SCHRODINGER OPERATORS

with Applications to Quantum Mechanicsand Global Geometry

Hans L. Cycon

Technische Universitat Berlin, Berlin

Richard G. Froese

Department of MathematicsUniversity of British ColumbiaVancouver, В. C., Canada

Werner Kirsch

Institut far MathematikUniversitat Bochum, FRG

Barry Simon

California Institut of TechnologyPasadena, USA

Springer-VerlagBerlin • Heidelberg • New YorkLondon • Paris • Tokyo1987

Х.Цикон, Р Фрёзе,В. Кир ш,Б. Саймон

Операторы Шрёдингерас приложениямик квантовой механикеи глобальной геометрии

Перевод с английского.А. В. Соболева

под редакциейД. Р. Яфаева

Москва «Мир» 1990

ББК 22.16 + 22.314

0 60 УДК 517 + 514.84

Авторы: Цикон X., Фрёзе Р., Кирш В., Саймон Б.

060 Операторы Шрёдингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии: Пер. с англ. — М.: Мир, 1990. — 408 с., ил..

ISBN 5-03-001422-5

Книга представляет собой переработанный и расширенный вариант лекций, прочитанных известным специалистом Б. Саймоном, знакомым нашему читателю по написанному в соавторстве с М. Ридом четырёхтомнику «Методы современной математической физики» (М.: Мир, 1977—1982). Оиа не зависит от четырёхтомника и даёт обзор современных результатов по теории операторов Шрёдингера и её приложениям. В книге иашли отражение недавние достижения по теории случайных операторов и по применениям спектральной теории.

Для математиков (аиалнтиков, геометров, алгебраистов), для специалистов по теоретической физике, аспирантов и студентов университетов. '

ББК 22.164-22.314ББК 22.164-22.314А 1602080000-315 ,_..

ББК 22.164-22.314

ББК 22.164-22.314

°041(01)-90

Редакция литературы по математическим наукам

ISBN 5-03-001422-5 (русск.)ISBN 3-540-16758-7 (англ.)ISBN 5-03-001422-5 (русск.)ISBN 3-540-16758-7 (англ.)© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1987 All Rights Reserved

ISBN 5-03-001422-5 (русск.)

ISBN 3-540-16758-7 (англ.)

ISBN 5-03-001422-5 (русск.)

ISBN 3-540-16758-7 (англ.)

Authorized translation from English language edition published by SpringerVerlag Berlin Heidelberg New York Tokyo

© перевод иа русский язык, А. В. Соболев; добавления, Д. Р. Яфаев, 1990

От редактора перевода

История написания этой книги рассказана в предисловии Б. Саймона, а её содержание достаточно подробно отражено в оглавлении. На первый взгляд отдельные главы мало связаны между собой, и кратко определить предмет книги довольно трудно, По существу это сборник дополнительных глав по спектральной теории дифференциальных операторов. Различные темы естественно объединяются тем, что все они находятся на грани.— а иногда за гранью—-применимости теории возмущений.■'

Толкование термина «теория возмущений» и границы применимости этой теории зависят, конечно, от рассматриваемой задачи. Как правило, в спектральных вопросах оператор Шрёдингера можно рассматривать как возмущение оператора кинетической энергии, если потенциальная энергия достаточно быстро стремится к нулю на бесконечности. Напротив, для неубывающих (например, периодических) потенциалов картина качественно меняется, и структура спектра очень чувствительна к особенностям в поведении потенциала.

Изучение каждого класса неубывающих потенциалов требует разработки своих специальных методов. Рассмотрению нескольких таких важных классов и посвящена в основном книга. Остановимся на некоторых из них.

В главах 3 и 4 изучаются гамильтонианы системы многих зстиц. Для них суммарный потенциал взаимодействия по некоторым направлениям (в конфигурационном пространстве всей системы) не убывает. Результаты главы 3 относятся к существенному и дискретному спектрам, а в главе 4 излагается удивительный метод Мурра, позволяющий получить содержательную информацию о структуре непрерывного спектра.

В главах 9 и 10 собраны результаты об операторах Шрёдингера со случайными и почти-периодическими потенциалами. Рассмотрение случайных потенциалов позволяет, в частности, описать спектральную структуру оператора Шрёдингера с ограниченным потенциалом «общего положения». Почти-пе- риодические потенциалы — далеко идущее обобщение ■ периоди- потенциалов последовательной теории пока ие существует. Из- ческих. Однако в отличие от последних для почти-периодических ложение по необходимости сводится к разбору конкретных (и содержательных) примеров..■

Что касается убывающих потенциалов, то отметим главу 5,

посвящённую теории рассеяния. В двухчастичном случае эту теорию можно считать ветвью теории возмущений.

Особый интерес представляют главы 11 и 12, где методы спектральной теории применяются для изучения проблем глобальной геометрии.

В общем, практически в каждой главе излагается самостоятельная теория, которая могла бы составить предмет и отдельной монографии.

При освещении хорошо разработанных вопросов авторы отдавали предпочтение последним достижениям. Для отечественного читателя этот момент особенно важен, так как пока эти результаты разбросаны в основном по зарубежной журнальной литературе. (Конечно, при таком принципе отбора материала многим классическим методам, применимым к рассматриваемым в книге задачам, не нашлось в ней места. Так, в главе 5 авторы ограничиваются описанием нестационарного метода Энсса. Стационарный подход, дающий, в частности, формульные представления для основных объектов теории рассеяния, не освещён совсем. По поводу ^-чacтичнoй теории рассеяния имеются лишь краткие замечания.) Стоит отметить, что даже при изложении, казалось бы, стандартного материала (как, например, в главе 1) авторы обращают главное внимание на освещение малоизвестных результатов. Стиль изложения очень характерен для профессора Барри Саймона, хорошо известного у нас в стране по переводу его (совместного с М.. Ридом) четырёхтомного курса «Методы современной математической физики».

При переводе библиография была несколько пополнена ссылками на работы советских авторов, непосредственно связанные с тематикой книги. Добавлены были и ссылки на совсем недавние публикации. Их отношение к основному тексту отражено в подстрочных примечаниях. В небольшом дополнении к главе 3 собран материал, близкий редактору перевода (в тексте он изложен совсем кратко).

В целом предлагаемая вниманию читателя книга весьма удачно дополняет упомянутый курс М. Рида и Б. Саймона. По содержанию она практически не пересекается с другими монографиями по этой проблематике. К несомненным достоинствам книги относятся широта охвата материала и описание самых современных результатов. Она, безусловно, заинтересует как специалистов по математической физике, так и «чистых» математиков.

Русское издание выходит по заказу Ленинградского государственного университета.

Ленинград Д- ^- Яфаев 30 мая 1989 г.

Предисловие

Летом 1982 г. я прочёл курс лекций в старинном замке, расположенном в небольшом городке Турнау близ Байрейта (Западная Германия), по приглашению Байрейтского университета. Эта летняя школа финансировалась фондом Фольксваген и была организована профессором К- Зимадером, которому помогал доктор X. Ляйнфельдер. Я благодарен названным лицам и учреждениям, сделавшим возможной эту школу и тем самым настоящую монографию. .

■ Слушателей было около 40, и мы работали по суровому графику— примерно 45 лекционных часов всего за восемь дней! Моей целью было дать обзор теории операторов Шрёдингера, уделяя особое внимание свежим результатам. При этом знакомства с четырёхтомным курсом Рида — Саймона не предполагалось (как того опасались некоторые слушатели). Вместе с тем хорошая подготовка по функциональному анализу и знание некоторых предварительных сведений об операторах Шрёдингера были полезны для слушателей и будут полезны для тех, кто захочет прочесть эту монографию.

Грубо говоря, главы 1—11 представляют собой запись моих лекций, сделанную тремя «студентами». Хотя общая структура книги следует лекциям, надо сказать, что предлагаемый читателю текст отнюдь не является простой их записью. Даже располагая 45 часами, я был вынужден опускать многие подробно- ности, и довольно часто Цикону, Фрёзе и Киршу приходилось одевать плотью голый скелет, а зачастую они перекраивали мои рассуждения и даже исправляли ошибки! - ■

Кроме того, в книгу были включены некоторые результаты, имеющие отношение к предмету, но полученные уже после того, как мой курс был прочитан, например теорема Либа (теорема 3.17).

В главе 11 излагаются замечательные идеи Виттена, позволяющие свести доказательство неравенств Морса к вычислению квазиклассической асимптотики собственных чисел надлежащим образом выбранных операторов Шрёдингера (на многообразиях). Когда летом 1984 г. я понял суперсимметричное

8 ПРЕДИСЛОВИЕ '

доказательство теоремы Гаусса — Бонне — Черна (по существу принадлежащее Патоди) и, в частности, привлекая соображения» связанные с операторами Шрёдингера, нашёл прозрачный подход к его аналитической части, мне показалось, что его изложение удачно сочеталось бы с главой 11, и я написал двенадцатую главу. Учитывая, что эти две главы могут заинтересовать более широкий круг читателей, не имеющих достаточной аналитической подготовки, я включил в главу 12 кое-какие элементарные сведения (касающиеся главным образом неравенств Соболева), которые без пояснений использовались в предыдущих главах.

Лос-Анджелес осень 1986 г.Лос-Анджелес осень 1986 г.Барри Саймон

Лос-Анджелес осень 1986 г.

Лос-Анджелес осень 1986 г.

Самосопряжённость

Самосопряжённость операторов Шрёдингера:— фундаментальная математическая проблема, возникшая вместе с возникновением квантовой механики. Самосопряжённость эквивалентна однозначной разрешимости нестационарного уравнения Шрёдингера, и она чрезвычайно важна с точки зрения Оснований квантовой механики, поскольку лишь самосопряжённые операторы можно понимать как квантовомеханические наблюдаемые (в смысле фон Неймана [361]). .

Это обширная тема, хорошо, может быть даже слишком хорошо, представленная в литературе (см., например, [293; 107; 196] и указанные там работы). Осталось лишь небольшое число нерешённых задач, самой известной из которых является гипотеза Иоргенса (см. [293, с. 370'; 71; 317]).

Мы не будем вдаваться в исчерпывающие подробности, а вместо того остановимся на отдельных вопросах, которые представляются нам достойными упоминания. Начнём с короткого обзора основных теорем о возмущениях, затем рассмотрим два типичных класса возмущений. После этого обсудим неравенство Като. В заключение, применяя одну идею Като, приведём кое- какие детали доказательства теоремы Ляйнфельдера и Зима- дера о сингулярных магнитных полях.

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ВОЗМУЩЕНИЯХ

Прежде всего дадим некоторые определения (более подробное обсуждение вопроса см. в [293, с. 156]). Пусть Л и В— плотно определённые линейные операторы в гильбертовом пространстве Н; будем обозначать через Р(Л) и Q(Л) области определения оператора Л и отвечающей ему формы соответственно.

Определение 1.1. Пусть оператор Л самосопряжён. Тогда В называется A-ограниченным, если ■ ■

DH)sD(B),

Для работ, переведённых на русский язык (в списке литературы они помечены звёздочкой), страницы указаны по переводу. — Прим. изд. ред.

существуют константы a,b > 0, такие что ■

||Вф||^а||Лф|| + 6||ф|| для ф^О(Л).(1.1)

Точная нижняя грань всех таких а называется A-гранью (или относительной гранью) оператора В.

Имеется аналогичное понятие для квадратичных форм:

Определение 1.2. Пусть оператор А самосопряжён и ограничен снизу. Симметричный оператор В называется А-ограниченным в смысле форм, если.■ ■

QH)sQ(B),

существуют константы а, b > 0, такие что

■■|<ф, Вф)|<а<ф, Лф)+6<ф, ф> для фе9(Л).

Точная нижняя грань всех таких а называется A-гранью оператора В в смысле форм (или относительной гранью В в смысле форм).

Отметим, что в приведённых выше определениях операторы не обязательно должны быть самосопряжёнными или симметричными [196, с. 241, 400]. Здесь мы требуем это лишь потому, что в самосопряжённом случае упрощаются либо формулировки, либо доказательства последующих предложений.

Подпространство пространства Н называется существенной областью (определения) оператора А, если оно плотно в В (Л) по норме графика. Оно называется существенной областью оператора Л в смысле форм, если оно плотно в Q(Л) по норме, задаваемой квадратичной формой, отвечающей А.

■ Имеется простой критерий относительной ограниченности:

Предложение 1.3. (i) Предположим, что оператор Л самосопряжён и D(A)sD(B). Тогда В будет Л-ограниченным в том и только том случае, если оператор В (Л + i)_| ограничен. При этом относительная грань В равна

lim 5 В (Л + iy)~'||.'

Ivl-»”

(вариант с квадратичными формами). Предположим, что оператор А самосопряжён, ограничен снизу и Q(A)^Q(B). Тогда В будет Л-ограниченным в смысле форм в том и только том случае, если оператор (Л + 1)~|/2В(Л + i)~1/2 ограничен. При этом относительная грань оператора В в смысле форм равна

lim ||(Л-Цу)-,/26(Л + 1у)-,/2А..

Iv1-» °°

Утверждение (i) легко проверить, заменяя ф на (Л + цО-'ф в (1.1) и замечая, что ЦВ(Л + 1у)-1НС [а + 6|т|—Ч- Утверждение (п) устанавливается аналогично. '

Отметим, что существует родственное понятие, которое иногда используется ниже: будем говорить, что оператор В А-ком- пактен, если компактен оператор S^ + i)-1. Здесь i можно заменить любой точкой из резольвентного множества.

Теперь сформулируем основную теорему о возмущениях, доказанную Като более 30 лет назад. Она применима к большинству возмущений, представляющих практический интерес.

Теорема 1.4. (Като — Реллих). Предположим, что оператор А самосопряжён, а оператор В симметричен и Л-ограничен с Л-гранью а < 1. Тогда оператор А-\-В (определённый на О (Л)) самосопряжён и любая существенная область А одновременно является существенной областью Л + В.

Дадим набросок доказательства. Заметим, что самосопряжённость А эквивалентна тому, что Ran (Л + ip.) = Н для некоторого р>0 [292, теорема VIII.3]. Поэтому, как и в случае предложения 1.3, из (1.1) вытекает, что

UsMdzipH^a + A.

Таким образом, для достаточно больших р норма оператора С:=В(Л ± ip)-1 меньше единицы, а это означает, что Ran(/-(- С) = Н. Вместе с тождеством

' ' (/ + С)(Л±1»Ф = (Л + В±1р)ф, ФеО(Л),

и самосопряжённостью А это даёт равенство Рап(Л + В± ip) = Н Вторая часть теоремы является простым следствием неравенства (1.1). .

В работах Като [196] и Вюста [371] имеются различные модификации этой теоремы, позволяющие рассмотреть и случай а = 1. Однако на самом деле все возмущения, с которыми обычно работают в теории операторов Шрёдингера, имеют относительную грань 0.

Существует также вариант теоремы 1.4 в терминах форм (Като, Лакс, Лионс, Милгрэм и Нельсон):

Теорема 1.5. (КЛМ.Н). Предположим, что оператор А самосопряжён и ограничен снизу, а оператор В симметричен и Л-ограничен в смысле форм с относительной гранью а < 1. Тогда

сумма квадратичных форм, отвечающих операторам А и В, задаёт замкнутую симметричную форму на ф(Л), ограниченную снизу;

существует единственный самосопряжённый оператор» отвечающий этой форме, который мы называем суммой Л и В в смысле форм;

любая существенная область формы, отвечающей оператору Л, является также существенной областью для формы Л + В.

Доказательство см. в [293, теорема X. 17]. Когда нам понадобится подчеркнуть, что сумма понимается в смысле форм, мы будем писать Л 4- В; в остальных же случаях мы пишем Л + В.

Отметим, что несмотря на параллелизм между операторами и формами, есть и серьезные различия между ними. Существуют симметричные операторы, замкнутые, но не самосопряжённые. С другой стороны, любая замкнутая ограниченная снизу форма однозначно определяет самосопряжённый оператор [196, теорема VI.2.1]. Однако аналог самосопряжённости в существенном в теории форм всё же существует: можно найти множество, которое является существенной областью формы. Оператор, отвечающий произвольной замкнутой квадратичной форме, автоматически будет самосопряжённым, однако при этом ничего не известно заранее о его области определения или об области определения самой формы. Поэтому утверждение о том, что какое-либо удобное множество (например, С”) представляет собой существенную область формы, является содержательным. .

1.2. КЛАССЫ S, и К»

В этой книге практически всюду предметом нашего исследования будет сумма —Д + V. Но иногда мы будем изучать и суммы вида (—IV — а)2 + V как операторы или формы в гильбертовом пространстве L2(RV). Здесь V—вещественнозначная функция, описывающая электростатический потенциал, а а — векторнозначная функция, описывающая магнитный потенциал. Обозначим через Нй самосопряжённую реализацию оператора —Д в L2(RV). В разумных ситуациях V можно понимать как возмущение Но. Физически это мотивировано принципом неопределённости, в силу которого кинетическая энергия оценивает сверху некоторые сингулярности V, если они не слишком сильны. Это явление не имеет аналога в классической механике. Рассмотрение V в качестве возмущения —Д удобно и с практической точки зрения, поскольку для оператора Лапласа можно построить в явном виде разложение по собственным функциям и интегральное ядро. Кроме того, всё известно о его существенных областях и т. п.

Обсудим два класса возмущений: класс Sv, который является (почти максимальным) классом возмущений Hq в смысле операторов, и класс К» — аналог Sv в теории форм. Класс Sv был впервые введен Штуммелем [352] и обсуждался многими авторами (см., например, [308]).■

Определение 1.6. Пусть V—вещественнозначная измеримая функция на Rv. Мы говорим, что V принадлежит классу Sv (и пишем V е Sv) в том и только том случае, если

limfsup (| х —- у |4-v| V (у) |2 сГу ! =0 при v > 4;

; \х-5\<аJ.

limfsup ( 1п|х— у I-11 У (у) f dvyl = 0 при v = 4;

L |x-»|<aJ

sup (| V (у) I2 d^y < oo при v^3.

|x-V|< 1

Для читателя, которого смущает отсутствие симметрии в этом определении, заметим, что при v ^ 3 неравенство

sup ^| V (у) I2 d^y < оо

* |х-у|<1'

эквивалентно условию limfsup ( |х —у |4-v| У (у) l2^! =0.

Определим Sv-норму на Sv соотношением

II у III := sup ( К^х, y.^W^UX

Х |х-у|<1

где К — интегральное ядро в приведённом выше определении Sv. Теперь сформулируем (и докажем) теорему, показывающую, как эти величины возникают в естественной ситуации. Через II - Up, q будем обозначать операторную норму операторов, действующих из Lp(Rv) в Z/?(Rv), а через Н-Нр— норму в Lp(Rv).

Теорема 1.7. Функция У принадлежит Sv тогда и только тогда, когда

(1.2)(1.2)lim htfo + fP'iyfLoo-O. 5-* оо

(1.2)

(1.2)

Доказательство. Как и все функции от Но, оператор (Яо+^)-2 есть оператор свёртки с явно вычисляемым ядром Q(x — у,Е)

[293, теорема IX. 29]. Это ядро обладает следующими свойствами (см. [308, теорема 3.1 гл. 6]):

Q^x-y, Е)>0;

при v > 4;при v = 4, (| х—у |->0);при v^3.при v > 4;при v = 4, (| х—у |->0);при v^3.' ОЦх-у^

при v > 4;

при v = 4, (| х—у |->0);

при v^3.

при v > 4;

при v = 4, (| х—у |->0);

при v^3.

Q(x — у, Е) = \ О(\п\х-уГЧ . С

sup e|x-l,|Q(x — у, Е) —>0 при Е —>оо для любого б > 0.

I х-у [> 8■

Используя элементарную оценку

sup J | V (//) 2dv// < то, Х |х-у|<1

справедливую для любого У е Sv, нетрудно видеть, что VeSv в том и только том случае, если sup \ Q (х — у, Е) IV (у) I2 Гу 0

X J

при Е-^оо. Это даёт нужный результат, поскольку интегральное ядро Q(-~у, £) | У(у) |2 положительно и ЦЛП», = = ||Л1||оо для любого оператора Л с положительным ядром. □

Из этого результата с помощью стандартных соображений двойственности и интерполяции получается такое следствие для пространства I?: ■

Следствие 1.8. Если 7eSv, то

Ittfo + ^^ki^O при £->оо.(1.3)

Доказательство. Пусть V г Sv. Достаточно показать, что

|(Я0 + £)’1|У||2<Ь^о + ^“2|УГЦсо- (!-4)

Соотношение (1.3) следует тогда из теоремы 1.7. Предположим временно, что функция V ограничена, и рассмотрим функцию

F^-iyf^o + ST'iyi2-28, геС.

Эта функция ограничена как оператор из I? в L” и аналитична во внутренности полосы {zeCJReze [0, 1]}. Поэтому, учитывая, что (по двойственности)

8 (Яо + Е)-21 V г Ц со -11 v г (Яо + Ef2 Ц,

с помощью интерполяционной теоремы Стейна [293, теорема IX. 21] получаем оценку

III V I (Яо + £Г21 V lb, 2 <в (Яо + £Г2! V ГЦ со.

Так как...

Il V | (Яо + £Г2| к IU = |(Я0 + £)-*! V ||2,

отсюда следует неравенство (1.4) для ограниченных V. При помощи предельного перехода оно распространяется на все VeS,. □

Замечание. Из следствия 1.8 вытекает, что если VeSv, то (в силу предложения 1.3) V ограничен относительно Яо, с нулевой Яо-гранью. (Для полуограниченного случая, о котором сейчас идёт речь, предложение 1.3 нужно слегка видоизменить.)

Так как принадлежность классу Sv говорит нам что-то об ^“-оценках, a L” «сильнее», чем I?, можно было бы думать, что на основании £2-оценок ничего нельзя сказать о принадлежности классу Sv. Поэтому представляет интерес следующая теорема:'

Теорема 1.9. Предположим, что существуют числа а, b > 0 и 6, О > 6 < 1, такие что для всех 0 < в < 1 и фЕЙ (Яо)

IIИФ |g <81| Я0ф |g + а ехр (6в-б) || Ф |g.

Тогда VeSv

Доказательство. Надо лишь правильно подобрать ф. Фиксируем ye Rv, te R+ и рассмотрим интегральное ядро

Ф (х) := Vexp(—/Я0)(х, у).

Замечая, что ||ф||2 = 1 и

ЦЯоф1Ь = с^-1 с некоторым с>0

(это устанавливается при помощи преобразования масштаба), заключаем, что

[ёхр (— /Яо)| V I2] (у) s^ceT2 + а ехр (бе-6).(1.5)

Теперь возьмём в := (1 + |ln/|)-т, где у := 2/(1 + 6), и умножим (1.5) на fexp(—tE), Е > 0. Тогда правая часть (1.5) будет интегрируемой функцией от t, а её интеграл будет стремиться к нулю при Е-»-оо. Применяя тождество

(Яо + Е)-2 = ^ te~tH^~tE dt, . о

получим (1.2), так что VeSv по теореме 1.7. □

Второй класс потенциалов, которые мы здесь рассматриваем,— это класс Кч- Он является аналогом класса Sv в теории форм. Этот тип потенциалов впервые был введен Като [193]. Некоторые родственные классы описаны у Шехтера [308]. Класс Kv был весьма подробно изучен Айзенманом и Саймоном [7] и Саймоном [334].

Определение 1.10. Пусть V— вещественнозначная измеримая функция на Rv. Мы говорим, что' V принадлежит классу Кч (и пишем V е Kv), если■

limfsup ( I —У |2-v| ^ (у) |dvyl = 0 при v > 2;

limfsup ( 1п|х —уГг| K(y)|dvyl = 0 при v = 2;

а*0 I_г

L |х-»|<аJ ■

sup I У (у) I <Гу < 00 при V = 1._

Х 1х-я<1•■

Далее, определим Kv-норму равенством

Hlkv:=sup ( K^y.^Wka^cfy,

где К—интегральное ядро, фигурирующее в приведённом выше определении класса Kv Теперь практически все построения проходят так же, как и для Sv•-

Теорема 1.11 [7]. Функция V принадлежат классу Kv в том и только том случае, если

" lim ^Яо + Я)""1! K|L, * = 0.. .

S-*oo-

Доказательство повторяет доказательство теоремы 1.7.

Теорема 1.12 [7]. Предположим, что существуют числа а, b > 0 и 6, 0 < 6 < 1, такие что для всех 0<е<1 и ф£ QkH0)

.<ф, I v |ф><8<ф, Яоф> + аехр(де"6)||ф|||.

Тогда VeK»■

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.9 (см. также [7, теорема 4.9]).

Замечания. 1. Оба класса Sv и Kv обладают рядом «хороших» свойств:

Если p^v, то К№гК» и S^^Sv. Эти включения мы понимаем в следующем смысле. Пусть W е Ку (соотв. Sy) и У(х) := W(T(x)) для произвольного сюръективного отображения Т rRv-^R». Тогда VeKs (соотв. Sv). Каноническим примером такой ситуации служит Я-частичная система с v = Ny, где точка xeRv представляет собой набор из N штук ц-мерных векторов: х=<х\, .... х^у и Tx;=xt— Xj для каких-нибудь I,/е {1му, i#= /.

Существуют £р-оценки, с помощью которых можно установить, когда потенциал принадлежит Kv (соотв. Sv). А именно:

ии^unif —— Sv, если^unif —— Sv, еслиAunif — Kvt еслиЗдесь^unlf :^ J V | SUpAunif — Kvt еслиЗдесь^unlf :^ J V | SUpр = 2р > v/2р = 2р = 2р > v/2р = 2при припри припри припри приv < 4,v < 4,v <2.v <2.I V (у) Г dy < соI V (у) Г dy < со

и

и

^unif —— Sv, если

^unif —— Sv, если

Aunif — Kvt если

Здесь

^unlf :^ J V | SUp

Aunif — Kvt если

Здесь

^unlf :^ J V | SUp

р = 2

р > v/2

р = 2

р = 2

р > v/2

р = 2

при при

при при

при при

при при

v < 4,

v < 4,

v <2.

v <2.

I V (у) Г dy < со

I V (у) Г dy < со

Доказательство состоит в прямом применении неравенства Гёль- дера (см. [7, предложение 4.3]).

2. Если V е Кч, то V ограничен относительно Но в смысле форм с Яо-гранью нуль. Аналогично случаю Sv это следует из предложения 1.3 (ii), теоремы 1.11 и её следствия, аналогичного следствию 1.8.

С точки зрения теорем о возмущениях классы К» и Sv не «максимальны*: пропущены «пограничные случаи». Это можно увидеть на следующих примерах:

Примеры, (а) Пусть v^ 3 и , И(х):=|хГ2|1п|х|Г6. .

Тогда VgKv в том и только том случае, если б > 1. Вместе с тем V является Я0-ограниченным в смысле форм с нулевой гранью при любом б > 0.

(Ь) Пусть v ^ 5 и потенциал V такой же, как в (а). Тогда И е Sv в том и только том случае, если б > 1 /2, но V будет Я0-ограниченным с нулевой гранью при любом б > 0.

Утверждение (а) следует из [7, теорема 4.11] и общих результатов теории возмущений (см. [293, X.2]). Утверждение (Ь) проверяется аналогично.

Замечание. Приведённые выше примеры показывают, что Sv не содержится в К». .

1.3. НЕРАВЕНСТВО КАТО И ВСЕ ТАКОЕ

Теперь мы обрисуем круг идей, восходящих к Като [193] и развитых впоследствии Саймоном [322; 327] (см. также статью Хесса, Шрадера и Уленброкка [163]).

Вначале рассмотрим вектор-функцию а (магнитный потенциал) и скалярную функцию V (электрический потенциал), удовлетворяющие условиям

V е 1?№ (R”), У >0.' '

Тогда формальному выражению .

т := (— iV — а)2 + У

отвечает квадратичная форма hmax (называемая максимальной формой), определённая на области

Q (Атах) := {ф е L2 (Rv) I (V - ia) Ф е L2 (Rv)v,

Ki/2VeL2(Rv)}

соотношением

Атах (ф.Ф) := Е <(dj — ia,) ф, (^ — ia,) ф) + (У 1/2ф, VM2^

(д; := д/dxf). Отметим, что форма hmax замкнута и положительна (как сумма у-f-l положительных замкнутых форм), а потому существует отвечающий ей самосопряжённый положительный оператор Н, такой что■

QW = Q(Amax),

(Яф, Ф> = Атах(ф, ф) для ф, феО(Я)

(см. [196]). Отметим, что условия (1.6) являются самыми слабыми условиями, при которых выражение т определяет (замыкаемую положительную) квадратичную форму на С” (Rv). Замыкание этой формы (которая является сужением hmax на С” (Rv)) обозначается Лтщ. Наша первая теорема утверждает, что эти две формы совпадают. Тем самым самосопряжённый оператор, отвечающий формальному выражению т, определён в некотором смысле однозначно.

Теорема 1.13. [329,195]. Множество С” (Rv) является существенной областью формы, отвечающей оператору Н.

Приведём лишь набросок доказательства (см. [329]).

Шаг 1.

e"'H:L2(Rv)-*L“(Rv), /eR+.(1.7)

Достаточно показать, что.

|е"'Яф|<е~'Яо|ф|, Ve£2(Rv),(1.8)

так как (1.7) получается из (1.8), если применить неравенство Юнга и учесть тот факт, что ехр(—tH0)— оператор свёртки с ядром из L2. (Неравенство (1.8) есть полугрупповой вариант неравенства Като, называемый иногда неравенством Като — Саймона или диамагнитным неравенством; см [327].)

Мы знаем, что Н является суммой в смысле форм v + 1 операторов. Поэтому можно использовать обобщённую формулу Троттера (доказанную Като и Масудой [198]) и получить

exp (— tH) = s-Дт [exp ^ D2^ exp ^ D|).

-^(^^("тИГ (L9) где. .

' Dj:=dj — шь /е{1v}.

Положим.

X/ (x) := $ a(xtXj_b y, x/+1, ... , x^dy.'

0-

Тогда [329]

-iDf = eiKi(-idf)e-'vKi. '

(Отметим, что на «языке физиков» это означает, что в размерности единица магнитный вектор-потенциал всегда можно устранить с помощью калибровочного преобразования.) Поэтому

. exP^^—exptiX^exp^d^expt—IX,),.

так что

' |ехр (/D2) ф| ^ехр (^д/) | ф |, фе£2(К').(1-Ю)

Теперь (1.8) следует из (1.10),(1.9) и неравенства

|ехр (—tV/п) |^1.

Шаг 2. Множество L“(Rv)nQ(#)— существенная область формы, отвечающей оператору Н.

Это следует из (1.7) и того, что (в силу спектральной теоремы) Ran[exp(—/Я)] — существенная область указанной формы.

Шаг 3. Множество L%mp (Rv) П Q (Н) — существенная область формы, отвечающей оператору Н (здесь L^mp (Rv) := {ф е L2 (Rv) | ф е L“ (Rv), supp ф компактен)).

Этот результат получается с помощью обычного приёма, основанного на аппроксимаций «срезанными» функциями. А именно, выберем функцию л G С” (Rv) так, чтобы л = 1 вблизи нуля, и для произвольного феЬ“ПР(^) рассмотрим

Ф« (*) := Л (-£-) Ф (*), neN.

Ясно, что фп->Ф (п->оо) в смысле форм. Завершает доказательство

Ш а г 4. Множество С” (Rv) — существенная область формы, отвечающей оператору Н.

Используем стандартный приём сглаживания, т. е. выберем функцию / е С” (Rv) так, чтобы ^/(х)сГх=1, и положим j6:=6-''!4xlsY Тогда ф8:=/8*феС“ для феД£трП<2(Я) и Ф8—>Ф (в—>0) в смысле форм. □

Подчеркнём, что на последних двух шагах было важно, что аппроксимируемые функции лежат в L”.

Следующая теорема — хорошо известный результат [193].

Теорема 1.14. Пусть V ^ 0, V€=Lioc(Rv) иа=0. Тогда оператор Н:—Hq+V в существенном самосопряжён на С” (Rv), т. е. С” (Rv) — существенная область оператора Н, а его замыкание есть сумма указанных операторов в смысле форм.

Доказательство в точности такое же, как и в случае теоремы 1.13 (с заменой существенных областей форм на существенные области операторов и областей определения форм на области определения операторов), с одним дополнительным шагом. Коль скоро L”(Rv)n D (Н) — существенная область оператора Н, применим формулу

(1.П)(1.П)Н (лф) = Л ^Ф + 2VлVф — Ф Ал

(1.П)

(1.П)

для ф е L” (Rv) П D (Н) и л ^ Со° (Rv)- Правая часть (1.11) имеет смысл, поскольку, как мы знаем из теоремы 1.13, фе(2(Я), а значит, Уфе£2(₽'')''. Используя равенство (1.11), можно далее провести рассуждения, аналогичные шагам 3 и 4 из доказательства теоремы 1.13. □

■ 1.4. ТЕОРЕМА ЛЯИНФЕЛЬДЕРА—ЗИМАДЕРА

Наша последняя теорема в этой главе — результат Ляйнфель- дера и Зимадера [229], позволяющий дать вполне определённый ответ на вопрос о самосопряжённости операторов Шрёдингера с сингулярными потенциалами V ^ 0.

Теорема 1.15. (Ляйнфельдер, Зимадер [229]). Пусть 7^0, VeLtoc(Rv), aeLioc(R’)V и V • а е Цос (Rv). Тогда Н (оператор, отвечающий максимальной форме (—iv — a)2+ 7) самосопряжён в существенном на С” (Rv). .

Хотя это и не отмечено явно в [229], ключевой в доказательстве Ляйнфельдера и Зимадера является (см. Като [197]) следующая лемма: .

Лемма 1.16 (формулировка Като). Пусть ф S L^mp (Rv), а aeL*oc(Rv)V. Если 7ф ^ Г2 (RV)V и —Аф + 21a • 7ф е L2 (Rv), то Аф е A2 (Rv) и 7ф е L4 (Rv)\

Доказательство (леммы 1.16) [227]. Из масштабных соображений ясно, что без потери общности можно выбрать носитель зиррф так, чтобы он содержался в единичном шаре Вь Мы опираемся на следующее неравенство, восходящее к Гальярдо [127] и Ниренбергу [264]: . .

II V<p ||2р < rf (р) IIФII» IIДФ ||р (М2)

для любых ре(1, со), фЕ/.с”трИ подходящей константы d(p), зависящей от р. (Поясним, что ||7ф|| := || ] 7ф | II.) Неравенство (1.12) можно установить, интегрируя по частям соотношение

II ^/Ф 1^р = ^ 5 ( Кд/Ф>2 + 81Р~ ‘ ^/ф) di^dx ■

и оценивая вторые производные по формуле !Ю2ф||р ^ ^ d'(p) ||Аф||р (см. [350, с. 73]). Если взять 1 < Ро ^ Pi < 00 и ограничиться значениями ре[р0, pi], то число d:= шахd(p) можно выбрать не зависящим от р. .

Из (1.12). следует, что для е > 0 и р е [ро, pi]

. / II 7ф Ikp ^^ 4 ^8~ ‘ 11 ф Ноо Н"* "4 ^8 Н ^Ф Нр "

Таким образом, для g :=—Аф + 21а-7ф

II 7ф ihp < 4 ^1 “ ф l+4d® || ^ iip+4d® ii2ia • w Up-

Поскольку supp ф содержится в единичном шаре, то, считая, что р ^ pi ^ 2, мы всегда можем оценить ||g||p через ||g||2. Учитывая включение aeL4(Rv)v и применяя неравенство Гёльдера, найдём, что

II Уф Пар < с (е) + у се || 7ф Ik

с некоторыми с, с(е)>0, где \/г=\/р—1/4. Теперь возьмём

/1 , IV1 м

Ясно, что гп ^ 4, rnf 4 и

12^12^

1

2^

1

2^

Выбирая подходящее е > О, получим по индукции, что :| 7ф | е Z/" и || 7ф ||Гп ^ D + || 7ф Ik„/2 при всех гп и некоторой константе D. (Здесь мы воспользовались неравенством гп ^ 2рп и тем, что supp ф содержится в единичном шаре.) Отсюда вытекает, что ||7ф11г„^2О(п gN), а потому ||7ф1к<0°- Тем самым лемма 1.16 доказана. □

Коль скоро этот результат установлен, доказательство теоремы 1.15 становится таким же элементарным, как и в случае предыдущих теорем.

Доказательство теоремы 1.15. Единственная трудность, возникающая, при «подражании» доказательству теоремы 1.13,— это как выполнить шаг 4, поскольку сглаживающая функция /8 не коммутирует с 7 — ia. Все остальные шаги проходятся так же, как в теоремах 1.13 и 1.14, а именно, как и прежде, мы можем доказать, что L^mp A D (Я) является существенной областью оператора Н. Таким образом, для ф е L^mp A D (Н)

Яф = — Аф + 21a - (7ф) + (— 17 • a + а2 + У) ф. (1-13)

Согласно предположениям теоремы 1.15 и леммы 1.16, каждое отдельное слагаемое в (1.13) принадлежит L2(RV) и 7фе //(Rv)v Этого достаточно, чтобы показать, что «сглаженная» последовательность ф8 := /8*ф сходится к ф по операторной норме при 8->0. □ ■

2. ^/-свойства собственных функцийи всё такое

В этой главе мы изучаем свойства собственных функций оператора Н и делаем ряд заключений о его спектре.

Мы начнём с некоторых полугрупповых свойств, которые оказываются полезными при доказательстве самосопряжённости в существенном оператора Но + V, в случае когда отрицательная часть V принадлежит классу Кч (§ 2.1). В §§ 2.2 и 2.3- даны кое-какие оценки собственных функций оператора Н, которые используются в § 2.4 для описания его спектра.

В § 2.5 приводятся некоторые утверждения о положительных решениях, а в § 2.6 — новое доказательство результата Зель- дитча о том, что пропагатор ехр(—ИН) при подходящих предположениях относительно V имеет интегральное ядро в слабом, смысле.

. Мы докажем лишь небольшую часть имеющихся здесь результатов. .Довольно полный их перечень и ссылки на литературу читатель может найти в обзорной статье Саймона. [334] .. См. также статью Айзенмана и Саймона [7] о броуновском движении. ■

ПОЛУГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА

В первой теореме этой главы устанавливается основное «сглаживающее» свойство полугруппы, отвечающей оператору Н = /70 + V, где Но — самосопряжённая реализация оператора —А Мы дадим её полное доказательство. Приводимое далее следствие 2.2 прямо вытекает из L2-*-^-ограниченности указанной полугруппы. Оно является обобщением теоремы 1.14,. а именно утверждает самосопряжённость Н при условии, что V— (отрицательная часть V) принадлежит К». Заключительное предложение 2.3 (которое приводится без доказательства) представляет собой критерий принадлежности V классу Av для случая, когда ■ потенциал V отрицателен. Оно иллюстрирует «естественность» класса Av при обсуждении £р-свойств.

Теорема 2.1 [7]. Если V е Кч и 1 >0, то ехр(—tH)— ограниченный оператор из Lp в L4 для всех 1 ^ р ^ q ^'оо.

Замечание. Включение V ^ Км означает, что V ограничен относительно Но в смысле форм с относительной гранью 0, так что оператор Н := Но + V корректно определён и самосопряжён как сумма форм (см. теорему 1.5).

Доказательство. Мы разобъём доказательство теоремы на шесть шагов.

Шаг 1. Оператор ехр(—tH): L“(RV)->L“(RV) ограничен при малых L'

Покажем, что для V е Кч справедливо равенство

I

t।

(e~sH"|V|ds =0.‘'(2.1)

оL «

С этой целью заметим, что интегральное ядро оператора ехр(—Шо) имеет вид

Р (х, у, 0 := (4n0~v/2 exp ( — ^-£^) •

Далее, прямое интегрирование показывает, что функция t■

Q(x, у, t) :=^P(x, у, s)ds' -■

■о•.

вне области А ведёт себя каквне области А ведёт себя как|х — y|Yexp^—|х — y|Yexp^—{(х, у) eR^I |х — у |<4 VD

вне области А ведёт себя как

вне области А ведёт себя как

|х — y|Yexp^—

|х — y|Yexp^—

(2.2)

с подходящим вещественным у, а внутри неё—как |х — yr(v-2) при v^3, 1п|х,— у Г* при v = 2, спри v = l.

Таким образом, Q ведёт себя как интегральное ядро, фигурирующее в определении 1.10 класса Kv- Стало быть,

Ит<\ оИт<\ ое-^«| У |dsе-^«| У |ds

Ит

<\ о

Ит

<\ о

е-^«| У |ds

е-^«| У |ds

Ит IQ(x, у, t)\V (у)\<Гу

11 х-и |<4 VT

+ Итt\ о+ Итt\ о5 Q(x, У, 01 V (у) \<Гу\Х-Я\>*лН". .

+ Итt\ о

+ Итt\ о

Первый предел в правой части равен нулю, поскольку V е Kv, а второй — в силу (2.2), с учётом того, что V е L^.'

Поэтому мы можем выбрать число to > 0 так, чтобы

1^0

е-$Яо । у | ds о

Теперь временно предположим, что V е'С”. При этом условии: нашу полугруппу можно разложить в ряд Дайсона — Филлипса:

e-tH = Е Т„ i-o где

Г0:=е-<»%

I■.

exp (— S//f0) V expexp (— S//f0) V expJJ dst exp (— sxH0) V exp (— з2Я0) V ... z=i

exp (— S//f0) V exp

exp (— S//f0) V exp

Оценим норму отображения Г,- как оператора из L” в £“. Пусть t ^ t». Обозначим через | Г/| оператор вида Tj, получающийся после замены V на | Vj. Ясно, что

II Tj и» ^Ш Tj 1ПЦ. ..,

$ JJ dst exp (— Sj/fg) | V | exp (— з2Я0) ... 1

0<st<t 1—1

dsz exp (—sz/f0) | У |dsz exp (—sz/f0) | У |

dsz exp (—sz/f0) | У |

dsz exp (—sz/f0) | У |

Заключительное неравенство выполнено потому, что крайний правый сомножитель в его левой части равен 1. Таким образом,

II U оо < Е а/ < оо , 7-0 ' ибо а < 1...■

Пусть теперь V е К». Используя непрерывность по х интеграла \ К (х, у, v) V (у) d'y, где К — ядро из определения 1.10

класса Kv [7, теорема 4.15], легко найти последовательность {K„}nsN S С”, такую что 7п->И (п->оо) по Kv-норме. Рассуждая почти так же, как при обосновании равенства (2.1), получаем, что ||ехр (—sHo^Vn—Ут) IIоо, оо-»-0 при п, т-»-оо.

Далее, обозначая через Г” оператор вида Т,, получающийся при замене V на Vn, можно заключить, что последовательность W«eN' а потому и {ехр(— tHn^nGN, где Нп:=Н0 + У„, является последовательностью Коши в B(L“, L“). Переходя к пределу, получим, что

II e~tH IL, оо < 00

для всех У е Kv

Шаг 2. В силу полугруппового свойства оператор ехр (—tH*) ограничен из L” в L” для всех reR+.

Шаг 3. Покажем, что для feL2 и почти всех хе Rv справедливо неравенство

| [ехр (— tH) f] (х) р < [ехр (— tH^ | f |2] (х)

Х{ехр[-,(Я0 + 2У)]1}(х). (2.3)

Предположим временно, что V еС”. Рассмотрим для феС”, Ф^О, функцию

F (г):=(ехр[-^(Я0 + гУ)]1ГГг, Ф), 0<Rez<2.

Она аналитична по z. При Rez = 0 мы имеем |F(z)|^ <ехр(—^Яо}|/]2,ф>, поскольку мнимая часть г даёт только фазовый множитель (это проверяется с помощью формулы Троттера). При Rez = 2 умножение на |f|2-3 сводится к добавлению фазы, так что

|Г(г)|<(ехр[-НЯ0 + 2У)]1, Ф), Rez = 2.

Таким образом, на основе теоремы Адамара о трёх прямых [293, с. 46] мы заключаем, что при Rez= 1

|F(z)|<(exp(-^ If I, ф)

< [(exp (- tH^ | f I2, Ф>]1/2 {(exp [-t (Яо + 2V)] 1, <p)}1/2.

Более того, поскольку ехр(—tH) сохраняет положительность [293, теорема X. 55], имеем

|e-^f|<e-^|f|

и, следовательно,

| (ехр (— tH1) f, ф) |2 < (ехр (— tH^ | f р, Ф)

Х(ехр[—/ (Яо + 2У)] 1, Ф).(2.4)

ПОЛУГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА

Пусть теперь xeRv и ф(х') :=фе (х — х'), x'eRv, в > О, где Фе(-) :=e~v4i(V8), феС”, ф^О, |^||j = 1- Тогда (2.4) принимает вид

| ехр (— tH) f * Фе |2 (х)■ .

< [ехр (— ^Яо) | f |2 * Фе] (х) {exp [— t (Но + 2V)] 1 * Фе} (х).

Это доказывает (2.3) для V еС” и почти всех х.

Если Уе^. мы снова можем получить (2.4), а потому и (2.3), аппроксимируя V в Kv-норме С”-функциями.

Шаг 4. Оператор ехр(—Ш) ограничен как оператор из L2 в L”. Поскольку 2V е Км, то, как показано на втором шаге, ||ехр(—t (Но + 2V)) llloo^ с. Поскольку ехр(—Ш»)— оператор свёртки с гладкой убывающей функцией, он ограничен как оператор из L1 в L”. Таким образом, в силу (2.3),.■

Ile-"7t<dlfl4 = cllfl£

Шаг 5. Оператор ехр (—Ш) ограничен как оператор из L1 ц L2 в силу шага 4 и соображений двойственности.

Шаг 6. Оператор ехр(—Ш) ограничен как оператор из LP в L4 для 1 р q оо.

Согласно шагам 4, 5 и полугрупповому свойству, оператор ехр(—tH) ограничен как оператор из L1 в L”. Далее, так как ехр(—tH^eL2 для ф из подходящего плотного в L1 множества (скажем. С”), мы заключаем на основании шага 2 и соображений двойственности, что ехр(—tH^tpeD и оператор ехр (—Ш) ограничен как оператор из L1 в ZA Тем самым установлена ограниченность ехр (—Ш) при

' (оо, оо)' (оо, оо)(р, 9)=^ (1,1)- (1, °°)(р, 9)=^ (1,1)- (1, °°)(в силу шага 2), (по двойственности), (как только что было доказано).

' (оо, оо)

' (оо, оо)

(р, 9)=^ (1,1)

- (1, °°)

(р, 9)=^ (1,1)

- (1, °°)

В силу интерполяционной теоремы Рисса — Торина [293, теорема IX. 17], ехр(—Ш) ограничен как оператор из D> в L4 для всех (р-1, р-1) из выпуклого множества {(р-1, р-1)е R2|0 р-1 ^ р-1 ^ 1}. Это доказывает теорему. □

Приведённое доказательство сродни рассуждениям из [334], где Саймон использовал технику, связанную с броуновским движением. Фактически наше доказательство — это перевод на аналитический язык доказательства из [334]. Смысл неравенства (2.3) становится более прозрачным в терминах броуновского движения, поскольку (2.3) — не что иное, как неравенство

Шварца в пространстве траекторий. Интерполяционные соображения заимствованы из статьи Гуэрры, Розена, Саймона [145].

С использованием изложенных выше идей теорему 2.1 впервые доказали независимо друг от друга Кармона [58] и Саймон [331]. Чуть раньше она была доказана Коваленко и Семёновым [219] с применением полугрупповых аналитических методов. Хербстом и Слоуном [161] были получены несколько иные результаты, мотивировавшие в какой-то степени данную работу.■

Из теоремы 2.1 непосредственно вытекает

Следствие 2.2. Если V е Z.foc (Rv) и У := max (0, — У) е Kv, то оператор HQ-\-V самосопряжён в существенном на C”(RV).

Это утверждение — обобщение теоремы 1.14. Оно доказывается так же, как эта теорема, за тем исключением, что шаг 1 заменяется на теорему 2.1 с р —2 и q = оо, т. е. вместо шага 1 используется тот факт, что оператор ехр (—tH) ограничен как оператор из L2 в L”.'

Следует ещё отметить, что условие V е Км почти необходимо для ограниченности полугруппы в L°°. Об этом свидетельствует следующее предложение, которое мы приводим без доказательства (см. [334, теорема А2.1 ]):

Предложение 2.3. Пусть V 0. Тогда V е Км в том и только том случае, если оператор ехр(—Ш) ограничен как оператор из L” в L” и lim ||ехр(— tH) L м= 1. t \ о ■■.

Это предложение показывает, что Км— «естественный» класс при изучении /Асвойств.

Замечание. Если проследить за поведением (Lp-+-L4) -нормы оператора ехр(—tH) в зависимости от t и выяснить, при каких (р, q) эта норма интегрируема по t, то можно получить информацию о резольвенте оператора Н (или её степенях), рассматриваемой как оператор из Lp в L4. Это приводит к аналогам соболевских оценок, в которых Но заменено на Н (см. [334], § В2).

ОЦЕНКИ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

В этом параграфе мы сформулируем без доказательства два фундаментальных результата о собственных функциях и приведём некоторые интересные приложения. Обозначим V-: = max (0, —V) и

№>с := {У|Уф е Км Для всех ф еС” (Rv)}.'

Отметим, что ^Ос G Z.L (Rv).'

. Первый из указанных двух результатов — это следующая

Теорема 2.4 (оценка субрешения) [7; 334; 131]. Пусть V eKto« и пусть Ни = 0 в некотором открытом множестве £2 ^ Rv в смысле теории распределений, т. е. Aug L}oc, Vu е L^ и

— (Аф, и) + (Уф, и) = 0 для всех ф е С”.■ ■

Тогда■'

и является (т. е. почти всюду совпадает с) непрерывной функцией в £2;

(п) для х е Q и любого г > О, удовлетворяющего условию В := ^у || х — у | ^г) с Q, имеем

|и(х)К<?$\и^\<Гу,'(2.5)

|х-»|<г'

где с зависит от г и ^-нормы У-Хв (здесь хв-характеристиче- ская функция множества В). В частности, если V-eKv и £2 = Rv, то постоянную с можно выбрать независимой от х.

Эта оценка весьма полезна, например, в том случае, когда и — собственная функция (т. е. u е L2). Тогда (2.5) означает, что и поточечно стремится к нулю на оо. А если имеется экспоненциальное убывание в каком-либо усреднённом смысле, то отсюда получается поточечное экспоненциальное убывание.

Отметим, что У можно всегда заменить на У— Е, так что сказанное выше остаётся в силе и для решений уравнения Ни = Еи (константы, однако, будут зависеть от Е). Неравенство (2.5) называется оценкой субрешения, поскольку в случае и ^ О для справедливости (2.5) требуется лишь выполнение в смысле теории распределений неравенства Ни ^ 0 (т. е. и может быть лишь субрешением). Это показано в [7, теорема 6.1]. Укажем ещё, что неравенство (2.5) при У = 0 обобщает хорошо известные оценки для (суб) гармонических функций.

Другой результат — это

Теорема 2.5 (неравенство Харнака) [7; 334, 131]. Пусть £2sRv— открытое множество, Ни = Еи (в смысле теории распределений), и^О и и^О на £2. Тогда для любого компактного множества К^й справедлива оценкаj

^^^^Г^^0 ПРИ х»У^^'.(2-6)

где с зависит только от К, £2 и локальной Kv-нормы У.

Доказательство этой теоремы (в [7]) по существу состоит в оценивании ядра Пуассона оператора Н с помощью его

представления в вероятностных терминах. Броссар [55] и Зао [381], применяя методы теории вероятности, изучили свойства этого ядра более детально. Они установили, что оно имеет на границе те же сингулярности, что и гармонические функции.

Надо подчеркнуть, что Км— почти оптимальный класс, для которого справедливы оценки, приведённые выше. Известна теорема, утверждающая, что при условии V 0 из «строгого» неравенства Харнака вытекает включение V еКТос [7, теорема 1.1]. Это иллюстрирует следующий

Пример. Пусть v = 3. Рассмотрим потенциалы, ведущие себя в нуле как"

У(х) = |хГ2(1п|х|)-1, |х|<1/2, xeR3.

Из примера после теоремы 1.12 мы знаем, что это как раз пограничный случай, когда V ^ Kv. Далее, прямое вычисление показывает, что решение уравнения Ни = 0 ведёт себя в точке О как'■

и (х) = — 1п | х |, | х | < 1.■

Таким образом, из-за логарифмической особенности и в точке О неравенство Харнака и оценки субрешения нарушаются.

Этот пример показывает также, что Км— «в точности» тот класс, где собственные решения (локально) ограничены.

Отметим, однако, что для незнакоопределённых потенциалов (строгое) неравенство Харнака не служит достаточный" условием принадлежности V классу Км. Известны примеры сильно осциллирующих потенциалов, не лежащих в Км, для которых тем не менее ехр(—Ш)— ограниченная в L* полугруппа. Так что весьма вероятно, что неравенство Харнака справедливо и в таких случаях (см. [7, пример 3, приложение 1]).

Следует упомянуть ещё результат Брезиса и Като [54], показывающий, что если V ограничен относительно Но в смысле форм с нулевой гранью, то собственные функции принадлежат любому LP, р <. оо (но не обязательно ограничены).

23. ЛОКАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ГРАДИЕНТОВ

В этом параграфе мы приведём некоторые простые оценки градиента Х7и в классе Ц^ для собственных функций и покажем, что они зависят только от локальных норм V. Эти оценки будут использованы в следующем параграфе, где мы опишем спектр Н.

Начнём со следующей ключевой леммы:

Лемма 2.6. Если и е LfoC и Дие Z.}Oc, то Vu е Lioc и для ф еСо

J Ф | Vw I2 Гх = у j Дф | и |2 Гх — j фи МиГх.^Л^

В частности, если и — решение уравнения Ни = О, то для феС", ф>0,.

■ ^ivnftfx^y 5Дф|и|2Л+ $У_ф juf^x. (2.8)

Доказательство. Для гладких функций равенство (2.7) получается двукратным интегрированием по частям. В общем случае надо приблизить и гладкими функциями и перейти в (2.7) к пределу. Неравенство (2.8) следует из (2.7). □

Вместе с оценкой субрешения это ведёт к /Лоценке градиента.

Теорема 2.7. Предположим, что V+ :=max{0, V} е ^ос, V_ =KS и Ни = 0. Тогда Vue £foc и для любого компактного множества К из открытого ограниченного множества Q с Rv

j | VufTx^c Г J I и |dvxl , (2.9) к Lq J

где константа с зависит только от локальной нормы V, Q и К.

Доказательство. Так как V еКТос, то, в силу теоремы 2.4, и г Ltoc. Вместе с включением V е£*ос это означает, что Aue/lo Таким образом, если выбрать феС" так, чтобы Ф (х) = 1 для х е К и supp ф := W' = Q, то (2.8) даёт оценку

(| Vu р Гх ^ Су sup |u(x)p ■(2.10)

Jхе w'

с подходящей постоянной Су, зависящей от Q и £}ос-нормы V_. Теперь, выбирая открытое множество W так, чтобы W" г ^"sQ, мы заключаем на основании (2.5), что

sup | и (х) | ^ с2 j | и (х) | Гх

для подходящей Сг, зависящей от Q и локальных ^-норм V— Вместе с (2.10) это даёт (2.9). □

Приводимая далее /Аоценка для «гиперкубических слоёв» понадобится в следующем параграфе.

Следствие 2.8. Пусть У+еКйс, V-eKs и Сг — гиперкуб:

Cr := {х е Rv | max I х, | ^ г), г eN.

Тогда для любого решения и уравнения Ни = 0 и любого reN

X^ut^x^c $ lufd'x,(2.11)

сг+1\сг ■сг+г\сг-1

где с не зависит от г (зависит только от локальных норм V-). Доказательство. Пусть К— какой-либо единичный куб, а К' — куб со стороной длины 3 с центром в центре куба К. Тогда, в силу (2.9) и неравенства Шварца,

( I Vu f <Гх с М | и | dvxl2 с ( | u f (Гх

КJ К'

для подходящих констант с, с. Разбивая теперь Cr+i\Cr на единичные кубы и суммируя по ним полученные оценки, придём к (2.11). □

СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ И СПЕКТР (ТЕОРЕМА ШНОЛЯ)

Спектр оператора Шрёдингера (обозначаемый через а(Н)) с Ду-потенциалами обладает интересными свойствами. Он состоит в существенном (с точностью до замыкания) из «собственных значений», которым отвечают полиномиально-ограниченные собственные функций. Этот факт; найдёт применение в~ гл. 9, где обсуждается спектр случайных матриц Якоби.

Наш первый результат — это теорема Шноля [307] (1957 г.), который предполагал V ограниченным снизу. Этот результат был переоткрыт Саймоном [332], доказавшим его совсем другим способом и при более широких предположениях относительно V. Приводимое ниже доказательство по существу представляет собой доказательство Шноля, распространённое на У_е Кч с помощью неравенства Харнака!.

Теорема 2.9 (Шноль, Саймон). Пусть V+eKioc, V-gKs и Ни = Ей, где функция и полиномиально ограничена. Тогда Еео(Я

Доказательство. Отметим, что утверждение теоремы достаточно доказать лишь для Е = 0, поскольку Е всегда можно включить в V.

Если ие!?, то, очевидно, что Оеа(Я), ибо и — собственная функция. Поэтому будем считать, что и ^ L2. Пусть С„

г= 1,2, .... — гиперкубы, определённые в следствии 2.8. Выберем функции т)г е СТ (Rv) с носителями supp т)г s Сг+1 так, чтобы т]г(х)=1 для хеС, и ||Ат)г11оо ^ D, ||VT)rlloo < D с подходящей константой D > 0, не зависящей от г. Пусть

wr := т)г“/11 Чги lb-

Мы покажем, что

[ Я twr„ || —> О(г„->оо)

для подходящей подпоследовательности {гл} s N. Это будет означать, что Оеа(Я), поскольку ивг— последовательность Вейля (см. [292, теорема VII. 12]).

Так как Ни = 0 и

А (т)^) = (Ат^) и + 2Vti,V« + т)г Au, получаем

Н (ivu) = — Ат)^ — 2VtvVu.

Ввиду равномерной ограниченности ||Ат)г||оо и IlVijrlloo имеем, в силу следствия 2.8,

H^IP^c' j (lu^ + lVuH^x

Cr+1 \ Cr

<с" J \ufdvx.(2.12)

сгч-г\сг-1

Пусть M(r) := ^ | u f2 dvx. Тогда (2.12) даёт оценку с,

t, |j2/„ Af (г + 2) — A4 (г — 1) A4 (r + 2) — Af (r — 1)

11 Hw' lp C cIMF•

Теперь предположим, что не существует такой последовательности {г„}, что

М (гл + 2) - Af (гл - 1)п ,,

Af (гл - 1)V п ’•

Тогда можно найти такие R е N и а > 0, что

A4(r + 2)-Af (г-1)_ п

^а>0 при r^R.

Отсюда следуют неравенства

M(r + 2)>(l+a)M(r-l),

Af(r + 3)>(l+a)M(r)

для r^R. По индукции получим, ЧТО ■

Л1(/? + 3£)>(1+a)6Af(£)

для любого ^eN. Но это значит, что М^ растёт экспоненциально, а это противоречит условию полиномиальной ограниченности. □ .

Замечание. Из доказательства теоремы прямо следует, что если Ни = Еи и функция и ^ L2 полиномиально ограничена, то £ е <Гез1(Я). .

Можно доказать и своего рода обращение теоремы 2.9. Для этого надо использовать меры, принимающие значения в классе ядерных операторов, и разложения по собственным функциям. Это обратное утверждение приведено в обзорной статье Саймона [334, теорема С5.4] и в работе [219] (см. также [46]). Мы сформулируем его без доказательства.

Будем говорить, что утверждение А (£) справедливо почти всюду (п. в.) по спектральной мере оператора Я, если£д(Я)=0, где А := {£ е R |Л (£) несправедливо), а Е^(Н)— спектральный проектор Н, отвечающий множеству А. Справедлива .

Теорема 2.10 [334]. Если V е Км, то п. в. по спектральной мере Н существует полиномиально ограниченное решение уравнения Ни = Ей. ■

Подчеркнём, что отсюда вовсе не следует, будто для любого Еео(Н^ уравнение Ни = Еи имеет полиномиально ограниченное решение! Комбинируя теоремы 2.9 и 2.10, получим ~

Следствие 2.11. Если VeKs, то а^Н) совпадает с замыканием множества всех тех Е, для которых уравнение Ни = Ей обладает полиномиально ограниченным решением.

Доказательство. Если AsR — множество, где Ни = Еи имеет полиномиально ограниченные решения, то, в силу теоремы 2.9, Дса(Я). Предположим, что А не плотно в а(Я). Тогда множество а(Я)\А содержит открытое множество 5еа(Я), такое что £5(Я)>0. Но это противоречит теореме 2.10. □

ТЕОРЕМА АЛЛЕГРЕТТО - ПИПЕНБРИНКА

Здесь мы обсудим одну теорему, впервые доказанную Аллегретто [9—11], Пипенбринком [283; 284], Моссом и Пипенбрин- ком [254]. Она утверждает, что «собственным значениям», расположенным ниже спектра, отвечают положительные собствен-

ные функции. Мы докажем это при весьма слабых предположениях.

Теорема 2.12. Пусть У-£^ и V+ е Л7ос- Для того чтобы уравнение Ни = Ей имело нетривиальное всюду неотрицательное решение в смысле теории распределений, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство inf о (Н) ^ Е.

Доказательство. Пусть inf а (Я) ^ Е и (f„}„ s N — последователь-. ность неотрицательных С”-функций, таких что

supp fn с {х е Rv | п < | х | $С 2п).

Положим Un := Сп^Н — Е + п-1)-1^, где константы сп выбраны так, чтобы и„(0)=1. Функция ип почти всюду неотрицательна, так как резольвента (Я— 5 + п-1)-1 сохраняет положительность [295, с. 226]. Ясно, что ип удовлетворяет соотношению Нип = (Е — п-1)^ в области |х|<п. Стало быть, в силу неравенства Харнака (2.6), ип(х)>0. Кроме того, из неравенства Харнака следует, что ■

с^1 <ип(х)^с* при |х|<£

для некоторой константы cR. Поэтому некоторая подпоследовательность ип имеет предел в слабом £ьс-смысле, 1т. е. (ип, ф) -► (и, ф> при п-*оо для всех функций фг£* с компактным носителем. Легко видеть, что и — решение уравнения Ни = Еи в смысле теории распределений и

- с^*^и(х)<с^, .■

так что функция и неотрицательна и не равна тождественно нулю. '

Обратно, предположим, что уравнение Ни = Еи имеет неотрицательное решение. Ввиду неравенства Харнака оно строго положительно, а в силу теоремы 2.7

g :=.и-^и е £2ос.

Мы докажем, что

(2.13)(2.13)(Ф, (Я — £) ф) = ||7ф —5ф1^

(2.13)

(2.13)

для ф е С”, откуда и получим оценку Н — Е ^ 0.

Вначале установим (2.13), предполагая, что u е С”. Прямые вычисления дают (все сомножители в следующем выражении понимаются как операторы)

и-^и^и-1 = [Д — и-1 (Ди)] = — (Я — £),

а потому

(ф, (Я — £)ф> = ||муц-1ф||2 = ||Уф —(ti-1Vti)vll2.

Этим доказано (2.13).

В общем случае мы знаем, что функция и непрерывна и локально отделена от нуля (теоремы 2.4 и 2.5). Пусть и^еО — свёртка и с аппроксимативной единицей /в. Положим Иб := :=Цд ^Ди^ + Е и g&:=u^ub. Тогда (Яо+ К6) и, = £мв и, как и в гладком случае,

(Ф, (Яо + V8 - £) Ф) = II УФ - g<№ II2.

Но поскольку иь-»-и локально равномерно (и непрерывна!) и Vue-*Vu в £2ОС, имеем g&^g в Цос и V6^- V в ^при 6-*0. Тем самым неравенство (2.13) доказано и в общем случае. □

Агмон [4] провёл глубокий и полный анализ всех положительных решений уравнения Ни = Еи с периодическим потенциалом V.■'

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ЯДРА ДЛЯ ехр(—Ш) '

То обстоятельство, что некоторые операторы имеют интегральные ядра, очень удобно. Есть весьма общая теорема, обеспечивающая существование интегрального ядра, — теорема Данфорда и Петтиса (см. Treves [358]).••

Теорема 2.13. Пусть (М; р)—некоторое сепарабельное пространство с мерой, а' 2*-какое-либо сепарабельное банахово пространство. Пусть А —ограниченный оператор из 2? в £°°(Af, dp). Тогда существует единственная (с точностью до множеств р-меры нуль) слабо измеримая функция К из М в 2’*, такая что для любого f е 2” и почти всех хеМ"

АЦх) = <К(х\ h.

Кроме того, || К L = II АII-

В частности, выбирая 2 = LP (Af, dp), 1 < р < оо, так что 2* = ЕЦМ, dp), р-1 + р-1 = 1, и замечая, что справедливо тривиальное обращение теоремы 2.13, получаем

Следствие 2.14. Если оператор А ограничен как оператор из L? в L”, то существует измеримая на множестве МХМ функция К, удовлетворяющая условию'

sup H|K(x, у)|^М1/’ = ||А||р>оо<оО,(2.14)

такая что для любого f^Lp

<AfHx)=^K<x, уН^<Гу.(2.15)

Обратно, если оператор A :Lp-*-L°a имеет интегральное ядро К в смысле (2.15), удовлетворяющее условию (2.14), то А —ограниченное отображение из D> в L”.

Известны результаты, устанавливающие, что полугруппа ехр(—Ш) имеет равномерно ограниченное ядро, непрерывное по совокупности переменных [334, теорема В7.1]. Однако для оператора ехр (—ИН) результаты гораздо слабее. Рассмотрение «свободного» случая (У = 0) показывает, что мы не можем рассчитывать на существование интегрального оператора в смысле (2.14) и (2.15) при р = 2, поскольку ядро такого оператора не убывает. Поэтому придётся ввести понятие интегрального ядра в более слабом смысле.■

Будем говорить, что оператор А имеет слабое интегральное ядро К\х,у), если К е/Joe (Rv X Rv) и для всех /.“-функций с компактными носителями f, g..

</. ^S> = $ f to К (х, у) g (у) (fx^y. RVXRV

Справедлива

Теорема 2.15. Пусть V—функция класса С”, удовлетворяющая условию■

■(ЛаК)(х)<Са(1-Нх^■-

(с подходящими Са > 0) для всех мультииндексов а, где &(а) = ко—|а| с ко < 1 либо &(а) = 0. Тогда оператор ехр(—НН) имеет при всех /#=0 слабое интегральное ядро Р(х, у, t), принадлежащее классу С* на RVX RvX(R\{0}).

' Этот результат был доказан в серии работ Фудзивары [120; 121]; см. также Fujiwara [122], Kitada [209], Kitada — Kuma- nogo [211]. Другое доказательство дано в статье Zelditch [380]. Несомненно, ограничения на V в теореме 2.15 слишком сильны. Зельдитч [380] ослабил эти условия и установил среди прочего следующую теорему:.

Теорема 2.16. Пусть V (х) = 2 Va(Jax), где xeRv, Va — функа—1

ция на Ки“ с Ка (к) <= L1 (КИа), Та — линейное отображение Rv на R“a. Тогда ехр(— НН) имеет слабое интегральное ядро. '

Мы приведём доказательство, отличающееся от доказательства Зельдитча. Оно принадлежит Цикону, Ляйнфельдеру и Саймону [73] (см. также [266]).

Доказательство. Для простоты временно предположим, что m = 1 и V = Va. Справедливо соотношение

&-ии _ е-инеин^-ин,-

Известно, что ехр(—itHo)—ограниченный оператор из I? в L”. Поэтому, в силу следствия 2.14, достаточно показать, что оператор .

U (0 := е-ияе»и>

ограничен как оператор из L°° в £°°. Вначале предположим, что V <= С”. Тогда

t.'

[/(^) = 1+ ^U^V^ds,

где V(s) :=ехр(15Яо) Vexp(—isH0). Отметим, что V(s) имеет интегральное ядро

V (х, у; s) :=—- exp (— ) V (—).

v 9 ’ (2h)vsv 2is 7 k 2s 7

Разложим U^ в ряд Дайсона — Филлипса:

t/(O=Z QntV

где Qn(O — интегральные операторы с ядрами Qn(x, у, t), определяемыми -равенствами Qo(x, у, f) := 1 и

n—1п

Qn (х. У, t)‘= J П ^ S П dXlV ^-ь Х1 * 5^- 0<J,<«,<...<< /-1RV/-1

Оценим нормы операторов QB:

П-1$п I'

II Qn IL, оо <$ П ds/ S П dxi (2”s^"v

0<s,<...</ /-1 Rv /-1

< сп ЦIIV If.- я!< сп ЦIIV If.- я!

< сп ЦIIV If.- я!

< сп ЦIIV If.- я!

Отсюда следует, что

В и (О IL, „ < f II Q„ IL, оо < exp (ct || V, ||)n-l

при V еС”. Результат для негладких V получается с помощью предельного перехода.

Чтобы рассмотреть общий случай (включающий ^частичные системы), мы всегда можем модифицировать V» так, чтобы оператор Та был ортогональным проектором на некоторое подпространство Ха пространства Rv. Пусть Уа = Х^ и 6у есть (v — ца)-мерная 6-функция по переменным из Уа. Если IFa= Va" Т», ТО

а потому мера ^а имеет конечную полную вариацию. Но, как легко видеть/ доказательство, приведённое выше, можно распространить на такие меры. □

Геометрические методыв теории связанных состояний

В этой главе изложены методы исследования связанных состояний (т. е. дискретного спектра), в которых явно используется геометрия фазового пространства. Мы применяем эти методы для нахождения существенного спектра и для выделения случаев бесконечного, конечного или нулевого числа связанных состояний ниже существенного спектра.

Среди теорем, которые будут доказаны геометрическими методами— знаменитая УВЖ-теорема о существенном спектре ^частичных операторов Шрёдингера, теорема Клауза [214] о существенном спектре одномерного оператора Шрёдингера с бесконечным числом ям, расстояние между которыми растёт, а также принадлежащая Рускаи [302; 303] и Сигалу [310; 313] теорема об отсутствии сильно отрицательных ионов.

Геометрические методы уже применялись в работах Жис- лина [382] и Иоргенса — Вайдмана [ 187],. а также, в другом контексте, в теории Лакса — Филиппса и в квантовой теории поля Хаага. . ■ • ■

Систематическое использование геометрических идей в теории оператора Шрёдингера началось с работ Энсса [94], Дейф- та — Саймона [78], Саймона [323]. Дальнейшее развитие эти идеи получили у Моргана [250], Моргана — Саймона [251] и Сигала [310; 312; 313]. Изложение в этой главе ближе всего к подходу Сигала. Геометрические соображения будут играть главную роль также и в следующих главах.

РАЗБИЕНИЯ ЕДИНИЦЫ И ИМС-ФОРМУЛА ЛОКАЛИЗАЦИИ

Основным средством, с помощью которого мы собираемся работать, является надлежащим образом выбранное разбиение единицы. Оно понимается в следующем смысле:

Определение 3.1. Семейство функций Va^aeA* пронумерованное элементами множества Л, называется разбиением единицы, если

(1) О ^ Ja (х) ^ 1 для всех х <= Rv;

.3.1. РАЗБИЕНИЯ ЕДИНИЦЫ И ИМС-ФОРМУЛА ЛОКАЛИЗАЦИИ 41

(и) 2 Ja (х) = 1 для всех х <= Rv; а

семейство {/а} локально-конечно, т. е. на любом компактном множестве К мы имеем Ja = 0 для всех а е Л, за исключением конечного числа;

(iv)JasC”;

(v) SUp^^EaexI V-M*)^ °°-

. Отметим, что более привычное в математике определение разбиения единицы вместо (ii) требует, чтобы ^ Jato = \. Тем не менее вторая степень будет нам очень удобна. В основе излагаемого здесь геометрического подхода лежит следующая формула локализации:

Теорема 3.2 (ИМС-формула локализации). Пусть U<^asA — разбиение единицы, и пусть Н = Но + V с потенциалом V е Кч. Тогда

н= Е 1аша- Е iwa|2.(3.1)

де Лаг А.

Член EaeAlV-^aP мы называем погрешностью локализации. Приведённая формула появилась, по крайней мере в неявном виде, в статье Исмагилова [177], была переоткрыта Морганом [250] и использовалась Морганом и Саймоном [251]. И. М. Сигал ; [310] понял её важность в данном контексте.

Замечание. Поскольку V е Ki, то включение ф е О (Я) означает' что Ja<p е D(H) (то же верно и для областей определения форм). Таким образом, (3.1) имеет смысл. ■

Доказательство. Прямые вычисления показывают, что

[/а, [/„ Я]] = -2(У4)2 и

[/„, [4. Я] ] = РаН + НРа - 2JaHJa.

Суммируя по всем аеЛ, приходим к (3.1). □

Приведём первое приложение ИМС-формулы локализации, принадлежащее Моргану [250].

Предложение 3.3. Пусть VeLiOc(Rv). Предположим, что для какого-нибудь разбиения единицы {/,} справедливо неравенство

УГ^а^Ш^ ЬР£,■.

где а, b не зависят от i е I. Тогда V < аН0 + 5, где 6 = 6 + sup ^ | УЛ (х) р.

Доказательство.-.

V= ^VP^aZ W/ + 6 = a^0+S|V/J2 + 6. □

Хорошо известно, что функция V = —а/|х|2 в R3 относительно ограничена в смысле форм с гранью а < 1 (соотв. а<1), если а <1/4 (соотв. а<1/4). Согласно предложению 3.3, функция '

точками xt отделено от нуля.точками xt отделено от нуля.ограничена в смысле форм с а< 1 (соотв. а< 1), если а, < с< 1/4 (соотв. а, < 1/4) для всех 1^1 и расстояние между

точками xt отделено от нуля.

точками xt отделено от нуля.

МНОГОЧАСТИЧНЫИ ОПЕРАТОР ШРЕДИНГЕРА ■

Прежде чем продолжать обсуждение геометрических методов, договоримся о некоторых обозначениях для ^частичных операторов. Дальнейшую информацию читатель может найти в 3-м и 4-м томах четырёхтомника Саймона — Рида [294; 295].

Положение системы N частиц, каждая из которых движется в ц-мерном пространстве, определяется вектором х = (хь ..., x^eR^, где каждое Xi — вектор в R+- задающий положение i-й частицы. Соответствующий свободный гамильтониан (кинетическая энергия) вводится формулой

N ■

й-=-2+^<3-2>

i-l *.

Здесь mt — масса i-й частицы а Az— это ц-мерный оператор Лапласа по переменной х,.

Мы рассмотрим потенциал V, составленный из парных потенциалов, т. е..

V(x)=E ¥и^,(3.3)

Ki где ■-

Vz/(x) = fz/(xz-x/)(3.4)

для функций fz/: R^-^R.■

В дальнейшем мы будем предполагать, что операторы умножения на функции ftj компактны относительно (ц-мёрного) оператора Лапласа, т. е.

(3.5)(3.5)операторы ft} (— А + 1) 1 компактны.

(3.5)

(3.5)

Мы отсылаем к книге Рид — Саймон IV, § XIII. 4 [295] за определением этого понятия и дальнейшими подробностями.

При исследовании оператора Шрёдингера с парными потенциалами удобно «отделить» движение центра масс. Такая процедура хорошо известна в классической механике. Для этого положим■

к.

/? = /?(х):=-^-^т^,

Z = 1

х2 = ... = Xr.х2 = ... = Xr.где М := ^ т{. Вектор ^(х) определяет центр масс системы, находящейся в точке х. Пусть X := {х е R^111 У. mtxt = О). В (N—1)ц-мерном векторном пространстве X выберем подходящие координаты уь .... giweR». Под «координатами» мы понимаем линейные преобразования уь ..., ys-i из R^ в R*\ такие что отображение у(х) = (У1(х), .... yw_i(x)] задаёт линейный изоморфизм XcR^ и R^-1^ и уг(х) = О, если Xi =

х2 = ... = Xr.

х2 = ... = Xr.

Мы можем выбирать координаты yi, ..., yN-\ подходящим для рассматриваемой задачи образом. Одним из возможных вариантов являются так называемые - атомные координаты yi = Xt — xN, < = 1, 2, ..., N—1. Как видно из названия, эти координаты особенно удобны в атомной физике, где, как правило, одна из частиц играет выделенную роль (ядро с координа

той xNy

Выбрав в X новую систему координат уь у2, ..., Ум-i, мы вычисляем лапласиан в R**1 в терминах координат у\,уъ .... ум-\, R. При этом, вообще говоря, получаются перекрёстные слагаемые вида Vy Vy (i ^ /). Такие слагаемые называются

членами Хьюза — Эккарта. Однако перекрёстных членов вида не возникает. Поэтому Но разлагается в тензорное произ

ведение:

Яо = (- i Д*)® ^(Х) + V(RH) ® Но,(3.6)

где Ай — лапласиан по переменной R, действующий в ^(R*1), а Но действует в Л2(Х)^ ^(Rt*-1»1).■ :

Явный вид Но зависит, конечно, от выбора уь у2, . - -, Уи-\. Например, для атомных координат Яо задаётся формулой

М-1

н»--Етй7а„ + £-^7Л>|3'7>

1-1‘ к/ *

где pf1 ’^т*1 + т^х. Парный потенциал V не зависит от координаты R, так что гамильтониан Н = Но + V разлагается в сумму

Н = -^ ^ЗЛ-V^H(3.8)

с Я = Яо+V. Равенство (3.8) означает, что центр масс нашей системы движется как свободная частица, тогда как относительное движение частиц описывается гамильтонианом Н.

Существует интересный более систематический способ отделения движения центра масс, предложенный Сигаловым и Сигалом [315]. Равенством

N

g (*, у) = "£ 2mtxt -ytz-i

введём в R"*1 скалярное произведение g^-, •). Тогда Яо станет оператором Лапласа — Бельтрами относительно скалярного произведения g. Отметим, что оператор Лапласа — Бельтрами можно определить на произвольном римановом многообразии с ри- м а новой структурой g (см.; например, Spivak [348] или вообще любую книгу по римановой” геометрии)" Мы ограничимся случаем линейных пространств со скалярным произведением. Пусть хь...,хп— координаты и g(-, •) — скалярное произведение в R". Тогда g^x, у) = х*бу при подходящей матрице 5. Оператор Лапласа — Бельтрами Аг относительно g определяется равенством

£ ^-\,Л-.(3-8>

1,/—1'

Применительно к R^ с введённым выше скалярным произведением мы видим, что (3.9) — это просто сложный способ определения Яо-

Оператор л, заданный соотношением

л (х) = (х, — Я (х), х2 — R (х), ..., xN — R (х)),

является ортогональной (относительно g) проекцией на X. Тогда Rn* — прямая сумма подпространства X и (ц-мерного) про-

странства X-1- = {х s R^|x/ = Xj при всех t,/}. Обозначим через g скалярное произведение g, суженное на X. Тогда Но — оператор Лапласа — Бельтрами на X относительно g.

Для двухчастичной системы при условии (3.5) потенциал обязательно убывает при |х|->-оо, по крайней мере в каком-нибудь слабом смысле. В TV-частичной системе (при N >2), напротив, V не будет убывать на бесконечности даже в том случае, если все f,/ имеют компактный носитель. Это объясняется тем, что вектор (t/i.t/2, • -, Ун-\^ может стремиться к бесконечности, хотя, скажем, yv при этом остаётся постоянным. Тот факт, что V ие убывает в некоторых «трубах* около направления х;—х/, и делает общую W-частичную теорию такой сложной (и такой богатой!). .

Общепринятое упрощение, применяемое в атомной физике, состоит в том, что масса ядра считается бесконечной. Это означает, ■ что рассматривается оператор, получающийся после отделения центра масс, если использовать атомные координаты и устремить массу одной из частиц к бесконечности. Этот оператор очень похож на (^— 1)-частичный гамильтониан до отделения центра масс, но с дополнительными потенциалами, зависящими только от положения частиц относительно начала координат. Чтобы разобраться с этой ситуацией, нужно слегка модифицировать некоторые положения теории ^частичных систем. Поскольку эти модификации всегда просты, мы предлагаем читателю, если его интересует случай бесконечных масс, проделать соответствующие изменения в тех местах, где это необходимо. Хотя мы и не приводим явных доказательств для случая бесконечной массы, но иногда будем обсуждать его и использовать аналоги результатов, доказанных для случае когда все массы конечны. ' ■

Некоторые частицы могут оставаться вблизи друг друга, в то время как остальные частицы удаляются от них. Чтобы учесть это обстоятельство, мы вводим понятие кластера. Как правило, используемые ниже разбиения единицы отражают кластерную структуру фазового пространства.

Под кластерным разложением мы понимаем множество а = {Ль ..., AkV такое что

к

и ^={1,.... ^}

и Д,ПА/ = 0 для i#=j. Элементы Aiea называются кластерами, а фа обозначает число кластеров из а. Запись (ij) о: а означает, что I и / принадлежат одному и тому же кластеру.

Для данного кластерного разложения а определим межкластерное взаимодействие формулой

la := S VM -'(3.10)

ип*а

и внутренний гамильтониан — формулой

Ща) = Н-1а.-(3.11)

Пусть а = (Ль ..., Л к}—какое-либо кластерное разложение. Определим центр масс кластера At равенством

Й :ч= Ri (х) := * У mtxh

где Mt = '5LjSA.ml. Положим '

" ^^{xsXl/tft^O, Z=l, .... й}.(3.12)

Тогда X разлагается в прямую сумму .

Х = Х“фХв, '

где Ха:= (xsX\xi = Xj, если (Z/)ca}. Подпространства Ха и Ха ортогональны относительно введённого выше скалярного произведения g. Гильбертово пространство £2(Х) распадается в тензорное произведение: L2 (X) s I? (Xе) ® L2 (Ха), и•

H0=(h$® 1) + (1®TJ,(3.13)

аналогично разложению (3.6). (В (3.13) й®—это оператор Лапласа— Бельтрами, отвечающий сужению g на ХаА Поскольку Я(а) не зависит от взаимодействия между различными кластерами из а, справедливо также равенство.

Я (а) = (й® 8 1) + (1 ® Та).(3.14)

Оператор ha описывает внутреннюю динамику кластеров. Пусть 8е — набор собственных чисел ha. Определим множество порогов Н соотношением

Т= U в®,(3.15)

*а>1

где е° = {0}, если # a = N. Стало быть, ОеТ

ХВЖ-ТЕОРЕМА■

Теперь мы можем определить разбиение единицы, которое позволит найти существенный спектр Я-частичных операторов. Это разбиение введено Саймоном [323]. Сходное разбиение на множества использовалось Рюэлем [299] в квантовой теории поля.

Определение 3.4. Разбиением единицы Рюэля — Саймона называется разбиение {/а}, пронумерованное всеми двухкластернымн разложениями а (т. е. ф а = 2), обладающее следующими свойствами:

Ja — однородная функция порядка нуль вне единичной сферы, т. е. 1а(Лг) = Ja(r) для всех А, > 1, |r| = 1;

(п) существует такая константа С>0, что

supp Ja П Vх 11x I > 1} c Iх 11 xi — xi I > C | x | для всех (i/) <\ a).

Замечания. 1. Мы требуем однородности (i) лишь во внешности единичной сферы, чтобы избежать сингулярности в начале координат. Сейчас нас не интересует область около начала координат, где частицы близки друг к другу.

2. Условие (п) означает, что функция Ja отлична от нуля, если частицы из различных кластеров разбиения а находятся далеко друг от друга. Отметим, что две частицы, принадлежащие одному и тому же кластеру, не обязательно будут близки на носителе Ja.

Разумеется, мы должны доказать существование разбиения единицы Рюэля — Саймона.

Предложение 3.5. Существует разбиение единицы Рюэля — Саймона. '

Доказательство. По (локально-) конечному покрытию \Ur^ всего пространства мы можем построить стандартным образом разбиение единицы {/„} с supp/n с; Un. Далее, в данном случае достаточно построить разбиение единицы на единичной сфере и продолжить его наружу по однородности, а внутрь— (почти) произвольным способом. Таким образом, достаточно найти такую константу С > 0, что множества {t/a}^ о=2» определённые равенством.

Uа = Iх 11 х | = 1, | xt — Xj | > 2С для всех (ij) ф а), покрывают единичную сферу S. Поскольку и и U^=s, ОО *а-2'

такая константа С существует в силу компактности S. □

Вместо компактности можно было использовать геометрические соображения, позволяющие вычислить С явно (см. Simon [323])..•.

Следующее предложение устанавливает свойства разбиения единицы Рюэля — Саймона, которые играют решающую роль в доказательстве ХВЖ-теоремы.

Предложение 3.6. (i) Оператор (у/а) (Но + /)-* компактен.

(и) Оператор (Jo7o) (Яо + У)- компактен.

Доказательство, (i) Функция VJO непрерывна и однородна порядка — 1 вблизи бесконечности, а потому она стремится к нулю при |х|->оо..Следовательно, оператор VJa(H0 + /)-* компактен (см., например, Рид—Саймон IV, § XIII.4 [295]).

(п) Мы докажем (п) при ftf еС”; в общем случае доказательство получается с помощью обычного предельного перехода. Поскольку f ц е С”, функция JJа имеет компактный носитель (тогда как сам потенциал 1а — нет1). □

ХВЖ-теорема 3.7. Для произвольного кластерного разложения а положим 2(a) := inf о(Н-(а)) и 2 :=min*a-2 2(a). Тогда

(Tess W = [2, оо).

ХВЖ-теорема была доказана Жислиным [382], ван Винтером [359] и Хунцикером [171] (с нарастающей степенью общности) *.

Доказательство. «Простая часть»: [2, оо)с (Tess(Я). Это включение можно доказать с помощью критерия Вейля (см., например, Рид — Саймон I, § VII. 12 [292]), построив соответствующую последовательность пробных- функций (см.- Рид—Саймон IV, гл. XIII [295]). •

«Сложная часть»: oess(^)c [2, оо). В силу ИМС-формулы локализации

Н= £ JaH^Ja + S ДЛ - Z I V/« P,

где Va^ а-г— разбиение единицы Рюэля — Саймона. Из предложения 3.6 мы знаем, что операторы и» и |VJa| компактны относительно Яо. Поэтому, согласно теореме Вейля (см., например, Рид — Саймон IV, § XIII. 14 [295]),

^ess(ff) = aj£w)/o).

По определению 2

Н (а) >2 (а) >2.

Следовательно,

Z J аН (a) Ja > Z SJa = S. ftа-2ftа-2.

Таким образом, aCss W = ^ess ( Z JaH (a) Ja) c [S, oo). □

Мы дадим также второе геометрическое доказательство УВЖ-теоремы. Нам потребуется следующий результат, который будет использован и в ближайшей главе:

Предложение 3.8. Пусть {Ja} — разбиение единицы Рюэля — Саймона. Для любой функции fsC«,(R) (непрерывные функции, убывающие на бесконечности) справедливцы утверждения:

оператор [f(H(6)), Ja] компактен;

(И) оператор [/(Я(а))—/(Я)]Уа компактен;

(in) если, кроме того, f имеет компактный носитель, то

Яо (f (Я (6)) - f (Я)) Ja и Яо ([f (Я Ф», Ja]) компактны.

Доказательство. Мы докажем (i) и (ii) для функций {г(х) = (х— г)-1, где zeC\R, и затем используем «гавот» Стоуна — Вейерштрасса (см. приложение к гл. 3), чтобы получить нужные результаты для всех feC^R).■

Имеем.

[(Я (6) - Z)-*, Ja] = (Я (6) - г)’1 [Ja, Яо] (Я (6) - Z)'1

= (Я (6) - Z)-1 (AJa + 2VJaV) (Я (6) - z)"*

"= {(Я(6)-z)-1(AJa)}(Я(6)-

+ {(Я (6) - z)-1 2VJa) V • (Я (6) - z)-1.(3.16)

Поскольку AJa и VJa — однородные вблизи бесконечности функции порядка —2 и —1 соответственно, члены в фигурных скобках компактны. Кроме того, оператор V- (Я(&)—z)_1 ограничен. Следовательно, всё выражение компактно.

(И) Имеем

{(Я (a) — г)-1 — (Я —z)~*}ja

' = (Я (fl) — z)~* Ja (Я — z)~1 Ja

= (Я (а) - Z)-1 JaJa (Я - Z)-1 + (Я (а) - Z)-1 Ja [(Я - Z)-1, Jal.

Первое слагаемое компактно в силу предложения 3.6; коммутатор во втором слагаемом компактен ввиду (i). Стало быть, всё выражение компактно.

(iii-) Положим g(x):=(x + i)f(x), так что geC». Тогда

Но [f (Н (6)), JJ = Я» (Я (6) + i)’1 (Я (6) + i) [f (Я (6)), JJ

= Яо (Я (6) + i)-* { [g (Н (6)), JJ - [Яо, J J f (Н (6))}. (3.17)

В силу (i) оператор [£(Я(6)), JJ компактен. Далее,

[Яо, и f (Н (6)) = (- Ма - 2VJa • V) (Яо + i)-1 (Яо + О

.Х(я(б) + 0"1§(Я(б)).

Так как I»— однородная функция порядка нуль, операторы AJa(Яo + i)-1 и VJa-V(Яo +i)_1 компактны. Следовательно, правая часть (3.17) компактна, чем доказано первое утверждение (iii). Второе можно проверить аналогичным образом. □

■ Теперь приведём второе доказательство ХВЖ-теоремы. Пусть f — произвольная непрерывная функция на R с компактным носителем слева от 2. Согласно предложению 3.8, оператор

С:- Z [/(Я)-/(Я (а))] Л ' #а=2■ ■

компактен. Но

f W = £ [f (Я) - f (Н (a))] fa+Lt (Н (a)) fa = С,

так как supp f П <т(Я(а)) = 0. Тем самым, оператор /.(Я) также компактен. Спектральный проектор Е^ оператора Я при любом X < 2 удовлетворяет неравенству Е(Х)^/(Я) для подходящей функции f, так что генераторы Е(X), X <2, компактны. ПОЭТОМУ (Tess (Я) С [2 , dd').' □ “• -■ - -• •

ЕЩЕ О СУЩЕСТВЕННОМ СПЕКТРЕ

Согласно «здравому смыслу», существенный спектр операторов Шрёдингера определяется «происходящим очень далеко». Две теоремы этого параграфа придают сказанному точный смысл. Они позволяют найти существенный спектр, правда не в таком явном виде, как ХВЖ-теорема. С другой стороны, они применимы к потенциалам, не убывающим на бесконечности даже в очень слабом смысле (3.5). Таким образом, в отличие от ХВЖ-теоремы эти теоремы охвагтывают, например, периодические, почти-периодические и случайные потенциалы.

Ключевым свойством операторов Шрёдингера, позволяющим рассуждать по упомянутому выше «здравому смыслу», является локальная компактность. Особое внимание этому понятию уделялось в работах Энсса (см., например, [100]).

Определение 3.9. Оператор Шрёдингера Н = Но + V обладает свойством локальной компактности, если оператор f(x) (H+i)-1 компактен для любой ограниченной функции f с ограниченным носителем.

Практически все операторы Шрёдингера, представляющие физический интерес, удовлетворяют свойству локальной компактности. Например, если V Я0-ограничен (или просто Я0-огра- ничен в смысле форм), то Я локально-компактен.

На протяжении этого параграфа мы будем предполагать, что V Яо-ограничен. Отметим, однако, что мы не предполагаем никакого убывания на бесконечности. Для таких операторов справедлива простая'

Лемма ЗЛО. Предположим, что V Я0-ограничен. Пусть f — ограниченная функция с компактным носителем Тогда операторы f(x) (Я-f-i)-1 и f(x)У(Я4-1)-* компактны.

Доказательство.

f (х) V (Я + i)'1 = (f (х) (Яо + i)~1/2)

X [v (Яо + i)-1'2] (Яо + i) (Я + i)"1.

Первый сомножитель здесь компактен, остальные ограничены. Компактность f (х) (Я + i)-1 очевидна. □

Теперь мы сформулируем и докажем первую из обещанных теорем. Обозначим через Вп :={х| |х|^ га} шар радиуса га с центром в начале координат. .

Теорема 3.11. Пусть V Я0-ограничен, Я:=Я0+У. Тогда Хе <Те5з(Я) в том и только в том случае, если существует последовательность функций ф„ е С* (Rv \ В„), ||фп1| = 1, такая что

||(Я-Х)ф„||->0.(3.18)

Замечание. 1. Согласно критерию Вейля, включение Хе<те88(Я) эквивалентно существованию последовательности пробных функций {фи}, удовлетворяющих требованиям || ф„ ||2 = 1, ф„ —* О и (3.18). Стало быть, теорема 3.11 означает, что слабая сходимость ф„ реализуется некоторым специальным образом.

Теорему 3.11 можно доказать при гораздо более слабых условиях на V. Надо лишь убедиться, что утверждения леммы 3.10 остаются в силе и что С” — существенная область.

Доказательство. В силу замечания 1 утверждение „4=“ тривиально. Предположим, что Хе<тезз(Я). По критерию Вейля су-

ществует последовательность ф„ е С” (Rv), || ф„ || = 1, фп -^> О, такая что•'

|| (//— X) Ч»„ ||-* 0..(3.19)

Для любого п подберём функцию %n s С”, 0 < х^С*) ^ 1. такую что Хп(х)=1 при |х|^п+1 и хп(х) = 0 при |х|^п. Мы покажем, что для любого п существует такой номер I = I (п), что |(l-X»)tw|<l/n.(3.20)

K^J^J^l/"-(3.21)

|VX„Vi|>it„)|<l/n.(3.22)

Временно считая эти условия выполненными, положим Xn^i (л)' ф":~ ||х„Ф,(„)|Г.

При этом■

||(Я-Х)Ф^|<1Г-1ГТ{||(Я-Х)1М II II•

+ 2||7хпУфг|| + ||(Дхп)фг||}

стремится к нулю в силу (3.19—22). Стало быть, остаётся доказать (3.20—22). Пусть х — произвольная Со°-функция. Тогда II ХФ„ II = 1X (Н + I)-1 [(Я - Л) + (i + Л)] ф„ g

^Ix(#+ »-11(/7-А)ФЛ+^^^

Первое слагаемое стремится к нулю ввиду (3.19), второе — вследствие того, что фп-^*0 и оператор х(^ + 0-1» в силу леммы 3.10, компактен. Это доказывает (3.20) и (3.21). Аналогично доказывается (3.22). □

Имеется много близких результатов. Например, справедлива формула

"ess (Я) = П "(Я + ИХ(Х I |,|<п})-

Теперь мы докажем теорему Перссона [282], которая даёт для нижней границы существенного спектра выражение типа принципа минимакса.

Теорема 3.12 (Перссон). Пусть V Я0-ограничен. Тогда inf (Tess (Я) = supinf (ф, Яф).

KcRv <peC”(RV\K)К—компакт “ .

Замечания. 1. Теорема Перссона говорит, что inf ае55 не зависит от того, что «происходит» в произвольном компактном множестве.

Для любого фиксированного К величина

.inf (ф, Яф)

VeC”(RV\K) .

совпадает с энергией основного состояния гамильтониана Н на L2(RV\K) с граничными условиями Дирихле на дК (см. Рид — Саймон IV [295]). Таким образом, infoess(^) есть точная верхняя грань всех таких энергий.

Теорему 3.12 можно доказать при более слабых предположениях. Другое её доказательство можно найти в книге Аг- мона [3].'

Доказательство. ,,^“. Пусть Ло = inf oess (Н). Тогда Лое ffess(^) и по теореме 3.11 можно найти последовательность Ф„ е С” (Rv \ Вп) со свойствами ||фп||= 1 и (Н — Ло)фл-*О. Стало быть,.'

sup inf (ф, Яф) = Нт inf (ф, Яф) .К—компакт VeC”(Rv\K)" феС^Р’Хв^

. 1<рн-1a»u—1 "

< Нт(ф„, Яф„) <Йт<ф„, (Н — Ло) ф„)+Л0 Ит <ф„, ф„)=Хо- ппп

„^“. Положим

ц„ := supinf(ф, Яф\ - •

%*п-1ФеС“

Ф J. Ф]*п_г ЙФ II—1

В силу принципа минимакса (см. Рид — Саймон IV, § XIII. 1 [295]), цп есть n-е собственное число оператора Н, считая снизу с учётом кратности. Если существует лишь «о собственных значений ниже Ло:= infoess(Н), то ц„о+1 =ц^+2= ... = Л0. Далее, если число собственных чисел под <reSs(#) бесконечно, то p„->-inf aeSs(H). Тем самым, чтобы доказать неравенство

Ло := inf (Tess W ^ supinf(ф, H^ =: v0,

■К VeC”(RV\x), ЙФИ—1

достаточно показать, что v0 ^ цл для всех п. Поскольку

Hi = inf (ф, Нф),

V@C”(RV), || ф 8-1

очевидно, что Vo рь--

Предположим теперь, что л > 1 и Vo ^ ц.п-ь Если цл_1 = Хв. то всё в порядке. Если p,„-i < Хо, то

.ц„= inf (q>, Яф),

Ф-LPlРл —1

■ «Ф1-1

где р< — ортонормированные собственные функции, отвечающие собственным числам ц,,-. Теперь выберем е >0 и такое большое Ко, что.

J \pt(x)fdx<e, i = l, ...,л—1.(3.23)

Rv\k.■

Определим для произвольной функции ф функцию ф формулой.'

п Ф (х) := ф (х) — 2 <Ф, Pi> pi W-■

Тогда ф ± Pi и'

v0> inf <Ф, Яф>

■ ф е С” (Rv\Кд) 1Ф1-1

= inf {<ф, Яф) + <ф, Е(ф, рг)цгрг) ф-^^ХМ - КФ 1-1■

+ <Е(ф, pi)nipi, ф>}-

В силу (3.23), Кф.Р/Же^ИфЛ, если ф ^ С“ (Rv \Ко), так что ■ v0^ inf (ф, Яф) —Се 1

■ ВфН—1— С'е)■ ВфН—1— С'е)infinf^^--Се(ф. Ф>^^--Се(ф. Ф>

■ ВфН—1

— С'е)

■ ВфН—1

— С'е)

inf

inf

^^--Се(ф. Ф>

^^--Се(ф. Ф>

Иф 1-1

С'е) inf- Се

Ф±Рг -р»-, <ф’ф>

С'е) ц„ — Се.

Так как е произвольно, то v0 ^ ц», а потому Vo ^ А,о. □

ТЕОРЕМА КЛАУЗА: ДАЛЕКО РАЗНЕСЕННЫЕПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ЯМЫ

Прежде чем заняться приложениями геометрических идей к атомной физике, мы используем геометрические методы в дру

гом контексте.

Теорема 3.13 (Клауз). Предположим, что VeC”(R), V <0. Пусть (xn}nsZ— последовательность вещественных чисел, удовлетворяющая условиям хп^хп+) и | х„ — х„+11-* оо при |га|^-оо. Положим W := Snsz V(x— xn), Н :=—d2/dx2 + W и H' := — d?!^ + V. Тогда

(Tess (Я) = О (Я')-

Замечание. Эта теорема является частным случаем одной теоремы Клауза [214], доказанной им с помощью метода Бирмана — Швингера.

Отрицательные собственные числа Н' представляют собой изолированные точки существенного спектра оператора Я, а потому не могут принадлежать непрерывному спектру Я. Они также не могут быть собственными значениями бесконечной кратности, так как речь идёт об одномерной задаче. Тем самым эти точки должны быть точками накопления дискретного спектра Я. Это невозможно, если потенциал убывает на бесконечности (в силу ХВЖ-теоремы). Однако в гл. 9, 10 мы представим другие примеры «неожиданных» спектральных эффектов: сингулярного непрерывного спектра и плотного точечного спектра. Доказательство. Включение oess (Я)зз ст (Я') доказывается обычным образом с помощью критерия Вейля. Мы установим лишь, что (т(Я')гэ <тезз(Я). Пусть Vn(x) = V(x— хп) и Нп = —d2/dx2 +Vn. Для удобства записи предположим, что suppVnQ supp Vm = 0 для п #=• /п. При этом условии можно выбрать разбиение единицы {/n}„GZ со следующими свойствами: .

i«w = inVn;—-'..."

00 inim = 0» если \n — m\>2;

U^C” и |V/„l=o-*0, IA/,1.,^0 при |ra|->oo.

Пусть•.

A^-.= T»UHn-zYxin.(3.24)

Нетрудно видеть, что оператор Л(г) ограничен и является аналитической функцией от z в области О:=С\о(Я/). Для проверки этого факта читатель может приспособить доказательство приводимой ниже леммы. Мы покажем сейчас, что

Л (z) = (Я — z)—1 [/4-В (z)].(3.25)

для некоторого компактного оператора В (г), аналитического в Q. Коль скоро (3.25) выполнено, то, согласно аналитической теореме Фредгольма (см., например, Рид — Саймон I [292], теорема VI. 14), оператор, обратный к / + B(z), существует на

множестве Q\D, где D ей — некоторое дискретное множество. (Из определения B(z) ясно, что || B(z) || —>- О при г-> — оо, так что оператор / + В (z) обратим для некоторых z.) Кроме того, вычеты в полюсах суть конечномерные операторы. Следовательно, в силу (3.25), мы можем продолжить (Я— z)-i до аналитической в Q\D функции, вычеты которой в точках множества D будут конечномерными операторами. Это означает, что Q (] Oess (Я) = 0, и мы получаем нужный результат.

Чтобы доказать (3.25), положим

В„ (z) := [Яо, /„] (Я„ - z)" jn.(3.26)

Оператор Bn(z) компактен и аналитичен в Q. Имеем

(Я - z)-1 В„ (z) = (Я — z)"1 [(Я - z), М (Нп - z)"1 /„

= (Я - z)"1 [(Я - z) jn - jn (Я„ - 2)] (Я„ - z)~* /„

(здесь мы учли, что inW = inV ^

= in(Hn-zy1jn-^H-zrvt

Для доказательства того, что оператор В (z) = £ В„ (z) корректно определён и компактен, используем следующую лемму:

Лемма. Пусть операторы Сп, п е Z, ограничены, и пусть fn, gn— ограниченные функции, удовлетворяющие условиям suppfnd supp fm = 0, supp gn fl supp gm = 0 для n N= гп. Если ||fnC^n||-4) при |n|^* OO, то ряд _

Е fnCngn П— — ОО

сходится по норме.

Доказательство. Обозначим через х« и Л» индикаторы множеств supp fn и supp gn соответственно. Тогда

| /ф, Е f пСпбпФ \ I = I Е „ (ХлФ, VnCngn^ Чпф) ||\|п|>М/I ||п|>м|

< sup ||fnC„gn|| £ 11ХпФ1111ПпфИ \п\>м|»1>м

ПРИЛОЖЕНИЯ К АТОМНОЙ ФИЗИКЕ: РАЗМИНКА. 57

Доказательство теоремы 3.13 (продолжение'). Запишем B(z) в виде

B(z)= £ [Яо,/„W^-z)"1/, П— — ОО

п нечётноп нечетно

^(vw.-*)'1)/,

п чётно

Применим лемму к каждому из четырёх слагаемых в отдельности. Сходимостью по норме обеспечивается компактность B(z). □

3.6. ПРИЛОЖЕНИЯ К АТОМНОЙ ФИЗИКЕ: РАЗМИНКА

До конца этой главы мы будем заниматься вопросами, связанными с атомной физикой. Начнём с несколько искусственного примера, который тем не менее прольёт свет и на более реальные задачи. Рассмотрим гамильтониан .

действующий в L2(R2" ), где, как обычно, г; = |х/|, r12=|xi — х2|. Этот оператор описывает движение двух электронов под действием бесконечно тяжёлого ядра при наличии отталкивающей силы между электронами, зависящей от параметра А.

Из физических соображений ожидается, что Н(А) не имеет связанных состояний при очень сильном отталкивании между электронами, т. е. при Л :> 1. Мы докажем это, применяя формулу локализации. С помощью метода Либа (см. § 3.8) можно убедиться, что связанных состояний нет для Л ^ 2. Критическое значение Л приблизительно равно 1.03 (см. Reinhardt [296]).

Согласно ХВЖ-теореме, <reSs (Я(Л)) = [—1/4, оо), так как inf о (—Дх— 1Д1) = —1/4. Поэтому ожидаемый результат сводится к следующему:

Предложение 3.14. Для достаточно больших А выполнено неравенство Я (Л) ^—1/4.

Доказательство. Выберем разбиение единицы /о, /ь /2 со следующими свойствами:

supp jo с (х|| х |< 1),

supp /! с {х 11 X! 1 > (1/2) | х21; | X | > 1/2},

supp j2 с {х 11 х21 > (1/2) | X! 1; 1 х | > 1/2).

Потребуем ещё, чтобы ji и j2 были однородными функциями порядка нуль во внешности единичной сферы. Чтобы компенсировать погрешность локализации У, |4h Р» возьмем такое Ло, что

Е lV/, |2.

Такой выбор Ло возможен вследствие однородности функций jt и j2 при больших г и компактности носителя j0. В силу ИМС-формулы локализации,

2/

HkA> = ^hHkA-AQHi-V\-7T8

X

2

^^yjifHA-Ao'Hi. i=o

Подчеркнём, что именно дальнодействие кулоновского потенциала позволяет проконтролировать погрешность локализаций.

Теперь отметим, что для любого в > 0 и достаточно большого А

1*111 *2 | I Х1 — *2 I

при всех х, таких что |х|<1 и |xi|, |х2|>е. Следовательно, при больших А

/оЖА-^/о^-^-А,--^---^.,(3.28)

где х« — индикатор шара радиуса в. Известно, что гамильтониан в правой части (3.28) не имеет связанных состояний при достаточно малом в. В этом можно убедиться с помощью (практически) любой оценки для числа связанных состояний (см., например, [295], теорема XIII. 10). Следовательно,

1оН (А — Ао) ]0 ^ 0,

если А достаточно велико. Кроме того, на носителе и мы имеем h (~ ъЬ + тт^тг)31 > °’

поскольку |Х1— Х2| ^ |Х1 | + 1*2 I ^ 3|Х1 |. Поэтому при Л^ Ло + 3

кН (-/i л0) к ^ Л ( Д1 — а2 [хТг) к»

и, в силу симметрии,,

кН (^ ~ Ло) /2 ^ /2 (— Д1 — Аг | х11 ) к-

Так как —Аг— А/—1/|х/|^—1/4, мы заключаем, что

Н (Л) > к (Н (Л - Ло) к + кН (Л - Ло) к > ~ 1/4

при достаточно больших А. □

В этом доказательстве, как и в следующим параграфе, область около точки нуль приходится рассматривать отдельно. В противном случае погрешность локализации вблизи нуля была бы О (г-2) и не оценивалась бы через кулоновские потенциалы.

.3.7. ТЕОРЕМА РУСКАИ — СИГАЛА

Теперь мы подходим к одному важному приложению геометрических методов в атомной физике. Рассмотрим гамильтониан атома с ядерным зарядом Z и N электронами:

(3.29)

По причинам физического характера следует ожидать, что ядро с зарядом Z может удерживать лишь ограниченное число электронов. Иначе взаимное отталкивание электронов должно было бы перевесить притяжение ядра.

Приведём более строгую формулировку этой гипотезы. Пусть

E(N, Z) := ini a (HN(Z)).(3.30)

Тогда, в силу УВЖ-теоремы,

' oess<HN+x<Z^ = YE<N, Zk ооу

Таким образом, наше предположение состоит в том, что

E(N+ 1, Z) = E(N, ZY

для больших ^. Подчеркнём, что здесь речь идёт только о дискретном спектре. Мы ничего не говорим о собственных числах на непрерывном спектре.

Теорема 3.15 (Рускаи— Сигал). Для любого Z существует такое ЧИСЛО AAmax(Z), ЧТО

E(N+ 1, Z) = E{N, Z) (3.31) при всех ЛГ^Утах(2). Кроме того, для фермионов имеет место неравенство

Пт <2. (3.32)

Z-*OO Z

Замечания. 1. Теорема 3.15 доказана Рускаи [302; 303] н Сигалом [310; 313].

Имеется улучшенный вариант теоремы Рускаи—Сигала, принадлежащий Либу [231; 232]. Он дает оценку A^max(Z)^2Z для всех целых Z. В § 3.8 мы приведём эту теорему вместе с её элегантным доказательством. Наше доказательство в этом параграфе следует работе Sigal [310]. Хотя оно гораздо длиннее доказательства Либа, есть две причины, по которым мы приводим его здесь. Во-первых, мы считаем, что это доказательство позволяет взглянуть на явления с физической точки зрения. Во-вторых, есть ещё одна модификация теоремы Рускан — Сигала, предложенная Либом, Сигалом, Саймоном н Тнррннгом [233], которая утверждает, что предел (3.32) в действительности равен единице. Доказательство Либа, Сигала, Саймона и Тнррйнга прёдставляёт собой усовершенствованный вариант доказательства Сигала, помещённого ниже.

Фермионную природу частиц (во второй части теоремы) мы учитываем только с помощью принципа запрета Паулн. При более тщательном исследовании надо учитывать, что все гамильтонианы рассматриваются на антисимметричных состояниях. По этому поводу мы отсылаем читателя к приложению 4 статьи Сигала.

Доказательство. Основные идеи. Разделим конфигурационное пространство на W + 1 частей: Ло, Ль ..., Ам. Первая часть, Ло, представляет собой область, в которой все электроны близки к ядру. Остальные Ai являются областями, в которых Z-й электрон находится на бблыпем удалении от ядра, чем прочие электроны. Затем мы строим разбиение ^единицы Jt, такое что supp Ji с At и погрешность локализации ^| ^Ji (х) р хорошо контролируется. В области Ло сильное отталкивание между

электронами перевешивает притяжение ядра и погрешность локализации, если N достаточно велико. В области Лг (1^ 1) мы разлагаем HN в сумму (У—1)-частичного оператора Нм-ъ отвечающего электронам 1,2, ..., i—1, г'4-1, N, и дополнительного оператора, обусловленного i-м электроном. Поскольку он находится дальше от ядра, чем все остальные, расстояние между электронами i и j разве лишь в два раза больше, чем расстояние от i-ro электрона до ядра. Поэтому при достаточно больших N отталкивание между ним и остальными электронами превышает притяжение ядра и погрешность локализации. ■■

Подробности. Положим

х^ W := max | хг |, г-1,2,. ,.,ы'

Ло :={х|| х, | < р, / = 1, 2, ..IV),

■ Л, := {х 11 хг | > (1 — 6) хго (х), х», (х) > р/2},

где р и 6 < 1 /2 — положительные числа, значения которых будут фиксированы позже. В конечном счёте р выбирается зависящим от N,'

Построим разбиение единицы {Л}^_0 с зирр/гсЛг. Мы выделим некоторые ключевые оценки для градиентов функции h (доказательство которых отложим на конец параграфа):

Лемма 3.16. Существует такое разбиение единицы {Jz}"_0« что supp Ji с: А, и справедливы следующие оценки:

/ , I vj, (х) р ^ —^5 , х е А).(3.33)

г-о

i.W.W<T^, x = A„i>l. <3.34) ■ г-о

для подходящей константы А.•

Доказательство теоремы 3.15 (продолжение). Пусть L(x) = 22ь-о1 V/Z(x)|2. Согласно ИМС-формуле локализации,

N '

HN = J0(HN-L(x))J0 + 1,J1(Hn-L(x))J1.■ (3.35)

г-i

Оценим первое слагаемое в (3.35) при больших N с помощью (3.33):

^J0(-l/4ATZ2 +^J0(-l/4ATZ2 +^(^—1) 4р^(^—1) 4рAN1'2РаAN1'2Ра(3.36)(3.36)Jo (Hn — Ц Jo ^ Jo

^J0(-l/4ATZ2 +

^J0(-l/4ATZ2 +

^(^—1) 4р

^(^—1) 4р

AN1'2

Ра

AN1'2

Ра

(3.36)

(3.36)

при больших N. Здесь мы учли, что — At — Z/|xz|^—1/4Z2 и | xt — Xj |<2р при хе supp Jo. Для I =# О определим

N

H'S- - Z (“ 4< “ кт) + £ т^Г |3'37>

/-1 Х74</ ' *71

i =# /'М*‘

Полагая £V-i -=E(N — 1, Z), получимПолагая £V-i -=E(N — 1, Z), получим

Полагая £V-i -=E(N — 1, Z), получим

Полагая £V-i -=E(N — 1, Z), получим

при больших N. В этих выкладках мы учли, что хг>(1— б)х=о(х), хеAt. Таким образом, доказано, что

Hn^^L JiEn-iJi ^ En_x при достаточно большом N.

Чтобы получить неравенство (3.32), возьмём р зависящим от JV:

р;=пЛГ1/3.

Тогда, согласно оценке для Ji(.HN — L^h, i#=0, Л(Я„-Ц/,>/,(£„_, +p^(-^(l -6)

Член^=-L(l-6)-ZЧлен^=-L(l-6)-ZAN6*6ПAN6*6П

Член

^=-L(l-6)-Z

Член

^=-L(l-6)-Z

AN6*6П

AN6*6П

становится положительным при Z = (l— 26)7V/2 и достаточно большом N.

Однако мы должны подправить нашу оценку для J0(HN— LVo» так как неравенство (3.36) слишком грубо для получения асимптотики Nmax. Принимая во внимание принцип запрета Паули, можно установить, что .

n•

£(-д'-^т)>-слт32’-

Отсюда получим неравенство

4ад>/о(-слп^ + -^^^

При выбранном значении Z и подходящем т] член в скобках будет положительным для достаточно больших N.

Таким образом, мы доказали, что-

Нт ^тах(£) <—-—Z 1 - 26 ’

В силу произвольности б > 0 отсюда следует искомый резуль тат. □

Замечание. Наше доказательство в случае бозонов даёт. jVmax(Z) = 0^2?). Можно изменить лемму 3.16 таким образом, что получится соотношение Nmax(Z) = О (Zv+e) (см. Sigal [313]). Однако этот результат, по-видимому, уже нельзя улучшить нашим методом. Метод Либа (см. § 3.8) показывает, что Утах(2)< 2Z + 1 для бозонов. .

Доказательство леммы 3.16. Пусты])— произвольная С”-функция на R, удовлетворяющая условиям 0^ф(/)^1, ф(0=1 для t > 1 — е; ф (0 = 0 для t < 1 — б; 0 < е < б. Положим х(/): =

^« = 1-хС^1), (3-39)

^(^)=Х^(^)=ХК РК Р/ = 1, .... N. (3.40)/ = 1, .... N. (3.40)

^(^)=Х

^(^)=Х

К Р

К Р

/ = 1, .... N. (3.40)

/ = 1, .... N. (3.40)

Мы покажем, что функции

JAx) = тгч — (X™. i = 0, - - N,

(ZlF/MP)1/2

образуют разбиение единицы со всеми нужными свойствами, за исключением гладкости. Гладкость нарушается из-за того, что функция х<»(х) не дифференцируема в тех точках х, где хг = х,=Хоо(х) для каких-либо i^j- Однако W, в смысле распределений локально принадлежит области определения Но, так что мы могли б доказать формулу локализации без дополнительных хлопот и для этого, более сингулярного, случая. Ещё один способ состоит в том, чтобы сгладить функцию Хоо(х) посредством свёртки с С“-функцией с малым носителем около начала координат и определить Ft с помощью этого сглаженного варианта Хоо(х). Третья возможность заключается в использовании | х |р := (2 I х< |р)1/р вместо х«,. Мы оставляем эти детали читателю и доказываем требуемые оценки для функций Fi, определённых равенствами (3.39), (3.40), игнорируя множества меры нуль, на которых их градиенты не определены.

Легко видеть, что supp Ft с Ai, i = 0, ..., N. По крайней мере для одного i справедливо неравенство |х«1/[х“(х)1 >1 —б, а потому • ■

(Мы учли, что |1—х|2 + |х|2^ 1/2.) Поэтому функции

(Zi^Mp)1/2

корректно определены. Кроме того, набор {Ji} есть разбиение единицы, причём supp Ji с: А, (однако, как было отмечено, J,— не гладкая функция!). Теперь докажем оценки для градиентов (3.33) и (3.34). По определению х, для любого у>0

1х'(0Г<4|ф'ГооФ(02

<v + yx(02

(здесь использовано, что 2у ^ у + (Vv)y2)- Следовательно, для i=lN

। JX~(X)W |х<| Ч 1X11 дх” 16 1+ Xl Р 7х k х^ (х) J [ х^ (х)* дх, +। JX~(X)W |х<| Ч 1X11 дх” 16 1+ Xl Р 7х k х^ (х) J [ х^ (х)* дх, +(градиент дХоо/дХ} определён в смысле L®, т. е. почти всюду)(градиент дХоо/дХ} определён в смысле L®, т. е. почти всюду)

। JX~(X)W |х<| Ч 1X11 дх” 16 1

+ Xl Р 7х k х^ (х) J [ х^ (х)* дх, +

। JX~(X)W |х<| Ч 1X11 дх” 16 1

+ Xl Р 7х k х^ (х) J [ х^ (х)* дх, +

(градиент дХоо/дХ} определён в смысле L®, т. е. почти всюду)

(градиент дХоо/дХ} определён в смысле L®, т. е. почти всюду)

поскольку

ии1 < . 1 Р I Х„ (х) I ’Хоо (х)’1 < . 1 Р I Х„ (х) I ’Хоо (х)’если х' (^^^) ^ 0.

и

и

1 < . 1 Р I Х„ (х) I ’

Хоо (х)’

1 < . 1 Р I Х„ (х) I ’

Хоо (х)’

^ ^(^йг)*0-

Далее, из определения х<» видно, что если х» дифференцируема по х, то существует единственный номер i, такой что dx^^Jdxt =54=0, причём |дх«,(х)/дхг| = 1. Следовательно,

'«-г^(’+т','И-

Легко проверить, чтоivFoOOP^Легко проверить, чтоivFoOOP^Поэтому ■'21VJ»(x)P<Поэтому ■'21VJ»(x)P<Zl^/Pz АZl^/Pz АЕН/i2 '"i^wpЕН/i2 '"i^wp

Легко проверить, чтоivFoOOP^

Легко проверить, чтоivFoOOP^

Поэтому ■'

21VJ»(x)P<

Поэтому ■'

21VJ»(x)P<

Zl^/Pz А

Zl^/Pz А

ЕН/i2 '"i^wp

ЕН/i2 '"i^wp

При y==|jV 1/2 отсюда следует, что

5 X. Циков и др.

Наконец, увеличивая, если необходимо, Д, получим

^1 V/j(x)l2^^/ , xesuppJ0, H^ito^^^^, xssuppZ,, i^Q. □

Замечание. Использование неравенства [х^— x/[^2x<»(x) при выводе (3.38) приводит к тому, что мы получаем всего лишь оценку lim [^max (Z)/Z] ^ 2. Возникает ощущение, что оценку (3.38) можно улучшить, более искусно выбрав Ji. Именно это и делают Либ, Сигал, Саймон и Тирринг [233].

УСИЛЕНИЕ ТЕОРЕМЫ РУСКАИ — СИГАЛА,ПОЛУЧЕННОЕ ЛИБОМ

В этом параграфе приводится принадлежащее Либу простое доказательство усовершенствованного варианта теоремы 3.15. Используются обозначения § 3.7.

Теорема 3.17 [231; 232]. Для любого Z справедлива оценка JVmax<Z)<2Z+ L

Отметим

Следствие. Если Z целое, то Wmax(Z)i^ 2Z.

Это следствие, утверждает, вчастности, что нон .№- не имеет связанных состояний, т. е. является нестабильным. При-доказательстве теоремы 3.17 нам понадобится следующая лемма:

Лемма 3.18. Если фе£2(Р8) и фЕЙ(—А)ПД(|х|), то Ке<ф, И (—А)ф>.>0.

Доказательство. Если функция f достаточно регулярна, то

4 a ?+^п=ргр+4 гр, ip, л ]=pfp+4 (-ал. (зли

Полагая f(x) = |x|-1 и умножая (3.41) на |х| с обеих сторон, получаем формально

4(р21*1 + 1*1р^ = 1*1р1*Г1р1*1-4|х1<л1^^

= |х|р|хГ‘р|х| + 4|х14лбо|х|

= 1*|р|хГ‘|р|х,(3.42)

где б0— мера Дирака в точке OeR3. Здесь мы учли, что функция (4л|х|)-1 является фундаментальным решением для оператора —А, т.е. —А(4л|х|)-1 = 6о- Из (3.42) следует равенство

Re(V, |х|(—Д)ф)= ^ | х |-1| VQ х |ф) pdx^O. (3.43)

Однако мы должны оправдать наши формальные выкладки. Для этого аппроксимируем |х| функцией р8(х):=(|х|2 +е2)Ч

Проделывая те же вычисления с р8 вместо |х|, придём к соотношению ■

Re(Ф, Р8 (— А) ф) = $ ре (*Г* IV (р8 (х) Ф (х)) f dx

+ у $ Ps W-3 в2 |ф (X) I2 dx, (3.44)

(здесь использовано равенство [А (р^1) = —Зр~5е2). «Поскольку epr‘W<l и'

|]"7[Ф(*)|2^<4 17ф(х) pdx

(см. [293], § X. 2), последнее слагаемое в (3.44) стремится к нулю при в->0. Кроме того, <ф, р8(—Д)ф>-*-<ф, |х|(—Д)ф> в

■' SprMVtp^fdx-^lxr^VUxMfdx

(читатель может проверить это с помощью теоремы Лебега о мажорированной сходимости, учитывая, что ФфеД(|х|'/’))• □

Доказательство теоремы 3.17. Предположим, что En<.En-i. Тогда Нц имеет некоторое изолированное собственное число в качестве низшей точки своего спектра. Поэтому (нормированное) основное состояние ф оператора Нм быстро убывает при |х|->оо (см. [295], § XIII. 11), так что феД(|х|). Кроме того, можно считать, что ф— вещественная функция. Тогда (х^ — координаты i-ro электрона, Нм-х — гамильтониан электронов; 2, .... АГ) ..

■0=<|х1|ф, (Нм-Ем)^

-(lx,!*. (я.-.-^-^ + Е^)^

>^|*,^_1_^_Д1_^+^1_;_цт)^

= <1*11Ч>, (Я#.!—■£#)♦> +<|х,|ф, —М)-z+U,\ /“2ixi^x/i /

.N.

>-z+/t, у ’х^\ /-2 11 7 1 /Здесь использовано соотношение-

(I'xdt, (Я„_!— En^^.

= $ I xi I <♦»».^N-x ^w-i) ^x,) dxx ^ 0,

где 4>Xl(*2.-M^^p *2. xn>

В силу симметрии приведённых формул, заменяя Xi на xt и суммируя по i, получим

Поскольку |х,— х/| ^|х<| + |х/|, отсюда следует, что

/ф, ( £ Лф\ = Я(Я-1) <2Яа. \ Xi*/ / /

Тем самым N < 2Z + 1. □;’ ’-

Замечания. 1. Можно показать, что EN не будет собственным числом, если N ^ 2Z + 1.

Либ [232] исследует также задачи с многими центрами и разные другие обобщения.

СИСТЕМЫ М ЧАСТИЦ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМСВЯЗАННЫХ состоянии

ХВЖ-теорема гласит, что нижняя граница S существенного спектра Н всегда определяется двухкластерными разложениями, т. е.

= ^:.= inf ст (Я (а))..

*а-2■

Вопрос же о конечности или бесконечности ст<п$(Я) часто связан с величиной

Ss:= inf ст (Я (а)).

*а-3

Ниже мы покажем, что во многих случаях спектр oais(#) конечен, если 23 > 2. С другой стороны, при 23 = 2 оператор — А+ 2 VuM может иметь бесконечно много связанных со- «/

стояний даже в том случае, если Уц— потенциалы с компактными носителями. Это явление называется эффектом Ефимова в честь его первооткрывателя [91; 92]. По поводу точных формулировок см. статьи Яфаева [372], Овчинникова — Сигала [268] и указанную там литературу, а также обсуждение, проведённое в книге Рида — Саймона [295] после теоремы XIII. 6.

" Ниже мы покажем, что неравенство 23 >■ 2 влечёт за собой конечность oais(^) для короткодействующих потенциалов Уц, а также в случае отрицательных ионов с зарядом единица. Этот результат будет следовать из одной «абстрактной» теоремы ' (теорема 3.23), которую мы докажем предварительно.. Результаты данного параграфа восходят к работам Жислина и его коллег [16, 363; 382—384] . Формулировки и доказательства мы заимствуем из статьи Sigal [310]. Там же можно найти дополнительные ссылки на литературу.

Вначале введём нужное нам разбиение единицы.

Определение 3.19. Разбиение единицы {/а}а, пронумерованное всеми кластерными разложениями а набора {1,2, ... . М}, называется разбиением Дейфта — Агмона — Сигала (ДАС-разбиением), если

каждая функция jo однородна порядка нуль во внешности единичной сферы;.

{|х | > 1} п supp /а с[х = Д, ; ; :,_ ХЙ[] xt — Xj I > С I х | при любых (1/)<£а} с подходящей константой С;

(Hi) для любых двух различных кластерных разложений а н а' с #a = 4l=a' = 2 имеет место равенство {|х|> 1}П SUPP 7a П SUpp/>=0.

Похожее разбиение возникло впервые в работе Delft — Simon [78]; его важность в данном контексте была отмечена Сигалом [310]. Доказательство существования ДАС-разбнения единицы можно получить, слегка изменив доказательство предложения 3.5 (о существовании разбиения Рюэля— Саймона). Как и для разбиения Рюэля — Саймона, каждый оператор IJa компактен относительно Но, если этим свойством обладает Ун (см. предложение 3.6). Следующая оценка погрешности

локализации является решающей для нашего доказательства конечности оаи:

Предложение 3.20. Для любого в >■ 0 существует такое Се, что во внешности единичной сферы'

' Elv/j^p^a + ix^fe Z /2eto+c8 Z.1к #0-2. *0^3 °)

..(3.45)

Замечание. Хорошо известно, что двухчастичный потенциал W, убывающий на бесконечности как а | х | “®, не порождает бесконечного, янсла связанных состояний, если постоянная а достаточно мала (Рид — Саймон [295] , § XIII. 3). Таким образом, согласно: предложению 3.20, погрешность локализации це даёт бесконечно много связанных состояний для двухкластерных гамильтонианов. Отметим, что вследствие неравенства S3 > 2 га- мнльтониацы с тремя и большим числом кластеров в. любом случае имеют лишь конечное число связанных состояний ниже точки 2 := inf oess(^) (см. лемму 3.22). +.

Доказательство. В силу (i), ^ja— однородная функция порядка ~Т;1 #'йбтъму достаточно’доказать (3:45) на единичной сфере. Рассмотрим множество''

А =ЦхеЗ I Z /ЗД = 1 )

. ; г Д 1*"-2I ;-

По определению .3,19 (Щ) включение. хеД означает, что /а(х)_=1 для какого-то Одного разложения а, # а = 2, н /а'= 6 для всех остальных а'. Следовательно, |У/б(х)[ = 0 для любого кластерного разложения Ь. Стало быть, . ■

■ZlV/6(x)P=0, хеА.(3.46)

Теперь рассмотрим множество

;, д6 = /х^з| Z /=(х)>1 —61,.

'I 1*а-2 °J■

О <6 <1/2. Считая 6 = 6(в) достаточно малым, мы можем, убедиться с помощью (3.46), что"

.. ZlV/6P<e/2, ХеА\ !. : .

н, следовательно,....

" S |v/&|2 <8 S хеА6. .,

С другой стороны,.

Z №) = 1- Z №)>д(8), хе5\Дв, *а>3 “*а-2 °.

так что ■

Z|V/6(x)|2<Ce Z £(х), xe=S^

■ Для кластерного разложения а через х« обозначим индикатор supp/о. Согласно ИМС-формуле локалнзацнн н оценке (3.45),

Н> Z JatW + ZoXa-eU^xl2)-^ '

; + Z /ь (Я (6) + /йх» - Се (1 + I х I2)"1) Ь,'(3.47) *Ь>3 ■

Лемма, которую мы сейчас докажем, позволит утверждать; что конечность числа связанных состояний Н следует из конечности числа связанных состояний каждого слагаемого в правой части (3.47)- .

Лемма 3.21. Пусть А, В— самосопряжённые операторы.

Если А ^ В, то число N^A, S) связанных состояний А ниже точки S = infaess(B) подчиняется неравенству N(A, S)^ JV(B,S).

Если Д н В имеют конечное число связанных состояний ниже точки нуль, inf аезз(Д)^ О, infaeSs(B)^0 н оператор А + В самосопряжён в существенном на О(Д)П D(B), то число связанных состояний А 4- В ниже нуля конечно. .

Доказательство, (i) Это утверждение легко доказывается с помощью принципа минимакса (см., например, Рид — Саймон [295] , § XIII. 1).

Пусть Р н Q — проекторы на собственные подпространства, отвечающие собственным значениям ниже точки нуль, для операторов Д н В соответственно. Тогда операторы АР н BQ конечномерны. Кроме того, А + В ^ АР + BQ, причём оператор в правой части также конечномерен. Нужный результат вытекает нз (i). □

Легко видеть, что при условии S3 > S слагаемые в (3.47), обусловленные тремя н большим числом кластеров, порождают лишь конечное число связанных состояний.

Лемма 3.22. Фиксируем 8. Если S3 > S, то количество связанных состояний оператора Я(6) + 1ьхь — Се(1 + |х|2)—1 ниже точки S конечно.

Доказательство. Оператор 1ьхь — 0,(1 + |х|2)-1 компактен относительно Я (6), а потому

inf Gess (Я (6) + IbXb - С8 (1 + | х Р)-1) = inf а^ (Н (6))

Теперь утверждение леммы следует из определения oais- О

Учитывая сказанное выше, можно заключить, что Я имеет конечное число связанных состояний, если этим свойством обладают все двухкластерные слагаемые в (3.47). (На самом деле надо рассмотреть лишь те нз них, для которых сте$$(Я(а)) = S.) Поэтому теперь мы исследуем их тщательнее.

Пусть а — какое-либо разложение на два кластера. Как мы уже внделн в § 3.2, гильбертово пространство L^(X) разлагается в произведение

L4X) = L4X^<8)L4X^ и, кроме того,

Я (а) = (Л“ ® D Ф (1 8 Та)

(см. (3.13,14)). Поскольку # а = 2, имеем Ха^ R**. Разумеется, оператор ha в свою очередь разлагается на две части, отвечающие двум кластерам а.

Обозначим через 4° нормированное основное состояние ha. Хорошо известно, что оно невырожденно (см. Рид — Саймон [295] , £ ХШ. 12). Пусть Ра— проектор из L2(X°) на фа. Положим Р^ :=Ра 8 ^ха н Q (а) := ^х — Р (°), где ^хо — единичный оператор в L2(Xo)..

Ниже скобки <•, •> используются для обозначения скалярного произведения в любом нз пространств L2(X), L?(XaK I?\XaY Из контекста будет ясно, какое нз них имеется в виду.

Чтобы сформулировать «абстрактную» теорему, введём на Ха потенциал

^а := ^' ^ХаФ") — 6-1 ((*“’ (VaXaf *“)

-^MaXaW, б > 0. (3.48}

Скобки <•, •> в (3.48) обозначают скалярное произведение в L2(Xa). Читатель может заметить, что Я (97®) := — А + Wba является одночастнчным оператором, действующим в L-XXa^ = £2(К№). Следующая теорема сводит вопрос О конечности adis(Я) к исследованию Я (^):

Теорема 3.23. Пусть S3 > S. Если при каком-либо значении ге (одночастичный) оператор — (1 — л) А + 97® имеет конечное число связанных состояний для любого двухкластерного разло-

жения а н всех б > 0, то число связанных состояний Н также конечно..

Замечания. 1. Из доказательства будет ясно, что достаточно потребовать выполнения условий теоремы лишь при тех а, для которых inf а (Н (a)) = 2.

Вариант теоремы 3.23 для фермионного подпространства можно найтн в работе Sigal [310].

Для конкретного потенциала условия теоремы проверить отнюдь не просто. По этой причине мы н называем её «абстрактной». Позже мы укажем два важных класса примеров.

Доказательство. Пусть /о—разбиение единицы Дейфта— Аг- мона — Сигала. Ввиду ИМС-формулы локализации и предложения 3.20,

Н> Е ia(Hto+IaXa-s^-HxfrX>)ia фа—2

+ Z /а(Я(а) + /оХа-С8(1+|х|2)-1)/о.

*а>3

Остается доказать лишь конечность дискретного спектра каждого нз операторов Я(а) + /Оха— в(1+|х|2)-1. Положим

К (а) = Я (а) + 7оХа ~~ 8 (1 +1 х Р)'1-.

Запишем К (а) в виде■

К (а) = Р (а) К (а) Р (а) + Р (а) К (а) Q (а)

+ Q (а) К (а) Р (а) + Q (а) К (a) Q (а). (3.49)

Понятно, что "член Q(d)j/<(a)Q(a) Даёт лишь конечное число связанных состояний, поскольку inf aess(Q(a)K(a)Q(a)) > 2. Для оценки вклада перекрёстных слагаемых в (3.49) мы используем следующее разделительное равенство:

Лемма 3.24 (разделительное неравенство Комба — Саймона [323]). Пусть А — самосопряжённый оператор, Р — проектор, Q = 1 — Р. Тогда для любого б > 0

А > PAP — b~xPAQAP + Q (А — б) Q.

Прежде чем доказывать лемму 3.24, мы продолжим доказательство теоремы. Применяя лемму к К (а) н Р(а), получим

К (а) > Р (а) К (а) Р (а) - б-1Р (а) К (a) Q (а) К (а) Р (а) " "+Q(a)[K(a)-d]Q(a).

Нижняя граница существенного спектра последнего слагаемого по-прежнему будет больше 2, если взять б достаточно малым.

Далее, пусть

ф = Ф1 0 Ф2> Ф1 ^ L\(X^, q>2 е!2 (XJ.

(Ф, Р (а) К (а) Р (а) Ф) = | <Ф1, ф“) |2<ф“ 0 q^, К (а) (ф» 0 q^} н.

<Ф“ 0 Ф2, к (а) (ф“ 0 ф2))><ф2> — Дф2> + <Ф2, «, /аХаФ^Фг) .-е<Ф2, <Ф“, (1 + I х I2)-1 ф“)ф2)-f-S

><Ф2, [— А + (ф°, 1аХа^

,— е (1 +1 х ^)~*]ф2) + S,

где |х|2 понимается как оператор -в L2(X), а |х|^ —в »Л2(Ха). Поэтому-

Р (о) К (а) Р (а) > - А + <ф“, /оХаф°) - s (1 + | х I2)"* + SP (а).

Аналогично.'

Р (а) К (а) Q (а) К (а) Р (а) > (ф“, Дф“)_

'-« /a^-sQ+lxg) *.

В итоге мы показали, что '

K(a)>-(l-71)A + ^«-7iA-2s(l + |xQ-1 + 2.

По условию гамильтониан — (1 — ц) А+^„ имеет конечный дискретный спектр. Кроме того, дискретный спектр оператора — т)Д — 2е(1 + | х |^) тоже конечен, если 8 достаточно мало (Рид — Саймон [295], § XIII. 3). Применение леммы 3.24 завершает доказательство теоремы. О.

Теперь докажем разделительное неравенство Комба — Саймона. ‘

Доказательство леммы. 3.24. Ясно, что

A = PAP-rPAQ-VQAP-VQAQ.(3.50)

Перекрёстные члены оценим с помощью неравенства Шварца: | <Ф, QAP<p) | = | <d1/2Qq>, &-x,2QAP4>) I

<(d1/2Q<p, д1/^<р>1/2(д-1^ДР<р, &-x,2QAP<p)m

<^«6xl2Q<p, bxi2Q^ + <&-x,2QAP^ д~х^АР^ = у(д<Ф, Qф) + д-1<Ф, PAQAP<^.

Таким образом,

Re (QAP) > - у 6Q -1 b^PAQAP.

Оценивая Re(PДQ) аналогичным образом н подставляя результат в (3.50), получим■•

А>РАР — 6-1PAQAP-VQU — 6)Q. □

Приведём два приложения «абстрактной» теоремы 3.23.

Теорема 3.25. Пусть ц ^ 3, Vij принадлежит Z.M-/2 (Rh) при ц> 3 и L2(Ri*)n L^tR*1) при ц = 3. Если S3 > S, то оператор Н = Яо + У, Vti имеет лишь конечное число связанных состояний. Доказательство. Мы покажем, что отрицательная часть IF* принадлежит L»*/2 (₽•*). Согласно оценке Цвнккеля — Лнба — Розен- блюма (см., например, Рид — Саймон IV [295], § XIII. 12), это будет означать, что количество отрицательных связанных состояний — (1 — ц)А+ Wba конечно. В силу теоремы 3.23 отсюда следует нужный результат.

Прежде всего рассмотрим• •

«, /аХа<)= У «V^-).

Пусть а = (Дь А2у Определим Mk = '^1ieAfemt. Любой вектор хеХ можно записать в виде ‘(х, + ух, х2 + у2. • • •. хп + Уп), где (хь ..., x^eXQ и

^ = ТгЕ ^Ь 1гАк-"

Так как хеХ, то при ieAt, jeA2 справедливо равенство Mxyi = —M2yj. Поэтому xi—X} = yt — yiA-xi— х/=у + х, —х/. где у = yi — у/. Отсюда видно, что величина

«, Уг/<) = $ | ф“ (х) Р VM (у + xt — X/) dx Xе

является свёрткой. Известно, что

ф“ е fl Lp 1<р<оо.

(см. Рид — Саймон IV [295], § XIII. 39). Следовательно, согласно неравенству Юнга, <i|>o, Vi/tj^eL^CR). С членом

(ф°, /а%аф“) можно разобраться с помощью неравенства

Величина (ф“, У2/ф“) тоже является свёрткой. Вначале предположим, что ц > 3. Поскольку Vм е К*12, то УмеЕ^4. В силу неравенства Юнга это означает, что ^ф41, УиУ) е Lw/2 (так как ф° ^ £» для любого ^). В случае р = 3 имеем Ум е L2, а потому Ум е Lx. Отсюда снова вытекает, что (ф“, V2/, -^^Ь*12. Поскольку третье слагаемое, (ф“, ^г/ф“)2. положительно теорема доказана. □

В заключение приведём без доказательства ещё одни результат...

Теорема 3.26. Бозонные ноны с единичным отрицательным зарядом имеют лишь конечное число связанных состояний.

Замечания. 1. В случае фермионов проблема состоит в том, что основное состояние может оказаться вырожденным, причём нарушение чётности порождает дипольный член в эффективном потенциале. Если основное состояние невырожденно, то теорема 3.26 справедлива и в этом случае.

Теорему 3.23 можно применять только к отрицательным нонам с зарядом 1, поскольку неравенство S3 > S для больших зарядов не установлено. Для нона с зарядом —к неравенство S3 > S означает, что 2 = £(Z -V"k—A,Z^<LE^Z-Vk—2, Z)=23.

■ Таким образом, допускается" случай, когда нон с' зарядом —к + 1 не имеет связанных состояний, а соответствующий нон с зарядом —к имеет бесконечное число таких состояний. Наша неспособность исключить эту физически абсурдную ситуацию показывает, как мало мы понимаем в атомной фнзнке с математической точки зрения.

ПРИЛОЖЕНИЕ: ГАБОН СТОУНА — ВЕЙЕРШТРАССА

В этой книге мы несколько раз встречаемся с ситуацией, когда некоторое утверждение сравнительно легко проверяется для резольвент (Я— z)-1 оператора Н, а его прямое доказательство для /(-Я) с произвольной функцией feC~(R) представляется весьма сложным. .

Однако во многих случаях справедливость на вид более сильного утверждения для произвольной функции удаётся вы-

Гавот — старинный французский народный танец.— Прим. ред.

вести из его справедливости для резольвент, т. е. для функций f(x) = (x — z)-4'

Одна из возможностей убедиться в этом — применить абстрактную теорему Стоуна — Вейерштрасса. А именно, предположим, что множество А: = {f е Coo(R) |^(Я) обладает нужным свойством} удовлетворяет следующим требованиям: (i) А замкнуто по норме; (ii) А является алгеброй с инволюцией, т. е. А — векторное пространство, содержащее вместе с f, g также t и f-g. Тогда, согласно абстрактной теореме Стоуна — Вейерштрасса, A = Coo(R). Это означает, что оператор f(H) обладает нужным свойством для произвольной функции fsCoo(R), если это верно для (Я— z)-1 при каком-либо zeC, Rez^O.

Второй, более элементарный, способ заключается в следующем. Допустим, оператор (Я:—z)-1 обладает определенным свойством для всех zeG, где G— некоторое открытое подмножество С. Пусть, кроме того, выполнено (i), т. е. если fn^A и fn-*-f равномерно, то f обладает нужным свойством. Предположим ещё, что (ii)' А—векторное пространство. Тогда можно заключить, что (Я— z)-*, ^eN, zeG, принадлежит А, так как в силу интегральной формулы Коши. ■

(H-^-^y^g-dz,(П.3.1)

где у — контур в G, охватывающий точку го. Правая часть этого соотношения есть предел по норме линейной комбинации резольвент, а потому принадлежит А, «Смешанные» полиномы вида

(Я-га-ЧЯ-^"1... (Я-z,)"1 "

можно рассмотреть, применяя при zt^Zf первое резольвентное тождество

(Я - 21ГХ кН - Z^"1 = ^Ц- [(Я - za"1 — (Я — г/Г*].

а при Zi = Zj — равенство (П.3.1). Таким образом, все полиномы (Я — z)_J при zeG принадлежат А. Так как полиномы (х— z)-1, zeG плотны в С», отсюда в силу (i) следует, что А = С=о.

ДОПОЛНЕНИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Впервые теорема ХВЖ появилась в сообщении Г. М. Жис- лина [389]. В [389; 382] рассматривались системы электрически заряжённых частиц, в связи с чем некоторые из парных потенциалов предполагались отрицательными. Впрочем, как видно из

содержащей подробное изложение работы [390], реально условие на знак потенциалов в [389; 382] не использовалось.

Методически работы [382] и [359; 171] совершенно различны. Техника Г. М. Жислина— чисто вариационная. Ван Винтер и Хунцикер исходили из фредгольмовского уравнения для резольвенты, полученного Вайнбергом [423]. '

Эффект Ефимова имеет место для трёх трёхмерных частиц с отрицательными парными потенциалами. На. эвристическом уровне его возникновение можно пояснить, рассматривая семейство гамильтонианов

Я(?) = -А+?ЕУа, a = (12), (23), (31),

с константой связи g "> 0. Предполагается, что функции Va достаточно быстро убывают на бесконечности.

Для каждого из операторов htt(g) =—А + gVa в L2(R3), отвечающих двухчастичным подсистемам, существует такое значение go, что Йа(^)^0 ПРИ g^ga, 3 При g > ga ПОЯВЛЯЮТСЯ отрицательные собственные числа. Про оператор ha(ga) с критическим значением константы связи говорят, что у него есть «виртуальный уровень» в спектральной точке нуль (в начале существенного спектра). Важно, что. резольвента оператора ha(ga) имеет в этой точке особенность (см. [407; 411]).

Существенный спектр оператора Н (g) начинается от низшей точки спектров операторов ha^gY Поэтому он совпадает с положительной полуосью при g’^go = niin{ga} и содержит отрицательный участок при g"> go. Если g ^.go, .то,. .дискретный спектр оператора H(g') оказывается конечным. При g < go это установлено в [406], а при g">go — в теореме 3.25 (см. также п. 3). .

В критическом случае g = go дискретный спектр оператора H^g^ будет .конечным или бесконечным в зависимости от количества ga, совпадающих с go. Если только одно число ga равно go, то дискретный спектр оператора H(g0) конечен [406]. Напротив, в случаях, когда два или три из чисел ga равны go, дискретный спектр бесконечен. Это явление и называется эффектом Ефимова. На очень грубом уровне возникновение бесконечного отрицательного дискретного спектра у оператора H(go) можно объяснить тем, что при сколь угодно малом увеличении g у операторов H(g) появляется отрицательный существенный спектр.

Отметим ещё, что в обозначениях § 3.9 при g ^ go (при g">go) будет S = S3 (соответственно S3>S). Таким образом, в «неустойчивом» случае S = S3 конечность отрицательного спектра трёхчастичного оператора Шрёдингера определяется количеством двухчастичных виртуальных уровней. При одном

таком уровне или при их отсутствии отрицательный спектр конечен, а при двух или трёх — бесконечен.

Для одномерных и двумерных частиц с отрицательными парными потенциалами Уа эффект Ефимова невозможен, так как соответствующие операторы /ia(g) имеют отрицательные собственные числа при сколь угодно малых g>0. В [385] выяснено, что невозможен он и без предположения Уа ^ 0. Аналогичным образом обстоит дело и для трёхмерных частиц в некоторых подпространствах заданной симметрии [421].

При ^ > 3 результаты о спектре ^-чacтичныx гамильтонианов в неустойчивом случае S = S3 далеки от исчерпывающих. Имеются аналоги трёхчастичных результатов о конечности дискретного спектра для систем без двухчастичных виртуальных уровней [386; 422] и для систем с одним виртуальным уровнем [387]. Примеры систем с бесконечным дискретным спектром отсутствуют. Тем самым вопрос о возможности эффекта Ефимова при N "> 3 остаётся открытым.

Остановимся кратко на «устойчивом» случае 23> 2, когда начало существенного спектра ^-чacтичнoгo гамильтониана определяется распадением системы иа две подсистемы. При этом требуется, чтобы каждая из подсистем либо имела связанное состояние, либо состояла только из одной частицы. Не исключается существование нескольких определяющих распадений с таким свойством.

В многочастичной обстановке первый нетривиальный результат по конечности дискретного спектра был получен Утиямой [420], изучившим один модельный трёхчастичиый гамильтониан с кулоновскими потенциалами (гамильтониан (3^27) при Д>1). Метод [420] был. применен в [383; 16] для доказательства конечности дискретного спектра атомарных и молекулярных ионов. В этом случае подсистемы из каждого определяющего распадения заряжены одноименно, и, следовательно, эффективное взаимодействие между ними описывается кулоновским потенциалом отталкивания.

Для систем с произвольными быстро убывающими взаимодействиями конечность дискретного спектра была установлена Яфаевым [404; 405; 408] и Жислиным [391; 384]. Методика [404; 405; 408] основана на исследовании фредгольмовской системы уравнений для резольвенты типа Фаддеева [106] или Вайнберга [423]. В [391; 384] применялись вариационные соображения [420] в комбинации с техникой более ранних работ Жислина (см., например, [382]). В [404; 405; 408] рассматривались также системы частиц с кулоновскими взаимодействиями. Конечность дискретного спектра была установлена в случаях, когда электрически нейтральны одна или обе из

подсистем, распадение на которые определяет начало существенного спектра. Такие ситуации реализуются соответственно для однократных атомарных ионов и двухатомных молекул.

Отметим ещё, что удобный метод доказательства конечности дискретного спектра указан в работе Саймона [323]. В этой работе, правда, предполагалось, что имеется только одно определяющее распадение. Однако без этого предположения можно обойтись..•

Дальнейшую информацию см. в дополнении М.. А. Антонца, Г. М.. Жислина и И. А. Шерешевского к русскому изданию книги [187].-

Локальные коммутаторные оценки

В этой главе мы анализируем ряд теорем об операторах Н, вытекающих из оценки Мурра. Эта оценка утверждает, что коммутатор [Я, И] в некотором смысле положителен. Идеи настоящей главы восходят к результатам Путнама [289], Като [191] и Лавина [225] об отсутствии сингулярного спектра, а также к теоремам Вайдмаиа [367] и Кальфа [189] об отсутствии положительных собственных значений. -

Все эти ранние результаты были применимы к весьма ограниченному классу потенциалов. Мурр [256] первым понял, что лишь локальные оценки позволяют рассмотреть достаточно общие потенциалы. В своей блестящей работе он развил абстрактную теорию, которую ему удалось применить к двух- и трёхчастичным операторам Шрёдингера. Перри, Сигал и Саймон [281] показали, что его идеи эффективны и в Я-частичном случае.

В § 4.1 мы докажем теорему Путнама об отсутствии сингулярного спектра и выпишем оценку Мурра. Затем приведём примеры операторов Шрёдингера, удовлетворяющих этой оценке. Её - доказательство для Я-частичных операторов . мы отложили до § 4.5. В § 4.2 устанавливается теорема вириала и показывается, как из неё и из оценки Мурра можно получить информацию о накоплении собственных чисел. В § 4.3 мы докажем один вариант теоремы Мурра [256] об отсутствий сингулярного спектра. В § 4.4 приводятся теоремы Фрёзе — Хербста [114] и Фрёзе — Хербста — Хоффманнов-Остенхофов [116] об экспоненциальных £2-оценках собственных функций оператора Шрёдингера. Из них следует, что Я-частичные операторы не имеют положительных собственных чисел.

ТЕОРЕМА ПУТНАМА И ОЦЕНКА МУРРА

Коммутаторные методы в простой форме появляются в теореме Путнама, где положительность коммутатора используется для доказательства абсолютной непрерывности спектра. Прежде всего приведём удобный критерий абсолютной непрерывности спектра. '

Предложение 4.1. Пусть Н—самосопряжённый оператор/?(а) = (Я— z)-1. Предположим, что для любого ф из некоторого плотного множества существует постоянная С (ф) С со, такая что

lim sup (ф, Im R (р + ie) ф) ^ С (ф). це(а, 6).

Тогда Н имеет на (а, 6) лишь абсолютно непрерывный спектр.

Доказательство. Пусть Е^ — Е^Н}— спектральный проектор Н, отвечающий Д. Согласно формуле Стоуна - [292],

'. у ■

<Ф, (Е[О', У] + Е^', У)) Ф> = lim ( <Ф, Im /? (р + ie) ф) dp.

.е + о а7

Так как Е^а-, ьз ^ Е^а', ьч, отсюда следует, что при (а', Ь^ г (а, 6) ■■ Ь''■

. (ф, Я(а'ЛУ)Ф> < 4" S С^^^Ч0 (ф) । 6' ~ °' ।

для плотного множества функций ф. Стало быть,

(ф, £оф) ^ л-1С (ф) | Q |.

для любого борелевского множества Йе (а, 6). Это означает, что спектральные меры dp^ абсолютно непрерывны. Поскольку множество таких ф плотно, спектр на (а, 6) чисто абсолютно непрерывный-- □

Теорема 4.2 (Путнам). Пусть Н и А—ограниченные самосопряжённые операторы. Предположим, что

[Я, iAA=C*C,(4.1)

где Кег(С)={0}. Тогда Я имеет чисто абсолютно непрерывный спектр.

Доказательство. Пусть R^z) .= (Н — z)-1. Тогда

|| CR (р ± ie) If = || Я (р Т ie) CCR (р ± ie) ||

= IIR (и ЯР 18)[Я, iЛ] R (р ± ie) ||

= || R (р =F ie) [Я - р =F ie, 1Л] R (р ± ie) ||

<||Л/?(р±18)|| + ||/?(р=Р1е)Л||.

+ 2в||Я(р=Р18)Л/?(р±18)|Г

<48-» II л II.

Таким образом,-

21| С Im R (и + ie) С* || = || CR (ц+ie) 2ieR (ц-ie) С* ||<8|| А ||

Так как Ran (С*)— плотное множество, утверждение теоремы теперь следует из предложения 4.1. □

Замечание. Из доказательства видно, что оценка [Я, iA] а/ невозможна для ограниченных Н н А, поскольку она означала бы, что резольвента R(z) ограничена при всех г, т. е. Н не имеет спектра.

Оценку Мурра можно интерпретировать как слабый вариант равенства (4.1). Однако теперь Н и А могут быть неограниченными, что очень важно для приложений к операторам Шрёдингера. Кроме того, оценка Мурра имеет локальный характер. Это позволяет доказывать абсолютную непрерывность спектра вдали от собственных чисел, не беспокоясь (как в теореме Путнама) об их отсутствии.

Прежде чем выписывать оценку Мурра, дадим несколько определений. Вначале мы введём шкалу пространств, ассоциированных с произвольным самосопряжённым оператором Я.

Определение 4.3. Для данного самосопряжённого оператора Я, действующего в гильбертовом пространстве Я, определим пространство Н+2 как множество О (Я), снабжённое нормой графика.-'■

■ НФ11+2 = 11 W + 0Ф11. . .

Аналогично введём H+i :=Я(|Я|’/»). Пространства Н_2 и H-i определим как двойственные к Н+2 и H+i соответственно. Каждое из них можно понимать как замыкание Н по норме ||<р 11^ = = Ц(|Я| + /)~,/2ф[. Таким образом, имеют место включения

Н+2 с Н+1 С Н С Н_! с Н_2.

Замечание. Если Я = —А или —А + V, где V A-ограничен с относительной гранью, меньшей единицы, то введённые пространства совпадают с обычными пространствами Соболева.

Теперь приведём список условий для пары самосопряжённых операторов Я и А, на которые мы будем ссылаться в дальнейшем. В этих условиях Н» — пространства, ассоциированные с Я.

Условие 1. Множество Я(А)ПН+2 плотно в Н+2.

Условие 2. Оператор [Я, М], определённый в смысле форм на О(Л)ПН+2, продолжается до ограниченного оператора из Н+2 в Н-1-

Условие 2'. Оператор [Я, 14], определенный в смысле форм на О(Л)ПН+2, продолжается до ограниченного оператора из Н+2 В Н-2-■

Условие 3. Существует самосопряжённый оператор Но с Я(Я0) = Я(Я), такой что [Яо, L4] продолжается до ограниченного отображения из Н+2 в Н и Я(Л)ПО(ЯоЛ) — существенная область Яо.

Замечание. В приложениях, когда Н =—Д+У, роль Яо играет —Д..'#

Условие 4. Оператор [[Я, L4],L4] (где [Я, L4] определяется как в условии 2), заданный в смысле форм на Н+2ПЯ(Л), продолжается до ограниченного отображения из Н+2 в Н-2-

Определение 4.4 (оценка Мурра). Будем говорить, что самосопряжённый оператор Я подчиняется оценке Мурра на интервале Д, если существует такой самосопряжённый оператор Л, что

Я и Л удовлетворяют условиям 1 и 2х;

существуют положительное число а и компактный оператор К< такие что

Яд [Я, iЛ] Ед > аЕд + К.•(4.2)

Здесь Яд = Яд(Я) — спектральный проектор Я, отвечающий интервалу Д.

Будем говорить, что Я удовлетворяет оценке Мурра в точке Хе R, если существует интервал Д, содержащий X, такой что Я удовлетворяет оценке Мурра на Д.

В заключение этого параграфа приведём четыре примера операторов Шрёдингера, подчиняющихся оценке Мурра.

Пример 1 (двухчастичные потенциалы). Пусть Яо =—Д — оператор в £а(К*),Л— генератор растяжений, т. е. Л=(х-£) + D-x)/2i, где О — оператор градиента: Df = Vf. Мы основываемся на том наблюдении, что

[Яо, 1Л] = 2Я0.

Отсюда сразу следует, что Яо подчиняется оценке Мурра на любом интервале Д, не содержащем точки нуль. Теперь пока-

жем, что то же верно и для Я = Я0 + V, если V удовлетворяет следующим условиям:'

оператор У(—Д + /)-1 компактен;'

оператор (—A + /)-1x-VV(—Д-f-/)-1 компактен. .

[Точный смысл условию (ii) придаётся в замечании 1 после предложения 4.16.] Поскольку С” (Rv) с D (Я) Л D (Л), условие 1 выполнено. Кроме того,

[Я, 1Л] = 2Я0-х- VK,(4.3)

так что из (ii) следует, что и условие 2х выполнено. В силу (4.3)

Яд [Я, 1Л]£Д = 2£ДЯ£Д + E^WE^,

где Н7 = 2V + х-VV. Согласно нашим предположениям, оператор E^WE^ компактен для любого конечного интервала Д. Если Д лежит ниже точки 0, то £д и ЕдНЕд, также компактны, ибо (Tess (Я) = (Tess (Яо) = [0, оо) в силу (i). Поэтому оценка Мурра выполняется автоматически. Если Д = (а, Ь) с а >-О, то Е^НЕ^ ^ аЕд, так что оценка Мурра справедлива и в этом случае.

Пример 2 (Froese—Herbst [114]). Рассмотрим оператор Н = -cE/dx^-VV в L2(R), где

у(х) = б62»1М + у1(х),

a Vi удовлетворяет условиям примера 1. Мы покажем, что при .1 / d . d \

' Л (-т-х+ х-з—)■’■

21 \ dx 1 dx )-

оценка Мурра справедлива во всех точках, за исключением О и 1.

Поскольку оценки Мурра можно использовать для доказательства отсутствия собственных значений на непрерывном спектре (см. [114]), интересно отметить, что существует потенциал того же вида, что и V, для которого оператор Шрёдингера имеет собственное значение, равное 1. Это потенциал Вигнера — фон Неймана [362; 295]. Для простоты обозначений положим £0=1- Общий случай рассматривается так же.. Легко проверить, что условия 1 и 2х выполнены. Пусть/д <= С” (R) — сглаженная характеристическая функция интервала Д. Из примера 1 следует, что если 0 ^ Д, то при Яо — —&/йхг

к (Но + ^i) ^ ^] /а (Но + V,) >afl (Яо + VJ + Я

+ М#о + М'^Г±’ ьф^Яо+У^

где а > 0 и К — компактный оператор. Далее, в силу рассуждений, близких к доказательству предложения 3.8, оператор (Яо+ /)[/(Я0 + У1)— /(Я)] компактен. Оператор (Яо + /)~* [Я, 1Л] X

(Яо + /)-1 ограничен. Таким образом,'

/д (Я) [Я, 1Л] /д (Я) >а^ (Я) + Г

+ /д(Яо+У0р^. Ь4рд(Я0 + У,) (4.4) с компактным К'. Если мы сможем показать при произвольном Х=^1, что последнее слагаемое компактно для достаточно малого интервала А э X, то наша задача будет решена. Действительно, при X ^ {О, 1} функцию /д можно выбрать равной 1 на интервале А'сА, содержащем X. Оценка Мурра получается после умножения (4.4) с двух сторон на Яд'. Итак, [х-1 sin (2х), L4 ] = 2 cos (2х) — х-1 sin (2х). Легко видеть, что ^(ЯоЧ- У1)х-* sin(2x)fA^o+ V0—компактный оператор. Ввиду компактности /д(Я0+У1)— /д(Я0) остаётся убедиться лишь в том, что /:д(Яо)соз(2х)/:д(Яо) компактен для любого достаточно малого интервала А около Х= L Но ядро этого оператора можно выписать явно в импульсном пространстве:

[/д(Я0)со3(2х)/д(Я0)](р^

= у Гд (р2) [б (р - р' + 2) + б (р - р' - 2)1 /д W

Это выражение тождественно равно нулю для любого достаточно малого интервала А, содержащего Х¥=1, поскольку при Р, р' е supp /д всегда | р — р' | ^ 2.

Пример 3 (электрические поля; Bentdsela — Karmoria — Duclos — Simon — Souillard — Weder [45]). При изучении электрических полей группа сдвигов часто играет ту же роль, что и группа растяжений — при изучении других операторов Шрёдингера (см. гл. 7). В этом примере Л = id/dx— генератор сдвигов и Я — одномерный гамильтониан с электрическим полем:

Я^-+V(x) + Fx,'

где F "> 0 — напряжённость поля, а потенциал V принадлежит классу С1 и имеет ограниченную равномерно непрерывную первую производную. Как и в первом примере, Co°(R) с£)(Я) () £>(Л) и множество Со* (R) плотно в Н+2. Кроме того, [Я, 14] = V' + F— ограниченный оператор. Стало быть, условия 1 и 2х выполнены. Поскольку ,

Е^Н, 1Л]ЯД = ЯЯД + ЯДУХЯД,

оценка Мурра имеет место, если последнее слагаемое компактно. В § 7.2 мы проверим это для любого конечного интервала Д.

Абсолютная непрерывность спектра операторов рассматриваемого вида была доказана другими средствами (см., например, Titchmarsh [357]; Наймарк [261], Walter [364]). Метод. Мурра позволяет получить и некоторую дополнительную информацию. ■ .

Всё сказанное выше можно распространить на случай операторов Н =—Д+У + ^-х и A=\F-D в L2(!RV), если УУ->-0; на бесконечности. .

Пример 4 (Я-частичные гамильтонианы; Perry — Sigal— Simon [281]). Пусть Н — это Я-частичный гамильтониан с исключённым центром масс, действующий в £2 (₽<*-»») так, как указано в § 3.2. Предположим, что каждый парный потенциал У,/ удовлетворяет условиям (i) и (и) из примера 1. Тогда при А =■ (x-D + D-x)/2i оператор Н подчиняется оценке Мурра в любой точке, не совпадающей ни с одним из порогов. Доказательство- этого результата более сложное, чем - в предыдущих примерах.. Оно приведено в § 4.5.

СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ НА НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ

Первым приложением оценки Мурра является теорема Мурра- [256], которая утверждает, что точечный спектр Н на каком- либо интервале Д конечен, если Н удовлетворяет на Д оценке- Мурра. Для доказательства этого результата нам потребуется лишь одно средство — теорема вириала. Согласно этой Теореме,. <-ф, [Я, Й]ф> = 0 для любой собственной функции Н. С формальной точки зрения это очевидно (по определению коммутатора). Однако при неограниченных Н и А здесь требуется некоторая осторожность, так как может случиться, что -ф^О(А). Теорема вириала доказывалась различными авторами [189; 367; 281]. Наше доказательство следует работе [281]. Чтобы- регуляризовать оператор А, нам понадобится следующая лемма:

Лемма 4.5. Пусть Н и А удовлетворяют условиям 1 и 3, и пусть- {HJ—пространства, ассоциированные с Я. Определим Rx = ХНА + Х)-1, Х¥=0. Тогда оператор /?х:Н4->Н^ равномерноограничен при больших |Х| и

s-lim Rk = I |X|-»=o

в Н* для й = —2, —1, 0, 1, 2 (здесь Н0 = Н).

Доказательство. Мы докажем лемму для Н+2. Ввиду двойственности отсюда вытекает равномерная ограниченность оператора Rk: Н-2-»-Н-2 при больших ]Х|. Равномерная ограниченность для других Н» устанавливается с помощью интерполяции [293]. Поскольку Н+2 плотно в Н/, равномерная ограниченность в каждом из пространств Н/ и сильная сходимость в Н+2 влекут за собой сильную сходимость в Н/..

Пусть Яо — оператор из условия 3. Мы регуляризуем также Яо- Для ф е Н+2.

(Яо+Оа^ИвЯоГ^хФ

= Як (Яо + i) (/ + 1вЯ0)"1 ф + [(Яо + 0 (/ + W*. Ях] Ф.

Поскольку ||Ях11= 1,-

fl Дк (Но + 0 (/ + «НоГХ ФI < II (Яо + i) Ф ||.

Далее,

[(Яо + гИ^вЯоГ'.Ях]

= аЛ + Х)-,[(Яо + 1)(/ + 1вЯо)-1, Ы]/?х.''

= (1Л + X)-1 [- ie-1 аеЯ0 + 1 — е- 1) (I + WioV, М] Rx

= ie-1 (1 + в) аЛ + X)-1 [(/ + 1вЯ0Г1, iЛ] Rx

= is-1 (1 + в) (1Л + X)-1 (- ie"* + НоГ1 '

X [Яо, М] (/+ 1еЯо)-1 Ях-

Вставим множитель (Я-р i)-1 (Яо -р i) между операторами [Яо, i-A] и (/ + 1вЯо)-1 и учтём, что оператор [Яо, Л] (Я0-р i)-1 «ограничен (в силу условия 3). Тогда при больших |Х|

1[(Яо+1)(/ + 18ЯоГ1, Ях]ф|

<С| X Г11 (Яо + 0 (/ + 1вЯо)"1 Rk4>|- Таким образом,

(1 - С | X г1) 8 (Яо + i) (/ + ieH»rX Rk4>I <С II (Яо + О ФII,

так что

|(Я0 + i) (/ + 1еЯ0)—1 /?хф|<СЦ (Яо + О ФII-

Устремляя в к нулю и учитывая равенство D(Яо) = D(Я) = Н+2, получим, что оператор Rk : Н+2 -> Н+2 равномерно ограничен при больших |Х|. .■

По определению, / — Rk = Х-1Ях1Л. Если Л^еН+г, то отсюда следует, что ||(/ — ЯхНП+г-^О при |Х|->оо. Так как мно-

жество Я(Л)ПЕ)(ЯоЛ) плотно в Н+2, равномерная ограниченность Ех гарантирует сильную сходимость. □

Теорема 4.6 (теорема вир нала). Пусть Н и А удовлетворяют условиям 1, 2', 3. Если Е^— спектральный проектор Н, отвечающий точке щ то■

Е{ц)[Я, М]Е{11) = 0.'(4.5)

В частности, ' <*ф, [Я, Л] -ф> = О для любой собственной функции Я...

Доказательство. Пусть Л% = ЛЕм где Rx определяется так же, как в лемме 4.5. Тогда Ах ограничен, а поскольку Е{щЯ =- = цЕ{ц), то'.

Е{ц) [Я, i Лх] Е^ =. рЕ^рЛхЕй!) — рЕ{црЛЕ{ц) = 0.

Прямым вычислением найдём, что [Я, 1Ах] = Ях[#» )Л]/?х- Тем: самым

E^\Rx {Я, i Л] RxE^ = 0.■

Этот оператор при ||А||->оо сильно сходится вНкЕ{ц)[Я, 1Л]Е{ц},. так как Rx-^I сильно в Н+2 и Н_2, а проектор E^j переводит Н в Н+2 и Н_2 в Н. Это доказывает (4.5). □.

Теперь мы можем доказать теорему Мурра [256] о конечности точечного спектра.

Теорема 4.7. Пусть Я и Л удовлетворяют условиям 1, 2', 3 и Я подчиняется оценке Мурра на интервале А. Тогда Я имеет на А разве лишь конечное число собственных значений, кратность каждого из которых конечна.■

Замечание. Этот результат показывает, что собственные значения не могут накапливаться на открытом множестве, во всех точках которого выполняется оценка Мурра.

Доказательство. Предположим, что либо на А имеется бесконечно много собственных чисел Я, либо кратность какого-нибудь собственного числа бесконечна. Пусть {фп}п=1—соответствующие ортонор мированные собственные функции. Тогда, в силу теоремы вириала и оценки Мурра,-

■ О=(Ф„, [Я, М]ф„).

= (ф„, ЕД[Я, 1Л]ЕДФ„)

>а + (Ф», ^„Х

Поскольку ip„->-0 слабо и К — компактный оператор, то <ifn, А''фл>^-0 при п->оо. Так как а > 0, приходим к противоречию. □

Замечание. В случае ^частичных операторов Шрёдингера мы увидим, что оценка Мурра справедлива в точках, не принадлежащих множеству порогов. В силу теоремы 4.7 это значит, что собственные числа могут накапливаться только к порогам. Как установил Перри [280], в действительности они могут накапливаться лишь снизу. Есть примеры атомных гамильтонианов, о которых мы знаем, что их собственные числа сходятся к некоторому порогу (по соображениям симметрии). В § 4.4 будет показано, что при подходящих предположениях ^частичные системы не имеют положительных собственных значений.

ОТСУТСТВИЕ СИНГУЛЯРНО-НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА

Цель данного параграфа состоит в доказательстве отсутствия сингулярно-непрерывного спектра у оператора И на тех множествах, где он подчиняется оценке Мурра. С помощью этого результата мы можем свести вопрос о сингулярно-непрерывном спектре к проверке оценки Мурра! при некотором выборе оператора А. Стратегия доказательства этой теоремы была предложена Мурром [256]. Перри, Сигал и Саймон в [281] распространили её на более общие операторы.

На самом деле мы покажем, что оператор Н имеет чисто абсолютно непрерывный спектр на том множестве, где он удовлетворяет оценке (4.2) при К ==0. Следующая лемма позволит нам вывести отсюда результат об отсутствии сингулярно-непрерывного спектра.

Лемма 4.8. Пусть Н и А удовлетворяют условиям 1, 2' и 3. Если D— (открытое) множество, в точках которого Н и А подчиняются оценке Мурра, то во всех точках множества D\opp(H) эта оценка выполняется при К = 0.

Доказательство. По определению D, около любой точки X е D\opp(H) существует интервал А, такой что справедлива оценка Мурра (4.2) с некоторыми а и К. Умножая это неравенство с двух сторон на Е^(Н), где А' — такой интервал, что ле А' г А., получим оценку

Е^ (Н) [И, iЛ] Е^ (И) > аЕ^ (Я) + Ед/ (Я) КЕ^ (ЕГ). (4.6)

Поскольку X ^ арр(Я), проектор Ем (Я) сильно сходится к нулю, если А' сжимается. Поэтому Е^(Н)КЕ^(Н) стремится к нулю

по норме. Если выбрать Д' так, чтобы йЕд'^Н) КЕд'(Н)\\^а/2, то (4.6) приведёт к неравенству

. . Ед' (Я) [Я, iА] Ед, (Я) > аЕд. (Я) - а/2.

После умножения с обеих сторон на Ед* отсюда вытекает утверждение леммы. □

Перейдём теперь к основной теореме этого параграфа.

Теорема 4.9. Пусть Я и Л удовлетворяют условиям 1—4. Тогда любая точка X, для которой оценка Мурра справедлива при Я = 0, содержится в открытом интервале Д, таком что

ППГ 5ир8(|Л|+/)-1(Я-р-1д)-1(|Л| + /)-1|<С(4.7)) 6^0 це Д .

с некоторой постоянной С. .

Следствие 4.10. Если Я и Л удовлетворяют условиям теоремы 4.9, то на1 (открытом) множестве, где оценка Мурра справедлива с К = 0, оператор Я имеет чисто абсолютно непрерывней спектр.

Замечания. 1. В силу результатов § 4.5 (см. выше пример 4)„ теорема 4.9 и лемма 4.8 означают, что Я-частичные операторы, Шрёдингера не имеют сингулярно-непрерывного спектра.

Для Я-частичных операторов Шрёдингера оценка (4.7) теоремы 4.9 остаётся в силе при замене (|Л ]-{-/)—1 на (1х| + 1)-1/2-в (см [281]). Совсем недавно Йенсен и Перри [185] улучшили этот результат, показав, что оператор (Я — р,— i6)-1 при 6 ф 0 остаётся ограниченным как отображение в некоторых пространствах Бесова. _ _

Результат Перри; Сигала и Саймона означает, что (1 + |x|j-i/2-e — локально-гладкое возмущение Я (изложение теории гладких возмущений см. в книге Рид — Саймон [295], § XIII. 7). Отсюда сразу же следует асимптотическая полнота двухчастичных систем с потенциалами, убывающими как [xl-1-38. Этот результат, по-видимому, полезен при изучении вопроса об асимптотической полноте и в Я-частичном случае.

Мурр [257] показал, что оператор (/ + 1Л])-1 можно заменить спектральными проекторами А, «отвечающими» множествам ± [0, оо). Это позволяет получить оценки для пропагаторов, нужные в теории рассеяния.

Доказательство теоремы 4.9 состоит из последовательности лемм. Пусть X— точка, в которой оценка Мурра выполняется- при К = 0, т. е. для некоторого интервала Д, содержащего X,.

и подходящего а

Ед (Я) [Я, i Д] Ед (Я) > аЕд (Я).

Пусть f е С” (R) — сглаженная характеристическая функция с носителем в А, такая что / == 1 на некотором подынтервале Д', содержащем X. Тогда

f (Я) [Я, 1Д] f (Я)^а/2 (Я),(4.8)

так что можно определить неотрицательный оператор ЛР = /(Я) [Я, L4]f(Я). Доказательство сводится к анализу оператора

Ов(г) = (Я —ieM2 —z)-1,

который, как мы покажем ниже, существует при в О и Im z > 0. Этот оператор не столь загадочен, как это кажется с первого взгляда. Если опустить множители /(Я) в М2, то Ge совпадёт с резольвентой оператора Я — в [Я, Д], который является первым членом формального степенного ряда для оператора ехр(вД)Яехр(—вД), полученного с помощью масштабного преобразования.

Замечание. Йенсен, Мурр и Перри в [184] исследовали возможность использования следующих членов этого разложения. Они установили связь между ограниченностью членов более высокого порядка и гладкостью резольвенты в пределе при б |0.

Определим операторы D и Fe равенствами

- О =(|-Д !+/)"*. ■

Стратегия доказательства заключается в следующем. Мы покажем, что Ев есть С1-функция по переменной в, и установим при малых в следующие неравенства:

||Ев||<С/в;

l|dFe/d8|KC(||Ee|| + e~1/2||Ee||1/2+1) с константой С, не зависящей от Rez = p при цеЛ'.

Предложение 4.11. Из оценок (а) и (Ь) при малых в следует теорема 4.9.

Доказательство. Подставляя (а) в правую часть (Ь), находим

WdFJdaW^De"1,

так что

|F.n<C|loge|.

Оценивая с помощью этого неравенства правую часть (Ь), при малых в получим оценку ■

Hd^elKCe-^llogel,

из которой следует ограниченность ||Fe|| при в 10. □

Здесь и в дальнейшем через С обозначается общая константа, не зависящая от p, = Rez при цеА', значение которой может меняться от выкладки к выкладке. Следующие технические леммы дают оценки различных объектов, возникающих при доказательстве неравенств (а) и (Ь). Отметим, что именно необходимость контролировать коммутатор [Л, Л42] вынуждает нас использовать условие 2 (вместо 2') и условие 4..

Лемма 4.12. Если f е Со° (R), то [Л, f (Я)] — ограниченный оператор из Н—1 в Н+1. ■

Доказательство. Чтобы избежать сложностей, связанных с областями определения, регуляризуем А. Пусть, как и в лемме 4.5, Ях = Х(1Л + ^)-1- Тогда ЛХ:=Л/?Х ограничен и

е«яЛх-Лхемя = (е“яЛхе-«я-Лх)емя-

= ( J е^я [Я, Лх] e~isH е«я. .хо/

Как и в лемме 4.6, [Я, Лх] = ЯХ[Я, iA]Rx и Rx ограничен равномерно по X при больших | X | как оператор из Н2 в Н2 и из H-i в H_b С другой стороны, в силу условия 2, [Я, Л] ограничен как оператор из Н2 в Н-ь Таким образом, ■-

НИХ, е««] Ik, _!< Ct, где С не зависит от X. Здесь || ■ Ц^ z — норма операторов из Нг в Hz. Для g е Со* (R) справедливо равенство

g (Я) = (2я)~1/8 g(s)eUHds,

где § — преобразование Фурье функции g. Следовательно,

IHA, gWHk.-^C(4.9)

с постоянной С, зависящей от g, но не от X. Поскольку

[Лх, (Я + О"1](Я + i)"1 Rk [Я, Л] Rk (Н + i)-1, ясно, что ■.

|[ЛХ, (Я + О-и^С, ПА, (Я + ГНьо^С (4.10)

с константой С, не зависящей от X. Теперь запишем f еС” (R) в виде f (Я) = (Я + i)-1 g (Я) (Я + О-1, где g е СТ (R). При этом получим

[Л, f (Я)] = [лх, (Я + i);1] g (Я) (Я + i)-1 -Кя-иг1^, gW^H + ir1

+ (Я + D-Vg (Я) [лх, (Я + i)-1], (4.11 }

так что, в силу (4.9) и (4.10),

11[ЛХ,/(Я)]||0,1<С.

Используя эту оценку для [Лх, £(Д)]в (4.11), найдём, что

11МХ,/(Я)]||_1а<С

с не зависящей от X постоянной С. Для завершения доказательства леммы остаётся устремить X к оо. □

Лемма 4.13. Оператор [Л, ЛР] ограничен в Н.

Доказательство. Имеем

[Л, АР] = [Л, f (H)]Bf (Я) + f (Я) [Л, В] f (Н) +

f(H)B[A, МЯ)Ь

где В := [Я, 1Л]. Тем самым наша лемма следует из леммы 4.12 и условия 4. □

Лемма 4.14. (а) При в ^ 0 и jmz>0 оператор (Я — ieM2— z) обратим, и его обратный, Ge, является С'-функцией на (0, оо) в непрерывен по в на [0, оо).

Для всех в, 0 < в ^ во (при подходящем во), и всех z. Re z е Д', справедлива оценка

|| f (Я) Ge (z) Ф|| <С8-*«| (ф, Ge (z) Ф) |1/2(4.12>

(напомним, что Д' — это интервал, на котором fs 1).

При в >0 и Imz>0

||(/-/(Я))Ов(г)||<С,(4.13}

||Ge(z)||<Ce-i.(4.14}

Оценки пунктов (Ь) и (с) справедливы при замене операторной нормы II •(( в Н на норму 11-110,2 операторов из Н в Н2.

При в > 0, Im z > 0

||G8(z)D||<C(l-Ье-^ПЛН1/2).

Доказательство, (а) Пусть z = p+i6. Тогда

|| (Я - ieM2 — z) ф |р = || (Я - ieM2 — ц) Ф IP +

.д2||ф|Р + 2д8||Мф|р.

Таким образом, при б > max(0, — 2е||М||) можно заключить, что оператор Я — ieM2 — z обратим на своей замкнутой области значений. Так как сказанное верно и для сопряжённого оператора' Я + ieM2 — z*, ядро последнего пусто, а потому область значений Я — ieM2 — z совпадает с Н. Поскольку М2 ограничен, оператор-функция Я — ieM2 — z при фиксированном z принадлежит аналитическому семейству типа (Д) по переменной в [196]. Тем самым, Ge(z) при фиксированном z— аналитическая функция в окрестности множества (—б/2||М||, оо). Этим обеспечена требуемая гладкость Ge.'

Отметим для дальнейшего, что

^ = \G^PGe..(4.15)

Это равенство получается дифференцированием тождества ф = (?е(г)(Я — ieM2 — г)ф при феО(Я) = Н2, с использованием правила Дифференцирования произведения.■

Это единственный шаг, на котором требуется оценка Мурра. В силу (4.8)

|/<?,фГ-<ф. о^овФ>-

^(2ае)~1 {ф, Ge2sM2G6<p).

'^(2о8)-1(ф, Ое(28М2 + 21тг)йвф) "

= (2ав)-1 (ф, i (Ge — Ge) ф)■

«ав^Цф, О.ф>|..

Можно записать '

(Z - Л G. - а - л Go(Z + ieAPG^,

где оператор (Z— f(Я))Go(z) ограничен при RezeA'. Следовательно,

ll(Z-ЛGвll<C(l+8||Gвй),(4.16)

так что (4.13) следует из (4.14). Чтобы доказать (4.14), используем неравенство

HGe||+l<||fGe|| + ||(Z-nGe||+l

< Се-*/21| Ge ||1/2 + Сх (1 + в || Ge ||) + 1.

Здесь мы учли (4.12) и (4.16). Предполагая, что Cie ^1/2 и Ci + 1/2 ^ Се-1/2, из выписанного неравенства получим

|| G. || + 1 < Ce-i/2 (|| G. ||1/2 + 1) + у (II Gs 18 + 1)

< 2Се-*/2 (|| G. || + 1)1/2 + у (IIG611+1). Следовательно,

IIGJ^IGC^-1.(4.17)

Стало быть, неравенство (4.14) справедливо при е<8о:= min{(2C1)-1, ^(Ci + 1/2)-2}.

Напомним читателю, что IISIU, 2= И(Я +i)S|| для произвольного оператора S. Так как f имеет компактный носитель, принадлежащий А, то (Я +i)f (Я) = (Я + 1)ЕД(Я)/(Я). Поэтому требуемая оценка вида (Ь) прямо следует из (4.12). Возвращаясь к доказательству (с), отметим, что в действительности ограничен и оператор— /(Я))6о(з), так что,

lia-DGeHo,2<C(l + 8||Ge||XC.

Здесь мы учли неравенство (4.14) для норм из Н в Н. В силу компактности носителя f

№ lb,2 <С II (н + 0 цн>с81|< СII Ge||.

Комбинируя эту оценку с предыдущей, найдём, что (4.14) имеет место и для норм из Н в Нг.

Из (4.12) при ф = D^ следует, что

|| fG8D$|К Се-*/2ЦФ, F8^ |"2,

а потому

ilfGeSIKCe-^H^ell^2.

С другой стороны, величина

||(z —DGs^lKlia —D G.II

ограничена вследствие (4.13). Отсюда вытекает нужный результат. □

Неравенство (а) следует из (4.14). Тём самым следующая лемма завершает доказательство теоремы 4.9.

Лемма 4.15. Справедливо дифференциальное неравенство (Ь).

Доказательство. Согласно (4.15)

-i^8/^ = DGeAf2GeD = Q1 + Q2 + Q3,

где

Qi = - DGe (I-П [Н, i Л] (I - П GeD,

QaDG6 U - МН, i Л] f G8D - DGj [Я, i Д] (Z — D G%D,

Qa = DG8\H, \A\G6D.

В силу (4.13) c ||-Но, 2-нормой, оператор (Z— f)GeD ограничен как оператор из Н в Н2, а [Я, М] — как оператор из Нг в Н-г. Таки'м образом, по лемме 4.14(e)

IIQilKC и

IIОг IK С|| (Я + 0 fG8D ||< С || G8D ||

<С(1 +e-*/2||Fe||1/2).

Представим Q3 в виде Qs = @4 + Qs, где

Qt = DGe [Я — ieM2 — z, i Л] G8D, Q5 = №DG8VM2, M]G8D.

Раскрывая коммутатор в Q4, найдём, что

||Q4IK2||MG8D||<2||G8D||

<С(1+8-*/2||F8||1/2).

Здесь мы применили неравенство ПОД Ж 1 и лемму 4.14(e) . С помощью лемм 4.14(c) и 4.13 для Qs при е < е0 получим неравенство

II Qs IK 8II GeD II2 II [М2, i Д] II < С ^ + II Fe ||1/2)2

<С(1 + Н8||).

Комбинируя оценки для всех Qi, придём к (Ь). □

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ И ОТСУТСТВИЕПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ

В этом параграфе мы опишем связь между скоростью убывания собственной функции оператора Шрёдингера и расстоянием от собственного числа до тех точек, где нарушается оценка Мурра (согласно результатам следующего параграфа, такими точками являются пороги Я-частичных гамильтонианов). Доказательство отсутствия положительных собственных чисел приведём в два этапа. Вначале мы покажем, что собственные функции Я-частичных гамильтонианов, отвечающие положительным собственным числам, должны очень быстро убывать. Затем, опираясь на одно утверждение типа теоремы об однозначном

продолжении на бесконечности, докажем, что такое быстрое убывание невозможно. Результаты данного параграфа являются менее общими, чем результаты предыдущих параграфов. Это связано с тем, что здесь Н предполагается равным —А + V, и А—всегда генератор растяжений. Такое ограничение возникает из-за того, что мы используем специальные коммутационные свойства операторов —А, V и А.

Наше изложение следует работам Froese — Herbst [114] и Froese — Herbst — Hoffman-Ostenhof — Hoffman-Ostenhof [116]. To что у Я-частичных гамильтонианов нет положительных собственных чисел, было установлено для некоторых частных случаев Вайдманом [367], Бальслевом [35] и Саймоном [321]. Для одночастичных систем с потенциалами довольно общего вида этот результат известен из работ Като [180], Дгмона [1] и Саймона [318] (см. также недавнюю книгу [90]). Экспоненциальное убывание собственных функций, которое мы используем здесь как инструмент, представляет и самостоятельный интерес. В этой связи упомянем лишь книгу Agmon [3], содержащую дальнейшие ссылки на литературу.

В настоящем параграфе будет удобно использовать антисимметричный генератор растяжений. Пусть

A = y(D-x + x-D),(4.18)

где D— оператор градиента, т. е. Df:=Vf. Тогда A = iA, где А — наш прежний генератор растяжений. Для xeRv введём обозначение _'

<х) = (1+|хр)1/2.-(4.19)

Чтобы дать представление о том, как получать из коммутаторов информацию о положительных собственных числах, мы наметим доказательство теоремы Вайдмана [367]. Эта теорема применима, в частности, к однородным потенциалам порядка — 1, т. е. потенциалам, удовлетворяющим условию У(Хх) = Х-*У(х) при Х>0 (например, она применима к атомным гамильтонианам). Для таких потенциалов [V,А] = —x-W=V. Таким образом, если ф— нормированная собственная функция Н = —А + V с собственным значением Е,. мы можем применить теорему вириала и заключить, что

. 0 = (Ф, [Я, Л]ф) = (ф, (-2А + ПФ)

= (ф, Яф) + (ф, — Аф)^£.■

(Здесь использованы коммутационное соотношение [—А, А] = —2А и положительность оператора —А.)■ ■

Мы рассматриваем экспоненциальное убывание собственных функций в смысле L2. Будем говорить, что функция ф удовлетворяет £2-оценке сверху (снизу), если ехр(Р)ф принадлежит (не принадлежит) L2. Функция F служит мерой скорости убывания.. В следующем предложении приведён ряд тождеств, которым удовлетворяет Фе := exp(F^ при условии, что ф — собственная функция оператора Шрёдингера, a F(x)— растущая функция, зависящая от |х|. В этом предложении важным условием является то, что ф^ е L2. Именно в таком смысле мы будем понимать £2-убывание функции ф в наших доказательствах.

Предложение 4.16. Пусть Н =—А-|-Н в L2(RV), где V удовлетворяет следующим требованиям:

V A-ограничен с относительной гранью, меньшей единицы;'

(—А + /)-*х-W(—A + Z)-1— компактный оператор.

Допустим, что ф — собственная функция Н с собственным числом Е, т. е. Нф = £ф. Пусть F — неубывающая С°°-функция, зависящая только от |х|. Предположим, что

|VF|<C, (х ■ v)2g-x-V((vF)2)<C,

где g— неотрицательная функция, задаваемая соотношением VF = xg. Определим фЕ:=ехр(Р)ф и предположим, что ф^е/.2. Тогда

■ H(F)^f = E^f, H<F) = H — ^Fy-VD.^F-VNF.D, - (4.20)

(Фе, H^f) = (Фе, [(VF)2 + F] Фе),(4.21)

(Фе, [Я, Л] Фе)4 Ц ^Лф^ Ц2.

+ (Фе, (U • V)2 g - (х • V) (VF)2) Фе). (4.22)

Здесь А определяется, как в (4.18), a D — оператор градиента. Замечания. 1. Предположение (i) позволяет определить Н как самосопряжённый оператор с областью определения О (А). Из предположения (ii) следует, что Н и генератор растяжений удовлетворяют условию 2'. Предположение (ii) на самом деле означает, что форма Q(fi, f2), определённая на элементах fi, f2 пространства Шварца S равенством

QVi,to =

S V (Е ” dtxt [(- А + /)"* Л • (- А + /Г1 f2]) dX

продолжается до формы, отвечающей некоторому ограниченному оператору. Отметим, что для этого не требуется существования производных V в классическом смысле. Например, если (1 + |x|)V является A-ограниченным, то условие (и) выполнено.

Хотя может случиться, что фр ^ О (А), мы покажем, что ^feD (51/2Д), так что (4.22) имеет смысл.

Для формального доказательства этого предложения достаточно вычислить соответствующие коммутаторы.

Доказательство. Поскольку градиент ^F ограничен, то Н^—F)— замкнутый оператор с областью определения Нг = О(А) и существенной областью С”. Сопряжённый к Н(—F) совпадает с H(F). При феС” прямые вычисления дают Н(—Е)ф = ехр(—Р)Н-ехр(Р)ф. Таким образом, (Н(—^)ф, Ф/?) = (ф, Е^г) для феС", откуда следует, что фFeD(H(F)) и выполнено (4.20). Равенство (4.21) вытекает из (4.20) и антисимметричности оператора D-VF + VF-D. А именно, имеем

£|1Фе1Р = <Фе. H(F)^.

■= Re^F, H(F)^p')'

= <фр, (Н-№^^р\

Чтобы доказать (4.22), вначале проверим следующее тождество для феС” и g:=exp(F):

<Ф, [Mt, -А]Ф> '.

= ф₽. [A, -AHV)- 4U*/2AUK

Здесь G(x)=(x • v)2g=x-V((VF)2). Поскольку ф е С”, это тождество следует из формальных выкладок

[Mt, -А]=§И, -АН + МК, -A1 + R, — A] At

= §[А, -^-V^A^gx-D-VD-xge^

+ <eFgx ■ D-V D • xg^ At

= t[A, -A]t + t(A(^-D + D.x5)

+ (gx • D + D • xg>A + [(VF)2, A]) t = SVA, -A]t + 4MgAt

■+£((x-V)2g-x-V((VF)2))g.

Определим срезающую функцию xm (x) = % (xlm}, где % e С” и X = 1 в некоторой окрестности начала координат. Нетрудно видеть, что равенство (4.23) справедливо при ф = хтф. Если при-

бавить к обеим его частям <х«Ф, (х- фу)хтф>=<хтф, [А, У]х«Ф> и ввести постоянную Е в коммутатор в левой части, то получим

<Х«Ф, [Mg, Н — f] Х^-ф) = <^Хт'Ф, [Л, /7] бХ^гФ) ■

— 4II gv^A?M II2 + <§ХтФ, GUm^Y (4.24)

С помощью (4.20) и (4.21) можно убедиться, что gxmф->-gф=фF в Н2 при m -*- сю. Тем самым, первое и последнее слагаемые в правой части (4.24) сходятся. Здесь мы использовали ограниченность G. Чтобы рассмотреть левую часть (4.24), запишем её в виде■

<ХтФ, [Mg, (Я — Е)] хтф> = —2 Re <gЛgxm‘Ф, (Я — Е) х«Ф) = -2 Re ((х)"1 AM, (х) g (Я — Е) ХтФ> (4.25)

(Напомним, что <х>=(1 + |х|2)1/2.) Отметим, что '

<х> g (Я — Е) х«ф = — (х) g (AXm — 2Vx« • Я) ф(4.26)

и |<х>АХт| и |<x>VXm| ограничены равномерно по т. Так как функции g-ф = ф^ и gVE принадлежат L2 (для gVE это следует из того, что Фф^еЕ2, ф^еЕ2), правая часть (4.26) по абсолютной величине не превосходит некоторой фиксированной Е2-функции. Кроме того, она поточечно сходится к нулю. Стало быть, по теореме Лебега о мажорированной сходимости

|| <х)g(Я — Я-)х^гФII —*0 при т-*оо.

Поскольку (х)-1 А ограничен как оператор из Н2 в Н, то kxr^gx^icc

с константой С, не зависящей от т. Следовательно, левая часть (4.25) сходится к нулю при т-»-оо.■

Член || g^A^m^ || имеет предел при m ->- оо, ибо все остальные слагаемые в (4.24) сходятся. Таким образом, для ф е С”

|<ф,, Л51/2ф)|= Нт |<gXmФ, Л51/2ф)|■

т->оо

<(Нт и1/2^хтФ1Г)11ф11.

\т-> оо/

Отсюда видно, что ф^еО((—Л^1/2)*) = Я (^1/2Л), а потому Ag^Xm^-* Ag^p при т-^са. Следовательно, каждый член в (4.24) сходится к соответствующему слагаемому в (4.22). □

Следующая теорема связывает Е2-скорость убывания собственной функции ф, отвечающей собственному числу Е,

с множеством, на котором нарушается оценка Мурра. Рассмотрим функцию фа := ехр(а<х»ф. При а=0 эта функция по условию принадлежит L2. Если увеличивать а, то может случиться, что фа перестанет принадлежать L2, в некоторой критической точке ао. Следующая теорема утверждает, что это может произойти лишь в том случае, когда а2 + Е является точкой, где оценка Мурра не имеет места. Эта теорема допускает возможность того, что фа всегда лежит в L2. Такая возможность исключается теоремой 4.18..

Теорема 4.17. Пусть Н = —А + V в L2(RV), где V удовлетворяет следующим условиям:

V A-ограничен с относительной гранью, меньшей 1;

(И) (-—А + Z)_Ix-W(—A + Z)-1 — ограниченный оператор.

Пусть Нф = Еф и Е(Н)— дополнение множества точек, где справедлива оценка Мурра (4.2) с генератором растяжений А. Положим '

т = sup {а2 + £ ; а ^ 0, ехр (а(х)) ф«е L2 (Rv)}.

Тогда tsE(H)U{+<»}.

Доказательство. Допустим.^теорема неверна. Тогда т = а§+Е^ Е (Н) для некоторого а0 < °°- Если ао ¥= 0, выберем числа ai и у так, чтобы ai < а0 < «1 + у. Если а0 = 0, то положим ai=0 иу>0. В обоих случаях ехр(а1<х»ф е L2, а ехр[(а!-|- у) <х>] ф ^ L2. Отсюда мы выведем противоречие для малых у. Предположим, что. 0,^ у ^ 1, так что. все постоянные, возникающие при доказательстве, не зависят от у и ар

Начнём с определения интерполяционной функции %s, seR: t.■

K.^ = \<sx')"2dx.'

0

Очевидно, x$ (Z),f t при s 10 и

X,(O<CS при s > 0,.(4.27)

K^yx, <o|^c/—+i,(4-28)

причём постоянная в (4.28) не зависит от s. Положим

Fs W = «1 <*) + YX» «*)).

В силу (4.27), ехр(Е$)феЕ2 при всех s > 0, но ||ехр (77$)ф||-*-оо при s|0. Пусть

.Ws = exp <F^ ф/|| exp ^F^ ф ||.

Тогда для любого ограниченного множества В

lim к Vs f dvx = 0>

lim 11VVS |2tfx = 0. I(4.29)

В частности, Vs слабо сходится к нулю. Кроме того, мы покажем, что

IIWsIKc,.(4.30)

||(-A + Z)Vsll«.(4.31)

Чтобы доказать эти неравенства, надо применить предложение 4.16, а для этого надо проверить, что Fs удовлетворяет его условиям. С помощью прямых вычислений находим

VFs = (a1 + Y%:«x»)<x)-1x,

g — ki + VX^K*»)^)"1, так что

к • V (№)2) I «У («! + У) + с (а1 + у)2 <х)-2,

l(x-V)2g|«(a1+y)<x)-1.(4.32)

Следовательно, справедливо предложение 4.16. Используя (4.21) и A-ограниченность V, получим

II Ws IP «Vs, HVS) + c || Vs IP

Это доказывает (4.30). Неравенство (4.31) получается аналогично из (4.30) и (4.20) с учётом A-ограниченности V.

Мы хотим доказать, что.

H^MVsIKc. _(4.33)

Для этого заметим, что || gx,1AVs IP — один из членов равенства, получающегося из (4.22) после деления (4.22) на llexp (/^s)‘фП2- Тем самым достаточно оценить остальные слагаемые. В силу (4.31) и ограниченности (—А + /)-1[^^(—А+ /)-1, вытекающей из (ii), имеет место неравенство

<Vs, [Я, ДГО«.

Из (4.32) следует, что

| <Vs, ((X . V)2 g- X . V (W2)) Vs) I«.

Стало быть, (4.33) выполнено.

Покажем, что

. limlKH-f-^F^^J^O.(4.34)

s о

Согласно (4.20) это равносильно равенству

lim || (D-VFS -^P.-Dp?. || = 0. s*0

Здесь D-4Fs-\- ^Fs-D = 2gA-\- x-^g. Обозначим через xn характеристическую функцию множества {х :g(x)< Я-1}. Тогда

ItoII яД^||<Пт (у-1/2ИXn§U2AWsI з ^0s ^ 0

+ ll(l-%JV)^s||)<cy-lfl.

Здесь мы учли (4.29) и тот факт, что носитель функции 1 — xn содержится в некотором ограниченном при s|0 множестве. В силу произвольности N отсюда следует, что Н^АЧМ-^-О при sjO. Аналогично ||х • Vg^ll-^O при s|0. Это доказывает (4.34).

Из формулы для \FS нетрудно получить оценку

| (^F^ - а? | < с (а,у + V2 + «? <х)-2), так что из (4.34) следует неравенство

ПтЦ(Я-£-а2)Ч'$д<су (а, + у).

Теперь выберем такое малое число у, что оценка Мурра справедлива в некотором интервале А длины 26 с центром в точке а^ + Е. Это можно сделать, поскольку множество -Е (Я) замкнуто и а§ + Е ^ Е (Я). Тогда ''

ПЖ||£(₽\Д)ЗД<д-18£(₽\Д)(Я-£-а?)чи<су s 0

(4.35) и '.

lim|| (Я + i) £(R \ Д) ^И

<Пт{|(5+а2 + 1)^\Д)Чг$д

+ д(Я-Я-а2)£(₽\Д)^|}<су. (4.36)

Таким образом, мы можем подставить спектральный проектор Е (Д) в левую часть соотношения, получающегося после деления (4.22) на ||exp(Fs)i|3||2, и, оценивая поправочные члены, получить, что

US (Ts, Е (Д) [Я, А] Е (Д) V,) < су (а, + у).(4.37)

5*0

Здесь использованы отрицательность первого слагаемого в правой части (4.22), оценки для |(x-V)2^— x-V(VF)2|, ограниченность (Я + i)-1 [Я, А] (Я + i)-* и оценки (4.35), (4.36). С другой стороны, из оценки Мурра известно, что

№, Е (А) [Я, А] Е (А) V,) > а|| Я (A) Vs Ц2 + <V„ ГО

с некоторым а > 0. Поскольку Ч^ -^ 0 и К компактен, то вследствие (4.35)'

Иш (Ч^, Е (А) [Я, А] Е (А) Ч^) > а (1 — Су2).(4.38)

s * 0

При достаточно малых у неравенства (4.37) и (4.38) противоречат друг другу. Доказательство завершено. □

Замечание. Применяя более аккуратные оценки, эту теорему можно доказать без использования слабо сходящихся последовательностей. Это проделал Перри ■ [280].

Теперь мы докажем теорему, которая исключает возможность т = оо в предыдущей теореме. Для этого нам придётся наложить на V условие, не совпадающее ни с одним из условий § 4.1. Оно не оптимально; другие возможные предположения о потенциале, при которых обсуждаемая теорема сохраняется, приведены в [114].■

Теорема 4.18. Пусть Я = —А+ V где V удовлетворяет условиям (i) и (и) предложения 4.1. Предположим, кроме того, что оператор x-W A-ограничен с относительной гранью, меньшей- 2. Пусть Н^ = Е-^ и фа := ехр (а < х >)ф е I? для всех а. Тогда ф = 0.

Доказательство. Функция F =а<_х') удовлетворяет условиям предложения 4.16. Таким образом, (4.20) и A-ограниченность V приводят к оценке

<фа, — Аф„>Хфа, Яфа) — СЦФЛ2

><Фа, (VWa)-WJP

= (фа, а2*? <хГ2 Фа) — СII фа II2..

С другой стороны, известно, что x-W ^ а(—А) + 6, где а < 2. Так как [Я, А] =—2А — x-VV, отсюда и из (4.22) следует, что

<Фа, - Афа) < С <фа, [Я, А] Ф„) + СII фа II2

<с<фа, [(х • V)2 я - • v (VF)2 + 1] фа)

.= С (фа, [а (Зх2 <х)~5 - 2Х2<х)~3) - 2а2х2 <х)~4 + 1 ] фа>.

Объединяя эти два неравенства, получим (фа, (^(^(х^ + гсх2^)-4)

+ Са (2Х2 (х)-3 — Зх2<х)-5) — 2С) фа> < 0.

Но при а-*-оо выражение в круглых скобках монотонно стремится к бесконечности во всех точках, кроме 0. Это невозможно, если ф не равна нулю. □

Теперь мы можем, скомбинировав теоремы этого параграфа с результатами следующего параграфа, доказать отсутствие положительных собственных чисел у У-частичНых гамильтонианов.

Теорема 4.19. Пусть Н есть У-частичный гамильтониан с исключенным центром масс, действующий в ^('R^-1)!1) (см. § 3.2). Предположим, что парные потенциалы Vq удовлетворяют условиям :

(i) оператор Vq^—Д + /)-1 компактен в ^(Ri1);

(п) оператор (—A + /)~1x-Wi/(—А + 7)-1 компактен в L2(R^);

(iii) оператор x-^Vq A-ограничен в L2(Ri*) с относительной гранью нуль.

Тогда И не имеет положительных порогов или собственных чисел.

Доказательство. Доказательство проводится по индукции. Предположим, что при. Bcex_.M.C N. тИ-частичные гамильтонианы не имеют положительных собственных чисел. Тогда у Н нет положительных порогов, ибо множество порогов представляет собой объединение собственных чисел гамильтонианов подсистем. Пусть Н^ = £ф.

Поскольку Н не имеет вида —А + V (если только все массы не равны 1/2), теоремы 4.17 и 4.18 неприменимы к Н и ф непосредственно. Однако Н = Но+ V, где Но = —D-M-^-D с некоторой симметричной положительно-определённой матрицей М, зависящей от масс (см. гл. 3). Определим унитарный оператор U соотношением Uf(x) = det(Af)1/2/(Afx). Тогда гамильтониан Я := U*HU = —А + V(Л4-1х) удовлетворяет условиям теорем 4.17 и 4.18. Кроме того, U*AU = А, а потому Я подчиняется оценке Мурра с А одновременно с Н. Таким образом, множества Е(Я) и Е(Н) равны, и в силу теоремы 4.21 оба они совпадают с множеством порогов Н. Применяя теоремы 4.17 и 4.18 к Я и £7*ф = бе1(Л4)-1/2ф(Л4-1х), найдём, что точка

т := sup {а2 + £ : а ^ 0, ехр (а(Л4х)) ф е L2}

является порогом, а потому т ^ 0. Но Е ^ т.

: Чтобы ■ избежать трудностей на первом шаге индукции, мы определяем О-частичный оператор как нулевой оператор на С. □

4.5. ОЦЕНКА МУРРА ДЛЯ ^ЧАСТИЧНЫХОПЕРАТОРОВ ШРЕДИНГЕРА

Эта глава завершается доказательством оценки Мурра для Я-частичных операторов Шрёдингера во всех непороговых точках. Первыми доказали этот результат Перри, Сигал и Саймон [281]. Для некоторых трёхчастичных гамильтонианов ранее он был установлен Мурром [256]. Приводимое здесь доказательство следует статье Froese — Herbst [115]. На самом деле обсуждаемая теорема доказана в [115] для определённого класса обобщённых Я-частичных гамильтонианов с явной геометрической структурой. Чтобы избежать введения новых обозначений, мы ограничимся Я-частичными операторами.

В следующей лемме разбиение единицы Рюэля— Саймона используется для разложения коммутатора [Я, А] с Я-частич- ным оператором Н на слагаемые, отвечающие M-частичным операторам при М < N. Эта лемма — ключ к индуктивному доказательству теоремы 4.21.

Лемма. 4.20. Пусть Н есть Я-частичный оператор Шрёдингера (с исключённым центром масс), действующий в ^(R^-1^), как указано в § 3.2. Предположим, что парные потенциалы Vq удовлетворяют условиям:

оператор У,Д^Д +7)-^ компактен в ^(R*1); . __

оператор(—Д + O^x-Wqt—Д + /)-1 компактен в

^(R^).'

Пусть {7а} — разбиение единицы Рюэля — Саймона, пронумерованное двухкластерными разложениями а. Пусть Н(а)—гамильтониан, отвечающий разложению а (см. § 3.2), и А = (х-О + + Я-х)/2, где х и D — оператор умножения на переменную и оператор градиента в ^(R^-1^) соответственно. Тогда если feC“(R), то существуют компактные операторы Ki и Кг. такие что

f ОТ = Z U (Н (а)У Ja + Кь(4.39)

f (Я) [Я, А] / (Я) = £ Jj (Н (о)) [Я (а), А] / (Я (а)) Ja + К2. а(4.40)

Доказательство. Равенство (4.39) сразу же следует из предложения 3.8. Чтобы доказать (4.40), заметим, что [Я, А]=2Я0—W,

где оператор Но — такой, как в § 3.2, a W имеет вид потенциала Я-частичного взаимодействия, составленного из парных потенциалов х-ЧУц. Таким образом, применяя ИМ.С-формулу локализации, получим

[Я, Л] = У/а[Я, Л]7а —2^|V7a|2

= 2 Ja \Н (а), Л] JQ + 2 JoUa - 2 2 I V7a Г»

где IQ = У х-уУи. В этом равенстве 1-1 обозначает норму, Uh *а■

ассоциированную со взвешенным скалярным произведением на Rt^-1^ (см гл з) После умножения полученного соотношения с обеих сторон на /(Я) равенство (4.40) следует из предложения 3.8 (дающего компактность коммутаторов [7О, /(Я (а))]) и компактности / (Я) Jalaf (Я). Последнюю легко установить, если V,/е С”. При условии (ii) на V компактность f (Я) Jalaf (Я) получается с помощью предельного перехода (см. [115]). □

Прежде чем формулировать и доказывать оценку Мурра, мы рассмотрим чуть более подробно структуру" внутрикластерных гамильтонианов. Пусть а=(Сь С2}—двухкластерное разложение. В § 3.2 мы видели, что пространство XczR!^, отвечающее Я, разлагается в сумму Х = ХаФХа (так что L2 (X) = L2 (Ха) 0 Е2(Ха^ и Н(а) имеет вид H(a) = ha0 1 Ф 1 0 Та. В случае а = (Сь С2} имеется дальнейшее разложение.

' Ха = Xе' ф Xе*, LYtXa^ = L2 (XC1) ^1? (XC1),

Аа = Я(С1)0 1+ 10Я(С2),

где Х°к := \хеХа *. х£ = 0 для I ^ СА) (здесь х£ относится к координатам х в исходном пространстве 'R^*1, см. § 3.2). Оператор H(Ck) представляет собой | С61-частичный гамильтониан, полученный путём исключения центра масс из оператора

— Д+ 2 Vtj^Xi — х}).

UheCk 11

Таким образом,

X = Xе' ф Хс,ф Ха, L2 (X) = L2 (Xе') 0 L2 (ХСг) 0 L2 (Х„)]

и

Я (а) = Я (CJ 0 1 0 1 + 1 0Я(С2)0 1 + 1010Та. (4.41)

Для любого разложения У = У1фУ2, Я2(У) = ^(У^ 0 ^(Уг), генератор растяжений А в А2 (У) можно записать в виде

А =у (У -D| + D. У)

. =у(У1-Д1 + А-У1) + 4(У2-Д2 + Д2-У2),

где Yk и Dk относятся к переменным в Yk, k = 1, 2. Тем самым, А = А, 0I +10 А2, где Ак — генераторы растяжений в L2 (Y^). Применяя эти соображения к разложению Х = Хс‘фХСг®Ха, получим■

■ [Я (а), Л] = [Я(Са, Л,] 0/0/

+ / 0 [Я (Са), Л2] 01 + 2/ 010 Та. (4.42)

Здесь мы использовали коммутационное соотношение [Га, д3] = 2Та..

Теорема 4.21. Пусть Я есть Я-частичный оператор (с отделённым центром масс), действующий в .X^L^'R^-bn), как указано в § 3.2. Предположим, что парные потенциалы Vt; удовлетворяют следующим условиям:

оператор Vtj(—А + /)-1 компактен в ^(R*1);

оператор(—А + /)-1х*Wi/(—А-}-/)-1 компактен в

^(R^).

Пусть А—антисимметричный генератор растяжений, т. е. А = = ф • х + х • D)!2, где х и D — оператор - умножения на переменную и оператор градиента в L2(R(JV-1>|1) соответственно.

Пусть Е^ = Е^Щ— спектральный проектор Я, отвечающий интервалу А. Определим

d (X) := dist (X, {пороги Я)П(~ °°, X]).

Тогда '■■

для любых в>0 и XeR существуют открытый интервал А, содержащий X, и компактный оператор К, такие что

Яд [Я, Л]Яд>2[^(Х) -е]Яд + Я; ,

множество Т порогов Я замкнуто и счётно; собственные значения Я накапливаются разве лишь к точкам Т.

Доказательство. Доказательство построено на индукции по числу частиц. Оценка Мурра для двухчастичных гамильтонианов уже доказана в примере 1 § 4.1. Из неё и теоремы 4.7 следует (Ь) при Я = 2. В общем случае, если предположить

ние (Ь) для Н следует прямо из определения порогов. Вторая справедливость (Ь) для всех подсистем, то первое утвержде- часть (Ь) следует из теоремы 4.7, коль скоро (а) доказано для Н.

Итак, предположим, что (а) и (Ь) имеют место для всех Af-частичных гамильтонианов с М < N, удовлетворяющих условиям теоремы. Для Я-частичного Н достаточно установить (а).

Функция d обладает тем свойством, что d(X) + X' ^ d(X+X7) при X' 0. Мы хотим перенести это свойство на все X' ^ —8. Для этого введём следующее определение: . d8 (X) = d (X + е) — в.■

Покажем, что утверждение (а) теоремы можно заменить на (а') для любых 8>0и XeR существуют открытый интервал А, содержащий X, и компактный оператор К, такие что

Ед [Я, Л] Ед > 2 U6 W — в) Ед + К.

Разумеется, из (а) следует (а7), так как d(X)^ d8(X) при в>0. Обратно, предположим, что (а') имеет место. Тогда для 8 >0 и Хе 7 можно найти интервал А, содержащий X, такой что

Ед [Я, Л] Ед > 2 (d (X + е/2) — 8/2 — е/2) Ед + К > —2аЕь + К.'

Поскольку d(X) = 0 при Хе.Т, отсюда следует (а). Для любого X ^ Т существует интервал, содержащий X и не содержащий порогов, так как по индуктивному предположению множество Т замкнуто. Стало быть, de(X)= d(X) для достаточно малых 8, и потому снова (а') => (а)-—— . .. - . - .- . . .

Первый шаг доказательства состоит в вычеркивании К из (а') путём учёта собственных значений в определении d6. Более точно, положим

d(X)=dist(X, ({пороги} U {собственные числа})

П (— оо, М)

и 5е (X) = d (X + в) — 8. Покажем, что из (а7) следует, что

для любых Хе R и 8 > 0 существует интервал А, содержащий X, такой что

Ед [Я, Л] Ед > 2 (5е (X) - в) Ед.‘ (4.43)

Здесь возможны два случая. Вначале предположим, что X не является собственным числом. Согласно (а7),

Ед [Я, Л] Ед > 2 (de/2 (X) — е/2) Ед + К

с некоторым А. Умножим это неравенство с обеих сторон на Ед' и будем стягивать А7 к точке X. Поскольку X — не соб-

ственное число, Е^-^>0 сильно и ||Е^КЕ^||->0. Так как d(X + e/2)>d(X + e) —e/2>d(X + e) —е/2, имеем d8/2(X)>d8(X). Тем самым

Е^ \Н, Л] Ev > 2 (d8 (X) — в/2) Е^-г '

при малых А'. Ещё раз умножая неравенство на Ev с обеих сторон, получим (4.43)..

. Теперь предположим, что X — собственное число. Тогда d8 (X) ^ 0, так что достаточно показать, что

Ед [Я, Л]Ед>-2еЕд.(4,44)

Пусть Р = Е{Х). М.ы убедимся, что

Ед \Н, А]Е^- еЕ^ + (1-Р) Ki (I — Р)(4.45)

для некоторого компактного оператора /Сь Поскольку Ед'(/ — Р)-»0 сильно, когда А' стягивается к точке X, аналогично предыдущему случаю можно показать, что из (4.45) следует (4.44). В силу (а').

' Ед [Я, Л] Ед > - в/2Ед + К(4.46)

для некоторого интервала А. Учитывая компактность К, подберём такой конечномерный проектор F, что Ran F^ Ran Р и

||(7-P)K(7-P)-(7-F)K(7-F)||<8/2.(4.47)

Затем, умножая (4.46) с двух сторон на I — F и используя (4.47), найдём;-что ■ ■ —- ..

(Ед-Р)[Я, Л](Ед-Р)>-8(Ед-Р) + (7-Р)К(7-Р).

В силу теоремы вириала, Р[Я, А]Р = 0. Таким образом, остаётся доказать, что.

R := F [Я, Л] Ед (7 - Р) + (7 - Р) Ед [Я, Л~] F

>-eF + (7-P)K2(7-P)- (4.48)

с подходящим компактным оператором Кг. Пусть С = F [Я, А] Ед (7 — Р). Тогда

(8-1/2С + В^ру (8-1/2С _|_ gl/2/7) ^ о, а потому

R = CF-VF*C> — BFeF-Ve.-xCC,

откуда и следует (4.48). Тем самым (с) доказано.

Теперь убедимся, что (с) влечёт за собой следующее равномерное утверждение:

. ' (с') Для любых в > 0 и компактного интервала М существует такое б > О, что при р е М и А” = (р — б, р + б)

£д6 [Я, Я] Яд > 2 [de (р) - в] Я в.(4.49)

М.ы докажем (с'), считая (с) выполненным. Фиксируем в > 0 и М Вследствие (с), при цеМ неравенство (4.49) справедливо для некоторого б, зависящего от р. Пусть б(р, ё) = sup {б: (4.49) справедливо с 8 вместо в}. Тогда для б < б(р,е/2) и | р' | < в/2'

£дв [Я, Д] Я а > 2 [de/2 (р) - 8/2] Я а

>2[йе(р + Ю-н'-в/2]£дв

■>2[йе(И+р')-8]£дв.

Поскольку Дц+L' 1 cz Ац, заключаем, что б (р + р', в) ^ б(р., в/2) — | pz | при |р'|<в/2. Таким образом, функция б(р,в) локально- ограничена снизу непрерывной положительной функцией. Вследствие компактности М отсюда следует, что б (р,, в) б(в) > 0 для всех реМ Но это как раз и есть требуемая, в (с') равномерность.■

Перейдём теперь к индуктивному этапу доказательства. М.ы хотим доказать (а') для Я-частичного Я. Фиксируем 8 > 0 и X eR. Тогда, в силу леммы 4.20, при f г C”(R) -

/ (Я) [Я, Д] / (Я) = Z м (Н (а)) [Я (а), Д] / (Я (а)) Ja + К2,

где а пробегает все двухкластерные разложения и К2— компактный оператор. Покажем, что для каждого а и всех f с достаточно малым носителем около X.

/ / (Я (а)) [Я (а), Д] / (Я (а)) > 2 [de (X) - в] f2 (Я (а)). (4.50)

Поскольку а пробегает конечное множество, можно найти одну функцию f, подходящую для всех а. Кроме того, функцию f можно выбрать равной 1 на каком-нибудь интервале А, содержащем X. Суммируя (4.50) по а и используя (4.39), (4.40), получим.

/ (Я) [Я, Д] / (Я) > 2 [dB (X) - в] f (Я) + К, где К компактен. Утверждение теоремы вытекает отсюда после умножения с обеих сторон на Е^(Н).

Итак, остаётся установить (4.50). Пусть а = {Сь С2}. Согласно (4.41) и (4.42),

Я (а) = Я (С,) + Я (С^ + Тд,

[Я (а), Л] = [Я(С,), ij + lflto Л] + 2Та.

Здесь мы допустили вольность в обозначениях (и будем делать это в дальнейшем), написав Н^С^ вместо H(CV)® I ® I, А вместо At и т. д. Рассматриваемое гильбертово пространство можно разложить в прямой интеграл

L2(RW-1)^= J He^td^k^dt,

так что на каждом слое оператор Н(а) сводится к Н(С1') + е2 + t. Предположим, что носитель функции f е С” (R) лежит в малой окрестности X. Тогда носитель функции f(*+e2 + 0 сосредоточен в окрестности X — е2 — t. Поскольку Я(С,), Я(С2) и Та ограничены снизу, функция /(Я(С,) + е2 +1) отлична от нуля лишь на некотором компактном множестве. Применим теперь утверждение (с'), справедливое для Я(С,) в силу нашего индуктивного предположения. Тогда, если носитель f достаточно мал, при Ei = е/5 имеет место оценка

t кН (С,) + е2 + о [Я (са. Л] f (Н (са + е2 + О

> 2 [Jgt (X - е2 - 0 - 8,] / (Я (са + е2 + tf, (4.51)

где de — модифицированное расстояние для Я(С,). Предположим дополнительно, что supp(f)cz(X— в,, X-{-8i). Тогда из (4.51) следует, что

/(Я(а))[Я(Са, Л]/(Я(а))

> 2 [J& (X — Я (С2) - Т^ - в,] f кН кФ?

= 2 \d8dv кН (Ci) + (X — Я (а))) - ej f кН karf > 2 [&\ (Я (са)-281] НЯ (а))2.

Здесь мы учли, что | X — 11 < в, для g е supp (f) и de, (а + 6)> 5с\ (а) — b при | 61 < вр В силу аналогичного неравенства для Я(С2), при достаточно малом supp(f) справедлива оценка

/(Я(а)) [Я(а), Л]/(Я(а))

> 2 ([d8c\ кН кСг)) + d^ кН (С2))] + Та - 48,) f кН ка)).

Покажем, что'

dSA^ + d^ + ^d^ka+b + c)

при аест(Я(С1)), 6еа(Я(С2)), сеакТА (т. е. с^О). Для этого заметим, что dc1(a) = a— ть где Т[— либо порог, либо собственное число НкСхУ на интервале (—оо, a + ej. Аналогично de, kb)=b—Т2. Таким образом, левая часть доказываемого неравенства равна а + 6 + с — (т1 + тг). Но, по определению порогов, Ti + т2 является порогом Н, а так как с ^ 0, то ti 4- +т2 е(—оо, а + b + с + 28J. Теперь требуемое неравенство следует из определения d2i\ Объединяя две последние оценки, получим.

/ (Я (а)) [Я (а), Л] f (Н (а)) > 2 [d281 [Я (а)] - 4eJ f кН (а)}

= 2 [d28- (X + [Я (а) - X]) - 4b,} f кН ко)) >2[</281(Х)-581]/2(Я(а)).

Поскольку 5в!=8 и de—невозрастающая функция, отсюда вытекает (4.50). Доказательство теоремы завершено. □

Фазово-пространственный анализ рассеяния

Эта глава представляет собой введение в геометрическую теорию квантовомеханического рассеяния. Геометрические методы в теории рассеяния были впервые применены для двухчастичного случая Энссом в его знаменитой работе [95] и затем развивались тем же Энссом [96—98; 100, 101], Саймоном [326], Перри [277; 279], Дейвисом [75], Мурром [255], Жинибром [135], Яфаевым [374; 375], Мутхурамалингамом [258; 259], Исодзаки и Китадой [178; 180] и другими.

Ядро метода Энсса составляет аккуратное сравнение оператора эволюции ехр (—UH). данной системы с оператором «свободной» эволюции ехр(—UH0). При этом физические рассуждения о квантовомеханическом рассеянии получают строгое обоснование. Одним из самых больших преимуществ метода Энсса является его тесная связь с физической интуицией. Это относится не только к общей идее, но и к отдельным этапам рассуждений. Далее, Энсс [99; 102—105] недавно распространил свой метод на случай трёхчастичного рассеяния, и, есть надежда, что - его - можно распространить и на • У-частичный случай. ■

Мы дадим полное изложение теории Энсса для двухчастичного случая, акцентируя внимание на новых элементах, перенесённых в неё Энссом из трёхчастичной теории. Затем обсудим кое-какие особенности трёхчастичного случая, не претендуя на полноту доказательства асимптотической полноты. Наша цель — изложить и обсудить некоторые из новых идей Энсса, относящихся к трёхчастичному случаю, и тем возбудить аппетит читателя к дальнейшему чтению.

Помимо оригинальных работ, упомянутых выше, есть много обзорных статей по теории Энсса. Среди них — лекции Энсса в летней школе в Эрисе [100], представляющие собой замкнутое введение в геометрическую теорию рассеяния и, кстати, содержащие изложение метода асимптотики наблюдаемых (который будет обсуждаться в § 5.5). Отметим исчерпывающую монографию Перри [279], а также соответствующие главы в книгах: Amrein [13], Berthier [48], Рид—Саймон III [294],

посвящённые методу Энсса. По поводу других подходов к теории рассеяния (стационарные методы) см. Рид —Саймон III [294] и указанную там литературу.

НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ

В типичных (двухчастичных) экспериментах по рассеянию мы имеем дело с (пробной) частицей и рассеивателем (мишенью), которые вначале находятся далеко друг от друга. Через некоторое время частица приближается к рассеивателю и взаимодействует с ним. Основываясь на физической интуиции, можно ожидать, что по истечении достаточно долгого времени частица снова удалится от рассеивателя. Тем самым после взаимодействия она должна двигаться почти «свободно», т. е. почти на подвергаясь воздействию рассеивателя.

В квантовой механике этот прогноз можно сформулировать в терминах оператора эволюции с взаимодействием ехр(—1/Я) и оператора свободной эволюции ехр(—ИН о). То что состояние ф в далёком прошлом выглядит «свободным», можно выразить соотношением■

е-кЯф 585 е-инч^_, t-^» — оо,'

для некоторого ф— А равенство

е-»Лф с» е~^я°ф+, t —» + оо,

означает, что по прошествии длительного времени ф,асимптотически ведёт себя как некоторое свободное состояние ф+. Поэтому •■- . —; •

Ф= Нш е‘/яе~‘/Ягф_ = lim ецяе~1/Яоф+. • i->— оо.t-> + oo

Это приводит к определению .

Q* := s-lim е1<яе~№(5.1)

t->T оо

Операторы Q± называются волновыми операторами. Странное соглашение о расстановке знаков ± в (5.1) восходит к (исторически более раннему) определению Q* в стационарной теории рассеяния..

Нас интересует соответствие фь->ф+, так что можно было бы думать, что в действительности надо рассматривать предел

Нш е^Яое^|7Яф.(5.1')

t->T оо.

Однако в (5.1) операторы Н и Нй стоят в обратном порядке. На это есть несколько причин: (а) предел (5.1), по-видимому, существует для всех векторов, тогда как (5.1') не будет суще-

ствовать, если ф— собственный вектор Я; (Ь) контролировать (5.1') гораздо труднее, чем (5.1); (с) коль скоро существование предела (5.1) установлено, легко показать, что (5.1') существует в том и только в том случае, если ф = б^фт, и тогда предел равен как раз ф+. .

Предположим, что мы доказали существование ОЧ Тогда состояние ф = Q+ф-, эволюционирующее назад по времени в соответствии с динамикой, учитывающей взаимодействие, выглядит асимптотически как состояние ф_, эволюционирующее в соответствии со свободной динамикой. Такую же интерпретацию допускает и Q-. В связи с этим подпространство ^in = RanQ+ удобно назвать приходящим, a Hout = Ran Q- — уходящим. Если

Hin = Ran Q+ = Ran Q~ = Hout, (5.2) то любое приходящее состояние в далёком будущем станет уходящим, а любое уходящее состояние в отдалённом прошлом было приходящим. Именно этого мы и ожидаем от экспериментов по рассеянию. Система, удовлетворяющая (5.2), называется слабо асимптотически полной (обычно мы пользуемся определениями из книги Рида — Саймона [294]; отметим, что Энсс [100] в этом месте использует несколько иную терминологию). Для слабо асимптотически полных систем назовём элементы пространства Hin = Hout = Ran Q± состояниями рассеяния. Ясно, что связанные состояния ведут себя совсем не так, как состояния рассеяния. Из физических соображений можно было бы ожидать, что никаких других состояний, кроме связанных и рассеяния (и их суперпозиций), не существует. Поскольку связанные состояния принадлежат подпространству Нрр (в чем можно убедиться с помощью теоремы РАГЭ, обсуждаемой ниже в § 5.4), эту физическую гипотезу можно сформулировать в виде равенства . .

Ran Q* = Нрр = Hcont. (5.3)

Свойство (5.3) называется асимптотической полнотой. Доказательство асимптотической полноты для широкого класса динамик, учитывающих взаимодействие, — одна из главных задач теории рассеяния. '

Однако приведённые выше рассуждения. корректны лишь в том случае, если не рассматриваются дальнодействующие потенциалы. Грубо говоря, «короткодействие» означает убывание потенциала на бесконечности как |х|~“ с некоторым а>1. Таким образом, кулоновский потенциал является дальнодействующим. Для таких взаимодействий рассеянная частица не будет двигаться асимптотически свободно. Чтобы описать асимптотику

этого движения, нужна какая-то поправка к свободной динамике. Такая же ситуация возникает в классической механике (см. Рид — Саймон III, [294], § XI. 9). Эту поправку надо учитывать и при построении волновых операторов. Поэтому определение (5.1) не годится для дальнодействующих потенциалов. Нужны «модифицированные» волновые операторы. В дальнейшем мы ограничимся короткодействующими потенциалами. За информацией о случае дальнодействующих потенциалов отсылаем к работам Enss [100; 105], Isozaki — Kitada [179] и Perry [278], где можно найти и дальнейшие ссылки на литературу. Кроме того, мы рассмотрим лишь нестационарный метод Энсса; изложение стационарного подхода можно найти в книге Рид — Саймон III [294] и в указанных там работах.

Прежде чем переходить к вопросам существования волновых операторов, установим несколько их свойств. Итак, предположим, что О* существуют. Поскольку эти операторы суть сильные пределы унитарных операторов, они являются изометрическими операторами из L2 в RanQ^ Поэтому их области значений RanQ-— замкнутые подпространства в L2. Из определения й± легко видеть, что ехр(—iHt)^ = Q±exp(—iHQf), а потому HQ- = Q-H0. Следовательно, оператор Я[Капй± унитарно эквивалентен Hq. Это означает, что

Ran Q^ с Нас (Я).(5.4)

В силу (5.4), асимптотическая полнота влечёт за собой отсутствие сингулярного непрерывного спектра.

-Перейдём к вопросу о существовании Q* Мы обсудим некую общую стратегию, известную как метод Кука, которая позволит установить существование й* для широкого класса короткодействующих потенциалов.

Теорема 5.1" (метод Кука). Пусть V— ограниченный в смысле Като) потенциал с относительной гранью а«<1. Если существует плотное в L2 множество DqCZ D(Ho), такое что для некоторого Т

|| Ует1<Яоф || dt < оо т

при всех ф е Do, то операторы Q± существуют.

Доказательство. Покажем, что для ф е Do последовательность ^(^) ;= ехр(1Я^)ехр(—1Я0^)ф является последовательностью

Коши при t-*-—оо. Ввиду плотности Do и оценки ||exp(iflY)exp(—1Я0^)||^1 этого достаточно для доказательства существования Q-. Имеем ■

ti

IIП (0 — П (s) IK $ II n' («) H« < J || e‘"“ (Ho - H) е-^“Ф || du ss

= ^ II Уе-1Я°“ф||^и->0

при s, t-^-oo по условию. □

Следствие (оценка Кука). Если операторы Q* существуют, то

(5.5)(5.5)IKq^ — 7)ф| ^ 5 И^е^^фЦ^.

(5.5)

(5.5)

О

ОЦЕНКА ПЕРРИ

Чтобы использовать метод Кука для конкретного потенциала, мы, очевидно, должны уметь как-то «контролировать» унитарную группу ехр(—UHqY В этом параграфе мы выведем полезную оценку, принадлежащую Перри [277], которая позволит применить метод Кука к широкому классу «короткодействующих» потенциалов. Кроме, того, .она. представляет и самостоя: тельный интерес. - -

Оценка Перри была мотивирована работой Мурра [255] о методе Энсса. Если бы мы стремились доказать с помощью метода Кука лишь существование Q±, оценку для Но можно было бы получить очень просто (например, взять в качестве Do конечные суммы гауссовых функций и вычислить ехр(—ИН0) явно *). Суть оценки Перри состоит в том, что она допускает некую равномерность при подходящем выборе ф, что очень важно для подхода Энсса. Можно указать и другие методы получения подобных равномерных оценок — такие как фазово-пространственный метод Энсса [95] (см. также Simon [326]), анализ когерентных векторов Дейвиса [75] и Жинибра [135] и подход, предложенный Яфаевым [374; 375], близкий по духу к методам Мурра и Перри.

Это ■ доказательство существования й1 приведено в [294, с. 66]. Здесь под гауссовыми функциями понимаются функции вида ф(х) = Сехр[—(х — а)2/2].— Прим, перев;

Вначале введём технический аппарат, связанный с генератором растяжений А (см. также гл. 4). Положим .

А := у (х • р + р • х)

(где р = —id/дх в х-представлении). Через Р+ (соотв. Р-) обозначим спектральный проектор оператора А, отвечающий положительной (соотв. отрицательной) полуоси. Поскольку

(Af)A (р)^р (-i-^-)+(-i^ ру(р)=Д(Ш

(шляпка обозначает преобразование Фурье), то

(P*DA=^f(5.6)

Теперь мы определим преобразование Медлина, «диагонали- зующее» оператор А. Обозначим через С” (Rv \ {0}) множество функций из С” с компактными носителями, отделёнными от нуля. Записывая среС”^' \ {0}) в виде ф(х) = ф(|х |<в), сое Sv-1, положим'

Ф*(Х, «»):=—^^|хГ/2|хГ<Хф(|х|с»)(5-7)

при XeR. Преобразование Меллина * переводит С” (Rv \ {0}) в L2(RX^v1, dXX^v-1®)- Кроме того, справедливо следующее утверждение: -

Лемма 5.2. Преобразование Меллина сохраняет £2-норму, т. е.

| ф* (X, с») I2 dX dv-1<a = ^ IФ (х) I2 (Гх.(5.8)

Поэтому оно продолжается до изометрического отображения *:

l2(rv)^l2(rxsv-1).

Замечание. Преобразование Меллина можно понимать как преобразование Фурье на множестве iR+, рассматриваемом как группа с обычным умножением. Множество R+ представляет собой локально-компактную абелеву группу с мерой Хаара d|x|/|x|. Характеры на !R+ (двойственная группа) задаются как умножение на |х|~1Х. Таким образом, лемма 5.2 — это просто теорема Планшереля на R+.

Доказательство. Для ф е С” (Rv \ {0}) положим

t/ф (Л с») := ехр (у ^ ф (е^).

Как легко проверить, II t/ф 11^2 (R х sv—i) = II ф 11^2 (Rv)- Ясно, что Ф*(Х, с») = - ^ t e-AtUq>(t, с») dt.

Тем самым, ф* оказывается преобразованием Фурье функции 17ф по переменной L Утверждение леммы следует из унитарности оператора U и преобразования Фурье. □

Поскольку Д (| х |v/21 х | ~1Х) = X | х |v/21 х |-1Х, нетрудно видеть, что преобразование Медлина «диагонализует» Д, т. е. (Дф)*(Х, с») = Хф*(Х, с») для фе£)(Д). Отсюда следует, что

(Р±ф)* (х> ®) =Ло, «) (^ х) Ф* (х- “)•(5-9)

Примем следующее обозначение, введённое Энссом. Пусть S— произвольный самосопряжённый оператор, М — некоторое подмножество R. Через F^SeM1) обозначим спектральный проектор оператора S, отвечающий множеству М. В частности, F(xeM') есть не что иное, как оператор умножения на характеристическую функцию М в х-представлении. Теперь мы готовы к доказательству оценки Перри.

Теорема 5.3. Пусть g есть С”-функция с носителем, содержащимся в отрезке [а2/2, 62/2], а, b > 0. Пусть б, 6 < а, — фиксированное число. Тогда для любого N существует константа См, такая что

||7=-(|х|< dlZDe-^sTt^^^ll^Cwtl -H^I)-^

при ±< > 0 (т. е. t >0 для Р^К. 0 для Р_).

Доказательство. Положим Кх, t (р) := exp [i (jFtl2 — рх)] X ^(P2/2)/(2«)v/2 и ф((х) = ехр(— itH^g(H0)P^(x). Тогда

Ф<М = (^,ь (Р^А)=(КХ,„ Р^

(в силу (5.6)), а потому |ф/(х) | ^НР^Кх, еННфН (имеются в виду 2,2-нормы), Поэтому достаточно доказать, что

IIP^tlKC^tl + kl)-", |х|<бЛ ±t>0.

Разберём лишь случай Р_ Случай Р+ рассматривается аналогично. В силу леммы 5.2 и равенства (5.9),

ii^-Kx,jM(p-Kx,j*F

—ОО X^v—1/

Стало быть, теорема будет доказана, если мы убедимся, что №(Х, С»)1<с;(1+|А,| + И)-Лг

при | х | < б^ и X < 0. Перепишем К* t в виде

^ЛХ, ®)=-^ Jl Р Г/2| рГ**^., (I р1«>)-^±

-VI оlv/2s(п1!^ е1а<₽> d* р*

с а(р) = ^р2/2—|р|©-х— Xlog|p|. Поскольку X < 0, ^>0 и |х| < б^ <_ at, то

-5^ = dp| —®-х —-^>|р|? —©• х>(|р| —б)? > (| р | — a)t.

Тем самым величина да/д|р| строго положительна на множестве К;= (р | g (р2/2) =# 0}, и можно записать оценку

(wt)~1<c<1'+|x| + ^I)-1’ р^к-

Аналогично проверяется, что

■^(^)"<C‘(1+I'I+|X|)''- "^ (5J0>

Используя соотношение

eia(P) = Г-i

L \ а | р | / а I р | J и интегрируя по частям N раз, получим

< dN (1 +id+i xi)-^

согласно (5.10). □

Замечания. 1. Последний шаг доказательства представляет собой вариант (простой части) метода стационарной фазы (см., например, Рид—Саймон III [294]).

В приведённом доказательстве можно заменить Р* на Р[-а, о») (соотв. на Р(-оо, а]). Константа CN может при этом увеличиться.'

ВАРИАНТ ЭНССА МЕТОДА КУКА

Мы уже отмечали, что волновые операторы 54- корректно определены лишь для «короткодействующих» потенциалов, а в случае «дальнодействия» (например, кулоновского потенциала) требуются модифицированные волновые операторы. В литературе используются различные определения «короткодействия» (см., скажем, Рид—Саймон III [294], Enss [100], Perry [279]). До конца этой главы мы будем считать выполненным следующее условие:

оператор (1 + | х |)1+е V (Яо + Л-1 — компактен для

-некоторого е > 0. (5.11)

Потенциалы, удовлетворяющие (5.11), будем называть короткодействующими.

Наша цель в этом параграфе — доказать с помощью метода Кука существование волновых операторов для короткодействующих потенциалов.

Определим функцию S(P) := |[V(#o + 7)~177(|х| > Р) ||. Прежде всего докажем следующую лемму:

Лемма 5.4. Для короткодействующих потенциалов

^S(/?) d/? < оо.(5.12) о

Замечание. В книге Рида — Саймона III [294] потенциалы, ограниченные в смысле Като (с относительной гранью а <_ 1), удовлетворяющие (5.12), называются потенциалами Энсса. Для доказательства асимптотической полноты достаточно предположить, что V— потенциал Энсса.

Доказательство. Пусть Т(/?):= ||F(|x| > Р) У(Я0 + У)-1]!. Тогда j Т (Р) dR < оо, поскольку

T^^la-Hxir^Vflx^/^la-Hxl^

<(1 + 2?)-1-8В (1 + | х |)1+е И (Яо + Z)"11.

Пусть /— функция из С”, такая что 0^/(х)^1 и j(x) = O при |х|^1/2, /(х)=1 при |х|^1. Положим 1е^ = Кх/РУ

ТогдаТогда

Тогда

Тогда

iHtfo+D-'Fdx^PMHl^tfo + ^-^lx^T^

^(Яо+тг^цифи.

Таким образом, S (7?) ^ || У (Яо + 7) 1 jR | ^S (7?/2) и аналогично Т (Р) <| jRV (Яо + 7)"11 < Г (Р/2). С помощью коммутационного соотношения [(Яо + 7)-1, /J = (Яо + 7)-1 (А/я+ 2vjR • V) (Яо+ 7)-1 и неравенств |V7R|, | AjR| ^C/RjR/2, R^ 1, получим

З^хксяо+Т)-1^!

<bV(^o+7)-1[+||y(^o+7)-1(A/R + 2VjR-V)(^o + 7)-1||

<T(R/2) + ^-S(R/4)..

Итерируя это неравенство с учётом ограниченности S(R), найдем, что.

5 (R) < T(R/2) + £ Г (Я/8) + ^- d.

Поскольку функция Т (R) интегрируема, лемма доказана.. □

Теорема 5.5 (версия Энсса метода Кука). Для короткодействующих потенциалов V

|| у етНДОф || ^ < ОО

при фе£>о, где Do — некоторое плотное в L2(RV) множество. Следовательно, волновые операторы й± существуют и справедлива оценка Кука (5.5).

Доказательство. Возьмём множество Do = {5 (Яо) ?(_<», О)Ф I 5 G C”(R), supple [а2, р2] с некоторыми а, р > 0 и а е R, фе i’(Rv)}. где Р^», О) — спектральный проектор оператора А. Для феО0, т. е. для Ф = 5(Яо)Р(-=о, а)Ф, имеем

|| Уе-»>|| <| V (Но + Л-1 F (| х | > 67) ||| (Яо + 7) Ф||

+1V (Но + 7)-111| F (| х | < 67) е-»»- (Яо + 7) Ф ||. (5.13)

В силу леммы 5.4 первое слагаемое является интегрируемой по 7 функцией. Второе можно оценить с помощью оценки Перри

(теорема 5.3) величиной.

СII F(| х | < M)e-»4H,WHj)PU „^ ||<С'(1+И)’2.

Следовательно, оно тоже интегрируемо. □

Ключом к доказательству асимптотической полноты в § 5.6 служит следующий результат, носящий довольно технический характер.

Предложение 5.6. Пусть фп— произвольная последовательность, слабо сходящаяся к нулю, причём ||фп|| = 1. Тогда

|(д--7)г(яо)Р+Ф„1^о.

' Как обычно, через g обозначена произвольная С”-функция с носителем на (строго) положительной полуоси.

Доказательство. Вследствие оценки Кука (5.5),

(Q- - /) g (Н^ Р^п ] < $ | Ve~UH«g (Яо) Р+Ф„ || at. .■ о

Здесь..

|| Ve-“H,g(^p+<pa^v(HQ-HrV^^

стремится к нулю поскольку фп-^>0 и оператор У(Я0 + /)-1 компактен в силу короткодействия потенциала. Согласно (5.13), подынтегральная функция ограничена сверху некоторой ТЛфунк- циёй. Поэтому требуемое утверждение следует из теоремы Лебега о мажорированной сходимости. □

Согласно предложению 5.6 оператор (Q-— I)g(H0)P+ компактен. Отсюда довольно быстро можно вывести асимптотическую полноту (Mourre [255], Perry [277]). Однако мы дадим более длинное, но более естественное доказательство. Оно послужит введением в трёхчастичную теорию Энсса. Мы сделаем два отступления, прежде чем вернёмся к предложению 5.6 в § 5.6.

54. ТЕОРЕМЫ РАГЭ

В этом параграфе мы установим три варианта знаменитой теоремы, РАГЭ. Она впервые была доказана Рюэлем [300], а затем обобщена Амрейном, Георгеску [14] и Энссом [95] (отсюда название теоремы). Теорема РАГЭ утверждает, что временные средние некоторых наблюдаемых стремятся к нулю на непрерывном подпространстве НСопь'

Мы основываемся на следующем результате о временном среднем преобразования Фурье:

Теорема 5.7 (теорема Винера). Пусть р,— конечная (положительная) мера на R, и пусть

Р (0 = ^ е~ ^ dp (х)

— её преобразование Фурье. Тогда ■г

Отметим, что сумма £I И (W) I2 конечна, ибо мера р конечна. Мы не приводим здесь доказательства теоремы 5.7, поскольку оно, по существу, содержится в доказательстве следующей теоремы:

Теорема 5.8 (РАГЭ). Пусть Л— какой-либо самосопряжённый оператор.■'

Если С — компактный оператор и феНСОпь то г

у- J || Се~иА<р\fdt ^ О, Т -► оо. , о

Если С ограничен, С(Л + i)-1 компактен и ф е Hcont, то

г

-у 5||Се-1<лф|М^0, Т^оо. ■ о

Если С компактен, то.

|

г|

у-1 e'^Pcont (Л) е-,<л dd ^ О, Г оо.

оI

Интеграл в (3) понимается в сильном смысле.

Если взять С = Р(|х|^Р) (в (2)), то теорема РАГЭ будет означать, что любое состояние из HCOnt «бесконечное число раз покидает» шар радиуса Р. Это именно то, чего мы ожидаем на основе физических соображений.

Доказательство. Вначале покажем, что (1) и (2) следуют из (3). Пусть феНсопь Тогда, в силу (3),

гг

4 $ II Се-Мф II2 Л = 4 $ <Ф, е1МС*Се-‘<лф) dt"

/ г.

= ( ф, у- $ e^CPcont (Д) е-‘<Л ^ф\

I

TI

$ e'^'CPcont (Д) е-1^ dd || ф II2 ^ 0.оI

Для ф еО(Д)ПНсошИ) положим ф = (Д+1)-1ф (феНсоП1(Д)). Тогда из утверждения (1) следует, что величина .

г' г

у J || Се-мФ II2 ^ = ^ $ IС (Д + i)-1 е-Мф f dt ■ оо

стремится к нулю. Это доказывает (2), так как С ограничен И МНОЖеСТВО У(Д)П Нсоп1(Д) плотно в Нсош(Д).

Перейдём к доказательству утверждения (3). Поскольку компактный оператор С можно аппроксимировать по норме конечномерными операторами, достаточно установить (3) для конечномерных С. Так как любой конечномерный оператор есть (конечная) сумма одномерных, мы можем ограничиться рассмотрением операторов ранга 1. Итак, положим Сф = <р,ф>ф (самый общий вид оператора ранга 1). Тогда С*ф = <ф, ф>р. Определим

■т

Q (Л :=4 S eUACP^ <Л> e~UA dt о

т

= 4 $<eMP=ontH)p, -^^dt.о

Тогда

т ■

Q (Л* = 4 S ^‘“t* • > elMp-t (Д) Р at, о

а потому г '

Q (Т) Q (Т)еФ = у J (e'^Pcont (Д) Р, Q (Пф) е“лф dt О ■т т.

= уа 5 5 <eiMPcontP, ^PcontP) о о

■ X (е^ф, ф) е|<лф ds dt

Стало быть, гр

^ J e“^e-=“PCOnt (Д) dt = || Q (Г) ||2 = || Q (Т) Q (7У II оII

т т

4» $ $ 1 <емР, e'^Pcont (Д) Р> I ds dt Н IP.

О о

Н IP (уг 5 I (^contP, е-1« -$) лРсоп1р) р ds dA. \ о о/

Обозначим через р спектральную меру, отвечающую вектору

Pcontp. Тогда ‘

г г

4$ 5 $ I (Pcontp. ехР [— i kt — s) Д] Pcontp) Р ds dt ’ о о •Г Г■

< 4$ 5 $ I $ ехР [-*(< — s) A] dp (A) |2 ds dt о о г г.

(по теореме Фубини). Вычисляя интегралы в квадратных скобках, получим-"

г' г

у \ exp [i (X — х) s] ds-^г \ exp [— i (X — х) dt - оо

= ТЧХ -^ ^ехр [i (х — х) г1 — 1} (ехР [—‘ (^ — х) Л — 1}

= Г2 (Лх)2 texP I* ^ х) Л2] ехр [ 1 (А х) Т/2]}

X {exp [— i (А — х) Г/2] — exp [i (А — х) Г/2]}

4 sin2 {(Л - х) Т/2}.

Т2 (Л - х)2

при всех Анх, если условиться, что sin0/0 = l. Поскольку функция

4 sin2 {(Л - х) Т/2}Г2 (Л - х)2

не превосходит 1 (а потому принадлежит L2(dp.)) и, кроме того, при Г-*-оо стремится к нулю для А^х и к единице для А = х, правая часть (5.14) сходится к

$ р ({х}) dp (х) = £ р ({х})2 хе R

по теореме Лебега о мажорированной сходимости. Поскольку мера р непрерывна, т. е. не имеет атомов, то 2 ц({х})2 = 0. □ хе R.-

Мы применим теорему РАГЭ в § 5.5 и в главе, посвящённой случайным матрицам Якоби.-

АСИМПТОТИКА НАБЛЮДАЕМЫХ '

В этом параграфе мы коснёмся недавних исследований Энсса [98; 100] по нестационарной теории рассеяния. Его новые идеи позволяют глубже проникнуть в физическую сущность проблемы и упрощают доказательство асимптотической полноты для дальнодействующих сил. Кроме того, они являются важной составной частью трёхчастичной теории Энсса.

Основной результат этого параграфа состоит в утверждении, что наблюдаемые вида В(/) = ехр(1Я/)В ехр(—1Я/) ведут себя на Hcont асимптотически по времени почти так же, как они вели бы себя в отсутствие взаимодействия. Более точно, (х(0Л)2 ~ 2Я, А(0Л ~ 2Я, Яо(О ~ Я.

1305. ФАЗОВО-ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ РАССЕЯНИЯ

Теорема 5.9. Для feC^R) и любых фЕНСОп1(^) ■

(О f ((^У)ф-/(2Я)ф,

(И) / (^)ф^/(2Я)ф,

(ш) №(0)Ф^НЯ)Ф

При ^->±ОО.

Замечание. В приводимом ниже доказательстве нам понадобятся лишь два условия на V: (1) О(Я) = О(Я0) и (2) [Д, V] — компактный оператор из Н+2 в Н-2. Доказательство этой теоремы при очень слабых предположениях, допускающих дальнодействие, можно найти в [98].

Прежде чем доказывать теорему, установим два следствия из неё..■

Следствие 1. Для ф е Hcont.

||Р_е-‘<яф||^0, ^оо,.

||Р+е-»яф||^0,оо.■.

Доказательство. По обычным соображениям плотности следствие достаточно дрказать для векторов вида ф = g (Н) ф, где geC”, 0 ^ g ^ 1, g(x)=l при х > 26, g(x) = 0 при х < 6 с некоторым 6 > 0. Далее, пусть feC” — такая функция, что ffx) = 1 при х < 6/2; /(х) = 6 при х > 6;Д) ^ f ^ 1; Для векторов ф =^(Я)ф имеем (при f ^ 0)’

I Р_е-'^ф | = || е»»Р_е-«»Ф || = |А_, 0) (^-) Ф |

‘<|/(^)фрН/(2Я)ф||,

в силу теоремы 5.9. На самом деле теорема 5.9 в том виде, как она сформулирована, неприменима здесь, так как f^Coo(R). Однако элементарные рассуждения [292, с. 288] позволяют распространить результат на все ограниченные непрерывные функции f. Поскольку Ф = £(Я)ф и fi = 0, то

.||р_е-инф||_^о, ^оо.

Второе утверждение доказывается так же, если заметить, что Р+ = Х(-оо, 0) (л/0 ПРИ t<0- п

Замечание. Это следствие утверждает, что состояние ф е Hcont не может иметь ни приходящей составляющей в далёком будущем, ни уходящей составляющей в отдалённом прошлом.

Следствие 2. Для фе Hcont (У) имеет место слабая сходимость ехр (—1<Я)ф-»-0.

Доказательство. Пусть f, g — функции, определённые при доказательстве следствия 1, и ф = £(Я)ф. В силу теоремы 5.9

|F (|х | <а) е-»«ф||-р ( | ^ |! <^-) ф|

Доказательство теоремы 5.9. Вначале проведём формальные выкладки, поясняющие идею доказательства. Вычислим А(/):

Д(0 = [Я, Д](0 = 2Я + ^(0,'

где W :=—2V— x-W и №(/) :=ехр(1Ж)^ехр(—iHty Тогда, не заботясь об" областях определения, можно написать

■. t■ t

^- = 4 + т$^)^ = у + 2Я + у$ w^dL оо'

t

Мы вправе ожидать, что оператор у ^ ^ (О di, применённый о

к („хорошей") функции ф е HCOnt, будет стремиться к нулю в силу какой-нибудь теоремы типа РАГЭ и что (А//)ф также будет стремиться к нулю. Отсюда формально получается нужный результат.

Теперь обоснуем наши вычисления. Введём оператор N = р2-{-х2. Он самосопряжён на Д(У) = Д(Яо)П^(-^)- Удобство области D(N) состоит в том, что все рассматриваемые в теореме операторы определены на ней. Именно, поскольку Д(У) инвариантна относительно действия ехр(—UH\ (см. Frohlich [117], Kato [192] и Radin — Simon [290]), D(N) принадлежит областям определения А(0, *(0 и т. д. Однако мы не можем сказать, что D(N')— существенная область HPeont- Это приводит к некоторым усложнениям и требует дополнительных аппроксимаций.

Согласно гавоту Стоуна — Вейерштрасса (см. приложение к гл. 3), теорему достаточно доказать при f(x) = (x — z)-1, г ^ R. Для ограниченных операторов М и N имеем

||(М-А0ф1Р=-(^ф, (Af - У) ф) - <(М — У) ф, Уф)

+ <Ф, (ЛГМ —УУ)ф).

Подставляя вместо М и N резольвенты (Д(/)//— z)-1 и (2Я— z)-1 и используя соотношение

(Д - z)"1’ (Д - z)~*=(—21 Irnz)"1 [(Д - z)-1*-(Д-z)"1], мы видим, что слабая сходимость резольвент влечёт за собой их сильную сходимость. Стало быть, остаётся показать, что

(п, [(^-^"‘-^Я-гГ^ф^О(5.15)

при феНсрп! и т] е Н. Кроме того, (5.15) достаточно установить для функций ф, Т] из подходящих плотных множеств. Пусть ц е D(Я). Тогда .

|<П>[(^-г)’1-(2Я-г)-1]Ф)|

= 1^ (^-г)’1(^-2я)(2Я-г)-1Ф)|

= |((Я -5) п, (Я - z)-11 (Д (0 - te)-1 (Я - z) (Я - Z)-1 Х(^- -2Я)(2Я-г)-‘Ф)|

< II (Я - z) П ||| (Я - г)’1t (Д (0 - /г)’1 (Я - г) |

х|(Я-гГ1(^1-2Я)(2Я-г)-1Ф|. (5.16)

Оператор (Я — г)~Ч(Д(/)—tz^^H— z) ограничен равномерно по (большим) В этом можно убедиться с помощью коммутационного соотношения 1 [Я»Д] = 2Я0 (см. гл. 4). Ниже мы покажем, что при ф еО(Я)ПНсоп1 величина

|(Я-г)-1(^--2я)ф|

стремится к нулю (доказательство представляет собой строгое обоснование формальных вычислений, приведённых выше). Отсюда получим, что (5.16) сходится к нулю при тех феНСОпь для которых (2Я— г)-*феО(Я). Однако это множество плотно в Hcont, лишь если D^N^ — существенная область НРй0Тд. Поскольку не видно, как доказать это последнее, используем некоторую «регуляризацию» функции ф:=(2Я— г)-*ф. Пусть ф(0(х):=(1 + х3//)-^^). Тогда ф<<)еО(Я) при феД(Я) и

ф(<) -> ф в L2;■.,

Яф(/)->Яф в L2;

JДф^Ц^С/1'2.

Утверждения (а) — (с) доказываются с помощью прямых вычислений. Справедлива оценка (напомним, что ф = (2Я— з)-1ф)

I (^ [(^ — 2) ' — (2^ — 2) *] ф) |

<|(П, (^■-2)’1(-^-2Я)(^-ф)>|

+ K1^^-z)"l(^TL-2/f)1,’,<))|- (5-17)

Первое слагаемое в правой части (5.17) стремится к нулю в силу (а), (Ь). Как и в (5.16), второе слагаемое можно оценить через

с|(я-2)-‘(^--2я)ф(<)|.

Так как ф(/) е D(N), то±4(0^' = ^Так как ф(/) е D(N), то±4(0^' = ^^е“[», Лк-У*0'^е“[», Лк-У*0'

Так как ф(/) е D(N), то

±4(0^' = ^

Так как ф(/) е D(N), то

±4(0^' = ^

^е“[», Лк-У*0'

^е“[», Лк-У*0'

Таким образом,

|(я_г)-,(А^ „зя^*!^!^^

I

t।

4 ^*ЧН- z)-‘ W<H — z)~1 е-,$я (Я — г) ф ds

I

t

-у- $ eis” (Я - г)-1 W (Н — г)-1 e~isH (Н - г) (фМ - ф) ds о'

Первое слагаемое здесь стремится к нулю вследствие (с), второе— в силу теоремы РАГЭ (теорема 5.8(3)), а третье — в силу (Ь) и равномерной ограниченности оператора t

4 J е,$я (Я — г)-1 W (Н - г)-1 e~lsH ds. о

Этим завершено доказательство утверждения (й) теоремы. Доказательство утверждения (1) аналогично, всё отличие заключается в том, что теперь используются двойной интеграл и равенство d/df[x(f)2] = A(0- Согласно гавоту Стоуна — Вейерштрасса, утверждение (ill) достаточно установить для

резольвент. При этом надо применить равенство '

.||[(Я-2)-,-(Яо(О-2)-1]ф|| =

.|[(Я0-г)-,У(Я-г)-,]е-иЯфГ.

Ввиду приведённого выше следствия 2, е-ияф слабо сходится к нулю. Так как оператор (Яо— г)-1У(Я— г)-1 компактен, отсюда вытекает, что норма в правой части последнего равенства стремится к нулю. Тем самым доказано и (Ш). (Мы вправе- применить здесь следствие 2, поскольку при его доказательстве утверждение (ill) нашей теоремы не использовалось.) □ -

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ПОЛНОТА

Теперь приступим к доказательству асимптотической ■ полноты.

Теорема 5.10. Ran Q_ = Ran Q+ = Hcont.

Замечание. Поскольку Ran Q- cz Нас, то Hsc = 0.'

Доказательство. Как обычно, возьмём ф е Hcont таким, что- 5(Я)ф = ф (O^g^ 1,5=1 на [а2, 621, supp g cz [а2/2, 262]) „ Положим ф$:=ехр(—1зЯ)ф. Ясно, что

|| (Q- - 7) фЛ < | (О" - 7) g (Яо) Ф,) II +

l(Q"-/)[g(#o)-g(#)^J

<Ка--/)5(Ло)Р+фЛ + 2и(Яо)Р_ф$||

'' "-’ ^21[g(770(^

Поскольку ф$ —* 0 в силу следствия 2 из теоремы 5.9, Первое слагаемое стремится к нулю при s->oo, вследствие предложения 5.6. Второе слагаемое сходится к нулю ввиду следствия 1 из теоремы 5.9, а третье —ввиду теоремы 5.9. Таким образом,.

Ф = lim еин Q~e~lsH ф = lim Q-eisffo е~ин ф е RanQ ~ = Ran Q". S->coS->co•

Утверждение для Q+ доказывается так же. □

Теорема 5.11. Положительные собственные числа изолированы и имеют конечную кратность.

Доказательство. Допустим, утверждение теоремы неверно. Тогда найдётся такая С“-функция g, что g (И) ф„ = ф„ для некоторой последовательности фл, удовлетворяющей условиям ф„ —► 0,. Пфп11= 1, фпеЯа4. Так как оператор g^0) — gW компактен.

из сходимости ф„ -^* О следует, что II [^(Яо)—^(Я)]фп|| -^0. Но в силу предложения 5.6

Ф« = 5 (^о) Ф« + [ф« — 5 (^о) фп]

= g (Яо) фп + к (^) — g (^о)] Фп

= g (^о) Р-Фп + g кН»') Р^п + к W-g (Яо)] ф„

= Q-g (Яо) Р_ф„ + Q+g (Яо) Р+ф„ +

,(7-а-)г(я0)р_ф„

. .+(/-а+)5(яо)Р+фп + [г(я)-г(Яо)]фп

Q-g (Яо) Р_ф„ + Q+g (Яо) Р+Ф„.

Следовательно, проекция фп на Н^ стремится к нулю, а это невозможно, ибо фй±Нас и ||фп|| = 1. □

Доказательство теоремы исключает также наличие' сингулярного спектра (и не использует асимптотической полноты). Таким образом, для доказательства того, что oSc = 0, теорема РАГЭ не нужна. Как подметил Дейвис [75], эта замечательная теорема не требуется даже для геометрического доказательства асимптотической полноты.'

Другие методы, позволяющие исключить положительные собственные числа, можно найти в книгах Eastham — Kalf [90] (см. теорему4.19)-и-Рид-—Саймон IV, § XIII. 13 [295].-

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ПОЛНОТАДЛЯ ТРЕХЧАСТИЧНОГО СЛУЧАЯ

В этом параграфе обсуждается геометрическое доказательство асимптотической полноты, недавно полученное Энссом. Мы не стремимся к полному изложению этого доказательства, а обсуждаем лишь некоторые из основных его идей, отсылая читателя за подробностями к [99; 102—105]. Более или менее мы следуем первой статье Энсса, посвящённой трехчастичному случаю [99]. Однако работы [102; 105] носят более замкнутый характер, и мы рекомендуем их для дальнейшего чтения.

Асимптотическая полнота для двухчастичных систем была установлена, с нарастающей степенью общности, Повзнером [287], Икэбэ [175], Агмоном [2], Куродой [223] (дальнейшие подробности об истории вопроса см. в книге Рида — Саймона III [294]) и, наконец, Энссом в его знаменитой статье [95]. Фаддеев в своей эпохальной монографии [106] установил

асимптотическую полноту для некоторого класса трёхчастичных систем. Затем последовали обобщения результатов Фаддеева с заполнением одного пробела, имевшегося в его рассуждениях, полученные Сигалом [309], Яфаевым [373], Томасом [354], Жи- нибром и Муленом [136] и Като [194]. В монографии Фаддеева были два серьёзных ограничения: (1) требовалось, чтобы потенциал убывал как г-2-8, в частности не допускались системы с бесконечным числом каналов; (2) предполагалось, что двухчастичные системы не имеют квазисвязанных состояний в точках порогов (это ограничение позднее было снято Лоссом и Сигалом [2361 путём наложения более сильных условий на скорость убывания УиУ Обобщая идеи упомянутых авторов, Энсс [99] и Мурр [257] недавно рассмотрели трёхчастичные системы без каких-либо предположений о связанных состояниях при достаточно слабых ограничениях на скорость убывания, допускающих бесконечное число каналов, и эти их рассмотрения лежат в основе настоящей и предыдущей глав соответственно.

Как и вправе ожидать читатель, трёхчастичный случай по- сравнению с двухчастичным обладает новыми физически интересными свойствами, а также порождает массу математических трудностей. Прежде всего, в этом случае имеется больше возможных «асимптотических конфигураций»: либо все частицы движутся в существенном свободно, либо две из них связаны друг с другом, а третья свободна, либо все три частицы находятся в связанном состоянии. Перечисленные возможности реальны с физической точки зрения, а асимптотическая полнота утверждает, что других'конфигураций не может быть. Подчеркнём, что заранее мы не можем исключить, например, такую ситуацию, когда одна частица бегает туда и обратно между двумя: другими.

Кроме того, асимптотические конфигурации в далёком будущем и в отдалённом прошлом могут выглядеть совсем по-разному; скажем, конфигурация, состоящая в отдалённом прошлом: из двух связанных частиц (со свободной третьей), может в далёком будущем перейти в конфигурацию из трёх свободных частиц, и т. п. Однако из физических соображений следует ожидать, что состояние, в прошлом имевшее одну асимптотически свободную частицу, обязательно будет иметь и в будущем: (по крайней мере) одну такую частицу, и наоборот (и ниже мы: докажем, что так оно и есть).

Чтобы формализовать приведённые выше рассуждения, введём некоторые обозначения. Как обычно, мы работаем в системе центра масс. Пусть а обозначает двухкластерное разложение, т. е. а={(1, /),&}, где {i,/,&} = {!, 2,3}. Для описания положения частиц используем координаты Якоби. Пусть пи,.

1 = 1, 2, 3, — массы частиц. Для а = {(i, /), к\ положим т,х, + т,х,,

xa-=xt-xh уа:=хк-- т^-^,(5.18)

где х® описывает относительное положение частиц пары (i,/), а уа — положение третьей частицы по отношению к центру масс лары (г, /). Через.

обозначим соответствующие операторы импульсов. Приведённые массы указанной пары и третьей частицы определяются равенствами '

IL®

т^тп^

m& (mi + m/)

(5 20)

‘ mt + т( ’

а ‘ mt + mj + mk

соответственно. Полагая

Ао :

2va.

(5.21)

получим

Яо

= Ао + Аоа,

(5.22)

где ра, h^ и т. д. в (5.21) понимаются как операторы в jL2(R2v, dvx®, d^yaV смысл которых понятен- Как обычно, внутренний потенциал (описывающий взаимодействие между частицами пары) обозначается через V®. Положим

' ' й“ := А? + У% (5.23)

Н (а) := Яо + Ка(5.24)

Представляется разумным считать, что динамика состояния, являющегося асимптотически свободным, при больших по модулю t удовлетворительно описывается свободным оператором эволюции ехр(—1Я0<). Однако если одна из частиц движется свободно, а две другие связаны, то ехр(—1Я0<), очевидно, не будет давать правильного описания асимптотического поведения соответствующего состояния. В этом случае роль ехр(—1ЯоО должен скорее играть оператор ехр(—1Я(а)<). И действительно, ехр(—1Я(а)<) задаёт простую удобную динамику для сравнения конфигураций, в которых пара в разложении а образует связанное состояние. В самом деле, если Ео— энергия связанного состояния и Ро — проектор на соответствующее собственное пространство для пары, то

e-^^Po-e-^V'VPo.

Это подводит нас к определению набора волновых операторов,, каждый из которых, как мы ожидаем, правильно описывает асимптотическое поведение состояний в подходящем подпространстве. А именно, область значений оператора

Ql= s-lim eXHte-iHtt■(5.25)

t->Too'.

состоит из конфигураций, отвечающих трём асимптотически свободным частицам. Областями значений, операторов

Q± = s-lim elHte"lHWtPp(ha)(5.26)

S->T ОО

(Рр(Л“) — проектор на подпространство НрР(й“), отвечающее оператору й“) служат состояния, в которых две частицы (из а) образуют связанное состояние, а третья движется асимптотически свободно. Проектор Рр(й“) включён в (5.26) для того, чтобы «пропустить» только те состояния, в которых пара частиц действительно асимптотически связана. Дело в том, что динамика ехр(—1Я(а)/) корректно описывает ещё и те конфигурации, в которых все три частицы асимптотически свободны, но лишь на области значений оператора Рр(й“) она особенно проста. Будем говорить, что имеет место асимптотическая полнота, если

Hcont (Я) = Ran Q°_ © (ф Ran Ql)

= Ran Q+ ©(© Ran Q“) .. (5.27)

Иными словами, любое состояние представляет собой суперпозицию следующих типов состояний: (1) связанные состояния; (2) состояние с двумя связанными частицами и одной свободной; (3) состояние с тремя асимптотически свободными частицами.’'

Используя асимптотическую полноту двухчастичных систем, легко убедиться, что асимптотическая полнота в трёхчастичном случае эквивалентна следующему: для любых ф е Hcont и е > О существует достаточно большое число т, такое что

е"1 “' Ф = Фо (т) + Е Фа (т), •. а

причём равномерно по / 5$ О справедливы оценки'

Ке-’^-е-’^фоМКе,.(5.28)

Же-'^-е-^^ОФа^НСе, .(5.29)

и аналогичное разложение имеет место для /^0. Представим фа(т) в виде суммы Рр (йа) фа(т) и Рс (йа) фа(т). В силу (5.29),

Рр(Аа)фа(т) е RanQl, а из асимптотической полноты для двухчастичных систем следует, что Рс (Аа) фа(т) е Ran Q _.

В дальнейшем для простоты мы предполагаем, что функции Уц непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют следующим свойствам:

оператор (1+|*|)1+вУ.7(х) ограничен;

x-VУ,у(■£)->О при |х|—>оо.

Заметим, однако, что доказательство Энсса проходит для более широкого класса потенциалов.

В двухчастичном случае мы ограничивались рассмотрением тех состояний, энергия Е которых удовлетворяет условию 0 < а ^ Е ^ 6 < оо, а затем устремляли а к нулю, а 6 — к бесконечности. Ограничение энергии сверху облегчало вычисления. Ограничение снизу требовалось по причине физического характера: частицы с энергией, близкой к нулю, движутся чрезвычайно медленно, затрудняя тем самым проведение многих оценок. '■

. В трёхчастичном случае мы встречаемся с новым затруднением, а именно с состояниями, энергия которых близка к порогам. Напомним, что пороги совпадают с собственными значениями подсистем (§ 3.2). Известно (см. теорему 4.19 или Рид — Саймон IV [295] § XIII. 58), что операторы А" не имеют положительных собственных чисел. Обозначим через е“ ненулевые собственные числа оператора А", пронумерованные в порядке возрастания. Числа ер могут накапливаться разве лишь к точке нуль. Множество порогов Т задаётся . соотношением Т = = {^}и{0}.

Может оказаться, что пара в а находится в связанном состоянии с энергией е? или имеет энергию, близкую к е£, а третья частица движется с очень маленькой скоростью по отношению к этой паре. При рассмотрении таких состояний возникает та же — если не более серьёзная — трудность, что и для случая малых энергий в двухчастичной задаче.

Для а, b > 0 определим

А:=А(а, &):={£ е R | d(5, Т) > а, Е<Ь}, где d(x, А) — расстояние точки х от множества А. Ясно, что множество

U А(а, Ь) а, 6>0

плотно в R, а потому состояния ф, удовлетворяющие условию ф = F(H е А(а, 6))ф, пробегают плотное в L2 множество, когда а и b пробегают R+. Состояния ф, такие что ф = 7?(Яе

А(а, &))Рс(Я)ф, обладают следующим свойством: если две частицы образуют связанное состояние, то относительно этой пары частиц кинетическая энергия третьей частицы, если только она достаточно удалена, будет не меньше а.

Стратегия доказательства состоит в следующем. Пусть Hs:=Hc(tf)n(®RanQi)\

Покажем, что любая функция феН5, такая что 11(> = Р(Нг А (а, 6))ф с какими-либо а, b > 0, принадлежит RanQ-.

Одним из решающих наблюдений в «трёхчастичной» статье Энсса является следующее замечательное утверждение, которое мы не будем здесь доказывать.

Предложение 5.12. Пусть ф е Н5 и ф = Р(Н е А (а, Ь) )ф. Тогдг для любого а

ИшТ->ооИшТ->оо_1_Т_1_Тт

Иш

Т->оо

Иш

Т->оо

_1_Т

_1_Т

J ||Р(|ха|<р)е-'тф||^ = 0. о

Это предложение говорит, что для рассматриваемых состояний любые две частицы в среднем по времени будут удаляться друг от друга. Оно очень похоже на теоремы РАГЭ, которые мы обсуждали в § 5.4. Вместе с тем отметим, что для всего пространства Нс это предложение заведомо неверно! Предложение 5.12 соответствует нашим физическим интуитивным представлениям. Если данное состояние ф не является состоянием, отвечающим двум асимптотически связанным частицам и свободной третьей, т. е. ф ± Q-, и если, кроме того, кинетическая энергия третьей частицы по отношению к паре первых двух строго положительна, то в среднем по времени все частицы будут удаляться друг от друга.

Теперь нетрудно получить аналоги утверждений (1) и (ii) теоремы 5.9 для случая трёх частиц. Положим

Х2=ца|хар+уа|уаР,(5.30)

А = У {ра • ха + ха • Ра + Яа • Уа + Уа * ЯаУ(5.31)

Предложение 5.13. Для f е С^Щ ифЕН,

(О /((^У)ф^/(2Я)ф,

GO

Доказательство. Мы дадим лишь набросок доказательства утверждения (ii). Как и в случае двух частиц (теорема 5.9), имеем

(игнорируя вопрос об областях определения)

-t .

^-=А+2Я + ^1^а($)^,(5.32)

a О

где Wa2Va-x-Wa.

Однако на этот раз мы не можем применить теорему РАГЭ, чтобы проверить,. что третье слагаемое в правой части (5.32) стремится к нулю. Это связано с тем, что оператор Wa в трёхчастичном случае не компактен, даже если «окаймить» его резольвентами.

Тем не менее при условии убывания V® выполняется соотношение

g^(lxai>P)g^o, р^оо,

а интеграл'

t

|5е‘^а?(|ха|<р)е-^я^ о

мы можем рассмотреть с помощью предложения 5.12. □

Что касается утверждения (iii) теоремы 5.9, то имеет место следующий слабый его аналог:

Предложение 5.14. Для всякого феН5ГО(Яо), удовлетворяющего условию ф = F(H е А (а, 6))ф> существует последовательность тп—>-оо, такая что

Я0Мф->Яф..

Доказательство (набросок). В силу условий на потенциалы V®

.|№ —/7) П/"(|х« |> р„)|-*0

для любой последовательности р„->оо. Согласно предложению 5.12, можно выбрать такую последовательность тп->оо, что

Стало быть, величина

| е1 ^Яое"* Т"ЯФ - ЯФ J < | (Яо - Я) П F (| х“ | > рп) 11| ф || + £||У«1||/(И<Рп)е-‘яМ

a.

стремится к нулю. □

Теорема 5.9 является весьма мощным техническим средством при изучении двухчастичных систем. Её трёхчастичные аналоги (предложения 5.13 и 5.14) в том виде, как они сформулированы, дают гораздо меньше информации, так как в них ничего не говорится об х® и уа. Всё же они позволяют установить следующее утверждение, представляющее собой краеугольный камень доказательства асимптотической полноты:

Предложение 5.15. Для фе Hs, удовлетворяющих условию ф = ^(Яб Л(а,6))ф, существует последовательность тп->-оо, такая что

при всех f еС” (Rv)

11} е"‘°'

|{f(v«^) — /(^а)} е-1^'с»ф|-*0;

при всех geC" (Rv)

Доказательство (набросок). Мы лишь наметим основную идею доказательства утверждения (1). Не заботясь об областях определения, формально имеем

1 Г ЦаХа (тч) • „ , Л 2 ■1 Г УаУа (т„) - (т )Т

2Ц- L—Р + 2уа L Т„^^J

Н0^п) + Н-2Н 0.

Поэтому оба слагаемых в квадратных скобках стремятся к нулю. Приведённое формальное вычисление нетрудно сделать строгим; надо провести его для резольвент, а затем прибегнуть к гавоту Стоуна — Вейерштрасса (см. приложение к гл. 3). □

В заключение сформулируем результат Энсса об асимптотической полноте и скажем пару слов о его доказательстве.

Теорема 5.16. Для трёхчастичцых гамильтонианов имеет место асимптотическая полнота.

Замечание. Хотя выше мы налагали на потенциал условия (1) и (11), доказательство Энсса проходит и при более слабых ограничениях.

Энсс различает случай, когда энергия пары, й®, является отрицательной или малой положительной, и случай, когда эта энергия положительна и отделена от нуля. Для первого случая он доказывает, что (полная) эволюция хорошо приближается оператором ехр(—iH(a)/), тем самым обосновывая (5.29); для второго — что оператор эволюции асимптотически совпадает с ехр(—ШоО, тем самым доказывая (5.28). В рассуждениях Энсса используются асимптотика наблюдаемых и предложение 5.12. _

В то время когда готовилась рукопись этой книги, Сигал и Соффер [314] опубликовали доказательство асимптотической полноты для У-частичного случая при весьма общих предположениях. . ■

Магнитные поля

В этой главе мы рассмотрим лишь немногие аспекты теории операторов Шрёдингера с магнитными полями. За более подробным изложением и более полным перечнем литературы отсылаем читателя к обзору Хунцикера [172].

Далее размерность (конфигурационного пространства) всегда будет равна 2 или 3. Мы обсудим два типа операторов: во-первых, обычный гамильтониан в магнитном поле (см. § 1.3) Я (a, V): = (—IV — а)2 + V, определённый иа Н :=Z.2(RV), и, во- вторых, гамильтониан Паули, описывающий частицы со спином (ниже рассматривается лишь случай спина 1/2 [182, р. 249]),

Н (а, V) := Я(а, V) D + а • В,(6.1)

определённый на Н := L2(RV)® С2. Здесь 11 — унитарная 2 X 2-матрица, а—матричный вектор с :=(»!, а2, аз), компонентами которого служат матрицы

. .ЛО 1Л . /О — i \_ /10\

•a*:=U 0 7’ а2:=А1аз:=ко

и В — магнитное поле, порождённое вектор-потенциалом а, т. е. VXa = B.

Отметим, что на V и а всегда налагаются более сильные условия, чем это нужно для самосопряжённости в существенном операторов Я (а, V) и Я (а, V) (на подходящем подпространстве; см. гл. 1). На протяжении всей этой главы мы игнорируем вопросы, связанные с областями определения, понимая все операторы как замыкания на С”.

Вначале мы очень кратко обсудим калибровочную инвариантность для гладких а. Затем докажем, что существенные спектры операторов Н и Я совпадают с [0, оо), если В->0 на оо и V — короткодействующий в некотором смысле потенциал. Это не совсем тривиальный результат, так как при условии, что В —>- 0 на бесконечности как г-®, а е (0, 1), соответствующий вектор-потенциал а будет стремиться к оо. Тем не менее существенный спектр не меняется. Мы используем этот факт для по-

строения поистине поразительного примера гамильтониана с плотным точечным спектром. Такой тип спектра встречается при изучении гамильтонианов со случайными потенциалами (других связей с этими гамильтонианами вроде бы нет).

В третьем параграфе обсуждается схема построения суперсимметрии (в очень узком смысле) и приводятся кое-какие примеры. Затем мы доказываем теорему Ахаронова и Катера о числе состояний с нулевой энергией. Её можно понимать как физический пример теоремы Атьи — Зингера об индексе для некоторого неограниченного пространства [57]. В § 6,5 излагается теорема Ивацуки, предъявляющая вполне конкретный двумерный гамильтониан Н (а) с чисто абсолютно непрерывным спектром. Последний параграф знакомит с некоторыми другими явлениями, характерными для операторов Шрёдингера с магнитными полями.

Прежде чем непосредственно приступить к изложению указанных тем, введём обозначения, которые позволят записать Н другим, более удобным, способом. Вначале обратимся к случаю v = 3. Рассмотрим вектор-оператор

O:=(Ob О2, О3),■.•

где О/, /е {1,2,3}, — операторы в Z,2(R3). Положим оз

О := О • а= Е 0}а}.

Напомним, что■

Ок®! =&ы1 + i Цвк1тат,'(6.2)

где выт — знак перестановки (&, I, т), т. е. выт = 0, если какие- нибудь два из индексов к, I, т равны между собой, и еыт = 1 для чётных, 8ыт = — 1 для нечётных перестановок множества {1,2,3}. Простое вычисление с использованием (6.2) показывает, что

62=Eo?H + i Е am[Ofe,Oi]. 1-1т-1

^klm-^'

С помощью соотношений

10>* - а^, (Pl - az)] = - i (-^ а, - -^ а^ (напомним, что рк := —id/dx^) найдём, в частности, что

(р — а)2 = (р — а)21 + о • В.(6.3)

Отсюда следует равенство

Я (а, У) = (р — а)2+ VH■(6.4)

(в дальнейшем будем иногда опускать 1 в записи). Случай v=2 всегда можно понимать как частный случай v = 3, когда вектор В имеет постоянное направление и мы рассматриваем лишь проекцию движения на ортогональную к В плоскость. Поэтому выписанные выше соотношения формально сохраняют силу н для двухкомпонентных вектор-операторов. Однако при этом появляются еще и некоторые упрощения. Например, магнитное поле

V X а = -г—а, = В

*dxi z дхг 1.

будет теперь скалярным (так как имеет лишь одну компоненту), а потому равенства (6.1) й (6.3) сводятся к соотношениям

' Н (а, V) := Н (а, V) 1 + ОзВ,(6. Г)

(р — а)2 := (р — а)21 + а3В(6.3'

соответственно. Однокомпонентность В в (6.3') серьёзно упрощает дело, поскольку при этом оператор

(р — a)2 = a.B+V'

— это просто прямая сумма пары операторов

(р-а)2±В+ V.

КАЛИБРОВОЧНАЯ* ИНВАРИАНТНОСТЬ и существенный спектр

Для гладкой функции а калибровочная инвариантность — совсем простая вещь (в случае негладких а появляются некоторые тонкости). Именно, пусть даны два гладких вектор-потенциала ai и а2, имеющие один и тот же ротор, т. е. ai, a2e(C”(Rv))v и

VXa,=VXa2 = B.

Тогда

VX(a,-a2) = 0.

Это. означает, что существует (калибровочная) функция X е C”(RV), такая что

Д] - а2 —— VX. ■

Отсюда следует калибровочная инвариантность «магнитного импульса»:

- ел (— i\Z — aj е~л = — iV — а2,.' ■ 1

а потому

елЯ(аь У)е-л = Я(а2, V).

Полученное равенство выражает тот важный факт, что «физика» зависит лишь от В. Таким образом, если двум разным вектор-потенциалам отвечает одно и то же поле В, то гамильтонианы будут унитарно эквивалентны, причём эта эквивалентность реализуется оператором умножения. Стало быть, совпадают не только спектральные свойства, но также и другие свойства, описываемые функциями переменной х.

. Ниже мы убедимся, в частности, что существенный спектр гамильтониана гораздо более устойчив, чем другие спектральные характеристики. Более точно, мы установим, что существенный спектр всегда совпадает с положительной полуосью, если В убывает на бесконечности и потенциал V (зависящий от х) "имеет не слишком экзотический вид. Первое строгое доказательство этого результата принадлежит Миллеру (см. Miller — Simon [244]), обобщения на случай негладких магнитных потенциалов были получены Ляйнфельдером [228].

Основная идея доказательства состоит в том, чтобы «подогнать» оператор под выбранную некоторым образом последовательность Вейля за счёт подбора такой калибровки, что после её применения вектор-потенциал становится достаточно малым на носителе элементов вейлевской последовательности. Это можно сделать, ибо | В [—>-0 на бесконечности. .

Теорема 6.1. Пусть v = 2, 3. Предположим, что aE(C"(Rv))\ 1В(х)|-^0 при |х|.-*-оо и V компактен относительно Но. Тогда

Hess (Я (а, V)) = Hess (Я (а, V)) = [0, оо).

Доказательство. Шаг 1. Сведём дело к доказательству того, что Оезз(Я(а, 0)) = [0, оо). В бесспиновом случае из диамагнитного неравенства (1.8):

I e-iH (а. 0)ф । ^ е-*я"| <р |, /sR, феН, следует, что-

IV (Я (а, О) + /)-1ф|<1^|(Яо + /)-1|ф|.(6.5)

(см. [22, р. 851]). Таким образом, V компактен относительно Я(а, 0) (см. [285; 88]). Поэтому существенные спектры операторов Я (а, V) и Я (а, 0) совпадают [295, с. 130]. В случае операторов со спином учтём, что [а-В|->-0 при |х|->-оо. Стало быть, о-В —также Я (а, 0)-компактное возмущение.

Шаг 2. Поскольку Я (а, 0)^0, то <т(Я(а, 0))s [0, оо).

Шаг 3 (несколько усиленный вариант теоремы Вейля). Пусть А самосопряжён и Д ^ 0. Если существует ортонормиро- ванная последовательность (tineN S Н, такая что II (4 + 1)-х(А— z)i|)n||->-0 (л->оо), то zeaeSs(4). В этом можно убедиться с помощью теоремы об отображении спектров: 0 е Hess ((4 + /) -1 (4— z)) в том и только в том случае, если ze <yeSs(4). Затем надо применить критерий Вейля к оператору (4 + /)-! (4 — z) [292, с. 262].

Шаг 4. Покажем, что существуют такая последовательность векторов {x„}nsN ^ Rv, | х„ |-* оо, и такая последовательность вектор-потенциалов {an}neN, обладающая свойством VXan = В, что

sup |a„(x)Kcn-* (6.6) |х-х„|<л

для подходящего с > 0.'

Пусть ле N. Выберем хле Rv так, чтобы

sup | В (х) | ^ сп-2 ■'

I х-х„[<л

с каким-нибудь с. Это можно сделать, так как В убывает. При v = 2 положим

а„ (х) := I 0,а„ (х) := I 0,B(t, y^dtB(t, y^dt

а„ (х) := I 0,

а„ (х) := I 0,

B(t, y^dt

B(t, y^dt

где х = (х, у) и хп = (хп,уп). При v = 3 положим а„(х).= (tn, sn, 0), где'

у •?

t„ (х) := — J Вз (х, t, 0) dt + J В2 (х, у, s) ds,Ипгп

Z

. sn (х) := — $ В, (х, у, 0 dt.

х = (х, у, z), Хп = (хп, уп, Zn). Поскольку V - В = 0, легко проверяется, что VXan = B. Теперь (6.6) следует непосредственно из оценки для В в шаре {|х — хл| ^ л}. '

Шаг 5. Для данного k е Rv мы построим последовательность {‘Фл}лемс Н, о которой шла речь на шаге 3, т. е. такую, что

^(^(aJ + n’^^aJ-k^iljJ^O, л^оо. (6.7)

Прежде всего заметим, что ввиду равенства VX(a— ап) = 0 существуют калибровочные функции Х„ е С1 (Rv), для которых

Н (а, 0) = е^Я (а„, 0) е-л".

Выберем из {хл} подпоследовательность (обозначим её. снова через (Хп)) со свойством |хл— xn-i | > 2л. Пусть gEC”(Rv) — такая функция, что

М, | х | < 1/2,

g^ I 0, | х | > 1,

llglloo = 1, и пусть

gn (х) := a„g (у (х — х„)) ,

где константы ап выбраны таким образом, чтобы Hgnlb = 1. Очевидно, функции.■

ф„ (х) := е1Х" (x)eik‘xg„ (х)

образуют ортонормированную последовательность в L2(RV)^ слабо сходящуюся к нулю. Таким образом, остаётся доказать (6.7). Отметим, что■

|[Я (а) + 7]-1 [Я (а) — к2] фп j =

|[Я(ап) + Л-1[Я(ап)-к2]М>

где ^n(x):=exp(ik-x)gn(x). Отсюда с помощью тождеств

Н (а„) = Яо + 2а» + (IV - а„) • а„ + 1ал ■ V,

(Яо — к2) </>„ (х) = е‘к-*Я0£п (х) + 2ie*kxk • Vg„ (х)

получим

l [Я (а„) + /Г1 [Я (а„) - к2] ^Д < || Яо§л + 21 к | II Vgn II

.+ |[Я(ал)4-7]-1(-^-ал)|||ал§л||

+ 2B(a2+k-an)gJ + h«-Vgnt

Два первых слагаемых в правой части стремятся к нулю при л->-оо, поскольку IIVgnll^c/л и IIAgnll^ с/л2 с подходящим с > 0. Остальные слагаемые стремятся к нулю в силу неравенства (6.6), полученного на шаге 4. При этом надо ещё учесть, что [Я (ал)+ /]-*(—iV — ал)—равномерно (пол) ограниченный оператор..■

Таким образом, в силу шага 3, k2e aess(H(a, 0)) для любого к2 е R+, т. е. [0, oo)s сте55(Я(а, 0)). Доказательство теоремы завершено. □

ОПЕРАТОР ШРЕДИНГЕРА С ПЛОТНЫМ ТОЧЕЧНЫМ СПЕКТРОМ

Здесь мы приведём пример оператора Шрёдингера в магнитном поле, обладающего весьма удивительными спектральными свойствами. „Регулируя" скорость убывания магнитного поля В, можно устроить, чтобы оператор имел либо чисто абсолютно непрерывный спектр, либо плотный в [0, оо) точечный спектр, либо спектр" с «границей подвижности», когда существует такое d > 0, что на множестве [0, d] спектр является плотным точечным, а на [d, оо)—абсолютно непрерывным. '

Теорема 6.2 (Miller — Simon [244]). Пусть v = 2,

":=(?.-с77^)+0’. + =7ПГ^").

где с > 0, р:=| х | = (х2 + у2)1/2, у е (0, оо). Тогда

еслиу> 1,тоа (Н) = оас (Н) = [0,оо),ffpp = ffs = 0;

еслиу< 1,тоа (Н) = арр (Н) = [0,оо),СТас = СТз=0;

еслиу= 1,тоорр(Я) = [0, с2], оас(Я)= [с2, оо) и стзс =

= 0, т. е.с2— «граница подвижности».

Доказательство. Вначале заметим, что

х дд2с . урс

.дха«d+P)v + d+P)v+1 ’

где

а-(а„ ^)-((1 + рр> (i + P)Y>

Поэтому, по теореме 6.1,

а(Я) = Оезз(Я0) = [0, оо).(6.8)

Раскрывая скобки в определении Н, получим

где Lz:=—Цх(д/ду)— у^д/дх^— оператор момента импульса (относительно «оси а»). Следовательно, Н коммутирует с вращениями (в плоскости R2), поскольку все слагаемые инвариантны относительно вращений. Это можно записать в виде равенства

\U н] = о.

Гильбертово пространство H = £2(R2) представимо в виде прямой суммы собственных подпространств оператора Lz. Собственные числа Lz суть тб{0, ±1, ±2, ...} (см. [182, р. 231]

и [224, § 27]). Сужая Н на собственное подпространство, отвечающее собственному числу /и, т. е. на {<р е Н | Z,z<p = т}, найдём, что •

Но это оператор Шрёдингера без магнитного поля с потенциалом

у •= ^Р2 । тс т" (l+p)2Y f (l + p)Y • .

Теперь рассмотрим по отдельности каждый из трёх имеющихся: случаев. ' .

Если у > 1, то Уот — короткодействующий потенциал- Хорошо известно [305; 226], что Нт имеет лишь абсолютно непрерывный спектр, а потому, в силу (6.8), справедливо утверждение (а) теоремы. '

Если у < 1, то Vm(x)-*oo при |х|->-оо. Следовательно, все Нт, а потому и Н имеют чисто точечный спектр [295, теорема XIII. 16]. Но ввиду (6.8) он должен быть плотным в [О.оо). •

. (с) Если у=1, то Ут — с2— дальнодействующий потенциал, стремящийся к нулю при |х|->-оо. Тем самым Нт (а потому и Н) имеет на [с2, оо) абсолютно непрерывный, а на [0, с2] — чисто точечный спектр. В силу (6.8) точечный спектр оператора Н будет плотным в [0, с2].

Замечание. При у = 0 мы получаем постоянное магнитное поле (ортогональное к (х, у)-плоскости). Известен классический результат о том, что в этом случае спектр является точечным. Собственные функции соответствуют замкнутым орбитам, которые называются орбитами Ландау (см. [224, § 112]).

' 6.3. СУПЕРСИММЕТРИЯ (НУЛЬМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)

Теперь мы обсудим одну простую абстрактную конструкцию, которая на первый взгляд не имеет ничего общего с операторами Шрёдингера (в действительности она ближе к физике высоких энергий). Но, как мы сейчас увидим, существуют примеры операторов Шрёдингера, укладывающихся в её рамки.

Эта структура — частный случай суперсимметрии, возникающей в теории поля. Введём операторы Q^a, где р, — «векторный индекс», а — «спиновый индекс», а — «внутренний индекс». Преобразование Лоренца переводит Q в операторы

U (Л) Q^U (Л)"1 = Е Л^Д (Л)в6 QV6O,

где А (Л) — спинорное представление группы Лоренца. Кроме того, Q удовлетворяют следующим «коммутационным» соотношениям:

{Qnaa> Qvbp} = ^Suv^ab^afi^V)

где {Л, В} =ЛВ + ВЛ, g—метрический тензор, А — билинейная форма по спинорным индексам, преобразующаяся как скаляр, и Pv— четырёхмерный импульс.

Такое расширение лоренц-инвариантности особенно интересно по той причине, что операторы Q перемешивают состояния Бозе и Ферми. Имеется весьма привлекательный суперсимметричный вариант теории гравитации, называемый (У = 8)-супергравитацией. Эта теория в настоящее время вызывает большой интерес, хотя пока не получила экспериментального подтверждения. Более подробное обсуждение этого вопроса можно найти в [369].

Здесь мы остановимся на случае нулевой пространственной размерности. Операторы Qi = Q и Q2 = zQP (Q и Р вводятся ниже) удовлетворяют соотношениям.

q;=q„, {«.. <y=2».»».

Повышенное внимание к этой картине нульмерной суперсимметрии привлёк Виттен [370]; см. ниже гл. И. Рассмотрим в гильбертовом пространстве Н самосопряжённые операторы Н и Q. Пусть Р— ограниченный самосопряжённый в Н оператор, такой что-■-

Я = 02>0,(6.9а)

. Р2 = /,(6.9b)

{Q, P}:=QP + PQ = 0.(6.9с)

Будем говорить, что система (Н, Р, Q) обладает суперсимметрией, если выполнены условия (6.9). Поскольку оператор Р самосопряжён и удовлетворяет условию Р2 = I, его собственными числами могут быть лишь —1 и +1. Обозначим соответствующие собственные подпространства через Нь Нь:

Н$ := {ф е Н| Рф = —ф},

Нь := (ф е Н| Рф = ф}..

.Имеет место разложение

Н = НЬ® Нь

Векторы из Hf называются фермионными, а векторы из Нь — бозонными состояниями. Оператор Р можно представить в виде

где Нь и 1f — единичные операторы в Нь и Hf соответственно.. В дальнейшем мы опускаем Hf, 1ь и пишем

Поскольку Р и Q антикоммутируют и оператор Q самосопряжён,, он всегда имеет вид ' ■'■

/О Л* \о),(6.10).

где оператор А переводит Нь в Hf, а его сопряжённый, А*, переводит Hf в Нь. Это означает, что Q «взаимно переключает фермионные и бозонные состояния», т. е.

Q: Hf^Hb, Q: Hb^Hf.

Замечание. Как будет видно из примера 1а, оператор А можно- назвать «оператором уничтожения», а А* — «оператором рождения». Эти объекты хорошо известны из теории гармонического, осциллятора [292, с. 161; 182, р. 211].

Из (6.9) и сказанного выше вытекает представление

(АГА 0 \0 АА'У

Таким образом, Р коммутирует с Н, а потому Hf, Нь — инвариантные подпространства Н.

Теперь определим «суперсимметричный» индекс оператора Н,. обладающий замечательными свойствами устойчивости.

Определение.-

inds (Я) := dim (Ker (Я Г Нь)) - dim (Ker (Я [ Hf)).

Замечание. Не следует путать inds(H) с обычным индексом,, определяемым для произвольного полуфредгольмового оператора F как

ind (F) := dim (Ker F) — dim (Ker F*)

(см. [196, с. 290]). Однако связь между этими двумя величинами всё-таки существует, а именно■

inds(/f) = ind(4),■

где А — оператор «уничтожения», определённый соотношением

(6.10)..

Установим фундаментальное свойство суперсимметричных систем, состоящее в том, что ненулевым собственным значениям отвечает одинаковое число бозонных и фермионных собственных состояний.

Теорема 6.3. Если система (Н, Р, Q) обладает суперсимметрией, то для любого открытого ограниченного множества Q s(0, оо) имеет место равенство

dim (Eq (Я) [ Нь) = dim (Eq (Я) [ Hf), где Eq (Н)— спектральный проектор Н, отвечающий Q.

Доказательство. Обозначим через Р+ проекторы на Нь и Hf соответственно. Пусть ■.

Й;=Еа№.'

Отметим, что Р+, как и Р, коммутируют с Eq (Н). Поскольку Q антикоммутирует с Р и ограничен на Eq (Я) Н, то

QEq=EqQ. ■(6.12)

Так как O.^ Q, оператор Q обратим на Ед(Я)Н, а потому из (6.12) следует, что'..

dim(EQ) = dim (Eq).

Утверждение теоремы вытекает теперь из тождеств dim (Eq (Я) [ Нь) = dim №), dim (Eq (Я) [ Hf) = dim (Eq ). □

Обсудим ряд примеров.

определения) А*= —d(dx + q (x). Согласно (6.10), °+/1 o\- + , о )’определения) А*= —d(dx + q (x). Согласно (6.10), °+/1 o\- + , о )’Пример 1 (Deift [77]). Пусть H = L2(R)®C и q— полином по х. Положим А := dtdx + q(x). Тогда (на той же областиПример 1 (Deift [77]). Пусть H = L2(R)®C и q— полином по х. Положим А := dtdx + q(x). Тогда (на той же областиПример 0. Оператор Лапласа — Бельтрами на формах на компактном многообразии. Этот пример будет обсуждаться в гл. 11.

определения) А*

= —d(dx + q (x). Согласно (6.10), °+/1 o\

- + , о )’

определения) А*

= —d(dx + q (x). Согласно (6.10), °+/1 o\

- + , о )’

Пример 1 (Deift [77]). Пусть H = L2(R)®C и q— полином по х. Положим А := dtdx + q(x). Тогда (на той же области

Пример 1 (Deift [77]). Пусть H = L2(R)®C и q— полином по х. Положим А := dtdx + q(x). Тогда (на той же области

Заметим, что (на подходящих областях определения) л*л = — -^-+92W — /М.

ЛЛ*^ + q2 (х) + q' (х).

Тем самым

,0 А

я:=о2=^.

Система (Я, Р, Q) суперсимметрична.

Пример 1а (гармонический осциллятор). Пусть q^x) = x в примере 1. Тогда Л*Л =—d2/dx2 + q2 (х)— 1—(сдвинутый) гармонический осциллятор. Оператор Л называют оператором «уничтожения», а Л*— оператором «рождения» [182, р. 211]. Справедливо равенство'

ЛЛ’ = Л’Л + 2,■(6.13>

так что-

dim (Ед (Л’Л)) = dim (Ед-2 (ЛЛ‘)), As (0, оо). (6.14)

С помощью равенства о(Н) = а(Л*Л)0 а(ЛЛ*) мы можем вычислить спектр Н. Поскольку Л*Л^0, из (6.13) следует, что ЛЛ* ^ 2, т. е. а(ЛЛ*)^2. В силу (6.14), на интервале (0,2), а потому и на (2га, 2(га+ 1)), спектра оператора*// нет. Таким образом, Н может иметь спектр лишь на множестве (2,4, 6, ...}. Пример lb (Herbst — Simon [158]). Положим g(x) = x + gx2 в примере 1, где §^[0, оо)—константа связи. Тогда q2 (х) ± q' (х) = х2 (1 + gx)2 ± (1 + 2gx),

так что Л*Л и ЛЛ* содержат почти одинаковые потенциалы.. Строго говоря, они совпадают с точностью до «отражения», т. е.

Л;Л = Я(ЛЛе)//-1, где■

Яф(х) :=ф(—х — у), фбЕ(Р). ■

Если g#=0, то inds(^) = 0, поскольку Я[Нь и Я[Н1 унитарно эквивалентны. В физических терминах это означает, что новое собственное значение при Е = 0 появится лишь в том случае, если два собственных числа, фермионное и бозонное, одновременно «спустятся» в точку 0. Но если g = 0, то inds(E)= 1, ибо

BfHt = АА* 5$ 2, В[НЬ=А*А и <Ит(Кег(Д*Д))= 1. На физическом языке это можно интерпретировать следующим образом: фермионное собственное состояние при g'-^-O локализуется во всё более далёких областях и в конце концов пропадает вовсе. Этот пример придуман в работе [158], где показано, что собственное состояние при g-э-О стремится к нулю экспоненциально по g^2. - .

Наш последний пример — один суперсимметричный результат для магнитных полей в случае v = 2. Сформулируем его в виде теоремы:

Теорема 6.4. Пусть v = 2, ae(C*(R2))2 и В = VXa. Тогда операторы (р— а)24~В и (р — а)2 — В имеют одинаковый спектр, за исключением разве лишь точки 0. '

Доказательство. Пусть a = (ai, a2), а = (ai, a2)• Положим

Q = Р — a = L (Pi — az) az,. i-i

(р - а)2 + В 0 X 0 (о — а)2 — В )"(р - а)2 + В 0 X 0 (о — а)2 — В )"Тогда, в силу (6.3'),

(р - а)2 + В 0 X 0 (о — а)2 — В )"

(р - а)2 + В 0 X 0 (о — а)2 — В )"

H = H(a, 0) = Q2 =

Поскольку Р = оз, то {Q, Р}=0. Следовательно, система

(В (а, 0) , Р, Q) суперсимметрична. Согласно теореме 6.3," "ненулевые спектры операторов Я[Нь = (р — а)24-В и B^Hf = ={р — а)2 — В совпадают. □

Отметим, что этот результат неверен в размерности 3 для неоднородных полей В.

6.4. ТЕОРЕМА АХАРОНОВА — КАШ ЕРА О СОСТОЯНИЯХС НУЛЕВОЙ ЭНЕРГИЕЙ

В квантовомеханическом фольклоре стало уже почти классическим утверждение, что уровни (собственные значения) гамильтонианов с однородными магнитными полями, рассматриваемых в ограниченной области плоскости, ортогональной полю, имеют конечное вырождение (см., например, [224, § 112]). Если поле распространено на всю плоскость, то имеет место бесконечное вырождение. То же верно и для некоторых неоднородных полей (строгие доказательства для случая полиномиальных лолей см. в [26]).

В этом параграфе мы обсудим двумерные гамильтонианы Паули с неоднородными полями В. Из теоремы 6.4 известно, что две компоненты Н(а, 0), т. е. (р — а)2 + В и (р — а)2 — В, имеют, за возможным исключением точки 0, один и тот же спектр. Здесь мы разберём теорему Ахаронова и Кашера [6], гласящую, что число состояний с нулевой энергией равно целой части магнитного потока. Кроме того, эта теорема утверждает, что при нулевой энергии отсутствует суперсимметрия, т. е., в зависимости от знака потока, имеются либо одни бозонные, либо одни фермионные состояния с нулевой энергией. По существу теорема Ахаронова — Кашера представляет собой физический пример теоремы Атьи — Зингера об индексе, из которой следует, что inds^ (а, 0)) зависит лишь от потока. Ради простоты изложения мы докажем этот результат только для ограниченных В с компактными носителями, но известны и более общие результаты (см. [243]). '

Теорема 6.5. Пусть v = 2, поле В ограничено и имеет компактный носитель, а а=(ах, ау)—какой-нибудь вектор-потенциал, ассоциированный с В. Обозначим через {у}, у >■ 0, наибольшее целое число, строго меньшее, чем у, {0} = 0. Пусть ^0: = .о о -

В (х) dx ^ 0 — поток поля В. Тогда оператор Н (а, 0) = (р — а) имеет в точности {^>о/2л} собственных векторов с собственным числом 0; все они отвечают а3 =—1. Индекс этого оператора зависит лишь от потока, а именно, inds (Я) = (sign ^0) (| ^0 |/2л). Если ^о^О, то существует ровно {|^о|/2л} собственных состояний с нулевой энергией и все они отвечают а3 = Е -

Доказательство. Рассмотрим вспомогательный потенциал

* W:= -^ $ ^ (| х — х' |) В (Xх) d4'.■.

Ясно, что'

^(х)=^-1п|х| + О(|хГ1), |х|^оо.■(6.15)

Указанный выбор объясняется тем, что —А^ = В. Если взять а —(ах, а^.— \ду, д$у .

то

V X аА^ = В,

т. е. а — вектор-потенциал, ассоциированный с В. Нас интересуют решения уравнения

(р-а)2ф = 0, ^ = ^) = L2(R2)®C2.'(6.16)

о о

Поскольку (р — а)2 — квадрат самосопряжённого оператора, (6.16) эквивалентно уравнению

(р — а) ф = 0.

Это значит (см. введение к данной главе), что

/0(р, — a,) — i(py — ay)Wt+> 0

I <Рх — ахУ + Иру — йу)0А Ф- /'

Последняя система сводится к уравнениям

(4г-^У^-^ У) = 0’<6-17а>

(^ + iw)e'*(X’W,^(x’ ^ = 0-<6-17Ь>

Это не что иное, как условия Коши — Римана для функций |_:=ее.ф_ и /+:=е~*ф+. Отсюда следует, что функция f_ аналитична по z : = х — ip, a f+ — по z: = х + ip.

Предположим, что фо ^ 0. Согласно (6.15),

e-*W = |z|-*./2«|’1+O^_2_.^> |Z|^OO.

Поскольку ф+ е I? (R2), аналитическая функция /+ тоже должна! принадлежать L2(R2). Однако L2(R2) не содержит аналитических функций, так что ф+ = 0. Чтобы выполнялось условие ф_ = e~*f-e L2(R2)} функция f_ должна расти не быстрее некоторого полинома. Но, поскольку она аналитична, она должна быть полиномом по х степени а<(^о/2л)—1. Так как существует ровно {^о/2л} линейно-независимых полиномов такого типа, мы получаем в точности {^0/2л} «спин-вниз»-состояний (т. е. состояний с а3 = —1) с нулевой энергией. Из сказанного выше очевидно, что если ф0 ^ 0, то имеется ровно {|^>|/2л} «спин-вверх»-состояний (с а3=1) и ни одного <спин-вниз»-со- стояния. Тем самым в обоих случаях суперсимметричный индекс Н равен (sign ^0) {|^о|/2л}. □

Дадим другое (принадлежащее Аврону и Томаресу [32] )■ доказательство теоремы Ахаронова — Кашера, а точнее её аналога, в котором R2 заменяется на какое-нибудь компактное- многообразие типа двумерной сферы S2. Это доказательство мы приводим здесь отчасти потому, что оно служит предвестником доказательства теоремы Гаусса — Бонне — Черна, которое будет дано в гл. 12. Здесь мы не будем разбирать все технические подробности. Предоставляем читателю в качестве упражнения

восстановить пропущенные детали, используя материал § 12.6.

Вначале надо объяснить, что понимается под гамильтонианом с магнитным полем на S2 и почему полный поток квантуется. Начнём с Н(а). Можно было бы подумать, что а следует определить глобально, т. е. на всей сфере S2. Но тогда интеграл от B = da (а— один-форма, В — два-форма) по теореме Стокса был бы равен нулю (т. е. поток был бы равен нулю). Чтобы избежать этого, мы используем в различных локальных координатах различные калибровки. Вектор-потенциал представим как пару а+, а_ один-форм, где форма а+ определена на S+ = = S2 \ {s}, а а_ — на S2. = S2 \ {га}; s (соотв. га) — южный (соотв. северный) полюс. Мы хотим, чтобы а+ и а- удовлетворяли равенству da+ = da- = В на цилиндре С := S+ П 8- = {(6, ф) 10 < < л, ф г S1 (окружность)} (в полярных координатах), где поле В определено глобальной Аналогично мы ищем нашу волновую функцию в виде пары (ф+, ф-) гладких на S± функций. •Они должны быть связаны калибровочным соотношением

Ф+=еаф_.(6.18)

Поскольку С — цилиндр, функция exp (IX) может оставаться гладкой, когда X теряет гладкость. Продолжим X на (0, л)Х R так, чтобы.

Х(6, ф+2л) = Х(0, ф)4~2лга(6.19)

для некоторого целого п.. Пусть Вф± = "+Ф+, где л± = (— iv — а±). Таким образом, мы хотим, чтобы при условии (6.18) выполнялось равенство

л+ф+=е1Хл_ф_.(6.20)

Простые, вычисления показывают, что (6.20) эквивалентно соотношению'

. а+— a_ = dk(6.21)

на С. При этом из условия квантования (6.19) следует, что

2Л

-^ ^ с(феф • (а+ — а_) = га..(6.22)

■о

Но по теореме Стокса

2Л

с(феф • а± (0, ф) = ± В,0' 3± (9)-

где 5^(00) ={ (6, ф) | ф е S1, ± (0 — 0О) > 0}. В частности, согласно (6.22),

^Дв = П-(6.23)

Таким образом, нам удалось построить квантовую теорию для магнитного поля на S , в случае когда полный поток равен 2лп.

Наши построения имеют естественный геометрический смысл: равенство (6.18) означает, что ф есть сечение одномерного комплексного расслоения над S2. Экспонента exp(iX) действует как функция перехода от одного тривиального расслоения, полученного при сужении на S^., к другому, полученному при сужении на SL. Символ а± определяет связность в расслоении, В — кривизну, а п — число Черна. Дополнительную информацию об. этой интерпретации можно найти в работе Grumm 1144].

Пусть {а+} — вектор-потенциал с потоком 2лп. Определим Я0(а)(ф+, Ф-) = (я+Ф+> я1ф_) Рассмотрим ф+, ф_ как функции, принимающие значения в С2, а не в Ci (но по-прежнему связанные равенством (6.18))'. Оператор а3 действует на (ф+, ф_) как умножение на ^ _<)• (Замечание: не следует путать Ф+, ф_ с двумя компонентами каждого из векторов ф+, ф_; а» действует на компоненты векторов ф+ и ф_.) Тогда а3 коммутирует с Я = Н — а3В. Кроме того, можно написать Н = л2, где {л, <т3} = 0. .Таким образом, ненулевые собственные числа Н имеют одинаковые кратности на подпространствах {ф [сг3ф = ф} И {ф|(Г3ф =—ф}. Положим

inds (Й) = dim (ф | Н<р = 0, а3ф = ф} — dim (ф | Яф = 0, о3ф = —ф).

Следующее равенство является аналогом теоремы Ахаронова — Кашера:

inds (Я) = —^-^ В.(6.24)

S’

Вот набросок доказательства Аврона — Томареса равенства (6.24). Покажем вначале, что

щбДЯ) = Тг(а3е-₽»)(6.25)

для любого § (вследствие суперсимметрии ненулевые собственные значения не дают вклада в (6.25)). Интегральное ядро ехр (—РЯ) (х, х) определяет отображение на С2 (в действительности— на слое соответствующего двумерного векторного рас-

слоения). Обозначим через tr* след в этом пространстве. Тогда (6.25) принимает вид

inds (Я) = dx tr, (а3е~₽" (х, х^.

Если бы поле В было постоянным, то выполнялось бы соотношение ехр(—рЯ) = ехр(—p/f) ехр (рВаз). Интуитивные соображения, связанные с интегрированием по траекториям, подсказывают, что и для непостоянного поля В при малых р главный член в разложении ехр(—рЛ) должен быть таким же. Для обоснования этого утверждения и требуется техника § 12.6. Таким образом, мы ожидаем, что

inds (Я) = ( dx lim [tr, (о3е₽в w ^-^(х, х))].(6.26)

Но tr, (а3 exp [рВ (х) а3]} = РВ (х) + О (Р3), так как :tr (а3) = 0 и ехр(—рЯ)(х, х) = (2лр)"1[1+ О(Р)]. Следовательно,

ind$ (Я) = $ <1х (2ЛР)"1 РВ (х) = (2л)"1 J В (х) dx.

ТЕОРЕМА ИВАЦУКИ

Спектры двумерных чисто магнитных гамильтонианов могут быть весьма разнообразными. В § 6.2 мы познакомились с примером плотного точечного спектра. В случае В(х) = В0 спектр состоит из изолированных собственных значений, а если В(х)—>- оо -при |х|—>- оо, то, как можно убедиться, В (а) имеет компактную резольвенту. Недайно Ивацука [181] доказал следующий результат:

Теорема 6.6 (Ивацука). Предположим, что В(х) = В(х, у) есть функция й(х) лишь переменной х и что существуют пределы limx->±oo6(x) = 6±, где 6+ и 6_ не равны друг другу и нулю. Тогда Н(а) имеет чисто абсолютно непрерывный спектр.

Замечания. 1. В действительности у Ивацуки допускаются функции b более общего вида. Представляется разумной гипотеза, что Н(а) имеет чисто абсолютно непрерывный спектр, если только функция b не равна п. в. константе.

Чтобы «прочувствовать» теорему, рассмотрим случай 6(х) = 6± при ±х>0. В этом случае существуют классические орбиты, представляющие собой цепочки полуокружностей с диаметрами на оси х = 0; такие цепочки уходят на бесконечность при 6+=#6_ (см. рис. 6.1).

Доказательство. Работаем в калибровке а=(0, а(х)), где X

а(х) = bt^dt,. Переходя к преобразованию Фурье по перемен- о■.

ной у, убеждаемся, что оператор Н (а) есть прямой интеграл

одномерных операторов■

h^ = -^^b-aW

Обсуждение таких прямых интегралов можно найти в § XIII. 16 книги Рида — Саймона [295]. Поскольку 6±=#0, то а2(х)->-оо

ъ* ь_■

Рис.-б.Е Одна из классических орбит.

при х—>±оо, так что каждый оператор h(k) имеет дискретный спектр. Далее, h (k) аналитичен по А. Таким образом, согласно теореме XIII. 16 из [295], достаточно убедиться, что п-е собственное значение Еп(&) оператора h (k) ни при каком п не есть константа (по ку'

Если знаки Ь+ и Ь_ противоположны, то либо а(х)->-|-оо при х->±оо и тогда Хнп^-ооЕДк) = оо, либо а(х)-4оо при х->±оо и тогда Ишь-».,»Еп(к) = оо. В обоих случаях никакое Еп(к)— не константа.

Пусть теперь числа Ь+ и Ь_ имеют одинаковые знаки, скажем 0<Lb-<Lb+. Тогда а(х) /х-*-Ь+ при х-»-±оо и [а(х) — А]2 при Л->±оо выглядит как сдвинутый потенциал гармонического осциллятора. Исходя из этого, легко доказать, что

Игл Е„(А) = (2п+1)6±, 6-»±ОО

так что Еп(к)— не константа. □'

ДРУГИЕ ЭФФЕКТЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Мы лишь бегло коснулись нескольких тонких вопросов, связанных с операторами Шрёдингера в магнитном поле. Здесь мы хотим кратко перечислить кое-какие другие явления; более подробное обсуждение см. в [22—25].

Повышенная связываемостъ. Напомним, что в трёхмерном случае у оператора —А + V, где потенциал V ^ 0 имеет компактный носитель, может не быть связанных состояний. Но в размерности единица такой оператор всегда имеет по крайней мере одно отрицательное собственное значение (При V * 0). Уровни Ландау в однородных магнитных полях порождаются движениями по двум направлениям. Поэтому если а отвечает однородному полю В и V ^ 0, V * 0 — функция из Со*, то следует ожидать, что Н (а, V) имеет собственные значения ниже существенного спектра. Аналогичные соображения наводят на мысль, что в ненулевом однородном магнитном поле всегда существуют отрицательные ионы с единичным зарядом. Эти предположения оправдываются (см. [22,25]). ,

Трансляционная симметрия. Пусть v = 2 и Но — гамильтониан частицы в однородном магнитном поле В (с Й = 0). Физика инвариантна относительно трансляций, так что мы вправе ожидать, что существуют операторы U (b) (b е R2), удовлетворяющие условиям .

U^HoUOr^Ho, и^хи^Ы^х + Ъ. .

Так оно и есть, однако преобразование волновой функции под действием U (Ь) не сводится к простой трансляции. Вектор-потенциал а не является трансляционно-инвариантным. Поэтому U(Ь) должен иметь ещё фазовый множитель, который обеспечивает калибровочное преобразование от а(х-|-Ь) назад к а(х). Вычисление показывает, что .

ЩЬЬ 0)(/(0, 62) = е2я*ф17(0, 62) (/(»!, 0), (6.27) где ф = ВЬ1Ь2 — поток через прямоугольник, образованный сдвигами (61,0) и (0,6г). Соотношение (6.27) прежде всего заставляет прибегать к некоторым хитростям при исключении движения центра масс (см. [23; 165]). Кроме того, (6.27) порождает трудности (непреодолённые до сих пор) при анализе оператора Но + V с периодическим потенциалом V. Если поток через ячейку целый, то можно провести блоховский анализ аналогично тому, как это делается для В = 0 (см. [295, § XIII. 16] ). Если поток рациональный, то такой анализ можно провести, выбирая ячейку побольше (точный результат состоит в том, что

Но + V имеет абсолютно непрерывный спектр и, возможно, собственные числа бесконечной кратности; в случае V #= 0 таких собственных чисел скорее всего нет). Но если поток иррационален, блоховский анализ невозможен. Действительно, Гроссман [143] показал, что операторы U, коммутирующие с Но + V, в этом случае порождают алгебру Неймана типа II. Полагают, что оператор Но + V для случая иррационального потока похож на почти-периодический-оператор Шрёдингера (см. гл. 10).

Парамагнетизм. Из диамагнитных неравенств следует, что inf spec (Я (а, V)) 5$ inf spec (Я (0, V)). Для Н, как правило, справедливо противоположное неравенство. Это иллюстрируется следующей теоремой Либа (см. [22]):

Теорема 6.7. Пусть а — вектор-потенциал однородного магнитного поля. Тогда

inf spec (Я (а, V)) ^ inf spec (Я (0, V)). ' (6.28) Это неравенство эквивалентно (в случае однородного магнитного поля) неравенству '

inf spec (Я (а, V)) < inf spec (Я (О, V» + В,

поэтому если У->0 на бесконечности, то

inf ess spec (Я (а, V)) = inf spec (Я (0, V)) + В. '

Таким образом, (6.28) означает, что энергия связанных состояний возрастает. Тем самым оно имеет отношение к повышенной связываемости. \

Раньше считалось, что (6.28) справедливо для всех а, V, но Аврон и Саймон [27] построили контрпример. Вероятно, (6.28) всё же имеет место для всех а и некоторых «избранных» потенциалов V, включая те, которые в подходящем пределе захватывают частицы в выпуклые ловушки.

Теория возмущений для эффекта Зеемана. О теории возмущений (по В2) для оператора Я0(а(В))—1/г, где а(В)— вектор-потенциал однородного поля В, известно достаточно много. Соответствующий ряд теории возмущений является суммируемым по Борелю [25]. Благодаря симметрии можно вычислить большое число членов ряда Рэлея — Шрёдингера. Например, в [20] вычислено более 100 членов. Аврон [19] предложил не вполне строгий подход к изучению членов высокого порядка, хорошо согласующийся с численными результатами. Известны и другие методы суммирования, дающие весьма хорошие результаты; см. Le Guillou—Zinn-Justin [146], Silverman [316].

Недавно Хельффер и Шёстранд (препринт Нантского университета) получили строгое доказательство формулы Аврона.

Сильная связь. Для атомов в магнитных полях существуют два естественных пространственных масштаба: они определяются боровским радиусом rat и циклотронным радиусом гсУс Последний совпадает с радиусом классической орбиты в однородном поле при V = 0. Известно, что гсус В-1. В типичных лабораторных полях величина гсус на много порядков больше rat. Однако в определённых астрофизических ситуациях гсус, как полагают, во много раз меньше rat. Математическая физика для таких сильных полей весьма интересна (см. [22; 24; 25] и указанную там литературу).■

7. Электрические поля

Гамильтонианы Штарка играют особую роль в теории операторов Шрёдингера, поскольку специфическая сингулярность электрического потенциала (в одномерном случае это умножение на х во всём пространстве) приводит к тому, что соответствующие операторы Шрёдингера не являются полуограниченными. Это обстоятельство требует новых математических методов и порождает необычные, подчас удивительные спектральные свойства (см. § 8.5). В настоящей главе мы сосредоточим внимание главным образом на представлении оператора эволюции (т. е. пропагатора), разрешающего уравнение Шрёдингера. Таким образом, наше обсуждение эффекта Штарка отнюдь не претендует на полноту. По поводу других подходов см., например, [140, 160, 377, 378] и указанную там литературу.

В § 7.1 мы приводим весьма полезную явную формулу для оператора эволюции свободного гамильтониана Штарка с постоянным электрическим полем, найденную Авроном и Хербстом. Она применяется в § 7.2 для доказательства того, что операторы умножения, средние от которых обладают некоторыми определёнными свойствами, являются компактными «локально», на спектре гамильтониана Штарка. Этот результат уже был использован нами при изложении в теории Мурра в гл. 4; где мы установили ‘ отсутствие сингулярного непрерывного спектра для гамильтонианов Штарка с периодическими потенциалами *.

В § 7.3 рассматриваются нестационарные поля Штарка и указывается предложенное Китадой и Ядзимой представление свободного пропагатора, аналогичное формуле Аврона — Хербста. В общем случае нестационарные гамильтонианы можно исследовать, добавляя к конфигурационному пространству еще временную переменную и решая новую «стационарную» задачу. Эта идея Хоуленда обсуждается, в § 7.4. В § 7.5 приводится ее

В гл. 4 было установлено отсутствие сингулярного непрерывного спектра для довольно широкого класса ограниченных потенциалов, включающего' в себя периодические функции. — Прим, перев.

приложение (принадлежащее Ядзиме) к частному случаю полей Штарка, периодических по времени. Здесь же обсуждается метод Типа. -■

.7.1. ДВУХЧАСТИЧНЫЙ ЭФФЕКТ ШТАРКА

Гамильтониан, описывающий квантовомеханическую частицу в постоянном электрическом поле, направленном вдоль —х1г задаётся на S(RV) выражением'

■— А + Exy + V (х), x = (xi, х2, ...),

где Е > 0 — напряжённость поля (не путать с энергией!), а V — локальный убывающий потенциал. Поскольку Ех\ не является малым возмущением оператора —А ни в каком разумном математическом смысле, в качестве невозмущённого, «свободного» гамильтониана возьмём замыкание на S(RV) оператора

-А + Ехь

которое обозначим через Ко, а V будем считать возмущением. Приведём представление оператора эволюции, описывающего свободную динамику, найденное Авроном и Хербстом [21]. Оно играет центральную роль в следующих параграфах (см. также гл. 8).

Ради удобства ниже считаем, что Е = 1. Справедлива

Теорема 7.1 (формула Аврона—Хербста [21]). Пусть Ко — замыкание оператора —А + Xi на S (Rv). Тогда Ко самосопряжён и его пропагатор имеет вид

exp (—itKo) = exp (—1^/3) exp (—i/xj exp (—ip/2) exp (ipi/2),

(7.1) где <gR и р = (Рь Px), * = (*i, *x)-

Доказательство. Рассмотрим разложение L2(RV) = L2(R)® jL2(Rv-1), отвечающее разложению координат x =(xi, xx) и импульсов p = (pi, px)- Легко проверяется, что на S(RV)

Ко = ехр (ipf/3) (р\ + х,) exp (—ip2/3),

поскольку в пространстве импульсов Xi действует как —i(d/dpi). После преобразования Фурье по переменной хх оператор р^ + х, перейдёт в оператор умножения на вещественнозначную функцию. Отсюда следует самосопряжённость Kq.

Пусть /e R. Поскольку

exp (i/xj р, ехр (—МхО = рх — I,

можно написать, что на S(RV)

. exp (-ИК0) = exp (ipf/3) exp [-i/ (p2^ + Xj)j exp (-ip?/3)

'= exp (—itp^) exp (—Ux^ exp (i/xj exp (ip?/3)

X exp (—i^i) exp (—ip2/3)

= exp (—i/p^) exp (—itxt) exp (^^y-^-)

X exp (—ipS/3)'

■= exp(—i/p2_)exp(—i/x1)exp(ip1/2)

X exp (—ip2/) exp (—i/3^)

= exp (—^/3) exp (—i/x^ exp [—i/ (p2 + p^)j

.x exp (i^pj.

Переходя к замыканиям обеих частей, получим (7.1). □

Формула (7.1) имеет классическую интерпретацию. Рассмотрим функцию Гамильтона классической задачи

Я(р, х) = р2 + х1.

Решая уравнения движения

' х = 2р,

р = (-1, 0, .... 0)=:-^,

получим / .'-

х (0 = х0 + ро/ — х^2,

где хо е Rv, ро е Rv — некоторые начальные значения. Тем самым решение х(/) представляет собой «свободное» движение плюс сдвиг в направлении Xi на величину —/2. Если посмотреть на (7.1), то станет ясно, что в квантовой механике происходит то же самое, за тем исключением, что появляется ещё и фазовый множитель. Он будет иметь решающее значение в § 8.5- Сдвиг свободного движения на —/2 наводит на мысль, что если возмутить Ко потенциалом V и рассмотреть задачи типа существования или полноты волновых операторов Я (К, Ко), где К = Ко + V, то критической скоростью убывания потенциала V в направлении Xi будет |xi|-1/2, поскольку взаимодействие должно быть интегрируемым по t. Это действительно верно, как было доказано Авроном—Хербстом [21]. (существование) и Хербстом: [154] (полнота); см. также [43; 377; 378].

ТЕОРЕМА, НУЖНАЯ ДЛЯ ТЕОРИИ МУРРАОДНОМЕРНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

В гл. 4 мы обсудили пример применения теории Мурра к гамильтониану Штарка с потенциалом. Там была использована одна теорема, которую мы сейчас докажем с помощью формулы Аврона — Хербста.

Вначале установим следующую лемму: '

Лемма 7.2. Пусть Ко и К = Ко + V — такие операторы, как в § 7.1. Предположим, что D (Ко) = D (К). Тогда при произвольном ограниченном С оператор Е^(К)СЁ&(К) будет компактен для всех ограниченных интервалов A = R в том и только в том случае, если для всех ограниченных А компактен оператор ЕДКо)СЕЦКо).

Доказательство. Первое утверждение эквивалентно компактности (К + i)-1 С (К + i)-1 (поскольку оператор (К + i) £д (К) ограничен и 11гпа~>оо| (К+ !)-*[/-£<-«.«) (/О! 1 = 0), а второе — компактности (Ло + 1)-1С(Ло + i)~*. Остаётся учесть, что по условию леммы операторы (Ло + i) 1 (К + 1) и (К + i)~* (Ло + 1) ограничены. □

Теперь докажем теорему.

Теорема 7.3 [45]. Пусть v = l, Л = Ло+У и D(K) = D(Ko). Пусть F — ограниченная равномерно непрерывная функция на R, удовлетворяющая условию ■ -

ИглГ-*ооИглГ-*ооsup х G Rsup х G R(7.2)(7.2)

Игл

Г-*оо

Игл

Г-*оо

sup х G R

sup х G R

(7.2)

(7.2)

Тогда для любого ограниченного интервала A = R оператор ЕДК)ЕЕЦК) компактен. .

Доказательство. Пусть А = R — ограниченный интервал, a F — функция из условия теоремы. Согласно предыдущей лемме, нам надо лишь показать, что ЕЦКоЖЕДКо) компактен. Рассмотрим унитарный оператор

U :=exp(ip?/3).

Тогда (см. §7.1)

■ UKolT'—x,

UxU"x=x-p2.

В силу спектральной теоремы отсюда следует, что

UE& (Ко) G (х) E^ (Ко) U~' = E^ (х) UG (х) СГхЕь (х)

= Еь(х)О(х-р^Еь(х) (7.3)

для любой функции G на R. Отметим, что спектральные проекторы Е^(х) являются просто характеристическими функциями интервалов А. Поэтому мы докажем, что оператор в (7.3) будет оператором Гильберта — Шмидта, если покажем, что ядро

UG(x)U”x = gU — р2)

локально-ограничено. Это достаточно установить для функций (GrlreR’ таких что

lir-G.IL^O, г^оо, ибо соответствующие операторы умножения при этом сходятся по норме. Компактность Ед.(Ко) FE^(Ko) вытекает из соображений унитарной эквивалентности.

Вначале рассмотрим функцию л—>eisx, seR, s^O.

В силу формулы Аврона — Хербста (7.1)

Uexp(isx) U-1 =ехр [is (х — р2)]

= exp (— is3^) exp (— ixs) exp (— isp2) exp (ips2).

Ядро этого оператора можно явно выписать (отметим, что последний сомножитель отвечает просто сдвигу на s2):

[t/exp(isx)(/-1] (х, у)

= exp (— is3^) exp (— isx) (4ns)-1/2exp (~^-~^г±-^—) •

(7Л)

Очевидно, оно локально-ограничено.

Отметим, что если свернуть F с произвольной Д'-функцией /г, то F*h в силу теоремы Лебега также будет удовлетворять (7.2). Тем самым, если рассмотреть сглаженную функцию Fe:=F*je (где je — какое-нибудь сглаживающее семейство, см. гл. 1), то Р8 будет удовлетворять (7.2). Поскольку F ограничена и равномерно непрерывна, то НГ — ГеНоо-^-О при 8->0.

Таким образом, без потери общности можно считать, что F принадлежит C°°(R), имеет ограниченные производные и удовлетворяет (7.2). Пусть

Ar:=^X[_r.rP 'Х)’

— (нормированная) характеристическая функция отрезка [—г, г]. Условие (7.2) можно переписать в виде

Нт И*/гг||оо = 0..'(7.5)

Г->оо•■

Пусть 6 6 N и'

Gr := F * (6 — /гг) * (б — /гг) * ... * (б — /гг), .

■ к раз

где запись /»(б— /гг) обозначает f — f»hr. Тогда, в силу (7.5), ll^-GrL^O, г^оо.

Убедимся, что UGrU-1 имеет локально-ограниченное ядро. Это завершит доказательство. Преимущество функции Gr состоит в том, что её преобразование Фурье имеет в начале координат нуль порядка к. Теперь разложим Gr на слагаемые, преобразования Фурье которых убывают на бесконечности сколь угодно быстро.'

Рассмотрим функцию %ое С” (R), такую что supp%o = [—1, 1] и сдвинутые функции-.

Хп(-):=Хо(-+"), neZ,

ПОДЧИНЯЮТСЯ условию 2„eZXn=l- ПуСТЬ

где (б—h.ryk обозначает■

(6 — /гг) * ... * (б — hr\.

■ к раз

Очевидно,

Gr= Eg?. n е Z

Преобразования Фурье слагаемых G? удовлетворяют следующим ключевым оценкам. Для любых а, /, m е N

|(-Й-)Ое"‘"$6"(5)|<Са1т|5|'(1+|5|)-т,(7.6)

где caim — не зависящие от п константы (при подходящем выборе А). Оценки (7.6) устанавливаются с помощью прямых вычислений (см. [45, лемма 1]).■.

Рассмотрим оператор'

UG"U~X = (2л)-1/2 $ dsG г (s) ((/е*"(/-1), . R

построенный по обратному преобразованию Фурье функции G”. Из (7.4) нам известен явный вид ядра оператора, стоящего под интегралом. Следовательно, для ядра UG"U~X получается выражение.

(2л)1/2 (UGrU-1) (х, у) = \dsGr(sH^s)"U2eto^'x’,,)R

= ( dse™ [e~,nsG? (s)] (4лз)"и2 eto (Sl x’v),

R где■

O (s, X, у) :=— "T — sx"'

Интегрируя по частям с учётом соотношения eins — (in)-1 (d/ds)elns и оценки (7.6), получим ■

sup ЦКО^-1)^,с > О,

для произвольного ограниченного интервала A s R. Теперь, суммируя по п, можно заключить, что ядро UGTU~X локально-огра- ничено. Доказательство завершено. □

ПРОПАГАТОРЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ-

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ'

В этом параграфе мы обсудим решения уравнения Шрёдингера с полями Штарка, зависящими от времени:

\-^Ф = К^ф,(7.7)

где K(1t) = Ko(t)-\-V и Ko(t)—замыкание оператора —А+ Е^-х на S(RV), ^eR; £(•) — функция со значениями в R\ представляющая переменное электрическое поле. Ради удобства предположим, что Е(-) ограничена и кусочно-непрерывна.

Прежде всего введём аналог унитарной группы эволюции.

Определение 7.4. Двухпараметрическое семейство унитарных операторов U(s, f) s,t ^ R, называется пропагатором, если для г, s, / e R

U (Г, П = Щт, s)U(s, 0;.

(in и At. 0 = 1;.

(Hi) оператор U(t, s) сильно непрерывен по совокупности переменных s и t.

Отметим, что для восстановления U(t, s) достаточно знать С/(/, 0) при всех /е₽.

Поговорим теперь о представлении пропагатора Uo(-, •), разрешающего «свободное» уравнение.

i 4г Uo (t,. 0) = Ко (О и0 (Л 0).(7.8)

В одном из частных случаев (см. ниже замечание 1) представление Uo(- , •) было получено Китадой и Ядзимой [212; 213]. Отталкиваясь от формулы Аврона — Хербста (7.1), попробуем следующий анзац:'

Uо (t, 0) := Т (t) exp (— Up2), где

Г (0 := exp [— la (/)] exp [—i6 (/) • x] exp [— ic (0 • p]

с подходящей вещественнозначной функцией a(-) и Я’-знач- ными функциями б(-), с(-), с начальными условиями а(0) = 0, 6(0) = с(0) = 0. Подставляя Uo(t,O) в уравнение (7.8), найдём (после некоторых формальных выкладок, считая все сомножители в Uq операторами на S(RV)) ■

i 4t U° ^’ °)= exP t— ia W1 exP I- xb (0 ‘ Х1 X

X^W + ^CO-x + c^-p+p2)

. x exp [— ic (0 • p] exp (— Up2)..

Из центрального выражения в круглых скобках выделим полный квадрат, полагая а = (с)^/4, а затем вынесем его перед ехр[—ia(f)] (учитывая, что ехр'(—i6-x)pexp (i6-x) = р + 6). В результате получим равенство

^4tU»^ о) = {^(/)-х + [р + -^ + б(о]2}

X ехр [— ia (/)] exp [— i6 (0 • х] exp [— ic (0 • p] exp (— Up?) = {б(/).х + [р+4~ + 6(<)]2}сШ 0).

Теперь положим 6(t)i=E(t) и c(/) =—26/. Тогда выражение в фигурных скобках будет равно pi2-\-Е (t) • х. Подытожим сделанное:'

Теорема 7.5. Пусть :eR и Ko(t)— замыкание оператора —Д + E(t)-x на S(RV), rAeE:R-»-Rv — ограниченная кусочно-непре-

рывная функция. Обозначим

tt■

b (t) := E (s) ds, a (t) := b2 (s) ds. оо■

■t'

c (0 : = — 26 (s) ds. ■

:0■,’

Тогда пропагатор ■.

.■ Uo (t, 0) := T (0 exp (— tip2),* .(7.9a)

где.. .

T (0 := exp [— ia (/)] exp [— i6 (/) • x] exp [— ie (/) • p], (7.9b) разрешает «свободное» уравнение (7.8) с начальным условием (/о(О,О)=1.

Замечания. 1. Китада и Ядзима [212] получили эти формулы при Е(t) = Ео cos tot. В общем случае представление (7.9), по- видимому, не появлялось ещё в печати, хотя, возможно, оно хорошо известно специалистам в этой области.

Существует классическая физическая интерпретация формулы (7,9). Поскольку соотношение■

с2£

можно трактовать как уравнение Ньютона, функция с(-) понимается как классическая траектория. Так как ехр [—ic(/)-p] есть сдвиг на величину с ((), формулу (7.9) для квантовомеханического движения можно переписать в виде

U (t, 0) ф (0 = exp [— ia (/)] exp [— i6 (t) ■ х]

X exp (— i/p2) ф (х — с (0)

для фе/,2(Р'). Как и в стационарном случае, это можно понимать как волну, движущуюся вдоль классической траектории.

Хунцикером [173] было подмечено, что электрическое поле можно устранить с помощью калибровочного преобразования, зависящего от времени. В силу уравнений электродинамики Максвелла, переменные электрические поля получаются из переменного (магнитного) вектор-потенциала А . следующим образом:

E^ = 4fA^’ VXA(0 = 0, /gR

(здесь мы не заботимся о нормировочных множителях). Рассмотрим калибровочное преобразование M(t) := exp [i^(x, 01,

где V^(x,/) = А(0, xgR\ feR, с подходящим вещественным переменным скалярным потенциалом $. Тогда

М (0 [р2 + £ (0 ■ х] М* (0 = [р — А (012 + £ (0 ■ х.

(7.Ю)(7.Ю)Если Uo(f) :=Uo(t,O) удовлетворяет (7.8), то

(7.Ю)

(7.Ю)

U^:=M^Ue(AMeW -

удовлетворяет уравнению-

1^Щ0 = {-^,0Нр-Л(012+£(0-х}£/(0. .

Положим (х, f)=E (t) • х. Тогда А (0 = 6 (0 = \ Е (s) ds и решение'

■ U (0 = exp 1 — i $ [р — A (s)]2 ds L ( о)

уравнения Шрёдингера с магнитным полем.

связано с решением UoU) уравнения с электрическим полем (7.8) преобразованием (7.10). Выписывая явные выражения для сомножителей в (7.10), получим ещё .один способ интерпретации формулы (7.9);

Uq (0 = exp [— 16 (0 • х] exp I — Ц (р — 6 (s))2 ds.l. L oJ

' X exp [i6 (0) • х].

Это не что иное, как калибровочное преобразование решения Хунцикера..

Приведём несколько примеров.

Пример 1 (постоянное электрическое поле). Если Ко — замыкание оператора —A + £xi на S(RV), то b^ = EHxt, c(f) =—E£xt2, a(t) = E2^/3, и мы получаем из (7.9) формулу

Uo (t, 0) = exp (— i/Ag) = exp (— ХЕ^З) exp (— iEtxx)

■■■"X exp (i£/2pi)exp (—i/p2)

совпадающую с формулой Аврона—Хербста (7.1) при £ = 1. Пример 2 (фотонное поле с круговой поляризацией). Пусть £(/):=(cosсо/)Xi +(sinto/)x2, где ^ь х2 — единичные векторы,

направленные вдоль осей Xi и х2. Если выбрать начальные условия так, чтобы 6(0) =— (1/б»)х2, то

6 (f) = -4- [(sin erf) j^ — (cos м/) ^2],.

c^=-^E^.

С другой стороны, взглянув на задачу с точки зрения Хунци- кера (см. замечание 3 выше), мы видим, что унитарный пропагатор для этой задачи очевидным образом связан с задачей для оператора

Я (/) = [р — А (ОР,.

где

АМ = (— sin ®t,cos ©/, 0 j. ' '\ <0<0У. '

Позже (см. § 7.5), при описании одной работы Типа, мы вернёмся к этому гамильтониану (сдвинув t на л/2в>).

Пример 3 (АС-эффект Штарка; Китада— Ядзима [212]). Пусть £(/):= —p(cos в>/)^1 с некоторыми ц > 0, ш > 0. Тогда

6(0 = — -^-(sinorf) А,..

с(0-5г (coserf)

a (t) =4--^sin 2<rf,

так что мы располагаем явной формулой (см. (7.9)) для решения свободной АС-задачи Штарка..

Этот параграф мы завершим кратким обсуждением возмущённого случая, т. е. обсуждением того, что происходит при добавлении внешнего потенциала V. Рассмотрим оператор •

О) :=*„(/) +У, ieR,

где V—подходящий потенциал, такой что К(0— самосопряжён и решение уравнения

iAtza, 0) = Я(0Я(Л 0)

является унитарным пропагатором.'

Вслед за Хунцикером (см. замечание 3) мы ищем для U^t) представление вида

. U(t) = T^U^r(0), feR,

где U(f) := U(ЛО), оператор T^t)— такой, как в (7.9), а пропагатор O^t) ;=O^t,0) разрешает уравнение Шрёдингера

1-^-я(0 = [р2+^(х, OJt/(O

с подходящим переменным потенциалом W(x, /), который будет выбран позже. Проводя формальные вычисления с учётом соотношений

тЧОр^^-^р — ь)2, '

T~4t) Е (f) • хТ (f) = E (t) (х-\-с (t))>

T-1(0V(x)T(0 = V(x + c(0), найдём, что .

Г(х, 0 = V(x + c(0).■

Чтобы сделать наши рассуждения строгими, надо теперь разобраться с областями определений. Но вместо этого мы сформулируем теорему Китады — Ядзимы для частного случая АС-эф- фекта Штарка: -..-

Теорема 7.6 [212]. Предположим, что потенциал V—короткодействующий в том смысле, что

V ограничен относительно Но с гранью <1;

(и) ||У(1 + |х|)“(Я0 + Л^НС оо для некоторых ае(0,2), бе [0, 1/2),

|| (Яо +/) 1/2У(Я0 +/)_1||< оо. Тогда

существуют унитарные пропагаторы Я(-, •), 0^-, •), разрешающие уравнения

-^- и (Л 0) = [Яо + И (х) - ц (cos mt) xj Я (Л 0)

и

1-^-Я(Л 0) = {я0+и[х-^.(со8®ОА]}у«, 0)

соответственно (ц > 0, <о > 0);

U^t, 0) = T(t) ОЦ, 0)Т(0)*, где, как в примере 3,

[Г (t) ф] (х) = е’*<*- ‘>ф (х + -^- (cos cot) ^i) и

5 (х, t) := — [а (0 + 6 (0 • *1,'

аМ=у^г--^51п2<^,.

6(t) = —-^-(sintot)^.

Доказательство, данное в [212], состоит по существу в проверке того, что области определения U и О обладают нужными свойствами, и обосновании формальных выкладок, проведённых выше. Отметим, что Китада и Ядзима доказали эту теорему при более общих условиях на V (охватывающих дальнодей- ствующие потенциалы).

Замечание. Рассмотрим операторы

F := — i-^- + р2 — р (cos ©t) Xj + V (х) и

F := — i-^- + P2+ V(x —-^-(costot)^)

(оба определены на S(Rv+1); „лишняя" размерность соответствует добавлению временной переменной). Формальные вычисления показывают, что они унитарно-эквивалентны с точностью до постоянного сдвига, т. е. '

т^-хрт^ = р + 14-' .

где унитарный оператор Т(t) задан соотношением

f ^ := exp { — i [£ (sin cot) х, + -^- sin 2cot

+-§5HCOS <»^) Pi] } -

Следовательно, их самосопряжённые расширения (если таковые существуют) имеют одинаковые спектры (с точностью до сдвига)..-

В заключение маленькое замечание относительно задач с возмущениями. Калибровочное преобразование в подходе Хун- цикера коммутирует с потенциалами, так что (7.10) имеет место для пропагаторов C/0(t), t/(t) операторов р2 + E(t)х + У(х) и [р — A (t)] 2 + V (х) соответственно..

ФОРМАЛИЗМ ХОУЛЕНДА И ОПЕРАТОРЫ ФЛОКЕ

В классической механике есть хорошо известный метод изучения нестационарных гамильтонианов. Если рассмотреть классическую функцию Гамильтона

Н (р, q, 0, р, g eR'> /е R,

то соответствующие уравнения Гамильтона будут иметь вид

dq, дН dp, дН'

=1 = 1, .... V. 7.11)

at ор^ at aqi ’’’x 7

Поскольку функция Я зависит от t, энергия не сохраняется. Тем не менее существует приём, позволяющий получить систему с сохраняющейся энергией. Рассмотрим t как дополнительную координату, а энергию внешней силы Е — как координату, сопряжённую к t. Новую функцию Гамильтона определим равенством

. F(p, q, Е, 0 := Я (р, q,t)^E.

Обозначая новую «временную» переменную через т, получим новую систему уравнений Гамильтона:

dg,дН ,dp.\dH

——- = —— 1 1V

dtdpt ’dxdqt ’

df _ df _ . d£ — dg'

dT dE ’ dtdt ’

эквивалентную (7.11). Функция F уже не зависит от т, а третье уравнение системы устанавливает простую связь между старым и новым временем: / = т + const. Таким образом, мы получили стационарный подход, просто добавив к гамильтониану сопряжённую с t переменную.

Опишем аналогичную процедуру в квантовой механике, предложенную Хоулендом [168]. Рассмотрим (нестационарное) уравнение Шрёдингера

14-Ф = Я(0ф, <₽еН,(7.12)

где (Я(/)} (/eR) — семейство самосопряжённых операторов Шрёдингера с общей областью определения D. Предположим, что унитарный пропагатор С/(-, ■)—решение (7.12). «Расширенный» гамильтониан, аналогичный классическому, формально определяется как оператор-

^:=-1^- + Я(0

на гильбертовом пространстве Hi := L2(R, Н) := (f[f— сильно измеримая Н-значная функция, ||f (s)|pds < оо 1. Предполо

жим, что F имеет самосопряжённое представление (которое снова обозначим через F). Тогда должно быть какое-то соответствие между решением ехр(—irF) расширенного уравнения

■ ^-П. f = H„

и решением {/(•, •) уравнения (7.12). Определим отображение V:R->L(Hi) равенством''

т >—> V (т) f (Z) := [/(Z, Z — т) f (Z — т),

feHi, teR. Непосредственно проверяется, что У(т) есть сильно непрерывная унитарная группа. Кроме того, с помощью дифференцирования на какой-нибудь подходящей существенной области F, скажем C^R, D), можно убедиться, что инфинитезимальный генератор группы У(-) совпадает с F, т. е.

e-Mf(t) = U(t, t — x)f(t — x), feH„ 1,teR.

Если к тому же гамильтониан H^t) периодичен по времени t (скажем, с периодом Г), то пропагатор U^-, •) также будет периодическим, т. е.

С/(f + Т, з + Г) = С/(f, s), t, sgR.

Это следует из периодичности гамильтониана и единственности пропагатора [/(•, •), разрешающего (7.12). Группа т-»-У(т) естественным образом Действует на периддические с периодом Т Н-значные функции и, очевидно, является унитарной сильно непрерывной группой на гильбертовом пространстве

Н := L2(Tr) ® Н = L2(Tr, Н),'

где Tr:=R/Z7 — одномерный тор. Тогда, как и раньше, с помощью дифференцирования (на подходящей существенной области) можно установить, что инфинитезимальный генератор Ft этой группы формально совпадает с F, но уже с дополнительными периодическими краевыми условиями, т. е. FT есть замыкание оператора1.

^тФ := [— * 4г + Н (z)] ф, ф е С1 (Тг, D)

(см. [379, лемма 2.5]).■

Из теории Флоке обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами (см. [151]) хорошо из-

вестно, что их решения можно описать при помощи матрицы,, зависящей лишь от периода и начального момента. В нашей ситуации ' аналогом такой матрицы служит оператор Флоке U(s + Т, з), который ставит в соответствие состоянию системы в момент времени з её состояние по прошествии полного периода Т (подробнее об этом см. [169, 376, 379]). Собственные числа оператора U (s + Т, s) (если они существуют) определяют связанные состояния системы. А именно, пусть К е R таково, что

. U (s + Т, s)f = е"0^

для некоторого feH. Тогда (в силу периодичности U\ .

U (t, sH = exp [— iXT {-^-}] gs (0,

где функция

gAty.= u(t, / + r({-^-}--^))f

периодична no t, а потому локализована в пространстве.

Не вдаваясь в подробности, отметим, что есть теоремы, устанавливающие связь между состояниями рассеяния системы и (абсолютно) непрерывным подпространством оператора Флоке U (s + Т, з). Такого рода теоремы — основные результаты работ [169; 212; 376] (см. также [213]).

В частном случае АС-гамильтониана Штарка важным обстоятельством ' (на которое указал Ядзима [376, 379]) является то, что оператор Флоке спектрально эквивалентен инфинитезимальному генератору FT (называемому иногда гамильтонианом Флоке [170]). Эта эквивалентность понимается в следующем смысле. Если FTf(t) = Xf(t), то отображение tv-»f(t) есть Н-значная непрерывная периодическая функция, удовлетворяющая равенству . -

U(t, s)f(s) = e-ik(‘-*>f(t).

В частности,

U(s-\-T, s)f(s) = e-iM"f(s).

И наоборот, если

Щз + Т, 3)^ = 6-^

для некоторого ^ е Н, то

f (/) := е^ v-^U (/, з)^ е О (Fr) и FTf = Xf (см. [379, лемма 2.9]).

ПОТЕНЦИАЛЫ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ

Абстрактная схема, которую мы обсуждали в § 7.4, применялась к периодическим по времени гамильтонианам Штарка (АС-эффект Штарка) в работах Yajima [379] и Graffi—Yajima [141] (см. также [170]). Обозначим через КЦ, ц), te R, ц > 0, замыкание оператора —А — pxi cos tot + У(0, to >■ 0, на S(R3). При подходящих условиях на V этот оператор, в силу теоремы 7.6, можно преобразовать в замыкание K(t, ц) оператора

А + V (xj —cos mt, х2, х3) ,

заданного на S(R3). Сопоставляя этот факт с результатами § 7.4, мы можем заключить, что изучение решений АС-уравнения Шрёдингера

i-3f<t> = K(t, ц)ф

сводится к изучению спектра гамильтониана Флоке

x4t-VKU, ц) на L2(Tr)®H

с областью определения С^Тт, Н), где Г = 2л/ю, H = L2(R3). Мы ещё вернемся к этому в гл, 8 (§ 8.6) при обсуждении резонансов.

Аналогичный подход был использован Типом [356], который исследовал иную, но близкую ситуацию — гамильтонианы с переменными полями, описывающие атомы в полях с круговой поляризацией. Метод Типа неприменим к линейно поляризованным полям (пример 3), тогда как формализм Хоуленда—Яд- зимы работает и в ситуации, рассмотренной Типом.

Следуя Типу, выведем явное представление для пропагатора. В простейшем случае (один атом и один электрон) с помощью редукции, описанной в примере 2, мы сведём дело к изучению гамильтониана //(/), определённого как замыкание оператора [р— А(/)]2+У на S(R3), ieR. Предположим, что А(/):= (A cos tot, A sin tot, 0) А > 0, to > 0, и V инвариантен относительно вращений в R;3. Будем считать, что V ограничен относительно Но с гранью, меньшей единицы, и ограничен в существенном вне некоторого шара. Так как функция A(t) ограничена, то ^([р—А(/)]2) = Н+2 (пространство Соболева). Поэтому на основании резольвентного варианта диамагнитного неравенства (6.5) можно заключить, что операторы H(f) самосопряжены на общей области определения В(Я(0) = Н+2.

С помощью вращения, зависящего от времени, оператор Н (/) можно унитарно-эквивалентно преобразовать в некий стацио-

нарный оператор. Рассмотрим унитарную группу (описывающую вращения относительно оси z в конфигурационном пространстве)

r(^.— ^lz, teR,.

где Lz — оператор момента импульса, направленный вдоль оси ?, т. е. замыкание оператора хру— урх на S(R3). Таким образом,, в пространстве импульсов мы получаем поворот на угол tot, т. е.

R (t) pR (О-1 = (рх cos tot + pg sin art, — px sin tot

+ Pg COS tot, Pz),

где p = (px, py, Pz). Ясно, что R(t) коммутирует с V (вследствие инвариантности V относительно вращений) и R (f) A (tyR(t)-1 = А(0). Следовательно, для фе8('Р3), а потому и для <ре D(H (f)) = H2 справедливо равенство

R (t) Н (О R (ty' Ф = [(р - а)2 + V] Ф,

где а = (А, 0,0). Теперь рассмотрим оператор

Н •= (р — а)2-\-V — toLz.

Отметим без доказательства (см. Tip [356, теорема 2.1]), что Н самосопряжён и 8 (R3) — его существенная область. Следующая теорема даёт представление для унитарного пропагатора !/(-,-), разрешающего уравнение'

i4rU^, s) = H(t)U(t, s), С/(0, 0) = 1.(7.13>

Теорема 7.7 (Тип). Пусть U(-, •) — унитарный пропагатор, разрешающий уравнение (7.13). Тогда

(/(/, s) = e"‘ ^е-‘и"$)Яе‘ш£< t, seR.

Доказательство. Мы вычислим оператор U*(t, 0) = 17(0, t), который однозначно определяет U(t, s) и удовлетворяет сопряжённому уравнению Шрёдингера

i -^ U* & °) = U* & °)Н ^-'(7- 13Г

Введём унитарную группу

U(ty.= eitHeitotL=.

Дифференцируя 0(f), получим

ЗГ 0 (О Ф = ie“" (Н + ®LZ) е'ш<^ф

= it/ (0 U-WLz [(р — af + V] е'ш<4 ф

= ^(0Я(0ф

при фЕ5(Р3). Поскольку ^?(<)фе5(Я3) при фе5(Р3), наши выкладки корректны. Тем самым, 0(f) разрешает (7.13)'' на множестве S(R3), являющемся общей существенной областью операторов Н (f), Н и Lz. Переходя, как обычно, к замыканию, можно убедиться, что семейство 0(f) дифференцируемо на Д(Я(/)) = Нг (при этом надо учесть, что оператор H(s)(\-\- Н0)-2 ограничен). Поэтому О(t)‘=U*(t, 0) и

U (/, 0) = U* (0 = е-ыь=е"7ин.

Отсюда и из равенства

U(t, s) = U(t, 0)U(0, s)

следует нужный результат. □

Не вдаваясь в подробности, упомянем, что Тип использовал это представление для описания резонансов с помощью техни- жи масштабных преобразований, аналогичной рассматриваемой :ниже в гл. 8.

Дополнительную информацию можно найти в [220].

8. Комплексный скейлинг

Комплексный скейлинг или комплексный метод масштабных преобразований, известный ещё как метод комплексных координат, координатных вращений или метод дилатационно-аналитического продолжения, быстро развивался последние пятнадцать лет (см. [8] и приведённую там литературу) и стал мощным средством вычисления резонансов. '

Первые зачатки этого метода появились ещё в начале шестидесятых годов в связи с изучением полюсов Редже (ссылки на. литературу см. в [295]), однако строгая математическая теория, была построена лишь в 1971 г. в работах Агиляра—Комба [5] и Бальслева—Комба [39]. Эти авторы применили метод масштабных преобразований в спектральном анализе. Саймон: [319; 320] понял, что этот метод полезен при изучении собственных значений на непрерывном спектре и резонансов.

Мы не будем излагать предмет полностью, а осветим лишь некоторые его характерные аспекты, уделяя особое внимание недавним исследованиям.

В § 8.1 приводится обзор основных определений и результатов теории «обыкновенного» комплексного скейлинга и обсуждаются кое-какие технические моменты, возникающие в М-час- тичном случае. В § 8.2 рассматривается понятие трансляционной аналитичности, с которым были связаны первые попытки описания резонансов в электрических полях. В определённом смысле теорию Мурра (см. гл. 4) можно рассматривать как теорию комплексного скейлинга первого порядка. В § 8.3 обсуждаются теории Мурра высших порядков, которые можно понимать как аппроксимации аналитического комплексного скейлинга первыми п. членами ряда Тэйлора.

В § 8.4 мы делаем некоторые замечания по поводу вычислительных аспектов теории комплексного скейлинга, которая в последнее время привлекает большое внимание физиков и химиков. ■ .

В §§ 8.5 и 8.6 с помощью понятия дилатационной аналитичности изучаются резонансы для DC- и АС-эффектов Штарка.

Завершает главу § 8.7, где обсуждаются возможности обобщения теории на более широкие классы потенциалов и на молеку- .лярные системы (приближение Борна — Оппенгеймера).

ОБЗОР ТЕОРИИ «ОБЫКНОВЕННОГО»- КОМПЛЕКСНОГО СКЕИЛИНГА

Здесь мы просто напомним основные определения и результаты, не вдаваясь в подробности. За полным изложением отсылаем читателя к оригинальным работам Агиляра и Комба [5], Баль- слева и Комба [39] или к книге Рида и Саймона [295].

Вначале обсудим двухчастичный случай, когда гамильтониан равен

H:=H0+V, где Но := (- А) [ С^,.

с подходящим потенциалом V. Рассмотрим однопараметрическое семейство унитарных растяжений (дилатаций) в Z/(RV)

U^ (х) := e9(v/2^ (е9х), ф е L2 (Rv),(8.1)

где 0е R и хе Rv. Непосредственно проверяется, что

Но (6) := UeHoUe 1 = е'^Яо.

Таким образом, оператор Яо(0) корректно определен для вещественных 6, и его можно аналитически продолжить в область комплексных 6. Отметим, что при Im6>0 спектр Яо(0) представляет собой «повёрнутую» полуось:

.ехр[—2i(Im0)]R+ (R+:= [0, со)).

Мы хотим выделить такой класс потенциалов, для которого этим свойством обладает существенный спектр оператора Н = Но + V. Этот класс обозначим через Са.

Определение 8.1. Будем говорить, что оператор V в L2(RV) дилатационно-аналитичен (аналитичен относительно растяжений) или принадлежит классу Са, если'

D(V)3 D(H0) и V симметричен;

(и) V компактен относительно Но;

(in) существует такое а > 0, что семейство V (0) := U9VU9 1 0е R, допускает аналитическое продолжение в полосу

S„ := {0 G С11 Im 01 < «}’

в том смысле, что У(0) (Яо + Z)-1 является аналитической операторнозначной (со значениями в ограниченных операторах) ■функцией на Sa.

Отметим, что имеется и аналог этого понятия для квадратичных форм (см. [295, с. 204]). Если V дилатационно-аналитичен, то

(8.2)i(8.2)iЯ(0): = Яо(0) + У(0), 0eSa,

(8.2)i

(8.2)i

есть аналитическое семейство типа (А), а так как (в силу аналитичности продолжения) У(0) компактен относительно Яо(0), то oess(H(6)) = esp [—2iIm0]R+. Далее, дискретные (т. е. изолированные и имеющие конечную кратность) собственные числа являются аналитическими функциями от 0eSa, покуда они отделены от существенного спектра. Но, поскольку операторы Us унитарны, из группового свойства U6 при вещественных 0 следует, что эти собственные числа Е вообще не зависят от 0. Действительно, при вещественных ф оператор Я(0 + ^) унитарноэквивалентен оператору ^(8), поэтому Е(0+^) = Е(0) в силу аналитичности, так что Е постоянно. Таким образом, собственные значения сохраняются при изменении 0, если не считать того, что ойи могут „накрываться" непрерывным спектром, когда он находит на них, или „открываться", когда он с них сходит. .

Рис. 8.1.Рис. 8.1.

Рис. 8.1.

Рис. 8.1.

Невещественные собственные значения Н^ будем называть резонансами Н. Таким образом, для спектра Н^ мы имеем картину, представленную на рис. 8.1.

Рассмотрим теперь матричный элемент резольвенты f (z): = <ф, (Я — г)-,ф>

для ze р(Н) и аналитического вектора ф (аналитического в том смысле, что функцию (/9ф можно аналитически продолжить в полосу Sa). Тогда при 1ш0 > 0, Im z > 0 функция .

/9(2):=<(/9ф, (Ж^-г)’1^

совпадает с f(z), поскольку она аналитична по 8 и постоянна при вещественных 6. Стало быть, f е (•) является мероморфным продолжением /(•) (как функции z) через вещественную ось в сектор, ограниченный лучами R+ и aeSs(^ (0)) = ехр(—2iIm0)R+. Так как собственные числа Н^ суть полюсы отображения zi—>(Я(0)—z)-1, а потому и fe(-), полюсы fe(-) совпадают с резонансами Н. (Здесь нужны некоторые оговорки. Более подробное обсуждение см. в [324] („бритва Хоуленда").)

Сказанное оправдывает название „резонансы", поскольку можно показать (по крайней мере, в некоторых случаях), что комплексные полюсы fe(-) совпадают с комплексными полюсами матрицы рассеяния для рассматриваемой системы (см. [37; 147; 183; 320]), которые обычно интерпретируются в фи

зической литературе как резонансы.

В ^частичном случае, т. е. при 'N'

Я = Яо+ Е Vq i<i■.

г(Я0— свободный гамильтониан системы с исключённым центром масс) ситуация в целом будет такой же, если предположить, что функции Vq дилатационно-аналитичны в соответствующих пространствах двухчастичных подсистем.

Мы видели, что в двухчастичном случае решающее значение имеет тот факт, что спектр aess(7f(0)) можно вычислить явно. В У-частичной ситуации задача сложнее: в спектре aess(7f(0)) каждой подсистеме отвечает полуось, которая вращается вокруг своего порога. Множество порогов, принадлежащих кластерному разложению D := {Сь .. ., С*}, обозначим через

SD (0) :={£,+ Е2 + ... + Ек | Е{ е odisc (HCt (0))}.

Пусть '’

2 (0) := U SD (0) D■

■ — полный набор порогов (см. гл. 3). Ниже мы покажем, что aess(^(8)) содержится в множестве

5:={ц+ехр(—21 Im0) X | ц е 2(0), ^eR+}. '

Группа растяжений в этом (У-частичном) случае вводится равенством

(/9Ф (х) := exp ( v-"7—■ 0) ф (е9х), ф е L2 (Rv"-v),

' xeRv""v, 0eR.

Тогда Н (8) := UqHUq1 допускает аналитическое продолжение (типа (А)) в полосу Sa, если потенциалы Vq дилатационно-аналитичны. Справедливо

Предложение 8.2. Пусть Н = Но + 11н<1 Vq в L2 (R3"~3), где Но — свободный гамильтониан с исключённым центром масс, a Vq дилатационно-аналитичны. Тогда

Oess (Я (6)) = S.(8.3)

Доказательство. Первый этап доказательства такой же, как в [295, с. 209, предл. 2]. Мы повторим его здесь для удобства читателя. Если N = 2, то 2(0) ={0}, и мы уже знаем, что для двухчастичного случая включение (8.3) выполняется. Предположим, что (8.3) справедливо для всех ЛГ-частичных систем при М ^ N—1, и выведем отсюда его справедливость для случая N частиц.

Вначале покажем, что

oM)sS■(8.4)

для любого разложения D := (Сь ..., С*} системы с к ^ 2. Напомним, что•

к

Но^^ЦНсД^ + Тп^ Z-1■

(см. § 3.2), где HGl (0) — «растянутый» кластерный гамильтониан и Тд(0)—«растянутый» оператор кинетической энергии центров масс отдельных кластеров из D. Поскольку потенциалы Vq ограничены относительно Но с относительной гранью 0, каждый Hci$) есть строго m-секториальный оператор (см. [196, с. 351]).

Далее, в естественном разложении

L2 (R3""3) = Но ® НС1 ® ... 0 HCft

каждое слагаемое Яд(0) действует в соответствующем сомножителе тензорного произведения.

По лемме Итиносэ [295, с. 203] спектр тензорной суммы тп-секториальных операторов вычисляется так же, как и в самосопряжённом случае, т. е.

.'к

а Шп (6)) = Е о (НС1 (0)) + о (Го (0))..

Поскольку, ввиду индуктивного предположения, ■

a (TD (0)) = exp (— 21 Im 0) R*

и

Oess ^НС[ (8)) S S,

включение (8.4) справедливо для любого разложения D на два или большее число кластеров.

На втором шаге, следуя Сигалу [310; 312], мы „имитируем11 доказательство УВЖ-теоремы (см. гл. 3), тем самым избегая технических моментов, связанных с уравнениями Вайнберга — ван Винтера. Пусть {/о} — разбиение единицы Рюэля — Саймона в R3*-3, где а пробегает все двухкластерные разложения (см. определение 3.4). Тогда

Я(0) = Яа(0) + 7а(0), где

/«(0):== Z VM^

ЧП фа

И

Ha^y.=LHCt^ + Ta^.

Поэтому

а

Е ?а { (Яа (0) - гу х 1О (0) (Я (0) - г)-1}

+ Е /а (Яа (0) — z)~p

= ЦгУН (0) — z)-1 + D (z),(8.5)

где

1кгУ.= -^ШНа^-2ТХ1аМ

Пкгу.= ^?лна^-гух.

В силу (8.4) оба оператора /(z), D(z) аналитичны в C\S (отметим, что это множество связно). Так как Z(z) компактен (предложение 3.6) и ||7(z)||->0 при Rez-^oo, из аналитической теоремы Фредгольма [292, с. 224] следует, что функция (/ — Z(z))-1 мероморфна в C\S и её полюсы содержатся в некотором дискретном множестве Do, а вычеты суть конечномерные операторы. Тем самым, D^ не принадлежит aess(^(0)). Кроме того, в силу (8.5), оператор (Я (6)—z)-1 ограничен и аналитичен в C\{S(JD0}. Отсюда следует (8.3). □

Замечание. На самом деле можно показать, что dess(^(0)) = S. Недостающее включение соответствует простой части УВЖ-тео-

ремы и может быть доказано путём построения надлежащей последовательности Вейля..

Коль, скоро местоположение существенного спектра установлено, все рассуждения, применявшиеся в двухчастичном случае для доказательства устойчивости дискретного спектра и т. д., можно перенести на общий случай. Предположим, что множество 2(6 = 0) счётно для каждой подсистемы. Тогда мы можем контролировать граничные значения (f, (Я —z)-^) для плотного множества функций f и всех z вне некоторого замкнутого счётного множества. Поэтому можно заключить, что а5С(Я)=0 и собственные числа' могут накапливаться только к точкам из 2 (0). Таким путём можно индуктивно показать, что множество 2 (0) для всей W-частичной системы счётно. Следовательно, справедлива

Теорема 8.3 (Бальслев—Комб [39]). Если Я = Я0 + ^"с/Уг/— гамильтониан W-частичной системы с исключённым центром масс и Уц дилатационно-аналитичны, то сингулярный непрерывный спектр Н пуст, а множество его порогов и собственных чисел замкнуто и Счётно.

Эту теорему можно доказать также методом Мурра, который является инфинитезимальным вариантом комплексного скейлинга (см. § 8.3).

ТРАНСЛЯЦИОННАЯ АНАЛИТИЧНОСТЬ

Рассмотрим гамильтониан Штарка Н, определённый как замыкание заданного на S(RV) оператора

ft:А + Я^ + У,

где Е > 0, а V — подходящий оператор умножения (см. гл. 7).

Поскольку ft не имеет порогов, комплексный скейлинг на первый взгляд кажется не слишком подходящим для исследования таких спектральных свойств Н, как резонансные явления. (Мы вернёмся к этому вопросу в § 8.5.) В связи с этим Аврон и Хербст [21] ввели класс потенциалов, обладающих определёнными свойствами гладкости.

Определение 8.4. Пусть x = (xi,xi), где xi=(x2, .... xv). Предположим, что V— такой оператор умножения, что для почти всех xeRv отображение X;—> Ух := У(Х1 + X, Хц.) аналитично в полосе Sa :={X е С | Im X < а} (где а > 0 — некоторое число). Тогда У называется Ко-трансляционно-аналитичным, если отображение Xi—*Ух(Хо — О-1 есть компактная аналитическая

операторнозначная функция на Sa, где Ко — замыкание оператора —Д + £Х1 на S(RV).

Отметим, что кулоновский потенциал с/|х| не является трансляционно-аналитичным, «размазанный» же кулоновский, потенциал Ур(х) := cjxj-^ptx) (с подходящей гауссовой функцией р), сколь угодно близкий к исходному, принадлежит этому классу.

Пусть V трансляционно-аналитичен. Тогда оператор Ях, определённый как замыкание оператора hx:=—Д-|-£(х14- Х)+Ух на S('RV), будет функцией из аналитического семейства (типа (А)) при ХеSa. Кроме того, поскольку Ух компактен относительно Ко, операторы Ко + £Х и Нх имеют при X е Sa общий существенный спектр, т. е.

> Oess (Ях)= ^ess (Ко 4~ X) + £Х = R + i£ Im X.

Это означает, что существенный спектр «сдвинутого» оператора Нх совпадает со сдвинутой вещественной осью.

Если ввести отображение £/аф(хь Хх):=ф(Х1 +а, хх), унитарное при вещественных а, из тождества UaHxUaX = Нх*а будет следовать, как и в случае обыкновенного скейлинга, что собственные числа Нх не зависят от X, пока прямая !R + i£ Im X не пересечёт их. Эти дискретные собственные значения, появляющиеся в полосе

{z | Imz е (0, Im X)},

называются резонансами Н. .-

Как'показано -в [156] . такое-название физически оправдано тем, что эти резонансы/скажем EY,E2, .... обусловлены экспоненциальным убыванием среднего значения оператора эволюции на некоторых (трансляционно-аналитических) состояниях, т. е.

<Ф, е-1 <яф) =£ Сп (ф) е-1 <£" + О (е-®*),

1тЕ„>-а

где константы Сп зависят от ф.

Кроме того, из трансляционной аналитичности следует, что сингулярный непрерывный спектр отсутствует. Приложение метода Мурра при А = р к гамильтонианам Штарка, описанное в примере 3 § 4.1, представляет собой инфинитезимальный вариант метода трансляционно-аналитического продолжения.

ТЕОРИИ МУРРА ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Пусть А := (рх + хр^, р := — i V, h S (Rv). Тогда А — генератор группы растяжений U6, определённой в (8.1); это значит, что [79 = ехр(18А) (см. гл. 4). Для дилатационно-аналитического

потенциала V отображение

0^е!0ЛЯе-‘0Л=:Я(0)'

аналитически продолжается в подходящую полосу Sa. Если внимательно присмотреться к методу Мурра (гл. 4), в котором мы в сущности имеем дело с семейством операторов'

.Я1(0):=Я + е[Я, Ы], 0eSa,

то можно увидеть, что Я1(0)— это просто первый член ряда Тэйлора для Н^. Преимущество рассмотрения Я1(0) вместо Н ^ состоит в том, что можно значительно ослабить условия на V (но, конечно, при этом теряется информация об Я).

Представляется естественным аппроксимировать Я(0) отрезком ряда Тэйлора, т. е. положить

Hn^;=H + ^^_VH, M]w к—\'‘

для некоторого ne N, где

[Я, 1Л](Й) :=[... [[Я, Ы], 1Д], ...]

— ^-й коммутатор (с подходящей областью определения). Этот подход был применен Циконом й Перри [74], Йенсеном, Мур- ром и Перри [184] для получения более детальных оценок резольвенты 7?(з):=^(Я — z)-1 оператора Я вблизи вещественной оси. Основные результаты, полученные с помощью такого подхода,— это оценки локального убывания для эволюционирующих состояний рассеяния. Цикон и Перри [74] установили «почти глобальную» оценку■

||е-и^§(Я)фЩ<с(1 4-ИГ$+в||фН$ при ^еР,ФеЯ, где II-11$ — норма в весовом пространстве L2 (Rv, <x>2sdx) и g— гладкая срезающая функция, равная нулю в нижней части спектра (это чуть улучшенная версия одного результата Китады [210]). Йенсен, Мурр и Перри [184] доказали близкие, но «локальные» оценки для резольвенты (т. е. у них в качестве g используется функция из С” (К\ор(Я)). При помощи этих оценок были получены некоторые результаты в двухчастичной теории рассеяния.

НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИКОМПЛЕКСНОГО СКЕИЛИНГА

Ввиду того что численный анализ собственных значений оказался весьма успешным, хотелось бы также иметь хорошо развитую технику для вычисления резонансов. За последние десять

лет появилось много работ по этой теме (см., например, [166, 237, 297] и указанную там литературу). Мы опишем некоторые из идей, относящихся к этому кругу вопросов, не заботясь об их математическом обосновании.

«Наивный» способ вычисления резонансов состоит в том, чтобы вычислить все матричные элементы (в подходящем базисе пробных функций) «повёрнутого», т. е. подвергнутого растяжению, гамильтониана и затем провести диагонализацию полученной матрицы. После этого нужно посмотреть, как всё это зависит от 8, и найти «стационарные» тонки. При этом объём вычислений очень велик и, чтобы избежать непомерно больших ошибок, приходится чрезвычайно тщательно обрабатывать данные.

Для кулоновских систем (когда V есть линейная комбинация кулоновских потенциалов) имеется более простой способ реализации этой программы (см. [297]). Так как

Н (0) = е~*Н0 + е-6У,

можно начать с вычисления матричных элементов исходных, «неповёрнутых» операторов Но и V, потом умножить первые на ехр(—20), вторые — на ехр(—0),а затем диагонализовать. Важное преимущество такого подхода состоит в том, что нам не приходится вычислять матричные элементы для разных 0 заново. Этот метод хорошо работает для двухэлектронных систем и не слишком хорошо — для ^электронных, поскольку для внутренних электронов простые гауссовы функции уже нельзя брать в-качестве пробных функций (см. [297, р. 239]). -

Есть ещё один рецепт Вычисления резонансов, на первый взгляд довольно загадочный. Возьмём наш гамильтониан и какой-либо набор (ортонормированных) пробных невещественных функций {фга} и вычислим матричные элементы

<ф„,' ^Фт>, (8-6)

а затем собственные числа получившейся матрицы. Если эти числа будут устойчивы относительно изменения какого-нибудь нелинейного параметра, то есть большая вероятность, что они являются резонансами!

Этот прогноз можно «обосновать» с помощью комплексного скейлинга. Допустим, ф„ дилатационно-аналитичны (обычно они конструируются из полиномов, гауссовых функций и экспонент). В силу принципа симметрии Шварца и равенства Ue = = (^б)*\ произведение (8.6) можно записать в виде

(ф„, Яфт) = <С79ф„, Н (0) С79фт) (8.7)

(£/е и Н(8) — те же, что и в (8.1), (8.2)). Ввиду того что Я(0),= Н(ё)*, равенство (8.7) удовлетворяет некоторому вариационному принципу. А именно, пусть .

Я(6)ф = £ф, ||ф||=1, £еС.

Несложное вычисление показывает, что

<n, Н (6) п) = £ <п, Т|) + (fo^n), [Я (6) - £1 (ф - Т|)>

при всех ц. Отсюда видно, что невязка квадратична по ф—т).

Это «объясняет», почему матричные элементы «вблизи» собственных чисел Н (6) в каком-то смысле устойчивы. Описанный метод особенно эффективен в тех случаях, когда потенциал дилатационно-аналитичен лишь во внешности некоторого шара (внешний скейлинг, см. § 8.7), ибо тогда комплексное вращение гамильтониана посредством скейлинга приводит к весьма сложным формулам. .

Однако математические проблемы всё же остаются, ибо, в отличие от самосопряжённого случая, для несамосопряжённых операторов не существует теоремы, которая утверждала бы, что собственные числа матрицы (составленной из элементов вида (8.6) для какого-либо набора пробных функций) стремятся к собственным числам исходного оператора, когда количество пробных функций растёт (см. [295, с. 98]). Кроме того, не существует эффективных оценок невязки, аналогичных оценке Темпля для самосопряжённого случая. '

КОМПЛЕКСНЫЙ СКЕЙЛИНГ И DC-ЭФФЕКТ ШТАРКА

Как указано в § 8.2, трансляционная аналитичность страдает тем недостатком, что она не охватывает кулоновских возмущений. . ■ ' '

«Обыкновенный» комплексный скейлинг, по-видимому, не подходит для изучения гамильтониана Штарка, так как в этой ситуации нет порога, вокруг которого может «повернуться» спектр (a(K0)=R!). Но если всё-таки мы проведём растяжение, т. е. рассмотрим Ко(6)—замыкание оператора —А ехр (—26),+ Xi ехр 6 на S (Rv) для Im 6 > 0, то с удивлением обнаружим, что спектр Ко(ё) пуст! (Это можно представить себе как поворот спектра вокруг точки —оо.) Этот факт установил Хербст [155], воодушевленный успехом численного анализа проблемы. Если возмутить Ко (6) дилатационно-аналитическим потенциалом, то спектр станет чисто дискретным, и тогда, как и в § 8.1, (комплексные) собственные числа можно интерпретировать как резонансы. Сейчас мы покажем, что спектр

свободного гамильтониана Штарка, подвергнутого скейлингу, пуст.

Теорема 8.5 [155]. Пусть оператор £о(0):=—Дехр(—20) + Xi ехр 0, 0 е С, определён на S (Rv). Тогда

(i) он замыкаем; обозначим его замыкание через Ко (0);

(и) а(Ко(9)) = 0 при 1ш0е(О, л/3).

Доказательство (набросок; подробности см. в [155]). Пусть Im 0 е (0, л/3). Рассмотрим оператор

Zo := ie~9&0 (8) = i ^-"р2 + хО,

определённый на S(RV), где, как обычно, р,— Замыкание оператора —хд/дх^ на S(RV) и р2 := — А = X / Р/- Как легко видеть, числовая область значений оператора 1о содержится в полуплоскости

{zeCfRez^O};

это наводит на мысль, что /д может порождать сжимающую полугруппу.

И на самом деле,- формальные выкладки (основанные на аналитическом продолжении формулы Аврона — Хербста из гл. 7) подсказывают, что оператор

Ps := exp (— i sx,) ехр { — ise*39 [р2х + (р, — у)2 + -^] },

- ■- S G-Rq:, (8.8)

определённый на S(RV), является подходящим кандидатом на роль такой полугруппы. Так как Re[iexp(—30)]>О, справедлива оценка

[

„3 1

-Re {I ехр (-30)} У <1, seR+. (8.9)

Тем самым, Ps можно продолжить на всё пространство L2(RV) (продолжение обозначим снова через Ps) и прямым вычислением проверить, что семейство {Ps}s s R+ действительно будет сжимающей полугруппой. Эта полугруппа имеет замкнутый плотно определённый инфинитезимальный генератор Lo [293, с. 263]. Легко убедиться, что на самом деле Zo = Lo, откуда еле* дует, что оператор ко(6) замыкаем. Вычислим резольвенту Lo:

<Lq — zYx = ^ Pses ds. О

Но из оценки (8.9) вытекает неравенство

|| (70 — Z)~‘|| ^ С < оо, zeC.

Это означает, что ст(70) = ст(/Со(6));= 0. □

Итак, пусть V дилатационно-аналитичен, т. е. V е Са при а = л/3. Тогда оператор Я(8):= Ао(0) + У(8) корректно определён, и можно показать (см. [155]), что Н(8) является замкнутым оператором из аналитического класса типа (А) в области О < 1ш0<л/3 и имеет чисто дискретный спектр. Однако по сравнению с обыкновенным комплексным скейлингом здесь есть некоторые тонкости. В обычной теории при Im0>O резольвенты операторов Н (0) сходятся по норме, а здесь имеет место лишь сильная сходимость.

Теория Хербста комплексного скейлинга была распространена на У-частичные системы Хербстом и Саймоном [160] (см. ещё Herbst [157]). Приложения к вопросам о суммируемости ряда Рэлея-—Шрёдингера для эффекта Штарка в водороде и о ширине резонансов можно найти в работах Herbst — Simon [159; 160] (см. также Graf И—Grecchi [140] и Harrell—Simon [150]).

КОМПЛЕКСНЫЙ СКЕЙЛИНГ И АС-ЭФФЕКТ ШТАРКА

Не вдаваясь в подробности, упомянем ещё о приложении метода дилатационно-аналитического продолжения к нестационарным полям Штарка.■

' В гл. 7 мы видели (теорема 7.6), что гамильтониан с периодическим по времени полем Штарка, т. е. замыкание оператора

— А + V — цХ] cos rot,

заданного на S(R3), эквивалентен оператору с «модулированным» полем, т. е. замыканию K(t,y?) оператора

■— А + V (х, — ^ cos mt, х2, х3)

на S(R3) (если V имеет подходящую гладкость).

Следуя Ядзиме [379], рассмотрим ассоциированный оператор Флоке и самосопряжённую реализацию его «генератора»

■ F(g):=-i4 + K(t, ц)

с периодическими граничными условиями в гильбертовом пространстве■

' Н := 72 (Tm) ® 72 (R3).

где Та — тор

T.:-R/^-Z.

Очевидно, спектр К(0) получается в результате бесконечного перекрытия спектров Н = (—А+V)[S:

"(^(OH-JJJ"^" W)

= ^и ({пса + Oess (Я)} и {п<В + Стр (Я)}).

Таким образом, все собственные числа Н становятся собственными числами, лежащими на спектре ct(F(0)). Ядзима [379] показал, что если возмутить F(0) полем Штарка (т. е. если ц>0), то эти собственные числа перейдут в резонансы K(t, ц) в смысле теории комплексного скейлинга. Более точно, допустим, что V одновременно дилатационно-аналитичен и трансляционно-аналитичен (см. §§ 8.1, 8.2), и положим

F(9, p^-iA-J-KU, 9, ц),

где K(t,6, р) есть замыкание оператора

(—А) е-29 + V (е9*1 — ^- cos со/, еех2, е9х3)

на S(R3). Тогда

для любого р>0 набор {F(9, p)}9sS является голоморфным семейством типа (Д) (Sa := {9 е С 11 Im 91 < а} с некоторым a > 0);

(и) Оезз-^ф, р)) = и {п<в + ехр(— 2 Im 9) R+};

(Hi) изолированные собственные числа оператора F(9, р) не зависят от 9 и устойчивы по р (в том смысле, что при р—>0 они сходятся к собственным числам F(0)). Кроме того, если Im 9 > 0, р > 0, то они имеют строго отрицательную мнимую часть, которая мала для почти всех ше'Р+.

Мы не будем приводить доказательства. Ядзима обсуждал ещё зависимость главного члена Im Я от числа фотонов, требующегося для ионизации.

Как и в § 8.2, недостатком этой теории является то, что требование трансляционной аналитичности исключает из рассмотрения кулоновские потенциалы. Эта трудность была преодолена

Граффи и Ядзимой [141], которые заменили комплексный скейлинг на внешний (см. § 8.7), где требуется аналитичность потенциала лишь во внешности некоторой области.

НЕКОТОРЫЕ ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБОБЩЕНИЯ

Имеется несколько обобщений комплексного скейлинга. Все они были разработаны для таких физических ситуаций, когда появляются резонансы, но обычная скейлинг-техника неприменима.

Наиболее важным случаем, который не поддаётся обычным методам, является приближение Борна—Оппенгеймера. В простейшей ситуации рассматривается молекула, состоящая из двух ядер, находящихся на фиксированном расстоянии друг от друга, и одного электрона, движущегося в их поле. Движение электрона описывается гамильтонианом .

Нво := (-А) - [x_^| - |X-j?e|

на С” (R3), где RA, RB и ZA, ZB — координаты и заряды ядер, а х — аргумент (электронной) волновой функции. Проблема состоит в том, чтобы изменить масштаб лишь электронных координат, не затрагивая RA и RB. Стало быть, мы рассматриваем потенциал

V (е9х) :=—^—г + -г-д—-9—г. х е R3, 9е С,

l®9*-^! |е9*-*в|

имеющий сингулярности типа точки ветвления квадратного корня, заполняющие окружность

{xeR3|(e9x-V = 0}. '

и аналогичную окружность с центром в точке RB. Очевидно, отображение 9-—->У(ехр(9)х) не обладает аналитическим продолжением, а потому V не является дилатационно-аналитическим (см. [33, теорема 4.1]).

Чтобы преодолеть эту трудность, Саймон [328] предложил метод, в котором потенциал подвергается скейлингу только во внешности шара, содержащего сингулярности. Поэтому такой скейлинг называют внешним. Более точно, при этом подходе унитарное масштабное преобразование (8.1) заменяется внешним масштабным преобразованием

U (9, /?) Ф (х): = [det ^М]1" ф (S (9, R) х),

где 9eR, ^>0, фЕ L2(RV) и.•

гхпри |х|^/?,

S(9, ^x — l^-^^i-*)).^ при |х|>/?.

Тогда, как можно проверить, для спектра оператора

Яо (9, /?):=Я(9, /?)Я0Я(9, Я)'1 мы имеем.

.ст (Яо (9, /?)) = CTess (Яо (9, /?)) = ехр(—2i Im9)^+

(см. [141, предл. 2.6]), так что любой сдвинутый кулонов потенциал порождает аналитическое семейство операторов для подходящего R. Тем самым большинство соображений, используемых в обычном комплексном скейлинге, здесь тоже применимы.

Другие обобщения, позволяющие включить в сферу теории скейлинга потенциалы с компактными носителями, были предложены в работах Babbitt—Balslev [34], Balslev [38], Sigai [311], Cycon [72], Hunziker [144]. Работы [311] и [72] основаны на той идее, что комплекснозначное отображение в пространстве импульсов с ограниченной мнимой частью порождает унитарное преобразование в Z,2, что позволяет строить аналитическое продолжение для операторов умножения на функции с компактными носителями. Тем самым применимы по существу те же рассуждения, что и в § 8.1.'

Дополнительную информацию можно найти в [36].

Случайные матрицы Якоби

В этой и следующей главах мы обсуждаем два сравнительно новых предмета математического исследования: случайные и почти-периодические операторы. Эти операторы служат в физике твёрдого тела моделями неупорядоченных систем, таких как сплавы, стёкла, аморфные вещества. Неупорядоченность системы проявляется в том, что потенциал зависит от некоторых случайных параметров. Обсудим один пример. Допустим, у нас есть сплав, т. е. смесь (скажем, двух) кристаллических веществ. Предположим, далее, что атомы (или ионы) этих двух веществ создают потенциалы типа kj(x— Хо) и X2f(x— х0) соответственно, где Хо — положение атома. Если атомы наших двух сортов случайно распределены по решётке Zv, причём в каждом узле находится ровно один атом, то результирующий потенциал будет задаваться выражением

^ШМ= X <7z(™)f (х — t), ZeZv

где qx— случайные величины, принимающие значения Xi или Ха с определёнными вероятностями. '

Операторы Шрёдингера со стохастическими (т. е. случайными или почти-периодическими) потенциалами имеют весьма «необычные» спектральные свойства. В этой и следующей главах мы приведём примеры плотного точечного спектра, сингулярного непрерывного спектра и канторова спектра.

Несмотря на то что теория стохастических операторов Шрёдингера интенсивно исследуется многими математиками начиная с семидесятых годов, она далека от полноты. В действительности большинство основных задач в размерности v > 1 пока не решены. 1

Мы не будем пытаться дать полное изложение материала, а просто обрисуем некоторые основные задачи, технические приёмы и привлекательные результаты в этой области. Вместо стохастических операторов Шрёдингера, т. е. операторов вида Hto = ^о + ^ на L2(RV), мы рассмотрим дискретные аналоги таких операторов, действующие на пространстве последовательностей

Z2(ZV), а именно матрицы Якоби. Оператор Но заменяется конечноразностным оператором, и потенциал становится функцией на Zv, а не на Rv. Эта модель известна в физике твёрдого тела как «приближение сильной связи». Об операторах Шрёдингера в L2(RV) мы говорим как о непрерывном случае, а о модели сильной связи — как о дискретном случае.

Преимущество этой процедуры двояко: исчезают некоторые технические, но не принципиальные трудности непрерывного случая, и для дискретного случая имеющаяся информация (особенно если речь идет о почти-периодических операторах) гораздо обширнее.

Отметим два недавних обзора по теории случайных операторов Шрёдингера: Carmona [61] и Spencer [347], написанные с разных и отличающихся от нашей точек зрения.

В этой главе мы предполагаем некоторое знакомство читателя с основными теоретико-вероятностными понятиями. Нужные предварительные сведения можно найти в любом учебнике по теории вероятности (см., например, Breiman [53]).

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ

Пусть u = {u(n))neZv —элемент пространства Z2(ZV)> т. е. II и ||: = [£n s zv | u (л) |2],/2 < 00 • Положим | л | := max | л, | и | л [ +:= = Z/-i I пт I Для л е Z\■'

Определим дискретный аналог Ad лапласиана на L2(RV) формулой.’.. ...

(Adu)(i)= S [и (/) — и (01 = Г Xи (/)1—2vu (О-

/:|/-Л + = 1[/:1/-/1 + -1J

(9.1)

Ясно, что Ad — ограниченный оператор в Z2(ZV); это делает жизнь легче, чем в непрерывном случае. Спектр Ad чисто абсолютно непрерывный, и o(Ad)= aac(Ad) = [—4v, 0], как можно показать с помощью преобразования Фурье.

Отметим равенство

<u, —Adu)=Ц !«(/) —и (ОР

<> 7:1«—/ 1+ = 1

(каждая пара входит в эту сумму один раз), объясняющее, почему мы можем считать (9.1) аналогом лапласиана.

Если V — функция на Zv, играющая роль потенциала, то естественным аналогом оператора Шрёдингера является оператор.

. Я = -Да + У.(9.2)

Однако обычно рассматривают Да вместо —Да и, кроме того, относят диагональные члены Да к потенциалу. Так как Да ограничен, эта процедура не оказывает «существенного» влияния на свойства Я. Действительно, поскольку оператор (—1)м, определённый соотношением [(—1)^] (п) = (—1) 1п1+и (п), удовлетворяет равенству (—1)*я[(—I)*]-1 =4v + Да + V, оператор Я и определяемый ниже оператор Н унитарно-эквивалентны с точностью до константы. Таким образом, мы рассматриваем операторы■'

№)(n)= s U(j)(9.3)

/:|/-«|+-1

И

(Ни)(п) = (Яои)(п) + У(п)и(п).(9.4)

Потенциалы V, которые нас интересуют, образуют случайное поле, т. е. для любого ne Zv значение потенциала V(n), вычисленное в точке п, является случайной величиной (= измеримой функцией) на вероятностном пространстве (Q, F, Р). Здесь F — это ст-алгебра на Q, а Р— вероятностная мера на (й, F). Для интеграла по мере Р мы используем общепринятое в теории вероятности обозначение Е [от expectation (математическое ожидание)], т. е. ^ f (<в) dP (<в) =: E (f). Без потери общности мы можем (и будем) предполагать, что

Q = SZV = XS,(9,5)

zv

где S— какое-либо (борелевское) подмножество R, a F есть ст-алгебра, порождённая цилиндрическими множествами, т. е. множествами вида Itolm^e^!<в^еД„) для ib ..., Z„ eZv и борелевских множеств AiA„S R. Определим операторы сдвига Т; на й равенством

Tzto(/) = to(j-i).'(9.6)

Вероятностная мера Р на й называется стационарной, если Р(ТГ1Д)=Д для любого А е F. Стационарная вероятностная мера называется эргодической, если любое множество А, инвариантное относительно сдвигов, т. е. множество А, для которого

1?^ = А при всех ieZv, имеет вероятность Р(Д), равную нулю, или единице.

Если ^(п) —вещественнозначное случайное поле на Zv, то его всегда можно реализовать на определённом выше вероятностном пространстве таким образом, что Уш(п) = <в(п). Поле У называется стационарным (эргодическим), если соответствующая вероятностная мера Р стационарна (эргодична).

Важным примером эргодического случайного поля служит семейство независимых одинаково распределенных (н. о. р.) случайных величин. В этом случае мера Р — это просто произведение

X dP0, .

ZeZV'

где Ро — общее распределение случайных величин Vto(i), т. е* Ро(А) = Р(Уш(1)еА) для любых Лей(Р) и ieZv. Мы имеем, например,■

.^Г^О dP (<»)( = ЦП)

’= $ f <х dP0 (ХХ) ...dP0 (хп\

Гамильтониан Н® с н. о. р. Уш называется моделью Андерсона* Другой важный класс эргодических потенциалов — это поч- ти-периодические потенциалы. Мы введём и исследуем такие потенциалы в гл. 10.

Для фиксированного со оператор Нм есть не что иное, как дискретный оператор Шрёдингера с каким-то конкретным потенциалом. Поэтому читателю может показаться, что введение вероятностного пространства бесполезно, так как мы могли бы рассматривать каждый потенциал Уш и как детерминированный. Основной смысл введения случайных потенциалов состоит в том, что теперь мы интересуемся свойствами Hto не для фиксированного со, а только для типичных со. Более точно, нас интересуют утверждения следующего вида: Яш обладает свойством р для всех со из некоторого множества Qj czQ с P(QX) = 1. Для краткости будем говорить, что Ню обладает этим свойством Р-почти наверное (или Р-п. н., или просто п. н.).

Если не оговорено противное, Уш предполагается стационарным эргодическим полем, удовлетворяющим условию | Уш(п) |^ С < оо для всех п и со. Однако в ряде случаев это предположение ограниченности можно опустить (или заменить соответствующим условием на моменты).

Предложение, которое мы сейчас сформулируем и докажем, понадобится нам в дальнейшем. Кроме того, оно иллюстрирует

типичные технические приёмы, связанные с эргодичностью. Случайная величина f называется инвариантной относительно семейства {Tz}ZeZ, если f (Tzco) = f (со) для всех iel.

Предложение 9.1. Предположим, что семейство {Т;} преобразований, сохраняющих меру, эргодично. Если случайная величина f:Q-*-R инвариантна относительно {Т,}, то она Р-п. н. постоянна.

Замечание. Доказательство легко распространяется на f:Q->- RU{oo}.

Доказательство. Положим Qm = {co|f (со) ^ М}. Поскольку f инвариантна, множество Qm инвариантно относительно Tz и, следовательно, имеет вероятностную меру нуль или единица. Для М М' справедливо включение Qm g Qm'. Далее, мера каждого из множеств -

U Qm = U ^м == Q М s R М 6 Z

И

A Qm = Л ^м MeR MeZ

равна нулю. Таким образом, величина_

Мо= inf М р (ам)-1

конечна. Поскольку

Qm. = Л ЙМо+1/n n е N

И

Qm. := {со | f (со) < Мо} = (J Qm.-цп, 1EN

то P(Qm.) = 1, P(Qm.) = 0 и, следовательно,

Р ({св | f (со) = M0J) = Р (Qm, \ Qm.) = 1. □

Для ue^Z') определим .

(UiU)(n):=u(n — i).'(9.7)

Если Уш — эргодический потенциал, а {Тz}z G zv — соответствующие преобразования, сохраняющие меру, то

Hr^UiH^Ul..(9.8)

Это соотношение является основным при выводе некоторых элементарных свойств Н^. Стохастические операторы Нт, удовлетворяющие (9.8), называются иногда эргодическими операторами.

Следующая теорема — основной результат работы Пастура [271] (кое-какие технические добавления для неограниченного и непрерывного случаев приведены в [221] и [205]):

Теорема 9.2 (Пастур). Пусть Уш—эргодический потенциал. Тогда существует такое множество S с R, что

. О Ша) = 5 Р-П. Н.

Кроме того,

Odls (Яш) = 0 P-п. Н.

Для доказательства теоремы 9.2 нужна вспомогательная лемма. Мы говорим, что семейство [Л^^д овраниченных операторов в гильбертовом пространстве Н слабо измеримо, если отображение со * <Ф, Лшф> измеримо для всех ф, ф е Н.

Лемма 9.3. Предположим, что [Pm}mEQ — слабо измеримое семейство ортогональных проекторов, удовлетворяющих (9.8). Тогда размерность dim Ran (Pm) равна нулю Р-п. н. или бесконечна Р-п. н..

Доказательство. Операторы Рю положительны, и, следовательно, след tr Pm определён однозначно (но, возможно, равен +<»). Фиксируя и и выбирая ортонормированные базисы ai(to), а2(<в), .. . в Ran(Pm) и bi (и), 62(<в),.,., в Ran(Pft))-, видим, что tr Рш = Ц^ (<в), Р^ (<в)> + ^(bt (co), Ptobt (co))■

= T/Pi (to), di (to)) = dim Ran (PJ.

Пусть теперь, {et, ieZ^—стандартный ортонормированный базис в PtZ''), т. е. е,(п) = б1П. Тогда trPm=E(ei, Р^е^ — случайная величина (= измеримая функция). Кроме того, tr Рг/ш ^ Е (PTjaPb ^Tjafii)■

'= Е kPtoet-j, P^.j) = tr Рш.

Таким образом, в силу предложения 9.1, размерность dim Ran(Рт) п. н. равна константе. Следовательно, Р-п. н. выполнено соотношение)

. tr Рю = Е (tr PJ > Е Е«ег, Р^ 'Н I <W

= Е Е«е0, Prz<»eo))= Е Е«е0, Р^) \i\<NНК*

(здесь мы используем тот факт, что Ti сохраняет меру) = (2^+l)vE«eo, РЛ

Поскольку N произвольно, tr Р^ = 0 или trPm = oo в зависимости от того, выполнено или нет равенство Е «во, Рб>ео>)=О. □

Доказательство теоремы 9.2. Обозначим спектральный проектор для Ню через £д(со). Из равенства (9.8) следует, что

E^1» = UtE^lTt..(9.9)

Действительно, правая часть (9.9) отвечает спектральному разложению оператора UiH^Ui.

Теперь докажем, что для произвольного фиксированного бо- релевского множества А функция ел—>£д(со) слабо измерима. Нетрудно видеть, что произведение ограниченных слабо измеримых функций есть слабо измеримая функция. В частности, функция Hq слабо измерима для любого neN. Проектор Рд(со) можно аппроксимировать в сильной топологии полиномами по Ню с коэффициентами, не зависящими от со. Тем самым, £д(со)— слабо измеримая функция. Поэтому, в силу леммы 9.3, при фиксированном А размерность dim Ran £д п. н. равна либо нулю, либо бесконечности. Для произвольной пары <р, q> рациональных чисел положим т\(р, q):=0, если dim Ran(Е(Р, „>(со)) = 0 Р-п. н., и тДр, <7):=о°, если dim Ran(£(₽,,)(со)) =оо Р-п. н. Ввиду леммы 9.3 это определение корректно. Пусть

Qp, q := {со | dim Ran Е(Р, qy (со) = q (р, <7)}

и'

^0 = П ^р, q.'

■Р, q^Q■

Поскольку каждое Qp, р имеет вероятность 1 и пересечение берётся счётное, то P(Qo) = 1.

Покажем, что при соь со2ейо спектры а(Не) и ^(Н^ совпадают. Действительно, если Х^а(Н^), то

dim Ran £(Х1, м («и) = 0

для всех Xi, Х2, Xi < X < Х2, достаточно близких к X. Поскольку coi, со2 е Qo, то'

dim Ran Е^р, „) (со 1) = dim Ran £(р, „) (<о2)

для любых р, q е Q и потому

dim Ran Е^л, м («2) = 0

при всех Хь X2gQ, Xi < X < Х2, достаточно близких к X. Это означает, что Х^ст^/^). Для получения нужного результата остаётся ещё поменять ролями оц и <в2.

Теперь предположим, что Хе став(Н^ для какого-нибудь о) е Qo. Тогда

0 < dim Ran Дм, w (и) < оо

для подходящих XbX2eQ, Xi < X < Х2. Но это противоречит выбору и е Qq- Следовательно,

^1зШ = 0 Р-п. н. 0

Замечания. 1. Использование счётного множества пар из Q X Q в приведённом доказательстве связано с существом дела, поскольку несчётное пересечение множеств полной меры может иметь вероятность, строго меньшую 1.

2. При доказательстве этого результата для неограниченных операторов проверка слабой измеримости £'д(<о) требует некоторых дополнительных технических ухищрений (см. [205]).

Следующая теорема принадлежит Кунцу и Суйяру [221] Ч (Кирш и Мартинелли [205] распространили её на более общую ситуацию.)

Теорема 9.4 (Кунц—Суйяр). Пусть Уш— эргодический потенциал. Тогда существуют такие множества Sac, SSc, SPPczR, что

СТас (-^со) — ^ас Р-П. Н.,

CTsc (Я<о) —— 2дс Р'П. Н.,

<7рр (До) = 2РР Р-п. И.

Предупреждение об обозначениях. Через стРР(Я) мы обозначаем замыкание множества е(Я) := (X |X есть собственное значение HY Это обозначение расходится с принятым в книге Рида— Саймона I [292]. Для самого е(//ш) теорема 9.4 была бы неверна!

Замечание. На первый взгляд теорема 9.4 выглядит довольно тривиальной, коль скоро теорема 9.2 доказана. Но здесь есть «волчья яма»: необходимая для доказательства измеримость некоторых проекторов — нетривиальный факт.

Доказательство. Положим £д(со) :=£д(со)Рс(а)), где Рс(<в)— проектор на непрерывное подпространство Н^. Аналогично

Часть этой теоремы, относящаяся к точечному спектру, была получена в работе Л. А. Пастура [271].—Прим. ред.

определим £дс (со) := Вд (со) Рас (со) и т. д. Тогда доказательство теоремы 9.2 с заменой £д (со) на Е^ (со) и т. д. одновременно будет и доказательством теоремы 9.4, за исключением одной детали: мы должны установить слабую измеримость £дс(со), £дс (со) и £др(со). Для этого достаточно доказать слабую измеримость 5д (со) и Ед (со).

С помощью теоремы РАГЭ (теорема 5.8) нетрудно проверить, что т-

(ф, Рс (со) ф) = Ит Ит 4=(ф, еин*»'Е(| /1 > r)e-ltH<s^dt,

.J-»-=o T->=oZ1 J.

.(9.10)

где P(A) — умножение на характеристическую функцию множества А. Поскольку'

e»^= ^11£Я^Г(.

правая часть (9.10) измерима, а потому Рс(со) и £д(со):=£д(со)Ре(со) слабо измеримы.

Слабую измеримость Ед (со) мы докажем, используя рассуждение Кармоны [61]. Нам потребуется

Лемма. ' Пусть 3 — семейство конечных объединений открытых интервалов, каждый из которых имеет рациональные концевые точки. Тогда для любого борёлевского множества А. справедливо равенство

ps (А) = lim sup ц (А Л /) =: v (А),.

л->” /еу.ЦК»-1

где | • | — мера Лебега.

Доказательство леммы. Прежде всего отметим, что в выписанном выше соотношении верхняя грань убывает при возрастании л, так что предел v(A) существует.'

Пусть dpac(x) = f(x)dx И g(P) = Pac({x|f(x) > Р} ). ЯСНО, ЧТО р(Р)|0 при Р-*оо. Далее, цас(/Х Р(/) +g(P), а потому

ц(АЛ/)<И,(А) + Р|/1 + р(Р).

Тогда v(A) ^ ps(A) + g(R) для любого R и, следовательно, v(A) = ps(A).

Обратно, пусть В — такое множество, что |В| = 0 и ps(P\B) = 0. Тогда найдутся открытые множества Ст, такие что A f] В а Ст и | Ст 110. При фиксированных л и е найдём т и I е 3,

для которых |Ст|с га— и p(Cm\7X е. Тогда

р (Л П 7) > Р (л fl Ст) — ц (Ст \ 7) > р (Л п В) — е =

''■= Рз (Л) — 6.

Следовательно, v(A)^ р5(Л)—е, так что у(Л)^ р5(Л). □

Окончание доказательства теоремы 9.4. Для любого ф справедливо соотношение

(ф, В1(<в)ф)= lim sup (ф, ВдП/(ш)ф).

я-*” /ej, |Л<П-1'

Поскольку множество 3 счётно и функция (ф, £дп/.(<»)ф) измерима, мы заключаем, что функция (ф, Е1(со)ф) тоже измерима. С помощью поляризационного тождества 1 отсюда получим, что Ед (<в) слабо измерима. □ -

В заключение этого параграфа приведём следующее наблюдение Пастура [271], относящееся к одномерному случаю:

Теорема 9.5 (Пастур). Если v=l, то для любого X имеет место равенство Р({<в|% есть собственное число Яш}) = 0..

Замечания. 1. Из теоремы 9.5 не следует, что Нщ не имеет собственных чисел. Несчётное объединение множеств нулевой меры может иметь положительную меру (оно может быть даже неизмеримым),

Хотя результат ,Пастура и данное ниже доказательство являются одномерными, утверждение теоремы справедливо во всех размерностях. Это следует из приведённой ниже теоремы 9.9 (см. Avron—Simon [31]). Многомерный результат гораздо более тонкий, он до сих пор не доказан для непрерывного случая.

Доказательство. Согласно лемме 9.3, 1гВ{А}=0 п. н. или tr Е^ = оо п. н. Но наше одномерное конечноразностное уравнение имеет разве лишь двумерное подпространство решений, а ПОТОМУ 1гВ{А}=0 п. н. □

Следствие. Если точечный спектр 2рр(= орр(/7(1>) п. н.) непуст, то он локально несчётен. :

плотность состоянии

В этом параграфе мы кратко обсудим важную характеристику неупорядоченных систем — плотность состояний к^Еу Информацию о ней можно почерпнуть из недавних обзоров [202; 342]. В каком-то смысле величина к^Е^ показывает, «сколько состояний» отвечает энергиям, лежащим ниже уровня Е.

Напомним, что наши гамильтонианы Нщ моделируют движение одной частицы (электрона) в твёрдом теле с бесконечным числом силовых центров (ядра, ионы), положение которых фиксировано. Эта модель называется одночастичным приближением. Однако в твёрдых телах с бесконечным числом ядер мы имеем дело и с бесконечным числом электронов. Мы не можем прямо рассмотреть задачу с бесконечным числом частиц, но должны по крайней мере учесть фермионную природу электронов с помощью принципа запрета Паули. Этот принцип гласит, что два фермиона (например, электрона или протона) не могут пребывать в одном и том же квантовомеханическом состоянии (см. также гл. 3). Это приводит к тому хорошо известному факту, что электроны в атоме не могут все находиться ■ в «основном» состоянии, а «заполняют» и другие, более высокие, уровни энергии. Такое же явление должно иметь место и в нашем неупорядоченном твёрдом теле. Но здесь мы сталкиваемся с проблемой распределения бесконечного числа фермионов по континууму энергетических уровней. Чтобы избежать этой проблемы, вначале ограничимся рассмотрением конечной"области. При этом мы будем иметь лишь конечное число электронов. Как обычно, через Ед (®) обозначим спектральный проектор для Н<», через XL—характеристическую функцию «куба» Ct = {ieZvl— L^ U ^ L; k= 1, ...,v }. «Числоэлектронов» в CL равно их плотности, умноженной на # CL = (2L + l)v. Определим меру dkt соотношением■.

dkL =dim Ran ^EA («>) Xi) =

Д

р.п)

Эта величина измеряет «число электронов на ячейку решетки (т. е. на ядро), которое можно разместить на уровнях энергии, лежащих в множестве Л, без нарушения принципа Паули, если ограничиться кубом CL>. Можно надеяться, что меры dkL будут сходиться (в каком-нибудь смысле),если устремить CL к Zv (т. е. устремить L к бесконечности).

Подходящей сходимостью мер является слабая сходимость, т. е. мы считаем, что dp^^-dp, если \ fdpn^-\ f dp для любой

непрерывной функции f с компактным носителем. Определим меру dk равенством

^ f (A) d£ (А) := Е (f (Яш) (О, 0)),

где Л (0,0) — краткое обозначение величины <бо, Лб0>.

Теорема 9.6. Для любой ограниченной измеримой функции [ существует множество Qf полной меры, такое что

J f W ^l W — f W dk (%), L — oo.(9.12)

Доказательство. Фиксируем ограниченную измеримую функцию / и обозначим f(<a) := f(H<a) (0,0). В силу стационарности

НДш)(п, nj^f]^

Справедливы равенства

\ f (X) dkL (X) = - -- tr (f (Яш) хй =

£ f (И.) Щ, „) ,_L_ ^ f М=: W.

| и |^LI n |<L

К последнему выражению применим эргодическую теорему Биркгофа (см., например, Breiman [53]), которая утверждает, что

-^- . £ ^пЮу сходится ■ К Е(ф) Р-П. Н., - -

|n |<L

если ф е L1 (Р). Таким образом,

Йт (*) = Е (f (со)) = Е (f W (0, 0)) = $ f (X) dk (X). □

Поскольку множество Qf может зависеть от f, то не понятно, существует ли такое coeQ, при котором сходимость (9.12) будет иметь место для всех ограниченных измеримых функций f. Тем не менее справедлива

Теорема 9.7. Мера dkt Р-п. н. слабо сходится к dk.

Замечание. Отметим, что предельная мера dk не случайна.

Доказательство. Существует счётное подмножество F множества Со непрерывных функций с компактными носителями, такое что для любого fsC0 найдётся последовательность]^} czP, равномерно сходящаяся к f, для которой объединение UnSuppf»

содержится в некотором компактном множестве (зависящем от f). Положим

£2о:= Л ^g- geF■

Ясно, что Р(£2о)=1. Кроме того, можно проверить, что (9.12) справедливо для любых ы е й0 и / е Сд. □' -

Величину

будем называть интегрированной плотностью состояний (отметим, что иногда в литературе именно её называют «плотностью состояний»).

Следующая теорема устанавливает связь между спектром и плотностью состояний.

Теорема 9.8 (Avron—Simon [31]).

supp(dfe) = S[=o(^a) п. н.].

Замечание. Наши интуитивные соображения, приведённые в начале этого параграфа, подсказывают, что теорема верна.

Доказательство. Если Хо ^ 5, то существует неотрицательная непрерывная функция f, такая что/(Х0) = 1 и / = 0 на S. Сле- довательцо, fЩ^) ^ 0, а. потому ^ f (X) dk (X) = (/ (Ят) (0, 0)) = 0, так что Хо supp dk.

Обратно, если Хо ^ supp dk, то существует положительная непрерывная функция f, такая что f (Хо) = 1 и ^ f (X) dk (X) = 0. Таким образом, /(Яш)(0, 0) = 0 при п. в. <в. При этом из соотношения f^H^n, п) = f (Нг"ш)(0, 0) следует равенство (6„, /(Яш)6п) = 0 при всех п и почти всех <в. Но, так как это означает, что f (H^ = 0. Поэтому Хо ^ S, ибо f непрерывна и f(Xo) = l. □

Легко видеть, что в одномерном случае мера dk непрерывна, т. е. функция к(Д) непрерывна. Крейг и Саймон [69] установили, что в многомерном случае функция к(Д) даже log-гёльде- ровски непрерывна (подробности см. в [69]). Чтобы доказать этот результат, авторы использовали один вариант формулы Таулеса (см. § 9.4) для полосы. Недавно Делион и Суйяр [86] дали элементарное доказательство непрерывности к (но не log-гёльдеповской непрерывности).

Теорема 9.9 (Крейг—Саймон, Делион—Суйяр). Функция fe(5) непрерывна.

Доказательство. Мы следуем работе Delyon—Souillard [86]. Фиксируем X. Пусть f„ — последовательность непрерывных функций с f„(X)=l и fn(x)lO при x#=L Тогда /„(77^) (О, 0) |Е{Х)(0, 0) и ^ fп (х) dk (х) | к (X + 0) — к(Х—0). Ввиду определения dk и теоремы 9.6, достаточно показать, что

E(5w(0, OD-lim^-l-^tr^xJ-O.

Отметим, что множество, на котором выполнено первое равенство, может зависеть от X. Но тем не менее при фиксированных X это равенство справедливо почти всюду, а мы как раз и должны рассматривать лишь типичные точки.

Решение ф уравнения Н^ = Хф внутри куба Cl однозначно определяется его значениями на множестве

Cl-Uc^,■

где CL, j = [Ze CL | Z] = — L или — L + 1} и CL> * = (Z e CL | Z* = — L или L], k^2. Соотношение '.

ф (a) = [£ — V (a — Si)] ф (a — 6]) — ф (a — 26^ —

--• Z [ф(а— 61 + б/) + ф(а — 6,— Sy)]

позволяет определить ф индуктивно для всех ai=—£+2, ..., L. Следовательно,

dim Xl (Ran Е^ < * (CL ) <2v (2L + I)-'. Ho -■

' tr(x^{M)<dimxL(Ran£{M)JxL£{M||<dimxL(Ran£U}).

так что (2L + l)-v tr (xL£{X})-> 0. □

Есть и другие результаты, устанавливающие регулярность плотности состояний. Отметим доказательство Вегнера существования плотности меры dk для модели Андерсона, при условии, что общее распределение наших случайных величин имеет плотность (см. Wegner [366] или Frohlich—Spencer [119], приложение С). Константинеску, Фрёлих и Спенсер [67] доказали аналитичность к(Е) при больших |£| в случае н.о.р. гауссовых V^ny

Однако в непрерывном случае при v > 1, по-видимому, до сих пор отсутствуют какие-либо результаты о регулярности £(£). При v = 1, как нетрудно доказать, функция к(Е^ непрерывна.

Часто плотность состояний определяют несколько другим путём *, отличным от приведённого, выше. Вместо E^ (со) на кубы сужают сам оператор Нщ. Положим См.м := {k^.Zv\N^ki^M-, i = 1, 2, ..., v}, N, MeZ. Оператор H(^'M) определим на i4Cn, m) c(M^+1,v его матричными элементами:

H^M): = <6o Н^’ M)6t) = (6,, Н<М'(9.13)

i, 1 е Cn.m. Равенство (9.13) можно расценивать как наложение «граничных условий» и(я) = 0, где k^CNiM пробегает номера ближайших к Сц,м ячеек.’

Пусть

Рлг, м М) •= # {^ е АI А— собственное число Н^’^.

’(9.14)

Можно показать (см. Avron—Simon[31]), что меры

^ CN, M^-idpN, м слабо сходятся к dk при | Af — А|->оо.

Строгое исследование плотности состояний восходит к работе Бендерского и Пастура [44], которые доказали существование к как предела dp-L, l/(2L + l)v. Существование dk было доказано разными методами, с нарастающей степенью общности, Пастуром [269], Накао [262], Киршем и Мартинелли [206] и другими . Способ определения dk через dku принадлежит Ав- рону и Саймону [31]. Определение dk через число вращений в одномерном Непрерывном случае предложено Джонсоном и Мозером [186] (дискретный случай обсуждается в работе Delyon—Souillard [85]).

Представляет интерес асимптотическое поведение к^Е^ при больших и малых значениях Е. В непрерывном случае к ЦТ) при Д-э-со ведёт себя как ^Е^н/ (2л)v (tv — объём единичного шара в Rv); см. Пастур [269], Nakao. [262], Kirsch—Martinelli [206]. Эта асимптотика совпадает с асимптотикой для свободного оператора Но. Но когда Е стремится к £0 := inf а(Дш), поведение

6(f) сильно отличается от свободной асимптотики. Как пра вило, 6(f) убывает при Е^Е0 гораздо быстрее, чем 6o(f) (плотность состояний для HQ). Для fо >—оо Лифшиц [234] предсказал на основе физических соображений, что величина 6(f) при f|f0 должна вести себя как С!схр(—cj(f— f0)~^/2). Эта асимптотика называется теперь лифшицевой. Её строгое обоснование для дискретного сдучая дано в работах Fukushima [123], Romerio—Wreszinski [298], Simon [341] и для непрерывного случая —в работах Nakao [262], Pastur [270], Kirsch— Martinelli [207] и Kirsch — Simon [208] *. Поведение 6(f) при f jfо = —оо изучалось Пастуром [269] (см. также Fukushima— Nagai — Nakao [124], Nakao [262], Kirsch — Martinelli [206] ).

ПОКАЗАТЕЛЬ ЛЯПУНОВАИ ТЕОРЕМА ИСИИ — ПАСТУРА — КОТ АНИ

Как правило, до конца этой главы мы считаем, что v = 1, ибо одномерный случай понят лучше других. При v = 1 дело упрощает тот факт, что для фиксированного Е решение уравнения (Н^— f)u = 0 определяется его значениями в любых двух соседних точках (задача Коши для разностного уравнения второго порядка)..

Фиксируем Е. Рассмотрим одномерное разностное уравнение второго порядка

. u(n+l) + u(n—и + ПЛЛ") —f]«(ra)=0 '(9.15)

и введём вектбрнозначную функцию

/и(га + 1) \

и W\■

Положим . fE-V^n) -1\

Л„ (f) := Л„ (<d, f):=(

Функция u(n) будет решением уравнения (9.15) в том и только в том случае, если

u(n+1) = Лп+1(^и(га)..

Пусть-'

Ф_ (f) := Ф„ (Ш, f) := Л„ (f) Л„_! (f) ... Л! (f).(9.16)

Тогда равенство

и^ = Фп(Е)и^

определяет решение уравнения (9.15) «вправо» с начальным

условием

«(0) =

Аналогично равенство и(—п) = Ф-п(£)и(0) с Ф-л(£) : = Л_л+1 (Р)"1 ••• Ло(£)^ определяет решение «влево». Отметим, что'

Л„ (£)"*=(Л„ (£)"*=(О 1

Л„ (£)"*=(

Л„ (£)"*=(

-1 E-V^n)

Положим

^(<0, Е):= lim -г^т In || Ф„ (со, Е) ||,(9.17а)

У->± ОО I I■

Y* (со, £):= lim -Ду In НФ* (со, £)||.(9.17b)

^->±oo *1

Замечание. Для определённости можно считать, что ||Л||— операторная норма матрицы Л. На самом деле пределы (9.17а) и (9.17b) не изменятся, если использовать какую-нибудь другую норму.

Эти величины служат мерой роста матричной нормы ||Фу(со, Е) ||. Поскольку detA,(E) = 1, а потому и det ф# = 1, то ||Фу (ш, £) ||^ 1 и, следовательно, 0 ^ ?±(®, Е) ^ у± (®, Д)- Действительно, если detA = l, то по меньшей мере одно собственное число Л удовлетворяет неравенству IIMI^ 1, так что ||Л||^1.

Теорема 9.10 (Furstenberg—Kesten [126]). При фиксированном Е и P-почти всех со существуют пределы

^№):= lim In || Ф„ (со, £)||.(9.18)

Н->±оо I

(9.19)(9.19)Они не зависят от со и y+(£)=y"(£).

(9.19)

(9.19)

Величина у(£) :=у±(^) называется показателем Ляпунова для оператора Яю. Через некоторое время мы убедимся, что число 7(Д) играет центральную роль в исследовании одномерных стохастических матриц Якоби.

Чтобы доказать (9.18), применим субаддитивную эргодическую теорему Кингмана [200], которую приведём без

доказательства. Укажем, что многомерную версию субаддитивной эргодической теоремы можно использовать для доказательства существования (интегрированной) плотности состояний, когда она определяется путём постановки краевых условий Дирихле или Неймана (см. [206; 325]).

Так как v = 1, имеем Т„ = (Т1),‘. Положим Т:=ТЬ так что Тп = Тп. Назовём Т эргодическим, если семейство {Tn}nsZ эрго- дично. Последовательность {Ey}yeN случайных величин называется субаддитивным процессом, если

Fn+m^<Fn^ + Fm(T^,

где Т — преобразование, сохраняющее меру.

Теорема 9.11 (субаддитивная эргодическая теорема, Kingman [200]). Если Fn — субаддитивный процесс, подчиняющийся условиям Е (| Еу |) < со для любого МиГ(Е) := inf Е (Fn)/N > —оо, то последовательность Fn (со) /N сходится почти наверное. Если, кроме того, Т эргодично, то..

lira Ед» = Г (Г) N->co п

почти наверное.

Доказательство теоремы 9.10. Пусть Fn!®) — In ||фу(со, Е) [[. Поскольку

I

N+MNП

П л, (со, ^Плл®, Д) j-N + i.-

= 1п|П ЛНГгу®, ^ПЛ,^. Е)|

^1п(||Фм (Тдгсо, Е)||ЦФУ(®, £)Н).

•= FM (Тусо) + Fn (со),.

процесс Fn является субаддитивным.

Далее,’

In Ц Л, (со, Е) )

II 7-i'

N■

'^ВМ1^, £)Н

/-1N

-^цадлдсо, ^)ц)•

= Е(1п|| Ао (со, Е)||).

При выводе последнего равенства мы учли стационарность Уш(п), Из неравенства Е (1п+| Уш(0) |) < оо следует, что Е (1п||Ло(со, Е) ||) < оо. Кроме того, как уже отмечалось, Fn О, а потому inf [Е (Fn) /N] ^ 0 > —оо. Таким образом, согласно теореме 9.11,.

lim -i-In || Фу (со, 5)||= inf -^Е(1п||Фу (со, 5)||) п. h. N4-co *’N^O ”

И.

lim In || Фу (co, 5) || = inf -Дт E (In || Фу (co, 5) ||) п. h.

N-» -оо I " IУ < О I I■

Теперь докажем (9.19). Так как при N >0

Ф-у = A-n ... Л-}Ло 1 — (ЛоЛ-i ... Л_у) !, то в силу стационарности

Е(1п||Ф_у+1||) = Е(1пВфу1|).(9.20)

Далее, при

имеет место соотношение

(УФуУ-^-Фу1.

Следовательно, из (9.20) н равенств || Ju || = ||/-1u|| =|| и || вытекает, что у+—у-. О.

' Следующая мультипликативная ■ эргодическая теорема Оселедца [267] устанавливает связь между поведением Фу и поведением решений Фми при больших N. .

Теорема 9.12 (мультипликативная эргодическая теорема, Оселедец). Пусть ХАгЛпвы— последовательность вещественных 2 X 2-матриц, удовлетворяющая следующим условиям: (i) limn^-oo (1/n) In|| Л„II = 0; (ii) det Л„ = 1 .Если y:=lim„-oo(1/n) 1п||Л„ ... Л1И>0, то существует одномерное подпространство V_cR2, такое что

lim-i-ln|| Лп ... Л^ || = —у, osV_, о¥=0, и '

lim -i- In ||-Л„ ... Л1» || = у, о V_.

Оселедец доказал вероятностную версию этой теоремы (см. Оселедец [267j, Raghunathan [291]). Рюэль понял, что теорема носит детерминистский характер; её доказательство см. в работе Ruelle [301].

Теорема Оселедца говорит, что при условии у(Е)> 0 Р-п. н. существуют лишь «экспоненциально растущие» и «экспоненциально убывающие» (вправо) решения уравнения Наи = Ей. Экспоненциально убывающее решение появляется лишь при определённом начальном значении, Хи+; любое другое начальное условие приводит к растущему решению. То же верно и для решений влево: решение будет убывающим лишь при определённом начальном значении, Хи_ Собственный вектор (принадлежащий Р) появляется только в том случае, когда прямые Хи+ и Хи_ совпадают.

Однако мы должны быть очень осторожными с утверждениями такого типа, поскольку они справедливы лишь при фиксированных Е. Если менять Е в пределах какого-либо несчётного множества, может оказаться, что те исключительные о, для которых ^^(со, Е)#=у(Е)> 0, образуют множество меры 11

Например, мы не можем утверждать, что при P-почти всех со любое решение уравнения Наи = Еи (с произвольным £gR) либо экспоненциально возрастает, либо экспоненциально убывает! Тем не менее показатель Ляпунова у(Е) полностью характеризует абсолютно непрерывный спектр.

Пусть р, — мера на ;R, р,ас — её абсолютно непрерывная часть. Множество А называется существенным носителем цас, если (1) существует множество В лебеговой меры нуль, такое что ц(Р\(Л U-B)) = O; (2) при р,(С) = 0 мера Лебега |ЛПС| равна нулю. Существенный носитель определяется единственным образом с точностью до множества лебеговой меры нуль. Определим также существенное замыкание

Aess := {Х11 А П (X — е, X + е) | > 0 для всех е > О).

Теорема 9.13 (Исии—Пастур—Котани). Пусть Уш — ограниченный эргодический процесс. Тогда

аас (Я») = [Е|у(Р) = 0Г5. (9.21) Кроме того, множество {Е|у(Е) = 0} является существенным носителем Е^ (Яш).

Исии [176] и Пастур [271] доказали, что аас(Яш)с={Е|7(Е) = 0}ess. Котани [215] установил обратное включение для непрерывного случая. Его метод был приспособлен к дискретному случаю Саймоном [336]. Дальнейшую информацию можно найти

в работе Minami [247]. Часть доказательства, принадлежащая Котани, использует свойства Я2-функций на единичном диске. Мы приведём лишь часть, принадлежащую Исии и Пастуру.

Доказательство. Мы докажем только включение оас (Яш) cz {£|y(£) = 0}ess. Предположим, что у(£)>0 для почти всех Е по мере Лебега на открытом интервале (а, 6). Тогда множество Ае= {со | у (со, Е) = 0} имеет нулевую P-меру при почти всех Ее (М)-

Положим А := {(©,£) |у+(ю, £)=^у~(со, Е), или пределов (9.18) не существует, или у(со, £) = 0; Ее(а, 6)}. Обозначим через X меру Лебега. Тогда по теореме Фубини

ь

0 = ^P(AB)dE = (ХХР)(Л) = (РХ^)(Л). а

Следовательно, при P-почти всех со для множества

Аш = {£|у+ (со, £)#=у“(со, Е), или пределов (9.18) не существует, или у (со, Е) = 0; Ее (а, 6)} справедливо равенство Х(Лш) = 0, т. е. у (со, Р) > О при Р-почти всех со и всех Е вне некоторого множества нулевой лебеговой меры.

Известно (см. гл. 2), что множество

SM :={£ | уравнение Нщи = Еи имеет полиномиальноограниченное решение} удовлетворяет соотношению

Pr\sJ^) = 0.

Кроме того, поскольку Х(Лш) = 0, то

Е^(Яш) = 0.

Но, в силу теоремы 9.12, при Е ^ Лю лишь полиномиально-ограниченные решения могут быть экспоненциально убывающими, а потому они являются /^собственными векторами. Число их счётно, так что Х(5шП((я>6)\^ш)) = 0. Стало быть,

^a.bAH^ = E^,bWsJH^

= Eta, 6) п Аш (РЮ) + Eta, 6) П Sto \ Лш( Лш) = 0.□

Зная, положительно число у(Р) или равно нулю, мы частично можем ответить на вопрос о теоретико-множественной структуре спектра Ню. Но, вообще говоря, как мы увидим в гл. 10, величина у(Р) не даёт возможности различать точечный и сингулярно-непрерывный спектры.

Для того чтобы применять теорему 9.13 в конкретных случаях, нужен критерий, позволяющий выяснить, какое из двух условий: у (Е) = 0 или у (Е) > 0, выполнено. Первый критерий такого рода был предложен Фурстенбергом [125] для н. о. р. матриц Ап(е>, Е). Котани [215] доказал, что в довольно общей ситуации у(Е)>0 (обсуждение дискретного случая см. в работе Simon [336]). -

Эргодический потенциал Уш(п) называется детерминированным, если Уш(0) есть измеримая функция случайных величин {Уш(л)}п<_/, Для всех L; потенциал называется недетерминированным, если он не является детерминированным.

Таким образом, эргодический процесс Уш(п) будет детерминированным, если знание значений Уш(п) при сколь угодно больших отрицательных п позволяет вычислить Уш(0), а потому и весь процесс Уш(п) целиком.

Теорема 9.14 (Kotani [215]). Если Уш(п)—недетерминированный потенциал, то у (Е) > 0 для почти всех £е R по мере Лебега. ПОЭТОМУ Пас (Нш) = 0.

Доказательство см. в работах Kotani [215] или Simon [336].

Пример 1. Если значения Уш(п) являются н. о. р. случайными величинами, то оас(На) = 0.

Можно было бы думать, что теорема 9.14 охватывает все интересные примеры случайных потенциалов. Однако, как отмечалось в работах Kirsch [201] и Kirsch—Kotani—Simon [203], существуют стохастические потенциалы, которые случайны в некотором интуитивном смысле, но детерминированны в указанном выше точном смысле. В [203] было показано, что потенциал УДх) = 5^ 9i (<d) f (х — i), обсуждавшийся в начале главы, является «типичным» примером детерминированного потенциала даже для н. о. р. ^q^, если носитель f некомпактен. А вот дискретный пример:

Пример 2. Пусть ф — биекция Z на Z+ = {п г Z | п ^ 0} и ^(ге)='3-Ф(п). Пусть qt^— н. о. р. случайные величины cP^qt^ = 0) = р, P(qi(&)= 1)= 1—р. Тогда при фиксированном Х>0 потенциал V^ (n) = X £m qm (cd) f (n — m) является эргодическим случайным (в интуитивном смысле) потенциалом. С другой стороны, набор qm представляет собой троичное разложение X-W^n), так что, очевидно, процесс Уш детерминированный.

В связи с этим примером представляется полезной следующая теорема Котани [216]. Для того чтобы сформулировать её.

рассмотрим наши вероятностные меры как меры на множестве

- Q = Xja- 61

для некоторых а, b < оо. Множество Q, наделённое топологией произведения, является компактным пространством. Носитель supp Р вероятностной меры Р определяется обычным образом.

Теорема 9.15 (Котани). Пусть Уш^п) и Ущ* (п) —два ограниченных эргодических процесса с вероятностными мерами Ръ Р2, спектрами Sb ^ и абсолютно непрерывными спектрами Sfc> £2°. Если supp Pi cz supp Pa, to

(i)21C=S2;

(ii) sr cz sr.

Утверждение (i) следует, в сущности, из результатов работы Kirsch—Martinelli [204]. Более интересное утверждение (ii) существенно опирается на результаты более ранней статьи Котани [215], где применяется теория №-функций.

Котани доказал эту теорему для непрерывного случая. С помощью результата Саймона [336] её можно без труда перенести на дискретный случай. ,

Кирш, Котани и Саймон [203] использовали теорему 9.15 для доказательства отсутствия абсолютно непрерывного спектра у широкого ^дасса случайных, но детерминированных потенциалов. .

Пример 2 (продолжение). Полагая qn = 0 или qn=\, мы видим, что потенциалы 1У0 = 0 и IFi = ЗХ/2 являются периодическими на supp Р. Следовательно, точечные меры Ро, Рх на У’о и IFi соответственно суть эргодические меры с supp Р, с supp Р, 1 = 0,1. По теореме 9.15 имеют место соотношения оас(До + 1Уо) = Оас(^о) = [—2, 2]зэоас(Ят) п. н. и аас(Но+ 1У1) = [—2 + ЗХ/2, 2 + ЗХ/2] 2D Оас (Ищ) п. н. Таким образом, стас (Ню) = 0, если X > 8/3.

Дейфт и Саймон [79] исследовали энергии, при которых у(£) = 0. Интересные примеры, когда у(£') = 0 на множестве положительной лебеговой меры, возникают в контексте теории почти-периодических потенциалов (см. гл. 10). Среди всего прочего Дейфт и Саймон установили следующий результат:

Теорема 9.16 (Дейфт—Саймон). Для почти всех (м,£0)е8Х {£,|у(Е)=0} существуют такие линейно-независимые решения и+

уравнения Нщи = Ей, что

и+ = й_-,

N

^ 0<£ гГ+Т^'^^^00

Кроме того, |u±(n, со) | = |и±(0, РЧо).].

Доказательство см. в [79].

СУБГАРМОНИЧНОСТЬ ПОКАЗАТЕЛЯ ЛЯПУНОВАИ ФОРМУЛА ТАУЛЕСА

В этом параграфе мы установим важную формулу Таулеса, связывающую показатель Ляпунова и плотность состояний. Для ее доказательства, а также и для других целей нам понадобится тот факт, что показатель Ляпунова обладает некоторым свойством регулярности, а именно субгармоничен.

Прежде чем доказать это свойство у(£), напомним кое-какие определения и основные положения теории субгармонических функций.

Будем говорить, что функция f на С со значениями в R U {—со} лежит под своими средними *, если

2Л

f^oX^S f^o + .re”)^(9.22)

о

для любого г > 0. Функция f называется полунепрерывной сверху, если limf(Zn)^ f(zo) для произвольной последовательности zrt-»-Zo, и субгармонической, если она одновременно лежит под своими средними и полунепрерывна сверху. Из приведённых определений непосредственно следует, что

/(20)<Нт-^ J f(z)d2,(9.23а)

'"-*0|z-A|<r

если f лежит под своими средними, й

f(2g)= НтД-f(2g)= НтД-J f (z) ^2, |Z-Zol<rJ f (z) ^2, |Z-Zol<r(9.23b)(9.23b)

f(2g)= НтД-

f(2g)= НтД-

J f (z) ^2, |Z-Zol<r

J f (z) ^2, |Z-Zol<r

(9.23b)

(9.23b)

если f субгармонична.

В оригинале используется термин submean function. — Прим. изд. ред.

Предложение 9.17. (i) Если fn — функции, лежащие под своими средними, причём

sup |f„(z)|<co

|г|<Л

для любого /?, и

fo (z) = Tim f„(z), Д->со

то и /о также лежит под своими средними.

Если {fn}—убывающая последовательность субгармонических функций, то функция

fo (2) = inf fn (2)

также субгармонична.

Доказательство, (i) Для любых п и N^n

2Л

U^4A fn(^ + r^)dQ о

2Л

^ij nsu^fn(2o + re»)d0.

Таким образом,

2Л

fo (20) = inf sup fj (20) < inf ( sup fj (z0 4- r e19) dO

2Л

= ^"S fo(2o+rei9)d9 0

по теореме о монотонной сходимости.

Утверждение (ii) следует из (i), поскольку точная нижняя грань полунепрерывных сверху функций является полунепрерывной сверху. □

После этого вступления перейдём к основному результату данного параграфа, который принадлежит Крейгу и Саймону [70]. Отправным пунктом для них послужила работа Herman [162], где широко использовалась субгармоничность у по различным вспомогательным параметрам.

Теорема 9.18 (Крейг и Саймон). (i) Функция ^(со, Е) лежит под своими средними.

Функция у(Е) субгармонична.

Доказательство, (i) Очевидно, матричнозначная функция Фх(со, Е) аналитична по Е для любого N. Следовательно, 1п||Фх(®, Е) ||—субгармоническая функция (см., например, книгу Katznelson [199], гл. III, формула (3.2)). Поэтому, в силу предложения 9.17(1),

^^,Е^ = IkiT -г^-ИпИФ* Е)||

является функцией, лежащей под своими средними.

(11) Согласно субаддитивной эргодической теореме (теорема 9.11),

Y(E) = inf-^-БОнПФ^й), Е)||).

Вследствие теоремы Фубини и леммы Фату функция Е(1п ||Фх(ш, Е) ||) субгармонична. Остается сослаться на теорему 9.17(11). □"'

Приведём первое приложение теоремы 9.18:.

Теорема 9.19 (Крейг и Саймон [70]). При P-почти всех ш и всех Е справедливо неравенство

^(со, Е)Су(Е).'

Доказательство. Непосредственно из определений ^(о», Е) и у(Е) видно, что ^(ш,Е) = у(Е) Р-п.н. при фиксированном Е. С помощью теоремы Фубини отсюда заключаем, что у(ш, Е) = у(Е) для P-почти всех о» и почти всех Е (по-мере Лебега). Следовательно, ''

$^(©, E^d2E =$ чЮ<РЕ Р = п. и.

|Е-Ео|<г|Е-Ео|<г

(Двойка в сЕЕ указывает, что интегрирование производится по комплексной области.) Из теоремы 9.18, в силу (9.23), следует, что Р-п. н. имеют место соотношения

у* (<о, Ео) С Чт А у * (со, Е) d2E

■г-*° |Е-Ео|<Г

= 11ттк t y(E)d2E = y(E0). □r->0 lE-J^Kr

В заключение обсудим важную формулу, связывающую показатель Ляпунова у и плотность состояний к,— формулу Тау- леса. Она была названа так по имени Таулеса [355], который дал её доказательство (хотя и не вполне строгое). Сама же фор-

мула была открыта независимо Хербертом и Джоунзом [153]. Строгость доказательству Таулеса придали Аврон и Саймон [31] L Ниже мы следуем работе Craig—Simon [70], где доказательство, данное в [31], было упрощено за счёт использования субгармоничности у. Соответствующий результат для непрерывного случая был получен в работе Johnson—Moser [186].

Теорема.9.20 (формула Таулеса).

(9.24)(9.24)y(f) = 5 In | £ — E'\dk(E').

(9.24)

(9.24)

Доказательство. Вначале докажем (9.24) для £sCj\R. Для таких Е функция f(£')=ln|£— £'| на множестве supp(dfe)<^R непрерывна. Из определения Фг(£) (см. (9.16)) ясно, что Ф1(£) имеет вид ’

где Pi и Q< суть полиномы по Е степени I с единичным коэффициентом при старшей степени. Далее,

РЦ<й, Е) = 0

в том и только в том случае, если уравнение Н&и = Еи имеет решение и, удовлетворяющее условиям u(0) = 0, u(Z+1) = 0„ a Qi (со, £) = 0 в том и только в том случае, если существует решение с и(1) = 0 и иЦ + 2) = 0. Таким образом.

Р1 (5) = П (£ - Цп), Q, (£) = П (£ - ЦЦ,

где Цп (соотв. Е^) суть собственные числа оператора Hto, суженного на {1, .... Z} (соотв. на {2, .... Z+l}) с граничными условиями u(0) = u(Z+1) = 0 (соотв. u(l) = u(Z + 2) = 0). Следовательно (см. (9.14)),

In | PL (£) | = J In | E - E' | dp,, L (Д'), In | Ql (£) | = J In | E - E' | dp^ L+1 (£).

Согласно (9.14),

-Lln| PL (E) I- J ln| E - E'\dk (E'),

Одновременно и независимо это было проделано в [414]. Наиболее общее доказательство формулы Таулеса можно найти в книгах [400; 415].— Прим. ред. .

и то же верно для Ql^E), если £ е Cj\‘R. Тем самым для таких Е формула (9.24) справедлива. '.

Пусть теперь Е произвольно. Нам нужна

Лемма. Функция f (Е) = In | Е — £' \dk(E') (если интеграл расходится, то полагаем /(£) =—сю) субгармонична..

Прежде чем доказывать эту лемму, завершим доказательство теоремы 9.20. Из (9.24) для Е е .C;\‘R следует, что ■

$ v®^--^ $ ЦЁ)#Ё...

|E-g|<r|E-g|<r1

(определение f(£) см. в лемме).; .

Устремляя г к нулю в этом равенстве, получим

у(£) =/(£)= $ln|£-£'|dfe(£'),

ибо обе функции у и f субгармоничны. □’

Доказательство леммы. Функция ф(£) = 1п|£—Е'\ субгармонична (см. Katznelson [199], гл. III, формула (3.2)). Стало быть, по теореме Фубини, f лежит под своими средними. Положим при М > 0.

Дм (£) = ^ max (In | £ — £'|, —- М) dfe (£').

Очевидно, функция Ди непрерывна.. По теореме о монотонной сходимости■

f(E)= inf fM(E).

М>0

Поэтому f полунепрерывна сверху. □ .

В работе [70] Крейг и Саймон использовали формулу Тау- леса для доказательства log-гёльдеровской непрерывности k^E) в одномерном случае. В [69] они установили вариант формулы Таулеса для полос, справедливый в произвольной размерности. С помощью этого результата им удалось доказать log-гёльде- ровскую непрерывность It в многомерном случае.

9.5. ТОЧЕЧНЫЙ СПЕКТР В МОДЕЛИ АНДЕРСОНА

В этом параграфе мы покажем, что у модели Андерсона спектр чисто точечный. Вначале установим критерий точечности спектра Hto, который позволит свести задачу к равномерным оцен-

кам для оператора Н^):=Нщ*м^ (см. (9.13)). Положим , .: ■ a(n, m) := Е (supj е-1 ш«> (n, т) | ) ;'

(Для матричных элементов произвольного ограниченного оператора А вводится обозначёние а (п, т)=<бп, Абт>, где 6n(i) = 0 при i^n, бп(п)=1.) Будем говорить, что имеет место физическая локализация, если £„eZ| а(п, т) | < оо при т = 0 и гц = 1.

Теорема9.21 (Kunz—Souillard [221]). Из физической локализации следует математическая локализация (т. е. о'с(Нш) = 0).

Доказательство. Согласно теореме РАГЭ (§ 5.4) (или формуле <9Л0)),

( X Ке-'-.ф, б^Р».

Таким образом, поскольку 22nszla(n> 0)12<°°> то (в силу неравенства ] exp (—i tH^ (m, п) К 1)

EdP^^JdoRciim У |a(j, 0)| = 0. • ■/->ОО |/Т>7■ :1

Следовательно, элемент бо Р-п. н. ортогонален непрерывному подпространству. Аналогично проверяется, что почти наверное Рс(Я(а)б1 = 0. Легко видеть, что любое б/ можно записать в виде

NN

б/ = У а„ (<о) ИХ + У Р„ (<о) HUV п—0■/1—0

(например, б2 = Я(аб1— VM6i—60). Стало быть, Рс(Яа)б/ = 0 п. н. для всех /. Поэтому ас(Яш) = 0 п. н. D

Замечание. С точки зрения физической интерпретации было бы лучше в определении а брать не просто модуль, а модуль в квадрате под знаком Е; при этом доказательство теоремы 9.21 проходит так же. Но при принятом-нами определении всевозможные оценки для а получать проще.

Следующий результат показывает, что по a(n, т) можно определить даже скорость убывания собственных функций.

Теорема 9.22. Если

(9.25)(9.25)|a(n, т) |^Ce~D|n|

(9.25)

(9.25)

при т = 0 и т=1, то Р-п. н. любая собственная функция ф№ оператора Яш удовлетворяет оценке

1фш(п)1<Сш,ее-(о-е>1«'

для всех е > 0.

Замечание. Константа Cto, е может зависеть от рассматриваемого- собственного числа. Про собственную функцию фш, удовлетворяющую указанной оценке, мы будем говорить, что она экспоненциально локализована.

Доказательство. Пусть

Р (со, п, m) := sup | е-1 tH<» (п, т) |.

Вначале докажем, что из (9.25) при т = 0, m = 1 вытекает оценка

Р (ш, п, тХСш>ве-(°-е>'п1 Р-п.н.(9.26)*

Неравенство (9.26) будет установлено, если мы покажем, что

■ Р (р (со, п, tri) > e~(D~e) 1"1 для бесконечного числа

значений п) = 0„

Это в свою очередь будет следовать из леммы Бореля — Кантелли (см. любую книгу по теории вероятностей, например Brei- man [53]), если убедиться, что

2 Р(Р (м, п, т) > e“<D~8) Iл I) < оо -- (9:27)|

при т = 0 и т = 1.-

Но оценка (9.27) легко следует из неравенства Чебышёва:

Р.(Р(<о, п, tri) > e~(D-e)l'*l) ^e+^'^^^tPto п, tri))

_ e-8|nl [eDl"ia(ra, m)] ^Ce~8|"l.

Тем самым (9.26) доказано.

Теперь используем формулу т.

Р{Е} (Я) = s-lim ( els£e-ls" ds,(9.28)

вытекающую из соображений непрерывности и того факта, что» функции .

fr to = т $ е‘ ^е-1 sx ^s

подчиняются оценке |fr(x)|^ 1 и соотношению fr^^-O (соотв. 1) при Т-»-оо для хч^Е (соотв. х = Е)..

Предположим, что Е есть собственное число Нш. Так как v = 1, каждое собственное число является простым. Обозначим через фш, г нормированную собственную функцию, отвечающую Е. Тогда из (9.28) и (9.26) следует, что

I Ф®, Е (0) 11 Фш, £ («) I = I <б0> Ф®, Е><Ф®, Е, бл) I

= f <бо, Pw (Яш) д„> К Р (ш, п, 0) < С», ee-<”-‘> 1" L

Это доказывает теорему, если ф«», £(0)^=0. Если же фш,е(0) = 0, то наверняка Ф®, £(1)^0, и можно получить такую же оценку при m = 1. □.

Рассмотрим оператор Нш, суженный на Р^—L£). Как обычно, мы обозначим его через Н^ (см. (9.13)). Пусть

Cl (л, гаг) :=Е (sup | exp [— 1^Я^*] (n, лг) | у

Предложение 9.23. а (п, rn) ^ linit-^at (га, гаг).

Замечание. Из предложения 9.23 и теорем 9.21 и 9.22 можно вывести, что Я» имеет чисто точечный спектр с экспоненциально локализованными собственными функциями, если равномерно no.L справедлива оценка

aL (га, гаг) ^Се-0!"1, гаг = 0, гаг=1.

Доказательство. Оператор Н^ сильно сходится к Яш (при соглашении, что Н^(п, гаг) — 0,когда |га|>£ или |гаг|>£). Следовательно,

ехр (—• 1 /Я® *) (л, гаг) ->ехр (— UH^ (п, т)

(ср. с § VIII. 20 книги Рид—Саймон I [292]), а потому, в силу леммы Фату,

E(sup |ехр(— 1/Я«») (л, т) |)

^ Игл Е (sup | exp (— ИН^^ (л, гаг) |). □

Обозначим через {Еш’ *} собственные числа Я® \ расположенные в порядке возрастания, а через ф^’*—нормированные собственные функции, отвечающие Е^-k. Для любого (борелев- ского) множества Л cR положим

р£ (л, /л. Л) := Е ( Z | Ф^'6 (") 11 Фш’ * И) | Хд (£ш *)) - (9-29)

Отметим, что сумма по к содержит лишь 2L + 1 слагаемых, ибо- Я^* представляет собой матрицу размера (2L + 1)Х (2L + 1). Очевидно,■

aL (п, т^ ^ р£ (га, т, R), поскольку-

exp (—i tH^ (п, m)) = £ exp (—i tE^-k) ф£- * (га) Ф£- * (m).

Подчеркнём, что pt (га, т, R) = pt (га, т, [—М, М]) при достаточно больших М, так как операторы Н^ равномерно ограничены. ..

Теорема 9.24(Кунц—Суйяр). Пусть КДга) суть независимые- случайные величины с общим распределением r(x)dx. Если г принадлежит L°° и имеет компактный носитель, то спектр оператора -

Н^ (") = «(га + 1) + и (га — 1) + Кв (га) и (га)

чисто точечный (Р-п. н.). Собственные функции Нм Р-п. н. экспоненциально локализованы.

Замечание. Это утверждение было высказано в качестве гипотезы физиками-теоретиками ещё в начале шестидесятых годов.. Непрерывный аналог. теоремы для случая, когда Ущ (х) представляет собой некоторый весьма сложный диффузионный процесс, был доказан Гольдшейдом, Молчановым и Пастуром [138] и, Молчановым [248] (см. также работу Carmona [59]). Теорема 9.24 принадлежит Кунцу и Суйяру [221]. Впоследствии Делирн, Кунц и Суйяр упростили доказательство из [221] и распространили его на другие типы беспорядка. Мы в основном следуем их доказательству. Оно имеет ряд точек соприкосновения с болре ранним подходом Вегнера [365].

Доказательство. Для pt (га, m):= pt (га, т, R) установим равномерную (по L) оценку следующего вида:.

Pt (га, mXCe-°i"l, m = 0, 1..(9.30>

Ввиду предложения 9.23 и теорем 9.21, 9.22 этого достаточно. ' Доказательство неравенства (9.30) разобъём на три шага. Вначале перепишем pt (га, т) в виде произведения степеней некоторых интегральных операторов То и Ть Это делается путём замены переменных У(—L), ..., V(L) на %, x-l, .... х-ь Xi, ..:; xt, где % — собственное число, a Xi просто выражаются через собственные функции. Отметим, ’t-го математическое ожидание Е в (9.29) есть как раз некий интеграл по переменным; У^,\к\<Е.

На втором шаге (предложение 9.25) мы исследуем свойства операторов То, Тх. С их помощью на последнем шаге оценивается р£-.

Мы исходим из представления

Рг (га, т) = р£ (га, m, R).

■2L + 1L

.= $ 2 | Фи'* (") 11ФК.’* (^ I П rlVWVd2L+xV*

" - .Л=0n-—L

где V = (V (—L)V (L)), а ф^- * обозначают собственные функ

ции для потенциала V. Для определённости докажем (9.30) при т = 0, п > 0. Другие случаи рассматриваются так же. После перестановки суммирования и интегрирования заменим переменные VV W\k£.на (х_£х_ь х, хх, ..., xlY где ■

%:=££*,(9.31а)

Фу*(т — 1)•. '■. ■

-'-/п-=£ ^ * , /л > 0,(9.31Ь)

фу (т)

Фу 6 (т + 1).

Хт:—’ т<0-(9-31 с)

фу V”)

Тогда из уравнения Шрёдингера u(ra+ 1)+и(га—1) + V(ra)u(ra) = £u(ra) следует, что

т > 0,' '

т = 0,(9.32)

т < 0,

если считать, что х^ = xz^_1 = 0. Равенства (9.32) позволяют вычислить якобиан J замены переменных У^-^-^хДУ С учетом нормированности функций ф£- * непосредственно проверяется,

det J= 1 + х~2{1 + х^"2 [1 + ... +4-i(I + ^Z2) ••]} + xiUi + xzi[I +... + *4+1 (I + *4) ...]}=фу-" (О)-2.

Кроме того,'

^^•‘(oyr1^^6^)^!*!-1 ■ *^‘•... *^*|.

Следовательно,■

. $ ]ф£А(0)| ^W] П rkV^cP^V

p2L + ln—-L.

= \dK J рГ^1- ^ГП r(A-x-^-x,„)l

2e r2£.Lzn>0J

X^A-x^-xz*) ГД r(A-x~L,— xm)l Lzn<0J

■■X dx-t ... dx-i dxx ... dxLr

где Sq = [-2 -1| V L, 2 + IIV Щ н || V L = sup {| A |; A e supp r). Все собственные значения попадают в область So, так что мы можем ограничиться интегрированием по А в пределах этой области.-'

Временно фиксируем А и рассмотрим величину

р£ (0, п; А) = J Д | х, Г* Г Д г (А — хй+1 — хт)1 Z—1 Lm>0J

X Г Д. ^ (л — Хт—1 — Хт)1 Г (А, — Xi — X—1) d X. (9.33)*

, Lm<0J

Введём интегральные операторы То, Т1 равенствами

То/ (х) := Jr(А - х - у" *) / (у) dy,(9.34а>

. Txf (X) := J г (А - х - у"1) | у Г1 f (у) dy.;, ,(9.34b>

Пусть <р(х) :=г(А — х) и {//(xJi^xl-VCx-1). Отметим, что U — унитарный оператор в £2(R). Из (9.34) и (9.33) видно, что

р£ (0, n; А) = J Т^Ф (хГ‘) I хх Г1 Т?-*То£""ф (х,) dxx ' R

'=(7’?-1Т^-лф, UT^\(9.35>

Оба оператора То и Т1 зависят от параметра А: ТО = ТО(А)Ъ Т1 = Т1(А). Сейчас мы исследуем эту зависимость.

Предложение 9.25. (a) ||Tof Hi <11/ Ik,

■(b) IITofIk = 11 То(A)/Ik<С||fIk равномерно по А;

IITJIhCH/lk;

Оператор 7^ компактен;

| Т2/ j,, < q || /1|2 с некоторым q < 1 равномерно по А,

Прежде чем доказывать это предложение, покажем, как из :него получается экспоненциальная оценка для р (0, n; X).

Доказательство теоремы 9.24 (продолжение). Отметим, что ЦфЩ = 1. Из (9.35) и унитарности U следует, что

Pl (0, п; X) < || То Ф Иг | ТГ‘То^ф к

.<IIТо ||£, LЛТГ1 |L, LЛ ТГ1 |L, £,II То 11£. £, IIТо~п—1 Ц£, £

< с2 II ТГ- L, £, < С?^ = С exp (-1 п | in q |).

•Следовательно, р£(0, n; X) убывает экспоненциально по п. При этом предложение 9.25 обеспечивает равномерность по X на компактных множествах. Поскольку множество So ограничено, это завершает доказательство теоремы 9.24. □

Доказательство предложения 9.25. (а) Имеем

ЦТ0/||1<^ г(Х — х — y-^KyHdydx

= ^r^dx J|f(y) 1^=11/11!.

Имеем'

l|Tof|g<^r(X-x-y-1)|f(y)|dy■

■ X.$r(X-x-z-i)|f(z)|dzdx<||r|Ury^

Вводя операторы Kf (x) := ^ г (X — x + y) f Xy\dy = rK*t\xV где rx(x) = r(X— x) и Ut (x) :=| x |-1f (—x-1), можно записать T, как Т, = КО,. так что'

- II 7V |Ь = II KUf lb = II г * Uf ||2 < II г II, II Uf lb = || г II, II f lb.

Пусть F обозначает «преобразование Фурье. Положим K:=FKF~l и U :=FUF~l. Поскольку U, а значит, и 0 унитарны, достаточно показать, что KUK — компактный оператор. Так как К — свёртка, то Kf (р) = ^ (р) f (р), где ^(р) = = ^ ехр(—ixp)rK(x)dx. Формально имеем

Of W= J a^k, p)f(p) dp

a^’^)='i_$expl—i(ftx + px-1)]'Fi-

Однако этот интеграл не сходится абсолютно, так что определение а (А, р) требует пояснений. Пусть gx — произвольная С”-функ- ция, равная 1 в окрестности нуля, g2- = 1 —gx. Положим (/,-ф(х) = £,-(х)Уф(х). Тогда Уф = (Лф + (72ф. Введём

а,- (А, р) :=^ J ехр[—i (Ах + рх'1)] -^р dx.

Для фиксированных р величина а2(&, р) является преобразованием Фурье функции fP :=(2n)-t ехр(—ipx™1) |х|~152(х), принадлежащей £2, норма которой не зависит от р. Следовательно,

sup ( | а2 (A, p')fdk<oo.(9.36а)

р J

Далее, при фиксированном к функция

$ ехр [ — i (кх + рх~ *)] р^р- dx | X |> 1/п

= $ ехр [— i (кх*1 + рх)] ^* k . dx |x|<n

сходится в £2 к преобразованию Фурье £2-функции

ехр (—i Ах-1) -^утр- ■ Поэтому

(9;36Ь)(9;36Ь)sup \ l a, (k, р) ? dp < oq,

(9;36Ь)

(9;36Ь)

Определим оператор Д; соотношением (Л;ф) (&)= j я» (6, р) Ф (р) dp и покажем, что Ut = Al. Мы свободно будем манипулировать- с интегралами типа ^ ехр (—xkx)f(x)dx при f е I?, хотя они существуют лишь в £2-смысле. Читатель легко проверит корректность этих манипуляций. Имеем

(У1ф)Л (А) = ( ехр (—i кх')ф (—х *) dx

= ( ехр (—i кх *) 81 Д' ф (—х) dxJI х I

= _L Г exo (-i кх"1)

2я JexP^ 1RX >| *|

X \ ехр (—i хр) ^VAdpdx

= 'i S S ехр[—1 ^х-1 + хр^~и ) dx*^dp

= i* И ехр [—1 ^кх + рх-1^ ПТГ dx^(р) dp

■= ^ ах О, р^ ф (р) dp.

Тем самым, 0х = Ах. Доказательство того, что U^ = Аъ аналогично (и даже проще). Следовательно, оператор (KUK)^ имеет интегральное ядро b (k, p^=fx (k) ах (А, р) ?х (p)+fx (£) <% (А, р) fx (р). Поскольку г е L1 П L”, а потому г = 1г, то f s £2 f) L”, так что

\\Ь<К P^v-^xL^drt^VVuj.Wa,^, p)||£1(dp)||f|L

+ Ilf IL sup || «г (A, p)||£2(dJt)||f|h p

Таким образом, оператор (KUK^ принадлежит классу Гильберта-Шмидта. Поэтому Г? компактен.■

■ Так как оператор | Тх | положителен и компактен, число jTil является его собственным значением. Поскольку |fx(£)|< 1 при к #= 0, то || TV II < Ilf II при всех f е L2. Следовательно, 1 не является собственным числом |Т?|, так что |7^|< 1. Кроме того, в силу равенства rx(k) = ехр(—i Kk) ?0(k) норма jTij не зависит от X. □■

Усовершенствовав методы, применяемые при доказательстве теоремы 9.24, можно установить следующие результаты:

Теорема 9.26 (Delyon—Kunz—Souillard [81]). Пусть Vm(n) удовлетворяет условиям теоремы 9.24 и Уо(п)—произвольная ограниченная функция на Z. Тогда оператор -

Яа:=Яо + Уо + ^

имеет Р-п. и. плотный точечный спектр с экспоненциально убывающими собственными функциями и, возможно, изолированные собственными значения.

Теорема 9.27 (Simon [333]). Пусть потенциал Ут(п) удовлетворяет условиям теоремы 9.24, и пусть ап — произвольная последовательность, подчиняющаяся условию | ап | ^ С | п | -‘W. Положим WL(n) := ап¥шкпУ Тогда оператор

Яа:=Яо + ^<о(«)

имеет лишь плотный точечный спектр.

Замечания. 1. Отметим, что потенциалы Уо+Кш и Wto не стационарны. Тем самым, соответствующий оператор Нщ будет иметь, вообще говоря, случайный спектр. Доказательства теорем 9.26 и 9.27 можно найти в работах [81] и [333] соответственно.

Совсем недавно Делион, Саймон и Суйяр [84] и Делион [80] изучили операторы того же вида, что в теореме 9.27, но с другими ап. Если |ал|^ Cln]-1/2-», т0 Дш це имеет точечного спектра [84], а если ап ~Хп~х^ с малым X, то оператор Яш имеет сингулярно-непрерывный спектр [80]!

В доказательстве теоремы 9.24 существенно использовалось, что распределение Ро величины F(0) имеет плотность (г(X)). Например, в случае когда У(0) = 0 с вероятностью р и F(0)= 1 с вероятностью 1 — р, доказательство неприменимо. Но в недавней работе Кармоны, Кляйна и Мартинелли показано, что и в этом случае также имеется лишь точечный спектр.

Теперь кратко опишем ряд дальнейших результатов теории случайных потенциалов.

Броссар [56] доказал, что для некоторых потенциалов вида Vm(x)= V0(x) + ^(х), xeR1 (непрерывный случдй), где Уо— периодический, а 117,0 — случайный потенциалы, спектр является чисто точечным.

Кармона [60] рассмотрел случайные, но не стационарные потенциалы (непрерывный случай). Например, пусть Уш*(х), хе R1, —случайный потенциал, такой что оператор — d^JdxA" + Fy11имеет-чисто точечный спектр, и ^(х) — произвольный периодический потенциал. Рассмотрим функцию

Кш(х) =Кш(х) =У^(А х<0.У^(А х<0.У^Цх), х > 0.У^Цх), х > 0.

Кш(х) =

Кш(х) =

У^(А х<0.

У^(А х<0.

У^Цх), х > 0.

У^Цх), х > 0.

Кармона [60] доказал, что

+ V.) —(- ^+У») -

°рр (~ Zpr+y«)=°PP (—d/T+t/“) \°(— 5ёг+^21)1

Большое внимание было уделено операторам с постоянным электрическим полем и стохастическим потенциалом. Допустим, числа qn суть и. о. р. случайные величины, f ^ 0, f * 0, — функ-

ция из С2 с носителем на интервале (—1/2, 1/2). Рассмотрим оператор .

Н» = — т + Fx-\- У q„ (<й) f (х — n). .neZ

С помощью оценок Мурра мы убедились, что спектр Нщ абсолютно непрерывен, если F #=0 (см. гл. 4 и [45]). В работе [45] доказано, что при F = 0 оператор Нщ имеет п. и. чисто точечный спектр (с экспоненциально убывающими собственными функциями), если плотность распределения Ро величины q0 непрерывна и имеет компактный носитель.

В случае когда f есть 6-функция, спектр Нш п. и. чисто точечный даже при F^O, если |Е| достаточно мало. Однако в этой ситуации собственные функции локализованы лишь полиномиально (при F = 0 они локализованы экспоненциально). Для больших |Р| спектр Нщ непрерывен (Delyon—Simon—Souillard [84]).

Для v > 1 известно гораздо меньше, чем для v = 1. Физики полагают, что картина спектра зависит от степени неупорядоченности. Ожидается, что при малой степени неупорядоченности спектр будет чисто точечным вплоть до некоторых граничных точек. За этими точками он должен быть непрерывным (абсолютно непрерывным?), во всяком случае при v 3. Те точки, в которых меняется характер спектра, называют границами подвижности. Когда неупорядоченность увеличивается, доля непрерывного спектра, по-видимому, уменьшается. Наконец, при определённой степени неупорядоченности спектр становится чисто точечным. ' . .

Недавно Фрёлих и Спенсер [119] доказали, что для многомерной модели Андерсона (с абсолютно непрерывным распределением ро) ядро G(£ + ie; 0, га) резольвенты [Яш — (E + ie)]-1 убывает Р-п. н. экспоненциально по п равномерно по е->-0, если либо Е-*-±°о (что отвечает границе спектра), либо неупорядоченность достаточно велика. .

Мартинелли и Скоппола [239] подметили, что в действительности оценок Фрёлиха и Спенсера [119] достаточно для того, чтобы доказать отсутствие абсолютно непрерывного спектра при |Е|—>-оо или при большой степени неупорядоченности. Соответствующие результаты для непрерывной модели имеются в работе Martinelli—Holden [167]. Фрёлих, Мартинелли, Скоппола и Спенсер [118] доказали при тех же условиях, что Нщ имеет лишь чисто точечный спектр. Гольдшейд [137] сообщил, что им получен близкий результат.

В работах Kotani [217, 218], Delyon—Levy—Souillard [82, 83], Simon—Wolf [345], Simon [343] был разработан новый

подход к изучению локализованных состояний, идеи которого восходят к статье Кармоны [60]. Этот подход основан на том наблюдении, что спектральная мера, усредненная по вариациям потенциала в некоторой ограниченной области, абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, так что множества нулевой меры, на которых нарушается теорема Оселедца, с вероятностью 1 несущественны. Так или иначе, читатель должен иметь в виду, что, пока эта книга готовилась к печати, положение дел в вопросе о локализации быстро менялось...

Кунц и Суйяр [222] рассмотрели случайные потенциалы на решетке Бете.

Дополнительную информацию можно найти в работе [347] *.

См. также [395; 412]. — Прим. ред..•

Почти-периодические матрицы Якоби

В этой главе рассматриваются почти-периодические гамильтонианы. Они имеют много общего со случайными гамильтонианами, а потому главы 9 и 10 тесно связаны между собой. Почти-периодические матрицы Якоби, а также. их непрерывные аналоги интенсивно исследовались в последние годы. Здесь наблюдаются такие удивительные феномены, как сингулярно-непрерывный спектр, чисто точечный спектр и нигде не плотный абсолютно непрерывный спектр! . ,

Несмотря на большие усилия, почти-периодические гамильтонианы поняты ещё недостаточно хорошо. Практически все по- настоящему интересные результаты относятся к узкому классу примеров.

ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИИ НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Рассмотрим пространство /” ограниченных (вещественных) последовательностей, {с (n))neZV. Для се<°° положим ст = (с(п— m)}„GZV. Последовательность с называется почти-перио- дической, если множество Qo = {cm|msZv} имеет компактное замыкание в /”. Это замыкание называется оболочкой последовательности с.

Удобный способ построения примеров состоит в следующем. Возьмём непрерывную периодическую функцию F : R -»- R с периодом 1. Её можно представлять себе как функцию на торе Т = (ехр (2nix) | х е [0, 1)}, т. е. F(x) = F(exp(2nix)). Для произвольного вещественного а положим F°(n): = F(<zn). Тогда F(a> как функция на Z не будет периодической, если a Q. Однако эта последовательность будет почти-периодической. Чтобы убедиться в этом, определим F№-9(n?) :=F(an + 0). При фиксированном а набор S := {F(o)> e}e в [0 представляет собой образ окружности при непрерывном отображении, а потому является компактным. Все трансляции последовательности FW лежат в S, так что их замыкание компактно. В действительности при a ^ Q множество S в точности совпадает с оболочкой F»X

Аналогично если F—непрерывная периодическая функция в Rd, то для asRd соотношение F(o)(n) = F(na) определяет почти-периодическую последовательность в Z.

Определим Td — тор размерности d — как множество (exp(2nixi)exp (2nixd) | (xixd)e[0, l]d}, т. е. Td совпадает с кубом [0, l]d с отождествленными противоположными гранями. Мы говорим, что с1сп независимы над рациональными числами (над Q), если при yz е Q из равенства SY«Ci=0 следует, что у, = 0 для всех L Если 1, ab а2ad независимы над рациональными числами, то множество {exp(2niain), .... exp (2niadn) | п е Z} плотно в Td Отсюда нетрудно вывести, что оболочка QF(a) последовательности F№ (F—непрерывная периодическая функция) совпадает с множеством (F(an + 0) |0 е[0, 2л]d} ^Td, если 1, aba2, ..., ad независимы над рациональными числами..

Пусть с — произвольная почтн-периодическая последовательность на Z'. На множестве Qo= (ст, meZ^ введём операцию ° следующим соотношением: ст ° ст' = ст+т'. В силу плотности Qo в оболочке Q, эта операция продолжается на всё множество Q единственным образом. Она превращает Q в компактную топологическую группу. Хорошо известно, что на всякой компактной топологической ' группе единственным образом можно задать бэровскую меру р, удовлетворяющую условиям

J / (Я/) dp (g^ = J f (s') dp (g')

и p(Q)= 1. Эта инвариантная мера-называется мерой Хаара (подробности см. в [260] или [292]). Мы можем (и будем) рассматривать Q, р как вероятностное пространство. Для /гй положим Tnf = fn- Ввиду инвариантности меры Хаара

р(Т„А) = р(А)..

Стало быть, преобразования Тп сохраняют меру. Нетрудно видеть, что любое множество, обладающее свойством ТпА=А> имеет меру Хаара 0 или 1. Действительно, для таких А интеграл p(B) = ^s%4dp определял бы другую меру Хаара на Q. Но с точностью до константы мера Хаара единственна. Следовательно, преобразования {Т„} эргодичны. Поэтому теоремы 9.2 и 9.4 ■ можно применить и к почти-периодическим матрицам Якоби, т. е. к операторам Н вида Н = Но + V, где Яо — дискретный лапласиан, а V — почтн-периодическая последовательность.

Предложение 10.1. Предположим, что V—почти-периодическая последовательность.

Для всех W из оболочки Q последовательности V спектры а(Яо+^) совпадают. Дискретный спектр отсутствует.

(И) Существует подмножество Q cz Q полной меры, такое что для всех W г Q чисто точечные спектры (сингулярно-непрерывные, абсолютно непрерывные спектры) совпадают.

То, что утверждение (i) верно для всех W; а не просто для какого-то множества меры 1, можно объяснить простыми соображениями, основанными на аппроксимации. Эти соображения неприменимы к (и), ибо абсолютно непрерывный и другие спектры могут меняться скачком при возмущении потенциала.

Приведённые выше рассуждения свидетельствуют в наличии аналогии между стохастическими и почти-периодическими матрицами Якоби. Но чтобы получить более содержательные результаты, требуются более специфические методы. . .

В дальнейшем мы будем рассматривать в основном последовательности вида Г(а)(п) = Г(ап) с периодической функцией F (с периодом 1). Спектральные свойства оператора Д = Я0 + XF^ зависят от константы связи X и от «диофантовых» свойств a (наблюдение Сарнака [306]). Более точно: (пусть v = 1) если a рационально, то последовательность FW периодическая и спектр абсолютно непрерывный. Если а иррационально, но «очень хорошо» аппроксимируется рациональными числами, то спектр Н = Но + XFW при больших X становится сингулярно-непрерывным (см. § 10.2), а при «типичных» иррациональных а и больших X спектр должен быть чисто точечным (§ 10.3). Эти утверждения Доказаны лишь для отдельных частных случаев. Мы познакомимся с ними позже. Гораздо меньше известно о том, что происходит при малых X и в области между теми а, которые «очень хорошо аппроксимируются» рациональными числами, и «типичными» а. Кроме того, спектр, как правило, является кан- торовым множеством, т. е. замкнутым множеством без изолированных точек и с пустой внутренностью. Это явление будет обсуждаться в § 10.4.

В этой главе мы сможем рассмотреть лишь некоторые аспекты теории почти-периодических потенциалов. Наша главная цель — показать богатство этой темы и пробудить у читателя интерес к ней. Для дальнейшего чтения рекомендуем обзор [335], содержащий больше материала *. Вместе с тем читатель поймёт, что некоторые из обсуждаемых здесь результатов были найдены уже после написания [335]. Это говорит о быстром развитии теории.

1 Отметим также обзоры [413; 418; 419].—Прим. ред.

. 10.2. ПОЧТИ-МАТЬЕ-УРАВНЕНИЕ И ПОЯВЛЕНИЕСИНГУЛЯРНО-НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА

Здесь мы исследуем следующий одномерный пример почти-пе- риодического потенциала:

к

Ve(n) = ^ atcos[2n£(an+ 0)],. (ЮЛ)

где 0 е [0,1] s (оболочка Уо)- В случае К = 1 соответствующее (дискретное) уравнение Шрёдингера называется почти-матьё- уравнением. Именно его мы и изучим подробно.

Первая теорема этого параграфа принадлежит Эрману [162]. Она даёт оценку снизу для показателя Ляпунова у, отвечающего потенциалу (10.1).

Теорема 10.2 (Эрман). Если a^Q, то показатель Ляпунова у, отвечающий потенциалу (10.1) *, удовлетворяет неравенству

Т(£»1п(1М).

Замечания. 1. В силу теоремы 9.13 оператор Яе:=До + Ve ПРИ почти всех 0 не имеет абсолютно непрерывного спектра, если а иррационально и ] ак | > 2.

2. Ещё до Эрмана для случая К = 1 другое доказательство было дано в работе Andre—Aubry [15] (некоторые моменты этого доказательства были прояснены Авроном и Саймоном [30] 2).

Доказательство. Для простоты записи примем, что К=1, т. е.

Ve (n) = a cos 2л (an + 0)

— Д. [е2л1 an g2nie _|_ е-2л1в пе-2л19)

= ^ (е2”" nz + е-Ша "z"1).

где z := ехр (2л10). При фиксированном Е матрицы перехода (см. (9.16)) Ol(z) имеют вид

Фд (z) = Al (z) AL_t (z) ... A2 (z) A, (z), где

/£ —4(e2”ionz + e-2nlonz-1) —1\

A„(z) = l 2J

V10 /

Введём матричнозначную функцию

Fl (z) := z^L (z) = Л zAn (z). n=l

Очевидно, она аналитична во всей комплексной плоскости и, кроме того, удовлетворяет равенству

II Fl (z) || = || Фд (z) ||

для всех z = exp(i0). Так как Fl(z) аналитична, функция ln||F(z)|| субгармонична (см., например, Katznelson [199], III. 3.2), так что

2л.

^ $ In || Fl (е») II de > In II Fl (0) II = L In (-^) .(10.2)

■о

Поскольку a ^ Q, поток тп (0) = (0 + «я) mod 1 эргодичен (см. § 10.1), а потому из субаддитивной эргодической теоремы [200] следует, что при почти всех 0

'2Я

Y= Нт т In II Фд (eie) || = lim -И In II.Фд (e‘e) II L-»oo bL-»oo b J

В силу (10.2), отсюда получается оценка ¥>|п(-^): □ "

Следующая теорема позволит нам исключить возможность точечного спектра у Не для некоторых значений а. При этих значениях а оператор Нв не имеет ни точечного, ни абсолютного непрерывного спектра. Его спектр чисто сингулярно-непрерывный!.

Теорема, с помощью которой проверяется отсутствие собственных чисел, принадлежит Гордону [139]. С очевидными модификациями она справедлива и в непрерывном случае (т. е. на L(R)) *; по этому поводу см. Simon [335].

Теорема 10.3 (Гордон). Пусть V(n) и Vm(n), me N,— ограниченные последовательности на Z (т. е. neZ). Пусть, кроме того, .

Vm периодична с периодом Тт^>-оо;

Её многомерное обобщение см. в [388]. —Прим. ред.

GO 5Пр„>т|Гт(п)|< оо;

0*0 SUP| n I < 2Tm I ^rn 00 “ ^ 00 I <rrrV

Тогда любое решение и =N 0 уравнения

Яи = (Я0+Г)и = £и подчиняется оценке

п— «(n + О2 + «W2 1.

|п™=«(1)2 + «(0)2

Замечание. Грубо говоря, в условии теоремы требуется, чтобы потенциал V хорошо аппроксимировался периодическими последовательностями. Теорема утверждает, в частности, что Н = Яо + Г не имеет собственных (Z2)-функций, т. е. точечный спектр Н пуст.

Прежде чем доказывать теорему Гордона, применим её к поч- ти-матьё-уравнению. Вначале дадим одно определение.

Определение. Число а е R\Q называется числом Лиувилля, если для любого 6gN найдутся такие pt, q^eM, что

а Як

Таким образом, число Лиувилля представляет собой иррациональное число, хорошо приближаемое рациональными чш> ламй. С аналитической точки зрения множество чисел Лиувилля мало: его мера Лебега равна нулю. Однако с топологической точки зрения это довольно богатое множество: оно является плотным (?в-множеством (напомним, что F называется G6-mho- жеством, если оно представляет собой счётное пересечение открытых множеств). '.

Теорема 10.4 (Avron—Simon [30]). Если а — число Лиувилля, |Х| > 2 и .

■ Ге (и) := A cos [2л (ап + 0)1,.

то Яе = Яо + Гв при почти всех 0 имеет чисто сингулярно-непрерывный спектр.

Доказательство. В силу теоремы 10.2 оператор Я9 не имеет абсолютно непрерывного спектра при почти всех 0. Предположим, что а хорошо аппроксимируется последовательностью Pk/qk (в -смысле данного выше определения). Из последовательности

pk/qk можно выбрать подпоследовательность p^/q^, такую что.

<q;'k"qk'.

Положим

Vk (n) := X cos 2л ( —— п + 0

Тогда Тк := qk- — период потенциала V к. Справедливо неравенство.

sup I У6(п) — У(п) Isup I У6(п) — У(п) IIn \<2qk'In \<2qk'

sup I У6(п) — У(п) I

sup I У6(п) — У(п) I

In \<2qk'

In \<2qk'

|пК2»дхА к'|пК2»дхА к'^|Л| sup 2л|п| —а ^4л|Х|А г*

|пК2»дхА к'

|пК2»дхА к'

Тем самым V удовлетворяет условиям теоремы Гордона. □

Теперь докажем теорему Гордона. Начнём с элементарной леммы..■

Лемма. Пусть А —произвольная обратимая 2 X 2-матрица их— вектор с нормой 1. Тогда

шах(||Лх||, |Л2Д |Л *лг|» |Л 2х||)>у.

Доказательство. Матрица А удовлетворяет характеристическому уравнению

(10.3>(10.3>atA2 + а^А + а3 = 0.

(10.3>

(10.3>

Можно считать, что а, = 1 для какого-нибудь ie {1,2,3} и |а,|^1 для j^i. Допустим, а2=1 и |ai|, |а3|^1. Другие случаи рассматриваются аналогично. Тогда из (10.3) следует, что

х =— avAx — ОзА-1х. ■

Поскольку норма х равна 1 и |ai|, |пз|^ 1, это означает, что ||Лх||> 1/2 или НЛ-^Н^ 1/2. □.

Доказательство теоремы 10.3. Пусть и — решение уравнения (Я0+Ю«=^и с каким-нибудь начальным условием. Пусть

Um — решение уравнения (Яо + Vm)u = Eu с тем же начальным условием. Положим

^("):=^("):=/ и (fl + 1)X и(,п)/ и (fl + 1)X и(,п)

^("):=

^("):=

/ и (fl + 1)

X и(,п)

/ и (fl + 1)

X и(,п)

и

_(E-V(n) -IX(E-Vm^ -IX

" I 10 Л I 1о)'

Тогда

sup Ж (л) — <Нп)\\ п^2Тт•

, Ж МА-1|п|<2Гт“, Ж МА-1|п|<2Гт“А^д^А^А^д^А^

, Ж МА-1

|п|<2Гт“

, Ж МА-1

|п|<2Гт“

А^д^А^

А^д^А^

^ sup |n|eclnlm Тт = 2Тт^СТтт~Тт. |n|<2Tm

Таким образом,

шах ЖаТ^) —^„(aTJlJ-i-O, т^ оо. а-± 1, ±2.

Согласно только что доказанной лемме,

шах|| фт W || > ^1 ^(°) II=у (I«(0) l2+1«(1) I2)1'2.

а=± 1, а—± 2z■

Поэтому.

р— I « (л) I2 + 1« (л + 1) I2 — maxa=:b k *.2И №0 IF 1.

' I « (0) р + I « (1) р ^ИФ И(0)|р^4-U

. чисто точечный спектр и мэрилендская модель

Теперь рассмотрим пример почти-периодического (дискретного) оператора Шрёдингера, до некоторой степени допускающего точное решение. Мы назовём его мэрилендской моделью — по имени штата Мэриленд, где он был придуман Гремпелом, Прэн- гом и Фишманом (Мэрилендский университет). Потенциал в этой модели вводится следующим образом:

V(n) = Va>eA(n):=Xtg[n(a-n) + 0], (10.4)

mZ'*. Здесь a = (ab ..., av)eZ\ а-п — скалярное произведение и 0 е [0, 2л]. Чтобы потенциал V (п) был конечным для всех neZ4, потребуем: 0 #=л(а-п) + л/2шоб л. Ясно, что V (п) неограничен (если не все компоненты а рациональны). Поэтому V не является почти-периодической функцией в смысле

10.1. Мы будем считать V «сингулярной почти-периодической функцией». Поскольку Но — ограниченный оператор, при определении Н = HQ -|- V трудностей не возникает.

Потенциал (10.4) недавно был подробно изучен Фишманом, Гремпелом и Прэнгом [111; 112; 142; 288], Фиготиным и Пасту- ром [ПО; 272] и Саймоном [338; 340] . Надо отметить, что Фи- готин и Пастур получили даже явную формулу для функции Грина..

Имеется также явное выражение для плотности состояний &а(£) оператора Н. Совсем легко вычислить величину АоСЕ), т. е. плотность состояний для Но. В пространстве импульсов оператор Но — это не что иное, как умножение на (к) = 2 2Z=1 cos кь а потому его спектральный проектор Р(-оо, е> представляет собой умножение на %(-«>, е>(^(^)). С учётом этого факта и определения плотности состояний получаем

М^) = -1- | Vk е [0, 2лр I Ф W < Е} I,(10.5>

(2л).

где | • | обозначает меру Лебега. .■

Приведём теперь явное выражение для кх: ■

Теорема 10.5. Предположим, что числа 1, aiav независимы над рациональными числами. Тогда

кхЮ = ^Д Те_^а + v к0(S')dE'.(10.6)'

Следствие. Пусть v = Г. Тогда показатель Ляпунова ух(£) оператора Яо + Л tg (лап + 0), а ^ Q, имеет вид

Ya(^) = т $ (Ё-Л + Х* Yo^ dE'’t10-6^

где уо(£)—показатель Ляпунова для Яо.

Замечания. 1. Если 1, аь ..., а, независимы над рациональными числами, то кх(Е) (а при v = 1 также и ух(Е)) не зависит от а, 0..

Функция рх(х) := 1/л(Х/(х2 + X2)) представляет собой плотность вероятностной меры. Специалисты по теории вероятностей называют её распределением Коши, а физики-теоретики— распределением Лоренца. Соотношение (10.6) говорит, что кх^— это просто свёртка рх*к0(Е). Отсюда видно, что функция кх изменяется строго монотонно по Е е(—оо, оо), принимая

значения на интервале (0, 1). Следовательно, o(H)=suppkk(dE) = (—оо, оо) (Х#=0).•

При v = 1 число ух(£) строго положительно, так как показатель 70(f) положителен вне спектра Яо. Следовательно, Н не имеет абсолютно непрерывного спектра (при v= 1).

Доказательство следствия. В силу формулы Таулеса (см. гл. 9) показатель yx(f) равен свёртке f(£)=ln(E) с dkk(E)/dE. Поэтому

Та = /= /*Ра*-5£-= Ра* Vo- □

Для доказательства теоремы нам понадобится следующая лемма:

Лемма. Пусть ось ..., а* — произвольные вещественные числа и фь ..., ф*— произвольные положительные вещественные числа, такие что 5л-1ф/=1. Пусть

к■

ф(0):= St/tgK + e).

Тогда‘'

2Л

1 С еНф(0)^0 = е-|1|

2л J

■о . .. ..

Доказательство леммы мы предоставляем читателю в качестве упражнения по комплексному интегрированию (см. Simon [338]).■

Доказательство теоремы 10.5 х. Покажем, что преобразование Фурье кх^ функции кк имеет вид ехр (—Л| /1) £о(О- Отсюда будет следовать нужный результат.

При сужении на конечную область операторы вида Но + V становятся просто матрицами. Поэтому (для матриц)

exp [V (Но + Ю1 = exp (i tV^ ■ t.

."+ i J exp [is (Ho + Ю1 Ho exp [i (t — s) V] ds.

о

1 Другое доказательство можно найтн в [110].—Прим. ред.

Итерируя эту формулу, получим ряд

exp [i/ (Яо + У)] = exp (i/V) t'.

+ i J exp (i S[V) Ho exp [i (t — sj V] dsv.

о

I Si.

+ i2 J J exp (is2V) Яо exp [i (s2—sj V} Яоexp [i (t-s^ V] ds2 dsx+• • • •

о о

Легко видеть, что этот ряд сходится. Вычисляя математическое ожидание матричного-элемента ехр[к(Я0-|-V)] (n, т), найдём, что ехр [1/(Я0 + V)] разлагается в ряд из интегралов такого типа, который фигурирует в приведённой выше лемме. Следовательно,

Е (е(<н^ (n, т)) = е-х 1 *1 е* * н« (п, т\ □

Замечание. Можно показать, что функция ^(f) описывает плотность состояний для большого числа моделей, в частности для модели Андерсона, где распределение потенциала задается плотностью рх- После появления работы Ллойда [235], который сосчитал кх в данном случае, эту модель стали называть моделью Ллойда. Гремпел, Фишман и Прэнг [142] установили теорему 10.5 для своей модели совсем другими средствами. Наше доказательство следует работе Саймона [340], который исследовал вопрос о том, почему две упомянутые модели имеют одну и ту же плотность состояний к^Еу. '

В дальнейшем предполагается, что числа 1, «ь ..., сц независимы над Q. Хотя плотность состояний кх(Е) оператора Яо + kVа, е не зависит от а, спектральные свойства, по крайней мере при v = 1, всё же зависят от а. Мы уже видели, что абсолютно непрерывный спектр отсутствует. Если а — число Лиувилля, то можно применить теорему Гордона и установить, что у оператора На, е, к = Яо -|- kVa, е нет собственных ^-функций. Это означает, что спектр является сингулярно-непрерывным. Сейчас мы покажем (даже для больших размерностей), что при некотором выборе а появляется чисто точечный спектр.

Для этого преобразуем в несколько шагов уравнение для собственных чисел. В результате мы получим уравнение, решение которого зависит от а достаточно простым образом. Именно, последовательность фп, определяющая решение уравнения для собственных значений, задаётся соотношением •

где £п — некоторая известная последовательность, убывающая по п экспоненциально. Чтобы ф„ не стремилось к бесконечности, знаменатель здесь должен стремиться к нулю медленнее, чем £я. Это типичная проблема малых знаменателей. В действительности методы решения таких проблем (КАМ-методы) лежат в основе многих доказательств теории почти-периодических опёра- торов. В нашем случае естественно наложить на а следующее условие: - .

Определение. Будем говорить, что а имеет типичные диофантовы свойства, если существуют такие константы С, к > 0, Что ■

для всех п, mi, ..., mv е Z.

Как видно из названия, мера Лебега множества (а|« имеет типичные диофантовы свойства} равна нулю в Rv. ■ , '

Теорема 10.6. Если а имеет типичные диофантовы свойства, то спектр оператора Яа,е, к чисто точечный при всех Л > 0 и 0. Кроме того, его собственные числа являются решениями уравнения■

^(E) = (a-m+y-|)f,

где (x)i обозначает дробную часть х, a m пробегает Zv. Все собственные функции экспоненциально убывают.. . .

Доказательство. Теоремы 2.9 и 2.10 подсказывают, что мы должны искать полиномиально-ограниченные решения и уравнения

(10.8)(10.8)Л 1 (Е — Но) и (ri) = tg [л (а • п) + 0] и (п).

(10.8)

(10.8)

Введём обозначения A:=X~Y(E— Но), В := tg(n(a-n) + 0)- Формально из (10.8) следует, что

для c = (/+iS)u. Преимущество (10.9) перед (10.8) состоит в том, что правая часть (10.9) имеет очень простой вид:

z_|_ iB = exp (—2nia n — 210).

Прежде чем продолжить выкладки, убедимся, что все проведённые формальные вычисления можно строго обосновать. Обозна-

чим через 3 пространство всех полиномиально-ограниченных последовательностей, т. е.'

^ = {{и(п)}„е^||и(п)|<Л(1 + |п|)6

■для некоторых А, &}.

Предложение 10.7. Если уравнение Аи = Ви имеет решение иеЗ, то с = (/ + 1В)иеЗ и -.

Z —М Z — iB'’

I + Ы С — I + iB С". ,

Обратно, если уравнение

— iA z — iB..

' Z+MC — Z+iBC’ "

имеет решение сеЗ, то с можно представить в виде с = (/+ iB) и, иеЗ, где и — решение уравнения Аи = Ви. -

Замечания. 1. Выписанные выше уравнения априори следует понимать в поточечном смысле, т. е. как соотношения между числами u(n), а не как уравнения в некотором пространстве; последовательностей. Оператор (/+^)~* определён на P^Z4). Его ядро К^п— т) убывает быстрее любого полинома. В этом можно убедиться с помощью преобразования Фурье. Таким образом, (/+ Ы)-1 можно определить и на 3 с помощью ядра К.

Если рассмотреть В как самосопряжённый оператор в /2(ZV) с областью определения D(B), а А—как ограниченный оператор, то иеЩВ) при cg/2(Zv).

Доказательство. Прежде всего отметим, что (/ + ^) и (/-{-lA}-1 действуют из 3 в 3. Поэтому из равенства Аи = Ви для иеЗ следует, что с '.=(1 + iB)u = (/ + iA)u е 3 и

Z — М I — VB- ■

z + м с — z + iB с-■

Теперь предположим, что

/ - м Z - iB

Z + М С — Z + iB С■

для некоторого с е 3. Соотношение и = (/ + iB)~*c имеет смысл как (поточечное) равенство двух последовательностей (хотя априори мы не знаем, что иеЗУ Поэтому

l^-(/ + iB)« = (/-iB)«,

так что Аи = Ви. Это в свою очередь даёт u = (/ + iB)-1c = (Z+ iA)"1ce3. □

Зная теперь, что (10.8) эквивалентно (10.9), применим: к (10.9) преобразование Фурье. Пусть

f(^):= У/(п)г-‘.

Функция f корректно определена, если £| f(n)|< оо. Далее,, для произвольной непрерывной на Tv = [0, 2л]v функции ф положим

® (п) := —( ф (A) elntdv&. - т*■

Для любой последовательности fe^1 определим f как распределение'

<f. ф) := Е f («) Ф («)>

где ф е С” ф) • Здесь Tv — это v-мерный тор. Применяя преобразование Фурье к (10.9), получим, что в смысле теории распределений■

q (k) г (А) = e-2i6c (А + 2ла)(10.10а>

с

cos k. — Е — iX

q W :==^•(101°b>

2_,( cos kt — E + iX■

Здесь функция q^ аналитична no Zi = exp(ifo) вблизи |zi| = l,. |g(^)|=l и q никогда ие равна —1. Таким образом, q(kh) = exp]—i^(^)] с некоторой функцией £(&), —л < £(&)< л, аналитической по z, = exp(i^i) в окрестности множества |z,| = 1.

Итак, мы показали, что если уравнение (H0+V)u = Eu имеет полиномиально-ограниченное решение, то уравнение

е~$<*>£ (^) = е~210с (^-|-2ла)(10.11>

имеет решение в смысле теории распределений.

Рассмотрим непрерывные решения уравнения (10.11). Так как множество 2an(mod2n) плотно в Т, из (10.11) вытекает,, что |й| — константа. Можно считать, что |d(&) |= 1. Стало быть, £(&) имеет вид £(&)=ехр[—im^— 1ф(&)1 с периодической непрерывной. функцией Ф(&). Следовательно, (10.11) сводится к соотношению

ф (^ + 2ло) — ф (А) = ^ (А) — 26 — 2л (т • а) + 2л^ (10.121»

с подходящим moeZ. Применяя к (10.12) преобразование Фурье, найдём, что'

(е-ма-п _i)^n = ^n,„^0,(10.13а)

' £о = 20 + 2л (т ■ а) — 2лт<).(10.13b)

Чтобы решить уравнение (10.13b), установим

Предложение 10.8. Справедливо равенство ^о = 2л^(£)—л, где £*,(£)— интегрированная плотность состояний.

Доказательство. Выпишем формулу для д£0/д£:.

дЕJ дЕ'

TV

1 С 2Х

(2я)*(2 2 cos ^i — ЕУ + ^

(выражение для dt,/dE получается дифференцированием равенства (10.10b)). С другой стороны, из (10.6) следует, что

1 гх дар I. . дЕ л J ^у — Е^+Х1 дЕ

В силу (10.5) величина (dk^/dE} (у) равна площади поверхности {& 12 2 cos kt = у}, умноженной на l/(2n)v. Стало быть, dh. 1 /1 гX\1 л?

—^ = — |\' dk I = —— - 0 .

дЕ л ^ (2n)v J (2 2 cos *i — ЕУ + А2 / 2л дЕ "

Остаётся учесть, что £-»—л и /ц—>-0 при Е —>—оо. □

Из предложения 10.8 следует, что соотношение (10.13b) эквивалентно равенству

М£) = («•« +4+ 4)f

((х) f — дробная часть х).

Очевидно, решением уравнения (10.13а) служит последовательность.

фл = (е-аяо"-1)"Ч„.(10.14)

Так как £ — аналитическая функция, числа gn убывают экспоненциально. Кроме того, поскольку а обладает типичными диофантовыми свойствами, имеет место неравенство / v х-6/2 । е-2яюл — 11 = 21 sin лап | ^ С ( 2 т< )"

Это вытекает из оценки

I sin х | ^С| ^х |,-:

справедливой при |х|^л/2. Стало быть, последовательность ф„ тоже убывает экспоненциально. Это в свою очередь означает, что для любого решения ф„ уравнений (10.13а,Ь) функция ф(й)= £ ф„ ехр (— infc) аналитична и является решением уравнения (10.12). Таким образом, мы доказали следующий результат:

Предложение 10.9. Уравнение

•е-^б(к) = е~^б (^ + 2ла)(10.15)

имеет непрерывное решение в том и только в том случае, если

^(^-(..m + A + l),.

Любое непрерывное решение б уравнения (10.15) аналитично и имеет вид £(&) = ехр[—i^-m — 1ф(&)], причём коэффициенты Фурье фп функции ф убывают экспоненциально.

Сейчас мы покажем, что на самом деле интерес представляют только те решения, о которых идёт речь в предложении 10.9.

Предложение 10.10. Предположим, что последовательность с по- линомиально-ограничена, а с удовлетворяет (10.15) . Тогда функция б аналитична и с убывает экспоненциально.

Доказательство. Выберем Оо так, чтобы

^®-(l+-v),

Как мы уже убедились, существует аналитическая функция d (&), I tf (&) | = 1, удовлетворяющая уравнению

д.Цг-V 2ла) = ехр [— ig yi^ + 2190] d (&).

Пусть б— решение уравнения (10.15) в смысле теории распределений. Тогда распределение I = б/й удовлетворяет соотношению

1(^+2ла) = е2Ц0-М(^), а потому.

e-2«ian/n — е2**6-6°Чп, так что 1п = 0 для всех п, кроме некоторого п=;п0. Поэтому I (&) = ехр (—ino£), т. е.

6 (fc) = ^ 5. (fc).

так что б — аналитическая функция и c(n) = d(n + n0) убывает экспоненциально. □

Теперь завершим доказательство теоремы 10.6.

Доказательство теоремы 10.6 (окончание). Пусть и — полиномиально-ограниченное решение уравнения

ф^ХУ^и — Еи.

Тем самым, c = (/-|-iB)u является полиномиально-ограниченным решением уравнения'

(10.16)(10.16)I — \А 1 — \В

(10.16)

(10.16)

I + iA с~ 1 + \В с’

где А = Л (£ — Hq"), В = tg [2л (а • п) + 0].

Мы показали, что любое полиномиально-ограниченное решение уравнения (10.16) на самом деле является экспоненциальна убывающим. Таким образом, последовательность •

и = U + iB)-1 с = U - М)-1 с

экспоненциально убывает.

Согласно теореме 2.10, спектральные меры сосредоточены на множестве S= ф\Ни = Ей имеет полиномиально-ограниченное решение}. Поскольку любое такое решение экспоненциально убывает, S является счётным множеством, так что спектр Н чисто точечный. □ •

Помимо различных полезных преобразований исходной задачи сердцевину доказательства теоремы 10.6 составляет исследование решения уравнения (10.13а), т. е. контроль поведения последовательности

^^(е-^""-1)’ЧП. '

Это типичная проблема малых знаменателей. Мы убедились, что ■ф„ убывает экспоненциально, если а имеет типичные диофантовы свойства. Практически все доказательства того, что спектр почти-периодических гамильтонианов является чисто точечным, основаны на решении таких проблем малых знаменателей. Отметим лишь некоторые из работ на эту тему: Sarnak [306J, Craig [68], Bellisard—Lima—Scoppola [40], Poschel [286]. Авторы этих работ строят примеры почти-периодических гамильтонианов с плотным точечным спектром. Для решения проблемы малых знаменателей они используют методы типа Колмогорова-Арнольда—Мозера (КАМ). В частности, для каждого произвольного Хе[0, 1] построены такие почти-периодические потенциалы V, что оператор Ho-V- V имеет лишь плотный точечный спектр, причём его хаусдорфова размерность равна Л.

Впервые КАМ-методы в данном контексте применили Дина- бург и Синай [87]. Они установили существование абсолютно непрерывного спектра для некоторых почти-периодических операторов. Кроме того, они показали, что некоторые решения уравнения Шрёдингера для таких операторов имеют структуру типа Флоке. Результаты Динабурга и Синая были значительно обобщены Руссманном [304] и Мозером и Пёшелем [253].

Беллиссар, Лима и Тестар [41] применили КАМ-метод к поч- ти-матьё-уравнению (см. § 10.2). Они доказали наличие абсолютно непрерывного спектра для а, обладающих типичными диофантовыми свойствами, и малых констант связи. Кроме того, для типично диофантовых а и больших констант связи ими обнаружен точечный спектр положительной лебеговой меры при почти всех значениях 9. Ни в одном из перечисленных случаев они не смогли исключить наличия спектров другого типа Ч

КАНТОРОВЫ МНОЖЕСТВА И ВОЗВРАТНЫЙАБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР

Широко распространено мнение, что операторы Шрёдингера должны иметь абсолютно непрерывный (а. н.) спектр плюс дискретный, а сингулярно-непрерывный (с. н.) спектр—это патология, которой не может быть в примерах с ограниченным V. Как указал Пирсон [275; 276], это общее мнение является ошибочным. Пирсон построил такой потенциал V, что оператор Я = Hq-\-V имеет сингулярно-непрерывный спектр. Этот потенциал представляет собой последовательность горбов, расстояние между которыми становится всё больше, а высота не возрастает. Напомним, кстати, что мы наблюдали возникновение сингулярно-непрерывного спектра у почти-матьё-уравнения, выглядящего вполне безобидно (§ 10.2).

Ещё одна поправка к распространённым представлениям заключается в том, что точечный спектр на некоторых участках может быть плотным, а не дискретным множеством. Это явление мы наблюдали в гл. 9 и в § 10.3. Таким образом, пока мы имеем четыре типа спектров. Во-первых, это «густой» точечный спектр и сингулярно-непрерывный спектр, которые хотелось бы

Недавно в работах [409; 4171 было показано, что в теореме 10.4 спектр оператора HQ будет чисто точечным, если X достаточно велико, а диофантово число а имеет регулярное разложение в цепную дробь (такие числа образуют множество полной меры на (0, 1)). При этом спектр Я0 является канторовым множеством. Для аналогичного непрерывного оператора Шрёдингера в [409] установлено, что его спектр имеет такую же структуру в интервале от нижней грани до некоторой (зависящей от X) точки. — Прим, ред. -

„выбросить в корзинку", если бы они не появлялись в естественных примерах. Во-вторых, это «редкий» точечный спектр и абсолютно непрерывный спектр. Эти два типа спектров отвечают привычной точке зрения..

Аврон и Саймон [28] предложили дальнейшее разбиение абсолютно непрерывного спектра, а именно на две части — транзитный а. н. спектр (это то, чего мы „ожидаем") и возвратный а. н. спектр („неожиданность"), обычно имеющий структуру канторова множества.■

Чтобы мотивировать построения Аврона и Саймона, дадим несколько примеров, одновременно вводя обозначения.

Подмножество С вещественной прямой называется канторо- вым множеством, если оно замкнуто, не имеет изолированных точек (т. е. является совершенным множеством) и к тому же нигде не плотно (т. е. С(=С) имеет пустую внутренность). Вот классический пример канторова множества: удалим из отрезка [0, 1] среднюю треть; у каждой из оставшихся частей снова удалим среднюю треть и т. д.; в конце концов получим совершенное множество с пустой внутренностью. Хорошо известно, что его мера Лебега равна нулю.

Операцию «удаления средней трети» легко обобщить. Рассмотрим последовательность л,- вещественных чисел, л, > 1. Из So = [O, 1] выбросим открытый интервал длины 1/Л1 с Центром в точке 1/2. Получившееся множество обозначим через Su

5,-10. 11 \ (1-^.4 + ^)-

Допустим, мы уже построили множество S/, представляющее собой объединение 2' непересекающихся замкнутых интервалов длины а/. Удалим из каждого из них открытый интервал длины а^у^ с центром в середине исходного интервала. Объединение оставшихся 2'+1 интервалов назовём S,+i. Пусть

5 = 5({л,})= П Sy.

/=о

Легко видеть, что S — канторово множество (в смысле приведённого ранее определения; см. Avron—Simon [28]). Далее, поскольку

а/ = 2-,П [1-(1/л6)],

*-1

то мера Лебега множества S/ равна

|5/1 = Й[1-(1/п6)].

Стало быть, -

|5| = Й[1-(1М. .6-1.

Это бесконечное произведение равно нулю в том и только в том случае, если £6-1 (1/га6) = оо. Таким образом, описанная процедура позволяет строить канторовы множества произвольной лебеговой меры (<1). Канторово множество, получающееся при последовательном выбрасывании средней трети (наш первый пример), отвечает случаю п» = 3 при всех к, а потому имеет нулевую лебегову меру. Можно построить сингулярно-непрерывную меру, носителем которой служит это множество (см., например, Рид—Саймон I [292]).

Пусть S — канторово множество с 0 < | S | < оо, и пусть %s— его характеристическая функция (хз(х)=1, если xeS, и Х$(х) = 0, если x^S). Тогда мера dps(x) := xs(x)dx абсолютно непрерывна (относительно меры Лебега). Таким образом, рз— абсолютно непрерывная мера с нигде не плотным носителем!

Идея подхода Аврона и Саймона заключалась в том, чтобы выделить меры типа рз, рассматривая их преобразования Фурье.

Хорошо известно, что преобразование Фурье Ftt^ = exp (i/x) dp (х) меры р стремится к нулю при |/|-»-оо, если эта мера абсолютно непрерывна. Если р — непрерывная (а. н. или с. н.) мера, то функция F^f) стремится к нулю при ]/]—*-оо, по крайней мере в усреднённом смысле, т. е. .

г .

4г J F^dt^o, т^оо.

-т ''

По скорости убывания их преобразований Фурье мы и разобьём абсолютно непрерывные меры на два класса.

Назовём меры р и v эквивалентными, если они взаимно абсолютно непрерывны, т. е. существуют функции feL^p) и ge Lx (у), такие что dv = fdp и dp = gdv.

Предложение 10.11. (i) Пусть p — абсолютно непрерывная мера с носителем на канторовом множестве S. Тогда F^t^ не принадлежит Lx.

Пусть dv = XAdx, ■ где дА имеет нулевую лебегову меру. Тогда существует эквивалентная v мера v, такая что F~ (0 = О (t-^ Для всех У е N.

Доказательство, (i) Мера dp, имеет вид dp = f(x)dx с некоторой функцией Д носитель которой принадлежит S. Поскольку S— канторово множество, функция f не может быть непрерывной. Но если бы функция F^ (/) = ^ exp (dx) f (х) dx принадлежала L\ ! должна была бы быть непрерывной.

Существует функция feS(R) (пространство Шварца) с supp f е А, положительная на внутренности Alnt множества А, такая что мера dv:=f(x)dx эквивалентна dv. Тогда F~ (/) = ^ f (х) exp (dx) dx = О (/-я). Это можно проверить интегрированием по частям. □'

Проведенные рассуждения мотивируют следующее определение:'

Определение. Пусть Н— какой-либо самосопряжённый оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Элемент среН будем называть транзитным вектором (для) Н, если

(<р, е‘/я<р) = О (t-Af) для всех ^sN.

Замыкание множества всех транзитных векторов обозначим через Щас (транзитное абсолютно непрерывное подпространство).

Таким образом, вектор <р будет транзитным, если преобразование Фурье спектральной меры щ,, ассоциированной с <р, быстро убывает. Исходя из предложения 10.11, можно было бы дать и другое определение транзитного вектора — как элемента <р, для которого преобразование Фурье меры щ> лежит в L1. К счастью, это приводит к тому же множеству Htac-

Предложение 10.12. (i) Htac является подпространством Н.

Htас С Нас.

Н4ас = {фЙ^ТГ}.

Доказательство см. в работе Avron—Simon [28].

Определение. Пусть Hrac := Н£с Q Нас. Подпространство Hrad называется возвратным абсолютно непрерывным подпростран-

ством. И Htac, и Нгас являются инвариантными подпространствами Я. Поэтому можно определить otac (Я): = а (Н |ж у к ^с(^): = ^(^1нгас)-

Как и следовало ожидать, появление стГас тесно связана с канторовыми множествами.

Предложение 10.13. Предположим, что спектр Я нигде не плотен. Тогда <т1ас(Я) = 0.

В самом деле, это — следствие предложения 10.11. Конечно, легко построить операторы с оГас = 0. Возьмём H = L2(R) и рассмотрим оператор Та = х^д^, где ЛеВ(Р). Тогда с(Тл) = А. Если А = [а, Ь], а < Ь, то спектр будет чисто транзитным абсолютно непрерывным. Однако имеются векторы ф с плохим поведением j exp (i/x) dm> (х). (Возьмём, например, ф = xs, где S — канторово множество положительной лебеговой меры на [а, 6].) Это отчётливо показывает, что функция ^ exp (1 tx) dp.^ быстро убывает не для всех ф, а лишь для некоторого плотного множества ф. Если А — канторово множество положительной, лебеговой меры, то спектр будет возвратным абсолютно непрерывным.

Можно было бы думать, что оГас — всегда нигде не плотное множество. .Но это не так!.Аврон и Саймон [28] построили такое множество А, что стгас (ТА) = (—оо, оо). Это-значит, в частности, что (—оо, оо) совпадает с носителем некоторой абсолютно непрерывной меры dp, = f(x)dx, suppf= R, но мера dr не является абсолютно непрерывной по отношению к dp,.

До сих пор мы рассматривали абстрактную ситуацию, и можно было бы предположить, что - при изучении операторов; Шрёдингера канторовы множества и возвратный абсолютно непрерывный спектр не возникают. Однако есть основания считать, что спектры одномерных почти-периодических гамильтонианов очень часто являются канторовыми множествами. В та же время возвратный абсолютно непрерывный спектр встречается реже.

Чулаевский [64], Мозер [252] и Аврон и Саймон [29] построили примеры предельно-периодических потенциалов, для которых спектры представляют собой канторовы множества. Последовательность {с„}ле2 называется предельно-периодической,. если она является равномерным пределом (т. е. пределом в /”) периодических последовательностей. Примером такой последова-

КАНТОРОВЫ МНОЖЕСТВА 263 тельности может служить

VW = 2 O/cos(-^), (10.17) /--ОО

где 21 а, | < оо.

' Обозначим через L пространство всех предельно-периодических последовательностей, а через Lo— пространство всех последовательностей вида (10.17). Легко проверить, что предельно-периодические последовательности суть частный случай поч- ти-периодических последовательностей. Определение предельной периодичности можно распространить и на высшие размерности, но мы ограничимся последовательностями, пронумерованными элементами Z. .

Множества L и Lo суть замкнутые подпространства банахова пространства £”, так что такие топологические понятия, как плотность, замкнутость и Са-множество (счётное пересечение «открытых множеств), имеют смысл.

Теорема 10.14 (ЧАМС). (1) Для некоторого плотного в L множества типа G6 спектр ст(//о+ V) является канторовым множеством.

То же верно для некоторого Са-множества, плотного в Lq. ■

Замечание. ЧАМС 1 — это ■ (удобопроизносимая) перестановка первых букв фамилий Аврона, Саймона [29], Чулаевского [64] и Мозера [252]. На самом деле эти авторы рассматривали непрерывный случай, т. е. операторы Шрёдингера в L2(R).

Аврон, Саймон [29] и Чулаевский [64] доказали — для некоторого (возможно, меньшего) множества предельно-периодических последовательностей — наличие возвратного абсолютно непрерывного спектра: .

Теорема 10.15 (Аврон—Саймон—Чулаевский). Для некоторого плотного в L подмножества спектр ст(Яо + V) абсолютно непрерывен и является канторовым множеством. То же верно и в отношении Lq.

Отметим, что в теореме 10.15 не утверждается, что плотное множество, о котором идёт речь, является Са-множеством. Мы

даже думаем, что в такой формулировке теорема была бы неверна. . ■

Из теоремы 10.15 и предложения 10.13 следует, что в условиях этих утверждений спектр’оператора Яо+ V будет возвратным абсолютно непрерывным.

Есть ещё один результат (Беллиссара—Саймона [42]), устанавливающий наличие канторова спектра, на этот раз для поч- тй-матьё-уравнения:

Теорема 10.16 (Беллиссар—Саймон). Множество пар (Л, а), для которых ст(Я0-|- X cos (2 лап + 0)) является канторовым множеством, представляет собой множество типа Ge, плотное в R.

Физический смысл различия между возвратным и транзитным абсолютно непрерывными спектрами станет понятен, если рассмотреть на интуитивном уровне связь поведения оператора ехр (—иЩ при.больших временах с явлениями переноса в почти- периодической структуре. Быстрое убывание <ф, ехр(1^Я)ф> означает, что волновой пакет ф быстро „размывается", а медленное убывание свидетельствует о его аномальном поведении при больших временах. Следовательно, быстрое убывание F(t) = = ^ ехр(—itx^dp.^ для спектральной меры цф говорит о хороших транспортных свойствах среды (представьте себе перенос электрического заряда электронами, движущимися в неидеальном кристалле); медленное убывание или вообще отсутствие убывания свидетельствуют о плохих транспортных свойствах.

В этом отношении возвратный абсолютно непрерывный спектр- по своим свойствам ближе к сингулярно-непрерывному, чем к транзитному абсолютно непрерывному. '

Виттеново доказательствонеравенств Морса

До сих пор мы изучали операторы Шрёдингера ради них самих. В этой и следующей главах мы обсудим весьма интересные приложения операторов Шрёдингера к анализу на многообразиях. Виттен в своей замечательной статье [370] показал, что сильные неравенства Морса можно получить на основе „квазиклассиче- ского“ анализа собственных чисел надлежащим образом выбранных операторов Шрёдингера на компактном многообразии М. Теоремы о квазиклассическом поведении собственных чисел обсуждаются в § 11.1, предложенные Виттеном операторы — в § 11.4. Неравенства Морса формулируются в § 11.2 и доказываются в § 11.5. В § 11.3 приведены кое-какие элементарные сведения из теории Ходжа. '

В данном Виттеном доказательстве теоремы Морса об индексе определённую роль играют идеи суперсимметрии, и ещё более важную роль сыграли они в плане мотивации его рассмотрений.

КВАЗИКЛАССЙЧЕСКИИ ПРЕДЕЛ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ

Начнём с обсуждения квазиклассического предела собственных чисел операторов Шрёдингера, действующих в L2(RV). Рассмотрим самосопряжённый оператор вида

Я(Х) = —А+Х2й + Х5, .

понимаемый как замыкание дифференциального оператора, заданного HaC“(Rv). Здесь h, g еС” (Rv), функция g ограничена, h ^ 0 и й > const >0 во внешности некоторого компактного множества. Далее, предположим, что h обращается в нуль лишь в конечном числе точек {^<а)}*_1 и что гессиан

[^7 <*"“»]

строго положительно-определён при всех а. Наша цель — оценить собственные числа Н (X) для больших X. Интуитивно ясно.

что при больших X потенциал X2h + Xg должен выглядеть как набор конечного числа потенциальных ям типа гармонического* осциллятора, размещённых в нулях функции h и отделённых друг от друга высокими барьерами. Таким образом, ожидается, что при больших X спектр Н^Х) будет похож на спектр прямой суммы операторов вида

Н^ (X) = - А + X2 2 U - х^). (х - х<*>) + Xg ОТ-

(11.1)

Пусть Т(6), 6e R*, и D(X), X > О,— унитарные операторы трансляции и сжатия в L2(RV), определённые соотношениями

(T(&)f)(x) = f(x-&),

(D(X)f)(x) = Xv/2f(Xx).

Далее, пусть

К(о) = - А + X A^XiXj + g ОТ-

Тогда, как легко видеть,

D (х,/2) Т (XU2xw) Х^Т (— Х,/2х(о)) D (Х”,/2) = Я(о) (X),

(П.2)

так что .№ОЦХ) унитарно-эквивалентен ХК^Х........

Собственные числа К^ легко сосчитать, поскольку оператор Kw с точностью до константы g\xW^ есть гамильтониан гармонического осциллятора. Прежде всего найдём собственные числа {(®га))2}г=1. 6»<О) > 0, матрицы [Л^. Тогда собственные значения RW будут суммами собственных значений одномерных осцилляторов — (d^dx2) + (ш^)2^, сдвинутыми на g(xwY т- е-

a ОТ = { [ S ®1а) (2пг + 1)] + g W I «в • • ■, гц е

(О, 1,2, ...}}.

Объединяя собственные числа Kw для всех a = 1, ..., h, мы получим спектр оператора ®а^С°, действующего в ©а I? (rv)> а именно:

U» ОТ- ха / а

Для удобства дальнейших ссылок отметим, что собственные

-функции Kw имеют вид

где р — некий полином и v/0' е Rv, i = 1, ..., v, — ортонор мированные собственные векторы матрицы [Л^]. Стало быть, в силу (11.2), собственные функции Я<°>(Х) выглядят как

(11.3)

-Сформулируем теорему о квазиклассической асимптотике собственных чисел. Её можно найти в работе Simon [337]. Для одномерного случая она была доказана ранее Комбом, Дюкло и Зайлером [66]; см. также Combes [65]. Эту теорему можно ещё доказать методом Дейвиса [76].

Теорема 11.1. Пусть Н^Х) и фаК^ — определённые выше операторы. Через ЕДХ1) (соотв. еп) обозначим n-е (с учётом кратности) собственное число Я (%) (соотв. фоК(о)). Тогда для любого фиксированного п и достаточно большого X оператор Н(Х^ имеет по крайней мере п собственных чисел и

Пт Еп {Х)/Х = еп. X-* 00

Доказательство. Вначале покажем, что

Нт ЕпК>^1Х<^еа.(11.4)

X-* 00

Пусть I — функция из С“ (Rv), такая что 0 ^ J ^ 1, /(*)= 1 при |*|^1 и J(x) = О при |*|^2. Положим

Jo (х) = J (X2'5 (х - х^, а = 1, ..., к,

№ =[Ja(X)]2.

Ясно, что при достаточно больших X

й

Z/aW2= 1, a—О

так что набор {Ja}a-o представляет собой разбиение единицы в смысле определения 3.1.

' Покажем, что для любого ае{1, .... к^ выполнена оценка

(П.5)(П.5)Я /а (X) VH (X) - Hw (X)l Ja (х) J=о (х4/5).

(П.5)

(П.5)

где Я<°>(Х) — оператор, определённый в (11.1). Чтобы убедиться в этом, разобьём JO(X) [л(Х) —Я<°)(Х)] Ja(X) на два слагаемых и исследуем их порознь. Имеем '

IХЧО (X) [й - S 4? и - х(о)),- (х - х^),] Jo (X) I

= X2Ja(X)|x —X*= X2Ja(X)|x —X*| X - х^ f| X - х^ f

= X2Ja(X)|x —X*

= X2Ja(X)|x —X*

| X - х^ f

| X - х^ f

(И 6>(И 6>< X2 • X”6/5 o (1) = О (x4/5).

(И 6>

(И 6>

Здесь мы учли, что носитель функции JO(X) содержится в области, где Х2/5|х — х<о>|^2, и чтоХ^/Чх — х(а))Дх — х(о))у — это разложение h в ряд Тэйлора до второго порядка включительно в окрестности точки х<°>. Аналогично

Xja(X)[g(x)-^^^^ (11.7)

Из (11.6) и (11.7) следует (11.5).

Теперь фиксируем некоторое неотрицательное целое п. Тогда существуют такие a(n) и фп, что '

(П.8)(П.8)(П.9)(П.9)№("»(Х)фп = Хепфп.

(П.8)

(П.8)

(П.9)

(П.9)

Положим

фп = ^a (n) (х) фп.

Для неотрицательных целых тип имеет место соотношение

(11.10)(11.10)(фп, Фт) = 6nm-V О (ехр (— сХ'/5))

(11.10)

(11.10)

с некоторой положительной константой с. Понятно, что в случае a(n)=#a(m) выполнено равенство <фп, Фт>=0, поскольку функции Ja(n>(X) и Ja(m>(X) при больших X имеют непересекаю- щиеся носители. Если a(n) = a(m), то <фп, фт>=6пт. Стало

быть,.

I <Фп. Фт) ^пт I == ^ [ 1 1а (п) (М] ФпФт^ х

| *-*(") |>Х-2/5| *-*(") |>Х-2/5

| *-*(") |>Х-2/5

| *-*(") |>Х-2/5

exp (— eXu2) du

Х-2/5

< const ^ exp (— cX^u) du = О (ехр (—сХ1/5)). х-2№'.

Здесь мы учли, что -ф„ и -фт имеют вид (11.3); функции рп и рт суть полиномы по Х1/5(х — х<°>). Чтобы оценить <фп, Я(Х)фт), используем формулу локализации (см. теорему 3.2)

JaH^la = у №W + HWI^ + (V^

(Н.П)(Н.П)и оценку "

(Н.П)

(Н.П)

sup|WaW = O(X*№). х

При a(n) =/= a(m) снова имеем <ф„, Я(Х)фт>= О для больших X. С другой стороны, если a(n)= а(т) = а, то

■ <фп. ^ М-ФтУттг (Фп> 1 a W Н W Iа к^ Фт)

= <Ф„, /а (X) HW (X) Jo (X) фт) + О (х4/5)

= Х^_^п, Фт)+О(Х^).

Здесь использованы соотношения (11.5) и (11.8). Итак, в силу (10.10),.

<Ф„, Н (X) ф„) = ХеАт + О ОТ-(11.12)

Пусть цп(Х), п = 1, 2, .... — число, полученное из принципа минимакса:.■

ц„(Х)= sup Q(6i, .... g„-i; X),

Ср ••■. 6n_i где

QUi, .... £„-.; М =

inf «ф, Н (X) ф)| ф е D (Н (X)), II ф II = 1, ф <= кь ..., ^.J-LJ.

(11.13)(11.13)Тогда либо Я(Х) имеет п собственных чисел и цл(Х) = £Л(Х), либо цп(Х) = inf oess (Д (X)) [295]. Фиксируем е>0 и для каждого X найдём функции £*-, .... ^_р такие что

(11.13)

(11.13)

И„(Х)«?(& ..., £_,; Х) + е.

Из (11.10) следует, что при больших X линейная оболочка функций ф1, ..., фп образует n-мерное пространство. Поэтому при достаточно больших X можно найти такую линейную комбинацию ф функций фь .... фп, что фе [£*-, ..., Таким образом, согласно (11.12), -

Q (& •. ■, ^_р х) «ф, Н (X) ф)< Хе„ + О ОТ,

так что из (11.13) и произвольности е вытекает оценка

МХ^Хе^ООТ.(П.14)

Поскольку h > const > 0 вне некоторого компактного мно жества и функция g ограничена, из формулы Перссона (тео рема 3.12) следует, что

inf CTess (Н (X)) ^ сХ2.

с некоторой положительной константой с. Поэтому, в силу (11.14), pn(X)=#inf стевз(Я(Х)) при достаточно больших X. Стало быть, Цп(Х) = £п(Х), и (11.14) приводит к (11.4).

Теперь докажем противоположное неравенство

■ lim Е^Х^Х^е^ (11.15)

X -^ 00

Достаточно показать, что для любого числа е, не принадлежащего спектру оператора Фа^ (скажем, для е е (em, em+i)), имеет место оценка

(11.16)(11.16)Я (X) ^ Хе +/? + о (X),

(11.16)

(11.16)

где R — какой-нибудь симметричный оператор ранга т. Чтобы убедиться в этом, предположим, что (11.16) справедливо для любого т с em+i>em и ee(em, em+i). Выберем вектор ф, ||ф||=1, из линейной оболочки первых m + 1 собственных функций оператора Я(Х) так, чтобы феКег^). Тогда

Ет+1 ><Ф. Н (X) ф)> Хе + о (X),

откуда следует (11.15) при п = т + 1 для случая em+i > ет. Отсюда легко получить нужную оценку и для вырожденного слуЧАЯ вщ-Н вт-

Итак, пусть е e(em, em+i). В силу ИМ.С-формулы локализации (теорема 3.2),

Н(Х)=1 JaHkXUa-'L^JaY а «Оа—О

= /0Я (X) Jo + £ JaHW (X) jo + о от. (11.17) •а—1

Здесь использованы оценки (11.5) и (11.11). Носитель функции Jo = Jo(X) расположен во внешности шаров радиуса X-2/5 с центрами в нулях функции й. Поскольку h в каждом из своих нулей обращается в нуль квадратично, на носителе Jo справедливо неравенство й(х) ^ctX-^^cX-4/5. Тем самым оператор J0//(X)J0 растёт как X2 • X-4/5 = Х6/5, и при больших X

JQHOT>XePQ.(1L18)

Ддя а #= 0 имеет место оценка

J^tX) Jo> 1^1,+ Xefa,(11.19)

где Rw — сужение оператора Я<°> на оболочку его собственных функций, отвечающих собственным значениям, лежащим слева от Хе. Справедлива оценка Rank (Ja^(aVa) Rank (/?(а)) = # (собственные значения Kw слева от е}. Поскольку Rank^ + В) ^ Rank^)+Rank(B), отсюда следует, что

Rank Г £ JORWM Ja] < £ Rank [JoR(a, (X) J„1

= ф {собственные значения Фа слева от е) ,=п.

Таким образом, из (11.17—19) видно, что кк■

Н (X) > Хе120 + Хе £ Л + £ Ia^ (X) Jo + О (Х4/5) a—1а—1

= Хе + R + О (ОТ,

где ранг R не больше п. Это приводит к оценке (11.16) и завершает доказательство. □

Теорема 11.1 даёт главный член асимптотики собственных чисел Еп^ху Идеи её доказательства развиты далее в работе [337] для нахождения асимптотического разложения В„(Х) по степеням Х~т, т ^ —1. Сейчас мы обрисуем некоторые из этих

новых идей. Пусть, как ив (11.8), а = а (п). Положим

н (х)=х-1 (и^Г1 Н (X) Uw,

где UW = T(—XV2^')D(X-x/2'). Тогда■

Я(Х) = /<(О)+И(Х),.

причём при некоторых дополнительных ограничениях на, g и А можно проследить за асимптотикой V(X). В случае когда еп — простое собственное число, мы можем выбрать е таким малым, что оператор■

P(X) = (2ni)"‘ ф V-W'dz

Iz-enh8‘

будет при больших X одномерным. Затем проверяется, что <Ф„, Р(Х)фп>^-1 (ф„ определяется формулой (11.9)) и Р(Х)ф„ имеет асимптотику в L2. Асимптотическое разложение для Еп(Х) следует из формулы.

X- хЕп (X) = <Я(Х) Ф„, Р (X) ф„)/(ф„, Р (X) Ф„).

Это проделано в [337]. Кроме того, в [337] получено разложение Еп^ в вырожденном случае, а также разложение собственных векторов в невырожденном и в некоторых частных случаях вырождения.

Представляет интерес также тот факт, что часто многие собственные числа отделены друг от друга интервалом длины O^X-N^ с подходящим N и что величина экспоненциального зазора определяется туннельным эффектом. См. Harrell [149], Simon [339], Helffer—Sjostrand [152].

11.2. НЕРАВЕНСТВА МОРСА

Неравенства Морса описывают связь между числами Бетти произвольного гладкого компактного многообразия М и поведением в критических точках любой функции из некоторого широкого класса гладких функций на М, называемых функциями Морса. Чтобы неформально пояснить природу этих неравенств, рассмотрим класс компактных двумерных поверхностей, которые выглядят как деформированные кренделя с п дырками. Числа Бетти такой поверхности равны

ММ) = ММ) = 1,

'&,(М) = 2Х(число дырок в МУ '

Рнс. 11.1. Примеры критических точек.Рнс. 11.1. Примеры критических точек.^з максимум 1 севл.точка сеЗл.точка минимумсвОллпочка минимум. сеЭллпочка минимум^з максимум 1 севл.точка сеЗл.точка минимумсвОллпочка минимум. сеЭллпочка минимум2=12=1

Рнс. 11.1. Примеры критических точек.

Рнс. 11.1. Примеры критических точек.

^з максимум 1 севл.точка сеЗл.точка минимум

свОллпочка минимум. сеЭллпочка минимум

^з максимум 1 севл.точка сеЗл.точка минимум

свОллпочка минимум. сеЭллпочка минимум

2=1

2=1

Допустим, эти поверхности погружены в трёхмерное пространство с фиксированными координатными осями. Тогда любая точка т е М представима в виде т = (mi, m2, m3) и можно ввести функцию высоты /:Af^-R, полагая f(m) = m3. Предположим, что существует лишь конечное число точек, в которых df = 0, и что каждая из этих критических точек является либо локальным максимумом, либо локальным минимумом, либо седловой точкой. В этом контексте неравенства Морса имеют вид

т^ := (число локальных минимумов f) ^ b0 (М),

тх := (число седловых точек f) > bx (М),

/71г := (число локальных максимумов /) ^ b2 (М).

Первое и третье из этих неравенств очевидны, ибо 60(М) = -62(М)=1 и функция f заведомо имеет глобальный максимум

771д=3^1-Ьд 77ij=4>2=bj m^li 1=Ьг

и глобальный минимум. Кроме того, интуитивно ясно, что каждая дырка в М даёт по меньшей мере две седловые точки для f: на „вершине" дыры и на „дне" дыры. Отсюда следует второе неравенство. На рис. 11.1 показаны две возможности в случае, когда М имеет одну дыру.

Чтобы сформулировать неравенства Морса для произвольного многообразия М, надо определить числа Бетти Ьр(М') и числа mP(f) для произвольной функции Mopcaf: M^-jR. В дальнейшем мы предполагаем, что читатель знаком с исчислением дифференциальных форм (см., например, [348]).

Пусть М—это v-мерное гладкое компактное ориентируемое многообразие без границы. Пусть ДР(М), 0 ^ р ^ V,—простран-

ство гладких р-форм на М и d; NP -* КР+Х —оператор внешнего дифференцирования. Поскольку d°d = 0, то

Ran(d: Ap-*-*AP)^Ker(d: АР — AP+1).

Таким образом, можно определить факторпространство (0 р <v)

//p = Ker(d: AP-*AP+‘)/Ran(d: AP-1-*AP)

(в этом определении А-1 = Av+* = {0})- В следующем параграфе мы покажем, что пространство №, называемое р-й группой когомологий де Рама, является конечномерным.

Определение 11.2. Числа

bp (М) := dim (Яр),(11.20)

0 ^ р < v, называются числами Бетти.

Замечание. Это — аналитическое определение чисел Ьр. Имеется более привычное топологическое определение [360]. С точки зрения последнего равенство (11.20) составляет утверждение теоремы де Рама. (Отметим попутно три преимущества топологического определения: (i) Из него видно, что Ьр не зависит от выбора дифференциальной структуры в тех случаях, когда их много, (ii) Отображения топологических классов когомологий индуцируются произвольными непрерывными, а не только гладкими отображениями, (Hi) Числа Ьр часто легче вычислить на основе комбинаторно-топологического определения.) Используя аналитическое определение, мы не нуждаемся в топологии. В определённом смысле мы докажем неравенства Морса лишь «по модулю теоремы де Рама».

Пусть f:M->-:R— гладкая функция. Точка теМ называется критической точкой для Д если df(m) = 0. Это значит, что в произвольной локальной системе координат хг, х^, ..., хч вблизи пг выполнены равенства (df/dxi) (m)= ... = (df/dxv) (m) =0. Критическая точка называется невырожденной, если гессиан [d2f/dxidxj (пг) ] /2 невырожден. Индекс критической точки определяется как число отрицательных собственных чисел гессиана. Тем самым, локальные невырожденные максимумы и минимумы имеют индексы v и 0 соответственно, а индексы седловых точек принимают промежуточные значения. Легко видеть, что определения невырожденности и индекса критической точки не зависят от выбора системы координат.'

Определение 11.3. Гладкая функция f;M-vR называется функцией Морса, если она имеет конечное число критических точек, каждая из которых невырожденна. Для произвольных функции

.Морса f и числа р, 0 ^ р ^ v, величина mp(f) определяется как число критических точек f с индексом р.

Неравенства Морса суть утверждения, что для любой функции Морса f выполнены соотношения

Щр^^Ьр, 0<p<v.(11.21)

В действительности неравенства Морса справедливы в следующей более точной форме (ср. с рис. 11.1):

Теорема 11.4. Пусть М— произвольное компактное ориентируемое многообразие без границы, и пусть f — функция Морса на jVf. Тогда. .

Ак

' Е (-Пк-ртр(П> Е(-1)к"рЬр,0<&<v, (11.22)

р=0р—0

Е (-1Утрт = 1. (-1УЬр.(11.23)

р=0р—о

Замечания. 1. Эти неравенства иногда называют сильными неравенствами Морса. По поводу их стандартного доказательства см. [245]. Доказательство Виттена опирается на теорию Ходжа, которой и посвящён следующий параграф.

Неравенство (11.21) следует из (11.22) после сложения неравенств (11.22) для к = р и к = р—1.

Соотношение (11.23) иногда называют теоремой Морса об индексе. Левая часть (11.23) совпадает с характеристикой Эйлера— Пуанкаре многообразия М, обычно обозначаемой через

.'11.3. ТЕОРИЯ ХОДЖА'

В этом параграфе предполагается, что выбрана какая-нибудь ориентация нашего компактного ориентируемого многообразия М, т. е. выбрана нигде не вырождающаяся гладкая v-форма о. (Ориентируемость М и означает существование такой •формы.) Кроме того, предположим, что на М задана риманова метрика, т. е. для любого пг е М на касательном пространстве Тт(М) задано внутреннее (скалярное) произведение gm(-, •), которое является гладким в том смысле, что для гладких векторных полей Х(т) и У(т) функция gm(X(/n), У(т))—гладкая. Результаты следующих двух параграфов справедливы для любой метрики gm. В § 11.5 в целях удобства вычислений мы выберем метрику специальным образом.

С помощью метрики g определим внутреннее /Апроизведе- ние в пространстве Л р (М) мя любого р и оператор Лапласа—

Бельтрами L. Основной результат теории Ходжа состоит в том, что пространство № изоморфно пространству р-форм, аннулируемых оператором L. Стало быть,

Ьр =8 dim (Нр) = dim [Ker (L [ AOI-

Напомним, что числа Ьр определяются независимо от римановой структуры. Поэтому величина dim[Ker(L [ Др)] не зависит от того, какая из возможных римановых структур на М используется для определения L.

Этот параграф посвящён краткому изложению теории Ходжа.

Внутреннее произведение на Гт(М) естественным образом индуцирует изоморфизм i из Тт^М?) на Г^(Л1), действующий по правилу [i(X)] ^ = gm(X, Y). Используем его, чтобы перенести внутреннее произведение из Тт на Тт. Таким образом, внутреннее произведение в Т^, обозначаемое через ( • , • ))„, вводится равенством (©ь ю2)т = Sm (i-1 (®i)> i-1 (©2))- Это произведение в свою очередь можно использовать для определения внутреннего произведения на пространстве Кт(Му, т. е. на р-й внешней степени Т*т (М). Для любого ортонормированцого базиса ю™, ..., ©7 пространства Т*т(М) элементы

©” А • •. А ю^, 1 < i\ < i2 < .. - < ip < v, образуют базис в пространстве Л.рт(МУ Объявляя этот базис ортонор мированным, мы получим внутреннее произведение на Am(М) (обозначаемое через (•, • )^). Чтобы доказать его независимость от выбора базиса в Т*т(МУ используемого для его определения, отметим, что в силу полилинейности и антисимметричности внешних форм для любых 2р векторов Ар ..., Хр, рр ..., рр из Т*т (М) мы имеем (разлагая р; и Х} по базису ©7)

(Х,Л • • • А Хр, р, Л ■ • • App)^ = det((A,i, Р/)^).

Эта формула не зависит от выбора базиса.

Имея дело с римановой структурой, удобно работать с ориент тированным ортонормированным репером. Это набор ©ь ..., ©, 1-форм, таких что для каждого т формы ©i(m), .... ©v(m) образуют ортонормированный базис в Т*т (tri) и ©, (щ) Л ... A ©v (m) с точностью до положительного множителя совпадает с формой о(т), определяющей ориентацию. Локально такой репер может быть получен путём применения процедуры Грама—Шмидта к набору dx\ ..., dx*, где х\ . .., хУ — локальные

координатные функции (если необходимо, с последующей перестановкой получившихся 1-форм).

Форма объёма— это v-форма, определяемая соотношением

'to = ©j Д . . . Л ®v,

где ®i, ..., ®v — какой-нибудь ориентированный ортонормиро- ванный репер. Поскольку любой другой ориентированный орто- нормированный репер можно записать в виде 0®ь ..., Omv с некоторым ортогональным преобразованием О (зависящим отт) и'■

О ®i Д ... Л Omv = det (О) а, Л ... Аю.,

= ®i Л • • • Л «ч,

видно, что форма ю не зависит от выбора репера, а потому определена на М глобально. В терминах. координатных форм* dx1, ..., dx* и vX v-матричнозначной функции gtl^m^ = gm^d/dx\ д/dxi)'

® = (det gY12 dxx A ... A dxv.■

Интеграл от произвольной v-формы а определяется локально с помощью сохраняющего ориентацию преобразования координат <р : М -*1], где U — это открытое подмножество Rv и ф(т) = (х^т), ..., х^т)). Сохранение ориентации означает, что для любого тЕф-1([/) форма dx1(m)A ... Adxv(m) с точностью- до положительного множителя совпадает с ориентационной формой о(т). Записывая а в виде a = fdx1 Л ... /\dxT с некоторой вещественной функцией f на М, положим -

.a:= f оф-1Л.

■Ф~*(и)и

Теперь с помощью разбиения единицы очевидным образом определяется интеграл от a по М. Иногда мы будем допускать вольность в обозначениях и писать f вместо ^ф^1, подразумевая, что функция <f записана в координатах х1, ..., х?>.

■ Определим внутреннее Ь2-произведение двух р-форм а и р. Оно вводится соотношением

(a, р) = J (a (m), р (т))^ го. м'

Пополнение каждого из пространств Др (М) по этой метрике представляет собой гильбертово пространство, которое мы обозначим через Д р (MY Оператор внешнего дифференцирования: определяется как замыкание в ДР(М) оператора d, определён-

ного на Ар- Стало быть,

d: D(d)cAP->AP~*

Сопряжённый к d оператор обозначается d*, т. е.

(Г-. D(d-)cAp+1-*AP, (a, d0) = (d*a, 0),

где а и 0 принадлежат соответствующим областям определения. Легко видеть, что AP+1 cD(d*). Далее, из того что d? = Q, следует, что d*2 = 0.

Определение 11.5. Оператор Лапласа—Бельтрами L в ХР (М) определяется как замыкание оператора d*d + dd* на гладких р-формах.

Известно (см. Chernoff [63], Strichartz [351] или § 12.6), что L — самосопряжённый оператор. Кроме того, L положителен, ибо

(a, La) = (da, da) + (dea, d*a)^0.(11.24)

Определим три подпространства АР (М\

Определение 11.6. Форма а называется гармонической, если La = 0 (в силу (11.24) это эквивалентно равенствам da = 0 и d*a=0). Положим

Ан (М) ;= {гармонические р-формы}, A2M:=R^^

Ар. (М) := Ran {d*: D (d*) c AP+1 - A"}-

Как показывает следующее предложение, эти подпространства можно использовать для разложения АР(А4).

Предложение 11.7. Пусть АРW. Ан(М), KdW и МАМ) — •определённые выше пространства, и пусть Ан (М) и т- Д- — подпространства соответствующих пространств с чертой, состоящие из всех гладких форм, содержащихся в этих пространствах. Тогда

а) лр (м) = лр (м) © л2 w е "Kpd* W;

(i)' Ap(Af) = A^(A4)©A5WeA5.W;

(it) Ker(d: AP_2*AP+1) = A^(M)©A2W;

МДМ) = ММ, и это подпространство конечномерно.

Прежде чем доказывать это предложение, отметим, что из него следует основной результат теории Ходжа, упомянутый ранее:

Теорема 11.8. bp (М) = dim(Ker (L [ Др)). .

Доказательство. По определению A^(M) = Ker(L [ Др) и, в силу утверждения (и) предложения 11.7,

/7p:=Ker(d: Др-* AP+1)/Ran(d: A^^AO

= Л^(М)ФД2(М)/Д5(Л1)

^ДР(М)..

Таким образом, ввиду утверждения (Hi) предложения 11.7, пространство Нр конечномерно и его размерность совпадает с размерностью ядра оператора L [ Др, рассматриваемого либо как самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве Дру либо как дифференциальный оператор на гладких р-формах. □

М.ы докажем предложение 11.7 по модулю следующих двух хорошо известных аналитических фактов, которые будут установлены в § 12.6:'

(i) Эллиптическая регулярность, означающая, что

fenD((zr ДР)Й) = ДР.

Это можно доказать, используя теорию псевдодифференциаль- ных операторов (см., например, Тейлор [353]), или с помощью- локализации, применяя локальные координаты и простые соображения из § IX. 6 книги Рида—Саймона [293].-

(и) Компактность оператора (L + /)-1. Этот факт можно проверить, опираясь на формулу локализации (11.37), приводимую ниже, и учитывая компактность резольвент лапласианов Дирихле на ограниченных областях в Rv.

Доказательство предложения 11.7. Из равенств ^ = 0 и d*2 = 0 и определения гармонических форм легко следует, что три подпространства в правой части (1) попарно ортогональны. Тем самым для доказательства (1) нам надо разложить произвольную р-форму в сумму трёх слагаемых, каждое из которых попадает в соответствующее подпространство. Вначале покажем, что

др(М) = Кег (L)®Ran(L).(11.25>

Это вытекает из компактности (L + ^)-1, так как она означает, что (L + 1)~1 = 2 XtPt, где {Р,}—проекторы на конечномерные подпространства в Др, и числа {XJ накапливаются разве лишь к точке нуль. Следовательно, L = £ (ХГ1 — 1) Рь так что L имеет конечномерное ядро и замкнутую область значений. Поэтому подпространство Дд конечномерно и выполнено (11.25). Итак, для любой формы а справедливо представление

a = Off + LY=aH + d*(dY) + d(d*V),

где а я—гармоническая форма. Это доказывает (1). Для проверки (1)' надо показать, что гладкие формы имеют гладкое разложение. В силу эллиптической регулярности ядро Ker(L) порождается гладкими функциями. Поскольку подпространство Ker(L) конечномерно, из гладкости а вытекает гладкость ан, а это означает, что форма Ly тоже гладкая, что в свою очередь, ввиду эллиптической регулярности, приводит к гладкости у. Следовательно, ■ гладкие формы имеют гладкое разложение и Дя = Ая- И наконец, для доказательства (ii) заметим, что Ая® Ad ^Ker(d) и Д^« (1 Ker (d) = {0}. В силу (i)' отсюда вытекает (ii). □

Раз уж мы располагаем техникой Ходжа, нам хочется привести здесь короткое доказательство теоремы Пуанкаре о двойственности, утверждающей, что Ьч_р = Ь„ для любого компактного многообразия размерности v, хотя эта теорема и не понадобится нам при доказательстве неравенств Морса. Оставшуюся часть параграфа, за исключением последнего абзаца, можно без всякого ущерба опустить.■

Прежде всего введём оператор Ходжа *:

Предложение 11.9. Пусть со— форма объёма на некотором ориентируемом римановом многообразии. Для любого 0еД р (М) существует единственный элемент * р е ^~р (Л4), такой что

<«. *Р>^₽=<РЛ«><С11-26)

при всех ae Д„~Р(М). Кроме того, * обладает следующими свойствами:

* (а + 0) = * а+* 0; *(fa) = f(*a);

<* а, *Р)ГР = <а, Р)рт;

если а<= Др, 0 (= К*-”, то <*а, 0)^"р = (—l)p(v~p><a, *0)р;

если as Др, то *(*а) = (—l)p<v-p)a;

а Л (* 0) = (а, 0)^© при всех а, 0 s Др.

Доказательство. Очевидно, правая часть (11.26) определяет на Av-p линейный функционал, а потому, в силу двойственности, существует единственный элемент пространства Av-P, *0F удовлетворяющий (11.26). Линейность операции * очевидна. Утверждение (с) означает просто, что из a s Др и 0 s Av-P следует равенство 0Да = (—1)р|'-р|аД 0. Чтобы доказать (Ь), рассмотрим такой ортонормированный базис ©ь .... ©v пространства Tm (М}, что to = ©j Л ... Л ©v. Легко видеть, что- ♦(«^Л •Л ©,р) = (—1)"©^ Л ... Л ®/v_p, где ix< ... <ip, а jx < ... < i4_p — дополнительное к {1Р ..., 1Д множество- и л — это знак перестановки, переводящей набор 1, ..., р в ib ..., 1р и р + 1, ..., v в /ь ..., ]\_р. Таким образом, оператор * переводит ортонормированный базис в Др в ортонормированный базис в Av-P, так что (Ь) справедливо. Утверждение (d) следует из (Ь) и (с). Наконец, пусть а А * 0 = сю с некоторым с. Тогда с=(аД*0, ©)^=(*0, *°)^"Р = (0, °)т = (a, 0)₽t что доказывает (е). □

Хотя оператор * определен нами на /^^(М), мы будем использовать то же самое обозначение для отображения Др (Л1) в Av~₽(Af), понимая его в поточечном смысле. Следующая теорема является ключевой:

Теорема 11.10. Для всех as Др•

d*a = (—l)v+vp+1 * [d (* а)];•'

L(*a) = *(La).

Доказательство, (а) Пусть a — произвольная р-форма и 0 — произвольная р— 1-форма. Тогда по теореме Стокса v— 1-форма 0 Л *a удовлетворяет соотношению

d (0 Д * а) = 0, т. е.

Jd0 Л (* а) + (—1)р-1 0 Ad(*a) = 0.' (11.27)

Но

d0 Л *а= ^ (d0, a)mm = (d0, а) = (0, d*a),(11.28)

а

0 A d(* а) = (—lyp-o^-p+o р д * (* d *а)

= (— l)(p-O(v-p+i)^p> ,d»a)mm

= (-l)v+vp+p-(0, *d*a>.(11.29)

Так как число (р— l)(v —р +1) — v — vp— р+ 1 = —2v— р (р — 1) чётно, из равенств (11.27 — 29) следует (а).

(Ь) Если v чётно, то L = — (d*d* + *^*d) и L^_p * = = — [*d*d* + (—l)p(v-p)d*d] = *Lp. Здесь через Lp обозначается оператор L [* Др. Если v нечётно, то Lp = (—l)p[d*d* — — * d * d] и

L4_p* = ^_\y-p [(—1)P(V-P) d* d — * d* d*] =

= - (-1)" [(—l)p<v-p>d * d — * d * d *] = * Lp. □

Следствие 11.11. (теорема Пуанкаре о двойственности). Для любого компактного ориентируемого многообразия М размерности v при всех р выполнены равенства 0V-P = bp.

Доказательство. Выберем какую-нибудь риманову метрику и заметим, что, в силу утверждения (Ь) последней теоремы, преобразование • является унитарным оператором из Кег (Ер) в Ker(Lv-p). □'

Замечание. Если-v = ^k, то операция *: Д2Й->Д26 удовлетворяет равенству (»)2 = 1 и вследствие (Ь) операторы L и * можно одновременно привести к диагональному виду. Величина

ст := dim {и | Lu = 0, * и = и) — dim (u | Lu = О, * и = — и)

— это знаменитая сигнатура Хирцебруха многообразия М.

В заключение этого параграфа отметим, что если Q := d + d* действует в Н := фр-о Др и оператор Р определён в Н равенством Р f Др = (—1)р, то Q2 = L, Р2 = I и {Q, Р} = 0. Поэтому здесь применима теория суперсимметрии (см. § 6.3). В частности, если Е ^ 0, то-

Е dim (Ker [(L — Е) Г Др]} = р нечётно

ДЕФОРМИРОВАННЫЙ ЛАПЛАСИАН ВИТТЕНА

Рассмотрения предыдущего параграфа показывают, что р-е число Бетти многообразия М совпадает с числом нулевых собственных значений оператора L, действующего на р-формы. Однако практически спектр L вычислить трудно. Виттен подметил, что результаты предыдущего параграфа сохраняют силу при замене d, d* и L на операторы

df:=e-‘fde‘f,

<Tt := e(fd*e~'f,.

Ц:= dA + d*tdt,

где ieR и f — какая-нибудь функция Морса. Действительно,, если подпространства Ad(> Adj и Ля( и их /А-замыкания: Л^ > Adj и Ля определены аналогично соответствующим подпространствам из предыдущего параграфа, то

A^^Ker(d(: A^A^/Ran^: AP-1-*AP)-

С другой стороны, легко видеть, что

' Ker(dJ = e-tf Ker(d),

Ran (d() = e~tf Ran (d),

а потому

A^ = Ker(d)/Ran(d) = //p.

Таким образом, мы доказали следующий результат:

Теорема 11.12. 6p = dim[Ker(L( f AP)L

Отметим, что соображения суперсимметрии применимы и в этой деформированной ситуации: если Qt:=dt + dt действует в Н = фр-оЛ₽и Р определён соотношением Р t АР = (—1)Р, то C^t = Lt, и из результатов § 6.3 следует, что равенство (11.30) справедливо для Lt вместо L.

Из теоремы 11Л2 видно, что для оценки 6Р достаточно оценить размерности A^ = Ker(LJ ЛР) при некотором t. Основная идея метода Виттена состоит в том, что предел при t-^co является квазиклассическим пределом для оператора Lt. Таким образом, асимптотики собственных чисел Lt можно использовать

для оценки размерности Ker(Lf |- Д₽) при больших L Вытекающие отсюда оценки чисел Бетти совпадают с неравенствами Морса. Для определённости поясним, как доказывается (11.21). Рассматривая квазиклассический предел Lt f Др, мы найдём, что число собственных значений Ек^, удовлетворяющих условию lim^^Ek^it = 0, в точности равно тр. Поскольку Ек^ = 0 .для к = 1, ..., Ьр, отсюда следует, что тр ^ Ьр..

Чтобы двигаться дальше, мы должны найти выражение для Lt, из которого была бы ясна роль поведения функции f в окрестности её критических точек. Пусть х1, ..., xv — какая-нибудь координатная система в некоторой окрестности на М. Определим локально оператор (а‘)*, действующий на р-формы, по правилу

(д‘У а = dx1 А а.(11.31)

Пусть а‘ — сопряжённый к (а')* оператор. Прямыми вычислениями проверяется, что

a1 dxiv Д ... Д dx*p

р.'

= Е (— 1) gMk dx'v А ... A dx^-v Д dx^+i А ... A dx'p, 6-1(11.32)

где gli — метрический тензор на Т*. т. е. gri = <dxl, dxiy (Отметим, что g11 и gq суть взаимно обратные матрицы.) Операторы (а‘)* и а1 являются операторами нулевого порядка. Мы всегда будем считать, что они действуют на формы с носителями в такой области, где определена система координат х. Из (11.31) и (11.32) легко вывести, что-

■ {аг, (аО*) := аг (а/)* + (а/)* a1 = gM. •

Укажем на формальное сходство с операторами рождения и уничтожения фермионов в физике. Оставшаяся часть параграфа посвящена доказательству следующего предложения:

Предложение 11.13. Оператор Lt имеет вид

Lt = L-H4df№-HA,

где А — оператор нулевого порядка. Если метрика является ллоской в некоторой окрестности, то в локальной ортонор мированной системе координат х1, ..., xv

Л = Е <№х‘ дх^ [(a*)*,(И-33)

ч■

Доказательство представляет собой длинную цепочку выкладок. Прежде всего заметим, что

dta = e~(fde^a = da-V-tdf Да и

d^ =^"5Zdxl‘

Таким образом, полагая fi = df/dx‘, получим

dt = d + t £ f {(a{)*, i-l

а потому

d* = d* + t E ha1.

так что (с {Л, B} = ЛВ-|-ВЛ)

Ц = {^, d*} = L+t2 £ fj, (a1, (al)*} + tA, где

л = л1 + л; Ax=^d, E^}.

Чтобы убедиться, что A — оператор нулевого порядка в произвольной точке, введём оператор дифференцирования по локальной координате дс.

di^^u^lp dx*1 A .. Д dx1”^

_. du,,

= У —dxx A ... Mx1»,

так что d = ^i (a1)* dt- Таким образом,

4 = £ {(«T, f,ai} d, + (a1)* [dh 1^ = £ №< + Л2.

U1(11.34)

Здесь Л2 — оператор нулевого порядка, в который входят вторые производные от f и производные от gli (так как из (11.32) видно, что а1 содержит производные). Поэтому

л-л, + л; — ^[5,.4-'f,) + A+^

— оператор нулевого порядка.

Чтобы получить выражение (11.33) в тех точках пг, где метрика является плоской (т. е. gy = 61< в некоторой окрестности пг

для подходящей системы координат), вернёмся к (11.34). В этом, случае [д>, а'] = 0, а потому

Л = 2?Д+ Е(аУа%,'

где fa =d2f/dx‘dxi. Таким образом, матрица Д2 эрмитова, ибо- fa симметрична. Следовательно,

A = Zfl, Д2^Уа*-бЧ

Это приводит к (11.33), если заметить, что в плоском случае {(a1)*, al} = 64. □

Приведённое выше вычисление А для точек общего вида не вполне удовлетворительно, хотя его всё-таки достаточно для наших целей, поскольку нам нужно лишь знать, что А — оператор нулевого порядка, да иметь явное выражение для него в некоторых точках специального вида. Формализм ковариантных производных, который будет введён в следующей главе, и соотношения между операторами а и ковариантными производными (11.14, 15, 17, 28) позволяют совсем легко вычислять А в терминах второй ковариантной производной (определение 12.24), а именно:

А=1.^1,^а1У,аЦ.(11.35)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 11.4

Для данного ориентируемого компактного многообразия М без границы и произвольной функции Морса f на М мы хотим доказать неравенства (11.22, 23). Для этого выберем какую-нибудь риманову метрику на М и, чтобы оценить при больших t кратность нулевого собственного числа (т. е. размерность ядра) оператора -.

L^L+^UdflP + M,

действующего на р-формы, применим результаты § 11.1. Функция lldfll2 обращается в нуль лишь в конечном числе точек, ибо t — функция Морса; оператор А—это гладкий оператор нулевого порядка. Тем самым здесь должен быть применим какой-то вариант теоремы 11.1. Мы выберем риманову метрику неким специальным способом, зависящим от f.

Пусть (т*0)}*,! — критические точки f с индексами ind(a). Тогда в некоторой окрестности каждой точки mW существует такая система координат хь ..., х^, что функция f имеет вид

f = -xl+ ••• + Xv-ind(a) Xv-ind(a)+lXV

Такие координаты называются координатами Морса [245]. При условии что dxi, ..., dx^ ортонормированны, мы получим метрику в некоторой окрестности точки mW. Поскольку критические точки f изолированны, с помощью разбиения единицы мы можем „сшить" такие метрики, заданные в окрестностях критических точек, с какой-нибудь произвольной метрикой, заданной в остальной части М. Тем самым получится метрика на всём многообразии М..

В этой новой метрике легко выписывается выражение для оператора Lt в терминах координат Морса в окрестности критической точки т(о). В силу предложения 11.10,

V—ind(a)v"

Lt = — k+4t2x2+2i У Га* а,]— 21УГа* а,].

'Z-11 J Z-v-Ind(a)+l 1 J

Здесь х2 = У,, х? и А действует на р-формы "следующим образом:■

A(f dxt А ... A dx{ ) = У dx. А ... A dxi V 1р/1р

Определим оператор Kw, действующий в A₽(RV), соотношением•..

^») = _^^А^\■ ■

V—Ind (a)v

Aw = 2 У К, аг]-2 У «, аг].

Z-1 1 JZ—v—Ind (а)+1J

Асимптотические значения собственных чисел Lt будут выражены в терминах спектра оператора Фа Kw, который мы сейчас вычислим.

Оператор —А + 4х2 действует на р-формы как скалярный, т. е. он действует одинаково на все формы вида dxiv А • - • А ^хц. Следовательно, его собственные числа совпадают с уровнями гармонического осциллятора {У;_! 2(1 + 2nz): пь .... гц <={0, 1, ...}}. Для любого из них существует vl/(v— p)lpl не- завис имых собственных форм вида

ф dxtx А • - • A dxtp, 1 ^ ti < ... < tp < v.

где ф— соответствующая собственная функция гармонического- осциллятора. Поскольку

[а,, аД f dx^ A ... A dx^ =

ieV\, -... iP};i ^ {ii, ..., iPYieV\, -... iP};i ^ {ii, ..., iPY( fdxtx A ... A dxip при

ieV\, -... iP};i ^ {ii, ..., iPY

ieV\, -... iP};i ^ {ii, ..., iPY

— f dxiv A ... A dxip при

видно, что эти формы диагонализуют оператор Д<°>:

гдегдеД(а)Ф dxiv А .-- A dxip = Ха (ii,..., ip) ф dxlx А ... A dxipr

где

где

*(/(U),*(/(U),bAh,и = #(/ПЮ-#(/ПЮ-#(/П£) +

*(/(U),

*(/(U),

I = Vh, ..-, iPY / = {1, .... v}\/.

K = {1, . -., v — ind (a)}, L = {v — ind (a) + 1, ..., v}.

Таким образом.

a(K(o>) = 4 £2(1 +2пг) + 2Ао(А, .... ip):

nx, ..., гц e {0, 1, ...} и i ^ ix < ... < ip ^ v}, a^/Ct^LWW

Нас интересует кратность нулевого собственного, числа. Немного подумав, можно понять, что соотношения Ха (1Х, ..., ip)^ — v и Ха (ib ..., ip) = — v выполняются лишь при ind (а)=р и ix, ..., ip = v — р + 1, ..., v соответственно. Значит, Ker (Kw f Д_р) = 0, если ind (а) ^ р. В случае ind(a) = p имеем dim^C(o)) f Др) = 1. Стало быть, размерность ядра Кег (фо Д(о) f Др) совпадает с числом критических точек f с индексом р, т. е.

dim (Кег(фаД(аЧ КР^ = тр.

Теорема 11.1 в том виде, как она сформулирована, не годится для оператора Lt, действующего на р-формы. Однако читатель может проверить, что доказательство теоремы для оператора Lt изменяется лишь незначительно. Таким образом, если £«(0 и вп— собственные числа операторов Lt f Др и ®aKw f Др соответственно (с учётом кратности), то "

ИтЕЦОЦ—Д. (11.36) <->оо '

Нам потребуется вариант ИМС-формулы локализации для многообразий:

L=^JaUQ-H\\dJa\?.(11.37)

аа

При больших t из (11.36) видно, что количество чисел £«(0» равных нулю, не может превосходить количества нулевых чисел е„. Отсюда

6р = бпп[Кег(М А")]

<dim [Ker (фа Kw Г Ар)] = тр.

Это доказывает неравенства (11.21), т. е. слабые неравенства Морса.

Теперь, используя идеи суперсимметрии, мы можем доказать теорему Морса об индексе (11.23). Мы знаем, что втр+1 является первым не равным нулю числом из набора {е^”_г Следовательно, при больших t величина Е„ (0 для n mp + 1 растёт как t. Об остальных собственных числах [^ (0, ..;, Етр (0} известно, что первые Ьр из них равны нулю. Будем называть последующие собственные числа Еьр+\ (0, • • •, ЕРтр (0 слаборастущи- ми. Они не равны нулю, но растут при t-^-oo разве лишь как о(/). Суперсимметрия „выходит на арену" следующим образом. Из равенства (11.30) следует, что слаборастущие собственные числа появляются парами „чёт—нечет", т. е.'для каждого числа Еп с нечётным р существует число Е^. с чётным р'. Отсюда следует равенство

Е (тр — 6Р) = 2 Ир — Ьр\ р нечётнор чётно

так что

Е (-l)pmp=E (-1)Р6Р + Е Ир-6р) р~0р—Ор чётно

- Е («р-бр)=Е (-Dp6p.

р нечётнор—О

Полученное равенство совпадает с (11.23).

Для доказательства (11.22) надо проанализировать более тщательно взаимные сокращения, обусловленные суперсимметрией. Через В? обозначим тр — др-мерное пространство, отвечающее слаборастущим собственным числам. Как и раньше, рас-

смотрим на фр_0 Д р оператор Qt = dt + d*t. Поскольку Q| = Lf ,Q( переводит собственные подпространства оператора Lt в себя. Таким образом,

Qt: а^аГ^аГ1.

Далее, так как ядра операторов Qt и Lt совпадают, Qt действует на е;_ов? взаимно-однозначно. Следовательно, Qt есть взаимно-однозначное отображение

Qt-Qt-(11.38)

Qt-

Qt-

Отсюда следует, что в (11.38) размерности пространств справа от стрелок не меньше, чем слева. Поэтому

(”1] + 6j) + ... + (/П27-1 — 62/_i) ^ (то — 60) + ...

■• • • + (тг/ — 6г/),

■ (то — 60) + ... + (тг/ — 62/) ^’(т! — 6J + ...■

■... + (тг/+1 — 62/+i),

а это в точности сильные неравенства Морса (11.22).'

Отметим, что теорему Морса об индексе можно получить и из (11.38), ибо в случае 2/4-Г ="v иди 2/ = v отображение ■ Qt в (11.38) является биекцией, а значит, размерности пространств слева и справа от стрелок совпадают. □

Доказательство Пато дитеоремы Гаусса — Бонне — Чернаи супердоказательства теорем об индексах

В замечательной статье Виттена [370] и примыкающей к ней статье [369] содержались не только идеи, изложенные в предыдущей главе, но и развёрнутые замечания о виде теоремы Атьи—Зингера об индексе в суперсимметричной квантовой теории. Последние наводили на мысль, что в рамках суперсимметрии можно дать простое доказательство классической теоремы Атьи—Зингера. Эту идею реализовал Альварес-Гаумес [12], а вслед за ним — Фридан и Уинди [ИЗ] (см. также Windy [368]). Будучи физиками-теоретиками, они основывали свои рассуждения на формальных манипуляциях с интегралами по траекториям (включая и «фермионные» интегралы по траекториям), так что их доказательства нельзя, конечно, считать строгими. Придать их рассуждениям строгость сумел Гетцлер [129], однако его доказательство, использующее аппарат псевдодиф- ференциальных операторов и теорию супер многообразий,, было весьма сложным. Впоследствии он нашёл доказательство, геометрическая и алгебраическая части которого совершенно элементарны и прозрачны [130]. Независимо от Гетцлера Бисмю [49] пришёл к близкому доказательству. Аналитическая же часть этих двух доказательств [49; 130] достаточно сложна, ибо она опирается на теорию броуновского движения на многообразиях. . .

Одна из целей данной главы — описать одну элементарную теорию операторов Шрёдингера на многообразиях, позволяющую проводить аналитическую часть супердоказательства теорем об индексе. Но что более важно, мы хотим изложить материал в поучительных подробностях. По этой причине мы сосредоточим внимание на особенно простом частном случае общей теоремы об индексе — на теореме Гаусса—Бонне—Черна (ГБЧ). Как это ни удивительно, но если конкретизировать доказательство Гетцлера для этого случая, то в результате получится доказательство, предложенное ещё в 1971 г. (I) Патоди [273], который не подозревал, что говорит на языке суперсимметрии. Наше доказательство в §§ 12.1—8 в целом следует стратегии, предложенной в блестящей работе Патоди, за исключением

применяемого аналитического аппарата (§§ 12.5—7), который у нас иной (для удобства читателя мы довольно подробно излагаем необходимые предварительные сведения из дифференциальной геометрии). В §§ 12.9 и 12.10 приведены некоторые замечания об общем случае.

ОЧЕНЬ КРАТКИЙ КУРС РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ

Для разговора о теореме ГБЧ нам нужны некоторые элементарные факты и определения римановой геометрии. На самом деле мы не будем для экономии места останавливаться на геометрическом содержании вводимых понятий, так что, вероятно, надо было бы говорить «риманова анализа», а не «римановой геометрии». Мы обсудим римановы связности, а затем понятие кривизны.

Напомним, что векторные поля на многообразии М, т. е. гладкие функции X на М, ставящие в соответствие каждой точке реМ элемент касательного пространства в этой точке (Х^е ТР (М)), в локальных координатах имеют вид X (р) = У, а1 (р) д/дх1 и действуют на функции по правилу

W)(p) = ^a,(p)-^-(p).

Нетрудно показать, что для любых двух векторных полей X, Y оператор [X, У] = XY — YX однозначно определяет векторное поле. Его мы обозначим также через [X, У].

Множество всех векторных, полей на Ммы обозначаем через rf^M)), а под Г(ДР7*(М)) понимаем множество всех р-форм на М, которое в предыдущей главе обозначалось Через Др (М). Для данного ХеГ(Т(М')') введём производную Ли Lx на Г(Т(М)) и т. д., полагая

Lxh=Xt, teC”^,

LxY-=\X, У], УеГ(Г(М)),

M^;=LxM-®№ шеГ(Г(М)). (12.1)

На р-формах Lx определяется так, чтобы

Lx (а А 0) = Lxa A 0 + a A Lx^.

[Разумеется, чтобы проверить, что (12.1) определяет отображение 1-форм в 1-формы, мы должны убедиться, что значение ^Lx<s^Y^ в точке р зависит лишь от У(р). Но действительно, легко видеть, что (L^co) (fY) = f (Lx&) (У).] Производные Ли имеют по крайней мере два существенных недостатка: (i) Lx не является тензором по X, т. е. Lx зависит не только от Х^р),

но и от X в окрестности р, а именно Lfx^fLx, так как Lfx = fLxY — (Yf) (X). (И) Если имеется риманова метрика, то равенство Lx<Y, Z>=<LxY, Z>+<Y, LxZ> неверно.

С аналитической точки зрения введение ковариантных производных— попытка исправить недостаток (i).

Определение 12.1. Ковариантной производной, или связностью, называется отображение Vx: Г(Т(М))-»-Г(Т(Л1)), при любом X е Г (Г (Af)) удовлетворяющее следующим условиям:

^xY линейно по X и Y над полем вещественных чисел;

VfxY = fVxY для feC”(M);

Vx(fy) = fVxy + W)(y).

Определение 12.2. Связность называется симметричной (или связностью без кручения), если .

Vxy-VyX = [X, У].(12.2)

Далее мы будем рассматривать римановы многообразия, т. е. гладкие многообразия с римановой метрикой.

Теорема 12.3 (основная теорема римановой геометрии). На любом римановом многообразии существует единственная симметричная связность, удовлетворяющая соотношению

Хф, Z) = ^XY, ZH<Y, ^XZ)(12.3)

для любых векторных полей X, У, Z.

Набросок доказательства. Допустим, существует связность, удовлетворяющая (12.2, 3). Тогда

^XY, Z) = X<Y, 2)-(У, VXZ) (в силу (12.3))

= X(Y, Z) -<У, [X, Z]> —(У, ^ZX) (в силу (12.2))

ЭЛ — (У> Vz-X) .

= tx — Z(Y, X) + &ZY, X) (в силу (12.3))

= tx-Z(Y, J) + ([Z, У], J) + (VyZ, X) (в силу (12.2))

= Л + ^2 + (VyZ, X)

= tx + t2 + Y(Z, X) — {Z, VYX) (в силу (12.3))

= tx + t2+Y<Z, X) — {Z, [У, X))-(Z, 7хУ> (в силу (12.2)). Таким образом, любая связность, подчиняющаяся (12.2,3), должна удовлетворять равенству

(^XY, Z)=^vx(y; Z}+Y(X, Z)-Z{X, У)

-<У, (X, Z])-<X, [У, Z]) + <[X, У], Z)}. (12.4) Отсюда вытекает утверждаемая единственность.

Непосредственно проверяется, что правая часть (12.4) — тензор по Z (т. е. ^xY, fZy= f^xY, Zy), а потому зависит лишь от Z(p). Поскольку она линейна по Z, мы можем рассматривать равенство (12.4) как определение VxK Дальнейшие выкладки с использованием (12.4) показывают, что Vx/ удовлетворяет аксиомам связности и условиям (12.2,3). □

В произвольно выбранной системе координат положим Xi = d/dx‘, gn = <Xi, X/)", через g11 обозначим матрицу, обратную к gn.Поскольку [Х/, X/] = О,из(12.4)следует,что (Vx^Vi)

^.W-lfi^ + ifo-Aj,,}.(12.Sa)

* V*V*V*)

а потому .■

7^ = 2^,(12.5b)

где

d2-50)

Г называется символом Кристоффеля связности.

Симметричность связности и ли-перестановочность полей Xi приводят к тому, что VtXj = ^Xt, так что символ Г^ симметричен относительно перестановки I и /".

Если В=^ьЧд!дх\ С =^с1 (djdx1), то Vb=Z blVi, ViC = Z (d/dV), где '

: Л'-т+ХУ^ : ' \O2.e>

Обратим внимание читателя на то, что в выписанных формулах ковариантные производные определяются в терминах координатных векторных полей Xi. Иногда их вводят, используя ор- тонормированный репер векторных полей, упоминавшийся в § 11.3. В этом случае символ Г не будет симметричен по I, j.

Символ Кристоффеля не преобразуется как тензор, так как произведение <VxK Zy является тензором лишь по X и Z. Однако комбинация.

'2?(X,y) = VxVr-VrVx-V№ri,

называемая кривизной, есть тензор, т. е. форма

КIX, Y, Z, W)=(R(X, Y)Z,W}

зависит лишь от значений X, Y, Z, W в точке р. Величина Кг Г(®4Т*Л1)) называется римановым тензором кривизны. •

Теорема 12.4. (а) (Первое тождество Бьянки.')

- R^X, Y)Z + R(Y, Z)X+R(Z, X)Y = 0.

Тензор К антисимметричен относительно перестановки X и Y или W и Z."

К(Х, Y, Z, W) = K(Z, IF, X, У).

Доказательство, (а) Поскольку R — тензор, достаточно рассмотреть коммутирующие X, Y, Z, т. е. без потери общности можно считать, что [Л, У] = [X, Z] = [X, У] = 0. Тогда

‘ левая часть (a) = VxV?Z— VyVxZ + 4 других члена

= Vx V^yZ — VZY) + 2 других члена

= 7х([У, Z]) + 2 других члена (в силу (12.2))

= 0 (поскольку [У, Z] = ... =0).

Антисимметричность по X и У очевидна. Для доказательства антисимметричности по Z и IF надо лишь перенести производные с Z на IF, применяя два раза тождество <ЧлВ, Су = А<В, СУ—<В, \АСу.

Ввиду тензорного характера R можно выбрать Xi так, чтобы [Х„ X/] = 0. Пусть .'

RMki=K(Xk, Хь Xt, Xj).

Теперь из цепочки равенствt.

..^Ш = — Rikli — Rkip (В СИЛУ (а))

' ' '= Rjkii + Rkiij (в силу (b))■• - •

= — Rklji — Rljki — Rilkj — Rikli (в СЙЛу (a))

= Rklij + Rljik + Riljk + Rklij (в СИЛу (Ь))

= ^RkiM — Rpik (в силу (a))

= ^Rkiti — Riiki (в силу (b))

следует требуемая симметричность. □

Прямые вычисления в локальных координатах показывают, что

R(Xh XjUfc^IlRktiXb

где'

«.'„ - ^г П» - ^г rf. + 2 (г;.г<, - г;,г-г). . (12.7) Г•

В дальнейшем будет полезна следующая

Теорема 12.5. Пусть т— точка риманова многообразия М. В окрестности т существует такая система координат х‘, что

V(m) = 0;

' (b) 5о(т) = дф

Г*(т) = 0;

д/дх'гм(т) = 0;.

det gij =1 вблизи т.

Такую систему нормальных координат (или нормальную систему координат) с началом в точке tn можно построить следующим образом. Надо выбрать в Тщ ортонормированный базис ei и положить по определению координаты произвольной точки р равными х, если длина отрезка геодезической, соединяющей точки тир, равна 1х|, а касательная к ней в точке т направлена вдоль вектора д, xlet. Подробности можно найти, скажем, в книге Boothby [52, рр. 331—335] *;. там, правда, условие (d) не фигурирует, но ввиду (12.5)

■ Sik = ^ (Skl^ij + 5/1Г]6).'

Условие (е) может не выполняться в так определённых геодезических координатах, и многие авторы не включают его в определение «нормальных координат». Объясним, как можно преобразовать систему координат, удовлетворяющую (a) —(d), таким ■ образом, чтобы было выполнено и (ё)." ДЛЯ данной системы координат х положим

ух = Vdetg (s, х, ..., х") ds, у1 = х\ I ^ 2. о

В у-системе dny = Vdet g dnx, так что для метрики g в новой системе координат мы имеем VdeF^=l. Прямые вычисления показывают, что gij = б</ + О(|х|2), а потому у-система подчиняется условиям (а)—(d).

Нормальные координаты удобны по следующей причине. Тензоры можно вычислять в любой системе, а поскольку символы Г часто входят в формулы сложным образом, полезно иметь возможность проводить подсчёты в какой-нибудь «хорошей» си-

схеме координат. В частности, мы часто будем доказывать совпадение двух ковариантных объектов, проверяя это в произвольной точке т в нормальной системе координат с началом в т.

С помощью (12.5) и (12.7) получаем следующую элементарную формулу для Rijfet в начале координат нормальной системы:

Rqki (m) = у (Gik-, ц + Сщ ik — Gii; jk — Gjk; a),(12.8a)

где

■ Gip, ki = ^8ц!д*ь dxl (m).(12.8b)

Подчеркнём, что эта формула, к сожалению, справедлива лишь в нормальных координатах. Отметим в порядке компенсации, что симметричность Ri^i относительно перестановки (ij) *-»- (А/) очевидна, коль скоро установлена симметричность Gip kt относительно перестановок I -<->- /, к -<->- /. Условие (е) имеет важное следствие:

det 8ц = 1 + tr <gtj — 6ц) + О (| gM — 6ц p),

так что.

d2 det g V* n

- к i = 7 Gtpki. dx* dxl Ar*

Стало быть,

det g ■ 1 => E Ga, ki (m) = 0.(12.9a)

Отсюда следует, что для полной свёртки тензора Rijkt, называемой ■ скалярной кривизной, в нормальных координатах есть очень простое выражение:

R := Е Ra11 = 2if,(12.9b)

ia ia).."

снова подчеркнём, что понятие «нормальности» включает в себя условие det g = 1.

Перенесем ковариантное дифференцирование на формы. Для один-формы <о и ХеГ(Т(,М)) зададим один-форму Vxm равенством

Можно убедиться, что правая часть здесь является тензором по Y. В локальных координатах -

V, W = - Е Г', dx1.(12.10а)

На р-формах операция Vx вводится так, чтобы.

Vx (о Л Р) = (Vx«) Л Р + а Л (VxP).(12.10b)

Если

а= Е а< ,• dx'1 Д ... /\dxlp, - 4<-<4 1 р

ТО■

Wi, ... i„ = ~^7^ “ S Г^°й - 'г-1»,+ 1 ‘р .

при условии что значения а распространены с й < ... < ip на остальные наборы индексов по антисимметрии. Пусть (а*)*— оператор, переводящий р-формы в (р + 1)-формы по следующему правилу:

(аг)‘ (в = dx1 А с».'

На С” (А!) будем понимать оператор Vx как действующий по правилу Vxf = Xf.

Теорема 12.6. d = Е ^Y V/.

Доказательство. Пусть dt — оператор, определённый равенством

У а/ I dxh Л ... A dx*p\\1х<-<1р-7

Тогда d имеет вид - -

^=Е(а'Г^.

Из соотношений (12.10а, Ь) следует, что оператор V; на р-фор- мах задаётся выражением

^=^- Е VUimWa”(12.10с)

(так как VZimgjmd^ dx^ = 6^. Тем самым утверждение теоремы эквивалентно тому, что.

Для доказательства этого равенства достаточно заметить, что (а‘)*(а<)* =—(а9*(а9*> а символ г{/ симметричен по I, L □

Дальнейшее обсуждение кривизны на формах содержится в § 12.2.

Поскольку Rnki — ковариантный тензор, мы можем построить различные смешанные тензоры путём поднятия индексов по правилу Rt*ki = Sa galRiaki и т. д. (определённые ранее величины R/ki и Rqki связаны именно таким образом). В силу антисимметричности тензора Rqw относительно перестановок i j, к -<->-1, единственными его нетривиальными свёртками являются тензор Риччи

Sq = S Riq1

и полная кривизна.

■i. Ii

Пусть л — произвольное двумерное подпространство касательного пространства Тт(М^ и еь е2— какой-нибудь ортонор- мированный базис в л. Построим какие-либо векторные поля X и Y, принимающие в точке m значения ei и е2 соответственно. Величина

K^:=-R<X, Y, X, У)

называется секционной кривизной в направлении л. Вот эквивалентное определение. Назовём оператором кривизны R^ линейное отображение на Д^(Л1), задаваемое равенством

^(dx1 Д dx^ = S RMkid^A dxl. <12-1V

Если формы m, р. двойственны к ё\, е^ и а„ : = ф Л р, то

К(л) = <а„, ^(а,,)).

Отметим, что tr (7?<2>) = 7?, т. е. след оператора кривизны совпадает с полной кривизной.

Хотя мы и не собираемся много говорить о геометрическом содержании понятия кривизны, всё-таки надо отметить, что кривизна «измеряет», имеется у геодезических, выходящих из данной точки, тенденция к «разбеганию» или нет. Положительность кривизны приводит к «фокусировке» геодезических, как это видно из следующего факта: если кривизна Риччи ограничена снизу единичным оператором, умноженным на положительный множитель х, то многообразие М компактно и существует априорная зависящая от х верхняя граница для расстояния между любыми двумя его точками. С другой стороны, отрицательность кривизны говорит о «разбегании» геодезических из данной точки. Например, если все секционные кривизны ограничены сверху фиксированным отрицательным числом —х и многообразие М

односвязно, то для любых двух его точек существует единственная соединяющая их геодезическая и М диффеоморфно Rv. Обсуждение этих вопросов можно найти, например, в гл. III книги Chavel [62].■

В заключение введём понятие дивергенции векторного поля. Для заданного поля X можно определить отображение VX из Г(Т(М)) в себя, действующее по правилу VX(yj = VyX. В силу тензорного характера VyX относительно У, VX действительно определяет матричную функцию, т. е. существует линейное отображение (VX) (т) из Тт^М) в Tm(Af), такое что (VyX)(m) — (VX) (m) [У(т)]. След этого преобразования (который является функцией на М) называется дивергенцией поля X и обозначается через div(X). Это — инвариантное определение. В координатной записи, если X = 2 b1 (d/dV), то (Х1 = д)д^')

№ (X,) - X ^ X. + £ »Т‘ х„

а потому■.1~■

divm-£^- + 26‘r!<-<1212>

Теорема 12.7. (а) Для любых f е С” (М) и X е Г (Г (ЛО)

^Xf)dx^fdVvQ^dx.

Здесь dx— естественная мера на М (равная в локальных координатах ^gdxx ... dxn, где g = detgi/).'

(b) На гладких р-формах

Vx = — Vx — div X.'(12.13)

(=)т^г1п(й-£г;,.

Доказательство. Для заданной координатной окрестности N с координатами х1 положим

(divr^JO — tViF^-^r^Vg)-

Интегрируя по частям, найдём, что при f еС^ (N)

\(Xf)dx = -\f(dwr x(X)dx.

Для двух разных систем координат х и у в окрестностях N и L при f е С” (N f| L) имеем

$ f {(div) ~ х№ ~ (div) ~ ^(У)} dx = 0,

так что (div)~ (X) не зависит от выбора системы координат. Поскольку функции div(X) и (div)~(X) определены инвариантно, при доказательстве того, что они совпадают во всех точках т, мы можем выбирать систему координат зависящей от т. В нормальных координатах с началом в точке т выполнены равенства Г — 0 и (d/dV) (V5) = 0, так что (div)~ (X) (т) = div(X) (т). Тем самым доказано (с), а также тот факт, что (а) верно для функций f с носителями в достаточно малой координатной окрестности. Вводя подходящее разбиение единицы, получим (а) в общем случае. .-

Наконец, пусть и, о е Г (Т* (М)). Тогда•

{<Vxu, v) + (u, Vx») + div (X) (u, v)} dx

= J {X «u, v>) + (u, o) div (X)} dx = 0, чем доказано (b). □

Более прямое доказательство утверждения (с) можно найти в книге Spain [346, рр. 27—28].

Соотношение (12.12) можно переписать иным способом, позволяющим взглянуть на дело с другой стороны. Пусть их — двойственная к X один-форма, т. е. линейный функционал Унг> <Х, У)т. Тогда (Xf) dx = {df, и^, а потому' '

div (X) = — (Тих,

На языке оператора Ходжа », введённого в § 11.3 (см. теорему 11.10), это равносильно равенству

div (X) = * d (* и^..

Как мы уже видели (теорема 12.6),

d = E(a,)eV,.(12.14)

i ■-

Покажем, что справедливо также равенство

d = -L^4atY, ■(12.15а)

i

так что

d* = -'£aiVi.(12.15b)

Действительно, в силу (12.12) и (12.13)

v;—^-sq,. /(12.16)

С другой стороны, ввиду (12.10а, Ь)

[V,, (аОе]$W.(12.17)

Стало быть, согласно (12.14, 17),

d — 2 V, УГ - 2 [V,, (а'Г] — 2 V, УТ + ^ Г', <а»>- = ^ (V, + 2 г;,) УГ= - 2 (V,)- ^

откуда и следует (12.15а).

ФОРМУЛА БЕРЕЗИНА — ПАТОДИ

Наше доказательство теоремы ГБЧ использует технику суперсимметрии в двух местах. Первый раз — при разделении собственных значений на пары, которое мы уже обсуждали. Второй раз суперсимметрия проникает в доказательство через один элементарный результат линейной алгебры, неявно фигурирующий в монографии Березина [47] и называемый в физической литературе формулой Березина; Почти в одно время с появлением книги Березина Патоди доказал в связи со своими исследованиями по теореме ГБЧ [273] по существу такой же результат, так что мы будем называть эту формулу формулой Березина — Патоди. Надо отметить, что близкие результаты имеются в работе Атьи и Ботта [17].■

Пусть V— конечномерное пространство с внутренним (скалярным) произведением, и пусть Др (V) — пространство антисимметричных р-тензоров на V. Положим

k*^-© лр(п р-1

где n = dim(V). Через (— 1)р обозначим оператор в Д*(У), действующий в каждом пространстве ДР(У) как умножение на (—1)р. Для любого АеЬ(Д*(У)) (линейные операторы в А* (О определим суперслед str (А) формулой

str(A) :=tr[(—1)р А].

Пусть 61,62, .... еп — ортонормированный базис в V. Обозначим через a,, i = l, .... п, операторы ezA- в Д*(У) и че-

рез at — их сопряжённые. Для любого набора I с(1, .... «} положим а/:= Ц at, где а< расположены в порядке возраста-

i si■

ния индексов и а^ = (а/)е. Заметим, что размерность пространства Ь(Д*(У)) равна (2я)2, т. е. в точности общему числу операторов вида ajar Поэтому следующий результат не должен показаться слишком удивительным:

Предложение 12.8. Любой оператор А е L (Д*00) можно единственным образом представить в виде '■

Основной результат, который нам нужен, это

Теорема 12.9 (формулаБерезина—Патоди). Для ■ любого

АбЬ(А‘(Ю)

str(4) = (—1)"СЧ!4(1п)-

Доказательства предложения 12.8 и теоремы 12.9. Перейдём от операторов рождения фермионов к матрицам Дирака (на математическом языке это равносильно переходу от внешних алгебр к алгебрам Клиффорда). Положим

v2fc-i=afc + a;, ^=г\ам-аему

Поскольку а удовлетворяют соотношениям \аь Д/} = 0, {a;, a/} = di/, то {Уц, ¥,} = 2б^, и, очевидно, У*=УИ- Для Д = (рь •••, Hz}<=U, •••, 2п} С Ц] < ... < ц2 положим - NA = itU-mV- ■ - Nwf '..

так что Ya=L Ya = Ya-

Мы утверждаем, что'

( 0 при А=?ь 0, ■(12.18а)

tr(YA) = |2n при А=0.(12.18b)

Действительно, если *(Д) чётно и не равно нулю, то возьмём Ш = min(z|ze Д} и Д = Д\(р1}. Тогда

tr (Ya) = i1"1 tr (y^)i1"1 tr (y^Y,.,)

= - i1"1 tr (Y^Y^f) = - tr (Ya).

ибо {y^,, Ya} = 0 и слеД цикличен. Если #(Д) нечётно, то для любого у. й А

tr (Ya) = tr (YuYuYa) = — tr (y^YaYh) = — tr (ул), так как {y^, YuYa) = 0.

Из (12.18) и равенства у£= 1 сразу же следует, что -

е ГОпри Ач^В,(12.19а)

tr (yaYs) = { 2™ при А = В.(12.19b)

Поэтому множество операторов {ул} образует систему, ортогональную относительно внутреннего произведения Гильберта — Шмидта, естественного для Ь(Де(У)); Но число таких А равно размерности dim(L (A*(V))) =2п,так что ул образуют базис пространства L (А* 00)- Поскольку каждый оператор у л есть сумма слагаемых вида а,ар то последние тоже образуют базис. Этим доказано предложение 12.8.'-

Теперь покажем, что

(-1)P = (-1)"Y{1^.(12.20)

Обозначим правую часть (12.20) через а. Ясно, что (уц, а} — 0, а значит, {а*, а} = 0. Поэтому достаточно будет убедиться, что

«Фо = Фо>...■(12.21)

где фо-вектор из А°(Ю- Но.

Y2fc-iY2fc = Г1 (акак - а^,(12.22)

так что■

v„

откуда и вытекает (12.21).

Соотношения (12.19, 20) дают■•

("0при A ^ {l,5.;.., 2п},-(12.23а)

81г(уа) = |(-1)П2п при л = р2n}(12.23b)

Ввиду равенств

ак = Т ^2к-г + ^). ^fc =у (у26_1 - *Y2*)

произведение а,а, можно разложить в сумму операторов вида ул. Если * (0 + # (-0 < 2», то заведомо Дд««{1, .... 2п}, а потому из (12.23) следует, что

str(aJaz) = O при Z^fl, ..., п} или J =N {1, .... п}.

В силу (12.22)'

aX = |(1 + i'Y2fc-iY2fc),■

и, следовательно,.

a(i™}а{1*}= (аА) (^А) • • • (а™ап)

= Ы1г Y{1г^+прочиеуд

= (4)nY{12П} +прочие ул- Согласно (12.19),

str(aun}adП}) = (-!)"•

Теорема 12.9 доказана. □

Теперь мы приведём вариант формулировки и доказательства теоремы 12.9 (по модулю предложения 12.8), принадлежащий Патоди. Это доказательство, конечно, можно пропустить при чтении, но вводимые ниже обозначения, теорема 12.10 и предложение 12.12 понадобятся в дальнейшем. Как принято при изучении внешней алгебры, для данного оператора А на V введём два оператора на Д*(У), обозначаемые Д*(Д) и ^Де(Д). Они определяются на р-формах следующим образом:

A"^^ Д ... Д ыр) = Аих Л ... Д Аир, . (12.24а) (dA)p И) (я, А ... А ыр) = р

Е «1 Л ... Л «/-1 Л AUj А и1+1 Д ... Д ир. (12.24b)

Эти два оператора связаны соотношением

-й-[Л*(е<л)]к-о=^Л*(Л),

так что

Д-(е<л) = ехрИД*(Л)].(12.25)

Следующая теорема выражает </Д*(Д) через операторы а*, а^ Теорема 12.10. Пусть А : V —► V и (Ац^ — матричные элементы А, т. е. Ав] = У, Atlet. Тогда

dKeU) = LAtla-ar(12.26)

Доказательство. Обозначим правую часть (12.26) через В. Поскольку В — линейный оператор, достаточно проверить, что

вг ЛЧЮ-ДДЧДИ V = A и.

В (и А о) = (Вы) Л v + ы А (Во)(12.27)

для всех и, о е Л* (У). Первое следует из равенств

Век = £ А^а^» = £ Auet = Аек.

Для доказательства (12.27) заметим, что при ue/\p

а* (и Д v) = (а*и) Л о = (—1)р и Л (а*о) и

a,(u A v) = (a,u) Д о —(—l^u Д (а,о).-

В этом можно убедиться, если взять в качестве и и v элементы базиса е^ А ... /\е1г Отсюда следует справедливость (12.27) для В = а*аг По линейности то же верно для В. □.

Замечание 12.11. При доказательстве мы исходили из определений (12.24а, Ь). Однако можно считать определением соотношение (12.26), вывести из него (12.24b) (см. доказательство теоремы), а затем определить Д'(В) с помощью (12.25) (Это заведомо можно сделать для обратимых В, а потом перейти к пределу).

Приведём типичный пример применения введённых выше понятий. Пусть V, — ковариантная производная, ассоциированная с координатным векторным полем д/дх1, действующая на р-формах.

Предложение 12.12.

[VoУ/^-ЕМ^' : .. ■(12.28)

Доказательство. На функциях, принимающих значения в множестве р-форм, операция V, определена равенством (12.10b), из которого следует (подчеркнём, что V<V/ означает произведение операторов V< и V/; как мы увидим в § 12.4, этот символ часто используется для обозначения другого объекта), что

У^/(аАР) =

(ViV/x) А Р + a A V/V/P + V,a A V/P + Vza A V,p.

Таким образом, неудобные члены в [V?, V/} взаимно сокращаются и

[Vo V/J (a А Р) = [V,. V/J a А Р + a A [Vo V,] р,

так что [Vo Vj совпадает с dA'([Vo Vj на 1-формах). Поэтому достаточно доказать (12.28) на 1-формах.

Пусть Xi = d/dx‘, св1 = dx1. Тогда 0 = XiXi<Xk, ®1>, а потому 0 = (ViV/X*, ф*) + (Хй, ViV/®z) + (VfX*, ^jto^ + ^iXk, ^i®1). Здесь снова при подсчёте коммутатора взаимно сокращается всё, что нужно, и

<хк, [Vo V7]®Z) = -([Vi, № ^-RkV

В силу симметрии Rkuf = RtiM отсюда следует (12.28) на 1-формах. □

Приводимые ниже замечания о работе Патоди никак не используются в оставшейся части главы. Патоди не вводит операторов а, и а’, а потому и формулировка, и доказательство его варианта теоремы 12.9 отличаются от наших. Он доказывает, что

str (dA* (В*1) ... dK4^ =

г 0■при Z < л, (12.29а)

| (-1)" Е (-^(-П’ВЙЬаК!) .... B^UoW при Z = n, (12.29b)

где сумма бёр.ётся по всем перестановкам л, а набора {1,2, ..., л}. Мы предоставляем читателю доказать, что из (12.29) следует равенство ■

S^ (Е а1, Aai) = ( О а{1гл}. {1nJ

(при этом надо учесть, что если |/|^|/|, то a*aJ переводит Др в Д’, q=^p, а значит, str(a^a,) = 0).

Для доказательства (12.29) Патоди замечает, что

det(Z + Д) = Д Тглрw (Др (А)), и стало быть,'

^.Х, det(/ - П «Plx/Wl)~X^1L (-1ГТгдЛПл’(ехрх,да-)]

11 р-0L/-lJ

= str (</Д* ОТ ...dK* ОТ)(12.30)

при X] = ... = X/ = 0..

Полагая II х|| = (^'х^)’/2, получим

' г - П ехр ^,ВМ^П XjBU> + о (IIXII2).

Поэтому det[/ — Ц^ехр (хуВ^)] имеет порядок ||х|Г. Согласно (12.30) отсюда следует (12.29а). При 1 = п старший член определителя совпадает с (—Ipdet^iB*1) + ... +хпВ<">). В силу (12.30) это дает (12.29b).

ТЕОРЕМА ГАУССА — БОННЕ — ЧЕРНА:ФОРМУЛИРОВКА И СТРАТЕГИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

В этом параграфе мы сформулируем теорему Гаусса—Бонне— Черна и изложим план её доказательства. Пусть М— многообразие чётной размерности га = 26, R— риманов тензор кривизны.

Предложение 12.13. Величина■

В(х) =

(~О* V /п» п*(1)л(9пЛ(п-1)л(п)

~®(1)®(2) . •• А®(п-1)®(п),

' ' л, а■

где сумма берётся по всем парам перестановок набора {Г, .... га), есть скаляр (т. е. не зависит от выбора системы координат).

Мы отложим на некоторое время доказательство этого предложения и дадим инвариантное определение эйлеровой п-формы E(x)dx, где dx— естественная мера на М. Если п = 2, то в сумме для Е (х) есть лишь четыре ненулевых слагаемых. Вследствие симметрии R они равны друг другу, а потому В(х) =—(2л)-1/?1212, так что из выражения для скалярной кривизны R = —^LkjR^ki = — 2/?,212 вытекает, что ’

В(х) = (4л)"*^(х) (п=2). (12.31)

Теорема ГБЧ звучит так:

хМ = £ к-хуьрхМ = £ к-хуьр= ^ Е (х) dx.м= ^ Е (х) dx.мТеорема 12.14 (теорема Гаусса—Бонне—Черна). Пусть М— компактное ориентируемое многообразие чётной размерности п = 2k. Тогда

хМ = £ к-хуьр

хМ = £ к-хуьр

= ^ Е (х) dx.м

= ^ Е (х) dx.м

Из (12.31) и того, что при п = 2 справедливо равенство

Ь\= 2g, где g— род поверхности, мы можем получить класси-

ческую теорему Гаусса—Бонне: 2 — 2g = (4n)-1 j R(x)dx. Вот интересное следствие из теоремы 12.14: Пусть М, N — компактные ориентируемые С”-многообразия и М —► N — гладкое /-листное отображение. Тогда x(M)=lx(N). Действительно, для любой метрики g на N и её прообраза g на М имеем E^(л(x)) = Ем(х'). Историю теоремы ГБЧ и её доказательство, основанное на теории расслоений (использующее классы Черна), можно найти в книге Spivak [349]. В качестве разминки перед доказательством предложения 12.13 введём пфаффианы и изучим их свойства.

Определение 12.15. Пусть п = 2й и Ац — вещественная антисимметричная матрица размера «Х«. Величина

' Pff (Д) = (2*£ I)-1 2 (-1)” Дя(1)я(2) ... ДЯ(„-1)Я(„), (12.32а) Л

где сумма берётся по всем перестановкам набора {1, .... п}, называется пфаффианом матрицы А. '

Появление множителя (2*&!)-1 ничуть не удивительно. Слагаемые в сумме (12.32а) для двух перестановок л и а одинаковы, если наборы пар {л(1)л(2)}, .... {л(п—1)л(п)} и {о(1)о(2)}, ..., {о(п — 1)о(п)} совпадают. При фиксированном л таких перестановок о ровно 2*&1, а потому

РН(Д)= X НГДу....^.(12.32b)

-^с... <ik - l L

'<1</1Ч<Ч

Предложение 12.16. (а) Если В — произвольная матрица и

Aij = X BikBjiAki,■ (12.33)

то Pff (Д) = det (В) Pff (Д).

(b) Pff (Д)2 = det (Д).

Доказательство, (а) Пусть еь .... en— канонический базис в С*. Рассмотрим ei как элементы Д* (С") и положим

а = X AMet А в/.

Равенство (12.32а) означает, что

а Да А Да = (2^!) Pff (Д) е, А ... А еп.(12.34)

к раз]'

Пусть В —оператор с матрицей Вц, т. е. Bet = ^, В^е^ Тогда а = ^ А^ Де-^ AuBei Д Be. = Д*(В)а, I, 11, г

так что' J

а А ... Да = Д" (В) (а А ... А а).

Но оператор А" (В) в n-мерном пространстве А" (С") сводится к умножению на det (В). Теперь утверждение (а) следует из (12.34). .

■ (Ь) Матрица 1А самосопряжена и её собственные числа вещественны. Если feCf*— собственный вектор iA, отвечающий числу к, то (1Л)| =— iAf =—kf, так что А имеет собственные значения ±1ХЬ ..., ±1Х*, с ортонормированными собственными векторами f2 = f„ fi = h. • • •• Полагая g2/_, = (f2/ + fn-i')/^, 5г/= (i/г/— if2/-i)/V2» получим ортонормированную систему вещественных векторов gi, причём -

Aglj kjg2j_X, Ag2j_t kjg2}.

Поэтому существует такая ортогональная матрица В, что

0 X!

— X, 0■

ВАВ-ХВАВ-Х0 Х2

ВАВ-Х

ВАВ-Х

. —Лг 0

В силу ортогональности В, det(B) = ±l и (В-*)и = Вя, а потому Д и А связаны посредством (12.33). Согласно (12.32b), Pff (Л)= ±Pff (А)= ±ХД2 ... кк. Следовательно,

Pff (Л)2 = П X/ = П [(IX,) (- iXz)] = det (Л). □

Таким образом, мы установили тот замечательный факт, что для любой антисимметричной матрицы А её определитель det (Л) как полином от матричных элементов представляет собой полный квадрат! .

Доказательство предложения 12.13. Пусть Ац-, м— набор чисел п X п X п X п, антисимметричный по i, j и k, I. Для любых В, С положим .

Ац- Ы= 2 BiaBjbCfccCldAab-, cd (12.35) а, Ъ, с, d ■

и назовём величину

DPfU) =

2 (—1)”(—1)° Ля(1)л@); ®(1)®(2) • • • Ля(п-1)л(п); ®(л-1)®(п) л, а

двойным пфаффианом. Покажем, что

DPf (Л) = det (В) det (С) DPf (Л).(12.36)

По существу доказательство совпадает с доказательством предложения 12.16(a). Возьмём два экземпляра С” с базисами {ej, {А} и образуем пространство А*(Сп)ф А*(С"). Пусть а = = Taiki Ац-. ы (et А е,) ф (fk A h\ так что

DPf (Л) (е, А -.. А «я) ф (А А • • • A А.) = аА ... A a.

.It раз

Тогда'.

DPf(3)(e,A ... Ае^ф^А... Af„).

= а А ... A d = DPf (Л) (Be, A...A Be^ ф(CAA--• A CfJ

= det (B) det (Q DPf (Л) (e, A • • •Л e„) ф (A A...AAi).

Это доказывает (12.36).

Если заменить локальные координаты х на х, то в силу тензор ности R

RUki = Z BtcBibCkcCIdRabcd, ... ..

. - ... . .. .а, ь. c,.d

где.

piГ = — дхС

дхдх

Стало быть, вследствие (12.35),

DPf (В) = det (В) det (С) DPf (В).

Но В и С суть взаимно обратные матрицы (с точностью до транспонирования), а потому det (В) det (С) = 1. Тем самым, Е (х) — скаляр. □

Будучи скаляром, величина В(х), разумеется, должна допускать инвариантное определение. Вот оно. Пфаффиан, заданный формулой (12.32а), можно определить для произвольных матриц над какой-либо алгеброй, а не только для комплексных матриц (хотя равенство (12.32b) будет уже нарушаться, если эта алгебра неабелева), и он будет инвариантом антисимметричных

операторов на соответствующем пространстве с внутренним (скалярным) произведением. Для любых X и Y кривизна R(X,Y^m определяет антисимметричное отображение Тт^М) в Тт^Му и отображение /?(•, •)« билинейно и антисимметрично по X, Y. Таким образом, R(-, -)т представляет собой 2-форму антисимметричных отображений из Тт(М) в Тт(М), и, следовательно, Pff[/?(•, •)] как сумма произведений 2-форм определяет некоторую n-форму. Оказывается, что (—1)*(4л)~еХ Pff[/?(-, •')A=E(x')dx.

Наше доказательство теоремы 12.14 использует тот факт, что оператор ехр (—tLp^ имеет гладкое ядро, т. е. существует линейное преобразование ехр (—/Ар) (х, у): КРТ*Я^> КРТХ, зависящее гладким образом от х, у и такое, что для любой р-формы и

. (e"tLPu) (х) = J e"tLp (х, у) и (у) dy. . (12.37)

Здесь и(у)еДр7^ и а>(х)=ехр(—/£р)(х, у)ы (у) обозначает результат действия преобразования ехр(—tLP) на и(у), так что ю (х) е Др7^; dy — естественная мера на М. Эту регулярность ехр (—tL) мы докажем в § 12.6. Поскольку функция ехр(—tLP)(x, у) гладкая, её норма Гильберта—Шмидта (как отображения из ДРГ* в Др7^) ограничена, а так как М— компактное многообразие, отображение ехр (—tLP) как оператор в бесконечномерном пространстве КРТ принадлежит классу Гильберта — Шмидта. В ■ силу полугруппового свойства, ехр {—tLp) лежит в классе операторов со следом, а из непрерывности ядра вытекает, что

' Тг (е-<£р) = tr (e"tLp (х, х)) dx, (12.38) где Тг — операторный след в пространстве КРТ*, a tr —в пространстве К5ГХ. Пусть str — суперслед в Д*(Г*), a Str —суперслед в Д*(Т‘), т. е. Str (Д) = 2 (—1)рТг(Др). Тогда, согласно (12.38),

Str;(e_/£) = ^ str [е~<£ (х, х)] dx.

Пусть X — собственное число LP, пР — кратность X. В гл. 11 мы установили (см. (11.30)), что при Х^О

£ (-1)рп„(Х) = 0. (12.39) р

Следовательно,.

Str(e-^)=2 (-1)р Z«P(X)e-^=Ze-^Z (-l)pnPW ркх р

= Х (-i)pnP(o)=E(-D₽^z(M)

рр

(принадлежность ехр(—tLP) классу ядерных операторов позволила поменять порядок суммирования). Таким образом, нами доказана

Теорема 12.17 (Маккин и Зингер [240]). Для любого компактного ориентируемого многообразия, независимо от t,

Х(М) = Str (e~tL).

Теперь опишем план доказательства теоремы ГБЧ в «полуис- тор ическом» контексте. В 1948 г. Минакшисундарам и Плейель [246] изучили при малых t асимптотику Тг[ехр(—tLo)] для лапласиана на функциях на компактном римановом многообразии (см. следствие 12.59), обобщив тем самым теорему Вейля. В своей знаменитой статье «Можно ли услышать форму барабана?» Кац [188] поставил вопрос о том, какие свойства многообразия определяются спектром L» и, в частности, рассмотрел поведение Тг[ехр(—tLo)] при малых / в двумерном случае. Он показал, что для некоторых плоских областей с границами информацию о числе дырок можно извлечь из асимптотики этого следа при малых t Маккин и Зингер [240] в процессе доказательства теоремы ГБЧ исследовали ехр(—tLp) и, в частности, установили соотношение (12.39) и теорему 12.17. Они указали, что асимптотика следа должна иметь вид (напомним, что п=2&)

1гдр [е~<£р (х, х)] ~Гк £ c^(x)tm.

Эти авторы подметили, что с помощью теоремы 12.17 можно было. бы получить интересное доказательство теоремы ГБЧ, если бы выполнялись следующие соотношения:

Z (-1)рср (х) = 0, m = 0, 1, .... к—\,(12.40)

р—о

£ (-1)р с^(х) = Е(х).(12.41)

р-о

Они сумели доказать равенства (12.40) и (12.41) при п = 2 и высказали предположение, что они справедливы и в общем случае. Патоди в своей замечательной статье [273] доказал эту гипотезу Маккина—Зингера. Именно для того, чтобы разобраться

с взаимными сокращениями в (12.40), он и получил свой вариант формулы Березина—Патоди. В действительности ключевой момент нашего доказательства равенств (12.40) и (12.41) будет состоять в установлении того, что (ниже равенства понимаются как равенства операторов в А* 7^)

е_/£(х, х) = (сумма операторов, содержащих меньше чем п операторов а) + g (х, Оа^ п} {1n},(12.42a)

g(x, 0 = £(х) + О(0.(12.42b)

После этого равенства (12.40), (12.41) сразу же вытекают из теоремы 12.9. Мы близко следуем стратегии Патоди, за тем исключением, что используем иную технику, которая, на наш взгляд, делает доказательство более прозрачным, чем в [273].

Прежде всего мы покажем, что достаточно рассмотреть случай М = R" [т. е. что ехр(—tL)(x, х)—квазилокальный объект и его асимптотика зависит лишь от того, как М выглядит вблизи х; таким образом, можно вырезать некоторую окрестность точки х из М и «наклеить» её на R". Законность этих операций обосновывается в § 12.7.]. На R" справедливо разложение

L = Во + /?<4) (0) + ^2) + Л(4),-(12.43)

где Во — оператор, действующий как Lo на координатных функциях, в /?<4) входят кривизна в нуле и по два оператора вида а и а*, слагаемое А^ (соотв. Л<4)) имеет два (соотв. четыре) оператора аили де, и его. коэффициенту в подходящей системе координат обращаются в нуль нри-х-= О. Благодаря атому мы сможем доказать, что функции g^x, t) для ехр(—tL) и ехр (—/[Во + Т?<4) (0) ]) совпадают с точностью до поправочного члена порядка t. Но поскольку Во действует лишь на функциях, a R^ — лишь на А? Г,, то

str [exp {-t [Во + Rw (0)]} (0, 0)]

= exp (— tB0) (0, 0) str [exp [— tRw (0)]}.

Затем мы покажем, что ехр (—tB^ (0,0) ~ (4л/)-" [ 1 + О (/) ]. С другой стороны, Rw содержит 4 оператора а или а*, а потому из всех членов ряда для ехр(—//?<4> (0)) вклад в str дают лишь слагаемые с номерами n/2, n/2 + 1Следовательно,

str {ехр (- tRw (0))} = -Ц^- str (/?&,) + О (t‘+1).

Это приводит к (12.42). Отметим, что формула Березина—Патоди позволяет избежать прямой проверки (12.40) и что нас всегда интересуют только главные члены асимптотики.

Инвариантная формула, с помощью которой устанавливается (12.43), выводится в § 12.4. Изложение аппарата для вычисления асимптотики параболических функций Грина составляет содержание §§ 12.5, 6. В § 12.8 на основе материала предыдущих параграфов доказывается теорема ГБЧ.

■ В заключение сделаем несколько замечаний о «конкурирующем» доказательстве обсуждаемых теорем, связанном с использованием ■ ядра теплопроводности и принадлежащем Джилки [132—134] и Атье, Ботту и Патоди [18] (дальнейшие замечания см. в § 12.10). Они подметили, что без соотношения (12.40) можно обойтись (!) (но Джилки всё-таки его доказывает): поскольку Str [exp (—tL') ] не зависит от t, можно гарантировать, что ^ dx [^ ^(-D-«!,(»)]=о при т ^ к— 1, а потому достаточно одного равенства (12.41). Это равенство доказывается не «в лоб», прямым вычислением, а в два шага: (1) Вначале устанавливается, что левая часть (12.41) пропорциональна Е^хУ Для этого проверяется, что (1) левая часть обладает определёнными свойствами инвариантности относительно преобразования координат и является функцией лишь тензора g^ и его первых двух производных; (11) существует лишь один такой инвариант. (2) Поскольку левая часть (12.41) — локальный инвариант, коэффициент пропорциональности перед Е(х') должен быть универсальным, так что его можно вычислить любым удобным способом. Мы обрисуем основную идею этого доказательства в конце § 12.6. Но на самом деле оно не в нашем вкусе, ибо технический аппарат,..развитый для доказательства того, что левая часть- (12.41-) зависит лишв-от вторых производных' ga, по существу позволяет сосчитать (12.41) напрямую, не прибегая к пространным и косвенным рассуждениям, основанным на теории инвариантов.

ЛАПЛАСИАН БОХНЕРА И ФОРМУЛА ВАИЦЕНБЕККА

Оператор Лапласа—Бельтрами на р-формах L = (d + d*)2 обладает двумя замечательными свойствами: во-первых, согласно теории Ходжа, он связан с числами Бетти, и, во-вторых, в силу соображений суперсимметрии, его ненулевые собственные значения всегда появляются парами. Имеется ещё один естественный лапласиан, именуемый плоским или бохнеровским, который можно определить не только на Др, но и на произвольном эрмитовом расслоении над римановым многообразием. В этом параграфе мы рассмотрим этот оператор и докажем красивую формулу Вайценбёкка, связывающую указанные два лапласиана.

Затем мы приведём два приложения этой формулы; теорема ГБЧ будет третьим.

Определение 12.18. Лапласианом Бохнера называется отображение множества Др гладких р-форм в себя, которое в локальных координатах в окрестности произвольной точки т е М задаётся равенством

. (BuHrn) = L №l,VjU)(m).(12.44)

Если х1 их1— два набора локальных координат вблизи точки т и Х1 = д(дх1, то Xt = 2/ AiXj, где А/ = дх1 (дх1. Поскольку V. — тензор, то

Vz = Z А^р..'

переходя к сопряжённым операторам, получаем '

(Отметим, что А/ — не константа, так что V и Л не коммутируют.) Так как У,ц A^g11 А/= gM, определение лапласиана Бохнера не зависит от выбора координат. Для тех, кто предпочитает инвариантные определения и объекты, приведём инвариантное определение В. Оператор V.u определяет ковариантный тензор (V.u) (X, Уь ..., yp) = (Vxu) (Уь .... Ур) ранга р+1. Этот тензор антисимметричен по Уь ..., Ур, но не по X. Метрика на М ййДуЩУрует на" 8^скалярное Про

изведение < , >т, и оператор В удовлетворяет соотношению

(u, Ви)=^(^.и, V.u)mdx. ..(12.45)

Эта формула определяет В в терминах соответствующей квадратичной формы на Др. В конце параграфа мы дадим более привычное определение В в терминах вторых ковариантных производных. Смысл равенств (12.44,45) в том, что из них очевидны самосопряжённость и положительность В. ■

Вывод соотношения между В и L представляет собой простое упражнение по введённому Виттеном [370] фермионному исчислению операторов рождения/уничтожения, которое мы уже использовали в гл. 11 и §§ 12.1,3:

(12.46)(12.46)Теорема 12.19 (формула Вайценбёкка). Пусть Rw = Е Rum ^У ^ ^ а1.

(12.46)

(12.46)

Тогда

L = B-VRW.х .(12.47)

Доказательство. Нам понадобятся выражения (12.14, 15) для d и (12.28) для [Vi,V/J. Поскольку d = £z(az)*Vz (в силу (12.14)) и {АВ, С} = {А, С}В + А[В, С], то

L = {d- <П = £ {(а'Г, сП V, + {а‘У [V,, сГ]. (12.48) Так как d* = 2/7/^ (вследствие (12.14)) и {А, ВС} = В{А, С} + [А, В] С, то, ввиду (12.17),

{(а'Г, Л=£ VJW, а/}+ Е [(агГ, V}] а'

= Е Vtg4 - £ T't (а»)- al.(12.49)

Поскольку d* = — У, o/V/ (согласно (12.15b)) и [А, ВС] = [А, В]С+ В[А, С], то

[V„ <Г\£ a* [Vz, V/] - Е [Vz, а*А V,

= Lt Rtlkla) (а^)* а' + Е Г{ка^г (12.50)

Здесь мы воспользовались (12.28) и соотношением, сопряжённым к (12.17) (а также учли (12.16)). Подставляя (12.49,50) в (12.48), получаем (12.46,47). □

В нашем доказательстве слагаемые, содержащие. Г, взаимно уничтожились.-Проводя вычисления в нормальных координатах, можно было бы избежать прямой проверки того, что эти нежелательные члены исчезают.

Фермионное исчисление полезно не только для доказательства формулы Вайценбёкка, но и для получения одной компактной формулы для R^ (впервые подмеченной Нельсоном [263] и применённой Патоди [273] в его доказательстве теоремы ГБЧ). Из равенства а5 ^У = gik — (а6)* а* следует, что

Rw = /?(2> + Rw>(12.51 а)

где. .

R^-LSi^a1,(12.51b)

. R^^-LRufei^y^a^-;(12.51с)

здесь Sz/—тензор Риччи (,5м = ^11кRukiglkY Суть дела в том, что разложение (12.47) обычно записывают в виде L = B + 5(2) + 5(4), ибо 5(2) и 5(4) в координатной записи имеют компактный

вид, в отличие^от Rw. Позже мы увидим, что разбиение иа слагаемые R^ и ^«), имеющие противоположные знаки, если R обладает соответствующим свойством положительности, может приводить к различным трудностям. Разбиение (12.51) выгодно в случае 1-форм, так как RwaO на Д1, а значит,

' Li = Bi + /?(2)■(12.52)

на 1-формах. .

Если мы подставим (12.10с) в выражение для В, то получим для L в локальных координатах формулу, содержащую члены, в которые не входит ни а, ни а*, члены, в которые входит по одному а и а*, и члены, в которые входит по два а и а*. Если переписать слагаемые, содержащие а и а*, так, чтобы все а были слева, то член без а совпадёт с оператором Bo = Lo, действующим на координатные функции. Выписывая явно члены второго и четвертого порядков и учитывая все Г и dg4, получим следующий результат:

Теорема 12.20. В локальных координатах с началом в точке т0, для оператора L на р-формах справедливо разложение (12.43), где Во — лапласиан Бохнера, а операторы R^, A<2>, Aw в системе координат с xz(mo) = O, gi40) = 6ip rzfe(0)=0, [dfeg'/](O) = 0 имеют вид■

RwW=H RukAm^y a' (a*)* a1, ijkl

■vl(2) = ^Wr/(x)dfe (a') a^+ ^-Piy (x) ^1) ^,

■ • ■ ■ Hki.r •-

Aw = X QiikAxW^* аЦакУ a\ i, 1. к, I■

где W?y(O) = O, Qz/«(O) = O..

Материал, излагаемый в оставшейся части параграфа, не потребуется нам при доказательстве теоремы ГБЧ (так что читатель может сразу перейти к следующему параграфу). Вначале мы поговорим о некоторых простых приложениях формулы Вай- ценбёкка, а затем обсудим другое, более привычное определение оператора В. В заключение будет кратко описана вероятностная интерпретация В..

В качестве типичного примера применения формулы (12.52) приведём результат Лихнеровича [230]:

Теорема 12.21. Пусть М— компактное риманово многообразие и о = Хо < М < ... — собственные числа оператора Lo = Во (действующего на функциях). Пусть s(/n)—минимальное соб-

ственное число тензора Риччи Sij(m'), понимаемого как оператор на Тт(М). Предположим, что

inf s (m) > 0..

теМ '

Тогда

^-1 — Яо> inf s(ni).'

теМ

Доказательство. По соображениям суперсимметрии Xi будет также собственным числом оператора Lx (действительно, если £of = Xif, df^O, то Lx (df) = Xidf). Тем самым, если вх = inf spec (Li), то

Xj — Хо^^вр(12.53)

Но при и е T*m (Af)

'(и, • /?(2> (т) и) =8ц (т) (а1 и, а1 и)

> s (т) У (а1 и, а1 и) = s (m) (и, и),

поскольку У(а*)*а‘ = 1 на 1-формах. Стало быть, /?<2) infms(m) (в операторном смысле). Так как Bi^O, из (12.52) следует, что-

. в! ^ inf s (/га),(12.54)

теМ-

и утверждение теоремы, вытекает из (12.53), □..

Замечание. Фактически теорема Лихнеровича [230] утверждает, что

Xt — Хо ^сп inf s (m),(12.54')

теМ

где Сп = п(п— I)-1, п — размерность М. Этот результат не просто лучше теоремы 12.21 —константа сп неулучшаема-. на п-мер- ной сфере S" постоянной кривизны в (12.54') имеет место равенство. Обата [265] доказал, что равенство в (12.54) имеет место лишь в случае постоянной кривизны. Дальнейшее обсуждение вопроса см. в книге Chavel [62].

Из оценки (12.54) сразу же следует, что при

inf s (m) > 0 теМ

обязательно вх > 0, т. е. Lx не имеет нулевых собственных чисел. Таким образом, мы переоткрыли знаменитую теорему Бохнера и Мейера:

Теорема 12.22 (Bochner [50], S. Meyer [242]). Пусть М — компактное риманово многообразие, и пусть s(m)—минимальное собственное число тензора Риччи Sz/(/n). Если inf s (m) > 0 теМ•

(т. е. наше многообразие «имеет строго положительную кривизну Риччи»), то 61 (первое число Бетти) равно нулю.

Замечания. 1. Если <u, Biu>=0, то, в силу (12.45), Vxu = 0 для всех X, так что можно показать, что |u(/n) | —константа. Стало быть, мы можем заключить, что 61 = 0, если -'

inf s(/n)^0,•

теМ,

причём s(/n)>0 в какой-нибудь точке. При s(/n) = 0 мы имеем 6i^dim(M), поскольку равенство Ах« = 0 означает, что и определяется своими значениями в одной точке посредством параллельного переноса, а потому размерность подпространства {u|Bu = 0} не превосходит dim(M). Например, для «-мерного тора с его плоской метрикой 61 = п.

2. Приведённое доказательство восходит к Бохнеру. Доказательство Мейера совсем другое.

Используя полную формулу Вайценбёкка,. можно доказать такой результат:.

Теорема 12.23 (D. Meyer [241]). Пусть М — компактное риманово многообразие, размерности п. Если индуцированный оператор /?<2> (см. (12.11)) положительно-определён в каждой точке т е М и строго положительно-определён в какой-нибудь точке то, то 61 = 6г = ... = 6п-1 = 0.

Доказательство (Gallot—D. Meyer [128]). Выберем в произвольной точке mi нормальные координаты. В обозначениях фермионного исчисления положим'

■^'^[(а^-^Га'].

В силу антисимметричности тензора Rum относительно перестановок i -*-*- /, к -«-► I имеем

Rw = Z RMki^NMNkl. i, !Л1-

Если a — вещественная {матрица размера кХк, такая что У aqWiWj ^b^\w{? для всех вещественных (wb ..., w^, то, как легко доказать, ^„ ^^А'А^Ь^,, А^А, для любого набора

операторов Аь .... А*. Поэтому из антисимметричности N1* по i, j следует, что при выполнении неравенства

•(u, R^ (mJ и) > b (mJ (и, и)■ '■

выполнено и неравенство

R^mx^b^L^YN11..

Но (^‘У = -NM и - (N11)2 = [^, (/ - N^ + NfU- N^A, где Nt = (az) az удовлетворяет соотношению N2 = Nt. Поскольку nai-n^=o,.

■ Z V«-tZ n.v - ",)=4-(Z "-) (" - Z".)-

На реформах мы имеем ^Ni=p, а потому

Rw (mi) > -g- b (mJ (n — p) p.

Таким образом, Rw ^ 0 при bi ^ 0, так что из Lu = 0 вытекают равенства Ви = 0 и Rwu=0. В свою, очередь из Ви = 0 следует, что V,u = 0, т. е. |и|—константа. Пусть'р^0,п. Поскольку 6(т0)>0, обязательно u(mo) = O, так что и = 0, т. е. ЬР = 0. □■■

Нетривиальность представления (12.51) иллюстрируется следующим фактом. Бохнер и Яно [51], изучая вопрос об обращении в нуль старших чисел Бетти при помощи метода, применённого в 1946 г. Бохнером для доказательства теоремы 12.22, были вынуждены потребовать для. R^ ограниченности и снизу, и сверху. При этом верхней границе дозволялось превосходить нижнюю не более чем вдвое. Это условие последовательно ослаблялось рядом авторов, но вообще отказаться от требования ограниченности сверху удалось, лишь .в 1971 г.

Теперь опишем другой способ' записи В. Под VxVy мы всегда понимаем произведение операторов Vx и Vy на Дй.

Определение 12.24. Для любых двух векторных полей X, Y вторая ковариантная производная vfx.n определяется соотношением .

■ •^,K) = VxVy Vz, где Z = VXY. ;.

Смысл введения члена Vz состоит в том, что при этом ^х у^ оказывается тензором по Y, т. е. ^fx gTl = fg^Xi Yy ' так что

значение V^x Yji в точке т зависит лишь от X (т) и У (иг). Если представлять себе V.u как элемент пространства (§)Р+1 Г* (М), то V(2z r)u — это просто значение Vx (7д) при •=¥. Для координатных векторных полей №}"_i производную V(xp х^ будем обозначать через ^Zi/r Предостережём читателя, что во многих книгах для V(2Z h используется обозначение VzVr при нашем же понимании VzV/ как произведения операторов Vz и V/ справедливо равенство.■

Отметим, что ввиду симметричности V мы имеем V^, У) — Vy, Х) =R (X, У) для любых X, У. К обычному определению лапласиана Бохнера нас возвращает следующая■

Теорема 12.25.. . ■■

B = -L^.n.(12.55)

Доказательство. Обе части равенства (12.55) определены инвариантно, так что достаточно проверить его в нормальных координатах. Если начало координат помещено в точку /по, то (Vz«)(mo) = (di“)(mo). №)(m„) = -(dzu)(m0), №/) (m0) = ° и dfe(g'/u)(/7io) = g‘/(dfeU) (mo). Стало быть, _

'W(-n0)--£[^S/«‘'W)‘«-

Подчеркнём, что (dzV/f) (r»o) (dzdzf) (/«о), ибо (Д^шИто) может не быть равным нулю. □'

Вернувшись к § 11.4, читатель может проверить (в нормальных координатах), что оператор А в разложении деформированного лапласиана Виттена имеет следующий инвариантный вид, указанный Виттеном:

В заключение отметим, что если оператор L— «естественный» лапласиан для топологов, то для вероятностников (и в какой-то степени для аналитиков) во многих отношениях более «естественным» лапласианом является оператор В. Пусть М— компактное риманово многообразие. Оператор Bq — Lo на функ-

циях генерирует сохраняющую положительность полугруппу ехр (—/Во) (это следует из критериев Бёрлинга—Дени, см. ■ [295, с. 231]), переводящую 1 в себя. Как мы покажем в следующих двух параграфах, она имеет гладкое ядро ехр(—tB0) (х, у), так что на М Можно определить обычным образом броуновское движение, т. е. семейство вероятностных мер Ц^х<=м на непрерывных путях, выходящих из точки х, такое что (i) £x(f(6(s))) = [ехр(—sBo)f](x) и (и) {£х}— марковский процесс в обычном смысле (по поводу необходимых сведений из теории вероятностей см., скажем, [53; 108; 109]; обсуждение броуновского движения на многообразиях имеется в [93; 238]).'

Хотя мы и не говорили об этом, для данного гладкого пути у на М существует естественное отображение Р^: /V’T*^-* ЛР7у(<ь называемое параллельным переносом и определяемое в большинстве руководств по дифференциальной геометрии (например, в [52; 348; 349]). Используя теорию стохастических дифференциальных уравнений, отображение Рь можно определить для почти всех броуновских траекторий 6(s), выходящих из данной точки х. Можно показать, что

(е-'я«)(х) = £х((Р^)-* «(&(/)))(12.56)

для любого ug^”1. Отметим, что ^Ръ^-Хиф^ принадлежит КРТХ, так что здесь речь идёт о математическом ожидании значений векторнозначной функции. Равенство (12.56) обсуждается в [93; 238], где устанавливается, что В — естественный лапласиан для броуновского движения.-Соответствующее выражение для ■ exp ^—tB^ можно получить с помощью формулы Вайцен- бёкка, в него войдёт «хронологически упорядоченное» произведение членов вида Р" и ехр [— (6/) /?(4)].

Как подсказывает само название «параллельный перенос», |РуТ)|=|т)| (нормы берутся по отношению к скалярным произведениям в точках ?(/) и у(0) соответственно); аналогично и преобразование (Ру)-1 сохраняет норму. Таким образом, из (12.56) следует, что

| (е-'вн) (х) | < Ех (| (Pl)’1 и (Ъ (/)) |) <

£х(|ц(й(/))|) = (е-'в"|ц|)(х).

Таким образом, при и е Д*

|(е-'ва)(х)|<(е-'Во|ц|)(х)..(12.57)

Оценку (12.57) можно доказать «напрямую », используя неравенство Като [163; 322; 327], а не интегралы по траекториям.

По-видимому, в данном контексте первыми это заметили Хесс, Шрадер и Уленброкк [164]. Оценка (12.57) означает, что ехр(—/В) является сжатием во всех пространствах Li, тогда как об ехр(—tL) этого сказать нельзя, если кривизны не положительны. В этом смысле полугруппа ехр(—£В) более естественна с аналитической точки зрения.

ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ РЕГУЛЯРНОСТЬ .

До сих пор в этой главе мы развлекались геометрией и немного алгеброй и совсем не занимались анализом (т. е. оценками). В этом и следующем параграфах мы исправим это досадное упущение. В настоящем параграфе мы докажем оценки, которые, грубо говоря, утверждают, что формы из ВЦ?1) имеют 2£ производных в смысле L2 и 2£— (п/2)—е классических производных. Полученные оценки позволят также установить самосопряжённость в существенном оператора L на КР, т. е. на С”-формах, и компактность ехр(—tLy Перечисленные результаты уже использовались в § 11.3 и ещё понадобятся в следующем параграфе, где изучается асимптотика интегральных ядер. Отметим, что приводимые ниже основные результаты обычно доказывают, привлекая исчисление псевдодйфференциальных операторов (ПДО) (см., например, Тейлор [353] или Gilkey [133]). Мы же здесь делаем всё «голыми руками». Так, конечно, чуть попроще, но читателю всё-таки настоятельно рекомендуется овладеть мощной техникой ПДО. .

Вначале мы рассмотрим операторы в Rn, а затем локализуем наши рассмотрения, чтобы получить информацию о компактных многообразиях М. Не желая нарушать замкнутость изложения, начнём с краткого обзора теории пространства Соболева на R".

Определение 12.26. Пусть s ^ 0. Пространство Соболева H$(RV) — это множество всех функций f е L2(RV), преобразование Фурье f которых удовлетворяет условию

||f||^$f|f(fe)|2(l+^)Sd^<oo.

Для целых s (а с другими s мы не будем здесь иметь дела) нетрудно показать, что f е Н$ в том и только в том случае, если для всех мультииндексов а с | а | ^ s обобщённые производные Daf(эд1 a]f/da'xi ... d“vXv) лежат в L2, и что нормы S,.i<,I^L » п/1 эквивалентны. Отсюда, в частности, следует ' ■

Предложение 12.27. Если f, djfeHs, то feH$+i и IlfC^llfll^ + HM.

Из правила Лейбница

(f— функция класса С”, g— распределение) и указанной выше эквивалентности норм немедленно вытекает

Предложение 12.28. Если feC” и supx||Dafllo= = еа < со для всех а, то отображение g'-^-fg переводит Н$ в Hs для всех s и его норма не превосходит некоторой константы cs (зависящей от S|al<sO-

Следующая теорема объясняет, почему пространства Соболева играют столь важную роль при изучении классической гладкости.

Теорема 12.29 (теорема вложения Соболева). Если feH$(Rv) и s > (v/2) + I, то feC1 (в классическом смысле), причём производные Daf, |a|< /, равномерно ограничены.

Доказательство. Начнём со случая / = 0. Пусть s = t + г, где / > v/2 и 0 < г < 1. Поскольку

I е** _ ^ V | ^ Сг | £ |г | х - у Г,(12.58)

I f W - f (у) I <сг| х - у |r(2n)-v/2 5 | кп f W | <Гк.

Отсюда следует непрерывность f, так как в силу неравенства Шварца

[ ^ Г f ^ d^ ^\(1 +\ kff (1 +\ k\2^f (k)f d'k

'X$(l+l^|2)-<dX

причём ^(1-Ц^|2) * cf,k< оо, ибо t> v/2.

В общем случае надо лишь заменить (12.58) оценкой (0 < г<1)

le16^*- 2 e'^i^Vtairl^Cz.J^I^

'Ilal<ZI ’

вытекающей из разложения exp (!£•</) в ряд Тэйлора. □

Этот результат (а точнее, его доказательство) можно переформулировать так: для s>v/2 линейный функционал 6x(f) = f(x) является ограниченным на Н$. Пусть H_ss=(Hs)*, так что бх г Н-$. Утверждение же о С'-гладкости переформулируется следующим образом: функция xt—»6x, принимающая значения В H-s, является / раз дифференцируемой, если s>/ + (v/2). Введём еще пространства■

. н„ = пн5, н_м = иня, . -oo<s<oo. вt

Полезно распространить включения Н$с:Я(, s ^ t > 0, на случай отрицательных s, t, считая элемент £ е Н< вложенным в Н* посредством взятия сужения. Таким образом, можно распространить скалярное произведение <f, g>, определенное для f, ge £2, на f е Н,, gen, с s + t ^ 0. [Пространство Н$ наделено естественной структурой гильбертова пространства; для f,ge Н$, s > 0, не следует путать <f, g> со скалярным произведением этих элементов в Н$: последнее равно <f, (/ —A)sg)L„ а не (f, g)Li-] Соболевские пространства полезны при изучении интегральных ядер.' '

Определение 12.30. Будем говорить, что оператор X:£2(Rv)-> £2(RV) имеет интегральное ядро A^.y), если существует функция Л(х, у), измеримая по совокупности переменных, такая что

| А (х, у) р dy < оо(12.59)

для почти всех х и-- —•.,

(АШ = \ А(х, yH^dy. (12.60)

для всех / г £2 и почти всех х е Rv.‘ ■

Теорема 12.31. Если оператор A:La-*I? продолжается до отображения из H-s в Н, при некотором s >- v/2, то он имеет интегральное ядро, непрерывное по совокупности переменных в Lf, а именно, оно равно А(х, у) = (6х, Лбу). Если А—оператор из H-s в Н$ при s > (v/2) +1, то А (х, у) г С1. Если же Л отображает Н_« в Ноо, то Л е С*.

Доказательство. Поскольку б8 е Н_$, то Лбу лежит в Н$, а потому, согласно теореме 12.29, А (х, у) :=Лбу(х) — непрерывная функция. Далее, по двойственности Л* переводит Н-$ в Hs и А* (х, у)—А (у, х), так что

| А (х, у) fdy = ^ | Л* (у, х) р dy = Ц Лебх||^,

и выполнено (12.59). Равенство (12.60) достаточно установить для feC” (Rv). Но для таких f справедливо равенство f = f^b^dx, где интеграл понимается в сильном смысле (в Н_$).

Отсюда сразу следует (12.60). Утверждаемая дополнительная гладкость вытекает из гладкости отображения х*—>бх в Н_$ при s > /+ (v/2). □ •-

Теперь рассмотрим вещественные симметричные vXv-матричнозначные функции а*'^ на 'Rv, подчиняющиеся условиям: .(i) а'^еС”, причём supx|£>a(av) (х) | <оо при всех a,Z,/;

Х<,/=i “1“+^ (х) > Oq Xi=i I zzf |2 при всех «zeRv, где

Og > 0 не зависит от х.'

Оператор -

отображает пространство Со° (Rv) в себя. Назовём Н равномерноэллиптическим оператором " строго ■ второго порядка (р. э. о. с. в. п.), если функции ali (х) удовлетворяют (i), (ii). Вот нужные нам ключевые эллиптические оценки:

Теорема 12.32. Пусть Н — р. э. о. с. в. п. Тогда для любого s ^ 0 существуют такие константы cs и ds, что для всех ф е С” (Rv)

(12.61)(12.62)(12.61)(12.62)(ф, (Я+7)Ч)<Мф1£’

(12.61)

(12.62)

(12.61)

(12.62)

ИФЙ<^(Ф, (Я + ЛЧ).

Эти константы с$ и ds зависят лишь от норм ||Daa‘7|loo с |a|^2s и от числа ао, фигурирующего в условии (ii).

Доказательство. Интегрируя по частям и учитывая условие (i), легко получаем'

(ф, (Я + 7)Ч)<с11У ЦлМ^

|a|<s

откуда вытекает (12.61). Для доказательства оценки (12.62) положим Но = —А и возьмём s = 1. Тогда, в силу (ii), для любых ф и х

У ам (х) (д<ф) (х) (d/ф) (х) > аь Е (д<ф) (х)2. i,/-1i~l '

Интегрируя по х, приходим к неравенству (ф, Яф)^ а0(ф, Яоф), так что для s = 1 оценка (12.62) выполняется с dx = а~х.

Предположим, что неравенство (12.62) справедливо для s—1, и докажем его для s. В силу предложения 12.27 и индуктивного предположения, ".''

пф^пфС^ En^iLi'

ds_y [(ф, (Я + /Г"1 ф) + Z (д/Ф, (Я + Г)8"1 д/ф)}

(12.63)

Отметим, что (ф, Я$ф) ^ 0 при всех ф, s (если s чётно, то (ф, Я*ф) =||Я®/2ф||2 ^ 0, а если нечётно, то (ф, Я$ф) = (Я^-Ч^ф, ЯЯ^-1)^) > О ввиду условия (ii)). Поэтому (ф, (Я 4-/)$ф) (ф, (Я + /)$-1ф), так что первое слагаемое в (12.63) можно оценить через Ях—i (ф, (Я 4- /)$ф). Теперь используем равенство

Шварца .■

■ I (ф, (я 4- /У n) I < (ф. (Я + if ф)1/2 (п, (я + if л)1'2

..(12.64)

для 7 = 0,1, 2, ... и любых ф, цеС”. Можно написать

(д/Ф, (Я + 7Г1д/Ф) = а/ + 6/,.

Of = (ф, (я 4- /У1 ^ф), bt=(ф, [д/, (Я + /Г1] ЛфУ

Поскольку s^ 2, то из (12.64) при 7 = s— 2 получаем

|а/|<((Я + Пф, (Я + /У"2(Я + 7)ф)1/2■'

Х(д?Ф, (Я + /)’-252/ф)1/2

<4-е(д^ф, (Я+/У-2д^ф) + 4е-1(ф. (^+7Уф)

4" С®-2в|^фС_2 + Т Е~1 ^ф’ ^Н + 7)2 ф)

.; ХйПф^ + сДф, (Я + П$ф);

(на втором и третьем шагах мы использовали неравенства ху ^ (ел2 + 8-1У2)/2 и (12.61) соответственно). В правой части число 6 можно взять сколь угодно малым.

Слагаемое bj представляет собой квадратичную форму, отвечающую оператору, содержащему производные до порядка

2s — 1 включительно. Интегрируя по частям, найдём, что im<4, z ic'tL.)"^. ?: id-tU1" Х[аК$—1у х|аКзу

^deUlg+C^Hlg.,-

^eHlg + ^e’^fo, (Я + 7Г*ф)'

<б||ф||^ + Пв(ф, (Я+ 7)4)-

Подставив полученные оценки для а, и Ь, в (12.63), получим

IIФ lg < 2dv || Ф |g + (d$_i + vD6 + vC6) (ф, (Я + Д5 ф).

При 6 = l/4v отсюда следует (12.62) для s. Из доказательства видно, что наши константы зависят лишь от указанных в формулировке теоремы величин. О

Поскольку I + Н есть отображение пространства С? в себя, этот оператор и его степени отображают пространство распределений в себя. Естественно ожидать, что если (7 + НуТ е L2 прн некотором /, то Г лежит в H2z- Это заведомо так, если Н = Яо. Мы хотим доказать этот факт для общего случая, ибо он позволит нам провести локализацию на М и установить гладкость собственных функций оператора L (заметьте: берётся замыкание) и самосопряжённость в существенном оператора L на С” (М). Ключевой момент здесь — самосопряжённость в существенном степеней Я на С” (Rv):

Теорема 12.33. Пусть Я — р. э. о.с. в. п. Тогда для любого / оператор Hi самосопряжён в существенном на С” (Rv) и D (Я*) = Н2ь Кроме того, Q (ЯД = Hz.

Доказательство. Пусть

Я (0) = (1 - 0) Яо + 0Я = -dt [0а° + (1 - 9) б°] дк

Ясно, что Я(0) являются р. э. о. с. в. п. с константами (включая и ао), ограниченными равномерно по 0, так что -

(Ф, (Я(0) + /)$ф)^^11ф1^(12.65а)

Hlg<dsfo, (Я(0) + /)Ч)(12.65b)

для всех фе С” и 0 ^ 0 ^ 1. Далее, очевидно, что

|| [(Я (0) + I? - (я (У) + 1У1Ф lk= <ez 10 - 0ZI ||ф[^

равномерно по ф^С”, 0^8^1. Комбинируя эту оценку с (12.65b), видим, что если |9— 9'|< az (для некоторого az >0), то возмущение [Я (9) 4-/]'— [Я(9')4-/р оператора [Я(0,)4-/]' ограничено относительно этого оператора (см. § 1.1) с относительной гранью, меньшей 1. Начиная с 0' = О и применяя конечное число раз теорему Като—Реллиха, найдем, что (Н 4-/)z самосопряжён в существенном_на С” и £) (я') = £) ((Й)1)— D(Wo) = H,z. Кроме того, Q (//z) =Q (Йо) = Hz. □

Следствие 12.34. Пусть Я — р. э. о. с. в. п. Если ие£2 и действующий на распределениях оператор Hdist удовлетворяет условию Hdist« е L2 [т. е. существует такая функция f е L\ что для всех феС” имеет место равенство (я'ф, «) = (ф, /)], то «eD(Hz) = H2Z. Если Hdist« е Яь то « е H2Z+r.

Доказательство. Докажем лишь первое утверждение, второе проверяется аналогично. По определению, Hdist совпадает с оператором [(Я [ С?)Т» ■ который по теореме равен (Я)'. Таким образом, предположение «еД((Я')*) означает, что «е D^Hi). □

Следствие 12.35. Если «eQzD(Hz), то иеС”. .

Доказательство. В силу теоремы 12.29 множество ПхЯ(Ях) = И,,, содержит лишь С”-функции. □ .

В дальнейшем через Я обозначается замыкание оператора Я [ С”.

Теорема 12.36. Пусть Я — р. э. о. с. в. п. на Rv. Тогда {ехр (—/Я)}(>0 имеет интегральное ядро ехр(—/Я) (х, у), принадлежащее классу С” по совокупности х, у, t.

Доказательство. Оператор (Я4- /)$/2 ехр(—/Я) (Я4- /)$/2 равномерно ограничен как оператор из L2 в I? для любого s и принадлежит С°° по t. Стало быть, в силу теоремы 12.33, ехр(—гЯ) действует из Н_4 в Н$ для любого s и принадлежит С°° по t. Теперь нужное утверждение следует из теоремы 12.31. □ ■

Замечание. Фактически оператор ехр(—/Я) допускает аналитическое продолжение по t в область {/1 Re / > 0}.

Прежде чем переходить к многообразиям, обобщим наши рассуждения об операторе Я в трёх направлениях:

Мы хотим ввести в рассмотрение векторнозначные функции х, скажем функции со значениями в пространстве X со скалярным произведением. В действительности функции а‘7(х) будут у нас скалярными, так что это изменение абсолютно тривиально, хотя можно было бы Допустить и матричные функции.

Мы хотим рассмотреть симметричные операторы Н вида Н = -^д£а1Цх>д1+ ЕММ + с(х) = Я + Г,

(12.66)

где Ь£ и с— операторы в конечномерном пространстве X, являющиеся функциями класса С” от х с ограниченными производными. Поскольку '

' IKH'-^alKclIalbz-b '

то оператор Н1 — Н1 ограничен относительно Н1 ?с нулевой гранью, а потому члены первого порядка не оказывают существенного влияния.

(in) Мы хотим заменить d^x на f^x^d'x, где f — гладкая функция, равная 1 в окрестности бесконечности и отделённая от нуля. Тогда оператор Н на L2 (Rv, f2dvx) будет унитарно-эквивалентен оператору fflf-1 на L2(RV, d'x'), последний же имеет прежний вид (12.66), так что эта замена очень проста. Под равномерно эллиптическим оператором второго порядка (р. э. о. в. п.) мы понимаем симметричный оператор Я вида (12.66) с коэффициентами из С°°, имеющими равномерно ограниченные производные, действующий на L2 (RV; х; р^х) . Принимая во внимание сделанные выше замечания, приходим к следующему утверждению: .

Метатеорема 12.37. Все результаты о равномерно строго эллиптических операторах второго порядка (в частности, утверждения 12.32—36) сохраняют силу, если опустить слово «строго» и заменить Н +1 на Н + р, с достаточно большой константой р.

■ Пусть М — компактное ориентируемое риманово многообра; зие размерности v, {t7a}a-i — открытое покрытие М координатными окрестностями- и Та: Ua-^P?1 — гладкие координатные отображения. Пусть, далее, gw — метрика на Rv, удовлетворяющая условиям: (1) ^аУ)11 = 611 в окрестности бесконечности; (ii) gM (m) = ^ (Tam?) для nt е Ua (т. е. g(a) получается переносом метрики с U на Та[(7] и продолжением на бесконечность константой). Через Afa)(Rv) мы обозначаем множество всех

гладких р-форм на Rv, наделённое скалярным произведением, ассоциированным с gla\ и через Д^ — замыкание Afa>(Rv)- Для данной функции / е С” (t/a) определим отображение

LG): A*(AO^A^R")

соотношением

(Г fAAM-l i№x)fWx) при <eTa[U], (12.67а) VaVlDW—]

10 при x^7a[£7J. (12.67b)

Фиксируем какое-нибудь разбиение единицы /«, подчинённое Ua, и определим НДМ) как множество {/ е Д* (М) | /„(/J f gHs (Rv) при всех а), снабжённое нормой || / Ц* = 2a IIК (/a) f IL- Легко видеть, что данное определение множества Н$(М) не зависит от выбора метрики на М, что при замене метрики нормы ||f|L заменяются на эквивалентные. Менее очевидным является тот факт, что пространства Н$ не зависят также от выбора Ua и /а. Это вытекает из следующей теоремы (а впрочем, без особого труда проверяется и непосредственно):

Теорема 12.38. Операторы Вр и Lp самосопряжены в существенном на гладких р-формах Др и Q(Bp) = Q(Lp) = Hs(Af)Q АР. Кроме того, Вр и Lp самосопряжены в существенном на Др для 5=1,2,.... ' .

. Мы отложим доказательство этой теоремы, а сперва получим кое-какие следствия. Согласно теореме вложения Соболева на Rv (теорема 12.29), для feHs(M) функция (/af) (т) является гладкой на Ua, а поскольку 2a/a=L то справедлива

Теорема 12.39. Если fe Н$(М) и s >_(v/2)+/, то f е С' в классическом смысле. Если оператор Л: Д*—► Д* продолжается до отображения из Н-$ в Н$ при s > v/2, то Л имеет непрерывное по совокупности переменных интегральное ядро Л(т, п), представляющее собой линейное отображение из А*^) в А (7 т)* Если указанное продолжение имеется для всех 5, то Л (т, п) есть С°°-функция.

' В качестве следствия двух последних теорем получаем

Следствие 12.40. Оператор ехр(—IL) имеет интегральное ядро ехр(—fL)(m, п), принадлежащее С°° по совокупности т, п, t при t > 0.

Поскольку ядро ехр(—tL) (т, п) равномерно ограничено, его норма Гильберта—Шмидта

■*гл* т* texP (—^) (т> п) * ехР (—tL) (т, п)]

ограничена. А так как мера М конечна, оператор ехр(—tL) принадлежит при всех t классу операторов Гильберта—Шмидта. Следовательно, exp (—tL) = [exp (—fL/2)]2— ядерный оператор. Ввиду непрерывности его ядра след можно вычислить, интегрируя ядро по диагонали (обсуждение ядерных операторов и операторов Гильберта—Шмидта см., например, в [330]). Подытожим:

Следствие 12.41. Оператор ехр(—tLp) компактный и ядерный. Он имеет ядро

exp(-fL)(x, у): ^Г^^Г,■

(непрерывное по совокупности переменных), т. е. ’

(e-tLPu) (х) = e-tLp (х, у) и (у) dy,

Tr (е“'М = $ tr ^-tLp (х, х)) dx.(12.68)

В (12.68) интегрирование ведётся по естественной мере на М. Поскольку оператор ехр(—tLp) компактен, Lp имеет полный набор собственных функций. Они. лежат в П5В(ГЭ и тем самым в ПзН$. Но последнее пересечение совпадает с Др в силу теоремы 12.39. Таким образом, мы получаем

Следствие 12.42. Оператор Lp имеет полный набор собственных функций. Все они принадлежат Др (т. е. являются гладкими).

Осталось лишь доказать теорему 12.38. Отметим прежде всего, что её достаточно установить для В или L в отдельности, так как, согласно формуле Вайценбёкка, оператор Ls — Bs ограничен относительно Bs (или Ls) с нулевой гранью.

Далее, заметим, что для иеС^М) норма ||(В + /ун|| (а значит, и ||(L + /)S«||) эквивалентна норме в HS(M). Действительно: (а) с помощью метрики ^а) можно ввести такие операторы В(а) на A*a)(Rv), ЧТО если ка = 1 на supp/a, то BsaIa(i^)f = la ^а) В3 UJ)"» (Ь) нетрудно ' проверить (в локальных координатах), что Ва есть равномерно эллиптический оператор второго порядка; (с) в силу аналогичного результата на Rv любая функция из С” переводит Н$ в Н$; (d) можно найти такие

функции /в, что Za/l=l и jj-i будут ограниченными С°°-фун- кциями. Кроме того, /o = Zp/p7a, так что вследствие (с) нормы Za II (в + ЛЧа? IP и Ха II (в + 0s jJ IP эквивалентны.

Сделанные замечания сводят доказательство теоремы 12.38 к доказательству самосопряжённости в существенном оператора Bs (или Г) на Со° (М). Таким образом, если считать. известным результат Черноффа [63] (см. также Strichartz [351]), то доказательство завершено и читатель может опустить все доследующие технические детали. Однако здесь мы всё-таки напрямую проверим самосопряжённость в существенном.

Поскольку оператор В переводит С°° в себя и формально самосопряжён, он продолжается до отображения на распределениях. Оператор В определяет на О^М) положительную квадратичную форму, которая автоматически замыкаема. Оператор, отвечающий этой форме, мы обозначаем снова через В. Тем самым, Q(B)— это замыкание С°°(М) по В-норме.

Лемма 12.42'. Пусть «eL2(M). Включение ueQ^B) имеет место в том и только в том случае, если (обобщённые) производные «по локальным координатам принадлежат L2^M).

Доказательство. Пусть || и ||2 = (и, Ви) + («, и). Поскольку V/ (/«) = fV<«+ №/)“, легко видеть, что для ие^рДО и / еС” справедлива оценка || fu||8с||и||8. Стало быть, отображение и*-* fa переводит Q(B) в себя. Выражая Vt« через д£и, найдём, что на множестве Др (Af) норма ||—||f эквивалентна норме

(Z ZHaVa“||2) + ll«f, ' X a t “ 1/.‘

где д^ — координатные производные на Ua- Отсюда следует, что если ueQ(B), то производные и лежат в L2 и, наоборот, если производные и лежат в L2, то и tieQ(B). В этом можно убедиться, аппроксимируя функцию «её свёртками с гладкими функциями. □.

Лемма 12.43. (а) Если иеН^^, BdiSt«e L2 и geC”(Af), то Bdist (g«) s L2.

(b) Если и e Нг$, Bdist« e Q (В) и g eC” (M), to Bdist (go) e Q(B).

Доказательство. Докажем лишь (а); (b) проверяется аналогично с помощью леммы 12.42'. Формально Bdist (gu) = gBdiSt («) +

(поправочные члены, содержащие производные от и до порядка 2s—1 включительно). Так как цеН2$-ь легко показать, что это формальное равенство действительно определяет £2-функ- цию, совпадающую с Baist (Я“)- □ '

Доказательство теоремы 12.38. В силу леммы 12.43 достаточно установить два факта: во-первых, что Bs самосопряжён в существенном на множестве гладких р-форм Др и, во-вторых, что D (Bs) = Н2$. Докажем это по индукции. Пусть и е D ([(В |* ДР)Т). По предположению индукции «еО(В$-*) и B^'ug. Q(B). В силу леммы 12.43(b), Вам (/«“) ^ D (В). Но

. (ваГ1 (/а« ° Та"1) = №(/„«)] ° Т~\

так что, согласно следствию 12.34, /аи°Га-1 е H^.p Стало быть, иеН^.^М). Повторяя это рассуждение, найдём, что и е Н&. Поэтому D (В*) = D ((8s |- Д р)*) cz Н^. Наконец, любую функцию и е Hs легко сгладить путём локализации и последующей свёртки с гладким ядром, и это позволяет доказать включение Н^ cz D((B f Др)®). □ .

' 12.6. ИСЧИСЛЕНИЕ КАНОНИЧЕСКИХ ПОРЯДКОВ

Аналитический аппарат, описанный в предыдущем параграфе, можно считать вполне стандартным, хотя он и отличается от более привычного формализма ПДО. В данном параграфе мы опишем технику оценивания функций Грина . параболических уравнений, принадлежащую одному из нас (Б.С.) низлагаемую здесь впервые. Как будет видно из дальнейшего, это нечто вроде функционального интегрирования „для бедных". .

Определение 12.44. Будем говорить, что семейство операторов {AJi>o на L2(R", d"x) (или на L2(M, ^х),_где М — компактное n-мерное риманово многообразие, или на Др (R", d^, или на Др (М, dx1^ имеет канонический порядок me R, если (i) At при любом t действует из Н-<» в Н«; (И) для любых к, /е{0, ±1, ±2, ...},& ^ I, существует такая константа с^к, I), что при 0 < К 1 .

|| Atu ||fc < с (к, /)Г"°И“11/, где а = -у(к — /) — nt. (12.69)

Условие к ^ I здесь очень важно, ибо мы вовсе не хотим требовать, чтобы для иеНоо норма ||Л#«||е стремилась к нулю быстрее любого полинома (на самом деле при m >0 она будет стремиться к нулю как /т). Из определения ясно, что если

семейство At имеет канонический порядок пг, то оно автоматически имеет канонический порядок пг' для любого т' < пг. Если A t имеет канонический порядок пг, каково бы ни было пг > 0, мы говорим, что At имеет бесконечный канонический порядок.

Выбор термина и зависимости а от к и I мотивируется следующим предложением:■

Предложение 12.45. Если'Я —равномерно эллиптический оператор второго порядка на R" илй лапласиан (Бельтрами или Бохнера) на Д*(Л1), то оператор ехр(—tH) имеет канонический порядок нуль..■

Доказательство. В силу эллиптической регулярности {теоремы 12.32 и 12.37) норма в Н$ эквивалентна норме II (Я + р)$/2-||, где ц — такое число, что зрес(Я)с[—ц+ 1, оо). Стало быть,

||е-‘*а||к<С||(Я + ИУк-^^^ ||Д2||«||Г

Из функционального исчисления следует, что при 0 < f < 1

д(Я + и)°е-,я|Д2< sup |(х+ИГе-<х|

— е^-^ирЬу-Ь 1)+°е~<у|<СГа,

Ы>0

поскольку а^О. □

Смысл исчисления канонических порядков в том, что оно даёт информацию об интегральных ядрах.

Предложение 12.46. Если канонический порядок Л< равен пг, то At имеет интегральное ядро At(х,"уУ, причём

lim ^ sup | At (х, у) | = О(12.70)

t*0 х,у■

для любого b > (п/2) — пг.■'

Доказательство. Существование интегрального ядра вытекает из теоремы 12.31. Поскольку 5,еН-$ для любого s>n/2 (теорема 12.29), то■

I At (х, у) | -1 (б„ Л^) | <|| Л ||н$^н_$,■

а потому (12.70) следует из (12.69). □

В простом частном случае Л# = ехр(/А), когда At(x, х) = (4л/)-п/2, эта теорема почти точно «отлавливает» главный член при ^^-0. Действительно, в этом случае условие b >(п/2)— пг нельзя заменить даже на 6 ^ (п/2)— пг. Конечно, одно предложение 12.46 не позволяет выделить члены вида t-^logt/-1).

Наша стратегия будет состоять в том, чтобы, используя его, отделить члены меньших порядков, чем интересующие нас, а оставшиеся слагаемые анализировать более явными методами (в основном методом скейлинга).

Нам понадобятся два абстрактных метода получения операторов с определённым каноническим порядком из операторов с другими порядками. Первый из них совсем прост:

Предложение 12.47. Пусть Л# имеет канонический порядок т, и пусть В — произвольный фиксированный оператор, такой что для некоторого 6^0'.

ЦВф|к<С6||ф|к+6.

Тогда BAt и AtB имеют канонический порядок т— (6/2).

Доказательство. Ясно, что.

II ВА^ |k < Ck || Л,Ф |k+6 < Ckc (6 + b, /) ta II ф ||z,'

где

"a=L^_l+^_fn = ^.^_^_^rn-l.by■

Ввиду того что b ^ 0, обязательно k + b ^ l при k^ l. Доказательство для AtB аналогично. □

Следствие 12.48. Если Н— равномерно эллиптический оператор второго порядка на R", то dzexp(—tH) и (ехр(—tH))dt имеют канонический порядок —1/2.

Для читателя, незнакомого с разложением Дюамеля, следующий результат будет выглядеть чересчур специальным. Поэтому мы напомним'

Предложение 12.49. Пусть X, У— ограниченные операторы. Положим

6„ =S е"^"5»""--$«) хУе"$1хУ ... Ye"snxdsx ... dsn,

. 0<st<t'

п

X stCt, ■i-i

и пусть rn — интегралы такого же вида, полученные заменой ехр[—(/— Si— ... —sn)X] на ехр[—(f — Si— ... —sn) (X + У) ]. Тогда для любого п .'

e-ttx+m _ е-^= £ (-1)' b, + (-1)"+1 r„.,.

■/-i

Доказательство. Начнём с формулы для п = 0 (формулы Дюамеля) :.

■-t■.

e-t (А+У) _ e-tx = _ $ е-«-$) (Х+У) ye-sx ds(12.71)

■о■■

Чтобы доказать её, положим■

Bt = е-‘ <х+у> etx

и заметим, что

dBtldt= — exp [— t (X + У)] У exp (ТА), так что"

t■

В, - Во = - $ е-<#“^ <Х+У> Уё4-^ xds. .

.о

Умножая это соотношение на ехр(—tX), приходим к (12.71). В общем случае формула получается теперь по индукции, так как подстановка (12.71) в первый сомножитель под знаком интеграла, определяющего гп, приводит к равенству гп = Ьп— Гл+Ь □'.■'.

Хотя теорема доказана лишь для ограниченных операторов X, У, позже мы применим её в случае, когда X и X + У являются равномерно элли™операторами второго порядка. Про

вести это обобщение мы предоставим читателю, а сами ограничимся несколькими указаниями. (1) Слагаемые в правой части формулы вначале надо трактовать как отображения из Hs в Н~$ (т. е. рассматривать значения матричных элементов на элементах ф из Пространства Н$ при достаточно большом s), а затем заметить, что они имеют смысл и как ограниченные операторы из Н в Н. [Если У содержит производные второго порядка, та нужно действовать аккуратно, чтобы избежать членов вида sr1. Но так как, например, в формуле для Ьп фигурируют п + 1 сомножителей вида ехр(—SiH), i = 0, 1, ..., п, где s0 = t—Si — ... —sn, и производные порядка не выше 2п, мы можем, используя Hz с дробным /, получить оценку вида s^°w, а(п) — п/(п+1).] (2) Полезно доказать предложение 12.49 вначале для чисто мнимых t, когда оператор ехр(—/(Х+У)) корректно определён, а затем применить аналитическое продолжение.

Теперь, когда мы познакомились с предложением 12.49, следующее утверждение представляется уже вполне естественным.

Предложение 12.50. Пусть Л|о), .... Л(/> — операторы канонических порядков то, ..., mi с т/ > —1. Тогда интеграл

Bt =\ A^s_ _.А№ A«)dS1 dst

sz>0■.

Sl + ...+Sj<t. .

сходится и Bt есть оператор канонического порядка / + So ть Доказательство. Пусть So=t— Si— ... —St. Запишем Bt в виде Bt = ^1j„oBf, ь где Bf, j — интеграл вида Bt, взятый по области Rb в которой'

max 8к = 8<.''

0<й<1

В области R; справедлива оценка .■

|л<7...л«><р|,<с(П<')»7'-,В1*-'’||<р|1д.

где все Л^ (z =# j) рассматриваются как отображения из Н, в Н, с подходящим ■ q, а Л$/ — как отображение из Нр в Не. Поскольку t ^ Sj ^ t/(n + 1) на Rj и

$ П ^ ^si 1 • • ^si= с^’ где d = ^ + 2 mz.

(с < сю, так как mt > —1), мы получаем нужный результат. □

В. качестве первого приложения доказанных теорем изучим коммутаторы [f, ехр (—iti') ] для f е С”. Нам понадобится

Лемма 12.51. Пусть А и В — ограниченные операторы. Тогда t.

[Л, е-<в] = - $ e-u"s) в [Л, В] e-sB ds. о■ .

Доказательство. Положим•

Ct^etBAe-tB,

так что

^е‘в[Л, B]e-sB и

Ct — ЛJ ^в [Л, В] e-sB ds..

■о

Умножая на ехр(—tB) слева, получим нужный результат. □

Эту лемму мы будем использовать и в том случае, когда В — равномерно эллиптический оператор второго порядка, а Л — функция из С”. Обоснование мы предоставляем читателю, сделаем лишь маленькую подсказку: вначале надо проверить лемму для указанного случая при мнимых t, а затем выполнить аналитическое продолжение. Следующий результат будет играть решающую роль.

Теорема 12.52. Пусть Н— равномерно эллиптический оператор второго порядка на R" (соотв. лапласиан Бельтрами или Бохнера на М) и f—функция класса С” на R" (соотв. на М) с равномерно ограниченными производными. Тогда [f, exp (—tH)) имеет канонический порядок 1/2..

Доказательство. Рассмотрим лишь случай R"; с помощью локализации случай М разбирается аналогично. По лемме 12.51

■t.

[f, е-<я]^-^«Yf, HAe-sHds..

О-

Но [f, Я]= ^g/d/H- h, где gt и А—некоторые С”-функции. В силу предложений 12.45 и 12.47 операторы ехр(—sH)gt и ехр(—sH)h имеют нулевой канонический порядок, а д/ехр (—sH) имеет порядок — 1/2. Ввиду предложения 12.50 канонический порядок коммутатора [f, ехр(—Ш)] равен 1 — (1/2)= 1/2. □

В качестве типичного примера применения развитой выше техникиизучим " главный член асимптотики экспоненты ехр (—1Щ (0,0). При этом мы будем использовать тот факт, что

(е,А) (х, у) = (4л/)-"'2 ехр (-(х - у)2/4/).(12.72)

Это нетрудно показать с помощью элементарного преобразования Фурье. Приводимые ниже две теоремы доказаны для случая R". Результаты следующего параграфа позволят применить их и к случаю многообразия М.

Теорема 12.53. Пусть Н = —£/, / д^а^д} + 2/ btdi + с — равномерно эллиптический оператор второго порядка на £2(R") (допускаются и векторнозначные функции), и пусть а>/(0) = б>/. Тогда

11m (4л0"/2 e~tH (0, 0)=1.

Доказательство. Положим Но = —Д и ац = ан— бу.

Используя разложение Дюамеля, мы можем написать t■.

e~tH — e-tH” — ^ е~(<~$) н (Ci + С2) e~siI« ds,о.

где Сх = —^ЬДг+с и С2 = ^^/д^цд/. Член с Ci имеет канонический порядок 1/2, а потому в пределе при f|0 не даёт вклада в

. ■ (4nt)n/2 [exp (—tH) (х, у) — exp (/A) (х, у)].

Член с С2 запишем в виде суммы Dx + D2, где

' D1 = 2 $ (е"<<-$) “^ Oje-sH> ам ds,.

<./ о.

■t

^2 = ^5 e-(<-s) Hdt [й{1, д/ё-311] ds.

о' '

С помощью теоремы 12.52 можно убедиться, что канонический порядок оператора [а</, д/ехр(—sH)] равен 0. Поскольку ехр[—(/— 5)Я]дг имеет порядок —1/2, то порядок D^ равен 1/2. Стало быть, этот член тоже не даёт вклада в асимптотику выражения (4л0"/2[ехр (—tH)(x,y)—exp(fA) (х, у)] при ^0- И только Dx имеет канонический порядок 0 и даёт вклад в эту асимптотику при всех х, у. Но поскольку 3^(0) = 0, то £)[(0, 0) =0 при всех t. Таким образом, мы показали, что

Пт (4л0"/2 [е-<" (0, 0) - e"tH« (0, 0)] = 0. ■ t*o

Теперь утверждение теоремы вытекает из (12.72). □

Следствие 12.54. Пусть Н— лапласиан Бохнера или оператор Лапласа—Бельтрами на R" с метрикой gy, равной бу на бесконечности. Пусть ехр(—tH) (0,0)—интегральное ядро относительно естественной меры dx (= V(det gy^ dnx) на пространстве Rn, рассматриваемом как риманово многообразие. Тогда

lim(4nt)n/2e“'"(0, 0) = 1.

Доказательство. Рассмотрим нормальные координаты с началом в точке нуль. В этих координатах оператор Н будет иметь такой вид, как в теореме. □.

Замечания. 1. Ввиду результатов следующего параграфа о вырезании и наклеивании условие gq = Sq на оо можно заменить условием равномерной эллиптичности.■

Если в теореме 12,53 условие ац(0) = б>/ не выполнено, то мы просто полагаем Но = —dtaij^dj и получаем

[det аИ (0)11/2 (4л/)"/2 ехр (—Ш) (0, 0) -> 1.

Если мы запишем утверждение следствия 12.54 в произвольных координатах, то для интегрального ядра относительно меры dnx получим дополнительный множитель (detg^)-1^2, но этот множитель сократится при переходе к мере dx = (det ga)l/2dnx, поскольку (detgi,) (det 5'0= 1-■

Позже мы обсудим асимптотические разложения высоких порядков; см. теорему 12.57.■■

Поскольку коммутаторы с f обладали хорошими свойствами, можно надеяться, что коммутаторы высших порядков с f будут обладать еще лучшими. Ниже под (Ad f) (В) мы понимаем [f, В].

Теорема 12.55. Пусть Н И f — такие функции, как в теореме 12.52. Тогда для всех / оператор (Ad f) / [exp (—tH) ] имеет канонический порядок /'/2..

Доказательство. Поскольку (Adf)3(B) = 0, по индукции отправляясь от леммы 12.51, можно показать, что

<Adfy<e У '£r

•” ' ■й+Z+m—f '..

Z—1 или 2

.t■'

'х 5 [(Ad f)fc (e-«-s) ")] [(Ad f)z (B)] [(Ad f)m (e"s")J ds.

. о

Нужный результат получается отсюда с помощью предложения 12.50 индукцией по /. А именно, пусть уже доказано, что теорема верна для любого q < /. Тогда (Ad f)ft [exp (—tH) ] и (Ad f)m [exp (—tH') ] имеют канонические порядки k/2 и m/2, ибо k,m<Z j. Оператор (Adf)z(B) содержит члены первого порядка по д;, если / = 1, и является просто функцией, если / = 2, так что, в силу предложения 12.47, канонический порядок оператора [(Adf)z(B)[ [(Adf)mexp(—sB)] равен m/2 — (2 — Z) /2. Следовательно, весь интеграл имеет канонический порядок 1 + &/2 + + m/2— 1 +. //2 = //2, чем теорема и доказана. □

Следствие 12.56. Пусть Н, f, g— такие, как в теореме 12.52. Предположим, что носитель supp g компактен и supp f П supp g

= 0. Тогда канонический порядок оператора g exp (—Ш) равен бесконечности. ..

Доказательство. Пусть Нг С” — функция, равная единице на suppg и нулю на suppf. Тогда g (Ad h) i (exp (—tH))f = g exp (—tH) f для всех /. □.

Последние несколько результатов показывают, что исчисление канонических порядков — это, как мы уже отмечали, нечто вроде функционального интегрирования „для бедных". Интегральное ядро оператора (Adf)'expG—^) равно (f(x) — /(у)]'[ехр(—tH^^x.y), так что теорема 12.55 является выражением того факта, что за время t броуновская частица удаляется от исходной точки на расстояние O(f/2). .

Оставшаяся часть параграфа посвящена систематическому обсуждению асимптотических разложений высших порядков для [ехр (—Ш) (0, 0) ] и нахождению первой поправки к (4nf)-n/2 в терминах кривизны для случая, когда Н— это лапласиан на функциях (£о = Во). Весь этот материал не понадобится в дальнейшем и может быть опущен.

Теорема 12.57. Пусть Н = — 2</ ^ia<A + ^Л^ + с — равномерно эллиптический оператор второго порядка в £2(R"). Тогда

(4л/)"/2<<я(0, О)~во + ^+...+^^^

(в том смысле, что ■

■[(левая часть)—^/-о^ 1 = 0 (/+1)

для любого /), где е, зависит лишь от коэффициентов в тэйло- ровских разложениях функций а, b и с до порядка 2/, 2/— 1 и 2/ — 2 (включительно) соответственно.

Доказательство. Идея доказательства довольно проста. Вначале мы покажем, что для получения членов до порядка tl достаточно использовать первые 2/ членов разложения Дюамеля. Затем убедимся, что коэффициенты нашего дифференциального оператора можно заменить соответствующими многочленами Тэйлора, и наконец вычислим с помощью масштабного преобразования порядок по t произвольного набора тэйлоровских коэффициентов. Пусть Но = —А.■

Изменяя масштаб, можно считать, что ац\0)= 6ц. Положим ац ^= ац — 61/,

-У 2 = - Z д^д,, У! = Z bДь Yq = с, Y= Y» + У, + У2.

Пусть-

V’ —(Г «р[-(»-»,

■Sj > 0, 2 sj < s.

х У ехр (— s^o) • • • У ехр (— 5т_1Я0) dsY ... dsm_Y, t.

^(т) .—. ^ e-(t-s)H„^m)^Si'

о.

. ft”) ;= e~(<~s) ^f^ ds. о.

Из разложения Дюамеля вытекает соотношение.

е-<" - е-«* = 2 (-l)/^ + (-l)m+1r(”+1).

Мы ищем операторы с^т\ с^, т ^ 0, такие что

a^-I^-W W

f^6Q = c^6Q;

с^ имеет канонический порядок (т — 1)/2, и для любых /(1), .. .. /(/) из С” оператор (Ad/(*>) . . . (Ad^ (с^”1) имеет порядок а + т— 1)/2.■'

Если мы отыщем такие операторы, то

r^dg = ds exp [— (/ — s) Я] с^'^бд о.

и ( ds ехр [—(/— s) Я] с*т~*) будет иметь канонический порядок т/2, т. е.

е~,я (0, 0) = е-<я« (0, 0) + § (-1)/ № (0, 0)+О ^-ч2-^.

Таким образом, нам останется лишь найти асимптотические ряды для^/ЦО, 0). Определим а и с следующими рекуррент-

ными формулами:.

а(0) = 0, С(О) = -^di [ач, д/е-^] + (У 1 + Уо) е-^,

/■

t

а(т+1) = а(т) — С е—(t—s) »оС(т) ^$■

‘‘ Js’

■0■■

't.■ ■.

:c^m+i)= | _ ^d; [а;/, 5/e~(s~“)я•c(u'n,] .

+ (Уо + yi) e-(s-u)"°с^ } йи- (12.73)

Индуктивную проверку выполнения условий (а) — (с) предоставляем читателю. ..

Допустим, что ац в (12.73) заменено на х^б, где б обращается в нуле в нуль. Тогда, учитывая равенство

хкЬд1е~<,-и1Н1с^60 = [хл, [5, ^е-^-*^ "«с^] ] ] б0,.

получим дополнительное слагаемое 1/2 в каноническом порядке. Таким способом, используя формулу Тэйлора, нетрудно убедиться, что для вычисления членов до порядка tl можно заменить ац, Ь, с соответствующими отрезками рядов Тэйлора. Эти коммутаторные формулы показывают, что все интегралы по s сходятся. Рассмотрим член, содержащий /-кратный интеграл по s, в котором подынтегральная функция имеет jY сомножителей вида dt^^j, j2 сомножителей вида х^д, и /3— вида хс® Ui"Vh + h — iV С помощью явного выражения для интегрального ядра ехр(/А) можно показать, что этот член равен с^-н/з^+ь+с), где' ■

а = Ё(Оа —2), 6=Ё(6«—1), с = £са. ■. а—1а—1. а—1'

Если сумма а + b + с нечётна, то определяющий число с интеграл равен нулю в силу антисимметричности подинтегрального выражения относительно замены х на —х (оператор ехр (—tH^ инвариантен относительно этой замены, а д, переходит в —д,). Следовательно, в наше разложение входят лишь целые степени. □ :

Приведённое доказательство создаёт впечатление, что явные формулы для коэффициентов в разложении ядра ехр(—Ш^ имеют довольно- сложный вид. Для членов высоких порядков это действительно так, но, как мы сейчас покажем, коэффициенты при первых членах разложения вычислить совсем нетрудно.

Теорема 12.58. Пусть L — лапласиан на функциях, отвечающий метрике gy в R". Тогда•

e~tL (0, 0) = (4л/)-"/2 [1 + ^ Rt + О (^J,

где R — скалярная кривизна в нуле.

Доказательство. Перейдём к нормальным координатам. Пусть

Gtj-.M = ^giildxk дх1. Поскольку detg-=l и gU^^i — — 2~‘ 2 Оц; kixkxl + О (| х Р) (знак минус появляется здесь по- k. I■

тому, что g!i — матрица, обратная к gif), то

L^^% = -Д + у X Gir.MdiX^di+OO-^dA, ■ i. Ii. i. к, I

а потому (при Ho ——A)

e"<L(0, 0) = (4л/)-"/2..

- 4 X Gl>-kl S [e~(<~S) “'diX^dje-511^ (0, 0) ds + 0 (r"/2^).

k. I 0.'

.(12.74)

Далее, для произвольного оператора А положим-

(Л\ = (4л/)"/2 (е-(,-$) я“б0, Ле-5Я»д0).

(Множитель ^nt)^2 обеспечивает выполнение равенства <l>s = 1.) Вследствие (12.72) произведение двух экспонент в этом определении равно .

' ехр(— t^fts (t — s)).

Таким образом, если Л —функция х, то величину <Л>$ легко сосчитать. Именно:'

. ^х^ = bM2s (t — s) Г1,

(х1х‘хкх\ = рмк145Ч1-^Г\(12.75)

где рмы = 6M6fet + &1к6ц + 6и&1к. Дифференцируя ехр(—sH0) (x, 0) и ехр (— (t — s) Яо) (х, 0) и интегрируя по частям, найдём, что

<,dtxkxld^ = -(2s)-1 [2 (f - s)]-’ (x'xWX

= —s(Z —s)r2pw.

В силу (12.9а, Ь)■

Стало быть,'

■t

(второе слагаемое' в (12.74)) = (4л/)~"/2 R ^ s (t — s) Г2 ds.о

= (4л/)-"/2А^.

Отсюда следует утверждение теоремы. □

Замечание. Соотношение (12.75) говорит, что <->s — это по существу «броуновский мост» (см. [331]). Приведённые выкладки— это снова нечто вроде интегрирования по траекториям, но «для чуть более состоятельных».

■ Располагая результатами следующего параграфа о вырезании и наклеивании, можно распространить предыдущие теоремы на произвольные многообразия.

Следствие 12.59. Пусть М — компактное ориентируемое риманово многообразие, и пусть Lo— лапласиан на функциях. Положим т=\ dx (объём Л!) и х=\ Rdx (полная кривизна). Тогда■•■

.Tr (e~<L) = (4л/)~п/2 |т + у fx + О (^)].

Полезное упражнение—проверить это утверждение для двумерной единичной сферы с обычной метрикой. Непосредственный анализ (не такой уж простой) даёт’

Tr (е-“-«) = ^ (2/ + 1) е-"<z+1) = Г1 + у + О (О- (12.76) 1-0

Таким образом, т = 4л, а так как R постоянно и равно двум (R = 27?1221 И /?1221 = 1), ТО х = (4л)2.

В заключение поясним, как можно доказать следствие 12.59, опираясь на теорию инвариантов. Из доказательства асимптотики ядра теплопроводности видно, что коэффициент с(х) в разложении.

.<4«tynl2 [1 + с (х) ^ + О (^] = exp (— 1Ц) (х, х)

линеен по первой и второй производным от gu в точке нуль, а коэффициенты этой линейной функции зависят только от размерности (в силу результатов о вырезании и наклеивании).

Поскольку функция с не зависит от выбора системы координат, нам достаточно вычислить её в нормальных координатах. Тогда первые производные g обратятся в нуль, так что с будет содержать лишь члены вида Gij; ы. В силу инвариантности относительно вращений, в с могут войти лишь свёртки ^Ginii и ^Gu-.ii- Но ввиду (12.19а) вторая из них равна нулю. Следовательно, в с входит лишь один инвариант, R, т. е. с(х) = ап + bnR^x). Остаётся сосчитать константы а„ и Ьп. Так как они универсальны, можно провести вычисление для удобных частных случаев. Прежде всего заметим, что справедливо такое «правило умножения»: если М = Afi X Af2 (с метрикой произведения), то ехр (—tL) (0,0) есть некое произведение и R = Ri + R2. Отсюда получаются соотношения, связывающие ап„ ап, с ani+n2 и ЬПп Ьп, сЬщ+п,. Выбирая М = Мь найдём, что a«i = jan и Ьп =Ь «ь Меняя ролями п и j, получим, что bn = bj и ап/п = сц]\ Для любых п, j. И наконец вычислим а и b для 2-сферы радиуса р со стандартной метрикой; поскольку /?=2/р2, с(х)=1/3р2, то а2=0,62=1/6.

У аналитика от приведённого доказательства остаётся чувство неудовлетворённости. Обычно подсчёты проводят для общего случая, а частный случай просчитывают для контроля. Одно дело —найти разумный способ проведения вычислений, и совсем другое — избежать их вообще! В рассматриваемой ситуации, когда прямой подсчёт не слишком сложен, этот подход неоправдан. Если бы нам приходилось выполнять все взаимные сокращения в £(—l)pTr (e-<Lp) вручную, то подход, основанный на теории инвариантов, был бы вполне уместен, и в действительности именно .этот, подход к общей, теореме об индексе использовали Джилки [132—134] и Атья, Ботт и Патоди [18]. Однако же, располагая формулой Березина—Патоди, можно вычислить str [ехр (—tL) (х, х) ] напрямую, и представляется более разумным провести это вычисление, а не бегать от него. ■

. Хотя указанные сокращения в дальнейшем выполняются с помощью формулы Березина—Патоди, в принципе можно сделать это и вручную. При п = 2, как мы только что- видели,

tr (e~tL« (0, 0)) = tr [е-^’ (0, 0)] ~ (4nt)-1 (1 + у //?) .

Читатель легко найдёт асимптотику

tr(e-^'(0, 0)) - (4л0~‘ (2 -| tR)

и, следуя Маккину и Зингеру [240], выведет отсюда, что str [e-<L (0, 0)] ~ (4л)-1 R,

доказав тем самым теорему Гаусса—Бонне.

ВЫРЕЗАНИЕ И НАКЛЕИВАНИЕ

Наша цель в этом параграфе — доказать следующий результат:

Теорема 12.60. Пусть М — ориентируемое риманово многообразие с метрикой g. Пусть UacM— координатная окрестность точки т и Та-. Ua^R4— координатное отображение, причём Га(т) = 0.Пусть g— такая метрика на Rv, что g°Ta = g (в том смысле, что если Т* — индуцированное отображение T(Ua) в T(RV), то g(T„X, T^Y) = g(X, У) для всех векторных полей X и У на UaY Пусть L— оператор Лапласа—Бельтрами на Д*(М) и L— аналогичный оператор на A*(RV)- Тогда

|| exp (—tL) (m, m)—exp(—tL) (0, 0) || = О (tk) для любого й.

Прежде чем приступать к доказательству, заметим, что методы интегрирования по траекториям (и некоторые другие) позволяют получить для указанной разности оценку О(ехр(—c/t)) с подходящей константой с > 0. Нам хватит оценки О(/8) с некоторым е > 0. Теорема 12.60 означает, что нам достаточно рассмотреть ядра теплопроводности на Rv; в частности, следствие 12.54 и теоремы 12.57, 12.58 сразу же переносятся с Rv на М. Отметим ещё, что ядра операторов ехр(—tB) и ехр(—tB) связаны таким же образом.

Доказательство. Используем отображения ЛхЮ : А*(М)~* ->A*(RV), определённые в (12.67). Пусть f.h^C^M— такие функции, что f = 1 вблизи точки иг, h = 1 в Окрестности supp f и supp h cz Ua. Начнём с рассмотрения разности ехр(—tL)IaAh) — /а(А)ехр(—tL). Положим

. Cs = exp (— (t — s) L) Iа (й) exp (— sL).

Нас интересует разность Со — Сх = ^1 (d/ds) С3 ds, т. е. оператор

1

e-tEla (А) - la (A) e-tL = ^-«-^ Е {Ia(h)L-LIa(h)}e~°Lds.

■■о

Из соотношения между g и g следует, что Ia(h)L— LIa(h)— оператор первого порядка с коэффициентами, зависящими лишь от производных функции h. к поскольку носители этих производных не пересекаются с носителем f, то оператор

B^UaWL-LI^h)) е-Ч,

в силу следствия 12.56, имеет канонический порядок бесконечность. Согласно предложению 12.50, канонический порядок one-

ратора ехр(—tL)Ia(h)f— /а(А)ехр(—tL)f также равен бесконечности. Умножая этот оператор слева на /«(f)* и учитывая, что Ia(.h')f = Ia(.h, Ia(f)*Ia(h)==f, НаЙДёМ, ЧТО

1ат*е-*Ча(П-1е-“-Т .

имеет канонический порядок бесконечность. Следовательно, интегральное ядро в точке (т,т) ведёт себя как O(tk') для любого А. □

Читатель, знакомый с теорией рассеяния, обратит внимание, что в приведённом доказательстве использовалось соображение типа признака Кука. '

. 12.8. ЗАВЕРШЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ ГАУССА — БОННЕ — ЧЕРНА

Теперь мы можем собрать вместе все промежуточные результаты и доказать теорему 12.14. Начнём с теоремы 12.20, позволяющей записать оператор L, действующий на всём пространстве ДЧЙ3), в нормальных координатах с началом в точке нуль в виде

L = Во + /?(4) (0) + Л(2) + Л(4),

где Л(2) й Л(4> имеют вид, указанный в этой теореме. Пусть L* = Во +/?<4) (0) и (С)„ —часть оператора С = ^С, /1*,а; в Д^ содержащая по п сомножителей а* и а. Покажем, что

(е-^*(0, 0))„- (e-<L(0, 0))„ = О(?/2-8) . (12.77) (это автоматически будет означать, что левая часть есть 0(f)). Разложим экспоненты ехр(—fL*) и ехр(—fL) по формуле Дюамеля, выделяя ехр(—fB0). Чтобы получить п операторов а в члене порядка q, надо иметь I сомножителей, равных ^(4>(0) + Л(4), и / сомножителей, равных Л(2), где l + j = q, 21 + j^n (из слагаемых, содержащих больше чем п операторов а или а*, мы выделим с помощью коммутационных соотношений операторы а^ „}{1 ....„})• Поскольку канонические порядки Л(2> и /?(4)(0) + Л(4) равны —1/2 и 0 соответственно, порядок рассматриваемого члена в разложении Дюамеля равен (ввиду предложения 12.50) 1 q — (j/2) = / + (j/2) ^ п/2. Таким образом, все члены, за исключением тех, для которых 21 + ] в точности равно п, имеют порядок f1/4-® или выше. Члены разложения, различные для L и £*, содержат по крайней мере один из операторов Л(2), Л(4). У тех из них, которые включают в себя часть Л(2), не содержащую производных, порядок всегда на 1/2 больше, чем вычисленный выше. Коэффициенты остальных членов обращаются в нуле в нуль, так что с помощью трюка с комму-

таторами, который мы уже неоднократно использовали, можно найтй оператор, принимающий на б0 то же значение, что и рассматриваемый, и имеющий порядок на 1/2 выше. Следовательно, справедлива оценка (12.77).

Отметим, что Во действует только на функции, а /?<4)(0)— только на векторные компоненты, так что Во и /?(4>(0) коммутируют и ■

str (e"<L* (О, 0)) = е-<в° (0, 0) str (e-tRw №).

Далее, exp (—tBQ) (0,0) = (4л#) ~е (1 + О (f)). Поскольку из всех членов тэйлоровского разложения экспоненты ехр[—^(4>(0)J вклад в суперслед дают лишь те, которые имеют порядок не ниже к, то'

str- ^-str [Я,о (0)1 + О (?«).

Стало быть,

str[e~<L*(O, 0)] = (-1/ (4n)_*(^)_1str[/?(4)(0)*] + 0(0-

Тем самым задача сведена к вычислению str [^(4) (0) *], и доказательство завершает вторая из лемм, приведённых ниже. □

Лемма 12.61. Суперслед str^a, а, а^, a,J(a^ .,. а, )] неравен нулю лишь в том случае, если (ib тх, Ц, ..., т^) и (/b /ь /г, • • - Лк) являются перестановками набора {1, ..., я}. В этом случае

■8^Г [°я (1)°а (1)°я (2)°а (2) 1 1 1 °л (п)°а (п)] = ( 0 (— О •

Доказательство. Первое утверждение сразу же следует из формулы Березина—Патоди (теорема 12.9). Докажем второе утверждение. Согласно формуле Березина—Патоди, суперслед членов, содержащих антикоммутаторы {я£(/), °a(Z)}> равен нулю. Поэтому

8*Г[°я(1)°а(1) ••• °я(л)°а(л)]■

= (—1) ( W str [ая(1) • • • °„(n)°a(l) 1 • aa(n)]*

Множитель (—1)"("-0/2 возникает здесь потому, что комбинация операторов в правой части получается из комбинации в левой части после (я—!) + (» — 2) + ... = я(я—1)/2 антикоммутаций. Далее, заметим, что.

Я»(1) . . . Ла(п) = (—1) ах .. . Яд, ■

= (-1)“(-1)“и-"«(а, ...а,)'.

Поскольку (—1)"=1, теорема 12.9 приводит к нужному результату. □

Лемма 12.62.

str [/?(4) (0)*] = 2~* £ (~ 1)° (~1)” ^?я (1) „(2)а(1) а(2) 'я, а

..••• ^?я(п—1) я(п) а(п—1) а (п).

Доказательство. В силу последней леммы, из определения /?(4> следует, что

■str[/?(4)(0)*]=£ (-1)4-1)’

я, а■

X ^?я(3) а(3) я(4) а (4) ••• Rn(n—1) а(п— 1) я(п) а(п).

Фиксируем о и л(3), ..., л(п) и рассмотрим сумму по всевозможным значениям л(1), л(2). При / = о(1), 1 = о(2)

Rijkl RkjU = Rijkl + Rjkil = —Rkijl = "J (Rikjl Rkijl)

(мы использовали свойства симметрии R). Стало быть,

str (/?(4) (0)*] = £ (-1)” (-1)’ [у #я(1) я(2) а(П а (2)]я, а•

X ^?л(3) а (3) л (4) а (4) ... Ra (п-1) а(п— 1) я(п) □ №•

Повторяя проведённое рассуждение для каждого сомножителя, получим требуемый результат. □ -——

'12.9. ФОРМУЛА МЕЛЕРА

Цель заключительных двух параграфов— дать введение в более общие, чем теорема ГБЧ, теоремы об индексе. Для того чтобы выйти за рамки теоремы ГБЧ, нам понадобится так называемая формула Медера. Впервые она была написана Мелером в связи с изучением производящих функций для полиномов Эрмита, а на современном языке — просто формула для интегрального ядра оператора ехр(—/Я), где оператор.

.H=-S+x2~Y.<12-т8>

на £2(R, dx) есть гамильтониан гармонического осциллятора.

С открытием Хирцебруха различных частных случаев того, что можно было бы назвать общей теоремой Атьи—Зингера об индексе, в различных контекстах в рассмотрение были введены гиперболические функции, или, точнее, частичные суммы их ря-

дов Тэйлора. Когда Патоди [274] распространял свое доказательство теоремы ГБЧ на более сложный случай теоремы об индексе— на теорему Римана—Роха—Хирцебруха, он нашёл соответствующие гиперболические функции «вручную», и трудности, с которыми он при этом столкнулся, по-видимому, и заставили его воздержаться от попыток распространить разработанный им подход на более общую теорему об индексе. [Недавно [18] было установлено, что общую теорему об индексе можно извлечь из теоремы об индексе для скрученных комплексов Дирака. На самом деле лишь для них и было проведено прямое доказательство, использующее ядра теплопроводности.]

Гетцлер [129] первым понял, что нужные гиперболические функции легко извлечь из формулы Медера. В какой-то степени эта идея неявно присутствовала и в более ранних работах, посвящённых суперсимметричным доказательствам, где эти гиперболические функции получались при вычислении «бозонного детерминанта», фигурировавшего в некотором интеграле по траекториям. С другой стороны, известно, что такие детерминанты — ключ к одному из доказательств формулы Мелера. Так или иначе, эта интерпретация формулы Мелера объясняет, почему её можно рассматривать как третий суперсимметричный элемент нашего доказательства: она представляет собой что-то вроде бозонного аналога формулы Березина—Патоди. По этой причине мы приведём доказательство формулы Мелера (принадлежащее, по существу, Саймону и Хёэг-Крону [344]), подчерки; вающее аналогию между фермионным и бозонным случаями. Имеются три других, более коротких, доказательства, - которые мы набросаем в конце.' '.

Начнём с формулировки:

Теорема 12.63 (формула Мелера). Пусть Н— оператор (12.78). Тогда ехр(—tH) имеет интегральное ядро

Qt(x, у) = л-'/2(1 -е-«)"'/2ехр[-^(х, у)],(12.79а)

где.

F, (х, у) := (1 - е^Г* [у (1 + е"4<) (х2 + ^) - 2е~2‘ ху].

.(12.79b)

Из этой теоремы, в частности, следует, что

Qt (0, 0) = е* [(2л) sh (20]~1/2-(12.80)

Это соотношение и будет «источником» гиперболических функций. В доказательстве, которое мы сейчас дадим, используются бозонные аналоги операторов рождения и уничтожения фермионов а* и а. Читатель, знакомый с тем, как применяются

операторы рождения для анализа гармонического осциллятора, и не интересующийся тонкостями, связанными с областями определения,. может сразу перейти к концу доказательства предложения 12.65. . .

Положим .

6=^(*+£)- <12-81а)

<12-81Ь>

В отличие от операторов а и а*, которые являются ограниченными (грубо говоря, потому, что они/ в сущности, определены на конечномерном пространстве), операторы b и 6+ неограниченны, так что мы должны описать их области определения. Для начала будем считать их операторами с областью определения S(R) (пространство Шварца). Легко видеть, что 6 н Ь* переводят S в себя и связаны соотношением (ф, 6ф) = (6+ф, ф) для всех ф,ф е S. Скоро мы увидим, что их замыкания суть взаимно сопряжённые операторы. Ясно, что 6 и ^ удовлетворяют (как операторы на S) равенству - • ■ '

[6, Ь+]=1. (12.82)

Эта прямая аналогия с фермионным соотношением {а, а*} = 1 позволяет рассматривать пару Ь, Ь* как бозонный аналог пары а, а*. ■ ■ ' ■ ■

Предложение 12.64. (а)Оператор Нсамосопряжён в существенном на S. Начиная с этого места Н обозначает замыкание оператора (12.78) на S.

D (b) = D^ = Q(Я). .

(ьу-ОТ ОТ =ь.

Доказательство, (а) Из целого множества имеющихся доказательств наметим три! Во-первых, можно сослаться на общие теоремы о положительных потенциалах типа теоремы 1.14. Во- вторых, можно использовать явный вид решений уравнения Ни = Ей. Чтобы избежать появления функций параболического цилиндра^ возьмём Е = 0. Дифференциальное уравнение Ни = О имеет решения .

Q0(x) = «-V<e-*’/2, ф0(х)=хе*’'2. ■ (12.83) Множитель я-1/4 обеспечивает нормировку ^ Qo(x)2dx=l. Таким образом, любое принадлежащее L2 обобщённое решение

уравнения Ни = 0 имеет вид и = сй0, а потому [Ran Я[5] = {u|u = cQo}-1-. Стало быть, для любой функции f^D(H*) можно ■ найти функцию и е D (Я) и число с, такие что Н?! = Ни + сЯо. Взяв скалярное произведение с Qo, получим с = 0. Следовательно, H*(f — ц) = 0, так что f = u + cS20, а значит, f eD(Н), т. е. Я самосопряжён. В-третьих, можно воспользоваться Я-пред- ставлеиием пространства S (см. [292], приложение к § V. 3); провести такое доказательство предлагается читателю в качестве упражнения.

. (Ь) Начнём с формулы, проверить которую на S не составляет труда:

11 = 2^6."(12.84)

Стало быть,.'

2ЦЯф|Р = (ф, Яф)

и, в силу (12.82),

2 j d^f = (ф, (Я + 2) ф).(12.85)

Это означает, что на S норма, ассоциированная с квадратичной формой, отвечающей оператору Я (Q(Я)-норма), эквивалентна нормам графика, отвечающим операторам b или 6+. Поскольку множество S — существенная область для Я, оно является и существенной областью для формы, отвечающей Н. Отсюда следует нужный результат. ■ ' ' -.

(с) Доказательство этого утверждения представляет собой вариант . второго доказательства утверждения (а). Если (б+)*« = 0, то и' = —хи (в смысле теории распределений), так что и' локально принадлежит L2, а потому и — непрерывная функция. Тем самым, iz е С1 в классическом смысле и, следовательно, и = сЯо- Аналогично заключаем, что если Ь*и = 0, то и = сехр(х2/2). Значит, поскольку и^ё£2, уравнение Ь*и = 0 ие имеет решений.

Далее, заметим, что, ввиду (12.85), 5 &+ф 6 ^ IIФII, так что область значений Ranb+ замкнута. Поскольку Ker (б1*) ={сЯо}, то Ran6+ = {сОо}х- Следовательно, для _любой функции фЕ D(Ь*) можно найти такую функцию f eD(б+), что д*ф=д+/+сО0 • Взяв скалярное произведение с Ц,, получим с = 0 и У (ф — f)=0* Таким образом, Ф = f лежит в В(Ь^\ Поэтому 6+ = 6*. Применяя к обеим ■ частям этого равенства операцию сопряжения, найдем, что (б+)* = 6. □.'

Начиная с этого места b обозначает замыкание соответствующего оператора на S. Поскольку 6+ совпадает с Ь*, дальше мы будем использовать Ь* вместо Ь*.■'

Предложение 12.65. Пусть

Q„ = (п!)-1/2(№0.'

Тогда

набор {Qn}”_b образует ортонормированный базис в L2(R, dx)i

HQn = ^n^ Q„;'.■

spec(H) = {0, 2, 4, ...}.

Доказательство. Учитывая (12.82) и (12.84), нетрудно проверить, что на S выполняется равенство [Я, 6е] = 26*, или НЬ* = 6*(Я + 2). Поскольку ЯЙо = 0, сразу же получаем (Ь). Отсюда следует попарная ортогональность функций Q/. Чтобы убедиться в том, что они нормированы, заметим, что, ввиду (12.85),

spU-il^XQ»-!, (я + 2)а„_1) = 2пцд„_1ц2.

Тем самым функция Qn = n~1/26*Qn-i будет нормированной, если нормирована функция Qn-ь Поскольку ||Qoll = 1, то по индукции получаем нужный результат.

Теперь докажем (с). Здесь мы воспользуемся соображениями суперсимметрии! Рассмотрим гильбертово пространство L2 Ф £2 и положим —

В качестве области определения этого оператора возьмем Q (Я) ФQ(Я). В "силу предложения 12.64, оператор Q самосопряжён, и ясно, что он коммутирует со спектральными проекторами для оператора

„ /Я 0 \

2<^_(о Я + 2/..

Следовательно,

6£(а.б)(Я) = £(„,р)(Я + 2)6.’

Поскольку Кег 6 = Ew (Я), мы видим, что если Е^а, р> (Я + 2) = О и 0 й (а, Р), то £(а, р) (Я) = 0. Беря (а, 0) = (0, 2) и учитывая, что Я 0, получим равенство Е(о, 2)Я = 0. По индукции найдём, что £(2П,2П+2)(Я) = 0, откуда и следует (с).

Остаётся установить полноту нашего набора, или, что то же самое, доказать, что каждая точка 2п из множества spec (Я) является собственным числом кратности 1. В случае п = 0 заметим, что Яф = 0 влечёт (ф, Яф)=2||6ф||2 = 0, а потому 6ф = 0. Это обыкновенное дифференциальное уравнение мы уже решили, и так как с точностью до скалярного множителя его единственным решением служит ф = й0, точка нуль имеет кратность 1. В общем случае применим индукцию. Если Яф = 2пф,то из коммутационных соотношений следует, что Я(6ф) = (2п —2) (6ф), так что по предположению индукции 6ф = cQn_i. Поэтому

ф = (2п)-1 Яф = 2 (2п)-1 Ь* (6ф) = c'b*tin_v = c"Q„. □■

Теперь определим оператор :х":, называемый упорядоченным (по Вику) произведением. Для этого запишем х в виде х = (VT) (b + Ь*), возведём это в n-ю степень, раскроем скобки и каждое слагаемое, содержащее / операторов b и п— / операторов 6*, заменим на (Ь*)п~!Ы. Таким образом, по определению

•хп-. = 2~л/2 Z ( " ) (b*)n-! Ь1.(12.86)

Предложение 12.66. (а) Оператор :хп: есть оператор умножения на некоторую функцию; мы будем обозначать её также через :хп:.

Функция : хп: Qo является (ненормированной) собственной функцией оператора Я, отвечающей собственному числу 2п, с нормой

Ь^Оо|| = 2'л/2(л!),,г.-

:х": = х:х"-1: — ±-^ :хп~Ч.

:х": = хп +(полином от х степени п — 2).

Полиномы :хп: попарно ортогональны относительно меры ехр (—х2).

Доказательство, (а, с). По определению,

:хп: = 21/2 (Ь* :х"-': + :х"-': Ь).

= х:х"-,: + [:х'-,:, 2~,/2б].

Поскольку [f, 6] = —2~1/2А, по индукции заключаем, что :хп: есть оператор умножения, причём выполнено (с).

Это утверждение выводится из (с) по индукции.. • (Ь, е) В силу (12.86),.

ас": О. = 2~л/2 (Ь*)п Q, = 2~пП sfHx Q„.

Тем самым доказано (Ь), а из ортогональности функций Q„ следует, что при афт

J :хп::х'п:(О0)2^ = 0. □

Утверждение (е) означает, что виковские полиномы ;хп‘. в точности совпадают с классическими полиномами Эрмита. С помощью соотношения (с) легко выписать в явном виде первые несколько функций :хп::.•

:х°: = 1, :х:=х, :х2:=х2—1/2;

:х3: = х3 —х, ‘Xt:=x* — -^x2-V-^-.

Укажем ряд полезных свойств функций :хп: :

Предложение 12.67. (a) (Qo, :хп: Qo) = 0.

А-‘хп: = п:хп-1:. ' ' dx

:х": = х : х"-1: — у (п — 1) :х"-2:.

Доказательство. Утверждение (а)—это просто частный случай утверждения (е) предыдущего предложения. Утверждение (с) следует из утверждений (с) того же предложения и утверждения (Ь) данного предложения. Таким образом, достаточно доказать (Ь). Проведём индукцию. При п=1 соотношение (Ь) очевидно. В силу соотношения (с) из предложения 12.66 и предположения индукции, *' '

dx Х • — dx Iх х •24 Х J

•= :х""': + (п-1)[х:х"-2:-у-^:х"-2:]

= п:хп~1:. □

Отметим, что соотношения (а), (Ь) индуктивно определяют :хп:. Теперь мы определим упорядоченную (по Вику) экспоненту (производящую функцию для полиномов Эрмита) формулой

:ехр(^):=Е (п!)-1 ^ :хл:.(12.87)

Предложение 12.68. (а) Для любого feiCI ряд (12.87) сходится равномерно по х на любом компактном подмножестве вещественной оси.■'.

Локально этот ряд сходится в С1.

:ехр (^х): = exp ^х — 4 ^)'

Доказательство, (а) Мы покажем, что ряд 2”„о(п0-1 ^ :ял: ^о сходится равномерно на всей вещественной оси. Из равенства Соболева следует, что

II f 11= <С(IIГ |k+ll f Ik) <с(IIНМЧ Ik+ II f IkXcdl Hf 1к+1| f Ik).

Стало быть,

| :xn: Qo L < с (2« + 1) 2“n/2 V^>

откуда и вытекает требуемая равномерная сходимость.

В силу того же неравенства Соболева,

II Л=< с (II Я/Ik+ llf Ik).

Ввиду (Ь) можно дифференцировать ряд (12.87) почленно. Поскольку (d/dx) :хп: = п :хл-1:, то функция f(t, х) = :ехр(/х): удовлетворяет соотношению

-7^’ x) = tf(t, х).(12.88)

Так как

-Х"+1- = Гх _Jl.d_\.xn. \2 dx )’

то, ввиду (12.88),.

■^^t, х) = (х—5--^)/^, х)=(х-уф(Л х).

Требуемый результат получается интегрированием этого дифференциального уравнения с учётом начального условия /(0, х) = 1. □

Последнюю деталь, нужную нам для доказательства теоремы 12.63, даёт•

Предложение 12.69. Пусть ^ ■ :ехр (sx) :Q0. Тогда

Доказательство. Точно так же, как выше была доказана равномерная сходимость (и даже ещё проще), доказывается, что ряд (12.87), умноженный на Qo, сходится в L2. Поскольку

6-<Я .ХП. Qg _ ^^П -ХП. Од, то

e-tH (:ехр (sx): Q«) = Z («!)""1 (se"2')" :х": Qoп=0

= :ехр (se~29 х: Qo. □ '

Первое доказательство теоремы 12.63. Так как собственные значения Н равны 2п, n = 0, 1, ..., то оператор ехр(—tH^ принадлежит классу Гильберта—Шмидта и, следовательно, имеет интегральное ядро, Qt (х, у). Пусть Gt(x, y) = Qt(x, y)Qo"‘x XWQo(y), так что.

[е-<я (т]Оо)] (х) = Qo (х) $ Gt (х, у) т] (у) dy.

В силу предложения 12.68(c), утверждение предложения 12.69 можно переформулировать следующим образом:■

5 Gt (х, у) eis® dy = exp [i (e~2,s) x] exp £— у s2 (1 — e~4<)] -

Применяя • обратное преобразование Фурье (преобразования Фурье гауссовых функций можно, вычислить явно), получим формулу для Gt, а потому и для Qt, совпадающую с (12.79). □

Дадим наброски ещё трёх доказательств теоремы 12.63!

Второе доказательство теоремы 12.63. Оно представляет собой вариант одного доказательства Дуба [89], в котором используются случайные процессы. Мы же применим формулу Троттера; подробности см. в книге Simon [331]. Интегральные ядра операторов exp \td?/dx2\ и ехр (—tx^ являются гауссовыми функциями. Поскольку интеграл по части переменных от гауссовой функции — снова гауссова функция, оператор"

{exp \tn~x (d2/dx^ ехр (— /х2п-1)}°’

имеет гауссово интегральное ядро. Так как предел гауссовых функций — тоже гауссова функция, из формулы Троттера следует, что ядра Qt(x, у) и At(x, у) = Q0(x)Q0 (у) Qt(x, у) суть гауссовы функции. Ясно, что'

5 At (х, у) dx dy = (Qo, e-^Q0) = 1,

так что At^x, y)dxdy— гауссова вероятностная мера. Функцию A t можно найти, вычислив 2 X 2-матрицу а с элементами

«п = 5 x2At (х, у) dx dy, 022 = ^ iMt (х, у) dx dy,

«2i = «12 = \ xyAt (х, у) dx dy

и обратив её (см., например, [331]). Имеем

«11 ^ «22 ^ (x2Qq, ® <ЯОо) ^ (x2Qq, й0) ^ "2* >

«12 = 021 = (яйо, е~/яхй0) = е~2< (x2Qq, ЦО — у е~2* ’

поскольку хйо—собственная функция Н. При обращении а появятся члены, содержащие определитель det а= [ 1 — ехр(—401/4. Этим объясняется происхождение выражения 1 — е-4* в формуле Мелера. Выкладки дают (12.79). □.

Третье доказательство теоремы 12.63. Это — доказательство для алгебраистов. Оно основано на том обстоятельстве, что алгебра Ли, порождённая х2 и р2, есть алгебра Ли 8t.(2, R), отвечающая группе SL(2, R) унимодулярных вещественных матриц размера 2X2. Это не просто совпадение. Дело в том, что SL(2, R) — это ещё и группа сил1плектических матриц, а тем самым группа линейных канонических преобразований в классической механике; в квантовой теории х2 и р2 соответствуют квантовые линейные канонические преобразования. Для любой линейной динамики квантовые средние удовлетворяют классическим уравнениям движения. Более подробную информацию об этой точке зрения можно найти в статье Hagedorn—Loss—Slawny [148].

Более конкретно, рассмотрим операторы р = —Xd/dx и

Л = у (хр + рх), В = ix2, С = ip2.

Справедливы следующие коммутационные соотношения: ..

[Л, В] = 2В, [Л, С] = —2С, [В, С]4Л.

Матрицы размера 2X2.

~ /104_/02\~ /0 04

4=1• IR— I IP = lI

ко —17’ ко о7’ к-2 о 7

подчиняются таким же соотношениям. Далее, матрицу ехрр(В + С)] можно выразить через ехр($Л), ехр (мВ) и exp (yQ (это — простое упражнение по теории матриц), а поскольку здесь важна лишь алгебра, аналогично выражается и ехр[?(В + С)] через ехр(хЛ), ехр(иВ) и ехр(уС). Используя явные формулы для интегральных ядер этих операторов, можно теперь получить явное выражение для Qt(x,y) при малых чисто мнимых t. Выполнив аналитическое продолжение, придём к (12.79). □

Четвёртое, и последнее, доказательство теоремы 12.63. Это — самое короткое, но, пожалуй, и наименее удовлетворительное

доказательство. Соотношения (12.79) дают явную формулу для Qt. Прямо проверяется, что Qt-^8(x — у) при /|0 и Qt удовлетворяет соответствующему дифференциальному уравнению. На этом основании заключаем, что Qt — интегральное ядро интересующего нас оператора. □

Имея в виду приложения, обсуждаемые в следующем параграфе, обобщим теорему 12.63 в нескольких направлениях. Во- первых, возьмём в качестве Н оператор — А + ?. Амх1х!. Тогда справедлива формула

е-^(0, OJ^nO-^tcletE^VTr1 sh (2^ V Л’)]}~'/2.

(12.89) Действительно, в силу теоремы 12.63,

exp [— t (— -^ + х2)] (0, 0) = [2л sh (2/)]~1/2 •

Изменяя масштаб, получаем

ехр£— ^—^ + <а2*2)] (0, 0) = [2л<о-1 sh(2co/)]~1/2.

С помощью разделения переменных убеждаемся, что

ехр [ — ^— А + Д <ofx0 j (0, 0)

= (4л/)7"/2 Ц [(2/<о;)-1 sh (2to;)] */2.

Теперь для получения формулы (12.89) остаётся только привести А к диагональному виду.

Уточним свойства аналитичности функции det [(2^ V^") * sh^V"^)!- Прежде всего заметим, что

х~* sh х = 1 +-^х2+-^х4 + ...

— целая функция от х2, а потому

(2^V^r'sh(2^V^) = 1 + 4M + -^"M2 + ••• 02.90)

— аналитическая функция от А. Поскольку определитель

det (1 + у) = 1 + Тг (у) — у [Тг (у2) — Тг (у)2] + •••

(12.91)

аналитичен по у вблизи у = 0, мы заключаем, что справедливо

Предложение 12.70. Функция {det[(2^V^) *sh(2/V^)]} 1/2 аналитична в окрестности t = 0 и равна

где fm — однородный полином степени т от элементов матрицы А.■

Например, используя (12.90,91) и равенство

(1 + У) 1/2 = 1—2 У + "8" У2 + •" •* можно показать, что■

ам)=-4£аь

/2 И) = -Д- У Ам Aji + -^- р Аи ) .■

Таким образом, {det[.. .]}~1/2—это просто краткая запись для некоторой весьма сложной функции от элементов Ац.

Нас интересуют ситуации, когда формула Мелера „в чистом виде" может и нарушаться. Вместо скалярных функций на R" рассмотрим векторнозначные функции (со значениями в койеч- номерном векторном пространстве V) на R" и оператор—Д + У, Ачх‘х‘, где Ajj — операторы из S'(У), не обязательно коммутирующие. Нам было бы достаточно, чтобы в некотором смысле, который будет уточнён позже, формула Мелера правильно описывала главный член асимптотики интегрального ядра ехр(—Ш) (0,0). Чтобы попонятней объяснить, что мы имеем в виду, разберём конкретный довольно специфический пример указанной ситуации, имеющий отношение к материалу следующего параграфа.

Итак, пусть n = 2k, V — комплексное векторное пространство размерности 2к и (Уц}^=1 — матрицы Дирака на V, описанные в § 12.2. Такую структуру назовём спиновым пространством. Как мы убедились в § 12.2, пространство S'(У) порождается операторами вида Уд = Ущ • • • Уцр. где Д = {ц.ь ...» цр}с={1, .... п}, Pi < ... < цР. Обозначим через З'р(У) подпространство в ^(У), натянутое на те уд, для которых *И) = Р, так что $ (У) = ф $ р (У). Для любого оператора ВеЗ'(У) через Вре S'p(V) обозначаются его компоненты, отвечающие этому разложению в прямую сумму. Далее, положим

Мы хотим рассмотреть случай, когда Ац лежат в ^<4 (У). При изучении оператора — А + У Амх1х’ возникают технические трудности, ибо операторы х‘ не ограничены. Однако' в интересующих нас приложениях эти трудности легко обходятся, поскольку члены x‘xi появляются как члены тэйлоровского приближения для некоторой ограниченной функции, и мы можем видоизменить операторы х‘ ■ так, чтобы они стали ограниченными..

Теорема 12.71. Фиксируем n = 2k. Пусть V— спиновое пространство размерности 2\ и пусть {^i/}i^z / < п~ семейство операторов в ^<4(Ю с Ац = Ац. Пусть, далее, gt(x) — ограниченные С”-функции с ограниченными производными, причём gt (х) = х* в окрестности х = 0, и пусть

Я = — А + Д AMgt W g, (х).

Тогда при 0 ^ р ^ п

Пт(4л)"/2/,/2,"-рЧе-,н(0, 0)L■

<4-0'

J 0при р^О (mod4), (12.92а)

= U/p/4M)]p при р = 0 (mod 4), (12.92b)

где )™(-)— полиномы от Ац, определённые в предложении 12.70.

Замечания. 1. Степень полинома )р/4 равна р/4. Поскольку $р (V) X $ч GO <= ЗВ^р*^, f рта (Л) представляет собой сумму элементов из $t с I ^ р. Под [/Р/4(Л)]Р понимается З^-компо- нента этой суммы.

2. Если В е ЗВ р, С е 3Bq и р чётно, то ВС — СВ принадлежит ЭУ^р+д-у, так что, несмотря на некоммутативность Ац, полином [/р/4(-^)]₽ не зависит от порядка сомножителей в каждом из его членов. Именно по этой причине некоммутативность Ац не „портит" результата об асимптотике.

Доказательство. Поскольку функция У, Л,/^ (х) g; (х) =: W ограничена, мы можем разложить полугруппу ехр(—Ш) по формуле Дюамеля с остаточным членом и для оценки последнего применить исчисление канонических порядков: .

е-^(0, 0) = е<д(0, 0) <■

+ J е^-^ д (0, х) W (х) е’д (х, 0) ds + ... .

о

Видно, что здесь есть член порядка f“n/2, принадлежащий $й. При помощи уже знакомого нам приёма с коммутаторами можно убедиться, что слагаемое, содержащее т функций W, будет помимо множителя, происходящего от интеграла, иметь ещё дополнительный множитель порядка tm, происходящий от этих №. Следовательно, в разложении е~(я(0,0) вклад от операторов из ^<4 имеет порядок ^^Ч2, а от операторов из ^<8 — порядок t-n<4\ Отсюда сразу же вытекает утверждение теоремы в случае p^0(mod4). Чтобы получить нужный результат при р = 0 (mod 4), достаточно заметить, что операторы порядка р в разложении Дюамеля состоят из сомножителей, которые коммутируют друг с другом с точностью до членов порядка р— 1. Таким образом, слагаемые в формуле для ехр(—tH) (0, 0) выглядят точно так же, как в случае, когда Ац являются числами. А в этом случае рассматриваемый предел, как мы знаем, . равен МА). □

И наконец, ещё одно, последнее, усложнение, которое подводит нас к ситуации, обсуждаемой в следующем параграфе. Вместо —А4-х2 возьмём оператор (—IV— Ах)2, где А выбирается из некоторого специального класса операторов, такого что перекрёстные члены оказываются несущественными. В качестве разминки рассмотрим случай постоянного магнитного поля в трёхмерном пространстве. В азимутальной калибровке гамильтониан имеет вид

Я = (-17-4вХх)2.(12.93)

Если В=(0,0, В), то (12.93) можно переписать так:

Я=А 4- -1 В2?2 - BLZ.

где p = Vx24~y2 и Lz— генератор вращений вокруг оси г. Заметим, что кг коммутирует с —А и р2; поэтому

с™ = ^_Гн^вЧ

для Н = — А 4- В2р2/4. Но ехр (/В£г) 60 = 60, так что е-^(0, 0) = е~2"(0, 0).

Как и требовалось, перекрёстные члены оказались здесь несущественными.

Сформулируем последнюю теорему этого параграфа, которая понадобится нам в заключительном параграфе:

Теорема 12.72. Фиксируем п = 2к. Пусть V — спиновое пространство размерности 2к и{С^}1<:. /<л— семейство операторов из ^<2(Ю с сц~~сц' Си = —Си- Пусть, далее, g,(x)— ограниченные С”-функции с ограниченными производными, причём §1^ = х‘ в окрестности х = 0, и пусть

я = -Е[й- Ес,,^)]2.

Пусть, наконец, Л;/= ЕйСй;Сй/. Тогда ехр(—/Я) удовлетворяет соотношениям (12.92).

Доказательство. Положим

Я := - Д + Е Л/^ (х) ^ (х) =: - Д + ^,

В := Е dt \CMgt (х)] + \Сц81 (х)] дь

B=LdACijXiAW'CijXdi.

Оператор В коммутирует с —Д. С помощью простых выкладок, использующих антисимметричность С, можно убедиться, что если операторы С коммутируют, то В коммутирует с W. Вообще говоря, это не так, но те же выкладки и включение [2'<2, 2<t] S показывают, что

[В, HZJc^t.(12.94)

Применим теперь формулу Дюамеля к ехр(—/Я), считая В + W возмущением. Нам надо лишь показать, что член, содержащий В, не даёт вклада в старший порядок асимптотики [ехр(—Ш^ (0,0)]р. При помощи приёма с коммутаторами, который мы уже использовали выше, найдём, что вклад от членов с В не превышает вклада от членов с №. А именно, каждые два оператора у в В порождают: один порядок теории возмущений (множитель f), одно дифференцирование dj (множитель ^-v2) и одно умножение на х1 (множитель /V2). Таким образом, р операторов у дадут №/2.

Дополнительные множители, обеспечивающие убывание поправочного члена относительно главного, мы получим следующим образом. Оператор В заменим на 5. Невязка имеет порядок х” для любого tn, так что её вклад в диагональ интегрального ядра не превосходит О(/т) для любого гп. Поскольку Дбо = О, мы можем, как обычно, записать коммутатор оператора Б с соответствующим произведением операторов ехр($,Д), В и W. По построению В коммутирует с ехр(з,Д). В коммута-

торе В и W суммарный порядок множителей х1 и di сохраняется (а именно: В содержит одно х‘ и одно di, которые дают порядок ^!/2^-i/2. умножение на (х*)2 в операторе W даёт (/1/2)2; коммутатор содержит умножение на (х*)2, обеспечивающее порядок (/1/2)2). Вместе с тем, в силу (12.94), мы понижаем число операторов у на 2, а потому рассматриваемый член не даёт вклада в старший порядок асимптотики. □

ТЕОРЕМА ОБ ИНДЕКСЕДЛЯ ОПЕРАТОРА ДИРАКА (ВВЕДЕНИЕ)

В этом заключительном параграфе мы сделаем, ряд замечаний о доказательстве теоремы об индексе для операторов Дирака и скрученных операторов Дирака. Последний результат особенно важен, ибо, как показали Атья, Ботт и Патоди [18], из него следует общая теорема Атьи—Зингера об индексе. Когда Гетцлер [135] и Бисмю [49] объявили о том, что они доказали общую теорему об индексе, фактически имелось в виду, что доказан частный случай теоремы об индексе для скрученных операторов Дирака. Поскольку доказательство, данное в [18], не является аналитическим, это означает, что мы до сих пор не имеем прямого аналитического доказательства общей теоремы об индексе. Было бы чрезвычайно интересно отыскать такое прямое доказательство. Возможно, оно будет основано на каких-то вариантах идей, изложенных в этой главе.

Поскольку мы не хотим делать эту и без того растянутую главу ещё длинней, мы не будем вводить понятие спиновых структур, их естественных связностей и точное определение скрученных операторов Дирака. Мы лишь кратко поясним, как можно использовать идеи предыдущего параграфа вместо соображений Гетцлера, связанных с масштабными преобразованиями. За дальнейшими подробностями читатель может обратиться к статьям Гетцлера и Бисмю и указанной там литературе.

Как обычно, М—это компактное риманово многообразие размерности п = 26. При подходящих условиях на топологию М, над М можно построить естественное векторное расслоение спиноров размерности 2к. Очень важно, что это расслоение является комплексным, т. е. его слои представляют собой не вещественные, а комплексные векторные пространства. Подчеркнём, что 2* — это комплексная размерность. Имеются операторы ?и(х), ц=1, .... п, действующие в слое расслоения в точке х и представляющие собой обобщение операторов Дирака, введённых в § 12.2. В частности, они удовлетворяют антиком мутационным соотношениям

(Уц, Yv} = £nv. (12.95)

Можно определить ковариантную производную 7ц, действующую на спинорнозначные функции. Как и в случае функций, принимающих значения в множестве форм, и ковариантной производной, определённой в § 12.1, V^ содержит член с координатной производной и член, включающий в себя что-то вроде символа Римана—Кристоффеля. А именно:

7ц = дц^ Гц^УаУр,(12.96)

а, з.

где Г — это „родственник" символа Римана—Кристоффеля (на самом деле он отличается от последнего множителем 1/2, поскольку «спинор — это лишь половина вектора»).

На расслоении спиноров существует фундаментальный оператор, который будет обозначаться гр Он является аналогом оператора у5 в обычной четырёхмерной1 теории Дирака. Оператор г) — это просто произведение всех у, поделённое на Vdet g . Стало быть, т)2 = (—1)«(л—!>/2 Если у определены надлежащим образом и можно определить спинорное расслоение, то г) не зависит от выбора системы координат. Оператор г) играет ту же роль, что и умножение на (—1)? в изложенной ранее ГБЧ-тео- рии. Он антикоммутирует со всеми у и, следовательно, с оператором Дирака.

D = Z У^ц.(12.97)

ио

Ковариантная производная определена так, что оператор iD самосопряжён.’"

' Если к чётно, т. е. п делится на 4, то г) имеет собственные числа ±1 и пространство спиноров естественно распадается на два подпространства, одно из которых отвечает собственному числу 1, а другое — собственному числу —1. Так как г) антикоммутирует с D, здесь применимы соображения суперсимметрии, так что все ненулевые собственные числа оператора L = — D2— двойные. Индекс оператора D определяется как разность размерностей ядра оператора L на чётных и нечётных спинорах. Удвоение собственных чисел приводит к уже знакомой формуле с параболической функцией Грина:'

ind (D) = tr (rje_fL).(12.98)

Следуя нашему доказательству ГБЧ-теоремы, мы должны начать с аналога формулы Вайценбёкка. Используя коммутационные свойства оператора у, можно представить L в виде суммы лапласиана бохнеровского типа и некоторого члена, учитываю-

щего кривизну. Последний, и это ничуть не удивительно, с точностью до скалярного множителя равен

УЛ^Ч*(12.99)

но из-за антикоммутационных свойств у и антисимметричности тензора кривизны все у в сумме (12.99) „пожирают" друг друга. В результате величина (12.99) фактически не содержит у и действует на спиноры как скаляр; этот скаляр есть некоторое фиксированное кратное скалярной кривизны. Тем самым член, учитывающий кривизну, не даёт вклада в суперслед ядра теплопроводности (в этом можно убедиться с помощью разложения Дюамеля), так что при вычислении индекса им можно спокойно пренебречь.

Тот факт, что кривизна оказывается несущественной, составляет первое серьёзное отличие рассматриваемой ситуации от ГБЧ-случая. Есть и второе, ещё более важное, отличие. Ковариантная производная и в том и в другом случае состоит из слагаемого нулевого порядка по а или у, содержащего одну производную, и слагаемого без производных, но с двумя а (одним а и одним а*) или двумя у. Однако чтобы обеспечить ненулевой вклад в суперслед, нужны 2п операторов а (п штук а и п штук а*) и всего лишь п операторов у. При доказательстве теоремы ГБЧ мы видели, что символ Римана—Кристоффеля несуществен, коль скоро в интересующей нас точке он обращается в нуль (в нормальных координатах). Поскольку в случае оператора Дирака требуется меньшее количество у, мы должны теперь члены первого порядка в символе Римана—Кристоффеля Г удержать, а вот члены высоких порядков опустить. Так как эти члены первого порядка по существу совпадают с кривизной, исчисление канонических порядков позволяет заменить L оператором

L = — Е ^V (дц — Е Г|лйарХЛУ°У₽) (дч — Е Gfea^*Y°YP).

“(12.100)

где г — это „близкий родственник" кривизны. Читатель, конечно, узнал оператор, о котором шла речь в теореме 12.72. Формула Мелера даёт возможность получить точное выражение для индекса оператора Дирака. Объект, получающийся при удержании одних лишь старших членов в различных множителях при операторах у, в сущности, и есть то, что называют Х-родом.

С каждым скрученным оператором Дирака ассоциировано некое расслоение, которое локально представляет собой тензорное

произведение спинорного расслоения и некоторого вспомогательного расслоения. При внимательном рассмотрении выясняется, что кривизна этого вспомогательного расслоения даёт вклад в член, учитывающий кривизну, так что возникает множитель, очень похожий на множитель ехр (—tRw) в ГБЧ-случае. Этот дополнительный вклад по существу совпадает с так называемым полным классом Черна вспомогательного расслоения. В результате получается формула для индекса скрученных операторов Дирака, выражающая его через A-род многообразия и класс Черна вспомогательного расслоения.

Литература

Agmon S. Lower bounds for solutions of Schrodinger equations. J. Anal. Math. 23, 1—25 (1970)..

Agmon S., Spectral properties of Schrodinger operators and scattering theory. Ann. Norm. Sup. Pisa Cl Sci II 2, 151—218 (1975).

Agmon S. Lectures of Exponential Decay of Solutions of Second-Order Elliptic Equations (Princeton University Press. Princeton 1982).

Agmon S. «On Positive Solutions of Elliptic Equations with Periodic Coefficients in R", Spectral Results and Extensions to Elliptic Operators on Riemannian Manifolds, in Differential Equations, ed. by I. Knowles, R. Lewis (North Holland, Amsterdam 1984).-■

Aguilar J., Combes J. M. A class of analytic perturbations for one-body Schrodinger Hamiltonians. Commun. Math. Phys. 22, 269—279 (1971).

Aharonov Y., Casher A. Ground state of spin-1/2 charged particle in a two-dimensional magnetic field. Phys. Rev. Al 9, 2461—2462 (1979).

Aizenman M., Simon B. Brownian motion and Harnack’s inequality for Schrodinger operators. Commun. Pure Appl. Math. 35, 209—273 (1982).

Albeverio S., Ferreira L. Streit L. Resonances-Models and Phenomena, Lecture Notes in Physics, Vol. 211 (Springer, Berlin, Heidelberg 1984).

Allegretto W. On the equivalence of two types of oscillation for elliptic operators. Pac. J. Math. 55, 319—328 (1974).

Allegretto W. Spectral estimates and oscillation of singular differential operators. Proc. Am. Math. Soc. 73, 51 (1979).-

Allegretto W. Positive solutions and spectral properties of second order elliptic operators. Pac. J. Math. 92, 15—25 (1981).

Alvarez Gaumez L. Supersymmetry and the Atiyah-Singer index theorem: Commun. Math. Phys. 80, 161—173 (1983).

Amrein W. O. Nonrelatlots tic Quantum Dynamics, Mathematical Physics Studies 2 (Reidel, Dordrecht 1981).

Amrein W., Georgescu V. On the characterization of bound states and scattering states in quantum mechanics. Helv. Phys. Acta 46, 635—658 (1973).

Andre G., Aubry S. Analyticity breaking and Anderson localization in incommensurate lattices. Ann. Isr. Phys. Soc. 3, 113 (1980).

. Antonetz M. A., Zhislin G. M., Shereshevski J. A. On the descrete spectrum of the Hamiltonian of an V-particle quantum system. Theor. Math. Phys. 16, 800—808 (1972).

Atiyah M., Bott R. A Lefschetz fixed point formula for elliptic comblexes, I. Ann. Math. 86, 374—407 (1967).

. Atiyah M., Bott D., Patodf V. K. On the heat equation and the index theorem. Invent. Math. 19, 279—330 (1973).

Avron J. Bender-Wu formulas for the Zeeman effect in hydrogen. Ann. Phys. 131, 73 (1981).

Avron J. et al. Bender-Wu formula, the SO(4, 2) dynamical group and the Zeeman effect in hydrogen, Phys. Rev. Lett. 43, 691—693 (1979).

Avron J. E., Herbst I. Spectral and scattering theory of Schrodinger operators related to the Stark effect. Commun. Math. Phys. 52, 239—254 (1977).

Avron J„ Herbst I., Simon B. Schrodinger operators with magnetic fields, I. General interactions. Duke Math. J. 45, 874—883 (1978).

Avron J., Herbst I., Simon B. Schrodinger operators with magnetic fields, II. Separation of the center mass in homogeneous magnetic fields Ann. Phys. 114, 431—451 (1978).. . .

Avron J., Herbst I., Simon B. Strongly bound states of hydrogen in intense magnetic field Phys. Rev. A20, 2287—2296 (1979).. .

Avron J., Herbst I., Simon B. Schrodinger operators with magnetic fields. III. Atoms in magnetic fields. Commun. Math. Phys. 79, 529—572 (1981)..-

Avron J., Seiler R. Paramagnetism for nonrelativistic electrons and Euclidean massless Dirac particles. Phys. Rev. Lett. 42. 931—934 (1979).

Avron J;, Simon B. A counterexample to the paramagnetic conjecture. Phys. Lett. A75, 41 (1979).-.

Avron J., Simon B. Transient and recurrent spectrum J. Funct. Anal. 43, ' 1—31 (1981).■ .

Avron J., Simon B. Almost periodic Schrodinger operators, I. Limit periodic potentials. Commun. Math. Phys. 82, 101—120 (1982).

Avron J., Simon B. Singular continuous spectrum for a class of' almost periodic Jacobi matrices. Bull. AMS 6, 81—85 (1982).

Avron J., Simon B. Almost periodic Schrodinger operators, II. The integrated density of states. Duke Math. J. 50, 369—391 (1983).

Avron J., Tomares, Y. unpublished..

Babbitt D., Balslev E. A ■ characterization of dilation-analytic potentials and vectors. J. Funct. Anal. 18, 1—14 (1975)."

. Babbit D.. Balslev E. Local distortion techniques, and unitarity of the S-matrix for' the 2-body problem J. Math. Anal. AppL ..§4, 316—347 (1976).'

Balslev E. Absence of positive eigenvalues of Schrodinger operators. Arch. Ration. Meeh. Anal. 59, 343—357 (1973).

Balslev E. Analytic scattering theory of two-body Schrodinger operators. J. Funct. Anal. 29, 375—396 (1978).

Balslev -E. Resonances in three-body scattering theory. Adv. Appl. Math. 5, 260—285 (1984).

Balslev E. Local spectral deformation techniques for Schrodinger operators. J. Funct. Anal. 58, 79—105 (1984).■

Balslev E., Combes J. M. Spectral properties of many-body Schrodinger operators with dilation-analytic interactions. Commun. Math. Phys. 22, 280—294 (1971)..

Bellissard J., Lima R., Scoppola E. Localization in v-dimensional incommensurate structures. Commun. Math. Phys. 88, 465—477 (1983).

Bellissard J., Lima R., Testard D. A metal-insulator transition for the ' almost Mathieu model Cemmun. Math. Phys. 88, 207—234 (1983).

Bellissard J., Simon B. Cantor spectrum for the almost Mathieu equation. J. Funct. Anal. 48, 408—419 (1982).

Ben-Artzi M. An application of asymptotic techniques to certain problems of spectral and scattering theory of Stark-like Hamiltonians. Trans. AMS 278, 817—839 (1983).■

*. Benderski М.,, Pastur L. On the spectrum of the one-dimensional Schrodinger equation with a random potential. Math. USSR Sb. 11, 245 (1970).

Bentosela F. et al. Schrodinger operators with an electric field and random or deterministis potendials. Commun. Math. Phys. 88, 387—397 (1983).

. Berezanski J. Expansion in eigenfunctions of selfadjoint operators. Transl. Math. Monogr. 17, (1968). Am. Math. Soc. (1968).

. Berezin F. A. The Method of Second Quantization (Academic, New York 1966).

Berthier A. M. Spectral Theory and Wave Operators for the Schrodinger Equation, Pitman Research Notes in Mathematics (Pitman, London 1982).

Bismut J. M. The Atiyah-Singer theorems: A probabilistic approach, I. The index theorem. J. Funct. Anal. 57, 56—99 (1984).

Bochner S. Vector fields and Ricci curvature. Bull. Am. Math. Soc. 52, 776—797 (1946).

Bochner S., Yano K. Tensor fields in non-symmetric connections. Ann. Math. 56, 504 (1952).

Boothby W. An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry (Academic, New York, 1975).

Breiman L. Probability (Addison-Wesley, London, 1968).

Brezis H., Kato T. Remarks on the Schrodinger operator with singular complex potentials. J. Math. Pure Appl. 58, 137—151 (1979).

Brossard J. Noyeau de Poisson pour FOperateur de Schrodinger. Duke Math. J. 52, 199—210 (1985).

Brossard J. Perturbations aleatoires de potentiels periodique (preprint).

Callias C. Axial anomalies and index theorems on open spaces. Commun. Math. Phys. 62, 213 (1978).

Carmona R. Regularity properties of Schrodinger and Dirichlet semigroups. J. Funct. Anal. 17, 227—237 (1974).

Carmona R. Exponential localization in one dimensional disordered systems. Duke Math. J. 49, 191 (1982).

Carmona R. One-dimensional Schrodinger operators with random or deterministic potentials: New spectral types. J. Funct. Anal. 51, 229 (1983).

Carmona R. «Random Schrodinger Operators», in Ecole d'Ete de Probabilities de Saint-Flour XIV —1984, ed. by P. L. Henneguin, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1180 (Springer, Berlin, Heidelberg, New York 1986).

Chavel I. Eigenvalues in Riemannian Geometry (Academic, New York 1984).

Chernoff P. Essential self-adjointness of powers of generators of hyperbolic equations. J. Funct. Anal. 12, 401—414 (1973).

. Chulaevsky V. On perturbations of a Schrodinger operator with periodic potential. Russ. Math. Surv. 36, 143 (1981).

Combes J. M. Seminar on Spectral and Scattering Theory, ed. by S. Kuroda, RIMS Publ. 242, 22—38 (1975).

Combes J. M. Duclos P., Seiler R. Krein’s formula and one-dimensional multiple well. J. Funct. Anal. 52, 257—301 (1983).

Constantinescu F., Frohlich. J., Spencer T. Analyticity of the density of states and replica method for random Schrodinger operators on a lattice. J. Stat. Phys. 34, 571—596 (1984).

Craig W. Pure point spectrum for discrete almost periodic SchrSdinger operators. Commun. Math. Phys. 88, 113—131 (1983).

Craig W. Simon B. Log Holder continuity of the integrated density of states for stochastic Jacobi matrices. Commun. Math. Phys. 90, 207—218 (1983).

Craig W., Simon B. Subharmonicitv of the Lyaponov index. Duke Math. J. 50, 551—560 (1983).

Сусоп Н. L. On the stability of selfadjointness of Schrodinger operators under positive perturbations. Proc. R. Soc. Edinburgh 86A, 165—173 (1980).,

Сусоп H. L. Resonances defined by modifield dilations. Helv. Phys. Acta 58, 969—981 (1985).'.

Сусоп H„ Leinfelder H., Simon B. unpublished.

Сусоп H. L., Perry P. A. Local time-decay of high energy scattering states for the Schrodinger equation. Math. Z. 188. 125—142 (1984).'

Davies E. B. On Enss’ approach to scattering theory. Duke Math. J. 47, 171—185 (1980)..

Davies E. B. The twisting trick for double well Hamiltonians. Commun. Math. Phys. 85, 471—479 (1982).'

Deift P. Applications of a commutation formula. Duke Math. J. 45, 267— 310 (1978).'■

Deift P., Simon B. A time-dependent approach to the completeness of multiparticle quantum systems. Commun. Pure Appl. Math. 30, 573—583 (1977).

Deift P., Simon B. Almost periodic Schrodinger operators, HI. The absolutely continous spectrum in one dimension. Cemmun. Math. Phys, 90, 389—411 (1983).’.

Delyon F. Apparition of purely singular continuous spectrum in a class of random Schrodinger operators. J. Stat. Phys. 40, 621 (1985).

Delyon F., Kunz H.. Souillard B. One dimensional wave equations in disordered media. J. Phys. A. 16, 25 (1983)..■ '

Delyon F., Levy Y., Souillard B. Anderson localization for multidimensional systems at large disorder or large energy. Commun. Math. Phys.

463 (1985).■'

Delyon F., Levy Y., Souillard B. An approach «a la Borland» to Anderson localization in multidimensional disordered systems. Phys. Rev. Lett. 55, 618 (1985)..■

Delyon F., Simon B. Souillard B. From power law localized to extended states in a disordered system. Ann. Inst. Henri Poincare 42, 283 (1985).

Delyon F., Souillard B. The rotation number for finite difference opera - tors arid its ргорш-ties; Commun. Math. Phys. 89. 415 (1983).

Delyon F., Souillard B. Remark bn the continuity of the density of states of ergodic finite difference operators. Commun. Math. Phys. 94, 289 (1984).

. Dinaburg E., Sinai Ya. The one-dimensional Schrodinger equation with a quasi-periodic potential. Funct. Anal. Appl. ■ 9, 279—289 (1975).

Dodds P., Fremlin D. H. Compact operators in Banach lattices Isr. J, Math. 34, 287—320 (1979).1

89*. Dopb J. Stochastic Processes (Wiley, New York 1953).

Eastham M. S. P., Kalf H. Schrodinger-type Operators with Continuous Spectra, Pitman Research Notes in Mathematics (Pitman, London 1982).

Efimov V. N. Energy levels arising from resonant two-body forces in a three-body system. Phys. Lett. B33, 563—654 (1970).

. Efimov V. N. Weakly-bound states of three resonantly-interacting particles. Sov. J. Nucl. Phys. 12, 589—595 (1971).

Elworthy K. D. Stochastic Differential Equations an Manifolds, London ■ Math. Soc. Leet. Notes No. 70 (Cambridge University Press, Cambridge 1982)...

Enss V. A note on Hunziker’s theorem. Commun. Math. Phys. 52, 233— 238 (1977)..

Enss V. Asymptotic completeness for quantum-mechanical potential scattering, I. Short-range potentials. Commun. Math. Phys. 61, 285—291 (1978).

Enss V. Asymptotic completeness for quantum-mechanical potential scat' ' tering, II. Singular and long-range potentials. Ann. Phys. 119, 117—132 97. ^ns^V. Two-cluster scattering of N charged particles. Commun. Math. Phys. 65, 151—165 (1979).-

Enss V. Asymptotic obeservables on scattering states. Commun. Math. Phys. 89, 245—268 (1983).

Enss V. «Completeness of Three-Body Quantum Scattering», in Dynamics and Processes ed. by P. Blanchard, L. Streit, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1031 (Springer, Berlin, Heidelberg, New York 1983), pp. 62—88.

Enss V. «Geometrical Methods in Spectral and Scattering Theory of Schrodinger Operators, in Rigorous Atomic and Molecular Physics ed. by G. Veto, A. S. Wightman (Plenum, New York 1981), pp. 7—69.

Enss V. Propagation properties of quantum scattering states. J; Funct. Anal. 52, 219—251 (1983).

Enss V. «Scattering and Spectral Theory for Three Particle Systems, in Differential Equations' ed. ' by I. Knowless, R. Lewis (North Holland, . Amsterdam 1984), pp. 173—204.

Enss V. Topics in scattering theory for multiparticle quantum mechanics, a progress report Physica 124A, 269—292 (1984).

Enss V. «Topics in Scattering Theory for Multiparticle Quantum Mechanics» in Mathematical Physics VII, ed. by W. Britten, K. Gustafson, W. Wyss (North Holland, Amsterdam 1984) pp. 269—292.

Enss V. «Quantum Scattering Theory of Two- and Three-Body Systems with Potentials of Short and Long Range», in Schrodinger Operators, ’ ed. by S. Graffi, Lecture Notes in Mathematics, Vol 1159 (Springer, Berlin, Heidelberg, New York 1985).

. Faddeev L. Mathematical Aspects of the Three Body Problem in Quan. turn Scattering Theory (Steklov Institute 1963).

Faris W. G. Self-Adioint Operators, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 433 (Springer, Berlin, Heidelberg, New York 1975).

. Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol, I (Wiley, New York 1957).

. Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, ■ Vol. II (Wiley, New York 1966).

Figotin A., Pastur L. An exactly solvable model of a multidimensional ' incommensurate structure. Commun. Math. Phys. 95, 401—425 (1984).

Fishman S., Grempel D., Prange R. Chaos, quantum recurrences, and Anderson localization. Phys. Rev. Lett; 49, 509 (1982).

Fishman S., Grempel D., Prange R. Localization in a d-dimensional incommensurate structure. Phys. Rev. B29, 4272—4276 (1984).

Friedan D., Windy P. Supersymmetric derivation of the Atiyah-Singer index theorem and the Chiral anomaly, Nucl. Phys. B253, 395—416 (1984).

Froese R., Herbst I. Exponential bounds and absence of positive eigenvalues for JV-body Schrodinger operators. Commun. Math. Phys. 87. 429—447 (1982).

Froese R., Herbst I. A new proof of the Mourre estimate. Duke Math. J. 49, 4 (1982).■

Froese R. et al. L2-exponential tower bounds to solutions of the Schrd- dinger equation. Commun. Math. Phys. 87, 265—286 (1982).

Frohlich J. Applications of commutator theorems to the integration of representations of Lie algebras and commutation relations. Commun. ' Math. Phys. 54, 135—150 (1977).

Frohlich J. et al. Anderson localization for large disorder er tow energy. Commun. Math. Phys. 101, 21 (1985).'

Frohlich J., Spencer T. Absence of diffusion in the Anderson tight binding model for large disorder or low energy. Commun. Math. Phys. 88, ■151—189 (1983).■.

Fujiwara D. A construction of the fundamental solution for the Schrodinger equation. J. Anal. Math. 35, 41—96 (1979).

Fujiwara D. On a nature of convergence of some Feynman path integrals, I. Proc. Jpn. Acad. Ser. A Math. Sci. 55, 195—200 (1979).

Fujiwara D. Remarks on convergence of Feynman path integrals. Duke Math. J. 47, 559—600 (1980)..

Fukushima M. On the spectral distribution of a disordered system and ■ the range of a random walk. Osaka J. Math. 11, 73—85 (1974).

Fukushima M., Nagai H., Nakao S. On an asymptotic property of spectra ■ of a random . difference operator. Proc. Jpn. Acad. 51, 100—102 '(1975). ■■

Furstenberg H. Non-commuting random products. Trans. Am. Math. Soc. 108, 377—428 (1963).

Furstenberg H., Kesten H. Products of random matrices. Ann. MathStat. 31, 457—469 (1960).,

Gagliardo E. Ulteriori proprieta di alcune classi di funzioni au piu variabili. Ric. Mat. Napoli 8, 24—51 (1959)..

Gallot S., Meyer D. Sur la premiere valeur proper de p-spectra pour les varietes a operateur de courbure positive. C. R. Acad. Sci. (Paris) 276A, 1619—1621 (1973).■

Getzler E. Pseudo-differential operators on supermanifolds and the Atiyah-Singer index theorem. Commun. Math. Phys. 82, 163—178 (1983).

Getzler E. A short proof of the Atiyah-Singer index theorems. Topology 25, 111—117 (1986).

Gilbarg D., Trudinger N. Elliptic Partial Differential Equations of Second Order (Springer, Berlin, Heidelberg, New York 1977).

Gilkey P. Curvature and the eigenvalues of the Laplacian. Adv. Math. 10, 344—382 (1973).

Gilkey P. The Index Theorem and the Heat Equation (Publish or Perish, Berkeley 1974).■

Gilkey P. «Lefschetz Fixed Point Formulas and the Heat Equation», in Partial Differential Equations and Geometry ed. by C; Byrnes (Dekker, . New York 1979) pp. 97—147.''

Ginibre J. La methode «dependent du temps» dans le probleme de la completude asymptotique Publ. IRMA, Strasbourg, RCP 25—29, 1—66 (198!).■. ■

Ginibre-J., Moulin M. Hilbert space approach to the quantum mechanical three-body problem. Ann. Inst. Henri Poincare A21, 97—145 (1974).

Goldsheid I. Talk at 1984 Tashkent Conf, on Information Theory.

. Goldsheid I., Molchanov S., Pastur L. A pure point spectrum of the stochastic one-dimensional Schrodinger equation. Funct. Anal. Appl. 11, 1—10 (1977)..

139*. Gordon A. Usp. Mat Nauk. 31, 257 (1976) [in Russian).

Graffi S., Grecchi V. Resonances in Stark effect and perturbation theory. Commun. Math. Phys. 62, 83—96 (1978). ..

Graffi S., Yajima K. Exterior scaling and the AC-Stark effect in a Coulomb field. Commun. Math. Phys. 89, 277—301 (1983).

Grempel D. R. Fishman S., Prange R. E. Localization in an incommensurate potential: An exactly solvable model. Phys. Rev. Lett. 49, 833 (1982)..

Grossman A. «Momentum-like Constants of Motion», in Statistical Me- c^^s and Field Theory ed. by R. N. Sen C. Weil (Halsted, Jerusalem

Griimm Н. Quantum mechanics in a magnetic field. Acta Phys. Austriaca 53, 113 (1981).

Guerra F„ Rosen L., Simon B. The vacuum energy for Р(ф)2: Infinite volume limit and coupling constant dependence. Commun. Math. Phys. 29, 233—247 (1973).

Le Guillou J., Zinn-Uustin J. The hydrogen atom in strong magnetic fields: Summation of the weak field series- expansion. Ann. Phys. 147, 57—84 (1983).

Hagedorn G. A. A link between scattering resonances and dilation-analytic resonances in few-body quantum mechanics. Commun. Math. Phys. 65, 181—201 (1979).

Hagedorn G., Loss M., Slawny J. Non-stochasticity of time-dependent quadratic Hamiltonians and the spectra of canonical transformations. J. Phys. A. 19, 521—531 (1986).

Harrell E. On the rate of asymptotic eigenvalue degeneracy. Commun. Math. Phys. 60, 73—95 (1978).

Harrell E„ Simon B. The mathematical theory of resonances which have ■ exponentially small widths. Duke Math. J. 47, 845—902 (1980).

. Hartman P. Ordinary differential equations (Wiley & Sons, New York 1964).

Helffer B., Sjostrand J. Multiple wells in the stimi-classical limit, I. Commun. Partial Diff. Equ. 9, 337—408 (1984).

Herbert D., Jones R. Localized states in disordered systems. J. Phys. C4, 1145—1161 (1971).

Herbst I. Unitary equivalences of Stark-Hamiltonians. Math. Z. 155, 55— 70 (1977).

Herbst I. Dilation analyticity n constant electric field, I. The two-body problem. Commun. Math. Phys. 64, 279—298 (1979).

Herbst I. Exponential decay in the Stark effect. Commun. Math. Phys. 75, 197—205 (1980).

Herbst I. Schrodinger Operators with External Homogeneous Electric and Magnetic Fields, in Rigorous Atomic and Molecular Physics, Proc. Fourth Int. School of Math. Phys. Erice, ed. by G. Velo, A S. Wightman (Plenum, New York 1981).

Herbst I., Simon B. Some remarkable examples in eigenvalue perturbation theory. Phys. Lett. B78, 304—306 (1978).

Herbst L, Simon B. Stark effect revisited. Phys. Rev. Lett. 47, 67—69 (1978).

Herbst I., Simon B. Dilation analyticity in constant electric field, II. The N-body problem, Borel summability. Commun. Math. Phys. 80, 181—216 (1981).

Herbst I., Sloan A. Perturbations of translation invariant positivity preserving semigroups in L2(RNY Trans. Am. Math. Soc. 236, 325—360 (1978).

Herman M. Une methode pour minorer les exposants de Lyapunov et quelques examples montrant le caractere local d’un theoreme d’Arnold et de Moser sur le tore en dimension 2. Commun. Math. Helv. 58, 453— 502 (1983).

Hess H., Schrader R., Uhlenbrock D. A. Domination of semigroups and generalization of Kato’s inequality. Duke Math. J. 44, 893—904 (1977).

Hess H., Schrader R., Uhlenbrock D. A. Kato’s inequality and the spectral distribution of Laplacians on compact Riemannian manifolds. J. Diff. Geo. 15, 27—37 (1980).

Hirschfelder J., Johnson B., Yang К. H. Interaction of atoms, molecules, and ions with constant electric and magnetic fields. Rev. Mod. Phys. 55, 109—153 (1983).

Но Y. К. The method of complex coordinate rotation and its application to atomic collision processes. Phys. Rep. 99, 1—68 (1983).

Holden H., Martinelli F. On the absence of diffusion for a Schrodinger operator on E1(R''') with a random potential. Commun. Math. Phys. 93, 197 (1984).'.■

Howland JI S. Stationary scattering theory for time-dependent Hamiltonians. Math. Ann. 207, 315—335 (1974)..

Howland J. S. Scattering theory for Hamiltonians periodic in time. Indiana. Math. J. 28, 471—494 (1979).

Howland J. S. «Two Problems with Time Dependent Hamiltonians», in Mathematical Methods and Applications of Scattering Theory, ed. by • J. A. Santo, Lecture Notes in Physics, Vol. 730 (Springer, Berlin, Heidelberg, New York 1980).

Hunziker W. On the spectra of Schrodinger multiparticle Hamiltonians, Helv. Phys. Acta 39, 451—462 (1966).

Hunziker W. Schrodinger Operators with Electric or Magnetic Fields, in Mathematical Problems in Theoretical Physics, Lecture Notes in Physics, Vol. 116, ed. by K. Osterwalder (Springer, Berlin, Heidelberg, New York 1979) pp. 25—44.

Hunziker W. Private communication.

Hunziker W. Distortion analyticity and molecular resonance curves, (in preparation). .

Ikebe T. Eigenfunction expansions associated with the Schrodinger operators and their application to scattering theory. Arch. Ration. Meeh. Anal. 5, 1—34 (1960).

Ishii K. Localization of eigenstates and transport phenomena in one-dimensional disordered systems. Suppl. Prog. Theor. Phys. 53 77 (1973).'

. Ismagilov R. Conditions for the semiboundedness and discreteness of the spectrum for one-dimensiorial differential equations. Sov. Math. Dokl. 2, . 1137—1140 (1961).'

Isozaki H., Kitada H. Micro-local resolvent estimates for two-body Schodinger operators. J. Funct Anal. 57 270—300 (1984).

Isozaki. H., Kitada H.- Modified wave operators with time-independent modifiers J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sec IA 32, 77—104 (1985).

Isozaki H., Kitada H. A remark on the micro-local resolvent estimates for two-body Schrodinger operators, RIMS, Kyoto Univ., (1986).

Iwatsuka A. Examples of absolutely continuous Schrodinger operators in magnetic fields, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 21, 385—401 (1985).

Jauch J.'M. Foundations of quantum mechanics (Addison-Wesley, London 1973)..

Jensen A. Local distortion technique, resonances and poles of the S-mat- rix J. Math. Anal. Appl. 59, 505—513 (1977).

Jensen A., Mourre E., Perry P. A. Multiple commutator estimates and resolvent smoothness in quantum scattering theory. Ann. Inst. Henri Poincare, Physique Theorique 41, 207—225 (1984).'

Jensen A., Perry P. A. Commutator methods and Besov space estimates for Schrodinger operators. J. Opt. Theory 14, 181—188 (1985).

Johnson R., Moser J. The rotation number for almost periodic potentials. Commun. Math. Phys. 84, 403 (1982).'

. Jorgens K., Weidmann J. Spectral Properties of Hamiltonian Operators, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 373 (Springer, Berlin, Heidelberg, New York 1973).■

Кас M. Can you hear the shape of a drum? Am. Math. Mon. 73, 1—23 (1966).

Kalf Н. The quantum mechanical virial theorem and the absence of positive energy bound states of Schrodinger operators. Isr. J. Math. 20, 57— 69 (1975)..

Kato T. Growth properties of solutions of the reduced wave equation with a variable coefficient. Commun. Pure Appl. Math. 12, 403—425 (1959).

Kato T. Smooth operators and commutators. Stud. Math. 31, 535—546 (1968).

Kato T. Linear evolution equations of «hyperbolic» type. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo 17, 241—258 (1970).

Kato T. Schrodinger operators with singular potentials. Isr. J. Math. 13, 135—148 (1972).

Kato T. Two space scattering theory with applications to many body problems. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo 24, 503—514 (.1977).

Kato T. Remarks on Schrodinger operators with vector potentials. Int. Equ. Operator Theory 1, 103—113 (1978).

. Kato T. Perturbation Theory for Linear Operators, 2nd. ed. (Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1980)..

Kato T. «Remarks on the Essential Self-Adjointness and Related Problems for Differential Operators, in Spectral Theory of Differential Operators, ed. by J. W. Knowles, R. T. Lewis (North Holland, Amsterdam 1981)..

Kato T., Masuda K. Trotter’s product formula for nonlinear semigroups generated by subdifferentials of convex functionals. J. Math. Soc. Jpn. 30, 169—178 (1978).■

Katznelson Y. An Introduction To Harmonic Analysis (Dover, New York 1976).■.

Kingman J. Subadditive ergodic theory. Ann. Prob 1, 883—909 (1973).

Kirsch W. On a class of random Schrodinger operators. Adv. Appl. Math.

177—187 (1985).....

Kirsch W. «Random Schrodinger operators and the Density of States», in Stochastic Aspects of Classical and Quantum Systems, ed. by S. Al- beverio, P. Combe, M. Sirugue-Collin, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1109 (Springer, Berlin, Heidelberg, New York 1985) pp. 68—102.

Kirsch W., Kotani S., Simon B. Absence of absolutely continuous spect- ■ rum for some one-dimensional random but deterministic Schrodinger operators. Ann. Inst. Henri Poincare 42, 383 (1985).

Kirsch W., Martinelli F. On the spectrum of Schrodinger operators with a rondom potential. Commun. Math. Phys. 85, 329 (1982).

Kirsch W., Martinelli F. On the ergodic properties of the spectrum of . general random operators. J. Reine Angew. Math. 334, 141—156 (1982).

Kirsch W., Martinelli F. On the density of states of Schrodinger operators with a random potential J. Phys. A15, 2139—2156 (1982).

Kirsch W., Martinelli F. Large deviations and Lifshitz singularity of the integrated density of states of random Hamiltonians. Commun. Math. Phys. 89, 27—40 (1983)..

Kirsch W., Simon B. Lifshitz tails for periodic plus random potentials J. Stat. Phys. 42, 799—808 (1986).

Kitada H. On a construction of the fundamental solution for Schrodinger equations. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo IA 27, 193—226 (1980).

Kitada H. Time-decay of the high energy part of the solution for a Schrodinger equation, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA 109—146 (1984).

Kitada H„ Kumano-go H. A. family of Fourier integral operators and the fundamental solution for a Schrodinger equation. Osaka J. Math. '291—360 (1981).

Kitada Н., Yajima К. A scattering theory for time dependent long-range potentials. Duke.Math. J. 49, 341—376 (1982).

Kitada H., Yajima K. Remarks on our paper «А scattering theory for time-depen dent long-range ’ potentials», Duke Math. J. SO, 1005—1016 (1983).-.

Klaus M. On — dPfdx1-\- V where V has infinitely many «bumps», Ann. Henri Poincare 38, 7—13 (1983).

Kotani S. «Ljaponov Indices Determine Absolutely Continuous Spectra of Stationary Random. One-dimensional Schrodinger Operators», in Stochastic Analysis,. ed. by K. Ito (North Holland, Amsterdam 1984) pp. 225—248.■■

Kotani S. Support theorems for random Schrodinger operators. Commun. Math. Phys. 97, 443—452 (1985).

Kotani S. Lyaponov exponents and spectra for one-dimensional random Schrodinger operators, to appear in Proc. AMS Conference on Random . Matrices and Their Applications..

Kotani S. Lyaponov exponent and ■ point spectrum for one-dimensional Schrodinger operators (in preparation).■'

. Kovalenko V., Semenov Yu. Some problems on expansion in generalized eigenfunctions of the Schrodinger operator with strongly singular potentials. Russ. Math. Surv. 33, 119—157 (1978).

Kramers H. A. Nonrelativistic quantum electric dynamics and correspondence principle. Rapp. 8e Cons. Solvay 241—268 (1948).■

Kunz H., Souillard B. Sur le spectre des operateurs aux differences times aleatores. Commun. Math. Phys. 78, 201—246 (1980).

Kunz H., Souillard B. The localization transition on the Bethe lattice J. Phys (Paris) Lett. 44, (1983) L411; paper in prep.

Kuroda S. Scattering theory for differential operators, I. II. J. Math. Soc. Jpn. 25, 75—104, 222—234 (1973).■

4*. Landau L D., Lifschitz E. M. Quantum Mechanics—Nonrelativistic Theory. 2nd ed. (Pergamon, New York, 1965)..

Lavine R. Absolute continuity of Hamiltonian operators with repulsive potentials. Proc. Am. Math. Soc. 22, 55—60 (1969).

Lavine R. Absolute continuity of positive spectrum for Schrodinger operators With long-range potentials. J. Funct. Anal. 12, 30—54 (1973).

Leinfelder'H.’Habilitatiorts summary. Universitat Bayreuth (1981).•

Leinfelder H. Gauge invariance of Schrodinger operators and related spectral properties. J. Opt. Theory, 163—179 (1983).’

Leinfelder H., Simader ■ C. Schrodinger operators with singular magnetic ■ vector potentials Math. Z. 176, ,1—19 (1981).

Lichnerowicz A. Geometry of Transformation Groups (Dunod, Paris 1958).■.■

Lieb E. Atomic and molecular ionization. Phys. Rev. Lett. 52, 315 (1984).

Lieb- E. Bound on the maximum negative ionization of atoms and molecules. Phys. Rev. A29, 3018—3028 (1984).

Lieb E. et al. Asymptotic neutrality of large Z ions. Phys. Rev. Lett. 52, 994 (1984).■

. Lifshitz I. Energy spectrum and quantum states of disordered condensed systems. Sov. Phys. Usp. 7, 549 (1965).

Lloyd P. Exactly solvable model of electronic states in a three-dimensional disordered Hamiltonian: Non-existence of localized states. J. Phys.

■ C2, 1717—1725 (1969).

Loss M., Sigal I. M. The three body problem with threshold singularities, ETH preprint.-

Lowdin P. (ed.). Sanibel workshop on complex scaling. Int. J. Quantum Chem. 14 (1978).

Malliavin р. Geometric Differentiables Stochastique (University of Montreal Press, Montreal 1978).

Martinelli F., Scoppola E. A remark on the absence of absolutely continuous spectrum for the Anderson model at large disorder or low energy. Commun. Math. Phys. 97, 465 (1985).

McKean H., Singer I. M. Curvature and eigenvalues of the Laplacian. J. Diff. Geo. 1, 43—69 (1967).

Meyer D. Sur les varietes Rimanniennes a operateur de courbure positive. C. R. Acad. Sci. Paris 272A, 482—485 (1971).

Meyer S. Riemannian manifolds with positive mean curvature. Duke Math. J. 8, 401—404 (1941).

Miller K., «Bound States of Quantum Mechanical Particles in Magnetic Fields», Ph. D. Thesis, Princeton University (1982).

Miller K., Simon B. Quantum magnetic Hamiltonians with remarkable spectral properties. Phys. Rev. Lett. 44, 1706—1707 (1980).

245*. Milnor J., Morse Theory, Ann. Math. Stud. No. 51 (Princeton University Press, Princeton 1963).

Minakshisundaram J., Pleijel A. Some properties of the eigenfunctions of the Laplace operator on Riemannian manifolds Can. J. Math. 1, 242— 256 (1949).

Minami N. An extension of Kotani’s theorem to random generalized Sturm-Liouville operators. Commun. Math. Phys. 103, 387—402 (1986).

248*. Molchanov S. The structure of eigenfunctions of one-dimensional unordered structures. Math. USSR Izv. 12, 69 (1978).

Molchanov S. The local structure of the spectrum of the one-dimensional Schrodinger operator. Commun. Math. Phys. 78, 429 (1981).

Morgan J. D. Schrodinger operators whose potentials have separated singularities. J. Opt. Theory 1, 109—115 (1979).

Morgan J. D., Simon B. On the asymptotics of Born-Oppenheimer curves for large nuclear separation. Int. J. Quantum Chern. 17, 1143—1166 (1980).

Moser J. An example of a Schrodinger equation with an almost periodic potential and nowhere dense spectrum. Commun. Math. Helv. 56, 198 (1981)

Moser .J., Poschel J. An extension of a result by Dinaburg and Sinai on quasi-periodic potentials. Commun. Math. Helv. 59, 39—85 (1984).

Moss W., Piepenbririk J. Positive solutions of elliptic equations. Pac. J. Math. 75, 219—226 (1978).

Mourre E. Link between the geometrical and the spectral transformation approaches in Scattering theory. Commun. Math. Phys. 68, 91—94 (1979).

Mourre E. Absence of singular continuous spectrum for certain selfadjoint operators. Commun. Math. Phys. 78, 391—408 (1981).

Mourre E. Operateurs conjugues et proprietes de propagations. Commun. Math. Phys. 91, 279 (1983).

Muthuramalingam Pl. A note on time dependent scattering theory for P,-P^+ (1 + |Q|)"1"8 and Р,Р2+(1 + |Q|)-1"8 on Z?(R2). Math. Z. 188, 339—348 (1985).

Muthuramalingam Pl. A time dependent scattering theory for a class of simply characteristic operators with short range local potentials. J. London Math. Soc. 32, 259—264 (1985).

Nachbin L. The Haar Integral (Van Nostrand, Princeton 1964).

261*. Naimark M. A. Linear Differential Operators (Akademie, Berlin 1963).

Nakao S. On the spectral distribution for the Schodinger operator with a random potential. J. Math. 3, 111 (1977).

Nelson E. Tensor Analysis (Princeton University, Princeton 1967).

Nirenberg L. An extended interpolation inequality Sc. Normale Superiore Pisa, Ser. 3, 20, 733—737 (1966).

Obata M. Certain conditions for a Riemannian manifold to be isometric with a sphere. J. Math. Soc. Jpn. 14, 333—340 (1962).

Osborn T„ Fujiwara D. Time evolution kernels: uniform asymptotic expansions. J. Math. Phys. 24, 1093 (1983).

267*. Osceledec V. A multiplicative ergodic theorem. Lyapunov characteristic numbers for dynamical systems. Trans. Moscow Math. Soc. 19, 197—231 (1968).

Ovchinnikov Yu. N„ Sigal I. M. Number of bound states of three-body systems and Efimov’s effect. Ann. Phys. 123, 274—295 (1979).

269*. Pastur L. Spectra of random selfadjoint operators. Usp. Mat. Nauk. 28, 3 (1973).

270*. Pastur L. Behaviour of some Wiener integrals as t ->- oo and the density of states of Schrodinger equation with a random potential. Theor. Math. Phys. 32, 88—95 (1977).

Pastur L. Spectral properties of disordered systems in one-body approximation. Commun. Math. Phys. 75, 179 (-1980).

Pastur L., Figotin A. Localization in an incommensurate potential: An exactly solvable multidimensional model. JETP Lett. 37, 686—688 (1983).

Patodi V. K. Curvature and eigenforms of the Laplace operator. J. Diff. Geo. 5, 251—283 (1971).

Patodi V. An analytic proof of the Riemann-Roch-Hirzebruch theorem for Kaehler manifolds. J. Diff. Geo. 5, 251—283 (1971).

Pearson D. Singular continuous measures in scattering theory. Commun. Math. Phys. 60, 13 (1978).

Pearson D. <Pathological Spectral Properties», in Mathematical Problems in Theoretical Physics (Springer, Berlin, Heidelberg 1980) pp. 49—51.

Perry P. Melin transforms and scattering theory, I. Short-range potentials. Duke Math. J. 47, 187—193 (1980).

Perry P. Propagation of states n dilation analytic potentials and asymptotic completeness. Commun. Math. Phys. 81, 243—259 (1981).

Perry P. Scattering Theory by the Enss Method. (Harwood Academic London 1983).

Perry P. Exponential bounds and semi-finiteness of point spectrum for W-body Schrodinger operators. Commun. Math. Phys. 92, 481—483 (1984).

Perry P., Sigal I. M., Simon B. Spectral analysis of Af-body Schrodinger operators. Ann. Math. 114, 519—567 (1981).

Persson A. Bounds for the discrete part of the spectrum of a semi-bounded Schrodinger operator. Math. Scand. 8, 143—153 (1960).

Piepenbrink J. Nonoscillatory elliptic equations. J. Diff. Eq. 15, 541—550 (1974).

Piepenbrink J. A conjecture of Glazman J. Diff. Eq. 24, 173—177 (1977).

Pitt L. D. A compactness condition for linear operators on function spaces. J. Opt. Theory 1, 49—54 (1979).

Poschel J. Examples of discrete Schrodinger operators with pure point spectrum. Commun. Math. Phys. 88, 447—463 (1983).

. Povzner A. On eigenfunction expansions in terms of scattering solutions Dokl. Akad. Nank 104, (1955).

Prange R., Grempel D., Fishman S. A solvable model of quantum motion in an incommensurate potential. Phys. Rev. B29, 6500—6512 (1984).

Putman C. R. Commutation Properties of Hilbert Space Operators and Related Topics (Springer, Berlin, Heidelberg 1967).

Radin C., Simon B. Invariant domains. for the time-dependent Schrodinger equation. J. Diff. Eq. 29, 289—296 (1978).

Raghunathan М. A proof of Oseledec’s multiplicative ergodic theorem. Isr. J. Math. 32, 356—362 (1979);

292*. Reed M., Simon B. Methods of Modern Mathematical Physics, I. Functional Analysis (rev. ed.) (Academic, London 1980)..

293*. Reed M., Simon B. Methods of Modern Mathematical Physics, II. Fourier ■ Analysis, Self-Adjointness (Academic, London 1975).

294*. Reed M., Simon B. Methods of Modern Mathematical Physics, III Scat-

■ tering Theory (Academic, London, 1979).

295*. Reed M„ Simon B. Methods of Modern Mathematical Physics, IV. Analysis of Operators (Academic, London 1978).

Reinhardt W. P. Dilation analyticity and the radius of convergence of ■ the 1/Z-perturbation expansion: Comment on a conjecture of Stillinger. Phys. Rev. A15, 802—805 (1977).

Reinhardt W. P. Complex coordinates in the theory of atomic and molecular structure and dynamics. Ann. Rev. Phys. Chern. 33, 223—255 (1982).

Romerio M., Wreszinski W. On the Lifshitz singularity and the tailing in the density of states for random lattice systems. J. Stat. Phys. 21, 169 (1979)..

Ruelle D. On the asymptotic condition in quantum field theory. Helv. Phys. Acta 35, 147—163 (1962).'

Ruelle D. A remark on bound states in potential scattering theory. Nuovo Cimento 61 A, 655—662 (1969).

Ruelle D. Ergodic theory of differentiable dynamical systems. Publ. IHES 50, 275 (1979).

Ruskai M. B. Absence of discrete spectrum in highly negativie ions. Commun. Math. Phys. 82, 457-—469 (1982).-

Ruskai M. B. Absence of discrete spectrum in highly negative ions, II. Commun. Math. Phys. 85, 325—327 (1982).■

Russmann H. On the one-dimensional Schrodinger equation with a quasi- periodic potential Ann. N. Y. Acad. Sci. 357, 90—107 (1980).

Saito Y. Spectral Representation for Schrodinger Operators With Long. Range Potentials, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 727 (Springer, Berlin, Heidelberg, New York 1979)..

Sarnak P. Spectral behavior of quasi periodic potentials. Соттцп. Math. ' Phys. 84, 377—401 (1982).

307*. Sch’nol I. On the behavior of the Schrodinger equation. Mat. Sb. 42, 273—286 (1957) fin Russian],■

Schechter M. Spectra of Partial Differential Operators (North Holland, Amsterdam 1971).

Sigal I. M. Mathematical Foundations of Quantum Scattering Theory of Multiparticle Systems. Mem. Am. Math. Soc., Vol. 209 (1978).

Sigal I. M. Geometric methods in the quantum many-body problem. Nonexistence of very negative ions. Commun. Math. Phys. 85, 309—324 (1982).

Sigal I. M. Complex transformation method and resonances in one-body quantum systems. Ann. Inst. Henri Poincare 41, 103—114 (1984).

Sigal I. M. Geometric parametrices and the many-body Birman-Schwinger principle. Duke Math. J. 50, 517—537 (1983).

Sigal I. M. How many electrons can a nucleus bind? Ann. Phys. 157, 307—320 (1984).

Sigal I. M. Soffer A. V-porticle scattering problem: Asymptotic completeness for short range systems Preprint.

. Sigalov A. G., Sigal I. M. Description of the spectrum of the energy operator of quantum mechanical systems that is invariant with respect to permutations of identical particles. Theor. Math. Phys. 5, 990—1005 (1970)..■

Silverman J. Generalized Euler transformation for summing strongly divergent Rayleigh-Schrodinger perturbation series: The Zeeman effect. Phys. Rev. A28, 498—501 (1983).

Simader C. Selbstadjungiertheitsprobleme und spektraltheoretische Fragen fur Schrodingeroperatoren. Recent Trends. Math. 50, 270—276 (1982).

Simon B. On positive eigenvalues of one-body Schrodinger operators. Commun. Pure. Appl. Math. 12, 531—538 (1969).

Simon B. Quadratic form techniques and the Balslev-Combes Theorem. Commun. Math. Phys. 27, 1—9 (1972).

Simon B. Resonances in JV-body quantum systems with dilation analytic potentials and the foundations of time-dependent perturbation theory. Ann. Math. 97, 247—274 (1973).

Simon B. Absence of positive eigenvalues in a class of multiparticle quantum systems. Math. Ann. 207, 133—138 (1974).

Simon B. An abstract Kato inequality for generators of positivity preserving semigroups. Ind. Math. J. 26, 1067—1073 (1977).

Simon B. Geometric methods in multiparticle quantum systems. Commun. Math. Phys. 55, 259—274 (1977).

Simon B. Resonances and complex scaling: A rigorous overview. J. Quant. Chern. 14, 529—542 (1978).

Simon B. Classical boundary conditions as a tool in quantum physics. Adv. Math. 30, 268—281 (1978).

Simon B. Phase space analysis of simple scattering systems: Extension of some work of Enss. Duke Math. J. 46, 119—168 (1979).

Simon B. Kato’s. inequality and the comparison of semigroups. J. Funct. Anal. 32, 87—101 (1979).

Simon B. The definition of molecular resonance curves by the method of exterior complex scaling. Phys. Lett. A71, 211—214 (1979).

Simon B. Maximal and minimal Schrodinger forms. J. Opt. Theory, 1, 37—47 (1979).

Simon B. Trace Ideals and Their Applications (Cambridge University Press, Cambridge (1979).

Simon B. Functional Integration and Quantum Physics (Academic, London.1979)..

Simon B. Spectrum and continuum eigenfunctions of Schrodinger operators. J. Funct. Anal. 42, 66—83 (1981).

Simon B. Some Jacobi matrices with decaying potential and dense point spectrum. Commun. Math. Phys. 87, 253—258 (1982).

Simon -B. Schrodinger semigroups. Bull. Am. Math. Soc. 7, 447—526 (1982).

Simon B. Almost periodic Schrodinger operators: A review Adv. Appl. Math. 3, 463—490 (1982).

Simon B. Kotani theory for one dimensional stochastic Jacobi matrices. Commun. Math. Phys. 89, 227 (1983).

Simon B. Semiclassical analysis of low lying eigenvalues, I. Nondegenerate minima: Asymptitic expansions. Ann. Inst. Henri Poincare 38, 295— 307 (1983).

Simon B. The equality of the density of states in a wide class of tight binding Lorentzian models. Phys. Rev. B27, 3859—3860 (1983).

Simon B. Semiclassical analysis of low lying eigenvalues, II. Tunneling. Ann. Math. 120, 89—118 (1984).

Simon B. Almost periodic Schodinger operators, IV. The Maryland model. Ann. Phys. 159, 157—183 (1985).

Simon B. Lifschitz tails for the Anderson model J. Stat. Phys. 38, 65— 76 (1985).

Simon В. Regularity properties of the density of states: A review. Proc. IMA Conf., 1985 (to appear).

Simon B. Localization in general one-dimensional random systems. I. The discrete case. Commun. Math. Phys. 102, 327 (1985).

Simon B„ Hoegh-Krohn R. Hypercontractive semigroups and two-dimensional self-coupled Bose fields. J. Funct. Anal. 9, 121—180 (1972).

Simon B., Wolff T. Singular continuous spectrum under rank one perturbations and localization for random Hamiltonians. Comm. Pure Appl. Math. 39, 75—90 (1986).

Spain B. Tensor Calculus (Oliver and Boyd, London 1960).

Spencer T. The Schrodinger equation with a random potential — a mathematical review, in Critical Phenomena, Random Systems, Gauge Theories, Les Houches, XLIIL ed. by K. Osterwalder and R. Stora.

Spivak M. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. I (Publish or Perish, Berkeley 1970)..

Spivak M. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. V (Publish or Perish, Berkeley 1979).'

. Stein E. M. Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions (Princeton University, Princeton 1970).

Strichartz R. Analysis of the Laplacian on the complete Riemannian manifold J. Funct. Anal. 52, 48—79 (1983).'

Stummel F. Singulare elliptische Differentialoperatoren in Hilbertschen Raumen. Math. Ann. 132, 150—176 (1956).

353*. Taylor M. Pseudodifferential Operators (Princeton University, Princeton 1981).■ ■'

Thomas L. Asymptotic completeness in two and three particle quantum mechanical scattering. Ann. Phys. 90, 127—165 (1975)..

Thouless D. J. Electrons in disordered systems and the theory of localization. Phys. Rep. 13, 93 (1974).

■ Tip A. Atoms in circularly polarized fields: The dilation-analytic approach. J. Phys. A. Math. Gen. Phys. 16, 3237—3259 (1983).

357*. Titchmarsh E. C. Eigenfunction Expansions Associated with Second Order Ordinary Differential Equations, Part I (Oxford University, Oxford ■1962).- -..■ .. .

Treves F. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels (Acade-. mic. New York 1967).

Van Winter C. Theory of finite systems of particles. I. Mat. Fys. Skr. Danske Vid. Selsk. 1, 1—60 (1964)..

Vick J. Homology Theory, An Introduction to Algebraic Topology (Academic, New York 1973)..

. Von Neumann J. Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik (Springer, Berlin 1932).

Von Neumann J., Wigner E. Ober merkwflrdige diskrete Eigenwerte. Z. Phys. 30, 465—467 (1929).

. Vugalter S. A., Zhislin G. M. Fintiness of the discrete spectrum of manyparticle Hamiltonians in symmetry spaces. Theor. Math. Phys. 32, 602— 614 (1977).

Walter J. Absolute continuity of the essential spectrum of —d2/dt2 + q(t) without monotony of q. Math. Z. 129, 83—94 (1972).

Wegner F. Statistics of disorder chains. Z. Phys. B22, 273—277 (1975).

Wegner F. Bounds on the density of states in disordered systems. Z. Phys. B44, 9—15 (1981).

Weidmann J. The virial theorem and its application to the spectral theory of Schrodinger operators. Bull. Am. Math. Soc. 73, (1967).

Windy P. Supersymmetric quantum mechanics and the Atiyah-Singer index theorem, CERN preprint TH3758.

369 Witten Е. Constraints on supersymmetry breaking. Nucl. Phys. B202, 253—316 (1982).

Witten E. Supersymmetry and Morse theory. J. Diff. Geo. 17, 661—692 (1982).

Wiist R. Generalizations of Rellich’s theorem on perturbation of essentially selfadjoint operators. Math. Z. 119, 276—280 (1971).

372*. Yafaev D. R. On the theory of the discrete spectrum of the three-particle Schrodinger operator Math. USSR Sb. 23, 535—559 (1974).

373*. Yafaev D. R. On singular spectrum of a three body system. Mat. Sb. 106, 622 (1978) [in Russian],

374*. Yafaev D. R. Time dependent scattering theory for elliptic differential operators. Notes Sci. Semin. LOMI 115, 286—300 (1982).

375*. Yafaev D. R. On the asymptotic completeness for multidimensional timedependent Schrodinger equation. Mat. Sb. 118, 262—279 (1982).

Yajima K. Scattering theory for Schroding operators with potentials periodic in time. J. Math. Soc. Jpn. 29, 729—743 (1977).

Yajima K. Spectral and scattering theory for Schrodinger operators with Stark-effect. J. Fac. Sci. Tokyo 26, 377—390 (1979).

Yajima K. Spectral and scattering theory for Schrodinger operators with Stark-effect. II, J. Fac. Sci. Tokyo 28, 1—15 (1981).

Yajima K. Resonances for the AC-Stark effect. Commun. Math. Phys. 78, 331—352 (1982).

Zelditch S. Reconstruction of singularities for solutions of Schrodinger’s equation. Commun. Math. Phys. 90, 1—26 (1983).

Zhao Z. Uniform boundedness of conditional gauge and Schrodinger equations. Commun. Math. Phys. 93, 19—31 (1984).

382*. Zhislin G. M. Discussion of the spectrum of Schrodinger operator for systems of many particles. Tr. Mosk. Mat. Obs. 9. 81—128 (1960).

383*. Zhislin G. M. On the finiteness of the discrete spectrum of the energy operator of negative atomic and molecular ions. Theor. Math. Phys. 7, 571—578 (1971).

384*. Zhislin G. M. Finiteness of the discrete spectrum in the quantum У-раг- ticle problem. Theor. Math. Phys. 21, 971—980 (1974).

Работы из авторского списка,имеющиеся на русском языке

Аитоиец М. А., Жислии Г. М., Шерешевскнй И. А. О дискретном спектре гамильтониана квантовой системы N частиц. — Теор. мат. физ., 1973, т. 16, № 2, с. 235—246.

Атья М., Ботт Р., Патоди В. Уравнение теплопроводности и теорема об индексе. — Математика, 1973, т. 17, № 6, с. 3—48.

Бендерский М. М., Пастур Л. А. О спектре одномерного уравнения Шрёдингера со случайным потенциалом. — Мат. сборник, 1970, т. 82, № 2, с. 273—284.

Березанский Ю. М. О разложении по собственным функциям общих самосопряжённых дифференциальных операторов. — Успехи мат. наук, 1957, т. 12, № 1, с. 147.

Березин Ф. А. Метод вторичного квантования. — М.: Наука, 1986.

Чулаевский В. А. О возмущениях оператора Шрёдингера с периодическим потенциалом. — Успехи мат. наук, 1981, т. 36, № 5, с. 203—204.

Динабург Е. И., Синай Я. Г. Об одномерном уравнении Шрёдингера с квазнперноднческим потенциалом. — Функц. анализ и его прил., 1975, т. 9, № 4, с. 8—21.

Дуб Дж. Л. Вероятностные процессы. — М.: ИЛ, 1956.

Ефимов В. Н. Слабосвязанные состояния трёх резонансно взаимодействующих частиц. — Ядерная физика, 1970, т. 12, № 5, с. 1080—1091.

Фаддеев Л. Д. Математические вопросы квантовой теории рассеяния для системы трёх частиц. — Труды Матем. ин-та нм. В. А. Стеклова, 1963, т. 69, с. 3—122.'■

Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Т. 1.— М.: Мир, 1984.-

Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Т. 2.— М.: Мнр, 1984.■

Гольдшейд И. Я., Молчанов С. А., Пастур Л. А. Случайный одномерный оператор Шрёдингера имеет чисто точечный спектр. — Функцнон. анализ и его прил., 1977, т. И, № 1, с. 1—10.

Гордон А. Я. О точечном спектре одномерного оператора Шрёдингера.— Успехи мат. наук, 1976, т. 31, № 4, с. 257—258.

Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мнр, 1970.■

Исмагилов Р. С. Об условиях полуограниченности и дискретности спектра для одномерных дифференциальных операторов.—ДАН СССР, 1961, т. 140, № 1, с. 33—36.

Йоргене К., Вайдман И. Спектральные свойства гамильтоновых операторов.— М.: Мнр, 1976.■

Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мнр, 1972.''

Коваленко В. Ф., Семёнов Ю. А. Некоторые вопросы разложения по обобщённым собственным функциям оператора Шрёдингера с сильно сингулярными потенциалами. — Успехи мат. наук, 1978, т. 33, № 4, с. 107—140. '■

Ландау Л. Д„ Лифшнц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивнстская теория. — М.: Наука, 1974..

Лифшиц И. М. О структуре энергетического спектра н квантовых состояниях неупорядоченных конденсированных систем. — Успехи физ. наук, 1964, т. 83, № 4, с. 617—663.■.

Милнор Дж. Теория Морса. — М.: Мир, 1965..

Молчанов С. А. Строение собственных функций одномерных неупорядоченных структур. — Изв. АН СССР, сер. мат., 1978, т. 42, № 1, с. 70— 103.■"

Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, 1969.■'

Оселедец В. И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем. — Труды Моск, мат. об-ва, 1968, т. 19, с. 179—210.

Пастур Л. А. Спектры случайных самосопряжённых операторов.—Успехи мат. наук, 1973, т. 28, № 1, с. 3—64.

Пастур Л. А. Поведение некоторых винеровских интегралов при t-*ao ■ и плотность состояний уравнения Шрёдингера со случайным потенциа

лом.— Теор. мат. физ., 1977, т. 32, № 1, с. 88—95..

Повзнер А. Я. О разложениях по функциям, являющимся решением за- ■ дачи рассеяния. — ДАН СССР, 1955, т. 104, № 3, с. 360—363.

Рид М„ Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1977.

Рнд М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2. Анализ Фурье, самосопряжённость. — М.: Мир. 1978.

Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 3. Теория рассеяния. — М.: Мир, 1982.

Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т 4. Анализ операторов. — М.: Мир, 1982.

Шиоль Э. Э. О поведении собственных функций уравнения Шрёдингера.— Мат. сборник, 1957, т. 42, № 3, с. 273—286.

Сигалов А. Г., Сигал И. М. Инвариантное относительно перестановок тождественных частиц описание спектра оператора энергии квантовоме- хаиичёских систем. — Теор. мат. физ., 1970, т. 5, № 1, с. 73—93.

Стейн И М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. — М.: Мир, 1973.

Тейлор М. Псевдодифференцнальные операторы. — М.: Мир, 1985. ■

Титчмарш Э. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т. 1. — М.: ИЛ, 1960.

фои Нейман И. Математические основы квантовой механики. — М.: Наука, 1964.,

Вугальтер С. А., Жислии Г. Н. О конечности дискретного спектра мио- гочастичных гамильтонианов в пространствах симметрии (координатное и импульсное представления). Теор. мат. физ., 1977, т. 32, № 1,с. 70—87.

Яфаев Д. Р. К теории дискретного спектра трёхчастнчного оператора Шрёдингера. — Мат. сборник, 1974, т. 94, № 4, с. 567—593.

Яфаев Д. Р. О сингулярном спектре в системе трёх частиц. — Мат.

■ сборник, 1978, т. 106, № 4, с. 622—640.

Яфаев Д. Р. Нестационарная теория рассеяния для эллиптических дифференциальных операторов. — Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1982, т. 115, с. 285—300.■

Яфаев Д. Р. Подпространства рассеяния и асимптотическая' полнота для нестационарного уравнения Шрёдингера. — Мат. сборник. 1982, т. 118, № 2, с. 262—279..

Жислии Г. М. Исследование спектра оператора Шрёдингера для системы многих частиц.—Труды Моск. мат. об-ва, 1960, т. 9, с. 81—120.

Жислии Г. М. О конечности дискретного спектра оператора энергии отрицательных атомарных и молекулярных ионов. — Теор. мат. физ., 1971, т. 7, № 3, с. 332—341.

Жислии Г. М. Конечность дискретного спектра в квантовой проблеме п частиц. — Теор. мат. физ., 1974, т. 21, с. 60—73.1

Литература, добавленная, редактором перевода'

Вугальтер С. А., Жислин Г. М. О дискретном спектре оператора энергии одномерных и двумерных квантовых систем трёх частиц. — Теор. мат. физ., 1983, т. 55, № 2, с. 269—281.

Вугальтер С. А., Жислин Г. М.: О конечности дискретного спектра многоатомных молекул. — Теор. мат. физ., 1983, т. 55, № 1, с. 66—77.

Вугальтер С. А., Жислин Г. М. О спектре операторов Шрёдингера многочастичных систем с короткодействующими потенциалами. — Труды Моск. мат. об-ва, 1986, т. 49.

Гордон А. Я. Достаточные условия непрерывности спектра дискретного оператора Шрёдингера. — Функц. анализ и его прил., 1986, т. 20, № 4 с. 70—71..’

Жислин Г. М. Характеристика спектра оператора Шрёдингера для систем типа молекул. — ДАН СССР, 1959, т. 128, № 2, с. 231—236.

Жнслин Г. М. Исследование спектра дифференциальных операторов квантовомеханических систем многих частиц в пространствах функций заданной симметрии. — Изв. АН СССР, сер. мат., 1969, т. 93, с. 590— 649.-

Жислии Г. М. О конечности дискретного спектра операторов энергии квантовых систем многих частиц. — ДАН СССР, 1972, т 207, № 1 с. 25—28.■" ’

Лифшиц И. М., Гредескул С. А., Пастур Л. А. Введение в теорию неупорядоченных систем. — М.: Наука, 1982.

Пастур Л. А. Об уравнении Шрёдингера со случайным потенциалом.— Теор. мат. физ., 1971, т. 6, с. 415—424.

Пастур Л. А. О распределении собственных значений уравнения Шрёдингера со случайным потенциалом. — Фуикц. анализ и его прил., 1972, т. 6, № 2, с. 93—94.

Пастур Л. А. Спектральная теория случайных операторов. — Итоги науки и техники, ВИНИТИ АН СССР, т. 25, сер. Теория вероятностей, 3-66, 1987.

Пастур Л. А. Оценки снизу показателя Ляпунова некоторых конечноразностных уравнений с квазипериодическими коэффициентами. — В сб.: Операторы в функциональных пространствах и вопросы теории функций (труды ФТИНТ АН УССР). — Киев; Наукова думка, 1987, с. 3—13.

Пастур Л. А., Ткаченко В. А. К спектральной теории одномерного оператора Шрёдингера с предельно периодическим потенциалом. — ДАН СССР, 1984, т. 279, с. 1050—1053; Труды Моск. мат. об-ва, 1988, т. 51, с. 114—168.

Пастур Л. А., Фиготии А. Л. Эргодические свойства распределения собственных значений некоторых классов случайных операторов. — В сб.: Дифференциальные уравнения н некоторые методы функционального анализа (труды ФТИНТ АН УССР). — Киев: Наукова думка, 1978, с. 117—133.

Пастур Л. А., Фиготин А. Л. Один пример многомерного почти-перио- дического оператора, точечный и абсолютно непрерывный спектр которого пересекаются. — Теория функций, функц. анализ и их прил., 1988, т. 49, с. 94—101.

Пастур Л. А., Фиготии А. Л. Случайные и почти-периодические операторы. Общие спектральные свойства и распределения собственных значений. — М.: Наука, 1989.

Фиготин А. Л. Асимптотическое поведение при больших временах некоторых винеровских интегралов. I, И. — Теория функций, функц. анализ и их прял., 1979, т. 32, с. 88—91; 1980, т. 33, с. 132—135.

Фиготин А. Л. Распределение собственных значений уравнения Шрёдингера со случайным потенциалом и поведение при больших временах одного винеровского интеграла.—ДАН УССР, сер. А., 1983, № 8, с. 18—20.

Шубин М; А. Спектральная теория и индекс эллиптических операторов с почти-периодическими коэффициентами. — УМН, 1979, т. 34, с. 95— 136.

Яфаев Д. Р. О дискретном спектре трёхчастичного оператора Шрёдингера.— ДАН СССР, сер. мат. физ., 1972, т. 206, № 1, с. 68—70.

Яфаев Д. Р. Точечный спектр в квантовомеханической задаче многих частиц. — Функц. анализ и его прил., 1972, т. 6, № 4, с. 103—104.

Яфаев Д. Р. О конечности дискретного спектра трёхчастичного оператора Шрёдингера. — Теор. мат. физ., 1975, т. 25, № 2, с. 185—195.

Яфаев Д. Р. О виртуальном уровне уравнения Шрёдингера. — Зап. научи, сем. ЛОМИ, 1975, т. 51, с. 203—216.

Яфаев Д. Р. О точечном спектре в квантовомеханической задаче многих частиц. — Изв. АН, сер. мат., 1976, т. 40, № 4, с. 922—961.

Frohlich J., Spencer Т., Wittwer Р. Localization for the class of one dimensional quasi-periodic Schrodinger operators. Preprint Inst. Adv. Study, 1987.

Frisch H. L„ Lloyd S. P. Phys. Rev. 102, 1175 (1960).

Jensen A., Kato T. Spectral properties of Schrodinger operators and timedecay of the wave functions. Duke Math. J. 46, no. 3, 583—611 (1979).

Martinelli F., Scoppola E. Introduction to the mathematical theory of Anderson localization. Rivista Nuovo Cimento 10, no. 10, 2—90 (1987).

Pastur L. A. Spectral properties of random and almost periodic operators, Soviet Sci. Review C. Math/Phys. 6, 1—112 (1987).- .

Pastur L. A., Figotin A. L. The positivity of the Lyapunov Exponent and the absence of the absolute continuous spectrum for the Almost-Mathieu equation. J. Math. Phys. 25, 774—777 (1984).

Pastur L. A., Figotin A. L. Spectra of random and almost periodic operators. Springer, Berlin, Heidelberg, 1989.

Schmidt H. Disordered one-dimensional chain, Phvs. Rev. 105, 425—431 (1958).'

Sinai Ya. G., Anderson localization for one-dimensional difference Schrodinger operator with quasiperiodic potential. J. Stat Phys. 46, 861—879 (1987)..' ■

Sokoloff J. B. Unusual band structure, wave functions and electrical conductance in crystals with incommensurate periodic potentials. Phys. Rep. .126, 189—244 (1985).'■

Spencer T. Localization for random and quasiperiodic potentials. J. Stat. Phys. 51, 1009—1019 (1988). -

Uchiyama J. Finiteness of the number of discrete eigenvalues fo the Schrodinger operator for a three particle system. Publ. Res. Inst. Math. Set, Kyoto Univ., S.A. 5, по. 1, 51—63 (1969).

Vugalter S. A., Zhislin G. M. The symmetry and Efimov’s effect in systems of three quantum particles. Comm. Math. Phys. 87, 89—103 (1982).

Vugalter S. A., Zhislin G. M. On the finiteness of discrete spectrum in the V-particle problem. Rep. Math. Phys. 91, 39—90 (1984).

Weinberg S. Systematic solution of multiparticle scattering problems. Phys. Rev., S. B. 133, no. 1, 232—256 (1964).

Именной указатель

Аврон /J. Avron) 158, 160, 164, 166— 168, 191, 210, 213, 215, 227, 244, 246, 259—263, 372

Агиляр <J. Aguilar) 185, 186, 371

Агмон <S. Agmon) 36, 53, 98, 135, 371

Айзенман <М. Aizenman> 16, 23, 371

Аллегретто <W. Allegretto) 34, 371

Альварес-Гаумес <L. Alwares-Gaumez) 291 371

Амрейн <W. О. Amrein) 115, 125, 371

Антонец М. А. 80, 371, 386

Атья <М. F. Atiyah) 302, 315, 348, 367, 371, 386

Ахаронов <Y. Aharonov) 145, 157,371

Бальслев <Е. Balslev) 98, 185, 186, 191 200 372

Беллиссар <J. Bellissard) 257, 258, 264, 372

Бендерский М. М. 215, 373, 386

Березанский Ю. М. 373, 386

Березин Ф. А. 302, 373, 386

Бнсмю <J. М. Bismut) 291, 367, 373

Ботт <R. Bott) 302, 315, 348, 367, 371, 386

Бохнер <S. Bochner) 319—:321, 373

Брезнс <Н. Brezis). 30, 373

Броссар <J. Brossard) 30, 238, 373

Вайдман <J. Weidmann) 40, 81, 98, 378, 385, 387

Вайнберг <S. Weinberg) 78, 79, 390

Вегнер <F. Wegner) 214, 232, 385

Вигнер <E. Wigner) 385

Винтер, ван <C. van Winter) 48, 78, 385

Виттен <E. Witten) 7, 152, 265, 275, 283, 291, 316, 322, 386

Вугальтер C. A. 385, 388, 390

Вюст <R. Wust) 11, 386

Гальярдо <E. Gagliardo) 21, 376

Георгеску ( = Джорджеску) <V. Georgescu) 125, 371

Гетцлер <E. Getzler) 291, 353, 367 376

Гольдшейд И. Я. 232, 239, 376, 387

Гордон А. Я- 245, 376, 387, 388

Граффи <S. Graffi) 182, 197, 199, 376

Гредескул С. А. 389

Гремпел <D. Grempel) 248, 249, 251

375, 376, 382

Гроссман <А. Grossman) 164, 376

Гуэрра <F. Guerra) 28, 377

Дейвис <Е. В. Davies) 115, 119, 135, 267, 374

Дейфт <Р. Deift) 40, 69, 154, 223, 374

Делион <F. Delyon) 213—215, 232, 237239 374

Джилки <Р. Gilkey) 315, 324, 348, 376

Джонсон <R. Johnson) 215, 227, 378

Джоунз <R. Jones) 227, 377

Дннабург Е. И. 258, 374, 386

Дуб <J. Doob) 360, 374, 386

Дюкло <Р. Duclos) 86, 267, 373

Ефимов В. Н. 69, 374, 387

Жииибр <J. Ginibre) 115, 119, 136, 376

Жислии Г. М. 40, 48, 69, 77, 79, 80, 371, 385, 386, 388, 390

Зайлер <R. Seiler) 267, 372, 373

Зао <Z. Zhao) 30, 386

Зельдитч <S. Zelditch) 23, 37, 38, 386

Зимадер <C. Simader) 7, 9, 21, 380,

384

Зингер <1. M. Singer) 313, 348, 381

Ивацука <А. Iwatsuka) 145, 161, 378

Икэбэ <Т. Ikebe) 135, 378

Исин <К. Ishii) 220, 221, 378

Исмагилов Р. С. 41, 378, 387

Исодзаки <Н. Isozaki) 115, 118, 378

Йенсен <А. Jensen) 91, 92, 193, 378,

Йоргене <К. Jorgens) 40, 378, 387

Кальф <Н. Kalf) 81, 135, 374, 379

Кармона <R. Carmona) 28, 86, 202, 209, 232, 238, 240, 373

Като <Т. Kato) 9, 11, 16, 18, 19, 21, 30, 81, 98, 131, 136, 323, 373, 379, 387, 389

Кац <М. Кас) 313, 378.

Кашер <А. Casher) 145, 157

Кестен <Н. Kes ten) 217, 376

Кингман <J Kingman) 217, 218, 379

Кирш <W. Kirsch) 7, 208, 215, 216, 222 223 379

Китада <Н. Kitada) 115, 118, 166, 173, 174, 177, 178, 193, 378—380

Клауз <М. Klaus) 55, 380

Кляйн <А. Klein) 238

Коваленко В. Ф. 28, 380, 387

Комб <J. М. Combes) 185, 186, 191, 267, 372, 373

Константннеску <F. Constantinescu) .214,373

Котани <S.. Kotani). 220—223, 239, 379 380

Крейг <W. Craig) 213, 214, 225, 227, ' 228, 257, 373

Кунц <H. Kunz) 208, 229, 232, 237, 240, 374, 380

Курода <S. Kuroda) 135, 380

Лавин <R. Lavine) 81, 380■

Лакс <P. Lax) 11, 40

Ландау Л. Д, 380, 387

Либ <E. Lieb) 7, 60, 66, 68, 380

Лима <R. Lima) 257, 258, 372

Лионс <J.-L. Lions> 11

Лифшиц Ё. M. 380, 387

Лифшиц И. M. 216, 380, 387, 389

Лихнерович <А. Lichnerowicz) 318,

380

Ллойд <Р. Lloyd) 251, 380

Лосе <М. Loss) 136, 361, 377, 380

Ляйнфельдер <Н. Leinfelder) 7, 9, 21,

147. 374, 380

Маккии <Н. McKean) 313, 348, 381 Мартинелли <F. Martinelli) 202, 208, 215, 216, 223, 238, 239, 378, 379, 381 390

Масуда <К. Masuda) 19, 379

Мейер <S. Meyer) 319, 320, 381

Мелер <F. G. Mehler) 352

Милгрэм <A. N. Milgram) 11

Миллер <K. Miller) 147, 150, 381

Милнор <J. Milnor) 381, 387

Мннакшисундарам <S. Minakshisun- daram) 313, 381

Мозер <J. Moser) 215, 227, 258, 262, ■ 263, 378, 381

Молчанов C. A. 232, 376, 381, 387

Морган <J. D. Morgan) 40, 41, 381

Mocc <W. Moss) 34, 381

Мулен <M. Moulin) 136, 376

Mypp <E. Mourre) 5, 81, 87, 89—92, •107, 115, 119, 125, 136, 193, 378,

381■'"

Мутхурамалннгам (Pl. Muthuramalin- gam) 115, 381

Наймарк M. A. 87, 381, 387

Накао <S. Nakao) 215, 216, 376, 381

Нейман, фон <J. von Neumann) 9,

385, 388

Нельсон <E. Nelson) 11, 317, 381

Ниренберг <L. Hirenberg) 21, 382

Обата <M. Obata) 319, 382

Овчинников Ю. H. 69, 382

Оселедец В. И. 219, 220, 382, 387

Пастур Л. Л. 202, 206, 208, 210, 215, 216, 220, 221, 232, 249, 264, 373, 375, 376, 382, 386, 387, 389, 390

Патоди <V. К. Patodi) 8, 291, 305, 307, 313—315, 317, 348, 352, 367, 371, 382, 386.

Перри <Р. Perry) 81, 87, 90—92, 105,

115, 118, 119, 123, 125 193, 374, 378, 382

Перссон <А. Persson) 52, 382

Пёшель <J. Poschel) 257, 258, 381, 382

Пипенбринк <J. Piepenbrink) 34, 381,

Пирсон ,<D. Pearson) 258, 382

Плейель <A. Pleijel) 313, 381

Повзнер А. Я. 135, 382, 387

Прэиг <R. Prange) 248, 249, 251, 375, 376 382

Путнам <С. R. Putnam> 81, 82, 382

Рид <М. Reed) 6, 383, 387

Рбзеи <L. Rosen) 28, 377

Рускаи <М. В. Ruskaj) 40, 60, 383

Руссмаии <Н. Russmann) 258, 383

Рюэль <D. Ruelle) 46, 125, 220, 383

Саймон <В. Simon) 5, 6, 8, 16, 18, 23, 27, 28, 32, 34, 38, 40, 41, 46, 60, 66, 69, 80, 81, 86, 87, 90, 91, 98, 107, 115, 119, 131, 147, 150, 155, 164, 185, 197, 199, 210, 213— 216, 220, 222, 223, 225, 227, 228, 237—239, 244, 246, 249—251,259— 264, 267, 272, 335, 353, 360, 371— 374, 377, 379, 381—385, 387

Сарнак <Р. Sarnak) 243, 257, 383

Семёнов Ю. А. 28, 380, 387

Сигал <1. М. Sigal) 40, 41, 44, 60, 66, 69, 81, 87, 90, 91, 107, 136, 143, 190, 200, 380, 382, 383, 388

Сигалов А, Г. 44, 383, 388

Синай Я. Г. 258, 374, 386, 390

Скоппола <Е. Scoppola) 202, 239, 257, 372, 381, 390

Слоун <А. Sloan) 28

Соффер <А. Soffer) 143, 383

Спенсер <Т. Spencer> 202, 214, 239, 373,376,385,389,390

Стейн <Е. М. Stein) 385, 388

Суйяр <В. Souillard) 86, 208, 213— 215, 229, 232, 237—240, 374, 380

Фаддеев Л. Д. 79, 135, 136, 375, 387

Феллер <W. Feller) 375, 387

Фиготин А. Л. 202, 216, 249, 375, 382, 389, 390

Филлипс <R. S. Phillips) 40

Фишман <S. Fishman) 248, 249, 251, 375, 376, 382

Флоке <G. Floquet) 180

Фрёзе <R, G. Froese) 7, 81, 85, 98, 107, 375

Фрёлих <J. Frohlich) 131, 214, 239, 373, 375, 376, 389

Фридаи <D. Friedan) 291, 375

Фудзивара <D. Fujiwara) 37, 376, 382

Фукусима <M. Fukushima) 216, 376

Фурстенберг <H. Furstenberg) 217, 222, 376

Хартман <P. Hartman) 377, 387

Хельффер <B. Helffer) 165, 272, 377

Херберт <D. Herbert) 227, 377

Хербст <1. Herbst) 28, 81, 85, 98, 107, 155, 166—168, 191, 195, 197, 372, 375, 377

Xecc <H. Hess) 18, 324, 377

Хёэг-Крон <R, Heegh-Krohn) 353, 385

Хирцебрух <F. Hirzebruch) 352

Хоуленд <J. S. Howland) 166, 179, 378

Хоффманн-Остенхоф M. <M. Hoffman- Ostenhof) 81, 98

Хоффманн-Остенхоф T. <Th. Hoff- rhann-Ostenhof) 81, 98

Хунцикер <W, Hunziker) 48, 78, 144, 174—178, 200, 378

Ткаченко В. A. 264, 389

Тейлор <M. Taulor) 279, 324, 385, 388

Тестар <D. Testard) 258, 372

Тип <A. Tip) 167, 182—184, 385

Тирринг <W. Thirring) 60, 66

Титчмарш <E. C. Titchmarsh) 87, 385,

388

Ткаченко В. A. 264, 389

Томарес <Y, Tomares) 158, 160, 372

Томас <L. Thomas) 136, 385

Уинди <P. Windy) 291, 375, 385

Уленброкк <D. A, Uhlenbrock) 18,324,

377

Утияма <J. Uchiyama) 79, 390

Дикон <H. L. Cycon) 7, 38, 193, 200, 374

Чернофф <P. Chernoff) 278, 334, 373

Чулаевский В. A. 262, 263, 373, 386

Шерешевский И. A, 80, 371, 386

Шехтер <M. Schechter) 16, 383

Шёстранд <J. Sjostrand) 165, 272,

377

Шноль Э. Э. 32, 383, 388

Шрадер <R. Schrader) 18, 324, 377

Штуммель <F. Stummel) 13, 385

Шубин М. А. 215, 389

Энсс <V. Enss> 6, 40, 50, 115, 117, 118, 121, 123, 125, 129, 135, 136, 139, 142, 143, 374

Эрман <М. Неппап> 244, 377

Ядзима <К. Yajima> 166, 167, 173 174, 177, 178, 181, 182, 197—199 376, 380, 386

Яно <К. Yano> 321, 373

Яфаев Д. Р. 6, 69, 79, 115, 119, 136 ' 386, 388, 389'

Авторы, встречающиеся в книгелишь в латинской транскрипции

Albeverio S. 371

Andre G. 244, 371

Aubry S. 244, 371

Jauch J. M. 378

Johnson B. 377

Callias ChavelCallias ChavelC. 373I. 300, 319, 373C. 373I. 300, 319, 373

Callias Chavel

Callias Chavel

C. 373

I. 300, 319, 373

C. 373

I. 300, 319, 373

Babbitt D. 200, 372

Ben-Artzi М. 372

Bentosela F. 86, 373

Berthier A. M. 115, 373

Boothby W. 296, 373

Breiman L. 202, 212, 230, 373

Katznelson Y. 226, 245, 379

Kramers H. A. 380

Kumano-go H. 379

Le Guillou J. 164, 377

Levy Y. 239, 374

Lloyd S. P. 389

Lowdin P. 380

Dodds

Р. 374

Malliavin P. 381

Meyer D. 320, 376, 381

Minami N. 220, 381

Eastham M, S. P. 135, 374Nachbin L 381

Elworthy K. D. 374, 375Nagai H. 216, 376

Faris W. G. 375

Ferreira L. 374

Fremlin D. H. 374

Frisch H. L. 389

Osborn T. 382

Pitt L. D. 382

Gallot S. 320, 376

Gilbarg D. 376

Grecchi V. 197, 376

Grflmm H. 160, 377

Radin C. 131, 382

Raghunathan M. 220, 383

Reinhardt W. P. 383

Romerio M. 216, 383

Hagedorn G. 361, 377

Harrell E. 197, 272, 377

Hirschfelder J. 377

Ho Y. K. 378

Holden H. 239, 378.

Saito Y. 383

Schmidt H. 390

Silverman J. 164, 384

Slawny J. 361, 377

Sokoloff J. B. 390

Spain В. 301, 385

Spivak M. 309, 385

Streit L. 371

Strichartz R. 278, 334, 385

Walter J. 87, 385

Weder R. 86

Wittwer P. 389

■ Wolff T. 239, 385

Wreszinski W. 216, 383

Treves F. 385

Trudinger N. 376

Yang К. H. 377■

Vick J. 385 ■

Zinn-Justin J. 164, 377

Предметный указатель1

■ 1 При повторении слова иногда заменяются на тире, даже если у них другое окончание. На возможность изменения окончания указывает курсивный шрифт (например, внутренний). — Прим. изд. ред. ■■ 1 При повторении слова иногда заменяются на тире, даже если у них другое окончание. На возможность изменения окончания указывает курсивный шрифт (например, внутренний). — Прим. изд. ред. ■

■ 1 При повторении слова иногда заменяются на тире, даже если у них другое окончание. На возможность изменения окончания указывает курсивный шрифт (например, внутренний). — Прим. изд. ред. ■

■ 1 При повторении слова иногда заменяются на тире, даже если у них другое окончание. На возможность изменения окончания указывает курсивный шрифт (например, внутренний). — Прим. изд. ред. ■

Аврона—Саймона—Чулаевскйго теорема (Avron-Simon-Chulaevsky theorem > 263 .

Аврона—Хербста формула ■ (Avron- ' Herbst formula) 167

Аллегретто—Пипенбринкатеорема

(Allegretto-Piepenbrink theorem) 34

а. н. (а. с.) 258 аналитический относительно растяжений (dilation analytic> 186

Андерсона модель (Anderson model) 204'

асимптотика наблюдаемых (asymptotics of observables) 129.

асимптотическая полиота (asymptotic completeness) 117, 138■

атомные координаты (atomic coordinates) 43■

Атьи—Зингера теорема об ' индексе (AtiyabSinger index theorem) 367

Ахаронова—Кашера теорема (Aharo- nov-Casher theorem) 157"

Бальслева—Комба теорема (Balslev- Combes theorem) 191

Беллиссара—Саймона теорема (Belli- sard-Simon theorem) 264

Березина формула (Berezin’s formula) 302

Березина—Патоди формула (Berezin- Patodi formula) 303

Бетти числа (Betti numbers) 272—274 бозонное состояние (bosonic state) 153

Бохнера лапласиан (Bochner Laplacian) 316

Бохнера—Мейера теорема (Bochner- Meyer theorem) 320

Бьянки тождество первое (first Bian. chi identity) 295

Вайценбёкка формула (Weitzenbock formula) 316''

Вейля критерий (Weyl’s criterion) 148.

Вигнера—фон Неймана потенциал (Wigner-von Neumann potential)- ■85■

Винера теорема (Wiener’s theorem)- 126'

внриала теорема (virial theorem) 87, 89

Виттена лапласиан (Witten’s Laplacian) 283

внешняя алгебра (exterior algebra> 302

— дифференцирование (~ differentiation) 277-

— скейлинг (~ scaling) 199 внутренний'гамильтониан (internal

' Hamiltonian) 46 " ''

— £2-произведение (L2 inner product) 277

возрастное подпространство (recurrent subspace) 261—262

— спектр (~ spectrum) 259 волновой оператор (wave operator) 116■

высоты функция (height function)- 273'

Гальярдо—Ниренберганеравенство

(Gagliardo-Nirenberg inequality) 21.

гармонический осциллятор (harmonic oscillator) 266■

— форма (~ form) 278

Гаусса—Бонне—Черна теорема

(Gauss-Bonnet-Chern theorem> 308 гауссова функция (Gaussian) 119 ГБЧ теорема (GBC theorem> 291, 308 генератор растяжений (dilation gene

rator) 120'

геодезические координаты (geodesic coordinates) 296

Гордона теорема (Gordon’s theorem) 245

густой точечный спектр (thick point spectrum) 258

Данфорда—Петтиса теорема (Dunford-Pettis theorem) 36

ДАС-разбненне (DAS partition) 69 де Рама группа когомологий (de Rham cohomology group) 274

■теорема (~ ~’s theorem> 274 Дейфта—Агмона—Сигала разбиение

единицы (Deift-Agmon-Sigal par- ■ tition of unity) 69

детерминированный (deterministic)

222.

диамагнитное неравенство (diamagnetic inequality) 19

дивергенция (divergence) 300 дилатационная аналитичность (dila

tion analyticity) 186

дилатационно-аналитическое продол- жеиие (dilation analyticity) 185 ■

дилатация (dilation) 186-

диофантовы свойства типичные (typi

cal Diophantine properties) 252 Дирака матрицы (Dirac matrices) 303 Дюамеля формула (DuHamel’s for

mula) 338■

Ефимова эффект (Efimov effect) 69, 78.

Зеемана эффект (Zeeman effect) 164

Ивацуки теорема (Iwatsuka’s theorem)- 161

ИМС-формула локализации (IMS localization formula) 41.

инвариантная случайная величина (invariant random variable) 205

индекс (index) 153

— суперсимметричный (supersymmetric ~> 153■

интегральное ядро (integral kernel) 326

Исии—Пастура—Котани теорема (Is- hii-Pastur-Kotani theorem) 220 ■

Итиносэ лемма (Ithinose’s lemma) 189■

Иоргенса гипотеза (Jorgens’ conjecture) 9

калибровочная инвариантность (gau. ge invariance) 146.

— преобразование (~ transformation) 19

КАМ-методы (KAM-methods) 252, 257.

канонический порядок (canonical order) 335, 336

канонических порядков исчисление (~ ~ calculus) 335

канторово множество (Cantor set) 259 Като неравенство (Kato’s inequality) 18

Като—Реллиха теорема (Kato-Rellich theorem) 11

■ Като—Саймона неравенство (Kato- Simon inequality) 19 квазнкласснческнй предел (quasiclas- sical limit) 265

Кингмана теорема (Kingman’s theorem) 218'

Китады—Ядзимы теорема (Kitada- Yajima theorem) 177 ■

кластер (cluster) 45

кластерное разложение (~ decompo- ■ sition) 45

Клауза теорема (Klaus’s theorem) 40, 55

Клиффорда алгебра (Clifford algebra) 303

КЛМН-теорема (KLMN theorem) 11 ковариантная производная (covariant derivative) 293 вторая (second ~ ~> 321 Комба—Саймона разделительное неравенство (Combes-Simon decoupling inequality) 73

компактный относительно оператора (relatively compact with respect to an operator) 43

коротко действие (short range) 123

Котани теорема (Kotani’s theorem) 222, 223

Крейга—Саймона теорема (Craig-Simon theorem) 225, 226

кривизна (curvature) 294

— полная (total ~> 299

— секционная (sectional ~> 299

— скалярная (scalar —> 297

кривизны оператор (~ operator) 299

— тензор (рнманов) ((Riemann) ~ tensor) 294

Кристоффеля символ (Christoffel symbol) 294

критическая точка (critical point) 274

невырожденная (nondegenera- te ~ ~) 274

Кука метод (Cook’s method) 118

— оценка (~ estimate) 119

Кунца—Суйяра теорема (Kunz-Souil-

lard theorem) 208, 229, 232

Ландау орбита (Landau orbit) 151

Лапласа—Бельтрами оператор (Laplace-Beltrami operator) 44, 278 лапласнаи дискретный (discrete Laplacian) 202

Ли производная (Lie derivative) 292

Либо метод (Lieb’s method) 66

— теорема (~ theorem) 164

Лиувилля число (Liouville number) 246

лифшнцева асимптотика (Lifshitz behavior) 216

Лихнеровича теорема (Lichnerowicz’s theorem) 318, 319

Ллойда модель (Lloyd model) 251 локализации погрешность (localization error) 41

локализация (localization) 229 локальная компактность (local compactness) 51

Ляйнфельдера—Зимадера теорема

(Leinfelder-Simader theorem) 21

Ляпунова показатель (Lyapunov exponent) 217

Маккина—Зингера теорема (McKean- Singer theorem) 313 максимальная форма (maximal form) 18

межкластерное взаимодействие (inter- cluster interaction) 46

Мелера формула (Mehler’s formula) 353

Меллона преобразование (Mellin transform) 120

Морса координаты (Morse coordinates) 287

— неравенства (~ inequation) 272— 275

сильные (strong ~ ~) 275

слабые (weak ~ ~) 289

— теорема об индексе (~ index theorem) 275

— функция (~ function) 272—274

Мурра оценка (Mourre estimate) 84 мэрилендская модель (Maryland model) 248

недетерминированный (nondeterminis- tic) 222

независимость над рациональными числами (independence over the rationale) 242

нигде не плотный (nowhere dense) 259

и. o. p. 204

нормальные координаты (normal coordinates) 296

оболочка (hull) 241

объёма форма (volume form) 277

ограниченный в смысле Като (Kato- bounded) 118

ортонормнровэнный репер (orthonormal frame) 276

Оселедца теорема (Osceledec’s theorem) 219'

основная "теорема римановой геометрии (fundamental theorem of Riemannian geometry) 293

отделение движения центра масс (removing the center of mass motion) 43

относительная грань (relative-bound) 10

в смысле форм (relative form- bound) 10

оценка субрешення (subsolution estimate) 29

парамагнитное неравенство (paramagnetic inequality) 164

Пастура теорема (Pastur’s theorem)

206, 210

Паули- гамильтониан (Pauli Hamiltonian) 144

ПДО (фПО) 324

Перри оценка (Perry’s estimate) 119,

121

Перссона теорема (Persson’s theorem) 52

плотность состояний (density of states) 211

интегрированная (integrated ~

-) 213

плотный точечный спектр (dense point spectrum> 150, 237

п. h. (a. s.) 264

повышенная связываемость (enhanced binding) 163

под своими средними лежащая функция (submean function) 224 подвижности граница (mobility edge)

150, 239

полунепрерывная сверху функция (uppersemicontinuous function)

224

порог (threshold) 46

почти всюду (п. в.) по спектральной мере оператора Н (Я-spectrally almost everywhere (а. е.)> 34

почтн-матьё-уравненне (almost Mathieu equation) 244

почти-периоднческая последовательность (almost periodic sequence) 241

матрица Якоби (— — Jacobi matrix) 241

предельно-перноднческая последовательность (limit periodic sequence) 262

приходящий (incoming) 117

пропагатор (propagator) 166, 172

Пуанкаре двойственность (Poincare duality) 282

Путнама теорема (Putnam’s theorem) 82

пфаффнан (Pfaffian) 309

двойной (double ~) 311

равномерно-эллнптическнй оператор строго второго порядка (uniformly elliptic strictly second order operator) 327

равномерно-эллнптнческнн оператор второго порядка (~ ~ second order operator) 331

РАГЭ теорема (RAGE theorem) 125, 126

разбненне единицы (partition of unity) 40

Дейфта—Агмона—Сигала (Deift-Agmon-Sigal ~ ~ ~> 69

Рюэля—Саймона(Ruelle-Simon ~ ~ ~) 47

разделительное неравенство (decoupling inequality) 73

рассеяния состояние (scattering state) 117

редкий точечный спектр (thin point spectrum) 259

резонанс (resonance) 187, 192

Риччи тензор (Ricci tensor) 299 рождения оператор (creation operator) 153, 155, 298, 354

Рускаи—Сигала теорема (Ruskai-Si- gal theorem) 60, 66

р.э. о. в.п. (ueso operator) 331

р. э. о. с. в. п. (uesso operator) 327

Рюэля—Саймона разбиение единицы (Ruelle-Simon partition of unity) 47

связность (connection) 293

— симметричная (без кручения) (torsion-free ~> 293

сдвига оператор (shift operator) 203

Сигала—Соффера метод (Sigal-Soffer method) 143

сильная связь (strong coupling) 165 сингулярно-непрерывный спектр (singular continuous spectrum) 258

скейлинг (scaling) 185

— внешний (exterior ~) 199

— комплексный (complex ~) 185

слабая асимптотическая полнота (we

ak asymptotic completeness) 117

слабо измеримый (weakly measurable) 206

слабое интегральное ядро (weak integral kernel) 37

слаборастущнй (low-lying) 289

с. н. (s. с.) 258

Соболева пространство (Sobolev space) 324

— теорема вложения (~ imbedding theorem) 325

совершенное множество (perfect set) 259

сохраняющий ориентацию (orientation preserving) 277

спиновое пространство (spin space) 363

стационарный (stationary) 203

Стоуна—Вейерштрасса гавот (Stone-

Weierstrass gavotte) 76

стохастический потенциал (stochastic potential) 201

субаддитивный процесс (subadditive process) 218

субгармоническая функция (subhar

monic function) 224

субрешеиия оценка (subsobution estimate)* 29

сумма в смысле форм (form sum) 12

суперсимметричный индекс (supersymmetric index) 153

суперсимметрия (supersymmetry)» 152

суперслед (supertrace) 302

существенное замыкание (essential closure)» 220

— носитель (~ support)» 220

— область (core) 10

в смысле форм (form core) 10

Хирцебруха сигнатура (Hirzebruch signature) 282

Ходова оператор (Hodge operator) 280

— теория (~ theory) 275

Хоуленда бритва (Howland’s razor) 188

— формализм (~ formalism) 179

Хьюза—Эккартачлены (Hughes-

Eckart terms) 43

Цвиккеля—Л ибо—Розенблюма оценка (Cwickel-Lieb-Rosenbljum bound) 75

ЧАМС теорема (SCAM theorem) 263

Таулеса формула (Thouless formula)» 226, 227

Типа теорема (Tip’s theorem> 183

транзитный вектор (transient vector)» 261

—- подпространство (~ subspace) 261

— спектр (~ spectrum)» 259

трансляционная аналитичность (translation analyticity) 191

уничтожения оператор (annihilation operator) 153, 155, 298, 354

упорядоченное (по Вику) произведение (Wick-ordered product)» 357 — () экспонента (^ exponen

tial)» 358

уходящий (outgoing)» 117

фермионное состояние (fermionic state) 153 •

физическая локализация (physical localization) 229

Флоке гамильтониан (Floquet Hamiltonian) 181

— оператор (— operator) 181

фотонное поле с круговой поляризацией (circularly polarized photon field) 175, 182

Фурстенберга—Кестена теорема- (Fur- stenberg-Kesten theorem) 217

Хоара мера (Haar measure) 242

Харнака неравенство (Harnack inequality) 29

ХВЖ-теорема (HVZ-theofem) 40, 48

Шноля теорема (Sch’nol’s theorem) 32

Штарка гамильтониан (Stark (-effect) Hamiltonian) 167

— эффект (Stark effect) 176, 195

Штуммеля класс (Stummel class) 13

Эйлера форма (Euler form) 308

Эйлера—Пуанкарехарактеристика

(Euler-Poincare characteristic) 275 эквивалентные меры (equivalent measures) 260

экспоненциальная локализация (exponential localization) 230

электрические поля (electric fields) 86

Энсса версия метода Кука (Enss’ version of Cook’s method) 124

— метод (Enss method) 115—143

потенциал (~ potential) 123 эргодический (ergodic) 203, 206, 218 — теорема (~ theorem) 218, 219

мультипликативная (multiplica

tive ~ ~) 219

субадднтивная (subadditive ~ ~> 218

Эрмана теорема (Herman theorem) 244

Якоби матрица (Jacobi matrix) 201

А-грань (A-bound) 10

— в смысле форм (A-form-bound) 10

А-компактный <A-compact> 11

А-ограннчениый <A-bounded> 9

— в смысле форм <A-form bounded) 10

Й

од <A-genus> 369

•задача Штарка <AC-Stark problem) 176

АС-эффект Штарка <~ effect) 176

DC-эффект Штарка <DC-Stark effect) 195

Kv-HopMa <Kv-norm> 16

£2-оценка сверху (снизу) <£2 upper

(lower) bound) 99

log-гёльдеровская непрерывность

<log-H61der continuity) 213

5у-норма <Sv-norm> 13

Список обозначений

Агенератор растяжений 84

Adf342

Влапласиан Бохнера 316

Ематематическое ожидание 204

Е (х)форма Эйлера 308

Н$пространство Соболева 324

Я (а, У)гамильтониан Паули 144

Hf, Нь152

1амежкластерное взаимодействие 46

1аразбиение единицы 40

Когамильтониан Штарка 167

Kvкласс Като 16

^Тос28

К (X, У, Z, U7) тензор кривизны 249

Lоператор Лапласа—Бельтрамн 278

Lxпроизводная Лн 292

^пИ17

Pffпфаффнан 309

Qtядро Мелера 353

Rскалярная кривизна 297

R кХ, У)кривизна 294

Rijkiтензор кривизны 295

St/тензор Рнччн 299

Заполоса в комплексной плоскости 186

Svкласс Штуммеля 13

U kt, s)унитарный пропагатор 172

Ха, Х° . кластерные пространства 46

а1, ка‘Т операторы рождения и уничтожения фермионов 298

Ь, 6*операторы рождения н уничтожения бозонов 354

divдивергенция 300

к (£)интегрированная плотность состояний 213

strсуперслед 302

ф ачисло кластеров из а 45

:х”:упорядоченное (по Вику) произведение 357

(...)*преобразование Меллнна120

Adдискретный лапласиан 202

Г^символ Кристоффеля 294

Фл (£)матрица перехода 216

Sinf Ое„ 48

3Q (6)кластерный спектр 188

Qоболочка почтн-периоднческой функции 242

0±волновые операторы 116

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИИ403

v(£)

^X, Y AP A ^ M

показатель Ляпунова 217

характеристика Эйлера—Пуанкаре 275

ковариантная производная 293

вторая ковариантная производная 321

гладкие р-формы 273

внешняя алгебра 302

оператор вторичного квантования фермионов 305

Оглавление

От редактора перевода 5

Предисловие 7

Самосопряжённость . .. 9

Основные теоремы о возмущениях-9

Классы Sv и Kv 12

Неравенство Като и всё такое 18

Теорема Ляйнфельдера— Зимадера . . . . . .21

/^-свойства собственных функций и всё такое23

Полугрупповые свойства 23

Оценки собственных функций . . . . . .28

Локальные оценки градиентов..30

Собственные функции и спектр (теорема Шноля) ...... 32

Теорема Аллегретто — Пипенбринка34

Интегральные ядра для ехр (—///) . '. . 36

Геометрические методы в теории связанных состояний . . .40

Разбиения единицы и ИМС-формула локализации40

Многочастичный оператор Шрёдингера 42

ХВЖ-теорема 46

Ещё о существенном спектре 50

ТеореМа Клауза: далеко разнесённые потенциальные ямы...54

Приложения к атомной физике: разминка .57

Теорема Рускаи — Сигала59

Усиление теоремы Рускаи — Сигала, полученное Либом ....66

Системы N частиц с конечным числом связанных состояний..68

Приложение: гавот Стоуна — Вейерштрасса76

Дополнение редактора перевода 77

Локальные коммутаторные оценки81

Теорема Путнама и оценка Мурра81

Собственные значения на непрерывномспектре87

Отсутствие сингулярно-непрерывногоспектра90

Экспоненциальные оценки и отсутствие положительных собственных чисел 97

Оценка Мурра для IV-частичных операторов Шрёдингера . . . . 107

Фазово-пространственный анализ рассеяния 115

Некоторые понятия теории рассеяния ...116

Оценка Перри.119

Вариант ЭнссаметодаКука123

Теоремы РАГЭ125

Асимптотика наблюдаемых. 129

Асимптотическая полнота'134

Асимптотическая полнота для трёхчастичиого случая135

Магнитные поля . 144

Калибровочная инвариантность и существенный спектр . . . . 146

Оператор Шрёдингера с плотным точечным спектром150

Суперсимметрия (нульмерный случай)151

Теорема Ахаронова — Кашера о состояниях с нулевой энергией 156

Теорема Ивацуки.. . . . 161

Другие эффекты в магнитном поле163

Электрические поля 166

Двухчастичный эффект Штарка 167

Теорема, нужная для теории Мурра одномерного электрического поля . . 169

Пропагаторы для нестационарных электрических полей . . . . 172

Формализм Хоуленда и операторы Флоке . . . 179

Потенциалы и нестационарные задачи 182

Комплексный скейлинг ...185

Обзор теории «обыкновенного» комплексного скейлинга . . . . 186

Трансляционная аналитичность 191

Теории Мурра высших порядков192

8'4. Некоторые вычислительные аспекты теории комплексного скейлинга . . ; . 193

Комплексный скейлинги DC-эффектШтарка .. . .' . \ . .195

Комплексный скейлинги АС-эффектШтарка197

Некоторые дальнейшиерезультаты иобобщения199

Случайные матрицы Якоби 201

Основные определения и результаты 202

Плотность состояний 211

Показатель Ляпунова и теорема Исии — Пастура — Котани . . 216

Субгармоничность показателя Ляпунова и формула Таулеса . . 224

Точечный спектр в модели Андерсона . . .228

Почти-периодические матрицы Якоби . 241

Почти-периодические последовательности и некоторые общие результаты241

Почтн-матьё-уравнение и появление сингулярно-непрерывного

спектра244

Чисто точечныйспектр и мэрилендская модель248

Каиторовы множества и возвратный абсолютно непрерывный спектр258

Виттеново доказательство неравенств Морса265

Квазиклассический предел собственных чисел265

Неравенства Морса 272

Теория Ходжа . '275

■11.4. Деформированный лапласиан Виттеиа283

Доказательство теоремы 11.4. . . . 286

Доказательство Патоди теоремы Гаусса—Бонне — Черна и супер доказательства теорем об индексах291

Очень краткий курс римановой геометрии292

Формула Березина — Патоди302

Теорема Гаусса — Бонне — Черна: формулировка и стратегия доказательства . . . . 308

Лапласиан Бохнера и формула Вайценбёкка315

Эллиптическая регулярность . . . . . . 324

Исчисление канонических порядков .:......... 335

■ 12.7. Вырезание и наклеивание 349

Завершение доказательства теоремы Гаусса — Бонне — Черна 350

Формула Мелера352

Теорема об индексе для оператора Дирака (введение) . . . 367

Литература .'37!

Именной указатель . 391

Предметный указатель 396

Список обозначений 402

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!

Ваши замечания о содержании книги, её оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., 2, издательство «Мир». '

<Ф. Ф> = -^{(11 <Р + * II2 — II Ф — * II2) + i (II Ф + 1Ц> II2 — || ф — 1ф ||2)}.

— Прим, перев.'

1 Это иное определение было дано Л. А. Пастуром в [393] (см. также его обзор [269], а по поводу дискретного случая — работу [398]). Для так определённой интегрированной плотности состояний теорема 9.8 была доказана в [271]. Много фактического материала о свойствах этой величины можно найтн в книге [392]. — Прим, ред.

1 Упомянем также две работы А. Л. Фиготина [401; 402]. — Прим. ред.

TEXTS AND MONOGRAPHS IN PHYSICS

Series Editors-.

W. Beiglbock, J. L. Birman, R. Geroch, .

E. H. Lieb, T. Regge, W. Thirring