Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Введение
Мое образование не слишком отличалось от образования большинства математиков моего поколения. Оно включало курсы по современной алгебре, по теории функций вещёственной и комплексной переменных, по топологии, как комбинаторной, так и алгебраической, немного теории чисел и проективной геометрии и некоторые специальные курсы, как например, курс по римановым поверхностям. Ни в одном из них не упоминалась гипергеометрическая функция, и я даже не уверен, упоминалась ли где-либо гамма-функция после курса современного анализа. Функции Бесселя упоминались всего один раз на последнем году обучения дифференциальным уравнениям, и использовались они лишь для нахождения решения общего уравнения Бесселя в виде степенного ряда. Неудивительно, что, имея такое образование, почти все математики считают специальные функции устаревшим предметом, возможно, некогда и представлявшим интерес. Им трудно понять проявление интереса к ним в настоящее время.
К счастью, мое образование все же частично отличалось от традиционного. На предпоследнем курсе колледжа я прочитал книгу Уиддера «Преобразование Лапласа» и рукопись ее очень важного продолжения — «Преобразования свертки» Хиршмана и Уиддера. Затем на последнем курсе И. Хиршман дал мне свой препринт о теореме умножения для рядов Лежандра и предложил обобщить эту теорему на случай ультра- сферических рядов. Это заставило меня ознакомиться с двумя другими очень важными книгами — с выдающейся книгой Габора Сеге «Ортогональные многочлены» и со вторым томом «Высших трансцендентных функций» — этим памятником Гарри Бейтману, созданным Артуром Эр- дейи в сотрудничестве с В. Магнусом, Ф. Оберхеттингером и Ф. Трикоми.
После этого я начал осознавать, что многие из формул, найденных в основном в XVIII и XIX столетиях и лишь частично — в начале XX в., были очень полезными, и приступил к изучению их структуры. Однако я написал диссертацию и проработал затем три года, прежде чем понял, что далеко не каждый необходимый мне факт относительно специальных функций уже известен, и мне потребовалось еще несколько лет для того, чтобы понять, насколько существенно разобраться в гипергеометричесКих функциях. Как и другие, я был обескуражен всеми этими параме-
трами. Если уж параметров так много, что их необходимо снабжать индексами, то должен существовать какой-то более простой подход. Такова была моя первоначальная реакция на обобщенные гипергеометрические функции, и, судя по моим многочисленным обсуждениям этих функций за последние двадцать лет, она была очень типичной. После более глубокого знакомства с гипергеометрическими функциями я с удивлением обнаружил, что они регулярно встречались в начальном курсе математического анализа. Необходимость в индексах у параметров объясняется тем, что не все интересные полиномы содержатся среди гипергеометрических функций с одним или двумя параметрами.
' . Обобщенная гипергеометрическая функция представляет собой ряд
со•
(1).^Сп,'
п=0■
у которого отношение сп^!сп есть рациональная функция от п. Именно такими являются почти все примеры бесконечных рядов в математическом анализе, для которых легко проверяется признак абсолютной сходимости. Отношение сп+\1сп можно разложить на множители, и обычно оно записывается в виде
(2)(2)с„+1 _ (n + ai)---(n + ap)a:
(2)
(2)
сп ~ (п^-^"-^*^^ 1)"
Введем символ Похгаммера (сдвинутый факториал)
(а)о = 1,■
(3)
(а)п = а(а + 1) • •-(а + п — 1), п = 1,2,....
Тогда, если со = 1, уравнение (2) можно разрешить относительно сп:
(4)(4)(oi)n- ••(fflp)n хп
(4)
(4)
(Мп"'(М» nV
°1> * * * > °р°1> * * * > °ри общепринятым является обозначение
°1> * * * > °р
°1> * * * > °р
(5)
По-видимому, первым важным результатом, полученным для функции pFq с р > 2, q > 1, является сумма Пфаффа
(6)(6)■-п, а, 61 (с - а)п(с - <>)„
(6)
(6)
_с, а + 6 + 1 — с — п ’ (с)п(с — а — 6)»’ ,
Этот результат 1797 г. (см. [Р5]) содержит в качестве предельного случая при п —► оо другой важный результат ,,
Г(с)Г(с-а- Ь) Г(с - а)Г(с -г ЬУГ(с)Г(с-а- Ь) Г(с - а)Г(с -г ЬУRe (t — а — b) > О,Re (t — а — b) > О,
Г(с)Г(с-а- Ь) Г(с - а)Г(с -г ЬУ
Г(с)Г(с-а- Ь) Г(с - а)Г(с -г ЬУ
Re (t — а — b) > О,
Re (t — а — b) > О,
обычно приписываемый Гауссу [G37]. Следующим примером является очень важный результат Клаузена [040]:
(8)(8)
(8)
(8)
Важность формулы Клаузена отчасти определяется тем, что она позволяет выразить квадрат функций класса 2F1 через 3F2. Это гфимечателыго еще и как, вероятно, первый пример^ нахождения дифференциального уравнения для [у(ж)]2, y(x)z(x) и [^(ж)]2 при условии, что у(ж) и ^(ж) удовлетворяют уравнению
(9)•а^у1' + Ь^у1 + с^у = 0.
Эта проблема рассматривалась для (9) Аппелем (см. книгу Ватсона [W10]), но суть его общего подхода содержится в статье Клаузена. Это обычное явление, на которое редко обращают внимание студентов при изучении того или иного общего метода, и поэтому они не могут осознать, как часто общие методы возникают из конкретных задач или примеров. См. статью Д. и Г. Чудновских [036] в качестве примера использования формулы Клаузена, когда известный результат для 2^1 переносится на 3F2, что позволяет получить очень интересные разложения для тг”1. Эти тождества впервые были открыты Рамануджаном. Вот наиболее впечатляющий пример Рамануджана:
(п” " У1103 + 26390,1 (1)„(1).«! (99?"'
Формула Клаузена важна еще и по другой немаловажной причине. Она приводит к широкому классу функций 3F2, которые неотрицательны при значениях аргумента, лежащих между -1 и 1. Наиболее известном применением этого факта является конечное звено в доказательстве гипотезы Бибербаха, принадлежащем де Бранжу (см. [В39]). Рассмотренный им интеграл от 2^*1 (или от полинома Якоби) представляет собой 3F2, и ее положительность является простым следствием формулы Клаузена, что было замечено Гаспером десятью годами раньше. Есть и другие интересные результаты, вытекающие из положительности в тождестве Клаузена.
После того как Куммер [К36] опубликовал свою пространную и важную статью о функциях 2^1 и 1F1, этот материал стал общеизвестен. Он перерабатывался другими математиками. Риман заново рассмотрел функции 2^1, используя свою идею о том, что особенности функции позволяют далеко продвинуться в ее определении. Он показал, что если дифференциальное уравнение (9) имеет регулярные особенности в трех точках, а все остальные точки в расширенной комплексной плоскости являются обыкновенными, то оно эквивалентно гипергеометрическому уравнению
(И) х(1 ~ ж)р" 4- [с — (а 4- b 4-1)я]у' — aby = 0
с регулярными особыми точками при х = 0,1,оо. Работа Римана оказала настолько глубокое влияние, что большинство математиков, изучавших впоследствии гипергеометрические функции, подходило к ним почти исключительно с точки зрения дифференциальных уравнений. Это явно прослеживается в книге Клейна [К20] и в исследованиях по гипергеометрическим функциям многих переменных, начатых Аппелем в 1880 г. и подытоженных в книге Аппеля и Кампе де Ферье [А88].
Интегральные представления, связанные с подходом на основе дифференциального уравнения, похожи на интегральное представление Эйлера. Оно имеет вид
MJ = ^ Л1 - xtratb-4r- tV^dt, [с J 1 (6)1 (с - Jq
где |ж| < 1, Re с > Re b > 0, и включает также аналогичные интегралы по другим контурам. Подход, основанный на дифференциальном уравнении, является очень мощным, когда он применим, однако, как было обнаружено Куммером, он не столь эффективен при р > 3 или q > 2. Поэтому необходимо развивать другие методы изучения гипергеометри- 4еских функций.
В конце XIX и в начале XX столетия были введены и другие типы интегральных представлений. Наиболее характерными представителями этих двух различных типов интегралов являются бета-интеграл Эйлера
(13)(13)W)Г(а + 6) ’W)Г(а + 6) ’Re (а, 6) > 0Re (а, 6) > 0
(13)
(13)
W)
Г(а + 6) ’
W)
Г(а + 6) ’
Re (а, 6) > 0
Re (а, 6) > 0
и бета-интеграл Барнса
(14)
а + £<)Г(6 + it)f(c — it)T(d — it) dt
Г(а + с)Г(а + d)F(6 + с)Г(6 + d)
Г(а 4* b 4 с -f- d)
Re (а, 6, с, d) > 0.
(18)(18)>>ООООп=0п=0ИИОООО(19)(19)п=0п=01)»д(?)Ж» (?;?)п1)»д(?)Ж» (?;?)п
(18)
(18)
>
>
ОО
ОО
п=0
п=0
И
И
ОО
ОО
(19)
(19)
п=0
п=0
1)»д(?)Ж» (?;?)п
1)»д(?)Ж» (?;?)п
Для интегралов типа (14) нет прямой связи с дифференциальными уравнениями, и поэтому они могут оказаться полезными при рассмотрении больших значений р и q.
В то время как Эйлером, Гауссом, Риманом и многими другими выдающимися математиками были написаны важные и плодотворные статьи о гипергеометрических функциях, развитие теории базисных гипергеометрических функций шло значительно медленнее. У Эйлера и Гаусса были важные работы по базисным гипергеометрическим функциям, но большинство результатов Гаусса было опубликовано лишь после его смерти, а работы Эйлера оказались более плодотворными в развитии теории чисел и эллиптических функций.
Базисными гипергеометрическими рядами называются ряды 52 сп> У которых отношение сп+\1сп является рациональной функцией от qn для фиксированного параметра q, обычно удовлетворяющего условию |g| < 1, но иногда допускаются и степени корней из единицы. В данном введении будет предполагаться, что |g| < 1.
Эйлер просуммировал три базисных гипергеометрических ряда. Наиболее важным из них был ряд
ОО’
(15)(15)^(_l)ng(3„’-„)/2 = (g;g)oo>
(15)
(15)
— СО
где
ОО
(16)(16)(e;g)oo = П(1""oqn^п=0
(16)
(16)
При
(«;»)„ = («; 9)co/(«gn;g)oo
Эйлер также показал, что
ОО
Хп
В конечном счете все эти формулы содержатся в ^-биномиальной теореме . (20) фф = V Фф, И < 1.
(x^oo n=0(^)n
В то время как очевидно, что (18) отвечает частному случаю а = 0, а (19) легко получить, заменив х на ха”1 и устремив а к оо, не совсем ясно, как получить (15) из (20). Наиболее простой способ был найден Коши и многими его последователями. Необходимо положить а = д"'2^, сдвинуть п на N, изменить соответственно переменную х и устремить N к оо. Возникающий при этом результат называется тройным произведением и может быть представлен в виде
(®;«)оо(?®-1; 9)00(9; 9)00 = ^(-1)п9^^п-
. ■—оо.
Замена q —* ^ и подстановка х = q приводят к формуле Эйлера (15).
Гаусс использовал суммирование базисного гипергеометрического ряда в своем первом доказательстве, касающемся определения знака квадратичной суммы Гаусса из теории чисел (см., например, [В47]), а Якоби — для определения числа способов представления данного целого числа в виде суммы двух, четырех, шести и восьми квадратов. Однако этот аспект работы Гаусса по суммам в теории чисел не оказал столь большого влияния, какое имели его работы по гипергеометрическим функциям, а результаты Якоби .были опубликованы в его работах по эллиптическим функциям и поэтому их гипергеометрический характер остался незамеченным на фоне огромного интереса к самим эллиптическим функциям. Таким образом, ни одна из этих работ Гаусса и Якоби не привела к серьезному изучению базисных гипергеометрических рядов. Решающую роль, по-видимому, сыграло появление непрерывной дроби Эйзенштейна. Именно это и столетний юбилей первой работы Эйлера по непрерывным дробям стали, по-видимому, движущей силой, позволившей Гейне ввести базисное гипергеометрическое обобщение функций iFi^a^b; с; х\ Он рассмотрел ,
(22) . . 2фх(22) . . 2фх_.D19 , 9 q ._.D19 , 9 q .ооооп=0п=0(9°;9)п(9ь;9)п(9c;9)n(9i9)n(9°;9)п(9ь;9)п(9c;9)n(9i9)nхх
(22) . . 2фх
(22) . . 2фх
_.D1
9 , 9 q .
_.D1
9 , 9 q .
оо
оо
п=0
п=0
(9°;9)п(9ь;9)п(9c;9)n(9i9)n
(9°;9)п(9ь;9)п(9c;9)n(9i9)n
х
х
Заметим, что так как
15m (9°; 9)" _ („л
то
Гейне следовал логической схеме опубликованной работы Гаусса по гипергеометрическим рядам, и поэтому он вывел соотношения смежно-
сти и из них — разложения в непрерывную дробь. Он также получил некоторые преобразования рядов и вычислил сумму '(
(23)(23)2^12^19е» qb . 9е9е» qb . 9е_ „с—а—Ь 9» 9_ „с—а—Ь 9» 9(9е; 9)oo(9e-e~fr; 9)оо ’(9е; 9)oo(9e-e~fr; 9)оо ’< 1.< 1.
(23)
(23)
2^1
2^1
9е» qb . 9е
9е» qb . 9е
_ „с—а—Ь 9» 9
_ „с—а—Ь 9» 9
(9е; 9)oo(9e-e~fr; 9)оо ’
(9е; 9)oo(9e-e~fr; 9)оо ’
< 1.
< 1.
При q —► 1 эта сумма переходит в (7).
Как это часто случается с работами, пролагающими новые пути, этой работе Гейне не было уделено должного внимания. При подготовке второго издания своей книги по сферическим функциям [Н16] Гейне решил включить в нее некоторые из своих результатов по базисным гипергеометрическим рядам. Этот материал был набран мелким шрифтом и поэтому ясно, что его включение было продиктовано важностью данного предмета по мнению Гейне и желанием обратить на него внимание, а не тем, что Гейне считал этот материал непосредственно связанным со сферическими гармониками — основной темой его книги. Удивительно, что включение этого материала привело впоследствии к появлению работ, показавших, что на самом Деле существует очень тесная связь между работой Гейне по базисным гипергеометрическрм рядам и сферическими гармониками. Работа Гейне оказала большое внияние на Л. Роджерса, математика, который более всего известен как первооткрыватель тождеств Роджерса — Рамануджана. Роджерс попытался разобраться в этом аспекте работы Гейне, в частности.—в одном конкретном преобразовании. Томэ [Т4] заметил, что это преобразование Гейне может быть записано как обобщение интегрального представления Эйлера (12), но Роджерс не знал об этой трактовке и поэтому избрал другой путь. Ему удалось таким образом трансформировать это преобразование, что оно стало отражать симметрию относительно перестановок нового ряда. При этом он попутно ввел новый класс полиномов, которые мы теперь называем непрерывными q-полиномами Эрмита. В очень важной серии статей, несправедливо оказавшихся в забвении в течение десятилетий, Роджерс открыл более общее семейство полиномов и нашел некоторые удивительные соотношения, которым они удовлетворяют (см. [R28-R31]). Например, он нашел коэффициенты для линеаризации произведения этих полиномов, которые мы теперь называем непрерывными g-ультрасферйческими полиномами. Эти полиномы содержат многие из сферических гармоник, изученных Гейне. В полученном Роджерсом тождестве для этого произведения в качестве частного случая содержится разложение квадрата одного из этих полиномов в виде двойного ряда. Как было замечено Гаспером и Рахманом, один из этих рядов можно просуммировать, и полученное таким образом тождество является обобщением сумк^ы Клаузена для случая обрывающегося ряда. Ранее другими математиками было получено иное обобщение
тождества Клаузена на случай базисного гипергеометрического ряда, но оно оказалось неудовлетворительным. Это тождество содержало произве- - дение двух, хотя и одинаковых, но заданных в двух различных точках х и qx функций, и поэтому оно не сводилось к квадрату функции. В силу этого свойство неотрицательности, столь важное в формуле Клаузена, не выполнялось для соответствующего базисного гипергеометрического ряда. Введенные Роджерсом полиномы непосредственно привели к более правильному ответу, содержащему соответствующую неотрицательность. Из этого примера и многих других мы убеждаемся, что ортогональные полиномы могут служить в качестве альтернативного подхода к изучению гипергеометрических и базисных гипергеометрических функций. Как этот, так и основанный на использовании дифференциальных уравнений подход наиболее плодотворны при малых степенях полиномов в числителе и знаменателе отношения сп^/сп^ но ортогональные полиномы применимы для более широкого класса рядов и намного более полезны при изучении базисных гипергеометрических рядов. Однако ни один из этих подходов не является достаточно мощным для охвата всех аспектов этих функций. Работа непосредственно с рядами оказывается удивительно плодотворной, когда она проводится мастером или когда используется компьютерная система для проведения аналитических вычислений. Как Гаспер, так и Рахман являются специалистами в области символьных вычислений, и я очень часто восхищаюсь некоторыми из найденных ими формул. По мере того как квантовые группы становятся все более популярными и работа Бакстера проникает в другие области математики, растет число людей, стремящихся научиться как следует обращаться с базисными гипергеометрическими функциями. Я начал бы с изучения именно этой книги.
На протяжении многих лет меня неоднократно просили назвать лучшую книгу по специальным функциям. Я обычно отвечал, что это — экземпляр книги Бейли, принадлежащий Джорджу Гасперу, поскольку он дополнен многими полезными формулами и замечаниями. Теперь и другие могут воспользоваться как информацией, содержащейся в замечаниях на полях этой книги, так и многими другими полезными результатами.
Ричард Аски > Висконсинский университет
Предисловие
*Бригитте, Карен и Кеннету Гаспер
и
Паруя, Бабу и Радже Рахман
Изучение базисных гипергеометрических рядов (их называют такг же g-гипергеометрическими или g-рядами) по существу было начато в 1748} г., когда Эйлер рассмотрел бесконечное произведение (д; д)^1 = ОО'■
П (1 — д^1)""1 в качестве производящей функции для р(п) — числа к=о разбиений целого положительного п на положительные целые части (см. §8.10). Однако потребовалось почти сто лет, прежде чем этот предмет приобрел самостоятельное значение, после того как Гейне превратил простое замечание о том, что lim[(l — ga)/(l — g)] = а, в систематическую те- g—>1
орию базисных гипергеометрических рядов 2^1, подобную теории гауссовых гипергеометрических рядов 2А- Принадлежащие Гейне формулы преобразования для рядов 2<^i и его д-аналог формулы суммирования Гаусса для 2^1(1) выводятся в гл. 1 наряду с д-аналогом биномиальной теоремы, тождеством Якоби для тройного произведения и некоторыми формулами для g-аналогов экспоненциальной функции и гамма- и бета- функций. .'..
Во второй половине XIX в. этот предмет переживал некоторый застой, если не считать важных работ Томэ и Роджерса, до тех пор, пока Ф. Джексон не приступил к своей долговременной программе систематического развития теории базисных гипергеометрических рядов, изучения д-дифференцирования и g-интегрирования, получения д-аналогов гипергеометрических формул суммирования и преобразования, которые были установлены Диксоном, Дуголлом, Заальшютцем, Уипплом и другими. Вклад его был настолько всеобъемлющим, что просто невозможно уместить в одной книге данного объема все полученные результаты; однако мы попытались включить многие важные формулы в первые три главы. В частности, в §2.6 приводится вывод его формулы суммирования для ряда 8^7- В течение тридцатых и сороковых годов нашего века многие важные результаты по гипергеометрическим и базисным гипергеометрическим рядам были получены Бейли. Некоторые математики в качестве его наивысшего достижения рассматривают преобразование Бейли (эквивалентная форма которого обсуждается в гл. 2), но не менее значительны-
ми являются его обобщения на случай необрывающихся рядов формулы суммирования Джексона для 8^7 И формулы преобразования Ватсона, которая связывает совершенно уравновешенный (very-well-poised) ряд 8^7 со сбалансированным (balanced) рядом 4^3. Большая часть материала, относящегося к формулам Суммирования, преобразования и разложения для базисных гипергеометрических рядов в гл. 2, принадлежит Бейли.
В пятидесятые годы существенный вклад был внесен Сирзом, Кар- литцем, Ханом и Слетер. Сирз вывел различные формулы преобразования для зфз -рядов, для сбалансированных 4^3-рядов и для совершенно уравновешенных П4-1^п-рядов. Простые доказательства некоторых из его формул преобразования для зфз приведены в гл. 3. Три его формулы преобразования для совершенно уравновешенных рядов выводятся в гл. 4, в которой мы следуем Ватсону и Слетер для развития теории базисных гипергеометрических рядов на основе контурных интегралов (по сути используя идею, впервые выдвинутую Барнсом в 1907 г.).
Глава 5 посвящена двусторонним базисным гипергеометрическим рядам, где наиболее фундаментальным результатом является формула суммирования Рамануджана для i ^1. Существенный вклад был сделан также Бейли, М. Джексон, Слетер и другими, чьи результаты образуют основу данной главы. " ■
■ В течение 60-х годов Агарвал и Слетер опубликовали свои книги, частично посвященные теории базисных гипергеометрических рядов, а Эндрюс начал свои исследования по теории чисел, в которых он показал, насколько продуктивными для теории разбиений оказываются формулы суммирования и преобразования для базисных гипергеометрических рядов. Эндрюс нашел более простые доказательства многих известных результатов, написал обзорные статьи, в которых отмечалось большое количество важных приложений, а с середины 70-х годов начался период его весьма плодотворного сотрудничества с Аски. Благодаря этим двум математикам в настоящее время базисные гипергеометрические ряды представляют собой актуальный объект исследований. Поскольку основные научные интересы Аски лежат в теории ортогональных полиномов, то g-ряды неожиданно оказались для него и его соавторов очень богатой питательной средой для получения g-обобщений бета-интегралов и классических ортогональных полиномов — Якоби, Гегенбауэра, Лежандра и Эрмита. Аски, его ученикам и сотрудникам, включая Аль-Салама, Исмаила, Коорнвиндера, Морриса, Стентона и Вильсона, принадлежит существенная часть интересных работ, выполненных за последние пятнадцать лет. Эта вспышка активности была "настолько заразительной, что многие исследователи оказались безнадежно захваченными этой соблазнительной, как ее с нежностью называют, «д-болезнью».
Нашей главной задачей при написании этой книги было желание представить в одном, относительно небольшом томе основные результат
ты, полученные в течение двух последних столетий, с тем, чтобы они бьЬи легко доступны для студентов и исследователей, дать краткое введение к приложениям в теории ортогональных полиномов, которые были открыты во время настоящего «периода возрождения» базисных гипер- геом^трических рядов, и указать на важные применения в других областях! Большая часть материала достаточно элементарна для того, чтобы читатели, хорошо владеющие основами анализа, могли использовать эту книгу в качестве учебника и справочника.. Чтобы помочь читателю в более глубоком освоении формул и методов доказательства, а также с целью включения дополнительных сведений, в конце каждой главы приводятся разнообразные упражнения. В замечаниях после упражнений содержится дополнительная информация, связанная в основном с результатами и соответствующими приложениями из тех статей и книг, которые приведены в списке литературы. Хотя библиография может цоказаться громоздкой, она является лишь введением в огромное количество имеющейся литературы. Приложения I, II и III преследуют справочные цели т избавить читателя от необходимости перелистывать книгу для нахождения наиболее часто встречающихся тождеств, формул суммирования и преобразования. Использование формул суммирования и преобразования для вывода других формул может оказаться довольно утомительным занятием. Однако теперь, когда существуют несколько компьютерных программ для проведения аналитических вычислений, имеющие доступ к подобным системам могут воспользоваться ими для выполнения некоторых аналитических вычислений, таких, как нахождение явного вида формулы преобразования Бейли для ю^э в том случае, когда его параметры представляют собой произведения других параметров. ■
Ввиду ограниченности объема мы не смогли охватить базисные ги
пергеометрические ряды и их приложения настолько всесторонне, как нам бы хотелось. В частности, мы не смогли включить систематическое изложение теории базисных гипергеометрических рядов от двух или
большего числа переменны^, охватывающее результаты Джексона по ба
зисным аналогам рядов Аппеля и работы Густафсона и Милна по
ниям базисных гипергеометрических рядов на связанные с ^(п) кратные ряды, на которые мы ссылаемся в списке литературы. Однако мы всесторонне обсудили в гл. 6 фундаментальную работу Аски и Вильсона, где был предложен замечательный Q-аналог классического бета-интеграла, и
исследовали его связь с совершенно уравновешенным рядом 8^7- Глава 7 посвящена приложениям к ортогональным полиномам, развитым в основном Аски и его сотрудниками. Мы завершаем книгу некоторыми дальнейшими приложениями в гл. 8, где приводится часть наших результатов по формулам умножения и линеаризации, ядрам Пуассона и «свойству неотрицательности»; нам удалось также отметить некоторые элементарные факты о приложениях в теории разбиений и о представле-
нии целых чисел в виде сумм квадратов целых чисел. Для интересующегося читателя мы рекомендуем книги и статьи Эндрюса и Файна по поводу дальнейших применений в теории разбиений и приводим ссыДки' на последние работы по приложениям к аффинным корневым системам (тождества Макдональда), схемам отношений, комбинаторике, разностным уравнениям, алгебрам и группам Ли, физике (таким как представления квантовых групп и работа Бакстера по фазовым переходам в модели жесткого гексагона в статистической механике), статистике и т. д.
Мы используем общепринятую систему обозначений (к.т.п) для п-й формулы в параграфе т главы к, записывая (Ln), (П.п) и (Ш.п) для п-й формулы в приложениях I, II и III соответственно. В настоящем издании принята следующая система литературных ссылок: авторы расположены в алфавитном порядке и используется сквозная нумерация в пределах каждой буквы латинского алфавита. Так, ссылка [ВЗ] обозначает книгу Бейли (Bailey), которая стоит под номером 3 в списке авторов, начинающихся с В. :
Мы хотели бы поблагодарить издателей за содействие и терпенйе, проявленные к нам в процессе подготовки этой книги. Мы благодарны также Р. Аски, В. А. Аль-Саламу, Р. П. Боасу, Т. С. Чихаре, Б. Гаспер, Р. Хольту, М. Исмаилу, Т. Коорвиндеру и Б. Нассраллаху за замеченные опечатки и предложения по улучшению первоначальных вариантов книги. Мы хотим также выразить искреннюю признательность нашему ТуС-оператору Диане Березовски, проявившей удивительное терпение и чувство юмора в процессе многократных исправлений текста. .
Дж. Гаспер М. Рахман
БАЗИСНЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
Введение
Главная задача настоящей главы — привести определения и обозна- , чения для гипергеометрических и базисных гипергеометрических рядов и вывести элементарные формулы, которые образуют основу для большинства формул суммирования, преобразования и разложения, для базисных интегралов, а также для применений к теории ортогональных полиномов и к другим областям, о которых идет речь в последующих главах. Мы начинаем с определения гипергеометрического ряда Гаусса 2-Г1 и (обобщенного) гипергеометрического ряда т Fa и указываем некоторые из наиболее важных частных случаев. Затем мы определяем базисный гипергеометрический ряд Гейне зф^ который содержит дополнительный параметр q, называемый базой, и после этого приводим определение и обозначения для базисного гипергеометрического ряда тф8. Базисные гипергеометрические ряды называются g-аналогами (базисными аналогами или (/-обобщениями) гипергеометрических рядов, потому что ряд TFa может быть получен как предел ряда тф8 при q -* 1.
Так как биномиальная теорема лежит в основе большинства формул суммирования для гипергеометрических рядов, мы затем выводим ее g-аналог, называемый g-биномиальной теоремой, и используем этот результат для вывода д-аналогов Гейне для формул преобразования Эйлера, тождества Якоби для тройного произведения и некоторых формул суммирования, которые являются g-аналогами формул Чжу и Вандермонда, Гаусса, Куммера, Пфаффа и Заальшютца, Карлссона и Минтона для гипергеометрических рядов. Мы вводим, кроме того, g-аналоги экспоненциальной функции, гамма- и бета-функций, а также концепцию д-интеграла, позволяющую получить д-аналог интегрального представления Эйлера для гипергеометрической функции. Много дополнительных формул и g-аналогов приведено в упражнениях в конце главы.
'1.2. Гипергеометрические и
базисные гипергеометрические ряды
В 1812 г. Гаусс представил Королевскому научному обществу в Геттингене свою знаменитую работу [G37], в которой рассмотрел бесконеч-
ныЙ ряд
(1.2.1)(1.2.1)1 4- ^ z 4-' ^ * ^^ * ^ *2 4- ^ * ^^ * ^Ф * ^^ * ^l-c 1.2-с(с+1)1-2-3-с(с+1)(с + 2) Г
(1.2.1)
(1.2.1)
как функцию а^с^ здесь предполагается, что с £ 0,-1,—2,..., так что в знаменателях членов этого ряда нет нулевых сомножителей. Он показал, что этот ряд абсолютно сходится при |z| < 1 и при |z| = 1, если выполняется условие Re (с—а—6) > 0, привёл рекуррентные соотношения (смежности) для него и вывел свою известную формулу (см. (1.2.11) ниже) для суммы этого ряда при г = 1иКе(с-а-6)>0.
Гаусс использовал для введенного им ряда обозначение F(a,6,c,z), однако сейчас для этого ряда (или для его суммы, если он сходится) принято использовать обозначение F(a, 6; с; 2) или одно из следующих обозна
чений:чений:
чений:
чений:
что позволяет отделить параметры числителя a, b от параметра знаменателя с и переменной z. Отдавая должное работе Гаусса [G37], данный ряд часто называют рядом Гаусса. Однако, поскольку частному случаю а = 1, b = с соответствует геометрическая прогрессия'
1 4-я 4-я2 4-я3 4-• • •,
ряд Гаусса называют также (обычнъм) гипергеометрическим рядом илй гипергеометрическим рядом Гаусса.
Некоторые важные функции можно выразить через ряд Гаусса: -
(1 + *)“ = F(-a,b;b;-z),
1п(1 4- z) = zF(l. 1; 2; -z), -
•arcsin z = zF(l/2, l/2;3/2;z2),(1.2.2)
arctg z = zF(l/2, l;3/2;-z2),
e* = lim F^b\b\zla\<'
’■a—»oo■
где в первых четырех формулах |z| < 1. Через ряды Гаусса выражаются также классические ортогональные полиномы, такие, как полиномы Чебышева первого и второго рода'
Т*^ = F(-n, щ 1/2; (1 - а:)/2),(1.2.3)
ВД = ("4-1)Г(^^(1.2.4)
полиномы Лежандра•
Pnto = F^n, п 4-1; 1; (1 - *)/2),(1.2.5)
(улътрасферические) полиномы Гегенбауэра.
С^я) = ^^ F(—n, n + 2А; А + 1/2;(1 - х)/2)(1.2.6)
и более общие полиномы Якоби.
Р^х) = ^р1 Л"", п + а + ^ + 1;а + 1;(1- х)/2),(1.2.7)
где п = 0,1,... и через (а)п обозначен сдвинутый факториал (символ Похгаммера), определяемый формулой/
(а)о = Ма)п = а(в + 1)...(а + П-1)=^^, п=1,2,... . (1.2.8)
Еще до Гаусса Чжу [С35] в 1303 г. (см. работы Нидхема [N5, с. 138], Такача [Т1] и Аски [А91, с. 59]) и Вандермонд [VI] в 1772 г. вывели формулу суммирования..
Д-п,Ь;с;1)=Ц^, n = 0,1,...,(1.2.9)
которая сейчас называется формулой Вандермонда или формулой Чжу — Вандермонда, а Эйлер [ЕЗ] в 1748 г. получил некоторые результаты для гипергеометрического ряда, включая его формулу преобразования
F(a,b;c;z) = (l-z)c-e-b F(c-а,с-b-,c-,z), |z| < 1.(1.2.10)
Формула (1.2.9) представляет собой случай обрывающегося ряда а = —п в формуле суммирования.
Г(о’Ь;С;1)=Ц7^(^)’ Re(c-a-b)>0,(1.2.11)
которую Гаусс доказал в своей работе.
Через тридцать три года после* работы Гаусса Гейне [Н14-Н16] ввел рад..
1+(l-g)(l-ge)Z+ (l-^l-^.^.ge+l)+)
где предполагается, что с / 0, ^1, -2,.... При |д| < 1 этот ряд абсолютно сходится для |^| < 1 и стремится (по крайней мере почленно) к ряду Гаусса, если q —► 1, так как■
•Нш—— =а.(1.2.13)
Ряд (1.2.12) обычно называется рядом Гейне или, имея в виду базу q, базисным гипергеометрическим рядом. ''
По аналогии с обозначениями Гаусса Гейне использовал для своего ряда обозначение ф(а, b, с, q, z). Однако ввиду того, что возникает также
необходимость рассматривать случаи, когда ga, qb или qc могут обращаться в нуль, сейчас принято определять базисный гипергеометрический ряд формулой 1
(1.2.14), (1.2.15)(1.2.14), (1.2.15)Ф(», b; с; q, z) = 2^i(e,b;c;g,z) =
(1.2.14)
, (1.2.15)
(1.2.14)
, (1.2.15)
^ (9;9)n(c;9)n’'
где■
, x _J1,n =0,
W№-|(l-a)(l-a9)...(l-a9"-1),n =l,2,..,
есть сдвинутый q-факториал и предполагается, что с / q~m при т = 0,1,... . Другими обозначениями, используемыми в литературе для произведения (a;g)n, являются (a)gtn)[«]n и даже (a)n, когда не применяют (1.2.8) и не указывают явно зависимость от базы.
Другое обобщение ряда Гаусса — (обобщенный) гипергеометрический ряд с г параметрами числителя ai,..., аТ и s параметрами знаменателя bi,..., bs — определяется как ' ■
г-Г$(О1> ^2) • •г-Г$(О1> ^2) • •^ri bi, . .., Ь8; z) —^ri bi, . .., Ь8; z) —ZZ
г-Г$(О1> ^2) • •
г-Г$(О1> ^2) • •
^ri bi, . .., Ь8; z) —
^ri bi, . .., Ь8; z) —
Z
Z
(1.2.16)(1.2.16)(1.2.17)(1.2.18)(1.2.19)(1.2.17)(1.2.18)(1.2.19)
(1.2.16)
(1.2.16)
(1.2.17)
(1.2.18)
(1.2.19)
(1.2.17)
(1.2.18)
(1.2.19)
^ П^н'"^
Некоторыми хорошо известными частными случаями являются экспоненциальная функция
ег = ого(—;—;*), тригонометрические функции
sinz = z 0Fi(—; 3/2; —яг2/4), . cosz = 0Л(—; 1/2;~z2/4), функции Бесселя
За^ = CV2)a оГ^-; а 4-1; -г2/4)/Г(а 4-1),
где черточка указывает на отсутствие параметра числителя (когда г = 0) или знаменателя (когда s = 0). Другие широко известные частные случаи — это полиномы Эрмита '
Hn(x) = (2®)п 2^о(~п/2,(1 - n)/2;—i-®”2), (1.2.20)
и полиномы Лагерра
Обобщая ряд Гейне, мы определим базисный гипергеометрический ряд уфз формулой
(1.2.22)(1.2.22)тФз^Х^ ®2> • • • ) ®г> ^1» • • • ) ^S1 4s ^ — тфз
(1.2.22)
(1.2.22)
у* (oi£<M«2£9)nj22^^)n
^ («;?)n(bi;?)n"(6*;«)n
где (") = п(п — 1)/2 и q / 0 при г > s -f-1.
В (1.2.16) и (1.2.22) предполагается, что параметры Ь^...,bs таковы, что сомножители в знаменателях членов этих рядов никогда не обращаются в нуль. Поскольку ' .
' (-m)n = (9-m;g)n = 0, п = m + l,m + 2,..., (1.2.23) ряд TFS обрывается, если один из его параметров числителя равен нулю или целому отрицательному числу, а ряд тф8 обрывается, если один из параметров числителя имеет вид q~m при m = 0,1,2,... и q ^ 0. Базисные аналоги классических ортогональных полиномов будут рассматриваться как в гл. 7, так и в упражнениях в конце глав. .
При рассмотрении необрывающихся базисных гипергеометрических рядов мы будем предполагать, если противное не оговорено, что |g| < 1 и параметры и переменные таковы, что эти ряды сходятся абсолютно. Отметим, что если |g| > 1, то мы можем произвести инверсию.по отношению к базе, подставляя р = q7x и используя тождество
’ (o^n = (о-1;р)п(-«)пр-(2\ (1.2.24)
что позволяет перевести ряд (1.2.22) в подобный ему ряд с базой р, причем |р| < 1. Если первоначальный ряд имеет конечный радиус сходимости, то полученный ряд также имеет конечный радиус сходимости.
Заметим, что если обозначить члены рядов (1.2.16) и (1.2.22), содержащие zn, соответственно через ип и vn, то отношение
«п+1 _ («1 + п)(02 + п) • • • (аг + п)
' u„ (1 +п)(&1 + п)---(Ь, + п)'
есть рациональная функция от п, а х
»п+1 _ (1 - ai?n)(l - а^ • • • (1 - а^ . „и+>-г,.
есть рациональная функция от qn. Обратно, если 53 ^=о Un и 13 ^=о ^ — степенные ряды с wo = vo = 1, a ип^х/ип — рациональная функция от п и vn+i/vn — рациональная функция от qn, то эти ряды имеют соответственно вид (1.2.16) и (1.2.22).
По признаку, сходимости Даламбера (ratio test) ряд TFS абсолютно сходится для всех z^ если г < з, и для |z| < 1, если г = s 4- 1. По
расширенному признаку сходимости [В57, с. 241] он абсолютно сходится при |з| = 1, если г = s 4- 1 и Re [61 Нh b8 — (ai 4- • • • + ог)] > 0. При г > s 4-1 и z + 0 или г = а 4-1 и И > 1 этот ряд расходится, если только он не обрывается.'
Если 0 < |g| < 1, то ряд тф8 абсолютно сходится для всех z при г < s и для |^r| < 1 при т = s 4-1. Этот ряд также абсолютно сходится, если |g| > 1 и |z[ < I&1&2 • • еМ/1°1а2 • • ’Ог|« Он расходится для z / 0 при 0 < |^| < 1 и г > з4-1 и при |^| > 1 и |z| > |&1 &2 * • • ^з|/|«1«2 ” • «г|? если только он не обрывается. Принято использовать обозначения rF8 и тф8 как для сумм этих рядов внутри круга сходимости, так и для их аналитических продолжений (называемых соответственно гипергеометрическими функциями и базисными гипергеометрическими функциями) вне круга сходимости.
пп' Заметим, что ряд (1.2.22) обладает следующим свойством: если заменить z на zjaT и устремить аг к оо, то мы снова получим ряд вида (1.2.22), но с г — 1 вместо г. Поскольку этим свойством не обладает ряд
п
п
в книгах Бейли [ВЗ]в книгах Бейли [ВЗ]Гф8, определенный без множителей
в книгах Бейли [ВЗ]
в книгах Бейли [ВЗ]
и Слетер [S22], а мы хотели бы иметь возможность для рассмотрения таких предельных случаев, то мы остановили свой выбор на (1.2.22). Здесь нет'потери общности, так как ряд Бейли и Слетер можно получить из (1.2.22), положив г = з 4- 1, выбрав з достаточно большим и приравняв
некоторые параметры нулю.
Ряд r+i J*r называется к-сбалансированным, если 61 4- 62 4- • • • 4- 6Г = к 4-014- «2 4hOr+i и z = 1; 1-сбалансированный ряд называется просто сбалансированным (или рядом типа Заальшютца). Аналогично ряд т.цфт называется к-сбалансированным, если 6162 •••6г = ^*0102 • • -Or+i и z = q, а 1-сбалансированный ряд называется сбалансированным (или типа Заальшютца). Мы впервые столкнемся со сбалансированным рядом в §1.7, где выводится формула суммирования для такого ряда.
Для отрицательных йцдексов сдвинутый факториал и сдвинутый q-факториал определяются следующими формулами:v
М -11- НГ fl 227x
W~" (а — 1)(а — 2) • •-(а — n) ” (a - n)„ " (!-«)„’^2'27)
(a-q}= L_=1=
■ ’(l-a^Xl-eg-2)-^!-^-») (aq-n;q)n (g/a;»)n ’
.(1.2.28)
где n = 0,1,... . Положим также•
(o;9)oo = JJtl-og*)(1.2.29)
для |^| < 1. Поскольку бесконечное произведение в (1.2.29) расходится при а / 0 и |^| > 1, то всякий раз, когда в формуле появляется (о; 9)00, мы будем предполагать, что |9| < 1. Ниже приводятся легко проверяемые тождества, которые часто будут использоваться в этой книге: - .
.<L2'30)
(a-191-’‘;g)n = (a;9)n(-a-1)n9-(2\(1-2.31)
(«1= (^M)l (Ч""1)*’6-"*.(1.2.32)
(а; <?)п+* = (о; g)n(«gn; чУь(1.2.33)
(1.2.34)
'(L2'35)
(.,“;,)„-. = 4^Р^А.(1.2.36)
(9’n; q)k = т^^^-!)*^*)-*,(1.2.37)
/(9; q)n-k.
w > q)k =-ттггтг^л—9»(1.2.38)
(a ‘q1 *;g)n
(e;?)2n = (a;<?2)n(e?;<?2)n,(1.2.39)
(e2;^2^ = (a;g)n(-a;«)n,.(1.2.40)
где n и к — Целые числа. Более полный набор полезных тождеств дан в приложении I в конце книги.
(1.2.41)(1.2.41)(1.2.42)(1.2.42)Так как произведения сдвинутых 9-факториалов появляются очень часто, то для упрощения мы будем часто прибегать к более компактным обозначениям: .
(1.2.41)
(1.2.41)
(1.2.42)
(1.2.42)
(®1) 02, • • •) OmJ 9X1 — (ttli 9)n(o2j 9)п * * ' (®mj 9)n>
(о\, 02) • • • > O^J ^)оо ~~ (01 j 9)00(02) 9)00 * * * (^пм 9)оо*
^-биномиальная теорема .
Одной из наиболее важных формул суммирования для гипергеометрических рядов является биномиальная теорема:
ОО / ч
2Fi(a,W) = 1Го(а;-;г)=У'^п = (1-^)-“,(1.3.1)
п=0
где |z| < 1. Мы покажем, что эта формула имеет следующий q-аналог:
И < 1, |9| < 1,(1.3.2)
^wq)n v\q)oo
который был получен Коши [С 18], Гейне [Н15] и другими математиками.
Вывод формулы (1.3.2), принадлежащий Гейне (его можно найти также в книгах Гейне [Н16], Бейли [ВЗ, с. 66] и Слетер [S22, с. 92]), легче всего понять, если сначала последовать подходу Аски [А93] к вычислению суммы биномиального ряда (1.3.1), а затем проделать аналогичные выкладки для ряда (1.3.2).
Положим
п=0п=0ОООО(1.3.3)(1.3.3)
п=0
п=0
ОО
ОО
(1.3.3)
(1.3.3)
Так как этот ряд является равномерно сходящимся при |z| < с, 0 < е мы можем почленным дифференцированием получить, что
сю / х
71=1ОО71=1ООк“/П ^П-1 п! ■к“/П ^П-1 п! ■п=0п=0п п!п п!
71=1
ОО
71=1
ОО
к“/П ^П-1 п! ■
к“/П ^П-1 п! ■
п=0
п=0
п п!
п п!
Кроме того,
ОО
ОООО71=1ОО71=1ООп!п!П=1П=1—znnl—znnlОООО71=171=11 7я—1 п”1^ п!1 7я—1 п”1^ п!п=0п=0п,\п,\
ОО
ОО
71=1
ОО
71=1
ОО
п!
п!
П=1
П=1
—zn
nl
—zn
nl
ОО
ОО
71=1
71=1
1 7я—1 п
”1^ п!
1 7я—1 п
”1^ п!
п=0
п=0
п,\
п,\
Исключая /д+1(^) из (1.3.4) и (1.3.5), получаем дифференциальное уравнение первого порядка .'
Ш = ^f-W(L3‘6)
с начальным условием /а(0) = 1, которое следует из определения /а(г), согласно (1.3.3). Решая (1.3.6) при этом условии, сразу же получаем, что Л(г) = (1 - z)-a при |z| < 1.
Аналогично, положим теперь
м«)^Её^л и<1. и<1-(1-з.7)
Очевидно, что hq»^ —> /a(z) при q —► 1. Так как haq^ есть д-аналог /а+1(^)» то сначала мы вычислим разность
(a;g)n - (ag;g)n п (д; g)n(a;g)n - (ag;g)n п (д; g)nу^ (ад; g)n-i£1 ^^у^ (ад; g)n-i£1 ^^[i-a-^-aq^zn[i-a-^-aq^zn
(a;g)n - (ag;g)n п (д; g)n
(a;g)n - (ag;g)n п (д; g)n
у^ (ад; g)n-i
£1 ^^
у^ (ад; g)n-i
£1 ^^
[i-a-^-aq^zn
[i-a-^-aq^zn
„ v (!-«n)(e«; ?)«-! ,»
(og; g)„-i „ (д; g)n-i(og; g)„-i „ (д; g)n-i-агкач^.-агкач^.(1.3.8)(1.3.8)
(og; g)„-i „ (д; g)n-i
(og; g)„-i „ (д; g)n-i
-агкач^.
-агкач^.
(1.3.8)
(1.3.8)
аналогичную (1.3.5). Учитывая, что для дифференцируемой функции /
Г^ = Um ^У”^,(1.3.9)
g->l — q)Z мы затем вычислим разность
W - h<M = £ ^i(Zn - gn*n)
— V^ (°*’ ^^n ~n — V" (a’ ^)n+i 2П^" - ^ (g; g)n-i "^ (?;«)»
= (1 - a)zhag(z).(1.3.10)
Исключая Jiag(z) из (1.3.8) и (1.3.10), приходим к равенству
ha<z) = l^ho(gZ).(U.11)
1 —■
Используя это соотношение п — 1 раз и устремляя затем п к оо, мы получаем, что
Па(^) — /\ Ha(g Z)
(z; q)n
_ (az; д) 00 h■ _ (д^; д)ОО ’
" aV ’ -
поскольку qn —► 0 при п —► оо и ha^ = 1 согласно (1.3.7), что завершает доказательство (1.3.2)."
Одним из следствий (1.3.2) является формула умножения
1Фо(<ц—^q.z^i^b;— \q.az) = 1фо(аЪ; — \q,z\(1.3.13)
представляющая собой 9-аналог равенства (1 - ^г)—0( 1 - z^”b = (1 - z^-a-b.
В частном случае а = q""^^ п = 0,1,2,..., формула (1.3.2) принимает вид .
xM-TV',^ = (^""я)» = U^q'^^'Xql^q^(1-3.14)
где, согласно принципу аналитического продолжения, переменная z может быть любым комплексным числом. В дальнейшем, если специально не оговорено противное, при каждом появлении q-^q-k Л-т Л-н в ба‘ зисном ряде в качестве, параметра числителя будет предполагаться, что j, *, m, п являются неотрицательным целыми числами. .
Если положить в (1.3.2) а = 0, мы получим g-аналог экспоненциальной функции е':
"ОО Л1*
1W--^ = 52 7^ = т—г-, Н < 1.(1.3.15)
Другой 9-аналог функции ez может быть получен из (1.3.2) заменой z на —z/a и переходом к пределу при а —► оо:
о”(”-1)/2
' о<£о(—; —; q, -z) = 52 <п.п\ ' z” = (-z; »)«>•(1.3.16)
хп=0 ^
Отметим, что если обозначить 9-экспоненциальные функциив (1.3.15) и (1.3.16) через eq^z) и Eq^z) соответственно, то ед(г)Ед(—г) = 1 и.
lim eq(z(l - 9)) = lim ^(^(1 - 9)) = e*.(1.3.17)
При выводе 9-аналогов различных формул мы будем иногда пользоваться тем фактом, что’v
^5’^* = ^(д»;-;^)-,. ^(д; —; z) = (1 — z)~“ ПРИ 0 —► 1“.
(z; q)oo'.
'.(1.3.18)
Поэтому
lim y^ = (1 — zVQi И < 1» ° вещественно. (1.3.19)
Эта формула допускает аналитическое продолжение в комплексную плоскость z с разрезом вдоль положительной вещественной оси от 1 до бесконечности, причем (1 — z)”a положительна при вещественных z, меньших
единицы.
2929(1.4.1)(1.4.1)Формулы преобразования Гейне
29
29
(1.4.1)
(1.4.1)
Формулы преобразования Гейне для ряда 2Ф1
Гейне [Н15, Н16] показал, что
2^i(a,b;c;9,z) =
где |^| < 1 и |Ь| < 1. Для доказательства этой формулы преобразования отметим сначала, что из ^-биномиальной теоремы (1.3.2) следует равенство
(cqn;q)oo _ ^ (c/b;q)m „
Поэтому при |zj < 1 и |Ь| < 1
_ (М)» v^ («; д)п „ y' ^Ь' ^т(ьппхт "Моо^М/ ^0 Мт ^
_ Moo V №^Ьт vM^mxn
~М^^0 Мт ЬМ^
_ ^Моо у (c/b^)mbm(azg22»)oo
(с;»)оо^0 («;«)т(^т;»)оо
= ™™:™ 2^1 (c/b,z; az; g, 6)
y^Z^)^
согласно (1.3.2), что приводит к (1.4.1).
Гейне показал также, что формула преобразования Эйлера
2/i(a,b;c; z) = (1 - гУ”а”ь 2^1(0 - а,с - b;с; z) (1.4.2)
имеет 9-аналог вида
2^i(a,6;c;g,z) = ^Zf- ’^°° 2<t>x{cla,c/b\c\q,abzlc). (1.4.3)
Кратчайший путь доказательства этой формулы — воспользоваться соотношением (1.4.1) следующим образом:
2^i(«,b;c;9,z) = ^ ’2^i(c/6,z;az;g,6)
(с, z; 9)00'
(1.4.4)
(c/6,6z;g)oo...
= —72Ф\(^Ьг1сьЬ\Ьг\ц;с1Ь) ^*19)оо
. (1-4.5)
(a6z/c;g)oo
= —. .^.....—2Pi(<Va>c/o;c;#,a"27c).
(1.4.6)
^-аналог Гейне формулы суммирования Гаусса
Для того чтобы вывести q- аналог Гейне [Н15] для формулы суммирования Гаусса (1.2.11), достаточно подставить в (1.4.1) z = c/ab, предположить, что |6| < 1, |c/ab| < 1, и заметить, что ряд в правой части
2^i(a,6;c;g,c/o6) = 7^^^- i<M.c/ab;—;q,b)(с, ab, Q)oo
может быть просуммирован с помощью (1.3.2), что дает
20i(a,6;c;g,c/a6) =20i(a,6;c;g,c/a6) =(1.5.1)(1.5.1)^cla.clb-.q^
20i(a,6;c;g,c/a6) =
20i(a,6;c;g,c/a6) =
(1.5.1)
(1.5.1)
(с,с/а5;^)оо *
Согласно принципу аналитического продолжения, мы можем отказаться от условия |6| < 1 и потребовать лишь выполнения неравенства |c/a6| < 1, чтобы было справедливо (1.5.1).
Для случая обрывающегося ряда, когда а = q~n, формула (1.5.1) сводится к виду"
'^q-n)b;c.qiCqnW=№^n(1.5.2)
(с; q)n
Путем инверсии или изменения порядка суммирования из (1.5.2) получается, что
2&(<Гп,М;<м) = ^^6П.(1.5.3)
Wq)n
Обе формулы (1.5.2) и (1.5.3) являются q-аналогами формулы Вандермонда (1.2.9). Они могут быть использованы при выводе других важных формул, таких, например, как формула преобразования Джексона [J15]
^i^a.b'.c-.q.z^ =^i^a.b'.c-.q.z^ =(«г; 9)оо у («м/МН, ь..)*,(*) (z;<?)oo ^ (q,c,az;q)k(
^i^a.b'.c-.q.z^ =
^i^a.b'.c-.q.z^ =
(az;g)oo(^i 9)оо(az;g)oo(^i 9)оо2^2(0, c/b; c, az;q,bz).2^2(0, c/b; c, az;q,bz).(1.5.4)(1.5.4)
(az;g)oo(^i 9)оо
(az;g)oo(^i 9)оо
2^2(0, c/b; c, az;q,bz).
2^2(0, c/b; c, az;q,bz).
(1.5.4)
(1.5.4)
Эта формула является q-аналогом формулы преобразования Пфаффа — Куммера
2fi(a,6;c;z) = (1 - z) а 2Г1(а, с - b\ с; z/(z - 1)).(1.5.5)
Для доказательства (1.5.4) с помощью (1.5.2) запишем
(МН = А 1д-\Ф\ч)п (. к\”
(с;<?Н^ (9,«;?)п'
3131, Тождество Якоби для тройного произведения
31
31
и, следовательно,
2^1 («,Ь; с; q, z)
Г^ (в; q)k к Vх (g kic/^1^n /. кх "
ОО. ОООО. ООп=0к=пп=0к=пОО ОООО ООп=0 *=0п=0 *=0£ 5Ж2 й («.-;«). (ь’ ’
ОО. ОО
ОО. ОО
п=0к=п
п=0к=п
ОО ОО
ОО ОО
п=0 *=0
п=0 *=0
^4)k(c/b;g)„ ? т
(9;<?)*-n(<Z,c;g)n
(«; 9)k+n(c/6; g)„, i,«,t„(!)
^ (a, c/b; q^ (") A <aq^ q)k k
^’^ У M^” ,_bzxn ^ ^;q)oo “(q^^^qin
согласно (1.3.2). См. также [А47]. Если a = q-n, то ряд в правой части (1.5.4) может быть обращен (если поменять местами к и п — к^ что приводит к формуле преобразования Сирза [S6]
2^i(g~n,6;c;<z,^)
= ^^(^Y ^^qlz^"^^^^^^ (1.5.6)
Тождество Якоби для тройного произведения 1и тега-функции
Хорошо известное тождество Якоби [J34] для тройного произведения (см. [А44])
ОО
(г^.^/м;?)» = ^2 ^-l^q^^z11(1.6.1)
П=—ОО■
можно легко вывести при помощи формулы суммирования Гейне (1.5.1).
Подставим сначала с = bzq^ в (1.5.1), и затем пусть 5 —► 0 и a -* оо. Тогда
^(0-0} z" = ^'^oo.(1.6.2)
■n=o vq^q)n.
получаемполучаемТочно так же, подставив в (1.5.1) с = zq и устремив а и b к оо,
получаем
получаем
00 пт? уП1
“o^zq^q^n (zq^^oo'
Теперь с помощью (1.6.2) находим, что
”“ /„Пт+п^т’+п’)^
= £ £ 1 / ХЧ, уг”1"" .,^^ (g;g)m(g;g)n
” Г_П”„"3/2”„^
(1.6.4)(1.6.4) Ч ' 1^/1 Ч '9 „пк
(1.6.4)
(1.6.4)
Формула (1.6.1) следует теперь из (1.6.3), если учесть, что
у' 9к " »к _1 1
(g; 9)п ^0(.9,9n+l;9)k(g; g)n(gn+1; g)<x>(g; д)<»*
Важным применением (1.6.1) является возможность выразить с ее помощью тета-функции (см. [W15, гл. 21])
i^i(s) = 2^(—l)n^n+1/2^ sin(2n + l)s,(1.6.5)
п=0,
ОО.!■
.^М®) ~ 2 У q^n^^ cos(2n + 1)х,(1.6.6)
п=0
•*ОО'
1?з(ж) = 1 4- 2 У^д”3 со82яя,* (1.6.7)
П=1
^4 (ж) = 14-2 У^(~1)п^п3 cos2nx•(1.6.8)
n=i
в терминах бесконечных произведений. Достаточно заменить q на q2 в (1.6.1) и затем положить z равной соответственно ge2tr, — qe2*1, —е2*®^2*®, чтобы получить'
t?i(x) = 2g1/4sins JJ(1 ~ 92n)(l ~ 2q2ncos2x 4- ?4n), ■ (1.6.9) n=l
tf2(s) = 2g1/4 coss JJ(1 — ?2n)(l + 2q2ncos2x 4- q4n)>(1.6.10)
'n=l
^a(s) = £[(1 ~ 02n)(l + З^2"”1 cos2s 4- 94n~2)(1.6.11)
n=l■
И.
^4(s) ^ П(1 ~ ^П^ ~ 2q2n7x cos 2s 4- 94n"2).(1.6.12)
n=l'
Формула суммирования Бейли — Даума33
g-аналог формулы суммирования Заальшютца
Пфаффу [Р5] принадлежит формула суммирования
зГ2(а,6,-п;с,1 + а + Ь-с-п;1)=^-7^—^, п = 0,1,..., (1.7.1) .-а- Ь)п
ддя обрывающегося сбалансированного ряда 3^2(1) с аргументом, равным единице. Эта формула была переоткрыта Заальшютцем [S1] и обычно называется формулой Заальшютца или Пфаффа — Заальшютца (см. [А91]). Для получения g-аналога формулы (1.7.1) отметим, что поскольку, согласно (1.3.2),
• (abz/c; q)ОО^ (ab/c; g)t к
■(г; «)оо^ toq^k ’
то правая часть (1.4.3) равна
"у у W^ q)k(c/a,c/b; q)m < «ЬХ™ zk+m
^ ^0.to ^’с; 9)mVс /
и поэтому, приравнивая коэффициенты при zn в обеих частях (1.4.3), мы получим
, у с/а,с/Ь;д), ■ _ (a,b;g)n.
’^ (q,c1cqi-nlab;q)j (c,ab/c;q)n:
Замена а и b соответственно на с/а и с/b приводит к следующей сумме для обрывающегося сбалансированного ряда 3^:
з^МГ^'^м) = ^“'^Х п = 0,1,..., (1.7.2) (с, с/ao; q)n
которая впервые была выведена Джексоном [Д5]. Очевидно, что (1.7.1) следует из (1.7.2) после замены а,6 и с в (1.7.2) соответственно на qa,qb и qc и при q —► 1. Отметим, что (1.7.2) при а —> оо переходит в (1.5.2), а при a —► О — в (1.5.3).
Формула суммирования Вейли — Даума
Бейли [Вб] и Даум [D1] независимо друг от друга вывели формулу суммирования.
1Ф1 («, b; aqjb, q, -q/b) =1Ф1 («, b; aqjb, q, -q/b) =(-g;g)<»(«g,aq2/b2;g2)oo(ag/6, -g/6; g)»(-g;g)<»(«g,aq2/b2;g2)oo(ag/6, -g/6; g)»(1.8.1)(1.8.1)
1Ф1 («, b; aqjb, q, -q/b) =
1Ф1 («, b; aqjb, q, -q/b) =
(-g;g)<»(«g,aq2/b2;g2)oo(ag/6, -g/6; g)»
(-g;g)<»(«g,aq2/b2;g2)oo(ag/6, -g/6; g)»
(1.8.1)
(1.8.1)
которая является g-аналогом формулы Куммера
3—14493—14492Fi(a,5; 1 + а — 5; -1) =2Fi(a,5; 1 + а — 5; -1) =Г(1 + а - 6)Г(1 + |а)
3—1449
3—1449
2Fi(a,5; 1 + а — 5; -1) =
2Fi(a,5; 1 + а — 5; -1) =
Г(1 + в)Г(1 + 1а-6)‘
г 4-2 Fr 4-1г 4-2 Fr 4-1Г(Н-Г)Г(£^(г^^Г(1 + Ь-а) (bi)mi---(Mm^ ’Г(Н-Г)Г(£^(г^^Г(1 + Ь-а) (bi)mi---(Mm^ ’где, как обычно, предполагается, что ни один из сомножителей в знаменателях членов ряда не обращается в нуль. Карлссон [К 17] показал, что равенство (1.9.1) справедливо также в том случае, когда параметр а не является отрицательным целым числом, но ряд сходится, т. е. если Re(—a) > ini Н+ mr - 1, и вывел из (1.9.1), чтогде, как обычно, предполагается, что ни один из сомножителей в знаменателях членов ряда не обращается в нуль. Карлссон [К 17] показал, что равенство (1.9.1) справедливо также в том случае, когда параметр а не является отрицательным целым числом, но ряд сходится, т. е. если Re(—a) > ini Н+ mr - 1, и вывел из (1.9.1), что-(7711 4----4-тг),614-7П1, 61,..., br-(7711 4----4-тг),614-7П1, 61,..., br
г 4-2 Fr 4-1
г 4-2 Fr 4-1
Г(Н-Г)Г(£^(г^^
Г(1 + Ь-а) (bi)mi---(Mm^ ’
Г(Н-Г)Г(£^(г^^
Г(1 + Ь-а) (bi)mi---(Mm^ ’
где, как обычно, предполагается, что ни один из сомножителей в знаменателях членов ряда не обращается в нуль. Карлссон [К 17] показал, что равенство (1.9.1) справедливо также в том случае, когда параметр а не является отрицательным целым числом, но ряд сходится, т. е. если Re(—a) > ini Н+ mr - 1, и вывел из (1.9.1), что
где, как обычно, предполагается, что ни один из сомножителей в знаменателях членов ряда не обращается в нуль. Карлссон [К 17] показал, что равенство (1.9.1) справедливо также в том случае, когда параметр а не является отрицательным целым числом, но ряд сходится, т. е. если Re(—a) > ini Н+ mr - 1, и вывел из (1.9.1), что
-(7711 4----4-тг),614-7П1, 61,..., br
-(7711 4----4-тг),614-7П1, 61,..., br
Формулу (1.8.1) легко получить из (1.4.1), используя равенство (1.2.40) и предельный случай формулы (1.2.39), а именно (а; 9)00 = (а>а9;92)<х>> чтобы убедиться в том, что
2^i(«,6;og/6;g, -q/b)
2<t>x(qlb,-qlb-,-q\ q,a)2<t>x(qlb,-qlb-,-q\ q,a)(«,-9:9)00(«9/6, -qlb-^oo
2<t>x(qlb,-qlb-,-q\ q,a)
2<t>x(qlb,-qlb-,-q\ q,a)
(aq/b, -q/b; g).» ^ (g2; g2 )„
(согласно (1.3.2))(согласно (1.3.2))_(«,-9:9)00(«92/62;g2)oo
(согласно (1.3.2))
(согласно (1.3.2))
(«»/6,-9/6; »)oo(«;92)oo
_ (-9;9)оо(«9,«92/62;92)оо
(09/6, —g/b; 5)00■
9-аналоги формул суммированияКарлссона — Минтона
Минтон [М24] показал, что если а — отрицательное целое число, а mi, тп2,.. •, ттгг — неотрицательные целые числа, такие, что —a > 7П1 + • • • + ттгг, то .
(1.9.1)
(1.9.3)(1.9.3)mi4-— 4-mr (^1 + * * * + 7ПГ)!
(1.9.3)
(1.9.3)
(^1 )mi * * * (^r)mP
Эти формулы особенцо полезны для вычисления сумм, появляющихся при решении некоторых задач в теоретической физике, например, в связи с коэффициентами Рака. Они были также использованы Гаспером
3535g-формулы Карлссона — Минтона
35
35
[G19] для доказательства ортогональности на (0,2тг) определенных функций, появившихся в работе Грайнера [G49] по сферическим гармоникам на группе Гейзенберга. Здесь мы изложим вывод Гаспера [G19] д-аналогов рассмотренных выше формул. Некоторые из формул, выведенных ниже, будут использованы в гл. 7 для доказательства соотношения ортогональности непрерывных ультрасферических д-полиномов.
Отметим, что если тип являются неотрицательными целыми числами, причем т > п, то .
1 (л—ТХ л—т*к • л — ^ТЧ ’ ^п «-^зФхкЧ ^Ч >^г,g,g)— , в . g
.Ч)п
согласно (1.5.3), и, следовательно,
.01,..у' («1,оо т.01,..у' («1,оо т.,аТ,ЬТЧ А А. ..,Or;g)n ^n V^ (<? П,»Ч m\4)k mn+k• • •, 5r—i; g)n ^_0 ^Ч^Ь/чЧ^к.,аТ,ЬТЧ А А. ..,Or;g)n ^n V^ (<? П,»Ч m\4)k mn+k• • •, 5r—i; g)n ^_0 ^Ч^Ь/чЧ^к• t«r;»)n(»"m;»)fc• t«r;»)n(»"m;»)fcп=0 к=0 ^’ * * * ’ ^г“1’ ^)п(^’ Ч^п—к^Ч» ^ri Ч^к^=Q\Ч1®1^ • • • »®Ti4)kп=0 к=0 ^’ * * * ’ ^г“1’ ^)п(^’ Ч^п—к^Ч» ^ri Ч^к^=Q\Ч1®1^ • • • »®Ti4)kк^тпЛ-к—п^+(2)к^тпЛ-к—п^+(2)
.01,..
у' («1,оо т
.01,..
у' («1,оо т
.,аТ,ЬТЧ А А
. ..,Or;g)n ^n V^ (<? П,»Ч m\4)k mn+k
• • •, 5r—i; g)n ^_0 ^Ч^Ь/чЧ^к
.,аТ,ЬТЧ А А
. ..,Or;g)n ^n V^ (<? П,»Ч m\4)k mn+k
• • •, 5r—i; g)n ^_0 ^Ч^Ь/чЧ^к
• t«r;»)n(»"m;»)fc
• t«r;»)n(»"m;»)fc
п=0 к=0 ^’ * * * ’ ^г“1’ ^)п(^’ Ч^п—к^Ч» ^ri Ч^к
^=Q\Ч1®1^ • • • »®Ti4)k
п=0 к=0 ^’ * * * ’ ^г“1’ ^)п(^’ Ч^п—к^Ч» ^ri Ч^к
^=Q\Ч1®1^ • • • »®Ti4)k
к^тпЛ-к—п^+(2)
к^тпЛ-к—п^+(2)
>>‘ aig*,...,®^* m_k к лк к nki4tz4
>
>
[&ig ,...,&r_ig.
Это разложение является g-аналогом формулы, использованной Минтоном [М24, (4)].'*
Когда г = 2, формулы (1.9.4), (1.5.1) и (1.5.3) дают
, a, 5, &ig™ i i_m ^Чч bqla, g)oo . ( —m 1.1\
302 кл к »4i® Ч — /«/\2Ф1\Ч>®,vi,g,д)
L ьЧ)ЬгкЬчл!<цч)«>
_ (9,6»/«;»)oo(6i/6;»)m.m„ ,х
Ичкл^Ьх^т■ц ;
при условии, что |a~1g1~m| < 1. Из (1.9.4) и (1.9.5) по индукции выводится, что если mi,..., mr являются неотрицательными целыми числами и |a“1g1‘"^mi^^mr)| < 1, то■
,Го,5,51дт1,...,Ьгчтт ~i i-(mi+...+mr)
[6g,6i,...,6r Q.
(д, Ьд/щ д)^ (J)ilb\ 4^mi * * * ^bTjb\ ч^тТ ^mi^....^.mr ^4^41^4^00 (^1» Ч)т! * * ‘(bri Ч}тТ
что является ^-анало^ом формулы (1.9.1). Формулу (1.9.1) можно вывести из (1.9.6), заменяя а, 6, &i,..., Ьг соответственно наg®,gb,qbl^...1qbr и устремляя д к 1.
Подстановка br = b,mr = 1 и замена г на г 4* 1 в (1.9.6) дают
тогда как переход к пределу Ь -* оо при а =. ^4mi*—*mr) в (1.9.6) приводит к''тогда как переход к пределу Ь -* оо при а =. ^4mi*—*mr) в (1.9.6) приводит к''^4mi+-4mP)^ ^^mi , 61,..., 6Г^4mi+-4mP)^ ^^mi , 61,..., 6Г
тогда как переход к пределу Ь -* оо при а =. ^4mi*—*mr) в (1.9.6) приводит к''
тогда как переход к пределу Ь -* оо при а =. ^4mi*—*mr) в (1.9.6) приводит к''
^4mi+-4mP)^ ^^mi , 61,..., 6Г
^4mi+-4mP)^ ^^mi , 61,..., 6Г
(^1> ^)mi * * * (^r> ^)тР •(^1> ^)mi * * * (^r> ^)тР •qq-(mi + —+mP)(mi + ’”+mP+l)/2 1,-(mi + —+mP)(mi + ’”+mP+l)/2 1,(1.9.8)(1.9.8)
(^1> ^)mi * * * (^r> ^)тР •
(^1> ^)mi * * * (^r> ^)тР •
q
q
-(mi + —+mP)(mi + ’”+mP+l)/2 1,
-(mi + —+mP)(mi + ’”+mP+l)/2 1,
(1.9.8)
(1.9.8)
что является ^-аналогом (1.9.2) и (1.9.3). Другой д-аналог формулы (1.9.3) можно получить, полагая 6 ~* 0 в (1.9.6), что дает ,
.)ЬТдтг 1 l-(mi + —+mP).)ЬТдтг 1 l-(mi + —+mP)
.)ЬТдтг 1 l-(mi + —+mP)
.)ЬТдтг 1 l-(mi + —+mP)
Ьп(д; q^bj/b; д)т1 • • • (br/b; д)тг (Ьд^д^Ь^д)mi * * * (Ьг; д)тгЬп(д; q^bj/b; д)т1 • • • (br/b; д)тг (Ьд^д^Ь^д)mi * * * (Ьг; д)тгn > mi 4- • • • 4- тттn > mi 4- • • • 4- ттт(1.9.11) #(1.9.11) #
Ьп(д; q^bj/b; д)т1 • • • (br/b; д)тг (Ьд^д^Ь^д)mi * * * (Ьг; д)тг
Ьп(д; q^bj/b; д)т1 • • • (br/b; д)тг (Ьд^д^Ь^д)mi * * * (Ьг; д)тг
n > mi 4- • • • 4- ттт
n > mi 4- • • • 4- ттт
(1.9.11) #
(1.9.11) #
(1.9.9)(1.9.9)= И)^^2^^)+...+(7)
(1.9.9)
(1.9.9)
(я/(ц ^)oo(^i > q^mi * * * (^г> q)mr
при |a~1g1“(mi+‘“+mr)| < 1. ■ '
Кроме того, если a = д-п и n — неотрицательное целое число, то мы можем изменить порядок суммирования рядов в (1.9.6), (1.9.7) и (1.9.9), чтобы получить ■
n > mi 4|-тТ1 (1.9.10)
и следующее обобщение формулы (1.9.8):
д пд пbiqms...,brqm'.0 Л = ИУЧ^)»»^^!!^.bl,...,bT’ ’ J (bi;?)m, •••(6r;?)mr ’biqms...,brqm'.0 Л = ИУЧ^)»»^^!!^.bl,...,bT’ ’ J (bi;?)m, •••(6r;?)mr ’(1.9.12)(1.9.12)
д п
д п
biqms...,brqm'.0 Л = ИУЧ^)»»^^!!^.
bl,...,bT’ ’ J (bi;?)m, •••(6r;?)mr ’
biqms...,brqm'.0 Л = ИУЧ^)»»^^!!^.
bl,...,bT’ ’ J (bi;?)m, •••(6r;?)mr ’
(1.9.12)
(1.9.12)
где п> mi АV тТ) которое также следует из (1.9.10) при b —► оо.
5-гамма-функция и д-бета-функция
Так называемая д-гамма-функция ..•
w=§r^;^-q^"x’0<9<1’(1101)
была введена Томэ [Т2] и позже Джексоном [J5]. Гейне [Н15] дал эквивалентное определение, но без множителя (1 — qY~x. Когда х = п 4-1, а п — неотрицательное целое число, это определение сводится к
Г,(п + 1) = 1(1 + ?)(1 + q + g2) • • •(! + q + • • • + «п-1),(1.10.2)
что, очевидно, стремится к п! при д —► 1". Следовательно, Г,(п 4-1) стремится к Г(п 4-1) = п! при д —► 1"*. Определение Гд(ж) может быть расширено на |g| < 1 путем использования главного значения дх и (1 - д)1^ в (1.10.1).
Чтобы убедиться, что действительно
*Bin Г,(ж) = Г(ж),(1.10.3)
мы приведем простое доказательство, принадлежащее В. Госперу (см. [А67]). В силу (1.10.1)'/
г-<-+*> - та;^ - ^ =(1 - gn^l - д^У
Следовательно,.
= «Г(ж) = Г(ж 4-1)
согласно формуле Эйлера (см. [W15, §12.11]) и хорошо известному функциональному уравнению для гамма-функции.
Г(х 4-1) = жГ(я), Г(1)=1.(1.10.4)
Для более строгого обоснования приведенных выше выкладок см. [К28]. Из (1.10.1) видно, что, аналогично (1.10.4), функция Гд(®) удовлетворяет функциональному уравнению
Л® + ^ = TZy^®)’ ^^ = L(Е10-5>
Аски [А92] изучил аналоги многих хорошо известных свойств гамма- функции, включая ее логарифмическую выпуклость (см. упражнения в v конце этой главы), подтверждающие, что (1.10.1) является естественным аналогом Г(ж).
В силу (1.10.1) очевидно, что Гд(я) имеет полюсы при х = 0,-1, —2,... . Вычет в точке х = —п равен
Пт (х 4- п)Г0(я) = х-*-пПт (х 4- п)Г0(я) = х-*-п»
Пт (х 4- п)Г0(я) = х-*-п
Пт (х 4- п)Г0(я) = х-*-п
(1 - g~n)(l — <^~^ •••(!- q-1) х—-п 1 - qx*n
(1.10.6)(1.10.6)(1 - 8)n+1 (^"^пМ-1'
(1.10.6)
(1.10.6)
Рассматриваемая g-гамма-функция не имеет нулей, а обратная ей функция есть целая функция с нулями при х = 0, — 1, —2,... . Поскольку
'1 11.
.,7п=04-
функция 1/Гд(^) имеет нули при х = —п ± 2тгг&/1п#, где к и п являются неотрицательными целыми числами.
■ В свою очередь, q-аналог формулы удвоения Лежандра
.r(2Z)r(l) = г^гмг^ +1). (1.10.8)
можно легко получить, заметив, чтох
£t2f^2IVl^JL12 — ^’ ®2’ 92)оо /< _ _2\1—2т
'М|)" (e2-,^1;^ U Ч)
= (^Ч1 - 92)*"2х = u + »)*"2ат,(2») и, следовательно,.*
Г,(2х)Гд,(|) = (1 + g)2’-1!^)^^ + 1).(1.10.9)
Аналогично можно показать, что формула умножения Гаусса .
Г^Хг^У”-1)/2 = n^-lr^na: + 1)...^ + ^-)(1.10.10)
п •п
имеет ^-аналог вида.
' Г,(пх)ГгД)ГгД.-.ГЛ^) ' п пп
= (! + »+••• + д"~1)",-1Гг(1г)Гг(а?Гг(» + —-), (1.10.11)
.пп
где т = qn (см. [J5, J9]). При q > 1 ^-гамма-функция рассматривается в упр. 1.23. Другие интересные свойства g-гамма-функции можно найти в работах Аски [А92], Моака [М26, М27], Исмаила, Лорха и Малдуна [ПО].
Поскольку бета-функция определяется формулой
в^у)=S^ *(1лол2)
+ У)
естественно определить q-бета-функцию как
В^" Г,(х + у)’(1Л°ЛЗ)
которая стремится к В(х,у) при q —» 1~. В соответствии с формулами (1.10.1) и (1.3.2)
Вч(х,у) = (1-д)Вч(х,у) = (1-д)(9, 91+у; 9)оо(gx, 9У; 9)00
Вч(х,у) = (1-д)
Вч(х,у) = (1-д)
qnl
(9; 9)°О у (9у;9)п (9"; 9)00 ^ (g;9)n(9; 9)°О у (9у;9)п (9"; 9)00 ^ (g;9)nRe х, Re у > 0. (1.10.14)
(9; 9)°О у (9у;9)п (9"; 9)00 ^ (g;9)n
(9; 9)°О у (9у;9)п (9"; 9)00 ^ (g;9)n
Это разложение в ряд будет использовано в следующем параграфе для вывода q-интегрального представления для Вч^х^у\
g-интеграл
Томэ [Т2, ТЗ] и Джексон [J17] ввели так называемый q-интеграл
1<х> .
Kt) dgt = (l-9)£/(9n)9n,
n=0
и Джексон дал более общее определение
где.
асо
/(i)dgt = a(l-9)^/(«9")9n.
п=0
Джексон определил также интеграл на (0, оо) формулой
ОО00
Kt) dqt = (1 - 9) £ /(9n)9n.
n=—ОО
Двусторонний q-интеграл определяется формулой
/ОООО
Kt) dqt = (1 - q) £ [/(9~)+ /(-9»)]9".
•ОО—— м
(1.11.1)(1.11.2)(1.11.3)(1.11.4)(1.11.5)(1.11.1)(1.11.2)(1.11.3)(1.11.4)(1.11.5)П= —ОО
(1.11.1)
(1.11.2)
(1.11.3)
(1.11.4)
(1.11.5)
(1.11.1)
(1.11.2)
(1.11.3)
(1.11.4)
(1.11.5)
40Базисные гипергеометрические ряды
Если / непрерывна на [0,а], то легко видеть, что
limr/Wdt.(1.11.6)
JoJo
и такой же предел имеет место для (1.11.4) и (1.11.5), когда / выбрана соответствующим образом. В соответствии с (1.11.1) из (1.10.14) следует, что
В^х,^= Гг-!^!^^ Кех>0, у/0,-1,-2,..., (1.11.7)
Jo v4viQ)oo
что, очевидно, стремится к интегралу для бета-функции
В(х, у) = f ^(l - О*-1 &> Re ж, Re у > 0,(1.11.8)
Jo
при q —> 1". Томэ [Т2] переписал формулу Гейне (1.4.1) в форме д-интеграла
2^(9 ,9 ,9 TqWTqkc_bJo (tz,^-^^'(L1L9)
что является g-аналогом интегрального представления Эйлера
№,Ь^ = ЖЖ^»-^ _ 0с-ь-1(1 _ tzya dti (L1L10)
где | arg(l - z)| < 1г и Re c > Re b > 0.
Как мы увидим позднее, обозначения в терминах g-интеграла часто используются для упрощения и работы с различными формулами, содержащими суммы рядов.
Упражнения 1
Проверьте тождества (1.2.30)-( 1.2.40) и покажите, что
0)(09 ";9)n = (9/«;9)n (--1 9
(Ii) (««-";«). = (9/»>9)k \ 9/
,..n(9о^-9о^9)п _ 1 - aq2n
(,U)Xai,-ah9)„ "’
(iv)(a; g)^ = (a^,-ai,(ag)i,-(09)^59)00.
g-биномиальный коэффициент задается формулой
п*
. k . q
_(9;9)п
(959)к(9;9)п-к
Упражнения 1
41
для к '= 0,1,..., п и формулой
Га] _ (qw^a w;g)oo _ rg(a + i)
Ы," (9,g"+1;<?)« "г,(^ + 1)г,(а-^ + 1)
для комплексных а и 3 при |^| < 1. Проверьте, что
0)
(и) (in)
(iv)
(v)
(vi)
pi =(p*( a)k -(*)
fc + al _ (9^2ilk
k* J7~ (^^k
[-a] [a + fc—11_(k\
l = k H? ) 9 (J’ L Л Jg L K Jg
когда к и n — неотрицательные целые числа.
3. (i) Покажите, что биномиальная теорема (или формула бинома)(«W = £(”)«*6n-fe,
где п = 0,1,..., имеет q-аналог вида
(«6; 9)п = ^ [ ^] б*(«; 8)*(Ь; qV-k.
к=0 L J g
(ii) Обобщите указанную выше формулу до q-мультиномиальной теоремы
(aia2---am+1;g)n
—[ n
~кл... ..kt
O<k1,...,O<km L
°2 a3“т+1
•(ei;9)ki(«2;9)lta---(em;9)fc„(em+i;9)n-(fci+-+*:m)1
где m = 1,2,..., n = 0,1,... и
nк^..., km
(g; qV
(g;q)kT ♦ • • (g;q)km(q;q)n-(k^^+km)
есть q-мультиномиальный коэффициент.
(i) Докажите формулу инверсии oi,..., ог
гФ» k k ‘^l2 101,J
_ A (af1,...^^1^-1^ / Of-Or£\ ”^(гЦЛ.-^Г1)» vr-W
Изменением порядка суммирования покажите, что
А (я^ЛЧлд;^^-^^^/61 • • • Ь, 9п+1 \^ (^""/аь.-.,»1""/^;»)* \«i - ar * )А (я^ЛЧлд;^^-^^^/61 • • • Ь, 9п+1 \^ (^""/аь.-.,»1""/^;»)* \«i - ar * )
А (я^ЛЧлд;^^-^^^/61 • • • Ь, 9п+1 \
^ (^""/аь.-.,»1""/^;»)* \«i - ar * )
А (я^ЛЧлд;^^-^^^/61 • • • Ь, 9п+1 \
^ (^""/аь.-.,»1""/^;»)* \«i - ar * )
где п = 0,1,... .
Покажите, что
(^69^9^,(6/с;д)„ А (9 п,с;д)кдк к
(6;9)т^д)п ^ (д^д^/^д^4 ’
Докажите формулы суммирования
vV 1Ф1\Ч ^Ч ^Ч ^Ч ) ~ ,,р х Ч \” 5 Ч)п
1Ф1№с^,с/а)=\ —
(а^Ч£зЧ)оо(^? 4^00(а^Ч£зЧ)оо(^? 4^00Покажите, что для |z| < 1
(а^Ч£зЧ)оо(^? 4^00
(а^Ч£зЧ)оо(^? 4^00
2фl(a2.aq;a;q.z>) = (1 + az)
Покажите, что при |a| < 1 и |6^/a2| < 1
2^i(a2,a2/6; 6; g2,6g/a2)
= (a^^)oo Г (b/а; д)ро(-Ь/а^У
^Ь^Ьч/а^*, ч2)оо . (®? 4)00(~®? ч)оо .
(Эндрюс и Аски [А71])
Обозначим ряд 2^1(0,^;с;Ч^2) через ф^а^Ъ^с). Проверьте q-соотно- шения смеэесности Гейне [Н15]:
(i)<Xa,b,cg ^-^aAc^cz^—
ф(ад,6,с) - ф(аДс) = az~—-ф(ад,Ьд.сд\
<Kaq, 6, eg) - <a, b, c) = azД^ _^■ Ф^Ч, bq,eq2), (iv) ^aq,bq-1,c) - ф(а,Ь,с) = az^ ™™--<j^aq,b,cq).
Обозначив 2ФД<цЬ*1с*1д.1г\ 1фхкаЧ^хЛ\сл^\ 2Фх{а,Ьд±х\с\д,г) и ъФДвЛцед^д^г) соответственно через ф^ ф^ад^^ф^Ьд^1) и ^(сд^1), покажите, что
6(1 - а)ф(ад) - а(1 - Ь^ф^Ьд^ = (6 — а)ф,
а(1 - Ь/е)ф(Ьд~г) - 6(1 - а/е)ф(ад~г>) = (а - 6)(1 - аЬг/сч)фу
g(l - a/c^ag”1) + (1 - а)(1 - abz[c^ag^= [1 + g - а ~ ад,с -V а? г(Д - bja^c^^
(l-c)(g-c)(a6z-c)^(cg~1) + (c-a)(c-6)z^(cg)
= (с - 1)[c(q - с) + (са 4- сб - аб - аЬд^г^ф.
(Гейне [Н15])
Пусть g(0;X,p,v) = (Ле^,^;^)^ 2Ф1(р-е""гв^ve""te;^;чЛег6У Докажите, что функция д(6; X^p^v) симметрична по X^p^v и четна по 9.
Пусть Dq — оператор д-производной^ определяемый для фиксированного д формулой
W) =W) =Д^УДд^(1 - д>Д^УДд^(1 - д>
W) =
W) =
Д^УДд^(1 - д>
Д^УДд^(1 - д>
и пусть DqU = Pg(DJ~1u) для п = 1,2,... . Покажите, что
lim Dqf(z) = у- f(z), если / дифференцируема в точке z, ^—♦1az
2Ф1(«Чп,bqn;cqn;q,dz),2Ф1(«Чп,bqn;cqn;q,dz),(с1а,с/Ь-,д)п f a6\(c;g)n(l-9)n \ c J(с1а,с/Ь-,д)п f a6\(c;g)n(l-9)n \ c J(zqn;q)oo(abz/c; q)»(zqn;q)oo(abz/c; q)»2<^(a,b;cqn;q, zqn).2<^(a,b;cqn;q, zqn).
2Ф1(«Чп,bqn;cqn;q,dz),
2Ф1(«Чп,bqn;cqn;q,dz),
(с1а,с/Ь-,д)п f a6\(c;g)n(l-9)n \ c J
(с1а,с/Ь-,д)п f a6\(c;g)n(l-9)n \ c J
(zqn;q)oo(abz/c; q)»
(zqn;q)oo(abz/c; q)»
2<^(a,b;cqn;q, zqn).
2<^(a,b;cqn;q, zqn).
Покажите, что u^z) = 2^1 («>b;c;q,z) удовлетворяет (для |z| < 1 и как формальный степенной ряд) q-дифференциальному уравнению
второго порядка
z(c - abqz^DgU +LI — 9z(c - abqz^DgU +LI — 91-91-9® DqU® DqU
z(c - abqz^DgU +
LI — 9
z(c - abqz^DgU +
LI — 9
1-9
1-9
® DqU
® DqU
(1 —a)(l —6) n(1-9)1 “"°’
где Pt определяется так же, как и в уцр. 1.12. Заменив а, 6, с соответственно на 9а,9ь,9с и устремив q к 1~, покажите, что приведенное выше уравнение стремится к дифференциальному уравнению второго порядка
z(l — z)v" + [с — (a + b + l)z]t/ — abe = 0
для гипергеометрической функции v(z) = jFi(a,b\c\z\ где |z| < 1. (Гейне [H15])
Пусть |z| < 1, а функции с4(х) и £7(х) определены так же, как и в §1.3. Положим
. e,(tz) - e,(-iz)“”»(») = - 2- . e,(tz) - e,(-iz)“”»(») = - 2- cos?(a:) =cos?(a:) =ea^ + esH®)ea^ + esH®)A(~i)2®^1^o (9;9)2n+i~ (-1)^2»A(~i)2®^1^o (9;9)2n+i~ (-1)^2»22п=0п=0(9;9)г„ '(9;9)г„ '
. e,(tz) - e,(-iz)
“”»(») = - 2-
. e,(tz) - e,(-iz)
“”»(») = - 2-
cos?(a:) =
cos?(a:) =
ea^ + esH®)
ea^ + esH®)
A(~i)2®^1^o (9;9)2n+i~ (-1)^2»
A(~i)2®^1^o (9;9)2n+i~ (-1)^2»
2
2
п=0
п=0
(9;9)г„ '
(9;9)г„ '
Положим также
Sing(®) =Sing(®) =Ед^гх) — Eg^-ix^Ед^гх) — Eg^-ix^2i2i, Cosg(®) =, Cosg(®) =Eq(ix) + Eq(-ix)Eq(ix) + Eq(-ix)22
Sing(®) =
Sing(®) =
Ед^гх) — Eg^-ix^
Ед^гх) — Eg^-ix^
2i
2i
, Cosg(®) =
, Cosg(®) =
Eq(ix) + Eq(-ix)
Eq(ix) + Eq(-ix)
2
2
Покажите, что
(iii)(iv)(iii)(iv)€q(ix) = CO8g(®) + ising(®), Eq^ix) = CoSg(®) + iSing(®), sing(®)Sing(®) 4- cosg(®)CoSg(®) = 1, Sing(®)CO8g(®) - Sing(®)CO8g(®) = 0.
(iii)
(iv)
(iii)
(iv)
В связи с этими и другими тождествами, содержащими ^-аналоги sin® и cos®, см. [Л, Н4].
Докажите формулы преобразования
0)
2 Al
q^bc
1 _ (6z9"n/c;9)
,9’ (bzlc^qy
'oo
оо , |9“п,с/6,0 3^ [ c,cq/bz *9’9 ’
GOGO2^Г2^Г
GO
GO
2^Г
2^Г
кп a ^4”nib,qlz , 1
6 3^ I bq^c '^ZIC\ ’
Упражнения 145
а.(9~"’Ь1. \ч~пЛМ~п1с 1
(Джексон [J6, J23])
Покажите, что
Покажите, что
A (^^кс-аМП-^^п-кХп+к-П/г fro ^
- fa- a\ V'(-b)*^)
(Карлитц [C12])
Покажите, что
^«^a'^\ ^X^hY 2<M«-n>«; ч1~п1^ чл^М ^(чл^чь
= (-«*; ?)oo 2^*1 (<*, a/г2; a2; ч, -*0» И < !•
Используя (1.5.4), покажите, что
,n, \a1q/a .1 _ (iab,bq/a;q1')oo
z..x, Г a2,62.1 _ (a29,fr2»;g2)<x>
'2^ [abqi,-abqi,9’ 9J (9,a262g;g2)oo'
(Эндрюс [A47])
Докажите, что если, Re ®>0и0<д<1,то
Г,(х) = ^q; ?Ц1 -чУ-^т^-,
Покажите, что для 0<д<1и®>0
лп+х
• dx2 ^^^^ = ^n?)2 S цТГ^+Тр
а это доказывает, что In Г,(ж) является выпуклой функцией для х > 0 при 0 < q < 1.
Обратно, докажите, что если функция /(х) удовлетворяет условиям
/(х + 1) = 1/(ж) для некоторых ^,0 < q < 1, I
кп = 1/
и 1п/(х) является выпуклой для , х > 0, то /(х) = Fgfc). Это ^-аналог Аски [А92] теоремы Бора — Моллерапа [В36] для f (ж). Два обобщения на случай, когда q > 1 (где Гд(х) определена та# же, как и в следующем упражнении), приведены у Моака [М27].
При q > 1 д-гамма-функция определяется формулой
г»(*)=К’^^!00^ -i)1-v(-i)/2.
\Ч 14 Joo
Покажите, что эта функция также удовлетворяет функциональному уравнению (1.10.5) и что Гд(х) —► Г(х) при q -♦ 1+. Покажите, что для q > 1 вычет Гд(х) в точке х = —п равен\
(g - l)"^1^”»1)(g;g)„lng
Джексон [J6, J7, ЛО] определил следующие q-аналоги функций Бесселя:
^Ч®^) = ^^Цх/ау ^(О.О^д.-х2^),
т(2)/\C^^ i ф)со /-у+1X^q^^ \
.хчлЗоо\4 /
где 0 < q < 1. Данные обозначения для q^ywcttuti Бесселя принадлежат Исмаилу [13,14]. Покажите, что
j(2)(x;g)=(-x2/4;g)oojW(it;g), |х| < 2, (Хан [Н4])
И
nmjW(z(l-g);g)= Jv^, t = l,2.
g—^1
Докажите, что для ^-функций Бесселя, определенных в упр. 1.24, 0)^^iC®;«) = ^-^^(s; 9) - ^1^ ч\ к = 1,2;
^(^h-») = 9"/2 (4П(®; 9) + |^+1 (ж; д));
jW^^) = 9^/2 (^(я;?) - ^J^Cx-.q)) .
Следуя Исмаилу [14], положим
\М®) = 41Ч®;д)^(®^д)-«^(^
5кажите, что
Л(®»^) = (1 + — J Л(®), ыведите отсюда, что для нецелых v i /Л®) = q-^q^q1-^)-»/^,-®2/^».
Покажите, что
Д^ tnjn4®\q)=(-®2lbq)xe№
in=—оо
Это^есть ^-аналог производящей функции
1у Vj^) = е*(‘-<_1)/2.
П=—ОО
Непрерывные q-полиномы Эрмита определены у Аски и Исмаила [А119] формулой
Яп(*|») = У ^^—еК"-»)*,^Чя^кСя^п-к
где х = cos# (см. [S46], (С1, С2, С4, С5] и [R30, R32]). Получите производящую функцию
(Роджерс [R30])
Непрерывные улътрасферические q-полиномы определены у Аски и Исмаила [А119] формулой
^ (q;q)k(q; q)n-k
где х = cos 0. Покажите, что
(^> ^)n _in6 / Q п Cnv^pvu - е^igi-тЯ^Р €
_ (/32;9)пд-п -in# , \q-",P,Pe2ie п
limCn(x;9A|g) = С^(т) q~*l
ОО
^^te^^q^
п=0
(ie^jie-^;^
|t| < 1. (Роджерс [$31])
1.30.
Покажите, что если mi,..., mT — неотрицательные целые
0)
,4>, bl qmi,..., bTqm' д
_ (^ q^oo^l/b; g)mi • * • (^r/6; q^mT Lm
00
(bq;q)ОО (^li ?)mi
,b^,... ybr
bxqm',...,brqm'bi, • • • )bf
(^n q^mT
; q. q
= 0
ела, то
(^1» q)mi * * * (Ьг; q)mr
(Гаспер [G18]);
1.31.1.31.Пусть Дь обозначает q-разностный оператор, определяемый для фиксированного q формулой,/
1.31.
1.31.
,■ Дб/(г) = 6/(gz) -/(z),.
и пусть Д = Дь Покажите, что если
Vn(z) = ^lKL2L^i»K(_l)(l+»-^
то
( ДД ^j/g Д ^^g ’ • ’ Д ^л /g)'U^(^).
= 4Да1Да2---Даг)уп_1(^1+5"г), n = 1,2,....
С помощью этого докажите, что базисный гипергеометрический ряд■•
■^) = тф8(а1,...,аг;Ь1,...,Ь8^,2>)-
удовлетворяет (как формальный степенной ряд) д-разностному уравнению
1:32.1:32.(ДДЬ1/дД6з/д • --^Jq^z) = z(AO1 • • • Двг)^(^1+в“Г). Это есть q- аналог формального дифференциального уравнения для обобщенного гипергеометрического ряда, приведенного, например, в работах Хенричи [Н17, теорема (1.5)] и Слетер [S22, (2.1.2.1)]. Малые q-полиномы Якоби определяются формулой
1:32.
1:32.
Рп(®; в, Ь; ?) = 2Ф1 (g~n, abq’1"'"1; aq; q,qx\
Упражнения 1
49
окажите, что эти полиномы удовлетворяют соотношению ортого- ьности
12 7^1^,рп^'а'6; sWdh °’6?«)
О _(51М2(к1«№2)1 Wiqbo (aq^ah^^^
(Эндрюс и Аски [А71])
при m / п, при m = п.
1.33. По
, что для приведенных выше g-полиномов Якоби справед
лива} формула
5
p„(x;c,d;g) = ^afc,npfc(x;a,6;g),Jb=O
где
_ U*^aq,cdqn+\q)k qk-^cdqn^M,aqw . J
~ ^abqk^k ^ ,cqk^abq^ ’^J ’
(Эндрюс и Аски [A71])
1.34. (i) При условии, что m,mi,m2,...,mr — произвольные неотрица-тельные целые числа и |a~1gm+1~^mi+*”+mr)| < if покажите, что
r+2^r+l f “’Ь’ ^\"' ’ ЬтГ' ;
bq1+m,bi,...,br
= (9, bg/а; 9)00(69; д^Ьт/Ь; q)mi • • • (6r/6; q)m, 6mi4....+m,_m
(69,»/a; 9)00(9; 9)m(6i;9)m!
, Г q-^b^bq/bt^.^bq/br ]
r+2 r+1 \.bq/a,bq1~mi/b1,...,bq1-m'/br’9’9J ’
(ii) при условии, что mi,m2,.,..,mT — неотрицательные целые числа и |a~1g1~(mi+” +m»-)| < 1, |Cg| < 1? покажите, что
г+2^г+1;?>e_lgl_(mi+..4mr)l
bcq, <>1,..., or
_ (Ьд/а1сд1д^оо (b\/b',q)mi • ••^br/b; 9)m, ^mi + —+m.
(beg, g/a; 9).» (fri; 9)mi • • • (6r; 9)m,
c~1,6,b9/b1,...,69/6r
’r+2<^r+1 (bg/^bg'-^/b!,...^1-™^^ -
(Гаспер [G18])^
4—1449
Используя упр. 1.2(v), докажите, что если х и у являются
торыми величинами, удовлетворяющими соотношению жу = qtx, q коммутирует с х и у и выполняется закон ассоциативности, тю
*=о*=о.к..к.(х + У)" = £
*=о
*=о
.к.
.к.
*=о
(См. [С37], [F2], [КЗО], [S3] и [Y1].)
§1.1 и 1.2. Дополнительный материал по гипергеометрическим рядам и ортогональным полиномам см., например, в книгах [Е2], [R2i], [S48],§1.1 и 1.2. Дополнительный материал по гипергеометрическим рядам и ортогональным полиномам см., например, в книгах [Е2], [R2i], [S48],Примечания 1
§1.1 и 1.2. Дополнительный материал по гипергеометрическим рядам и ортогональным полиномам см., например, в книгах [Е2], [R2i], [S48],
§1.1 и 1.2. Дополнительный материал по гипергеометрическим рядам и ортогональным полиномам см., например, в книгах [Е2], [R2i], [S48],
XX VZy XVZX VJXXQwXDXXDXJDlL ХХХЛ*ХхХХХКЛЯХ<ЫЯХ Х*дЖ1 • ^ ИСД|ЛЛ^/Ж*дЖ1Х5^/ j D ХХхХхХХ xXVX 1 Л-J**] j I Х\>Х<4и1 } IkJ *W]j [W15], [All], [С15], [С31], [Н17], [L9], [М9], [N9], [V5] и [W10]. Техника ис
пользования таких программ для проведения аналитических вычислений на ЭВМ, как Mathematica и Macsyma, для вывода формул, содержащих гипергеометрические и базисные гипергеометрические ряды, обсуждается у Гаспера [G28]. "
-1.5. g-биномиальная теорема рассматривалась также в работе Якоби [J35] вместе с q-формулой Вандермонда. Биективные доказательства g-биномиальной теоремы, формулы преобразования Гейне для 2^1 и q-аналога формулы суммирования Гаусса, q- формулы Заальшютца и других результатов можно найти в работе Иоичи и Стентона [J50]. Бендер [В28] использовал разбиения для вывода обобщения д-формулы Вандермонда в виде обобщенной q-биномиальной свертки Вандермонда.
. Другие доказательства тождества Якоби и/или его приложения содержатся в работах А2], [А37], [С23], [Е5], [G54], [J51], [KI], [К2], [L4], [L6], [Ml], [М7], [М12], [S41], [S45] и [W21]. По поводу тета-функций см. работы [А2], [А108], [В27]; отметим также использование Йенсеном тета-функций (см. [Р6]) для вывода необходимых и достаточных условий справедливости гипотезы Римана. ' '
. Некоторые приложения д-формулы Заальшютца содержатся в работах [С9] и [W22].
. Формулы (1.9.3) и (1.9.8) были переоткрыты Густафсоном [G51, теоремы 3.15 и 3.18] при исследовании ортогональных полиномов многих переменных. '
. См. также работы Джексона [J21], [J29] и в связи с дробными g-интегралами и g-производными статьи Аль-Салама [А 19] и Агарвала [А13]. Теплиц [Т5, с. 53-55] отмечал, что примерно в 1650 г. Ферма использовал риманову сумму типа g-интеграла для вычисления определенного интеграла от хк на интервале [0,6].
Упр. 1.2. g-биномиальный коэффициентУпр. 1.2. g-биномиальный коэффициент. к. к, который также назы-, который также назы-
Упр. 1.2. g-биномиальный коэффициент
Упр. 1.2. g-биномиальный коэффициент
. к
. к
, который также назы-
, который также назы-
вают гауссовым биномиальным коэффициентом, определяет число
А:-мерйых подпространств n-мерного векторного пространства над полем из q элементов (см. [G45]) и является производящей функцией относительно ^степеней q для разбиений на не более чем к частей, не превос- ходящик п — к ([S45]). Он возникает в таких различных областях как анализ, ^программирование, геометрия, теория чисел, физика и статистика. Ом., например, работы [А16], [А45], [А53], [В14], [В24], [В29], [D15], D20], [А], [Н9], [II], [J48], [J49], [К16], [К18, §31.25], [К21], [К22], [Р7], [Р8], S48, §2.Й и [Z1], Сильвестер [S44] использовал развитую им и Кэли теорию инвариантов для доказательства того, что коэффициенты гауссова
полиномаполинома= Edjq3 унимодальны. Конструктивное доказательство
полинома
полинома
было недавно предложено О’Харой [01]. См. также [В54], [Р7] и [Z5]-[Z7].
Унимодальность последовательностиУнимодальность последовательностиTni , Л \: к = 0,1,..., п ] явно проде- . к q/Tni , Л \: к = 0,1,..., п ] явно проде- . к q/монстрироЬана в работах [А16, теорема 3.13] и [М2, с. 67].монстрироЬана в работах [А16, теорема 3.13] и [М2, с. 67].
Унимодальность последовательности
Унимодальность последовательности
Tni , Л \
: к = 0,1,..., п ] явно проде- . к q/
Tni , Л \
: к = 0,1,..., п ] явно проде- . к q/
монстрироЬана в работах [А16, теорема 3.13] и [М2, с. 67].
монстрироЬана в работах [А16, теорема 3.13] и [М2, с. 67].
Упр. 1,3. Циглер [С37] вывел операторную форму д-биномиальной теоремы. Макмагон [М5, статьи 105-107] показал, что при перестановках мультимножества производящей функцией для инверсий является g-мультиномиальный коэффициент. См. также [С6], [КЗ] и [К22, с. 33, упр. 16]. Несколько лет назад Гаспер получил g-мультиномиальную теорему из раздела (п), используя g-биномиальную теорему и математическую индукцию. Дж. Эндрюс в письме 1988 г. отметил, что эту теорему можно получить с помощью формулы разложения для g-функции Лауричел- лы Фр, приведенной в [А46, (4.1)], и g-суммы Вандермонда. Некоторые суммы д-мультиномиальных коэффициентов рассмотрены у Брессу *[В42], [В47]. См. также [Аб].
Упр. 1.8. Джайн [J38] показал, что сумма в этом упражнении эквивалентна сумме определенного ряда 2^2, и просуммировал некоторые другие ряды 2^2- '
Упр. 1.10. Аналогичные рекуррентные соотношения для ряда хф^ приведены в [S19].
Упр. 1.12 и 1.13. В литературе используются также обозначения Ag,tfg и Dq для данного оператора д-производной. Мы использовали рукописную букву Dq для тогр, чтобы отличать этот оператор д-производ- ной от оператора д-производной, определенной согласно (7.7.3), и от д- разностного оператора, определенного в упр. 1.31. Другие результаты, относящиеся к д-производным, содержатся в работах [Al], [А9], [А40], [А45], [С16], [Н2], [Н4], [Н5]-[Н7], [Ill], [J8], [J12], [J16], [J18], [J19], [М10], [М23], [S38] и [Тб]. Дробные g-производные и g-интегралы можно найти в статьях [А 13], [А29], [АЗО]. Некоторые «д-ряды Тейлора» рассмотрены в работах ИЗ], [J14], [W1].
Упр. 1.14. Определение g-тангенса и д-секанса и некоторые их свойства приведены в работах[А83] и [F7].
Упр. 1.22. Другое характеризационное свойство для Гд приведено у Кейриса и Малдуна [К13]. ' /
Упр. 1.24-1.27. Дополнительные формулы, относящиеся к ^функциям Бесселя, содержатся в работах [J1]-[J4], [Л1], [112], [RIOL [R13], [R15], [R16]. / .
Упр. 1.28. См. также производящие функции для непрерывных g-полиномов Эрмита, полученные Карлитцем [С7], [СЮ] и Брессу [В44], и применения к модулярным формам в [В51].
Упр. 1.32. Масуда и др. [Мб] показали, что матричные элементы, возникающие при изучении представлений некоторых квантовых групп, могут быть выражены через малые g-полиномы Якоби, что, согласно соответствующей форме теоремы Петера — Вейля, приводит к соотношению ортогональности для этих полиномов. Приближения Падэ для производящей функции моментов для случая малых g-полиномов Якоби используются Эндрюсом, Гоулденом и Д. Джексоном [А85] для обоснования и обобщения метода Шапка, применяемого для ускорения сходимости последовательностей .
ФОРМУЛЫ СУММИРОВАНИЯ, ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИРАЗЛОЖЕНИЯ
2.1. Вполне уравновешенные, почти уравновешенные исовершенно уравновешенные гипергеометрические ибазисные гипергеометрические ряды
Гипергеометрический ряд
а1,а2»—»яг+1 еа1,а2»—»яг+1 е(2.1.1)(2.1.1)
а1,а2»—»яг+1 е
а1,а2»—»яг+1 е
(2.1.1)
(2.1.1)
называется вполне уравновешенным, если его параметры удовлетворяют соотношениям
1 4* Oi ~ 02 4* ^1 — °з 4* ^2 — ••• = аг+1 4" Ьг.(2.1.2)
Этот ряд называется почти уравновешенным, если все, за исключением одной из рассмотренных выше пар параметров (считая 1 первым параметром знаменателя), имеют одинаковую сумму. Ряд (2.1.1) называется почти уравновешенным рядом первого рода, если
1 4* Oi т^ 02 4" ^1 = оз 4* ^2 = * * * = аг+1 4* Ьг,(2.1.3)
и пьчти уравновешенным рядом второго рода, если•#
4* oi = 02 4" &i = оз 4* ^2 = * • * = °г 4* ^г—1 / аг+1 4* ЬТ.(2.1.4)
Поскольку порядок суммирования обрывающегося почти уравновешенного ряда можно изменить, не изменяя самого ряда, то полученный ряд будет рядом либо первого, либо второго рода.
Формула суммирования Куммера (1.8.2) дает сумму вполне уравновешенного ряда 2^1 с аргументом, равным —1. Другой пример суммируемого вполне уравновешенного ряда задается формулой Диксона [D12]
з^2 [я, b, с; 1 4- а - b, 1 4- а - с; 1]
= г(п4о)г(н^№
Г(1 + а)Г(1 + |а - 6)Г(1 + |а - с)Г(1 + а - 6 - с)’^ ’ ' ^
Re (1 + |а — 6 — с) > 0, которая сводится к формуле Куммера (1.8.2) при С —► —ОО.
✓ Если ряд (2.1.1) вполне уравновешенный и 02 = 1 + |°1> то он называется совершенно уравновешенным. Формулы суммирования Дуголла [D14] . .
7-^67-^6а, 1 + ^а, Ь, с, d, е, —п,
7-^6
7-^6
^а, 1 + а — b, 1 4- а — с,1 -t- а — d,l Л- а — е, 1 + а + п1
(2.1.6)(2.1.6)(1 + а)п(1 Л-а-Ь- с)п(1 + а - & - d)n(l + а - с - d)n
(2.1.6)
(2.1.6)
(1 + а - 6)п(1 + а - с)п(1 + а - d)n(l + а - b - с - d)n ’
когда ряд является дважды сбалансированным (т. е. 1 + 2а + п = & + с + d + e), и
бДбДа, 1 + |а, 6, с, d е |а, 1 + а — 6,1 + а — с, 1 + а — d’
бД
бД
Г(1 + а - 6)Г(1 -Ра - с)Г(1 -Ра - </)Г(1 A-a-b-c-d^
Г(1 -Р а)Г(1 -Р а - b - с)Г(1 + а - b - ^)Г( 1 + а - с - <Г)
при Re (1+а—b—с—d) > 0 иллюстрируют важность совершенно уравновешенных рядов. Обратите внимание, что формула Диксона (2.1.5) следует из (2.1.7) при подстановке d = ^а. .
Аналогично гипергеометрическому случаю мы назовем базисный гипергеометрический ряд
г+1^гг+1^г(2.1.8)
г+1^г
г+1^г
вполне уравновешенным, если его параметры удовлетворяют соотношениям
• qa\ = a^bi = а^ = • • • = ar^br,' (2.1.9)
44
совершенно уравновешенным, если вдобавок аг = 9а1 ?аз = ~9°i » почти уравновешенным рядом первого рода, если ,
9°1 ^ °2&1 = азЬ1 =9°1 ^ °2&1 = азЬ1 =VIVI
9°1 ^ °2&1 = азЬ1 =
9°1 ^ °2&1 = азЬ1 =
VI
VI
и почти уравновешенным рядом второго рода, если
(2.1.10)(2.1.10)qa^ — азЬ^ —- азЬз —- • • • — a^b^_j ^ а^^.^6^.
(2.1.10)
(2.1.10)
В этой главе в первую очередь нас будут интересовать формулы суммирования и преобразования для совершенно уравновешенных базисных гипергеометрических рядов. Для упрощения записи доказательств, в которых появляются вполне уравновешенные ряды Т^1фГ) в этой и последующих главах мы будем часто заменять
тА-1ФттА-1Фт\q^\q^ai>9®i ) ?a^ , a^,..., ar^_ja^, a^, qa.\!a^,..., qo-x!o»r-v\
тА-1Фт
тА-1Фт
\q^
\q^
более компактным обозначением
r+l РГГ (®1, ®4> ®5 > • • • > ®г4-1» 9> ^) •
(2.1.11)
Однако в основных формулах мы будем по-прежнему использовать обозначение т^хфт) поскольку для большинства приложений необходимо знать параметры знаменателя.
2.2. Общая формула разложения
Пусть а, 5, с являются произвольными параметрами, а к — неотрицательное целое число. Тогда, согласно формуле Заальшютца (1.7.2),
з&(» k,aqk,aq/bc;aq/b,aq/c;q,q')
_ (с, д2~к/Ь;д)к _ (b,c;q>k , /aq\kkag/b,cq-k/a;q)k \aqlb,aq/c-,q)k Xbc) ’
так что
У kb,c,g n;g)k л
^ kg, ^/b, aq/c; q)k k
у^у^кад/Ьс,адк,д k;g)ikg ";»)* ^ ^kg, «д/b, aq/c- q^kq-, q)k
^^код/Ьм/^^j
=t£^ kq^qlbiaq/c^q^kq^q^i 4
JL (aq/bc,aq\q-n;qY .
У 12LAAIi_2_2i (-lYq-ki)
4^ kq^ql^aq/c^j v '
А кч5"плд25;д\ _ц fbcV*j л
•^^ «мммммммвмвммма^ммммнма^мм^ Q • I *•■■■ I21
^ kg,agj;g), \agj
(2.2.2)
где {Л*} — произвольная последовательность. Это эквивалентно лемме Бейли (В 10]. Выбирая
* _ к®, °1, • • •, ат", д)к кк~ kbi,b2,...,br+1;q)k’
(2.2.3)
мы получим формулу разложения
а,Ь,с,а1,а2,...,аг,9-”
ag/byaq/c,b^^b^^ * ~ * ybr,^r+i.
А _^в9/Ьс2«ьвъ—2^Il£2i^
^ (g, aq/b, aq/c, b^,..., 6r, 6r+1; q),
• г+2^г-Ц• г+2^г-Ц(2.2.4)(2.2.4)<^^а1Ч^а^^-м»тд^^ \ bcz " biqj, b^qi,..., brqi^r^iqi ’9’ aqi*1.
• г+2^г-Ц
• г+2^г-Ц
(2.2.4)
(2.2.4)
Это g-аналог формулы Бейли [ВЗ, 4.3(1)]. Наиболее важным свойством формулы (2.2.4) является то обстоятельство, что она дает возможность свести ряд вида г+4<^г+з к сумме рядов r+2<£r+i- Следовательно, если указанный выше ряд r+2<^r+i суммируется для некоторых значений параметров, то (2.2.4) представляет собой формулу преобразования для соответствующего ряда г+4<£г+з» включающую в себя только однократную сумму.
Формула суммирования для обрывающегосясовершенно уравновешенного ряда 4^3
Подставив b = да^с = — да^ и а-ь = b^k = 1,2,...,г,Ьг+1 = agn+1, мы получим из (2.2.4), что
Va,qa^,-qa^,q~n
4<к ai —al аа"*1 'Ч'
= > ii— (qz¥q w
^ (s^-a^aq"*1-^
•2<l4^aq2,,q,-n;aq)*n+t;q,-zqt-3').(2.3.1)
Если z = gn, то приведенный выше ряд 2<^i можно просуммировать с помощью формулы суммирования Бейли — Даума (1.8.1), что дает
(2.3.2)
Отсюда, используя тождества (1.2.32), (1.2.39) и (1.2.40) и проведя упрощения, получим формулу преобразования
1 i- a^qa» ,~qa2 ^q a^—a^ ^ag^1
(ag,-g;g)n(qat,-qa^-,q)n(ag,-g;g)n(qat,-qa^-,q)n2<h(q~n,-q x;-q n’,q,q)-2<h(q~n,-q x;-q n’,q,q)-(2.3.3)(2.3.3)
(ag,-g;g)n
(qat,-qa^-,q)n
(ag,-g;g)n
(qat,-qa^-,q)n
2<h(q~n,-q x;-q n’,q,q)-
2<h(q~n,-q x;-q n’,q,q)-
(2.3.3)
(2.3.3)
Очевидно, что обе части формулы (2.3.3) равны 1 при п = 0. Согласно равенству (1.5.3), ряд ^фх в правой части этой формулы равняется (»*~";»)n \-q-x)K-q"n\q\ при п = 0,1,- — Поскольку (g1-n;9)„ = 0 при п 0 0, то отсюда следует, что
лФз
сцда^ ,—да^д a^—a^aq1^
—п
»9?Q
— Ьп,0 )
(2.3.4)
где
^Ш,П —
f 1,10,
m = п,т ^ п,
(2.3.5)
есть дельта-символ Кронекера. Эта формула суммирования будет использована в следующем параграфе для вычисления суммы ряда ^Фь*
2.4. Формула суммирования для обрывающегосясовершенно уравновешенного ряда ^Фь
Пусть теперь ai = gai, а2 = —qaA^bx = ai, 62 = —o^>^r-n = адн*г и а^ = bk при к = 3,4,..., т. Тогда из (2.2.4) следует, что
вФь
* a^qa^—qa^b^q п
_а^, —a^aq/b, aqjc^aq^1' 1 ,
A (aq/bc,qa^,-qaVq n;g)j(a;g)2j ^ (q, al, -ai,aq/b,aq/c,aq"*1; q).
^Vg-G)
eq;
• 4фз
aq^q^a^—q^a^qi n bczqia^ -qja^ aq^^1’ $’ aq^"x
(2.4.1)
Если z = aqn+x /be, то мы можем просуммировать ряд 4^3 с помощью (2.3.4) и получить формулу суммирования
вфь
a,qa^,-qa^,b,c,q п aq^ а^ ,-as ^aq/b^aq/c^aq^1Ьс
(вЧ/Ьма^^^(_l)ng"("+i)/2
(q, ai, -a J, aq/b, aq] c, aq”*1; g)n (ag, aq/bc; g)n ^aqlb^aqje, g)„'
(2.4.2)
Обратите внимание на определенную связь, которая должна существовать между аргументом приведенного выше ряда 6^5 и его параметрами, для того чтобы этот ряд можно было просуммировать, а именно, аргумент равен положительному квадратному корню от следующего выражения: д, умноженное на произведение параметров знаменателя и разделенное на произведение параметров числителя; при этом временно предполагается, что как д, так и параметры положительны. Эта связь между аргументами и параметрами имеет место также для ряда 4^3 из (2.3.4).
Формула преобразования Ватсона для обрывающегося ' совершенно уравновешенного ряда 8^7
Мы теперь воспользуемся формулой (2.4.2) для доказательства формулы преобразования Ватсона [W5] дл^ обрывающегося совершенно уравновешенного ряда 8<^r, кратного обрывающемуся сбалансированному ряду 4<^з*
'a, gal, —gal,6,c,d,e,g nа2^п
,а^ ^—а^ ^aqlb^aqlc^aq/d^aq/e^aq4^1' ’ bcde(<Ф> aq/de;q)n Г q~n,d,e, aq/bc{aq/d,aq/e\q)n 4<Рз [ад/6,ад/c,deq~n / а’9’9 *
Для этого достаточно заметить, что из (2.2.4) мы получаем
8^78^7a,gal,—gal,6,c,d, e,g пa2q2^n
8^7
8^7
а^, —al,aqlb,aqlc,aql d,aqle,aqn+x' ’ bcde .
“ (g,al, -al, aq/b,aq/c,aq/d, aq/e,aqn*T; q)j
aq^ ^+га^ ^—q^a^dq^eq^qi n aq1^ ^q^ ai ,—qi al ^aq^11d^aq^1 /e,aqi+n+l '^de
а это приводит к формуле (2.5.1), если воспользоваться (2.4.2) для суммирования приведенного выше ряда б<^5-
Обратите внимание, что аргумент ряда афт в (2.5.1) связан с параметрами точно таким же образом, как это было указано в (2.3.4), а также в (2.4.2) в конце §2.4.
Сумма Джексона для обрывающегосясовершенно уравновешенного сбалансированного ряда g<^7
Ряд 8<^7 в (2.5.1) является сбалансированным, если шесть параметров о, 6, с, d, е и п удовлетворяют соотношению
a2q^x = bcde.(2.6.1)
Для такого ряда Джексон [J22] показал, что
Г11 f»—и•
8^78^7о,go^, —ga^,o,c,a,€,g n
8^7
8^7
.а^,—al yaq/b^aql c^aq/d^aqje^aq^1' 1 .
{aq^aqlbcbaqlbd^aq/cd\ q)n
(aq/b, aq/c, aq/d, aq/bcd\ q)n
. Тождества Роджерса — Рамануджана 59
при п = 0,1,2,... . Эта формула следует непосредственно из (2.5.1), поскольку ряд 4^з в правой части (2.5.1) становится сбалансированным рядом зфз» если выполняется (2.6.1), и, следовательно, может быть просуммирован согласно g-формуле Заалышотца. Отметим, что (2.6.2) является g-аналогом суммы Дуголла (2.1.6), в чем можно убедиться, заменив о, 6, с, d, е соответственно на да, gb, дс, gd, qe и устремив g к 1. Следует отметить, что ряд 8^7 в (2.6.2) сбалансированный, в то время как предельный ряд 7^6 в (2.1.6) является дважды сбалансированным. Причина этого кажущегося несоответствия состоит в том, что соответствующий д-аналог слагаемого (1 + |я)*/(|я)к = (а+2&)/ав ряде 7F6 есть не (да^И^к/^^д^к = (l-aig*)/(l-ai), a(qa^— ga^;q)kl(a^ — ^qta что приводит к дополнительному, зависящему от д сомножителю в отношении произведений параметров числителя и знаменателя.
Некоторые частные и предельные случаи формулДжексона и Ватсона: тождества Роджерса — Рамануджана
Многие из известных формул суммирования для базисных гипергеометрических рядов являются частными или предельными случаями формулы Джексона (2.6.2). Например, при d оо в (2.6.2) мы получаем (2.4.2). С другой стороны, вычисление предела при а -* О после замены d на ag/d дает g-формулу Заалышотца (1.7.2). Рассмотрим теперь предел (2.6.2) при п —► оо. Он равен
a, qa^ — ga^,b,c,dад
(2.7.1)(2.7.1)_а^ ,—а^ ,ag/b,agletag/d' 'bed (ag, ag/bc, ag/bd, ag/cd\ q^ (aq/b, ag/c, ag/d, ag/bed; q)^
(2.7.1)
(2.7.1)
при условии, что laq/bcdl < 1. Очевидно, что это g-аналог формулы Дуголла (2.1.7). Подставив d = а^ в (2.7.1), мы получим g-аналог формулы Диксона (2.1.5)
а, — ga^,b,c qai
(2.7.2)(2.7.2)—а^ ,aq/b,aq/c ’ be(ад, М/Ьс, да*/Ь, да^/с; д)^(ад/ Ь, ад/с,да^,да^/ be; д^
(2.7.2)
(2.7.2)
при условии, что |gai /Ьс\ < 1.
Ватсон [W5] использовал свою формулу преобразования (2.5.1) для простого доказательства известных тождеств Роджерса — Рамануджана
(см. [НЮ]):(см. [НЮ]):у 9n’(92,93,9Д;9Д)ОО
(см. [НЮ]):
(см. [НЮ]):
^(959)»(9; 9)»
^ (9; 9)п(9; 9)оо
(2.7.3)(2.7.4)(2.7.3)(2.7.4)где |g| < 1. Сначала при b,c,d,e -* оо в (2.5.1) получим
(2.7.3)
(2.7.4)
(2.7.3)
(2.7.4)
п(«9; 9)п Е*=0п(«9; 9)п Е*=0(9~п; 9)*(9; 9)*(9~п; 9)*(9; 9)*(-agn+1)V(k-1)/2.(-agn+1)V(k-1)/2.(2.7.5)(2.7.5)V tolklLzJ!»!^!!!!^!^ ^ (9; 9)* (1 -«») (в9п+1 ;ч)кЧ v
п
(«9; 9)п Е
*=0
п
(«9; 9)п Е
*=0
(9~п; 9)*(9; 9)*
(9~п; 9)*(9; 9)*
(-agn+1)V(k-1)/2.
(-agn+1)V(k-1)/2.
(2.7.5)
(2.7.5)
Поскольку ряды в обеих частях являются конечными, то предельный переход допустим при условии, что существуют пределы всех членов. Однако в качестве следующего шага мы возьмем предел при п оо в обеих частях (2.7.5), что можно обосновать с помощью теоремы о мажорированной сходимости. Таким образом,
I ^'^к-1^ ~ а^2к\ 1 х* 2* _fc(5*~l)/2
^(1)ве
На основе тождества Якоби для тройного произведения (1.6.1) ряд в левой части (2.7.6) может быть просуммирован при a=lna = q с учетом того, что
(^; 9)*-1(1 ~ Ч2к) / п^5Ы)/2 ^Ч^к
(2.7.7)(2.7.7)= £ (-1)п9"(5п+1)/2 = (92,93,95;9$)
(2.7.7)
(2.7.7)
ОО
Е(1 - 92t+1Е(1 - 92t+1V-n^WWV-n^WW
Е(1 - 92t+1
Е(1 - 92t+1
V-n^WW
V-n^WW
к=0
оо•
(2.7.8)(2.7.8)= Е (-1)П9п($п+3)/2 = (9,94,95;95)оо.
(2.7.8)
(2.7.8)
Равенства (2.7.3) и (2.7.4) теперь легко получить, используя (2.7.6). Историю открытия этих равенств можно найти у Харди [НЮ, с. 90-99].
Формулы преобразования Бейли61
Формулы преобразования Вейлидля обрывающихся рядов 5^4 и 7^6
Используя формулу Джексона (2.6.2), легко показать, что
__(аДс££)*_ _ (Абс/а;д)к
(g,ag/b,ag/c;g)k (да2/ХЬс;д)к
у* (A;g)j(l ~ Х^2)(ХЪ/а,Хс/a,aglbc-,g)j ^ (g; gM1 - Л)(«д/6, °g/c, AW«; 9)j
' Мц^-Дх) ’’
где A — произвольный параметр. Если {A*} — произвольная последовательность, то отсюда вытекает, что
^ _J^a2b1cvq)k_
^(9,«9/6,«9/с;9)к *
У' (ХЬс/а;д)к ^ (А;д)/1 - Ау2') (А6/а, Ас/а,а$/6с;^
^ (да2/ХЬс;д)к к ^ (д;д),(1 - А)(а9/Ь,а9/с, А6с/а;^
. (59)542(0/^9)*-, /5V
(Ag;g)*+j(g;g)*-j VA7
у* (>vj)j(v-xq^)^^(1V
^ (g;g)>(l - A)(ag/b,ag/c,ga2/Abc;g),(Ag;v)2, \Х)
^ _(a^i_1a/X:Xbcgi/a^g)k_
' ^0(q,XqW,a2qWfXbc-,q)k )+к1
при условии, что изменение порядка суммирования обосновано (например, если все ряды являются конечными или абсолютно сходящимися).
Очевидно, что соответствующий подбор А и Ar приводит к формулам преобразования для базисных гипергеометрических рядов, которые имеют, по крайней мере частично, вполне уравновешенную структуру.
Выберем сначала Ar = gk(d^q~n\q)Rl^aq/d>a2q^njX2\q)R и А = qa2/bed так, чтобы внутренний ряд в правой части (2.8.2) стал сбалансированным и обрывающимся рядом зфз. Суммируя этот ряд 3^2 и упрощая коэффициенты, мы получаем формулу Бейли ([В7, В9])
, Г a,b,c,d,q п
&<^4 \^aqlb,aq/c)aq/d1a2q”nIX2 ’^’^
A, qX^ s—qX^ ^bX/a^cX/a^dX/a^A, qX^ s—qX^ ^bX/a^cX/a^dX/a^
A, qX^ s—qX^ ^bX/a^cX/a^dX/a^
A, qX^ s—qX^ ^bX/a^cX/a^dX/a^
_ (Ag/a,А2д/а; д)„ х " (Ag,A2g/«2;g)„ 12^
А 4, — д4 ^aq/b^aq/c^aq/d^
(2.8.3)(2.8.3)о 4, —о4, (ад)4, —(ад)4, A2gn+1 /о, q п
(2.8.3)
(2.8.3)
Xq/ сА ,—Xq/о4, А(д/а)4, — А(д/о)4 ,aq~n / A, Agn+1 ’ ^
где А = qa2 (bed.
Отметим, что ряд 5^4 в левой части является сбалансированным и почти уравновешенным рядом второго рода, в то время как ряд 12^11 в правой части является сбалансированным и совершенно уравновешенным. Отметим также, что обрывающийся почти уравновешенный ряд второго рода может быть сведен с точностью до множителя к почти уравновешенному ряду первого рода простым обращением ряда.
Точно таким же образом, как и при доказательстве формулы (2.8.3), можно получить следующий вариант формулы (2.8.3):
ьФ*1льФ*1л- q > ^> ^> ^> ^
ьФ*
1л
ьФ*
1л
!Ь^~п I csqx-n ( d^eq”^ IX11 ^^
(A2gn+1,Ag/e;g)n Г X,qX^,-qX^,Xbqn1Xcq’\Xdqn., {X^q^le,Xq-,q)n ПФ11 [Ai,-Ai,q1-'4b,q1-ulc,qX-Ul^
(2.8.4)(2.8.4)q ^,—q ^,q^ ?,— gi ?,e,A2gn+1/eAg?+1, — Ag?+1, Ag$+i, — Ag$+i, Ag/e, eg~”/A
(2.8.4)
(2.8.4)
при A = qx”2u (bed.
■ Выберем теперь Ak = qk(l - aq2kXd<,q~n; q)k/(l — a\aq/d^ a2q2”n(X2\ q^k и A = qa2/bed в (2.8.2) так, чтобы внутренний ряд в правой части приобрел вид
. 1 - ag2j (</, g n; g)>
l — o (aq/d,a2q2-n/A2;g)j-
aq2^q^xa^ b—q^xa^ ^a/Xyq^n .
gJa4, —gJa4, Ag2j+1,a2gJ”nt2/A2 ^ ^
Этот ряд 5^4 есть частный случай ряда 5^4 в левой части (2.8.3); действительно, ряд 12^11 в правой части (2.8.3) в этом случае обращается в обрывающийся сбалансйрованный совершенно уравновешенный ряд 8^7, который можно просуммировать по формуле Джексона (2.6.2). Выполнив непосредственные вычисления, мы получим вторую формулу преобразования Бейли [В9]
* a,ga4, —gai,6, c,rf,g”n,
7 6 ,ai, —a^aq/b/aq/C) aq/d^a2q2~n/X2 '^^ = (X/aq, X2/aq\q^ 1 - X2q2n~xla ” (Ag,A2/o2g;g)n 1 - X2/aq.
Ai, — Ai ^aq/b^aq/c^ aq/d^X{q]a)i, —X^q)a)i gai, —gai, A2gn~1/a,g“n1
, i ., i о;g,g ,
где А = qa2 (bed.
Формула преобразования Вейлидля обрывающегося ряда ю09
Одной из наиболее важных формул преобразования для базисных гипергеометрических рядов является формула Бейли [В1], преобразующая обрывающийся ряд ю09> являющийся одновременно сбалансированным и совершенно уравновешенным, в ряд того же вида:
10091009a^qa^ —qa^^b^c^d^e^f^Xaq^^lef^q n
1009
1009
—a^^aq/b^ aq/c, aq/d^ dq/ey aq, f, efq~n/X^ aqn^x
_ (eg, agleL Xg/e. Xq/f; q)n(aq/e, aq/f, Xq/ef, Xq; q)n 10eJ.Xaq^lef.q^, *_ (eg, agleL Xg/e. Xq/f; q)n(aq/e, aq/f, Xq/ef, Xq; q)n 10eJ.Xaq^lef.q^, *A, gAi ,—qX^ ^Xbja^Xcla^XdjaX^—X^aq/b, aq/c, aq]d^A, gAi ,—qX^ ^Xbja^Xcla^XdjaX^—X^aq/b, aq/c, aq]d^
_ (eg, agleL Xg/e. Xq/f; q)n
(aq/e, aq/f, Xq/ef, Xq; q)n 10
eJ.Xaq^lef.q^, *
_ (eg, agleL Xg/e. Xq/f; q)n
(aq/e, aq/f, Xq/ef, Xq; q)n 10
eJ.Xaq^lef.q^, *
A, gAi ,—qX^ ^Xbja^Xcla^XdjaX^—X^aq/b, aq/c, aq]d^
A, gAi ,—qX^ ^Xbja^Xcla^XdjaX^—X^aq/b, aq/c, aq]d^
где А = qa2 (bed.'
Для вывода этой формулы отметим сначала, что, согласно (2.6.2)
807807X^qX^ ^—qX^Xb/a^Xcla^Xd/ a^aqm^q Ai, — Ai ^aq/b^ aq/c^aq/d^Xq1~m/a,Xq (b.c^d.Xq-.q^mX^qX^ ^—qX^Xb/a^Xcla^Xd/ a^aqm^q Ai, — Ai ^aq/b^ aq/c^aq/d^Xq1~m/a,Xq (b.c^d.Xq-.q^m—m—m;q,q;q,q
807
807
X^qX^ ^—qX^Xb/a^Xcla^Xd/ a^aqm^q Ai, — Ai ^aq/b^ aq/c^aq/d^Xq1~m/a,Xq (b.c^d.Xq-.q^m
X^qX^ ^—qX^Xb/a^Xcla^Xd/ a^aqm^q Ai, — Ai ^aq/b^ aq/c^aq/d^Xq1~m/a,Xq (b.c^d.Xq-.q^m
—m
—m
;q,q
;q,q
gmgmq3q3Vaqlb.aqlc.aqld^alX^q^m и, следовательно, левая часть в (2.9.1) равна
gm
gm
q3
q3
“i (9;?)m(l - a)(a»/e,ag//,e/g-"/A,agn+1;g)m(Ag;g)m
•^ J^4)if^2^)Wa^l22^1222^Z^
^ fa^Ml - AXa^a^/c.a^/rf.A^-^/a.Ag"**1;^
^o j^o lq; ^m-jt1 - aXaq/e, aq/f,efq^/X,aq^'.q^m
. ^J^toh^zi^toh^^f “V
(Ag;g)m+j(g;g)j(l ~ X^aqlb.aq/c.aql^q^ \x)
_ A j(Anr)j(£2j^£^2(^/t^£/t!i^
• ^ («^М1 - XXaqlb^aql^aqld^aqle^aqlf^efq-^IX^aq^^q^
. (^8W7 (aq2i;eqi,/q\a/X,Aaq"+W/e/,qi-"-,q,q) ,
\А/ {Xg;g)2j
(2.9.3) где ряд gW? определяется, как в §2.1. Суммируя этот ряд зИ^ с помощью (2.6.2) и упрощая коэффициенты, мы получим (2.9.1). Иногда полезно переписать (2.9.1) в несколько более симметричной форме:
щИ^9 (а^ 6, с, d, е, У, д, h^q^ д}
_ («9, ад(е$, ад,ед, ад/eh, ад/fg, ад/fh, ag/gh, ag/efgh-, g^ («^/e, ag/f, ag/g, ag/h, aq/efg, ag/efh, ag/egh, agjfgh; g^ • loWi {gc? Ibcd*,ag]bc,ag]bd,aqlcd,e, f,g,h;g,g^,(2.9.4)
где по крайней мере один из параметров e,f,g,h имеет вид д~п,п = 0,1,2,... и
д2а3 = bcdefgh.(2.9.5)
Предельные случаи формулы преобразования Вейлидля ряда io4>9
Некоторые из известных формул преобразования для базисных гипергеометрических рядов являются предельными случаями формулы преобразования (2.9.1). Из (2.9.1) при Ь,с или d -* оо мы получим формулу Ватсона (2.5.1). С другой стороны, если мы вычислим предел при п —> оо, то получим формулу преобразования для необрывающегося ряда 8^7*-
a,gai, — да^ ,b,c,d,e,f ,а2д2*
.а^ ,—а^ ,ag/b,ag/c,ag/d,ag/e,ag/f' ’ bcdef
{ад, ag/ef, Хд/е, Xq/f; д^ {ад/е, ag/f, Xq, Xq/efr д^
•аФ?•аФ?А, дХ^, ~дА^, Xb]а,Хс(а, Xd/a, e,f ад Х^ ,—Х^ ,agjb,agl с,ад) d,Xg] е,Хд) /' eJ
•аФ?
•аФ?
где А = да2 (bed игде А = да2 (bed иmax(|ag/e/|, |А^/е/|) < 1.max(|ag/e/|, |А^/е/|) < 1.(2.10.1)(2.10.2)(2.10.1)(2.10.2)
где А = да2 (bed и
где А = да2 (bed и
max(|ag/e/|, |А^/е/|) < 1.
max(|ag/e/|, |А^/е/|) < 1.
(2.10.1)
(2.10.2)
(2.10.1)
(2.10.2)
Сходимость обоих рядов в (2.10.1) обеспечивается неравенствами (2.10.2), в которых, конечно, нет необходимости, если оба ряда обрываются. Например, если / = д~н, п = 0,1,2,..., то (2.10.1) приобретает вид
зФтзФтa,qa^—qab ^b^c^d^e^q пaq
зФт
зФт
а^, —a^^aqjb^aqlc^aqld^aqle^aq^1 ’ ’ ef
(«9, Xq/e; q)n (aq/e,Xq;q)n
* 8^7* 8^7X^q^)—q^^Xb/a^Xc/a^Xd/a^e^q naq^1
* 8^7
* 8^7
Ai, —X^^aqlb^aqlc^aqld^Xqle^Xq^1 '^ e
(2.10.3)
Это равенство выражает один обрывающийся совершенно уравновешенный ряд зф7 через другой такой ряд. Следует, однако, отметить, что в обоих описанных выше случаях (как для обрывающегося, так и для необ- рывающегося ряда) в формуле преобразования для зф? аргументы ряда связаны с параметрами точно так же, как это описано в §2.4.
Используя (2.5.1), мы можем теперь представить (2.10.3) как формулу преобразования между двумя обрывающимися сбалансированными рядами 4Ф3: ■
аФзаФз(е, /; ?)п(е, /; ?)п«" 4^3«" 4^3q ^.a.dlKdlcd «аМеаАи’Мq ^.a.dlKdlcd «аМеаАи’М
аФз
аФз
(е, /; ?)п
(е, /; ?)п
«" 4^3
«" 4^3
q ^.a.dlKdlc
d «аМеаАи’М
q ^.a.dlKdlc
d «аМеаАи’М
(2.10.4)
где abc = defq^1. Эта очень полезная формула была впервые выведена Сирзом [S6] и поэтому называется формулой преобразования Сирза для ряда 4Ф3. Она является g-аналогом формулы Уиппла [W12]
—п, а, 5, с 1
(g - °)п(/ - o)n р-n,a,d-b,d-с
(е)п(/)п 4Гз VdA-V а-е-пД-V a-
'(2.10.5)
где a-Vb-Vc^-l = d-Ve-Vf-Vn.
Использование (2.5.1) и (2.10.1) позволяет нам также выразить обрывающийся сбалансированный ряд 4Ф3 через необрывающийся ряд зф^. Например, если один из параметров 5, с или d в (2.10.1) равен q-^n = 0,1,2,..., то ряд в левой части (2.10.1) обрывается, а в правой — Нет. В частности, подставляя d = q~n и затем заменяя ей/ соответственно на d и е, мы получаем ‘
8^7 (a; 6,c,d,e,g n; qs a2qn^2/bcde)
(°9> о^/^е, a2qn^2 /bcd^ a2qn+2 /Ьсе\ g)oo
(ад/d, aqje^ a2qn^"2/be, o2gn+2]bcde\ q^
*8^7 (a^q^1 /bc\aqn^x /b^aq^1 /с, aq/b^^d^e\ q^aq/de) (2.10.6)
при условии, что |aq/de| < 1 для обеспечения сходимости необрываю- щегося ряда в правой части. Тогда использование (2.5.1) приводит к формуле
4^34^3* 8^7* 8^7—q ^deqn T^—^deqn-x^ n—q ^deqn T^—^deqn-x^ na1b,c1dqn,eqnde'deqn/aydeqn/b^deqnIc^e^d^^ abca1b,c1dqn,eqnde'deqn/aydeqn/b^deqnIc^e^d^^ abc(deqn/a, deqn/by deqn/c^ deqn/abc\ q)oo(deqn, deqn/aby deqn/acy deqn/bc\ q)^
4^3
4^3
* 8^7
* 8^7
—q ^deqn T^
—^deqn-x^ n
—q ^deqn T^
—^deqn-x^ n
a1b,c1dqn,eqnde'
deqn/aydeqn/b^deqnIc^e^d^^ abc
a1b,c1dqn,eqnde'
deqn/aydeqn/b^deqnIc^e^d^^ abc
(2.10.7)
при условии, что def = q^-^abc и \de/abc\ < 1.'
В качестве другого предельного случая формулы (2.9.1) Бейли [ВЗ, 8.5 (3)] нашел обобщение формулы (2.5.1) на случай необрывающихся рядов, которое выражает совершенно уравновешенный ряд 8^7 через два сбалансированных ряда 4^3. Воспользовавшись сначала (2.9.1), получим
юИ^ (а; 6, с, d, е, f, a^g^/bedef, д~п; д, 9)
^ag, ад/de, ag/df, ад/ef; g)n
{ад/d,ад/e,ад//,ag/def\q)n’
• 10^9 (de/g~n-1/a;ag/bc,</,e,/,Me/g~n~1/a2,cde/g~n-1/a2,g~n;g,g).
.(2.10.8)
Очевидно, что ряд юИ^ в левой части (2.10.8) стремится к ряду 3^7 в левой части (2.10.1) при п —> оо. Однако как начальные, так и конечные члены ряда в правой части (2.10.8) при больших п велики по сравнению со средними членами, что не позволяет нам непосредственно вычислить почленные пределы. Чтобы обойти эту трудность, Бейли выбрал в качестве п нечетное целое число, скажем п = 2m 4- 1 (в этом нет необходимости, но это упрощает анализ), и разбил ряд в правой части на две половины, каждая из которых содержит т 4-1 членов, и затем обратил порядок во второй сумме. Эта процедура схематически выглядит так:
2т+1т2т+1тт
х А* = У^ А^ 4- Хк = У2^* + У? Азт-ц-^, (2.10.9) Jb=oк=0к=т-Цк=0к=0
где {Хк}— произвольная последовательность. При т —► оо (и, следовательно, при п оо) получим из (2.10.8), что
8^7,С8^7,Сa,ga^ ,~gai ,b,c,d,e, f. a2g2
8^7,С
8^7,С
, —cA,ag/b,ag/c,ag/d,ag/e,ag/f' bcdef.
’ ag/bc,d,e, f
~ (agld,ag/e,aglf^ag/def^g)^~ (agld,ag/e,aglf^ag/def^g)^.ag/b^ag/c^def /а'^^.
~ (agld,ag/e,aglf^ag/def^g)^
~ (agld,ag/e,aglf^ag/def^g)^
(2.10.10)(2.10.10)(aq/b, ag/c, ag/d, ag/e, ag/f, a2g2/bcdef, def/ag\ q^ ад/de, ag/df, ag/ef, a2g2[bcdef *
(2.10.10)
(2.10.10)
^ , a2^/bdef^a2q2/cdef^aq2/def '^ ’
где \a2g2/bcdef \ < 1, если ряд ^Ф1 не обрывается. Отметим, что если один из параметров b или с равен g~n,n = 0,1,2,..., то ряд ^фч в левой части обрывается, а ряды в правой части могут и не обрываться. С другой стороны, если один из параметров числителя ( кроме а2д2 /bcdef в любом из двух рядов 4^з в (2.10.10) имеет вид д~п, то коэффициент другого ряда 4^з обращается в нуль и мы получаем либо (2.5.1), либо (2.10.7).
Если ад/Ьс,ад/de,ag/df или ag/ef равно 1, то (2.10.10) сводится в формуле суммирования (2.7.1) для ряда ^Ф^- С другой стороны, если ад/cd = 1, то ряд ^Фг в (2.10.10) сводится к ряду бфь, что ввиду (2.7.1) приводит к формуле суммирования •
(gg, ад/be, ag/bf, ag/ef', q^
(aq/b, ag/e, ag/f, ag/bef; q)^
= ^q^ c/e, c/f, ag/ef; g^Г ag/bc,e,f , ’
~ {c.aqle.aqlf.c/ef^q)^ ^ Vag/b^g/c4'4.
(aq, ag/ef, e, f, ag/bc, acg/bef; q)^{aqle. aq/f, ef/c, c, aq/b, aq/bef\ q^
•3Ф2•3Ф2■c/e,c/f,aqlbef ' . cq/ef,acq/bef ^^■c/e,c/f,aqlbef ' . cq/ef,acq/bef ^^(2.10.11)(2.10.11)
•3Ф2
•3Ф2
■c/e,c/f,aqlbef ' . cq/ef,acq/bef ^^
■c/e,c/f,aqlbef ' . cq/ef,acq/bef ^^
(2.10.11)
(2.10.11)
Разрешив это равенство относительно первого ряда 3^2 в правой части и переобозначив параметры, получим следующее обобщение q-формулы Заальшютца на случай необрывающегося ряда:
(^//^Т/бц^^
(og/e,5g/e,cg/e,/;g)oo
(д/е,а,Ь,с,дЛе\д)оо(е/9, aq/e, bq/e, cq/e, f; q),»
• 3Ф2• 3Ф2‘ ag/e,bgle,cg/e ' 2/L q^/e^f/e .‘ ag/e,bgle,cg/e ' 2/L q^/e^f/e .(2.10.12)(2.10.12)
• 3Ф2
• 3Ф2
‘ ag/e,bgle,cg/e ' 2/
L q^/e^f/e .
‘ ag/e,bgle,cg/e ' 2/
L q^/e^f/e .
(2.10.12)
(2.10.12)
где е/ = abcq. Сирз [S4, (5.2)] вывел эту формулу другим методом. Если а, b или с равен g~n, п = 0,1,2,... , то (2.10.12) сводится к (1.7.2).
Заслуживает внимания частный случай формулы (2.10.12), который получается подстановкой с = 0, / = 0 и последующей заменой е на с:
2^1(а,Ь;с;м)2^1(а,Ь;с;м)(д/с^Ьд/е, g)»(e»/c*/c;9)oo(д/с^Ьд/е, g)»(e»/c*/c;9)oo
2^1(а,Ь;с;м)
2^1(а,Ь;с;м)
(д/с^Ьд/е, g)»(e»/c*/c;9)oo
(д/с^Ьд/е, g)»(e»/c*/c;9)oo
2^i(a9/c,6»/c;92/c;g,g).2^i(a9/c,6»/c;92/c;g,g).(2.10.13)(2.10.13)(9/е,а,М)со(c/$,ag/c,ty/c;g)ОО
2^i(a9/c,6»/c;92/c;g,g).
2^i(a9/c,6»/c;92/c;g,g).
(2.10.13)
(2.10.13)
Если а или Ъ равен 4Г",п = 0,1,2,..., то (2.10.13) сводится к (1.5.3). Вообще говоря, ряд зФ1(«>5;с;д,д) нельзя записать как отношение бесконечных произведений. Тем не менее мы все же можем выразить (2.10.13) как формулу суммирования для одного двустороннего бесконечного ряда следующим образом.
Воспользуемся сначала формулой преобразования Гейне (1.4.1) для того, чтобы преобразовать оба ряда 2Ф1 в (2.10.13):
2^i(a,t;c;g,») = ^15^22 i^cjb.g-.ag^g,^ \^>QiQ)oo.
(2.10.14)(2.10.14)_ (b,ag;g)оо V^ (cjb;q)nbn(м;»)оо ^ (a»;»)n’
(2.10.14)
(2.10.14)
2^1 («9/С, bg/c; q2/c; g, 9) =2^1 («9/С, bg/c; q2/c; g, 9) =(«9/c,V/c;g)oo A (g/a;9)n /аду (q2/c,g;g)» ^W/c-.q^k c ) ' ‘
2^1 («9/С, bg/c; q2/c; g, 9) =
2^1 («9/С, bg/c; q2/c; g, 9) =
.(2.10.15)
Затем отметим, что
у (g/«;g)n /«9\n _ с 1 - bg/c у (1/a; 9)n Z^" ^ W/c;g)n kc) g 1 - a ^ (,bq/c;g)n kc )
Используя (2.10.14)-(2.10.16) и тождество (1.2.28) в формуле (2.10.13), получим '.
у (с/Ь;д)„(.м/^аЬд/мпд),»
„“С ^»)п(b^g^g/^bg/c^g)^<• 1
что представляет собой сумму Рамануджана (см. гл. 5 и статью Эндрюса и Аски [А72]). Однако условия, при которых справедлива формула (2.10.17), а именно |д| < 1,]6| < 1 и |ag/c| < 1, более ограничительны, чем для (2.10.13). Отметим, что (2.10.17) стремится к тождеству Якоби для тройного произведения (1.6.1) при а = 0 и b 0. Мы приведем другой вывод этой важной суммы в гл. 5, где рассматриваются двусторонние базисные ряды.
Как было отмечено Аль-Саламом и Верма [А31], и (2.10.10), и (2.10.12) более компактно выражаются через g-интеграл. Так, формула (2.10.12) эквивалентна
ИМ^М))ОО(^, ^> ft] 9)00ИМ^М))ОО(^, ^> ft] 9)00dqtdqt
ИМ^М))ОО(^, ^> ft] 9)00
ИМ^М))ОО(^, ^> ft] 9)00
dqt
dqt
_ьнX (?> bt/a\a!b. c/d,c/^ c/f] 5)00(ad, oe, a/, bd, be, bf; q)^_ьнX (?> bt/a\a!b. c/d,c/^ c/f] 5)00(ad, oe, a/, bd, be, bf; q)^(2.10.18)(2.10.18)где c = abdef, тогда как (2.10.10) эквивалентнагде c = abdef, тогда как (2.10.10) эквивалентна[Ь (qt/a, gt/b, ct, dt, $)«, ^ #,J a(e<> A s^ Mi q)00_ ./1x (g, bq/a, a/b, cd/eh, cd/fh, cdfgh, be, bd; д^V(oe, a/, ag, be,bf, bg, bh, bcd/h\ q^• 8^7 (bcd/hq-,be,bf,bg,clh,d/h',q,aK)[Ь (qt/a, gt/b, ct, dt, $)«, ^ #,J a(e<> A s^ Mi q)00_ ./1x (g, bq/a, a/b, cd/eh, cd/fh, cdfgh, be, bd; д^V(oe, a/, ag, be,bf, bg, bh, bcd/h\ q^• 8^7 (bcd/hq-,be,bf,bg,clh,d/h',q,aK)(2.10.19)(2.10.19)при условии, что cd = abdefgh и |a/i| < 1. • -Подставив с = abdef в (2.10.18), устремив / к 0 и заменив затем о, d, е соответственно на —a,—cla,dlb, мы получим формулу Эндрюса и Аски [А73]при условии, что cd = abdefgh и |a/i| < 1. • -Подставив с = abdef в (2.10.18), устремив / к 0 и заменив затем о, d, е соответственно на —a,—cla,dlb, мы получим формулу Эндрюса и Аски [А73][ъ (-qt/tMt/b^oo ,КД-сНМЧЬлУ» qЬ(1 - д\д, -a/b, -bq/a, cd;q')oo(с, d, —be] a, —ad/b] q^[ъ (-qt/tMt/b^oo ,КД-сНМЧЬлУ» qЬ(1 - д\д, -a/b, -bq/a, cd;q')oo(с, d, —be] a, —ad/b] q^(2.10.20)(2.10.20)Ввиду (1.3.18) формула (2.10.20) является g-обобщенйем интеграла бета- типа•Ввиду (1.3.18) формула (2.10.20) является g-обобщенйем интеграла бета- типа•
_ьнX (?> bt/a\a!b. c/d,c/^ c/f] 5)00
(ad, oe, a/, bd, be, bf; q)^
_ьнX (?> bt/a\a!b. c/d,c/^ c/f] 5)00
(ad, oe, a/, bd, be, bf; q)^
(2.10.18)
(2.10.18)
где c = abdef, тогда как (2.10.10) эквивалентна
где c = abdef, тогда как (2.10.10) эквивалентна
[Ь (qt/a, gt/b, ct, dt, $)«, ^ #,
J a(e<> A s^ Mi q)00
_ ./1x (g, bq/a, a/b, cd/eh, cd/fh, cdfgh, be, bd; д^
V(oe, a/, ag, be,bf, bg, bh, bcd/h\ q^
• 8^7 (bcd/hq-,be,bf,bg,clh,d/h',q,aK)
[Ь (qt/a, gt/b, ct, dt, $)«, ^ #,
J a(e<> A s^ Mi q)00
_ ./1x (g, bq/a, a/b, cd/eh, cd/fh, cdfgh, be, bd; д^
V(oe, a/, ag, be,bf, bg, bh, bcd/h\ q^
• 8^7 (bcd/hq-,be,bf,bg,clh,d/h',q,aK)
(2.10.19)
(2.10.19)
при условии, что cd = abdefgh и |a/i| < 1. • -
Подставив с = abdef в (2.10.18), устремив / к 0 и заменив затем о, d, е соответственно на —a,—cla,dlb, мы получим формулу Эндрюса и Аски [А73]
при условии, что cd = abdefgh и |a/i| < 1. • -
Подставив с = abdef в (2.10.18), устремив / к 0 и заменив затем о, d, е соответственно на —a,—cla,dlb, мы получим формулу Эндрюса и Аски [А73]
[ъ (-qt/tMt/b^oo ,КД-сНМЧЬлУ» q
Ь(1 - д\д, -a/b, -bq/a, cd;q')oo(с, d, —be] a, —ad/b] q^
[ъ (-qt/tMt/b^oo ,КД-сНМЧЬлУ» q
Ь(1 - д\д, -a/b, -bq/a, cd;q')oo(с, d, —be] a, —ad/b] q^
(2.10.20)
(2.10.20)
Ввиду (1.3.18) формула (2.10.20) является g-обобщенйем интеграла бета- типа•
Ввиду (1.3.18) формула (2.10.20) является g-обобщенйем интеграла бета- типа•
(1 - l/d)‘->(1 - l/d)‘->»-s(.,»)s±^,»-s(.,»)s±^,(2.10.21)(2.10.21)
(1 - l/d)‘->
(1 - l/d)‘->
»-s(.,»)s±^,
»-s(.,»)s±^,
(2.10.21)
(2.10.21)
что получается из (1.11.8) после замены переменной.
Компактность обозначений в (2.10.18) и (2.10.19) оказывается удобной во многих приложениях (см., например, следующий параграф). Вдобавок симметрия параметров g-интеграла в левой части (2.10.19) приводит к формуле преобразования (2.10.1).
Трехчленная формула преобразования Бейлидля совершенно уравновешенного ряда 8<^г
Представление (2.10.19) ряда 8фт в виде g-интеграла может быть использовано для вывода трехчленной формулы преобразования Бейли [В5]
для этого ряда:
[
a, qa^, -qa^, b, c, d, e, fa2q2 1
a?, -as,ag/6,ag/c,ag/d,ag/e,ag//bcdef \
_ (ag, aq/de^ aq/df, aq/ef^ eq/c1 fq/c^ b/сц bef /a; q)^
(aq/d, aq/ey aq/ f, aq/def, q/c, e fq/c, be/a^ bf/a\ q\
*&Ф7*&Ф7ef (c^ef /с}», -q(ef /с}^^aq/bc^aq/cd^ef /а^е^ f bd{ef/cpy —(ef /ср ,bef [a^def/ayaq/c^fq/c^eq/c a
*&Ф7
*&Ф7
b{^bq/a^bq/c,bq/d^bq/e,bq/f,d,e,f; q)^
a (aq/b, aq/c, aq/d, aq/ e, aq/ f, bd/a, be/a^ bf / a, def /a; q),
(aq/bc^bdef/a2, a^q/bdef^q)^
b2/a^qba i,—qba ^ ^b^bc/a^bd/a^be/a^bf /aa2q2ba” 2 ,,—ba"^ 'bqla'bqlC'bq/d^bqle^bqlf ^' bcdef(2.11.1)b2/a^qba i,—qba ^ ^b^bc/a^bd/a^be/a^bf /aa2q2ba” 2 ,,—ba"^ 'bqla'bqlC'bq/d^bqle^bqlf ^' bcdef(2.11.1)*»Ф7*»Ф7(aq/def.q/c^q/a^q)^
b2/a^qba i,—qba ^ ^b^bc/a^bd/a^be/a^bf /aa2q2
ba” 2 ,,—ba"^ 'bqla'bqlC'bq/d^bqle^bqlf ^' bcdef
(2.11.1)
b2/a^qba i,—qba ^ ^b^bc/a^bd/a^be/a^bf /aa2q2
ba” 2 ,,—ba"^ 'bqla'bqlC'bq/d^bqle^bqlf ^' bcdef
(2.11.1)
*»Ф7
*»Ф7
где (bd/a) < 1 и \a2q2/bcdef\ < 1.
Для доказательства этой формулы сначала отметим, что, согласно (2.10.19),
8Wt (а; Ь, с, d, е, /; g, a2q2/bcdef}
aq - def(aq,d,e, f.aq/bc.aq/de.aq/df.aq/ef\q)^
adefq^l — g) (q^aq/b^aq/c^aq/d^ aq/e^aq/f^def jaq^aq/def; q}^
r4tl ^tja, qt/def, agt/bdef, agt/cdef-, q^.
Jaq(t/de,t/df,t(ef,aqt(bcdef;д)то4 "
Поскольку
fwfwrAef[def
fw
fw
гдегде(2.11.3)(2.11.3)(2.11.4)(2.11.4)dqt+ / fWdqt= / f^dqt,Jbdef/aJaq
где
где
(2.11.3)
(2.11.3)
(2.11.4)
(2.11.4)
_ (t/a1qtldef1aqtlbdefyaqtlcdef\q}i ^1/de, I/df^t/ef^aqt/bcdef-^q}^
*bde//a
ffWAqt
aq
bdef(l - q}(q^bdef /a2^q/bdef,, bq/d, bq/e^bq/f^bq/a^bq/c^q)^ a{aq/dey aq/df, aq/e f^ bd/a^ be/a^ bf /a^ q/c, b2q/a\ q}^’
*%Wf (62/o; b, bc/a, bd/a, be/а, bf/a; g, a2q2/bcdef},(2.11.5)
f161 f(t)d t = ^^ ~ ^'^^’^^'^I^^IC'befla^efla^q^oo
Hei/a 9(^e,/,6e/a,b//a,a9/bc,9/c,e/5/c;tf)^
-8W7(ef lc-,aqlbc,aq/cd,ef /a,e, f\q,bd/a),
(2.11.6)
мы сразу же получаем (2.11.1), подставляя (2.11.5) и (2.11.6) в (2.11.3). В преимуществе использования понятия g-интеграла можно убедиться, сравнив наше доказательство с доказательством, приведенным у Бейли [В5]. .
Частный случай да? = bcde f является особенно вайсныМ, так как ряд в левой части (2.11.1) и второй ряд в правой части становятся сбалансированными, тогда как первый ряд в правой части становится рядом е<^5 с суммой
^glc.eglcjqlc.aqlcef'.q)^
при условии, что \aq/cej\ < 1. Это приводит к формуле Бейли
афт i .02афт i .02a,qa^, —qa*i,b,c,d,e,j
афт i .02
афт i .02
—a%,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/ f' ’ .
(ag, c, d, e, J, bq/a, bq/c, bq/d, bq/e, bq/f; g)^
a (aq/b, aq/c,aq!d,aq/e,aq! f,bcla,bdla,bela,bf ja,b2q!a; q)^
*аФ7*аФ7b2/a,qba ^,—qba ^,b,bc]a,bdla,be(a,bf(a _ i _ i; g, g
*аФ7
*аФ7
ba ^,—ba ^,bqla,bq/c,bqld,bqle,bqlf
- (°9’ ^a’ ад/cd, aq/се, aq/cf, ад/de, aq/df, aq/ef^ q^ (aq/c, aq[ d, aq/e, aq/ f, be [a, bd/a,be/a, bf/a\ q^
. где qa2 = bedef, что является обобщением на случай необрывающихся рядов формулы суммирования Джексона (2.6.2). Этот результат можно также записать в следующей эквивалентной форме:
[b {qil^qtlbytla^^-tla^^tl^qtld^tle^tl^q)^
I - г — - - - - --- -- -- ---- —- - dg^
Ja (t,bt/a,qt/a^ ,—qt/a2 ,ct/a,dtla,etla, ft/a^^oo
(b, c,d,e, f,bc/a, bd/a, be I a, bf /a; q^
(2.12.1)(2.12.1)
(2.12.1)
(2.12.1)
Четырехчленная формула преобразования Вейли для сбалансированного ряда ю^д *
Заменив сначала a, b^c,d, е и / в (2.11.8) соответственно на
X)bqn1Xc/a1 Xd/a, Хе/а и a/bq1^ получим
bq* (qtlXAq1-nlb,tlXb,—t/X%,aqtlcX,(LqtldX,(LqtleX,btqn+1l^ q)
(/, btqn/X^ qt/X%, —qt/XV, ct/a, dt/a^et/a^aiq~n/ЬХ; q)^
6(1 - q^q.X/b.bq/X.bqlc.bqld.bqle.c.d.e^q)^
(а/X^b^Xc/a^Xd/а^Хе/(ца/Ь^Ьс/a^bd/a^be/a; q)^
(b^bc/a^bd/a^be/a'^q^ (Xq
(bqla,bqlc,bq/d,bq/e',q)n \ a
где n = 0,1,2,... . Пусть f,g,h — произвольные комплексные числа, причем \c?q3/bcdefgh\ < 1. Положив p = a3q2/bcdefgh^ умножим обе части (2.12.1) на
(b2/a;g)n(l - 62g2n/a)(6//a,65/a,6/»/a;g)n Yap\n
(<?;<?)n(l - ^laXbqlf.bqlg.bqlh^q^ \ A 7
и просуммируем non от 0 до оо. Тогда правая часть (2.12.1) примет вид
6(1 - q\q.Xlb.bqlX.bqlc.bqld.bq/e.c, d^q^
(а/Х^Ъ,Хс/а^Xd/a^Xe/a^a/b^bc/a^bd/a^be/a; q^ '
• 10^9 $Ч<Ц b^bc/a^bd/a^be/a^bf/a^bg/a^bh/a^q^pq^ .(2.12.2)
Левая часть сводится к двум двойным суммам, по одной от каждого из пределов в q-интеграле. От верхнего предела, равного 6gn, мы получим 6(1 — q^Vh bq/X^abq/cX^abq/dX^ abq/eX^q/a^q^oo■ '
(6,a/A,62g/A,6c/a,6(//a,6e/a;g)oo'
e ^ (6Va£g)n(lj-^(ap\n .
^ (q;qW - b2/a.Xbq/Lbq/g,bq/h;q)n\x)
e J^JX\q)2r^y^^^^^i
^ (q*iq)j^ ~ b^IXXbqlX.abqlcX.abq/dX.abqleX-.q^^^^qla^q^^j 4
_ 6(1 — q^q^bq/X^abq/cX^abq/dX^abq/eX^b^q/a^q^oo
'(6, a/X^q/X^ be/a, bd/a^ be/a\ q^
“0(9;9)m(l - 62/X)(bq/X,abq/cX,abq/dX,abq/eX,b2q/a;q)m 4'
•8^7 (b2/a\bfla,bgla,bh/a,b2qmIX,q~m\q,pq) .(2.12.3)
Теперь предположим, что p = 1, т.е.
Тогда, согласно формуле Джексона (2.6.2), сумма ряда ^Фт в (2.12.3) будет равна
(62д/а, ад/ fg, ад) fh, ag/gh-, g)m(Ьд/f,bg/g,bg/h,ag/ fgh; д)т
и выражение в (2; 12.3) упрощается до
Ц1 - q^q^bq/X^abq/cX.abq/dX^abq/eX^^q/a; q^
(6, а/А, b2q!X^ Ьс^ bd/a, be/а; q^
40W9 {b2IX\b,bcla,bdla,bela,bflX,bglX,bhlX\q,q), (2.12.5) поскольку в соответствии с (2.12.4) aq/ fg = bh/X, aq/fh = bg/X и aq/gh = bf/X.
Вернемся теперь к двойной сумме, которая соответствует нижнему пределу А в ^-интеграле (2.12.1). Это приводит к ряду
—А(1 — g)(g, aq) c^aq, d^aq) esXqlbsbXq( a^q^oo
(b,Xq,a/b,cX/a,dXI а,еХ/a'^^
У' ^Ча^д^/Д^^^^n
^ (9;9)n(l-62/a)(69/<i,69//A/fl>69/MA9/a;9)„ 4
* 8^7 (A; bqn^ cX/a, dX/a, eX/a, aq~n/b; q^ q)
_ —A(1 - q^q^aqlc^aqld^aqle^Xqjb^bXqla-^q^oo
{b^Xq^a/b^cX/a^dX/a^eX/a-^q)^
. У _(A^G-^m
~0 (g;9)m(l - X)(Xg/b,aglc,agld,ag/e,bXgl<r,g)n 4
■ %Wj (b2/a-,bqm,bg~m/X,bf/a,bg/a,bh/a\g,g}.(2.12.6)
Последний ряд ^7 в (2.12.6) является сбалансированным и необрываю- щимся, поэтому мы можем воспользоваться (2.11.7), чтобы получить
%Wi ( b2/a;bqm,bq~m/X^bf Ia^bg/a^bh/a\qs q)
_ (62g/a, Agm+1 //, Xgm*x/g1 Aym+1 /h, ад/fg, ад/fh, ag/gh, agm/b-15),»
(bXq^1 ja^bq] f^ bqlg^bqlh^a/Xyfqm^gqm, hq^q'joQ aqm (b2q/a,bq”m(X4bf/a,Ьд/а^ЬК/a^aqm^x/b^a^m+1 //;q^ ^ b (bq1^ Ja^bXq^1 (a^bq] f^bqlg^bqlhya/X^ fqm>gqm\q^co
(hqm,aq2m^i;q)(X>
*%W7<aq2m;bqmJqm,gqm,hqm1<blX\q.q\.' (2.12.7)
Использование этой формулы дает возможность разбить двойной ряд в (2.12.6) на две части:
-А(1 - q){q,b2ql(i,Xqlb.Xqlf.Xq/g.Xqlh.bflX^bglX'.q)^
(J), L g\ h, bq/ f, bq/g, bq/h, Xq; q^
(bh/X, aq/e, aq/d, aq/e; q^
(a/X, cX/a, dX/a, eX/a; q^
* 10^9 (A; ^) cX/a, dX/a, eX/a, /, g, h; q, q) aX^-^^bl^X^/b^qJ^aqJb^aqJe^q^
(b,a/b,aq, cX/a, dX/а,eA/a,bq/a,bq/ f, bq/g,bq/h;q)^ (aq/h,bf la^bg/a^bh/a^q)^
(^/Kf^g^q)^
^ (?!9)n(l - »X<iqlb,aqlf,aqlg,aqlh,Xq\q)n 4
• %Wi(X\eX/a,dXla,eXla,aqn,q”n;q,q^.(2.12.8)
Суммдруя последний ряд %фч, согласно (2ф.2), мы получаем, что сумма по п в (2.12.8) равна ряду юИ^д (a\b,e,d,e, f,g,h;q, q), который, очевидно, является сбалансированным ввиду (2.12.4). Приравнивая выражение в (2.12.2) сумме соответствующих членов в (2.12.5) и (2.12.8) и упрощая коэффициенты, мы в результате получим четырехчленную формулу преобразования Бейли [В8]
^ Гa,qa^, -qa* ,b,c,d,e, f,g,h1
Vo.^,-a.^ ,aq/b, aq/e,aq/d,aq/e, aq/f,aq/g,aq/h ’ ^’ J
(aq, b/a, c, d, e, f, g, h, bq/c, bq/d; q)^
(b2q/a, a/b, aq/c, aq/d, aq/e, aq/ f, aq/g, aq/h, be/a, bd/a; q)t e (bq/e, bq/f, bq/g, bq/h; q)^
(be/a, bf/a, bg/a, bh/a; q)^
;q,q;q,qba ^,—ba J,bq/a,bqlc,bq/d,bqle,bqlf,bq/g,bq/hba ^,—ba J,bq/a,bqlc,bq/d,bqle,bqlf,bq/g,bq/h, b2/a,qba ^,—qba 4,b,be/a,bd/a,be/a,bf/a,bg/a,bh/a * 10Ф9
;q,q
;q,q
ba ^,—ba J,bq/a,bqlc,bq/d,bqle,bqlf,bq/g,bq/h
ba ^,—ba J,bq/a,bqlc,bq/d,bqle,bqlf,bq/g,bq/h
_ (fl?, b/a, Xq/ f, Xq/g, Xq/h, bf/X, bg/A, bh/X; q^ (Xq, b/X, aq/f, aq/g, aq/h, bf /a, bg/a, bh/a\ q^
* 10^9* 10^9++X,qX^ ,—qX^ ,b,Xe/a,Xd/a,Xe/a,f,g,hX^, —Аз ,Xq/b, aqle,aq/d,aqle,Xql f, Xq/g,Xq/h(aq, b/a, f, g, h, bq/ f, bq/g, bq/h, Хе/a, Xd/a; q")^
* 10^9
* 10^9
+
+
(Xela,abq/Xc,abqlXd, abq/Xe\ q\(be/a, bf /a, bg/a, bh/a; q)^(Xela,abq/Xc,abqlXd, abq/Xe\ q\(be/a, bf /a, bg/a, bh/a; q)^(b2q/X,X/b,aq/c, aq/d, aq/e, aq/ f, aq/g, aq/h, be/ a, bd/a; q^
(Xela,abq/Xc,abqlXd, abq/Xe\ q\(be/a, bf /a, bg/a, bh/a; q)^
(Xela,abq/Xc,abqlXd, abq/Xe\ q\(be/a, bf /a, bg/a, bh/a; q)^
* 10^9* 10^9‘ b2/X, qbX-i, -qbX~^, b, be/a, bd/a, be/a, bf/X, bg/X, bh/X ЬХ” з, — bX 2, bq/X, abq/cX, abq/dX, abq/eX, bq/f, bq/g, bq/h
* 10^9
* 10^9
(2.12.9)
В терминах q-интегралов это можно записать в более компактной форме:
fb (qtla,qtlb,ta~% ,—ta~% ,qtlc,qtld,qtle,qtlf,qt/g^gt/h^q)^^
J a (t^bt/a^qta'^—qta""^ ^ct/a^dt/a^et/a, ft/a^gt/a^ht/a^q^oo 9
a (b/a,aq/b,Xc/a, Xd/a, Xe/a,bf /X,bg/X,bh/Xiq)^
X(b/A, Xq/b, c, d, e, bf /<ц bg/a, bh!a\ q^
fb (qtlX^qtlb^tX”^,-tX""^^aqt/cX^aqt/dX^aqt/eX^qt/f^qt!g,qt/h;q)oo
* I«,dqT.
Jx (/, bt/X. qtX-^ -qtX~2, ct/a,dt/a,etja^ ft/X^t/X, ht/X; q)^
(2.12.10)
где A = qa? (cde и a?q2 = bcdefgh.
Упражнения 2
Покажите, что
^a^qa^-qa^ J Zl ^2\ (а^2’^)(» ы
*[ k-J i’’l] = l1-*>-w7'|,|<L
Покажите, что для max(|/|, |ag|) < 1,
, Fa^ai-gai 6(ag,6tg)oo, /,_i . , .\
4^3 1 r i V\qA = 71TT^Г" 2Ф1 (b ,t\bqt\q,aq\.
[ a^-a^aq b(<,^/^9)00 V7
Приведите другое доказательство формулы суммирования (2.4.2) для ряда е<^5> воспользовавшись сначала формулой (2.2.4) для вывода q-формулы Диксона (2.7.2) для обрывающегося случая, а затем используя ее вместе с g-формулой Заальшютца (1.7.2).
Докажите тождество Сирза (2.10.4), используя (1.4.3) и коэффициенты разложения в степенной ряд для произведения
2<^i(a, b; с; q^ z) 1Ф1(<1) е; abde/c\ q, abz/c).
Докажите, что сумма первых n + 1 членов ряда
^ _(а^д)к(Ь-е^)(Ь1с1а/Ьс^^ к
t^ (q;q)k(i - aX<iq/b,aq/c,bcq;q)k 4
равна
(a?,69,cg,ag/6c; q)n
(aq/b,aq/c,bcq,q;q)n‘
Покажите, что , Г g-'n,6,C,--g1‘"n/6c1
4^ [g1“n/6,g1“n/c,— 6с’^’J
'О,n = 2m + 1,
(м^и^г;,^ ’ n 2т>
где т = 0,1,2,....
(Бейли [Вб], Карлитц [С8])
Выведите обрывающийся g-аналогДжексона суммы Диксона
Г «-2п,Ь, с , q2~n1 _ (6,c;g)„(5,bc;g)2„
Зф2 I q1-4"^, ях~гп1с'4' 6с](g,6c;g)n(6,c;g)2„’
где п = 0,1,2,... . (См. [J22], [J26], [Вб] и [С8].)
Покажите, что если b = д“п,п = 0,1,2,..., то
[
a,b,c^,-c^1
(abq^,-(abq^, с ’ ^J
_ (о£^^^п/2
U^bq^cq/ab-.q2^
(Эндрюс [А54])
Докажите, что
Г a,b, ~b,aq/c2 14[ag/с,—ag/c,62 ’^ j
^b2)q, q/b, -q/b, aq/b2, aq/c, -aq/c, aq1/№<?•; q)oo \4lb^-qlbsaqlb2saq2(b2c2
' 4<^ I a^l^c,-a^lHlc,^l^ ,q’q
_ (g/62, -q; д^аЗд2, ад^/Ь2, ag2/с2, а2ф2/62с2; q1^
^Slb2^ -ciq'i^oo^lb2sa2q2!c2saq2..aq2IVc2*^2^*
Так называемые q-полиномы Рака, которые были введены Аски Вильсоном [А 125], определяются формулой
Wn (x; а, 6, с,N; q) = 4& [^ ^-n; 9> ф
где п = 0,1,2,...,N. Покажите, что
Wn(x; а, Ь, с, N; q) = ^-’-^5)ncn W ^ _ х. & о c-i N. qyVaq,bcg;q)n
Полиномы Аски — Вилъсона определены в статье [А127] формулой
Pn(s;«»M>d| ?)
-п/ 1 j х л fq~n,abcdqn~\aei,1ae-ie ] = • п(а6, ас, ad; »)я4^з ^ ^«c.ad
где ж = cos 6. Покажите, что
p„(a:;a,6,c,d| q) = p„(z;6,a,c,d | 9),
pn(-«;a,6,c,d| q) = (-l)npn(z;-a,-6,-c,-d | q\
Покажите, что
10 W9(a; 6*, -6*, (bq)i, -(bq^, a/b, aV+1 /b, q~n-,q, q)
_ ^ад,а2д/Ь2;д)п n _ о 1 2
" (aq/b^q/b;q)n’ -W’ - -
Докажите, что если A = qa2 J bed и |A/a| < 1, to
e 10^9 (А;а^,—a^,(ag)i, -(aq)^,Xb/a,Xc/a,Xdla^q^qXIa^e 10^9 (А;а^,—a^,(ag)i, -(aq)^,Xb/a,Xc/a,Xdla^q^qXIa^ГУ Г a^c^d e qX4 _ ^Xqja, A2g/a;g)oo ^ 4 Yaq/b^aq/c^aqld'4’ a2 ] (Ag,A2g/a2;g)oo
e 10^9 (А;а^,—a^,(ag)i, -(aq)^,Xb/a,Xc/a,Xdla^q^qXIa^
e 10^9 (А;а^,—a^,(ag)i, -(aq)^,Xb/a,Xc/a,Xdla^q^qXIa^
Г a^b^c^d **Agl ^YdqJ^aq/c^aq/d'41 a J
- ^q' "~4’ Xqa^^ -Xqa”^; q)^
(Xq, -Xq/a, qa^-qa^,; g)oo
e 8^7 (X;a^, — a^ Xb/a,Xc/a,Xd/a^q, —q
(i) Покажите, что
^r aqa^Aq-" ;g> 1[a^ag/fc,^1 n J
_ (a^-2,^1, -qb""xa^\q^n
(b-^aq/b^ -b""xa^;q)n 1
это является g-аначогом формулы Бейли [ВЗ, 4.5(1.3)].
(И) Используя (i) в формуле (2.8.2), докажите следующий д-аналог
результата Бейли [ВЗ, 4.5(4)]:
‘. a,qai,b,c,d,q п'
,а^ ,aqlb,aqlc,aqld,a2qx~n )Х2' ’ .
(А/^А^/й^^
(Ag,A2/a2,-Aa~i;g)n
X,qX^ ,—qX-^ ,Xbla,Xc[a,Xdla, .
^^^, — Ai ,aqlb,aq)c,aqld,
qa^, -ai, ^aq^, -(aq^, A2 qn/a, q”n.
Aa"i, — Aga"i, A(g/a)i, — A^/a^at^^/A, Agn+1 ’ ^
Эта формула эквивалентна формуле преобразования Джайна [J40, (4.6)].
2.15.2.15.Выбрав соответствующие ^-интегралы от функции
2.15.
2.15.
v (aZ,^/5cd,^Z/5ce,^/5c/; q)^ ’ докажите равенство Бейли [В5, (4.6)]
(qa2, ab, ас, b/а, с/а; <7)00
. 8^7 (a2;ab,ac,ad,ae,af;q,q2labcdef^
+ b-i (bq/d, bq/e, bq/f, q/bd, q/be, q/bf; q)^ (qb2, ba, be, a/b, c/b; q^
. 8^7 Q?;ba,bc,bd,be,bf;q,q2/abcdef^ eq Id, cq/e, cq/f, q/cd, q/ce, q/cf; q^ (qc2,ca, cb, a/C, b,c; q)^
* 8^7 (c2;ca,cb,cd,ce,cf',q,q2/abcdef)
= 0
при условии, что \q2/abcdef\ < 1.
Пусть S(X,p.,v,p) = ^qlX^^/p^^/v^^lp^yoo. Используя ynp.
докажите, что
S(xX,x/X, pv, p/v) — S^xv, x,v, Xp,p/X)
= ^S(xn,xln,\v,Xlv), .
где x, X,p, v — ненулевые комплексные числа.
(Сирз [S6, S7], Бейлп [B5])
Покажите, что
(О(О8^78^7А, дА4, —дД4, а, 6, с, —с, Ag/с2Ад
(О
(О
8^7
8^7
А 4, - Ai, Хд/а, Xg/b, Хд/с, —Xg/c, c2’^ ab
(Ag, c2/A; g)oo(ag, bg, c2g/a, c2g/b; g2)^ (Xq/а» Xq/b; д)оо(^> abq, c2q, c2q/ab; q2)^ ’
где A = —c(a6/g)4 и |Ag/a6| < 1;
/•Л Л Г~C*»(~C)^>—»(~C)*»a»»/°»C>—rf»~»/rf
(“)8^7,1!9,C
(-с)з, -(-ср, -cq/a, -ac, -q,cq/d, cd
- ^zfbszSfLqbs^f!^^^ы < i
(с(/,сд/(/,-ас,-сд/а;д)оо
Проверьте, что (i) является g-аналогом формулы суммирования Ватсона ([ВЗ, 3.3(1)]), в то время как (и) является д-аналогом формулы Уиппла ([ВЗ, 3.4(1)]). (См. [J45] й [G32].)
В формуле суммирования (2.7.1) для ряда 60s устремите b,c,d к оо. Затем подставьте a = 1 для доказательства тождества Эйлера [ЕЗ]
1 + Е(-1)я{gn(3n-1)/2 4- g"<3"+1)/2} = (qtq^. п=1
Покажите, что
10% (a;6,c,</,e,/,g,g”n;g,g)
= (ад» ад/се, ад/de, адМ, ад/ед, Ь; д)п ^(ад/с, ag/d, ад/е, ag/f, ад/д, b/е; д)п
* ю4Уэ (сд-пlb*,e,aqlbc,ag/bd,aqlbf,aglbg,eg”n/а,д""п\д,д^ , где a3gn+2 — bcdefg и п = 0,1,2,... .
Докажите, что
10И9 (a;b,c,d,e,f,g,g п;д,а3дп^3/bcdefg)
(ag,ag/fg;q)n A (q^^f^gyaq/de^g)^(ag/f, ад/д; q)n 2^ (g, ag/d, ag/e„ fgg~n/a; g)5
*4<k*4<kg ^d,e,ag/bc
*4<k
*4<k
* gn g
aq/b,aglc,deg”3/a
при n = 0,1,2,.
Покажите, что
10^9 (о; 6, с, d, е, /,5, h; g, a3q3/bcdefgh)
_ A __(A^)n(i-^2)(W5Ac/^^
^ (9;?)n(l - A)(ag/6,ag/c,ag/d,ag/e,a9//,a9/s,ag/ft;9)n(Ag;9)2n
• (y) 8^7 (aq2n;a/X,eq”,fq”,gq",hqn;q,a3q3/bcdefgh') ,
где A = qa2/bed и | a? q3/bcdefgh |< 1.
Докажите, что
у __0мМ122^2М£^
~£ (»;?)»(! - aXaqlb,aqlc,aqia,aqle-,qy
( a2g2\\ bede /
g(")
Выведите, что
aq/bc,d,e aq
aq/b,aqlc'4' de
у (д; g)n(l-gg2n)(rf,e;g)n ^ (?; 9)n(l - a)(aq/d, aq/e; q\
(aq^q/deiq)^,(aqld,aqle-,q)oo
2.23. Докажите, что
v-^(a6, ac, ad\ q^j
^ <abcd,aqz,aql^q^
q3
(aq/de) < 1.
(1 - z/a\\ - abcz)(1 - bz)^ - cz)
8Mfr (abcz; ab^ ac, bc^ qz/d^ q; g, dz)
(ab^ac,ad;q)n+i (1 - agn+1/^)(l - abczqnA-1) (abed, aqz, aq/z; q)n+i (1 - a/^)(l - abcz) :8^7 (abczq^1; abqn^x, acq^1, be, qz/d, q; q, dz) .
Покажите, что
, Г a,b,c,d,e .1 _ (Ag/^g/e^gA2/^//^?)»
5 4 [«д/б^д/с.^д/^,/’9’9] (Ag,ag//,eg//,ag/A/;g)oo
" nW^ (^Х;а^,—а^АаЧ^ 1—(а9^Ab/a,XcJa,Xd/a,e,aq/f;q,q^
_(<M,<VA,g/_f,Ag2//; q^
Uls^eqlf^lM^qlf^q^oo
У' у* (A;g)j(l - Xq^XXbl^Xcl^Xdla^,
^ ^ (?; ^M1 - XX«q/b, aq/c, aq/d; q^
(fJbWlJrfhS^i'*k
Wif^f/a;q)jW-Mf,Xq2+i/f;q)k q ’
где A = qa2/bed ir / = ea2/X2. Обратите внимание, что это приводит к (2.8.3) при е = д-п, п = 0,1,2,.
Изменив порядок суммирования в двойной сумме из упр. 2.24 и воспользовавшись формулой суммирования Бейли (2.11.7), докажите формулу преобразования Джайна и Верма [J44, (7.1)]
, Г a, b,c,d,e 1
Yag/b,ag/c,ag/d, р^^}
+(^ Ь, с, d, е, g/h ад2/bf. ag2/cf, ад2/df; д^
( ад/Ь, ад/c.ag/d, f/g, ад/f, bg/f, ед/ f, dg/ f, ед/ p q)oo
= (Xg/a, Ag/e, gA2/a, g/f; g^ (Xg, ад/f, eg/f, ag/Xf; g)^
* 12^11 ^A;ai, —a^ ^ag^, — (ag)^,A6/a, Хс/a^Xd/a^e^ag/ f\g^
(a, e, Xb/a, Хе/a, Xd/a^ g/ fs a2g2/Xbf^ a2g2/X^f^ a2g2/Xdf, ag3//2; g)oo + кач!^ ач1с. aq!^ aq!f. bq!f^ cq/f. dg/f, eg/f, Xf /ад, a2g^(Xp^g^ ‘nWu^aV/Xf2:^ (Xf,-ga^/Xf, (ga)i/A/, ~(ga)i/A/, Ад/а, ад/ f, bg/f, eg/ f, dg/f* g, g),
где параметры связаны так же, как и в упр. 2.24. Обратите внимание, что это обобщение на необрывающийся случай формулы (2.8.3) и что* первый ряд 5^4 в левой части является почти уравновешенным рядом второго рода, тогда как второй ряд ьф4 является почти уравновешенным рядом первого рода.
Докажите, что если а = g”n, п = 0,1,2,..., то
з</>2з</>2^о.х\ 5)00(^ 9)оо^о.х\ 5)00(^ 9)ооа, 6, с aqx aq/byaq/c^ be .
з</>2
з</>2
^о.х\ 5)00(^ 9)оо
^о.х\ 5)00(^ 9)оо
а^, —ai, (ag)i, —(ag)i, ад/6с aq/b,aqlc,ax,q/x '
(Сирз [S4, (4.1)], Карлитц [C8, (2.4)])
Покажите, что . \q-n1c,ablc,ai,...,ar1 _ (c,ab/c;g)n
[a,t>,&b—,<>rJ (a,6;g)n
V' кд~П'>с1а'с1^Ч>)к к ,Гqk~n,c,ai,,ar.1
‘ ^'0<q1c,ca-4-1q1-";q)k 4 r+2<^r+1 [ cqk,blt ...,br 9, J "
Покажите, что
Г а,Ьг,...,Ьг,с^ nj _ (ag/c^g1 n/c;g)n
г+з г+2 j^y^^ ^aq/^saq]c,agn+i ’^’^ J^aqle,qx~n/ez\q^n
y^ ^q-nIсгД,z^q-nIa^q'^-^q^k (1 - q2k~n/cz) /aqn4rX\k ^(q^aqlcz.qlcz^q^-^/c’.q^^l-q-^/cz)\c )
[
a)bi)...)bT)czq”k)qk-n1
aqlbi1...saqlbTsaqR*Ylczsaqn*v RJ
Покажите, что
n^cdqn^^aiy ..naT 1 r+2<^r+i,,;g,^
^cq.abq^q^k
Xqk-n>cd,qn4rk'vxsaqk'vx 1\q-k^abqkA-xsaXl1
3M cq^^w ;».<]r+2^+i[ aqAi...ibT ’^.
Используя (2.12.9) несколько раз, докажите формулу преобразования Бейли [В8, (8.1)]:
10^9(0; 6, с, d,e, fyg,h\q,q)
(qb2/a, bc(as bd/a, beja^ bf /аДд/а^ bh/a,a/b^aq/c^ aq[d, aq]e; q^
(behj^bj^(be/а, bf/a; 5)00(behj^bj^(be/а, bf/a; 5)00(begja, bfg/a-, g)00(6e/a, 6//a; g),»(begja, bfg/a-, g)00(6e/a, 6//a; g),».(Мп (9i9)n.(Мп (9i9)n(gteie,gte ie;q\» № (jdtei6 ^te-^g^oo(gteie,gte ie;q\» № (jdtei6 ^te-^g^ooА78В45R33А78В45R33
(behj^bj^(be/а, bf/a; 5)00
(behj^bj^(be/а, bf/a; 5)00
(begja, bfg/a-, g)00(6e/a, 6//a; g),»
(begja, bfg/a-, g)00(6e/a, 6//a; g),»
.(Мп (9i9)n
.(Мп (9i9)n
(gteie,gte ie;q\» № (jdtei6 ^te-^g^oo
(gteie,gte ie;q\» № (jdtei6 ^te-^g^oo
А78
В45
R33
А78
В45
R33
10^9(66/5; 6, ад/eg, ag/dg, ад/eg, ад/ fg, bh/a, h; q, q)
(ag,b/a,h, bg/h, ад/eg, ag/dg, ад/eg, ад/ fg, beg (a, bdg/a^g^ (bggjh, bg/a, h/g, ag/g, ag/c, ag/d, ag/e, ag/f, bc/a, bd/a; g^
10^9(65/6; 6, ад/eh, ag/dh, ад/eh, ад/fh, bg/a,g-, g, 5),
где a3?2 = bdefgh.•
Используя 5-формулу Диксона (2.7.2), докажите, что постоянный член в разложении Лорана для
(xi/x2,®i/®3;9)et (s2/s3,9®2/si;9)a2 (9»з/®1,9»з/»2;9)аэ
есть
(в! »)а1+а2+аз/(9; 9)а,(9; 9)а2(9! ?)аэ,
где «1, «2 и аз являются неотрицательными целыми числами.
(Эндрюс [А51])
Используя (2.10.18), 5-биномиальную теорему и производящую функцию из упр. 1.29, выведите формулу
C„(cos в; /?|5) =C„(cos в; /?|5) =2isin0 (P,j3,Pe2ie,0e 2,в;д)оо1-9 (9.^2,e2<e,e-2i#;5)oo
C„(cos в; /?|5) =
C„(cos в; /?|5) =
0 < e < n.
(Рахман и Верма [RI9])
Примечания 2
. Некоторые приложения формулы преобразования Ватсона (2.5.1) для ложных (mock) тета-функций представлены в [W8], [W9].
. Другие доказательства тождеств Роджерса — Рамануджана,
тождества типа Роджерса — Рамануджана, их приложения в комбинаторике, алгебрах Ли, статистической механике и т. д. см. в работах [А2],
А43], [А49], [А50], [А53], [А55], [А57], [А59], [А64], [А66]-[А69], [А76], [А77],
[А79], [А80], [В7], [BIO], [В13], [В19]-[В25], [B30]-[B33], [В37], [В43 В46], [В49], [D13], [D23], [F6], [G3], [G5], [L3], [L5], [М25], [Р2], R24 S2], [S13] и [W7].
. Агарвал *[А10] показал, что преобразование Бейли (2.9.1) дает формулу преобразования для усеченного ряда 807, где сумма первых АГ членов бесконечного ряда называется усеченным рядом.
. Многие дополнительные формулы преобразования для гипергеометрических рядов выведены у Уиппла [Wil], [W12].
. Дополнительные формулы преобразования для ряда 3^7 выведены у Агарвала [А8].
Упр. 2.6. См. также формулы суммирования для совершенно уравновешенных рядов в работе [J52].
Упр. 2.31. Это упражнение есть частный случай п = 3 теоремы Зейль- берга и Брессу [Z8], утверждающей, что если Xi,..., xn, q суть некоторые коммутирующие величины, а «1,..., ап суть неотрицательные целые числа, то постоянное слагаемое в разложении Лорана для
JJ[ ^x^lx^q^a^qx^lx^q^^l<t<j<n''
равняется g-мультиномиальному коэффициенту‘
Это утверждение называлось g-дайсоновской гипотезой Эндрюса, поскольку Эндрюс в [А51] предположил, что оно является g-аналогом ранее доказанной гипотезы Дайсона [D22] о равенстве постоянного члена в ло- рановском разложении для
мультиномиальному коэффициенту . (ai 4- • —Ь ап)!
Случай п = 4 g-дайсоновской гипотезы Эндрюса был независимо доказан Каделлом [К4]. Дополнительные результаты относительно «постоянного слагаемого» получены в [В55], [Е4], [К10]—[К12], [М1]-[М4], [МЗО], [S34], [S37] и [Z2]-[Z4]. . .
3
ДАЛЬНЕЙШИЕ ФОРМУЛЫ СУММИРОВАНИЯ,ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И РАЗЛОЖЕНИЯ
Введение
В этой главе формулы суммирования и преобразования, рассмотренные в гл. 1 и 2, будут использованы для вывода полезных во многих приложениях дополнительных формул преобразования для базисных гипер- ' геометрических рядов. В §3.2 и 3.3 мы получим g-аналоги некоторых формул преобразований Томэ [Т4] для ряда 3F2, среди которых типичными являются■
г» ~^> ®> ^. 1 _ (^ ~ ^)* г»— fl, С — О, Ь/о 1 1 \
3-^2J 1 = —777 3-^21 . l j 1 >(0.1.1)
. с,а ’ J (d)n [с, 14* Ь — d — n Jv 7
н — 0,1,2,...,
3^23^2а,Ь,сеd,e ’а,Ь,сеd,e ’Г(<ОГ(е)Г(»)U-a,e-a,8 ’Г(а)Г(з + Ь)Г(з + с) 3 2 s + 6, s + с ’ J ’Г(<ОГ(е)Г(»)U-a,e-a,8 ’Г(а)Г(з + Ь)Г(з + с) 3 2 s + 6, s + с ’ J ’(3.1.2)(3.1.2)
3^2
3^2
а,Ь,сеd,e ’
а,Ь,сеd,e ’
Г(<ОГ(е)Г(»)U-a,e-a,8 ’
Г(а)Г(з + Ь)Г(з + с) 3 2 s + 6, s + с ’ J ’
Г(<ОГ(е)Г(»)U-a,e-a,8 ’
Г(а)Г(з + Ь)Г(з + с) 3 2 s + 6, s + с ’ J ’
(3.1.2)
(3.1.2)
s = d4-e — а — Ь-с, иs = d4-e — а — Ь-с, и3^23^2®> Ь, с е Id, е ’®> Ь, с е Id, е ’Г(1 - a)r(d)r(e)r(c - Ъ)T^d - Ь)Г(е - 6)Г( 1 4- Ь - а)Г(с)Г(1 - a)r(d)r(e)r(c - Ъ)T^d - Ь)Г(е - 6)Г( 1 4- Ь - а)Г(с)
s = d4-e — а — Ь-с, и
s = d4-e — а — Ь-с, и
3^2
3^2
®> Ь, с е Id, е ’
®> Ь, с е Id, е ’
Г(1 - a)r(d)r(e)r(c - Ъ)
T^d - Ь)Г(е - 6)Г( 1 4- Ь - а)Г(с)
Г(1 - a)r(d)r(e)r(c - Ъ)
T^d - Ь)Г(е - 6)Г( 1 4- Ь - а)Г(с)
е 3^2е 3^2Ь, b — d + 1,6— е + 11 4- Ь — с, 1-|-Ь — а ’Ь, b — d + 1,6— е + 11 4- Ь — с, 1-|-Ь — а ’4- idem (Ь;с), (3.1.3)4- idem (Ь;с), (3.1.3)
е 3^2
е 3^2
Ь, b — d + 1,6— е + 1
1 4- Ь — с, 1-|-Ь — а ’
Ь, b — d + 1,6— е + 1
1 4- Ь — с, 1-|-Ь — а ’
4- idem (Ь;с), (3.1.3)
4- idem (Ь;с), (3.1.3)
где символ “idem (Ь; с)” после некоторого выражения означает, что данное выражение необходимо повторить, поменяв Ь и с местами.
Основной темой этой главы будут, однако, 5-аналоги большого класса преобразований, известных как квадратичные преобразования. Говорят, что две функции f^ и ^(w) связаны квадратичным преобразованием^ если z и it; тождественно удовлетворяют некоторому квадратному уравнению и /(z) = <y(w). К числу важных примеров формул квадратичного преобразования относятся:
- Ь; 1 4- а - Ь;- Ь; 1 4- а - Ь;(1 + г)” 2^(0,611 +a-6;-z)= 2^^,^
- Ь; 1 4- а - Ь;
- Ь; 1 4- а - Ь;
^1 - zy 2Ft(a,b;2b;2ZV ^“ЦЬьЦ;—^--^,(3.1.5)
(1 — Zy 2^1 (2a, a + 6; 2a + 26; г') =(1 — Zy 2^1 (2a, a + 6; 2a + 26; г') =1 z2 \ 2’ 4(z — 1)/1 z2 \ 2’ 4(z — 1)/(3.1.6)(3.1.6)(l -z)0 3^2(l -z)0 3^2a, b, c1 + a — 6,1 + a — ca, b, c1 + a — 6,1 + a — czz(3.1.8)(3.1.8)= 3^2= 3^23^23^2|a, 1 + |a, 1 + a — b — c|a, 1 + |a, 1 + a — b — c1 + a — b, 1 + a — c1 + a — b, 1 + a — cAz(i^.Az(i^.(3.1.9)(3.1.9)
(1 — Zy 2^1 (2a, a + 6; 2a + 26; г') =
(1 — Zy 2^1 (2a, a + 6; 2a + 26; г') =
1 z2 \ 2’ 4(z — 1)/
1 z2 \ 2’ 4(z — 1)/
(3.1.6)
(3.1.6)
(l -z)0 3^2
(l -z)0 3^2
a, b, c
1 + a — 6,1 + a — c
a, b, c
1 + a — 6,1 + a — c
z
z
(3.1.8)
(3.1.8)
= 3^2
= 3^2
3^2
3^2
|a, 1 + |a, 1 + a — b — c
|a, 1 + |a, 1 + a — b — c
1 + a — b, 1 + a — c
1 + a — b, 1 + a — c
Az
(i^.
Az
(i^.
(3.1.9)
(3.1.9)
Приведенное выше определение квадратичного преобразования нельзя непосредственно применить к базисным гипергеометрическим рядам. Например, тождество в упр. 2.26 при а = q-n является д-аналогом формулы (3.1.8) с a = — п, но это не соответствует приведенному выше определению квадратичного преобразования. Поэтому мы будем говорить, что преобразование между базисными гипергеометрическими рядами является «квадратичным», если оно есть q-аналог квадратичного преобразования для гипергеометрического ряда.
Будет показано, что одним из важных свойств квадратичных преобразований, выведенных для базисных гипергеометрических рядов в последующих параграфах, является то обстоятельство, что ряды, полученные из ряда r<^e(ai, ...,ar; bi, ...,63;д,^) путем квадратичного преобразования, будут содержать квадраты или квадратные корни по крайней мере одного из ai,...,ar, by, ...,b8,q, z и, возможно, квадрат или квадратный корень из q в качестве их базы.
Двучленные формулы преобразования для ряда 3Ф2
Вообще говоря, сходящийся ряд 3Ф2(a, b, с; d, е; q, z) не сводится с точностью до множителя к другим рядам 3Ф2 или к каким-либо другим рядам Тф8. Естественно предположить, что такое преобразование возможно при наличии некоторой связи между параметрами и аргументом z. Сирз [S4, S6] обнаружил, что при z = q и z = de/abc существует целое семейство
формул преобразования для ряда 3(^2, аналогичных формулам преобразования Томэ [Т4] для ряда 3F2. Из соображений удобства мы будем говорить, что базисный гипергеометрический ряд r^5(ai,...,ar;6i, ...,6,;^,^) является рядом типа I, если z = g, и типа II, если z равен произведению параметров знаменателя, деленных на произведение параметров числителя. Обратите внимание, что ряд является рядом обоих типов, если он сбалансированный. *
В этом параграфе мы рассмотрим преобразования между двумя рядами 3^2 • Эти формулы могут быть получены непосредственно как частные и предельные случаи тождества Сирза (2.10.4), которое для наших теперешних целей мы перепишем в виде
' q n,a,b,c, ,'
. d, е, abcq^~n / de '^’^
(е/a, de/be-, д)п(е, dejabc; д)п(е/a, de/be-, д)п(е, dejabc; д)п' q n^a^d/byd/c^ " .d, de/bc^aq1~n/e' q n^a^d/byd/c^ " .d, de/bc^aq1~n/e(3.2.1)(3.2.1)
(е/a, de/be-, д)п(е, dejabc; д)п
(е/a, de/be-, д)п(е, dejabc; д)п
' q n^a^d/byd/c^ " .d, de/bc^aq1~n/e
' q n^a^d/byd/c^ " .d, de/bc^aq1~n/e
(3.2.1)
(3.2.1)
при n = 0,1,2,... . •
Сохраняя фиксированным n и выбирая специальные или предельные значения одного из других параметров, можно получить формулы преобразования для обрывающегося ряда 3^2. Рассмотрим вначале именно этот класс формул.
Случай (i). Устремив с к 0 в (3.2.1), мы получим
3^23^2q п'<цЬq п'<цЬd^ed^e(е/а; д)п(е; q)n(е/а; д)п(е; q)nап зфзап зфзq п^а^/Ь bq d^aqxrn/е'^ еq п^а^/Ь bq d^aqxrn/е'^ е(3.2.2)(3.2.2)
3^2
3^2
q п'<цЬ
q п'<цЬ
d^e
d^e
(е/а; д)п(е; q)n
(е/а; д)п(е; q)n
ап зфз
ап зфз
q п^а^/Ь bq d^aqxrn/е'^ е
q п^а^/Ь bq d^aqxrn/е'^ е
(3.2.2)
(3.2.2)
Обратите внимание, что ряд в левой части является рядом типа I, а в правой — типа II. Формула (3.2.2) есть g-аналог формулы (3.1.1).
Случай (ii). Устремив а к 0 в (3.2.1), получим
3^23^2q пЛс * , ;q.q d,e .q пЛс * , ;q.q d,e .(de/bc;q)n (bc\n0ц 9)п\ ^ /(de/bc;q)n (bc\n0ц 9)п\ ^ /q п^/ь^/с'. d,de/bc ^^q п^/ь^/с'. d,de/bc ^^(3.2.3)(3.2.3)
3^2
3^2
q пЛс * , ;q.q d,e .
q пЛс * , ;q.q d,e .
(de/bc;q)n (bc\n0ц 9)п\ ^ /
(de/bc;q)n (bc\n0ц 9)п\ ^ /
q п^/ь^/с'
. d,de/bc ^^
q п^/ь^/с'
. d,de/bc ^^
(3.2.3)
(3.2.3)
д"пЛ^' d,e ^qд"пЛ^' d,e ^qЕсли мы устремим с к 0 в (3.2.3), то получим
д"пЛ^' d,e ^q
д"пЛ^' d,e ^q
2Ф1^ n,d/b;d;q,bq/e) = (-l)nq V2)(e;q)ne п 3Ф2
что может быть записано в виде (упр. L15(i))
г х _ (в^/6; 9)00 ^ [а,с/6,0 _ ]/о п ^
2&(a,b;c;5,z)- ^^^ з& [ С) сд/^. 9> ф(3-2-4)
где а = q п, п = 0,1,2,....
Случай (iii). Устремим с к оо в (3.2.1). Это дает формулу Сирза [S6, (4.5)],
зФ1зФ1(3.2.5)(3.2.5)q n,a,bdeqn\(e/a\q)nГ? n.a.d/b ’
зФ1
зФ1
(3.2.5)
(3.2.5)
dse ао J (e;g)nL«,a? je .
Обратите внимание, что нет существенной разницы между (3.2.2) и (3.2.5), поскольку одна из этих формул может быть получена из другой путем замены параметров. ’
Случай (iv). Заменив а на aqH в (3.2.1) и сделав необходимые упрощения, мы получим.
4^34^3q п,адпЛсd^e^abcqjdeq п,адпЛсd^e^abcqjde^q^q
4^3
4^3
q п,адпЛсd^e^abcqjde
q п,адпЛсd^e^abcqjde
^q
^q
_ ^aq/e,delbc\q)n (bc\n^abcqlde^q^ \d J_ ^aq/e,delbc\q)n (bc\n^abcqlde^q^ \d J*q n,aqn,d/b,dlc *. d^delbc^aqle.*q n,aqn,d/b,dlc *. d^delbc^aqle.
_ ^aq/e,delbc\q)n (bc\n^abcqlde^q^ \d J
_ ^aq/e,delbc\q)n (bc\n^abcqlde^q^ \d J
*q n,aqn,d/b,dlc *. d^delbc^aqle.
*q n,aqn,d/b,dlc *. d^delbc^aqle.
Подставим d = Ac и затем устремим с к оо. Заменив в полученной формуле Л,е и abqjXe соответственно на c^d и е, получим
з<^2з<^2q n,aqn,b de d^e abq n,aqn,b de d^e ab
з<^2
з<^2
q n,aqn,b de d^e ab
q n,aqn,b de d^e ab
(3.2.6)(3.2.6)(aqld,aqle-,q)n (de\n tq n,aqn,abq/de q" 73ч —) зФг ...>9'7 , (d,e;g)n \eqy L aqld,aqle b.
(3.2.6)
(3.2.6)
что является формулой преобразования между двумя обрывающимися рядами 3^2 типа II.'
Давайте теперь рассмотрим формулы преобразования, связывающие два. необрывающихся ряда з<^2-■
Случай (v). В (3.2.1) устремим п к оо. Непосредственный почленный предельный переход дает формулу..
3^23^2а, 5, с de 1 __ (e/a^delbc^q)^d,e '^ abc (с, dejabc\ q^а, 5, с de 1 __ (e/a^delbc^q)^d,e '^ abc (с, dejabc\ q^зФ1зФ1* а^Ь^с e. d^dejbc '^ a* а^Ь^с e. d^dejbc '^ a(3.2.7)(3.2.7)
3^2
3^2
а, 5, с de 1 __ (e/a^delbc^q)^d,e '^ abc (с, dejabc\ q^
а, 5, с de 1 __ (e/a^delbc^q)^d,e '^ abc (с, dejabc\ q^
зФ1
зФ1
* а^Ь^с e. d^dejbc '^ a
* а^Ь^с e. d^dejbc '^ a
(3.2.7)
(3.2.7)
Помимо общего требования, что в знаменателях обоих рядов не должно быть нулей, параметры должны быть ограничены условиями сходимости Ide/abcl < 1 и \е]а\ < 1. Эта формула есть ^-аналог формулы Куммера — Томэ — Уиппла:
3^23^2о, 5, с е d,e 1о, 5, с е d,e 1Г(е)Г(б?4- е — а — b — с) ' a^d — b^d — c " Г(е — а)Г(б? 4- е — b — с) 3 2 d, d-Ve — b— с1 . ’Г(е)Г(б?4- е — а — b — с) ' a^d — b^d — c " Г(е — а)Г(б? 4- е — b — с) 3 2 d, d-Ve — b— с1 . ’(3.2.8)(3.2.8)
3^2
3^2
о, 5, с е d,e 1
о, 5, с е d,e 1
Г(е)Г(б?4- е — а — b — с) ' a^d — b^d — c " Г(е — а)Г(б? 4- е — b — с) 3 2 d, d-Ve — b— с1 . ’
Г(е)Г(б?4- е — а — b — с) ' a^d — b^d — c " Г(е — а)Г(б? 4- е — b — с) 3 2 d, d-Ve — b— с1 . ’
(3.2.8)
(3.2.8)
где Re (е — а) > 0 и Re (d 4- е — а — b — с) > 0.
Трехчленные формулы преобразования для ряда 30289
Случай (vi). Повторяя (3.2.1) один раз, получим
Г q"*ni<4b,c1
Id^abcq1 n/de]
(b,de/ab,de/bc;q)nVq"n,d/b,e/b,de/abc Д
(d,e,de/abq-,q)n 4[de/a6,</e/6c,q1-nJb' ’ J
Предположим, что min (|6|, |de/abc|) < 1. Тогда, вычислив предел при n —► оо, мы получим формулу Холла [Н8]
. ГдДс del
3^[d,e;9’^J (b^e/ab^e/bc-.q)» Id/b,e/b,de/abc Л /oom\ = (d^de/abc^ 3^[ del«b,delbc ’^21°)
Обратите внимание, что это есть g-аналог формулы (3.1.2).
Прежде чем закончить этот параграф, стоит упомянуть, что, перейдя к пределу п —► оо в формуле Ватсона (2.5.1), мы получим другую формулу преобразования:
aqjbc.d.e agl _ (aq^^w^^ aq/b.aq/c'qi de\ ~ (aq, aq/de\ q^
. .(a; q)k( 1 - ад^уь, c, d, e; q^kф / «УХ*
£t (мЫ1 ~ a^aq/b,aq/c,aq/d,aq/e;q)k4 \ bcde/
(3.2.11)
при условии, что \aq(de\ < 1. Это есть g-аналог формулы
р Г 1 4- а - b - с1 d^e Л _ Г(1 + а)Г(1 + a - (/- е)
аЛ-V ^a.b.c.d.eТ-,2,;-1 , (3.2.12)|а, 1 + а — 6,1 + а-с, 1 + а — </, 1 + а — е JаЛ-V ^a.b.c.d.eТ-,2,;-1 , (3.2.12)|а, 1 + а — 6,1 + а-с, 1 + а — </, 1 + а — е J3/2 [1 + а-6,1 + а-с;1]Г(1 + а-</)Г(1 +в-е)
аЛ-V ^a.b.c.d.eТ
-,2,;-1 , (3.2.12)
|а, 1 + а — 6,1 + а-с, 1 + а — </, 1 + а — е J
аЛ-V ^a.b.c.d.eТ
-,2,;-1 , (3.2.12)
|а, 1 + а — 6,1 + а-с, 1 + а — </, 1 + а — е J
• 6^5
где Re (1 + а - d - е) > 0; см. [ВЗ, 4.4(2)].
Трехчленные формулы преобразования для ряда зф2
Заменим в (2.10.10) a^b,c,d,e, f соответственно на AqN, BqN, С., D, Е, FqN и затем устремим N к оо. В полученной формуле заменим С, D, Et Aq/B и Aq/F соответственно на аД с, </ и е, что дает
. Г a^b^c^ de 13^[ d,e ;9’^J. Г a^b^c^ de 13^[ d,e ;9’^J{elb^lc^q)^Vd/a,b,c1
. Г a^b^c^ de 1
3^[ d,e ;9’^J
. Г a^b^c^ de 1
3^[ d,e ;9’^J
■7—77—x— 302 ,, , ;q->q\
(e^e/bc^qjoQ[d,bcq/eJ
(3.3.1)(3.3.1)^dja^b, c,de(bc\ q)^ Ve/b^e/c^de/abc 1
(3.3.1)
(3.3.1)
"^ {d,e^bc/e,de/abc.q)^ 3 2 [ de/bc^q/bc ’^’j ’
где |de/a6c| < 1 и bc/е не является целой степенью q. Эта формула выражает ряд 3^2 типа II через ряд зфз типа I. Как частный случай (3.3.1) положим а = q~n при п = 0,1,2,... . Тогда .
3^23^2»-",Ь,с, degn‘ . d»e ’q’ be .
3^2
3^2
(e/6,e/c;»)ooГ*, c,dqn "
(«це/Ьс^оо 3^ Vbcq/e^'9’9.
(3.3.2)(3.3.2)_(M£<?)oo_ (de/^£9^ a. \e/b,e/c,deqn/bc n
(3.3.2)
(3.3.2)
(е,Ьс/е\ц}ж (d;q)n 3[ eqlbc,delbc ’ ’
Подставив n = 0 в (3.3.2), получим формулу суммирования (2.10.13).
Теперь выведем формулу преобразования, включающую три ряда 3^2 типа II. Начнем с замены a,b,c,d,e, f в (2.11.1) соответственно на AgN, BqN, С, D, Е, FqN и затем вычислим предел при N -* оо. В полученной формуле заменим C,D,E,Aq!В, AqfF соответственно на a,&,c,d,e, что дает *
3Ф23Ф2a,b,c ded,e abca,b,c ded,e abc
3Ф2
3Ф2
a,b,c ded,e abc
a,b,c ded,e abc
3^23^2* c,d/a,cqle bq .cq/a,beq/e '^' d* c,d/a,cqle bq .cq/a,beq/e '^' d* aqld,bq[d,cqld de’ . q2ld,eqld '^'abc* aqld,bq[d,cqld de’ . q2ld,eqld '^'abc
3^2
3^2
* c,d/a,cqle bq .cq/a,beq/e '^' d
* c,d/a,cqle bq .cq/a,beq/e '^' d
* aqld,bq[d,cqld de’ . q2ld,eqld '^'abc
* aqld,bq[d,cqld de’ . q2ld,eqld '^'abc
(efaej^ ОО
(e,cq/d, q/a^e/bc^q)^
^q(d. eqjd, b, c, d/а, de/bcq, bcq2/de\ q^ .
—— ■ .. .. -. 3Ф2
(d/q, e, bq/d, cq/d, q/a, e/bc, beq/e; q^
(3.3.3)
3<^23<^2а, Ь,с ded,e '^' abcа, Ь,с ded,e '^' abc(e/b, е/с, qfd, bq/a, cq/a, abeq/de; q^~. —■II ■ — 2 (7)2(e, e/bc, q/a, bq/d, cq/d, beq/e; q^(e/b, е/с, qfd, bq/a, cq/a, abeq/de; q^~. —■II ■ — 2 (7)2(e, e/bc, q/a, bq/d, cq/d, beq/e; q^’q[a,d(a,elaabcq". bq/a^cqja 1 ’ de’q[a,d(a,elaabcq". bq/a^cqja 1 ’ de(b, c, q! d, d/а, eqfd, de (beg, beg1 [de; q^(e, e/bc, q(a, bq/d, cq/d, bcqje, d/q; q)^(b, c, q! d, d/а, eqfd, de (beg, beg1 [de; q^(e, e/bc, q(a, bq/d, cq/d, bcqje, d/q; q)^3Ф23Ф2* aq]d,bqld,cq(d de ". q2!d,eq/d ^' abc ’* aq]d,bqld,cq(d de ". q2!d,eq/d ^' abc ’при условии, что \bq]d\< 1, |de/a&c| < 1 и параметры знаменателя в обеих частях не приводятся к нулевым сомножителям. Если |g| < |de/abc| <1, то
3<^2
3<^2
а, Ь,с ded,e '^' abc
а, Ь,с ded,e '^' abc
(e/b, е/с, qfd, bq/a, cq/a, abeq/de; q^
~. —■II ■ — 2 (7)2
(e, e/bc, q/a, bq/d, cq/d, beq/e; q^
(e/b, е/с, qfd, bq/a, cq/a, abeq/de; q^
~. —■II ■ — 2 (7)2
(e, e/bc, q/a, bq/d, cq/d, beq/e; q^
’q[a,d(a,elaabcq"
. bq/a^cqja 1 ’ de
’q[a,d(a,elaabcq"
. bq/a^cqja 1 ’ de
(b, c, q! d, d/а, eqfd, de (beg, beg1 [de; q^(e, e/bc, q(a, bq/d, cq/d, bcqje, d/q; q)^
(b, c, q! d, d/а, eqfd, de (beg, beg1 [de; q^(e, e/bc, q(a, bq/d, cq/d, bcqje, d/q; q)^
3Ф2
3Ф2
* aq]d,bqld,cq(d de "
. q2!d,eq/d ^' abc ’
* aq]d,bqld,cq(d de "
. q2!d,eq/d ^' abc ’
если заметить, что из (3.2.7)если заметить, что из (3.2.7)з<кз<к’ c^d/a^cg/e Ьд .cqja^bcqle '^ d’ c^d/a^cg/e Ьд .cqja^bcqle '^ d_ (abcqjd^^^~ (bcg/e,bgld\g)00_ (abcqjd^^^~ (bcg/e,bgld\g)00’ д/а^/а^е/а abcg , bqja^cqla '^ de’ д/а^/а^е/а abcg , bqja^cqla '^ de
если заметить, что из (3.2.7)
если заметить, что из (3.2.7)
з<к
з<к
’ c^d/a^cg/e Ьд .cqja^bcqle '^ d
’ c^d/a^cg/e Ьд .cqja^bcqle '^ d
_ (abcqjd^^^
~ (bcg/e,bgld\g)00
_ (abcqjd^^^
~ (bcg/e,bgld\g)00
’ д/а^/а^е/а abcg , bqja^cqla '^ de
’ д/а^/а^е/а abcg , bqja^cqla '^ de
Если мы подставим e = Ac в (3.3.3), устремим с к 0 и затем заменим d и Л соответственно на с и abz/c, где |z| < 1, |6g/c| < 1, то получим
2<^i(a,6;c;g,z) =2<^i(a,6;c;g,z) =(abz/c.g/c] 9)ООlazlc^l»-^ ОО(abz/c.g/c] 9)ООlazlc^l»-^ ОО^x^c(ascqlabz\cqlaz\ q^bq/c)^x^c(ascqlabz\cqlaz\ q^bq/c)
2<^i(a,6;c;g,z) =
2<^i(a,6;c;g,z) =
(abz/c.g/c] 9)ООlazlc^l»-^ ОО
(abz/c.g/c] 9)ООlazlc^l»-^ ОО
^x^c(ascqlabz\cqlaz\ q^bq/c)
^x^c(ascqlabz\cqlaz\ q^bq/c)
•^aqlc^bqlc-^lc; q,z\•^aqlc^bqlc-^lc; q,z\(3.3.5)(3.3.5)(b, д/с, с/a, az/q, g^/az-, g^(c/g, bq/c, q/a, az Jc, cqjaz; q^
•^aqlc^bqlc-^lc; q,z\
•^aqlc^bqlc-^lc; q,z\
(3.3.5)
(3.3.5)
Четырехчленные формулы преобразования Сирза [S6, с. 173], включающие ряды зф2 типов I и II, могут быть выведены в свою очередь путем комбинирования формул, приведенных в этом и предыдущем параграфах. Некоторые из этих формул преобразования возникают также как частные случаи более общих формул, которые мы выведем в следующей главе с помощью интегралов по контуру. .
Формулы преобразования 'для вполне уравновешенного ряда з^>2 исовершенно уравновешенного ряда 5^4с произвольными аргументами
Гаспер и Рахман [G32] нашли следующую формулу, связывающую вполне уравновешенный ряд з</>2 с двумя сбалансированными рядами 5 </>4:
3<^23<^2а, 6, с aqx aqlb^aqjc'^' be
3<^2
3<^2
(аз:; 9)00(^, <?)оо(аз:; 9)00(^, <?)оо5 Фл5 Фла^, —ai, (ag)i, — (aq^^aq/bcа^, —ai, (ag)i, — (aq^^aq/bcaq/b^aq! c^ax^q/хaq/b^aq! c^ax^q/хq^qq^q
(аз:; 9)00(^, <?)оо
(аз:; 9)00(^, <?)оо
5 Фл
5 Фл
а^, —ai, (ag)i, — (aq^^aq/bc
а^, —ai, (ag)i, — (aq^^aq/bc
aq/b^aq! c^ax^q/х
aq/b^aq! c^ax^q/х
q^q
q^q
(a, ag/bc, адх/Ь, адх(с; q^(aq/b, aq/c, aqx/be, x"1; q^
• 5Ф4• 5Ф4(3.4.1)(3.4.1)xa^, —xa^x(aq^s —x(aq)\aqx/bc
• 5Ф4
• 5Ф4
(3.4.1)
(3.4.1)
.aqx/b,aqx / c,xq,ax2’ ’ J
Для сходимости ряда з<^>2 в левой части необходимо, чтобы |a^z/5c| < 1. Необходимо также предложить, что х не равен q^^j = 0,1,2,..., ввиду наличия множителей (т;^)^ и (z-1; 9)00 в знаменателях правой части
Обратите внимание, что если а или ад/be равны 1 или отрицательной целой степени д, то коэффициент второго ряда 504 в правой части обращается в нуль, Так что (3.4.1) сводится к формуле Сирза — Карлитца (упр. 2.26). Важное применение формулы (3.4.1) дается в §8.8.
Для доказательства (3.4.1) заменим d на dgn в (2.8.3) и затем устремим п к оо. Это дает
302302о, ^, ^ d taq/b^aq/c^ ао, ^, ^ d taq/b^aq/c^ а(bed/ад; д)^(bed/да1; д')оо(bed/ад; д)^(bed/да1; д')оо
302
302
о, ^, ^ d taq/b^aq/c^ а
о, ^, ^ d taq/b^aq/c^ а
(bed/ад; д)^(bed/да1; д')оо
(bed/ад; д)^(bed/да1; д')оо
• Иш иИ^ц (а2#1 п/bed; а^ -а^, (ад)^ ~(ag)^aqx п/be. п—*оо\
ад1 п/bd, ад1 n/cd.o?q3 п/b^d1. д~п;д.д) .(3.4.2)
Предел в правой части (3.4.2) вычисляется точно так же, как и в (2.10.9), что приводит к формуле
lim I2^n( ] п—*оо
= 504= 504at, — а^ (ад)^ — (ад)^ад/Ьс
= 504
= 504
. aglb.aq/c.bcd/ag.a2g2/bed '^
bed(bed)а2, bd/a. cd/a, ag/bc, a; g)oo
да2 (d/а.ag/b.ag/c.bed/a,a2g2/bed;g)oo
\q.q • (3.4.3)\q.q • (3.4.3)a.bcd/ga^ ,—bcd/gai ,bcd/g^a% ^—bed/g^a^bd/a, cd/a. bed/а2 ^c^d2/да2
\q.q • (3.4.3)
\q.q • (3.4.3)
Воспользовавшись этим в (3.4.2) и заменив d на дха2/Ье. мы получим
(3.4.1).
Если мы теперь заменим d на dgn в (2.8.5) и устремим затем п к оо, то получим формулу преобразования
a,ga^,-gai,5,c х(ад)^
4 а^,-ai.ад/Ь.ад/с'^ be
_ (1 * з2)(хд(ад)^;д)оо
(х(ад)”^;д)оо
* 504* 504(ад)^. — (ад)^ пда^, —да^^ад/Ьсад/Ь^ад/с^хд(ад)^ ^д(ад)^/х
* 504
* 504
(ад. ад/be, х(ад)^ /Ь, х(ад)^ /с; д)рр(ад/b. ад/с. х(ад)^/Ьс. (ад)^ /х; д)оо
х. -х. хд^, —хд^, х(ад)^/Ьсх(ад)^/Ь. х(ад)^/с,х(д/а)%,дх2
3Ф23Ф2' a,b,c адхaqlb^aqjc ^' be' a,b,c адхaqlb^aqjc ^' beии(3.4.5)(3.4.5)
3Ф2
3Ф2
' a,b,c адхaqlb^aqjc ^' be
' a,b,c адхaqlb^aqjc ^' be
и
и
(3.4.5)
(3.4.5)
В терминах д- интегралов формулы (3.4.1) и (3.4.4) эквивалентны
(a.aglbc^pp
5(1 - qX^a-qlb.aqlc.qlx.x^q^oo
(ди/хз,ди1з,ади1Ьз,ади1сз,ахи/з\д)рр ^
,s, —ua^ /s, u(ag^ /s, -u(ag^ /s, agu/bes; q)^
5^45^4a^qa^ —qa^b^ca^qa^ —qa^b^cdqu(3.4.6)dqu(3.4.6)
5^4
5^4
a^qa^ —qa^b^c
a^qa^ —qa^b^c
dqu
(3.4.6)
dqu
(3.4.6)
-a^ ^ag/b^ag/c' ’ be
(1 - i^aq.aqlbc^q^oo
s(l-q)(q,aq/b,aq/c,x(aq) *, tfM*/x; ?)oo
M(ид(ад)Ъ /зх,ди/з,ади/Ьз,ади/сз,ихд(ад)Ъ /3; g)oo
J«z(aqV^ Wa9^/s1 -u(ag)$ /s, uga^/s, -uga^ /3, aqu/bsc^q)^
соответственно, где s ^ 0 — произвольный параметр.
Если мы теперь подставим с =\ад^ в (3.4.5), заменим х на хЩад^ и воспользуемся (2.10.19), то получим
2ф1(а,Ь;ад1Ь-,д,д1/Ь2>) =2ф1(а,Ь;ад1Ь-,д,д1/Ь2>) =(хд/Ь,адх2 ,Ь2;д)ОО(адх/Ь^/Ь^д^
2ф1(а,Ь;ад1Ь-,д,д1/Ь2>) =
2ф1(а,Ь;ад1Ь-,д,д1/Ь2>) =
ах/Ь,д(ах/Ь^, —g(ax/b)^,x,a^, -а^ ,(ад^, -(ад)^дх
(ax/b^, —(ах1Ь^,ад,Ь,хда^/Ь, —хдсА/Ь^х(ад)^(Ь, —х^ад^(Ь ^ Ь2
^АЛ)
при условии, что |^з:/62| < 1, когда оба ряда не обрываются.
Аналогично, подставив с = (ад)^ и заменив х на х/bg в (3.4.6), мы получим.
U.ga^-ga^b х 1 _ (ах2/Ь2.х/дЬ-.д^рр
Преобразования рядов с базой q2■ в ряды с базой q .Преобразования рядов с базой q2■ в ряды с базой q .Еслй в формуле суммирования Сирза (2.10.12) подставить b = -с, е =-q, заменить а на aqT^ г = 0,1,2,..., умножить обе части на (z2,y2;92)r2.(-9;9)r(z2y262;92)rЕслй в формуле суммирования Сирза (2.10.12) подставить b = -с, е =-q, заменить а на aqT^ г = 0,1,2,..., умножить обе части на (z2,y2;92)r2.(-9;9)r(z2y262;92)rи затем просуммировать по г от 0 до оо, то мы получими затем просуммировать по г от 0 до оо, то мы получим(-1,-9,06,-аб, 62;9)ооIo, Ь, П, ^i^i ^i 9)оо(-1,-9,06,-аб, 62;9)ооIo, Ь, П, ^i^i ^i 9)ооп2 т2 -.2“ i * t У . -.2 l2 a2b2,x2y2b2'9 ’ЧЬп2 т2 -.2“ i * t У . -.2 l2 a2b2,x2y2b2'9 ’ЧЬ(-9,а62;9)<ю у' (а,Ь,-Ь;д^ ,(аЛ-Ь-.дУх, ^ (д,—g,ab2; g)j9 3 2(-9,а62;9)<ю у' (а,Ь,-Ь;д^ ,(аЛ-Ь-.дУх, ^ (д,—g,ab2; g)j9 3 2о 2^ X2 V2x2y2b\g2124b2о 2^ X2 V2x2y2b\g2124b22 2;q .q2 2;q .q^bz^iHs. V J_z^Z^i2b_ j a (-a,-6,6;9)oo “ (9,-9,-аб2;»)./ 3 2^bz^iHs. V J_z^Z^i2b_ j a (-a,-6,6;9)oo “ (9,-9,-аб2;»)./ 3 2Г —2i22x2 y2b2 л1"23!^Г —2i22x2 y2b2 л1"23!^2 2\q Sq2 2\q Sq(3.5.1)(3.5.1)предполагая, что |</62| < 1, если ряд в левой части необрывающийся.Поскольку оба ряда 3Ф2 в правой части могут быть просуммированы при помощи ^-формулы Заальшютца (1.7.2) с заменой базы q на q2, из формулы (3.5.1) следует, чтопредполагая, что |</62| < 1, если ряд в левой части необрывающийся.Поскольку оба ряда 3Ф2 в правой части могут быть просуммированы при помощи ^-формулы Заальшютца (1.7.2) с заменой базы q на q2, из формулы (3.5.1) следует, что(62-л2)3<^2Vй 1 Ч /оо( д, db**, q^oo(62-л2)3<^2Vй 1 Ч /оо( д, db**, q^oo<l2,Z2,y22,2a2b2,x2y2b2’4 ’Ч<l2,Z2,y22,2a2b2,x2y2b2’4 ’Ч5 Фа5 Фаa, bx, —bx,by, —by .— q. ab2, bxy; -bxy ’ ^’ ^a, bx, —bx,by, —by .— q. ab2, bxy; -bxy ’ ^’ ^5 Фа5 Фа-a,-bx,bx,—by,by— q, —ab\ — bxy* bxy 1-a,-bx,bx,—by,by— q, —ab\ — bxy* bxy 1q^q •q^q •(3.5.2)(3.5.2)
Преобразования рядов с базой q2■ в ряды с базой q .
Преобразования рядов с базой q2■ в ряды с базой q .
Еслй в формуле суммирования Сирза (2.10.12) подставить b = -с, е =
-q, заменить а на aqT^ г = 0,1,2,..., умножить обе части на (z2,y2;92)r2
.(-9;9)r(z2y262;92)r
Еслй в формуле суммирования Сирза (2.10.12) подставить b = -с, е =
-q, заменить а на aqT^ г = 0,1,2,..., умножить обе части на (z2,y2;92)r2
.(-9;9)r(z2y262;92)r
и затем просуммировать по г от 0 до оо, то мы получим
и затем просуммировать по г от 0 до оо, то мы получим
(-1,-9,06,-аб, 62;9)оо
Io, Ь, П, ^i^i ^i 9)оо
(-1,-9,06,-аб, 62;9)оо
Io, Ь, П, ^i^i ^i 9)оо
п2 т2 -.2
“ i * t У . -.2 l2 a2b2,x2y2b2'9 ’ЧЬ
п2 т2 -.2
“ i * t У . -.2 l2 a2b2,x2y2b2'9 ’ЧЬ
(-9,а62;9)<ю у' (а,Ь,-Ь;д^ ,
(аЛ-Ь-.дУх, ^ (д,—g,ab2; g)j9 3 2
(-9,а62;9)<ю у' (а,Ь,-Ь;д^ ,
(аЛ-Ь-.дУх, ^ (д,—g,ab2; g)j9 3 2
о 2^ X2 V2x2y2b\g2124b2
о 2^ X2 V2x2y2b\g2124b2
2 2
;q .q
2 2
;q .q
^bz^iHs. V J_z^Z^i2b_ j a (-a,-6,6;9)oo “ (9,-9,-аб2;»)./ 3 2
^bz^iHs. V J_z^Z^i2b_ j a (-a,-6,6;9)oo “ (9,-9,-аб2;»)./ 3 2
Г —2i22
x2 y2b2 л1"23!^
Г —2i22
x2 y2b2 л1"23!^
2 2
\q Sq
2 2
\q Sq
(3.5.1)
(3.5.1)
предполагая, что |</62| < 1, если ряд в левой части необрывающийся.
Поскольку оба ряда 3Ф2 в правой части могут быть просуммированы при помощи ^-формулы Заальшютца (1.7.2) с заменой базы q на q2, из формулы (3.5.1) следует, что
предполагая, что |</62| < 1, если ряд в левой части необрывающийся.
Поскольку оба ряда 3Ф2 в правой части могут быть просуммированы при помощи ^-формулы Заальшютца (1.7.2) с заменой базы q на q2, из формулы (3.5.1) следует, что
(62-л2)3<^2
Vй 1 Ч /оо
( д, db**, q^oo
(62-л2)3<^2
Vй 1 Ч /оо
( д, db**, q^oo
<l2,Z2,y22,2
a2b2,x2y2b2’4 ’Ч
<l2,Z2,y22,2
a2b2,x2y2b2’4 ’Ч
5 Фа
5 Фа
a, bx, —bx,by, —by .
— q. ab2, bxy; -bxy ’ ^’ ^
a, bx, —bx,by, —by .
— q. ab2, bxy; -bxy ’ ^’ ^
5 Фа
5 Фа
-a,-bx,bx,—by,by
— q, —ab\ — bxy* bxy 1
-a,-bx,bx,—by,by
— q, —ab\ — bxy* bxy 1
q^q •
q^q •
(3.5.2)
(3.5.2)
Обратите внимание, что при а = ±</-п,п = 0,1,2,... , один из членов в правой части (3.5.2) выпадает. Подставляя у = ab и используя (2.10.10), получаем
X 3 »2.2w2lA.2 „l2\ 201(д ^х , о, х b ^q 1qb )X 3 »2.2w2lA.2 „l2\ 201(д ^х , о, х b ^q 1qb )[^о2^2^^^^^
X 3 »2.2w2lA.2 „l2\ 201(д ^х , о, х b ^q 1qb )
X 3 »2.2w2lA.2 „l2\ 201(д ^х , о, х b ^q 1qb )
(а2^2,^2^2;^2)^^2,^^2^2;^)^
(3.5.3)(3.5.3)• ^Vi^ab2х2)q\a, is —x,bx, — bx;q, ab2^
(3.5.3)
(3.5.3)
где |^62| < 1 и |д52| < 1, если ряды не обрываются. Дважды применяя формулу преобразования Гейне (1.4.1) к приведенному выше ряду 2^1 и
заменив b на q% /Ь, приходим к равенству
2vi(^ i^ »® q /ь ^q s® q /ь )
(qx2/b2,q2x2/b4; q2)oo(qa2/b2,aqx2/b2; q)^
при условии, что |«q/6| < 1 и |^9//>2| < 1, если ряды не обрываются. Эта формула была получена Гаспером и Рахманом [G32], а ее вид для случая обрывающихся рядов был установлен ранее Верма [V4]. Применение формулы преобразования (2.10.1) к ряду ^Фт в правой части формулы (3.5.4) приводит к эквивалентной формуле
^a2^a2q2/b2;q2yq^.
(qx2/b\q2x2 Ib^q2)^(-axq2 /b'-a2xq%/b^q)^
x(i2q^/b\ q(—ia2q^,b3^,— q^—x^q^/b3^^ a,
(—xa2q^/b3)^— ^—x^q^/b3^, —axq^/b3,
aq^/b, —aqi/b, -aq/b2, -xq^(b _xq^(3 5 5)
aqxlb2^ aqx/b2^ axq^ /b, qa2/b2 ^^ J
где |x^/62| < 1 и |zgi(b\ < 1, если ряды не обрываются. Очевидно, что формула (3.5.5) есть ^-аналог формулы квадратичного преобразования 2Fj(a,6; 1 + а — 6;z2) = (1 — т)~2а 2Г|(а,а + ^ - 6;2а + 1 - 26;41 , )■
(aq2, a3 q3 / с2 d2 е2; q^oo^ d, ena2q2 (bode; q^
(aq2(bn a3q3 Ibc^e^q^^aq/c, aq/d, aq/e, cdejaq; q^
• s Фа• s Фаq.qq.q^a?q^(bc2d2e2^ —^a?q^lbc2d2e2^n aq/cd, aq(ces aq(de(a3q3/c2d2e2^, - (a3q3/c2d2e2 ^ s a2q2/bede, aq2 jede
• s Фа
• s Фа
q.q
q.q
(3.5.7) предполагая, как обычно, что если ряд юфд в левой части не обрывается, то должно выполняться условие сходимости \a3q3/bc2d2e2\ < 1.
Сначала мы перепишем (2.10.12) в виде
(a^4n+1 .aq/cd.aqlce^aq/de^q)^ (cq2n, dq2ns eq2n; q)r , (cq2n sdq2n ,eq2n ^aqx~2n/cde^^(g, aq4u^x s cdeq2n]a; q^T ^
(a2q2n^2[cde^q^oo ^{aq/cd.aq/ce^aq/de;q)rT
+ (cdeq2n~x /a; q^ ^^(^,a2q2n+2 / cde,aq2~2n / cde;q)T4
’ = (ад/^ад/^ад/е^оо (c,d,e;g)2nzg 5 gx
(c.d.e-^q^oo (aqlc,aqld,aqle\q)2n
где n — неотрицательное целое число. Используя (1.2.39) и (1.2.40), умножая обе части (3.5.8) на
// g3^3 \п
(q2^ aq2/b; ^2)n(l - о) \bc2d2e2 / и суммируя по п от 0 до оо, получим
юИ^а; Ь, с, cq^ d^ dq, е, eq; q2^a3q3[be7d?e2)
_ ^aq.aqlcd^aqlce.aqjde-.q^oo ^ (a, b; ^2)n(l - aq4n) {aqlc,aq/d,aq/e.aq/cde^q)^ ^" (92,a92/6;92)n(l - «)
.„n(2n-D (^.V Д [1
(.cde/a;q^n^aq;q^4n4 \ 6 / 3 2 [a$4n+1,c</eg2n/a ’ J
+ ^c,d,e)a2q2/cde;q')oo yt (a,6;$2)n(l - "94")
(aqlc,aq/d, aq/e.cde/aq-.q)^ ^Q (,q2,aq2lb;q2>)41 - a)
(cde/aq; д)2п J a3q3 V Г aq/cd,aqlce,aq/de 1
(a2q21ode; q)2n \bc2d2e2 ) 3 2 \a2q2n^"2,cde^ aq2~2nIcde ’ ^ Д
(3.5.9)
Первый двойной ряд в правой части (3.5.9) легко преобразуется в
Е
(с, dj е^ q^TH, тп тгг /11— тп — т.„2 „„2тп-Ц il\
;7*7г-q 6Ws^a;b,q ,q ;q ,aq b) ,
m=0(q^aq^de/a,q)m
что, согласно (2.4.2), равно
c^d^e^aq/b^^-^aq/b^ ,aq/b^cde/a^aq^,-(aqp ’ ’
Точно так же мы можем выразить второй двойной ряд в правой части (3.5.9) через один сбалансированный ряд 504. Объединив оба выражения, мы получим (3.5.7). '
Особенно интересен частный случай (3.5.7), получающийся при подстановке е = (ag)i, так как оба ряда ьф^ в правой части становятся сбалансированными рядами 40з, которые с помощью (2.10.10) могут быть объединены в один ряд 807 с базой q: Таким образом, мы приходим к формуле ,
807807' a.q2a^.-q2a^.b.c.cq.d.dq 2 ®2Q2
807
807
_а^, -а^ .aq2/Ь. aq2/c.aq/c.aq2 (d^q/d^ ’ bc2d2
(aq. aqjbc. aq/cd. -aq/cd. aq/db^, -aq/db^; q^(aq/b. aq/c. aq/d. -aq/d. aq/cdb^. -ao/cdb^; q^
* 807* 807-a/d.q{-a/d)^. -q^-a/d^ .c.b^. -b^ .(aq^/d.-(aq^ (daq
* 807
* 807
{-a/d}^ .-{—a/d)^ .-aq/cd.-aq/db^ .aq/db^ .-(aq)^ .{aq)^ ^ be
(3.5.10)
где \a2q2/bc2d2\ < 1 и |ag/6c| < 1, если ряды не обрываются.
Бибазисные формулы суммирования
Главная цель этого параграфа — вывести формулы суммирования, содержащие две независимые базы. Мы начнем с замечания, что при d — а/be формула суммирования Джексона (2.6.2) для ряда 8 07 сводится к следующей сумме усеченного ряда:
^ 1-е (.q^qlb^q/c^bcq^1)!,4 (,q,aqlb,aqlc,bcq\qV
где в = 0,1,.... Обратите внимание, что этот ряд свертывается, так как, ПОЛОЖИВ 0^1 = 0 и
-_ (aq^.cq.aq/bc-.q)),
'* (q,oq/b,aq/c,bcq;q)).* '
для к = 0,1,... и применив к Ок разностный оператор Д, определенный формулой Ди* = и* — и*.], мы получим'
Д(7* =Д(7* =7—14497—1449(1 - aq2k')(a,b,c,a/bc;q')it к
Д(7* =
Д(7* =
7—1449
7—1449
(1 - aXq,aq/b,aq/c1bcq;q')k4 ’
что дает (3.6.1), поскольку.'
У2 = "n - "-1(3.6.4)
к=0 для любой последовательности {tu}.
' Эти соображения и бибазисное обобщение
Тк _ t^bp^ktsq^aq/bc^(3 6 5)
(9,а9/6;9)*(ар/с,6ср;р)*’ ’
для Ок были использованы Гаспером [G24], показавшим, что
д _ Ujj^pI^^KLlJ^C^* и 6 6i
*(1 —а)(1—Ь) (r/,«9/6;^)*:(«p/c,6cp;p)fc^ ’
а это, согласно (3.6.4), дает бибазисную формулу суммирования у U_^opV)(l^bpV^ _[«J^P^к .
^(1—«)(1—6) Iq^q/^q'jkUp/c.bcp-.p'lk4
_ (aP'bp-.pVcq.aq/b^qkg
(q,aq/b;q)n(ap/c,bcp;p)n" "
для произвольного n — 0,1,... . Отметим, что часть ряда в левой части ’ (3.6.7), содержащая сдвинутые ^-факториалы, является частично уравновешенной в том смысле, что aq = b(aq/b) и с(ар/с) = (а/6с)(6ср) = ар, в то время как выражение в правой части является сбалансированным и вполне уравновешенным, поскольку
(пр)(6р)(с<?)(п9/Ьс) = q(aq/bXap/cXbcp)
И■■
Wq = W(,aq/b) = (cg)(ap/c) = (aq/bc^bcpY
Предельный случай формулы (3.6.7) при b —► 0
А 1 - apV J^pY^qY^ к ^Ei£M^ilb_ — (Ч 6 Я1
^ !-« tq^ktap/c^k (q;q)n(ap/c;p)n
был получен Госпером.
Для вывода полезного обобщения (3.6.7) Гаспер и Рахман [G34] положили
(°Р. bp; p)k(cq, ad^bc; q)k,.
* (dq,adqlb\q)k(adplc,bcpld,p')k‘ "
при к = 0, ±1, ±2,... и заметили, что
^Зк = Sk - Sk-1
tap, bp;p^k-x^cq, ad2q/bc;q)k-i tdq, adqjb; q)k(adp/c, bcp/d; p^k
• {(1 - ар*)(1 - Ьрк)(\ - cq^l - ad1qk/bc)
-(1 - dqk^l - adqk/b)A - а</рк/с)(1 - bcpk/d^
_ d(l - c/d^A - ad/bc^l - adpkqk^l - bpk/dqk)
= (Т^хГ^бхГ^ТхГ^^
(», b;p)Ac,ad2/bc;q)kqk
^dq,adq/b;q')k^adp/c4bcpld;p')k
Поскольку (3.6.4) можно распространить на
^2 A«k = «п -(3.6.11)
где мы используем стандартное обозначение
«т 4" «т+1 4" ' * 4" «nt^ < «^
У2 пк = < 0,т = п 4- 1,
k — (°п-ц 4- о-м-2 4- • • * 4- «т-i), т > п + 2,
(3.6.12)
при п,т = 0,±1,±2,..., то из (3.6.10) следует, что (3.6.7) с помощью тождества (1.2.28) приводится к индефинитной бибазисной формуле суммирования
А (1 - adpkqkYl - bpk/dqk)(а,Ь;р)к(с,а<Р/Ьс;д)кк
к^т (1 - ad)^ 1 - b/d)(dg, adg/b; g^adp/c, bcp/d;p)k9
(1 — a)(l — 6)(1 — c)(l — ad2/6c)
“ d(l - ad)(l - b/d\l ~ c/d^l - ad/be)
((ap,bp;p)n(cq,a<pq/bc;q)n_ ^c/ad,d/bc;p')ra+A(l/d,b/ad;q')m+i 1
((dq,adq/b; q)n(adp/c, bcp/d; p)n(1/c,be/ad2; ^)m+i(1/a, 1/6; p)m+i J
(3.6.13)
c n,m = 0, ±1, ±2,.... Отметим, что (3.6.7) есть частный случай (3.6.13) при d = 1, а правая часть (3.6.9) является сбалансированной и вполне уравновешенной, так как
(ap)(6p)(cq)(a<l2g/6c) = (dq^adq/b^adp/cXbcp/d)
и
^ap^dq^ = (bp^adq/b) = (cq^adp/c) = ^ad2q/bc^bcp/dY
Именно этими соображениями и разбиением на множители в формуле (3.6.10) был продиктован выбор s^ в (3.6.9).
Если |р| < 1 и |^| < 1, то устремив п или т к бесконечности в (3.6.13), получаем, что (3.6.13) выполняется также и в случае, когда п или т заменены на оо. В частности, это дает следующую формулу суммирования для двустороннего бибазисного ряда:
V' ^ ~ ^Ркдк)^1 - bpk/dgk) ^a,b;p)k<c,ad?/Ьс;д)к к
к^'оо (1 - ad)(l - b/d) (dg,adg/b;g)k(adp/c,bcp/d;p)kq
(1 — а)(1 — 6)(1 - с)(1 - ad2/6c)
“ d(l - ad)(l - 6/d)(l - c/d)^- ad/bc)
J (aP’ ^P’P)qo(c9> ad^q/bc; д)ж _ (с/ad, d/bc;p)oo(l/d,b/ad; g)^ )
| (</g,adg/6; ^)oo(a(/p/c,6cp/</;p)oo(l/c,bc/ad2;q\M/^/b;P)oo )
(3.6.14)
где |p| < 1 и |^| < 1.
В §3.8 мы воспользуемся формулой (3.6.13) при m = 0, имеющей вид
A (1A?^?p^K1jl^Pj^^—J^i£^^•=
^(1 - ad)(l - b/d) (dg,adg/b;g)k(adp/c,bcp/d;p)kq
(1 - а)(1 - 6)(1 — с)(1 - ad2/6c)
“ d(l - ad)(l - b/d)(l - c/d)(\ - ad/bc) (ap, bp; p)n{cq, ad^q/bc; q)„ (dg,adg/b;g)n(adp/c,bcp/d;p)n
_ (l-d)(l-ad/6)(l-ad/c)(l-6c/d) d(l. — ad)(l — b/d)(l — c/d)(l — ad/bc)";
При этом не происходит потери общности, поскольку подстановка к = j - т в (3.6.13) убеждает нас в том, что (3.6.13) эквивалентно (3.6.15) при замене n, а, 6, с, d соответственно на n + m, ap”m1bp”m1 cq”m,dq”*m.
Мы воспользуемся также частным случаем формулы (3.6.15) при с = q-n в виде
v VV-aAPkSk^-bpkldqk) ^a,b;p)k(q-n,ad2qn/b;q)k к
^(1 - ad)(l - b/d) (dq,adq/b;q)k(adpqn,bp/dqn;p)kq
= (l-dXl-ad/bXX-adq"Xl-dq"/b)
(l-ad)(l-d/b)(l-dq")ll-adq"/b)’Л-- )
где и = 0,1,... . Предельный случай формулы (3.6.16) при d -* 1
А (! - аркдк)(Д - bpkq-k) (a,b;p)k(q~n,aqn/b;q)k к с го б i?) ^(1-о)(1-б) (q,aq/b;g)k(lapqn1bpq-,1;p)kq п'°’
где 6П1т есть дельта-символ Кронекера, п = 0,1,..., был выведен независимо Брессу [В53], Гаспером [G24] и Краттенталером [К34].
Если мы заменим n, а, b и к в (3.6.17) соответственно на п — т, артдт, Ьртд~т и j — т, мы получим соотношения ортогональности
■^ ^ ttnjbjm — Ьп>т(3.6.18)
.j=m
при
(3.6.19)(3.6.20)(3.6.19)(3.6.20)(-1)”+J(1 - apiq^Xl ~ ЬрЗд-^ард^рд-"^
(3.6.19)
(3.6.20)
(3.6.19)
(3.6.20)
(apmqm,bpmq m;p),_m / ° ^mV’^Jp-")
*"= («..^-"м;!-"" Vb’ ) «11'
Это означает, что треугольная матрица А = (^nj) является обратной к треугольной матрице В = (bjm\ Поскольку матрицаи ее обратная коммутируют, вычисляя jk-й элемент БА, мы получим соотношение ортогональности '
• У? ^LzJ^e!1s!1)^LzJ?e!^^^
~(q; 9Ш q)j-k-n(ag2k+*/b; g)j^i
. (1 _ £y*+2n) (-l)Vb"-fc~1)+^ *"n) = 8j,b(3.6.21)
которое при замене j, n, a, b соответственно на n+^, к, ap-k-1g-k^bp~k~xqk дает бибазисную формулу суммирования
\ Р/ V Р/ ^5 te^tto^n-fc^/^^n+lП’0’
*.(3.6.22)
где п = 0,1,... . Предельный случай b -* 0 формулы (3.6.22) был выведен Аль-Саламом и Верма [А36], использовавшими тот факт, что п-я g-разность полинома от д степени, меньшей п, равна нулю. Приложения к д-аналогам обращения Лагранжа можно найти у Гессела и Стентона [G43, G44] и Гаспера [G24]. Формулы (3.6.17) и (3.6.22) будут использованы в §3.7 для вывода некоторых полезных общих формул разложения.
Бибазисные формулы разложения
Одной из наиболее важных общих формул разложения для гипергеометрических рядов является формула разложения Филдса и Уимпа [F4]
On, СгрL J1 \XW ^S’^u.On, СгрL J1 \XW ^S’^u.
On, Сгр
L J1 \XW ^S’^u.
On, Сгр
L J1 \XW ^S’^u.
>4-2^84-1>4-2^84-1t4-2^u4-2t4-2^u4-2(3.7.1)(3.7.1)п + а,п + /?,п + оДе1 + 2п + 7,п + 65 ’Ж
>4-2^84-1
>4-2^84-1
t4-2^u4-2
t4-2^u4-2
(3.7.1)
(3.7.1)
где мы использовали сокращенные обозначения, представив ai,..., аг в виде afl,(ai)n •• - (аг)п — в виде (ад)п ип + а1,...,п + аг — в виде п + ад. В (3.7.1), как и в других формулах, предполагается, что или как параметры, так и переменные таковы, что (перемножаемые) ряды абсолютно сходятся, или же ряды рассматриваются как формальные степенные ряды от переменных х и w. Частные случаи (3.7.1) были использованы, например, Гаспером [G14] для доказательства неотрицательности некоторых сумм (ядер) полиномов Якоби и с целью приведения дополнительных доказательств неравенств Аски и Гаспера [А 114], которые де Бранж [В39] использовал на завершающем этапе доказательства гипотезы Бибербаха.
Верма [V3] показал, что (3.7.1) является частным случаем разложения
А (-а)" A„,
”47 + «)п ^ к'-Ь + 2n + 1)* ”+*
(3.7.2)(3.7.2). У' (-”),(» +7),- л
(3.7.2)
(3.7.2)
и вывел q- аналог
- v (-*)" ,т(?) v М^* д^ (9,79"iq)»9^(9,792n+1i9)k ”+fc
(qJVrflilli(9, «,Mj(qJVrflilli(9, «,MjА^иду.А^иду.(3.7.3)(3.7.3)
(qJVrflilli
(9, «,Mj
(qJVrflilli
(9, «,Mj
А^иду.
А^иду.
(3.7.3)
(3.7.3)
Для вывода бибазисного обобщения формулы (3.7.3) отметим сначала, что, согласно (3.6.17),■
(1-7рг+^9г+^)(1 - (трг+»9 г ^У1ртдт,артд г;р); (1 - 7РГ9Г)(1 - <7рг9~г)(дл»-1д1г+1»д')з
^ЛД)^ЛД).(91д2т+т;д')з, _ #
^ЛД)
^ЛД)
1 ^pr+lqr+m^pr+lg-r-m.p^ '
при т = 0,1,.... Значит, если Сг,т являются комплексными числами,
103103Бибазисные формулы разложения
103
103
такими, что Ст^ = 1 при г = 0,1,..., то
в ХТ _у^ 1^2»21*£2^ti£Zl^^
^ ^-'f^q2’" (Ч',Ч)тЬРдг+т,<ТРЧ~Г~т',Р)г
•q-mTBr*mCT,mlT*m8m,0
к=0 п=гк=0 п=г(1 — 7Pn9n)(l — apnq n)(l — 7<т 1g2n+2k)(9; 9Ы9; 9)n(7P9n"*A apq~"~k\pK
к=0 п=г
к=0 п=г
•h» V+T+\q)n+k-r-ihpqr,<rpq r;p)n-i(9 n;g)r
• (-iTBn+kC^-^q^-”-^^(3.7.5)
где использована подстановка j = n — rnm = n-Vk — г. Затем, умножая обе части (3.7.5) на ATwr/(q; q\ и суммируя от г = 0 до оо, мы получим бибазисную формулу разложения Гаспера [G24]
(xw)n ^ (l-7P"9n)(l-»P"9n)z т?лп.
^1 - 7<7-1g2”+2k„ к
■ ^ (9; qWq^ opq-"-k\Р)„ "^
(9"n; q')jh®~1qn+i+1iq)n+k-j-i
. ^^pq-i^ViAjC^k-^q^-»-^, (3.7.6)
где Cj^ = 1 при j = 0,1,... .
Отметим, что если p = q и C^m = 1, то (3.7.6) сводится к разложению, эквивалентному"
^ л □ ^Y _ V (^79211/^2^9)" (Х_\п
Го " ПМп"^0 (9,79";9)n U/
<Р bf^lzif^/S^zfT^Sl^^
^5(9,9nV/77«:,-9n\/77e:,792n+1;9)fc”+*
' ,§ (9, iq^lo^la’a, fr q)j AiW"(3'7‘7)
Разложение Верма (3.7.3) есть предельный случай (3.7.7) при а —► оо. Для базисных гипергеометрических рядов (3.7.7) дает следующее ^-обобщение
^ек^а/^Ч^дЗк (9,dy,/w,79j;9)i^ек^а/^Ч^дЗк (9,dy,/w,79j;9)i• i+fc+4^u+m+3• i+fc+4^u+m+3
^ек^а/^Ч^дЗк (9,dy,/w,79j;9)i
^ек^а/^Ч^дЗк (9,dy,/w,79j;9)i
• i+fc+4^u+m+3
• i+fc+4^u+m+3
£у [(-l)-’g(2)]“+m-t-*
' 792"'7», 9j+1 хЯР. -qi+1 V^, o 1, . q’Vih, -q^V^^q1^1^ ^qi,
cTq^eKq3 iaj(u*m-t-^ fMq3
* r+Tn+2^e+fc+2
' qW,<hvfM
iq3^l<M 3/^ь5^ек
\q^q
(3.7.8)
где сокращенные обозначения аналогичны тем, которые были использованы в (3.7.1).''
Отметим, что, положив а —► оо в (3.7.8) и подставив m = 2, /1 = /2 =
0, мы получим разложение'
аю ст ^s^uаю ст ^s^u;qixw;qixw
аю ст ^s^u
аю ст ^s^u
;qixw
;qixw
cTq3,eKq3 j(tt+2_t-k) iq^d/1 4cTq3,eKq3 j(tt+2_t-k) iq^d/1 4
cTq3,eKq3 j(tt+2_t-k) iq^d/1 4
cTq3,eKq3 j(tt+2_t-k) iq^d/1 4
q j>nq\<iRbcs€rzq j>nq\<iRbcs€rz\q,wq ,\q,wq ,(3.7.9)(3.7.9)
q j>nq\<iRbcs€rz
q j>nq\<iRbcs€rz
\q,wq ,
\q,wq ,
(3.7.9)
(3.7.9)
эквивалентное ^-обобщению Верма [V2] разложения Филдса и Уимпа
(3.7.1). Другие виды разложений даны в работе [F3].
Аль-Салам и Верма [А36] использовали предельный случай 6 —► 0 фор
мулы суммирования (3.6.22), чтобы показать, что формула преобразования Эйлера
'ОООО^
52 anbnx" = 5^(-1)^/(*)(ж)Д*а0,(3.7.10)
'п=0к=0*
где
/(ж) = 60 + bix + b2x2 4- • • •
и
тмеет бибазисное обобщение
(1 - apnqn)wnАп(Ч^ч)к-п(ардк-,р)п(1 - apnqn)wnАп(Ч^ч)к-п(ардк-,р)поооок
(1 - apnqn)wnАп
(Ч^ч)к-п(ардк-,р)п
(1 - apnqn)wnАп
(Ч^ч)к-п(ардк-,р)п
^2 AnBn(xw)n = '^apqk;pH-izk ^
(q;q^j(q;q^jп=0к=0п=0
(q;q^j
(q;q^j
(3.7.11)
Частный случай р = q формулы (3.7.11) разобрал Джексон [Л5].
Чтобы воспользоваться (3.6.22) для обобщения (3.7.10), заменим в (3.6.22) п на}, умножим обе части на Bn^jin^^a/bYq^ , просуммируем по } от 0 до оо, поменяем порядок суммирования и затем заменим к на к — п и } на j + к - п, что дает -
(3.7.12)(3.7.12)
(3.7.12)
(3.7.12)
Заменив далее а на apn^xqn, b на bpn^xq п, умножив обе части на Anwn и просуммировав затем по п от 0 до оо, получим
оооо^ AJ^xw)" = ^п=0к=0^ AJ^xw)" = ^п=0к=0(apqk,bpq k;pH-i к laqk[b\g^k Х(apqk,bpq k;pH-i к laqk[b\g^k Х
оо
оо
^ AJ^xw)" = ^п=0к=0
^ AJ^xw)" = ^п=0к=0
(apqk,bpq k;pH-i к laqk[b\g^k Х
(apqk,bpq k;pH-i к laqk[b\g^k Х
V' (* - ^"«"Х1 - Ьрпд "Ха^/Ь;»),, л ...„
* / *7;;ктг—:А п w
^(?;9)*-n(aP9MP9-*;p)n
. v ^aPkqk'bPkq"kiP>)i (_« 2ny+*-"
^ (9;9)j(°92*+l/M)> ^ ЬЧ )
• Bj+iX-z)V*~n)(j+*~n_1)+(2)+(J+*2^ (3.7.13)
Эта формула непосредственно переходит в (3.7.11) при b -♦ 0. Заменив АП1 Bniz^w на подходящие кратные, мы можем привести (3.7.13) к эквивалентной форме, которая переходит в (3.7.11) при b —► оо. Вдобавок, заменив АП1ВП1 z, w соответственно на АпдА1\ Bnq-^\ bx/a, aw/b, мы можем записать (3.7.13) в эквивалентной форме, имеющей более простой вид: •
оооок«рдкЛрд *;р)*-1 (g,aq*/6; q^kк«рдкЛрд *;р)*-1 (g,aq*/6; q^k
оо
оо
к«рдкЛрд *;р)*-1 (g,aq*/6; q^k
к«рдкЛрд *;р)*-1 (g,aq*/6; q^k
)apkgk,bpkq k\p^ (д,ад2к+1/Ь;д),)apkgk,bpkq k\p^ (д,ад2к+1/Ь;д),(1 - apnqn))\ - bpnq n^q k,agk/b\g)n(opQ ^^РЯ 'P)n
)apkgk,bpkq k\p^ (д,ад2к+1/Ь;д),
)apkgk,bpkq k\p^ (д,ад2к+1/Ь;д),
(3.7.14)
Как и при выводе (3.7.6), можно обобщить (3.7.14), заменив Bj^k на Bj^kCnij^k-ni где Cn>o = 1 при п = 0,1,... . Многомерные разложения, которые на самом деле являются частными случаями (3.7.6) и (3.7.14), можно получить заменой Ап и Вп в (3.7.6) и (3.7.14) кратными степенными рядами; см., нарример, [G24], упр. 3.22 и для гипергеометрического предельного случая [L9]. Многомерный частный случай разложения АльСалама и Верма (3.7.11) приведен в [524].
Формулы суммирования и преобразования второй,
третьей и четвертой степеней
Подставляя р = q} или q = pi J = 2,3,..., в бпбазисные формулы суммирования §3.7 и используя формулы суммирования и преобразования для базисных гипергеометрических рядов, можно вывести ряд квадратичных, кубичных и т. д. формул суммирования, преобразования и разложения. Для иллюстрации мы выведем квадратичную формулу преобразования, включающую пять произвольных параметров, отталкиваясь от случая q = р2 в (3.6.16):
у. (1 - adp3*)(l - Ь/dp*)——J^aJ^pM/^^*
"(1 - ad)(l - b/d) (dp2,adp2/b;p2)k(iadp2n*1)bp1-2n/d;p)kP
= (1 - d)(l - ad/b)U - adp2"^ - dp2"/b)
- ad)(l - d/b)(.l - dp2")(l - adp^/b)'V " ‘ ’
где n = 0,1,... .'
Заменив p на q и d на с в (3.8.1), умножив обе части на
(^/М^)п(£/М)2пс(92;92)n(acg;g)2n"
и просуммировав по п, получим
у> (ac2/6;g2)n(cg/b;g)2n(l - с)(1 - ас/Ь)
^ (?2! 92)n(ac; 9)2п(1 - cg3n)(l - acq2n/b) n
_ у у (1 - асд3*)(1 - Ь/сдк) •
". ~(1 — ас)(1 —
.(°’Ь;Ч')к(.ас2/Ь;q2)n+k(c/b-,д)2„-* /сд\к (*)_,
(cg2,acg2/b;g2)k(ig2;g2)n-k(acg;g)ln+k\ Ь ) 4 п
у' (1 -acg3)(l - b/cgk')(.a)b;g')k(.ac2/b;q2')2k(.c/b;q')k (cq\k (*)
"(1 - ас)( 1 - b/c)(eg2, асд2]^ q2)k(acq; q)3k Vb )
(3.8.2)(3.8.2)у* (ac2g4*; g2)m(cg*/6; g)2m, "o (92;92)m(ac»3*+,;g)2m
(3.8.2)
(3.8.2)
Подставив
_J\_-Jl<?q^jj№
(1 - ac2/b\ac2q2/bd,ac2q2/be,ac2q2/bf^q2^ ’
из (3.8.2) получим, что
юИ^ас2/^; aclb,c,cqlb,cq2/b, d, e, f; q2, a2 c2 q3/def)
_ у' (1 - acq31^ 1 - b/cqk) (a, b, c/b; д)к(ас2д2/Ь; g2)2t
"(1 - ac)(l - b/c') ^сд2,асд2/Ь,д2)к(асд;д')зк
. _J^eJ^k(^?g^/bdef^__ (*) (ac2g2/bd,ac2q2/be,ac2q2/bf\ g2)^
^Wi^ac2q*k/b\ cqk/b,cqk+*/b, dq2k, eq2k,fq2k; q2 ,a2c2q3 /def\ (3.8.3)
Если предположить теперь, что
a2c2q = def,(3.8.4)
то можно применить (2.11.7) и получить
8W7(ac2q4k/b; cqk/b, cqk^/b, dq2k, eq2k, fq2k; q2,q2)
_ (ac2q4k^2 (b,bf /ac2qIk ^abq2^1 ,acqk^2/d^q)^
^acq3k^2 ^acq3^1 ,ac2q2k^2 /bd,ac2q2k^2/be^q)^
(acqk^2/e, acqk*x/d, acqk^x/e, ac2q2/bde\ g2)oo
(bef /ас1, bdf /de2, //acqk, //acqk~x; g2)oo
bfq”2k(<ac2q4kA'2lb,cqklb,cqk4‘xlb,dq2k,eq2k\q)^
^ ac2^ac2q2k^2/bf, acq3k^2,acq3k^x ,ac2q2k^2/bd; q)^
e _(/5^/£jV/^/g^^
^ac2q2k^2/be,bef /ac2,bdf /ac2, f /apqk, f lacqk^x\q2}QQ
что вместе с (3.8.3) дает
xoW^ac^lb; с, d, е, /, ac/b, cq/b, cq2 /Ь; tpvt?)
~ (oc2^2/M,ac^q^Jbe^bdf/ас2,bef/ас2; g2)oo(acg,Цас\q^
. y> (1 - qcg3*)(l - b/cqkXa,b,c/b-,q')k(d,e,f-,q2')k lk “ (1 - ac)(l - b/cXcq2iac42lb,<ibq-,q2)k(acqld,acqle,acqlf;q)k , bpqp^/b, d,e, fq2/d, fq2/e^bfq2/a<?-,q2)«>
ac2 (ac2 q2 /bf, ac2 q2 (be, ac2q2 / bd, bdf /ас2, bef /a<? ,bpq2 /ac^q2),*, /bfqlcve/bvq^ (acqj/acq)^
. y* (1 - acg^Xl - b/cgk) (a,b;»)t(ac2/b/,/;»2)fc 2k ££(1 - ac)(l - b/c) (cq2,acq2/b\q2)k(bfq/c,acq/f\q)k
eWi(bf2 /ас2-, fq2k, bdf /ас2, bef (ac2, f/acqk, f/acqk~1,,^1q2\ (3.8.6)
Последняя сумма по к в (3.8.6) равна
у' (bp/ap, f, bdf/ас2, bef/ас2, f/ac, fq/ac; д1)^ - bpg^/aP) 2i
^ (MWM/MW^4 ,
v (1 - ec^Xl - fr/c»k) (a,»;»)^2^/^,^;»2)* 2k
~(1 - ac)(l - Ь/c) <cq21acq2lb\q2^bfq23*1lc1acqx-2i/f;q^k
yt (^bp/ac2, f,bdf/ас2,bef/ас2, f/ac, fq/ac,<2),(1 - bpq^/ac2) 2j
Ь ^’ bfq2/ac2,fq2/d, fq2/e, bfq2/c, bfq/e, q2)^! - bp/ac2) 9
(1 - c)(l - ac/bXl - ac/fg2^ ~ bf g2?/^ c(l - ac)(l - b)c^\ ~ fq24cX^ ” лс/bfq2^)
( (o, b; q)<»(,fq2j, a<?/bfq2i; g2)^ _ 1
( ^ac/bxq^^ac/ fq2i ,bfq2i /с-л^ооJ
_ (1 - c)(l - ac/bXl - f/acXl - bf/c) (1 - c/bXl - ac)(l - f/cXl - bf/ac)
• loW^bp/ac2; f, bdf/ас2, bef/ас2, bf/ac, f/c, fq/ac, fq2 /ас; q2,‘q2)
ac(l - ac)(l - c/bXl - f/cXl - bf/ac)
^ (б/^е^у/ас^&е^^у3
^^?J<?ld»№ !*>!<? lecj^fe,^(1-ЬР/ас2) \ ab / 4
(3.8.7)
в соответствии с формулой (3.6.15) при п = оо. Таким образом,
ю W9(ac2/6; с, d, е,/, ac/b,cq/b, cq1/^q^2) - "^"/^Г ^/^a ac*(l —— оцас)
(5 f2q2 /ас2, ac2q2 /be, ac2 q2/bd, bdf /ас2, bef/ac2, ac2q2/b f;q2)co
фЛ^сд/Ь^ (^L^L Н/НЙ tf. Л (ac, fq/ac-, q^ 10 9 \ ac2 ’ ac2 ’ ac2 ’ c ’ ac ’ ac ’ ac2 ’ ’ /
_ A2£91fb-?2!l!^i!l^
^acqs f/ac; q^oot.a^q2/bd, ac2q2/be, bdf/ас2,be f/ас2-, q2^
. у l-ecg3*(a,6,c^/b;g)t(d,e,/;q2)t k
^Q 1 - ac (eg2,acq^b,abq;q^k(acq/d,acqle,acq/f;q)k
, bf2(a,b,cq/b;
a2c3(l - //c)(l - bf/ac)(ac, f/ac,acq/f; q)^
(cq^^acq^lb, a^q^lbf, ac^q1 Ibe^ac^q1 [bd, bdf/ас2, bef/ac1, bf1q1/ac1; q1^
^ ^bf1 /a<?,bdf/a<?,bef/ac2, f/c,bf/ac^q^j
^{q^Jq1/^, fq2/e, bfq2/ac, fq1/^, q1^
(1 - bpq*!/^ VT-bplac1^(1 - bpq*!/^ VT-bplac1^(3.8.8)(3.8.8)
(1 - bpq*!/^ VT-bplac1^
(1 - bpq*!/^ VT-bplac1^
(3.8.8)
(3.8.8)
если справедливо (3.8.4);Отметим теперь, что посколькуесли справедливо (3.8.4);Отметим теперь, что посколькуу (e,»Va,-9Ve,c,d,e,/;g),-^ (9, V«, ~V«, aq!^ aq/d, dq/e, aq/f; q)jу (e,»Va,-9Ve,c,d,e,/;g),-^ (9, V«, ~V«, aq!^ aq/d, dq/e, aq/f; q)j(eq,aq/ef;q)oo ,\aq/cd,e,f. a»](ад/е,ад//;д)оо 3<P2 \aqlc,aq/d'q’ ef\ ’(eq,aq/ef;q)oo ,\aq/cd,e,f. a»](ад/е,ад//;д)оо 3<P2 \aqlc,aq/d'q’ ef\ ’(3.8.9)(3.8.9)согласно предельному случаю (2.5.1) при п —► оо, то сумма по j в (3.8.8) равнасогласно предельному случаю (2.5.1) при п —► оо, то сумма по j в (3.8.8) равна-l^il^Z^Z^^l^)^ .\f/c,bf/ac,ac2q2/bde 2 2W/ac, fq^c; q2)» 3^ [fq2/d, fq2/e; 9 ’9 .-l^il^Z^Z^^l^)^ .\f/c,bf/ac,ac2q2/bde 2 2W/ac, fq^c; q2)» 3^ [fq2/d, fq2/e; 9 ’9 .
если справедливо (3.8.4);
Отметим теперь, что поскольку
если справедливо (3.8.4);
Отметим теперь, что поскольку
у (e,»Va,-9Ve,c,d,e,/;g),-
^ (9, V«, ~V«, aq!^ aq/d, dq/e, aq/f; q)j
у (e,»Va,-9Ve,c,d,e,/;g),-
^ (9, V«, ~V«, aq!^ aq/d, dq/e, aq/f; q)j
(eq,aq/ef;q)oo ,\aq/cd,e,f. a»](ад/е,ад//;д)оо 3<P2 \aqlc,aq/d'q’ ef\ ’
(eq,aq/ef;q)oo ,\aq/cd,e,f. a»](ад/е,ад//;д)оо 3<P2 \aqlc,aq/d'q’ ef\ ’
(3.8.9)
(3.8.9)
согласно предельному случаю (2.5.1) при п —► оо, то сумма по j в (3.8.8) равна
согласно предельному случаю (2.5.1) при п —► оо, то сумма по j в (3.8.8) равна
-l^il^Z^Z^^l^)^ .\f/c,bf/ac,ac2q2/bde 2 2
W/ac, fq^c; q2)» 3^ [fq2/d, fq2/e; 9 ’9 .
-l^il^Z^Z^^l^)^ .\f/c,bf/ac,ac2q2/bde 2 2
W/ac, fq^c; q2)» 3^ [fq2/d, fq2/e; 9 ’9 .
Следовательно, подставляя в (3.8.8) е = a2c2q/df, мы получим квадратичную формулу преобразования Гаспера и Рахмана [G34]
toW^ac2/6; /, ac/b, с, cq/b, cq2/6, d, a2(?q/df; q2,q2)
(ac2q2/6, bf /ас2, ac/b, c, cq/b, cq2/b, bfq2/ас; #2)oo+ (bf2q2 /ac2,ac2 /bf,ac2q2 /bd,dfq/ab,bdflac2 ^abq/d^cq2'^2)^ \
(fq2/^ bf/c, bfq/c, fq2/d, d^qf^^^d^ a2c2q/df; q2^ (acq2/b, f/c, bf /ас, ac, acq, fq/ac, fq2/ac; g2)oo
• 10^9(6J2/ас2; f, bdf/ac2,abq/d, f/c, bf/ас, fq/ac, f^ /ас; q\q2)
_ (д-Л^д! f\qV
(ac,ac/f, fq/ac^)^
(f, d,a2c2q/df, bf /ас2 ,ac2q2/b, fq2/d,df2q/a2c2, g2; g2)oo(bf /ас, f/c, cq2,acq2/b, ac2q2/bf, dfq/ab, bdf/ас2, abq/d; g2)oo
, [flcM/acJq/ab 2 2] '3<^2 Xfq^IMFql^c1 'q ’9 J
_ (мд/d, df/ae, q)oo(ac2q2/b, abq, bf/ас2 ,fq/ab\ q2^ (acq,f/ac\ q)oQ(ac2q2/bd,dfq/ab,bdf /ac2,abq/d\ q2)<x>
e v^ 1 - асдгк (a, b, cq/b; q)k(d, f, a2c2q/df\ q2)kqk
^ 1 - ac (cq2,acq2lb,abq\q2)k(acq/d,acqlf,df/ac\q)k
Отметим, что первые два члена в левой части (3.8.11), содержащие ряды юИ^д, могут быть преобразованы в другую пару рядов щИ^ с помощью четырехчленной формулы преобразования (2.12.9). Поскольку ряд 3^2 в (3.8.11) является сбалансированным, он может быть просуммирован по формуле (1.7.2), если он обрывается. При с = 1 формула (3.8.11) сводится к квадратичной формуле суммирования
^\-2^_J:a2b2qJbv^^^
^ 1 —a ^aq^lbtabq^k^Mild^qlMfl^^^
_Jfiq2J]a2bJJq\q)^2^qlbd2^q^dJ2j^Jd1^^
(«IL fq/«, «qlA, df/a; q)o»(«q2/b, abq, fq/ab, bfja, aq^/bf-, g2)»
e 302e 302Г f,bfla,fqlab 2 „2]\.f41ld»d.pqla1'4 ,q J
e 302
e 302
(3.8.12)(3.8.12)(aq, f/a; q^^aq2/bd, abq/d, bdf /a, dfq/ab; q2)oo (aq/d, df/a; q)OQ(aq2/b, abq, bf/a, fq/ab; q2^
(3.8.12)
(3.8.12)
Умножив обе части (3.8.11) на (//ас;^)^ и подставив затем / = ос, получим квадратичную формулу преобразования Рахмана [R17]
У' Jw^A^a^^d^aq^^к
^ (W9)k(l - <^<4ld,d;q)k(aq2/b,aq2lc,bcq;q2V
” (q.aq2/b,aq2/c,bcq;q2\” (q.aq2/b,aq2/c,bcq;q2\Y^iM^^A- (3-8л3)
” (q.aq2/b,aq2/c,bcq;q2\
” (q.aq2/b,aq2/c,bcq;q2\
dq^aq^/d'4 J v 7
Кроме того, при d = q п формула (3.8.11) сводится к
“ 1 — ас (cq2,acq2 lb,abq\q2)k(acql fif /acq^acq2^1-^)/
_ (acq; д^п(ас2д2/bf, abgj f; q2^
Vacqlh gW<N, ac2q2/b; g2)n
• voW^ac2 ]b\ f, ac/b, c, cq/b, ctf/b, a2c2g2n+1 //, q~2n; g2, g2), (3.8.14) a при b = cg"+1 дает
A lj-oc^__(<y>^g/<(/^^k
^ 1 — ac (acg/tt,acg//, tt//ac;g)fc(cg2,ag1-n,acqn+2;g2)k^
_ (acq2/d, q/ac, acq/f, dfq!ac\ g2)„
(oc^2,/^/oc,^/oc,oc^/<Z/;^2)n
•io ^(ocg**”**1; c, d^ f, a2c2qldf, aq''^1 s q1^, q”n; q2, g2), (3.8.15) где n = 0,1,... .
Аналогично, частный случай
A (lj-ac^)(l-_bJc^__(^q)k(q2^V^^^3k.
^(1 — ac)(l — b/c) V.c([\<ic<iHb\<ii^kVa<^"''rX ^Ict^"1^)/
(3.8.16)(3.8.16)_ (1 - с)(1 - ас/6)(1 - g^Xl - сд^Ь^ (1 — ас)(1 - с/6)(1 - с^3п)(1 - асд3п/6)’
(3.8.16)
(3.8.16)
формулы (3.6.16) использован Гаспером и Рахманом [G34] для того, чтобы показать, что сумма Госпера (см. [G42])
р Г а,а 4-1/2,6,1 - 6,с,(2а 4-1)/3 - с,а/2 4-1 Л
76 [ 1/2, (2а - 6 + 3)/3, (2а + 6 + 2)/3, Зс, 2а + 1 - Зс, а/2 ’ ^
А г (2^) Г (2^2) Г (2^±i) Г (2^) г (Ша-Зе) Г (3t2».-3c) sin |(6 + Ц
Г ^2+2а+Ь—Зс) р (3+2а—6—Зс)
имеет q- аналог вида
у 1 - асд*к (a, д/а; д)к(ас; g)2k(d, acg/d; g3)* к
“ 1-ас (ctf,a2cg2rf)k(g\g)2k(acgld,d^^^
_ (ас#2, асд1, d[ac, dg/ac, adg, ад, g^ja, dg2!a\ ^qq
(9, q2, dq, dq2, a^q^cq3, dq/a2c, d/c; q3)^
d^a, q/fl, acq; g)^3, d, acq/d, dPq2/ac; ^qq
ac^q, d, acq/d; q)oo(cq3,a2cq2,d/c, dq/a2c; 5^)00
, Г d/c, dq/a2c # 3 3I✓« о 1 ox
‘2^[ d^g2/ас ’«’«]’(3.8.18)
и вывести следующее обобщение:
ю И^ (ас2/6; d, с, a2bc/d, ac/b, cq/b, cq2(b, cq3/b; q3, q3)
(1 - c)(l - ac/b) (cq/b,bd/c; q)oo(ac2q3/b,a2bc/d,d2(f /a2bc,bd/ac2; 93)oo ^ (1 — d/c)(l - bd/ac) {ac,dq/ac;g)oo(ac2(bd,cd^/ab2,ab2/c^bcPq3/ac2;q3)oo
• xoW^bd2/ac2; d, bd/ac, ab2 jc, d/c, dq/ac, dq2/ас, d^/ac; q3, q3)
(a, b, cq/b; q)oo(q3, d, ac2^/b, a2bc/d, ^(^/a2bc, bd/ac2;^)^{ac, dq/ac, ас/d; q)oo^cq3, aa^/b, d/c, bd/ac, cdq3(ab2,ab2/с; q3)oo
. Xd/c^d/ac^ 3 31 _ ^2^J^2^^5^^
(3.8.19)(3.8.19)2 1 [cP^/a2^’^ ’^ J^acq^/ac*^)^^2/c,cdq3/ab2;^)^
(3.8.19)
(3.8.19)
^ 1 - ac <c<^,acq3/b;q3)kXab;q)ik^acq[d,dq/ab;q)kq
и некоторые другие кубические формулы преобразования. Частный случаи
A (Ij-ac^X^-^/c^4Jb
j“ (1 - ac)(l - b/c) (cq\acq4lb;q4)k(acq4n^\blcq*n-1;q)kq
n = 0,1,2,n = 0,1,2,(3.8.20)(3.8.20)__ (1 - c)(l — ac/6)(l - acq4nXl - cq4n/b) (1 ~ ac)(l - c/6)(l - cq4n)(l - acq4n/bY
n = 0,1,2,
n = 0,1,2,
(3.8.20)
(3.8.20)
формулы (3.6.16) был использован Гаспером и Рахманом fG34] для вывода формулы преобразования четвертой степени
10^9 (ас2 /Ь; а2Ь2 /^ ,ac/b,c, cq/b, cq2/Ь, c<f /Ь, cq4/Ь; q4,q4)
(1 - с)(1 - ас/Ь^аЧ3[eg2,cq/b; q)ooVac2q4[b,ab3/с2д2;д4)<5о
(1 — а2Ь2/сд2Х1 — а№ / cg2Xab2 / сд^с*^)^^3^ / с2 ,с2д2 / а№;д4)оо
/а365 a2b2 a2b2 ab3 ab2 ab2 ab2q ab2q2 4 4
* 10*^9 I о л )Г* > 9 1 9 >)>— >» 9 >9
\c4q*q* cq4 cq4 cqс с с
aAjH^t^cqjbv^^
cg2(l — агЪг ( cq1^^^ I cq\ccp ] ab^q^^a^ Icq1 ,cq* ..acq4 [b:,^.»
• 1^1• 1^1a^b1 Icq1. 4 ab3q2
• 1^1
• 1^1
<^t?<?!c’^ ’ c
(g&; 9)00(06/9; 92)<»(acV/M63/c292; 94)oo
^acq,ab1lcq1;q')oo.
у 1 — acq5* (оЛ9Ыс9/М92/6,с93/6;93)*(о262/92;94)а: к
^ Y — ac (cq4,acq4lb;q4)k{abq,ab,ablq;q1)k(c^lab1;q)k ' ■
(3.8.21)
При 6 = q1 (а сумма двух рядов ю^з в (3.8.21) сводится к сумме двух рядов зИ?, которые могут быть просуммированы с помощью (2.11.7), приводя к формуле суммирования четвертой степени .
у Y--ac^_ (arfhwM^^
^ 1-ас (с94,а2с92;94)*(93,92,9;92)*(ас/9;9)*
92(",92/о,ас9;9)оо(92;94)оо
ac(l - q1^^1, ас; 9)00(9; 92)оо(с94, a^q1, q4(a1c; 94)ОО
•хФ1•хФ1Ч^с» <q /с а*сЧ^с» <q /с а*с
•хФ1
•хФ1
Ч^с» <q /с а*с
Ч^с» <q /с а*с
(3.8.22)(3.8.22)(acq1, q1/ас, aq, ^I a; q1)^
(3.8.22)
(3.8.22)
(9^\q2)«,(cq4,q2lc,a1cq1,q4la1c; q4)^'
Дополнительные формулы суммирования и преобразования степеней два, три и четыре даны в упражнениях. ..
3.9. Мультибазисные гипергеометрические ряды
С учетом определения из §1.2, согласно которому ряд J3^L0 vn является базисным гипергеометрическим рядом с базой q^ если v© = 1 и D^xl^n есть рациональная функция от qn^ мы будем называть ряд 53 ^_0 «п биба- зисным гипергеометрическим рядом с базами ри q^ если d^x / vn есть рациональная функция от рп и q\ а р и q являются независимыми. В более общем случае мы будем называть ряд 53^Le vn мультибазисным (или т- базисным) гипергеометрическим рядом с базами qx^...^q-т^ если vn+xlvn 8—1449
есть рациональная функция от q^...^^ и qx,..., qm являются независимыми. Аналогично, двусторонний ряд ^^-„^ ^п будет называться двусторонним мультибазисным (или m-базисным) гипергеометрическим рядом с базами qis...sqms если vn+i/vn есть рациональная функция от Qif-)Qm и 9ь**м9т являются независимыми. Мультибазисные ряды иногда назваются полибазисными. .
Поскольку мультибазисный ряд с базами qx,..., qm может содержать произведения и отношения сдвинутых g-факториалов (а; g)n, где q заменен на q^1**- q^, a &i,.. ^кт являются произвольными целыми числами, то вид такого ряда может быть весьма сложным. Поэтому при работе с мультибазисными рядами либо эти ряды приводятся явно, либо используются обозначения, применяемые лишь к рассматриваемому ряду. Например, для более краткой записи многих формул, выведенных в §3.8, мы используем обозначения
ФФ®1 ) • • • , ®Г • 01Д ) • • • ) С1,Г1 •®1 ) • • • , ®Г • 01Д ) • • • ) С1,Г1 •61 , . . . , bg * dX Д , . . . , dl J 261 , . . . , bg * dX Д , . . . , dl J 2• cm,l>’ ^тД^• cm,l>’ ^тД^m-r'" ; g, gb..., gm; z (3.9.1)m-r'" ; g, gb..., gm; z (3.9.1)
Ф
Ф
®1 ) • • • , ®Г • 01Д ) • • • ) С1,Г1 •
®1 ) • • • , ®Г • 01Д ) • • • ) С1,Г1 •
61 , . . . , bg * dX Д , . . . , dl J 2
61 , . . . , bg * dX Д , . . . , dl J 2
• cm,l>
’ ^тД^
• cm,l>
’ ^тД^
m-r'" ; g, gb..., gm; z (3.9.1)
m-r'" ; g, gb..., gm; z (3.9.1)
для представления (m 4- 1)-базисного гипергеометрического ряда
(3.9.2)(3.9.2)
(3.9.2)
(3.9.2)
Если подставить в (2.2.2)Если подставить в (2.2.2)стД> • • •) ст,гт• • ^-тД) • • •) dm)8mстД> • • •) ст,гт• • ^-тД) • • •) dm)8m(3.9.4)(3.9.4)то получим разложението получим разложениеО, 6, С . 01 д, .. ag/6, aq/c:dXA,О, 6, С . 01 д, .. ag/6, aq/c:dXA,Л^г.-^т^Л^г.-^т^^ (qsaqlbsaq/c;q)n^ (qsaqlbsaq/c;q)n
Если подставить в (2.2.2)
Если подставить в (2.2.2)
стД> • • •) ст,гт
• • ^-тД) • • •) dm)8m
стД> • • •) ст,гт
• • ^-тД) • • •) dm)8m
(3.9.4)
(3.9.4)
то получим разложение
то получим разложение
О, 6, С . 01 д, .. ag/6, aq/c:dXA,
О, 6, С . 01 д, .. ag/6, aq/c:dXA,
Л^г.-^т^
Л^г.-^т^
^ (qsaqlbsaq/c;q)n
^ (qsaqlbsaq/c;q)n
Обозначения в (3.9.1) можно упростить с помощью векторных обозначений а = (ai,...,ar), b = (61,...,6,), с, = (с^д,...,с7>.), dj = (djj,..., dj)8j), что позволяет записать ряд (3.9.2) в виде
(3.9.3)(3.9.3). ;q»qi^^qm;z .
(3.9.3)
(3.9.3)
. . .. . um
«92п : ci,i9", : </i,i9i,«92п : ci,i9", : </i,i9i,с1,п9" :</i,»i9in :с1,п9" :</i,»i9in :•Ф•ФСт 1* • • . * Ст гbczJ п д пп >Ч>Ч1т • ♦ )ЧпмЧатДЧт^ • • * t“rn,smym°Ст 1* • • . * Ст гbczJ п д пп >Ч>Ч1т • ♦ )ЧпмЧатДЧт^ • • * t“rn,smym°пп
«92п : ci,i9", : </i,i9i,
«92п : ci,i9", : </i,i9i,
с1,п9" :
</i,»i9in :
с1,п9" :
</i,»i9in :
•Ф
•Ф
Ст 1* • • . * Ст гbcz
J п д пп >Ч>Ч1т • ♦ )ЧпмЧ
атДЧт^ • • * t“rn,smym°
Ст 1* • • . * Ст гbcz
J п д пп >Ч>Ч1т • ♦ )ЧпмЧ
атДЧт^ • • * t“rn,smym°
п
п
(3.9.5)
гдегдетт3 = 13 = 1(3.9.6)(3.9.6)
где
где
т
т
3 = 1
3 = 1
(3.9.6)
(3.9.6)
при условии, что по крайней мере один с^ есть отрицательная целая степень q^ так что ряд обрывается. Отметим, что эта формула справедлива, даже если а = q-k, к = 0,1,..., причем в этом случае верхний предел суммы в правой части может быть заменен на [fc/2], где [&/2] обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное к/2.
Аналогично, применение формулы разложения (2.8.2) приводит к формуле .
ФФa,b,c^d: схд,...,cifF1 : ...: стд,...,ст)Тт .,
Ф
Ф
aq/b,aq/c,aq/d : d,.»,....dlt„ :...: dm>1,...,dm.,„
a92",J = <-1,19", * • •, <-i,ri9" : A92n+1 : </1.19Г,...,</1,.,9Г:a92",J = <-1,19", * • •, <-i,ri9" : A92n+1 : </1.19Г,...,</1,.,9Г:у (1 - Ag2n)(A,Afe/g,Ac/g,Ad/g;g)n (a; g)2n /^\" ^(1 - A)(9,a9/6,<»9/c,<i9/</;9)n(A9;9)z„ ^ A /
a92",J = <-1,19", * • •, <-i,ri9" : A92n+1 : </1.19Г,...,</1,.,9Г:
a92",J = <-1,19", * • •, <-i,ri9" : A92n+1 : </1.19Г,...,</1,.,9Г:
Cm,19m,---,Cm,rm9m„
,„,„ ;9,9i,---,9m;zPn ,
^тДЧтч • • • t ^т.втЧт
(3.9.7)
где A = qa2/bed. Ряды в обеих частях формулы (3.9.7) не обязательно обрываются при условии, что они абсолютно сходятся. Формулы (3.9.5) и (3.9.7) являются мультибазисными обобщениями соответственно формул 4.3(1) и 4.3(6) у Бейли [ВЗ].
ЗЛО, Преобразование рядов с базой q в ряды с базой q2
Следуя Нассраллаху и Рахману [N2], мы выведем некоторые квадратичные формулы преобразования базисных гипергеометрических рядов,
используя следующие частные случаи формул (3.9.5) и (3.9.7):
Г a2, —aq2sb\c? : ai,.. MaTsq~n 2 j [-а,а2д2/Ь2,а252/с2 : 6i,...,&rA+i’9 ,9’J
_ V ^чЧ^с2, -ag2;g2),(a2; д^гуА, • • •, ar, q~*\g),- 2ф / b^zV“ (32,-a,a2g2lb2,a2g2lc2;g2)j(bi,...,br,br+i;g)j\ °2g2 /
Га1^, -ад3^+2 : mg2,...,arg< g>~"b2ciz ‘
-aq^ -.biq^...,bTq3,6r+i^4 J
(3.10.1)
a2, ~ag2,52,c2,6?2 : axf.MaT1q~*2
—a^q^lb^a^lc^a^ltP : bx^.. .^TlbT^\ ^ ^^ .
A 1- Xq4^ (X^Xb^/a^^X^/^^XcP/a^^-aq2^1)^»2*^2^
^ 1 - A ^.<^q1lb21a2q2lc2sa2q2ld2
(bx^ • • • )bT1bT^.x*iq)j у X /
^q ^q^2^q ^q^2(3.10.2)(3.10.2)a2g4^, -aq2^*2, a2/X : axq\..., arq^q^n
^q ^q^2
^q ^q^2
(3.10.2)
(3.10.2)
—aq^Xq4^2 xbiqi)...)bTq^)bT^iq^
соответственно, где A = (^qa2/bed)2.
Рассмотрим сначала случай (3.10.1) при г = 1. Если подставить ах = —aq/W) bx = W)b^ = —aq^1) z = awq^*2/Ь2с2 и воспользоваться (1.2.40), то ряд в правой части (3.10.1) сводится к совершенно уравновешенному ряду в^5 с базой q и потому может быть просуммирован по формуле (2.4.2). Это дает формулу преобразования
Г а2) — aq2)b2,c2 : —aq/w^q~n2 awq^2*
V-a^q^/b^a^/c2 :W)—aqn*x’^ ^’ Ь2с2
_ (w/a,-ag;g)„ Г a,agia2g2/w21a2g2/b2?,g~ln . 2 1 (w,—g;g)n 5 4 \.а2д2J^^a^g2/c2,ag1-"/w,ag2-n/w’S ’5 .
(3.10.3)
Обратите внимание, что приведенный выше ряд 5^4 является сбалансированным и что ряд Ф в левой части (3.10.3) может быть записан как
ioW9(-a; a, 6, -5, с, -с, -aq/w^ q n; g, awq^2/Ь2с2).
Формула (3.10.2) является g-аналогом соотношения Бейли [ВЗ, 4.5(1)].
Обратив ряды в обеих частях (3.10.3) и переобозначив параметры, эту формулу можно записать, как и у Джайна и Верма [J42], в виде
^ 'a,gai, —gai,6,x,-x,y,-у,-q n,q п^ a3q2n^3'
^—а^ ^aqlb^aq/x^aq/x^aqly^aqly^aq^1 ^aq^1' ' bx2y2 .
_ ^fv^^q-^.x^.y^^-aqlb.-aq^Jb , 2 21
(a2q2/x^atq1 ly2-,q2)n 5 4 x2y2q-2n(a2^a^q2(b2^—aq^—aq2'^*
(3.10.4)
Необрывающееся обобщение формулы (3.10.4) приведено у Джайна и Верма [J44].
Поскольку ряд 5^4 в правой части (3.10.3) является сбалансированным, он может быть просуммирован по формуле (1.7.2) во всех случаях, когда он сводится к ряду з^. Таким образом, мы получаем формулы суммирования
a2,ag2,—ag2 :-ag/w,g~n 2 wgn+1a,-a : w,-agn+1 ’^ ’$’ a
(3.10.5)(3.10.5)(3.10.6)(3.10.6)(3.10.7)(3.10.7)_ (w/^ag^^^
(3.10.5)
(3.10.5)
(3.10.6)
(3.10.6)
(3.10.7)
(3.10.7)
(w, -q;qUaq^/w, wq~n/a; q*2^
Г a\-aq\b2 \-aqn!b\q-n 2 2 [—a,a2^lb2 : b2q^*"ns —aqn"^ '^ ’^’^
УЧЬ1, -ay, q)n(aq/b?,aq2/b2-q2^
Wlb\-yqUqlb2,a2q2lb2-q2V
ииФФФФ‘a^aq1 ,—aq2,t? •.—aqnll?,q-n 2a,—a,a2q2!b2 -.Ь2^~п,—aqn*x'^ '^'^
и
и
Ф
Ф
Ф
Ф
(-aq2,a/y-,q)n(l/b2-,q2)n k-qAl^qXWIb2-,q2V
a2,aq2,-aq2,b2 :-aqn-x(b2,q~u г 2a, — a,a2q2(b2 : b2^~n ,—aqu*x '^ '^'^
_ (-«g,о/»2; дУ«д/ь2, i/b'g2^2)» „
Wlg^gXW^/b2^2^ •
Это g-аналоги формул 4.5(1.1)-4.5(1.4) из [ВЗ]. Поскольку ряды в левой части (3.10.5) и (3.10.6) могут также быть записаны как-совершенно уравновешенные ряды %фт с базой q, которые можно преобразовать в сбалансированные ряды 4^3 по формуле Ватсона (2.5.1), то формулы (3.10.5) и
a,gai, — w/gai,g at, w, —a^qi-na,gai, — w/gai,g at, w, —a^qi-nэквивалентны формулам суммирования
a,gai, — w/gai,g at, w, —a^qi-n
a,gai, — w/gai,g at, w, —a^qi-n
(w/a,—a^;g)n(wq n 1 /а,ад2 n/w; g2)n(w, -e~i; q^eq1 ~n/w, wg-n/a; g2)n
(3.10.9)
4<l>34<l>3‘ a,b, —bq1 n,q n ' .aqlb,b2q1~n, —bq-n'^^.
4<l>3
4<l>3
(3110.10)(3110.10)_ ybJrJJj^Aj^^^
(3110.10)
(3110.10)
(1 + g"/b)(l + eilbXaq)b,a^/b, 1/i2; g)„
соответственно, что уже ближе к тому, как должны были бы выглядеть g-аналоги формул 4.5(1.1) и 4.5(1.2) у Бейли [ВЗ].
Интересно также отметить, что если подставить с2 = aq в (3.10.3), переписать ряд Ф в левой части как ряд афт с базой q и преобразовать его в сбалансированный ряд 4^3, то мы получим
4Ф34Ф3a^b^—w/b^q п " aq(b,—bq n,w .
4Ф3
4Ф3
(w/а, —ад(Ь\ д)п (w, —gjb; g)n 4 3(w/а, —ад(Ь\ д)п (w, —gjb; g)n 4 3(3.10.11)(3.10.11)" e,e2g2/w2,eg/62,9 2n 2 2 .e2g2/b2,ag1-n/w,eg2~n/w’^ ’^
(w/а, —ад(Ь\ д)п (w, —gjb; g)n 4 3
(w/а, —ад(Ь\ д)п (w, —gjb; g)n 4 3
(3.10.11)
(3.10.11)
что является g-аналогом случая с = (1 + a)/2 у Бейли [ВЗ, 4.5(1)]. При помощи (2.10.4) левая часть (3.10.11) может быть преобразована к виду
4Ф34Ф3q n,a,ag/62, —ag/w 'ag/6, —aq/b, aqx-njw ’ ^’ ^
4Ф3
4Ф3
(3.10.12)(3.10.12)* g 2^a,ag/62,a2g2/w22 2
(3.10.12)
(3.10.12)
,a2q2/b2baqx~n/wyaq2^njw'^ ^ .
Эта формула была впервые доказана Сингхом [S11] и недавно Аски и Вильсоном [А 127]. Последние авторы записали ее также в виде
a2,52,c,dГ а2,62,с2,</22 21
4^ Il bi Л'4'4 =2а2 j л'4 'ч (3.10.13)
abq, —abq^, —cd, j[даAb*, —cd, -qca .
при условии, что оба ряда обрываются.
Теперь, когда у нас есть формулы суммирования (3.10.5)-(3.10.8), мы можем использовать их для получения дополнительных формул преобразования. Подставим г = 3 и ai = -a2 = да^,аз = -ag/w,5i = -62 = о^> b^ = —agn+1 в (3.10.1). Ряд Ф в правой части теперь можно просуммировать с помощью (3.10.5), и это приводит к следующему д-аналогу
соотношения Бейли [ВЗ, 4.5(2)]:
a2,ag2, — aq^b^c2■: — aq/w^q п 2 awq^1а, —а, a q Jo , a q ]c : w, — aqb c
(^yfa^-^aqyQy^^
(w,—q; q^nW^/w. wq~n!a\ q2)n
* 5^4* 5^4(3.10.14)(3.10.14)’ og,og2,a2g2/62c2,a2g2/w2,g 2n 2 2 .a2g2/62,a2g2/c2, ag2“n/w,ag3“n/w ’ ^ ’^
* 5^4
* 5^4
(3.10.14)
(3.10.14)
Вернемся теперь к применениям формулы (3.10.2). Если мы подставим г = 1, ai = —Xq^1]^ b\ = a2q~n/X^ b^ = —agn+1,z = q в (3.10.2), где A = (qa2 (bed?)2s то ряд Ф в правой части сводится к сбалансированному совершенно уравновешенному ряду 8^7 с базой д, который может быть просуммирован по формуле Джексона (2.6.2). Таким образом, мы получаем формулу преобразования
ФФ; s2,9; g; s2,9; ga2, -ag2,62,c2,d2 : -Xq^1 ,q~n
Ф
Ф
; s2,9; g
; s2,9; g
-o,a2g2/62,a2g2/c2,a2g2/d2 : a2q^jX^ -agn"bl
(-gq, Xq/a; д)п(У/а2; s2)„(-q, Xqla^qXkMhq^n
* 10<^9* 10<^9
* 10<^9
* 10<^9
(3.10.15)
Это есть g-аналог соотношения Бейли [ВЗ, 4.5(3)].
Аналогично, подставляя г = 3 и выбирая параметры так, чтобы ряд Ф в правой части (3.10.2) мог быть просуммирован по формуле (3.10.7), мы получим следующий д-аналог результата Бейли [ВЗ, 4.5(4)]:
’о2,од2,-од2,Ь2,с2,с?2 :-Agn/a,g~n2"
.о, —о,о2д2/&2,о2д2/с2,д2д2/^2 : a2g1-"n/A, —agn+1 ’^ ’^’^■
= (A/o,-ag;g)n(A/a2;g2)n п (Xla^-q-.qUXq^n 4
• 10^• 10^а2д2~2па2д2~2п. 2 да2 ^ 1\. 2 да2 ^ 1\A,»2Ai,-g2A2,ag,ag2,^-, a \ i 2 22 2
• 10^
• 10^
а2д2~2п
а2д2~2п
. 2 да2 ^ 1\
. 2 да2 ^ 1\
11 _14 AS А а д а д ^А2, л2 ,-^-,
(3.10.16)
где А = (да2/bed)2.
Упражнения 3
Выведите из (3.10.13), что
зФззФзГа2,»2, г2 2 2212 а 19 >9 . а2b^q, 0Га2,»2, г2 2 2212 а 19 >9 . а2b^q, 0e2,62,z1
зФз
зФз
Га2,»2, г2 2 2
212 а 19 >9 . а2b^q, 0
Га2,»2, г2 2 2
212 а 19 >9 . а2b^q, 0
[аб^^^аб»! ^’^J = 3^
при условии, что оба ряда обрываются. Покажите, что эта формула есть ^-аналог квадратичной формулы преобразования Гаусса (3.1.7) в случае, когда ряды обрываются.
Используя сумму
2^1 (9-n,91-n;9b2;<?2,92) = $^ q"^\ i4)n
докажите, что
t-х а а’Ь’-Ь
О) 3Ф2 .2;q,-z
b,az
Используя эту формулу, докажите, что
(И)
J^;»2,0^2» - М < L
Формулы (i) и (и), принадлежащие Джайну [J39], являются q-аналогами формул (3.1.5) и (3.1.6) соответственно.
Покажите, что
3Ф23Ф2‘a.qla.z. c.-q‘a.qla.z. c.-qq,qq,q
3Ф2
3Ф2
‘a.qla.z
. c.-q
‘a.qla.z
. c.-q
q,q
q,q
когда ряд обрывается. Это q-аналог формулы *
2*1 (а, 1 - а; с; г) = (1 - z)c-1 2^i ((с - а)/2, (с + а - 1)/2; с;4z(l - z)),
когда ряд обрывается.
Покажите, что
обращается в нуль, если п — нечетное целое число. Вычислите эту сумму, когда п четное. С помощью этого (или другим способом) покажите, что
V^ у> (С)С; д^гМ-пЦ^д^т ^ ^ to ^mto Mt 9)m+n(62; g)m
4^34^3a,ag^c,cg 7 9
4^3
4^3
, , \gd,dg,gb£
Выведите, что
аФзаФзq п,дг n,a,aq 2 2
аФз
аФз
,2 , , ;q ,9 gb^d^dg
„Wayf^. Г q n,a,b,—b g(d;g)n4 3 _b2,aq1~n/d,0’ ’ d
(Джайн [J39])
Используя формулу суммирования Сирза (2.10.12), покажите, что
у (а,а9/е;9)г д ^(q1abg/e,acg/e-g)r
(ag/e, bg/e, сд/е, abcg/e-, д^
(g/e, abgje^ acgje^ bcg^ q^
у (a,b,c;g)fcg* у (eg*; д\
^0 (g,e,abcg/e,g)k ^ (g^bcgW/e-^^
+(а, Ь, с, dbcg1! е2; д'),»
{е/д, abg/е^ асд/е, Ьсд/е\ д^
У' ^ql^bgl^^le^g)^ к у^ (адк+1 /е;д)т ^ (<g,g2/e,abcg2le2;g)k ^(g,abcgk+2/e2;g)T
где a, bscse — произвольные параметры, такие, что е ^ д, и {Аг} — произвольная последовательность, такая, что бесконечные ряды в обеих частях абсолютно сходятся.
Докажите, что
3Ф2
Ь, с
d, е
•3Ф2
*ад/е,
Ьд/е, сд(е д^/е^ dg/e
a^agle^abcgjde d*abgje^acgje '^ aa^agle^abcgjde d*abgje^acgje '^ a(q/e, abg/e, асд/е, d/a; д)^ ^d.agle.bgle^cgle-^g)» 3 2
a^agle^abcgjde d*abgje^acgje '^ a
a^agle^abcgjde d*abgje^acgje '^ a
при е / ди |d/a| < 1.
Докажите, что
[
a,aq/e,e/bcbcql
abq/e,acq/e е J=(og, ад/е, bq/e, сд/е, -д; д)^
(д/е, abg/e, асд/е, bcg/e, —bcg/e\g)oo .^a^c^k
“(Qi aq. e; g)*(ggk+2; g2)oo
при условии, что |6cg/e| <: 1.
Полагая, что |ж| < 1 и a/b ^ д\ j = 0,±1,±2,..., докажите, что
^\^a,b\c\g,x^ (Ь^/а^х-^оо[a,c/b,Q1
= ——302;д,д
Vb/a,c,x;q)ooYaq/b,axJ
(а,с/6,6ж;д)ооГ&,с/а,0 1
(а/6,с,ж;д)оо 3 [&д/а, bx '^ j
Покажите, что это д-аналог формулы
2Г1(а,6;с;ж)
Покажите, что
Г а,Ад,6А2]
^ [А,дА2/Ь;9’аЬ2]
_ 1^Д+А/&(1-^ (WgA^/^^ ..2,^2,^.
" (1-А)(1 + А/Ь) (qX^b^^ab^qV' ' '
Покажите, что
eWr (-А; gAi, -дА*, а, 6, -b; q, X/ab1^
(Ад, -Ад, Х/^,Хд1аЬ,-Xq/ab; д),».2|
(Ад/а.-Ад/а.Ад/б.-АдДА/аЬ2^),»’ 1 '1
Докажите, что это ^-аналог формулы
- Г(А/2)Г(1 + А^ги + А^^_ _
Г(1 + А/2)Г(^)Г(1 + А-а-6)Г(А-26)’R ()
Выведите формулу умножения Джексона [J26]
2 фх (а2, b2; qa2b2; q2, z) 2Фх (а2, b2; qa2b2;q2, qz) Г а2,Ь\аЬ, — ab ]. ., ,
и покажите, что она содержит формулу Клаузена [С40] ч
[^(еЛе + Ы-^)] = 3^^;^Н<1,
в качестве предельного случая. Другие ^-аналоги формулы Клаузена даны в §8.8.
Докажите, что Г q^T-q2-*1^2,? :d,-q1-n/w2wg2""!
\-q-",q1-lnlb2,q2-2nlc2 ■.-q^/d,w'9 ’q; b^d J
= ЧЧ^^Чп
(—</, w;g)n
Г d2,q2-2"/b1c2,q2-2n,W2,q-",q1-n2 J
5 4 lq2-2"/b2,q2~2nlc2,dqx~nlw,dqi~n'lw'q ’9 J "
Покажите, что при A = a4q2lb2c2d?
Г а2,-92а,Ь2,с2,<Р : -Xqn/a,q-" .2.2]
[— a,^^1 /Ъ2,a2q2/с2,a2q2/d2 : a2g1-n/A, —agn+1’^ ’^’^ J
_ (-ag, A/а; g)n(A/a2, Ag2/a; g2)n (-5,A/a2;g)n(A92,A/a;g2)n
• ioWs(A; a, eg, A62/a2, Ac2/a2, A</2/a2, A2g2n/a2, q~2n; q2, a2g2/A)
Г а2^2^^2»^2^2^ •. -Xq'-x!a,q-^.2.2]
[a, -a,a\2/b2,a\2lc?,a2q2/d2 x a2q2^n/X^-aqn^ 1 ^ '^ J
_ ^aq^loq^^le^L^W {-q^-MXq^q^-Xq-^la)4
юИ^(А; eg, eg2, A62/c2, Ac2/c2, Ad2/c2, A2g2n-2/c2,g~2n; g2,c2g3/A).
(Нассраллах и Рахман [N2])
Используя (3.4.7), покажите, что g-функция Бесселя, определенная в упр. 1.24, может быть представлена в виде
V (-z29,,/4;9)"(1 + ^^^"'''‘'/^Х-Д3/^;^)» ( 1 Iv/4\n 2n2
■^0 («eMu-xWXr+^i)» 4 11 9 ‘
Используя (3.5.4), покажите, что
^ (ж;,)" г,(У + 1) Ь:< /„(2(1-1))
XqyfWh .qvlWH i iz
•^11 V+J :»4’T
Покажите, что
Г a, — qa^btcazg]
4 L— a^^aqlb^aqjc'^ be J
(1 - xa^^aiq; q)^ Гai, -qat ,(aq^, —{aq)^aq/bc = 77 504/l //5 9,9
(*5 9)ooL aqlb^aqlc^qlx^axq
++(1 — a^^aq^aqlbc.axqlb.axqlc.q^^
+
+
(aqlb.aq/c.axqlbc.l/x'.q)^
'504'504[ха^, —xqcA, x^aq^ ^ —x^aq^, axq/bc,1
'504
'504
axqlbyaxqlc^qx^aqx*J
(czlab; o2)oo
Покажите, что если —~—— ^x^a^e.q^czlabq^ = yj anzn,
n=0
ТО
2^1(c/a,c/6;c5;92,z) itila^cqiq2,cz/abq) = V 7~^ЧТ~апгП-
(Сингх [S11], Нассраллах [N1])
(с z IаЬ*
Покажите, что если^ 20i(a,5;c;g,C2r/a&) = Vs anzn,
то
201 (cq/a, cq/b; cq2\q2,z) 1Ф1^1 Ь; с; q2,cz/ab)
(Сингх (S11), Нассраллах [Nl])
(cgzlab\ 9^)00/ / •//п
Покажите, что если • -7 -_2^i(o/g>6;c/g;g,c2r/ao) = } ^п^ >
тото(^5 )ооп=0
то
то
2Ф\(.сд/a\clbg\c\(^b z) 1ф\^а^ b; c; q^czlab)
"Ъ мп a»z •
(Сингх [S11], Нассраллах [N1])
Докажите, что у l^jq^^p^ _ 0 ~1-0(д;?)*(о6р;р)*
когда тах(|р|, |^|, |5|) < 1, и обобщите это соотношение на бибазис- ные формулы преобразования
^ b-apVl^iZLfd^^
^1-о(»;д)*(о6р;р)*
= 1-е у (op;p)t(c/&;g)t*
1-Ь ^ (9;9)к(«Ьр;р)* 1
_ 1 -с у ("р;р)*(сд/6;9)*6к1 ~ a6P ^ (»' q^k^abp1; р^к
_ (1 - с)(ар;р)оо У' (6lP)*(£9P^9)oo/ a (1-Ь)(а6р;р)<» ^(p;p)k(6gp*;g)«
справедливые при шах(|р|, |g|, |ap|, |6|) < 1.
(Гаспер [G24])
Выведите четырехбазисную формулу преобразования
^(1-«)(!-6)(?,од/6;9)*(ор/с,Ьср;р)*
(<?Р-"/Л, P-'IBC; P)k(Q~n. BQ-"IA; Q)k k
' ^-"/C, BCQ-/A; Q)k(P-n/A, P-/B; P)k 4
= ^pMpy^aqjbc^V^^
{q. «q/b; qMap/c,bcp; p)n (AP, BP; P^VCQ, AQ/BC; Q^ ^kY-AP^^BPkQ-^^^B^
к=0к=0(1 - Л)( 1 - В) (Q, AQ/B; Q^APJC. ВСР; Р)к
к=0
к=0
; (ср Ч^Р п/Ьс;рЩ \Ьд п/а;д)к к (g-n/c,bcg-n/a;g)k(p~n/a,p-^/b\p)k
где п = 0,1,... . Используйте ее для вывода смешанной бибазисной и гипергеометрической формулы преобразования
' (1 - gp*g*)(l - 6p*g *)(g,6;p)k(c,g/6c;g)fc
'(1 - g)(l - 6) (q,aq/b; g)t(6p/c,6cp;p)*
(,C -A- n)*(—В -С - n^k^B -pA- n)*(-n)A k к-цС - п)к(.цВ + pC - рА- n)t(-A - n)fc(-B - n)*9 japj^p^c^jig/ftc^g^ n!(j^ (g,ag/6;g)n(ap/c,6cp;p)n (A 4- 1)„(B + ОЛдС + l)n
(B 4- C 4- l)n
(pA + 1 - pB - pC)n
A (A + A + k/^XB + k-kp) (А)к(В)к(цС)к(цА - pB - pC)k
^ABk’^A + 1 - pB)k{A + 1 - С)к(В + С 4- l)fc
Jc/apV/frc^pW^JV/og^^)*.
(l/c?n, bc!aqn-, qXWap", l/bpn; p)k ’
и следующей формулы преобразования для «расицепленно уравновешенного» ряда ю0э’
10091009a, qVa, -qV^i Ь» с, a/bc, C]Aqn, q/BCqn, B/Aqn, q-n .x/a, -V^ aqlb,aqlc,bcq,llCqn,BC/Aqn, \jBqu, \/Aqn ’ ^’^
1009
1009
(a^, bq, eg, aq/bc, Aq/B, Aq/C, BCq; q)n (Aq, Bq, Cq, Aq/BC, aq/b, aq/c, beq; q^u
* 1009* 1009A,qVA,—qVA, B,C,A/BC,claqn,l/bcqn,b/aqn,q n .VAs ~VA, Aq/B, AqJC, BC q, \ / cqn ,bc / aqn, l!bqn, \/aqn ' ^' ^
* 1009
* 1009
(Гаспер [G24])
Используя то обстоятельство, что для произвольных (фиксированных) положительных целых чисел т^,..., тТ имеет место равенство
ОО*
ki*r=0
ОО
М=0 kim\AЬkrmr = М
*1kr>0
покажите, что (3.7.14) предполагает справедливость бибазисной
формулы разложения для случая многих переменных
52 Л(*Ъ... A)n*1m1+...+^m^",Wmi^ .••(xm'Wm^r)*' A?i t...tA?r=0■
оооо(ewMwJjPhzL(9,<фп/М)п(ewMwJjPhzL(9,<фп/М)п
оо
оо
(ewMwJjPhzL
(9,<фп/М)п
(ewMwJjPhzL
(9,<фп/М)п
у> (ар^ГЛР^!^
^ (q,aqln*1/b;q)j
Еkimi^--*-^krmT=M<nki v»kr >0Еkimi^--*-^krmT=M<nki v»kr >0(1 - арм»м)(1 - bpMq M){q~n,aqnlb-,q)M(<ipqn,bpq-n;p)M
Еkimi^--*-^krmT=M<nki v»kr >0
Еkimi^--*-^krmT=M<nki v»kr >0
что эквивалентно (3.7.14) и обобщает результат Сриваставы [824,(10)].
(Гаспер [G24])
Докажите следующую q-версию теоремы обращения Лагранжа: если ■'
*ОО
Gn^ = Y,bjnxi,
* j=n
где bjn определены согласно (3.6.20), и если
ОООО
л®) = Е л^ = Е ^g^’j=071=0
то■
fj = У2 bjnCn
71 = 0
и, наоборот,
где anj определены, как.в (3.6.19). (Гаспер [G24])
Выведите (3.8.19)-(3.8.22).
Докажите формулу Госпера
(а262с2^-1; ^2)п(1 - a2b2c2q3n-1 )(abcds abcd-x; q2)n^a2 s b2s с2; q)n “ (9^)n(l - a2b2c2q-x)(abcd-x ,abcd;q)n(b2c2qsc2a2q1a2b2q;q2)n __ (а2Б2с2^, a2q, b2q, ^q, dq/abc, bcdqfa, cdaq/b, dabq/c; q2 )qo
(g, b^q, c2a2q, a2b2q, abcdq, adqfbc, bdq/ac, cdqjab; ^2)oo
(a2, b2, c2; 9)oo(a262c2y; q2^
(g; q)co^b2c2q, c2a2q, a2b2q, abcdq, abcd~xq; ^2)oo
• Vn - dVn+21-l^^^^Л _£V (n+i)2
"^\(adq/bc,dbq/ac,cdq/ab;q2)n^x \ abc )
(Рахман [R17])
Покажите, что
^ (^Ьсш)к(1^!Щ[^)№^k
" I^T^lAV-^^abcfFhCiibcdq^^
[
abcq,q2VQbcq, -q2Vttbcq, d,q/d,abq, bcq,caq 2 Д Vabcq, -x/abcq, abcq3/d, abcdq2, cq2, aq2, bq2 ’ ^ ’ ^ J (abcq3 ^abq,bcq,caq,d,q/d.q2)^q
(q2, aq2,bq2, cq2, abcq3/d, abcdq2; ^2)oo (1 — aq^ 1 — bq)( 1 — cq)
Vq2,abcq21dq1q2/d 2 J
4V3 I 3 i 33’*
L aq*5, bq*5, cq*5J
3.27. Докажите, что
n = l
. (bcdq 2;q3)n(l - bc(lq4n 2)(b,c,d-,q)n n2
' (?;9)n(l - bcdq~2)(cdq,bdq,bcq;q3)n 9
, \q~n1qt~n,q2-n,bcdq3n 3 3]
[bq.cq.dq^J
(bcdq,bq,cq,dq;q3')oo
(q'Cdq^dq'bcqvpW
(Рахман [R17])
Покажите, что
Y ^bcdq v;^)nU-bcdq4" l)(b,c,d;q)n=+„
^ (9; g)„( 1 - bcdq-1 ^cdq2, bdq2, bcq2; g3)n 4
^bcdq2,bq1,eg1 ^д2;д3^
(q2, cdq2, bdq2, bcq2; q3 )„,'
(Рахман [R17])
Выведите следующие формулы суммирования:
(i)
Y (±^<г^^1з11а!^^^/^ V (*t1)
“(1 - <i)(q\aq3/b;q3)k(q4b2;q2)k(<d>,<d>q^^\ b) 4
(ab^b^qtYxAq^aqt/b;^^
' (1 - acqbk}(a,q* la\q2}k(q3 l<ic;q?)k(a^
'(1 - ac^cq3,a2clq;q3^kk<i2c2lqi;q2')k
(a2c2/<?;/)(.■ / ^V^^t1)
(<?4,96;?4)* V q2 / 4
^c^aclq^^^i^rjj^a^^^^
(q*va2c2/q3; q2')ccAfq3- fqR- a2cq2,a.2cjq, ncq.acq**^6^.
(1 - acqsk)(a,q2/a-,q2)k(q/ac:q3)k(a<';q)k(a2c2q;qR)k k (*t1)(1 — acWro3. a2ro: o3 LJ«-r-o-a2 K(o2. a4 КC *(1 - acqsk)(a,q2/a-,q2)k(q/ac:q3)k(a<';q)k(a2c2q;qR)k k (*t1)(1 — acWro3. a2ro: o3 LJ«-r-o-a2 K(o2. a4 КC *(iii)
(1 - acqsk)(a,q2/a-,q2)k(q/ac:q3)k(a<';q)k(a2c2q;qR)k k (*t1)(1 — acWro3. a2ro: o3 LJ«-r-o-a2 K(o2. a4 КC *
(1 - acqsk)(a,q2/a-,q2)k(q/ac:q3)k(a<';q)k(a2c2q;qR)k k (*t1)(1 — acWro3. a2ro: o3 LJ«-r-o-a2 K(o2. a4 КC *
^(1 - acXcq3,a2cq;q3')k^i2<‘2q;q2K(.q'2^qt;q4H
_ ^«q^acq^W^t^c^fVnc^ (q2,a2c2q; q2)x(cq3,cqr\ a2cgA,a2cq, acq2, acq5; q^)^
(Рахман [R18])
9—1449
Выведите формулу суммирования четвертого порядка
" l-o (q4,aq4/b;g4)k(abq,ab,ab/q\q2)k(q3/ab^
об3(09,69,1/6; 9)оо(а26292;94)оо
q1 (ab, q3/ab2\q)oo(ab/q-, q2)oo(q4,ab3/q2,aq4/b; g4)»
U2b2/q2 43 21
(O9,o62/92;9)oo
Ub;q')c<-(.<ib/q;q2VX<i*l4/b,ab3/q2;q4yoo"
(Гаспер [G21])
Выведите кубические формулы преобразования
‘^ 1-ос (.cq3,arq3/b;q3')^ab;q')2k(.q1-3n/<ib,acq3n+1;q')k4
_ (1 - acq2)(l - ab/g2^\ - a6g3n)(l - ас?3") (1 - асд3"*2)(1 - abg3""2)(1 - ai)( 1 — ac) Al-ac96t+2 (aq2,bq2,cq2/b,cq3/b,a2bcq3n,q~3n;q3)k 3k £^ 1 - acq2 (cq3.acq3/b,abq3,abq2,qs~3nlab,acq3n+s\q3)k^
(- ^ (SzJXS^LzJ^L^-^AlJX^^3*
“(l-o)(l -6)(g3,a2bq3-,q3')k^q/b;q')2k(1<iq/C'1bcg;g')k^
_ (ag,bg;g^n(cg3 ,ag3/bc;g3>)n
(ng/c, bcq;g\Aq\ag3lb; q3^
• WH 9(0/6; 9/«62, c, a/bc, agn*x, «9п+2, agn+3, q"3n; q3,q3),
где 7i = 0,1(Гаспер А Рахман [G34])
Выведите кубическую формулу суммирования
у,^м^мНи^^дУк^^к
^ 1 — a2 Vt"q3lbxa.2bg;q3^k^q2\q\lktva2glc3,c3lg;g')k4
_ (bg^jbib^jg^gjb^j^^g2^^
(q\q\c3q, be3 / a2 .^q3/b, a2bq, c^q2 [a^b; q3^
_^’ ^ bq^.q1^, q3[b, q^/b, a1 [q, a^q, a2q3,c3/a2; q3)^
^q2 >q4 ^c3/q, c3q. a2 (c3, a2q/c3 ,c3q3 / a2 ,c3q3 / a2b, a3q3/b; q3)^ {c^g/a2-^3)^ Uc3/a2xc3q2/a2b 3 31
(n2bg,bc3/a2;g3Y^. " 1 [ c^gla2 ^ ’^ J
и покажите, что она имеет следующий предельный случай при
а — \/2sa^2 — b,c,(2a + 2 — 3c)/3,a/2 + 1 . 3/2, (2а - & + 3)/3, (2а + b + 1)/3, Зс - 1,2а + 1 - Зс, а/2’ 1 Г / 2 \ р / 4 \ р / П р / . П р / 2а-НЗА
\ \ О / \ о * ' О / V о /
m г (^) Г (^) Г (2^±1) Г (^1)
2а+Ь-Ц \ р /2а-3с4-3\ р /2а-Зс-Ц
3/ 1 V 3 М V 3
(Гаспер и Рахман [G34])
Выведите формулу преобразования четвертого порядка
^ l_-a?b?qb^к
" \-a2b2lq2 (ab2q2,a2bq2;q4)k(abq,ab,ab/q-,q2)k(q-,q)kq
= --^aq^qMa^q^q^[ ° • 4 Ь 4
(919)00(069;q2)oa(b,ab^q2,a2bq2-,q4)x, 1 1 [ag4’9 ’ 9 J ‘
(Гаспер и Рахман [G34])
Примечания 3
. Работа Брессу [В52] содержит некоторые формулы преобразования для обрывающихся рядов ТА-\ФЛах 1 а2^ • • •, ar+i; ^ь • • • > Ьг; q; г), которые являются почти уравновешенными в том смысле, что b^a^x = ^i^5*, где 6к = 0,1 или 2 при 1 < к < т. Преобразования для одноуровнего базисного ряда^ т. е. ряда тллФтч в котором a\bk = qa,^i для 1 < к < г, рассмотрены Гаспером [G21].
. Агарвал и Верма [А 14, А15] вывели формулы преобразования для некоторых сумм бибазисных рядов, применяя теорию вычетов к интегралам по контуру вида (4.9.2), рассмотренным в гл. 4. Формулы обращения рассмотрены также в работе [СП] и, в связи с решеткой Бейли, в
[ЛЗ].
. Джексон [J24] применил свой д-аналог формулы преобразования Эйлера (формула (3.7.11) при р = q) для вывода формул преобразования и рядов для тета-функций. Джексон [J27, J28] и Джайн [J36] вывели также g-аналоги некоторых разложений для гипергеометрических функций от двух переменных, содержащихся у Берчналла и Чонди [В58, В59].
. Госпер [G47] установил необычную формулу преобразования для q-рядов, содержащих базы q2,q3 и q6. Краттенталер [К35] независимо вывел обрывающийся случай формулы (3.8.18) и обрывающиеся частные случаи некоторых других формул суммирования, рассмотренных в этом параграфе.
. Относительно мультибазисных рядов, содержащих бибазисные сдвинутые факториалы вида ^p^q^g = IljZo П*=о(1 ~ вР^*), а также связей с функциями Шура и статистикой подстановок см. работы [D8- D10].
. Работа Джайна и Верма [J46] содержит необрывающиеся случаи некоторых формул преобразований Нассраллаха и Рахмана [N2].
Упр. 3.11. q-дифференциальные уравнения для некоторых прЬиз- ведений базисных гипергеометрических рядов рассмотрены у Джексона [J20]. -
х Упр. 3.17-3.19. Эти упражнения являются q-аналогами теорем Кэли [С19] и Орра [02] (см. также [ВЗ, гл. X], [В60], [El], [W4] и [W13, W14]). Другие q-аналоги приведены в [А5] и в [J47].
. Упр. 3.20. Формула, получающаяся при преобразовании последнего ряда в ряд с аргументом 6р, эквивалентна бибазисному тождеству (21.9) из работы [F6], и это частный случай основной леммы из работы [А38, с' 65]. Приложения основной леммы к ложным тета-функциям и к разбиениям содержатся у Эндрюса [А38, А39]. Агарвал [А 12] обобщил основную лемму Эндрюса и привел некоторые формулы разложения, следующие из его обобщения.
Упр. 3.23. Дополнительный материал по формуле обращения Лагранжа см. в работах [А52, А56], [В50], [С38], [F9], [G2], [G4], [G41], [G43, G44], [Н22], [Н23], [K31]-[K33], [РЗ] и [836].
4
БАЗИСНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО КОНТУРУ
Введение
В этой главе мы приведем в первую очередь ^-аналоги представления Барнса [1316] в виде интеграла по контуру для гипергеометрической функции '
2fi(a,6;c;z) =2fi(a,6;c;z) =Г(с) 1Г(а)Г(6) 2тг1Г(с) 1Г(а)Г(6) 2тг1Г(а-М)Г(6 + *)Г(-з)Г(с + з)Г(а-М)Г(6 + *)Г(-з)Г(с + з)(4.1.1)(4.1.1)
2fi(a,6;c;z) =
2fi(a,6;c;z) =
Г(с) 1
Г(а)Г(6) 2тг1
Г(с) 1
Г(а)Г(6) 2тг1
Г(а-М)Г(6 + *)Г(-з)
Г(с + з)
Г(а-М)Г(6 + *)Г(-з)
Г(с + з)
(4.1.1)
(4.1.1)
где |arg(—z)| < ж, первой леммы Барнса [В 16].
1 Г00
— Г(а + з)Г(6 + з)Г(с - s)F(d - s) ds
.2^1 J „^
= [(«Н^ШМ^
F(a + 6 + c + d) 'V '
H второй леммы Барнса [B17]'
1 f°° r(a + 3)F(6 + s)F(c+s)F(l -d-s)F(-s) ,.1 I '■ 11 - "■ -' ■■■ — — — - - ■■ ■■' '■■ QS к
. Це + з)
Г(е - а)Г(е - Ь)Це - с)’'
где е = а 4- Ь 4- с - d 4- 1..
В (4.1.1) контур интегрирования направлен вверх по мнимой оси с отклонениями от нее, когда это необходимо, так, чтобы полюсы Г(-$), т. е. точки s = 0,1,2,..., лежали справа от контура, а полюсы Г(а4-з)Г(б4-$), т. е. точки з = —а —п, -6-п, п = 0,1,2,..., — слева от него (как показано на рис. 4.1 в конце этого параграфа). Предположение о существовании такого контура исключает возможность того, что а или b равно нулю или целому отрицательному числу. Точно так же в (4.1.2), (4.1.3) и в других интегралах по контуру, рассматриваемых в этой книге, предполагается, что подбор параметров позволяет провести контур интегрирования так, чтобы отделить друг от друга возрастающие и убывающие последовательности полюсов.,
Первая и вторая леммы Барнса являются соответственно интегральными аналогами формулы суммирования Гаусса (1.2.11) для ряда 2^1 и
(4.1.4)(4.1.4)
(4.1.4)
(4.1.4)
формулы Заальшютца (1.7.1). Аски и Рой [А123] отметили, что первая лемма Барнса есть обобщение бета-интеграла (1.11.8). Чтобы убедиться в этом, заменим в (4.1.2) b на b — iw, d на d 4- йи, а затем подставим s = wx. Пусть теперь w —► оо; тогда, используя формулу Стирлинга, получим бета-интеграл в виде
^4-0-1 (1 _ x^d-i^ = B(a + c>b + d)
где Re(a 4- с) > 0, Re(6 4- d) > 0 и
Именно поэтому Аски и Рой назвали (4.1.2) бета-интегралом Барнса. Следуя Ватсону [W2], мы приведем в §4.2 ^-аналог формулы (4.1.1), а именно интегральное представление типа Барнса для зф^сцЬ^с^гУ Оно будет использовано в §4.3 для вывода формулы аналитического продолжения для ряда 2^1* В §4.4 мы приведем ^-аналоги (4.1.2) и (4.1.3). Остальная часть этой главы посвящена обобщениям этих интегральных представлений, другим типам базисных интегралов по контурам и использованию этих интегралов для вывода общих формул преобразования для базисных гипергеометрических рядов.
Рис. 4.1.
Представление Ватсона для ряда 2Ф1(а)Ь;с^,г) -в виде интеграла по контуру
Для простоты в этом и следующих пяти параграфах мы предположим, что 0 < q < 1, и запишем'
q^e^. w>0./(4.2.1).
На самом деле это не является сильным ограничением для большинства приложений, поскольку результаты, полученные для 0 < q < 1, обычно могут быть аналитически продолжены на комплексные значения q внутри единичного круга. Ограничение 0 < q < 1 обладает тем преимуществом, что оно позволяет использовать контуры, параллельные мнимой оси, упрощая тем самым доказательства. Продолжения на комплексные q внутри единичного круга будут рассмотрены в §4.8.
Ватсон [W2] показал, что для 0 < q < 1 интеграл Барнса в (4.1.1) имеет g-аналог вида.
2^i(a,6;c;g,z)
= («М /^1 > Г°° (д^сд-^А-гу ds (4 2 2)
-(giM^oo Vxi) J_ioo (aq^bq^q)^ sin its ’'
где |z| < 1, |arg(—z)| < тг. Контур интегрирования (обозначим его через С) идет от —too до too (в работе Ватсона контур выбран в противоположном направлении), так что полюсы ^\8\q^ / sinTrs лежат справа от контура, а полюсы 1 /(aq8^ bq8; q)^, т. е. s = w-1 In а — n + 27ri7W“1, s = а;-1 In 5 — п + 2тгйпа;”1 при п = 0,1,2,... и т = 0, ±1, ±2,..., когда а и b не равны нулю, лежат слева и находятся по крайней мере на некотором расстоянии с > О от контура.
Для доказательства (4.2.2) сначала заметим, что, согласно неравенству треугольника,
|1 - laje-"^ <’>| < |1 - аЛ < 1 + |a|e-*'Re ^\
и поэтому■ *
(1 4-Re (s))aA Mi (**4- Re («)М
< ГТ АА К-ЛЛ *LГД 2
- 11 (1 - |a|e“(n+ Re («)>) (1 — |6|e~(n+ ^ (e))w) ’'
а эта функция ограничена на С. Следовательно, интеграл в (4.2.2) сходится, если Re[sln(—z) -ln(sinits)] < 0 на С для больших |s|, т. е. если |arg(-*)| <.
Рассмотрим теперь интеграл в (4.2.2), заменив С контуром Cr^ состоящим из большей полуокружности радиуса R (ориентированной по
часовой стрелке) с центром в начале координат, которая лежит правее контура С, замыкается слева самим контуром С и оставляет слева полюсы (как это показано на рис. 4.2).
Положив s = Re'8, мы получим, что для |г|
Re In -——
. sin^rs
= R[cos0 In|г| - sin# arg(—z) - тг| sin#|] 4- 0(1)
Следовательно, при |z| < 1 и |arg(—z)| < тг — £, 0 < b < тг, мы имеем
'^ = О[ехр(-«Я|8тв|)](4.2.4)
Sin 7TS
на Or, если R -► оо, и отсюда следует, что интеграл в (4.2.2), когда С заменен на Cr, стремится к нулю, если R —► оо, при наложенных выше ограничениях. Поэтому, применяя теорему Коши к замкнутому контуру, состоящему из Cr и той части С, которая ограничена сверху и снизу Cr., и устремляя R к оо, мы получим, что - ^ Jl^ . ..ds равен сумме вычетов
подынтегральной функции в точках п = 0,1,2,... . Поскольку
Нт=
»-» toftbq^q)^ sinffs (aqn,bqn,q')oo ’.-
это завершает доказательство формулы Ватсона (4.2.2).
Необходимо отметить, что контур интегрирования в (4.2.2) можно заменить другими, соответствующим образом деформированными, контурами, параллельными мнимой оси. Чтобы убедиться, что (4.2.2) есть д-аналог (4.1.1), достаточно использовать (1.10.1) и функциональное соотношение
Г(х)Г(1 - г) = -^(4.2.5)
Sin 1ГХ
чтобы переписать (4.2.2) в виде
2^1 (?\ 9*; 9°; 9,*)
=Г,(с)1 Г” ya^^H^THEMllr^
Гд^Г^^г J_ioo Гд(с+8)Гд(1+8) V •
'.(4-2.6)
Аналитическое продолжение ряда 2^i(a,6;c;^, z)
Поскольку интеграл в (4.2.2) определяет аналитическую функцию от z, которая однозначна при |arg(—г)| < тг, правая часть (4.2.2) дает аналитическое продолжение функции, представленной рядом 2Ф1 (о, b; с; q, z) при |z| < 1. Так же как и в случае обычного гипергеометрического ряда, мы обозначим это аналитическое продолжение ряда 2^1 (a, b; с; q, z) в область |arg(~z)| < тг снова через 2^1 (a, b; с\ q, z). •
Барнс [В16] использовал (4.1.1), чтобы показать, Что если |arg(—z)| < тг и параметры а, 6, с, а—Ь не являются целыми числами, то аналитическое продолжение в область |z| > 1 ряда, определяющего 2^1(0,6; с; z) при |z| < 1, дается соотношением
2Г1(а,6;с;з)= ^^—^(-*) ° 2Fi(a, 1 + a - с; 1 + a - 6;z *) Г(о)Г(с - о)•
+ Ц^^)^^"" 2^1(6,1 + 6 - с; 1 + 6 - а; г’1),
(4.3Л)
где, так же как и везде в этом параграфе, символ «=» означает «есть аналитическое продолжение». Чтобы проиллюстрировать обобщение метода
Барнса для ряда г<^1, мы приведем теперь вывод Ватсона [W2] следующего ^-аналога формулы (4.3.1):
1Ф1(а,Ь; с; g,z)
(6, с/a; g)oo(az, q/az; q)^(c,&/o;9)oo(z,9/z;$)ОО(6, с/a; g)oo(az, q/az; q)^(c,&/o;9)oo(z,9/z;$)ОО2<Ыв, aq/c; aq/b; q, cq/abz)2<Ыв, aq/c; aq/b; q, cq/abz)
(6, с/a; g)oo(az, q/az; q)^(c,&/o;9)oo(z,9/z;$)ОО
(6, с/a; g)oo(az, q/az; q)^(c,&/o;9)oo(z,9/z;$)ОО
2<Ыв, aq/c; aq/b; q, cq/abz)
2<Ыв, aq/c; aq/b; q, cq/abz)
(a, c/6; д'),» (bz, q/bz; q)oo (c.a/fr;^),» (z,g/z;g)OO(a, c/6; д'),» (bz, q/bz; q)oo (c.a/fr;^),» (z,g/z;g)OOг Ф1 (6, bq/c; bq/a\q, cq/abz)г Ф1 (6, bq/c; bq/a\q, cq/abz)(4.3.2)(4.3.2)
(a, c/6; д'),» (bz, q/bz; q)oo (c.a/fr;^),» (z,g/z;g)OO
(a, c/6; д'),» (bz, q/bz; q)oo (c.a/fr;^),» (z,g/z;g)OO
г Ф1 (6, bq/c; bq/a\q, cq/abz)
г Ф1 (6, bq/c; bq/a\q, cq/abz)
(4.3.2)
(4.3.2)
При условии, что |arg(—z)| < тг,с и a/b не являются целыми степенями q и что а, 6, z / 0.
Рассмотрим сначала интеграл
(4.3.3)(4.3.3)1 f ^\^Sli51~^~5Y ds2тгг J (aq9, bq9; q)^ sin its
(4.3.3)
(4.3.3)
вдоль трех прямолинейных отрезков А1,Аг,В, задаваемых уравнениями
Ai : Im(s) — т^ Аг : Im(s) = —тг, В : Re(s) = —М, (4.3.4) где 7П1,тпг,Л7 — большие положительные константы, выбранные так, чтобы А1,Аг,В находились по крайней мере на расстоянии с > 0 от каждого полюса* и нуля функции •
»(») =»(») =(^jC^jiL»(«<?', 69»; g)^ ’(^jC^jiL»(«<?', 69»; g)^ ’(4.3.5)(4.3.5)
»(») =
»(») =
(^jC^jiL»
(«<?', 69»; g)^ ’
(^jC^jiL»
(«<?', 69»; g)^ ’
(4.3.5)
(4.3.5)
причем предполагается, что Ai, Аг, В ограничены друг другом и контуром интегрирования в (4.2.2), т. е. Re(s) = 0 с соответствующими деформациями. . .
Из асимптотической формулы для (a; q)oo cq = е”ш, w > 0, принадлежащей Литтлвуду [L7, §12], следует, что если Re(s) —► — оо при |з — so | > € для некоторого фиксированного с > 0 и для любого нуля sq функции (9s; <?)«>, то
W; <?)»] = ^(Re(S))2 + ^ Нф) + 0(1).W; <?)»] = ^(Re(S))2 + ^ Нф) + 0(1).Это означает, чтоЭто означает, чтоg(s) = Оg(s) = ОаЬ cqаЬ cq(4.3.6)(4.3.7)(4.3.6)(4.3.7)
W; <?)»] = ^(Re(S))2 + ^ Нф) + 0(1).
W; <?)»] = ^(Re(S))2 + ^ Нф) + 0(1).
Это означает, что
Это означает, что
g(s) = О
g(s) = О
аЬ cq
аЬ cq
(4.3.6)
(4.3.7)
(4.3.6)
(4.3.7)
при Re(s) —► — оо со значениями s, отделенными от нулей и полюсов функции g^s). Используя данное асимптотическое разложение и метод §4.2, можно показать, что если |z| > |cg/a6|, то значение интеграла 1^ в (4.3.3), взятого по контурам Ai, Аг, В, стремится к нулю при тгц, m^, М —> оо.
Отсюда в силу теоремы Коши вытекает, что значение интеграла Д, взятого по тому же контуру С, что и в §4.2, равно сумме вычетов подынтегральной функции в ее полюсах слева от С при |г| > |сд/а6|. Подставим
а = —о;”1 Ina, ^ = —w 1 In6, так что a = q^b = q^. Так как вычет подынтегральной функции в точке —а — п + 2onuu~1 равен
^V-Ц^—^—-221=0 xu-X<z\-a-n ^lMl (.q,q,ba-1q-'l;q)oo
• exp {2mxiw-1 ln(—z)} cosec (2mx2iw-1 — ax),
TO
oo
Il = У^ cosec ^тшг2^;”1 — a?r) exp ^m^ria;-"1 ln(-z)} m=—oo
xW^c/a^/asg)
7ГГ—ТЧ——C-^) ^a.aqlc\aq(b\q.cqlabz^ xylo-iq^joo
+ idem (a; b).(4.3.8)
Таким образом, нам остается вычислить приведенные выше суммы по т при |arg(—z)| < тг. Полагая с = b в (4.3.8) и используя (4.2.2), мы получаем, что аналитическое продолжение ряда 20i(a,b;b;g,z) — это
ОО
У2 cosec (атг — 2т7г2га;-1) exp {2mTria;-11п(—г)} m=—оо
",ч(~г) ° ^i^a,aq b;aq]b;q,qlttz\ vq^q)»
Поскольку, согласно ^-биномиальной теореме,
= -—г— кМ)<»
ООУ^ cosecm=—ooООУ^ cosecm=—ooи произведения сходятся для всех значений г, отсюда следует, что
ОО
У^ cosec
m=—oo
ОО
У^ cosec
m=—oo
(4.3.9)(4.3.9)(ax — 2mx2iw *) exp {2mx*w 1 ln(—z)} (—z)_“
(4.3.9)
(4.3.9)
_ «(^azjjj/azj?)OO
4<i,q/<i,z,q/z;q)oo'
Подставляя (4.3.9) в (4.3.8), мы в результате получаем (4.3.2).
^-аналоги первой и второй лемм Барнса
Предположим, как и раньше, что 0 < q < 1, и рассмотрим интеграл
/2 = Г00 (<Z1-c+8,<?1-d+,;<?)00 irq-ds
^KiJ-ioo (qa+*, qb+‘; q)«> sinx(c- s) sin x(<f - s) ’ ^ где, как обычно, контур интегрирования идет от —ioo до too, так что возрастающие последовательности полюсов подынтегральной функции (т. е.
с 4- n,d 4- п при п = 0,1,2,...) лежат справа, а убывающие последовательности полюсов (т. е. нули функции (д04'*,?64'*;^)^) — слева от этого контура. Используя теорему Коши, как и в §4.2, для вычисления этого интеграла как суммы вычетов в полюсах с 4- n,d + п при п = 0,1,2,... получаем, что ■
sin ir(c - d) (qa+c, д6+с; q^sin ir(c - d) (qa+c, д6+с; q^iM^V^iM)iM^V^iM)
sin ir(c - d) (qa+c, д6+с; q^
sin ir(c - d) (qa+c, д6+с; q^
iM^V^iM)
iM^V^iM)
(4-4.2)(4-4.2)(4.4.3)(4.4.3)М^^с-ЦЦ*)(gc; 9)nМ^^с-ЦЦ*)(gc; 9)n(4.4.4)(4.4.4)
(4-4.2)
(4-4.2)
(4.4.3)
(4.4.3)
М^^с-ЦЦ*)
(gc; 9)n
М^^с-ЦЦ*)
(gc; 9)n
(4.4.4)
(4.4.4)
4- idem (c; d).
Применяя формулу (2.10.13) к (4.4.2), приходим к формуле
1 Г00 (9^JL^l!i^__^
^* J-ioo (.ga+Mb+,;q)oosin x(c-s) sin r(d-s)
_ gc (9,91+c-^9d-c,9a+Hc+d;9)oo
sin ir(c - d) (_qa+=, q^*, qb+c, qb+d; q^ ’
которая представляет собой q-аналог Ватсона [W2] первой леммы Барнса (4.1.2), в чем можно убедиться, переписав указанный интеграл в терминах д-гамма-функций.
Аналог второй леммы Барнса (4.1.3) можно получить, следуя Агарвалу [А7]. Подставив c = nHd = c — а — Ъв (4.4.3), получи^ ■
1 Г”кд* ds ■
2»r«7-ioo(9“+,,9ь+’;9)оо sin ts sin х(с - a - b - s)
= cosec x(c — a —= cosec x(c — a —^l+a+Ь c qc a ^q^g^(g%gb,gc-a,gc-b;g\so
= cosec x(c — a —
= cosec x(c — a —
при n = 0,1,2,.... Заменим затем с на d в (4.4.4), умножим обе части на (—l)ngn^e~c^(2) ^\q^w / (q,qe',q)n, просуммируем по п и переменим порядок интегрирования и суммирования (легко убедиться, что это допустимо при |ge~c+s| < 1). Согласно g-формуле Гаусса (1.5.1), получим
,. kAq1*a+b"Md-e-b,gd,g;g)oo
cosec x(a - a - о)—;г—т-т~г—г——
’ (q%qb,qd-%qd-b;q)oo
"3^ kg\gb^gd,g*W*e-a-b-4
1 Г00хд*
2xi J-icQ (qa^8t qb+a; д)оо sin tts sin x^d — a — b — s) • 2^1 (9-#, gc; 9е; g, »e~c+1) ds .
(9e~c;9)oo 1 Г” ^Л£^л^^^^ (9е;9)'oo 2xi j_ioo (9a+,,9fc+,,9e-c+,;9)oo■
(4.4.5)(4.4.5)icq8 ds
(4.4.5)
(4.4.5)
sin ns sin 7r(d - a - 6 + s)'
Положим теперь с = d. Тогда ряд в левой части (4.4.5) можно просуммировать по g-формуле Гаусса, что после очевидной замены параметров дает
1 Г°° (9^9^15^
(4;4.6)(4;4.6)^iJ-ioo (ча+,1Чь+‘,Чс,;ч)оо sin xs sinx(d + s)
(4;4.6)
(4;4.6)
(9°, 9*, qc, q^»*4, q^-4, gl+c-d. q^ ’
(4.4.7)(4.4.7)где d 4- e = 14- fl 4- b 4- с. Формула (4.4.6) является g-аналогом Агарвала для второй леммы Барнса. Этот интеграл сходится, если q настолько мал, что
(4.4.7)
(4.4.7)
Re [sing — ln(sin its sin тг(</4- s))] < 0 на контуре для больших |s|.
Аналитическое продолжение ряда т-цФт
Используя теорему Коши, как в §4.2, мы получаем, что если |z| < 1 и |arg(-z)| < х, то
Л1 > °2> • • •» Аг+1 .
61 , . . . , by
_ (ai,a2,...,ar+i;9)oo
(9» ^11 ••• » ^Г1 9)00
. (zl^ Г” Jt^At^^^(4 5 1)
\2xt/J_joo (a1g,,a2g,,...,ar+tg»;to)oo sinxs ’
где, как и в предыдущих случаях, справа от контура находятся лишь полюсы подынтегральной функции в точках 0,1,2,.... Так же как и в случае г = 1, правая часть (4.5.1) дает аналитическое продолжение ряда тцлФг в левой части в область |arg(—лг)| < тг. .
Кроме того, как и в §4.3, можно показать, что если |z| > |6i. ..bTq,ai.. .ar+i|, то интеграл Z3 = ^ J^ ...ds равен сумме вычетов подынтегральной функции в тех ее полюсах, которые лежат слева от контура. Подставим а\ = -a;-1 In ai. Поскольку вычет подынтегральной функции в точке —ai — п 4- 2тг£пии~1 равен
_n (n4.n/2
(9,9, аг^Ч-”» • • •, «г-ноГ^-”; 9)00'
то, действуя точно так же, как при доказательстве (4.3.2), и используя (4.3.9) и (4.5.1), получим разложение
(«2, ■ • ■, аг+1, 61 М, • • •, М«1, «1 г, д/«1z; g)^ (6i,..., 6Г, аг/в!,..., ar+i/ai, z, q/z; g)^(«2, ■ • ■, аг+1, 61 М, • • •, М«1, «1 г, д/«1z; g)^ (6i,..., 6Г, аг/в!,..., ar+i/ai, z, q/z; g)^
(«2, ■ • ■, аг+1, 61 М, • • •, М«1, «1 г, д/«1z; g)^ (6i,..., 6Г, аг/в!,..., ar+i/ai, z, q/z; g)^
(«2, ■ • ■, аг+1, 61 М, • • •, М«1, «1 г, д/«1z; g)^ (6i,..., 6Г, аг/в!,..., ar+i/ai, z, q/z; g)^
(4.5.2)(4.5.2)вь<*19Ль-”,в19/Ьг дЬг--Ъг
(4.5.2)
(4.5.2)
<44l<4f 4^iqlar+i ,4’ zai •••ar+i
+ idem(ai;e2,...,er+1),
где равенство означает «является аналитическим продолжением». Символ «idem (ai; 02,..., a г 4-1)» после некоторого выражения означает сумму т слагаемых, полученных из данного выражения, если поменять местами ai с каждым из о^, к = 2,3,..., т 4-1.
Представление вполне уравновешенного рядав виде интегралов по контуру
Заменим о, 6, с, d и е в (4.4.6) соответственно на a + п, & + п, с + n, d + п и € 4- 2п, где•■
-e=14-a4-64-c —d,(4.6.1)
и переменную интегрирования в на в — п, где п — неотрицательное целое число. При этом мы получим
n—toon—too(9o+s> qb^8s qc*8; 9)00 sin ^ s™ ^(^ +5)
n—too
n—too
= cosec Trd= cosec Trd(qa+ns qb+n, qc+n, qe~a~b, qe-a~c, qe-b-c; q) *(qa+ns qb+n, qc+n, qe~a~b, qe-a~c, qe-b-c; q) *(4.6.2)(4.6.2)
= cosec Trd
= cosec Trd
(qa+ns qb+n, qc+n, qe~a~b, qe-a~c, qe-b-c; q) *
(qa+ns qb+n, qc+n, qe~a~b, qe-a~c, qe-b-c; q) *
(4.6.2)
(4.6.2)
Пределы интегрирования n±ioo могут быть заменены на ±too, поскольку мы всегда деформируем контур интегрирования для того, чтобы разделить возрастающие и убывающие последовательности полюсов. Таким образом, из (4.6.2) следует, что
cosec (Trd)cosec (Trd)-J^j^jS^-W^’^^(i-d)”
cosec (Trd)
cosec (Trd)
(9°, 9Ь,9%ge~b-c,qe-c~a,qe-a~b;q)^ (qe~a,qe-b,qe-c;q)n4
(4.6.3)(4.6.3)1 Г” (^l^l^l^Lo .^9(n+1),(9',;9)n ds
(4.6.3)
(4.6.3)
^ij-ioo (qa+‘,qb+‘,qc+,',q)oo sin7rssin7r(d + s)(ge+,;g)„’
и поэтому почленное интегрирование приводит к формуле Агарвала [А7]
cosec (?rd)cosec (?rd)Уд^д^л1 4,4е °,9е ь,де с;д)оо{да,дь, дс, ge~b~c, qe-°-a, qe-«-b; q)^
cosec (?rd)
cosec (?rd)
' qA,qa,q\qc)ai)---)<ir .„ ,n-d qe-a,qe-b,qe-e,bi,...,br’q' q .
i Г°°
2vi J_iQO (q^8, q6*8, qc+8; q)^ sin irs sin ir(d + s)
q , Oi,..., or, q 8 e
A. b ae+8 l4’ q
vl> • • • ? uts 4
ds,
(4.6.4)
где e - \-Va-Vb-Vc-d^z\ < |9d| и предполагается, что справедливо (4.4.7).
Следовательно, если мы сможем просуммировать ряд в правой части (4.6.4), то можно найти более простое представление для ряда в левой части в виде интеграла по контуру. В частности, если мы положим
г = 4,е = 1 + Л,О1 = g1+^/2 = -а2,а3 = qd,a4 = qe,
bt=qA/2 = -b2,b3 = q1"<l*A1b4 = q1-e+A,z = q2-d-e+A,■
то получим совершенно уравновешенный ряд бф$, который может быть просуммирован по формуле (2.7.1). Это дает представление Агарвала [А7] в виде интеграла по контуру для совершенно уравновешенного ряда аФт-
8^7
• qA,q1+A#2,-qv'‘A/2,qa,qb,qc,qd,qe ■ BqAf\ „qA/lql+A-aql+A-b^ ql+A-C) ql+A-d, ql+A-e 'ЧЛ
= sin тг(а + b 4- c — A)
-b-t-c—A^ ql-t-A—a—b—c^ q] ioo (qH-^qHa-d^Sg
4~°, q^A-b^ q^A-c, q
oo
qi+A-e.q^
oo
oooo^^ J-i« (qa
oo
oo
irq8 ds
где В = 2 А- 2А — а — b — с — d - е, при условии, что Re В > 0 и
Если мы вычислим интеграл в (4.6.5), рассматривая вычеты в полюсах функции l/[sin7rssin7r(a + b + с — А + s)], лежащих справа от контура, то получим преобразование (2.10.10), выражающее совершенно уравновешенный ряд з^ через сумму двух сбалансированных рядов 4<^з- Вдобавок, если мы заменим A^d^e и а в (4.6.5) соответственно на А,А + </ — А,А + е — АиА + а- Аи затем выберем А + а + d + е = 1 + 2А, то интеграл в (4.6.5) не изменится. Это приводит к формуле преобразования Бейли (2.10.1), связывающей два совершенно уравновешенных ряда 3^7.
144144Базисные интегралы по контуру
144
144
Аналог формулы суммирования Бейлив форме интеграла по контуру
Заменив A^a^b^c^d^e в (4.6.5) соответственно на a,d,e,f,b,c, мы получим формулу
%W? (9®; qb,qc, qd,q^qh q,q) = sin ir(d 4- e + f - a) ^а^а, q% q^ qHa™d™% q^a^f, q1^^^; q)^ (9i 91+a—^ g^+a”c? q^a—<^ ^14-a—e^ gl-|-a—/^ gl-l-a —d—e—J. q^^
2тгг J-too(qd^8tqe^8yq^8>q)oQ sinxssinx(d+ e + / - a + s)
(4.7.1)
при условии, что ряд сбалансирован, т.е.
1 + 2a = b-V,c-V'd-V'€-V* f-(4.7.2)
Поскольку, согласно (4.7.2), 1 + 2(2b — а) = 5 + (6 + с — а) + (6 + d — а) + (5 + е — а) + (Ь + / - а), то отсюда следует, что (4.7.2) не изменится, если мы заменим a, с, d, е, / соответственно на 2Ь—а, b+c—a, b+d—a, b+e—a, b-Vf—a^ а b оставим неизменным. Тогда (4.7.1) дает
8W7 (92b^9V+c^9b+d^^^^= sinxc
(ф14-2Ь—a qbA-d—a^qb-Ve—a qb-t-f—a ^l+a—d—e ^14-a—d—/ 914-a—e—/.^^
1 r°° _(»^21!Ziiill21^^^^ ds
2^*i J-ioo (qb^d~~a^s,qb^e''a^9,qb^^''a^9;q)(X> sinxssinx(c — s)
, (g1*26-*, qb^a‘"a) qb^e-a)qb^J‘"a-q^
= sin,rc M^?^72^^
^lllliqll^llql^ f” G?1^;»)», ^qx*b-a1qw-\qw"",\q^t»2)rU-ioo (9d+,;g)oo
(9е4-8,97+»; 9)^ sin^(a - b + s)sinx(c + b— a - s)’
где второй интеграл получается из первого при сдвиге переменной интегрирования s —► a — 5 + з. Используя (4.7.1) и (4.7.3) и упрощая, получим
(91+a“\ 91+a“S 91+а“^ 9На“е, qHa-i\q^(q1"'"a,qM'l>qe,qf;q)Oo
•8W7(qa;qb,qc)qa,qe,qL,q,q)
Обобщения на комплексные q внутри единичного круга 145
\®(g1+26~a)g6+c-a^b+<d-aiq6+e-aigb-f-/-a. д)^
-8^7 ^b-^qb,qb*c-\qb+d-\qb+e-\qb+'-a;q^
,(q,qc,qb+c~a;q')<x>.
1 Г°° ^^222222:^^
^iJ-ioo (qd"'"*1qt"'"*,qH,;q)Oo sin its sin x(a - 6 + s)
.(4.7.4)
при условии, что выполняется (4.7.2)..
Вычислив приведенный выше интеграл с помощью (4.4.6), мы приходим к формуле суммирования Бейли (2.11.7)..
Формула Агарвала [А7]■
(9d+s,9e+s,^+s;^)oo sin 7rssin7r(a — 6 -Ь з)(9d+s,9e+s,^+s;^)oo sin 7rssin7r(a — 6 -Ь з)(9,91+°-\ qb-a, g1+a-d-e, q^»-^; q)(9,91+°-\ qb-a, g1+a-d-e, q^»-^; q)= cosec тг(а — b)= cosec тг(а — b)<qb1qc1qd1qe1qbiq^oo<qb1qc1qd1qe1qbiq^oo
(9d+s,9e+s,^+s;^)oo sin 7rssin7r(a — 6 -Ь з)
(9d+s,9e+s,^+s;^)oo sin 7rssin7r(a — 6 -Ь з)
(9,91+°-\ qb-a, g1+a-d-e, q^»-^; q)
(9,91+°-\ qb-a, g1+a-d-e, q^»-^; q)
= cosec тг(а — b)
= cosec тг(а — b)
<qb1qc1qd1qe1qbiq^oo
<qb1qc1qd1qe1qbiq^oo
* (gM-c-a^H-d-a ^+e-a,^ ’ I • * 7 где l+2a = 6+c+</+e+/, следует непосредственно из (2.11.7), если рассмотреть вычеты подынтегральной функции приведенного выше интеграла в полюсах, лежащих справа от контура, т. е. в точках s = тцЬ — а + п при п = 0,1,2,.... Таким образом, (4.7.5) дает интегральный аналог формулы суммирования Бейли (2.11.7). Интеграл в (4.7.5) сходится, если параметр q настолько мал, что на контуре справедливо неравенство
(4.7.6)(4.7.6)Re [s In q — ln(sin its sin тг(а — b 4- s))] < 0 для больших |s|.
(4.7.6)
(4.7.6)
Обобщения на комплексные q внутри единичного круга
Предыдущие базисные интегралы по контурам можно обобщить на комплексные q внутри единичного круга при подходящем выборе контуров. Для 0 < |^| < 1 положим
In q = - (wi 4- г^2 ), (4.8.1)
где = - In |^| > 0 и о>2 = —Arg q.
Следовательно, q = e^W1+,Va\ Тогда небольшая модификация доказательства из §4.2 (см. [W2]) дает возможность показать, что если О < |^| < 1 и |z| < 1, то формула (4.2.2) приобретает вид
2&(a,6;c;g,z)'
=/ -1 \ [ds, (4.8.2)
\2tri/ Jс vaq^bq^.q)^ sinirs
где С — направленный вверх контур, параллельный прямой Re(s(<vi + г^)) = 0 с небольшими отклонениями, оставляющими возрастающую последовательность полюсов подынтегральной функции в точках 0,1,2,... справа, а убывающие последовательности полюсов — слева от С.
Поскольку приведенный выше интеграл сходится при Re[sln(—z)— In(sinTrs)] < 0 на С для больших |s|, т. е. при
|arg(—z) - о^Г1 In |z|| < тг,(4.8.3)
то для выполнения (4.8.2) необходимо, чтобы z удовлетворяла (4.8.3). Это ограничение означает, что комплексная плоскость z имеет разрез в виде спирали с уравнением г = eV1 6^ в полярных координатах.
Точно так же при 0 < |д| < 1 контуры для qf-аналогов первой и второй лемм Барнса, рассмотренных в §4.4, и контуры для других интегралов в §4.4-4.7 должны быть заменены направленными вверх контурами, параллельными прямой Re(s(<vi 4- г^)) = 0 и содержащими отклонения для разделения возрастающих и убывающих последовательностей полюсов.
Другие виды базисных интегралов по контурам
Положим q = е w > 0, и допустим, что
(4.9.1)(4.9.1)р,2х _ («1 г, • • •, алг, Ьф,..., bB/z; q)^ (dz,...,ccz, dxlz,...,dB/z;q^
(4.9.1)
(4.9.1)
имеет только простые полюсы. В 1950-х гг. Слетер [S15, S16, S20] рассмотрела интегралы вида•
1т = ^т(А, В; С, D) —1т = ^т(А, В; С, D) —(4.9.2)(4.9.2)
1т = ^т(А, В; С, D) —
1т = ^т(А, В; С, D) —
(4.9.2)
(4.9.2)
с тп = 0 или 1. Однако здесь мы будем считать тп произвольным целым числом. Предполагается, что ни один из полюсов функции P(q8>) не лежит на прямых Ims = ^[и и что контур интегрирования проходит от —vk)w до гтг/ы и отделяет возрастающие последовательности полюсов при |Im s| < v/ш от убывающих.
Подставляя гв = —sw, интеграл 1т можно записать в «экспоненциальной форме»:Подставляя гв = —sw, интеграл 1т можно записать в «экспоненциальной форме»:
Подставляя гв = —sw, интеграл 1т можно записать в «экспоненциальной форме»:
Подставляя гв = —sw, интеграл 1т можно записать в «экспоненциальной форме»:
с соответствующими отклонениями в случае необходимости контура интегрирования. Аналогично, подставляя z = q8, мы получим, что
где контур К есть такая деформация положительно ориентированной единичной окружности, что полюсы 1/ (ciz,..., ccz; q)^ лежат вне контура, а начало координат и полюсы 1/ Ц\^..., Ad!^ q)^ лежат внутри контура. Частные случаи (4.9.3) и (4.9.4) были рассмотрены Аски и Роем [А 123].
Хотя каждый из приведенных выше трех типов интегралов может быть использован для вывода формул преобразования для базисных гипергеометрических рядов, мы в основном будем использовать интегралы вида (4.9.4), поскольку с ними проще работать, особенно если пытаться заменить предположение 0 < q < 1 (из [S15, S16, S22]) лишь на ограничение |^| < 1, которого мы и будем придерживаться в оставшейся части этой главы. •
Общие формулы для базисных интегралов по контурам
Основная задача этого параграфа — рассмотреть, какие формулы можно вывести применением теоремы Коши к интегралам 1т из (4.9.4).
Пусть |g| < 1, а 6 — положительное число, такое, что 6 / И>9П| при j = 1,2,..., D и 6 ^ ку^-и! при у = 1,2,...,С, причем и = 0,1,2,.... Пусть также См будет окружностью |z| = ^|д|^, где N — положительное целое число. Тогда См не проходит ни через один из полюсов функции P(z), и мы имеем
IP^) (6qN)m *| =IP^) (6qN)m *| =(«1#,..., адб, Ъх/6,..,, Ьв!6\ д)ж (^6, .. •, CC^s ^1/6, * • •» do! 6, 9)оо
IP^) (6qN)m *| =
IP^) (6qN)m *| =
^Ci^^^Cc^^/^^,^^(«16,..., адб, g6/dx,..., gb(dD; g^^Ci^^^Cc^^/^^,^^(«16,..., адб, g6/dx,..., gb(dD; g^
^Ci^^^Cc^^/^^,^^
(«16,..., адб, g6/dx,..., gb(dD; g^
^Ci^^^Cc^^/^^,^^
(«16,..., адб, g6/dx,..., gb(dD; g^
(4.10.1)
Поскольку Cn имеет длину порядка Odgl^), из (4.10.1) следует, что если 1 и*
D > В или если D = В и
тотоbv- bBqmbv- bBqm(4.10.2)(4.10.2)dx---dpdx---dp(4.10.3)(4.10.3)
то
то
bv- bBqm
bv- bBqm
(4.10.2)
(4.10.2)
dx---dp
dx---dp
(4.10.3)
(4.10.3)
Отсюда, применяя теорему Коши о вычетах к области, лежащей между К и On для достаточно больших N^ и устремляя N к оо, мы устанавливаем, что если D > В или D = В и выполняется (4.10.2), то 1т равен сумме вычетов функции P^zm~x в полюсах 1/ (di/z,... ^dp/z^ q^. Поэтому, поскольку ' '
n = 0,1,2,...,(4.10.4)n = 0,1,2,...,(4.10.4)н ./1\(-l)"dg2n+(2)
n = 0,1,2,...,(4.10.4)
n = 0,1,2,...,(4.10.4)
Residue I ту: г— I = ~ г— z = dqn V V4 z^ q)oo /(g; q)nVq; q)oo
отсюда следует, что
j (®i^i, • • • > дa^i т ^i/^i? • • • > bB/dx^ q^QQ ^mm lA^idi^.M^cdY^ldi^.^dDldi^q^ 1
+ idem (di;d2,...,</£)),+ idem (di;d2,...,</£)),у (cidX)... ,ccdx>qdx/bXl.. .^qdi/b^q^
+ idem (di;d2,...,</£)),
+ idem (di;d2,...,</£)),
(4.10.5)
если D > В или если D = В и выполняется (4.10.2).
Кроме того, рассматривая вычеты функции P^zm~x вне К или используя лишь инверсию z —► z-1 и переобозначив параметры, мы получим
j (^1^1 > • • • > ЬВСХ, Qi /ci, • • •) О-а! С\\ 9)оо ^—тп •(9? d\C\,. • ►, dpc^ t c^lci,..., Cc jC\, q^QQ
■уч (diCi,..., dDcx sqcxlav,...s дс^ад; q)n
(9, bxcr,..., ЬвС1^сг/с2>..., qcx/cc\ qX .
.(чу -аАд-тУ
V/\ Cl •••Cc/
+ idem (ci;c2,...,cc),(4.10.6)
если С > А или если С = А и
(4.10.7)(4.10.7)“i • • aAq~m
(4.10.7)
(4.10.7)
В частном случае, когда С = А, мы можем, используя ^-обозначения, записать (4.10.5) в виде
Г R* Л — 32A^L122J2^^22^!ll^!2i^^
W,H,A,V)- ^Cldu...,CAdl,d2ldl,...,dDldV,q)oo 1
•А+В Фа-VD-X•А+В Фа-VD-Xcidll...<,cAdi1qdi/bi,...,qdilbB а xD-b aid1,...1aAdi1qdi/d21...,qdildD’q’
•А+В Фа-VD-X
•А+В Фа-VD-X
(4.10.8)(4.10.8)4-idem (d^ d2,..., dp),
(4.10.8)
(4.10.8)
где t = bib2 • **bBqmfdi • • - dp, если D > В или если D = В и выполняется (4.10.2).
+ idem (ci;c2,... ,сс),+ idem (ci;c2,... ,сс),Аналогично, в силу (4.10.6) при D = В мы имеем
+ idem (ci;c2,... ,сс),
+ idem (ci;c2,... ,сс),
(4.10.9)
если С > А или если С = А и выполняется неравенство (4.10.7), где и = al '**aAq~mlci--cc.
Вычисления интегралов 1^ которые вытекают из этих формул, будут рассматриваться в §4.11.
Из (4.10.8) и (4.10.9) следует, что если С = А и D = В, то мы имеем формулу преобразования
Cidi,..., cAdi , qdi bxCidi,..., cAdi , qdi bx(^ldi,..., a Adi,5i/di,...,Ьв/di^ q)^ ^m (cidi,..., cAdi у d2ldi,..., dp/d} j 9)00
Cidi,..., cAdi , qdi bx
Cidi,..., cAdi , qdi bx
•a-vb Фа-vb-x•a-vb Фа-vb-x...^qdi/bs by-bBqm aidi1...aAdi,qdild21...,qdildB'4’ dv-dB
•a-vb Фа-vb-x
•a-vb Фа-vb-x
+ idem (di;d2,... ,dp)
ai.. - aAq7mC1*"CAai.. - aAq7mC1*"CA(4.10.10)(4.10.10)(diCi,..., dpCi,c2/ci,..., cA/ci \ 9)00
ai.. - aAq7mC1*"CA
ai.. - aAq7mC1*"CA
(4.10.10)
(4.10.10)
‘A-vb Фаа-в-х‘A-vb Фаа-в-хdiCi,..., dpci, qci(Oi,..., qci/aA.biCi,..., ЬвС1^С1/с2,..., qcifcA '4
‘A-vb Фаа-в-х
‘A-vb Фаа-в-х
+ idem (ci;c2,.. .,сл)
при условии, что |6i •••bBqm\ < |di • • - dp), |ai • • •aAq”m\ < [ci • •-сл| и m = 0,±l,±2,....
В некоторых приложениях удобно использовать переменную z в аргументе ряда, которая не зависит от параметров ряда. Этого можно достичь, заменив АнаА + 1,ВнаВ + 1в (4.10.10) и полагая 6p+i = z и ‘ /~ п ^*^ п^птом случае те же самые рассуждения с (4.10.5) и
в случае m = 0 приводят к довольно общей формуле преобразования._
(ог^^^ (cidi,... 'Ccdx^/dx,.. .^dnldx^ q^
^ (q, aidi,..., aAd\ .qdx/diy .,qdxldD\ q)n
'\ “1 * */
4-idem (di; d2l... ,dD)
_ (&1Сь-22&£^^
^d^cx,. • • , dpcx, С2/ci,..., Co/ci, 9)00
. v J^i£ujliii?^££li1£iZ^^
“(q1biCi,...,bBcllqci/c21..., qcx / cc; q)n
. ^-С1<,("+1)/2Г(с"л"1) f»i - »Aq\n
\ ■/\ci---ccz)
(4.10.11)(4.10.11)+ idem (ci;c2,...,cc),
(4.10.11)
(4.10.11)
где для сходимости должны выполняться условия
(О(ОD > В* 1D > В* 1плиплиD = В 4-1 иD = В 4-1 и61 • • • bBzdx • • - do61 • • • bBzdx • • - do< 1< 1и(ii)и(ii)С> А +1С> А +1илиилиС = А 4-1 иС = А 4-1 и^1 * * * ^лдCi • -CcZ^1 * * * ^лдCi • -CcZ< 1.< 1.
(О
(О
D > В* 1
D > В* 1
пли
пли
D = В 4-1 и
D = В 4-1 и
61 • • • bBzdx • • - do
61 • • • bBzdx • • - do
< 1
< 1
и
(ii)
и
(ii)
С> А +1
С> А +1
или
или
С = А 4-1 и
С = А 4-1 и
^1 * * * ^лд
Ci • -CcZ
^1 * * * ^лд
Ci • -CcZ
< 1.
< 1.
Это формула (5.2.20) из книги Слетер [S22]. Отметим, что, заменив в (4.10.11) z на 2?gm и используя тождество
(qd/zqm,zqm/d-.q)^ = (-l)m(<//z)mg'(”)('gd/z,2<l;g)oo, (4.10.12) мы получим из {4.10.11) формулу, которую можно было бы вывести, используя (4.10.5) и (4.10.6) с т, являющимся произвольным целым числом.
Некоторые дополнительные обобщения бета-интеграла
Аски и Рой [А123] использовали формулу суммирования Рамануджана (2.10.17)) чтобы показать, что,
1 Г (ce^/^ge^/ca^cae^g^^
2тг /_„^^be^^e-^^e"46-^^
_ (abaP, с, qjc, са/0, qPlca; q^
(аа, аР, ba, bp, q; q)^’^ ‘ '
где max(|g|, |а|;|6|, |а|, |/3|) < 1 и саР / 0; они обобщили этот результат на интеграл вида
1 Г <«(0, qz/ca, ca/z, q0[cz; q^ dz
2TiJK (аг,Ьг,а/г,0/г,^)ж z
(aba/3, c, g/c, ca/Д q0lca-, g)»/'4119')
(aa, a0, Ьа, b0, q; д)ю *‘'
где aa,aP,ba,bp / Q~n,^ = 0,1,2,.. .,caP / 0 и контур К есть деформированная единичная окружность, определенная в §4.9. Эти формулы можно вывести из (4.10.8) при А = В = D = 2, m = 0, если подставить 01 = с/Р,й2 = qjca,bx = са^ = qP(c,cx = а,С2 = b,di = а и d2 = Р, а затем воспользоваться формулой (2.10.13) для суммирования двух рядов 2Ф1, возникающих в правой части. Аски и Рой [А123] показали также, как можно получить бета-интеграл Барнса^ (4.1.2) в качестве предельного случая (4.11.1)..
Аналогично, применение формулы суммирования (2.10.11) к (4.10.8) в случае А = 3, В — D = 2, m = 0 дает
г^
^^ Jk (az,bz,cz,a/z,0lz-,q')oa z
= (7/й, д«/7,7/1. 40 И, 8/а, 8/Ь, 8 / с; д)^п
^aa,a0,ba,b0,ca,c0,q\q>)oo '' '
где 6 = abcap, аЬсар^ / 0 и.
aa,aP,ba,bp,ca,cP ^ q-n, п = 0,1,2,....
Отметим, что (4.11.2) следует из (4.11.3) при с —► 0.
Помимо этого применение формулы суммирования Бейли (2.11.7) приводит к более общей формуле
у (za^,—zai,qazjb,qazlc,qazld,qazlf*,q\■
^i Jkyqza^,—qza^bz,cz,dz, fz;qj'
e (^/тЛ2/2^12/^^^^
(aaz, aPz, a/z, P/z; q^z
(7/a, qal^llP. дР1ъ ад/cd, aq/bd, aq/bc, aq/bf, aq/cf, aq/df; q)^ (aap, ba, ca, da, fa, bp, cP, dp, fP, q; q^’
(4.11.4)
где aq = bcdfaP,bcdfaPy / 0,
aaP,ba,ca,da,fa,bp,cP,dp,fP ^ q""n, n = 0,1,2,...,
и контур К такой же, как в §4.9 (см. [G26]).
Преобразования Сирзадля вполне уравновешенных рядов
Сирз [S7, (7.2)] использовал различные преобразования вполне уравновешенных рядов для вывода следующей формулы преобразования:
(gai(ам*гд«1 /а2М, д1ам*гд1<Чм\ai, ~а|,gki,-9?ai!«)
(si,..., ам4-1, o2/oi,..., «м4-1 /°1 ? Ч)о6
,О1, О2,. .. ,О2д/
•1мФ1М-\ [gO1/a2,...,gai/a2M’9, ^
(да2/ам+2, • • •1да11агм-,да11а1ам+1т • •, gai/a2a2M ■ д)оо(О1/о2,О2,Оз/о2,. • ♦ >Ом+1/о2,о|/О1,О2О3/О1, • • •, О20^4-1/а1 ?)оо
• (а^/а2,-а|/а2,да2/а^,-да2/а|;д^
,o|/oi,o2,a2a3/oi,... ,о2о2д//о1
qa2/abqa2/a3,...,qa2/a2M ’’~Ж]
+ idem (о2;о3,... ,о2М),(4.12.1)
где х = (goi)^/oio2 • • -а^м- Слетер [S15] заметила, что эта формула может быть также выведена из (4.10.10), если положить А = В = MA-l^m = 1, выбрать параметры так, что Р^ из (4.9.1) превращается в
(да^/ам+г,... ,gai/za2M,gza^, -gza^g^
,(«i^, ...,ам+1г;д)м
(g/zaM+2,.. • ,g/za2M, l/za|, -l/za|;g)
• l-Zoo f (4.12.2)
(l/z,a2/zai,...,aAf+1/za1;g)00
а затем использовать тот факт, что
(а, —а, g/а, -д/а; д)^ - а2(да, -да, 1/а, - 1/а; q^
= 2(а, -а, д/а, -д/а; д)^,(4.12.3)
для объединения членов с одинаковыми рядами 2мФ2М-г-
Точно так же, полагая А = В = М + 2 и т = 1 в (4.10.10) и выбирая параметры так, что Р^ в (4.9.1) становится равной
(goiх/ам+ъ...... ,ga2z/a2M,gza^,-gza^ ,z(qax^^z^gax^,q^
(q/гам+з, • • •, g/za2My 1/zaf,-1/za^, q^/za^, -q^z^i ; g)
мы получаем
(№/?!^М±3111115^^^
(а2, • • •, ам4-2, о2/oi,..., a-Mvdax > 9)оо
,ai)a2,...)a2M
(w/om-H^i»^^^
(oi/fl2>03/02,.. • ,0^4-2/02,0203/01,..., а2 0^4-2/01; q)^
(oi/oi^Oi/0!^)*)[0^/01,02,0203/0!,
(a2,a|/ai;g)oo 2М 2М~1 [ ga2/oi, до2/о3,.
.sa2a2Mla-i
Ла21а-2М '
+ idem (а2;а3,... .,0^4-2),
(4.12.5)
где ж = (qai)M (а^ • • *О2м, что представляет собой формулу (7.3) из [S7].
Наконец, если мы возьмем А = В = М + 2 ъ т = 1 в (4.10.10) и выберем параметры так, что Р^ из (4.9.1) становится равной
^ajz/ам+з, • • •, qaiz/a2M+x, qzai,-qza^, ±giza^; q^
(iatz,...,aM+2z;q>)oo
ам+з, • • •, q/za2M+i, "Mza^,-l/za^, ±q^zaf; q^(1/z, a2/zaj,..., ам+2/zai; q^
(4.12.6)
то получим
(№/^aw>jjj2^lZ^1±12_5/^^^
(01,..., ал/+2, a2/ai,..., aM^l^x5 q)oo
• ("1. -»Lq/4>-q/°i. ±(019)*, ±(9/01 )h 9)
X/00
,ai,a2,...,a2Af4.i
•^M*lф2MVqalja2,...,qal/a^м+l'q’T1,.
= a2-^^-^-^-:^^:^^:^
(01 /a2, a3/a2,..., a^^l^, «2,02/ai, ага3 /ai,..., а2ад/4-2 /01; q^
• f«i /o2, -a^(a2,?o2/a^, -?a2/af, ±a2(g/ai)4, ±(gai)i/02; q\
\/00
aj/ai, 02, a2a3/oi * 2М-^1Ф2М
qa2lax,qa2la^
4- idem (o2; a3,...,0^4-2),
•,O2O2Af4-l/Ol
sqa2(a2MA-x
где у = (qa!)M^^/ai • • -o2m+i; это формулы (7.4) и (7.5) из [S7].
(4.12.7)
Упражнения 4
Пусть Re с > О, Re d > 0 и Re(z 4- у) > 1. Покажите, что бета- интеграл Коши [С 17]
L Г ds = г(я + у - i)(i + afcy-^i + ciay-1
(с+а)Г^Г^(с+а)Г^Г^2iri J-ioo (1 + cs)z(l - dsy
(с+а)Г^Г^
(с+а)Г^Г^
имеет q- аналог вида
1 Г°° (-c^ydsg^-g)^ ds
2xij_ioo (-сзуаз-уд1),»
_ Г,(ж + у - 1) (1-сд1/а1 -dg^g^г«(а:)г?(») (с + dX-cg/a, -aglc; q^'
где 0 < q < 1.
(Вильсон [W19])
Докажите, что
2xi J_ioo (qc+1, д’***, ye+1, -у»*1*’, -д«-2Ь+.. д^
irq8 ds
sin its sin л(с 4-<f4-e-a4-s)
qc-H-Ve-a ql-Va-c-d-eUa-b.
cosec ir(c -V d A- e — a)7-7-7-—7—
(-q^^b^ _qa^ gl+a-c^ qHa-d^ q^-e, q^
40W9 ^qa;iq1^a^2,-iqi^a^2)qb)-qb;qc)qd)qe;q1—qWa 2b c d
где 1 4- 2a - 2b > c 4- d 4- e.
Покажите, что
ac, be, ad
abcg,acdh
(q, ac, be, ag, bg, ch; q)^
Ui q/fi efi9i qqkL a-beg, aedh; q)^
2л j_v^ae*8 ,be'8,heie ,ce-i6 ^e-^*^^2л j_v^ae*8 ,be'8,heie ,ce-i6 ^e-^*^^1 Г Uei8lq^e'6lc$,aheie,gge ielf,cfe ie‘,g)ao 1 —— —
2л j_v^ae*8 ,be'8,heie ,ce-i6 ^e-^*^^
2л j_v^ae*8 ,be'8,heie ,ce-i6 ^e-^*^^
155155Упражнения 4
155
155
Докажите, что
1 Г ^fex6 укех6 !dyqde-x9 ]куСке-х9 yqex9 ]ckyobcdghex9 jfyq^
2тг(aei9 ,be'9 yCe~t9 yde~'9, ge'9 yhe^q)^
_ (kyq/ky ck/dy qdjcky cfy dfy acdg, bcdg, cdgh, abcdh/ f; q)^ (q, ас, ad, be, bdy eg у dg, ch, dgh, cdjg; q)^
• sW^cdJg/q; cd, dg, f/a, f/b, f/g; q, abcdh!f).
4.5. Докажите, что[q-n yabcdqu-x уйех9 уйе-х9 abyttCyttd4.5. Докажите, что[q-n yabcdqu-x уйех9 уйе-х9 abyttCyttd=(9; 9)00M, 9^9).=(9; 9)00M, 9^9).^aex9 у bex9 у cex9,y q)^aex9 у bex9 у cex9,y q)' 2 €^*^' 2 €^*^22
4.5. Докажите, что
[q-n yabcdqu-x уйех9 уйе-х9 abyttCyttd
4.5. Докажите, что
[q-n yabcdqu-x уйех9 уйе-х9 abyttCyttd
=(9; 9)00
M, 9^9).
=(9; 9)00
M, 9^9).
^aex9 у bex9 у cex9,y q)
^aex9 у bex9 у cex9,y q)
' 2 €^*^
' 2 €^*^
2
2
’ay qtae1®-^, aq^ex9 ^gie1^ x9[Gyttbce1^[a\q^’ay qtae1®-^, aq^ex9 ^gie1^ x9[Gyttbce1^[a\q^
’ay qtae1®-^, aq^ex9 ^gie1^ x9[Gyttbce1^[a\q^
’ay qtae1®-^, aq^ex9 ^gie1^ x9[Gyttbce1^[a\q^
2тг J_T^ae^Jaybe^(Gyte^ 1ауаех9-х^уОе~19-г^^\
(dae^ybc’yqA /a•
(аЬсе'ф!ayad\q)n \a )
для n = 0,1,2,....
Докажите, что
-1 (ag/e,«g//,fl9/9. Q9//i,9/oe,9/0/>9/0Sr,9/o/i;9)oo (qa2 yab^aCyadyb/ aye/ayd/a'^q)^
• 10^9 ^a2; abyttCyttdу ae,afy agyah; qyCp/abcdefgh}
+ idem (a; by c, d) = 0,
где |^3| < \abcdefgh\.
Докажите, что
(a^76bjaig/6222112^^^
(qa^y aia2,..., агаТу a2/a1y...y ar/a^q)^
Покажите, что
1 Г~ (~сздп^х, Ms,аз; д)рр ^2ж« J_ioo (-cs,ds,basqn-;q)oo
_ _J:^-aJc2-bdfc\q)^__^
~ (с + dX-dqfc,—ba/cq-,q^ (q, -cq/d-,q)n’
где Re(c,d,5a) > 0 и n = 0,1,... . Покажите, что g-бета-интеграл Коши из упр. 4.1 следует из этой формулы, если устремить п кос и затем подставить b = gv,a = —cqx.
Обобщите интеграл из упр. 4.8 на
1 Г~ {—асз^асз1а^ас2з1fi^ac2 з/^ ^ас2з/^ас2 з/X'^q)^
2тгг J^ioo(-cs^ as> 0> Hsi #5, Аз; g)oo
(a2c2s2\
• I 1J as
\ q )
(°/^> —oc/a, —ас/fl, —ac!^ —ас/8, —ac/X; q^cVq1-alc1-Plc,-'ilc,-6lc1-Xle,q\X)
_^дЧ<цаеЧа^^
l-cqla^-cqlP^-cqh^-a^^laP'iq^qV
где Re(c, й,/?,7,6, A) > 0, a3c5 = —a/^SAg2, ac = —Ag”+1 и n = 1,2... .
Покажите, что
1/ (g2^/aa7,g2z/6a7,g2z/ca7,7/z;g)oo 1 - ^2/a7
~—: I ::;;aZ
2тг: Jr(azybz^czya/z^qjooz
_ («7,67-67,09/7; 9)oo
(aa,6a,ca,g;g)oo ’
где q2 = abcaq2, |7/a| < 1 и контур К определен, как в §4.9.
Покажите, что
при условии, что |7/а| < 1, где m,mi,... ,тпг — неотрицательные целые числа, q = a^qm*mi***’*mT и К определен, как в §4.9.
Покажите, что
1 2тгг1 2тгг(~асз,<1дз; д)оо (-сз,^;^(~асз,<1дз; д)оо (-сз,^;^(^l5? ?)mi(^l5? ?)mi• • (dpSi ?)mr ds• • (dpSi ?)mr ds^~ac(d\q^^~ac(d\q^^c-Vd^-cqld^q^^c-Vd^-cqld^q^^a\jd\ q)mi^a\jd\ q)mi* tfir!d; q)mr* tfir!d; q)mr
1 2тгг
1 2тгг
(~асз,<1дз; д)оо (-сз,^;^
(~асз,<1дз; д)оо (-сз,^;^
(^l5? ?)mi
(^l5? ?)mi
• • (dpSi ?)mr ds
• • (dpSi ?)mr ds
^~ac(d\q^
^~ac(d\q^
^c-Vd^-cqld^q^
^c-Vd^-cqld^q^
^a\jd\ q)mi
^a\jd\ q)mi
* tfir!d; q)mr
* tfir!d; q)mr
при условии, что |ag~<mi+‘”+mr)| < 1, Re (c,d,ai,--*,ar) > О и mi,..., mT — неотрицательные целые числа.
Покажите, что'
1 Г°° (-acs,-ac2//, ac^s/a^ac^s/p^q^oo
2irt J-ioo .(-“, -fs^ as, 0»; <?)oo
(^з/ТдОС^/г^оо _2 г//Л л.
(7S,<s;»)oo\7
_ (a/?, ac//, -ac/a, -ac/0, -ach, -acj6\ q^
c(9, //c, -a/c, -/?/c, -7/c, -5/c; »)oo
. -(^/^acVa^ac^/aTV^/^T^q^^
V-cq!«, -cq/p,-cqli, -a^^la^q; g)n
' , каеЧРч^ aclf,-ac2lfa,-асЧЩ, -ac^h,-ac1!fb-^q^ Kq, cM, -«If, -0M, -1И, -61 f-, q^
. {pq^l^^l^y ac2/a7.ac2/07;9)n (-fq/a, -fq/0, -fqh. -a^c^lfa^q-, q)n
при условии, что ас = /q^ta^c5 = fafl^Sq2, Re (c,/,a,/?,7,<) > 0, подынтегральная функция имеет только простые полюсы и п = 0,1,... .
(По поводу формул в упр. 4.8-4.13 и связанных с ними формул см. [G26].)
Примечания 4
. Калнинс и Миллер [К14, К15] использовали «методы симметрии» (рекуррентные соотношения), подобные тем, которые применялись в работах [N7]-[N9], чтобы привести другие доказательства формул (4.4.3) и (4.11.1).
. Интегралы по контуру такого же типа, как и рассмотренные в этом параграфе, были использованы Агарвалом [А8] для простых доказательств двучленных и трехчленных формул преобразования для ряда 807-
. Сирз [S5] вывел также гипергеометрические предельные случаи для формул преобразования из этого параграфа. Приложения преобразования (4.12.1) к некоторым формулам теории разбиений приведены в [J30].
ДВУСТОРОННИЕ БАЗИСНЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕРЯДЫ
Обозначения и определения
Двусторонний базисный гипергеометрический ряд общего вида, имеющий базу q с г параметрами числителя и з параметрами знаменателя, определяется формулой
В (5.1.1) предполагается, что q, z и параметры таковы, что каждый член ряда корректно определен (т. е. сомножители знаменателя никогда не обращаются в нуль, q / 0, если з < г, и z / 0 при наличии отрицательных степеней z). Отметим, что двусторонний базисный гипергеометрический ряд представляет собой ряд вида У^-..^ vn, такой, что vq = 1 и отношение Vn^/vn есть рациональная функция от qn. Применяя (1.2.28) к членам с отрицательным п, получим, что
ОО r^(z) = п=0ОО r^(z) = п=0(«Ь«2,-(61,62,.(«Ь«2,-(61,62,.2±Щ;. (_1)(*-0»?(»-’-)(")г» , 6»; ?).2±Щ;. (_1)(*-0»?(»-’-)(")г» , 6»; ?).У' (q/febg/^,. .,g/6,;g)n / byb, —^ (9/в1,9/«2,...,9/аг;»)п \«1 - arZУ' (q/febg/^,. .,g/6,;g)n / byb, —^ (9/в1,9/«2,...,9/аг;»)п \«1 - arZпп(5.1.2)(5.1.2)
ОО r^(z) = п=0
ОО r^(z) = п=0
(«Ь«2,-(61,62,.
(«Ь«2,-(61,62,.
2±Щ;. (_1)(*-0»?(»-’-)(")г» , 6»; ?).
2±Щ;. (_1)(*-0»?(»-’-)(")г» , 6»; ?).
У' (q/febg/^,. .,g/6,;g)n / byb, —^ (9/в1,9/«2,...,9/аг;»)п \«1 - arZ
У' (q/febg/^,. .,g/6,;g)n / byb, —^ (9/в1,9/«2,...,9/аг;»)п \«1 - arZ
п
п
(5.1.2)
(5.1.2)
Пусть R = |&1 • --Ьз/а^ • • -аг|. Если з < г и |#| < 1, то первый ряд в правой части (5.1.2) расходится при z / 0; если з < т и |g| > 1, то первый ряд сходится при |z| < Я, а второй ряд сходится при всех z / 0. Когда т < з и |^| < 1, первый ряд сходится при всех z, а второй ряд сходится, только когда |z| > R. Если г < з и |g| > 1, второй ряд расходится при всех z / 0. Если г = з, а это является наиболее важным случаем, и |^| < 1, то первый ряд сходится при [г[ < 1, а второй — когда |z| > R. С другой стороны, если |g| > 1, то второй ряд сходится при |z| > 1, а первый — при |z| < R. ‘ •
В этой главе мы будем предполагать, что |^| < 1, так что область
сходимости двустороннего ряда
ООrlMz) = 52ООrlMz) = 52(dl, . . , , dr, 9)71 (^17 • • • 7 ^Г) ^)n(dl, . . , , dr, 9)71 (^17 • • • 7 ^Г) ^)n
ОО
rlMz) = 52
ОО
rlMz) = 52
(dl, . . , , dr, 9)71 (^17 • • • 7 ^Г) ^)n
(dl, . . , , dr, 9)71 (^17 • • • 7 ^Г) ^)n
< И < 1.< И < 1.есть круговое кольцоесть круговое кольцоb\•• *ЪТ di••-агb\•• *ЪТ di••-аг(5.1.3)(5.1.4)(5.1.3)(5.1.4)
< И < 1.
< И < 1.
есть круговое кольцо
есть круговое кольцо
b\•• *ЪТ di••-аг
b\•• *ЪТ di••-аг
(5.1.3)
(5.1.4)
(5.1.3)
(5.1.4)
При bj = q для некоторого j второй ряд в правых частях формул (5.1.2) и (5.1.3) обращается в нуль, а первый ряд становится базисным гипергеометрическим рядом. Если мы заменим в (5.1.1) индекс суммирования п на к 4- п, где к — целое число, то получим
гФ»гФ»«1,.«1,., dr7., dr7.
гФ»
гФ»
«1,.
«1,.
, dr
7.
, dr
7.
(di,...,ar;q^k к(51,...,5,;д)ь(di,...,ar;q^k к(51,...,5,;д)ь(-l)*g(*)(-l)*g(*)s—rs—r
(di,...,ar;q^k к
(51,...,5,;д)ь
(di,...,ar;q^k к
(51,...,5,;д)ь
(-l)*g(*)
(-l)*g(*)
s—r
s—r
* гФ»* гФ»'<Mk,.biqk,'<Mk,.biqk,,.-,arqk k(s-r) к k’4'z4••,b,q,.-,arqk k(s-r) к k’4'z4••,b,q(5.1.5)(5.1.5)
* гФ»
* гФ»
'<Mk,.biqk,
'<Mk,.biqk,
,.-,arqk k(s-r) к k’4'z4
••,b,q
,.-,arqk k(s-r) к k’4'z4
••,b,q
(5.1.5)
(5.1.5)
При малых значениях т и s мы часто будем использовать обозначение в одну строку
г^»,(г) = г^,(а1,...,аг;51,...,Ь,;д,г).
Ряд тфт будет называться вполне уравновешенным, если di&i = 02^2 = ••• = arbT, и совершенно уравновешенным, если он вполне уравновешен и di = -d2 = qbx - -qb2.
Сумма Рамануджана для гф^а; b; q, z)
Двусторонняя формула суммирования
1^1 (a; b;q,z^ =1^1 (a; b;q,z^ =(q,bla,az,qlaz-, q^(6, q/a, z, b[ az; q)00(q,bla,az,qlaz-, q^(6, q/a, z, b[ az; q)00|Ь/а| < И < 1,|Ь/а| < И < 1,(5.2.1)(5.2.1)
1^1 (a; b;q,z^ =
1^1 (a; b;q,z^ =
(q,bla,az,qlaz-, q^(6, q/a, z, b[ az; q)00
(q,bla,az,qlaz-, q^(6, q/a, z, b[ az; q)00
|Ь/а| < И < 1,
|Ь/а| < И < 1,
(5.2.1)
(5.2.1)
которая является обобщением g-биномиальной формулы (1.3.2), была впервые получена Рамануджаном (см. [НИ]). В гл. 2 мы убедились, что эта формула представляет собой частный случай формулы суммирования Сирза (2.10.12) для ряда ^ф^. Эндрюс [А41, А42], Хан [НЗ], М. Джексон
Сумма Рамануджана для i ф\ (а; 6; ^, z)161
[J32], Исмаил [12] и Эндрюс и Аски [А72] опубликовали различные доказательства формулы (5.2.1). Доказательство, приведенное здесь, принадлежит Эндрюсу и Аски [А72].
В качестве первого шага рассмотрим гф^сцЬ^г) как функцию от 6, скажем /(5). Тогда
/(&) = i^i(a;6;g,z)
= g ^ zn + ^ ЙМ Waz^(5.2.2)
так что, согласно (5.1.4), оба ряда сходятся при |6/а| < |z| < 1. Очевидно, /(5) как функция Ъ является аналитической для |6| < min(l,|az|) при |z| < 1. Поскольку
ifa(a;b;q,z)-aiiMa;b;q,qz)
V' ((«;q)n aqn(a;q)n'l „ „^U^)» Mn J
_ v^ (o;9)n+i n
= z-1(l - b/q) i^i^blqxq^zY
мы получаем
/W~z 1^-b)f(b) = ai^i(a;bq;q,qz\(5.2.3)
Однако
«i^i(a;6?;9,9z)
-^Г1"(S.2.4)
= -аЬ-Ч1-ЬЖЬ) + аЬ-гДЬчУ
Комбинируя (5.2.3) и (5.2.4), получим функциональное уравнение
^-ab-^HbqV^-bX^-ab-1^,
или
11—1449
Повторяя (5.2.5) п — 1 раз, получаем
/№ =/№ =(ь/р;g)n(6, b/az; д)„(ь/р;g)n(6, b/az; д)„/(»»")./(»»").(5.2.6)(5.2.6)
/№ =
/№ =
(ь/р;g)n(6, b/az; д)„
(ь/р;g)n(6, b/az; д)„
/(»»").
/(»»").
(5.2.6)
(5.2.6)
Поскольку /(Ь) является аналитической функцией для |6| < min(l,|az|), то при п —► оо мы приходим к формуле
(5.2.7)(5.2.7)№=(^^~
(5.2.7)
(5.2.7)
(d, о/ az^ q)ОО
Однако, так как, согласно (1.3.2),
ОО/(g) = Еп=0ОО/(g) = Еп=0(Q? ф)п п(g; д)«(Q? ф)п п(g; д)«(аг; »)«(г;д)оо ’(аг; »)«(г;д)оо ’
ОО
/(g) = Е
п=0
ОО
/(g) = Е
п=0
(Q? ф)п п
(g; д)«
(Q? ф)п п
(g; д)«
(аг; »)«
(г;д)оо ’
(аг; »)«
(г;д)оо ’
то, подставляя b = q в (5.2.7), мы получаем, что
/fnx (9, g/аг; »)оо ,,х(q,q/az,az-,q)<»
JW = ”777777Дд) = " 7777'77 VQf^i ^)оо(<Z/a> 2, 9)оо
Подставляя эту постоянную в (5.2.7), мы получаем формулу (5.2.1).
Тождество Якоби (1.6.1) для тройного произведения есть предельный случай суммы Рамануджана. Замена в (5.2.1) а и z соответственно на а”1 и az дает.
£=(5М)
W^b(b^aq.az.b/z^q)^
при |6| < |^| < |а х|. Подставив теперь b = 0, заменив q на q2, 2г на zq^ при a —► О получим (1.6.1)..
Сумма Бейли для совершенно уравновешенного ряда 6^6
Бейли [В5] доказал, что
^ ^ai,—gai,6,c,d,eqa? *•
Ya^,-a^,aq/b,aqlc,aqld,aq/e’ ’ bcdej(5 3 1)
__ (ag, aq/bc, aq/bd, aq/be, aq/cd, aq/ce, aq/de, q^ q/a; q)^
(aq/b, aq/c, aq/d, aq/e, q/b, q/c, q/d, q(e, qa2/bcde\ q^.
при условии \qa2 jbcde\ < 1. Поскольку этот ряд 6^6 сводится к совершенно уравновешенному ряду ^Фь^ когда один из параметров 6, с, d, е равен а, то (5.3.1) можно рассматривать как обобщение формулы суммирования (2.7.1) для ряда 6^5 .
С^умма Бейли для совершенно уравновешенного ряда 163
Известно несколько доказательств (5.3.1). Доказательство Бейли существенно опирается на тождество
^ад/ d, ад/е, ад/ f, д/ad, 9/ае, д/af; 9)00 а(да2, ab, ас, b/а, с/а; д)^(5.3.2)
'• gW7(a?;ab, ас, ad, ае, af; д, ^(abcdef) 4- idem (а; b, с) = О,
справедливое при \д2 /abcdef\ < 1, которое легко доказать, воспользовавшись ^-интегральным представлением (2.10.19) для ряда 8<^т (см. упр. 2.15). Если мы подставим с = д/а, то первый и третий ряды в (5.3.2) совместно дают, согласно (5.1.3),. .
■(Qg/^> ад/е , °5//^ д/а<Ъ 9/ае> ч/af; 9)00 1'
4да2,д/а2,д,аЬ,Ь/а;д)оо
да, — ga,ab, ad, ae,afд
6 6 _а,— a,ag/b, ag/d,ag/e, ag/f'^ bdef ’
тогда как по формуле (2.7.1) второй ряд сводится к'
Г b2,bg,—bg,bd,be,bf д "6 5 .bi—b,bg/d,bg/e,bgl’f'^’ bdef.
(Ьд/d, bg/e, bg/f, g/bdef; g^ *
Заменив a2, ab, ad, ae, af соответственно на a, b, c,d,en используя везде один и тот же квадратный корень из а, мы получаем (5.3.1).
Слетер и Лакин [S23] привели одно доказательство формулы (5.3.1) с помощью интеграла типа Барнса, а второе — с помощью ^-разностного оператора. Эндрюс [А48] дал более простое доказательство, а Аски [А 100] показал, что его можно получить из простого разностного уравнения. Простейшее доказательство было дано Аски и Исмаилом [А117], которые использовали лишь сумму (2.7.1) для ряда 60s и рассуждения, опирающиеся на свойства аналитических функций.
Поставляя е = ai в (5.3.1), получим
. — gai, Ь, с, d gai-
—аз, ag/b, ад/с, ag/d оса
_ (дд, aq/bc, ag/bd, ад/cd, да^/Ь, да^/с, ga^/d, д, д/а; д)^^ 3 ^
■(ag/b,ад/с,ag/d,g/b,д/с,g/d,да^ ,да"~^ ,да^ /bcd;g)oo.
при условии, что Igai/bed} < 1. Это есть обобщение g-формулы Диксона (2.7.2).
11 *
Подстановка d = ai, е = —ai в (5.3.1) и упрощение дают сумму для совершенно уравновешенного 2^2 рядаПодстановка d = ai, е = —ai в (5.3.1) и упрощение дают сумму для совершенно уравновешенного 2^2 ряда2^2(6,с; aq/Ь, aq/б; q, -aq/be^2^2(6,с; aq/Ь, aq/б; q, -aq/be^(aqjbcjq^agij&^w^^aq(aq/b, aq/e, q/b,q/e, -aq/bc-, q^’ 6c(aqjbcjq^agij&^w^^aq(aq/b, aq/e, q/b,q/e, -aq/bc-, q^’ 6c(5.3.4)(5.3.4)5.4. Общая формула преобразования для ряда r^r5.4. Общая формула преобразования для ряда r^rВ этом параграфе мы выведем формулу преобразования для ряда уфу из формул для ряда r+i^r, рассмотренных в га. 4. Сначала отметим, что из (5.1.3) следуетВ этом параграфе мы выведем формулу преобразования для ряда уфу из формул для ряда r+i^r, рассмотренных в га. 4. Сначала отметим, что из (5.1.3) следуетг^г(°1> °2>•• • > ^г? 61, 62, • • •» ^т\ 4s ^) •г^г(°1> °2>•• • > ^г? 61, 62, • • •» ^т\ 4s ^) •4s ®1>•••» ^4s ®1>•••» ^тт Ьк~ дтт Ьк~ дq, q2/bi,...,q2/bT6f-6rq2/ai,...,q2/aT ,9’avaTzq, q2/bi,...,q2/bT6f-6rq2/ai,...,q2/aT ,9’avaTzВыберем теперь в (4.10.11) следующие значения параметров:Выберем теперь в (4.10.11) следующие значения параметров:С = Л+1, D = В + 1, А = В = г, Cidi = C2d2 = • • • = сд^1<1а^1 = .q,'.9^1/61 = oii.qdx/bi = ai.-.^qdi/bA = «Asa\dx = Pi^dx = Pis-- -saA<k = PasС = Л+1, D = В + 1, А = В = г, Cidi = C2d2 = • • • = сд^1<1а^1 = .q,'.9^1/61 = oii.qdx/bi = ai.-.^qdi/bA = «Asa\dx = Pi^dx = Pis-- -saA<k = Pas(5.4.1)(5.4.1)(5.4.2)(5.4.2)
Подстановка d = ai, е = —ai в (5.3.1) и упрощение дают сумму для совершенно уравновешенного 2^2 ряда
Подстановка d = ai, е = —ai в (5.3.1) и упрощение дают сумму для совершенно уравновешенного 2^2 ряда
2^2(6,с; aq/Ь, aq/б; q, -aq/be^
2^2(6,с; aq/Ь, aq/б; q, -aq/be^
(aqjbcjq^agij&^w^^aq
(aq/b, aq/e, q/b,q/e, -aq/bc-, q^’ 6c
(aqjbcjq^agij&^w^^aq
(aq/b, aq/e, q/b,q/e, -aq/bc-, q^’ 6c
(5.3.4)
(5.3.4)
5.4. Общая формула преобразования для ряда r^r
5.4. Общая формула преобразования для ряда r^r
В этом параграфе мы выведем формулу преобразования для ряда уфу из формул для ряда r+i^r, рассмотренных в га. 4. Сначала отметим, что из (5.1.3) следует
В этом параграфе мы выведем формулу преобразования для ряда уфу из формул для ряда r+i^r, рассмотренных в га. 4. Сначала отметим, что из (5.1.3) следует
г^г(°1> °2>•• • > ^г? 61, 62, • • •» ^т\ 4s ^) •
г^г(°1> °2>•• • > ^г? 61, 62, • • •» ^т\ 4s ^) •
4s ®1>•••» ^
4s ®1>•••» ^
тт Ьк~ д
тт Ьк~ д
q, q2/bi,...,q2/bT6f-6r
q2/ai,...,q2/aT ,9’avaTz
q, q2/bi,...,q2/bT6f-6r
q2/ai,...,q2/aT ,9’avaTz
Выберем теперь в (4.10.11) следующие значения параметров:
Выберем теперь в (4.10.11) следующие значения параметров:
С = Л+1, D = В + 1, А = В = г, Cidi = C2d2 = • • • = сд^1<1а^1 = .q,'.
9^1/61 = oii.qdx/bi = ai.-.^qdi/bA = «Asa\dx = Pi^dx = Pis-- -saA<k = Pas
С = Л+1, D = В + 1, А = В = г, Cidi = C2d2 = • • • = сд^1<1а^1 = .q,'.
9^1/61 = oii.qdx/bi = ai.-.^qdi/bA = «Asa\dx = Pi^dx = Pis-- -saA<k = Pas
(5.4.1)
(5.4.1)
(5.4.2)
(5.4.2)
Затем, комбинируя попарно возникающие ряды т^хФт в (4.10.11) с помощью (5.4.1), упрощая коэффициенты и переобозначив параметры, мы получим формулу преобразования Слетер [S14, (4)] •
(Ci,С2,. .., Cr, q/Сх, q/С2, • • •, gl^rs 9)оо(Ci,С2,. .., Cr, q/Сх, q/С2, • • •, gl^rs 9)оо\4s^\4s^^1 > ^2s•• • )^г. bx, b2s•••s ^т
(Ci,С2,. .., Cr, q/Сх, q/С2, • • •, gl^rs 9)оо
(Ci,С2,. .., Cr, q/Сх, q/С2, • • •, gl^rs 9)оо
\4s^
\4s^
Ч ^1/а11С1Гаг1---,сх1ат,дЬх1сХ1дЬг1сх,...,дЬт161,4018/q^ldtiz^oo
;q,z;q,z+ idem (ci;c2,...,cr),+ idem (ci;c2,...,cr),Ci(ci, q/6i, Ci/с2> • • * ^б1/бт, qo^/Cj,...»q6^/Ci, 9)00
;q,z
;q,z
+ idem (ci;c2,...,cr),
+ idem (ci;c2,...,cr),
(5.4.3)
где d — a^ 02 * - * tty /ex C2 • * • Cy,
61 --6r
O1 • • • tty
< kl < 1.
165165Формула преобразования ряда 2г^2г
165
165
Отметим, что все параметры с отсутствуют в ряде гфг из левой части (5.4.3). Это дает возможность выбрать параметры с любым удобным способом. Например, если мы подставим с; = qaj, где j — целое число между 1 и г, то у-й ряд в правой части становится рядом гфт-х. Поэтому если мы подставим с, = qa,, j = 1,2,.. .,г, в (5.4.3), то получим разложение ряда тфт в виде суммы т рядов вида тфт-х •
О1,02,. . •, Ог
ь^...^ 'ч'.
«1-1 (9,9«1 /«2, • • •, № /«г, W<h, Ы«ь • • •, &г/в1, «1 -м/aiz; g)oo(9«bl/ai,ai/a2,...,ai/ar,ga2/ai,.. .,gar/ar,g)oo
[gai/bi,gai/62,...,gai/br6i---6r* q^ №/02,.. .,gai/arax***aTz.+ idem (ai;02,..., or)[gai/bi,gai/62,...,gai/br6i---6r* q^ №/02,.. .,gai/arax***aTz.+ idem (ai;02,..., or)при условии, чтопри условии, что6i‘“6r01*“ат6i‘“6r01*“ат< |z| < 1.< |z| < 1.С другой стороны, если мы подставим с,- = bj, j = 1,2, то получим формулу разложенияС другой стороны, если мы подставим с,- = bj, j = 1,2, то получим формулу разложения(5.4.4), г в (5.4.3),(5.4.4), г в (5.4.3),
[gai/bi,gai/62,...,gai/br6i---6r
* q^ №/02,.. .,gai/arax***aTz.
+ idem (ai;02,..., or)
[gai/bi,gai/62,...,gai/br6i---6r
* q^ №/02,.. .,gai/arax***aTz.
+ idem (ai;02,..., or)
при условии, что
при условии, что
6i‘“6r
01*“ат
6i‘“6r
01*“ат
< |z| < 1.
< |z| < 1.
С другой стороны, если мы подставим с,- = bj, j = 1,2, то получим формулу разложения
С другой стороны, если мы подставим с,- = bj, j = 1,2, то получим формулу разложения
(5.4.4)
, г в (5.4.3),
(5.4.4)
, г в (5.4.3),
01, 02,. 61> 62,01, 02,. 61> 62,(g/ai, g/a2,..., g/ar, </z, g/dz; д)»,(q/buq/bh.-^q/b^q)»,
01, 02,
. 61> 62,
01, 02,
. 61> 62,
(5.4.5)(5.4.5)q ^bbiJaiJhJa^jjM^
(5.4.5)
(5.4.5)
bi(b1,qfbi,bi/b2,...,bi/br;q')oo
,[ga1/6i,...,gar/61
•r*-i, ,,. .. ;q,z + idem(b1;62,
Lg62/6i,...,g6r/6i
где d = 0102 • • ’Or/6i62 * * *6г*
Общая формула преобразованиядля совершенно уравновешенного ряда 2г ^2 г
Используя (4.12.1) и (5.4.1), как и в §5.4, мы получим разложение Сле- тер [S14] для вполне уравновешенного ряда 2тФ1т в виде суммы т других вполне уравновешенных рядов 2гФ1т*
_^gjbx22j22qjb2r2aq^
(о, О1,..., ar, aq/ax,..., aqlar^ q,a^ q/ax,..., q,aT, ax/a,^., aT/a; q)oo
&i, 62,...,62r e a.TqT
2r 2r .aqlbx-t aqlb2...Maqlb2T'^ bx***b2T.
aiXcM/bij^j^J^^(ai, Ч!ai> °/ai> ^i/a, °2/ai,. • ., °г/°1> 9°1/°2> • • •, №/аг; Ч^оо
{а^ ! ах,-а^ ] ахЛа\а i,-gaia~i;g)oo
(aj/а, да(аХ,аха21а,..., ахат(а, да/ага2,...,galaxa^g^ агЬх/а, axb2/a,...,axb2r/aат дт
axg/bx. ахд/Ь2,...,агд/Ь2г 1 ’ bx--b2r.
+ idem(ai;a2>-“>°r)-(5.5.1)
Для совершенно уравновешенного случая, когда ах = Ьх = да^, а2 = 62 = —да^>> первые два члена в правой части обращаются в нуль, и мы получаем
• 2г ^2г• 2г ^2гga^,-ga^,b3,...,b2r ,।д,.а^, —а$ ,ад(Ь3,...,ад(Ь2тga^,-ga^,b3,...,b2r ,।д,.а^, —а$ ,ад(Ь3,...,ад(Ь2тааг-1 г-21г-1 г-21ддь3***ь2т.ь3***ь2т.(д/Ьз,. . •, д/Ь2г, aq/Ьз,..., ад!Ь2т\ д^ {ад, д/а, а3,,.., аг, д/а3,...., д/ат; д)^
• 2г ^2г
• 2г ^2г
ga^,-ga^,b3,...,b2r ,।д,
.а^, —а$ ,ад(Ь3,...,ад(Ь2т
ga^,-ga^,b3,...,b2r ,।д,
.а^, —а$ ,ад(Ь3,...,ад(Ь2т
а
а
г-1 г-21
г-1 г-21
д
д
ь3***ь2т.
ь3***ь2т.
^д1^222Д1^9]^Г1^1!^^111125^^^
{а3,д(а3, а3/а, ад(а3, даЦа, ад/а^; д)^
• («4/аз, • •, о>т1а^ №/«4, • • •, д^1ат\д^
• (аз«4/а, • • •, а.3ат)а, ад(а3а4,..., ад/а3ат; д)^ да3а~^,~да3а~^,а3Ь31а,...,а3Ь2т1а ^Z1£ZL а3а~^ ,~а3а~^ ,ga3/b3,... ,да3[Ь2т ' ’ ’ Ь3 • • Ь2г
+ idem (аз;а4,...,аг).(5.5.2)
В частности, при г = 3
(9/^3, -, д/be. ад!^, ^.,ад!Ь^\д^(а^, д( а, а3, д/а3, а3(а, ад/а3\д^
Ф * да^ ~да^ b3, b4, Ьь, Ь6а2д
Lai, ~a^ag/b3, ад/Ь4, ад/Ьь, ад/Ь^ ’6364^5^6.
{огчГЬ^^^
(аз,д/а3,а3/а,ад/а3 ,gal/a,ag/aj; g)^
•6^6•6^6да3а i,—ga3a ^,a3b3/a,a3b4/a,a3b5/a,a3be/a а2д a3a~i, -а3а”^, ga3/b3, ga3lb4,ga3lb3, ga3jb^ ’ ’ 63M566
•6^6
•6^6
(5.5.3)
Если теперь подставить аз = 66> то ряд 6^6 в правой части становится рядом 6^5 с суммой
(gb^/a, ад №4, ад^^ад^Ь-,-, g)oo(963/63, gbe/h, qb6/bS) да?/b3b4bsb6; д)ж'
По сути дела это другой вывод формулы суммирования (5.3.1) для ряда б^в; см. [J31]. Как и в работе [S14], формулы Сирза (4.12.5) и (4.12.7) можно использовать для вывода формул преобразования
.(^^^^д/Ь^ад/Ь^^^
(О1, ..., «г4-1, 9/О1,.- * ч 9/Ог+1, ^1/О,.*., Ог+1/о, Од/й1, • * ч ®S/®r+li 9)оо
• 2г^2г• 2г^2г61,.* •, Ь3г . ад .ag/bi,...,aglb2r' ’ b^-^ bir.
• 2г^2г
• 2г^2г
(019/61, • • ч o-igfar, 09/«161,. • •, aglaibir; д^ («2 /oi,. • ч Or+1 /О1,901 /02,. • ч 9°1 /Ог+1,09/01«2,. • ч ад/01«г+1! 9)00
• (О!, g/fl!, ag/о!, 01 /о, О! 02 /о,.. ч «1 ог+1 /а; 9)”1.
'0161/0,0162/0,.-чО1б2г/о дтаг
2г 2г .019/61,01д/б2,..чО19/б2г’5’61б2-"б2г.
±idem (oi;a2,...,or+i)
(5.5.4)
и
(9/61, • • ч g/bir-i, 09/61, • • ч 09/62Г-1; д)<х> (а,01,...,аг,д/о,д/oi,...,д/аг;д)^ . (oh -oh g/oh -9/0^, ±(09)^, ±(д/о)^; 9)00 .(«1 /а,...,аг/о,ад/в],...,ад/аг;д)»
• 2г-11б2г-1• 2г-11б2г-161,• •бгг-i . Тдг ^ат aq[bi,..., ад/62г-1 ’ ’ 6162 • • • 62r-i
• 2г-11б2г-1
• 2г-11б2г-1
• 2г-1^2г-1• 2г-1^2г-101(019/61, •.., aig/62r-i, 09/0161, •. ч 09/0162Г-1; д)оо
• 2г-1^2г-1
• 2г-1^2г-1
Формулы преобразованиядля совершенно уравновешенных рядов 8^8 и юфю
В этом параграфе мы рассмотрим два частных случая преобразования (5.5.2), которые представляют собой обобщения формул преобразования для совершенно уравновешенных рядов %ф^ и ю^э, выведенных в гл. 2. Подставим сначала г = 4 в (5.5.2) и заменим 63, 64, 65, бе, ^7, ^8 соответственно на 6, с, d, е, /, д, положим а3 = /, 04 = р и проведем упрощения, что дает i
(ад/Ь, ад/с, ag/d, ад/е, g/b, д/c,g/d, д/е; д)ж.(Л 9,//«,»/“, «9,9/о; »)оо'• 8^8 ‘qa^,-qa^b,c,d,ej,g, _oV_"Lai,—a*,ag/b,ag/c,agld,ag/e,aglf,ag/g ’ 'bcdefg._ (»', oq/bf, aq/cf, aq/df, ag/ef, fq/b, fq/c, fq/d, fq/e; $)<»(/,9//,«9//,//«,»//,/9/a,9/2/<i;9)oo3 2 "a q1 bcdefg ■(5.6.1)(ад/Ь, ад/с, ag/d, ад/е, g/b, д/c,g/d, д/е; д)ж.(Л 9,//«,»/“, «9,9/о; »)оо'• 8^8 ‘qa^,-qa^b,c,d,ej,g, _oV_"Lai,—a*,ag/b,ag/c,agld,ag/e,aglf,ag/g ’ 'bcdefg._ (»', oq/bf, aq/cf, aq/df, ag/ef, fq/b, fq/c, fq/d, fq/e; $)<»(/,9//,«9//,//«,»//,/9/a,9/2/<i;9)oo3 2 "a q1 bcdefg ■(5.6.1)*%<t>i*%<t>iMfa ^-qftt ^Jblajclajdlaje/ajgla f»~^ -f<i"^ fq/b, fg/c, fg/d, fg/e, fg/gMfa ^-qftt ^Jblajclajdlaje/ajgla f»~^ -f<i"^ fq/b, fg/c, fg/d, fg/e, fg/gгдегде+ idem (/; д')-^L <1. bcdefg+ idem (/; д')-^L <1. bcdefgЗаменив a, b, c, d, e, f, g соответственно на a2, ba мы можем переписать (5.6.1) в виде(aq/b, aq/c, aq]d, aq/e, q/ab, q/ac, q/ad, q/ae; q)^Заменив a, b, c, d, e, f, g соответственно на a2, ba мы можем переписать (5.6.1) в виде(aq/b, aq/c, aq]d, aq/e, q/ab, q/ac, q/ad, q/ae; q)^cacada, ea, /a, да,da, ea, /a, да,
(ад/Ь, ад/с, ag/d, ад/е, g/b, д/c,g/d, д/е; д)ж.
(Л 9,//«,»/“, «9,9/о; »)оо'
• 8^8 ‘qa^,-qa^b,c,d,ej,g, _oV_"
Lai,—a*,ag/b,ag/c,agld,ag/e,aglf,ag/g ’ 'bcdefg.
_ (»', oq/bf, aq/cf, aq/df, ag/ef, fq/b, fq/c, fq/d, fq/e; $)<»
(/,9//,«9//,//«,»//,/9/a,9/2/<i;9)oo
3 2 "a q
1 bcdefg ■
(5.6.1)
(ад/Ь, ад/с, ag/d, ад/е, g/b, д/c,g/d, д/е; д)ж.
(Л 9,//«,»/“, «9,9/о; »)оо'
• 8^8 ‘qa^,-qa^b,c,d,ej,g, _oV_"
Lai,—a*,ag/b,ag/c,agld,ag/e,aglf,ag/g ’ 'bcdefg.
_ (»', oq/bf, aq/cf, aq/df, ag/ef, fq/b, fq/c, fq/d, fq/e; $)<»
(/,9//,«9//,//«,»//,/9/a,9/2/<i;9)oo
3 2 "a q
1 bcdefg ■
(5.6.1)
*%<t>i
*%<t>i
Mfa ^-qftt ^Jblajclajdlaje/ajgla f»~^ -f<i"^ fq/b, fg/c, fg/d, fg/e, fg/g
Mfa ^-qftt ^Jblajclajdlaje/ajgla f»~^ -f<i"^ fq/b, fg/c, fg/d, fg/e, fg/g
где
где
+ idem (/; д')
-^L <1. bcdefg
+ idem (/; д')
-^L <1. bcdefg
Заменив a, b, c, d, e, f, g соответственно на a2, ba мы можем переписать (5.6.1) в виде
(aq/b, aq/c, aq]d, aq/e, q/ab, q/ac, q/ad, q/ae; q)^
Заменив a, b, c, d, e, f, g соответственно на a2, ba мы можем переписать (5.6.1) в виде
(aq/b, aq/c, aq]d, aq/e, q/ab, q/ac, q/ad, q/ae; q)^
ca
ca
da, ea, /a, да,
da, ea, /a, да,
и^дМ^д/^^/а^оо
qa, —qa, ba, ca, da, ea, fa, да
8 a,—a,aqjb,aqlc,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g^' bcdefg
(?, q/bf, q/cf, q/df, q/ef, qf/b, qf/c, qf/d, qf/e; q^
упрощения. Это дает
(aq/b, aq/c^ aq/d, aq/e^ aq]j\ q/ab, q/ac^ qlad, q/ae^ q/aJ; q)^{ag^ah^akygla^hla^kla^qa^^q/a] q^
[
qa^—qa^ba^ca^da^ea^Ja^ga^ha^aq 1
a, —a^aqjb^aqlc^aqld^aqle^aqlf^ aq/g,aq/h,aqlk 1 1 bcdejghk\ _ (9, q/bg, q/cg, qldg,q/eg, q/fg, qg/b, qg/c, qg/d, qg/e, qg/f; q)^
(gh, gk, k/g, h/g, ag, q/ад, g/a, aq/g, qg2; q^
дЛ S2,qg,~qg,gb,gc,gd,ge,gf,gh,gk^]
10\.g,-g,qg/b,qg/c,яд/d,qg/e,qglf,qg/h,qglk' ’bcdefghkj
4-idem (g;h,k),
(5.6.3) где \q3/bcdefghk\ < 1.
Упражнения 5
5.1. Покажите, что5.1. Покажите, чтоE (-i)v5 =E (-i)v5 =(9:9)00(-9; 9)00'(9:9)00(-9; 9)00'
5.1. Покажите, что
5.1. Покажите, что
E (-i)v5 =
E (-i)v5 =
(9:9)00(-9; 9)00'
(9:9)00(-9; 9)00'
5.5.5.5.Покажите, чтоПокажите, что
5.5.
5.5.
Покажите, что
Покажите, что
Покажите, что из (5.3.4) при с —> оо и а = 1,6 = — 1 можно получить равенство
~_ Г (5.5)оо 12
■^1 + 9"~[(-9;9)о=]‘
Покажите, что при b — as с = d = е = — 1 и a -+ 1 из (5.3.1) можно получить равенство
94n,22n(l + z94n+1) = (92,-г9,-9/г;92)оо,z/0.
5.6.5.6.Докажите тождество для произведения пяти сомножителей:
5.6.
5.6.
ОО
,n(3n-l)/2z3n^ ^_ ^п)
= (9, -х, -g/z; 9)оо(9г2, 9Л2; g2)oo,z £ 0.
5.7.5.7.(См. примечания 5 по поводу этого упражнения.) Покажите, что
5.7.
5.7.
95п+195п+1v (i-g10n+4)
95п+1
95п+1
Zv (1_95п+1)(1_95п+3)2
_^(i - q4).- (1-^(1-^2 6^Выведите, что_^(i - q4).- (1-^(1-^2 6^Выведите, чтоV,.92,V,.92,-97,-92,-97,-92,q. q,9s, 98,q. q,9s, 98,93. 93 5 596 , 96’9 *93. 93 5 596 , 96’9 *п=0п=0,5 п+2,5 п+2,5п+3,5п+3,5п+4,5п+49S"+1(1 _ 95n+l)2 ~ (! _ g5n+2)2 - (1 _ 9Sn+3)2 + (j _ ?5n+4)2 J9S"+1(1 _ 95n+l)2 ~ (! _ g5n+2)2 - (1 _ 9Sn+3)2 + (j _ ?5n+4)2 Jqqq'q'qq
_^(i - q4).
- (1-^(1-^2 6^
Выведите, что
_^(i - q4).
- (1-^(1-^2 6^
Выведите, что
V,.92,
V,.92,
-97,
-92,
-97,
-92,
q. q,
9s, 98,
q. q,
9s, 98,
93. 93 5 5
96 , 96’9 *
93. 93 5 5
96 , 96’9 *
п=0
п=0
,5 п+2
,5 п+2
,5п+3
,5п+3
,5п+4
,5п+4
9S"+1
(1 _ 95n+l)2 ~ (! _ g5n+2)2 - (1 _ 9Sn+3)2 + (j _ ?5n+4)2 J
9S"+1
(1 _ 95n+l)2 ~ (! _ g5n+2)2 - (1 _ 9Sn+3)2 + (j _ ?5n+4)2 J
q
q
q'
q'
q
q
= ’7^' '«К1'
. kq^qloo
По поводу приведенных выше формул см. работу Эндрюса [А48].
5.8.5.8.Выведите (5.4.4) непосредственно из (4.5.2).
5.8.
5.8.
5.9.5.9.Используя (2.7.1), выведите (5.3.1) из (5.4.5).
5.9.
5.9.
5.10. Покажите, что9 (е/а, е/Ь, e/ab, qc/erf/e, д2//е; g)^5.10. Покажите, что9 (е/а, е/Ь, e/ab, qc/erf/e, д2//е; g)^ее(е, 9/е,е//, g//e;g)ОО(е, 9/е,е//, g//e;g)ОО2^22^2"ejc^elq 1,/,19,9 +idem(e;/).ela^elb"ejc^elq 1,/,19,9 +idem(e;/).ela^elb_ (9,9/«, д/Ь, с/a, c/b, c/ef, gef/c; д^_ (9,9/«, д/Ь, с/a, c/b, c/ef, gef/c; д^(e,/,g/e,g//,c/a6;g)ОО5.11. Покажите, что(e,/,g/e,g//,c/a6;g)ОО5.11. Покажите, что" '. ’к" '. ’кqai,— ga?,c,d,e,f,ад n,q n a i, — ai, aq/c, aq/d, aq[e, aqjf, qn+i uiq^la^aq/cd^aqlef-^q^^qlc,qld.,aqle,aqlf-1q>)nqai,— ga?,c,d,e,f,ад n,q n a i, — ai, aq/c, aq/d, aq[e, aqjf, qn+i uiq^la^aq/cd^aqlef-^q^^qlc,qld.,aqle,aqlf-1q>)n/a2q2n*2',agn+1’^’ cdef/a2q2n*2',agn+1’^’ cdef'4^4'4^4е^ f,aqn^xIcd^q^ .aq/c^aq/d^q4^1 ^efI aqn^'^е^ f,aqn^xIcd^q^ .aq/c^aq/d^q4^1 ^efI aqn^'^п = 0,1п = 0,1
5.10. Покажите, что
9 (е/а, е/Ь, e/ab, qc/erf/e, д2//е; g)^
5.10. Покажите, что
9 (е/а, е/Ь, e/ab, qc/erf/e, д2//е; g)^
е
е
(е, 9/е,е//, g//e;g)ОО
(е, 9/е,е//, g//e;g)ОО
2^2
2^2
"ejc^elq 1
,/,19,9 +idem(e;/)
.ela^elb
"ejc^elq 1
,/,19,9 +idem(e;/)
.ela^elb
_ (9,9/«, д/Ь, с/a, c/b, c/ef, gef/c; д^
_ (9,9/«, д/Ь, с/a, c/b, c/ef, gef/c; д^
(e,/,g/e,g//,c/a6;g)ОО
5.11. Покажите, что
(e,/,g/e,g//,c/a6;g)ОО
5.11. Покажите, что
" '. ’к
" '. ’к
qai,— ga?,c,d,e,f,ад n,q n a i, — ai, aq/c, aq/d, aq[e, aqjf, qn+i uiq^la^aq/cd^aqlef-^q^
^qlc,qld.,aqle,aqlf-1q>)n
qai,— ga?,c,d,e,f,ад n,q n a i, — ai, aq/c, aq/d, aq[e, aqjf, qn+i uiq^la^aq/cd^aqlef-^q^
^qlc,qld.,aqle,aqlf-1q>)n
/a2q2n*2'
,agn+1’^’ cdef
/a2q2n*2'
,agn+1’^’ cdef
'4^4
'4^4
е^ f,aqn^xIcd^q^ .aq/c^aq/d^q4^1 ^efI aqn^'^
е^ f,aqn^xIcd^q^ .aq/c^aq/d^q4^1 ^efI aqn^'^
п = 0,1
п = 0,1
и выведите предельные случаи
, Г е,/ agl
\_aqlc,aqldej J
_ lAlMld,aqle,ag/f;g\»
(aq,q/a, aq/cd; ад/е}-^^
у (1 - aqlnX^ d, e, /; g)n / ga3 \ " , ^< (1 - aXag/c,ag/d,ag/e,ag/ f;g)n \cdef )
И
CO „OO z \
X^ ° 9-1 V ^a'9)nl~aq . 2n n(5n-l)/2
^q^n ^q^^^q)n 1-a4
(Бейли [Bll])
Используя (5.6.2) и (2.11.7), покажите, что
[
qa^—qa^ab^ac^ad^ae^af^ag1
a, -a,ag/6,ag/c,ag/d,ag/e,ag/f,ag/gJ
(g,qa2,qla2,ag,gla,qlbc,g/bd,д/be,q(bf,д№,д/се,д/с};д)ж
~ (6g,eg, dg, eg,fg, ag/b, ag/c, ag/d,ag/e, ад/f, g(ab, д/ac; g)^
. (.q/<ie,g/df,g/ef;q')oo ^g/ad,g/ae,g/af; q^
при условии, что bcdefg = q и
(6/,q/bf,cf,q/cf,df,q/df,ef,q/ef,ад,д/ад,д/а,ад/д-,g),» _ 1
(bg, g/bg, eg, g/ eg, dg, g/ dg, eg, g/eg, af, g/a/, f/a, ag/f; g^
Следуя Госперу [G48], мы можем назвать этот результат двусторонней формулой Джексона.
Выведите из упр. 5.12 двустороннюю ^-формулу Заальшютца (а-^Ь,с;д)п
п=—со 4 7 7 7
•__ (^,d/a,d/b,(Z/c,e/a,e/b,e/c,9//; q)^
"" (d, е, ад/f, Ьд/f, cg/f, д/а, g/b, д/с; д)»
при условии, что def — abcq1 и
(e/a, ад/е, e/b, bg/e, е/с, сд/е, f, д/ f; q^
= U/а, aqH, fib, bq/f, f/c, cq/f, e, q/e; q)^.
172
Двусторонние базисные гипергеометрические ряды
5.14. Покажите, что
/d (-qt/c,qt/d;q')ooJ-ci-atl^btld-yq^ q
_ c^ ~ чХЧ)a^ ~c/d, -d/c] д)оо ~ (c + d)(a,b, -bc/d, -ad/c^q)^
при |a6| < |ad/c| < 1.
(Эндрюс и Аски [A73])
Покажите, что
/(с^» ~dt; д^оо ,
J-oo (at.-bt-.q)^ = 2(£-_g)(c/azd/^
(cd/abq, g; g)oo(a2, g2 /a2, b2, g2/b2; g2 ^
(Аски [A95])
Покажите, что
f°° (aat) a/ty abt^ b/t, act, c/t, adt, d/t; g)co dqt
го
(ад/2,^/2;^
t
(1 — q)(aa, a,ab,b,ac,c,ad,d',q)<x>^aq^qla^q^
[qVa, -gV^ g/a> g/^ g/c, ч!^a^abcdA
уа, —ya, aa,ab, ac^adq J
(1 — qXq» otab/q, aac/q, aad/q, abcjq, abd/q, acd/q\ q), (a2abcdlq3vq)oo
при \a2abcd/q3\ < 1.
5.17. Покажите, что
_ (1 - g)(oi (с,,...
* тА-а'ФтА-з
'^^^llliiiii^i/li^l^ д /
crZ, ^//,..., d,/Z;g)oo4
>..., flr, bx,..., bs\ q^oo
,cr,dx,...,da*,g)oo
cx,...,cr,q/bx,...,q/bs ,bx---b8 ,
a!,...,ar,g/di,...,g/d,7 ' dx -d8
припри
при
при
biv^ ^1 * * ' ^
С1 • • • сг
«1 - "аг
Выведите следующие формулы суммирования Бейли [В 12]:
m , Г Ъ^д 9 1 (q^IbCyqlbd^lcd-.q)^
3V3 Vq/b,g/c,g/d’4,bcd\ (glb,qlc,qld,glbcd-,g)oo'
НН * f b’C’d • a g2 1 - (^^/^gV^^/^ig)»» ^ ^Yq^Mlc^ld'^bcdX(g*lb,q*lc,g*ld,q*lbcd-,g)oo'
GiB Д [ b>c»d,e,q-n 1 fag/bc^^^
5 wMmMm"*1’j (.qlb,ql^,qld,qlbcd\q)n'
., Г b,c,d,e,q-n1
(iv) svs ,,, ,. 2/,п+2;<м
1ч №Г /С)Ч /^>4 1^4 J
(1 - g^g1 ,дг jbc^g1 Jbd^g1 (cd^gX
^(b^g^l^g^ld^g^Ibcd^gX ’
где n = 0,1,... .
Покажите, что
0)0)fc(3fc+l)/2 _(^; ?)зпq(q^q^nfc(3fc+l)/2 _(^; ?)зпq(q^q^n
0)
0)
fc(3fc+l)/2 _(^; ?)зп
q(q^q^n
fc(3fc+l)/2 _(^; ?)зп
q(q^q^n
и(»)и(»)0)000)00Г а, 61 _ (az,dla,clb,dq/abz\q){2 2 [cjd’^^J * ^i^iql^s^lo-bz^q^ooГ а, 61 _ (az,dla,clb,dq/abz\q){2 2 [cjd’^^J * ^i^iql^s^lo-bz^q^oo• 2^2• 2^22^22^2• 2^2• 2^2,b V_ (az^bz^cq/abz^dq/abz^y d’9,ZJ “(g/^g/b.c.d-.g)»,abz/c, abz,dcd ]az, bz ’ ^’ abz J *,b V_ (az^bz^cq/abz^dq/abz^y d’9,ZJ “(g/^g/b.c.d-.g)»,abz/c, abz,dcd ]az, bz ’ ^’ abz J *
и
(»)
и
(»)
0)
00
0)
00
Г а, 61 _ (az,dla,clb,dq/abz\q){
2 2 [cjd’^^J * ^i^iql^s^lo-bz^q^oo
Г а, 61 _ (az,dla,clb,dq/abz\q){
2 2 [cjd’^^J * ^i^iql^s^lo-bz^q^oo
• 2^2
• 2^2
2^2
2^2
• 2^2
• 2^2
,b V_ (az^bz^cq/abz^dq/abz^y d’9,ZJ “(g/^g/b.c.d-.g)»,
abz/c, abz,dcd ]
az, bz ’ ^’ abz J *
,b V_ (az^bz^cq/abz^dq/abz^y d’9,ZJ “(g/^g/b.c.d-.g)»,
abz/c, abz,dcd ]
az, bz ’ ^’ abz J *
3 fc(3*+l)/2 = (9; 9)зп4-1 (/M.q^qK
при n = 0,1,... . (Бейли [B12])
Выведите формулы преобразования для ряда 2^2 •
(Бейли [Bll])
(b/a^ aq/b, df /а^ aq/df, efIa, aq/ef, bde/a, aq/bde; q)^
= (//a, aq/ f, bd/a, aq/bd, be/a, aq/be, def/a, aq/def\ q^
- Hd, q/d, e, q/e, f/b, qb/f, bdef/a2, a2q/bdef-, q)oo- (Бейли [B5])' ' '
Обобщите приведенное выше тождество следующим образом:
beaqbd aq be aq bf aq g aq haq ghq \
a ’ be ’a ' bd' a ' be' a ' bf' a' g ' a'h ' h'g ’ / ^
/ chaq dh aq eh aq fh aq baq gaq g bq
°\ a' ch' a ' dh' a ' eh' a ' fh' a'b ' a'g ' b' g '^
/ egaqdgaqegaqfgaqb aqhaqbhq\
\ aegadgaegafgabahhо) c
q, q„ q,q b hqghqgbqX
\ca eJbhgоgJ
xvо о / oo
где a3q2 = bedefgh. (см. [S17])
В более общем случае покажите, что из общей формулы для сигма- функций из [W15, т. 2, с. 319, пример 3] следует, что
V^ ,{^k/bl, О'к!^ > • • • > ^kl^ni 9)оо
, , (^fc/^1 > ^к1^2 > • • • ч ^kl^k—11 ^k/^k^-l > • • • t йк,ап\q^oo
(t7^1/^ki 9^1 ^ki • • •, 9^k—l!^ki S^k-VX,^ky • • • i Ч^п,Q'ki Q^oo
где aifl2 • • an = 6162 • • -bn. (cm. [S17])
Примечания 5 •
. Эндрюс [A58] использовал сумму Рамануджана (5.2.1) для доказательства тождества для непрерывной дроби из потерянной тетради Рамануджана [R27]. Формальный ряд Лорана и сумма Рамануджана были рассмотрены в работе [А103]. Вероятностное доказательство (5.2.1) можно найти в [Кб]. Милн [М17, М18, М22] вывел многомерные и^У обобщения (5.2.1).
. Густафсон [G52-G54] вывел многостороннее (multilateral) обобщение формул (5.2.1), (5.3.1) и близких к ним формул, воспользовавшись интегрированием по контору и работами Милна [М15, М16, М20, М21] по V(п)-обобщениям g-формулы Гаусса, g-формулы Заальшютца и формулы суммирования для совершенно уравновешенного ряда ^Фь-
. Джексон [J33] использовала (5.4.3) для вывода формул преобразования длД ряда з^з.
. Формула преобразования, связывающая некоторые ряды 4^3 и 8^8, была найдена Джайном [J37] вместе с формулами преобразования для частных случаев ряда 7^7 и затем была использована для вывода тождеств типа Роджерса — Рамануджана с модулями 5, 6, 8, 12, 16, 20 и 24.
Упр. 5.6. Ватсон [W6] вывел это тождество в эквивалентной форме. По поводу различных доказательств тождества для «пятикратного» произведения (и его эквивалентных форм) и приложений в теории чисел, в теории алгебр Ли и т. д. см. работы [А2], [А48], [А130], [В13], [С14], [G46], [Н21], [KI, К2], [S8] и (S40J.
Упр. 5.18. Используя (i) и (И) можно показать, что формула в упр. 2.31 справедлива, даже если Й1,а2>лз не являются неотрицательными целыми числами при условии, ЧТО |да1+аз+а3 + 11 < 1 и |g| < 1,
Упр. 5.21-5.23. Дополнительные тождества, связывающие суммы бесконечных произведении, приведены у Слетер [S12, S18, S22] и Ватсона [W6].
6
^-БЕТА-ИНТЕГРАЛ АСКИ — ВИЛЬСОНА ИНЕКОТОРЫЕ СВЯЗАННЫЕ С НИМ ФОРМУЛЫ
Обобщение Аски — Вильсона для бета-интеграла
В настоящее время не вызывает сомнений, что бета-интеграл и те его обобщения, которые могут быть вычислены в замкнутой форме, имеют большое значение. Существенное обобщение бета-интеграла было найдено Аски и Вильсоном [А127]. Поскольку этот интеграл имеет пять «степеней свободы» — четыре свободных параметра и параметр д, присущий базисным гипергеометрическим функциям, — то он достаточно удобен для применения во многих Случаях. Этот интеграл имеет вид
Цх; 1, —1,<^, — дЦ dxh^a^b^c^d) V1 — х^2ir(abcd;q)ooх
(д, аб, ас, ad, 6с, 6d, cJ; д)оо ’
где
'Цх, а^, а2, • • •, ат ) = h^x, а^, а2, • • •, dm, ^)
= Цх;а1)Цх;а2) • • *Цх;ат),
Цх; о) = Цх; а;д) = JJ (1 — 2ахдп + a2g2n) n=0
= (ae**,ae“*,*;g)do , x = cos#, (6.1.2) и
max (|a|, \b\, |c|, |d|, И) < 1.(6.1.3)
Как и в (6.1.1), мы будем пользоваться обозначениями h без указания базы, когда она равна д.
Аски и Вильсон получили (6.1.1) из интеграла по контуру
f (z2,^2;^dz
2iri JK (аг^аг^Ьг^Ьг^сг^сг*1^^”1^^ z
=2(abcd; д)оо(6.1.4)
(g^ab^ac^ad^bc^bd^cd-^g^oo’v /
где контур К определен так же, как и в §4.9, а параметры а, 6, с, d ограничены теперь не (6.1.3), а связаны более слабым условием, что их попарные
произведения не равны q~^ j = 0,1,2,... . Первоначальное доказательство Аски и Вильсона формулы (6.1.4) требовало ряда промежуточных предположений, от которых затем нужно было освободиться с помощью соображений непрерывности и аналитического продолжения. В своей статье они также провели прямое вычисление редуцированного интеграла.
‘. Г1 Л(х; 1, —1) dx•
Ai h^a^ V1 ~ ж2,
= (вл.;)
(W -9, <Ф4, -о»4, М, *4?, <tb; Woo
с помощью формул суммирования для рядов 1фх и 4^4- Более простые доказательства (6.1.1) были найдены Рахманом [R4] и Исмаилом и Стентоном [114]. В следующем параграфе мы приведем доказательство Рахмана, поскольку оно использует только формулы, которые мы уже получили, тогда как доказательство Исмаила и Стентона требует ряда результатов о некоторых ортогональных полиномах, которые не будут установлены до гл. 7. Мы завершим этот параграф доказательством того, что бета- интеграл ..
(1 + ^-2 " “Т(^7+2Г( }
является предельным случаем интеграла (6.1.5).,
Пусть 0 < q < 1, а = да+4, b = —q^b. Используя обозначения
|6L7)
и определение q-гамма-функции (1.10.1), перепишем правую часть (6.1.5) в виде
^^^^(a + or^ + i) х (^9)»+/?(-9^9)а+$(-9* ;»)/?+$ Г,(а + ^ + 2) Г2(|)22“+2/?+11
Согласно (1.10.3), это выражение стремится к 22of+2^+1 Г(а 4-1) Г(^ 4- 1)/Г(а 4- 0 4- 2) при q —► 1~, так как Г (|) = л/тг.
Ддя подынтегрального выражения в (6.1.5) имеем
ЖЙГ = Мц («-“'.«и» W>m и, следовательно,
Л(г;1,—1).■
11Ш ;Т"Г"
= [(1 - е*#) (1 - e-e)]“+i [(1 + е<#) (1 + е^)]^1
■= 2“+/J+i(l — СО8Й)“+^(1. + Cos0)^+i,'
откуда видно, что (6.1.6) есть предельная форма (6.1.5).
Формула (6.1.1) является существенно более общей, чем (6.1.5), поскольку она содержит еще два параметра. Именно эта свобода, обусловленная данными дополнительными параметрами, и дает нам возможность получить ряд важных результатов в этой и последующих главах.
Доказательство формулы (6.1.1)
Обозначим интеграл в (6.1.1) через Z(a,6,c,d). Поскольку х = cos# есть четная функция от О, можно записать
I(a,b,c,d) = 1£I(a,b,c,d) = 1£h^x^a^b^c^d) *h^x^a^b^c^d) *(6.2.1)(6.2.1)
I(a,b,c,d) = 1£
I(a,b,c,d) = 1£
h^x^a^b^c^d) *
h^x^a^b^c^d) *
(6.2.1)
(6.2.1)
Предположим временно, что параметры а, 6, с, d и их попарные произведения и отношения не равны q*^ j = 0,1,2,.... Легко проверить, что, согласно (2.10.18),
• ЦхД^/Цх-^аД)(6.2.2)
_(a-1,^1;^fb (ди1а,ди/Ь,и\g)^ dqu
b^\-qXq,alb,bglay<ib-ygy /„ (м/а6;д)оо Цх-,»У
А(®; -l)/^(®;c,d)
_(-c'^-tMig)», У (gv/c,gv/d,—w,q)oo dqv (6.2.3)
^(1-9)(«,с/^>^9/с,с^;«)оо /с (-v/cd;g)oo Л(х;»)
И
4x>-^')/4z‘1u1')') =4x>-^')/4z‘1u1')') =д^Уд^и ‘.-g^v-1^)*у(1 - »)(9,«/»,»»/«, “»;«)«
4x>-^')/4z‘1u1')') =
4x>-^')/4z‘1u1')') =
(6.2.4)(6.2.4)П 4 (tgS/uytgS/iiy-gfyg),» - dqtkq-^ (-9</уу;9)оо h(x;tg^ ‘
(6.2.4)
(6.2.4)
Кроме того,
1 г ^ум
2 J_, Цх;tqi^
(gie<#,gie ^jg)», ^ (tgie^.fgie-^ig),»
(tg^y+< e^-^dO(tg^y+< e^-^dOX Г Х-V ^'iW1^^ 2 kv^0^0 (?; qW q)<
(tg^y+< e^-^dO
(tg^y+< e^-^dO
- V' V' iL-lilMlJiik2 ^ So ^q"’4^4’ ч^‘- V' V' iL-lilMlJiik2 ^ So ^q"’4^4’ ч^‘(tq^ "*" / e1^* ^8d6(tq^ "*" / e1^* ^8d6
- V' V' iL-lilMlJiik
2 ^ So ^q"’4^4’ ч^‘
- V' V' iL-lilMlJiik
2 ^ So ^q"’4^4’ ч^‘
(tq^ "*" / e1^* ^8d6
(tq^ "*" / e1^* ^8d6
ООЕ к=0*ООЕ к=0*(6.2.5)(6.2.5)(t *,< x;gYk, 2.t = (qt,gt-,д)оо(д,д\д)к 4(9л<2;9)»о
ОО
Е к=0*
ОО
Е к=0*
(6.2.5)
(6.2.5)
для |<<?i| < 1, согласно (1.5.1). Поскольку
(9<3;9)оо = (gt2^2^-^2)^ = {tq^-tg^gt^g^q)^,(6.2.6)
(6.2.7)(6.2.7)имеем
(6.2.7)
(6.2.7)
Таким образом, повторным применением (2.10.18) устанавливаем, что
/(а,6,с,г/)'
_ *дЦп-х Л-1, -с-1, -d-'; д^ро
Ml - q^(.q;q)*o^a/b,bq/<i1<ib,c/d1dq/c,cd;q^oo
. [b ^ (ди/а^ди/Ь, и;д^ Г4 ^qvlc^qvld,-v,-q^/u, -q^/v;?),»J a 4 l.u/ab;qV Jc 4 v(-'u/cd,yq/u,u/y,uy;qYoo ■
Г1 ^ ( идМи^дМ^дМУ».
Jup 4 ^qV-tg^.-gthu'vq^ ■.
M* - q')1<q;qy^a/b,bq/«.<ib,c/d,dq/c,cd;q')oo
■ [b (qulatqulb\q)^ [d (.др/с^^-шг^оо.
" I ^iu~t; / ^g1’;—;
Ja {-u^u/a^q)^ Jc ^v,uv,—v/cd',q')oo
_ я(а~х ,b-x ,g^-q^-VqY^. fb , (gu/a^gu/b^cdt^g)^
Ц^ - q^q'^qy^a/b'bg/a^ib.c.d.cd'.q^ Ja 4 (си^и,и/аЬ;д)ж
_ T(.-\,q^-q^abcd;qY^
(q^ ab, ac, ad, be, bd, cd; q\x,'
Поскольку (-1, qi,-q^; q^ = 2^p , —q^, —q; q)^ ■= 2, что вытекает из (6.2.6) при t = 1, мы приходим к (6.1.1). Отмеченные выше ограничения на параметры a,b,e,d могут быть сняты путем аналитического продолжения.
Интегральные представлениядля совершенно уравновешенного ряда 8</>?
Формулы (2.10.18) и (2.10.19) дают возможность использовать (/-бета- интеграл Аски и Вильсона (6.1.1) для вывода представлений совершенно уравновешенного ряда 8<^7 » виде интеграла Римана.
12*'‘
^(д/а,д//-,д')оо/(1 - яХч; qYooWL gf/а,df, ab,ac,be-, д^оо^(д/а,д//-,д')оо/(1 - яХч; qYooWL gf/а,df, ab,ac,be-, д^ооДсцЬ, c,d,f,g) =ДсцЬ, c,d,f,g) =(6.3.3)(6.3.3)(6.3.4)(6.3.4)(6.3.5)(6.3.5)(6.3.6)(6.3.6)
^(д/а,д//-,д')оо
/(1 - яХч; qYooWL gf/а,df, ab,ac,be-, д^оо
^(д/а,д//-,д')оо
/(1 - яХч; qYooWL gf/а,df, ab,ac,be-, д^оо
ДсцЬ, c,d,f,g) =
ДсцЬ, c,d,f,g) =
(6.3.3)
(6.3.3)
(6.3.4)
(6.3.4)
(6.3.5)
(6.3.5)
(6.3.6)
(6.3.6)
180180g-бета-интеграл Аски — Вильсона
180
180
Сначала положим w(z;a,6,c,d) = (1 -(6-ЗЛ)
пух; а, о, с, а) и
d^a,b,c,d,f,g) = / w(x-,a,b,c,d)^^- dx,(6.3.2)
J-i«(»;/)
где max(|a|, |5|, |с|, |d|, |/|, |g|) < 1 и д — произвольный параметр. Так как, согласно (2.10.18),
2H*i£L {д1а,ди,д)ж
Цх-лп /(1 - ч^чЛИлЛала^» , f д Wa^ni^gu^»,
Jd " k9uiaj; д^ооЦх; u) ’
то
J(a,b,c,d, f,g) =J(a,b,c,d, f,g) =(д/а,д//;д')Оо
J(a,b,c,d, f,g) =
J(a,b,c,d, f,g) =
1<Д-д^дЛИлЛМ1\чЬо
t1, (q^/d,qulf,gu\g^ [x , t XJ
• I aqu——— I w(x;a,b,c,u) dx.
Jd(э^а/ ;9ooJ-x
В силу (6.1.1),
// L x j2тг(а6с?/;д)оо
/ w(z; a, b, c, u) dx = --———.
J-i(9, a-b. ac, be; д)оо\аи, bu, cu; q)^
Подставляя это выражение в (6.3.4), получим
ЛД Jygvja,ди!f^gu.abcu^g^ Ji ’ (au^u^cu^u/df-^g^oo
Параметры этого g-интеграла таковы, что можно применить (2.10.19), чтобы получить
JU b с d f а} =^^И' fg, abcf, bedf, edaf, dabf; g^
’ ’ ’ ’ ’(g, ad, bd, cd, af, bf, cf,df, ab, ac, be, abedf2-, g)oo
• 6W^abcdf2g-x-,af,bf,cf,df,abcdfg-x-,g,g/f')(6.3.7)
при условии, что \д/f \ < 1, если ряд не обрывается. С помощью преобразования (2.10.1) формулу (6.3.7) можно записать во многих различных формах. Двумя особенно полезными случаями являются формула
JU b с d f д) = __^(^1^^б£^6с^^
(q,ab,ac,ad,aj\bc,bd<, bf,cd4 cf^ abeg; g)^
^W^{(lbcgq^;ab,ac,bc,g|d,g| f;q,df),(6.3.8)
полученная Нассраллахом и Рахманом [N3], и
^V^i ^1 ^1 ^1 Ji 9^ —^V^i ^1 ^1 ^1 Ji 9^ —^(ад, bg,cg, dg, fg, abcdj/g; q^
^V^i ^1 ^1 ^1 Ji 9^ —
^V^i ^1 ^1 ^1 Ji 9^ —
(q, ab, ac, ad, af, be, bd, bf, cd, cf, df, g2; q)^
•tW^glq~x;gla, gib, g/c, g/d, g/f; q, abedfg 1).
(6.3.9)
Если ряды в (6.3.9) не обрываются, то для сходимости мы обязаны наложить условие \abcdjg"~x\ < 1.
Отметим, что если в (6.3.8) положить 0 < q < 1, а = -b = q^, с = qa-^, d = z, J = — q^*^, g = zq"1 при Re(o,/3) > — | и затем перейти к пределу q —► 1”, то мы получим после некоторого упрощения
2Г1(1,а+1;а + 0+2;z) =х"(1 - г)3(1 - xz) ^di.
(6.3.10)
Отсюда видно, что (6.3.8) есть д-аналог интегрального представления Эйлера (1.11.10). .
Другой предельный случай формулы (6.3.8) был отмечен Рахманом (R7). Чтобы вывести данную формулу, заменим a,b,c,d,f,g в (6.3.8) соответственно на q^q^q^q^q^q9. Заменим также х в интеграле (6.3.2) на cos(Hng), что соответствует замене ех6 на qxt. Теперь рассмотрим предельный переходу —► 1" и используем (1.10.1) и (1.10.3), чтобы прийти к формуле
1 f°° Г(а 4- it)V(a - гОГ(6 4- Й)Г(6 - tt)P(c 4- «0Г(с - it)
LooP(2iQr(-2iO
’Г(9 4- ОДд - it) й
_ Г(а 4- Ь)Г(а 4- е)Г(а 4- </)Г(а 4- /)Г(6 4- с)Г(6 4- d)
*Г{а^д)ЦЬ^д)Цс^д)
Г(Ь 4- /)Г(с 4- </)Г(с 4- /)Г(о A-bA-cA-g)
Г(а4-&4-£ + </)Г(а4-б4- с 4- f)
а4-б4-<: + 0-1,|(<1 + &4-с4-04-1),а4-&, а4-с, b 4- с
|(а 4- b 4- с 4- д - 1), с 4- д,Ь^- д,а^- д,
(6.3.11(6.3.119~ Ji
(6.3.11
(6.3.11
a-^-b*Vc*Vd,a*Vb*Vc*V‘ J
где Re (a,b,c,d,f) > 0.
Интегральные представлениядля совершенно уравновешенного ряда ю<^
Если подставить д = abedf в (6.3.7), то ряд gHj сводится к одному члену, равному 1, и, следовательно, мы имеем формулу
71 h(x; 1, -1, q^, — gl, abedf) dx
J-x h(x-a,b,c,d,f) V1 - z2
2k (abed, abcf, bedf, abdf, aedf; q)^(q^ab, ac, ad, af, be, bd, bf, cd, cf, df; q)^
= go(^b,c,d,f),(6.4.1)
где (max |a|, |6|, |c|, |</|, |/|, |g|) < 1. Это g-аналог формулы
Г ^(l - ^"'(l - tx)"-6 dx = ^“^(l - ГТ, Re(a, 6)>0.
JoI (a + b)
Заменим / на fqn в (6.4.1), где n — неотрицательное целое число, что дает
(abedfеabedfe'v‘,q)n
I rx (af,bf,cf,df;q)n
= 5о(аЛс,<А/77-^7jf wr к r x '(6.4.2)
(bedf, aedf, abdf, abcf; q)n
где
/ к J fX (X 2x~i h(x;l,-l,q^,-q^,abcdf)
v(z;a,6,c,d,/) = (1 - xz) '-.(6.4.3)
h.(x;a,b,c,d, f)
Пусть a = abedf. Если |z| < 1, to (6.4.2) приводит к формуле
j v(x,a,b,c,d,f) r+sWr+4(afq~1;av,...;ar,fe,6,fe~*6;q,z') dx
= 5o(a, 6, c, d, f) г+7Жг+б(<7/д"’; at,..., ar, a/, 6/, cf, df; q, zY (6.4.4)
В частности, при г = 3 и z = a2/aia2O3 имеем
У v(z;a,6,c,</,/)8^7(<T/g-,;ai,a2,a3,/e'<,/e",#;<?,ff2/<iia2a3) dx
= go(axb,c,d,f) ioW9(fffq~i-,ai,a2,a3,af,bf,cf,df-,q,ff2/aia2a3),
(6.4.5) где |<J2/aia2a3| < 1» если ряды не обрываются.
Предположим, что
aia2a3g = а2.(6.4.6)
Это означает, что совершенно уравновешенные ряды в обоих частях равенства (6.4.5) являются сбалансированными. Тогда, согласно (2.11.7),
вИ'т^/д-! пь °2, °з,/е'6*/е-'6; 9,9>
i.of/q«t,CTf/a2,af/a3,qa1a2/af>qaia3/af, q2a2x/af;q')ooh(iz;a, qaxfa^ • вИ'т^а2/»/; а], qnxtt2(af, qa^/af, qaxe'6/a, qaxe-,6/a; q,q)
_ ^J^^j^JJj^^lJsJ^lLL^^(g 4
((т//а2,(7//аз,9а1а2/<т/,9а1«з/(7/;9)оо/((1;<7,<7/а2аз)" '
и, следовательно,
1 /t(z; 1,-1,9*,-g?,<7/(i2,<7/«3) di
1Л(т;«,6,с,</,/,<т/«2аз) V\ - i2
go<a,b,c,dj^go<a,b,c,dj^' (<^//«2, ^//«3, ^//«2, ^/У^З; 9)oo . (^f^f/«2«3,»//, "//<12"3;<?)oo
go<a,b,c,dj^
go<a,b,c,dj^
• io^9(<7/9 |;а1,«2,«з,а/,Ь/,с/,(//;д,д)
(a/, 6/, с/, df, a2,a3, qax ja2,901/03! <7)00 ^a [(ЦО lb.,o jc.oId^qaaxla, qbax ( o.qcax ( osqda\ la^q^oo
9о(а,Ь, с, d, f)9о(а,Ь, с, d, f)(^/A °Iha\i ^//^з, ^т/М^з qM /^/; 7)00
9о(а,Ь, с, d, f)
9о(а,Ь, с, d, f)
* 1009* 1009v, qVv, -gVv, д, af, bf, cf, df, a^q" xfg, g n /.v^, -^ af/g,<r/a,o/b,o/c,a/d,fggx-,1/o,ofgn'q'qi
* 1009
* 1009
(6.4.9)
где v = afq~V С помощью итерации формулы преобразования (2.9.1), приведенной в упр. 2.19, данное равенство можно переписать в более симметричном виде .
Щх;1,-1,д^,-дУЬгдп,т) dx h(x;a,b,c,d,f,rgn) ^1 - я2
gof^b, c,d,f)gof^b, c,d,f)(ra,rb, re, rd,a/T;q)n(а/а, a/b, afc, o/d, т2; д)„
gof^b, c,d,f)
gof^b, c,d,f)
r2q х ,Tq^,-Tq^,T/a,Tlb,Tlc,Tld,Tlf,arqn 1 ,q " тд-',—тд~Ъ , Ta,Tb,rc,rd, тf,rgx~nfa,T2gn’
(6.4.10)
где a = abcdf и т — произвольный параметр. Аналогично, дважды применяя (2.12.9), (6.4.8) можно переписать в виде
у1 Цх-,\,-\,дУ-д^,Х,р} dx'
J—1h^x, a,b,c,d, J, g^^1 “ x2
2it(Xnlaf, Хц/bf, Xp.fcf, Xy/df, Хд,цд, Xfg,nlg\ д)ж
(g, ab, ас, ad, ад, be, bd, bg, cd, cg,dg, fg, f/g, ХцдИ\ q^
чоФэчоФэ,-qV^’ a9' bg, eg, dg, ХЦ,ц1{,Хц1д ' , -V*^’ XiilaJ,Xnlbf,Xnlcf,Xiildf, цд, Xg, gg/f
чоФэ
чоФэ
Формула квадратичного преобразования185
записать в виде
/ ^d0.(6.4.12)
Все интегралы в (6.1.1), (6.3.2), (6.4.1) и (6.4.2) вполне уравновешенные.
Формула квадратичного преобразованиядля совершенно уравновешенных сбалансированных рядов ю^э
Подставим в (6.4.11) д = -А, д —-/иЬ = —а, так что А2 = -a2cdf2.
Тогда выражение в правой части (6.4.11) принимает вид
(g, -1, -а»,-р, А2; д^^Р, а^АР; g^WL df; g)o=
idW»Q?q-1;—>?q~x,af,—af,Xlf,—Xlf,cf,df;q,q^
__2%(-A^zW1^(Ь'&Л)
(g, -1, -a\ -p, A2; g^P, a'd?, a^p; g^cd, -cf, -df; g)^
ioW^AV; -XV\aL-af, X/f,-X/f, -cf,-df; g,g).
Теперь обратимся к интегралу в левой части формулы (6.4.11). Так как Цх; а, —а) = (a2e2is, а2е-2*6; g2)^ = h^; a2; g2),(6.5.2)
где я = cos 0 и £ = cos 20 = 2л2 - 1, то из (2.10.18) вытекает, что
Цх;Х-Х) Л(£;А2;д2) h(x;a,-a,f,-p~ h((;а\р;д^ _(А2^2^2//2^2)^
/2(1 - g2)(g2,at//2,g2/2/tt2,at/2;g2)oo
//3 (дЧ/а^дЧ/р^Ч-^^оо
Следовательно, согласно (6.1.1), интеграл в левой части (6.4.11) можно выразить как*
/2(1 - д2)(д2,а2//2,<?2/2/о2)Я2/2.д2)оо
//3 (д2^^^2»//2^2^,^2)^Р11
Так как А2 = —a2cdf\ то q-интеграл в правой части (6.5.4) с помощью (2.10.19) сводится к
"//3 (92u/a2,92m//2, -cdqu, -a2cdf2u\ д2)^ ,
Jai ^u^^-u^-uqxq^oo ^
P^-q^^'^IP^q^Pl^^q^oo
(а2с2, a2d2, с2/2 ,<i2P;qr)o<>
(—а2 с2 J2, —a2d?f2, a2c2<t2f2,—cdqf2, —a2cdj4\ q2^oo(-а2,-/2,-9/2,-“2с2<Р/4;»2)оо
' 8WT^-a2c2d2f4q~2;c2f2,d2f2,—f2,cd,cda2f2q-1-,q2, —qc?\
'(6.5.5)
Используя это выражение в (6.5.4) и приравнивая к (6.5.1), мы получим искомую формулу квадратичного преобразования
-"4^7/Т™ ioWV*; -А2,-1,а/, -а/, А//, -А//, с/, df; q,q) cf] 9)00
+«W^q^^^q-^aL-aLX/L-X/’fi-cL-d^q^
( dj^ cf,9)00
-rdf2 -rdn2^-^
caj , caa j ,q)oo ^p^p^^p.^
• 8W7^—a2c2d2f4q-2; c2f2,d2f2, -f2,cd,cda2f2q~1;q2,—qa2)(6.5.6)
при A2 = —cda2f2. Это соотношение обобщает на случай необрывающих- ся рядов формулу преобразования (3.10.3), когда бибазисный ряд Ф есть сбалансированный ряд юфэ . По поводу обобщения формулы (3.10.3) на случай несбалансированного ряда Ф см. работу Нассраллаха и Рахмана [N4],.
Интеграл Аски — Вильсона при max (|а|, |6|, |с|, |d|) > 1
Нашей целью в данном параграфе является обобщение формулы Аски — Вильсона (6.1.1) на те случаи, когда |9, < 1 и хотя бы один из параметров по абсолютной величине больше или равен 1. Поскольку интеграл в (6.1.1), который мы уже обозначили через /(a,5,c,d), симметричен относительно а, 6, с, d, то без потери общности можно предположить, что |а| > 1.
Сначала рассмотрим случай
(6.6.1)(6.6.1)|а| > 1 > тах(|6|, |с|, |с?|).
(6.6.1)
(6.6.1)
Если а = ±1, то функции Цх^!) и Цх;а\ входящие в подынтегральное выражение в (6.1.1), сокращаются, и из соображений непре-^ 1
рывности следует
Однако, если |а| = 1 и а / ±1, то Цх; а) = О для некоторого значения х в интервале (—1,1), и поэтому интеграл в (6.1.1) расходится. Точно также данный интеграл не сходится, если |agn| = 1 и aqn / ±1 для некоторого целого положительного п.''
■ Если существует целое.неотрицательное число т, такое, что
.[аГ+Ч < 1 < |«gm|,'(6.6.3)
и если ab^ ас и ad не равняются q~n ни для какого целого неотрицательного п, то интеграл в (6.1.1) сходится, и мы можем вычислить его следующим образом.
Заметим, что так как'
Л(®;я) = (ae*e,ae_,e;5)m+i Л(з:;ядт+1)
= я2т+29т+тЧ(я;я9т+1/д-т/я)/Л(^(6.6.4)
ТО
./(я,Ь,с,</) = я-;2т-29-т-т2
. (Х A(r;l,-l,gl-gi.g/я) dx J-i Цх\ b, c, d, ядт+1, q~m/a) Vl - ®2 ’I • 1 J
где все параметры b^c^d^aq^1 ,q~mIа знаменателя подынтегральной функции по абсолютной величине теперь меньше единицы. Согласно (6.3.8),.
°’ ^сч ) ^qibc1bd,cd,abqm^11acqm+1,adqm+1,bcdq/a;q)<Xi ^—2m—2q—m—m2.
^"т/а, cq^/a, dq"m/a; q)^
• sWi^bcda-^bc^bd^cd^q^a-2 ^q^^q^qy(6.6.6)
Ряд в (6.6.6) сбалансирован, и, следовательно, мы можем применить формулу суммирования Бейли (2.11.7). После некоторого упрощения получаем.
/(я,6, с, d) = Г"V- ^у1 V- г ■ + Ьт(а; b, с, d),(6.6.7)
(g, ао, ас, аа,ос, o^cajgjoo
где■
L (а- b dA = ^^l*1' 69/d> ^l^ Чт*Х, fl26cqm+1, д~т/я2,6cg~m; д^ "* ’ ’С’ (q,ab,ac,bc,abgm+\acqm+\adqm+1,aqm+1/d,abcq/d;q),x>
(bq-m/a, cq~m]a, dq~m/a, q~m/ad-, q^
• sW7(abcd-1; be, q~m/ad, aqm+l /d, ab, ac; q, q).
Согласно (2.10.1),
%W7(abcd-1; be, q~m/ad, aqm^Jd, ab, ac; q, g)
_ (abeq/d, q/ad, abq, acq; q^
~ (<bq/d,cq/d,q,a2bcq;q')oo
• 8W7(a?bc;abcd,ab,ac,a2qm*1 ,q~m; q,q(ad\(6.6.9)
(a26cg,g;g)m(a6g,acq;q^m(a26cg,g;g)m(a6g,acq;q^mПоскольку m есть неотрицательное целое число, то ряд в правой части (6.6.9) обрывается и, следовательно, по формуле Ватсона (2.5.1)
(a26cg,g;g)m(a6g,acq;q^m
(a26cg,g;g)m(a6g,acq;q^m
(a2 leg, q, aq/b, aq/c; q)m(qa2, abq, acq, q/bc-, q)m(a2 leg, q, aq/b, aq/c; q)m(qa2, abq, acq, q/bc-, q)mgWi^bc; abed, ab, ас, a2qm^1,q m;q, q/ad) =
(a2 leg, q, aq/b, aq/c; q)m(qa2, abq, acq, q/bc-, q)m
(a2 leg, q, aq/b, aq/c; q)m(qa2, abq, acq, q/bc-, q)m
" q m, ab, ac, q "Чай n bcq~m, aqjd, д-™'"’Ч
• 8^7• 8^7a2,qa,—qa,qb,ac,ad,a2qm+x,q m ga, —a, aq)b,aq]c, aqld,q~m,o?qm'x'1 ’^ abed
• 8^7
• 8^7
(a2bcq,q,aq/b,aq/c; q)m
<qa2,abq,acq,q/bc;q^m
(6.6.10)(6.6.10)(6.6.11)(6.6.11)у (a2;g)fc(l-e2g2k)(a6,ac,ad;g)t / j \* “ (q;q)k(l-a2)(aq/b,aq/c,aq/d;q)k\abcd)
(6.6.10)
(6.6.10)
(6.6.11)
(6.6.11)
Используя (6.6.10) и (6.6.9) в (6.6.8), получаем
-^т(®> Ь, С, d)-^т(®> Ь, С, d)2x(a 2;g)oo
-^т(®> Ь, С, d)
-^т(®> Ь, С, d)
(q, ab, ac, ad, b/a, с/a, d/а; q)^
^ (a2;g)*(l - e292fc)(efr,ec,ad;g)jk / g \*Г^ (.q-.q^l-a^Xaq/^aq/c^ld-'q^Xabcd)
K—V
Таким образом,
1 /i(z;l,-l,gi,-gi) dx2ir(a 2;g)oo
.j h(x;a,b,c,d) V1 - ж2 (g,e6,ac,a<f,6/a,c/a,<f/a;g)oo
у (a2;g)k(l - a2q2kXab,ac,ad;q')k ( 4 \k (9;g)k(l~ a2)(aqlb,aqlc,aqld-,q)k\abcd)
2^(abcd\ g)oo (g, ab, ac, ad, be, bd, cd^q)^
где тах(|5|, |c|, |d|, |g|) < 1, |agm+1| < 1 < |agm| для некоторого целого неотрицательного т, и произведения ab, ас, ad не равняются g"n, п = 1,2,.... Аски и Вильсон [А 127] доказали эту формулу, используя интегрирование по контурам. По непрерывности формула (6.6.12) останется также справедливой, если ограничение (6.6.3) заменить на aqm = ±1.
Отметим, чтс^если одно из произведений аб, ас или ad принимает вид q-n для некоторого целого неотрицательного п, интеграл в (6.6.12) все равно сходится, хотя знаменатель правой части равенства (6.6.12) обращается в нуль так же, как и знаменатель коэффициента перед суммой в (6.6.12). Если устремить ab к q7n, то, поскольку |6| < 1 и |а^т+1| < 1 < |адт|, должно выполняться условие п < т. Затем можно умножить (6.6.12) на 1 — abqn и вычислить предел при ab —► q~n. В результате получаем обрывающийся ряд 6^5 слева и его сумму справа, что дает формулу суммирования (2.4.2).
Если max(|c|, |d|, |g|) < 1 и имеются такие целые неотрицательные числа m и г, что .
.|agm+1| < 1 < |аГ1, Йг+1| < 1 < М, (6.6.13)
то рассмотренный ранее метод можно обобщить для вычисления интеграла 1(а, 6, с, d) при условии, что произведения ab, ас, ad, be, bd не равняются q-n и a/b / q^n ни для каких целых неотрицательных п. Разбивая Цх; Ь) на множители точно так же, как в (6.6.4), и используя (6.3.4), получаем
I(a,b,c,d?) = b-2r~VT-T1 J(a,bqr^,q-r/b,c,d,q/b)
. _ ^—2r—2^—г—г2 ___(g/bc1g/M^)ОО
d( 1 - qXq, c/d, dq/c, cd; q)^
fd j ..W^qu/d^u/b^q^ f1 _ lr+1 __r/l A
(6.6.14)
Однако, согласно (6.6.12),
, q T/b, u) dx, q T/b, u) dx
, q T/b, u) dx
, q T/b, u) dx
2л-(ади;д)оо
(g,g, abqr+1,aq-T/b; g)oo(au, frug^1, uq~r/b; q^
2л(бГ^д)оо"
(g, abqr+1,q"r/ab, bqr+l/a; g)oo(au,u/a; q)»
(6.6.15)(6.6.15)V' (a^g^lj^aV^Xet^g)* k ^ (9;»Ml-«2)(ag/«;g)fc V<lU) ‘
(6.6.15)
(6.6.15)
Так как в силу (2.10.18)
М d e(2“/£2g«/<gu/b£g)oo (eu;g)t , x-k
/с q ^qu/bcd,au,u/a-q')oo (aq/u;q)k(q
r_n*„-2*„-*(*+i)/2 fd a „„Wb^il^^Mbs— Jc 9 (qufbcd,auqk,uq-k/a-,q)0O
190190g-бета-интеграл Аски — Вильсона
190
190
(6.6.16)(6.6.16)d( 1 — qXQi с ( d, dq/c, cd, q(ab, aq/b; g)oo (q/bc, q/bd, ac, ad, с/a, d/a; g)oo (a6,ac,ad;g)fc / q \k
(6.6.16)
(6.6.16)
(aqlb,aq/c,aqld;q)k \abcd/ ’
TO
I(a,b,c,d) = Lm(a;b,c,d)
2x(adg, cdq, dq/b, qT^, qx”T/b2;q^oob~2T~2q~r~r2
(q, g, ad, cd, dq2/b, abq^^bcq^^bdq1^1, aq~r/b, cq-T/b, dq~T/b; q)^
• BW?(dq/b; bdqr+x,q, dq-T (b, q/bc, q/ab; q, ac),(6.6.17)
где Zm(a;6,c,d) определено в (6.6.11). Упрощение данного ряда %Wi мы выполним в два этапа. Сначала дважды используем (2.10.1), чтобы свести исходный ряд к сбалансированному ряду зИ^, а затем применим (2.11.7), чтобы получить
%Wi(dq/b;bdqT^x ,q,dq r/b, qlbc,qlab;q,ac)
(dq2jb, q/bd, abcdqr+x, acdq~r/b; g)oo(g1~r/62,gT+2,ac,gacd2; g)^
• sW^acd2; abed, bdqr+x,dq~r/b, ad, cd; q, q/bd)
(dq2 jb, aq/b, cq/b, q, abcdqr+x ,acdq~r/b; q^ (ac, adq, cdq, acdq/b, qr+2 ,qx~r/b2; g)^
•%Wi(acdb x;cd,ad,ac,qT^x ,q T/b2;q,q)
(dq2/b, aq/b, b/a, q, q/ab, abed, bcqr^x ,bdqr+x, eq”T/b, dq T/b; q^(ac, adq, cdq, dq/b, bd, be, qr^2^q^1 /a, q~T/ab, qx~T/b2; q^
b (dq2(b, q, bq/a, eq/a, dq/a, ad, qT^x,b2edqr^x, cdq~T, q-T/b2; q\ a (bedq/a, dq/b, be, bd, adq, cdq, qr^2, bq^/a, q~T/ab, qx~T/b2;q\
(6.6.18)(6.6.18)%%Wi(bcda x;bc,bd,cd,bqr^x/a,q T/ab;q,qY
(6.6.18)
(6.6.18)
Подставляя (6.6.18) в (6.6.17) и упрощая коэффициенты, получаем
7(a,b,c,^- Lm(a;b,с,<f) -^f:^ . .
(q, ab, ac,ad,bc,bd,cd;q)oo
_2i^(bq/a, cq/a, dq/a, qr+x, b2cdqT^x, cdq~r, q~r(b2; q^
(q, bc,bd, cd, abq1"^1 ,bcqr^1 ,bqr^ /a, aq~T/b, eq~T/b, dq~T; g)oo
А-2Г-1 -1 -r-r2
•/T^TT^T—\—%Wi(bcda l;bc,bd,cd,bqr^x/a,qx T/ab;q,q\
(q^lab^cdq/a^)^
(6.6.19)
Выражение в правой части (6.6.19) имеет тот же вид, что и в (6.6.8) с заменой а, Ь, с, d, т соответственно на b, d, с, а и т, поэтому, согласно (6.6.11).
оно равно
2т(Ь 2;g)oo(q^ba^bc^bd^alb^clb^dlb'^q)^'
. у' (62;»Ы1 - Уд^^Ъа^ЬсМ^д^к / 9 \к^ (»;»)*(! - b^bqla^ql^bqld-.q^k \abcd/
= Lr(b;c,d,a).(6.6.20)
В результате мы получаем
/(а, 6, с, d) — Lm (а; 6, с, d) — L^b; с, d, а)
(6.6.21)(6.6.21)_2?r(a6cd; q)^
(6.6.21)
(6.6.21)
(q, ab, ас, ad, be, bd, cd; q)^ ’
где параметры удовлетворяют сформулированным ранее условиям.
Теперь уже понятно, что точно таким же образом мы может разобрать случаи, когда три или все четыре параметра a,b,c,d превосходят единицу по абсолютной величине. Например, в наиболее общем случае, когда min(|a|, |6|, |с|, |d|) > 1 > |g| и
lag^1! < 1 < |аГ1, 1^+1| < 1 < |6^|,
(6.6.2?)(6.6.2?)|с9*+1| < 1 < |с9’|, 1^+4 < 1 < 1^'1,
(6.6.2?)
(6.6.2?)
для некоторых целых неотрицательных т,т,з,1, таких, что попарные произведения параметров a, b, с, d не равняются q-n и попарные отношения a,b,c,d не равны q^n при п = 0,1,2,..., мы имеем формулу
^(а, Ь, с, d) Lm(a, b, с, d) L^(b, c, d, о) I#8(c, d, a,6)
- Lt(d;a,b,c) =- Lt(d;a,b,c) =■ 2ir(abcd; q)^(q, ab, ac, ad, be, bd, cd; q^oo ’■ 2ir(abcd; q)^(q, ab, ac, ad, be, bd, cd; q^oo ’(6.6.23)(6.6.23)
- Lt(d;a,b,c) =
- Lt(d;a,b,c) =
■ 2ir(abcd; q)^
(q, ab, ac, ad, be, bd, cd; q^oo ’
■ 2ir(abcd; q)^
(q, ab, ac, ad, be, bd, cd; q^oo ’
(6.6.23)
(6.6.23)
где L8(c; d,a,b^ и L^d;a,b,c^ — конечные суммы того же типа, что и в (6.6.11) и (6.6.20), и их можно выписать очевидной заменой параметров.
Упражнения 6
Докажите, что
fw sin2 0 d91^(^-0102 03 04)
nU-^jeos^ + a^)i</<k<4V
при max(|a1|,|a2|,|a3|,|a4|) < 1.
Используя ^-бинбмиальную теорему и соответствующую формулу
преобразования для ряда 2Фх, покажите, что
Г1 /t(;r, 1,-1) dx , J-x Цх;а,-а^ V1 - s2 _2тф^г^,< г
(g, —g, aq^, —aq^, aqi, —agi, —а2; q^
Покажите, что
Г (е^е"2";^ de
Jo (qeli6iQe-2‘8;q2^<» i-izcosO* z1
" W,q2,q2*-,q2^ ^1 - »2n+1 w ’ * где 0 < q < 1 и |z?i| < 1.
При 0 < g < 1 и max(|a|,|5|,|c|,|d|) < 1 покажите, что
f1 Л(я; 1,-l,gi,/) dx
J-x h(x;a,b,c,d) VX - s2
2тг(а/, 6/, с/, -abcgi, abed; g)^(g, ab, ac, ad, be, bd, cd,-aq^, -bg^, —cgi, abcf; g)oo• eWi.^abcJq-1; ab,ac,be, -Jq”^^f/d;q, —dq^).
При max(|a|, |6|, |c|, |rf|, |g|) < 1 покажите, что
J-x h(x;a,-a,b,-b,c) Vx - ж2 _ 2тг(-д; д^-а^с2,-д2/с2; д2^ (^;9)оо(~а2, -Ь2,а2Ь2,а2с2,Ь2с2; д^оо*
Покажите, что если b = a""1, |с| < 1, |</| < 1 и |agm+1| < 1 < |agm| для некоторого целого неотрицательного т, причем ас, ad не равны д"п,п = 0,1,2,..., то
1^а,а 1,c,(Z) +1^а,а 1,c,(Z) +2я(да2)"1
1^а,а 1,c,(Z) +
1^а,а 1,c,(Z) +
(д, д, асд, adg, с/ад, d/ag; g)oo
у^1(1 - aiq'lW^acq,adq■,q>)kk.q|cd'У,
^ (1 - ?*+1)(1 - diqWX^k'^l^q^k 2тг
(g, д, ас, ad, с/а, d/a; д^
" ( a2 — gr + (ct/)”1 — дТ ас”1 — дт ad~x — дт
где I(a,6,c,d) определен в (6.2.1). При т = 0 ряд слева нужно считать равным нулю.
Дважды применяя (2.12.9), выведите из (6.4.8)
р Mcos#;!,-!,^,-^, A,/z) I ___
Jq O(COS0; 01,02,03,04,05,06)
GV A; 9)00 t* (A/a,;g)oo
• ioW9(A2g-1; X^/q, XlaiAlai, Xjaa, X/a4, A/os, X/ae; q,q)
, , (A2; 9)00 yr А^дЗоо(А/мЦМ^)”
•ioW9V.li1q~t\Xii.lq,iilai1p.la1,iilaa,nla4,iilab1^la6-,q,qY
/
6
где Ад = П “i, max(|4|,|a1|,...,|a6|) <1и
2=1
6
2r П(А/а„ /V«,i 9)00
A =
(9, а2, д2; 9)00 П («jet; 9)00
!<><k<6
//(Рахман [R7, R12J)
/
/
88WiWiДокажите, что
8
8
Wi
Wi
az,bz,cz,abcdqu x,q n;q,4Adz/
(q, az, a/z, bz, b/z, ez, abez, abc/Xz, X^q/abdz, p\ab( p^q^2ir(ab, ae, be, q/dz, zqx~n/d,abczqn, qp2 (dz, aq^^dp2', q)^
Aw A/' “,',)„!-l n^b-^IL^^
aq ae ae q abq Xq .
dp^ p p bd Xp^ abed /
(
p? pexe pe~t6 q ab Xp^q\dx
—;,, —, —, ~r~7*> Qicz j " 7="—■” S /
dz z z dz X abed/_ x2
где n = 0,1,2,..., |^| = 1 и max(|a|,|6|,|c|,|d|, |/z|,|а/д|,|6//z|, |а&с/Лд|,\Xpq/abd\, |^|) < 1.
13—1449
Выбрав А = abcdg 1, выведите из упр. 6.8, что
403403(д,аЬ,ц2;д)ОО 2ir(abp,2-g)oo(д,аЬ,ц2;д)ОО 2ir(abp,2-g)ooд~п, abcdq^-1, а^е^^ ар.е ^ е abp,\ ас^ ad '^
403
403
(д,аЬ,ц2;д)ОО 2ir(abp,2-g)oo
(д,аЬ,ц2;д)ОО 2ir(abp,2-g)oo
^а^' ^ ] т к(х;а^Ь^е^^е^)
е 403е 403g“n, abcdgn”x ab^g“n, abcdgn”x ab^ae'e, ae '8," dx
е 403
е 403
g“n, abcdgn”x ab^
g“n, abcdgn”x ab^
ас.> ad ' ^’ ^ ^/1 — x^ ’
где z = cos 0 и max(|a|, |6|, |д|, |g|) < 1.
Покажите, что
Г00 ^iaeus-iae~u, ibeu1 —ibe"u> iceu, —ice~u; g)oo J-oo (ig^eu^ -ig^ e~u .ige^ ~i^e~u, —igieu,igie~u; g^ (ideu,-ide”u;g)oo . . — —du
(-где^.где-^-д^
_ (In g”1 )(ab/g, ac/g, ad/g, bc/g, bd/g, cd,5, g; g^ (abed/g3;g)oo
при \abcd/<f\ < 1 и |g| < 1.
(Аски [A105])
Покажите, что
J0—Ч) —^2? 9)оо
= ВДГзСх+^адг^
г,(я + у + Л)Г,(х + у + 2А)Ге(^ + l)r,(fc + 1)
[Г(х)Г(1-х)р
Г,(х)Г,(1 - ®)Г,(х + 2А)Г,(1 - I - 2fc)
при Re х > 0, Re у > 0, |g| < 1, и к = 0,1,...
(Аски [А94])
Покажите, что
Jo Jo 12(-в<1,-«<2;»)оо
= I»№(i±A)£2№(i^
Г,(я + у + Л)Гд(а: + у + 2к)Гч(к + 1)Г?(А: + 1)(—aq1, —aqx+2k, -q2~xla, —q1-I-2k 1<ц q),»(-a, -a, -q/a, -q/a; g)»,при Re x > 0, He у > 0, |^| < 1, и к = 0,1,....
(Аски [А94])
Определяя w^a^b^c^d^ как в (6.3.1), докажите, что
w^a^aq^^b^bq^^ w(y;w^a^aq^^b^bq^^ w(y;a^aq^, b^bq^)
w^a^aq^^b^bq^^ w(y;
w^a^aq^^b^bq^^ w(y;
2т[(T^ioi^^2т[(T^ioi^^• [((^e^+^^e1^ ^;^)к|2^^У
2т
[(T^ioi^^
2т
[(T^ioi^^
(a2b2qjW, qw, q; q)^(a2qU~nw/2 ^2q(j-i)Hi/2 ,^+b^’
где x = cos#, у = cos^, |^| < 1, и к = 0,1,... .
(Рахман [R6])
Пусть С.Т. f(x) обозначает постоянное слагаемое в разложении Лорана функции f^x\ Докажите, что если j и к — целые неотрицательные числа, то
С.Т. (gz,!-1^)^!2 ^х-2-^2^
lq;q)Aq2;q2)k(g;g)j+2k
(Аски [А97])
Проверьте тождества Рамануджана
/°° e’^^^^-aqe2^, -bq€~2kx; q^ dx
_ Ут(аЬд; g)<»em2 ^ae2^^^ be”lmk^q\ q^ ’
11 J-oo^e^Vq^^Vq^q'ioo_ ^eml ^—аде2,так ^bge-21^-^^.^(abg; g)^
где g = e-2*"1 and |g| < 1.
(Рамануджан [R27] и Аски [A96])
Выведите формулы для ^-бета-интегралов
fi) Г H»WlVli»)^^ = £а№(Ь) /о (-<,-»/<; 9)00 t г,(а + 6)
и
13*
(~ HqVq^JtM»^ = -1м адад о (-t,-»/t;9)00 t 1-q т,(а + 6) ’
где 0 < q < 1, Re а > 0 и Re 6 > 0.
(Аски и Рой [А 123], Гаспер [G23])
ОО40-ОО40-ооОбобщите приведенные выше формулы для д-бета-интегралов
ОО
40-
ОО
40-
о
о
^Ч S Ч 1*14)00 1 .
И,-»/*; д)«> 4 ’"^оо г,(а 4- с)Г,(6 - с) 9; 9)оо Г,(а + 6) '
Г ,с-1 (-<9\-9в+7<;9)=0 ^
/о(-t,-9/M)~
_ Г(с)Г(1-с)Г,(а + с)Г,(Ь-с) _/ \п /ч хГ 7 ГТ\ >
где 0 < q < 1, Re (а 4- с) > 0 и Re (6 — с) > 0. (Рамануджан [R23], Аски и Рой [А123], Гаспер [G23])
Примечания в
Упр. 6.7. Подставляя ai = —аз = а, аз = —а< = aq^ а^ = Ь> а^ = с, А = а2 6g, д = а2с и используя упр. 2.25, Рахман [R12] вычислил данный интеграл в замкнутом виде и нашел сортветствующие системы биортого- нальных рациональных функций.
Упр. 6.8. Этот результат можно считать g-обобщением для случая обрывающегося ряда формулы Эрдейи [Е2]
• F(X — а, А — 6; д; tx^ F^a 4- 6 - А, А - д; с - д; (1 — <)»/(! — tx^ dt^
где |х| < 1, 0 < Re д < Re с.
Упр. 6.10. Аски [А105] нашел полиномы 4^3, которые ортогональны относительно весовой функции, связанной с данным интегралом.
>1>1dty • • • dtfidty • • • dtfiУпр. 6.11-6.13. Двойные интегралы в этих упражнениях представляют собой g-аналоги случая п = 2 для предложенного Селбергом [S9] важного многомерного обобщения бета-интеграла:
>1
>1
dty • • • dtfi
dty • • • dtfi
Г(ж 4- о* - 1)^)Г(1/ + Ц - ху^зх + 1)Г(« 4- у 4- (п 4- 3 ~ 2^Цх 4-1)
Здесь Re х > 0, Re у > 0, Re z > - min(l/n, Re x/(n — 1), Re y/(n - 1)).
Аомото [A87] рассмотрел обобщение интеграла Селберга и использовал имеющуюся в его интеграле дополнительную «степень свободы» для простого и элегантного его вычисления. Хабзигер [Н1] и Каделл [К8] привели доказательство ^-аналога интеграла Селберга, подтвердив гипотезу выдвинутую Аски [А94]. По поводу возможных многомерных обобщений интегралов из упр. 6.11-6.12, других предполагаемых ^-аналогов интеграла Селберга и связанных с ними тождеств типа «постоянного слагаемого», которые получаются с помощью корневых систем для соответствующих алгебр Ли, см. работы [А67], [А70], [А94], А97], AIOI], [АШ], [А112], Е4], [Hl], [К7НК12], [М1]-[М4], [М12], [М22], [МЗО], [R6], [S34], [S37] и Z2]-[Z4],
7
/
ПРИЛОЖЕНИЯ К ОРТОГОНАЛЬНЫМ ПОЛИНОМАМ
7.1. Свойство ортогональности
Пусть а(ж) — неубывающая вещественнозначная ограниченная функция, не являющаяся постоянной и определенная на (—со, оо), такая, что ее моменты
Дп = / x^da^, п = 0,1,2,...,(7-1.1)
'J — оо4
конечны. Говорят, что конечная или бесконечная последовательность полиномов Po($),Pi($),..., где рп(я) — полином степени п по переменной ж, ортогональна относительно меры (/«(ж), и называют ее ортогональной системой полиномов, если
Г°°
/Pm(®)Pn(®) da(x3 = 0, т^п. _(7.1.2)
В силу определения а(я) интегралы в (7.1.1) и (7.1.2) существуют в смысле Лебега — Стилтьеса. Если функция а(ж) абсолютно непрерывна и da^x) = w(x)dx, то соотношение ортогональности сводится к
/ Pm(x)pn(x)w(x) dx = 0, т^п,(7.1.3)
V—оо
и говорят, что последовательность {рп(^)} ортогональна относительно весовой функции w(x\,
Если а(ж) — ступенчатая функция (которую обычно берут непрерывной справа) со скачками Wj в точках х = Xj,j = 0,1,2,..., то (7.1.2) сводится к
^2Pm(xj)Pn($j)wj = 0, m / п.(7.1.4)
з•
В этом случае говорят, что полиномы ортогональны относительно функции скачков, и обычно их называют ортогон ал ьным и полиномами дискретной переменной..
Любая ортогональная система полиномов {рп($)}, принимающих вещественные значения, удовлетворяет трехчленному рекуррентному соотношению вида
яРн(я) ~ Anpn_|-i(x) 4- Впрп(х) 4- Спрп—1(ж)(7.1.5)
при р-1 (ж) = O,po(s) = 1, где коэффициенты Ап,Вп,Сп вещественны и АпСп^х > 0. Обратно, если соотношение (7.1.5) выполняется для некоторой последовательности полиномов {рп(^)}> такой, чтор„1(а:) = О,ро(ж) =
1 и Ап,Вп,Сп вещественны и AnCn+i > 0, то существует некоторая положительно определенная мера da^x^ такая, что
(7.1.6)(7.1.6)/°° , ч , ч , , ч / °, m / п, / M*(»W»)= ,-if da(xY т = п, J—ОО n J—ОО \ /7 7
(7.1.6)
(7.1.6)
где
Если {pn(s)J = {рп(^)}^о и ^nCn+i > 0 при n = 0,1,2,..., то мера сосредоточена на бесконечном множестве точек, соотношение (7.1.5) выполняется для всех п = 0,1,2... и (7.1.6) справедливо для т, п = 0,1,2,.... Если же (pn(z)} = {Рп(®)}„=о и ЛпС„+1 > 0 при п = 0,1,2,..., N - 1, где N — фиксированное положительное целое число, то можно выбрать меру так, чтобы она была сосредоточена только на N + 1 точках xq, хх ,..., xn^ рекуррентное соотношение (7.1.5) было справедливо при п = 0,1,..., А — 1 и (7.1.6) выполнялось при т, п = 0,1,2,..., N.
Данную характеризационную теорему для ортогональных полиномов обычно приписывают Фавару [F1], но она появилась ранее в опубликованных работах Перрона [Р4], Винтера [W20] и Стоуна [839]. Подробное обсуждение этой теоремы см., например, в книгах [А131], [С31], [F8] и [848]. •
В случае конечного числа точек рекуррентное соотношение (7.1.5) представляет собой дискретный аналог задачи Штурма — Лиувилля на собственные значения с граничными условиями p-i(s) = 0,p/v+i(a:) = 0. Если xq, хх, ..., xn — нули рм-н(Д которые, как легко показать, вещественны и различны (полное доказательство см., например, у Аткинсона [А131]), то соотношение ортогональности (7.1.6) можно записать в виде
NN
^Pmlx^PnUj^Wj = <* 52 wi 8т-п '(7.1.8)
j=0j=0•
при тп, п = 0,1,..., N, где Wj > 0 скачок в точке Xj и vn определяется, как в (7.1.7). Дуальное соотношение ортогональности
NN
(7.1.9)(7.1.9)52p"(^)p”(zt)y”= ю7* 52Юп ^ п=0п=0
(7.1.9)
(7.1.9)
при з,к = 0,1,..., А вытекает из того факта, что матрица, ортогональная по строкам, является также ортогональной и по столбцам. Можно
показать, что
. N
Wj = [^^^^(Xj^+^a:,)] ” ^шп, j = 0,1,..., N, (7.1.10) .■n=0
где штрих обозначает первую производную.
Вообще говоря, мера в (7.1.6) не единственна и при заданном рекуррентном соотношении не всегда возможно найти явную формулу для а(я). Даже для классических ортогональных полиномов, включающих полиномы Якоби ■.
^"Л®) = ^±^ 2ц (_п,„ + « + /? +1;« + 1; 1^)(7.1.11)
и ультрасферические полиномы
С"^ = (х^\ Р»"*’Х"^'
которые ортогональны относительно единственной меры (см. книгу Сеге [S48]), не так-то просто'найти эти меры, исходя из соответствующих ре- курретных соотношений (см., например, работу Аски и Исмаила [А 120]). Однако для широкого класса дискретных ортогональных полиномов оказывается возможным использовать рекуррентное соотношение (7.1.5) и формулы (7.1.8)-(7.1.10) для вычисления функции скачков Wj и, следовательно, меры. Мы покажем это в следующем параграфе на примере ^-полиномов Рака (Аски и Вильсон [А125]).
•7.2. Конечный дискретный случай:
(/-полиномы Рака и некоторые их частные случаи
Предположим, что {рп(^)} — конечная система дискретных ортогональных полиномов, которые удовлетворяют некоторому трехчленному рекуррентному соотношению вида (7.1.5) и соотношениям ортогональности (7.1.8) и (7.1.9) с весами Wj и нормировочными постоянными vn, заданными соответственно формулами (7.1.10) и (7.1.7). Мы будем теперь предполагать без какой-либо потери общности, что pn(^o) = 1 для п = 0,1,..., N. Это дает возможность переписать (7.1.5) в виде
(® — Хф^рп^х^ — Ап [рп^-1((г) — рп(^)] — Си [рп(х) — рп_1(ж)],(7.2.1)
где п = 0,1,..., N. Подставляя j = к = 0 в (7.1.9), мы получаем, что
‘NN'
52 Vn = w”1 52 wn-(7.2.2)
Понятно, что для того, чтобы получить те решения (7.2.1), которые допускают представление через базисные ряды, было бы полезно, N
если бы vn и $3 vn равнялись отношениям произведений сдвинутых п=0■
^-факториалов. Поэтому, помня о б</>5-сумме (2.4.2), возьмем
_d rn
(q^ntl-abqXbq.abq/^aq/d"^ С 9
А (1 - abqk) (1 - abq2k+1) (1 - aqk)(l - cqk)(l — bdqk)
(1 — qk>) (1 — abq2k~1) (1 — bqk)(l — a^k/c)(l — aqkld)cdq' «=1
'(7.2.3)
где bdq = q~N ,0 < q < 1, так что
N^n = 6^5n=0•N^n = 6^5n=0•abq^ q(abq) 2, -q(abq) 2 , aq, cq^q N . bqN (abq)i, — (abq)i, bq, abqjc^ abq^+2 ’c
N
^n = 6^5
n=0•
N
^n = 6^5
n=0•
(7-2.4)(7-2.4)fabq^
(7-2.4)
(7-2.4)
(bq,abq/c;q)N’
где по предположению параметры a,b,c,d таковы, что vn > 0 для n = 0,1,...,N. Ввиду (7.1.7) мы можем взять
Ak-i =Ak-i =(1 — a6qfk)(l — aqk)(Y — с^к)(1 — bdqk)(1 — a6qfk)(l — aqk)(Y — с^к)(1 — bdqk)(7.2.5)(7.2.5)
Ak-i =
Ak-i =
(1 — a6qfk)(l — aqk)(Y — с^к)(1 — bdqk)
(1 — a6qfk)(l — aqk)(Y — с^к)(1 — bdqk)
(7.2.5)
(7.2.5)
cdq(l-qkXl-bqk^l-abqk/c)(l-aqk/d^
Ск =(Т^Шуг*’(7.2.6)
где {гд?}^! — произвольная последовательность элементов т^ ^ 0,1 < к < N. Поскольку Со = 0 и Ao = (1 “ ag)(l — cq^l - bdqy^ то из (7.2.1) при п = 0 получаем .
Р1(^) =1 -Р1(^) =1 -(7.2.7)(7.2.7)(!-» ^(^-sq)^1
Р1(^) =1 -
Р1(^) =1 -
(7.2.7)
(7.2.7)
(1 - ?)(1 - «9)(1 - с»)(1 - bdqY
Это наводит на мысль о том, что мы должны искать для Pn^Xj) такое представление в виде базисного гипергеометрического ряда, у которого в (к + 1)-м слагаемом в качестве знаменателя содержится (g,a^, cq,bdq; q)k, что в свою очередь наводит на мысль рассмотреть обрывающийся ряд 4Ф3. Помня о произведении (—п)к(п 4- а 4- 0 + 1)А: в числителе у (к + 1)-го слагаемого в представлении (7.1.11) для полиномов Якоби Рп°’^\^) через гипергеометрический ряд и о дуальных соотношениях ортогональности (7.1.8) и (7.1.9), которые должны выполняться для рн^хз\ естественно искать такой ряд 4^3, (к 4- 1)-е слагаемое которого имеет числитель
(q-", qn^W, q-i, qi+-r+W. q^qk
Заменяя qa, q^, q1, q6 соответственно на a,5,c,d, мы затем приходим к рассмотрению ряда 4^3 вида
аФз ■аФз ■*q n,abqn^x,q ^cdq^x 'w aq^ cq,bdq.
аФз ■
аФз ■
Замечая, что (q"3 ,cdq3^x; q)k — полином степени к относительно переменной q~3 + cdq^1) мы устанавливаем, что если взять
Xj = q
то Xj — xq = -(1 - q-3)^ ~ cd.q^x\ и поэтому (7.2.7) выполняется при тк=(Д-о^к)~Х .(7.2.10)
Тогда AkCk-vi > 0 для 0 < к < N — 1, если, например, параметры а, 5, с вещественны, d = b~xq~N~x ^bc < 0, max(|ag|, |5g|, |cg|, |а5/с|) < 1 и 0 < q <
Теперь мы проверим, что полином
Pn(»j) = 4^3Pn(»j) = 4^3q nq nудовлетворяет (7.2.1) при х = Xj.Pn(Xj) - Pn-l(Xj)—g1-n (1 — abqудовлетворяет (7.2.1) при х = Xj.Pn(Xj) - Pn-l(Xj)—g1-n (1 — abqaq,cq,bdq ,.Непосредственные вычисления даютaq,cq,bdq ,.Непосредственные вычисления дают
Pn(»j) = 4^3
Pn(»j) = 4^3
q n
q n
удовлетворяет (7.2.1) при х = Xj.
Pn(Xj) - Pn-l(Xj)
—g1-n (1 — abq
удовлетворяет (7.2.1) при х = Xj.
Pn(Xj) - Pn-l(Xj)
—g1-n (1 — abq
aq,cq,bdq ,.
Непосредственные вычисления дают
aq,cq,bdq ,.
Непосредственные вычисления дают
(1 - ««)(! - ««)(! - bdq)(1 - ««)(! - ««)(! - bdq)/ qt ^/ qt ^, abqn+x,qx ^cdq^2 *aq^cq^bdq4■ ., abqn+x,qx ^cdq^2 *aq^cq^bdq4■ .при 0 < п < N. Поэтому нам нужно проверить, чтопри 0 < п < N. Поэтому нам нужно проверить, что
(1 - ««)(! - ««)(! - bdq)
(1 - ««)(! - ««)(! - bdq)
/ qt ^
/ qt ^
, abqn+x,qx ^cdq^2 *
aq^cq^bdq4■ .
, abqn+x,qx ^cdq^2 *
aq^cq^bdq4■ .
при 0 < п < N. Поэтому нам нужно проверить, что
при 0 < п < N. Поэтому нам нужно проверить, что
аФзаФзq ^abq^^q 3^c aq,cq,bdqq ^abq^^q 3^c aq,cq,bdq(1 ~ aqX1 - с^)(! - bdq)(1 ~ aqX1 - с^)(! - bdq)аФзаФзq n, abqH^2, qx ”^ ^ cdq^2q n, abqH^2, qx ”^ ^ cdq^222 lj 21 q^qaq,cq,bdq^,22 lj 21 q^qaq,cq,bdq^,(1 — ag)(l — cg)(l - bdq) A<^3(1 — ag)(l — cg)(l - bdq) A<^3qqaq2,cq2 ,bdq2aq2,cq2 ,bdq2;q>q ,;q>q ,
аФз
аФз
q ^abq^^q 3^c aq,cq,bdq
q ^abq^^q 3^c aq,cq,bdq
(1 ~ aqX1 - с^)(! - bdq)
(1 ~ aqX1 - с^)(! - bdq)
аФз
аФз
q n, abqH^2, qx ”^ ^ cdq^2
q n, abqH^2, qx ”^ ^ cdq^2
22 lj 21 q^q
aq,cq,bdq^,
22 lj 21 q^q
aq,cq,bdq^,
(1 — ag)(l — cg)(l - bdq) A<^3
(1 — ag)(l — cg)(l - bdq) A<^3
q
q
aq2,cq2 ,bdq2
aq2,cq2 ,bdq2
;q>q ,
;q>q ,
. (7.2.13)
где Ап и Сн задаются (7.2.5) и (7.2.6) с постоянными г^, определенными в (7.2.10). Используя (2.10.4) в обеих частях (7.2.13), сводим задачу к проверке того, что выполняется равенство
4^34^3q n,abqn+1ibq 3/c, bq^abqlc^bdqq n,abqn+1ibq 3/c, bq^abqlc^bdq;q.q;q.q
4^3
4^3
q n,abqn+1ibq 3/c, bq^abqlc^bdq
q n,abqn+1ibq 3/c, bq^abqlc^bdq
;q.q
;q.q
(1 - abqn^ (1 - bdqn^
Vq-'^^abq^^^bq-^lc^bdq^ "
4^3, l / lj 2>9» 9
. bq^abqjCybdq^.
JIz^MI^Z^Lm»
(1 - abe”+*)(l - bdg)
(7.2.14)(7.2.14)*q1 n,abqn+1 ,bq ^c^bdq^1
(7.2.14)
(7.2.14)
. bq^abq/c^dq2
которое непосредственно вытекает из соотношения
Pn(^j) —Pn(^j) —(7.2.16)(7.2.16)(9"n;9)fc (ai9n+1;?)fc+1 (i - Mgn+1)
Pn(^j) —
Pn(^j) —
(7.2.16)
(7.2.16)
Вильсона [W16], Их g-аналоги, определенные формулой (7.2.11), называются q-полиномами Рака.'
Отметим теперь некоторые важные частные случаи ^-полиномов Рака. Прежде всего подставим d = b-1q~N-i в (7.2.11) и заменим с на чтобы переписать g-полиномы Рака в более стандартных обозначениях: '*.abqn^ .q"*x .cqx~^ *
W^a.b^N^)^ аФз2m к ^ ’(7.2.17)
.L aq,q ” ,bcq
Тогда, согласно (7.1.8), (7.2.3) и (7.2.15), N8
E pto q)Wm(x; q)Wn(x; 9) = ^,(7.2.18)
где
W^q^W^x-.a^N-'qV,
Ptoq} = p($; a, 6, c, N; q)
- ^"N'qk t1 - ^"^ ^bcg,q~N-,g)x (.qiq')x^-cq-NXce-1q~N,b~1q~N,cq;q')x'
И.
hn(q) s Лп(а,6,с,7У;»)
_ (6g, ag/c; q)N (obg-.g^^l - abg2^ (aq,bcq,g-N’g)n N n (a6g2,l/c;g)w ^g^l - abqXbq^agJc.abgN^q^ ^ C’ ‘
'(7.2.20)
Подстановка c = 0 в (7.2.17) дает q-полиномы Хана
Qn(%) — Qn^x\a, 6, N; q) —Qn(%) — Qn^x\a, 6, N; q) —3^23^2q^^abq^1^""®aq^qq^^abq^1^""®aq^q;q>q;q>q(7.2.21)(7.2.21)
Qn(%) — Qn^x\a, 6, N; q) —
Qn(%) — Qn^x\a, 6, N; q) —
3^2
3^2
q^^abq^1^""®aq^q
q^^abq^1^""®aq^q
;q>q
;q>q
(7.2.21)
(7.2.21)
которые были введены в [Н2] и, согласно (7.2.18), удовлетворяют соотно
шению ортогональности
„«о\q>q)®\qtq)N-x
_ (abq1.q')N(,ag')~N (»;д)п(1-069X69,a69N+,;9)n_ чп_(?Улгп,
(9i9)w (ebg-,g)n(l-abg2n+1XaQiq~NiqV"'’^
(7.2.22)
m,n = 0,1,..., N.
Подставляя a = 0 в (7.2.17), получаем дуальные q-полиномы Хана [НЗ]
Rn^x^ = RMxXb,c,N;q)
зФ1
9 ,9 ,<=9 q~N ibcq
\q»q
(7.2.23)
Бесконечный дискретный случай: g-полиномы Якоби 205
где д(ж) - q~x A-cqx~Ns которые удовлетворяют соотношению ортогональ
ности
г=ог=оfatfMl - cq-NXb"xq-N,cq\q^tfatfMl - cq-NXb"xq-N,cq\q^tqN—^X-bcqy1qN—^X-bcqy1
г=о
г=о
fatfMl - cq-NXb"xq-N,cq\q^t
fatfMl - cq-NXb"xq-N,cq\q^t
qN—^X-bcqy1
qN—^X-bcqy1
(7.2.24)(7.2.24)_ (i/c;q)N IqMgy (._-n\~ =
(7.2.24)
(7.2.24)
(bq\q)N {bcq,q~N-,q)n ' m,n
при m,n = 0,1,..., ЛГ. По поводу некоторых приложений q-полиномов Хана, дуальных g-полиномов Хана и их предельных случаев см. работы [D3HD5], [D6], [D16HD19] и [S25)~[S35].
Бесконечный дискретный случай:малые и большие g-полиномы Якоби
В качестве g-аналогов полиномов Якоби (7.1.11) Хан [Н2] (см. также работу Эндрюса и Аски [А71]) ввел полиномы
Pn(x;a,b;q)= гф^-" ,abqn+1-,aq-,q,xq).(7.3.1)
Можно легко проверить, что
limPn(l^;9»,^9) = ^U.(7.3.2)
Он доказал, что
^М^**'^^= ^^-(7-3-3)
где 0 < g, ag < 1 и
а („ а.»\ - ^abq>^п^ ~ eb»2n+1 X»q;q)n(aq;»)«,,7,,.
м“л’)-_(Ж^да^^■ (7'3'4)
Отметим, что соотношения (7.3.3) и (7.3.4) вытекают также из (7.2.22), если заменить х на N - х и затем перейти к пределу при N -♦ оо. Для доказательства (У.3.3) предположим (это можно сделать), что 0 < m < п, и заметим, что
” (9-’”,a69"‘+1;9)
_ x Zg, ^ (6
^5 X.q,<iq;qX
q~mt abq^1^ aq^1
aq, aV+2;9’j’
(7.3.5)(7.3.5)_ tabq^mW-.qX», „„nJ?) с
(7.3.5)
(7.3.5)
= ТТЧ—\7х\~aQ) <Г2'0клги
(abq2;qbm(aq;q)oo
согласно ^-биномиальной формуле и ^формуле Заальшютца. В результате непосредственно получаем соотношение ортогональности (7.3.3), используя (1.5.2) и (7.3.5).
Легко проверить, что рп(ж; а» b; q) удовлетворяют трехчленному рекуррентному соотношению
ZPnW = A„(pn+1(x) - pn(z)] - Cn\pn(x') - Pn-1(*)]
(7.3.6)
при n > 0, где
_ (1 — абд”"*"*) (1 — ад"-*"1) , " " (1 - abq1»*1)^ ~ abq2*+2y 4 h
" ~ (1 - a6g2")(l - abq^y °4 h
(7.3.7)
(7.3.8)
так что условие AnCn+i > 0 выполняется для п = 0,1,..., если 0 < q, aq < 1 и bq < 1. При b < 0 полиномы p^x-.a^b^q) дают q-аналог полиномов Лагерра l5n\x), поскольку
Um р„ ((1 - q>; q°, -q0; q) = L^WW-(7-3.9)
9”
(7.3.10)(7.3.10)Эндрюс и Аски [А74] ввели второй g-аналог полиномов Якоби
(7.3.10)
(7.3.10)
Pn(x;a,b,c;q) = 3& aq,cq Л'4 *
который обладает свойством
№^q^q0v-^;q^=-^AA№^q^q0v-^;q^=-^AA(7.3.11)(7.3.11)
№^q^q0v-^;q^=-^AA
№^q^q0v-^;q^=-^AA
(7.3.11)
(7.3.11)
где 7 — вещественный параметр. Поскольку в (7.3.10) имеется третий свободный параметр, они назвали Pn(z;a,6,c;g) большими q-полиномами Якоби, а рДх; a, b; q) — малыми q-полиномами Якоби.
Теперь мы покажем, что большие q-полиномы Якоби удовлетворяют соотношению ортогональности
/ Pm(x;aJ>,c;q)Pn(x,aJ>,c-,q)^^^
Jcq\Х,Ьх / C,q)pQ
= .v(7.3.12)
М°Л c; q)
где
^-^«^^^(l-abq2n+')(aq,cq,q)n .„-(?) /71111 nn(a,b,c-,q) = M — — 5-777;—;г(-ас) q V2/ (7.3.13)
(?;?)n(l - abq^bq,abq/c;q)n
Бесконечный дискретный случай: g-полиномы Якоби 207
dqXdqXГ1 (х/а,х/с-,д')ов eq (х.Ьх/^д),»
dqX
dqX
(7.3.14)(7.3.14)aqtA^qyjbc/a^aq/^^^(aq,bq,cq, abq/c; q^
(7.3.14)
(7.3.14)
согласно (2.10.20). Поскольку
Г4<к I \ <\ (x/a,z/c;g)oo ,
_ Г4 (х/а,х/с;д')оо
Icq (iqMxgi/cigY» 4,f(69,ab9/c;9)>(o9.C9;9)fc(abg2;g),+fc
левая часть (7.3.12) становится равной мкЧс&д1с^ Wicg;q)m
^^ (Q'^^q'lktabg^^g^+k^^ (Q'^^q'lktabg^^g^+klqi*k.lqi*k.(7.3.15)(7.3.15)
^^ (Q'^^q'lktabg^^g^+k
^^ (Q'^^q'lktabg^^g^+k
lqi*k.
lqi*k.
(7.3.15)
(7.3.15)
где мы воспользовались (7.3.10) и тем обстоятельством, что, согласно
(3.2.2) и (3.2.5),
Pm(z;a,6,c; g)
(6g,a6g/c;g)mГ? т ,abqm*\bx;c,1
(7.3.16)
Предположим, что 0 < m < п. Так как в силу (1.5.3)
(a6^*+2;g)m(a6^*+2;g)m^Ьд^'У" ,^Ьд^'У" ,А (? m1abqm*x\q^j
(a6^*+2;g)m
(a6^*+2;g)m
^Ьд^'У" ,
^Ьд^'У" ,
“й kq.abq^'.q^ 4
то двойная сумма в (7.3.15) равняется
^д-\аЬд^;д^т"А* ^.аЬд-^-.дУ
Vabgixg^m.(9,«fr92m+2;9)<:
_ (9"n,«69n+1;9)n ,n+2.n/7Ч17А
" W;q)2n^bq )^ЗЛ7)
Подставляя данное выражение в (7.3.15), получаем (7.3.12).
Абсолютно непрерывная мера:непрерывные ультрас ферические д-полиномы
В этом и в следующем параграфах мы приведем два важных примера ортогональных полиномов, которые ортогональны относительно абсолютно непрерывной меры da(x) = w(x^dx.
В своих работах 1890-х годов, в которых были открыты знаменитые теперь тождества Роджерса — Рамануджана, Роджерс [R29-R31] ввел систему ортогональных полиномов, которые допускают представление через базисный гипергеометрический ряд и переходят в ультрасферические полиномы (7.1.12) в пределе при q 1. Следуя Аски и Исмаилу [А 119], мы будем называть эти полиномы непрерывными улътрасферическими q-полиномами и определим их через производящую функцию '
ОО
(tei^te-i8-^^(tei^te-i8-^^= £Сп(гМ\
(tei^te-i8-^^
(tei^te-i8-^^
п=0
где х = cos 6, 0 < 6 < к и max(|g|, |Z|) < 1. Используя g-биномиальную теорему, из (7.4.1) получаем
Сп^;^ =Сп^;^ =V-* (^' ?)*(^> Я^п-k с1(п-2к\в ^ (,я;я)к(я;я)«-к
Сп^;^ =
Сп^;^ =
(7-4.2)(7-4.2)_ (M-i
(7-4.2)
(7-4.2)
= 7~Т"С2Ф1\Я ,Р\Р Я \Я'ЯР е ).
\Я'Я)п■
Отметим, что
пп(^к^^п-к Цп-2к)в kl(n - ку(^к^^п-к Цп-2к)в kl(n - ку
п
п
(^к^^п-к Цп-2к)в kl(n - ку
(^к^^п-к Цп-2к)в kl(n - ку
(7.4.3)
■ Прежде чем рассматривать соотношение ортогональности для Сп(х; ^|д), мы выведем некоторые важные формулы для этих полиномов. В случае 0 < 9 < тг, |/3| < 1 подставим а = qP^e2'9^ b = q0~l, с = qe2'9 и z = 02qn в (3.3.5), чтобы получить-
2Ф1^-\0-13-1Ч1-п;д,д0-хе-2^
_ (W^l-^lL?!^ д („д-1 aB~le2i6-ae2i8‘ а в2ап\(^n+l,e-2i#.^) 1Ф1\ЯР 'Яр е 'Яе 'Я'Р Я J
. (^^j^^^^j^lzlZZlZ^i^i^
(9n+1,e2,s,g/3-|e-2,6,^-1g1-n;g)oo
•2^ (g/l-'.gr’e-^ige-2'8;?,^’’).■(7.4.4)
209209Абсолютно непрерывная мера
209
209
Последующее применение формулы преобразования (1.4.3) к двум рядам 2фг в правой части (7.4.4) дает
С„(;0|9)
f (е2<в-о)
J Vе '^оо „ine X to а_Ш.__Ивп+И
' |(/Зе2<«;9)оо wiWMe ,ge лл )
fe-2,*o)1
+ ТЫГ^ 2^ (А/Зе-^де-^-м"*1) k (7.4.5)
\Pe >9/00j
e-2ie.a\
Переписав правую часть (7.4.5) в виде g-интеграла, мы получаем формулу
nV 'РХЧ)" ^-д^Мд^д^^д^ <q;q^
(7-4.7)(7-4.7)^11^121151»,,п л „
(7-4.7)
(7-4.7)
^^ие-«л^ ^
которая была найдена Рахманом и Верма [R19].
Теперь используем (1.4.1), чтобы получить из (7.4.5) равенство
С„(х;/?|д) =С„(х;/?|д) =О^д; д)» (9, ^2; 9)00О^д; д)» (9, ^2; 9)00и^Мд)и^Мд)(^9)п №;9)п(^9)п №;9)п
С„(х;/?|д) =
С„(х;/?|д) =
О^д; д)» (9, ^2; 9)00
О^д; д)» (9, ^2; 9)00
и^Мд)
и^Мд)
(^9)п №;9)п
(^9)п №;9)п
(7.4.9)(7.4.9)Cn(cos5;/3|9)~^4^(9) 9)ооCn(cos5;/3|9)~^4^(9) 9)оо-ine , (^е Ш"'^оо inB(e-2<8;9)«-ine , (^е Ш"'^оо inB(e-2<8;9)«14—144914—1449_ ^' д^» |д(е'«)| COs(n5 - а), (9i 9/оо_ ^' д^» |д(е'«)| COs(n5 - а), (9i 9/оо(7.4.10)(7.4.10)
(7.4.9)
(7.4.9)
Cn(cos5;/3|9)~^4^
(9) 9)оо
Cn(cos5;/3|9)~^4^
(9) 9)оо
-ine , (^е Ш"'^оо inB(e-2<8;9)«
-ine , (^е Ш"'^оо inB(e-2<8;9)«
14—1449
14—1449
_ ^' д^» |д(е'«)| COs(n5 - а), (9i 9/оо
_ ^' д^» |д(е'«)| COs(n5 - а), (9i 9/оо
(7.4.10)
(7.4.10)
гдеА^ = Й"’^" п ° = аг8 л(с**)-гдеА^ = Й"’^" п ° = аг8 л(с**)-(7.4.11)(7.4.11)Дальнейшие результаты по асимптотикам Cn^x\P\q^ см. у Аски и Исмаила [А118] и у Рахмана и Верма [R19]. 'Если использовать (3.5.4), чтобы выразить ^x^q”1^^; P~xqx-n\ q^qP^6""1'^ в виде конечного совершенно уравновешенного ряда %4п по базе q^ и затем применить (2.5.1), то мы получимДальнейшие результаты по асимптотикам Cn^x\P\q^ см. у Аски и Исмаила [А118] и у Рахмана и Верма [R19]. 'Если использовать (3.5.4), чтобы выразить ^x^q”1^^; P~xqx-n\ q^qP^6""1'^ в виде конечного совершенно уравновешенного ряда %4п по базе q^ и затем применить (2.5.1), то мы получим2^1 ^^хГ'ч^-ЛЛГ'е-^2^1 ^^хГ'ч^-ЛЛГ'е-^I0~xq^~w\q^kI0~xq^~w\q^k♦ 4^3♦ 4^3Уп/2,^е~"-^^* *~P>q^”n^e”x8s —q^~nf2e~'8 ^ ^Уп/2,^е~"-^^* *~P>q^”n^e”x8s —q^~nf2e~'8 ^ ^Wk(^» qkWk(^» qk9-пце-м лфз9-пце-м лфзq-n/110qn/1,0kie,0k-ieq-n/110qn/1,0kie,0k-ie-0,0Цк~0^-0,0Цк~0^;qkq^;qkq^(7.4.12)(7.4.12)в силу (2.10.4). Однако; согласно (3.10.13),в силу (2.10.4). Однако; согласно (3.10.13),*Фз*Фзq п^2sPqn^^Р^е'8^Р^е х8 i-0,0цк-рц^ q 'чq п^2sPqn^^Р^е'8^Р^е х8 i-0,0цк-рц^ q 'ч■q-n,02q\Pki8,0k-iePqk-0,-0q^ 'q'q■q-n,02q\Pki8,0k-iePqk-0,-0q^ 'q'q(7.4.13)(7.4.13)и, следовательно, в силу (7.4.2), (7.4.12) и (7.4.13),и, следовательно, в силу (7.4.2), (7.4.12) и (7.4.13),Cn(cos 6; 0\q)Cn(cos 6; 0\q)■q-n,02qn,0kie,0k-iePqk-P, -Pq^■q-n,02qn,0kie,0k-iePqk-P, -Pq^;q>q;q>q(7.4.14)(7.4.14)Поскольку ^(cos^lg) = |A(e‘*)|“2 для вещественных p, в силу теоремы 40 из работы Невая [N6] и асимптотической формулы (7.4.10) полиномы Cn(cos0; (3^ ортогональны на [О,тг] относительно меры ^(cos^lg)^, — 1 < Р < 1. Можно также угадать весовую функцию, подставляя Р = qx и сравнивая производящую функцию (7.4.1) и разложение (7.4.8) с предельными случаями при д-*1ис весовой функцией (1-€2’0)Л(1-е-2’*)* для ультрасферических полиномов CA(cos0).Теперь мы приведем прямое доказательство соотношения ортогональностиПоскольку ^(cos^lg) = |A(e‘*)|“2 для вещественных p, в силу теоремы 40 из работы Невая [N6] и асимптотической формулы (7.4.10) полиномы Cn(cos0; (3^ ортогональны на [О,тг] относительно меры ^(cos^lg)^, — 1 < Р < 1. Можно также угадать весовую функцию, подставляя Р = qx и сравнивая производящую функцию (7.4.1) и разложение (7.4.8) с предельными случаями при д-*1ис весовой функцией (1-€2’0)Л(1-е-2’*)* для ультрасферических полиномов CA(cos0).Теперь мы приведем прямое доказательство соотношения ортогональностиcos 6; Р^Сп(со§ 0; P\q)\Vp(cos 0|g) d0cos 6; Р^Сп(со§ 0; P\q)\Vp(cos 0|g) d0^m,n hn(P\qY^m,n hn(P\qY(7.4.15)(7.4.15)
где
А^ = Й"’^" п ° = аг8 л(с**)-
где
А^ = Й"’^" п ° = аг8 л(с**)-
(7.4.11)
(7.4.11)
Дальнейшие результаты по асимптотикам Cn^x\P\q^ см. у Аски и Исмаила [А118] и у Рахмана и Верма [R19]. '
Если использовать (3.5.4), чтобы выразить ^x^q”1^^; P~xqx-n\ q^qP^6""1'^ в виде конечного совершенно уравновешенного ряда %4п по базе q^ и затем применить (2.5.1), то мы получим
Дальнейшие результаты по асимптотикам Cn^x\P\q^ см. у Аски и Исмаила [А118] и у Рахмана и Верма [R19]. '
Если использовать (3.5.4), чтобы выразить ^x^q”1^^; P~xqx-n\ q^qP^6""1'^ в виде конечного совершенно уравновешенного ряда %4п по базе q^ и затем применить (2.5.1), то мы получим
2^1 ^^хГ'ч^-ЛЛГ'е-^
2^1 ^^хГ'ч^-ЛЛГ'е-^
I0~xq^~w\q^k
I0~xq^~w\q^k
♦ 4^3
♦ 4^3
Уп/2,^е~"-^^* *
~P>q^”n^e”x8s —q^~nf2e~'8 ^ ^
Уп/2,^е~"-^^* *
~P>q^”n^e”x8s —q^~nf2e~'8 ^ ^
Wk(^» qk
Wk(^» qk
9-пце-м лфз
9-пце-м лфз
q-n/110qn/1,0kie,0k-ie
q-n/110qn/1,0kie,0k-ie
-0,0Цк~0^
-0,0Цк~0^
;qkq^
;qkq^
(7.4.12)
(7.4.12)
в силу (2.10.4). Однако; согласно (3.10.13),
в силу (2.10.4). Однако; согласно (3.10.13),
*Фз
*Фз
q п^2sPqn^^Р^е'8^Р^е х8 i
-0,0цк-рц^ q 'ч
q п^2sPqn^^Р^е'8^Р^е х8 i
-0,0цк-рц^ q 'ч
■q-n,02q\Pki8,0k-ie
Pqk-0,-0q^ 'q'q
■q-n,02q\Pki8,0k-ie
Pqk-0,-0q^ 'q'q
(7.4.13)
(7.4.13)
и, следовательно, в силу (7.4.2), (7.4.12) и (7.4.13),
и, следовательно, в силу (7.4.2), (7.4.12) и (7.4.13),
Cn(cos 6; 0\q)
Cn(cos 6; 0\q)
■q-n,02qn,0kie,0k-ie
Pqk-P, -Pq^
■q-n,02qn,0kie,0k-ie
Pqk-P, -Pq^
;q>q
;q>q
(7.4.14)
(7.4.14)
Поскольку ^(cos^lg) = |A(e‘*)|“2 для вещественных p, в силу теоремы 40 из работы Невая [N6] и асимптотической формулы (7.4.10) полиномы Cn(cos0; (3^ ортогональны на [О,тг] относительно меры ^(cos^lg)^, — 1 < Р < 1. Можно также угадать весовую функцию, подставляя Р = qx и сравнивая производящую функцию (7.4.1) и разложение (7.4.8) с предельными случаями при д-*1ис весовой функцией (1-€2’0)Л(1-е-2’*)* для ультрасферических полиномов CA(cos0).
Теперь мы приведем прямое доказательство соотношения ортогональности
Поскольку ^(cos^lg) = |A(e‘*)|“2 для вещественных p, в силу теоремы 40 из работы Невая [N6] и асимптотической формулы (7.4.10) полиномы Cn(cos0; (3^ ортогональны на [О,тг] относительно меры ^(cos^lg)^, — 1 < Р < 1. Можно также угадать весовую функцию, подставляя Р = qx и сравнивая производящую функцию (7.4.1) и разложение (7.4.8) с предельными случаями при д-*1ис весовой функцией (1-€2’0)Л(1-е-2’*)* для ультрасферических полиномов CA(cos0).
Теперь мы приведем прямое доказательство соотношения ортогональности
cos 6; Р^Сп(со§ 0; P\q)\Vp(cos 0|g) d0
cos 6; Р^Сп(со§ 0; P\q)\Vp(cos 0|g) d0
^m,n hn(P\qY
^m,n hn(P\qY
(7.4.15)
(7.4.15)
где |g| <’1,|^| < 1 и
hn(P\q) =hn(P\q) =lq.P1vYoo tq;qW - Pqn)
hn(P\q) =
hn(P\q) =
Абсолютно непрерывная мера211
Как будет видно в следующем параграфе, можно доказать (7.4.15), используя (7.4.14) и g-бета-интеграл Аски — Вильсона (6.1.1); однако здесь мы дадим прямое доказательство, используя, как у Гаспера [G19], для вычисления интеграла формулы (7.4.2), (1.9.10) и (1.9.11). Поскольку подынтегральное выражение в (7.4.15) является четной функцией от 0, то достаточно доказать, что
/ Cm(coS9;0\q)Cn(coS9;3\q)Wg^oS9^ rT^V(7.4.17)
когда 0 < т < п. Сначала покажем, что для любых целых к,
rхГ 0,если к нечетно,
/ е k6WA(cos 9\q) d9 = <A(7.4.18)
J_xpv47( Q/2(PH/)> если к четно,v7
где
(/), ) = W^»W(7.4.19)
(?,^-;?)сю(^?;9)?
Согласно g-биномиальной теореме,
/ e'keW^05 9^(19
J — t
= у у U^;qW-';4y Г c^^r-2^de ^^ ^qMq;q^J-.
что обращается в нуль, когда к принимает нечетные значения, и равня-
ется
“ (q;qMq;q^.+j
= 2^^-^^^ (3-',3-'^з+'^,32)
когда к = 2j, j = 0,1,... . В силу (1.-L5), данный ряд 2Ф1 равняется
_ (Mq-'.q').» (q\q)i
(9,34qV U)qvn, 4 Ь
Отсюда ввиду симметрии IV^cos9\q^ по переменной 9, позволяющей нам рассматривать отрицательные к, получаем (7.1.18). Следовательно, в силу (7.4.2), интеграл
14*
j е'квCn(c<K 9; .i^W^cos 9\q)d9(7.4.20)
обращается в нуль, когда п — & принимает нечетные значения, и равен
2%(& 0q\ q)^ (0; qW”1^^
* 403
7)ОО (?; «)п(№ qh ^^^-^-^-ч1^,а а ^-i^lq^-*,-q-i'M •
(7.4.21)
когда п — * = 2у — четное число'. Как вытекает из (1.9.11), данный ряд 4^з и, следовательно, интеграл (7.4.20) равняются нулю, когда n > |fc|. Значит, соотношение (7.4.17) справедливо, когда m / п. Если к = ±п / О, то (1.9.10) дает "
Г e^Cntcos^ll^W^cosfllt) 46
J — 7Г
— ^(^>^> g)«>U^* д^ -
(7.4.22)
откуда вытекает, что (7.4.17) выполняется также и при т = п.
7.6. Полиномы Аски'— Вильсона
Зная представление (7.4.14) для непрерывных ультрасферических ^-полиномов через ряд 40з, естественно рассмотреть более общие полино
мы
Гп(®)= 4<1>3
q n,aqn',l3eie,0e~'e
.7>V
;q,q
(7.5.1)
степени п относительно г = cos# и попытаться установить такие значения параметров а, 0, ч, Ь^ с, для которых данные полиномы ортогональны. Поскольку обрывающийся сбалансированный ряд 40з можно преобразовать в другой сбалансированный 40з-ряд и в совершенно уравновешенный ряд 807, которые удовлетворяют трехчленным формулам преобразования (см., например, (7.2.13), (2.11.1), упр. 2.15 и трехчленное рекуррентное соотношение для 7-полиномов Рака), все это приводит к рассмотрению сбалансированного ряда 403. Как следует из формулы преобразования Сирза (2.10.4), если подставить а = abcdq”\0 = а^ = ab^b = ас и с = ad, то полиномы
PnW = Pn(»;a,6,c,d|7)= (a6,ac,ad;7)na~n 403PnW = Pn(»;a,6,c,d|7)= (a6,ac,ad;7)na~n 403q~H sabcdqn \aet6.)ae t5 e ab, шц ad ’q~H sabcdqn \aet6.)ae t5 e ab, шц ad ’
PnW = Pn(»;a,6,c,d|7)
= (a6,ac,ad;7)na~n 403
PnW = Pn(»;a,6,c,d|7)
= (a6,ac,ad;7)na~n 403
q~H sabcdqn \aet6.)ae t5 e ab, шц ad ’
q~H sabcdqn \aet6.)ae t5 e ab, шц ad ’
(7.5.2)
будут симметричными относительно a, 5, c, d. Кроме того, для вещественных 9 эти полиномы являются аналитическими функциями от a,6,c,d
и принимают из-за присутствия коэффициента (a6,ac,ad;g)na“n вещественные значения, когда а, 5, с, d вещественны, или образуют комплексно-сопряженные пары, когда а, 6, с, d комплексны.
Аски и Вильсон [А127] ввели данные полиномы как g-аналоги полиномов Вильсона 4F3 [W16, W17]. Поскольку эти авторы вывели соотношение ортогональности, трехчленное рекуррентное соотношение, разностное уравнение и другие свойства рп(я; о» b, с, d|g), то сейчас эти полиномы называют полиномами Аски — Вильсона.
Поскольку трехчленное рекурретное соотношение (7.2.1) для д-по- линомов Рака продолжает оставаться справедливым и без ограничения bdq = д~^, то, переходя в нем к обозначениям для рп(ж; a,b,c,d\q\ мы убеждаемся, как и в работе Аски и Вильсона [А 127], что рекуррентное соотношение для данных полиномов можно записать в виде
(7.5.3)(7.5.4)(7.5.5)(7.5.3)(7.5.4)(7.5.5)2хрп(х) = АпРп^х) 4- Впрп^ + Спрп^х^ п > О, при р-1 (а?) = О,ро(ж) = 1, где
(7.5.3)
(7.5.4)
(7.5.5)
(7.5.3)
(7.5.4)
(7.5.5)
_1 - abcdqn~x
_ (1* gn)(l - abq^”1^! - acgn“1)(l — adqn~x) п(1 — abcdq1^""^ (1 — abcdq^**1)
• (1 - 5cgn~1)(l - bdqn*x^l - cdqn~x) и
Bn = a 4- a-1 — Ana~1(l - abqn)(l — acgn)(l — adq11)
,- Cna/(1 - abqn-xXl - ас^Д! - adq"-1). (7.5.6)
Понятно, что коэффициенты An, BniCn вещественны, если являются вещественными параметры a,6,c,d или если они комплексны и образуют комплексно-сопряженные пары. Далее, АпСп.ц > 0,п = 0,1,..., если попарные произведения параметров a,6,c,d меньше единицы по абсолютной величине. Поэтому по теореме Фавара существует мера da^x), относительно которой полиномы р^х\ a, b^ с, d|g) ортогональны. Для нахождения этой меры предположим, что max(|a|, |6|, |с|, |d|, |g|) < Г. Тогда, согласно (2.5.1),
p4cose;a,b,c,d\q)
(a6,ac,bc,de-ie,;9)n -ng (afreet; 4)„®
• 8^7 (abce,eq~1',ae‘e,bet6,ce‘e,abcdqn-11q~n;q1qd~1e~*6) (7.5.7) и, согласно (2.11.1),
8^7 ^abcet9q~x; ael6, bet9, cet9, abcdqn~x, q""n; qd^e^'9)
^abce*9,bcde*9qn,be*9qn+x, ce,6gn+1,ае”*9 ,be~*9,ее-*9,de~*9qn; q)^
(ab, ас, be, qn+1, bdqn, cdqn, beq’^e2*9, e~2*9; q)^
• sW? (bcqne2t9; bcqn, be*9, cet9, qa”xet9, qd^e'9; q, adqn) ^abce*9, abce~*9qn, bcde~ie qn ,be~*e qn+x, ce”*9qn+x; q^
+ (qn+x ,bdq1\cdqn,abce*9qn,bcqn+1e~2*9; g)oo
(ae*9 be*9 ce*9 de*9*
(abyac^ad^^q)^
■8^7 (6cgne~2‘,;bcgn,6e~i#,ce~i6,ga~1e-<#,gd~1e~,,;g, adgn), (7.5.8)
где 0 < 0 < тг. Следовательно,
pn^eos0*,a,b,c,d\q^
= (bc,bd,cd,q)n {Qn (el9*,a,b,c,d\q) + Qn (e~'e;a,b,c,d\q)} , (7.5.9) где
Q4z;a,b,c,d\q)
(abczqn ,bcdzqn ,bzqn+x ,czqn+x ,a/z,b/z,c/z,d/z*,q) ^ n(6c, bd, cd, abqn, acqn, qn^T, bcz^1^1, z”2; q)^
•8^7 ^bcquz2\bcqn,bz,cz,qa-xz,qd-xz;q,adqn^ .(7.5.10)
В силу (7.5.10), ясно, что при п —► оо имеем
Qn(z;a,6,c,</|g) ~ znB^^/^bc^c^q)»,(7.5.11)
где
B(z') = ^az^bx^z^z^q'loo/^-.q^oo,(7.5.12)
что справедливо равномерно по z, a, b,c, d на компактных множествах, не содержащих полюсов z2 = q-k, к = 0,1,... . Используя (7.5.9), получаем
pn(cos6;a,b,c,d\q)
~ein8B(e-<,) + e-<n8B(e<e)
= 2|В(е^)| cos(n5 - ^),(7.5.13)
где (3 = argB(e'*) и 0 < б < х (см. работу Рахмана [R8]). Далее,
|В(е*в)|2 = [sin У w(cos9;a,6, c,d|g)]-1,(7.5.14)
где для согласования с обозначением рп(х; a,b, c,d|g) мы использовали символ w(2;a,b,c,d\q) для весовой функции w^x;a,b,c,d), определенной в (6.3.1). Из теоремы 40 работы Невая [N6] следует, что pn(x;a,b,c,d\q) ортогональны на [—1,1] относительно меры w(x;a,b,c,d\q)dx, когда max(|a|,|6|,|c|,|</|,|g|)< 1.
Теперь мы дадим прямое доказательство соотношения ортогональностит
I Pm(x)pn(x)w(x) dx = -^2-,(7.5.15)
J-l"
где w(x) = w(x; a, 6, c, d|g) и
^n = b,n(^a,b, C,d\g>)
_ -X, .,, x ^abcdq"1 ;»)„(!- абс^2"-1)
K (,a, ,c’ 9 (?;?)n(l — abcdq*1')^ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)n (7.5.16)
при
к(а, 6, c, d\g) = j w^x; a, 6, c, d\g) dx
=5
(g, ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)oo* *
согласно (6.1.1). Сначала заметим, что, в силу (7.5.17),
j (ае'в, ае~'в; д)(be'e,be~';g)kw(x;a,b,c,d\g) dx
= j w(x;ag^,bgk,c,d\g) dx
, = K(agj,bgk,c,d\gy •(7.5.18)
Используя (7.5.2) и тот факт, что рп(х; a,b, c,d\g) = pn(x;b,a,c,d\gy мы получаем, что левая часть соотношения (7.5.15) равняется
к(а, Ь, с, d\g)(ab, ас, ad; g^m^ba, be, bd; q)na"*mb n
(7.5.19)(7.5.19)
(7.5.19)
(7.5.19)
™ ^q m,abcdqm x;q}
> v7ГТ~\L<1 3<^2
^^q,abcd;q^
g n,abcdgn x,abq^ abcdqi,ab ^'^ *
^cd,abcdqm х,д т;.д^п(g1-n/ab;g)n(abcd;q)2n
abedg^™1 1; abcdg2n; д, g)
^dvabcd^A^lSk («mZjlk- ^-"/аб; qX (abed; q\n (abedq^; q)m_n
(7.5.20)(7.5.20)(Q,cd;q)n(l- abedq *)(abcdg~x, ab; g)n (1 — abcdg2n-T)
(7.5.20)
(7.5.20)
Сочетание (7.5.19) и (7.5.20) завершает доказательство (7.5.15).
Аски и Вильсон доказали более общее свойство ортогональности, используя интегрирование по контуру. Они показали, что если |g| < 1 и попарные произведения и отношения параметров а, 6, с, d не равняются q-k при к = 0,1,..., то
Pm(®)Pn(®)w(®) Дх + 2тг ^2 pm(a:*)p„(a:*)w* к
(7.5.21)(7.5.21)
(7.5.21)
(7.5.21)
hnk^b. c,d\qy
где точки Хк имеют вид | (jqk 4- f""1q~k) при /, равном любому из параметров а, 6, с, d, который по абсолютной величине больше единицы (сумма берется по тем значениям к для которых \/q^ > 1) и
wk = wk^a,b,c,d\q^
(Q i 9)oo • ^q^ab^ac^ad^bla^cla^dla^q^oo ’
. J^Wfc^^( 4 \kГ 7 5 221
U;q)k(l - a2)(aq/b,aq/c,aqld\q)k \abcd) ’'
когда Xk = 7 (aqk + a^q"*^. Доказательство и подробное обсуждение см. в работе Аски и Вильсона [А127]; см. также упр. 7.31.
Чтобы получить q-аналог полиномов Якоби, Аски и Вильсон положили1
* 4^3* 4^3(7.5.23)(7.5.23)(7.5.24)(7.5.24)а = д(2«+1)/4^ = 9(2а+3)/4 с = ^PWM^ _qW-^/4 и определили непрерывные q-полиномы Якоби формулой
* 4^3
* 4^3
(7.5.23)
(7.5.23)
(7.5.24)
(7.5.24)
п-п n+a+0+1 n^a^/4pi6 n^a^hp-i9 ]
4ЛЛ •
(^liz^lii^n, (9,-9!9)п(^liz^lii^n, (9,-9!9)п• *Фз• *ФзС другой стороны, Рахман [R2] обнаружил, что удобно работать с, на первый взгляд, другим ^-аналогом, а именно с
(^liz^lii^n, (9,-9!9)п
(^liz^lii^n, (9,-9!9)п
• *Фз
• *Фз
ЛЛЛЛ(7.5.25)(7.5.25)q n, gn+a+/?+i, qie*®, q^e 16qa-Vl^qPA-i^q
ЛЛ
ЛЛ
(7.5.25)
(7.5.25)
Однако, как отметили Аски и Вильсон, эти два q-аналога на самом деле не являются различными, поскольку, согласно формуле квадратичного преобразования (3.10.13),
' ^(«192) = ^Х^) qanP(n’e4x;qY (7.5.26)
Отметим, что
lim Р^Ч^д) = Пт Рка’РЧх; 9) = Р^Ч*).(7-5.27)
^д,да+Х,дР+Х, -^°>+0+Ы\ _q(a+0+2)/2. g^2^Г(д<"+0^^^д,да+Х,дР+Х, -^°>+0+Ы\ _q(a+0+2)/2. g^2^Г(д<"+0^^g->lд—►!
^д,да+Х,дР+Х, -^°>+0+Ы\ _q(a+0+2)/2. g^
2^Г(д<"+0^^
^д,да+Х,дР+Х, -^°>+0+Ы\ _q(a+0+2)/2. g^
2^Г(д<"+0^^
Соотношения ортогональности для этих ^-аналогов
/ P^-'’>(cosS|g)P<Q^)(cos6|g)w(y;g4) ^ = —
Joап
— это
(7.5.28)
-(«,^19) •
Г Р^’ЭЧ^8 9; д)Р^'рЧ^°8 9; g)w(0; g)de = —
Jo"nV
A/?; 9)’
(7.5.29)
где 0 < q < 1, а >
ю(У; g) =
1
2 ’
(ег^, —ег^; q^ ^^ie13^ —q^^e'9] q)^
2
/
(7.5.30)
«п(а,£к) =
(7.5.31)(7.5.31)(1 _ 9«+/3+l) ^qa+1 ,q0+\ -q(a+P+3')/2. q^ 9
(7.5.31)
(7.5.31)
И
Mp, £;g) =Mp, £;g) =2r(g»+W;g)oo2r(g»+W;g)oo(g, q^1, qW, -q^1, -gw - g“+^+1, -q; g)^
Mp, £;g) =
Mp, £;g) =
2r(g»+W;g)oo
2r(g»+W;g)oo
(l-g2"+“+№) (,даЛ"рл"11д,-д,-д1-д;д')пд~п
(1 — qa"VP^^ (9a+1,9^+1) ~Qa+15 "“Q^1» —g«+^+ij q^ '
(7.5.32)(7.5.32)
(7.5.32)
(7.5.32)
Из (7.4.14), (7.5.24) и (7.5.25) ясно, что
. ^„(соб^д^д)
= ^ .l^n q-^/2p<nx~»’X-^\cos0\g)(7.5.33)
= -7^—^-g-^Pr'^’^’Vcos^gh. (7.5.34)
^д(2А-И)/4_9(2А+1)/4;9^
Можно также показать, что
Gn(x;gA|g) = 7-7 ’ ~9' 9\ д-п1гР^"^'^Ч^ - М, (7.5.35)
’ ^^n+l— п/2
Cin-vxv^iQ 19)\1 \1»9)>
'(92,-92;9)
(7.5.36)
(7.5.37)(7.5.38)что, согласно(7.5.37)(7.5.38)что, согласноа это q-аналоги квадратичных преобразований
(7.5.37)
(7.5.38)
что, согласно
(7.5.37)
(7.5.38)
что, согласно
соответственно. Для доказательства (7.5.35) заметим,
(7.4.2),
С2п(со8»;5Л|9)■
(^^Зп 2.п8 А (л”2" лХ П1-Х-2п.л л1-^-™}
— "7;—е20i {q ,q ,q ,q,q e J
(9i9)2n‘'
и, следовательно, по формуле Сирза — Карлптца (см. упр. 2.26)
C2n(cos5;gA|g)
(9>9)гп А
*4^3 l-A^n а^-пЛг91(7.5.39)
Обращая ряд 4^3, мы получим
C2n(cosfl; ?A|g)
q'M'^q / n _ — п/2 л "7\9 ' 4<?>3(9,9^;9J \/ пq'M'^q / n _ — п/2 л "7\9 ' 4<?>3(9,9^;9J \/ пq п^п+}^^e2ie,q^е 2геqx*^,-q^-qq п^п+}^^e2ie,q^е 2геqx*^,-q^-q;9,9 •;9,9 •
q'M'^q / n _ — п/2 л "7\9 ' 4<?>3
(9,9^;9J \/ п
q'M'^q / n _ — п/2 л "7\9 ' 4<?>3
(9,9^;9J \/ п
q п^п+}^^e2ie,q^е 2геqx*^,-q^-q
q п^п+}^^e2ie,q^е 2геqx*^,-q^-q
;9,9 •
;9,9 •
(7.5.40)
Это представление вместе с (7.5.26) дает (7.5.35). Доказательство (7.5.36) оставлено в качестве упражнения.
Следуя Аски и Вильсону [А 127], мы получим теперь другой интересный частный случай полиномов Аски — Вильсона. Сначала отметим, что соотношение ортогональности (7.5.15) можно переписать в виде ■
; а, 6, с, d|^)pn(cos 9; а, 6, с, d\q)w(cos 9; а^ b, с, d|g) sin 9 d9
^т,п
hn(a,b,c,d\qy
Заменим 9 на 9 4- Ф, а на ае1^ и b на ае“*^ и затем подставим с = be^^ d = be"^ с тем, чтобы получить с учетом периодичности, что если — 1 < а, b < 1 или b = а и |а| < 1, то
(7.5.42)(7.5.42)j pm(cos(^ + ^);a,6|g)pn(cos(^ + фУа,Ь^^(9) d9
(7.5.42)
(7.5.42)
Pn^b\qV
где
pn(cos(0 + фуа, Ь|д) = (а2, ab, abe2^] q)n(ae^) 1pn(cos(0 + фуа, Ь|д) = (а2, ab, abe2^] q)n(ae^) 1, Гд п 1a2b2qn~1 sae2t^x9 ^ае"*403[a^ab.abe2^, Гд п 1a2b2qn~1 sae2t^x9 ^ае"*403[a^ab.abe2^W^ =W^ =(е2.(б+Ф);9)(е2.(б+Ф);9)-ie 12-ie 12(7.5.43)(7.5.43)(ае*^, be^9 s ае^9^^ п Ье^9"^2ФУ q)(ае*^, be^9 s ае^9^^ п Ье^9"^2ФУ q)(7.5.44)(7.5.44)
pn(cos(0 + фуа, Ь|д) = (а2, ab, abe2^] q)n(ae^) 1
pn(cos(0 + фуа, Ь|д) = (а2, ab, abe2^] q)n(ae^) 1
, Гд п 1a2b2qn~1 sae2t^x9 ^ае"
*403[a^ab.abe2^
, Гд п 1a2b2qn~1 sae2t^x9 ^ае"
*403[a^ab.abe2^
W^ =
W^ =
(е2.(б+Ф);9)
(е2.(б+Ф);9)
-ie 1
2
-ie 1
2
(7.5.43)
(7.5.43)
(ае*^, be^9 s ае^9^^ п Ье^9"^2ФУ q)
(ае*^, be^9 s ае^9^^ п Ье^9"^2ФУ q)
(7.5.44)
(7.5.44)
и
Pn(«,%) =Pn(«,%) =(д, а2, b2, ab, ab, abe2'^ abe 2t^; g)
Pn(«,%) =
Pn(«,%) =
4л(а262;д)оо
(1 — а2Ь2д2п-1) (а262д-1;д)
(7.5.45)(7.5.45)(1 — а262д-1)(д,а2,62,а6,а6, аЬе2^,а6е-2<^;д)п'
(7.5.45)
(7.5.45)
Выпишем рекуррентное соотношение для этих полиномов:
2 cos(0 -f- <£)pn(cos(0 4- ф); a, b\q)
= Anpn+i(cos(^ 4- ФУ a, b\q) 4- Bnpn(cos(9 4- ФУ a, b\q) Л-СпРп-х^об^Л-фУа^Ь^(7.5.46)
для п = 0,1,..., где р-1(з:; а, Ь|д) = 0,
1 — а2Ь2оп—^п (1 - а2Ь2д2”-1)(1 - a2b2q2^Y
_, _ (1 — qn)(l — a2qn J)(l — b2qn 1)(1 — abqn 1)(1 — abqn *) n(1 - a26292n-2)(l - a2b'2q'2"-1')
• (1 - abe2,*9n-1)(l - abe-2*'*^-1)(7.5.48)
и
Bn = ае1ф + а-ге-4ф - Апа-ге-1ф(1 - a2gn)(l - a69n)(l - аЬе21фЧп>) - Спае1фК1 - а2^”-1 )(1 - а6е2,*9п-1)(1 - абд""1).(7.5.49)
Если подставить а = qa,b = q^,6 = ж Ing в (7.5.42) и затем перейти к пределу при q —► 1, то в результате мы получим
/
ОО
рт(®;а,/?)рп(х;а,^)|Г(а + «®)Г(0 + t®)|2dz = 0, m / п, (7.5.50)
•ОО
где /-п г ~п,п + 2а 4*2/3 - 1,а - ix 1
рп(а?;а,/3) = 1*3^2а4-&2а;1 *(7.5.51)
См. работы Суслова [S42, S43] и Аски и Вильсона [А126, А127] по поводу дальнейших деталей.
Коэффициенты связи
Предположим, что fn^x) и д^х^ п = 0,1,..., суть полиномы в точности степеней п от х. Иногда интересно выразить одну из этих последовательностей в виде линейной комбинации полиномов из другой последовательности, скажем п
ff»(®) = 53(7.6.1)
*=0
Числа Ск,п называются коэффициентами связи. Если же полиномы fn^ ортогональны на некотором интервале I относительно меры da^, то число Ск<п является k-м коэффициентом ряда Фурье для дп(х) по отношению к ортогональным полиномам /к(х^ и, следовательно, его можно выразить с точностью до множителя как интеграл Jt fk(x)gn(x)da(x).
Особенно интересной задачей является определение условий, при которых коэффициенты связи неотрицательны для конкретных систем ортогональных полиномов. Формулу (7.6.1) иногда называют проекционной формулой, когда все коэффициенты неотрицательны. Приложения к положительно определенным функциям, изометрическим вложениям метрических пространств и к неравенствам см. у Аски [А90, А91], Аски и Гаспера [А113], Ганголли [G1] и Гаспера [G14]. В качестве примера мы рассмотрим коэффициенты с*,п в соотношении
п
(7.6.2)(7.6.2)Рп(г; а, Р, 7, Ф) = 53 <*.nP*(s; а, b, с, ф).^=0 .
(7.6.2)
(7.6.2)
Аски и Вильсон [А127] показали, что
(7.6.3)(7.6.3)(ad, Pd, nd, q, abcdqk~x; q)k (q; q)„_k 4 * 4k-niO‘P'<dqn"x"k~x ,adqk,bdqk,cdqk. s^4 abcdqlk,adqk,pdqk,ndqk ,4’4
(7.6.3)
(7.6.3)
Для доказательства (7.6.3) временно предположим, что тах(|а|, |6|, |с|, I^U^I) < 1> и заметим, что в силу ортогональности ицтеграл
bk,j = У w(z; а, 6, с, </[^^^(а:; а, 6, с, d^de*8, de-18; g)j dx(7.6.4)
обращается в нуль, если j < к, и что
Ьк,з = к(а,Ь,с, d|g)(a6, ас, ad; д)ка~к
(ad,6d,cd; g^j , g-k,abcdqk-x,adgi (abcd;g)j 3^ . , abcdgj,ad '^Ч
= к(а, b, c, d|g)(a6, ac, be, g-); g)k(ad, bd, cd; g),(d^)*/(abed; q)j+k, (7.6.5)
если j > к. Так как
pn(®;a,0,7,d|g)
= (ad,/?d,7d;g)nd "^ 'i=o= (ad,/?d,7d;g)nd "^ 'i=o(7.6.6)(7.6.6)(q n,a^dgn 1,dei8,de i8;q). .
= (ad,/?d,7d;g)nd "^ 'i=o
= (ad,/?d,7d;g)nd "^ 'i=o
(7.6.6)
(7.6.6)
(g,ad,0d,'td;g^j 4
TO
Ck,n = hk(a, b, c, d|g) j w(x; a, b,c, d\q)pk(x; a,b,c, d|g)pn(x; a, /3,7, d|g) dx
(g n,a^dqn x;q).(q,ad,0d,^d;q)j q k’3(g n,a^dqn x;q).(q,ad,0d,^d;q)j q k’3n
(g n,a^dqn x;q).
(q,ad,0d,^d;q)j q k’3
(g n,a^dqn x;q).
(q,ad,0d,^d;q)j q k’3
= hk(a, b, c, d|g)(ad, 3d, id; g)nd~n ^ . i=o
(7.6.7)
и, следовательно, формула (7.6.3) вытекает из (7.5.16), (7.5.17) и (7.6.5).
Хотя ряд 5Ф4 в (7.6.3) является сбалансированным, его нельзя, вообще говоря, преобразовать простым способом и поэтому трудно рассчитывать на определенные выводы о неотрицательности с*,та, если только не существует некоторой связи между параметрами. Один из простейших случаев — когда ряд 504 сводится к некоторому зф^ который можно просуммировать по g-формуле Заальшютца. Таким образом, при Р = b и 7 = с имеем .п
pn(®;Q,6,c,d|g)= ^ct|npfc(a:;a,b,c,d|g),(7.6.8)
к=0
где
(7.6.9)(7.6.9)_ (а/а; g)n_k (abedg""1; q)k(g, be,bd, cd; g^nan-k Ск,П (q,bc,bd,cd; q^k(abcdgk-x;g^k(q, abcdq2k; g)n_k'
(7.6.9)
(7.6.9)
Очевидно, что c*>n > 0, когда 0 < a < a < 1, 0 < q < 1 и max(6c, M, cd, abed?) < 1.
Другой простой случай возникает, когда ряд 5^4 в (7.6.3) сводится к суммируемому ряду 4^3. Например, это происходит, когда мы подставим d = gl,c = —gi = 7,6 = — а и 0 = —а. Ряд 5^4 тогда сводится к
(7.6.10)(7.6.10)(7.6.11)(7.6.11)qk ^а^дп^к ^aqk"^ ,—aqk"^
(7.6.10)
(7.6.10)
(7.6.11)
(7.6.11)
agfc+l, —ag*+i,a2g2*+1’9,9| ’
что равняется
(a2gn+fc+1,g*""*1,g2g*+"+2,q2qk-n^/a2; g2)^2 n+fcx(n-fc)/2
(g,a2g2fc+1,a2g2,=+2,a2g2/a2;g2)oo Vх 4)
по формуле Эндрюса (см. упр. 2.8). Ясно, что это выражение обращается в нуль, когда п — к есть нечетное целое число, и равняется
(7.6.12)(7.6.12)(qa?. q^a?: о2) о. (q. a^Jc?; ..•
(7.6.12)
(7.6.12)
(ga2,g2a2;g2)n_,’
когда n — к = 2j, j = 0,1,..., [у]. Поскольку, согласно (3.10.12) и (7.4.14),
pn(®;a,-a,-gi,gz|g) '
= ^^y^Cn(x;a2|g2),(7.6.13)
ka iQ)n
после некоторого упрощения мы получаем формулу Роджерса
Cn(®;7k) =Cn(®;7k) =(«WtoMi -^(«WtoMi -^Cn-2fc(®;^l9),Cn-2fc(®;^l9),(7.6.14)(7.6.14)
Cn(®;7k) =
Cn(®;7k) =
(«WtoMi -^
(«WtoMi -^
Cn-2fc(®;^l9),
Cn-2fc(®;^l9),
(7.6.14)
(7.6.14)
заменив а2, о?, q2 соответственно на 7,/3 и д.
В качестве упражнения (упр. 7.15) остается показать, что формулы (7.6.2) и (7.6.14) являются частными случаями q-аналога формулы Филдса — Вимпа, данной в (3.7.9)..
По поводу других приложений формулы (7.6.2) для коэффициентов связи см. работу Аски и Вильсона [А127]..
Разностное уравнение и формула Родригадля полиномов Аски — Вильсона
Полиномы pn(x;a,6,c,d|g) в отличие от полиномов Якоби не удовлетворяют никакому дифференциальному уравнению; однако, как показали Аски и Вильсон [А 127], ойи удовлетворяют разностному уравнению второго порядка. Положим по определению
^/(е^) = / (д±1е<») ,(7.7.1)
6J (е*е) = (Е+ - Е^ f (е‘6)(7.7.2)
и Dqf(x) = ^/£^1, х = cos У.(7.7.3)
ОдХ .
Ясно, что
^g(cos^) = ~ ^gi - q“^ (e,s — е”*6) = -ig“$(l - g)sin0, (7.7.4) и 6q ^ае^^ае"*'9^)^ = 2aiq~^(l - gn)sin0 (a^e^ag^e-*^^^!, (7.7.5)
поэтомуx
Dq (ae*#,ae~,e;9)n = -2°^_ ^ \aq^ete,aq^e~*e;q')w_i. (7.7.6)
Это означает, что оператор разностного отношения Dq играет ту же роль для ^ае*9 ^ае-**9^)^ что d/dx для хп. При q —* 1 формула (7.7.6) принимает вид
(1 — 2ах 4- а2)п = —2an(l — 2ах 4- a2)””.
-dx
В общем случае для дифференцируемой функции /(£) имеем
lim Dqf^ = -£/(*).
g-*lах
Следуя Аски и Вильсону [А127], воспользуемся теперь оператором Dq и рекуррентным соотношением (7.5.3) для вывода формулы Родрига для полиномов Pn(^; a,5,c,d|g). Сначала отметим, что, в силу (7.5.2) и (7.7.5),
#,p„(®;a,6,c,d|9)
= —2t<7~"/2 sin# (1 — 9n)(l — qn-1 abcd'jpn-i^x;aqY,bq^ ,cq^ ,dq^\qY '(7.7.7)
Если положить
' а(1 — a-e*9) (1 — be*9) (1 — ce*9) (1 — de*9)' ..
) =(1 - elieyi - qe«e\(7‘7'8)
и.
/ i»\/ \ q-nabcdqn-\ aet8, ae-*81
rn(e ) = 4^3’ a4b ac’ad ’;9,9],(7.7.9)
то рекуррентное соотношение (7.5.3) можно записать как
■ Г"(1 - 9n)(l - abcdq^y^ •
= А^ [rn^-V6) - rn(e1»)] + А^ [rn(ge‘#) - rn(e")].(7.7.10)
Далее, подставляя - .
(e^^'ciA
V(e'8A = —^2 Г7 7 111
1 ;(ae'^be^.cei»,^»;^
мы получаем, что соотношение (7.7.10) может быть выражено в форме
(7.7.13)(7.7.13)Г"(1 - gn)(l - abcdq^V^W^^PnW= 6q [{^(е")} VE;V(e^ {Vn(^)}] .
(7.7.13)
(7.7.13)
Комбинируя (7.7.7) и (7.7.13), мы имеем
- q-"#W6W(e~ieWx;a,b,c,d\q)
= 6, [{£,+V(e«)} {£;V(e-<9)} (eie - e"«)
• Pn-iU;aq^,bq^,cq^,dq^\q) ..
(7.7.14)
Поскольку.
(e,e - e"^ Я+К^Я-у^-^)
(е«» - e“^) ^ешуqe-^j^q^
A(cos 0; aq^ )/i(cos 0; bq^ )/i(cos 0; cq^ )/i(cos6;dq^ W (e,e;aqi ,bqi, cqi,dq^lq) .
~e'* - e~i8’
формулу (7.7.14) можно записать в несколько более удобном виде: 1q-n/2 W (е,е; a,b,c, </|g)p„(i:; а, 6, с, d|g)
= 6д (е‘е - e'^^W^-^q^bq^ cq^dq^q)
Замечая, что
V1 ~ x^w^x; сц 6,с,d\q^) = Ж(е*е; a^b^c^ d\q) и итерируя (7.7.15), мы приходим к равенству V1 ~ x2w(x; а, by с, d\q)pn(x; а^Ь^с,d\q)•
/ 1X П/ 1X П= ( 1)* f^пк/^-Цк^/А
/ 1X П
/ 1X П
,C5n/2,dgn/2|9) .
.(7.7.16)
Это выражение представляет собой формулу Родрига для полиномов Аски — Вильсона.
Комбинируя (7.7.7) и (7.7.15), легко убедиться, что полиномы рп(х) = Pn^x^a^b^c^d^ удовлетворяют разностному уравнению второго порядка
D, V1 - z2w(®; aq^, bq^,cq^, dq^|g)P,p„(®)
+ AnVl - x2w(x;a,b,c,d\q')pn(x') = 0,'(7.7.17)
где.
An = -49(1 - Г")(1 - abcdq^X^ " ЧГ1. (7.7.18)
Упражнения 7
Пусть {pn($)} — система ортогональных полиномов на (—оо,оо) относительно положительной меры do (ж), которая сосредоточена на бесконечном множестве точек. Покажите, что эти полиномы удовлетворяют трехчленному рекуррентному соотношению вида
хрпМ = АпРп^х) + Впрп^ + CnPn-i^X^ п > 0,
при р-1(ж) = 0, ро(ж)= 1, где АП)ВП)СП — вещественные числа и. АпСп^1 > 0 для п > 0.
Пусть Ро($),Р1($)> • • • iPn(x) — система полиномов, которые удовле-. творяют трехчленному рекуррентному соотношению
• хрп^ = АпрпДгХ^ + впрп^х\ + Спрп-1^
при n = 0,1,..., JV, где р-1(ж) = 0,рь(ж) = 1. Докажите формулу Дарбу — Кристоффеля
П'■
(s - У^^Рзк^РзкУ^з = ^n«n [Pn+i(®)Pn(y) - Рп(®)Рп+1(у)] >=o
при 0 < n < N, где vo = 1 и vnCn = yn-Mn-i Д < n < N. Выведите, что
^Pj^i = Ап«п [p'n+i(x)pn(x) - p^(z)pn+i(r)] J=0
и, следовательно, что'
' N.
^P^k^j = ANVNPNlXkVN+l^k), j=0-
если Xk есть нуль PN4-i(^)-.
Покажите, что в случае п = N рекуррентное соотношение (7.2.1) сводится к
(1 - q-3) (1 - cdq3*1') PN^Xj) = CN [pjv(®j) - PN-i(®j)],
где Pn(^j) задается формулой (7.2.11), Xj — формулой (7.2.9), Ап и Сп — формулами (7.2.5) и (7.2.6). Следовательно, покажите что (7.2.1) справедливо при х = Xj,j = 0,1,..., N.
(Аски и Вильсон [А125])
Пусть рп(®з\ Рп и Wj определяются соответственно формулами (7.2.11), (7.2.3) и (7.2.15). Докажите непосредственно (т. е. не используя теорему Фавара), что
NN
3^0j=0
и NN
Y^P^X^Pn^k^n = W"1 £wn 6j.k- n=0n=0
[Указание: сначала преобразуйте один из полиномов, скажем pn(p)s в кратное ряда 4<fo, стоящего в левой части соотношения (7.2.14).] 7.5. Пусть один из параметров равняется д”1 в целой неотрицательной степени, и пусть .'
.z6,с,d
Ф(^Ь) = 4фз ' V ;q,q ,где efg = abcdq. Докажите следующее соотношение смежности:A^aq~\bq) 4- Вф^а^ 4- C<£(ag,6g“l) = О,
где
А = 6(1 - b^aq - b^a - е)(а - /)(а - д^
. В = ab(a — bq)^a — b)(aq — b)^l — с)(1 — d) .
- 6(1 - b^aq - b\a - е)(а - /)(а - р)
а(1 - а)(а - 6д)(е - 6)(/ - Ь^д - 6),
• С = —а(1 - а)(а - bq\e - 6)(/ - Ь\д - 6).
(Аски и Вильсон [А 125])
Определите условия, которым должны удовлетворять параметры а, 6, с, с? для того, чтобы AnCn+i > 0 при 0 < п < N — 1, где Ап и ■ Сп определены в (7.2.5) и (7.2.6) и одно из произведений aq,cq,bdq равняется q~N,N — целое неотрицательное число.
Докажите (7.2.22) непосредственно, используя соответствующие формулы преобразования и суммирования, выведенные в гл. 1-3.
(i) Докажите, что q-полиномы Кравчука
Кп^®1 a-) N*, q') —
3Ф2
q п1х1—а *qn
ЛЛ
227227Упражнения 7
227
227
удовлетворяют соотношению ортогональности
£ Km(q-=; a, N; q^q-; a, N; №^(-<У
x=qvq^q)®
-(-aa-^aA aM”*’) (9;*)n(1 + ^X-»"1»^1^^
( qa ,q)Na q (-a-i;g)„(i + a-ig2”)(<r";g)„
•(-agN+1)-"g"<"+1><m,„,
и найдите для них трехчленное рекуррентное соотношение.
(Стентон [S27])
(и) Через
К„(х; a, N\q) = 2^1 (q"n, х; q~N\ q, aqn+1) обозначим другую систему q-полиномов Кравчука, Докажите, что они удовлетворяют соотношению ортогональности
£ Кт^ a, N^a, N\q№^£^^
х=0Мадда-*
= teM2i^(_1T
Докажите, что
®Pn(s) = Яп (pn+i(x) — pn(x)]-Cn [?„(«)- Pn-i(«)], n>0, где pn(x) = Рп(®; о, 6; д) есть малые g-полиномы Якоби и
-g" (1 - ag"*1)) (1 - a6g"+1)(1 - д") (1 - 6д") (-ад")
n (l-a6g2"+!)(l-abg2"+2) ’ n (1 - аЬд2")(1 - абд2^1)'
Докажите, что
(Ж - 1)Р„(х) = Ап (Р„+1(х) - Р„(х)] + С„ [Р„(х) - Р„-1(х)], п > 0,
где Р„(®) = Рп(®;в,Ь>с;д) — большие д-полиномы Якоби и
_ (1 - agn+1) (1 - сд"+1) (1 - abg"+1)
n“ (l-abg^+^fl-abg2^2)
= (1-д")(1-Ьд”)(1-аЬС-у)
(1 - а6д2")(1 - абд2"*1)9'
Аффинное q-полиномы Кравчука определяются формулой
Knff(x-,a,N;q)= Зф2 р ’ ®^ ^N; g,gj , 0 < aq < 1.
(2)(2)Докажите, что они удовлетворяют соотношению ортогональности
(2)
(2)
'рКт" ^М К*“ (q-;a,N;q^ '™^~ (-2
^-Т^^ m,n = 0,1,...,ЛГ,
где h" = ^5 ^” НГМ"'Y^).
(Дельсарт [D3, D4], Данкл [D16]).
Определяя д-полиномы Мейкснера соотношением
Mn(x;a,c;q) = 2& ^Tn,x;aq;q,-qn"'"1/с)
При 0<ад<1ис>0, покажите, что они удовлетворяют соотношению ортогональности ■
^M^q-^a^Wq^^qU^^= ^2.,
^(9, -«eq; q)xл»
где•
, (-асд^д^оо^д^п пП ^д^д^дс-1^9 *
(При а = д~Т-г данные g-полиномы Мейкснера сводятся к g-полиномам Кравчука, рассмотренным Корнвиндером [КЗО].)
Определяя д-полиномы Шарлъе формулой'
Сп(х; а; д) = '2Ф1 (д~п, х; 0; g, ~gn+1/0)
покажите, что ооX х
^c.n(q-eWqy4q~^a^>^^
= (-<i;q')oo(<q)-qu~1;q)nq~n6m,n. ■
Покажите, что при х = соз^
sin(n 4-1)0
^п(®»д|д) —. д — Un^x^ п > о,
ииV 1-9" hm ——— fl-i 2(1 - Р)V 1-9" hm ——— fl-i 2(1 - Р)Сп(®;/?|9) = СО8П» = Тп(®),Сп(®;/?|9) = СО8П» = Тп(®),п > 1,п > 1,
и
и
V 1-9" hm ——— fl-i 2(1 - Р)
V 1-9" hm ——— fl-i 2(1 - Р)
Сп(®;/?|9) = СО8П» = Тп(®),
Сп(®;/?|9) = СО8П» = Тп(®),
п > 1,
п > 1,
где Тп(х) и Un(x) — соответственно полиномы Чебышева первого и второго рода..
229229Упражнения 7
229
229
Проверьте, что формулы (7.6.2) и (7.6.14) вытекают из ^-аналога формулы Филдса — Вимпа (3.7.9).
Пусть х = cos#, |t| < 1, |g| < 1. Покажите, что
2г sin# (Р^^д^оо
(1 -^И^х^И»,/?2;^
Ге~‘* кч^Л^-^Л^д^к« ^".^ue-^.tu;^ е“’
и выведите, что
0)^^’^ЧАдК
= kte-«; д^ ^ ^ Це"™; ^g,te^ ,
(п)gc^^G)^!
n=0 = (-te-^;^ 2Ф1 k0»0e2ie;P2;g,-te~ie) .
Используя (1.8.1) или другие соображения, докажите, что !0,если п нечетно,
(~1)п/2если п четно.
(*2Л/2
Если -1 < q^P < 1, то покажите, что
№;РМ<Сп(Д;^
Выведите рекуррентное соотношение
2хСп(х;№) = ^^Сп^/М + ^?^> О
при C_i(x;^|g) = 0, C0(x;/3|g) = 1.
Докажите, что
ГCn(cos»;^|9)cos(n + 2к)в W^cos 0|g) d» = У’^-^^
Jovq^P Л)оо
к^'М^Шч^п^-д^„.>п
(^; q^kkq\ qWPq\ q\+k i - qu4tk
где VF^(«|g) определяется в (7.4.6).
Используя (7.4.15) и (7.6.14), докажите, что
^)С-(-^к)-gd‘.“c~+’*<l;'l'l«>-
где h(x;a) определяется в (6.1.2) и.
к,п (q; q)k№ q)n+2k(q; q^^q; »)„+&(! - 7)'
(Аски и Исмаил [Al 19])
Докажите, что непрерывные g-полиномы Эрмита, определенные в у пр. 1.28, удовлетворяют соотношению ортогональности
*Гят(со8»|9)Яп(со8»|9) K^^gJ^I2^ = ^т^8т,п.
JO-\4i Ч)оо
Подставляя
С^х^=^^сп1х;^
\Ч1 Ч)п
в упр. 7.19, покажите, что
2®(1 - 0qn')cn(x; 0\q) = (1 — /32дп)с„+1(ж;/3|д) + (1 - g")c„-i(x;0|g)
для п > 0 при с-1 (ж; p\q) = 0, с^х\Р^ = 1. Подставим теперь Р = зХк и q = зи^, где и^ = ехр(27гг/&) — корень порядка к из единицы, разделим приведенное выше рекуррентное соотношение на 1 — зш£ и перейдем к пределу при з —> 1, чтобы показать, что . возникающие в пределе полиномы c£(s; к), называемые решеточными улътрасферическими полиномами первого рода, удовлетворяют рекуррентному соотношению
^с^х;^ = c^+1(x;fc) + c^_!(x;A:), п / тк,
2х(т + ХУт^х; к) = (т + 2A)ck к+1(х; к) + тс^к_г(х; к),
где Сд (ж; к) = 1 и с£ (я; к) = х.*
(Аль-Салам, Аллавей и Аски [А21])
Перепишите соотношение ортогональности (7.4.15) для случая решеточных ультрасферических полиномов cn(x;p\q), определенных в упр. 7.23, и подставьте р = зХк и q = зи^. Тщательно осуществляя предельный переход для сдвинутых ^-факториалов, докажите, что
j г ст(«; ^п^; &М®) Дх = ^i,
где
•к-1
w(x) = 2гЛ^к-1^(1 — х2)-^|х2 — СО82(7Г5'/к)|Л
3=0
. _ Г(А +1) (А + l)L„/fcj(2A)[n/fcl
" Г(1)Г(А+|) (l)L„/fcJ(A)r„/tl •
Здесь используются следующие обозначения:
[а] = наибольшее целое число, больше или равное а,
[а] = наибольшее целое число, меньшее или равное а.
(Аль-Салам, Аллавей и Аски [А21])
Решеточные ультрасферические полиномы второго рода определяются так■
В^цк^ = lim Cn^s^+^lsa^), w* = ехр(2тгг/^).
Покажите, что B^x;k) удовлетворяют рекуррентному соотношению
2xB„(x;fc) = Bn+i(x;fc) + ^„^(х;^), • n + 1 / тк,
2х(т + Х)В^к_г(х; к) = mB^r, к^Цт* ЧХ^В^^х-, к).
где Вц(х;к^ = 1; В^х^к) = 2х, если к > 2;ВА(х;1) = 2(А 4- 1)ж. Покажите также, что В^(х; к) удовлетворяют соотношению ортогональности
j В^^х; к^В^х; fc)w(z) dx = ^2,
где .к-1
w(x) = 22A(fc-1\l — Ж2)! JJ |х2 — COS2(7rj/^)|A •J=0
_ 2Г(А + 1)(1)Ln/*j(A + l)[n|iJ
" " Г(1)Г(А + I) (AT1W](2A + 1)^'
nnk=0k=0(Аль-Салам, Аллавей и Аски [А21]) 7.26. Используя (2.5.1), покажите, что и К „ .IX kab,ac,bc,q\q\ p^x^b^dXqV-^^Г^
n
n
k=0
k=0
^e\4^k (1 — abcex9qlk~x^ ^aet6^be19scete;q^k U; ?)k(l - abcq-^e^Xbc.ac.ab-.q^k
# А 41 ч'п+к \’ ч)п-к ci(n-2k^6
(abcei8;q)n+k(q;q)n_k‘
Выведите отсюда, что полиномы
р„(х) = limpn(x;a,6,c,d|9) g-*0
задаются соотношениями
Ро(ж) = 1 = ^оС®)»
Р1(я) = (1 - з4)^1(х) + (зз - 3i)t70(®),
Рг(®) = ^(«О - s^Uilx) + (з2 - s^UoQx), 4
Pn(®) = 52(-1)*з*17п_4(з:), n > 3, k=0,
где'•
so = 1, si = a 4- 6 4- c 4- d, 32 = ab 4- ac 4- ad 4- be 4- bd 4- cd,
S3 = abc 4- abd 4- acd 4- bed, S4 = abed,
и Z7n(cos#) = sin(n 4-1)0/sin#, (7-i(®) = 0. Покажите, что при max(|a|, }6|, |c|, |d|) < 1 эти полиномы удовлетворяют соотношению ортогональности
2 У"1 ;Рт(д)Рп(д)(1~ Д2)^Д'
тг /_! (1 — 2ах 4- a2)(l — 2Ьх 4-'62)(1 — 2сх 4- с2)(1 — 2dx 4- d2)
!
0,т ^ п,
^_-^—m = n = 0,
— abed,'т = п = 1,
т = п > 2.
(Аски и Вильсон [А 127])
Докажите, что
0) (») (iii)(iv)0) (») (iii)(iv)pn(cos#,^, 9)92> 92|9)— (9’^/п fl ’
0) (») (iii)
(iv)
0) (») (iii)
(iv)
SIH v
pn(cos0;l,-l,q$,-qi|q) = 2(qn; q)n cos n», n > 1,
z Л i x\ sin(n4-|)#
p4cos0;q,-l,q»,-q»\q) = (q + ;?) . ^ ,
n sin j
7 Л 11. x\ cos(n 4-|)#
pn(cos9;l,-q,q2 ,~q2\q^ ^q ^;q)n
Используйте соотношения ортогональности (7.5.28) и (7.5.29) для доказательства формулы квадратичного преобразования (7.5.26).
Проверьте соотношения ортогональности (7.5.28) и (7.5.29). .
Проверьте формулу (7.5.36).
Предположим, что a, b, с, d — комплексные параметры, такие, что max(|6|f, |с|, |d|, |g|) < 1 < |а| и |а^+1| < 1 < |ад^|, где N —
неотрицательное целое число. Используя (6.6.12), докажите, что
/ Pm(x)pn(x)w(x; a,b,c,d|g) dx 4- 2л VРт^к^Рп^к^к
hn(a,b, c,d\qY
где рп(ж) = pn(x;a,b,c,d\q\ Xk = | (aqk + aT1q~k^ и Wk задается формулой (7.5.22).
Докажите, что
(i)p^4-*;qW-Wn0’Q4=M4
(Ю^>(-*|9) = (-i)^^^
Используя (7.4.1), (7.4.7) и (2.11.2), докажите, что
0)Е ^^;с^х' ^с^ sw
(3t2,32;q^oo (te^+^^e^-'^q)^
•8W7 ^tV^^te^^te-^-^te*^,
(»)L ^; Уу^ ^^^ ?|,?)<n
~ (q3t2,32;q')oo (teie"'-i*,teie-i,l>;q')oo
•8W7 ^t2-,31qteie+i*,qte-i6-i4,1teie-i,t,,tei*-ie;q,3>),
где — 1 < q^P^t < 1 и x = cos0, у = созф.
(Гаспер и Рахман [G29], Рахман и Верма [R19])
Покажите, что
pn(cos 9; a, b, c,d\q) = А 1 (ОХ^Ь, ас, be; qX
гяе-'^л ^ие'б^Дие-*6, abcdu/q., q^ (q/u;q)n /duJqe«?d {dau/q^dbulq.dcu/q^q)^ (abcdu/q; q^ \ q
где
Л(5) = —~(^—”(?> o^ aci *>c; q)ooh(cos 6; </)w(cos 9; a, b, c, d|?).
Докажите, что отсюда следует
У' (о^1?)п?2(£2^^
^(?;?)n(a2?4,ac,ecgi;g)n
(at,ac2t, — acte'e, — acte te;q)Qo.
(—ct, — a2ct,teie ,te~i0; q)^
*8^7 (—a?ctq-1; —ac, —a/ct—ctq-^ae'^ae-'9^ —ctq^
(Гаспер и Рахман [G32])
Покажите, угто
* w(y; a,b, ре*6, ре ,e\q)pn(y;a,b,c,d\q) dy
.2ir(iabp2;q')oo(ab; q^ n
(g, ab, ii2,apeie,ape~ie,bpeie,bpe~ie; q)^ (абд2;g)„
• pn(cos 9; ащ 5д, c//-1 ,dp-1\q\
где тах(|л|,|6|,|д|) < 1.
Покажите, что если при |g| < 1 мы положим
(а;^ =(а;^ =(а> д)оо _(aqv; q)oo'(а> д)оо _(aqv; q)oo'
(а;^ =
(а;^ =
(а> д)оо _(aqv; q)oo'
(а> д)оо _(aqv; q)oo'
где v — комплексное число и берется главное значение qv, то формула (7.7.6) обобщается следующим образом:.
и'6, л 2л (1 q
Uq ^ле , ае , qj—^^л^ * е , aq^ е, qj.
Пусть n = 1,2,..., г, х = cos 9 и
Un^ = An,r (qv+1eie,q‘'+'le-ie-q)n
• вФь• вФьп~г ^п+г+З^+ЗЛ+Х ^n+iz+l nn-V2v „n+iz+l^tS nn+v4-lp-iG n2n-l-2i/-t-l ^n+y-f-A-f-l on-f-2i/+l _/7п+^+A+l ппА*уА*^ * *’
• вФь
• вФь
при
.(g; gW^^^Wq^1^2^^.
(9; 9)r-n(»,,+1,92"+1, g^+ A+1, —g^1, -g*'+i, -qv*4, -g"+^+l; g)n
Покажите, что функция U^x^ удовлетворяет q-разностному урав
нению
J9g[(9n+v+1e<#, 9п+*'+1е-'’; 9)_„Гп(х)]
= _Ll£^1 (q”+"+hi\qn+l'+ie-i,>;q) l-q^1 V4/—2n—2v—l
•Dq\(q-"-^q-"-ve-^n+2u+1Un+^
(Гаспер [G25])
Покажите, что дискретные q-полиномы Эрмита [п/2], х
№ 9) = У ГГ^ГТ^(-l)^*-1^-2*
удовлетворяют рекуррентному соотношению
Я„+1(®;9) = xH^q) - qn-\l - qn)Hn^(x;q), n > 1,
и соотношению ортогональности
m,n>m,n>
m,n>
m,n>
где ^(ж) есть ступенчатая функция со скачками
И (д2?2.?; 92)qq2№;д2)оо■
в точках ж = -£q^ j = 0,1,2,... . (Аль-Салам и Карлитц [А23], Аль-Салам и Исмаил [А28])
Пусть а<0и0<^<1. Покажите, что
Г U^x^U^x^da^x) .
J —ОО
= (1 - a)(-a)n(9; q)nq^6m>n, где .
UnH^q) = (-^"q^ 2Ф1^~" ,®~1;0;q,q®/a>)
и сАа\х) есть ступенчатая функция со скачками
(^; q)ОО(»,»/«; »)*
в точках х = qk, к = 0,1,..., и со скачками
.—aqk
(9/“; 9)оо(9, «?;?)fe
236236Приложения к ортогональным полиномам
236
236
в точках ж = aqk, к = 0,1,... . Проверьте, что, когда а = -1, это соотношение ортогональности приводит к соотношению ортогональности для дискретных ^-полиномов Эрмита 8 упр. 7.38. (Аль-Салам и Карлитц [А22, А23], Чихара [С31, (10.7)] и случай х = q формулы (3.3.5))
Покажите, что если
М«;д) = 52*=0М«;д) = 52*=0(g;g)„(g;g)„(g;g)*(g;g)»-*(g;g)*(g;g)»-*
М«;д) = 52
*=0
М«;д) = 52
*=0
(g;g)„
(g;g)„
(g;g)*(g;g)»-*
(g;g)*(g;g)»-*
А„(®; д) - /»п+1 (it; g)ftn_j(ж; д)
= (1 - g)(g; 9)n-i 52 Лп-(«; ^т—г—• ” ^ L^(g; q)n-k
Выведите, что полиномы hn(x;q) удовлетворяют неравенству тура- новского типа
Лп(*; g) - ftn+i(*; g)^n-i(®; g) > о
при х > 0, когда 0<д<1ип = 1,2,.... (Карлитц [СЗ])
Выведите формулу сложения
Pn(g*;M;g) ?„(«'; g®, 0;»)
= ₽n(g*+v; 1,1; g) Pn(gv; 1,1; g) p^q^ q1,0; q)
[ y'(g;g)«+v+fc(g;g)n+fcgfc(fc+*"n)
^(g;g)*+v(g;g)n-t(g;g)J
•Pn-*(gr+,';gfc,gfc;g) Pn-^g^ig^g*;^)
где я, у, z, п = 0,1,..., pn(t; a, b; q) — малые ^-полиномы Якоби и
V - ЧМЛЛ)*.
• Ш^,^,Г%Ъы)}г •
(Корнвиндер [К29])
Определим д-полинол<ы Лагерра как
^9)=^мг 1Ф1(Ч~П; qa+1'4, -(1" 9)ж’п+в+1!)-
Покажите, что если а > -1, то эти полиномы удовлетворяют соотношению ортогональности
0)/ №^№^Г7г4^^^
Jo(-(i-»)z;e)w
Ца+ПЦ-аМ^;^.
- rq^-aXq;qW
и дискретному соотношению ортогональности
(Моак [М28])
Пусть
»(У;в1,в2,вЗ,в4,в8|«)
ииу = cos ф,у = cos ф,_ Л(у;1,-1,д^,-g^,aia2a3a4as)( _ 2х-} Л(у; 31,а2,33,84,35)' У ' ’
и
и
у = cos ф,
у = cos ф,
^(ei.^.es.^iesly)
= У^ v(y;si,s2,83,84,ss|g)dy.
^abcpe‘*1 аЬсце~,в; g)„^abcpe‘*1 аЬсце~,в; g)„Покажите, что
^abcpe‘*1 аЬсце~,в; g)„
^abcpe‘*1 аЬсце~,в; g)„
(аЬср2е*^, abcp?e~^\q\(аЬср2е*^, abcp?e~^\q\j е(у;в,6,с,де,,,де-,#|д)
(аЬср2е*^, abcp?e~^\q\
(аЬср2е*^, abcp?e~^\q\
(ab,ac,bc;q)„ , ^abp?, вед2, бед2; 5)n ^(ab,ac,bc;q)„ , ^abp?, вед2, бед2; 5)n ^•Рп(у;«,6,с,<<|д) dy= д(а,Ь,с,це,в ,ne-,e\qy
(ab,ac,bc;q)„ , ^abp?, вед2, бед2; 5)n ^
(ab,ac,bc;q)„ , ^abp?, вед2, бед2; 5)n ^
•pn^x;a(i,bn,cn,dp.-1\qX х = cos#,
где pH^x\a>b>c,d\q^ — полиномы Аски — Вильсона, определенные в (7.5.2), и тах(|а|,|Ь|,|с|,|д|,|д|) < 1.
(Рахман [R11])
/Примечания 7
. См. также работы Атакишиева и Суслова [А128, А129], Никифорова и Уварова [N9], Сеге [S47, 849].
. Эндрюс и Брессу [А81] использовали понятие перекрестного числа для того, чтобы дать комбинаторную интерпретацию g-полиномов Хана. Келинк и Корнвиндер [К23] показали, что q-полиномы Хана и дуальные g-полиномы Хана допускают теоретико-групповую интерпретацию в терминах квантовых групп, аналогичную интерпретации (дуальных) полиномов Хана в терминах коэффициентов Клебша — Гордана для SU^T). Как коэффициенты Клебша — Гордана возникают в квантовой механике, см. у Биденхарна и Лаука [В34], [В35]. Л. Чихара [С24] рассмотрела расположение нулей g-полиномов Рака и применила свои результаты для доказательства несуществования совершенных кодов и уплотняющих схем в классических схемах отношений. По поводу взаимосвязей между ортогональными полиномами и схемами отношений см. работы Баннаи и Ито [В 15], Л. Чихары и Стентона [С26], Дельсарта [D4] и Леонарда [L2].
. Аль-Салам и Исмаил [А26] построили семейство воспроизводящих ядер (билинейные формулы) для малых g-полиномов Якоби. В работе [А27] они рассмотрели соответствующее семейство ортогональных полиномов, связанных с непрерывной дробью Роджерса — Рамануджана. Биортогональное обобщение малых g-полиномов Якоби изучается в работе Аль-Салама и Верма [АЗЗ]. Когда b = 0, малые q-полиномы Якоби сводятся (после замены переменных и перенормировки) к полиномам Уолла, .
w^M = нт,)„,(•?')t М &13i
и к обобщенным полиномам Стилтьеса—Вигерта
Sn(x;p,q) = (-l)n9-n(2n+1)/2(p;9)n^ [”1
кР;Ч)з
которые являются g-аналогами полиномов Лагерра, отличными от рассмотренных в упр. 7.43. Поскольку как проблема моментов Гамбургера, так и проблема моментов Стилтьеса, отвечающие этим полиномам, являются неопределенными, то существует бесконечно много неэквивалентных мер на [0,оо), относительно которых эти полиномы ортогональны. См. работы [С31, гл. VI], [С29], [СЗО], [С32]-[С34], [А32], [С25], [810].
. Интеграл от произведения двух непрерывных ультрасферических g-полиномов и ультрасферической q- функции второго рода вычислен в работе Аски, Корнвиндера и Рахмана [А121]. Аль-Салам, Алла- вей и Аски [А20] охарактеризовали непрерывные ультрасферические д-полиномы как ортогональные полиномиальные решения определенных интегральных уравнений. Аски [А 107] показал, что полиномы С^гх; )3\q)\ 0 < п < А, ортогональны на вещественной прямой относительно положительной меры, когда 0<д<1и/?> q~N.'
. Асимптотические формулы и производящие функции для полиномов Аски — Вильсона и для их частных случаев выводятся в работах Исмаила и Вильсона [116], Исмаила [19]. Калнинс и Миллер [К 14] применили «симметрийнук» технику для простого доказательства соотношений ортогональности для полиномов Аски — Вильсона.
. По поводу дополнительных результатов относительно коэффициентов связи (и о соответствующих проекционных формулах) см. работы Эндрюса [А56], Гаспера [G13, G14].
Упр. 7.8. Стентон [S30] показал, что g-полиномы Кравчука Кп(х;а, N]q) Являются сферическими функциями для трех различных групп Шевалле над конечными полями, и вывел три теоремы сложения для данных полиномов, разлагая неприводимые представления относительно максимальных параболических подгрупп. Как показано в работе Корнвиндера [КЗО], соотношение ортогональности для д-полиномов Кравчука К^х; сц N|д) выражает тот факт, что матричные представления квантовой группы 5Д(7(2) унитарны.
Упр. 7.11. Аффинные g-полиномы Кравчука являются собственными значениями схем отношений билинейных кососимметричных, симметричных и эрмитовых форм над конечным полем (см. работы [С13], [D5], [D6] и [S29]-[S32]). Л. Чихара и Стентон [С27] показали, что нули аффинных д-полиномов Кравчука никогда не возникают при целых значениях ж; они дали некоторые теоремы перемежаемости для нулей q-полиномов Кравчука.
Упр. 7.22. Аски [А107] доказал, что полиномы Hn(ix\q) ортогональны на вещественной прямой относительно положительной меры, когда q > 1.
Упр. 7.23-7.25. Другие решеточные ортогональные полиномы рассматриваются в работах [А25], [А99], [А 124], [С20], [С21] и [15], [17], [18].
Упр. 7.38-7.40. Дополнительный материал по ^-аналогам полиномов Эрмита см. в работах [А18], [А24], [А28], [С7], [СЮ], [С28], [СЗЗ], [С34], [D2], [D7], [16], [115], [L8] и [846].
Упр. 7.41. Рахман [R14] дал простое доказательство данной формулы сложения. По поводу вывода формулы сложения для полиномов Якоби см. работы [К24], [К25] и [Ы].
Упр. 7.43. См. также работы [С39] и [Р1]. Принимая во внимание два различных соотношения ортогональности для g-полиномов Лагер-
ра, понятно, что существует бесконечно много мер, относительно которых данные полиномы ортогональны. Полиномы Стилтьеса :— Вигерта (см. [С31, с. 172-174], [S48, с. 33] и приведенные выше примечания к §7.3)
* *п Г 1
«п(«) = (-1)”9(2п+1)/4(9;9)п$ ^ ” q’\-q^xy,.3=0 L^Jg
которые ортогональны относительно логнормальной весовой функции . w(«) = кк~% ехр(—к2 In2 ж), 0 < ж < оо, '
где q = ехр[~(2А:2)-1] и к > 0} представляют собой предельней случай q-полиномов Лагерра. Аски [А 102] дал соотношение ортогональности для этих полиномов (с несколько отличным определением), которое вытекает в качестве предельного случая из первого соотношения ортогональности в этом упражнении. Аль-Салам и Верма [А34, А35] изучили две биорто- гональные системы полиномов, называемые g-полиномами Конхаузера, которые были подсказаны g-полиномами Лагерра.
8
(
ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Введение
В этой главе мы выведем некоторые формулы, которые связаны с произведениями (/-ортогональных полиномов, введенных в предыдущей главе, и воспользуемся данными формулами для получения q-аналогов различных формул умножения, ядер Пуассона и формул линеаризации для ультрасферических полиномов и полиномов Якоби. Метод работы Гаспера и Рахмана [G31] основан на наблюдении, что поскольку произведение.
j-i
(g~e,ag®; д^ = Ц (1 - дк(д""1 + ag®) + ag2fc)к=0■
есть полином степени j относительно переменной q”1 4- ад®, то должно существовать разложение вида
.(д~г,ад®;д)^. (g~®,ag®;g)fc
= 52 ^m0‘,fc,a;9)(g-r,ag®;g)m .(8.1.1)
'm=0
Так как для к > j
Л ( „к—хk-Vx. „„к„А ^> ^9 > 9)j
302 vq ,q ,^q ;«-q ,q J;q,q) =
по д-формуле Заальшютца (1.7.2), то легко проверить, что
(д-г, ад®; д)^ (д~®, ад®; д)к = (д; д)/д; g)t(a; д),+*'
. у (д-1, ад1; »)т
m=max(j к)^ ^m^ Ч^т-^Ял q^m-k^t q)j+k-m
Это соотношение линеаризует произведение в левой части и образует основу для вывода формул умножения в следующем параграфе.
Предположим, что ^B^^q и {Cj}j2.0 — произвольные комплексные последовательности, а 6, с — комплексные числа, такие, что (6; д)^, (с; д)*
16—1449.
не обращаются в нуль для к = 1,2,... . Тогда, полагаяне обращаются в нуль для к = 1,2,... . Тогда, полагаяэ=оэ=о(9 ”,«9”;9)> А (9-", «9П; 9)fc(9, 6; q^ 3 ^ (9, c; q)k '(9 ”,«9”;9)> А (9-", «9П; 9)fc(9, 6; q^ 3 ^ (9, c; q)k '(8.1.3)(8.1.3)мы получаем с помощью (8.1.2), чтомы получаем с помощью (8.1.2), чтоптГ-= 52 (9"", «9"; 9) m 52птГ-= 52 (9"", «9"; 9) m 52Ckqk,~mkCkqk,~mk(9,c;9)k(9,6;9)m-*(9,c;9)k(9,6;9)m-*(9 k,aqm;qV (,q,bqm-k-,q^(9 k,aqm;qV (,q,bqm-k-,q^m-k-Vjm-k-Vj(8.1.4)(8.1.4)
не обращаются в нуль для к = 1,2,... . Тогда, полагая
не обращаются в нуль для к = 1,2,... . Тогда, полагая
э=о
э=о
(9 ”,«9”;9)> А (9-", «9П; 9)fc(9, 6; q^ 3 ^ (9, c; q)k '
(9 ”,«9”;9)> А (9-", «9П; 9)fc(9, 6; q^ 3 ^ (9, c; q)k '
(8.1.3)
(8.1.3)
мы получаем с помощью (8.1.2), что
мы получаем с помощью (8.1.2), что
пт
Г-= 52 (9"", «9"; 9) m 52
пт
Г-= 52 (9"", «9"; 9) m 52
Ckqk,~mk
Ckqk,~mk
(9,c;9)k(9,6;9)m-*
(9,c;9)k(9,6;9)m-*
(9 k,aqm;qV (,q,bqm-k-,q^
(9 k,aqm;qV (,q,bqm-k-,q^
m-k-Vj
m-k-Vj
(8.1.4)
(8.1.4)
для n = 0,1,2,... . Эта формула не обобщается на нецелые значения п, потому что в общем случае тройная сумма в правой части не сходится.
Формула умножениядля сбалансированных полиномов 4^3
Поскольку нас в основном будут интересовать те ^-ортогональные полиномы, которые можно выразить через сбалансированный ряд 4^3 или через его предельные случаи, мы теперь будем рассматривать формулу (8.1.4) применительно к таким случаям. Положим
d . (^ > ^2 i 4^3пз р, (с1> с2> Ч^з J9
J ^^b\b2lbb^q^4 ' 3 (сз,9ас1С2/ссз;д)у ’\ ‘
где параметры по предположению таковы, что в знаменателях не возникает нулевых сомножителей. Тогда формула (8.1.4) дает
у у (9 ”, ®9П! 9)т (^1, ^2? 9)т—А: к»-тк+т
—^^(q*6; q)k(q, с, с3, qacic2/ cc3;q^m-k 4
(61,62; 9)*,qk-m» ttqm' 6i9*, b2qk
(63,906162/663;9)* 4.б9*,6з9*,а61б2 9*+1/66з’?’9. ’
где fn — правая часть (8.1.3) при Bj и Cj, определенных в (8.2.1). Существенным моментом в последующих вычислениях является преобразование ряда 40з из (8.2.2) в совершенно уравновешенный ряд 807 по формуле Ватсона (2.5.1), т. е.
403403^bb^k”m 1а,Ы>^”тlabxb2\ q^m_k^bb^k”m 1а,Ы>^”тlabxb2\ q^m_k‘ qk m1aqm)biqk)b24k ’ bqk, b2qk, abib2qw/ЬЬз ’ $’ ^
403
403
^bb^k”m 1а,Ы>^”тlabxb2\ q^m_k
^bb^k”m 1а,Ы>^”тlabxb2\ q^m_k
(bb^qlk~m”x - b^qk~m\ a 'a(bb^qlk~m”x - b^qk~m\ a 'abqk"m h^b^ ^ a to3qm'k
(bb^qlk~m”x - b^qk~m
\ a 'a
(bb^qlk~m”x - b^qk~m
\ a 'a
—-—,b2q ,b2q ,qS^-y^—
Подстановка в (8.2.2) дает
у (9~п.о»". qabi/ЬЬз, 9062/663; g)m , ^0 (9, с. Ча!ЬЬз, 906162/663; д)т 4
^0 ~(9;9)у(1 " ббз»-"'1 /о)(сз,9ос1С2/сс3;9)т_*
(9* т/с; 9)^(61,63,69 т1<цЬзд т1<цд m-,q)j+k (9,б9-т/а',6з9-т/а;9)А.(6,6з,66з/а,66з9-т/а61,66з9-т/а62;9),+*
(8.2.4)(8.2.4)(-nV^r-^Vfi^y ' ’ 4 \gabxb2) \ 6162 )
(8.2.4)
(8.2.4)
Затем, заменяя j на j- — к в сумме в правой части формулы (8.2.4), мы получим
Г 9-п, 09", 6Ь 62IГ 9-", 09", сь с21
4<Рз , ,, . ... ;9,91 403.;9,9
[6, 63, даЬхЬ2/ЬЬзJ(с, с3, дасхс2/ссзJ
_ у (9~n,Q9n,Ci, 62,9061/663,9062/663; 9)т т
" “i (9,с,сз,9а/66з,9«С1С2/сс3,9а6162/66з;9)т9
у (66з9~та~1/о;9),(1 - 66392>-т-1/а)(61,62,б9-т/а,6з9"*т/а,9-т;9),
“ (q'.q^jU - 66з9-т~*/<1)(66з9~т/а61,66з9-т/а62,6з,6,66з/а;9),
/6639туГ9"",,91""т/с,91-т/сз,66з9,-т-1/<1>ссз9-т/ос1с21
\ 6163 / 5 4 [91-т/с1,91""т/с2,б9~т/а,6з9-т/а’^ J
(8.2.5)
Отметим, что ряд зф< в (8.2.5) сбалансированный и для частного случая с = ад/b и сз = «9/63 он становится рядом 3Ф2, который суммируется по формуле (1.7.2). Таким образом, мы получаем формулу
4^3 .L у n4^3 .L у nq ", «9П, 6ь621 Г 9 п, «9П, «1, «2
4^3 .
L у n
4^3 .
L у n
, 63, 906162/663,9’j 4[09/6, 09/63, ЬЬзСхСз/ад'4’4
у (9~п, “9", сьс2,9061/663,9062/663; 9)т т “^ (9- 09/6,09/63,09/663,906162/663, ЬЬзСХ с2/ад; д)т 4
A, q\^, —qX^,61,62,663Ci/o9,
°^9А^,—Ai,66з9-т/о61, 66з9-т/об2, qi~ml^\i
ЬЬзс2/ад, bg~m/a, b3g-m/a, g~m , ад1 1 qx-mtc2l Ьз,6,663/o,’9’6162C1C2J ’
244244Дальнейшие приложенияДальнейшие приложения
244
244
Дальнейшие приложения
Дальнейшие приложения
где А = ЬЬзд”т”х /а. Эта формула представляет собой g-аналог формулы
умножения Бейли (В2]
iFx^-n.a 4- n;b;x) 2^1(-п,о 4- n; 1 4- а - Ь;у)
= F^-n.a + n;b,l + а - b;х(1 - у),у(1 - я)),(8.2.7)
где
Однако несмотря на то, что формула (8.2.6) справедлива, только когда ряды в обеих ее частях обрываются, формула (8.2.7) остается в силе независимо от того, является п неотрицательным целым числом или нет, при условии, что два ряда 2F| в левой части и ряд F* в правой абсолютно сходятся.
Применение формулы преобразования Сирза (2.10.4) позволяет преобразовать один или оба ряда 4^3 в левой части соотношения (8.2.6) и вывести для него ряд эквивалентных форм. Двумя особенно интересными являются
g~n, адп, bx, b2 1 Г <7"^ ядп» ЬЬзсх/ад^ bb^/aq
b, Ьз, даб^з/ббз ’ j 4<^3 [6, 63, Ы>зСхС2/ад '^.g
(ад/Ь,ад/Ьз;д)п(6,63;g)„(ад/Ь,ад/Ьз;д)п(6,63;g)„
(ад/Ь,ад/Ьз;д)п
(6,63;g)„
(ад/Ь,ад/Ьз;д)п
(6,63;g)„
~0 (9» Qg/b, ад/Ьз, aq/ЬЬз, gabx bi/bb3, bb3cx c2/ад; g)m
A, qX^,-qX^ bx,62,ЬЬзСх/aq,663C2/ag,
Ai,-Ai,bb3q”m/ab\^Ыщ~т/аЬ2,qx~w/cx,gx^m/^2.
bq^/a. b3q^m/a, q"™gg2 j
63,6, ЬЬз/а ’ ’6162^1^2J’
n, agn, qabx/ЬЬз, qab2/bb3 1 ^ [^ ”’ ^^ Cb C2
aq/b, aq/Ьз, qabx&2/M3’^’ J 4 3 1°^/^» aq/Ьз, bb3CxC2/aq'^'^.
( Я-V \ЬЬз)( Я-V \ЬЬз)(Ь,Ьз;д)п
( Я-V \ЬЬз)
( Я-V \ЬЬз)
(aq/b1aq/b3;q>)n
V —^!L2^^£j^1^22^^
”0 kg. ^д/ь. ад/Ьз. ад/ЬЬл, gabx62/663,663CiC2/ag; g)m 4
A, gAi,-gAi, 61,62,ЬЬзСх/ад,ЬЬзС2/ад^
Ai,-Ai,ЬЬзд~т/аЬХ1ЬЬзд”т/аЬ21g1-m/ci,gx”m/c2>
bg~m/as b3g-m/a, g~mag2 1
63,6, ЬЬз/а ’ ’6162C1C2J’
где А = bb3q-Tn-^ / Q.
Каждая из формул (8.2.9) и (8.2.10) может рассматриваться в качестве g-аналога формулы умножения, полученной Ватсоном [W3] для полиномов Якоби
2^-^ а 4- n;b;z) 2Fx(~n,a 4- п;Ь;^
= (-l)^1 + £ - — р4 (-п,а + п;ЬДА-а- b;zy^l - я)(1 - у)),
(8.2.11)
где п = 0,1,....
Частный случай, когда ряды ю0э в (8.2.6), (8.2.9) или (8.2.10) становятся сбалансированными, также представляет интерес для некоторых приложений. Так, если подставить С2 = в^^сь то затем с помощью формулы преобразования Вейли (2.10.8) мы можем выразить (8.2.9) в виде
4Ф34Ф3q n, aqn, b^ b2 1 Г? n, QQn^ bb3cx/aq, bb3lbxb2C\
4Ф3
4Ф3
b. b3, qabxb2/bb3;<M\ 4<^3 [6, b3. bb3/bxb2
(^/M^ZhLihi Z^V у' ijr\^£Jhcx^^
(b,b3\q)n \aq) ^0(q,aq/b,aq/b3,bib2Ci,bb3/bib2;q)m4
* 1009* 1009д> q^2.д> q^2.-qH^,6i,626162C1/6, b^cx/bs,
* 1009
* 1009
д> q^2.
д> q^2.
-nV b2cb 61 ci, 6,63,
(8.2.12)(8.2.12)aqm,q-m
(8.2.12)
(8.2.12)
qabxb2,bb3l bxl)2Cxq~m/a^ bxb2txqm ^ ^
где p = bxb2fxq l. Это дает (/-аналог формулы умножения Бейтмана [В18, с. 392]
2^1(-п,а 4- п;Ь;х^ 2^х(-п.а 4- п;6;у)
• 2рх (-к. а 4- к; Ь; -гу/(1 - х - у)).(8.2.13)
Формулы умножения для q-полиномов Ракаи полиномов Аски — Вильсона
Заменим параметры а,Ь^Ьх^Ь2,Ьл^сх>С2 в (8.2.9) на abq, aqs q~x, cqx”N) beq, c-1q~v1 q^~N, чтобы получить следующую формулу умножения для
g-полиномов Рака^ введенных в §7.2:
Wn(x;a,b,c, N;q) Wn(y;a,b,c,N;q)
= (bq^ac^.q^^ A (^V^lll^
(aq,bcq;q)„^(q,bq,qac~1,c~1,q-N,q-N-,q)m
cq~m,q(cq~m)^-q(cq-m)^,ca xq~m,b~xq m,q m,q ®,(cq-m^,-(cq-m^,aq,bcq,cq,cqe+x~m,
(8.3.2)(8.3.2)4,4’ 4nhn2N+3
(8.3.2)
(8.3.2)
y+l-mпМ-у-\-1-т'4'4
где
Wn^x;a,b,c,N;q^
\q~n sabqH^x ^q-1 scqx”N *
L aq.q ,bcq J
. суть q-полиномы Рака, определенные согласно (7.2.17). Это формула ват- соновского типа. Две дополнительные формулы ватсоновского типа приводятся в у пр. 8.1.
Предельный переход с —► 0 в (8.3.1) приводит к формуле умножения для g-полиномов Хана, определенных формулой (7.2.21):
(^х*^~т(^х*^~т(8.3.3)(8.3.3)Q^x.a.b.N.q^ Qn^a-^N^ .
(^х*^~т
(^х*^~т
(8.3.3)
(8.3.3)
Owl-"! (q,bq,q-N,q-N;q)m
q-1^ y,b xq m.q m .aq,qN-x"'"1-m,qN~v+i-’n '4'
Для получения формулы умножения ватсоновского типа для полиномов Аски — Вильсона, определенных формулой (7.5.2), заменим а, 6, Ьх, ^2» 63, ci, С2 в (8.2.9) соответственно на abcdq”1^ ab, ае19, ае”'е, ас, de'^, de”'^, где х = cos^, у ==, со^ф. Это дает
рп(т; а, Ь, с, d\q) р^-у; a, b, с, J|g)
= (ab, ас, ad, ad, bd, cd; q^^ady^
, A (g~n, afecdq"-1, dcie,de-'e\ de'*, de~^-, q^m m
“J,(q'ad'adtbd'Cdtda-i-.q^n4
• 1009 ^ ~m^'q(<a4 ”m/d^'~^a4-m/d^'4t-Tn/bd,qA-m/cd,q-m, (aq~m / d)^, —^aq”mld^,ab,ac,aqld,
aet6,ae t9,ae'^,ae '^ .bcq
qx"me-ie !d,qx-me'6 ^лх-те-4* ld,q1-mei*ld'q'"ad.
При b = aq^ и d = cq^ ряд ю0д в (8.3.4) становится сбалансированным и, следовательно, может быть преобразован в другой сбалансированный ряд ю09 посредством (2.9.1). Это приводит к формуле умножения бейт- мановского типа
p„(z; a, aq^, с, cq^ |g) р„(у; а, aq^ ,c,cq^\q)
a2q^ yac,acq^ yacq^ yacq^c2q^; g) (acq^ ■./ П x
Em=0Em=0e 1009e 1009(q n sa2c2qn ^acq^e'8-^ ^acq^e'^ '^cq^e t<#>;q)
Em=0
Em=0
e 1009
e 1009
7x—qm
(q^q^acq^acq^cq^e'*; q)x/ m
qiA, —qv^ ae1^^ aq^e'^, ce'^, aet8.
i/4,—^1, acq^ s ac, ^q^ acq^e'^ '8^
(8.3.5)(8.3.5)ae t8,a2c2gm, q m '
(8.3.5)
(8.3.5)
acq^e'^18^ q^~mex^/c^ а2сех<^т-^'^'^ ’
где v = а2се*^™1. Действительно, если мы заменим параметры а и с соответственно на qVla^xM* п _qW-WH то возникающее соотношение дает формулу умножения бейтмайовского типа для непрерывных q- полиномов Якоби (7.5.24), что в пределе при q —► 1 дает формулу умножения Бейтмана [В 18] для полиномов Якоби:
/У^^У^) = ( pn^+O" V (-пЫп + а+ /?+!), /х + уУ P^^Xl^n’^W («^Оп"Аг!()3+1>*\ 2 /
■/Рк0’^^(8-3.6)
которая эквивалентна (8.2.13).
Для обрывающихся рядов на самом деле нет никакого различия между формулой Ватсона (8.2.11) и формулой Бейли (8.2.7), поскольку одна из них может быть преобразована в другую элементарным образом. Однако для непрерывных ультрасферическцх q-полиномов, заданных (7.4.14), существует интересная формула умножения бейлиевско- го типа, которая может быть получена из (8.2.6) в результате замены а,6,Ь1,Ь2,6з,С1,С2 соответственно на a4, ^q^^ aet8t ае-18^ ~a2q^ ае1^ и ае-1^: •
403403q n, a*qn, ae'8' ae t8a^q^, -a2q^ ~а2q n, a*qn, ae'8' ae t8a^q^, -a2q^ ~а2*q~n, a4qn) ae'^, ae ^ . a2q^ —a2q^ —a2*q~n, a4qn) ae'^, ae ^ . a2q^ —a2q^ —a2;q.q;q.q
403
403
q n, a*qn, ae'8' ae t8a^q^, -a2q^ ~а2
q n, a*qn, ae'8' ae t8a^q^, -a2q^ ~а2
*q~n, a4qn) ae'^, ae ^ . a2q^ —a2q^ —a2
*q~n, a4qn) ae'^, ae ^ . a2q^ —a2q^ —a2
;q.q
;q.q
^ (g~n,a4^n,ae,*,ae~t*,-ae^, —ae”,s;g) .
/ ^2\а<
m=o (fl.^gi.-^gi.-l.-a1,-^;)) x/ m
-» m, q(-q "Ч^ -q(-q m)^. q^ m/«2, -q^ m/a2, q m,
10 _l-q-"^' -(-q”m)^ -a2qV a2qV -q,
ae'8 sae-'8,■—ae1^,-ae'^2"
—qx~me~x8lay — qx~mex8la^ qx~me~x*/a, qx~mex^/a^^
Дальнейшие сведения о формулах умножения см. в работах Рахмана [R3], Гаспера и Рахмана [G31].
Интегральная форма формулы умножениядля непрерывных ультрасферических д-полиномов
В качестве приложения формулы умножения бейтмановского типа (8.3.5) для полиномов Леки — Вильсона теперь мы выведем формулу умножения для непрерывных ультрасферических g-полиномов в интегральной форме
Cn(z;0\q)Cn(,y;0\q)'
(021^ п ['
= V-^rn,i k^,y,z;0\q)Cn(z-,0\q)dz,(8.4.1)
vb^jnJ-l
где_
. VbM;q>oo\U$e2ie,0e2i*;q) \г
2тг(/32;д)оо
• w ^e^^V^^V^^-A ,(8.4.2)
функция w^z-^a^b^c^d) определена, как в (6.3.1), и т = cos#, у = соаф.
Сначала подставим с = —а в (8.3.5) и перепишем данное соотношение в виде
rn(x;a,agi,-a,-agi|g)rn(y;a,agi,-a,-agi|g) = 1 ^ ^ (-»"*)
п (^ n,a4^n, ~a29^e,^+t^,-а2д^е*^ x8s~aq^e
* 52 7v”qm
m=oyq.a1^ s-a2q^ .-a^q, ~a?q^e^\q\'
• 10W9 ^r-^g^ie1^; ae1^, ~ael^,agie,^,ae‘^,ae~‘?,a4gm,g-m; g,g^ ,
*(8.4.3)
где
T^a^c.dVf)
q ^^abedq^ 1 ,be'8sae x8ab^ac^d
vq.q •
(8.4.4)
Ключевым моментом теперь является использование случая d = —(a^)i формулы преобразования Бейли (2.8.3) для преобразования сбалансированного ряда ю</>9 из (8.4.3) в сбалансированный ряд 4^3:
lolVg (—оЗд^е^ав"4,-ae*4,aq^e‘4’,ae’e,ae-*#,a4qm,g~m;9,q^
a2e 2**, —аЗд^е*41; q)
/ т
(a^-aq^e-'^q)
V/ m
(8.4.5)(8.4.5)(8.4.6)(8.4.6)а2е21ф, —q^ex8"^x<^s — q^e'^”'8^”™
(8.4.5)
(8.4.5)
(8.4.6)
(8.4.6)
^ _—a2q^ex^~x8' —aiq^ex6^x^yq^''meix^la^ '^'^
Таким образом, формула (8.4.3) сводится к
r^i.a.aq^-a.-aq^q^ rn^a,aq$ ,-a,-aq^\q) =
m=0m=0• аФз• аФз(q~n, a4qn1 а2е~2хФ, —a2q^ex8*x<\ —a2q^ e1^-'8; q)
m=0
m=0
• аФз
• аФз
-— qm
[q^a^alqb >—a2q%, -a2q;qj
* а^-д^^^Лд"т
.—a2q^ex^~x8, — a2q^ех8"^хФ^ql~me2x^Ia2 ^'^
Преобразуя этот ряд 4(^3 по формуле преобразования Сирза (2.10.4), мы получаем дальнейшее упрощение
гп(т;а,адг,-а,-ад^|д) rn(j/;a,agi,-o,-«9^9)
1 + a2qn1 4- а21 + a2qn1 4- а2.xn ” (9 n,a*qn,—q^ei6 ’^-а^е** ie;qA
1 + a2qn
1 4- а2
1 + a2qn
1 4- а2
94 У 7"х”
m=0I q^ a^qt, -a^gi,q)
• аФз• аФз(8.4.7)(8.4.7)q m,a2,a2e2t^,a2e 2,6
• аФз
• аФз
(8.4.7)
(8.4.7)
a4, —a2q^ex^-x6s —q\~mex^~x6 ’^’^
Теперь отметим, что, согласно (6.1.1),
w (^ае^^^ае^-^^е^^^е"^-^) ^ае^8^.ae^"ie-^;qVdz
13
j w (г; aqie^-18, ae^"^, aeie^, ае~^ф) dz
(9»«2,a2;g)0O|(<i2e2,*,a2e-2il,;q)0O|2(a4;9)j
где | а | < 1 и z = cos ф. Следовательно,
;q^q;q^qq m, а2, а2е2*^, а2е 2,8
;q^q
;q^q
— ^q^e'^-*8, —q^-me^~^
(9, a2, a2! 9)00 I («^^^J^^^ooj2
ae^-^ae^^ae-48-4^ae^-^ae^^ae-48-4^• 3^2• 3^22r(a419)00
ae^-^ae^^ae-48-4^
ae^-^ae^^ae-48-4^
• 3^2
• 3^2
q-m^^-ie+i^^-is-i*
—a?q^e**-,e, —q^~me**~'6 ’^’^
(9,a2,a2;9)^1 (g2e2^,g2e ^^«J2’
2ir(g4;9)oo
I /t A—tSi6 — id)i94-id>— i9 — id>\
• I w[z;ae* ,ae ^ae ^ae ^)
(—aq^e^^ — aq^e-'^; q\
~:—:—Ц—dz.(8.4.9)
f—^q^e'^-'8, — qiei8~'^\qj-
Подставляя (8.4.9) в (8.4.7) и используя (2.10.4), в результате получим гп(х; g, aq^, -g, -aq^|g) rn(y; g, aq^, -g, -aq^ |g) = j K(x,y,z;a2\q) rn(z-,a,aq^,-a,-aq^\q) dz. (8.4.10)
Это приводит к (8.4.1), если мы заменим а на Р^ и используем (7.4.14). Подставляя Р = qx в (8.4.1) и выполняя предельный переход при q —►, 1, Рахман и Верма [R20] показали, что (8.4.1) стремится к формуле умножения Гегенбауэра [G38]
гдегдеЛ'(х,у,з) =Л'(х,у,з) =cW^viС^(1)С„\1)cW^viС^(1)С„\1)- Г К(, ."i_xK^ 4 ^с^А '- Г К(, ."i_xK^ 4 ^с^А 'Г(А + 1) (1 - ®2 - У2 - z2 + 2zyz)A 1Г(А + 1) (1 - ®2 - У2 - z2 + 2zyz)A 1Г(А)Г(1)Г(А)Г(1)[(1 -Ж2)(1 _ у2)]А-4[(1 -Ж2)(1 _ у2)]А-4или 0,или 0,(8.4.11)(8.4.12)(8.4.11)(8.4.12)
где
где
Л'(х,у,з) =
Л'(х,у,з) =
cW^vi
С^(1)С„\1)
cW^vi
С^(1)С„\1)
- Г К(, .
"i_xK^ 4 ^с^А '
- Г К(, .
"i_xK^ 4 ^с^А '
Г(А + 1) (1 - ®2 - У2 - z2 + 2zyz)A 1
Г(А + 1) (1 - ®2 - У2 - z2 + 2zyz)A 1
Г(А)Г(1)
Г(А)Г(1)
[(1 -Ж2)(1 _ у2)]А-4
[(1 -Ж2)(1 _ у2)]А-4
или 0,
или 0,
(8.4.11)
(8.4.12)
(8.4.11)
(8.4.12)
в зависимости от того, будет функция 1—я2 -у2 ~z2 +2xyz положительной или отрицательной.
Рахман и Верма [R20] сумели также вывести формулу сложения для непрерывных ультрасферических ^-полиномов, соответствующую формуле умножения (8.4.1). Доказательство этого результата мы оставляем в качестве упражнения (см. упр. 8.11).
По поводу обобщения формулы (8.4.10) на случай непрерывных q-полиномов Якоби rn(s;a,a^, —6, -bq^\q) см. работу Рахмана [R9].
Формула линеаризации Роджерсадля непрерывных ультрасферических ^-полиномов
Роджерс [R31] использовал соображения индукции для доказательства формулы линеаризации
Cm(x;0\q)C^x;0\q)
^=0(/^2 j 4)m-t-n-2k^4i Ч)т-к(Ч\ Ч)п-к(Ч) Ч^к^РЧ\ Ч^т-Vn—k
(1 - pq^-*1^(1 - pq^-*1^СтА-т\—2к^Х\ Р\Ч)*СтА-т\—2к^Х\ Р\Ч)*(8.5.1)(8.5.1)
(1 - pq^-*1^
(1 - pq^-*1^
СтА-т\—2к^Х\ Р\Ч)*
СтА-т\—2к^Х\ Р\Ч)*
(8.5.1)
(8.5.1)
Различные доказательства формулы (8.5.1) были предложены Брессу [В48], Рахманом [R2] и Гаспером [G21]. Мы приведем доказательство Гаспера, поскольку оно представляется наиболее простым.
Воспользуемся представлением (7.4.2) для Cn^x^q^ и по формуле преобразования Гейне (1.4.3) получаем
Cm(.x;p\q) =Cm(.x;p\q) =_(^_^liloo__ Uh Ч)т imO (g/?-^*2^;^ (Ч\4)т
Cm(.x;p\q) =
Cm(.x;p\q) =
• 2Ф1 ХчГ1^"^1^;^^1^^,^2^,(8.5.2)
где I = cos 9. Здесь, временно предполагая, что |g| < |^| < 1, мы имеем
Ст^^^х-Ш = Лт,п У -ЗС^^ ^е^У
у' (9^ \0 2 9* т-лУ (Де-ие\»
^ ^fi-^-^q), VP ’
. у' (^-1>^-291-т;9),. (д -шх к
т'ПЬ (Я,^1-^ [Р ’
чФзчФзq k,q n,0,Pqm~k .'
чФз
чФз
2qm"k,0q~k,0"1q1"n’q’9.
где•
д —(^е’^)оо ^Piq^m^Piq^n i(m+n\e
Лт’п (q^e-^^q)^ (q-q)m(q-,q)n€
Решающим здесь является то обстоятельство, что ряд 4^3 в (8.5.3) сбалансированный и поэтому, согласно (2.5.1),*
4^34^3(^^2121^2^22^.^-1^-m-n^-lqX-m.q^(^^2121^2^22^.^-1^-m-n^-lqX-m.q^
4^3
4^3
(^^2121^2^22^.
^-1^-m-n^-lqX-m.q^
(^^2121^2^22^.
^-1^-m-n^-lqX-m.q^
. • 8^7 (/г1^™-";/^2^*-™-",^,?-^^. (8.5.5)
Подставляя это выражение в (8.5.3) и изменяя порядок суммирования, мы получим -
Cm^iPtoCn^iP^ — Ат,п•
m‘Vn) _Ji21£22iiMlz£212^
' ^ toqW-^q-^HP-^-”-^-^1-^-^
^-Iql-m-n.q^ е )
• 2^1 ^Г\9-Ч*1к"т~^ГЧ*гк"т"^^^,(8.5.6)
что дает (8.5.1), если использовать (8.5.2) и заметить, что обе части равенства (8.5.1) представляют собой полиномы от х. Отметим, что коэффициенты линеаризации в (8.5.1) неотрицательны, когда -1 < 0 < 1 и -Kq<L
По поводу обобщения формулы линеаризации на непрерывные 0-полиномы Якоби см. работу Рахмана [R2].
Ядро Пуассона для C^x^q^
Для системы ортогональных полиномов {рп(х)}> удовлетворяющих соотношению ортогональности вида (7.1.6), билинейная производящая функция
ОО.
^(ж, У) = 52 ^Pn^Wv)*"(8.6.1)
называется ядром Пуассона для этих полиномов при условии, что hn = cvn для некоторой постоянной с > 0. Ядро Пуассона для непрерывных ультрасферических 0-полиномов определяется как ♦
к^« = £ унН^т^^1'^<8-6-2)
n=0»^)n(l Р)
где |t| < 1.
253253Ядро Пуассона для Cn(«;^|g)
253
253
^te'^.q^-^qY ^te*8^^ 1е<8~^ q^qte^*^^qte-"'8”^,^-го-хф^ ptei8W,^te'^.q^-^qY ^te*8^^ 1е<8~^ q^qte^*^^qte-"'8”^,^-го-хф^ ptei8W,22Гаспер и Рахман [G29] использовали (8.5.1), чтобы показать, что
^te'^.q^-^qY ^te*8^^ 1е<8~^ q^
qte^*^^qte-"'8”^,
^-го-хф^ ptei8W,
^te'^.q^-^qY ^te*8^^ 1е<8~^ q^
qte^*^^qte-"'8”^,
^-го-хф^ ptei8W,
2
2
‘( ,у,^9)(^2,9^2;9)ос
■ ’^ I y«, -y*.
qSW*-18, q3teie~^, gt2’9’^]’(8.6.3)
где x = cos5, у = cos^ и max(|g|,|/|,|/?|) < 1. Они вычислили также тесно связанное с ним ядро
Ь,(хиг,3№ = £ ^^-C^3\q^Cn^3\q^
(А<2;д)оо (/Ке-^/Йе-^д^ (^2,^t2; q^ (te'^+i*, te18-^-, q^
• 8^7• 8^7S^q-1,t(q3^,-t(q3^,tei8+**,te-i8-‘*,
• 8^7
• 8^7
(8.6.4)(8.6.4)t(3q-1^, -К3д~г^, 3te~i8~^, 3tei8'w, te*8-**, te**~i8i 31
(8.6.4)
(8.6.4)
3te*'l,-i81 3tei8~^, t2’9,^J"
Другой вывод формул (8.6.3) и (8.6.4) был дан Рахманом и Верма [R19]. Однако теперь на основе формулы умножения (8.4.1) можно дать более простое доказательство. Предположим на некоторое время, что |/^~i| < 1 и |/?| < 1. Тогда, согласно (7.4.1) и (8.4.1),
Kix.y.^PM^—.
-i\tp-*ie^,tp^e~x^\q\
_ Уд,3.3\дЩЗеш,Зе'11Моо\1. 2ir(/?2;g)oo
\/r-d^.cos ф\pi е*^+*Ф , р^ €-1б~1‘Ф р^ е*б~гф ’ р^ е^"**8 ^tp*?^ J(8.6.5)\/r-d^.cos ф\pi е*^+*Ф , р^ €-1б~1‘Ф р^ е*б~гф ’ р^ е^"**8 ^tp*?^ J(8.6.5)f»h (cosV’il,—1,9^>~д^»13м
\/r-d^.
cos ф\pi е*^+*Ф , р^ €-1б~1‘Ф р^ е*б~гф ’ р^ е^"**8 ^tp*?^ J
(8.6.5)
\/r-d^.
cos ф\pi е*^+*Ф , р^ €-1б~1‘Ф р^ е*б~гф ’ р^ е^"**8 ^tp*?^ J
(8.6.5)
В силу (6.3.9), имеем
dtpdtpph ^cos-ф; 1,— 1^, -q^,tP^
dtp
dtp
Jo h (cos ф\p^ei8^x^pie"^8^'^P^e*8"^P^ех^х8
__2^t^)J(^ei»+2^
(q10,0,0t1;q)oo\(,0elie,0eli<i>1teie+i^,tei8-i'l>;q)oo\2
•aW7 ^tV^te48*^ ^е"18-^^8-^ ^.(8.6.6)
Формула (8.6.4) непосредственно вытекает из (8.6.5) и (8.6.6).
Несколько сложнее вычислить (8.6.1). Рассмотрим производящую функцию
в^^^-г^-С^г,^
^♦^te-^^g^ '0 ^tei'Mqte-^q^
Vl^Xte^te-^qY» 1-0 ^е^^е-^-л^
^qte4*, 0qte ^j q^^qte4*, 0qte ^j q^(te^te-^q)™(te^te-^q)™(8.6.7)(8.6.7)
^qte4*, 0qte ^j q^
^qte4*, 0qte ^j q^
(te^te-^q)™
(te^te-^q)™
(8.6.7)
(8.6.7)
Тогда
Kt(x,y;0\q)
= j ^K(x,y,z;0\q)Gtl}.^z)dz
2тг(^2 59)00'
/чгh (cos^>;l,—1,92,— q^,qt0i)
. I —_:LL.^с1'ф1
, Jo h (cos ф\ p^e'9^'^^ /^le”^-1^, p^e'9-1^) P^e^”*9^ tp-^ )
'(8.6.8)
что дает (8^6.3), если применить (7.4.1) и (2.10.1)..
По принципу аналитического продолжения формулы (8.6.3) и (8.6.4) будут справедливы при max(|fl|JZ|J/3|) < 1.
Хотя из (8.6.3) и (8.6.4) видно, что данные ядра положительны при —1 < q^t < 1 и — 1 < ж, у < 1, если 0 < Р < 1, не совсем понятно, что же происходит, когда — 1 < Р < 0, поскольку оба ряда ^Фч в (8.6.3) и (8.6.4) становятся знакопеременными. Как показано в работе Гаспера и Рахмана [G29], ядро Пуассона Ал<(ж,у; P\q) оказывается также положительным для — 1 < t < 1, когда — 1 < q < Р < 0 и когда 23/2 — 3 < Р < 0, — 1 < q < 0.
По поводу неотрицательности ядра Пуассона для непрерывных q-полиномов Якоби см. работу Гаспера и Рахмана [G32].
255255Ядра Пуассона для g-полиномов Рака
255
255
Ядра Пуассона для g-полиномов Рака
Для g-полиномов Рака
Wn(x;q) = Wn(x;a,b,c,N;q)
мы определим условия, при которых ядро Пуассона
N
52 к№;№мУ\ о < t < 1,(8.7.1)
п=0
и так называемое дискретное ядро Пуассона
(8.7.2) n=0 '»
где л = 0,1,.. м jV, являются неотрицательными для ж, у = 0,1,..., N. Сначала рассмотрим более общую билинейную сумму
Pz^y) = P^x^y.a^b^c^a^^K^M^N-.q)
= Z г5^Ьп(аЛсЛ-л^п^«ЛсЛ;д)
•Wn(y,a,aba~l,-f,M-,g),(8.7.3)
где z = Д 1,...,тш(Л\N) и N < М. Если а = а, 7 = с и М = N, то (8.7.3) сводится к (8.7.2), когда К = N\ последнее соотношение содержит ядро Пуассона (8.7.1) в качестве предельного случая.
Из формулы умножения (8.2.5) вытекает, что
И^ж;а,5,с,N;q)Wn(y;а,aba ^^^q)
(bqtaq/c;g)n^n у у (g^l^^
(ад, 6c;g)n С ^^ (^^^.(^««^-“.«Ма-1,^1-*;^
гдегде(fj^cjg^^l-c£2 г+.-г,л (g, 5g, ас^д; д)я 1 - cq-8(fj^cjg^^l-c£2 г+.-г,л (g, 5g, ас^д; д)я 1 - cq-8ьФ*ьФ*' q”e,qT"Mqr^~M,aqT+\bcqT*T ,aqr^T, qr~M, а57а~гдг+1, сд1+г~я ’ ^’ ^.' q”e,qT"Mqr^~M,aqT+\bcqT*T ,aqr^T, qr~M, а57а~гдг+1, сд1+г~я ’ ^’ ^.(8.7.4)(8.7.5)(8.7.4)(8.7.5)
где
где
(fj^cjg^^l-c£2 г+.-г,л (g, 5g, ас^д; д)я 1 - cq-8
(fj^cjg^^l-c£2 г+.-г,л (g, 5g, ас^д; д)я 1 - cq-8
ьФ*
ьФ*
' q”e,qT"Mqr^~M,aqT+\bcqT*T ,aqr^T, qr~M, а57а~гдг+1, сд1+г~я ’ ^’ ^.
' q”e,qT"Mqr^~M,aqT+\bcqT*T ,aqr^T, qr~M, а57а~гдг+1, сд1+г~я ’ ^’ ^.
(8.7.4)
(8.7.5)
(8.7.4)
(8.7.5)
Используя (8.7.5) в (8.7.4) и изменяя порядок суммирования, получаем, что
р (\ ^bqsac 1g;g)JV ^Д (д ^‘iqX^s (a-bq2; q)2r+2s
Л(a6g2)C-i;g);vZvZ. (д^)0^+2.д)г+я
(9_^cg^J^J^^^
(д, ag, q-M, ab^qa”1, сд1-я; д)г (д, 5д, ас“1д; д)я 1 - cq~8
^1yA-.q^sH2N-r-8-vi)/2-r3AraBri81(8.7.6)
где
= 5^4
-T+S—Z
^q^q
при А = abq2^28"^1. Теперь мы покажем, что, когда К = N,
(abqN+T+«+2-,q^_r_,
Для доказательства (8.7.8) достаточно показать, что
•~z,q1+r+,-z-,q1+N-z;q,abqN+z+2').
(8.7.8)
4^3
a, qa^
—qaS, bw'
—а^^ wa-Q.
(8.7.9)(8.7.9)(w6/ag, w/Ь; g),»....
(8.7.9)
(8.7.9)
= -7—/\гфх^ЬЛч^Ъ a\q,w b)
{w aq, w; q)^
независимо от того, равняется ли параметр b целой неотрицательной степени д, при условии, что ряды в обеих частях сходятся. Поскольку 1 — aq2k = 1 — qk 4- gfc(l — aqk), то левая часть (8.7.9) равняется
гф1^ЧЛ\ w^^la^-V ;.\ 2ф1(aq,bq;wq;q,w/aq)
(w5/a,w/5;g)oo
= -7—, v™ 2Ф1(ЬМ*и)Ь a;q,w b)-
(w/a,w;g)oo
w(l - b)(wb/a, w/b-.q^oo ,
+ ” '^ / J w- zA 1Ф1^Ь' bq' Wb/a’ q' W^)'
o^(w/aqs w, q)co
(8.7.10)(8.7.10)(wb/aq^w/b^q)^ ,
(8.7.10)
(8.7.10)
= -7—7x2 <^1(6, bq; w6/a; q, w/6)-
kw aq, w; q^x
согласно (1.4.5). Кроме того, для а = а ряд 5^4 в* (8.7.5) сводится к ряду 4^з, который, в силу (2.10.4), равняется .'
^Af+1-v-^Af+1-v-* 4<^3* 4<^3"q 3eg1""q 3eg1"^b-fq^q), ’ W 9 , q’-i, b~1q-z,c^~1qM+l-v-z Vr~s ^qMA-i~y~s ^~i^-ig~y~s^b-fq^q), ’ W 9 , q’-i, b~1q-z,c^~1qM+l-v-z Vr~s ^qMA-i~y~s ^~i^-ig~y~sМ\*М\*;м •;м •
^Af+1-v-
^Af+1-v-
* 4<^3
* 4<^3
"q 3
eg1"
"q 3
eg1"
^b-fq^q), ’ W 9 , q’-i, b~1q-z,c^~1qM+l-v-z Vr~s ^qMA-i~y~s ^~i^-ig~y~s
^b-fq^q), ’ W 9 , q’-i, b~1q-z,c^~1qM+l-v-z Vr~s ^qMA-i~y~s ^~i^-ig~y~s
М\*
М\*
;м •
;м •
Из (8.7.6), (8.7.8) и (8.7.11) вытекает, что
для х = 0,1,...,JV, у = 0,1,..., Л/, z = 0,1,...,N, когда 0 < qдля х = 0,1,...,JV, у = 0,1,..., Л/, z = 0,1,...,N, когда 0 < qaqaqс < aq1Nс < aq1N(8.7.12): 1, 0<(8.7.12): 1, 0<qM 1 < qN ^ СледовательноqM 1 < qN ^ Следовательнодискретное'ядро Пуассона (8.7.2) неотрицательно для я, у, z = 0,1,..дискретное'ядро Пуассона (8.7.2) неотрицательно для я, у, z = 0,1,..>>когда 0 < qкогда 0 < qaqaqс < aqIN.с < aqIN.
для х = 0,1,...,JV, у = 0,1,..., Л/, z = 0,1,...,N, когда 0 < q
для х = 0,1,...,JV, у = 0,1,..., Л/, z = 0,1,...,N, когда 0 < q
aq
aq
с < aq1N
с < aq1N
(8.7.12)
: 1, 0<
(8.7.12)
: 1, 0<
qM 1 < qN ^ Следовательно
qM 1 < qN ^ Следовательно
дискретное'ядро Пуассона (8.7.2) неотрицательно для я, у, z = 0,1,..
дискретное'ядро Пуассона (8.7.2) неотрицательно для я, у, z = 0,1,..
>
>
когда 0 < q
когда 0 < q
aq
aq
с < aqIN.
с < aqIN.
Если записать сумму в (8.7.3) с числом N в качестве верхнего предела суммирования, заменить (q~z;q)n на (tq-K;q)n и перейти к пределу при К —► оо, то, как вытекает из (8.7.6),'•
Ь^^аЛ^а^^М^-л^-
N ■.
= 52 <ПМ°> 6, с, N; q^W^x; a,b,c,N; g) Wn(y; a, aba-1,7, M; q) n=0
_ (6g,aq/c;q)N A yf (a^2; q)2r+2. (g-*,cqx~N, q~y,7»у~м; g)r
~ (аЬ^с-^к f^ ^ (a6gw+2;g)r+s(g,ag,g-w,a67ga-1,cg1-s;g)r
(gz N,c *g x;g)e(l - cgr *)s (г+«)(2ЛГ-г-«+1)/2-г»
(6g,ac-Ig;g),(l — eg-*) At’M ^4
.. (8.7.13),
для x = 0,1,...,N, у = 0,1,. ..^M c Аг^ определенными в (8.7.5), и
(8.7.14)(8.7.14)
(8.7.14)
(8.7.14)
где А = abq^28^1. Однако, согласно упр. 2.2,
~9ЛЬ bl.ntk-As, Xbq .~9ЛЬ bl.ntk-As, Xbq .
~9ЛЬ bl.ntk
-As, Xbq .
~9ЛЬ bl.ntk
-As, Xbq .
2<fo(6,4б;4д; д, Ад)2<fo(6,4б;4д; д, Ад)(8.7.15)(8.7.15)(<>Ад;д)оо(46, Абд; д)оо
2<fo(6,4б;4д; д, Ад)
2<fo(6,4б;4д; д, Ад)
(8.7.15)
(8.7.15)
для тах(|4б|, |Ад|) < 1. Применение этого соотношения в (8.7.14) дает Cr„ = (4,а6д2г+2,+2;д)х_г_, 2фг (qN~r-,tqN-r-;tq-,q,abq’lr*2*^ ,
.(8.7.16)
откуда видно, что Ст,8 > 0 для 0<1<1,тА-з<М, когда 0 < abq2 < 1. Комбинируя этот результат с нашим предыдущим замечанием о том, что ATiS равняется выражению из (8.7.11) при a = а, из формулы (8.7.13) можно заключить, что •
Ltkx^^b.c.a^M.N;^ > 0Ltkx^^b.c.a^M.N;^ > 0(8.7.17)(8.7.17)
Ltkx^^b.c.a^M.N;^ > 0
Ltkx^^b.c.a^M.N;^ > 0
(8.7.17)
(8.7.17)
для х = 0,1,..., N, у = 0,1,..., ЛГ, 0 < t < 1, когда 0 < q < 1, 0 < aq < 1,
0<^<1, 0<с< aqN и cq < ^ < q^-x < qN-1. В частности, ядро Пуассона (8.7.1) является положительным для ж, у = 0,1,..., N, 0 < t < 1, когда 0 < g < 1, 0 < ag < 1, 0<^<1и0<с< aqN.
Дальнейшие подробности по поводу неотрицательных билинейных
сумм дискретных ортогональных полиномов см. в работах Гаспера и Рахмана [G31], [КЗ]..-
g-аналоги формулы Клаузена
Формула Клаузена [С40]
а, 5 а + 5 +а, 5 а + 5 +3^23^22а, 25, а + Ь е2а + 25, а + 6 + | ’’2а, 25, а + Ь е2а + 25, а + 6 + | ’’(8.8.1)(8.8.1)
а, 5 а + 5 +
а, 5 а + 5 +
3^2
3^2
2а, 25, а + Ь е
2а + 25, а + 6 + | ’’
2а, 25, а + Ь е
2а + 25, а + 6 + | ’’
(8.8.1)
(8.8.1)
где |^| < 1, представляет собой довольно редкий случай, когда квадрат гипергеометрического ряда снова может быть выражен через гипергеометрический ряд. Предложенные Рамануджаном [R25, с. 23-39] представления для 1/тг в виде быстро сходящихся рядов, которые были использованы для вычисления числа тг с миллионами десятичных знаков, основываются на частных случаях формулы (8.8.1); см. обзорную статью Чудновских [С36]. Формула Клаузена использовалась в работе Аски и Гаспера [А 114] для доказательства неравенства
>0,>0,(8.8.2)(8.8.2)-п, п + а + 2, |(а -f-1) е 1 — жа + 1,1(а + 3)’ 2
>0,
>0,
(8.8.2)
(8.8.2)
когда о > —2, — 1 < х < 1, п = 0,1,..., которое затем было использовано для доказательства положительности некоторых важных ядер, включающих суммы полиномов Якоби; см. книгу Аски [А91] и обобщения в работах Гаспера [G14, G17]. Частные случаи о = 2,4,6,... неравенства (8.8.2) оказались теми неравенствами, которые потребовались де Бранжу [В39] для завершения последнего шага в его знаменитом доказательстве гипотезы Бибербаха. В данном параграфе мы рассмотрим q-аналоги формулы (8.8.1).
Джексон [J25, J26] вывел формулу умножения, приведенную в у пр. 3.11; другие доказательства этой формулы даны Сингом [S11], Нассрал- лахом [N1], Джайном и Сриваставой [J41]. Однако, к сожалению, левая часть данной формулы не является полным квадратом, и поэтому формула Джексона не может быть использована для представления определенных базисных гипергеометрических рядов в виде сумм квадратов, как это было сделано с формулой Клаузена в работе Аски и Гаспера [А 114] для доказательства неравенства (8.8.2).
a,5,a5z,a5/z a5gi, —a5gi, —aba,5,a5z,a5/z a5gi, —a5gi, —ab;q,q;q,q5 Фа5 ФаЧтобы получить такой q-аналог формулы Клаузена, который бы выражал квадрат базисного гипергеометрического ряда в виде базисного гипергеометрического ряда, авторы вывели формулу
a,5,a5z,a5/z a5gi, —a5gi, —ab
a,5,a5z,a5/z a5gi, —a5gi, —ab
;q,q
;q,q
5 Фа
5 Фа
* a2,52,a5, abz, ab/z ',a2b2, abqi, —abq^, —ab ’ ^’ ^.
(8.8.3)
которая справедлива, когда ряды обрываются. См. работу Гаспера [G25], где было отмечено, что существует несколько способов доказательства (8.8.3), как например, используя формулу линеаризации Роджерса (8.5.1),
формулу умножения из §8.2 или интегральную формулу Рахмана и Верма (8.4.10). -
В этом параграфе мы выведем необрывающийся g-аналог формулы Клаузена, который сводится к (8.8.3), когда ряды обрываются. Ключевым моментом в установлении этой формулы является то обстоятельство, что доказательство формулы линеаризации Роджерса, приведенное в §8.5, не зависит от того, является ли параметр п ряда 2^1 в (7.4.2) целым неотрицательным числом. В соответствии с (7.4.2) введем функцию
/(^)= 2Ф1^0;ад/0;д,2д/Р'),(8.8.4)
которая сводится к ряду 2ф\ в (7.4.2), когда а = д~” и z = е-2*6. Временно предположим, что |g| < |/3| < 1 и |z| < 1. Согласно преобразованию Гейне
имеем.
^ = т4т^ M«ql3\ql^»ql^qM- (8.8.5)
\Zq[ р; д)оо
Следовательно, если мы перемножим два ряда 2<^1 в (8.8.4) соберем коэффициенты при , то получим
ии(8.8.5) и(8.8.6)(8.8.5) и(8.8.6)гдегдеАк =Ак =" 9 k,Mq к/а,а .'.fiq~k, 02д-*Ча, aq/P'9’9." 9 k,Mq к/а,а .'.fiq~k, 02д-*Ча, aq/P'9’9.(8.8.7)(8.8.7)f2/^_ кР^ч^оо v2'л ^1^л10;ч")к(дхк
и
и
(8.8.5) и
(8.8.6)
(8.8.5) и
(8.8.6)
где
где
Ак =
Ак =
" 9 k,Mq к/а,а .'
.fiq~k, 02д-*Ча, aq/P'9’9.
" 9 k,Mq к/а,а .'
.fiq~k, 02д-*Ча, aq/P'9’9.
(8.8.7)
(8.8.7)
— обрывающийся сбалансированный ряд. Как и в (8.5.5), применим теперь (2.5.1) к ряду 4Ф3 в (8.8.7), чтобы получить
Ак = ГТТГ^^Г Ж(а2/0;а,а,13,а2дк+'/^(8.8.8)
(a2g//?,ag//?2;g)oo
Используя представление (8.8.8) в (8.8.6) и изменяй порядок суммирования, мы получим формулу'.
^qlP^q^ ^ С1 - <*21 РХч.ач1 Р'ач1 Р^2ч! Р2^
(^д/Р2^^ (a^q/p-.q^k(^д/Р2^^ (a^q/p-.q^k2Ф12Ф1* a2q2k4rX IР2 ^qj Р,^q2^1 /р* a2q2k4rX IР2 ^qj Р,^q2^1 /рq^pzq^pz(8.8.9)(8.8.9)
(^д/Р2^^ (a^q/p-.q^k
(^д/Р2^^ (a^q/p-.q^k
2Ф1
2Ф1
* a2q2k4rX IР2 ^qj Р
,^q2^1 /р
* a2q2k4rX IР2 ^qj Р
,^q2^1 /р
q^pz
q^pz
(8.8.9)
(8.8.9)
Отметим, что поскольку ряд 2<^i в (8.8.9) вполне уравновешенный, то его можно преобразовать с помощью формулы квадратичного преобразования (3.4.7), чтобы выразить через ряд ^фт^ и затем применить (2.10.10), что в конечном счете приводит к формуле преобразования
‘a'1qhk*1l0?,qlp 1 (azq/р-,д)ж{-а1 j3z)kg^ 2 ) . a2q2w](} ,9,pzJ ~ (fiz/^gy^aglflz,azql^-,g)k
е 4^3е 4^3aqksaqk-'*^IPs —aqk*^IPs —aq^jP , Q2 ^2*4-1j paZqk*iI^aqW/pz ’ ^’^
е 4^3
е 4^3
+ ^^оцаг^о^^
VP%s aqlPt alP^s o?q!P\ q)oo (ot.azq; q^k^q/P2; q)tk
Л 4^3Л 4^3(8.8.10)(8.8.10)‘ Pz,zq^ ,—zq^ ,—zq g ,qz2sOtzq^1 sP^1^la' ’ -
Л 4^3
Л 4^3
(8.8.10)
(8.8.10)
Теперь мы можем подставить (8.8.10) в (8.8.9) и изменить порядки суммирования, чтобы прийти к формуле
^z.azql^q^oo А(,а;д")т(,а2д1 р2;д^т
^[Р^г^д^ “0 (9,0^5/P,aqjPz,о?д)p,aq/P;q)m
•g^w^lPta^g-^g,^ х
+(о, o?qlP, zq, azq; д)жу, (^z^j-z^-z^m
^aqj p,a2q(P,zq] р,а( Pz^q^ ^ ^q,qz2,azq,pzq/a;q)ro
• eW^/p-, a,P,aq~mjPz; q, zqm*2jp\(8.8.11)
Суммируя возникающий выше ряд ^Ws с помощью (2.7.1), мы Получим формулу
^i^^P^ql P‘,q,zq! Р^г =^i^^P^ql P‘,q,zq! Р^г =^Pz, azq/P; q)oo^zqlP^zla^»,^Pz, azq/P; q)oo^zqlP^zla^»,
^i^^P^ql P‘,q,zq! Р^г =
^i^^P^ql P‘,q,zq! Р^г =
^Pz, azq/P; q)oo^zqlP^zla^»,
^Pz, azq/P; q)oo^zqlP^zla^»,
• 5^4• 5^4"a,aglp2,aq^ IP,-aq^lP,-aqlP '. ад] P,a2g] P2 ,aq[pz,azq[ p . ’9’9
• 5^4
• 5^4
(а, ад) P2, zq, zq, azqlp; q)^(ag//?, aq/P, zq/p, zq/P, a/Pz; q)^
• ьФ*• ьФ*(8.8.12)(8.8.12)■pz,zq/P,zq^,-zq^,-zq ^ . zq, z2q, Pzqja, azqJP ’ ’ .
• ьФ*
• ьФ*
(8.8.12)
(8.8.12)
которая выражает квадрат вполне уравновешенного ряда 2Ф1 в виде суммы двух сбалансированных рядов 5^4. По принципу аналитического продолжения равенство (8.8.12) будет справедливым при |g| < 1 и |^/^| < 1.
Для вывода (8.8.3) из (8.8.12) Существенно, что если а = q~ns п = 0,1,..., то (а; д)оо = 0 и формула (8.8.12) дает
!Ч^
(pz^q^/p-.g)»\q-’1,q^"T4P,qx~"IP'l,-q^~nIP,-q1~’4P а
V\0Mn (/?,/?;9)nV\0Mn (/?,/?;9)n{Pzq^yzqlp^q^ 5ф49I"n/^,91"2n/^2>V"n/^,9I~n/^ ’’’ •
V\0Mn (/?,/?;9)n
V\0Mn (/?,/?;9)n
•q"»,PV,P,Pz,p/z '. P^pq^-Pq^-P ,<M
при обращении порядка суммирования. Поскольку, согласно (7.4.14),
(8.8.14)(8.8.14)_ (^;8)„ (zV \q-n,0VA0^A0/^"
(8.8.14)
(8.8.14)
из (8.8.13) следует, что
< 4<к< 4<кq-\j3V,U^,W^. "
< 4<к
< 4<к
Pq^-Pq^»-P 4,4
= ъФ<= ъФ<q '^q'^^z^jz. ^,^,-й^-/? ;q'9.q '^q'^^z^jz. ^,^,-й^-/? ;q'9.(8.8.15)(8.8.15)
= ъФ<
= ъФ<
q '^q'^^z^jz
. ^,^,-й^-/? ;q'9.
q '^q'^^z^jz
. ^,^,-й^-/? ;q'9.
(8.8.15)
(8.8.15)
для n = 0,1,..., а это формула (8.8.3), записанная в эквивалентной форме.
Теперь заметим, что
2<l>i{a,p-,aqlfi-,q,zqll3)'
_ ^aq^ ,-z^aq^ ,zqa^ ( 0,-zqa^ ) 0\q^.
^zq^,—zq^,zq/p,—azq/0;q')oo'
• aW^-az/fi-,a^ ,-a^ ,{aq)^ I fl,-(aq)^ / P,-z-,q,-zq), (8.8.16) в силу (3.4.7) ц (2.10.1), и выберем а = ai,6 = (а^)^/^, чтобы получить из (8.8.12) следующий д-аналог формулы Клаузена:
Г ^a2z2q, b2z2q\q2)(Xi\(z2q,a2b2z2q] q2^Г ^a2z2q, b2z2q\q2)(Xi\(z2q,a2b2z2q] q2^sWi^—abzq* ^; a, —a, 6, —6, —z; g, —zsWi^—abzq* ^; a, —a, 6, —6, —z; g, —z22(azq^/b.bzq^/a-.q^oo(zq^/ab, abzq^;q)oo(azq^/b.bzq^/a-.q^oo(zq^/ab, abzq^;q)ooьФ*ьФ*a2,62, ab, —ab, —abq^a2b2, abq^, abzq^, abq^ / za2,62, ab, —ab, —abq^a2b2, abq^, abzq^, abq^ / zЛЛЛЛ
Г ^a2z2q, b2z2q\q2)(Xi\(z2q,a2b2z2q] q2^
Г ^a2z2q, b2z2q\q2)(Xi\(z2q,a2b2z2q] q2^
sWi^—abzq* ^; a, —a, 6, —6, —z; g, —z
sWi^—abzq* ^; a, —a, 6, —6, —z; g, —z
2
2
(azq^/b.bzq^/a-.q^oo(zq^/ab, abzq^;q)oo
(azq^/b.bzq^/a-.q^oo(zq^/ab, abzq^;q)oo
ьФ*
ьФ*
a2,62, ab, —ab, —abq^a2b2, abq^, abzq^, abq^ / z
a2,62, ab, —ab, —abq^a2b2, abq^, abzq^, abq^ / z
ЛЛ
ЛЛ
(zq, zq, a2,^)^
(a6gi,abq^,ab/zq^,abzq^;g)^
e 5^4e 5^4azq^ (b'bzq^ (a^zq^—zq^—zqzqs z2q^ abzq^, 2gi jabazq^ (b'bzq^ (a^zq^—zq^—zqzqs z2q^ abzq^, 2gi jab(8.8.17)(8.8.17)
e 5^4
e 5^4
azq^ (b'bzq^ (a^zq^—zq^—zqzqs z2q^ abzq^, 2gi jab
azq^ (b'bzq^ (a^zq^—zq^—zqzqs z2q^ abzq^, 2gi jab
(8.8.17)
(8.8.17)
где |g| < 1 и |2rg| < 1.
Для проверки того, что (8.8.17) представляет собой необрываю- щийся д-аналог формулы Клаузена, достаточно заменить а на ga, b на д6 и перейти к пределу при g т* 1""; тогда левая часть и первое слагаемое в правой части равенства (8.8.17) стремятся к левой и правой частям формулы (8.8.1), в которой z заменено на —4^(1 — z)"”2, и поэтому, в силу (8.8.1), второе слагаемое в правой ^асти (8.8.17) должно стремиться к нулю.
Как показано в работе Гаспера и Рахмана [G33], обобщение на случай необрывающихся рядов (3.4.1) формулы квадратичного преобразования
Сирза — Карлитца может быть использовано вместо (8.8.10) для вывода формулы умножения"
< , // и х (az^bz/c.q^oo
2Ф1(а,Ь-,с;q,zi) i^a.aql^aqlbxq.z^ = - .——:—г— ^z^bz/c^q)^
Га, c/b, (ас/Ъ)Ь, —(ас/b)^ (асч(Ь^, —(асq/ь^ _ ■ 6*5/И Ik/к'Ч’Ч
• L°5/&) с» ас Ь, az, cq/bz,
-z(abq/c^ ‘ ЛЛ ,-z(abq/c^ ‘ ЛЛ ,(a, c/b, az, bz, azq/c*, q)^ (c,aq/b,z,z,c/bz;q)oo
-z(abq/c^ ‘ ЛЛ ,
-z(abq/c^ ‘ ЛЛ ,
• 6^5• 6^5z, abz/c, z(ab/c^, —z(ab/c^, z(abq/c^, ■ az, bz, azq/c, bzq/c, abz2/с
• 6^5
• 6^5
(8.8.18)
где |z| < 1 и |g| < 1. Эта формула сводится к (8.8.12), когда а = а, b = Р, с = otq/P и z заменяется на zq/p.
Применяя различные формулы преобразования к рядам 2^1 в (8.8.12) и (8.8.18), эти формулы можно записать в многих эквивалентных формах. Например, заменив в (8.8.18) b на с/b и применяя (1.5.4), получим
^2(a,b*,c,az\q,cz/b^ ^(a^abq/^az-^azq/c^
(z, az/b; q)^(az^/b*^ ^(z, az/b; q)^(az^/b*^ ^a, b, (ab^, — (ab)i, (abq)^, —(abq^abq/c, c, ab, az, bq/z
(z, az/b; q)^
(az^/b*^ ^
(z, az/b; q)^
(az^/b*^ ^
fabicz^^ (c,abq/c,az,b/z\q)00
*6^5*6^5;q,q > (8.8.19);q,q > (8.8.19)z, abz, z(a/b^, —z(a/b^, z(aq/b^, —z(aq/b^az, cz/b, aqz/c, zq/b, az2/b
*6^5
*6^5
;q,q > (8.8.19)
;q,q > (8.8.19)
где max(|g|, (azq/c^ |c^/6|) < 1. Если мы заменим a,b, г в (8.8.19) соответственно на да, Ьъ, z/(z — 1) и перейдем к пределу при q 1“, то получим формулу умножения Рамануджана [R26, т. 2] и Бейли [В2, В4]
iFi(a,b*,e,z^ 2Fi(a,b;a-^b - с+ l;z)
= 4^з(а, Ь, (а + Ь)/2, (а + b + 1)/2; с, а + b,а + b - с + 1; 4^(1 - г)),
(8.8.20)
где |^| < 1 и |4z(l — z)[ < 1. Это есть обобщение формулы Клаузена в том смысле, что, заменяя а, Ь, с, 4^(1 — z) в (8.8.20) соответственно на 2а, 2b, а + b + |, z и используя квадратичное преобразование [Е2, 2.11 (2)]
iF^a^a-Vb-V-;^)^ 2Fi(a,b;a-Vb-V^4z(l- z)),(8.8.21)
мы получим (8.8.1). См. работу Аски [А109]..
Неотрицательные базисные гипергеометрические ряды 263
Неотрицательные базисные гипергеометрические ряды
Наша основная задача в этом параграфе состоит в том, чтобы показать, каким образом обрывающаяся ^-формула Клаузена (8.8.3) может быть использована для вывода g-аналогов неравенств Аски — Гаспера (8.8.2) и неотрицательных гипергеометрических рядов у Гаспера [G14, уравнения (8.19), (8.20), (8.22)].
Как и в работе Гаспера [G25], подставим
7 = 92\«i = (Л «2 = g6e'*,a3 = g6e~,#,6i = g2t,62 =
ci = g"",c2 = 9n+“,di = g^(a+1) = -d2,ei = qb*^ = -e3lz = q,w=l
в формулу (3.7.9) при r = 3,s = t = u = k = 2, чтобы получить разложение
‘ q-n,qn+a,q\qbeie,qbe-i6 ^.+1).^)^ '4,4
= A Jf^^tVtiiZ^i9^^ (g, g$(«+l), _gi(»+l)5 qj+2b; д^
" 4^3" 4^3‘ qi~n, qi+n+a, qi*1^, -qi+b+^q2j+2b+l, qj+ |(a+l), _qj+ J(a+1) ’ 919
" 4^3
" 4^3
e 5^4e 5^49 j)qj+2b,qb,qbei6,qbe-id9 j)qj+2b,qb,qbei6,qbe-id4,44,4(8.9.1)(8.9.1)
e 5^4
e 5^4
9 j)qj+2b,qb,qbei6,qbe-id
9 j)qj+2b,qb,qbei6,qbe-id
4,4
4,4
(8.9.1)
(8.9.1)
(4,4a-2b;42)k(4,4a-2b;42)k2k(n—2k+b+l/2)Ч)2k(n—2k+b+l/2)Ч)где, как всюду в данном параграфе, п = 0,1,.... Согласно упр. 2.8, ряд 4^з в (8.9.1) обращается в нуль, когда n—j — нечетное число, и равняется
(4,4a-2b;42)k
(4,4a-2b;42)k
2k(n—2k+b+l/2)Ч)
2k(n—2k+b+l/2)Ч)
(g2n-4*+a+l , q2n-4kVM-2.q2^
когда п - j = 2к и к = 0,1,.... Следовательно, используя (8.8.3) для представления 5^4 в виде квадрата ряда 4^3, мы имеем
5 Фа5 Фа' Гп^п+°)961^,^е-^ .q2b,q^a+11),-4^a+1\-4b"’4’q.
5 Фа
5 Фа
(g,g^(a+1), -^(a+1),9"-2k+2b;<z)n-2t
(4,4a-2b;42)k 2k(n-2kA-bA-^H J(nr-2fc)(n-2fc+l)
^271-4*4-0+1^271-4^4-26+2.^2^ 4
f . t42k^qn-2k+2b,q^ie,q^be-V» ii2
+*[■ (8-9-2)
Так как (—l)n(g“n; 9)п-2* > 0, то из (8.9.2) ясно, что
Г ——п'
ьФаьФа(8.9.3)(8.9.3)g ^q ,q ^q € tq е q2b^(a*l^_q^a*l^_qb'9^
ьФа
ьФа
(8.9.3)
(8.9.3)
когда а > 2Ъ > —1 и 0 < g < 1. При подстановке х = cos# в пределе q ~* 1“ из (8.9.3) вытекает, что
3^23^2*-п,п 4- а,6 1 - х* _2&,|(а+1);*-п,п 4- а,6 1 - х* _2&,|(а+1);>0,>0,-1 < х < 1,-1 < х < 1,(8.9.4)(8.9.4)
3^2
3^2
*-п,п 4- а,6 1 - х* _2&,|(а+1);
*-п,п 4- а,6 1 - х* _2&,|(а+1);
>0,
>0,
-1 < х < 1,
-1 < х < 1,
(8.9.4)
(8.9.4)
когда а >26 > —1. Эти рассуждения показывают, что (8.9.3) является g-аналогом неравенства (8.9.4). При а = а + 2 и 6 = ^(а 4- 1) неравенство (8.9.4) сводится к (8.8.2). Частные случаи неравенства (8.9.4) были - использованы де Бранжем в его работе [В40] по оценкам коэффициентов ■ для римановых отображающих функций. .
Если использовать (8.9.1), (8.8.3) и упр. 2.8, то можно вывести другой g-аналог неравенства (8.9.4). Имеем
п „п+а„1а^—49'
вФьвФьg <>q ,q ,—q Л? е Л? е q2b, 9i(“+!), -gi(“+i), —q^a, —qia ’9,9
вФь
вФь
A J/Tl-jF^i^(-lVai+^
^ (q,q^a+1\ -q^o+1\-qV
Tqi-^q^i+^qi+^qi+^e^qi+^e"16'
54 g^+^gi+i^U’-gj+Jta+l^-gj+ia ,9,9
[g-^g^-^g^.-g6,1
* аФз 2b 1а 1а >9)9
L q,q2e,-q^a J•
^ (g""> 9n+o, q^a,qKoei6,q^e~ie; q>ik
^ (g,gi(“+1), -gi(°+1\ -q^a,q2k"'-a-x;q'^ik
<Л2^2^£К nikl4rk*-ikb
• (qajq2b+l.q2)k 9.
(8.9.5)(8.9.5)(8.9.6)(8.9.6)* q2k-n дп+2к-^а qk+^a^ie^ q^A-^ae-^46"
(8.9.5)
(8.9.5)
(8.9.6)
(8.9.6)
92fc+l(a+l)_92fc+J(a+l)_92k+la’9’9
а это показывает, что
" q-n,qn*a)qb,-q\q^aeie,q^ae-i6 .'
_д2\ q^a+x\-gi(»+i),-qV^ -q^» ’9,9
когда a > 26 > -1 и 0 < q < 1.■
Разложения (8.12) и (8.17) в работе Гаспера [G14] представляют со- €юй соответственно частные случай (8.9.2) и (8.9.5), которые возникают
Неотрицательные базисные гипергеометрические ряды 265
в пределе при q —► 1 , когда используются (7.4.14) и формула (8.10) из [G14]. В свою очередь ^-аналог разложения [G14, G25]
; (1-^(1-у2)
п
j=0
(^С-Д(“+2)(У))(8.9.7)
легко вывести с помощью (3.7.9), (8.8.3) и (7.4.14), что приводит к представлению•
706706q-n^ дП4-а+2? g|(«+l), g^(aVV)e2i9^ g^a-Vl) e-2i9g^l^g^a + З)^ ^(^3)^ -g^Of^
706
706
V™^ (9 n, q^^^^ q^a"^2\ gi(a+2)€2tT, q^a"^e ^гт\Ч^з
^(9. q^0*^, -gi(a+3), —qi(Q+2>, g>+“+1; g^
(g;gMg;g)n-,-„
которое, очевидно, неотрицательно для вещественных 0 и г, когда а > —2.
Если рассуждать, как при выводе (8.9.5), но использовать д-формулу суммирования Заалыпютца (1.7.2) вместо у пр. 2.8, то мы получаем
605605q н 1qn'^Q1q2a)qblq^aete^2ае 16 gl(«+l), qC, qM-b-c, „^(a+l), _?|a ’ 9’9
605
605
n/ «—н _n+a „У и. „и—с „с—Ъ „%a—ie _#а«—iff, «\
у' уд >9 Л1 ,д ,9 °,qiaev’,qi е '’^д), Ь (9, д^а+1\ -д^а*г\ -gia, g^—1,9е, д=+ь-с; q^.
•(-lygi^H® ( 4^з•(-lygi^H® ( 4^з"gj~n,gj*n"'"a,g^jA'4ae^i6,g2i"'"4ae~2i6"gj~n,gj*n"'"a,g^jA'4ae^i6,g2i"'"4ae~2i6;g,9;g,9
•(-lygi^H® ( 4^з
•(-lygi^H® ( 4^з
"gj~n,gj*n"'"a,g^jA'4ae^i6,g2i"'"4ae~2i6
"gj~n,gj*n"'"a,g^jA'4ae^i6,g2i"'"4ae~2i6
;g,9
;g,9
(8.9.9)
и, следовательно,
q п^п^а^^а^ь^2аеге^^ае ,e 'gi(»+l)t qS,qa*b-C; „q^a+l^ _g ja *919
для вещественных значений 9^ когда а>с>6, а + 6>с>0и0< При переходе к пределу q -* 1~ в (8.9.10) приходим к неравенству
—n, п + а, |а,6е
для — 1 < х < 1, когда а > с > b и a-Vb > с > 0, что дает неотрицательность ряда 3F2 У Гаспера [G14, (8.22)], когда а = a-V^b = |а+| и с = а + 1. По поводу неотрицательных сумм полиномов Аски — Вильсона см. работу Гаспера [G27].
Приложения к теории разбиенийположительных целых чисел
В рассмотренных до сих пор приложениях мы имели дело почти исключительно с ортогональными полиномами, которые допускают представление в виде базисных гипергеометрических рядов. Это важные результаты, и большинство из них появилось в печати в течение последних двадцати лет. Они образуют основную массу приложений, рассмотренных в этой книге. Однако наша задача осталась бы незавершенной, если бы мы оказались не в состоянии отметить некоторые из более ранних примеров, в которых базисные гипергеометрические ряды сыграли ключевую роль. Простейшим среди них является функция Эйлера р(п), равная числу разбиений целого положительного числа п (см. [ЕЗ]). Под разбиением натуральногЬ п понимается конечная монотонно убывающая последовательность натуральных чисел (называемых частями этого разбиения), сумма которых равняется п. Чтобы пояснить, каким образом р(п) возникает в q-рядах, рассмотрим формальное разложение в ряд по степеням q бесконечного произведения (q;q)^*
ОО•
ООООпп= П(1-»*+1) к=0
ОО
ОО
п
п
. ^^14 + ^2’2+“-
fcl>ofc2>0
ОО
У PW.
п=0
где
(8.10.2)
р(0) = 1 и для натуральных п функция р(п) есть число разбиений числа п на части < п. В разбиении (8.10.2) для п слагаемое т присутствует кт раз и, следовательно, 0 < кт < n/m, 1 < т < п. Для малых значений п функцию р^п) можно вычислить очень легко, однако число разбиений
растет слишком быстро. Например, р(3) = 3, р(4) = 5, р(5) = 7, но р(243) = 133978259344888. Харди и Рамануджан [Н12] нашли следующую асимптотическую формулу для больших значений п:
р(п) ~р(п) ~wrxpwrxp(8.10.3)(8.10.3)
р(п) ~
р(п) ~
wrxp
wrxp
(8.10.3)
(8.10.3)
Представляют также интерес перечисления разбиений натурального числа п на части, удовлетворяющие определенным ограничениям, такие, как
(i) PnW — число разбиений числа п на части < N, которое задается производящей функцией
(?;9)iv = ^2,PN(n)qn,(8.10.4)
'n=0
где n = &i • 1 -f- &2 * 2 4V kN е N содержит т кт раз;
(и) ре(п) — число разбиений четных целых п на четные части, определенное формулой
(^г^Па-^12)-1
\ к=0
■= 1>^(8.10.5)
'п=0
Pdist(w) — число разбиений числа п на различные натуральные части, которое определяется формулой
Н;д)«> = 52 Е ’•V,1+*3’2+"кх=О к2=0■
= Y,Pd»iW,(8.10.6)
п=0
где п = к^ • 1 + к2 • 2 4- • • • + кп • п, 0 < к; < 1, 1 < г < п;
Ро(п) — число разбиений натурального п на нечетные части, определенное формулой
(-?;№ = ПС1-»2*4"1)-1
к=0
= ^Ро(п)9п.(8.10.7)
71=0
Тождество Эйлера для разбиений
вытекает из (8.10.6), (8.10.7) и из того факта, что
(8.10.9)(8.10.9)(-«;«)оо = (q^,-q4qA = ^q1^-X ./оо
(8.10.9)
(8.10.9)
Другие комбинаторные тождества эторо типа можно найти с помощью тождеств для g-рядов, аналогичных (8.10.9), но, возможно, несколько более сложных, чем эта формула. Рассмотрим, например, тождество Эйлера из [ЕЗ], содержащее пентагоналъные числа п(3п ± 1)/2:
ОО .П= —ОО■.
= 1 + ^2(-l)ngn<3n+1>/2 + ^(-l)"^3"-1)/2, (8.10.10) n=ln=l
которое приводится в у пр. 2.18. Формальное разложение в степенной ряд дает..
ОО
, к.д^-П^-^1)
*=0
= 52 52’"С-1)*'**21 9*’1+*’2+ ’(8.10.11)
ki =0 ^2—0. ,
что отличается от кратных рядов в (8.10.6) только множителем вида (—1)*1+*э+—е Этот множитель равняется ±1 в зависимости от того, имеет данное разбиение четное или нечетное число частей. Обозначив эти числа соответственно через p€ven(”) и pOdd(«), мы получаем, что ■
ОО
(g; q)» = 1 + 52 [₽.»*■(«) - Podd(n)] qn. (8.10.12) n=l-’
Из (8.10.10) и (8.10.12) вытекает, что
!
(-1)* для п == к(3к ± 1)/2,
(8.10.13) 0 в противном случае.
Таким образом, тождество Эйлера (8.10.10) отражает то важное свойство, что натуральные числа п, которые не являются пентагональными числами вида к(3к ± 1)/2, могут быть разбиты на четное число частей тем же количеством способов, что и на нечетное число частей. Однако если п = к(3к ± 1)/2, к = 1,2,..., то p€Ven(^) отличается от podd(”) на (—1)*. См. работы Харди и Райта [Н13], Радемахера [R1] и Эндрюса [А53-А62] по поводу родственных результатов.
^п(п+1) (9; g)n^п(п+1) (9; g)nДва из наиболее знаменитых тождеств в комбинаторном анализе — это так называемые тождества Роджерса — Рамануджана (2.7.3) и (2.7.4), которые для дальнейшего обсуждения мы перепишем в следующем виде:
^п(п+1) (9; g)n
^п(п+1) (9; g)n
(8.10.14)(8.10.15)(8.10.14)(8.10.15)1
(8.10.14)
(8.10.15)
(8.10.14)
(8.10.15)
П (1 - ^^Xi - »5+<) *=0.
П (1 — 9«*+2)(1 - в5*+3) *=0
Понятно, что бесконечное произведение в правой части тождества (8.10.14) отвечает числу разбиений целого положительного числа п на части вида 5fc + 1 и 5А; + 4, тогда как произведение в правой части тождества (8.10.15) приводит к числу разбиений числа п на части вида Ьк + 2 и Ьк + 3, к = 0,1,... .
Следуя Харди и Райту [Н13], мы теперь дадим комбинаторную интерпретацию для левых частей приведенных выше тождеств. Поскольку
' k2 = 1 + 3 + 5 + ••• + (2fc- 1),
мы можем графически изобразить этот квадрат числа к в виде строк, состоящих из точек, причем каждая строка имеет на две точки больше, чем расположенная под ней. Затем мы возьмем произвольное разбиение числа п — к2 на не более чем к частей с частями, расположенными в убывающем порядке, пометим их крестиками и расположим в концах строк из точек, чтобы получить разбиение числа п на слагаемые с минимальной разницей 2. Например, когда к = 5 и п = 32 = 52+7, мы добавляем четыре крестика к верхней строке и по одному — ко второй, третьей и четвертой строкам, что подсчитывается, согласно приведенному выше правилу. Это дает разбиение 32 = 13 + 8 + 6 + 4+ 1, графически изображенное ниже:
Тождество (8.10.14) утверждает, что число разбиений натурального п, для которых разность между частями не меньше 2, равняется числу разбиений того же п на части, сравнимые с 1 Или 4 по модулю 5.
Замечая, что
fc(fc + l) = 2 + 4 + 6 + --^fc, 1
можно дать аналогичную интерпретацию и для левой части тождества (8.10.15). Поскольку первое слагаемое в приведенной выше сумме есть 2, то можно заключить, что число разбиений натурального п на части, не меньшие 2 и с минимальной разностью 2, совпадает с числом разбиений того же п на части, сравнимые с 2 или 3 по модулю 5.
Дальнейшие приложения базисных гипергеометрических рядов к теории разбиений см. в работах [А53-А70], [F5], [F6], [А71], [А82]. Дополнительные результаты относительно тождеств типа Роджерса — Рамануджана приводятся в работах [S12], [S13], [J42], [J44], [А51], [А63-А66].
. 8.11. Представления натуральных чисел в виде сумм квадратов .
Одной из наиболее интересных задач в теории чисел является представление натуральных чисел в виде сумм квадратов целых чисел. Ферма доказал, что любое простое число вида 4n+ 1 можно единственным образом выразить в виде суммы двух квадратов. Лагранж показал в 1770 г., что все натуральные числа могут быть представлены в виде сумм четырех квадратов и что это количество минимально. Ранее, в том же году Йаринг поставил общую задачу о возможности представления натурального числа как суммы фиксированного количества неотрицательных к-х степеней целых чисел (положительных, отрицательных или нулевых) в определенном порядке и высказал гипотезу, Что любое целое число является суммой четырех квадратов, девяти кубов, девятнадцати биквадратов и т. д. Более чем через 100 лет Гильберт [Н18] показал, что все натуральные числа представимы с помощью s к-х степеней, причем s = s^k) зависит только от к. По поводу исторического обзора проблемы Баринга см. работы Диксона [D11], Гроссвальда [G50] и Хуа [Н24].
Чтобы продемонстрировать полезность базисных гипергеометрических рядов при изучении таких представлений, мы ограничимся простейшими случаями: суммами двух и суммами четырех квадратов; при этом считается, например, что п = xf + ж| = У? + Уг являются двумя различными представлениями натурального п в виде суммы двух квадратов, если Х1 / yi или ж 2 У2 •
Пусть Г2ь(п) — число различных представлений натурального п в виде суммы 2к квадратов, где к =1,2,... . Мы покажем с помощью
техники базисных гипергеометрических рядов, что для п > 1
г2(п) = 4(^(я) - d3(n)),(8.11.1)
г<(п) = 8 £ а,(8.11.2)
d|n,4M-
_П=—ОО_П=—ООгде di^n)^ г = 1,3, — число (положительных) делителей натурального п, сравнимых с i по модулю 4, и суммирование в (8.11.2) означает сумму по всем делителям числа п, которые не делятся на 4. Числа 4 и 8 в (8.11.1) и (8.11.2) соответственно отражают тот факт, что ^(l) = 4, так как 1 = 02 + (±1)2 = (зЫ)2 4-02, и что г4(1) = 8, поскольку 1 = 02+02+024(±1)2 = 02+02 + (±1)2 + 02 = 02+(±1)2+02 + 02 =(±1)2 + 02+02+02. Оба эти результата были доказаны Якоби с помощью теории эллиптических функций, однако приведенные ниже доказательства основываются, как и у Эндрюса [А48], на формулах, установленных в упр. 5.1, 5.2 и 5.3. Комбинируя результаты упр. 5.1 и 5.2, мы получаем.
_П=—ОО
_П=—ОО
(8.11.3)(8.11.3)~ (_l)»gn(n+l)/2
(8.11.3)
(8.11.3)
-н 1 + »п
п=1
Однако двусторонняя сумма в левой части представляет собой, очевидно, производящую функцию для (—1)пГ2(п) и поэтому достаточно доказать,
что•
0000 / 1 \плп(п4-1)/2 ;
2>(n) - d3(n)R-g)" - 52 ^Д^•(81К4)
п=1.п=1Г 9
Разбивая сумму на нечетную и четную части и используя затем формальные операции над рядами, мы получаем, что
ОО ОООО ОО= £D-dт=0 г=1= £D-dт=0 г=1_ g(4m+3)r_ g(4m+3)r
ОО ОО
ОО ОО
= £D-d
т=0 г=1
= £D-d
т=0 г=1
_ g(4m+3)r
_ g(4m+3)r
= ^>ЧУШ«) - W), П=1
и это завершает доказательство формулы (8.11.4).
Для доказательства (8.11.2) заменим сначала q на —q в упр. 5.1 и 5.3 и установим, что■
ОО 52г4(п)9п =ОО 52г4(п)9п =(8.11.6)(8.11.6)
ОО 52г4(п)9п =
ОО 52г4(п)9п =
(8.11.6)
(8.11.6)
где последняя строчка получается из предыдущей путем разложения (1 + (—Q)n)~2 и изменения порядка суммирования. Теперь •
ОООО- nqn1 + (-9)"- nqn1 + (-9)"
ОО
ОО
- nqn
1 + (-9)"
- nqn
1 + (-9)"
V 4 । V 4
^ 1 - о” ^ 1 + с" odd п>14 even п>24
nqnnqnТаким образом,Таким образом,Mn)?” = 1 + 8 ^ п=04|пMn)?” = 1 + 8 ^ п=04|пl — qnl — qn(8.11.7)(8.11.8)(8.11.7)(8.11.8)
nqn
nqn
Таким образом,
Таким образом,
Mn)?” = 1 + 8 ^ п=04|п
Mn)?” = 1 + 8 ^ п=04|п
l — qn
l — qn
(8.11.7)
(8.11.8)
(8.11.7)
(8.11.8)
Поскольку Г4(0) = 1, данное равенство непосредственно приводит к (8.11.2). По поводу прямого доказательства (8.11.8), основанного только на тождестве Якоби для тройного произведения (1.6.1), см. работу Хир- шхорна [Н20].
Аналогичный образом можно использовать упр. 5.1 и 5.4, чтобы показать, что
г8(п) = 16(-1)” ^(-l)^, n > 1.(8.11.9)
d|n
См. работу Эндрюса [А48]. Некоторые замечания по поводу других применений приводятся в примечаниях к га. 8.
Упражнения 8
Докажите, что для малых ^-полиномов Якоби pn(s;e,&;g), определенных в (7.3.1), выполняются следующие равенства:
(О
p„(v;a,6;9)p„(y;a,6;9)
= (-ааТ^У^^к у' ^2^2211221121^ (^‘""A
(a9;9)n^0 W>q;qjm \ а )
"^-т,Ь~^-т
^k4,aq,xqx-m,yq
Pn^a^q^p^a^qy
(g ",abqn+1;qY
^bqxq^m
^У ^g)^^^ 2ф1^к ’'‘-^w1!'"1)-
8.2. Выведите следующую формулу умножения для больших 9-полиномов Якоби, определенных в (7.3.10):
Pn(x;a,6,c;9)P„(y;a,6,c;9)
_ ( a»)"^")^9’^” V ^211^211^2^21^(^')m
(«9;»)» ^ (яМ^«мУт к a /
ч^з
q m,b-1q-m,x,y_2
1,,Q,0>bqC
.aq^xc xq m1,yc~1q~m
8.3. Докажите, что
П=Р
(afrg,a9;9)n(l-aV"+1) / t V ( X , . , ,. x
(q,bq;qW - «bq) («J P^4 ’°’Ь'^9 ,a,b,q)
00 min(»,y) (ttObqhq^Y, 52 r=0e=0
Vg-^q-^qV- (.-Mtr-M) (qMq^q^q^V
•2Ф1 (0,0; qt; q, a V+2'+2) q~2T—a tr+*
18—1449
274
Дальнейшие приложения
и что это приводит к положительности ядра Пуассона для малых g-полиномов Якоби при ж, у = 0,1,..., О < t < 1, когда 0 < q < 1,0 < aq < 1 и 0 < bq < 1.
Докажите, что для g-полиномов Хана
G)
Qn^a^N-^Q^aAN-^ = ^’«^М» (fcgWp wq ,?)»
A lq-\abq"+\bqN-^\bqN^^^ m
“'о (q,bq,abqN+2,bqN+'-,q)m 4
^(9!9)k(l ~ b-1q-N-m~l)(aq,q-N-,q)k
. (^ ’5 ’/ а 1х к (т+ у+2 т - к) к
(b-1q-N,b-1qI-N-m,b-iqV-N-"‘-q\V ’ 4
GO
<№,a,b,N;q)Qn(y, а,6,N-,q) = ^“^n^" (Ь^+1)
—i. ^qibq.ebq^-'q'lm
^0(q,aq,q~N,bq^—y,q)k^q’
• 3^2• 3^2■qk-m,qk~I,bqN+1-1
• 3^2
• 3^2
0, bg^r+i-=-»+ 59,9 "
Докажите, что для g-полиномов Рака
(i)
Wn^bAN-^W^n^N^ = ^l^l^k ^bqN^YW Vaq,q "^qln
.V
^0 (q^bq^abqW^cq^qY
. Ibcq^.bcq^-^Y m (bcq,bqN+\q)m 4
00
^„(х;в,6,е,ЛГ;9)^„(у;а^,с,ЛГ;») = ' ^уЛ.,) 'а (ас <?+)
A (£2^i!?!?221^!52^^2^1i^2^^^11L?Lb.
"0 кчлН^ЛФ^е^Ч^лХ»
(at,ag;g)m
• ioWgq,
Покажите, что
0)
Wn(z;a,b,c,jV;9)VVn(y;a,6,c,M;^
_ ^ЛЧС’^Л^п A (^^^l^Zll^Zli^L»(ag,6cg;g)„ C ^^bq^aqc-1^*1-^^
к^Ч’^^Ч-'-Л^ mкч-”,ч-м;чк 4
• 10w9 (c9-m;ca-1^m,6-1g-m,g-m,g~3? ,
cqx~Nq"*^ cqv~M; g, abqM^N"'"3^,
где n = 0,1,... ,min(Af, N\ x = 0,1,.".., N и у = 0,1,..., M;
(“)
IVn(z; a,a,c^;g)lVn(y; a,a,c, N; q)
= качс-^^д^хчк , x w+4-n А кч^лУ^ЛЧ^Л^ к^ЛЛ^'Л^п '^0 кЧЛ2ЧЫ¥2 ЛЧЛ)т
кач^лс-у-^лк m
качс^ЛЧ^Л^т 4
• 10W9 кач^л'ч"1*1 л^лч14**1 л-1ч-1 л-1л'1лч',-,<"лл) •
Докажите, что для g-полиномов Хана
б)
V каЬчЛЧЛ-,Л)пк1 - abq2n+v), .-„./vn-C)
(9,b9,abgN+2;9)n(l - abq)
1.» -дпкхЛ'ЬЛл^пкУЛ'Ь'М-л)
276276Дальнейшие приложенияДальнейшие приложения
276
276
Дальнейшие приложения
Дальнейшие приложения
~5~о^-М’ t-^’ abqN+1' »)г+, (9, «я »)r(e. bq; 9),
,г+, . (г+,)(2ЛГ-г-,+1)/2-(е+у+П»
•1Ф1 (qT+—,q1+T+-,;qt+N--,q,abqN+^ > О
при х = 0,1,..., N, у = 0,1,..., М, z = 0,1,...»2V, О < t < 1, когда О < q < 1, О < aq < 1, 0<6д<1и#<ЛГ;
GO
A ^*bg,<iq,q-N;q'MA - g^in+1) (_1V aNn-G)
^ (g,6g,a6gw+2;9)n(l-afr9) V «97 ’
• Qn(z; a, 6, N; q)Qn(y; a, 6, M; q)
^ ^^q~M' abqN+2’ 9)r+, (9, »q> q)Aq, bq; q^,
.<t,abqlr^;q>)N_r_. 2^ ^"^tqN-^qt^abq^’1*^
для x = 0,1,...,^ у = 0, l,...,Af, 0 < t < 1, когда 0 < q < 1, 0 < »Q < 1» 0 < bq < 1 и N < М.
(Гаспер и Рахман [G31], Джайн и Верма [J43])
Докажите, что
A («q>«fr?,H;q)n(-c)-n . / ^ (2) ^qM^c-^qU^qV^4
• W^x^a^b^C'N^q^W^y^a^aba-1 ^^Mxq^
^ ^ (q~N; g)r+, (9. °9< q~M’, abiqa-1, cq1-*; q\
{qx~N ,c-xq-x-,q)f(l - cqr~’) _T (q1bq,«qc~1vq')»^ - cq-$>) 9г,«Дг+».
где z = 0,1,...,TV, N < M,
X / X _(^"^^k-bk^n-b*
и {дг} — произвольная последовательность комплексных чисел, а величины АТч8 те же, что и в (8.7.5).
Выведите из упр. 8.8, что
A __J*b924£e2bcs2£i9)a^^ ^fi(q,bq,abq2ld,abq2le,aqlc,abq*+i‘,q)n(\ — abq) \ cde /
• WJz; a, b,c,N; q)Wn(y; а.аЬа^^^МлА
labq^d'a^le^^^lq-tMeq**-^**^*.^-”^,.
to21il^li^rl£^^r+.-r. a
(aq,ab4qa~1,cq1~,1,qAr(iq,bq,aqlc;q'),(l - cq-*A4
Используйте (7.4.14), чтобы показать, что (8.8.3) эквивалентно формуле
{^(cos»;^!»)}2
rv-n.Д2^n,^/?e2•■,,,/?e-2<, I /Р.М-М-/?
где п = 0,1,....
Имея в виду формулу умножения (8.4.10) и формулу сложения Ге- генбауэра [G38], [G39] для ультрасферических полиномов (см. также [Е2, 10.9 (34)] и [S48, с. 98]), естественно попытаться найти разложение вида
рп(з; a, agi,-a,-agi |д)
= £ Ак^ ФА Рк^; ае48+4ф, ае~'в~4ф, ае18"^ ае4ф-48\Ч), к=0
гдерп(г;а,Ь,с,(/|д) — полиномы Аски — Вильсона. Умножая обе части на
w(z; ае48*4*, ае"48-4*, ае48"4ф, ае4*"48)
•рт^; ае48+4ф, ае-48"4*, ае48"4*, ае‘*-,|»)
и затем интегрируя по переменной г от — 1 до 1, покажите, что (9;g)n (aAqn1aAq~v1a2q^1—a2q^1—a2;q\ ап"*т
Ат.тАМА = ^7—7рГ
(9; <f)m(q; qAn-m (^q-1; g)2m \ a2q^, -a2q^, -a2; q)^ •Pn-m ^z;agm/2,ag^m+1^2,-agm/2,-ag*m+1^2|g) • p„_m (y; agm/2, ay(m+,)/2, -agm/2, -ag(m+1)/2|g) .
(Рахман и Верма [R20])
Докажите формулу, обратную к формуле линеаризации (8.5.1) а именно
'Ст^.п^х\^\q^ — ^2 ^^i^i^Cm—k^X^P^q^Cn—ic^X^P^q^
к=0 где■
(’’4№(M(g;gU^.
(0_2g_m_n^^(l^2*
Дайте другой вывод формул (8.6.3) и (8.6.4) с использованием q- интегрального представления (7.4.7) для Cn(x;0\q) и д-интеграль- ной формулы (2.10.19) для ряда аф?.
Приравнивая коэффициенты при €^m+n-^^ в обеих частях формулы линеаризации (8.5.1), покажите, что
■ q-VMW"' . £1 = ^Zl^^jjlk.^q^-k^-^q^-^^^-k'4' рг\ (q-" ,/Mg1-"-";^
"9, q”k,q~m, rn,9-xq~m~n,
. 9~14V~k1 0-XqX-"\ p-xqx-n, 9-1 qx~m~n,
p-lqX-m-n^
p-iql-m-n^
p-lq2-m-n ■
2 q
qX-m-ivp
q-m-n^
^-l^-m-n
-.qiqip
для к = 0,1,... ^ n и
qk-m-nq-n iPiPqk-n ,£■
"XqX-n,P-XqX*k-m-n^A-k-n ,4’ ^
(<1т+Х,9 xqx k^)n( . (q-k,9qm;q)n
9, q~k,Г^1-к9, q~k,Г^1-кq m, q n,^-Igl-m, 3-XqX-n^q m, q n,^-Igl-m, 3-XqX-n^p-l^m-n^p-l^m-n^1— m—n1— m—nqqk—m—nk—m—n9 xq9 xq1-Vk — m — n1-Vk — m — nrx4l-m-n 2 q-p_Vq_m_n <q>q ip.rx4l-m-n 2 q-p_Vq_m_n <q>q ip.
9, q~k,Г^1-к
9, q~k,Г^1-к
q m, q n,^-Igl-m, 3-XqX-n^
q m, q n,^-Igl-m, 3-XqX-n^
p-l^m-n^
p-l^m-n^
1— m—n
1— m—n
q
q
k—m—n
k—m—n
9 xq
9 xq
1-Vk — m — n
1-Vk — m — n
rx4l-m-n 2 q-p_Vq_m_n <q>q ip.
rx4l-m-n 2 q-p_Vq_m_n <q>q ip.
для к — n,n4-l,...,n4-m, где Ф — бибазисный ряд, определенный в §3.9.'
(Гаспер [G21])
8.15. Покажите, что по принципу аналитического продолжения из ре
зультатов упр. 8.14 вытекает, что
а, 6, с, dq2
bq/a, cqjas dqjaa2
(ald^bqld^cqld.abcld-^q)^
(q/d, ab/d, ас/d, beq/d; q^
• iiWn(bc/d;(bcq/ad^,-(beq/ad)^ ,q(bc/ad)^, -q(bc/ad)^ ,
abld^acld^a.b^c^q^qJaY
где по меньшей мере один из параметров а,6,с имеет вид q п, п = 0,1,... .
(Гаспер [1985])
8.16. Из упр. 8.15 выведите, что
ю
-g^ -q,a2 (b.a2 jc.b^A q.q/a
_ ^д,а2^,а2/с,ад/к;д^%(а2,ад/Ь,ад/с,аг/Ь^д^ 4 3
а, Ь, с, Ьс/а bq/a, cq/a, beq/a2
'Ч'а2 ,
где один из параметров алЬ,с имеет вид q п, п = 0,1,... .
8.17. Докажите, что
a2 ,b2 ^abz.ab! z2
2.2 к к ^ ^ a b^q, -ab^-abq
= 5^4
а2 ,b2 .аЬ^Ьг^аЬ/z
.a^b2 ^abqV -abq^, -ab ^ ^
a2 ,b2 ,abz,ab/z abq^, -abq^, -a2b2
’ a* ,b* ,a2b2 ,a2b2 z2 ,a2b21 z2 2
. a*b*, a2b2q,-a2b2qy -a?b2 ^ '^
когда ряды обрываются.
(Гаспер [G25])
В обозначениях упр. 7.37 докажите, что
' D^-e'6,gx-'e-'e;g\vUn^OS9'j\ < 0,
когда v > -|,А > 0,0 < q < 1,^ — вещественная переменная и п = 1,..., г.
(Гаспер [G25])
Примечания 8
. По поводу дополнительных результатов относительно неотрицательности коэффициентов в формуле линеаризации для произведения ортогональных полиномов и их применениям к структурам свертки, банаховым алгебрам, теории множителей, к уравнениям теплопроводности и диффузии, принципам максимума, стохастическим процессам и т. д. см. работы [А115], [G9]-[G11], [G14], [G20], [G30], [G35], [G36], [113], [R9]. . ■
и 8.7. Неотрицательность других ядер Пуассона и их применения к теории вероятностей и к другим областям рассматриваются у Бекманна [В26] и у Гаспера [G12], [G14]-[G17].
и 8.9. Историческая справка относительно близких неравенств дается в обзорной статье Аски и Гаспера [А116]. По поводу дополнительного Материала, связанного с доказательством де Бранжем гипотезы Бибербаха, см. работы [В38]-[В40], [В41], [D21], [G22], [К26], [К27] и [М8 .
. Дополнительные приложения g-рядов даются в работах [А4], [А17], [А75], [А82], [А84], [А86], [А98], [А99], [А104], [А106], [АПО], [А122], [В31], [В32], [ВЗЗ], [В55], [В56], [041], [042], [G40], [G55], [К5], [К19], [М11]- [М22], [R34], [R35].
. Морделл [М29] рассмотрел представление чисел в виде суммы 2г квадратов. Другое доказательство формулы (8.11.1) дается у Хирш- хорна [Н19].
Дополнение I
ТОЖДЕСТВА,ВЛКЦШОЩИЕ СДВИНУТЫЕ ^-ФАКТОРИАЛЫ,^-ГАММА-ФУНКЦИИ И^БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Сдвинутые q-факториалы:
' 1,п = 0,
(«;9)п = <
(1 - я)( 1 - aq) • • • (1 - aqn-x),n = 1,2,...,
[(1 - aq-x)(1 - aq-2) •• •( 1 - n^74)] l, n = -l,-2,..
(1.1)
(n.o) =1= 1*<$
(L2)
(я9"";9)п Vqh\qV
(a\q~')n = («-,;9)>>(-«)”9”^2^
(1.3)
где (”) = n(n - 1 )/2.
ОО
(«;9)оо = IP1 ~ "9*).
(1.4)
k=0
(a.a\ - (°; 9)00
(1.5)
\rtl4)n — ,X
(«7n;<7)oo
и для любого комплексного числа а
(a-a\ = (a>9)oo
(1.6)
("9a;9)oo’
где берется
главное значение qa и предполагается, что |g| < 1.
(a-,q)n = (q'-n/a-,q)n{-ayq(^.
(L7)
(«9~”;9)я = (9/«;9)n ^-^ q’^V
(1.8)
(“9-n:9)„ = (9/«i9)n /«Xn (69~n;9)„(9/6;9)n Vb)
(1.9)
(1.10)
^<,Vk-^-/a;q)A a)'
(«;9)n-* _ («;9)n (fl^l^lllk ^У (Ь;^п_к (b,q)n(qi-n/a,q)k\a)
(1.11)
tq-qi^-k
tq/a;qH \ q)
n (<z/«;?)n \ q-)
(1.12)
(1.13)
(1.14)
(1.15)
(1.16)
(a\q)n+k = (";g)n("»n;<z)t.
(1.17)
wqu
\aQ i q)n —, v
W)kn
(лк.,л{^q)n
vaq iq)n-k - . x •
^q)n(aqn;qH
((iq ,q)n-k = - / ;
k«;qyzk
(1.18)
(1-19)
(1.20)
(1.21)
(1.22)
(ai,a2,...,e*:;Q)n = (ai;q)n(a2;<7)n • ■■(ak;q)n.
(1.23)
(a1,a2,...,ak;q'ioo = («1; <?)oo(«2; »)oo •••(«*; q)oo.
(1.24)
(o!9)2n = (a,aq;q2)n.
(1.25)
(о;9)зп = (a,a<z,e<z2;</3)„
(1.26)
и в общем случае
(a-,q)kn = (a,aq,...,aqk~1;qk)n.
(1-27)
(a2;q2)n = (a,-a;q)n,
(1.28)
(a3;g3)n = (a,aw,aw2;9)n, w = e2,r*/3,
(1.29)
и в общем случае
(ak;qk)n = ^a,aWk,--.,<iWk”1'>q^n» Шк=е2”*,к.
(1.30)
(qa^,-qa^-,q)n _ (,aq2;q2^n _ 1 - aq2n
(at,-at;9)n(a;?2)n "1-a ’
(1.31)
_ (ag^g3) _ 1 - aq^
(1.32)
^a^^uja^u;2^; q^^^^n1 —a
и в общем случае
^qat s qai^ai,... gu^-1a
Qit,Wk<i^i ■ ■ ■ ,ш£ xai;q где Cd = е2?п/3 II U)k = e2xt/k
• lim
(/-гамма- функции:
„ _ (aq^q^n _ 1 - aqkn
(a;<7*)n1-a
(1.33)
(1-34)
О < q < 1,
(1.35)(1.35)(1.36)(1.36)= Гд2(а:)Гд2 1x4-= Гд2(а:)Гд2 1x4-,2r-l,2r-l(1.37)(1.37)
(1.35)
(1.35)
(1.36)
(1.36)
= Гд2(а:)Гд2 1x4-
= Гд2(а:)Гд2 1x4-
,2r-l
,2r-l
(1.37)
(1.37)
|(йЙ!!г(1-1,1"''М(? ;q , )oo
lim Г,(г) = r(z).
g->l
’ )...rr(—'I
г f , n ” 1 * * * Г г I x 4*г f , n ” 1 * * * Г г I x 4*I/ \ n J
г f , n ” 1 * * * Г г I x 4*
г f , n ” 1 * * * Г г I x 4*
n /(1-38)n /(1-38)\ n
n /
(1-38)
n /
(1-38)
при г = qn.
q-биномиалъные коэффициенты:
n кn кqqnп — кnп — к(q^qK(q^qKq (»;»)*(»; 9)»-tq (»;»)*(»; 9)»-t(1.39)(1.39)
n к
n к
q
q
nп — к
nп — к
(q^qK
(q^qK
q (»;»)*(»; 9)»-t
q (»;»)*(»; 9)»-t
(1.39)
(1.39)
и для |g| < 1 и комплексных значений а и 0
a.0a.0q (q,qa+1;q\q (q,qa+1;q\(1.40)(1.40)
a
.0
a
.0
q (q,qa+1;q\
q (q,qa+1;q\
(1.40)
(1.40)
(1.41)(1.41)
(1.41)
(1.41)
a lg(a + 1).^},“ Г,(/3 +1)Г,(«-/3+1)’
a к
q
к + aк
_ (» “;»)* V^q^k
_ (9^21^1
,(q'.q^k
(-q^q'^X
(1.42)
к
(1.43)
284
Базисные гипергеометрические ряды
Дополнение II
НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ СУММИРОВАНИЯ
Суммы базисных гипергеометрических рядов:
Две g-экспоненциальные функции:'
eq^ = У2И < ^ (Пл)
’^ (<?;<?)« (г;»)ооv v
W = ^7-4- = H;q)TO.(П.2)
g-биномиальная теорема:
1Ш-.<^) = ^Ц^, и < 1,(11.3)
(z; q)oo ,.;
или, когда a = g“n, где, как и везде в этом дополнении, через п обозначено целое неотрицательное число,*
i<Mq~n; —; q, z) = (zq-n; q)n-(П.4)
Сумма ряда 1^1:
q)oo
g-сумма Вандермонда (g-сумма Чжу-Вандермонда):
2^(«,9-п;с;»,9) = ^^i^a"(П.6)
и, обращая порядок суммирования,
2^(a,9”*;c;9,C9n/a)=^^.(П.7)
(с; q)n
q- сумма Гаусса: 2Ф1 (о, о, с, q^c/ab) — ,•(П-о)
(с, CfOtb^ qjoo
g-сумма Куммера (Бейли — Даума):
а„/ьх k-qiqWaq^l^q^ooтйх
гфх (a^aq/b^-q/K) = —.(П.9)
5-аналог суммы Бейли для 2^i(-l):
п,.xW’q/^q1')»,п,.xW’q/^q1')»,5-аналог суммы Гаусса для 2 А(—1):5-аналог суммы Гаусса для 2 А(—1):(11.10)(П.11)(11.10)(П.11)
п,.xW’q/^q1')»,
п,.xW’q/^q1')»,
5-аналог суммы Гаусса для 2 А(—1):
5-аналог суммы Гаусса для 2 А(—1):
(11.10)
(П.11)
(11.10)
(П.11)
5-сумма Заальшютца (5-сумма Пфаффа — Заальшютца):
302302а, 6,5 пhc, а&с”^1”71а, 6,5 пhc, а&с”^1”71q,qq,q(с/а,с/Ь;д)п(c,c/ab;q)n *(с/а,с/Ь;д)п(c,c/ab;q)n *(11.12)(11.12)5-сумма Диксона:5-сумма Диксона:a,-qa^b,c . даН («мЬ-^дс ^i.ag/bc; д)^—al^aq/b^aq/cbe ^aqlb^aqlc^qa^ ^qa^ (bc\q^a,-qa^b,c . даН («мЬ-^дс ^i.ag/bc; д)^—al^aq/b^aq/cbe ^aqlb^aqlc^qa^ ^qa^ (bc\q^, (ПЛЗ), (ПЛЗ)или, когда с = 5“n,или, когда с = 5“n,a,-qa^b,q-n . g^M.](^9«^X-a^ag/b^ag1*"'9' b J(ga^,ag/b;qAa,-qa^b,q-n . g^M.](^9«^X-a^ag/b^ag1*"'9' b J(ga^,ag/b;qA(П.14)(П.14)Обрывающийся 5-аналог Джексона для суммы Диксона:Обрывающийся 5-аналог Джексона для суммы Диксона:д~2п, Ь, с д2 "j _ (6,c;g)n(g,6c;g)2n 91-2п/^ 9i-2nyc’9- ^с (g,6c;g)„(6,c;g)2n-д~2п, Ь, с д2 "j _ (6,c;g)n(g,6c;g)2n 91-2п/^ 9i-2nyc’9- ^с (g,6c;g)„(6,c;g)2n-(11.15)(11.15)5-аналог суммы Ватсона для 3J2:5-аналог суммы Ватсона для 3J2:&Ф1&Ф1X,qX^ ^-qX^a^b^c^-c^lq/c2Al, - Ai, Xqja^ Xqjb^ Xq/c, —Xqjc, с2X,qX^ ^-qX^a^b^c^-c^lq/c2Al, - Ai, Xqja^ Xqjb^ Xq/c, —Xqjc, с2-A-A(Ag, с2/А; д)оо(ад, bg, c2g!a, c2g/b; g2 )<»(Ag/a,Ag/6;g)00 (ф) abq, c^q^c^qj Gby 5^)00(Ag, с2/А; д)оо(ад, bg, c2g!a, c2g/b; g2 )<»(Ag/a,Ag/6;g)00 (ф) abq, c^q^c^qj Gby 5^)00(11.16)(11.16)где A = -c(ab/q^, и обрывающийся 5-аналог Эндрюса:где A = -c(ab/q^, и обрывающийся 5-аналог Эндрюса:q n1aqn,c1-c\aq^ s~(aq^,c2 ’ ^’^.q n1aqn,c1-c\aq^ s~(aq^,c2 ’ ^’^.4^34^30,cn(g,ag/c2;g2)n/2 (ag,c2g;g2)n/20,cn(g,ag/c2;g2)n/2 (ag,c2g;g2)n/2если n нечетное,если n четное,если n нечетное,если n четное,
302
302
а, 6,5 пhc, а&с”^1”71
а, 6,5 пhc, а&с”^1”71
q,q
q,q
(с/а,с/Ь;д)п
(c,c/ab;q)n *
(с/а,с/Ь;д)п
(c,c/ab;q)n *
(11.12)
(11.12)
5-сумма Диксона:
5-сумма Диксона:
a,-qa^b,c . даН («мЬ-^дс ^i.ag/bc; д)^
—al^aq/b^aq/cbe ^aqlb^aqlc^qa^ ^qa^ (bc\q^
a,-qa^b,c . даН («мЬ-^дс ^i.ag/bc; д)^
—al^aq/b^aq/cbe ^aqlb^aqlc^qa^ ^qa^ (bc\q^
, (ПЛЗ)
, (ПЛЗ)
или, когда с = 5“n,
или, когда с = 5“n,
a,-qa^b,q-n . g^M.](^9«^X
-a^ag/b^ag1*"'9' b J(ga^,ag/b;qA
a,-qa^b,q-n . g^M.](^9«^X
-a^ag/b^ag1*"'9' b J(ga^,ag/b;qA
(П.14)
(П.14)
Обрывающийся 5-аналог Джексона для суммы Диксона:
Обрывающийся 5-аналог Джексона для суммы Диксона:
д~2п, Ь, с д2 "j _ (6,c;g)n(g,6c;g)2n 91-2п/^ 9i-2nyc’9- ^с (g,6c;g)„(6,c;g)2n-
д~2п, Ь, с д2 "j _ (6,c;g)n(g,6c;g)2n 91-2п/^ 9i-2nyc’9- ^с (g,6c;g)„(6,c;g)2n-
(11.15)
(11.15)
5-аналог суммы Ватсона для 3J2:
5-аналог суммы Ватсона для 3J2:
&Ф1
&Ф1
X,qX^ ^-qX^a^b^c^-c^lq/c2Al, - Ai, Xqja^ Xqjb^ Xq/c, —Xqjc, с2
X,qX^ ^-qX^a^b^c^-c^lq/c2Al, - Ai, Xqja^ Xqjb^ Xq/c, —Xqjc, с2
-A
-A
(Ag, с2/А; д)оо(ад, bg, c2g!a, c2g/b; g2 )<»(Ag/a,Ag/6;g)00 (ф) abq, c^q^c^qj Gby 5^)00
(Ag, с2/А; д)оо(ад, bg, c2g!a, c2g/b; g2 )<»(Ag/a,Ag/6;g)00 (ф) abq, c^q^c^qj Gby 5^)00
(11.16)
(11.16)
где A = -c(ab/q^, и обрывающийся 5-аналог Эндрюса:
где A = -c(ab/q^, и обрывающийся 5-аналог Эндрюса:
q n1aqn,c1-c
\aq^ s~(aq^,c2 ’ ^’^.
q n1aqn,c1-c
\aq^ s~(aq^,c2 ’ ^’^.
4^3
4^3
0,
cn(g,ag/c2;g2)n/2 (ag,c2g;g2)n/2
0,
cn(g,ag/c2;g2)n/2 (ag,c2g;g2)n/2
если n нечетное,
если n четное,
если n нечетное,
если n четное,
q-аналог суммы Уиппла для ^Ff.
—с, q(~c)^,—q(—с)?, a,q/a,с,—d,—q/d
(—c)?,—(—cp,—cq/a^—ac,—q,cq/d, cd
(^^cqvi^ac^a^
(cd, cg/d,-ас,-cg/а; g)^
и обрывающийся g-аналог:
4^’ 2 /’^
e,c*q/e,—q
(ПЛ9)(ПЛ9)n(n+D/2 (eg~n,egn+1, ^g1-"^,c2gn+2/e;g2)^
(ПЛ9)
(ПЛ9)
4(e^q/e^q)^
Сумма совершенно уравновешенного ряда 6^5:
(11.20)(11.20)"a, qa^, — qai, 6, c, d aq [ ai, —a^ aq/b, aq/c, aq/d ’ ’ bed ^aq, aq/bc, aq/bd, aq/cd\ q)^
(11.20)
(11.20)
(aq/b, aq/c, aq/d, aq/bed; q)^
или, когда d = q”n,
(IL21)(IL21)a)qa^—qa^)b,c,q”n agn+1l г (aq^aq/bc^q^ a^ ^—a^aq/b^aq/c^aq^1'^1 be _ ^aqlb^aqlc^q^
(IL21)
(IL21)
q-аналог Джексона суммы Дуголла для 7^:
a, qa^s —qa^s b^ с, d, е, q”n а^ —л^, CLqjb^ aqlc, aq/d^ aqles aqn^x' ’
(IL22)(IL22)(ag, aq/bc, aq/bd, aq(ed\ q)n (aq/b, aq/c, aq/d, aq/bed; q)n'
(IL22)
(IL22)
где a2g = bcdeq~n.
Необрывающийся случай g-суммы Вандермонда:
j. / к a ,(q/c,«,b;q)oo
2<P1 (a, b; c; g, g) + —гу— /—г— (c/g^g/c^g/cig).»
(11.23)(11.23)J. / / t , 2/ x kqki^ql^q^oo • 2Ф1 (aq c, bq c; q* c; q, g) = ^■
(11.23)
(11.23)
(ag/c, bq/c; q)^
3Ф23Ф2a,b,c ] , ;qsq +L ej Ja,b,c ] , ;qsq +L ej JНеобрывающийся случай g-суммы Заальшютца:
3Ф2
3Ф2
a,b,c ] , ;qsq +
L ej J
a,b,c ] , ;qsq +
L ej J
(qle^b^qfle-.^»,(elq,aqle,bqle,cqlej,q\
• зФ1• зФ1"ag/e, 6g/e, cg/e ](g/e,//a,//fej/cjg^
• зФ1
• зФ1
.92/e, g//e ’9,9|{aq/e,bqle,cqle,f^q),^'
где ef = abcq.Необрывающееся обобщение Бейли для 8<^7-суммы Джексона:где ef = abcq.Необрывающееся обобщение Бейли для 8<^7-суммы Джексона:8^7 ^8^7 ^bbqa^,—qa^i b, с, d, e, /a^—ai,aq/b,aq/c,aq/d^aq/e^aqtf' .(ag, c, d, e, /, bq/a, bq/c, bq/d, bq/e, bq/f\ q^qa^,—qa^i b, с, d, e, /a^—ai,aq/b,aq/c,aq/d^aq/e^aqtf' .(ag, c, d, e, /, bq/a, bq/c, bq/d, bq/e, bq/f\ q^a ^aqlb^aqlc^aqld^aqle^aqlf^bcla^bdla^bela^bfla^qla^q^ooa ^aqlb^aqlc^aqld^aqle^aqlf^bcla^bdla^bela^bfla^qla^q^oo62/a, qba”^, —qbcT^ b, be/a, bd/a, be/a^bf^ 8^ba-^ s—ba-^ ^bq/a^bq/e^bq/d^bq/e^bq/f62/a, qba”^, —qbcT^ b, be/a, bd/a, be/a^bf^ 8^ba-^ s—ba-^ ^bq/a^bq/e^bq/d^bq/e^bq/fа ЛЛа ЛЛ_ (og,6/a,flg/cd,a9/ce, ag/c^ag/de^ag/df^ag/e/;^). (ag/c,ag/d,ag/e,ag//,5c/a,&d/a,6e/ay6//a;g)oo где qa? = bcdef._ (og,6/a,flg/cd,a9/ce, ag/c^ag/de^ag/df^ag/e/;^). (ag/c,ag/d,ag/e,ag//,5c/a,&d/a,6e/ay6//a;g)oo где qa? = bcdef.(11.25)(11.25)(11.26)(11.27)(11.28)(11.29)(11.30)(11.26)(11.27)(11.28)(11.29)(11.30)
где ef = abcq.
Необрывающееся обобщение Бейли для 8<^7-суммы Джексона:
где ef = abcq.
Необрывающееся обобщение Бейли для 8<^7-суммы Джексона:
8^7 ^
8^7 ^
b
b
qa^,—qa^i b, с, d, e, /
a^—ai,aq/b,aq/c,aq/d^aq/e^aqtf' .
(ag, c, d, e, /, bq/a, bq/c, bq/d, bq/e, bq/f\ q^
qa^,—qa^i b, с, d, e, /
a^—ai,aq/b,aq/c,aq/d^aq/e^aqtf' .
(ag, c, d, e, /, bq/a, bq/c, bq/d, bq/e, bq/f\ q^
a ^aqlb^aqlc^aqld^aqle^aqlf^bcla^bdla^bela^bfla^qla^q^oo
a ^aqlb^aqlc^aqld^aqle^aqlf^bcla^bdla^bela^bfla^qla^q^oo
62/a, qba”^, —qbcT^ b, be/a, bd/a, be/a^bf^ 8^ba-^ s—ba-^ ^bq/a^bq/e^bq/d^bq/e^bq/f
62/a, qba”^, —qbcT^ b, be/a, bd/a, be/a^bf^ 8^ba-^ s—ba-^ ^bq/a^bq/e^bq/d^bq/e^bq/f
а ЛЛ
а ЛЛ
_ (og,6/a,flg/cd,a9/ce, ag/c^ag/de^ag/df^ag/e/;^). (ag/c,ag/d,ag/e,ag//,5c/a,&d/a,6e/ay6//a;g)oo где qa? = bcdef.
_ (og,6/a,flg/cd,a9/ce, ag/c^ag/de^ag/df^ag/e/;^). (ag/c,ag/d,ag/e,ag//,5c/a,&d/a,6e/ay6//a;g)oo где qa? = bcdef.
(11.25)
(11.25)
(11.26)
(11.27)
(11.28)
(11.29)
(11.30)
(11.26)
(11.27)
(11.28)
(11.29)
(11.30)
^-аналоги сумм Карлссона — Минтона:
r+зА-н , ,,I^a-V4”*1^"^
L oq,J _ (». bq/a; q^bi/b; g)m, • • • (6r/6; g)m, 6mi+...+m, (65, q/a; q)oo(bx; q)mi • • • (6r; q")m, и [a. ... ^brQmr 1. 1 Л
;g,a q v T " = 0, 01,..., orJ
где mi,...,mr — произвольные целые неотрицательные числа.
Суммы двусторонних базисных рядов.:
Тройное произведение Якоби:
^, qklzk = ^^qz^q/z;^^. к=:-оо
Сумма Рамануджана:
(„.к.п x-^^bj^OMjaz^o
Сумма вполне уравновешенного ряда 2^2- i^i^b1c^aqlbsaq/c\q1--aqlbc^ _ (aglbc; q^ooVaq1 ]t?, «чЧ^л1» "9, д!^ »2)оо ^agl^aglc^glb'glc^-ttqlbc^g^oo ' Сумма Бейли для вполне уравновешенного ряда 3^3: b,c,d д I 3 3 Л/6,9/с,9/^’^’^1 _, {q,qlbc,glbd,glcd',q)<x>
Vglb^glciglAiqlbc^g^oo"
Базисный двусторонний аналог суммы Диксона:
—qaV b, с, d qa^
1—а^, aq/b, aq/c, aq/d'^ bed
(11.32)(11.32)(aq^ aq/bc^ aq/bds aq/cds qa^ /b, qai /с, qa^/d, q, q/a; q^(aq/b, aq/c^ aq/ds q/bs q/c, q/d^ qa^ qa~^ qa^ /bed; q^
(11.32)
(11.32)
Сумма совершенно уравновешенного ряда 6^6-
6^66^6gat, —qa^ b, c^ d,. at,—ai, aq/b, aq/c^ aq/d^gat, —qa^ b, c^ d,. at,—ai, aq/b, aq/c^ aq/d^eqa2aq/ebodeeqa2aq/ebode(a^> aq/bc^ aq/bd^ aq/be^ aq/cd^ aq/ce^ aq/de^ q, q/a; q)^ (aq/b, aq/c, aq/d, aq/e, q/b, q/cs q/d, q/e, qa^/bede; q^ ‘(a^> aq/bc^ aq/bd^ aq/be^ aq/cd^ aq/ce^ aq/de^ q, q/a; q)^ (aq/b, aq/c, aq/d, aq/e, q/b, q/cs q/d, q/e, qa^/bede; q^ ‘(11.33)(11.33)
6^6
6^6
gat, —qa^ b, c^ d,. at,—ai, aq/b, aq/c^ aq/d^
gat, —qa^ b, c^ d,. at,—ai, aq/b, aq/c^ aq/d^
eqa2
aq/ebode
eqa2
aq/ebode
(a^> aq/bc^ aq/bd^ aq/be^ aq/cd^ aq/ce^ aq/de^ q, q/a; q)^ (aq/b, aq/c, aq/d, aq/e, q/b, q/cs q/d, q/e, qa^/bede; q^ ‘
(a^> aq/bc^ aq/bd^ aq/be^ aq/cd^ aq/ce^ aq/de^ q, q/a; q)^ (aq/b, aq/c, aq/d, aq/e, q/b, q/cs q/d, q/e, qa^/bede; q^ ‘
(11.33)
(11.33)
Бибазисные суммы:
Индефинитная бибазисная сумма Госпера:
,—n,—n(11.34)(11.34)ysl-apkqk («;рЫс;9)* к _ (ap;p)n(cq;q)n с
,—n
,—n
(11.34)
(11.34)
^1-a (,q;q)k(ap/c;pV (q;q)n(ap/c;p)nC
Обобщение (11.34):
ул (Д-_ар^)(1-Ь^
^(1-а)(1-6)(g,e9/6;g)k(ap/c,6cp;p)fc9
_ (ap,6p;p)n(cg,a9/6c; q^fn „-
(9,a9/6;g)n(ap/c,6cp;p)n'
или, в более общем случае,
у' (1 - adpkqkXl - bpk/dqk)(а^р^^сиРlbc;q)kк
к~т (1-adXl-b/d?) ^dq^dqlb^qX^adpl^bcpId^p^4
_(1 - а)(1 - 6)(1 - с)(1 - a<P/bc) t_J^ap2bp\pXX^1^^
d(l — ac?)(l — b/d^l — c/d^l — ad/be) \{dq^adq/b;q)n{adplc^bcp/d;p)n _ ^l^djbc^^+i^j^^^
(l/c,6c/a<P;g)m+1(l/ti,l/6;p)m+1 J ’.
где m — целое число или Ч-оо.
Обобщение формулы для п-й g-разности от ^apk;q)n_v.
(apk,6p-k;9)n_1(l - a^klb)( t j*) _ (p;p)n(p;p)n-k(apk/6;p)n+in’0'
(11.37)
Дополнение III
НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Преобразования Гейне для рядов 2Фг*
2<?>i(a,6;c;g,z) - ^у— 2<^(c/b,z;az;9,6) (с, z; q)oo
= (^l^L^ Ф ^bzjc 6; bz; q, c/b) (c,z;9)oo
= z x2^i(c/a,c/Ac;g,abz/c).
(z; 9)00
(IIL1)
(III.2)
(III.3)
Преобразования Джексона для рядов 2фх, 2ф2 и зф2:
2^i(e>6;c;g,z) = ^z’^°° ^(a,c/b;c,az-,q1bz') (z;9)oo
(abz/c;?)»[a.c/6,01
(Ш.4)
(Ш.5)
Последнее равенство выполняется при а = g”n, где п — целое неотрицательное число (см. упр. 1.15(i)).
Преобразования обрывающихся рядов 2</>1>
гФ^Ч ,6;c;g,z) = V ^ I — ) .VM)n \q /
• 3^2(g-n, 9/z, c^q^^bc^q1-", 0; q, q) _ (c/b\q)nXq*n1b1bzq-'4c ]
1(c;9)n 3 2 L bg1-n/c,0,9,9J
_(c/M)n.„ , Г9-П>*ЛЛ zl - ь I »«--/='
(III.6)
(IIL7)
(Ш.8)
где, как и везде в этом дополнении, п означает целое неотрицательное число.
Преобразования рядов 3^2:
3*^2
а, Ь^ с ded, е '^ abc
(е/а, de/bc; g)^(е,с?е/аЬс;д)оо 3 2(е/а, de/bc; g)^(е,с?е/аЬс;д)оо 3 2(IIL9)(IIL9)
(е/а, de/bc; g)^
(е,с?е/аЬс;д)оо 3 2
(е/а, de/bc; g)^
(е,с?е/аЬс;д)оо 3 2
(IIL9)
(IIL9)
а, d/b, d/c е
d, dejbc ’ ^ а
_ (b^de/ab'de/bc^q^(d^e^de/abc\ q^
3^2
’ d/b^/b'de/abc ^. de job,de/be '^ .
*q n, b, c "
(de/bc\ q)n /^V(e; q^n \d)
3Ф2
q n, d/b, d/c'
. a, de/be.
q n,c,dlb bq dscqL n/e e .
9 n, c, <//6'
d, cqx-n]e '^’^
(ШЛО)
(П1.11)
(III. 12)
(III. 13)
Преобразование Сирза — Карлитца для обрывающихся вполне уравновешенных рядов 3Ф2*.•
с aqzaq/c'^ be
а2 ^—ai ^aq^2 ^—^aq^ ^aq/bc * aq/b^aq/c^az^q/z ' V .
(III.14)
при условии a = q n. Cm. (III.35) по поводу необрывающегося случая.
Преобразования Сирза для обрывающихся сбалансированных рядов лФз*
9 n,«,b,c'
п
J iHjn
_ (а,еЦаЬ,eflac^q^(e,f,eflabc; g)n
' q n, a, d/b, d/c ' .d, a^-^/e, aqx-nIf'^'*^.
" q~n,e/a,f!a,ef /abc ' _eflab,eflac,qx~nla'^'^
(ШЛ5)
(IIL16)
где def — abcq1 n.
Формулы преобразования Ватсона:
, [a, 8<P7
gai,
-qai,b, c, d, e, fa2q2
—a?,а-qjb^aq/c^aq/d^aq/e,aq/ Jbedef
(aq, aq/de, aq/df, aq/ef*, д^(aq/d, aq/e, aq/f. aq/def- q)^
лФз
aq/bC'd^ J ' °9/^> o^q/^ def /a1 ^' ^
19*
eqn de 1d ;9’^J ’(III.20)eqn de 1d ;9’^J ’(III.20)(Ш.21)(Ш.21)(III.22)(III.22)
eqn de 1
d ;9’^J ’
(III.20)
eqn de 1
d ;9’^J ’
(III.20)
(Ш.21)
(Ш.21)
(III.22)
(III.22)
когда ряд з^7 сходится и ряд 4^3 обрывается, и, когда / = q~n, a, qa^—qa^i 6,с, d, е,q”n c^q^2
а^—а^aq/b^aq/c^aq/d,aq/e^aqH*x ’ ’ bcde
(ag,ag/de;g)n Vaq/bc(aq/d,aq/e;q)n 4<Рз [(ag,ag/de;g)n Vaq/bc(aq/d,aq/e;q)n 4<Рз [d,, e, q~n jaq(bs aqlc, deq~n/a’^ J
(ag,ag/de;g)n Vaq/bc
(aq/d,aq/e;q)n 4<Рз [
(ag,ag/de;g)n Vaq/bc
(aq/d,aq/e;q)n 4<Рз [
(III.18)
или, что эквивалентно,
Vq^.a.b.e A^d/M/c^qV
4 L d,e,f ’q’q. (d,d/bc;q)n
a^ qa^ —qcr^ f/a, e/a, b, c, q~n efqna^ —cr^ e, /, ef/ab^ efjac^ efqn/a^ be
(III.19)
где def = abcqx~n и a = ef/aq.
Другое преобразование обрывающегося сбалансированного ряда 4 фз в совершенно уравновешенный ряд 8^7'-
Гд п,аЛс 1 = ^аЪд/f^ acq/f, beq/f, q/f; q)^ (aq/f, bq/f,eq/J,abcqlf\ q^
• qp,b ~qp,b °’ 6’ c? ^П’
да, -Д2, p.qla.^ pqlb, nq/c, e^
где def = abcqT”n и д = abc/f.
Квадратичное преобразование Сингха:
Гa2,62,e,d]
4[a6gi,-a6gl,~cd,^, j
7 f a2,^2,c2,d22 2'
Va^b^q^—cd^—cdq
при условии, что ряды обрываются.
^-аналог формулы Клаузена:
a^b^bz, ab/z abq^ ,—abqiy—aba^b^bz, ab/z abq^ ,—abqiy—ab
a^b^bz, ab/z abq^ ,—abqiy—ab
a^b^bz, ab/z abq^ ,—abqiy—ab
5Ф45Ф4a? ^^^ab^abz^ab/z
5Ф4
5Ф4
. abq^, —abq^ —ab, a2b2 ’q'q.
при условии, что оба ряда обрываются. Необрывающийся g-аналог формулы Клаузена приводится в (8.8.17).
Преобразования совершенно уравновешенных рядов 8^7:
%<h%<ha, gai, -да^,6, с, d, е, /а?*д2
%<h
%<h
а^,-а^, -ag/b, ад/с, aq/d, ад/е, ag/f'^'bcdef
(aq, aglet Ag/e, Xg/f; g)^
(aq/e, ag/f, Xq.Xq/et q^
A, qX^,~qX^)Xb/a,Xc/a,Xd/a,e, faq
\фч i 1>9» ”7
aq/be, aq/bf, bey/a, bfp,/a,aq/be, aq/bf, bey/a, bfp,/a,(III.23)ь*1а.„ к aq/b J(III.24)(III.23)ь*1а.„ к aq/b J(III.24)Аз,—Аз,aq/b,aq/c,aq/d,Ag/e,Xq/f€f
aq/be, aq/bf, bey/a, bfp,/a,
aq/be, aq/bf, bey/a, bfp,/a,
(III.23)
ь*1а.„ к aq/b J
(III.24)
(III.23)
ь*1а.„ к aq/b J
(III.24)
(aq, b, bop./a, bd^/a, bep/a, bf^/a] g)oo (aq/c, aq/d, aq/e, aq/ f, p,q, Ьц/а-, q^ ^ Ш Q^> ~q^. aq/bc, aq/bd, ц^,—^^, bcp,/a, bdpja.
где A = qa^[bed и ц = q^a3/b^cdef.
b, с, d, aq/b, aq/c, aq/d,b, с, d, aq/b, aq/c, aq/d,_ (Ag/OrA^/a^g^. (A«,A2g/a2;g)na^,— a^,Ag/fli, —Xq/a^,_ (Ag/OrA^/a^g^. (A«,A2g/a2;g)na^,— a^,Ag/fli, —Xq/a^,12^11A(g/a)i,12^11A(g/a)i,Преобразования почти уравновешенного ряда 5^4:
b, с, d, aq/b, aq/c, aq/d,
b, с, d, aq/b, aq/c, aq/d,
_ (Ag/OrA^/a^g^. (A«,A2g/a2;g)na^,— a^,
Ag/fli, —Xq/a^,
_ (Ag/OrA^/a^g^. (A«,A2g/a2;g)na^,— a^,
Ag/fli, —Xq/a^,
12^11
A(g/a)i,
12^11
A(g/a)i,
a2g-n/A2’9’9]
gA^, -gA^, bX/a, cX/a, dX/a, A^ —A^ a.q/b, aq/c, aq/d, —(aq^,X^q^^/a, q”n
-X(q/a^, aq~n/X, Agn+1’9,j’
(IIL25)
ъФ^ъФ^q~n, b, c, d, e
ъФ^
ъФ^
q^^/b, ^п/с, qx~n/d, eq"*^ / y?1^^ (^2gn+1,^g/e;g)n (^g^/e^gig^
M> 4H^i ~q^i M-bqn, P>cqn, p>dqn, g1””/b, qx~u/c, ^^/d, q—n/2_ q~n/2g(i~n)/2^ _g(i-n)/2^ €^ p?gn^/е1
l^q^^M^^ —p,q^n"^^^, p.q^*^/^^ —^iq^n^^^, Р-д/^ч eg”n/^’^’ J ’
(III.26)
где A = да1 (bed и ц = gx”2n/bcd.
Преобразование почти уравновешенного ряда 7^;
a, qa^ —qa^, b, с, d, q n . al, —al, aq/b, aq/c, aq/d, a2q2”n/X2^^, С^ЛуЬ^^^a A’ ^» ~9^» bX/a, cX/a,
(Xq,X2/a2q;q)n (l-X2/aq) 12 11д1, -Ai, aq/b, aq/c,
dX/a, ^aq^, —(aq)^, qa^ —qa^, X2qn x/a, q 71 aq/d, X(q/a)^ —X(q/a)^ X/a%, —X/a^, aq2~n)Xs Xqn^ ^^ ’
(III.27)
где A = qa2/bed.
Формула преобразования Вейли для ю^д:
10^9
a, qa^, —qa^ b, с, d, е, /, Xaqn^T/ef, q~nal, —al, aq/b, aq/c, aq/d, aq/e, aq/f, efq~n/X, aqn^x
*ЛЛ
(aq, ag/ef, Ag/e, Ag//; g)nA, gAa, -gAi, A6/a,
(ag/e, ag//, Ag/е/, Ag;g)„ 10Д^ _д|, aq]b,
Xc/a,aqlc,
Xd/a, e, f, Xaqn*vjef, q~n, " ag/d, Ag/e, Ag//, efq-'fa, Agn+1’9’9]’
(III.28)
где A = qa2 [bed.
Преобразования рядов т^фт^х-
т-^ФтАЛ
a,b,biqmi ,... ,brqmr ,,+1_(mi+...+mr)
[ bqH-^...Л 'Ч' 4
^^J^j^^S. ^^ ^^^l^ ^mi * * * (^r/^? q^m, ^m 14- — + m T - m (ФЯ^ ql0^ 9)oo(^i 9)m(^li 9)1711(^r> 9)771, ■
q m,b,bq/bi,t.^bq/br ,'
bq(as bqx-mi /bi,..., bqx~mr/br ’ ^’ ^
(III.29)
И
a.b^biq^^-^brq^beq^by^ ... 4bT
;q,a q
^bqla^ cq\ g)oo ^Ь\(Ь\ q)mx • • • (^r/^j q^m, ^mi+...4.m, (beq, q/a; q^(bx; q)mi • • • (br; q)mr
* c 1,b,bq/b1,...,bq/br,‘
.bq/a^bq1^1 /bi,... ybqx^mr/br^^ ^ L
(IIL30)
где m, mi,..., mT — произвольные целые неотрицательные числа.
(аЬг/с,д/с; g),»(az/c,q/a; q^(аЬг/с,д/с; g),»(az/c,q/a; q^Трехчленные формулы преобразования:
(аЬг/с,д/с; g),»(az/c,q/a; q^
(аЬг/с,д/с; g),»(az/c,q/a; q^
2Ф1(а,Ь‘С',д,г) =2Ф1(а,Ь‘С',д,г) =20i (с/a, cq/abz; cq/az; q, bq/c)
2Ф1(а,Ь‘С',д,г) =
2Ф1(а,Ь‘С',д,г) =
(b,qc,c/a,az/q,q2/az;q)oo ,_ k/- _2 ,^„1 - 7-5—7—77",7Г- 20i(ag/c, bq/c; q c; q, z).(111.31)
(c/g, bq/c, q a, az c, cq az; q)^
, ,,x (6,c/a,az,g/az;g)oo
0i (a, b; c; q, z) = '7—7— 20i(e, aq/c; aq/b; q, cq/abz)
\c,b/a,z,g/z^)^
+ ^(tdb^^tb^q/c;bq/a; q,cq/abz).(III.32)
Vc.a/b^z^q/z^qjoo
[a^b^cde]
e abcJ
_ (е1Ь,е/с,сд1а,д1&, q\
(e.cq/d,qla.elbc\q)Q
c, d/a,cg/e cg/a,bcg/e
$/d, eg/d, 6, c, d/а, de/b^q, beg2/de\ q)^{dlq^e^bq/d^cqld^qlabelbc^bcqle\ q)^
-2]
Ы
,2
de
’ ^’ abc
(III.33)
[
a^b^c del (e/b^e/c^q)^ , Ad/a, b, c , ; q^ = 7—x—3Ф2 , , . ;q^q d,e adej (е^/дс;^)^[ d, beq/e
(IIL34)(IIL34)(d/a^b^c^delbc^q)^ [e/b'e/C'de/abc 1
(IIL34)
(IIL34)
^ (d, e^bc/e, de[abc\ q^ 3 2 [ de/bc^q/bc ’^J
, bs с
2 [ aq/b, aq/c ’q' be J
_ (ax^q)oo . fai, -at, (aq)t, — (aq)^, aq/bce (x; q]oo 5 4 [ aqlb, aq/c, ax, q/x ’ (a, aq/bc,aqx/b,aqx/c-, q)^
(aq/b, aq/c, aqx/bc, ж-1; ^)<x>
%Ф1
• нФ*
a,
xa^, —xa^x(aq)^ —x{aq)^aqx/bcaqxlb,aqxlc,xq,ax2
;q,q\ •
(III.35)
qa^,02 ^
—qat,b, c, d, e, f a2q2
—a^,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/ f'’ bedef
(ад, ад/de, aq/df, aq/ef*, д^Г ag/bc,d,e,f
(ag/d,ag/e,ag/f,ag/def-,g)oo 4 3 Vag/b,ag/c,def/a’^’^.
(og, ag/bc, d, e,f, а2 д2 [bdef, a2g2/cdef; g)oo(ag/b, ag/c, ag/d, ag/e, ад/ f, a2g2/bcdef, de f /ад', g)oo
* 4^3
ад/de, ag/df, ад/ef,a2g2/bcdef a2g2 /bdef, a2g2 /cdef, aq2[def ’ ^’ ^.
(IIL36)
a, ga^,—qa^ b, c, d, e, / a2g2
аз ^—a^,ag/b,ag/c,ag/d,ag/e,ag/f''bcdef
(aq, ад/de, ag/df, ag/ef, eg/c, fg/c, b/a, be f/a; g)oo(ад/d,ag/e, ад/ f, ад/def, g/c, efg/c, be/a, bf /a; q)^
* 8^7
ef (c,g(ef /сУ ,—g(ef/с)2 ,ag/bc,ag/cd,ef /а,е, f(ef/c) 2 , - (e//c)2 , bef /a, def/a, ag/c, fq/c, eg/c
bd
b (aq, bq/a, bg/c, bg/d, bq/e, bq/ f, d, e, f, aq/bc; q), a (aqlb,aq/c,aq/d,aqle,aq/ f^d/a^e/a^q)^
(bde f/a2, a2q/bde f; q)^
(bf /a, def la,aqldef,qlc,b2q/a\ q^ bqa-^ -bqa"^ b,
'8^[ ba-Ь, -ba~i, b^,|, ^, ^
l44cdef *
(III.37)
Преобразование 8^8 J
(aq/b,aq/c, aq/d,aq/e, q/ab, q/ac, q/ad, q/ae*, q)^(fa, да, f/a, g/a, qa2,q/a2', q^
* 8^8
go,a,
-go
—a,
ba, ca, aq aq
da, ea, fa, a^ aq aj
да q2
aq ; Q, 7 VT
-^-bcdefg
(q, q/bf, q/cf, q/df, q/ef, qf/b, qf/c, qf/d, qf/e; q)^Ua, qlfa, aq/f, f/a, g/f, fg, qf2-, q~)x
• вФл
"f, qf, -qf, P, fc, fd, fe, fg ' q2 !- -I- ^. $. §• ^. y’W=f9
(IIL38)
+ idem(/;g).
Четырехчленное преобразование Бейли для ю</>9:
a, qat, —qa^ b, с, d, е, f,
а^ _Q^ ^^ ^^ ^, ^^ ^,
д. ь,
ад ад
9 ’ h
(«9,6/«, с, d, е, /, g, /1, bq/c; q^
(b2q/a, a/b, aq/c, aq/d, aq/e, aq/f, aq/g, aq/h, bc/a; q^
. (bq/d, bq/e, bq/f, bq/g, bq/h; 9)00 (bd/a,be/a,bf /a,bg/a,bh/a; q^^
" bL aka-% -abaS к be bd be b£ bg^ bh '
• 10V9. _1 i-i bq bq bq bq bq bq bq ’^’^
(«9, Ь/a, Xq/f, Xq/g, Xq/h, bf/X, bg/X, bh/X; q)^
(Ag, 6/ A, aq/f, aq/g, aq/h, bf/ a, bq/a, bh/a; q)^
(aq,bla,f,g,h,bqlf,bqlg,bqlh,Xcla,Xdla,Xe/a,abqlXc-, q^(b2q/X, X/b,aq/c,aqld,aq/e,aq(f,aq(g,aq/h, bc/a,bd/a,bela,bf /a; 9)00
(abq/Xd, abq/Xe; q)^(bg/a,bh/a-,q)00(abq/Xd, abq/Xe; q)^(bg/a,bh/a-,q)0010^910^962/A,62/A,qbX 2 7ьх-^qbX 2 7ьх-^—qbX i, 6, bc/a, bd/a,—bX~i, bq/X, abq/cX, abq/dX,—qbX i, 6, bc/a, bd/a,—bX~i, bq/X, abq/cX, abq/dX,
(abq/Xd, abq/Xe; q)^(bg/a,bh/a-,q)00
(abq/Xd, abq/Xe; q)^(bg/a,bh/a-,q)00
10^9
10^9
62/A,
62/A,
qbX 2 7ьх-^
qbX 2 7ьх-^
—qbX i, 6, bc/a, bd/a,
—bX~i, bq/X, abq/cX, abq/dX,
—qbX i, 6, bc/a, bd/a,
—bX~i, bq/X, abq/cX, abq/dX,
(III.39)(III.39)be/а, bf/X^ Ьд/Х, bh/X abqleX, bq/f. bq/g, bq/h
(III.39)
(III.39)
где a?q2 = bcdefgh и A = qa2 /cde.
Преобразование ioV’io*
(aq/b, aq/c, aq/d, aq/e, aq/ f, q/ab, q/ac, q/ad, q/ae, q/af*, q)^(ag ,ah,ak, g/a,h/a, к/a, qa2 ,q/a2; q)^
qa,—qa,ba,ca,da,ea,fa,да,ha,ka ^
aqaqaqaqaqaqaqaq ^q, -—
a,-a,X,с >V*’e ’у’g^X’к bcdefghk
_ (9, д/Ьд,д/сд,q/dg,q/eg,q/fg,qg/b,qg/c, qg/d,qg/e, qg/J; q^ {gh^kyh/g^g^/ag^la^lg^g2^)^
Г^2» 99, -qg, gb, gc, gd, ge, gf, gh, gk q^ ^ 7. ¥■'
+ idem (g; h, k).(III.40)
Литература
[Al] Adams, C. R. (1931). Linear g-difference equations, Bull. Amer. Math. Soc. 37, 361-400.
[A2] Adiga, C., Berndt, В. C., Bhargava, S. and Watson, G. N. (1985). Chapter 16 Ramanujan’s second notebook: Theta-functions and g-series, Memoirs Amer. Math. Soc. 315.
[A3] Agarwal, A. K., Andrews, G. and Bressoud, D. (1987). The Bailey Lattice, J. Indian Math. Soc., 51, 57-73.
[A4] Agarwal, A. K., Kalnins, E. G. and Miller, W. (1987). Canonical equations and symmetry techniques for g-series, SIAM J. Math. Anal. 18, 1519- 1538.
[A5] Agarwal, N. (1959). Certain basic hypergeometric identities of the Cayley- Orr type, J. London Math. Soc. 34, 37-46.
[A6] Agarwal, R. P. (1953). Some basic hypergeometric identities, Ann. Soc. Sci. Bruxelles 67, 1-21.
[A7] Agarwal, R. P. (1953). On integral analogues of certain transformations of well-poised basic hypergeometric series, Quart. J. Math. (Oxford) (2) 4, 161-167.
[A8] Agarwal, R. P. (1953). Some transformations of well-poised basic hypergeometric series of the type 8<£7, Proc. Anier. Math. Soc. 4, 678-685.
[A9] Agarwal, R. P. (1953). Associated basic hypergeometric series, Proc. Glasgow Math. Assoc. 1, 182-184.
[A10] Agarwal, R. P. (1953). On the partial sums of series of hypergeometric type, Proc. Camb. Phil. Soc. 49, 441-445.
[All] Agarwal, R. P. (1963). Generalized Hypergeometric Series, Asia Publishing House, Bombay, London and New York.
[A12] Agarwal, R. P. (1969). Certain basic hypergeometric identities associated with mock theta functions, Quart. J. Math. (Oxford) (2) 20, 121-128.
[A13] Agarwal, R. P. (1969). Certain fractional g-integrals and g-derivatives, Proc. Camb. Phil. Soc. 66, 365-370.
[А14] Agarwal, R. P. and Verma, A. (1967). Generalized basic hypergeometric series with unconnected bases, Proc. Camb. Phil. Soc. 63, 727-734.
[A15] Agarwal, R. P. and Verma, A. (1967). Generalized basic hypergeometric series with unconnected bases (II), Quart. J. Math. (Oxford) (2) 18, 181-192; Corrigenda, ibid. 21 (1970), 384.
[A16] Aigner, M. (1979). Combinatorial Theory, Springer, Berlin and New York.
[A17] Alder, H. L. (1969). Partition identities from Euler to the present, Amer. Math. Monthly, 76, 733-746,
[A18] Allaway, Wm. R. (1980). Some properties of the ^-Hermite polynomials, Canad. J. Math. 32, 686-694.
[A19] Al-Salam, W. A. (1966). Some fractional ^-integrals and ^-derivatives, Proc. Edin. Math. Soc. 15, 135-140.
[A20] Al-Salam, W. A., Allaway, Wm. R. and Askey, R. (1984). A characterization of the continuous g-ultraspherical polynomials, Canad. Math. Bull. 27 (3), 329-336.
[A21] Al-Salam, W. A., Allaway, Wm. R. and Askey, R. (1984). Sieved ultra- spherical polynomials, Trans. Amer. Math. Soc. 284, 39-55.
[A22] Al-Salam, W. A. and Carlitz, L. (1957). A ^-analogue of a formula of Toscano, Boll. Unione Math. Itai. 12, 414-417.
[A23] Al-Salam, W. A. and Carlitz, L. (1965). Some orthogonal ^-polynomials, Math. Nachr. 30, 47-61.
[A24] Al-Salam, W. A. and Chihara, T. S. (1976). Convolution of orthogonal polynomials, SIAM J. Math. Anal. 7, 16-28.
[A25] Al-Salam, W. A. and Chihara, T. S. (1987). g-Pollaczek polynomials and a conjecture of Andrews and Askey, SIAM J. Math. Anal. 18, 228-242.
[A26] Al-Salam, W. A. and Ismail, M. E. H. (1977). Reproducing kernels for q-Jacobi polynomials, Proc. Amer. Math. Soc. 67, 105-110.
[A27] Al-Salam, W. A. and Ismail, M. E. H. (1983). Orthogonal polynomials associated with the Rogers-Ramanujan continued fraction, Pacific J. Math. 104, 269-283.
[A28] Al-Salam, W. A. and Ismail, M. E. H. (1988). g-Beta integrals and the g-Hermite polynomials, Pacific J. Math., 135, 209-221.
[A29] Al-Salam, W. A. and Verma, A. (1975). A fractional Leibniz g-formula, Pacific J. Ma^th. 60, 1-9.
[A30] Al-Salam, W. A. and Verma, A. (1975). Remarks on fractional g-in- tegrals, Bull. Soc. Roy. Sci. Liege 44, 600-607.
[А31] Al-Salam, W. A. and Verma, А. (1982). Some remarks on g-beta integral, Proc. Amer. Math. Soc. 85, 360-362.
[A32] Al-Salam, W. A. and Verma, A. (1982). On an orthogonal polynomial set, Indag. Math. 44, 335-340. '
[A33] Al-Salam, W. A. and Verma, A. (1983). A pair of biorthogonal sets of polynomials, Rocky Mtn. J. Math. 13, 273-279.
[A34] Al-Salain, W. A. and Verma, A. (1983). g-Konhauser polynomials, Pacific J. Math. 108, 1-7.
[A35] Al-Salam, W. A. and Verma, A. (1983). q-Analogues of some biorthogonal functions, Canad. Math. Bull. 26 (2), 225-227.
[A36] Al-Salam, W. A. and Verma, A. (1984). On quadratic transformations of basic series, SIAM J. Math. Anal. 15, 414-420.
[A37] Andrews, G. E. (1965). A simple proof of Jacobi’s triple product identity, Proc. Amer. Math. Soc. 16, 333-334.
[A38] Andrews, G. E. (1966). On basic hypergeometric series, mock theta functions, and partitions (I), Quart. J. Math. (Oxford) (2) 17, 64-80.
[A39] Andrews, G. E. (1966). On basic hypergeometric series, mock theta functions, and partitions (II), Quart. J. Math. (Oxford) (2) 17, 132-143.
[A40] Andrews, G. E. (1968). On g-difference equations for certain well-poised basic hypergeometric series, Qudrt. J. Math. (Oxford) (2) 19, 433-447.
[A41] Andrews, G. E. (1969). On Ramanujan’s summation of i^i(a,5,z), Proc. Amer. Math. Soc. 22, 552-553.
[A42] Andrews, G. E. (1970). On a transformation of bilateral series with applications, Proc; Amer. Math. Soc. 25, 554-558.
[A43] Andrews, G. E. (1970). A polynomial identity which implies the Rogers- Ramanujan identities, Scripta Math. 28, 297-305.
[A44] Andrews, G. E. (1971). Number Theory, W. B. Saunders, Philadelphia; reprinted by Hindustan Publishing Co., New Delhi, 1984.
[A45] Andrews, G. E. (1971). On the foundations of combinatorial theory V, Eulerian differential operators, Studies in Appl. Math. 50, 345-375.
[A46] Andrews, G. E. (1972). Summations and transformations for basic Appell series, J. London Math. Soc. (2) 4, 618-622.
[A47] Andrews, G. E. (1973). On the g-analogue of Kummer’s theorem and applications, Duke Math. J. 40, 525-528.
[A48] Andrews, G. E. (1974). Applications of basic hypergeometric functions, SIAM Rev. 16, 441-484.
[А49] Andrews, G. E. (1974). An analytic generalization of the Rogers- Ramanujan identities for odd moduli, Proc. Nat Acad. Sci. USA 71, 4082-4085.
[A50] Andrews, G. E. (1974). A general theory of identities of the Rogers- Ramanujan type, Bull. Amer. Math. Soc. 80, 1033-1052.
[A51] Andrews, G. E. (1975). Problems and prospects for basic hypergeometric functions, Theory and Applications df Special Functions (R. Askey, ed.), Academic Press, New York, pp. 191-224.
[A52] Andrews, G. E. (1975). Identities in combinatorics. П: A ^-analog of the Lagrange inversion theorem, Proc. Amer. Math. Soc. 53, 240-245.
[A53] Andrews, G. E. (1976). The Theory of Partitions, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, Vol. 2, Addison-Wesley, Reading, Mass.; reissued by Cambridge University Press, Cambridge, 1985. [Имеется перевод: Эндрюс Г. Теория разбиений. — М.: Наука, 1982.]
[А54] Andrews, G. Е. (1976). On g-analogues of the Watson and Whipple summations, SIAM J. Math. Anal. 7, 332-336.
[A55] Andrews, G. E. (1976). On identities implying the Rogep-Ramanujan identities, Houston J. Math. 2, 289-298.
[A56] Andrews, G. E. (1979). Connection coefficient problems and partitions, Proc. Sympos. Pure Math. 34, Amer. Math. Soc., Providence, R. I., pp. 1-24.
[A57] Andrews, G. E. (1979). Partitions: yesterday and today, New Zealand Math. Soc., Wellington.
[A58] Andrews, G. E. (1979). An introduction to Ramanujan’s “lost” notebook, Amer. Math. Monthly 86, 89-108.
[A59] Andrews, G. E. (1981). The hard-hexagon model and the Rogers- Ramanujan identities, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 78, 5290-5292.
[A60] Andrews, G. E. (1981). Ramanujan’s “lost” notebook I. Partial ^-functions, Advances in Math. 41, 137-172.
[A61] Andrews, G. E. (1981). Ramanujan’s “lost” notebook II. ^-function expansions, Advances in Math. 41, 173-185.
[A62] Andrews, G. E. (1983). Euler’s pentagonal number theorem, Math. Magazine 56, 279-284.
[A63] Andrews, G. E. (1984). Generalized Frobenius partitions, Memoirs Amer. Math. Soc. 301.
[A64] Andrews, G. E. (1984). Multiple series Rogers-Ramanujan type identities, Pacific J. Math. 114, 267-283.
[А65] Andrews, G. Е. (1984). Ramanujan’s “lost” notebook IV. Stacks and alternating parity in partitions, Advances in Math. 53, 55-74.
[A66] Andrews, G. E. (1984). Ramanujan and SCRATCHPAD, Proc, of the 1984 MACSYMA Users’ Conference, General Electric, Schenectady, N.Y., pp. 384-408.
[A67] Andrews, G. E. (1986). q-Series: Their Development and Application in Analysis, Number Theory, Combinatorics, Physics, and Computer Algebra, CBMS Regional Conference Lecture Series 66, Amer. Math. Soc., Providence, R. I.
[A68] Andrews, G. E. (1987). The Rogers-Ramanujan identities without Jacobi’s triple product, Rocky Mtn. J. Math. 17, 659-672.
[A69] Andrews, G. E. (1987). Physics, Ramanujan, and computer algebra, Computer Algebra as a Tool for Research in Mathematics and Physics, Proceedings of the International Conference, New York University, 1984, M. Dekker.
[A70] Andrews, G. E. (1988). Ramanujan’s fifth order mock theta functions as constant terms, Ramanujan Revisited (G. E. Andrews et al, eds.), Academic Press, New York, pp. 47-56.
[A71] Andrews, G. E. and Askey, R. (1977). Enumeration of partitions: the role of Eulerian series and ^-orthogonal polynomials, Higher Combinatorics (M. Aigner, ed.), Reidel, Boston, Mass., pp. 3-26. [Имеется перевод: Эндрюс Дж., Аски Р. Перечисление разбиений. — В сб.: Проблемы комбинаторного анализа. — М.: Мир, 1980, с. 101-119.]
[А72] Andrews, G. Е. and Askey, R. (1978). A simple proof of Ramanujan’s summation of the i^i, Aequationes Math. 18, 333-337.
[A73] Andrews, G. E. and Askey, R. (1981). Another ^-extension of the beta function, Proc. Amer. Math. Soc. 81, 97-100.
[A74] Andrews, G. E. and Askey, R. (1985). Classical orthogonal polynomials, Polynomes orthogonauz et applications, Lecture Notes in Math. 1171, Springer, Berlin and New York, pp. 36-62.
[A75] Andrews, G. E. and Askey, R. (1989). The Classical and Discrete Orthogonal Polynomials and their q-Analogues, in preparation.
[A76] Andrews, G. E., Askey, R., Berndt, В. C., Ramanathan, K. G. and Rankin R. A., eds. (1988). Ramanujan Revisited, Academic Press, New York.
[A77] Andrews, G. E. and Baxter, R. J. (1986). Lattice gas generalization of the hard hexagon model. II. The local densities as elliptic functions, J. Stat. Phys. 44, 713-728.
[А78] Andrews, G. E. and Baxter, R. J. (1987). Lattice gas generalization of the hard hexagon model. III. ^-Trinomial coefficients, J. Stat. Phys. 47, 297-330.
[A79] Andrews, G. E., Baxter, R. J., Bressoud, D. M., Burge, W. H., Forrester, P. J. and Viennot, G. (1987). Partitions with prescribed hook differences, Europ. J. Combinatorics 8, 341-350.
[ASO] Andrews, G. E., Baxter, R. J., Forrester, P. J. (1984). Eight-vertex SOS model and generalized Rogers-Ramanujan-type identities, J. Stat. Phys. 35, 193-566.
[A81] Andrews, G. E. and Bressoud, D. M. (1984). Identities in combinatorics III: Further aspects of ordered set sorting, Discrete Math. 49, 223-236.
[A82] Andrews, G. E., Dyson, F. J. and Hickerson, D. (1988). Partitions and indefinite quadratic forms, Invent. Math. 91, 391-407.
[A83] Andrews, G.E. and Foata, D. (1980). Congruences for the ^-secant numbers, Europ. J. Combinatorics 1, 283-287.
[A84] Andrews, G. E. and Forrester, P. J. (1986). Height probabilities in solid- on-solid models: I, J. Phys. A 19, L923-L926.
[A85] Andrews, G. E., Goulden, I. P. and Jackson, D. M. (1986). Shank’s - convergence acceleration transform, Pade approximants and partitions, J. Comb. Thy. A 43, 70-84.
[A86] Andrews, G. E. and Onofri, E. (1984). Lattice gauge theory, orthogonal polynomials and q-hypergeometric functions, Special Functions: Group Theoretical Aspects and Applications (R. Askey et al, eds.), Reidel, Boston, Mass., pp. 163-188.
[A87] Aomoto, K. (1987). Jacobi polynomials associated with Selberg integrals, SIAM J. Math. Anal. 18, 545-549.
[A88] Appell, P. and Kampe de Feriet, J. (1926). Fonctions Hypergeometriques et Hyperspheriquts, Gauthier-Villars, Paris.
[A89] Artin, E. (1964). The Gamma function, translated by M. Butler, Holt, Rinehart and Winston, New York.
[A90] Askey, R. (1970). Orthogonal polynomials and positivity, Studies in Applied Mathematics 6, Special Functions and Wave Propagation (D. Ludwig and F. W. J. Olver, eds.), SIAM, Philadelphia, pp. 64-85.
[A91] Askey, R. (1975). Orthogonal Polynomials and Special Functions, Regional Conference Series in Applied Mathematics 21, SIAM, Philadelphia.
[A92] Askey, R. (1978). The g-gamma and g-beta functions, Applicable Analysis 8,125-141.
[А93] Askey, R. (1980). Ramanujan’s extensions of the gamma and beta functions, Amer. Math. Monthly 87, 346-359.
[A94] Askey, R. (1980). Some basic hypergeometric extensions of integrals of Selberg and Andrews, SIAM J. Math. Anal. 11, 938-951.
[A95] Askey, R. (1981). A ^-extension of Cauchy’s form of the beta integral, Quart. J. Math. Oxford (2) 32, 255-266.
[A96] Askey, R. (1982). Two integrals of Ramanujan, Proc. Amer. Math. Soc. 85, 192-194*.
[A97] Askey, R. (1982). A g-beta integral associated with BCi, SIAM J. Math. Anal. 13, 1008-1010.
[A98] Askey, R. (1984). Orthogonal polynomials and some definite integrals, Proc. Int. Congress of Mathematicians, Aug. 16-24, 1983, Warsaw, pp. 935-943.
[A99] Askey, R. (1984). Orthogonal polynomials old and new, and some combinatorial connections, Enumeration and Design (D. M. Jackson and S. A. Vanstone, eds.), Academic Press, New York, pp. 67-84.
[A100] Askey, R. (1984). The very well poised 6^е • II, Proc. Amer. Math. Soc. 90, 575-579.
[A101] Askey, R. (1985). Some problems about special functions and computations, Rend, del Sem. Mat. di Torino, pp. 1-22.
[A 102] Askey, R. (1986). Limits of some ^-Laguerre polynomials, J. Approx. Thy. 46, 213-216.
[A103] Askey, R. (1987). Ramanujan’s i^i and formal Laurent series, Indian J. Math. 29, 101-105.
[A104] Askey, R. (1988). Beta integrals in Ramanujan’s papers, his unpublished work and further examples, Ramanujan Revisited (G. E. Andrews et al., eds.), Academic Press, New York, pp. 561-590.
[A105] Askey, R. (1988). Beta integrals and ^-extensions, J. Ramanujan Math. Soc., Special Issue: Proc. Ramanujan Centenial International Conf, Annamalainagar, India, Dec. 15-17, 1987, pp. 85-102.
[A106] Askey, R. (1989). Ramanujan and hypergeometric and basic hypergeometric series, Ramanujan International Symposium on Analysis (N. K. Thakare, ed.), Macmillam, Delhi, pp. 1-83. [Имеется перевод: Рамануджан С. Гипергеометрические и базисные гипергеометрические ряды. — УМН, 1990, т. 45, вып. 1(27), с. 33-76.]
[А107] Askey, R. (1989). Continuous g-Hermite polynomials when g>l, q-Se- ries and Partitions (D. Stanton, ed.), IMA Volumes in Mathematics and its Applications, Springer, Berlin and New York, pp. 151-158.
[A 108] Askey, R. (1989). Orthogonal polynomials and theta functions, Proc, of Conference on Theta Functions (R. Gunning and L. Ehrenpreis, eds.), Amer. Math. Soc., Providence, R. I., Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol. 49, Part 2, pp. 299-321.
[A109] Askey, R. (1989). Variants of Clausen’s formula for the square of a special 2Fi, Number Theory and Related Topics, Ramanujan Colloquium, Bombay, 1988, Oxford Univ. Press, pp. 1-12.
[AllO] Askey, R. (1989). Beta integrals and the associated orthogonal polynomials, Number Theory (K. Alladi, ed.), Lecture Notes Math., 1395, Springer, Berlin and New York, pp. 84-121.
[Alli] Askey, R. (1989). Computer algebra and definite integrals, Computer Algebra (D. Chudnovsky and R. Jenks, eds.), M. Dekker, New York, pp. 121-129.
[Al 12] Askey, R. (1990). Integration and computers, Computers and Mathematics Conference, Stanford University, July 29-Aug. 2, 1986, Computers in Mathematics (D. Chudnovsky and R. Jenks, eds.), M. Dekker, New York and Basel, pp. 35-82.
[Al 13] Askey, R. and Gasper, G. (1971). Jacobi polynomial expansions of Jacobi polynomials with non-negative coefficients, Proc. Camb. Phil. Soc. 70, 243-255.
[Al|4] Askey, R. and Gasper, G. (1976). Positive Jacobi polynomial sums. II, Amer. J. Math. 98, 709-737.
[A115] Askey, R. and Gasper, G. (1977). Convolution structures for Laguerre polynomials, J. d’Analyse Math. 31, 48-68.
[Al 16] Askey, R. and Gasper, G. (1986). Inequalities for polynomials, The Bieberbach Conjecture: Proc, of the Symposium on the Occasion of the Proof (A. Baernstein, D. Drasin, P. Duren, and A. Marden, eds.), Math. Surveys and Monographs 21, Amer. Math. Soc., Providence, R. L, pp. 7-32.
[Al 17] Askey, R. and Ismail, M. E. H. (1979). The very well poised 6ф6, Proc. Amer. Math. Soc. 77, 218-222.
[A118] Askey, R. and Ismail, M. E. H. (1980). The Rogers ^-ultraspherical polynomials, Approximation Theory III (E. W. Cheny, ed.), Academic Press, New York, pp. 175-182.
20—1449
[А119] Askey, R. and Ismail, М. Е. Н. (1983). A generalization of ultraspherical polynomials, Studies in Pure Mathematics (P. Erdos, ed.), Birkhauser, Boston, Mass., pp. 55-78.
[A 120] Askey, R. and Ismail, M. E. H. (1984). Recurrence relations, continued fractions and orthogonal polynomials, Memoirs Amer. Math. Soc. 300.
[A 121] Askey, R., Koornwinder, T. H. and Rahman, M. (1986). An integral of products of ultraspherical functions and a ^-extension, J. London Math. Soc. (2) 33, 133-148.
[A122] Askey, R.., Koornwinder, T. H. and Schempp, W., eds. (1984). Special Functions: Group Theoretical Aspects and Applications, Reidel, Boston, Mass.
[A123] Askey, R. and Roy, R. (1986). More g-beta integrals, Rocky Mtn. J. Math. 16, 365-372.
[A124] Askey, R. and Shukla, D. P. (1989). Sieved Jacobi polynomials, in preparation.
[A125] Askey, R. and Wilson, J.A. (1979). A set of orthogonal polynomials that generalize the Racah coefficients or 6-j symbols, SIAM J. Math. Anal. 10, 1008-1016.
[A126] Askey, R. and Wilson, J.A. (1982). A set of hypergeometric orthogonal polynomials, SIAM J. Math. Anal. 13,651-655.
[A127] Askey, R. and Wilson, J.A. (1985). Some basic hypergeometric polynomials that generalize Jacobi polynomials, Memoirs Amer. Math. Soc. 319.
[A128] Atakishiyev, N. M. and Suslov, S. K. (1987). About one class of special functions, Comunicaciones Tecnicas, Serie naranja: investigaciones 497; Revista Mexicana Fisica 34, 152-167, 1988.
[A129] Atakishiyev, N. M. and Suslov, S. K. (1987). Continuous orthogonality property for some classical polynomials of a discrete variable, Comunicaciones Tecnicas, Serie naranja: investigaciones 498; Revista Mexicana Fisica 34, 541-563, 1988.
[A130] Atkin, A. O. L. and Swinnerton-Dyer, P. (1954). Some properties of partitions, Proc. London Math. Soc. (3) 4, 84-106.
[A131] Atkinson, F. V. (1964). Discrete and Continuous Boundary Problems, Academic Press, New York.
Bailey, W. N. (1929). An identity involving Heine’s basic hypergeometric series, J. London Math. Soc. 4, 254-257.
Bailey, W. N. (1933). A reducible case of the fourth type of Appell’s hypergeometric functions of two variables, Quart. J. Math. (Oxford) 4, 305-308.
Bailey, W. N. (1935). Generalized Hypergeometric Series, Cambridge University Press, Cambridge, reprinted by Stechert-Uafner, New York, 1964.
Bailey, W. N. (1935). Some theorems concerning products of hypergeometric series, Proc. London Math. Soc. (2) 38, 377-384.
Bailey, W. N. (1936). Series of hypergeometric type which are infinite in both directions, Quart. J. Math. (Oxford) 7, 105-115.
Bailey, W. N. (1941). A note on certain «/-identities, Quart. J. Math. (Oxford) 12, 173-175.
Bailey, W. N. (1917). Some identities in combinatory analysis, Proc. London Math. Soc. (2) 49, 421- 135.
Bailey, W. N. (1917). Well-poised basic hypergeometric series. Quart. J. Math. (Oxford) 18, 157-166.
Bailey, W. N. (1917). A transformation of nearly-poised basic hypergeometric series, J. London Math. Soc. 22, 237-210.
Bailey, W. N. (1919). Identities of the Rogers Ramanujan type, Proc. London Math. Soc. (2) 50, 1-10.
Bailey, W. N. (1950). On the basic bilateral hypergeometric series 3^2, Quart. J. Math. (Oxford) (2) 1, 194-198.
Bailey, W. N. (1950). On the analogue of Dixon’s theorem for bilateral basic hypergeometric series, Quart. J. Math. (Oxford) (2) 1, 318-320.
Bailey, W. N. (1951). On the simplification of some identities of the Rogers-Ramanujan type, Proc. London Math. Soc. (3) 1, 217 221.
Замечание: полный список публикаций Вейли см. в некрологе, подготовленном Слетер [S21].
Baker, М. and Coon, I). (1970). Dual resonance theory with nonlinear trajectories, Phys. Rev. D 2, 234 9 2358.
Bannai, E. and Ito, T. (1984). Algebraic Combinatorics I, Benjamin/ Cummings Pub. Co., London.
Barnes, E. W. (1908). A new development of the theory of the hyperge- ometric functions, Proc. London Math. Soc. (2) 6, 141 177.
Barnes, E. W. (1910). A transformation of generalized hypergeometric series, Quart. J. Math. 41, 136 140.
[В 18] Bateman, Н. (1932). Partial Differential Equations of Mathematical Physics, 1959 edition, Cambridge University Press, Cambridge.
Baxter, R. J. (1980). Hard hexagons: exact solution, J. Phys. A 13, 161-170.
Baxter, R. J. (1981). Rogers-Ramanujan identities in the hard hexagon model, J. Stat. Phys. 26, 427-452.
Baxter, R. J. (1982). Exactly Solved Models in Statistical Mechanics, Academic Press, New York. %[Имеется перевод: Бэкстер P. Точно решаемые модели в статистической механике. — М.: Мир, 1985.]
Baxter, R. J. (1988). Ramanujan’s identities in statistical mechanics, Ramanujan Revisited (G. E. Andrews et al, eds.), Academic Press, New York, pp. 69-84.
Baxter, R. J. and Andrews, G. E. (1986). Lattice gas generalization of the hard hexagon model I. Star-triangle relation and local densities, J. Stat. Phys. 44, 249-271.
Baxter, R. J. and Pearce, P. A. (1983). Hard squares with diagonal attractions, J. Phys. A 16, 2239-2255.
Baxter, R. J. and Pearce, P. A. (1984). Deviations form critical density in the generalized hard hexagon model, J. Phys. A 17, 2095-2108.
Beckmann, P. (1973). Orthogonal Polynomials for Engineers and Physicists, Golem Press, Boulder, Colo.
Bellman, R. (1961). A Brief Introduction to Theta Functions, Holt, Rinehart and Winston, New York.
Bender, E. A. (1971). A generalized g-binomial Vandermonde convolution, Discrete Math. 1, 115 119.
Berman, G. and Fryer, К. I). (1972). Introduction to Combinatorics, Academic Press, New York.
Berndt, В. C. (1985). Ramanujan’s Notebooks, Part I, Springer, Berlin and New York.
Berndt, В. C. (1988). Ramanujan’s modular equations, Ramanujan Revisited(G.E. Andrews et al., eds.), Academic Press, New York, pp. 313- 333.
Berndt, В. C. (1989). Ramanujan’s Notebooks, Part 2, Springer, Berlin and New York, to appear.
Berndt, В. C. and Joshi, P. T. (1983). Chapter 9 of Ramanujan’s second notebook: infinite series identities, transformations, and evaluations, Contemporary Mathematics 23, Amer. Math. Soc., Providence, R. I.
Biedenharn, L. C. and Louck, J. D. (1981). Angular Momentum in Quantum Physics: Theory and Application, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, Vol. 8, Addison-Wesley, Reading, Mass. [Имеется перевод: Биденхарн Л., Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике, тт. 1, 2. — М.: Мир, 1984.]
Biedenharn, L. С. and Louck, J. D. (1981). The Racah-Wigner Algebra in Quantum Theory, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, Vol. 9, Addison-Wesley, Reading, Mass.
Bohr, H. and Mollerup, J. (1922). Laerebog i matematisk Analyse, Vol. Ill, Copenhagen, pp. 149-164; см. [A89, pp. 14-15].
Borwein, J. M. and Borwein, P. B. (1988). More Ramanujan-type series, Ramanujan Revisited (G. E. Andrews et al., eds.), Academic Press, New York, pp. 359-366.
de Branges, L. (1968). Hilbert Spaces of Entire Functions, Prentice-Hall, Englewood Cliffs4, N.J.
de Branges, L. (1985). A proof of the Bieberbach conjecture, Acta Math. 154, 137-152. ’
de Branges, L. (1986). Powers of Riemann mapping functions, The Bieberbach Conjecture: Proc, of the Symposium on the Occasion of the Proof (A. Baernstein, et al, eds.), Math. Surveys and Monographs 21, Amer. Math. Soc., Providence, R. L, pp. til-67.
de Branges, L. and Trutt (1978). Quantum Ces^ro operators, Topics in Functional Analysis, Advances in Mathematics Supplementary Studies, Vol. 3, (I. Gohberg and M. Kac, eds.), Academic Press, New York, pp. 1-24.
Bressoud, D. M. (1978). Applications of Andrews’ basic Lauricella transformation, Proc. Amer. Math. Soc. 72, 89-94.
Bressoud, D. M. (1980). Analytic and combinatorial generalizations of the Rogers-Ramanujan identities, Memoirs Amer. Math. Soc. 227.
Bressoud, D. M. (1980). A simple proof of Mehler’s formula for ^-Hermite polynomials, Indiana Univ. Math. J. 29, 577-580.
Bressoud, D. M. (1981). On partitions, orthogonal polynomials and the expansion of certain infinite products, Proc. London Math. Soc. (3) 42, 478-500.
Bressoud, D. M. (1981). Some identities for terminating ^-series, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 81,211-223.
Bressoud, D. M. (1981). On the value of Gaussian sums, J. Numb. Thy. 13, 88-94.
Bressoud, D. М. (1981). Linearization and related formulas for q-ultra- spherical polynomials, SIAM J. Math. Anal. 12, 161-168.
Bressoud, D. M. (1983). An easy proof of the Rogers-Ramanujan identities, J. Numb. Thy. 16, 235-241.
Bressoud, D. M. (1983). A matrix inverse, Proc. Amer. Math. Soc. 88, 446-448.
Bressoud, D. M. (1986). Hecke modular forms and g-Hermite polynomials, Ш. J. Math. 30, 185-196.
Bressoud, D. M. (1987). Almost poised basic hypergeometric series, Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.) 96, 61-66.
Bressoud, D. M. (1988). The Bailey Lattice: an introduction, Ramanujan Revisited (G. E. Andrews et al, eds.), Academic Press, New York, pp. 57- 67.
Bressoud, D. M. (1989). Unimodality of Gaussian polynomials, to appear.
Bressoud, D. M. and Goulden, I. P. (1985). Constant term identities extending the g-Dyson theorem, Trans. Amer. Math. Soc. 291, 203- 228.
Bressoud; D. M. and Goulden, I. P. (1987). The generalized plasma in one dimension: Evaluation of a partition function, Comm. Math. Phys. 110, 287-291.
Bromwich, T. J. ГА. (1959). An Introduction to the Theory of Infinite Series., 2nd edition, Macmillan, New York.
Burchnall, J. L. and Chaundy, T. W. (1940). Expansions of Appell’s double hypergeometric functions, Quart. J. Math. (Oxford) 11, 249-270.
Burchnall, J. L. and Chaundy, T. W. (1941). Expansions of Appell’s double hypergeometric functions (II), Quart. J. Math. (Oxford) 12, 112- 128.
Burchnall, J. L. and Chaundy, T. W. (1949). The hypergeometric identities of Cayley, Orr and Bailey, Proc. London Math. Soc. (2) 50, 56-74.
[Cl] Carlitz, L. (1955). Some polynomials related to theta functions, Annali di Matematica Рига ed Applicata (4) 41, 359-373.
[C2] Carlitz, L. (1957). Some polynomials related to theta functions, Duke Math. J. 24, 521-527.
[C3] Carlitz, L. (1957). A g-analogue of a formula of Toscano, Boll. Unione Mat. Itai. 12, 414-417.
[C4] Carlitz, L. (1958). Note on orthogonal polynomials related to theta functions, Publicationes Mathematicae 5, 222-228.
[С5] Carlitz, L. (1960). Some orthogonal polynomials related to elliptic functions, Duke Math. J. 27, 443-460.
[C6] Carlitz, L. (1963). A basic analog of the multinomial theorem, Scripta Mathematica 26, 317-321.
[C7] Carlitz, L. (1963). A g-identity, Monatsh. fur Math. 67, 305-310.
[C8] Carlitz, L. (1969). Some formulas of F. H. Jackson, Monatsh. fur Math. 73, 193-198.<
[C9] Carlitz, L. (1969). A g-identity, Boll. Unione Math. Itai. (4) 1,100-101.
[CIO] Carlitz, L. (1972). Generating functions for certain ^-orthogonal polynomials, Seminario Matematico de Barcelona, Collectanea Mathematica 23, 91-104.
[Cll] Carlitz, L. (1973). Some inverse relations, Duke Math. J. 40, 803-901.
[C12] Carlitz, L. (1974). A ^-identity, Fibonacci Quarterly 12, 369-372.
[C13] Carlitz, L. and Hodges, J. (1955). Representations by Hermitian forms in a finite field, Duke Math. J. 22, 393-405.
[C14] Carlitz, L. and Subbarao, M. V. (1972). A simple proof of the quintuple product identity, Proc. Amer. Math. Soc. 32, 42-44.
[C15] Carlson, В. C. (1977). Special Functions of Applied Mathematics, Academic Press, New York.
[C16] Carmichael, R. D. (1912). Tthe general theory of linear ^-difference equations, Amer. J. Math. 34, 147-168.
[C17] Cauchy, A.-L. (1825). Sur les integrates definies prises entre des limites imaginaires, Bulletin de Ferussoc, T. Ill, 214-221, Oeuvres de Cauchy, 2е serie, T. II, Gauthier-Villars, Paris, 1958, 57-65.
[C18] Cauchy, A.-L. (1843). Memoire sur les fonctions dont plusieurs valeurs sont liees entre elles par une equation lineaire, et sur diverses transformations de produits composes d’un nombre indefini de facteurs, C. R. Acad. Sci. Paris, T. XVII, p. 523, Oeuvres de Cauchy, lre serie, T. VIII, Gauthier-Villars, Paris, 1893, pp. 42-50.
[C19] Cayley, A. (1858). On a theorem relating to hypergeometric series, Phil. Mag. (4) 16, 356-357; воспроизведено в Collected Papers 3, pp. 268- 269.
[C20] Charris, J. and Ismail, M. E. H. (1986). On sieved orthogonal polynomials II: random walk polynomials, Canad. J. Math. 38, 397-415.
[C21] Charris, J. and Ismail, M. E. H. (1987). On sieved orthogonal polynomials V: sieved Pollaczek polynomials, SIAM J. Math. Anal. 18,1177-1218.
[С22] Chaundy, Т. W. (1962). Frank Hilton Jackson, J. London Math. Soc. 37, 126-128.
[C23] Cheema, M. S. (1964). Vector partitions and combinatorial identities, Math. Comp. 18, 414-420.
[C24] Chihara, L. (1987). On the zeros of the Askey-Wilson polynomials, with applications to coding theory, SIAM J. Math. Anal. 18, 191-207.
[C25] Chihara, L. and Chihara, T. S. (1987). A class of nonsymmetric orthogonal polynomials, J. Math. Anal. Appl. 126, 275-291.
[C26] Chihara, L. and Stanton, D. (1986). Association schemes and quadratic transformations for orthogonal,polynomials, Graphs and Combinatorics 2, 101-112.
[C27] Chihara, L. and Stanton, D. (1987). Zeros of generalized Krawtchouk polynomials, IMA Preprint Series 361, University of Minnesota, Minn.
[C28] Chihara, T. S. (1968). On indeterminate Hamburger moment problems, Pacific J. Math. 27, 475-484.
[C29] Chihara, T. S. (1968). Orthogonal polynomials with Brenke type generating functions, Duke Math. J. 35, 505-518.
[C30] Chihara, T. S. (1971). Orthogonality relations for a class of Brenke polynomials, Duke Math. J. 38, 599-603.
[C31] Chihara, T. S. (1978). An Introduction to Orthogonal Polynomials, Gordon and Breach, New York.
[C32] Chihara, T. S. (1979). On generalized Stieltjes-Wigert and related orthogonal polynomials, J. Comput. Appl. Math. 5, 291-297.
[C33] Chihara, T. S. (1982). Indeterminate symmetric moment problems, J. Math. Anal. Appl. 85, 331-346.
[C34] Chihara, T. S. (1985). Orthogonal polynomials and measures with end point masses, Rocky Mtn. J. Math. 15, 705-719.
[C35] Chu Shih-Chieh (1303). Ssu Yuan Yu Chien (Precious Mirror of the Four Elements) (китайск.); см. [A91, p. 59], [N5, p. 138] и [Т1].
[C36] Chudnovsky, D. V. and Chudnovsky, G. V. (1988). Approximations and complex multiplication according to Ramanujan, Ramanujan Revisited (G. E. Andrews et al., eds.), Academic Press, New York, pp. 375-472.
[C37] Cigler, J. (1979). Operatormethoden fiir ^-Identitaten, Monatsh. fur Math. 88, 87-105.
[C38] Cigler, J. (1980). Operatormethoden fiir ^-Identitaten III: Umbrale Inversion und die Lagrangesche Formel, Arch. Math. 35, 533-543.
[С39] Cigler, J. (1981). Operatormethoden fiir ^-Identitaten II: ^-Laguerre- Polynome, Monatsh. Math. 91, 105-117.
[C40] Clausen T. (1828). Ueber die Faile, wenn die Reihe von der Form ... ein Quadrat voh der Form ... hat, J. reine angew. Math. 3, 89-91.
[C41] Cohen, H. (1988). ^-Identities for Maass waveforms, Invent. Math. 91, 409-422.
[C42] Comtet, L. (1974). Advanced Combinatorics, Reidel, Boston, Mass.
[DI] Daum, J. A. (1942). The basic analog of Kummer’s theorem, Bull. Amer. Math. Soc. 48, 711-713.
[D2] Dehesa, J. S. (1979). On a general system of orthogonal ^-polynomials, J. Computational Appl. Math. 5, 37-45.
[D3] Delsarte, P. (1976). Properties and applications of the recurrence F(hi, k-{-i,n+i)=qk+1 F(i,k+i,n)-qk F(i,k,n), SIAM J. Appl. Math. 31,262-270.
[D4] Delsarte, P. (1976). Association schemes and /-designs in regular semilattices, J. Comb. Thy. A 20, 230-243.
[D5] Delsarte, P. (1978). Bilinear forms over a finite field, with applications to coding theory, J. Comb. Thy. A 25, 226-241.
[D6] Delsarte, P. and Goethals, J. M. (1975). Alternating bilinear forms over GF^q^ J. Comb. Thy. A 19, 26-50.
[D7] Desarmenien, J. (1982). Les q-analogues des polyonmes d’Hermite, Semi- naire lotharingien de combinatoire (V. Strehl, ed.), pp. 39-56.
[D8] Desarmenien, J. and Foata, D. (1985). Fonctions symetriques et series hypergeometriques basiques multivariees, Bull. Soc. Math. France 113, 3-22.
[D9] Desarmenien, J. and Foata, D. (1986). Fonctions symetriques et hypergeometriques basiques multivariees, II, in Combinatoire enumerative. Lecture Notes in Math. 1234, Springer, Berlin and New York.
[D10] Desarmenien, J. and Foata, D. (1988). Statistiques d’ordre sur les permutations colorees, Publ. I.R.M.A. Strasbourg 372/S-20, Actes 20е Seminaire Lotharingien, 5-22.
[Dll] Dickson, L. E. (1920). History of the Theory of Numbers, Vol. 2. Carnegie Institute of Washington, Publ. 256; reprinted by Chelsea, New York.
[D12] Dixon, A. C. (1903). Summation of a certain series, Proc. London Math. Soc. (1) 35, 285-289.
[D13] Dobbie, J. M. (1962). A simple proof of the Rogers-Ramanujan identities, Quart. J. Math. (Oxford) (2) 13, 31-34.
[D14] Dougall, J. (1907). On Vandermonde’s theorem and some more general expansions, Proc. Edin. Math. Soc. 25, 114-132.
[D15] Dowling, T. A. (1973). A g-analog of the partition lattice, A Survey of Combinatorial Theory (J. N. Srivastava et al. eds.), North-Holland, Amsterdam, pp. 101-115.
[D16] Dunkl, C. F. (1977). An addition theorem for some g-Hahn polynomials, Monatsh. fur Math. 85, 5-37.
[D17] Dunkl, C. F. (1979). Orthogonal functions on some permutation groups, Proc. Symp. Pure Math. 34, 129-147.
[D18] Dunkl, C. F. (1979). Discrete quadrature and bounds on /-designs, Michigan Math. J. 26, 102.
[D19] Dunkl, C. F. (1980). Orthogonal polynomials in two variables of g-Hahn and g-Jacobi type, SIAM J. Alg. Disc. Meth. 1, 137-151.
[D20] Dunkl, C. F. (1981). The absorption distribution and the g-binomial theorem, Commun. Statist.-Theor. Meth. A10 (19), 1915-1920.
[D21] Duren, P. L. (1983).' Univalent Functions, Springer, Berlin and New York.
[D22] Dyson, F. J. (1962). Statistical theory of the energy levels of complex systems. I, J. Math. Phys. 3, 140-156.
[D23] Dyson, F. J. (1988). A walk through Ramanujan’s garden, Ramanujan Revisited (G. E. Andrews et al., eds.), Academic Press, New York, pp. 7-28."
[El] Edwards, D. (1923). An expansion in factorials similar to Vandermonde’s theorem, and applications, Messenger of Math. 52, 129-136.
[E2] Erdelyi, A., ed. (1953). Higher Transcendental Functions, Vols. I & II, McGraw-Hill, New York.
[ЁЗ] Euler, L. (1748). Introductio in Analysis Infinitorum, M-M Bousquet, Lausanne.*
[E4] Evans, R., Ismail, M. E. H. and Stanton, D. (1982). Coefficients in expansions of certain rational functions, Canad. J. Math. 34, 1011-1024.
[E5] Ewell J. A. (1981). An easy proof of the triple-product identity, Amer. Math. Monthly 88, 270-272.
[Fl] Favard, J. (1935). Sur les polyndmes de Tchebicheff, C. R. Acad. Sci. (Paris) 200, 2052-2053.
[F2] Feinsilver, P. (1982). Commutators, anti-commutators and Eulerian calculus, Rocky Mtn. J. Math. 12, 171-183.
[F3] Fields, J. L. and Ismail, M. E. H. (1975). Polynomial expansions, Math. Comp. 29, 894-902.
[F4] Fields, J. L. and Wimp, J. (1961). Expansions of hypergeometric functions in hypergeometric functions, Math. Comp. 15,390-395.
[F5] Fine, N. J. (1948). Some new results on partitions, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 34,616-618.
[F6] Fine, N. J. (1988). Basic Hypergeometric Series and Applications, Mathematical Surveys and Monographs, Vol. 27, Amer. Math. Soc., Providence, R. I.
[F7] Foata, D. (1981). Further divisibility properties of the g-tangent numbers, Proc. Amer. Math. Soc. 81, 143-148.
[F8] Freud, G. (1971). Orthogonal Polynomials, Pergamon Press, New York.
[F9] Fiirlinger, J. and Hofbauer, J. (1985). g-Catalan numbers, J. Comb. Thy. A 40, 248-264.
[Gl] Gangolli, R. (1967). Positive definite kernels on homogeneous spaces and certain stochastic processes related to Levy’s Brownian motion of several parameters, Ann. Inst. H. Poincare, Sect. B, Vol. Ill, 121-226.
[G2] Garsia, A. M. (1981). A g-analogue of the Lagrange inversion formula, Houston J. Math. 7, 205-237.
[G3] Garsia, A.M. and Milne, S.C. (1981). A Rogers-Ramanujan bijection, J. Comb. Thy. A, 31, 289-339.
[G4] Garsia, A. and Remmel, J. (1986). A novel form of g-Lagrange inversion, Houston J. Math. 12, 503-523.
[G5] Garvan, F. G. (1988). Combinatorial interpretations of Ramanujan’s partition congruences, Ramanujan Revisited (G. E. Andrews et al., eds.), Academic Press, New York, pp. 29-45.
[G6] Garvan, F.G. (1989). A proof of the Macdonald-Morris root system for jF4, to appear.
[G7] Garvan, F.G. and Gonnet, G.H. (1989). A proof of the two parameter g-case of the Macdonald-Morris constant term root system conjecture for F4 via Zeilberger’s method, to appear.
[G8] Garvan, F. G. and Stanton, D. (1989). Sieved partition functions and g-binomial coefficients, to appear.
[G9] Gasper, G. (1970). Linearization of the product of Jacobi polynomials. II, Canad. J. Math. 2 2, 582-593.
[G10] Gasper, G. (1971). Positivity and the convolution structure for Jacobi series, Annals of Math. 93, 112-118.
[Gil] Gasper, G. (1972). Banach algebras for Jacobi series and positivity of a kernel, Annals of Math. 95, 261-280.
[G12] Gasper, G. (1973). Nonnegativity of a discrete Poisson kernel for the Hahn polynomials, J. Math. Anal. Appl. 42, 438-451.
[G13] Gasper, G. (1974). Projection formulas for orthogonal polynomials of a discrete variable, J. Math. Anal. Appl. 45, 176-198.
[G14] Gasper, G. (1975). Positivity and special functions, Theory and Applications of Special Functions (R. Askey, ed.), Academic Press, New York, pp. 375-433.
[G15] Gasper, G. (1975). Positive integrals of Bessel functions, SIAM J. Math. Anal. 6, 868-881.
[G16] Gasper, G. (1976). Solution to problem 74-21* (Two-dimensional discrete probability distributions, by P. Beckmann), SIAM Review 18, 126- 129.
[G17] Gasper, G. (1977). Positive sums of the classical orthogonal polynomials, SIAM J. Math. Anal. 8, 423-447.
[G18] Gasper, G. (1981). Summation formulas for basic hypergeometric series, SIAM J. Math. Anal. 12, 196-200.
[G19] Gasper, G. (1981). Orthogonality of certain functions with respect to complex valued weights, Canad. J. Math. 33, 1261-1270.
[G20] Gasper, G. (1983). A convolution structure and positivity of a generalized translation operator for the continuous q- Jacobi polynomials, Conference on Harmonic Analysis in Honor of Antoni Zygmund, Wadsworth International Group, Belmont, Calif., pp. 44-59.
[G21] Gasper, G. (1985). Rogers’ linerization formula for the continuous q-ul- traspherical polynomials and quadratic transformation formulas, SIAM 3. Math. Anal. 16, 1061-1071.
[G22] Gasper, G. (1986). A short proof of an inequality used by de Branges in his proof of the Bieberbach, Robertson and Milin conjectures, Complex Variables 7, 45-50.
[G23] Gasper, G. (1987). Solution to problem #6497 (q-Analogues of a gamma function identity, by R. Askey), Amer. Math. Monthly 94, 199-201.
[G24] Gasper, G. (1989). Summation, transformation, and expansion formulas for bibasic series, Trans. Amer. Math. Soc.,312, 257-277.
[G25] Gasper, G. (1989). q-Extensions of Clausen’s formula and of the inequalities used by de Branges in his proof of the Bieberbach, Robertson, and Millin conjectures, SIAM J. Math. Anal., 20, 1019-1034.
[G26] Gasper, G. (1989). q-Extensions of Barnes’, Cauchy’s, and Euler’s beta integrals, Topics in Mathematical Analysis, T.M. Ras si as, ed., World Scientific Pub. Co., London, Singapore and Teaneck, N J.^ 294-314.
[G27] Gasper, G. (1989). Bibasic summation, transformation and expansion formulas, g-analogues of Clausen’s formula, and nonnegative basic hyper- geometric series, q-Series and Partitions (D. Stanton, ed.), IMA Volumes in Mathematics and its Applications, Springer, Berlin and New York, pp. 15-34.
[G28] Gasper, G. (1990). Using symbolic computer algebraic systems to derive formulas involving orthogonal polynomials and other special functions, Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on “Orthogonal Polynomials and their Applications”, Orthogonal Polynomials: Theory and Practice (P. Nevai, ed.), Kluwer Academic Publishers, Boston, pp. 163- 179.
[G29] Gasper, G. and Rahman, M. (1983). Positivity of the Poisson kernel for the continuous g-ultraspherical polynomials, SIAM J. Math. Anal. 14, 409-420.
[G30] Gasper, G. and Rahman, M. (1983). Nonnegative kernels in product formulas for g-Racah polynomials, J. Math. Anal. Appl. 95, 304-318.
[G31] Gasper, G. and Rahman, M. (1984). Product formulas of Watson, Bailey and Bateman types and positivity of the Poisson kernel for g-Racah polynomials, SIAM J. Math. Anal. 15, 768-789.
[G32] Gasper, G. and Rahman, M. (1986). Positivity of the Poisson kernel for the continuous g-Jacobi polynomials and some quadratic transformation formulas for basic hypergeometric series, SIAM J. Math. Anal. 17, 970- 999.
[G33] Gasper, G. and Rahman, M. (1989). A nonterminating g-Clausen formula and some related product formulas, SIAM J. Math. Anal. 20, 1270-1282.
[G34] Gasper, G. and Rahman, M. (1990). An'indefinite bibasic summation formula and some quadratic, cubic, and quartic summation and transformation formulas, Canad. J. Math. 42, 1-27.
[G35] Gasper, G. and Trebels, W. (1977). Multiplier criteria of Marcinkiewicz type for Jacobi expansions, Trans. Amer. Math. Soc. 231, 117-132.
[G36] Gasper, G. and Trebels, W. (1979). A characterization of localized Bessel potential spaces and applications to Jacobi and Hankel multipliers, Studia Math. 65, 243-278.
[G37] Gauss, С. F. (1813). Disquisitiones generales circa seriem infinitam ..., Comm. soc. reg. sci. Gott, rec., Vol. II; reprinted in Werke 3 (1876), pp. 123-162.
[G38] Gegenbauer, L. (1874).Uber einige bestimmte Integrate, Sitz. Math. Natur. KI. Akad. Wiss. Wien (Ila) 70, 433-443.
[G39] Gegenbauer, L. (1893). Das Additions theorem der Functionen C^W, Sitz. Math. Natur. KI. Akad. Wiss. Wien (Ila) 102, 942-950.
[G40] Geronimo, J. S. (1989). Scattering theory, orthogonal polynomials and g-series, SIAM J. Math. Anal., to appear.
[G41] Gessel, I. (1980). A noncommutative generalization and g-analog of the Lagrange inversion formula, Trans. Amer. Math. Soc. 257, 455-482.
[G42] Gessel, I. and Stanton, D. (1982). Strange evaluations of hypergeometric series, SIAM J. Math. Anal. 13,295-308.
[G43] Gessel, I. and Stanton, D. (1983). Applications of g-Lagrange inversion to basic hypergeometric series, Trans. Amer. Math. Soc. 277, 173-201.
[G44] Gessel, I. and Stanton, D. (1986). Another family of g-Lagrange inversion formulas, Rocky Mtn. J. Math. 16, 373-384.
[G45] Goldman, J. and Rota, G.-C. (1970). On the foundations of combinatorial theory IV: Finite vector spaces and Eulerian generating functions, Studies in Appl. Math. 49, 239-258.
[G46] Gordon, B. (1961). Some identities in combinatorial analysis, Quart. J. Math. (Oxford) (2) 12, 285-290.
[G47] Gosper, R. Wm. (1988). Some identities, for your amusement, Ramanujan Revisited (G. E. Andrews et al., eds.), Academic Press, New York, pp. 607-609.
[G48] Gosper, R. Wm. (1988). March 27 and July 31 letters to R. Askey.
[G49] Greiner, P. C. (1980). Spherical harmonics on the Heisenberg group, Canad. Math. Bull. 23, 383-396.'
[G50] Grosswald, E. (1985). Representations of Integers as Sums of Squares, Springer, Berlin and New York.
[G51] Gustafson, R. A. (1987). A Whipple’s transformation for hypergeometric series in Uw and multivariable hypergeometric orthogonal polynomials, SIAM J. Math. Anal. 18,495-530.
[G52] Gustafson,* R. A. (1987). Multilateral summation theorems for ordinary and basic hyper geometric series in Uw, SIAM J. Math. Anal., 18, 1576- 1596.
[G53] Gustafson, R. A. (1989). A summation theorem for hypergeometric series very-well-poise^ on G2, to appear.
[G54] Gustafson, R. A. (1989). The Macdonald identities for affine root systems of classical type and hypergeometric series very-well-poised on semisimple Lie algebras, Proc. Ramanujan Symposium on Classical Analysis, Pune, India, Dec. 26-28, 1987, to appear.
[G55] Gustafson, R. A7and Milne, S.C. (1986). A g-analogue of transposition symmetry for invariant G-functions, J. Math. Anal. Appl. 114, 210-240.
[Hl] Habsieger, L. (1989). Une g-integrale de Selberg-Askey, SIAM J. Math. Anal., to appear.
[H2] Hahn, W. (1949). Uber Orthogonalpolynome, die </-Differenzengleichungen geniigen, Math. Nachr. 2, 4-34.
[H3] Hahn, W. (1949). Uber Polynome, die gleichzeitig zwei verschiedenen Orthogonalsystemen angehdren, Math. Nachr. 2, 263-278.
[H4] Hahn, W. (1949). Beitrage zur Theorie der Heineschen Reihen, die 24 Integrale der hypergeometrischen g-Differenzengleichung, das g-Analogon der Laplace-Transformation, Math. Nachr. 2, 340-379.
[H5] Hahn, W. (1950). Uber die hoheren Heineschen Reihen und eine ein- heitliche Theorie der sogenannten speziellen Funktionen, Math. Nachr. 3, 257-294.
[H6] Hahn, W. (1952). Uber uneigentliche Losungen linearer geometrischer Differenzengleichungen, Math. Annalen 125, 67-81.
[H7] Hahn, W. (1953). Die mechanische Deutung einer geometrischen Differen- zengleichung, Zeitschr. angew. Math. Meeh. 33, 270-272.
[H8] Hall, N.A. (1936). An algebraic identity, J. London Math. Soc. 11, 276.
[H9] Handa, B. R. and Mohanty, S. G. (1980). On q-binomial coefficients and some statistical applications, SIAM J. Math. Anal. 11, 1027-1035.
[H10] Hardy, G. H. (1937). The Indian mathematician Ramanujan, Amer. Math. Monthly 44, 137-155; reprinted in Collected Papers 7, pp. 612- 630.
[Hll] Hardy, G. H. (1940). Ramanujan, Cambridge University Press, Cambridge; reprinted by Chelsea, New York, 1978.
[H12] Hardy, G. H. and Ramanujan, S. (1918). Asymptotic formulae in combinatory analysis, Proc. London Math. Soc. (2) 17, 75-115; in the Collected Papers of G. H. Hardy I, Oxford University Press, Oxford, pp. 306-339.
[H13] Hardy, G. H. and Wright, E. M. (1979). An Introduction to the Theory of Numbers, 5th edition, Oxford University Press, Oxford.
[Н14] Heine, Е. (1846). Uber die Reihe ..., J. reine angew. Math. 32, 210-212.
[H15] Heine, E. (1847). Untersuchungen uber die Reihe ..., J. reine angew. Math. 34, 285-328.
[H16] Heine, E. (1878). Handbuch der Kugelfunctionen, Theorie und Anwen- dungen, Vol. 1, Reimer, Berlin.
[Hl 7] Henri ci, P. (1974). Applied and Computational Complex Analysis, Vol. I, John Wiley & Sons, New York.
[H18] Hilbert, D. (1909). Beweis fiir die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem), Math. Annalen 67, 281-300.
[H19] Hirschhorn, M. D. (1985). A simple proof of Jacobi’s two-square theorem, Amer. Math. Monthly 92, 579-580.
[H20] Hirschhorn, M. D. (1987). A simple proof of Jacobi’s four-square theorem, Proc. Amer. Math. Soc. 101, 436-438.
[H21] Hirschhorn, M. D. (1988). A generalization of the quintuple product identity, J. Austral. Math. Soc. A 44, 42-45.
[H22] Hofbauer, J. (1982). Lagrange Inversion, Seminaire lotharingien de com- binatoire (V. Strehl, ed.), pp. 1-38.
[H23] Hofbauer, J. (1984). A q-analogue of the Lagrange expansion, Arch. Math. 42, 536-544.
[H24] Hua, L. K. (1982). Introduction to Number Theory, Springer, Berlin and New York.,
Ihrig, E. and Ismail^M. E. H. (1981). A q-umbral calculus, J. Math. Anal. Appl. 84, 178-207.
Ismail, M. E. H. (1977). A simple proof of Ramanujan’s i^i sum, Proc. Amer. Math. Soc. 63, 185-186.
Ismail, M. E. H. (1981). The basic Bessel functions and polynomials, SIAM J. Math. Anal. 12, 454-468.
Ismail, M. E. H. (1982). The zeros of basic Bessel functions, the functions Jv+axWt and associated orthogonal polynomials, J. Math. Anal. Appl. 86, 1-19.
Ismail, M. E. H. (1985). On sieved orthogonal polynomials. I: symmetric Pollaczek analogues, SIAM J. Math. Anal. 16, 1093-1113.
Ismail, M. E. H. (1985). A queueing model and a set of orthogonal polynomials, J. Math. Anal. Appl. 108, 575-594.
Ismail, M. E. H. (1986). On sieved orthogonal polynomials. Ill: Orthogonality on several intervals, Trans. Amer. Math. Soc. 294, 89-111.
Ismail, М. Е. Н. (1986). On sieved orthogonal polynomials. IV: Generating functions, J. Approx. Thy. 46, 284-296.
Ismail, M. E. H. (1986). Asymptotics of the Askey-Wilson and q-Jacobi polynomials, SIAM J. Math. Anal. 17, 1475-1482. ,
Ismail, M. E. H., Lorch, L. and Muldoon, M. E. (1986). Completely monotonic functions associated with the gamma function and its g-analogues, J. Math. Anal. Appl. 116, 1-9.
Ismail, M. E. H., Merkes, E. and Styer, D. (1989). A generalization of starlike functions, to appear.
Ismail, M. E. H. and Muldoon, M. E. (1988). On the variation with respect to a parameter of zeros of Bessel and g-Bessel functions, J. Math. Anal. Appl. 135, 187-207.
Ismail, M. E. H., Mulla, F. S. (1987). On the generalized Chebyshev polynomials, SIAM J. Math. Anal. 18, 243-258.
Ismail, M. E. H. and Stanton, D. (1988). On the Askey-Wilson and Rogers polynomials, Canad. J. Math. 40, 1025-1045.
Ismail, M. E. H., Stanton, D. and Viennot, G. (1987). The combinatorics of g-Hermite polynomials and the Askey-Wilson integral, European J. Combinatorics 8, 379-392.
Ismail, M. E. H. and Wilson, J. A. (1982). Asymptotic and generating relations for the g-Jacobi and 4^3 polynomials, J. Approx. Thy. 36, 43- 54.
[JI] Jackson, F. H. (1904). A basic-sine and cosine with symbolical solutions of certain differential equations, Proc. Edin. Math. Soc. 22, 28-38.
[J2] Jackson, F. H. (1904). Note of a theorem of Lommel, Proc. Edin. Math. Soc. 22, 80-85.
[J3] Jackson, F. H. (1904). Theorems relating to a generalization of the Bessel- function, Trans. Roy. Soc. Edin. 41, 105-118.
[J4] Jackson, F. H. (1904). On generalized functions of Legendre and Bessel, Trans. Roy. Soc. Edin. 41, 1-28.
[J5] Jackson, F. H. (1904). A generalization of the functions Г(п) and xn, Proc. Roy. Soc. London 74, 64-72.
[J6] Jackson, F. H. (1905). The application of basic numbers to Bessel’s and Legendre’s functions, Proc. London Math. Soc. (2) 2, 192-220.
[J7] Jackson, F. H. (1905). The application of basic numbers to Bessel’s and Legendre’s functions (Second paper), Proc. London Math. Soc. (2) 3, 1-23.
[J8] Jackson, F. Н. (1905). Some properties of a generalized hypergeometric function, Amer. J. Math. 27, 1-6.
[J9] Jackson, F. H. (1905). The basic gamma-function and the elliptic functions, Proc. Roy. Soc. London A 76, 127-144.
[J10] Jackson, F. H. (1905). Theorems relating to a generalization of Bessel’s function. IL, Trans. Roy. Soc. Edin. 41, 399-408.
[Jll] Jackson, F. H. (1908). On ^-functions and a certain difference operator, Trans. Roy. Soc. Edin. 46,253-281.
[J 12] Jackson, F. H. (1909). Generalization of the differential operative symbol with an extended form of Boole’s equation ..., Messenger of Math. 38, 57-61.
[J13] Jackson, F. H. (1909). A g-form of Taylor’s theorem, Messenger of Math. 38, 62-64.
[J14] Jackson, F. H. (1909). The ^-series corresponding to Taylor’s series, Messenger of Math. 39, 26-28.
[J15] Jackson, F. H. (1910). Transformations of ^-series, Messenger of Math. 39, 145-153.
[J16] Jackson, F. H. (1910). A ^-generalization of Abel’s series, Rendiconti Palermo 29, 340-346.
[J17] Jackson, F. H. (1910). On ^-definite integrals, Quart. J. Pure and Appl. Math. 41, 193-203.
[J 18] Jackson, F. H. (1910). ^-Difference equations, Amer. J. Math. 32, 305-314.
[J19] Jackson, F. H. (1910). Borel’s integral and ^-series, Proc. Roy. Soc. Edin. 30, 378-385.
[J20] Jackson, F. H. (1911). The products of q-hypergeometric functions, Messenger of Math. 40, 92-100.
[J21] Jackson, F. H. (1917). The ^-integral analogous to Borel’s integral, Messenger of Math. 47, 57-64.
[J22] Jackson, F. H (1921). Summation of q-hypergeometric series, Messenger of Math. 50, 101-112.
[J23] Jackson, F. H (1927). A new transformation of Heinean series, Quart. J. Pure and Appl. Math. 50, 377-384.
[J24] Jackson, F. H (1928). Examples of a generalization of Euler’s transformation for power series, Messenger of Math. 57, 169-187.
[J25] Jackson, F. H (1940). The q® equations whose solutions are products of solutions of q® equations of lower order, Quart. J. Math. (Oxford) 11, 1-17.
[J26] Jackson, F. H. (1941). Certain ^-identities, Quart. J. Math. (Oxford) 12, 167-172.
[J27] Jackson, F. H. (1942). On basic double hypergeometric functions, Quart. J. Math. (Oxford) 13, 69-82.
[J28] Jackson, F. H. (1944). Basic double hypergeometric functions (II), Quart. J. Math. (Oxford) 15, 49-61.
[J29] Jackson, F. H. (1951). Basic integration, Quart. J. Math. (Oxford) (2) 2, 1-16.
Замечание: список других публикаций Джексона см. в некрологе, подготовленном Чонди [С22].
[J30] Jackson, М. (1949). On some formulae in partition theory, and bilateral basic hypergeometric series, J. London Math. Soc. 24, 233-237.
[J31] Jackson, M. (1950). On well-poised bilateral hypergeometric series of the type 8^8, Quart. J. Math. (Oxford) (2) 1, 63-68.
[J32] Jackson, M. (1950). On Lerch’s transcendant and the basic bilateral hypergeometric series 2^2, J- London Math. Soc. 25, 189-196?
[J33] Jackson, M. (1954). Transformations of series of the type 3^3, Pac. J. Math. 4, 557-562.
[J34] Jacobi, C. G. J. (1829). Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipti- carum, Regiomonti. Sumptibus frat rum Borntrager; reprinted in Gesam- melte Werke 1 (1881), 49-239, Reimer, Berlin; reprinted by Chelsea, New York, 1969.
[J35] Jacobi, C. G. J. (1846). Uber einige der Binomialreihe analoge Reihen, J. reine angew. Math. 32, 197-204; воспроизведено в Gesammelte Werke 6 (1881), 163-173, Reimer, Berlin.
[J36] Jain, V. K. (1980). Some expansions involving basic hypergeometric functions of two variables, Pac. J. Math. 91, 349-361.
[J37] Jain, V. K. (1980). Some transformations of basic hypergeometric series and their applications, Proc. Amer. Math. Soc. 78, 375-384.
[J38] Jain, V. K. (1980). Summations of basic hypergeometric series and Rogers-Ramanujan identities, Houston J. Math. 6, 511-522.
[J39] Jain, V. K. (1981). Some transformations of basic hypergeometric functions. Part II, SIAM J. Math. Anal. 12, 957-961.
[J40] Jain, V. К. (1982). Certain transformations of basic hypergeometric series and their applications, Pac. J. Math. 101, 333-349.
[J41] Jain, V. K. and Srivastava, H". M. (1986). g-Series identities and re- ducibility of basic double hypergeometric functions, Canad. J. Math. 38, 215-231.
[J42] Jain, V. K. and Verma, A. (1980). Transformations between basic hypergeometric series on different bases and identities of Rogers-Ramanujan type, J. Math. Anal. Appl. 76, 230-269.
[J43] Jain, V. K. and Verma, A. (1981). Some transformations of basic hypergeometric functions, Part I, SIAM J. Math. Anal. 12, 943-956.
[J44] Jain, V. K. and Verma, A. (1982). Transformations of non-terminating basic hypergeometric series, their contour integrals and applications to Rogers-Ramanujan identities, J. Math. Anal. Appl. 87, 9-44.
[J45] Jain, V. K. and Verma, A. (1985). Some summation formulae for nonterminating basic hypergeometric series, SIAM J. Math. Anal. 16, 647-655.
[J46] Jain, V. K. and Verma, A. (1986). Basic analogues of transformations of nearly-poised basic hypergeometric series, Number Theory, Lecture Notes on Math. 1122, Springer, Berlin and New York, pp. 206-217.
[J47] Jain, V. K. and Verma, A. (1987). On transformations of nearly-poised basic hypergeometric series and their applications, Indian J. Pure Appl. Math. 18 (1), 55-64.
[J48] Jimbo, M. (1985). A g-difference analogue of U(g) and the Yang-Baxter equation, Letters in Math. Phys. 10, 63-69.
[J49] Jimbo, M. (1986). A g-analogue of f7(gZ(A+l)), Hecke algebra, and the Yang-Baxter equation, Letters in Math. Phys. 11, 247-252.
[J50] Joichi, J. T. and Stanton, D. (1987). Bijective proofs of basic hypergeometric series identities, Pacific J. Math. 127, 103-120.
[J51] Joichi, J. T. and Stanton, D. (1989). An involution for Jacobi’s identity, Discrete Math., to appear.
[J52] Joshi, С. M. and Verma, A. (1979). Some remarks on summation of basic hyper geometric series, Houston J. Math. 5, 277-294.
[KI] Кас, V. G. (1978). Infinite-dimensional algebras, Dedekind’s ^-function, classical Mobius function and the very strange formula, Advances in Math. 30, 85-136.
[K2] Кас, V. G. (1985). Infinite Dimensional Lie Algebras, 2nd edition, Cambridge University Press, Cambridge.
[КЗ] Kadell, K. W. J. (1985). Weighted inversion numbers, restricted growth functions, and standard Young tableaux, J. Comb. Thy. A 40, 22-44.
[К4] Kadell, К. W. J. (1985). A proof of Andrews’ g-Dyson conjecture for n= 4, Trans. Amer. Math. Soc. 290, 127-144.
[K5] Kadell, K. W. J. (1987). Path functions and generalized basic hypergeometric functions, Memoirs Amer. Math. Soc. 360.
[K6] Kadell, K. W. J. (1987). A probabilistic proof of Ramanujan’s i^i sum, SIAM J. Math. Anal. 18, 1539-1548.
[K7] Kadell, K. W. J. (1988). A proof of some ^-analogues of Selberg’s integral for k= 1, SIAM J. Math. Anal. 19, 944-968.
[K8] Kadell, K. W. J. (1988). A proof of Askey’s conjectured ^-analogue of Selberg’s integral and a conjecture of Morris, SIAM J. Math. Anal. 19, 969-986.
[K9] Kadell, K. W. J. (1988). The g-Selberg polynomials for n=2, Trans. Amer. Math. Soc., 310, 535-553.
[K10] Kadell, K. W. J. (1989). Andrews’ g-Dyson conjecture II: Symmetry, Pacific J. Math., to appear.
[Kll] Kadell, K. W. J. (1989). The Selberg-Jack symmetric functions, Advances in Math., to appear.
[K12] Kadell, K. W. J. (1989). A proof of the g-Macdonald-Morris conjecture for BCn> to appear.
[K13] Kairies, H.-H and Muldoon, M. E. (1982). Some characterizations of ^-factorial functions, Aequationes Math. 25, 67-76.
[K14] Kalnins, E. G. and Miller, W. (1989). Symmetry techniques for ^-series: Askey-Wilson polynomials, Rocky Mtn. J. Math. 19, 1-8.
[K15] Kalnins, E. G. and Miller, W. (1987). ^-Series and orthogonal polynomials associated with Barnes’ first lemma, IMA Preprint Series 306, April; SIAM J. Math. Anal. 19 (1988), 1216-1231.
[K16] van Kampen, N. G. (1961). Exact calculation of the fluctuation spectrum for a nonlinear model system, J. Math. Phys. 2, 592-601.
[KI7] Karlsson, Per W. (1971). Hypergeometric functions with integral parameter differences, J. Math. Phys. 12, 270-271.
[K18] Kendall, M. G. and Stuart, A. (1979). The Advanced Theory of Statistics, Vol. 2, Inference and Relationship, 4th edition, C. Griffin & Co., London.
[K19] Kirillov, A.N. and Reshetikhin, N. Yu. (1988). Representations of the algebra Uq(X2f), ^-orthogonal polynomials and invariants of links, LOMIpreprint E-9-88, USSR Academy of Sciences, Steklov Math. Inst., Leningrad.
[К20] Klein, F. (1933). Vorlesungen uber die Hypergeometrische Funktion, Springer, Berlin.
[K21] Knuth, D. (1971). Subspaces, subsets, and partitions, J. Comb. Thy. A 10, 178-180.
[K22] Knuth, D. (1973). The Art of Computer Programming, Vols. 1-3, Addison-Wesley, Reading, Mass. [Имеется перевод: Д. Кнут. Искусство программирования для ЭВМ, тт. 1-3.М.: Мир, 1972.]
[К23] Koelink, Н. Т. and Koornwinder, Т. Н. (1989). The Clebsch-Gordan ’ coefficients for the quantum group Sp 17(2) and g-Hahn polynomials, Proc.
Kon. Nederl. Akad. Wetensch. Series A, to appear.
[K24] Koornwinder, T. H. (1974). Jacobi polynomials, II. An analytic proof of the product formula, SIAM J. Math. Anal. 5, 125-137;
[K25] Koornwinder, T. H. (1974). Jacobi polynomials, III. An analytic proof of the addition formula, SIAM J. Math. Anal. 6, 533-543.
[K26] Koornwinder, T. H. (1984). Squares of Gegenbauer polynomials and Milin type inequalities, Report PM-R8412, Centre for Math, and Computer Science, Amsterdam.
[K27] Koornwinder, ^ H. (1986). A group theoretic interpretation of the last part of de Branges’ proof of the Bieberbach conjecture, Complex Variables
6, 309-321.
[K28] Koornwinder, T. H. (1990). Jacobi functions as limit cases of q-ultra- spherical polynomials, J. Math. Anal. Appl. 148, 44-54.
[K29] Koornwinder, T. H. (1989). The addition formula for little g-Legendre polynomials and the twisted SU^ quantum group, CWI Report AM- R8906; SIAM J. Math. Anal. 22 (1991), 295-311.
[K30] Koornwinder, T. H. (1989). Representations of the twisted SU^T) quantum group and some g-hypergeometric orthogonal polynomials, Proc. Kon. Nederl. Akad. Wetensch. Series A 92,97-117.
[K31] Krattenthaler, C. (1984). A new g-Lagrange formula arid some applications, Proc. Amer. Math. Soc. 90, 338-344.
[K32] Krattenthaler, C. (1988). Operator methods and Lagrange inversion: a unified approach to Lagrange formulas, Trans. Amer. Math. Soc. 305, 431-465.
[K33] Krattenthaler, C. (1989). ^-analogue of a two-variable inverse pair of series with applications to basic double hypergeometric series, Canad. J. Math., to appear.
[K34] Krattenthaler, C. (1989). A new matrix inverse, to appear.
[К35] Krattenthaler, С. (1989). Some quadratic, cubic and quartic very-well- poised summation formulas for basic hypergeometric series, to appear.
[K36] Kammer, E.E. (1836), Uber die hypergeometrische Reihe ..., J. fur Math. 15, 39-83 and 127-172.
[LI] Laine, T. P. (1982). Projection formulas and a new proof of the addition formula for the Jacobi polynomials, SIAM J. Math. Anal. 13, 324-330.
[L2] Leonard, D. A. (1982). Orthogonal polynomials, duality and association schemes, SIAM J. Math. Anal. 13, 656-663.
[L3] Lepowsky, J. (1982). Affine Lie algebras and combinatorial identities, Lie Algebras and Related Topic, Lecture Notes in Math. 933, Springer, Berlin and New York, pp. 130-156.
[L4] Lepowsky, J. and Milne, S. (1978). Lie algebraic approaches to classical partition identities, Advances in Math. 29, 15-59.
[L5] Lepowsky, J. and Wilson, R. L. (1982). A Lie theoretic interpretation and proof of the Rogers-Ramanujan identities, Advances in Math. 45, 21-72.
[L6] Lewis, R. P. (1984). A combinatorial proof of the triple product identity, Amer. Math. Monthly 91, 420-423.
[L7] Littlewood, J. E. (1907). On the asymptotic approximation to integral functions of zero order, Proc. London Math. Soc. (2) 5, 361-410.
[L8] Lubinsky, D. S. and Saff, E. B. (1987). Convergence of Pade approximants of partial theta functions and the Rogers-Szego polynomials, Constr. Approx. 3, 331-361.
[L9] Luke, Y. L. (1969). The Special Functions and Their Approximations, Vols. I and II, Academic Press, New York. [Имеется перевод: Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. — М.: Мир, 1980.]
[Ml] Macdonald, I. G. (1972). Affine root systems and Dedekind’s 77-function, Invent. Math. 15, 91-143.
[М2] Macdonald, I. G. (1979). Symmetric Functions and Hall Polynomials, Oxford University Press, Oxford. [Имеется перевод: Макдональд И. Симметрические функции и многочлены Холла. — М.: Мир, 1985.]
[М3] Macdonald, I. G. (1982). Some conjectures for root systems, S^AM J. Math. Anal. 13, 988-1007.
[M4] Macdonald, I. G. (1989). Orthogonal polynomials associated with root systems, to appear.
[M5] MacMahon, P. A. (1916). Combinatory Analysis, Cambridge University Press, Cambridge; reprinted by Chelsea, New York, 1960.
[Мб] Masuda, Т., Mimachi, К., Nakagami, Y., Noumi, М. and Ueno, К. (1989). Representations of quantum group SUq(^ and the little q- Jacobi polynomials, to appear.
[M7] Menon, P.K. (1965). On Ramanujan’s continued fraction and related identities, J. London Math. Soc. 40, 49-54.
[M8] Milin, I. M. (1977). Univalent Functions and Orthogonal Systems, Transl. Math. Monographs, Vol. 29, Amer. Math. Soc., Providence, R. I.
[M9] Miller, W. (1968). Lie Theory and Special Functions, Academic Press, New York.
[MIO] Miller, W. (1970). Lie theory and g-difference equations, SIAM J. Math. Anal. 1, 171-188.
[Mil] Milne, S. C. (1980). A multiple series transformation of the very well poised 2jb+4^2i+4’ Pacific J. Math. 91, 419-430.
[M12] Milne, S. C. (1985). An elementary proof of the Macdonald identities for A<n, Advances in Math. 57, 34-70.
[M13] Milne, S. C. (1985). A new symmetry related to SUw classical basic hypergeometric series, Advances in Math. 57, 71-90.
[M14] Milne, S. C. (1985). A g-analogue of hypergeometric series well-poised in SUw and invariant G-functions, Advances in Math. 58, 1-60.
[M15] Milne, S. C. (1985). A g-analogue of the SF4 (1) summation theorem for hypergeometric series well-poised in SU^, Advances in Math. 57, 14-33.
[M16] Milne, S. C. (1985). Basic hypergeometric series very-well-poised in Uw, J. Math. Anal. Appl. 122, 223-256.
[M17] Milne, S. C. (1986). A U^ generalization of Ramanujan’s i^ summation, J. Math. Anal. Appl. 118, 263-277.
[M18] Milne, S. C. (1988). Multiple g-series and U^ generalizations of Ramanujan’s i^i sum, Ramanujan Revisited (G. E. Andrews et al., eds.), Academic Press, New York, pp. 473-524.
[M19] Milne, S. C. (1988). A g-analog of the Gauss summation theorem for hypergeometric series in U(n), Advances in Math. 72, 59-131.
[M20] Milne, S. C. (1989). A g-analog of the balanced 3F2 summation theorem for hypergeometric series in U^, Advances in Math., to appear.
[M21] Milne, S. 0. (1989). A g-analog of Whipple’s transformation for hypergeometric series in Uw, Advances in Math., to appear.
[М22] Milne, S. С. (1987). The multidimensional 1^1 sum and Macdonald identities for A^, Proc, of the 1987 Summer Research Institute of Theta Functions, Amer. Math. Soc., Providence, R. I., pp. 323-359; Theta Functions, Bowdoin, Part 2( L. Ehrёnpreis and R. Gunning, eds.).
[M23] Mimachi, K. (1989). Connection problem in holonomic ^-difference system associated with a Jackson integral of Jordan-Pochhammer type, to appear.
[M24] Minton, В. M. (1970). Generalized hypergeometric function of unit argument, J. Math. Phys. 11, 1375-1376.
[M25] Misra, К. C. (1988). Specialized characters for affine Lie algebras and the Rogers-Ramanujan identities, Ramanujan Revisited (G. E. Andrews et al., eds.), Academic Press, New York, pp. 85-109.
[M26] Mdak, D. S. (1980). The g-gamma function for q> 1, Aequationes Math. 20, 278-285.
[M27] Moak, D. S. (1080). The g-gamma function for x < 0, Aequationes Math. 21, 179-191.
[M28] Moak, D. S. (1981). The ^-analogue of the Laguerre polynomials, J. Math. Anal. Appl. 81, 20-47.
[M29] Mordell, L. J. (1917). On the representation of numbers as the sum of 2r squares, Quart. J. Pure and Appl. Math. 48, 93-104.
[M30] Morris, W. (1982). Constant term identities for finite and affine root systems, Thesis, University of Wisconsin, Madison.
[Nl] Nassrallah, B. (1982). Some quadratic transformations and projection formulas for basic hypergeometric series, Thesis, Carleton University, Ottawa.
[N2] Nassrallah, B. and Rahman, R. (1981). On the q-analogues of some transformations of nearly-poised hypergeometric series, Trans. Amer. Math. Soc. 268, 211-229.
[N3] Nassrallah, B. and Rahman, R. (1985). Projection formulas, a reproduc7 ing kernel and a generating function for q-Wilson polynomials, SIAM J. Math. Anal. 16, 186-197.
[N4] Nassrallah, B. and Rahman, R. (1986). A ^-analogue of AppelPs Fi function and some quadratic transformation formulas for non-terminating basic hypergeometric series, Rocky Mtn. J. of Math. 16, 63-82.
[N5] Needham, J. (1959). Science and Civilization in China, Vol. 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth, Cambridge University Press, Cambridge.
[N6] Nevai, Р. G. (1979). Orthogonal polynomials, Memoirs Amer. Math. Soc. 213.
[N7] Nikiforov, A. F. and Suslov, S. K. (1986). Classical orthogonal polynomials of a discrete variable on nonuniform lattices, Letters in Mathematical Physics, II, 27-34.
[N8] Никифоров А.Ф.,/Суслов C.K. и Уваров В.Б. (1985). Классические •ортогональные полиномы дискретной переменной. — М.: Наука. [Имеется перевод на англ, язык с дополнениями: Nikiforov, A. F., Suslov, S. К. and Uvarov, V. В., Classical Orthogonal Polynomials of a Discrete Variable, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1991.]
[N9] Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. (1984). Специальные функции математической физики. — М.: Наука, 1984. [Имеется перевод на англ, язык с дополнениями: Nikiforov, A. F. and Uvarov, V. В. Special Functions of Mathematical Physics: A Unified Introduction with Applications, Birkhauser, Boston, Mass., 1988.]
[01] O’Hara, К. M. (1989). Unimodality of the Gaussian coefficients: a constructive proof, J. Comb. Thy. Ser. A, to appear.
[02] Orr, W. McF. (1899). Theorems relating to the product of two hypergeometric series, Trans. Camb. Phil. Soc. 17, 1-15.
[Pl] Pastro, P. I. (1985). Orthogonal polynomials and some g-beta integrals of Ramanujan, J. Math. Anal. Appl. 112, 517-540.
[P2] Paule, P. (1985). On identities of the Rogers-Ramanujan type, J. Math. Anal. Appl. 107, 255-284.
[P3] Paule, P. (1985). Ein neuer Weg zur g-Lagrange inversion, Bayreuther Math. Schriften 18, 1-37.
[P4] Perron, 0. (1929). Die Lehre von den Kettenbruchen, 2nd edition, Teubner, Leipzig.
[P5] Pfaff, J. F. (1797). Observationes analyticae ad L. Euler Institutiones Calculi Integralis, Vol. IV, Supplem. II et IV, Historia de 1793, Nova acta acad. sci. Petropolitanae 11 (1797), pp. 38-57.
[P6] Polya, G. (1927). Uber die algebraisch-funktionentheoretischen Unter- suchungen von J. L. W. V. Jensen, Kgl. Danske Videnskabernes Selskab. Math.-Fys. Medd. 7, No. 17, pp. 3-33; reprinted in Collected Papers, Vol. II, The MIT Press, Cambridge, Mass., pp. 278-308.
[P7] Polya, G. (1970). Gaussian binomial coefficients and the enumeration of inversions, Proceedings of the Second Chapel Hill Conference on Combinatorial Mathematics and its Applications, Aug. 1970, Univ, of North Carolina, Chapel Hill, pp. 381-384.
[Р8] Polya, G. and Alexanderson, G. L. (1970). Gaussian binomial coefficients, Elemente der Mathematik 26, 102-108.
[RI] Rademacher, H. (1973). Topics in Analytic Number Theory, Springer, Berlin and New York.
[R2] Rahman, M. (1981). The linearization of the product of continuous g-Jacobi polynomials, Canad. J. Math. 33, 255-284.
[R3] Rahman, M. (1982). Reproducing kernels and bilinear sums for g-Racah and q-Wilson polynomials, Trans. Amer. Math. Soc. 273, 483-508.
[R4] Rahman, M. (1984). A simple evaluation of Askey and Wilson’s g-beta integral, Proc. Amer. Math. Soc. 92, 413-417.
[R5] Rahman, M. (1985). A g-extension of Feldheim’s bilinear sum for Jacobi polynomials and some applications, Canad. J. Math. 37, 551-576.
[R6] Rahman, M. (1986). Another conjectured g-Selberg integral, SIAM J. Math. Anal. 17, 1267-1279.
[R7] Rahman, M. (1986). An integral representation of а ю09 and continuous bi-orthogonal 10ф9 rational functions, Canad. J. Math. 38, 605-618.
[R8] Rahman, M. (1986). g-Wilson functions of the second kind, SIAM J. Math. Anal. 17, 1280-1286.
[R9] Rahman, M. (1986). A product formula for the continuous g-Jacobi polynomials, J. Math. Anal. Appl. 118, 309-322.
[R10] Rahman, M. (1987). An integral representation and some transformation properties of g-Bessel functions, J. Math. Anal. Appl. 125, 58-71.
[Rll] Rahman, M. (1988). A projection formula for the Askey-Wilson polynomials and an application, Proc. Amer. Math. Soc. 103, 1099-1107.
[R12] Rahman, M. (1988). Some extensions of Askey-Wilson’s g-beta integral and the corresponding orthogonal systems, Canad. Math. Bull., 33 (4), 111-120.
[R13] Rahman, M. (1988). An addition theorem and some product formulas for g-Bessel functions, Canad. J. Math. 40, 1203-1221.
[R14] Rahman, M. (1989). A simple proof of Koornwinder’s addition formula for the little g-Legendre polynomials, Proc. Amer. Math. Soc. 107, 373-381.
[R15] Rahman, M. (1989). Some infinite integrals of g-Bessel functions, Proc. Ramanujan Centenary Symposium on Classical Analysis, 1987, Pune, India; Ramanujan International Symposium on Analysis (N. K. Thatare, ed.), Macmillan, India, Delhi, pp. 117-137.
[R16] Rahman, M. (1989). A note on the biorthogonality of g-Bessel functions, Canad. Math. Bull., to appear.
[R17] Rahman, М. (1989). Some quadratic and cubic summation formulas for basic hypergeometric series, to appear.
[R18] Rahman, M. (1989). Some cubic summation formulas for basic hypergeometric series, Utilitas Mathematica 3^6, 161-172.
[R19] Rahman, M. and Verma, A. (1986). A q-integral representation of Rogers’ q-ultraspherical polynomials and some applications, Const. Approx. 2, 1-10.
[R20] Rahman, M. and Verma, A. (1986). Product and addition formulas for the continuous q-ultraspherical polynomials, SIAM J. Math. Anal. 17, 1461-1474.
[R21] Rahman, M. and Verma, A. (1987). Infinite sums of products of continuous q-ultraspherical functions, Rocky Mtn. J. Math. 17, 371-384.
[R22] Rainville, E. D. (1960). Special Functions, Macmillan, New York.
[R23] Ramanujan, S. (1915). Some definite integrals, Messenger of Math. 44, 10-18; воспроизведено в [R25, pp. 53-58].
[R24] Ramanujan, S. (1919). Proof of certain identities in combinatory analysis, Proc. Camb. Phil. Soc. 19, 214-216; воспроизведено в [R25] Ramanujan [1927, pp. 214-215]. .
[R25] Ramanujan, S. (1927). Collected Papers (G. H. Hardy et al., eds.), Cambridge University Press, Cambridge; reprinted by Chelsea, New York, 1962.
[R26] Ramanujan, S. (1957). Notebooks (2 volumes), Tata Institute of Fundamental Research, Bombay; reprinted by Narosa, New Delhi, 1984.
[R27] Ramanujan, S. (1988). The lost notebook and other unpublished papers (Introduction by G. E. Andrews), Narosa Publishing House, New Delhi.
[R28] Rogers, L. J. (1893). On a three-fold symmetry in the elements of Heine’s series, Proc. London Math. Soc. 24, 171-179.
[R29] Rogers, L'. J. (1893). On the expansion of some infinite products, Proc. London Math. Soc. 24, 337-352.
[R30] Rogers, L. J. (1894). Second memoir on the expansion of certain infinite products, Proc. London Math. Soc. 25, 318-343.
[R31] Rogers, L, J. (1895). Third memoir on the expansion of certain infinite products, Proc. London Math. Soc. 26, 15-32.
[R32] Rogers, L. J. (1917). On two theorems of combinatory analysis and some allied identities, Proc. London Math. Soc. (2) 16, 315-336.
[R33] Rogers, L. J. and Ramanujan, S. (1919). Proof of certain identities in combinatory analysis (with a prefatory note by G. H. Hardy), Proc. Camb. Phil. Soc. 19, 211-216.
[R34] Rota, G.-C. and Goldman, J. (1969). The number of subspaces of a vector space, Recent Progress in Combinatorics (W. T. Tutte, ed.), Academic Press, New York, pp. 75-83.
[R35] Rota, G.-C. and Mullin, R. (1970). On the foundations of combinatorial theory, III: Theory of binomial enumeration, Graph Theory and Its Applications (B. Harris, ed.), Academic Press, New York, pp. 167-213.
Saalschiitz, L. (1890). Eine Summationsformel, Zeitschr. Math. Phys. 35, 186-188.
Schur, I. J. (1917). Ein Beitrag zur additiven Zahlentheorie und zur The- orie der Kettenbriiche, Sitz. Preuss. Akad. Wiss. Phys.-Math. KI., pp. 302-321.
Schutzenberger, M.-P. (1953). Une interpretation de certaines solutions de Pequation fonctionnelle: Е^хл-у^Е^Е^, C.R. Acad. Sci. Paris 236, 352-353.
Sears, D. B. (1951). Transformations of basic hypergeometric functions of special type, Proc. London Math. Soc. (2) 52, 467-483.
Sears, D. B. (1951). On the transformation theory of hypergeometric functions and cognate trigonometric series, Proc. London Math. Soc. (2) 53, 138-157.
Sears, D. B. (1951). On the transformation theory of basic hypergeometric functions, Proc. London Math. Soc. (2) 53, 158-180.
Sears, D. B. (1951). Transformations of basic hypergeometric functions of any order, Proc. London Math. Soc. (2) 53, 181-191.
Sears, D. B. (1952). Two identities of Bailey, J. London Math. Soc. 27, 510-511.
Selberg, A. (1944). Bemerkninger om et multiplet integral, Norske Mat. Tidsskr. 26, 71-78.
Shohat, J. and Tamarkin, T. (1950). The Problem of Moments, Mathematical Surveys 1, Amer. Math. Soc., Providence, R. I.
Singh, V. N. (1959). The basic analogues of identities of the Cayley-Orr type, J. London Math. Soc. 34, 15-22.
Slater, L. J. (1951). A new proof of Rogers’ transformations of infinite series, Proc. London Math. Soc. (2) 53, 460-475.
Slater, L. J. (1952). Further identities of the Rogers-Ramanujan type, Proc. London Math. Soc. (2) 54, 147-167.
Slater, L. J. (1952). General transformations of bilateral series, QuarU J. Math. (Oxford) (2) 3, 73-80.
Slater, L. J. (1952). Integrals representing general hypergeometric transformations, Quart. J. Math. (Oxford) (2) 3, 206-216.
Slater, L. J. (1952). An integral of hypergeometric type, Proc. Camb. Phil. Soc. 48, 578-582.
Slater, L. J. (1954). A riote on equivalent product theorems, Math. Gazette 38, 127-128.
Slater, L. J. (1954). Some new results on equivalent products, Proc. Camb. Phil. Soc. 50, 394-403.
Slater, L. J. (1954). The evaluation of the basic confluent hypergeometric functions, Proc. Camb. Phil. Soc. 50 л 404-413.
Slater, L. J. (1955). Some basic hypergeometric transforms, J. London Math. Soc. 30, 351-360.
Slater, L. J. (1963). Wilfrid Norman Bailey (obituary), J. London Math. Soc. 37, 504-512.
Slater, L. J. (1966). Generalized Hypergeometric Functions, Cambridge University Press, Cambridge.
Slater, L. J. and Lakin, A. (1956). Two proofs of the 6^6 summation theorem, Proc. Edin. Math. Soc. 9, 116-121.
Srivastava, H. M. (1984). Certain g-polynomial expansions for functions of several variables. II, IMA J. Appl. Math. 33, 205-209.
Stanton, D. (1977). Some basic hypergeometric polynomials arising from finite classical groups, Thesis, University of Wisconsin, Madison.
Stanton, D. (1980). Product formulas for g-Hahn polynomials, SIAM J. Math. Anal. 11, 100-107.
Stanton, D. (1980). Some g-Krawtchouk polynomials on Chevalley groups, Amer. J. Math. 102, 625-662.
Stanton, D. (1980). Some Erdos-Ko-Rado theorems for Chevalley groups, SIAM J. Alg. Disc. Meth. 1, 160-163.
Stanton, D. (1981). A partially ordered set and g-Krawtchouk polynomials, J. Comb. Thy. A 30, 276-284. ■
Stanton, D. (1981). Three addition theorems for some g-Krawtchouk polynomials, Geometriae Dedicata 10, 403-425.
Stanton, D. (1983). Generalized n-gons and Chebychev polynomials, J. Comb. Thy. A 34, 15-27.
Stanton, D. (1984). Orthogonal polynomials and Chevalley groups, Special Functions: Group Theoretical Aspects and Applications (R. Askey et al., eds.), Reidel, Boston, Mass., pp. 87-128.
Stanton, D. (1986). Harmonics on posets, J. Comb. Thy. A 40,136-149.
Stanton, D. (1986). Sign- variations of the Macdonald identities, SIAM J. Math. Anal. 17, 1454-1460.
Stanton, D. (1986).. ^-designs in classical association schemes, Graphs and Combinatorics 2, 283-286.
Stanton, D. (1988). Recent results for the ^-Lagrange inversion formula, Ramanujan Revisited (G. E. Andrews et al., eds.), Academic Press, New York, pp. 525-536.
Stanton, D. (1989). An elementary approach to the Macdonald identities, q-Series and Partitions (D. Stanton, ed.), IMA Volumes in Mathematics and its Applications 18, Springer, Berlin and New York, pp. 139-149.
Starcher, G. W. (1931). On identities arising from solutions of ^-difference equations and some interpretations in number theory, Amer. J. Math. 53, 801-816.
Stone, M. H. (1932). Linear Transformations in Hilbert Spaces, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. 15, Providence, R.I.
Subbarao, M. V. and Vidyasagar, M. (1970). On Watson’s quintuple product identity, Proc. Amer. Math. Soc. 26, 23-27.
Sudler, C. (1966). Two enumerative proofs of an identity of Jacobi, Proc. Edin. Math. Soc. 15, 67-71.
Суслов C.K. (1982). Матричные элементы бу ста группы Лоренца и ортогональность полиномов Хана на контуре. — ЯФ, т. 36, с. 1063- 1065.
Suslov, S. К. (1987). Classical orthogonal polynomials of a discrete variable continuous orthogonality relation, Letters in Math. Phys. 14, 77-88.
Sylvester, J.J. (1878). Proof of the hitherto undemonstrated fundamental theorem of invariants, Philosophical Magazine V, 178-188; reprinted in Collected Mathematical Papers 3, pp. 117-126; reprinted by Chelsea, New York, 1973.
Sylvester, J. J. (1882). A constructive theory of partitions in three acts, an interact and an exodion, Amer. J. Math. 5, 251-330 (and ibid. 6 (1884), 334-336); воспроизведено в Collected Mathematical Papers 4, PP- 1-83; reprinted by Chelsea, New York, 1974.
Szego, G. (1926). Ein Beitrag zur Theorie der Thetafunktionen, Sitz. Preuss. Akad. Wiss. Phys.-Math. KI, 242-252; воспроизведено в Collected Papers 1, pp. 793-805.
Szego, G. (1968). An outline of the history of orthogonal polynomials, Proc. Conf, on Orthogonal Expansions and their Continuous Analogues (1967) (D. Haimo, ed.), Southern Illinois Univ. Press, Carbondale, 3-11; reprinted in Collected Papers 3, pp. 857-865, also see the comments on pp. 866-869.
Szego, G. (1975). Orthogonal Polynomials, 4th edition, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. 23, Providence, R.L [Имеется перевод: Сеге Г. Ортогональные многочлены. — М.: Физматгиз, 1962.]
Szego, G. (1982). Collected Papers (R. Askey, ed.), Vols. 1-3, Birkhauser, Boston, Mass.
[Tl] Takacs, L. (1973). On an identity of Shih-Chieh Chu, Acta. Sci. Math. (Szeged) 34, 383-391.
[T2] Thomae, J. (1869). Beitrage zur Theorie der durch die Heinesche Reihe ..., J. reine angew. Math. 70, 258-281.
[T3] Thomae, J. (1870). Les series Heineennes superieures, ou les series de la forme ..., Annali di Matematica Рига ed Applicata 4, 105-138.
[T4] Thomae, J. (1879). Ueber die Funktionen, welche durch Reihen von der Form dergestellt werden ... , J. reine angew. Math. 87, 26-73.
[T5] Toeplitz, 0. (1963). The Calculus: A Genetic Approach, University of Chicago Press, Chicago.
[T6] Trjitzinsky, W. J. (1933). Analytic theory of linear ^-difference equations, Acta Math. 61, 1-38.
[VI] Vandermonde, A. T. (1772). Memoire sur des irrationnelles de differens ordres avec une application au cercle, Mem. Acad. Roy. Sci. Paris, 489-498.
[V2] Verma, A. (1966). Certain expansions of the basic hypergeometric functions, Math. Comp. 20, 151-157.
[V3] Verma, A. (1972). Some transformations of series with arbitrary terms, Institute Lombardo (Rend. Sc.) A 106, 342-353.
[V4] Verma, A. (1980). A quadratic transformation of a basic hypergeometric series, SIAM J. Math. Anal. 11, 425-427.
[V5] Виленкин H. Я. (1965). Специальные функции и теория представлений групп. — М.: Наука, 1965.
[Wl] Wallisser, R. (1985). Uber ganze Funktionen, die in einer geometrischen Folge ganze Werte annehmen, Monatsh. fur Math. 100, 329-335.
[W2] Watson, G. N. (1910). The continuations of functions defined by generalized hypergeometric series, Trans. Camb. Phil. Soc. 21, 281-299.
[W3] Watson, G. N. (1922). The product of two hypergeometric functions, Proc. London Math. Soc. (2) 20, 189-195.
[W4] Watson, G. N. (1924). The theorems of Clausen and Cayley on products of hypergeometric functions, Proc. London Math. Soc. (2) 22, 163-170.
[W5] Watson, G. N. (1929). A new proof of the Rogers-Ramanujan identities, J. London Math. Soc. 4, 4-9.
[W6] Watson, G. N. (1929). Theorems stated by Ramanujan. VII: Theorems on continued fractions, J. London Math. Soc. 4, 39-48.
[W7] Watson, G. N. (1931). Ramanujan’s notebooks, J. London Math. Soc.
6, 137-153.
[W8] Watson, G. N. (1936). The final problem: an account of the mock theta functions, J. London Math. Soc. 11, 55-80.
[W9] Watson, G. N. (1937). The mock theta functions (2), Proc. London Math. Soc. (2) 42, 274-304.
[W10] Watson, G. N. (1952). A Treatise on the Theory of Bessel Functions, 2nd edition, Cambridge University Press, Cambridge.
[Wil] Whipple, F. J. W. (1926). On well-poised series, generalized hypergeometric series having parameters in pairs, each pair with the same sum, Proc. London Math. Soc. (2) 24, 247-263.
[W12] Whipple, F. J. W. (1926). Well-poised series and other generalized hypergeometric series, Proc. London Math. Soc. (2) 25, 525-544.
[W13] Whipple, F. J. W. (1927). Algebraic proofs of the theorems of Cayley and Orr concerning the products of certain hypergeometric series, J. London Math. Soc. 2, 85-90.
[W14] Whipple, F. J. W. (1929). On a formula implied in Orr’s theorems concerning the product of hypergeometric series, J. London Math. Soc. 4, 48-50.
[W15] Whittaker, E. T. and Watson, G. N. (1965). A Course of Modern Analysis, 4th edition, Cambridge University Press, Cambridge. [Имеется перевод: Уиттакер Э. T., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа, тт. 1, 2. — М.: Физматгиз, 1963.]
[W16] Wilson, J. А. (1978). Hypergeometric series, recurrence relations and some new orthogonal polynomials, Thesis, Univ, of Wisconsin, Madison.
22—1449
[WIT] Wilson, J. А. (1^80). Some hypergeometric orthogonal polynomials, s SIAM J. Math. Anal. 11, 690-701.
[W18] Wilson, J. A. (1985). Solution to problem 84-7 (A ^-extension of Qauchy’s beta integral, by R. Askey), SIAM Review 27, 252-253.
[W19] Wintner, A. (1929). Spektraltheorie der unendlichen Matrizen, Einfuh- rung in den analytischen Apparat der Quantenmechanik, Hirzel, Leipzig.
[W20] Wright, E. M. (1965). An enumerative proof of an identity of Jacobi, J. London Math. Soc. 40, 55-57.
[W21] Wright, E. M. (1968). An identity and applications, Amer. Math. Monthly 75, 711-714.
[Yl] Yang, K.-W. (1989), q-Algebras, to appear.
[Zl] Zaslavsky, T. (1987). The Mobius function and the characteristic polynomial, Combinatorial Geometries (N. White, ed.), Cambridge University Press, Cambridge, pp. 114-138.
[Z2] Zeilberger, D. (1987). A proof of the G» case of Macdonald’s root system- Dyson conjecture, SIAM J. Math. Anal. 18, 880-883.
[Z3] Zeilberger, D. (1988). A unified approach to Macdonald’s root-system conjectures, SIAM J. Math. Anal. 19, 987-1013.
[Z4] Zeilberger, D. (1989). A Stembridge-Stanton style elementary proof of the Habsieger-Kadell g-Morris identity, Discrete Math., to appear.
[Z5] Zeilberger, D. (1989). Kathy O’Hara’s constructive proof of the unimodality of the Gaussian polynomials, Amer. Math. Monthly, to appear.
[Z6] Zeilberger, D. (1989). A holonomic systems approach to special functions identities, to appear.
[Z7] Zeilberger, D. (1989). Identities, Workshop on q-Series and Partitions (D. Stanton, ed.), IMA Volumes in Mathematics and Its Applications, Springer, Berlin and New York, to appear.
[Z8] Zeilberger, D. and Bressoud, D. M. (1985). A proof of Andrews’ g-Dyson conjecture, Discrete Math. 54, 201-224.
Указатель обозначений
(°)п
21
2/1(0, b;c; z)
20
(о; 9)п
22
rF,
22
(о; «К
234
F*
244
(a1,a2,...,am;g)„
25
A(z;a),A(z;a; q)
176
(°; 9)00/
24
^(®> o2, a2,..., вщ)
176
(oi,o2,...,am;9)oo
25
A(®; 01,02,..., om; q)
176
(°;P,9)r,«
132
M?), An(o,6,c^;q)
204
«п(а,/?|9)
217
M°,M
205
A^
209
An(o,6,c;q)
206
220
M°, 6,c,d|9)
214
217
ЬпШ
210
в^
214
hn(x; q)
236
В^х,^
39
Hn^
22
Bq^.^
39
Bn(x\q)
47
В^х;к)
231
H^x-.q)
235
COS,(x)
44
idem (6; c)
85
С^П
220
idem (ai; 02 > • • • > ®r+i)
142
cA0\q)
211
J(a,6,c,(f)
178
c„(z;a;g)
228
Im
146
c^x-.k)
230
IaVx>)
22
Cn (контур)
147
J(}\x-q),J^\x-q)
46
Cosg(s)1
144
J(a,b\c,d,f,g)
180
C^x)
21
К (контур)
147
C4x;0\q)
47
/^(^.У.г)
250
C.T.
195
/r(z,y,z;^|g)
248
Bq
43
Kn(x;a,N;q)
226
Dq
222
Kn(x;a,Nto
227
e№ !
28
К^Чх-.аЛ-л")
227
Eq^
28
K^x,^
252
E^
222
Kt{x,y,p\q)
252
F^a^b^c; z)
20
K^)
22
237
V(e
223
Lm(a;b,c,d?)
187
г
yj
198, 203
^<(»,у;^|9)
253
i
D^X
)
198
Lt(x,y;a,b,c,a,'f,M,N;q')
257
i
D^X
;a,6
,c,d)
180
Mn(x;a,c;q)
228
г
D^X
;a,5
,c,</|g)
214
PW
266
i
o^q^
217
PAr(«),Pe(n),Pdi«t(n),Po(n)
267
wfc(a,6,c,</|g)
216
Pevent^iPoddt^)
268
ww
219
Pn(®)
198
VF(e<8),
[e^^aybyC^q)
223
Pn^a,^
220
W^lg)
209
Pn(x;a,b;q)48,205
Wn(x;b,q)
238
p„(cos(» + ^);a,6|g)
219
I7n(x; q), VT„(x; a, 6, c, N; q) 76, 204
Pn(^; a, by c, d\q)77, 212
+11
^r
55
P(^
146
3
4
134
P»W
20
HOW
39
Pn(x;a,b,c;q')
P^z)
206
21
*n"
A:
7 q
a
A
q
40,41
P^’^q)
216
n
41
^^(xl»)
216
Л1
। ^m
J q
^(x.y)
255
H,
[a]
231
Рг(х, y; a, 6, с, ft, 7, К, M, N; q)
255
c
4®
)
198
Qn^YQn^a^N^
204
37
Qn(z;a,6,c,d|g)
214
^C^)
37, 46
Г2*(п)
270
От^т
I
57
rn(®)
212
$q
222
гп(г;а,Ь,с,</|д)
248
L
1
97
48
ЯпМ®)), Яп(р(х);6,с^;?)
204
^l(x), ^Х^ #з(я), #4($)
32
sing(x)
44 .
K(a,b.c.d\qA
215
Sn(®)
240
A,
203
S(A,p,y,p)
78
/
Kx.
)
205
s»(®;p,9)
238
^>(«1
,5:c;
q^\
22
Sing(x)
44
c;q
,z)
22
ад
20
7
•ф»
23
20
•1
114
uka4=;q)
235
•Ф.
159
Vn
199
p^q\ p($
•yttybyCyN-yq)
204
•o^XyttybyCydyf^
182
Pn(a,6|g)
219
Предметный указатель
Аль-Салама и Карлитца полиномы (Al-Salam — Carlitz polynomials) 235-236
аналитическое продолжение ряда 2Ф1 137
г*1Фг 141
аналог теоремы обращения Лагранжа (g-Lagrange invertion theorem) 127
аналоги тригонометрических функций:
д-синусы (g-sine functions) 44 g-косинусы (g-cosine functions) 44 аналоги экспоненциальной функции (g-exponential functions) 28, 285
Аски — Вильсона полиномы (Askey — Wilson polynomials) 77, 213 , рекуррентное соотношение 213 , соотношение ортогональности
218, 231-232, 233
, формула Родрига (~ ~ ~, Rodrigues-type formula) 224
, формулы умножения 245
, д-интегральное представление 233
, g-разностное уравнение 224, 225 - - д-бе^а-интеграл (~ ~ g-beta integral) 176, 186
Аски — Гаспера неравенство (Askey — Gasper inequality) 258
, д-аналоги 264
Аски — Роя д-бета-интеграл (Askey — Roy g-beta integral) 150,195-196 , обобщения 151
Аски д-бета-интеграл 194
базисные гипергеометрические ряды (basic hypergeometric series) 19- 23
, инверсия базы 23, 42
- -, - обрывающихся рядов 42
, сходимость 24
, д-разностное уравнение 48
- функции (~ ~ functions) 24
интегралы по контуру (~ contour integrals) 133
Барнса бета-интеграл (Barnes’ beta integral) 134
интеграл по контуру (~ contour integral) 133
первая и вторая леммы 133
, д-аналоги 139
Бейли — Даума формула суммирования (Bailey — Daum summation formula) 33, 285
Бейли лемма (Bailey lemma) 55
равенство (~ identity) 78
трехчленная формула преобразования для совершенно уравновешенного ряда 8^7 69, 296
четырехчленная формула преобразования для сбалансированного совершенно уравновешенного ряда 10^9 72-74, 82-83, 296-297
формула преобразования для ряда 2Ф2 173
обрывающихся рядов 5^4 и тфв 61-62, 293, 294
рядов ю^9 63, 294
, предельные случаи 64-68
- суммирования 71, 145, 288
для рядов з-фз и 5^5 173, 288
совершенно уравновешенного ряда 6^6 162, 289
формулы умножения 244, 262
Бейтмана формула умножения (Bateman’s product formula) 245, 247
бесконечные произведения 24-25, 281-283
Бесселя функция (Bessel function) 22
* д-функции (д-Bessel functions) 46, 124
- -, производящая функция (ГЧ^ Гч/ generating function) 47 бета-функция (beta function) 39 д-бета-функция 39 бета-интеграл (beta integral) 40
бибазисные ряды (bibasic series) 97106•
х - формулы преобразования (~ transformation formulas) 125
- разложения (~ expansion ~) 101106
- суммирования (~ summation ~) 97-101, 289
биномиальная теорема (binomial theorem) 26, 41
д-биномиальная теорема 26, 285 биномиальные коэффициенты (bi
nomial coefficients) 41
д-биномиальные коэффициенты 40, 41, 283
Вандермонда формула (Vandermonde’s formula) 21
д-формула суммирования 30, 285 Ватсона формула преобразования
(Watson’s transformations) 58, 291— 292.
д-формула суммирования 79, 286 весовая функция (weight function) 198
Вильсона д-бета-интеграл (Wilson’s д-beta integral) 154
вполне уравновешенные ряды (well- ■ poised series) 53-54, 160
гамма-функция (gamma-function) 21, .37,38•
д-гамма-функция (д-gamma function) 37, 45, 46, 283
Гаусса гипергеометрический ряд (Gauss’ hyper geometric series) 20 , интегральное представление 40 , представление в виде интеграла по контуру 133
формула суммирования (~ summation formula) 21
, д-аналог Гейне 30, 285
Гегенбауэра (ультрасферические) полиномы (Gegenbauer (ultrapherical) polynomials) 21
формула сложения 277,
, обобщение 277 .
- умножения 250■
Гейне ряд (Heine’s series 2^1) 21
-, представление в виде интеграла по контуру 135•
-,д-интеграла 40
-, д-разностное уравнение 43-44
-, д-соотношения смежности (д-соп- tiguous relations) 42-43
формула суммирования 30
формулы преобразования 29, 290 гипергеометрические функции (hypergeometric functions) 24
Госпера суммы (Gosper’s sums) 98, 111,289
-, обобщения 98-99, 112, 289
Дайсона гипотеза (Dyson’s conjecture) 84 (
-, Эндрюса д-обобщение (Andrew’s д-Dyson conjecture) 84
Дарбу — Кристоффеля формула (Christoffel — Darboux formula) 225
двусторонние базисные гипергеометрические ряды (bilateral basic hypergeometric series) 159
двусторонний бибазисный ряд (bilateral bibasic series) 100
д-интеграл 39
Джайна формула преобразования (Jain’s transformation formula) 78
и Верма формулы преобразования (~ and Verma’s transformation formulas) 81, 95
Джексона формула умножения (Jackson’s product formula) 123 - формулы суммирования (~ summation formulas) 58, 286, 287
Диксона формула суммирования (Dixon formula) 53
-, д-аналоги 59, 76, 286 дуальное свойство ортогональности (dual orthogonality) 199
Дуголла формулы суммирования (Dougall’s summation formulas) 54
, д-аналоги 57-59, 287
Заальшютца формула (Saalschiitz’s formula) 33
-, д-аналог 33, 286
интегралы базисные (basic integrals) 39
д-интегралы 39, 69-72,75, 83, 93, 172, 178-180, 185, 186, 189, 194, 195196, 206-207, 209, 229, 233
д-интегр альное представление для ряда 2Ф1 40
- для совершенно уравновешенного ряда 8ф7 69
Карлссона — Минтона формулы суммирования (Karlsson — Minton summation formulas) 34
, д-обобщения 35, 36, 288
Клаузена формула (Clausen’s formula) 123, 258
-, д-обощения 258, 261, 262, 279, 292
Коши бета-интеграл (Cauchy’s beta integral) 154
коэффициенты связи (connection со- effitiens) 49, 220-222
Кравчука д-полиномы (g-Krawtchouk polynomials) 226, 227
- аффинные (affine g-Krawtchouk polynomials) 227-228
Куммера формула (Kummer’s formula) 33
-, g-аналог 33, ^85
Лагерра полиномы (Laguerre polynomials) 22'
g-полиномы (gzLaguerre polyno
' mials) 237
Лежандра полиномы (Legendre polynomials) 20
Мейкснера д-полиномы (д-Meixner polynomials) 228
моменты (moments) 198
мультибазисные гипергеометрические ряды (multibasic hypergeometric series) 113-115, 123
мультиномиальные коэффициенты (multinomial coefficients) 84
д-мультиномиальная теорема 41
д-мультиномиальные коэффициенты 41,42,84 ’,
неотрицательность ряда зР2 (nonnegativity of зГ^ series) 258, 264
- 4^3 266
- 5Ф4 264
- 6^5 264, 265
- 7фв 265
коэффициентов связи 221
- линеаризации 251-252, 280
ядер Пуассона и других ядер 254, 255-257, 280
непрерывные ультрасферические д- полиномы (continuous g-ultrasphe- rical polynomials) 47, 208
, производящие функции 47, 208, 229,
, рекуррентное соотношение 229
- -, соотношение ортогональности 210
- -, формула линеаризации и ее обращение 251, 278
, - сложения 277
, формулы умножения 248, 251, 277'
, ядро Пуассона 252-254
- -, g-интегральное представление 209
неравенство турановского типа (Turan-type inequality) 236
обобщенный гипергеометрический ряд (generalized hypergeometric series) 22
общая формула преобразования для рядов тфг 164-167
оператор д-разностный (g-difference operator) 48
операторы д-производных (g-deriva- tive operators) 43, 222-223, 234, 279
ортогональные полиномы (orthogonal polynomials) 198
- дискретной переменной (~ ~ of а discrete variable) 160
-, рекуррентное соотношение 198, 225
Пентагональные числа (pentagonal numbers) 268
почти уравновешенные ряды (nearly poised series) 53, 54
первого и второго родов 53, 54 проекционные формулы (projection formulas) 220
Пуассона ядро (Poisson kernel) 252
Пфаффа — Заальшютца формула . суммирования (Pfaff—Saalschiitz summation formula) 33
, q-аналог 33, 286
разбиения (partitions) 226-270
, производящие функции (~, generating functions) 266-267
Рамануджана д-бета-интегралы (Ramanujan’s g-beta integrals) 196 - тождества для интегралов (~ identities) 195'
формула суммирования 68, 160, 288
Рака полиномы (Racah polynomials) 203
д-полиномы (д-Racah ^ 76, 200204.
-, рекуррентное соотношение 200
-, свойство ортогональности 204
-, формулы умножения 245-246, 274-275
-, ядро Пуассона 255-257
Роджерса — Рамануджана тождества (Rogers — Ramanujan identities) 59, 60, 269
Роджерса формула линеаризации (Rogers linearization formula) 251
сбалансированные ряды (balanced series) 5
^-сбалансированные ряды 24 сдвинутый факториал (символ Пох- гаммера) (shifted factorial) 21
(/-факториал ((/-shifted factorial) 22, 281
Селберга интеграл (Selberg’s integral) 196
Сингха формула квадратичного преобразования • (Singh’ quadratic transformation) 118, 292
Сирза — Карлитца формулы преобразования (Sears — Carlitz transformation formulas) 82, 92, 291
Сирза необрывающиеся (/-суммы Заальшютца (Scare’s nonterminating extention of the ^-Saalschiitz sum) 67-68, 287.
преобразования для рядов 3^2 8788,290-2911
вполне уравновешенных рядов 152-153
формула преобразования для ряда 4^з 65, 291
Стилтьеса — Вигерта полиномы (Stieltjes — Wigert polynomials) 240
обобщенные 238 совершенно уравновешенные ряды (very-well-poised series) 54, 160
, представление в виде интеграла по контуру 142-145
соотношения смежности для полиномов 4^3 ((/-contiguous relations for 4^3 polynomials) 226
- : ряда 2^1.42-43 сходимость базисных гипергеометрических рядов (convergence of basic hypergeometric series) 24
гипергеометрических рядов 23, 24 - двусторонних базисных рядов (convergence of bilateral basic hypergeometric series) 159, 160
тета-функции (theta-functions) 32 тождество для произведения пяти сомножителей (quintuple product identity) 170'
Томэ формулы преобразования для 3F2 (Thomae’s 3F2 transformation formulas) 85 трехчленное рекуррентное соотно-
шение (three-term recurrence relation) 198
Уиппла формула преобразования (Whipple’s 4F3 transformation for
. mula) 65'
ультрасферические полиномы (ultra- spherical polynomials) 21
- решеточные первого рода (sieved ~ ~ of the first kind) 230
второго рода 231
Уолла полиномы (Wall polynomials) 238
I
Фавара теорема (Favard’s theorem) 160, 161
Филдса — Уимпа формула разложе- ' ния (Fields — Wimp expantion) 101-102
, g-обобщения 102-104
формулы суммирования и преобразования второго порядка (quadra. tic summation and transformation
formulas) 85-86, 94-97, 106-111, 115-119, 185-186, 293, 294
третьего порядка (cubic ~ ~ ~ ~) 112, 128-130
четвертого порядка (quartic ~ ~ - - ) 112-113, 130
умножения для базисных гипергеометрических рядов 123-125, 258-262, 279, 292
- - рядов 2Г1 123, 244, 245, 258, 262
- - сбалансированных полиномов 4^з 242-245
функция скачков (jump function) 198
Хана дуальные g-полиномы (dual q- Hahn polynomials) 204, 205
g-полиномы (g-Hahn polynomials) 204
- , формулы умножения 246, 274
Холла формула (Hall’s formula) 89
Чебышева полиномы 20
Чжу — Вандермонда формула (Chu ■ — Vandermonde formula) 21
, g-аналоги 30, 285
Шарлье g-полиномы (g-Charlier polynomials) 228
Эйлера интегральное представление (Euler’s integral representation) 40 - тождество (~ identity) 79 - - для разбиений 268 - формулы преобразований (~ transformation formulas) 29, 104
Эндрюса — Аски д-бета-интеграл (Andrews — Askey g-beta integral) 69
Эрдейи формула (Erdelyi’s formula) 196.
Эрмита дискретные g-полиномы (discrete g-Hermite polynomials) 235 - непрерывные g-полиномы (continuous g-Hermite polynomials) 47
, производящая функция 47
, соотношение ортогональности 230
полиномы (Hermite polynomials) 22
Якоби большие g-полиномы (big g-
Jacobi polynomials) 205, 206
, рекуррентное соотношение 227
, формула умножения 273
малые g-полиномы (little ~ polynomials) 48, 205, 206, 273
, рекуррентное соотношение 206, 227
, формула сложения 236
г -, формулы умножения 236-237, 273
непрерывные д-полиномы (continuous ~ polynomials) 216
полиномы (Jacobi polynomials) 21
-, формулы умножения 245, 247
тройное произведение (Jacobi’s triple "product identity) 31, 288
Оглавление
Предисловие переводчиков5
Введение7
Предисловие15
Базисные гипергеометрические ряды19
Введение; 19
Гипергеометрические и базисные гипергеометрические ряды 19
g-биномальная теорема 26
Формулы преобразования Гейне для ряда 2Ф1 29
5-аналог Гейне формулы суммирования Гаусса 30
Тождество Якоби для тройного произведения и тета-функцшг 31
5-аналог формулы суммирования Заальшютца 33
Формула суммирования Бейли — Даума 33
q-аналоги формул суммирования Карлссона — Минтона . .34
5-гамма-функция и 5-бета-функция 37
5-интеграл‘ 39
Упражнения 1 40
Примечания ..50
Формулы суммирования, преобразования и разложения 53
Вполне уравновешенные, почти уравновешенные и совер- ' шенно уравновешенные гипергеометрические и базисные
гипергеометрические ряды 53
Общая формула разложения . ..55
Формула суммирования для обрывающегося совершенно уравновешенного ряда 4Ф3 56
Формула суммирования для обрывающегося совершенно уравновешенного ряда ^ф^ . . 57
Формула преобразования Ватсона для обрывающегося совершенно уравновешенного ряда 3Ф7 58
Сумма Джексона для обрывающегося совершенно уравновешенного сбалансированного ряда 3Ф7 58
Некоторые частные и предельные случаи формул Джексона и Ватсона: тождества Роджерса — Рамануджана 59
Формулы преобразования Бейли для обрывающихся рядов 504 И тфв г 61
Формула преобразования Бейли для обрывающегося ряда щфэ 63
Предельныые случаи формулы преобразования Бейли для ряда Ю09‘ .64
Трехчленная формула преобразования Бейли для совершенно уравновешенного ряда 807 69
Четырехчленная формула преобразования Бейли для сбалансированного ряда Ю09-' 72
Упражнения 2 75
Примечания 2 83
Дальнейшие формулы суммирования, преобразования и разложения85
Введение 85
Двучленные формулы преобразованиядляряда з02 86
Трехчленные формулы преобразования дляряда з02 . . . .89
Формулы преобразования для вполне уравновешенного ряда
302 и совершенно урановешенного ряда 504 с произвольными аргументами . 91
Преобразования рядов с базой q2 в ряды с базойq94
Бибазисные формулы суммирования 97
Бибазисные формулы разложения101
Формулы суммирования и преобразования второй, третьей и четвертой степеней 106
Мультибазисные гипергеометрические ряды113
Преобразование рядов с базой q в ряды с базойq2115
Упражнения 3 120
Примечания 3 131
Базисные интегралы по контуру133
Введение 133
Представление Ватсона для ряда 20i(g,6;c;<?, г) в виде ин
теграла по контуру 135
Аналитическое продолжение ряда 20i(a, 6; с; g,2?) ...... 137
q-аналоги первой и второй лемм Барнса139
Аналитическое продолжение ряда т-цФт-141
Представление волне уравновешенного ряда в виде интегралов по контуру142
Аналог формулы суммирования Бейли в форме интеграла по контуру144
Обобщения на комплексные q внутри единичного круга..145
Другие виды базисных интегралов по контуру 146
Общие формулы для базисных интегралов по контурам..147
Некоторые дополнительные обобщения бета-интеграла . . . 150
Преобразования Сирза для вполне уравновешенных рядов . 152
Упражнения 4 154
Примечания 4157
Двусторонние базисные гипергеометрические ряды '159
Обозначения и определения. . . .159
Сумма Рамануджана для 1 V>i(а; 6;^, г) . . . .. 160
Сумма Бейли для совершенно уравновешенного ряда 6^6 • 162
Общая формула преобразования для ряда тфг164
Общая формула преобразования для совершенно уравновешенного ряда 2 г ^2 г • 165
Формулы преобразования для совершенно уравновешенных
рядов 8^8 И 10^10168
Упражнения 5*.169
Примечания 5 .174
g-Бета-интеграл Аски — Вильсона и некоторые связанные с ним формулы176
Обобщение Аски — Вильсона для бета-интеграла 176
. Доказательствоформулы (6.1.1) 178
Интегральные представления для совершенно уравновешен- ного ряда 8^7179
Интегральные представления для совершенно уравновешен- . ного ряда ю^9182
Формула квадратичного преобразования для совершенно 4
' уравновешенных сбалансированных рядов юФд 185
Интеграл Аски — Вильсона при max(|a|J5|Jc|Jd|) > 1 . . . 186
Упражнения 6191
Примечания 6 196
Приложения к ортогональным полиномам198
Свойство ортогональности 198
Конечный дискретный случай: g-полиномы Рака и некоторые их частные случаи200
Бесконечный дискретный случай: малые и большие g-полиномы Якоби205
Абсолютно непрерывная мера: непрерывные ультрасфери- ческие д-полиномы208
Полиномы Аски — Вильсона 212
Коэффициенты связи 220
■ 7.7. Разностное уравнение и формула Родрига для полиномов Аски — Вильсона222
Упражнения 7225
Примечания 7238
Дальнейшие приложения241
Введение 241
Формула умножения для сбалансированных полиномов 4^3 242
Формулы умножения для 5-полиномов Рака и полиномов Аски — Вильсона245
Интегральная форма формулы умножения для непрерывных ультрасферических 5-полиномов248
Формула линеаризации Роджерса для непрерывных ультра- сферических 5-полиномов251
Ядро Пуассона для Сп(ж; ^q) .. 252
Ядра Пуассона для 5-полиномов Рака255
5-аналоги формулы Клаузена258
«Неотрицательные базисные гипергеометрические ряды . . 263
Приложения к теории разбиений положительных целых чисел 266
Представления натуральных чисел в виде сумм квадратов . 270
Упражнения 8273
Примечания 8280
Дополнение I. Тождества, включающие сдвинутые 5-факториалы, 5-гамма-функции и 5-биномиальные коэффициенты281
Дополнение И. Некоторые формулы суммирования285
Дополнение III. Некоторые формулыпреобразования290
Литература298
Указатель обозначений339
Предметный указатель341
(3.5.6)
Докажем сле^ющх’ю формулу преобразования Джайна и Верма [J44]:
Гa,92ai,-?2ai,6,<-,c9,rf,rfQ,e,c9■2 _а\\’
'° .ai,-ai,aq2/b^q1 Ic^uqlc^uq1 [d,aql<l,aq2/c,aql^ ^ ' bc^d^e2
_ ^q^u^c^axijce^a^-(<iq/bV ,c,d,e ,
" ^aq/c.aq/d.aq^aq/cdevi^ ^ V^,-(aq^ ,«q/b,cdc/a'4'\
• 2r+2tV2r+i (<а^<Иа2,---1а1аГуагЬгу...уаг^^^^1/a1.. .a^ .. .br)
+ idem (ai; a2,..., ат^ = 0,
где г = 1,2,..., и |gr т| < |ai • -*0,^ • • -br\.
Aqzhqm\qWaxz‘1q>mvЛйтгл^т, ^
_ (т/^ад/тАЛ^оо(aa,g/aa,6a;g)oo
• (а3/а,..., ат/а, ад(а3,..., ад/ат; д)^
Ua. ч/f^ aq!L f!^ gif. fg. qP\q^
, , f2»qf»~qfifb,fc,fd,fe,fg . g2 " '
1 + я V JziZL = (gjg)°° Г^(1 + 9")21(-9;9)оо] ■
S (l + tn)4
_ Г (9;-9)co I8
L(-9;9)ooJ
3 относительно yn = q~u + abq^1^ а веса Wj получаются из vn в (7.2.3)
заменой n, а, 6, с, d соответственно на j, с, d, а, 6, т. е.
_ (cdg;g), (1 - cdg2^ (сд, ад, bdg; дХ, ,Wj (q^^Al-cdg^dg^dq/a^cg/^g^ aq ’
где 0 < j < N. Таким образом, полиномы {Pn($j)}£Lo ортогональны относительно весов w^ тогда как полиномы {pj(yn)}j^o ортогональны относительно весов vn (см. упр. 7.4). До сих пор вычисления проводились в предположении bdq = q~N, но те же результаты остаются справедливыми, если предположить лишь, что одна из величин aq, cq или bdq равняется q"N.
Полиномы Pn(xj) были открыты Аски и Вильсоном [А125] как q-аналоги полиномов Рака
-тц п + a + 0 + 1,-jj + 7 + ^ + 1a + 1,7 + 1,р + 6 + 1
В предположении, что 0 < п < т, и с использованием ^-формулы Зааль-
Рп№ 1,1; д) р„(д»; 1,1; д) = (1 - д) £ р„(^; 1,1;») ^(»е, q^q1-, q)q\
ENCYCLOPEDIA OF MATHEMATICS AND ITS APPLICATIONS
EDITED BY G.-C. ROTA
'Volume 35 /
BASIC HYPERGEOMETRIC SERIES
GEORGE GASPER
Northwestern University, Evanston, Illinois, USA
MIZAN RAHMAN
Carleton University, Ottawa, Canada
CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS
Cambridge
New York Port ChesterMelbourne Sydney
Дж. Гаспер, М. Рахман
Базисныегипергеометрическиеряды
Перевод с английскогоН. М. Атакишиева ц С. К. Суслова
Москва «Мир» 1993
ББК 22.161.5 Г22
УДК 517.521
Гаспер Дж., Рахман М.,
Г22 Базисные гипергеометрические ряды: Пер. с англ. — М., Мир, 1993. — 349 с., ил. 7'
ISBN 5-03-002563-4
Обобщенная гипергеометрическая функция представляет собой ряд, у . которого отношение двух соседних членов — рациональная функция номера; для базисного гипергеометрического ряда это отношение — рациональ- ■ ’ная функция от экспоненты номера. По мере того как квантовые группы
. и работа Бакстера становятся все более популярными, растет интерес к за- • мечательным тождествам для базисных рядов. Настоящая монография с предисловием Ричарда Аски вышла в известной серии «Энциклопедия математики и ее приложения» под общей редакцией Дж.-К. Роты и продолжает серию, посвященную специальным функциям. Она написана известными математиками (США, Канада) и представляет собой систематическое изложение теории базисных гипергеометричес^их рядов н ортогональных полиномов и может служить как введением в предмет, так и весьма полным \ справочным пособием..
Для математиков разных специальностей, физиков-теоретиков, аспирантов и студентов университетов. •
ГГ1602070000-055041(01)—931602070000-055041(01)—93КБ—46—5КБ—46—5БВК 22.161.5БВК 22.161.5
Г
Г
1602070000-055041(01)—93
1602070000-055041(01)—93
КБ—46—5
КБ—46—5
БВК 22.161.5
БВК 22.161.5
Федеральная целевая программа книгоиздания России
Редакция литературы по математическим наукам
ISBN 5-03-002563-4(русск.)ISBN 0-521-35049—2(англ.)ISBN 5-03-002563-4(русск.)ISBN 0-521-35049—2(англ.)© Cambridge University Press 1990
ISBN 5-03-002563-4(русск.)
ISBN 0-521-35049—2(англ.)
ISBN 5-03-002563-4(русск.)
ISBN 0-521-35049—2(англ.)
© перевод на русский язык, Атаки шиев Н. М., Суслов С. К., 1993 .
Предисловие переводчиков
V
Новая книга известных математиков Дж. Гаспера и М. Рахмана посвящена классическому направлению в анализе — теории обобщенных гипергеометрических функций и их д-аналогов —. базисных гипергеометрических рядов.. '
Хотя начала теории этого наиболее широкого класса специальных функций от одной переменной'были заложены еще в трудах Эйлера, Якоби, Гаусса и затем разрабатывались рядом известных математиков (исторические сведения можно найти, например, в предисловии Ричарда . Аски), вплоть до последнего времени в литературе фактически отсутствовало систематическое и вместе с тем достаточно далеко продвинутое введение в предмет. Результаты, опубликованные в оригинальных работах прошлого века, стали труднодоступными; соответствующий материал в двух наиболее известных книгах Бейли и Слетер (Bailey W. N. . Generalized Hypergeomettic Series. — Cambridge Univ. Press, 1935; Slater L. J. Generalized Hypergeometric Functions. -*- Cambridge Univ. Press, 1966) довольно ограничен и почти не содержит результатов, полученных с конца 30-х годов (нет даже полного изложения работ самого Бейли); в книге Экстона (Exton Н. g-Hypergeometfic Function and Application. — Chichester: Horwood^ 1983), к сожалению, приняты очень неудобные обозначения; хорошо напцсанные лекции Эндрюса (Andrews G. Е. g-Series: Their Development and Application in Analysis, Number Theory, Combinatorics, Physics and Computer Algebra, CBMS Regional Conference Series in , Math. No. 66, Providence, Rh. I.: AMS, 1986) почти не содержат мате-, риала относительно базисных гипергеометрических функций высокого порядка. Недостаточно полно отражено в литературе и современное развитие теории ортогональных полиномов, тесно связанное с базисными гипергеометрическими рядами, хотя сейчас эти результаты все чаще используются при изучении представлений квантовых алгебр.
Предлагаемая вниманию читателя книга во многом восполняет этот * пробел. Авторам удалось в относительно небольшом объеме собрать воедино тот материал, который к настоящему времени стал классическим и широко используется специалистами. За время, прошедшее с момента выхода английского издания, книга по праву заняла место как хорошего введения в предмет, так и стандартного справочного руководства. Ее
издание на русском языке несомненно полезно для научных работников, студентов и аспирантов, специализирующихся как по математике, так и по физике. . .
В процессе подготовки русского издания мы постоянно чувствовали большое внимание и помощь со стороны авторов и со стороны издательства Cambridge University Press, которые любезно представили в наше распоряжение Т^-файл английского оригинала книги. Это существенно облегчило подготовку настоящего издания. Авторы составили подробный список опечаток, вкравшихся в оригинал, которые были устранены при переводе. Выход в свет русского издания книги стал возможен благодаря финансовой поддержке авторов. Считаем своим долгом выразить им глубокую признательность.
Н. М. Атакишиев
С. К. Суслов