3||су||я + 21| и — су ||н) >
>а\\и — су]<2,— 2М||су||н||и — су||н — ЗМ ЦиЦ^,
где су — фиксированный элемент из К, и тот факт, что при || и ||н-* -> оо имеем также ||и— су||н->оо.
Теорема Лионса—Стампаккьи. В следующей (очень важной) теореме мы покажем, что при условии (3.27) задача 3.2 имеет только одно решение и0. При тех же самых предположениях задача 3.1 имеет также только одно решение «*, но и0 и и* никак не связаны друг с другом. Тем не менее, если а симметрична, то «0 = «о-
Теорема 3.1 (теорема Лионса—Стампаккьи). Пусть Н — гильбертово пространство, КсН — непустое замкнутое выпуклое множество, L £ Н', а : Н х Н -> R -— непрерывная билинейная форма над Н, коэрцитивная над К — К- Тогда существует один и только один элемент и0^ К такой, что
a(Uo,uo — vX,L(uo —v) VvEK; (3.28)
кроме того, отображение, которое ставит в соответствие элементу L элемент и0, является непрерывным (т. е. задача 3.2 корректно поставлена).
Доказательство. Непрерывную зависимость и0 от L легко показать, если переписать (3.20) и (3.21) при Li и L% вместо L соответственно, и принять у = щв (3.20) и у = щ в (3.21). После этого мы вместо (3.22) получаем соотношение вида
а (щ и^, щ ид s^ Aj (и*п2) + ^2 (^2^i) = (^i^2) (^i^2)»
(3.29) поэтому
аП^ —^ll^^ll^ —L2||H, II «1 —«2 Ни, (3.30)
что и дает непрерывную (более того, непрерывную по Липшицу) зависимость решения, а также его единственность.
Учитывая важность теоремы, приведем два доказательства существования решения задачи.
Разложим а на симметричную и кососимметричную части: а (и, и) = as (и, и) + ал (и, и)(3.31)
и введем новую билинейную форму
(3.32)(3.32)а, (и, и) = as Ui, у) + 1ад (и, у),
(3.32)
(3.32)
зависящую от параметра / € R и непрерывную при каждом / (действительно, | at (и, у) | С М- (П“11н II v ||н + 1111| и ||н || у ||н). Теперь рес- смотрим задачу.
Задача 3.3. Требуется найти элемент и0£К такой, что
а, (и0, «0 — у) L («0 — у) Vu^K-(3.33)
Позднее мы покажем, что существует 6 > 0, не зависящее от t0 и такое, что, если задача 3.3 имеет решение при / = /0, то та же задача имеет решение для каждого значения / Е Г/о— 6, /0 + 6]. Эго и доказывает теорему: поскольку мы знаем, что задача 3.3 имеет решение при / = /0 = 0 (в этом случае мы имеем по существу задачу 2.3, так как а0 есть симметричная форма) и так как 6 не зависит от /0, то мы можем продолжить на всю ось R множество значений t, для которых задача 3.3 имеет решение. В частности, после конечного числа таких продолжений мы можем получить значение / = 1, которое преобразует задачу 3.3 в задачу 3.2, так как ах = = а. Этот способ доказательства называется методом продолжения по параметру.
Задача 3.4. Требуется найти элемент и0 Е К такой, что at. («о- “о ~ а) ^ («о — у) Vy Е К-(3.34)
Предполагая, что эта задача имеет решение, перепишем (3.33) в эквивалентной форме:
at. (и0, u0—vXL (ив — у) + (^ — 0 аА (и0, и0 — у) Vy ЕК. (3.35) И теперь для каждого фиксированного ио Е Н сформулируем следующую задачу.
Задача 3.5. Требуется найти элемент « Е К такой, что
at,^u,u— y)^L(u — у) -f- (/„ — t)ад(ш, и—у) Vu^K- (3.36)
Поскольку элемент су фиксирован и правая часть неравенства (3.36) есть линейная непрерывная относительно и — у форма, то задача 3.5 есть не что иное, как задача 3.4, поэтому она имеет одно и только одно решение. Таким образом, мы построили отображение, которое обозначим через т, ставящее в соответствие каждому су Е # решение и = т (су) задачи 3.5. Если элемент и0 удовлетворяет (3.33), то он также удовлетворяет соотношению (3.35), и тогда очевидно, что «0 есть решение задачи 3.3 в том и только в том случае, когда и0 = т (и0), т. е. когда и0 — неподвижная точка отображения т.
Теперь мы покажем, что если | t — t01 ^ 6 (по определению 6 >• 0), то т есть сжатие и поэтому имеет неподвижную точку (по теореме Банаха). Пусть суь су2 — два элемента из Н и их = т (cyj, u2 = т (су2). Тогда uv «2 удовлетворяют соотношениям
at. (“v ui — у) С L («! — у) + (/0— t)aA(wlt иг—у) VyE^(3.37)
at. (и2, u2 — v)^L Vu2 — у) + (<о — 0 ал (су2, и2— у) Vo Е К-(3.38)
Полагая у = и2 в (3.37) и у = «, в (3.38) (эти подстановки допустимы, так как uv и^К), имеем:
at. (uv uv — u^CL (u, — u^ + (t0 — t; aA (сУр иг — u2), (3.39) at. (u2, u2 — u^^L (ua — uj + (Zo — 0 aA (су2, u2 — ux\ (3.40)
Суммируя эти неравенства, получаем
№,(«! —ы2, «! — «2) ^ (/0 — о ад (ОУ! — 0У2, их — и^.(3.41)
А поскольку (что легко проверить)
at, (и, и) = а (и, ы) Va £ /(,(3.42)
то приходим к неравенству
a(«t — «2, uv — а2)<(/0—^ад^— ®2> tii — мг)- (3.43) Вспомнив, что форма ад непрерывна (с постоянной Л4), а форма а коэрцитивна, запишем
а || и^ — и2 Ц^ ^ | te — t1М || а^ — w2 ||н || ut — «2 ||н.(3.44)
После деления обеих частей этого неравенства на ||«г— «2||н (очевидно, что если || «! — ы2 Ни — 0, то мы имеем (3.45)), получаем
.Ih^!) —т(оу2)||н ^| <0 — ^1-^-11 ^1 — ^21|н.(3.45)
Отсюда делаем заключение о том, что как только | t0 — 11- М/а <С < 1, то т есть сжатие. Действительно, для этого достаточно принять 6 = а/(2Л4) и выбрать | / — t016 (6, как это требовалось,
не зависит от /0).
П. Предыдущее доказательство конструктивно (если мы знаем как решать задачи типа задачи 2.3), однако оно дает нам вычислительный алгоритм, который медленно сходится (в частности, при малом значении а/Л4). Теперь мы приведем другое доказательство, которое дает более быстрый алгоритм. Нам необходимо записать функционал L и форму а в виде скалярных произведений, что можно сделать, используя теорему Рисса. В дальнейшем мы будем использовать обозначения L (у) или н- kL, и^н Для значения функционала L £ FT на элементе v £ Н, выбирая из них более удобное.
Теорема Рисса утверждает, что существует элемент ul € Н, для которого
h-<U Фн = ^иь у)н Vy 6 Н,(3.46)
и поэтому вопрос о представлении L оказывается решенным.
* Теперь при фиксированном и^ Н рассмотрим отображение о-»- а (и, у) (Н -*- R). Обозначая это отображение через А (и), можем утверждать, что для каждого и 6 Н
[А (и)] (у) = а (и, у) Vy £ Н.(3.47)
При каждом и^Н отображение А (и) линейно:
[Л («)] (А,^ + Х2у2) = а (и, Х^4- Х2у2) =
= Х1[Л(«)](у1) + Х2[Л(ы)](у2)(3.48)
VXv X26R Vyv у26Я,
и непрерывно:
I [Л(«)] (v) | = |а(м, v)] <Л4||п||н ЦиЦн, (3.49) а поэтому (3.47) можно переписать в форме
н'(Л (и), и)н = а (и, и) Yu £ Н.(3.50)
Отображение А (и) можно интерпретировать как значение, принимаемое на элементе и оператором А\Н-*Н', который линеен:
н-<А (Хгиг + Х2и2), и)н = а (^^ + Х2ы2, и) =
= ИМ(«1) +М(«2)-у)н Vu^H.(3.51)
А поскольку из (3.49) получаем
||Л(«)||н'= sup |[A(u)](u)|<M||u||h,(3.52)
,l|vllH=l
то оператор А непрерывен:
НЛЦ^^АЕ(3.53)
Отметим также, что для заданного оператора А : Н -* Н’, удовлетворяющего условию (3.53), уравнение (3.50) задает непрерывную билинейную форму (с потоянной М).
Теперь в силу А (и) С Н' теорема Рисса гарантирует существование элемента (u) Е Я такого, что
Н-(А (и), и)н = ^А (и), v)H Yu Е Н.(3.54)
Тем самым задача представления формы оказывается решенной:
а (и, и) = (v4 (и), и) я Yu Е Н.(3.55)
Элемент ^ (и) можно интерпретировать как результат действия на и линейного непрерывного оператора Я : Н -*■ Н, причем .
И^н^М.(3.56)
Легко заметить, что при заданном операторе Л : Н-* Н, удовлетворяющем условию (3.56), уравнение (3.55) задает непрерывную билинейную форму (с постоянной Л4).
Операторы Jt и А связаны между собой как А = J о Я, где J : Н -* Н' — оператор, определяемый равенством н- U (и), и)у = = («, у)н (отметим аналогию с (3.50)...), есть оператор Рисса или оператор канонической инъекции Н в Н'. Оператор J является обратным к оператору, естественным образом определяемым теоремой Рисса (см. [687, с. 108; 551, с. 495; 599, с. 526]). Если Н и Н* отождествляются, то J совпадает с тождественным оператором / и А автоматически совпадает с ^. Хотя отождествление Н с Н' всегда можно осуществить, оно не всегда удобно, поскольку Н и Н' изоморфны как гильбертовы пространства, однако они имеют различную структуру, которая может быть утеряна. Процессы, посред-
ством которых теряются структуры пространств Н и Н' при их отождествлении, будут выяснены позднее на примерах пространств Соболева.
Вернемся теперь к доказательству теоремы. Выражения (3.46) и (3.55) позволяют нам записать (3.28) в форме
(Л (u0),u0 — v)H^(uL,u0 — v)H VveK, (3.57) или
(Л (u0) — u^, и0 —v^s^O Vv^K. (3.58)
Прибавляя и вычитая и0, имеем
(н0 — и0 + Л (и0) — uL, и0 — У)я ^ 0 Vo^K, (3.59) что напоминает (2.23) с и* = и0 — Л (и0) + uL и приводит нас к мысли об отыскании проекции элемента и0 — Л (и^ + uL на К. Однако здесь мы имеем дело с неявной проекцией, поскольку м0 — — Л (u0) + uL уже зависит от решения и0.'
ТПусть р > 0 — вещественный параметр. Рассмотрим оператор Гр (□) = /(□) —Р (Л (П) — ^,(3.60)
который позволяет нам записать (3.59) в эквивалентной форме:
(Ug — Tp^Up — u^s^O Vo^K,(3.61)
откуда следует, что и0 есть неподвижная точка оператора Р^оТр, Действительно, если u0=(PKoTp) (u0) = Рк(Тр (и0)), то имеет место соотношение (3.61), поскольку в силу (2.28) имеем
(Р^ Vр (ио)) Тр (ий\ Р^ (Тр (и0)) и)н =
= (ио-Тр(цо),ио-У)я<О W£K. (3.62)
Теперь мы покажем, что Р^оТр есть сжатие при подходящем значении р, и поэтому существует такая неподвижная точка и0. Если uv и2^К, то, вспомнив, что Рк является нерастягивающим (теорема 2.4), запишем
II Рк ^Т» (91)) - Рк (Тр (Уз)) ||^ || Тр (yj - Тр (п2) ||2 =
= (91 — р [Л (У1) — uL] — и2 + р [Л (Уз) — uL], (3.63) У1 — р [Л (У1) — uj — и2 + р [Л (У2) — УД)Я =
= (У, — Уз — Р [Л (У1) — Л (Уг)Ь У1 — Уз — Р [Л (У1) — Л (и^н; следовательно,
II Рк (ТР (91)) - Рк (Тр (Уз) Ц2, С || У1 - Уз ||^ + Р2 II Л (У1) -
— Л (Уз) |рн — 2р (У1 — Уз, Л (У1) — Л (Уз))н. (3.64)
Теперь мы должны определить подходящую верхнюю границу для правой части неравенства (3.64). Оставляем первый член правой 3 К. Байокки, А. Ко ВИВЛИО^К А I33
КО ЛОХ ЗАj
части тем же самым:
К-^;(3.65)
второй оценим сверху, учитывая при этом (3.56):.
Р21| Л (У1) - Л (у2) Ц2, < PW21| У1 - У2 Ц2,(3.66)
(отметим, что не обязательна линейность оператора Л — нужно лишь чтобы он был непрерывным по Липшицу на К, т. е. чтобы 3 М € R \\ Л (У1) — Л (п2) ||н < М || У1 — Уа ||н vyi, у2 € К). Для третьего члена в правой части (3.64) нам необходима оценка снизу. Один из грубых способов получить ее состоит в том,чтобы заменить этот член нулем, поскольку мы знаем, что
(Л (У1) — Л (Уа), У1 — Уг)н = а (У1 — У2, У] — УД > 0. (3.67)
Однако такая «простая» замена третьего члена нулем не позволяет нам сделать заключение о том, что Рк о Тр есть сжатие. Поэтому мы должны найти более точную оценку. Теперь мы знаем, что есть более сильное по сравнению с (3.67) неравенство:
(Л (УД — Л (У2), У, — У2)н =
= а (У1 — у2, У1 — У2) > а || У1 — У2 Ц2,, (3.68)
так как а коэрцитивна на К — К (отмечаем, что У1 — п2 С КУ таким образом, можем записать
— 2р (Л (У1) — Л (У2), У1 — и2)н < — 2ра || У1 — п2 ||^.(3.69)
(Здесь мы также не требуем линейности оператора Л, а требуем лишь сильной его монотонности.) Складывая (3.65), (3.66) и (3.69), из (3.64) имеем
II Рк (Тр ^У - Рк (Тр (У1)) 1^ С (1 + M2P2 - 2ра) IIУ1 - У2II2. (3.70)
Следовательно, РкоТр есть сжатие, как только р<2а/М2. Наконец, согласно теореме Банаха, последовательность
ип+х = (Рк О Тр) (и„) = Рк (ип - р \Л (ип) - «Д)(3.71)
сходится к решению задачи 3.2, если р удовлетворяет тому же самому ограничению. Легко заметить, что оптимальное значение р (т. е. значение, при котором имеем наиболее быструю сходимость процесса в смысле наименьшего числа его шагов при условии получения приближенного решения той же самой точности) есть р = = а/М2. □
Приведенное выше второе доказательство существования решения (3.1) позволяет сформулировать следующий более общий результат.
Теорема 3.2. Пусть Н — гильбертово пространство, Кс Н — непустое замкнутое выпуклое множество и Л : Н -^ Н — 34
оператор (не обязательно линейный — случай линейного оператора соответствует теореме 3.1), непрерывный по Липшицу на К. и сильно монотонный на К в том смысле, что существует а > О, для которого
(Л (и)— Л (и), и— и) > а || и — иЦ^ Чи, у^К; (^Л^ тогда для каждого элемента uLE Н существует один и только один элемент и0 £ К такой, что
(Л (ий) — uL, u0 — у)н ^ О Vy 6 К,(3.73}
и непрерывно зависящий от uL.
Лемма Лакса — Мильграма. Легко заметить, что в случае К =" = Н задача 3.2 формулируется следующим образом.
Задача 3.6. Требуется найти такой элемент и0 £ Н, что
а (и0, w) = L (w) Vw^H.(3.74)
Утверждение о том, что задача 3.6 корректно поставлена, является непосредственным следствием теоремы Лионса — Стампаккьи; в литературе оно известно как лемма Лакса — Мильграма. Непосредственное доказательство этого утверждения, являющегося основополагающим при исследовании дифференциальных уравнений в частных производных (записанных в вариационной форме), можно найти в [18, 522, 525]. Если в (3.74) форма а симметрична, то лемма Лакса — Мильграма есть не что иное, как теорема Рисса.
3.2. Минимизация выпуклых функционалов
Производная Гато.
Функционалы, определенные на гильбертовых пространствах. Поскольку задача 3.2 накладывает более слабые ограничения на форму а, то она является обобщением задачи 2.3. В этом пункте мы сделаем обобщение другого типа, а именно, связанное с функционалом L: В силу линейности L выражение (3.28) может быть переписано в форме
а (и0, и0 — у) — L (щ) < — L (у) Vv£K, (3.75) которая говорит о возможности рассмотрения выражений типа
а (и, и — у) + /(«)</ (у),(3.76)
где / : Н -> R — не обязательно линейный функционал. Кроме того, теоремы 2.2 и 2.3 подсказывают, что при предположениях теоремы 3.1 совместно с требованием симметричности формы а и предположениями типа «выпуклости» и «полунепрерывности снизу» для / будет естественным проинтерпретировать задачу, соответствующую (3.76), как задачу о минимизации функционала
'/ (и) = -у а (и, и) + / (и).(3.77)
3*3*35
3*
3*
Мы рассматриваем функционалы даже более общего вида:
/ (и) = Л («)+/(«},(3.78)
где А (и) (в (3.77) h (и) = -^ а (и, и)) и / (и) — некоторые функционалы, на которые в дальнейшем мы будем накладывать различного типа ограничения.
Прежде чем искать ограничения на h и / такие, что, например, задача о минимизации / имеет одно и только одно решение, мы должны дать краткое описание плана исследований, которого мы придерживаемся. Теорема 2.2 была доказана при довольно общих условиях; особенно это касается условий на топологическое векторное пространство, на котором определен функционал и которое мы предполагали рефлексивным банаховым пространством; однако результат остается справедливым даже при более общих ограничениях. Но в основном мы всегда работали в гильбертовых пространствах. Почему? Потому что гильбертова структура, будучи более красивой, позволяет нам работать при меньших затруднениях. Отметим также, что в гильбертовом пространстве условия теоремы 2.2 имеют простую интерпретацию. Но чтобы получить1 наибольшее число интересных результатов (см. (678, с. 1201), задачи типа изучаемых в теореме 3.2 рассматриваются в банаховых пространствах.
В этом и в следующих пунктах мы будем использовать в основном гильбертовы пространства; однако, мы расширим понятие функционала, допустив, что он может принимать значение + 00,т. е. будем предполагать, что функционал есть отображение f: С -> (—оо, +оо] = R U {+°°}» где С—подмножество гильбертова пространства Н. В (—оо, +оо] мы будем рассматривать обычную структуру упорядоченного множества с обычными алгебраическими операциями. Мы не изучаем функционалы, принимающие значение —оо, поскольку, как будет видно из последующего, нас интересуют главным образом выпуклые функционалы, а выпуклые функционалы, принимающие значение —оо, являются весьма специальными, так полунепрерывный снизу функционал, принимающий значение —оо, не может принимать вещественных значений (см. [90]).
Удобно ввести следующую терминологию.
Определение 3.1. Функционал f : С ->(—оо, +оо] называется собственным, если существует такой элемент и С С, что / (и) < +оо, и мы будем называть эффективным множеством функционала f множество Dorn f — (и С С : f (и) Ф +оо} (таким образом, функционал является собственным тогда и только тогда, когда Dom / Ф 0).
Задача о минимизации. Рассмотрим следующую задачу.
Задача 3.7. При заданных гильбертовом пространстве Н, непустом замкнутом выпуклом множестве К с Н и функционале f: К-* (—оо, -|-оо] вида f (и) = h (и) + / (и) найти такой элемент Ы, € К, что
(3.79)(3.79)Ци^сНФ vu^K.
(3.79)
(3.79)
Наша ближайшая цель состоит в отыскании условий на h и /, при которых задача 3.7 имеет одно и только одно решение. Случай функций, определенных на R", подсказывает, что мы можем попытаться воспользоваться понятием того же типа, что и понятие про изводной, но уже в связи с вариационными неравенствами. С другой стороны, второе доказательство теоремы 3.1 показывает, что роль функционала L вторична и что, возможно, не нужно требовать слишком многого от функционала /, стоящего на месте L. В таком случае мы будем накладывать ограничения только на функционал h, требуя от него достаточной гладкости, скажем, дифференцируемости в смысле, который мы определим в следующем пункте.
Производная Гато и дифференциал Гато. Возникает вопрос: существует ли понятие производной для функционалов, опр?д?лен- ных на гильбертовом пространстве? Ответ положителен. Существует несколько различных понятий, которые так или иначе обобщают понятие производной функции вещественной переменной. Здесь мы будем использовать лишь одно из них — производную Гато, которая является скорее обобщением понятия производной по направлению для функций на R" со значениями в R.
Определение 3.2. Пусть Н — гильбертово пространство и h: Н -> R — (вещественный) функционал. Будем говорить, что h, имеет производную в смысле Гато (6-производную) в точке и Е Н, если
3/Г (и) 6Я' 4v^H + нЛн' (Ы), «)н при X -> 0. (3.80)
Элемент h' (и) Е Н', который мы также обозначаем через ^h (ы), будет называться производной Гато {G-производной) или градиентом функционала h в точке и. Если для каждого элемента ы Е Я выполняется (3.80), то функционал h называется дифференцируемым в смысле Гато (6-дифференцируемым) в Я и оператор Dq ". Н -*■ Н', ставящий в соответствие каждому элементу и элемент Dg {и) = = К {и) = ^h {и), называется дифференциалом Гато (6-дифференциалом) от h в пространстве Я.
Сделаем некоторые замечания к этому определению. Прежде всего, производная Гато от h в точке (если она существует) единственна. Кроме того, не должно быть неожиданным то, что производная есть элемент двойственного пространства, поскольку это имеет место также и для функций, определенных на R" со значениями в R (действительно, градиент от f : R" ->- R есть вектор из (R”)', однако мы отождествляем R" с (R")' ...).
Понятием, которое тесно связано с производной в смысле Гато, является понятие производной в смысле Фреше; будем говорить, что h имеет F-производную в точке и Е Я, если существует такой элемент <р Е Я', что h {и + и) — h {и) + ф {и) + о (Ц и ||) || о||. ЕслиН имеет F-производную, то он также имеет G-производную, и обе производные совпадают (см. [661, гл. 11; абстрактную формулировку связи между этими двумя понятиями, а также другие определения производной можно найти в [644]).
G-производная от квадратичного функционала. Теперь мы приведем пример, который будет полезен нам в дальнейшем. Пусть а — билинейная форма. Рассмотрим функционал h : Н -> R, определяемый как'
h (и) = а (и, и)/2.(3.81)
Нас интересует вид производной Гато от h (когда она существует) в точке и0 6 Н. Используя билинейность формы а, запишем выражение.
■^ [а (и0 + Ли, и0 + Ло) — а (и0, и0)] =
”27^ (“о- У) + Ха (У’ “о) + ^ (у- 01 =as (и0’ у) + т а (у- у); (3-82)
так как оно стремится к as (и0, у) при X -> 0, то мы можем попытаться сказать, что G-производная от h в точке и0 задается выражением н.фЦи^.и^^ H,(VhW.v>H = as^u»’^ Vv^H. (3.83)
Однако при одном лишь предположении о билинейности а это неверно, так как «о-* as (и0, у)» не обязательно является элементом из Н'. В действительности мы можем говорить так, если а — билинейная форма, симметричная часть которой непрерывна по второй переменной
Vu ЗМ2 |as (u,y)KM2||y||H.(3.84)
В этом случае, используя симметрию формы as, имеем также и непрерывность по первой переменной:
Vy ЗЛ^ (^(ц.^КМ^цЦ,,;(3.85)
из (3.84), (3.85) (с применением теоремы Банаха — Штейнгауза) следует, что
НМ Vu,v£H |as(«,y)|<M||«||H||y||H,(3.86)
поэтому мы можем (без ограничения общности) потребовать от as непрерывности (по всем переменным). С другой стороны, поскольку в (3.81) мы используем лишь симметричную часть формы а, то можем предположить, что а симметрична.
Суммируя изложенное, мы можем утверждать, что если а — симметричная непрерывная билинейная форма, то G-производная в точке и0£ Н от функционала h (и) имеет вид
H,{h' (и0), у)н = а (и0, у) W £ Н.(3.87)
Кроме того, вспоминая (3.50), мы можем принять
НЛК' (и0), v^н = а (и0, у) = НАД {и^, v)H Vv^H (3.88) и сказать, что G-дифференциал от И есть А (и что, поскольку 38
Л б ^ (Я, Я'), то G-производная от h в точке и0 изменяется непрерывно в зависимости от изменения и0... ).
Общие результаты.
Об эквивалентности двух задач. Учитывая уравнение (3.88) совместно с (3.73) и (3.75), рассмотрим выражения вида
HXvMuo).“o —у>я+ /(“о)^/(у) Vu^K (3.89)
и на основе теоремы 2.3 найдем условия, при которых решение приводимой ниже задачи 3.8, может быть интерпретировано как решение минимизационной задачи 3.7.
Задача ■ 3.8. Пусть Н — гильбертово пространство, К с: cz И — непустое замкнутое выпуклое множество и f : Н -> R U U (+оо) — функционал вида f (и) = й (и) + } (и). Найти элемент «о б К, для которого справедливо (3.89).
Ясно, чтобы задача 3.7 имела смысл, h и / должны быть собственными над К, а чтобы задача 3.8 имела смысл, функционал / должен быть собственным над К и h должен быть G-дифференцируемым на К (что, сразу же, помимо других свойств, предполагает конечность h на К). С другой стороны, исследование задач, проведенное выше, подсказывает нам наложить на f условия выпуклости на К, чего мы достигнем, требуя выпуклости от h и /. Таким образом, мы формулируем следующую теорему.
Теорема 3.3. Пусть Н — гильбертово пространство и К с Н — непустое замкнутое выпуклое множество. Если f •. К,^- R U 1+°°} есть функционал вида f (и) = Я (и) + / (и) с конечным, выпуклым и G-дифференцируемым функционалом h (и) и с выпуклым и собственным на К функционалом / (и), то элемент ий является решением задачи тогда и только тогда, когда и0 есть решение задачи 3.8. Иными словами, соотношения
ий^К' Vu£K h(uQ) + j (u0)^h(v) + j (у),(3.90)
u0EK: Vu^K HWh{u0),u0 — v)H + j(u0)^j(v) (3.91)
эквивалентны.
Доказательство. Сначала покажем, что (3.90) влечёт (3.91). Предположим, что и £ Dorn f и запишем (3.91) в форме
нЛ^к^.и» — и)н +/(u0) — /(у)<0 Vu£K (3.92)
(при у $ Dorn/ оба соотношения справедливы; с другой стороны, отметим, что u0£Dom/). Поскольку (3.90) верно, то
й («о) + / (“о) < h ((1 — X) ий + Ху) + j ((1 — X) и0 + Ху)
Vv^K VX£[0,1];(3.93)
используя выпуклость j, можем записать
h (“о) + / («о) — й ((1 — X) и0 + Ху) — (1 — X) / (и0) — X/ (у) < 0
Vu^K VX 610,1];(3.94)
39
после деления на X =£ 0 имеем
^ЛА^А^А^ + / (Мо) _ ,• w ^ о
Уу^ТС Vb£(0,1].(3.95)
Переходя к пределу при Л->0+, получаем (3.92).
Обратно, если А — выпуклый и G-дифференцируемый, то
н-А h {щ), ив — v)H>h {ий) — h (у)(3.96)
(см. [90]); в силу (3.92) получаем
h (u0) — h (у) + / (и0) — / (у) < 0 Уу 6 К,(3.97)
что и есть (3.90). □
Отметим, что в приведенном доказательстве мы не использовали предположение о замкнутости К и то, что К непусто (если К не замкнуто или пусто, оба соотношения (3.90) и (3.91) неверны и, таким образом,— эквивалентны). На самом же деле выпуклость К была использована в (3.93) (с другой стороны, рассмотрение выпуклых функций, определенных на невыпуклых множествах, не представляет интереса). Кроме того, мы не доказали ни существования, ни единственности решения этих задач—мы ограничились установлением их эквивалентности.
Индикаторные функции. Прежде чем найти дальнейшие ограничения на h и /, при которых решение задач 3.7 и 3.8 существует и единственно, покажем, что задача о минимизации выпуклого функционала f : Н -*R U {+<»} на выпуклом множестве КсН может быть всегда проинтерпретирована как задача о минимизации / на Н, если только воспользоваться простым приемом, основанным на индикаторной функции.
Определение 3.3. Пусть КсН — выпуклое множество. Индикатриса множества К {индикаторная функция) есть функция
■ /kW-L0’(3"98)
[4* оо, и ^К-
Функция /к является выпуклой в Н, поскольку неравенство
/к {Хи + (1 - X) у) ^ XjK {и) + (1 - X) jK (у)(3.99)
тривиальным образом выполняется, если и $ К или v(£ К и если и^ К и у € К, когда (поскольку К — выпуклое) Хи + (1 — — X) у С К и поэтому обе части (3.99) тождественно равны нулю. С другой стороны, /к является полунепрерывной снизу тогда и только тогда, когда К замкнуто (как это показано, например, в [90]).
Рассмотрим следующие две задачи и докажем теорему об их эквивалентности.
Задача 3.9. Требуется найти такой элемент и8 С К, что fM^f{v) W^K.(3.100)
Задача 3.10. Требуется найти такой элемент и0£Н, что
ЖН/к (“«)</(у) +/х(у) ^^Н-(3.101)
Теорема 3.4. Пусть Н — гильбертово пространство, К с а Н — непустое выпуклое множество и f : Н -> R U {+°о} — выпуклый функционал. Тогда задачи 3.9 и 3.10 эквивалентны, т. е. задачи о минимизации f над К и f + /к над Н эквивалентны.
Доказательство. Если функционал / не определен на всем Н, то мы можем его продолжить значением +оо вне области его определения, сохранив при этом значении свойство выпуклости, Если и0 есть решение задачи 3.9, то /к(ио) = О. Следовательно. (3.101) выполнено, поскольку, если и^К- то /к(у) = 0 и (3.101) сводится к (3.100), а если и^.К, то jK (у) = + оо и (3.101) очевидным образом выполняется.
Обратно, если и^ Е Н — решение задачи 3.10, то предположим (чтобы исключить тривиальный случай), что f является собственным. Тогда и0 Е К и, кроме того, из (3.101) вытекает неравенство f(«o) + /K(«oW(y) + /K(y) VU^K, (3.102>
что приводит к (3.100) □
Основной результат о существовании и единственности. Найдем теперь достаточные условия существования и единственности задачи 3.8. Ясно, что было бы достаточно потребовать полунепрерывности снизу функционалов h и / и коэрцитивности f = h + j (или ограниченности К), так как в этом случае были бы выполнены предположения теоремы 2.2. Однако, очевидно также, что эти ограничения являются слишком общими. Более интересно получить подобные ограничения в частном случае.
Так, рассмотрим определенный на Н функционал
/ (и) = 4 а ^- ^ + jK (я) +£(«) + / («),(3.103)
где а — непрерывная симметричная билинейная форма, L Н', jK — индикатриса замкнутого выпуклого множества К и / — полунепрерывный собственный выпуклый функционал. Функционалу f мы поставим в соответствие следующую задачу.
Задача 3.11. Требуется найти такой элемент и0 Е Н, что / («о) ^ 1 кФ Vy Е Н.
Чтобы гарантировать выпуклость функционала /, достаточно предположить, что
a(u,u)^0 Vu^H,(3.104)
и удовлетворить тем самым предположениям теоремы 3.3, в силу которой задача 3.11 эквивалентна следующей задаче.
Задача 3.12. Требуется найти такой элемент и0 Е Н, что а («о, и0 — у) + jK (и0) + L (и0) + / (и0) <
< jK (у) + L (у) + / (у) Чи^Н. (3.105)
Выражение (3.105) является обобщением выражения (3.75) в том смысле, что если j есть линейный функционал, то снова имеем (3.75), где, однако, форма а предполагается симметричной.
При каких условиях задача 3.11 имеет решение? Для того чтобы были выполненными предположения теоремы 2.2, достаточно любого из следующих ограничений: 1) форма а является коэрцитивной, так как в этом случае
|/(и)|-* + оо при ЦмЦд-^ + оо (3.106) (кроме того, если а коэрцитивна, то f — строго выпуклый функционал, и поэтому решение задачи единственно); 2) К ограничено: 3) / (и) -> +оо при || и ||н -> +оо и а — неотрицательная форма. Случай 1) является наиболее важным, мы переформулируем его еще раз.
Теорема 3.5. Пусть Н — гильбертово пространство, Кс. с Н — непустое замкнутое выпуклое множество, а — симметричная билинейная форма, непрерывная на Н и коэрцитивная на К —■ — К, j — полунепрерывный снизу собственный выпуклый функционал. Тогда существует один и только один такой элемент и0 € К, что
а (и0, и0 — у) + j (и0) < / (у) Vy £ К. (3.107)
Понятие субдифференциала. Вариационные неравенства возникают не только из-за ограничений выпуклости (например, при минимизации функционалов на выпуклых множествах), но также из-за недифференцируемости функционалов. Так, формулировка задачи о минимизации выпуклого функционала (например, задачи 3, 7) в случае дифференцируемости f по Гато может быть записана и как нАГ (ыо), «о — и^н 0. Это неравенство переходит в уравнение в случае К = Н, и поэтому мы можем сказать, что задача о минимизации без ограничений для дифференцируемых функционалов приводит к задаче отыскания нулей производной. Если же f не дифференцируем по Гато, то неравенство, эквивалентное (3.79), является неравенством типа (3.91), где h — сумма G-дифференцируемых частей функционала f и j — сумма оставшихся частей; таким образом, даже при К = Н мы уже не имеем уравнения в обычном смысле этого слова. Здесь мы введем несколько понятий, которые позволят нам записывать подобные неравенства как некоторые «уравнения».
Правая и левая производные и субдифференциал. Как мы знаем, если f: R -> R — выпуклая функция, то в каждой точке из R существуют правая f'R и левая fL производные и выполняется свойство монотонности
Ух, y^R y>x=^fL(xXf'R(xXf'L(y). (3.108)
С другой стороны, график / лежит всегда выше левой и правой касательных, и множество точек, в которых не существует
производной, есть множество
С—{x^R: адчЧ’.М,С—{x^R: адчЧ’.М,(3.109)(3.109)
С—{x^R: адчЧ’.М,
С—{x^R: адчЧ’.М,
(3.109)
(3.109)
имеющее мощность, не большую чем f0. Так, функция / : R -► R, определенная как / (х) — | х |, дифференцируема на R\ {0} (и поэтому С = (0)), f'L (0) = —1, fR (0) = 1; значения —1 и 1 являются угловыми коэффициентами, соответствующими касательным к графику в точке (0,0). Теперь рассмотрим множество угловых коэффициентов прямых, которые «касаются» графика / в точке (0,0), но не пересекают его (рис. 3.1). Легко заметить, что эти угловые
0Рис. 3.20Рис. 3.2
0
Рис. 3.2
0
Рис. 3.2
коэффициенты (мы будем их обозначать через х') удовлетворяют соотношению
f(O)-f(y)^x'(O-y) Vy€R,(3-110)
которое перепишем в виде
■f(0)-f(yXR,(x,0-y)R VyER.(3.111)
Чтобы подчеркнуть, что хотя х' являются вещественными числами, они рассматриваются как угловые коэффициенты линий, или, короче, они являются элементами из R'. График f (который есть не что иное, как множество точек вида (х, у}, где у—угловой коэффициент касательной к графику f в (х, / (х))), дополненный угловыми коэффициентами боковых касательных и «субкасательных» в точке (0,0), изображен на рис. 3.2.
Неравенство (3.111) напоминает (3.96); таким образом, мы приходим к определению.
Определение 3.4. Пусть f : Н -> R U {+<») есть выпуклый функционал и и £ Н. Функционал / называется субдифференцируемым в точке и, если множество
df(u) = {h'£H': f^-f(и)<нЛН',и-^н VoE^} (3.112)
не является пустым. Множество df (и) называется субпроизводной от / в точке и и его элементы называются субградиентами f в и.
43
Если Vu £ Н df (u) ^ 0, то мы говорим, что f субдифференцируем в Н и отображение df : Н -* 2я', ставящее каждому элементу и £ Н в соответствие df (и) € 2я', называется cyбduффepeнцuaлoм функционала f. "
Отметим, что df может быть проинтерпретирован как однозначно определенный оператор из Н в 2я' или как многозначный оператор из Н в Н' ... Очевидно, что если f дифференцируем по Гато в точке и, то df (и) = У (и)}. При использовании только что введенных обозначений, если f есть функция f (х) = |х|, которую мы рассмотрели выше, то мы можем записать: df (х) = {sgn х}, если х^ 0 и df (0) = [-1, 11.
Выражение (3.108) и график, изображенный на рис. 3.2, подсказывают, что df является монотонным оператором в смысле следующего определения (являющегося обобщением определения 2.2).
Определение 3.5. Пусть Н — гильбертово пространство и f — оператор из Н в 2я'. Оператор f называется монотонным, если
Vu,u£H Vc,£Hu), чШо) н&-4. и-Фн> 0, (3.113) и максимально монотонным, если он монотонный и не существует такого оператора 1;Н-*• 2Н, что f — монотонный и Gr (f) = {(u, f (и)): и £ Я) S G, (f) = {(и, f («)): и £ Щ, т. е. график f не имеет какого- либо подходящего продолжения, являющегося графиком монотонного оператора
В действительности справедлива следующая теорема.
Теорема 3.6. Если f : Н -* R J 1+°°} — выпуклый функционал, то его cyбduффepeнцuaл df является монотонным оператором, т. е.
Vu, и^Н V^df^uY t^df^ ^ — ■Ц, и — и)н>0, (3.114) или, что то же самое,
Vu, v^H HAdf(u)— dfiv^u — и)н^0. (3.115)
Доказательство. Если df (и) (или df (v)) пусто, то (3.114) очевидно. В противном случае, выбирая £ из df (и) и т| из df (и), получаем неравенства
H^,«-0H>f(«)-f(o) Vv^H, (3.116)
^и-и^Ж^-Ци) Vu^H. (3.117)
Суммируя эти неравенства, после обычного изменения знака имеем
НА — т|, и — п)н>0, (3.118)
что (в силу произвольности £, т], и и и) и есть (3.114). □
Можно также показать, что f является максимально монотонным (см. [593, с. 851). Описание других свойств субдифференцируемых операторов можно найти в [90, 36, 7291.
Многозначные уравнения. Рассмотрим теперь неравенство
а (.и. и— о) 4- h(u) ^ h(и) Чу^Н,(3.119)
которое можно переписать в виде
НАА (uY и — v)H < h (у)—/1 (u) Vv^H, (3.120)
где А —оператор (см. (3.50)), соответствующий симметричной непрерывной билинейной форме а, или в виде
h (и) — К (о) ^ н\— А (и), и — у}н Vy^H. (3.121)
Из (3.121) получаем
— А (и) € dh (и),(3.122)
или
О € (5А + А) (ы).(3.123)
что представляет собой «уравнение», соответствующее многозначному оператору dh + А: оно и есть «некоторое уравнение», о котором мы упоминали в начале пункта. Ясно, что если h дифференцируем по Гато, то (3.123) можно записать в виде
0 = (^Л + Л)(ы),(3.124)
что является уравнением в обычном смысле (мы не имеем здесь неравенства, поскольку (3.119) рассматривается во всем пространстве //...; для задач с ограничениями формулировка типа (3.123) также возможна, но она усложняется тем, что в общем случае соотношение д (f + g) = df + dg не имеет места).
Глава 4. ТРАНСПОНИРОВАНИЕ ОПЕРАТОРОВ.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Понятие транспонирования. Основные свойства
Транспонирование линейных непрерывных операторов, определенных в топологических векторных пространствах, дает один из наиболее плодотворных процессов обобщения в анализе. Ниже мы определим эту операцию и приведем некоторые связанные с ней абстрактные результаты; в следующих пунктах мы опишем некоторые ее приложения к конкретным — весьма важным — случаям.
Мы рассматриваем все векторные пространства (если не оговорено особо) как пространства над полем комплексных чисел.
Транспонированный оператор. Линейность и непрерывность.
Определение 4.1. Пусть Е и F — два топологических векторных пространства и Т £ (£ (Е, F). Оператором, транспонированным к Т, называется оператор lT:F'-*-E', определяемый
45
следующим образом:
Vf'^F' Me ЕЕ Е>(Т {f), е) Е =■ FA ' ,Т {e))F.(4.1)
Этот оператор называют также сопряженным к Т, но мы не бу-. дем использовать эту терминологию, потому что в частном случае, когда Е и F являются конечномерными векторными пространствами (предполагается также, что существуют два базиса, фиксированные в Е и F) и Т представим матрицей [Т,Д, то оператор 'Т представим (относительно соответствующих двойственных базисов) через транспонированную к [Ту] матрицу, а не через сопряженную, которая представляет собой нечто другое — доказательство этого факта можно найти в работе [85] (ее автор, однако, называет *Т оператором, сопряженным с Т...).
Отметим, что определение 4.1 имеет смысл, поскольку, как мы сейчас докажем (в качестве примера...), V/' £ F' *Т (/') ЕЕ' (и, таким образом, в частности, мы можем использовать обозначение (•,• ) в левой части соотношения (4.1), что мы и делали). Действительно, зафиксировав f £ F', получаем, что *Т (/') есть функционал над Е, поскольку
Me ЕЕ EAh'kTV^ рЛГгТ^р^.(4.2)
Он является линейным функционалом, так как вследствие линейности f* и Т имеем
V^, Х2£С У^, ег^Е
в* ^Т (/')• ^iei + Х2е8)Е = РАГ» Т (Х^ 4- Х2е2))к =
= FAf', XtT {е^ + Х2Т (е^р = XXF, (f\ Т ^F + X2F, У, Т {e2))F =
= X ХЕ,(Т {ГЬ е?)Е + №^Т kf\ е^Е. (4.3) а также непрерывным, потому что для каждого элемента е £ Е величина Е' (*Т (/'), е)Е есть значение на е композиции /'о Т непрерывного функционала и непрерывного оператора.
Теорема 4.1. Если Т £ ^(£, F) и Е', F* имеют один и тот же тип двойственной топологии {например, оба пространства Е', F' имеют сильную топологию), molT ^^, {F', Е').
Доказательство. Линейность оператора / может быть доказана непосредственно:
MXVX2EC Mf'v f2EF'
е^Т {XJ't + Х^), e)E = pAXj; + XJ2, T (e))F =
= рЛЧ\, T (e))F + p\X2f2, T (e))F = eA\‘T (fx), e)E +
+ eAX*T {f2), e)E = eAX‘T U\) + X^T (/'), e)E Me £ E. (4.4)
Доказательство непрерывности *Т в общем случае см. в [712, с. 199]. Здесь же мы рассмотрим частный случай, когда Е, F явля- 46
ются нормированными пространствами и оба пространства Е', F' имеют сильные топологии. При заданных непрерывных f, Т' можем последовательно записать
IЕХТ WY *)Е I = I рЛГ, т (e))F КН/' ||F, IIТ (е) ||F <
< НГ М 7'11^11 е ||в. (4.5)
Следовательно, справедливо неравенство
11^(П1^<И||^||Г1|г,(4.6)
а значит, и соотношение
W'TW^P.E.^WTW^,(4.7)
то доказывает непрерывность ZT (более того, можно показать, что ^^(Ej^ll^lls'tF'.E')-" см-' например, [712, с. 242; 467, с. 257]). □
Свойства транспонированного оператора. Предыдущая теорема показывает, что существуют свойства оператора Т, которые сохраняются и для *Т. Естественным будет тогда найти другие такие же свойства Т или, в более общей постановке вопроса, представить, что же происходит с определенными свойствами оператора Т с точки зрения оператора *Т — такой путь исследований ведет нас к интересным результатам.
Предположим, например, что Т является инъективным, т. е. что Т (е) = 0 =>• е = 0, и посмотрим какое свойство появится при этом у оператора *Т. В общем случае инъективность оператора *Т (т. е. ‘Т (f) = 0 => f = 0) не следует из инъективности оператора *Т. Действительно, по определению оператора 1Т равенство *Т ^ = = 0 означает:
ЕА‘Т(П. е-)Е= рЛГ-Т^>к = ° Ve^E’ (48>
а это, в свою очередь, предполагает, что f— 0 на Т (Е), но не обязательно иа F. Казалось бы, что мы не можем получить какую- либо важную информацию об инъективности оператора !Т. Однако соотношения (4.8) помогают сделать это и провести рассуждения следующим образом. Если оператор Т не инъективен, то существует такой элемент е ^ 0, что Т (е) = 0, и при этих условиях из (4.8) следует, что
в,('Т(ГМ>Е=0 Vf-EF',(4.9)
т. е. е ортогонален к множеству *Т (F'). Следовательно, это множество — образ F' при действии оператора *Т — не плотно в Е" (используемое здесь понятие ортогональности не включает в себя гильбертов случай: если Е — топологическое векторное пространство и А — линейное подпространство из Е, то ортогональное до*
полнение к А есть линейное подпространство А0 из Е', состоящее из линейных непрерывных функционалов над Е, которые тождественно равны нулю на Л; в частном случае, когда Е — гильбертово пространство, гильбертово ортогональное дополнение Л1 к А совпадает с Л°, если осуществлено отождествление Е с двойственным к нему пространством). Обратное утверждение формулируется следующим образом: если *Т имеет плотный вЕ образ, то Т является инъективным. Большое значение этого результата стимулирует нас к поиску других результатов, подобных сформулированному; следующая ниже теорема содержит ряд из них. Но сначала приведем рассуждения, касающиеся места понятия инъективности среди других понятий, чтобы познакомиться с обозначениями и терминологией, которые будем использовать в дальнейшем.
Инъективность, вложения и отождествления. Если Е и F — два топологических векторных пространства, то мы называем jEF: Е F инъекцией Е в F, если jEF является инъективным линейным отображением Е в F. Если jEF — непрерывное отображение, то инъекция называется непрерывной инъекцией, а если множество jEF (Е) плотно в F, то — плотной инъекцией. Всякий раз, когда между двумя топологическими векторными пространствами Е и F существует непрерывная инъекция jEF, то можно отождествить Е с jEF (Е) с: F, поскольку jEF устанавливает векторно-топологический изоморфизм между Е и jEF(E) с F, если только последнее пространство наделено топологией, принятой в Е (а не топологией пространства F); при этих условиях мы пишем Е с: F.
Этот тип отождествления очень часто встречается в анализе. Среди других отметим отождествление, которое часто осуществляется как между гильбертовым пространством Н и к нему сопряженным, так и между топологическим векторным пространством Е и частью сильно антидвойственного к нему пространства Е". В последнем случае jEE- является так называемой канонической инъекцией Е в Е". В первом случае отождествление достигается с помощью основной теоремы о представлении функционалов в гильбертовых пространствах, и если Н является вещественным, то ]нн' есть оператор Рисса (однако, если Н — комплексное, то ]нн' не отождествляет Н с двойственным к нему пространством, а отождествляет его лишь с антидвойственным). В последующих разделах мы рассмотрим дополнительные примеры, характеризующие изложенное выше.
Предположим, что имеется непосредственное вложение Е с: F (без какого-либо отождествления). В этом случае существует канонический оператор /ер — оператор множественного вложения Ief с ; Е -> F, определяемый как
Vx^E iEF^ = x^F. (4.10)
Если Ief непрерывен (это означает, что топология Е сильнее, чем топология в Е, индуцируемая топологией пространства Е), то мы пишем^Ес* F. Если Ief плотен (это означает, что замыкание Е 48
d*
в топологии F эквивалентно F), то пишем Е a F. Заметим, что различие между выражениями «непосредственное вложение Е с cz F» и «Е cz F после отождествления» часто незначительно, как это может быть замечено из следующего примера. Если множество R вещественных чисел построено из множества Q рациональных чисел (например, с помощью процесса пополнения Кантора), то мы отождествляем Q с частью R (которое «получается» из сходящихся последовательностей из Q), но если R вводится аксиоматическим путем, то Q определяется непосредственно как подмножество из R. Чтобы различать эти ситуации, достаточно при необходимости заменить iEF на Илер(епр о ]EF; отметим, что сущность отождествления лежит в соединении этих двух отображений.
Свойства повторно транспонированного оператора.
Теорема 4.2. Если Е и F — два топологических векторных пространства и Т £. (£ (Е, F), то ds
Т (Е) с: F «=> Т является инъективным; ds
*Т (F') сЕ' ^Т является инъективным и обратное также справедливо, если Е рефлексивно.
ds
Доказательство. 1) Сначала докажем, что Т (Е) cz F подразумевает инъективность ^ т- е- '
(Ve 6 Е е'^Т W е^ Агф,Т (e))F = 0) =► f = О, (4.11) а это следует немедленно, так как из АГ, Т (е))F = 0 Ve С Е вытекает, что Г = 0 на Т (Е) и, следовательно на F, поскольку из плотности Т (Е) в F следует, что единственным расширением на F функционала, равного нулю на Т (Е), является функционал, который равен нулю на F. Обратно, предположим, что 1Т инъективен ds
и покажем, что Т (Е) cz F, т. е. что если функционал f £ F' является тождественным нулем на Т (Е), то f есть тождественный нуль на F. Теперь соотношение V/E Т (E)F, (/', /)F = О эквивалентно соотношению FAf, T(e))F=Q ve € Е, которое (см. определение ‘Г) эквивалентно следующему: Ve 6 Е еА‘Т(Г), е)Е = О, или *Т (J^ = О и, следовательно, (в силу инъективности *Т) эквивалентно тому, что Г есть нуль пространства F'.
Мы уже видели, что из Q'^dE' следует инъективность оператора Т. Покажем обратное в случае рефлексивного пространства Е (если предположение о рефлексивности не выполнено, то утверждение не выполняется — в следующей главе мы рассмотрим контрпример). Для этого введем оператор, транспонированный к *Т. Из определения 4.1 следует, что если Е" и F" являются анти- двойственными пространствами (мы предполагаем их сильными пространствами) к пространствам Е и F соответственно, то транспони-
49494 К. Байокки, А. Капело
49
49
рованным к *Т оператором является оператор *^Т\ Е" F”, определяемый как
V^ 6 Е" У Г 6 F' ^((Т) ^ ПР ^ ЕЛе", ‘Т (П)Е'.(4.12) •
Если ]ЕЕ, и iFF„ — канонические инъекции Е в Е” и F в F" соответственно, то (4.12) мы можем записать в виде
ve 6 Е Vf 6 F' ^(Т) (iEE„e), hF. = E„(jEEA ‘Т (Г»Ел (4.13)
поскольку■.
Е^ЕЕ”®’ ^0 ))е- = Е'^ if )’ ®^Е = F’if ’^ (^)^F = F^FF'^ i®V f'^F* ’
(4.14) то получаем равенство
Ч‘Ло1ЕЕ„ = 1рр„оТ.(4.15)
Если пространство Е рефлексивно, то )ЕЕ„ имеет обратный оператор ]~Е„ = 1е"е> и (4-15) принимает вид
4‘T^ = iFF„oToiE.E.(4.16)
Равенство (4.16) показывает, что если оператор Т инъективен, то Ч^Г) также является инъективным, поэтому выполняются условия
1),ч= , а значит, Т^сЕ’. □
Для более подробного изучения транспонированных операторов с их приложениями в теории дифференциальных операторов можно рекомендовать работы [713, с. 47; 253; 254] и др.
4.2. Приложения понятия транспонирования
Еще раз об инъекциях между топологическими векторными пространствами. В качестве первого приложения понятия транспонирования операторов остановимся еще раз на инъекциях между топологическими векторными пространствами, которые мы рассматривали в п. 4.1.
Пусть Е и F — два топологических векторных пространства, та- ds
кие, что Е F, т. е. что оператор вложения iEF непрерывен и Е плотно в F. Оператор iEF: Е-^F является элементом из ^ (Е, F). Рассмотрим транспонированный к iEF оператор \iEFy. F' -*■ Е', который, в свою очередь, является линейным и непрерывным из F' в Е' (см теорему 4.1) и инъективным (см. теорему 4.2, часть 1), =^). Таким образом, F' может быть отождествлено с Ч1Ер^кЕ'^с1 Е'> и можно писать F* сЕ1.
Случай нормированных пространств. Проанализируем смысл включения F' с: Е* в весьма простом случае, когда Е и F явля-
50■
ются нормированными пространствами. Начнем с замечания о том, что здесь факт непрерывного вложения Е в F (другими словами, того, что топология в Е является более сильной, чем топология в Е, индуцируемая пространством F) может быть кратко записан следующим образом:
3c£R Ve^E M|F<c||H|£.(4.17)
Элемент /' € F' является непрерывным линейным функционалом /-* -*£,(/',/)£ ^F-^Cy, сужая этот функционал на Е (отмечаем, что EcF), мы получаем функционал е-* p,tj', е)р (Е-*Су который также линеен и непрерывен (в топологии Еу так как из непрерывности f имеем
г, <1I рЛУ> Фр || рАУ > Фр |
«' ^-".^ 1И1, ■ <™Г~ п«11, " "f <4Л8)
е^Е»^Е
Соотношения (4.18) как раз и показывают, что сужение /' на Е непрерывно в топологии Е, и мы можем записать
2^R yf^F1 ||/' |Ie^c||/'||f„(4.19)
откуда следует, что сильная топология пространства F* сильнее топологии, индуцируемой на F' сильной топологией пространства Е'. Отождествление F' с частью Е’ заключается в отождествлении непрерывных линейных функций над F с их сужениями на Е. Однако, если предположение о плотности вложения Е в F неверно, то приведенное выше отождествление уже невозможно. Действительно, если (ее не является плотным, то 3/' 6 f' такой, что /' ^ 0 и (f, е) = 0 Уе £ Е. Когда мы рассматриваем сужение f на Е, го получаем нуль пространства Е', который, с другой стороны, может быть получен, если исходить из нуля пространства F'; поэтому оператор \i£?) не инъективен и не является инъекцией из F' в Е'.
Чтобы привести конкретные примеры приложений транспонирования, нам необходимы две составляющие части: топологические векторные пространства и линейные непрерывные операторы в этих пространствах. В п. 4.2.1 мы введем некоторые топологические векторные пространства, полезные в приложениях, и определим на них некоторые линейные непрерывные операторы; некоторые свойства рассматриваемых пространств мы приведем без доказательств. Этот материал следует рассматривать как очень неполный словарь специальных определений (более детальное изучение этих пространств можно найти в работах [467, 712, 420] и др.). В п. 4.2.2 мы дадим краткую характеристику двойственных пространств и изучим операторы, транспонированные к предварительно определенным операторам. Иногда мы будем иметь дело с распределениями (обобщенными функциями). Но мы не будем излагать теорию обобщенных функций, а введем лишь основную терминологию. Для изучения теории обобщенных функций среди прочих мы рекомендуем работы [664, 467, 712, 313, 86, 22, 23, 24, 20, 21].
4*51
Некоторые примеры функциональных пространств, важных в приложениях. Примеры непрерывных линейных операторов.
Обозначения. Пусть Л — произвольное множество. На множестве функций 9" (Л) £ С4, определенных на Л со значениями в С, мы введем структуру векторного пространства над полем С при помощи обычных соотношений
vAgC^H) Ухе Л (f + g)(x) = f(x)+g(x), (4.20)
У^И) vxec Ухе Л (V)W = V(x), (4.21) которые определяют соответственно сумму двух функций и произведение функции на число. Все векторные пространства, которые рассматриваются в этом пункте, являются векторными подпространствами из 9- (Л) при соответствующих Л или получаются из подпространств 9- (Л). В любом случае, линейная структура на них определяется естественным образом, и мы не будем ее определять каждый раз заново.
Если Л с: Rn и f е 9- (Л), то через supp f обозначаем носитель f, т. е. замыкание А (в топологии R") множества {х 6 A: f (х) ^ =# 0).
Мы будем использовать обычное краткое обозначение для производных. Если а = (ар а2,..., а„) е N*, то через | а | = cq +. • ■ + «п будем обозначать порядок мультииндекса, а через Da — оператор Da = = д'а^дх^... дх^1 (условимся, что <3°/дх; есть тождественный оператор и, в частности, если | а | = 0, то Da — тоже тождественный оператор). Кроме того, для мультииндексов а = (ар.... ап), р = (РР ... ••■>Рп) будем писать:
Пусть Q — открытое множество из RA Под обозначением К е Q мы понимаем не только то, что К с Q, но также и то, что К есть компактное множество из R”.
Пространства Cm(Q) и ^т(й).
Определение 4. 2. Пусть Q—открытое множество из R” и m£N или т = оо. Мы обозначаем через Cm(Q) пространство функций, определенных и непрерывных на Q вместе с их производными порядка ^ т, а через Лт (Q) — пространство Ст (Q), наделенное семейством полунорм
vf6Cm(Q)|/|Km= V sup|Da/(x)|, m6N. (4.22) ,ек
где К ей произвольно. В последующем будем писать ^(Q)^ §(Q).
Итак, другими словами, С" (Й) — пространство функций f^ (й) таких, что производная Daf существует и непрерывна в Й для всех а 6 N” таких, что ] а | ^ т. Пространство бесконечно дифференцируемых функций может быть определено с помощью алгебраического соотношения С00 (Й) = 0 С71 (Й) (заметим, что при изменении т в m€N
N (4.22) также обеспечивает топологию Я°° (Й)). Если /ЕС^Й), то будем также говорить, что / принадлежит классу С™ в Й.
Пространства Я"1 (Й) являются пространствами Фреше (см. [35]). Их топология известна как «топология равномерной сходимости (функций и их производных ^ т) на компактных множествах», поскольку последовательность (Д) {к € N) сходится к f в &т (й) тогда и только тогда, когда последовательность {^Д} сходится равномерно на каждом Кейк Daf для всех | а | ^ т.
Пространства Ст (Й). Пространство функций класса Ст в й, непрерывных вместе с их производными «вплоть до границы дй множества Й», также часто используется в исследованиях. Мы определим это пространство как пространство С" (Й) продолжений по непрерывности на Й = й (J дй функций, производные которых порядка ^ т также имеют такие же продолжения, и наделим его семейством полунорм (4.22), где уже теперь К е Й. Если Й ограничена, то эти функции являются существенно ограниченными и равномерно непрерывными в Й вместе с их производными порядка ^ т. Если Й ограничена и т конечно, то (^"(Й) является банаховым пространством с нормой
^бС^Й) 11/1^ = 2 sup|D7(x)! (4.23)
|ct|^m х€й
в противном случае оно является пространством Фреше. Заметим, что если / есть сужение на й функции ^^(R”), то /6 Ст (Й). Обратное справедливо, если только Й является «регулярной».
Пространства Ст’ц(Й) и Ст,р'(Й\ Другим, близким к Ст (Й) является пространство функций, обладающих производной т-го порядка, удовлетворяющей условию Гёльдера. Вспомним, что если А есть подмножество из Rn, то говорят, что f с^ (Д) непрерывна по Гёль- деру {удовлетворяет условию Гёльдера) с показателем р 6(0,1] в А, если
3M6RВеличина3M6RВеличинаЧх',хГ^А |/(Х') —/(^КМЦх'—х"||ц-Чх',хГ^А |/(Х') —/(^КМЦх'—х"||ц-MVa =MVa =sup 11(^1=10 х'^Е” I|x' —X'|[Mх.х'^Аsup 11(^1=10 х'^Е” I|x' —X'|[Mх.х'^А(4.24)(4.25)(4.24)(4.25)
3M6R
Величина
3M6R
Величина
Чх',хГ^А |/(Х') —/(^КМЦх'—х"||ц-
Чх',хГ^А |/(Х') —/(^КМЦх'—х"||ц-
MVa =
MVa =
sup 11(^1=10 х'^Е” I|x' —X'|[M
х.х'^А
sup 11(^1=10 х'^Е” I|x' —X'|[M
х.х'^А
(4.24)
(4.25)
(4.24)
(4.25)
называется модулем непрерывности f по Гёльдеру. Непрерывные по
Гёльдеру функции являются непрерывными в А, а непрерывные по Гёльдеру функции с показателем р = 1 называются, в частности, непрерывными по Липшицу функциями (Липшиц-непрерывные функции).
.Через С"1'** (й), т Е N и рЕ(О, 11 мы обозначаем пространство функций класса С” в й, которые имеют /n-е производные, непрерывные по Гёльдеру с показателем р в каждом К ей, наделенные семейством полунорм
V/ € С™ (fi) I f |к>ц,т = 2 sup I d^ (x) I + 2 \DX.K (4-26) [a|^m ja|=m
Далее через C'”,f* (й) мы обозначаем подпространство из Ст (й), состоящее из функций, имеющих производные т-го порядка, непрерывные по Гёльдеру в й с показателем р. Если Й ограничена, то Q является компактом, и (4.26) при й = К задает норму, по отношению к которой Ст ц (Q) есть банахово пространство. Если ^С"* (й) и ^“Лцк остается ограниченным при изменении К, то говорят, что f принадлежит равномерно классу Ст,ц—это следует непосредственно из того, что если /ЕС”'11 (й), то f есть продолжение на й функции такого же типа. Заметим, что если mENH0<v^X<l, то Ст"'"1 (й) с_ Ст (Й) и С”'* (й) cr_ Cm'v (Й), и если й—например, выпуклое множество, то Cm+1 (й) с.» Cm’v (й) (см. [91, с. 111).
Пространства Со (й) и 2)” (Q).
Определение 4.3. Пусть й — открытое множество из R" и m Е N или т = оо. Мы обозначаем через Со ($) пространство таких функций f £Ст (й), что supp / ей, а через 2)” (Q) пространство Со(Й),наделенное семейством полунорм
Vf<EC^Q)V\6>m= V sup|0a(x)D“f (х)|, mEN, (4.27) |a|^m X^U
где 0 = {9a}aeN„ — набор непрерывных в й таких функций, что семейство (supp 9«}aeNn локально конечно (т. е. для всех х Е й существует окрестность U(x) точки х такая, что card{a Е N" :supp 0a П Щх)#= =#0} конечно) и U (supp 0а)°=Й. В последующем мы будем писать 2)°° (й) = 2) (Q) (с топологией, определяемой посредством (4.27), при т, меняющемся в N).
Векторное пространство С? (Й) является подпространством из С* (Й) и, следовательно, топологическим векторным пространством, с топологией, индуцируемой пространством 8т (Й). Однако полученное топологическое векторное пространство не является полным (см. контрпример в [313, с. 131), и по этой причине мы наделим Со (й) более сильной топологией. Эта топология может быть охарактеризована
тем, что Л с #m (й) является открытым тогда и только тогда, когда Л П Ск (й) открыто в Ск (Я) для каждого К ей, где Ск (й) есть пространство функций ^Ст(й) таких, что suppfcK, наделенное топологией, определяемой семейством полунорм (4.22) при фиксированном К (см., например, [467, с. 171]). Другими словами, топология в ЗГ (Й) является индуктивным пределом топологий пространств Ск (й); дополнительную информацию об этих топологиях можно найти, например, в [360, 673]. Из приведенного выше в частности следует, что последовательность {/ft)(fegN) сходится к f в У'т(й) тогда и только тогда, когда 3 К с й V& £ N supp fk^K и последовательность (D"^} сходится равномерно на К к Daf при каждом |а| ^т (см., например, [35]).
Пространства Sm (И) являются полными локально выпуклыми топологическими векторными пространствами (см. [664, с. 66; 360, с. 871), они неметризуемы (см. [360, с. 701). Пространство ,0 (й) вызывает особый интерес в анализе Оно является единственным из пространств Ут (й), которое рефлексивно (см., например, [664, с. 75]), его элементы называются основными функциями (пробными функциями)-, *Ф (й) является «наименьшим»функциональным пространством, которое мы будем рассматривать, однако оно не слишком мало, в том смысле, что не сводится лишь к тождественно нулевой функции (см. теорему 15.1).
Пространства фт (й). В дальнейшем через #т (й) (й =/= R") мы будем обозначать пространство сужений на й функций из (^(R"). Мы наделяем это пространство топологией, определяемой с помощью (4. 22), так что если й ограничена и регулярна (например, класса С”, см. гл. 16). то мы имеем ^т(й) = С""(й).
Пространства Sm (Rn).
Определение 4.4. Пусть mgN или т = оо. Обозначим через Sm(R'1) пространство таких функций /£Cm(Rn), что
Ve > 0 Vfe £ Z V | а | ^ m
3M€R || х || >М =>|(1 + П ^ 1Р)6°“^ (^)1 < ». (4 28) с семейством полунорм
VfESm(Rn) |f|6a = sup|(l +\\x\\WHx)\,(4.29)
r€Rn
где k^T и |a|^m. В дальнейшем полагаем S°°(R") = S (R”).
Пространства Sm (R"), элементы которых называются функциями быстро убывающими на бесконечности вместе с их производными порядка ^ т, являются пространствами Фреше (см., например, [467, с. 116, 154). Зачастую тесно связанными с этими пространствами оказываются пространства мультипликаторов Ом и Ос, с которыми мы не будем работать (информацию относительно них можно найти в литературе по теории обобщенных функций).
Пространства Lp (Л).
Определение 4.5. Пусть Л — измеримое множество из R". Обозначим через Ln (Л), р^ [1, оо) пространство (классов) функций f^^ (Л), измеримых в Л и таких, что функция | / |р суммируема в Л, с нормой
4KLP^ ||/||= ((|/«dx)1/₽.(4.30)
А
Через L°° (Л) обозначим пространство (классов) функций f £ S' (Л), измеримых и существенно ограниченных в Л, с нормой
Xf^L”^ 11/11^, = ess sup |/(х)|.(4.31)
Вспомним, что две функции принадлежат одному и тому же классу тогда и только тогда, когда они равны почти всюду относительно обычной меры Лебега (р), которую мы только и будем рассматривать. Как это принято в теории интегрирования, мы не будем делать различия между классом функций, равных почти всюду, и конкретным представителем этого класса. Таким образом, функция f £ Lp (Л) определена всюду за исключением множества меры нуль и, если мы говорим, например, что функция / £ Lp (Л) является непрерывной, то это понимается в том смысле, что / равна почти всюду функции, непрерывной в Л.
Пространства L” (Л) (р£[1, оо]) банаховы (см., например, [712, с. 103, 1061) и рефлексивны, если р^ 1, оо. Пространство L? (Л) — гильбертово, со скалярным произведением
V/.gE^H) (Lg)L,w = \tkx^ax.(4.32)
А
Можно также рассматривать пространства Lp (А) при 0<р< 1, однако (4.30) здесь уже не является нормой. Если же при 0 < р < 1 ввести метрику р (/, g) =■ ^ |/ (х)—g(x)jp dx, то получаются полные а .
метрические пространства (см., например, [462, с. 200; 271).
В общем случае мы будем выбирать А открытым или компактным множеством. Заметим, что если Л с R" и 5Л имеет нулевую меру (р (дЛ) = 0), то фактически нет разницы между Lp (Л) и ЛР(Л), так как если f £ Lp (Л), то любое (!) продолжение / на Л принадлежит Lp (Л).
Пространства Lpromv (й) и Цос (й)).„
Определение 4.6. Пусть Q — открытое множество из R” и р^ [1, оо]. Обозначим через Lpomp (й) пространство (класс) функций / 6 £р(й), supp / ей, наделенное индуктивной предельной топологией
банаховых топологий пространств Lr^Q) таких функций f£Lp(Q), что supp f а Кей. Через Z^oc О обозначим пространство функций /g^(Q), f|K5^P№ Для каждого К ей, наделенное семейством полунорм
W€^(Q) |/1к = №Ь(ю- (4-33)
Пространства Цотр(й) являются полными локально выпуклыми топологическими векторными пространствами (но не банаховыми!). Пространства Lk>c(Q) являются пространствами Фреше. Пространство Ь}Ос (й) — пространство локально суммируемых в Q функций — представляет особый интерес, поскольку оно является «наибольшим» из рассматриваемых нами топологических векторных пространств, его элементы — функции, определенные в точках множества (почти всюду!).
Диаграмма пространств. С целью облегчения ссылок мы включили в одну диаграмму (диаг. 4.1) вложения пространств, которые
Диагр. 4.1
были определены ранее. Диаграмма является «транзитивной»: если пространство может быть соединено с другим пространством цепочкой непрерывных (плотных) вложений, то вложение первого пространства во второе непрерывно (плотно). Часть диаграммы, относящаяся к пространствам Sm(Rn) (но не вложения, с помощью которых пространства Sm(Rn) связаны с другими пространствами), не должна рассматриваться, если Q 5^ R"; это же должно быть сделано и для вложений между пространствами Lp (Й) (но не для вложений между L?omp(Q), Lp (Й^ и LfOc(^)) в случае, когда Q имеет бесконечную меру.
Все пространства на диаграмме соответствуют одному и тому же открытому множеству Q, обозначение которого опущено лишь для простоты; по этой же причине мы пишем-»-вместо с» и-»-вместо ds
с-. Числа к > т > 0 (см. диаг.) — натуральные, р > q > 1 и г > 1 — вещественные.
Мы не будем доказывать результаты, данные на диаграмме. Отметим лишь, что конкретный случай (4.17) при ц (й) < оо и q < <р, имеющий вид ||/||1«(0)<(н(Й))(1/’’-(1^ сразу же следует из неравенства Гёльдера — он показывает непрерывность вложения Lp (Й) в L4 (Й).
Наиболее важные результаты, касающиеся плотности, доказываются в гл. 15, а результаты, касающиеся непрерывности, вытекают из следующих двух теорем (см., например, [712, с. 64, 128; 467, с. 971).
^Теорема 4.3. Пусть Е и F — два локально выпуклых топологических векторных пространства, топологии которых определяются соответственно семействами непрерывных полунорм {ет)теГ и {Мхел- Линейное отображение L-.E-^F является непрерывным тогда и только тогда, когда
VX6A 3c£R 3{7г€Г)Ы1 ^ Vx^E т
WK^x)-(4.34)
i=i
Теорема 4.4. Пусть Е и F — два локально выпуклых топологических векторных пространства-, предположим, что Е является индуктивным пределом семейства {Еа)а^Д пространств Фреше. Линейное отображение L:E-*-F непрерывно тогда и только тогда, когда для всех а £ А отображение L\ea: Ea-*F непрерывно.
Теперь мы приведем некоторые примеры линейных непрерывных операторов, определенных на рассмотренных ранее пространствах.
Произведение.
Пример 4.1. Пусть ф£С°°(й)— фиксированная функция. Оператор
•ф:^(Й)^^(Й),(4.35)
ставящий в соответствие каждой функции ф g 2 (Й) ее произведение 'с ф, т. е. "ф(ф)=ф-ф, является линейным и непрерывным.
Линейность видна сразу же:
VXv Х26С Уфр ф2€^(Й)
'Ф (Х^ + Х2ф2) = ф (Х^ + Х2ф2) = Х1фф1 + Х2фф2 =
= Х/ф(ф1Н-Х2-ф(ф2). (4.36)
Чтобы доказать непрерывность "ф, достаточно доказать (теорема 4. 4), что для каждого ^cй оператор "ф I-: С к (Й) -*■ 2 (Й) непреры- К
вен. С другой стороны (теорема 4.3), чтобы доказать это, достаточно для любого m 5 N построить семейство функций 0 = {6а}, удовлетворяющих условиям определения 4.3 и таких, что для каждой
функции Ф 6 Ск (Q)
У sup] О“(фф)(х)|^ У sup I е« (х) 0“ф (х)|.(4.37)
(а|<т хёКlal^m
Преобразовывая левую часть неравенства (4.37) с помощью формулы Лейбница (см. [467, с. 101])
О“(фф) = у /а\ОефОа-еф(4.38)
замечаем, что такое семейство может быть получено из производных от ф с помощью подходящих преобразований, провести которые мы предлагаем читателю.
Сдвиг.
Пример 4.2. Если ф€^(Рп) и h^Rn, то функция T^^^)(Rn), определяемая как
Ух€Ип(тлф)(х) = ф(х — /г),(4.39)
называется h-сдвигом функции ф. Для фиксированного h (4.39) определяет линейный непрерывный оператор'
т„: #(Rn)->.0(Rn).(4.40)
Производная.
Пример 4.3. Для каждого а^№ оператор
Da: -Й(Й)->-Й(Й),.(4.41)
который каждой функции ф € ^) (Rn) ставит в соответствие ее частную производную порядка |а|
О“ф (х) А ^ФОД.,(4 Л2)
д^... дха»
является линейным и непрерывным. Заметим, что Da фактически действует между 2 (Q) и S (Q), так как взятие производной не увеличивает носителя функции.
Замена переменной.
Пример 4.4. Пусть Qt и Q2 — Два открытых множества из R" и ф : Qt -> Q2 — диффеоморфизм класса С00 из QL в Q2 (т. е. ф есть биективное отображение класса С00 вместе с обратными нему отображением). Оператор
■’ф:-Й(й2)->-Й(Й,),(4.43)
который каждой функции ф^^(й2) ставит в соответствие функцию ф (ф) € ^ (^i)> определяемую как
°Ф (ф) (х) = (фоф) (х) = ф [ф (х)] Vx € Йр(4.44)
является линейным и непрерывным.
Заметим, что если обозначить через |Уф| модуль якобиана преобразования ф, то справедлива формула
j Ф (У) dy = J у [ф (х)] | Уф | dx(4.45)
в,в,
(см. [55, с. 100]).
Свертка.
П р и м е р 4.5. Пусть ф Е С” (R") — фиксированная функция. Оператор
•ф:^(И")->^(Ил),(4.46)
который каждой функции ф Е <0 (R") ставит в соответствие ее сверточное произведение с ф: ф (ф) = Ф*ф, определяемое как
(ф*Ф) (х) = J ф (//) ф (х — у) dy,(4.47)
R"
является линейным и непрерывным.
Преобразование Фурье.
Пример 4.6. Пусть ф Е S(R"). Функция ф Е S (Rn), определяемая как
Ф (у) =(2лГп/2 J е-2л£мф (х) dx,(4.48)
R"
где (х, у) = хгуг +...+xnz/n, называется преобразованием Фурье функции ф (чтобы заметить, что ф Е S (Rn), нужно лишь вспомнить, что
Выражение (4.48) задает оператор
■^':S(Rrt)->S(Rn),(4.49)
который каждой функции ф Е S (Rn) ставит в соответствие ее преобразование Фурье: ф = ^ф. Этот оператор — линейный и непрерывный, он является (алгебраическим и топологическим) эндоморфизмом пространства S (Rn) с обратным оператором, определяемым как
^-‘ (ф (У)) = Ф И = (2л)-л/2 J е2л'(х,у)ф (//) dy, (4.50)
Rn
точнее, ^ есть изоморфизм пространства S (R”) (текущая переменная х) в S (R” ) (текущая переменная у); однако, мы будем рассматривать пространство R™ и его двойственное R” отождествленными с помощью оператора Рисса, соответствующего равенству (х, у\^=^п-<х. y)R„.
Сформулируем без доказательства следующий важный результат (см., например, [712, с. 270; 86]).
60
4.5. Если ф, ф££^п), то справедливы
следующие
J Ф WФМ dx = (ф(р)Ф(у)Ж/, R"R"
(4.51)
J | ф (x)|2dx = j | Ф (p)|2dp, RnRn
(4.52)
j Ф (x) ф (x) dx = J ф (x) ф (x) dx.
R"Rn
(4.53)
Т еорема соотношения:
Эта теорема и тот факт, что S (R")ds L2 (R") показывают, что преобразование Фурье ^: S (R")-> S (R") может быть единственным образом расширено до изометрии L2(Rn) на L2(Rn). Используя то же самое обозначение для оператора и для ё го расширения (что возможно, так как последнее единственно) и вспоминая (4.32), мы можем переписать соотношения (4.51) и (4.52) в виде
(Ф> ^(R") = (Ф-^rw(4-54)
(теперь <р, ф есть два произвольных элемента из L2(R")), или, убирая показатель степени,
II Ф Hl^R") = II Ф IL2(Rn)-(4.55)
Соотношения (4.54) и (4.55) известны как формулы. Парсеваля и Планшереля (соответственно).
Двойственные пространства и транспонированные операторы.
Диаграмма двойственных пространств. Вспоминая то, что мы говорили об отождествлении двойственных пространств, исходя из диаграммы 4.1, построим другую диаграмму для двойственных пространств. Для этого достаточно заменить исходное пространство Е на его, например, сильно двойственное Е' (исключаются пространства L^mp (^), L” (Q) и L^c 8), поскольку здесь операторы вложения не являются плотными) и заменить на обратные направления вложений, которые становятся уже не обязательно плотными. Для пространств Lp \й\ L^omp(Q) и Lfoc(8) (РЕП> °°)) мы можем сделать большее, так как имеем следующую простую характеристику для их двойственных пространств: если рЕ[1>о°), то двойственное к Lp (Q) (соответственно к L£OmP(Q), Lfoc(^)) пространство есть Lp (Q) (соответственно Lf0*c (Й), L?’mp(Q)), где р* — р!(р—1), если р=#1 и р* = оо при р= 1. После этого мы получаем диагр. 4.2
Пространство Ф' (8) : сходимость. При работе с топологическим пространством обычно возникает вопрос об описании подходящим
образом понятия сходимости последовательностей в топологи - ческом рассмотрении.
Мы дадим такое описание для пространства 0' (Q), которое заслуживает здесь быть представленным, поскольку оно является «наибольшим» из пространств, изображенных на диаграмме 4.2. Последовательность {uj (Z 6 N) элементов из 2)' (Q) сходится (сильно) к u^S'*^) тогда и только тогда, когда для каждой функции ф Е 0 (Н) числовая последовательность (^^^ (“о Ф>^(й)} сходится к 0/№)(и, ф^в) (см. [467, с. 315.]).
Р* ,?*. «.
■loc -*- *-100-*- loc
^($1)<о»^($1)<о»
^($1)<о»
^($1)<о»
х-7'-гт >10х-7'-гт >10Р* -_ 14* ^ Iю -comp *-сошр *-сотрР* -_ 14* ^ Iю -comp *-сошр *-сотр
х-7'-гт >10
х-7'-гт >10
Р* -_ 14* ^ Iю -comp *-сошр *-сотр
Р* -_ 14* ^ Iю -comp *-сошр *-сотр
Диагр. 4.2
Это понятие сходимости является одним из понятий, вводимых в связи со слабыми топологиями двойственных пространств, а не с сильными топологиями. Однако, оказывается, что в 55' (Q) последовательность сходится сильно тогда и только тогда, когда она сходится слабо (см. [35]). Среди других свойств сильной топологии в 0' (Q) отметим следующее: S)' (Q) является рефлексивным и полным хаусдорфовым пространством.
Псевдотопология. Интересно, что для любого заданного векторного пространства Е можно определить на Е понятие сходимости без предварительного введения топологии; тогда говорят, что в Е вводится псевдотопология. Дадим более точное определение (см. также, например, [337, с. 11; 564, гл. I, II; 206]).
Определение 4.7. Под п'евдотопологическим векторным пространством мы понимаем тройку (Е, С, Нт), где Е — векторное пространство, G с EN — векторное подпространство из Ек и Hm : G -> Е есть линейный оператор, который каждому элементу и Е G ставит в соответствие и = lim (и) Е Е согласно следующим условиям:
если XECN— сходящаяся (в топологии С) к X последовательность, то Vu Е £ ku^G и lira (Хи) = Хи.
Элементы пространства G называются сходящимися последовательностями, а и= lim (и) —пределом последовательности и ^=и (п)=ип...у Очевидно, что на Е могут быть введены топологии, относительно которых псевдотопологически сходящиеся последовательности становятся сходящимися; наиболее сильной из этих топологий является та, которая вводит наименьшее «число» топологически сходящихся последовательностей, которые не являются псевдотопологически сходящимися, и мы можем назвать эту топологию соответствующей псевдотопологии.
Таким образом, если мы хотим избежать изучения топологий двойственности, то можем наделить 3' (й) псевдотопологией, определенной через рассмотренное выше понятие сходимости, выбирая соответствующие определения оператора Нш, класса G ... Кроме того, чтобы избежать изучения «предельных индуктивных» топологий, можно само 3 (й) псевдотопологизировать путем использования понятия сходимости, которое мы уже ввели в предыдущем пункте. Этого достаточно для большинства приложений пространства ^Z)' (й) и здесь мы имеем оптимальную ситуацию: топология, соответствующая псевдотопологии пространства 3' (й), является сильной топологией пространства ^Z)' (й) и, очевидно, не существуют сильно сходящиеся последовательности, которые не сходились бы псевдотопологически (топология оказывается более ценной лишь в фильтрах и сетях).
Перефразируя то, что происходит в случае нормированных пространств (их топология, которую можно определить, исходя из сходимости последовательностей, не может отличаться от псевдотопологии, определяемой теми же сходящимися последовательностями) мы можем построить, например, псевдотопологическую теорию непрерывности.
Пространство 3' (й): характеризация. Следующий результат, доказательство которого следует из теорем 4.3 и 4.4 (см., например, [86, 313, с. 1Q1K дает описание элементов из 3' (й), т. е. описание таких линейных функционалов над 3 (Й), которые непрерывны (отметим явно псевдотопологи чес кий характер условия 2)).
Теорема 4.6. Линейный функционал и : 3 (й) -> С непрерывен (и поэтому и Е 3' (й)) тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:
У/Ссй Э/nEN Зс>0 УфЕ^З(й), suppфc=^ U'№<“, q>W)Kc у sup I ^®<р(х)],
если ф; -> 0 в 3 (й), то @>№<u, ф,)^, -> 0 в С.
В качестве первого очень важного приложения этой теоремы покажем, что диаграммы 4.1, 4.2 могут быть «соединены», образуя
тем самым основу третьей диаграммы — диагр. 4.3. Поэтому мы по- 1 ds
кажем, что Цос (й) с* ^' (й). Однако мы будем доказывать только то, что Lioc Р)с-» 3' (й); плотность вложения следует из плотности 5)(й) в 3' (й) (доказательство можно найти, например, в [467, с. 316; 664, с. 75]).
Вложение Л{0С(й)с^ 5>'(й) должно быть надлежащим образом прокомментировано, поскольку, с одной стороны, мы имеем пространство А}ос (й), элементы которого определены поточечно на й, а, с другой — пространство 3' (Й), чьи элементы определяются глобально на й через элементы пространства 5) (й). Беглый взгляд на диаграмму 4.2 позволяет представить, что уже здесь мы имеем явление
Диагр. 4.3
такого типа: пространство Lp* (й), например, появляется как подмножество из 3' (й). Мы не должны однако забывать, что данное пространство Lp* (й) возникает как двойственное к Lp (й) пространство, и что элементы из (Lp (й))' являются линейными непрерывными функционалами над Lp (й), которые затем отождествляются с элементами из Lp (Й) (последние участвуют в представлении этих функционалов над Lp (й)). Поэтому слева в соотношении Л₽*(й) 3' (й) мы должны видеть представителя функционала над Lp (й), а не функцию из Lp* (й).
Для соотношения Lioc (й) с_ 3' (й) рассуждения те же самые: мы отождествляем f С Lioc (й) с линейным непрерывным функционалом А (f), который определяется как
ф -> И (/), Ф> = j / W ф М dx, ф С 3 (й). (4.56)
Его линейность очевидна, а непрерывность следует из теоремы 4.6, 1) при т = 0 и с = р (/С)'| f Цьчю- Кроме того, отображение А = в j 1 пространства Л^ (й) в 3' (ЭД- которое каждому эле- менту / ставит в соответствие А (/), является линейным и инъективным (это следует из плотности вложения 3 (й) в £’Ос (й) — дока:-а тельство см. в [91, с. 59]). Поэтому здесь мы имеем дело с непрерывной инъекцией, что позволяет нам записать Lioc (й) с=_ 3* (й).
Впредь, когда мы будем работать с элементом и пространства 3' (й), который, как мы знаем, может быть представлен через /£ 64
£ Цос ^) (т- е- существу67 такой / Е 7J0C (Q). что и = Л (/)), мы не будем делать различия между следующими представлениями (и, ф)= = И (/), ф) = </, ф) = j f (х) ф to dx, чтобы указать значение этого в
функционала и на фЕ<0(Й). Заметим, что когда говорят, что ,0(Й) плотно в .0'(Й), то подразумевают, что каждый элемент иЕ^Чй) может быть приближен в смысле топологии S' (Й) функционалами вида (ит, ф) = ит (х) ф (х) dx с um Е S) (Й).
Пространство ^' (Й): терминология. Прежде чем начать изучать операторы, транспонированные к операторам, рассмотренным в п. 4.2.1, надо ввести некоторую терминологию.
Элемент из Sb' (Й) называется распределением {обобщенной функцией) на Й. Говорят, что обобщенная функция и£^3'(й) есть нуль на открытом множестве й с Й, если ^^{и, ф)^® — 0 для каждой фЕ5)№) с зпррфСЙ. Легко можно заметить, что если обобщенная функция и Е Sb* (Й) есть нуль на семействе открытых множеств {Йх}лел, то и на UxeA оно тоже НУЛЬ- Соответственно, supp и— носитель и, определяется как дополнение объединения открытых множеств, на которых и есть нуль (если и может быть интерпретировано через / С Цос (Й), то supp и = supp /). Естественно, что две обобщенные функции иг, u2^^'(Q) называются равными на й с Й, если иг — и2 есть нуль на й. Можно показать, что элементы из §' (Й) являются обобщенными функциями, носители которых являются компактными (см., например, [467, с. 320; 712, с. 256). Если в условии 1) теоремы 4.6 можно зафиксировать т независимо от К, то говорят, что и является обобщенной функцией конечного порядка, и порядок обобщенной функции определяется как наименьшее целое в этих условиях.
Можно показать (см., например, [467, с. 339; 712, с. 258]), что если и есть обобщенная функция порядка т, то и Е Sbm (й). Множество обобщенных функций конечного порядка часто обозначают через SbF (Й): оно является двойственным к пространству фр (й), которое получается путем наделения Со* (Й) наименее точной топологией, при которой вложение Со (й) в фт (Й) непрерывно. Можно показать, что ^ (й) с Sb F (Й) (см. [467, с. 340; 712, с 259]). Обобщенные функции нулевого порядка называют мерами Радона и среди них можно найти такие, которые могут быть представлены через локально суммируемые функции, которые называют плотностями соответствующих мер. Обобщенная функция, соответствующая функции f (х) = 1. есть не что иное, как обычная мера Лебега! (Подробнее познакомиться с мерами Радона можно в [665]). Обобщенная функция и называется вещественной, если ^-^{и, ф)^;е> ER для каждой функции ф Е S (й) при ф: Й ->- R. Вещественная обоб-
65655 К. Байокки, А. Капело
65
65
щенная функция и называется положительной, если ^'(q/u, ф)^(й)^ ^ 0 для каждой функции ф g 0 (й) при ф ^ 0.
Интересно отметить, что если и — непрерывный линейный функционал над 0 (й), которому можно приписать знак (как это делалось выше), то и может быть продолжен единственным образом до линейного непрерывного функционала над ««значительно большим множеством» 0° (й). Этот результат (доказательство см. в [664, с. 291) разочаровывает, так как он показывает, что понятие порядка в 0' (й) не может быть продолжено вне поля мер). Наконец, элементы из S' (R") называют медленно растущими обобщенными функциями._
Следующим этапом в наших исследованиях будет изучение операторов, являющихся транспонированными к операторам, рассмотренным в примерах 4.1—4.6 в п. 4.2.1.
Произведение.
Пример 4.Г. Транспонированным к -фЕ^(0(П), 0(й)) оператором является оператор Лф: 0' (й)-> 0' (й), определяемый как
vuE0'(^) УфЕ0(^)
^'(^(С Ф) (ы)> ф)^(О) — ^'(Q)(w> Ф(ф))®(0) = ®'(Q)(w> Фф)^(О)-(4-57)
Если и может быть представлено через функцию /, то из (4.57) следует, что
®'№)(/. ФФ)^(О) = j / И Ф W ф (х)dx = @4Q^, tp^Q), (4.58)
и снова имеют обычное определение произведения двух функций. Поэтому естественно записать (4.57) в форме
Vu Е 0' (й) Уф £ 0 (Й) ^'(й)(иф, ф)^(О) А ^'(О) (и, фф)^(О) (4.59) и взять это выражение за определение произведения обобщенной функции и Е 0' (й) на функцию ф Е С°° (й), Пространство 0' (й) является тогда модулем над алгеброй С” (й).
Отметим, что нельзя определить оператор ’ : 0' (Й) X 0' (Й) -> ->0' (Й) такой, что алгебраическая система (0' (Й), +, ")есть кольцо и " обобщает (в смысле, который мы только что изучили) обычное произведение двух функций. Этот отрицательный результат не является таким уж необычным, если только заметить, что произведение двух функций из L1 (й) не обязательно является функцией из L1 (й) ... .
Сдвиг.
Пример 4.2'. Транспонируя оператор Th€^(0(Rn), 0(R”)), мы имеем оператор ^ Е ^ (.0'(R”)» 0'(R"))> определяемый следующим образом:
vue^'tR") vVE0(Rn) ^№^~
(4-60>
Вспоминая предыдущий пример, естественно спросить: обобщает ли 'тА оператор тА на 3' (R4)? Ответ — отрицательный. Действительно, если и может быть представлено функцией Д то, чтобы говорить об обобщении, мы должны иметь
^ f(x)<p(x — h)dx = у f(x— h^tp^dx УфЕ^Й(^), (4.61) RnR"
что неверно,— имеется изменение знака. Но именно это подсказывает, как понятие сдвига может быть обобщено на случай 3' (Я): вместо тА мы должны транспонировать оператор т_А (контрградиент по отношению к тА) и, таким образом, определить в качестве h-сдвига элемента и обобщенную функцию *т_А (и), которую впредь, будем обозначать (при естественном не совсем правильном употреблении обозначений) через xh (и).
Более точно, мы будем определять /i-сдвиг обобщенной функции и с помощью выражения
v«€^(R") у<р(Е.0(1П
= ^'(R")^“’ T-ft4,^(Rn) ‘ (^-62) Производная.
Пример 4.3'. Транспонированным к Da: 3 (Q)-> 3 (Я) является оператор *Ва: 3* (Я) -*■ 3* (Я), определяемый как
VuES'(Q) УфЕ^(Я) а^№^^
(4.63)
Здесь мы встречаемся с проблемой, аналогичной той, которая была в предыдущем примере: чтобы рассматривать 7)а как обобщение производной на 3' (Я), в случае представимости и Е 3' (Я) через функцию / (по крайней мере, класса С|а|...) необходимо иметь соотношение
J Daf (х) ф (х) dx = f f (х) /)аф (х) dx Уф Е 3 (Я).(4.64)
ИЙ
Однако, последовательное интегрирование по частям показывает, что на самом деле мы имеем:
Ф (х) dx = (— I)’01 J f (х) /)“ф (х) dx Уф Е 5) (Я). (4.65)
йй
Но из. (4.65) видно, что можно ввести обобщение производной посредством транспонирования оператора (— 1 ),a| Da (а не оператора Day Обозначая по-прежнему оператор '(— 1 )|a| Da через Da, получаем: У«Е^ (Я) УфЕ 3(Я) ^q^Z^u, ф)^^ А( I)1 *s,(Q)(u,Z) ф)^,,
(4.66)
что и определяет производную, точнее оператор Da, в смысле 3’ (Q).
5*67
Вообще, когда мы используем эту формулу, то говорим, что производная «осуществляется» на гладкой функции...
Из (4.66) сразу же следует, что каждая обобщенная функция бесконечно дифференцируема и частные производные являются коммутативными операторами.
Если иЕФ' (Q) может быть представлено через f $ Цое (й), то, не делая различия, будем писать Da и или Daf. Однако, в общем случае D^f не является функцией, а только лишь обобщенной функцией (конечного порядка ^ | а |) — оно будет функцией и будет совпадать с соответствующей обычной производной от /, если / £ С|а| (Q).
Если Da есть новое определение производной, ф Е 2>' (Q) и ф £ С°° (й), то формула Лейбница по-прежнему справедлива. Среди других свойств обычной производной, которые сохраняются, упомянем следующее: если I есть открытый интервал из R и об. общинная функция f Е S' U) такова, что Dkf = 0, то f может быть представлена полиномиальной функцией степени ^ k — 1 — в частности, если к = 1, то f может быть представлена постоянной (см., например, [467, с. 3281). Наконец, отметим, что производную от обобщенной функции и Е ЗУ (R") можно определить как предел разностного отношения: частная производная от и по переменной xh, 1 ^ к ^ п, определяется как
(4-67)(4-67)ди .. V —“-т— = hm " .—dxh h^0 - hh
(4-67)
(4-67)
где h. = (0,... , hh,..., 0) £ R" и, очевидно, предел берется в смысле ^'(Rn) (см. [467, с. 330; 664, с. 77]).
Замена переменной.
Пример 4.4'. Транспонированным к 6^E^(.S (й2), Ф (QJ) является оператор ьф: 2У (QJ-*^' (Q2), определяемый как
ЧиЕФ’^ Уф€,0(Й2)
^'(о2)( (“)’ ^э№д = ^'№1/“’^^№1) ~ ^чва^’ V °(4-68)
Этот оператор не может быть взят в качестве обобщения оператора °ф потому, что, если и может быть представлено через функцию /:Q1->C, то из (4.68) следует выражение
j1 Н^Н^Ш^у = j /(х) ф(ф(x))dx Уфе,0(й2) (4.69) о, о,
(у есть переменная в Q2, х — в QJ, левая часть которого не имеет смысла.
Далее, рассмотренный в примере 4.2 сдвиг есть частный случай замены переменной, и когда мы обобщаем его на обобщенные функции, то мы транспонируем т_А = т™1, а не th. Поэтому и в данном примере мы должны попытаться транспонировать оператор ф~1 68
(а не °ф) и определить <6ф ’(«) = « оф. Теперь транспонированным к °ф-1 Е ^ (<0 (ЙО, Ф (Q2)) является оператор /огр—1Е ^ (57 (Q2), 55' (Qj)), определяемый как
VuE^W V<pE^ (Qi)
^'(я,/Т^а,) — ^<(а,)(“’ Ф (ф^акяа = а'®^’ Ф0^1
(4.70)
Если и может быть представлено через /:Й2->С, то аналог (4.69) принимает вид
J f (Ф (х)) ф (х) dx = £ / (у) Ф ("ф-1 (у)) dy,(4.71)
Й,Й,
что теперь имеет смысл, но противоречит (4.45) (чтобы заметить это, достаточно принять f = 1).
Подходящий способ обобщения оператора замены переменной на обобщенные функции базируется на транспонировании оператора |/ф|°ф-1 (отметим, что модуль якобиана, соответствующего сдвигу, равен 1, и по этой причине мы его не вводили в рассмотрение):
УиЕ^'(П2) УфЕ^(Пх)
а^ ° Ф> ^№=®®>I ^ । (Ф ° 'HWr (4-72)
Свертка.
Пример 4.5'. Транспонированным к *ф: ф (R") -> 55 (R"l является оператор ьф, определяемый как
VuE^'(R") УфЕ^(К")
^(R"/^) (и), ^^ = ^(и, ^(ф))^, = №ки, ^^ (4.73)
Обобщенная функция (^ф) (и) не может быть названа сверткой и с ф, так как если и представима через функцию Д то обобщенная функция (^ф) (и) не соответствует /'«ф. Действительно, мы должны иметь
J /(л)/уф(у)Ф(х—y)dy\dx= Jф(x)^/(у)ф(х—y)dy\dx
Rn '\R"/ Rn \R"/
УФЕ^(К'').(4.74)
однако, вместо этого, как легко может быть замечено, мы имеем
р(х) Лф(у)Ф(х—y)dy\dx= j Ф(х)/у f(y)^(y —x)dy\dx
Rn \R"/ R" \R"/
vq> E Ф (R").(4-75)
69
Введем новую функцию ф, определяемую как
Ф (х) = ф (— х) Vx £ R",(4.76)
и свертку обобщенной функции и £ Ф' (R") с функцией ф £ С~ (R") — как обобщенную функцию (* ф)(«) (обычное смешение терминологии здесь, как и ранее, не создает неудобств):
vu € ^' (R") vv С Ф (R") ^4^, ф)^, А <и, ^№пу (4-77)
Заметим, что и*ф является очень частным случаем обобщенной функции. Действительно, можно показать, что она может быть представлена через функцию класса C°°(R") (см., например, [86]); обозначая вновь эту функцию через и*ф, можем записать и*ф£ 6 С°° (R”). Следовательно, получаем:
W) (х) = №^иу, ф (х - ^Rn) = ^„/u, тхф (у»^(4.78)
(где под ин понимаем, что и действует на ф (х — у) как функция от у при фиксированном х), что имеет смысл, так как н*ф есть функция.
Если в (4.78) заменим ф на ф8 (х) = ф (х/е) е“п (при ф, задаваемой посредством (15.8)), то получаем последовательность бесконечно дифференцируемых функций, сходящихся к и в У (R") (см., например, [86; 712, с. 30] и доказательство теоремы 15.2).
Для каждого а € N" справедлива формула
Da (и*ф) = и*О”ф = Р“и.ф,(4.79)
т. е. для того чтобы продифференцировать сверточное произведение, нужно лишь продифференцировать один из его сомножителей — что обобщает хорошо известный результат.
Наконец, заметим, что в более общем случае, можно рассмотреть сверточное произведение двух обобщенных функций и £ &' (Rn) и и £ &' (R") — для изучения этого вопроса можно рекомендовать работы по теории обобщенных функций, в частности, [467, 712, 664].
Преобразование Фурье.
Пример 4.6'. Транспонированным к оператору ^"6^(S(R"), S(R")) является оператор *9^ 6^(S'(R"),S'(R"))> определяемый как
У“ 6 S'(R") Уф € S (Rn) S,(R„)((^) (u), V)5(Rn, = s,^ku, £ (V))S(R„,-
(4.80)
Сразу же получаем, что если и может быть представлено функцией / 6 S (R"), то '^ (и) может быть представлено через 9" (/), и поэтому естественно назвать ^ преобразованием Фурье в S' (Rn) В таком 70
случае, будем обозначать ^ просто как ^ и определять как
Vu € S' (R") Уф € S (R") з,^ (и), (p^—s^u, 3 k^sv^y
(4.81)
Важно упомянуть здесь, что в литературе часто можно найти запись «^ = гГ-1» — однако авторы такой записи определяют ^ как сопряженный к ^ оператор, а не как транспонированный.
Преобразование Фурье является изоморфизмом пространства S' (Rn). Мы упомянем следующие его свойства в силу их важности (имеющие место в S (Rn), а также в L2 (R"), когда только они имеют смысл; заметим также, что оператор 2 : S' (Rn) -> S' (Rn) является расширением оператора ^ :L2 (Rn)->-L2 (Rn)...): если u^S' (Rn) и
ф€Со°(Рп), то
сГ (и*ф) = 2 (u)^ (ф),(4.82)
J (фи) = ^ (u)«^ (ф),(4.83)
2 (duidx^ = 2niyk9' (u),(4.84)
yto“) = -^r^y<“).<4-85»
^(Thu) = e-2"'W(u).(4.86)
Доказательства приведенных свойств можно найти, например, в [712, с. 219, 220; 75, гл. 1].
Нормальные и локальные пространства. Чтобы закончить эту главу, мы дадим важное определение.
Определение 4.8. Векторное подпространство Е из ДУ (И) называется нормальным пространством обобщенных функ- ds
ций, если 2) (Q) а^Е а+2У (й) и локальным пространством обобщенных функций, если Е является модулем над алгеброй С^ (Q).
Заметим, что пространство, двойственное к нормальному пространству обобщенных функций, также является пространством обобщенных функций (хотя не обязательно нормальным). Все пространства на диаграмме 4.3 являются локальными и, за исключением L“(Q), L^mp(S) и LToek^Y — нормальными. Примером нелокального пространства является пространство функций из L1 (Q) со средним значением, равным нулю.
Распределение Дирака и функция Хевисайда.
Замечание 4.1. Среди обобщенных функций, которые не могут быть представлены через локально суммируемые функции, мы упомянем (в силу его важности) 6-распределение Дирака. Мы будем называть распределением Дирака, сосредоточенным в точке x0^Rn, обобщенную функцию d^jZ/ (Rn), которая каждой функции Ф £ 2 (R”) ставит в соответствие 6*0 (ф) = ф (х0).
Если п = 1, то 6Хо может быть представлена как производная в смысле обобщенных функций от функции Хевисайда Н (х — х0) =
= Х(х0•+<»)• В общем случае, в R", обобщенная функция 6Х<1 может быть представлена как прямое произведение производных в смысле обобщенных функций от Н (х{ — x6i), i = 1, ..., п. (Прямое произведение двух обобщенных функций является очевидным обобщением прямого произведения двух функций, которое, например, функциям / : R -► R, g : R -> R ставит в соответствие функцию / ® g : R2 -> R, определяемую как (/ ® g) (х, у) = f (х) g ^)) Заметим еще, что У (1) = 60.
Ультрараспределения. Классы Жеврэ.
Замечание 4.2. Грубо говоря, чем «меньше» топологическое пространство, тем «больше» двойственное к нему. Естественно тогда подумать о расширении понятия обобщенной функции (распределения), налагая дополнительные ограничения на пространство основных функций: таким образом приходят к понятию ультрараспределения.
Особенно важными с теоретической точки зрения являются ультрараспределения Жеврэ (см. [23, 24, 550]): если s > 1 есть вещественное число, то ультрараспределение Жеврэ класса s в Q есть элемент пространства 5)\ (й), (сильно) двойственного к пространству S)s (й) функций Жеврэ класса s в й, которое является индуктивным пределом при т ->■ оо семейства банаховых пространств
к = (й) : sup
|ai=A
II <p|| Ф , „ (Й) = sup
' |а|=Л
(сравните с рассуждениями, следующими за определением 4.3), где Lm ->- оо — возрастающая последовательность вещественных положительных чисел, Кт — возрастающая последовательность множеств, содержащих й.
Приложения и другие типы ультрараспределений можно найти в книге [5501 и библиографии к ней, другие расширения понятия обобщенной функции и их приложения в физике — в [675].
Глава 5. ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА
О необходимости введения
новых функциональных пространств
Как мы уже говорили (раздел 1.1) в связи с понятием корректно поставленной задачи, одной из основных целей функционального анализа является построение пространств, в которых определенные задачи могли бы быть корректно поставленными. Кроме того, на примере (задача 1.0) мы видели, что классические пространства
(под этим неясным термином мы подразумеваем пространства непрерывных функций, дифференцируемых функций и т. д.) могут и не быть подходящими для этой цели.
Теперь мы построим семейство пространств, которые создадут подходящую основу для формулировки большого количества задач.
Зачем новые пространства? Не просто построить функциональное пространство; более того, некоторые из используемых нами пространств, как мы увидим, не будут являться пространствами функций, понимаемых в обычном смысле... Поэтому нам нужен «путеводитель». И чтобы сориентировать себя, мы изучим «патологию» классических пространств, другими словами, зададим следующий вопрос: почему эти пространства являются неудобными для постановки многих задач, которые возникают, например, в физике?
Классические пространства в анализе прошлого определяются на основе понятия производной, которое само является весьма тонким. Так, в С° (R) производная, в смысле оператора, не определяется всюду, в то время как в С1 (R), где она уже всюду определяется, она не удовлетворяет самому элементарному свойству непрерывности: если {/т} есть последовательность функций из С1 (R), которая сходится равномерно к функции /, то не всегда / 6 g С1 (R), и если / 6 С1 (R), то не обязательно f является пределом последовательности {/^} (вспомним, например, последовательность VmV fm(x) — sinmx/Ут, которая равномерно сходится к / = 0).
Однако недостатки понятия производной более очевидны в силу неперестановочности порядка дифференцирования-, мы укажем на следствие этого факта. Предположим, что двумерное физическое явление моделируется с помощью уравнения :
дги!дхду = 0 в R2,(5.1)
где u = и (х, у): R2->R, д“Чдхду— оператор, как обычно, определяемый с помощью равенства
(5.2) дхду дх у ду )
(если правая часть выражения имеет смысл). Теперь отметим, что с точки зрения физики мы также можем вместо (5.1) рассмотреть уравнение
д*и!дудх = 0 в R2,(5.3)
где дги!дудх определяется аналогично д*и/дхду. Возвратимся к (5.1). Если мы формулируем задачу в пространстве таких функций и^С? (R2), что существуют /, g £ С° (R2), причем / = ди/ду и g = df/dx (мы не будем беспокоиться о замыкании задачи...), то видим, что каким бы способом ни задавались к £ С° (R) и h € С1 (R), функция
и (х, у) = к (х) + h (у)(5.4)
является решением (5.1). Однако, вообще-то, и не является решением (5.3)1
Таким образом, мы нашли необходимый нам «путеводитель»: поскольку мы не можем избежать понятия дифференцирования при изучении дифференциальных задач, то нам надо модифицировать его. Нам необходим «оператор дифференцирования» с широкой об-' ластью определения, с хорошими свойствами непрерывности, который не зависел бы от порядка, в котором берется «производная», и который, чтобы быть действительно полезным, давал бы производную, совпадающую с обычной производной на классе «гладких» функций.
Мы уже имели такой оператор: дифференцирование в смысле обобщенных функций. Является ли тогда пространство обобщенных функций тем, что мы ищем? Ответ лишь частично утвердительный: это пространство «слишком большое» и, хотя это может быть преимуществом с точки зрения результатов о существовании, несомненно имеет недостатки при изучении вопросов, касающихся единственности и гладкости. В действительности нам нужны определенные подпространства из пространства обобщенных функций, и цель этой главы — определение и изучение важного семейства подпространств из 2)' (£2): пространств Соболева Ws'p (£2) (часто они обозначаются как Lp(£2), ^(£2)).
Слабая и сильная производные. Заметим, что пространства Соболева были введены в анализ прежде, чем была основана теория обобщенных функций, исходя из понятия слабой производной (см. [70, 71, 678]), которая также является частным случаем производной в смысле обобщенных функций.
Говорят, что функция /^ LP(Q) является а-ой слабой производной от u^Lp ^ (в смысле пространства Lp (£2)), если j/(x) X Хф(х)Дк = (—1),а| ^ и (х) Dacp (х) dx Уф 6 Со”1 (£2) (см. (4.66)). Слабая Й
производная, если она существует, единственна. Связанным с понятием слабой производной является понятие сильной производной: функция g^Lp (£2) называется а-й сильной производной omu^L (£2) (в смыслу Lp (£2)), если существует такая последовательность {иго} из С|а| (£2), что ит^-и в Lp^ и Daum^-g в Lp 1йу
Если сильная производная существует, то слабая производная также существует, и они совпадают (следовательно, сильная производная, если она существует, единственна); обратно, при определенных предположениях о гладкости на £2, можно показать, что если слабая производная существует, то также существует и сильная (и эти производные совпадают) (см. [409, 575]) — в дальнейшем мы обсудим этот вопрос.
Другие классы пространств. Существует много других семейств пространств, которые важны при изучении дифференциальных задач и которые тесно связаны с рассматриваемыми здесь: пространства бесселевых потенциалов или пространства Лебега, пространства Бесова, весовые пространства, неизотропные пространства и др.
Относительно этих пространств см. [19, 556, 56, 57, 72, 8, 67, 81, 82, 34, 124, 410, 515, 78] (кроме этого, существует обширная библиография в работе [14]). Для более детального изучения пространств Соболева см., например, [415, 416, 542, 543, 544, 545, 546, 547, 548], для гильбертового случая — [49, 714].
Для облегчения понимания пространства Соболева, относящиеся к Rn (Ws,p (Rn)) и пространства, относящиеся к произвольному открытому множеству Q с R" (U7S,P (й)) будут вводиться раздельно; кроме того, по тем же причинам, мы будем рассматривать раздельно случаи «неотрицательного целого s» (sgN), «вещественного положительного нецелого s» (s 6 R+\N) и «вещественного и строго отрицательного s» (s£R_\{0}).
Пространства W8-p(Rn)
Пространства W7fc'p(Rn), fc^N. Сначала мы определим пространства Соболева с неотрицательным целым s, точнее (принимая традиционную систему обозначений, в которой i, j, к, I, т, п— целые числа), пространства Соболева с целым неотрицательным к.
ip V/pIlp(R")ip V/pIlp(R")Определение 5.1. Пусть &£N и p€[L°°l. Мы обозначаем через Wk,p (R") векторное пространство (и 6 ^Й' (Rn): Dau £ Lp (Rrt), I a | ^ й}, с нормой
ip V/p
Ilp(R")
ip V/p
Ilp(R")
(5.5)(5.5)|a|^6|a|^6II U H^-PtR") — 5j И ^ U It
(5.5)
(5.5)
|a|^6
|a|^6
(с обычным видоизменением выражения для нормы при р = оо).
Заметим сначала, что с векторной структурой, индуцируемой пространством jZ/tR"), U7ft,p(Rn) является векторным пространством, для которого (5.5) действительно определяет норму. Если к = 0, то мы очевидным образом имеем U7°’p(Rn) = Lp(Rn), в общем случае имеем ^'"(R") с L₽(Rn). Естественно тогда спросить» имеет ли топология в UP^R") те же самые характеристики, что и топология в Lp (R") (отметим также, что топология в ^•p^Rn) является наименее сильной из топологий, для которых операторы Da :Wfe>p (Rn)-> Lp (Rn), |a|^& являются непрерывными). Утвердительный ответ дается следующей теоремой.
Теорема 5.1. Пространства U7fc,p(Rn), &£N и р€ [1> °°] являются банаховыми; если /?€(1,оо), то они рефлексивны.
Доказательство. Сначала покажем, что пространства П7*,р (R") полные, т. е. если {uj есть последовательность Коши в цр^р11), т0 существует такая функция ц,€^’Р(R"), что ит->ий в ^■P(Rnj tOj 4T0(umj есть последовательность Коши по отношению
к норме (5.5), означает:
1/P< e,1/P< e,(5.6)(5.6)Ve>0 3m6N Vm,/eN т > т =► || ит — um+i П^.р^) =
1/P
< e,
1/P
< e,
(5.6)
(5.6)
У Il ^ (Um U"i+<) IIlPiR")lal^fc
и подразумевает, что последовательности {D“um}, | a | ^ & являются последовательностями Коши в Lp ^\ Поскольку Lp (Rn) полное, то мы можем найти для каждого а, |а|^&, функцию Ua^Lp (Rn) такую, что Daum^-ua в Lp (R"). Полагаем u0 = U(o..,„o). Чтобы показать, что Wfe,p (Rrt) полное, достаточно доказать, что ua = Dau0, |а|С& А поскольку am->Uo в Lp (Rn) и Lp (Rrt) c_Ф* (Rn), to заключаем, что um -> u^ в Я/ (Rn), а отсюда с учетом непрерывности операторов Da в $ (Rn), следует, что Daum->Dau6 в ^'(R1). Таким же способом мы можем показать, что Daum^-ua в Sb' (Rn), и так как это пространство отделимое, то предел является единственным, поэтому ua = Dau0.
Для доказательства рефлексивности пространства ^’"(R") при д € (1, °°) (если р = 1 или р = оо, пространства Lp (Rrt) сами нерефлексивны...) мы отсылаем читателя ко второй части доказательства теоремы 5.3, где доказывается более общий результат для пространств с дробными индексами. □
Пространства И/5,р (R^), s£R+\N. Здесь мы рассмотрим пространства Соболева с вещественным положительным нецелым s.
Определение 5.2. Пусть s£R+\N и р^^.ооу Полагая s = [s] + о при [s] = max {£ £ N : к < sj и
d0,a (u) = I Dau ^ - Dau (y) |/|| x - у \f,pWa, (5.7)
мы обозначаем через ^’"(R") векторное пространство (uE^^R11): u 6 U7ls1’p (Rn) и d0,a^u^Lp ^ X Rn), |a| = [$]}, с нормой
II UHuzs,p(Rn)II UHuzs,p(Rn)l-P(R") Tia;=[s]l-P(R") Tia;=[s]p V/p 'lp^xr11)p V/p 'lp^xr11). (5.8). (5.8)
II UHuzs,p(Rn)
II UHuzs,p(Rn)
l-P(R") T
ia;=[s]
l-P(R") T
ia;=[s]
p V/p 'lp^xr11)
p V/p 'lp^xr11)
. (5.8)
. (5.8)
Норма da,a(u) в Lp (Rn x Rn), т. e. р-й корень из интеграла j j I da,a (u) \pdxdy,(5.9)
Rrt Rn
связана с понятием дробной производной и по этой причине говорят, что элементы из Ws,p (R") имеют производные дробного порядка, суммируемые в р-й степени. Мы можем также рассмотреть пространства U7S’‘(R") и R7s,oo(Rrl) при нецелом s: последнее пространство при естественной интерпретации (5.8) при р = оо, может быть отождествлено с Cts]’° (R*1) (в связи с этим, см. [626, с. 286]).
76
Теорема о замкнутом графике. Прежде чем для пространств WS’D (Rn) с дробным s сформулировать результат, аналогичный теореме 5.1, мы обсудим понятие замкнутого оператора.
Определение 5.3. Пусть Е и F — два топологических пространства и f : D с Е -> F — функция, определенная на подмножестве D из Е. Множество
Оф = {(х,Цх))ЕЕ х F.x^D}(5.10)
будет называться графиком f, и мы будем говорить, что / замкнута, если G (/) является замкнутым подмножеством из пространства Е X X F, в котором топология образована произведением топологий.
Это понятие отличается от аналогичного понятия в случае открытой функции. Мы говорим, что / : D с Е -> F является открытой, если она преобразует открытые множества из D (с топологией, индуцируемой Е) в открытые множества из F (эти два понятия, однако, близко связаны; см., например, [469, с. 581).
Наибольший интерес определение 5.3 имеет в случае, когда Е и F являются топологическими векторными пространствами, D — векторным подпространством из Е и / — линейным оператором (при этих предположениях G ф есть векторное подпространство из £ X F). В этом случае имеется интересная связь между свойствами «/ замкнута» и «/ непрерывна». В связи с этим мы сначала докажем основной результат для частного случая, Когда Е и F — банаховы пространства.
Теорема 5.2 (теорема о замкнутом графике). Пусть Е и F — два банаховых пространства (соответственно с нормами Ц-Це, ||-Це) и f : Е F — линейный оператор; тогда условия
/ непрерывен,
/ замкнут, эквивалентны.
Доказательство. Сначала покажем, что 1) => 2). Здесь достаточно заметить, что поскольку Е и F являются нормированными пространствами, то факт замкнутости / может быть описан в терминах сходимости последовательностей: / замкнут тогда и только тогда, когда для каждой последовательности {um} элементов из Е условия ит-> и0 и / (иф -> и0 предполагают, что v0 — f (u0), — ЕF
что является необходимым условием непрерывности /. Эта часть теоремы верна и при более общих условиях: достаточно, чтобы Е и F были топологическими векторными пространствами и F было отделимым — доказательство в этом случае проводится аналогичным образом, путем выбора сетей или фильтров вместо последовательностей (см., например, [891; другое доказательство см. в [469, с. 341).
Теперь мы покажем, что 2) => 1). Введем в Е вторую норму, так называемую норму графика, для каждого и £ £ мы полагаем
' I||u|||£ = I|u||£ + II/(«)I|f.(5.11)
Если мы докажем, что
3M>0 Vu^E |||u|||e^M||u||£,(5.12)
то мы закончим доказательство, так как из (5.11) и (5.12) следует, что || / (и) ||£ ^ (М — 1) || и ||е, поэтому / непрерывен. Теперь из
мы всегда имеем
Vu^E ||u||£^|||u|||£,(5.13)
поэтому остается лишь доказать эквивалентность норм || -Це, ||Н||е- Для этой цели мы воспользуемся теоремой Банаха, согласно которой две банаховы нормы на векторном пространстве такие, что одна больше другой, обязательно являются эквивалентными (см., например, [332, с. 4211. Чтобы проверить условие этой теоремы, достаточно показать, что ||| • |||£ есть банахова норма, т. е. что Е с этой нормой — пространство, которое мы будем обозначать во избежание недоразумений через Е*, является банаховым пространством. Пусть тогда (um) — последовательность Коши в Е*, т. е. такая последовательность, что
Ve>0 2/n£N Vm, Z^N
m>m=^\\\unt — u^ |||E = || Um — um+i He + Il f (um) — f (um+z)||F <e.
(5.14)
Докажем, что существует такой элемент и0^Е, что um-^-и0. Из (5.14) следует, что {um} и V(um^ являются последовательностями Коши в Е и F соответственно, и поскольку эти пространства банаховы, то существуют такие и^Е и u^F, что ит^и и /(«„,)->-о:
ЕF
так как f замкнут, то у — Ни); следовательно ит^-и = и0. Вторая е,
часть теоремы также остается справедливой при более общих предположениях относительно Е и F (см., например, [89, гл. 6; 469, гл. 3]). □
В связи с понятиями структур и операторов линейного типа интересно следующее понятие, которое является более общим по сравнению с понятием замкнутого оператора: / : D с Е -> F называется линейным предзамкнутым оператором, если G (/) есть гр: • фик линейного оператора /, который мы будем называть сильным замыканием или замыканием по Фридрихсу оператора /. Переход от линейного оператора / к его замыканию в некоторых случаях является важным способом осуществления обобщений; он сравним и связан с процедурой транспонирования (здесь уместно вспомнить понятия слабой и сильной производных). Наконец, заметим, что существует взаимосвязь между теорией меры и теоремой о замкнутом графике (см. [665, с. 1601).
Снова о пространствах Ws,p (Rn), s £ R+\N. Вернемся к изучению пространств Соболева.
13
Теорема 5.3. Пространства ^’"(R"), sCR+\N и /?^(1,оо), являются рефлексивными банаховыми пространствами.
Доказательство. Оператор
6s.p. Lp ^ ^ (^ ^„)][$]5-1 х ^, (R™ х R™ _ Д)][5]=(5 j 5)
где А = {(х,х)Е R" X Rrt:x€ Rrt}, [s]^ = card {a^N" : |a| ^ [s]} и [s]= = card {a ^ N": | a | = [s]} (если [s]= = 0, то полагаем 6a,p :• L°(Rrt)->-j3'(Rn x Rrt —А)), который каждому u^Lp^Rn") ставит в соответствие 6s,p (u) = (D(1,°0,u, ... ,Daud0>a(u), ...) является линейным и непрерывным и поэтому замкнутым (отметим, что пространство значений является отделимым). Полагая
Ds’p = \u^Lp^Kny.Dau^Lp ^Кп\ |a|^[s] и
d0,« (и) € Lp (Rrt х R"), I a | = [s]},(5.16)
определим, исходя из Ss’p, оператор
ds.P .^.р^ [Lp (Rn)]ls]^-‘ = yLp (Rrt x Rrt)lCs]=, (5.17) являющийся, как легко можно заметить, также линейным и замкнутым. Можно непосредственно заметить, что Ds’°, наделенное нормой графика, соответствующей ds’°, является полным пространством, которое совпадает с ^’"(R"). Таким образом, мы доказали, что Ws’p(Rn) есть банахово пространство. Пространство №,s’p(Rn) может быть рассмотрено как график G(ds’°) с топологией, индуцируемой пространством [^(R")]^5 х [Lp[Rn х R")][s1-; в этом случае мы имеем дело с замкнутым подпространством из рефлексивного пространства, которое поэтому также рефлексивно (см., например, [698, с. 192; 27 с. 67]). □
Пространства Ws,p(Rrt), s£R_\{0}. Теперь мы изучим пространства Соболева с вещественным и строго отрицательным s.
Определение 5.4. Пусть s€R-\{0} и /?С(1,оо). Мы обозначаем через ^’"(R") двойственное пространство к H7-S,p* (R"), где Р* = РЦр — !)•
Для этих пространств доказательство теоремы, аналогичной теоремам 5.1 и 5.3, получаем сразу же, так как пространства, двойственные к рефлексивным банаховым пространствам, являются рефлексивными. Однако определение 5.4 поднимает новую проблему: какими характерными свойствами обладают элементы так определенных пространств? Действительно, если для s ^ 0 из определений 5.1 и 5.2 следует, что мы имеем дело с обобщенными функциями, то это не так для s < 0. Следующая теорема, которая показывает, что ^s,p (Rn), з^О и р£(1, оо) есть нормальное пространство обобщенных функций и, следовательно, что к нему двой-
ственное является также пространством обобщенных функций, решает эту проблему.
Теорема 5.4. Если s— вещественное неотрицательное число и />£(1,оо), то ^(R") плотно в Ws’p (Rn). '
Доказательство. Поскольку Ws'p(R") — нормальное прост- ds
ранство, то, чтобы показать, что S)(R") cz U7S,P(R"), необходимо лишь показать, что 0 (R") секвенциально плотно в Ws'p (Rn), т. е. что каждый элемент mEW'^R") может быть аппроксимирован в топологии этого пространства элементами из ^(R").
В доказательстве мы будем использовать методику срезки и регуляризации, которая очень важна в процессе построения аппроксимирующих последовательностей.
Срезка. Возьмем mE^s’p(R") и для каждого вещественного числа г>0 построим шар В (0, г) = {хЕ R" : |1 л|| <г) и функцию <pr Е Sb (R”) такие, что 0 ^ фг (х) ^ 1, фг (х) = 1, если хЕ5(0>П и ф, (х) = 0, если хЕ R”\B (0,2г). Произведение и,=мфгЕ Е Ws,p (R") мы будем называть срезкой функции и. Заметим, что простое сужение и на В (0, г) и последующее продолжение сужения нулем вне В (0, г) (т. е. рассмотрение функции и, = u%BWi1 где ХВ(0 г) — характеристическая функция шара В (0, г)) не сохраняет класса гладкости и — это достигается посредством введенной операции срезки.
Семейство \иД сходится к и при г-*оо в норме U7S’P(R"), поскольку
II"— “г Н^.^ = II “ - ^Т ll^s.p^n, = II и (1 - фг) ||^.Р(КП) (5.18) стремится к нулю при г-* со (так как для || х || < г 1 — фг = 0). Таким образом, мы имеем доказательство того, что множество функций из Ws,p (Rn) с компактными носителями, плотно в Ws,p (Rn). Теперь нам осталось только показать, что каждая функция из U7s,p(Rn) с компактным носителем может быть аппроксимирована функциями из S)(R"). Для этого мы используем регуляризацию.
Регуляризация. Пусть и ^ Ws,p (R") — такая функция, что для фиксированного г имеем supp zz cz В (0, г). Пусть ив — последовательность е-регуляризаторов функции и в смысле определения 15.1. Тогда доказательство теоремы 15.2 может быть автоматически применено к доказательству того факта, что ив -> и в Ws,p (R”). □
Это доказательство справедливо для пространства V1, (R”), ^EN, но неверно в случае ^'“(R") (вспомним, что С° (R") не плотно в L°°(Rn) = 1F0'”(R")...). Теорема показывает, что мы можем определить пространство U7S’P(R”), sЕ [0, оо) и рЕ(1-°°)> как пополнение S (R") в норме (5.5) или в норме (5.8), в зависимости от 80
того, что s^N или s$N (это обстоятельство обобщает так называемое определение пространств Lp(Rn) через процесс пополнения).
Следующая теорема характеризует также обобщенные функции, которые являются элементами из (U7fc,p (Rn))', ££N и р£(1, ею), т. е. характеризует (в частности и для случая целого индекса) элементы пространств, введенных абстрактным способом с помощью определения 5.4.
Теорема 5.5. Обобщенная функция Т принадлежит (Ц7*’р (Rn))'= №~*,р* (R"), h^ и ^Е(1,оо), тогда и только тогда, когда Т может быть представлено как
T=^DX’(5.19)
где ga6LP*(Rn).
Доказательство. Сначала мы покажем, что если Т С ^Й'(R") имеет вид (5.19), то Т 5 W"k'p* (R"), По определению равенства в ^' (R") имеем
Vф € ^(R") Ф, ф) = 2 №а. Ф) = 2 (~ l)lal <ga- D^) = |а|^6|к|<%
■= 2 (- 1)1а1 ^g^D^dx. (5.20)
|а|<*r«
Отсюда с применением неравенства Шварца — Гёльдера следует, что
vve^RW.TiK £IIB^vlly,.^^ellvll^ ,
laf^ft
(5.21)
где с — постоянная, не зависящая от ф. Из плотности ^ (R") в де^р^") следует, что у есть линейный непрерывный функционал над Wk’p (R").
Обратно, покажем, что если T£\Wk,p(R"))', то Т может быть записана в виде (5.19), откуда в частности следует, что Т является обобщенной функцией конечного порядка ^& (разложение (5.19), вообще говоря, неединственное). Мы говорили в доказательстве теоремы 5.3, что Wk’p (R") может быть рассмотрено как график G(dk,p) оператора dk,p :Dfe,p->- [Lp(R")]fe<-1. На G(dk,p) мы определяем функционал L по формуле
L ((о, dk'p (v))) = (Г, v) Vo eDk>p.(5.22)
Этот функционал очевидно линеен и из непрерывности Т в Wk,p (R") следует, что он также непрерывен. Из теоремы Хана — Банаха тогда следует, что мы можем его расширить до линейного непрерывно го функционала над [Lp(R")]ft^. При условии, что двойственное
6 К. Байокки, А. Капелоgj
пространство к [Lp (R")]6< может быть отождествлено с [Lp* (R")]6^, существует ^ таких функций ga Е Lp* (R"), что для каждого иЕ Е Wk,p (R") и, следовательно, в частности, для каждого ф E^R") cz с Wh,p (R") имеем
(Г, v) = L ((и, dk’p (и))) = J J ga (х) Efu (х) dx; (5.23) Rn la|<fc
из (5.23) получаем тогда (5.15) при ga = (— l)|a|ga. □
Гильбертовы пространства Соболева. Если р = 2, то пространства Ws’2 (R"), s Е R, имеют особую структуру, отражающую особую структуру пространства L2 (R").
Теорема 5.6. Пространства ^^(R"), s Е R, являются гильбертовыми пространствами: со скалярным произведением
S ^^D^ t =^ ^Dau(x)Dav(x)dxA5.24)
если s = k Е N; со скалярным произведением
(“■")„..,„„,=(“.”>^fl,^.,+ S <‘г-«(“>’^ (”»<..,ух№. <6-25>
1«1=М
если seR+\N; со скалярным произведением, связанным с соотношением двойственности, если s Е R_\{0).
Доказательство. Если s^O, то достаточно показать, что нормы (5.5) и (5.8) удовлетворяют равенству параллелограмма
П« + " IIU.R-, + II “ - “ ^Л = 2 <" “ "Uw + 11" ^iR-? (5-26>
и что скалярные произведения (5.24) и (5.25) удовлетворяют соотношению
(“■ "V^ = т (II “ + ” Р^г, - II " - " H2T,.W) +
+ 4 «I “ + " ll^..=,R™, - II - - " ll^.^ (6 27)
(см., например, [35]). Если s<0, то достаточно отметить, что пространство, двойственное к гильбертову пространству само является гильбертовым. □
Функции из V*,2(R”), &EN называются функциями с конечным интегралом Дирихле, поскольку норма (5.5) может быть разложена на сумму из к интегралов:
к
I “ »,«* - X 2 j D'“« °"“«^<6- 28>
1=1 |a|=l Rn
(см. [119, с. 401]).
82
Пространства Hs,p(Rn). Теперь мы дадим интересное описание пространств №s’(Rn), s^O, базирующееся на преобразовании Фурье.
Определение 5.5. Пусть sgR и рС(1,оо). Мы будем обозначать через Hs,p (Rn) пространство медленно растущих на бесконечности обобщенных функций таких, что ?-1 [(1 + || у [|2)s/2^«l £ £LP(Rn), и для которых определена норма
II “ ” w, = И”' к1 + II»11!)"^“1 II wa-,-<5-29)
Эти пространства являются так называемыми пространствами бесселевых потенциалов (см. [119, 921). Они—рефлексивные банаховы пространства и, если р = 2, они к тому же гильбертовы.
Цель следующей теоремы — показать, что пространства Ws’2 (R") и №’2 (Rn), s ^ 0 изоморфны (заметим, что если р = 2, то мы можем исключить &~1 в определении, так как #" есть изометрия в L2 (Rn)).
Теорема 5.7. Пусть s^O; u£Ws’2 (.R"') тогда и только тогда, когда (1 + ||у ||2)s/2u(y)EL2(R"). Кроме того, норма
11“11„,.2„,, = И(1+llsll‘)"2“to)Ht»„«,(м°)
эквивалентна норме (5.5) при р = 2 или норме (5.8) при р = 2,в зависимости от того, целое ж s.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай s = AEN. Если и С U^’2 (R"), то Ef4i Е L1 (R"), |а|^Л, поэтому, применяя (4.84), имеем
U^ifiyVu^EL^(5.31)
/=1 п Па f.
xj =ха, получаем
I| о ||Hfc 2(Rn)^||M||^ 2(Rn . Обратное доказывается аналогичным способом. Пусть теперь s С R+\N. Здесь нам достаточно рассмотреть лишь случай 0<a = s<l. Мы увидим, что если и £ IF"’2 (Rn), то tz £ НаД (Rn). Из второй части двойного неравенства
01 (1 + IIУ Г) С (1+ II У М<сг (1 + ||у |Г),(5.35)
где cv с2— подходящие постоянные, следует, что
J (1 + IIУII2)" I и (у) pdy < с% ( J I и (у) ?dy + Ун у ||2"|(«(у) р dy^. (5.36) R”К"R"
Поскольку, согласно формуле Планшереля, мы можем заменить и на и в первом члене правой части (5.36), то нам необходимо лишь показать (рассматриваем (5.8) с [s] = 0 и р = 2), что существует постоянная с такая, что
У У |da.o(«) \4xdy = с У || у II2" | и (у) 12 dy, (5.37) R" RnRn
или, подставляя для удобства у = х + г,
Г С | и (у) — и (х) I1 ДиД„ f С|«(х + г)-Н(х)|« . ,
R» R»R» R"
= сУ^н2а1“^)12^- (5-38)
R"
Из формулы для обратного преобразования Фурье
и <х^^Гп12 $(у) dy(5.39)
R"
и из (4.86) мы имеем
и (х + г) = т-гИ (х) = (2л)~"/2 У е^^^и (у) dy, (5.40)R"
поэтому
Ы(х + г)-Ы(х) =(2n)-^ye2“(ew,-l)u(^)^ (5.41) R"
Из (5.41) и (4.52) мы получаем равенство
У|ы(х+г) —Ы(х)|Ш= У |«(у) j21 е2"^'»* — i^dy, (5.42) R"R"
тогда можем последовательно записать:
ЯЦ^М^^ $ii^(jl“^z>-"^)X Rn RnR"R"
84
Rn RnRn RnR" RnR" Rn|и(у)|2|е2я/,х^ - ip]|y||2aHz H2^ || у ||20|и(у)|2|е2я/,х^ - ip]|y||2aHz H2^ || у ||20dydz —dydz —R"R"I u(y) PII у II20I u(y) PII у II20R"R"I g2ni(z,y) _■ 1 |1 цг||п+2оцг/||2аI g2ni(z,y) _■ 1 |1 цг||п+2оцг/||2аdz\dy =dz\dy == $1«0/)|2Ы|2ас(уИ1Л Rn= $1«0/)|2Ы|2ас(уИ1Л Rn(5.43)(5.43)
Rn Rn
Rn Rn
R" Rn
R" Rn
|и(у)|2|е2я/,х^ - ip]|y||2aHz H2^ || у ||20
|и(у)|2|е2я/,х^ - ip]|y||2aHz H2^ || у ||20
dydz —
dydz —
R"
R"
I u(y) PII у II20
I u(y) PII у II20
R"
R"
I g2ni(z,y) _■ 1 |1 цг||п+2оцг/||2а
I g2ni(z,y) _■ 1 |1 цг||п+2оцг/||2а
dz\dy =
dz\dy =
= $1«0/)|2Ы|2ас(уИ1Л Rn
= $1«0/)|2Ы|2ас(уИ1Л Rn
(5.43)
(5.43)
xdz- j ^-jUr ( j I 2 to) I- kM« - 1 №^ to -R"R"
dy dz =dy dz =lu^lile2"^-^- IPII г ||"+2a
dy dz =
dy dz =
где мы положили
(5.44)(5.45)(5.44)(5.45)|eW-iP
(5.44)
(5.45)
(5.44)
(5.45)
У l|z||"+2a||y||2a
Подставляя в (5.44)
<”Z||y||,
мы получаем (модуль якобиана преобразования (5.45) равен||у|| ”) выражение
Г । ,2л«//||у||.у) _ <,2
с(у) - \dt,5.46)
|| ^ цп+2а ’''
которое, что легко может быть замечено, не зависит от у; значит, мы доказали (5.37) с с = с^у\ Таким образом, мы можем сказать, что и^Н0’2^ и что II«ll//a,2(R„)<ll« П^а.гдеп,- °бр атное может быть полностью доказано аналогичным способом. П
Этот результат верен также для s<0, и впредь мы будем обозначать пространства WS12 (Rn) и Hs*2 (Rn), s Е R, просто через Hs(Rny Используя теорему Михлина о мультипликаторах в пространстве #" (Lp (R")) (см., например, [204, с. 135; 86, 368, с. 152]), мы можем доказать более общий результат о том, что пространство ^■р(R") изоморфно пространству Нк,р (R") для каждого рЕ(1>°°)и &EZ. С другой стороны, можно показать, что для каждого sgR и каждого рЕ (1, °°)
Ve > 0 №+е,р (R") с^ WS1P (R") с=^ Н‘~е'р (Rn) (5.47)
(см. [544, с. 661); это означает, что класс пространств Соболева является смежным (в смысле Гальярдо, см. [417, 418]) классу бесселевых потенциалов. Функция л (у) = (1 +||у||2)\ присутствующая в (5.29), является простейшим случаем весовой функции. Если выбрать другие весовые функции (из подходящих классов, см..
например, [86; 191), то можно получить так называемые весовые пространства.'
Теорема вложения Соболева. Описание пространства IVs'2 (Rn), приведенное в теореме 5.7, дает нам интересный результат: если s>n/2, то (1 + || у ||2)~s/2 g L1 (R"), и поэтому для каждой /Е W8’2 X X(Rn)=№(R") имеем / (у) = (1 Н^|1Т$/2 (1 + II У ^ £1? (R"), что подразумевает fEC°(R") (действительно, если /E^VR"). то /€C°(Rn) — см., например, [65]). Таким образом, мы показали, что W8’2 (Rn) с С° (R"), если s > п/2. Это является частным случаем более общего результата, называемого теоремой вложения Соболева, которую мы вскоре рассмотрим. Но сначала кратко проанализируем значение вложения W8'2 (R") cz C°(R"). Если f Е №s'2 (R"). s^O, to f является функцией, определенной всюду за исключением множества меры нуль или, более точно, f есть представитель класса [/] функций, которые равны почти всюду. Поэтому принадлежность / к C°(Rn) может быть интерпретирована так: существует /£[/] такая, что /EC°(Rn). С другой стороны, включение /EC°(Rn) показывает, что слабая гладкость (f Е №$’2 (R")) и классическая гладкость (/Е EC°(Rn)) намного больше взаимосвязаны, чем это можно было подумать априори: увеличение «количества» гладкости сопровождается улучшением «качества» самой гладкости.
Теорема 5.8 (теорема вложения Соболева). Если к ^1 есть целое и р^ [1,оо), то справедливы следующие вложения:
Если п > кр, то Wk'p (Rn) с_ Lq (R") с q = пр/(п — кр). В общем случае, если mEN, т^.к ипХк— т)р, то Wk'p(^l)cz..t С„ ^prn.q ^п^ с q = прЦп — ^ — т) ру
Если п = кр, то Wk'p (R") cz^ Цос (R") для каждого q ЕП ,оо\
Если п < кр, то Wk’p (Rre) cz^ С0,ц (R") при следующих значениях р: р = к — (п/р), если к — (nip) < И И — произвольное при р < 1, если к — (п/р) = 1; р = 1, если к — (nip) > 1. В общем случае, если mEN, т^к и п<_(к— т)1р, то и^’" (R”)Ст,ц (R") при значениях р: р = к — т — (п!р), если к — т — (nip) < 1; р — произвольное при р<1, если k — m— (nip) = 1; р=1, если k — m—(nlp)> 1.
Доказательство этой теоремы достаточно длинное и содержит некоторые технические трудности: см. [618, с. 72; 415, с. 120 и 136; 528, с. 37; 91 с. 971 (в последней книге рассматриваются более общие результаты, касающиеся вложения пространств типа U7s'p(Rn) в пространства типа Wt,q (Rfe), к ^ п).
Теорема справедлива даже, когда к и т — произвольные вещественные положительные числа (за исключением второй части (III), которая в этом случае не будет иметь смысла, если m $ N), см. [544, с. 61; 91, с. 217; 526, с. 300].
Совместно с вложениями, упомянутыми выше, мы можем рассмотреть вложения, в которых один из индексов, к или р, фиксируется; тогда мы очевидно имеем вложение Wk,p (R") с* Wm,p (R"), к, mEN, т^к и рЕ [!><») (оно справедливо даже при любых вещественных числах к и т— см. [618, с. 97] и, для гильбертова случая, [49]). С другой стороны вложение Wk,p (R") с W^4 (Rn), p=£q, всегда несправедливо, что является естественным, поскольку не имеет места вложение Lp (R") с LQ (R"), p^q (отметим, что R" не обладает конечной мерой ...).
Одномерный случай. Теорема 5.8 оптимальна в том смысле, что для произвольных к, р и п вложения нельзя улучшить путем замены пространств в правых частях на «меньшие» пространства (см. контрпримеры, подтверждающие это утверждение, в работе [91, с. 117]). Однако это возможно в частных случаях: так, если р = 1, то часть (II) может быть записана как ^пЛ (Rn) cz^ C°(Rn), и, еслип=р=1, мы сможем доказать даже следующую теорему.
Теорема 5.9. ^’'‘(R^ АС\ос (R), т. е. если «Е®7*’* (R). то и абсолютно непрерывна в каждом компакте /(eR (и, кроме того, и равна «нулю на бесконечности» в том смысле, что и(х)->-0 при |х|-*оо). Кроме того, справедливо неравенство
max | и (х) | ^ ск (С | и (х) I dx + С | и' (х) | dx\ , (5.48) хек и /
где постоянная с к не зависит от и, но зависит от К; и = Du.
Доказательство. Мы будем обозначать функции и их сужения одними и теми же символами. Пусть и Е W4,1 (R); докажем, что и абсолютно непрерывна в каждом компакте К е R. Очевидно, что нам надо рассмотреть лишь компактные множества вида К = [а, 61 (а, b Е R, а < Ь) и показать, что в [а, 6] функция и суммируема и может быть записана в форме
и(х) = с + ^и ^dt, хЕ[а,6], (5.49) а
где с— постоянная, и функция и, которая будет тогда почти всюду производной от и в обычном смысле, суммируема в 1а, 6]. Если и Е Е И71Д (R), то и суммируема в R и и' — производная и и в смысле 0' (R) — также суммируема в R. Теперь мы можем рассмотреть в [а, 6] абсолютно непрерывную функцию
и(х) = J и (t^dt, (5.50) а
у которой существует почти всюду производная в обычном смысле, равная и'. Если мы покажем, что в 1а, 61 разность и — и является константой, то тем самым мы завершим доказательство, поскольку
можем взять с = и — и и и = и*. Для этого нам необходимо лишь показать, что в смысле 56' (R) имеем D^u — и) = О, и после этого воспользоваться результатом из п. 4.2.2, утверждающим, что если Df = 0 (в смысле обобщенных функций), то f есть постоянная. Из (5.50) при любой функции ф Е ^ ((а, 6)) мы можем записать соотношение
(Du, ф) = (D^ и' (t) dt\(Du, ф) = (D^ и' (t) dt\.ф) = — (J W y)dt,<p') =
(Du, ф) = (D^ и' (t) dt\
(Du, ф) = (D^ и' (t) dt\
аа
ф' (х) dx = — \dt\u' (0 ф' (х) dx =ф' (х) dx = — \dt\u' (0 ф' (х) dx =b хb b
ф' (х) dx = — \dt\u' (0 ф' (х) dx =
ф' (х) dx = — \dt\u' (0 ф' (х) dx =
di] a aat
У ф' (х) dx = ^и' (t)<p(t)dt = (и', ф), (5.51)У ф' (х) dx = ^и' (t)<p(t)dt = (и', ф), (5.51)bbь
У ф' (х) dx = ^и' (t)<p(t)dt = (и', ф), (5.51)
У ф' (х) dx = ^и' (t)<p(t)dt = (и', ф), (5.51)
= — У м' ^dt
atа
поэтому D (и — и\= и' — Du = 0. Следовательно, мы показали, что и^АС^а, 6]).
Теперь докажем справедливость неравенства (5.48), которое показывает, что вложение V1’1 (R) cz^. L^c (R) непрерывно (вложение V1’1 (R) с Z.”c (R) следует сразу же из первой части теоремы — см. также обсуждение, которое следует после доказательства). Легко заметить, что с = и (а), и поэтому (5.49) мы можем записать в виде и (х) = и (а) + у и' (t)dt.(5.52)
а
Последнее выражение остается справедливым, если вместо а мы возьмем произвольное у Е [а, 6], т. ё. для каждого у Е [а, 6] имеем
и (х) = и (у) + у и' (/) dt.(5.53)
ы
Из (5.53) мы имеем соотношение
|м(х)К|м(у)| + IJ |«z (0 f^l ^1 «(l') I + У !«' (0М^. (5.54) Уа
интегрируя которое по переменной у Е [а, 6], получаем
Г|«'(ОМ^(5.55)Г|«'(ОМ^(5.55)66
Г|«'(ОМ^(5.55)
Г|«'(ОМ^(5.55)
~о)|и(х)|^ у I и (у) | dy + (6—а)
а 'а
а значит и (5.48) с ск= max (1,(6— а)-1} •□
Важно заметить, что это доказательство не может быть обобщено на случай теоремы 5.8. Мы привели его потому, что оно включает соображения, которые свойственны одномерному случаю Благодаря им же, можно показать, что Я1 (R) = №1,2 (R) с ЛСкк (R) —это 86
усиливает часть (III) теоремы 5.8, которая утверждает только лишь, что Я4 (R) с С°’1/2 (R). Наконец, если и Е U71'1 (R), то и равна «нулю на бесконечности», поскольку она абсолютно непрерывна на компактных множествах, и ее модуль имеет конечное среднее значение; функции из IF1,1 (R) являются поэтому ограниченными в R, и мы можем писать №l,1(R)cL"(R), что усиливает утверждение, сформулированное в доказательстве теоремы. Аналогичные рассуждения дают нам также вложение Я1 (Rj с_ L°° (R).
Контрпример, относящийся к свойствам транспонированного оператора. В заключение мы, как и обещали, рассмотрим контрпример, показывающий, что если в теореме 4.2 (см. 2)) предположение о рефлексивности Е опущено, то не обязательно справедливо утверждение «Т инъективен => lT (F') cz dsES.
Все пространства, рассматриваемые ниже, являются вещественными, но мы оставляем за ними те же обозначения, которые мы использовали в комплексном случае. Пусть Е = L1 (R), F = = Я-1 (R) и Т : Е -> F — оператор, определяемый соотношением
(Т (и)) (о) = J и (х) и (х) dx W £ № (R).(5.56)
R
Мы замечаем, что Т корректно определен из L1 (R) в Я-1, поскольку каждому и Е L1 (R) соответствует функционал Т (м) : Я1 (R) -► ->- R, который, очевидно, линеен и непрерывен. С другой стороны, Т является линейным непрерывным и инъективным оператором (отметим, что если Т (м) = 0, то у и (х) о (х) dx= 0 для каждой функ-
R
ции и (х) Е Я1 (R) и поэтому почти всюду и = 0). Докажем то, что ^Т" [(Я-1 (R))'] не плотно в (L1(R))'. Рассмотрим диагр. 5.1.
I
T I iL
V <T v
(Я-1 (R))'—>■ (L^R))'
Диагр. 5.1
В этой диаграмме мы имеем:
/я = /Н1(К) H-\W).—канонический инъективный оператор из Я1(R) в (Я-1 (R))' — изоморфизм (здесь Я-1 (R)— есть двойственное к ^*(R) пространство, которое является гильбертовым и следовательно рефлексивным), который характеризуется при каждом и^Н1 (R) с помощью соотношения
, (Lu, и) । = ' , (v, и) , УиЕЯ~‘(Р); (5.57) («“‘(R))' н H—I(R)№*(R)W4(R)V '
jL =■ /Loo(R)(Zi(R)), —канонический инъективный оператор из L* (R) в (L1 (R))' — изоморфизм (заметим, что пространство L°" (R) —двойст-
89
венное к L*(R)), который при каждой функции u£L*(R) характеризуется как
аж» Уьи- ^ьчк> = j “ to у to dx Vo 6 L1 (R);(5.58) .
R
fT — транспонированный к T оператор;
Т — оператор, определяемый как
,Т = jbX о* Т о jH,(5.59)
является единственным отображением Нх (R) в L” (R), при котором диаграмма коммутативна (единственность следует из того, что коммутативность диаграммы означает, что jL о Т = 4Т о jH и jH, jL, ‘Т определяются однозначно).
Поскольку /я и jL гомеоморфизмы, то из (5.59) следует, что ‘Т имеет плотную область значений, если и только если Т имеет плотную область значений. Если бы мы смогли показать, что Т = I ! w (мы используем символ I, означающий множественное Н (R)L (R) вложение, нз обсуждения, которое мы привели после доказательства теоремы 5.9...), то мы закончили бы наши рассмотрения, так как Н1 (R) с С° (R) и С° (R) не плотно в L” (R). Теперь докажем, что оператор множественного вложения Нх (R) в L” (R) делает диаграмму коммутативной. При каждом и^Н1^ мы можем записать
,(('Т о/„) u, v> , =., =, (Ту, и) . =
(L^R))' 4(Я-ЧК))'Я-*(К)Я~№w'(R)
= ^ и (x'l v ^х) dx Vu^T1(R); (5.60)
R
учитывая (5.58), для каждой функции u^H^R) получим
(L1»))' ^LU’ VK>(R) ~ (£*(R»' ^ ^ ° /я) U’ ^£*(R) VU ^ L1^.(5.61)
Таким образом, jLu = (Т о j^ и Vu^H1 (R),(5.62)
что при сравнивании с jLoT = *Т о jH позволяет нам заключить, что Т есть тождественный оператор.
5.3. Пространства Ws-p(Q)
Теперь мы рассмотрим пространства Соболева, соответствующие произвольному открытому множеству й с R”.
Пространства Wk,p (й), fe £ N и Ws,p (й), s ^ R+\N.
Определение 5.6. Пусть Qc:Rn — произвольное открытое множество. Если ^gN и р6[1, оо], то мы обозначаем через ^■''(й) 90
векторное пространство {и £ $ (й): D”u 6 Лр (й), | а | ^ /г], с нормой
IIы II^.P(Q) = [ ^ 11^ uIIlp(s)] •(5.63)
ЧаК^J
Если s£R+\N и р£(1, оо), то мы обозначаем через №5,р(й) векторное пространство {и € 2)' (й): и б U7[s]'p (й) и d0,a (и) £LP(Q х й), |a[==[s]}, с нормой
II Ы HuZs’P(Q) = [ll Ы Ии^И-РЩ) 4* ^j II ^°-a (U)Hz.P(QxQ)1 ‘ (5-64) Ll«|=[s]J
Пространства Ц78,2(й) будем также обозначать через Hs (й), s^O.
Если й = R", то мы сразу же получаем определения 5.1 и 5.2. Здесь могут быть также повторены наши замечания, касающиеся этих определений. Заметим, что свойство «и £ Ws,p (й)» имеет локальный характер: если {й^,^!т — открытое покрытие множества й и для каждого i = 1,..., т и^ Ws,p(Й,) (s^O), то и^ ^’'^(й) и суще- т
ствует такая постоянная с> 0, что || и Н^.р^) ^ с ^ || и ll^s.p^^ <=i
(см., например, [618, с. 62]); мы обозначаем тем же символом (т \
U Й, и ее сужения на Q и й( (i = l,..., т\ В 1-1/
связи с локальной структурой пространств Ws,p (й) отметим, что пространства №1м(й) и l^comp(^) могут быть определены по аналогии с пространствами Lfoc (й) и L^mp (Н).
Топология пространств 1Г5'Р(Й), s^O, имеет те же самые основные характерные свойства, что и топология пространств Ws,p (Rn)— это видно из следующей теоремы.
Теорема 5.10. Пространства Wk'p(Q), ^gN и р€[1,<ю] являются банаховыми; если р^1, оо), то они рефлексивны и если р = 2, то — гильбертовы пространства со скалярным произведением
(“- и)н*(Я) “ S (D<X“’ ^"kw(5.65)
'lal^fc
Пространства U^s p (й), sER+\N и р£(1,оо)—рефлексивные банаховы пространства и если р = Ч, то являются гильбертовыми, со скалярным произведением
^U, v)HS^ = (u, y)H[s](Q) + ^ (^a,a(u), ^a.a (v))l«(QxQ)- (5.66) lal=[s]
(Для доказательства достаточно повторить доказательства теорем 5.3 и 5.6.)
Не все свойства пространств Ц7,,р (R”) могут быть обобщены на пространства U7sp (Q) с произвольным й; так, в частности, теорема 5.4 неверна, а справедлива следующая теорема.
Теорема 5.11. Если й — открытое ограниченное множество класса С” и k^\ есть целое, то ^Й(Й) не плотно в Ц76'р(й), р^
Доказательство. Сначала мы заметим, что утверждение теоремы верно в более общих условиях: достаточно, например, чтобы й было открытым множеством таким, чтобы мера множества К"\й была положительной. Относительно более точных условий, базирующихся на понятии (к — р)-полярного множества, см. [353 и 528, с. 21J.
Доказательство мы разделим на две части: в первой покажем, что если и есть функция нз замыкания ^(й)^*’^* множества .0 (й) в норме ^к,р (й), то ее тривиальное продолжение на R" (т. е. функция и, определяемая как и = и на й н и а О в Rn\й) принадлежит к ^к'р (Rn); во второй части мы покажем, что существует такая функция уб^’р(й), что ее тривиальное продолжение не принадлежит Wk,p (R”). Через Р: $ (й) -*• ф (Rn) мы обозначаем оператор, который функции ф € 2) (Й) ставит в соответствие функцию ф = Р(ф) б € Ф (Rn), являющуюся тривиальным продолжением на R" функции ф. Очевидна линейность оператора Р, и, если наделить ^ (Q) и 5)(Rn) топологиями, индуцируемыми соответственно пространствами Д7*р(й) и Ц7*'р (Rn), этот оператор также непрерывен, поскольку Ц ф ||црй.р($г) =* — || Р (ф)||И74,Р(Кп). Таким образом, можно расширить Р по непрерывности до оператора Р; ^^wk,pw -^к,р (Rn), который также лине, ен и непрерывен (кроме того, Р (м |п) = и и Р (и |Rn\Q) “ 0). Следовательно, мы показали, что если и £ ф ^О-Тк>Р№\ то и = Р (и) б б Wk,p (Rn). Перейдем теперь ко второй части доказательства. Множество й ограничено, поэтому функция у s 1 в й является элементом из Д7*'р (й). Однако ее тривиальное продолжение — функция и® ^ не принадлежит пространству IF*'P(R,‘), поскольку производные дхй/дх, являются обобщенными функциями, тождественно равными нулю вне Г-границы й и поэтому, если бы они принадлежали Lp (Rn), из равенства Хй = 0 следовало бы, что хй есть постоянная. □
Пространства Wop (й). Пространства ф (Й)В’,,’Р(О> представляют очень большой интерес в теории пространств Соболева. Мы об этом не упоминали в явной форме в разделе 5.2, так как для й = Rn они не отличаются от пространств Ws*p (Rn). Мы увидим, что некоторые 92
из результатов раздела 5.2 будут теперь интерпретироваться в терминах пространств 55(Rn)w's'P<Rn), так как (что играет фундаментальную роль) это означает возможность аппроксимации их элементов гладкими функциями.
Определение5.7. Пусть й cz Rn — произвольное открытое множество. Если A^N и р£[1,оо], то через Ц7о’р(й) мы обозначаем замыкание ^З(Й) по норме пространства №*’р(й), наделенное топологией, индуцируемой последним пространством. Если s6R+\N и р^ €(1, оо), то через №ор(Й) мы обозначаем замыкание 5)(й) в норме Ws,p (й), наделенное топологией, индуцируемой пространством U7s,p(£2).
Интуитивно мы можем сказать, что если функция a ^Ws,p (й) может быть аппроксимирована функциями из ^)(Й), то и есть «нуль» на границе множества й (понятие зануления будет пояснено в следующем пункте) — это является основанием для написания нижнего индекса в обозначении №о'р (й). В связи с обсуждаемыми вопросами мы можем также говорить, что функции из Ws,p (Rn) «зануляются на бесконечности». Заметим также, что, если s^l/p, то Wop (й) = = Ws,p (Й) (доказательство см. [545] и, в случае р = 2 в [49]).
Теорема 5.12. Пространства №о’₽(Й), AgN и р^ [1, оо] являются банаховыми; если р^(1, оо), то они рефлексивны и если р = 2, то гильбертовы пространства, которые мы обозначаем через Но (й). Аналогично, пространства Woр (Й), s £ R+\N и р£ € (1, оо) являются рефлексивными, а при р = 2 — гильбертовы пространства, обозначаемые НЦЦ.
Доказательство. Здесь достаточно заметить, что пространства ^’Р(Й), s^O являются замкнутыми подпространствами из ^'"(Й) и вспомнить теорему 5.10.
Интересно отметить, что если й — ограниченное множество, то топология пространства Но (й) может быть определена, исходя из скалярного произведения
(“. nyLW (5.67)
а именно, —справедлива следующая теорема.
Теорема 5.13. Пусть й cz R" — открытое ограниченное множество и А б N. Существуют две постоянные cv с4 такие, что для каждой функции и^Но^ выполняется неравенство
|al=ft а |а|$йо lal=6Q
(5.68)
Доказательство. Для неравенства в левой части (5.68) мы сразу же можем принять сх= 1. Для неравенства в правой час-
ти нам нужно лишь показать, что для каждой ф £ jZ> (Й) справедливо так называемое неравенство Фридрихса.
рф|Мх^с J Jl-^(5.69)
и после чего отметить, что До(й) есть замыкание ^Й(Й) в норме Нк (Й).
Докажем (5.69): поскольку й ограничено, то мы можем предположить, что Йс Q = {xg Rn : |хг | <а, i = 1, ..., п}, где a£R+ и тогда
ф(*1Хп)=Ц ^^Х»*п)^‘(5-70)
—а
Отсюда, используя неравенство Шварца — Гёльдера, получаем
1ф(^ ..., xn)|2 ^ 2а j 1^-6, хп)р£. (5.71)
—а 1
Интегрируя (5.71) по переменной хх в интервале (—а, а), имеема° । ala
J IvC^i■’Cn)|2dx1:^4a2 j -^ (xv ..., х„) dxv (5.72) —а—а 1
и интегрируя (5.72) по переменным х2хп в интервале (—а, а) мы получаем (5.69) с с = 4а2. □
Мы привели это доказательство, главным образом, потому, что оно содержит неравенство Фридрихса, интересное само по себе; оно, в частности, используется прн изучении однородной задачи Дирихле. Другое очень важное неравенство, о котором упомянем в связи с рассмотрением пространств Соболева,— это неравенство Пуанкаре1, если й cz R" — открытое ограниченное множество класса С°, то существует такая постоянная с £ R, что для каждой функции и б Нк (й) имеем
с II “ п^(2) Ш $ Г+ I $ 1 D“« i2]1/2(5-73>
|<x|<ft 2|a|=fe2
(см., например, [618, с. 181). Это неравенство позволяет вводить норму, эквивалентную норме (5.63) при р = 2 (для этого нужно лишь взять в качестве нормы от функции и б Нк (й) правую часть (5.73)). В других исследованиях неравенство Пуанкаре может быть полезным, например, при изучении задач, которые используют пространства функций со средним значением, равным нулю. Важно отметить, что поиск эквивалентных норм имеет большую практическую важность,— эффективность методологии изучения задач, формулируемых в терминах пространств Соболева часто зависит от подходящего выбора норм в этих пространствах.
Пространства Ws,p (Й^ s g R_\{0}. Как следствие того факта, что S (й) в общем случае не плотно в пространстве Ws,p (й), которое поэтому, вообще говоря, не является нормальным пространством распределений, возникают две важные проблемы: 1) могут ли элементы нз №5,Р(Й) быть аппроксимированы гладкими функциями и 2) как определить пространства Ws,p (^ при строго отрицательном s.
Существует в основном два способа определения пространств №5,р(й), s<0: или мы просто механически переносим определение 5.4 для случая «й = R"» на случай «общего й», или мы ищем определение, которое в качестве следствия дает характерные свойства элементов из №8,р(й), s < 0, аналогичные сформулированным в теореме 5.5.
Мы пойдем по второму пути, так как первый может вывести нас нз рассмотрения теории обобщенных функций, необходимость которой возникает естественным образом при изучении многих задач. Сначала дадим определение.
Определение 5.8. Пусть й с Rn— произвольное открытое множество sCR-\{0} и р€(1>°°)- Мы обозначаем через №8,р(й) пространство, двойственное к №(TS’P* (й), где р = рЦр—1). Пространства ^’2(й), s<0, будут снова обозначаться через Н$ (й).
Мы сразу же получаем, что если Й = Rn, то это определение сводится к определению 5.4. Также сразу приходим к заключению о рефлексивности пространств Ws,p (й), s<0. Кроме того, как мы и требовали, справедлив следующий результат.
Теорема 5.14. Обобщенная функция Т принадлежит (^’"(Й))' = №-*'₽*(й), fe£N и /?Е(1,оо), тогда и только тогда, когда Т может быть представлена в виде
Т = ^ DX (5.74) |a|<fc
с g^lA^.
(Доказательство аналогично доказательству теоремы 5.5.)
Результаты о плотности. Обсудим проблему возможности аппроксимации элементов из Ws'p (й), s^O, с помощью более общих функций. Эта проблема, имеющая важное теоретическое и практическое значение, заключается, главным образом, в поиске функционального пространства, плотного в ^s,p (й) и элементы которого удовлетворяют определенным требованиям гладкости и, что особенно важно в численных приложениях, простоте представления для реализации на электронно-вычислительных машинах. Для задач численного анализа введено несколько функциональных пространств со специальными свойствами: см., например, [58, 642, 6991 и, в частности, для вариационных неравенств [25, 374, 438, 247, 2481.
Здесь мы рассмотрим лишь следующий важный результат.
Теорема 5.15. Если Я с R" — ограниченное множество класса С°, то 2) (Я) плотно в Ws'p (Я).
Непосредственным следствием этой теоремы является то, что если Я — ограниченное открытое множество класса С6, то понятия сильной и слабой производных совпадают. Другое следствие заключается в том, что если 1^р<оо, то Wm,p (Я) может быть определено как абстрактное пополнение множества (и 6 С” (Я): ||и1|ц?т,Р(й) < °0} в норме || • |l^m,p(Q)-
Доказательство теоремы 5.15 можно найти в [618, с. 67; 528, с. 42; 544, с. 52]. Заметим также, что теорема может быть доказана при более слабых предположениях относительно Я, а именно, когда Я обладает свойством сегмента (см. [91, с. 54]).
Кроме того, этот результат естествен. Нам необходимо лишь отметить, что Ф (Rn) плотно в U7s'p(r'1), что (при достаточно гладкой границе множества Я) элементы Ф (Я) являются сужениями элементов из ^ (Rn) и можно ожидать, что элементы из IFS’P (Я) могут быть выбраны как сужения элементов из U7s,p(Rn).
Операторы продолжения. Элементы из IFS’P (Я) могут быть выбраны как сужения элементов из IFs'p(Rn). Это приводит нас к так называемой проблеме продолжения, которая заключается в поиске условий (на Я), гарантирующих, что элементы пространства 1Г5'Р(Я) будут сужениями на Я элементов из IFs'p(Rn), или, что эквивалентно, — в поиске условий, которые гарантируют, что элементы из Ц78,р(Я) могут быть продолжены на R" как элементы из IFs’p(Rn). Этот вопрос представляет большой интерес, так как ответ на него составляет основу для возможности распространения некоторых результатов, доказанных для IFS'P^), на результаты для пространства ^s-P(Rn), и наоборот.
Определение 5.9. Пусть ЯczRn — произвольное открытое множество. Мы говорим, что о £ Ws,p (Rn) — продолжение функции цЕ^8,Р(Я), если и = и почти всюду на Я. Оператор Р 6 (5 (U7S,P (Я), IFs'p(Rn)) такой, что Р(и)— продолжение функции и (для каждого и 6 Ws,p (Я)) называется оператором продолжения, заданным на Ws,p (Я).
• Заметим, что таким же способом мы можем определить операторы продолжения на Wp (Я) — примером оператора продолжения является оператор Р, который мы ввели в доказательстве теоремы 5.11.
Проблема продолжения функций может быть теперь сформулирована следующим образом: каковы условия на Я, которые гарантируют существование, по крайней мере одного оператора продолжения, заданного на Ц75Р(Я)? В качестве ответа на эту проблему мы ограничимся следующей теоремой.
Теорема 5.16. Если Я с R"— ограниченное открытое множество класса С6-13, где й^1—целое и р£[1, со), то существует по крайней мере один оператор продолжения, заданный на №$'Р(Й).
Заметим, что в случае пространств Ц7ор (Я) ответ не является простым, как это может показаться: если Яс Кпесть произвольное открытое множество н и нз пространства 2 (Я), которое плотно в WoP (Я) (отмечаем, что в действительности нам достаточно построить непрерывное продолжение на плотном множестве...), то тривиальное продолжение (продолжение нулем) и функции и является продолжением в смысле определения 5.9; однако для того чтобы оператор продолжения, ставящий в соответствие функции и функцию и, был оператором продолжения на Wop (Я), необходимо иметь s =# целое + 1/р, так как в противном случае этот оператор не будет непрерывным (см. [545, с. 231; 49] для р = 2).
Доказательство и обобщение теоремы 5.16, можно найти в [618, с. 75, 528, с. 44, 291, с. 45, 545, с. 319]. Здесь же мы главным образом будем строить оператор продолжения в очень простом случае, в котором Я = (0, оо) с R. Однако, используемая методика может быть легко распространена на случай, когда Я = R", и поэтому (с использованием локальных покрытии) — на общий случай. В рассматриваемом случае Я является неограниченным множеством, поэтому мы не имеем точного выполнения условий теоремы 5.16... В связи с этим в этом и последующих пунктах этой главы, мы не будем формулировать наиболее слабые предположения относительно Я, которые гарантировали бы справедливость результатов — большинство из них (подобных теореме 5.16) справедливы также в случае, когда Я есть полупространство, хотя они были сформулированы лишь для ограниченных открытых множеств.
Таким образом, возникает следующая проблема: «по заданной функции u^W^(R+), k^N и р£[1,оо), найти u^Wfe'p(R) такую,
О А
что и = и почти всюду на R+». Если к = 0, то в качестве и можно взять функцию вцда
(5.75)(5.75)А ,(и(х), если х>0,
(5.75)
(5.75)
и (х) = ('
( 0, если х<0
с произвольным значением при х = 0. Если мы выбираем и (0) = 0, то и есть тривиальное продолжение и на R (рис. 5.1). Эта функция, в общем случае, не является непрерывной, и поэтому при к = 1, мы не решили поставленную проблему (заметим, что ^х,р (R) cz cC°(R) — см. теоремы 5.8 (III) н 5.9). Если к = \, то в качестве
и можно взять
А. . fu(x), если х>0,/к
«М = / х-(5.76)
[и(—х), если х<0.
97977 К. Байокки, А. Капало
97
97
Рис. 5.2Рис. 5.2«(*),«(*),если х > 0,если х > 0,и^ =и^ =ya,u(—/х), если х<0, \=iya,u(—/х), если х<0, \=i(5.77)(5.77)
Рис. 5.2
Рис. 5.2
«(*),
«(*),
если х > 0,
если х > 0,
и^ =
и^ =
ya,u(—/х), если х<0, \=i
ya,u(—/х), если х<0, \=i
(5.77)
(5.77)
Если мы хотим определить ее и при х = 0, то надо это сделать так, чтобы и была непрерывной, что всегда возможно, так как и (0"^ = = и (0~). Таким образом, мы получаем так называемое симметричное продолжение, или продолжение зеркальным отражением (рис. 5.2). Получаемая функция в общем случае не является дифференцируемой, и поэтому при к = 2 поставленная проблема вновь
Рис. 5.1
не решена. Следуя намеченному пути рассуждений, мы приходим к тому, чтобы выбирать и функцией вида
(5.78)(5.78)(5.79)(5.79)(5.80)(5.80)
(5.78)
(5.78)
(5.79)
(5.79)
(5.80)
(5.80)
определенной при х = 0 так, чтобы она была непрерывной и с такими коэффициентами «у, что непрерывны производные от и порядка к— 1. Теперь мы покажем, что (5.77) действительно определяет продолжение, т. е. существуют к чисел а^ удовлетворяющих требуемым условиям. Если к = 0, то проблема полностью решена с помощью тривиального продолжения без дополнительных условий. Если к = 1, то мы должны наложить на и единственное условие
Ы(О+) = ы(0~);
тогда, как следует из (5.77), при к — 1 получим
к
5>> = !, /=1
т. е. а, = 1, что согласуется с (5.76). Если к = 2, то мы имеем не только условие (5.78), касающееся непосредственно функции, но и условие на ее первую производную
и' (0+) = и' <<Г\
Из (5.78) мы имеем (5.79) при к = 2, и из (5.80) совместно с (5.77)
следует, что
£«,(-/) = !(5.81)
/-1
(снова с к = 2). Уравнения (5.79) и (5.81) составляют систему двух^ уравнений с двумя неизвестными, решение которой есть о^ = о и а2 = —2. В общем случае мы имеем к условий
и” (0+) = > (0~), i = 0,...,fe-l,(5.82)
которые, как легко может быть замечено, совместно с (5.77) позволяют нам получить систему к уравнений с к неизвестными
•2 (—//“, = 1,1 = 0,....к — 1.(5.83)h
Эта система всегда разрешима, поскольку ее матрица является матрицей Вандермонда для чисел — 1, —2, .... —к. Таким образом, мы показали, что для фиксированного к >» 0 существует по крайней мере одно продолжение, которое решает проблему продолжения функций из № (R+) функциями из № (R) для / = 0, 1, .... к. Этопродолжение известно как продолжение Бабича. Беря большее чис-
Ik
ло слагаемых в суммах ^ ...), мы могли бы также построить- /=о. 0.
оператор продолжения, действующий из Н* (R+) в Н' (R) для |/|^ ^ к (см. [125]).
Теорема вложения Соболева: общий случай. Прежде чем продолжить разговор о теореме вложения Соболева, аналогичной теореме 5.8, мы введем понятия компактного оператора и компактного вложения..
Определение 5.10. Пусть Е и F — два банаховых пространства. Оператор Т ^^ (Е, F) называется компактным (или вполне непрерывным) оператором, если Т преобразует ограниченные множества из Е в относительно компактные множества из F (т. е. множества, замыкания которых компактны). Если Е с F и оператор множественного вложения £ef : Е -> F является компактным оператором, то вложение Е в F называется компактным вложением и пишется Ес-с^Е.
Сразу же из определения следует, что если {fm} есть ограниченная последовательность элементов из Е и Т €(Е, F) является
компактным, то последовательность (Т (f^)} имеет подпоследовательность, сходящуюся в F. В общем случае легче показать, что последовательность ограничена, чем показать, что она сходится (даже относительно других норм...), и поэтому результаты, показывающие, что определенные вложения компактны, представляют значительный интерес — в теореме Соболева, которую мы сейчас сформулируем, присутствуют результаты именно этого типа.
Теорема 5.17 (теорема вложения Соболева). Если Q cz R" — ограниченное открытое множество класса Сод с целым k "^ 1 и р £ [1, оо), то справедливы следующие вложения-.
Если n>kp, то Wk-P ^с^^. Lq^Ц с q<np!{n— кр) и Vfc’p(£2)c-c-L*(£2), если q<.np!(n— кр); в более общем случае, если m^N, т^к и n>{k — m)p, moWk,p(£2) cz-U7m,’(£2) с q^. ^пр^п — {к — т)р) и Wk,p(£2) cz_ с_ WnM (£2), если q<прКп — — {k — m)p). ■ •
Если n=kp, mo Wk,p (Q)<=-cz^Le (£2) для каждого q£[l,oo).
Если n < kp, mo Wk,p (£2) cz^cz^ С0’и (£2) co следующими значениями p: у, = к — {nip), если к — {п!р)<Л; р — произвольное и р <1, если к — {nip) = 1; р = 1, если к — {nip) >1. В более общем случае, если m £ N, т ^ к и п < {к — т) р,то Wk,p (£2)cz-cz_ Ст,ц (£2) при: р =к — т — {nip), если к — т — {п!р)<Д; произвольным р<1, если к — т — {nip) = 1; р = 1, если к — т — {nip) > 1.
Соответствующие вложения справедливы также и для пространств W'q’p(£2) при любом открытом ограниченном множестве £2.
Доказательство утверждений теоремы можно найти в работах, упомянутых в связи с теоремой 5.8 и, в особенности, касающихся результатов о компактности — [618, с. 107; 528, с. 53; 91, с. 144; 415, с. 133].
Эта теорема может быть доказана при более общих условиях относительно £2. С другой стороны, здесь могут быть повторены комментарии, сделанные к теореме 5.8; однако необходимо отметить, что Wk,p (£2) cz Wk,g (£2), если p>q, поскольку множество £2 (будучи, ограниченным) имеет конечную меру. Приведем также следующий очень важный результат: для каждого s С R и е > 0, №(£2)<=-с=^№-8(£2) (см. [49]).
Наконец, мы имеем аналог теоремы 5.9: если — со<.а<Ь<А- 00, то Н71'1 {{а, Ь))=АС ([а, 6]). И при тех же самых условиях
Н1 ((а,6))с_ ДС([а, 6]).
Однако, при п >• 1 этот результат не имеет места: функция t{x) = log ] log|x||.
определенная в
disc D= {х£ R2: || х||< 1/2}
является элементом из Н1 {D), но она не непрерывна. Кроме того, если £2 не является интервалом, то существуют некоторые патологические явления; так, например, если а < с < Ь, то кусочнопостоянные функции принадлежат к Hk{{a,c)\j {c,b)) для каждого к...
Чтобы закончить этот раздел, мы должны упомянуть, что. иногда используются также пространства Hs’p {й), которые являются обобщениями пространств Нч,р vW1), введенных в определении 5.5, и которые могут быть определены как пространства сужений на £2 элементов из Hs,p{Rn) (см., например, [19; 544, с. 67]).
5.4. Пространства W*-? (Г)
Понятие следа. При изучении дифференциальных задач и, в частности, когда рассматриваются краевые условия, соответствующие дифференциальным уравнениям в частных производных, приходится говорить о значениях, принимаемых на границе Г множества й некоторыми элементами из WSiP (й). Если функция и £ € №s-p (й) непрерывна вплоть до границы Г, то можно считать, что значение, принимаемое функцией и на Г, есть сужение ее на Г (точнее, сужение на Г ее продолжения по непрерывности на й). В об
щем случае, однако, элементы из Ws>p (й) определяются везде за исключением множества нулевой меры, и поэтому не имеет смысла говорить об их сужениях на границу Г, которая имеет п-мерную меру, равную нулю (за исключением патологического случая, который не интересует нас). Поэтому нам необходимо новое понятие, заменяющее и обобщающее упомянутое
у
ь
О
В
С
Рис. 5.3
d х
выше. Здесь мы будем иметь
дело исключительно со значениями функций на границе, а в более общем случае, могут представлять также интерес и значения функций на любом многообразии меньшей размерности, содержащемся в Й (см. [56, 57, 6351).
Сначала изучим простой случай. Пусть й — множество внутренних точек прямоугольника, изображенного на рис. 5.3 и пусть и — элемент из Я1 (й); тогда и — функция из£2 (й) такая, что обе. производные их = D^u и ии = D^u также принадлежат Л2(й). Мы покажем, что выражение g(y) = u(0, у) имеет смысл, т. е. придадим смысловое значение фразе «g есть значение, которое и принимает на стороне АВ».
Для этой цели рассмотрим сначала линейный оператор
р: С1 (Й) -»■ С1 ([0,6]),(5.84)
который каждой функции и (х, у^ € С1 (й) ставит в соответствие функ- цию р[и(х, г/)] = и(0, у). Этот оператор корректно определен, так как если и непрерывна в й, то имеет смысл говорить о ее сужении на сегмент АВ; это сужение дифференцируемо, как только диффе- dsdi ренцируема функция и. Как мы знаем, С1 (й) с//1 (й) и С1 ([0,6]) с ds
cL2((0, &)). Слэцэзательнэ, если мы сможем показать, наделяя С1 (й) и С1 ([0, 6]) топологиями, индуцируемыми соответственно Н1 (й) и L4 ((0,6)), что оператор р является непрерывным, то мы тогда можем сделать заключение, что он может быть однозначно расши
рен до оператора
р: Я‘(Й)-*£2((0,6)),
(5.85)
который линеен и непрерывен.
Если и^ Нх (й), то естественно назвать ри сужением и на АВ. Чтобы избежать недоразумений и подчеркнуть, что мы уже имеем сужение не в классическом смысле этого слова, мы предпочтем называть ри следом функции и на АВ.
Сейчас мы увидим, что оператор р действительно непрерывен. По основной формуле интегрального исчисления
и^у) = и(х0,у) + ^их(£,у^, хо€[О, d],(5.86)
мы можем записать при х = О
|u(O,y)K|«(xo,y)|+y|ux(6,y)|dg.(5.87)
о
Отсюда, с учетом неравенства (а + Р)2 ^ 2а2 + 2р2 и неравенства Шварца — Гёльдера, следует, что
| и (0, у) |2 < 2 | и (х0, у) |2 4- 2 (J | их (?, у) | d^4
О
< 21« (хе,у) |2 + 2d у" ЬЛ,У) |2^ <О
<2|u(x0,y)|2+2dy|uxa,y)|2^.(5.88)
'о
Интегрируя первую и последнюю части в (5.88) по XgE^.d), мы имеем . .
d|«(x0,y)|2<2 y|«(x0,y)|2dx0 + ^^^(5.89)
оо
интегрируя обе части неравенства (5.89) по у Е (О, Ь), получаем
ь
d у I и (О, у) I2 dy < 2 у I и (х0, у) I2 dx^y + 2d2 у| их (6, у) |2 d^ dy, (5.90) 0QQ
ИЛИ
d IIР (“) НЬсо.ь» 21|«|Ц2(а) + 2d21| их ||22(Q),(5.91)
что доказывает непрерывность р. Естественно, мы можем определить следы функции и на ВС, BD и DA аналогичным способом, а следовательно, и след и на Г = АВ Ц ВС Ц CD |J DA, который мы обозначим (по причинам, которые мы объясним позже) символом уои.
Приведенное выше доказательство после простой модификации применимо и для случая произвольного открытого множества й 102
(как только оно достаточно регулярно), граница которого предварительно «распрямлена» с помощью системы локальных отображений,— поэтому справедлива следующая теорема.
Теорема 5.18. Пусть Qc R" — открытое ограниченное множество с границей Г, непрерывной по Липшицу. Существует единственный оператор Уд^К^Н1^), £2(П) такой, что если ц^^Й(й), то you = u|r. Если и^НЦй), то мы будем называть уои следом {порядка 0) функции и на Г. (Определение Lp (Г) см. в разделе (6.1).
В более общем случае можно доказать следующий результат (см., например, [618, с. 86 и с. 1071).
Теорема 5.19. Пусть й с: R" — открытое ограниченное множество с границей Г, непрерывной по Липшицу, целое k^ 1 и р € И, °°). Тогда справедливы следующие предложения.
Если kp<zn и 1^(/^(п—Й р/{п — кр), то существует единственный оператор у0 g ^ (Wk'p (Й), L4 (Г)) такой, что, если и^^^), то you = u|r, а если u^Wk'p{^), то мы называем уои следом {порядка 0) функции и на Г; если р > 1, то у6 — компактный оператор. .
Если kp = п, то (I) выполняется при произвольном q^\.
Если kp>n, то след уои функции u^Wk,p(й)сС°(Й) является классическим сужением и на Г.
На вопрос, является ли оператор следа у0 сюрьективным, дают ответ следующие рассуждения (мы будем проводить их в очень частных условиях, но они могут быть легко обобщены): оператор у0 не может быть «обратимым» с сохранением непрерывности, а это подразумевает то, что он не сюрьективен. Пусть р = 2, к = 1 и й = S — единичный открытый шар в R2 с границей С; далее, пусть {и^—последовательность элементов из L2 (C)~L2 ((0, 2л)), определенных как щ = 1/]/2л,... ,и^ = cosZx/р^л, u2Z+1 = sin/х/Кл,... ...(/ = 1,2,...): последовательность (um) такова, что для каждого тЦитЦ£,(С) = 1 и, с другой стороны, ит-^0 в L2(C) (отметим, что функции ит составляют полную ортонормированную систему в L2((0, 2л)). Если было бы возможным «обратить» у0 с сохранением непрерывности, то мы могли бы продолжить ит функциями ит £ € Н1 {S) при || ит |,|H,(S) ^ С {С — подходящая постоянная): из компактности у0 тогда следовало бы, что существует подпоследовательность {umjV umj = уй{ит^, сильно сходящаяся в L2(C), чего не может быть.
Однако в некоторых частных случаях у0 сюрьективен: так, например, у0 (I^1,1 (S)) = L1 (С). Кроме того, у0 {Н1 {S))L^C} = L2{C); в более общем случае, если Й есть открытое ограниченное множество с границей Г, непрерывной по Липшицу, то у0 {W1,p (Й))£Р<Г) = = ЕР{Г) (см. [618, с. 87]).
Пространства следов. Несюрьективность у0 порождает другой вопрос: каковы характерные свойства ToO^S’P(^))> т- е- каковы характерные свойства элементов ^(Г), являющихся следами функций из №S,P(Q). Чтобы выявить их, нам необходимо ввести пространства следов. .
Определение 5.11. Пусть s ^ 0 — вещественное число, р g €(1, оо) (или pg [1, оо), если s^l—целое) и Qc:Rn— открытое ограниченное множество с границей Г класса С1’3’1. Мы предполагаем определенной систему локальных отображений при условиях определения 16.5. Мы обозначаем через Ws'p (Г) векторное пространство {u g Lp (Г): и (х^, <ра (х^ g Ws,p (Да), а = 1,... , m], с нормой
т
II ы Hw'S.P(D ~ [ ^ II и ^а’ Фа (^а^ Uw,s’P(Aar (5.92) а=1
Если s<0 и pg(l,oo), то через ^'"(Г) мы обозначаем пространство (W~s,p* (Г))', где р* = р/(р—1). Пространства Ws'2 (Г) будем обозначать через №(Г).
Пространства ^’'’(Г) — банаховы, они рефлексивны при р>1. Кроме того, многие другие результаты, которые упоминались для пространств Ws,p (Q), также справедливы для пространства Ws,p (Г).
Среди этих результатов мы, в частности, упомянем теорему 5.17, касающуюся вложений пространств Соболева, и теорему 5.15, которая в этом случае сформулируется следующим образом: #6 (Г) плотно в Ws-P (Г), где b g N U {00} — показатель гладкости Г (см. [544, с. 58] для случая бесконечно дифференцируемой Г). Аналогичным образом можно определить пространства №-р (Г) (см., например, [544, с. 681).
Производная по нормали. Прежде чем продолжить изучение теорем о следах, которые позволят нам полностью охарактеризовать образы пространств WSiP (Q) при действии на них у0, введем следующее понятие.
Определение 5.12. Пусть QgR"— открытое множество с границей Г класса Сод, v = (vx,... , vn) — (внешняя) нормаль к Г и пусть и ЕС11 (Q) с целым ^ ^ 1. Если 0 ^ / ^ к, то функция, определенная почти всюду на Г формулой
(5.93)
1а|=/
где а! = аг1 а21... ап1 и м> = v®»v®»... v®", называется /-й производной от и по направлению v.
Это определение имеет смысл, поскольку, с одной стороны, функции О" определяются во всех точках на Г и, с другой, Г, будучи непрерывной по Липшицу, обладает почти всюду нормалью. В сле- 104
дующей теореме мы обобщим это понятие на функции из W^-p (Q) с помощью методики, аналогичной той, которую мы ввели для обобщения понятия сужения функции на Г (оператор у0); именно, мы введем семейство операторов ^j Q ~ 1,2, ...), которые будем называть операторами следа (порядка 1, 2...), которые определены на IP'P (Q) и которые совпадают с операторами, определяемыми с помощью (5.93), если функции достаточно гладкие. След ^йи (часто будем обозначать его просто и, что не должно вызвать недоразумений) будет тогда производной нулевого порядка по нормали, а у0 — первым элементом семейства операторов следа. Это является причиной того, что мы ввели нижний индекс 0 в обозначении у0.
Теоремы о следах.
Теорема 5.20 (теорема о следах). Пусть р5(1, оо), s^\\ip, оо), s—l/p$N и пусть QczRn— открытое ограниченное множество с границей Г класса С^'1 и (внешней) нормалью v = (vlt..., vn); при (s) = max(^5N: &<s} справедливы следующие предложения:
Существует единственный оператор
_Is—1/р|
Y^(Vo.Vi.-Y)s_,/p))€^(r’p(Q), П ^-'^(Г)) (5.94) /-о
такой, что если и^ф^- то -^и = д^/дч1, j — 1,2 {s— I/p}, you = и |г; ^u называется следом функции и на Г. Мы замечаем, что непрерывность оператора у может быть выражена с помощью неравенства
(S—l/pt
^ II ^ju lluzs—i—Чр-Р(г> ^ с II ы Hw'S.p^j(5.95)
/=о
с постоянной с, независящей от и.
Существует по крайней мере один оператор Л 5 {S—1/р|
5 ^ ( П Ws~i-'/p’p (Г), Ws,p (Q)) такой, что задавая любые (s —
— l/p} +£ функций gj£Ws'~,-Mp'p (Г) и полагая g=(g6,... ,g{s_w и и — Л (g), мы имеем ^щ = g} для j = 0,..., (s— 1/р); и назы вается обратным элементом к системе следов g и Л называется оператором «обращения». Непрерывность оператора Л выражается с помощью неравенства
II U llw's.P(Q) ^ с ^ || gj lluzs—i—1/р,р(Г)(5.96)
М>
с постоянной с', независящей от g}.
Доказательство теоремы можно найти в [414, 618, с. 103—104].
Важно отметить, что если s — 1/р 5 N, то мы должны рассмотреть
семейство пространств Бесова: семейство пространств Соболева «не замкнуто» относительно операторов следа, а пространства Бесова обладают этим свойством. Заметим, что из части (II) теоремы следует, что оператор у сюръективен; с другой стороны, «обратный элемент» к системе {g,} не единственный, что является следствием неинъективности оператора у. В качестве первого приложения этой теоремы отметим, что областью значений оператора р, который мы рассмотрели в начале этого раздела, является пространство №/2((0,6)).
Теперь приведем интересную характеристику пространств 1ГоР (й), основывающуюся на операторах следа.
Теорема 5.21. Если s>0, р£(1,оо) (или р€[1,о°), если s ^ 1 является целым) и й cz R” — открытое ограниченное множество с границей Г класса С1$1>|, то -
W^p (Й) = ker (у) = (и6 Ws’p(й): y;u = 0, / — 0,1,..., {s — 1/р}}.
(5.97)
Доказательство теоремы можно найти, например, в [544, с. 69; 618, с. 90; 528, с. 87]. В некоторых случаях эта теорема может быть доказана при менее ограничительных предположениях относительно й; например, если s = 1, то достаточно, чтобы й была из класса С0-1 (см. [618, с. 87]). Эгот результат позволяет нам оправдать утверждение «.функции класса Wqp (й) равны нулю на границе множества й», а также другие утверждения такого же типа.
Для функций, удовлетворяющих подходящим свойствам гладкости (например, для функций, имеющих первые частные производные из L2 (й)), определение следа на основе понятия продолжения по непрерывности не является единственно возможным. Относительно другой точки зрения, приводящей к понятию следа, см. работы [380, 355] и близкую к ним библиографию. При условиях меньшей гладкости все еще можно определить след: так, для функций и из Н1 (й), таких, что Au € L2 (й), которые менее гладкие, чем функции из Н2 (й), имеет смысл говорить о следе производной по нормали (см. гл. 18 и окончание настоящей главы).
5.5. Нормальные сжатия и пространства Дирихле
Одномерный случай. В этом пункте мы рассмотрим некоторые свойства пространств ^1(й) и ^(й), которые будем использовать позднее, в частности, при изучении решетчатой структуры этих пространств. Рассмотрим следующую проблему: «если u^Hq ((а, 6)), — оо<а<:6<:4-оо, то возможно ли | и | £ Но ((а, 6))?» Ответ —положительный. Действительно, если и^ Но((а, Ь)), то и^ ЛС([а, 6]) и |и|^ЛС([а, 6]) (это вытекает из того, что и € АС ([а, 6]), и из неравенства ||«| (у) — | и\(х) | = II и(у)\ — | и(х) II <1 и(у) — и(х)|, которое выполняется для каждых у, х€[а,6]). Таким образом, почти
всюду в [а, 6] при у-* х существует предел разностного отношения
II « I (</) —1« I W I / I « (У) — « (^) I/К QOX
которое приводит к
II“I'to I ^ Iм'to I почти всюду в [и, 6],(5.99)
и потому к выводу, что|ц|' £ L2 ((о, 6)). Этот результат верен (с тем же самым доказательством), если вместо Но (а, 6)) мы рассмотрим пространство Н1 ((а, Ь)) (и, в общем случае, мы можем рассмотреть пространство Н1 (Й) путем расщепления на составляющие Й компоненты...). Однако, эти рассуждения не применимы в случае, когда й есть открытое множество из R" (п ^ 2), так как, вообще говоря, функции из Но (й) не являются абсолютно непрерывными. Но мы имеем следующую интересную характеристику элементов из Н1 (Й), где Й сд R" есть открытое множество с границей, непрерывной по Липшицу: каждая функция и £ Н1 (й), подходящим образом видоизмененная на множестве меры нуль, абсолютно непрерывна почти на всех линиях, параллельных осям декартовой системы координат, рассматриваемой в R"; обратно, если и ^ L1 (й) абсолютно непрерывна почти на всех линиях, параллельных осям, и их обычные производные (они тогда существуют почти всюду) квадратично суммируемы, то и^ Н1 (Й) и производные от и в смысле обобщенных функций совпадают с обычными производными; доказательство этого утверждения можно найти, например, в [618, с. 61; 51].
Нормальные сжатия и пространства Дирихле. Чтобы решить, верно ли утверждение и g Но (й) =>| и | g Но (Й) и другие соотношения того же типа в случае, когда й сд R" (ц > 2), мы будем использовать некоторые понятия, широко применяемые в теории потенциала («естественный» контекст здесь предусматривает функции от одной комплексной переменной...).
Определение 5.13. Пусть А есть произвольное подмножество из R"; если и, v^F (А) = СА, то мы говорим, что у—нормальное сжатие функции и, ес. и
|uto — у(1/)|^1 и(х) — и(у)\ Vx, у^А, (5.100)
|у(х)1^1“М1 Vx^A.(5.101)
Определение 5.14. 7: С -> С называется нормальным сжатием комплексной плоскости, если
\Т(х) — Т(у)\^\х — у\ Vx, усС, (5.102) '7(0) = 0.(5.103)
Определение 5.15. Пусть А — произвольное подмножество из R" и Н — гильбертово пространство такое, что имеет место теоретико-множественное включение Нс 9"(А); Н называ
ется пространством Дирихле, если выполняется условие: «если и С Н и Т — нормальное сжатие С, то Т (и) £ Н и ЦТ (и) ||н ^ ||«,|н» (т. е. пространства Дирихле являются гильбертовыми пространствами, «замкнутыми» для нормальных сжатий).
Следующий результат показывает, что существует тесная связь между понятиями, введенными в определениях 5.13 и 5.14.
Теорема 5.22. Если Т — нормальное сжатие Сии(? (Л), то Т^и = Т (и) — нормальное сжатие функции и; обратно, если у — нормальное сжатие функции и, то существует по крайней мере одно сжатие Т множества С, такое, что у = Т (и).
Доказательство. Первая часть утверждений очевидна. Чтобы доказать вторую часть, рассмотрим отображение t : и (Л) U {0} -> С, определяемое как t (и (х)) = у (х) и t (0) = 0. Если Оби (Л), то из (5.101) мы имеем / (0) = 0 и, с другой стороны, (5.100) показывает, что если и ^ = и (у), то / (и (х)) = / (и (у)). Отображение t корректно определено. Теперь мы докажем существование расширения Т отображения t при условиях, приводимых ниже,— это гарантируется леммой Кирцбрауна — Валентинэ, утверждающей, что если Cj с С2 есть два подмножества из R" и f-.C^C есть отображение, непрерывное по Липшицу с константой L, то существует непрерывное по Липшицу отображение Е-С^-^ с той же самой константой L, такое, что f = Е 1с,- Эта лемма применяется с С1 = и(Л)и{0}, C2 = R2~C, L=l, f = t и F = T. □
Доказательство леммы Кирцбрауна—Валентинэ можно найти, например в работах [717, с. 105; 579, с. 1641; во второй статье доказан значительно более общий результат, который содержит в качестве частных случаев не только лемму Кирцбрауна—Валентинэ, но также и аналогичный результат, относящийся к непрерывным по Гёльдеру функциям. Другие общие результаты имеются в работе [724], интересную геометрическую интерпретацию леммы можно найти в [589, 717, с. 101]. Заметим также, что F может быть построено таким образом, что Е (С2) будет любым заданным подмножеством из замкнутого выпуклого множества К ^ F (С2).
Если и^ ^(Л), то существенный интерес представляют следующие нормальные сжатия функции и: сжатие модуля (|ul), сжатие вещественной части (Re (и) = (и + и)/2, где 2 — комплексно сопряженное к z число), сжатие мнимой части (Im (и) = (и — u)/(2i), i = V—1) и, если и — вещественная, то сжатие положительной части ([и]^ = ([«[ + «)/2) и сжатие отрицательной части ([и]- = = (| «| — «)/2).
«-мерный случай. Докажем, что если и^Н^Й) (или «СЯ1^)), то |и|, Re (u), Im (и), и если и — вещественная, [ы]+ и [и]- также являются элементами пространства Н'о (Q) (или Н1 (Q)).
Теперь теорема 5.22 гарантирует, что этим нормальным сжатиям могут быть поставлены в соответствие нормальные сжатия комплексной плоскости, которые мы вновь будем обозначать через 108
и (X) — и ( hи (X) — и ( hi = 1, ...,п, (5.104)i = 1, ...,п, (5.104)ЭТ (и)дх,ЭТ (и)дх,ди |дх* Гди |дх* Гt = 1п.t = 1п.(5.105)(5.105)
и (X) — и ( h
и (X) — и ( h
i = 1, ...,п, (5.104)
i = 1, ...,п, (5.104)
ЭТ (и)дх,
ЭТ (и)дх,
ди |
дх* Г
ди |
дх* Г
t = 1п.
t = 1п.
(5.105)
(5.105)
| • |, Re, Im, [•]+, [-I-, и, следовательно, рассматриваемая нами задача решается с помощью следующей теоремы.
Теорема 5.23. Если Q cz R"— ограниченное открытое множество, то Нд (Q) является пространством Дирихле, если, кроме того, Q непрерывно по Липшицу, то Н (Я) также является пространством Дирихле.
Доказательство. Достаточно доказать первую часть утверждения, поскольку вторая сразу же будет ее следствием (так как, если Я непрерывно по Липшицу, то для любого открытого множества О zo Я функции из И1 (Я) могут быть продолжены на О элементами из Н^Оу Кроме того, мы можем применить к НЧЭД рассуждения, приводимые для Мд (Я) — нужно лишь воспользоваться тем фактом, что ,2) (Я) плотно в НЦОу а это подразумевает предположение о регулярности Я, например, что множество Я— непрерывно по Липшицу.
Теперь мы докажем, что Нд(Ц есть пространство Дирихле, показывая, что если Т есть нормальное сжатие С и иЕНд^У то Т (п) Е Нд (Я) и || Т (и) 1| , ^ || и || . . Доказательство будет состо-
Нд№H0(Q)
ять из двух частей: в первой мы покажем, что если иЕДД^У то Т^и)ЕНд(Р) и ||Т(ы)|| 1 ^||ц|| 1 ; во второй — привлекая тот
Hq(Q)Hq(Q)
факт, что ,0(Я) плотно в Нх0(йу и выводы первой части, рассмотрим общий случай.
Если и Е 56 (Я), то и и Т (и) являются абсолютно непрерывными функциями на каждой линии, параллельной координатной оси, и поэтому почти всюду при h -> 0 существуют пределы (мы используем обозначения главы 15) разностных отношений
Отсюда совместно с соотношениями
(5.107)(5.107)|Т(«)(х)| = |Т(«)(х)-Т(0)(^|«(х)-0| = |«(х)|, (5.106) что предполагает, в частности, принадлежность Т (ы) к L? (Я) (измеримость Т (и) следует из (5.102) и из измеримости и), получаем Т (и) Е Но (Я). Из (5.105) и (5.106), кроме того, мы имеем
(5.107)
(5.107)
HrMV(Q)<ll“Um
"q(Q)“q(m) •
Теперь мы перейдем ко второй части доказательства. Пусть и — произвольный элемент из Нх0^\ По определению пространства ^(й) мы можем гарантировать существование последовательности {um} элементов из 55 (й) таких, что ит-*и в //д(Й). Из сходимости и1Г-*-и в //q(й) и первой части доказательства имеем .
Эс > 0 V/n е N || Т («J II 1 < II ^ II , < с, (5.108)
поэтому из последовательности {7 (um)} мы можем извлечь подпоследовательность, слабо сходящуюся в Нх0 (й); пусть {7 (um,)} есть эта подпоследовательность и и = lim* Т (ит1) — ее слабый предел. С другой стороны, из | Т (ит) — Т (и) | ^ | ит — и | мы имеем сходимость Т (.и™) ->Т(и в L2 (Й), и, следовательно (согласно единственности слабого предела), у = Т (и); таким образом, 7(u) £ Но (й). Мы можем легко увидеть также, что вся последовательность {7 (ит)} сходится к 7 (и), и поэтому имеем
II 7(«) ||„1а| = || lim* Т М < lim' || Т М1^, <
=<5109>
что и дает неравенство, которое мы хотели доказать. Заметим, что если мы знаем, что ЦТ(и)Ц i = ||и|| 1 (как для сжатия М), то
Hg(Q)Hq(Q)
гарантирует сильную сходимость (7(um)} к 7 (и) в //о(Й). □ В последней части приведенного доказательства мы между прочим доказали для Ну (й) свойство, которое справедливо в любом пространстве Дирихле: если {ит} — последовательность - элементов пространства Дирихле Н, которая сильно сходится к и в Н, и если 7 — нормальное сжатие С, то (7 (um)} слабо сходится к 7 (и) в Н; сходимость будет сильной, если || 7 (и) || = || и |[« (на самом деле этот результат справедлив независимо от последнего предположения — см. [115]).
Среди других свойств пространств Дирихле (и поэтому, в частности, пространств Нх0 (й) и Н1 (й)) мы упомянем следующий.
Теорема 5.24. Пусть Н — пространство Дирихле, которое как множество содержится в <F (Л); тогда;
Если и^Н ограничена константой с (т. е. Vx^A |и(х)| ^ ^с^, то и2£Н и
|| и2 ||н ^ 2d || и ||н, d — max^c, 1/2}.(5.110)
Если и и и ограничены соответственно постоянными с' и с", то uv^H и
||ии||н ^d'(||u||H + ||о||н), d’ = max {с' + с”, 1}. (5.111)
Если и, у^Н — вещественные функции, то (см. определения (5.115) и (5.116)) inf (u, v)£H, sup (и, v)£H и
II inf (и, у) |||, + II sup (и, v) HI, < II и III, + || и III,.(5.112)
Доказательство. Чтобы доказать (I), нам необходимо показать, что и2 есть нормальное сжатие функции 2du, поскольку
| и2 (х) — и2 (у) I = | и (х) + и (у) 11 и (х) — и (у) К 2d | и (х) — и (у) |.
(5.113)
Для (II) достаточно записать произведение ии в виде
ии = -1 [(и + у)2— (и — и)2](5.114)
и воспользоваться результатом (I). Наконец, для (III) вспомним, что inf (и, и) = -^ (и + у)—^и— у |,(5.115)
sup (и, у) = ^-(и + у) + -^(и — у |,(5.116)
и что для сжатия |• |, как и для любого сжатия, || | и |||д ^|| и\\н. □
Если и Е Но((а, Ь)), то мы можем увидеть, что | и |' (х) = и' (х) X X sgn и (х), т. е. в [а, 6] (вещественная функция вещественной переменной sgn определяется следующим образом: sgn х = 1, если х > 0, sgn х = —1, если х < 0 и sgn 0 = 0). Тогда естественно возникает вопрос: существует ли аналогичный результат в случае нескольких переменных и, в общем случае, есть ли он для других нормальных сжатий функции и? Ответ дает следующая теорема.
Теорема 5.25. Если и£ Но (О) и Т — нормальное сжатие С такое, что Т' имеет конечное число точек разрывов, то почти всюду в смысле пространства 2>' (Q)
д2М = ^-ТЧи\ t = Iп. (5.117) дх, дх, ' '''
Доказательство теоремы можно найти, например, в [686, с. 15, 321]).
Глава 6. ПРИМЕРЫ ОДНОМЕРНЫХ
ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
Задача о препятствии. Общие замечания
о гладкости решений
Вариационная формулировка задачи о препятствии. Пространства Соболева, введенные в гл. 5, удобны для формулировки большого числа задач. В качестве первого примера снова рассмотрим задачу, введенную в разделе 1.1, о струне, натянутой под препятствием.
Формулировка задачи 1.0 через уравнения (1.1), (1.2), (1.3) и (1.4) или (1.5) показывает, что это задача второго порядка, поскольку в уравнениях появляется вторая производная от неизвестной функ-' ции.
Предыдущая формулировка задачи является одной из простейших возможных формулировок, но не единственной. Так, физик, возможно, отдал бы большее предпочтение формулировке задачи о препятствии в следующих терминах: «конфигурация, которую принимает струна, такова, что она минимизирует энергию системы». Мы увидим, что эти две формулировки эквивалентны, и вторую из них можно записать математически, если использовать только первые производные. Кроме того, вторая формулировка будет формулировкой вариационного типа.
О системе струна — препятствие, когда учитывается лишь энергия упругой деформации (струна предполагается невесомой и однородной), мы скажем, используя принцип минимума энергии: из всех конфигураций, которые возможны при наложенных на струну ограничениях, конфигурация и, которую принимает струна, такова, что она минимизирует энергию упругой деформации
Е^ = + j(v'(x))‘dx.(6.1)
о
С учетом сказанного переформулируем задачу 1.0.
Задача 1.0*. Найти функцию и £ К такую, что
Е(м)^Е(о) Vv^K,(6.2)
где К = {и : о (0) = о (/) = 0 и и ^ ф) — множество возможных конфигураций.
Задача 1.0* поставлена не полностью, потому что не уточнена гладкость функций и и ф и, в частности, К, по существу, определено не полностью. Мы постараемся дополнить задачу так, чтобы она стала корректно поставленной.
Отметим, что в этой главе, за исключением случаев, когда оговаривается обратное, рассматриваются только вещественные пространства, и потому, в частности, мы можем говорить, что какая-то функция, например, меньше или равна другой.
Выражение (6.1) приводит нас к требованию, что функция о имеет квадратично суммируемую первую производную на [0, Л, так что интеграл в правой части (6.1) имеет смысл. Естественно поэтому потребовать, чтобы и £ Я1 ((0, /)); в нашем частном случае мы можем даже рассмотреть пространство Но ((0, Z)), что мы и сделаем позднее (но если одна из точек Pv Рг или обе одновременно не лежат на оси х, то формулировку необходимо рассматривать в пространстве Н1 ((0, /))).
Относительно функции ф предположим, что она просто непрерывна на (0, Л, поскольку этого достаточно для того, чтобы
112
определить К полностью:
К = {v€н1 ((0, /)) 1 о(0) = и(Z) = 0; у (х)< гр(х) Vx€(0, Z)} =
= (v € Я^ ((0, /)): у (х) < гр (х) Ух € (0, /)}.(6.3)
Такое определение множества К имеет смысл, поскольку и непрерывна на [0, /], точнее, она абсолютно непрерывна. Легко видеть, что К — замкнутое выпуклое множество, возможно, пустое.
Рис. 6.2Рис. 6.2
Рис. 6.2
Рис. 6.2
9 ”4=)Рис. 6.39 ”4=)Рис. 6.3На рисунках 6.1 и 6.2 представлены две ситуации, в которых К = = 0; в обоих случаях у ^ гр => у ^ Я^((0, Z)) (заметим, что гр (х) = = — (xZ — х2)'/2 £ Я1 ((0, Z)), и из ТОГО, ЧТО У € Яо ((0, + оо)) тогда и только тогда, когда и^Н1 ((0,+оо)) и х-1у (х) £ L2 ((0, +°о)) (см., например, [49]), следует более общее свойство: если у (х) ^ гр (х), то у $ Яо ((0, Z))). Чтобы избежать случая, когда К пусто и задача, тем самым, теряет смысл, наложим на гр дальнейшие огра
9 ”4=)
Рис. 6.3
9 ”4=)
Рис. 6.3
ничения. А именно, потребуем, чтобы гр удовлетворяла, по крайней мере, одному из следующих условий:
(гр1)гр £ С° ((0, /)), гр (0+) > 0 и гр (Г) > О,
(гр2)гр 6 Я1 ((0, /)), гр (0) > 0 и гр (Z) > 0
(если одна из точек Рх или Р^ не лежит на оси абсцисс, то мы должны наложить условия типа «гр (0+) больше ординаты точки Рх» и т.п.).
Легко видеть, что при этих условиях К не пусто: если гр удовлетворяет (гр1), то функция, приведенная на рис. 6.3, является одним из элементов множества К (условие (гр1) влечет существование 6 > 0); а если гр удовлетворяет (гр2), то функция у = —[гр]- принадлежит К (см. теорему 5.23).
Теперь формулировка задачи 1.0* о препятствии полностью завершена.
1131138 К. Байокки, А. Капело
113
113
Задача 6.1. Найти функцию и^ К такую, что
Е (и) ^ Е ip) Vu^K,(6.4)
где Е определяется формулой (6.1), К — формулой (6.3), а ф удовлетворяет (ф1) или (ф2).
Записывая функционал Е в виде
Е (у) = у а (у, у),(6.5)
где а (и, v): Hq ((0, /)) х //^ ((0, /)) -> R — симметричная, коэрцитивная и непрерывная (на Hq ((О, I)) и, следовательно, в частности, на К— ■— К с Нх0 ((0, /))) билинейная форма, определенная равенством
а (и, у) = § и' (x)v'(x)dx(6.6)
о
(здесь следует вспомнить теорему 5.13, которая утверждает, ч о а (и, у) является скалярным произведением в Но ((0, /))), замечаем, что выполняются условия теоремы 2.2. Из этой теоремы следует, что решение задачи 6.1 существует, и оно единственно.
Из теоремы 2.3 мы можем заключить, что задача 6.1 эквивалентна следующей вариационной задаче.
Задача 6.2. Найти функцию u Е К такую, что
§ и' (х)(ил (х) — у' (х)) dx ^ 0 Vv^K,(6.7)
о
где (6.7) — неравенство Эйлера, соответствующее проблеме минимума 6.1.
Интерпретация вариационной задачи как краевой задачи. Покажем теперь, что постановка задачи 6.2 эквивалентна постановке задачи 1.0, уточненной надлежащим образом. Сначала мы покажем, что решение задачи 6.2 является решением «хорошего расширения задачи 1.0» (оно будет задачей 6.3). Рассуждения приблизительно следующие: мы начинаем с задачи 6.2 и рассмотрим различные способы интерпретации (1.1). (1.2), (1.3), (1.4) и (1.5), учитывая, что мы ищем функцию и в Нх ((0, /)) и что ф лежит в (ф Е С° ((0, /)) : : (ф1)} или в {ф Е Н1 ((0, /)) : (ф2)} (на самом деле уравнение (1.5) не будет рассматриваться, поскольку оно следует из других).
Из и Е К следует, что.
м(0) = «(/)= 0 в смысле С°([0, Л),(1.1)*
“(^^Ф^)в смысле С°((0,/)).(1.2)*
Кроме того, если и £ Н1 ((0, /)), то ы'ЕТ2((0,/)) и при L2((0,/))с с:5)'((0,/)) имеет смысл рассмотреть и" = Du £ $ ((0, /)). Теперь мы покажем, что если и — решение задачи 6.2, то
и" >0 в смысле 5)'((0,/)),(1-3)*
т. е.
S'((O,Z))<«>>^((o,Z))>O V<p Е ^+«0,/)).(6.8)
Пусть ф ^ 5)+ ((0, /)); рассмотрим иф = м — ф. Легко видеть, что, какое бы ни было ф€ 5)+((0,/)), и^К, и, следовательно, из (6.7) получаем
^ и'(х) <р'(х) dx ^ О Уф € 5)+ ((0, /)).(6.9)
о
Теперь из определения производной в #' ((0, /)) имеем
i
^ и (х) ф (х) dx —@'((о,о) ^и ’ Ф^до./)) =®'((0,о) ^и ’ Ф^до,/»’
о
(6.10)
и, таким образом, (1.3)* имеет место.
Рассмотрим соотношение (1.4). Для этого разобьем интервал (0, /) на два множества, в которых (непрерывная) функция и —ф либо отрицательна, либо обращается в нуль, т. е. положим (0, /) = = /- U /°, где 1~ = (х € (0, Z) : и (х) < ф (х)} и /° = {х £ (0, /) : : и (х) = ф (х)} (последнее множество по очевидным причинам называют множеством соприкосновения или контактным множеством). При условии, что и и ф непрерывны, /~ должно быть открытым множеством, тем самым имеет смысл рассматривать пространство 2' U-Y Обозначая через и" сужение, обобщенной функции и” € ^'((0, /)) на I- (см. (1.3)*), запишем:
п<ф=>м" = 0 в смысле <2)'(Г~).(1-4)*
Докажем теперь (1.4)*, т. е. покаж м, что
®ч,-^", ф)^^, = оУф € 2 (П-(6.11)
Легко видеть, что если ф £ 2 (J~Y то существует число Хф £ R+\ \{0) такое, что при | X | ^ Хф имеем и + Хф^ ф на (0, /) (здесь Ф означает тривиальное продолжение ф на (0, /)) и, следовательно, и = и -р Хф € К. Для этого достаточно заметить, что min (ф — supp ф
— и) = т > 0 (т существует, потому что функция ф — и непрерывна на носителе supp ф, являющемся компактом; более того, /п>0, поскольку suppфс:/-; тогда, чтобы выполнялось неравенство ф — м^Хф, можно взять Хф = m/max| ф|. Вводя функцию
I—
и = u-Y Хф, в (6.7) получаем
i
^и'(х)(—Хф' (x))dx^0 VX^R, |Х|^ХФ,(6.12)
о или
— X и'(х)ср'(x)dx^0 yX^R, |Х|<$ХФ.(6.13)
о
Поскольку Л может быть как положительным, так и отрицательным, Ф произвольно, то из (6.13) следует (6.11).
Таким образом, мы пришли к заключению, что если и — решение. задачи 6.2, то и является решением следующей задачи.
Задача 6.3. Дана функция ф в {ф €С° ((0,/)): (ф1)} или в (ф £ Н1 ((0, /)): (ф2)}. Найти функцию и^н\ ^ДУ удовлетворяющую (1.1)* —(1.4)*.
Эквивалентность двух постановок задачи о препятствии. Покажем теперь, что задача 6.3 корректно поставлена и, следовательно, является хорошим расширением задачи 1.0. Для этого нам необходимо доказать, что если и — решение задачи 6.3, то и является и решением задачи 6.2, поскольку это показывает, что и — единственно. Существование решения гарантируется приведенными выше рассуждениями, а непрерывная зависимость от ф сразу следует из справедливости этого факта для задачи 6.2.
Чтобы показать 6.3 => 6.2, мы предположим, что и" € L1 ((0, Z)) и будем считать соотношения (1.3)* и (1.4)* справедливыми почти всюду, а не в смысле обобщенных функций (позднее мы вернемся к этому предположению относительно и"У Из уравнений (1.1)* и (1.2)* следует, что и^К, поэтому нам остается только доказать, что
i
и'(х)(и'(х)— u'(x))dx^0 Vy^K-(6-14)
о
Прежде всего заметим, что рассматриваемый интеграл имеет смысл, поскольку и’, и' £L2((0, /)), откуда (м')2 6 L1 ((0,/)) и иу' = у[(м' + + и')2 — и 2— и'2] £ L1 ((0,/)). Интегрируя левую часть (6.14) по частям (это можно сделать в силу предположения и" £ L1 ((0, /))), имеем
и' (х) («' (х) — и' (х)) dx =
о
= ^—и" (х)) ки (х) — у (х)) dx + [«' (х) (и (х) — у (х))]',(6.15)
о
или, учитывая, что и, у£К и тем самым [м' (х)(м(х) — и(х))]' = 0,
^ и' (х) («' (х) — у" (х)) dx= J (— и" (х)) (и (х) — у (х)) dx = оо
= У (— и” (х)) (м (х) — у (х)) dx + у (— и" (х))(ы(х) — у (х)) dx. (6.16)i0
Используя (1.4)*, получаем
i
“' (х) («' (х) — у' (х)) dx = ^ (— и" (х)) («(х) — у (х)) dx.(6.17)
ОР
116
Рис. 6.4Рис. 6.4
Рис. 6.4
Рис. 6.4
Учитывая, что и = ^ в /°, перепишем (6.17) в виде
и* (х) («' (х) — и' (х)) dx = у (— и" (х)) (ф (х) — и (х)) dx, (6.18) о/»
откуда следует (6.14), поскольку —и" ^ 0 и ф — и ^ 0.
Таким образом, мы показали, что две задачи эквивалентны пока и" Е L1 ((0, /)). Теперь, естественно, возникает вопрос: действительно ли и” принадлежит L1 ((0, /)),
т.е. является ли свойство и"^ Е L1 ((0, /)) следствием того факта, что и— решение задачи? Ответ — отрицательный, на рис. 6.4 представлен контрпример (отметим, что и" с точностью до константы является 6-функцией Дирака, сконцентрированной в точке х = U2, и не может принадлежать Л1 ((0, /))).
Доказательство эквивалентности двух задач, следовательно, не завершено. Однако, мы не будем доказывать здесь этот результат, который справедлив независимо от предположения и"Е Л1((0, 0), поскольку мы вернемся к об-
суждению такого рода вопросов в
более широком контексте. Мы предпочитаем пока обсудить проблемы, которые поднимает сформулированный выше вопрос.
В основном, нас интересует вопрос: принадлежит ли решение задачи 6.3, которое априори следует искать в Яо((О, /)), более узкому множеству (а именно, множеству {u Е До ((0, Z)): и" € L1 ((0, /))}), т. е. обладает ли и большей гладкостью, чем это требуется для постановки задачи? Ответ оказывается отрицательным, но этот вопрос поднимает другой: какие дополнительные предположения на ф необходимо сделать, чтобы получить и" Е L1 ((0, О)? Как было показано (см., например, [606, с. 651), для этого достаточно, чтобы ф" являлась мерой Радона и ее положительная часть могла бы быть представлена функцией f Е L1 ((0, /)). Другой вопрос, который в
некотором смысле противоположен предшествующему, заключается в следующем: как изменяется гладкость и при повышении гладкости ф? Здесь мы имеем: на рис. 6.5 представлен случай, в котором ф Е С”((0, /))> а с Другой стороны u0 С2 ((0, /)) (на самом деле и" включает в себя 6-функции Дирака в точках х = //2 К 2 и х = = / (1 — 1/2 |/2)). Можно показать (см., например, [606, с. 66]), что если ф удовлетворяет (ф1) или (ф2), ф" является мерой Радона и [ф1+ £LP№, 0). Р € (Ь +оо), то решение и задачи о препятствии принадлежит пространству W2-p ((0, /)) и> следовательно, по тео-
реме 5.17 — пространству С1,1 1/р((0, /)). Очевидно, что в отдельных частных случаях гладкость и может быть более высокой — так, например, если ф (х) = х2 — /х, то ы £ С” ((0, /)).
Результаты по гладкости. Проблемы, подобные рассмотренным выше, называются проблемами гладкости. Резюмируя и обобщая изложенное, скажем следующее. Если решение и = {im}m=iм корректно поставленной задачи нужно искать в пространстве / = П^т, а исходные данные d = (dn}n=in выбирать из пространства D = = П^)п, то рассматривают, по существу, три типа результатов по
гладкости:
Определить фактическую гладкость и, т. е. найти подпространство Г пространства / такое, что для каждого d^ D решение и
принадлежит Г и, с другой стороны, Г не имеет собст-
УнУнУнУнu”(X) = 2 иЧз:)=1 (1 - 1/V2)u”(X) = 2 иЧз:)=1 (1 - 1/V2)ООu"(x) = 0 X а"(х’) = 0 l/2.V^^Xv 2 ?(1 -1/2V2 ) I \,и.'(х )=2х-1и,(х) = К1/уг-^)u"(x) = 0 X а"(х’) = 0 l/2.V^^Xv 2 ?(1 -1/2V2 ) I \,и.'(х )=2х-1и,(х) = К1/уг-^)Рис. 6.5Рис. 6.5венного подпространства с таким свойством.
Ун
Ун
Ун
Ун
u”(X) = 2
иЧз:)=1 (1 - 1/V2)
u”(X) = 2
иЧз:)=1 (1 - 1/V2)
О
О
u"(x) = 0 X а"(х’) = 0 l/2.V^^Xv 2 ?(1 -1/2V2 ) I \,и.'(х )=2х-1
и,(х) = К1/уг-^)
u"(x) = 0 X а"(х’) = 0 l/2.V^^Xv 2 ?(1 -1/2V2 ) I \,и.'(х )=2х-1
и,(х) = К1/уг-^)
Рис. 6.5
Рис. 6.5
При заданном подпространстве Г пространства / найти подпространство D' пространства D такое, что если d^D', то и Е /', и, кроме того, D' не имеет надпространства с таким свойством.
При заданном подпространстве D' пространства D найти подпространство Г пространства / такое, что если d Е D', то «Е 7', и, кроме того, /' не имеет собственного подпространства с таким свой
ством.
Относительно первого типа результатов следует сделать несколько замечаний. Предположим, что задача Р корректно поставлена по отношению к паре пространств (/, D), и мы доказали, что ее решение и (d) при d из D принадлежит подпространству /' пространства /. Это означает, что задача Р корректно поставлена по отношению к (/', D). Почему же тогда мы не сформулировали эту задачу в (/', D) с самого начала? По существу здесь может быть две причины: либо доказательство того факта, что задача Р корректно поставлена, в (/', D) гораздо труднее, чем в (/, D), либо формулировка задачи в (/, D) более «естественна», чем в (/', D\ Конечно, термин «естественный» не является вполне определенным; мы видели, что пространства, пригодные для надлежащей формулировки задачи 1.0*, естественным образом выбираются из условия, чтобы имел смысл функционал Е (и) (возникновение его само по себе не совсем ясно...). Эти пространства позволяют дать надлежащую формули-
ровку задачи 1.0, но не очевидно, что они являются «естественными» пространствами... '
Отметим еще один момент, также относящийся к результатам первого типа. Определение /' в общем случае является чрезвычайно сложной задачей, и часто приходится ограничиваться подпространством, которое не удовлетворяет второму условию, т. е. не является минимальным. Аналогичная ситуация возникает и в случаях 2) и 3). Когда же стоит конкретная задача, в которой исходные данные d фиксированы, бывает интересно определить гладкость решения и этой частной задачи соответствующего d.
Выбор пространств для постановки задачи является одним из наиболее важных и трудных этапов ее рассмотрения. По существу, для общности пространства исходных данных должны быть как можно более широкими. Что касается пространств неизвестных, то, грубо говоря, они должны быть, с одной стороны, достаточно широкими, чтобы можно было доказать теоремы существования, а с другой,— достаточно узкими, чтобы можно было доказать теоремы единственности. Наконец, те и другие пространства должны быть подходящими для задачи в том смысле, чтобы можно было получать результаты, связанные с гладкостью решений.
Задача о мембране. Обобщение задачи о струне и препятствии на двумерный случай состоит в следующем: отыскать форму, которую принимает упругая мембрана, натянутая под трехмерным препятствием (для более общего n-мерного случая см. [240, 524, 606, 611], а также раздел 7.3 настоящей книги).
С этой задачей тесно связана так называемая задача Плато с препятствием, которая состоит в отыскании поверхностей с наименьшей площадью, опирающихся на препятствие (см., например, [433, 621], а в классической трактовке — [641]). В одномерном случае задача о препятствии и задача Плато с препятствием (которая в этом случае и является задачей о минимальной длине) имеют одно и то же решение, однако в общем случае это не так.
Некоторые утверждения для линейных задач второго порядка ■
На примере простого частного случая — одномерного, мы начинаем исследование некоторых проблем, которые затем рассмотрим с более общих позиций. С помощью нескольких примеров мы поясним смысл результатов по гладкости, рассмотренных нами в конце раздела 6.1.
Краевая задача. Начнем со следующей задачи.
Задача 6.4. Найти функцию и такую, что
— u"^=f^ в [0,/]; u(Z) = u(0)=0. (6.19)
Мы рассматриваем уравнение —и" = /, а не и" = f только в целях согласованности с последующим изложением (см. задачу 6.6). Задача 6.4 поставлена не полностью, поскольку не указана глад-
кость функций и и f. Однако мы попытаемся решить ее формально, а затем обратимся к выбору «естественных» пространств для надлежащей формулировки задачи. Формально интегрируя уравнение .
—и" (х) = / (х), получим выражение
Оно имеет смысл, если f £ L1 ((0, /))• При этом условии из (6.20) следует, что и £ С1 ((0, /)). Таким образом, полагая в (6.20)
1 z 6a=j^d^f^d9, 0 = 0,1 z 6a=j^d^f^d9, 0 = 0,(6.21)(6.21)о оо о
1 z 6
a=j^d^f^d9, 0 = 0,
1 z 6
a=j^d^f^d9, 0 = 0,
(6.21)
(6.21)
о о
о о
мы можем утверждать, что равенство
является решением следующей задачи.
Задача 6.5. При заданной функции / 6 ^((О, /)) найти функцию и £ С1 ([0, Л) такую, что и' С АС ([0, Л) и
ы"(х)=/(х) п. в. в (0, Q; и (I) = и (0) = 0.(6.23)
(Заметим, что если и 6 Сг([0, Л) и к' 5 АС ([0, Л), то и" существует почти всюду в [0, Л...).
Эта задача, как легко видеть, имеет единственное решение, которое непрерывно зависит от /. Таким образом, задача 6.5 корректно поставлена.
Есть аналогия между сформулированным результатом о существовании решения и результатом Каратеодори для задачи Коши (см., например, [656, с. 141): в обоих случаях налицо обобщение понятия решения. Как в первом, так и во втором случаях классические результаты по гладкости решения являются только результатами типа 3). Так, в нашем случае, если принять, что / удовлетворяет (классическому) предположению / £ С° ([0, Л), то из (6.22) следует: существует функция и £ С2 ([0, Л) такая, что —и" (х) = f (х) в [0, Л и и (0) = и (Z) = 0. Это — классический результат. Вообще, можно утверждать, что если f £ Ск ([0, Л), то
иЕС1^ ([0, Л).
Следует отметить существенное различие между этим результатом о гладкости и аналогичным результатом для задачи о препятствии — это различие в свойствах гладкости решения при повышении гладкости исходных данных. Оно является, по существу, следствием того факта, что задача 6.5 является линейной, задача же о препятствии нелинейна. Вообще, грубо говоря, в большинстве случаев гладкость решения линейных задач повышается вместе с повышением гладкости исходных данных, а в нелинейных задачах
часто возникает порог гладкости, который решение не может превзойти, как бы ни росла гладкость исходных данных. Позже мы убедимся в этом на других примерах.
Вариационная формулировка краевой задачи. Чтобы рассмотреть проблемы, более близкие тем, которые встретятся в последующих пунктах, доопределим задачу 6.4 другим способом. Умножая обе части уравнения —и" = f на произвольную функцию и (х), обращающуюся в нуль в точках х = 0 и х = I, и интегрируя формально полученное равенство от 0 до I, имеем:
ii
^ и" (х) у (х) dx = у / (х) и (х) dx.(6.24)
оо
Интегрируя по частям (опять формально) левую часть (6.24) и учитывая о (0) = и (/) = 0, получаем выражение
ii
^ и' (х) o' (х) dx = j / (х) о (х) dx.(6.25)
оо
Чтобы это выражение имело смысл, достаточно выполнения условий и £ Hq ((0, /)), и^Но^О, /)) и /££2((0,/))• Это приводит нас к следующей задаче.
Задача 6.6. При заданной функции f££2((0, /)) найти функцию и £ Hq ((0, /)) такую, что
ii’
У и' (х) и' (х) dx = ^ /(х)и (x)dx Vo £ Но ((0,1))-(6.26)
о6
(Знак «минус», в (6.9) был выбран для того, чтобы устранить его в вариационной формулировке, такой как, например, (6.26). Это довольно удобно, поскольку мы имеем дело по существу с выражениями именно такого вида, а не с самими дифференциальными уравнениями.)
Задача 6.6 является вариационной задачей, которая, как легко видеть из леммы Лакса — Мильграма, корректно поставлена. В самом деле, в левой части (6.26) стоит скалярное произведение и на у в Но ((0, 0) (см. теорему 5.13), а в правой части значение непрерывного линейного функционала в Но ((0, 0), определенного функцией /, на и (см. теорему 5.14). Теперь зададимся вопросом: какая связь между задачами 6.6 и 6.4? Ответ вытекает из того факта (см. теорему 6.1), что задача 6.6эквивалентна следующей.
Задача 6.7. При заданной функции f££2((0, /)) найти функцию Яц ((0,Z)) такую, что
— и" = f в смысле .0'((0,/)).(6-27)
Эта краевая задача, очевидно, является уточнением задачи 6.4. Кроме того, задачу 6.7 интерпретировать, несомненно, гораздо легче, нежели задачу 6.5. В таком случае естественно возникает во-
прос: почему мы «усложнили проблему», рассмотрев вариационную формулировку и оставив, тем самым, краевые задачи?
Сейчас, за исключением простых частных случаев, таких как задачи 6.5 и 6.7, мы не можем в общем случае доказывать непосредственно, что какая-либо задача корректно поставлена. Поэтому для заданной краевой задачи ^£6 мы систематически будем пытаться построить эквивалентную ей вариационную задачу ^V (что не всегда возможно) и применить для последней теорию, развитую в гл. 3 и, в частности, сильные результаты Лионса — Стампаккьи и Лакса — Мильграма. Однако, как мы увидим далее, ^^-формулировка задачи часто более удобна для доказательства результатов о гладкости решения, чем ^У-формулировка. Поэтому задаче, поставленной в вариационной форме), мы будем стараться построить эквивалентную ей краевую задачу, которая называется интерпретацией вариационной задачи как краевой задачи.
Вариационная постановка задачи. Задачи 6.5 и 6.7 — это два разных способа доопределения задачи 6.4. Точнее, задача 6.7 не только отличается от задачи 6.5, но она «хуже» ее в том смысле, что в задаче 6.7 требуется большая гладкость от исходных данных (/ Е € L2 ((0, /)), а не f Е L1 ((0, /))) и меньше информации содержится о гладкости неизвестной функции (u Е На ((0, /)), а не и Е С1 ((0, /))). Может возникнуть мнение, что вариационная техника приводит к более «скудным» формулировкам, но это не так. На поверку второй недостаток (то, что решение менее гладко) является скорее кажущимся, чем есть на самом деле: если и — решение задачи 6.7, то из (6.27) сразу следует, что и Е Н2 ((0, /)) (это результат о гладкости типа 1)!). Что касается первого недостатка (исходные данные менее общие), то мы можем «обогатить» формулировку задачи 6.6, используя следующую задачу.
Задача 6.8. При заданной функции /£Н~1 ((0, /)) найти функцию и Е Н\ ((0, /)) такую, что
(и, и) 1= _,</,У) 1 Vu Е 7/п ((0,/)).(6.28)
н^о.т на «о-ПГ hq((o.o) 0 vv ’
Это — вариационная задача, которая по-прежнему корректно поставлена и, как мы покажем далее, эквивалентна следующей задаче.
Задача 6.9. При заданной функции f Е Н~х ((0, /)) найти функцию и Е На ((О, Z)) такую, что
— и" = f в смысле JZ)' ((0, /)).(6.29)
В конечном счете, задача 6.9 — это краевая задача, которая «скудна» не более, чем задача 6.5, но отличается от нее.
Теорема 6.1. Задачи 6.8 и 6.9 эквивалентны, т. е. функция и является решением задачи 6.8 тогда и только тогда, когда и является решением задачи 6.9.
Доказательство. Докажем сначала, что решение задачи 6.8 является решением задачи 6.9. Если и — решение задачи 6.8, то имеет место (6.28) и, следовательно, при 2 ((0, /)) с: Д' ((О, /)) и Н-х ((0, /)) с: 2' ((0, /)), в частности, имеем
i■
JuWWx-^ф y>s«o,z)) Vy^S ((0, /)).(6.30)
. о
Вспоминая определение производной в ^)'((0,/)), запишем (6.30) в виде
S'((0,Z)/U ’ y^((0,Z)) = ^'((OJ)//’У^((0,С)) ^иЕ2№Л)У (6.31)
что совпадает с (6.29). Это означает, что и является решением задачи 6.9.
Теперь докажем, что решение задачи 6.9 является решением задачи 6.8. Если и — решение задачи 6.9, то справедливо (6.31); учитывая, что и£До((0,/)), имеем (6.30). Теперь, если су— любой элемент из Hq ((0, /)), a wm—последовательность элементов из 2 ((0, /)), сходящаяся к су в Дц ((0, /)), то мы можем записать
z
f и* U\ СУ' (X^dx =,хх = -1 wJ) 1 Vm ^N.
J v ' m ' '№ЧГ' m WO.O) HQ ((0,Z))V HqW.Z))
°(6.32)
Таким образом, поскольку, с одной стороны, / является непрерывным линейным функционалом на До ((0, /)), а с другой
z
С и' (х) w' (х) dx = (и,1-> (и, су) 1,
J н ™1 7' ’ т'нода,т v 'н0«М)
получаем.
z
( и’ ^ w (х) dx =1(j, СУ) 1,(6.33)
что совпадает с (6.28). Это означает, что и — решение задачи 6.8. □
Как следствие, из этой теоремы немедленно вытекает, что задачи 6.6 и 6.7 также эквивалентны. Отметим следующее. Тот факт, что задача 6.7 (или 6.6) корректно поставлена и имеет место результат по гладкости типа 1) (это гарантирует нам, что решение принадлежит С1 ([0, /])), является сам по себе результатом по гладкости типа 3) для задачи 6.9 (или 6.7). Кроме того, с учетом замечаний, приведенных в разделе 6.1 после введения различных типов результатов
по гладкости, можно переформулировать задачу 6.7 на паре пространств (Л2 ((0, /)), С1 ([0, /1)), а не на паре (Л2 ((0, /)), Но ((0, /))). Этот вариант, однако, не вполне пригоден, поскольку с одной стороны, С1 ([0, /1) не является гильбертовым пространством, а с другой стороны, мы уже не имеем задачи, которую автоматически можно было бы сформулировать в вариационной форме.
Операторы более общего вида. Оператор — d2/dx2, который мы рассматривали в предыдущих примерах, является простейшим дифференциальным оператором второго порядка. В следующих разделах мы будем исследовать задачи в n-мерном случае, связанные с операторами более общего вида. Такой оператор для п = 1 можно определить формулой
^□^-4[aW^ П| + b^i O-V-^VcWA+d^Q, (6.34)
(здесь выражение типа — (d2/dx2) □ означает, что мы обращаемся к самому оператору — (tP/dx^), а не к результату его действия), где коэффициенты а, Ь, с и d берутся из подходящих функциональных пространств. Если эти коэффициенты достаточно гладкие, то можно записать оператор L в эквивалентной форме:
' ^D = —а(х)-^ D + &(х)-^ D + с(х) D, (6.35) где
b (х) = — da ^Idx + b (х) + с (х)(6.36)
и
с (х) = dc^tdx + d^x\(6.37)
Однако в общем случае операторы L и L различны, хотя каж* дый их них не является более общим, чем другой. Здесь мы будем использовать оператор L, поскольку его структура, называемая дивергентной структурой, наиболее удобна для применения формулы интегрирования по частям (или формул Грина в п-мерном случае), которая является основным аппаратом при вариационном исследовании дифференциальных задач.
Задачи на собственные значения. В заключение на простом примере продемонстрируем трудности, с которыми приходится сталкиваться в процессе исследований. Рассмотрим оператор
=xeR,(6.38)
dx2
— простой частный случай оператора L (или L) — и связанную с ним следующую краевую задачу.
Задача 6.10. Найти функцию и 6 Но ((0, /)) такую, что
Lxu = — и" (х) + Хи (х) = 0 в (0, /).(6.39)
Простые вычисления показывают, что если X имеет вид
X[ft] = — (to//)2, А = 1,2 (6.40)
то функция
«[»](*)= sin-у-х, ^=1,2,...,(6.41)
является решением задачи 6.10. Это означает, что задача не является корректно поставленной, поскольку (для любого X £ R) функция и (х) = 0 также является решением.
В связи с этим обстоятельством наряду с задачами типа 6.10 естественно рассматривать такие задачи как следующая.
Задача 6.11. Найти множество о (cP/dx2) действительных чисел X, для которых задача 6.10 не является корректно поставленной .
Задачи такого вида называются спектральными задачами или задачами на собственные значения, поскольку множество о ((P/dx2) называется точечным спектром оператора (P/dx2, а его элементы, определенные формулой (6.40) числа Хщ, называются собственными значениями задачи 6.10. Аналогично, решения и^ (х), определенные формулой (6.41), называются собственными функциями задачи 6.10.
Исследование проблем типа 6.11 лежит в области спектральной теории — одного из наиболее развитых разделов функционального анализа (см., например, [35, 37, 660, 723, 7, 382]), к которому мы вернемся, хотя и очень кратко, в следующей главе.
В заключение воспользуемся возможностью, представленной сформулированой выше задачей, которая дает типичный пример применения спектральной теории. Так, квадратные корни из собственных значений Х[^] задачи 6.10 определяют частоты (или моды) собственных колебаний струны длины / с закрепленными концами, а собственные функции и^ (х) представляют собой форму, которую принимает струна, если она колеблется с собственной частотой, соответствующей X^j. Отметим, что уравнение — и"(х) + Хи(х) = = 0 получено из уравнения колебания струны методом разделения переменных — см., например, [663, с. 34, 43]. Подобный анализ движения колеблющейся мембраны — естественное обобщение предыдущей задачи на двумерный случай — можно найти, например, в [33].
Глава 7. ПРИМЕРЫ МНОГОМЕРНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
Общие замечания о дифференциальных операторах
Мы интересуемся только линейными эллиптическими операторами второго порядка, однако будет полезно сделать несколько замечаний о дифференциальных операторах вообще, с тем чтобы иметь надлежащую основу для наших исследований.
Дифференциальные операторы: квазилинейные, полулинейные и линейные. Что мы подразумеваем под дифференциальным оператором? Не исчерпывающий, но достаточный для наших целей ответ заключается в следующем. Пусть й — произвольное открытое множество из R", т — положительное целое число, а Ф — действительная функция, определенная на цилиндре
QxflRl,r. [f]= = card (а € N”: | а | = t}.
i=0
Тождество
.99дтУ1 \ „ ..
Ли = Ф х,,... , хп, и, -5—и,...,-з—и,...,—— и,...,—— и (7.1) 1 п 9хг ’’ dxTiдхт дхт у V /
определяет Л — дифференциальный оператор порядка т на Й, всякий раз, когда правая часть (7.1) имеет смысл. (Отметим, что определение Л не полно без информации о его области определения — множества функций и, на которые оператор может действовать. Здесь мы просто предполагаем, что функции и принадлежат соответствующему функциональному пространству U (й), и вернемся к этому вопросу позднее). Впредь мы всегда будем рассматривать случай т = 2 и, следовательно, операторы, определенные тождествами вида
Ли = ф IX,, ... Хп,и, -Чи, ... , -5— и,и, ... ,5- и].(7.2)
1дх, 9х дх?дх2 I
Оператор Л называется квазилинейным, полулинейным или линейным, если функция Ф такова, что (7.2) можно записать в виде п
Л.и= } Фа (Xi,... ,хп.м,—м,...,-т—ы к-д—и +
I 1’' дхг дхп ] дх.дх. 1
С/=1
+ ф (хР..., хп, и, и,uj,(7.3)
п
ки^ ф„(хР ,.,xn)^-u +
+ ф(^1xrv'u>~b^u"9Гиу vA> или п
Аи= ^ фгу(хр...,хп)д-^-и +
п
+ 5 Ф< (^1> - , -tn) а^- “ + Ф (-4^п) “(7.5)
1=1■
соответственно.
В последнем случае, если к тому же функции cp^, фг и ср являются константами, говорят, что Л — линейный дифференциальный оператор второго порядка с постоянными коэффициентами. Естественно, что для этих операторов известно наибольшее количество результатов (см. [711] или, в более общем рассмотрении, [61]).
Дифференциальные уравнения: квазилинейные, полулинейные и линейные. Дифференциальное уравнение в Q (дифференциальное уравнение в частных производных, если п"> 1, и обыкновенное дифференциальное уравнение, если п = 1) есть выражение вида
Ди = /, (7.6)
где Л — дифференциальный оператор, и — неизвестная функция, f — исходные данные (ни/ лежат в соответствующих функциональных пространствах на Q). Это равенство интерпретируется следующим образом (что тесно связано, кроме того, с упомянутыми пространствами): если функция и такова, что Ли = /, то и называется решением уравнения (7.6). Уравнение называется квазилинейным, полулинейным или линейным в зависимости от вида Л.
Фундаментальные решения. В общем случае к дифференциальному уравнению присоединяют дополнительные условия, которым должно удовлетворять решение. Однако может быть полезным исследование некоторых дифференциальных уравнений независимо от других условий. В этой связи интересен следующий результат (см., например, [86]).
Теорема 7.1. Для любого линейного дифференциального оператора Л с постоянными коэффициентами существует по крайней мере одна обобщенная функция и^ Ф' (Rn), являющаяся решением уравнения
Ли = 60 в смысле Ф' (R"). (7.7)
Обобщенная функция и называется фундаментальным решением оператора Л. Понятие фундаментального решения оператора тесно связано с понятием функции Грина, соответствующей оператору. Это понятие широко изучалось в классических трудах по дифференциальным уравнениям в частных производных (см., например, [43]). Например, обобщенная функция
(7.8).(7.8).”- ^ (xf т ... +^)' "/2, если п>2, (2 —п)2л"/21
(7.8).
(7.8).
-g^- log(xi + Хг)1/2»если п = 2,
[х]+,если п = 1,
где Г — гамма-функция, является фундаментальным решением в R" оператора Лапласа
п
<7-9>
Классификация дифференциальных сператсрсв второго порядка. Мы приведем здесь классификацию линейных дифференциальных операторов второго порядка, которая легко может быть применена и для квазилинейных и полулинейных операторов второго порядка. Кроме того, существуют классификации, которые распространяются и на операторы более высоких порядков.
Классификация основана на том факте (который мы проверим позднее для эллиптических операторов), что свойства линейных дифференциальных операторов существенно зависят от той части, которая содержит производные высших порядков. Оператор
РЛП^ 2 ^Дх,(7.10)
мы будем называть главной частью оператора Л, определенного равенством (7.5).
С другой стороны, очевидно, что свойства оператора РЛ зависят только от функций Фу(*1,.... хп) в каждой точке Q. В таком случае нам необходима классификация локального характера. Пусть тогда Х? = (Х°х^ — какая-либо точка из Q, рассмотрим оператор
-Л,П-2ф„И(7.11)
<7-1‘ 1
Легко видеть, что формула
p^W = Qx<l^e^,(7.12)
где £ = (^£п) 6 Rn, ДЛ') = ^ x^t, a Qx« — квадратичная форма
i=i
QH£)^ ^Wti^v-^Uh(7.13)
устанавливает изоморфизм между множеством операторов (7.11) и множеством форм (7.13). Таким образом, проблему классификации дифференциальных операторов мы свели к проблеме классификации квадратичных форм.
Так, оператор Л, определенный равенством (7.5), называется эллиптическим, параболическим или гиперболическим в точке х° в зависимости от того, какой является квадратичная форма, соответствующая главной части оператора в точке х°: определенной, полуопределенной или неопределенной. Мы вообще будем рассматривать функциональные пространства, в которых последовательное дифференцирование не зависит от того порядка, в котором оно выполняется. Следовательно, мы можем предположить, что в (7.5) '^и= Фл в & При Э1ИХ условиях мы можем дать более точную 128
классификацию дифференциальных операторов. В самом деле, в этом случае матрица [ф;7(х0)], соответствующая форме (7.13), является симметричной и, следовательно, ее можно привести к диагональной т
подходящей заменой переменных 0г = ^с,у(х°)^. Тогда квадратич- /=1
ную форму (7.13) можно записать в виде алгебраической суммы квадратов:
п
СИв)-£Мх°)6?,(7.14)
г=1
где kt (х°) — постоянные, зависящие от матрицы [ci7- (х°)1, которая определяет преобразование переменных. Однако известно (закон Сильвестра об инерции квадратичных форм), что так называемые инварианты квадратичной формы, инерция 7=сагб{/гг(х0):/гг(х°)>0} и дефект D = card \kt (х°): kt (х°) = 0}, не зависят от матрицы [С;Дх0)]. Теперь, полагая Г = п— (/ + D), будем говорить, что в точке х° оператор Л, определенный равенством (7.5) при фр- — q)7i, является'
эллиптическим, если 1 — п, D = О, Т = 0 или I = 0, D = 0, Т = п;
гиперболическим, если I > 0, D = 0, Т > 0;
нормальным гиперболическим, если I = п — 1, D = 0, Т = 1 или 7 = 1, D = 0, Т = п — 1;
ультрагиперболическим, если I > 1, D = 0, Т > 1;
параболическим, если D "> 0;
нормальным параболическим, если I = п — 1, 0 = 1, Т = 0 или / = 0, D — 1, Т = п — 1.’
Оператор Л называется эллиптическим (гиперболическим и т. д.) в области й, если оператор Л — эллиптический (гиперболический и т. д.) в каждой точке й. Используются также различные комбинации этих терминов. Например, если Л — эллиптический в Qt с: с: й, параболический в й2 с й (QT П й2 = 0) и гиперболический в й\(йт [J й2), то говорят, что Л —оператор смешанного типа (эллиптично-параболично-гиперболический в й). Далее, уравнение, соответствующее оператору, который является эллиптическим (параболическим и т. д.) в й, также называется эллиптическим (параболическими и т. д.) в й.
«Геометрическая» терминология, используемая при классификации дифференциальных операторов, возникла из-за того, что в случае двух переменных оператор
А □ = фн(хР х2)-^- □ + 2ф12 (Хр х2) -^^ □ +
5255
+ Ф22 (Хр х2) -2 □ + ф! (Хр Х2)□ +ф2 (Хр х2)□ + ф (Хр X.) □
0^2иА1ул2
(7.16) является эллиптическим, параболическим или гиперболическим э
12#12#9 К. Байокки, А. Капало
12#
12#
точке х = х° £ Q — когда выражение
d (х°) = Ф^ (х°, х°) — фп (х°, х«) ф22 (х°, х“)(7.16)
меньше нуля, равно нулю или больше нуля соответственно (см., например, [68]), т. е. когда уравнение
Фи И' ^) 6, + 2ф12 (х°, х»)^ + ф22 (х?, х°)^ +
+ ф) И» х”)^ + ф2(х°, х°)£а + ф(х®, х«) = 0 (7.17)
описывает эллипс, параболу или гиперболу. (Отметим, что d (х°) является дискриминантом квадратичной формы (7.17).)
Мы не будем рассматривать здесь вопросы, связанные с теорией характеристик и особенно важные для параболических и гиперболических уравнений. В этой связи см. [68, 314]. Для оператора вида (7.15) характеристиками являются кривые, определяемые уравнением
Ф^х, + Фгг^Х^ — 2cp12dx]dx2 — 0.(7.18)
Некоторые классические операторы. Классическими примерами эллиптических, (нормальных) гиперболических и (нормальных) параболических операторов в R3 являются соответственно оператор Лапласа (или оператор потенциала)
А □ = (д2/дх2) □ + $W^) □ + ^дх^ □,(7.19)
оператор Д’Аламбера (или волновой оператор)
□ □ = (3W1) □ — (52/дх=) □ — (dW^ □(7.20)
и оператор Фурье (или оператор теплопроводности)
☆ □ = (d/dt) □ — (dW^) □ — (d2/dx2) □(7.21)
(в (7.20) и (7.21) мы написали t вместо х3, поскольку эта переменная («временная») имеет совершенно иной физический смысл, нежели («пространственные») переменные х, и х2).
Примером оператора смешанного типа в R2 является оператор Трикоми
та = у (д2/<Эх2) □ + кд^ду2) □,(7.22)
который имеет большое значение в гидродинамике и является гиперболическим при у < 0, эллиптическим при у > 0 и параболическим при у = 0.
Начальные и краевые задачи. Классификация операторов по типам, которую мы привели, может показаться искусственной (если не совершенно бесполезной), потому что мы охарактеризовали объекты, мало относящиеся к алгебре, с помощью алгебраических инвариантов. Однако последующие обсуждения покажут, что такая классификация имеет глубокое значение.
130
Явления переноса излучения (или, например, электромагнитной энергии) описываются, как правило, довольно хорошо гиперболическими уравнениями, а явления диффузии (например, тепла) обычно описываются достаточно полно с помощью параболических уравнений. Как иррадиация, так и диффузия являются эволюционными процессами, т. е. явлениями, которые явным образом зависят от времени. В связи с этим при их математическом моделировании естественно сформулировать гак называемые задачи Коши, в которых к дифференциальным уравнениям присоединяют определенные условия, называемые начальными условиями. Этим условиям должно удовлетворять решение (а в гиперболическом случае и его производная по времени) в заданный момент времени. В дальнейшем мы приведем примеры таких задач; однако, отметим, что они — не единственные «естественные» задачи, возникающие при моделировании явлений эволюции. Особую важность представляют здесь смешанные задачи в смысле Адамара, в которых одновременно ставятся начальные и краевые условия. Сейчас мы обсудим именно этот второй тип условий.
Для эллиптических уравнений задачи Коши, как правило, являются некорректно поставленными. Эллиптические уравнения описывают довольно хорошо стационарные процессы, т. е. явления, которые не зависят явным образом от времени (например, явления, связанные с электрическим потенциалом), и для них естественно формулировать задачи совершенно иного рода. Учитывая, что наш основной интерес сосредоточен на эллиптических операторах, напомним с помощью некоторых примеров классические формулировки наиболее важных задач такого типа. В следующем разделе мы вновь обсудим их в несколько другом контексте.
Пусть fi с R2 — открытое ограниченное множество класса С1, / € С° (Q) — функция, заданная на Q, /ъ /2, /з 6 С° (Г) — три функции, заданные на границе Г области Q. Рассмотрим дифференциальное уравнение
— Au + Хи = / на Q, (7.23)
где А — оператор Лапласа, X — действительное число. В зависимости от того, какие дополнительные условия мы присоединим к этому уравнению, получим различные задачи; эти задачи называются краевыми задачами (или задачами с условиями на границе) по причинам, которые скоро станут вполне понятными.
Задача 7.1. Найти функцию и 6 С2 (Q) П С® №) такую, что
— Аи + Хи = / в Q, (7.24) и = ^ на Г (условие Дирихле). (7.25)
Следующая задача, где через д/dv мы обозначаем оператор дифференцирования по (внешней) нормали к Г, известна под названием задачи Неймана.
Задача 7.2. Найти функцию u Е С2 (£2) П С1 (£2) такую, что — Ди + Xu = f в £2,(7.26)
du/dv = /2 на Г (условие Неймана). (7.27)
Отметим, что это — не задача Коши! (Производная по нормали имеет только «геометрические» характеристики, а не «временные».) Естественным обобщением этой задачи является следующая задача с косой производной, где через д/dl обозначена производная по направлению /, которое непрерывно связано с каждой точкой границы Г.
Задача 7.3. Найти функцию и Е С2 (£2) с С1 (£2) такую, что
— Ди + Хи = / в £2,(7.28)
duldl = /3 на Г (условие с косой производной). (7.29) Если существует постоянная а такая, что для каждой точки границы Г cos (v, /) ^ а > О, то задача с косой производной называется регулярной. Заметим, что если в какой-то точке cos (v, /) = О, то эта задача вырождается в задачу с тангенциальной производной, которая трудна для рассмотрения.
Возможны обобщения и сочетания этих задач; особый интерес представляет следующая смешанная задача Дирихле,— Неймана’.
Задача 7.4. Найти функцию и Е С2 (£2) П С1 (£2) такую, что — Ди + Хи = / в £2,(7.30)
и = ^ на Гх (условие Дирихле),(7.31)
duldv=f2 на Г2 (условие Неймана),(7.32)
где Г\ — часть Г и Г2 = r\rv
Отметим следующее важное обстоятельство, касающееся терминологии. Если f = 0, то уравнение (7.23) называется однородным уравнением-, далее, если ^ = /2 = /3 = 0 (даже если / ^ 0), то все предыдущие задачи называются однородными задачами.
Оператор —ДО + Хо, который фигурирует в рассмотренных эллиптических задачах разных типов, иногда называют метагар- моническим, так как Д называют иногда гармоническим оператором. Любопытно, что всякий эллиптический линейный дифференциальный оператор второго порядка с постоянными коэффициентами может быть приведен к метагармоническому оператору подходящей заменой переменных. Кроме того, в связи с заменой переменных отметим еще, что наличие у дифференциального оператора постоянных или переменных коэффициентов не является инвариантным относительно этой замены. Так, например, параболический оператор с переменными коэффициентами Лп = ^!дх^ □ + + 2ха ^!дхгдх^ □ + ^ к^!дх^) □ переходит в параболический оператор с постоянными коэффициентами ЛП = (d2/dy|) □ — (d/dz/J □ при (нелинейной) замене переменных у2 = х2 и уг = хг — (х2/2).
Интересен следующий результат, аналогичный по духу теореме 7.1 (исследование дифференциального уравнения независимо от дополнительных условий): если Q с R2 — односвязное открытое ограниченное множество, содержащее начало координат, то каждое регулярное действительное решение (т. е. из класса С1 в ^ уравнения ^и + Хи = 0 можно представить в виде
и (х„ х2) = «70 (X1/2|z|) + Re (J ф (У Jo ((Хг (г - 0)'/2) d^ ,о
где z = хх + ix2, Jo — функция Бесселя первого рода нулевого порядка, а — действительное число, ф (У — голоморфная в Q функция (здесь Q — уже подмножество С с учетом соответствия (х1( x^^z = %! + ix^. Дополнительные условия на решение позволят нам в каждом конкретном случае найти постоянную а и функцию ф (см., например, [17]).
Задача Коши. Рассмотрим пример задачи Коши. Эго известный пример Адамара, который подтверждает наше высказывание о том, что задачи Коши для эллиптических операторов являются, вообще говоря, некорректно поставленными (в связи с этим см. [446—448, 477, 521]).о_
Задача 7.5. Найти функцию и £ С2 (R+) fl С1 (R+) такую, что
Ди = дЧфдД + д2Фдх2 = 0 в R+,(7.33)
и (хр 0) = 0,(7.34)
-^- (хр 0) = (l/n) sin <пхх\ (7.35)
Условия (7.34) и (7.35) являются так называемыми начальными условиями, иначе они известны под названием условий (данных) Коши (переменная х2 заменяет здесь «временную» переменную). Эта задача, единственным решением которой является аналитическая функция
u(xpX2) = (l/n2)sinh (nx2) sin (щ0!^(7.36)
некорректно поставлена. В самом деле, при п-*оо условие (7.35) переходит (равномерно) в однородное условие
-^(^>0)=°.(7-37)
которому соответствует решение и = 0. Но с другой стороны, функция (7.35) не сходится при п -> оо (по крайней мере, в классических пространствах) к функции, тождественно равной нулю. (Здесь, таким образом, нет непрерывной зависимости от исходных данных, и задача, по существу, некорректно поставлена.)
Другой вариант этого примера можно найти у Мизохаты (см. [51]).
Оператор L. Рассмотрим теперь дифференциальный оператор, который является n-мерным аналогом оператора, определенного формулой (6.34):
пп
La— 2 (v«Ws7a) + S','w^-n + i,/=l!f=l'
+ S T ^ w n) + d (x) D ■ (7'38) 1=11
Этот оператор, который называют оператором с главной частью в дивергентной форме, не может быть записан в виде (7.5) (если мы не требуем, чтобы коэффициенты были дифференцируемыми — а как раз этого требовать мы не будем). Операторы такого вида возникают в задачах физики естественным образом — например, в работе Ладыженской, Уральцевой (см. [45]) есть такой пример, взятый из теории дифракции. Так или иначе, этот оператор, очевидно,— линейный дифференциальный оператор второго порядка, который, несомненно, поддается классификации. Мы ограничимся случаем, когда L эллиптический, точнее, когда L удовлетворяет условиям следующего определения.
Определение 7.1. Оператор (7.38) называется равномерно сильно эллиптическим в й, если
Зс > 0 4 || | |Р С | J] а„ (х) Ui | Сс II6II2 п.в. в Й, ^R"- (7.39) ч=1
Отсюда сразу следует, что если L равномерно сильно эллиптичен в й, то L эллиптичен в й. Поскольку мы будем рассматривать операторы только при этих условиях, то термин «эллиптический» будем использовать как синоним выражения «равномерно сильно эллиптический». Теорию, развитую при более слабых ограничениях, не требующих, чтобы оператор был равномерно эллиптическим (эллиптически-параболические операторы), можно найти, например, в [59, 381].
Как уже сказано, чтобы полностью определить оператор, недостаточно записать формулу типа (7.1) — нужно еще задать область определения. В нашем случае пока еще нет необходимости определять (7.38) полностью: в самом деле, мы должны еще указать гладкость коэффициентов ati, bt, сь d (t, /=1, ..., ri). В этом отношении с целью достижения наибольшей общности можно пойти двумя путями: либо установить гладкость коэффициентов и найти «пространство функций минимальной гладкости», на которых (7.38) имеет смысл, либо зафиксировать область определения оператора и определить «минимальную гладкость», которой могут обладать коэффициенты, так, чтобы оператором можно было действовать на элементы выбранной области определения. Здесь мы будем следо-
еать второму пути: в качестве области определения оператора L выберем пространство Мос (£2) и определим минимальную гладкость коэффициентов (среди всего семейства пространств, которое мы до сих пор рассматривали) так, чтобы имело смысл ур авнение вида
Lu = / в S' (£2)(7.40)
при и Е Ямс (£2) и / Е (£2).
Итак, наши исследования мы будем проводить в гильбертовых пространствах; в банаховых пространствах эллиптические операторы рассматриваются, например, в работах [618, 93, 542—548].
Сначала наложим на Lu и на коэффициенты оператора L требования локальной гладкости, с тем чтобы среди операторов L оказались также операторы с постоянными коэффициентами. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением ограниченных множеств и тогда введем условия гладкости в целом.
Анализируя почленно выражение Lu, т. е. ппп
- S -^7 (-'" -Е-) + Е6- ^ + S -ж- <с-“)+j“- <™) <,;=!'i=i 1 i=i 1
мы убеждаемся в следующем. Чтобы Lu принадлежало S' (£2), достаточно выполнения следующих условий:
(hl)аи Е Lioc (£2), i, / = 1,...,п,
поскольку в этом случае условие и £ //}Ос (£2) влечет duldxj 5 €L?oc(£2), поэтому аи (duldxj Е А*ос (£2) и, следовательно, имеет смысл рассматривать производную -5— (-5— в $ (й);
(h2)^€А?ос(£2) при любом р>2, i = \,...,n,
поскольку элемент 6, (ди/дх^ Е ^-loc (£2) и, следовательно, является элементом 52 (£2);
(h3)сгЕУос(£21 при любом ^^2, 1 = \,...,п,
в этом случае ctu Е Л}Ос (£2) и, по существу, имеет смысл рассматривать производную -^— (сги) в 5)' (£2);
(h4)d Е ^Lc (£2) при любом г ^ 2,
поскольку элемент du Е LiOc (£2) и, следовательно, является элементом sm.
При условиях (hl) — (h4) мы имеем L Е ^ №ос (£2), 5' (£2)). Линейность оператора L. очевидна, а непрерывность следует нз того, что операции дифференцирования, сложения и умножения, содержащиеся в (7.14), непрерывны. Это очень важное заключение, поскольку в современной теории дифференциальных уравнений общей тенденцией является сведение исследований дифференциальных
135
уравнений к изучению дифференциальных операторов, действующих в подходящих функциональных пространствах.
Условия (hl)—(h4) можно еще более ослабить. Однако это не ' очень интересно, поскольку они и так слишком слабы для эффективного исследования оператора L (в смысле доказательства корректности некоторых задач, связанных с этим оператором). В связи с этим в следующем пункте мы перейдем к другим предположениям, требующим большей гладкости от коэффициентов благодаря дополнительным ограничениям на степени их суммируемости (рассматривая при этом гладкость в целом).
Линейные задачи
Введение. Однородная задача Дирихле. Рассмотрим сначала следующую краевую задачу с оператором L, определенным формулой (7.38).
Задача 7.6. При заданной функции f Е S' ФУ где Q — ограниченное открытое множество из R", найти функцию и Е Но ф) такую, что
Lu = f в .Й'(Й).(7.42)
Заметим, прежде всего, что задача 7.6 является краевой задачей; условия на границе включены в требование иЕ Но (Я). Когда £2 нерегулярно, эти условия имеют чисто формальное толкование. Но если граница Г области £2 принадлежит, например, классу Сод, то эти условия можно записать как и |г — 0 (в смысле следов функций класса Н1 (£2) — см. теорему 5.21). В таком случае задачу 7.6 следует назвать однородной задачей Дирихле.
Вариационная формулировка однородной задачи Дирихле. Сформулируем задачу 7.6 в вариационной форме, которую потом можно будет рассматривать в рамках теории, развитой в гл. 3. С этой целью распишем (7.42) подробнее, используя (7.38) и определение равенства в смысле обобщенных функций:
Лd дП
~~ S ^'(й/ дх.’^ДЯ) + S ®Wbt "ЦТ ’ ^Дй) +
i,/=ii=i
п
+ ^ 8>Ча^ dxt ^^У ^Дя) + ®\а^и’ ^Дя) = ^'(я/^1 ^Дяу
Z~‘V<p6 2>(£2)(7.43)
или по определению производной в смысле обобщенных функций пп
ди д^ х ।л. Эи
®'WaH дх > дх. 'Дй) + 2j "д^Г ’ Ф/Дя)
<,/=11i=i'
п
^ @'(Q^ctu’ *5^7 )дя> + ®Ча^и, <p)^(Q) = ®'(я> ^ ^Дя)
1=1‘
Уф€0(Я).(7.44)
Теперь условие u^Ho^Q) и условия (hl) — (h4) на коэффициенты оператора L позволяют переписать (7.44) в виде
V Г ai5dx + V bf <pdx —
J и дх. дх. 1 Zj J ' дх. Y z,/=i о1=1 и
— У JCiU -^-dx-V^du^dx = ®.^, ^^ Уфе$(Я)(7.45)
1=1 и1и
Рассмотрим билинейную форму а (и, ф): Но (Q) х $ (Я) -* R:
а(и.ф) = J( 2 йи^^; + У ^ц>- У ciU^- + du^dx;
й <,/=1' t=ii=i
(7.46)
тогда (7.45) примет более компактный вид;
а (и, ф) = ®>№кЬ ф)^(0)Уф 6 $ (Я).(7.47)
(Отметим, что, как и в главе 6, все рассматриваемые здесь функциональные пространства действительны, так что предполагается, что билинейная форма а принимает действительные значения.)
Уравнение (7.47) не является вариационным уравнением в смысле определений гл. 3. В нем, с одной стороны, а {и, ф) является билинейной формой только на Но (Q) х $ (Я), а не на Но (Я) х Hq (й), а с другой стороны, / — не обязательно линейный функционал над //о (Я).
Второй недостаток можно немедленно исправить, если считать впредь / € Н-1 (й) вместо fES' (Я).
Первый недостаток будет объектом последующего обсуждения. Нашей целью будет доказать тот факт, что при достаточно гладких коэффициентах оператора L билинейная форма а [и, ф) может быть продолжена с Но (Я) X Ф (Я) на Ho(Q) X Но (Я). Для этого нам нужны, по существу, такие коэффициенты ац, b^ ct, d (i,j = 1, ...,n), чтобы произведения
aukduldx^kd^ldXiY bikduldxi)^, с^кд^кдх;-), dutp, iJ=Y,...,n,
были суммируемыми в й при и, ф^До(Я). Используя вложения
Но (Я) с - £2"/<п-2> (Q) при п>2,
Hq(Q) cl^.U (Q)при любых г ^1, п=2,(7.48)
Но (Я) С° (й)при п = 1,
сразу заключаем следующее. Чтобы билинейная форма а (и, ф): #£(й) X Но (й) -* R имела смысл, достаточно, чтобы коэффициенты.
оператора L удовлетворяли следующим условиям при I, j = 1, ...,п:
(Н1)a^L”^
(Н2)
b^Ln (Й)+Г° (й) Ь^1?+е (Й)+Г°(Й) Ь^ЕЧ^ + Г (й)
при при при
п"> 2, п = 2, е> п = 1;
■0,
(НЗ)
с^Еп (Й)+Г°(Й)
при
п > 2,
Сге7.2+Е(Й) + Л°°(й)
при
п = 2, е:
>0,
(Й)+Г°(Й)
при
п = 1;
(Н4)
d^Ln'2 (fi) + L°° (Й)
при
п>2,
dEL1+e (Й) +L00 (й)
при
п — 2, е:
>0,
dEL4^ + L°°^
при
п — 1.
(Конечно, для ограниченной области й пространство L°° (й) может быть опущено в условиях (Н2)— (Н4).)
Обозначим опять через а расширение билинейной формы (7.46) с До(й) X 0(й) на Ho^YхНо^йу Позже мы докажем, что форма а непрерывна на Но (й) X Но (йу Отсюда, в частности, следует, что она непрерывна на Но (й) х УЬ Ф) 4 топологии Но (Й) х Но (й) и, следовательно, поскольку $ (й) плотно в Но (й), билинейная форма (7.46) имеет единственное непрерывное расширение в этой топологии.
Используя условия (Н1)— (Н4), которые сильнее, чем (Ы) — (h4), мы можем фактически доказать следующую теорему.
Теорема 7.2. Если коэффициенты atj, bh с^ d (i, j = 1, ...,n) удовлетворяют условиям (Hl) — (Н4), то билинейная форма а (и, ф): Но (й) х Но (й) R непрерывна, т. е.
3k 6R |a(«.T)|^IMLi,JlvL Vu^H1»^. (7.49) / now
Доказательство. Мы проведем доказательство только для случая п > 2, используя неоднократно неравенство
ll«llL2n/(n-2)(fi)<coll«^ Vu^H^, c0 = const>0, °(7.50)
которое означает непрерывность вложения Но (й) в Ь2п,(п-2\йу Случаи п = 1 и п = 2 рассматриваются аналогично. При доказательстве 138
мы будем использовать эквивалентность обычной нормы в Но (й)
(7.51)(7.51)
(7.51)
(7.51)
и (не гильбертовой) нормы
(7.52)(7.52)
(7.52)
(7.52)
Эта эквивалентность выражается через двойное неравенство
ci IIы Нн'(й) ^ III ы IHh*(Q) ^ с2 II м IIh*(Q)’ ci’ с2 = const > 0- (7.53)
При условии, что и,фЕЯо(й) и выполнены условия (Н1)— (Н4), из (7.46) следует:
|« («, Ф) | ^ £ || аи ||LW(O)|| du/dxj ||L,(Q) || d^ldXi ||L,(Q) +
4" 2 II ^‘ llLn(Q) II dujdXt IIl»(Q) II V Нь2п/(п-2)(й) + (=1
5 IIС< HiAa) IIu Нл2п/(л—2)(й) II d^Jdx^ ||^1(й) 4* 1=1
l| d ||Ln/2(Q) || U ||L2n/(n-2)(Q) |l ф HL2n/(n-2)(Q).(7.54)
Учитывая (7.50) и (7.53) и вспоминая, что |] duldxi IIl«(Q) ^Ш и HIh^Q)’ приходим отсюда к утверждению теоремы при
к = Ап2с^ + Впсйс2 + Спс0с2 + Dc^,(7.55)
где
А = max || ап ||L«,(Q), В = max || 6г ||ьП(й),
С = max ||сг ||Ln(Q),7) = || d ||Ln/2(Q)' D
Теперь мы можем сформулировать следующую задачу.
Задача 7.7. При заданной функции f^H-"1^) найти функцию иЕНо(Й) такую, что
а (и, о) = н_1(£2)</, v)Hi(Q) Vu € ^ (Я).(7.56)
Это уже вариационная задача, она эквивалентна задаче 7.6 (когда вместо условия /Е^Й'(Я) рассматривается ^Н-1(Й)У Таким образом, мы достигли нашей цели, т. е. сформулировали задачу 7.6 в вариационной форме. Теперь мы будем исследовать задачу 7.7.
О коэрцитивности билинейной формы. Билинейная форма а не является в общем случае коэрцитивной и, следовательно, мы не можем применить результаты главы 3 к задаче 7.7. У нас есть две возможности: либо наложить на коэффициенты аи, Ьь сь d (i, j = = 1, ..., п) дополнительные ограничения, которые гарантируют коэрцитивность билинейной формы а, либо воспользоваться возмущением задачи, изменяя билинейную форму на коэрцитивную (в этом случае по информации о возмущенной задаче нам придется восстановить информацию об исходной задаче!...). Здесь мы рассмотрим обе эти возможности, но в основном будем использовать вторую, поскольку она дает очень интересные результаты.
Что касается первой возможности, предложенной выше, сформулируем следующий результат.
Теорема 7.3. Если коэффициенты а^, bb cb d (i, j = 1, ...,п) удовлетворяют условию
S «И W Uj > « £ Е? Vg 6 R" п.в. в Я, (7.57) У=1(=1
где а = const > 0 и
cQc2nB + сос2пС 4- c^D < а/2,(7.58)
то
а(щ ^>-2-1^11^) VueH^,(7.59)
т. е. билинейная форма а коэруитивна на Нхй^\
Доказательство можно найти, например, в [685, с. 200]. По существу, эта теорема утверждает, что если оператор L эллиптичен в Я (выполнено (7.57)) и коэффициенты bt, cb d (i, j = 1п) достаточно малы (выполнено (7.58)), то форма а коэрцитивна на Но (Я).
Условие (7.58), которому легче удовлетворить при меньшей ц (Я), совершенно отличается от условий (Н1)—(Н4): последние являются предположениями о гладкости, в то время как (7.57) является алгебраическим условием, а (7.58) — это условие, которое можно назвать метрическим. Как было упомянуто выше (см. раздел 7.1), мы предполагаем, что (7.57) всегда верно и, тем самым, рассматриваем только эллиптические операторы.
Что касается второй возможности, докажем сначала следующий результат._
Теорема 7.4. Существует вещественное число X С R такое, что для всех X ^ X билинейная форма
ах (и, о) = а (и, и) + X (и, u)L,(Q)(7.60)
является коэрцитивной на Ho(Q), т. е.
ЭХ>0 УХ>Х ах(«, t>)>-j-M^(0),(7.61)
где а>0— множитель из (7.57).
Доказательство. Заметим сначала, что при f^Lp(Q^ и е> >0 всегда можно найти функции f^QLp^l') и /[,] ^L°°(Q) такие, что П /[23 lkptQ) < е и
/ = f01 + f[2]. (7.62)
Действительно, пусть к — положительное действительное число. Рассмотрим множества
^t = {^€^ 7(^)>^}. О* ={*C2:/(x)<-ty
и функциии функцииА*) =А*) =к при x^tit,f (х) При X £ fi\(fife (J fi?),к при x^tit,f (х) При X £ fi\(fife (J fi?),(7.63)(7.63)
и функции
и функции
А*) =
А*) =
к при x^tit,
f (х) При X £ fi\(fife (J fi?),
к при x^tit,
f (х) При X £ fi\(fife (J fi?),
(7.63)
(7.63)
. — к при х Е fife ,
(7-64)(7-64)/[2] = / — /[11.
(7-64)
(7-64)
Чтобы убедиться в существовании такого к > 0, что /[ ] и /21 удовлетворяют сформулированным выше условиям, достаточно только заметить, что
ll/[2]HLP(Q)=yi/[21|P^={l/[2W + J \№х =
QQ\(Qfe+u«pвАг
= j|/ — k\pdx-V J|/ + k\pdx. (7.65) q+q-
Отсюда следует, что при возрастании к величина || /t2] ||lp<Q) стремится к нулю (поскольку p(Q^) и p(fi7) стремится к нулю), и, следовательно, существует к (не зависящее от е) такое, что || /[2] |lLp(Q) < < 6 и, в то же время, || /[1] Ц^^ = supess | /[1] ] ^ к.
Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоремы. Согласно предыдущему замечанию, представим функции bb cb d (i = = 1,...,п) в виде разложений вида (7.62) и вместе с тем рассмотрим разложение билинейной формы а на сумму двух форм
■Й \,/=1111=\'
— ^ с^Чи ~ 4- d[I]uu) dx, (7.66)
al2] (ы, у) = J /^ b^ ~ и — ^ ^и А- + dmuv\ dx, (7.67)
Q 4=1'1=1*'
которые мы рассмотрим по отдельности.
Для любой функции у Е До №) имеем
аВ1 (у, у) < g е || ^ Ц^ || у ||£2П/(П-2)(й) +
+ ^ 8II " Hl^/^-^Q) + 8 || У ||L2«/(n-2)(Q) || У llz.2n/(n-2)(Q)>
II I |ILZ(W)
(7.68)
или с учетом (7.50) и (7.53),
а[21 (у, у) < (2ес0с2 + ы$ || у ||® ( й(7.69)
о
Если выбрать 8 (до сих пор на в мы не накладывали ограничений) такое, что
2ес0с2 + еу2 < а/4,(7.70)
а[2](у,у)<-^||у||2„1(й) VvEHU^Y(7.71)
Следовательно, доказательство (7.61) эквивалентно доказательству следующего утверждения:
3XER VX>X al’J^.t,) _|_ хЦоЦ!^^-^-||v||^i(Q) VvEHo^Y
(7.72)
Теперь, используя эллиптичность оператора L, запишем (полагая £ = grady(x) в (7.57))
f X| dx~ ^ = “ II ° И^я;- (7-73)
я z,/=i7 я z=i 11
и далее, полагая £ = шах || Z>fl] ||L«>(B), 7 = max || ср ||L«,(a) и 6 =
= || <£и |1£оо(й), имеем:
целей):
at'l (у, у) > а || у I|^i(C) — с2 ф + 7) II у Цй) II у ||£,(й) — 61| у ||Ь(Й).
°(7.77)
Используя справедливоедлялюбыхaER, bER, о>0 неравенство)
2|а||6|<оа2 + 462(7-78>
при a = || у ||Н1(О), b = с2 (р + у) || у ||L,(Q) и о = а, получаем
с2 (Р + 7) II У IIh1(Q) II у НыЩ) ^ ~2~ II у И«’(£2) ^ 2a Ч У HiW °(7.79)
Подставим (7.79) в (7.77):
аП] (у, у) > а || у ||^(Q, — -у || у ||^Q) — ^^ || у I|L(q> — - 6 II у ||U) = ^ II У C1(Q) - ( ^з^ + б) II у ||b(Q). (7.80)
Полагая
получаем требуемый результат. □
Замечание. Терминология, используемая в работах, указанных в библиографии, не является единообразной. Во многих работах, если выполнено (7.61), форма а называется коэрцитивной (или коэрцитивной относительно L2 (Q) — по причинам, которые станут понятными в дальнейшем), форма а называется эллиптической (или сильно коэрцитивной), если выполнено (7.59).
Форма ах, очевидно, непрерывна на Яо(Й) X Но (й) и, по существу, если Х^Х, то мы можем утверждать, что следующая задача корректно поставлена.
Задача 7.8. При заданной функции /Е ^7—1 №) найти функцию и Е Но (Q) такую, что
ах ku, и) = H-i№<f, u)Ht(Q) Vy Е Hl0 (Q).(7.82)
А задача 7.8 эквивалентна следующей задаче 7.9, которая, следовательно, также корректно поставлена.
Задача 7.9. При заданной функции f£H '(Q) найти функцию и £ Но (И) такую, что
Lu + Хи = f в смысле Д> (Q).(7.83)
Теорема Рисса—Фредгольма. Нашей исходной задачей является задача 7.6, которая есть не что иное как задача 7.9 при X = О (исключается вопрос о гладкости исходных данных /). В общем случае форма а не является коэрцитивной, поэтому мы не можем утверждать, .что задача 7.6 корректно поставлена. Однако тот факт, что задача 7.9 корректно поставлена для некоторых значений X (а это так для любых X > X), позволяет нам получить полезную информа* цию о задаче 7.6 и вообще о всех задачах 7.9 с параметрами X, не обязательно большими или равными X. Эту информацию содержит следующая ниже теорема, которая вытекает из теории Рисса — Фредгольма в применении к задачам 7.9 и 7.10.
Задача 7.10. Найти функцию и^.Н\^ такую, что
Lu + Хы = 0 в смысле ^)' (Q).(7 84)
Теорема 7.5 (альтернатива или теорема Рисса — Фредгольма). Справедливы следующие результаты.
Для того чтобы задача 7.9 имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы задача 7.10 имела только нулевое решение.
Задача 7.10 имеет только нулевое решение для всех значений X, не принадлежащих счетному множеству a (L) — спектру задачи.
Если X £ о (L), то задача 7.10 имеет не более чем конечное число линейно независимых решений иъ ..., us.
Заметим, что результат 3) можно усилить (точнее, дополнить), если рассмотреть однородную сопряженную по отношению к 7.9 задачу, которая в условиях 3) имеет s решений щ, ..., и;, чтобы задача 7.9 имела решение, необходимо и достаточно, чтобы функция / была ортогональна и\, ..., us. Доказательство этого факта можно найти в работе Лионса (см. [525, с. 30]). О сформулированной теореме см. также [528, с. 108; 562, с. 293], а о классической теории Рисса — Фредгольма см. [63, гл. IV, V].
Вопросы существования, единственности и непрерывной зависимости решения задачи 7.6 полностью изучены. Об исследовании гладкости и других свойств решения задач Дирихле см., например, у Стампаккьи [685] (о гладкости мы будем говорить в п. 7.3.1).
Успешное использование при изучении однородной задачи Дирихле вариационного метода, известного также под названием метода минимизации интеграла Дирихле, позволяет исследовать другие краевые задачи. Именно этим мы будем заниматься в следующих пунктах, но в отличие от предыдущего изложения начнем с задачи, которая уже сформулирована в вариационной форме, и которую потом будем интерпретировать (если это возможно) как краевую 144
задачу. Известно, что в большинстве случаев в физике и технике возникают краевые, а не вариационные задачи, но не всегда. Так, задачи, возникающие при использовании принципа минимума энергии или принципа виртуальных перемещений, более естественно формулировать именно в вариационной форме (примером может служить задача 6.2). Упомянутый способ исследования задачи позволяет нам получить большое количество результатов по дифференциальным уравнениям в частных производных в рамках единой теории и показывает как формулировать в вариационной форме некоторые наиболее важные и часто встречающиеся краевые задачи (другие замечания на этот счет см. в [525] со с. 38 и далее).
Общая вариационная постановка. Мы приведем здесь довольно упрощенный вариант вариационной постановки, сформулированной Лионсом (см. [525]) в теории краевых задач. Обсуждение этой формулировки в гораздо более общем случае можно найти у Лионса [525] и Мадженеса — Стампаккьи [562]. Более простые случаи рассмотрены в работах [662, с. 218; 618, с. 131], незначительно отличаются от них постановки из работ [527, с. 9; 528, с. 93].
Исходные данные и вариационная задача. Пусть выполнены следующие условия:
(LI) Q — открытое множество из R",
ds
(L2) Q — гильбертово пространство, такое что S (Q)a^Q
S' (Й),
(L3) V — гильбертово пространство, 2) (Q) <=^y<=_Qc:_2)' (й), (L4) 31 (и, и): V X У ->- R — билинейная форма, непрерывная и коэрцитивная на V.
Рассмотрим вариационную задачу.
. Задача 7.11. При /EQ' найти функцию и Е V такую, что
Vo eV.(7.85)
Сначала заметим, что задача 7.11 действительно является вариационной, хотя в (7.85) вместо отношения двойственности ds
v-(, )v стоит отношение двойственности q-(, )q, поскольку Ус^ Q и и пробегает У. Мы не рассматривали пространство Q (в разделе 3.1) при изучении абстрактных вариационных задач. Здесь мы вводим это пространство, чтобы избежать рассмотрения пространства У', которое, вообще говоря, не является пространством обобщенных функций (если пространство У — нормальное, то мы можем, конечно, выбрать Q = У и рассмотреть, тем самым, задачу 7.11 в наиболее общем виде).
Теорема Лионса — Стампаккьи, а точнее ее следствие — лемма Лакса — Мильграма, гарантирует нам, что задача 7.11 корректно поставлена (отметим, что если 31 коэрцитивна на У, то она коэрци- тивна и на У — У = У (ср. с формулой (3.27))).
10 К. Байокки, А. Капело145
Интерпретация вариационной задачи. Теперь попытаемся интерпретировать задачу 7.11 как краевую задачу (в тех случаях, когда это возможно). Для этого форме 21 поставим в соответствие оператор Л £ ^ (V, Ф' (Q)). При фиксированном и 6 V функционал Ф ->- 21 (zz, <р) является линейным непрерывным функционалом над (Q) (поскольку 21 непрерывна и Ф (Q)V)- Обозначая этот
функционал через Аи, запишем
91 (“• ф) = ^щ)^"’ ^@№ Уф 6 # (Q).(7.86)
Равенство (7.86) определяет оператор Л : V -► ^' (Q), который очевидно, является линейным и непрерывным: Л £ L (V, ЗУ (Q)), переводящим и из V в Azz. (Отметим, что если ип -* 0, то в силу непрерывности 21 21 (ып, ф) -*- О равномерно относительно ф, в то время как ф остается в ограниченном множестве пространства $ (Q). Это означает, что Аип -> 0 в (сильной) топологии 2)' (Q).)
Соответствие между операторами и формой не является для нас чем-то новым — в разделе 3.1 (где вместо V и 21 мы рассматривали Н и а) форме 21 мы поставили в соответствие два оператора А : V -*-
V' и А : V -► V по формулам
21 (и, у) = уДАи, v)y Vo 6 V(7.87)
и
21 (и, у) = (Ли, v)v Vy^V(7.88)
соответственно. Оператор Л, определенный выше, является, по существу, сужением оператора А, которое фактически совпадает с А, если V — нормальное пространство (другими словами, в (7.86) мы заменили отношение двойственности ^(£2){,)^(й) на уД^у и положили ф Е V, что возможно, поскольку Ф (Q) плотно в V). Чуть позже мы введем аналог оператора Л. В (7.85) мы рассмотрели отношение двойственности Q,(,)Q, а не ^,№Л№у в отличие от того, как было при определении Л. Возникает естественное предположение, что для интерпретации задачи 7.11 как краевой задачи достаточно рассмотреть сужение оператора Л на множество
.D = (u^V.Au^Q’Y(7.89)
(Интересно заметить, что D плотно в V, а следовательно, и в Q (см. [527, с. 12; 618, с. 132]).)
Это сужение, которое для удобства мы по-прежнему будем обозначать через Л, можно определить непосредственно с помощью формулы
u^D, 2I(u,V) = q,(Azz^>q Vve^(Q), (7.90)
поскольку свойство Azz £ Q' означает, что Azz — непрерывный линейный функционал над 9Д (Q) в топологии Q (т. е. 121 (zz, ф) | = = 1^(й)<Лы’Ф^щ)1^С0П8ЬИф1|<2 *ф €#($)) и, следовательно, в
силу плотности Ф (Q) в Q мы можем заменить отношение двойственности ^(q/,)^ в (7.86) на q,(.)q (но не выражение Уф Е 0(A) на Vtp6Q0- В силу того, что Q—гильбертово пространство, по теореме Рисса мы можем представить функционал Ku^Q элементом ^ (u) Е Q и записать формулу
91 (и, Ф) = ^и, ф)^ Уф Е Ф (Q),(7.91)
которая определяет оператор ^ : Q ^- Q, аналогичный оператору e/Z (и который совпадает с «я, если У— нормальное пространство и Q = V, так как V = D).„
В дальнейшем мы наделим D (гильбертовой) топологией, задаваемой нормой графика
||< = 1К + 1|Ли||2„(7.92)
если, конечно, D ФУ. (Эта топология гарантирует нам, что Ос_ У и Л 6 ^ (О, Q').)_
Формулы (7.85) и (7.90) приводят нас к рассмотрению линейного многообразия
N= {uEH:9I(u,V) = Q,^u,v)Q УфЕУ}, (7.93)
которое мы, конечно, наделим топологией, индуцированной D. Пространство N, которое будет играть очень важную роль, в общем случае является собственным подмножеством D; оно совпадает с D, если У — нормальное пространство и Q = У — в этом предельном случае мы будем иметь У = Q = N = D. Любопытным свойством пространства N является следующее: N есть дополнение к Da = {и£ D : Ли = 0} = ker (Л), т. е. Da ф N = D. (Доказательство этого факта можно найти у Лионса (см. [525, с. 27]).) На языке N тот факт, что задача 7.11 корректно поставлена, означает, что (дальнейшее сужение) Л является топологическим изоморфизмом из N на Q'; прямое доказательство этого факта см. в [525, с. 26; 562, с. 273, 281].
Теперь мы можем интерпретировать задачу 7.11 как краевую задачу. Очевидно, что если и — решение задачи 7.11, то, в частности,
91 (и, и) = Q,(f, o>Q Vu Е 0 (Q)(7.94)
и, следовательно, сравнивая это с (7.90) (отметим, что решение и фиксировано), имеем / = Ли Е Q". С учетом (7.85) это доказывает, что и Е N. С другой стороны, также очевидно, что если мы полагаем / = Ли Е Q* и и Е N, то и — решение задачи 7.11. Таким образом, мы доказали, что задача 7.11 эквивалентна следующей задаче.
Задача 7.12. При заданной функции / Е Q* найти функцию и Е У такую, что
Ли = /,(7.95)
u£N.(7.96)
Мы будем называть эту задачу однородной краевой задачей, а свойство (7.96) — однородным краевым условием. Условие (7.96) необычно по форме, в каждом конкретном случае нужно пояснить, что мы под ним понимаем — этим мы будем заниматься довольно часто в следующем пункте.
Главные и естественные условия. Рассмотрим вопрос о том, как учтены краевые условия в формулировке вариационной задачи 7.11. Часть из них заключена в условии, что и принадлежит V, а часть содержится в самом вариационном уравнении (7.85). Первые из условий известны под названием «главные, устойчивые, или жесткие условия», а последние — «естественные условия или условия трансверсальности». Обсуждение «физического смысла» этих двух (очень разных) типов условий можно найти в [33, с. 4].
Неоднородные краевые задачи. В связи с названием задачи 7.12, можно подумать, что вариационная формулировка позволяет изучать только однородные краевые задачи. Вариационные же методы можно применять также и для решения неоднородных краевых задач. Для этого придется ввести еще одно функциональное пространство — пространство исходных данных на границе. Пусть K<-=>D — такое гильбертово пространство, что Л Е ^ (О, Q') можно рассматривать как сужение на D непрерывного линейного оператора (для удобства мы его снова обозначим через Л) из К в Q*. При этих условиях имеет смысл рассмотреть следующую задачу.
Задача 7.13. При заданных функциях / Е Q' и h. Е К найти функцию и Е К такую, что
Ли = f, (7.97) u — h^N. (7.98)
Назовем эту задачу неоднородной краевой задачей, точнее, задача является неоднородной, если h Е N (и, следовательно, в частности, h Ф 0). В связи с этим заметим, что если т] Е N, то условие (7.98) эквивалентно условию и — (h + т]) Е N. Это соотношение часто дает единственность решения для многих задач.
Рассмотренная задача 7.13 эквивалентна следующей.
Задача 7.14. При заданных функциях fQQ'nh^K найти функцию и^ К такую, что хм = и — h Е V удовлетворяет вариационному равенству
91 (ш, у) = Q,(f — Ah, y>Q Vy Е V- (7.99)
Эта вариационная задача полностью аналогична задаче 7.11. По существу мы использовали хорошо известйый способ перехода от неоднородной задачи к однородной.
Еще о задаче Дирихле. Вернемся теперь к задачам 7.8 и 7.9 и проанализируем их в свете рассмотренной абстрактной теории. Мы имели пространства V = Но(й), Q = Ho(^ (причем Но (Q)—нормальное) и форму 91 = ах, которая, как мы убедились, является непрерывной и, если X достаточно велико, коэрцитивной на Но(Й)х 148
хНо(Р\ Таким образом, задача 7.8 является частным случаем задачи 7.11. В свою очередь, задача 7.9 с операторами L + X = Л€ Е ^(//о (£2), Н~х (£2)) является частным случаем задачи 7.12. Условие (7.96) не вводилось в задаче 7.9 в явном виде, поскольку при N — D = fig (Q) это есть не что иное, как условие и Е Но (£2), которое уже накладывалось ранее. (Здесь нет естественных условий.) Тогда согласно теории приходим к уже известному нам факту: задача 7.9 является интерпретацией задачи 7.8 как краевой задачи.
Есть еще один вопрос, который следует прояснить. Если мы возьмем, как и ранее, форму 21 (и, у) = ах (и, у) при подходящем X (т. е. X ^ X), то мы полностью находимся в условиях (L1) — (L4). Но мы можем взять форму а, а потом найти"X такое, что билинейная форма 21 (и, у) = а (и, у) + X (и, u)l*(b> коэрцитивна при X > X. В обоих подходах форма 21, по существу, одна и та же, но во втором случае мы не находимся в условиях (L1)—(L4)! В самом деле, когда во втором случае мы переходим от формы а (и, у) к 21 (и, у) = = ах (и, и) = а (и, о) + X (ы, у)£«(е>, мы вводим «паразитическое» пространство — пространство L2 (£2), присутствие которого не предусмотрено теорией. Это частный случай более общей ситуации, которую мы сейчас коротко обсудим.
Предположим, с одной стороны, что мы исключаем в (L4) предположение о коэрцитивности формы 21 на V (что влечет, кроме всего прочего, крах всей теории, рассматриваемой до сих пор), и с другой — что Н — гильбертово пространство, удовлетворяющее двум условиям ds
(pl) V^H,
2 (р2) существует X Е R такое, что если Х^ X, то форма 21^ (ы, о) = = 21 (ы, у) + X (и, у)н коэрцитивна на V.
При этих условиях, поскольку исследовать задачу по отношению к форме 21 невозможно, мы естественным образом изучаем ее по отношению к формам 21^ при X ^ X, а потом, если возможно, применяем теорию Рисса — Фредгольма — это как раз то, что мы делали в предыдущем пункте.
В большинстве интересных приложений в качестве пространства Н, которое мы будем называть основным пространством, можно взять пространство L2 (£2), однако в некоторых случаях это не так (см., например, работы [529, с. 127, 491). Мы систематически будем отождествлять Н с его двойственным пространством Н' (даже если Н =#=■ I? (£2)) и писать, что
ds
Vc.H^H'c.V'.(7.100)
Эту цепочку иногда называют гильбертовым триплетом, поскольку она содержит, по существу, три гильбертовых пространства V, Н и V'.
В связи с этим заметим, что если мы отождествляем Н и Н', то мы не можем отождествлять также V и V'! Причиной этому является тот факт, что диаграмма 7.1 является коммутативной тогда и только тогда, когда пространства V и Н алгебраически и топологически изоморфны (короче говоря, это одинаковые пространства: V = Я).
V—>Я
/VH Jh
'уЧун V
V'> Н*
Диагр. 7.1
Запись цепочки (7.100) означает, что инъективные отображения jVH, ‘iVH и оператор Рисса JH отождествляются соответственно с множественными вложениями 1уН, Чун и iHH,, что, в свою очередь, влечет отождествление множественного вложения ivv, с отображением ‘iVHoJHo jVH, С другой стороны, отождествить V и V' озна. чает отождествить оператор Рисса Jv с ivw; но это невозможно# если V N= Н, поскольку некоммутативность диаграммы можно интерпретировать через Jy^lvH0 н° 1ун- ® качестве конкретного примера такой ситуации рассмотрим случай, когда V = Яд (£2) и
являетсяявляется1нх0^н-\й)1нх0^н-\й)канони-= J 1Hg№)канони-= J 1Hg№)Я = L2 (Q). Тогда отображение iyy.
является
является
1нх0^н-\й)
1нх0^н-\й)
канони-
= J 1
Hg№)
канони-
= J 1
Hg№)
ческим вложением Я^(й) в Я '(£2), а оператор Рисса Jy
является оператором — А, если в Яо (£2) мы введем обычную норму. (Если же мы рассмотрим в Яо (£2) норму, индуцированную пространством Я1 (£2), то получим J„\n= — А 4-1, где / — тождественный "q(*)
оператор).
Примеры краевых задач.
Исходные данные. Приведем исходные данные для примеров краевых задач.
(dl) QczRn — ограниченное связное открытое множество с границей Г класса С0,1;
(d2) V— замкнутое подпространство пространства Я1 (£2) такое, что Я^ (£2)<=_1/с=_Я1 (£2) (точнее, мы берем У=Яо(£2), или V=fl1(Q), или V — УГо, где УГе — пространство {и € Я1 (Q): уои = 0 на Го} с топологией, индуцированной пространством Я1 (£2), здесь Г0<=Г— гладкое подмножество Г с (и — 1 )-мерной положительной мерой);
(d3) Q = Яо (£2), если У = Яд (Q), и Q = L2 (£2) иначе;
(d4) Я = £2(£2);
(d5) 9lx: V X V -> R — сужение на V X V билинейной формы (которую мы обозначаем тем же символом) Э1Х:Я*(Й) х Я1(£2)->R, 150
определенной равенством
ппп
«х(-.») - ns -^£+S”. £=-5С-^+-/-Id. +
Q Z,/=l'Z=1‘Z=1'
+ X j uu dx +н_1/2(Г)<Ти, То^н1/2(Г), (7- 1Q1) 62
где au, bv сп d (i, j — !,...,«) удовлетворяют условиям (Hl)—(H4) и (7.57), X — подходящее действительное число, а Г Е ^ (Н1 (й), Н~М2 (р^ (точнее, мы берем TsO, или Т = /у0, или Т—t (д/дт), где ^С1 (Й), а д/дт — оператор тангенциального дифференцирования на Г);
(d6) К — Н1 (й), если V = Яо (й), а иначе К = Hl (й) = = {и Е Я1 (й): Lu + Хи Е L2 (й)}, где L + X — оператор вида
п
LD+1D — ^(а^-п^ пп
+S^-^n +S"dr^D)+dn+Кп <7102) Z=11 Z=l ’■
с коэффициентами а^, bt, ct и d из (d5).
Перед тем, как рассмотреть частные случаи этих исходных данных в конкретных примерах, следует проанализировать их. Что касается (dl), мы требуем от Г указанной гладкости, чтобы краевым условиям, которые появляются в рассматриваемых задачах, придать точный смысл. Сами задачи имеют смысл и в условиях меньшей гладкости по й (нам требуется лишь вложение V £2"Л"~2)(Й) при п>2...), но тогда краевым условиям приходится давать чисто формальную интерпретацию.
Что касается (d2), отметим высказанное Лионсом [527, с. 17] предположение о том, что замкнутые подпространства V с Я1 (й), являющиеся модулями над алгеброй W1'” (й) (т. е. такими, что Vu^V VuЕV1’”(й) uu^V),— это, по существу, и есть те пространства, которые следует здесь рассматривать. Точная формулировка предположения (в которую, в частности, не входит требование о гладкости Го) включает понятия, которые мы здесь не вводили. Пространства Vr определяются через локальные условия; примером замкнутого подпространства Я1 (й), определенного через глобальное условие, является подпространство |ы £ Я1 (й): j ^ои do = 0| (см.
г [527, с. 21]).
В отношении (d5) напомним, что оператор д/дт можно определить с помощью надлежащей интерпретации (согласно теории следов)
тождества
nди5u
дхдх. ^
i=I ‘
п
при ^ tzvz = 0. В этой связи см. [618, с. 124, 138]. В двумерном случае тангенциальную производную ди/дх от функции и^Н1^ можно интерпретировать как производную по длине дуги s (мы используем ее как параметр для Г) от следа функции и на Г:
д ди/дх = d (you)/ds•
(эта запись имеет смысл, поскольку у0« б НХ/2 (Г)).
Относительно (d6) заметим, что указанный выбор К находится в соответствии с теорией, поскольку, с одной стороны, {и^Д1^)" L« 4- Хи € Д-1(й)} — Н1 (й) (вспомним условия (Ш) — (Н4)), а с другой стороны, Hl^)— не что иное, как пространство D, введенное в (7.89). Отметим также, что определение Дк(й) непротиворечиво, потому что при и g Н1 (й) свойство Lu + Хи $ L2 (й) выполняется тогда и только тогда, когда Lu б £2(й).
Вернемся к (d5) и проанализируем более внимательно билинейную форму Six. Здесь важно, что мы уже имеем форму, возмущенную выражением с параметром X. Этот параметр не зафиксирован, как, например, функции а^, но его можно выбрать так, чтобы форма Six была коэрцитивной (далее мы увидим, что при наших условиях это всегда возможно) — в этом и заключается смысл термина «подходящее действительное число», используемого в (d5). (В этом случае совсем не обязательно уточнять (d4) в отношении основного пространства, что мы и сделали.) Итак, нам нужно показать, что существует X такое, что форма Six непрерывна и коэрцитивна на Н1 (й) х Н1 (й) и, следовательно, на всяком замкнутом подпространстве V X V с.» Н1 (й) х Н1 (й). Кроме того, очевидно, что если форма 9lk непрерывна и коэрцитивна на Н1 (й) х Н1 (й) (или, короче, на ^(й)), то она непрерывна и коэрцитивна на К — К, где К—замкнутое выпуклое множество из Н1 (й). Это очень важно для задач, связанных с вариационными неравенствами, которые мы будем рассматривать в разделе 7.3. Доказательство существования подходящего действительного X становится проще, если принять во внимание, что форму 91^ («, и) можно представить в виде суммы двух форм: формы а^и,^, уже рассмотренной в п. 7.2.1, и формы H-ip(r^Tu, уои)н/ в(Г)» которую по очевидным причинам мы называем граничной билинейной формой. В п. 7.2.2 мы предполагали» что форма а^ определена на Hq^ X Но^, а не на Н1 (й)хН1 (й)- Однако, возможность продолжения формы с первого пространства на второе следует из того факта, что в случае регулярной области й 152
(как в (dl)) для Ях'й) справедливы вложения, загисанные в (7.48) в терминах Яо(й).
Теперь, чтобы показать, что (для любого X) форма Six, непрерывна, достаточно убедиться в том, что имеет место неравенство 1н—*/2(Г) (Га, Yo^hV^d I ^
^ II ll.gvAa),//—'^г» II 7о 113’(п\а),н1/2<г)) И и Hh^q) И и Ин^В)1 (7-103) и что доказательство теоремы 7.2 можно легко модифицировать для доказательства непрерывности формы ах: Я1 (й) х Я1 (й) -> R. Нужно лишь воспользоваться эквивалентностью норм
/п\1/2
H«I|WQ) ^ (Нт + S 1*<Ы(7.104>
И
IIIи Шх/чя) = IIи Пьчй) "^ Jj II du!dxi ||L>(a)(7.105)
1=1
вместо эквивалентности норм (7.51) и (7.52).
Перейдем теперь к вопросу о коэрцитивности 91х- Доказательство теоремы 7.4 можно видоизменить (как и теоремы 7.2), чтобы показать существование X такого, что форма ах коэрцитивна на Н1 (й) при X ^ X. Теперь нам нужно исследовать на коэрцитивность форму «х, получающуюся при сложении ах с граничной билинейной формой. Для этого рассмотрим три типа билинейных граничных форм, каждая из которых представляет для нас интерес, а именно, те формы, которые соответствуют операторам Т =0, Т = ty0 и Т — t (д/дт). Более общее рассмотрение граничных билинейных форм можно найти в работах [525, со с. 44 и далее; 562, с. 272; 618, с. 29; 123; 526, с. 2251.
Первый случай тривиален: если Т = 0, то 91х = ах и, следовательно, 91х коэрцитивна на Я1 (й) при X X.
Во втором случае отношение двойственности н-1/2(Г)(,>н1/2(Г) можно записать в виде
Н-1/2(Г) «То“> То^н^Г) = ^o“Vo° d°.(7-106)
поскольку у0и^£2(Г), y0ugL2(T) и ^jp^C1^). Из (7.106) получаем, что
1н-1/2(Г) <^о°> Vo«>Hi/2(r)I = | р (?о«)2^ | < ^ II То" 11Ь(Г).(7-Ю7)
г
а с этим выражением мы поступим так же, как и с (7.110).
Перейдем теперь к третьему случаю. Предположим, что й с R2, а под du/дт понимаем производную d^ou)!ds в соответствии со сказанным выше. Поскольку в общем случае (d (you)/ds) Q I? (Г), то
153
мы не можем записать отношение двойственности н-из^^нЧ2^ в виде интеграла, как мы это сделали в предыдущем случае. Тем не менее формально запишем
Т • WWm - J « ^ТИ><^(7.108)
Г
Еще раз перепишем формально гг
~ J Т Ж" (W)2 ds I < ^ II ^ ПЬ(Г)’ ■ (7.109) Г
, 1 \ dt тде ^ = ттах|-^ получаем, 1 \ dt тде ^ = ттах|-^ получаеми, следовательно, отсюда и изи, следовательно, отсюда и изIl«(D‘Il«(D‘(7.108)(7.110)(7.108)(7.110)
, 1 \ dt тде ^ = ттах|-^ получаем
, 1 \ dt тде ^ = ттах|-^ получаем
и, следовательно, отсюда и из
и, следовательно, отсюда и из
Il«(D‘
Il«(D‘
(7.108)
(7.110)
(7.108)
(7.110)
Строгое (не формальное) доказательство этого неравенства можно найти в ([526, с. 221]). Здесь мы будем считать это неравенство справедливым и преобразуем его в другое неравенство, которое будет нам полезно в дальнейшем. Для этой цели нам потребуется следующий общий результат.
Теорема 7.6. Пусть Е, F и G — три банаховых пространства с нормами ||-Це, ||-||е и ||-||g соответственно и предположим, что F с: Е. Если ф € £ (F, G) — компактный оператор, то
Vs>0 X Vu^F ||ф(ы)||0^8||«||Б + у«||Б. (7.111)
Доказательство. Будем доказывать теорему от противного. Если (7.11) не верно, то.
Эе>0 Vn Hun^F J] ф(и„) ||0>е||u„И,, + «||ы„ ]|д (7.112)
(элементов(элементов(7.113)(7.113)и, следовательно, существует последовательность {«„} из F) такая, что
(элементов
(элементов
(7.113)
(7.113)
1|ф(«п)П0= 1 >811“п11е + п11“п11е-
В самом деле, полагая в (7.12) последовательно п = 1, 2, 3, ... я обозначая через uv, и2, и3, ... соответствующие элементы и, которые существуют по свойству (7.112), мы убедимся, что последовательность ип = ип /1| ф (ы„) ||0 удовлетворяет требуемым условиям. Из (7.113) следует, что
(7.И4)(7.115)(7.И4)(7.115)«п-у^О,Эс Vn^N ||ил||Б^с.
(7.И4)
(7.115)
(7.И4)
(7.115)
Отсюда и из компактности ф приходим к выводу, что существует подпоследовательность {м„А} последовательности {un} такая, что ф(«пЛ) сходится в G. Из (7.114) и непрерывности ф получаем ф(«пА)—>0, что противоречит (7.113). Следовательно, теорема доказана. □
Полагая £ = L2(Q), р = Нг(й\ G = L2(F) и ф = у0, из предыдущей теоремы получаем, что
Ve>0 Эйе>0 Vu^H1^
II Vo« НЬ(Г) < 8II« ||^1(Q) + ke || и ||^a,(7.116)
(появление здесь квадратов — проблема второстепенной важности — вспомним, например, (7.78) ...). Отсюда и из (7.110) приходим к тому, что
Ve>0 3h6>0 Vu^H1^ .
/Г~*/2(Г)^ ds ’ 7ои)н1/2(Г) ^ 8 || У Нн«(й) + ^е И Ы Нь^В)* (?• * * ^)
Неравенство (7.117) позволяет нам исследовать коэрцитивность формы 91г
Мы сформулируем результат в более общей форме, чем это нужно, поскольку в обоих случаях доказательство одинаково просто. Другие результаты общего характера, касающиеся коэрцитивности форм с «граничными кусками» можно найти в работах [618, со с. 136 и далее; 562, с. 285, 286; 526]. Итак, справедлива следующая теорема.
Теорема 7.7. Если форма а^ коэрцитивна на Н1 (Q) при Х>Хи если Т ^.^{Н1^, H~i>2(Г)) — такой оператор, что
Ve>0 Эй6>0 УиеЯ^Й)
1я—|/2(D^У, 7оУ)д1/2(Г) I ^ 8 II У Инцд) + ^Е II У 11ь»(В)*(^-l *®)
то форма 9(х коэрцитивна на НЧО^ при Х>Х-\-kafS.
Доказательство. Доказательство теоремы следует из соотношений (7.61), где вместо Но(Й) берется ^(Q) (мы не проводили выкладки для пространства Я1^), но формула тем не менее остается справедливой, а изменяется лишь значение X), и (7.118) при е = а/8. П
Наконец-то мы полностью решили поставленную нами задачу: мы знаем, что при условиях (d5) форма 91 х непрерывна и при тех же условиях она коэрцитивна, если X достаточно велико. В случаях, когда коэффициенты а^, bb ct, d и /(i, / = 1п) не заданы в явном виде (они зафиксированы и по предположению удовлетворяют ограничениям в (d5)), мы всегда будем предполагать, что X удовлетворяет указанным условиям, и не будем их всякий раз
оговаривать снова. В конкретных случаях, когда ац, bb cb d и /(i, / = 1,... ,л)— заданные функции, мы должны проверить, удовлетворяют ли они условиям в (d5).
Кроме того, если задано фиксированное значение X, то также необходимо проверить, подходит ли оно нам. Эта задача чрезвычайно трудная (за исключением некоторых частных случаев).
Дифференциальный оператор. Теперь мы должны связать форму с оператором согласно (7.86). Легко видеть, что оператором, соответствующим форме 31%, является оператор L + X, определенный равенством (7.102) — это тот же самый оператор, который в п. 7.2.1 мы связывали с формой а^! Таким образом, мы пришли к заключению, что две различные формы могут определять один и тот же оператор. Это говорит о том, что необходимо обсудить связь между формами и операторами, что мы сейчас и сделаем.
Формула (7.86) позволяет нам поставить в соответствие (непрерывной) билинейной форме 91 : V х У -> R, заданной ранее, единственный оператор Л б ^ (У, 2)' (й)). Предположим теперь, что вместо формы 91 нам задан оператор Л, что тогда дает формула (7.86)? Она ставит в соответствие оператору Л форму 91: V X X Ф (й) -> R, но не определяет 91 на всем пространстве V X VI Следовательно, для того, чтобы оператору Л поставить в соответствие форму 91: V X V -> R, необходимо продолжить форму (определенную формулой (7.86)) с V X Ф (Й) на V X V, а это продолжение не является единственным в общем случае. Это продолжение будет единственным, если V — нормальное пространство, поскольку в этом случае мы имеем продолжение по непрерывности с V X XS (Й) на Ух^Й^ = У х У.
В общем случае, грубо говоря, различие между двумя продолжениями определяется «граничными кусками», которые исчезают на У X ^Й (й). Этот факт объясняет, почему две различные формы могут соответствовать одному и тому же оператору. На языке краевых задач это означает, по существу, что с одним дифференциальным уравнением можно связать несколько граничных условий — мы убедимся в этом на некоторых примерах.
Однако многообразие продолжений — это не единственный путь поставить в соответствие одному оператору две различные билинейные формы. В самом деле, что означает фраза «задан оператор L Е^ (Н1 (й), 2У (й))»? Оператор L обозначает хорошо определенную часть декартова произведения Н1 (й) X ЗУ (й), но мы, конечно, не будем представлять его таким способом. Под фразой «задан оператор L» мы понимаем, что заданы коэффициенты atj, bt, Cj, d (i, / = 1n) в (7.38). Далее, два различных выбора коэффициентов могут соответствовать одной и той же части L декартова произведения Н1 (й) х 2)' (й), т. е. один и тот же оператор L можно разложить на элементарные операторы d/dxt различными путями. Об этом важном вопросе — разложении операторов, которого (здесь мы коснемся его лишь кратко) см., например, [525, с. 43; 562, с. 265; 49, 618, с. 251. Каждому разложению оператора L мы будем, ко-
нечно, ставить в соответствие свою билинейную форму, а на языке краевых задач это вновь означает, что с одним дифференциальным уравнением связываются различные краевые условия.
Разложение оператора Лапласа. Один и тот же оператор может быть разложен различными способами на элементарные операторы. Продемонстрируем это на примере, который мы обсудим еще раз позднее. Для удобства при записи формул предположим, что й с R2. Часть декартова произведения Я1 (й) х ф' (й), которую мы назовем оператором Лапласа и обозначим через А, может быть представлена в виде (7.38) различными способами:
с коэффициентами ап = аю = —1, а21 а12 = Ьг = Ь2 = — cr = с2 = d = О — стандартное разложение А, согласно которому имеем
а . did \ , did _— \, а.
А П = - д| -т—П |-т—I -г— П(7.119)
dx^\dx-i jdx2\dx4 )''
и, например, билинейную форму
аД1 (ц, v) = - Г (^+ ^ -gA dr, (7.120)
с коэффициентами ап = а22 = — 1, а12 = — t, а21 = t, ЬА = dtldx2, b2 = — (dt/dx^, сг = с2 = d = 0, где / £ С1 (й), — асимметричное разложение L, согласно которому имеем
А _9 ( 9Л П — dXi ( dxtА _9 ( 9Л П — dXi ( dxt_\ ,did_\, d/, d_\
А _9 ( 9
Л П — dXi ( dxt
А _9 ( 9
Л П — dXi ( dxt
П | -]ч | “а О I4д11"д О I
) 1dx4 дх2]1dxA(dx4)
d !, d_\. dt d_ dt d
— -5— 1t -4— О J 4* д—3— О —5—5— D(7.121)
dx4 ( dxt ] dxYOX] dxxdx2 ''
и, например, билинейную форму
°Д2°Д2du dudxx dx4du dudxx dx4C / ®u 9v 1 9u 9u
°Д2
°Д2
du dudxx dx4
du dudxx dx4
J (dxt dxi dx4 dx4
Q
du dudt_1 dx2 [dxidx2du dudt_1 dx2 [dxidx2du , dtdx± dxtdu , dtdx± dxti;)* <7 '22>i;)* <7 '22>
du dudt_
1 dx2 [dxidx2
du dudt_
1 dx2 [dxidx2
du , dtdx± dxt
du , dtdx± dxt
i;)* <7 '22>
i;)* <7 '22>
с коэффициентами an = aM = — 1, a12 = a21 = 0, fex = fe2 = = — сг = — c2 = t, d = ^dtldx^) + ^dtidx^, где t^C1 (й); тогда имеем
did _\ . did , d _ , . d „
дхх у dxx ) 1 дха \ у 1 dxx 1
-^to)-^-№) + ^*^ ° (7J23)
и, например, билинейную форму
- X С / ди ди , ди do J диди
ам(“.и)- J dXi + dXa дХа t дХ1 и t дхг и —
Q
, dv .ди f dt . dt \\. n ..
— tu-r--гЬ-5— uu dx. (7.124) dxi dx2 \dXi 1 dx4 j j x '
Примеры. Приведем несколько примеров, характеризующих, как нам кажется, типичные ситуации, с которыми мы часто сталкиваемся на практике; они удобны также для прояснения некоторых аспектов изложенной выше теории. Другие примеры можно найти в работах [562, 525, 527, 528] и др.
Как мы уже отмечали ранее, все примеры, которые мы приведем, могут быть получены при конкретизации исходных данных (dl)—(d6) (тем способом, которым эти данные можно конкретизировать, т. е. выбором пространства V и формы 91х). Мы будем рассматривать два типа примеров. В примерах первого типа (с 7.1 по 7.3) будем брать 91 = ах (т. е. 91х при Т = 0) в качестве билинейной формы, а в качестве пространства V будем брать поочередно Н^ (Q), Н1 (Q) и Уг„ — для каждого из этих пространств мы будем рассматривать задачи 7.12 и 7.13 и будем стараться переписать (7.96) и (7.98) в более «понятной» форме. В примерах второго типа (с 7.4 по 7.8) мы будем считать У = Я1 (Q) (при Q с R2), а в качестве билинейной формы 91 будем рассматривать поочередно пять различных форм, связанных с оператором — Л + X. Для каждой из них мы будем записывать задачу 7.12, пытаясь опять интерпретировать (7.96) подходящим образом. Мы выбрали оператор —Д + Л по той же причине, что и п = 2,— для удобства записи нужных нам выражений. Однако все, что мы будем излагать, может быть полностью обобщено как на случай большего числа переменных, так и на случай более сложного дифференциального оператора.
Благодаря равенствам типа формулы интегрирования по частям, одна и та же задача может быть сформулирована различными способами с помощью добавления интегралов на границе и вычитания соответствующих интегралов в области — см. пары задач (7.22, 7.24) и (7.23, 7.25).
Пример 7.1 (задачи Дирихле). Исходные данные: (dl) — (d5) при Г = 0, (d6) и У = Я* (Q).
В этом случае, как известно, N — Но (й). Однородный случай, соответствующий задаче 7.12, подробно рассматривался в п. 7.2.1 (см. также анализ, проведенный в п. 7.2.2). Фактически мы имеем дело с задачей 7.9, которую перепишем в другой форме, выделив в явном виде краевые условия, а именно:
(7.125)(7.126)(7.125)(7.126)Задача 7.15 (однородная задача Дирихле). При заданной функции /С Я'1 (52) найти функцию и^Н1^ (или и£Но(0$ такую, что
(7.125)
(7.126)
(7.125)
(7.126)
Lu Л-\и = f в Q,Уо« = 0 на Г.
Как мы уже отмечали, здесь нет естественных условий. Здесь, есть только одно краевое условие (7.126), и оно главное.
Теперь рассмотрим неоднородный случай. Условие (7.98) можно записать в виде
u — heH^,(7.127)
что в свою очередь, можно переписать как
Тоы — ТсЛ 113 Г.(7.128)
Таким образом, все, что нас интересует относительно функции h,— это лишь ее след на Г, который является функцией из класса Я1/2 (Г): go = Т(Л € Я1/2 (Г). Это и есть естественный вывод, поскольку в классических краевых задачах краевые условия задаются с помощью функций, определенных на Г, а не на й. Теперь, по скольку для каждого g0 6 Я1/2 (Г) можно найти «обратный» к g0 элемент й £ Я1 (й) (такой й б Я1 (й), что удй = g0 € Я1/2 (Г)), то в этом случае задачу 7.13 можно записать в следующей форме.
Задача 7.16 (неоднородная задача Дирихле). При заданных функциях / $ Я-1 (й) и g0 Я1/2 (Г) найти функцию и б Я1 (й) такую, что
Lu+^u = f в й,(7.129)
To« = go на Г.(7.130)
Здесь также только одно краевое условие, и оно главное. Кроме того, отсутствие естественных краевых условий можно использовать для того, чтобы охарактеризовать задачи Дирихле. А именно, краевая задача называется задачей Дирихле, если все ее краевые условия — главные.
Пример 7.2 (задачи Неймана). Исходные данные: (dl) — (d5) при Т = 0, V = Я1 (й).
Сначала определим пространство N. Из (7.93) и рассмотренных исходных данных имеем
N — {и^Н1 (й): Lu + Xu £ L2 (й) и ах (и, о) =
L2(Q)(Lu +Хи, У)^В)Vv(:№^. (7.131)
Отсюда, используя формулу Грина (18.32) (см., в частности, замечание 18.1), получаем
N = luEH\ (й): H_1/2(n (^и, VoV>„1/2(r) = 0 VvE№ (Й)} =
= {и € Я) (Й): уяи = 0 на Г), (7.132) и, следовательно, в этом случае задачу 7.12 можно записать в таком виде.
Задача 7.17 (однородная задача Неймана). При заданной функции /€£2(й) найти функцию и£Нхь(ЗД такую, что
Lu + Хи = f в й,(7.133)
7^ = 0 на Г.(7.134)
Здесь, в противоположность задачам Дирихле, нет главных условий. Единственное краевое условие (7.134) является естественным.
Теперь рассмотрим неоднородный случай. При наших условиях (7.98) можно записать в виде
Уу^ —й) = 0 на Г,(7.135)
«ли, поскольку и£НЦ&) и hEHvL^,
на Г1(7.136)
Из теоремы 18.8, в особенности из той части, в которой гово * рится о возможности «обращения» следов ^€Д-1/2(Г) относительно 7^, легко заметить, что задачу 7.13 можно сформулировать следующим образом..
Задача 7.18 (неоднородная задача Неймана). При заданных функциях /£L2(Q) и gi^H^12 (Г) найти функцию и^.Н\^ такую, что
Lu + Xu=ZвQ,(7.137)
4^ = 81 на Г.(7.138)
Здесь также мы имеем только одно краевое условие, и оно естественное. Отсутствие главных условий характерно для задач Неймана: краевая задача называется задачей Неймана, если все ее краевые условия естественны. Отметим, что наша терминология здесь отличается от терминологии, приведенной в разделе 7.1 для классических постановок краевых задач. В частных случаях задачами вида 7.17 и 7.18 являются не только задачи, которые связаны с именем Неймана (и которые включают краевое условие на нормальную производную или на ее продолжение), но и многие другие; среди них мы отметим задачи, которые связаны с условием на косую производную — так называемые задачи с косой производной. Вопрос, связанный с терминологией, будет прояснен с помощью задач в примерах 7.4 и 7.8.
Неоднородные задачи Неймана (а в общем случае — все неоднородные задачи) можно рассматривать непосредственно, без первоначального сведения их к однородному случаю: это, например, будет сделано для задачи 18.1. Мы не развиваем далее этот подход, поскольку, как увидим из задачи 18.1, он выходит за рамки обобщенных функций. Рассмотрение таких объектов можно найти в работах [543, с. 162; 562, с. 300].
Пример 7.3 (смешанные задачи). Исходные данные: (dl) — (d5) при Т = 0, (d6) и V = Кг»- В этом случае имеем
N = {и 5 У г,: Lu + Хм £ L2 (Q) и
^ (u, v) = L.w (Lu-vXu, u>L,(Q) Vv С УГо};(7.139)
тем самым, полагая 1\ = Г\Г0 и используя (18.36), получаем:
N-iuw. п нда-^^Аг wlr?^,-0 vt.ev,a- = (« € Vr, n H'L (Q): Tau |n = 0}.(7.140)
Тогда задачу 7.12 можно записать в следующем виде.
Задача 7.19 (однородная смешанная задача). При заданной функции f£L2^ найти функцию и^Н^Ц такую, что.
Lu+ku = fBQ,(7.141)
■№|Го = 0,(7.142)
Wz|ri = 0.(7.143)
Задача 7.13 при видоизменении доказательства существования «обращения» Л Е^(^оо2(Г9) X (Ноо2(Г1)У, Яь(й)), которого мы не будем здесь приводить, может быть записана в следующем виде.
Задача 7.20 (неоднородная смешанная задача). При заданных функциях fWQy £о€Я1/2(Го), g^^^Y найти u^HvL^ Такую, что
'Lu + Хи = f в 52,(7.144)
То“1г0=5о-'(7-145)
Ти"1Г1=£1-(7146)
z Как в однородной смешанной задаче 7.19, так и в неоднородной задаче 7.20, мы имеем два типа краевых условий: условия (7.142) и (7.145) являются главными, в то время как условия (7.143) и (7.146) являются естественными. По этой причине мы называем такие задачи «смешанными задачами» (по-фраицузски problemes mSles).
Задачи для оператора Лапласа.
Пример 7.4. Исходные данные: (dl) при п = 2, (d2) при V = Н1 (П), (d3), (d4), а в (d5) и (d6) au = ам = 1, а12 = а21 = = Ьг = Ьг = сг = с2 = d и Т = 0.
Мы имеем билинейную форму 91 (и, и) = — а^ (и, и) + X (и, и)/.»®, где ам определена в (7.120), и дифференциальный оператор — А + + X, где А — оператор, соответствующий разложению (7.119). Очевидно, что условия (Н1) — (Н4) и (7.57) выполнены, поэтому форма 91 непрерывна и коэрцитивна на Н1^ для достаточно больших X. Эта ситуация является частным случаем ситуации, рассмотренной в примере 7.2, следовательно, задачу 7.12 мы можем записать в следующем виде.
Задача 7.21. При заданной функции f£L2^ найти u^H^Q) такую, что
— Ац + Хи = f в £2,(7.147)
уади = 0 на Г. '(7.148)
Заметим, что эта задача Является частным случаем задачи 7.17. Проанализируем теперь условия (7.148) в предположении, что ре- 11 К. Байокки, А. Капело161
шение и задачи (7.21) является элементом пространства Н3 (й). При этих условиях u Е С1 (й) (см. теорему 5.19 при п = 2), и можно записать
^ = ^ |г C°S (V’ + 5" |г C°S (V’ ^ = 4г = 0 на Г
(7.149)
Таким образом, задача 7.21 является задачей Неймана, связанной с нормальной производной. В таком случае, можно сказать, что мы имеем дело с истинной задачей Неймана. Отметим, что предположение и^ Н3 (й) вполне естественно, поскольку можно доказать, что если f Е Н1 (й), то и Е Н3 (й) (это результат о гладкости Типа 3), к которому мы еще вернемся). Однако в настоящий момент нас интересует чисто формальная дискуссия, и мы не будем накладывать на исходные данные / требования дополнительной гладкости.
Мы уже отмечали ранее, что в общем случае очень трудно отыскать множество значений X, при которых билинейная форма типа 91% коэрцитивна. Однако в нашем частном случае это сделать очень просто: форма 91 (и, о) = — ам (и, и) + X (и, v)l4Q) коэрцитивна на Н1 ^й) тогда и только тогда, когда X Е (0, + оо). Вообще, можно доказать следующий результат.
Теорема 7.8. Пусть йс=К" — открытое множество; а^£ Е^”(й) (i, / = 1, ..., п)— п2 функций, удовлетворяющих (7.57); р^ Е L°° (й) — заданная функция такая, что р (х) ^ а' >• 0 почти всюду в й. Тогда форма■
а (и, и) = J f 2 аи "IT. IT + ^dx <7Л50)
коэрцитивна на Н1^).
Доказательство. Достаточно заметить, что
п
а (и, и) > а ^ || doldXi ||2>(О) + а' || и ||2>(й) > min (а, а'}|| у ||^1(й).
<=‘(7.151)
Из (7.151) следует, что для того, чтобы а была коэрцитивной на Нц (й) (при ограниченной й), достаточно, чтобы р (х) ^ 0 почти всюду в й. В частности, отсюда следует, что при ограниченной области й задачи Дирихле для оператора —А (или А) корректно поставлены в Н^ (й). □
Пример 7.5. Исходные данные: (dl) при п = 2, (d2) при V = = Н1 (й), (d3), (d4), а в (d5) и (d6) аи = ам= 1, а11= t, а21 = = — t,_ 1ц = — фПдх^, b4 = dtfdxv c1 = c4 = d = 0 и Т г 0, где и.СЧ^У
" Здесь мы имеем билинейную форму 91 (ы, и) = —ам (и, у) + 4-X (и, у)ще», где а^ определена формулой (7.122), и оператор
162
—A + X, где А соответствует разложению (7.121). Легко показать, что условия (Н1)—(Н4) и (7.57) выполнены, и, следовательно, форма 91 непрерывна и коэрцитивна на Н1 (£2), если X достаточно велико (в общем случае недостаточно, что X > 0). Теперь мы находимся в условиях примера 7.2, и, следовательно, задачу 7.12 можно записать в следующем виде._ .
Задача 7.22. При заданной функции f£l?(Q.) (и ^С С1 (Q)...) найти и 6 Яд (£2) такую, что
— Au + Хи = / в £2,(7.152)
Тад2“=° На Г'(7Л53>
Эта задача — другой частный случай задачи 7.17. Предполагая, как и ранее, что и £№(£2), запишем
К," = ^-|г “’(’'•+ -^ |rcos(v, xj + <lr-^-|r=os(». *,) -
где ди/дх — производная по касательной к границе области £2. (Предполагаем, что направление касательной сориентировано с «основным направлением» на Г.) Выражение (du/dv) — /|г duldt определяет производную по направлению v — /|г т, которое является («косым») вектором, выходящим из £2. Таким образом, задача 7.22 является задачей Неймана, связанной с условием на косую производную — в литературе эта задача достаточно известна под названием «задача с косой производной».
Задачи 7.21 и 7.22 показывают, что в зависимости от разложения оператора ему можно поставить в соответствие очень разные задачи. Задача (7.23) является еще одним таким примером.
Пример 7.6. Исходные данные: (dl) при я = 2, (d2) при V = = №(£2), (d3), (d4), а в (d5) и (d6) а1г = ам = \, а12 = а21 = О, Ьг= Ь4 = — q = — с2 = — / и d = — (dt/dxl + dtldx^, где ^ С* (Q).
Здесь мы имеем билинейную форму 91 (и, о) = — аДз (и, о) + + Х(и, и)кча^ гДе адз определена формулой (7.124), и оператор — А + X, где А соответствует разложению (7.123).
Очевидно, что условия (Н1)—(Н4) и (7.57) выполнены, и, следовательно, форма 91 непрерывна и коэрцитивна на Н1 (£2) при достаточно больших X. Тогда мы опять находимся в условиях примера 7.2, и поэтому задачу 7.12 можем записать в следующем виде. '
Задача 7.23. При заданной функции /£L2(Q) (и /€С*(Й)...) найти и£Яд(£2) такую, что
— Au + Хм = / в £2,(7.155)
?Од« = 0 на Г.(7.156)
Эта задача — другой частный пример задачи 7.17. Снова предполагая, что и £ Н3 (й), получаем:
?АЗ («) = -^- |г COS (v, Xi) + -^- |г cos (v, х2) — t |г и |г cos (v. Xj) —
— t |г и |г cos (v, х2) = -^- — t |г и |г (cos (v, Xi) + cos (v, x2)) = 0.
(7.157)
Следовательно, задача 7.23 является задачей Неймана, но ее тип отличается от типа предыдущих задач. Некоторые авторы называют ее задачей Ньютона.
Пример 7.7. Исходные данные: (dl) при п = 2, (d2) при V = = Н1 (й), (d3), (d4), а в (d5) и (d6) au = ам = 1, а21 = а12 = Ьг = = Ьг = сх = с2 = d — 0 и ТП = t (д/дт)П.
Здесь мы имеем билинейную форму
Я(ы, и) = — ОдI (ы, и) + X (ы, у^ + н-1/2(Г)(tkduldty V^Wi
и оператор —А + X, где аД1 определена формулой (7.12), а А задан формулой (7.119). Мы уже знаем, что при достаточно больших X, форма 91 непрерывна и коэрцитивна на Н1 (й).
Как легко видеть, из (7.93) и (18.32) следует, что
N = (u G ^ R: H-V2(r^aMu- То9>н1/2(г) —
H-V/2(T^ 1г “JT ’ ТоУ)н1/2(Г) = 0 Vv^H1 (й)} =
= ^н^)-. ^-1^^- = 0 на г), (7.158)
и мы можем записать задачу 7.12 в следующем виде.
Задача 7.24. При заданных функциях /£Л2(Й) и ^С1^) найти и^НхДЗД такую, что
— Au + Xu-f вй,(7.159)
Тад[Ы-Иг-^- = 0 на Г.(7.160)
Если и С Н3 (й), условие (7.160) можно представить в виде
.. ди ди , I ди г. .г,.
к —<= Ч = 0 на Г; (7.161)
у , ,ад1 'Г дт dv Г Эт’'•
следовательно, мы имеем еще одну задачу с косой производной.
. Задачи 7.22 и 7.24 показывают, что одни и те же краевые условия можно получать самыми различными путями. В случае задачи 7.22 мы «десимметризовали» оператор Лапласа, а в случае задачи 7.24 вместо этого мы добавили к билинейной форме адь связанной ^''стандартным разложением оператора, подходящую граничную билинейную форму.
Пример 7.8. Исходные данные: (dl) при п = 2, (d2) при V = Н1 (fi), (d3), (d4), а в (d5) и (d6) au = аа2 = 1, a12 = a21 =
^i Ь2 2 cv : с2 ~ d = 0 и 7 □ == /уо □ •
Теперь мы имеем билинейную форму
91 (и, и) = — аД1 (и, и) + Х(и, 0)^(0) + h-V^W. То^/гт’
где ад1 задана формулой (7.120), и дифференциальный оператор —А + X, где А определен формулой (7.119). Нам известно, что при достаточно больших X (а именно, X > 0) форма 21 непрерывна и коэрцитивна на Н1 (Q). В этом случае имеем
{ы € Н(Q) . и—l/2(r>(YaA1u> ?0у)н'^(Т) =
= Н-1/2(Г)№, ТоУ)Н1/2(Г) Vy € Н1 (Q)} =
= {« € ^ <й): 7аД1« — h»u = 0 на Г}; (7.162)
следовательно, задачу 7.12 можно сформулировать следующим образом.'
Задача 7.25. При заданных функциях /gL2(Q) и /£С* (Q) найти ы^^д(й) такую, что
— bu-VU = t вQ,(7.163)
ТаД1“ —Иг7о« = О на г.(7.164)
Если и g Н3 (Q), то (7.164) можно записать в виде
Т°д1Ы —^rW = "Й/г«|г = 0 на Г. (7.165)
Это показывает, что задачи 7.25 и 7.23, по существу, одинаковые. Таким обпазом, мы снова пришли к ситуации, отмеченной в предыдущем примере: одна и та же краевая задача может быть связана с дифференциальным оператором несколькими различными путями.
7.3. Нелинейные задачи
Мы уже подробно рассматривали нелинейную одномерную задачу — задачу о струне и препятствии (разделы 1.1 и 6.1). Здесь мы исследуем некоторые многомерные нелинейные задачи, одна из которых является обобщением упомянутой задачи (пример 7.10).
Отсутствие общей теории. Для нелинейных вариационных задач не существует теории, подобной той, которая была представлена нами (следуя Лионсу, 1955) для линейного случая. Это обусловлено существенным образом широким выбором факторов, которые определяют нелинейность задачи (т. е. нелинейные функционалы, которые могут присутствовать в вариационных неравенствах, и вы-
пуклые множества, на которых эти функционалы определены). В связи с этим сама по себе сложная проблема интерпретации вариационных задач как дифференциальных становится еще более сложной в нелинейном случае, поскольку каждая задача здесь сложна сама по себе (за исключением, конечно, случаев, когда можно развить соответствующие аналогии).
Мы рассмотрим три задачи, которые кажутся нам наиболее типичными. Много других примеров задач, связанных с вариационными неравенствами, можно найти в литературе, представленной в библиографии, и, в частности, в работах [32, 599, 687, 46—48, 3661. Кроме того, далее в этой книге мы приведем другие примеры, связанные с задачами со свободной границей.
Во всех примерах примем обозначения:
£2 — ограниченное связное открытое множество из R";
Г — граница й, ее будем предполагать непрерывной по Липшицу; далее, 91 — билинейная форма 91л, определенная в (7.101), где предполагается, что Т = 0 и X такое, что форма коэр- цитивна на Н1 (й);
L + X — дифференциальный оператор (7.102), соответствующий форме 91.
Пример 7.9 (задача Синьорини). Обозначим через Кд множество
.^i = (у 5 Н1 (й): уои ^ 0 п. в. на Г).(7.166)
Это множество вполне определено, поскольку уои £ Н1^ (Г) с: с: L2 (Г), и, тем самым, высказывание «уои ^ 0 п. в. на Г» имеет смысл. В дальнейшем мы будем сокращать это высказывание и записывать его как «у^^О на Г», как мы делали ранее в подобных ситуациях. Можно убедиться в том, что Ку — выпуклое множество (более того, это — выпуклый конус), оно не пусто (в частности, ti^(Q)c Ку) и замкнуто в Я^й). (Для того, чтобы это показать, необходимо только взять в Ку последовательность {уп} такую, чтобы ип—>у в Н1^), и заметить, что непрерывность оператора у0 влечет уои^О на Г, и, следовательно, u£Kv)
Билинейная форма 91, будучи непрерывной и коэрцитивной на Нх (Й), непрерывна и коэрцитивна на Ку — Ку и, следовательно, мы можем воспользоваться теоремой Лионса — Стампаккьи, чтобы гарантировать существование и единственность решения следующей задачи.
Задача 7.26. При заданной функции / £ L2 (й) найти функцию и Н1 (Й) такую, что
91 (и, и — v) ^ j Ци — у) dx Vu£Kv (7.167)
Задача 7.26 является нелинейной вариационной задачей. Заметим, что правую часть неравенства (7.167) можно записать в виде l\qi<J, и — v)l*№, или в виде <нчту<], и — х^нч^ и> следовательно,
является, по существу, вариационным неравенством, к которому применима теорема Лионса — Стампаккьи.
Мы не стали рассматривать функцию f из (Я1 (Й))', поскольку это вывело бы нас за рамки обобщенных функций; кроме того, в этом случае граничные условия и уравнение в Q были бы «перемешаны» в задаче 7.26.
Рассмотрим теперь следующую задачу.
Задача 7.27. При заданной функции f £ L2 (Q) найти и Е Е Я1 (£2) такую, что
Lu + Хи = f
в
Q,
(7.168)
То“>°
на
Г,
(7.169)
у^и ^> 0
на
Г,
(7.170)
Уо“Ум“ = 0
на
Г.
(7.171)
Это нелинейная краевая задача, соответствующая дифференциальному уравнению (7.168) (нелинейность задачи относится только к краевым условиям). Естественно, что уравнение (7.168) и условия (7.169) и (7.170) рассматриваются соответственно в смысле Ф' (£2), Я1/2 (Г), т. е. почти всюду на Г, и Я~1/2(Г), т. е. в смысле меры на Г. Смысл равенства (7.171) не ясен при одном только предположении u^Hv (£2). Если бы вдобавок и принадлежала С° (£2), то мы могли бы (7.171) заменить равенством
у^и = 0 на Г+ (и), (7.172) которое имеет следующий смысл:
^'0(г+(И))<Т21«> Ф>^о(Г+<и» = 0 V<p 6 О» (Г+ (и)). (7.173)
Замечание (по поводу обозначений). Если Л — произвольное множество из Rn, a f£ С3 (Л), то через Л+ (/), Л° (/) и Л- (/) мы сбозначаем соответственно множества, где f — положительна, равна нулю или отрицательна, т. е. Л+(/) = {хЕД: / (х) > 0), Л° (/) = {х Е Л: / (х) = 0) и Л~ (/) = {х £ Л: f (х) <. 0} (см. обозначения, используемые в разделе 6.1). Легко видеть, что Л+ (/) и Л* (ft — открытые множества (в Л ) и
supp f = Л+(/) и А-1Г) = Д\1п1 (Л° (/)).
Покажем теперь эквивалентность задач 7.26 и 7.27 в предположении, что и € С° (£2) fl Я1 (£2) (и в задаче 7.27 мы заменим (7.171) на (7.172) — об этом больше не будем напоминать). Важно заметить, что это предположение не является обязательным как для точной интерпретации равенства (7.171), так и для доказательства эквивалентности двух задач. Однако, при отсутствии этого предположения все становится более сложным, и, теряя в общности, мы выигрываем в ясности изложения. К тому же такое предположение не является серьезным ограничением для большинства задач, кото-
рые имеют физическую интерпретацию. На самом деле можно показать, что решение задачи 7.26 принадлежит пространству Н1 (Q) (это результат о гладкости типа 1)) и, следовательно, по теореме 5.17 оно непрерывно при п ^ 3. Если предположение о непрерывности не выполнено (а существуют контрпримеры, показывающие, что это возможно при достаточно больших значениях п — см. [240, с. 176]), то наша дискуссия носит чисто формальный характер.
Теперь докажем, что если и — решение задачи 7.26, то и — решение задачи >7.27 (т. е. задача 7.26 => задача 7.27). Точнее, предположим, что нам не известна задача 7.27, и мы пытаемся интерпретировать задачу 7.26 как дифференциальную задачу. Это, естественно, приведет нас к задаче 7.27. Пусть тогда ф — произвольная функция из # №); рассмотрим функции иг = и — ф и у2 = и + ф, которые, очевидно, являются элементами Kv Заменяя у в (7.167) на иг и у2, поочередно получаем:
91 (ы, и — yj ^ j / (и — yj dx и 91 (ы, ы — у2) ^ j / (ы — у2) dx,УU
(7.174) или
9l(zz, ф)^ J/фб/х и 91 (ы,—ф)^^(—ф)^х;аа
.(7.175)
следовательно,
91 (ы, ф) = ^ftpdx.(7.176)
Поскольку ф — произвольная функция из S (Q), можно утверждать (вспомним раздел 7.2), что функция и удовлетворяет уравнению
Lu-Vku = t bQ■(7.177)
в смысле ST (Q).
Найдем теперь краевые условия, которые в задаче 7.26 неявно связаны с (7.177). Как и в линейном случае, частично они «содержатся» в (7.167), а частично — в конусе Ki (который теперь играет роль пространства У). Первое условие (главное) очевидно. Поскольку и £ Къ мы можем записать, что
YoM^s 0 на Г.(7.178)
Это условие следует понимать в смысле почти всюду на Г (или, поскольку и непрерывна на £2,— в классическом смысле). Далее из (7.167) и формулы Грина (18.32), которую можно записать в виде
91 (и, и — у) = j (Lu + )м)(и — у) dx + „-хр^щи, ^(и — у)>„1/2(Г| П(7.179)
(и которую мы можем применять, поскольку из (7.177) следует 168
u£HxL (52)), вытекает, что.
HW^-Yut"-»))*^ WE Ki-(7.180)
Дадим теперь интерпретацию этому условию. Пусть фЕД1/2(Г), <р ^ 0 на Г и положим и = и + 7?ф, где % Е ^ (Д1/2 (Г), Я1 (52)) — оператор «обращения». Имеем vEKi и, следовательно, из (7.180) получаем, что
w-i/2у0 (— Яф))„1/2(Г) С 0 Уф 6 Н1'2 (Г), ф > 0 на Г,
(7.181) или
у^и > 0 на Г(7.182)
в смысле Н~1/2 (Г) (или в смысле меры на Г, при условии, что в (7.181) выражение «фе№/2(Г), ф^О на Г» можно заменить на «фЕД1/2(Г) П С°(Г), ф^О на Г» и что С°(Г) П Нх'2 (Г) плотно в С°(Г)). Итак, (7.182) является вторым условием (теперь уже естественным), связанным с (7.177).
Если вспомнить линейный случай, то можно подумать, что для интерпретации задачи 7.26 больше ничего не требуется и что в качестве этой интерпретации можно рассмотреть следующую задачу: три f Е L? (52) найти функцию и£ Н1 (52) такую, что выполняются соотношения (1Л77), (7.178) и (7.182)». Но эта задача некорректно поставлена, и, следовательно, мы не можем рассматривать ее в качестве интерпретации для задачи 7.26, которая поставлена корректно. Это показывает, что задача 7.26 «богаче», чем следовало ожидать: она содержит условия, которые мы пока не сформулировали в явном виде, поэтому нам следует продолжать поиск. У нас есть два условия на Г — (7.178) и (7.182), и естественно предположить, что между ними существует некая связь, т. е. совместность. Другими словами, эти условия не являются полностью независимыми друг от друга. В самом деле, связь существует: мы покажем, что <^и = 0 при уои > 0». Смысл этого утверждения станет ясен после его доказательства.
Из непрерывности и в "52 следует, что уои = ы1г непрерывна на Г и, следовательно, имеет смысл рассматривать множество Г+ (уои) (здесь мы впервые по существу пользуемся предположением о непрерывности и!). Обозначим через X пространство функций ф Е Е S0 (Г+ Vtou)) таких, что ф Е Д1/2 (Г), где ф обозначает тривиальное расширение ф на Г. Легко убедиться, что X плотно в ^° (Г+(уои)). Пусть теперь ф — произвольная функция из X, а р = = min уои/ шах |ф|, если ф^О и р = 0, если ф=0. Нетрудно supp <р r+(Vo(u))
видеть, что функции ^ = и — pj? (ф) и и2 — и + pJ? (ф) являются
элементами конуса Кх и, следовательно, из (7. 180) вытекает, что н-М^Чи’ Vo G*# (Ф))>н1/2(п ^ 0 и
H-U\r^^> То (— ^ (Ф))>Н1/2(Г) < °’(7-183)
или
н—^(p/V^» Ф^н1/2(Г) = 0-(7.184)
Поскольку ф — произвольная функция из X, а X плотно в
#°(Г+(тои)), можно записать
^'«(г+ти))^^2^! V^tr+mu» = 0 V*P € &0 (Г (?»«)),(7.185)
откуда следует, что
7^ = 0 на Г+(?ои)(7.186)
в смысле меры на Г+ (уои). Итак, (7.186) является третьим условием, связанным с (7.177).
Все это приводит нас к заключению, что решение задачи 7.26 является решением задачи 7.27. Чтобы убедиться в правильности интерпретации задачи 7.26, необходимо показать, что задача 7.27 корректно поставлена. Это будет вытекать из того, что решение задачи 7.27 является решением задачи 7.26. Мы сейчас докажем это, тем самым завершая доказательство (формальной) эквивалентности двух задач.
Итак, пусть u Е ^ (П) Г) С° (й) является решением задачи 7.27. (Заметим, что мы пока не доказали единственность решения задачи 7.27 — это будет следовать из эквивалентности задач 7.26 и 7.27; однако, факт существования решения имеет место.) Из (7.169) вытекает, что и^Кх, а из (7.168) получаем представление
J(L« + A«)(u — v)dx = j/(u — v)dx VuE^v (7.187) aa
которое в соответствии с формулой Грина (7.179) можно заменить на
91 (и, и — V) = j f (и — v) dx + H-i/2(r)(Ysl«, То (“ — У)>н>/2(Г) Уу € Kv
(7.188)
Для завершения доказательства нам нужно показать, что если и удовлетворяет (7.188), то и удовлетворяет (7.167). Это можно сделать, доказав неравенство
h-uW4u* Vo (“ — o^tMn ^ 0 Vy ^ Kv(7.189)
Имеем
H-W^U, То (И — V))//l/2(n =
/Г—1/2(р)(ТяМ, To^^f/V2(p)Н^^О'^^' То^//*/2(р)’ (7.190)
что вместе с (7.170) дает неравенство
h-W^4u' Vo(u “ ^hW^h-i'W'?^’ Тоы>я1/2(г) VvEKv (7.191)
Таким образом, нам нужно показать, что
//—1/2(г/Тя“1 То^н*/2(р) = 9(7.192)
или (при условии уои£С°(Г))
Si'otD^Vy^ Тоы)^о(р) = 9.(7.193)
А последнее равенство следует из (7.172) и того (легко доказываемого) факта, что уои можно приблизить в топологии ^° (Г) функциями пространства 0° (Г+ (уоы)). Следовательно, задачи 7.26 и 7.27 эквивалентны.
Задача 7.27 (а, следовательно, и задача 7.26) называется задачей Синьорина. Она принадлежит семейству так называемых задач с односторонними условиями (из-за присутствия знака ^ в (7.169) и (7.170)). Задача 7.27 называется также смешанной задачей с неопределенными условиями (см. [672, с. 1281), поскольку на Г+ (Тоы) накладывается условие Неймана, а на Г°(уои) = = Г\Г+ (уои) — условие типа Дирихле. Но поскольку само множество Г+ (уоц) (например) неизвестно в . задаче, то мы не знаем, какое условие на самом деле накладывается на решение в каждой точке границы Г. В связи с этим задача 7.27 в некотором смысле является задачей со свободной границей, причем граница является свободной из-за Г+ ^и). Задачи Синьорини естественным образом возникают в некоторых задачах механики сплошной среды — в этой связи см. работы [672, 383].
Задача 7.27 является однородной. В неоднородной задаче условия (7.169), (7.170) и (7.171) заменяются соответственно на условия То“>£о на Г, y$tu>g1 на Г и (уои — g0) Q^u — g^ = 0 на Г, где g0 и gx — заданные функции, например, из Н^2 (Г) и H~x*2 (Г) соответственно. (Третье условие следует интерпретировать надлежащим образом. Если иgС°(Q) П Н1 (й) и go^C1 (Г), то смысл его очевиден: Тя“ = 61 на Г+ ^ои — g0) в смысле меры на Г+ (you — g0\) Эта неоднородная задача является интерпретацией вариационной задачи, полученной из задачи 7.26 заменой в (7.166) условия «уои^О на Г» на «ToV^go на Г» и добавлением в правую часть неравенства (7.167) выражения H_1;2m(gp ^(и — и))нц2(Ту
Соображения такого рода справедливы и для задач, которые будут рассматриваться в дальнейшем, и мы не будем повторять их заново.
Пример 7.10 (задача о препятствии). Пусть ф Е Д1 (Я) — такая функция, что УоФ^ 0 на Г. Рассмотрим множество
Кг — (у € Но (Я): у^ф в Я).(7.194)
Легко видеть, что К2 — замкнутое выпуклое подмножество пространства Но (Я), которое вполне определено и не пусто (—[ф1~ Е Е Кг\ Тогда билинейная форма 91 непрерывна и коэрцитивна на К а—Ка, и из теоремы Лионса — Стампа ккьи следует существование и единственность следующей задачи.
Задача 7.28. При заданной функции / Е £2 (Я) найти функцию и Е Ка такую, что
91(«,и — у)< ^f(u— v'ldx Vy^Ka- (7.195) о
Для интерпретации этой задачи предположим (по аналогичным причинам, что и в примере 7.9), что ее решение непрерывно в Я. Далее, предположим, что функция ф также непрерывна в Я. Эти два ограничения не очень жесткие, поскольку можно показать (см., например, [240, с. 1641), что если / Е Н-1 (Я) П U> (Я) и ф Е Е Д1 (Я) П W21p (Я) (1 < р < + °°), то и Е W2,p (Я), и, следовательно, при р>п/2 и и ф непрерывны на Я.
Теперь пусть и Е Cd (Я) П Н1 (Я) — решение задачи 7.28, ф — произвольная функция из (Я), т. е. ф Е Ф (Я) и ф>0 в Я. Функция у = и — ф является элементом множества Ка и> следовательно, из (7. 195),
91 (и, ф) ^ j /ф dx Уф Е S+ (Я),(7.196)
или
Lu + Хи ^ f в Я(7.197)
в смысле 2/ (Я). Далее, поскольку и Е Кг* то
■ и^ф в Я.(7.198)
Таким образом, мы имеем пару односторонних условий (7.197) и (7.198), которые одновременно выполнены на одном множестве Я. Из этих двух условий можно получить третье, аналогично тому, как в примере 7.9 из условий (7.178) и (7.182) мы получили (7.186). Пусть тогда фЕ<0(Я~(и — ф)), а р. = т1п(ф — и)/тах|ф|. Отсюда supp фу—
немедленно следует, что vv = и — р.ф и у2 = и + цф являются эле ментами множества Кг и> тем самым,
91 (и, Цф) ^ j l№dx и 91 (и, — р.ф)^ j f (—pup)dx,(7.199)
ио
что влечет
91 (и, ф) = j /ф dx Уф Е ^ (Q (и — Ар)).(7.200)
Из (7. 200) заключаем, что
Lu + Xu = f в й-(и — Ар) .(7.201)
в смысле <2/(й~ (и—1|)) Уравнение (7.201) можно заменить на равенство
(Lu + Хи — /) (и — тр) = 0 в Й,(7.202)
которое следует толковать как (7.201). Без требования непрерывности и и Ар равенство (7.202) является условием, о котором мы должны помнить и которое следует интерпретировать в надлежащем смысле (аналогично (7.201)). Отметим аналогию между парой условий (7.171), (7.172) и (7.201), (7.202).
Условия (7.197), (7.198) и (7.201) должны иметь место в й, к ним мы можем добавить краевое условие
уои = 0 на Г(7.203)
в смысле /Д/г (Г) (или в классическом смысле уои = и|г), что следует из и 6 кг.
Учитывая сказанное, можно утверждать, что если и— решение задачи 7.28, то и является решением следующей задачи. -
Задача 7.29. При f^La(^) и трЕ^ЧЙ), уоАр^О на Г найти функцию uE№ (Q) такую, что выполнены условия (7.197), (7.198), (7.201) (или (7.202)) и (7.203).
Убедимся, что задача 7.29 является надлежащей интерпретацией задачи 7.29. Для этого покажем, что в предположении непрерывности и и Ар решение задачи 7.29 является решением задачи 7.28..
Из условий (7.198) и (7.203) вытекает, что если и — решение задачи 7.29, то и Е /<2, поэтому нам нужно только доказать, что и удовлетворяет вариационному неравенству (7.195). Для этого нам придется воспользоваться техникой, существенно отличной от той, которая использовалась в предыдущем примере, так как мы не можем умножать обе части (7.197) на и — и. Поскольку у0 (и — и) = = ^йи — уои = 0, то для и, и Е К2 можно записать формулу Грина (7.179) в виде
91 (и, и — и) = J (Lu + Хи) (и — и) dx.(7.204)
й
Правая часть (7.204) представима в виде суммы
j (Lu + Хи) (и — v) dx = f (Lu + Хи) (и — u)dx + ай—(и—ф)
4- у (Lu + Хи) (и — u)dx, (7.205) 'й°(и—ф)'
в которой первое слагаемое можно заменить, с учетом (7.201), на
j (Lu + Xu) (и— y)dx = j /(u— y)dx, (7.206) q—(u—Ф)a-(u—ф)
а для второго слагаемого имеем неравенство
^ J /(Ф — v)dx^ ^ f(u—v)dx, (7.207) а°(и—4»'a«<u—4»^ J /(Ф — v)dx^ ^ f(u—v)dx, (7.207) а°(и—4»'a«<u—4»j (Lu + Xu) (u — у) dx = J (Lu + Xu) (ip — y) dx ^ a°(u—4*e^u—4»
^ J /(Ф — v)dx^ ^ f(u—v)dx, (7.207) а°(и—4»'a«<u—4»
^ J /(Ф — v)dx^ ^ f(u—v)dx, (7.207) а°(и—4»'a«<u—4»
которое справедливо, поскольку в Q9 (u — ф) мы имеем u = ф, Lu + 4-Xu = f и ф —y>0. Из (7.207) и (7.206) получаем
J (Lu + Xu) (u — y) dx ^ J / (u — y) dx, (7.208) aa"
это неравенство вместе с (7.204) дает (7.195). Следовательно, мы доказали, что задачи 7.28 и 7.29 эквивалентны.
Как и задача 7.27, задача 7.29 является задачей с односторонними и неопределенными условиями, которую можно рассматривать как задачу со свободной границей (причем свободной границей является граница области Q- (и —ф)). Но если в задаче 7.27 условия наложены на Г, здесь они наложены в Q. Краевое условие в задаче 7.29 является условием Дирихле. По аналогии с линейным случаем возникает естественное предположение, что если выражение «у 6 Hq (Q)» в определении К» заменить на «у € Н1 (Q)», то получится задача, отличающаяся от задачи 7.29 только тем, что условие Дирихле заменено на условие Неймана. Но это не так: задача, полученная таким образом, является неопределенной не только во внутренней части области, но и на границе (см., например, [46]).
Задача 7.29 называется задачей о препятствии, поскольку она, очевидно, является обобщением задачи о струне и препятствии, рассмотренной в разделах 1.1 и 6.1.
Приведем теперь еще один частный случай задачи 7.29. Пусть п = 2, f = 0, ф 6 № (Q), ап = а22 = 1 и а12 = а21 = ЬТ = Ь2 = = сТ = с2 = d = X = 0. При этих условиях задачу 7.29 можно записать в следующем виде.
Задача 7.30. При ф 6 Н4 (Q), ф |г^ 0 найти функцию и € /7*(Q) такую, что
— Ди ^ 0вQ,(7.209)
.и^фвQ,(7.210)
Ди = 0, где и <_ ф (иначе в Q- (и — ф))(7.211)
и|г =0.(7.212)
Решение этой задачи описывает форму, которую при отсутствии внешних сил (/ = 0) принимает невесомая упругая мембрана, натя- 174
нутая под препятствием Д = {х £ Rs: to, х2) € й и х3 = ф to, х2)} и закрепленная на границе Г области й. Непрерывность этого решения, вытекающую из теоремы о гладкости, на которую мы уже ссылались, можно интерпретировать следующим образом: она означает, что мембрана не разрывается. Множества й° (и — ф) и Q- (и — ф) называются соответственно множеством соприкосновения и множеством несоприкосновения, эти множества, как мы уже отмечали, являются неизвестными в задаче. Можно легко показать, что по аналогии с одномерным случаем конфигурация, которую принимает мембрана, такова, что она минимизирует интеграл энергии
£ (и) = 4 J (^rad ^^(7.213)
я
из всех возможных конфигураций, т. е. в Кг-
Пример 7.11 (еще одна нелинейная задача). В примерах 7.9 и 7.10 мы рассмотрели нелинейные задачи, в которых нелинейность была обусловлена выпуклым ограничением (/<! или К^. Теперь приведем пример задачи другого рода — нелинейной задачи, в которой нелинейность обусловлена присутствием недифференцируемого функционала. Пусть j : /^(й) -> R — функционал, определенный формулой
/(y) = -pydx+pyl+<to /е^(Й).(7.214)
UQ
Рассмотрим следующую задачу.
Задача 7.31. При заданной функции f^L2^ найти функцию и£Но(й) такую, что
91 (и, и — у) + / (и) С / (у) Уу € Но (й).(7.215)
Здесь /, очевидно,— подходящий выпуклый функционал, полунепрерывный снизу на Hq (й), и, следовательно, можно применить теорему 3.5, которая гарантирует существование и единственность решения задачи 7.31, являющейся вариационной задачей (и, очевидно, нелинейной). Чтобы интерпретировать задачу 7.31 как дифференциальную задачу, сделаем обычное предположение о непрерывности решения: и^/7о(й)ПС°(й).
Пусть теперь ф^^)(й), положим у = и + ф. Очевидно, что и — функция из Но (й) и, следовательно, из (7.125) имеем неравенство
%(и,— <р)+ pu]+cZx < pu + <p]+dx + р(—ф)^, (7.216) ааа
которое можно записать в виде
a-kQ^Lu -Vbu — f. — Ф^а, + J lu]+dx < pu + ф]+^х. (7.217) aa
Далее, в предположении ф Е JS+ (Q) (а, следовательно, [ф]+ = ср) неравенство (7.127) принимает вид
^,(й)^« + ^и — — ф)^(й) + J M+dx ^ J [u}+dx + j ф dx, (7.218) QQи
или, с учетом j Ф^х =^,(й)<1, ф^ц, и того, что ф— произвольная Q
функция ИЗ S+ (Й),
Lu-VW — /+1>0 Вй(7.219)
в смысле <0' (Q). Если же мы предположим, что ф Е $>_ (Й) (и, следовательно, [ф+] = 0), то получим
Lu + Хи — / ^ 0 в й(7.220)
в смысле <0'(й). Из (7.19) и (7.220) получаем двойное дифференциальное неравенство
— l+/^Lu + Xu^/ вЙ,(7.221)
которое следует понимать в смысле 5)' (Q) и к которому мы присоединим краевое условие
уои = 0 на Г.(7.222)
Условие (7.222) следует понимать в смысле выполнения почти всюду на Г, оно вытекает из того факта, что u Е ^ (й). До настоящего момента мы пока не использовали предположение о непрерывности и (но из (7.221) и из / Е L2 (Q) вытекает на самом деле, что и£ Н2 (Q), и, следовательно, и Е С° (й) при п = 1, 2, 3 (ср. с нижеследующей теоремой 7.12)). Теперь мы воспользуемся предположением о непрерывности и для получения более тонкого результата, чем (7.221). А именно, сформулируем в явном виде неопределенные условия, которые дополнят двойное одностороннее условие (7.221). Пусть
тогда ф Е Ф (й+ (и)); положим и = и + рф при р = min и/max, ф |, supp ф Й+(Ы)
где ф — тривиальное продолжение ф на Й. Вместо (7.219), мы ie- перь получаем неравенство
ЗЧй+щ-^и + Хи /, ET^q+iu» + У Iм 1 dx й+(и)
J [и + рф]+</х, (7.223) ф+(Щ
которое с учетом [и]+ =эи и [и + рф]+ = и + рф в Й+(и) (поскольку
ы + № ^ 0 в Q+ (и)) принимает вид
^w^ + ^-^-^Wm: + $ «^< f «^+ J w^ й+(и)й+(и)й+(и)
(7.224) что приводит нас к уравнению
Lu + Хи — f = — 1 в Й+ (и)(7.225)
в смысле 5-)' (й+ (и)). Аналогичным образом получаем, что
Lu + Хи — / = 0 в й— (и)(7.226)
в""смысле Lb' (Q- (и)). Уравнения (7.225) и (7.226) являются упомянутыми выше неопределенными условиями.
В итоге мы можем утверждать, что решение задачи 7.31 является (формально) решением следующей задачи:
Задача 7.32. При заданной функции / Е 7? (й) найти функцию и Е Но (й) такую, что выполнены условия (7.221), (7.225) и (7.226).
Теперь покажем, что, обратно, если и — (непрерывное) решение задачи 7.32, то и — решение задачи 7.31. Из формулы Грина (заметим, что Lu + Хи — f Е L? (й) и, следовательно, и Е HY (й)) вытекает, что и удовлетворяет (7.215) тогда и только тогда, когда и удовлетворяет неравенству
^ [(Lu 4- Хи — Г) (и — у) 4- [u]+] dx^^ [uj+dx Vy Е Но (Й). (7.227)
Покажем теперь, что и на самом деле удовлетворяет (7.227). С этой целью интеграл в правой части (7.227) представим в виде суммы трех слагаемых:
j [(Lu 4- Хи — /) (и — у) 4- [u]+] dx = q-
= j [(Lu 4- Хи — f)(u— у) 4-[«]+] dx 4- 0+(и)
J [(Lu 4- Хи — /) (и — у) 4- [м]+] dx 4-
j \(Lu 4- Хи — f) (и — у) 4- [м]+] dx, (7.228) О“(«)
каждое из которых будем рассматривать отдельно:
j [(Lu 4- Хи — /) (и — у) 4* [u]+]dx = 0+(“)
= У [(—1) (ы — у) 4- »] dx = ^ udx, (7.229) я+(и)п+(«)
17717712 К. Байокки, А. Капело
177
177
поскольку (ul+ = u в Q+ (и) и (из (7.225)) Lu 4-Xu— / = — 1;
С WLu 4-Xu — П(и — 0 + [u]+]dx< J [r]+dx, (7.230)
поскольку —l<Lu4-Xu —f^O (из (7.221)) и u = [u]+ = 0 в Q° (u);
J [(Lu 4-Xu— /)(u— u) + [u]+] dx = 0,(7.231)
Й“(И)
поскольку Lu 4- Xu — f — 0 (из (7. 226)) и [u]+ = 0 в Q" (u). Теперь в силу
У vdx4- у и dx < у M+dx,(7.232)
q+(u)Q®(«)й
убеждаемся, что (7.227) справедливо. Таким образом, мы завершили доказательство (формальной) эквивалентности задач 7.31 и 7.32.
Замечание 7.1. Из рассмотренного в п. 3.2.3 можно заключить, что условия (7.221), (7.225) и (7.226) могут быть записаны в компактной форме Lu 4- Xu Е f — Н (и), где Н — субдифференциал положительной части функции Н = д [ ]+ (мы обозначаем его через Н, поскольку д [ ]+ можно представить как монотонный максимальный граф, связанный с функцией Хевисайда Н (х) = = 1 при х > 0 и Н (х) = 0 при х -< 0). Аналогичные обозначения можно использовать для записи односторонних условий, которые возникают в примерах 7.9 и 7.10.
Результаты о гладкости,
Гладкость решений дифференциальных уравнений. Результаты о гладкости решений дифференциальных уравнений в общем случае доказывать трудно — не столько потому, что они сложны в идейном плане, сколько из-за их технической сложности. Мы рассмотрим простой частный случай, в котором, тем не менее, эти трудности можно усмотреть. Простейший возможный случай — это тот, в котором область не имеет границы, т. е. Q = Rrt. В этом случае из теории преобразования Фурье имеем, что отображение
— Au 4- и: Д$+2 (Rrt) -> Hs (Rn)(7.233)
является сюръективным изоморфизмом для каждого s Е R.
Рассмотрим теперь результат по гладкости типа 2) (см. раздел 6.1), касающийся однородной задачи Дирихле для уравнения —Au 4- и = / в полупространстве. Точнее, рассмотрим следующую задачу.
Задача 7.33. При заданной функции /E^-’(R+) найти функцию и Е Но (R+) такую, что
— Аи4-и = / в R+.(7.234)
Эта задача, очевидно, корректно поставлена. В самом деле, задача 7.33 эквивалентна вариационной задаче три f € Н~х (R") найти uC^o(R+) такую, что
^uvdx -\- § (grad и, grad и) dx =^uvdx -\- § (grad и, grad и) dx =R^R^r"r"— I on Jf , ^} .1 о nH (R+)V Но(|ф— I on Jf , ^} .1 о nH (R+)V Но(|фVu€^(R+)>.Vu€^(R+)>.
^uvdx -\- § (grad и, grad и) dx =
^uvdx -\- § (grad и, grad и) dx =
R^
R^
r"
r"
— I on Jf , ^} .1 о nH (R+)V Но(|ф
— I on Jf , ^} .1 о nH (R+)V Но(|ф
Vu€^(R+)>.
Vu€^(R+)>.
Эта вариационная задача является корректно поставленной, поскольку билинейная форма в левой части вариационного равенства
непрерывна и коэрцитивна на Но (R+). Этот результат можно получить из теоремы Рисса, поскольку упомянутая форма есть не что иное, как (и, и^дп у Из этой же теоремы следует, что НиЦ^^^ = II7 ll//-i(R" > — априорная оценка, к которой мы позднее вернемся.
Наша цель — доказать следующую теорему.
Теорема 7.9. Если fEL2^, то иЕН^й.^ П #2(R+).
Для доказательства этой теоремы, нам, по существу, необходимо показать, что (d2u/dxjdxi) ^ T2(R+) (t, / = 1,..., п), т. е. что (ди/дх^ ЕН1 (R+) (i = 1, ..., п). Очевидно, что «касательные» переменные xv..., xn_i и «нормальную» переменную хп следует рассматривать по отдельности. Пусть х{ (1^/^п—1) — касательная переменная, положим ut = ди/дХ). Мы предположили, что и — решение следующей задачи.
Задача 7.34. При заданной функции /^Т2(Рф) найти функцию uEHq(R+) такую, что
— Ди + и = f в R+.— Ди + и = f в R+.(7.235)(7.235)
— Ди + и = f в R+.
— Ди + и = f в R+.
(7.235)
(7.235)
Таким образом, ut является (формально) решением следующей задачи
Задача 7.35. При заданной функции /£L2(R+) найти функцию ut 6 Но (R+) такую, что
(7.236)(7.236)— Ди,- + иг = dfldx, в R+.
(7.236)
(7.236)
Это корректно поставленная задача (заметим, что dtidx, £ Н 1 (R+)). При этих условиях можно записать, что
dujdxj = d^ldx^ €L2(R+), /=!,..., п. (7.2371 Следовательно, чтобы показать, что иЕН2(^), необходимо всего лишь доказать, что (d2uidx^EL2 (R+), а последнее очевидно,
посколькупоскольку
поскольку
поскольку
+ «ez.2(R+).+ «ez.2(R+).(7.238)(7.238)dau г d2u
+ «ez.2(R+).
+ «ez.2(R+).
(7.238)
(7.238)
5х2 “' L 5x2
Таким образом, мы привели очень простое доказательство теоремы 7.9, хотя и предсказывали, что оно будет довольно сложным. К сожалению, приведенное доказательство не верно! Оно содержит ошибочное рассуждение. Мы не можем гарантировать, что ut является решением задачи 7.35 до тех пор пока мы не уверены, что и, € Но (R+), тогда как именно это мы хотели доказать. Мы привели это псевдодоказательство как предупреждение: при доказательстве результатов о гладкости нам следует быть особенно осторожными и не пользоваться рассуждениями, которые лишь формально справедливы. Приведем теперь правильное доказательство.
Доказательство теоремы 7.9. Покажем, что (ди/дх^ Е Н1 (R+). (Аналогичные рассуждения будут иметь место и для других касательных переменных, тогда как для нормальной переменной справедливо приведенное выше «доказательство».) Для этой цели используем метод (касательных) разностных отношений и воспользуемся априорной оценкой. Этот метод очень широко используется для доказательства результатов по гладкости (см. [620, 618, 49] и т. д.).
Будем употреблять следующее обозначение. Если uEL2(R+) и h > 0, то через plh обозначим разностное отношение функции и по переменной хг относительно параметра h, т. е.
plhu(xv .... хп) =-|- [“(м + h,x2xn) — u(xvx2хп)]. (7.239)
Очевидно, что (7.239) определяет преобразование Z.2(R+) в себя, по отношению к которому Н1 (R1) и Но (R^) замкнуты, т. е. PiU^R"))с ^4R") И plh(Ho (R")) cz Но (R"). Менее очевидно, что это отображение не продолжимо на //*(R+):
IIPv.“lf2(.n)<ll4^^^ VuEH4Rn^ (7.240)
— это фундаментальный результат, который мы сейчас докажем. Легко видеть, что для любой функции и ЕН1 (R+)
РщИ^р ххп) = 4" $ "Д" и^х1 + Т- х2- ••• < xn)dx (7.241) о
и, следовательно,
II Pia“ II2, о_ = ( (“Г f “ (xi + т’ хх^ dV? dx. (7-242> L2(R")J \ " J 0Х1/
+on °
R+
Применяя неравенство Шварца—Гельдера и теорему Фубини к правой части равенства (7.242), последовательно получаем
= т f ( $ (-^7 и ^ + т’ х»’ - ’х^ dxjdx = -^ ||l2(o <
^||«||2, (7.243)
h’(R^)
что доказывает (7.240).
Поскольку отображение plh линейно, то мы можем утверждать, что plh 6 ^ (Я1 (R+), L2(R+)). Приведенное рассуждение показывает также, что plh Е ^ (До (R+), L2(R+)), причем справедливо неравенство," аналогичное (7.240). Завершая наше отступление о свойствах оператора plh, отметим, что если A«CL2(R+), то
Рш (Ам) = Д (plftu).(7.244)
Продолжим доказательство теоремы. Рассмотрим следующую задачу:
Задача 7.36. При заданной функции /EL2(R+) найти функцию «(?#№) такую, что
— A (Pih«) + Pih» = Pihf в R+.(7.245)
Эта задача корректно поставлена, поскольку корректно поставлена задача 7.34, а уравнение (7 245) можно записать в виде
Р1л (— А« + ы) = р1Л/ в R*}.,(7.246)
что следует из (7.235). Задача 7.36 заменяет здесь задачу 7.35 так же, как и plhu заменяет uv Теперь мы покажем, что plh«->-M| в №(R^_) при й->-0, это завершит доказательство теоремы. Для этой цели воспользуемся априорной оценкой
II Pih^ Hh'(r^) ^ II Pihf Иц-'(R^)’(7.247)
которая следует из теоремы Рисса. Легко видеть, что
H-kR^Pl^’^H'tR") " Н~*(R" )^’ Pl(—h^H'lR" ) ^€^o(R+) (7.248)
и, следовательно, при условии /E^-2(R+)
Ih-*(R" /Р1^’ У^Н*(К")1 = I f /Pl(-Wy^|^
II f Hl2(r^)H Pit—wy Hl2(R^.)' (7.249)
Отсюда с учетом (7.240) получаем
IIPi^IIh-i^^c-(7-25°)
где c—постоянная, зависящая от f, но не зависящая от у и h. Из (7.247) и (7.250) имеем
llPi^UityCc; Ра'-бМ).(7.251)
откуда следует, что из семейства plhu мы можем извлечь последовательность, слабо сходящуюся в До(Д+),— пусть Uj будет ее слабым пределом. Если, с другой стороны, мы можем показать, что
plftu-*Uj в 2' (R+) при 0,(7.252)
то доказательство закончено, поскольку из единственности слабого предела следует, что их =их^ Но (R+) (более того, вся последовательность (plhu) сходится слабо к уг = их в Но (R+)) Для доказательства (7.252) заметим, что по аналогии с (7.248)
^>(r")(Pihu» Ф>^«, = ^-(Дп/°> Рц-^Ф^в", ^ф€^5(К+) (7.253)
и р1(_Л)ф сходится равномерно к — dtp/dXj в R4. при й-*0, что следует, например, из формулы
Р1(—й)Ф§хг Ф ^’ ^2’^7i)21 g^ Ф ^^'^2>> ^п)>
(7.254) где О^^^й, и из того факта, что вторая производная ограничена. Свойство (7.252) вытекает из определения производной в 2' (R+).O Методом математической индукции можно легко доказать, что если ^нЧК'+Ь то решение задачи 7.33 принадлежит пространству нЧ^у п н'+ЧШ 182
Далее, посредством локальных отображений можно показать (см.
Лионс — Мадженес, 1972а, с. 149), что ограничение Q = R+ можно снять. Можно доказать также следующие два результата теорем 7.10, 7.11, в которых открытое множество Q с R" имеет сколь угодно гладкую границу.
Те орема 7.10. Если f^ Hs (Q) и g0EHs+3/2(T\ s>0, то решение задачи 7.16 (неоднородной задачи Дирихле) принадлежит Н^(й). -
Теорема 7.11. Если f^H5^) и giE Н5^12 (Г), s^O, то решение задачи 7.18 (неоднородной задачи Неймана) принадлежит Н*+2(&).
С другой стороны, для смешанной неоднородной задачи 7.20 общий результат такого типа не имеет места, если /, g0 и gx не удовлетворяют определенным условиям согласования. О многих других результатах, касающихся гладкости решений эллиптических дифференциальных уравнений см. [618, 542—548, 95, 620, 52, 45, 669, 639, 50, 87, 685, 562, 2, 96].
Теорема, которую мы только что доказали, является «глобальным» резулыпаточ по гладкости или результатом о гладкости «вплоть до границы». Она говорит нам о гладкости решения в замыкании открытого множества, которое фигурировало в формулировке задачи. Когда мы говорим о гладкости рассматриваемой задачи, мы обычно имеем в виду именно такой тип информации (сюда, например, относятся и теоремы 7.10 и 7.11). Теперь, анализируя утверждения теорем 7.10 и 7.11 и вспоминая сказанное относительно смешанной задачи, заключаем следующее. (Глобальная) гладкость решений различных задач, связанных с заданным о; ептором, зависит от вида (и не только от гладкости) исходных данных на границе. Эти рассуждения приводят нас к рассмотрению (наряду с уже упомянутыми результатами) так называемых результатов по «локальной» гладкости, или гладкости «внутри» области, которые не зависят от граничных условий, а зависят только от дифференциальных операторов, входящих в уравнение.
Приведем пример по этому поводу.
Теорема 7.12. Пусть Q cz R" — произвольное открытое множество, a f^L20C(S). Если функция и^Н\0С(Й) такая, что
— &u + u = f в Q, (7.255)
то и £ Н2ое (Q).
Доказательство. Пусть x0EQ, положим В (х0< г) = (х С Q: |[х — х0||<г), где r<(l/2)-dist(x0, Rn\Q). Мы хотим доказать, что если — Ди + u=f 6 L20C (Q) и и £ Д}ос (Q), то и |В(х0,п 6 Н2 (В (х0, г)). Для этой цели нам необходимо только показать, что и=иц>£Н~ (R"), где и — тривиальное продолжение и на R", а ф — тривиальное продолжение на R" функции <р £ С” (В (х0, 2г)) такой, что <р = 1 в
В (х0, г) (вспомним лемму, которая используется при доказательстве теоремы о разбиении единицы (см. теорему 15.4)). Теперь, обозначая через / тривиальное продолжение / на R", получаем
— До + о = — Л (иф) + иф =
= — «Дф — фДи — 2 (grad и, grad ф) + и ф =
= — мДф + ф (— Ди + и) — 2 (grad и, grad ф) =
= — иДф + ф/ — 2 (grad и, grad ф) g L2 (R”),(7.256)
и, следовательно, из (7.233) у£Н2(КпУ □
Этот результат справедлив для гораздо более общих операторов, нежели —Д + / (при этом доказательство будет другое). С этими результатами связано понятие гипоэллиптического оператора — см., например, [861.
Гладкость решений вариационных неравенств. Исследование гладкости решений задач, связанных с вариационными неравенствами, вообще говоря, намного сложнее, чем исследование гладкости решений задач, связанных с уравнениями. Причина здесь, естественно, в нелинейной природе этих задач. Кроме того, как правило, из-за нелинейности техника или методы исследования, которые хорошо работают для некоторых задач, будут не применимы для исследования других не слишком отличающихся задач. Далее, прямые методы исследования гладкости, как например, метод касательных разностных отношений, использованный в предыдущем разделе, здесь редко применимы. Примечательным исключением является задача Синьорини (см. [46]), которая, однако, является задачей «линейной внутри области» (поскольку в открытом множестве й справедливо дифференциальное уравнение (Ди = / в й), а не дифференциальное неравенство (Ди ^ / в й), как, например, в задаче о препятствии). Для такой задачи применим первый шаг упомянутого метода.
Мы приведем здесь неявный метод довольно общего вида, хотя даже и он не всегда применим. Этот метод заключается в переходе от проблемы гладкости для неравенств к проблеме гладкости для уравнений. Основная идея метода состоит в том, чтобы ликвидировать нехватку информации (она возникает из-за того, что мы имеем дело с дифференциальным неравенством (Ди ^ f в й), а не с уравнением (Ди = / в й)) и показать, что при определенных условиях (т. е. для некоторых задач) гладкость Ди каким бы то ни было образом совпадает с гладкостью /. Мы докажем этот результат, который опирается по существу на неравенство Леви — Стампаккьи (см. [524]) при достаточно общих ограничениях на оператор А. Оператор А может быть, в частности, нелинейным (в противоположность операторам, ассоциированным с билинейными формами,— только они рассматривались до сих пор в настоящей главе. Чтобы 184
подчеркнуть этот факт, оператор будем обозначать буквой А, а не L). В гл. 3 мы уже рассматривали вариационные неравенства, связанные с нелинейными операторами (см. теорему 3.2) — здесь мы обратимся к еще более общему случаю.
Коэрцитивность, монотонность, полунепрерывность. Для облегчения дальнейшего чтения, повторим здесь несколько определений, рассмотренных уже в предыдущих главах.
Определение 7.2. Пусть V — банахово пространство, V' — сопряженное к нему, а К с V — непустое множество. Оператор А; К называется
коэрцитивным, если
vXAu» У v
Эу0Е/<-—р-в-[-|- 0>■ + оо при ||u||v-*oo, и^к (7.257)
(если К — ограничено, то это определение, конечно, не имеет смысла); 2) монотонным, если
Vu, v EK v,{Au — Av, и — y)v^0;(7.258)
строго монотонным, если он монотонный и
v,(Ли — Лу, и — у)у = 0=^и = у;(7.259)
сильно монотонный, если
Эа>0, Vu, у^/С v.(Au — Лу, и — у)у^а||чг— у||£; (7.260)
полунепрерывным, если для любых и, оЕК и любой последовательности {/т} ^т -> 0) неотрицательных действительных чисел, такой, что и + tmv Е К, последовательность {Л (и + /то)} сходится слабо* к Аи в V'!
~ ■ Для изучения этих или других понятий, тесно связанных с ними (таких, как псевдомонотонность, максимальная монотонность, неопределенная непрерывность и т. п.), см., например, [46, гл. 2; 487, 488, 208, 15, гл. I; 697, 231, 234, 255]. Здесь мы только укажем на тот очевидный факт, что сильно монотонный оператор является строго монотонным и коэрцитивным, и сделаем несколько коротких замечаний по поводу понятия полунепрерывности. Если К — выпуклое множество, что является наиболее распространенным случаем в приложениях, то определение полунепрерывности можно переформулировать следующим образом: оператор А : К -*■ V' является полунепрерывным, если для любых u,v Е К, ^ Е V, функция X-*-f (X) = у^А (Xu + (1 + X) о), w)v непрерывна из [0, 1] в R (т. е. сужение А на отрезки, содержащиеся в К, непрерывно в слабой* топологии V'). Записанное в такой форме определение полунепрерывности можно обобщить самым естественным образом: так, оператор А : К -*V называется полунепрерывным сверху (соответственно, полунепрерывным снизу), если функция f (X) полунепрерывна сверху (соответственно, полунепрерывна снизу).
Теперь рассмотрим следующую задачу.
Задача 7.37. Пусть V — рефлексивное банахово пространство, V' — сопряженное к нему, К с: V — непустое замкнутое выпуклое множество, а Л : V -*- V — монотонный оператор, полунепрерывный и коэрцитивный (на /0. При / 6 V найти элемент и 6 К такой, что
Vu^K v. {Аи— /, и — 0)^0.(7.261)
Мы пока не в состоянии сказать, корректно ли поставлена эта задача. В гл. 10 мы убедимся, что на самом деле эта задача имеет решение, которое единственно, если А — строго монотонный оператор (см. также [46, 257, 459, с. 273; 5951). Однако, мы докажем результат о гладкости решений задачи 7.37. Проблема гладкости решений вариационных неравенств, начиная с работы Леви — Стам- паккьи [524], широко рассматривалась несколькими авторами (см., например, [240, 606] ...) — здесь мы будем следовать подходу Брезиса и Стампаккьи [240].
Теорема Брезис — Стампаккьи и лемма Минти.
Теорема 7.13. Предположим, что условия задачи 7.37 выполнены, а К и А совместимы в том смысле, что
Vu^K Ve > 0 3uE 6 К Ue + е^«е = и. (7.262) ds Тогда, если H— гильбертово пространство, такое что Н ~ ds
~ Н' с _ У', то справедливо следующее свойство гладкости1, если f^H, а и — решение задачи 7.37, то Аи^Н.
Эта теорема не является должным результатом гладкости в смысле, описанном в гл. 6, поскольку мы говорим о гладкости Аи, а не непосредственно о гладкости и. Тем не менее, это результат, подобный результатам типа 3). Эту теорему можно доказать и при более общих ограничениях на пространство Н, которое может быть рефлексивным банаховым пространством — однако, в этом случае (7.62) следует заменить на другое условие, включающее так называемые двойственные отображения (см. [240, с. 156; 46]).
Для доказательства теоремы нам потребуется другой результат, который так же важен, как и сама теорема (и который имеет несколько разнообразных приложений — см. [589, с. 318]):
Теорема 7.14 (лемма Минти). Пусть V— банахово пространство, V' — сопряженное к нему, KeV — непустое замкнутое выпуклое множество, f 6 V, А : К -► V' — полунепрерывный монотонный оператор. Элемент и является, решением задачи
и^К, Vv^K vAAu — /, и — 0)^0(7.263)
тогда и только тогда, когда он является решением задачи
и£К. Vo EK v.kAu — А “ —и\^°’(7.264)
т. е.
{и^Кг Vu ^.К v,\Au—f, u—o)v^0}={uEK: Vo^r0o—А и—o)v<0}.
(7 265)
Кроме того, множества, входящие в (7.265), являются замкнутыми выпуклыми множествами (возможно пустыми).
Доказательство. Если и удовлетворяет (7.263), то и удовлетворяет также и (7.264), поскольку можно записать y,(Av — f, u — v)v = v,(Av — t A- Au —Au, и — vjv =
= v,(Av — Au, и — o)v + v,(Au — f, и — o)v (7.266)
и из (7.263) и того факта, что А — монотонный оператор (заметим, что v,(Av— Аи, и — v)v=—v, (Аи—Av, и—0)^0), получить (7.264).- Обратно, если и удовлетворяет (7.264), зафиксируем w 6 К и положим и = Xw + (1 — X) и, X £ (0, 1) (заметим, что и 6 К, поскольку К выпукло). Тогда из (7.264) можно записать
V,(A Ckuu + (1 — X) и) — I, и — (Хт + (] — X) и))у =
= Xv, (А (Хю + ()—Х)и), и — ш^^О.(7.267)
Разделив (7.267) на X (>0) и устремив X к нулю, получим с учетом полу непрерывности А неравенство
v,(Au— f, и — w)v^0,(7.268)
которое совпадает с (7.263) в силу произвольности ю из К. Следовательно, неравенства (7.263) и (7.264) эквивалентны. Для завершения доказательства заметим, что К — замкнутое выпуклое множество, что пересечение выпуклых множеств является выпуклым множеством, что
u^K:Vu^K v,(Av — f, u —o>v^0} =
= fl {/< П {u 6 Vv-(Av — f,u — v)v^ 0}} (7.269) vex
и, наконец, что множество {u 6 У t v.(Av — f, и — y)v ^ 0} является замкнутым полупространством, определяемым гиперплоскостью с уравнением v,(Av — f,u — n)v = 0. □
Перейдем теперь к доказательству теоремы 7.13.
Доказательство теоремы 7.13. Основная идея этого доказательства состоит в том, чтобы приблизить и последовательностью иЕ в условиях (7.262) и затем показать, что последовательность Аие сходится к А и в Н ; отсюда будет следовать, что Аи £ Н. По теореме 7.14, которой, очевидно, можно воспользоваться, (7.261) заменим на
u^K Vv^K v,(Av — f, и— o)v^0.(7.270)
Пусть теперь е>0, положим в (7.270) и = ие:
v,(AuE-f,u-uF)vC0.(7.271)
где ие определяется из (7.262). (Это имеет смысл, поскольку иЕ £К)
При
u = ие + еАие
(1.212)
из (7.271) получаем
ev,(AuB — f, Au^>v^0
(7.273)
или, поскольку е>0,
vAAuB — h Аи^у<Д
(7.274)
Из (7.272) имеем Аие ^V cz Н, и поскольку мы предположили, что f^H, (7.274) можно записать в виде
нААив - /, Аи^ = (Аив - /, Аив)н С 0,(7.275)
откуда
ll^elk^lIHL Ve>0.(7.276)
Из неравенства (7.276) и из (7.272) следует, что
Ue -* U Н (Au6, Ug —u)-> О нUe -* U Н (Au6, Ug —u)-> О нприприприприе> 0' ~ е-* 0.е> 0' ~ е-* 0.(7.277)(7.278)(7.277)(7.278)
Ue -* U Н (Au6, Ug —u)-> О н
Ue -* U Н (Au6, Ug —u)-> О н
при
при
при
при
е> 0' ~ е-* 0.
е> 0' ~ е-* 0.
(7.277)
(7.278)
(7.277)
(7.278)
Пусть у0 С К — один из элементов, удовлетворяющих (7.257) (по условию теоремы такие элементы у0 существуют); запишем равенства " ~
v-<AuB, ив — у0)„ = улАив, ив — и + и — и^у =
= у, (Аие, ие — и)у + уААив, и — у^ =
= vAAuB, и — u0)v + (Аие, ив — и)„.(7.279)
Из (7.278) и из того факта, что у (Лие, и — у0)у ограничено (поскольку Аие ограничен, а (и — у0) — фиксированный элемент), можно видеть, что vAAu£, u8 — y0>v ограничено. Отсюда и из коэрцитивности А следует, что
3c>0 Ve>0 ||ue||v<c. (7.280)
Из (7.280) и из того, что V — рефлексивно, заключаем, что из (ив) можно извлечь подпоследовательность, слабо сходящуюся в V:
“8h-^u при еЛ->0.“8h-^u при еЛ->0.(7.281)(7.281)
“8h-^u при еЛ->0.
“8h-^u при еЛ->0.
(7.281)
(7.281)
Из (7.277) и из единственности слабого предела имеем u = u и, следовательно,
uefl-^ и при еЛ->0(7.282)
Далее, записывая (7.276) для Au6h и вспоминая, что Н — гильбертово пространство и, следовательно, рефлексивное, заключаем, что из Aueh можно извлечь подпоследовательность, слабо сходящуюся р Н:
А^ЦХ при Ч^°-А^ЦХ при Ч^°-(7.283)(7.283)
А^ЦХ при Ч^°-
А^ЦХ при Ч^°-
(7.283)
(7.283)
Для завершения доказательства теоремы нам остается только показать, что х — Аи. Из монотонности А следует, что
Ve>0 Vw^V v'(AuEu —Aw, u8h —ty)y^0;(7.284)
принимая
щ = (1 — 6)u + 6u, 6 6(0,1)(7.285)
при фиксированном v из V, из (7.284) запишем
v<Au4m — А [(1 — 6) и + 0у], uBhm — [(1 — 0) и + 6и])у =
= кАиЧт, uEhm — и)н+^ (Аи^, u—v)H —
— v-(A [(1 — 0) U + 0У], UEhm — U)v —
— 6ИЛ[(1 — 0)u + 6o], u —u)v>0.(7.286)
Полагая Shm-^Ot получаем (с учетом (7.278), (7.283), (7.282) для первых трех слагаемых соответственно)
0ц- (X» “ — у)и— бг (Л [(1 — 9) и + 0у], и — у)у^ 0. (7.287)
Разделив (7.287) на 0(0>О) и устремив 0 к нулю, с учетом полунепрерывности А приходим к неравенству
wkk— Аи, и — у)у>0.(7.288)
Поскольку и — произвольный элемент из V (и, следовательно, и — и — тоже произвольный), мы получаем требуемый результат: X = Аи. □
Конкретный пример. Приведем здесь пример, в котором воспользуемся только что доказанным общим результатом. Рассмотрим следующую задачу. -
Задача 7.38. Пусть QcRn — открытое множество с границей Г, непрерывной по Липшицу, V = Но (й), К = {у Е Яо(й): и^ ф), где фЕ//1 (й) и уоф 0 на Г, а а : V X V -> R — билинейная форма, непрерывная и коэрцитивная (на К — KY При / Е Н-1 (й) найти и Е Но (й) такую, что
Vy € К а<и,и — х)^ Н-Ч^’ ^Н^аг (7.289)
Эта задача является просто обобщением задачи 7.31, причем обобщение состоит в том, что форма а не задана в явном виде, а исходная функция / рассматривается из более широкого класса. Пусть теперь Н = L2 (й). Мы хотим установить, какие дополнительные ограничения необходимо наложить на а (или на оператор А, ассоциированный с а), чтобы можно было применить теорему 7.13 и сказать, что если f Е I? (й), то Аи Е L? (й) (и, следовательно, по крайней мере, для случая, когда А — эллиптический диф-
ференциальный линейный оператор, как в задаче 7.31, и^Но(^ П П#2(Й)).
Очевидно, что если а — билинейная, непрерывная и коэрцитив-- ная форма, то соответствующий ей оператор А является монотонным (более того, линейным), полунепрерывным (более того, непрерывным) и коэрцитивным. Таким образом, нам нужно отыскать условия, которые следует наложить на а и ф, чтобы А и К были совместимыми в смысле (7.262), т. е., чтобы задача
иЕ € К; (иЕ, y)t=(Q) + 8ti (иЕ, у) = (u, у)1*(В| Vy С Но (й)(7.290)
имела решение для любого и из К и любого е > 0. Очевидно, что задача (7.290) имеет решение ue в Но (й) = V; тогда нам нужно доказать, что при подходящих предположениях, которые мы найдем, это решение принадлежит К, т. е. иЕ ^ ф или, что эквивалентно (см. раздел 5.5), [иЕ— ф]+ = 0.
Из (7.290) запишем равенство
(«в — ф, y)L,(Q) + га ^иЕ — ф, у) = (u, y)L.(B) — (ф, y)L,(B) — ей (ф, у);
(7.291)
выбирая у = [ие—ф]+ (что правомочно, поскольку из ^оиЕ = 0 и ТоФ ^ 0 следует [иЕ — ф]+ С Но (й)), получаем
j (ut — ф) [uE — ф]+^х + га (иЕ — ф, [иЕ — ф]+) =
= ^ (и — ф) [ие — ф]+^х — га (ф, [ие — ф]+).(7.292)
о
Далее, и — ф^0 (поскольку мы предположили, что u^/Q и если мы предположим, что
а (ф, [иЕ — ф]+) > 0(7.293)
(это первое из разыскиваемых условий), то
j (иЕ —ф) [ие —ф]+4х + еа(ие —ф, [ие — ф]+) <0.(7.294)
о
Теперь, поскольку
(иЕ — ф) = [и8 — ф]+ — [иЕ — ф]-,(7.295)
ц (supp [uE — ф]+ П supp [uE — ф]~) = 0,(7.296)
неравенство (7.294) принимает вид
С ([“е — ф]+)2 dx + еа ([ие — ф]+, [ие — ф[+) —
— га ([иЕ — ф]~, [и8 — ф]+) ^ 0.(7.297)
Предполагая, что
а ([иЕ — -ф]-, [«е — ф]+) = 0(7.298)
(это второе искомое предположение), неравенство (7.297) перепишем в виде
j([uE — ф]+)Мх + еа([цЕ — ф]+, [«е —ф]+) ^ О, (7.299) Q
из которого получаем, что
а ([иЕ — ф]+, [иЕ — ф]+) < 0.(7.300)
Из (7.300) и из коэрцитивности а следует, что [иЕ — ф]+^= 0, что и требовалось доказать.
В заключение можно сказать, что если (7.293) и (7.298) выполнены, то мы можем пользоваться теоремой 7.13. Эти предположения трудно проверять, поскольку для этого нужно знать прежде всего решение и задачи, поэтому мы потребуем, чтобы форма а и функция препятствия ф удовлетворяли условиям
а(ф, и)>0 Vo€Ho(Q), и>0,(7.301)
■ а([оГ. М+) = 0 VvEHot^y(7.302)
Условие (7.302) является предположением на а, которое выполнено, в частности, для формы (7.101). Это условие, таким образом, не является чересчур обременительным во многих приложениях. Условие (7.301) является условием совместимости для а и ф, которое в терминах оператора А можно записать следующим образом:
Лф>0 BjS'(Q)(7.303)
(или в смысле мер на Q).
Более короткое доказательство того, что ие ^ ф, можно получить с использованием принципа максимума, который мы, до некоторой степени, «скрывали» в предыдущем доказательстве. Сейчас мы докажем этот факт, используя принцип максимума в явном виде, в простом частном случае, когда
а (и, и) — ^ (grad и, grad и) dx(7.304)
й
(этой форме соответствует оператор А = —А). При этих условиях вместо (7.291) можно записать равенство
иЕ—ф — eA(ug—ф) = и — ф + еАф.(7.305)
Далее, полагая и = иЕ — ф и вспоминая, что и — ф ^ 0 (поскольку мы предположили, что и — решение задачи) и Аф 0 (поскольку из (7.303) следует, что —Аф ^ 0), имеем
о —еАо<0.(7.306)
Отсюда в силу е > 0 и уои ^ 0 из принципа максимума (см. раздел 17.5) получаем и 0, т. е. ие ф.
В общем случае, гладкость решения задачи, связанной с неравенством, не обязательно растет вместе с повышением гладкости исходных данных. Здесь мы имеем дело с явлением, которое можно тол-, ковать предположительно следующим образом: для таких задач существуют пороги гладкости, которых не могут преодолеть (или достичь) решения, какой бы гладкостью ни обладали исходные данные (см. замечания, сделанные в главе 6). Точное определение таких порогов в общем случае невозможно, и поэтому приходится удовлетворяться их оцениванием. Эти оценки (оценки снизу) получаются обычно с помощью контр-примеров, среди которых очень полезен пример, придуманный Шамиром при обсуждении гладкости решений уравнений (эта проблема рассматривается, например, в работах [240, с. 176; 46]. Пороги гладкости естественным об- зом зависят от совокупности (или шкалы) рассматриваемых функциональных пространств. Так, если мы работаем в пространствах Hs (Q), то s называется порогом гладкости, достижимым (соответственно недостижимым) решением и задачи 9s, если при сколь угодно гладких исходных данных (из этих пространств) в общем случае и Q Hs+E (й) (е > 0), но и £ Hs (й) (соответственно и 6 Hs-E (й) для любого е > 0, но и $ Hs (й)).
Исследование других свойств гладкости можно найти, например, в работах [166, 236, 240, 356, 393, 524 , 46, 606, 611, 687, 232, 233]. Для решений неравенств с препятствием также возникает проблема гладкости «множества соприкосновения», в этой связи см. [501] и библиографию этой работы. -
Глава 8. ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛИРОВКА
ЗАДАЧИ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ
Общие замечания. Физическая задача
Вариационные неравенства и задачи со свободной границей. На связь между вариационными неравенствами и задачами со свободной границей указали еще Леви и Стампаккья (см. [524]); однако многие задачи со свободной границей, возникающие в приложениях, нельзя записать непосредственно с помощью вариационных неравенств. Для одной из таких задач (она возникает в гидравлике, а именно задача 8.1) в работах Байокки [126, 127] было показано, что ее можно сформулировать в виде вариационного неравенства, если сделать подходящую замену неизвестной функции. Эта методика оказалась полезной для многих других задач: кроме нескольких задач гидравлики, более общих, чем рассмотренные у Байокки [126, 127], на которые мы дадим некоторые ссылки позднее, аналогичные методы были использованы и для задач со свободной границей, возникающих в динамике жидкостей (дозвуковой поток вокруг профиля крыла — см. [241] для случая с вихрем и [235] для
случая без вихря), для задач параболической природы в термодинамике (задача Стефана— см. [365, 366]), а также для эволюционных задач, включающих эллиптическое уравнение внутри области и условия эволюции на свободной границе (см. [710]).
Задача о дамбе. Здесь мы будем описывать только задачи со свободной границей, возникающие при изучении движения жидкостей через пористые материалы. Точнее, мы будем рассматривать случай двух водных бассейнов с различными уровнями, разделенных грунтовой дамбой. По закону тяготения вода .будет просачиваться с более высокого уровня на более низкий; задача состоит в том, чтобы определить некоторые физические величины (распределение скорости и давления, пропускная способность и т. п.), а также некоторые геометрические неизвестные величины (линии тока, размер влажной части дамбы и т. п.), связанные с движением.
Мы будем изучать эту задачу для двумерного стационарного течения при отсутствии испарения и капиллярных явлений, предполагая, что жидкость несжимаема, а пористый материал — однородный, изотропный и также несжимаемый.
Рассмотрение других или более общих задач можно найти в работах [710] и приведенной там библиографии (эволюционные задачи); [428, 74] (трехмерные задачи); [398, 632, 633] (задачи с учетом явлений испарения); [326] (задачи с учетом капиллярных явлений); [150] и [168] (задачи, связанные с переменной проницаемостью). О других физических задачах, таких, как дренаж канала или задачи о выведении к морю подземных разломов, см. соответственно работы [704, 150].
Дальнейшие вводимые нами ограничения будут касаться геометрии дамбы, которая по предположению должна иметь вертикальные стенки и горизонтальное основание. В ч. II мы будем рассматривать задачу и с более сложной геометрией.
Введем некоторые обозначения (остальные см. на рис. 8.1 и 8.2):
У1, У2> с — высоты бассейнов и толщина дамбы соответственно;
Q ■— область течения, т. е. влажная часть дамбы,
р (х> У) — давление в данной точке дамбы (атмосферное давление предполагается нулевым);
<р (х) — «свободная граница», т. е. «верхняя граница» области Q;
<р(х)
q —пропускная способность дамбы (q = — \ рх (х, t) dt п. в. в (0, с), о
если положить равными 1 некоторые физические коэффициенты^
В дополнение к условию, что основание дамбы непроницаемо, предположим, что левая стена на высоте, большей d, также непроницаема. Последнее предположение не влияет на рассматриваемое явление, если d уг (как на рисунке 8.1, где непроницаемая часть не показана), но это играет важную роль, если d<y (как на рис. 8.2). Второй случай будет рассматриваться в разделе 8.3; здесь же мы рассмотрим случай, представленный на рис. 8.1.
19319313 К. Байокки, А. Капело
193
193
Не вдаваясь в физические детали задач (за ними мы отсылаем читателя ко второй части, а также к книгам по гидротехнике, например, [161, 458, 62]), рассмотрим следующую математическую задачу.
С№С№А (0,0)А (0,0)В(С,0)В(С,0)А(0,0) 'В(с,0)'ШвШЖШОА(0,0) 'В(с,0)'ШвШЖШО
С№
С№
А (0,0)
А (0,0)
В(С,0)
В(С,0)
А(0,0) 'В(с,0)
'ШвШЖШО
А(0,0) 'В(с,0)
'ШвШЖШО
Рис. 8.1Рис. 8.1Рис. 8.2
Рис. 8.1
Рис. 8.1
Задача 8.1. Заданы три числа с, yv у^, причем ■с>0, у1>у2>о.(8.1)
Найти кривую у = ф (х) такую, что
Ф — определенная на [0, с] «гладкая» функция,(8.2)
Ф не возрастает, ф(0) = ур ф(с)>у2>(8-3)
и такую, что в области
й = {(х, уУ 0 <х <с и 0 <у <_ ф(х)},(8.4)
имеет решение следующая краевая задача относительно неизвестной функции р (х, у), где
р— заданная в Q гладкая функция,(8.5)
^p = 0 в Q,
(8.6)
Р(0, У) = Ух — У при O^y^t/p
(8-7)
ркс, У) = У2 — У при 0<у^у2,
(8.8)
р(р, у)=0при у2^у^Ф(с),
(8.9)
р (х, ф (х)) = 0 при 0 ^ х ^ с,
(8.10)
^ ^х, ф(х)) = 0 при 0<х<о,
(8.Н)
^^ ^ ) ^’ ^ = 0 ПРИ 0 < х << о.
(8.12)
Заметим, что если бы мы наложили только одно из условий (8.10), (8.11), то при фиксированной ф задача относительно р была бы смешанной задачей Дирихле — Неймана; как мы увидим далее, именно требование одновременного выполнения двух условий (8.1С) и (8.11) на кривой <р позволит найти эту кривую однозначно.
Задача 8.1 является, очевидно, не полной. Чтобы ее дополнить, начнем прежде всего со следующего соображения. При минимальных требованиях на гладкость ф и р, принцип максимума дает неравенство
у (х, у)> 0 в й. (8.13)
Для дополнения задачи 8.1 мы будем использовать (8.13) и работать вместо р с тривиальным продолжением р на множество D, определенное равенством
£>=(0, с)х(0, + оо). (8.14)
Мы должны, следовательно, положить р (х, у) = р (х, у) для (х, у) £ Е Й и р (х, у) = 0 для (х, у) Е Z>\Q, для упрощения обозначений мы будем продолжать писать по-прежнему р, а не р.
Рассмотрим теперь задачу в следующей (полной) форме.
Задача 8.2. Заданы с, уъ у2 такие, что выполнено 8.1, и множество D, определенное формулой (8.14). Найти функцию р такую,
что
рЕ^фШ^фУ(8.15)
У (м У) > о в D,(8.16)
Р (°. У) = 1У1 — У1+приуЕ[0,Н-оо),(8.17)
Р (с> У) = [Уг — tiVприуЕ[О,+оо),(8.18)
(x^y^ED, у(х0, У0)>0, у6(0, у0)=>р (х0, у)>0 (8.19) и такую, что, полагая
й = {(*. У) 6 D: р (х, у) > 0},(8.20)
получаем следующие свойства:
Й— компакт,(8.21)
j grad (р + у) gradipdxdy =0 Уф Е Со ((0, с) X (—00,4-00)). (8.22)
Выражения (8.16), (8.17), (8.18) и (8.19) имеют смысл, поскольку у g С° (D), откуда также следует, что множество й, определенное формулой (8.20), открыто. Выражение (8.22) имеет смысл, поскольку Р Е № фу Свойство (8.19) еще раз выражает тот факт, что множество й имеет вид (8.4), однако без каких-либо дополнительных условий на ф (на самом деле из у £ С® ф) следует, что функция х -* -> Ф (х) полунепрерывна снизу). Условие (8.21) означает, что ф
ограничена. В дальнейшем зафиксируем действительное число у* такое, что
Q <= [0, с] х [0, у*)(8.23)'
и ограничимся рассмотрением замыкания D* прямоугольника О#, определенного формулой
^ = (0,с)х(0,у#).(8.24)
Относительно единственности у* отметим следующее. Если у нао есть два решения pv рг и соответствующие Q; удовлетворяют условию_
Q; <= [0, с] х [0, у^, то мы выберем
У* = max (y*v у*^.
Формула (8.22) является обычной слабой формулировкой (8.6), (8.11) и (8.12), свойство (8.10) содержится в (8.15), условие (8.7) переписано в виде (8.17), а условия (8.8) и (8.9) записаны одним условием (8.18). Что касается «гладкости» — см. обсуждение после теоремы 8.1.
Для задачи 8.2 имеют место следующие результаты.
Теорема 8.1. Задача 8.2 имеет, одно и только одно рете ;ие; далее,
Vre [!,+<») PEWX’4D*),(8.25)
рЛЬ“№(8.26)
+оо22
- J р^х, t)dt = п. в. в (0, с) (8.27) о
и при
.ф (х) = max (у: (х, у) Е Q}(8.28)
выполнено (8.3) и, более того,
Ф Е С° ([0, с]), ф аналитична в (0, с),(8.29)
^вогнута, ф'(0) = 0, ф'(с) — — оо.(8.30)
Мы докажем здесь только некоторые из этих результатов, другие будут доказаны в части II в более общем случае. Тем не менее, относительно всех результатов теоремы 8.1 см. работы [127, 150, 405].
Что касается гладкости, наложенной на ф, (полная) формулировка (неполной) задачи 8.1, приведенная в задаче 8.2, является очень «слабой» формулировкой, в то время как эта формулировка является очень «сильной», когда речь идет о гладкости р ((8.25) и (8.26) показывают, что условие (8.15) почти оптимально).
196
Преобразование задачи
DDЧтобы сформулировать задачу 8.2 в «более удобной» форме, отметим сначала, что свойство (8.22) эквивалентно следующему: У gradрgradфdxdy = — уxa^ydxdy УфЕС”((0, с)х(—°о, +°о))
D
D
О
(8.31)
(Xq обозначает характеристическую функцию области Q в О). В самом деле, левая часть равенства (8.31) есть у grad р grad ф dx dy, по определению области Q, а правая часть (8.31) есть — у grad у х X gradфdxdy, в силу определения ха-
Преобразуем (8.31) далее, показав, что из (8.31) вытекают два свойства:
Др = Оу%й в смысле 5)' (О),(8.32)
+°°
(8.33)(8.33)функция х -> у рх (х, 0 dt линейна на [0, с]о
(8.33)
(8.33)
(на самом деле (8.31) эквивалентно (8.32) и (8.33), однако для наших целей достаточно доказать лишь сформулированное выше). Соотношение (8.32) следует из (8.31), если в нем выбрать supp фаз D, в то время как для получения (8.33) нужно выбрать в (8.31) ф (х, «) = ф1 (х) ф2 (у) при ф1 6 ^ ((0, с)) и ф2 Е .0 (R), причем ф2 = 1 на [О, у*]; тогда имеем
С 8»С 8»^ (J Рх(х> О ^ Ф1 (x^dx = О,^ (J Рх(х> О ^ Ф1 (x^dx = О,о оо оV.т. е. Dx у рх (х, 0 dt = 0.оV.т. е. Dx у рх (х, 0 dt = 0.о
С 8»
С 8»
^ (J Рх(х> О ^ Ф1 (x^dx = О,
^ (J Рх(х> О ^ Ф1 (x^dx = О,
о о
о о
V.
т. е. Dx у рх (х, 0 dt = 0.о
V.
т. е. Dx у рх (х, 0 dt = 0.о
Другая неизвестная функция. Оператор Dy в правой части (8.32) мешает нам непосредственно показать, что решения задачи 8.2 являются решениями неравенств с препятствием (функция препятствия тождественно равна нулю — см. (8.16)). Чтобы убрать этот оператор, мы и рассмотрим новую неизвестную функцию — первообразную от р по у. Положим
(8.34)(8.34)ш (х, у-) = у р (х, /) dt V (х, у) Е D.
(8.34)
(8.34)
Эта замена неизвестных, введенная Байокки, [126, 127], является основной идеей данного метода. Относительно других случаев, в которых пригодна такая замена, см. [136]. Общее рассмотрение задач со свободной границей, которые после аналогичной замены неизвестных становятся вариационными неравенствами, приведено в [140] и в гл. 13 настоящей книги.
Теорема 8.2. Если р — решение задачи 8.2, то для функции ш, определенной равенством (8.34), справедливы следующие утверждения:
фу supp w — компакт,(8.35)
ш>0 6 D, Q — {(x,y)£D:w(x,y)>0},(8.36)
Агу = Ха в D,(8.37)
w(c, у) = -у j (Уз —<l+d< пРи 0^z/<4-oo, (8.38) и
1 +°°
гу (0, у)=-2" j (У1 — t^dt при 0^z/<4-oo,(8.39)
и
w (х, 0) = -^ У2 (с — х) + -у- при 0 ^ х ^ с. (8.40)
Доказательство. Функции ха и гу (а следовательно, и Агу), очевидно, имеют компактные носители. Отсюда и из (8.32) (которое эквивалентно D8^w — Ха) = 0) следует (8.37). Из (8.15) вытекает, что wu, wx8, uuyy^L8 ф\ Поскольку функция гу имеет компактный носитель, то для доказательства (8.35) нам необходимо лишь показать, что шжх £ L2 ФУ а это следует из того факта, что wuy £ L2 ф^ и выполняется (8.37).
Свойство (8.36), очевидно, следует из (8.16), (8.19), (8.20), а (8.38) и (8.39) следуют соответственно из (8.17) и (8.18). Наконец, (8.40) вытекает из (8.38), (8.39) и (8.33) (заметим, что (8.38) и (8.39) дают нам значения гу (0, 0) и гу (с, 0); отметим также, что из (8.35), например, следует, что гу С С° фуу □
Свойства (8.36) и (8.37) имеют несколько следствий. Например, из них заключаем, что
гу ^ 0 в D, Агу ^ 1 в D, w > 0=> Агу = 1, (8 41)
что является «составной частью» вариационного неравенства (8.47), сформулированного ниже, а также что
Ьш£НфУ(8.42)
что является «составной частью» приведенного ниже неравенства (8.45). (Напомним, что Н обозначает монотонный максимальный граф, соответствующий функции Хевисайда. Свойство (8.42) является сокращенной записью ряда соотношений: Агу^1, гу > 0 =>■ => Агу = 1, гу < 0 => Агу = 0. См. замечание 7.1 в конце раздела 7.3.)
В частности, если мы зафиксируем D*, то гу удовлетворяет следующим двум задачам.
Задача 8.3. Пусть g (х, г/) определена на dD* равенствами
g(x, у) = О, g(x, 0) =А_21_(Х_С) + ^. при О^х^с, у* ,у»
g (О, у) = J кУх — t^dt, g (с, у) = J \уа — t^dt при 0 ^ у < у*;
Уи
(8.43) положим
K=V)^H4D*Y. и\№. = g\(8.44)
Найти такую функцию w, что w^K и Vv^K
У grad су grad (г — w)dxdy + j kz\+dxdy^ у V^Y^dxdy. (8.45)
Ь *D*D*
Задача 8.4. Пусть g(x, у) и К определены равенствами (8.43) и (8.44), положим'
K+ = {v^K'. и>0 в D^.(8.46)
Найти такую функцию w, что w^K+ и VygK+
У grad w grad (z — су) dx dy ^ У (— 1) (z — w^dx dy. (8.47) D.D.
Поскольку как задача 8.3 (она является задачей такого же типа, что и задача 7.31), так и задача 8.4 (являющаяся задачей типа 7.28) имеют одно и только одно решение, мы приходим к следующей теореме.
Теорема 8.3. Задача 8.2 имеет, не более одного решения. Если это решение существует, то его можно найти с помощью решения задачи 8.3 при
р = —Duw,(8.48)
' & = {(-v- y^D* : w (х, с/) > 0}.(8.49)
Заметим, что мы можем решить задачу 8.3, положив, например, у* = уъ поскольку функция ф будет убывающей. Конечно, можно воспользоваться и задачей 8.4, но теоретически некоторые свойства получаются более простыми при использовании задачи 8.3. С вы» числительной точки зрения, наоборот, задачу 8.4 «легче» дискретизировать (см., например, 11491).
Пусть w — решение задачи 8.3 при у* = yv Из (8.42) с учетом того, что су |sd = g, получаем
ш^ЧО») VreiL +оо).(8.50)
(Относительно гладкости решений краевых задач в открытых множествах с углами см. работу Грисварда [442]. Из (8.42) вытекает, что Асу g L°° (D*) и, следовательно, мы пользуемся только результатами о гладкости решений уравнений, а не неравенств.) Из (8.50) и (8.48) заключаем, что справедливо (8.25) и, кроме того, су, wx, wv Е
€ C° (D*). Тогда принцип максимума в форме Хопфа (более подробно см. [150]) приводит нас к неравенствам
ш>0, ^^0, йУу:^0 в D*.(8.51)
Первое из этих неравенств выражает тот факт, что на самом деле эквивалентно что решать: задачу 8.4 или задачу 8.3, в то время как из последних двух неравенств вытекает, что область й, определенная равенством (8.49), ограничена кривой, непрерывной по Липшицу относительно осей X = х + у, У = х — у.
Что касается других свойств, упомянутых в теореме 8.1, см. приведенные там ссылки.
Квазивариационные задачи
Как мы увидим в ч. II, при исследовании аналогичной задачи в случае дамбы с «более сложной геометрией» (такой, как приведенная на рис. 8.3), удобно сделать следующую замену неизвестных
У
z(x, у) = — j р(х, f)dt,(8.52)
о
которая, очевидно, связана с заменой, введенной в (8.34), соотношениями
w (х, у) = г (х, у) — z (х, У (х)), z (х, у) = щ (х, у) — w (х, 0).(8.53)
Заметим, что рис. 8.1, например, при D* — (0, с) х (0, у^, является частным случаем рис. 8.3, в котором а = 0, b = с, У (х) s = Ур
Задача, с которой мы будем иметь дело, имеет в качестве аналога (8.41) задачу о препятствии:
г^ф в D*, Дг^ 1 в Dv г>ф=>Дг = 1,(8.54)
где, однако, «функция препятствия» ф сама зависит от решения. В самом деле,
ф (х, у) = г (х, У ^\(8.55)
Задачи такого типа, когда функция препятствия зависит от самого решения, называются квазивариационными неравенствами и будут подробно рассматриваться в ч. II. Здесь мы только заметим, что благоприятным обстоятельством, которое позволило нам изучать задачу 8.2 в вариационной форме (задача 8.3 или задача 8.4), явился тот факт, что нам удалось вычислить z (х, У (х)) в явном виде (из (8.53) значение z (х, У (х)) определяется разностью w (х, //*) — — w (х, 0), а w (х, у*) = 0, в то время как функция w (х, 0) определяется формулой (8.40)). (Другая методика исследования этой задачи в общей геометрии (в случае п переменных) была предложена в работе Альта, 1977а; она «локально» использует результат теоремы 8.1 и преобразование (8.34), а затем метод «выметания».)
Как мы увидим далее, случай, приведенный на рис. 8.2, является промежуточным — значения функции г (х, У (х)) не известны, но известно, что г (х, У (х)) имеет вид X — qx, где X — известно, a q — нет (см. формулу (8.40'), которая следует ниже). Это позволяет исследовать данную задачу, записав ее в виде семейства вариационных неравенств с действительным параметром q (а не с функциональным параметром z (х, У (х))).
Мы наметим здесь в общих чертах метод, которому следовали Байокки — Коминчиоли — Мадженес — Поцци [150]. Сначала сформулируем аналоги задач 8.1 и 8.2: •
Рис. 8.3
Задача 8.Г. Решить задачу 8.1, если условия (8.1), (8.3) и |(8.7) заменены соответственно на следующие:
с>0, уг>уа>0, d€(0, t/i),(81')
Ф — неубывающая функция, ф (с) > уа, ф (0) Е (d, у^, (8.3') р(0. У) = У1—У при 0<#<d, рж(0, z/) = 0 при d<y<^0).
(8.7')
Задача 8.2'. Решить задачу 8.2, если условия (8.17), (8.22) ваменены соответственно на следующие:
Р (0, У) = У1 — У при 0^1/ <d,(8.17')
jgrad(p + y^grad^dxdy = 0 Уф£Cj([O, с)х(— оо, + оо)), Q
причем ф равно нулю в окрестности {(0, у): O^z/^d}. (8.22')
Сформулируем теперь аналог теоремы 8.1.
Теорема 8.Г. Задача 8.2' имеет, одно и только одно реше- шение; более того,
VreiM) pEW^D*),(8.25')
p^p^L”^,(8.26')
3^ER px^x, t^dt = — q п.в.наф.су (8.27')
Кроме того, если ф определена формулой (8.28), то справедливы свойства (8.3') и (8.29).
Эта теорема намного менее «точна», чем теорема 8.1, тем не менее, хотя в некоторых случаях этого недостатка точности можно избежать (например, для доказательства (8.30) можно было бы воспользоваться рассуждениями Фридмана и Йенсена [405]), в других случаях недостаток точности вытекает из самой задачи. Свойство р £ W'-r (D*), возможно, не имеет места при г > 4; мы также не знаем априорной формулы для явного вычисления пропускной способности q через параметры с, yit у2, d (типа равенства (8.27), которое обеспечивает справедливость формулы q = (yl — у^у2с при ^УхУ
Теорема 8.2'. Если р — решение задачи 8.2', a w определена формулой (8.34), то справедливы соотношения (8.35), (8.36), (8.37), (8.38) и, кроме того, существует q ER такое, что
w^0,y') = qc + ^^у^у при z/E[O, dy
(8.39')
(°> У) = ° при УЕ (d, + оо),
w(x, 0) = q(c— x) + z/1/2.(8.40')
Доказательство. Доказательство этой теоремы полностью совпадает с доказательством теоремы 8.2 до того момента, в котором рассматривается (8.38). Из (8.33) и равенства аи (с, 0) = = у^ /2 следует (8.40'). Отсюда (для w (0,0) получаем выражение через 9) и из (8.17') вытекает (8.39'). □
При фиксированном D* (как в (8.24)) положим
Г. = {(0, yY d<y<y^ и rd = dD*\rn (8.56)
и для каждого q £ R определим функцию gq (х, у) на Fd:
У2
gq U, У*) = 0, gq (х, 0) = q (х — с) + -у- при 0 < х < с,
У*
gq (С- У) = J 1^2 — t\+dx,
gq^y) = —qc + -у + УУ1--^ ПРИ O^z/^d (8.43') и множество
Kq = {у Е я1 (О*): и |rd = gq}.(8.44')
Рассмотрим теперь следующую задачу.
Задача 8.3'. Пусть q £ R; в условиях (8.56), (8.43'), (8.44') найти функцию auq (х, у) такую, что
™q Е Kq. Vv £ Kq
^ grad a/у grad (г — wq)dxdy + ^ [z[rdxdy^ ^ [wvl+dxdy. (8.45') D.D.D.
Для решения задачи 8.3' нам необходимо исследовать, в частности, следующую задачу.
Задача 8.5. Найти q^R такое, что соответствующее решение су- задачи 8.3' принадлежит Нйф^; хв-^Н^ф^.
Отметим, что для каждого q Е R существует одна и только одна функция су,, являющаяся решением задачи 8.3'. Таким образом, обозначая через шд решение задачи 8.3', соответствующее каждому фиксированному q Е R, докажем следующие результаты (более подробно см. [150]).
Теорема 8.4. Существуют постоянные a, PER ифункгич F: R -► R, непрерывная и ограниченная, такие, что для q^R
wq Е Д2 Ф*) тогда и только тогда, когда F (q) + aq + Р = 0, (8.57) причем аф 0, и, следовательно, задача 8.5 имеет по крайней мере одно решение.
Теорема 8.5. Для каждого q, являющегося решением задачи 8.5, справедливо соотношение
т_ £ fl?2-' (£)) npU г £ [1,4).(8.58)
Теорема 8.6. Задача 8.5 имеет не более одного решения "q^ R
Приведем здесь краткую схему доказательства свойств (8.57) и (8.58). Для этого отметим прежде всего следующее. Что касается решения задачи 8.3', отображение q -> wq непрерывно из R в Н1 ф^), следовательно, отображение q -> Асу, непрерывно из R в Н-1 ф*). Поскольку, кроме того (по аналогии с (8.42)) 0^Асу9^1 Vq Е R, то получаем, что
отображение q^»-\wq непрерывно из R в ^Ф*\
наделенное слабой топологией; его образ ограничен на L2 ф^. (8.59)
Обозначим через X пространство следов на Fd элементов пространства № (О) (см. обозначения (8.56)). Оказывается, что X — гильбертово пространство по фактор-норме (отметим, что из-за углов границы dD* мы не можем работать с пространством Д3/2 (Fd)). Из результатов Петре (см. [624, 6251) для смешанных краевых задач вытекает, что следующая задача 8.6 является задачей с индексом.
Задача 8.6. При фиксированных /, g:
!^ф^ g^X;(8.60)
найти функцию и такую, что
и^Н»ф*У(8.61)
Au = / в О*,(8.62)
u\T=g, u,\r=Q.(8.63)
В общем случае задача (8.62), (8.63) имеет одно и только одно обобщенное решение, т. е. решение из Н1 (D*). По свойствам гладкости, на которые мы уже ссылались, это решение обладает ^-гладкостью в окрестности каждой точки области D, за исключением, быть может, точек (0, d) и (0, у*). Поскольку задача 8.6 является задачей с индексом, то справедливо следующее. Если функция g обращается в нуль на множестве вида ^х-У*) 6 rd: 0 ^ х ^ е) при некотором е > 0 (что соответствует автоматически выполнению уже упомянутого условия согласования в окрестности точки (0, у*)), то существуют функции h и /:
h^L^D^, UX' (8.64)
такие, что задача 8.6 имеет решение в том и только в том случае, если
j h (х, у^ f (х, z/) dx dy + XAF g)x = 0. (8.65) о.
Решение wq задачи 8.36 удовлетворяет (8.62), (8.63) при / = = &wq, g = g4. Используя (8.59) и аффинность отображения q-* gq, получаем (8.57) при
F (z?) = j h (х, z/) (Аш,) (х, у) dx dy и aq + р = (Z, g^. D.
z Наконец, отметим, что свойство (8.58) связано с тем фактом, что задача (8.62), (8.63) является задачей с индексом даже в пространстве W2,r р^ (см. [6691), в то время как теорема единственности 8.6 следует из свойства монотонности отображений q-> wq (х, z/) и q -> wq (х, 0) — mq (х, у) (относительно дальнейших подробностей см. 1150]).
Описанные здесь теоретические рассуждения, хотя, очевидно, и очень сложные, легко применимы для численного решения задачи со свободной границей 8. Г. Об описании численного подхода см. [149], о полном обосновании этого подхода — работу [321] и связанную с ней библиографию.
ЧАСТЬ II
КВАЗИВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
Глава 9. ТЕОРЕМЫ О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ
Введение
Различные типы теорем о неподвижной точке. Многие задачи, которые можно рассматривать в рамках функционального анализа (дифференциальные задачи, вариационные задачи, интегро-дифференциальные задачи и т. д.), могут быть сведены к отысканию неподвижных точек отображений, надлежащим образом связанных с самими задачами. Это оправдывает интерес к теоремам, которые гарантируют, что определенные отображения имеют неподвижные точки (теоремы, которые рассматриваются как теоремы существования решений ...), и объясняет большое число результатов такого типа. '
Здесь мы представим только небольшую часть теории неподвижных точек, связанную со следующими тремя типами задач:
Неподвижные точки операторов, непрерывных по Липшицу, в рамках метрических структур как в однозначном (см. п. 9.2.1), так и в многозначном (см. п. 9.2.2) случаях. Развитие этих вопросов, связанное с понятием a-сжатия, введенного Дарбо (см. (3451), можно найти в работах [565, 627, 411 — 413] и в их ссылках.
Неподвижные точки непрерывных отображений в рамках векторно-топологических структур как в однозначном (см. п. 9.3.2), так и в многозначном (см. п. 9.3.3) случаях. На этом мы также остановимся очень кратко; например, мы не будем касаться развития результатов, связанных с теорией гомологий или вопросов, связанных с топологической степенью (ср. [370, 523]). Литература в этой области обширна; см., например, [449, 344, 347, 567] и другие ссылки.
Неподвижные точки монотонных операторов в рамках упорядоченных структур (раздел 9.4).
Касаясь доказательства результатов, связанных со вторым случаем, отметим, что здесь можно следовать многими взаимоисключающими путями, поскольку эти результаты тесно связаны друг с другом. Путь, которым следуем мы. не совпадает с хронологическим порядком, в котором эти результаты были получены. Например,
теорема 9.17, доказанная Шаудером в 1930 г. (ср. [6591) и независимо Каччиполи в 1931 г. (ср. [268]), была получена нами как следствие теоремы 9.16, доказанной Тихоновым в 1935 году (ср. [716]). Более полное объяснение этих связей можно найти в таблице в конце раздела 9.3.3.
Мы будем проводить рассмотрение однозначного и многозначного случаев параллельно. Рассмотрение многозначных отображений дает вместе с тем, в определенном смысле, полноту рассмотрения, но оно требует знания понятий и обозначений, которые делают это рассмотрение очень утомительным. По этой причине мы предпочли дать эти предварительные сведения в гл. 20, а в настоящей главе провести параллельное рассмотрение двух случаев.
Разделы 9.2.2 и 9.3.3 (они являются обобщениями разделов 9.2.1 и 9.3.2 на случай многозначных отображений) могут быть опущены читателем, интересующимгя только рассмотрением однозначных отображений. На самом деле, перед чтением разделов 9.2.2 и 9.3.3 мы советуем ознакомиться с гл. 20, в которой собраны определенные фундаментальные понятия и обозначения, касающиеся многозначных отображений.
Об использовании теорем о неподвижных точках в областях, отличных от рассматриваемых в этой книге (таких как теория вероятности, численный анализ и т. д.) см., среди многих других, работы [470, 60, 692, 77, 118, 122].
Неподвижные точки и свойство неподвижной точки. Введем несколько понятий, которыми в дальнейшем мы будем пользоваться (ограничимся здесь однозначным случаем — многозначный случай будет рассмотрен в п. 9.2.2).'
Определение 9.1. Пусть М — непустое множество, а функция f действует из М в М (это записывается / : М -^/VT). Элемент х 6 М называется неподвижной точкой отображения Д если / (х) = х.
Если card М >• 1, то для доказательства теорем о неподвижной точке (т. е. того факта, что / : М -> М имеет по крайней мере одну неподвижную точку) нам необходимы определенные предположения на М и f. В этой связи в литературе часто сталкиваются с выражением «свойство неподвижной точки», относящимся к классу отображений и к классу структур. Этим понятием мы будем пользоваться редко, тем не менее введем его.
Определение 9.2. Пусть $ — класс структур, а ^— класс отображений этих структур в себя. Говорят, что пара ($, обладает свойством неподвижной точки, если
VSe» Vf:S->S, 5c£S: f[x^=x.(9.1)
Примером пары, обладающей свойством неподвижной точки яв- )яется пара ^, <Г\ где *& — класс непустых полных метрических zipocrpaHCTB, ^ — класс сжатий этих пространств в себя; теорема Банаха для сжатий утверждает, что свойство (9.1) в этом случае справедливо.
Теоремы о неподвижной точке для функций, непрерывных по Липшицу
Однозначные отображения: теорема Банаха.
Теорема Банаха для сжатий. Сначала мы сформулируем результат, о котором только что говорилось в конце предыдущего раздела (ср. [158, с. 160]; доказательство см. в ч. I настоящей книги — теорема 1.3).
Теорема 9.1 (теорема Банаха для сжатий). Пусть (S, d) — непустое полное метрическое пространство. Если f : S S является сжатием, то у f существует одна и только одна неподвижная точка.
Это один из немногих результатов о неподвижных точках, гарантирующий единственность. В действительности же теоремы о неподвижных точках в большинстве случаев являются обычно результатами типа существования. В связи с этим отметим, что в теореме предположением, относящемся к существованию, является предположение о полноте метрического пространства (S, d) — оно существенно используется при доказательстве.
Некоторые следствия теоремы Банаха. Рассмотрим некоторые результаты, связанные с теоремой 9.1, опуская много других, среди которых — результаты, основанные на различных обобщениях понятия сжатия (см. библиографию, цитированную в начале этой главы, и в частности, работу [470, со с. 147 и далее]).
Первый результат является элементарным следствием из теоремы Банаха для сжатий.
Теорема 9.2. Пусть (S, d) — непустое полное метрическое пространство. Если отображение / : S -> S таково, что по крайней мере для п^ 1 fn является сжатием, то для f существует одна и только одна неподвижная точка.
Доказательство. Единственность неподвижной точки очевидна. Что касается существования, заметим, что если х — единственная неподвижная точка для f" (отметим, что /” и (S, d) удовлетворяют условиям теоремы Банаха для сжатий), то /п(/(х))= = / (Г(х)) = / (х), и, следовательно, /(х) является неподвижной точкой для f*. В силу единственности имеем / (х) = х. □
Отметим, что условиям доказанной теоремы удовлетворяет интегральный оператор Вольтерра (см., например, [463, с. 1791). Обобщения этой теоремы можно найти у Ру—Сорди [652].
Другим интересньм результатом является следующая теорема.
Теорема 9.3. Пусть (S, d) — метрическое пространство, fT : S S, f2 : S S — два отображения такие, что Ко f2 = = f2ofT, т. е. fj и f2 коммутативны. Если f2 имеет единственную неподвижную точку х, то х является неподвижной точкой для fv
Доказательство. Еслих = /2 (х), то Л (х) = ^ (/2 (х))^ = f2 (fr (х)). Следовательно, fT (х) является неподвижной точкой для f2. В силу единственности неподвижной точки х = h (х). □
Другие результаты о неподвижных точках, общих для двух или нескольких отображений, можно найти, например, в работах [470 со с. 97 и далее; 676 со с. 53 и далее].
Любопытным моментом в только что приведенных двух теоремах является тот факт, что существование неподвижной точки вытекает из двух предпосылок: из предположений типа существования (присутствие которого естественно) и типа единственности (что менее ожидалось, но существенно использовалось при доказательстве).
Непродолжимые отображения. Рассмотрим теперь коротко непродолжимые отображения. Здесь мы не надеемся получить результаты о единственности (возьмите тождественное отображение...), здесь даже существование доказать трудно: простой метрической структуры недостаточно, чтобы утверждать существование неподвижной точки. Справедлива следующая теорема.
Теорема 9.4. Пусть Н — гильбертово пространство, М — непустое ограниченное замкнутое и выпуклое подмножество Н. Каждое непродолжимое отображение f : М -*М имеет неподвижную точку.
Доказательство этой теоремы можно найти в [256, с. 1274, теорема 1] (в этой работе, где имеются и другие результаты такого типа, автор называет сжатиями те отображения, о которых мы говорим здесь «непродолжимые») и в [676, с. 36]; ср. также с работой [234, с. 5], где изложено обобщение на случай равномерно выпуклых банаховых пространств и приведен контр-пример, показывающий, что результат не имеет места для любого банахова пространства.
Приведем теперь результат о квазинеподвижных точках в банаховых пространствах.
Теорема 9.5. Пусть В — банахово пространство, а М — непустое ограниченное замкнутое и выпуклое подмножество В. Если f : М М — непродолжимое отображение, то
Ve>0 3x(e)gM: || f (х (е)) — х (е) ||в ^ е. (9.2)
Доказательство. Пусть К > 0 такое, что М с В (0, К) = Vх € В : |] х [|s ^ /?} (Л4 ограничено). Предположим для удобства, что 0 £ Л4 (это можно сделать без потери общности, поскольку пространство В линейно). Далее, пусть r< 1. Отображение ф = = г/ является сжатием из Л4 в М, поскольку Л4 — выпуклое множество, содержащее начало координат, а / — непродолжимое отображение. Из теоремы Банаха для сжатий (Л4 замкнуто) следует, что ф имеет единственную неподвижную точку; пусть это будет точка х (г). Имеем:
II f (X (И) — X (') Ив = llf(x (г)) — ф (х (г)) Цв <
<(l-r)||f(x(r))||flC(l-r)/?; (9.3)
выбирая г таким, чтобы (1 — г) К < е (е предварительно зафиксировано), приходим к утверждению теоремы. □
Отметим, что эта теорема не утверждает, что элемент х (е) «бли- бок» к неподвижной точке, она утверждает лишь, что х (в) является
«квазинеподвижной» точкой (неподвижных точек может не существовать!).
Последовательности и неподвижные точки. Рассмотрим кратко проблему сходимости последовательности неподвижных точек, отвечающих соответствующим последовательностям отображений.
Теорема 9.6. Пусть (S, d) — непустое метрическое пространство, а отображения ft ; S S имеют по крайней мере по одной неподвижной точке xt (i = 1, 2,...). Пусть также foo : S -> -> S является сжатием с неподвижной точкой х». Если f, равномерно, то х, -> х^.
Доказательство. Пусть а*, < 1 является постоянной Липшица для /«,. Рассмотрим произвольное число е>0и выберем целое число N такое, что
Vi^N Vx^S dQi(x), /«>(х))<е(1 — a«>)(9.4)
(такое N должно существовать, так как последовательность {/J сходится равномерно к /«). Поскольку xt— неподвижная точка для fb х^ — неподвижная точка для /«,, то для каждого I можно записать равенство
d (xb Xc) = d Qt (Xi), foo(xoo)),(9.5)
а из неравенства треугольника — неравенство
d (х„ х») s$ d Qi (xt), f„ (xt)', + d Q* Qc^, f» (x<^Y(9.6)
Вспоминая, что f^— сжатие, и используя (9.4) при х = хь из (9.6) имеем:
d (хь х») ^ е (1 — а-) + a»d (хь хю\(9.7)
Следовательно,
d(x,-, х<х>)<е,(9.8)
что и доказывает теорему. □
Если отображения ft также являются сжатиями, a (S, d) локально компактно, то доказанный результат остается в силе даже в случае лишь поточечной сходимости последовательности QQ к foo (см. [612 с. 5801). Другие результаты такого типа можно найти в [612, 470, гл. 6; 234].
Многозначные отображения. В случае многозначных отображений определение 9.1 следует заменить на следующее.
Определение 9.3. Пусть М — непустое множество, a f— отображение из М в 2g: f:M-*2g. Элемент х^М называется неподвижной точкой для f, если x^f (х).
Обозначение 2, и другие такого вида можно найти в разделе 20.0. Для облегчения чтения этой главы мы будем давать точные ссылки, как только в тексте будут встречаться понятия, определения или результаты главы 20.
Определение 9.2 следует переформулировать совершенно аналогично определению 9.1, мы не будем здесь этого делать.
20920914 К. Байокки, А. Капало
209
209
Обобщение теоремы Банаха. Докажем сначала следующую теорему (см. [613, с. 4791):
Теорема 97. Пусть (S, d) — непустое полное метрическое ■ пространство. Если отображение f : S 2,ci является сжатием (в смысле определения 20.9), то оно имеет неподвижную точку.
Доказательство. Отметим, что если Л, B^2seci и а ЕЛ, то
УЛ>0 3b£Bi d(a,b)^H(A,B) + i}(9.9)
(здесь Н — хаусдорфово расстояние — см. определение 20.8; заметим, что если В компактно, то (9.9) справедливо также и для т] = =0). Пусть а<1 — постоянная Липшица для f, пусть также р0— произвольный элемент S, а рг — произвольный элемент f (р0). Из (9.9) следует, что существует р2 6 f (Pi) такое, что
d (pv Р»Х Н у Кр0\ / (pj) + а,(9.10)
далее из (9.9) вытекает существование p3Ef (^2) такого, что
d (р2, Ра) <HQ (Р1), f (р2)) + а2,(9.11)
и т. д. Теперь мы можем построить последовательность ^р^ элементов S такую, что при п ^ 1 pn£f (Pn_i) и.
d kpw Р^ ^НЦ (рп^), f (рп)) + а".(9.12)
Теперь мы можем записать
d kpw Рп^й ^H(f (Pn-i)> f M + «" < ad (pn_v pn) + a" <
<«YHtf Ц)^ f (pn-1)) + a"-1] + a"<...
... ^and(/70, pj + nan, (9.13)
и, следовательно, для любых n, 1^1
d(pn> Pn+i)^d(pn, pn+xH ... + d(pn+l_v pn+l)^
^ «"d (p0, p^ + nan + .... + an+l-xd (p0, P1) +
z-iz-i
+ (n + / — 1) a"+z-1 = d(p0, Pi) £ a"*' + ^ (n + t) an+i. (9.14) t=01=0
Таким образом, мы показали, что последовательность {рп} является последовательностью Коши, пусть она имеет предел р из S. Поскольку / непрерывно (см. теорему 20.5. 1)), то можно заключить, что последовательность {/ (рп)} сходится к f (р), а в силу рп ^ У(рп_\) для любого п отсюда следует, что р^ f (р). □
Эта теорема является обобщением теоремы Банаха для сжатий, поскольку отображение х -*• (х) является изометрией из (S, d) в (2и«, Н) (см. замечания перед теоремой 20.4). Возможны дальнейшие обобщения как за счет развития понятия сжатия (см., на-
пример, [613 со с. 480 и далее; 470 со с. 304 и далее]), так и за счет развития понятия самой метрики Хаусдорфа (см., например, [335]).
Отметим следующее. Если (S, d) полно, то (2*q, Н) также полно (см. замечания после теоремы 20.4). Кроме того, если отображение p.S-^-2sw является сжатием, то отображение f"2®q-*2swq также сжатие (см. теорему 20.5, 4)). Имея в виду эти два факта, из теоремы Банаха для сжатий мы можем заключить следующее. Если (S,d)— непустое полное метрическое пространство, a f:S->- 2»q — сжатие, то ]s имеет одну и только одну неподвижную «точку» AczS. Кроме того, можно доказать, что неподвижные точки / являются элементами А.
Последовательности и неподвижные точки: многозначный случай. Наконец, сформулируем без доказательства следующий результате последовательностях сжатий (см. [613, с. 484; 470, с. 307]).
Теорема 9.8. Пусть (S, d) — непустое полное метрическое пространство, a fi":S->-2gq-—сжатия с постоянными Липшица схг ■< 1 и неподвижными точками xv Если отображение. f«> -S-* -э- 2*q является сжатием и выполнено одно из условий".
постоянные а., равны а< 1 и Ц—г^ поточечно;
fi-*f~ равномерно;
(S,d) локально компактно и П—*-^ поточечно;
то последовательность {xj имеет подпоследовательность, сходящуюся к неподвижной точке отображения f^.
Теоремы о неподвижной точке для непрерывных отображений.
Лемма Кнастера—Куратовского—Мазуркевича и лемма Фана. Здесь мы изложим два важных результата, которые по историческим причинам названы леммами: лемму Кнастера — Куратовского — Мазуркевича (сокращенно ККМ; см. [508, с. 134]) и лемму Фана (см. [376, с. 305]). Это два результата о существовании, которые выражены через утверждение о том, что заданные множества имеют непустое пересечение. Существуют и другие математические результаты такого типа — приведем здесь три примера.
Три результата о пересечениях. Начнем с хорошо известной теоремы из общей топологии. Напомним, что семейство Jt непустых множеств обладает свойством конечного пересечения, если каждое конечное непустое подсемейство семейства ^ имеет непустое пересечение (очевидно, что это не означает, что П^т^ 0 —достаточно рассмотреть семейство 10, е[ (е > 0) подмножеств R).
Теорема 9.9. Пусть Е — компактное топологическое пространство, а & — семейство замкнутых подмножеств Е. Если
обладает свойством конечного пересечения, то П F^= 0.
Обратное также справедливо, так что компактные топологические пространства можно охарактеризовать как пространства, в ко- 14*211
торых всякое семейство замкнутых множеств, обладающих свойством конечного пересечения, имеет непустое пересечение. Доказательство теоремы 9.9 и обратного утверждения см., например, в [38]. Сформируем теперь также без доказательства (см., например, [688, с. 7; 369, с. 33]) результат, часто используемый в выпуклом анализе в конечномерных пространствах.
Теорема 9.10 (теорема Хелли). Пусть Kt 0 = 1, ... ,m,m^ ^ n + 1) — т выпуклых множеств из R". Если каждые п + 1 из ■т
етих множеств имеют непустое пересечение, то [~| Kt =£ 0. <=i
G этим результатом тесно связана следующая теорема, которую легко доказать.
Теорема 9.11. Пусть Ж — произвольное семейство компактных выпуклых множеств из Rn Если любое множество из (я + 1)-го элементов ТС имеет непустое пересечение, то П 5Г ^ 0.
Доказательство. Пусть К^Ж. Рассмотрим семейство {/СП К : К € ЗП подмножеств К- Поскольку К — компактное пространство, мы можем утверждать (по теореме 9.9), что каждое семейство замкнутых множеств со свойством конечного пересечения имеет непустое пересечение. Таким образом, если Q К = 0, кед то существует конечное подсемейство с пустым пересечением, пусть т будет кардинальным числом этого семейства. Однако в. силу теоремы Хелли это невозможно, следовательно, Q ^ т^= 0, и тео- кед
рема 9.11 справедлива. □
Лемма Спернера. При доказательстве леммы ККМ мы будем пользоваться результатом комбинаторного характера: леммой Спернера (ср. [681, с. 267]; см. также [668]). Мы не будем доказывать здесь этот результат, а введем некоторую терминологию, которая позволит нам понять, что он означает.
Прежде всего напомним, что т + 1 точек х0, хг,..., хт в R" называются аффинно независимыми, если т точек хг — х0,...,хт— — х0 линейно независимы (т > 0); одна точка {х0} также называется аффинно независимой. Если х0, xlt..., хт—(т + 1) аффинно независимых точек из R" (Р^.т^.п), то множество S = simp{x0,... ..., xm} всех выпуклых комбинаций точек хг называется т-симплек- сом или симплексом размерности т. Точки хг называются вершинами S, а множества simp {х,,..., xife) (0 ^ к ^ т ^ п) носят название граней S (или граней S размерности к; таким образом, любая вершина xt является гранью размерности 0).
Если х — точка m-симплекса S=simp{x0,... ,xm) из R", то можно единственным образом определить т +1 действительных чисел тт
Хо,..., Хт таких, что Х^ 0 (i = 0,... шт), ^=1 и х = £ Хр^ — <=0<=0
такие числа Хг называются барицентрическими координатами точки л*.
Пусть теперь S— m-симплекс в R". Семейство 2 симплексов, содержащихся в S, называется симплексным подразделением S, если выполнены следующие условия:
(Oj) S является объединением m-симплексов из 2,
(<т2) пересечение двух симплексов из 2 является гранью, общей для этих симплексов,
(<т3) грани симплексов из 2 являются симплексами из 2.
Грани из 2 размерности 0, которые являются, безусловно, вершинами симплексов из 2, называются узловыми точками (узлами^ симплексного подразделения. Максимальное значение диаметров симплексов из 2 размерности 1 (в обычной метрике пространства Rn) называется длиной шага подразделения. Можно доказать, что для любого числа е > 0 существует симплексное подразделение с длиной шага, меньшей, чем е.
Пусть снова S = simp {х0, ..., хт} — т-симплекс из R", 2 — симплексное подразделение S, a N — множество узловых точек 2. Подразделение 2 называется меченым, если существует отображение е : М-*{0, ..., т} называемое меткой 2, которое каждому z^N ставит в соответствие число е (г) 6 {0, .... т}, называемое меткой узла г, так, что выполняется условие
(е)z Е simp {х(о,..., xi6} => г (z) £ (i0,.. Л)
(заметим, в частности, что е ({%;}) = /).
Если Т = simp {г0,..., г,} (/>1) принадлежит 2, мы говорим, что е(Т) = (e(z0),..., e(z,)} является меткой Т. Наконец, лемма Спернера утверждает: если S= simp (хь,..., х^ — любой т-симплекс из Rn, 2 — любое симплексное подразделение S, а е — любая метка 2, то число т-симплексов с меткой (0, ... ,т} нечетно.
Лемма ККМ. Рассмотрим результаты, упомянутые в начале настоящего раздела.
Теорема 9.12 (лемма ККМ). Пусть S = simp{x0,...,хт^ — т-симплекс из Rm и пусть F, (i — 0,... ,m)— (m + 1) замкнутых подмножества из Rm такие, что
V/с {О, ...,т} simp {хг}(.6/£ (J Ег;
i^l
тогда q Ft + 0.
Доказательство. Как нам известно, для каждого к ^ ^ 1 существует симплексное подразделение 2Й симплекса S такое, что diam (2k) ^ \!k. С помощью леммы Спернера покажем, что для каждого к найдется m-симплекс из 2к, имеющий вершины в каждом Ft, — тогда утверждение теоремы получим путем предельного перехода по к. Сначала пометим 2Й так, чтобы узел z£Feuh где е—метка 2к. Пусть тогда vv^— узловая точка 2k, a S' =
= simp \xt,..., X/J — грань S наименьшей размерности, содержащая u(fe). Из условия 1) следует, что S' с (J Flf и, следовательно, /=о_
vwEFr для некоторого ij— пусть это будет ij. Полагая е(и№)) = = ij, мы получаем метку с требуемыми условиями. Тогда из лем- 'мы Спернера следует, что в Sh существует m-симплекс simp^',...
..., yW} с меткой {0, 1,..., т}. Без ограничения общности мы можем принять e(yp) = i и, следовательно, и№ £Ft. Пусть теперь А стремится к бесконечности. Поскольку S — компактное множество, из последовательности {up} точек из Ft мы можем извлечь подпоследовательность, сходящуюся к точке иг £ Ft (напомним, что FL замкнуто). Далее, diam(2;,)^-0 при k^-oc, и, следовательно, верт
шины и^ сходятся в одну точку и0 = Oj = ... = Vm£ PI Ft. □ (=0
Лемма Фана. Докажем теперь следующее утверждение.
Теорема 9.13 (лемма Фана). Пусть У — хаусдорфово топологическое векторное пространство, X — непустое подмножество V, a F: X^-2gc такое, что п
1') V^.-.-.x^cX conv{xlt... ,хп}<= U F(Xi),
2') Зх£Х: F^ компактно;
тогда [~| F (х) #= 0.
х^Х
Доказательство. Отметим, что лемма ККМ является частным случаем этого результата: нужно только положить Y = Rm, X = {х0,..., хт} и обозначить через F отображение x^Ft (в лемме ККМ условие 2') нам не нужно, поскольку в этом случае мы, по существу, работаем в S). Заметим также, что из условия 2') вытекает, что Vx€X x^F(x) (следовательно, тождественное отображение является селекцией отображения F согласно определению 20.7) и X с (J F (X (условие Г) в теореме 9.12 дает нам анало- х^Х
гично X,- £ Ft и S с (J Fjj.
<=о
Основная идея доказательства состоит в том, чтобы использовать условие 2) и работать с компактным множеством, воспользоваться теоремой 9.9 и перейти к рассмотрению конечномерного случая, а затем применить лемму ККМ. Из условия 2') и теоремы 9.9 следует, что для доказательства теоремы нам необходимо лишь показать, что
m_т
Q(A(x)nF(x;))=F(x)n[fl/7(xi)]¥=0(9.15)
<=1i=i
Далее, поскольку в общем случае xt не являются аффинно независимыми, то мы не можем непосредственно воспользоваться леммой ККМ для доказательства (9.15), и нам нужно обойти этот момент. Положим тогда х = х0 и рассмотрим с одной стороны множество [х0, ...,хт}, а с другой стороны — m-симплекс Т = simp(e0, 5р ..-^m}- гДе 5о— начало координат, а {с^ ...,ст}— канонический базис в Rm. Рассмотрим также отображение ф: T^-Y, определенное формулой
mmm
ф(5 “А) = 5 “^ “i>0- 5«i = L (9.16) 1=01=01=0
Отображение ф, вообще говоря, не является инъективным, поскольку xf не обязательно аффинно независимы, и, следовательно, размерность выпуклого множества conv [х0, ..., хт} может быть меньше т. Но ф непрерывно, потому что аг — непрерывные функ
ции от xv Положим теперь 6г=ф-1 (^(xj) и покажем, что П °v^0-
1=0
Отсюда будет следовать (9.15) (поскольку для Z = 0, ...,т мы имеем ф ^G^ = ф (ф-1 (F (х,))) cz F (х^, и тем самым теорема будет доказана.
т
Чтобы убедиться в том, что f^Gi^®, нам необходимо лишь 1=0
заметить, что G, удовлетворяют условиям леммы ККМ. В самом деле, G, замкнуты, поскольку они являются прообразами замкнутых множеств F (х^ при непрерывном отображении ф. Кроме того, если / с (0,..., т}, то simp {cjie/ с (J Ge (условие 1)), поскольку если
2 = S Wi € simp \е^ то z £ ф-1 (ф (г)) = ф-1 (£ Хгхг), а из Г) сле- дует, что ф-1 Щ Хгхг) с ф-1 ([] F^ = (J ф-1 (F(Xi))=UGi- □ 1'€/<€/«€/»"€/
Как мы уже отмечали, лемма Фана является обобщением леммы ККМ. Дальнейшим обобщением является следующая теорема.
Теорема 9.14. Пусть К — хаусдорфово топологическое векторное пространство, X — непустое подмножество Y, а отображение F : X -> 2в ^отметим, что F (х) не обязательно замкнутой) таково, что
1") V {Xl ..., хп) с X conv {Хц ..., Хп} С (J ^(Xj),
1=1
2") Эх^Х: ^(х) компактно,
3") если L— подпространство Y конечной размерности, moV х^ F(x)n^ замкнуто,
4") если D— выпуклое подмножество У, то
( П Wjrp^t П F^^D'rexno *€хпо
тогда Q К (х)У= 0.
х^Х
Этот результат является на самом деле обобщением леммы Фана, поскольку если Vx 6 X F (х) замкнуто, то условия 3") и 4") автоматически выполнены. Доказательство теоремы 9.14, в котором используется лемма ККМ, а не лемма Фана, можно найти в работе [238, с. 295].
Однозначные отображения: теоремы Брауэра, Шаудера и Тихонова.
Теорема Брауэра. Среди теорем о неподвижной точке наиболее известной является, несомненно, теорема Брауэра (см. [251, с. 115]), для которой существует несколько доказательств. Например, Истратеску [470, с. 196] и Данфорд, Шварц [27] дают доказательство на основе классического анализа, Кронин [338, с. 152] и Миранда [590, с. 136] приводят доказательство, основанное на теории топологической степени (при таком подходе работают с функцией g (х) = х — / (х) и, заметим, что для доказательства теоремы Брауэра в одномерном случае к этой функции применяют теорему Больцано о нулях непрерывных функций); Базби [2251 использует при доказательстве методику, связанную с теорией дифференциальных форм. В последней работе наряду с теоремой Брауэра приведено доказательство результата, который формулируется просто, но очень сложно доказывается, а именно: непрерывное векторное поле, касающееся сферы (границы шара) четной размерности, принимает нулевое значение по крайней мере в одной точке. Связь между этими результатами не удивительна, поскольку в алгебраической топологии они оба возникают естественным образом (см., например, [228 со с. 129 и далее], см. также [588, 385, 651, 486]).
Здесь мы пользуемся леммой ККМ, а значит, и леммой Сперне- ра,— таким образом, мы используем комбинаторные методы. Как нам кажется, метод, которому мы здесь следуем, позволяет доказать георему наиболее быстро; однако это справедливо, если только мы уже знаем что-нибудь о комбинаторных методах.
Сейчас мы докажем теорему Брауэра, за которой последует одно из ее обобщений — теорема Тихонова (см. [716, с. 770]), а затем Шаудера (см. [659, с. 173]) — результат, являющийся «промежуточным» между двумя предыдущими.
Теорема 9.15 (теорема Брауэра). Пусть К — непустое выпуклое компактное множество из Rn. Если f : К -* К — непрерывная функция, то f имеет по крайней мере одну неподвижную точку, т. е. Эх £ К: f (v) = х.
Доказательство. Этот результат вытекает из следую
щих трех лемм. 216
Лемма 1. Свойство неподвижной точки сохраняется при ретракциях, т. е. если всякая непрерывная функция f : К-- К имеет неподвижную точку и К является ретрактом К, то каждая непрерывная функция tp: К ^- К также обладает неподвижной точкой.
Напомним, что множество X называется ретрактом множества Y td X, если существует непрерывное отображение (ретракция) г ; Y X, такое, что г (х) = х Ух 6 X, т. е. г|х — тождественное отображение (заметим, что существует целая теория ретракций, которая интересна тем, что она связывает общую и комбинаторную топологии — см., например, [468]). Пусть г : К-* К — ретракция;
К——>КК——>КI ~ Офс/I ~ Офс/v ‘кк Кv ‘кк КДиагр. 9.1Диагр. 9.1_К-^>КЛ~'офой(v н-' У к<— кДиагр. 9.2_К-^>КЛ~'офой(v н-' У к<— кДиагр. 9.2
К——>К
К——>К
I ~ Офс/
I ~ Офс/
v ‘кк К
v ‘кк К
Диагр. 9.1
Диагр. 9.1
_К-^>К
Л~'офой(
v н-' У к<— к
Диагр. 9.2
_К-^>К
Л~'офой(
v н-' У к<— к
Диагр. 9.2
рассмотрим, отображение I- о ф°г: К-* К (см. диагр. 9.1), которое (по предположению) имеет неподвижную точку — пусть это будет точка х. Тогда мы имеем х = (i-^ о ф о г) (х); и поскольку i^— множественное вложение, а г | ~ — тождественное отображение, томы можем утверждать, что ф(х) = х, что и доказывает лемму 1.
Лемме 1 аналогичен следующий результат, который мы докажем в силу его важности: свойство неподвижной точки инвариантно относительно гомеоморфизмов, т. е. если всякая непрерывная функция t; К К имеет неподвижную точку и К гомеоморфно К, то кажая непрерывная функция <р : К ^- К также имеет неподвижную точку. В самом деле, пусть h : К~* К — гомеоморфизм, рассмотрим отображение Д—'о ф о /г: К К (см. диагр. 9.2), которое ио предположению имеет неподвижную точку — пусть это будет точка х. Тогда х = (/i-1o ф о К) (х) и, следовательно, h (х) = ф о о h (х), откуда вытекает, что h (х) является неподвижной точкой для Ф, и это доказывает сформулированное утверждение.
Лемма 2. Пусть S — т-симплекс из Rm. Если К с S — замкнутое выпуклое множество, то К является ретрактом S.
Для доказательства достаточно рассмотреть отображение г: S -> К, определенное для каждого х^ S равенством г (х) = Рк (х), где Рк — обычный оператор проектирования на К.
Лемма 3 (теорема Брауэра для симплексов) *). Пусть S = = simp (х0, .... хт} — т-симплекс из Rm. Если f : S -> S — не
прерывное отображение, то оно имеет по крайней мере одну неподвижную точку.
Основная идея доказательства очень проста: следя за тем, как функция / действует на различные точки S, мы обнаруживаем, что / имеет по крайней мере одну неподвижную точку в S. Для этого представим точки S в барицентрических координатах. Если х 6 S, то mт
можно записать х=^Х1Х1, где Х^О и ^Х; = 1. Здесь Хг-= i=0t=0
= Х{ (х) — барицентрические координаты точки х, которые, как легко видеть, являются непрерывными функциями от х. Положим теперь
Аг = [х 6 S : X,- (/(х)) < Х; (х)) (i = 0, .... /и) и покажем, что р| FtФ
1=0
^ 0. Тогда мы сможем убедиться в том, что существует точка x£S, барицентрические координаты которой не меняются при отображении /, и, следовательно, эта точка неподвижна. В самом деле, tn
•если х £ Q Ft, то Хг (/ (х)) Xf (х) (i = 0т), а поскольку
/=о
^ Х; (/ (х)) =2 ^i W = * ’ то имеем ^i (/ W) = К (х) (г = 0,.... т). <=о/=о
т
Чтобы показать, что (~) F, ^ 0, воспользуемся леммой ККМ. Функ- i=0
ции Хг и / — непрерывны, отсюда сразу следует, что F^ замкнуты. Убедимся в том, что simp{xjte/ ел (J Ft для всякого I сл {0,..., ту
. i£i
Пусть z/gsimp{xji€/; тогда £ Хг (у) = 1. Если, от противного, у^ ^ U Fv то Х8 (f (у)) > Х8 (у) (i = 0,..., т) и, следовательно, 1 = = ^^^^>^1(у) = 1 — противоречие, что и доказывает лем- <е/;щ
му 3. Теорема полностью доказана. □
Если какое-либо одно условие теоремы опустить, то утверждение теоремы может не иметь места (это, однако, не означает, что условия теоремы являются необходимыми). Продемонстрируем это на следующих трех контрпримерах: 1) К — не является выпуклым множеством; мы можем взять, например, АГ = {х 6 R2: 1/2^||х||^ ^ 1} и f — вращение; 2) К — не является компактным множеством; можно взять, например, К, = R и f (х) = х + 1 (К — не ограничено) или К = (—1, 1) и f (х) = -^ (х + 1) (/< — незамкнуто); 3) f — не является непрерывной функцией: можно взять, например, К = = [— 1, 1] и /(х) = х/2 при х=/=0 и /(0) = 1.
При дополнительных довольно жестких предположениях на функцию f можно гарантировать единственность неподвижной точки. В этой связи см. [494].
Если мы не хотим использовать понятие ретракта при доказательстве теоремы 9.15 (и, следовательно, лемм 1 и 2), нам следует заменить лемму 1 результатом, сформулированным выше (перед леммой 2), а лемму 2 заменить следующим результатом: два компактных выпуклых множества из Rm одинаковой размерности гомео- морфны (см., например, [688, с. 1211; 16]).
Что касается понятия ретракта, следует также отметить, что теорема Брауэра эквивалентна следующему утверждению: дВ (0, 1) не является ретрактом В (0, 1) = {х 6 Rm : || х || ^ 1). В самом деле, если бы множество дВ (0, 1) было ретрактом В (0, 1), из леммы 1 и теоремы Брауэра следовало бы, что дВ (0, 1) обладает свойством неподвижной точки, что не верно, поскольку отображение х -> — х из дВ (0, 1) в дВ (0, 1) (антиподальное отображение) не имеет неподвижной точки. Обратно, если существует непрерывная функция f : В (0, 1) -> В (0, 1), не имеющая неподвижной точки, то отображение h, которое каждому элементу х^В (0, 1) ставит в соответствие элемент h (х) Е дВ (0, 1), определяемый пересечением xf (х) с дВ (0, 1), будет ретракцией из В (0, 1) в дВ (0, 1) (заметим, что поскольку х =Л= / (х), линия, выходящая из точки х и проходящая через f. (х), всегда определена). Отметим далее, что теорема Брауэра эквивалентна следующему факту: В (0, 1) не гомеоморфно дВ (0, 1). Теорема Брауэра эквивалентна также лемме ККМ.
Теорема Тихонова. Рассмотрим теперь очень важное обобщение теоремы Брауэра.
Теорема 9.16 (теорема Тихонова). Пусть Е— локально выпуклое хаусдорфово действительное топологическое векторное пространство, К — непустое компактное выпуклое множество из Е. Если f : К -> К — непрерывная функция, то f имеет по крайней ж ре одну неподвижную точку.
Для доказательства воспользуемся следующей леммой, сформулированной Фаном (см. [376, с. 309, лемма 4]).
Лемма. Пусть Е — хаусдорфово топологическое векторное пространство, X — компактное выпуклое множество из Е. Пусть также Л — множество из X X X такое, что
Л замкнуто,
V х £ X (х, х) 6 Л (т. е. ^x с Л),
V у ^ Y множество {х Е X : (х, </)$Л} выпукло (возможно пус- тд).
Тогда 9 у6 Е X такой, что X X {Уо}^ Л.
Доказательство. Из условия 3) следует, что пересечение «горизонтальных отрезков» с X X Х\Л выпукло или эти «горизонтальные отрезки» содержатся в Л (множество Л на рис. 9.1 удовлетворяет условию 3), а Л на рис. 9.2 не удовлетворяет этому условию). На самом деле лемма утверждает, что существует по крайней мере один «горизонтальный отрезок», содержащийся в Л.
Для х Е X положим F (х) = (у : (х, у) £ Л}. Множество F (х) является пересечением «вертикальных отрезков», проходящих через точку х, с множеством Л. Если мы сможем показать, что f) F (х) =/> хех
Ф95, то мы тем самым докажем лемму. Действительно, любой элемент yQ £ Q F (х) удовлетворяет утверждению леммы, поскольку х£Х
Vx£.X (х,у0)£А, т. е. Хх{Уд^с:А. Чтобы показать, что р| f(x)^0, воспользуемся леммой Фана.
х^Х
Тем самым нам следует проверить, что все предположения леммы Фана выполнены. Из условия 2) имеем, что F (х) — непустое множество. Кроме того, F (х) замкнуто и даже компактно, поскольку F (х) = А П ({я} X X), а А является компактным множеством (ведь оно является замкнутым подмножеством компактного множества X X X в хаусдорфовом пространстве Е X Е) и (х) — замкнуто (поскольку Е — отделимое пространство и, следовательно, отделимым является и Т^.
Покажем теперь, что V ^хгxm) с: X conv {хг,..., хт) с m
c(jF(*|). Допустим, ОТ Противного, ЧТО 3 {Хр ..., х„) с X 1=1
SxEconvfXp .... xm): х$у/7(Х|). Тогда x^Ffo) (i = 1,..., ту и 1=1
поэтому из определения F (х,) следует, что (х;, х)$А (i = l,.... ту Отсюда и из условия 3) получаем, что точка (хь х) лежит в выпуклом множестве. Этому же выпуклому множеству принадлежит и точка (х, х) (поскольку x^conv (хп.... хт}), следовательно, (х, х) не принадлежит А, что противоречит условию 2). □
Доказательство теоремы Тихонова. Пусть ^Р^ Кел— отделимое семейство непрерывных полунорм, которое определяет на Е локально выпуклую топологию. Для Х^Л положим
Ex = ^EK:px<y-f^ = OY(9-17)
Для доказательства теоремы нам необходимо лишь показать, что Р* Ех Ф 0 (см. доказательство теоремы Брауэра для симплексов), кел 220
В самом деле, если у £ f) Ех, то V X £ Л рх (у — / (1/)) = 0 и, сле- Х€Л__
довательно (поскольку семейство рх отделимо) у — / (у) = 0; таким образом, у является неподвижной точкой для Д Из непрерывности полунорм рх следует, что Ех являются замкнутыми подмножествами компактного множества К, поэтому чтобы доказать, что f] Ex=# 0, ХёЛ
нам достаточно показать, что {£х}хел обладает свойством конечного т
пересечения. Пусть тогда {^,...Дт)сЛ, покажем, что |~| Ех^0,
т
т. е. что Q {^ € К> РХ( (у — /(#)) = 0} #= 0, или, другими словами, i=!
{у € К: £ PXi(y — f (у)) = 0} + 0. Положим
пт
А = {(х, у) 6 К х К: ^рЛх — f (У)) > £ Рх. кУ — f (У))}. (9-18)i=i1=1
и покажем, что А удовлетворяет условиям леммы. Из этой леммы будет следовать утверждение теоремы, поскольку если Эу0 Vx^K (x,y0)QA, т. е. если § р к» — f (у0)) > £ р(у0 — f (^0)) для лю- i=ii=i
m
бого х из К, то (полагая х = /(у0)) имеем Ш^-№ 1=1 тт
= о> £ рх. kya — fky0)) и, следовательно, у0 6 П ЕЧ Очевидно, i=i 11=1
что (х, х) € А, а из непрерывности / и рх следует, что А замкнуто, следовательно, условия 1) и 2) выполнены. Что касается условия 3), зафиксируем у 6 К и покажем, что множество (х £ К", (х, у) $ Д) = = kxEK". ^РхХх — fky^X^ РХДУ — !Ш выпукло, т. е. что 1=11=1
неравенство
тт
^Ахк-НУ^'ЕаАУ-ГШ 6=1,2,(9.19)
tai 11=1
Влечет тт
5 Рх. (9Х! + (1 — 6) х2 — f ку)) < £ р {y — f ку)) (9.20) 1=1i=i
для каждого 0£[О, 1]. Отсюда и из (9.19) сразу следует, что
т
S^.(ex1 + (i-6)x2-f(i/)) =
<=1
т
= 5 pv(0X1 + (l-0)x2-0/(z/)-(l-0)/(I/))^ i=l 1
тtn
^ S 9Рк, VX1 — / (У)) + S (1 — 0) РХ( (^2 — / (У)) < i=l1=1
mtntn
<^РхДУ—1ША-^ ^—^ркДу — ?^=^ркДу — Г(у)\ □
(9.21)
Другие доказательства этого результата можно найти в [716, 470, с. 166; 27].
Теорема Шаудера. Это хорошо известная теорема является непосредственным следствием теоремы Тихонова.
Теорема 9.17 (теорема Шаудера). Пусть В — нормированное пространство, К — непустое выпуклое компактное множество из В. Если f : К -> К — непрерывная функция, то / имеет по крайней мере одну неподвижную точку.
Доказательства именно этого результата можно найти, например, в [659; 268, 470 со с. 134 и далее]; см. также [207, 98, 267]. Кроме различных формулировок и обобщений (см. среди других работы [252, 269]) существует много модификаций этого результата. Одной из таких модификаций, также принадлежащей Шаудеру, является следующая теорема.
' Теорема 9.18. Пусть В — банахово пространство, С — непустое замкнутое выпуклое множество из В. Если f : С ->С — непрерывная функция и [ (С) компактно, то f имеет по крайней мере одну неподвижную точку.
Доказательство. Пусть Q = conv (/ (С)). Множество Q является подмножеством множества С, поскольку С — замкнутое выпуклое множество и / (С) с С. Далее, теорема Мазура гарантирует нам , что Q компактно.
На самом деле, теорема Мазура утверждает, что если В — банахово пространство и Ас В компактно, то conv (Л) компактно (см. [571, 16, с. 164], а для конечномерного случая — [688, с. 92]). В работе Варги [16] приведен контрпример, показывающий, что в бесконечномерном случае conv нельзя заменить на conv. Предположение о полноте пространства В (которого не было в теореме 9.17) необходимо для того, чтобы воспользоваться теоремой А^азура. Тогда из теоремы Шаудера следует, что отображение f\q имеет неподвижную точку — эта точка заведомо является неподвижной точкой /. □
Важность этого результата заключается в том, что в банаховом пространстве «редко» встречаются сильно компактные подмножества. В этой связи важно напомнить другую модификацию теоремы Шаудера — теорему 9.4, в которой не требуется даже, чтобы / (С) было компактным (но зато там накладываются сильные ограничения на / и В).
Далее, хотя банаховы пространства и «богаты» слабо компактными множествами, но использовать здесь слабую топологию, вообще говоря, неудобно, поскольку условие непрерывности функций становится в этом случае очень сложным условием. Для того чтобы убедиться в том, что в банаховых пространствах «достаточно много» слабо компактных множеств, необходимо лишь вспомнить, что замкнутая единичная сфера рефлексивного банахова пространства слабо компактна. В самом деле, теорема Алоглу — Бурбаки (см. [97, 202, 467, с. 230]) утверждает следующее: для того чтобы нормированное пространство В было рефлексивным, необходимо и достаточно, чтобы множество {х Е В : || х ||в ^ 1) было слабо компактным. Здесь уместно напомнить, что Какутани построил гомеоморфизм замкнутой единичной сферы гильбертова пространства в- себя, который не имеет неподвижной точки (см., например, [676, с. 15; 338, с. 1251).
В заключение сформулируем без доказательства (см., например, [231, с. 1711) следующую модификацию теоремы Тихонова (ср. с теоремой 9.18).
Теорема 9.19. Пусть Е — локально выпуклое хаусдорфово топологическое векторное пространство, а С — замкнутое выпуклое множество из Е. Если f : С -*С — непрерывная функция и f (С) компактно, то f имеет по крайней мере одну неподвижную точку.
Многозначные отображения. Приведем теперь результаты, которые обобщают теоремы Брауэра, Шаудера и Тихонова на случай многозначных отображений. Эти результаты принадлежат Какутани (см. [485, с. 457]), Боненбласту и Карлину (см. [221, с. 159]) и Гликсбергу (см. [436, с. 1711) соответственно.
Теорема Какутани.
Теорема 9.20 (теорема Какутани). Пусть К, — непустое выпуклое компактное множество из R". Если f : К, ->■ 2£сй (или /:/(-* 2^),— многозначное отображение, полунепрерывное сверху (согласно определению 20.11), то f имеет по крайней мере одну неподвижную точку, т. е. Зх Е К‘ х Е / (х).
Доказательство. Как и при доказательстве теоремы Брауэра, разобьем доказательство теоремы 9.20 на три части.
Лемма 1'. Свойство неподвижной точки в многозначном случае сохраняется при ретракциях, т. е. если любое многозначное' полунепрерывное сверху отображение f : К ~* 2ис* имеет неподвижную точку, а К является ретрактом К, то всякое многозначное полунепрерывное сверху отображение ф : /( —>- ^сь также имеет неподвижную точку.
Пусть г.К,-+ К, — ретракция; рассмотрим многозначное отображение I ~ oqror: К -^ Sack (диагр. 9.3), которое, очевидно, полу- 2К »^ .
непрерывно сверху и, следовательно по предположению, имеет не- подвижную точку — пусть это будет точка х. Отображение t ~
2 ack2 Век
223-
является множественным включением, поэтому мы можем утверждать, что х является элементом К и х 6 (фог) (х). Отсюда и из ра" венства г(х) = х, следует: х^ф(х), чтои доказывает лемму Г.
V2Кск<V2Кск<^с^еск^с^еск
V
2Кск<
V
2Кск<
^с^еск
^с^еск
Диагр. 9.3
Лемма 2' (формулируется так же, как лемма 2 из теоремы Брауэра).
Лемма 3' (теорема Какутани для симплексов). Пусть S = = simp {х0, ..., хт) — т-симплекс из Rm. Если отображение f : S -> 2^ полунепрерывно сверху, то оно имеет по крайней мере одну неподвижную точку.
Это доказательство существенно отличается от доказательства теоремы Брауэра для симплексов. Здесь, как и при доказательстве леммы ККМ, мы воспользуемся уже упомянутым фактом о том, что для каждого / ^ 1 существует симплексное подразделение 2Z симплекса S такое, что diam (2Z) ^ 1//. Предположим теперь, что мы имеем последовательность таких симплексных подразделений симплекса S, и определим для каждого / ^ 1 отображение fw : S S, полагая, что в вершинах ид) симплекса 2г fl)vil) является точкой множества Ци^у а внутри 2, /(,) есть линейное продолжение. Определенные таким образом отображения /(/) являются непрерывными и, следовательно, по теореме Брауэра для каждого / существует точка х(/> б S такая, что /(Z) (x<z>) = x(Z>. Предположим, что x(Z) g С simp {иОуО}, и положим 'о
_ wm
ПРИ а/?>° и Sa^ = L (9,22) 1=01=0
ттИз линейности (или даже из аффинности) отображения / в каждом симплексе £. имеем:
т
т
(9.23)
Из последовательностей {У/'*}, {x(Z)}, (а/'?} мы можем извлечь подпоследовательности (за которыми мы оставим эти же обозначения) и
записать, что
lim и^ = Уц, lim xw = х, lim a,'* = a/, Z-*eoZ-*OO1->OO
при a/,^0 и Va/; = 1. (9.24)
<=o
Из (9.24) и из того, что lim diam (2Z) = 0, имеем снова, что v/f = — х (i = 0/и) и, следовательно, lim^ = *. Далее, полагая
lim f1' (о*'*) = tj, получаем 1-*оо
-_тт
х = lim xw- = lim /(Z) (VZ)) = lim У a/Z)/|Z) (y)f) = У a^ir (9.25) z=oz=o
Покажем теперь, что x—неподвижная точка отображения /. Для этого докажем, что tjt£f(x), а затем воспользуемся тем, что f(x) выпукло. Так, из определения /(,) имеем, что ^р., рп (pVb) ^ss^F)- и, таким образом, поскольку f — полунепрерывно сверху (см. также теоремы 20.14 и 20.15) получаем, что (х, t,^ £ GSs (Г)- Таким образом лемма 3' доказана. Из лемм 1' — 3' вытекает утверждение теоремы. □
Обобщения теорем Шаудера и Тихонова. Рассмотрим более общую теорему о неподвижной точке и приведем здесь ее доказательство (см. также [436, 470, с. 200; 203, с. 259]).
Теорема 9.21. Пусть Е — локально выпуклое хаусдорфово топологическое векторное пространство, а К — непустое выпуклое компактное множество из Е. Если отображение f : К-* 2^сЛ полунепрерывно сверху, то f имеет по крайней мере одну неподвижную точку.
Доказательство. Пусть V — замкнутая выпуклая окрестность начала координат, симметричная относительно нуля. Семейство открытых множеств {х + V: х £ К\ покрывает К, а поскольку К компактно, то из этого покрытия мы можем выбрать конечное подпокрытие, т. е. существуют точки xv.... хт£К такие, m^т
что /(с [J (хг + V) или заведомо К с [J (xt + V); множество точек Z=I1=1
{xv ...,xm], удовлетворяющее этим условиям, называется V-плотным в К.
Положим теперь
Ху = сопу{х!хт}.(9.26)
Множество Ху является выпуклым компактным подмножеством множества К и, кроме того, оно имеет конечную размерность. Это
15 К. Байокки, А. Капело225
влечет за собой среди других свойств тот факт, что топология пространства Е, связанная с Ху, является евклидовой. Положим теперь для каждого х С К
fyto-ГО + ЮПХу (9.27) и покажем, что эта формула определяет отображение fv: Ху^З^, полунепрерывное сверху. Это вытекает из следующих четырех утверждений:
fvW^ 0 для всех хЕХу поскольку xzEXy(i = Ь ..-.т) и для некоторого t мы имеем Xi£f(x) + V (в самом деле, если /Е Е/(х), то teK и, следовательно, для некоторого i получаем, что ^Exz + V, т- е- t = х, + У при yeV, откуда xz = /— у, так что xtet— V и, следовательно, xzE(/W—V); а поскольку V = — V, то имеем хг Е (/ (х) + Ю): •
fv^) выпукло для всех хЕХу, поскольку f (х), V и Ху выпуклы (очевидно, что если А и В — выпуклые множества, то А + + В также выпукло);
fv (х) замкнуто для каждого х 6 Ху, поскольку Ху и V замкнуты, a f (х) — компактно (ведь f (х) является замкнутым подмножеством компактного множества К в отделимом пространстве Е; отметим, что если А — замкнутое множество, а В — компактно, то А + В замкнуто — доказательство см., например, в [203, с. 246]; если же А и В — компактны, то А + В также компактно);
fv полунепрерывно сверху, поскольку мы можем записать (см. определения 20.5 и 20.6) fv(x) = [(и-^Л с] (х), где отображения с (х) — Ху и и (х) = х + V, очевидно, полунепрерывны сверху.
Положим теперь
fv ^ {хек-хе(f (х) + V) ЛК{ (9.28)
и покажем, что Q /уУ=0. (Здесь, по-прежнему, V— замкнутая v
выпуклая окрестность начала координат, симметричная относительно нуля.) Это утверждение следует непосредственно из следующих трех результатов:
1') fv=^ 0 Для любой окрестности V, поскольку {х:^(х)=х}с с fv, a fv имеет по крайней мере одну неподвижную точку (по теореме Какутани — вспомним, что топология Е, связанная с Ху, евклидова);
2') fv замкнуто для любой окрестности V, поскольку, полагая v(x) = x + V, k{x^=K, u(x) = {x) и h(x) = [(и-f) (] ^П «1 (х) (причем h полунепрерывно сверху и такое, что h (х) = 0 или h (х) = = {х}), мы имеем/у = {хеК -xe(f (х) + И) Л К{ = (х:хЕ (f (х) + V) Л Л К Л И) = {х: х Е h (х)) = {х: h (х) =/= 0) = E\/i~1+ (0), а поскольку f полунепрерывно сверху, то /г~*+(0) — открытое множество (см. теорему 20.8, 4+));
3') семейство VvAv обладает свойством конечного пересечения, поскольку если ^V,— замкнутые выпуклые окрестности начала координат, то полагая V* = ^ Л... Л Vl (V* также является замкнутой выпуклой окрестностью начала координат), мы получаем
fv, П... П fv, = {х:хе V(х) + ^)п КА П... П {х:х^ V(х) + F,) П КА = = {х: х е [(7 (х) + УJ Л... П (7 (X) + VJ] П Ю =
= {X: хе [f (X) + (Vj л... л VJ] пК) = fv* ^ 0.
Выберем теперь хе U fv и покажем, что х£7(х),— тем самым v
мы докажем теорему. Предположим от противного, _что х$/у. Тогда существует замкнутая выпуклая окрестность / (х) точки х, симметричная относительно х, такая, что /(х) cz£\7(x). Положим/0= — х — / (х) (/0 является замкнутой выпуклой окрестностью начала координат, симметричной относительно нуля) и покажем, что х$ $7/о- В самом деле, если хе7/„> то. в частности, х£7(х) + Лр т- е- х = у + х — I при у е 7 (х) и t е I (х), _откуда следует у = t е f (х) Л Л / (х), что невозможно, поскольку / (х) cz 5\7 (х). □
Непосредственным следствием из теоремы 9.21 является следующая теорема.
Теорема 9.22. Пусть В — нормированное пространство, а К — непустое компактное выпуклое множество из В. Если отображение f: К -»- 2£с6 полунепрерывно сверху, то f имеет по крайней мере одну неподвижную точку.
Непосредственное доказательство этого результата можно найти в [221, 470, с. 1611. Важной модификацией этого утверждения является следующая теорема.
Теорема 9.23. Пусть В — банахово пространство, а С — замкнутое выпуклое множество из В. Если отображение f:C->- ->- 2gC* полунепрерывно сверху и множество fB (С) = |_J f (х) ком-
х^С
пактно, то f имеет по крайней мере одну неподвижную точку. Доказательство этой теоремы идентично доказательству теоремы
Сформулируем еще одно утверждение (см. [376, с. 3081):
Теорема 9.24. Пусть F — локально выпуклое хаусдорфово топологическое векторное пространство, Е — хаусдорфово топологическое векторное пространство, К — непустое компактное выпуклое множество из Е. Далее, пусть f:K^- 2ичь — непрерывное многозначное отображение, g'.K^-F— непрерывное отображение такое, что-
Vx€ К Ш Л g^)^ 0,
если С с F замкнуто, то g~{ (С) выпукло (и, возможно, пусто). Тогда существует точка х € К такая, что g (х) 6 7 (х).
Отметим, что теорема 9.24, подобно теореме 9.21, является обобщением теоремы Тихонова. В самом деле, если предположить, что Е = F, g — тождественное отображение, a f — однозначное отображение, то теорема 9.24 превращается в теорему Тихонова (если f : К -^Fwqk однозначное отображение, то мы можем положить f : К -> F, а используя условие 1), имеем f : К -> К). Далее, ни одна из теорем 9.21, 9.24 не является более общей, чем другая, если Е =/= F. В случае же Е = F теорема 9.24 является частным случаем теоремы 9.21.
Другие результаты о неподвижных точках отображений, определенных на подмножествах топологических векторных пространств, можно найти, среди других, у Браудера [258].
Логическая связь между сформулированными теоремами.
Замечание 9.1. На диагр. 9.4 стрелками отмечен логический порядок, которому мы следовали при изложении основных результатов раздела 9.3.
Диагр. 9.4
Этот порядок отличен от порядка хронологического, в котором теоремы были получены. В диаграмме приведены даты публикаций оригинальных статей (отметим, однако, что теорема Брауэра, в частности, была уже приведена Брауэром в статьях, предшествующих его работе 1912 года). В одном и том же столбце диаграммы или на одной и той же строке результаты расположены так, что каждый результат является более общим, чем результаты, находящиеся «выше» или «левее». Диаграмма показывает, что мы могли бы избежать доказательства теоремы Брауэра, рассмотрев ее как непосредственное следствие теоремы Шаудера; или могли бы избежать введения леммы Фана, рассмотрев теорему Тихонова как следствие теоремы 9.21.
Теоремы о неподвижной точке для монотонных отображений
х Здесь мы будем рассматривать главным образом две теоремы о неподвижной точке для монотонных отображений: теорему Кнастера — Биркгофа (см. [9]), которая требует решетчатой структуры (причем решетка должна быть полна — это гипотеза существования, являющаяся фундаментальной для доказательства) и утверждение Колоднера (см. [510]), успешно использованное Тартаром (см. [694, 695, с. 98]) при исследовании упорядоченной структуры (она должна быть вполне индуктивной — это гипотеза существования, заменяющая предыдущую). Следует, однако, отметить, что ни один из этих результатов не является более общим, чем другой. Интересной характеристикой обоих результатов является тот факт, что хотя они и не гарантируют нам единственность неподвижной точки, но позволяют сформулировать правила «отыскания» неподвижных точек, поскольку в них говорится о том, что множества таких точек имеют минимальные и максимальные элементы.
Теорема Кнастера — Биркгофа. Рассмотрим первое утверждение.
Теорема 9.25 (теорема Кнастера — Биркгофа). Пусть (L, ^) — полная решетка. Если f : L -> L — монотонное неубывающее отображение, то f имеет по крайней мере одну неподвижную точку, т. е. За Е L а = f (а). Множество Ф неподвижных точек имеет максимальный и минимальный элементы.
Доказательство. Положим S = {х Е L; х^ f (х)}. Это множество не пусто, поскольку min L Q 8 (отметим, что полнота решетки L гарантирует существование min L — см. раздел 19.2). Положим а = sup S (верхняя грань также существует в силу полноты LY Из определения верхней грани мы имеем, что х^ a VxE S и, следовательно, из монотонности f, f (х) ^ f (а) Ух Е S. Отсюда и из определения S получаем, что х f (х) ^ / (а) Ух Е S и, следовательно, еще раз из определения верхней грани, а ^ f (а). Отсюда и опять из монотонности вытекает, что f (a) ^.f (f (а)) и, следовательно, f (а) Е S, и, наконец, f (а) ^ а. Таким образом, мы показали, что а = f (а). Полагая Ф = {хЕ L*. f (х) = х}, мы получаем, что Ф =/= 0 (поскольку а Е Ф) и, кроме того, очевидно, что а = шах Ф. Аналогичные рассуждения, примененные к системе (L, ^), приводят к доказательству существования b = min Ф. □
Отметим, что даже в случае, когда f строго монотонно, мы не можем гарантировать единственность неподвижной точки. Чтобы убедиться в этом, просто следует рассмотреть тождественное отображение.
Результат Колодиера и Тартара. Рассмотрим теперь второе утверждение, упомянутое в начале пункта.
Теорема 9.26. Пусть (Е, ^) — упорядоченное множество. Если f : Е Е — монотонно неубывающее отображение и
За, b Е Е, а^Ь*. а ^ / (а) < f (6) ^ b и [а, 6] — вполне индуктивно.
mo f имеет по крайней мере одну неподвижную точку, точнее, Зс Е € (а, Ы: с = f (с). Множество Ф неподвижных точек, лежащих между а и Ь, имеет максимальный и минимальный элементы.
Доказательство. Чтобы гарантировать существование неподвижной точки, достаточно, чтобы множество (а, Ь] было либо вполне ($)-индуктивным, либо вполне (г)-индуктивным. В первом случае мы можем утверждать, что Ф имеет минимальный элемент, а во втором — что Ф имеет максимальный элемент. Здесь
мы будем негласно рассматривать первый случай: доказательство для второго аналогично (кроме того, этот случай можно получить из первого по свойству двойственности, если рассмотреть алгебраическую систему (Е, ^)).
Полагая X = {и Е \а, Ь} : и^ ^mv Y = {u£[a, 61: Них < u), Z = {и Е X: и <у Vy ЕУ} (см. схему, приведенную на рис. 9.3), покажем, что справедливы следующие утверждения:
1) X, У и Z не пусты; 2) X устойчиво относительно / (мы говорим, что множество 4 с В устойчиво относительно отображения f : В ->
В, если / (Л) с Л); 3) Z устойчиво относительно /; 4) множество X с индуцированным порядком вполне ($)-индуктивно; 5) множество Z с индуцированным порядком вполне ($)-индуктивно; 6) Z имеет максимальный элемент и*; 7) элемент и* является неподвижной точкой отображения f; 8) и* является наименьшей неподвижной точкой f, лежащей между а и Ь. Доказательство теоремы состоит в доказательстве этих утверждений. Докажем их.
Утверждение 1). Здесь необходимо лишь заметить, что а Е X, b Е Y и а Е Z.
Утверждение 2). Если х Е X, то из определения X имеем а ^ х ^ b и х ^ / (х). Отсюда и из монотонности / получаем, что Ца) ^ / (х) ^ ЦЬ) и Цх) ^ / (f (х)). Таким образом, в силу предположения а f (а) ^ f (b) ^ Ь, можно записать a^f(x)^b и ЦхХ Ш to), т. е. f (х) Е X. ,
Утверждение 3). Если г Е Z, то из определения Z имеем z 6 X и z у Vy Е Y. Из устойчивости X относительно f получаем f (z) Е X, а из монотонности f следует, что / (z) ^ / (у) Vy Е Y. Но при у Е Y Цу) у, поэтому f (z) у Vy Е Y. Таким образом, мы показали, что / (z) Е Z.
Утверждение 4). Пусть 6 — цепь в X, а с = sup 6 Е Е 1а, 61 (отметим, что sup 6 должен существовать, поскольку множество [а, Ь] вполне (5)-индуктивно). Если и Е 6, то и Е X и, следовательно, и f (u) VuES- С другой стороны, u с Vu Е ®, и поэтому из монотонности f вытекает / (и) f (с) Vu Е 6. Таким образом, и ^ / (с) Vu Е @- Отсюда и из определения верхней грани имеем с ^ f (с) и, следовательно, сЕ X.
Утверждение 5). Пусть S' — цепь в Z и с' = sup S' 6 £ [u, 61- Элемент с' принадлежит X, поскольку S' является также цепью в X, причем X (5)-индуктивно. Далее, Vug S' и ^ у Vy g У и поэтому из определения верхней грани с' ^ у Vy g У. Таким образом, получаем, что с' g Z.
Утверждение 6). Это утверждение является непосредственным следствием теммы Цорна (отметим, что и* не обязательно является верхней гранью множества Z. Эта грань может не существовать, поскольку Z не обязательно является цепью).
Утверждение 7). Из определения Z имеем и* g X и, следовательно, и* ^ / (и*). Далее, из устойчивости Z относительно / заключаем, что / (u*) g Z. Таким образом, / (и*) = и*, поскольку и* — максимальный элемент.
Утверждение 8). Можно сразу заметить, что Ф = X П П У и (поскольку и* g Z превосходит все элементы множества У и заведомо все элементы множества X П У) u* = min Ф. □
Здесь, как и в случае теоремы Кнастера — Биркгофа, строгой монотонности отображения / недостаточно для того, чтобы гарантировать единственность неподвижной точки. Однако мы можем доказать единственность, наложив на f условия «векторного типа». Эти условия, кроме того, представляют практический интерес, поскольку в некоторых важных приложениях теоремы 9.26 множество Е имеет не только упорядоченную структуру, но и обладает векторной структурой. Так, имеет место следующая теорема.
Теорема 9.27. Пусть выполнены условия теоремы 9.26. Пусть, кроме того, Е — векторное пространство, отображение f вогнуто, f (а) ^ а. Если Ф — множество неподвижных точек отображения f и существует е > 0 такое, что
min Ф > а + е (6 — а),(9.29)
то неподвижная течка f единственна (т. е. множество Ф состоит лишь из одного элемента').
Доказательство. Пусть и* = min Ф и u* = max Ф. Положим
(9.30)(9.31)(9.32)(9.33)(9.30)(9.31)(9.32)(9.33)и = и* — (е/2) (и* —и*),тогда мы имеем u^ue^u*. Из (9.30) следует, что* _ й+(е/2)и“ -1+в/21
(9.30)
(9.31)
(9.32)
(9.33)
(9.30)
(9.31)
(9.32)
(9.33)
Отсюда и из вогнутости отображения / получаем г _НйН+е/2)Ци*) 1 + (е/2)
или, поскольку / (и*) = и* и f (и*) = и*,
f («) + (е/2) и,1 + (8/2)•
Из (9.33) и (9.30) сразу следует, что f (и) ^ и, а при условии а ^ f (а), пользуясь теоремой 9.26, заключаем, что f имеет неподвижную точку в [а, о]. Поскольку и* — минимальный элемент, должно быть и* = и и, следовательно, из (9.30), и* = и*. □
Если отображение f выпукло и f (b) ^ Ь, то имеет место аналогичный результат с аналогичным доказательством.
В заключение отметим результат о неподвижных точках отображений, определенных на упорядоченных множествах, в котором нет требования монотонности.
Теорема 9.28. Если {Е, ^) — вполне ^-индуктивное упорядоченное множество, a f : Е Е — отображение такое, что Vx 6 Е [ (х') ^ х, тоЗс £ Е; с = f (с).
Доказательство этого утверждения можно найти в [160, с. 21].
Глава 10. НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ
В этой главе мы снова вернемся к абстрактной теории вариационных неравенств, рассмотрение которой мы прервали в гл. 3. Тогда мы сделали это не только для того, чтобы привести некоторые конкретные примеры (что и было сделано в последних нескольких главах первой части), но также и потому, что у нас не было надлежащего аппарата для развития этой теории. Этот недостаток восполнила предыдущая глава.
Роль леммы Фана. При рассмотрении задачи 7.37 мы упоминали о недостатке результатов существования более общего вида, чем те, которые мы доказали ранее. Приведем теперь самый общий абстрактный результат, доказательство которого вытекает из леммы Фана. Чтобы дать представление о роли таких результатов, как лемма Фана, при исследовании вариационных неравенств, мы приведем схематичный набросок третьего доказательства теоремы Лионса — Стампаккьи, аналогичного доказательству теоремы 2.2. Рассмотрим для каждого и0 С К множество «уровней» N (и0) = [у 6 К : а (и, v — v^ ^ L (и — у0)}. Очевидно, что функция и удовлетворяет неравенству (3.28) в том и только в том случае, когда и^ N (и0) Vy0 € К- Доказательство существования решения сводится, таким образом, к доказательству того факта, что f]W(v0W
v^K
Общие результаты о существовании
Основной результат. Здесь мы будем рассматривать главным образом следующее утверждение (см. также [257, 459, 595])
Теорема 10.1. Пусть пространство Е и функционалы <р : Е -> (—оо, +оо] и f : Е х Е -► R таковы, что выполнены следующие условия;
(Al) E — действительное хаусдорфово топологическое линейное пространство-,
(Н2) функционал ф — выпуклый, собственный и полунепрерывный сверху;
(h3) Vv С 5 ф (vX + оо => / (и, и) ^ 0;
(h4) Vvf Е функция f (v, •) выпукла;
(h5) Vv 6 Е функция f (v, •) полунепрерывна сверху;
(h6) Vtv С Е функция f (•, w) полунепрерывна снизу на отрезках;
(h7) Vv, w f (v, tv) + f (w, v) ^ 0;-
(h8) ЗВ с E, В — компактное множество; 3v0 6 В; Vv EE\B Ф (v) + f (v- «о) > Ф (v0)-
Тогда существует решение следующей задачи;
Задача 10.1. Найти элемент и^ Е такой, что
Ф(и) + f (и, и) ^ ф (и) Vv^E.(ЮЛ)
Кроме того, множество решений задачи 10.1 замкнуто и выпукло и совпадает с множеством решений следующей задачи;
Задача 10.2. Найти элемент и^ Е такой, что
. Ф(и) — f (о, X#) Уо^Е.(10.2)
Перед доказательством этой теоремы необходимо сделать несколько замечаний. Прежде всего следует сказать, что эта теорема охватывает несколько важных случаев.
Здесь мы отметим лишь, что задача 10.1 включает в себя в качестве частных случаев, например, следующие задачи:
задача минимизации функционала ф в Е; нам следует лишь положить / = 0;
задача отыскания седловых точек функции g : R2 -* R: достаточно положить Е = R2, ф = 0 и f (и, tv) = g (v^ tv2) — g (®i> v2). В самом деле, если и = (uu u2) — решение задачи 10.1, то g («!, tv2) ^ g (t«i, u2) V® = (^i, “b) € R2, и поэтому, полагая wv = = щ, имеем g (u,, tv2) ^ g (u1( u^ (это означает, что в точке и достигается максимум функции g на щ х R), а полагая tv2 = щ, получаем g (щ, u2) g (tvv u2) (это означает, что в точке и достигается минимум функции g на R х и2),— следовательно, и — седловая точка функции g;
задача, связанная с вариационными неравенствами (это наиболее важная для нас задача): положим, например, ф = /д, где )к— индикатриса выпуклого множества К в Е, а f (и, tv) = a (v, и — tv), где а ; Е х Е -*■ R — билинейная форма.
Упомянутые предположения теоремы 10.1 были выбраны главным образом для того, чтобы получить из нее как частные случаи теорему Лионса — Стампаккьи и другие аналогичные результаты. Связь между предположениями теоремы 10.1 и предположениями теоремы Лионса — Стампаккьи, однако не очевидна и требует довольно сложного осмысления. В связи с предположениями теоремы 10.1 отметим также следующее Условия (h7) и (h8) по причинам, которые выяснятся в дальнейшем, называются соответственно ус-
ловием монотонности и условием коэрцитивности. Далее, условие (h6), которое означает, что для любых и, w, и из Е функция t-* -► f (/u + (1 — f)v, w) является полунепрерывной снизу, можно назвать условием полунепрерывности снизу. Наконец, последняя часть теоремы 10.1 является обобщением леммы Минти, которую мы доказали в гл. 7.
Лемма Минти. Прежде чем доказывать теорему, докажем две леммы о «множествах уровней»
о (w) = {и _ Е: <р (и) 4- / (и, су) <С <р (су)}(10.3)
и
а* (су) = (и С Е: ф (и) — f (у, w) < ф(су)},(Ю.4)
связанных с неравенствами (10.1) и (10.2) соответственно.
Лемма 1. Если пространство Е и функционалы ф : Е -*■ (—оо, +оо] и f : Е X Е -> R удовлетворяют условиям (hl)—(h4) и (h8), то'
Qo(uu)^0.(10.5)
Доказательство. Это утверждение следует из леммы Фана. Проверим в таком случае, что все условия леммы Фана выполнены. Нетрудно видеть, что множества о (су) замкнуты и непусты (отметим, что w^ о (су), поскольку если ф (су) = +°°, то о (ш) = = Е, а если ф (су) < 4- оо, из (h3) имеем / (су, су) ^ 0 и, следовательно, ф (ty) + / (су, су) < ф (су)). Чтобы проверить выполнение условия 2') леммы Фана, заметим, что условие (h8) гарантирует нам существование компактного множества В с £ и точки и0 С В такой, что о (и^ с В. Отсюда и из условия (hl) получаем, что о (и0) с В компактно. Наконец, проверим выполнение условия Г). Для этого докажем, что
пп
Vcytwn^E con v {су,} с: (J о (суj) с (J о (су,),(10.6)
/=1/=1
пп
т. е. покажем, что если су = у Х,су> (при Х,^0 и У %j = 1), то /=1/—i
су £ о (су,) по крайней мере для одного индекса /. Предположим противное: пусть для каждого / су^о(су^), т. е.
ф(су) + f(cy, СУ;)>ф(СУ,) для /=1п. (Ю.7)
Из (10.7) следует, что ф(су^)< 4- оо для / = 1,...,п и, следовательно, из (h2) имеем
Ф(су) = ф(^ ^^ < 2 ^<Р(ty7) <4-оо.(10.8)
7=17=1
При Ху^О из (10.7) заключаем (учитывая, что при некотором / 234
может быть Kj — 0), что
X/p(to) 4~ X/(to, tO;)Z> X^(to,), /=1,...,п,(10.9)
и, следовательно,
£ Х,ф (to) + 2 У (to, Wj) > ^ ^Ф (wj),(10.10)
/=*/=1/=1
поскольку существует по крайней мере одно /, при котором Kj > 0. Отсюда, а также из выпуклости f (из условия (h2) следует, что пп
ф(2^к У Х/р (to,)) и из выгнутости f (to, •) (из условия (h4) /-1/-1
лП
следует, что у У (to, to,) f (to, у X;to,)) получаем:
/=i/=1
Ф (to) + f (to, to) > ф (to).(10.11)
Неравенство (10.11) с учетом (10.8) дает нам f (to, to) > 0, что противоречит условию (h3). □
Л е м м а . 2 (лемма М и н т и). Если пространство Е и функционалы ф: Е —► (—оо, +°°] и f: Е X Е —> R удовлетворяют условиям (hl) — (h4), (h6) и (Н7) теоремы 10.1, то
р| о (to) = р| о* У),(10.12)
w^Ew^E
и эти множества являются выпуклыми (и, возможно, пустыми).
Доказательство. Прежде всего заметим, что
о (to) с a* (to) VtofE.(10.13)
В самом деле, если u£cr(to), то
Ф (ul + f (и, to) ^ ф (to).(10.14)
Вычитая f (и, to) + f (to, и) из обеих частей неравенства (10.14) и принимая во внимание условие (h7), получаем:
ф(и) — f (to, о) ^ ф (to).(10.15)
Отсюда следует, что of о* (to) и, следовательно, 10.13 справедлива. Из 10.13 имеем р| о (to) с р| о* (to). Докажем теперь обратное; что w^Ew^E
р| a* (to) с р| a (to). (Отметим, однако, что в общем случае о* (to)c^ w^Ew^E
Ф О (to).)
Пусть теперь и б р| о* (to), докажем, что и С р| о (to). Из об
б р| о* (to) следует: об^*^) УюбЕ- Зафиксируем элемент to из Е w^E
такой, что ф(су)< + °°. Далее, положим для /£(0,1)
т (t) = tw + (1—t^v.(10.16)
Заметим, что u^.6*^w^\ Это означает, что
Ф(у)— fVw + (1 — 0 и, уХф(/су + (1 — 0у)> <€ (0,1) (10.17)
и
ф(су(0Х + со, <6(0,1),(10.18)
как следует из условия (h2) и того, что ф (су) < +со и ф (и) < +оо (это должно быть именно так, иначе мы бы имели фэ +со, что противоречило бы условию (Д2)).
Из условия (h2) и неравенства (10.17) имеем:
ф(у) — fV™ + (1 — <) у, у) ^ <Ф (су) +(1 —0ф(у)> <6(0, !)•
(10.19)
Прибавляя tf(v,w) к обеим частям последнего неравенства, получаем, что
< ]ф(о) — ф(су) + f (v, ty)J ^ if (и, су) + f (to + (1 —Оу.у). <6(0, О-
(10.20)
Поскольку из условий (ЬЗ) и (h7) следует, что
Vo 6 Е ф (о) •< + оо => f (и, и) = 0,
то из (10.20) с учетом (10.18) находим
/[ф (у) — ф (су) + Ци, су)] ^<f (у, су) + f (to + (1 — О"- у) —
— -^/(^ + (1 — 0y,to + (l — 0у). <6(0,1). (Ю.21)
Отсюда, используя условие (h4), приходим к неравенству
/ ]ф (о) — ф (су) + f (у, су)] ^ tf (у, су) + f (to + О — <) у. у) —
- Т=Т 1</ (to + (1 - 0 у. ^) + (1 - 0 f (to + (1 - 0 у- у)1 =
= / / (у, су) —= / / (у, су) —T^-/(to + (l— 0у, су)], <6(0,1). (10.22)
= / / (у, су) —
= / / (у, су) —
Разделим обе части (10.22) на t. Устремляя /к нулю и принимая во внимание условие (Ь6), получаем
т. е.т. е.Ф (у) — ф (су) + f (у, су) ^ / (и, су) — f (v, су), (10.23)
т. е.
т. е.
(10.24)(10.24)ф (и) + / (и, СУ) ^ ф (су),
(10.24)
(10.24)
и, следовательно, об о (су). Поскольку су — произвольный элемент из Е (отметим, что единственным ограничением, наложенным на 236
w, является требование ф (су) < +оо; если же ф (су) = +°°, то о* (су) = о (су) = £), тогда у £ Q о (су). Таким образом, мы доказали w^E
равенство (10.12). Отсюда сразу следует и доказательство последней части леммы. □
Доказательство теоремы 10.1. Перейдем теперь к доказательству теоремы 10.1.
Доказательство теоремы 10.1. Задача 10.1 имеет решение, если существует такой элемент и^. Е, что и £ о (су) Усу Е Е Е, т. е. |^ о (су) т^= 0, или (по лемме 2) |^ ст* (су) =^ 0. В таком w^Ew^E
случае для доказательства первой части теоремы (т. е. того факта, что решение задачи 10.1 существует) нам необходимо лишь показать, что для любого элемента w^E множество о*(су) замкнуто. Тогда отсюда и из (10.13) будет следовать, что ст (су) cz ст* (су), и значит, |”| ст (су) cz |”| а* (су), а по лемме 1 Q ст* (су) 0.
w^Ew^Ew^E
Кроме того, в то же время мы докажем и оставшуюся часть теоремы, поскольку эквивалентность задач 10.1 и 10.2 следует из леммы 2. Из этой леммы также получаем, что множества обеих задач (которыми являются соответственно множества Q ст (су) и fl ст* (су)) w^Ew^E
выпуклы. Замкнутость этих множеств следует из того, что пересечение замкнутых множеств замкнуто.
Для доказательства замкнутости множества ст* (су) рассмотрим в ст* (су) фильтр {и«}аел с предельным элементом у и покажем, что уЕ Ест* (су). В самом деле, из неравенства
ф(уа)— f (w, уа) ^ ф (су) Уа£А(10.25)
и того факта, что функции ф и —/ (су, •) полунепрерывны снизу (см. условия (Н2) и (Ь5)), получаем, переходя к пределу:
Ф (у) — f (су, у) ^ ф (су). □
Еще два результата о существовании и единственности. Если условие монотонности (Н7) усилить, то мы сможем также гарантировать и единственность решения, о существовании которого утверждается в теореме 10.1. Другими словами, справедлива следующая теорема.
Теорема 10.2. Пусть выполнены условия теоремы 10.1, а условие (Ь7) усилено следующим образом".
(Ь9) Уу, w^E v^w f (у, су) + f (су, у) > 0.
Тогда решение задачи 10.1 (а следовательно, и задачи 10.2) единственно.
Доказательство. Предположим противное. Пусть и и и* — два решения задачи 10.1.
Тогда
_ Ф (u) + f (и, су) ^ ф (ty) Vgd^E,(10.26)
Ф (u*) + f (u*, су) ^ ф (ty) Vcyg£.(10.27)
Полагая cy = u* в неравенстве (10.26) и w = u в неравенстве (10.27) и складывая эти неравенства, имеем
Ф (и) + ф (u*) + f(u*,u)+ ^(и,и*)^ф(и) + ф(и*).(10.28)
Поскольку ф (и) <_ + оо и ф (и*) •< -|- оо (ведь иначе мы имели бы Ф= + оо), из (10.28) получаем:
f(u*,u) + f (u,u*X0.(10.29)
Отсюда и из условия (Ь9) следует, что и = и*. Условие (Ь9) обычно называют условием строгой монотонности. □
Сформулируем теперь следующий общий результат о существовании, в котором нет предположения о монотонности.
Теорема 10.3. Если пространство Е и функционалы ф: Е (—оо, +оо] и f : Е X Е ->■ R удовлетворяют условиям (Ы), (Ь2), (НЗ), (Н4), (Н8) и
(hlO) Vcy 6 5 функция f {■, ш) полунепрерывна снизу, то задача 10.1 имеет решение.
Доказательство. Решения задачи 10.1 являются, как мы видели, элементами множества П ст (су). Тогда утверждение теоремы следует из леммы 1 и того факта, что множество ст (су) замкнуто (это вытекает из условий (Ь2) и (Ы0)). В самом деле, рассмотрим в ст (су) фильтр {уа}абл с предельным элементом и. Из неравенства
ф(и«) +/(у«. ^Хф(су) Уа^Л(10.30)
и того факта, что функции ф и f(-, су) полунепрерывны снизу (т. е. из условий (Ь2) и (Ь10)), получаем, переходя к пределу, ф (у)+ + f (у, су) ^ ф (су) и, следовательно, и £ ст (су). □
На первый взгляд, этот результат может показаться более общим, чем теорема 10.1, поскольку в нем нет требования на монотонность, и хотя условие (МО) сильнее, чем (Кб), зато условие (Н5) вообще опущено. Однако теорема 10.1 имеет множество приложений, а теорема 10.3 не представляет большого интереса. Это происходит потому, что предположение о полунепрерывности снизу функции f (су, •) не является очень жестким в большинстве приложений, а, с другой стороны, «различие» между условиями (Н6) и (МО) на самом деле очень велико. В условии (Н6) у нас не вызывает сильного беспокойства топология пространства Е, поскольку мы работаем в конечномерных пространствах и можем взять в Е, например, слабую топологию, которая наиболее удобна для удовлетворения условия (Ь8). В условии (МО), наоборот, топология играет существенную роль и, в частности, для слабой топологии это условие является очень жестким. Все это станет более понятным в следующем разделе.
Частные случаи. I
В этом пункте в качестве Е мы рассмотрим произвольное рефлексивное банахово пространство, пусть Е' — сопряженное к нему. Очевидно, что условие (hl) выполнено. Мы будем рассматривать в Е, вообще говоря, слабую топологию, потому что такая топология дает «много компактных множеств» и, кроме того, в этой топологии наиболее легко удовлетворить условию (h8) (в связи с этим заметим, что слабо компактные множества ограничены и слабо замкнуты, и наоборот).
Рассмотрим функционал ф, определенный по формуле
Ф(и)^/К(и),(10.31)
где ]к — индикатриса непустого замкнутого выпуклого множества из Е. Отметим, что /к полунепрерывна снизу для любой топологии (между сильной и слабой) пространства Е. Кроме того, ]к является собственным выпуклым функционалом, и, следовательно, условие (h2) выполнено. Наконец, рассмотрим функцию f, определенную формулой
f (и, ш) = В,(Аv, v — w)E,(10.32)
где А : Е -*- Е' — оператор (не обязательно линейный и непрерывный), в терминах которого мы будем интерпретировать условия теоремы 10.1 (и теоремы 10.2), связанные с функцией f.
Условие (h3) выполнено без дополнительных предположений на оператор А:
Vv^E b,{Av,v — v^ = eAAv, 0)e = 0.(10.33)
Условие (h4) также выполнено без каких-либо дополнительных предположений на А: если мы зафиксируем и из Е, то имеем:
(Av, v — w)E = e,(Av, v)e + E,(— Av, w)E; (10.34) а поскольку B,(Av, v)E— постоянная, отображение w-* E,(Av, v—ш)Е аффинно и, следовательно, вогнуто. Отсюда следует, что условие (h5) также выполнено ’ без дополнительных предположений на А: поскольку отображение w-> Е,(Av, v — w}E аффинно, оно не только полунепрерывно сверху, но даже и непрерывно.
Это подтверждает тот факт, что условие (h5), как мы уже говорили ранее, не является очень жестким в приложениях. Отметим здесь, что при этих же условиях, предположение (МО) является просто гибельным: если предположить, что Е — гильбертово пространство со своей слабой топологией, а А — тождественный оператор (и, следовательно, линейный!), то условие (Ы0) будет означать, что отображение и -> (и, и — w^ = || и ||| — (и, w^E слабо непрерывно; но мы знаем, что существует последовательность {ип}, vn -g- 0, такая, что || v„ ||Е = const =£ О!
Рассмотрим теперь условие (h6). Зафиксируем элемент и» из Е. Нам нужно найти ограничения, которые следует наложить на опе-
239
ратор А, такие, чтобы вещественная функция вещественного переменного
t-*- Е,(Д (/z + (1 — ^ v, /z + (1 — О у— ^е (10.35)
была полунепрерывной снизу для любых элементов z и и из Е. Достаточным условием этого является полунепрерывность оператора Л, т. е. (см. определение 7.2 и соответствующие замечания) слабая непрерывность отображения t -> А Цг + (1 — 0 у) Для любых z и и из Е. В самом деле, при этих условиях отображение Е,<Л (^z + (1 — /)и), m)E непрерывно, а поскольку отображение t-> e,(tz 4- (1 —tyv.x^g непрерывно для любого х из Е, то функция (10.35) не только полунепрерывна снизу, но и также непрерывна.
Что касается условия (h7), мы требуем, чтобы
Vv, tvEB e,(Av,v — w^ + E,(Aw, w— v)E^0,(10.36)
t. e.
Vv, w^E ЕЛАи — Aw, и— w^^O,(10.37)
а это есть не что иное, как монотонность оператора А (см. определение 7.2). Таким образом, мы должны потребовать, чтобы оператор А был монотонным. Отметим в связи с этим, что условие (h9) есть условие строгой монотонности оператора А:
Vv,w£E, u^w, e,(Av— Aw, v — m)E>0.(10.38)
Наконец, рассмотрим условие (Ь8), которое, как мы уже видели, можно записать в виде
ЗВ с Е, ограниченное и слабо замкнутое множество:
3 v0 Е В: Vv ЕВ\В
фк (у) + ЕЛАи, v — и^ > фк (v0).(10.39)
Из (10.39) сразу следует, что должно быть <рх (v0) = 0, поскольку в противном случае <рк (v0) = 4-оо, и строгое неравенство не будет выполняться. Таким образом, заключаем, что v0 Е В П К, и условие (10.39) можно записать в виде
ЗВ с Е, ограниченное и слабо замкнутое множество:
3v0EBf|/<:VvEB\B
Фк (у) + е'Иу, у — у0)е > 0.(10.40)
Если множество К ограничено, то нам не нужно накладывать на оператор А дополнительные ограничения, потому что условие (10.40) выполняется при К = В, поскольку тогда фк(и)=+<х>, а это означает, что неравенство (10.40) справедливо для любых v0 из К. Однако наиболее интересным является случай, когда К не ограничено. В этом случае достаточно, например, потребовать, чтобы оператор А 240
был коэрцитивным (см. определение 7.2):
3^0E^: lim е,(Ау,у — v0)E = + оо. (10.41)
I|v|IE->+oo
и€К-
При этих условиях требование (10.40) на самом деле выполнено, поскольку условие (10.41) гарантирует существование сферы (5), вне которой е,(Ау, у— и^Е">0.
Наконец, отметим, что при сформулированных выше условиях неравенство (10.1) можно записать в виде
и^Е, ф^ (и) + Е.(Ди, ы — и)Е ^ фх (и) Vy^E, (10.42) или проще (что эквивалентно),
и^К, Е,(Аи,и— и)Е^0 Vu^K-(10.43)
Резюмируя сказанное, сформулируем следующее утверждение (которое, в частности, гарантирует существование решения задачи 7.37, причем это решение единственно, если оператор А строго монотонный) .
Теорема 10.4. Если Е — рефлексивное банахово пространство, К — непустое замкнутое выпуклое множество из Е, а А : Е -► Е' — монотонный, полунепрерывный и коэрцитивный оператор (.последнее предположение не обязательно в случае ограниченности К), то неравенство (10.43) имеет решение. Это решение единственно, если А, кроме того,— строго монотонный оператор; более того,
(и^К'-Чи^К Е,(Аи,и—и)Е^0) = (и^К'-^У ЕК ЕЛАи,и — ФЕ^ 0}.
(10.44)
Замечание 10.1. Если К — выпуклый конус с вершиной в начале координат, линейное подпространство или аффинное многообразие, то неравенство (10.43) можно записать соответственно в следующем виде:
и^К, e,(Au,u}e—G и Чу^К ЕААи, у)е^0,(10.45)
и^К, Vy^K e.(Au, v)e = 0,(10.46)
или
и^К, Vv^K ЕДАи,и — и)Е = 0.(10.47)
(Доказательство этого простого факта оставляем читателю.
Частные случаи. II
В этом разделе мы будем предполагать, что Е — вещественное гильбертово пространство. Мы могли бы в качестве Е взять любое рефлексивное действительное пространство, но это не приведет к рассмотрению более общего случая. В самом деле, мы не будем использовать явно гильбертову структуру пространства Е (более
16 К. Байокки, А. Капело241
того, мы обозначаем скалярное произведение как отношение двойственности), но в любом случае мы приходим к следующему заключению: если наши предположения выполнены, то мы можем определить в Е скалярное произведение. В качестве ф мы рассмотрим функционал, отображающий пространство Е в (—оо, + оо], который является выпуклым собственным функционалом, полунепрерывным снизу. Функцию / снова определим равенством (10.32), но где Д : Е -► Е' — линейный оператор. Первоначально мы не будем требовать непрерывности от оператора Д (но мы убедимся в том, что непрерывность Л следует из других условий, которые мы введем).
Здесь мы хотим проделать процедуру, аналогичную той, которая была проделана в разделе 10.2, а именно: пу^читерпретиро- вать в терминах оператора Л условие теоремы 10.2 относительно функции Д
Мы уже знаем, что условия (h3)—(Ь5) выполняются без дополнительных ограничений на оператор Д. Из линейности Л вытекает, что условие (Ь6) также автоматически выполнено. В самом деле, отображение
t-^ еЛА (tz + (1 — 0 и), ty)E = tB,(Az, w)E + (1 — t)B,(Av, w)B
(10.48)
линейно и непрерывно по t, и, как следствие, оператор А полунепрерывен. Рассмотрим теперь условие (Н8), которое в нашем случае можно записать в виде
ЗВ с Е, ограниченное и слабо замкнутое множество:
Зи0 ЕВ :Vv£E\B ф(и) + Б,(Ди,и —и0)Б>ф(и0).(10.49)
Для выполнения (10.49) потребуем, чтобы оператор А (вместе с ф) удовлетворял условию
Зио^Д, ф(у0)< + оо : ф(у) + £,(Лу, у —у0)е~> + оо
при || иЦ^—>- + оо, (10.50)
которое является видоизмененной формой условия (10.41). Было бы хорошо убрать ф из (10.50) и оставить только условие на оператор А. Для этой цели положим и = Хо при || у||е = 1 и ХЕ R и перепишем ограничение (10.50) в виде
Зи0ЕЕ, ф(у0)< + оо : ф(Хи) + Х2б,(Ду, v)E — ХВ,(Аи, и0)Е-► + оо
при X—► + оо. (10.51) Поскольку ф (Хи) не может стремиться к —оо быстрее, чем линейная функция (из-за выпуклости), то условие (10.51) выполнено, если
Зу0€Д, ф(у0)< + <»: Х2б,(Ду,у)б — Хе, (Ду,у0)б-> + оо
при Х-> + оо. (10.52)
В свою очередь ограничение (10.52) выполняется, если
Эи0СЕ, ф(у0)< + оо: 3fJ>0 Уу,||у||б=1 ^Аи.и')^^.
(10.53)
Первая часть условия (10.53) показывает, что функционал ф собственный — это мы уже знаем из условия (h2), и, следовательно, еще раз этого требовать не нужно. Таким образом, мы получаем, что для выполнения условия (10.49) достаточно, чтобы
3P>0: Vy, ||и||е= 1 ЕХАи,^Е>^(10.54)
или, что эквивалентно, при условии линейности оператора А,
ЗР>0: Чи^Е Е,(Аи, и>£^Р[|и||^.(10.55)^
Линейный оператор, удовлетворяющий условию (10.55), обычно называется коэрцитивным (кроме того, это наиболее общепринятый способ определения коэрцитивности линейных операторов); Довольно любопытным является следующий факт: чтобы выполнялись условия теоремы 10.1 (или даже теоремы 10.2), нам не нужно - других дополнительных условий на оператор А. В самом деле,, если оператор А линейный и коэрцитивный, то он строго монотонный (следовательно, выполняется не только условие (Н7), но и (Н9)),. поскольку
Vy, w С Е e,{Av — Auu, v — су)е = Б,(Л (у — w^v — w)E 22?
>Р||у— су Пе^ 0,(10.56)
причем обращение в нуль происходит только при и = w.
Далее, поскольку оператор А линейный и коэрцитивный, то на самом деле он является и непрерывным оператором, т. е. Л ( С ^ (Е, Е') и, кроме того, выражение
(и, у)е=4" 1E'<Au, v)e + e,(Av,u)e1(10.57)
есть скалярное произведение в Е. Условие коэрцитивности, как можно убедиться, является условием, которое приводит к нескольким важным следствиям.
Рассмотрим теперь в качестве ф функционал, определенный по формуле
Ф (у) = /(и)+ jK№,(10.58)
где jK — индикатриса непустого замкнутого выпуклого множества КсЕ, a j : Е (—оо, -|-оо] — собственный выпуклый (на №) и полунепрерывный снизу функционал (здесь мы не будем подробно останавливаться на ф).
При этих условиях неравенство (10.1) можно записать в виде
и^К- Vu^K j(u) + Е,{Аи,и — у)е<j'(у). .(10.59)
16*16*Справедлива следующая теорема.
16*
16*
243
Теорема 10.5. Если Е — вещественное гильбертово пространство, К с Е — непустое замкнутое выпуклое множество, j : Е -*■ (—оо, +оо] — выпуклый собственный (на /О полунепрерывный снизу функционал, а А : Е Е' — непрерывный и коэрцитивный линейный оператор, то существует одно и только одно решение неравенства (10.59).
В заключение сформулируем несколько важных следствий из этой теоремы, которая, в свою очередь, является следствием теоремы 10.1.
Положим Е, (Аи, и— v)E = а (и, и — и), где а: Е х Е ->- R — непрерывная и коэрцитивная билинейная форма, и обозначим через / произвольный элемент из Е'. Если j(u) = Е,{—1,ФЕ, то неравенство (10.59) можно записать в виде
и^К, VvEK aka, и—«t^gAEи — v)E, (10.60) и теорема 10.5 превращается не во что иное как в теорему Лионса— Стампаккьи.
Если при этих же условиях К = Е, то (10.59) можно записать следующим образом:
и^Е, Vv^E aku,u) = Е,{1,и}Е,(10.61)
и теорема 10.5 становится ни чем иным как леммой Лакса—Миль- грама.
Наконец, если а (и, и) = (и, у)Е, К = Е и / (и) = ЕА— I, v)E, то неравенство (10.59) можно записать так:
и^Е, Vv^E (u,v)E — E,{l,v)E,(10.62)
й теорема 10.5 в этом случае есть не что иное, как теорема Росса.
Глава 11. КВАЗИ ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Введение
Точки Нэша. Чтобы привести наш первый пример квазивари- ационной задачи, обратимся к важному вопросу теории игр с п игроками — определению точек Нэша для п функционалов, подчиненных выпуклым ограничениям. Мы рассмотрим здесь задачу, которая уже исследовалась в работе Бенсусана [169], но не была там решена полностью.
Мы рассмотрим упрощенную форму задачи (при п = 2), однако возникающие здесь трудности, по существу, остаются в силе и в общем случае, причем обобщение происходит почти автоматически — это мы кратко обсудим в замечании 11.1 в конце данного раздела.
Пусть даны:
(bl) Нг и Н2 — вещественные гильбертовы пространства;
(b2) av. Нг X Hi -► R и a2: H2 X H2 -► R — непрерывные билинейные формы, симметричные и неотрицательные на диагонали;
(ЬЗ) Ьг : Н2 X Нг -► R и b2 : Н2 X Hv -► R — непрерывные билинейные формы;
(Ь4) Lt . Hi^>- R и L2 : Н2 ->-
-> R — непрерывные линейные функционалы;
кроме того, в проводимой ниже задаче 11.1:
(bSJ Kvcz Нх и Кг а Н2 — непустые замкнутые выпуклые множества;
а в задаче 11.2:
(Ь52) К cz Hi X Н2 — непустое замкнутое выпуклое множество.
Положим Н = Hi ХН2. Обоз-Рис. 11.1
начив через и = (Vp v2) произ
вольный элемент пространства Н, определим функционалы J^ : Hi^- R и J 2 : Н2 ->- R по формулам
Ji (у) = «1 ("и У1) + 261 (у2. У1) — 2Lj (uj,J г (у) = “2 (v2, v2) + 262 (v2, vj — 2£2 (v2).
Далее положим
К° = Ki X К2, KQ = Ph. W X Ph, W,
K(i) (v) = {zL 6 HT: (zp v2) 6 K}, K(2) (v) = {z2 6 H2: (vP z2) E KYK^ = KW ^xKm^Y
Заметим, что если v E К* то Км (и) czPH. (/() и Км (v) cz Рн, (К) — непустые замкнутые выпуклые множества и, следовательно, К(р) является непустым замкнутым выпуклым множеством из Кп (см. рис. 11.1). Таким образом, мы построили следующее отображение: v -> К (и)(К-^- 2^П) (символ 2^ обозначает множество непустых замкнутых выпуклых подмножеств из /<п; ср. 20.0).
Рассмотрим теперь следующие две задачи.
Задача 11.1 Найти элемгнт и^(иь и^^К0 такой, что
Ji (и) ^ Ji (vv и^ Vv, 6 Kv
(Н.2) J2(u)^ J2(“i>y2) Vu2EK2.
Задача 11.2. Найти элемент u = (upu2)^/( такой, что
JL (u) ^ Ji (Vp u2^ VVi E /<(i) (u),■
(H.3)
^2 (^) ^ ^2 (^1> У2) ^У2 € ^((2) (w).
Решения задачи 11.1 мы будем называть точками Нэша для пары функционалов (Jp J^ при ограничениях Кг и /С2, а решения задачи 11.2 — точками Нэша для этой же пары функционалов при ограничении К- Здесь важно отметить, что в задаче 11.1 мы имеем два независимых ограничения (выпуклые множества Ki и /<2), а в задаче 11.2 — бесконечное число зависимых между собой ограничений (выпуклые множества К (у), определяемые множеством К). Отсюда естественно вытекают соответственные трудности этих двух задач.
Постараемся теперь найти необходимые и достаточные условия существования решений задач 11.1 и 11.2. Сначала рассмотрим задачу 11.1.
Введем в рассмотрение функционалы Gt : Нг -► R и G2 : Н2 -► -► R, определенные по формулам
GiM = Л(У1,«2)- G2(v2) = J^uvu^,(11.4)
здесь u = (up и^ — фиксированный элемент из Н. Из (11.1) имеем
G, (и ) = Oi (ир vj + 2 [&г (u2, и^ — ^ (uj] + cv
(115) G2 (У2) — ®2 (Уг» У2)2 [&2 (у2, и^ L2 (у2)1 Н- С2,
где сг — постоянная, не зависящая от ип с2 — постоянная, не зависящая от и2. Отсюда сразу следует, что если элемент и = (и^ и^ является точкой Нэша для пары функционалов (Jv J2) при ограничениях Ki и К^ то на uv достигается минимум функции Gx на Kv а на u2 — минимум функции G2 на /<2, и обратно, если на ut достигается минимум функции GT на Ki, а на ы2 — минимум функции G2 на /<2, то элемент и г (uv и2) является точкой Нэша для пары функционалов (Jp J2) при ограничениях Кг и /С2- Из предположения, что билинейные формы av и а2 неотрицательны на диагонали, вытекает, что функционалы Jx и J2 выпуклы, и, следовательно, (см. теорему 3.3) чтобы на иг достигался минимум функции Gt на Хр а на и2 — минимум функции G2 на К2, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
^'(^G^ (и^), и^ yi)f/t^0 VOj € Ку»
*(116)
H'(VG2(u2),u2 —u2)Hi^0 Vv2EK2.
Эти условия, учитывая, что билинейные формы аг и а2 симметричны, и принимая во внимание пример, приведенный после определения 3.2, запишем в виде
«1 («р«1 — У1) + Ьх (и2,иг — vj — LT(^ — uj< О VvT 6Kv
(11.7)
а2 (и2, и2 — и2) + b2 (и2 — v2, uv^ — L2 (и2 — и2)< 0 Vu2 £ /<2.
Теперь, определяя билинейную форму а : Н X Н -► R и функцио- 246
нал L : Я R по формулам
a (ty, и) = ai (аур uT) + а2 (ty2, и2) + 62 (tyv и2) + bt (uv ty2), (11.8)
L (да) = Lx (mJ + L2 (ty2),.(11.9)
сформулируем следующее утверждение.
Теорема 11.1. Элемент, и £ Кп является решением задачи 11.1 в том и только том случае, когда
а^и.и — uJ^M"— у) Vu^KD.(11.10)
_ Следуя тем же самым рассуждениям, для задачи 11.2 приходим к следующему утверждению.
Теорема 11.2. Элемент и £ К является решением задачи 11.2 в том и только том случае, когда
а(и,и — o)^L(«— у) Vv^K(u\(1111)
Очевидно, что а — непрерывная билинейная форма, a L — непрерывный линейный функционал. Следовательно, условие (11.10) является вариационным неравенством, которое мы уже можем исследовать. В частности, мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема 11.3. Если билинейная форма а коэрцитивна, то существует одно и только одно решение задачи 11.1.
С другой стороны, условие (11.11) в общем случае не является вариационным неравенством; оно является таковым только в случае, когда Vu £ К К (м) = Q, где Q — непустое замкнутое выпуклое множество из Н (тогда мы находимся в условиях задачи 11.1, поскольку Q в этом случае обязательно должно быть таким, что Q = Qi X Q2, 1де Qi — непустое замкнутое выпуклое множество из Нх, a Q2 —■ непустое замкнутое выпуклое множество из Я2). На самом деле условие (11.11) является объектом нового типа — мы будем называть его, следуя Бенсусану, Гурса, Лионсу (см. 11761), квазивариационным неравенством.
. Отметим, что вариационное неравенство (11.10) является частным случаем квазивариационнсго неравенства (11.11), так же как и вариационное уравнение
a(u,u) = L(v) Vv^H,(11.12)
отвечающее задаче отыскания точек Нэша для пары функционалов (Jn J2) с ограничениями, является частным случаем вариационного неравенства (11.10). Однако важно заметить, что даже когда билинейная форма а симметрична, задача, связанная с неравенством (11.11), не является в общем случае задачей вариационного исчисления.
Как исследовать квазивариационное неравенство (11.11), чтобы для задачи 11.2 сформулировать утверждение, аналогичное теореме 1.3?
Здесь возникла ситуация, очень сходная с той, которая возникала при рассмотрении теоремы Лионса—Стампаккьи (гл. 3). Это
сходство заключается в следующем: мы знаем, как решать какую- либо задачу, но хотим решить другую, которая является не слишком широким обобщением первой. При первом доказательстве теоремы Лионса—Стампаккьи мы свели вопрос о существовании решения вариационного неравенства, связанного с несимметричной билинейной формой, к предварительно решенной задаче для симметричной формы и к существованию неподвижной точки. Здесь мы хотим воспользоваться, по существу, этим же способом: исследование квазивариационного неравенства мы сведем к исследованию семейства вариационных неравенств и к отысканию неподвижной точки отображения, выбранного надлежащим образом.
Квазивариационному неравенству (11.11) мы можем естественным путем поставить в соответствие семейство (в общем случае бесконечное) вариационных неравенств: если и — фиксированный элемент из К, то вариационное неравенство
a (w, w — и) ^ L (w—у) Vy£/f(u)(11.13)
мы назовем вариационным сечением квазивариационного неравенства (11.11) по и.
При условии коэрцитивности билинейной формы а (это условие является стандартным ограничением в вариационном случае и мы будем предполагать его выполненным также и здесь) мы можем утверждать, что неравенство (11.13) имеет одно и только одно решение, и, следовательно, полностью определено отображение 2 : /< ->- /<□, вводимое следующим образом:
2(u) = ty, w^K(W)cKq — решение (11.13).(11.14)
Отображение 2 мы будем называть вариационной селекцией, соответствующей квазивариационному неравенству (11.11). Обозначая через
° и (v) — {w £ К (и): a(w, w — u)^L(w — и)}(11.15)
множества уровней вариационного сечения (11.13), мы можем характеризовать вариационную селекцию 2 с помощью формулы
{2(H)} = Q о*(11.16)
ибК(ы)
Отсюда сразу следует, что элемент Кс К (и) является решением квазивариационного неравенства (11.11) в том и только том случае, когда и — неподвижная точка отображения 2. К сожалению, поскольку 2 не является отображением множества в себя, не так просто определить условия, при которых существуют неподвижные точки для 2. Мы обойдем эту проблему и вместо 2 рассмотрим отображение 2' : /<п -> /<п, определенное по формуле
2'(у) = 2(/\(у)).(11.17)
Заметим, что неподвижные точки отображения 2' совпадают с не-
подвижными точками отображения 2 (в самом деле, если и = = S' (и), то и 5 К {и), и, следовательно, S' (и) = 5 (и), т. е. и = = 2 (и); обратно, если и =2 (и), то и £ К (и), поэтому Рк (и) = = и и 2 (и) = 2' (и), т. е. и = 2' (и)).
Теперь нам необходимо найти ограничение, которое будет гарантировать существование по крайней мере одной неподвижной точки отображения 2'. Здесь возникает следующий вопрос: каким типом теоремы о неподвижной точке мы собираемся воспользоваться? Мы не рассчитываем в нашем случае на свойства непрерывности по Липшицу или свойства монотонности, поэтому теоремы из разделов 9.2 и 9.4 не принесут пользы. Таким образом, остается применить теорему Шаудера. Значит, Kq должно быть компактным множеством, а 2' — непрерывным отображением.
Мы будем предполагать, что К — компактное множество, откуда будет следовать, что /Са также компактно.
Для непрерывности отображения 2' мы должны потребовать непрерывность отображений и ->- Рк (и) и 2. Если мы работаем с сильной топологией (это является довольно жестким ограничением, поскольку означает, что К по предположению есть сильно компактное множество), то отображение и-* Рк(и) непрерывно (поскольку операторы проектирования являются непродолжимыми отображениями и, следовательно, сильно непрерывными). Докажем теперь, что отображение 2 также непрерывно, без каких-либо дополнительных ограничений. Для этого покажем, что если ип -► и, то 2 («„)-► 2 (и). Положим tyn —2(un) и u> = lim u>nfc, где (avnfc) — сходящаяся подпоследовательность последовательности {avn} (напомним, что /(□ компактно).
Если мы покажем, что w = 2 (и), то мы тем самым завершим доказательство, поскольку единственность задачи, соответствующей вариационному сечению квазивариационного неравенства (11.11) по и, позволяет нам заключить, что элемент ш на самом деле является пределом последовательности (tyn). Имеем: wnh € €/<(«n6), a (wnk, wnk — и) ^ L ^пк — и) VoE/C(un). Если множество 2^9 наделить хаусдорфовой метрикой (это можно сделать, поскольку мы зафиксировали метрическую топологию в Н, относительно которой /(□ — ограниченное замкнутое множество и, следовательно, мы работаем на самом деле в 2^9/), то отображение и-»- К (и) (/(-► -► 2«S) будет непрерывным. Поэтому мы можем утверждать, что если и £ К (и), то существует последовательность {ига^}, сходящаяся к и, причем иПк € К tu-n^- Пусть и — произвольный элемент из К (и), a ^«^— последовательность, удовлетворяющая сформулированным условиям. Тогда, записывая a (w„k, wnk — ип^ ^ L (wnk — ип^ и, переходя к пределу, мы получаем (в силу линейности и непрерывности а и Ц неравенство a (ty, w — и) ^ L (w — и). Это означает, что w = = 2 (и), поскольку и — произвольный элемент
Наконец, мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема 11.4. Если билинейная форма а коэрцитивна, л множество К — компактно, то существует по крайней мере одно решение задачи 11.2.
Теперь, рассматривая абстрактную форму исходной задачи, мы сформулируем следующую задачу.
Задача 11.3. Пусть Н — вещественное гильбертово пространство, а : Н X Н -->- R — непрерывная билинейная форма, L £ £ Н', Сс Н — непустое компактное множество, a Q : С -► 2^ск — заданное отображение из С в 2®Ск- Найти и g Q (и) такое, что
u^Q(u); а(и,и— ц)^Б(и— и) Vv£Q(u). (1118)
Позже мы рассмотрим обобщения этой задачи, а также обобщения утверждения о ее разрешимости, заключающегося в следующей теореме.
Теорема 11.5. Если билинейная форма а коэрцитивна, а отображение Q — непрерывно, то задача 11.3 имеет по крайней мере одно решение.
Доказательство этой теоремы практически совпадает с доказательством теоремы 1.4, оно даже проще, поскольку вариационная селекция 2 уже является отображением компактного (в общем случае слабо компактного) множества на себя, а отображение Q (по предположению) непрерывно. Теоремой о неподвижной точке, которой нам следует здесь воспользоваться, вновь является теорема Шаудера. Позже мы будем пользоваться более сложными теоремами о неподвижной точке, например теоремами 9.21 и 9.26, но основная идея остается в точности той же самой, а именно: рассматриваем вариационную селекцию, а затем находим ее неподвижные точки. ■
О библиографии. Задачу, в которой явным образом фигурирует квазивариационное неравенство, впервые рассмотрели Бен- сусан и Лионс в [1771; это была эволюционная задача, связанная с теорией управления. Бенсусан, Гурса, Лионс в [176] рассмотрели соответствующую стационарную задачу. Они ввели понятие «ква- зивариационного неравенства» и доказали первый результат о существовании; соответствующий результат о единственности был доказан Лаешом в [518]. Другие статьи о квазивариационных неравенствах и теории управления можно найти в списке, приводимом в конце данного пункта. Относительно общих вопросов, связанных с теорией управления, см., например, [48, 170].
В работе Лионса 1536] рассмотрены вопросы гомогенизации квазивариационных неравенств. Гомогенизация — это способ исследования математических моделей неоднородных материалов. Этот способ исследования, развитый совсем недавно, лежит вне сферы нашего рассмотрения. Здесь мы только сошлемся на несколько статей, касающихся этих идей: [349, 351] (G-сходимость и Г-схо- димость); [536, 539, 199] и заметки Бенсусана, Лионса, Папанико- лау для C.R. Ac. Sci. Paris [194—198] (метод многократных масштабов); [696] (энергетический метод). Приведем также ссылку на 250
работу [373] — это статья физического характера, в которой гомогенизация используется для описания краевых условий в явлениях, связанных с фильтрацией через пористые материалы (эти вопросы будут предметом нашего рассмотрения в гл. 12; см. [66]).
Другим предметом изучения, который приводит к исследованию многочисленных проблем с квазивариационными неравенствами, является рассмотрение задач со свободной границей, связанных с фильтрацией через пористые материалы. Эти задачи мы будем подробно рассматривать в гл. 12, где будет приведена и библиография по этим вопросам.
Укажем, наконец, и другие работы, в которых изучаются квази- вариационные неравенства: [116, 117, 171, 173, 172, 175, 174, 178, 180, 179, 182, 181, 183, 6, 185, 184, 188, 186, 187, 191, 193, 192, 214, 212,209,213,210,211,215,216,218,230,244,280,281,304,
305,331,329,330,361,363,362,389,391,394,395,397,399,
407,421,423,422,424,439,441,440,453,451,452,455,456,
484, 482, 481, 480, 483, 517, 530, 47, 535, 531, 534, 533, 532, 537, 538,541,552,568,570,569,573,574,587,580,586,581,583,
582,584,605,600,604,601,603,602,610,607,609,608,615,
648,646,647,670,694,695].
Замечание 11.1. Как мы уже отмечали, задачи 11.1 и 11.2 являются простейшими случаями задач, рассмотренных Бенсуса- ном в 1974а. Коснемся теперь коротко общего случая. Пусть мы имеем п гильбертовых пространств Н; (i = 1, .... п; п > 1), п2 симметричных непрерывных билинейных форм a,/ HtXHj^-R (i, j = 1,..., n) таких, что ац^и^^О Vy2 E Hit (n3— n2)/2 непрерывных билинейных форм bijh: HjXHh-^R(i, j, k=l,... ,п; j>k),n2 непрерывных линейных функционалов Ьи; Hj^-R (t,/= 1,..., п) и, в зависимости от задачи, либо п непустых замкнутых выпуклых множеств KiaHt (1 = 1nY либо одно непустое замкнутое выпуклое мно- пп
жество ^ cz П//,. Положим H = YA^t и обозначим через у а i=if=i
= (у1,...,уп)— произвольный элемент пространства Н. Определим п функционалов J ^ H-^-R (i = 1п) по формулам
Ji (у) = «и (у/. чй + 2bUh {и,, у„) — 2 £ Lu (у,)
/ = 1i>k
(ср. с (11.1)). Далее, положим 7СП = П ^’ ^п = Fl^W- Вв0Дя i=i1=1
обозначения (у 10 = (ур... ,У1-ь oi+i, ... , vn) и (у | i | г^ = (ир ... ... ,иг_ь zb уг+ь .... у„), положим также К (.v \ i) = ^ ^ Н: (у 111 z<) €
еК}=Рн,[/<Л({(у|0}Х#1)]и К(у)=ПК^ Задачи 11.1 и 11.2 1=1
принимают тогда, соответственно, следующий вид: «найти элемент и£Ка такой, что Jt (u) ^ J, (u | i | у2) Vu^Ki (i = 1, •■,«)» и «найти такой элемент и Е /<□, что Jt (ы) ^ Jt (и | i | и^ Vvt Е К (и | i) (i =
= 1,... ,п)>. Утверждения, которые мы получили для задач 11.1 и 11.2, можно теперь сформулировать в терминах билинейной формы а ^, у) = f аи (о^, уг)+ 2 buj {Wj, и^ + £ Ьш (и{, и^ и функциона- "
1=^/«j>i
ла L (гу) = 5 Lti (wt). В тексте мы использовали п = 2 и полагали i=i
Яц = й1> «22 = «2’ «12 = «21 ~ ^’ ^11 = ^Р ^22 = ^2’ Мг = ^"21 = О, 6121 = bv ьм1 = Ьг и К^ 11) = K(D (у), /С (и 12)=К(2) (у).
В следующих разделах мы будем исследовать квазивариацион- ные неравенства двумя методами, совершенно отличными друг от друга. Это отличие обусловлено разными абстрактными пространствами, в которых мы рассматриваем эти задачи. В разделе 11.2 мы буд?м во многом пользоваться работой Тартара [694], а в разделе 11.3 — работой Джоули, Моско [482].
Метод монотонности
Исходные данные.Пусть даны:
(dl) вещественная гильбертова псевдорешетка Н (или Ш, \, у), или даже Ш, ^); см. раздел 19.5),
(d2) вещественное гильбертово пространство V такое, что ■ ds
V^->H^^V',.
(d3) непрерывная билинейная форма а: V X V -► R, которая является //-коэрцитивной (другими словами такой, что За > 0: ЭХ £ R: vuEV а (и,и) + Х||и||^>а||и||2),
(d4) два элемента av а2Е V таких, что ат ^ а2, .
(d5) отображение ф: [ап а21 X V -► (—оо, +оо] такое, что для каждого и Е Vav а2] функция ф (и, •) : V -► (—оо, Н-оо] является собственным выпуклым функционалом, полунепрерывным снизу.
Предположим также, что а, V и ф сравнимы с псевдорешетча- той структурой Н в том смысле, что выполнены следующие три условия:
а ([«]+, [«]"")< 0 VuEV,(11.19)
Зс:Vy^V М+€У и ||[и]+||у^МУ,(11.20)
и^Иг^ф^, -)<<P(U2- •),(11.21)
где =^ — порядок, введенный в определении 19.19.
Задача общего вида и ее частные случаи. В предположении, что введены упомянутые исходные данные, рассмотрим следующую задачу.
Задача 11.4. Найти элемент и Е V такой, что
uEV; а (и, и — у) + ф (и. и) ^ ф (и, и) VuEV. (11.22)
Заметим, что мы рассматриваем задачу, связанную с билинейной формой а, которая не обязательно коэрцитивна, а только Я- 252
коэрцитивна. Это — важное замечание, поскольку метод, который мы будем развивать здесь, может быть использован и для исследования существования решений некоторых вариационных задач, связанных с некоэрцитивными билинейными формами (задачи, в которых ф (и, и) = ф (и)).
Полагая для и £ [а1( а21
К (и) = (u^V: ф(и, и)< + оо),(11.23)
мы можем легко убедиться в том, что из (11.21) вытекает следующее утверждение:
U]^u2 х^ЕК^ и и2ЕК(иА^
=^ит Ди2ЕК(и^ и utV иа EK (u^. (11.24)
В самом деле, если итЕК(и^ и иаЕК (м2), то ф(up aj< + оо и Ф (и2, и2) < + оо и, следовательно, ф ^uv ^У и2) < + 00 и ф (u2, Uj Д Л и2) < + °0’ поскольку при условии, что правая часть условия 2) в определении 19.19 конечна, конечной должна быть и левая часть условия 2).
Обратно, если К : («1, а21 -> 2^6 такое, что выполнено (11.24), то отсюда сразу следует, что семейство собственных выпуклых полунепрерывных снизу функционалов
ф(“. •) = /,<(„)(11.25)
удовлетворяет условию (11.21). Если fEV', то семейство, определенное по формуле
ф (“’у)=/к w - v^> ^v=I?vAb u'v при y e ^№’ (i i .26) в противном случае,
также удовлетворяет условию (11.21).
В связи со сказанным мы можем сформулировать следующую задачу.i
Задача 11.5. Пусть даны Н и V, удовлетворяющие условиям задачи 11.4, fEV' и К- [аРа2]->-2^, удовлетворяющее (11.24). Найти элемент иЕКк'Л такой, что
VvEKVA aVu,u — x^<.vAt,u — ,ux)v. (11.27)
Исходя из изложенного выше, мы можем утверждать, что эта задача является частным случаем задачи 11.4, причем связь между ними такая же, как связь между теоремой 3.5 и обычной задачей для квазивариационных неравенств, подобной задаче, рассмотренной в теореме 3.1. Задача 11.5, также как и задача 11.3, связана с линейным квазивариационным неравенством. Однако из условия (11.24) можно предположить, что мы будем пользоваться методом «монотонности», а не методом «компактности», как мы делали в разделе 11.1. Другими словами, это означает, что вместо теоремы Ша- удера мы будем пользоваться теоремой о неподвижной точке 9.26.
Мы ввели задачу 11.5 так, чтобы записать квазивариационное неравенство в явном виде, ведь в (11.22) его присутствие «скрыто». Тем не менее при исследовании интерес для нас представляет более общая задача 11.4. Для решения этой задачи мы сначала представим ее в виде семейства (бесконечного, если К не является постоянной) вариационных задач, рассмотрев вариационную селекцию 2 — или лучше 2Х (по причинам, которые выяснятся позже), а затем докажем существование неподвижных точек для 2Х.
Теорема существования. Пусть в условии (d3) X ^ О, рассмотрим вариационную селекцию 2Х, соответствующую следующей квазивариационной задаче: «найти элемент и £ К (и) такой, что
Vu Е К (и) я (и, и — и) + X (и, и — 0Н + (ф (и, я) — X (и, и)я) ^
^(ф(и, и) — Х(и, и)н).» (11.28)
Эта задача имеет вариационные сечения, связанные с коэрцитивной формой (а именно, с формой ях (и, и) = я (и, и) + X (и, и)н), она эквивалентна задаче 11.4, которая не имеет таких сечений. Следует также отметить, что эти две задачи эквивалентны и с концептуальной точки зрения, поскольку если отображение ф(-, •) удовлетворяет условию (11.21), то этому же условию удовлетворяет и отображение ф(-,-)— Х(-,-)н. В самом деле, если Х>0 и w^^-U)^ то —Х(щр-)н^, — Х(ш2,-^ т. е. Vu, иЕ[яря2]— — X ^wv и Ди^ — X (дар uYu)H^ — X (дар u^ — X (да2, и)н, и упомянутый факт следует тогда из свойства 2), которое будет сформулировано сразу после определения 19.19. В таком случае мы можем утверждать, что формула
2Х (u) = \w^V". a(w,w— и) + X (да, w— и)н + ф(и, да) —
— X (и, w)H ^ ф (и, и) — Х(и,и)н Уи^У} (11.29)
определяет отображение 2Х: [яр я2|->У (мы будем рассматривать 2Х (и) как множество, совпадающее со своим единственным элементом). Отсюда непосредственно вытекает, что элемент и является решением задачи 11.4, если u = 2x(u), причем этот элемент не зависит от величины X (пока выполнены условия на X). Докажем теперь, что отображение 2Х имеет по крайней мере одну неподвижную точку, для этого мы воспользуемся теоремой 9.26.
Заметим сначала, что согласно теореме 19.12 отрезок [яр я2], будучи ограниченным множеством из Н, вполне индуктивен, а поскольку пространство V полно, то множество 1яр я2] П V также вполне индуктивно. Для выполнения условий теоремы 9.26 нам необходимо, чтобы функция 2Х (а, следовательно, и сужение 2Х |lOi о ]Г|у) была возрастающей, а множество (ЯрЯ^ПУ было устойчивым относительно 2Х. Функция 2Х в самом деле является возрастающей, поскольку, как следует из (11.21), если Uj^Uj, то ф(иР •) — Х(ир -^^ф^ •) — Х(и2, «)н, и, следовательно, по теореме сравнения 19.20, 2Х (nJ ^ 2Х (и2). Устойчивость множества
[ai,a2inV относительно 2x|[Oi>Oz]nv не следует, однако, из условий на исходные данные, и мы должны ввести дополнительное предположение об этом. Другими словами, предположим, что
«^^(aj и Sx(a2)^a2 (11.30)
и введем в связи с этим следующую терминологию: если элемент w € [«1, а2] П V таков, что да ^ Sx (да) (или да ^ 2Х (да)), то да назовем Х-подрешением (или Х-надрешением) задачи 11.4. Здесь любопытно отметить, что в терминах исходных данных задачи 11.5 для выполнения (11.30) достаточно удовлетворить условию
«(«т, ФХуХЛф^ Уф>0 и Sw^KVhY «тОт (11.31)
и условию
а(а2>фХ г(Лф)у Уф5^0 и Зда2€ЛДи2): «2>®а(11.32)
(т. е. если ах удовлетворяет условию (11.31), а а2 условию (11.32), то ат является Х-подрешением, а а2 — Х-надрешением задачи 11.5.)
Теперь мы можем сформулировать следующий результат о существовании решения.
Теорема 11.6. Если ах — Х-подрешение, а а2 —■ Х-надре- шение задачи 11.4, то множество решений этой задачи на отрезке [ol а2] не пусто и имеет наименьший элемент ит и наибольший элемент им.
Теорема единственности. В общем случае решение задачи 11.4 не является единственным (см. ниже пример 11.2). Однако мы сформулируем без доказательства следующий результат.
;Теорема 11.7. Пусть выполнены условия теоремы 11.6. Если, кроме того,
am^ai"Vt (а2 — ai) пРи в> 0,(11.33)
Ф (и, у) < + оо и да ^ и=Ф- ф (и, да) < + сю, (11.34)
Vz £ V, z ^ 0 отображение
(и, у) -► ф (и, у) — ф (и, у — z) выпукло (11.35) или если
им^ай — е(а2— aj при г">0,(11.36)
Ф (и, у) < + оо и да ^ у => ф (и, да) < + °°,(11.-37)
Vz £ V, z ^ 0 отображение
(и, у)-► Ф (и, у)— ф(и,у-}-г) выпукло, (11.38)
то задача 11.4 имеет единственное решение на отрезке lalf а2], т. е. ит = им.
Отметим, что из условий (11.34) и (11.35) следует, что отображение вогнуто, а из условий (11.37) и (11.38) вытекает, что 2% выпукло (это трудная часть доказательства). Утверждение теоремы
255
11.7 следует тогда из теоремы единственности 9.27. Кроме того, на языке исходных данных задачи 11.5 условия (11.34) и (11.35) можно записать соответственно следующим образом::
и^КМ и w ^ v => w К (и)(11.39)
и
У16 К (uj и и2 6 К(и2) =»• [(1 — 9) Ui + 6и2] 6
€ К ((1—9)^ + 9^), 9 6(0,1]. (11.40)
Аналогично можно записать и условия (11.37) и (11.38).
Теорема сравнения. Наконец, прежде чем рассмотреть некоторые примеры, приведем утверждение о сравнении решений задачи 11.4 с решениями следующей задачи.
Задача 11.6. Эта задача совпадает с задачей 11.4, только вместо <р рассматривается отображение ф' такое, что Vugh^, а2] ф (ц, •) < ф' («. •)•
Результат, который вытекает из теоремы сравнения 19.20, заключается в следующем.
Теорема 11.8. Если а} — Х-подрешение задачи 11.4, а а2 — V-надрешение задачи 11.6, то ит^и'т и им<.им, где ит и и'м — соответственно наименьший и наибольший элементы множества решений задачи 11.6.
Вместо с этим утверждением из теоремы 19.20 вытекает, что если Хт ^ Х2, а элемент оу — Х2-подрешение (или Х2-надрешение) задачи 11.4, то су является и ^-подрешением (или ^-надрешением) задачи 11.4.
Примеры. Рассмотрим два примера.
Пример 11.1. Здесь мы исследуем задачу, рассмотренную в работе Бенсусана, Гурса, Лионса [176] и докажем существование и единственность ее решения, пользуясь развитой выше методикой. Пусть мы имеем ограниченное открытое множество fi с R" с границей Г класса С0-1, эллиптический дифференциальный оператор-
£п = ~£ »Н',и"^а] + 5?,^Г0+'т <"'41> (,/=11=1
(11.42)(11.42)с коэффициентами из L” (Q), оператор Af: L°° (Q) -> L” (Q), определенный формулой
(11.42)
(11.42)
(M (ф)) (х) = 1 + inf ф (х + е),тео
6^0
и функцию f£L°°(Q) такую, что f>0 п. в. в Q.
Рассмотрим теперь следующую задачу (условия в которой следует понимать чисто формально).
256
Задача 11.7. Найти функцию и € Н1 (Я) такую, что
Lu^.f в Я,(11.43)
и<М(^ в Й>О1-44)
(Lu —/)(ы —Л4(и)) = 0 в Я,(11.45)
^<°-(u-M(u))^ =0на Г.(11.46)
В частности,выражение ди!дма следуетпониматьформально
как конормальную производную, связанную с билинейной формой
пп
+Ybi^-v + duVyx,(11.47)
й <./=1<=!
которую мы будем предполагать коэрцитивной на Н1 (Я) и которая связана обычным образом с оператором L. Задача 11.7 напоминает задачи с внутренним ограничением для вариационных неравенств, но она не является вариационной задачей. На самом деле задача 11.7 (формально) эквивалентна следующей задаче.
Задача 11.8. Найти функцию ueH1^ такую, что
u^M(u); a(u,u —u)<L2(Q)(/,u —u)L2(fi) .Уи^Д^Я), v^.M(u\ (11.48)
Эта задача квазивариационная (с внутреннним ограничением). В самом деле, полагая
KW = {и€Д‘(Я); v<M(u)},(11.49)
условие (11.48) можно записать в виде
и^К(и\ a(u,u — v)^L4a}{f,u — v}Lt{a) Vv^K и\ (11.50) что является, очевидно, квазивариационным неравенством. В работе Ханузета, Джоули [451], доказано, что если аи = §tj (i,j =1,... , n), bt = const (i = 1,..., n), d>0 и Я = (0, 1)", то задача 11.8 имеет по крайней мере одно решение из Й/2,₽(Я) для каждого р£(1, + оо), которое, кроме того, удовлетворяет соотношению ди/дча = 0, более точному, чем условие (11.46).
Докажем теперь существование решения задачи 11.8. Для этого покажем, что мы можем воспользоваться теоремой 11.6. Мы положим Н = I? (Я), что является гильбертовой псевдорешеткой (на самом деле это гильбертова решетка). Имеем: V = Н1 (Я), а согласно результатам раздела 5.5 пространство V удовлетворяет требуемому условию. Форма (11.47) также удовлетворяет нужным предположениям. С другой стороны, очевидно, что множества К (и), определенные в (11.49), являются непустыми замкнутыми выпуклыми множествами, удовлетворяющими условию (11.24). Далее, если М : L2 (Я) -> к\ос (Я) — произвольный возрастающий оператор, то формула (11.49) определяет отображение К :
17 К. Байокки, А. Капело257
La(Q)->2rt4Q\ которое опять удовлетворяет (11.24) (мы не гарантированы, однако, что К(и)#=0—это нужно проверять отдельно в каждом случае). Что касается этого обобщения, отметим также, что если Mt: L2 \Q)->Lioc (й) и М2: L2 (й) -> Ljoc (й)— возрастающие отображения, то формула К (u)={v £ /7* (й): Mj (ц) ^ и ^ Л42(ц)} определяет отображение К". 7?(й)->-2^(й|, удовлетворяющее (11.24).
Все эти выпуклые множества (см. конкретные примеры в указанной нами литературе) определены с помощью локальных условий; в качестве любопытного примера приведем отображение <р, которое определяет семейство функционалов, удовлетворяющих условию (11.21); оно определяется глобальным условием <р(и, у) = = ^ ф (и, v)dx, где ф(з, / —выпуклая по / функция, имеющая про- й
изводные надлежащих знаков (см. [694]).
Таким образом, для доказательства существования решения задачи 11.8 нам необходимо лишь показать, что существует отрезок [аь а21, устойчивый относительно 20 (положим X = О, поскольку на Н1 (й) форма а коэрцитивна, а не только L2 (й)-коэрцитив- на). В качестве ах возьмем решение и = 0 задачи Неймана
и^НЧ^У a(u,y)^L2(ti)(0,y)L2(fi) WEH4QV (1151)
а в качестве а2 — решение и = ф задачи Неймана
и£НЧ&У а^-и^ L4ti)<f,v')L4ti) Уу^Т/ЦЙ). (11.52)
Очевидно, что О^ф. поскольку 0 ^/, и'мы находимся в условиях теоремы сравнения 19.10. Теперь нам нужно показать, что 0^ ^ Sn (0) и ф ^ So (ф). В этом легко убедиться, если учесть достаточные условия (11.31) и (11.32), которые выполнены, соответственно, при йУ1 = 1 и ш2 = 0. Таким образом, мы показали, что решение задачи 11.8 существует.
Теперь исследуем вопрос о единственности решения (на отрезке [0, ф]1— в теореме 11.7 говорится о «локальной» единственности). Сначала заметим, что оператор М, определенный в (11.42), является вогнутым, а для любого вогнутого оператора М: I? (й) ->- -> Lioc (й) формула (11.49) определяет отображение /<: £2(й)-* ->2^1(й), которое удовлетворяет условиям (11.39) и (11.40) (выпуклость оператора М очевидна: для 0£[0,1]
74(9^ +(1 — 0)«2) = 1+ inf (0ых + (1 — 9)«г)>
> 1 + 6 inf их + (1 — 6) inf и2 = 6 + (1 —-0) + 6 inf их +
-И 1 — 9) inf и2 = 6Л1 (их) + (1 — 6) М (м2)).
С другой стороны, условие (11.33) также выполнено, поскольку нуль не является решением задачи, в чем можно убедиться непосредственно. Тогда задача 11.8 имеет единственное решение на 10, ф].
Наконец, проиллюстрируем применение теоремы сравнения 11.8. Заменяя в постановке задачи 11.8 функцию / и отображение V соответственно на функцию f ^f и отображение М': L2^-* L', Q)t определенное формулой
(11.53}(11.53}(М (ф)) W = 2 + mf <р (х + Е),
(11.53}
(11.53}
^0
мы получаем задачу, которая имеет решение «', причем и' ^ и, где и — решение задачи 11.8.
Пример 11.2. Этот пример на самом деле состоит из трех контрпримеров, но все вместе они показывают, что в общем случае решение задачи 11.5 не единственно. Пусть V = Н = R,
Рис. 11.2Рис. 11.3Рис. 11.4Рис. 11.2Рис. 11.3Рис. 11.4
Рис. 11.2Рис. 11.3Рис. 11.4
Рис. 11.2Рис. 11.3Рис. 11.4
а (и, и) = ио, f = 1 и 1) Ki (и) = (и : и ^ 2и — и2), и £ [0, 11; 2) КЛи) = {и : 2и — 2<и<2), и 6 Ю, 2]; 3) К8 («) = {и: »<
< 2 (Ы+)2}, и 6 1-1, 1L
Рассмотрим теперь три задачи (/ = 1, 2, 3).
Задача 11.9. I. Найти элемент и 6 Ki (и) такой, что
и (и — v)^u— о Чи^КДчУ (11.54.i)
Очевидно, что мы находимся в условиях теоремы 11.6. Однако условия теоремы 11.7 не выполнены: в задаче 11.9.1 выполнены условия (11.33) и (11.40), но не выполнено условие (11.33); в задаче 11.9.2 выполнены условия (11.33) и (11.40), но не выполнено условие (11.39); в задаче 11.9.3 выполнены условия (11.33) и (11.39), но не выполнено условие (11.40). С другой стороны, легко видеть, что и = 0 и и = 1 — решения задачи 11.9.1 на [О, 1]; и = 1 и и = 2 —
[.ешения задачи 11.9.2 на [0, 2]; и = О, и = 1/2 и u = 1 есть решения задачи 11.9.3 на [—1, 11. На рисунках 11.2—11.4 показаны вариационные селекции 2' для этих задач.
Эти примеры показывают также, что если какое-либо из трех условий теоремы 11.7 опустить, то утверждение теоремы перестает быть верным.
Метод компактности
Общая задача. Предположим, что мы имеем:
(di') вещественное линейное пространство Е,
(d2') непустое выпуклое множество К а Е,
(d3') отображение /: К X К R такое, что для каждого и 6 К функция / (и, -УК-* R вогнута и / (и, и) ^ О,
(d4') непустое множество С с К,
(d5') отображение ф: С х К -* (—°о, +°о] такое, что для каждого и^С ф (и, •): К-> к—°°, +°о] является собственным выпуклым функционалом.
Рассмотрим тогда следующую задачу.
Задача 11.10. Найти элемент и 6 С такой, что
и^С, ф(и, u) + f (и, to) <ф(и, to) Vty^K. (11.55)
Частные случаи. Следующие ниже примеры частных случаев задачи 11.10 покажут, насколько общей является эта задача: целый ряд различных задач можно свести к неравенству вида (11.55). Доказательство того, что исходные данные в этих примерах удовлетворяют условиям (dl'), .... (d5')t мы оставим читателю.
Пример 11.3. Исходные данные: вещественное линейное пространство Е, выпуклое множество К = С=£ 0 из Е, ф = 0 и / (и, и) = (Да, и — и), где А — оператор, действующий из Е в Е* (Л: Е-> E*Y Тогда задача 11.10 является «вариационной» задачей: «найти элемент и 6 К такой, что
(Ли, и — to)^0 Vtog/C».(11.56)
Строго говоря, эта задача не является вариационной, поскольку мы не сделали предложенный относительно топологии, а термин «вариационная» обычно связывают с задачами, сформулированными в топологических пространствах. Это замечание относится также и к примерам 11.3', 11.6 и 11.6'.
Пример 11.3'. Исходные данные: Е, К, С и f такие же, как и в примере 11.3, ф (и, и) = ф (и), где ф: К -► (—°о, +оо] — собственный выпуклый функционал. Задача 11.10 снова является «вариационной», однако она более общая, чем задача в примере 11.3, а именно: «найти элемент и Е К такой, что
ф(и) + (Ли, и — ш>^ф(т) VwEK». (11.57)
Пример 11.4. Исходные данные: вещественное линейное пространство Е, выпуклое множество К = С 0 из Е, f = 0 и 260
<р (и, и) = jw (и), где Q: К->2ек. Неравенство (11.55) в данном случае принимает вид
U^K- iQ^W^iw^ У^ЕК- (11.58)
Таким образом (поскольку Q (и) #= 0 и, следовательно, для некоторого w Е К мы имеем w Е Q (и)), задача 11.10 превращается в следующую: «найти элемент и Е К такой, что и Е Q (и)»,— а это есть задача о неподвижной точке для многозначного отображения.
Пример 11.4'. Исходные данные: Е, К, С и /— такие же, как и в предыдущем примере; ф(и, y)^/Q(tJ) (и), где Q: К-^-^— квазисюръективное отображение такое, что если и Е Q (у^ П Q (Уз) и ХЕ [0,1], то uEQ(Xd1 + (1—Х)и2). Неравенство (11.55) в данном случае принимает вид
“EK; Iq^W^Iq^W Vw^K.(11.59)
Таким образом (поскольку Q — квазисюръективно и, следовательно, по крайней мере для одного элемента w Е К имеем и Е Q (w)), задача 11.10 снова превращается в задачу: «найти элемент иЕК такой, что и Е Q (и)»-
Пример 11.5. Исходные данные: Е = |~| Ег, где Et^i=\,...
..., л)— вещественные линейные пространства, К = С = П^г* где i=l
KtOEt (i = 1, ... , л)— непустые выпуклые множества, / = 0 и п
ф(и, и) = ^ ф; (u I i I у;), где фг: К R (i = 1,..., п) —- функции, вы-
пуклые по t-му аргументу. Тогда задача 11.10 становится задачей об отыскании точек Нэша для п функционалов фр ...,фп при независимых ограничениях Ki, ...,Kn: «найти элемент иЕК такой, что
ф (и, и) ^ ф (и, ш) УшЕК».(11.60)
Пример 11.5'. Исходны; данные: Е, К Hf такие же, как и в предыдущем примере, С — непустое выпуклое подмножество К, аф(л, и) = = £ Ф= (u I i I у,) + f icW) (у)’ где Фе ^"> R (i = 1, - . п) — ФУ»к- z=i<=1
ции из примера 11.5. В этом случае задача 11.10 становится задачей об отыскании точек Нэша для п функционалов фр ...,фп при взаимозависимых ограничениях, определяемых через С: «найти элемент и ЕС такой, что
иЕС; ф(и, и) ^ ф(и, m) VmEC(u)».(11.61)
Пример 11.6. Исходные данные: действительное линейное пространство Е, непустое выпуклое подмножество К из Е, С — не-
пустое подмножество К, f (и, и) = (Ди, и — и), где А — оператор, действующий из Е в Е*(А -.Е-^-Е^, a ф(и, v^=jQw (у), где Q: С-^вь- В этом случае задача 11.10 является следующей «квазивариационной» задачей: «найти элемент и ЕС такой, что
u£Q(u) и (Ди,и — оу}^О Voy^Q(u)». (11.62)
Пример 11.6'. Исходные данные: Е, К- С и / такие же, как и в предыдущем примере, ф (и, и) = jQ№ (у) + ф (у), где Q: С -»■ 2g», a ф: К -► (— оо, + оо]—собственный выпуклый функционал
В этом случае задача 11.10 опять является «квазивариационной» задачей (которая является обобщением предыдущей задачи — так же, как пример 11.3' является обобщением примера 11.3): «найти такой элемент и Е С, что
ufQ(u) и ф(и) + (Ди,и— оу)^ф(оу) VtyEQ(u)». (11.63)
Основная теорема. Теперь покажем, что при надлежащих предположениях задача 11.10 имеет по крайней мере одно решение. Эти предположения являются, с одной стороны, условиями, которые мы уже наложили на исходные данные задачи, а с другой — это предположения, тем или иным образом связанные с топологией Е. Последние предположения мы не упоминали, чтобы не делать описание примеров излишне утомительным. Исключением здесь является предположение о монотонности функции f в теореме 11.9, которого мы пока не требовали (хотя оно и не содержит топологических понятий). Это предположение, однако, не является обязательным для доказательства утверждения о существовании решения, как мы увидим в теореме 11.10. Условия теоремы 11.9, как и условия теоремы 11.10, в конечном итоге нужны для того, чтобы гарантировать, что отображение 2 : С —>- 2К, определенное формулой
S (и) = {у € К : ф (и, и) + f (у, х>) ^ ф (и, оу) УзиЕК^, (11.64) имеет по крайней мере одну неподвижную точку в С. Отображение S является на самом деле естественным обобщением понятия вариационной селекции, и мы собираемся здесь воспользоваться методом, указанным в разделе 11.1 и успешно примененным также в разделе 11.2.
Теорема 11.9. Если пространство Е, множества 0 ^ К cz а Е, 0 ^= Сс К, функции <р : С X К -*■ (—°о, +°°1 и f : К X X K->R такие, что выполнены условия-.
(Hl) Е— вещественное локально выпуклое хаусдорфово линейное топологическое пространство, а К — замкнутое выпуклое множество,
(Н2) Vu £ С ф (и, •) : К -> (—оо, +оо] — собственный выпуклый функционал, полунепрерывный снизу,
(НЗ) Уу Е К f (у, у) ^ 0,
(Н4) УуЕК Цо, •) ^->R— выпуклая функция,
(Н5) Vu £ К f (и, •) полунепрерывна сверху,
(Н6) Vm £ К VL с: Е, L — векторное подпространство конечной размерности, функция /(-.^)|КП£ полунепрерывна снизу,
(Н7) Vu, w^K f (и, си) + / (ш, v) ^ 0.
(H8) Vu^C 3Bua:E— компактное множество; 3ayug/CnBu: Vu g K\Bn ф (u, u) + / (u, tuu) > ф («. tuu),
(H9) 3Fcl^E, F— локально выпуклое хаусдорфово линейное топологическое пространство, чтл 30 Ф 8 с: F ПС — компактное выпуклое множество из F; Vu^S
^v^K; Vw^K Ф (и, у) + f (у> ®) ^ Ф (“- ®)} с S,
(НЮ) для любого фильтра S х S 9 («а, Уа)-* (и, и) в FxF имеет место
[Vay С К ф (иа> Уа) + / (уа, ®) ^ ф («а, ®)1 =*
. => [ф (и, и) ^ Hm inf ф (иа, иа)] > 'а
(НИ) для любого фильтра 8x8 }(иа, иа)->(и,и) в FxF имеет место
[VtuC?< ф(иа,иа) + /(иа,йУ)^ф(иа,т')]=^
=> [Vay С К iwa С К; Нт inf (ф (иа, ша) —•а
— / (Уа. ®а) + t (Уа. ®)) С ф («, ^)], то существует по крайней мере одно решение задачи 11.10.
Замечания. Перед тем как перейти к доказательству этого внушительного из-за его общности (и, к сожалению, из-за большого числа сделанных предположений) результата, сделаем несколько замечаний и сформулируем без доказательства теорему 11.10.
Условия (Н1)—(Н8) являются, по существу, условиями теоремы 10.1. Однако мы не можем рассматривать теорему 10.1 как следствие теоремы 11.9, поскольку при доказательстве последней мы существенно используем теорему 10.1, которая рассматривается, таким образом, как вспомогательное утверждение. В качеств* в по- могательного утверждения мы также будем пользоваться те- р мой 9.21; эта теорема в более слабой формулировке (при Е = F и в предположении непрерывности Д а не полунепрерывности сверху) также является частным случаем теоремы 11.9 (непрерывность / гарантируется по существу условиями (НЮ) и (НИ)).
Теорема 11.9, как мы увидим, является по существу «объединением') теорем 10.1 и 9.21.
У.ловие (Н9), из которого следует существование компактного выпуклого множества S такого, что S (S) с 2s, является аналогом условия устойчивости в теореме существования 11.6. При К = С для выполнения этого условия достаточно, чтобы условие коэрн' тзвности (Н8) выполнялось равномерно по и, т. е. чтобы (Н8') . В с: Е — компактное множество 3tu0 € 5 Л К" VuE К Vu £ К\В ф (и, и) + f (и, tu0) > ф (и, tu0). В самом деле, чтобы
при этих ограничениях выполнялось условие (Н9), достаточно принять F = EиS = ^П conv (В). Заметим, что S — непустое множество, поскольку оуо б S. Кроме того, S — компактное выпуклое множество, так как С — замкнутое выпуклое множество, conv (В)— компактное выпуклое множество, а В — хаусдорфово пространство. Далее, множество S устойчиво относительно 2, поскольку, с одной стороны, 2 (и) с К Vu Е К, а с другой стороны, 2 (и) с: В Vu Е К (если z Е 2 (и) и z $ В, то по определению 2 имеем ф (и, г) + / (г> ^ ^ Ф (“, o’) v^ Е К, а из (Н8') получаем ф (u, z) + + / (г, оуо) > ф (и, оуо), т. е.— противоречие).
Сформулируем теперь теорему, на которую часто ссылаются. Теорема 11.10. Если пространство Е, множества 0 ^= К cz Е, 0 С а К, функции ср : С х К(—°о, +°о] и
f : К х К R удовлетворяют условиям (Н1)—(Н4), (Н6), (Н8)— (НЮ) и
(Н12) для любого фильтра SxS^(ua,va)-+(u,v) в FxF имеет место [ф (иа, va) + / (иа. ty) ф (иа, w) Vw Е К] [Vty Е К 3tya € К: lim sup (ф (и», ty„) — f (va- w^ < ф(м. ty) — f (v, ty)], a
(H13) VuES множество (и E К : ф (u, и) + f (о, ty) < ф(и, w) Vty E К} выпукло,
(Hl4) VuEC для любого выпуклого множества хсК и для любого фильтра К 9Уа--У Ex в Е имеет место [ф(и, va) + f (уа, 1У)^ф(а, ty) Vty Е Х1 => [ф (ы>у) + / (у> “О ^ Ф (“• ^ ^w € Xb tno существует по крайней мере одно решение задачи 11.10.
Мы не будем приводить здесь доказательство этого утверждения*), которое является обобщением теоремы 10.3, так же как и теорема 11.9 является обобщением теоремы 10.1. Круг применения теоремы 11.10, как и теоремы 10.3, строго ограничивается условием полунепрерывности снизу: условие (Н12) является на самом деле предположением о полунепрерывности снизу для / по двум переменным, кроме того, оно предполагает полунепрерывность сверху для отображения ф (•, ty); в связи с этим отметим, что условие (НЮ) является предположением о полунепрерывности снизу для Ф по двум переменным.
Перейдем теперь к доказательству теоремы 11.9.
Доказательство теоремы 11.9. Из условий (Н1)— (Н8) и из теоремы 10.1 следует, что для каждого элемента и^С 2 (и) является непустым замкнутым выпуклым подмножеством К, т. е. 2: С -*-2,^. Из (Н9) мы можем утверждать, что 2 действует из S в 2,^. т. е. 2: З-^шь где S — непустое компактное выпуклое множество. Чтобы были выполнены условия теоремы 9.21, необходимо лишь, чтобы отображение 2|s было полунепрерывным сверху. Показав это, мы тем самым докажем теорему 11.9.
Рассмотрим тогда наряду с задачей 11.10 следующую задачу.
Задача 11.11. Найти элемент u g С такой, что
Ф(и, и)— f (ty, и) ^ ф (и, ty) Vw^K.(11.65)
Вместе с отображением 2: С-*2К рассмотрим отображение 2*: С-*2К, связанное с задачей 11.11 обычным путем:
2* (и) = {и 6 К: ф (и, и) — f (ty, о) С ф {и, ty) Vty£/f}. (11.66) Покажем теперь, что 2*|s замкнуто и, следовательно, поскольку S компактно, из теоремы 20.15 получим, что сужение 2*[s полунепрерывно сверху. Отсюда следует, что отображение 2 |s также полунепрерывно сверху, поскольку из теоремы 10.1 вытекает, что 2=2*.
Другими словами, из теоремы 10.1 следует, что задачи 11.10 и 11.11 эквивалентны. Эго можно трактовать как (очевидное) обобщение леммы Минти (задачи 11.10 и 11.11 играют здесь аналогичную роль, что и задачи 10.1 и 10.2 в теореме 10.1 и ее лемме 2).
Пусть тогда <иа, иа)аел € S х S — фильтр, сходящийся к («, и) в FxF. Мы покажем, что если Vag Д иа^2* (ua), то и £2* (и). Если имеет место включение иа€2*(иа), то
ф^.^а)+/(Ua,®X<P(Ma>®) Vty£/<,(11.67)
поскольку 2*(«а) = 2 (иа). Следовательно, учитывая условие (НЮ), мы получаем:
Ф (и, и) ^ lim inf ф (Ua, иа\(11.68)
a
Кроме того, выполнено условие (НИ), поэтому
Vty С К 9tua € К:
lim inf [ф («а, tya) — / (иа, Фа) + / (^а. ф)1 ^ ф («. ф). (11.69) а
Из (11.69) и условия (Н7) следует, что
Vw £ К Зфо € К«
lim inf [ф (иа, tya) — f (иа, ф#) + f (иа, ф) —
— / (^а. ф) + f (ty, Ua)] < ф (U, ф), (11 -70)
ИЛИ
Vw^K Mi EK:
lim inf [ф(иа,(Уа) —f(oa, Фа) + f (w,va)] ^(p(u,w). (11.71) a
Условие (H5) позволяет нам записать lim inf (—f (ty, ua)) = a
= — limsup/(w,ua) = — f(w,v); тогда из (11.71) получаем: a
Vty ^ К 3tya € K*
lim inf [ф(Иа> Фа) — f(va, ^a)] С Ф («, V) + f(®»v). (11.72) a
Из (11.67) следует, что
Va 6 Л ф (Ua, va) + f (va, n>a) < ф (ua, waY(11.73) .
или, другими словами,
Va^X ф (ua, ua) < ф (tza, tya) — t (ua, way (И.74)
Отсюда переходя к (нижнему) пределу по а и учитывая (11.68) и (11.72), получаем неравенства
Ф (и, v) ^ lim inf ф (ыа, va) ^ а
^ lim inf [ф (иа, а>а) — / (va, wa)l < ф (ы, v) + f (ty, и). (11.75) а
В силу произвольности ty это означает, что и £5* (а). □
*-непрерывность. Пример 11.6, представляет практический интерес, и поэтому мы проанализируем его более подробно. Мы приведем утверждение, которое является непосредственным обобщением теоремы 10.4. Пусть Е — рефлексивное вещественное банахово пространство, Е' — сопряженное к нему пространство, К — непустое выпуклое замкнутое множество из Е, С — непустое подмножество К- Положим
f (ы, о) = Е,<Аи, и — у)£,(11.76)
где А— оператор, действующий из Е в Е'(A: E->E’Y и
. Ф (“. у) = iQW (у).(11.77)
где Q — многозначное отображение из С в 2^ (Q: С 2^^).
В этом случае, как мы уже убедились в примере 11.6, задачу 11.10 можно сформулировать так.
Задача 11.12. Найти элемент a € С такой, что
u£Q(u) и вЛАи^и — и>£^0 VygQ(«). (11.78)
Выясним, какие ограничения следует наложить на А и Q, чтобы выполнялись условия (Н1)—(НИ) и гарантировалось существование решения задачи 11.12. Из гл. 10 (в связи с теоремой 10.4) заключаем, что для выполнения условий (Н1)—(Н8) достаточно, чтобы оператор А был монотонным, полунепрерывным и (если К не ограничено) коэрцитивным. Опуская условие (Н9), которое нужно каждый раз проверять, посмотрим еще, что нужно для выполнения условий (НЮ) и (НИ). Для этого введем определение.
Определение 11.1. Пусть В — вещественное рефлексивное банахово пространство, В' — сопряженное к нему пространство, X — непустое выпуклое замкнутое множество из В, Z — непустое подмножество X, Т — оператор, действующий из В в В', а R — многозначное отображение из Z в 2^rft. Далее, пусть G с_, d-,B — рефлексивное банахово пространство, U с G П Z — непустое замкнутое выпуклое множество из G. Пара (Т, R) называетск 266
^-непрерывной на S, если для любой последовательности («ft, yft)6 ^U х U, (uh, vk) ->(u,v') в G х G.
(«к 6 R («к) и Vay 6 R (uk) (Tvk, vk — w) C 0] =>
^Vv^RM и Vw^R^u) 3wh£R(uh): lim тЦТик, wk—ш)^0]. (11.79)
Очевидно, что если пара (Д, Q) ’-непрерывна, то условие (НЮ) и (НИ) выполнены; так что мы можем сформулировать следующую теорему
Теорема 11.11. Пусть Е — рефлексивное вещественное банахово пространство, Е’ —■ сопряженное к нему, К — непустое замкнутое выпуклое множество из Е, С — непустое подмножество К, А ; Е ->- Е' — полунепрерывный и коэрцитивный монотонный оператор, a Q: С-* 2£rfe — многозначное отображение. Если существуют рефлексивное банахово пространство Ео_Е и непустое компактное выпуклое множество S с F П С такие, что пара (Л, Q) *-непрерывна на S и (у 6 Q W- Vw £Q (и) e'(Av, и — w^e ^ ^ 0} cz S при uPS, то существует по крайней мере одно решение задами 11.12.
Теорема 10.4 является частным случаем этой теоремы при С = = К и У и £ К Q (и) = К- Заметим также, что даже в случае строгой монотонности оператора Д, мы не можем гарантировать единственность решения.
Прежде чем перейти к рассмотрению примера о приложениях описанной в данном разделе методики, отметим, что если А 6 ^ (Е, Е\ то для того, чтобы пара (Д, Q) была ^-непрерывна на S, достаточно, чтобы отображение Q было непрерывным для конечной топологии Виеториса в lack. Это важный момент, поскольку сюда относится и случай линейных квазивариационных неравенств, таких, как, например, неравенство из задачи 11.3 или неравенство, возникающее в следующей задаче.
Задача из теории мембраны.
Пример 11.7. Пусть QcR"— ограниченное открытое множество с границей Г класса С1'1, Л ^№/2 (Г), /£L2(Q). X— вещественное положительное число, a L — эллиптический дифференциальный оператор с .коэффициентами из L" (Q), определенный формулой
п
£ ^(^"аГ n) + dD. (11.80) z./=i';
Следующая задача, условия которой следует интерпретировать чисто формальным образом, описызает течение жидкости через полупроницаемую мембрану.
Задача 11.13. Найти функцию и £ Н1 (Q) такую, что
Lu = f в й,(11.81)
you^h — k~~ на Г,(11.82)
^>ОнаГ,(11.83)
Uou-(h-k-g-X\-g-=O на Г. (11.84)
Производную ди!дм» следует интерпретировать формально как конормальную производную, связанную с непрерывной билинейной формой
а(ы,и) = J|^ а,,-^ ^ 4-duu|dx, (1185) а z,/=i1*
которая предполагается коэрцитивной на Я1 (Q). Задача 11.13 напоминает задачи с препятствием на границе для вариационных неравенств, но она не является вариационной задачей. Полагая для и€Н\АЦ
Q (и) = [и € № (Q): Тои > h - ^_1/2(Г)(^-, Ф>„1/2(Г) Vv € Н''2 (Г)},
(11.86)
можно показать формальную эквивалентность между задачей 11.13 и следующей квазивариационной задачей (с препятствием на границе).
Задача 11.14. Найти функцию «6^1 (£2) такую, что
m€Q(m) и a(<u,u — v)^L4m<1t,u — v')L,w Vv^Q^uY (И.87)
Для доказательства существования решения этой задачи мы воспользуемся теоремой 11.11, которую, очевидно, здесь можно применить. Положим Е = Н' (Q), К = Hl (£2) и F = Hl (£2), а также
Z = [обЯк (£2):Lu = / и -^- >о|.(11.88)
Равенство (11.86) определяет многозначное отображение Q:Hl^-* ~^-2ckiQ\ сужение которого на Z принимает непустые значения. В самом деле, если ы^2, то решение задачи Дирихле
Lu -— f в £2.и = h на Г
является элементом множества Q (и). Кроме того, Z ^ 0, поскольку решение задачи Неймаиа
Lu — f в Q,ди! дм» = 0 на Гявляется элементом множества Z. Отображение Q является такженепрерывным для конечной топологии Виеториса, поскольку неп-рерывны операторы следа. Следовательно, условие *-непрерыв-268
ности выполнено. Наконец, выполнено условие устойчивости при S = conv (5 (Z)). Таким образом, мы можем утверждать, что задача 11.14 (а следовательно, и задача 11.13) имеет по крайней мере одно решение.
Глава 12. ЗАДАЧИ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ
Введение
Фильтрация через пористую среду. В этой главе мы применим методы, рассмотренные в предыдущих главах, к изучению некоторых задач со свободной границей для эллиптических линейных дифференциальных операторов второго порядка. Грубо говоря, это задачи, в которых неизвестным является не только решение соответствующего дифференциального уравнения, но и область, в которой ищется решение. Часть границы этой области известна, и на ней мы можем задавать соответствующие краевые условия (например, условие Дирихле); другая же часть — свободная граница, на которой мы задаем пару независимых условий (например, условие Дирихле и условие Неймана),— неизвестна. Важно отметить, что наличие двух краевых условий на свободной границе, которое в случае задачи с фиксированной границей, скорее всего, сделало бы эту задачу некорректной, здесь вполне допустимо (и, фактически, необходимо), поскольку свободная граница будэт, в некотором смысле, «приспосабливаться» к двойному условию, заданному на ней.
В ч. I нам уже встречались некоторые задачи со свободной границей: к ним относятся задачи из гл. 8, которые мы явным образом называли задачами со свободной границей, а также задачи, рассмотренные в гл. 7 (см., например, замечания к примерам 7.9 и 7.10).
Далее, тот факт, что вариационные неравенства сводятся в общем случае к задачам со свободной границей, отмечался уже в работах Леви и Стампаккьи (ср. [524, ч. IV]).
Задачи, которые мы рассмстрим здесь, возникают при изучении явлений, связанных с фильтрацией жидкости через пористые материалы. Эти задачи имеют большой практический интерес, однако до семидесятых годов не существовало строгих математических методов их решения. В 1971 году Байокки (см. [126, 127]) предложил новый метод, обобщенный им в 1974 году (см. [131, 132]), который, в сущности, заключается в преобразовании задачи со свободной границей в задачу в фиксированной области (вариационную в формулировке 1971 г. и квазивариационную в формулировке 1974 г.). Этот математически строгий метод был впоследствии применен к изучению различных явлений, связанных с фильтрацией, группой исследователей из Лаборатории численного анализа Национального совета Италии по научным исследованиям (Павиа)
и Института математики при Университете Павии (см. ниже библиографический комментарий).
Библиографический комментарий. Обзор методов, применявшихся к изучению задач о фильтрации через пористые материалы до 1970 года, содержат работы [135, 1511 (см. также работы [54, 339—341]).
Работу, проделанную в Павии, отражает следующий список литературы: [126—155, 5, 156, 157 , 222—224 , 245 , 249 , 318—328 , 425, 427—432, 108, 109, 283 , 557—559, 629, 632 , 633 , 640 , 704—710, 408, 719, 720, 721].
Отметим также следующие работы в этой области: [101 —104, 114, 165, 167, 168 , 237, 260—266, 271, 277, 278, 282 , 289 , 294—299, 311, 342, 336, 434, 435, 473, 475, 476, 489, 495—497, 594, 631, 671, 74, 690].
Метод успешно применялся также к задачам со свободной границей, возникающим при изучении других физических явлений—см. [226, 227, 235, 241, 243 , 703 , 371, 365, 366 , 367, 406 , 537 , 392, 561], см. также [560, 377] и ссылки из этих работ.
Заметим, однако, что не все задачи со свободной границей, встречающиеся в приложениях, могут быть преобразованы с помощью предложенного метода в вариационные неравенства (в этой связи см. гл. 13, где мы развиваем идеи, выдвинутые в [140] для изучения всех задач со свободной границей, для которых указанное преобразование возможно; см. также [142, приложение 1, и 425], где рассматриваются параболические задачи). Обратный подход, т. е. формулировка вариационных неравенств в виде задач со свободной границей, рассматривается в работе [242].
Поскольку нашей целью является формулировка метода, мы рассмотрим здесь лишь задачи, связанные с явлением фильтрации воды через земляную дамбу. Мы не будем рассматривать все задачи указанного типа, при решении которых использовался этот метод и которые мы здесь упомянем.
Перечислим некоторые другие задачи о фильтрации, которые исследовались с помощью рассматриваемого метода: в работе [704] изучается стационарная фильтрация воды через стенки и дно канала, в [708] изучается нестационарная фильтрация сжимаемой жидкости в вертикальном канале, заполненном пористым материалом (см. также [403]), в работах [149, 150, 153] изучается задача о фильтрации нескольких несмешивающихся жидкостей с различными плотностями — эта задача возникает при отыскании водонесущих сдвиговых скважин в море.
Иная формулировка рассматриваемой в настоящей главе задачи, не использующая в явном виде предположений вида 12.13, приведена в работе [101]: задача решается путем локального применения преобразования, рассмотренного в гл. 8, с последующим применением метода «выметания». Эта формулировка позволяет обойтись гораздо более общими предположениями о геометрии дамбы и получить результаты о гладкости свободной границы и о единственности решения задачи (см. [102, 289]).
Физическая задача
Жидкость ) и пористая среда. Рассмотрим следующую задачу о фильтрации. На непроницаемом горизонтальном основании стоит дамба, разделяющая два водных бассейна с различными уровнями. Вода*) фильтруется из более высокого бассейна в более низкий под действием силы тяжести. Нас будут интересовать физические величины (распределение скоростей и давления, пропускная способность и т. п.) и геометрические величины (линии тока, форма влажного участка дамбы и т. п.), связанные с потоком воды (рис. 12.1).
Предположим, что материал, из которого построена дамба, несжимаем, однороден и изотропен, жидкость однородна и изотропна, поток несжимаем и является безвихревым, стационарным и двумерным, капиллярные явления и испарение отсутствуют Однородность и изотропность дамбы, естественно, следует понимать в макроскопическом смысле: пористый материал состоит из частиц твердого материала различной величины, сложенных произвольным образом, через поры между частицами течет вода. Рассматриваемое явление, как и всякое физическое явление, очевидно, трехмерно — мы, однако, предполагаем, что параметры дамбы не меняются вдоль
оси, перпендикулярной плоскости рисунка, и что поток воды имеет одни и те же характеристики в каждом поперечном сечении. Существенно трехмерные явления рассматриваются в работах [74] (дамба с вертикальными стенками) и [428] (дамба, стенки которой не обязательно вертикальны; вогнутости поверхности дамбы, которую мы будем предполагать в дальнейшем, не требуется). Мы будем пользоваться двумерной терминологией, т. е. говорить, например, о влажной поверхности вместо влажного объема, о свободной линии вместо свободной поверхности и т. д. Случаи, когда наблюдается явление капиллярности, рассмотрены в работах [326, 322]; другие задачи со свободной границей, связанные с этим явлением, см. в работе [83]. Случай, когда учитывается испарение, см. в работах [632, 633, 398, 473].
Обозначения. Для упрощения описания всюду в дальнейшем мы будем пользоваться обозначениями, приведенными на рис. 12.2 и на диаграмме обозначений 12.1 (естественно, рисунки этой диаграммы следует рассматривать наложенными друг на друга).
Позднее мы уточним топологические детали — сейчас же лишь укажем, что множества D, Dlt D2, D3 и Q берутся открытыми (с физической точки зрения не имеет никакого значения, рассматриваем мы их как открытые или замкнутые, но с математической точки зрения это существенно).
Свободная линия, линия просачивания и висящий источник. Опыт показывает, что в общем случае не вся дамба пропитана во- 271
дой (однако если она имеет треугольное сечение и угол, противоположный основанию, не превышает л/2, а более высокий уровень равен высоте дамбы, то вся дамба влажна — можно показать, что это следует из так называемых условий втекания и вытекания, которые были сформулированы на основе экспериментов в [458, с. 21]).
Диагр. 12.1Диагр. 12.1
Диагр. 12.1
Диагр. 12.1
Влажная часть дамбы ограничена сверху линией, проходящей через пористый материал — свободной линией (линия между точками F и Сф на рис. 12.1 и 12.2).
Вдоль свободной линии вода контактирует с воздухом, содержащимся в порах сухого участка дамбы, поэтому если мы считаем атмосферное давление равным нулю, как это обычно делается в гидравлике, то можем сказать, что внутри сухого участка дамбы давление равно нулю, а внутри влажного — положительно (строго положительно, поскольку вода имеет массу). Далее, свободная линия не может касаться непроницаемого основания, поскольку в этом случае поток воды через дамбу отсутствовал бы — таким образом, в окрестности основания дамба влажна. Опыт показывает,
что если материал дамбы однороден и испарение отсутствует, то свободная линия опускается вдоль оси Ох и ее конец С^ не совпадает с точкой С. Точку Сф называют висящим источником, а участок стенки дамбы между точками Сф и С — линией просачивания, или крайней линией. Вдоль линии просачивания вода вытекает, ко не может втекать — фактически это линия, где вода покидает пористый материал и попадает в зону непосредственного контакта с атмосферой.
Резюмируем сказанное.
Давление равно нулю внутри сухого участка дамбы, положительно во влажном участке дамбы и всегда положительно возле ее основания. (12.1) Вода может вытекать из дамбы через линию просачивания,
но не может втекать через эту линию. (12.2)
Закон Дарси и его следствия Поток воды через дамбу подчиняется закону Дарси, который выражается соотношением
V = — k grad (у + р/^ в Q,(12.3)
где V = V (х, у) — скорость жидкости во влажном участке дамбы, р — р (х, у) — давление, у — удельный вес жидкости (у = pg, где р — плотность, g — ускорение силы тяжести), к — коэффициент проницаемости материала по отношению к данной жидкости. Закон Дарси — линейный закон, установленный экспериментальным путем, однако имеется и теоретическое подтверждение этого закона — см., в частности, [1611; он не имеет четких границ применимости (они определяются так называемым числом Рейнольдса). Этот закон учитывает неявно вязкость жидкости (см. ниже), которую, таким образом, можно рассматривать как невязкую; далее, его можно интерпретировать как частную формулировку уравнения Навье—Стокса. Как и другие законы общей гидродинамики, закон Дарси является макроскопическим, поскольку невозможно (да и бессмысленно) анализировать движение каждой частицы жидкости через поры материала. Константа к зависит как от пористого материала, так и от жидкости: к = к-^, где т] — вязкость жидкости, у — ее удельный вес, а величина к определяется свойствэм материала, называемым физической проницаемостью. В общем случае к (и, следовательно, к) — симметрический тензор второго порядка, компоненты которого зависят от координат х и у. Из изотропности материала следует, что к — скаляр, а из однородности — что к — константа. Фильтрация через дамбу из неоднородного материала изучается в работах [150] (величина к постоянна в вертикальных и горизонтальных слоях), [167, 1681 (k имеет вид: к (х, у) = k {x)-k (у)), [155] (обобщение предыдущего случая), [277, 278, 142] (более общая формулировка задачи).
В рассматриваемом нами случае мы можем без потери общности предполагать, что к = 1, что мы и сделаем. Тогда, полагая u=y-vph-(12.4)
18 К. Байокки, А. Капело273
закон Дарси можно записать следующим образом:
V =—grad и в й,(12.5)
откуда видно, что и — потенциал скорости. В дальнейшем всюду, где говорится о линиях равного потенциала, имеются в виду линии уровня функции и = и (х, уУ Заметим, что существование кинетического потенциала полностью согласуется с том, что поток безвихревой. Величину и называют пьезометрической высотой-, в случае покоящейся жидкости она постоянна (основной принцип гидростатики; напомним также, что в невязкой однородной жидкости, совершающей свободное безвихревое несжимаемое стационарное движение, полная высота и + ^/(2^), где V7'2/(2g) — кинетическая высота, постоянна (теорема Бернулли)).
Уравнение неразрывности, которое является дифференциальной формулировкой принципа сохранения массы, имеет в общем случае вид DptDt + р div V = 0, где DlDt — оператор материального дифференцирования, или оператор дифференцирования Эйлера. Заметим, что величина V (х, у) является не скоростью данной частицы жидкости при ее движении, но скоростью различных частиц в точке (х, у), т. е. мы описываем движение жидкости с точки зрения Эйлера. Из несжимаемости потока жидкости следует, что в рассматриваемом нами случае уравнение неразрывности принимает вид
dvV = 0,(12.6)
что, вместе с законом Дарси (12.5), позволяет записать
Ды = О вй,(12.7)
т. е. пьезометрическая высота является гармонической функцией (разумеется, внутри дамбы). Из уравнения (12.7) следует, что существует функция у = и (х, у), также гармоническая — гармонически сопряженная к функции и, определяемая с точностью до аддитивной постоянной уравнениями Коши—Римана:
ди!дх — dvldy = ди!ду + до/дх = 0.(12.8)
Эту функцию мы будем называть функцией тока (комплексную гармоническую функцию Ф = и + io часто называют комплексным потенциалом). Линии уровня функции о, являющиеся в то же время силовыми линиями векторного поля V, называют линиями тока — поскольку поток безвихревой, они совпадают с траекториями частиц жидкости. Линии тока ортогональны линиям равного потенциала, и, если нарисовать эти линии для о=съ о=с2, ...
.... у = сп и и = dx, и — d2, ..., и — dm, то получится решетка, которую называют сеткой тока — позже мы приведем ряд примеров таких сеток.
Если процесс фильтрации через дамбу стационарен, то линии тока фиксированы в пространстве, и можно определить трубку тока как поверхность, ограниченную двумя линиями тока (напомним, что мы рассматриваем двумерный случай) — жидкость
течет вдоль трубки тока так, как если бы эта трубка имела твердые стенки. Частным случаем трубки тока является вся влажная часть дамбы, поскольку непроницаемое основание и свободная линия являются линиями тока. Если, кроме того, поток жидкости нес жимаем, то поток поля V через любое сечение трубки тока постоянен — эта постоянная называется пропускной способностью, или выходом трубки.
Пропускная способность всей дамбы определяется выражением q4 = ^V-nLdl,(12.9)
L
где L — любая линия, соединяющая точку на Го с точкой на Гх, а пь — вектор нормали к L. Мы определим здесь ориентацию nL для случая, когда L — вертикальный отрезок, т. е. возьмем nL = eY и dl = dy— тогда, с учетом соотношений (12.5) и (12.8), можем записать
ф(*)фоо
Я^ = - J ^ = - J ^gdy,оо
(12.10) сКх) =Ра — и |г0 — и |Гх, если 0 < х < s.
Поскольку функция и определяется с точностью до аддитивной постоянной, мы можем выбрать эту постоянную так, чтобы линия тока Гх соответствовала и = 0 — пропускная способность дамбы будет тогда равна значению (вообще говоря, неизвестному), которое функция и принимает на основании дамбы. В некоторых случаях пропускная способность дамбы известна — пример этого мы увидим, когда будем рассматривать дамбу с вертикальными стенками (случай а = 0, s = b = с), для которой qd = (z/2— Уг№су
Интересно отметить, что это же значение получается для пропускной способности дамбы, изображенной на рис. 12.1, если исходить из так называемых условий Дюпюи. Последними являются два упрощающих (и противоречивых!) предположения, из которых, помимо всего прочего, следует, что свободная линия является параболой, соединяющей точки F и С (парабола Дюпюи), и, таким образом, линия просачивания отсутствует. Решение, предложенное Дюпюи, приведено в [458, с. 50], где приведены также приближенные решения по Шаффернаку—Ван Итерсону (с. 51), Касагранду (с. 52) и Павловскому (с. 55).
Из принципиальных соображений мы будем работать с неизвестной р, а не с неизвестными и и и, поэтому нам необходимо выразить пропускную способность через р, что сразу получается из соотношений (12.4) и (12.10):
ф(Х)
Яв = — у j ^ dy, 0<x<s. (12.11) о
Учитывая, что внутри сухого участка дамбы р = 0 (ср. (12.1)), и исходя из минимальных предположений о гладкости функции (фактически, достаточно предположить, что dpldx Е L1 (£))), мы в общем случае свяжем с функцией р другую функцию q, определяемую соотношением
ч^ = -^ТхйУ’(1212>
о
которая предпочтительнее первой тем, что использует известную функцию Y (х) вместо неизвестной <р (х).
Введем следующее предположение: функция
(1213)
О
не убывает на [0, с].
Заметим, что из равенств (12.4) и (12.7) следует, что давление является гармонической в области Q функцией:
Др = О в Й.(12.14)
Давление гармонично (поскольку равно нулю) и в области О\Й, однако оно не является таковым во всей области D,
Условия на границе. Рассмотрим теперь граничные условия для уравнений (12.7), (12.8) и (наиболее интересного для нас) уравнения (12.14). Имеем следующие четыре типа границ, которые будем рассматривать по отдельности:
Непроницаемое основание Го. Вода не может проходить через непроницаемое основание, поэтому нормальная компонента скорости равна нулю на Го, т. е. Го является линией тока. Таким образом, полагаем
и = const на Го,(12.15)
или, поскольку V-n = —ди/дп = ди/ду,
ди/ду =0 на Го,(12.16)
где п, как обычно,— внешняя нормаль; напомним, что основание горизонтально (это ограничение на основание несущественно)). Заметим, что константа в правой части условия (12.15) неизвестна. В соответствии с замечаниями по поводу соотношений (12.10) мы можем ввести новую неизвестную q4 — пропускную способность дамбы — и положить
на Го.(12.17)
Используя равенство (12.4), мы можем записать для функции/? условие, эквивалентное условию (12.16):
др/ду = —ч на Го.(12.18)
Г р а н и ц ы бассейнов ^ и Г2. Рассмотрим границу ГР Пьезометрическая высота и имеет на Г1 то же значение, что и в прилегающем бассейне. Пренебрегая скоростью воды в бассейне по сравнению со скоростью воды в дамбе, будем считать, что вода в бассейне покоится, и, таким образом, пьезометрическая высота ео”ы в бассейне постоянна. Тогда Г\—линия равного потенциала, т. е.
w = const на Гр(12.19)
Постоянную в правой части условия (12.19) можно вычислить — для этого достаточно заметить, что в точке F вода имеет контакт с атмосферой, следовательно, в этой точке р = 0. Отсюда и из равенства (12.4) получаем: и (F) = t/p поэтому условие (12.19) принимает вид .
и — ух на Гр(12.20)
Аналогичным образом находим, что Г2— линия равного потенциала, и
.и — Уг на Г2.(12.21)
Используя равенство (12.4), запишем для давления р следую щие условия, эквивалентные условиям (12.20) и (12.21):
Р = У(У1 — У) на гр(12.22)
Р^У^Уг — У) на Г2.(12.23)
Изложенный здесь метод применялся также для случая, когда стенка дамбы, соответствующая бассейну с более высоким уровнем воды, частично непроницаема — см. раздел 8.3, а также работы [150, 128, 156, 427].
Л и н и я просачивания Га. На этой линии вода имеет контакт с атмосферой, поэтому
р = 0 на Га,(12.24)
или, с учетом равенства (12.4).
и —у на Г(Т.(12.25)
Линия просачивания не является ни линией тока, ни линией равного потенциала.
Условие (12.2) аналитически можно записать следующим образом:
ди'дп ^ 0 на Га,(12.26)
или, эквивалентно,
д кр^ + у}1дп ^ 0 на Го.(12.27)
Свободная линия. Эта линия является линией тока и имеет контакт с атмосферой, поэтому
и = const на Гх,(12.28)
р=0на Гл.(12.29)
277
Константа в правой части условия (12.28) неизвестна, однако если ввести новую неизвестную qd, то из равенства (12.17) получим
и —О на 1\.(12.30)
Переходя с помощью соотношений (12.4), (12.5) к функции и, условия (12.28), (12.29) можно заменить следующими эквивалентными им условиями:
ди!дп = 0 на 1\,(12.31)
и = у на 1\.(12.32)
Кроме того, условие (12.31) можно записать также следующим образом:
d (р/у + у)/дп = 0 на 1\.(12.33)
Итак, на 1\ мы можем задать одну из следующих трех пар независимых условий: {(12.28), (12.32)}, {(12.31), (12.32)}, {(12.29), (12.33)}.
Покажем теперь, что в рассматриваемом нами случае должно выполняться условие: функция
х-^-<р(х)(12.34)
строго убывает. Действительно, используя условие (12.31), имеем
V = — grad и = — (dulds) т,(1 2.35)
где т — вектор касательной к Гх, ориентированный в направлении потока. Таким образом,
— ды/д$>0 на Гх,(12.36)
откуда следует, что функция и строго убывает на 1\. Используя теперь условие (12.32), получаем условие (12.34).
Математическая постановка задачи. Задача, которая нас интересует, состоит в нахождении области й (или, что эквивалентно, функции (р) и функции р (или функции и — или даже пары функций (м, и)). Есть несколько способов постановки этой задачи. Мы возьмем в качестве неизвестных давление р и область й и будем решать уравнение (12.14). В литературе можно встретить и другие формулировки, например, формулировку, в которой искомыми неизвестными являются функция и и область й и решается уравнение (12.7) с условиями (12.16), (12.20), (12.21), (12.25), (12.31), (12.32); формулировку, в которой неизвестными являются и, р, Я, ф и qd и решается уравнение (12.8) с условиями (12.17), (12.20), (12.21), (12.25), (12.30), (12.32) и т. п.
С точностью до некоторых дополнительных предположений о гладкости, задача, которую мы будем решать, имеет следующий вид.
Задача 12.1. Найти функцию р и область й
такие, что
й cz D, й =^ 0 — открытое множество, Ар = 0 в й,
(12.37)
(12.38)
Р = Т(У1 —У) на гр
(12.39)
р = т(у2 —У) на Г2>
(12.40)
р = 0на Га,
(12.41)
р = 0на Гх,
(12.421
dlPh + уУдп = 0 на Гх,
(12.43)
др/ду = — у на Го.
(12.44)
Пропущенные условия. В приведенную формулировку задачи не вошел ряд условий, таких, как (12.1), (12.13), (12.27), (12.34), полученных при анализе физического явления. В принципе, если эта формулировка полна, то «пропущенные» условия должны выводиться из приведенных. Посмотрим теперь с точки зрения, промежуточной между строгой и эвристической, что имеет место в действительности._
Рассмотрим сначала условие (12.1). Пусть р £ С° (й); тогда из (12.38) имеем р£С9 (й) П С°° (й). Воспользуемся принципом максимума (минимума). Пусть m £ й — точка минимума функции р. Из принципа максимума имеем т € дй, поскольку если т € й, то р — постоянная и не может удовлетворять краевым условиям. По определению минимума имеем т^ Го, поскольку на Го производная по у является производной по внутренней нормали. Анализируя условия (12.39), (12.40), (12.41) и (12.42), имеем m € Гх U U Г(Т и р (т) = 0. Обозначая тем же символом тривиальное продолжение функции р в D, которое непрерывно, поскольку р = 0 на Гх, получим
р^О в D, р>0 в й, р>0 на Го, (12.45)
что, в сущности, совпадает с (12.1).
Условия (12.45) позволяют определить область й следующим образом:
Й = {(х,у)бО:р(х,у)>0}.(12.46)
Далее, чтобы область й эффективно представляла влажную часть дамбы, требования к ее гладкости должны быть, очевидно, минимальными; в этом смысле подходящим, т. е. очень слабым, является требование, чтобы эта область была подграфиком:
(х, у)€& и 0<у<у=^(х, у^й. (12.47)
Это свойство не обязано оставаться выполненным, если материал неоднороден, однако в нашем случае оно естественно; его можно
определить следующим образом:
ф(х) = sup{y:(x, y)£Q), О^х^с,(12.48)
й = D, (J D2 U {(х,г/): 0<х<с и 0<у<ф(х)}. (12.49)
Заметим, что график функции ф состоит из кривых Га и Гх, а не только из кривой Гх, как график функции ф.
Нефизические решения. Вопрос, касающийся условий (12.13), (12.27) и (12.34), более тонок: фактически, эти условия нельзя вывести из представленной формулировки. Чтобы исследовать этст вопрос, заметим сначала, что задача в том виде, в каком мы ее поставили, имеем псевдорешения, т. е. решения, не имеющие физического смысла. Одним из таких решений, например, является решение, соответствующее полностью влажной дамбе; точнее говоря, решением задачи 12.1 будет пара, состоящая ii3Q = O и решения следующей смешанной задачи Дирихле—Неймана.
Задача 12.2. Найти р такое, что
Др = 0 в D,
Р = Ч<У1 — У>
Р = 7 (У 2 — У) р = 0 др/ду = — у
(12.50)
на Гр (12.51) на Г2, (12.52) на Г3, (12.53) на Го. (12.54)
Это — задача с фиксированной границей. Ее вариационная формулировка имеет вид: найти такую функцию р £ К, что
6
^ grad р grad (р— v)dxdy^ ^ (р(х, 0) — и(х, 0))dx Vy£K, (12.55) bа
где
К = {и € Н1 (D): и = у (у{ — у) на Гр
и = у(у2— У) на Г2, о = 0 на Г3)(12.56)
(в задаче 12.2 подобное условие гладкости отсутствовало). Задача (12.55) (и, следовательно, задача 12.2) имеет единственное решение, которое согласно принципу максимума строго положительно в D. Оно является также решением задачи 12.1, поскольку если Q = D, то условия (12.41), (12.42) и (12.44) превращаются в единственное условие (12.53).
Каким образом можно исключить решения подобного рода? Мы не можем требовать, чтобы Q # D, так как в ряде случаев й = О соответствует истинному решению — например, в случае треугольной дамбы. Наиболее естественным предположением является условие (12.34), однако это условие, помимо того что требует гладкости функции ф, не исключает нефизических решений, соответствующих полностью влажной дамбе — например, если
уг = max Y (x), функция Y (x) — выпуклая и й ^ О не соот- la,&]
ветствует физическому решению. Ввиду этого вместо условия (12.34) наложим условие (12.13) или эквивалентное ему условие (12.27).
Прежде чем доказать, что условие (12.27) исключает псевдорешения, по крайней мере, если граница Y (х) гладкая (это, помимо всего прочего, исключает случай треугольной дамбы), докажем эквивалентность условий (12.13) и (12.27). Эта эквивалентность вытекает из следующих выкладок, являющихся формальными, поскольку на функцию ф не наложено никаких условий гладкости:
У(х)^(х)
d 1 С ®р, _ 1 ri Г rip , dx у J дх йУ — у dx J дх йу - оо
Ф(х)
1 Г д2р ,1 др — . . —,
= 3 j air dy + у 57 (X, Ф (X)) Ф (х) = О
= — ^ [^ (х’ (х)) —(х’0)] + 7"$ (х> ^(х)) (х) =
= - ^г^(х’ ^ + *' ^ "^^Т1 ^’ ^ =
= — (1 + ф'2 (х)) [ — ф' (1 + ф'2 (х)Г1/2-^^±У1 (х, <р (х)) +
+ (1 +ф'2(х)Г,/2 ^^ (Х,ф(^ =
= -(1 +Ф'2 (х)),/2-^^ (х,ф(х))(12.57)
(в третьем равенстве использовано условие (12.50)).
Докажем теперь, что задача 12.2 с условием (12.27) не имеет решений. Для удобства перейдем от функции р к функции и, т. е. рассмотрим эквивалентную задачу: «Ам = 0 в О, ди/ду = 0 наГ0, и_= 1/] на Гь и = у2 на Г2, и = у на Г3 и ди!дп О^на Г3». Пусть и — решение этой задачи, М — точка максимума и. Из того, что Ам = 0 в D, и из принципа максимума следует, что /И ^ D, а из того, что ди/ду = 0 на Г„, и из принципа максимума Хопфа имеем М £ Го; следовательно, Л4 6 Г. Далее, ша^г и =* тах^.б] ^Jx), поэтому одной из точек максимума функции и является точка М = s (х, Y (х)), где х — точка максимума функции Y (х). Из принципа максимума Хопфа имеем duldn (М) > 0, что противоречит условию duldn 0 на Г3.
Замечание. Всюду в дальнейшем для простоты изложения мы полагаем у = 1, что не ведет к потере общности — мы просто делаем замену неизвестного р р!^. Между выбором у = 1 и выбором й = 1 нет несовместимости, даже если вид соотношения между к и у задан: все улаживается путем соответствующего (возможно, не очень рационального) выбора единиц измерений.
Математическая задача
В этом разделе мы дадим более строгую формулировку задачи ' 12.1 и докажем результат, касающийся существования решения. Мы приведем также результаты, касающиеся единственности и гладкости решения в случае дамбы со специальной геометрией.
Строгая формулировка задачи со свободной границей.
Геометрия задачи. Определим сначала строго геометрию задачи (см. рис. 12.2 и диагр. 12.1).
Определение 12.1. Пусть а, Ь, с, Ух и уг — пять таких вещественных чисел, что а<6<с<Ь и 0<у2<У1, а ^€ € С3 ([а, 61) — такая вогнутая функция, что Y (а) = Y (Ь) = О, Y (0) = ух, Y (с) = у2 и Y' (0) ^ 0. Термином дамба будем называть множество D = {(х, у) € R2: a <Z х < b; d <. у <Y (х)}. Далее, положим Dt = {(х, у) £ D: а < х < 0), D.2 = {(х, у) € D: с < х < 6}, D3 = {(х, y^D; 0 < х < с}, Го = {(х, 0): а < х <_ < 6}, Г = {(х, Y (х)): а < х < 6), Гх = {(х, Y (х)): а < х < 0}, Г2 = {(я, Y (х)): с < х <b\ и Гд = {(х, Y (х)): 0 < х < с}Л
Интегральная формулировка. Рассмотрим теперь задачу, являющуюся строгой переформулировкой задачи 12.1 в интегральной форме.
Задача 12.3. Найти такую пару (р, Q), что
р€С°р) n H4D\
(12.58)
функция х-> J ^ dy не убывает на [0, с],
(12.59)
0
р > 0в D,
(12.60)
р > 0на Го,
(12.61)
Р = У\ — У на Гр
(12.62)
Р = Уг — У на Г2,
(12.63)
р = 0на Г3;
если
(12.64)
й = V^y^D-.pV-y1»^
(12.65)
Сг = {ф £ С°° (D): ф = 0 в окрестности Г), то
(12.66)
Уф ^ Сг j grad (р + у) grad ф dxdy=0. Q
(12.67)
Докажем, что задача 12.3 действительно является переформулировкой задачи 12.1 (или, точнее, ее «расширением»; кавычки обусловлены гем, что мы исключили какое-либо явное упоминание о свободной границе). Из (12.58), (12.61) и (12.65) получаем (12.37). Условия (12.62) и (12 63), которые следует понимать в смысле непрерывных функций, совпадают с условиями (12.39), (12.40) соот- 282 ~
ветственно. Условие (12.64), которое также следует понимать в смысле непрерывных функций, включает условие (12.41), а также, вследствие непрерывности функции р и по определению области й,— условие (12.42) (точки 1\ являются точками аккумуляции нулей функции pY
Проанализируем теперь информацию, содержащуюся в уравнении (12.67). Для любой функции ф € Сг имеем
О = j grad(p + y)gradipdxd#= у grad (p + y)gradфdxdy — QD
— J grad (p+y) grad ф dx dy =
D\Q
У grad (p+y) grad i^dxdy — ^-dxdy= DО\Я■
dxdy.dxdy.(12.68)(12.68)= J [grad (p + y) grad ф — xoXQ^
dxdy.
dxdy.
(12.68)
(12.68)
D
Отсюда,Отсюда,илииливзяв ф С С“ (D), имеем-Д(р+у^+^2 = 0в Й'^ду9Ха— Ар — "^ = 0 в Ф (D),взяв ф С С“ (D), имеем-Д(р+у^+^2 = 0в Й'^ду9Ха— Ар — "^ = 0 в Ф (D),(12.69)(12.69)(12.70)(12.70)
Отсюда,
Отсюда,
или
или
взяв ф С С“ (D), имеем
-Д(р+у^+^2 = 0в Й'^ду
9Ха
— Ар — "^ = 0 в Ф (D),
взяв ф С С“ (D), имеем
-Д(р+у^+^2 = 0в Й'^ду
9Ха
— Ар — "^ = 0 в Ф (D),
(12.69)
(12.69)
(12.70)
(12.70)
что включает уравнение (12.38).
Кроме того, из (12.67) и из (12.70) (или лучше из (12.38)) с помощью формулы Грина получаем 0 = у grad(р + у)gradфdxdy =
= J[—А(р + у)]ф^у +£^^фс(о = J ^^ф^о.
Уди№\г
(12.71)
Таким образом, д(р + у)/дп = 0 на дЙ\Г = Го (J Гх (12.72)
в смысле следов функций из Дд ^Q.) = ^и^Н1 ^Qy^u^L2^^, что включает как условие (12.43), так и (12.44).
Дифференциальная формулировка. Интегральная формулировка 12.3 удобна как иллюстрация того, что задачи 12.1 и 12.3 — это «одно и то же». Для дальнейших рассуждений, однако, более удобна следующая эквивалентная дифференциальная формулировка.
Задача 12.4. Найти функцию р и область й такие, чтобы выполнялись условия (12.58)—(12.64),
др!ду = — 1 на Го(12.73)
и, если Q определено условием (12.65),
-Ьр = дха/ду в ф'ф\(12.74)
■ Мы уже видели, что формулировка задачи 12.3 включает формулировку задачи 12.4. Чтобы увидеть, что формулировка задачи 12.4 включает формулировку задачи 12.3, покажем, что из условия (12.73) (его следует понимать в смысле следов функций из Н *A(Q)> и равенства (12.74) следует через условия (12.61), (12.65) равенство (12.67) (и, следовательно, в частности, что информация о Г^, содержащаяся в условии (12 72), уже присутствует в уравнении (12.70)). С одной стороны, мы можем применить формулу Грина (см. (1831)) (поскольку div (gradp + X,, grad у) = Кр -V dx/dy = = 0 £ Z? (D) и gradp + Xt,, grad у С {А2 (£))}2), а с другой, - \сло- вия (12.61) и (12.65) гарантируют, что yu ^ 1 в окрестности Го. Следовательно, для любой функции ф 6 Сг имеем
j grad \,р+У) grad ф dx dy = j grad (p+y) grad ф dx dy — QD
— J grad (p+y) grad ф dx dy =
= J [grad (p + y) — XD\Qgrad y] grad ф dx dy = D .
= у [gradp -h grady — (1 — X^grady] gradфdxdy =
= J [grad p + Xggrad y] grad \^dxdy= ( [grad y+xQgrad у]-пфйу = DГн
= J [gradp + gradу|-пф£(у= ^ [— dpldy—1]фсйу=0. (12.75) r„r„
Если убрать промежуточные члены, то равенство (12.75) станет не чем иным, как равенством (12.67). Напомним, что в гл. 7 нам уже встречались задачи со свободной границей, хотя они и не формулировались как таковые. Так, задача с препятствием 7.29 является настоящей задачей со свободной границей; при этом свободной границей является та, что разделяет контактное и отделенное множества. Далее, в задаче с препятствием мы имели пару условий —Дм ^ 0 и м ^ ф, в задаче же о дамбе имеем условие —ixp = = дх.: /ду <0 (заметим, что при возрастании у функция у изменяется от 1 до 0), а также условие р ^ 0 (а не р ^ф): па; и условий, таким образом, не является «хорошо подобранной», и мы не можем поэтому надеяться получить область Q как отделенное множество вариационного неравенства для переменной р. Другой, несколько менее эвристический путь, приводящий к тому же ны- воду, основан на том, что если бы функция р была решением вариационного неравенства, то она была бы более гладкой (наирнчер, р^.Сх (D)); но тогда из пары условий PlD\u= 0, д tp-t у) о ,inl =
= 0 следовало бы, что П — вертикальный отрезок. Эго приводит к необходимости преобразования задачи.
Преобразование задачи со свободной границей.
Интегральное преобразование. Введем функциональное преобразование, являющееся основой представляемого в настоящей книге метода решения задач со свободной границей Заметим, что преобразование р -*U, определяемое ниже равенством (12.76), тесно связано с преобразованием р -* г, определенным в ч. I, формулой (8.52), точнее U = —г. Здесь мы предпочтем работать с функцией U, а не г, как для того, чтобы сохранить обозначения из работы 1137], которыми мы будем часто пользоваться, так и потому, что рассуждения, проводимые здесь, не зависят от рассуждений, приведенных в ч. I.
Определение 12.2. Положим для функции рЕ С° (О) П Л Н' (D) и точки (х, у) £ D у
Щх.у)- ( p^Mt.(12.76)
6
Ясно, что это определение функции U эквивалентно условию «Wldy = р в D и U = 0 на Го», и, таким образом, зная U. мы можем восстановить все физические и геометрические величины, которые мы до сих пор рассматривали. Первый вопрос, который мы обсудим, заключается в формулировке условий задачи 12.4 с помощью функции U, т. е. в ответе на вопрос — какую задачу решает функция Ш
Задача для функции U. С помощью результатов о гладкости решений задачи 12.3 (они устанавливаются независимо от того, существуют ли эти решения или нет) можно доказать, 1 т>
t/E^2z(O) Vr< + oo.(12.77)
Позднее мы наметим путь этого доказательства; дальнейшие детали можно найти в [137, с. 595].
Найдем дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция U. Из (12.76) и (12.74) (мы используем обозначения для производных, отличные от ранее использованных, но являющиеся, однако, стандартными) получим соотношения
Dti ^U + Хо) = ^DУU + DA1 = Др + ОЛ = 0 в S' (О),(12.78)
которое показывает, что Д(/ + Xq — обобщенная функция, не зависящая от переменной у, т. е. вида / (х) ® 1. Далее, из (12.61) и (12.65) следует, что существует открытое множество 6 в R2 такое, что Го с 9и9 П D с й: положим 6' = 6 f) D и 9" = 6' U Го. В 9' имеем Xu — 1 и> поэтому из (12.74) получаем Др = = 0 в 6'. Следовательно, р Е С-0 (9') (в действительности рЕ Е С® (9') ...), а отсюда и из (12.73) следует, что р^С” (9"). Мы можем поэтому утверждать, что U Е С™ (9") и, таким образом, в 9" можно вычислять производные функции U в классическом смысле.
УУууПоскольку xfi = 1 в О', имеем
У
У
у
у
= j PxxV^ t)dt+py(x,y)+l,
(12.79)
0
то из (12.73) находим, что
(AIZ + Xq)^ о) = о.
(12.80)
Таким образом, А(/ + Xq — обобщенная функция, не
зависящая
от у и совпадающая в 6 с гладкой функцией, равной нулю на Го:
путем продолжения в и получаем
A(/ + Xq = 0 в ф'ф)
(12.81)
или
— \U = xQ п. в. в D.
(12.82)
Краевые условия для функции U. Предыдущие рассуждения
позволяют записать:■
Q содержит окрестность Го.
(12.83)
Из (12.76) и (12.60) имеем
Uy ^ 0 в D,
(12.84)
из (12.76) и из (12.62)—(12.64) имеем соответственно условия для наклонной производной на границе:
следующие
Uy = yi — У на Гр
(12.85)
иу = Уг — У на Га,
(12.86)
Uy = 0на Г3.
(12.87)
К этим условиям добавим условие Дирихле
U = 0 на Го,
(12.88)
которое следует из (12.76).
Покажем теперь, что информацию, содержащуюся можно выразить через функцию U с помощью условия
в (12.59),
х-> U(х,Y (х)) выпуклая на [0, с].
(12.89)
^U + х0) (X, у) = D= J р (х, t) dt + D^ J p (x, 0 dt= о0
У
Действительно, из (12,77) и из теоремы вложения Соболева (см. ч. 1) следует, что U С С1 (D). Таким образом, если Y — функция класса С3, то след функции U на Г — функция класса С1. Следовательно, при х € (0, с) имеют смысл следующие выражения: ^U(x,Y (х)) = U, (х, Y (х)) + Y' (х) UH (х, Y (х)) =
УFW
= ^(х,У(х))=[оЛр(х,0^]= f P.Mdt (12.90)
оо
(заметим, что из Uy = р и из (12.60) имеем Uy (х, Y (х)) = 0 на (0, с)). Отсюда и из (12.59) заключаем, что справедливо неравенство
(12.91)(12.91)-^(7(х,У(х))>0 на (0, с).
(12.91)
(12.91)
Это неравенство следует понимать в смысле обобщенных функций и интерпретировать как аналитическую запись условия (12.89).
й = {(*, y^D".й = {(*, y^D".р{х, t)dt>р{х, t)dt>Запишем теперь область О с помощью функции U. Поскольку функция р непрерывна, из (12.60) и (12.65) имеем условие
й = {(*, y^D".
й = {(*, y^D".
р{х, t)dt>
р{х, t)dt>
(12.92)
следовательно, по определению функции U,
52 = {(х, у) е D : и (х, у) < и (X, Y (х))}.(12.93)
Это условие можно записать в более строгой форме, поскольку
Dv (J О2 <= 52:
& = DX U °2 U {(х,y)£D:0^x^c и U (х, у'^Щх, К(х))}. (12.94) Чтобы показать, что Dt cz 52 (соответственно Daa 52), напомним, что из условий (12.84) и (12.93) следует, что 52 — подграфик, а поскольку функция р непрерывна, из (12.65) и (12.62) (соответственно (12.63)) следует, что в D существует окрестность Гх (соответственно Г2), внутренние точки которой лежат в области 52.
(12.95)(12.95)Заметим еще, хотя это и не представляет непосредственного интереса при формулировке задачи с помощью функции U, что пропускная способность дамбы определяется выражением
(12.95)
(12.95)
q<i = — ^(0, У^
и что линии уровня функций Ux и 1)ж + у в области 52 являются соответственно линиями тока и линиями равного потенциала.
Таким образом, функция U является решением следующей смешанной краевой задачи с граничными условиями типа Дирихле и типа наклонной производной.
Задача 12.5. Найти функцию U такую, что
иЕ^ф) Yr*
< + оо,
(12.96)
хU {x,Y (х)) выпукла на [0, с],
(12.97)
иу>о
в D,
(12.98)
(7 = 0
на Го,
(12.99)
Uy = У1~У
на Гр
(12.100)
Цу=Уг — У
на Г2,
(12.101)
иу = о
на Г3;
(12.102)
если
Q = DX U Da U ^x,MD:O^x^c и Щх, y)<U (x, V (x))}, (12.103)
TO
Q содержит окрестность Го,(12.104)
— MJ = Xq п. в. в D.(12.105)
Условия (12.98)—(12.102) следует (в силу (12.96)) понимать в смысле функций класса С1; условие (12.96), кроме того, гарантирует, что множество Q, определяемое (12.103), открыто.
Введем теперь следующее понятие.
Определение 12.3. Решение задачи 12.5 назовем гладким, если функция х -► ф (х), где
Ф (х) = sup (у : (х, у^ Й}, О^х^с.(12.106)
непрерывна и строго убывает, и существует число sE (0, с) такое, что ф (х) < У (х) на (0, s) и ф (х)= У (х) на [s, с].
Заметим, что число s интерпретируется как абсцисса висящего источника в точке Сф, кривая {(х, ф (х)): х Е (0, s)} — как свобод* ная линия Гх, а кривая {(х, ф (х)): s < х < с} — как линия просачивания Го. Сужение функции ф на 10, si будем обозначать через ф.
План действий. Преобразуем дифференциальное уравнение (12.105) в соответствующее многозначное дифференциальное уравнение — это преобразование укажет направление дальнейшего исследования задачи 12.5 и поможет выяснить истинную природу этой задачи.
Пусть М : L1 (Р) -*■ L1 (D) — оператор, определяемый соотношениями:
eC™ (12107)
(conv \и (х, У (х))] , если (х, у) Е иу -
где conv : L1 ((0, с)) -> L1 ((0, с)) — оператор, определяемый соотношением (conv /) (x)=sup {ах + р: а, р Е R, ах+ Р ^ / (х) п. в. на (0, с) (т. е. conv / — верхняя оболочка аффинных функций, которые «ниже» функции /; если / ^ 0, то 0 conv //; conv —
непрерывный оператор, например, в пространстве Н1 (0, с))). Пусть Р: R -> 2R — максимальный монотонный оператор такой, что
р(0={1} если #>0, р(О)ЭО. (12.108)
Теорема 12.1. Если U — решение задачи 12.5, то выполняется условие
— MJ^(M(U)~U) п. в. в D.(12.109)
Доказательство. Пусть U—решение задачи 12.5. Из (12.98) и (12.99) имеем
Й(х,Г(х))>Й(х,у)>0 в D;(12.110)
из (12.103) имеем
Й (х, К (х))> Й (х, у) в Й,(12.111)
Й(х,Г(х)) = Й(х,у) в О\й;(12.112)
из (12.10) и (12.97) имеем•
conv [77 (х, Y (х))]+ U (х, Y (х)).(12.113)
Теперь из (12.107), (12.111) и (12.113) следует, что
M(U)>U п. в. в Й,(12.114)
а из (12.107), (12.112) и (12.113) —что
М^ = й в О\Й.(12.115)
Из (12.114), (12.115), (12.105) и (12.108) получаем окончательно (12.109). □
Наименьшим возможным является оператор р, определяемый соотношениями
р = А =р = А =[А(0 = {1}, А(0 = (—°°- П.Нф = 0,[А(0 = {1}, А(0 = (—°°- П.Нф = 0,если / >0, если t = 0, если t < 0;если / >0, если t = 0, если t < 0;(12.116)(12.116)
р = А =
р = А =
[А(0 = {1}, А(0 = (—°°- П.
Нф = 0,
[А(0 = {1}, А(0 = (—°°- П.
Нф = 0,
если / >0, если t = 0, если t < 0;
если / >0, если t = 0, если t < 0;
(12.116)
(12.116)
для него условие (12.109) может быть также записано в виде
Л4(П)>^, — АП<1, ф — Мф))(—bU — 1) = 0 п. в. в О; (12.117)
этот набор выражений напоминает об интерпретации квазивари- ационного неравенства как краевой задачи (в частности, о задаче 11.7) и показывает истинную природу задачи 12.5. Наибольшим возможным оператором р является монотонный максимальный оператор, связанный с функцией Хэвисайда, т. е. оператор
^ = Н =^ = Н =(12.118)(12.118)//(#) = {!} если #>0, Н (^) = [0, 1], если t = 0, Н (?) = {0}, если t < 0,
^ = Н =
^ = Н =
(12.118)
(12.118)
для которого условие (12.109) можно также записать в виде
— АЙ е XD + Xd + XDH (conv [Й (x, Y (x))J+ — Й (x, t/)) п. в. в D,
(12.119)
т. e. в виде многозначного дифференциального уравнения, которое мы, фактически, и будем изучать.
Преимущество выбора р = Н по сравнению с р = h (и с любым другим выбором Р, удовлетворяющим (12.108)), заключается в том,
28928919 К. Байокки, А. Капело
289
289
что условие (12.119) содержит информацию о том, что 0 ^—АС7, а условия (12.117) не содержат. Важно заметить, что (как мы только что показали) если U — решение задачи 12.5, то U — решение •задачи 12.5, в которой уравнение (12.105) заменено условием (12.119); но если U — решение последней задачи, то для того, чтобы U было также решением задачи 12.5, необходимо знать, что 5Q имеет нулевую меру (см. начало п. 12.3.6).
Доказательство существования решения задачи 12.5 проведем в три этапа. На первом этапе (см. п. 12.3.3) будем предполагать правую часть (12.119) полностью известной, т. е., полагая правую часть равной F = хо, + Хо, + Хо, Н (conv It/ (х, Y (х))]+ — U (х, у)), будем изучать линейную смешанную задачу с краевыми условиями типа Дирихле и типа наклонной производной для дифференциального уравнения — MJ = F. На втором этапе (см. п. 12.3.4) предположим, что известна лишь функция f = conv lU (х, Y (х))1+, и изучим смешанную краевую задачу с краевыми условиями типа Дирихле и типа нелинейной наклонной производной для многозначного дифференциального уравнения — kU € XD + XD +XD Н (f—U) (используя, естественно, информацию, полученную на первом этапе).
Наконец, на третьем этапе (см. п. 12.3.5) мы изучим задачу 12.5 (используя результаты, полученные на предыдущих этапах), а именно мы покажем, что решения задачи 12.5 являются неподвижными точками преобразования, связанного соответствующим образом с задачей, изучаемой на втором этапе.
Изучение линейной смешанной задачи.
Задача. Этот пункт посвящен изучению следующей задачи.
Задача 12.6. Даны функции ^€(Доо2(Г))' и F£La(D\ Найти функцию м 6 Д1 (D) такую, что
— &u = F в ЗУфу(12.120)
уои = 0 на Го,(12.121)
Та» = 8 на Г.(12.122)
Укажем сначала, в каком смысле следует понимать условия (12.121), (12.122). Для (12.121) задача проста: это условие следует понимать в смысле (сужений) функций из №f2 (dD), т. е. в смысле функций из Ноо (Го) (ср. с примечаниями в конце раздела 17.5). Смысл условия (12.122) более сложен.
Мы изучим задачу 12.6 при помощи вариационной методики. Для этого необходимо выбрать подходящее представление оператора А и связанной с ним билинейной формы. Это представление не может быть стандартным, поскольку на Г задано (в задаче 12.5, а потому и в данной задаче, если мы хотим связать их) условие наклонной производной, точнее, условие для функции ин. Таким образом, (12.122) следует понимать в смысле следов, полученных с помощью формулы Грина, связанной с билинейной формой, т. е.
уа — конормальная производная, связанная с билинейной формой, которую мы выбираем,— формой а. Итак, мы должны, прежде всего, определить, что представляет собой эта форма, а затем доказать формулу Грина.
Билинейная форма. Искомую билинейную форму построим исходя из эвристических соображений. Представление оператора А должно быть таким, чтобы конормальная производная воспроизводила наклонную производную на Г; подходящим представлением будет представление (7.121), которому соответствует, например, форма (7.122). Остается найти такое t, что
-^- — tL-^- = ~k(x,y), (12.123) дп 'г Эт ду х х '
где к — коэффициент, который должен быть соответствующим образом контр-сбалансирован; его присутствие объясняется тем, что мы знаем, в каком направлении необходимо производить дифференцирование, но не знаем величины производной. Имеем на Г:
п = (— V М/К1 + У' (х)2, 1//1 + У' (х)2), (12.124) т^(1/К1 + У' (X)2, У' (х)// 1 + Y' (х)2); (12.125)
таким образом, ди ди Y' (х)ди1
дп дх У1 + У'(х)2 1 ду у1 + к-(х2) ’1 •/
21 = 21' 1 _ + 21 2' W (12 127^
дт дх У1 + К'(Х)2 ду У1 + У' (х)* ’1 ‘'
Подставляя (12.126) и (12.127) в (12.123) и полагая коэффициент при ди/дх равным нулю, получаем
t = — У'(х),(12.128)
£(х,у)= 1+У'(х)2.(12.129)
Подставляя (12.128) в (7.122), находим искомую билинейную форму: а(м, и) = j [(ыя — Y’uy) vx 4- (uy + Y'ux)vy— Y"uyv]dxdy. (12.130) D
На этом мы заканчиваем эвристические рассуждения.
Формула (12.130) определяет непрерывную билинейную форму из Н1 (D) X Н1 (О) в R, которая, вообще говоря, не является коэрцитивной. Эта некоэрцитивность, однако, не составляет серьезной проблемы, поскольку из (12.121) видим, что нас интересует сужение формы а на Уо X Уо, где
Го = {У€Я1(О):у0и = 0 на Го},(12.131)
и форма а непрерывна и коэрцитивна в Vo X Уо. Непрерывность а в Уо X Уо следует, фактически, из непрерывности а в Н1 (D) х X Н1 (D) и из того, что Уо — замкнутое подпространство прост-
ранства Н1 (D). Форма а коэрцитивна в Уо, так как соотношение II <0 = р^ + »Р^(12.132)
D
определяет в Уо норму, эквивалентную индуцируемой из Н1 (D), пространство Сг„ = {ф 6 С°° (О) : ф|г„ = 0} плотно в Уо, и для любой функции ф £ СГо можно записать последовательно (используя, в частности, вогнутость функции У):
а (ф, Ф) = J (ф2 — У'Ф^ + Ф2 +У'ФхФу — ^"фуф) dx dy = D
= j КФ, + ФР — ^"ФуФ! dx dy = \\^ Ц^ — D
- f У"фуФ dx dy = H ||=o - 4- J ^ toV) ^ ^ = IIФ '^ - DD
. b
- T Jr" to ^2 (*’Y to)dx > н l^.-(12-133)
a
Формула Грина. Докажем следующую теорему — частный случай теоремы 18.9.-
Теорема 12.2. Если u^Hk(D) и u£Vv trio справедлива формула Грина
а^и,^ = — j buudxdy +№i/2(r)/Ya« |г. То» |г^^(12.134)
Доказательство. Пространства Доо2(Г) и Над2((а, 6)) изоморфны, поскольку кривая Г параметризована с помощью переменной х£(а, Ь). То же самое справедливо и для двойственных пространств. В этих условиях функции уа«|г и уои|г могут быть представлены как функции переменной х. Для уои |г это легко: уоы |г = и (х, Y (х)), где функция и гладкая. Для уаи|г имеем
Та« = (1 + Y' W2) «у (*, У (х)),(12.135)
где функция и тоже гладкая (отметим присутствие множителя 1 + У' (х)21). Мы знаем, что СГе плотно в Уо, а С°° (D) плотно в Дд(О), поэтому нам достаточно рассмотреть гладкие функции, после чего с учетом указанной плотности можно будет заключить, что отображение и-*^аи (уо определяется соотношением (12.135)) можно расширить до линейного непрерывного отображения из Дд (О) в Над2 ((а, Ь))' (отображение ц->уоц|г из У в Над2 ([а, 6]) линейно и непрерывно). Именно в таком обобщенном смысле и следует понимать условие (12.122) — заметим, что из F £ L2 (О), и £ Н1 (О) и (12.120) имеем и^НкфУ
Нам нужно доказать, таким образом, что для u ^ С” (О) и и g СГо6а(и, и) = — J ktvudxdy-V у (1 + Y' (x^Uy (x,Y (x))v(x, Y (x^dx.Нам нужно доказать, таким образом, что для u ^ С” (О) и и g СГо6а(и, и) = — J ktvudxdy-V у (1 + Y' (x^Uy (x,Y (x))v(x, Y (x^dx.DDaa(12.136)Эта формула получается путем следующих выкладок:а (и, и) = у {(ия — Y'uy) их + (uy + Y'ux^ Uy — Y^y^ dx dy = d "= У VDX (и («, — Y'Uy^ + Dy (v (Uy + Y'u^ — шхх + vY ’uUx —D— Шуу — uY'uxy'\dxdy= — ^v^udxdy-V у ОДу^их — Y'u^dxdy 4-(12.136)Эта формула получается путем следующих выкладок:а (и, и) = у {(ия — Y'uy) их + (uy + Y'ux^ Uy — Y^y^ dx dy = d "= У VDX (и («, — Y'Uy^ + Dy (v (Uy + Y'u^ — шхх + vY ’uUx —D— Шуу — uY'uxy'\dxdy= — ^v^udxdy-V у ОДу^их — Y'u^dxdy 4-DDDD+ J Dy (v (uy + ^'uj) dxdy = — у и Au dx dy ++ J Dy (v (uy + ^'uj) dxdy = — у и Au dx dy +DDDDdDdD.' bb= — у vNudxdy—у v(ux— Y'Uy^Y'dx— у v(uy + Y'u^ dxdDdD.' bb= — у vNudxdy—у v(ux— Y'Uy^Y'dx— у v(uy + Y'u^ dxDDb= — J v\udxdy-\- J v(l 4- Y'^Uydx. (12.137)b= — J v\udxdy-\- J v(l 4- Y'^Uydx. (12.137)DDaa
Нам нужно доказать, таким образом, что для u ^ С” (О) и и g СГо
6
а(и, и) = — J ktvudxdy-V у (1 + Y' (x^Uy (x,Y (x))v(x, Y (x^dx.
Нам нужно доказать, таким образом, что для u ^ С” (О) и и g СГо
6
а(и, и) = — J ktvudxdy-V у (1 + Y' (x^Uy (x,Y (x))v(x, Y (x^dx.
D
D
a
a
(12.136)
Эта формула получается путем следующих выкладок:
а (и, и) = у {(ия — Y'uy) их + (uy + Y'ux^ Uy — Y^y^ dx dy = d "
= У VDX (и («, — Y'Uy^ + Dy (v (Uy + Y'u^ — шхх + vY ’uUx —
D
— Шуу — uY'uxy'\dxdy= — ^v^udxdy-V у ОДу^их — Y'u^dxdy 4-
(12.136)
Эта формула получается путем следующих выкладок:
а (и, и) = у {(ия — Y'uy) их + (uy + Y'ux^ Uy — Y^y^ dx dy = d "
= У VDX (и («, — Y'Uy^ + Dy (v (Uy + Y'u^ — шхх + vY ’uUx —
D
— Шуу — uY'uxy'\dxdy= — ^v^udxdy-V у ОДу^их — Y'u^dxdy 4-
D
D
D
D
+ J Dy (v (uy + ^'uj) dxdy = — у и Au dx dy +
+ J Dy (v (uy + ^'uj) dxdy = — у и Au dx dy +
D
D
D
D
dDdD
.' bb
= — у vNudxdy—у v(ux— Y'Uy^Y'dx— у v(uy + Y'u^ dx
dDdD
.' bb
= — у vNudxdy—у v(ux— Y'Uy^Y'dx— у v(uy + Y'u^ dx
D
D
b
= — J v\udxdy-\- J v(l 4- Y'^Uydx. (12.137)
b
= — J v\udxdy-\- J v(l 4- Y'^Uydx. (12.137)
D
D
a
a
Заметим, что при переходе от четвертого члена к пятому dx Д Д dy=—dy[\ dx. Заметим, далее, что интегрирование по dD выполняется в прямом смысле и что функции их, ии и и под знаком 6
интеграла ^ вычисляются в точках (х, Y (х)) — мы не выписали
всего этого полностью, чтобы не усложнять выражений. □
Вариационная задача. Исследуем теперь задачу 12.6. Для этого рассмотрим следующую вариационную задачу.
Задача 12.7. Пусть F^L2^ и ^€(Доо2 (Г))'; найти
u^V0; Vv€V0 u(u,и) = f^vdxdy+ ^ Jgr,Yov|r> . (12.138)
Задачи 12.6 и 12.7 эквивалентны (иными словами, задача 12.6 является интерпретацией задачи 12.7 как краевой задачи). Действительно, если и — решение задачи 12.6, то из того, что и 6 € Д1 (О), и из условия (12.121) имеем и ^ Vo, а из (12.120) и (12.122) (с учетом (12.134)) — равенство (12.138). Наоборот, если и — решение задачи 12.7, то u Е Vo, поэтому, и Д1 (О) и выполняется условие (12 121). Далее, полагая и ^ 2) (D) в (12.138), получаем (12.120), а отсюда, также с помощью (12.138) и (12.134),— равенство (12.122)
Лемма Лакса — Мильграма, которую мы можем теперь применить, поскольку а—коэрцитивная непрерывная билинейная форма, а и -*■ С Fv dx dy-\- 1/2 (g, уои|г) 1/2 —непрерывный линейный
J (Г))' Но'о (Г)
функционал в Vo, гарантирует, что задача 12.7 имеет одно и только одно решение; следовательно, задача 12.6 также имеет единственное решение.
Правые части g и F. Правые части g и F были взяты в очень общей форме, но нас интересуют вполне конкретные случаи. Так, в дальнейшем g будет функцией, определяемой следующим образом (множитель (1 + У' (х)2) компенсирует тот, что присутствует В уом ...):
g(x) =g(x) =(1 +У'(х)2)(У1-У(х)), О,(1 -W'^^-Y^,(1 +У'(х)2)(У1-У(х)), О,(1 -W'^^-Y^,если а < х < О,если а < х < О,если О^х^с, (12.139)если О^х^с, (12.139)если с < х < 6если с < х < 6
g(x) =
g(x) =
(1 +У'(х)2)(У1-У(х)), О,
(1 -W'^^-Y^,
(1 +У'(х)2)(У1-У(х)), О,
(1 -W'^^-Y^,
если а < х < О,
если а < х < О,
если О^х^с, (12.139)
если О^х^с, (12.139)
если с < х < 6
если с < х < 6
(вспомним, что мы говорили в начале доказательства теоремы 12.2 ...), а второе слагаемое в правой части уравнения (12.138) будем в дальнейшем записываться просто как интеграл
6
~ j £ (х) у Ui Y (х)) dx.
а
Что касается функции F, то, поскольку она «является» правой частью уравнения (12.119), мы предполагаем, что выполнены условия
(12.140)(12.141)(12.142)(12.140)(12.141)(12.142)F^L00^, F=1 bD^D»
(12.140)
(12.141)
(12.142)
(12.140)
(12.141)
(12.142)
Р^гО п. в. в D.
Гладкость решения. С помощью довольно тонкой методики (см. [137, с. 5951) можно доказать следующее утверждение о гладкости решения задачи 12.6: если функция g задана соотношениями (12.139), а функция F удовлетворяет условиям. (12.140) и (12.141), то
u£W2’r(D) Vr< + oo. (12.143)
Гладкость функции и вдали от углов области D следует из обычных результатов о гладкости решений краевых задач для оператора Лапласа; предположения же, касающиеся функций g и F, являются здесь условиями совместимости этих функций вблизи углов области D. Утверждение (12.143) можно получить, например, применяя к данному случаю рассуждения из [442] (дальнейшие подробности см. в [137]).
Используя утверждение (12.143), краевые условия задачи 12.6 (где функция g задана соотношениями (12.139)) можно теперь 294
интерпретировать в смысле функций класса С1:
м|Го = О,(12.144)
«Иг’^-Пх),о2-145)
«Jr,=^-yW-(12.146)
ир|г* = 0.(12.147)
Примем без доказательства (оно основано на том, что задача 12.6 является проблемой индекса,— см. [137, с. 5961) утверждение: если функция g задана соотношениями (12.139), Fv Fa € Lr (D) (r £ € (2, +oo)) и Fx = Fa = 1 в Dx (J Da, то существует постоянная cr, не зависящая от Fu Fa, такая, что
Ци, ua ||l^2,r(D) ^Г||Л ^гНепо)- (12.148)
Неравенство (12.148) выражает разновидность непрерывной зависимости решения и от правой части F.
Докажем теперь, что решение и задачи 12.6 обладает также следующими свойствами: если функция g определена соотношениями (12.139), а функция F удовлетворяет условиям (12.140) — (12.142), то
и tx, у) > 0
в О,
(12.149)
иу(х, у)^0
на dD,
(12.150)
и (х, Y (х)) > 0
на (а, Ь),
(12.151)
иу (х, 0) > 0
на (a, by
(12.152)
Для доказательства мы воспользуемся принципом максимума (или, скорее, минимума). Пусть М — точка минимума функции и в области D. Из равенств (12.120), (12.121) и классического принципа максимума имеем: М ^D (функция и не является постоянной в области D, это исключается условиями (12.145) и (12.146)). Далее, М $ Г, поскольку согласно принципу максимума Хопфа производная функции и в точке М по любому внешнему направлению должна быть строго отрицательна, в то время как из условий (12.145)—(12.147) следует, что производная иу (она является на Г производной по внешнему направлению) неотрицательна. Таким образом, заключаем, что М £ Го, поэтому согласно условию (12.144) и (Л4) = 0 это доказывает неравенство (12.149). Одновременно мы доказали неравенство (12.151). Из условий (12.145)—(12.147) получаем на Г неравенство (12.150). Пусть теперь Р — точка на Го. Поскольку Р — точка минимума функции и, производная ии в точке Р по любому внешнему направлению должна быть строго отрицательна согласно принципу максимума Хопфа; таким ^образом, производная ин (на Го она является производной по внутреннему направлению) строго положительна. По непрерывности отсюда следует, что в точках (а, 0) и (Ь, 0) справедливо неравенство (12.150). Одновременно мы доказали неравенство (12.152).
Исследование нелинейной смешанной' задачи. Здесь мы изучим следующую задачу..
Задача 12.8. Пусть f £ L ((0, с)); найти функцию и такую, что выполнены условия (12.143)—(12.147) и
0<— Аи^1 п. в. в D,(12.153)
— Au=l bD^D,.(12.154)
Чтобы показать, что эта задача имеет решение (к вопросу о единственности мы вернемся позже), покажем, что ее можно рассматривать как интерпретацию в терминах краевых задач следующей вариационной задачи (в которой функция g задается соотношениями (12.139)).
Задача 12.9. Пусть f Е L1 ((0, с)); найти такую функцию а, что
u^V», VuCV0>
а (и, и — и) + j [/ (х) — и (х, z/)]+ dx dy ^ о,
ь
^ j V (х) — и (х, y)l+dx dy + у g (х) (а (х, V (х)) — и (х, V (х))) dx 4- Dsа
+ j (« (х,у) — v(x,y^dxdy. (12.155)
о, и о.
Эта задача тесно связана с задачей 12.7: первый член в выражении для линейного непрерывного функционала (в Уо)
т. е., поскольку для фЕ 55(D)
а(“*Ф) = ^(О)<-Д“’Ф>®(О)»
имеем
йуф^ Ди> ^@(о) ^ j (I/ ы Ч* ФГ*" I/w]^) dx dy 4
+ J ^dxdy Уф E 55(D). (12.159)
D,UD,
Если взять теперь в неравенстве (12.159) функцию ф ^ 0, то (поскольку [/ — и 4 ф]+ ^ [/ — и]+) получим неравенство
■^-Дм.ф^СО Уф Е 2(D), ф^О, (12.160)
то есть
— Ди>0 в ^'(D),(12.161)
Если же взять в неравенстве (12.159) функцию ф^О, то получим (поскольку в этом случае [/ — и 4 ф]+ ^ [/ — и]+ 4 [ф]+ = = [/ — и]+ 4 ф) соотношения
®4D^ ^и, Ф^О) ^ J Ф^^ — ^о)^’ Ф^О) о
УфЕ55(О), ф>0, (12.162) то есть
— Ди^1 в 55'(D).(12.163)
Таким образом, мы доказали, что
ОС — Ди^1 в 55'(D),(12.164)
а, поскольку отсюда, в частности, следует, что Ди Е С00 (D), то справедливы неравенства (12 153) Полагая теперь в (12.159) ф = ± X, гДе X € 55 (D) и supp х с D, |J D^ получим равенство (12.154) Поскольку, как уже указывалось, мы не изменили данные на границе при переходе от задачи 12 7 к задаче 12.9 и поскольку из (12.153) и (12.154) следует, что существует функция F такая, что условия (12.140) и (12.141) выполнены, можно утверждать в соответствии с тем, что было показано в п. 12.3.3, что решение и задачи 12.9 удовлетворяет условиям (12.143) и (12.147)
Предположим теперь, что функция / непрерывна (/ЕС0 (10, с])) и положим
$+ = {(*. У) Е D. : / (х) > и (х, у}},(12.165)
п~ = {(*, У) Е D3; / (А) < и (х, у^,(12.166)
где и — решение задачи 12.9. Поскольку функции f и и непрерывны, из (12 165) и (12.166) следует, что Q+ и Q- — открытые множества, и можно, таким образом, рассматривать пространства
Л' (Q+) и ^' (й~). Покажем теперь, что
— Ам=1 в 0'(Й+),(12.167)
— Ам = 0 в ^'(ST).(12.168)
Действительно, если ф £ У) (О) и supp ф cz Q+, то существует такое число Хф > 0, что | X | ^ X => / + Хфф ^ и в Q+.
Поэтому, полагая в неравенстве (12.159) ф = Хф, запишем
^чо/— Ам, Хф)^ ^ j (/ — и + Хф — [/ — u]+) dx dy +
о,
+ j Xtpdx dy = ^ Хф dx dy Vq>££(D), D,UD,D
supp ф cz Q+ при | X | •< Хф; (12.169)
следовательно, поскольку X s 0, имеем равенство (12.167). Аналогичным образом можно доказать равенство (12.168).
Заметим, что если функция f непрерывна, то задача 12.9, в сущности, эквивалентна задаче 12.8, которую можно теперь записать следующим образом.
Задача 12.10. Пусть /^ С° ([0, с]); найти функцию и такую, что выполнены условия (12.143)—(12.147) и условие
-AuaD1 + Хо, +XDHV-uy(12.170)
Докажем эквивалентность задач 12.9 и 12.10, которая, в частности, гарантирует единственность решения задачи 12.10. Мы уже видели, что всякое решение задачи 12.9 является также решением задачи 12.10. Пусть теперь и — решение задачи 12.10. Из (12.143) и (12.144) следует, что и g Vo> а справедливость вариационного неравенства (12.155) следует из приводимых ниже выкладок, в которых и — произвольный элемент пространства Ио:
а (и, и — и) — L^u — и) = — j Ам (м — и) dx dy Ц-
D
+ j (и — v)dxdy—— § Ди(и— u)dxdy=
D, U D,Da
= j (и — и) dx dy +j (/ — и) dx dy =
a+o3\(Q+ua-)
= j (и — u) dx dy + J(/ — u) dx dy— j (/ — u) dx dy =
a+o,\Q—jq+
= — j U — U)dxdy + j (/ — v)dxdy^ q+D,\Q-
J [/ — ul+dxdy+j lf — v]+dxdy. (12.171)
D3D,
Заметим, что при переходе от первого выражения ко второму мы воспользовались формулой Грина, доказанной ранее.
12.3.5. Исследование квазивариационной задачи. Существование решения задачи со свободной границей.
Задача о неподвижной точке. В дальнейшем символом т будем обозначать оператор из L1 ((0, с)) в Vo, который каждой функции / 5 L> ((0, с)) ставит в соответствие единственное решение задачи А
12.9 (т (/)=«), а символом у03 — обозначать оператор из Ио в НК (Г8) («Н^2 ((0, с))), который каждой функции и£У0 ставит в соответствие сужение на Г3 ее следа нулевого порядка (у03и = v (х, ¥ (х))> О < х < с).
Отправляясь от операторов т, у03, conv и [.]+, построим оператор Ф: Ио -> Го посредством формулы
Ф(и) = т(сопу [у03и]+),(12.172)
и рассмотрим следующую задачу о неподвижной точке.
Задача 12.11. Найти такую функцию и 6 Уо, что 'ф ((/) = (/.(12.173)
Сказанное выше позволяет предположить, что решение задачи 12.5 совпадает с решением задачи 12.11. Здесь мы как раз собираемся доказать эквивалентность задач 12.5 и 12.11, а также доказать, что задача 12.11 имеет решение, и тем самым ответить на вопрос о существовании решения задачи 12.5.
Квазивариационное неравенство. Очевидно, что задача 12.11 эквивалентна следующей.
Задача 12.12. Найти функцию U 6 Vo такую, что
Уиб Ио аф.и — и) + j(U,U)^j(U,v) + L(U — и), (12.174) где
/(«, и) = j [conv[yd3M]+ — u\+dxdy.(12.175)
D,
Квазивариационные неравенства типа (12.174) рассматривались в разделе 11.2: к сожалению, методика, использующая понятие монотонности, здесь неприменима, поскольку функционал (12.175) зависит от параметра и, значения которого принадлежат пространству Ио, не являющемуся полной векторной решеткой. Заметим, что результаты о неподвижных точках из раздела 9.3 также неприменимы к исследованию задачи 12.11, поскольку в данном случае в нашем распоряжении нет никаких предположений о компактности и непрерывности по отношению к той же топологии пространства Уо (отображение Ф сильно непрерывно, а пространство Vo слабо компактно). При доказательстве существования решения задачи 12.5 (в другой ее эквивалентной формулировке)
мы воспользуемся методикой, подобной той, что была разработана Бенсусаном и Лионсом для вариационных неравенств.
Оператор т. Следаем небольшое отступление, чтобы исследовать некоторые свойства оператора т, которые понадобятся нам, в частности, при доказательстве эквивалентности задач 12.5 и 12.12.
Лемма 1. Оператор т непрерывен по Гёльдеру и монотонен в том смысле, что'
II т (А) - Т (А) ц^ ^ IIА - A HL1((Oс>),(12.176)
А^А «• в- на I°> ^^(Ч/тЖ^^С^А))^) в 5
(12.177)
Доказательство. Сначала докажем неравенство (12.176). Пусть U] = т (А) и и2 = т (А); положим о = и2 в вариационном неравенстве (12.155), соответствующем А, и о — «1 в вариационном неравенстве (12.155), соответствующем А, и сложим полученные неравенства почленно. Получим неравенство
a (ut — и2, uv — и^ ^ j | f1 (х) — A WI dx dy. (12.178) d.
Из (12.133) имеем
II Hi н2 Hv0 Il A A IIl>((0,c))’(12.179)
следовательно, справедливо неравенство (12.176).
Докажем теперь утверждение (12.177). Пространство С°([0, с]) плотно в ^((О, с)), поэтому мы можем аппроксимировать А и /а последовательностями {/i,m} и (Ат) непрерывных на (0, с] функций таких, что■
A,m A) ^ Am A) Vx£[0,c], тем.
Отсюда и из неравенства (12.176) видно, что достаточно доказать (12.177) для функций А’ А € С® ([0, с]). Пусть А А) ^ А А) — Две непрерывные на [0, с] функции и С=Дх, у) :(т(А))А, у) > (т (А)) А> У^ (из (12.143) следует, что это множество открыто): на множестве С, в силу условия (12.170), имеем Д(т(А)— т(А))^0’ и> следовательно, по принципу максимума Хопфа и из условий (12.144) — (12.147) получаем, С = 0. □
Лемма 2. Для любой функции ^^((О.с)) имеем
(т(/))А,^ А))>0 при а-<х<Ь,(12,180)
(т(/))(х,у)>0 в О,(12.181)
Dti^U)Hx.y)>0 в D.(12.182)
Доказательство. Неравенства(12.180), (12 181) сле
дуют соответственно из неравенств (12.151) и (12.149) Для доказательства (12.182) ограничимся, как мы сделали это при доказа-
тельстве леммы 1, непрерывными функциями У Положим С = = {(х, д\. Dti (т (/)) (х, у) < 0} (это множество согласно (12.143) открыто): на D3 П С функция у Цх) — (т (/)) (х, у) строго возрастает, поэтому функция Н (J (х) — (т (/)) (х, у)) — невозрастающая. Отсюда и из условия (12.170) следует, что А£)ут (/) ^ 0, и, следовательно, поскольку Dyx (f)\ao ^ 0 (согласно неравенству (12.150)), принцип максимума Хопфа приводит к тому, что С=0.П
Еще две задачи. На этом мы заканчиваем наше отступление и будем теперь рассматривать следующую задачу.
Задача 12.13. Найти функцию U такую, что
UEV0; U>0 и U = T(conv?03t/).(12.183)
Задача 12.13 эквивалентна задаче 12.11. Действительно, если U — решение задачи 12.13, то U, очевидно, решение задачи 12.11, и наоборот, если U — решение задачи 12.11, то согласно неравенству (12.181) U ^ 0, и, таким образом, функция U является также решением задачи 12.13.
Другой эквивалентной формулировкой задачи 12.11 является следующая
Задача 12.14. Найти функцию U такую, что U Е Vo, U ^ 0, функция у03(/ — выпуклая и
t/ = T(Vo3t/).(12.184)
Легко видеть, что если U — решение задачи 12.14, то U — решение задачи 12.11. Докажем обратное: если U — решение задачи 12.13 (которая эквивалентна задаче 12.11), то
L/(x,y)^(convy03(7)(x) V(x,y)ED3, (12.185)
откуда следует, что ^ози ^ conv ^03и и функция ^03U — выпуклая (заметим, что если U — решение задачи 12.13, то U ^ 0, поэтому Тоз^ > 0).
Неравенство (12.185) докажем от противного; пусть
а = max {(7 (х, t/) — (conv у03 (7) (х)} >0.(12.186)
(х,у)€Оа
Из неравенства (12.182) следует, что этот максимум должен достигаться хотя бы в одной точке границы Г3, и, таким образом, поскольку и (0, У (0)) = (conv Vo3t7) (0) и (7(с, У (с)) = conv (Vo3t7) (с) (заметим, что T03t7 С С1 ([0, с]), так как UEC^D) и У Е С3 ([а, 6])), множество
С= {хЕ(0,с):Щх,У (х)) — (conv у03(7) (х) = а} (12.187)
непусто. Функции (7 и ^03U непрерывны, поэтому множество С замкнуто. Пусть х0 Е С. Из (12.187) имеем
(7 (х0, У (х0)) > (conv у03(7) (х0);'
учтем также предположение, что U— решение задачи 12.13, откуда U = т (conv у03(7); исходя из этого и из рассуждений, проводившихся 301
при исследовании задачи 12.10 (напомним, что у03С/ £ С1 ([0, с]), выводим, что — АС/ = 0 в окрестности точки (х0, Y (х0)). Далее, из неравенства
(conv у03С/) (х) < и (х0, Y (х0)) А (ТмС/) (х0)
вытекает (напомним снова, что 7оз^бС1([О, с])...), что функция у03С7 линейна в окрестности точки (х0, Y (х0)). Из всего сказанного следует, что функция
6(x,t/) = U(x,y) — (conv у03С/)(х) (12.188)
— гармоническая в окрестности точки (х0, Y (х0)). Теперь из (12.186) и (12.187) находим: 6 (х0, Y (х0)) = а ^ 6 (х, у) и 69 (х0, У (х0)) = = 0. Из принципа максимума следует, что существует окрестность точки (х0, Y (х0)), внутри которой 6 (х, у) = а, т. е. что множество С содержит окрестность точки х0, получено противоречие.
Интерпретация квазивариационной задачи как краевой задачи. Теперь мы можем доказать эквивалентность задач 12.5 и 12.11, или, точнее, задачи 12.5 и эквивалентных задач 12.11, 12.12, 12.13 и 12.14, о которой мы высказывали предположение в начале этого пункта; этот результат мы сформулируем для задачи 12.12.
Теорема 12.3. Задачи 12.5 и 12.12 эквивалентны, или точнее, задача 12.5 является интерпретацией квазивариационной задачи 12.12 как краевой задачи.
Доказательство. Если U — решение задачи 12.5, то U является также решением задачи 12.14 и, следовательно, задачи 12.12. Обратно, пусть U — решение задачи 12.14. Докажем, что U — решение задачи 12.5. Действительно, условие (12.96) следует из (12.143); условие (12.97) включено в условие (12.184); (12.98) следует из (12.182); условия (12.99), (12.100), (12.101) и (12.102) совпадают соответственно с условиями (12.144), (12.145), (12.146) и (12.147); определение множества Q с помощью (12.103) и (12.104) следует из (12.144) и (12.180). Равенство (12.105) вытекает из следующих рассуждений: —АС/ = 1 в Q, в силу (12.170); АС/ = 0 в D\Q, поскольку АС/ ^ 0, согласно (12.170) и (12.184) (учитывается также, что в D\Q имеет место равенство U (х, у) = = (703С/) (х), следующее из неравенств U ^ 7оз^, по определению множества й, и С/^703С/, в силу (12.182)); ALZ—АуозС/=(уозС/)"^О (в О\й), в смысле обобщенных функций, но также и почти всюду в D\Q, поскольку можно показать, что функция 703С/ — гладкая, точнее: 703С/^ И^ы ((0, с))— см. [137, с. 603, лемма 3.5]). □
Существование решения. Перейдем теперь к теореме о существовании решения задачи 12.5. Введем сначала следующее определение (полезное также с вычислительной точки зрения).
Определение 12.4. Обозначим через (С/т) последовательность, определяемую рекуррентной формулой
C/m+i = т (conv у03С/т), т>0, (12.189)
где С/о — решение задачи 12.7, в которой g определяется соотно- 302
шениями (12.139), F = xd, + Хо,- Обозначим через {t/m} последовательность, определяемую рекуррентной формулой
t7m+* = т (conv ?М(Л, гп>0,(12.190)
где U® — решение задачи 12.7, в которой g определяется соотношениями (12.139), Fs 1 в D.
Как уже отмечалось, это определение важно с вычислительной точки зрения. Фактически, здесь предложен новый эффективный алгоритм численного решения данного типа задач со свободной границей — см. [138, 151, 327, 249] (в последней работе используются конечные элементы — большинство остальных используют конечные разности; см. также [141]), [149] (где рассмотрено значительное число задач наряду с обзором эвристических методов решения задач со свободной границей), [318] и [156] (дамба с непроницаемым слоем), [319—321] (случай дамбы с наклонной левой и вертикальной правой стенками), [633] (задачи с учетом испарения) [326, 322] (задачи с учетом капиллярности), [328], (нестационарные задачи).
' ■ Нам понадобятся следующие вспомогательные результаты.
Лемма 3. Для любой функции f Е L1 ((0, с)) справедливы неравенства
иДх,у^ШНх,у^иЧх»У)V^x.y^D.(12.191)
Кроме того,
Uo = %^,(12.192)
U0 = t^M),(12.193)
где М £ R удовлетворяет условию
U°(x,y)^M V(x,y^D.(12.194)
Доказательство. Из (12.170) следует, что
— At/0^ — Дт(/)^ — Д(/°;(12.195)
функции Uo, т (/) и U6 удовлетворяют краевым условиям (12.144)— (12.147), поэтому, применяя принцип максимума Хопфа, имеем (12.191). Пусть теперь е > 0 — произвольное число; из (12.170) и из определения функции Uo можем записать
_Д(/0 = Хо, +XD,GXD| +XD, +хо#(-8-1/0) (12.196)
(поскольку Н (—6 — t/0) = (0) — это следует из того факта, что если справедливо неравенство (12.181), то Uo ^ 0). Из условия (12.170) и определения функции U® получаем
-Д(/о= 16XD, +xD, + xD1^(^ + e-^)(12.197)
(поскольку Н ^М + в — U°) = {1}, так как из неравенства (12.194) следует, что М ^ U°). Из (12.196) имеем соотношение
Ve>0 L/0 = t(—в),(12.198)
303
а из (12.197) — соотношение
Ve>0 U0 = 't(M4-e).(12.199)
Переходя к пределу при е -> 0+, что мы можем сделать благодаря (12.176), из (12.198) получаем (12.192), а из (12.199) будем иметь< (12.193). □
Лемма 4. Справедливы неравенства
Um (х, у) ^ Um+i (х, у^ ^ U0 (х, у) _
V^yj^D, т = 0,1,2,...»(12.200)
и-"(х,у^>итЦ-Чх,У^>и^х,У^_
V(x,yKD, т = 0,1,2,...(12.201)
Если U — любое решение задачи 12.5, то справедливы неравенства
U„Sx,y)^U(x,y)^Um(x,y) V(x,y^D, m = 0,1,2,... (12202)
Доказательство. Правые неравенства в (12.200) и (12.201) следуют из (12.191); левые неравенства можно доказать по индукции, как и левые неравенства в (12.202). Мы докажем здесь лишь неравенства для функций из последовательности {(7т), поскольку для остальных доказательство аналогично. Если М — вещественное число из условия (12.194), то Уоз^0 ^ М» и, таким образом, conv ^03U® ^ М. Отсюда, если воспользоваться свойством (12.177), следует, что т (conv у03{/°) т (М), поэтому по определению функций U° и U1 имеем U^-^U6. Если теперь Um ^Um-X (предположение индукции), то conv y03^m С conv у03(7т-1 и, таким образом, из (12.177) и из определения 12.4 получаем
Um*x = т (conv y03[/m) < т (conv ^aUm-^=Um.
Докажем теперь правое неравенство в (12.202). Если U — решение задачи 12.5, то из (12.184) имеем равенство U = т (y03t/), поэтому из (12.191) следует, что U U°. Если теперь U Um (предположение индукции), то имеем неравенство ^03U ^ ^03Um; следовательно, получаем соотношения conv ^08U = ^03U conv y03Um и U = т (conv y03W) < т (conv у03{Г) = Um*x. □
Полученный результат (точнее, неравенства (12.200) и (12.201)) показывает, что последовательности {(/,„} и {(/т) сходятся; поэтому имеет смысл ввести следующие обозначения.
Определение 12.5. Введем обозначения:
и» (х, //) = lira Um (х, у) V(x, у) £D,(12.203)
U” (х, //) = lim LT (х, у) V (х, у} 6 D.(12.204)
т-юо
Теорема 12.4. Задача 12.5 имеет по крайней мере одно решение. Точнее, функции UM и Ux являются решениями задачи 304
будучи соответственно минимальным и максимальным решениями в том смысле, что для любого решения U данной задачи выполняются неравенства
IMx.y^UVc.yXirVc.y) V(x,y^D. (12.205)
Доказательство. Неравенства (12.205) следуют из неравенств (12.202). Покажем, что 1)” — решение задачи 12.5 (в действительности мы покажем, что U” — решение задачи 12.13); доказательство того, что и®, также является решением этой задачи, полностью аналогично. Из неравенств Uo ^ Um ^ U0 (см. (12.191)) следует, что 0 ^ у03(/" ^ 7оз^°> поэтому 0 ^ conv 403Um^ ^7оз^°; из неравенства (12.176) следует тогда, что последовательность {(/т) сильно ограничена в Vo. Поэтому мы можем выделить из этой последовательности подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторому элементу U £ W Из единственности слабого предела и из (12.204) следует, что U — U°°, а поскольку последовательность {(/”} монотонна (см. (12.201)), вся последовательность слабо сходится: .
U^U00 в Vo.(12.206)
Отсюда и из неравенства (12.148) следует, что
Um — lT в W^D) Vr< + oo,(12.207)
а поскольку соболевские включения компактны,
Um-+lT вС*(О),(12.208)
откуда, в частности, имеем
Чо8ит-*ЧО8и°° в С1 ([0, с]),(12.209)
а поскольку оператор conv: Н1 ((0, с)) -*■ Н1 ((0, с)) непрерывен,
conv y03Um -> conv 703(/” в //*((0, с)).(12.210)
Из (12.210) и (12.176) получаем
U” = lim L/m+1 = lim т (convy03t/m) =
= т(Нт conv y03(7m) = T(conv y03(/”),(12.211)
что вместе с неравенством (/” ^ 0 (вытекающим, например, из (12.204)) и условием U” 6 Уо (вытекающим из (12.206)), показывает, что U”— решение задачи 12.13. □
Теорема 12.4 завершает обсуждение вопроса о существовании решения задачи со свободной границей, поставленного в п. 12.3.1. В следующем пункте мы рассмотрим вопросы, касающиеся единственности и гладкости решения.
30530520 К. БаЙокки, А. Капело
305
305
/12.3.6. Единственность н гладкость решения задачи со свободной границей.
Два предположения о задаче 12.5. На рис. 12.3 изображена сетк^ тока, соответствующая решению U” для трапециевидной дамбы. Мы не приводим соответствующую сетку тока для решения Voo, поскольку она практически совпадает с той, что изображена на рис. 12.3 (сетки, изображенные на рис. 12.3, 12.8 и 12.9, нарисованы с помощью программы, написанной В. Комннчиоли, на графопостроителе Calcomp 936, подключенном к ЭВМ Honeywell Н6030). •
Совпадение решений U” и U«> и рисунки типа рис. 12.3 дают основание высказать следующие предположения:
(ГН) задача 12.5 имеет единственное решение;
(П2) решение задачи 12.5 — гладкое в смысле определения 12.3.
Справедливость данных предположений будет доказана в п. 12.3.7 для случая дамбы с вертикальными стенками; сейчас мы покажем справедливость предположения (ГП) в общем случае, что касается предположения (П2), то здесь мы приведем лишь частный результат.
Единственность решения задачи о дамбе. Напомним сначала результат, касающийся гладкости контактного множества решений неравенств с барьером:
пусть D*cl^— открытое множество в Rn, г € №2,r (D*) Vr <
< + 00, г>0 в D*, kz> 1 в Q* = {P6D*:z(P)>0};
тогда р(О* П дй*) = 0 (12.212)
(здесь р — мера Лебега в R"). Напомним, что за последние пять лет получено много важных результатов, касающихся подобных вопросов гладкости — см., например, [270—276, 284—288, 357, 388, 390, 396, 406, 502—504, 506, 507] и соответствующие ссылки в этих работах.
Пусть теперь {£2, р) — решение задачи 12.4, и U — соответствующая функция, определяемая равенством (12.76); зафиксируем произвольно; е>0 и положим D* = ^х,y^D; &<.х<с—е) и z(x,y) = U(x, YV$ — U(x,y^V(x,yKD*- № (12.96), (12.97). (12.105) и из того, что ?оз^ € ^ы” ((0. с)) следует, что мы можем применить результат (12.212), откуда в силу произвольности е
имеем:
если {£2, р^ — решение задачи 12.4, то
множество 5Q имеет нулевую плоскую меру. (12.213) Утверждение (12.213) — первый шаг на пути к доказательству предположения (П2). Покажем связь нашей формулировки с той, что приведена в работе [101] — мы используем последнюю для усиления утверждения (12.213), а также для доказательства предположения (П1) (мы не будем доказывать предположения (П2), ср. ниже с (12.218)).
Следуя [101], назовем пару (Л, /) суперрешением задачи 12.4,
если, полагая
где
имеем
V = {и 6 Я1 (О): о (x, Y (х)) = у (х)},
Уг-YW, 0,
а < х < 0,
0 ^ х < с,
У a — ¥ (х), с<х<Ь,
fEV, AczD, f = 0 почти всюду в О\Л,
Yg EV — V ^ grad(/ + y)gradgdxdy>0. А
(12.214)
(12.215)
(12.216)
Введем для суперрешения (Л, /) функционал
JkA,h = ^\@adV-Vy№dy.
(12.217)
В работе [101] показано, что функционал J имеет минимум на семействе суперрешений, и для каждой точки минимума (Л, /) пара {£2, pY где £2 = А, р = /|й, является решением задачи 12.4 (по поводу условия (12.59) см. [102, теорема 2.8]).
Обратно, согласно утверждению (12.213) каждое решение {£2, р\ задачи 12.4 обладает тем свойством, что пара (Л, /), где Л = = Q, / = р (тривиальное продолжение функции р в D\Q), является суперрешением и минимизирует функционал J, определяемый выражением (12.217) на семействе суперрешений (ср. [101]); поэтому, используя результаты работы [102], имеем
если {£2, р^ — решение задачи 12.4, то
£2 = 5, U 52 U {(^У)6О8:0<у<ф(х)},
где функция ф — такая, что дуги ее графика
20*20*в области D — аналитические. (12.218)
20*
20*
307
Далее, можно доказать (ср. [103, 289]), что минимум функционала J на семействе суперрешений единствен, и, таким образом, справедливо следующее утверждение.
Теорема 12.5. Задача 12.4 имеет, одно и только одно решение.
Тем самым, в частности, доказано, что справедливо предположение (Ш). Что касается предположения (П2), то утверждений (12.213) и (12.218) недостаточно для его подтверждения. В следующем разделе мы покажем непосредственно (т. е. не используя результатов Альта), что предположения (ГП) и (П2) справедливы для случая дамбы с вертикальными стенками.
12.3.7. Дамба с вертикальными стенками. Дадим сначала точное описание новой геометрии дамбы (рис. 12.4, диагр. 12,2).
Определение 12.6. Пусть с, d, ух, у2 — вещественные числа такие, что 0 < с, 0 <. у2 <. Ух ^ d. Прямоугольник D = = (0, с) х (0, d) назовем дамбой с вертикальными стенками. Далее, положим
Го ={(х, 0):0<х<с},
Гт = {(0, у): 0 < у < yj, Г2 = {(с,у): 0 < у <у2},
Гз1 = {(0, у): yt < у <d}, гз2 = {(с, у): у2 < у Cd), гз0 = {(x,d):0<x<c).
Новые краевые условия. В новой геометрии краевые условия (12.100), (12.101) и (12.102) претерпевают значительные изменения, поскольку производная по у является уже не наклонной, а тан-
генциальной дамбы. Так, ственногенциальной дамбы. Так, ственнона стенках и нормальной на верхней поверхности интегрируя (12.100) и (12.101), получаем соответ-
генциальной дамбы. Так, ственно
генциальной дамбы. Так, ственно
(12.102)(12.102)U = №-^-yy/2 на Гр
(12.102)
(12.102)
U = ^-^-gY/2 на Г2.
Границу Г3 следует разбить на три части: краевым условием на участке Г30 является, по-прежнему, условие Uy = 0 (теперь это уже не условие наклонной производной, а условие Неймана); на участках Г31 и Г32, используя непрерывность функции U\dD и условия на Гх и Г2 путем интегрирования, получаем соответственно условия U = у^/2 и U = д^/2. Из проделанных рассуждений также видно, что эффективная высота дамбы d не входит в краевые условия (этого следовало ожидать, поскольку мы предполагаем, что пористый материал несжимаем, и игнорируем явление капиллярности). Поэтому можно положить без потери общности d = уй таким образом, Г' = F, Е' = Е, Г31 = 0 и Г30={(х,у^: 0<х< < с), (последнее множество представлено на рис. 12.4 пунктиром).
Задача в новой геометрии. Внесем теперь соответствующие изменения в формулировку задачи 12.5.
Задача 12.15. Найти функцию U такую, что
U^V'r^ Vr<
+ 00
,(12.219)
функция х—*- U (х, у^ — выпуклая
на [0,с],(12.220)
(/„>0
в
D,(12.221)
(/ = 0
на
Го,(12.222)
и = угх!2-
<У1-У^
на
Гр(12.223)
и = у^/2-
^-у?12
на
Г2,(12.224)
U = g^/2
на
Г32,(12.225)
uti = o
на
Г30;(12.226)
если
й = ^х,д^О:0<х<с и (/(х,у)<(/(х,у1)), (12.227) то
Q содержит окрестность Го,
(12.228)
— А(/ : Xq п. в. в D.
(12.229)
Естественно, понятие гладкого решения, введенное определением 12.3, также следует модифицировать.
Определение 12.7. Решение задачи 12.15 назовем гладким, если функция х —>- <р (х), х g [0, с], определяемая
соотношениями
ф(х) = sup {г/:(х, z/) СQ}, 0<х<с;
(12.230) Ф (0) = lira ф (х); ф (с) = Нт ф (х), х-.о+х-*с
строго убывает, непрерывна и ф (0) = уг, ф (с) > у2.
В этом случае, как легко видеть, висящий источник находится в точке с абсциссой с; свободной линией является кривая Гх = = {(х, ф (х)) : 0 < х < с), а линией просачивания — кривая Го = = {(с, у) : У1 < у < ф (с)}.
Задача 12.15 является смешанной краевой задачей Дирихле — Неймана, которую нельзя рассматривать как частный случай задачи 12.5, но можно интерпретировать как предельный случай этой задачи (точно так же, как геометрия, описываемая определением
является предельным случаем той, что описывается определением 12.1).
Легко видеть, что все, что было проделано в п. 12.3.6, может быть проделано также, с соответствующими упрощениями, и для задачи 12.15. Так, в частности, можно утверждать, что задача 12.15 имеет максимальное—U” и минимальное — U.» решения. Докажем теперь, что Ua> = U”, т. е. что задача 12.15 имеет единственное решение, и что это решение — гладкое в смысле определения 12.7.
Замечание. Дамбы с вертикальными стенками были объектом исследования первых работ, в которых применялся метод замены неизвестной функции, описанный в п. 12.3.2 (ср. с гл. 8 ...). В этих работах вместо условия (12.220) рассматривалось условие «функция х ->• U (х, у^ линейна на [0, с]», выражающее постоянство пропускной способности вдоль всей дамбы или какое-либо эквивалентное ему, при котором задаче можно дать вариационную формулировку (в то время понятие квазиварнационного неравенства еще не было введено) — к этому вопросу мы еще вернемся. «(Промежуточной» по отношению к задачам 12.5 и 12.15 является задача, в которой дамба имеет вертикальную правую и наклонную левую стенки; в этом случае задачу можно сформулировать с помощью семейства вариационных неравенств, зависящего от параметра — см. [150, 319, 321] и [320], где эта формулировка сравнивается с квазнварнацноннон с вычислительной точки зрения.
Единственность решения. Докажем сначала несколько предварительных результатов (ниже у080 — оператор следа на Г80 нулевого порядка).
Лемма 1. Функция уОзо^° вогнута.
Доказательство. Положим
z« = y + DtiU°(12.231)
и выясним, решением какой задачи является функция 2°. По определению функции U0 имеем
Дг° = 0;Дг° = 0;(12.232)
Дг° = 0;
Дг° = 0;
из (12.193) и (12.182) следует, что
z°>0 в D.(12.233)
Снова из определения функции U° видим, что функция г° удовлетворяет краевым условиям задачи 12.15, поэтому к уравнению (12.232) необходимо добавить условия
Z0 = У1
на ГР
(12.234)
z° = У2
на Г2,
(12.235)
2° — У
на Г32,
(12.236)
20=У1
на Г30,
(12.237)
z°= 0 У
на Го.
(12.238)
Условия (12.234)—(12.237) вытекают из условий (12.223)—(12.226) соответственно, а условие (12.238) следует из условия (12.222), согласно которому можем записать (/”* = 0 на Го; из определения функции U0 получаем, что — At/0 = 1 в D; следовательно,
?у = Uyy + 1 = Uxx на Го.
Далее, из принципа максимума Хопфа следует, что max^z0 = yt достигается на I\ (J Г30 U {(0, у^, поэтому функция 6 = z° — уг строго отрицательна в D. Отсюда и из условия (12.237) (оно показывает, что 6 = 0 на Гдо) следует, что должно выполняться неравенство
7оз<Д>О;(12.239)
поэтому по определению функции г°
7озо^+1>О,(12.240)
т. е., поскольку Д{/° = — 1,
7озЛ-^°>О.’ (12.241)
Таким образом, имеем окончательно 7030(/°х ^ 0; следовательно, справедливо утверждение леммы. □
Лемм а 2. Функция ymJJM линейна и U1 = U'”.
Доказательство. Из леммы 1 следует, что функция
X(x)=(convTo30t/<>)(x)(12.242)
линейна на [0, с]. По определению имеем U1 = т (X (х)); таким образом, если мы сможем доказать, что (Уозо^1) (х)(х), то
лемма доказана, поскольку в этих условиях (conv Уозо^1) (х) = = X (х), откуда U1 = IP = ... = U”, а поскольку функция 7озо^” выпукла, первая часть леммы доказана.
Равенство U1 = (/” имеет большое практическое значение: оно говорит о том, что итерационный процесс вычисления функции и” состоит из одного шага.
Вторую часть докажем от противного: пусть 0 =/= у cz Г30 — интервал, на котором (Уозо^1) W < ^ И (напомним, что мы рассматриваем непрерывные функции). Доказательство леммы 1 легко модифицировать для доказательства того, что функция Уозо^1 вогнута на у,— а это является противоречием, поскольку функция Тозо^1 непрерывна на [0, с]. Заметим, что линейность функции X используется для того, чтобы гарантировать, что At/1 = 0, где U1 = X (и, таким образом, получить аналог уравнения (12.232)), и что шаг, соответствующий переходу от (12.240) к (12.241), возможен в силу того, что в окрестности у имеем U1 < X, следовательно, в этой окрестности —At/1 = 1 (см. задачу 12.10). □
Поскольку след Уозо^°° — линейная функция, его можно выписать, используя (12.223) и (12.225), в явном виде:
,.2/2 2\
(Тезо^Л Ю = 4 + ~^~2с~ х- х € [°-(12.243)
отсюда и из (12.95) получаем так называемую формулу Дюпюи для пропускной способности дамбы:
Ча = (У? — У^№\'
Мы можем теперь утверждать,
. что 1Г
”|do = gr, где g — функция,
определяемая соотношениями
|У?/2-(У1-у)2/2
на Гр
0
на Го
U {(0;0),(с,0)},
g(x,y) = \ у^-Ауг-у?12
на Г2,
(12.244)
1^/2
на Г32
U {(с, у2)}--
Уу^-^-уМ^
на Г30
U {(0, у^, (с, yj).
Лемма 3. Справедливы неравенства
Dx [Тозо^ - ^Л < 0 на D,(12.245)
Dy [y03i)tr - IT] ^ 0 на D.(12.246)
Доказательство. Неравенство (12.246) является прямым следствием неравенства (12.221). Чтобы доказать неравенство (12.245), положим
h (х, у) = (Уозо^Л (х) - U” (х, у),(12.247)
Cix = ^x,y^D-.D^x,y^>0Y(12.248)
Здесь йж — открытое множество, поскольку функция Dxh (х, у) непрерывна. Обозначая через й°° отделенное множество, соответствующее решению I/” (и через й» — соответствующее множество для решения t/с»; мы будем использовать его позже), имеем йяс с й°°, поскольку если (х0, у0) С йя\й°° (доказательство от противного), то Dxh (х, у о) > 0, так как (х, у0) 6 йя и h (х0, у0) = 0, так 312
как (х0, y^Q, й”; отсюда следует, что h (х, у0) < 0 при х < х0 в окрестности точки (х0, у0),— это является противоречием, поскольку h (х, у) > О всюду в D. Предположим теперь, что йя =И= 0. Из включения йя с: S2”, равенства (12.229) и линейности функции Yoso^” следует, что
ДОяй(х,у) = ОяМ(х,у) = 0 в Йя. ' (12.249)
Отсюда получаем; максимум
р = max \DJi (х, у)}(12.250)
^который существует в силу того, что функция Dxh непрерывна в йя) достигается в точке (х„ у0) С 5HX, и по определению множества Оя должно выполняться неравенство р > 0;
далее, (х0, у0) С 5ОЯП dD, поскольку Dxh (х, у) = 0 в 5ОЯ П D по определению множества йя и в силу непрерывности функции Dxh.
Докажем теперь, что (х0, y^^dD, чтобы получить противоречие. Имеем: (х0, у0) £Т0, поскольку в силу условий (12.222) н (12.243) Dxh < 0 на Го; (х0, у0) Г30, так как по определению функции hDxh=Q на Г30; №> Уо) $ Г82, поскольку Dx h ^ 0 на Г32, что видно из того факта, что /г^О в D и из (12.225) и определения функции /г, имеем h=0 на Г82; наконец, чтобы увидеть, что (х0,
Уо) £ Г\ (J Г2, достаточно заметить, что Dxxh (х, у) = 0 на Гг U Г2 (это следует из определения функции к, из (12.223), (12.224) и, поскольку ^ J Г2 cz dQ°°, из (12.229)), н что, согласно принципу максимума Хопфа, если (х0, у0) £ Гь то Dxxk (х0, у0) < 0, а если (*о, Уо) б Г2, то Dxxk (х0, Уо) > 0. □
О^, = Mx,y^D-x>x6, у>у0}, Qp0 = {С-^ У) 6 ^ • х ■< х0, у <С Уо);О^, = Mx,y^D-x>x6, у>у0}, Qp0 = {С-^ У) 6 ^ • х ■< х0, у <С Уо);(12.251)(12.252)(12.253)(12.251)(12.252)(12.253)Лемма 4. Положим для любой точки Р0 = (х0, y^^D:
О^, = Mx,y^D-x>x6, у>у0}, Qp0 = {С-^ У) 6 ^ • х ■< х0, у <С Уо);
О^, = Mx,y^D-x>x6, у>у0}, Qp0 = {С-^ У) 6 ^ • х ■< х0, у <С Уо);
(12.251)
(12.252)
(12.253)
(12.251)
(12.252)
(12.253)
тогда для любой точки P^D
Р С D\Q°° => Q^ с О\Й~,
^еО Л 5Q°°=>Qp cQ°°. (12.254)
Доказательство. Геометрический смысл данного утверждения интуитивно ясен из рис. 12.5 (присутствие осей X = = х + унУ = х — у будет пояснено позже). Докажем сначала (12.253). Пусть Р6 = (х0, Уо) ^ D\QQ‘’; по определению множества Q°° и из (12.247) имеем h (х0, у0) = 0. Поскольку h ^ 0 в D и в си-
лу (12.245) функция h ие возрастает по х, то h (х, у0) = 0 на [х0, с]. Учитывая, что h"^0 в D и тот факт, следующий из (12.246), что функция к по у не возрастает, получаем к = 0 на [Хо, с] х [у0>_У1] = = Q+. По определению множества й°° имеем тогда, что Q^ с с О\П°° и, таким образом, Q+ = (Q+ )° с (О\П°°)0 с (О)0\Й°° = = d\q~
Докажем теперь (12.254). Пусть (доказательство от противного) точка Ро $ D П dQ°° такова, что Q7. ф Q°°; тогда существует точка Рх 6О\П°° такая, что Рх € Q?o, и, следовательно, Рй £ Qp,; из (12.253) следует тогда, что P0$D\Q”; но это противоречит предположению P6£DRd£T. □
Лемма 5. Имеем
дЙ”Г|Г8О = 0.(12.255)
Множество д£Ф f\D не содержит ни горизонтальных, ни вертикальных отрезков.
Доказательство. Докажем сначала, что множество dQ°° П D не содержит горизонтальных отрезков; для вертикальных отрезков доказательство полностью аналогично. Пусть (доказательство от противного) у — такой отрезок и уЙ — его ордината. По определению множества Q” и в силу непрерывности функции к (см. соотношение (12.247)) k = 0 на у; далее, на у должно выполняться равенство Dvk = 0, поскольку по лемме 4 к = 0 «над» у0. Теперь, из единственности решения задачи Коши для уравнения АД = —1 (см. (12.229)) с полученными начальными условиями, на всем множестве Q°°, которое, согласно лемме 4, связно, функция к имеет вид к (х, у) =g- (у — у0)2, и, следовательно, в силу соотношений (12.247) и (12.243), функция U” имеет вид
U^x, у^-^- уй? +4Ц^ х' 0 2‘ 256>
что противоречит (12.244). Аналогичные рассуждения показывают, что множество дй°° не содержит отрезка Г30. Теперь убедимся в том, что Г30 не содержит изолированных точек множества 5Q”. Для этого покажем, что, если (х0, у^ € 5Q” при х0 6 (0, с], то отрезок {(х, yi) : 0 < х < х0} содержится в дй°°, что противоречит только что доказанному. Пусть теперь точка х0 £ (0, с] — такая, что (х0, ух) 6 дй°°. Тогда к (х0, у) > 0 при у € Ю, у^, поскольку если х0 = с, то по лемме 4 Q°° = D, а если бы для х0 < с выполнялось равенство к (х0, у^ = 0, то из (12.246) мы имели бы к (х0, у) = 0 па 1уй, yxL Следовательно, (х0, у^ ^дй°°(это следует из того факта, что согласно первой части леммы вертикальный отрезок {(х0, у^ : у» < <_у < у^ содержится внутри множества О\П°°). Отсюда и из
следует, что /i(x, у)>0 в R = (0, xf) х (0, yj, и, таким образом, Я cz й°°; что {(х, ух): 0 ■< х < х0} с дй°°. □
Мы можем теперь доказать, что предположение (П1) в случае задачи 12.15 справедливо. Приводимое ниже доказательство, естественно, не зависит от рассуждений, приведенных в разделе 8.2. Следует также отметить разницу между данным результатом о единственности решения квазивариационной задачи и результатом о единственности, полученным в теореме 8.3 для вариационной задачи.
Теорема 12.6. Задача 12.15 имеет единственное решение.
Доказательство. Покажем, что функция ^oa6U=o линейна — это означает, что Yoso^” = Тозо^°°' поэтому lT = Um откуда (и из (12.205)) следует утверждение теоремы. Чтобы показать линейность функции Уозо^«» докажем, что
Й^сЙ”; (12.257)
отсюда фактически следует, что в окрестности границы Г3!) имеем (Yo3o^7=)"= ^=° = 0, и, таким образом, функция Уозо^= линейна. Чтобы доказать включение (12.257), покажем, что верно неравенство
в D, (12.258)
поскольку из этого неравенства и из определения_множеств й» и й°° следует; если U” =_Yo3o^°° почти всюду в О\й°°, то (/«>=Уозо^«» поэтому О\Й°° cz О \ й».
Пусть справедливо обратное;
0 ^С ={(х, у) £ D: б = (/» - Yo3o^ - W - У^} < 0}- (12.259) Мы имеем дело с непрерывными функциями, поэтому множество С открыто, и из неравенства Vх ^Yobo^” в О и определения множества й» имеем CcQ„. Таким образом, поскольку функция Уозо^°° линейна, функция Уозо^= выпукла и — 1 <. А(/°°, получаем
Аб = At/» — AYoaot/oo — AL/” + k^jT < 0. (12.260)
С другой стороны, б>0 на дСПГг (Z = 1,0,2, 32), поскольку функции Uоо и U” удовлетворяют одним и тем же краевым условиям и U ^Uoo, Yoso^ ^Yo3o^°°'
По определению следа имеем 6 = 0 на Г30, а по определению множества С имеем б = 0 на дС П D. Таким образом, функция б является решением в каждой связной компоненте множества С задачи вида шайти функцию б, субгармоническую и строго отрицательную внутри данной компоненты и неотрицательную на ее границе» — из принципа максимума получаем противоречие. □
Эквивалентные формулировки задачи 12.15. Мы можем теперь утверждать, что задачу 12.15 можно записать в виде задачи
Дирихле для многозначного уравнения
-W^H^g^y^-U} в D(12.261)
с краевым условием g на dD (оно определяется соотношениями (12.244)). Запишем эту задачу в вариационной форме.
Задача 12.16. Найти такую функцию U К, что
Vv^K § gradUgrad (U— v)dx dy + ^ [g(x, z/J— UV dx dy^ DD
< J lg(*> У1)-vVdxdy, (12.262)
D где
К = (v € H1 (D): you = g на dD}.(12.263)
В сущности, именно в такой форме рассматривалась первоначально задача о дамбе с вертикальными стенками. Задачу 12.16, которая связана с задачей 12.12 точно так же, как задача 12.15 — с задачей 12.5, можно записать эквивалентно в виде следующей задачи минимизации.
Задача 12.17. Найти на множестве К минимум функционала
^(v) = 4" j Igradvpdxdy + j Vg(.x, y^ — v}* dxdy. (12.264) DD
Гладкость свободной границы. Продолжим нашу серию лемм, необходимых для доказательства предположения (П2) в случае задачи 12.15. Пусть U — решение задачи 12.15, Q — соответствующее отделенное множество.
Лемма 6. Функция ф, определяемая соотношениями (12.230), непрерывна и строго убывает на [0, с]; в частности, график этой функции в осях X = х + у и Y = х — у непрерывен по Липшицу.
Доказательство. Уравнение (12.228) гарантирует, что для любой точки х £ (0, с} множество }у : (х, у} С й) непусто (кроме того, согласно лемме 5 множество дй П О не содержит вертикальных отрезков), следовательно, соотношения (12.230) действительно определяют на [0, с] функцию. Эта функция, по лемме 4, монотонна, поэтому пределы, присутствующие в (12.230), существуют. Таким образом, заключаем, что соотношения (12.230) определяют монотонно убывающую на отрезке [0, с] функцию. Непрерывность графика функции ф в осях X и Y (см. рис. 12.5) по Липшицу и, стало быть, непрерывность функции ф следует тоже из леммы 4. Согласно лемме 5 функция ф строго монотонна, а это гарантирует, что ее график (в осях х и у) не содержит горизонтальных отрезков. □
Лемма 7. ф (0) = уг и ф (с) > у4.
Доказательство. Из того, что Гт U Г2 с: дй (это следует из того, что функция U непрерывна в силу (12.244) и из определения множества Й), сразу же видим, что ф (0) = уг и ф (с) ^ 316
^ у4. Приведем кратко схему доказательства неравенства <р (с) > > Уг с помощью одной из методик теории функций комплексной переменной (полное доказательство см. в [399]) — так называемой методики плоскости годографа. Преобразуя множество Q с cz R2 конформно в множество Q* с С с помощью отображения
(х, у) € R2 н- 0» = Ыж = Uyx, q = ux = Uxx) € С (12.265)
(рис. 12.6) видим, что должно выполняться неравенство Сф ^ С, поскольку в противном случае множество Q* было бы пусто, как
я множество Q. Мы, в то же время, доказали, что U ^ ИР2’” (£>), так как функция их = Uyx не может оставаться ограниченной в окрестности точки (с, у^, в которой есть особая точка плоскости
qY □
Заметим в связи с приемом, использованным в последней части приведенного доказательства, что в гидродинамике пористых материалов плоскость переменных (х, у) обычно называют физической плоскостью, а плоскость переменных (их, vx) — плоскостью годографа. Один из эвристических приемов решения задачи фильтрации в пористых материалах — так называемый метод плоскости годографа — состоит в преобразовании задачи, сформулированной в физической плоскости в задачу, формулируемую в плоскости годографа (см. [161, § 7.3; 62, гл. 2]).
Докажем следующее утверждение.
Теорема 12.7. Решение задачи 12.15 является гладким в смысле определения 12.7; сужение функции <р на интервал (0, с) является аналитической функцией.
^Доказательство. Первая часть утверждения теоремы следует из лемм 6 и 7. Чтобы доказать вторую часть, воспользуемся снова комплексными переменными, преобразуя множество Й с R2 конформно в множество Q' с С с помощью отображения
(х, у)->(и = иу + у, и = Ux\ R2->C. (12.266)
Функции и и о сдвинуты, по сравнению с теми, которые обозначались теми же символами в разделе 12.2, на величину qd =
= (у2—У^)^с (Рис- 12.7). Заметим, что преобразование (12.265) является производной данного преобразования — аргументация, используемая в настоящем доказательстве, принадлежит
Каччиопполи (см. [591]). Конформное преобразование, обратное к (12.266), можно записать в виде
(и, v) -> (х (и, и), у (и, и)), С—>■ R2; (12.267) при этом гармоническую функцию у {и, и) можно продолжить аналитически в окрестность отрезка CVF' (вместе с гармонически сопряженной функцией х(и, и)), поскольку она принимает на нем
Рис. 12.8рис. 12.9
значение и. Следовательно, функцию и=и (х, у) также можно продолжить аналитически в окрестность кривой FC,,, и тогда справедливо утверждение теоремы. □
Свободная линия, или, точнее, функция ф обладает также следующими свойствами:
функция ф вогнута,(12.268)
Ф'(0) = 0, ф'(с) = — оо,(12.269)
поэтому, в частности, справедливы экспериментальные условия «втекания и вытекания» (ср. [458, с. 21]). Доказательство этих свойств см. в работе [405], см. также [342].
На рис. 12.8 изображена сетка тока для дамбы с вертикальными стенками — отметим монотонность свободной линии и наличие висящего источника (оно было очевидно уже для сетки тока, изображенной на рис. 12.3). На рис. 12.9 приведена сетка тока для той же дамбы, но с учетом явления капиллярности: возле свободной границы видна область отрицательного давления — так называемая капиллярная кайма.
Глава 13. ЗАДАЧИ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ И ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА
В этой главе мы рассмотрим кратко связь между задачами со свободной границей и вариационными неравенствами, придерживаясь направлений, предложенных в работе [140]. Иными словами, мы проанализируем условия, при которых задачу со свободной границей для дифференциального оператора второго порядка можно переформулировать в виде вариационного неравенства в фиксированной области.
Операторы grad, Grad, div и Div. Введем ряд обозначений. Пусть В — открытое множество в R" (и ^ 1). Если «б#' (В), то символом grad и мы обозначим вектор -
" ди!дх1'
(13.1)(13.1)grad и =
(13.1)
(13.1)
_ди!дхп
а символом Grad и — вектор
Grad и =Grad и =ди/дхгди/дхг6{^'(В)}л+1.6{^'(В)}л+1.(13.2)(13.2)
Grad и =
Grad и =
ди/дхг
ди/дхг
6{^'(В)}л+1.
6{^'(В)}л+1.
(13.2)
(13.2)
ди!дхп
Если о = (оп..., оп)^ {^Й'(В)}п, то обозначим через div о обобщенную функцию
п ди.divu=5 -^6^' (S),п ди.divu=5 -^6^' (S),(13.3)(13.3)
п ди.
divu=5 -^6^' (S),
п ди.
divu=5 -^6^' (S),
(13.3)
(13.3)
если су = (и, о)в(ц, ит vn)€ {-^'(В)}п+*> то обозначим через Div су обобщенную функцию
Div w = и — div и 6 2' (В).(13.4)
319
Оператор —div: {5)'(Е)}"-*^'(Е) является, очевидно, транс, понированным по отношению к оператору grad: ЗУ (Е) -> {5)' (Е)}":
п
<S'(3)in^rad“, <P){^(S)}" = Х^t)^) =
1=1 п
(13.5;(13.5;= S ®'<е/“’ ^Wi/^Xi) ^ = ^'(S)(M> dlVVlsKB)
(13.5;
(13.5;
Уф^(ф!Фп) € {<0 (S)}".
Аналогично, оператор Div: {^' (Е)}"+1 -> ЗУ (3) является транспонированным по отношению к оператору Grad: ^'(Е)-> {55' (Е)}"4"1:
<^'(3)}n+1<Grad"» X>f^(a),n+i = ^(S)<“’ ^гаНд.гУИ'1^^"’^^
= ®'@^и’^№) "^ ®'@^и' d'v<Pl^(S) = ^'(2)^“’ ^*vX)^(s>
ух=Ф,ф)даоп+1-(1з.б)
Оператор L. Обозначим через [X] матрицу
61 р61 р(13.7)(13.7)
61 р
61 р
(13.7)
(13.7)
_~Сп; ат
Относительно ее элементов сделаем следующие предположения:
аи, Ьь ct, d € U71’00 (Е), i, j=l,..., n. (13.8)
Введем теперь дифференциальный оператор, который будет рассматриваться в этой главе.
Определение 13.1. Обозначим через L линейный дифференциальный оператор с коэффициентами ац, bt, ct, d, определяемый соотношениями
dom (L) = {о € А2 (3): [л] Grad и е {Z? (Е)}"4"1},(13.9)
Vvgdom(L) Lu = Div [X] Grad и в ^)'(Е).(13.10)
Данное определение имеет смысл в силу того, что при и 6 L2 (Е) имеем Grad и£ {Я-1 (Е)}п+ь тогда в силу условия (13.8) имеет смысл выражение [X] Grad и, входящее в определение области определения оператора L. Кроме того, в общем случае dom (L) до до Н1 (Е), причем dom (L) = Н1 (Е), если матрица [а] положительно определена; в последнем случае L является эллиптическим оператором.
Формально определения (13.10) и (7.41) совпадают, фактически же использованная здесь форма записи элементов матрицы [X] была продиктована именно стремлением достичь этого совпадения.
320
Задача со свободной границей. Рассмотрим следующую задачу со свободной границей для оператора L (определение пространства /Х (8) см. в гл. 18).
Задача 13.1. Пусть /£ ^2(S), ip 6 dom (L), л £ /X (8). Найти {Й, «} такие, что:
й с Е, Й # 0 — открытоемножество,(13.11)
«gdom(L),(13.12)
^lc = flQ.(13.13)
supp (ц — ip) с Й,(13.14)
avL(13.15)
Для функции и = и |Q условия (13.13),(13.14),(13.15) можно
формально записать следующим образом:
Lu = tвй,(13.16)
и = 1рнаdQП8,(13.17)
ди/д^ь = n-nQна5Qfl8.(13.18)
Из этой записи видно, что задача (13.1) является, в действительности, задачей со свободной границей: на свободной части границы дй (т. е. на дЙ П 8) заданы два условия — (13.17) и (13.18). С другой стороны, постановка задачи неполна: к условиям на свободной границе необходимо добавить условия на фиксированной части дй (на дй П дЕ).
Условие (13.18), естественно, следует понимать в смысле следе в функций из L24w (Й) : формально имеем■
Ln-==HT'alGгadu■^-(1319)
и из (13.8) и (13.9) имеем
div [— у | a] Grad и = — Div [X] Grad и — л [6 i Р] Grad и =
= — f — ы[61 Р] Grad u^D^ (13.20
(ср. (18.13)...). Заметим также, что из (13.18) имеем
[a] grad (и — ip) grad (w — ip) + {[— V j a] Grad ip — л} grad (w — ip) = 0 на дй П S. (13.21)
В это условие нормаль ла к дй в явном виде не входит; фактически, используя (13.17), (13.18), (13.19) и тот факт, что grad (и — — 1р) — либо нуль, либо вектор, параллельный вектору па,
32132121 К. Байокки, А. Капало
321
321
запишем (формально)
О = [— у; a] Grad и grad(« — ф) — л grad (и —ф) =
= ([у [ а] Grad и — л) grad (и — ф) =
= ([—?! а1 Grad (и — ф) + [—у! а] Gradф — л) grad (и — ф) =
= ([— YJ (« — Ф) + [«I grad («—ф)+[— у | а] Grad ф—л) grad (и—ф)= = [а] grad (« — ф) grad (« — ф) + {[— у | а] Grad ф — л} grad (и — ф).
(13.22)
Задача 13.1 является задачей с ненулевым препятствием ф, ее частным случаем является, очевидно, задача с нулевым препятствием. Однако эта задача не 'является более общей, поскольку она, в действительности, эквивалентна соответствующей задаче с нулевым препятствием. Точнее, задача 13.1 эквивалентна следующей.
Задача 13.2. Пусть 1 = (л", л')С{Z?(3)}n+1. Найти {62,р} такие,
что'
непустоеоткрытое подмножество S,(13.23)
pgdom(L),(13.24)
supppcQ,(13.25)
Lp= Div (/XQ) в3.(13.26)
Эту эквивалентность следует понимать в том смысле, что пара (62, и} является решением задачи (13.1) в том и только в том случае, если пара {62, и—ф} является решением задачи (13.2) при л'= л — [—у I a] Grad ф,(13.27)
л" = / 4- div л + [6[ р] Gгadф.(13.28)
Интересно отметить, что равенство (13.21) можно записать следующим образом:
[a] gradр grad р— n'gradp = 0 на д62 П В, (13.29) откуда видно, что оператор д!дчь определяется только симметричной частью матрицы [а] из представления оператора L в виде Div [XI Grad, которая, в свою очередь, не зависит от представления этого оператора (поэтому корректной будет запись д/д^ь вместо сбычной d/dva ...).
Преобразование задачи со свободной границей. Выясним условия, при которых задача со свободной границей может быть преобразована в задачу, связанную с вариационным неравенством. При этом мы воспользуемся псевдодифференциальными операторами: обозначения и обзор по псевдодифференциальным операторам можно найти в [5091 (см. также библиографию [5091) и в [7151.
Предположим, что выполнены следующие условия:
1) существуют дифференциальный оператор Q и оператор R
(дифференциальный, либо псевдодифференциальный) такие,
что
L(Q-) = ^(IR-),
(13.30)
2) задача « найти {Й, го} такие, что
suppro с й,
(13.31)
Rw = XQ »
(13.32)
имеет достаточно гладкое решение. Тогда
р = Quo
(13.33)
— решение задачи (13.2),
и = Quo + ф
(13.34)
— решение задачи (13.1).'
Следовательно, задачу (13.31), (13.32) можно записать
в еле-
дующем виде: найти {Q, tv} такие, что
Q= {хб2:ш(х)<0}, (13.35)
- го^О в 8, Roy^l в 8, го(1—Rw^ = 0 в В, (13.36) т. е. в виде задачи, связанной с вариационным неравенством (эта постановка задачи неполна: в частности, отсутствуют условия на фиксированной части границы). Заметим, что условие ® ^ 0 в S не является ограничением, если оператор R удовлетворяет принципу максимума.
В случае задачи со свободной границей, рассмотренной в гл. 12, имеем 8 = D, L = —А, / = О, ф = у и л = 0. Далее, задача 12.4 является, в сущности, задачей 13.2, в которой Div (/) = = д/ду — в этом случае R = L и Q = д/ду удовлетворяют условию (13.30) (а равенство (13.33) является обратным к (12.76) ...)
Заметим, наконец, что из равенства (13.21) видно, что предложенная здесь формулировка не включает задачи со свободной границей, подобные рассмотренным в [343], т. е. задачи, в которых условие (13.15) заменено условием вида
[a] grad (и — ф) grad (и— ф) = 1 в 5Q П В. (13.37)
Другие типы задач со свободной границей рассматриваются в работах [105—107, 111, 112, 200, 239, 315, 572, 607, 700, 7011 (см. также упоминавшуюся ранее библиографию [341] и библиографию «Задачи со свободной границей», составленную на основе Zentral- blatt fiir Mathematik/Matematics Abstracts (Fachinformationszent- rum Energie Physik Mathematik GmbH, Карлсруэ, 1981)).
ЧАСТЬ III
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Глава 14. ПОЛУНОРМЫ
В гл. 4 мы рассматривали векторные пространства, топология которых не является ни гильбертовой, ни банаховой.
Один из способов задания топологии векторного пространства основан на использовании полунорм; здесь мы рассмотрим кратко некоторые понятия теории полунорм, не вдаваясь в детали (мы не будем, например, обсуждать понятие двойственности). Более полную информацию можно получить, например, из работ [120, 121, 10, 332, 89, 444, 467, 511, 512, 492, 712, 35].
Понятие топологического векторного пространства. На любом отдельном множестве можно определить различные структуры (алгебраические, топологические и др.). Эти структуры могут рассматриваться независимо; более интересен случай, когда все они составляют часть некоторой более сложной структуры — в этом случае говорят, что структуры согласованы. Мы ограничимся здесь изложением понятия согласованности топологической и линейной структур.
Определение 14.1. Пусть Е— векторное пространство над С, наделенное топологией. Говорят, что Е — топологическое векторное пространство, если топологическая и векторная структуры согласованы в следующем смысле:
(VT1) векторное сложение (и, и) ->- и + и является непрерывным отображением Е х Е на Е\
(VT2) умножение на скаляр (X, и) -► Хи является непрерывным отображением С X Е на Е.
(Пространства Е X Е и Сх Е наделены соответствующей топологией произведения.)
Везде в дальнейшем, как и в этом определении, рассматриваются векторные пространства над полем С, однако С может быть в любом месте заменено на R.
Системы окрестностей и открытые множества. Из определения 14.1 сразу же следует, что если V с Е — окрестность точки а 6 Е, то существует окрестность Го точки 0 (начала координат) такая, что Г = а + Го (из (VT1) следует, что сдвиг есть гомеоморфизм Е в Е, или, другими словами, операции и ->- и + а и и -> и — а являются непрерывными отображениями Е в Е\ Отсюда следует, что для задания системы окрестностей любой точки топологического векторного пространства достаточно задать систему окрестностей точки 0, а это, в свою очередь, приводит к тому, что в прин-
ципе наиболее подходящим способом задания топологии является способ, в основе которого лежит понятие окрестности.
Напомним теперь следующее определение.
Определение 14.2. Топологическим пространством называется пара (£, W), где Е — непустое множество, U : Е -> 2^Е**)— функция, которая каждой точке и^ Е ставит в соответствие непустое семейство U (и) подмножеств Е, которые мы будем называть окрестностями, так, что выполняются следующие аксиомы:
(UI) u^U для каждой окрестности U £ U (и),
(U2) если иъ U2 Е 11 (и), то Ux П U2 Е U («),
(U3) если Ux^U (и) и Щс U2, то U2 £ U (и),
(U4) для любой окрестности Ut Е U (и) существует окрестность U2 Е U (и) такая, что Ux Е U (ш) для любой точки w Е U2.
Исходя из этого определения, мы вводим открытое подмножество множества Е как любое множество Ос Е такое, что Vx Е О О Е U (х). Обозначим символом О семейство открытых множеств; тогда пара (£, О) удовлетворяет следующему альтернативному определению топологического пространства.
Определение 14.2'. Топологическим пространством называется пара (£, О), где Ос 2£ — семейство подмножеств Е, которое мы будем называть открытыми множествами в £ и которые удовлетворяют следующим аксиомам:
(01) £, 0ЕО,'-
(02) если Ор 02 Е О, то Ог П 02 Е 0>
(03) если Оа^6, а ЕЛ, то КабдОаЕО.
Если, наоборот, исходить из (£, О), удовлетворяющих определению 14.2', то мы можем построить семейство U, полагая Vx Е Е Е U(x) = {U се Е : 30 Е О при х Е О с: О}. Легко видеть, что полученная таким образом пара (£, М) удовлетворяет определению 14.2 и порождает семейство открытых множеств. Таким образом, определения 14.2 и 14.2' эквивалентны.
Напомним также, что если даны две топологии в Е, т. е. две структуры (£, Ux) и (£, U2), то говорят, что первая тоньше, чем вторая, если Vu £ Е U2 (и) с UA (и).
Фильтры и базисы фильтров. Понятия окрестности точки и открытого множества являются понятиями общей топологии. Напомним теперь два понятия из общей теории множеств.
Определение 14.3. Пусть Е — непустое множество. Фильтром в Е называется семейство ? с2Е подмножеств Е, удовлетворяющее следующим условиям:
(F1) если Лт Е Г и Аг с Л2, то Л2 Е ^,
(F2) если Аг, Л2 € ^, то Л] П Л2 Е ^,
(F3) 0 е
Если Е — топологическое пространство, то особый интерес представляют фильтры, порождаемые системами окрестностей точек множества Е.
Определение 14.4. Пусть Е — непустое множество. Базисом фильтра называется непустое семейство % с 2£ подмножеств Е, удовлетворяющее следующим условиям:
(BF1) если Въ В2 Е ^. то существует подмножество В £ % такое, что В с Bv f) S2,
(BF2) 0 5%.
Название «базис фильтра» обусловлено тем, что семейство % = (F С Ф (Е) : ЗВ Е %, В с F} является фильтром, порожденным базисом %.
Понятие фильтра тесно связано с понятием последовательности; кроме всего прочего, если ^и^ — последовательность в Е, то семейство Up = {ир, uP+i, ...} (р Е N) является базисом фильтра в Е; его называют элементарным фильтром, связанным с последовательностью {ит} (образом при отображении р -> ир из N в Е, фильтра Фреше в N, т. е. фильтра с базисом Fp = {р, р + 1, ...}, PEN).
Фундаментальная система окрестностей точки. Мы уже видели, что для описания топологии топологического векторного пространства необходимо задать лишь структуру окрестностей начала координат; практически — как будет видно из приводимой ниже теоремы — топологии допускают описание с помощью так называемых фундаментальных окрестностей начала координат.
Определение 14.5. Пусть Е — топологическое пространство, и пусть а^ Е. Фундаментальной системой окрестностей точки а называется базис фильтра 11 (а) окрестностей точки а.
Таким образом, семейство S' (а) окрестностей точки а является фундаментальной системой окрестностей точки а, если V У £ Е U (а) 31У 6 of (a) W cz V. Особый интерес представляют фундаментальные системы окрестностей точки а, состоящие из открытых окрестностей.
Основная теорема. Сформулируем теперь без доказательства фундаментальный результат, который является глубоким следствием аксиом согласованности (VT1) и (VT2):
Теорема 14.1. Любое топологическое векторное пространству Е имеет фундаментальную систему окрестностей начала координат У (0) такую, что выполнены следующие условия:
если У ^ ^(0), то Vu^E 3 а > 0 иgХУ V X £ С | X | ^ а,
если У£У(0), то ХУ с: У УХ^С |Х|^1,
если У 6^(0), то 3(7£^"(O) U -UcV.
Обратно, если Е — векторное пространство над С и / (0) — базис фильтра в Е, удовлетворяющий условиям 1)—3), то существует единственная топология в Е такая, что Е — топологическое векторное пространство, а^ (0) — фундаментальная система окрестностей начала координат.
Доказательство приведено, например, в [467, с. 81]. Множество У, удовлетворяющее условию 2), называют сбалансированным, а множество, удовлетворяющее условию 1) — абсорбирующим. Последнее понятие можно обобщить следующим образом: если
J, V а Е, то говорят, что V абсорбирует U, если
За>0 [7 с XV УХеС, |Х|>а
(в формулировке условия 1) имеем U = (ы)). Важность этого обобщения заключается в том, что оно позволяет ввести понятие ограниченности независимо от метрики: подмножество L топологического векторного пространства Е называется ограниченным, если оно абсорбируется каждой окрестностью начала координат.
Хаусдорфовы пространства. Напомним, что топологическое пространство (Д, U) называется отделимым, Тг-пространством или хаусдорфовым пространством, если
Vu, и^Е, и^и ^U^U^u) V^U^ U^\V = 0.
В случае топологических векторных пространств условие принимает более простой вид: Vu=/=0 3V EU (0)ы$ V; это упрощение является следствием согласованности топологической и линейной структур множества Е. Другим следствием согласованности является то, что каждое хаусдорфово топологическое векторное пространство регулярно (т. е. удовлетворяет аксиомам отделимости Тг и Т3), поскольку в любом топологическом векторном пространстве каждая окрестность начала координат содержит замкнутую окрестность начала координат.
Сходящиеся фильтры. Полнота. Как мы уже видели, понятие фильтра тесно связано с понятием последовательности; продолжим изучение примеров.
Определение 14.6. Пусть (Д, Д) — топологическое пространство, — фильтр в Е. Говорят, что фильтр ^ сходится к точке а£ Е, а точка а является пределом фильтра , если
VUEU^a^FE?\FclU.
Легко видеть, что фильтр ^ сходится к точке а ^ Е тогда и только тогда, когда фильтр ^ тоньше, чем фильтр И (а) всех окрестностей точки а, и что предел фильтра в хаусдорфовом пространстве, если он существует, единствен (это условие фактически является необходимым и достаточным и характеризует хаусдорфовы пространства). Понятие фильтра особенно существенно для топологических пространств, не являющихся метризуемыми. Действительно, если топологию метризуемых структур можно описать с помощью сходящихся последовательностей, то в случае пространств, не являющихся метризуемыми, этого недостаточно.
Введем обобщение понятия последовательности Коши.
Определение 14.7. Пусть Е — топологическое векторное пространство, А — подмножество Е. Фильтр 9" в 4 называется фильтром Коти, если для любой окрестности V начала координат существует множество F ^5 такое, что F — f с V. Множество А называется полным, если каждый фильтр Коши в А сходится к точке из А.
Примем без доказательства (см. [467], с. 131]), что если Е — хаусдорфово топологическое векторное пространство, то сущест-
вует такое полное хаусдорфово топологическое векторное пространство Е (единственное с точностью до изоморфизма), что Е изоморфно подпространству, плотному в Е. Пространство Е называется пополнением пространства Е.
Локально выпуклые топологические векторные пространства. Большое значение в анализе имеют топологические векторные пространства, удовлетворяющие условиям следующего определения.
Определение 14.8. Топологическое векторное пространство называется локально выпуклым, если оно имеет фундаментальную систему окрестностей начала координат, состоящую из выпуклых множеств.
Из этого определения сразу же следует, что в локально выпуклом топологическом векторном пространстве существует фундаментальная система окрестностей начала координат, состоящая из абсорбирующих сбалансированных замкнутых выпуклых множеств — бочек. Наоборот, локально выпуклое топологическое векторное пространство называется бочечным пространством, если каждая бочка является окрестностью начала координат. Значение этого класса пространств заключается в том, что онн образуют структуру, в которой справедлива теорема Банаха—Штейнгауза (в случае банаховых пространств эта теорема формулируется так: если семейство {Д}, X Е А линейных непрерывных функционалов в банаховом пространстве равномерно ограничено, т. е. Уи Е В 3 М (ы) VX Е A | fx (и) | ^ М (и), то существует число М такое, что | fx (и) I М || и || Уи Е В, ХЕ А). Всюду далее пространство является бочечным в том и только том случае, если в нем справедливо соответствующее обобщение этой теоремы.
Сформулируем теперь (также без доказательства) следующий результат — следствие теоремы 14.1.
Теорема 14.2. Пусть Е — векторное пространство, Л — семейство абсорбирующих сбалансированных выпуклых подмножеств Е, 0% (0) — семейство множеств, каждое из которых является пересечением конечного числа множеств вида XV, где V £<4, Х’> 0; тогда существует единственная топология в Е, при которой пространство Е является локально выпуклым топологическим векторным пространством, а семейство ^ (0) — фундаментальной системой окрестностей начала координат.
Полунормы. Введем теперь основной инструмент теории локально выпуклых топологических пространств.
Определение 14.9. Пусть Е — векторное пространство над полем С. Полунормой в пространстве Е называется функция р : Е -> R, удовлетворяющая следующим аксиомам:
(SN1) р^>0 Уи^Е;
(SN2) р(щ + v)^p(u) + p(v) У и, и^Е;
(SN3) р(аи) = |а|р(ы) VaEC, и^.Е.
Из определения следует, что
Р^ = 0.(14.1)
поскольку р(0) =p(0*u) = 0-p(u) = 0. Если, обратно,
(N)(N)р(и) = 0=>и = 0,
(N)
(N)
то мы получим определение нормы.
Заметим, что аксиома (SN1) — лишняя, поскольку из аксиом (SN2) и (SN3) следует более общее утверждение: '
р(и — и)>\р(и) — р(и)| ^и,и^Е(14.2)
Действительно, из аксиомы (SN2) имеем р (и — о) + р (у) ^ ^ р (и), следовательно, р (и — у) ^ р (и) — р (у); из аксиомы (SN3) имеем р (и — у) = р ((—1) (и — и)) = | — 1 | р (и — и) = = р (у — и), поэтому р (и — у) ^ р (у) — р (и); полагая в (14.2) у = 0, получаем аксиому (SN1).
Кроме того, аксиомы (SN1), (SN2) и (SN3) эквивалентны одной аксиоме:
(SN) р(аи + Ру)^|а|р(и) + | Р | р (у) Va, Р € С, що^Е.
Действительно, аксиома (SN) следует из аксиом (SN2) и (SN3). Обратно, полагая в аксиомах: в (SN) а = р = 1,— придем к (SN2), полагая в (SN) Р = 0, получим р (аи) ^ | а | р (и); с другой стороны, р (а-1 аи) ^ | а-11 р (аи), откуда следует, что р (аи) = = | а | р (и), а =/= 0, откуда, в свою очередь, как показано выше, следует аксиома (SN1).
Полунормы и окрестности. Чтобы показать, каким образом полунормы могут быть использованы при описании топологии локально выпуклого топологического векторного пространства, докажем сначала следующее утверждение.
Теорема 14.3. Пусть Е — векторное пространство над полем С, р — полунорма в Е. Множество
М = {и£Е:р(и)^1}(14.3)
содержит начало координат и является выпуклым, сбалансированным и абсорбирующим.
Доказательство. Имеем 0 € М, поскольку р (0) = = 0< 1. Выпуклость множества М следует из того, что для любых и, УбА1и0<а<1 получаем р (au + (1 — а) у) ^ ар (и) + + (1 — а) р (у) ^ а + (1 — а) = 1 и, таким образом, аи + (1 — — а) и £ М. Сбалансированность множества М следует из того, что если и € М и |а|^1, то р (аи) = | а | р (и) ^ | а | ^ 1, поэтому аи 5 М. Чтобы показать, что множество М — абсорбирующее, заметим только, что если точка и^ Е такова, что р (и) = = а =0= 0 (при р (и) = 0, очевидно, и £ ЛГ), то р (аи) = 1, поэтому а-1и б М. □.
Пусть теперь (рх) (X 6 Л) — любое семейство полунорм, определенное на множестве Е. Рассмотрим семейство множеств вида Mx = ^и^ Е : рх, (и) ^ 1). Исходя из этого семейства, путем взятия пересечений конечного числа гомотетичных образов из Мк
получим семейство
Их,Х„. е,гп=Хи^Е-Ркр M^S/, 1 ^/^п),(14.4)
которое согласно теореме 14.2, образует фундаментальную систему окрестностей начала координат для локально выпуклой топологии в Е.
Мы показали, таким образом, что, исходя из семейства полунорм, мы задаем такую топологию векторного пространства, для которой оно будет локально выпуклым топологическим векторным пространством. В предельном случае, когда семейство полунорм состоит из всех полунорм, определенных в векторном пространстве, эта топология будет самой тонкой локально выпуклой топологией, которая может быть введена в данном пространстве. Другие примеры топологий, заданных с помощью семейств полунорм, приведены в гл. 4 — фактически этот способ задания локально выпуклых топологий в векторном пространстве является наиболее общим (и, вдобавок, наиболее удобным).
Функционалы Минковского. Покажем, что всякая локально выпуклая топология может быть описана с помощью соответствующего семейства полунорм. Для этого введем сначала определение.
Определение 14.10. Пусть Е — векторное пространство над полем С, М — подмножество Е. Функционалом Минковского для множества М называется отображение /м : Е -* [0, +оо], задаваемое соотношениями
fMM = + °°> если Уа>0 и^аМ,(14.5)
/ (u) = inf а, если Э«>0 и^аМ.
и^аМ
а>0
Докажем теперь следующее важное утверждение.
Теорема 14.4. Пусть Е — векторное пространство над полем С, М — сбалансированное выпуклое абсорбирующее подмножество Е. Функционал Минковского для множества М является полунормой в Е.
Доказательство. Из соотношений (14.5) следует, что если М — абсорбирующее множество, то /м — вещественная функция, как и требует определение 14.9. Из (14.5) следует также, что аксиома (SN1) выполнена. Множество М сбалансировано, поэтому
Vw^E Уе>0 Т.® ЕМ,(14.6)
Ли И + 8
а поскольку множество М выпукло, то
Умб£ У е>0
fM (“) + 8и , ?м W + 8»
fм W "V tм ^ "V ^8Ли(“) + 8 ^м (“1 "Л Lm ^ ~Л 2e /^(yf-f-e
(14.7) (коэффициенты линейной комбинации, очевидно, соответствуют 330
определению выпуклого множества), откуда следует, что ы + о Е Е 0м (и) + fM (v) + 2е) М. Таким образом, по определению функции fM (поскольку число е произвольно) аксиома (SN2) также выполнена. Из (14.6) следует также, (поскольку е произвольно), что Чи^Е VXEC Im (Хы) = | X | !м (ы), т. е. выполнена аксиома (SN3). □
Напомним теперь, что в локально выпуклом топологическом векторном пространстве существует фундаментальная система окрестностей начала координат, состоящая из бочек, и рассмотрим следующие факты (Е — произвольное топологическое векторное пространство):
пусть Л с £ — сбалансированное абсорбирующее выпуклое множество; тогда А является окрестностью начала координат в том и только том случае, если функционал Минковского !д непрерывен;
пусть V с Е — сбалансированная абсорбирующая выпуклая окрестность начала координат; тогда V = {м Е Е : fv (и) ^ ^ 1}. 1
Теперь мы можем сказать, что семейство функционалов Минковского для множеств фундаментальных систем окрестностей начала координат, составленных из бочек, состоит из непрерывных полунорм (из 1), =>)) и что задаваемая этим семейством топология совпадает с исходной, поскольку V = {и Е Е : fv (м) ^ 1} является окрестностью начала координат (из 1), <=)) и бочкой (из (2)).
Насыщенные семейства полунорм. Пусть Е — векторное пространство, $ = Vpx\ X Е А — семейство полунорм в Е. Семейство $ называется насыщенным семейством полунорм, если для любого конечного подсемейства {рг} (i = 1, .... п) полунорма, определяемая соотношением р (и) = тахгрг (и), принадлежит $ (определение имеет смысл, поскольку функция р-, очевидно, является полунормой в £). Семейство всех непрерывных полунорм в локально выпуклом топологическом векторном пространстве является насыщенным. Таким образом, любую локально выпуклую топологию можно задать с помощью насыщенного семейства полунорм.
Аксиома отделимости. Хаусдорфовы пространства характеризуются через понятие полунормы следующей теоремой.
Теорема 14.5. Пусть Е — локально выпуклое топологическое векторное пространство, топология которого задана с помощью семейства полунорм {рх} (X Е А). Пространство Е является хаусдорфовым в том и только том случае, если это семейство удовлетворяет следующей аксиоме отделимости".
(Н) VuE£\{0) ЭХеАрх(и)^0.
Доказательство. Если аксиома ^Щ выполнена, то при и ф 0 и X, удовлетворяющих условиям аксиомы (Я), и при а = = рх (и) множество {и : рх («) ^ а/2} является окрестностью начала координат, не содержащей точку и,— таким образом, пространство Е хаусдорфово. Наоборот, если Е — хаусдорфово пространство и и ф 0, то существует окрестность V начала координат, не содержащая точку и; поскольку окрестность V обязательно со-
держит множество вида Ух,х„: е,е„, существует Ху такое, что рх, (ы) ^= 0, так как в противном случае и Е У- □
Метризуемость. Пространства Фреше. В локально выпуклом топологическом векторном пространстве Е, топология которого задана с помощью семейства полунорм $ = {рх} (X Е Л), множество L с Е ограничено в том и только том случае, если V X Е Л 3MxER Vu^L^u^Mx-
Можно доказать (см., например, [467, с. 109]), что если Е — локально выпуклое топологическое векторное пространство, в котором имеется ограниченная окрестность начала координат, то топология пространства Е может быть задана с помощью одной полунормы. Эта полунорма является нормой в том и только том случае, если Е — хаусдорфово пространство; в этом случае говорят, что пространство нормируемо. Если же топология локально выпуклого топологического векторного пространства может быть задана с помощью конечного семейства полунорм ^р^ (t = 1, ..., и), то ее можно задать с помощью одной полунормы — например, р (и) = max,-/?, (и) или р (и) = 2грг (и).
В более общем случае топологическое пространство называют метризуемым, если существует метрика d в этом пространстве, которая индуцирует в нем топологию, совпадающую с исходной. Можно показать (см., например, [467, с. 111]), что если хаусдорфово топологическое пространство имеет счетную фундаментальную систему окрестностей начала координат, то оно метризуемо с помощью метрики d, инвариантной относительно сдвига, в том смысле, что Vu,o,a ^ Е d (и + a, v + а) = d (и, v); пространство Е с такой метрикой называется линейным метрическим пространством. Для локально выпуклых топологических векторных пространств этот результат можно сформулировать следующим образом: если Е — хаусдорфово локально выпуклое топологическое векторное пространство, топология которого задана с помощью последовательности полунорм {pn} (n Е N), то инвариантная метрика, индуцирующая в пространстве Е исходную топологию, задается формулой
d(u, v) = ^ ^Рп (и — 0/(1 + рп (и — о)).
п=0
Функция Ь1 : и -> 1и1 —■ d (и, 0) называется квазинормой и удовлетворяет условию
[ы]^0, [и] = О^и = 0, [и + 0 ^ [и] + [0-
Полные метризуемые локально выпуклые топологические векторные пространства называют пространствами Фреше.
Теорема Хана—Банаха. Сформулируем без доказательства следующее утверждение — обобщение теоремы 1.1.
Теорема 14.6 (теорема Хан а—Б а н а х а ). Пусть Е — векторное пространство над полем С, р — полунорма в Е, V — 332
линейное многообразие в Е. Если f: V-*- С — линейный функционал такой, что Уи^У!/^)!^/?^), то существует линейный функционал g:E->C такой, что g\v = f и Vv^E |g(v)|^p(v).
Доказательство приведено, например, в [467, с. 176]. Возможно дальнейшее обобщение утверждения теоремы, поскольку нет необходимости, чтобы функция р была полунормой — в случае вещественных пространств достаточно, чтобы она была субаддитивным неотрицательным функционалом, равным нулю в начале координат и таким, что Vu б Ер (ku) -► 0 при к 0+ (см. [513]).
Глава 15. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И РАЗБИЕНИЕ ЕДИНИЦЫ
15.1. Регуляризация
При изучении задач, которые связаны с функциями, имеющими особенности, широко используется прием, который заключается в том, что эти функции заменяют последовательностями гладких функций, сходящимися к исходным в подходящей топологии — этот прием называют регуляризацией.
Функция фд (х). В качестве гладких функций (особенно в вопросах теоретического характера) чаще всего используют функции из С” (£2); в связи с этим представляет интерес следующее утверждение.
Теорема 15.1. Если QczRn— непустое открытое множество, то существует такая функция <р£С”(Й), что ф>0бЙи
J <р (x)dx = 1. (15.1)
Доказательство. Покажем сначала, что при Q = R" существует функция из Со (R”), не равная тождественно нулю. Пусть Фк«: R” -> R — функция, задаваемая соотношениями
и/и-ПхП»)и/и-ПхП»)при 1И|<1, при ||х||>1,при 1И|<1, при ||х||>1,(15.2)(15.2)
и/и-ПхП»)
и/и-ПхП»)
при 1И|<1, при ||х||>1,
при 1И|<1, при ||х||>1,
(15.2)
(15.2)
где || • || — евклидова норма в R”. Покажем, что фкп€Со° (R"). Из (15.2) следует, что supp Фйп = {х 6 Rn: || х || ^ 1} — компактное множество в R". Покажем теперь, что Фкп € С°° (Rn). Учитывая симметрию фк„, достаточно рассмотреть одномерный случай, причем, поскольку, оче. видно, фк € С°° (R\{— 1,1}) и фк — четная функция, достаточно изучить поведение фк в окрестности точки х = 1. Функция фк тождественно равна нулю на [—1, 4- оо], поэтому задача сводится к доказательству равенства
Шп ф& (х) = 0 Vk^N. (15.3)
По индукции легко доказать, что
Ф^(х) = е“1/(1-|1х1|2ЧМЖ« VfegN на (-1,1), (15.4) где Рт и Qm — многочлены от х степени т; следовательно, условие (15.3) выполнено. Мы, таким образом, показали, что фкпЕСо° (R"). Пусть теперь й a R” — непустое открытое множество и х0 Е й. Учитывая структуру евклидовой топологии пространства R", утверждаем, что
Эе>0 /£(х0)= {xERn||x —х0||^е}сй,(15.5)
поэтому функция ф: Й -> R, задаваемая соотношением
Фо И = фйп ((х — х0)/е), х 6 Q,(15.6)
принадлежит С” (Й), поскольку она бесконечно дифференцируема и ее носитель supp фй = /е (х0) — компактное множество.
Таким образом, мы показали, что если й — непустое открытое множество, то существует функция фй Е Со (Й) такая, что фй 0. Далее, легко проверить, что фй (х)0 V х Е й, и, следовательно,
0 < J фд (х) dx < + оо(15.7)
(заметим, что функция фа интегрируема по Й, поскольку эта функция непрерывна и ограничена на Й, причем интеграл по Й равен интегралу по /8 (х0)).
Мы можем теперь рассмотреть функцию ф : Й -*• R:
Ф W = Фв (*)/f Фа (х)dx’(15-8)
о
которая, очевидно, удовлетворяет условиям теоремы. □
Функции фк„, Фа и ф, фигурирующие в доказательстве, часто называют «функциями-колоколами» по виду их графиков при п = 1 и п = 2— график функции фк изображен на рис. 15.1.
Сглаживание. Теорема о регуляризации. Прежде чем перейти к доказательству основного результата, лежащего в основе регуляризации, введем важное определение (здесь под тривиальным продолжением функции u:H->R на R" мы понимаем функцию wiR”->-R такую, что и = и в й и usO на R"\^.
Определение 15.1. Пусть HcR" — открытое множество, u^L1^ и и — тривиальное продолжение и на R". Если е>0и среднее значение функции фЕС” (Rn) равно 1, то функцию
uE (х) = J и (х — еу) ф (у) dy(15.9)
R"
называют е-регуляризацией или е-сглаживанием функции и функцией <р.
Заметим, что ие (х) — функция из R" в R, поскольку для любого фиксированного х имеем и (х — еу) ф (у) Е Т1 (R"), так как и^ЬЧ^ и фЕС” (R")— фактически, мы имеем дело со сверткой.
В дальнейшем тривиальное продолжение функции и будем обо-
как саму эту функцию, так и еесужение на й. В качестве функции ф будем брать функциюкак саму эту функцию, так и еесужение на й. В качестве функции ф будем брать функцию
как саму эту функцию, так и ее
сужение на й. В качестве функции ф будем брать функцию
как саму эту функцию, так и ее
сужение на й. В качестве функции ф будем брать функцию
(15.11)(15.11)ф (х) = фк„ (х)/J фк„ (х) dx,R"
(15.11)
(15.11)
что не ограничивает общности следующего утверждения.
Теорема 15.2 (теорема о регуляризации). Пусть й ci R" — открытое множество, KeQ — компактное множество и и — функция из L*(Q) такая, что “|a\Ks0. Справедливы следующие утверждения;
если s<;d(K, R"\Q), то ие Е С“ (й);
если ыЕС6(й), &EN, то и8->-и прие->0 в $Ь (й);
если u^Lp^i\ pEU> + оо), то и8->-и при е->-0 в Lp (й).
Доказательство. 1) Покажем, что при фиксированном е для любого а Е N" существует непрерывная производная D°Ug и, следовательно, и8 Е С°°(й). Для этого преобразуем равенство (15.10) в выражение, в котором функция и (которую мы не можем дифференцировать) не зависит от переменной х, что можно сделать с помощью замены переменных
(15.12)(15.12)г = х — еу.
(15.12)
(15.12)
Якобиан этого преобразования равен (— l)"s", поэтому можно записать
и» (х) = 8-л J и (г) фdz.(15.13)
Функция и8 (х), очевидно, непрерывна. Покажем, что ее первая производная по переменной xt (т. е. Daue = ди8!дхь где а = (6п,...
335
..., bu, .... 6inY а би — символ Кронекера) существует. Пусть {ej — канонический базис R"; тогда (для фиксированного х) эта производная, если она существует, задается выражением
du6W..
—5= lim
“е <* + ^j) — “е W“е <* + ^j) — “е Whh= lim в-"= lim в-"х 4-hej— гх 4-hej— гR"R"88dxiй->0
“е <* + ^j) — “е W
“е <* + ^j) — “е W
h
h
= lim в-"
= lim в-"
х 4-hej— г
х 4-hej— г
R"
R"
8
8
где h £R. Поскольку фЕС” (Rn), то мы можем теперь записать
-. , . 1 / /х + ^г— 2 \( х —г \\ 1 dtp / х — z \ z -
11Ш“(г)-г1ф| г — Ф (—— = VdT -’Т~ и^’ h-*0П\\8/\6//8 ОХ. \8/
(15.15)
поэтому существует постоянная с>0 такая, что ■
1 / / х 4- he, — г\/ х — z \\|
“(2) Т^кёФ (~))|<с1“(2)1 (15.16)
Применяя теорему Лебега о доминантной сходимости (см., например, [654, с. 26]), перепишем (15.14) в виде
ЭиЕ (х)8xiЭиЕ (х)8xiг1 / / х 4- he. — z \/ гz \\ .
ЭиЕ (х)
8xi
ЭиЕ (х)
8xi
= —— \ u(z)lim —(ф() — ф( Ь^2 =
=(15.17)
P"+l J х ' дх. I ех
8 Rni X /
это позволяет сделать вывод о существовании и непрерывности рассматриваемой производной. Далее, поскольку
=(15.18)
дх. I 8Y 18)''
где ф Е С” (Rn), то проведенные рассуждения можно автоматически распространить на все остальные производные. Мы показали, таким образом, что иг Е С°° (R").
Найдем теперь носитель функции иг. Из равенства (15.10) видно, что для того, чтобы функция ие (х) была равна нулю при некотором фиксированном значении х, достаточно, чтобы для любого у такого, что ||у||<1, выполнялось условие х— вуЕ^\К, т. е. функция и8 (х) равна нулю в тех точках х, которые не могут быть передвинуты в К преобразованием х-* х — еу при || у || < 1, или, более наглядно (рис. 15.2), функция иг (х) равна нулю в тех точках х, где существует соответствующая сфера типа Въ и может быть не равной нулю в тех точках, где существует соответствующая сфера типа В2. Точки, для которых существует сфера первого типа, характеризуются условием d (х, К) > в; следовательно, взяв 8<d(/C, Rn\f2) (легко видеть, что d(k, R"\Q)>0 в силу непрерывности отображения d:R"x Rn R), утверждаем, что сущест-
вует компактное множество К4 с й, содержащее носитель функции ие, т. е. иЕ £С“ (й).
Утверждение ше -* и в топологии ^(й)» означает согласно определению 4.3, что существует такое компактное множество /С*сй, что для любого е имеем supp ue с К*, и для любого а 5 N” такого#
Рис. 15.2Рис. 15.2
Рис. 15.2
Рис. 15.2
что | а | ^ ^ имеем Daue -> Dau равномерно на К* Такое множество К* существует, поскольку мы хотим устремить в к нулю, мы можем положить в ^ о = -^ d (К, И"\й) и взять К* =К0 = Vх ^ £Q:d(x, Куфу
Докажем теперь, что для фиксированного а такого, что | а | ^ й, выполняется соотношение
V6 > 0 За ^ в > 0 Vx £ К* в < в => | Daue (х) — D™u (х) | ^ 6.
(15.19)
Рассмотрим разность |D“us(x) — D“u(x)|. Учитывая, что среднее значение функции ф равно 1, запишем
|£>“ие(х) — D“u(x)| = [ ^ Dau(х — ву)ф(у)dy— D“u(x)| =
R”
= | J (D“u (x — ву) — Dau (x)) ф (y) dy | <
R"
<y |D“u(x—ey) —О“и(х)|ф(у)б/у. (15.20) R"
Функция Dau непрерывна в й, следовательно (по теореме Гейне— Кантора), равномерно непрерывна в К* = Ка, т. е.
v6>0 За>"е>0х', Ух*6К*||х' — хЧ|<ё=>|Т>“н(х') —
— Р“и(Л|<б- (15.21)
33733722 К- Вайокки, А. Капало
337
337
При фиксированном х точки х — гу расположены на сфере о центром в точке х и радиусом в, поэтому, взяв е < в/2 и учитывая (15.21), получим
(15.22)(15.22)(15.23)(15.23)(15.24)(15.24)| Dau (х — бу) — Dau (х) | < 6.
(15.22)
(15.22)
(15.23)
(15.23)
(15.24)
(15.24)
Теперь из (15.20) имеем
| Daue (х) — Dau (х) | ^ j 6ф (у) dy = 6,
R"
и тем самым утверждение 2) доказано.
Мы хотим доказать, что если u^Lp(Q), то
V6 > 0 Зе > 0 в < в => || и — ие ||др(й) < 6.
(15.25)(15.25)Для этого докажем сначала неравенство, которое важно само по себе:
(15.25)
(15.25)
II ЫВ ||у>(0) ^ С || и ||др(й), U^L (й),
где постоянная с не зависит от в.
Действительно, применяя к (15.10) неравенство Шварца—Гёль- дера (и сводя интеграл по R" к интегралу по единичной сфере путем рассуждений, аналогичных проделанным при доказательстве утверждения 1)), находим
|«е (*)!<[ J 1“(х — еу) \pdyWp [ J |ф(у)Г*^у]’/Р*. (15.26) Ш/11^1IJi/ll^l
где р и р*— сопряженные показатели, и, следовательно,
II Ue IIlP(Q) = II Ые ИуЦк") ^11 V IIlP*(r") У [ У I и (х еУ) 1^У? ^ЗС.
Rn ili/ll^iJ
(15.27)
Применяя к (15.27) теорему Фубини и учитывая, что интеграл Лебега инвариантен относительно сдвига, получаем
IIи» Hv(Q) < II ^Hlp^r") У [У I “ (■< — 8У) №] ^У =
П»П<1 R"
“ IIФ H£p*(r»*) IIы ПьР(r") У Ну = cp||«||£p(Rn),(15.28)
111/11 ^1
что совпадает с (15.25), поскольку функция и тождественно равна нулю вне К; при этом
с = IIФ iLp^n, • (mes ({у: || у || < 1 }))I/p.(15.29)
Как известно, пространство Со(й) плотно в £р(й), р€[1, + оо), т. е. любую функцию u^Lp (й) можно аппроксимировать (в топологии Lp ^й^ последовательностью непрерывных функций с компактным носителем, содержащимся в й:
V6>0 V«6L₽(Q) ЗиеСо(Й) ||и — иII^q) ^6 (15.30)
(см., например, [91, с. 28]; при р = +<х> утверждение неверно: предел последовательности непрерывных функций, сходящейся в L°° (й),— непрерывная функция, но L°° (й) ^ С° (й) ...).
Возьмем теперь функцию и, удовлетворяющую условию (15.30), и рассмотрим ее 8-регуляризацию. Запишем
П« — МьРЩ) = П« — У + У — иг + Уе — «е ||ЛР№) <
< II “ - У Hlp(Q) + II у — Уе IIlp(Q) + II У= - «8 11^(0,, (15.31) или, поскольку операция регуляризации линейна,
II И — «8 ||£P(Q)< II и— V П^(0) + II и — ив ||ДР(Й) +11 (u — U)e ||LP(Q),
(15.32)
или, наконец, применяя неравенство (15.25) к функции и — v£Lp (й) и используя условие (15.30), получим
||«-«е||дР(й)<(1 +С)6 + ||У — Ув ||^(е).(15.33)
Теперь утверждение 2) гарантирует существование числа е такого, что если е < е, то
4 у — Уе ||у>№) < mes (supp (и— ие)) ■ max | и — ие | < mes (/<-) 6,(15.34)
что, вместе с неравенством (15.33), доказывает утверждение 3). □
При доказательстве мы использовали тот факт, что С° (Й) плотно в LP (й). В качестве приложения теоремы 15.2 докажем более тонкий результат.
Теорема 15.3. Пространство С” (й) плотно в Lp (й) Со € П, +<»)).
Доказательство. Покажем, что любую функцию о £ £ LP (Й) можно аппроксимировать в норме пространства Lp (Й) последовательностью функций из пространства С^ (й). Пусть и g LP (й). Рассмотрим последовательность компактных множеств
Km = VWdlx,Kn\^>\lm и HxJl^m} (15.35) и последовательность функций
{Ут} =(15.36)
где XKffI — характеристическая функция множества Кт. Очевидно»
что vm £ Lp (Й), Km a Km+\ g Й и Й = [J Km (последовательность m=l
компактных множеств, удовлетворяющих этим условиям, называют заполняющей). Непрерывность интеграла по отношению к области интегрирования позволяет заключить, что vm -> v в Lp (й), поскольку
(15.37)(15.37)J| п(х) — um(x))pdx= J |u(x)|pdx. Qа\кт
(15.37)
(15.37)
Теперь, рассматривая для любого фиксированного числа т последовательность {ит,е} е-регуляризаций функции ит, утверждаем согласно теореме 15.2 (ее можно применять, поскольку функция ит обращается в нуль вне Кт), что существует подпоследовательность последовательности {ит,е}, сходящаяся к функции и в Lp^)_ Поскольку ит,8 £ Со” (й) для любых т и в, теорема доказана. □
15.2. Разбиение единицы
' Локализация. Решение дифференциальной задачи зачастую оказывается более гладким, чем того требует ее формулировка. Так, задача Коши
у' = у на (0, 1), у (0) — 1
корректна, если необходимо найти у из С1 ((0, 1)) Л С°([0, 1]); в то же время, легко видеть, что решение этой задачи принадлежит пространству С°° ([0, 11). Однако исследовать гладкость функции, как правило, непросто; кроме того, функция может быть менее гладкой в целом, на всей области, чем на некотором ее участке, представляющем особый интерес. Из этих и других соображений часто удобно разбить область, на которой рассматривается функция, на подобласти и исследовать ее гладкость в каждой подобласти отдельно; это разбиение, очевидно, должно удовлетворять некоторым условиям — например, чтобы по гладкости в каждой подобласти можно было определить гладкость в целом.
Разбиение. Поставленную задачу можно решать с помощью так называемого разбиения единицы, к рассмотрению которого мы переходим.
Определение 15.2. Пусть/( с R"— компактное множество, {й^!,..^ — открытое покрытие множества К (т. е. й, с R" (i = .т
= 1,... , /п)— открытые множества, и /С с (_J йг; напомним, что из i=i
любого открытого покрытия множества К можно выделить конечное подпокрытие). Разбиением единицы класса С”, соответствующим покрытию {й,}, называется набор функций {<Pi}I=iт таких, что
<Pi6C^ (йг), i = 1,... , m;
0^ ф, 1, i = 1, ... , m\ m
^ Ф< M = 1 в окрестности множества К. i=l
Термин «разбиение единицы» продиктован, очевидно, условием 3). В более общем случае вместо множества К можно рассмотреть открытое множество й (при этом покрытие не обязано быть конечным) или же многообразие — см. [664, с. 22] или [354, с. 4].
Определение 15.2 показывает, как исследовать гладкость функции: выбираем подходящее покрытие {Й,} и исследуем гладкость функции и = 2;иф, на множестве й путем исследования гладкости функций ut = ифг. Необходимо, однако, доказать, что для любого покрытия множества К конечным числом открытых множеств существует соответствующее разбиение единицы. Для этого воспользуемся следующей леммой.'
Лемма. Пусть й — открытое множество и К ей. Существует функция ф£С“(й) такая, что 0^ф(х)^ 1 в Qu ф(х) = 1 в окрестности множества К, т. е.
Зр > 0 Зф€С“(Й) 0<ф(л;Х1 <ф, К)<р=>Ф(а;)= 1. (15.38)
Доказательство. Если 6<-^-d(/<, К"\й), то Кб={я€ 6 й : d (я, X) ^ 6} — компактное множество. Пусть Хд6 — его характеристическая функция, Хд6е—е-регуляризация этой функции. Мы можем говорить о 8-регуляризации функции хкв> поскольку эта функция измерима (она является характеристической функцией компактного множества, а компактные множества измеримы) и суммируема (так как р(Хб)< + 00)• Таким образом, Хд^Е^Й).
Докажем, что при подходящем выборе е можно взять ф = Хд6 е. Очевидно, что 0 ^ Хд6 g (я) ^ 1 — это следует из равенства (15.10) и из неравенства
i-X^eC*)^ wWy~ ^Кб(х —ay^tp^dy =
RnRn
= J [1-Хдв(^-81/)]ф(у)^>0.(15.39)
'R"
Далее, для того чтобы Хд^ g g С” (й), можно взять е < 6/2.
Покажем, что при таком выборе е функция Хдве будет тождественно равна 1 в окрестности множества К, т. е. по крайней мере в Хб/2 = Vе € й : d (х, К) ^ 6/2}. Действительно, при х^Кы^ можем записать
Wx^ = $ ^(x — ay^^dy^ J ф(у)йх = 1; (15.40) Ili/IKIIMI^i
если е<6/2 и ||у|| ^ 1, то х— гу^Кб, поэтому х—еу = 1. Взяв теперь, например, р = (6/2) — ей ф = ХКв е, где е < 6/2, получим (15.38). '
На рис. 15.3 приведена схема, которая дает представление о виде функции ф в одномерном случае (на рисунке Q = (а, 6), К = [с, d], Кб = [с — 6, d + 6] и Кб/2 = [с — 6/2, с — 6/2]). □
Теорема 15.4 (теорема о разбиении единицы). Для любого компактного множества К с R” и любого его конечного открытого покрытия {QJ^im существует соответствующее разбиение единицы класса С°°.
Доказательство. Легко проверить, что существует семей- т
ство {/<;}i=iт компактных множеств таких, что К с [J К, и i=i
с Qj (i = 1, ... , т). Лемма гарантирует существование т функций фг таких, что:
фгССо°°(Й), i = 1, ... , т;
0<фДх)<1, i = 1,... , т;
фг (х)= 1 в окрестности Kt (i = 1,... , т^.
Положим
i—1
Ф1 = Фр Фг = Фг П U — ^)> i = 2, ... ,т,(15.41)
/=•
и покажем, что определенные таким образом функции ф, образуют разбиение единицы, соответствующее покрытию {Q,}I=i„..m.
Очевидно, что условие 1) определения 15.2 выполняется, поскольку функция фг удовлетворяет условию 1), а операции, присутствующие в ((15.41), не меняют гладкость и не увеличивают носитель функций. По тем же причинам удовлетворено условие 2)
Что касается условия 3), то здесь имеем ттi—1tni—1
5 ф.- = Ф1 +2П (•— ^)]= Ф1 — 2 [(“МПО— ^)] =
<=11=2L/=14=2/=1
т1—1
■ = Ф1—£[(—• +^^П 0—^)] =1=2/=1
т i—1т t
= Ф1 + £ П 0 ~ ^)— £ П 0 ™ Ф,) =1=2 /=11=2 /=1
тm
= Ф1— П 0 ™ М + (1 — Ф1) = 1 ~ П О — М- (15.42) /=1/=1
т
Взяв х из множества [J Кри где Kpi — окрестность множества Кь i=i
в которой функция ф; тождественно равна 1, получим
т
П (1-^ = 0,(15.43)
/=1
поскольку при некотором / имеем фу (х) = 1. □
Приведенное доказательство конструктивно и, более того, дает больше информации, чем определение само по себе. Функции <р; могут быть выбраны таким образом, чтобы в окрестности данной точки все они были тождественно равны пулю, за исключением одной, которая при этом будет тождественно равна 1, что в ряде случаев очень удобно.
Глава 16. ГЛАДКОСТЬ ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ
При изучении функциональных пространств, и в частности пространств Соболева, мы часто получали результаты, зависящие от гладкости границы открытого множества, на котором задаются элементы пространства. Здесь мы рассмотрим некоторые способы описания открытых множеств, наиболее часто используемые в функциональном анализе, подходя к вопросу с более общих позиций и используя понятие многообразия с границей и без границы.
Многообразия. Открытые множества
классов Ch и С''1’»1. Свойства конуса и сегмента
Локальные карты, атласы и многообразия. Рассмотрим сначала фундаментальные определения, касающиеся понятия многообразия.
Определение 16.1. Пусть М — хаусдорфово топологическое пространство; /г-мерной локальной картой пространства М называется тройка (V, U, ф), где V — открытое множество в М, U — открытое множество в R", ф : V -> U — гомеоморфизм; п- мерным атласом пространства М называется семейство Л = = {(Va, Ua, ф^аел «-мерных локальных карт такое, что М = = (J Va; «-мерным топологическим многообразием называется па- «ел
ра (Al, «Л), где Л —■ «-мерный атлас пространства М.
Размерность многообразия единственна (она является, таким образом, одной из его характеристик), поскольку по известной теореме Брауэра (см., например, [3, с. 213; 26, с. 97]) пространства R" и Rm гомеоморфны тогда и только тогда, когда п =т.
Определенные выше многообразия называют вещественными многообразиями или многообразиями на R"; в более общем случае можно рассматривать многообразия на любом банаховом пространстве В (см., например, [519, с. 161). В частности, взяв В = С", получим «-мерное комплексное многообразие (см., например, [679, с. 79]).
Топологические многообразия называют также многообразиями класса С°, а пространство М — носитель структуры многообразия —■ локально евклидовым.
Если x^Va, то локальными координатами точки х будем называть вещественные числа фа (х)Ф«п(^)> гДе Фа/ (i = L ...,«)—
компоненты вектора фа. Если для некоторой пары (а, Р)£Л2 различных индексов имеем VaDVp5^0, то на множестве xgVaHVp можно задать две системы локальных координат, и возникает естественный вопрос как они связаны друг с другом? Сразу же можно сказать, что функция ФрОф^1, соответствующая замене локальных координат, является (возможно, при соответствующем сужении функций фа и фр) гомеоморфизмом множеств фа (Va П Vp) и фр (Va П Vp). Кроме того, функция ФрОф~1 задает соответствие между двумя открытыми множествами в R", и можно, таким образом, говорить о ее дифференцируемости, что приводит к следующему определению (где со таковы, что й < + ос < со Уй g N).
Определение 16.2. Пусть М —■ хаусдорфово топологическое пространство; «-мерный атлас Л = {(Va, Ua> фа)}аел пространства М назовем атласом класса С*, й g N (J {+ оо, со], если выполнено следующее условие согласованности локальных карт:
Va, Р £ Л если Va П Vp #= 0, то функция фр о ф—1 является (при соответствующем сужении функций фа и фр) диффеоморфизмом множеств фа(КаПКр) и фр(КаПКр) класса Cfe.
Назовем n-мерным многообразием класса Ск пару (М, Л), где Л — «-мерный атлас класса Ск пространства М. При й = О это определение совпадает с предыдущим (с точностью до некоторого этимологического несоответствия, которое заключается в том, что 344
здесь диффеоморфизм класса С° называют гомеоморфизмом).
На каждом отдельно взятом топологическом пространстве можно задать несколько атласов класса Ск : два атласа </Z и 53 класса Ск, называют ^-эквивалентными (или индуцирующими на М одинаковую ^-дифференциальную структуру), если атлас c/Z U ^ является атласом класса Gk. Данное отношение между атласами является, очевидно, отношением эквивалентности, и, таким образом, определение 16.2 вводит элементы класса эквивалентности. Чтобы не вдаваться далее в частности, можно определить многообразие класса Gk как пару (7И, Л), где А— объединение атласов класса Gk, (й)-эквивалентных данному атласу yZ; таким образом, Л является единственным максимальным расширением атласа c/Z.
Многообразия класса Ск при 1 ^ й ^ +°° называют дифференцируемыми, а многообразия класса С® — аналитическими многообразиями (соответственно атласы класса С® называют аналитическими атласами).
В дальнейшем (там, где это не может привести к недоразумениям) многообразия будут обозначаться как одним символом М, так и парой (УИ, c/Z).
Простейшим примером «-мерного многообразия является многообразие, в котором М — открытое множество Q с R", наделенное топологией, индуцированной R", и атласом, по понятным причинам называемым каноническим, который состоит из единственной карты (У = Q, U = Q, ф — тождественное отображение). Это многообразие — аналитическое, поскольку нет проблемы согласованности локальных карт. Далее, это многообразие называют погруженным, поскольку его носитель — подмножество евклидова пространства.
Класс дифференцируемых многообразий, которые можно рассматривать как погруженные в соответствующее евклидово пространство, весьма обширен, именно: результат, полученный Уитни (см., например, работу [123, с. 116]) гласит: если (М, А)—п- мерное дифференцируемое многообразие, и пространство М удовлетворяет второй аксиоме счетности, то М диффеоморфно замкнутому подмножеству в R2"+1.
Многообразия с границей. Из сказанного ясно, что нет смысла рассматривать открытое множество Q как многообразие — эта усложнение бесполезно; в общем случае этого нельзя сказать о границе Г множества Q. С топологической точки зрения Г и Q тесно связаны. Сохранится ли эта связь в каком-либо смысле, если мы будем рассматривать Q и (если возможно) Г как многообразия? Ответ на этот вопрос ведет к необходимости рассмотреть понятие многообразия с границей. Обозначим символом R^ полупространство {х£ R" :хп> 0}, а символом 5R+— гиперплоскость R"-1 х {0} (R^ = {xeR":A:n>0}^(R+)").
Определение 16.3. Пусть М — хаусдорфово топологическое пространство. Многообразие (М, А) называется «-мерным многооб.
345.
разием класса Ck с границей, &ENU{+<», ®), если А = {(Va. -t/а, ф„)}а€Л — семейство (опять назовем его атласом класса С*) троек (мы опять назовем их локальными картами), каждая из которых состоит из открытого множества Va из М, открытого множества Uа из R+ (с топологией, индуцированной R") и гомеоморфизма фа: : Va-* Ua таких, что (J Va = М и Va, РЕ Л, если VaflVp#=0, то
функция фр оф™1 является диффеоморфизмом класса С множеств фа (Va П Vp) и фр (Va П Vp). Если точка х Е М имеет окрестность V такую, что существует локальная карта (Va, Ua, фа) такая, что V с:
с Va и фa(V) с R+, то точка х называется внутренней точкой множества М, а множество М внутренних точек М называется внутренностью множества М. Если точка х Е М имеет окрестность V' такую, что существует карта (Va', Ua^ фа>) такая, что V' с: Va' и Фа, (V) cdR^, то точка х называется граничной точкой множества М, а множество дМ всех граничных точек М называется границей множества М.
Здесь, как и в определении 16.2, функцией, которая должна быть диффеоморфизмом, является сужение на фа (Va П Vp) функции Фр оф-1. Далее, поскольку фa(VaПV₽) и фр^аП Vp) — открытые множества в R1, но не обязательно в R", понятие диффеоморфизма нуждается в уточнении: если Ох и О2 —открытые множества в R^, то отображение /: 0х -> 02 называется диффеоморфизмом класса С6, если существует отображение F : R" -* R такое, что /: F \@^ и F— диффеоморфизм класса С*.
В рассуждениях, следующих за определением 16.2, можно потребовать, чтобы атлас А был максимальным атласом класса Ск, Многообразие в смысле определения 16.2 является в то же времй многообразием с границей (она является пустым множеством), поскольку пространства R" и R^ (аналитически) диффеоморфны. Многообразия в смысле определения 16.2 называют также многообразиями без границы, но мы не будем пользоваться этой терминологией. Очевидно, что М и дМ — многообразия класса Ск размерности п и п — 1 соответственно; очевидно также, что дМ = = М\М.
Открытые множества и их границы. Возвращаясь к вопросу, который привел к предыдущему определению, можем сказать, что если S3 с R" — открытое множество, граница Г которого является (п — \умерным многообразием, то S3 = S3 (J Г — многообразие с границей dQ с: Г. Далее, если замыкание S3 открытого множества S3 с: R" является п-мерным многообразием с границей»
346
то дО. с: V = Й\Й. Чтобы найти условия на множество Й, при которых дй = Г, введем определение.
Определение 16.4. Говорят, что открытое множество ЙсН” имеет границу Г класса Ck, & $NU {oo.w}, или, проще, й называют открытым множеством класса Ск, если выполнено следующее условие ! '
(с) для любой точки х £ Г существуют два открытых множества V с R" и U с: R" и диффеоморфизм ф ■ R" -> R" класса Ск такие, что хеV,ф(уп^) = t/nR+ и Ф(х)е< _
Очевидно, что если й — открытое множество класса С*, то й—• многообразие с границей класса Ск (погруженное) и дй = Г. Если в условии (с) функции ср и ср-1 являются диффеоморфизмами класса С*’1*, то Й называют открытым множеством класса СкАХ — в частности, при к = 0 множество Й называют ^-непрерывным по Гёльде- ру, а при |ii = 1 — непрерывным по Липшицу открытым множеством.
Приводимая ниже теорема характеризует открытое множества класса Ск, часто используемые в анализе, и, по существу, дает новую интерпретацию тождества дЙ — Г — через тождество й = = Й, смысл которого заключается в том, что множество й локально находится только по одну сторону от своей границы.
Теорема 16.1. Открытое множество Й с: R" принадлежит классу Ск в том и только том случае, если выполнены следующие условия1.
(cl) й = й; _
(с2) для любой точки х£й существуют два открытых множества VgR" и U g R" и диффеоморфизм ф!R',->-R', класса Ск такие, что х 6 Г и ф (V П ^) = ^ Я R+-
Доказательство. Покажем сначала, что условия (cl) и (с2) необходимы. Мы уже отмечали, что из условия (с) следует условие (с2), которое говорит о том, что множество Й является многообразием с границей класса Ск. Чтобы показать, что из условия (с) следует условие (cl), воспользуемся приемом доказательства от противного. Поскольку всегда имеет место включение й с Й, допустим, что й 9^ й, т. е. предположим, что существует точка х ^ Й\Й. Тогда х € Й\Й = Г; пусть (V, U, ф) —- локальная карта, существование которой в данной ситуации гарантировано условием (с). Из того, что х ^ Й П V и х £ й, следует, что существует открытая окрестность № точки х такая, что W с й П V1, тогда ф(^) является открытой окрестностью точки ф(х) (в R") такой, что Ф($Г)с R^., откуда следует, что ф(х)$^4_; получено противоречие
Покажем теперь, что условия (cl) и (с2) являются достаточными. Пусть х Е <ЗЙ, и пусть (V, U, ср) — локальная карта, существование которой гарантировано условием (с2). Достаточно доказать, что Ф (х) 6 dR+, а поскольку если х Е Й П V, то ф (х) 6 R+ П U, достаточно доказать, что ф (х) $ R+ П U. Если ф (х) 6 R+ f| U, то у точки ф (х) есть открытая окрестность W с U f| R+, поэтому из соотношений х Е
Е ф~ (W') cz й следует, что х Е Й, так как функция ф непрерывна, а из условия (cl) следует, что хЕй, и мы пришли к противоречию. □
В литературе открытые множества U из условия (с) часто определяют более точно, чтобы упростить некоторые выкладки. Из таких определений, более сложных, чем наши, но эквивалентных им, мы приведем одно, данное в работе [618, с. 14] для ограниченного открытого множества (другие определения этого типа можно найти в работах [634, с. 37] и [544, с. 56]).
Определение 16.5. Пусть QcR”—ограниченное открытое множество. Множество й называется открытым множеством класса Ck^, если существуют два вещественных числа Ь >» 0 и h >• 0, т систем координат (ха,,... Xa„_P xaJ = (х^, xaJ (а = 1/и) и т веще
ственных функций фа таких, что для
Да = (х« Е R"’1 :1 ХаЛ < Ь, i = 1П - 1}, фа Е ^ (Да) и для
Га — {(Ха, Ха„) Е R : Ха Е Да, фа (Ха) = Ха„},•
Иа" = {(Ха, Xan) Е R i Ха Е Да, фа (Ха ) < Хап < фа (Ха) 4" А},
Иа = {(Ха, Xan) € R 'ХаЕДа, фа(Ха) — А < Ха„ < фа (Ха )}
т
имеем Г = [J Га и для любого сс имеем V<t с й и Га" с Rn\S. а=1
Это определение, в сущности, утверждает, что граница Г множества й может быть локально представлена как график функции класса С*’^, и что, тоже локально, множество й является надграфиком этой функции. Геометрический смысл накладываемых определением условий пояснен на рис. 16.1.
Свойство сегмента и свойство конуса. Приведем еще две концепции гладкости открытых множеств, совершенно отличных от предлагаемой определением 16.5. Обозначим через Сх (X, со, d) внутренность конуса вращения с вершиной х, высотой X, углом раствора со и осью, направленной вдоль вектора d. Напомним, что открытое покрытие множества С с R" называется локально конечным, если любая точка множества С имеет окрестность, пересекающуюся лишь с конечным числом покрывающих множество G открытых множеств.
Определение 16.6. Говорят, что открытое множество обладает свойством конуса, если
(к) ЭХ>0 3со>0 УхЕГ 3 d: Сж (X, со, d) с= Й
(по очевидным причинам множество 62 называют также обладающим свойством внутреннего конуса1, говорят, что множество 62 обладает свойством внешнего конуса, если множество Rn\Q удовлетворяет
условию (к)). Говорят, что множество 62 обладает свойством сегмента, если
(s) существует локально-конечное покрытие (Га)а6д границы Г и семейство {</а}аел точек R" такие, что Vx £ 62 Л Га W £ (О, 1) X + tya 6 62.
Рассмотрим кратко взаимосвязь между введенными различными типами гладкости открытых множеств.
Очевидно, что, если 62 — множество класса С1, то 62 удовлетворяет условиям (к) и (s), тогда как обратное неверно.
Действительно, открытое множество
^1 = {(*> У) 6 R2: хй + у2 < 1}\{(х, 0) е R2: х ^ 0}
(рис. 16.2) удовлетворяет условиям (к) и (s), но не удовлетворяет условию (cl) и, таким образом, не принадлежит даже классу С®. Далее, кривая-снежинка, или кривая Коха (на рис. 16.3 показаны первые шаги ее построения), позволяет построить открытое множество класса С®, не удовлетворяющее ни (к), ни (s).
Рис. 16.5Рис. 16.5Непрерывность множества й по Гёльдеру не означает, что оно обладает свойством конуса — это видно на примере открытого множества й2 = t(.x, у^ Е R2 : у > V\x 1} (рис. 16.4); последнее же свойство, даже в случае множеств класса С°, не означает непрерывности множества Й по Гёльдеру, что можно видеть на примере открытого множества Й3 = {(х, у) Е R3 : I х | < 1, у < 1/| log | х ||} (рис. 16.5).
Рис. 16.5
Рис. 16.5
Рис. 16.4
Более интересна, однако, связь между непрерывностью по Липшицу и свойством конуса, что можно видеть из следующего результата (см. [415, с. 1041).
Теорема 16.2. Пусть Й с R" - ограниченное открытое множество. Если множество Й имеет границу, непрерывную по Липшицу, то оно обладает свойством конуса. Если множество обладает свойством конуса, то его можно представить в виде й = т
= (J й2, где множества Йг непрерывны по Липшицу.
i=i
Открытые множества, обладающие свойством конуса, изучаются более подробно в [293, с. 138; 639, с. 313; 95, с. 11 и др.].
Заметим еще, что, если множество Й имеет границу Г, непрерывную по Липшицу, то почти везде на Г существует нормаль (см., например, [618, с. 88]).
Обобщенные функции на многообразии.
Пространства £р(Г)
Функции класса Ск на многообразии. Понятие непрерывной функции было первоначально введено для вещественных функций одной вещественной переменной, а затем весьма естественным образом обобщено на функции в любых топологических пространствах. Возможность такого обобщения указывает на то, что понятие непрерывности связано исключительно с топологической структурой пространства R и не связано ни с какими другими определенными на R структурами (это обстоятельство, возможно, трудно 350
увидеть сразу, поскольку оно скрыто невероятным богатством структуры вполне упорядоченного поля R).
Понятие же дифференцируемой функции, также введенное.первоначально для вещественных функций вещественной переменной, нельзя столь же естественным образом обобщить на функции, определенные на любом топологическом пространстве. Действительно, чтобы определить производную функции f : R -> R, необходимо использовать не только топологическую, но и алгебраическую структуру R, поскольку здесь нельзя обойтись без отношения разностей.
Имеются, в сущности, два способа обобщения (по отношению к пространствам, на которых определены функпии) понятия производной. Первый способ заключается в построении теории дифференцирования, аналогичной теории, разработанной для функций, определенных на R", и применимой к функциям, определенным на некоторых топологических векторных пространствах — на этом пути возникают понятия производной Фреше, Гато и т. п. (обзор различных концепций производной содержится в работе [1]). Второй способ, который мы вкратце рассматриваем ниже, использует понятие дифференцируемого многообразия, и это одна из причин, по которой данное понятие было введено.
Определение 16.7. Пусть (М, c/Z) — n-мерное многообразие класса С* (& € N U {+ °°> to}). Функция f: М --> R называется функцией класса Cr ^O^r ^.hy если для любой карты (Va,U„, ф„) из атласа ^ = {(Va.Wa.cpa)}^ функция fa := fova1 принадлежит классу Сг BUa.
Заметим, что на множестве М можно задавать различные структуры дифференцируемого многообразия, и данная функция может быть функцией класса Сг по отношению к одной структуре и не быть таковой по отношению к другой. Мы будем предполагать, что на множестве М зафиксирована с помощью точного атласа некоторая заданная структура.
Таким образом, мы связали понятие дифференцируемости в топологическом пространстве М с дифференцируемостью в обычном смысле в R", воспользовавшись структурой многообразия, определенного на М, т. е. используя возможность представления пространства М с помощью локальных карт. Определение 16.7 предполагает, что мы представляем функции f : М -> R с помощью семейств функций, определенных на открытых множествах в R". Это возможно, поскольку для любой данной функции f : М -> R автоматически определено семейство {f„ = fog?»1 :Ua-> R}a€?1. причем легко проверить, что
Va,$£A УХ^фа^аП Vp) fa (х) = fp О (фр О фа”') (х), (16.1)' и наоборот —для любого данного семейства {fa: Ua -> К}а€д> Удовлетворяющего условию согласованности (16.1), существует единственная функция f = М -> R такая, что fa = f о фа1 на 1/„. Действитель-
но, для любой точки у С М существует а 6 Д такое, что у £ Va. Полагая / (у) = fa о фа (у), из условия (16. 1) заключаем, что функция f = = {/а}а6Д определена корректно.
Обобщенные функции на многообразии. Теперь дадим следующее определение.
Определение 16.8. Пусть (М, c/Z)— n-мерное многообразие класса С°° или С™. Семейство и = (иа}аеЛ обобщенных функций Ua Е € S' (^а) называется обобщенной функцией на (М, <А\ если
Уа.Р^Д Ma = tip о (фр О фа *) на фа (Уа Л Ир). (16.2) Символом J3' (М) обозначим пространство обобщенных функций на многообразии ^М,<А\
Если М = Q с: R" и <Д — канонический атлас на открытом множестве Q, то пространство ЗУ (М) идентично пространству 3' (Q), рассмотренному в первой части. Пространство 3' (Af) можно рассматривать как двойственное к пространству 3) (Af) некоторых дифференциальных форм на М (см., например, [354, с. 43 и 471) или некоторых функций, определенных на М (см., например, [313, с. 431).
Далее, если М — многообразие класса Ck (k < +°о), то полностью аналогичным образом можно определить обобщенные функции порядка к на Af и пространство 5Ук (А1). В частности, при к = = 0 можно определить меры Радона на М и, таким образом, пространство Lp (М)', здесь возникает серьезная проблема: поскольку непрерывные функции отображают множества нулевой меры во множества, мера которых не обязательно нулевая, нельзя утверждать, что два семейства, совпадающие почти всюду, определяют одну и ту же функцию на Af — гомеоморфизмы фа должны быть по крайней мере би-липшицево непрерывны, т. е. многообразие должно принадлежать классу Со>|.
Функции класса Lp на многообразии. Пространство Lp (Al) можно определить напрямую способом, аналогичным определению
16.7. Здесь мы введем его для частного случая, который представляет наибольший интерес для нас, именно: для случая, когда Г — граница (или dQ или просто dQ) ограниченного открытого множества Q с: R" класса С0,1. Если множество Q ограничено, то Г — компактное множество, и, следовательно, из семейства открытых множеств V из условия 1) (см. определение 16. 4) можно выделить конечное подсемейство с теми же характеристиками.
Пусть {Уа}а=1m — это семейство и (фа}а=1m — соответствующее семейство диффеоморфизмов. С семейством {Уа}а=1 т мы связываем, кроме того, разбиение единицы (см. 15. 2). Пусть (£a}a=i m — это разбиение. Положим Га = Г П Va> Ра = Фа |га и 6а = £а |га — это дает нам покрытие границы Г, поскольку множество Га относительно открыто на Г, и соответствующее разбиение единицы (того же класса, что и граница Г, если Г не аналитическая). В этих обозначениях введем следующее определение.
Определение 16.9. Пусть f:F^-R— функция, определенная на границе Г открытого ограниченного множества класса С0,1. Будем говорить,что /СБР(Г) (pg [1, + со]),если /а= /ор„‘^"^„(Га)) для любого а= 1,...,т. Норму в пространстве LP(F) зададим соотношением
/ т1\1/р
II f IIlP(D = yQS JK^af) О Pa НьР(ра(Га))j(16.3)
(с соответствующей модификацией при р = +<х>).
Функции из Lp (Г) нельзя рассматривать как сужения на Г функций из пространства Lp (Rrt), поскольку n-мерная мера множества Г равна нулю. Возникает естественный вопрос можно ли ввести на Г меру, скажем ст, такую, чтобы построить теорию интегрирования по мере ст и снова получить понятие функции, суммируемой на Г с р-й степенью? Ответ на этот вопрос — положительный. Здесь, однако, мы просто определим меру, не развивая теории интегрирования (мы воспользуемся теми же обозначениями, что и в определении 16.9).
Определение 16.10. Пусть Qc R" — ограниченное открытое множество с границей Г класса С0,1. Множество Тс Г называется a-измеримым, если для любого a = 1 т pa (Т Л
Л Га) — измеримое множество в R”-1; число
т
»(Л= S И [Ра (ГП Га)](16.4)
а=1
называется мерой множества Т (ц — обычная (и — 1)-мерная мера Лебега).
Численное значение меры ст (У) множества Т (называемой также, по очевидным причинам, внешней мерой множества Т) зависит, вообще говоря, от атласа, используемого для описания границы Г, но само понятие измеримости множеств на Г не зависит от атласа — класс множеств нулевой меры также инвариантен.
Дадим теперь определение пространства Lp (Г), основанное на определении 16.5 и использующее его обозначения.
Определение 16.11. Пусть Q с: R" — ограниченное открытое множество класса Сод и f : Г-> Rn—функция, определенная почти всюду (по отношению к Г) на границе Г множества Q. При этих условиях для а = 1,...,т функция ^(ха,фа(х^)) определена почти всюду в Аа, и если f (х^, фа (х^)) g Бр(Да) (рЕ [1, + °°]), то будем говорить, что /gLp(F) Норму в пространстве БР(Г) определим соотношением
(с соответствующей модификацией при р = +°о).
35835823 К. Байокки, А. Капело
358
358
Пространство Lp (Г) с нормой (16.5) является банаховым (см. [618, с. 82]). Численное значение нормы элемента f Lp (Г) зависит от конкретного способа описания границы Г, но при замене семейства координатных осей и би-липшицево непрерывных функций, обеспечивающих это описание, мы получаем эквивалентные нормы (см. [618, с. 119]).
При тех же условиях, что и в определении 16.11, мы можем определить интеграл по поверхности от функции f £1? (Г) соотношением'
СТГСт—1Щ/2
Uda-U (4’ Фа (О) °«Ч> Фа (*а)) 1 + £ (^J^i)2 ^а
а=1 УL<«*1
гАа
(16.6)
(здесь 6а — функции из разбиения единицы, соответствующие Га); значение интеграла по поверхности не зависит ни от карт, ни от связанных с ними разбиений единицы (см. [618, с. 122]). Наконец, элемент поверхности. ,
[
n—111/2
1 + S (дфа/^,)2 d/,(16.7)
Z=1J
начиная с которого можно построить теорию интегрирования по Г, определен корректно, поскольку производные би-липшицево непрерывных функций фа существуют и ограничены почти всюду.
Глава 17. ПРИНЦИП МАКСИМУМА И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Введение -
В этой главе будут рассмотрены результаты, которые формулируются примерно следующим образом: «если функция и удовлетворяет неравенству Z, (и) ;> О на открытом множестве Q, где L — соответствующий дифференциальный оператор, то и не может иметь максимума на Q»; в таких случаях говорят, что функция и удовлетворяет принципу максимума. Можно, естественно, рассматривать и симметричное понятие «принцип минимума», связанное с неравенством L (и) ^ 0. Какой из этих принципов использовать — вопрос вкуса: если функция и удовлетворят ет принципу максимума, то функция — и удовлетворяет принципу минимума, и, таким образом, все результаты автоматически преобразуются при переходе от одного принципа к другому.
Большой интерес, который представляют результаты данного типа, обусловлен тем, что максимумы и минимумы решений дифференциальных задач часто имеют глубокий смысл, а также тем, что эти результаты используют при доказательстве единственности решений некоторых задач. Мы рассмотрим здесь лишь эллипти- 354
ческие операторы второго порядка — эллиптические операторы высших порядков обсуждаются, например, в работе [94], а операторы параболического и гиперболического типов — в [636, гл. 3 и 4].
Принцип максимума в R '
Рассмотрим сначала простейший возможный случай. Известно, что если функция и : (a, b) -> R класса С2 на интервале (а, Ь) имеет максимум (локальный или глобальный) в точке с £ (а, Ь), то и'(с) = 0 и и"(сХ0. Отсюда заключаем, что если функция и £ С2 ((а, 6)) удовлетворяет дифференциальному неравенству
н"(х)>0 на (а, Ь), (17.1)
то и не имеет максимума на (а, Ь). Можно, таким образом, сказать, что функция, удовлетворяющая неравенству (17.1), удовлетворяет принципу максимума. С другой стороны, если интервал (а, Ь) ограничен и и 6 С2 ((а, 6)) П С° ([а, 61), то (по теореме Вейер- штрасса : «непрерывная функция отображает, компактные множества в компактные») функция и имеет на [а, 6] максимум р и, таким образом, и (х) < р на (а, Ь) и и (а) = р или и (Ь) = р. Далее, можно утверждать, что, если и (а) = р и в точке а существует правая производная, то ид (а) <0 и, аналогично, если и ф) ■ = р и в точке b существует левая производная, то Ul ф) >• 0. Именно эти результаты целесообразно обобщить в нескольких направлениях.
В качестве первого обобщения видим, что если функция и £ С2 ((а, Ь)) удовлетворяет неравенству
«"W + ^W«'W>° на (а, 6), (17.2) где g — ограниченная функция, то и удовлетворяет принципу максимума. Но из того, что и £ С2 ((а, Ь)) удовлетворяет неравенству вида
u" Iх) + g(X)W (х) + h (х)и (х)>0 на (а,Ь), (17.3) где g и h — ограниченные функции, не следует, что функция и не имеет максимума на интервале (а, Ь) — это легко видеть на следующем примере: а, b = (0, л), g (х) = 0, h (х) s 2 и и (х) = sin х. Мы сталкиваемся, таким образом, с проблемой поиска дополнительных условий (на функции и, g и А), при которых принцип максимума можно связать с неравенством (17.3). Мы вернемся позже (теорема 17.3) к этой проблеме, которую сформулируем даже в более общих условиях: фактически мы будем предполагать, что функция и удовлетворяет неравенству
“' W + g (х) “' (*) + h (х) и (х) > 0 на (а, Ь), (17 4)
вместо строгого неравенства (17.3).
Неравенства (17.1), (17.2) и (17.3) являются, в действительности, слишком сильными ограничениями, поэтому практическое 23* 355
значение связанных с ними принципов максимума невелико; нам нужны принципы максимума, связанные с нестрогими неравенствами. Доказательство подобных результатов, однако, более сложно, и мы докажем лишь простейший из них (отсылая читателя к библиографии за остальными).
Теорема 17.1. Если функция и^Са((а, 6)) удовлетворяет неравенству
и"(х)^0 на (а, Ь) (17.5)
и имеет на интервале (а, Ь) максимум, равный р, то и (х) = р на (а, Ь). В частности, если —оо < а < b < + оо и функция и^ С2 ((а, 0) П С° ([а, Ь]) не является постоянной, то она принимает максимальное значение р только в точке а или в точке Ь; далее, если и (а) = р (или и (Ь) = р) и функция и имеет правую (левую) производную в точке а (точке Ь), то uR(a) < 0 (u'L (6) >0).
Доказательство. Если и" = 0, то утверждение теоремы очевидно . Предположим теперь, что и" ^ 0 и и (с) = р, где с £ (и, by При этих условиях и’ (с) = 0, и мы можем записать
u'(х) = ^u"(t)dt. (17.6)
С
Отсюда и из неравенства (17.5) видно, что и' (х) ^ 0 на интервале (а, с) и и* (х) ^ 0 на интервале (с, Ь), а это противоречит предположению о том, что с — точка максимума. Тем самым первая часть теоремы доказана.
Чтобы доказать .вторую часть теоремы, напомним, что по теореме Вейерштрасса существует точка с € la, Ь] такая, что и (с) = = р; первая часть позволяет заключить, что с£ (а, Ь}. Чтобы определить знак односторонней производной в точке максимума, предположим, что ею является точка Ь, т. е. и (Ь) = р. Сразу же видим, что неравенство uL (b) < 0 невозможно. Если uL (6) = 0, то мы получим
и* (х) = J и" (0 dt. (17.7) 6
Таким образом, из неравенства (17.5) имеем: и' (х) ^ 0 на интервале (а, Ь), т. е. функция и не возрастает на интервале (a, by что противоречит предположению о том, что она имеет максимум в точке Ь; следовательно, Ul (b) > 0. Аналогичные рассуждения показывают, что если и (а) = р, то и^ (а) < 0 □.
Первым обобщением теоремы 12.1 является следующий результат.
Теорема 17.2. Если функция и£ С2 ((а, 6)) удовлетворяет неравенству
и"(х) + g (х)и' (х)^ 0 на (а, Ь), (17.8) где g — ограниченная функция, и имеет на интервале (а, Ь) макси- 356
мум, равный р, то и (х) = р на (a, by при этом справедлива также вторая часть теоремы 17.1.
Доказательство этой теоремы можно найти, например, в [636, с. 2 и 4]. Там же (с. 6 и 7) приведено доказательство следующей теоремы — дальнейшего обобщения теоремы 17.1.
Теорема 17.3. Если функция и Е С2 ((a, by удовлетворяет неравенству (17.4), в котором функция g — ограниченная, а функция h — неположительная ограниченная, и принимает неотрицательное максимальное значение р (^ 0) в точке с^ (а, Ь), то и (х) = р на [а, bl (более того, р = 0, если h (х) ^ 0).
В частности, если —оо < а < b < + оо, функция и£ С2 ((а, by П С° ([а, Ь]) не является постоянной и существует точка d 6 (а, Ь) такая, что и (d) ^0, то справедливы утверждения второй части теоремы 17.1.
Данное утверждение содержит два сильных ограничения — h (х) ^ 0 и р ^ 0, которые, однако, существенны, как показывают следующие примеры:
(а, Ь) = (0, л), g (х) = 0, h (х) = 1 и и (х) = sin х (максимум р = 1 в точке х = л/2);
(а, Ь) = (—1, 1), g (х) = 0, /i (х) = —1 и и (х) = —ех — — е-х (максимум р = —2 в точке х = 0).
Возможны другие обобщения сформулированных принципов максимума (см. [636, гл. 1]), однако, мы не будем их рассматривать; вместо этого мы приведем следующий пример возможного приложения теоремы 17.3. Сначала сформулируем задачу.
Задача 17.1. Пусть /£^([а, 6]) (—оо < а < b < оо), фъ Фг € R и 0!, 02 € [0, л/2]; найти функцию и € С? ((a, by П С1 ([а, 6]) такую, что
и" W + g (х) и' (х) + h (х) и (х) = / (х) на (a, b),(17.9)
— uR (a) cos 0j + u (a) sin 0! = фр(17.10)
uL (b) cos 02 + и (6) sin 02 = ф2,(17.11)
где h ^ 0 и g — ограниченные функции.
Теорема 17.4. Пусть иг и и8 — два решения задачи 17.1, Тогда щ = и2 + к, где к Е R, если h s 0 и 0Х = 02 = 0; в противном случае щг и2.
Доказательство. Прежде чем приступить к доказательству, заметим, что при 01 = 02 = 0 задача 17.1 является задачей Неймана, а прн 0j = 02 = л/2 — задачей Дирихле. В последнем случае решение можно искать в пространстве С2 ((а, Ь)) (] П С° ([а, Ь]), поскольку этого достаточно для того чтобы граничные условия (17.10) н (17.11) имели смысл.
Легко видеть, что функция и = щ — и2 является решением следующей задачи.
Задача 17.2. Пусть 0Р02€[О, л/2]; найти такую функцию и ЕС2 ((a, b)) А С1 ([а, Ь]) (— оо <а<_Ь <_-(- оо), что
и" (х) -Vg(x)u' (х) + h(x)u(x) = 0 на (a,by (17.12)
— u'R (a) cos 0X + ы (a) sin 0± = 0,(17.13)
uL (b) cos 02 + u (6) sin 0a = 0,(17.14)
’ где h ^ 0 и g — ограниченные функции.
Если h (x) = 0 и 0! = 02 = 0, то любая постоянная & £ R будет решением задачи 17.2. Обратное справедливо, если к =# 0, т. е. если к Ф 0 — решение задачи 17.2, то (в силу равенства (17.12)) h = 0 и (в силу равенств (17.13) и (17.14), учитывая, что и (а) = = и (Ь) = к и u’r (а) =ul (b) = 0) 0, = 02 = 0. Таким образом, функция и является ненулевой постоянной лишь в том случае, если h s 0 и 0t = 02 = 0. Покажем теперь, что в любом другом случае единственным решением задачи 17.2 является функция, тождественно равная нулю, т. е. и = 0. Предположим, чт° задача 17.2 имеет решение и, не являющееся постоянной функцией, такое, что и (с) > 0 для некоторой точки eg (а, Ь). Теорема 17.3 (ее мы можем применить, поскольку функции g и h ограничены, h^0 и р, = max ы(х)^ы(с)>0) гарантирует тогда, что функ- [а.Ь]
ция и имеет максимум на множестве {a, by если и (6) = р, то та же теорема гарантирует, что u'L^">>0, а это неравенство, вместе с неравенством и(Ь) = р>0, противоречит условию (17.14)-
Точно так же можно показать, что максимум не может достигаться в точке а, и, следовательно, не существует точки с g (а, 6) такой, что и (с) > 0. Проведя аналогичные рассуждения для функции — и, заключаем, что не существует точки с g (о, 6) такой, что и (с) < 0; следовательно, и = 0. □
Принцип максимума в С
Теория функций одной комплексной переменной полна неожиданностей. Часто, кажущиеся слабыми предположения ведут к очень сильным результатам. Так, из условия голоморфности функции / : Й —► С, где Й с С — открытое множество, следует существование всех производных функции / и аналитичность /. Из этого предположения следует также, что если функция | / (г) | имеет максимум в точке г0 g Й, то функция / (г) постоянна на Й — именно этот результат, известный как принцип максимума модуля, мы и рассмотрим. Очевидно, что этот результат не является принципом максимума в том смысле, в каком мы рассматривали это понятие в разделе 17.1, поскольку здесь не присутствует в явном виде дифференциальное выражение; мы увидим, однако, что на самом деле оно присутствует, хотя и в скрытой форме, и что между упомянутыми результатами имеется глубокая связь, опирающаяся, естественно, на условие голоморфности.
Чтобы доказать принцип максимума модуля, воспользуемся одним из наиболее элегантных результатов теории функций комп- 358
лексной переменной — формулой Коши, которую мы примем без доказательства (ее можно найти в любом учебнике по комплексному анализу — например, в [619, с. 134; 334, с. 79; 358, с. 2111):
Теорема 17.5 (формула Коши). Пусть й с С — односвязное открытое множество, f : й -> С — голоморфная в Й функция, у — замкнутый контур в й. Для любой точки г0 € О\? справедлива формула
f^nd^z^^-^-^^dz,(17.15)
v
где
'i-Kr.^-T^J;^.(17.16)
V
Напомним, что под контуром мы понимаем непрерывную кусочногладкую кривую, ориентация которой индуцирована одной из ее параметризаций — типичным примером замкнутого контура является окружность с центром в точке а £ С и радиусом г > 0; у (а, г) = {г: г = у (^) = а + re£t, t 6 [0,2л]}, которую называют положительно ориентированной.
Величина ind (у, г0), называемая индексом контура у по отношению к точке г0 — целое число (наглядная геометрическая интерпретация этого факта дана, например, в [619, с. 121; 358, с. 207]).
Наиболее интересен, несомненно, случай, когда у — замкнутая жорданова кривая, кусочно гладкая и положительно ориентированная: при этих условиях (у, z0) = 1, если точка z0 всегда находится слева при движении вдоль контура у, и ind (у, Zy) = 0 — в противном случае. Это справедливо для рассмотренной выше окружности, для которой формулу (17.15), в предположении, что г < dist (а, С\й) и | ?0 — а | < г, можно записать в виде
f(*717)
V(a,r)
Из формулы видно, что значения голоморфной функции внутри круга определяются исключительно значениями на границе данного круга.
Полагая в формуле (17.17) z0 = а, получим так называемую формулу среднего значения Гаусса
. 2Л
т = J f(fl + reu)dt,(17.18)
о
которая, в сущности, утверждает, что значение голоморфной функции в центре круга равно арифметическому среднему от ее значений на соответствующей окружности. Мы воспользуемся частными случаями (17.17) и (17.18) формулы (17.15) при доказательстве следующего уже упоминавшегося результата.
Теорема 17.6 (принцип максимума модуля). Пусть f:Q-*C—голоморфная функция, определенная на связ-
ном открытом множестве й с С. Если функция | f (z) | : Й -> R имеет в точке а Е Q максимум, равный ц, то функция f (г) постоянна на Й (ее модуль равен р).
Доказательство. Пусть г — положительное вещественное число такое, что г < р = dist (а, С\Й). Окружность у (а, г) содержится в Й; используя формулу (17.18), запишем >
О = (/(а) | — р= -^ J f(a + re‘)dt — р<
О1
- 2Л2л
f W-Vre^dt-vi^-^- J ^-p=0; (17.19) оо
таким образом,
2Л
^-yCu-lf^ + re^Dd^O.(17.20)
О
Из равенства (17.20) заключаем, что
p = |f(aW)|.(17.21)
а отсюда и из того факта, что число г Е (0, р) произвольно, имеем: И (г) 1-1* в круге D = {z Е С : | z — а | < р). Голоморфная функция, модуль которой — константа, сама является постоянной; чтобы убедиться в этом, достаточно взять производные по х и по у от функции | / |2 = ц2 и воспользоваться системой Коши- Римана (см. (17.23) и (17.24)). Таким образом, заключаем, что / (г) = = / (а) в D и, следовательно, в открытом множестве Й, которое можно покрыть семейством «связанных» кругов.
Приведенный результат легко обобщается на функции п комплексных переменных — см., например, [219, с. 107].
Разберемся теперь, почему одного предположения о голоморфности функции / достаточно для доказательства принципа максимума. Положив z = х + iy и разложив функцию / на вещественную часть и (х, у) = Re (/ (z)) и мнимую часть и (х, у) = Im (j (z)), запишемм
/ (z) = и (х, у) + to (х, уУ(17.22)
Известно, что если функция / голоморфна, то функции и и v удовлетворяют так называемым дифференциальным уравнениям Коши—Римана'.
duldx = dvldy,(17.23)
ди/ду = — dv/dx.(17.24)
Справедливо и обратное: если функции и и и дифференцируемы и удовлетворяют уравнениям (17.23) и (17.24), то функция /, определяемая соотношение (17.22), голоморфна и
г, , . ди. .диди.ди
/ (Z) =+ I"3-= (17.25)
' ' дх1дхдуду' г
Из уравнений (17.23) и (17.24) следует, что
Ди = О,(17.26)
Ди = 0,(17.27)
т. е. вещественная и мнимая части голоморфной функции удовлетворяют уравнению Лапласа и являются, таким образом, гармоническими функциями.
Возникает вопрос — не являтсюя ли равенства (17.26) и (17.27) теми дифференциальными соотношениями, появления которых можно было ожидать в связи с функцией, удовлетворяющей принципу максимума. Ответ на этот вопрос — положительный, и это станет еще очевиднее, если ввести дифференциальные операторы Kouiu—Римана
12 дх12 дхд =д =-}■ I "тг-}■ I "тг(17.29)(17.29)»-т(£-'£)' (17.28)
1
2 дх
1
2 дх
д =
д =
-}■ I "тг
-}■ I "тг
(17.29)
(17.29)
и комплексный оператор Лапласа дд, поскольку если /— голоморфная функция, то
(17.30)(17.30)дд( = О,
(17.30)
(17.30)
т. е. голоморфные функции — это комплексные гармонические функции. Таким образом, принцип максимума является естественным следствием очень сильного, хотя и кажущегося слабым условия голоморфности.’
Гармонические функции и и и — вещественная и мнимая части голоморфной функции f — называются гармонически сопряженными (точнее, функцию и называют гармонически сопряженной к и, а функцию и — гармонически сопряженной к v). Отметим, что если функция и — гармоническая в 52 с: R2, то функция
(«,«)
”= I Ц^ + -ё^)-(17'3|>
Ыо.Уо)
где (х0, z/o) — фиксированная точка множества 52, а интеграл берется по кривой, соединяющей точки (х0, Уо) и (х, у) и полностью содержащейся в 52, является гармонически сопряженной к функции и (единственной с точностью до аддитивной постоянной). Отсюда видно, что любую гармоническую функцию и : 52 с: R2 -> R можно рассматривать как вещественную часть голоморфной функции (соответствие между множествами 52 с R2 и 52 с С устанавливается соотношением (х, у) « г, определяемым равенством г = = х + iy), следовательно, иЕ С” (52). Это лишь один из множества примеров результатов, касающихся гармонических функций двух переменных, которые можно получить с помощью комплексного анализа. Другим примером, особенно важным для нас, является следующий.
Теорема 17.7. Если и : Q -> R — гармоническая функция на открытом множестве £2 с: R2, имеющая на £2 максимум, ту и — постоянная на £2 функция.
Доказательство. Если и — гармонически сопряженная к и функция, то функция е' = e“+i0 голоморфна на £2. Таким образом, если функция ] е^ = е“ имеет на £2 максимум, то по теореме 17.6 и вследствие монотонности экспоненты и — постоянная на £2 функция. □ ■
Заметим, что доказательство можно было, следуя доказательству теоремы 17.6, провести, начав с вещественного варианта формулы среднего значения Гаусса
1 2л
u (a) = -g— у и (а + reH)dt, (17.32) о
которую можно получить, приравняв вещественные части обеих ■сторон формулы (17.18),— этот метод используется обычно при доказательстве «-мерного аналога теоремы 17.3; мы воспользуемся им в следующем разделе.
Из теоремы 17.7 следует, что если гармоническая на £2 функция имеет на £2 минимум, то она является постоянной на £2 функцией; таким образом, если и^С2 (Q) Г) С° (£2) — гармоническая функция на ограниченном множестве £2 с: R2, не являющаяся постоянной, то ее максимум и минимум достигаются на границе Г множества £2.
Отсюда получаем: если и,о € С2 (£2) f) С° (£2) — две гармонические на ограниченном открытом множестве £2 функции и и = и на Г, то и = и на £2 (это станет очевидно, если рассмотреть функцию w — и — и). Заметим, что предположение об ограниченности множества £2 существенно для того, чтобы функция имела максимум и минимум (и в этом случае они достигаются на границе Г), что можно видеть из следующего примера: в полосе £2 = {(х, у) £ R2 I : х 6 (О, л)} функция
и (х, у) = еу sin х (17.38) гармоническая и положительная, однако на границе £2 она равна нулю.
Принцип максимума в R”
Если функция и : £2 -> R класса С2 на открытом множестве £2 с: R" имеет максимум в точке с £ £2, то du!dxt (с) = 0 (i = 1, ... .... «) и d2u/dx?(c) ^ 0 (z = 1, .... «). Следовательно, если функция и £ С2 (£2) удовлетворяет неравенству
Au > 0 на £2, (17.34) то она не может иметь на £2 максимум; таким образом, решения неравенства (17.34) удовлетворяют принципу максимума. Аналогичным образом заключаем, что функции, удовлетворяющие не- 362
равенству
Au + ^ ai -Ir >° Ha g*<17-35)
<=i1
где at = uz (x): £2 ->- R — ограниченные функции, удовлетворяют принципу максимума.
Как и в одномерном случае, нас больше интересуют нестрогие неравенства, чем строгие, каковыми являются неравенства (17.34) и (17.35). В двумерном случае мы видели, что если мы заменим в условии (17.34) строгое неравенство на нестрогое, то получим тот же результат, с точностью до постоянных функций. Теорему 17.7, которая позволяет сделать этот вывод, можно обобщить на «-мерный случай, если использовать формулу среднего значения для функции п переменных (ср. с формулой (17.32))
“ ^ = VT^ J “ ^ ^’(17.36)
.П 5(а.И
где <»„ = 2лп/2/Г (n/2), S(u,r)— гиперсфера радиуса г с центром в точке а, определяемая уравнением ||х— а|| = г. Мы можем, таким образом, сформулировать следующее утверждение.
Теорема 17.8. Пусть £2 с R" — открытое множество с границей Г. Если функция и^С? (£2) удовлетворяет неравенству
\и>0най(17.37)
и имеет на £2 максимум, равный р, то и (х) = ^ на £2.
В частности, если множество Q ограничено, а функция и € £ С2 (£2) Л 0° (Q) не является постоянной, то максимальное значение ц достигается исключительно на Г.
Решения неравенства (17.37) называют субгармоническими функциями, поскольку если множество £2 ограничено и у € С2 (£2) Л Л С° (£2) — гармоническая на £2 функция, принимающая на Г те же значения, что и решение и неравенства (17.37) (непрерывное на £2), то и у на £2 (чтобы убедиться в этом, достаточно применить теорему 17.8 к функции w = и — у). Аналогично решения неравенства Au О называют супергармоническими функциями.
Имея теорему 17.1, естественно спросить, нельзя ли добавить к предыдущему утверждению что-либо касающееся поведения функции и в точках максимума. Это возможно и очень важно; сначала, однако, нам необходимо ввести некоторые новые понятия.
Определение 17.1. Пусть £2 с R" — открытое множество с границей Г. Точка х £ Г называется точкой Хопфа, если существуют точка х0 € ^ и число г > 0 такие, что шар В (х0, 6 = {х € R" : II х — х0 II < г} удовлетворяет следующим условиям:
В (х0, г) с: £2;
хЕ5(х0, г).
Открытое множество Q называется множеством Хопфа, если все точки его границы Г — точки Хопфа.
Он р еде лен и е_ 17.2. Пусть Q с R" - открытое множество с границей Г, х g Г — точка Хопфа; пусть точка х0 g Г и число г > 0 удовлетворяют условиям определения 17.1, а / — точ
ка шара В (х0, г). Говорят, что точка / или вектор I = 1х задает
направление вне Q в точке х, если существуют такие число 7 > О и точка г > О, что (х^ R" : х = х + + II, / 6 (0, л} с В & F) П (R" \ й). Если вектор / задает направление Г вне Q в точке х, то предел
Д^- ^ = ит inf .^-tn-^L /->о+
(17.38)
называют нижней производной по
/ в точке х.
Очевидно, что если граница Г имеет внешнюю нормаль v в точке х, то эта нормаль задает направление вне Q в точке х (полагаем I = х0), а если и — достаточно гладкая функция, то соотношение (17.38) включает как частный случай определение производной функции и по внешней нормали в точке х — ди! дм {х\ На рис. 17.1 точка X! (удовлетворяющая предыдущим условиям) и точка х2 (неудовлетворяющая) являются точками Хопфа границы Г, а точка х3 не является таковой; все точки открытого шара Вх задают направление вне Q в точке хь а направление вне Q в точке х2 задают лишь те точки шара В2, которые попали в заштрихованный конус.
Теперь мы можем завершить формулировку теоремы 17.8.
Теорема 17.8'. В добавление к утверждениям теоремы 17.8, если х — точка Хопфа на границе Г такая, что и (х) = ц> то, каким бы ни было направление I вне множества Q в точке х, имеем д~и/д! (х)> 0.
Доказательство приведено, например, в [465] и [636, с. 65] — в этих работах доказан следующий более общий результат.
Теорема 17.9 (принцип максимума Хопфа). Пусть йс с R" — открытое множество с границей Г, и € С2 (Q) — решение неравенства
f “«<S7+i?-s->o ™q. <17-з9> M=1 ! 7 i=l •
где функции al} = atj (х) и bt = bt (х) ограничены на Q и функции ац таковы, что дифференциальный оператор, связанный с неравенством (17.39), равномерно сильно эллиптический на Q. Если функция и имеет на Q максимум, равный ц, то и (х) = ц на Q.
В частности, если множество й ограничено и функция и 6 € С2 (й) П С° (Й) не является постоянной, то ее максимум ц достигается исключительно на границе Г; далее, если х — точка Хопфа границы Г и и (х) = у,_то д~и/д1 (х) > 0, каким бы ни было направление I вне й в точке х.
Точно так же, как теорема 17.3 обобщает теорему 17.2, следующий результат (1637, 638, 636, с. 64 и 67]) обобщает теорему 17.9.
Теорема 17.10. Пусть функции а1} и bt —те же, что и в теореме 17.9, с — неположительная ограниченная функция. Если и € С2 (й) — решение неравенства
t,/=l1'£=11
имеющее на й максимум, равный р ^ 0, то и (х) = р на й (более того, р = 0, если с (х) ^ 0).
В частности, если й — ограниченное множество, функция и € С2 (й) П С° (й) не является постоянной и существует такая точка х0 € ^, что и (х^ ^ 0, то справедливы все заключения второй части теоремы 17.9.
Как и в теореме 17.3, ограничения с (х) ^ 0 и р ^ 0 существенны, что можно видеть из следующих двух примеров: 1) функция и (х, у) = sin х sin у, имеющая максимум р=1 в точке (х, у) = (л/2, л/2), удовлетворяет тождеству Au + 2u = 0 в квадрате й = {(х,у^ R2:0< х< л и 0<</<л); 2) функция и(х,у^ = =—ех+н— е-х-д, имеющая максимум р = — 2 в точке (х, у) = (0, 0), удовлетворяет тождеству Au — и = 0 в области й = {(х, у)£ 6R2:x2 + t/2< 1}.
’ Возможны и другие обобщения представленных здесь принципов максимума, однако, как и в одномерном случае, мы не будем их рассматривать (см., например, [636], гл. 2), а рассмотрим следующий пример применения представленных результатов. Сначала сформулируем задачу.
Задача 17.3. Пусть йc=Rn— ограниченное открытое множество с границей Г, а Го и Г#—два подмножества таких, что Г#("| П Гд = 0 и Г = Го U Г«; и пусть все точки Г^ — точки Хопфа. По данным функциям f^^, g^S^N) и g^^tTo) найти функцию и £ С2 (Й) f) С1 (й) такую, что
п доП Я
++ = Z на Q- (17Л1)
<,/-11 ) t=i'
-^-gi на Гм,(17.42)
u = g1HaTD,(17.43)
где функции аи, bt и с удовлетворяют условиям теоремы 17.10.
Теорема 17.11. Предположим, что иг и и2 — два решения задачи 17.3. Тогда иг = u2 + k (к^ R), если с (х) = О и Гв =
= 0 и их = ы2 — в противном случае. Доказательство приведено в [636, с. 70].
Приложения
В предыдущих разделах мы всюду предполагали, что функции, которые мы рассматривали, достаточно гладкие, что противоречит принципам этой книги в целом. Здесь мы кратко рассмотрим случай негладких функций, чтобы дать важную формулировку принципа максимума, применимую к ним.
Пусть й — ограниченное связное открытое множество в R". Рассмотрим дифференциальный оператор
L°“-S «г(»«^а) + Ё^п + Ё4'(с'п) + 'щ’
l,j=\11'1=111=1‘
(17.44) который мы будем предполагать равномерно сильно эллиптическим на й и таким, что (ср. с разделом 7.2)
a^L"^, bt^Ln(S), с^Ь"^ и d^Ln'2^
если п > 2 — для случаев п = 1 и п = 2 необходимы обычные модификации). При этих условиях (см. гл. 7) L g ^ (Я1 (й), Я-1(й))> и мы можем рассматривать билинейную форму а (и, у):Я*(й)х Xm^^R, определяемую соотношением
а(«,и) = j [ 2 atj^-g- + 5 btU-g--2 ctu-^- + duv^ dx. о i./=i7 z i=i * i=i '
Как и ранее, естественно попытаться связать принцип максимума с решениями неравенства
Lu^O на Й,(17.46)
т. е. неравенства а(и,у)^0 Уу£Яо(й), у^^ 0 п. в. на Й (17.47) (главная часть оператора L имеет знак минус, поэтому нам не следует рассматривать неравенство Lu "^ 0, если мы хотим иметь дело с принципом максимума).
Имеем тогда следующий результат, в котором неравенство (17.48) аналогично предположению о неположительности функции с в теореме 17.10.
Теорема 17.12, Пусть и £ Н1 (й) f] L” (й) — решение неравенства (17.47), коэффициенты аи, bb ct и d (I, j = 1 п)
366
которого удовлетворяют сделанным выше предположениям, пусть
е = d + 2 ЛХ > О в смысле 2* (Й),(17.48>
и пусть и = ess supan > 0. Если существует точка х 6 Й такая, что Vr>0 ess supB(-,r)nQu = ц (m. е. функция и имеет максимум, в точке х), то и = р почти всюду на Й (в этом случае е = О в смысле 2)' (Й), а а (о, и) = О Vo € Но (Й)).
Доказательство этого утверждения можно найти в [685, с. 206]; см. также [618, с. 323; 307—309], где приведен этот и другие подобные результаты.
Гл ав а 18. ФОРМУЛЫ ГРИНА
Г Естественные краевые условия, неявно входящие в вариационные уравнения и неравенства, часто могут быть выписаны в явном виде с помощью соответствующего обобщения так называемой первой формулы Грина. В этой главе мы рассмотрим формулу, позволяющую сделать явными упомянутые краевые условия задач Неймана и других подобных задач. Приемы, которыми мы воспользуемся, в сущности, те же, что были использованы при выводе формул, удобных при изучении многих других задач, таких, как смешанные задачи (к ним мы вернемся в конце главы).
Теорема о дивергенции. Напомним сначала доказательство первой формулы Грина (в классическом случае), поскольку его полезно иметь в качестве руководства, чтобы делать различные обобщения. Начнем с известного результата (в дальнейшем запись г £ Еп, где Е — функциональное пространство, означает, что г = {zj(=iп — вектор, компоненты zt которого принадлежат пространству Е, а (•, •) означает скалярное произведение в R").
Теорема 18.1 (теорема о дивергенции, или теорема О с- троградского — Гаусса). Пусть Йс R” — ограниченное связное открытое множество с границей Г класса С0Л, v — вектор внешней нормали к Г, а/£ [С1 (й)]п. Тогда справедлива формула
j div fdx = j(/|r,v)da.(18.1)
QГ
/ В классическом случае эта теорема доказана, вообще говоря, для открытых множеств с границей, принадлежащей классу С1 полностью или кусочно — см., например, [493, гл. 4; 384, с. 264 и 265]. В работе [384] теорема доказана в рамках теории интегрирования дифференциальных форм на многообразиях — эти рамки естественны при обсуждении важных результатов теорем Остроградского — Гаусса, Стокса и Грина (не следует путать их с формулами, которые мы рассматриваем здесь); в этом контексте все
цитированные результаты являются следствиями весьма общей и абстрактной формулировки теоремы Стокса (см. [384, с. 273; 731). Обобщение на открытые множества класса С0,1, помимо усложнения доказательства, требует иной интерпретации входящих в формулу (18.1) интегралов, которые должны уже рассматриваться как интегралы Лебега, а не интегралы Римана, однако, в сущности, мы все же не выходим за рамки классического подхода (данный результат можно доказать методами, аналогичными примененным в [618, с. 1211).
Первая формула Грина. Положим в формуле (18.1) / = у-гу, где y^C1^), w 6 [С1^)]"; тогда
j у div wdx + j (су, grad и) dx = ^ v |r (cy |r, v) do. (18.2) г
Предположим, что вектор-функция ty имеет вид
m = gradu,(18.3)
где ы £ С2 (Q), т. е. мы предполагаем, что су (х) — консервативное поле, которое можно задать с помощью потенциала и. Из равенств (18.2) и (18.3) имеем
С у div grad udx + ^ (grad и, grad у) dx = ^ у |г (grad и |г, v) do, (18.4) г
или, в более компактной форме,
(18.5)(18.5)J v&udx + J (grad и, grad у) dx = J о |г -57- da, ааг '
(18.5)
(18.5)
используя определение лапласиана (его стандартное разложение)
(18.6)(18.6)(18.7)(18.7)д A div grad
(18.6)
(18.6)
(18.7)
(18.7)
ппи определение производной по нормали:
п
п
-^ A (grad ы, v) = 2 Й" cos (v- xi\c=i 1 г
< Формулу (18.5) мы будем называть первой формулой Грина или просто формулой Грина.
Таким образом, мы доказали следующее утверждение.
Теорема 18.2. Пусть й с К' — ограниченное связное открытое множество с границей Г класса Соа и v — вектор внешней нормали к Г. Для любой функции у € С1 (Q) и любой функции и Е < С2 (Q) справедлива формула (18.5).
Если у 5 С2 (Q), то функции у и и в формуле (18.5) можно применять местами; тем самым мы получим формулу (18.5'); вычитая 368
(18.5') из (18.5), получим новую важную формулу —вторую формулу Грина
J (уАы — ыАу) dx = J ^1Г -57 — и |г-у7j do. QГ
Эту формулу также можно сделать гораздо более общей, однако здесь мы этого делать не будем (см. [549, с. 114 и др.]). Заметим, что классических формул Грина, в действительности, три — последняя, однако, не так интересна, как первые две, в современной формулировке теории краевых задач для уравнений в частных производных.
В одномерном случае формулу (18.5) можно записать при Q = = (а, 6) (—оо < а < b < 4- оо) в виде
ь6 .
^ у (х) и" (х) dx = у (6) uL (6) — у (а) uR (а) — \и' (х) и' (х) dx; (18.8)
эта формула известна как формула интегрирования по частям. И в многомерном случае в литературе можно встретить фразу «интегрирование по частям», означающую «применение соответствующей формулы Грина».
Формула Грина для оператора L (классическая). Присутствие оператора А в формуле (18.5) обусловлено выбором вектор-функ- ции to в виде (18.3); однако формулу (18.2) можно использовать и для вывода формул, содержащих оператор гораздо более общего вида, чем А. Так, выведем формулу, аналогичную (18.5), для оператора'
" а / л \" a п a
*}<=1(—1
__(18.9)
где ац, c^C^Q), bb d £ С° (Q) (i, / = 1п),с которым мы связы
ваем билинейную форму
(18.10)
Вместо формулы (18.3) возьмем теперь
/-11
где и^С1^; отсюда и из формулы (18.2) имеем
И- S аг Ь + 5 А Мdx+ а <./=1 ‘ '1<=1'
36936924 К. Байокки, А. Капело
369
369
+^-||-«<<-+|§^<]^-
-$ylr[~ S а^г"5Г COS (v, л:,) + 5 c< lr" lr ^ <V'^i) ] d<T- (18.12)
Определим теперь производную функции и по конормали формулой -^- 4 (да |г, v) - ^ аи |г -^-1 cos (v, xj — J Ci |г« |r cos (v, xj,
которая сводится к формуле (18.7) при а^ = 6У и с, = О (мы обозначаем производную функции и по конормали символом ди!дма. поскольку она зависит от вида оператора L и, следовательно, от билинейной формы а, связанной с этим оператором). Из (18.9), (18.10) и (18.12) имеем формулу
а^и, о) = f(Lu)odx + foL —^1L da,(18.14)
JJ 1 dv
Я
которая является обобщением формулы (18.5) — также в классическом смысле — ее мы также будем называть формулой Грина. Таким образом, мы доказали следующее утверждение.
Теорема 18.3. Пусть йср”— ограниченное связное открытое множество с границей Г класса С0,1 и v— вектор внешней нормали к Г. Если ai3, с, gC1 (й) и bb d^C8^ (i, j = 1, ...,п), то для любых функций о^С^Й), и£С2(й) справедлива формула (18.14), в которой производная ди/дха определяется соотношением (18.13).
Этим результатом мы завершаем рассмотрение классического подхода в данной главе.<
Случай негладких функций. Обобщим теперь теорему 18.3, резко ослабив требование к гладкости коэффициентов ац, bt, ct> d (i, j = 1,.... n) и функций и и и. Другими словами, найдем формулу, которая обобщает формулу (18.14) на случай, когда и^Я^Й), и £ Hl (й) = {« 6 Н1 (й): Lu g L2 (й)}, а коэффициенты оператора L удовлетворяют условиям
(Hl) at3^U°^Y
(Н2) b^L”^;
(НЗ) ct^Lni^), если п>2; с;6Т2+е(й), если п = 2 (при е> >0); с^Ь*^, если и = 1;
(Н4) dELn(Q;y если n>2; d£LHe(£l), если п = 2 (при е>0); d^ L1 (й), если п = 1.
Заметим, что в теореме 7.2 мы вместо условий (Н2), (Н4) считали выполненными соответственно условия
(Н2)' bi^Ln(Qi'), если п>2; 5г£Л2+е(Й), если п = 2 (при е> >0); bt^L2^, если п— 1;
(Н4)' d^.Ln/2^, если n>2; d£Lx+e УЗД, если п=2 (при е> > 0); d 6 L1 (Й), если п = 1..
Мы могли бы также ослабить подобным образом условия (Н2), (Н4), но это потребовало бы иного выбора как пространства HXL (й), так и Лб1у(й) (они будут определены ниже). Например, мы могли бы положить
HXL (й) = {и 6 н1 (й): Lu 6 В"1 (Й)}
Ldiv (й) = {су 6 (L2 (й))" : div су £ В-1 (й)}
(см. [49], где рассматриваются пространства В5 (й) и модификации подобного рода). Чтобы избежать введения пространств В, ограничимся условиями (Н1)—(Н4).
Одним из путей обобщения теоремы 18.3 мог бы быть следующий: сохранив доказательство теоремы 18.3 как таковое, обобщить формулу (18.2) на случай, когда и£НгЗД и су 6 [^(й)]", и затем положить
^ = |—2+’(18J5)
/=1}i=l...„п
где ы£//к(й). К сожалению, этого нельзя сделать: упомянутое обобщение формулы (18.2) вполне возможно (см. [618, с. 121]), и можно утверждать, что для любой функции и 6 Н1 (й) и любой вектор-функции су С УН1 (й)]" справедлива формула
j ydivcydx + ^ (ш, grad у) dx = j yov (уосу, v) do, (18.16) яяг
но замена (8.15) не может быть выполнена, поскольку, вообще говоря, су ^ уН1 (й)]л, и, таким образом, нельзя рассматривать вектор- функцию уосу = {уошг}(=1„. Важно отметить, что негладкость коэффициентов а13 и с^ усложняет дело, но не решающим образом; даже в очень простом случае, когда а^ = — 6^ и сг — 0, мы не можем придать точный смысл выражению yow (а с другой стороны, при предыдущих условиях выражение (уосу, v) можно интерпретировать как у^, если и6№(й)...).
Здесь нам по шдобится дальнейшее обобщение понятия следа, которое позволило бы точно определить смысл выражения уош или, еще лучше, выражения (уош, v). Мы сделаем сейчас это обобщение, но, скажем сразу, метод, который мы используем для обобщения теоремы 18.3,— это не тот метод, от которого мы отказались, хотя и очень похожий на него (мы не будем, однако, предполагать, что формула (18.16) нам известна).
Пространство Ldiv(Q). Если вектор-функцию о» можно записать в виде (18.15), то
a>E[L2(Q)]n и div и» £L2(Q),
и естественно ввести в рассмотрение пространство Ldiv(Q), определяемое следующим образом.
Определение 18.1. Пусть Q с R" — открытое множество. Символом Ldiv(^) мы обозначим пространство (ay ^ [Z,2 (Q)]": div су = п
= ^ (дйУг/дх;) 6 L2 (Q)} с нормой графика
II Ш llfdlv №) = II Ш H[Z.2(Q)]'* + II diV ^ llt2(Q) *(18.17)
гДе II ® H[l2(Q)]« = Д 11^11^, •
Приведем теперь теорему о следах для элементов пространства ^(П), следуя формулировке Лионса и Мадженеса. В параллели с теорией, разработанной в работе [49], заметим, что если и^Н1^ и Ду £ L2 (Q), то проблема следа функции dvldv совпадает с проблемой следа функции (grad у, v), и grad у С Ldiv (И). Приведем сначала два свойства пространства Ldiv(^).
Первое свойство имеет структурный характер, а второе представляет собой теорему вложения, которая будет играть фундаментальную роль в дальнейшем.
Теорема 18.4. Ldiv (й) — гильбертово пространство со скалярным произведением
^^ = Hw + (div«,divy)L2(B). (18.18)
Доказательство. Легко видеть, что (18.18) — скалярное произведение, порождающее норму (18.17), и, таким образом, L2iv (Q) — предгильбертово пространство. Покажем теперь, что пространство Ldiv(H) полно. Пусть {vm} —последовательность Коши в LdiV(Q). Тогда [vm] — последовательность Коши в [L^Q)]", и, поскольку это пространство полно, она сходится в нем: пусть v — ее предел. Далее, {ym} = {div vm} — также последовательность Коши, на этот раз в L2(Q), поэтому она сходится; пусть у— ее предел. Поскольку оператор div: [L*(Q)]n->-jS' (Q) непрерывен, то у = div v и, следовательно, v 6 Ldiv (И). □
Теорема 18.5. Если QcR" — открытое множество класса С0,1, то пространство [£)(Й)Г плотно в Ldiv(Q).
Доказательство. Предположим для простоты, что рас-. сматриваемые векторные пространства вещественны: доказательство, однако, можно модифицировать й на случай, когда они являются комплексными (разница заключается лишь в используемой тео-
реме представления). Докажем теорему, показав, что если функция F^^div^))' равна нулю на [j3(Q)]", то она тождественно равна нулю. По теореме Рисса существует функция fELdiv^ такая, что
adiv(Q»' <F, IV>4v(Q) = (/.tV^^y) = (A^W)]" + (diV A ^“^(Щ
iw E Ldiv (П).(18.19)
Обозначив символом f тривиальное продолжение функции f на R", запишем:
° = ^ ’ ф)[£2(КП)]П + (div f- div V)L2(Rrt) =
= 2 M<J f - ^^ , ^._п. VT e to (R")f,(18.20)
(=1*
и, следовательно,
A—^~=o в ^'(R"), i = i,(18.21)
это означает, при соответствующей гладкости множества Q, что div/^/f^Q). Пусть теперь Ч^— последовательность элементов пространства ,0(Й), сходящаяся в Н1^) к функции div/; тогда имеем:
(div/, div tv)L,(g) =•
= lim (Тщ, div tv)L2(Q = lim V gp^ (—-,m > ^^(Q) = mmux^
. = —(grad div/, a>)[£2(Q)]n Уи>е^к(П)- (18.22)
Из (18.19) и (18.21) следует, что
-Sjt/i--^^-)^ *!»ей.(О). (18.23)
что и доказывает теорему. □
Операторы следа у и уо. Рассмотрим теперь оператор
0: w Е to (Ы)Г 0 (tv) A (tv |г, v) 5 Я-1/2 (Г)(18.24)
и покажем, что его можно расширить единственным образом до оператора у 6 ^ (Ldiv (62), Н-х*2 (Г)). Оператор 9 корректно опре-
делен (заметим, что 0 (ш) 6 L2 (Г) cz Н 1/2 (Г)) и линеен, поэтому, чтобы доказать существование и единственность расширения у, нам достаточно показать, что оператор 0 непрерывен как оператор, действующий из пространства [j3(^)]n с топологией, индуцированной пространством L2iv(^)> в пространство Я~1/2(й) с его естественной топологией (пространство \ф (й)]” плотно в LdiV (й)). Из формулы (18.2) для любого фиксированного вектора из [^(й)]” имеем
I j у |г0 (су) da | = | j у |г (гу |г, v) da | ^ г г
п^ IIУ ||н>(Я) || div гу ||L2(n) + || У ||ндо) ^ || Ньдп)г=1п^ IIУ ||н>(Я) || div гу ||L2(n) + || У ||ндо) ^ || Ньдп)г=1
п
^ IIУ ||н>(Я) || div гу ||L2(n) + || У ||ндо) ^ || Ньдп)
г=1
п
^ IIУ ||н>(Я) || div гу ||L2(n) + || У ||ндо) ^ || Ньдп)
г=1
^ £ II у Цн^я) II гу || 2Уу6^(Й),(18.25)
Ldiv(Q>
где с — константа из неравенств (1/с)||гу||^2 (Q) ’С II div гу ||L1(Q)
+ S И ш< IL-(Q) ^ с II ^ II Jlv(«i ^ € ^div <^)- Следовательно, можно утверждать, что линейный функционал
(18.26)(18.26)у Е ^3 (й) -*• у у |г0 (гу) do Е Rг
(18.26)
(18.26)
непрерывен на Ф (й) в топологии пространства Я1 (й); тогда, поскольку пространство Ф (й) плотно в Я1 (й), мы можем расширить этот функционал до линейного непрерывного функционала
(18.27)(18.27)у € Я1 (й) -► у yoy0 (гу) da € R
(18.27)
(18.27)
и рассмотреть линейный непрерывный функционал
ФбЯ,/2(Г)-^ yv0(ty)da6R,(18.28)
г
который получается из (18.27), если учесть, что он зависит от функции у только через ее след уоу, и что любую функцию ф€Я,/2(Г) можно записать в виде ф = у0 (Яф), где Я g ^(Я’/2(Г), Яг(й)). Из всего этого заключаем, что
Iff-V^tD^ ^^ ^Я1/2(Г) I ^ С II ^ И^(Я>/2(Г),н1(0)) II Ф ilffl/2(D II ^ I'l2iv(Q)
(18.29)
и, следовательно, .
||0(су)|| ..„ <61/^11»,т.(18.30)
Последнее неравенство говорит о том, что оператор 0 непрерывен, и позволяет рассматривать оператор у Е ^ (bdiv (И), Я-1/2(Г)).
Рассмотрим еще раз формулу (18.2). Поскольку операции уои и усу представляют собой продолжения по непрерывности соответственно операций у|г и (су|г, v), вместо (18.16) можем записать
„_1/2(Г (усу, Уо«>я1/2(Г) = judiv wdx + J (су, grad у) dx. (18.31) ЙQ
Прежде чем перейти к обобщению теоремы 18.3, определим, начав с оператора у, оператор уа Е ^ (Hl (Q), №1/2(Г)), обобщающий понятие производной по конормали._
Определение 18.2. Если uEHl(^, то положим уаы = усу, где су — вектор-функция, полученная по функции и с помощью формулы (18.15). Если функции и, аи и с;—достаточно гладкие, то уаы = du/dv^ и, таким образом, оператор у0 является, в действительности, обобщением оператора dldxa.
Обобщенная формула Грина. Теперь сформулируем и докажем следующее обобщение теоремы 18.3.
Теорема 18.6 (обобщенная формула Грина). Пусть О с с R" — ограниченное связное открытое множество с границей Г класса С0,1. Если коэффициенты а^, bt, ct, d (i, j = 1, ..., п) оператора L, определяемого выражением (18.9), удовлетворяют предположениям (Н1)-(Н4), то для любых функций и^Н^С^У иЕ ^НЧЦ справедлива формула Грина■
а (и, у) = $ (Lu) odx + н-1/2(Г)(уаы, y0f)Hi/2(r).(18.32)
Q
Доказательство. Доказательство получается немедленно: достаточно подставить формулу (18.15) в формулу (18.31) и заметить, что вклад частей, связанных с коэффициентами bt и d один и тот же как в а (и, у), так и в у (Lu) vdx. □
Две теоремы о следах. Операторы у и у0 являются, в сущности, операторами следа; оказывается, что можно «обратить» следы, которые они дают, непрерывным образом.
Теорема 18.7. Пусть П с R" — ограниченное открытое связное множество с границей Г класса С°д и внешней нормалью Тогда справедливы следующие утверждения’.
существует единственный оператор ^Е^ (Ldiv (О), Н-Х!1 (Г)) такой, что если су Е [^ (^)Г> то у (су) = (су |г, v);
существует оператор Л Е^£(Н~1/2 (Г). Ldiv(^)) такой, что у (^)—тождественный оператор’, в частности, если дана любая
функция g^H 1/2(Г), то существует по крайней мере один вектор w = 31g^l?a\N^ такой, что y(ty) = g.
Теорема 18.8. Пусть й с R” — ограниченное связное открытое множество с границей Г класса С0,1 и внешней нормалью v; пусть L — дифференциальный оператор, задаваемый выражением (18.9), коэффициенты которого aih bh ct, d (i, j — 1, ..., n) удовлетворяют условиям (Hl)—(H4). Тогда справедливы следующие утверждения:
существует единственный оператор уо Е ^ (Як (^), Я-1/2(Г)) такой, что если и^ф^ “ci€S)(^)> то уа(и)= du/dva;
существует оператор 31а£& (Я-1/2 (Г), Hl (й)) такой, что Та (^а) — тождественный оператор: в частности, если дана произвольная функция g Е Н~{/2 (Г), то существует по крайней мере одна функция и = 31 ag Е як (Й) такая, что уо (^ag) = g.
' Доказательство. Части (I) обеих теорем уже доказаны. Чтобы доказать существование обратных операторов 31 и 31 а, рассмотрим следующую задачу.
Задача 18.1. Дана функция ^ЕЯ-1/2(Г); найти XЕ R и «Е ЕЯ*(Й) такие, что
а^и, у) + X(u, v)Lz(S) = H-i/2(r)<g, YoV)Hi/2(r) Чи£НЦЙ\ (18.33)
При достаточно большом X эта задача корректна, поскольку в этом случае в левой части равенства (18.33) мы имеем значение, которое принимает на функциях и и у непрерывная билинейная коэрцитивная форма в № (й), а с другой стороны, в правой части мы имеем значение функционала go^Q Е (Я1 (й))' на функции у. Данная задача не укладывается в рамки подхода, представленного в п. 7.2.2, поскольку мы рассматриваем пространство, двойственное к Н1 (й), которое не является нормальным; задача 18.1, однако, может быть рассмотрена в рамках подхода, представленного в гл. 3.
Легко видеть, применив формулу (18.32), что задача 18.1 эквивалентна следующей.
Задача 18.2. Дана функция £ЕЯ~1/2(Г) и число X Е R; найти функцию и^Н1^ такую, что
Z.u4-Xu=0 в й,(18.34)
^аи = g на Г.(18.35)
Эта задача также корректна, если число X достаточно велико, что мы в дальнейшем всегда будем предполагать. Пусть и = и (g) — решение задачи 18.2; очевидно, что и (g) Е Hl (й) и, поскольку задача 18.2 корректна, отображение g -> и (g) непрерывно из Н~"хр (Г) в Hl (й). Чтобы завершить доказательство теорем 18.7 и 18.8, достаточно взять в качестве 31 а отображение и =* и (g), а в качестве 31 — отображение и -> grad u (g). □
Пространство ffoo (Г) и двойственное ему. Приведем без доказательства формулу Грина, удобную при изучении смешанных задач, рассмотренных в гл. 7.
Теорема 18.9. Пусть й cz R” — ограниченное связное открытое множество с границей Г класса С0-1, Го — связное открытое подмножество Г положительной (га — \умерной меры, а Г, = = Г\Г0. Если коэффициенты atj, bb cb d (t, j = 1, ..., ri) оператора L удовлетворяют предположениям (Hl)—(Н4), то формула Грина
aVu^-^U^ax* 08.36)
справедлива для любых функций u^HlL(Q) и у ЕГг, — {и^Н1 (й): уои = 0 на Го}, где пространство Н^2 (FJ = {уоу |Г1: и Е VrJ должно быть наделено топологией, задаваемой нормой
ll^lf^tr^ = inf Л1У Пн1^): °€ Кг0 и ^ = W |rt}. (18.37)
Использование пространств //^(Fj и ^^(Fj)' необходимо, поскольку операция сужения на Г, с Г функций из Н~Х12 (Г) переводит эти функции не в Н-^2^-^, а в более широкое пространство, а именно в (Яоо2 (Г^)' (свойство, двойственное тому факту, что тривиальное продолжение «->« переводит в элементы пространства НХ12 (Г) не элементы пространства ^^(Pj, а элементы Нм2^,), т. е. и->и6<ЦНх^(1\), Я1/2(Г)) и меЯ'^Г^ЛиЕЯ^Г)). Эти пространства рассматриваются в работе [49, с. 66 и др.]. Здесь же мы просто заметим, что ф Е Ноо (Г,) в том и только том случае если тривиальное продолжение функции ф на Г принадлежит пространству Я1/2(Г).
Замечание 18.1. Во многих приложениях пространство L^iv(Q) следует заменять пространством
L2,d.v (Й) = {да Е [L2 (Й)]" : div w Е LP (Й)},
где число р — такое, что Н1 (й) с Lp (Й). Результаты, которые получены для пространства L2iv (й) остаются в силе и для пространства Ц,.й\Ж
Замечание 18.2. Продолжение по непрерывности — не единственный способ определения следов функций; отметим здесь два других возможных способа:
использование понятия сходимости в среднем величин, заданных на «параллельных многообразиях» (см. [16, 171); см. также [49, с. 191], где обсуждается связь этого понятия с продолжением по непрерывности;
отправление от определения Лёясевича значения распределен ия в точке (см. [5531 и приведенную там библиографию)—
377
Эта теория используется как при изучении краевых задач (см., например, [229]), так и при изучении начальных задач (см., например, [379]) и позволяет также построить интересную теорию интегрирования в распределениях (см., например, [674, 3781).
Глава 19. УПОРЯДОЧЕННЫЕ СТРУКТУРЫ
Основные определения
Напомним некоторые известные определения, и введем обозначения, которые мы будем использовать. Более детальное и систематическое изучение затрагиваемых вопросов можно найти в книге [101 и в литературе, цитируемой в начале разделов 19.2 и 19.3.
Определение 19.1. Пусть А — непустое множество. Бинарное отношение ^ в А называется отношением порядка, если:
(®i) Ух^А х^х (рефлексивность);
(<»2) Ух, у^ А [х^у я у^х]=>х —у (антисимметрия);
(<вэ) Ух, у, г^А Vx^y и у^гА=Ф-х^г (транзитивность).
Отношение порядка, удовлетворяющее условию
(<о4) Vх, у^А х^у или у^х (трихотомия), называется отношением полного порядка, а отношение порядка, удовлетворяющее условию
(<в5) У ХоА, Х=А 0 За£Х:Ух£Х а ^ х, — отношением правильного порядка.
Напомним, что бинарным отношением р на множестве С называется любое подмножество С2; если (х, у) £ р, то мы пишем хру и говорим, что элемент х находится в отношении р к элементу у. Итак, мы можем сказать, что отношение порядка является подмножеством А2, которое обладает свойствами, определяемыми условиями (to^, (to2) и (<о3) (условие (ooj, например, выражает тот факт, что отношение ^ содержит диагональ Дл = {(х, х) : х С Л} множества Л2; другие условия обсуждаются в [10, раздел 1]. Если (х, у) С ^, то элементы х и у называют сравнимыми (или говорят, что х и у находятся в отношении ^). Кроме того, для ясности, говорят, что элемент х предшествует элементу у, что элемент у следует за элементом х, что х меньше или равен у и т. д. Если х ^ у, то можно записать также у ^ х — отношение ^ является, как легко видеть, отношением порядка на множестве А. Как обычно, пишем х <_ у (или х > у), чтобы обозначить, что х ^ у и xN= У (или х^ у и х ^ у). Таким образом, условие (toj можно записать в виде
(ю^): Ух, у^А x<Zy, х = у или х> у.
Данная формулировка оправдывает название «трихотомия», которое было дано условию (ю4). В соответствии с обозначениями,
вводимыми ниже (определение 19.2), условие (<о5) можно выразить словами «каждое непустое подмножество множества А имеет минимум» — существование минимума (или первого элемента) у любого непустого подмножества означает, что для каждого элемента можно найти последующий, что в некотором смысле оправдывает использование прилагательного «правильный».
Алгебраическая система (А, ^) (или, если нет опасности недоразумений, просто А) называется упорядоченным множеством, вполне упорядоченным или правильно упорядоченным множеством, в зависимости от того, является ли отношение ^ соответственно отношением порядка, отношением полного порядка или отношением правильного порядка. Заметим, что правильно упорядоченные множества вполне упорядочены: достаточно положить в условии (<о5) X = {х, yY В литературе можно встретить много различных наименований рассмотренных понятий, что часто приводит к недоразумениям. Так, некоторые авторы называют отношением порядка то, что мы назвали отношением полного порядка, а то, что мы назвали отношением порядка, называют отношением частичного порядка. Вполне упорядоченные множества называют также линейно упорядоченными множествами или цепочками-, мы же будем использовать термин «цепочка» в гораздо более узком смысле (см. определение 19.3).
Итак, мы определили, что мы понимаем под упорядоченным множеством, вполне упорядоченным множеством и правильно упорядоченным множеством; мы, однако, не объяснили, как упорядочить, полностью упорядочить или правильно упорядочить данное множество. Далее, между понятиями порядка, полного порядка и правильного порядка есть большая разница. Так, очевидно, что любое непустое множество А можно упорядочить, т. е. можно построить алгебраическую систему (А, ^) с отношением порядка ^ на А—для этого достаточно рассмотреть систему (А, Ал).
Более интересен следующий факт: при помощи аксиомы Церме- ло можно показать, что любое непустое множество можно правильно упорядочить; далее, утверждение, что любое непустое множество можно правильно упорядочить (теорема о правильном упорядочивании) эквивалентно аксиоме Цермело. Аксиома Цермело утверждает, что декартово произведение непустого семейства непустых множеств непусто (т. е. из каждого множества данного семейства можно выбрать по элементу: именно этой возможностью выбора, последовательного или одновременного, объясняется название «аксиома выбора», которое часто используют при упоминании об этой аксиоме). Поскольку возможность правильного упорядочивания множества не является интуитивно ясным свойством, многие математики в прошлом были против аксиомы выбора; однако функциональный анализ сильно пострадал бы без этой аксиомы, в частности, теорема Хана—Банаха и теорема Тихонова о произведении компактных пространств были бы уже неверны. Теперь, когда непротиворечивость аксиоматики Цермело—Френкеля доказана, часто вместо аксиомы выбора или теоремы о правильном
упорядочивании пользуются эквивалентными утверждениями, например, леммой Цорна (см. ниже теорему 19.1). Заметим, что теорема Тихонова о произведении компактных пространств также эквивалентна аксиоме выбора (см. [491]).
Утверждение, что любое непустое множество может быть полностью упорядочено (теорема о полном упорядочении) можно доказать, используя теорему о правильном упорядочении и затем тот факт, что правильно упорядоченное множество вполне упорядочено, или же применяя к системе (Д, Ал) результат Шпилрайна (см. [691]: любое отношение порядка можно расширить до отношения полного порядка. Связь между возможностью расширения отношений порядка и аксиомой выбора обсуждается, например, в работе [653, с. 24 и 101].
Определение 19.2. Пусть (Д, ^)— упорядоченное множество иХс Д. Мы будем говорить, что:
а £ X — максимальный (минимальный) элемент множества X, если для любого элемента х £ X имеем а ^ х (х ^ а) =Ф- х = а;
а 5 X — максимум (минимум) множества X, если для любого х £ X, х ^ а (а ^ х);
а^ А — верхняя грань (нижняя грань) множества X, если для любого хеХ, х^а(а^х); .
а^А — супремум или наименьшая верхняя грань (инфимум или наибольшая нижняя грань) множества X, если а — минимум (максимум) множества верхних граней (нижних граней) множества X.
Легко видеть, что максимум (минимум) множества X, если он существует, единствен и является при этом единственным максимальным (минимальным) элементом множества X. Наименьшая верхняя грань (наибольшая нижняя грань) множества X, если она существует, также единственна, и если она принадлежит множеству X, то она совпадает с максимумом (минимумом) множества X. Как обычно, обозначим max X, min X, sup X и inf X соответственно максимум, минимум, наименьшую верхнюю грань и наибольшую нижнюю грань множества X. Если множество верхних граней (нижних граней) множества X непусто, то множество X называется ограниченным сверху (снизу); если множество X ограничено и сверху и снизу, оно называется ограниченным. Важно рассматривать каждое понятие и каждый результат в соответствующем контексте — в какой же контекст следует поместить понятие ограниченности? Здесь оно связано с понятием порядка, в метрических пространствах — с понятием метрики, в линейных — с понятием абсорбирующего множества и т. д. Понятие ограниченности, аксиомизируемое в борнологических структурах (см., например, [464, с. 18; 722, с. 23]), по-видимому, не подлежит классификации ...
Вернемся к упорядоченным множествам. Случай X = 0 заслуживает специального рассмотрения, — это множество проявляет патологическое поведение — оно не имеет ни минимального, ни максимального элемента, ни максимума, ни минимума; с другой стороны, все элементы множества А являются верхними
гранями и нижними гранями множества 0, и, если min А и max Л существуют, то sup 0 = min Л, a inf 0 = max Л (этоединственный пример множества X такого, что inf X ^ sup X ...).
Определение 19.3. Пусть (Л, ^)— упорядоченное множество. Непустое подмножество L с Л называется цепочкой в Л, если алгебраическая система (L, ^) является вполне упорядоченным множеством. Алгебраическая система (Л, ^) называется ^-индуктивной ^-индуктивной), если любая цепочка в Л ограничена сверху (снизу), и полностью ^-индуктивной (полностью (1)-индуктивной), если любая цепочка в Л имеет наименьшую верхнюю грань (наибольшую нижнюю грань); наконец, система (Л, ^) называется (полностью) индуктивной, если она (полностью) (5)-индуктивна и (полностью) (О-индуктивна.
Отношение порядка в (L, ^), индуцированное на L отношением порядка на Л, мы обозначаем, конечно, тем же символом. Вообще говоря, таким отношением является множество ^ П ^Л однако для упрощения обозначений это множество обозначают все же символом ^. В принципе, символом ^ мы будем обозначать все отношения порядка, с которыми мы будем иметь дело; однако нам понадобятся два различных символа для обозначения двух различных отношений порядка, если они заданы на одном и том же множестве.
Приведем теперь очень важную теорему.
Теорема 19.1 (лемма Цорна). (э)-индуктцвуое ^-индуктивное) множество имеет по крайней мере один максимальный (минимальный) элемент.
В заключение напомним, что если (Л, ^) — упорядоченное множество, и а, b ^ А, где а ^ Ь, то множество [а, 6] = (х С А : : а ^ х ^ Ь) ((а, Ь) = (х £ А : а < х < 6}) называется замкнутым (открытым) интервалом с началом в точке а и концом в точке Ь. Аналогично можно определить интервалы (а, 6] и [а, Ь). Эти интервалы ограничены (каждый непустой интервал имеет наибольшую нижнюю грань а и наименьшую верхнюю грань Ь); аналогично можно определить неограниченные интервалы. Заметим, что, в отличие от интервала в R, открытый интервал (а, Ь) может быть пуст, даже если а < Ь, пересечение двух интервалов — не обязательно интервал, и интервал — не обязательно цепочка.
Решетки
Здесь мы кратко рассмотрим алгебраическую структуру, промежуточную по отношению к упорядоченным и вполне упорядоченным множествам—решеточную структуру. Дальнейшую информацию можно получить из работ [9, 6551 и из литературы, цитируемой в начале раздела 19.3.
Вполне упорядоченные множества характеризуются тем, что любое непустое конечное подмножество вполне упс рядоченного множества имеет максимум и минимум. Введем теперь класс структур, характеризуемых сходным, но более слабым свойством.
Определение 19.4. Упорядоченное множество (Л, ^) называется решеткой (отношение ^ называется отношением решеточного порядка), если любое непустое конечное подмножество Л имеет наибольшую нижнюю и наименьшую верхнюю грани.
Аналогичным образом, рассматривая правильно упорядоченные множества вместо вполне упорядоченных, приходим к следующему понятию, промежуточному по отношению к правильно упорядоченным и упорядоченным множествам.
Определение 19.5. Упорядоченное множество (Л, ^> называется полной решеткой, если любое непустое подмножество Л имеет наименьшую верхнюю и наибольшую нижнюю грани. (В частности, если (Л, ^) — полная решетка, то существуют max Л и min Л — однако если решетка имеет максимум и минимум, то это не означает, что она полна.)
В применении к функциональному анализу, тем не менее, более полезно следующее, более слабое понятие.
Определение 19.6. Упорядоченное множество (Л, ^) называется X-полной решеткой, если любое непустое ограниченное подмножество Л имеет наибольшую нижнюю и наименьшую верхнюю грани.
Понятие решетки в математике является весьма общим — мы приведем здесь следующий наглядный пример: пусть Т — двумерный симплекс, изображенный на рис. 19.1, и Ф = (0, q^, у2> Фз> Фи, Фгз, Фз1> Ф123 = Т) — множество граней Т. Введем на множестве Ф отношение порядка следующим образом: если a, b Е Ф, то а ^ ^6 в том и только том случае, если а — грань Ь. Система (Ф, ^), изображенная на рис. 19.2 в виде так называемой диаграммы Хасса (смысл ее очевиден), является полной решеткой, как и всякая конечная решетка. Эта решетка изоморфна (в смысле приводит мого ниже определения 19.8) решетке (211-2-31, ^), где отношением ^ является теоретико-множественное включение (т. е. если А, В 6 211-2'31, то А ^ В тогда и только тогда, когда А с: В). Вместо симплекса мы, естественно, можем рассмотреть любой другой многоугольник.
При данном подходе множество многоугольников можно разбить на классы эквивалентности: два многоугольника называются комбинаторно эквивалентными, или многоугольниками одного комбинаторного типа, если соответствующие решетки изоморфны.
Рассмотрим теперь некоторые свойства решеток. Выбор этих свойств преследует определенную цель, которая станет ясна позже. Многие другие свойства можно найти в цитируемой литературе. Для удобства (да и не только с этой целью) введем обозначение х Д у (читается х inf у) для наибольшей нижней грани множества {х, у}, и обозначение х \/ у (читается х sup у) для наименьшей верхней грани {х, у).
Теорема 19.2. Если (Л, ^) — решетка, то для любых элементов х, у, г£ А
xNy = yKx и x\Jy = y\]x, (19.1) х А (у A z) = (х А у) А г и х V (У V z) = (х V У) V z, (19 2)
х К (х V у) = х и х \/ (х А у) = х, (19.3) (х А У) V (х А г)<х Д (у V г) и х у ^ А 2)<(х V у) А Vх V z),
(19.4)
x<y=>xV(yA 2)<yA(^ V2), (19.5) х^у*^х\/у —УМх^у<=»хАУ = х. (19.6)
Доказательство. Докажем в качестве примера, что z^yGx=xA У- Другие свойства можно доказать путем аналогичных рассуждений (кроме того, нам достаточно доказать лишь половину каждого свойства, а затем воспользоваться так называемым принципом двойственности). Если х = х А У, то по определению наибольшей нижней грани х ^ х и х ^ у, следовательно, х = хАу=>х^у. Обратно, если х ^ у, то, поскольку х ^ х, элемент х является нижней гранью множества {х, у}. Чтобы показать, что этот элемент, в действительности, наибольшая нижняя грань, и что, следовательно, х^у=>х = хА У* достаточно заметить, что х 6 {х, у}. □
Свойства (19.1), (19.2) и (19.3) показывают, что символы А и у можно рассматривать не только как сокращения, но и как обозначения для двух внутренних операций на множестве А, т. е. как два отображения А ' А2 А и у : А2 А.
Рассмотрим теперь алгебраическую систему (Л, A> V ^ гДе операции А и V определяются путем описания некоторых их свойств, а не через отношение порядка ^ на множестве А.
Определение 19.7. Решеткой мы будем называть алгебраическую систему (Л, А. V), гДе А — непустое множество, а операции А : А2 ->- А и У : Л2 -* Л (операции inf и sup на решетке) удовлетворяют свойствам коммутативности (19.1), ассоциативности (19.2) и абсорбции (19.3).
При таком аксиоматическом определении, как правило, возникают два вопроса: совместимость (или непротиворечивость, или
существование модели) . и категоричность (или минимальность или независимость аксиом друг от друга). Предыдущая аксиоматика непротиворечива, поскольку ей удовлетворяют введенные определением 19.4 решетки (теорема 19.2), а также независима, чтобы убедиться в этом, достаточно построить алгебраическую систему (А, Д, У >, удовлетворяющую первым двум аксиомам и отрицанию третьей (подробности см. в с. 7). Коснемся еще вопроса «лингвистического» характера: почему мы даем одно и то же название «решетка» двум алгебраическим системам, вводимым определениями 19.4 и 19.7? Ответ заключается в том, что эти два определения эквивалентны; другими словами, имеем следующий результат.
Теорема 19.3. Если (Д, ^) — решетка в смысле определения 19.4, то (А, Д, V > {операции у и Д определяются как отображения, ставящие в соответствие паре {х, у) £ Д2 наименьшую верхнюю и наибольшую нижнюю грани множества {х, у)) соответственно является решеткой в смысле определения 19.7. Обратно, если (Д, Д, у ) — решетка в смысле определения 19.7, то (Д, ^> {отношение ^ определяется условием х^у^х = хД у) — решетка в смысле определения 19.4.
Доказательство. Первая часть следует непосредственно из наших предыдущих рассуждений. Вторая часть также доказывается сразу: нужно лишь заметить, что бинарное отношение ^, определяемое условием х ^ у <^х = х Д у, является отношением порядка на множестве А, поэтому для этого отношения порядка х Д у = inf {х, у} и х У у = sup {х, у}, откуда следует, что любое непустое конечное подмножество А имеет наибольшую нижнюю и наименьшую верхнюю грани. □
Свойство (19.4) означает «квазидистрибутивность» операций Д и V; усилив его, получим так называемые дистрибутивные решетки, именно: решетка (Д, V, Д > называется дистрибутивной, если для любых элементов х, у, z £ Д имеем
х Л {у У г) = {х Д у) V (* Л 2) и х У {у Д z) = (х V У) Л <х V 2)-
(19.7)
Если мы усилим свойство (19.5), то мы получим так называемые модулярные решетки, которыми являются решетки (Д, Д, V) такие, что для любых элементов х, у, г С А выполняется условие
х^у^х У {у Д z) = у Д (х V z) (19.8)
(дистрибутивные решетки являются также модулярными, обратное же неверно).
Определение 19.8. Пусть (Д, у, Д) и {В, у, Д> — две решетки. Отображение / : А -► В называется гомоморфизмом решеток, если
Vx, у^А f(x Д у) =/(х) Д/(у) и /(х У у) = f(x) V НуУ (19.9) Если / — взаимно однозначное отображение и обратное ему также
является гомоморфизмом решеток, то отображение / называется изоморфизмом решеток, и говорят, что данные две решетки изоморфны.
Упорядоченные векторные пространства.
Векторные решетки
Наиболее фундаментальными структурами в функциональном анализе являются, - несомненно, топологические векторные пространства, которые, как мы видели в гл. 14, получаются путем введения на множестве как векторной структуры (в общем случае над R или над С), так и топологической (согласованной с первой в том смысле, что операции над векторами непрерывны).
В первой части этого раздела мы рассмотрим упорядоченные векторные пространства, которые получаются путем, аналогичным описанному в гл. 14, но при замене топологии отношением порядка, согласованным с операциями над векторами в смысле, который мы укажем позже.
Во второй части мы будем предполагать, что отношение поряди ка имеет решеточный тип, и рассмотрим векторные решетки.
Дальнейшую информацию об этих структурах можно найти' помимо других работ, в работах [617, 555, 657, 658, 471, 99, 726].
Упорядоченные векторные пространства.
^Определение 19.9. Пусть Е — векторное пространство над полем R, а ^— отношение порядка на Е. Система (5, ^) называется упорядоченным векторным пространством, - если выполнены следующие условия согласованности:‘
V/, g, h^E f^g=H + h^g + h,(19.10)
Vf^E V«eR, 0<a f^O^af^O.(19.11)
В гл. 4 и 5 мы рассмотрели векторные пространства над полем С, отправляясь от которых можно аналогичным образом определить столько же пространств над R; последние же, наделенные вполне естественными отношениями порядка, являются примерами упорядоченных векторных пространств. Пожалуй, нельзя утверждать, что эти отношения были сформулированы в явном виде. Важным исключением является лишь пространство ^' (Q): действительно, было указано, что мы понимаем под положительной вещественной обобщенной функцией и, тем самым, введено отношение порядка в пространстве 0' (Q). Здесь возникают два вопроса:
.1) определение отношения порядка, индуцируемого упорядочен
ным векторным пространством в двойственном ему пространстве;:
определение отношения порядка в векторном пространстве путем указания положительных элементов.
Проанализируем сначала первый вопрос, рассматривая, конечно же, алгебраически двойственное пространство, поскольку в отсутствии топологии мы не можем рассматривать топологически двойственное пространство (заметим также, что пространство,
38538525 К. Байокки, А. Капело
385
385
алгебраически двойственное данному векторному пространству, содержит все возможные топологически двойственные ему пространства).
Определение 19.10. Пусть (Е, ^)— упорядоченное векторное пространство и Е* — пространство, алгебраически двойственное пространству Е (т. е. множество линейных отображений f : Е -► R). Двойственным к отношению порядка ^ называется отношение порядка, также обозначаемое символом ^, определенное в пространстве Е* следующим образом: если /*, g* £ Е*, то полагаем
^^g*^^ хЕё, O^x P^^g*^. (19.12)
Бинарное отношение в пространстве Е*, определяемое условием (19.12), действительно является отношением порядка, при котором кЕ*, ^) — упорядоченное векторное пространство.
Иногда пространство Е отождествляют с частью Е* (благодаря «существованию» топологии), и тогда возникает проблема согласованности отношения порядка (19.12) с ранее введенным в Е отношением порядка. Например, в случае Е = Но (й) действительно существует согласованность между отношением порядка в этом пространстве (^ почти всюду) и в пространстве Я-1 (Q) cz (Ho(Q))* (^ в смысле обобщенных функций). Мы уже говорили об отношении порядка в смысле обобщенных функций, и определение 19.10 является определением того же типа, что и ранее введенное для пространства 51' (Q) (части пространства 51* (Q) ...) : разница лишь в том, что там мы полагали /* = 0, т. е. сравнения проводились только с нулевым элементом, рассматривались лишь положительные элементы. Это подводит нас ко второму вопросу; прежде, однако, дадим следующее определение.
Определение 19.11. Пусть Е— вещественное векторное пространство. Множество С cz Е, С =# 0 называется конусом, точнее выпуклым конусом с вершиной в начале координат, если
Vx, у ЕС х + уЕС,(19.13)
VxECVk>0 ХхЕС.(19.14)
Множество С называется строгим конусом, если
Vx£C\{0} — х^С;(19.15)
полные конусом, если rVxEE хЕС или —хЕС;(19.16)
порождающим конусом, если
VxEE Зу, г ЕС х = у— г.(19.17)
/ Если ввести обозначение p^i ± р2Ла = {р^^Е р^Щ : Щ € Лр Oi € Л2) (рь ра Е R), то условия (19.13)—(19.17) можно записать 386
в виде
С + СсС, XCcC(VX>0), СП(—Q = {0}, CU(— С)=Е
. С—С=Е
соответственно. С другой стороны, из условий (19.14), (19.17) следует: Ип (С) = Е, где Ип (Д) — множество всех конечных (линейных) комбинаций элементов множества А. Для любого конуса С в пространстве Е множество С П (—Q является наибольшим линейным подпространством пространства Е, содержащимся в С, а множество С — С — наименьшим линейным подпространством пространства Е, содержащим конус С.
Рассмотрим теперь упорядоченное векторное пространство (Е, ^) и введем обозначение £4. = {х Е Е : 0 х]. Легко видеть, что Е+ — строгий конус, являющийся также полным, если полным является отношение порядка ^ в пространстве Е. Обратно, пусть Е — вещественное векторное пространство, и С — строгий конус в Е. Введем в пространстве Е бинарное отношение ^, определяемое следующим образом:
Ух, у^Е х^уоу — х^С. (19.18)
Отношение ^ является отношением порядка в пространстве Е, при котором система <£, ^) является упорядоченным векторным пространством и £+ = С; это отношение порядка является полным, если С — полный строгий конус. Таким образом, введение в пространстве Е отношения порядка, согласующегося с его векторной структурой, равносильно указанию в пространстве Е строгого конуса — конуса положительных элементов пространства Е. Сказанное равным образом справедливо, если вместо £4. рассматривать конус Е_ = (х Е £ : х ^ 0} отрицательных элементов пространства Е.
Для полноты мы ввели понятие порождающего конуса, но пользоваться им мы здесь не будем — это понятие связано с понятием направленного множества в теории сходимости Мура — Смита.
Векторные решетки. Оги пространства впервые были введены Риссом (ср. [643]).
Определение 19.12. Пусть (£, ^) — уад^ядоченное векторное пространство. Если каждое непустое конечно^ подмножество Е имеет наименьшую верхнюю и наибольшую нижнюю грани, то система <£, ^) называется векторной решеткой; Х-полные векторные решетки называют пространствами Рисса.
Данное определение векторной решетки, основанное на определении 19.4, эквивалентно следующему, основанному уже на определении 19.7.
Определение 19.13. Векторной решеткой называется алгебраическая система (£, Д, V), где £ — векторное пространство над R, а операции Д : Е4 -► Е, \/ : Е4 -> Е удовлетворяют условиям (19.1)—(19.3) и согласуются с векторной структурой
пространства Е в том смысле, что
Чх,у,г £ Е
(19.19)
Vb^ + 2 = (х + 2)Д(у + 2) И (х\/У) + 2 = (X + Z)V(f/ + 2), Vx,y£E VO^X Х(хДу) = ХхДХу и X kx\j у> = Xx\J Ху. (19.20)
Из условий (19.19) и (19.20) следует, что отношение порядка в пространстве Е, определяемое с помощью операций Д или V согласно условию (19.6), согласуется с векторной структурой пространства Е в смысле условий (19.10) и (19.11).
С помощью (19.19) и (19.20) можно показать, что для любого непустого подмножества F пространства Е, имеющего наименьшую верхнюю и наибольшую нижнюю грани,
Vx^E х + sup£ = sup(x + F) и x + inf F = inf (x 4- F), (19.21)
sup£ = — inf (— F).(19.22)
Условие (19.19) выражает дистрибутивность операции сложения по отношению к операциям Д и у. Эти операции, однако, не являются дистрибутивными относительно сложения; тем не менее можно показать, что если x,y,z £ Е+, то
(х + ^Дг^хДг+у Дг(19.23)
(см., например, [657, с. 53]). По поводу дистрибутивности заметим, что векторные решетки всегда дистрибутивны — неожиданный результат, показывающий, насколько сильным является условие согласованности векторной структуры с решеточными операциями. Это условие обусловливает богатство структуры векторных решеток, отраженное в следующем определении, в котором мы вновь встречаемся с некоторыми известными понятиями вещественного анализа.
Определение 19.14. Пусть кЕ, /\, V ) — векторная решетка, и х g Е. Положительной частью элемента х называется элемент [х]+
[х]+ = х\/0.(19.24)
Отрицательной частью элемента х называется элемент
[хГ = (—х)\/0-(19.25)
Модулем или абсолютной величиной элемента х называется элемент
]х| = х\/(—*)•(19.26)
Согласно этому определению, наряду с отображениями Д:£2->£; \/Е2-+Е можно рассматривать отображения [•1+:£->£+, [-Р: £->-£+, | •]:£->£+, ставящие в соответствие элементу х^Е соответственно элементы [х]+, [х]-, |x|g£+. Все отображения Д, V,
I*1+>[*1 >1 • I можно выразить через какое-нибудь одно из них; так, с помощью формул (19.24), (19.25), (19.26) и (19.28) можно выразить через V отображения [*1+, Н-, Н и Д соответственно. Отсюда, в частности, следует, что упорядоченное векторное пространство (Е, ^) является векторной решеткой в том и только в том случае, если для любого элемента х^Е существует по крайней мере один из элементов хДО, х\/0, [х]+,[х]— и |х| (и, следовательно, существуют все они).
Ниже выписан список элементарных свойств векторных решеток, которые легко доказываются (см., например, [657, с. 51 и 52]):
Теорема 19.4. Пусть (Е, Д, V > — векторная решетка. Для любых элементов х, у £ Е имеем
я = [х]+-[хГ, |х| = k]+V[^r=[^l+ + W~ И+ЛМ“ = 0,
|х| = 0«.х = 0, |U| = |M|x| VX Е R; (19.27)
X + У = (хДу) + (xVу), |х + «/КИ +|f/|, Iki —If/IK
^l^-yl = (Wy)-(My); (19.28)
[х —у]+ = Vy — х]~ = — у + (yVx1 = х — (хДу),
[х + у]+ < [х]+ + [у]+,
[х + УГ С W — VyF. | [х]+ — [у]+ К |х — у |,
I [х]-—[г/Г| ^ | х —у |;(19.29)
x\Jy = ^;\xA-y-V\y — х|1, хДу — ^Дх-^у—Ху — х^ |x|Vlyl = ^-l|x + y| + |x — у |], |х|Д|у| = -^ ||х + У\ — |х — у||;
(19.30) |х|Л|у| = 0^|^ + у| = |лс — y|«|x|V|y| = |x| + |y|=>
.=> [X + у]+ = [х]+ + [у]4";(19.31)
х < у « [Х]+ < [у]+, [уГ С [хГ «[X — у]+ (= \у — хГ) = 0.
(19.32)
Два замечания по поводу свойств (19.27) и (19.31): разложение х = [х]+ — [х]- — единственное разложение элемента х в виде разности двух «ортогональных» элементов; если | х | Д | у | = 0 (ср. (6.31) ...), то элементы х и у называют решеточно разъединенными или решеточно ортогональными (в' литературе часто встречается обозначение х _L у, например, можно написать Ы+ _L _L [х1~).■
Приведем теперь один из наиболее известных результатов в теории векторных решеток.
Теорема 19.5 (лемма Р и с с а о разложении). Если {Е, Д, V > — векторная решетка и элементы x,yv у2 Е Е^ таковы, что х ^ ух + у2, /ио существуют элементы хх, х2 Е Е+ такие, что хх ^ yv х2 ^ уг и х = хх + х2.
Доказательство. Положим хг = х Д ух и х2 = х — хг; тогда имеем х = хг + х2. С другой стороны, очевидно, что 0 ^ Хг < Ух, И из неравенства х < (х + у^ Д (ух + у^ = у2 + (х Д Л Ух) (с учетом условия (19.19)) следует, что 0 ^ х2 = х — (х Д Л Ух) ^ Уи-
Этот результат имеет следующее важное следствие: функционал f 6 Е* является ограниченным в том и только том случае, если существуют такие функционалы Д, f2 Е (£*)+> что f — Д — Д-
Определением 19.8 было введено понятие гомоморфизма решеток; сформулируем теперь аналогичное определение для векторных решеток.
О п р е д е л е н и е 19.15. Пусть (Е, Д, V ) и (F, Д, V )— две векторные решетки, f : Е -► F — линейный оператор. Оператор / называется гомоморфизмом решетки ^Е, Д, V ) в решетку F, Д, V), если
Vx.y^E /(xVy) = /(x)V/(y) и /(хД//)=/(хШ(у). (19.33)
Определение 19.16. Пусть (Е, Д, V)—векторная решетка, А — подмножество Е. Множество А называется твердым, если
УхЕЛ Уу£Е |у | ^ | х| => t/Е Л.(19.34)
У Понятие твердого подмножества векторной решетки и гомоморфизма векторных решеток, на первый взгляд, не связаны между собой, однако между ними существует связь того же типа, что и связь между понятиями открытого множества и непрерывной функции, что видно из следующей теоремы.
Теорема 19.6. Пусть (.Е, Д, \/ ) и (F, Д, V )— две векторные решетки, f : Е -► F — такое линейное отображение, что / (Е+) = Е+- Следующие утверждения эквивалентны-.
отображение f является гомоморфизмом из (Е, Д, V) в Us д, V);
отображение f~l переводит твердые подмножества F в твердые подмножества Е.
Доказательство можно найти, например, в [657, с. 601. Другим интересным результатом, доказательство которого можно найти в той же работе, является следующий.
Теорема 19.7. Пусть (Е, Д, V ) и (F, Д, V ) — две векторные решетки, f : Е -^ F — линейное отображение. Следующие утверждения эквивалентны-.
отображение / является гомоморфизмом из (Е, Д, V ) в д, V);
v X Е Е |/(X) I = f (I х I);
V х Е Е f (Гх1+) Д / ([х]-)= 0.
19.4. Топологические векторные решетки.
Пространства Банаха — Рисса
Отношение порядка в упорядоченном векторном пространстве (£, ^) индуцирует в пространстве Е топологию, которая может быть или не быть совместимой с векторной структурой пространства Е (см., например, [471, с. 1311). Как правило, отношение порядка и топология векторного пространства Е определяются совершенно независимо, причем обе структуры совместимы с векторной структурой пространства Е. Наиболее интересен случай, когда отношение порядка и топология также согласованы некоторым образом. Существует несколько способов достижения этой согласованности. Здесь мы остановим свой выбор на способе, который представляется нам наиболее приспособленным к применению в функциональном анализе; мы будем выбирать предпочтительно отделимые локально выпуклые топологии и решеточные упорядочивания, поскольку этот случай наиболее интересен.
Топологические векторные решетки.
Определение 19.17. Пусть Е — векторное пространство; Е называется топологической векторной решеткой, если на Е определены решеточное отношение порядка и отделимая локально выпуклая топология, согласованные с векторной структурой и друг с другом в том смысле, что топология имеет семейство окрестностей начала координат, состоящее из выпуклых твердых множеств.
Очевидно, что при этих условиях топология всегда может быть выражена через отделимое семейство полунорм — так называемых решеточных полунорм — функционалов Минковского для твердых выпуклых окрестностей начала координат. Особенно нас будет интересовать случай, когда это семейство можно свести к единственной полунорме, которая в этом случае будет уже нормой.
Нормированные решетки..
Определение 19.18. Пусть (Е, Д, V > ~ векторная решетка. Норма || • ||£ : Е -► R+ называется решеточной, если
Vx,y^E И^Ы=Нх||£^||у||Б.(19.35)
Система (Е, /\, V ♦ 11 * |М называется нормированной решеткой. Топологически полная нормированная решетка называется банаховой решеткой, Х-полная нормированная решетка называется нормированным1 пространством Рисса, а нормированная решетка, которая и топологически и Х-полна,— пространством Банаха — Рисса.
Заметим, что отделимые нормированные решетки являются топологическими векторными решетками в смысле определения 19.17 : условие (19.35) выражает согласованность отношения порядка и топологии. В связи с понятием нормированной решетки упомянем следующий результат, доказательство которого приведено, например, в работе [657, с. 83].
Теорема 19.8. Пусть (Е, К, V, || • ||Б) — нормированная решетка. Отображения х ->■ [х]+, х -> [х]“, х ->• | х | равного
мерно непрерывны из Е в Е+, а отображения (х, у) -► хД у и (.х, у) х \/ у равномерно непрерывны из Е2 в Е. Множества Е+ и Е_ замкнуты.
Если норма решетки (Е, Д, V > II ' Це ) удовлетворяет условию параллелограмма
IIX + у ||£ + IIX - у ||£ = 2 (|| X ||£ + II у ||£ ), (19.36) т. е. если выражение
U- У^Е = т (II х + у 11= - II х - у 11=) (19.37)
является скалярным произведением в пространстве Е (см., например, [35, с. 391), то система (Е, /\, V> (’> называется предгильбертовой решеткой. Мы будем пользоваться также терминами «предгильбертово пространство Рисса», «гильбертова решетка» и «пространство Гильберта—Рисса», смысл которых очевиден. В этих условиях согласованность отношения порядка и топологии можно выразить короче:
E+ = {xeE:(x,y)£>0 VyEE+Y (19.38) Действительно, если х ^ 0 и у "^ 0, то из условия | х — у | ^ ^I ^ + УI => IIг/1|£ ^ ||х + у ||£ (см. (19.35)), и из формулы (19.37) имеем (x,z/)£^0. Обратно, если z/^0 и (х,у)£^0 (т. е. II х + у ||^ ^ || х — у ||^, см. (19.37)), то х^О, поскольку если бы х < 0, то мы могли бы положить у = — х и, таким образом, получили бы || х — х ||£ = 0 ^ 2 [I х ||£, откуда х = 0.
Далее, можно записать
[х]+= Ре+(х) и [х]~ = Ре- (х); . (19.39)
тем самым получаем ([х1+, [х]-)е = 0, т. е. [х]+ _L [х]- ...
' Теорема Стоуна—Вейерштрасса. Приведем два примера рассмотренных структур, которые мы используем для разбора некоторых очень интересных результатов.
Пр и мер 19.1. Здесь мы воспользуемся одним из наиболее важных пространств Рисса — пространством С° (7) непрерывных вещественных функций, определенных на компактном топологическом пространстве Т.
Вообще говоря, если Т — любое непустое множество, то отношение порядка в векторном пространстве Rr функций / : Т -> R можно ввести, если положить (Rr)+ = (R+)7 . Такое определение конуса положительных элементов в пространстве Rr эквивалентно следующему условию:
Vf,g^RT fCg^Vt^T f(f)^g(t). (19.40)
Определенное таким образом отношение порядка является решеточным, оно согласовано с векторной структурой пространства 392
Rr (т. e. (Rr, ^) — векторная решетка и, фактически, пространство Рисса), но если card Т >» 1, то это отношение порядка не является полным: фактически, это — одна из причин, по которым отношения полного порядка не представляют большого интереса в анализе.
Пусть теперь Т — компактное топологическое пространство. Введем в пространстве С° (Г) (czRr) отношение порядка (19.40) и топологию, определяемую нормой
|| /11^, = шах |/(0|(19.41)
(банахова топология, называемая топологией равномерной сходимости). Легко видеть, что при такой структуре пространство 6° (Т) является пространством Банаха—Рисса. Если Т = Q, где Q с: R" — ограниченное открытое множество, то мы можем рассматривать также пространство С1 (Т) — упорядоченное векторное пространство, которое имеет, однако, тот недостаток, что не является векторной решеткой, в то время как пространство Нх (Q) является таковым (при более высоких дифференциальных порядках, однако, и пространства Соболева имеют этот недостаток).
Одним из наиболее интересных результатов, использующих решеточные структуры, является теорема Стоуна—Вейерштрас- са, вариант Какутани—Крейна которой мы представляем здесь (см., например, [35, с. 10]; см. также [689], где подробно обсуждается эта тема):
Теорема 19.9. Пусть Т — компактное топологическое пространство, Л — часть С6 (Т) такая, что*.
'х-*\'ЕА;
V/, gEA Va.pER f^gEA, f\/g^A, аНР^ЕЛ;
3)/тЕЛ(m = 1,2,...), fm-* f равномерно =^fEA.
Тогда для того, чтобы А=С°ф), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
Vtvt2ET Э/ЕЛ:^^/^)^/^).(19.42)
Условие 3) можно выразить словами: «Л — векторная решетка- подпространство С° (Т)». Условие (19.42) часто выражают словами: ^решетка А разделяет точки пространства Т». Для комплексных функций теорема останется справедливой, если к условиям 1), 2) где R заменено на С, и 3), добавить условие
/е А^Те А.
Эту теорему можно понимать как теорему о плотности: если А с: С° (Т) удовлетворяет условиям 1), 2) и (19.42), то А = = С° (Т). Ее частным случаем является известная теорема Вейер- штрасса об аппроксимации: если Q с: R”—ограниченное открытое множество, то любая функция f Е С° @2) является пределом равномерно сходящейся последовательности многочленов.
Пример 19.2. Пусть fic R" - открытое множество. Пространство L2 (Q) с его вещественной векторной структурой и обычной топологией является банаховым пространством, а если ввести
в нем отношение порядка
V/,g€L2(Q) /^g « / (х) ^g(х) п. в. на й, (19.43) — пространством Банаха—Рисса, или точнее, Гильберта — Рис- са. Среди его векторных подпространств — пространства Н1 (й) и Но (Й), которые при достаточной гладкости множества й (см. раздел 5.5) являются гильбертовыми решетками (ср. со случаем пространств Сг (й) r^ 1, рассмотренным в примере 19.1). Пространства Н1 (й) и Но (й) не являются, однако, Х-полными поэтому не являются пространствами Гильберта—Рисса.
Решеточные структуры и вариационные неравенства. Чтобы привести пример использования упорядоченных структур в теории вариационных неравенств, мы сформулируем одну из так называемых теорем сравнения (решений, соответствующих различным данным). Мы будем подходить к вопросу с абстрактных позиций, однако все, о чем мы будем говорить, можно конкретизировать в рамках пространств, упоминавшихся выше. Другие результаты, использующие решеточную структуру пространств, в которых формулируются вариационные задачи, приведены в [32, с. 58 и др.; 450, 454, 460, 461]. Эти методы применяются также в гл. 11 для случая квазивариационных неравенств, где можно найти и дальнейшую библиографию.
Задача 19.1. Пусть Н — вещественная гильбертова решетка, Н X Н -► R — коэрцитивная симметричная билинейная форма и ф : Я->- (—оо, +оо] — выпуклый собственный полунепрерывный снизу функционал. Найти функцию и £ Н такую, что
Ф (и) + а(и,и— и)^ф(и) Vu^H.(19.44)
Как известно, эта задача имеет одно и только одно решение; таким образом, можно рассмотреть оператор Л, который каждому функционалу ф, удовлетворяющему указанным в задаче условиям, ставит в соответствие решение и = Л (ф) данной задачи.
Выясним, является ли оператор Л монотонным, т. е. справедливо ли утверждение типа: «если фх ф2 (в том смысле, что фг (и) ^ ф2(у) Vu £ Н, 0 ^ и), то Л (фг) Л (ф2) (в смысле отношения порядка, заданного в пространстве Н)». Ответ на этот вопрос — отрицательный, что легко видеть, если рассматривать задачу 19.1 как задачу о минимуме; ответ не изменится, даже если заменить условие Л (фг) ^ Л (ф2) на Л (ф2) ^ Л (ф^ : функции Л (фг) и Л (ф2), вообще говоря, могут быть несравнимыми. Теперь, если мы не хотим отказаться от теоремы сравнения, мы должны ввести на множестве выпуклых собственных полунепрерывных снизу функционалов отношение порядка ^ (оно отличается от уже рассмотренного отношения порядка ^), для которого оператор Л действительно является монотонным. Из практических соображений нам нужно проверить тогда, что полученная таким путем теорема сравнения действительно будет иметь некоторые приложения, которые покажут косвенно, что отношение порядка ^ имеет смысл, хотя оно 394
неизбежно будет менее естественным, чем отношение ^ (отношение порядка ^ не является двойственным к отношению порядка в Н, поскольку, вообще говоря, фп ф2 фН*'), тем не менее это — наиболее естественное отношение порядка, какое только можно ввести на множестве выпуклых собственных полунепрерывных снизу функционалов из Н в (—оо, +оо].
Определение 19.19. Пусть Н— вещественная гильбертова решетка и фг : Н -► (—оо, + оо] и ф2 : Я -► (— оо, + оо]— два собственных выпуклых функционала. Говорят, что Ф1 ^ Ф2, если выполняется одно из условий:
Зс С R+ : Ф2 — Ф1 = с;
Vc6 R ф2 — Ф1 #= с и Vu, v6Нф, (и Ди) + ф2(иVv) С Ф1 («) + + Ф2(у).
Мы предоставляем читателю доказать самому, что отношение ^ действительно является отношением порядка и что справедливы следующие свойства:
1. Условие 2) эквивалентно условию
Vc6 R+Ф1 —Ф2#=с и Vu.UvU^H; (vvv2)H = 0 Ф1(м)+Ф2(« + + Pi + 92) ^ Ф11“ + 91) + Фа (U + 92),
которое не содержит непосредственно операции Д и у.
Если ф! ^ ф2 и ^^ ф2, то Ф1 + Ф1 < Ф2 + ф2-
Если функция ф возрастает, то ф 0.
Рассмотрим теперь теоремы сравнения, связанные с отношением порядка ^.
Теорема 19.10. Пусть Л —- оператор, который каждому выпуклому собственному полунепрерывному снизу функционалу ф: Я->-(—оо, +оо] ставит в соответствие решение и = Л (ф) задачи 19.1. Если форма а такова, что
Vv^H а ([и]-, [и]+) ^ 0,(19.45)
то оператор X является возрастающим, в том смысле, что
Ф1<ф2=>Л(ф1)^Л(ф2).Ф1<ф2=>Л(ф1)^Л(ф2).(19.46)(19.46)
Ф1<ф2=>Л(ф1)^Л(ф2).
Ф1<ф2=>Л(ф1)^Л(ф2).
(19.46)
(19.46)
Доказательство. Положим и, = Л (ф^, и2 = Л (ф2) и запишем неравенства, соответствующие Ф1 и ф2 :
Ф1 («О + й («р «! — и)< ф] (и) Vu б Н,(19.47)
Ф2 (u2J + a (u2, и2 — и)< ф2 (и) Vv^H.(19.48)
Доказательство теоремы основано на подходящем выборе пробных функций и. Положим и = я, Д и2 в неравенстве (19.47), и = = иг V ы2 в неравенстве (19.48) и сложим полученные неравенства:
Ф1 («1) + Фа («а) + ° («1» “1 — (“1Л «г)) + а («а- «а — (“1V «2)) ^
С Ф1 («1Л «а) + Фа («1V «а^-(19-49)
39S
Поскольку мы предположили, что фх ^ ф2. 113 последнего неравенства получаем
a^uvux — <uxKu^ + а<и2,ий — (.и^ и2))<0(19.50)
(если ф2 — Ф1 = с Е R+, то это следует из того, что в этом случае Ф1 (“1) + Фа (“а) = Ф1 («1 Л «а) + Фа (“1 V “а), а если фг — ф2 ^ Ф с R — непосредственно из второй части условия 2)), поэтому, используя последовательно (19.29), (19.27) и (19.45), имеем соотношения
О > a <uv [ы, — ы21+) 4- а (иг, — [ы, — ы2]+) =
= a (nt — u2, [u, — ы2]+) = а ([и, — и2]+ — [^ — м2Г, [и, — и2]+) =
= а ([ы, — и2]+, [^ — и2]+) — а ([«! — и2Г, \их — и2]+) >
>a([ut —u2l+.[ui —“al+)-(19.51)
Поскольку форма а коэрцитивна, заключаем, что [их— и2]+— О, поэтому (см. (19.32)) их^.и4. □
Полагая фк = /\ — 1Х и ф2 = /к — ^> гДе /к — индикатриса непустого замкнутого выпуклого множества К а Н, а /ъ к Е Н' (с//*), получим важный частный случай теоремы 19.10, показывающий, что отношение порядка ^ имеет смысл. В этом случае выражение фк ^ ф2 означает, что множество К устойчиво по отношению к операциям Д и V и что к ^ к в смысле отношения порядка, двойственного к отношению порядка в Н. Устойчивость множества К по отношению к операциям Д и V очевидна. Далее, если ф2 — Ф1 = с Е R+, то Z2 — к = с и, таким образом, обязательно 1Х = /2. Если же ф2 — Фх ¥= у Е R. то для любых функций и, и Е Н,— к (“) — к (у) > —к (“ Л «) — к (и V у)> т- е- к (“ — - (м Д у)) < к кч V у) — у), или к (1м — у!+) ^ к ([“ — у!+);— это означает, что к к в Н*, потому и в Н'. Можем теперь сформулировать следующий результат.
Теорема 19.11. Пусть Н — вещественная гильбертова решетка, К с: Н — непустое замкнутое выпуклое множество, устойчивое к операциям Д и \J, а — такая коэрцитивная билинейная форма, что а ([у]-, [у]+)0 Vy Е К, а к ч к— два непрерывных
линейных функционала в Н. Пусть снова их и иг — решения вариационных неравенств
и^К\ а^щи— и^^к^ч — и) ^иЕК,(19.52)
и^К; а(щ,и — и^^кхч — у) Vv^K(19.53)
Соответственно. При этих условиях если к ^ к в Н', то их ^ и2 в Н.
Заметим, что условие устойчивости множества К не всегда выполнено: К = {X sin х : 0 ^ X ^ 1} — непустое замкнутое выпуклое множество в Но ((0, 2л)), неустойчивое по отношению к операциям Д и V.
.5. Гильбертовы псевдорешетки
В разделе 19.4 мы видели, что если (5, Д, V> (•> ^е) — гильбертова решетка, то справедливо условие (19.38). Предположим теперь, что Е — произвольное гильбертово пространство и что существует непустое подмножество С пространства Е такое, что
C=(x^E;(x,y)E>0 Vy^CV(19.54)
С — строгий выпуклый конус с вершиной в начале координат, поэтому мы можем задать в пространстве Е такое отношение порядка ^, что Е^. = С. Отношение порядка ^, вообще говоря, не будет решеточным, тем не менее, положим для х £ Е
1х]+ = Рс(х) и [х]~ = Рс(— xY(19.55)
тогда справедливы равенства
х = [х]+ — [хр и ([х]+, [х]“)в = 0.(19.56)
Отметим, что, в то время как (19.38) и (19.39) — теоремы, (19.54) и (19.55) — определения.
Введем еще одно определение: если х, у £ Е, то положим
ДIДI
хУу = х + [у— х]"*" и хХу—х—[х — уу.(19.57)
Заметим сразу же, что элементы х Y у и х Д у нельзя, вообще говоря, рассматривать как элементы х \/ у = sup (х, у} и х Д у = = inf {х, у}, в существовании которых мы не уверены; однако если они существуют, то х Y y = x\/yvix)<y = x\j у. Операции Y и Л обладают также многими, но не всеми (что естественно) свойствами операций у и Д. Введем теперь определение.
Определение 19.20. Гильбертовой псевдорешеткой мы будем называть систему <5, С), где Е — гильбертово пространство, а множество С удовлетворяет условию (19.54).
Вместо гильбертова пространства мы можем рассмотреть предгильбертово и получить предгильбертову псевдорешетку. Отметим, что в примере 19.2 мы пользовались не решеточной структурой пространства Н, но лишь его псевдорешеточной структурой. Таким образом, если мы заменим везде Д на Л, а V на Y, все результаты останутся справедливыми. В заключение сформулируем следующий важный результат, который справедлив также и для гильбертовых решеток.
Теорема 19.12. Если Е — гильбертова псевдорешетка, то любая цепочка в Е, ограниченная сверху (снизу), имеет наименьшую верхнюю грань (наибольшую нижнюю грань). В частности, любая ограниченная часть Е полностью индуктивна.
Доказательство. Пусть (иа)а^А — цепочка в Е, ограниченная сверху элементом L £ Е, т. е.
ua^L Уа^Д.(19.58)
397
(19.59)(19.59)Предположим, что множество Л таково, что а ^ р в Л => иа ^ ир в Е,
(19.59)
(19.59)
и пусть а 6 Л. Последовательность вещественных чисел {(ма, L—u-)fi} возрастает и ограничена сверху, поэтому она сходится. Если же а^а^р, то
(19.61)(19.61)II “Р — “а Не = (“р — “«> “р — “Je ^ (“р — “а’ L — ua)fi’ (I9 60> и, поскольку последовательность {(«а, L — «5)5} сходится, ^и^— последовательность Коши в Е; пусть и — ее предел. Тогда для любого элемента и £ С
(19.61)
(19.61)
(м, v)£ = lim (ма, и)Е > (мр, v)E Vp € Л,
поэтомупоэтомум ^ «а Va £ Л.м ^ «а Va £ Л.(19.62)(19.62)
поэтому
поэтому
м ^ «а Va £ Л.
м ^ «а Va £ Л.
(19.62)
(19.62)
Таким образом, и — верхняя грань множества {«а); чтобы убедиться, что элемент и, в действительности, является наименьшей верхней гранью, т. е. что и = зирл {uj, заметим, что если ш^иа Va 6 Л, то (су, и)Е ^ (и, v)E Vu^E и, следовательно, w^u. □
Глава 20. МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Введем обозначения (У =/= 0):
2У = 9s (У) = {7: Т — подмножество У), 2| = (Т fФ (У): Т непусто), 2У = {7'£7(У): Т замкнуто), 2У = {7 €^ (У) : Т компактно), 2У = {7 £7 (У) : Т выпукло), 2^ = (Г С ?(У) : Г связно), 2У — {Т Е 7 (У): Т ограничено), 2У = {Т € 7 (У): Т — замкнутый интервал), 2,ci = 2, П 2с П 21 и т.п.
Основные определения
В этой главе мы изучим некоторые свойства отображений f : Х-> -*•2^, где X и У—непустые множества, на которых заданы некоторые подходящие структуры. Эти отображения мы будем называть многозначными, поскольку отображению /: Х->- 2^ мы можем поставить в соответствие вполне определенным способом часть F декартова произведения X X У или, еще лучше, многозначное отображение f:X^.Y (с графиком G(/) = F...). Это соответствие между /:Х->2е и f:X^Y частично оправдывает вводимые ниже обозначения.
Здесь мы будем различать два понятия — однозначное отображение f : X -> 2g и многозначное : f : X z£ Y; в остальной части книги они отождествляются. Позже мы введем некоторые множества, тесно связанные с отображением f : х 5 Y; сейчас же мы упомянем лишь следующее.
Если х £ X, то множество f (х) = (у € Y : (х, у) £ F^ значений, принимаемых функцией f на элементе х, называется образом элемента х при отображении /: если Vx^ X card /(х) = 1, то отображение f называется однозначным отображением или просто отображением.
Здесь мы напомним читателю некоторые общие определения, касающиеся отображения одного множества на другое И введем определенное количество специфических определений для отображений f : X -> 2^ (они являются модификациями предыдущих, необходимыми ввиду особенностей структуры множества 2 g).
В разделе 20.2 мы рассмотрим случай, когда X и Y — топологические пространства, и изучим топологии, задаваемые на множестве 2g топологией пространства Y, и свойства непрерывных отображений f:X—>2g. В разделе 20.3 мы рассмотрим случай, когда XhY—упорядоченные множества, изучим отношения порядка, задаваемые на множестве 2g( отношением порядка на Y, и понятие монотонности отображений f:X->2«i- Мы не будем затрагивать такие важные вопросы, как дифференцируемость и интегрируемость этих отображений (их можно найти в [159, 348, 566, 300, 649]; ряд других вопросов и приложения см., в дополнениях к гл. 14—16 этой книги, в работах [201 —203, 307, 302, 344, 346, 303, 84]).
Графики и образы. В дальнейшем X и Y обозначают непустые множества, a f — отображение из X в 2,.
Графиком отображения / называется подмножество G (f) = = {(х, Т) : х Е X и f (х) = 7} декартова произведения X X 2g. Это множество не представляет для нас интереса — нас интересует множество Gxy (h = К^» У) € X X Y : х С X и у £ f (х)}— подмножество декартова произведения XxY, совпадающее с G (/).
Определение 20.1. Множество Gxy (/) называется графиком отображения f, отнесенным к X X Y.
Образом множества ЛсХ при отображении f называется подмножество / (Л) = ^Г £ 2 g : Т = f (х), х € Л} множества 2 g . Это множество также не представляет для нас интереса; более полезным множеством является fY (Л) = (у £ Y :y£f (х), х^А^= (J / М — под-
х£А
множество Y, совпадающее с / (Л) = U f (х).
х^А
Определение 20.2. Множество fy (Л) называется образом множества А (сХ), отнесенным к Y.
Отметим следующие свойства образов fy (А), справедливые
также и для образов / (А) и / (А).
Теорема 20.1. Если А^ А2с X, то
(20.1)(20.2)(20.3)(20.4)(20.1)(20.2)(20.3)(20.4)MWHW (Д2).fy Hi А 4) с fY (AJ П /у (Д2).fY(X\A1)=>fY(X^\fY(A1))
(20.1)
(20.2)
(20.3)
(20.4)
(20.1)
(20.2)
(20.3)
(20.4)
AtcA2=>fY (Ах) с fY (Д2).
Доказательство элементарно. Далее, мы можем интерпретировать отображение fy как отображение из 2х в 2У.
Рассмотрим теперь обратные образы (прообразы}. Если ^ с 2>, то естественно положить /~* (^ = (х^ X : f (Еу^ ^}; в частности, если ^ = (В), то /-1 (В) = (х X : / (х) = В). Приведем следующие свойства прообразов X1 (^), справедливые, в частности, для прообразов /-1 (В).
Теорема 20.2. Если $ь 3}г с 2g, то
(20.5)(20.6)(20.7)(20.8)(20.5)(20.6)(20.7)(20.8)^ <= ^2 => Г* (^i) с Г1 W^ <= ^2 => Г* (^i) с Г1 Wг1 №и^) = Г,№иГ1№г1 (^А^^Г* (^)АГ1»гЧЖ^ = гх^ЖгЧм
(20.5)
(20.6)
(20.7)
(20.8)
(20.5)
(20.6)
(20.7)
(20.8)
^ <= ^2 => Г* (^i) с Г1 W
^ <= ^2 => Г* (^i) с Г1 W
Доказательство этой теоремы также элементарно. Подобно тому, как мы пришли к рассмотрению образов /у (А), введем следующие понятия.
Определение 20.3. Множество /-1+ (В) = /”' (^(В)) называется верхним прообразом множества В (с У) при отображении /, а множество /-1~ (В) = Х\/-1 (i? (У \В)) — нижним прообразом множ ства В (с У) при отображении /.
Ясно, что /~*+ (В) — /-1+ (В) = (х € X • / (х) Ф 0 и /(х)сВ) и что f~'~(B) = }~'~(В) = {х^Х: /(х) А В=# 0). Верхние и нижние прообразы (поскольку нет опасности недоразумений, мы не указываем: «отнесенные к У») обладают следующими легко доказуемыми свойствами.
Теорема 20.3. Если BvB2czY, то
(20.9)(20.9)(20.10)(20.11)(20.12)(20.10)(20.11)(20.12)Г,+ (В1)сГ*"(В1).
(20.9)
(20.9)
(20.10)
(20.11)
(20.12)
(20.10)
(20.11)
(20.12)
r’+^XBj^xxr'-tsj,Г1”(Г\в1) = х\г1+(В1),В^сВ^Г^В^сГ4"^,
В.сВ^Г'-^сГ'-^^(20.13)
r^^tAB^^r^^nr^W ;(20.14).
r^^nBJcr'-^jnr1"^).(20.15)
Г‘+ (Bx U В2) =э Г1+ (BJ U /-1+ №(20.16)
Г1_(В1ив2) = г1"(В1)иГ!“(В2).(20.17)
Квазисюръективность, гиперинъективность и гипероднозначность. Сюръективность отображения Д которую можно определить выражением VT £ 2^Эх £ X : / (х) = 7 — очень сильное условие на отображение Д так как, согласно теореме Кантора, если cardX^card У, то не существует сюръективного отображения X на 2g. В противоположность этому, инъективность отображения Д которую можно выразить условием f (Xj) = / (х2) => хг =-х2 — очень слабое условие на отображение Д как и условие однозначности, присущее самому понятию отображения.
Определение 20.4. Если Д (X) = Y, то отображение / называется квазисюръективным-, если / (xj П / (х2) Ф 0 =*■ хг “ = х2 — гиперинъективным, если / (х,) f) / (х2) ф 0 =s- f (хг) = = / (х2) — гипероднозначностью.
Гиперинъективное отображение является также гипероднозначностью, а если отображение / гиперинъективно и квазисюръективно, то оно задает разбиение множества Y, определяемое множеством X.
Объединение, пересечение и композиция. Введем определения объединения и пересечения отображений.
Определение 20.5. Пусть Д:Х-*-2^ и /2:X->2g. Отображение /1 П Д> задаваемое формулой АК П Д) W = /1 (х) П Д (х), называется пересечением отображений Д и Д, а отображение Д U Д, задаваемое формулой (ДиД)(х) = Д(х)11Д(х), —объединением отображений Д и Д.
Объединения нельзя рассматривать как бинарную операцию над отображениями Д : X -> У и Д : X -> У, поскольку при Д
Д результат является уже не отображением X в У, а многозначным отображением X в У; по тем же причинам нет смысла рассматривать как операцию и пересечение.
Композиция однозначных отображений не имеет точных аналогий в случае многозначных отображений. Наиболее близкая ей операция, которую мы также будем называть композицией, определяется следующим образом.
Определение 20.6. Пусть X, У и Z—непустые множества, /:X->2g и g‘Y-^2®. Отображение g • f: X -* 2g, определяемое выражением (g • Д (х) = gz [fY (х)] = (J {г € g (у): у € f (х)}, называется композицией отображений / и g.
Введем, наконец, важное понятие..
Определение 20.7. Отображение о}: X-*Y такое, что Vx ^ Ха, (х) € / (х), называется селекцией отображения / : X->-2g.
40140126 К. Байокки, А. Капало
401
401
Заметим, что G (о/) gz Gxy (Г) и чт0» очевидно, многозначное отображение f : Х^ У, соответствующее отображению / однозначно и, следовательно, является отображением в том и только в том случае, если существует единственная селекция отображения f.
Топологии в 2g
Топологии в 2g можно вводить, пользуясь какой-либо из стандартных методик (через семейства открытых множеств, семейства окрестностей и т. д.); наиболее интересны, однако, случаи, когда топология множества 2g некоторым образом связана с введенной ранее топологией множества У.
В п. 20.2.1 мы рассмотрим случай, когда У — метрическое пространство, и введем в пространство 2,c< хаусдорфову метрику. В п. 20.2.2 мы будем считать У общим топологическим пространством и введем четыре различные топологии множества 2g — топологии Виеториса (ср. [718]). Дальнейшее изучение топологий множества 2g и его подмножеств — так называемых гиперпространств из У, можно найти в [576, 490]. Понятие непрерывности многозначных отображений рассматривается, помимо цитированной литературы, в работах [630, 312, 677], где можно найти также информацию о пространствах многозначных отображений; в [677, 725, 577, 578], где рассматривается проблема существования непрерывных селекций. В работе [516] содержится весьма абстрактное исследование вопроса о непрерывности многозначных отображений.
Топология хаусдорфовой метрики. Если (У, d) —метрическое пространство, А и В — непустые подмножества У (т. е. А, В £ 2 g), то неотрицательное вещественное число
6(Д,В) = inf {d(a, 6) :а£Д, Ъ^В} (20.18) называют обычно расстоянием между множествами А и В. Величина 6, одЯако, не является истинным расстоянием, поскольку если 6 (Д, В) = 0, то отсюда не следует, что А = В. Если 6(Д,В)=0, то множества Д и В называют близкими,—понятие близости обладает некоторыми любопытными свойствами, и оно аксиоматизировано в структурах, называемых пространствами близости (см. [614, с. 7 и 8; 68, с. 81). Определим теперь истинное расстояние в пространстве 2g с1 (позднее станет ясно, почему мы не рассматриваем все множество 2g), так называемое хаусдорфово расстояние.
Введем сначала следующее вспомогательное множество: если е > 0 и Q € 2g а, то полагаем
1 (e,Q) = {x^Y :3q£Q:d^c,q^<_e^ — {х^К :d(x,Q)<e). (20.19) Множество I (e, Q) есть окрестность множества Q радиуса e.
402
Определение 20.8. Пусть (К, d) — метрическое пространство. Если А,В£2^сЬ то хаусдорфовым расстоянием между множествами А и В, обозначаемым Я (Л, В) (или, если есть опасность недоразумений, Hd (Л, В)), называется неотрицательное вещественное число
Я(а, 6) = inf (е: Л с/(е, В) и Вс/(е,Л)}. (20.20)
Зависимость расстояния Hd от метрики d порождает неожиданное явление. Топология, задаваемая метрикой Hd, зависит от конкретной выбранной метрики d, а не только от топологии, задаваемой d. Так, (ср. [38]) в R+ метрики dA (х, у) = min {1, |х— у]} и d2 (я, у) = | х/(1 + х) — у/(1 + у) I топологически эквивалентны, а метрики Hd, и Hd, в пространстве 2*+ — нет (множество R+ в метриках dA и d2 ограничено). Чтобы избежать явного вхождения множеств 1 (в, Q) в определение хаусдорфовой метрики, мы могли бы* положить эквивалентно
Н(Л, В) = sup {зирхед inf y€Sd (х, у), supx€S infу€л d. (х, у)}.
Покажем теперь, что выражение (20.20) действительно определяет расстояние. Прежде всего, Н (Л, В) — вещественное число, поскольку множества Л и В ограничены (в действительности, еле- дуя работе [3351, можем избавиться от этого ограничения, определяя, таким образом, обобщенную метрику, в которой величина- Н (Л, В) может равняться + оо). Очевидно, что число Я(Л, В) неотрицательно. Если Я (Л, В) = 0, то Л = В, поскольку из равенства Я (Л, В) = 0 следует, что Л сВиВс Л, и, следовательно, поскольку множества Л и В замкнуты, А = В. Симметрия очевидна: Я (Л, В) = Я (В, Л). Что касается неравенства треугольника Я (Л, С) Я (Л, В) + Я (В, С), которое традиционно является наиболее трудным_для проверки, заметим, что если Я (Л, В) = = в и Я (В, С) = в, то Ас / (ё + е, С), поскольку A al (в,В) и В a I (е, С), и С а I (е 4- е, Л) (по тем же причинам), поэтому Я (Л, С) ^ в + в.
Снабжая множество 2,с! расстоянием Я, получаем метрическое пространство, для которого справедливы основные результаты, касающиеся этих пространств. Множество (х), x^Y замкнуто (метрические пространства являются топологическими пространствами типа Т^ и ограничено, поэтому имеет смысл отображение I : : Y -> 2^,1, определяемое равенством i (х) = (х) и являющееся изометрией пространств (К, d) и (2g,/, Я), так как d (х, у) = Я ({х}, {у}); мы говорим тогда, что топология хаусдорфовой метрики в пространстве 2g,/ допустима в смысле Мишеля (ср. [576, с. 153]).
Докажем теперь главный результат этого пункта.
Теорема 20.4. Пусть {Y, d) — метрическое пространство. Топология хаусдорфовой метрики пространства 2g,/, отнесенная к пространству 2^, эквивалентна топологии, порождаемой се-
жейством U множеств U+, U-, определяемых следующим образом:
U* = {Т^2еа-ТсЩ,
и~ ^{Т^-.Т 017^0},
еде U пробегает семейство открытых множеств в Y.
Доказательство. Докажем сначала, что топология, порождаемая семейством И менее тонка, чем топология хаусдорфовой метрики, показав, что (7+ и U-— открытые множества в пространстве (2^, НУ Докажем, что множество U+ открыто, показав, что если Q Е 77+ (т. е. если Q — непустое компактное множество из Y такое, что QczLTy то существует число е>0 такое, что У, (Q) = ^ Е 2^: Н (Т, Q) < е} cz77+. Положим e=d(Q, Y\U): е >0, поскольку множества Q и Y\U не пересекаются и замкнуты. В дальнейшем нам достаточно рассмотреть ограниченное множество- Если 7/ (Т, Q) < е, то Tel (е, Q) и, следовательно, TcU, поскольку 7 (е, Q) cz U. Докажем, что множество U~ открыто, показав, что если Q^U- (т. е. если Q — непустое множество из Y, компактное и такое, что Q f| U ф 0). то существует число е > 0 такое, что тЕ (Q) cz U~. Положим q £ Q П U; так как множество U открыто» существует число е > 0 такое, что S^e (q^ = {х Е Y: d (х, q) < е} cz U. Если Н (Г, Q) < е, то 3t Е Т: d (t, q) < е (поскольку если V 7 6 € Т d (/, q) ^ е, то q $ 1 (е, Г), откуда Q ф I (е, Г) и, следовательно, Н(Т, Q) < е), поэтому t^U и Т П U Ф 0. Далее, докажем, что топология хаусдорфовой метрики менее тонка, чем топология, порождаемая семейством М, показав, что для любой окрестности 9"г (Q) = = {Т Е 2я?: Н (Т, Q) < е} точки Q Е 2^ в первой топологии существует окрестность Q во второй, содержащаяся в ней (достаточно рассмотреть лишь окрестности типа Иг (Q), поскольку они образуют фундаментальную систему окрестностей для метрической топологии). Поскольку Q — компактное множество, существует его покрытие открытыми множествами й( (t = 1m) такое, что diam (Q;) < е. Докажем, что 6 = [7 (е, Q)]+ П НГ П •■• П НГ — окрестность множества Q, удовлетворяющая поставленным условиям. Очевидно, что QE^ и что ®— открытое множество в топологии, порождаемой семейством U. Покажем, что 9с2 9"е19у, если ТЕ^, то Т с. Це, Q). Осталось доказать, что Q с 7 (е, Т\ откуда получим неравенство Н (Т, Q) < е. Пусть х Е Q, тогда 3i: х Е Нг и, поэтому 3/ Е Т: d (х, /) ■< е (поскольку Т П Н, Ф 0); следовательно, х Е 7 (е, Т\ □
Отметим, что из полноты пространства (V, d) не следует полнота пространства (2^/77); из нее, однако, следует полнота пространства ^едН) (см. [470, с. 296: 30, с. 61, задача 3]).
Многозначные отображения, непрерывные по Липшицу.
Определение 20.9. Пусть (/j, dj и (К2, d2) — непустые метрические пространства. Отображение f:ri->2^ называется непрерывным по Липшицу, если
Эк>01 Vx,у Е К, Н41V(х), /(у))< 1«к(х, у).(20.21)
Если существует число /г ^ 1, удовлетворяющее этому условию, то отображение f называют нерастягивающим, а если существует число й < 1, удовлетворяющее этому условию, то отображение f называют сжатием.
Позже мы воспользуемся термином «константа Липшица» для обозначения всякого значения к, удовлетворяющего условию (20,21); мы, однако, не будем связывать с этим термином каких- либо характеристик типа минимальности и, тем более, единственности.
Теорема 20.5. Пусть (Уц dj, (Y2, d2) и (У3, d3) — непустые метрические пространства. Справедливы следующие утверждения:
если отображение f : Ki ->- 2^1 непрерывно по Липшицу, то оно непрерывно;
если отображения ^: ^ -> 2^а и f z : Yx-^- 2^i непрерывны по Липшицу с контактами Липшица аг и а2 соответственно, то отображение fj U f2 непрерывно по Липшицу с константой Липшица max {alt а2) (аналогичный результат для отображения А П А не имеет места; контрпример приводится в работах [470, с. 301; 613, с. 4781);
если отображения А:К1->2е, и f2:Y2->2g’q непрерывный» Липшицу с константами Липшица аг и а2 соответственно, то отображение А-А непрерывно по Липшицу с константой Липши- ЦО. 06^0-2#
если отображение f:Yl->2Y^q непрерывно по Липшицу с константой Липшица ос, то отображение fy,: 2g, -> 2^ непрерывно по Липшицу с константой Липшица а.
Теорема 20.6. Пусть М — непустое замкнутое выпуклое множество в банаховом пространстве и j:M->- 2»/ —непрерывное по Липшицу многозначное отображение с константой Липшица а; пусть отображение conv : 2gCz-> 2,с/задано тождеством conv (Л) А cony (Д). Тогда отображение сопу Ц : М 2^, определяемое тождеством! (£onv° f)(x) A cony [f (х)1 непрерывно по Липшицу с константой Липшица а.
Доказательство см. в работах 613, с. 478; 470, с. 302 и 303.
Отметим следующую любопытную деталь: непрерывное многозначное отображение f : Yt -> 2^Cb вообще говоря, не имеет непрерывной селекции »/ : УА -»• Y2, поскольку сжатия не всегда имеют непрерывные селекции (пример приведен в работе [613, с. 4791).
.2.2. Топологии Виеториса. Пусть Y — произвольное топологическое пространство. Введем в пространстве 2g четыре различные топологии, называемые топологиями Виеториса. Напомним сначала, что множество Т топологий множества X, снабженное отношением порядка «Tj ^ т2, если тг с: т2 (т. е. если топология т,
менее тонка, чем топология т2)», является полной решеткой (см. [101). Топология т, Д т2 совпадает с топологией тх f) т2, а т, V V т2 является топологией, порожденной подбазисом тг U т2. Напомним, что семейство у с 2х называют порождающим топологию т в пространстве X или подбазисом для топологии т, если любое открытое множество топологии т является объединением произвольного числа конечных пересечений элементов семейства у. Заметим, что тг (J т2, вообще говоря, не является топологией; далее, если ^ — подбазис для топологии ть а ^2 — для топологии т2, то ^ = {Д О В2 : Bt £ ^L и В2 Е ^2) — еще один подбазис для топологии Tt у т2. Далее, min Т = (0, X} (индискретная топология), a max Т = ^ (X) (дискретная топология).
Учитывая все сказанное, введем определение.
Определение 20.10. Пусть Y — топологическое пространство. Топология пространства 2g, порождаемая семейством ^~ множеств вида U- = (71 С 2g: Т П £/ =/= 0}, где U — открытое множество в У, называется нижней полуконечной топологией Виеториса и обозначается у-.-
Топология пространства 2g, порождаемая базисом ^+ множеств вида U* = [71 6 2а: Т с U} = 2g , где U — открытое множество в У> называется верхней полуконечной топологией Виеториса и обозначается у+. Топология у4- ДУ- называется хе ми-полу конечной топологией Виеториса и обозначается У . Топология у+ V СУ'~ называется конечной топологией Виеториса и обозначается ‘V.
Заметим, что базис топологии У построен из семейства 6 = = {[t/p..., t/J* с 2, : [^t/J* = {Т £ 2^: Т cz U iUUt и Т П П Ui#= 0}> где Ut (i = 1,..., т) — открытые множества в У), определяемого конечным числом открытых множеств, что объясняет название топологии ^ и, тем самым, названия топологий ‘У^, СУ'- и
Интересной характеристикой топологии V является тот факт, что это — наименее тонкая из топологий пространства 2g , в которых множество 67+ = 2g открыто при открытом множестве U с У и замкнуто при замкнутом U с: У (заметим, что {?' £ 2g : Т с (/} = = {Т€2^:ТЛ(Г\^)= 0} = 2g \{Т £ 2g : Т П (^VO * 0), что множество У\(7 открыто, если множество U замкнуто, и что множество ^Г 6 2g : Т П (Й\£/) N= 0} открыто в топологии у, поскольку оно открыто в топологии У-)’ поэтому эта топология — наименее тонкая из топологий, приемлемых в смысле Мишеля (ср. [576, с. 155]).
Далее, топологии Виеториса допустимы в смысле Мишеля (ср. {576, с. 1531), поскольку отображение i : У -> 2g, определяемое тождеством I (х) = {х} является гомоморфизмом. Пространство 2g с одной из рассмотренных топологий, вообще говоря, не является пространством типа Тъ даже если У — пространство типа 7\; пространство же 2,с с индуцированной топологией Виеториса
всегда является пространством типа То и является пространством типа Тх, если таковым является пространство Y.
Большой интерес представляет следующий результат, который связывает вопросы, обсуждавшиеся в предыдущем разделе, с тем, что мы рассматриваем сейчас:
Теорема 20.7. Если Y — метрическое пространство, то топология, задаваемая в пространстве 2^ хаусдорфовой метрикой, совпадает с конечной топологией Виеториса.
Доказательство следует непосредственно из теоремы 20.4. □
Введем теперь понятие непрерывности, связанное с топологиями Виеториса.
Определение 20.11. Пусть X и Y— топологические пространства. Многозначное отображение f : X -> 2g называется полунепрерывным сверху, полунепрерывным снизу, хеми-полунепрерывным или непрерывным, если оно непрерывно в смысле топологий <?/+, СЦ—, V или ^ соответственно.
Хеми-полунепрерывность не представляет для нас большого интереса, и, поскольку функция, очевидно, непрерывна тогда и только тогда, когда она п. н. св. и п. н. сн., в дальнейшем мы будем рассматривать только эти два вида непрерывности.
Теорема 20.8. Пусть X и Y — топологические пространства. Отображение f : X-*- 2g является п. н. св. в том и только в том случае, если удовлетворено одно из следующих пяти эквивалентных условий:■
1+) множество {х £ X : f (х) П Л ^= 0} замкнуто в пространстве X, если множество Л замкнуто в пространстве Y,
2+) множество (х g X : / (х) cz Д} открыто в пространстве X, если множество Л открыто в пространстве Y,
3+) множество f-1— (Л) замкнуто в X, если множество Л замкнуто в Y,
4+) множество f-1+ (Л) открыто в X, если множество Л открыто в Y,
5+) Vx £ X YA cz Y (А открыто) f (х) cz А =>3 В с X (В открыто), х С В : Yz £ В, f (2) cz А .
Аналогично, отображение fn.H. сн. в том и только в том случае, если удовлетворено одно из пяти следующих эквивалентных условий:
1_) множество ^х £ X : f (х) Л Л ^ 0} открыто в X, если множество А открыто в Y;
2-) множество {х С X : f (х) cz Д} замкнуто в X, если множество А замкнуто в Y:'
3”) множество f-1^ (Л) открыто в X, если множество А открыто в Y\
4-) множество f-1+ (Л) замкнуто в X, если множество А замкнуто в Y;
5-) Vx 6 X YA cz Y (Д открыто) f (х) f] A#=0=>3BczX (В открыто), х С В : Yz £ В, f (2) П А =# 0.
В частности (см. условия 4+), З-)), если отображение f п. н. сн. или п. н. св. и однозначно, то оно непрерывно в обычном смысле
(обычное понятие полу непрерывности предполагает особую структуру пространства Y).
Доказательство. Мы покажем только, что отображение / п. н. св. в том и только в том случае, если удовлетворено условие 2+), и что условия 4+) и 5+) эквивалентны, оставляя доказательство остального читателю. Пусть U — открытое множество в пространстве У, a (7+ = {Т € 2g : Т cz U] — соответствующее открытое множество из подбазиса 0+ топологии У+. Имеем: /-1 ([/+) = {% g X : f (х) с U}, согласно условию 2+),— открытое множество в X. Тем самым мы доказали, что из условия 2+) следует, что отображение / п. н. св. (достаточно рассмотреть лишь открытые множества из 0+, поскольку отображение /-1 обладает хорошими свойствами (20.5) и (20.6)). Обратное можно доказать аналогичным образом. Покажем теперь, что 4+) => 5+). Пусть х £ X и A zd f (х) — открытое множество в У, положим В = 7^+ (Л). Множество В удовлетворяет условию 5+), поскольку оно открыто (согласно условию 4+)), х £ В; если г g В, то f (z) с А (по определению /_1+ (Л)). Чтобы показать, что (5+) => (4+), рассмотрим открытое множество А с У и точку х € /_1+ (Л). Множество В, которое должно существовать согласно условию 5+), является открытой окрестностью точки х, содержащейся в множестве /-1+ (Л), поэтому это множество открыто.
Условия 5+) и 5~) можно использовать для определения соответствующей полунепрерывности. Кроме того, п. н. св. ^ п. н. сн. и п. н. сн. ^ п. н. св., что видно из следующего примера (из [677, с. 331).
Пример 20.1. Положим X = У = [0, 1] a R и /(х) = {х/2), если 0<х< 1/2, /(1/2) = [1/4,3/4], / (х) = {(х + 1)/2}, если -1 < <х< 1 (рис. 20.1). Отображение / п. и. св., но не п. н. сн., поскольку множество /-1~ ((3/8,5/8)) = {1/2} замкнуто, что не согласуется с условием 3~).
Пример 20.2. Положим X = y = [0,l]cR и /(х) = [0,х], если 0^х<1, /(1) = 0 (рис. 20.2). Отображение / п. н. сн., но не п. н. св., поскольку множество /-1~([х, 1]) = [х, 1) не замкнуто (если х =# 1), что не согласуется с условием 3+).
Объединение, пересечение и композиция п. н. сн. (п. н. св.) многозначных отображений являются п. н. сн. (п. н. св.) многозначными отображениями. Композиция же многозначных отображений с замкнутыми значениями не всегда является многозначным отображением с замкнутыми значениями, что вызывает заранее видимые трудности.
Одним из наиболее интересных разделов топологии, помимо самой сути общей топологии, является тот, в котором изучается, как непрерывные отображения преобразуют множества определенных типов. Мы приведем сейчас два результата подобного рода для случая полунепрерывных многозначных отображений.
Теорема 20.9. Пусть X и Y — топологические пространства, С — связное множество в X. Если отображение f : X -^ 2gx — п. н. сн. или п. н. св., то /у (С) — связное множество.
Мы не даем доказательства этого утверждения (см., например, [677, с. 34]), а докажем следующее, наиболее важное для нас.
Теорема 20.10. Пусть X и Y — топологические пространства, Q — компактное множество в X. Если отображение f : Х~> -*• 2gg п. н. св., то множество fy (Q) компактно.
Доказательство. Пусть б — открытое покрытие множества fy (Q). Покажем, что из покрытия б можно выделить конечное подпокрытие. Пусть х £ Q; поскольку множество / (х) компактно, существует конечное подсемейство йь ..., йт множеств из
т
О, покрывающее это множество — положим й(х) = [J йг. Семейство
{/~1+(Й (х)): х € Q} является покрытием множества Q (полунепрерывность отображения / сверху гарантирует, что множества /~1+ (й, (х)) открыты), поэтому, так как множество Q компактно, из этого семейства можно выделить конечное подсемейство /~'+ (Й (хг)), ... ...,Г‘+(^(хп)), которое также покрывает множество Q. Очевидно, что семейство й(хг)й(хп) образует покрытие множества /у(й), которому соответствует конечное подсемейство множеств из б, пос
КОЛЬКу Й(Х;) = (J йу. □
/=1
Другим результатом (доказательство его: см., например, [203, с. 1181), тесно связанным с предыдущим, является следующая теорема о фиксированном множестве.
Теорема 20.11. Если X — компактное топологическое пространство, отображение f:X-+2*q п. н. св., то существует непустое компактное множество QcX такое, что fY(Q) = Q.
Многозначные монотонные отображения. Мы уже упоминали свойство монотонности многозначных отображений в гл. 3, в свя-
зи с понятием суб-дифференциала. Выдвигавшаяся тогда аргументация предполагала наличие линейной структуры, но ее можно обобщить и на случай произвольных топологических пространств с помощью следующего определения (см. также [677, с. 38 и 630, с. 1291):
Определение 20.12. Пусть X и Y — топологические пространства, и f : X ->- 2g. Отображение / называется монотонным, если /-1— ({//}) — связное подмножество X для любого элемента у в Y.
В следующем пункте мы вернемся к вопросу о монотонности в более подобающих рамках — в рамках упорядоченных структур.
Замкнутые многозначные отображения. Перейдем теперь к рассмотрению важного понятия замкнутых многозначных отображений; мы остановимся на доказательстве утверждений, тем или иным путем характеризующих это понятие.
Определение 20.13. Пусть X и Y — топологические пространства, и /:Х->2д. Отображение / называется замкнутым, если множество GXY (f) замкнуто в X X Y.
Теорема 20.12. Пусть X u Y — топологические пространства, /: X -> 2g . Если X — пространство типа Tv а отображение t замкнуто, то множество Цх) замкнуто в Y для любого хЕХ.
Доказательство. Достаточно заметить, что / (х) = Gху (/) П П(ИхУ). □ '
Теорема 20.13. Пусть X и Y — топологические пространства. Отображение /: X -► 2g замкнуто в том и только в том случае, если
x0^X, y0EY, z/o6/M=i-[3MM.
' ^УоУ.хЕи(х6^Нх)ПЧНУо')=01. (20.22)
где М(х0) и ^(уо)— открытые множества соответственно в X и в Y.
Доказательство. Из условия (20.22), означающего, что точка (хи,у0) находится «далеко» от графика отображения /, отнесенного к X х У, получаем: U (х0) X У (z/o) с X X У \Gxy (/), поэтому множество Gxy(f) замкнуто, поскольку его дополнение открыто (действительно, если мы берем точку (х0,у0) из множества ХхУ\Оху(/), то условие (20.22) гарантирует существование открытой окрестности И (х0) X У (у0) точки (х0, у0\ содержащейся в этом множестве). Обратное можно доказать аналогичным образом. □
Теорема 20.14. Пусть X uY — топологические пространства. Если отображение /: X 2^ замкнуто, то ’
(х„->х0, уп-*-у0 и ^nynEtMY=*ytt^t^ttY
Доказательство. Этот результат, который можно интерпретировать как утверждение, что замкнутые многозначные 410
отображения замкнуты в смысле последовательностей, следует из того, что (хп,уп)-^(х0,у0), из того, что (хп, уп) € G м (/) и из того, что множество G^ (/) замкнуто. □
Теорема 20.15. Пусть X и У — компактные хаусдорфовы топологические пространства. Тогда отображение f: X -► 2^, п. н. св. в том и только в том случае, если оно замкнуто.
Доказательство. Покажем сначала, что из п. н. св. следует замкнутость, заметив также, что это справедливо и в случае, когда X — произвольное топологическое пространство, а У — просто регулярное топологическое пространство).
Пусть теперь х0 Е X, а у0 Е У причем у0ЕМ (х0). Поскольку пространство У регулярно, существуют открытые множества Т td ^ f Uo) И ^Ы Э У0 такие, что Т П У(у0) = 0- Согласно условию 5+) существует открытое множество U (х0) Э х0 такое, что х Е U М =^ Их) с Т. Окрестности U (х0) и У &о) удовлетворяют условиям теоремы 20.13 (поскольку если хЕ U (х0), то / (х) с Т, и поэтому / (х) П У (f/о) = 0)- Таким образом, отображение f замкнуто. Покажем теперь, что из замкнутости следует п. н. св., воспользовавшись приемом доказательства от противного. Если отображение f не п. н. св., то (отрицание условия 5+)) существуют точка х Е X и открытое множество V td f (х) такие, что VU 3 х (U открыто) /у (£7) ф V. Рассмотрим теперь семейство множеств Au = Gxy (h А Ф X (У\У)). где множество U открыто в X. Если мы покажем, что существует точка (s, 0 Е А Аи, то доказа- и ■
тельство теоремы будет завершено, поскольку в этом случае должно быть s = х (П U = (х), так как X — хаусдорфово пространство) и t Е f (х), так как (х, f) Е Gxy (h- Поскольку t Q, V (имеем (х,0 Е £/Х(У\Ю), то f (x^V, т. е. получено противоречие. Неравенство П Аи 0 следует из того, что семейство Аи компактно (так как множества Gxy (/), U и У\У замкнуты, а X X У — компактное хаусдорфово пространство), непусто (если /у (£7) </: V, то существуют точки х Е U и у Е f (х) такие, что у 5 V, и, таким образом, х ЕU и уЕ(У\У), поэтому (х, у) Е Uх(У\V), далее, yEf(x), поэтому (х, у) Е GxY (/)) и из того' чт0 семейство {Ау}^ обладает свойством конечных пересечений, поскольку
А ППАу = Gxy th А «^ П - П ^) Х(У\У)] =
Замечание 20.1. Если X и У — компактные метрические пространства, то теорема 20.15 (о замкнутом графе) позволяет
выразить понятие п. н. св. в терминах сходимости последовательностей:■
если отображение f п. н. св. и х№ -»- х, то для любой последовательности уп -»■ у, где уп£ f (хп), имеем: у 6 f (х) (20.23)
В общем случае утверждению (20.23) можно, естественно, дать интерпретацию в терминах сходимости фильтров или сетей.
Замечание 20.2. В условиях предыдущего замечания понятие п. н. сн. также можно сформулировать в терминах сходимости последовательностей:
если отображение f п. н. сн. и хп -»- х, то для любого у Е f (х) существует последовательность уп -»- у, где упЕ f (яп).(20.24)
Чтобы доказать (20.24), воспользуемся приемом доказательства от противного. Предположим, что отображение / п. н. сн., хп -> х, у € f (х) и что не существует последовательности уп Е f (хп), сходящейся к у. Пусть, с другой стороны, /1 с У — открытое множество, такое, что у £ Л и f (х) П А Ф 0. Из условия 5~) (теорема 20.8) имеем, что существует открытое множество В cz X такое, что х £ В, и, для любого 2^ В f (г) П А Ф 0, откуда, в свою очередь, следует, что мы можем выбрать точку уп близко к у в / (хп), что является противоречием.
■ О замечаниях 20.1 и 20.2 см. также [597, 598, 601, 478].
20.3. Отношение порядка в пространстве 2,;
Введем сначала следующее определение.
Определение 20.14. Пусть (X, ^) и (У, ^) — упорядоченные множества. Отображение f : X -> 2g; называется монотонным, если f-1- ({//}) — замкнутый интервал в X для любой точки у € V.
Отображения /Л: X ->- 2g; (А = 1, 2, 3, 4), представленные на рис. 20.3 — 20.6 их графиками, сведенными к X х У, монотонны в смысле определения 20.14.
Здесь естественным образом возникают два вопроса, первый из которых касается характеристики многозначных монотонных отображений более наглядным образом, а второй — задания в пространстве 2g, отношения порядка, по отношению к которому будет рассматриваться понятие монотонности (в действительности, как мы увидим, необходимы два отношения порядка). Остановимся сначала на первом вопросе. Для этого нам понадобятся следующие обозначения.
Определение 20.15. Пусть (Х,^) и (У,^)— упорядоченные множества, и /:Х->2^. Отображение о+: Х-*-¥ (<^~:Х-»-У), дд
определяемое тождеством о+ (х) = шах / (х) (op (х) = min / (х)) называется верхней селекцией (нижней селекцией') отображения f.
412
Из определения видно, что Vx^Xay (х) ^ о^ (х) и что, если :vх 6 Хоу (х) = а+ (х), то отображение / однозначно. Легко доказать следующую теорему.
Теорема 20.16. Пусть (X, ^) и (У, ^) — упорядоченные множества, и f : X -> 2^;. Отображение f монотонно в смысле определения 20.14 в^том и только в том случае, если отображения of и оу монотонны в обычном смысле.
Рис. 20.3Рис. 20.3Рис. 20.4Рис. 20.4
Рис. 20.3
Рис. 20.3
Рис. 20.4
Рис. 20.4
Этот результат, дающий желаемую наглядную характеристику понятия монотонности многозначного отображения, показывает, что, в сущности, каждое многозначное отображение, монотонное в смысле определения 20.14, является отображением одного из четырех типов, изображенных на рис. 20.3—20.6. Другим возможным применением данного результата является разбиение класса монотонных многозначных отображений в соответствии с характеристиками селекций на возрастающие, неубывающие и т. п.
(20.25)(20.26)(20.27)(20.28)(20.25)(20.26)(20.27)(20.28)Перейдем теперь ко второму вопросу. Имея упорядоченное множество (У,^), введем на множестве 2gt отношения р+, р+, р_и р—, определяемые следующим образом:
(20.25)
(20.26)
(20.27)
(20.28)
(20.25)
(20.26)
(20.27)
(20.28)
1^> йх] р [я2,62] ^^ &1 ^ я2, [йц by ] Р+ [я2,62] <^Ьу ^ Ь4, 1^1 > 61] р [Я2, 62] <=> Я2 ^ Оу, [tip 6Г] р_ [а2, 621 <=> 62 ^ by,
Эти отношения рефлексивны и транзитивны, но они не являются отношениями порядка; однако, отправляясь от них, мы можем определить отношения порядка, которые нам нужны. Отметим, что, если ^ и ^ — отношения порядка, то отношение (^ и ^) 1212
является отношением порядка, а отношение (^ или ^), вообще 12
говоря, не является таковым (чтобы убедиться в этом, достаточно положить ^ = ^). 21
Определение 20.16. Пусть (У, ^)— упорядоченное множество. Следующие формулы задают на множестве 2^ отношения порядка ^ и с:
К. & J < [а2, М ** ([аР М Р+ [а2, М и [ар bj р+ [а2, Ьа]), (20.29)
[«pricing, Ь2]^ ([аг 6^р+[а2,Ь2] и [Пр 6J р" [а2, Ь2]). (20.30)
Мы предлагаем читателю проверить, что отношения ^ и с действительно являются отношениями порядка, а также что ^ <^ (р- и р_) и гэ£> (р+ и р_) (заметим, что отношение порядка с: в действительности является включением множеств, поэтому использование такого символа оправдано).
Мы можем теперь говорить о ^-монотонных многозначных отображениях, ZD-невозрастающих многозначных отображениях и т. д.
Легко доказать теперь следующую теорему.
Теорема 20.17. Пусть (X, ^) и (У, ^ — упорядоченные множества. Отображение f : X -► 2» монотонно в смысле определения 20.14 в том и только в том случае, если оно ^-монотонно или омонотонно.
В заключение заметим, что если отображение f, например, ^-невозрастающее, то о^+ и о~ не возрастают, и обратно.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Авербух В. И., Смолянов О. Г. Различные определения производной в линейных топологических пространствах//УМН.— 1968.— Т. XXIII, вып. 4,—С. 67— 116.
А г м о н С., Д у г л и с А., Ниренберг Л. Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях. I. — М.: ИЛ, 1962.
Александров П. С. Комбинаторная топология.—М.: Гостехиздат, 1947.
А р а в и и В. И., Нумеров С. Н. Теория движения жидкостей и газов в недеформнруемой пористой среде.— М. : Гос. изд. техн.-теорет. лит., 1953._
Б. Байокки К., Маджеиес Э. О задачах со свободной границей, связанных с течением жидкости через пористые материалы // УМН.— 1974.— Т. XXIX, вып. 2,—С. 50—69.
Б е и с у с а н А., Лионс Ж.—Л. О некоторых вопросах, связанных с оптимальным управлением// УМН.— 1974.— Т. 29, № 2.— С. 77—85.
Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов.— Киев : Наукова думка, 1965.
Б е с о в О. В. Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолжения.— Труды мат. ии-та им. В. А. Стеклова, 1961,— Т. 60.— С. 42—81.
Биркгофф Г. Теория решеток.— М. : Наука, 1984.
Б у р б а к и Н. Начало математики. Ч. I. Основные структуры анализа. Ки. I. Теория множеств.— М. ; Мир, 1965.
Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры.— М. : Физматгиз, 1958.
Бурбаки Н. Общая топология. Числа и связанные с ними группы и пространства.— М. : Физматгиз, 1959.
Б у р б а к н Н. Топологические векторные пространства.— М. : ИЛ, 1959.
Б у р е н к о в В. И. Теоремы вложения и продолжения для классов дифференцируемых функций многих переменных, заданных во всем пространстве // Итоги науки. Математический анализ. 1965.— М. : ВИНИТИ, 1966.— С. 71—155.
Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных операто- ' ров в теории нелинейных уравнений.— М. : Наука, 1972.
Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и фуикцио- иальными уравнениями.— М. : Наука, 1977.
В е к у а И. Н. Новые методы решения эллиптических уравнений.— М.— Л.: Гостехиздат, 1948.’
В и ш и к М. И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений. И Матем. сборник.— 1951.— Т. 29, § 3.— С. 615—676.
В о л е в и ч Л. Р., П а н е я х Б. П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения // УМН.— 1965.— Т. XX, вып. I.— С. 3—74.
Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я. Некоторые применения гармонического анализа. Оснащеииые гильбертовы пространства.— М. : Физматгиз, 1961.
Гельфанд И. М., Граев М. И., Виленкин Н. Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений.— М.: Физматгиз, 1962.
Г е л ь ф а и д И. М., Шилов Г. Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений.— М. : Физматгиз, 1958.
Г е л ь ф а и д И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия иад ними.— М. : Физматгиз, 1958.
Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций.— М. : Физматгиз, 1958.
Г л о в и и с к и Р„ Лионе Ж.—Л., Тремольер Р. Численное решение вариационных неравенств.— М.: Мир, 1979.
Гуревич В., Во л мэи Г. Теория размерности,—М. : Гос. изд. иностр, лит-ры, 1948.
Д а н ф о р д Н., Шварц Дж. Линейные операторы. I. Общая теория.— М. : ИЛ, 1962.
Д а и ф о р д Н., Ш в а р ц Дж. Линейные операторы. II. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве.— М.: Мир, 1966.
Данциг Дж. Б. Линейное программирование и его применения и обобщения.— М. : Прогресс, 1966.
Дьедонне Ж. Остовы современного анализа.— М. : Мир, 1964.
Дэй М. М. Нормированные лйиейиые пространства.— М. : ИЛ, 1961.
Д ю в о Г., Лионс Ж-— Л. Неравенства в механике и физике.— М .: Наука, 1980.
Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики.— М. : ИЛ, 1950.
И л ь и и В. П. Свойства некоторых классов дифференцируемых функций многих переменных, заданных в n-мерной области.— Труды матем. ии-та им. В. А. Стеклова, 1962.— Т. 66.— С. 227—363.
И о с и д а К. Функциональный анализ.— М.: Мир, 1967.
Иоффе А. Д., Левин В. Л. Субдифференциалы выпуклых функций.— Труды Моск, матем. общества, 1972.— Т. 26.— С. 3—73.
Като 1. Теория возмущений линейных операторов. — М. : Мир, 1972.
Келли Дж. Общая топология.— М. : Наука, 1981.
Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения.— М. : Мир, 1983.
Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. Курс лекций. Вып. I. Метрические и нормированные пространства.— М. : Изд-во МГУ, 1954.
Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа: Курс лекций. Вып. 2. Мера, интеграл Лебега, гильбертово пространство.— М. : Изд-во МГУ, 1960.
КурантР., Методы математической физики. Т.1.3-еизд, испр.— М.— Л. : Гостехиздат, 1951.
К у р а и т Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 2.— М.—Л.: Гостехиздат, 1951.
Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики.— Новосибирск: Изд-во Сиб. отд. АН СССР, 1962.
Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа,— М. : Наука, 1964.
Лионс Ж.—Л. Некоторые методы решения нелинейных краеиых задач.— М. : Мир, 1972.
Лионе Ж.—Л. Об оптимальном управлении распределенными системами И УМН.— 1973,— Т. XXVIII, вып. 4,— С. 15—46.
Лионе Ж-— Л. Оптимальное уравнение системами, описываемыми уравнениями с частными производными.— М. : Мир, 1972.
Лионе Ж.—Л., М а дж е нес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения.— М. : Мир, 1971.
Лопатииский Я. Б. Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регу-
лярным интегральным уравнениям.— Украинский матем. журнал.— 1953.— Т. V, № 2,—С. 123—151.
Мизохата С. Теория уравнений с частными производными,— М., Мир, 1977.
М и р а н д а К. Уравнения с частными производными эллиптического типа.— М. : ИЛ, 1957.
Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений: Лекции. Ч. I.— Новосибирск: Изд-во гос. ун-та, 1968.
. М о и а х о в В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Лекции. Ч. II.— Новосибирск: Изд-во ун-та, 1969.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях.— М. : Мир, 1971.
Никольский С. М. О теоремах вложения, продолжения и приближения дифференцируемых функций многих переменных.— Успехи мат. наук, 1961, т. XVI, вып. 5, с. 63—114.
Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.— М. : Наука, 1969.’
О б э н Ж.—П. Приближенное решение эллиптических краевых задач,— М. : Мир, 1977.
Олейник О. А., Радкевич Е. В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой.— В кн.: «Итоги науки. Математический анализ. 1969.»—М. : ВИНИТИ, 1971.
Ортега Д., Рейиболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными.— М. : Мир, 1975.
Паламодов В. П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами.— М. : Наука, 1967.
Полубарииова-Кочииа П. Я. Теория движения грунтовых вод.— М. : Наука, 1977.
Р и с с Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу,— М. : Мир, 1979.
Рокафеллар Р. Т. Выпуклый анализ.— М. : Мир, 1973.
Р у д и н У. Функциональный анализ.— М. : Мир, 1975.
Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний.— М. : Мир, 1984.
Слободецкий Л. Н. Обобщенные пространства С. Л. Соболева и их приложение к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных.— Ученые записки Ленинградск. гос. пед. ин-та им. А. И. Герцена, физ.-мат. факультет, 1958.— Т. 197.— С. 54—112.
С м и р и о в М. М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.— М. : Наука, 1964.
С м и р и о в Ю. М. О пространствах близости.— Матем. сборник, 1952.— Т. 31, №3.—С. 543—574.
С о б о л е в С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.— Л.: Изд-во Леииигр. гос. ун-та им. А. А. Жданова, 1950.
С о б о л е в С. Л. Об одной теореме функционального анализа.—■ Матем. сборник, 1938,—)Т. 4, № 3,— С. 471 —497.
С о б о л е в С. Л., Никольский С. М. Теоремы вложения.— В ки.: «Труды Четвертого Всесоюзного математического съезда. Ленинград, 3—12 июля 1961 г, Т. I.»,— Л. : Изд-во Акад, наук, 1963.— С. 227—242.
С п и в а к М. Математический анализ на многообразиях.— М. : Мир, 1968.
Стампаккьи Г. О фильтрации жидкости через пористую среду с переменным поперечным сечением// УМН.— 1974.— Т. XXIX, вып. 4.— С. 89— 101.
С т е й н И. М., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах.— М. :Мир, 1974.
С ь я р л е Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач.— М. : Мир, 1980.
Т о д д М. Дж. Вычисление неподвижных точек и приложения к экономике.— М. : Наука, 1983.
Т р и б е л ь X, Теория интерполя 1.чи, функциональные пространства, дифференциальные операторы.— М. : Мир, 1980.
Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Ч. 1. Основные операции анализа.— М.: Физматгиз, 1962.
Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа.
Ч. 11. Трансцендентные функции.— М. : Физматгиз, 1963.
Успенский С. В. О теоремах вложения для весовых классов.— Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова, 1961.— Т. 60.— С. 283—303.
Успенский С. В. О теоремах вложения для обобщенных классов Wp Соболева И Сиб. матем. журнал.— 1962.— Т. III, № 3.— С 418— 445.
Ф и н н Р. Явления капиллярности И УМН. — 1974.— Т. XXIX, вып. 4.— С. 131—152.
Ф о н Н ей м а н Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение.— М.; Наука, 1970.
X а л м о ш П. Р. Конечномерные векторные пространства.— М. : Физматгиз, 1963.
Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными,— М. : Мир, 1965.
Ш а п и р о 3. Я. Об общих краевых задачах для уравнений эллиптического типа // Изв. АН СССР. Математика,— 1953.— Т. 17, № 5.— с. 539— 562.
Ш е ф е р X. Топологические векторные пространства.— М.: Мнр, 1971.
Эдвардс Р. Э. Функциональный анализ. Теория и приложения.— М„ Мир, 1969.
Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы.— М. : Мир, 1979.
A d a m s R. (1975). Sobolev Spaces, Academic Press, New York.
A d a m s R., А г о n z a j n N. and Smith К. T. (1967). Theory of Bessel potentials, II. Ann. Inst. Fourier, 17 (2), 1—135.
A g m о n S. (1959). The Lp approach to the Dirichlet problem, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, (3) 13, 405—448.
A g m о n S. (1960). Maximum theorems for solutions of higher order elliptic equations. Bull. Amer. Math. Soc., 66, 77—80.
A g m о n S. (1965). Lectures on Elliptic Boundary Value Problems. D. Van Nostrand, Princeton.
A g m о n S., D о u g 1 i s A. and Nirenberg L. (1964). Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions, II. Comm. Pure Appl. Math., 17, 35—92.
A 1 a о g 1 u L. (1940). Weak topologies of normed linear spaces. Ann. Math., (2) 41, 252—267.
Alexander J. W. (1922). On transformations with invariant points. Irans. Amer. Math. Soc., 23, 89—95.
Aliprantis C. and Burkinshaw O. (1978). Locally Solid Riesz Spaces. Academic Press, New York.
Allen G. (1977). Variational inequalities, complementarity problems, and duality theorems. J. Math. Anal. Appl., 58, 1—10.
A 1 t H. W. (1977a). A free boundary problem associated with the flow of ground water. Arch. Rational Meeh. Anal., 64, 111—126.
Alt H. W. (1977 b). The fluid flow through porous media. Regularity of the free surface. Manuscripta Math., 21, 255—272.
Alt H. W. (1979). Stromungen durch inhomogene porose Medien mit fre- iem Rand. J. Reine and. Math., 305, 89—115.
Alt H. W. (1980). A new numerical method for solving the dam problem. In Free Boundary Problems (ed. E. Magenes), vol. 1, p. 89—108, Proc. Sem. (Pavia, 1979), Istituto Nazionalle di Alta Matematica, Roma.
A 11 H. W., Caffarelli L. A. and Friedman A. (1982a). Axially symmetric jet flows. To appear in Arch. Rational Meeh. Anal.
A 11 H. W., Caffarelli L. A. and Friedman A. (1982b). Asymmetric jet flows. Comm. Pure Appl. Math., 35, 29—68.
Alt H. W., Caffarelli L. A. and Friedman A. (1982 c). Jet flows with gravity. J. Reine Angew. Math., 331, 58—103.
Alt H. W. andGilardi G. (1981). The behaviour of the free—boundary for the dam problem. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, (4)9, 571—625.
Alt H. W. and G i 1 a r d i G. (1982). The free-boundary In the dam problem. To appear in Proc. Symp. Free Boundary Problems: Theory and Applications (Montecatini Terme, 1981) (eds. A. Fasano and M. Promicerio).
Amann H. (1977). Ordered structures and fixed points. In SAFA 2, p. I—51, Atti 2°. Sem. Analisl Funzionale e Applicazionl (Arcavacata di Rende, 1977), University della Calabria, Cosenza.
A m e r i о L. (1978). Continuous solutions of the problem of a string vibrating against an obstacle. Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 59, 67—96.
A m e r i о L. and P г о u s e G. (1975). Study of the motion of a string vibrating against an obstacle. Rend, di Mat., (6) 8, 563—585.
Amick C. (1978). Some remarks on Rellich’s theorem and the Poincare inequality. J. London Math. Soc., (2) 18, 81—93.
A mi rat Y. and A t i к Y. (1978). Approximation numerique d’un prob- leme a frondiere libre. C. R. Ac. Sci. Paris, 286, 203—206.
Ancona A. (1976). Continuity des contractions dans les espaces de Dirichlet. C. R. Ac. Sci. Paris, 282 , 871—873.
Anderson R. and Friedman A. (1977). A quality control problem and quasi-variational inequalities. Arch. Rational Meeh. Anal., 63, 205— 252.
Anderson R. and F r i e d m a n A. (1978) Multi-dimensional quality control problems and quasi—variational inequalities. Trans. Amer. Math. Soc., 246, 31—76.
Antosiewicz H. A. (1977). Fixed point theorems and ordinary differential equations. In Studies in Ordinary Differential Equations (ed. J. Hale), p. 169—200, Mathematical Association of America.
Aronszajn N. and Smith К. T. (1961). Theory of Bessel potentials, I. Ann. Inst. Fourier, 11,385—475.
Aubin J.—P. (1977). Applied Analysis. Wiley, New York.
Aubin J.—P. (1979a). Applied Functional Analysis. Wiley, New York.
Aubin J.— P. (1979b). Mathematical Methods of Game and Economic Theory. North—Holland, Amsterdam.
A u s 1 a n d e r L. and M c Kenzie R. E. (1963). Introduction to Differentiabbe Manifolds. McGraw — Hill, New York.
Avantaggiati A. (1976). Spazi di Sobolev con peso ed alcune applica- zioni. Boll. U. Mat. Itai., (5)13—A, 1—52.
Baiocch i C. (1966). Sul problema misto per 1’equazione parabolica del tipo del calore. Rend. Sem. Mat. Padova, 36, 80—121.
В a i о с c h i C. (1971). Sur un probleme a frontlyre libre traduisant le filt- rage de liquides a travers des miliex poreux. C. R. Ac. Sci. Paris, 273, 1215—1217.
В a i о с c h i C. (1972). Su un problema di frontiera libera connesso a ques- tioni de idraulica. Ann. Mat. Рига Appl., (4)92, 107—127.
В a i о с c h i C. (1973 a). Sur quelques problemes a frontiere libre. Asterisque, 2—3, 69—85.
В a i о с c h i C. (1973b). About some boundary problems connected with hydraulics. In Proc. Sth IFIP Conf, on Optimization Techniques (Rome. 1973) (eds. R. Conti and A. Ruberti), part 1, p. 137—140, Lecture Notes in Computer Science, 3, Springer, Berlin.
В a i о с c h i C. (1973 c). Su alcuni problemi di frontiyra libera connessi a question! di idraulica. Rend. Sem. Mat. Univ. Politec. Torino, 31, 69—80.
В a i о с c h i C. (1947a). Problemes a frontiere libre en hydraulique. C. R. Ac. Sci. Paris, 278, 1201—1204.
В a i о с c h i C. (1974b). Problemi di frontiera libera e disequazioni quasi- variazionali. In Atti Giorn. Analisi Convessa e Applicazioni (Roma, 1974),
р. 11—20, Quad. Gruppi Ric. Mat. C. N. R., Universita di Roma, Roma.
В a i о с c h i C. (1974c). Une nouvelle methode d’analyse nuinerique des problemes de filtration dans les materiaux poreux. In Proc. Intern. Symp. Computing Methods in Applied Sciences and Engineering (Versailles, 1973) (eds. R. Glowinski and J. L. Lions), part 1, p. 410—415, Lecture Notes in Computer Science, 10, Springer, Berlin.
В a i о с c h i C. (1974d). Sui problemi di frontiera libera nel moto dei fluidi attraverso i materiali porosi. In Proc. Intern. Symp. Discrete Methods in Engineering (Segrate, 1974), p. 490—500, Etas Libri, Milano.
В a i о с c h i C. (1974e). Problemes a frontiere libre lies a questions d’hydrau- lique. in New Variational Techniques in Mathematical Physics (eds. G. Capriz and G. Stampacchia), p. 1—25, Proc. С. I. M. E. (Bressanone, 1973), Cremone- se, Roma.
В a i о с c h i C. (1975 a). Free boundary problems in the theory of fluid flow through porous media. In Proc. International Congresses of Mathematicians (Vancouver, 1974) (ed. R. D. James), vol. 2, p. 237—243, Canadian Mathematical Congress, Vancouver.
В a i о с c h i C. (1975b). Studio di un problema quasi—variazionale connesso a problemi di frontiera libera. Boll. U. Mat. Itai., (4)11, (suppl. fasc. 3), 589— 613.
Baiocchi C. (1975 c). Movimiento de un fluido en medics porosos. Enfo- que variacional, cuasi variacional у numerico. Cuadernos Inst. Mat. «Beppo Levi», 8, Universidad de Rosario, Rosario.
В a i о с c h i C. (1976a). Inequations quasi—variationnelles dans les problemes a frontiere libre en hydraulique. In Applications of Methods of Functional Analysis to Problems in Mechanics (eds. P. Germain and B. Nayroles), p. 1—7, Proc. Joint Symp. IUTAM/IMU (Marseille, 1975), Lecture Notes in Mathematics, 503, Springer, Berlin.
В a i о с c h i C. (1976b). Problemes a frontiere libre et in6quations variationnelles. C. R. Ac. Sci. Paris, 283, 29—32.
Baiocchi C. (1977). Estimations d’erreur dans L pour les inequations 5 obstacle; In Proc. Conf. Mathematical Aspects of Finite Element Methods (Rome, 1975) (eds. I. Galligani and E. Magenes), p. 27—34, Lecture Notes in Mathematics, 606, Springer, Berlin.
Baiocchi C. (1978). Problemes a frontiere libre en hydraulique: milieux non homogenes. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, (4) 5, 429—453.
Baiocchi C. (1979). Recent results on free boundary problems in flow through porous media. In Proc. Intern. Meeting on Recent Methods in Non — Linear Analysis (Rome, 1978) (eds. E. De Giorgi, E. Magenes, and U. Mosco), p. 3—12, Pitagora, Bologna.
Baiocchi C. (1980a). Variational inequalities and free-boundary problems. In Variational Inequalities and Complementarity Problems (eds. R. W. Cottle, F. Giannessi, and J. L. Lions), p. 25—33, Wiley, Chichester.
Baiocchi C. (1980b). Free boundary problems in fluid flow through porous media and variational inequalities. In Free Boundary Problems (ed. E. Magenes), vol. 1, p. 175—191, Proc-Sem. (Pavia, 1979), Institute di Alta Matematica, Roma.
Baiocchi C. (1981a). Disequazioni variazionali. Boll. U. Mat. Hal., (5)18—A, 173—187.
Baiocchi C. (1981b). Free boundary problems and variational inequalities. Puhi. Laboratorio di Analisi Numerica CNR, 186, Pavia.
Baiocchi С., В r e z z i F. and С о m i n c i о 1 i V. (1978). Free boundary problems in fluid flow through porous media. In Finite Elements in Fluids, Volume 3 (eds. R. Gallgher, O. Zienkiewicz, J. Oden, M. Cecchi, and C. Taylor), p. 283—291, Wiley, Chichester.
Baiocchi С., С о m i n c i о 1 i V., G u e r r i L. and V о 1 p i G- (1973). Free boundary problems in the theory of fluid flow through porous media: a numerical approach. Calcolo, 10, 1—86.
Baiocchi С., С о m i п с i о 11 V., Magenes Е. and Р о z z i G. А. (1973). Free boundary problems in the theory of fluid flow through porous media: existence and uniqueness theorems. Ann. Mat. Рига AppL, (4)97, 1—82.
В a i о с c h i С., С о m i n c i о 1 i V., Magenes E. and P о z z i G. A. (1976). Fluid flow through porous media: a new theoretical and numerical approach. In Mathematical and Numerical Methods in Fluid Dynamics, p. 395— 447, Proc. Intern. Autumn Course(Trieste, 1973), Intern. Centre for Theoretical Physics, Trieste.
В a i?o с c h i С., С о m i c i о 1 i V. and M a i о n e U. (1975). Unconfined flow through porous media. Meccanica—J. Itai. Assoc. Theoret. AppL Meeh., 10, 151—155.
В a i о с c h i С., С о m i c i о 1 i V. and M a i о n e U. (1977). A mathematical investigation of salt-water intrusion into a coastal aquifer. Proc. Symp. Hydrodunamic Diffusion an Dispersion in Porous Media (Pavia, 1977), p. 315—326, Istituto di Idraulica dell’Universita di Pavia, Pavia.
Baiocchi C., Evans L., Frank L. and Friedman A. (1980). Uniqueness for two immiscible fluids in a one—dimensional porous medium. J. Diff. Eq., 36 , 249—256.
Baiocchi C. and Friedman A. (1977). A filtration problem in a porous medium with variable permeability. Ann. Mat. Рига AppL, (4)114, 377— 393.-
Baiocchi C., and Magenes E. (1975). Problemi di frontire libera in idraulica. Atti Convegno Intern. Metodi Valutativi nella Fisica— Matema- tica (Roma, 1972), p. 395—421, Academia Nazionale dei Lincei, Roma, 1975.
Baiocchi C., and M a i о n e U. (1972). Un nuovo metodo per lo studio dei moti filtranti a superficie libera. Atti XIII Convegno Idralica eCost- ruzioni Idrauliche (Milano, 1972), p. 401—410, Milano. '
Banach S. (1922). Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aux equations integrales. Fum. Math., 3, 133—181.
Banks H. T.. and Jacobs M. Q. (1970). A differential calculus for multifunctions. J. Math. Anal. AppL, 29, 246—272.
В ar so 11 i I. (1968). Appunti di Algebra. Zanichelli, Bologna.
Bear J. (1972). Dynamics of Fluids in Porous Media. American Elsevier, New York.
Bear J. (1979). Hydraulics of Groundwater. McGraw — Hill, New York.
Bear J. (1980a). On the derivation of macroscopic description of transport phenomena in porous media by local volume averaging. In Free Boundary Problems (ed. E. Magenes), vol. 1, p. 9—30, Proc. Sem. (Pavia, 1979), Istituto Nazionale di Alta Matematica, Roma.
Bear J. (1980b). Hydrodynamic dispersion an the movement and accumulation of pollutants in aquifers. Free Boundary Problems (ed. E. Magenes), vol. 1, p. 33—54, Proc. Sem. (Pavia, 1979), Istituto Nazionale di Alta Matematica, Roma.
В e g I s D. and G 1 о w i n s к i R. (1975). Application de la methode des ; elements finis & 1’approximation d’un probleme de domaine optimal. Methodes de resolution des problemes approches. AppL Math. Optim., 2, 130—169.
В e i г a о da V e i g a H. (1969). Sulla holderianita delle soluzioni di alcune disequazioni variazionali con condizioni unilatere sul bordo. Ann. Mat. Рига AppL, (4)83, 73—112.
В en c i V. (1973). Su un problema di filtrazione in un mezzo poroso non omogeneo. Rend. Ac. Naz. Lincei, (8)54, 10—15.
Ben ci V. (1974). On a filtration problem through a porous medium. Рига AppL, (4)100, 191—209.
Bensoussan A. (1974a). Points de Nash dans le cas de fonctionelles quadratiques et jeux differentiels lin£aires a N personnes. SIAM J. Control. 12 , 460—499.
Bensoussan A. (1974 b). Teoria moderna de control optimo. Cuadernos Inst. Mat. «Beppo Levi», 7, Universidad de Rosario, Rosario.
Bensoussan A. (1974c). Inequations quasi-variationnelles et contrOle impulsionnel. Atti Giorn. Analisi Convessa e Applicazioni (Roma, 1974), p. 21— 26, Quad. Gruppi Ric. Mat. C. N. R., Universita di Roma, Roma.
172 Bensoussan A. (1975). ContrOle impulsionnel et inequations quasi va- riationneiles. In Proc. International Congresses of Mathematicians (Vancouver, 1974) (ed. R. D. James), vol. 2, p. 329—334, Canadian Mathematical Congress, Vancouver.
Bensoussan A. (1976). Variational inequalities and optimal stopping time problems. Calculus of Variations and Control Theory (ed. D. L. Russel), p. 219—244, Proc. Symp. (Madison, 1975), Academic Press, New York.
Bensoussan А., В г ё z i s H. and Friedman A. (1977). Estimates on the free boundary for quasi-variational inequalities. Comm. Partial Diff. Eq.,2, 297—321.
Bensoussan A. and Friedman A. (1978). On the support of the solution of a system of quasi-variational inequalities. J. Math. Anal. Appl., 65, 660—670.
Bensoussan A., Gours at M. and Lions J. L. (1973). Contrb- le impulsionnel et inequations quasi-variationnelles stationnaires. C. R. Ac. Sci. Paris, 276, 1279—1284.
Bensoussan A. and Lions J. L. (1973a). Nouvelle formulation de problemes de contrOle impulsionnel et applications. C. R. Ac. Sci. Paris, 276, 1189—1192.
Bensoussan A. and Lions J. L. (1973b). Controle impulsionnel et inequations quasi — variationnelles d’evolution. C. R. Ac. Sci. Paris, 276, 1333—1338.
Bensoussan A. and L i о n s J. L. (1973 c). Inequations variationnelles non lineares du premier et du second ordre. C. R. Ac. Sci. Paris, 276, 1411— 1415.
Bensoussan A. and Lions J. L. (1973d). Problemes d’arret optimal et inequations variationnelles paraboliques. Applicable Anal., 3, 267— 294.
Bensoussan A. and L i о n s J. L. (1974a). Contrble impulsionnel et controle continu. Methode des inequations quasi variationnelles non line- aires. C. R. Ac. Sci. Paris, 278, 675—679.
В e n s о u s s a n A. and L i о n s J. L. (1974 b). Controle impulsionnel et systemes d’inequations quasi variationnelles. C. R. Ac. Sci. Paris, 278, 747— 751.
Bensoussan A. and Lions J. L. (1974c). Sur de nouveax problemes aux limites pour des operateurs hyperboliques. C. R. Ac. Sci. Paris, 278, 1345—1349.
Bensoussan A. and Lions J. L. (1974d). Sur [’approximation numerique d’inequations quasi—variationnelles stationnaires. Proc. Intern. Symp. Computing Methods in Applied Sciences and Engineering (Versailles, 1973) (eds. R. Glowinski and J. L. Lions). Part II, p. 325—338, Lecture Notes in Computer Science, 11, Springer, Berlin.
Bensoussan A. and L i о n s J. L. (1974e). Propreetes des inequations quasi—variationnelles dёcroissantes. Analyse Convexe et Ses Applications (ed. J.—P. Aubin), Leet. Notes Econ. Math. Systems, 102, Springer, Berlin.
Bensoussan A. and Lions J. L. (1975a). Nouvelles methodes en controle impulsionnel. Appl. Math. Optim., 1, 289—312.
Bensoussan A. and Lions J. L. (1975b). Sur les d’arret optimaux et les inequations quasi variationnelles d’evolution. C. R. Ac. Sci. Paris, 280, 989—992. ‘
В e n s о u s s a n A. and Lions J. L. (1975c). Sur le contrble impulsionnel et les inequations quasi variationnelles d’evolution. C. R. Ac. Sci. Paris, 280, 1049—1053.
Bensoussan A. and L i о n s J. L. (1975d). Controle impulsionnel et temps d’arret; inequations variationnelles et quasi—variationnelles d’evolution. Cahiers de Math, de la Decision, 7523, Universite de Paris, Paris.
Bensoussan A. andLions J. L. (1975e). Problemes de temps d’arret optimaux et de perturbations singulieres dans les inequations variationnelles. Control Theory, Numerical Methods and Computer Systems Modelling (eds. A. Bensoussan and J. L. Lions), p. 567—584, Proc. Intern. Symp. (Rocquen- court, 1974), Lecture Notes Econ. Math. Systems, 107, Springer, Berlin.
Bensoussan A. and L i о n s J. L. (1977). Inequations quasi varia tionnelles dёpendant d’un parametre. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, (4)4, 231—255.
Bensoussan A. and Lions J. L. (1978a). Problemes de temps d’arret optimal pour les systemes distribues stochastiques. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, (4)5, 181—213.
В e n s о u s s a n A. and Lions J. L. (1978 b). Applications des liquations Variationnelles en Contrble Stochastique, Dunod, Paris.
Bensoussan A., Lions J. L. and Papanicolaou G. (1975a). Sur quelques phenorines asymptotiques stationnaires. C. R. Ac. Sci. Paris, 281, 89—94.
Bensoussan A., Lions J. L. and Papanicolaou G. (1975b). Sur quelques phenomenes asymptotiques d’evolution. C. R. Ac. Sci. Paris, 281, 317—322.
Bensoussan A., Lions J. L. and Papanicolaou G. (1976a). Sur de nouveaux problemes asymptotiques. C. R. Ac. Sci. Paris, 282, 143—147.
Bensoussan A., Lions J. L. and Papanicolaou G. (1976b). Homogeneisation, correcteurs et problemes non-lineaires. C. R. Ac. Sci. Paris, 282, 1277—1282.
Bensoussan A., Lions J. L. and Papanicolaou G. (1977). Sur la convergence d’operateurs differentiels avec potential fortement oscillant. C. R. Ac. Sci. Paris, 284, 587—592.
Bensoussan A., Lions J. L. and P a n an i с о 1 a о u G. (1978). Asymptotic Analysis for Periodic Structures, North—Holland, Amsterdam.
Berestycki H. and В г ё z i s H. (1976). Sur certains problemes de frontiere libre. C. R. Ac. Sci. Paris, 283, 1091—1094.
Berge C. (1957). Theorie generale des jeuxja n personnes. Мётсг. Sci. Math., 138.
Berge C. (1958). ТЬёопе des Graphes et Ses Applications. Dunod, Paris.
Berge C. (1959). Espaces Topologiques. Fonctions Multivoques. Dunod, Paris.
Bergh J. and Lofstrom J. (1976). Interpolation Spaces, an Introduction. Springer, Berlin.
Bharucha-Reid A. (1976). Fixed point theorems in probabilistic analysis. Bull. Amer. Math. Soc., 82, 641— 657.
В i n z E. (1972). Recent results in the functional analytic investigations of convergence spaces. In: General Topology and Its Relations to Modern Analysis and Algebra Ill (ed. J. Novak), p. 67—72, Proc. Third Prague Topological Symp. (Prague, 1971), Academia, Prague / Academic Press, New York.
В i г к h о f f G. D., and К e 1 1 о g O. D. (1922). Invariant points in function space. Trans. Amer. Math. Soc., 23, 96—115.
В i г о 1 i M. (1972). Gil operatori monotoni: teoria ed applicazioni. rend. Sem. Mat. Fis. Milano, 42, 143—228.
В i г о 1 i M. (1976). Sur les inequations quasivariationnelles (1. Q. V.) pa- raboliques avec constraintes sur le bord. C. R. Ac. Sci. Paris, 283, 705—708.
В i г о 1 i M. (1977a). Sur la G-convergence pour les liquations quasivariationnelles. C. R. Ac. Sci. Paris, 284, 947—950.
В i г о 1 i M. (1977b). Sur la G—convergence pour les liquations quasivariationnelles. Boll. U. Mat. Itai., (5)14—A, 540—550.
В i г о 1 i M. (1977c). G—convergence for elliptic equations, variational inequalities and quasi-variational inequalities. Rend. Sem. Mat. Fis. Milano, 47, 269—328.
Biroli M. (1979). G— convergence for elliptic variational and quasi- variational inequalities. In Proc. Intern. Meeting on Recent Methods in Non — Linear Analysis (Rome, 1978) (eds. E. De Giorgi, E. Magenes, and U. Mosco), p. 361—381, Pitagora, Bologna.
Biroli M. (1980). Estimates in homogenization for variational and quasi- variational inequalities. In Free Boundary Problems (ed. E. Magenes), vol. II, p. 45—59, Proc. Sem. (Pavia, 1979), Istituto Nazionale di Alta Matematica, Roma.
В i г о 1 i М., Marchi S. and N о r a n d о T. (1981). Homogenization estimates for quasi-variational inequalities. Boll. U. Mat. Itai., (5)18—A, 267—274.
Boccardo L. (1979). Eslstenza di alcune disequazionl quasi variazio- nali non linearl. In SAFA 2, p. 177—180, Atti 2°. Sem. Analisi Funzionali e Applicazioni (Arcavacata di Rende, 1977), Universita della Calabria, Cosenza.
Boccardo L. and D о 1 c e t t a I. C. (1978). Disequazioni quasivaria- zionali con funzione d’ostacolo quasi—limitata: esistenza di soluzioni e G-con- vergerza. Boll. U. Mat. Itai., (5)15—B, 370—385.
Boccardo L., Dolcetta I. C. and Matzeu M. (1979). Nouve- aux rerultats d'existence, perturbation et homogeneisatlon de qualues prob- leme; non lineaires. In Proc. Intern. Meeting on Recent Methods in Non—Linear Analysis (Rome, 1878) (eds. E. De Giorgi, E. Magenes, and U. Mosco), p. 115—130, Pitagora, Bologna.
Bochner S. and Martin W. T. (1948). Several Complex Variables. Princeton University Press, Princeton.
Bohl P. (1904). Uber die Bewegung eines mechanischen Systems in der Nahe einer Gleichgewichtslage. J. Reine Angew. Math., 127, 179—276.
Bohnenblust H. F. and Karlin S. (1950). On a theorem of Ville. In Contributions to the Theory of Games, I (eds. H. W. Kuhn and A. W. Tucker), p. 155—160, Annals of Math. Studies, 24, Princeton Unversity Press, Princeton.
В о i e r i P. and G a s t a 1 d i F. (1980a). Studio di un problema di fron- tiera libera: diga con base parzialmente impermeabile. Boll. U. Mat. Itai., (5)17—B, 1220—1235.
В о i e r i P. and C a s t a 1 d i F. (1980b). Convexity of the free boundary in a filtration problem. In Free Boundary Problems (ed. E. Magenes), vol. 1, p. 193—196, Proc. Sem. (Pavia, 1979), Istituto Nazionale di Alta Mathematica, Roma.
В о i e r i P. and C a s t a 1 d i F. (1981). Convexity of the free boundary in a filtration problem. J. Diff. Eq., 42, 25—46.
Boothby W. H. (1971). On two classical theorems of algebraic topology. Amer. Math. Monthly, 78, 237—249.
Bourg at J. F. and Douvaut G. (1975). Calcul numerique de I’ecoulement avec ou sans sillage au tour d’un profile bidimensionnel symet- rique et sans incidence. Rapport de Recherche, 145, IRIA — Laboria, Rocquen- court.
В о u r g a t J. F. and Douvaut G. (1977). Numerical analysis of flow with or without wake past a symmetric two-dimensional profile without incidence. Int. J. Num. Math. Engrg., 11,975—993.
Bourg in D. G. (1963). Modern Algebraic Topology. Macmillan, New York.
В о u t e t de M о n v e 1 L. and Geymonat G. (1971). Solutions irre- gulieres d’un probleme aux limites elliptique. Symp. Mat, 7, 381—402.
Breton A. and L e g u а у C. (1975). Application du contrOle stocha- stique a la gestion des centrales thermiques et hydrauliques. In Control Theory, Numerical Methods and Computer System Modelling (eds. A. Bensoussan and J. L. Lions), p. 728 — 744, Proc. Intern. Symp. (Rocquencourt, 1974), Lecture Notes Econ. Math. Systems, 107, Springer, Berlin.
В г ё z i s H. (1968). Equations et inequations non lineaires dans les espaces vectoriels en dualite. Ann. Inst. Fourier, 18(1), 115—175.
В г ё z i s H. (1971). Seuil de rdgularitd pour certains problemes unilateraux. C. Ac. Sci Paris 273 3537
Brdzis H. (1972). Problemes шмШёгаих. J. Math. Pures Appl., (9)51, 1-168.
В г ё z i s (1973). Орёга1еиг$ Maximaux Monotones et Sdmi—groupes de Contractions dans les Espaces de Hilbert, North—Holland, Amsterdam/American Elsevier, New York.
В г ё z i s H. and D и v a и t G. (1973). Ecoulements avec sillages autour d’un profil symdtrique sans incidence. C, R. Sci. Paris, 276, 875—878.
В г ё z i s Н. and Kinderlehrer D. (1974). The smoothness of solutions to nonlinear variational inequalities. Indiana Univ. Math., J., 23, 831— 844.
В г ё z i s H., Kinderlehrer D. andStampacchia G. (1978). Sur une nouvelle formulation du probleme de Гёсои1етеп1 a travers une digue. C. R. Ac. Sci. Paris, 287, 711—714.
В г ё z i s H., Nirenberg L. and Stampacchia G. (1972). A remark on Ky Fan’s minimax principle. Boll. U. Mat. Itai., (4)6, 293—300.
В г ё z i s H. and S i b о n у M. (1971). Equivalence de deux iпёquations variationelleset applicaltions. Arch. Rational Meeh. Anal., 41,254—265.
В г ё z i s H. and Stampacchia G. (1968). Sur la rёgularitё de la solution d’inequations elliptiques. Bull. Soc. Math. France, 96, 153—180.
В г ё z i s H. and Stampacchia G. (1973a). Une nouvelle methode pour l^tude d^coulements stationnaires. C. R. Ac. Sci. Paris, 276, 129—132.
В г ё z i s H. and Stampacchia G. (1973b). Problemes elliptiques avec frontiere libre. Seminaire Goulaouic—Schwartz, Expose 11, Ecole Polytechnique, Paris.
В г ё z i s H. and Stampacchia G. (1976). The hodograph method in fluid dynamics in the light of variational inequalities. Arch. Rational meeh. Anal., 61, 1—18.'
В r e z z i F. (1979). Implementation of finite element methods for the approximation of variational and quasivariational inequalities. Proc. Intern. Mee-
_ting on Recent Methods in Non—Linear Analysis (Rome, 1978) (eds. E. De
rGiorgi, E. Magenes and U. Mosco), p. 533—538, Pitagora, Bologna.
В r e z z i F. and Caffarelli L. A. (1982). Convergence of the free boundary for finite element approximations. To appear.
В r e 2 2 I F. and G i 1 a r d i G. (1982). Chapter 1 of Finite Element Handbook. H. Kardestuncer, ed., McGraw—Hill, New York.
В r e z z i F., H a g e r W. and R a v i a r t P. (1977). Error estimates for the finite element solution of variational inequalities, part I: Primal theory. Numer. Math., 28, 431—443.'
В r e z z i F., Hager W. and R a v i a r t P. (1978). Error estimates for the finite element solution of variational inequalities, part 11: Mixed methods. Numer. Math., 31, 1—16.
В r e z z i F. , and Sacchi G. (1976). A finite element approximation of a variational inequality related to hydraulics. Calcolo, 13, 259—273.
Br 0 n dst ed A. (1972). On the subdifferential of the supremum of convex functions. Math. Scand., 31, 225—230.
Brouwer L. E. J. (1912). Uber Abbildung von Mannigfaltigkeiten. Math. Ann., 71, 97—115.
Browder F. E. (1959a). On a generalization of the Schauder fixed point theorem. Duke Math. J., 26, 291—303.
Browder F. E. (1959b). Functional analysis and partial differential equations, 1. Math. Ann., 138, 55—79.
Browder F. E. (1962). Functional analysis and partial differential equations, 11. Math. Ann., 145, 81—226.
Browder F. E. (1964). Continuity properties of monotone nonlinear operators in Banach spaces. Bull. Amer. Math. Soc., 70, 551—553.
Browder F. E. (1965a). Fixed-point theorems for noncompact mappings in Hilbert space. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 53, 1272—1276.
Browder F. E. (1965b). Nonlinear monotone operators and convex sets in Banach spaces. Bull. Amer. Math. Soc., 71, 780—785.
Browder F. E. (1968). The fixed point theory of multi—valued mappings in topological vector spaces. Math. Ann., 177 , 283—301.
Brown M., and Neumann W. (1977). Proof of the Ротсагё—Bir- khoff fixed point theorem. Michigan Math. J., 24, 21—31.
Bruch J. C., Jr. (1979). A numerical solution of an irrigation flowfield. Int. J. Num. Anal. Math. Geomech., 3, 23—36.
Bruch J. C., Jr. (1980a). A survey of free boundary value problems in theory of fluid flow through porous media: variational inequality approach — Part I. Adv. Water Resources, 3, 65—80..
Bruch J. C., Jr. (1980b). A survey of free boundary value problems in theory of fluid flow through porous media: variational inequality approach — Part II. Adv. Water Resources, 3, 115—124.
Bruch J. C., Jr. and Caffrey J. (1979a). Three—dimensional seepage through a homogeneous dam. Adv. Water Resourses, 2, 167.
Bruch J. C., Jr. and Caffrey J. (1979b). An analysis of seepage through a dam with a toe drain. In: The Mathematics of Finite Elements and Applications III (ed. J. Whiteman), p. 123—133, Academic Press, New York.
Bruch J. C. Jr., Sayle F. C. and S 1 о s s J. M. (1978). Seepage from a trapezoidal and a rectangular channel using variational inequalities. J. Hydrol., 36, 247.
Bruch J. C., Jr. and Sloss J. M. (1978). A variational inequality method applied to free surface seepage from a triangular ditch. Water Resources Res., 14, 119.
Caccioppoli R. (1930). Un teorema generale sull’esistenza di elementi ' uniti in una trasormazione funzionale. Rend Ac. Naz. Lincei, (6)11, 794—799.
Caccioppoli R. (1931). Sugii elementi uniti delle transformazioni funzionali: un’osservazione sui problemi di valori ai limiti. Rend. Ac. naz. Lincei, (6)13, 498—502.
Caccioppoli R. (1932). Sugii elementi uniti delle transformazion funzionali: un teorema di esistenza e di unicita e alcunesue applicazioni. Rend. Sem. Mat. Padova, 3, 1—15.
Caffarelli L. (1976a). The regularity of elliptic and parabolic free boundaries. Bull. Amer. Math. Soc., 82, 616—618.
C a f f a r e 1 1 i L. (1976b). The smoothness of the free surface in a filtration problem. Arch. Rational Meeh. Anal., 63, 77—86.
Caffarelli L. (1977). The regularity of free boundaries in higher dimensions. Acta Math., 139, 155—184.
Caffarelli L. (1978). Some aspects of the one-phase Stefan problem. 'Indiana Univ. Math. J., 27, 73—77.
Caffarelli L. (1979a). Further regularity results for the Signorini problem. Comm. Partial Diff. Eq., 4, 1067—1075.
Caffarelli L. (1979b). Regolarita di frontiere libere in piii dimensioni. Pubbl. Laboratorio di Analisi Numerica C. N. R., 228, Pavia.
Caffarelli L. and Evans L. C. (1982). Continuity of the temperature in the two phase Stefan problem. To appear in Arch. Rational Meeh. Anal.
Caffarelli L. and Friedman A. (1978a). The dam problem with two layers. Arch. Rational Meeh. Anal., 68, 125—154."
Caffarelli L. and Friedman A. (1978b). Asymptotic estimates for the dam problem with several layers. Indiana Univ. Math. J., 27, 551—580.
Caffarelli L. and Friedman A. (1978c). The one-phase Stefan problem and the porous medium diffusion equation: continuity of the solution in n space dimensions. Proc. Nat. Ac. Sci. USA, 75, 2084.
Caffarelli L. and Friedman A. (1978d). Regularity of the solution of a quasi-variational inequality for the impulse control problem I. Comm. Partial Diff. Eq., 3, 745—753.
C a f f a r e 1 1 i L . and Friedman A. (1979). Regularity of the solution of the quasi-variational inequality for the impulse control problem, 11. Comm. Partial Diff. Eq., 4, 279—291.
Caffarelli L. and Friedman A. (1980). Regularity of the free boundary of a gas flow in a n-dimensional porous medium. Indiana Univ. Math. J., 29, 361—391.
Caffarelli L. and G 1 1 a r d i G. (1980). Monotonicity of the free boundary in the two-dimensional dam problem. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, (4)7, 523—537.
Caffarelli L. and Kinderlehrer D. (1980). Potential methods in variational inequalities. J. D’Analyse Math., 37, 285—295.
Caffarelli L., and Riviere N. (1976a). Smoothness and analicity of free boundaries in variational inequalities. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, (4)3, 289—310.—-
Caffarelli L. and Riviere N. (1976b). On the rectifiability of domains with finite perimeter. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, (4)3, 177—186.
Caffarelli L. and Riviere N. (1977a). The smoothness of the ela- v stic-plastic free boundary of a twisted bar. Proc. Amer. Soc., 63, 56—58.
Caffarelli L. and Riviere N. (1977b). Asymptotic behaviour of free boundaries at their singular points. Ann. of Math., 106, 309—317.
Caffarelli L. and Riviere N. (1977 c). Existence and uniqueness for the problem of filtration through a porous medium. Notices AMS, 24, A—576.
Calderon A. P. (1951). On the differentiability of absolutely continuous functions. Riv. Mat. Univ. Parma, 2, 203—213.
Calderon A. P. (1961). Lebesque spaces of differentiable functions and distributions. Proc. Symp. Pure Math., 4, 33—49.
Calderon С. P. and Lewis J. E. (1976). On the differentiability of functions of several real variables. Illinois J. math., 20, 535—542.
Campanato S. (1964). Proprleta di una famiglia di spazi funzionali Ann Scuola Norm. Sup. Pisa, (3)18, 137—160.
Carbone L. and Valli A. (1976). Filtrazione di un fluido in un mezzo non omogeneo tridimensionale. Rend. Ac.. Naz. Lincei., (8) 61, 161—164.
Carbone L. and Valli A. (1977). Free boundary enclosure in a three— dimensional filtration problem. Appl. Math. Optim., 4, 1—14.
Carbone L. and Valli A. (1978a). Asymptotic behaviour of the free- boundary in a filtration problem. Boll. U. Mat. Itai., (5)15—B, 217—224.^
Carbone L. and Valli A. (1978b). Filtration through^a porous non- homogeneous medium with variable cross section. J. D’Analyse Math., 33, 191—221."
Carrillo J. and C h i p о t M. (1981). Sur I’unicite de la solution du probleme de 1’ecoulement a travers une digue. C. R. Acad. Sci. Paris, 292, 191 194.
Carrillo J. and C h i p о t M. (1982). The dam problem. To appear in J. Diff. Eq."
C a s t a i g n Ch. (1967). Sur les multi-applications measurebles. Rev. Fran- caise Inf. Rech. Oper., 1(1), 91—126.
Cedergren H. R. (1967). Seepage, Drainage and Flow Nets. Wiley, New York.
C e 1 1 i n a A. (1970). Multivalued differential equations and ordinary differential equations. SIAM J. Appl. Math., 18, 533—538.
C e 1 1 i n a A. and L a s о t a A. (1969). A new approach to the definition of topological degree for multi-valued mappings. Rend. Ac. Naz. Lincei, (8)47, 434—440.
C h a r r i e r P. and T г о i a n i e 1 1 о G. (1978). On strong solutions to parabolic unilateral problems with obstacle dependent on time. J. Math. Anal. Appl., 65, 110—125.
C h a r r i e r P. and Vivaldi M. A. (1976). Existence d’une solution forte reguliere d’une inequation quasi variationnelle devolution. C. R. Ac. Sci. Paris, 283, 465—467.
C h a r r i e r P. and Vivaldi M. A. (1977). Existence d’une solution reguliere d’une inequation quasi variationnelle d’evolution avec conditions de Dirichlet. Boll. U. Mat. Itai., (5)14—A, 579—589.
C h i с с о M. (1967). Principio di massimo forte per sottcs duzioni di equazioni ellittiche di tipo variazionale. Boll. U. Mat. Itai., (3)22, 368—373.
C h i с с о M. (1970). Principio di massimo per soluzioni di problemi al con- torno misti per equazioni ellittiche di tipo variazionale. Boll. U. Mat. Itai., (4)3, 384—394.
C h i с с о M. (1975). Principio di massimo forte per soluzioni di problemi al contorno misti per equazioni ellittiche di tipo variazionale. Boll. U. Mat. Ita., (4)11 (suppl. fasc. 3), 100—109.
C h i p о t M. (1978). Sur la regularite lipschitzienne de la solution d’inequations elliptiques. J. Math. Pures Appl., (9)57, 69—75.
C h i p о t M. (1981). Sur quelques ineqi ations variationnelles — Probleme I de I’ecoulement a travers une digue. These, Universite de Paris 6, Paris.
Choquet G. (1948). Convergences. Ann. Univ. Grenoble, 23, 57—112.
Choquet-Bruhat Y. (1973). Distributions. Theorie et Problemes, Masson, Paris.
Cibrario-Cinquini M. (1956). Modeme ricerche sulle equazionl a derivate parziali del primo ordine. Rend. Sem. Mat. Torino, 15, 5—26.
C i m a t t 1 G. (1977). On a problem of the theory of lubrication governed a variational inequality. Appl. Math. Optim., 3, 227—242.
C i m m i n о G. (1937). Nuovo tipo di condizioni al contorno e nuovo metodo di trattazione il problema generalizzato di Dirichlet. Rend. Circ. Mat. Palmer- mo, 61, 177—221.
C i m m i n о G. (1952). Sulle equazioni linear! alle derivate parziali di tipo ellittico. Rend. Sem. Mat. Fis. Milano, 23, 183—203.
С о m i n c i о 1 i V. (1972). Algoritmi numerici per problemi di frontiera libera nella teoria del fluidi attraverso mezzi porosi. In Atti Conv. AICA Tecniche di Simulazione e Algoritmi (Milano, 1972), p. 77—86, Informatica (special issue).■
С о m i n c i о 1 i V. (1974a). A theoretical and numerical approach to some free boundary problems. Ann. Mat. Рига Арр., (4)100, 211—238.■
С о m i n c i о 1 i V. (1974b). A comparison of algorithms for some free boundary problems. Pubbl. Laboratorio di Analisi Numerica C.N.R. 79, Pavia.
Co m i n c i о 1 i V. (1975). On some oblique derivative problems arising in the fluid flow in porous media. A theoretical and numerical approach. Appl. Math. Optim., 1, 313—336.
С о m i n c i о 1 i V. (1976). Sur Fapproximation numerique des problemes a frontiere libre lies a la filtration dans les materiaux poreux. In Second Intern. Symp. Computing Methods in Applied Sciences (Versailles, 1975) (eds. R. Glowinski and J. L. Lions), p. 193—206, Lecture Notes in Physics, 58, Springer, Berlin.
С о m i n c i о 1 i V. (1978). Un approccio teorico e numerico ai problemi di filtrazione a frontiera libera mediante le disequazioni variazionali. In Atti Conv. Metodologie Numeriche per la Soluzione di Equazioni Differenziali della Idrogolia e della Idraulica (Bressanone, 1978).
С о m i n c i о 1 i V. (1979). The numerical solution of a free boundary transient seepage flow problem using variational inequalities. Proc. Intern. Meeting on Recent Methods in Non-Linear Analysis (Rome, 1978) (eds. E. De Giorgi, E. Magenes, and U. Mosco), p. 539—548, Pitagora, Bologna.
С о m i n c i о 1 i V. (1980). Free boundary problems in fluid flow through porous media and variational inequalities: a numerical approach. Free Boundary Problems, (ed. E. Magenes), vol. I, p. 197—208. Proc. Sem. (Pavia, 1979), Istituto Nazionale di Alta Matematica, Roma.
С о m i n c i о 1 i V. and G и e r r i L. (1976). Numerical solution of free boundary problems in seepage flow with capillary fringe. Comput. Methods Appl. Meeh. Engrg., 7, 153—178.
С о m i n c i о 1 i V., Guerri L. and V о 1 p i G. (1971). Analisi nu- . merica di un problema di frontiera libera connesso col moto di un fluido attraverso un mezzo poroso. Pubb. Laboratorio di Analisi Numerica C. N. R., 17 Pavia.-
С о m i n c i о 1 i V., T о r e 1 1 i A. (1979). A new numerical approach to a non-steady filtration problem. Calcolo, 16, 93—124.
Cortey-Dumont Ph. (1978). Contribution a Papproximation numerique d’une inequation quasi-variationnelle. These, Universite de Be- sancon.
Cortey-Dumont Ph. (1979). Contribution a Petude de 1’approxi- mation par la methode des elements finis d’inequations quasivariationnelles elliptiques. C. R. Ac. Sci. Paris, 288, 141—143.
Cortey-Dumont Ph. (1980). On the approximation of a class of quasi- variational inequalities related to the impulse control. In Free Boundary Problems (ed. E. Magenes), vol. II, p. 161—171, Proc. Sem. (Pavia, 1979), Istituto Nazionale di Alta Matematica, Roma.
Cot 1 ar M. and C i g n о 1 i R. (1974). An Introduction to Functional Analysis. North—Holland, Amsterdam / American Elsevier, New York.
Courant R. (1943). Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations. Bull. Amer. Math. Soc., 49, 1—23..
Courant R. (1967). Introduf3o a Teoria das Funcoes. Sociedade Parana- ense de Matematica, Curitiba.■
Covitz H. and Na'dler S. B. (1970). Multi-valued contraction mappings in generalized metric space. Israel J. Math., 8, 5—11.
Crank J. and О z i s T. (1980). Numerical solution of a free—boundary problem by interchanging dependent and independent variables. J. Inst. Math. Appl., 26, 77—85.
C r i s t e s c tf R. and Marinescu G. (1973). Applications of the Theory of Distributions. Academiei, Bucuresti / Wiley, London.
Cronin J. (1964). Fixed Points and Topological Degree in Nonlinear Analysis. Math. Surveys, 11, American Mathematical Society, Providence.
Cryer C. W. (1976a). A survey of steady stale porous flow free boundary problems. MRC Technical Summary Report, 1657, University of Wisconsin, Madison.
Cryer C. W. (1976b). A survey of trial free-boundary methods for the numerical solution of free boundary problems. MRC Technical Summary Report, 1693, University of Wisconsin, Madison.
Cryer C. W. (1977). A bibliography of free boundary problems. MRC Technical Summary Report, 1793, University of Wisconsin, Madison.
С г у e r C. W. (1980). A proof of the convexity of the free boundary for ■ porous flow through a rectangular dam using the maximum principle. J. Inst. Math. Appl., 25, 111—120.
D a n 1 1 j u к I. I. (1971). Sur une classe de fonctionnelles integrates a do- maine variable d’intdgration. In Actes du Congres International des Mathema- ticiens (Nice, 1979) (eds. M. Berger, J. Dieudonne, J. Leray, J. L. Lions, P. Malliavan, and J. P. Serre), vol. 2, p. 703 — 715, Gauthier — Villars, Paris.
D a r b о G. (1950). Grado topologico e teoremi di esistenza di punti uniti per transformazioni plurivalenti di bicelle. Rend. Sem. Mat. Padova, 19, 371— 395.
D a r b о G. (1955). Punti uniti in transformazioni a codominio non compa- tto. Rend. Sem. Mat. Padova, 24 , 84—92.
D a r b о G. (1958). Teoria dell’omologia in una categoria di mappe plurivalenti ponderate. Rend. Sem. Mat. Padova, 28, 188—220.
Darbo G. (1961). Estensione alle mappe ponderate del teorema di Lef- schetz sui punti fissi. Rend. Sem. Mat. Padova, 13, 46—57.
De Blasi F. (1976). On the differentiability of multifunctions. Pacific J. Math., 66, 67—81.
De Giorgi E. (1977). Г — convergenza e G — convergenza. Boll. Mat. Itai., (5)14—A, 213—220.
De Giorgi E. and F r a n z о n i T. (1975). Su un tipo di convergenza variazionale. Rend. Ac. Naz. Lincei, (8)58, 842—850.
De Giorgi E. and F r a n z о n i T. (1979). Su un tipo di convergenza variazionale. Rend. Sem. Mat. Brescia, 3, 63—101.
Deny J. (1979). Methodes hilbertiennes en theorie du potentiel. In Potential Theory, p. 121—201, Proc. С. I. M. E. (Stresa, 1969), Cremonese, Roma.
Deny J. and Lions J. L. (1954). Les espaces du typo de Beppo Levi. Ann. Inst. Fourier, 5, 305—370.
De R h a m G. (1960). Varietes Differentiables. Act. Sci. Ind., 1222, Hermann, Paris.
De V i t о L. (1958). Sulle funzioni ad integrale di Dirichlet finite. Ann. Scuoia Norm. Sup. Pisa, (3)12, 55—107.
Dias J. P. (1973). Sur la rёgularitё de la solution faible d’une inёquation variationnelle non lineaire de type elliptique. Boll. U. mat. Itai., (4)8, 8—15.
Di Benedetto E. (1980). Regularity properties of the solution of a «-dimensional two—phase Stefan problem. Analisi Funz. e Appl. (Suppl. Boll. U. M. I.), 1, 129-152.
В1еи8оппё J. (1968a). Calcul Infinitesimal. Hermann, Paris.
D i e d о n n ё J. (1968c). Elements d’Analyse. Tome II, Gauthier—Villars, Paris (English ed. (1970): Academic Press, New York).
Dieudonne J. and Schwartz L. (1950). La dualitё dans les espaces (S3 et (3?S^. Ann. Inst. Fourier, 1, 61—101.
Dolcetta I. C. and Mos co U. (1980). Implicit complementarity problem and quasi-variational inequalities. In: Variational Inequalities and Complementarity Problems (eds. R. W. Cottle, F. Giannessi and J. L. Lions), p. 75—87, Wiley, Chichester.
Dolcetta I. C. and Vivaldi M. A. (1977). Existence d'une solution reguliere d’une inequation quasi variationnelle elliptique sur un domaine non borne. C. R. Ac. Sci. Paris, 284, 1033—1036.
Dolcetta I. C. and Vivaldi M. A. (1978). Existence of a regular solution of a quasi—variational inequality in a unbounded.domain. Comm. Partial Diff. Eq., 3, 443—470.
D u g u n d j i J. and Granas A. (1978). KKM maps and variational inequalities. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, (4)5, 679—682.
D u v a u t G. (1973). Resolution d’un ргоЬ1ёте de Stefan (Fusion d’un bloc de glace a zero degre. C. R. Ac. Sci. Paris, 276, 1461—1463.
D u v a.u t G. (1974). Etude de problemes unilateraux en mecanique par des ' methodes variationnelles. In: New Variational Techniques in Mathematical Physics (eds. G. Cpriz and G. Stampacchia), p. 41—102, Proc. С. I. M. E. (Bressanone, 1973), Cremonese, Roma.
D u v a u t G. (1976). Problemes a frontiere libre en МёоНе des milieux con- tinus. Rapport de Recherche, 185, IR1A — Laboria, Rocquencourt.
Edwards R. E. and Gau dr у G. I. (1977). Littlewood—Paley and Multiplier Theory. Springer, Berlin.
Eggleston H. G. (1963). Convexity. Cambridge University Press, Cambridge.
E i 1 e n b e r g S. and Montgomery D. (1946). Fixed point theorems for multivalued transformations. Amer. J. Math., 68, 214—222.
Elliott С. M. (1980). On a variational inequality formulation of an electrochemical machining moving boundary problem and its approximation by the finite element method. J. Inst. Math. Appl., 25, 121—131.
Elliott C. and Ockendon J. (1982). Weak and Variational Methods for Moving Boundary Problems. Pitman, Boston.
Ene H. I. and Sanchez — Palencia E. (1975). Equation et phenomenes de surface pour I’ecoulement dans un modele de milieu poneux. J. Mechanique, 14, 73—108.
Falk F. (1974). Error estimates for the approximation of a class of variational inequalities. Math. Comp., 28, 963—971.
Fan K. (1952). A generalization of Tucker’s combinatorial lemma with topological applications. Ann. of Math., (2)56, 431—437.
Fan K. (1961). A generalization of Tychonoff's fixed point theorem. Math. Ann., 142, 305—310.
Fasano A. and Promicerio M., Editors (1982). Proc. Symp. k_. Free Boundary Problems: Theory and Applications (Montecatini Terme, 1981), to appear (Gordon and Breach, New York).
Ferreira J. C. (1967). Alguns Problemas de Prolungamento das Distri- buifdes com Aplicacoes a Integracao, Lisboa.
Ferreira J. C. and Oliveira J. S. (1964). Problemes aux conditions initiales dans la theorie des distributions. Rev. Fac. Ciencias Lisboa, (2—A) 10, 91—130.
F i c h e r a G. (1950). Sull’esistenza e sul calcolo delle soluzioni dei prob- lemi al contorno relativi all’equilibrio di un corpo elastico. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, (3)4, 35—99.
F i c h e г a G. (1956). Sulle equazioni differenziali lineari ellittico—parabo- liche del secondo ordine. Atti Ac. Naz. Lincei Mem. Sez. (8)5, 1—30.
F i c h e r a G. (1965). Linear Elliptic Differential and Eigenvalue Problems. Lecture Notes in Mathematics, 8, Springer, Berlin.
F i c h e r a G. (1966). Problemi elastostatici con vincoli unilateral!: il prob-
lema di Signorini con ambigue condizioni al contorno. Atti Ac. Naz. Lincei Mem. Sez. I, (8)7, 71—140.
Fleming W. H. (1965). Functions of Several Variables. Addisonwesley, Reading.
Franklin J. (1980). Methods of Mathematical Economics, Springer, New York.
F r e h s e J. (1972). On the regularity of the solution of a second order variational inequality. Boll. U. Mat. Itai. (4)6, 312—315.
F r e h s e J. (1977). On Signorini’s problem and variational problems with thin obstacles. Ann. Scuola Nor. Sup. Pisa, (4)4, 343—362.
F r e h s e J. (1982). On the smoothness of variational inequalities with obstacles. To appear.
F r e h s e J. and Mos co U. (1979a). Sur la r6gularit6 de certaines inequations variationnelles et quasi-variationnelles. C. R. Ac. Sci. Paris, 289, 627—630.
F r e h s e J. and Mosco U. (1979b). Variational inequalities with onesided irregular obstacles. Manuscripta Math., 28, 219—233.
Frehse J. and M о s с о U. (1982). Irregular obstacles and quasivaria- tional inequalities of stochastic impulse control. To appear in Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa..
Frimond M. (1975). Variational formulation of the Stefan problem- coupled Stefan problem—frost propagation in porous media. In: Computational Mechanics (ed. J. T. Oden), p. 341—350. Proc. Intern. Conf. Computer Methods in Nonlinear Mechanics (Austin, 1974), Lecture Notes in Mathematics, 461, Springer, Berlin.
Friedman A. (1968). Boundary behavior of solutions of variational inequalities for elliptic operators. Arch. Rational mech. Anal., 27, 95—107.
Friedman A. (1975). Stochastic Differential Equations and Applications. Volume 1. Academic Press, New York.
Friedman A. (1976a). Stochastic Differential Equations and Applications. Volume 2. Academic Press, New York.
Friedman A. (1976b). The shape and smoothness of the free boundary for some elliptic variational inequalities. Indiana Univ. Math. J., 25, 103— 118.
Friedman A. (1976c). A class of parabolic quasi-variational inequalities, II, J. Diff. Eq., 22, 379—401.
Friedman A. (1976d). A problem in hydraulics with non—monotone free boundary. Indiana Univ. Math. J., 25, 577—592.
Friedman A. (1978). On the free boundary of a quasi-variational inequality arising in a problem of quality control. Trans. Amer. Math. Soc., 246, 95— 110.
Friedman A. (1979). Time dependent free boundary problems. SIAM Rev, 21, 213—221.
Friedman A. (1980a). The dam problem with variable permeability. In Variational Inequalities and Complementarity Problems (eds. R. W. Cottle, F. Giannessi and J. L. Lions), p. 135—141, Wiley, Chichester.
Friedman A. (1980b). Stochastic control with partial observations. In Variational Inequalities and Complementarity Problems (eds. R. W. Cottle, F. Giannessi and J. L. Lions), p. 143—149, Willey, Chichester.
Friedman A. and J e n s e n R. (1975). A parabolic quasi-variational inequality arising in hydraulics. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, (4)2, 421—468.
Friedman A. and Jensen R. (1976). Elliptic quasi-variational inequalities and applications to a non-stationary problem in hydraulics. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, (4)3, 47—88.
Friedman A. and Jensen R. (1978). Convexity of the free boundary in the Stefan problem and in the dam problem. Arch. Rational Mech. Anal., 67, 1—24.
Friedman A. and Kinderlehrer D. (1975). A one phase Stefan problem. Indiana Univ. Math. J., 24, 1005—1035.
Friedman |A. and Kinderlehrer D. (1976). A class of parabolic quasi-variational inequalities. J. Diff. Eq., 21, 395—416.
Friedman A. and T о r e 1 1 i A. (1977). A free boundary problem connected with non—steady filtration in porous media. Nonlinear Anal., 1, 503— 545 (and correction on the same journal (1978): 2, 513—518).
Friedrichs К. O. (1944). The identity of weak and strong extensions of differential operators. Trans. Amer. Math. Soc., 55, 132—151.
Fudik S. and Kufner A. (1980). Nonlinear Differential Equations. Elsevier, Amsterdam.
F u r i M. and Martelli M. (1972). Some fixed—points theorems for multi-valued mappings in topological vector space. Ann. Mat. Рига Appl., (4)92, 169—175.
F и r i M. and Martelli M. (1974). On the minimal displacement of points under a-Lipschitz maps in normed spaces. Boll. U. Mat. Itai., (4)9, 791799
F и r i M., Martelli M. and V i g n о 1 i A. (1978). Contribution to the spectral theory for nonlinear operators in Banach spaces. Ann. Mat. Рига Appl., (4)118, 229—294.
Gag liar do E. (1957). Caratterizzazione delle tracce sulla frontiera relative ad alcune classi di funzioni in n variabili. Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 27, 284—305.
G a g 1 i a r d о E. (1958). Proprieta di alcune classi di funzioni in piii variabili. Ricerche Mat., 7, 102—137.—
Gag liar do E. (1959). Ulteriori proprieta di alcune classi di funzioni in piti variabili. Ricerche mat., 8, 24—51.
G a g 1 i a r d о E. (1961). Una struttura unitaria in diverse famiglie di spazi funzionali, parte 1. Ricerche Mat., 10, 244—281.
G a g 1 i a r d о E. (1963). A common structure in various families of functional spaces, part II. Ricerche Mat., 12, 87—106.
G a r n i r H. G., De Wilde M. and S c h m e t s J. (1968). Analyse Fonctionnelle, tome 1. Birkhauser, Basel.
G a r n i r H. G., De Wilde M. and S c h m e t s J. (1972). Analyse Fonctionnelle, tome II. Birkhauser, Basel.
Garroni M. (1982). A nonlinear quasi-variational inequality with implicit obstacle on the boundary. To appear.
G a г г о n i M., Hanouzet B. and J о 1 у J. L. (1982). Regularity pour la solution d’un systeme d’l. Q. V. To appear.
Garroni M., T г о i a n i e 1 1 о G. (1979). Some regularity results and a priori estimates for solutions of variational and quasi-variational inequali- (ties. In Proc. Intern. Meeting on Recent Methods in Non—Linear Analysis (Rome, 1978) (eds. E. De Giorgi, E. Magenes, and U. Mosco), p. 493—518, Pitagora, Bologna.
Garroni M., and Vivaldi M. A. (1979). Esistenza, regolarita e stime duali per la soluzione di una disequazione quasi-variazionale relativa ad un operatore quasi-lineare. Boll. U. Mat. Itai., (5)16—B, 154—167.
G a s t a 1 b i F. (1979). About the possibility of setting Stefan-like problems in variational form. Boll. U. Mat. Itai., (5)16—A, 148—156._
Gerhardt C. (1973). Regularity of solutions of nonlinear variational inequalities. Arch. Rational Meeh. Anal., 52, 389—393..
G i 1 a r d i G. (1976). Studio di una famiglia di disequazioni quasivariazio- nal connessa con un problema di frontiera libera. Boll. U. Mat. Itai., (5)13—B, 138—159.
G i 1 a r d i G. (1977). Studio di una disequazione quasi-variazionale relativa ad un problema di filtrazione in tre dimensioni. Ann. Mat. Рига Appl., (4)113, 1—17.
G i 1 a r d i G. (1979). A new approach to evolution free boundary problems. Comm. Partial Diff. Eq., 4, 1099—1122 (and correction on the same journal (1980): 5, 983—984).
G i 1 a r d i G. (1980a). The evolution dam problem. In Free Boundary Problems (ed. E. Magenes), vol. 1, p. 209—217, Proc. Sem. Pavia, 1979), Istituto Nazionale di Alta Matematica, Roma.
Gilardi G. (1980b). The behaviour of the free boundary near the fixed boundary in the dam problem. In Recent Methods in Nonlinear Analysis and
Applications (ed. A. Canfora et al.), p. 347—352. Proc. SAFA IV—Int. Meeting (Catania 1980), Liguori, Napoli.
G i 1 a r d i G. (1982). Proprieta della frontiera libera in un problema dl filtrazione. To appear on Rend. Sem. Mat. Fis. Milano.
Giusti E. (1973). Minimal surfaces with obstacles. In Geometric Measure Theory and Minimal Surfaces (ed. E. Bombieri), p. 119—153, Proc. С. I. M. E. (Varenna, 1972), Cremonese, Roma. ..
G 1 a s h о f f K. and R о 1 e f f K. (1977a). Uber eine elliptiscne freie Rand- wertaufgabe. In: Freie Randwertprobleme I (Numerische Verfahren), p. 45— 61, Freie Univ. Berlin, Berlin.
G 1 a s h о f f K. and R о 1 e f f K. (1977b). Uber eine elliptische freie Randwertaufgabe, ein numerisches Beispiel. In: Freie Randwertprobleme II (Numerische Tests), p. 40—47, Freie Univ. Berlin, Berlin.
Glicksberg I. L. (1952). A further generalization of the Kakutani fixed point theorem, with application to Nash equilibrium points. Proc. Amer. Math. Soc„ 3, 170—174..
Glow in ski R. (1978). Finite elements and variational inequalities. Technical report, INF—LAB 78010, IRIA—Laboria, Rocqencourt.
G 1 о w i n s к i R. (1980). Lectures on Numerical Methods for Non—linear Variational Problems. Tata Institute of Fundamental Research, Bombay and Springer, Berlin.
G о u r s a t M. and M a a г e к G. (1976). Nouv.l'e approche probUmes de gestion de stocks. Comparaison avec les methodes classiques. Rapport de Recherche, 148, IRIA —Laboria, Rocquencourt.
Gours at M. and M a u r i n S. (1975). Methodes de resolution numerique des inequations quasi—variationnelles. In: Control Theory, Numerical Methods and Computer Systems Modelling (eds. A. Bensoussan and J. L. Lions), p. 585— 609, Proc. Intern. Symp. (Rocquen'court, 1974), Lecture Notes Econ. Math. Systems, 107, Springer, Berlin.
Gours at M. and Q u a d r a t J. P. (1976). Analyse numerique d’iny- quations quasi-variationnelles elliptiques associees a des problemes de controle impulsionnel. Rapport de Recherche, 186, IRIA—Laboria, Rocquencourt.
G r i s v a r d P. (1975). Alternative de Fredholm relative au probleme de Dirichlet dans un polyedre. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, (4)2, 359—388.
Grothendieck A. (1955). Produits tensoriels topologiques et espaces nucleates. Mem. Amer. Math. Soc., 16.
Grothendieck A. (1958). Espaces Vectoriels Topologiques. Sociedade Matematica de Sao Paulo, Sau Paulo.
Griinbaum B. (1967). Convex Polytopes. Interscience, London.
Hadamard J. (1968a). Sur les problemes aux derivees partielles et leur signification physique. Euvres, tome III, p. 1099—1105, C. N. R. S., Paris.
Hadamard J. (1968b). Sur les donnees aux limites dans les yquations aux derivees partielles de la physique mathymatique. Euvres, tome III, p. 1161—1163, C. N. R. S., Paris.
Hadamard J. (1968c). Quelques cas d’impossibility du probleme de Cauchy. Euvres, tome III, p. 1457—1470, C. N. R. S. Paris.
Hamilton О. H. (1947). A fixed point theorem for upper semicontinuous transformations of n-cells for which the images of points are non-acyclic con- tinua. DukeMath. J., 14, 689—693.
Hanouzet B. and Joly J. L. (1975a). Methodes d’ordre dans 1’inter- pretation de certains inequations variationnelles et applications. C. R. Ac. Sci. Paris, 281, 373—376.
H a n о u z e t B. and Joly J. L. (1975b). Un resultat de regularity pour une inequation quasivariationnelle du tupe de Neumann intervenant dans un probleme decontrole impulsionnel. C. R. Ac. Sci. Paris, 281, 799—800.
Hanouzet B. and Joly J. L. (1977). Un resultat de regularity pour ine inequation quasi variationnelle du type de Neumann intervenant dans un problfeme de contrdle impulsionnel. J. Math. Pures AppL, (9)56, 327—337.
H a n о u z e t B. and J о 1 у J. L. (1978). Convergence uniforme des ityres definisant la solution d’une inequation quasivariationnelle absraite. C. R. Ac. Sci. Paris 286, 735—738.
Hanouzet В. and Joly J. L. (1979a). Methodes d’ordre dans Pinter- prytation de certains inequations variationneles et applications. J. Functional Analysis, 34, 217—249.
Hanouzet B. and Joly J. L. (1979b). Convergence geometrique des iterees definisant la solution d’une I. Q. V. abstraite. In: Proc. Intern. Meeting on Recent Methods in Non—Linear Analysis (Rome, 1978) (eds. E. De Giorgi, E. Magenes, and U. Mosco), p. 425—431, Pitagora, Bologna.
Hanouzet B. and Joly J. L. (1979c). Regularity W2-p pour une I. Q. V. avec conditions de Neumann. In Proc. Intern. Meeting on Recent Methods in Non—Linear Analysis (Rome, 1978) (eds. E. De Giorgi, E. Mage- nes and U. Mosco), p. 433—439, Pitagora, Bologna.
H a r a u x A. (1977). How to differentiate the projection on a convex set in Hilbert space. Some applications to variational inequalities. J. Math. Soc. Japan, 29, 615—631.
Harr M. E. (1962). Groundwater and Seepage. McGraw—Hill, New York.
Hartman P. and Stampacchia G. (1966). On some non-linear elliptic differential—functional equations. Acta Math., 115, 271—310.
Haugazeau Y. (1967). Sur les inequations variationnelles. C. R. Ac. Sci. Paris, 265, 95—98.
Haugazeau Y. (1968). Sur les inyquations variationnelles et la minimisation de fonctionnelles convexes. These, university de Paris, Paris.
Hewitt E. and Stromberg K. (1965). Real and Abstract Analysis. Springer, Berlin.
Hille E. (1972). Methods in Classical and Functional Analysis. Addison — Wesley, Reading.
Hogbe—Nlend H. (1977). Bornologies and Functional Analysis. North—Holland, Amsterdam.
Hopf E. (1952). A remark on linear elliptic differential equations of second order. Proc. Amer. Math. Soc., 3, 791—793.
Hormander L. (1960). Estimates for translation invariant operators _J In £P spaces. Acta Math., 104, 93—140.
467? H о r v У t h J. (1966). Topological Vector spaces and Distributions. 'Volume I, Addison—Wesly, Reading.
Hu S. T. (1965). Theory of Retracts. Wayne State University Press, Detroit.
Husain T. (1965). The Open Mapping and Closed Graph Theorems in Topological Vector Spaces. Vieweg, Braunschweig.
Istratescu V. I. (1973). Introducere in Teoria Punctelor Fixe. Aca- demiei, Bucuresti.
Jameson G. (1970). Ordered Linear Spaces. Lecture Notes in Mathematics, 141, Springer, Berlin.
J a w e r t h B. (1978). The trace of Sobolev and Besov spaces if 0 < p < 1. Studia Math., 62, 65—71.
Jensen R. (1977). Structure of the non-monotone free-boundaries in a filtration problem. Indiana Univ. Math. J., 26, 1121—1135.
Jensen R. (1980a). Boundary regularity for variational inequalities. Indiana Univ. Math. J., 29, 495—504.
Jensen R. (1980b). Fluid flow through a porous media. In: Free Boundary ’ Problems (ed. E. Magenes), vol. I, p. 133—149, Proc. Sem. (Pavia, 1979), Is- tituto Nazionale di Alta Matematica, Roma.
Jensen R. (1982). Finite difference approximation to the free boundary of a parabolic inequality. To appear.
John F. (1955). A note on «improper» problems in partial differential equations. Comm. Pure Appl. Math., 8, 591—594.
Joly J. L. (1973). Une famille det opologles sur Г ensemble des fonctions convexes pour lesquelles la polarity est bicontinue. J. math. Pures Appl., (9)52, 421—441.
Joly J. L. (1974). 1. Q. V. stationnaire pour une operateur differential du 2e ordre. In Atti Giorn. Analisi Convessa e Applicazioni (Roma, 1974), p. 41—50, Quad. Gruppi Ric. Mat. C. N. R., University di Roma, Roma.
4 80. J о 1 у J. L. and M о s с о U. (1974). Sur les inequations quasi-variation- nelles. C. R. Ac. Sei. Paris, 279, 499—o02.
Joly J. L., andMosco U. (1975). Remarques sur les inequations quasi- variationnelles. In Control Theory, Numerical Methods and Computer Systems Modelling (eds. A. Bensoussan and J. L. Lions), p. 625—642, Proc. Intern. Symp. (Rocquencourt, 1974), Lecture Notes Econ. Math. Systems, 107, Springer, Berlin.
Joly J . L. and M о s с о U. (1979). A propos de 1’existence et de la regu" larite de solutions de certaines inequations quasivariationnelles. J. Functional Anal., 34, 107—137.
Joly J. L., M о s с о U. and Troianiello G. (1974). Un resultat de regula- rite pour une inequation quasi — variationnelle intervenant dans un problfe- me de contrdle impulsionnel. C. R. Ac. Sci. Paris, 279, 937—940.
Joly J. L., M о s с о U. and Troianiello G. (1977). On the regular solution of a quasi—variational inequality connected to a problem of stohastic impulse control. J. Math. Annal. Appl., 61, 357—369.
Kakutani S. (1941). A generalization of Brouwer’s fixed point theorem. Duke Math. J ., 8, 457—459.
К a n n a i Y. (1981). An elementary proof of the no-retraction theorem. Amer. Math. Monthly, 88 , 264—268.
Kato T. (1964). Demicontinuity, hemicontinuity and monotonicity. Bull. Amer. Math. Soc., 70, 548—550.
Kato T. (1967). Demicontinuity, hemicontinuity and monotonicity, II. Bull. Amer. Soc., 73 , 886—889.
Kawarada H. (1979). Numerical methods for free surface problems by means of penalty. Computing methods in Applied Sciences and Engineering, I (eds. R. Glowinski and J. L. Lions), p. 282 — 291, Proc. Intern. Symp. IR1A—Laboria (1977), Lecture Notes in Mathematics, 704, Springer, Berlin. -
Kelley J. L. (1942). Hyperspaces of a continuum. Trans. Amer. Math. Soc., 52, 22—36.
Kelley J. L. (1950). The Tychonoff product theorem implies the axiom of choice. Fund. Math., 37, 75—76.
Kelley J. L., Namioka 1. and Co — authors (1963). Linear Topological Spaces. D. Van Nostrand, Princeton.
К e 1 1 о g O. D. (1929). Foundations of Potential Theory. Springer, Berlin.
К el log R. B. (1976). Uniqueness in the Schauder fixed point theorem. Proc. Amer. Math. Soc., 60, 207—210.
Kikuchi N. (1977a). An analysis of the variational inequalities of seepage flow by finite—element methods. Quart. Appl. Math., 35, 149— 163.
Kikuchi N. (1977b). Seepage flow problems by variational inequalities: theory and approximation. Intern. J. Num. Anal. Meth. Geomechanics, 1, 283.
Kikuchi N. and Oden J. T. (1979). Theory of variational inequalities with applications to problems of flow through porous media. TICOM Report, 79—4, University of Texas, Austin.
Kinderlehrer D. (1971). The coincidenee set of solutions of certain variational inequalities. Arch. Rational Meeh. Anal., 40, 231—250.
Kinderlehrer D. (1973). How a minimal surface leaves an obstacle. Acta Math., 130, 221—242.
Kinderlehrer D. (1974). Remarks about the free boundaries occurring in variational inequalities. New Variational Techniques in Mathematical Physics (eds. G. Capriz and G. Stampacchia), p. 104—119, Proc. С. I. M. E. (Bre- ssanone, 1973), Cremonese, Roma.
Kinderlehrer D. (1975). Elliptic variational inequalities. Proc. International Congresses of Mathematicians (Vancouver, 1974) (ed. R. D. James), vol. 2, p. 269—273, Canadian Mathematical Congress, Vancouver.
Kinderlehrer D^ (1978). Variational inequalities and free boundary problems. Bull. Amer. Math. Soc., 84, 7—26.
К in der 1 ehr er D. r(l 981). The smoothness of the solution of the boundary obstacle problem. J. Math. Pures Appl., (9)60, 193—212.
Kinderlehrer D. and Nirenberg L. (1977). Regularity in free boundary problems. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, (4)4, 373—391.
Kinderlehrer D., Nirenberg L. and S p ru с к J. (1978a). Regularity dans les problemes elliptiques a frontiere libre. C. R. Ac. Sci. Paris, 286, 1187—1190.
Kinderlehrer D., Nirenberg L. and S p г u с к J. (1978b). Regularity in elliptic free boundary problems, I. J. D. D’Analyse Math., 34, 86—119..
Kinderlehrer D., Nirenberg L. and Spru с к J. (1979). Regularity in elliptic free boundary problems, II. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, (4)6, 637—683.
К n aster B., Kuratowski C. and Mazurkiewicz S. (1929). Ein Beweis des Fixpunktsatzes fur n-dimensionale Simplexe. Fund Math., 14, 132—137.
Kohn J. J. (1976). Uno sguardo agli operatori pseudo-differenziali. Boll. U. Mat. Hal., (4)10, 237—297.
Kolodner I. I. (1968). On completeness of partially ordered sets and fixpoint theorems for isotone mappings. Amer. Math.-Monthly, 75, 48—49.
К 6 t h e G. (1970). Topological Vector Spaces I. Springer, Berlin.
К 6 t h e G. (1979). Topological Vector Spaces II. Springer, Berlin.
Kranz P. (1972). Additive functionals on abelian semigroups. Comment. Math. Ann. Soc. Math. Pol., 16, 239—246.
Krasnosel’skiJ M. A. and R u t i с к i ( Ya. B. (1961). Convex Functions and Orlicz spaces. Noordhoff, Groningen.
К u f n e r A., John O. and F u c i к S. (1977). Function Spaces. Academia, Prague/Noordhoff, Leyden.
Kuratowski C. (1972). A general approach to the theory of setvalued mappings. General Topology and its Relations to Modern Analysis and Algebra III (ed. J. Novak), p. 271—280. Proc. Third Prague Topological Symp, (Prague, 1971), Academia, Prague / Academic Press, New York.
Lab or de P. (1976). Problemes quasi variationnelles en viscoplasticity avec ecrouissage. C. R. Ac. Sci. Paris, 283 , 393—396.
L a e t s ch T. (1975). A uniqueness theorem for elliptic quasi—variational inequalities. J. Functional Anal., 18 , 286—287.
Lang S. (1962). Introduction to Differentiable Manifolds. Interscience, New York.
L a n g 1 a i s M. (1979). Un probleme unilateral degenere. Proc. Intern. Meeting on Recent Methods in Non—Linear Analysis (Rome, 1978) (eds. E. De Giorgi, E. Magenes, and U. Mosco), p. 441—454, Pitagora, Bologna.
Lavrentiev M. M. (1967). Some Improperly Posed Problems of Mathematical Physics. Springer, Berlin.
Lax P. D. and M i 1 g r a m A. N. (1954). Parabolic equations. Contributions to the Theory of Partial Differential Equations (eds. L. Bers, S. Bochner, and F. John), p. 167—190. Proc. Conf, on Partial Differential Equations (Harriman, 1952), Princeton University Press, Princeton.
L e г a у J. and Schauder J. (1934). Topologie et equations fonction- nelles. Ann. Ecole Norm. Sup., (3)51, 45—78.
Lewy H. and Stampacchia G. (1969). On the regularity of the solution of a variational inequality. Comm. Pure Appl. Math., 22, 153—188.
Lions J. L. (1955). Problemes aux limites en theorie des distributions- Acta Math., 94, 13—153.
Lions J. L. (1956). Sur les problemes aux limites du type derivye oblique.
Ann. of Math., (2)64, 207—239.' ,
Lions J. L. (1961). Equations Differentielies Operationnelles et Problemes aux Limites. Springer, Berlin.
Lions J. L. (1965). Problemes aux Limites dans Equations aux Derivees Partielles. Les Presses de 1’Universite de Montreal, Montreal (2nd ed.).
Lions J. L. (1969b). Sur quelques problemes de calcul des variations. Symp. Math., 2, 125—144.
Lions J. L. (1973a). Sur le controle optimal des systemes distribu6s. En- seignement Math., (2)19, 125—166.
L i о n s J. L. (1974). Various topics in the theory of optimal control of distributed systems. Optimal Control Theory and Its Applications (ed. B. J. Kirby), part I, p. 166—309, Proc. 14th Biennial Sem. Canadian Math. Congress (London, 1973), Lecture Notes Econ. Math. Systems, 105, Springer, Berlin.
Lions J. L. (1975a). Sur la theorie du controle. Proc. International Congresses of Mathematicians (Vancouver, 1974) (ed. R. D. James), vol. 1, p. 139—154, Canadian Mathematical Congress, Vancouver.
Lions J. L. (1975b). On the numerical approximation of problems of impulse controls. Optimization Techniques (ed. G. I. Marchuk), p. 232—251, Proc. IFIP Techn. Conf. (Novosibirsk, 1974), Lecture Notes Computer Science, 27, Springer, Berlin.
Lions J. L. (1975c). Remarks on some new nonlinear boundary value problems. Proc. Symp. Partial Differential Equations and Related Topics, (New Orleans, 1974) (ed. J. A. Goldstein), p. 301—328, Lecture Notes in Mathematics, 446, Springer, Berlin.
Lions J. L. (1975d). On free surface problems: methods of variational and quasi—variational inequalities. Computational Mechanics (ed. J. T. Oden), p. 129—148, Proc. Intern. Conf. Computer Methods in Nonlinear Mechanics (Autin, 1974), Lecture Notes in Mathematics, 461, Springer, Berlin.
Lions J. L. (1976a). Asymptotic behaviour of solution of variational inequalities with highly oscillating coefficients. Applications of Methods of Functional Analysis to Problems in Mechanics (eds. P. Germain and B. Nay- roles), p. 30—55, Proc. Joint Symp. ШТАМ/IMU (Marseille, 1975), Lecture Notes in Mathematics, 503, Springer, Berlin.
Lions J. L. (1976b). Sur Quelques Questions d’Analyse, de Mecanique et de Controle Optimal. Les Presses de Funiversite de Montrdal, Montreal.
Lions J. L. (1976c). Some methods of resolution of free surface problems. Proc. Sth Intern. Conf. Numerical Methods in Fluid Dynamics (Enschede, 1976) (eds. A. I. Van de Vooren and P. J. Zandbergen), p. 1—31, Lecture Notes in Physics, 59, Springer, Berlin.
Lions J. L. (1977a). Sur 1’approximation de problemes a frontiere dans les materiaux inhomogenes. Proc. Conf. Mathematical Aspects of Finite Element Methods (Rome, 1975) (eds. I. Galligani and E. Magenes), p. 194— 203, Lecture Notes in Mathematics, 606, Springer, Berlin.
Lions J. L. (1977b). Some aspects of the theory of linear evolution equa- • tions. Boundary Value Problems for Linear Evolution Partial Differential Equations (ed. H. G. Garnir), p. 175—238, Proc. NATO Adv. Study Institute (Liege, 1976), D. Reidel, Dordrecht.
Lions J. L. (1978). Remarks on the relationships between free surfaces and optimal control of distributed systems. Optimization Techniques (ed. J. Stoer), part 1, p. 28—40, Proc. Sth IFIP Conf. Optimization Techniques / (Wurzburg, 1977), Lecture Notes Control and Information Sciences, 6, Sprin- ' ger, Berlin.
Lions J. L. and Magenes E. (1960). Problemi at limiti non omoge- nei, I. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, (3)14, 269—308,
Lions J. L. and Magenes E. (1961a). Problemes aux limites mon homogfenes, II. Ann. Inst. Fuorier, 11, 137—178.
Lions J. L. and Magenes E. (1961b). Problem! al limiti non omo- genei, III. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, (3)15, 41—103.
Lions J. L. and Magenes E. (1961c). Problemes aux limites non homogenes, IV. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, (3)15, 311—326.
Lions J. L. and Magenes E. (1962). Problemi ai limiti non omoge- nei, V. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, (3)16, 1—44.
Lions J. L. and Magenes E. (1963a). Problemes aux limites non homogenes, VI. J. D’Analyse Math., 11, 165—188.
Lions J. L. and Magenes E. (1963b). Problemes aux limites non homogenes, VII. Ann. Mat. Рига Appl., (4)63 , 201—224.
Lions J. L. and Magenes E. (1972b). Non—Homogeneous Boun-
dary Value Problems and Applications. Volume II, Springer, Berlin (French ed. (1968): Dunod, Paris).
Lions J. L. and M a g e n e s E. (1973). Non—Homogeneous Boundary Value Problems and Applications. Volume III, Springer, Berlin (French ed. (1970): Dunod, Paris).
Lions J. L. and Stampacchia G. (1967). Variational inequalities. Comm. Pure Appl. Math., 20, 493—519.
L о i n g e r E. (1980). A finite element approach to a quasi-variational inequality. Calcolo, 17, 197—209.
L о j as i ew i cz S. (1957). Sur la valeur et la limite d’une distribution en un point. Studia Math., 16, 1—36.
Luenberger D. G. (1973). Introduction to Linear and Nonlinear Programming. Addison—Wesley, Reading.
Luxemberg W. S. and Z a a n e n A. C. (1971). Riesz Spaces, volume I. North—Holland, Amsterdam.
M a g e n e s E. (1964). Spazi di interpolazione ed equazioni a derivate par- ziali. Atti VII Cong, dell’unione Matematica Italiana (Genova, 1963), p. 134— 197, Cremonese, Roma.
M a g e n e s E. (1972). Su alcuni problemi ellittici di frontiera libera con- nessi con il comportamento dei fluidi nei mezzi porosivSymp. Math., 10, 265— 279.
M a g e n e s E. (1973). Problemes de frontiere libre lies a certaines questions d’hydraulique. Equadiff 3, p. 51—58, Proc. Czechoslovak Conf. Differential Equations and Applications (Brno, 1972), J. E. Purkyne Univ., Brno.
M a g e n e s E. (1977). Topics in parabolic equations: some typical free boundary problems. Boundary Value Problems for Linear Evolution Partial Differential Equations (ed. H. G. Garnir), p. 239—312, Proc. NATO Adv. Study Institute (Liege, 1976), D. Reidel, Dordrecht.
Magenes E., Editor (1980). Free Boundary Problems, 2 vol. Proc. Sem. (Pavia, 1979), Instituto Nazionale di Alta Matematica, Roma.
Magenes E. (1982). Problemi di Stefan bifase in pit! variabili. To appear on Atti Sem. di Analisi Funzionale e Applicazioni (S. A. F. A. V) (Catania, 1981).
Magenes E. and Stampacchia G. (1958). I problemi al contorno per le equazioni differenziali di tipo ellittico. Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, (3)12, 247—358.
M a i о n e U. (1980). Free boundary problems in fluid flow through porous media from the engineering point of view. In Free Boundary Problems (ed. E. Magenes), vol. I, p. 79—87, Proc. Sem. (Pavia, 1979), Istituto Nazionale di Alta Matematica, Roma.
^564. Marinescu G. (1963). Espaces Vectoriels Pseudotopologigues et Theo* rie des Distributions. Deutscher Verlag, Berlin.
Martelli M. (1975). A Rothe’s type theorem for non-compact acyclic— valued maps. Boll. U. Mat. Itai., (4)11 (suppl. fasc. 3), 70—76.
Martelli M. and V i g n о 1 i A. (1974a). On differentiability of multi— valued maps. Boll. U. Mat. Itai., (4)10, 701—712.
Martelli M. and V i g n о 1 i A. (1974b). A generalized Leray—Schau- der condition. Rend. Ac. naz. Lincei, (8)57, 374—379. •
M a t z e u M. and Vivaldi M. A. (1979). On the regular solution of a nonlinear parabolic quasi—variational inequality related to a stochastic control problem. Comm. Partial Diff. Eq., 4, 1123—1147.
Matzeu M. and Vivaldi M. A. (1982). Esistenza e regolariU ’di soluzioni fort! per disuguaglianze quasi—variazionali paraboliche relative adun operatorenon lineare. To appear.
Maurin S. (1976). Methodes de d6composition appliqudes aux probl6mes de controle impulsionnel. Optimization Modeling and Optimization in the Service of Man, Part 2 (ed. J. Cea), p. 169—191, 7th IFIP Conf. (Nice, 1975), Lecture Notes in Computer Science, 41, Springer, Berlin.
Mazur S. (1930). Uber die kleinste konvexe Menge, die eine gegebene kom- pakte Menge enthalt. Studia Math., 2, 7—9.
McAllister G. and Rohde S. (1975). A variational formulation
for a class of free boundary problems arising in hydrodynamic lubrication. Int. J. Eng. Sci., 13, 841—850.
M en a 1 d i J. (1977a). Sur le ргоЫёте de contrdle impulsionnel et 1’ine- quation quasi variationnelle degeneree assoicee. C. R. Ac. Sci. Paris, 284, 1499— 1502.
M e n a 1 d i J. (1977b). Sur le ргоЫёте de temps d’arrgt et I’indquation variationnelle degeneree associee. C. R. Ac. Sci. Paris, 284, 1443—1446.
Meyers N. G. and S e r r i n S. (1964), Я = №. Proc. Nat. Ac. Sci. U. S. A., 51, 1055—1056.
Michael E. (1951). Topologies on spaces of subsets. Trans. Amer. Math. Soc., 71, 152—182.
Michael E. (1956a). Continuous selections, I. Ann. of Math., (2) 63, 361— 382.
Michael E. (1956b). Continuous selections, II. Ann. of Math., (2)64, 562— 580.
Mickle E. J. (1949). On the extension of a transformation. Bull. Amer. ■Math. Soc., 55, 160—164.
M 1 e 11 о u J. C. (1976). A mixed relaxation algorithm applied to quasi— variational inequations. Optimization Techniques: Modelling and Optimization in the Service of Man., Part 2 (ed. J. Cea), p. 192—199, Proc. 7th IFIP Conf. (Nice, 1975), Lecture Notes in Computer Science, 41, Springer, Berlin.
Mignot F. (1975a). Contrdle dans les ingquations variationnelles. C. R. Ac. Sci Paris, 280, 197—200.
M i g n о t F. (1975b). Inequations variationnelles et contrdle. Thdse, Universite de Paris, Paris.
M i g n о t F. (1976). Contrdle dans les inequations variationnelles'elliptiques. J. Functional Anal., 22, 130—185.
M i g n о t F. and Fuel J. P. (1976a). Solution maximum de certainsfin£- quations d’evolution paraboliques, et inequations quasi variationnelles para- boliques. C. R. Ac. Sci. Paris, 280, 259—262.
Mignot F. and Fuel J. P. (1975b). System es d’inequations hyper- boliques du premier ordre failblement couples et inequations quasi—variationnelles assocides. C. R. Ac. Sci. Paris, 280, 423—426.
Mignot F. and Fuel J. P. (1976). Inequations variationnelles et quasivariationnelles hyperboliques du premier ordre. J. Math. Pures AppL, (9)55, 353—378.
M i g n о t F. and P u e 1 J. P. (1977). Applications aux inequations' qua- si—variationnelles d’evolution. Arch. Rational Meeh. Anal., 64, 59—91.
Milnor J. (1978). Analytic proofs of the «hairy ball theorem» and the Brouwer fixed point theorem. Amer. Math. Monthly, 85, 521—524.
Minty J. G. (1967). On the generalization of a direct method of the calculus of variations. Bull. Amer. Math. Soc., 73, 315—321.
Miranda C. (1949). Problemi di Esistenza in analisi Funzionale. Quad. Mat. Scuola Norm. Sup. Pisa, 3, Tacchi, Pisa.
Miranda C. (1969). Su un problema di frontiera libera. Symp. Math., 2, 71—83.
Miranda C. (1978). Istltuzioni di Analisi Funzionale Lineare. Monografie dell’Unione Mat. Itai., Oderisi, Gubbio.
Moreau J. J. (1967). Fonctionnelles Convexes. S6minaire sur les Equations aux Derivees Partielles, College de France, Paris.
Morice Ph. (1975). Une methode d’optimisation de forme de domaine. Application a i’ecoulement stationnaire a travers une digue poreuse. Control Theory, Numerical Methods and Computer Systems Modelling (eds. A. Ben- soussan anl J. L. Lions), p. 454—467, Proc. Intern. Symp. (Rocquencourt, 1974), Lecture Notes Econ. Math. Systems, 107, Springer, Berlin.
M о s с о U. (1967a). A remark on a theorem of F. E. Browder. J. Math. Anal. AppL, 20, 90—93.
M о s с о U. (1967b). Approximations of the solutions of some variational inequalities. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, (3)21, 373—394.
M о s с о U. (1969a). Convergence of convex sets and of solutions of variational inequalities. Adv. Math., 3, 510—585.
М о s с о U. (1969b). Convergence of solutions of variational inequalities. Theory and Applications of Monotone Operators (ed. A. Ghizzetti), p. 231—247, Proc. NATO Advanced Study Institute (Venice, 1968), Oderisi, Gubbio.
M о s с о U. (1973). An introduction to the approximate solution of variational inequalities. Constructive Aspects of Functional Analysis (ed. G. Geymonat), vol. II, p. 499—682, Proc. С. I. M. E. (Erice, 1971), Cremonese, Roma.
M о s с о U. (1974). Introduction to variational and quasi-variational inequalities. Control Theory and Functional Analysis, Proc. Intern. Autumn Course (Trieste, 1974), Intern. Centre for Theoretical Physics, Trieste.
Mo sco U. (1976). Implicit variational problems and quasi-variational inequalities. Nonlinear Operators and the Calculus of Variations (eds. J. P. Gossez, E. L. Dozo, J. Mawhin and L. Waelbroeck), p. 83—166, Proc. Summer School (Bruxelles, 1975), Lecture Notes in Mathematics, 543, Springer, Berlin.
M о s с о U. (1977). Some quasi-variational inequalities arising in stochastic impulse control theory. Theory of Nonlinear Operators, p. 183—195, Proc. Intern. Summer School (Berlin, 1976), Akademie, Berlin.
Mos co U. (1978a). Regularite forte de la fonction d’Hamilton—Jacobi du controle impulsionnel et continu. C. R. Ac. Sci. Paris, 286, 211— 214.
M о s с о U. (1978b). Sur 1’existence de la solution reguliere de I’inequation quasi—variationnelle non lineaire du controle optimal impulsionnel et continu. In Journees d’Analyse non Lineaire (eds. P. Benilan and J. Robert), p. 140— 159, Proc. Conf. (Bessancon, 1977), Lecture Notes in Mathematics, 665, Springer, Berlin.
M о s с о U. (1980). On some nonlinear quasi—variational inequalities and implicit complementarity problems in stochastic control theory. Variational Inequalities and Complementarity Problems (eds. R. W. Cottle, F. Giannessi . and J. L. Lions), p. 271—283, Wiley, Chichester.
M о s с о U. and T г о i a n i e 1 1 о G. M. (1973). On the smoothness of solutions of unilateral Dirichlet problems. Boll. U. Mat. Itai., (4)8, 57—67.
Mossin о J. (1976). Sur certaines inequations quasi—variationnelles apparaissant en physique. C. R. Ac. Sci. Paris, 282, 187—190.
Mos s i n о J. (1978). Application de inequations quasi—variationnelles 5 quelques problemes non linearies de la physique des plasma. Israel J. Math, 30, 14—50.
Mo s s i n о J. , and T e m a m R. (1977). Certains problemes non lineaires de la physique des plasmas. Proc. Conf. Mathematical Aspects of Finite Element Methods (Rome, 1975) (eds. I. Galligani and E. Magenes), p. 237—260, Lecture Notes in Mathematics, 606, Springer, Berlin.
Mossino J. and Zolesio J. (1977). Solution variationnelle d’un probleme non lineaire de la physique des plasmas. C. R. Ac. Sci. Paris, 285, 1033—1036.
Mu rt h у M. К. V. and Stampacchia G. (1972). A variational inequality with mixed boundary conditions. Israel J. Math., 13, 188—224.
Nadler S. B. (1968). Sequences of contractions and fixed points. Pacific J. Math., 27, 579—585.
Nadler S. B. (1969). Multi—valued contraction mappings. Pacific J. Math., 30, 475—488.
N a i m p a 1 1 у S. A. and W a г г а с к В. D. (1970). Proximity Spaces. Cambridge University Press, Cambridge.
N а к о u 1 i m a O. (1977a). Sur une notion de solution faible pour les in6- quations variationnelles devolution a deux obstacles. C. R. Ac. Sci. Paris, 284, 1037—1040.
N а к о u 1 i m a O. (1977b). Etude d’une in6quation variationnelle bilate- rale et d’un systeme d’inequations quasi-variationnelles unulaterals as- sociee. These, Uni versite de Bordeaux, Bordeaux.
Namioka I. (1957). Partially ordered linear topological spaces. Mem. Amer. Math. Soc., 24.
NeCas J. (1967). Les Methodes Directes en Theorie des Equations Ellip- tiques, Masson, Paris/Academia, Prague.
Nevanlinna R. and P a a t e г о V. (1969). Introduction to Complex Analysis. Addison—Wesley, Reading (German ed. (1965): Birkhauser, Basel).
Nirenberg L. (1959). On elliptic partial differential equations. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, (3)13, 115—162.
N i t s c h e J. C. (1975). Varlesungen fiber Minimalflachen. Springer, Berlin.
N i t s c h e J. (1977). Loo — convergence of finite element approximations Proc. Conf. Mathematical Aspects of Finite Element Methods (Rome, 1975) (eds. I. Galligani and E, Magenes), p. 261—274, Lecture Notes in Mathematics, 606, Springer, Berlin.'
P a s с a 1 i D. and S b u r 1 a n S. (1978). Nonlinear Mappings of Monotone Type. Academiei, Bucuresti/Sijthoff and Noordhoff, Alphen aan den Rijn.
P e e t r e J. (1961). Mixed problems for higher order elliptic equations in two variables, I. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, (3)15, 337—353.
P eet re J. (1963). Mixed problems for higher order elliptic equations in two variables, II. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, (3)17, 1—12.
P e e t r e J. (1966). Espaces d’interpolation et theoreme de Soboleff. Ann. Inst. Fourier, 16(1), 279—317.
Pejsachowicz J. (1977). A Lefschetz fixed point theorem for multivalued weighted mappings. Boll. U. Mat. Itai., (5)14—A, 391—397.
P e[r e s s i n i A. (1967). Ordered Topological Vector Spaces. Harper & Row, New York.
P i e t r a P. (1982). An up—wind finite element method for a filtration problem. To appear.
Ponomarev V. 1. (1964). Properties of topological spaces preserved under multivalued continuous mappings. Amer. Math. Soc. Transl. (2)38, 119— 140 (Russian ed. (1960): Mat. Sb., (2)51, 515—536).
Popa V. (1980). Sur le mouvement A surfece libre dans les milieux po- reux non homogenes. J. de Mecanique, 19, 663—678.
Pozzi G. A. (1974a). On a free boundary problem arising from a fluid flow through a porous medium in the presence of evaporation. Boll. U. Mat. Itai., (4)9, 416—440.
Pozzi G. A. (1974b). Remarks about an evaporation problem. Pubbl. Laboratorio di Analisi Numerica C. N. R., 81, Pavia.
Prodi G. (1956). Tracce sulla frontiera delle funzioni di Beppo-Levi. Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 26, 36—60.
Prodi G. (1958). Tracce di funzioni con derivate di ordine 1 a qudrato in- tegrabile su varieta di dimensione arbitratia. Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 28, 402—432.
P г о t t e r M. H. and Weinberger H. F. (1967). Maximum Principles in differential Equations. Prentice—Hall, Englewood Cliffs.
Pucci C. (1957). Proprieta di massimo eminimo delle soluzioni di equazio- ni a derivate parziali del secondo ordine di tipo ellittico e parabolico, I. Rend. Ac. Naz. Lincei, (8)23, 370—375.
Pucci C. (1958). Proprieta di massimo e minimo delle soluzioni di equazioni a derivate parziali del secondo ordine di tipo ellittico e parabolico, II. Rend. Ac. Naz. Lincei, (8) 24, 3—6.
Pucci C. (1964). Regolarita alia frontiera di soluzioni di equazioni elli- ttiche. Ann. Mat. Рига Appl., (4)65, 311—328.
Quarteroni A. and V i s i n t i n A. (1980). On the numerical solution of a nonlinear variational equation related to a filtration problem. Boll. U. Mat. Itai., (5)17—B, 204—231.
Rado T. (1933). On the Problem of Plateau. Springer, Berlin.
R a v i a r t P. A. (1972). Methode des Elements Finis. Universite de Paris 6 et C. N. R. S., Paris.
R iesz F. (1930). Sur la decomposition des operationsfonctionnelles line- aires. Atti del Congresso Internazionale dei Matematici (Bologna, 1928), tomo III, p. 143—148, Zanichelli, Bologna.
Robert R. (1974). Differentiabilite et genericite. Atti Giorn. Analisi - Convessa e Applicazioni (Roma, 1974), p. 75—83, Quad. Gruppi Ric. Mat.
C. N. R., Universita di Roma, Roma.
Robertson A. P. and Robertson W. (1966). Topological Vector Spaces. Cambridge University Press, Cambridge.
Robin M. (1975). Controle optimal de files d’attente. Rapport de Recherche, 117, IRIA—Laboria, Rocquencourt.
Robin M. (1976a). Contrdle impulsionnel avec retard pour les processus de diffusion. C. R. Ac. Sci. Paris, 282, 463—466.
Robin M. (1976b). Sur le controle impulsionnel des processus markoviens et semi—markoviens. C. R. Ac. Sci. Paris, 282, 631—634.
Rockafellar R. T. (1976). Integral functionals, normal integrals and measurable selections. Nonlinear Operators and the Calculus of Variations (eds. J. P. Gossez, E. L. Dozo, J. Mawhin, and L. Waelbroeck), p. 157—207, Proc. Summer School (Bruxelles, 1975), Lecture Notes in Mathematics, 543, Springer, Berlin.
Rockafellar R. T. (1979). La Theorie des Sous—Gradients et ses Applications a 1’Optimisation. Les Presses de I’universite de Montreal, Montreal.
Rogers L. A. (1980). A less strange version of Milnor’s proof of Brouwer’s fixed—point theorem. Amer. Math. Monthly, 87, 525—527.
Roux D. and Soard i P. (1971). Sui punti uniti di mappe continue di uno spazio topologico in se. Riv. Mat. Univ. Parma, (2)12, 21—28.
Rubin H. and Rubin J. (1963). Equivalents of the Axiom of Choice. North—Holland, Amsterdam..
Rubin W. (1970). Real and Complex Analysis. McGraw—Hill, London/ Mladinska Knjiaga, Ljubljana.
Rutherford D. E. (1965). Introduction to Lattice Theory. Oliver and Boyd, Edinburgh.
Sansone G. and Conti R. (1966).' Equazioni Differenziali Non Li: neari. Monografie Mat. C. N. R., 3, Cremonese, Roma.
Schaefer H. H. (1974). Banach Lattices and Positive Operators. Springer, Berlin.'
Schaeffer D. (1977). Some examples of singularities in a free boundary. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, (4)4, 133—144.
Schauder J. (1930). Der Fixpunktsatz in Funktionalraumen. Studia Math., 2, 171—180.
Schechter M. (1971). Spectra of Partial Differential Operators. North—Holland, Amsterdam.
Schwartz J. T. (1969). Nonlinear Functional Analysis. Gordon and Breach, New York.
Schwartz L. (1957). Su akuni problemi della teoria delle equazioni differenziali lineari di tipo ellittico. Rend. Sem. Mat. Fis. Milano, 27, 211—249.
Schwartz L. (1960). Equations de Cordes Vibrantes. Centre de Documentation Universitaire, Paris.
S c h w a r t z L. (1966). Thdorie des Distributions. Hermann, Paris (2nd ed.).
Schwartz L. (1973). Radon Measures on Arbitrary Topological Spaces and Cylindrical Measures. Oxford University Press, Oxford.
S с о r z a — D r a g о n i G. (1955a). Un’osservazione sul Iemma di Sperner. Rend. Ac. Naz. Lincei, (8)19 , 204—206.
Scorza — Dragoni G. (1955b). Translazioni piane generalizzate. Topologia, Proc. С. I. M. E. (Varenna, 1955), Istituto Matematico dell’univer- sita di Roma, Roma.
Scorza — Dragoni G. (1978). 11 lemma di Sperner: sue implicazioni negli spazi euclidei e question! connesse. Applicazioni del Teorema del Punto Fisso all’Analisi Economica, p. 31—71, Ac. Naz. Lincei, Roma.
Shamir E. (1968). Regularization of mixed second-order elliptic problems. Israel J. Math., 6, 150—168.
Shima M. (1976). Analytical construction of the free boundary for non— linear impulse control problems and its application to the optiaml design of aerator systems. Rapport de Recherche, 194, IRIA—Laboria, Rocquencourt.
Shimborski E. (1975). Encadrement d’une frontiere libre relative a un probleme d’hydralique. Boll. U. Mat. Itai., (4)12, 66—67.
S i g n о r i n i A. (1959). Question! di elasticit6 non linearizzata e semill- nearizzata. Rend. Mat., (4)18, 95—139.
Silva J. S. (1955). Su certe classi di spazi localmente convessi important! per le applicazioni. Rend. Mat., (5)14, 388—410.
Silva J. S. (1964). Integrals and orders of growth of distributions. Theory " of Distributions, p. 329—390, Proc. Intern. Summer Institute (Lisbon, 1964). Instituto Gulbenkian de Ciencia, Lisboa.
Silva J. S. (1967). Les series de multipoles des physiciens et la th6orie des ultradistributions. Math. Ann., 174, 109—142.
Smart D. R. (1974). Fixed Point Theorems. Cambridge University Press, Cambridge.
Smithson R. E. (1972). Multifunctions. Nieuw Arch. Wisk., (3)20, 31— 53.
Sobolev S. L. (1961). Sur les Equations aux Derivees Partielles Hyper- boliques Non-Lineaires. Monografie Matem. del C. N. R., 9, Cremonese, Roma.
S о r a n i G. (1969). An Introduction to Real and Complex Manifolds. Gordon and Breach, New York.
Spanier E. (1966). Algebraic Topology. McGraw—Hill, New York.
S p e r n e r E. (1928). Neuer Beweis fur die Invarianz der Dimensionszahl und des Gebietes. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 6 , 265—272.
S p e r n e r E. (1955). Generalizzazioni del teorema di Brouwer sul punto fisso. Topologia, Proc. С. I. M. E. (Varenna, 1955), Istituto Matematico dell* Universita di Roma, Roma.
Spruck J. (1979). Regularity in elliptic free boundary problems. Proc. Intern. Meeting on Recent Methods in Non—Linear Analysis (Rome, 1978) (eds. E. De Giorgi, E. Magenes, and U. Mosco), p. 73—81, Pitagora, Bologna.
St am pacch i a G. (1964). Formes bilineaires coercitives sur les ensembles convexes. C. R. Ac. Sci. Paris, 258, 4413—4416.
Stampacchia G. (1965). Le probleme de Dirichlet pour les 6quations elliptiques du second ordre й coefficients discontinus. Ann. Inst. Fourier, 15(1), 189—258.
Stampacchia G. (1966). Equations Elliptiques du Second Ordre й Coefficients Discontinus. Les Presses de’Universite de Montreal, Montreal.
Stampacchia G. (1969). Variational inequalities. Theory and Applications of Monotone Operators (ed. A. Ghizzeti), p. 101—192, Proc. NATO Adv. Study Institute (Venice, 1968), Oderisi, Gubbio.
S t о e r J. and W i t z g a 1 1 C. (1970). Convexity and Optimization in Finite Dimensions, I. Springer, Berlin.
Stone M. H. (1962). A generalized Weierstrass approximation theorem. Studies in Modern Analysis (ed. R. C. Buck), p. 30—87, Mathematical Association of America.
Szeptycki P. (1982). A nonsteady problem in the theory of fluid flow through porous media: existence and uniqueness of weak solutions. To appear.
S z p i 1 r a j n E. (1930). Sur 1’extension de Гordre partie. Fund. Math., 16, 386—389.
Swaminathans., Editor (1976). Fixed Point Theory and Its Applications. Proc. Sem.. (Halifax, 1975), Academic Press, New York.
Takahashi W. (1976). Nonlinear variational inequalities and fixed point theorems. J. Math. Soc. Japan, 28, 168—181.
Tartar L. (1974a). Inequations quasi variationnelles abstraites. C. R. Ac. Sci. Paris, 278, 1193—1196.
Tartar L. (1974b). Inequations quasi variationnelles. Atti Giorn. Analisi Convessa e Applicazioni (Roma, 1974), p. 94— 100, Quad. Gruppi Ric. Mat.
•' ■ C. N. R., Universita di Roma, Roma.
Tartar L. (1974c). Convergence d’operateurs differentiels. Atti Giorn. Analisi Convessa e Applicazioni (Roma, 1974), p. 101—104, Quad. Gruppi Ric. Mat. C. N. R., Universita di Roma, Roma.
Tartar L. (1975). Variational methods and monotonicity. MRC Technical Summary Report, 1571, University of Wisconsin, Madison.
Taylor A. E. (1958). Introduction to Functional Analysis. Wiley, New York/Toppan, Tokyo.
Т е m a m R. (1970). Analyse Numerique. Presses Universitaires de France, Paris.
T e m a m R. (1976a). A non-linear eigenvalue problem: the shape at equilibrium of a confined plasma. Arch. Rational Meeh. Anal, 60, 51—73.
T e m a m R. (1976b). Determination de la configuration d’equilibre d’un plasma. Applications of Methods of Functional Analysis to Problems in Mechanics (eds. P. Germain and B. Nayroles), p. 511—520, Proc. Joint Symp. IUTAM/IMU (Marseille, 1975), Lecture Notes in Mathematics, 503, Springer, Berlin.
Tern am R. (1977). Remarks on a free boundary value problem arising in plasma physics. Comm. Partial Diff. Eq., 2, 563—585.
T о m a r e 1 1 i F. (1978). Un probleme de fluidodynamique resolu avec les inequations variationnelles. C. R. Ac. Sci. Paris, 286, 999—1002.
T о r e 1 1 i A. (1974). Su un problema di filtrazione da un canale. Rend. Sem. Mat. Padova, 52, 25—58.
T о r e 1 1 i A. (1975a). Un probleme a frontiere libre d’evolution en hydrauli- que. C. R. Ac. Sci. Paris, 280, 353—356.
T о r e 1 1 i A. (1975b). Su un problema di frontiera libera di evoluzione. Boll. U. Mat. Itai., (4)11, 559—570.
T о r e 1 1 i A. (1977a). Su un problema non lineare con una condizione di evoluzione sulla frontiera. Ann. Mat. Рига Appl., (4)112, 91 —106.
T о r e 1 1 i A. (1977b). On a free boundary problem connected with a non steady filtration phenomenon of compressible fluid. Pubb. Laboratorio Analisi Numerica C. N. R., 148, Pavia.
T о r e 1 1 i A. (1977c). Existence and uniqueness of the solution of a non steady free boundary problem. Boll. U. Mat. Itai., (5) 14—B, 423—466.
T о r e 1 1 i A. (1977d). On a free boundary value problem connected with a non steady filtration phenomenon. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, (4)4, 33— 59.
Treves F. (1966). Linear Partial Equations with Constant Coefficients. Gordon and Breach, New York.
Treves F. (1976a). Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Academic Press, New York.
Treves F. (1967b). Locally Convex Spaces and Linear Partial Differential Equations. Springer, Berlin..
Treves F. (1975). Basic Linear Partial Differential Equations. Academic Press, New York.
Treves F. (1978). Applications of pseudo—differential operators to coercive and non—coercive elliptic boundary value problems. Pseudodifferential Operators with Applications (ed. A. Avantaggiati), p. 163—246, Proc. С. I. M. E. (Bressanone, 1977), Cremonese, Roma.
Tychonoff A. (1935). Ein Fixpunktsatz. Math. Ann., Ill, 767—776.
Valentine F. A. (1943). On the extension of a vector function so as to preserve a Lipschitz condition. Bull. Amer. Math. Soc., 49, 100—108.
Vietoris L. (1923). Kontinua zweiter Ordnung. Monatsh. Math., 33, 49—62.
V i s i n t i n A. (1979). Study of a free boundary filtration problem by a nonlinear variational equation. Boll. U. Mat. Itai., (5) 16—B, 212—237.
V is i n t i n A. (1980a). An existence result for an evolution free boundary filtration problem. Free Boundary Problems (ed. E. Magenes), vol. I, p. 219— 227, Proc. Sem. (Pavia, 1979). Istituto Nazionale di Alta Matematica, Roma.
V i s i n t i n A. (1980b). Existence results for some free boundary filtration problems. Ann. Mat. Рига Appl., (4)124 , 293—320.
Waelbroeck L. (1971). Topological Vector Spaces and Algebras. Lecture Notes in Mathematics, 230, Springer, Berlin.
Weinberger H. F. (1974). Variational methods for eigenvalue approximation. Regional Conf. Series in Appl. Math., 15.
W e I I s J. H. and Williams L. R. (1975). Embeddings and Extensions in Analysis. Springer, Berlin.
W h у b u r n G. T. (1965). Continuity of multifunctions. Proc. Nat. Ac. Sci. USA, 54, 1194—1501.
Wong Y. C. and N g K. F. (1973). Partially Ordered Topological Vector Spaces. Clarendon, Oxford.
Z ar ant on e 1 Io E. H. (1971). Projections on convex sets in Hilbert space andjspectral theory. Contributions to Nonlinear Functional Analysis (ed. E. H. Zarantonello), p. 237—424, Academic Press, New York.
Zarantonello E. H. (1974). L’algebre des projecteurs coniques. Analyse Convexe et Ses Applications (ed. J. P. Aubin), p. 232—243, C. R. Journees d’Analyse Convexe (S. Pierre de Chartreuse, 1974), Lecture Notes Econ. Math. Systems, 102, Springer, Berlin.
Z о w e J. (1974). Subdifferentiability of convex functions with values in an ordered vector space. Math. Scand., 34, 69—83.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алоглу — Бурбаки теорема 223
Атлас 343, 344
— аналитический 345
— канонический 345
Бабича продолжение 99
Базис фильтра 326
Банаха — Рисса пространство 391
Банаха теорема о неподвижной точке 13
Бесселевы потенциалы 83
Билинейная форма 26
граничная 152
— — коэрцитивная 26, 143
непрерывная 26
— — сильно коэрцитивная 143
— — симметричная 26
эллиптическая 143
Брауэра теорема 216
Брезнс — Стампаккьи теорема 186
Вариационная селекция 248
— формулировка задачи о минимизации 21
Вариационное неравенство 26
— сечение 248
Верхняя грань множества 380
Висящий источник 271
Дифференциальный оператор полулинейный 126
равномерно сильно эллиптический 134
с главной частью в дивергентной форме 134
смешанного типа 129
ультрагиперболический 129
Фурье 130~~
эллиптический 129
Дюпюи парабола 275
Естественные условия 148
Жеврэ класс 72
Замкнутая функция 77
Задача краевая 131
— на собственные значения 125
— о мембране 119
минимизации 14
препятствии 9, 111, 172
— с косой производной 163
неопределенными условиями 171
односторонними- условиями 171
— со свободной границей 171
— с тангенциальной производной 132
Гато дифференциал 37
— производная 37
Гельдера условие 53
Гильбертов триплет 149
Главная часть оператора 128
Главные условия 148
Годографа плоскость 317
Гомогенизация 250
График 77
Грина формула 368
— — в задаче о дамбе 292
— — классическая 369
— — обобщенная 375
Дарси закон 273
Днрака распределение 71
Дирихле задача 131, 136, 158, 159, 183
— пространства 107
— условие 131
Дирихле — Неймана смешанная задача 132
Дифференциальный оператор 126
— — гармонический 132
— — гиперболический 129
— — Д’Аламбера 130
— — квазилинейный 126
— — Лапласа 130
— — линейный 126
— — метагармоиический 132
— — нормально гиперболический 129
— — — параболический 129
— — параболический 129
Индикатриса 40
Индуктивная система 381
Интерпретация вариационной задачи 114, 146
Инъекция 48
— каноническая 48
— непрерывная 48
— плотная 48
Какутани теорема 223
Капиллярная кайма 319
Квазивариационное неравенство 247, 249
Кнастера — Бнркгофа теорема 229
Кнастера — Куратовского — Мазуркевича лемма 211
Контактное множество 115
Коши задача 131
Коши — Римана дифференциальные уравнения 360
Кошн формула 359
Коэрцитивность билинейной формы 26
— оператора 185
— функции 17
Крайняя линия 273
Лакса — Мильграма лемма 35, 244
Линия просачивания 273
Лионса — Стампаккьи теорема 2?, 244
Локальная гладкость 183
— карта пространства 344
Локальное конечное семейство 54
Максимальный элемент множества 380
Максимум множества 380
Метод компактности 260
— монотонности 260
— плоскости годографа 317
Минимальный элемент множества 380
Минимизация выпуклых функционалов 35
— квадратичных функционалов 19
Минти лемма 186, 235
Многозначное отображение 398
— — гиперинъективиое 401
— — квазисюръективиое 401
— — монотонное 410, 412
— — непрерывное 407
— —, непрерывное по Липшицу 404
— — иерастягивающееся 405
— —, полунепрерывное сверху 407
, полунепрерывное снизу 407
хеми-полуиепрерывиое 407<
Многообразие 343, 344
— аналитическое 345
— дифференцируемое 345
— комплексное 344
— погруженное 345
— с границей 346
Модуль непрерывности по Гёльдеру 53
Неймана задача 131, 259, 160, 188
— условие 132
Непрерывность по Гёльдеру 53
— по Липшицу 54
Нормальное сжатие 107
— — комплексной плоскости 107
Ньютона задача 164
Нэша точки 244
Обобщенная функция 65
вещественная 65
—, медленно растущая 66
на многообразии 352
—, положительная 66
Оператор инъективный 47
— компактный "(вполне непрерывный) 99
— коэрцитивный 185
— максимально монотонный 44
— множественного вложения 48
— монотонный 24, 44, 185
— иерастягивающнй 24
— полунепрерывный 185
сверху 185
снизу 185
— продолжения 96
— проектирования 24
—, связанный с функцией Хэвисайда 289
— сжатия 13
— следа 105
— сильно монотонный 35, 185
— сопряженный 45
— строго монотонный 24, 185
— транспонированный 45
Основные функции 55
Отношение бинарное 378
— полного порядка 378
— порядка 378
— правильного порядка 378
— решетчатого порядка 382
Плато задача 119
Плотность меры 65
Порог гладкости 121, 192
Порядок обобщенной функции 65
Принцип максимума 354
— — модуля 359
Пробные функции 55
Проекция 23
Проекция иа выпуклый конус 25
Производная в смысле Фреше 37
— обобщенной функции 67
— по конормали 379, 375
— — нормали 104
— сильная 74
— слабая 74
Пропускная способность 275
Пространства близости 402
— Дирихле 107
— следов 104
— Гильберта — Рисса 392
— локальное 71
— нормальное 71
— «паразитическое» 149
— Рисса нормированное 391
предгильбертово 392
— упорядоченное векторное 385
Псевдорешетка гильбертова 397
— предгильбертова 397
Псевдотопологнческое векторное пространство 62
Псевдотопология 62
Пуанкаре неравенство 94
Разбиение единицы 340
Распределение 65
Регуляризация 80,333
Результаты по гладкости 115
глобальные 183
локальные 183
Решетка 381, 383
— векторная 385, 387
— гильбертова 392
—- дистрибутивная 384
— модулярная 384
— нормированная 391
— полная 382
— предгильбертова 392
— топологическая векторная 391-
Рнсса лемма о разложении 390
— пространство 387
— теорема 12, 244
Свертка 60, 69
Свободная линия 271
Свойство конуса 348
— неподвижной точки 206
— сегмента 349
Сдвиг 59, 66
Селекция 401
Сжатие 405
Синьоринн задача 166
Соболева теорема вложения 100
Соприкосновения множество 115, 175'
Спернера лемма 212
Срезка 80
Стоуна — Вейерштрасса теорема 392
Субгармонические функции 363
Субградиент 43
Субдифференциал 42, 44
Субпроизводная 43
Супергармоиические функции 363
Теорема о дивергенции 367
— о замкнутом графике 77
— — неподвижной точке 205, 207
следах 105, 375
Тихонова теорема 219
Топология Виеториса 405
— хаусдорфовой метрики 402
Ультрараспределеиие 72
Условие совместимости 191
— трансверсальности 148
Фана лемма 214
Фильтр 325
— Фреше 326
— элементарный 326
Фреше пространство 332
Фридрихса неравенство 94
Фундаментальная система окрестностей 326
Функционал 36
— квадратичный 26
— собственный 36
Фурье преобразование 60, 70
Хопфа множество 364
— принцип максимума 364
Хэвисайда функция 71
Цорна лемма 381
Шаудера теорема 222
Хана — Банаха теорема 12, 332
Хаусдорфово расстояние 403
Хелли теорема 212
Хонфаили точка 363
Эйлера неравенство 22
— уравнение 22
Эффективное множество функц?
Лаучное издание
Байокки Клаудио, Капело Антонио
ВАРИАЦИОННЫЕ И КВАЗИВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Заведующий редакцией Е. Ю. Ходан
Редактор А. И. Селиверстова
Художественный редактор Г. М. Коровина Технический редактор И. Ш. Аксельрод Корректоры: М. В. Петанов, Л. С. Сомова
ИБ № 32329
Сдано в набор 09,12.87. Подписано к печати 20.07.88. Формат 60X90/16. Бумага книжно-журнальная. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 28. Усл. кр.-отт. 28. Уч.-изд. л. 30,85. Тираж 3600 экз. Заказ №8-48. Цена 5 р. 80 к.
Ордена 1 рудового Красного Знамени издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Киевская книжная типография научной книги. 252004 Киев 4, ул. Репина, 4
|а1<й
Учитывая первую часть двойного неравенства
11 j =!" ж- ” I II" Ч» II ” II™. Р- 75>
и^уу^|сб||у|Ь(а)||у||£,(й).(7.76)
я .
Таким образом, найдена оценка (грубая, но достаточная для наших
142’
*) где (£) = 2е.
к. БАИОККИ. А. КАПЕЛО
ВАРИАЦИОННЫЕ
И КВАЗИВАРИАЦИОННЫЕ
НЕРАВЕНСТВА
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ
Перевод с английского
В. И. АГОШКОВА, Е. Э. ОВЧИННИКОВА, В. П. ШУТЯЕВА
Под редакцией
В. И. АГОШКОВА
ЕИВЛИО^^АК0Л0ХЗАОСКОР^А
МОСКВА«НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1988
ББК 22.161.6Б18УДК 517.972.5ББК 22.161.6Б18УДК 517.972.5VARIATIONAL ANDQUASIVARIATIONALINEQUALITIESAPPLICATIONS
ББК 22.161.6Б18
УДК 517.972.5
ББК 22.161.6Б18
УДК 517.972.5
TO FREE BOUNDARY PROBLEMS
CLAUDIO BAIOCCHI AND ANTONIO CAPELO
Istkuto di Matematica dell’ University di Pavia and Istituto di Analisi Numerica del Consiglio Na- zionale delle Ricerche
Translated by Lakshmi Jayakar A Wiley-Intersclence Public?' tion JOHN WILEY and SONS Chichester New York Brisbane Toronto Singapore
Б а й о к к и К., К а п е л о А. Вариационные и квази вариационные неравенства. Приложения к задачам со свободной границей / Пер. с англ. Под {^д. В. И. Агошкова.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.— 448 с.— ISBN 5-02-013766-9.
Содержит изложение теории вариационных и квазивариационных неравенств эллиптического типа и приложения этой теории к нзученню задач со свободной границей. Материал книги четко систематизирован и снабжен обширной библиографией.
Для специалистов в области прикладной математики, а также для студентов вузов и аспирантов соответствующих специальностей.
Ил. 60. Библиогр. 729 назв.
© 1984 by John Wiley & Sons Ltd.© Издательство «Наука».\Главная редакция физико-математической литературы, перевод на русский язык, предисловие редактора перевода, 1988© 1984 by John Wiley & Sons Ltd.© Издательство «Наука».\Главная редакция физико-математической литературы, перевод на русский язык, предисловие редактора перевода, 19881702070000—162
© 1984 by John Wiley & Sons Ltd.
© Издательство «Наука».\
Главная редакция физико-математической литературы, перевод на русский язык, предисловие редактора перевода, 1988
© 1984 by John Wiley & Sons Ltd.
© Издательство «Наука».\
Главная редакция физико-математической литературы, перевод на русский язык, предисловие редактора перевода, 1988
Б 2-88
053(02)-88
ISBN 5-02-013766-9
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода •6
Предисловие автора крусскому изданию 7
Предисловие °
ЧАСТЬ I ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ 9
Глава 1. Введение 9
Пример вариационной задачи. Понятие корректно поставленной задачи .. 9
Некоторые результаты о существовании12
Глава 2. Минимизация выпуклых функционалов14
Основная теорема14
Вариационная формулировка задачи о минимизации ...21
Проекция на выпуклые множества23
Глава 3. Вариационные неравенства26
Основная теорема26
Минимизация выпуклых функционалов35
Глава 4. Транспонирование операторов. Приложения....45
Понятие транспонирования. Основные свойства....45
Приложения понятия транспонирования50
Глава 5. Пространства Соболева72
О необходимости введения новых функциональных пространств 72
Пространства Vs ,p(Rn) 75
Пространства Ws ,P(Q) 90
Пространства №5'Р(Г) 101
Нормальные сжатия и пространства Дирихле106
Глава 6. Примеры одномерных вариационных задач .....111
Задача о препятствии. Общиезамечанияогладкостирешений.11-1
Некоторые утверждениядлялинейныхзадачвторогопорядка119
Глава 7. Примеры многомерных вариационных задач . ....".125
Общие замечания о дифференциальных операторах....125
Линейные задачи136
Нелинейные задачи165
Результаты о гладкости,. 178
Глава 8. Вариационная формулировка задачи со свободной границей 192
Общие замечания. Физическаязадача 192
Преобразование задачи 197
Кназивариационные задачи 200.
ЧАСТЬ II
КВАЗИВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ205
Глава 9. Теоремы о неподвижной точке 205
Внедение205
Теоремы о неподвижной точке для функций, непрерывных по Липшицу207
Теоремы о неподвижной точке для непрерывных функций .. 211
Теоремы о неподвижной точке для монотонных отображений . 229
Глава 10. Некоторые результаты о существовании решений вариационных неравенств .' 232
Общие результаты осуществовании232
Частные случаи. I 239
Частные случаи. II241
Глава И. Квазиварнацноиные неравенства244
Введение244
Метод монотонности252
Метод компактности260
Глава 12. Задача со свободной границей269
Введение269
Физическая задача270
Математическая задача282
Глава 13. Задача со свободной границей и вариационные неравенства 319
ЧАСТЬ ш
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ324
Глава 14. Полунормы324
Глава 15. Регуляризация и разбиение единицы333
Регуляризация 333
Разбиение единицы340
Глава 16. Гладкость открытых множеств343
Многообразия. Открытые множества классов Ск и Сй> ц. Свойства конуса н сегмента343
Обобщенные функции иа многообразии.Пространства Lp (Г) .350
Глава 17. Принципы максимуме и его приложения354
Введение354
\ 17.2. Принцип максимума в R355
Принцип максимума в С358
Принцип максимума в R” 362
Приложения366
Глава 18. Формулы Грииа367
4
Глава 19. Упорядоченные структуры378
Основные определения378
Решетки 381
Упорядоченные векторные пространства.Векторныерешетки385
Топологические векторные решетки. Пространства Банаха—Рисса391
Гильбертовы псевдорешетки....397
Глава 20. Многозначные отображения398
Основные определения ....398
Топологии в 2^402
Отношение порядка в пространстве 2g(412
Список литературы 415
Предметный указатель446
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА’
Книга написана известными итальянскими математиками. Одной из особенностей, положительно отличающей ее от ряда уже изданных книг по теории вариационных неравенств, является построение изложения с использованием результатов из различных разделов математики — функционального анализа, теории функций, краевых задач, теории вариационных неравенств н др. Это делает содержание книги богатым, красивым, не «выдернутым» из некоторого направления математики. Одновременно с этим не складывается впечатление о недоступности ее для чтения. Написана она на строгом математическом языке. Изложение часто начинается с рассмотрения основных идей на примере простых задач. Одновременно авторы описывают возможные пути их исследования, объясняя, почему они выбирают тот или иной из них. Такой подход к изложению текста делает чтение книги интересным и весьма полезным для читателя, который получает возможность воссоединить многие идеи и подходы математики в приложении к одному из научных направлений. Если, кроме того, учесть достаточное количество материала справочного характера в книге, а также отсутствие сложных доказательств (авторы указывают, где их найти), то все это делает книгу если не учебником, то, по крайней мере, учебным пособием по функциональному анализу и теории вариационных и квазивариационных неравенств.
Книга несомненно будет с интересом воспринята студентами старших курсов университетов, аспирантами, молодыми учеными, а также специалистами по функциональному анализу, краевым задачам, теории вариационных и квазивариационных неравенств, методам вычислительной математики.
В. И. Агошков
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Мы с энтузиазмом приняли предложение об издании этой книги на русском языке. Хотя первое издание ее в Италии появилось в 1979 году, мы надеемся, что она все еще оказывает хорошую помощь студентам и научным работникам при изучении основ теории вариационных неравенств. Поэтому мы испытываем чувство благодарности к переводчикам, редакторам и издательству за благоприятную возможность обратиться к столь широкой читательской аудитории.
16 июля 1987 г./(. Байокки
А. Капело
ПРЕДИСЛОВИЕ
За последние 15 лет вариационные неравенства приобрели большое значение как с теоретической, так и с практической точки зрения.
Эта книга (некоторые главы которой составили курсы функционального анализа, прочитанные К. Байокки в университете Павиа в течение 1974—76 гг.) посвящена вариационным и квази- вариационным неравенствам эллиптического типа и приложениям этой теории к изучению задач со свободной границей. Книга далека от полноты; так, эволюционные неравенства, численная аппроксимация неравенств и другие применения неравенств либо совсем опущены, либо только слегка затронуты. Тем не менее мы старались провести систематизированное и самостоятельное изложение; приведена обширная библиография.
Книга разделена на три части. В первых двух рассматриваются задачи вариационного и квазивариационного типа. Для понимания этого материала требуется знание анализа, основных элементов теории меры и интеграла Лебега, элементарных свойств гильбертовых и банаховых пространств. Часть III посвящена дополнительным вопросам, не относящимся к рассматриваемой тематике, но тем не менее необходимым для развития теории (формулы Грина, полунормы, принцип максимума ит. п.); иногда в частях I и II мы ссылаемся на некоторые конкретные результаты и обозначения из части III.
Некоторые разделы книги, например, пространства Соболева,, в изложении мы не пытались сделать самостоятельными, но в этих случаях предоставили читателю точные ссылки, позволяющие расширить и пополнить знания о предмете.
Мы признательны Институту численного анализа при Национальном совете исследований в Павиа (Istituto di Analisi Numerica del Consiglio Nazionale delle Ricerche, Pavia) и Итальянскому математическому союзу (Unione Matematica Italiana), которые сделали возможной публикацию итальянского варианта этой книги. Мы также благодарны нашим коллегам из Института математики при университете в Павиа (Istituto di Matematica dell’Universita di Pavia) за конструктивную критику и исправление опечаток в тексте итальянского издания.
Павиа, январь 1988 г.Павиа, январь 1988 г.Клаудио Байокки
Павиа, январь 1988 г.
Павиа, январь 1988 г.
Антонио Капело