ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

Книга, русский перевод которой предлагается вниманию читателя, имеет историю, которую легко проследить. В 1953 г. в сегедских Acta Scientiarum Mathematicarum появилась статья известного венгерского ученого Б. Секефальви-Надя, в которой устанавливалась ныне широко известная теорема об унитарном растяжении (дилатации) оператора сжатия — результат, получивший вскоре продолжение в работах как самого автора, так и других исследователей. Начиная с 1958 г. в разработку теории сжатий активно включился выдающийся молодой румынский математик Ч. Фояш. С тех пор в сегедских Acta стали систематически появляться совместные статьи авторов настоящей книги Б. С.-Надя и Ч. Фояша под общим заголовком „О сжатиях в гильбертовом пространстве".

Эти исследования вылились в стройную теорию, уже успевшую занять важное место в современном функциональном анализе. Нам приятно отмстить, что указанная теория имеет многочисленные, а иногда и неожиданные переплетения с работами советских специалистов по теории операторов. Уже отправная теорема Б. С.-Надя первоначально была получена с использованием известной теоремы М. А. Наймарка об обобщенных спектральных функциях. В дальнейшем в работах авторов книги явственно проступили связи с теорией прогнозирования стационарных случайных процессов, а также с теоремой Бёрлинга об инвариантных подпространствах сдвига. В то время казалось, что эти работы далеки от советских исследований по спектральной теории операторов, отличных от нормальных, — исследований, в которых, в частности, уделялось большое внимание сжатиям.

В 1963—1964 гг. произошли события большой важности для теории операторов в гильбертовом пространстве. К этому времени Б. С.-Надем и Ч. Фояшем было разработано функциональное исчисление для сжимающих операторов и введено для определенного класса сжатий фундаментальное понятие минимальной функции. Необычайно эффектным и, как мы считаем, неожиданным был тот момент, когда на своем пути Б. С.-Надь и Ч, Фояш пришли к понятию характеристической функции сжатия — понятию, которое,возникнув (для операторов, „близких" к унитарным) в работах М. С. Лившица, уже в течение двух десятилетий играет

фундаментальную роль в исследованиях многих советских математиков. Одновременно авторами книги была получена для произвольного оператора сжатия принципиально новая функциональная модель, в которой уже фигурировала самым непосредственным образом характеристическая функция. Начиная с этого момента ясно обозначилось взаимовлияние исследований Б. С.-Надя — Ч. Фояша и советской школы теории операторов в гильбертовом пространстве. Это взаимовлияние, сопровождавшееся решением ряда трудных и важных вопросов, можно проследить на многих разделах теории (операторы, подобные унитарным; одноклеточные сжатия и диссипативные операторы; теоремы умножения характеристических функций; методы, связанные с минимальной функцией, и др.). Поэтому не случайны многочисленные ссылки в книге на работы советских математиков.

Другое важное событие того же периода (1963 г.) связано с успехом П. Лакса и Р. Филлипса в построении теории рассеяния акустических волн на препятствиях. Существенно, что в этой теории была предложена абстрактная схема задачи о рассеянии, позволяющая дать новую интерпретацию понятия S-матрицы. Таким образом, понятию, первоначально возникшему в квантовой теории рассеяния, была дана новая жизнь в классической математической физике. Вместе с тем оказалось, что эта схема Лакса — Филлипса представляет собой континуальный аналог той ситуации, которая сложилась в работах Б. С.-Надя и Ч. Фояша при изучении сжатий специального класса (класса Соо). В дальнейшем стало ясно, что характеристическую функцию сжатия всегда можно трактовать как S-матрицу соответствующим образом сформулированной задачи рассеяния.

В настоящее время мы являемся свидетелями возникновения в теории операторов в гильбертовом пространстве новой большой области с широким фронтом исследований, охватывающим теорию характеристических функций операторов различных классов, исчисление треугольных и мультипликативных интегралов, различные вопросы аффинной теории линейных операторов, ряд разделов теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой, различные аспекты теории рассеяния самосопряженных и несамосопряженных операторов и разнообразные выходы в классическую и квантовую физику, а также в конструктивную теорию функций. Этот фронт исследований вряд ли может быть представлен в рамках одной монографии, и в настоящее время стали появляться книги (Л. де Бранж [2], М. С. Бродский [91, И. Ц. Гохберг и М. Г. Крейн [4], [7*], П. Лакс и Р. Филлипс [2], М. С. Лившиц [4], Г. Хелсон [1]), в которых отражаются те или иные стороны указанной проблематики. В этой серии вы-

дающееся место занимает монография Б. С.-Надя и Ч. Фояша, подводящая итог их собственным исследованиям и примыкающим к ним. У нас нет уверенности, что название „Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве" полностью отражает содержание и цели этой книги, но оно вполне соответствует гармоничности изложения, чрезвычайной стройности развитой авторами теории и ее большой внутренней красоте.

Стоит отметить, что круг исследований, непосредственно охваченных книгой, расширен благодаря историческим комментариям и комментариям по существу, которыми сопровождается каждая глава.

Перевод книги осуществлялся в условиях тесного контакта с авторами. Благодаря этому был исправлен ряд мелких опечаток и погрешностей, а также внесены многочисленные дополнения, сближающие текст настоящего перевода с текстом готовящегося английского издания монографии.

Мы не сомневаемся, что выход в свет русского перевода этой великолепной книги доставит большое удовлетворение всем почитателям функционального анализа.

М. Г. Крейн

ПРЕДИСЛОВИЕ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ

За три года, прошедших с момента выхода первого (французского) издания настоящей книги, были достигнуты новые успехи во многих разделах теории. В процессе перевода книги на английский язык мы включили в нее новые результаты, а также исправили, усовершенствовали и дополнили многие части первого издания.

Отметим, в частности, следующие изменения.

Было известно (теорема 1.6.4), что любая коммутативная пара сжатий имеет (коммутативную) унитарную дилатацию, но оставался открытым вопрос, верно ли это для произвольного коммутативного семейства, состоящего более чем из двух сжатий. Пример, построенный Парротом и приведенный в п. 1.6.3, показывает, что ответ на этот вопрос отрицателен.

Доказано, что ' всякий оператор, обладающий унитарной р-дилатацией, подобен некоторому сжатию (§ II. 8).

Доказана общая теорема о дилатации коммутантов сжатий (§ И. 2); эта теорема применена к функциональной модели сжатия класса СОо (п. VI. 3.8).

Несколько расширено функциональное исчисление для сжатий, с тем чтобы включить в него некоторые функции, мероморфные в единичном круге (§ IV. 1). Это расширение осуществляется непосредственно и оказывается естественным и даже необходимым в свете некоторых недавних исследований операторов класса C9(N). (Кратко об этом говорится в п. 2 комментариев к главе IX.)

Приведено полученное И. Ц. Гохбергом и М. Г. Крейном важное соотношение между нормой оператора 0т (М "Л гДе 0т (X) — характеристическая функция сжатия Т, и нормой резольвенты Т (предложение VI. 4.2).

В п. V.4.5 подробно изучены факторизации одной сжимающей аналитической функции весьма простого вида. Это изучение оказывается полезным в ряде задач факторизации и, в частности, проясняет некоторые вопросы, возникающие в связи с теоремой VII. 6.2 (см. последний пункт комментариев к главе VII).

Имеются и другие места, претерпевшие более или менее значительные изменения. Мы воспользовались большим числом замечаний, сделанных нашими коллегами, в частности, Ю. Л. Шмульяном из Одессы, Р. Дж. Дугласом из Энн-Арбор и Ч. Дэвисом из Торонто, которые просмотрели части рукописи настоящего издания. Всем им мы приносим искреннюю благодарность. ■

С.-Н. и Ф.

Сегед и Бухарест май 1969

В теории операторов в гильбертовом пространстве уже давно были получены исчерпывающие результаты для случая самосопряженных, унитарных и нормальных операторов — случая хотя и частного, но играющего важнейшую роль в ряде разделов математики и теоретической физики.

Несмотря на то что к теории операторов, не являющихся нормальными, уже давно подступаются с разных сторон, она не достигла еще столь законченной.формы.

Наблюдающееся сейчас быстрое развитие этой теории тесно связано с работами ряда советских (М. Г. Крейн, М. С. Лившиц, М. С. Бродский и др.) и американских (Н. Винер, Г. Хелсон, Д. Лоуденслагер, П. Мазани и др.) математиков. Работы советской школы относятся в первую очередь к характеристическим функциям и получаемым с их помощью треугольным моделям операторов. Работы американской школы вызваны к жизни главным образом теорией прогнозирования стационарных случайных процессов. Наконец, имеется еще одно направление исследований, начало которому было положено теоремой об унитарной дилатации операторов сжатия в гильбертовом пространстве (С.-Надь, 1953 г.); оно развивается авторами настоящей монографии и другими авторами (М. Шрайбер, И. Гальперин, Г. Лангер, В. Млак и др.). Последний подход позволяет, в частности, построить эффективное функциональное исчисление для сжатий в гильбертовом пространстве. Кроме того, этот подход в известном смысле образует связующее звено между двумя другими подходами. Действительно, характеристические функции сжатий появляются совершенно естественно на нашем пути при „гармоническом анализе" (или „анализе Фурье“) их унитарных дилатаций, а этот анализ в свою очередь вызван к жизни теорией прогнозирования.

Цель настоящей монографии — дать подробное изложение той информации о сжатии Т, которую можно получить, исследуя его унитарную дилатацию, сведя тем самым изучение операторов общего вида к изучению унитарных операторов.

В главе I излагаются основы теории изометрических и унитарных дилатаций и даются различные методы их построения. В первую очередь речь идет о дилатациях дикретных полугрупп (7^} (/г = 0,1,...) или непрерывных полугрупп {T(s)} (O^s < оо)

с одной образующей, которые будут постоянно использоваться в последующем. Далее в главе I исследуются дилатации коммутативных дискретных полугрупп с несколькими образующими; в этом направлении получен ряд красивых и окончательных результатов, однако имеются еще трудные нерешенные проблемы. Эти результаты (§ 6 и 9) не являются необходимыми для изучения остального материала.

В главе II изучаются геометрические и спектральные свойства унитарной дилатации для сжатия Т (т. е. для дискретной полугруппы сжатий {Гп}). Вводится классификация сжатий в зависимости от асимптотического поведения степеней операторов Т и Г*. Вводятся также важные понятия квазиаффинитета и квазиподобия. В § 4 устанавливается существование богатого набора инвариантных подпространств у операторов некоторых классов; исследование этого вопроса возобновляется в главе VII с помощью более сильных методов.

В главах III и IV для сжатий Т строится функциональное исчисление, основанное на применении спектральной теории к унитарной дилатации оператора Т. Это исчисление имеет дело с классом ограниченных аналитических в единичном круге функций. Открытая А. Бёрлингом арифметика внутренних функций находит здесь важное применение в связи с „минимальными функциями" сжатий некоторого класса, названного нами Со. Внешние функции также играют особую роль в функциональном исчислении, а именно в связи с распространением этого исчисления на некоторые классы аналитических функций, неограниченных в единичном круге. В качестве важных приложений изучаются непрерывные полугруппы сжатий (как функции своих „когенераторов") и функции от аккретивных и диссипативных операторов, ограниченных либо неограниченных. Для исследования аккретивных и диссипативных операторов применяется преобразование Кэли.

Иллюстрацией применения изложенных методов к частной задаче, представляющей и самостоятельный интерес, служит определение и изучение дробных степеней аккретивных операторов.

Глава V не зависит от предыдущих. В ней излагаются понятия и общие результаты, относящиеся к аналитическим функциям с операторными значениями. Эти понятия и результаты (кроме изложенных в § 5 и 8) постоянно используются в остальной части книги. В частности, в этой главе идет речь о существовании разложений аналитических операторных функций на множители и о свойствах таких разложений (факторизаций). Фундаментальную роль в наших исследованиях играют две леммы (§ 3) о представлении Фурье гильбертова пространства и некою-

рых операторов в нем — представлении, порождаемом односторонним или двусторонним сдвигом в рассматриваемом пространстве. ,

Понятие характеристической функции оператора появляется в главе VI. Это операторнозначная аналитическая функция, соответствующая при представлении Фурье (§ 3 гл. V) некоторому ортогональному проектору в пространстве унитарной дилатации оператора Т. Отсюда немедленно получается функциональная модель (точнее, две дуальные модели) оператора Т. Эта модель позволяет изучать структуру сжатий и соотношения между спектром, минимальной функцией и характеристической функцией.

В главе VII доказывается существование взаимно однозначного соответствия между инвариантными подпространствами сжатия Т и некоторыми (названными „регулярными**) факторизациями характеристической функции этого сжатия. Наличие такого соответствия позволяет установить существование и спектральные свойства инвариантных подпространств для некоторых типов сжатий (именно, для сжатий класса Си) и тем самым усилить результаты, полученные более элементарными методами в главе II (§5). t

В главе VIII рассматриваются „слабые** сжатия, т. е. такие сжатия 7, спектр которых не покрывает единичного круга, причем оператор / — Т*Т имеет конечный след. Оказывается, что слабые сжатия обладают семейством инвариантных подпространств, дающим своего рода спектральное разложение, аналогичное спектральному разложению для унитарных операторов.

Глава IX посвящена различным приложениям методов, развитых в настоящей книге. В этой главе устанавливаются критерий того, что сжатие подобно унитарному оператору, соотношения квазиподобия для одноклеточных сжатий, а также критерии одноклеточности. Кроме того, показано, как все эти результаты переносятся (с помощью преобразования Кэли) на аккретивные или диссипативные операторы и на непрерывные полугруппы сжатий.

Каждая глава завершается комментариями, где приводятся дополнительные результаты, исторические справки и библиографические сведения.

Главы подразделяются на параграфы, а параграфы на пункты. Результаты формулируются как теоремы, предложения, леммы и следствия; их нумерация, равно как и нумерация пунктов и формул, сквозная внутри каждого параграфа. При ссылках „п. 2.3“ обозначает третий пункт, „(2.3)“—третью формулу, „теорема (соотв. предложение и т. д.) 2.3“— третью теорему (соотв. предложение) параграфа 2. При ссылках на результаты Других глав спереди добавляется соответствующая римская

цифра. Так, например, если речь идет о главе I, то мы пишем п. 1.2.3, (1.2.3), предложение 1.2.3 и т. п.

Предполагается, что читатель знаком с элементами теории гильбертовых пространств (а именно, со спектральной теорией унитарных, самосопряженных и нормальных операторов) *). Настоящую монографию можно фактически рассматривать как продолжение'„Лекций по функциональному анализу" Ф. Рисса и Б. С.-Надя (далее цитируемых как \Лекции\^ а также добавления к этим лекциям, написанного в 1955 г. Б. С.-Надем под названием „Продолжения операторов в гильбертовом пространстве с выходом из этого пространства" (см. Б. С.-Надь [П]). Кроме того, предполагается знакомство с основными результатами о классах Харди аналитических функций (в единичном круге или в полуплоскости); они изложены, например, в книге Гофмана [I]). '

Отметим, что главы V и VI нашей книги имеют точки соприкосновения с недавно вышедшей монографией Хелсона [1]. Однако по содержанию эти две книги имеют мало общего.

Мы благодарны нашему коллеге Иштвану Ковачу за замечания, сделанные в процессе чтения рукописи, а также издательству Венгерской Академии Наук и типографии г. Сегеда за заботу об оформлении книги.

С.-Н. и Ф.

Сегед и Бухарест

ГЛАВА I

СЖАТИЯ И ИХ ДИЛАТАЦИИ

Односторонние сдвиги. Разложение Вольда

В настоящей книге изучаются линейные отображения (или операторы) гильбертова пространства § (вещественного либо комплексного) в гильбертово пространство #'. Если % = %', то говорят об операторе в пространстве ф. Для линейного ограниченного оператора Г из ф в у сопряженный оператор Т* из %' в % определяется соотношением

(ТА, h% - (А, ГН% (А е £, А' е $'\-

Как известно, ЦТЦ = ||Т*||.

Линейный оператор V из $в§' называется изометрическим, или изометрией, если

(КАЬ КА2)ф, = (АЬ А2)6 для всех Аь А2е§.

Это означает, что

V*V = I.,

(Через I мы обозначаем тождественный оператор, указывая, если это нужно, в каком именно гильбертовом пространстве он действует.)

Пусть V — изометрия в %. Если некоторое подпространство 8 отображается оператором V на себя, то 8 приводит V. В самом деле, из равенства У8 = 8 вытекает, что V*8 = W8 = 8. Таким образом, 8 инвариантно относительно как V, так и V*, т. е. 8 приводит V.

Оператор У из § в §' называется унитарным, если V является изометрией и отображает § на £'. Для такого оператора V*V = /^ и V% = ^'. Из первого соотношения вытекает, что (УУ*)У = V (У*У) = V и, следовательно, VV*h' = h' для всякого А' вида А' = = У А (А е ф). Поскольку y§ = ft', то УУ*А' = А' для любого А' е ^. Поэтому УУ* = /«,. Обратно, из последнего соотношения вытекает, что V%=^\ Таким образом, унитарные операторы из § в §' характеризуются соотношениями

У*У = U, VV* = U,

VV '

т. е. соотношением

Пусть V — изометрия в %. Подпространство 8 пространства § назовем блуждающим относительно V, если Vр8 ± Vq4 для всех целых неотрицательных р и q, р 5^ q- В силу изометричности V для этого достаточно, чтобы

Уп8 ± 8 при п = 1,2, ...

Рассмотрим ортогональную сумму

' М+(2)=еУп2.о

Заметим, что

VM+ (8) = е V^ = М+ (8) © 8,1

откуда

-2 = М+(8)0 ИМ+(8).(1.1)

Изометрия V в пространстве § называется односторонним сдвигом, если в ф существует такое блуждающее относительно V подпространство 8, что Л1+(8)=§* Это подпространство, называемое порождающим, определяется оператором V однозначно; именно в силу (1.1) имеем 8 = §0У§. Размерность 8 назовем кратностью одностороннего сдвига V. Кратность определяет оператор V с точностью до унитарной эквивалентности. В самом деле, пусть V и V — односторонние сдвиги в пространствах § и §' соответственно, и пусть dim 8= dim 8', так что существует унитарный оператор <р, отображающий 8' на 8» Определим унитарное отображение Ф пространства ^ на % формулой

Ф 2 V'X = 2 Г Ш (1п е 8'; 2 II k IF < о»).

00о

Тогда ФУ' = УФ и, следовательно, У'= Ф-1УФ.

Для одностороннего сдвига У в Ф = М+(8) имеем У’У7 = У‘У У""1/ = У"-1/ (/ е 8; п> 1).

Поскольку 8=ЮШП, то (У7, й) = (ЛУЛ) = О (/е8, h^), т. е. У7 = 0 (/ е 8). Таким образом, если

h-^VX ^et, 2 и/я |р = и л IF), (1.2) оо

то

ул= 2ип+чя= 2 ^"4-!,(1.з)

01

V*h=i1Vn-4„=^lVnln+1.(1.3‘)

Iо

Из (1.3*) получаем V*kh = 2 1п+ь (^ = L 2, ...), откуда о

ОООООО

II V'k 1г II2 = s IIV" 1п+к II2 = s II /й+* IP = 2 II к II2 Ом=0п»0n^k

при h-*oo.’

Итак, для одностороннего сдвига V имеет место соотношение

Гк->0 (£->оо).(1.4)

Важность односторонних сдвигов видна из следующей теоремы.

Теорема 1.1 (разложение Во льда). Пусть V — изометрия в пространстве %. Тогда % разлагается в ортогональную сумму ^ — ^оФ*^!, г^е $о и §1 приводят V, часть V в ^ является унитарным оператором, а часть V в ^х — односторонним сдвигом. Это разложение единственно. Именно

Фо= Л V^> £1 = М+(8), где 2 = Ф©ГФ. (1-5) п=0

Разумеется, одно из подпространств ф0, ф] может отсутствовать, т. е. сводиться к {0}.

Доказательство. Подпространство 2 = ф © Уф является блуждающим для V. В самом деле, если n^ 1, то V"2 с У"ф с с V£ и Уф ± 2.

Положим ф, = М+ (2), ф0 = Ф© ФР Заметим, что А е ф0 тогда и только тогда, когда к ортогонально ко всем конечным сум- m'

мам фУ"2 (/п = 1,2, ...). Поскольку о

2фУ2ф...фУт-12 =

= (Ф© УФ)ф(Гф© у2ф)ф... ®(ym-^©y^)=

= Ф©УтФ,

то условие h е ф0 означает, что h^Vm% при всех /тг^О и, следовательно, ф0 удовлетворяет соотношению (1.5). Так как подпространства Утф (т = 0, 1, 2,...) образуют убывающую

последовательность, то Фо= Р)Г"ф. Отсюда вытекает, что

П=1

ОООООО

г Фо=г Л vn%=Л г+|$ = Л = ^о,^=qr^=oт,=»\

и, следовательно, Фо приводит V к унитарному оператору в §0; §! также приводит V, а именно к одностороннему сдвигу. Таким образом, подпространства (1.5) удовлетворяют требуемым условиям. ■

Остается доказать единственность. Пусть § = ^оФ^( —произвольное разложение, удовлетворяющее условиям теоремы, т. е. £>{ = Л1+(S'), где S' —некоторое блуждающее подпространство для V, а УФо = Фд. Нам надо показать, что §'= ф0, §'= = фь Но это сразу следует из соотношений

8 = § 0 V^ = (Фоф $i) 0 (У^оф УФ1) = (^оф^,) © №офУ^) == §i © У = 8'.

Двусторонние сдвиги

Пусть U — унитарный оператор в §. Если 8 — блуждающее подпространство для U, то с учетом изометричности оператора U-1 имеем

ирй ± ич

для всех целых р, q, р #= q. Образуем ортогональную сумму

М(8)= Ф ипй.

Очевидно, что М (8) приводит U.

В противоположность тому, что мы имели для М+ (8), ортогональная сумма М (8) не определяет однозначно подпространства 8 (например, М (8) = М (JJ (8)). Однако размерность 8 определяется по М (8) однозначно. Это вытекает из следующего предложения..

Предложение 2.1. Пусть 8' и й" — блуждающие подпространства для унитарного оператора U в % и

.М(8'):э.М(8").(2.1)

Тогда

dim 8'^ dim 8".(2.2)

Если dim 8'<оо, то равенство в (2.2) влечет равенство в (2.1).

Доказательство. Поскольку dimМ(S') = N0dim8' и dimM(8") = К 0 dim 8", то из (2.1) вытекает, что

KodimS'^ K0dim8".(2.3)

Если dim 8'^ Ко, то левая часть равенства (2.3) равна dim 8', правая же всегда ^ dim 8", так что неравенство (2.2) справед-

диво. Остается рассмотреть случай, когда dim 2' <оо. Выберем в 2' и 2" ортонормированные базисы

[е;: пей'} и (е": /пей"}.(2.4)

Заметим, что множества

пей'; 6 = 0, ±1, ...} и

^U^: meQ"; 6 = 0, ±1, ...}

служат ортонормированными базисами в М (2') и М (2") соответственно. Применяя неравенство Бесселя и равенство Парсе- валя, получаем

dime'-SK|=>SS |«, «'Ol’-

пп tn, к

-2^(и-Ч.<)Г-2КГ-а^

Для того чтобы здесь имело место равенство, необходимо и достаточно, чтобы е' е М (2") для всех п е й', т. е. чтобы 2' с М (2"), М (2') с М (2") и, следовательно, в силу (2.1) М (2') = М (2").

Оператор U в пространстве § называется двусторонним сдвигом, если он унитарен, и в $ существует такое подпространство 2, блуждающее относительно U, что М (2) = §. Подпространство 2 называется при этом порождающим:, a dim 2 — кратностью двустороннего сдвига U. ' '

Двусторонний сдвиг определяется своей кратностью с точностью до унитарной эквивалентности. Доказательство аналогично соответствующему доказательству для односторонних сдвигов.

Отметим одно очевидное свойство двусторонних сдвигов, а именно что они не имеют никаких собственных значений. В самом деле, всякий элемент 6е^ = М(2) может быть записан в виде

h = ^Unln, где /„е2 и || h ||2 = 5 || Unln ||2 = 5 If Z„ II2, (2.5) — ОО—со—ОО

откудаоткудаUh=^Un^ln = ^Unln_vUh=^Un^ln = ^Unln_v(2,6)(2,6)

откуда

откуда

Uh=^Un^ln = ^Unln_v

Uh=^Un^ln = ^Unln_v

(2,6)

(2,6)

Сравнивая компоненты из Un^) в обеих частях равенства Uh=Xh, находим, что 1п_х = Мп при всех п. Поэтому ряд SlUnll2 сходится лишь тогда, когда /п = 0 для всех п. Таким образом, Л = 0.

Предложение 2.2. Всякий односторонний сдвиг V в % может быть продолжен до двустороннего сдвига U той же кратности в некотором пространстве, содержащем % как подпространство.

Доказательство. Пусть ^=®Упй, где 8 —блуждаю- о

щее подпространство для У. Образуем Пространство L, элементами которого являются векторы

.1 = {игю, где /„ей и ||l||2=il|/„ll2<oo.

Заметим, что равенство

им = W

определяет двусторонний сдвиг в L, порождающее подпространство которого состоит из векторов {/„}, для которых /п = О при п V= 0, а /0 произвольно. Размерность этого подпространства равна, очевидно, размерности 8.

Вложим § в L, отождествив элемент

A = 2W$ (/„ей; 2l|/„ll2 = SllV"/„ II2 = IIМ2)о\оо/

с элементом {/„} L, для которого•

In™ In (^ ^ 0), In™ 0(п<Ь).

Такое отождествление законно, поскольку оно сохраняет линейную структуру и метрику в §. При этом элемент Vh = = 2 VnJ^ln = ^Vnln_x из § отождествляется с элементом о1

{/„-i] = U {in) из L. Отсюда следует, что U является продолжением У. Предложение доказано. '

Заметим, что при указанных отождествлениях справедливо равенство L = ф С7П8.

Предложение 2.3. Всякая изометрия V в пространстве % может быть продолжена до унитарного оператора в некотором пространстве Я? Я зэ $,

Доказательство. Возьмем разложение Вольда для V и продолжим часть Vx оператора V, представляющую собой односторонний сдвиг, до двустороннего сдвига С^ (предложение 2.2). Образуем затем ортогональную сумму ^7 = У0®^н где Уо — унитарная часть V. Оператор U является унитарным продолжением V.

Сжатия. Инвариантные векторыи каноническое разложение

Линейное отображение Т гильбертова пространства % в гильбертово пространство §' называется сжатием (из ф в §'). если

II 7’А||ф,<|| АИФ для всех he %, (3.1)

е. ||Т||<1. Поскольку || Г || = || Г* ||, то Т* также является сжатием, но уже из ^ в у. Из (3.1) следует, что (T*Th, h)^. <(/г, /г) для любого As§. Из аналогичного неравенства для Т* вытекает, что (TT*hr, h')^(h', h') при всех h' е %'. Таким образом, для произвольного сжатия Т из % в %' выполняются условия PT^I^,, ТТ*^1§'. Поэтому Можно рассмотреть операторы

Пг = ^-ГГ)2, От* = Уу-ТП2.(3.2)

являющиеся самосопряженными операторами в § и ^ соответственно, причем 0<.Dr^I§, О ^Dr*^Iy. Имеем TDt — = Т U% - 7'*?') = Т- ТТ*Т = (/у - ГТ*) Т = Dt«T, откуда по индукции получаем

Т (Dr)” = №Т Г (я = 0, 1, 2, ...).

Следовательно,\

Тр№тН№,(3.3)

для любого многочлена р^ = а0 + ахХ + ... + апКп. Выберем последовательность многочленов рт^К\ равномерно сходящуюся

на интервале O^X^l к функции X2. Для всякого самосопряженного оператора А с гранями 0 и 1 последовательность рт(А)

сходится к Л2 по норме. (Это простое следствие спектрального представления Л.) Применяя (3.3) к указанным многочленам и переходя к пределу при т->оо, получаем

(3.4)(3.4)Г Dr = Dr*T»

(3.4)

(3.4)

Это соотношение, а также соотношение

ВТГ = ГВТ*,(3.4*)

получаемое из него переходом к сопряженным операторам, будут часто использоваться в дальнейшем.

Заметим еще, что

|| Dth ||2 = Ш, h) = (h - T*Th, h) = || h ||2 -1| Th ||2.(3.5)

Отсюда следует, что множество тех Л s §, для которых II Th || = || h ||, совпадает с множеством 9Хвт тех Л, для которых DTh = 0; очевидно, что 91Dt является подпространством в §.

Будем называть операторы Вт и Вт* дефектными операторами, пространства

• ^т == Вт^ = 91dt и ®т* = Вт*^' = 91dt*'

— дефектными пространствами, а кардинальные числа

Ьг = dim Фт и Ьр* = dim Фт*

— дефектными 'Числами сжатия Т.

Заметим, что условие Ь7 = 0 характеризует изометрические, а условия Ьг = Ьт» = 0— унитарные операторы. Таким образом, дефектные числа являются в некотором смысле мерой отклонения сжатия Т от унитарности.

Из (3.4) и (3.4*) следуют включения

ТТ)т cz Т)т* и Т*Т)т* cz Т)т«(3.6)

Точнее, имеют место соотношения

х ®т* = Т®т®^т*, где 9lT* = ^: hf^^, Fh' = 0Y (3.7)

Фт^Г^т*®^, где 91т = {А: Аеф, Th = OY (3.7*)

В силу симметрии достаточно доказать (3.7). Заметим сначала, что из условия h'е91т* вытекает, что F = h' — IFF = = Фт*^, откуда 91т* cz ВН?' ^Фт*. С другой стороны, 91т* ортогонально к ТТ)т, поскольку (TBTh, h') = (BTh, Fh')=§ дл~я всех Не^ к'^91т*. Далее, из условий ge^T*, g -L Т$)т вытекает, что ■

F g s F^t* cz ®г> F g ± ®r*

и, значит, Fg=0, g^9^T** Отсюда и следует справедливость (3.7).

В дальнейшем мы будем рассматривать случай $'= $, т. е. будем изучать сжатия в пространстве §.

Одно простое свойство сжатий выражается следующим предложением.

Предложение 3.1. Сжатия Т и Т имеют одни и те же инвариантные векторы, т. В. Th=h тогда и только тогда, когда Th=h. •

Доказательство. Если Th= h, то (ft, Th} = (Гh, h) = = (ft, ft) = || ft II2, откуда

ц a _ T*h ||2 = || ft |p - 2 Re (ft, Г ft) +1| Г ft IP =

= || ft |p~ 21| ft |p + || Th IP = -||ft|p + ||Fft|p<0.

Этим доказано, что Th = ft. Обратное следует из равноправия Т и Т.

Среди сжатий в гильбертовом пространстве есть два важных противостоящих друг другу класса: класс унитарных операторов и класс вполне неунитарных сжатий. Сжатие Г в § называется вполне неунитарным 0, если оно не является унитарным ни в §, ни в каком-либо его подпространстве (приводящем оператор Г), отличном от {0}.

Строение унитарных операторов хорошо известно. Для этих операторов имеются спектральная теория и эффективное функциональное исчисление. По этому поводу мы отсылаем читателя к \Лекциям\.

Что касается вполне неунитарных сжатий, то одной из главных задач настоящей книги является построение для таких операторов теории, соответствующей в некотором смысле спектральной теории и функциональному исчислению для унитарных операторов. В основе этой теории лежит одно простое предложение (теорема 4.2) об унитарных дилатациях операторов сжатия.

Напомним, что двусторонние сдвиги являются унитарными операторами. Односторонние сдвиги, напротив, вполне неунитарны. В самом деле, если односторонний сдвиг V в § индуцирует на некотором приводящем подпространстве %йа^ (§0=#{0}) унитарный оператор Vo = V | Фо> т0 Для всякого he%0 будем иметь || V^ftH—|| ft ||. В то же время, согласно (1.4), V*nh->0 — противоречие.

Весьма важен тот факт, что каждое сжатие разлагается в ортогональную сумму унитарного и вполне неунитарного сжатий. Благодаря этому изучение сжатия общего вида может быть сведено к изучению сжатий этих двух частных видов.

Теорема 3.2. Каждому сжатию Т 8 % соответствует разложение § в ортогональную сумму § = $0®§ь г^е ^о и %\~ подпространства, приводящие Т и такие, что часть Т в ^ унитарна.

а часть Т в %х вполне неунитарна. (Разумеется, одно из подпространств ф0 или ф] может сводиться к {0}.) Это разложение eduHCTeeHHQ. Именно ф0 состоит из тех элементов h^%, для которых'

||ГА|Н|А|| = ||Г"А||(п=1, 2, ...).

При этом То = Т | Фо называется унитарной частью оператора Т; ТХ = Т\^Х — его вполне неунитарной частью. Разложение Т = TQфТj называется каноническим разложением Т. В частности, если Т — изометрия, то каноническое разложение Т совпадает с разложением Вольда. *

Доказательство. Введем обозначения

Г(га) = Т" (п>1), Т(0) = /, 7’(га) = Г1"1 (п<-1).(3.8)

Поскольку. Т (га) является сжатием в Ф, то при каждом фиксированном целом га. множество тех'Аеф, для которых || Т (п) h || = \\h ||, совпадает с подпространством 91 дг (п) тех h, для которых DT ^h = 0. Следовательно, множество

^o=\h- || Г (га) А || = || А || (га = 0, ± 1, ...)}

совпадает с Q ^dt^ и> значит, является подпространством п = — ОО-

в ф. Далее, Т и Г отображают ф0 в себя. В самом деле, если А е ф0, то■

ТптЦ = ||ГП+1А| = || АII = || Th II(п = 0, 1, ...),

||7'$"та|| = ||гп-1Г7'А|| = ||г"",а|| = ||А|| = цта|| («=1, 2, ...). Мы воспользовались здесь тем, что Т*ТА = А в силу равенства || Th || = || А ||. Итак, ГАеФо. Аналогично доказывается, что НАе^д. Следовательно, Фо приводит Т. Если 7’0 = 7'|Ф0, то Tq = Т* |ф0, откуда

TqTq = Т*Т | Фо = /&. ТоТ*о = ТТ* | Фо = U»-

Поэтому оператор То унитарен.•

Подпространство Ф1 = Ф0ФО также приводит Т. Оператор ТХ = Т\^>1 вполне неунитарен. В самом деле, предположив противное, мы получили бы, что на некотором приводящем подпространстве ф2, {0} =/= ф2 с Фь оператор Т|Ф2 унитарен и, следовательно, || Г (га) А || = || А || для всех Аеф2 и га = 0, ±1, ..., так что ф2 с: Фо — противоречие.

Остается доказать единственность разложения. Пусть § = = $0 ©^ — произвольное разложение §, удовлетворяющее указанным в условии теоремы требованиям. Так как оператор Т\^'о унитарен, то || Г (/г) М = II М Для всякого Ле§' ^п = 0, ±1, ...) и, следовательно, §'cz§0. Поскольку §0 и §' приводят Т к унитарным операторам, то унитарным будет и Г|^о©^о- Очевидно, что £0© &о с §© #о $г Так как оператор Т\^х вполне неунитарен, то £>0 © £>'= {0}, ^о = ^о.

В силу сказанного выше последнее утверждение теоремы очевидно. Теорема доказана.

4. Изометрические и унитарные дилатацииоператора сжатия

Для ограниченных операторов Д в 21 и В в 23 будем писать

А = пр В,

если 1) 21 с 23, 2) (Да, а') = (Ва, а') для всех а, а'е21. Условие 2) эквивалентно тому, что

Да = Р^Ва для всех а е 21,

где через Р% обозначен ортопроектор из 23 на 21.

Приведем некоторые очевидные свойства введенного отношения.

■ а) Если ДсВ, то Д = пр В. ■

Если Д = прВ, В = прС, то Д = прС.

Если Д = пр В, то Д* = пр В*.

Если Д = прВ, Д'= пр В' (Д и А' действуют в 21, В и В' —в 23), то сА + с'А' = пр (сВ + с'В') для любых скаляров с и с'.

Если Д = прВ, Д'= пр В', то Дф Д'= пр (ВфВ').

) Если Ап = пр Вп ,(Д„ в 21, Вп в 23, п = 1, 2, ...) и Вп-* В, Вп->В или Вп =^В, то Д„ сходится к Д в том же смысле (т. е. слабо, сильно или по норме) и Д = прВ.

Введем следующее

Определение. Пусть А и В —линейные ограниченные операторы в пространствах 21 и 23 соответственно. Оператор В будем называть дилатацией1) оператора А, если

Д" = пр В" для n = 1, 2, ....

Две дилатации В и В' оператора А, действующие в пространствах 23 и 23' соответственно, называются изоморфными,

если существует унитарное отображение ф пространства 8' на 8, таКое, что

фа = а для всех ае21,

В' = ф-1Вф.

Нашим первым результатом о дилатациях будет следующая

Теорема 4.1. Всякое сжатие Т в гильбертовом пространстве % обладает изометрической дилатацией V в пространство Я+, содержащее ^ как подпространство? Эта дилатация является минимальной в том смысле, что

^-VVn^.(4.1)

о

Минимальная изометрическая дилатация оператора Т определена с точностью до изоморфизма. Пространство % инвариантно относительно V и

TP^«P^V, Г = Г|^,(4.2)

где Р + — ортопроектор из St+ на ^.

Доказательство. Образуем гильбертово пространство

-н+=й

о

с элементами

h = {A0, Аь ...}, где hne^, II h IP = S|l А„ 1Р< со. о

Вложим § в Н+, отождествив каждый элемент he % с элементом (А, 0, 0, .. .}еН+. Это вложение линейно и изомет- рично. Таким образом, % является подпространством Н+. Заметим, что'

^{Ао, A,, .. .} = {Aq, 0, 0, .. .} = А0.

Определим в Н+ оператор V равенством ■

V {Ао, А„ ...}-{ТА0, ОтН», Аь ...},

где DT = U-ny. Так как || Th If + || DT A IP -1| К ||2 для любого he &, то

ИУ{А0, Аь ...} |р = || Th. |р + |ЩГАО If + II A, If +

= 1|Л01Р + ШР +”11{А0, А„ ...}1Р.

Поскольку оператор V линеен, то он является изометрией в Н + . По индукции

V"^ hx,.. .}= (ТХ DTTn-xh., DTTn-40l ..., DA, hb h2, ...}

при n = l, 2, ..., откуда для всех he§

P^nh = P%V4h, 0, 0, ..?} =

= P%\lnh, DTTn-xh, .... DA 0, ...} =

= VTnh, 0, 0, ..A = Tnh.

Таким образом, V — изометрическая дилатация оператора Г.

Вообще говоря, V не является минимальной. Но всякая изометрическая дилатация Vo оператора Т в некоторое пространство Я0=>Ф, очевидно, содержит минимальную изометрическую дилатацию V в том смысле, что V является сужением Уо на подпространство

я+ = v №о

инвариантное относительно Уо-

Пусть V — минимальная изометрическая дилатация оператора Т в пространстве Я+. Из определения дилатации следует, что при йеф и n = 0, 1, ...

TP^h - TTnh = Tn+Xh = P+V"+lh = P+VVnh.

С учетом (4.1) отсюда вытекает первое из равенств (4.2). Для доказательства второго заметим, что при he.^, &еЯ+

(.Th, k)=\T*h, РА = ^ TP+k) = (h, P+Vk) = (h, VkAkVh, к),

откуда T*h = V*h. В частности, V*^c:^>.

Нам остается лишь показать, что всякие две минимальные изометрические дилатации оператора Т изоморфны.

Заметим сперва, что для любой изометрической дилатации V оператора Т и для произвольных к, к'г^ справедливы соотношения

(У"к, Vmh^ =(У"к, Vmh^ =(V" тк, к'^ = (Г" mk, к'^ при га ^ m ^ 0,^k, Vm~nk') = ^k, Tm~nh') при m ^ га ^ 0.

(У"к, Vmh^ =

(У"к, Vmh^ =

Следовательно, ^Vnh, Vmh') не зависит от выбора V. Поэтому скалярное произведение конечных сумм

Svxп—0Svxп—0N'

Svx

п—0

Svx

п—0

И 2 V hm ^hn, hm G §) m-о

зависит только от векторов Нп, Нт» но не от выбора V. Если Ei и 72 —две изометрические дилатации оператора Г в пространствах Я\ и й2 соответственно, то равенство

4^V£M = 2№„ (N = 0, 1, hne^ (4.4) \ о / о

определяет изометрическое (и, значит, однозначное и линейное) отображение множества 82 элементов вида 2 ^2Нп на множе- о

'N

ство Й! элементов вида S V^hn. 'о

Если дилатации 1^ и Е2 минимальны, т. е.

Ri = VV^ (/=1, 2), . о

то Я/ = 8/ (/=1, 2) и, .следовательно, ф продолжается по непрерывности до унитарного отображения Й2 на Йь Имеем фй = ф(Е2й) = V°\h = h (h^^) и ф (V2^) = Vt (ф^), сначала для элементов 6е^2, а затем по непрерывности для всех &^Я2- Таким образом, Е2 = ф“171ф, т. ,е. V^ и V2 изоморфны.

Теорема 4.1 доказана.

Докажем теперь теорему, играющую основополагающую роль в дальнейших исследованиях.

Теорема 4.2. Всякое сжатие Т в гильбертовом пространстве § обладает унитарной дилатацией U в пространстве Я, содержащей % как подпространство, и притом минимальной в том смысле, что

S^VO.(4.5)

Эта минимальная унитарная дилатация определяется с точностью до изоморфизма.

Доказательство. Возьмем некоторую изометрическую дилатацию оператора Т и продолжим ее до унитарного оператора, что возможно в силу предложения 2.3. Мы получим •некоторую унитарную дилатацию нашего Т, вообще говоря, не минимальную. Но всякая унитарная дилатация Uo оператора Т содержит минимальную. Таковой является сужение оператора UQ на подпространство

Я = V О,

приводящее UQ.

Если теперь U — какая-либо унитарная дилатация Т» то для произвольных h» hf^% имеем

(m, n — произвольные целые числа, не обязательно положительные). Используя (4.6), можно доказать, что две минимальные унитарные дилатации оператора Т изоморфны, точно так же как мы это делали в случае изометрических дилатаций, допуская, однако, на этот раз в рассматриваемых конечных суммах отрицательные значения для показателей тип.

Теорема доказана.

Отметим некоторые очевидные факты. Обозначая через UT минимальную унитарную дилатацию оператора Г, имеем

(4.7)(4.8)(4.9)(4.7)(4.8)(4.9)Ur = ^UTY»

(4.7)

(4.8)

(4.9)

(4.7)

(4.8)

(4.9)

UT = Ur ® Ur» если Т - Г ® Т"»UT = T» если Т унитарен.

Следовательно, если Г = То® Г] — каноническое разложение Г на унитарную и вполне неунитарную части соответственно, то Ut = T0©UT1.

Пусть Т — сжатие в ф. Тогда сжатием будет и

Т^^Т-аПи-аТГ1 (|а|<1).Т^^Т-аПи-аТГ1 (|а|<1).(4.Ю)(4.Ю)

Т^^Т-аПи-аТГ1 (|а|<1).

Т^^Т-аПи-аТГ1 (|а|<1).

(4.Ю)

(4.Ю)

В самом деле, для любого hе£ имеем, полагая g = (7 — аТ) 1 h,

||A|P-||T;/i|F = ||(7-aT)g|p-||(T-a7)Sr|p =-

'HlHal2)(HF-|lW)>0.

Отсюда, в частности, следует, что если Т изометрия, то изометрией является и То. Поскольку (ТОУ = (Т*)а, то изометрич- ность Т* влечет изометричность (ТОУ. Следовательно, если Т — унитарен, то и То — унитарен.

Предложение 4.3. Пусть Т — сжатие в $ и | а | < 1. Если V — изометрическая дилатация Т, то Va — изометрическая дилатация То; при этом если V минимальна, то минимальна и V^ Аналогично, если U — унитарная дилатация Т, то Ua — унитарная дилатация Та и если U минимальна, то Ua минимальна.

Доказательство. Рассмотрим тэйлоровы разложения

(i^~Д) ”^cv(«;«)(» = о, 1, 2, .V—О

Поскольку радиус сходимости больше 1, то Si cv{a\ п) |< оо.

V

Отсюда следует, что операторный ряд

Scv(a;n)rv (n = 0, 1, 2, ...), v=0

сходится по норме и его сумма равна Та- [Соответствие ScvXv~> о

”^^с^ для случая 3kvl<°o, а также аналогичное соот- 0v

ветствие для аналитических функций более общего вида, будут подробно изучены в гл. III и IV („функциональное исчисле- ние“).] Поскольку также имеет место равенство

^c^a;nW^Vna»(4.11)

v=0

то4"

Та = S с» (a; n) 7V = 2 cv (а; п) пр Vv = v=0v=0

•= пр 2 cv(а; n)Vv = пр Va (n = 0, 1, ...),

v-0

и, следовательно, Va является изометрической дилатацией Та.

Из (4.11) вытекает, что

УИ^сУ^.(4.12)

п=0п=0

Поскольку (Та')_а = Т, (Va)_a = V, то, заменяя в (4.12) V на Va и а на —а, получаем_

_П = 0№0 LJ П-0

и, следовательно, *

V Va^- v vn%.(4.13)

rt-on-0

Эти соотношения выполняются, в частности, для унитарной дилатании U оператора Т, а также для унитарной дилатации U =U"' оператора Г*. Поскольку U*a = (.U*^a, то, заменив в (4.13) V и а на U* и а соответственно, получим

v ст= v \ma\n^= v u*ns. п»0п=0п=0

Следовательно, в этом случае

V О = V Un^, V и;п% = V IT^, (4.14) п=0п=0п=0п=0

т. е.,

. .VU^=VUn^(4.15)

Из (4.13) и (4.15) и вытекают утверждения теоремы, касающиеся минимальности изометрических и унитарных дилатаций.

Матричное построение унитарныхдилатаций

Унитарную дилатацию сжатия Т в гильбертовом пространстве у Можно построить непосредственно, пользуясь матричным методом.

Рассмотрим пространство Н = ф § элементов

h = {A/}”oo, где hj^% и ||h|p= Sl|A/IP< °°.

Вложим § в Н, отождествив /ie§c вектором h = {A/}, для которого hQ=h, ht = 0 (f^O); § является подпространством в Н, и ортопроектор на % дается формулой

РНМ = А0.'(5.1)

Линейные ограниченные отображения S в Н могут быть представлены матрицами (Sf/) (—оо </,/< оо), элементы 8ц которых являются линейными ограниченными операторами в %. Именно S(AJ = {A^}, где А; = 2 S^hj. При этом суммам, про- 1—»-

изведениям и сопряженным (операторам) отвечают суммы, произведения и сопряженные (матрицы); по определению

(5//) -=($//)■'

Важно заметить, что в силу (5.1) для каждого he§ имеет место равенство

P^Sh = Р^ {S^h} = S^h.■

Имея это в виду, рассмотрим матрицу (C7Zy) с элементами .Uoo — T) Uox^Dt*, U~\,o==Dt)

U~x,— Г» Uian^U (t^O,-1),

Ui%i = O для всех прочих ц j. Таким образом, матрица (С7^) имеет вид

(в прямоугольную рамку заключен элемент С7Оо)- Невыписанныеэлементы, лежащие на первой наддиагональной прямой, равны1 = 1^ все остальные невыписанные элементы равны О. Полагаяh'i-’SiUnh, (/ —0, ±1, ±2),

т. е.

h'-i = DTho-T*h, h'o = Tho + DT*h, h't= ht+i (i=£0,-1), (5.3)

можно доказать с помощью элементарных подсчетов, основан ных на соотношениях (3.4), (3.4*) и (3.5), что

|| DrAo - Г hi IP +1| ТЫ + DT.hx IP = || Ы IP +1| hi IP,

и, следовательно, 21 A/|p = 5 II hi |p. Таким образом, наша матрица порождает изометрический оператор U в Н. Более того, этот оператор унитарен, поскольку система уравнений (5.3) имеет решение (AjeH для любого вектора (лЦ ее Н, а именно

Ao = Drh~i + Т ho, h\— — Th—i + D^ho, hi =* hi—\ (Z N® 0, 1) (5.4) (это легко проверяется с помощью (3.4) и (3.4*)). .

Матрица ([/(/) является наддиагональной, т. е. Uti = 0 при i>j. Произведение двух наддиагональных матриц (Л(/) и (Bz/) также является наддиагональной матрицей (С;/), причем Си = = АцВи. Отсюда следует, что (О, 0)-элемент матрицы U" (n^ 1) равен Тп, т. е. T" = npU" (n^ 1), и U является унитарной дилатацией Т.

Вообще говоря, полученная выше унитарная дил'атация не является минимальной. Для того чтобы получить минимальную унитарную дилатацию, рассмотрим вместо пространства Н=®§ его подпространство К, состоящее из тех векторов {й„}еН, для которых

hnG^ (»< — 1), ^е^, hn^^r' (п>1).

Очевидно, что $ с К cz Н.

Покажем, что подпространство К инвариантно ■ относительно U. На основании (5.3) достаточно показать, что

DTh0 — T‘hx е ^т при Ло е ф, hi е ©г*,

а это является непосредственным следствием включений Dr^>cz©r, Т’^т* с ©г (см. (3.6)).

Далее, U отображает К на К. В силу (5.4) достаточно доказать, что — Th'-i + Dr-h^e ©г* при hoe§>, h'-i^®T, а это вытекает из включений Dt*^ ^т*, Т'&т с ©т* (см. (3.6)).

Оператор Uo = U | К является унитарной дилатацией Т. Более того, эта дилатация минимальна. Для того чтобы доказать минимальность, вычислим сначала U"h и Uo"A”Uo""A для Ае§, п=1, 2, .... Используя формулы (5.3) (для Uo) и (5.4) (для Uo"1), получаем по индукции

UqA = {..., О, Drh, DTTh, ...» DTTn~Yh, | Г"А|, 0, ...}, Uo""A = {..., О, 1^1, DT*T*n-vh, ..., DrTh, DT*h, 0, ...} (я=1, 2, ...; компоненты записаны в порядке возрастания номеров, в прямоугольник заключены компоненты с номером 0), Из последних формул следует, что

Uoh-Uo~lTh = (..., О, D^h, 0, ..., [б],

и0"""/г-и0"""+,Г/1= {..., 101О, Drh, 0, ...)(д>1).

Эти формулы показывают, что подпространство, натянутое на Uo£> (— оо<п<оо), содержит все векторы {Ап)еК, у которых все компоненты, за исключением одной, равны нулю, а эта единственная (имеющая, скажем, номер га) является произвольным вектором из РГФ, $ или Dt*% в зависимости от того, и<0, и = 0 или и>0. Поскольку векторы указанного вида порождают пространство К, то

K = V№,

т. е. унитарная дилатация Uo оператора Т является минимальной.

В качестве элементарного примера рассмотрим оператор Т — а!^, где |а|<1. Его минимальная унитарная дилатация задается матрицей •

I

I2(1—|а|2)2/— а!

Q (1-|а|2)Ъ//

действующей в пространстве

... ФФФ^Ф^Ф^© ....

Хотя унитарная дилатация U = Ur, построенная в п. 1, вообще говоря, не минимальна, она имеет то преимущество, что действует в пространстве, которое определяется лишь пространством фи не зависит от выбора Т. Поскольку матрицы (1/г; о) наддиагональны, то для любых сжатий Tt (Z=l, ..., г) в § (не обязательно различных) имеем

(Ur. -..UrA.-(UrJ„...(Ur^-7, ...^

откуда

?! ... T^npUr, ... Urr,

а также

т? ... г"г=пРи?;... и?; (^>0). (5.5)

Однако это свойство операторов Ur имеет весьма ограничен- ную ценность, поскольку равенство Urn = (Ur)rt в общем случае несправедливо. Даже если Тх перестановочно с Ta, Ur, может не быть перестановочно с Ur2.

В связи с этим возникает проблема изучения коммутативных семейств сжатий и нахождения соответствующих коммутативных семейств унитарных операторов, для которых справедливы равенства (5.5). Мы рассмотрим эту проблему сперва в § 6, а затем снова вернемся к ней в § 9.

Коммутативные семейства изометрийи сжатий

Обобщим понятие дилатации на семейства операторов.

Пусть <s^ = {Xw}weQ —коммутативное семейство ограниченных операторов в пространстве §. Семейство ^^{ВД^д ограниченных операторов в пространстве Я назовем дилатацией семейства если:

Я=> 5,

семейство ^ коммутативно,

для любой конечной системы индексов ©z s Q

Л^ ... Л^^прВ^ ... Btorr (п^О; Z= 1, 2, ..г).

Дилатацию ^ назовем изометрической, унитарной и т. д., если она состоит из операторов В^ того же типа.

Теоремы 4.1 и 4.2 порождают проблему — всякое ли коммутативное семейство сжатий допускает изометрическую или унитарную дилатацию. В настоящем параграфе мы дадим положительный ответ на этот вопрос для случая двух перестановочных сжатий, а позже, в § 9, рассмотрим семейства, состоящие более чем из двух сжатий, но удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям. Для более чем двух перестановочных сжатий проблема в общем случае пока не решена.

Теорема 6.1. Всякая коммутативная пара 9" = ^ТХ) Г2} сжатий в гильбертовом пространстве § обладает изометрической дилатацией.

Доказательство. Как и при доказательстве теоремы

положим Н+ = ф§ и тем же способом вложим § в Н+. • о

Определим в Н+ операторы Wi и W2 формулами

W^, hb Н^.. .\=\TtH^ DTih0, 0, hb h2, ...) (z=l, 2). (6.1)

Эти операторы изометричны, поскольку || Т^о II2 + ЦОг^оЦ2 = = || h01|2, но, вообще говоря, не перестановочны.

Обозначим через ® пространство ФФФФФФФ. Произведя естественное отождествление

{Ло, hb h2, .. .} = {Ло, {Л,, h2, A3, h^, {h^, h^ Л7, h^, ...}, получим

Н+ = §ф®ф®ф... .

Пусть G — некоторый унитарный оператор в ®, какой именно, мы уточним позже. Обозначим через G оператор, порождаемый в Н+ оператором G по формуле

G {й0, йь ...} = {Ло, G {hb ..., h4\ G {/z5, ..., Л8), ...}. (6.2)

Оператор G унитарен, и обратный к нему дается формулой

G-'t^o. hb ,.A=KG-4hb ...,h^ G"4h5h^ ...}. (6.3)

Положим

V, = GWb V2 = W2G-*.(6.4)

Операторы V, и V2 являются изометриями в Н+. Подберем G так, чтобы Vj и V2 коммутировали. Для этого вычислим ViV2 и V2V,. Применяя (6.1) —(6.4), получаем

^^2^0, hb ...,}= GW!W2G-‘(До. Л„ . •} =

= GW]W2 [Ло, G-1 Аh^, G -’ {Л5, ..., й8), ...} =

= GW! \T2h0, DTh0, 0, G"1 {Л,/zj, G"’ {Л5, ..., AJ, ...) =

= G {^ГА, DT1T2h0, 0, DTh0, 0, G"1^!/zj,

G {Л5, • •., Л8), ...} = ^(УгЛо! G ^DfJ'^Q, 0, Dj^i^, Oj,

t^!, ..., ZzJ, {Л5, ..., Zz8), ...}

V2V1 {Ло. Л1, ...} = W2G-*GW1 {Ло, hb ...} = W2W1 {/z0, hb ...} ===W2{7'i/zo* Gj^q, 0, /Zi, /z2, . ,.j —

= (Т'г^'1Ло, Gj-^^q, 0, Dj-fa, 0, hb h2, ...}.

Поскольку ТХТ2 = Т2ТХ, то V, и V2 перестановочны в том и только в том случае, когда

G [DrT2h, 0, DT.h, 0) = ^DTJXH, 0, DT1h, 0}(6.5)

для любого Нг %. Непосредственным вычислением устанавливаем, что

II DTlT2h IP + j DTah IP = II h IP - II TxT2h IP -■

= II h IP -1| T2TXH IP -1| DT2Txh |P +1| DTxh |p, откуда ||{аГ1Г2А, 0, DT2h, 0) || = |( (О^ТД 0, DTi h, О)| для любого Нг %. Это означает, что оператор G, определяемый формулой (6.5), изометрически отображает линеал 81 векторов вида ^DTlT2h, 0, DTah, 0} ^Нг^) на линеал 82 векторов yDTJxh, 0, DTlh, 0} (Ае^). Продолжим G по непрерывности до изометрического отображения подпространства ЗК, = 8, на подпространство ЗЯ2 = 82. Для того чтобы установить возможность расширения оператора G до унитарного оператора в ®, нам остается доказать, *что подпространства $1^ = ®0%RX и $l^ = ®©3)i2 имеют одинаковую размерность. Если ф, а с ним и ® конечномерны, то это очевидно. В случае если dim£ = oo, то'

dim § = dim ® ^ dim 3%/" ^ dim £ (t = 1, 2),

ибо 3%^ и 3R? содержат подпространство той же размерности, что и ф, а именно подпространство векторов вида (0, Н, 0, 0} 9гг^\ Тем самым доказано, что dim ЗЛ^ = dimSR^.

Коль скоро построен унитарный оператор G, то определены перестановочные изометрии Vj и V2 в Н+. Для них

VAH0, НЬ..Л-№,..Л (^=1, 2), откуда.

v№vho, нх, ..Л = \т№нй,...} (пь п2>0)

и, следовательно,

’P^TVN^H = ТШ(А е §, пх, п2 > 0).

Таким образом, пара {Vb VJ является изометрической дилатацией пары (Ть Т^.

' Замечание. Для произвольной изометрической дилатации (Kb KJ пары {Tb TJ подпространство

S' = V Vl'Va^«1, п»>0

пространства Я инвариантно относительно У, и У2 и содержит у. Поэтому сужения У1|Я/ = 7р У2|Я' = У2 также образуют изометрическую дилатацию [7', V') пары {Гь TJ, минимальную в том смысле, что

. Я' = V V'^V'"2^. (6.6)

nlf n2>0

Однако в отличие от случая одного сжатия *уже нет никаких оснований утверждать, что условие минимальности определяет изометрическую дилатацию с точностью до изоморфизма.

Существование изометрической дилатации влечет существование унитарной дилатации, как показывает следующее предложение. "

Предложение 6.2. Для каждого коммутативного семейства (Vtol^eQ изометрических операторов в % существует коммутативное семейство {Цц}^^ унитарных операторов в пространстве Я=)§, такое, что UtoTDVto для любого ш е Q. Таким образом, всякое коммутативное семейство изометрических операторов может быть продолжено до коммутативного семейства унитарных операторов. ,

Это предложение справедливо как для конечных, так и для бесконечных семейств. Доказательство для конечных семейств получается после конечного чиела шагов, каждый из которых уменьшает число операторов, не являющихся унитарными. (С помощью трансфинитной индукции доказательство можно провести и для бесконечных семейств, но в настоящий момент нас интересует лишь конечный случай, а именно случай двух изометрий. В § 9 мы вернемся к бесконечному случаю, применив иной метод.)

Доказательство основывается на следующем предложении.

Предложение 6.3. Пусть {У, W^ (v е N)^ — коммутативное семейство изометрий в %. Существует такое коммутативное семейство {V, Wv (vs^} изометрий в пространстве Н, содержащем $ как подпространство, что 1) У с V, W^a Wv (v е N); 2) оператор М унитарен*, 3) если некоторый оператор ITV унитарен в %, то соответствующий оператор Wv унитарен в Н.

Доказательство. Продолжим изометрию V до унитарного оператора V в некотором пространстве Н zd ф. Такое продолжение возможно в силу предложения 2.3. Можно считать, что это продолжение минимально, т. е.

Н « V Vrt§ (6.7)

(это условие заведомо выполняется для унитарного оператора, построенного при доказательстве предложения 2.3). Заметим, что для всякой конечной суммы

h=2v%(6.8)

(hn е§; п пробегает конечное множество целых чисел) и для всякого v g N выполняется равенство

12 у"глГ =55 ГО. vmwti = ■

Unn т

= 5 5 (v""mrv/z„, гл)+5 5(гл. Nm-nw^. n>mn<m

Учитывая, что V является продолжением У, а также, что V и rv перестановочны, a Fv — изометрия, получаем SSfr-X, »„)+2 5Ж. v--h^-

п^те п<т

= 55 ^п-тнп, U + 2 S Uni Ут-пн^ = п>тп<т

-55 (ул. v^=15 vrt/z„ |2=и н и2.

Следовательно, полагая

wv 5 Nnhn = 5 WA.(6.9)

nn

мы получаем изометрический (и, следовательно, однозначно определенный и линейный) оператор Wv, отображающий линеал М векторов вида (6.8) в М. Поскольку М = Н на основании (6.7), то Wv продолжается по непрерывности до изометрии в Н.

Если оператор rv унитарен в §, т. е. W.$ = §, то, как следует из (6.9), WVM = M, откуда WVH = H, т. е. Wv унитарен в Н.

Покажем, наконец, что семейство (V, Wv (v е N^ коммутативно. Действительно,

VWv (V"/z) = V (V"rv/z) = Чп+1№^ = WvVn+'h = WvV (ynh\

WVlWV1 (Vn/i) = Wv,V"rv,/i = vnrv,rvA

и аналогично

Wv.Wv, (V"/i) = W^UM = V№W^h

при v, vb v2e N (и — произвольное целое, h e ^\ Согласно (6.7), отсюда вытекает, что VWv = WvV, WVlWv, = Wv2Wv( т. e. что построенное семейство коммутативно.

Учитывая теорему 6.1 и применяя предложение 6.2 к случаю двух коммутирующих изометрий, получаем

Теорема 6.4. Для всякой коммутативной пары сжатий существует унитарная дилатация. •

Замечательно, что приведенная выше теорема, вообще говоря, несправедлива для более чем двух коммутирующих сжатий. Мы построим сейчас систему {Тр Г2, Т^ коммутирующих сжатий, для которой нельзя найти даже системы (17b [/2> ^з) коммутирующих унитарных операторов, для которой

Tz = пр l/z (7—1, 2,3).(6.10)

С этой целью выберем в гильбертовом пространстве 21 такие унитарные операторы Ль Л2, Л3, что

Л^'Лз^ЛзЛг-'Л!(6.11)

(например, можно положить Л2 = /, а в качестве Ах и Л3 взять два каких-нибудь некоммутирующщс унитарных оператора в 21). Рассмотрим пространство $ = 21ф21 элементов вида

az®a2 («ь а2е21)

и введем в & операторы Tt (1= 1, 2, 3) формулами

Ti (Я[ ф а^ = 0 ф Л(о|.

Очевидно, || Ti ||=1, TtTi = T1Tl = O Ц, /"=1, 2, 3). Допустим, что существуют коммутирующие унитарные операторы Ux, U2, U3 в некотором пространстве Я (оф), для которых выполняется

(6.10). Тогда

/Ш(аф0) = :ГДаф0) = 0фДа (а е 21).(6.12)

Поскольку || Ut (а ф 0) || = || а ф 01| = || а || = || Ащ || = || 0 ф Ata || (в силу изометричности операторов Л, и Ut), то из (6.12) следует, что

(/Даф0) = Оф Ata(а е 21).

Поэтому

U7vUt (а ф0) = и?1 (0ф Ащ^ = UJ1 (0ф Л, (Л/-%а)) = A7'Ataф0 и•

■ UkU7'Ui (а ф 0) = Uk кА7хАщф0) = 0 ф АкА7хАьа.

Из перестановочности операторов UX) U2, U3 следует равенство AkA7xAt = AtA7xAk. Последнее противоречит условию (6,11). Таким образом, не существует коммутирующих унитарных операторов Ux, U2, U3, удовлетворяющих соотношениям (6.10).

Функции положительного типа на группе

Конструкции унитарных дилатаций операторов сжатия, данные в § 4 и 5, хоть и просты, имеют тот недостаток, что они тесно привязаны к рассматриваемой частной задаче. В противоположность этому метод, которому мы будем следовать в § 8, основывается на общей теореме об операторных функциях положительного типа на группе.

Определения. (1) Заданная на группе G функция Т (s), значения которой являются операторами в гильбертовом пространстве §, называется функцией положительного типа» если Т (s”1) = Т (s)* для любого s е G и

2 S (Т^к^, h^>0 (7.1) seg tea

для всякой 'заданной на G и принимающей значения в § (^-значной) функции /г (s), имеющей конечный носитель (т. е. /;(5)=7^0 лишь для конечного числа значений se G).

Отметим без доказательства (впрочем, совершенно элементарного), что в случае комплексного ф условие Т (s”1) = Т (s)* вытекает из (7.1).

) Унитарным представлением группы G называется заданная на G функция U (s), значения которой являются унитарными операторами в гильбертовом пространстве Я, — такая, что U (е) = 1 (где е — нейтральный элемент группы G), и G(s/) = G(s)(/(0 (s, t^G\

Связь между введенными двумя понятиями устанавливается следующей теоремой.

Теорема 7.1. а) Если U^ —унитарное представление группы G в пространстве Я, а ^ — подпространство в Я, то Т^ = Р^и (s)|§ является функцией положительного типа на G» причем 7(e) = 7^. Если при этом G — топологическая группа и U {s) — непрерывная {) функция от s, то T^s) —также непрерывная функция от s.

Обратно» пусть Т (s) — заданная на группе G функция положительного типа» значения которой являются операторами в %) и Т^ = 1^ Тогда существует такое унитарное представление U (s) группы G в пространстве Я :э $» что

Т (s) = пр U (s) (s е G), (7.2)

!) В сильном или в слабом смысле, что в нашем случае одно и то же, поскольку значения U ($) унитарны.

U

Я = V U (s) % ^условие минимальности). (7.3) se G

Это минимальное унитарное представление определяется функцией Т (s) однозначно с точностью до изоморфизма и является своего рода „минимальной унитарной дилатацией" функции Т (s). Если, кроме того, группа G является топологической и T(s)~ слабо непрерывная функция от s, то U (s) — также слабо (а значит, и сильно) непрерывная функция от s.

-Доказательство. а) Это простая часть теоремы. В самом деле,.

Tke) = P^Uke)\% = P^ = k,’

Т (s-1) = P^U (s"1) | § = P^U (sy | § = ^P^U (s) \§)* = Т (s)* и -

2 2(w(rIs)A(s), п^= 2 2 wvyu^h^ h(t)) = s^Gt^G.seG teG■

= 11 2 U^h^V>0

II s-G||

для всякой ф-значной функции h^ на G с конечным носителем. Утверждение о непрерывности очевидно.

Рассмотрим линеал Н функций h = A(s) на G с конечным носителем и определим в Н билинейную форму

<h, h^ = 2 2 (l (r's) h (s), h' (t)) [h = A (s), h' = h' (s)].5 t*

В силу (7.1) имеем (h, h) ^ 0. Из неравенства Шварца | (h, Ы) |2^ «h,h>(h',h'> следует, что множество тех h, для которых <h,h> = 0, образует линеал N в Н. Очевидно также, что значение формы (h, hz) не изменится, если заменить функции h и h' на функции, им эквивалентные по модулю N. Иными словами, форма (h, h'\ порождает естественным образом билинейную форму (А, А') на факторпространстве Яo=H/N и соответствующая квадратичная форма (А, А) положительна на Яо.

Пополнив Яо по норме || к || = (А, А)2, получим гильбертово пространство Я. "

Вложим ф в Я (и даже в Яо), отождествив элемент Ае § с функцией h = 6e(s)A, где de(e)=l, 6e(s) = 0 при s=£e (т. е. с классом по модулю N, определяемым этой функцией). Такое отождествление законно, поскольку оно сохраняет линейную структуру и метрику в §. Именно ’

<beh, beh'} = 2 2 (Г (f’s) бе (з) А, д. ^ h'\ = (Г (е) hji% = (А, 1г%.

Для h = /i(s)eH и aeG положим ha = A(a-1s). Очевидно, что (h + h')a = ha + ha, (ch)a=cha, he = h, (h„)a = hab и, кроме того,

<ha,h'a) = S ^ЖГ^ШсГЧ h4a"vt)) = s t

= ^^T (T-'a) A k^, h' (т)) = (h, h').

Если heN, to haGN. Поэтому преобразование h—>he в H порождает преобразование k-*ka классов по модулю N. Полагая U(d)k = ka, получим для каждого qeG линейное отображение множества Яо на себя, такое, что U (е) = = 1, U (a) U (b) = U (ab), (U(a)k, Ufa)k') = (k,k'\ Эти отображения расширяются по непрерывности до унитарных операторов в Я и образуют унитарное представление группы G. Если A, к'е%, то, полагая 6a(s) = бДц-’з), имеем

((/(a)h, h^^Cbah, 6ih'} =

= 2 2 (г (Г s) 6a (s) h, 6e (0 h'^ = (Г (a) A, A'L, , st V

и, следовательно, T (a) = np U (а) для любого a e G. Заметим, наконец, что всякая функция h = h (s) e H является конечной суммой членов вида 6a(s)A, т. е. вида (6Д8)А)О (aeG), и, следовательно, каждый элемент к е Яо может быть разложен в конечную сумму членов вида U(a)h (оЕС,ке§\ Отсюда следует (7.3).

Утверждение о том, что два унитарных представления, удовлетворяющих условиям (7.2) и (7.3), изоморфны, вытекает из соотношений ‘

(.U^h, U(t)h') = (U(t)'U(s)h, h^ =

= (t/ (Г1) U (s) h, h') = \u {t~xs} h, A') = (T (f’s) A, h'\ которые показывают, что скалярное произведение элементов вида U^h, U t^h' (s, t е G, A, hf е ф) не зависит от выбора унитарного представления U (s), удовлетворяющего нашим условиям.

Остается рассмотреть случай, когда G — топологическая группа, а Т (s) — слабо непрерывная функция от s. Покажем, что при этих предположениях U (s) — также слабо непрерывная функция от s, т. е. скалярное произведение (U (s) к, k') является непрерывной по s функцией для любых к, к' е Я.

Учитывая, что U (s) имеет грань, не зависящую от s (поскольку || U (s) || = 1), и что, с другой стороны, линейные комбинации функций вида boh (a s G, А е С>) (точнее, их классы эквивалентности по модулю N) плотны в Я, достаточно доказать, что функция ^U (s) 6aA, 6? А') непрерывна по s для каждых

фиксированных ft, h' е £, а, teG. Но это вытекает из того факта, что рассматриваемое скалярное произведение равно

ф (s) U (о) A, U (т) А') = (17 (т-^о) А, А') - (Г (t^so) A, А'),

а функция Т слабо непрерывна на G.

Теорема доказана.

Некоторые приложения

Рассмотрим функцию Т (п) на аддитивной группе Z целых чисел, значения которой суть операторы в пространстве ^, такую, что Т(0) = 1, Т (— п) — Т (п)\

По определению Т (п) будет функцией положительного типа, если

2 5 (T(n — m)hn, М>0(8.1)

П=— ОО т = — оо

для любой двусторонней последовательности {/Ц^ элементов из § с конечным носителем, т. е. такой, что hn = 0 при п<а и n>a + N при некоторых целых а и N, зависящих от последовательности. Полагая /г' = hv+a, получим такую последовательность {Ау}” с конечным носителем, что 7г'= О при v<0. Так как v — ц = п — т при v = n —а, ц = т —а, то условие (8.1) выполняется для любой двусторонней последовательности с конечным носителем в том и только в том случае, если оно выполняется для односторонних последовательностей {/г„}” с конечным носителем, т. е. если,

S ^i{T{n-tn)hn,hm»^(8.Г)

,n=0 т-0

В качестве первого приложения рассмотрим функцию Т (п), которая следующим образом порождается линейным ограниченным оператором Г в пространстве %:

T(n) = Tw (п<-1), Т(0) = /, Г(п) = Т" (п>1). (8.2)

Заметим, что формулы

gn=^ S Г’Х hn = gn-Tg^x кп>^ (8.3) п^т < оо

определяют взаимно однозначное , отображение (AJ” ten}” множества односторонних последовательностей с конечным

носителем на себя. Поэтому, для того чтобы функция Т (п) удовлетворяла условию (8. Г), необходимо и достаточно, чтобы

2 2 (T(n-m)(gn-Tgn+l), gm-TgmJ^>Q (8.4) n=0 m=0

для всякой односторонней последовательности {^„}” с конечным носителем. Сумма (8.4) может быть записана в виде

5 2 Ф (п, m) gn, g^,■(8.5)

n«0 т=0

где

D(0, 0) =Т(0) = /,

D(l, 0) = Тф-Т(0)Т = Т-Т = О,

D(0, 1) = Тф1)-ГТ(^ = Г-Г = О,

D(n, п) = Т(0)-Т(-1)Т-ГТф + ГТ^Т =

= 1-ГТ-ТТ + ГТ = 1 -ГТ при п>\,

D^n, m^ = T^-T(k- 1)1-ГТ (к + 1) + ГТ^)Т =

• =ть_ть-1т_т*тк+\ + т«тьт = 0 при п_т = к^х,

D(n, т) = Т(-к)-Тфк-1)Т-ГТ(-к + 1) + ГТ(-к)Т^

= T.h_rwT_rTh-i^rrkT = 0 при п_т=_к^_х.

Таким образом, сумма (8.5) принимает вид

(So. go)+£((/-ГТ) g„, gn\.

n=l

Для того чтобы эта сумма была неотрицательной для любой последовательности {gn}^ с конечным носителем, необходимо и достаточно, чтобы I — ТТ^О, т. е. чтобы [|Т||^1.

Таким образом, сжатия Т характеризуются тем свойством, что Т (п) является функцией положительного типа на группе Z.

В силу теоремы 7.1 для сжатия Т существует унитарное представление U (п) группы Z в пространстве Я о ф, такое, что Т (п) = пр U (п) для каждого целого п, причем Я натянуто на подпространства U^n^ (п = 0, ± 1, ...). Полагая [7(1) = [7, будем иметь U (n) = Un при всех п. Отсюда, в частности, следует, что Тп = пр Un при п^О, т. е. что U является минимальной унитарной дилатацией оператора Т.

Таким образом, мы, получили новое доказательство существования минимальной унитарной дилатации для сжатия.

Рассмотрим теперь однопараметрическую непрерывную полугруппу {^(s^^q сжатий в §. Это означает, что Г($) для

любого значения параметра s является линейным оператором в §, причем

7(0) = /; Т (sj + s2) = Т (si) Т (s2) при sb s2^0;

||Г($)||<1 при s>0;(8.6)

T (s) -> /, если s -> + 0.

Из этих условий вытекает сильная непрерывность Т (s) в каждой точке s. В самом деле, если 0^$!<$2, Ае§, то, полагая а = s2~ sb имеем*

H(s2)A-T(s1)A|p = ||T(s1)[r(a)A~A]||2<'

^11 7 (а) А — А |р = || 7 (а) А Ц2 — 2 Re(7 (о) А, А)+||А|р< <2||A||2-2Re(7(a)A, А) = 2 Re(A - Т (о) h, h\

Последний член стремится к 0 при а-> + 0.

Поскольку сопряженные операторы удовлетворяют, очевидно, тем же условиям (8.6), то Т ^sY также является сильно непрерывной функцией от s ($^0).

Учитывая это, положим Т ^ = Т ^—sY ПРИ — оо<$<0. Продолженная таким образом на всю вещественную ось функция Т (s) будет функцией положительного типа на аддитивной группе R вещественных чисел; т. е.

2 2 (г (s - 0 h (s), h (<»> 0(8.7)

s t

для всякой ^-значной функции h (s) (sg /?) с конечным носителем. Для доказательства рассмотрим сначала случай, когда значения s = s„ (п=1, ..., N\ для которых /г(з)#=О, соизмеримы, т. е. имеют вид sn = nd для некоторого вещественного положительного d. Сумма (8.7) принимает вид

■2 2 (ТДп -tn)g (n), g (m)),■

n m

где Td(n) есть функция, порожденная сжатием Td = T(^ в смысле п. 1, a g (я) = h (nd\ Поэтому положительность суммы (8.7) следует из результатов того же пункта. В случае когда значения sn несоизмеримы, их можно аппроксимировать соизмеримыми значениями s^ (например, рациональными). Положительность сумм сохраняется при предельном переходе s^->sn (^~>о°) в силу непрерывности 7 (s).

Таким образом, применима теорема 7.1 и мы получаем следующий результат.

Теорема 8.1. Каждой непрерывнойоднопараметрической полу^ группе сжатий ^Г (s)}s>o в пространстве % можно поставить в соот-

ветствие непрерывную однопараметрическую группу ф ($)}”„ унитарных операторов в пространстве Я zd $, такую, что

Г (s) = пр [7 (s)(0<s<oo),

Я = V U (s) £> (условие минимальности).

•—ОО < $ < ОО

Эти условия определяют U (s) однозначно с точностью до изоморфизма.''

Мы будем называть U (s) минимальной унитарной дилатацией полугруппы сжатий Т (s).

Пусть Вх—операторная функция распределения в интервале 0<Л^2л, т. е. Вк — семейство самосопряженных операторов в комплексном пространстве %, такое, что В^С-В^ при Х<р, Вх = Вк+0, В+0=О, В7Я = 1. Интегралы

2Л

Т (п) = J etnXdBk (п = 0, ±1, ...)-

о

существуют в смысле сходимости по норме римановых сумм и определяют функцию Т (п) на группе Z, для которой Т (0) = /, Т(—п) = Т(п)* и

2л

^^(п-ш) hn, hj-^^ х d (Bkhn, hw) =

n m0 n tn

2л

-= ЩЗ^ИЧВ^Ап, hm) =

0 n tn

2л

• = / f6 w 2 etnKhn> 2> о.

0 \nmJ

(Последний интеграл является пределом сумм

. . ^UB(Kk+x)-B(Xk))^el^4im ^е^нД, к \пт)

где %о = О<Л1< ... <Хк< ... <%1 = 2л, max(Xk+1-Xk)->0.) 2л

По теореме 7.1 существует унитарный оператор U = ^ eiX dEx о

в комплексном пространстве Я zd ф, такой, что Т (п) = пр U (п)

(п = 0, ±1, ...), т. е.".

2Л2Л

J elnXd (Bkh, h') = J etnXd (EKh, h')(A, h' e %)(8.8)

. оo-

для каждого целого а. Если наложить на спектральную-функцию (EJ оператора U те же условия нормировки, что и на (BJ (т. е. Ех = Ек+о, Е+о = О, Ет = 1$), то из (8.8) будет следовать, что ' Вх = прЕх для 0<А<2л.

Таким образом, доказана

Теорема 8.2. Для всякой операторной функции распределения Вх в пространстве % можно найти такую операторную функцию распределения Ех в пространстве ^=э§, значения которой являются ортопроекторами (т. е. такую ортогональную спектральную функцию), что Вх = ирЕх.

Отметим, что, хотя в приведенном доказательстве параметр А менялся в интервале (0, 2л], результат легко переносится на любой интервал, конечный или бесконечный, с помощью монотонной и непрерывной замены параметра. Заметим также, что случай вещественного пространства сводится к случаю комплексного путем естественной „комплексификации“.

В заключение установим одно важное неравенство, которое без труда вытекает из теоремы 4.2. Пусть Т — сжатие в комплексном пространстве §. U — его унитарная дилатация в (комплексном/ пространстве Ягэ®. Из соотношений Г^нр^Л (n = 0, 1, ...) вытекает, что р (Т) = пр р ([/) для всякого многочлена р (А) = с0 + сД + ... + с„А" с вещественными или комплексными коэффициентами. Таким образом, || р (Т) II ^ || р (U) ||. В силу спектральной теоремы для унитарных операторов || р (С/) || равно максимуму I р (А) | на спектре U, следовательно, ||р(С/)1К ^тах|р(А)|. Поэтому ||р (Г) ||< max | р (А) |. Таким образом,

|Х|-1 ' JM —1 . ■ доказано

Предложение 8.3 (неравенство фон Неймана). Для всякого сжатия Т в комплексном пространстве % и для всякого многочлена р(А) справедливо неравенство ■

||р(ПН<тах|р(А)|. (8.9) |М<! ’

Регулярные унитарные дилатациикоммутативных семейств сжатий

Пусть ^" = {7’6)}юе£2 —коммутативное семейство сжатий в пространстве %. Напомним, что соответствующее семейство ^ = = {t/(Ja>eQ операторов в пространстве й zd ^ мы называем унитарной дилатацией семейства 9", если °И также коммутативно, операторы Uto унитарны и

П Т^ = пр П и^ (9.1)

для всякого конечного набора индексов а,е Q и всякого набора соответствующих целых чисел пг^0.

Это определение может быть сформулировано более удобным образом, если ввести класс Xй „вектс!ров“ п = {пю}й)е£2 с целыми компонентами любого знака и с конечным носителем, т. е. таких, что nm = О для всех юе Q, кроме конечного их числа. ZQ является абелевой группой относительно покомпонентного сложения. Нейтральный элемент есть вектор о, все компоненты которого равны нулю. В настоящем параграфе под векторами п, m и т. п. всюду понимаются векторы из Z . Если nm^0 для любого ©, то мы пишем п^о. Запись n^m означает, что п—т^о. Для произвольных n,m полагаем n Um = (max(n6), тю}}, nflm = {min{пш, т^ и, наконец, n+ = n|Jo, п~=—(пПо).

Для векторов п ^ о положим

Т^ПО. (9.2)

Это произведение имеет смысл, поскольку все множители, кроме конечного числа, равны I. В силу коммутативности семейства £7” порядок сомножителей не играет роли. Аналогично положим

Un= П U>, (9.3)

причем ограничение п^ о здесь снимается, поскольку унитарные операторы Uto имеют (также унитарные) обратные U^1. Очевидно, U" является унитарным представлением группы ZQ. Обратно, всякое унитарное представление U (п) группы ZQ может быть записано в таком виде. Это следует из того, что всякое п может быть записано в виде

n= S Прер,

где ер —вектор, все компоненты которого равны нулю, за исключением одной, отвечающей индексу со = р и равной 1. Остается положить ир = U (ер). ■

Итак, задача нахождения унитарных дилатаций °И семейства Т равносильна задаче отыскания таких унитарных представлений U (п) группы Z8, что

Гп = пр(/(п) для п^о, (9.1 bis)

т. е. Т" = P^U (п) | Ф. Тогда если U (п) — унитарное представление ZQ, обладающее этим свойством, то можно так определить продолжение Т (п) функции Тп на все векторы п е Г, чтобы

это продолжение было функцией положительного типа на Zs. Для этого достаточно положить по определению

Т(п)=Р6и^^. (9.4)

Обратно, для всякого продолжения Т (п) функции Т" на Za, являющегося функцией положительного типа, существует унитарное представление U (п) группы Za, и притом даже минимальное, для которого выполняется (9.4). Это следует из теоремы 7.1.

Итак, задача нахождения (минимальных) унитарных дилатаций 91 заданного семейства 9* сжатий эквивалентна задаче нахождения продолжений функции ^(п^О) до функции I (п), определенной на Z° и являющейся функцией положительного типа. Очевидно, что различным продолжениям отвечают неизоморфные унитарные дилатации.

В случае когда семейство 9" состоит из одного сжатия Т, функция ^(п^О) всегда обладает продолжением положительного типа, и притом единственным, а именно Т (— п) = Т(пУ (см. п. 1 предыдущего параграфа). В случае когда семейство 9" состоит из двух перестановочных сжатий, существование по крайней мере одного продолжения положительного типа следует из теоремы 6.4. В противоположность этому, для коммутативных семейств, содержащих более двух сжатий, функция Тп не допускает, вообще говоря, продолжений положительного типа (см. п. 6.3). Тем не менее можно указать частные случаи, когда такие продолжения существуют.

Поступим следующим образом: тем или иным способом продолжим функцию Г" до функции Т (п) на ZQ и посмотрим, при каких дополнительных условиях это продолжение является функцией положительного типа на Za.

Рассмотрим простейшее продолжение

Г(п) = (тп-)‘71"*, (9.5)

которое будем называть регулярным. Это продолжение имеет двойственное, которое получится, если переставить множители в правой части. Поскольку такая перестановка сводится по существу к замене семейства VTuA семейством {т©}, изучение этого двойственного продолжения Сводится к изучению регулярного.

Для регулярного продолжения Т(п) имеем, очевидно, Г( —п) = = Т(пУ. В силу соображений, аналогичных приведенным в начале предыдущего параграфа (для того частного случая, когда Q

состоит из одного элемента), Т (п) является функцией положительного типа на ZQ тогда и только тогда, когда

2 ^ <T^-x^h<n\hW>Q2 ^ <T^-x^h<n\hW>Qп>0 ш^Оп>0 ш^О(9.6)(9.6)

2 ^ <T^-x^h<n\hW>Q

2 ^ <T^-x^h<n\hW>Q

п>0 ш^О

п>0 ш^О

(9.6)

(9.6)

для всякой определенной для п^о функции А (п) с конечным носителем.

Нам понадобится одно обобщение формул (8.3). Именно, если /г (п)— определенная для п^о функция с конечным носителем, то функция g(n), задаваемая формулой

g(n) = 2 Tm-nA(m) (n>o),g(n) = 2 Tm-nA(m) (n>o),(9.7)(9.7)

g(n) = 2 Tm-nA(m) (n>o),

g(n) = 2 Tm-nA(m) (n>o),

(9.7)

(9.7)

также имеет конечный носитель. Функцию й(п) можно восстановить по g(n) следующим образом. Для каждого конечного (возможно, пустого) подмножества у с Q положим

[ I при о е V,•Й-Ы* где ««<») = ( 0 „р„ ,е0\,

Пусть | о | обозначает число элементов множества о. В этих обозначениях формула, обратная к (9.7), имеет вид

(9,8)(9,8)й(п)== 2 (-^"'^(п + еМ) (п>о), у cz Q

(9,8)

(9,8)

где о пробегает все конечные подмножества Q '). В самом деле, для всякого фиксированного п^о

2^ Tm-n-eWh^ =

ycQm>n+e(y)

= 2 (-1)1"1 2 7m~n/i(m) = ucQm>n+e(y)

m>n Le(y)<m-nm>n Le(y)<m-n= 2(m>[ 2(0) (-O'"'"^"-"/^)-/^!!).

m>n Le(y)<m-n

m>n Le(y)<m-n

Здесь использована простая комбинаторная теорема: если о пробегает все подмножества конечного множества v0 (включая само и0 и пустое множество), то

(9.9)(9.9)| 1, если о0 пусто,

(9.9)

(9.9)

I 0, если и0 непусто.

9 Поскольку g(n) имеет конечный носитель, в сумме (9,8) лцшь конеч

ное число членов отлично от нуля.

Обратно, если g (п) (п ^ о) — фуцкция с конечным носителем, те функция Л(п), определяемая формулой (9.8), также имеет конечный носитель и для всякого фиксированного п^о

3 Tm-nA(m)= 2 (-1)|D| 2 тт-п+е^(т + е(ц)) = т> nvcQm > n

= s (-1)|D|. 3 rp-”g(P) = ucQp>n+e(u)

- S ( S(D> (-i),ol)g(p) = g(n), p > n \e (uXp-n/

снова на основании (9.9).

Отсюда следует, что формула (9.7) определяет взаимно однозначное отображение на себя множества определенных для п ^ о функций с конечным носителем, а формула (9.8) определяет обратное отображение.

Следовательно, для того чтобы (9.6) имело место для любой функции Л(п) с конечным носителем, необходимо и достаточно, чтобы сумма

2 2 (Т(п-щ) s (-l),o|TeWg(n + e(o)), n>o m >0 \v с Q

2 (-i^ir^^ + e^)))

была неотрицательна для любой функции g(n) с конечным носителем (п^о). Эту сумму можно записать в виде

S 2 (D(p,q)g(p),g(q)),(9.10)

р>о q>o где

D(p, q) = 22 (-l^W-'^^X

V С л (p) tw cz л (q)

XT(p-e(o)-q + e(®))rw. (9.11)

Здесь множество л(п) для каждого п^о определено равенствомл(п) = {®: п<в>0}.

Докажем, что D(p, q) = 0 при р ¥= q. Действительно, в этом случае множества л(р —q) и n(q —р) не могут оба быть пусты. В силу симметрии достаточно рассмотреть случай, когда непусто л (р — q). Множество'

д (йу) = л (р) П л (р — q + е (ф) )

тогда тоже непусто (каково бы ни было конечное w е Q), поскольку оно содержит, очевидно, множество л (р — q).

Заметим теперь, что для любого фиксированного w можно подучить все подмножества осл(р), беря у = у' U у", где у' и у" пробегают независимо друг от друга подмножества множеств л (р) \ 6 (да) и 6 (да) соответственно. Поскольку | у | = [ у' | +1 у"| и е (у) = е (у') + е (у"), то D(p, q) может быть записано в виде

S" к_х^\^^ 2 (—1)|о'1х ш с л (q)o'с л (р) \ б (ty)

ХГ 2 (—1)’°"|Г (р —ч + е(да) —е(у') —е(у"))Ге^")'|7’е(0').с б (ty)J

Сумма, стоящая в квадратных скобках, равна О при всех фиксированных да и у'. В самом деле, в силу определения (9.5) регулярного продолжения имеем

Т (р - q + е (да) - е (у') - е (у")) Г= (Г)’ Тъ,

где

а = [р —q + e(tw) —е(у') —е(у")]~ и

b = [р — q + е (да) — е (у') — е (у")]+ + е (у").

Но ни а, ни b не зависят от у", т. е.

а = [р — q + е (да) — е(у')Г, b = [р — q + е (да) — е(у')1+.

Это вытекает из соотношений рю — ^ + ею (да) ^ 1, ею(у') = 0, справедливых при всех иеу". Таким образом, внутренняя сумма сводится к

(7а)*гЬ2(-I)1""1,

и" с: б (ty)

т. е. к О, поскольку б (да) непусто. Итак, D(p, q)=O.

Сумма (9.10) принимает, таким образом, вид

S (Щр, р) g (р), g (р)).р>о

Для того чтобы эта сумма была неотрицательна для всякой функции g(p)(p^o) с конечным носителем, необходимо и достаточно, чтобы £)(р, р)^О при всех р^о. Из (9.11) следует, что

щР, Р) = 22 (-о^ч-^^г^+^^-'^Ух

о с л (р) w с: л (р)

у ^le(ty)~e(u)) ++e(u)

Но как легко видеть, показатели степени при Т равны е(ы), где u = vUw. Поскольку в силу (9.9)

2(0,“')(—1),о|+|“'|= 2<0)(—1)|с|2(а,) (—l)lwl =

V и 8У = МUCM8y = («\u)Uo'"

o' cz и

= 3(0)(-i),0|+lu\01 2(v)(— i)1 ”'| = (—О1"’,

осии' с v

ТО

D(p,p)= 2(_1)1«1(Ге(«)у ге(«>е

и с л (р)

Мы приходим к следующему результату.

Теорема 9.1. Пусть 9" = \Т ^№ей — коммутативное семейство сжатий в пространстве ф. Для того чтобы в некотором пространстве Я г> ф семейство Т обладало унитарной дилатацией . <U = {^®}ф = й» регулярной в том смысле, что

(гп ) Гп+= пр (/" при всех n = WBSQeZs

Си” = II при всех п, Г” = П Тп® при n ^ oV

\ ®е Qшей/

необходимо и достаточно, чтобы

S(u)= 3 (-l)lD,(7’e(0))* T6^ О (9.12) оси

для всякого конечного подмножества и в В. При этом можно требовать, чтобы °И было минимальным, т. е. чтобы подпространства U”^ (n е ZQ) порождали пространство й. В этом случае регулярная унитарная дилатация'й определяется с точностью до изоморфизма.

Замечание 1. Для каждого конечного подмножества « в £2, содержащего такую непустую часть w0, что Тю является изометрией для каждого © е и0, выполняется условие S (и) = О.

В самом деле, все оси можно получить, беря v = v0UVb где о0 и yi пробегают независимо друг от друга все подмно- ■ жества множеств и0 и ы, = и \ и0 соответственно. Поскольку I У| = |Уо1 + 1у11 и

^pt (toy ре (и) __ ре М*ре М*ре (v^pe (vO = ре ^х)*ре (vO

(в силу того факта, что ТеМ является изометрией как произведение изометрий), имеем на основании (9.9).

$(«)= 2 (-i)1”'1 Г 2 (—iy ®о|1 ге ^'’’г*(01) = о.

»1 а ихLoo с и»J

Два оператора А и В назовем дважды перестановочными, если А коммутирует и с В, и с В* и, следовательно, В коммутирует и с А, и с А*.

Замечание 2. Пусть {Г^и ® Ud — такое подмножество множества {Тй>}Юе=и, что каждое Т^^еи^ дважды перестановочно со всяким 7V (о/ей; ©'#=©), и пусть uc = u\ud. Тогда если В (и,) > О, то S (и) ^ О. ~

В самом деле,

5(и)= 22 (-ly^i+MJr^^^MyM^M^

”dcud иссис

= 2 (-i^irw’r^) 2 (-i)i°di п ftoTto= ”сс“с®dc“dю s ”d

= 2 (-i)i "ciT'6!0.)^6!^) п (/-т'Х)= ”ссисaSud

= s(uc) п и-т*ют\

Поскольку множители I — Т®!® (со е ud) неотрицательны и попарно перестановочны, а также перестановочны с В(иД то S(m)^O, коль скоро S(mc)^O.

Замечание 3. Для того чтобы S(и)^ О, достаточно чтобы 2 II Та |р < 1. to е и

Действительно, пусть « = {©!, ..., coj. Для краткости будем писать It вместо ТЮг Положим

I о 1-Р

для 0^p<r, hG§. При 1^р^г имеем

откуда

ЦЦМ,Ку= 2 (-D^'ll^^l^iK-D^pW^ и с ир=0

> а0 (h) - ах (А) = || h IP - 2 II Tth |р > (1 - 2II Tt Ip)IIA IP > 0.

На основании этих замечаний мы получаем из теоремы 9.1 следующее

Предложение 9.2. Пусть 9" — коммутативное семейство сжатий. Удалим из 9* все изометрические операторы, а из оставшегося семейства 9"\ удалим всякий оператор, дважды коммутирующий со всяким другим оператором из 9\. Если оставшееся семейство 9" 2 обладает регулярной унитарной дилатацией, то и 9" обладает регулярной унитарной дилатацией.

В частности, регулярная унитарная дилатация семейства 9* = {7'(0} существует в следующих случаях*.

9" — коммутативное семейство изометрий,

9” —семейство дважды перестановочных сжатий,

9" — счетное коммутативное семейство, для которого

Shjpci. . to

Поскольку из соотношения У=пр[/ для изометрических U и V вытекает, что U является продолжением V, то из части (а) предложения 9.2 следует, что всякое коммутативное семейство изометрий допускает в качестве продолжения коммутативное семейство унитарных операторов. Таким образом, мы получили новое доказательство предложения 6.2, годное для произвольных Семейств, конечных или бесконечных.

Другой метод построения изометрическихдилатаций. Пример, относящийся

к системам дифференциальных уравнений

Опишем вкратце другую конструкцию изометрической дилатации для сжатия. Этот метод интересен в первую очередь тем, что его можно, после соответствующей модификации, применить к однопараметрической полугруппе.

Пусть Г —сжатие в гильбертовом пространстве Ф. Если А е 9, то

II h ||2 = || DTh IP +1| Th IP = || DTh |p +1| DTTh |p + || Ph |p = ...

... = II DTh ||2 +1| DrTh ||2 + .., +1| DTTn~xh |p +1 TnhЦ2, откуда ввиду неравенств ■■

||A||>||TA||> ...>||Гй||> ... >0,(10.1)

следует равенство

II h IP = 2 || D^h IP + lim || Tnh |p.(10.2)

/=0n->00

Из (10.1) вытекает также, что

/>/>

/>

/>

Следовательно, существует сильный предел S = Пт т*пт". Пусть

П-»оо

Q = S2. Поскольку

FQ2r = lim Г"+1FQ2r = lim Г"+1грПА" 1грПА" 1пп= Q2= Q2

FQ2r = lim Г"+1

FQ2r = lim Г"+1

грПА" 1

грПА" 1

п

п

= Q2

= Q2

и, значит, HQTAII2 = || QA |р (Аеф), то отображение Qh->QTh является изометрическим. Это отображение по непрерывности продолжается до изометрии W пространства Ci==Q£ в себя. Итак, имеем

(10.3)(10.3)QT = WQ.

(10.3)

(10.3)

Рассмотрим пространство Н векторов h = {/!„}“«, с А„ е ®г и

l|h||2=SllAJP<oo.

Вложим ^в Л=НфС1, отождествив каждый элемент А е 5 с вектором

{ ..., 0, 0, |DrA|, DTTh, DTT2h, ... |®QA

(в прямоугольник заключена компонента с индексом 0). Такое отождествление законно на основании (10.2).

Пусть V — двусторонний сдвиг в Н, определяемый формулой

У{А„}=[А„}, где А„ = А„+1 (п = 0, ± 1, ...).

Тогда U = V ф W — изометрия в Я и для всех Ае§ и /п=1, 2, ... имеем на основании (10.3)

гдегдеUmh - Tmh - {й^С^ФО,(Ю.4)

где

где

(in-) _J DrTm+nh при — /п<п< — 1, ' Л — Iл

<•0 в прочих случаях.

Очевидно, вектор, стоящий в правой части равенства (10.4), ортогонален к %, откуда следует, что Тт = пр Um (т = 1, 2, ...). Таким образом, U является изометрической дилатацией (не обязательно минимальной) оператора Т.

Перейдем к случаю непрерывной однопараметрической полугруппы' {Г (s)}5>0 сжатий в % (см. п. 8.2). Напомним, что для такой полугруппы генератор!) А, определяемый равенством

Ah = Пт 4-[^(«)-/]А(10.5)

S->+0 s

на множестве тех h, для" которых этот предел существует, является линейным замкнутым оператором с плотной в § областью определения 5) (Д). Если ft G $ (Д), то имеет место равенство -^-Т (s) h = AT (s)h — T (s) Ah, s^O (см. [Лекции], n. 142).

Заметим, что при || Т (s) || ^ 1

Re ((Г (s) - Г) h, й) = Re (Г (s) й, h) - (й, h] < || T (s) || || h IP -|| h |p < 0 (й г $), t. e.

Re (ДА, й)^0 при всех Не^^А].(10.6)

Положим

[h, й] = — (Дй, й) — (h, Ak] для h, k е $) (Д).(10.7)

Эта билинейная форма неотрицательна в силу (10.6):

[h, й] = - 2 Re (Д/г, й)>0(йе©(Д)).(10.8)

Из определения оператора А вытекает, что при Ае $(Л) и s^0

•^-Ц 7 (s) й |р = 2 Re (Г (s) Дй, Г (s) й) =.

= 2 Re (ДГ (s) h, Т (з) й) = — [7 (з) й, Т (з) й]

и, следовательно,

IIA IP = / [Г (s) А, Т (з)й] ds + || Т (/)й |р, откуда

II й |р = f [7 (з) й, Т (з) й] ds + lim || Т (/) й |р.(10.9)

oJ

Последний предел существует, поскольку || Т (0 й ||2 является неубывающей функцией от t. Отсюда вытекает также, что lim Т* (0 Т (0 существует в сильном смысле. Пусть Q — неотри- t->OQ

9 В оригинале generateur. У нас больше распространен термин (инфинитезимальный) производящий оператор. Однако по причинам, которые выяснятся ₽ § Ш.8, термин ^генератор" оказывается более удобны^. — Прим, перед.

цательный квадратный корень из этого предела. По аналогии с дискретным случаем построим непрерывную полугруппу {№ (s)}5>0 изометрий в Q = Q^, такую, что

Q7'(s)=r(s)Q (s>0). (10.10)

Пусть 5) — пополнение по метрике (10.7) — (10.8) предгильбертова пространства S) (Л) по модулю множества тех h, для которых [А, А] = 0. Пусть Н — гильбертово пространство сильно измеримых ©-значных функций h = h(s) ( —оо <$<со), таких, что

l|h|P= J||h(s)||4s<oo

(функции, совпадающие почти всюду, отождествляются). Вложим % в пространство

я = н®й,отождествив he^ с элементом h®QA, где(0 при s < 0,

h ($) — | ^ ^ ^ ПрИ s ^ q.Пусть {V(s)}s>0 — непрерывная полугруппа переносов в Н:(y(/)h)(s) —h(s + 0(—oo<s<oo; />0; А г Н).

Операторы U (s) = V (з)ф № (s) (s^0) образуют непрерывную полугруппу изометрий в Я. Если he^ и / ^ 0, то

U (<)A-7W = h(<)®0,(10.11)

где

f Т (s + /) h при — / ^ s < 0

h(<) (s) = 1n

I0 в прочих случаях.

Правая часть (10.11), очевидно, ортогональна к %, откуда следует, что ?' (/) = пр U (0 (/>0). Таким образом, полугруппа {^())s>e является дилатацией полугруппы lT^t>0.

Предположим, что функции Xt непрерывно дифференцируемы и дивергенция векторного Поля (Хь ..., Хп) неположительна, т. е.

пpW=-S^-^to>0.z-i

Предположим, кроме того, что для любой точки aeRn решение системы (10.12), удовлетворяющее начальному условию х (0) = а, существует не только при достаточно малых t, но и на всей оси t. В этом случае

ту а-*х^

есть дифференцируемое отображение R" в Rn. Якобиан этого отображения

х (Y\ _ D (т^) О( (т<я)1, ..,, (т/х)д)

°,W DWD(xl,...,xn)

легко вычисляется. В самом деле, 6t М является вронскианом решений

1 d (т<х)1д ^tx^n I , .»х

'( дх; • 1 • ’ dxj j V 1, • • ri)

системы линейных дифференциальных уравнений

duj _ у dXdiCtx),

fc-1

соответствующей системе (10.12). Применяя теорему Лиувилля и учитывая, что ^0(х)=1» получаем

(

t\

— j p(Tsx)dsL(10.13)

о/

Итак, если ф(х) —борелева функция, интегрируемая в Rn, то

Jф(т_^x)^Zx = j ф(х)6г(х)йх (dx = dxt ... dx^. (10.14)

RnRn■

Пусть f (x) e £2 (/?"). Положим для / ^ 0

(7(0f)(x) = f(T_,x).. .

Если взять ф (x) = | f (x) |2, то из (10.13) и (10.14) следует, что T(t) — сжатие в L2(7?") (/^0). Более того, (Г(0)<>0 —полугруппа сжатий в L2(j?n), поскольку, очевидно, т0 —тождественное отображение Rn на себя и т(+$ = т(т5. Если функция f (х) непрерывна и имеет компактный носитель, то, как легко видеть,

Ш!"*! ПРИ ^ -* + 0. Поскольку такие функции плотны в 1ДДп), то рассматриваемая полугруппа непрерывна.

Введем две меры:

dv(x, s) = р (х) dx ds(в /?"+1),

и

dp (х) = dTO (х) dx (в Rn\ где

Мх) = ехр — f p(Tsx)ds|= limd((x) (>0).\ о/.

Предложение 10.1. Непрерывная полугруппа сжатий {T(d)}t>0, отвечающая системе дифференциальных уравнений (10.12) с дивергенцией — р(х)^0, обладает изометрической дилатацией, унитарно эквивалентной непрерывной полугруппе изометрий {U (t)}t>0 в пространстве

^ = L2(R^; v^l4r"; ц), определяемой равенством

U{t)\i{x, s)®f(x)] = f(x, s-MW^x).

Доказательство. Пусть g(x) — непрерывно дифференцируемая функция с компактным носителем в Rn. Имеем ^И^Ч^^ Jlg(T-tx)|2dx|,_0 =

Rn п

r№ /-i

Интегрируя по частям, получаем

4и^И21»о = J\е\2^^-йх = - /igPpdx.Rn /-1Rn

Поскольку Ttg как функция от х также непрерывно дифференцируема и имеет компактный носитель, то, согласно предыдущей формуле,

4-11 Ttg If = sH T^tg II21,-0 = - J I Ttg I2 P dx =

Rn

= - / lg(T-tx)Fp(x) dx.

r"

Учитывая равенство

UU2=- J (^lir^lFps + IIT^II2,о

заключаем, что

II g II2 = / / I g (Т-5Х) I2 р (х) dx ds + J 1 g (т_(х) I2 dx.0 RnRn

Используя теперь (10.14) (приф = |§|2) и переходя затем к пределу при /-»оо, находим

11ёГ1Р= {J |g(r_4x)Mv(x, s)+ J |g(x)|2d|i(x). (10.15)

Rn X (0, 00)Rn’

Эта формула, справедливая для всякой функции рассматриваемого вида (и, значит, для плотного в L2(Rn') семейства функций), является той конкретной формой, которую принимает формула (10.9) в случае полугруппы, связанной с системой (10.12). Остальная часть доказательства основывается на использовании формулы (10.15), аналогичной использованию в построениях предшествующего пункта формулы (10.9).

Замечание. Более тонкий анализ, который мы опустим, показывает, что рассматриваемая полугруппа ^Ut\>0 состоит из унитарных в Я операторов и что, полагая Ut = U*_t при /<0, мы получим непрерывную группу {t7#}_ , являющуюся минимальной унитарной дилатацией полугруппы {ГJ/>0.

Унитарные р-дилатации

Введем следующее обобщение понятия унитарной дилатации для сжатий. Будем говорить, что линейный ограниченный оператор Т в гильбертовом пространстве % принадлежит классу ^р (р > 0), если существует такой унитарный оператор U в пространстве Я ^> §, что

(ИЛ)(ИЛ)Та = р пр Un (/г=1, 2, ...).

(ИЛ)

(ИЛ)

Назовем в этом случае U унитарной р-дилатацией оператора Т. Очевидно, что

(И.2)(И.2)II ПК? (п-1, 2, ...) для Т е ‘Fp.

(И.2)

(И.2)

Класс ^х совпадает с классом всех сжатий в ^. Следующая теорема характеризует каждый из классов ^р в случае комплексного $.

Теорема ILL Пусть Т — линейный ограниченный оператор в комплексном гильбертовом пространстве $. Для того чтобы Т входил в класс ^р (0<р<оо), необходимо и достаточно, чтобы при всех h^^ и всех z, |г|^1, выполнялось неравенство

(7 - 1) II zTh ||2 + (2 - |) Re kzTh, h^<\\h ||2, (Ip)

эквивалентное неравенству

(p - 2) || (Z - zT) A IP+ 2 Re ((7-zT) ft, A)>0. (Q

Доказательство. Эквивалентность условий (Ip) и (ip) очевидна.■

Пусть Т е^р, [7 —унитарная р-дилатация Т. Поскольку оператор U унитарен, то ряд I® + ^zU + ... + 2znUn + ... сходится по норме для всякого z, |z |< 1, и его сумма равна y$ + zUHh-zUyY. В силу (11.1) ряд

1%-V^zT-V ... + ^”7" + ...

также сходится по норме и его сумма равна

Очевидно, '

(1 -1) и+f и5 - гП"х - пр и® + zm (I* - zur1 (IZI < 1). (11.3)

С другой стороны, •

Re((/ + z77)A, <J-zU^= ||A!|p —J2:|2П C7A:|p ==

= (1-|г|2)Н|р>0 (AeSt, |z|<l),

откуда следует, что

(А' ей, |z|< 1).(/e§, |z|<l). (11.4)(А' ей, |z|< 1).(/e§, |z|<l). (11.4)Re ((/ + zU^ V - zUT1 k', k') > 0

(А' ей, |z|< 1).

(/e§, |z|<l). (11.4)

(А' ей, |z|< 1).

(/e§, |z|<l). (11.4)

На основании (11.3)

Re[(l-|)(Z, O + ^^-zr)"1 I, 0]>O

Полагая 1 = 1г = Ц — zT) h(.he §^ и умножая на p, получаем (ip) для |z|<l- Справедливость этого неравенства для |z| = 1 вытекает из соображений непрерывности.

Докажем, что и обратно каждое из (эквивалентных) условий (1Р) и (ip) влечет принадлежность оператора Т к классу ^р.

С этой целью покажем сперва, что из условия (1Р) вытекает, что весь спектр Т лежит в замкнутом единичном круге. Предположим противное. Тогда существует точка l/z0, |z0|<l, являющаяся граничной точкой спектра Т, и, значит, можно выбрать такую последовательность {/гп} в §, что *)

|| Ап|| = 1 (n= 1, 2, ...), (/ — zQT) hn -> 0 при п-*оо.

Следовательно, z0^Thn, hnt-*L Мы можем считать, что существует lim ИМ; обозначим его через t. Пусть 0<r < 1 — |z0|.

п-»оо'

Тогда точка z = z0 + rz0 принадлежит единичному кругу и в силу (1Р)

(р-2)|| U-zonhn-rzoThn |р+2 Re [((/-z0D h„, hn)-rz0(Thn, h^O. Устремляя n к oo, получаем (p —2)r2|z0|2Z2 —2r ^0. Деля на г и устремляя г к нулю, приходим к абсурдному неравенству —2^0. Таким образом, весь спектр Т лежит в замкнутом единичном круге, т. е. оператор (/ —zT)-1 существует и ограничен при всех z с |.z|<l и совпадает с суммой сходящегося по норме ряда 2 z"T".

о

Пусть / — произвольный элемент из §. Применив (J*) к h = hz = {I — ziyx I, получим

.(p-2)||/|p + 2Re(Z, (/-гП"'/)>0,

откуда

(Q (г, ф) I, I) ^ 0 (0 < г < 1, 0 < Ф < 2л; Z е ф),(11.5)

где Q(r, ф) определяется сходящимся по норме рядом Q(r, ф) = / + 1г(ег<РГ + в-^Г) + ...

... + у г" (е^Т’" + е-'^Т*") + ... .

Пусть {Ап}”^ — последовательность элементов из $ с конечным носителем, и пусть

А (ф) = S А„е-;пФ.

!) Пусть {г J — последовательность регулярных точек оператора Г, сходящаяся к 1/г0. Тогда (см., например, Хилле и Филлипс [1], стр. 142-143) sup ||(r-z„/)-4l = оо и, следовательно, найдется последователь- п

ность ИП) || hn || = 1, такая, что (Г — znI) hn -► 0, так что (/— гйТ^ hn= = -20| (Г — zn^ hn + (zn - —^ hA -> 0 при л -> оо. - Прим, перев.

В силу (11.5)

2л

°<"^J (Q(r> ф)Мф), А(ф))с?Ф = О

= 2 ^п, h^ +12 2 гп"т h^ +

—оо, п> те

+7S2rm-"(T*m-X h^ .т>п

при всех г, 0^г<1. Устремляя г к 1—0, получаем

2 2 (Т’Р(н-т)Ап, Ат)>0,

П= — ОО пг = — ОО

где Тр(и) определяется формулами

Те^ = 1, Тр(п) = 1т", Тр(-п) = 1гп (п>1). (11.6)

Таким образом, Тр(п) является функцией положительного типа на аддитивной группе Z целых чисел. Из теоремы 7.1 вытекает существование такого унитарного оператора t/p в некотором пространстве $р => §, что Тр (п) = пр Up при всех neZ. Наконец, из (11.6) следует, что Up является унитарной р-дилата- цией оператора Т.'

Теорема полностью доказана.

Заметим, что при р = 1 условие (1Р) сводится к условию ЦТ ||^1. Таким образом, доказанная теорема является обобщением теоремы 4.2. Другим примечательным случаем является р = 2. В этом случае (1Р) сводится к условию \(Th, А|^||А|р (А е ф). Таким образом, наша теорема дает как частный случай

Предложение 11.2. Для того чтобы оператор Т принадлежал классу ^^ необходимо и достаточно, чтобы численный радиус Т, определяемый равенством

w(T) = sup{|(TA, А)|:Ае§, ||А||<1}, не превосходил единицы.

Добавим еще несколько замечаний.

Замечание 1. В случае 0<р<2, р =7^ 1, условие (1Р) сводится к условию

|| (И7-Т) А || <1^-11 А || (Аеф; l^-l^m^ «,); (Q

в случае же 2 < р < оо — к условию

П(и/-ПН II ^-1М-ПАII (As^; ri^i^Koo). (1Л

Для доказательства умножим (1Р) на -^72^1 z |2, 0<| z К 1. Преобразовав полученное соотношение и положив ц = ~^-(г, придем к условиям (lp) или (тЛ в зависимости от того, р<2 или р>2.

Замечание 2. Если 1 < р < 2, то условия (1Р), или (lp) эквивалентны условию

iipz-tikipI+i (i^l^KoA "(п;)

Таким образом, для того чтобы оператор Т принадлежал к классу Фр, 1 < р < 2, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (Пр). . ■

В самом деле, из (Пр) следует (lp), поскольку

1»1+К^1»1+К^для.|р|>-§—Z рдля.|р|>-§—Z р

1»1+К^

1»1+К^

для.|р|>-§—

Z р

для.|р|>-§—

Z р

Обратно, полагая е = -Дт для таких ц, получаем из (lp)

H^-nK^-^l + el^Z-r^

е. (Пр).

Замечание 3. Для того чтобы оператор Т принадлежал к классу ^р при 2<р<оо, необходимо и достаточно, чтобы спектр Т лежал в замкнутом единичном круге и чтобы

(KltK-^). W)

" В самом деле, если Т г^р и - 1 < | р | ^ гр = --™ , Ц = е | р |, то при условии (lp)

|| (pZ - Г) h II > II (erpZ - П h || -1| (erp - p) h || >

^lerpl-^yll/ill-^-lpDll/iHdp.l-DII/ill ^he^.

При доказательстве теоремы 11.1 было установлено, что спектр оператора Т лежит в замкнутом единичном круге. Отсюда вытекает (lip).

Обратно, пусть Т удовлетворяет условию (lip) и спектр Т лежит в замкнутом единичном круге. Тогда функция (/ — гТух аналитична в круге |z|<l. Применяя к этой функции принцип максимума и используя (lip), получаем

max ||(Z — ziyx ||= шах ||(7~гТ)“1|| =

I 2 К 1/Гр| 2 | = 1/гр

= rp max II^Z-TF’ll^—^- = p- 1.

IJI-fpгр 1

Если гр<|ц |< оо, то

и, следовательно, имеет место (lp)> т. е. Г е ‘Fp.

Из условия (ip) вытекает с очевидностью, что классы Fp образуют неубывающую функцию параметра р, 0<р< оо. Более того, справедливо

Предложение 11.3. Если dim§^2, то классы ^Р(0<р<оо) образуют строго возрастающее семейство, т. е.

FPcFP', *FP ^ <Fp, при 0<р<р'<оо.

Доказательство. Для всякого р > 0 мы сейчас построим оператор Тр в ^, такой, что TpCz'Fp и || Тр || = р; тогда Тр не может принадлежать никакому классу‘Fq с 0<ст<р. Именно, выберем в § какой-нибудь ортонормированный базис {фь ф2, фу(тей)} и рассмотрим в § оператор Тр, определяемый равенствами

ГрФ1 = РФ2, Грф2 — О, TpTpv = O (veQ).

Очевидно, || Тр || = р, Гр = О (и ^2). Пусть ^ — гильбертово пространство, такое, что dim Я = 6t0 dim Ф. В % можно выбрать ортонормированный базис, элементы которого занумерованы следующим образом:

[фт (^ = ®’ ±1> ±2> •••); ^m(vGfi; Щ = 0, ±1, ±2, ...)).

Отождествив ф; с ф', ф2 с ф', фч с ф'о (v е й), вложим § в Я. Определим в Я унитарный оператор U равенствами

% = Ф^+Р ^<т = Кт+1 (vefi, щ = 0, ±1, ±2, ...)

Обозначив через Р ортопроектор из Я на %, получим рРДф^ рРф2 = рФ2, рРДф2 = рРфз = 0, 9PU^ = pP^x = 0

5 Зак. 517

и при м^ 2и при м^ 2pPU"^ = рРф<+„ = О (Z = 1, 2), pPUn^„ = рРф' „ = О.

и при м^ 2

и при м^ 2

Отсюда pPUnh = Tph для п"^\ и h = ^v Ф2, ф^, а значит, и для любого he %. Таким образом, U является унитарной р-ди- латацией Тр.

Предложение доказано.

Неравенство фон Неймана (8.9), справедливое для класса ^ъ может быть распространено в соответствующей форме на классы ‘б'р (0<р<оо). Именно из (11.1) следует, что для всякого многочлена p(z) с комплексными коэффициентами

(П.7)(П.7)р (Г) = пр [рр (£/) + (1 — р)р (0) 7^].

(П.7)

(П.7)

Учитывая унитарность U, получаем

Предложение 11.4. Если Т е^р (0<р<оо) и p(z) —произвольный многочлен от комплексной переменной г, то

(Н.8)(Н.8)|| р У) || < ш ах | рр (z) + (1 - р) р (0) |.

(Н.8)

(Н.8)

Это предложение можно дополнить следующим образом.

Предложение 11.5. Пусть q {г) — многочлен, для которого р (0) = 0 и |</(z)|^l при |z|<l. Тогда для всякого Т е^р также qy)e%p (0<р<оо)..

Доказательство. Пусть U — унитарная р-дилатация оператора Т. Применяя (11.7) к p^ = qyf (п=1, 2,...), получаем

р (Пп = Р пр ^(П)п.(11.9)

Поскольку |p(z)|^l при |z|^l, то на основании неравенства фон Неймана q(U) является сжатием. Следовательно, существует такой унитарный оператор V, что.

q фТ = пр V" (n = 0, 1, ...).'(11.10)

Из (11.9) и (11.10) следует, что

дУУ = рпрУп (п=1, 2, ...), •

откуда qy^e^p.

При р = 2 полученный результат на основании предложения 11.2 может быть сформулирован так:

Предложение 11.6. Если w(T)^l, то для всякого многочлена qUV удовлетворяющего условиям q{G)~Q и |^(z)|^l

(|z|<l), имеет место неравенство w(q(T))^A. В частности, если ю(Т)^1, то w(Tn)^] (п=1, 2, ...).

Отметим еще раз, что все результаты этого параграфа справедливы для операторов в комплексном гильбертовом пространстве.

Комментарии

Теорема 1.1 о разложении, порождаемом изометрией, была впервые сформулирована Во льдом ([1], стр. 89) на языке теории вероятностей. Приведенная формулировка принадлежит X а л м о ш у ([2], лемма 1). s

Предложение 2.1 о двусторонних сдвигах является, по крайней мере для случая комплексных гильбертовых пространств, следствием общей теории спектральных кратностей. Приведенное выше прямое доказательство, пригодное для любого поля скаляров, принадлежит Гальперину (см. С.-Н. и Ф. [V]).

Предложение 3.1 об инвариантных векторах сжатия доказано С.-Н а дем в связи с эргодическими теоремами (см. Рисе, С.-Надь [1] и \Лекции\\ Обобщения этого предложения даны С.-Н. и Ф. [1].

Теорема 3.2 о каноническом разложении сжатия была доказана независимо Лангером [1] и С.-Н. и Ф. [IV]1).

Обозначение Л = прВ было введено С.-Н а дем в [П]. Хал- мош [1] называет оператор А уплотнением (compression) оператора В, а В — дилатацией (dilatation) оператора А. С.-Надь в [П] употребляет термин „проекция" вместо „уплотнение". Мы принимаем термин „дилатация" и предпочитаем никак не называть „уплотнение". Впрочем, поскольку А = прВ означает, что билинейная форма (66, 6'), связанная с оператором В, является продолжением билинейной формы (Ла, а'\ связанной с оператором А, то было бы законно называть В „численным продолжением" А, а А — „численным сужением" В (по аналогии с терминами „численная область значений", „численный радиус" и т. д.).

Существование для каждого сжатия Т такого изометрического оператора V, что Т = пр V, было установлено еще Ж ю л и а [1—3]; Ха л мош [1] заметил, что V можно выбрать унитарным, V = и.

Теорема 4.2, утверждающая, что U можно выбрать так, чтобы Tn = npUn для всех п=1, 2, ... (т. е. чтобы оператор U

!) Для других классов операторов (не содержащихся в классе всех сжатий, но и не покрывающих его) каноническое разложение использовалось ранее М. С. Лившицем [1—3] и другими авторами.—Прим. ред.

был унитарной дилатацией Г), доказана впервые С.-Н адем [1]. В первом его доказательстве использовались теорема Р и с с а, относящаяся к тригонометрической проблеме моментов и теорема Наймарка [1] (теорема 8.2) о существовании для каждой операторной функции распределения Вх такого спектрального семейства Ех (т. е. функции распределения, значения которой являются ортопроекторами), что В^ = пр£х. Второе его доказательство (С.-Н адь [Ibis], [П], [1]) основано на том факте, что функция Т (п), порождаемая сжатием Т по формулам (8.2), является функцией положительного типа на аддитивной группе целых чисел, что позволило применить теорему Наймарка[1] об операторных функциях положительного 'типа на группе (теорема 7.1). Этот способ и воспроизведен в п. 1 § 8, однако тот факт, что Т (п) является функцией положительного типа, доказан более просто, чем в цитированных работах. Теорема Наймарка (теорема 7.1) была распространена С.-Н а дем [П] на функции положительного типа на *-полугруппе. Среди приложений этой обобщенной теоремы отметим доказательство одной теоремы Ха л моша [1] о субнормальных операторах.

К двум упомянутым доказательствам теоремы 4.2 Шеффер [1] присоединил „матричное” доказательство, приведенное в п. 1 § 5. Модификация конструкции Шеффера, приводящая к минимальной унитарной дилатации и воспроизведенная в п. 2 §5, принадлежит С-Надю [2]; см. также Г а л ь п ер и н [1]. Наконец, в доказательстве, приведенном в § 4, применен четвертый метод: сначала строится изометрическая дилатация, а затем эта последняя продолжается до унитарной дилатации.

Задача нахождения унитарной (или изометрической) дилатации для коммутативного семейства сжатий была поставлена С.-Н а дем [1], [3]. Он доказал существование регулярной дилатации при дополнительном условии, что сжатия попарно дважды перестановочны (см. С.-Надь [Ibis], [П]).

Бремер [1] ввел понятие регулярной унитарной дилатации и систематически изучал проблему существования таких дилатаций; см. также С.-Надь [4]. Ряд дополнений и упрощений внес Г альперин [2], [4]. Доказательство, приведенное в § 9, близко к доказательству Г альперина [2].

Теорема 6.1 о существовании унитарной дилатации для любой пары перестановочных сжатий принадлежит Андо [1]. Приведенный в § 6.3 пример трех коммутирующих сжатий, не допускающих коммутирующих унитарных дилатаций, построен Парротом [1].

Теорема 8.1 об унитарной дилатации непрерывной однопараметрической полугруппы сжатий доказана С.-Н а д е м

[l], [I bis], [П]. В случае когда {VJs>0 — полугруппа изометрий, a VUs\>o~^ унитарная дилатация, имеет место соотношение У^сзб^ (s^O). Отсюда вытекает теорема Купера [1], утверждающая, что всякая непрерывная однопараметрическая полугруппа изометрий в пространстве % может быть продолжена до непрерывной полугруппы унитарных операторов в пространстве ^тэ^.

Тот факт, что всякое коммутативное семейство изометрических операторов в гильбертовом пространстве % может быть продолжено до коммутативного семейства унитарных операторов в пространстве &=>§ (предложение 6.2), установлен независимо ИтЬ [1] и Бремером [1]. В § 6 мы следовали (по крайней мере частично) методу Ито, а в § 9 (предложение 9.2 (а)) — методу Бремера.

Неравенство (8.9) для сжатий означает, в иных терминах, что замкнутый единичный круг |z|^l является „спектральным множеством" для всякого сжатия в комплексном гильбертовом пространстве. Эта теорема впервые была доказана фон Нейманом [2], использовавшим методы теории аналитических функций1)- Затем доказательство было упрощено Хайнцем [1] (см. последующие издания \Лекции\), воспользовавшимся формулой Коши — Пуассона. Доказательство, приведенное в тексте и сводящее задачу к простейшему случаю унитарных операторов, было предложено С.-Надем [I], [П]. '

Упомянем также, что неравенство (8.9) фон Неймана характеризует гильбертовы пространства в классе комплексных банаховых пространств в том смысле, что если (8.9) выполняется для любого сжатия в комплексном банаховом пространстве X и для любого многочлена р^, т0 X является гильбертовым пространством (см. Фояш [1]).

Неравенство (8.9) в частном случае р (г) = г дает || Т ||^1. С другой стороны, сжатия в гильбертовом пространстве характеризуются тем, что они обладают унитарными дилатациями. В комплексном гильбертовом пространстве унитарные операторы характеризуются в классе нормальных операторов тем, что их спектр лежит на единичной окружности. Таким образом, для оператора в комплексном гильбертовом пространстве выполнение неравенства фон Неймана эквивалентно существованию нормальной дилатации со спектром на единичной окружности.

В связи с этим возникает более общая задача. Пусть Т — произвольный линейный ограниченный оператор в комплексном

О Это доказательство приведено в первом (французском) издании \Лек* цийД (Lesons d’analyse fonctionnelle, Budapest, 1952),

гильбертовом пространстве §, S — замкнутое ограниченное подмножество комплексной плоскости. Эквивалентны ли следующие два утверждения*.

для любого многочлена р(^ имеет место неравенство

||р(Т)1Ктах|р(г) |;

2^8

существует такая нормальная дилатация N оператора Т, что o^czdS (где dS —граница множества S).

В случае если dS — простая замкнутая кривая (т. е. если S — ограниченное жорданово множество), эта эквивалентность была доказана С.-Н. и Ф. [III], а в случае произвольного множества со связным дополнением — Ф о я ш е м [4] (см. также Л е б о в [1]). Са расой [1] показал, что решение этой проблемы (для множеств S со связным дополнением) может быть сведено к случаю сжатий.

Метод, примененный в §10 для получения изометрических дилатаций одного сжатия и непрерывной полугруппы сжатий, не является единственным, позволяющим изучать сразу оба случая. В самом деле, первоначальный метод С.-Надя[1] для унитарных дилатаций, отличный от метода § 10, также позволяет исследовать и тот и другой вопрос. Метод § 10 был придуман в связи с исследованием унитарных дилатаций системы дифференциальных уравнений с отрицательной дивергенцией (см. § 10.3) —задачей, которую предложил одному из авторов А. Г. Костюченко. Решение этой задачи дано в предложении 10.1 и замечании к нему.

Теорема о существовании унитарной р-дилатации для р N= 1 получена впервые Бергеро^м [1] и Ха л мошем [2] для случая р = 2 (это наше предложение 11.2). Общее исследование унитарных р-дилатаций было предпринято С.-Н. и Ф.[6]. Доказательство теоремы 11.1, приведенное в § 11, несколько отличается от первоначального и близко к доказательству теоремы Бергера —Халмоша (т. е. нашего предложения 11.2), данному С.-Н а дем в [10].

В настоящем (русском) издании в теореме 11.1 опущено фигурировавшее во французском издании этой книги условие a(T)czD, поскольку оно является следствием условия (1Р) не только при р^2 (что было установлено авторами), но и при всех р>0. Этот результат получен недавно Дэвисом [1]. Его доказательство отличается от приведенного выше.

Тот факт, что классы ^р образуют неубывающую функцию от р (0<р<оо), непостоянную ни при малых, ни при больших р (так что среди этих классов нет ни минимального, ни максимального), был замечен С.-Н. и Ф. [6]. Более точный ре-

зультат, содержащийся в предложении 11.3, принадлежит Дур- сту [1]. Им же был получен критерий принадлежности нормального оператора классу ^р.

Предложение 11.5 принадлежит Стампфли (см. X а л- м о ш [3]).

Задачу об унитарных р-дилатациях можно обобщись следующим образом. Пусть Л — самосопряженный оператор в комплексном гильбертовом пространстве ф, имеющий положительные грани. Охарактеризовать те операторы Т в %\ которым можно сопоставить унитарный оператор U в пространстве Я дз ф так, чтобы

QTnQ = пр U" (п=1,2, ...),

где Q = A 2 (унитарная р-дилатация отвечает случаю Л = р/). Для того чтобы такой оператор U существовал, необходимо и достаточно, чтобы

ДАН, й) —2Ке(з(Л —/)ГА, h) +1 г |2 ((Л - 2/) Th, ТН)>0

(he®; |z|< 1).

Это обобщение теоремы 11.1 было предложено Лангером (личное сообщение); доказательство аналогично доказательству теоремы 11.1.

В связи с содержанием гл. 1 см. также Берберян [1], М л а к [5], [6], [7], Накано [1], Н а й м а р к [2], [3], С.-Н а д ь [3], С.-Н. и Ф. [9], Торхауэр [1], [2], Эгервари [1].

Г Л А В A II

ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ МИНИМАЛЬНЫХ УНИТАРНЫХ ДИЛАТАЦИЙ

§ 1. Структура пространства минимальной " унитарной дилатации ■

Всюду ниже рассматривается сжатие Т в гильбертовом пространстве ф, вещественном либо комплексном, и его минимальная унитарная дилатация U в гильбертовом пространстве Я, соответственно вещественном либо комплексном, Яо§. Лийеалы

8o = (t/-n§, йо = (и*-Т*П (с Я) (1.1) и их замыкания'

й-ф-Т^, ^ = (и'-Г)^(1.2)

будут играть важную роль в наших'исследованиях.

Теорема 1.1. (а) 8 и 8* являются блуждающими подпространствами для U. Их размерности равны дефектным числам оператора Т:

'dim8 = br, dim 8* = Ьт. ’(1.3)

Пространство Я разлагается в ортогональную сумму

Я= ... ф£/,28-®С/’8*ф8*ф<>®'8®[/8^£/28® ... . (1.4)

Доказательство. Теорему нетрудно было бы доказать, отправляясь от матричной формы U, построенной в § 1.5.2. Мы предпочитаем, однако, привести непосредственное доказательство, не зависящее от способа реализации U.

Для доказательства того факта, что 8 и 8* являются блуждающими, достаточно установить, что £7% ± 8о, U ”8о ± 8о при п=1, 2 В силу симметрии можно ограничиться рас

смотрением 80.

Если h, й' е §, п = 1, 2, ..., то

^иЧи-ПН, (U — T)h'} =

— (Unh, h^-^U^Th, h'}-(Un+1h, Th'} + {UnTh, Th'} =

= <Tnh, h^-^T^Th, h'}-(Tn+lh, Th'} -V<TnTh, Th'} = 0.

Для доказательства равенства dim8 = br заметим, что при

II (U-T)h\? = II Uh II2 - 2Re (Uh, Th) +1| Th |p =

= || A IP - 2Re (Th, Th) +1| Th Ц2 = || h ||2 - || Th ||2 = || DTh |p.(1.5)

Отсюда вытекает, что оператор ф, определяемый равенством

W(U -T)h = DTh,(1.6)

изометрически отображает 80 на DT^. Этот оператор продолжается по непрерывности до унитарного оператора, отображающего 8 на дефектное подпространство ©г. Тем самым доказано, что dim 8 = dim ®т = Ьг. Равенство dim8* = br* доказывается аналогично.

. Покажем сначала, что члены в правой части (1.4) попарно ортогональны. Поскольку 8 и 8* являются блуждающими, то нам надо только установить, что

ипг 1 и*тй\ ип£ 1 %, U*m^ ± § при т, п>0, причем достаточно доказать эти соотношения для 80 и 8* вместо 8 и 8*. Для произвольных h, h' имеем

(un*m^hi tAtu^^^^ т(un*m^hi tAtu^^^^ т■1ип ф - Т) h, U‘m (U* - Г) h^ =

(un*m^hi tAtu^^^^ т

(un*m^hi tAtu^^^^ т

([/"+П1+ Т/г, h^-V\.Un*mTh, T*h'A =

Цтп*т*?к, h'VkTn*m*Xh1 fh'V^Tn*m*xTh, h')+(Tn+mTh, Т*Н^=^.

(Un(U — T)h, h'VVU^h, h^-^Th, h^ =

= (Tn+1h, h') - (j^Th, h^ = 0 ' И

(,U*m (U* — T") к, к'У^и^к, k'V^Tk, k') = = (Tm+1k, k'^-^Fk, k') = 0,

что и доказывает высказанное утверждение. -

Обозначим через ^' ортогональную сумму в правой части (1.4). Применяя почленно оператор U, получаем

US'= ... е^фЙ’фПЙ’фП^фПйфС/^е ....

Как мы сейчас покажем, ий*®и$ = $®й.(1.7)

Из (1.7) следует тогда, что U^.' = ^, т. е. Я' является подпространством пространства S, приводящим U и содержащим ^, откуда в силу минимальности Я7 = Я.

Для доказательства (1.7) достаточно установить, что ий*0®и§ = §®^ т. е. что'

и(и*-ТЗ&®и§ = &№--Т^.(1.8)

Это вытекает из того обстоятельства, что для элемента ueR представимость в виде

и= к' + (U-TW' (А', к"^^ эквивалентна представимости в виде

u = Ukx + U (U* - П к2 {кх, к2 е §).

Для доказательства достаточно положить

кх = Г к' + (Z - ГТ) к".к2 = к'- Тк'\

и, обратно,

к' = Ткх + (Z - ТГ) к2, к" = кх~ Гк2.

Теорема 1.1 полностью доказана.

. Теорема 1.2. Для того чтобы '

М (2) = Я или (а*) М ^3 = Я, необходимо и достаточно, чтобы соответственно

Тп->0 (п->оо) или (б*) Гп->0 (м —> оо).

Таким образом, из (б) или (б*) вытекает, что U является двусторонним сдвигом кратности Ьг или Ьг* соответственно.

Доказательство. Если Ие^ п=\, 2, ..., то

п—1

М (2) э 2 и-к-1 (U - п Tkh =

к=0п-1

= 2 (U~kTk — U~k~lTk+1)h —

= h- U~nTnh.

Если имеет место (б), то

h= \\m^h-U"nTnh^G М^\"

П->оо

Таким образом, из (б) следует, что

<»czM(2), Un§c U?M^ = M^X (п = 0, ±1, ...) - и, значит,

Я = М(2).

Импликация (6*)=^ (а’) доказывается аналогично.

Докажем противоположные импликации. Предположим, что имеет место (а). Тогда, в частности, для любого Ае § имеет место ортогональное разложение

А=1^. где 1ке8, 21| 1к |р = || h IP,

и, следовательно,

Tnh = P§Unh = РФ 2 Un+klk. .^=— ОО

В силу (1.4) Ф ортогонально к [7т2 при zn^O, так что

— П —1

Tnh = P9 2 Un+klk,

А=—ОО

и, значит,

.Tnh->0 при п->оо.

Импликация (а^^^б*) доказывается аналогично.

Теорема 1.2 в некоторых частных случаях допускает обращение. Так, например, имеет место

Предложение 1.3. Если дефектное число Ьг конечно и минимальная унитарная дилатация U оператора Т является двусторонним сдвигом кратности Ьг, то Тп -> О (п~> оо). Точно так же, если Ьг* < оо и U является двусторонним сдвигом кратности ^т% то Т*п—> О (п->ооу

Доказательство. Достаточно доказать первое утверждение. Поскольку U является двусторонним сдвигом кратности Ьг, то существует блуждающее относительно U подпространство 8' пространства Я, такое, что Я = 2И(8'), dim8' = br. Поскольку также Л4(8)с=Я, dim8 = br<oo, то из предложения 1.2.1 вытекает, что М (8) = М (8') = Я и, значит, Тп —► О на основании теоремы 1.2..

Предложение 1.4. Для всякого сжатия Т в $ и его минимальной унитарной дилатации U в Я имеет место равенство М(8)УМ(8*) = Яе^о,(1.9)

Л4 (8) V М (8*) = S.Л4 (8) V М (8*) = S.(1.Ю)(1.Ю)где §0 — максимальное подпространство в §, на котором оператор Т унитарен ^см. теорему 1.3.2). В частности, для вполне неунитарного Т

Л4 (8) V М (8*) = S.

Л4 (8) V М (8*) = S.

(1.Ю)

(1.Ю)

Доказательство. Пусть вектор fe$ ортогонален к М (2) и к М (2*). Тогда, в частности, f ортогонален к t7"2 и к U*nST при n = 0, 1, ... и из (1.4) вытекает, что fе ф. Из соотношений f ± 1Гпй (п>1) следуют равенства

0 = (f, U*n<U -T)h) = (Un~lf, h) — (Unf, Th) =

= (г'1"1/, h) - (rnf, Th) (h e $). Положив h = Tn~lf, получим

(n=l, 2, ...)

и, следовательно,

•iifiHiniHim-

Из соотношений f ± ипй* (n^l) аналогично получаем ' *№Hirfii==||r2f||= ....

Тем самым доказано, что f е §о.

Обратно, пусть f е §0. Тогда

Unf = Tnf (п>0),

1Unf = rnf (п<0),

и, следовательно, Unf е ф для всех п. Отсюда вытекает, что Unf ± 2, f ± U~nZ и потому f ± М^й\ Аналогично f±Af(2*). Таким образом, f ± М (2) V М (2*).

Равенство (1.9) доказано. Равенство (1.10) —его частный случай, поскольку для вполне неунитарного сжатия 5>0 = {0}.

Структура пространстваминимальной изометрической дилатации.

Дилатация коммутантов

Заметим, что подпространства Af(2) и М (2*) приводят оператор U; следовательно, приводят U и подпространства

9t = J?eAf(2‘), 9t, = ^e^(2).(2.1)

Назовем

R = U\9t и R»=U\K(2.2)

соответственно остаточной частью и дуально-остаточной частью (или, короче, достаточной частью') оператора U. Операторы R и R, унитарны в 9t и 91* соответственно. Мы займемся их изучением в следующем параграфе.

Рассмотрим подпространство

»+ = V ип^^^.о»+ = V ип^^^.о(2.3)(2.3)

»+ = V ип^^^.о

»+ = V ип^^^.о

(2.3)

(2.3)

Оно инвариантно относительно U и содержит Ф как подпространство, откуда следует, что

U+ = U\R+(2.4)

является минимальной изометрической дилатацией оператора Т (см. теорему 1.4.1). Поскольку ниже речь идет о минимальной изометрической дилатации оператора Т, мы будем всегда предполагать, что оно получено из минимальной унитарной дилатации U указанным способом.

Из очевидного соотношения

Unh = Tnh + (U-T) F^h + U(U-T) Tn-^h + ...

•... + un-x <U -Fh (h<=& n>^

вытекает, что Я+ содержится в ф®Л4+(Й). С другой стороны, поскольку ф с Я+ и•

(/"(t/-r)§cl/"+1§Vl/"$cS+ (п>0),

то §®Л1+ (Й) с Я+. Тем самым доказано соотношение

Я+ = §®А4+(Й).(2.5)

Поскольку Й а ^+, то безразлично, брать ли Л4+ (Й) относительно U или относительно U+..

Сравнивая (2.5) с (1.4) и (2.1), получаем

оо$+ = яе © и*пй* =['Л®м(й*)1е ®и-п^ =91® ®ип^ .

о

о

О Jо1.

Полагая

8. = U9* = U^-T^ = (7 - UT^ &'(2.6)

можем написать

'Я+ = ^фЛ4+(Й,).(2.7)

Поскольку Й* с § V U^ с $, то безразлично, брать ли М+ (Й,) относительно оператора U или относительно U+. В силу (1.7) имеем

Й»®^ = Ф®Й. (2.8)

Выведем из этого равенства, что

(2.9)(2.9)ЙПЙ, = (О}.

(2.9)

(2.9)

Именно, взяв ортогональные дополнения подпространств 2 и 2* в пространстве §ф2, равные в силу (2.8) § и U^ соответственно, мы приведем (2.9) к виду

£ V ^§ = §®8.(2.10)

А это равенство уже очевидно ввиду соотношений.

иМФ-тШЖ஧ и % = ЦТ^т)$^ и$у$.

Напомним, что 91 приводит U к унитарному оператору R, который мы назвали остаточной частью U. Поскольку 91с:Я+, то 7?=[7+|9i. Таким образом, разложение (2.7) является не чем иным, как разложением Вольда пространства Я+ по отношению к изометрическому оператору [7+. Следовательно,

2.=я+е^л+. ^= n ии+= n v ик%. (2.П) п>0м>0 h^n

Из теоремы 1.2 и определения (2.1) пространства 91 вытекает, что 91 = {0} в том и только том случае, когда Т*п -* О (п-*оо).‘

Разложение (1.4) пространства Я показывает, что ипй1. ±[/~m2* = U^^i, при п, т^О. Обозначая через Р8* ортопроектор из Я на М (2,)( = М (2*)), получаем

Р8*М+ (2) с М+ (2,).(2.12)

Если сжатие Т вполне неунитарно, то в силу (1.10)

(/ - р8,>="(Г^рЧмлй).

Из (2.1) следует тогда, что

91 = (/— Р8*) Л1 (2).(2.13)

Резюмируем полученные результаты:

Теорема 2.1. Пусть Т — сжатие в %, U — его минимальная унитарная дилатация в % и U+ — eeo минимальная изометрическая дилатация в ^+(а^). Тогда

Я = Л4(2,)ф91 (см. (2.1)),

^+ = М+(2.)ф91 = фф/И+(2) (см. (2.5) и (2.7)), где

Й = (П-Т)^ и й.-у-иг)^

— подпространства в Я+, блуждающие для U + и для U, а 91 — подпространство в Я+, приводящее U+ (и U) к унитарной части R оператора U+. Кроме того,

2 Г1S. = {0}(см. (2.9)),

' Р8*КЦ (2) с М+ (2.)(см. (2.12)).

Если оператор Т вполне неунитарен, то

9t = (T^p4wj(см. (2.13)).

Подпространство 91 сводится к {0} в том и только том случае, когда Т*п ->О (п -> оо).

Пусть Т — сжатие в пространстве $, 1Г — изометрия в некотором пространстве ®. В качестве первого приложения теоремы 2.1 (точнее, разложения (2.5)) рассмотрим связь между решениями X и У операторных уравнений

TX = XW(а)

и

U+Y=YW,(б)

где X — ограниченный оператор из ® в §, У —ограниченный оператор из ® в Я+.

Заметим сперва, что каждое решение Y уравнения (б) порождает решение X уравнения (а) по формуле

X = P^Y,(в)

где Р+ — ортопроектор из Я+ на ^. Это следует непосредственно из равенства ТР+ = P+U+ (см. (I. 4.2)). Покажем, что таким путем можно получить любое X. Иными словами, для каждого X существует такое У, что имеет место (в). При этом, вообще говоря, У определяется неоднозначно. Однако из (в) следует, что всегда ЦХ1К11УЦ. Мы найдем такое У, для которого || У || = || X ||. В силу однородности достаточно рассмотреть случай || X || = 1 (если X = О, то У = О).

Таким образом, достаточно найти У, такое, что

11У1К1.(г)

Из разложения (2.5) вытекает, что общий вид оператора У, удовлетворяющего условию (в), дается формулой

Y^X + Bo-YU+Bx + U^Ba-Y ...,(2.14)

где все В, (/ = 0, 1, ...) суть операторы из ® в 8. Дополнительное условие (г) сводится к неравенству

(II Yg||2 = )||XgII2 + 21|BngII2<||g|| (^e®).(2.15)

Из (2.14) вытекает, что

U^Y- YW = | U*X + 2 ^+'bJ - XW + 2 U'XBnW | = \0/\0/

=S^rt+(srt_1-B„r),

0

где

B_x = U^X-XW.

В силу (а) В_х = ([7+ — Т)Х, так что В_х отображает ® в 2.

Для того чтобы Y удовлетворял уравнению (б), необходимо и достаточно, чтобы

В^ = Вп_х (n = 0, 1, ...), где В_х = (и^-ПХ. (2.16)

Подведем итоги. Общий вид оператора Y из ® в S+, удовлетворяющего условиям (б), (в) и (г), дается формулой (2.14), где операторы Вп (из ® в 2) связаны соотношениями (2.15) и (2.16).

Последовательность {Brt} мы построим по индукции.

Предположим, что для некоторого А/*^0 построены операторы Вп Vt<N\ причем

Sjvte) = №lF + 2 H^lP<UlP te^®) (2.15^ ^n<N ■

И'

BnW = Bn_x (0<n<W), где B_x = (U^-T)X. (2.16)^

Заметим, что при N = 0 эти соотношения выполняются: s0(g") = = II Xg ||2 || g ||2, поскольку 11X11=1, а условие (2.16)0 отпадает.

Условие (2.15)^ может быть записано в виде

U-x*x- 2 ВпВп>о.

0^n<N

Положительный квадратный корень из оператора, стоящего в левой части этого неравенства, обозначим через DN. Для нахождения очередного оператора BN заметим сперва, что, как следует из (а),

|| B_xg IP = II (l/+ - Г) Xg IP = II Xg IP - II TXg IP =

MW-IWglp. (2.17)

В случае N^l на основании (2.16)^ имеем 8^ТО = Н^|р+ s USn«W =■

"п< = цх^|р + цв_^|р + s lizwip.

0<m<N-l

Из (2.17) и (2.15)у следует тогда, что

SN (Wg) = sN (g) - II BN_xg IP <II g IP - II BN_xg IP.

Поскольку II g II = II Wg II, TO l|Bw_1g||2<||^|p-sJV(rg) =

'= 11И^1Р-И*ШР- 2 II BnWgIP = II DNWgIP.

0Cn<N

С другой стороны, ввиду соотношений II Xg IK II g || = II Wg || из (2.17) вытекает, что.

II B_xg II2 < II Wg II2 - II XWg II2 = II D.Wg ||2.

Таким образом, неравенство

IIB^IKII^W tee®)(2.18)

справедливо при любом N^O. Поэтому существует такое сжатие CN из DnW® в 2, что

Bn-\ = CnDnW.(2.19)

Оператор CN продолжается по непрерывности на ®х = DNW®. Полагая его на ®0®! равным, например, нулю, мы получим сжатие из ® в 2. Возьмем

Bn = CnDn.(2.20)

Соотношение BNW = BN_X очевидно. Далее,

IIB^IPMC/ZWI^II^M2 II Bng II2,

0<n<N

т. е. выполняется (2.15)дг+1.

В силу (2.15)^ и (2.16^ для N = 0, 1, ..., построенные операторы Вп (л>0) удовлетворяют условиям (2.15) и (2.16).

Таким* образом, доказано

Предложение 2.2. Пусть Т —сжатие в £), W — изометрия в ®. Общее решение X уравнения (а) получается из общего решения Y уравнения (б) по формуле (в). Более того, для каждого X можно выбрать такое У, что || Y || = || X ||.

Теперь легко установить более общий результат.

Теорема 2.3. Пусть Т и Т — сжатия в гильбертовых пространствах ^ и ^ соответственно, U + и U'^ — ux минимальные изометрические дилатации в пространствах $+ и Я0 Для каждого ограниченного оператора X из ^ в ф, такого, что

ТХ = XT,(а)

существует ограниченный оператор Y из ^ в ^^ такой, что UJ-YUV(б)

- .X = P.YW,(в)

- г(г+е^)ся+е^' (вэ

IIЛ = 11 И.(г)

6 Зак, 517

Обратно, каждое ограниченное решение Y уравнения (б), удовлетворяющее условию (в'), определяет по формуле (в) некоторое решение X уравнения (а).

Условие (в) и (в') в совокупности эквивалентны условию

Х*=Г\^.(в")

Доказательство. Рассмотрим сначала ограниченный оператор У из ^ в Я+, удовлетворяющий условиям (б) и (в'), и покажем, что оператор X. получаемый по формуле (в), удовлетворяет уравнению (а). Применяя соотношение (I. 4.2), получаем

ТХ = TPJ\^ = P+U+Y\^ = PJU^ | %' = = p^yp;u; I & + P+Y (/ - p;) и; I

Поскольку P'^U'^^' = T' по определению дилатации, a P+У (/— Py = О на основании (в'), отсюда вытекает (а).

Рассмотрим теперь произвольное ограниченное решение X уравнения (а). Умножая (а) справа на Р^ и используя равенство Т'Р^ = P^U^ (см. (1.4.2)), получаем

ТХо = Хои^ где Х0 = ХР^.

Оператор Хо действует из Я* в ^. Применяя предложение 2.2 к случаю W = U^. видим, что существует оператор У из Я^. в Я+, такой, что

U+Y=YU'+,P+Y = X0, Но|| = ПИ-

Поскольку, очевидно, Х0\^' = Х и || Хо || = || X ||, то Y удовлетворяет соотношениям (б), (в) и (г). Так как

р¥у-ру-х„у-ру = хр'+у-ру-о,

то У удовлетворяет и (в').

Эквивалентность условий (в) + (в') и (в") легко устанавливается непосредственно.

Теорема доказана.

Остаточная часть минимальной унитарнойдилатации. Квазиаффинитет и квазиподобие

Займемся изучением остаточной и достаточной частей минимальной унитарной дилатации U оператора Т (см. равенства (2.1) и (2.2)). Обозначим через

Р^ At, Р^*

ортопроекторы в пространстве Я на подпространства $, 91 и 91ф соответственно.

Предложение 3.1. Для всякого h^Q выполняются условия

P^h^ lim UnT*X P^h = lim U~nTnh, (3.1) П-^ооП->оо

||Р^/г|1 = lim || Т"Л||,П-^ооP^P^h = lim TnTnh.П->оо||Р^/г|1 = lim || Т"Л||,П-^ооP^P^h = lim TnTnh.П->оо(3.2)(3.3)(3.2)(3.3)и, следовательно, WIH lim | T*nh II, П->оо

||Р^/г|1 = lim || Т"Л||,П-^оо

P^P^h = lim TnTnh.

П->оо

||Р^/г|1 = lim || Т"Л||,П-^оо

P^P^h = lim TnTnh.

П->оо

(3.2)

(3.3)

(3.2)

(3.3)

P^h = lim TnT*nh,

Доказательство. Поскольку оператор U унитарен и является унитарной дилатацией Т, то (3.2) и (3.3) вытекают немедленно из (3.1). Таким образом, достаточно доказать соотношения (3.1) или в силу симметрии какое-нибудь одно из этих соотношений. Докажем, например, второе.

Поскольку ||ГП+1А|^|| Г ||Цгп/г|]^||Г"/г|| (п>0), то числа ЦГ^Ц (п = 0, 1, . ..) образуют невозрастающую последовательность; следовательно, существует lim || Tnh Ц. Если 0 ^ m ^п, то П->оо

UFnTnh, U"mTmh^ = (U,n"nTnh) Ттк) = (Гп-тТпк, TmhV = (T*mT*""mTnh, h) = (TnTnh, h) = I Tnh ||2,

откуда

|| u~nTnh- u"mTmh ||2 ='

= ||lTnTnhf +1U-mTmht-2Re(U"nTnh, U~mTmti) =

= II Tnh IP +1| Tmh |p - 21| Tnh IP = || Tmh ||2 -1| Tnh IP. .

Поэтому из сходимости числовой последовательности || Tnh |Р вытекает сильная сходимость последовательности U~nTnh в Я ^п-^оо\ Положим

k- lim U"nTnh

и покажем, что к = Psuh» т. е.

(а) кЗ_М(^ и (б) Н-кгМ^\

Из (1.4) следует, что § ± ит+пй (m + n^O), откуда U~nTnh j_ ит^ ПрИ п^ — т. Следовательно, к ± Um*& при любом целом т, что равносильно (а). Условие (б) вытекает из соотношения

h - U-nTnh =U-4U-T)h + u4U-ПТк-V ...

... + LT"^ -T)Tn-xhG М (й\

в силу которого

h - к = Нт (/г - U~nTnh) е М (8).П->оо

Предложение 3.1 доказано.

Предложение 3.2. Если хотя бы одна точка внутри единичного круга не является собственным значением сжатия Т, то

О = М.(3.4)

Аналогичное утверждение верно для дуального случая.

Доказательство. Предположим, что (3.4) не имеет места, т. е. что к ± Р^§ для некоторого heft, к =# 0, или, что то же самое,

•&±М(£*), kl%

для некоторого к г 91, к ^ 0..

В силу (1.4) имеем кеМД^. Следовательно, существует ортогональное разложение

i=2l/X где 1пей, S ||/„ ИМ И2.п=0п=0

Поскольку к ^ 0, то среди векторов 1п найдутся отличные от нуля. Пусть /v —первый из них. Тогда

и-^к - и"Ч. + 1(3.5)

Из условия ke9t вытекает, 4to*1/-v-1& = R~v~lk е 91 = RQM (8*) и, следовательно, U~y~lk ± 8. С другой стороны, (7*^8 ± 8* при ц^О в силу (1.4). Поэтому в силу (3.5) [/-1/v±8*, ZV±I78‘. Поскольку Zv е 8 с: £>©8 = П8‘ф U^ (см. (1.7)), то Zve U%. Следовательно, существует такое he %, что lv—Uh. Поэтому P$ZV = P%Uh = Th. Так как, с другой стороны, 8 ± ф, то P§U = 0, Th = O. Условие Zv ^ 0 влечет h ^ 0, так что 0 является собственным значением Т.

Рассмотрим сжатие Та = (Г — аГ)(1 — сП")-1, где | а |< 1. Оператор (U^a, аналогичным образом получаемый из оператора U+, является минимальной изометрической дилатацией Та (см. предложение 1.4.3). Но поскольку оператор S в каком- либо пространстве унитарен в том и только том случае, когда его преобразование Sa есть унитарный оператор, то максимальное подпространство пространства $+, в котором унитарен оператор (Z7+)o, совпадает с максимальным подпространством

пространства Я+, в котором унитарен оператор U ^, т. е. с 9$. Применяя полученный выше результат к Та вместо Т, получаем, что в случае нарушения условия (3.4) число 0 является собственным значением для Т й и, следовательно, а является собственным значением Т.

Итак, если условие (3.4) не имеет места, то все точки внутри единичного круга являются собственными значениями Г, что и требовалось доказать.

Введем следующие

Определения. 1) Квазиаффинитетом пространства ^ в §2 будем называть линейное непрерывное отображение X пространства ^ в $2> Для которого X-1 существует в широком смысле !) и имеет плотную в §2 область определения. *

Пусть S! и S2~ линейные ограниченные операторы в пространствах ^ и §2 соответственно. Будем говорить, что Si является квазиаффинным преобразованием оператора S2, если существует такой квазиаффинитет X из ^ в §2» что Si = = X-1S2X.

Два линейных ограниченных оператора называются ква- зиподобными. если каждый из них является квазиаффинным преобразованием другого.

Предложение 3.3. 1) Если X — квазиаффинитет §j в ^2> Y — квазиаффинитет §2 6 ^з» то YX — квазиаффинитет ^ в ^3.

Если X — квазиаффинитет §х в ф2, то X* — квазиаффинитет ^2 8 #1- 1

Если X — квазиаффинитет ^ в ф2, то IX | = QCXy — квазиаффинитет ^ в фь а отображение Л71 Л' Г1 продолжается по непрерывности до унитарного отображения V х пространства ^ на §2.

Доказательство предоставляется читателю в качестве простого упражнения.

Предложение 3.4. 1) Если 8 х —квазиаффинное преобразование S2, a S2 — квазиаффинное преобразование 8^ то 8Х квази- аффинное преобразование S3.

Если 8 х — квазиаффинное преобразование 5г, то 8^ —квазиаффинное преобразование 8х.

Если 8Х и 8 2 —унитарные соответственно в §х и ф2> а 8Х — квазиаффинное преобразование S2, то Si и S2 унитарно эквивалентны.

Доказательство. 1) и 2) вытекают непосредственно из соответствующих утверждений предыдущего предложения. Для доказательства 3) заметим прежде всего, что из условия (а) = S2X (где X — квазиаффинитет ^ в §2) на основании унитарности Sj и S2 вытекает, что S^ = ХГ1^ = XSF1 = A'Si, откуда (б) X*S2 = S^*. Из (а) и (б) следует, что | X j2 St = X*XSx = = X* S2X = S,X*X = S! | X I2; по индукции | X|2n S, = Si | X |2n, откуда p (| X I2) S( = Sjp(| X |2) для любого многочлена p(x). Заставляя p(x) пробегать последовательность, сходящуюся к х2 равномерно на интервале О^х^ЦХЦ2, получаем (в) IXIS^SJXI.'

Из (а) и (в) вытекает, что

^xl^l = S2X = XSt = VxIXlSt = УХ$11П

откуда в силу плотности области значений оператора |X| в пространстве ^( S2rx= Гх^р Поскольку оператор Vx унитарен (см. утверждение 3) предыдущего предложения), операторы Sj и S2 унитарно эквивалентны.

Вернемся к содержанию п. 1 и укажем еще одно следствие соотношений (3.1). Именно,

U*P$h = P$Fh и UP^h = PxJh (/te§).(3.6)

Действительно,

' U* (lim UnFnh) = lim Un-1Fnh = (lim Un-t Fn~') Fh И

U (lim U-nTnh) = lim U^Vh = (lim u4n-1)Tn-^ Th.

Пользуясь этими соотношениями, докажем

Предложение 3.5. (а) Если ТН^О и Fnh-A0 {при ц—>оо) ни для какого he§, h =# 0, то

Х = Р^

является квазиаффинитетом ф в 9i и

R*X = XT*, X*R = ТХ*,(3.7)

так что R — квазиаффинное преобразование Т.

) Если Fh Ф 0 и Tnh -/* 0 {при п-* оо) ни при каком he ^, h^Q, то

является квазиаффинитетом % в 91, и'

RtY=YT,(3.8)

так что Т — квазиаффинное преобразование R*.

) Если ни Tnh. ни T*nh не стремятся к 0 ни при каком h^%. h=#0. то Т квазиподобно операторам R и R^ которые в этом случае унитарно эквивалентны.

Доказательство. При условиях пункта (а) утверждение Xh#=0 при h ^ 0 вытекает из первого из соотношений (3.2); в силу предложения 3.2 ^§ = 91, так что X является квазиаффинитетом § в 91; (3.7) вытекает из первого из соотношений (3.6). Случай (б) дуален к (а). В случае (в) выполняются условия случаев (а) и (б), так что R является квазиаффинным преобразованием Г, а Т — квазиаффинным преобразованием R*. В силу предложения 3.4 R есть квазиаффинное преобразование R* и, следовательно, R, унитарно эквивалентен R. Отсюда следует, что Т — квазиаффинное преобразование R. Предложение доказано.

Классификация сжатий. Каноническиематричные триангуляции сжатий

Предыдущие результаты мотивируют, по крайней мере частично, введение некоторых классов С., сжатий Т. Именно, мы полагаем

ТеСй>,

если

Tnh—.

► 0

ДЛЯ

всякого h\

TeCv,

если

TnhV0

ни

для какого

А ^ 0

ТеС.о,

если

Tnh-

->0

для всякого A;

Т^С.х,

если

Tnh-

AO

НИ

для какого

А#=0

Далее, полагаем

•£«р= Са. П с.р.

Покажем, что сжатия, принадлежащие этим классам, играют важную роль при исследовании сжатий общего типа.

Напомним сначала, что каждому разложению

§=§1Ф§2® ... е^Р(4.1)

гильбертова пространства § в ортогональную сумму подпространств и каждому ограниченному оператору Т отвечает матрица [Г/J (/,/ = 1, . .., р\ где Тц — оператор из §7 в §ь а именно Тц = PtT | §j (Pi — ортопроектор § на §t\ Очевидно, что если Г— сжатие в §, то Тц —-сжатие из ^ в §ь Если оператор Т. кроме того. вполне неунитарен, то все операторы Тц. стоящие на диагонали, также вполне неунитарны. В самом

деле, если в §t существует такое подпространство Ж #= {0}, что оператор Т^1^ унитарен в Ш?, то для всякого fe№ имеем Tuf = Ргтт И ||fll = HJ|| = ||Pfnil<linil<llflL Откуда следует, что Ttlf = Tf. Таким образом, Т совпадает с Ти на Ж и потому Г|Ш? является унитарным. Это противоречит предположению о полной неунитарности Г, следовательно, оператор Ти вполне неунитарен.

Будем говорить, что разложение (4.1) порождает триангуляцию (или наддиагонализацию) оператора Г, если Тц = О при I > /. Это условие сводится к условию

Т^с^..,®^ для / = 1, 2, ...,р. (4.2)

В этом случае подпространство §i инвариантно относительно Т (Г^с^) и матрицы операторов Тп (п=\, 2, ...) имеют наддиагональную форму, причем (Г")^ = (Ти)п.

Cq. *.0 cv.Cq. *.0 cv.(а)(а)и (а*)и (а*)Теорема 4.1. Всякое сжатие Т в % обладает триангуляциями вида■-

Cq. *

.0 cv.

Cq. *

.0 cv.

(а)

(а)

и (а*)

и (а*)

где на диагонали обозначен класс, куда входит соответствующий оператор (при этом предполагается, что нулевой оператор в пространстве {0} принадлежит всем рассматриваемым классам). Каждая из этих триангуляций определяется однозначно. Из существования триангуляций (а) и (а*) следует также существование триангуляции вида

Coi

*

*

*

* ~

О

С 00

*

*

*

(б)

О

О

Сц

*

*

О

О

О

Соо

*

_ О

О

О

О

С ю-

Доказательство. Положим

^^{Л: he%, Tnh->QY(4.3)

Очевидно, §! — подпространство в ф, инвариантное относительно Т. Пусть $2 = ^G^i- Разложение -§ = §j ф§2 порождает триангуляцию

Т =Т =Т1 *_ о т2.Т1 *_ о т2.где Tt = r|^, Т^РаП^.где Tt = r|^, Т^РаП^.

Т =

Т =

Т1 *

_ о т2.

Т1 *

_ о т2.

где Tt = r|^, Т^РаП^.

где Tt = r|^, Т^РаП^.

Здесь Pt — ортопроектор на ^ (i=l, 2).

Поскольку Тх=Тп\^х, то TveCr? по определению подпространства 6ь Покажем, что Т2еС? . .

Используем для этой цели второе из соотношений (3.1), утверждающее, что

Qh = lim U~nTnh (h^^\(4.4)

П-^оо

где для простоты оператор Р«, обозначен через Q. Из этого соотношения следует, что для произвольного целого /п^ О Qh = lim u^^T^h =

П->оо

= lim (U-mU"nTnP2Tmh + U"(n+’n4nPxTnih) = m->oo

= IF"1 lim U"nTnP2Tmh = U~mQP2Tmh, П->оо•

поскольку limT'Vz^O для hx = PxTmhe ^. Поэтому

II.QAIl^H P2T'z"/t|| M;/n = 0, 1..4.

Это неравенство показывает, что если для некоторого Ье§ выполняется условие lim P2Tmh = 0, то Qh = 0. На основа- пг->оо

нии (3.2) lim Tnh = 0 и, следовательно, hs^x. Поскольку П->оо'

Тг = PiTm | ф2, то T^h не может стремиться к 0 при т—>оо ни для какого /ге^2, Л^О. Таким образом, Т2еС(.. Мы получили триангуляцию типа (а) для оператора Т.

Докажем, что если

Т1ОТ1О*Тг*Тг§ = ^ф§2, Т' = Т\&, Тг = РгТ|^2§ = ^ф§2, Т' = Т\&, Тг = РгТ|^2

Т1

О

Т1

О

*

Тг

*

Тг

§ = ^ф§2, Т' = Т\&, Тг = РгТ|^2

§ = ^ф§2, Т' = Т\&, Тг = РгТ|^2

— какая-нибудь другая триангуляция типа (а) оператора Т, то она совпадает с триангуляцией, полученной выше. Для этого достаточно показать, что

^ = ^. (4.5)

Если Ие^', то Tnh = T'^h-^O, поскольку Т^еСд., и из определения (4.3) подпространства §! вытекает, что Не^. Таким образом,

^<=^г

Пусть теперь h е ^ 0 ^'. С одной стороны, Tnh -> 0, поскольку he^v С другой стороны, P'2Tnh = T'*h, поскольку he&' (?2~ортопроектор из § на ^2). Так как Т'еСк, T2h->0, то А = 0. Таким образом, ^©^ = {0}, чем и доказано (4.5).

Мы доказали, что всякое сжатие обладает триангуляцией типа (а), и притом единственной.

Если взять для сжатия Т* триангуляцию (а) и поменять

местами §, и §2, то получим для Т матрицу вида

с1в 0 1_ * Cg* J

Переходя к сопряженным операторам, получим для Т матрицу типа (а*). Таким образом, существование и единственность триангуляции типа (а*) вытекают из соответствующих фактов для - триангуляции типа (а).

Заметим, что если Т е Со., то для произвольной триангуляции \ТцА ^Ти = О при />/) имеем ТиеС0. для любого L В самом деле, Тц = PtTn | %t ~> О (д->оо\ В частности, если

т =

ГЛ

*

О т^

— триангуляция типа (а‘), то

Ле Со. Г) C.i = Сщ, Т2е Cq. П С.о = Соо.

С другой стороны, если ТеС,. и [Т^]— произвольная триангуляция Г, то Tue,Ci., поскольку Tnh = Tnh (Ае^>). В частности,

если Т

711 ♦ 1

— триангуляция типа (а*), то ТхгСх. П Сч = Сп _ О 1 2 J

и, разумеется, Т2еС.о. Эти результаты могут

Цой форме:

Со. =

быть выражены

в следующей услов-

CqiО

*

Соо - *

С

СцО

С«о J

(4.6)

Меняя порядок подпространств и переходя раторам, получаем из (4.6) формулы

к сопряженным опе-

C.Q —

Coo * 1 г Г Со*.О Сю? ^[О

*

Сц/

(4.7)

Исходя из триангуляции типа (а) и пользуясь формулами (4.б)

и (4.7), получаем

CoiО

*

Соо.

о

С0* *

О С]

*

СцО

*

С*о,

Тем самым доказано существование триангуляции типа (б).

В заключение напомним, что всякое сжатие Т класса С^ квазиподЪбно унитарному оператору, а именно остаточной части своей минимальной унитарной дилатации (см. предложение 3.5, (в)).

Инвариантные подпространства и ихповедение по отношению к квазиподобиям

Прежде всего, напомним, что называется инвариантным подпространством оператора, и дадим определение двух близких понятий. ,

Определения. Пусть Г— оператор в гильбертовом пространстве §, и 2- подпространство §.

2 называется инвариантным относительно Т, если Тй а 2.

2 называется ультраинвариантным относительно Т, если оно инвариантно относительно любого оператора, перестановочного с Г (и, в частности, инвариантно относительно Т\

2 называется регулярно инвариантным относительно Г, если Г2 = 2.

Из этих определений следует, что если {2J есть семейство подпространств, инвариантных или ультраинвариантных относительно Г, то подпространства

Пеаиу8а ■ а а

также соответственно инвариантны или ультраинвариантны относительно Т.

Очевидно также, что для унитарного оператора U, действующего в пространстве Я, подпространство 2 является регулярно инвариантным относительно U в том и только том случае, когда 2 приводит U. Другими словами, 2 регулярно инвариантно относительно U тогда и только тогда, когда Р^ (ортопроектор на 2) коммутирует с U.

Докажем, что аналогично подпространство 2 ультраинвариантно относительно унитарного оператора U в том и только том случае, когда Ра коммутирует с каждым оператором А, перестановочным с U.

В самом деле, если А коммутирует с Ра, то Л2 = АР^ = = РаА^ а Р^ = 2. Таким образом, если Ра коммутирует с каждым оператором Л, перестановочным с U, то 2 ультраинвариантно относительно U. Обратно, если 2 ультраинвариантно относительно 17, то APa = PaAPa для всякого оператора А, перестановочного с U. Поскольку А* также перестановочен с U

(из AU-UA следует UA = U*AUU* = U*UAU* = AU*, A*U = UA*), то А*Р, = Р,А*Р,. Поэтому

АР, = Р,АР, = <Р,А*Р,У = (A*P,Y = Р,А.

Из приведенных выше замечаний вытекает, что если 2 ультраинвариантно для U, то то же можно сказать и о Я @2. При этом всякое 2, ультраинвариантное для унитарного оператора U, регулярно инвариантно для U и, более того, <72 = 2.

После этих приготовлений докажем

Предложение 5.1. Пусть Т и U —операторы в пространствах § и Я соответственно, причем оператор U унитарен, а Т квазиподобен U. Каждому подпространству 2 cz Я, ультраинвариантно му относительно U, можно сопоставить подпространство q^c^ регулярно ультраинвариантное !) относительно Т, так,

q^ = §;

если 2 с 2', то q(Q)czq (2');

если 2 #= 2', то ^ (2) ^ q (2');

если П8а = {°}. то П?(8а) = {0};

если V 8а = 8, то V q (8а) = q (8). . аа

Доказательство. По предположению существуют квазиаффинитет X из ft в § и квазиаффинитет У из у в S, для которых

- TX = XU, UY=YT. (5.1)

Пусть 8 — подпространство в Я, ультраинвариантное относительно U. Положим

а^ = Хй, b^ = {h:he%, Yhe^.(5.2)

Очевидно, а (8) и 5(8) являются подпространствами в ф. Пусть Л —оператор в ф, коммутирующий с Т. Из (5.1) вытекает, что

U (YAX) = (UY) (АХ) = (УТ) (ЛХ) = Y (ТА) X = Y (AT) X =

= (YA)(TX) = (YA)(XU) = (YAX)U. (5.3)

Поскольку 8 ультраинвариантно относительно С/, то в силу (5.3)

(УЛХ)8с8.(5.4)

На основании (5.2) из (5.4) вытекает, что

Да (8) с 5 (8).(5.5)

Положим

?(8) = уДа(8),'(5.6)

А

где А пробегает множество всех операторов, перестановочных с Т. Поскольку в этом множестве имеется тождественный оператор, то а(й) ^ q$Y и ввиду (5.5) ^(2) cz Ь (8), так что

a(2)cz?(2)cz&(2)..(5.7)

Очевидно (см. (5.6)), что ^(2) ультраинвариантно относительно Т. Более того, это подпространство регулярно инвариантно. В самом деле, поскольку 1/2 = 2, то f7(^ = F^=m = Л72=1^^

и если А перестановочно с Г, то

ТАа(^ = АТ а (8) = АТ а (8) = Да (8), откуда•

Y^ = \fTA^ = \fA^=\fAa^ * ААА

Подпространство 8 можно восстановить по q(8) с помощью формулы

Yq (8) = 8.(5.8)

Действительно, в силу (5.2) и (5.7)

7X8= }^ = 77^сТГ(8)с:8.(5.9)

С другой стороны, поскольку YX коммутирует с U (см. (5.3) для А = /), то YX коммутирует с Ра и, следовательно,

7X8 = YXPsR = PsYXS. = PsYXl = PeR = 8.(5.10)

Из (5.9) и (5.10) вытекает (5.8).

Осталось установить свойства а) —е).

Если 8 = (0), то b (8) = (0), поскольку Yh = 0 влечет 5 = 0. Поэтому ввиду (5.7) q (8) = (0).

Если 8 = Я, то а (Я) = ХЯ = § и, согласно (5.7),. q (Я) = %. в) Если 8 с 8', то а(8)<= а (8') и, следовательно, q (8) с: q (8'). г) Это свойство вытекает из (5.8).

Если П8®= {0), то q(Л8а)сЬ(П8а) = 6({0}) = {0}.

Заметим сперва, что если каждое 8а ультраинвариантно относительно £7, точ8 —У8а также обладает этим свойством.

a

Далее, в силу (5.6) и (5.2)

q^VAa^-VAXV^-'

АЛа

= УЛХ8а = УУЛ^а =

Л, аа Л

-=Vq^.

а

Предложение'5.1 доказано.*

Отметим, что если Е (о) — спектральная мера унитарного оле- ратора U (определенная на борелевых подмножествах единичной окружности), то операторы Е (а) перестановочны с U, а также с каждым оператором; перестановочным с U (см. \Лек- ции], п. 109), и, следовательно, подпространства

W = EW

ультраинвариантны относительно U.

Таким образом, получаем

Следствие 5.2. Если оператор Т в комплексном гильбертовом пространстве квазиподобен некоторому унитарному оператору U, то Т имеет по крайней мере столько нетривиальных регулярно ультраинвариантных подпространств, сколько значений, отличных от О и 1, принимает спектральная мера оператора U.

Полученные результаты применимы очевидным образом к сжатиям класса Си, поскольку, как было отмечено в конце § 4, такие сжатия квазиподобны унитарным операторам. В действительности этот факт справедлив не тольйо для сжатий. Именно, имеет место

Предложение 5.3. Пусть Т —оператор в % с равномерно ограниченными степенями (т. е. ||ГЛ||^М, п=\, 2, ...), такой, что Tnh и Т* к не стремятся к 0 ни для каких h#= 0, к =# 0. Тогда Т квазиподобен унитарному оператору.

Доказательство. Заметим прежде всего, что при сделанных предположениях

inf || Tnh II = ц (Л) > 0 для всех h ^ 0.

п>0

В самом деле, в противном случае для всякого е>0 существовало бы п0 = п0(А, в), такое, что Цг^Л^в/Л! и, следовательно,

|| Tnh I = I Tn-ngTn*h || < М || Tn°h || < е

при п^п0, т. е. Tnh-*0, что противоречит условию.

Воспользуемся теперь понятием обобщенного предела по Банаху1). Так называют линейный функционал L(cn), определенный на пространстве ограниченных числовых последовательностей (сп)п>0 и обладающий следующими свойствами:

Т(с„}^0, если с„^0 (n = 0, 1, ...,); L{1}=1; Т(с„+1} = £{<?„}.

Для h, к е § положим .

.(h, k) = L((Tnh, Tnk)}.

Это — билинейная форма на §, причем

.. А\ - I 1II TH №\PL ^^ = ^ W L {0 = ^ (А)’

(/г, h)-LW " ” <Х ^ А{Л12|| Л||2} = 7И2|| А ||2А{1} = ЛТ2|| Л|р, и■ '

(Th, Tk) = L{(Tn+1h, Tn+ik)} = L{(Tnh, Tnk)} = (h, k).

Отсюда следует, что существует такой самосопряженный оператор Л в §, что

(h, k) = (Л/г, к) (h, к е ^, 0 < (Л/г, /г) < М2|| h |р (/г е §; /г ^ 0),

(5.11)

(Л Г А, Тк) = (Ah, k) (h, к г ^.(5.12)

В силу (5.11) Ah =/= 0 при h =А 0. Таким образом, Л-1 суще

ствует (по крайней мере в широком смысле). Полагая X = А2 , мы получаем квазиаффинитет § в §. Согласно (5.12), для любого Л е § имеем

|| XTh |Р = (X2Th, Th) = (ATh, Th) = (Ah, h) = || Xh |p.

В частности, Unroll= |IM для элементов к из области определения Х""\ Поскольку эта область плотна в ф, то оператор ХТХ-х продолжается по непрерывности до изометрии U в ^ такой, что ч

XT-UX.(5.13)

!) См., например, Данфорд и Шварц [1], стр. 86, или И о с и д а [1], стр. 150—151. — Прим. ред.

Из условий теоремы вытекает, что ГА^О, Th ^ 0 при А У= 0.Поэтому Т — квазиаффинитет в §; Т^ = ^. На основании (5.13)u% = uT% = ux% = m^ ХТ^=Х?=^

т. е. изометрия U является в действительности унитарным оператором.

Проведя аналогичные рассуждения для Т вместо Г, получим квазиаффинитет У из § в § и унитарный оператор V в §, такие, что YT* = VY, откуда

TZ = ZW,(5.14)

где Z = Y* — квазиаффинитет из § в ф, W = V* — унитарный оператор в §.

Завершается доказательство так же, как в случае предложения 3.5, (в). Из (5.13) и (5.14) вытекает, что W является квази- аффинным преобразованием оператора U, так что в силу предложения 3.4 операторы U и W унитарно эквивалентны. Следовательно, согласно (5.13) и (5.14), Т и U квазиподобны.

Таким образом, доказанные в предыдущем пункте результаты, касающиеся существования ультраинвариантных подпространств, переносятся на операторы, фигурирующие в предложении 5.3. Более того, справедлива

Теорема 5.4. Пусть Т — оператор с равномерно ограниченными степенями в комплексном гильбертовом пространстве % размерности > 1, причем ни Тп, ни Т не стремятся сильно к О при п->оо. Тогда либо Т = с1, где |с|=1, либо существует нетривиальное ультраинвариантное относительно Т подпространство.

Доказательство. Мы рассмотрим отдельно три случая.

Случай 1. Существует такой вектор Ао#=О, Аое§, что ГпА0~>0. Полагая

8 = {А: Ае§, ГА-^0}, получаем ультраинвариантное относительно Т подпространство, причем 8^§ (в противном случае Тп->0\ Поскольку Аое8, то 8 #= {0}.

Случай 2. Существует такой вектор Ао=#О, Аое$, что Tnh^Q. Полагая

получаем требуемое подпространство 8.

Случай 3. Ни Tnh, ни Т*пк не стремятся к нулю ни при каких Л #= 0, к ^ 0. В силу предложения 5.3 Т квазиподобен

унитарному оператору U в ф. Поскольку dim§>l, то спектральная мера U содержит проекторы Е (о), отличные от О и /, за исключением случая, когда U = cl^ (|с|=1) (т. е. случая, когда Т = с1^. Поэтому если Т не имеет вида cl^ то, согласно следствию 5.2, существует нетривиальное подпространство в §, ультраинвариантное относительно Т, что и требовалось доказать.

g 6. Спектральные соотношения

Напомним, что двусторонний сдвиг не имеет отличных от нуля инвариантных векторов (см. § I. 2).

Рассмотрим какое-нибудь сжатие Т в пространстве § и его минимальную унитарную дилатацию U в пространстве $. Пусть 2 и 2* — соответствующие блуждающие подпространства, определяемые равенствами (1.2). Пусть, далее, / — инвариантный относительно U вектор пространства Я. Поскольку М (2) и М (2*) приводят U, то ортогональные проекции f' и f" вектора f на эти подпространства также инвариантны относительно U. Так как U | М (2) и U | М (2*) суть двусторонние сдвиги, то f' = 0, f" = О и, следовательно, f ± М (2), f _L М (2*). Из (1.4) вытекает тогда, что /s^, откуда Tf = P^Uf ^f.

Обратно, если Th = h при h^%, то Uh = h, поскольку

|| Uh-М2 = 11 Uh ||2 + || h ||2-2 Re ^Uh, h) =

= 21| h ||2 - 2 Re ^Th, h)-2Re(h- Th, h)< 2|| h - Th M h ||.(6.1)

(Это справедливо для любой изометрии U, такой, что Т = пр U.)

Итак, мы доказали, что Т и U имеют одни и те же инвариантные векторы. Применив этот результат к оператору сТ вместо Т (где |с|=1) и учтя, что минимальной унитарной дилатацией оператора сТ является cU, получим

Предложение 6.1. Пусть Т —сжатие, U — его минимальная унитарная дилатация. Всякое собственное значение оператора Т, равное по модулю 1, является собственным значением для U, и наоборот. Соответствующие собственные векторы одни и те же для Т и для U.

Пусть теперь с — такое число, что оператор ^J ~ clY существует в узком смысле (т. е. определен всюду на % и ограничен).

Пусть к — элемент приводящего U подпространства 91, введенного в § 2, и R = U 191 — остаточная часть U. Поскольку

91= п ип^= п 1Л#елм2)) = п (ипш( е и^хх п>0п>0\jn>n

7 Зак. 517

(см. (2.11) и (2.5)), то вектор к допускает для всякого п^О представление

k = Unhn^ 5 Umlm,

т=п

где Unhn — ортогональная проекция вектора к на Un%, Umlm — ортогональная проекция к на Um£. Имеем

pip >2 и ит1Л;

откуда

11^ =^\\ит1Л->0(п-»оо)

||ni=nт=п

и, следовательно,

к = lim U"hn.

п->оо

Отсюда

|| (7? - ск} к || = || ф - сП к || = lim || (U - сП Unkn || =

= Пт || Un<U - сП кп II = Нт|| (U - cl) hn ||> Пт || P^U - cl) кп || = = Пт || (Г - cl) kJ> С Пт|| кп || = С НтЦ Unkn || = С|| к ||,

где мы положили С = ||(Г — с/)-1|| ’. Поскольку оператор R унитарен, то (R — с/т)-1 существует в узком смысле и

Ik^-^-'iki/c.

Итак, доказано

Предложение 6.2. Если число с таково, что оператор (Т — с/)-1 существует в узком смысле, то (R — с/$)-1 также существует в узком смысле и

ll^-c/^ll’klKr-c/rl.

^Здесь R — остаточная часть минимальной унитарной дилатации оператора Т.)

Если оператор Т неунитарен, то по крайней мере одно из блуждающих подпространств 8, 8* отлично от .{0} и, следовательно, существует отличное от {0} подпространство в Я, приводящее U к двустороннему сдвигу. Иными словами, U содержит двусторонний сдвиг.

Рассмотрим теперь вместо всего пространства Я его подпространства

М^ = V Unht M^{h)=\/UX M-W=\/U~X(6.2)

м= —соп = йП = 0

порожденные вектором йе §, И ^ 0. Предположим, что М+ (Л) и М_(Л) приводят [/; тогда М+(Л) И М_ (Л) также приводит U. Поскольку М^ W содержится в Я+ = §ф£® Ой ф ... (см. (2.5)) и аналогично М_ (А) с= Я_ = §ф2*ф СГхй* ® ..., то М+(Л)П П М- (И) с: Я+ f) $- = £. С другой стороны, М+ (Л) П М_ (И) содержит элемент И. Таким образом, в § существует подпространство, приводящее U и содержащее И. Поскольку Т = пр U, то Т совпадает с U на этом подпространстве и, следовательно, И принадлежит подпространству §0 пространства §, в котором сжатие Т является унитарным.

Если Т вполне неунитарен, этот случай невозможен. Следовательно, по крайней мере одно из подпространств Л1+(А)0 QUM^^h), M-(h)QU~xM-(h) отлично от {0}. Итак, *в М (А) существует подпространство =#{0}, блуждающее относительно U. Иными словами, часть U в М(И) содержит двусторонний сдвиг.

В итоге получаем

Предложение 6.3. Для всякого неунитарного сжатия Т его минимальная унитарная дилатация U всегда содержит двусторонний сдвиг. Если оператор Т вполне неунитарен, то сужение U на М (И) содержит двусторонний сдвиг, каково бы ни было Иг %, И^О.

Вышеприведенные результаты справедливы как для вещественных гильбертовых пространств, так и для комплексных. Для комплексных пространств эти результаты могут быть дополнены следующим образом.

' В комплексном пространстве каждый унитарный оператор обладает спектральным представлением

2Л

u = J e1KdEx,о

где (5J (0 ^ X ^ 2л) — спектральное семейство оператора U. Пусть Е(о) — соответствующая спектральная мера, определенная на борелевых подмножествах единичной окружности С = ^. |z|=l}:

£((е<\ е^)) = £Хг-£Л|(0<Х,<Х2<2л).

Заметим, что если подпространство ЭД является блуждающим для U, то для всякого яеЯ

В силу теоремы единственности для рядов Фурье — Стильтьеса отсюда вытекает, что

а) = ^-|| а ||2 и

IIЕ (а) а ||2 = (£ (а) а, а) = т (о) || а |Р,(6.3)

где т (а) — нормированная мера Лебега на С. В частности, если т(о) = 0, то Е^а = 0 и (поскольку Е^ коммутирует с Г/) Е (.о) Una = 0 для всех п. Таким образом, если т(а) = 0, то £(а)/ = 0 для любого /еМ(Х).

Пусть Г — вполне неунитарное сжатие и U — его минимальная унитарная дилатация со спектральным семейством {£j и спектральной мерой Е (а). Из предыдущих рассуждений вытекает, что т (о) = 0 влечет Е (a) f = 0 для всех f е М(2) и всех f ^ М (2*) и, следовательно, для всех f е М (2) V М (2*) = Я. Это означает, что т(а) = 0 влечет £(а)=О.

Обратно, если £(а)=О, то т(а) = 0. Достаточно даже предположить, что Е (о) h = 0 для некоторого h е §, h=#0. В самом деле, из равенства £(о)А = 0 следует, что £(a)f = 0 для всех fe V Unh = M^h?) и, в частности, для всякого блуждающего вектора a #= 0 в М (h), существование которого доказано в предложении 6.3. Поэтому из (6.3) вытекает, что т (а) = 0.

Итак доказана

Теорема 6.4. Если Т — вполне неунитарное сжатие в пространстве %, то спектральная мера Е (а) оператора U эквивалентна мере Лебега пг (а), т. е. всякое множество меры нуль относительно одной из этих мер имеет меру нуль и относительно другой. Кроме того, всякая скалярная мера '

На (а) = (Е (о) А, А) ^где А =И= 0)(6.4)

также эквивалентна мере Лебега.‘

Тот факт, что мера ^(о) абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, можно выразить еще так: неубывающая функция (E^h, h) является интегралом от своей производной

существующей почти всюду- Этот результат можно дополнить.

Предложение 6.5. В условиях предыдущего предложения функция InfA (X) принадлежит £(0, 2л) для любого Ае $, Ат^О.

Доказательство. Мы используем следующую теорему Сегё (см. Гофман [1], стр. 76). Пусть f^ —некоторая вещественная неотрицательная функция, принадлежащая L(0, 2л). Положим 2л

d(f) = inf ± jll-pWfWK, р о

где р пробегает класс Ло многочленов р (г), для которых р (0) = 0. Тогда

ехр-Л- f lnf(X)dX, если lnf(X)eL(0, 2л), <ИЙ = \ 2Л 0J

0,если In f(^)^L (0, 2л).

В силу этой теоремы наше утверждение сводится к неравенству d (fj > 0 для любого he ф, h ^ 0.

Допустим противное, т. е. d^^ = Q. Поскольку

J | 1 - р W I2 fh (М dX = / | 1 - р ^ i2 d kExh, hHh-pWh IP, оО

то условие d^h) = 0 означает, что вектор h может быть аппроксимирован с любой степенью точности векторами вида p^U^h, где р е Ло. Следовательно, А содержится в V Unh= UM+^K).

п=\

Отсюда вытекает, что UM^ (А) = М+ (h), т. е. что М+(А) приводит U. С другой стороны,

2Л2Л

j 11 - Р ^ Рd фкН, h) - / | 1 - р~ (е-^) р d фхН, А) = оо

где

р~ ^ = р^е Ло.

Предположение d(fft) = 0 приводит к соотношению А е V U~nh = = U~XM_ (h), откуда U~XM- (А) = М- (h), UM_ (А) = M-(h\ т. е. М_ (h) также приводит U. Но как было установлено в процессе доказательства предложения 6.3, для вполне неунитарного Т и Н#=0, подпространства М+ (А) и M_ (h) не могут приводить [/ одновременно. Итак, предположение d(fh) = O приводит к противоречию.

Следовательно, d(k)>0 и In fA (X) е L (0, 2л).

Следствие 6.6. Для всякого неунитарного сжатия Т спектр его минимальной унитарной дилатации покрывает всю единичную окружность С.

Доказательство. Пусть Т^ — вполне неунитарная часть Г, не являющаяся по предположению тривиальной. Из теоремы 6.4 следует, что спектр минимальной унитарной дилатации U^ оператора Т^ покрывает С. Поскольку e(U) id бф^), то о ([/) = С. .

В заключение настоящего параграфу докажем

Предложение 6.7. Пусть Т— вполне неунитарное сжатие. Если пересечение его спектра с единичной окружностью имеет меру 0, то ^. = М^ = М (8*)' и, следовательно, Т принадлежит классу Соо-

Доказательство. Рассмотрим разложение Я = М(8*)ф91 (см. § 2) и соответствующие разложения оператора U и его спектральной меры

U = U' ф R, Еи(а) = Е^ (о) ф ER (о).

В силу предложения 6.2 спектр oR оператора R содержится в спектре Т. Поскольку спектр R сосредоточен на С, то m (а#) = 0. Спектральная мера U абсолютно непрерывна относительно меры Лебега (см. теорему 6.4), следовательно, Еи (о^) =* О, Е^^а^^ = £^(0^)1 91= О. Поскольку, с другой стороны, ER ^6^ = U, то 9i = {0}, Я = Л4(8*). Применяя аналогичные рассуждения к Т\ получаем, что ^ = А4(8). Из предложения 1.2 следует поэтому, что Т г Соо. Теорема доказана.

- § 7. Спектральные кратности

Пусть Я — гильбертово пространство, вещественное или комплексное, и U — унитарный оператор в нем. Для произвольного непустого множества S с Я положим

М^= V ип®.П = — оо

Ясно, что Л4(©) является подпространством, приводящим U. Ортопроектор из 8 на М (©), обозначаемый далее через Р^, коммутирует с U.

Эти обозначения согласуются с обозначениями, употреблявшимися в том частном случае, когда © — блуждающее относительно U подпространство. Если © состоит из одного элемента fe s Я? то мы будем писать М (k), Рк, вместо М (©), Р^»

Поскольку Р® коммутирует с U, то

. (/ - Р®) М (S') = М ((7 - Р®^^

для произвольных S, S'.

Пусть S = S1US2. Тогда М (S) = М (SJ V М (S2) и, следовательно,

М(S) = М (SJф (7 - Р®^ М^ = М^W" Р®^S).

Итак,

М^^-М^М^, где ^ = ^1-Р^2(7.1)

(мы использовали тот факт, что S] с: М (SJ и, следовательно, (7 —P$,)®i = {0}).

Для всякого S ^ {0} можно выбрать максимальную систему 2 отличных от нуля элементов из М (S), так, чтобы М (к) ± М (k') для к, k' е S, к ^ к' (это легко следует из леммы Цорна). Имеем

М^= Ф M(k).(7.2)

В самом деле, допустив противное, мы получим, что существует элемент к* s М (S), к* =# 0, такой, что к* J_ М (k) для всякого fe е S. Следовательно, T/^fe* 1 UnM (fe) = М (fe) для любого целого п и поэтому М (fe*) ± М (k). Таким образом, систему S можно пополнить элементом к*, что противоречит ее максимальности.

Лемма 7.1. Пусть <5 — подпространство размерности d (^ 1) пространства Я. Разложение (7.2) может быть выбрано таким образом, чтобы число членов в правой части не превосходило d.

Доказательство. Если d бесконечно (счетно или несчетно), то утверждение леммы выполняется автоматически. В самом деле,

d^dim М(S) < Ко • dimS = Ко • d = d

и, следовательно, d = dim М (S). С другой стороны, поскольку dimA4(fe)^l (k е S), то число слагаемых в правой части равенства (7.2) не может превышать dim М (S). В случае конеч- ного d применим индукцию. Для d = 1 утверждение тривиально. Предположим, что оно верно для всех d, меньших некоторого целого N ^ 2), и докажем его справедливость для d — N. Пусть S — подпространство размерности N в Я. Выберем в S элемент ко#=О и обозначим через ®0 подпространство в ®, состоящее из элементов, ортогональных к к0. В силу (7.1)

M(®) = M({feo}U®o) = Al(feo)®M(®0,(7.3)

где So = (/ — ^^°) So. Поскольку dim So = N — 1, то dim ®о ^ N — 1. По предположению индукции существует разложение

Л1(^)=©Л1М(7.4)

где r^N— 1. Из (7.3) и (7.4) вытекает, что -

М(®о)= ©ММ

Z-0

причем число слагаемых в правой части равно г + 1 ^ N.

Лемма доказана..

Рассмотрим теперь случай, когда U является минимальной унитарной дилатацией некоторого вполне неунитарного сжатия Г. Согласно (1.10),

^ = м (2) V М (8*) = М (2 U 2*),(7.5)

где 2 и 2* — блуждающие подпространства для [/, определяемые равенствами (1.2). В силу (7.2) имеет место разложение

Я = м (2) © М (S), где S = (T^TW-

Заметим, что dim2 = b7, dim® ^ dim 2* = br*.

Выберем в 2 полную ортонормированную систему ^ = (/}. Тогда

М(2) = © М(/),Z е 2'

где число слагаемых равно Ь7. Заметим, что векторы /е2 являются блуждающими для U в том смысле, что Unl ± Uml при п #= т. С другой стороны, в силу леммы существует разложение

М(©) = © мм

где число членов не превосходит Ьг*. В результате получаем разложение

Я=еЛ1(«) (S = S'U2"),

где общее число членов не превышает br + br* и где по крайней мере в Ь7 членах вектор а является блуждающим для U.

Поскольку (7.5) симметрично относительно 2 и 2*, все рассуждения можно повторить, поменяв ролями 2 и 2*. Вводя обозначение

Ьшах = тах{Ьт, М,

приходим к следующему предложению.

Предложение 7.2. Если U — минимальная унитарная дилатация в пространстве Я вполне неунитарного сжатия Т. то существует разложение

Я = ф ^ (яа) (aa е Я, aa =# 0),(7.6)

a

где число членов не превосходит by + by* и где по крайней мере в Ьтах членах вектор аа является блуждающим для U.

В оставшейся части этого параграфа пространство ^, в котором действует вполне неунитарное сжатие Т, и, следовательно, пространство Я, в котором действует унитарная дилатация U оператора Г, предполагаются комплексными.

Пусть {Ех}0<х<2я —спектральное семейство U. По теореме 6.4 Ех есть абсолютно непрерывная функция от X. Для произвольного а е Я и произвольных целых тип имеем

2л2л

(Uma, Una)= ^ еЦт-^\ЦЕ>а, a) = J е‘ ^”п) кр (X) dX,бо

где

Р^”1Х ^а' ^'

Отсюда следует, что для любой конечной линейной комбинации элементов Una (n==0, ±U ±2, ...) справедливо равенство

ПоэтомуПоэтому2р (X) dX.2р (X) dX.

Поэтому

Поэтому

2

р (X) dX.

2

р (X) dX.

У спипа —► ^ спе1пХ [2лр (X)]2 па

есть изометрическое отображение линеала, плотного в М(а), на некоторый линеал 3R в L2(Q), где

Q = {X: X s (0, 2л), р (X) *> 0},

а рассматриваемая мера есть нормированная мера Лебега ^-. Легко доказать, что 8№ плотно в L2(Q). Следовательно, упомянутое отображение продолжается по непрерывности до унитарного отображения Ф множества М (а) на Z2(Q).

Заметим, что если вектор а (^0) является блуждающим для U, то в силу (6.3) р W = 2^г II я II2, так что в этом случае

Q = (0, 2л).

Заметим еще, что унитарное отображение Ф переводит оператор /7|М(а) в оператор Ux (Q) в L2^), определяемый равенством,

(t/x(fi)«)W = e%(X),

т. е. в оператор умножения на ва.

Употребляя значок ~ для обозначения унитарной эквивалентности операторов, получаем из предложения 7.2 следующее

Предложение 7.3. Пусть Т — вполне неунитарное сжатие в комплексном гильбертовом пространстве %. Если U — минимальная,' унитарная дилатация Т. то

и~®ихШ(7.7)

а

где £2а — измеримые подмножества интервала (0, 2л), из которых по крайней мере bmax множеств совпадают со всем интервалом (0, 2л) (с точностью до множеств меры 0), и общее число слагаемых в правой части не превосходит Ьг + Ьг*.

Из предыдущих предложений вытекает почти непосредственно

Теорема 7.4. Пусть Т — вполне неунитарное сжатие в комплексном пространстве %. U — его минимальная унитарная дилатация в Я..

Если bmax = oo, то U является двусторонним сдвигом- кратности bmax. То же справедливо, если dim^<oo. Если dim§> Ко, то bmax всегда бесконечно, а именно bmax = dim %.

Существует унитарная дилатация U оператора Т (необязательно минимальная), являющаяся двусторонним сдвигом кратности Ьг + Ьг*.

Доказательство. Случай dim ф < оо исследуется просто. Поскольку оператор Т вполне неунитарен, то его спектр лежит внутри единичного круга, откуда следует, что Тп->0. Т* ->О при п~>оо. Поэтому в силу предложения 1.2 U является двусторонним сдвигом кратности, равной одновременно Ьг и Ьг* (так что в этом случае bmax = Ьг = Ьг*).

В общем случае

bmax ^ dim § ^ dim Я < dim М (8) + dim М (8*) =

= Nobr+ ЫоЬг*= Nobmax-

Значит, если dim§>H0, то Nobmax>^o и> следовательно, Ьщах ^ о> bmax — К obmax, bmax = dim

Для завершения доказательства утверждения а) остается показать, что в случае бесконечного bmax оператор U является двусторонним сдвигом кратности bmax.

Мы будем исходить из соотношения (7.7). Разобьем индексы а в этой сумме на два подмножества А и В по тому признаку, совпадает ли йа с интервалом (0, 2л) (с точностью до множеств меры 0) либо нет. Для кардинальных чисел | А | и | В | множеств А и В имеем

^max ^ I А | ^ by* + by'* ^ 2Ьтах, | В | ^ by* + bp* ^ 2Ьтах.

Поскольку Ьтах по предположению бесконечно, то Ьтах = 2Ьтах = = ^о^тах и, следовательно,

I А I = Ьтах = К obmax ^ ^ О I ® I > Т- 61 I А I = 6t Q | В I + г, (7.8)

где г — кардинальное число ^ 0.

Из этого соотношения между кардинальными числами вытекает, что можно так перегруппировать слагаемые в сумме (7.7), что каждому члену с индексом ре В будет отвечать Ко чле* нов с индексами аеА, Таким образом,

и~ е [(7х(йв)®[/х(о, 2л)©(7х(о, 2л)ф...]ф рев 1

• фГ Ф [/х(0,2л)1.(7.9)

Lr членовJ

Используем теперь очевидное соотношение

(7х(0, 2л)~(/х(йф(/х((У)),(7.10)

справедливое для любого измеримого подмножества й интервала (0, 2л) и для его дополнения й' относительно этого интервала. В силу этого соотношения

(7х(Йр)ф(7х(0, 2л)ф(/х(0, 2л)ф ... ~UX^W

Ф [(7 х (йв) ® Ux (Qp)] ®VUX (йр) ф Ux (Йр)] ф ... ~~\UX (Йр)® Ux (йр)] ф [(7 х (йр)ф Ux (йр)] ф ... ~

~Ux(0, 2л)ф(7х(0, 2л)ф.Г. .

Отсюда на основании (7.9) вытекает, что оператор U унитарно эквивалентен ортогональной сумме К0|В| + г = |А| = Ьтах экземпляров операторов Ux (0, 2л) (см. (7.8)). Очевидно, что Ux (0, 2л) является простым (т. е. кратности 1) двусторонним сдвигом, порождающее блуждающее подпространство которого состоит из постоянных функций. Поэтому рассматриваемая ортогональная сумма есть двусторонний сдвиг кратности bmax. Поскольку свойство оператора быть двусторонним сдвигом данной кратности инвариантно относительно унитарной эквивалентности,

то U является двусторонним сдвигом кратности bmax. Утверждение а) доказано.

Утверждение б) вытекает немедленно из (7.7) и (7.10). В самом деле, положим

и = и ф и', где и' = ф Ux Юа

Тогда

й ~ Г ф иХ (Йа)1 Ф Г Ф Vх (й')1 -

L аJ L аJ

~ Ф [t/X ^aWUx (й9]~ Ф Ux (0,2л). аа

Последняя сумма является двусторонним сдвигом, кратность которого равна числу слагаемых и, значит, не превосходит b7 Н- Ь7*.

Следствие 7.5. Для всякого сжатия Т в пространстве %, такого, что ||Гй||<||й|| при всех h^^, h ф 0, минимальная унитарная дилатация является двусторонним сдвигом кратности dim §.

Доказательство. Оператор Г при этих условиях вполне неунитарен, и (/ —ГТ)й=#0 при й#=0. Следовательно, DT^ = %, b7 = dim %. Остается применить теорему 7.4, а).

§ 8. Подобие операторов класса ^ сжатиям

В § 1.11 были введены операторы класса ^р (р>0). Напомним их определение. Оператор Т в пространстве § принадлежит классу ^р, если существует такой унитарный оператор Up в некотором пространстве Яр, содержащем § как подпространство, что

Тп -рпр[/р (п=1, 2, ...).(8.1)

Оператор Up мы назвали унитарной р-дилатацией оператора Г.

Класс «б7, совпадает с классом всех сжатий. Задачей настоящего параграфа является доказательство того факта, что операторы остальных классов ^р „не очень далеки" от сжатий:

Теорема 8.1. Если оператор принадлежит какому-либо из классов ^р, то он подобен некоторому сжатию.

Доказательство. Мы будем существенно пользоваться предложением 1.11.3, утверждающим, что классы ^р образуют возрастающую функцию от параметра р (в действительности

достаточно знать, что эта функция является неубывающей). Другим существенным пунктом доказательства является использование для случая унитарных р-дилатаций соответствующим образом модифицированного метода § 3.

Пусть Т — оператор в %, принадлежащий классу ^г. Поскольку тогда Т принадлежит всем классам ^р (р^г), то Т обладает унитарной р-дилатацией Up в некотором пространстве Sp id %. Положим

(8.2)(8.2)®<р = V Up^Up-f^ (с=Яр)п>0

(8.2)

(8.2)

и обозначим через РЭДр ортопроектор из ftp на У?р. Пусть, далее,

/P = P»ip|<>||(р>г)./P = P»ip|<>||(р>г).(8.3)(8.3)

/P = P»ip|<>||(р>г).

/P = P»ip|<>||(р>г).

(8.3)

(8.3)

Очевидно, что /р является наименьшим числом, для которого

неравенство

(8.4)(8.4)I (А, /пр) |< /р|| h |П1 /ир ||

(8.4)

(8.4)

выполняется при всех h е § и всех /пр е 9Ир; впрочем, нам достаточно ограничиться элементами вида

'«р= 2 ирЧир-T^hn,(8.6)

п> О

пР^>;-г,)={пР^>;-г,)={где h0, hx, ... е ^ и все hn начиная с некоторого номера равны нулю (поскольку множество таких элементов шр плотно в 2^р). Из (8.1) вытекает аналогичное соотношение для сопряженных операторов. Полагая б=1/р, будем иметь

пР^>;-г,)={

пР^>;-г,)={

^Гп*х -ЬГпГ = 0 при и>1,дГ-Г = (6-1)Г при и = 0.

Для he % и /пр вида (8.5)

kh, шр) = 5 (й, ^"(^ ~ Г*) ^n) =(6 - 1) fh^.

п>0

Таким образом, (8.4) эквивалентно неравенствам

илиили(8.6)(8.6)К/Z, (6-1)Г/г0)1<ММ||тр11,(6-1Лг’М2<*р11 /Пр II2.

или

или

(8.6)

(8.6)

Применяя снова (8.1), получаем

II hj |р + (l-2d)|| Tht |р,(6-1) (ГА/, hu\^-\^hb Thk),0II hj |р + (l-2d)|| Tht |р,(6-1) (ГА/, hu\^-\^hb Thk),0если j = к,

II hj |р + (l-2d)|| Tht |р,(6-1) (ГА/, hu\^-\^hb Thk),0

II hj |р + (l-2d)|| Tht |р,(6-1) (ГА/, hu\^-\^hb Thk),0

если k — / = 1,

если k — j= — 1, во всех остальных случаях.

Итак, для элементов mp вида (8.5)

II mp IP = 2q [ IIЛ/ IP + (1 - 26) || Fhj |p + 2 (6 - 1) Re (hb Vhl+l)].

Следовательно,

Pll mp |p = p [|| Th0 |p + S II hj - Thw |p] -

-2 SjllF/i/lp-Re^, F/z/+1)J.

Отсюда следует, что если пг^ ^'^г^ отвечает той же последовательности {hnV то

Pll^plp-p'll wlP='

= (Р - Р') [II ГН» IP + ДII hj - Thi+X IP >(р - р') II Th. IP.

В частности,

р || тр |р - г || т, |Р > (р - г) || ГН» |р.(8.7)

Поскольку, очевидно, /р^1, то из (8.6) при р=г вытекает неравенство

(1- 1)2||Г/г0|р<||тг|р.(8.8)

Из (8.7) и (8.8) следует, что

РII тр IP >(р - г)И ГН» |р + г (1 - 1)2|| ГН» |р

и, значит,

(^-OV^M^^I™,# <»>*(8'9)

Вспоминая, что tp является наименьшим из неотрицательных чисел, для которых выполняется (8.6), получаем

.2/ р-2 + 1/р

tp р - 2 + 1/г •

Следовательно, /р<1 при р>г.

В оставшейся части доказательства зафиксируем некоторое р (>г) и будем по мере возможности опускать индекс р, т. е. писать U, Я, 9R, t вместо Up, Яр, ЕМр, tp.

Положим 91 = Я 0 9R. Элементы к е 91 характеризуются равенствами

TP%Unh = P%Un^k (п = 0, 1, 2, ...).(8.10)

В самом деле, условие к ± ЕМ означает, что

№n+1-U*nT^h, к) = 0 при всех ке^, п>0.

Последнее соотношение легко привести к виду (8.10). Из равенств (8.10), характеризующих 91, вытекает, в частности, что 91 инвариантно относительно U.

На Основании (8.3)

II й IP = II P^h |р +1| P^h |p < t21| h |p +1| P^h |p (Л e Я так что

IIP^IPXI-^UIP.(8.11)

Поскольку t (= /р)< 1, то линеал W = P%^> замкнут, а оператор Y = Р% |^ = Pw I § является аффинитетом (т. е. взаимно однозначным и взаимно непрерывным отображением) % на 9V. Поэтому оператор X = Y* — аффинитет 91' на ф. Очевидно,

(Yh, k) = ^P%h, k) = (h, A) = (A, P^l (As#, he^. (8.12)

Беря, в частности, к е 91', получим

Х = РФ|9Г(8.13)

Из (8.12) следует также, что Р$к = 0 для любого А-^91, ортогонального к Psr§ = 9Y, т. е. для любого к е 910'91'. Таким образом, P§U — P^g = 0 и

P%g = P^g (g е 91).(8.14)

Так как Uf е (791 с 91, то, полагая в (8.14) g=Uf, получаем из (8.13) и (8.10) при п = 0

TXf = TP§f = P§Uf = P^Uf = XVf, где

V = PWU\3V.

Очевидно, что V является сжатием в 917. Таким образом, оператор Т подобен сжатию: Т = XVX-1.

Теорема доказана.

С учетом предложения 1.11.2 имеем

Следствие, 8.2. Каждый оператор Т с численным радиусом w (Г) ^ 1 подобен некоторому сжатию.

■ Комментарии

Теорема 1.1 о строении пространства минимальной унитарной дилатации U сжатия Т содержится в неявном виде в работе С.-Надя [2] и в явном виде — в работах Гальперина [1] и С.-Н. и Ф. [V]. В связи с § 1 и 2 см. также Гальперин [3], [5], где исследована структура пространств минимальных регулярных изометрических и унитарных дилатаций для систем сжатий. В этих работах найдены условия, при которых минимальная регулярная унитарная дилатация ведет себя в некотором смысле как двусторонний сдвиг.

Предложение 2.2 и теорема 2.3 о • дилатации коммутантов получены авторами, см. С.-Н. и Ф. [12]. Приведенное здесь доказательство несколько отличается от первоначального. Некоторые частные случаи теоремы 2.3 были получены ранее совершенно иными методами Сарасоном [3] (для Т е Соо, ЬГ = ЬГ=1) и С.-Н и Ф. [11] (для Т е Соо). Именно работа Сарасона послужила стимулом для наших исследований.

Первый общий результат о спектральном типе оператора U был получен Шрайбером [1]. В предположении ||Г||<1 им было доказано, что U является двусторонним сдвигом кратности dim §. Другое доказательство имеется у С.-Надя [II]. (В. этих доказательствах предполагается, что пространство % комплексно.) Тот факт, что из условия Тп —>0 вытекает, что {/ — двусторонний сдвиг с кратностью, равной дефектному числу Ьг, и двойственный факт для оператора Т* были впервые доказаны деБрёйном[1]с помощью матричной конструкции. При этом пространство $ могло быть как вещественным, так и комплексным. Результат де Брёйна был затем обобщен Гальпериным [1]. Комбинируя случаи Тп —>0 иТ ->О, Гальперин установил следующий факт:

Пусть в % существуют два таких ортопроектора (^ и Q2, что

Q^ = O, Q.TQ^O, kl~Q^T<I-Qx^O,

(TQvT^O, <FQ2y->0

(n -> oo).'

Тогда U ~ двусторонний сдвиг, для которого порождающим блуждающим подпространством является

(iM^Ml -Qx- QM^- П(Ж

Де Брёйн поставил в [1] задачу: вытекает ли из условия || Th || <|| h || для всех fte §, h + 0, что U является двусторонним сдвигом кратности dim§? Положительный ответ на этот-вопрос для случая комплексных ф был дан в работе С.-Н. и ф. [V] (см. следствие 7.5).

Роль остаточной и достаточной частей оператора U была выяснена в С.-Н. и Ф. [V, VII]. В [3] и [VII] авторы ввели понятия квазиаффинитета и квазиподобия, а также классы Сар операторов сжатия (следует, впрочем, заметить, что там эта классификация введена лишь для вполне неунитарных сжатий). В частности, была доказана теорема о квазиподобии всякого сжатия Т класса Си остаточной части R (а также *-остаточ- ной части /?J своей минимальной унитарной дилатации (см. предложение 3.5, (в)). Эта теорема была использована сначала с привлечением теории характеристических функций, а затем и непосредственно для получения информации об инвариантных подпространствах оператора Т (см. С.-Н. и Ф. [IX] и [5]). В § 5 результаты последней заметки изложены в развернутой форме, причем получены более точные сведения об инвариантных подпространствах (регулярность, ультраинвариантность), и эти результаты распространены на операторы с равномерно ограниченными степенями (теорема 5.4). Подобная теорема (но с обычной инвариантностью вместо ультраинвариантности) была независимо получена Парротом (личное сообщение).

Тот важный факт, что минимальная унитарная дилатация U вполне неунитарного сжатия Т в комплексном пространстве % имеет абсолютно непрерывный спектр, был доказан авторами в [IV] с использованием глубоких теорем теории аналитических функций. Более „геометрическое" доказательство, приведенное выше (§ 6.2), было найдено позже Гальпериным [1] и авторами [5].

Другие результаты § 6 и 7 получены авторами в [III] и [V], за исключением предложений 6.3 и 6.5, принадлежащих Мл аку [1] — [3], [5].

Наконец, § 8 представляет собой несколько более подробное изложение результатов заметки .С.-Н. и Ф. [10]. Часть доказательства, следующая за формулой (8.11), существенно упрощена Ю. Л. Шмульяном (личное сообщение). Теорема 8.1 представляет интерес еще и потому, что не все операторы

с ограниченными степенями-подобны сжатиям1), см. Фогель [1], Ха л мош [4]. В то же время, как установил недавно Холбрук [1], каждый оператор с ограниченными степенями является пределом по норме операторов классов ^р.

Часть результатов § 1, а также некоторые спектральные соотношения § 6 могут быть распространены на унитарные р-дилатации; см. Дурст [2]. В частности, если оператор класса ^р вполне неунитарен, то его минимальная унитарная р-дила- тация имеет абсолютно непрерывный спектр, см. Дурст [2]» Рац [1].

!) Как показал С.-Надь [11], всякий вполне непрерывный оператор с ограниченными степенями подобен сжатию.

ГЛАВА lit

ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Классы Харди.Внутренние и внешние функции

В оставшейся части книги мы будем рассматривать всюду комплексные гильбертовы пространства. В этой и следующей главах с помощью минимальных унитарных дилатаций будет построено функциональное исчисление для сжатий в таких пространствах.

Введем в рассмотрение некоторые классы функций, аналитических в открытом единичном круге

D = ^k. | А, | < 1}.

Для всякой функции и (X), аналитической в D, определим сопряженную функцию формулой

и'^ = и^\-(1.1)

Эта функция также аналитична в D, и отображение и->и~, очевидно, инволютивно. Для соответствующих степенных рядов имеем

U (М = S с„Г, и~ (К) = 5 с^. '

* п=0п-0*

Пусть Нр ф<р ^оо") — класс Харди, т. е. класс голоморфных в D функций и (А), таких, что соответствующая норма

\\и\\р =\\и\\р =supsup^jl“^“)l’<«L о■^jl“^“)l’<«L о■sup I И (z) I2 e Dsup I И (z) I2 e D(0<p< oo)(p = oo)(0<p< oo)(p = oo)

\\и\\р =

\\и\\р =

sup

sup

^jl“^“)l’<«

L о■

^jl“^“)l’<«

L о■

sup I И (z) I

2 e D

sup I И (z) I

2 e D

(0<p< oo)

(p = oo)

(0<p< oo)

(p = oo)

конечна. Очевидно, Hp zd Hp dH°° при 0< p<p' <oo. Каждый из классов Hp есть линейное пространство, инвариантное относительно инволюции и->и~. Класс Н°° является, кроме того, алгеброй.

Напомним некоторые основные теоремы о классах Харди, принадлежащие Фату, Рисе у и Сегё. За доказательствами

мы отсылаем читателя к монографиям Привалова [1] или Гофмана [1] и к оригинальным работам, которые там цитируются..

Если и е Нр, то для почти всех t на единичной окружности С существует радиальный предел'

и^е11^ = Игл и(геи\(1.2)

г—>1—0,

При этом если и (X) ^ 0, то!)

ln| r/^leL1(1.3)

и, следовательно, и(еи>) ^ 0 почти всюду. Более того, ике11^ существует почти всюду как некасательный предел и (X), т. с. предел при X, стремящемся к еи внутри угла, образованного двумя хордами единичного круга, выходящими из точки elt. Предельная функция и\е11^ принадлежит лебегову пространству Lp и при 0<р<оо является сильным пределом функций uVreltY

J I tz(е“)- «И |pdt-*O (г-И-О).(1.4)

О

При р^1 отсюда следует также сходимость

Jf(Ou(re“)d^ jf(O«(e“)^(г-* 1-0),(1.5)

оо

где f^GL (1/р + 1/^ = 1). Следовательно, формулы Коши.и Пуассона справедливы и для предельной функции ugHp (р^1). Поэтому

1 гя( « (0) (га = 0)

(„=1,2, ...)(L6)

И2

-^- J Р (р, т - /) и (е“) dt = u (X) (X = peZT, 0 < р < 1),(1.7)

о

где-

. Р (п -г) =р1

' ^ 1Р> т/ 1-2рсозт + р2 *

Обратно, всякая функция f^ г Lp (1 ^р^оо), для которой ряд Фурье имеет вид

5 cnelnt,

о порождает функцию

ОО2Л

и(X) = 2 с^п = ^r / Р^.т-Ш^ dt (X = ре^), (1.8)

О' о

принадлежащую классу Нр, для которой

(1.9)(1.9)и (e/z) = f (/) почти всюду.

(1.9)

(1.9)

Рассмотренные функции f^t) образуют, очевидно, подпространство в Lp, которое мы обозначим через 1Д.

Формулы (1.8) и (1.9) устанавливают при каждом фиксированном р (l^p^oo) взаимно однозначное соответствие

между Нр и /Д. В самом деле,между Нр и /Д. В самом деле,\\и\\р =\\и\\р =12л12л11 и ^elt>) |р dt -о.11 и ^elt>) |р dt -о.°°)>°°)>Это соответствие линейно и сохраняет метрику.

между Нр и /Д. В самом деле,

между Нр и /Д. В самом деле,

\\и\\р =

\\и\\р =

1

2л

1

2л

11 и ^elt>) |р dt -о.

11 и ^elt>) |р dt -о.

°°)>

°°)>

sup ess | и {еи) |(р = оо).

Таким образом, Нр можно отождествить с L+. В частности, Н2 отождествляется с гильбертовым пространством /Д, так что

2л

(Ub и^№ = J их (е^ и2 (е“) dt.

О

Внутренней функцией называют всякую функцию и е Н°°, такую, что 9

|и(Х)|<1 в D и |w(ezz)|=l почти всюду на С. (1.10)

Общий вид внутренних функций дастся формулой

u^ = xB^S^(1.Н)

где х — постоянный множитель, | х | = 1, В ^ — произведение Бляшке:

в(х') = ТТт"Т^=Г^йй1<1, St1 -!«/=!)<00^ (1.12)

!) Для функций и е Н°° (и даже е Я1) неравенство | и (X) |< 1 (Хе/)) является следствием неравенства ] и ^е^ I ^ 1 (для почти всех t е [0, 2л), см. равенство (1.7)). — Прим. ред.

И

2л

S (Л) = ехр

О

elt - X

d^t

(1.13)

где ц —конечная неотрицательная мера, сингулярная относительно меры Лебега. Если некоторые ак равны О, то соответствующие множители в произведении Бляшке полагаются равными X. В частных случаях множители 5(Х) и S(X) могут отсутствовать, т. е. сводиться к функции, тождественно равной 1.

Внешней функцией называют всякую функцию u\XY которая допускает представление

гдегдеи^ = ^ ехри^ = ^ ехр2л1 Г е“ + Х2л J е«_хО2л1 Г е“ + Х2л J е«_хОIn к (/) dtIn к (/) dt^(0^0, \пк^^ L\^(0^0, \пк^^ L\VX^DY (1.14)(1.15)VX^DY (1.14)(1.15)

где

где

и^ = ^ ехр

и^ = ^ ехр

2л

1 Г е“ + Х

2л J е«_х

О

2л

1 Г е“ + Х

2л J е«_х

О

In к (/) dt

In к (/) dt

^(0^0, \пк^^ L\

^(0^0, \пк^^ L\

VX^DY (1.14)

(1.15)

VX^DY (1.14)

(1.15)

а х — комплексное число с модулем 1. Для того чтобы внешняя функция и^ входила в класс Нр (0<р ^ оо), необходимо и достаточно, чтобы к (О е Lp. При этом

| и (ен) | = к (/) почти всюду.(1-16)

Очевидно, всякая функция, одновременно и внутренняя и внешняя, постоянна и равна по модулю 1.

Класс внешних функций, принадлежащих Нр, обозначим через Ер.

Всякая функция и^^Нр (0<р^оо), такая, что и^Х") ^ О, допускает каноническое представление в виде произведения (ка о- ническую факторизацию)

U = UtUei

где Ut — внутренняя, а ие — внешняя функции, определяемые

формулойие (X) = х ехрформулойие (X) = х ехроднозначно с точностью до постоянного множителя, равного по модулю 1. Функция ие принадлежит классу Ер и дается

формулой

ие (X) = х ехр

формулой

ие (X) = х ехр

2Л

^X^DY (1.17)^X^DY (1.17)[ 4±11п|Ы(ё)“)И/

^X^DY (1.17)

^X^DY (1.17)

j elt — X

о

где |х| = 1 (см. (1.3)). Функции иДХ") и ue^XY связанные указанным образом с функцией u^XY называются соответственно внутренним и внешним множителями функции u^XY

2. Нам понадобятся некоторые характеристические свойства внешних функций. Введем сначала следующее обозначение.

Через

гр

L+o

(1<р

^ оо)

будем обозначать подпространство в Lp, состоящее из функций f(0, ряд Фурье которых имеет вид

1

Заметим, что единственной вещественной функцией, принадлежащей L+o, является функция f (/) = О (почти всюду).

Предложение 1.1. а) Для того чтобы функция иеНр (0<р^оо), н(Х)^0, была внешней, необходимо, чтобы имели место следующие импликации:

Шг1), U(e{t)f(t)sLl+^f(t)sLl+6, (1.18)

{о(Х)еЯ', и (е“) у (е“) е L*+o) ^ о (X) = 0.(1.18')

Для того чтобы функция и® Н1 была внешней, достаточно, чтобы имела место импликация

V^eH”, U^V^GL^^V^^O.(1.19)

Доказательство, а) Случай, когда f (/) = 0 почти всюду, тривиален. Поэтому можно считать, что f (/) отлично от нуля на множестве положительной меры. Поскольку u^elt>) отлично от нуля почти всюду, то функция

8^ = икеиШ^ -(1.20)

также отлична от нуля на множестве положительной меры. Так как, кроме того, по предположению g^eL^o, то существует функция G (X) е Н1, такая, что G (0) = 0, G (X) ^ 0 и

G(e“) = g(0 почти всюду. (1.21)

В силу (1.3) функции ln|G(ezz)| и 1п|«(е“)|

следует,следует,(1.22)(1.22)интегрируемы. Поэтому из соотношений (1.20) и (1.21) что функция .

следует,

следует,

(1.22)

(1.22)

ln|f(OI = ln|g(OI-ln|H(ez‘)l

также интегрируема. Рассмотрим внешнюю функцию

2Л2ЛF(X) = exp ^-JF(X) = exp ^-Jе“ + Хе“ + Хооe“-Xe“-Xln|f(OI^ .ln|f(OI^ .(1.23)(1.23)

2Л

2Л

F(X) = exp ^-J

F(X) = exp ^-J

е“ + Х

е“ + Х

о

о

e“-X

e“-X

ln|f(OI^ .

ln|f(OI^ .

(1.23)

(1.23)

Поскольку f (/) е L\ то F (X) е Н\

С учетом того факта, что и (X) является внешней функцией, из условий (1.21) —(1.23) вытекает, что

Е^-ОД^и^,(1.24)

где Ge (X) — внешний множитель для О (X) (см. (1.17)). Поскольку|О(Х)| = |Ог(Х) GjX)|<|Ge(X) I,

где Qt (X) — внутренний множитель для G (X), то (1.24) дает

k4$H<W)l ^®D,n = 0, 1, ...).

Из этого неравенства следует, что вместе с F^) в Нх входят функции ^п ~^у (^ = 0, 1, ...). Таким образом,

2Л'

J «'"'^Я"^-211^^-]^»”0 ("-°' '.--0.0.26)

Это означает, что функция f (t) = g ^Ди ке1\ которая по предположению входит в I?, принадлежит и L+q. Тем самым доказана импликация (1.18) для функции иеЕр.

Для того чтобы установить импликацию (1.18'), положим f (/) = и (е"). В силу (1.18) и (е“) е L+о- С другой стороны, v (X) е Н1 и, значит, и (ей) ® L+o- Следовательно, и ^elt^ = 0 почти всюду, т. е. и (X) =а 0.

Импликация (1.19) невозможна при и(Х)^0. Следовательно, и(Х)^0и, значит, м(Х) допускает каноническую факторизацию и (X) = щ (X) ие (X). Положим

v (X) = 1 - ut (0) ut <к\

2Л 1J е-'и о2Л 1J е-'и оОчевидно, у (X) е Я°°. Поскольку и^гНх, и (X) г Н°°, то uie^^L1, o^eL” и, следовательно, и(е“) и (Я') е Lx. Из равенства | ut (e'z) | = 1, справедливого почти всюду, вытекает, что

2Л 1

J е-'и о

2Л 1

J е-'и о

(ez<)u(e“)^= J e^u^dt-Ui^^ elntue^dt =оо

- 2л [Х"и (X) - Ui (0) ^Ue (Х)]х=0 = 0 (п = О, 1, ...)

и, следовательно, u(elt) y(ezi)s L+. Отсюда на основании (1.19) имеем у(Х)^0 и потому | щ (0) |2— 1 — и (0) — 1. По принципу максимума нДХ) = и, где |х| — 1 и, значит, и(Х) является внешней функцией.

Предложение 1.1 доказано.

Предложение 1.2 (теорема Бёрлинга). Для того чтобы функция ие№ была внешней, необходимо и достаточно, чтобы функции ^и^ (га = 0,1, ...), рассматриваемые как элементы гильбертова пространства Н2, порождали это пространство.

Доказательство. Пусть и (X) —функция из Н2, ортогональная ко всем функциям Х"ц(Х) (n = 0, 1, ...) в гильбертовой метрике Н2, т. е.

j elntu^T^dt = Q (n-0, 1, ...).

О

Тогда и (X) е № cz Д1 и и {elt) о (elt} е Цо. Поскольку функция и^ является внешней, то из предложения 1.1, а) следует, что о (X) = 0.

Обратно, если функции Хпи^ (n = 0, 1, ...) порождают Н2, то импликация

{и (е")Т^ е Цо) => {V (X) = 0}

справедлива для функций и^еН2 и тем более для функций * у (X) е Н°°. Согласно предложению 1.1, б), функция и^ является внешней.

Непосредственно из определения (1.10) внутренней функции вытекает, что произведение двух внутренних функций и функция и' (X), сопряженная к внутренней функции и^к\ также являются внутренними.

Что касается внешних функций, то из (1.14) и (1.15) следует, что произведение и частное внешних функций и функция, сопряженная к внешней, являются внешними функциями. Поскольку класс Н°° замкнут по отношению к операциям умножения и сопряжения, то класс Е°° ограниченных внешних функций также замкнут относительно этих операций. Введем в рассмотрение важный подкласс класса Е°°, обладающий тем же свойством.

Определение. Обозначим через £рег класс не имеющих нулей в D функций и е Н°°, для каждой из которых существует константа М = М (и\ такая, что

(Хе D, 0<г<1).

I и (г%) | х '

Предложение 1.3. Класс Ерег содержится в классе Е°° ограниченных внешних функций и замкнут относительно умножения и сопряжения. В класс Eper, в частности, входят:

все функции из Н\ непрерывные и отличные от 0 в замкнутом единичном круге D;

функции вида (1 — aX)v, где |а К 1, v^O (имеется в виду та ветвь функции, которая принимает значение 1 в точке X = 0). 5

Доказательство. Пусть ие Ерег, и пусть функция ие Н°° такова, что

4eu^^eLl+l).(1.26)

Докажем, что отсюда следует равенство и(Х)^0. В силу предложения 1.1, б) этим будет доказано, что функция и является внешней, т. е. и е Е°°.

Для фиксированного г, 0<г<1, функция 1/ы(гХ) разлагается в ряд Тэйлора

т=0

сходящийся равномерно в D. В частности, это разложение равномерно сходится на единичной окружности. Оно останется равномерно сходящимся, если каждый его член умножить на ограниченную функцию elntu (eli) у (е1')- Интегрируя почленно получаемый ряд и учитывая. (1.26), получаем

2Л;/оо 2Л

J eint №^ ”^ dt=^ С / е1 <п+т) ^^ "^dt = O (1.27)

0m=Q 0

при п = 0, 1, .... Поскольку функция и(еи)1и(ген) стремится почти всюду к 1 при г —> 1 — 0» оставаясь ограниченной (числом Л1), то по теореме Лебега

J elntv<elMt = 0 (n = 0, 1, ...), о

откуда и (X) = 0.

Итак, доказано, что £рег с= Е°°. Утверждение о замкнутости класса Ерег относительно умножения и сопряжения очевидно.

Если и(^ удовлетворяет условию (1), то и(^гН°°. Частное w(X)/u(rX) является непрерывной функцией двух переменных X и г на компактном множестве IX | ^ 1,0 ^ г 1, и потому ограничено. Таким образом, и е Ерег.

Для доказательства утверждения (2) достаточно заметить, что при |a|^l, v^O справедливо неравенство

(1—aX)v

(1 -arX)v

<2V (Хе Д 0<г<1).

Предложение 1.3. доказано.

Пусть и, с принадлежат классу Н°°. Говорят, что и является делителем и, а и —кратным и, если w = u)v также принадлежит Н°°. Делитель и функции и называется нетривиальным, если ни и, ни w не являются константами. Соответствующая факторизация u = vw также называется в этом случае нетривиальной.

Из принципа максимума непосредственно вытекает, что внутренняя функция w является константой (равной по модулю 1) в том и только том случае, когда |^(0)|=1. Отсюда следует, что функции w и \]w могут быть одновременно внутренними, только если w есть константа с модулем 1. Таким образом, если каждая из двух внутренних функций и и и является делителем другой, то они совпадают в том смысле, что отличаются друг от друга постоянным множителем по модулю, равным 1.

Рассмотрим параметрическое представление внутренних функций при помощи произведения Бляшке В^ и „сингулярной" внутренней функции, см (1.11) — (1.13). Из вида этого представления следует, что всякая внутренняя функция и однозначно (с точностью до постоянного множителя, равного по модулю 1) определяется последовательностью комплексных чисел {аь а^ ...} (конечной или бесконечной, возможно пустой) с I а^ I < 1» 2 (1 — | а^ |) < оо и борелевой неотрицательной сингулярной мерой ц на единичной окружности С (возможно, ц=0). В остальном эти последовательность и мера произвольны. Для того чтобы функция и', отвечающая последовательности (а', а^ ...} и мере р/, была делителем функции и, отвечающей последовательности {ah а2> ...} и мерс ц, необходимо и достаточно, чтобы, с учетом кратностей, последовательность |^) была частью последовательности ^ак^ и чтобы мера ц мажорировала меру рЛ

Пусть {wa} —семейство внутренних функций, конечное либо бесконечное. Предположим, что функция иа отвечает последовательности ^ак} и мере ца. Это семейство обладает наибольшим общим внутренним делителем (в обычном смысле) и^ определяемым с точностью" до совпадения. Функция и^ отвечает пересечению множеств Аа = {аа/г} (с учетом кратностей) и наибольшей нижней грани рл мер ра. Аналогично если функции семейства {и^ обладают каким-нибудь общим внутренним кратным и, отвечающим последовательности ^Ь^ и мерс v, то они обладают наименьшим общим внутренним кратным и^ (определяемым с точностью до совпадения); функция и^ отвечает объединению множеств Аа (с учетом кратностей) и наименьшей верхней грани цу мер ра. Заметим, что U^a^t^} и цу

мажорируется мерой v. Меры цд и pv сингулярны, поскольку они мажорируются сингулярными мерами !). Заметим также, что для конечного семейства {иа} в качестве общего внутреннего кратного и можно взять произведение Ц иа.

• а

Внутренние функции, нс имеющие общего внутреннего делителя, отличного от константы, будем называть взаимно простыми.

Из предыдущих рассуждений вытекает, что единственными (с точностью до совпадения) непостоянными внутренними функциями, имеющими лишь тривиальные разложения на внутренние множители, являются функции

Т^, где |а!<1. (1.28)

Приведем еще два предложения, которые понадобятся нам в дальнейшем..

Предложение 1.4. Пусть ^un(^ ^п= 1, 2, ...) —последовательность функций из Н00» равномерно ограниченная и стремящаяся к 0 в D. Тогда

2Л

\ un(eu)WMt-*0 (п-»оо)(1.29)

О

для любой функции f^^L.

Доказательство. Функции iz„(X)Av~' (п=1, 2, ..., v = = 0, ±1, ±2, ...) голоморфны в области 0 <| X |< 1. Поэтому 2л2л

J ип (е“) e,v< dt — lim j un (re1*) r^e14* dt — ог-*1 о

-liml f u„(4^-1^ = t f UnO.)^dK

Последний интеграл стремится к 0 при п-^оо, поскольку последовательность и^^ стремится к нулю, оставаясь ограниченной некоторой нс зависящей от п и К константой. Поэтому (1.29) справедливо для функций f (/) = ем, где v —произвольное целое число, и, следовательно, для произвольного тригонометрического многочлена. Поскольку множество таких многочленов плотно в L1, то (1.29) справедливо для любой функции f (/) е I?.

Предложение 1.5. Пусть (wa(X)} — семейство внутренних функций, конечное либо бесконечное, и (X) — их наибольший общий внутренний делитель. Для всякой функции f^L1, такой что иа(еиН (О G Чо пРи всех а>(1.30)

выполняется условие

у (e“)f (0 е(1.31)

Доказательство. В силу (1.30) существуют функции FJ^eH1, такие, что

почти всюду. Зафиксируем какой-нибудь индекс а, скажем а=1. Функции

<UXWiW иа^-Ра^их<Х) принадлежат Я1 й их радиальные пределы da(e“) равны 0 почти всюду. Поэтому da(%)s0, Fxutt = Faux, что, полагая ty^Ua/ty, можно переписать так:

Fxwa = Powx.(1.32)

Если исключить тот тривиальный случай, когда f(/) = 0 почти всюду, то ни одна из функций Fq^ не обращается тождественно в нуль. Пусть Fa = PaiFae — разложение функции Ра в произведение внутреннего множителя F^ и внешнего множителя. Р^. В силу (1.32)

Рц^а= Fai^V(1-33)

Таким образом, wx — общий делитель функций Fuwa- Из того факта, что у является наибольшим общим внутренним делителем функций иа, вытекает отсутствие у функций wa = uafy непостоянных общих внутренних делителей. Поэтому функция ty, должна быть делителем функции Ри. Следовательно,

Qx = FJwx = F Хе • Fufwx е Я1,

Gx (elt) = Fx (e'^/ty, (ezz) = ux (elt) f (t) e~lt!wx (elt) = у (e1*) f (/) e-u и, значит, имеет место (1.31).

Функциональное исчисление.Классы Н” и

Рассмотрим прежде всего функции

a (X) = S ckXk, где 2 | ck | < оо.(2.1)

6-06-0

Эти функции аналитичны в D и непрерывны в замкнутом круге D. Класс таких функций, который мы будем обозначать через Л, является, очевидно, алгеброй относительно обычного сложения и умножения функций, инвариантной относительно операции а->а~.

Пусть Г —сжатие в гильбертовом пространстве ^. Поставим в соответствие функции (2.1) оператор

а(П=^скТ\.(2.2)

Этот операторный ряд сходится по норме. Для фиксированного Т получаем отображение

алгебры Л в алгебру В(^) линейных ограниченных операторов в %. Это отображение является гомоморфизмом, причем

- а(Г)* = ^(Г)..(2.3)

В том частном случае, когда сжатие Т является нормальным оператором со спектральным разложением

Г= / XndKK,(2.4)

а (Г)

определение (2.2) оператора а (Т) эквивалентно обычному определению'

■а(Г) = / a^dKk.(2.5)

а (Г)_

Это вытекает из равномерной сходимости ряда (2.1) в D и из того факта, что а(Г)с5.

Пусть [/ — минимальная унитарная дилатация сжатия Г. Из соотношений Т" = прС/" (n = 0, 1, ...) следует, что

а (Г) = пр а ([/) (a е X),(2.6)

откуда, так же как и для многочленов (см. § I. 8), вытекает неравенство фон Неймана

||a(r)ll<sup|a(X)| (Хе О).(2.7)

Заметим, что для всякой функции ф(Х), голоморфной в D, функции'

Фг(Х) = ф(гХ) (0<г<1)

принадлежат классу А. Если м е Н”, то функции иг обладают общей гранью:

IMMKII«L (0<г<1, XeD\(2.8)

Поскольку операторы иг (Г) имеют смысл для 0 < г < 1, мы можем ввести

* Определение. Пусть Г —сжатие в §. Обозначим через Нт множество тех функций и s Н°°, для которых существует сильный предел Пт иДТ\ Для и г Нт положим

r-> 1—О

и (7) = Пт иДТ\(2.9)

г-> 1—О

Это определение корректно. В самом деле, если а е Л, то аДТД стремится к а (7) даже по норме:

2 сктк - 2 скгкТк к^Ок*»02 сктк - 2 скгкТк к^Ок*»0<2kfcl(i-r6)->o О<2kfcl(i-r6)->o Опри г —> 1 — 0.при г —> 1 — 0.

2 сктк - 2 скгкТк к^Ок*»0

2 сктк - 2 скгкТк к^Ок*»0

<2kfcl(i-r6)->o О

<2kfcl(i-r6)->o О

при г —> 1 — 0.

при г —> 1 — 0.

Из очевидных соотношений (cu)r = сип (и + у)г = ит + уг, (^у)г = = итх)т (и, и е Н00) вытекает, что класс Нт является подалгеброй в Н°° и что отображение и->и(Т\ которое мы только что определили, является гомоморфизмом алгебры Нт в В (§).

Отметим такой очевидный факт: если Т = 70ф7ь то а(П = а(Т0ШакТд

при а^ А. Отсюда следует, что

Нт=Н^(\Н?х(2.10)

и что

'(2.11)

для и е Нт .

Беря, в частности, каноническое разложение Т (см. теорему I. 3.2.), мы видим, что это замечание позволяет свести изучение отображения и^и^ к двум важным крайним случаям—случаю унитарного оператора и случаю вполне неунитарного сжатия.,

Рассмотрим сначала случай, когда Т — вполне неунитарное сжатие в пространстве %. Пусть U — Минимальная унитарная дилатация Т в пространстве Я(=) §). Покажем, что в этом случае

Нт-П'и-1Г(2.12)

и что для каждой функции и е Н°° выполняется равенство и(Т) = пр u(Uy(2.13)

Поскольку ввиду (2.6) ит (Т) = пр ит (U) (0<г<1), доказательство сводится к установлению следующего факта: если и е Н°°, то ur (U) сильно сходится при г -> 1 — 0. С этой целью

напомним, что спектральная мера Е на С, индуцируемая спектральным семейством {Е^ оператора U, абсолютно непрерывна относительно меры Лебега (см. теорему II. 6.4). Поэтому^ предельная функция иДеи\ существующая почти всюду на С, интегрируема по спектральной мере Е и, следовательно, существует интеграл

и® (I/) - / м (е») dEtО

(мы употребляем значок s в том случае, если речь идет о функции от унитарного оператора U, определяемой непосредственно с помощью спектрального разложения UY С другой стороны, равенство (2.5) означает, что в рассматриваемом случае иДЦ^ = и^и). Итак, для всякого f^R

2л

|[м^)-мЦ^]^=/|»И-^^^(г-И).

о.

Поскольку подинтегральная функция ограничена числом [21| и Ц^]2 и стремится к нулю почти всюду относительно меры т, значит, и почти всюду относительно Е, то по теореме сходимости Лебега последний интеграл стремится к 0. Таким образом, доказано существование иф) и равенство

и^-и^иу(2.14)

Поскольку || ws([/)|Ksupcss| ^(^IKIlulL, то из (2.13) и (2.14) вытекает, что

IMHIKMIoo Для любой функции и^Н°°.(2.15)

Применим соотношение (2.3) к функции а = иг> где 0<r< 1. В силу очевидного равенства

(«г)* = (и~)г

имеем*

иДТУ = ^ДП.(2.16)

Поскольку оператор Т вполне неунитарен вместе с Т, а tr принадлежит классу Н°° вместе с и, то правая часть (2.16) стремится к и" (Т) при г->1 —0. Поэтому иДТУ ~>гДТУ нс только слабо (что следует из сильной сходимости иДТ) к и (Г)), но и сильно, и мы получаем

и^ту = и-^Г\

Перейдем к вопросу о непрерывности отображения и-^иУГУ

Из неравенства (2.15) вытекает, что если иАА стремится к и(Х) равномерно в D, то «„(Л стремится к и^ по норме (запись: ип (Т) =^ и (Т)).'

Покажем, что для сильной сходимости ип У") ^> и (7") достаточно, чтобы функции ип имели общую грань:

sup || и„||те< оо

и сходились к и почти всюду на С:

un^elt^-> и\е1^ почти всюду на С.

В самом деле, полагая оп = ип — и, получаем на основании (2.13) и (2.14)

2Л

II Un (П h IP < || у„ W h IP = J | u„ ^ P d <Eth, A) (2.17) 0

для произвольного h^%. Последний интеграл стремится к О при п->оо в силу теоремы Лебега. Здесь мы используем абсолютную непрерывность спектральной меры оператора U, точнее, тот факт, что

d (Eth, Ъ^ = <рл (/) dt, . где фл (О е D.

Наконец, для слабой сходимости ип (Т) -^ и (Г) достаточно, чтобы функции ип имели общую грань и сходились к и в D (ограниченная сходимость в D\ Действительно, в силу (2.13) и (2.14) имеем, полагая un = un — ut

2л

(у„ (Г) h, h') = (у„ ((/) к, к') = J У„ (e‘7) d (Etk, k')(k, k' e §\

0

При n->oo этот интеграл стремится к 0 на основании предложения 1.4, поскольку d(Etht h'^^^h'^dt, где фл, h'(t) принадлежит L1..

Заметим, что из формул Пуассона (1.7) вытекает, что ограниченная сходимость почти всюду на С влечет сходимость в D. Обратное неверно, как показывает пример функций V (п=1, 2, ...).

Для вполне неунитарного нормального сжатия наше определение оператора и(Т) (и^Н°°) согласуется с обычным определением при помощи спектрального разложения Т. В самом деле, это справедливо для функций иг(гА\ Поэтому достаточно показать, что

' J ur^dKk-> J u^dKk (r-И-О).

° (Г)а(Г)

Последнее вытекает из теоремы сходимости Лебега, поскольку иДХ) ограниченно сходится к и (X) в О, а а (Г)\ D имеет меру нуль относительно спектральной меры Кк (в противном случае Т не был бы вполне неунитарным).

Обратимся к изучению произвольного вполне неунитарного сжатия Т. Пусть у ^ Н°° и пусть |у(Х)|<1 в D. В силу (2.15) оператор

Г = v(T)(2.18)

будет сжатием. Покажем, что Т' также вполне неунитарен.

С этой целью рассмотрим функцию

.V 7l-v(0)u(A)

Очевидно, что w е Н°° и |^(Z)|<1 в D. Следовательно, ш (Г) также является сжатием и

w (Т) = [и (Г) - у (0) /] [/ - у(6Уу (Л]"1.

Воспользуемся теперь следующим утверждением (см. п. I. 4.3): если V — унитарный оператор в гильбертовом пространстве, то оператор (У — al) (/ — aVYx при |а|<1 также является унитарным, и обратно. Отсюда следует, что пространство §о унитарной части оператора Г'= и(Т) совпадает с пространством унитарной части оператора w^T\ Поскольку | w (X) |<1 в D и w(0) = 0, то по лемме Шварца w(Z) = X2(Z), где |2(Х)|^1 в D. Оператор 2 (Г) также является сжатием и

w{T) = T .2(П = г(Л-Г.

Для h^ §о имеем

II h || = || w (ГГ h || = || 2 (If ТпН || < || ГН ||, 11МЧ®(Л*"МЧМп,лг"М<к,',М (п=1, 2,

Поскольку Т — сжатие, то || Tnh || = || h || = | Tnh| (п=1, 2, ...). Поэтому из полной неунитарности Т вытекает, что А = 0. Таким образом, Фо = {О} и, следовательно, оператор Г'= у(Г) вполне неунитарен.

В рассматриваемом случае можно построить и (Т') = и (у (Г)) для произвольной функции иеН”. Из (2.18) вытекает немедленно, что р (Т') = р ° у (Г) для всякого многочлена р. (Мы употребляем для композиции функций обозначение f°gM =

Применяя это соотношение к частичным суммам рп степенного ряда для функции а^А и переходя к пределу при ц~>оо, получаем а (Т') = a°v (Т), поскольку рп -> а и рп о v -> а ° и равномерно в Z). В частности, для любой функции и е Н°° и любого re(0, 1) будет иг (Г7) = иг о и (Г). При г->1 иДТ'^ сходится к и (Г7) по определению, а иг ° и (Г) слабо сходится к и^сУГУ поскольку мг о v сходится к и о и в смысле ограниченной сходимости в D. Таким образом,

u(v (Т)) = и ° и (Г)

для любой функции и е Н°°.

Нами доказана

Теорема 2.1. Пусть Т — вполне неунитарное сжатие в пространстве §, U — eeo минимальная унитарная дилатация. Тогда Нт=Ни=Н°°. Отображение и->иУП из Н°° в В^У определяемое условием

и = lim 2 гкскТк для u (X) = 2 с^ е Н°°,r-> 1—О к=0/г=0

есть гомоморфизм алгебры Н°° в В($У обладающий следующими свойствами:

,[ /, если и (X) = 1,

"(Л^ г, если и^ = к

и и (DIKII «и

ипУП^иУП при ип—> и равномерно в D;

(в7) и^^-^и^ТУ если функции ип равномерно ограничены и стремятся к и почти всюду на С;

(в77) ипУП-* иуту если функции ип равномерно ограничены и стремятся к и в D;

и(ту = иЧП;

если v ^ Н°° и | v (Л) | < 1 в D, то оператор Т' = v (Г) является вполне неунитарным сжатием и и(Т') = и° v(T) для произвольной функции и е Н°°;

если оператор Т нормален, то и(Т) совпадает с интегралом и8УП функции и^ по спектральной мере оператора Т;

(ж) и(Г) = пр ифУ

Замечание 1. Отображение и-^иуту описанное выше, является единственным гомоморфизмом алгебры Н°° в В (§), обладающим свойствами (а), (б) и (в7).

Действительно, в силу (а) единственность очевидна для многочленов. Для классов А и Н°° единственность следует из

того замечания, что частичные суммы р„ степенного ряда для функции as А, а также функции ит, отвечающие и s Н”, ограниченно сходятся (р№->а, иг-+и) почти всюду на С.

Замечание 2. Наличие взаимно однозначного соответствия между Н” и L”, сохраняющего алгебраическую структуру и метрику (см. § 1.1), позволяет рассматривать гомоморфизм и-*и^ алгебры. Н” в В^ как гомоморфизм алгебры L” в В^\ Этот гомоморфизм обладает, в частности, свойствами

f f /, если f (0 ™ 1 почти всюду,

(а ) —( г, если /(0”^“ почти всюду,

Н/(П IKIlfL

Предложение 2.2. Пусть Т — вполне неунитарное сжатие в ^> ^{О} и М — подалгебра алгебры L”, такая, что L”cMc L°°. Допустим, что существует гомоморфизм f-^-f(T) алгебры М в алгебру В(£), обладающий свойствами (а') и (б'). Тогда M = L”.

Доказательство. Пользуясь свойством (б'), мы можем продолжить рассматриваемый гомоморфизм на замыкание М алгебры М в L”. Как известно, всякая замкнутая подалгебра алгебры L“, содержащая L” как собственную часть, содержит и функцию fi(/)“e~'( (см. Гофман [1], гл. 10, Максимальность). Таким образом, если M^L” и, следовательно, M#=L”, то fi (Т) имеет смысл. Поскольку eiif1(t) = f^tje11 — 1, то из свойства (а') вытекает равенство

ШП = МШ = 1, .

т. е. fi(T) = Т~\ С другой стороны, в силу свойства (б') к-111 = ШП11<Ш1о“1.

Из условий ЦТ ||<1, |Г-11|^1 вытекает очевидным образом, что оператор Т унитарен вопреки предположению о его полной неунитарности в Ф=/={0}. Предложение доказано.

Из предложения 2.2 и сделанных ранее замечаний вытекает, что рассматриваемое функциональное исчисление для вполне неунитарных сжатий единственно и максимально.

Для всякой функции иеН” мы будем обозначать через ы(е“) некасательный предел н(Х) в точке z-=eu, если этот предел существует. При этом число u(z) может и не быть пре-

делом и(Х) в точке z при X, стремящемся в Л к г произвольным образом.

Полезно ввести в рассмотрение следующие подмножества окружности С, связанные с функцией и е Н”.

Определения.

Си = (г: и (X) не имеет некасательного предела в точке г);

C„ = {z: u(X) не имеет предела в точке г);

Cu = {z: u(X) не имеет ненулевого некасательного предела в точке г) *);

С« = {г: и (X) не имеет в точке z ненулевого предела).

Все эти множества борелевы; Ся, а при ц(Х)^0 и С® — множества лебеговой меры нуль (см. § 1); Ся с Ся, С°и с С“.

Рассмотрим унитарный оператор V в пространстве §. Пусть Ev — спектральная мера на С, индуцированная спектральным семейством {E^.J (0<^^2л) оператора V. В силу (2.5)

2л

а(Г) = а8(Ю= j а^йЕу.,о

для произвольной функции а е А и, в частности, для функций мг(0<г < 1), где и е Н”. Заметим, что | иг(еи) | ^|| и Ц^ (0<r < 1) и иг (е11) -> и (е“) (г —*-1), если е“ не входит в Ся.

Если

EV(CU)=O,(2.19)

где u® (7) сильно сходится к ц®(7) при г->1. В самом деле, по теореме сходимости Лебега

J ц® (И) h - и8 (7) h |Р = / | ur (elt) - и (e“) |2 d (Ey, th, h) -► 0 (he £). .0

Итак, из условия (2.19) вытекает, что иг Ну и u(W) = us(V).

Выясним, сохраняются ли для унитарного оператора Т = V свойства нашего функционального исчисления, установленные в теореме 2.1 для вполне неунитарного сжатия Т. Заметим прежде всего, что в этом случае U = V, так что свойство (ж) выполняется тривиально. Свойство (а) очевидно, а свойство (е) только что установлено, по крайней мере при условии (2.19).

!) То есть некасательный предел в точке г либо не существует, либо равен ^ — Прим. перев.

Свойство (б) вытекает из неравенства (2.7), справедливого для класса Л, если применить это неравенство к функции ит и заметить, что иДУ)~> u(V) (сильно), а || ит 1^ < || и Ц^ для всякой функции и е Ну .

Что касается признаков сходимости, то (в) вытекает из (б); признак (в7) сохраняет силу, если „почти всюду на С“ понимать в смысле спектральной меры Ev (подразумевается, что un(^z) и u(efZ) существуют почти всюду относительно Ev. т. с. Ev^ = Ev(Ca) = О). Признак (в") теряет силу; контрпримером служит V = I и ип^-Х”.

Свойство (г) сохраняется, причем Ну* состоит в точности из функций и\ сопряженных к функциям тНу\

В самом деле, поскольку оператор V унитарен, то многочлены от V и их сильные пределы являются нормальными операторами. В частности, оператор мг(7) нормален для и^Ну и 0<г<1. Остается применить, с одной стороны, соотношение (2.3), а с другой — утверждение о том, что для последовательности нормальных операторов Nn соотношение Nn->N эквивалентно соотношению N*n~>N*. Заметим еще, что в силу тех же соображений оператор и(У") нормален для и^Ну.

Что касается свойства (д), то, как следует из свойства (б), оператор N = v(V) является сжатием для и е Ну и |и(Х)|<1 в D. Соотношение р (N) = р о и (V) для многочленов вытекает из указанного выше гомоморфизма алгебр. Соотношение я (ЛО = = а ° v (ЛО для ае Л вытекает из свойства (в). В самом деле, частичные суммы рп ряда для функции а обладают тем свойством, что рп-^а и ptlov~^a^v равномерно в D. В частности,

иДН^игОХ)^ (2.20)

для и е Н°° и 0 < г < 1.

Сделаем дополнительное предположение, что множества

(2.21)(2.21)Су И и (С„) = (е“: и (е") е С„}

(2.21)

(2.21)

имеют нулевую меру относительно Еу. Из этого предположения вытекает существование пределов

v (ezz) = lim и (relt\ и о и = lim и (v (rezZ))'

и равенствои равенствои (rv (е1<)),и (rv (е1<)),Г->1-0г->1—0

и равенство

и равенство

и (rv (е1<)),

и (rv (е1<)),

и = у (elt) = limг-> 1—0

справедливое Еу-почти всюду на С. Поэтому м о v е Ну и, согласно признаку сходимости (в'),

мгоу(У)->иои (V).

Ввиду (2.20) заключаем, что предел u(N) = lim ur(N) суще- г —> 1 — 0

ствует и равен и ° и (7).

Таким образом, при некоторых ограничениях, о которых шла выше речь, все свойства (а) —(ж) функционального исчисления, установленные в теореме 2.1 для вполне неунитарных сжатий, кроме свойства (в"), переносятся на случай унитарных операторов.

Теперь мы можем обратиться к общему случаю. Пусть Г — произвольное сжатие, То —его унитарная часть, Тх — вполне неунитарная часть. Тогда

Т = ТО®ТХ. UT = UT^UTx и Uj^Tq.

Комбинируя теорему 2.1 с только что полученными результатами и вспоминая (2.11), мы приходим к следующей теореме.

Теорема 2.3. Пусть Т — сжатие гильбертова пространства § и U — его минимальная унитарная дилатация. Тогда Нт = = Н°и и. в частности. Нт содержит есе функции и е Н°°. для которых множество Са имеет нулевую меру относительно спектральной меры Ет. отвечающей унитарной части оператора Т.

и(Т) = lim ^ rfeckTfe дляи(Т) = lim ^ rfeckTfe дляОтображение и-^и(Т) класса Нт в В($). определяемое условием

и(Т) = lim ^ rfeckTfe для

и(Т) = lim ^ rfeckTfe для

является гомоморфизмом алгебры следующими свойствами:(a) uVn-V "Р“ “т~1'v ' v ’ (г при иМ-Х;является гомоморфизмом алгебры следующими свойствами:(a) uVn-V "Р“ “т~1'v ' v ’ (г при иМ-Х;Нт в В ($), обладающим

является гомоморфизмом алгебры следующими свойствами:

(a) uVn-V "Р“ “т~1'

v ' v ’ (г при иМ-Х;

является гомоморфизмом алгебры следующими свойствами:

(a) uVn-V "Р“ “т~1'

v ' v ’ (г при иМ-Х;

IMniKIML;

ип(Т)^ и (ДУ если ип стремится к и равномерно в D;

(в') ипХП->и(Д\ если функции ип равномерно ограничены и стремятся к функции и Ет-почти всюду на С;

Нт* = (Нт) , и для и^Нт выполняется равенство и(ТУ = - и~ (ТУ

если и. с^ Н°° таковы, что | v (X) I < 1 в D и множества -1

Су и v(CJ имеют нулевую меру относительно Ет. то с^Нт и u^v^Ht] кроме того, Tf = v(T) является сжатием. и^Нт, и и (Д') = и°и (Г);

если Т — нормальный оператор. а функция и^Н°° такова. что Ет(Си) = О. то и(Т) существует и равен и3 {^ — интегралу от функции и{Х) по спектральной мере оператора Т;

и(Т) = пр и {U) для всех и^Нт-

Роль внешних функцийв функциональном исчислении

L В качестве первого шага к тому, чтобы распространить наше функциональное исчисление на неограниченные функции (это распространение служит темой следующей главы), установим условия, при которых оператор и (Г) имеет обратный и{Тух по крайней мере в широком смысле (т. е. не обязательно ограниченный и всюду определенный).'

Прежде всего рассмотрим вполне неунитарные сжатия Т.

Предложение ЗЛ. Для всякого вполне яеунитарного сжатия Т в пространстве § и для всякой внешней функции и е Н°° {т. е. для и^Е°°) оператор и(Т) имеет обратный оператор, область определения которого плотна в %.

Доказательство. Пусть и^Е°°. Рассмотрим элемент Ае§, для которого u{T)h = 0. Вводя минимальную унитарную дилатацию U оператора Т и (абсолютно непрерывную) спектральную меру Е оператора U. находим

О = (Тпи {Т) h. h) = {Unu (U)h.h) =

= j eintu{elt)qh(f)dt (m = 0, 1, ...), о

где

Фа (0 = A) gL1> Фа ^ 0 почти ВС1°ДУ-

Это означает, что и (е“) фА (Z) е L^. В силу предложения 1.1 функция фд(0 входит в L^. Будучи вещественной, она равна нулю почти всюду. Следовательно,

2л2л

IIA IP = J <HEth, й)= | фЦ^-О.О6

Итак, из u(7")h = 0 вытекает Н = 0, т. е. оператор и^Т)-1 существует.

Применяя этот результат к сжатию Т, которое является вполне неунитарным вместе с Т, и к функции и~, входящей

в Е°° одновременно с и, видим, что существует оператор

^*^~1б Поскольку и* (Г*) = и (Г)*, то множество значений оператора и (Г), т. с. область определения оператора и (Г)-1, плотно в %. Предложение доказано.

Условие, наложенное на функцию и, является существенным:-

Предложение 3.2. Для всякой функции и^Н°°, не являющейся внешней, существует такое вполне неунитарное сжатие Т в пространстве §#={0}, что и^ = О.

Доказательство. Можно считать, что и^^О. Пусть и = щие — каноническое разложение функции и на внутренний и внешний множители. По предположению щ непостоянна. Если мы найдем такое вполне неунитарное сжатие Т, что ujr) = 0, то будем иметь и (Г) = щ (Т) ие (Т) = О.

Обозначим через щН2 множество функций щх), где и пробегает Н2 (заметим, что все функции щх? входят в Н2, так как функция щ ограничена). Поскольку | щ (ег/) | = 1 почти всюду, то отображение х)->щх) является линейным й изометрическим в гильбертовой метрике в Н2. Следовательно, щН2 — подпространство пространства Н2. Поскольку функция щ не является внешней, то в силу теоремы Бёрлинга (предложение 1.2) подпространство щН2 нс совпадает с Н2. Положим ^ = Н2ещН2. Тогда §#={0}..

Обозначим через V оператор умножения на X в Н2; V является односторонним сдвигом в Н2, следовательно, V*n->0 при п-^ оо, причем

V У =для игн2.

Заметим, что подпространство utH2 инвариантно относительно V и, следовательно, дополнительное к нему подпространство § инвариантно относительно V*. Полагая

Г = (ГЖ(3.1)

получаем сжатие 7 в §, для которого

Гп = у*п\§->0 (/г->оо).(3.2)

Итак, V и Т вполне неунитарны. Более того, из (3.2) следует, что

Т" = РУп\£ (п = 0, 1 ...),(3.3)

где Р — ортопроектор из Н2 на ^. Отсюда следует, что w (7) = Pw (V)

для произвольной функции w е Н”, где, очевидно, w (V) — оператор умножения на w (X) в Н2,

В частности,

Hi(7’)/i = P«z(V)/i = PMi(X)/i(A,) для всякого he%.

Поскольку щ!г е щН2, т. е. u^L^ для всякого h е Н2, то иЛП = О.

Оператор Т обладает, таким образом, всеми требуемыми свойствами: он является вполне неунитарным сжатием в пространстве ^^{О} и м,(Г) = О.

Следует добавить, что всякая функция феН”^^, Для которой йу(Г) = О, кратна функции «(. Для установления этого факта заметим прежде всего, что функция Ао(%) = 1 — uz(0) ut (X) входит в §. Действительно, для любой функции и е Н2

2л

W, h^ = ± J щ ^) v (в») [1 _ Ui (0)^)] dt = о 2л

= 2^ о(е")[Ме")-М0)]^ = 0.

о

Из w (Т) = О, в частности, следует, что 0 = w (Г) Ао = Pwh0. Следовательно, wA0 g utH2, whQ = utv (v^H2), откуда w = щщ, где V! = v + ut (0) w e H2. Таким образом,

I У1 (e'z) I I «z (e")|| Oi (e“) I = | to (e")|< || w ||„

почти всюду на С. Из формулы Пуассона, связывающей значения функции Oi (X) в D с ее граничными значениями на С, вытекает, что I оДМ 1^11 IL ^eDY Итак, ^еН00 и, следовательно, w кратно щ в Н°°.

Из предложений 3.1 и 3.2 вытекает

Предложение 3.3. Пусть и е Н°°. Для того чтобы оператор и (Л-1 существовал (в широком смысле) для любого вполне неунитарного сжатия Т, необходимо и достаточно, чтобы функция и была внешней, т. е. чтобы иеЕ°°. Для таких функций оператор и(Т)~' имеет плотную область определения.

Следствие. Пусть v^H°° и |и(Х)|<1 в D. Тогда и^Е°° влечет u = ug Е°°.

Доказательство. В силу теоремы 2.1 оператор Т' = = о (Г) является вполне неунитарным сжатием, каково бы ни было вполне неунитарное сжатие Т, и и^Г') = иох) (Г).

Если и^Е°°, то существует иУ',)-х и, следовательно, существует «^^(Т)"1. Отсюда вытекает, что иоу^Е00.

Пусть Т — некоторое сжатие. Обозначим через Кт класс функций и^Нт. для которых оператор и (Г) имеет обратный (в широком смысле) с плотной областью определения. Очевидно, что для фиксированного Т класс Кт является мультипликативным.

Для и е Кт имеем

VulTr4* = MTYrx = ^(3.4)

и, следовательно, и~ е Кт** В силу симметрии

Кт* = ^Кт^ *(3.5)

Из предложения 3.3 вытекает, что Е°° cz Кт для вполне неунитарных сжатий Т.

Пусть оператор Т = V унитарен, а функция и принадлежит Н°°. Как мы уже знаем, если u^elt>) существует Е^-почти всюду (условие (2.19)), то и^Ну и u(V) = и3 (V). Для того чтобы существовал оператор u^V)-1, необходимо и достаточно, чтобы u(elb) существовало и было отлично от нуля Е^-почти всюду, т. с. чтобы'

' Еу^ = О.(3.6)

Из теории спектральных интегралов вытекает, что при этом условии us(V)-1 = (l/u)8(V) и, следовательно,

2л

uW'= f Wu^\dEv.bО

причем последний оператор имеет плотную область определения. Из условия (3.6) следует, что и принадлежит Kv и u<W = W4V\

Пусть u,v^H°° таковы, что | и (X) I < 1 в D и множества

Cv и и (С°)'

имеют меру О. относительно Ev. При этих предположениях функция и ° и (elt) существует и отлична от нуля Е^-почти всюду и, значит, на основании сказанного выше и^и входит в Kv*

Перейдем к рассмотрению сжатий Т общего типа. Используя каноническое разложение Т = ГофГь применяя предложение 3.3, следствие из него и замечания, сделанные нами для случая унитарного оператора, приходим к следующей теореме.

Теорема 3.4. (а) Для произвольного сжатия Т класс Кт мультипликативен, и Кт* = (/Ст) .

Класс Кт содержит, в частности, все функции и G Ет, дл^ которых множество С°и имеет меру О относительно спектральной меры Ет, отвечающей унитарной части оператора Т.

Если и е Е°°, и г Н°°, | v (X) | < 1 (X е D) и множества Су и и (С®) имеют меру О относительно Ет, то

иоу^кТ.

В настоящей главе мы применим наше функциональное исчисление к изучению одного нового класса сжатий, который мы обозначим через Со, а также к изучению однопараметрических полугрупп сжатий. При этом мы будем применять лишь некоторые, наиболее простые результаты, главным образом теоремы 2.1 и 2.3. В полном объеме полученные выше результаты будут использованы позже, в следующей главе, где мы распространим исчисление на неограниченные аналитические функции.

Сжатия класса Сои их минимальные функции

Пусть Т — сжатие в пространстве § и U — его минимальная унитарная дилатация. Как известно, для всякого Леф существует предел.

Lh = lim U-nTnh(4.1)

П->оо

(см. предложение II. 3.1, где было доказано, что Lh. является ортогональной проекцией к на подпространство Ш, пространства дилатации). Из (4.1) вытекает, что

U-mLTmh = lim (Гт-пТт+пН = Lh

n-> ОО и, следовательно,

LTmh = UmLh (m = 0, 1, ...).(4.2)

Предположим, что сжатие Т вполне неунитарно. Тогда в силу (4.2)

Lu^h-u^Lh(4.3)

для всякой функции и е Н°° и всякого Леф.

Выберем и и h так, чтобы и (X) Ф 0 и

(4.4)(4.4)и(Г)Л = 0.

(4.4)

(4.4)

На основании (4.3) будем иметь

u^LH = 0.(4.5)

Функция u^elt^ существует и ^0 почти всюду относительно лебеговой меры, а значит, и относительно спектральной меры оператора U (поскольку эта последняя абсолютно непрерывна). Отсюда следует, что оператор иф) имеет обратный (в широком смысле): м([/)”1 ■= (1/м)8((/). Поэтому из (4.5) вытекает, что Lh = 0 и, следовательно,

lim I Ttth | - Нт 8 U"nTn h 8 = || Lh || - 0. 'П->ооп->оо

Полученный результат может быть сформулирован в виде следующего предложения.

Предложение 4.1, Пусть Т — вполне неунитарное сжатие в пространстве Ф, и (X) — функция из Н”, и(Х)^0. Тогда если Не % и u(l")h. = 0, то Tnh-+Q (п-*оо).'

В том случае, когда и(7’)/г = 0 для всех he^, т. е. когда и 03” О, имеем также и~ (Т*) — и 03* = О. Применяя предыдущий результат к функции и~ и оператору 1, получаем

Предложение 4.2. Пусть Т — вполне неунитарное сжатие и и 03” О для некоторой функции и е Н”, и 03 ^ 0- Тогда Тп->0 и Т*п-*О, т. е. ТеС№

Класс сжатий, рассмотренных в этом предложении, заслуживает более глубокого изучения. Введем следующее

Определение. Будем называть классом Со класс вполне неунитарных сжатий Т, для каждого из которых существует функция иеН”, иОЗ^^> такая, что и(7’) = О.

Предложение 4.2 утверждает, таким образом, что

Cg G Соо.

Заметим, что для каждого ГеС0 функцию и, о которой говорится в определении, можно выбрать внутренней. В самом деле, если и — ueut — каноническая факторизация функции и, то ие(Г)Ui(T) = иОЗ = О. Поскольку ПеОТ' существует на основании предложения 3.1, то uz(7’) = O.

Очевидно, что если и 0^ = О для некоторой функции и е Н”, ифО, то и (?) = О для всякой функции и, кратной и в Н“.

Возникает следующий вопрос. Пусть Т — произвольное сжатие из Со. Существует ли среди внутренних функций и, удовлетворяющих условию и (Г)” О, функция, являющаяся делителем всех прочих? Такую функцию, если она существует, будем называть минимальной функцией оператора Т и обозначать

через тт\ она определяется с точностью до постоянного множителя, по модулю равного 1. В самом деле, если их^ и м2(Х) — внутренние функции, являющиеся делителями друг друга, то их (X) = хщ^Х\ где |х|= 1 (см. § 1).

При доказательстве теоремы 3.2 был фактически построен важный пример, имеющий отношение к введенным понятиям. Именно было доказано

Предложение 4.3. Для всякой непостоянной внутренней функции m (А) пространство

% = №^т№

отлично от {0}; оператор Г, определяемый в § равенствами

Го = Рф[1о(1)], Ги = у[и(Х)-у(0)](уе^),

принадлежит классу Со, и его минимальная функция совпадает с т^Х\"

Другие важные примеры сжатий класса Со будут рассмотрены в следующих главах, в частности в гл. VIII и IX.

Установим теперь важное

Предложение 4.4. Для всякого сжатия Т еС0 существует минимальная функция mT^k\

Доказательство. По предположению класс 3 внутренних функций и, для которых и^ = О, непуст. В силу приводимой ниже леммы 4.5 и(Г) = О, где и —наибольший общий внутренний делитель функций класса 3. Очевидно, пгт = и.

Лемма, которую мы только что использовали, формулируется следующим образом.

Лемма 4.5. Пусть {и^^^А —конечное либо бесконечное семейство внутренних функций, с— их наибольший общий внутренний делитель. Если для некоторого вполне неунитарного сжатия Т в пространстве % и для некоторого элемента h е § выполняется условие ца(Г)А = 0 (аеД), то и(Г)/г = О.

Доказательство. Пусть U — минимальная унитарная дилатация оператора Т, {EJ — спектральное семейство оператора U; Et есть абсолютно непрерывная функция от 1. Для произвольного ^е §

Фй, ? W = ^ №th> g^dt е Lx.

Поскольку «а(Г)/г = О (агД), то для v = 0, I, ...

2л ,

0 = (тХ(ЛА, ^-(i/XKOA, s)= J e^u^e^n, g<Mtо

и, следовательно,

L\Q (а г Л).

Согласно предложению 1.5,

Поэтому

2Л

(и (Г) h, g) = J v (е») фА, g (О dt = 0.

о

Поскольку g — произвольный элемент из §, то у(Г)Л = 0.

Минимальные функции сжатий класса Со играют роль, во многих отношениях аналогичную той роли, которую играют минимальные многочлены для конечных матриц.

Например, подобные между собой матрицы имеют один и тот же минимальный многочлен. Мы докажем аналогичный факт для минимальных функций операторов сжатия, причем при менее ограничительном условии: мы будем лишь предполагать, что одно из. сжатий является квазиаффинным преобразованием другого (см. § II. 3).

Предложение 4.6. Пусть Тх и Т2 — вполне неунитарные сжатия, и пусть Т2 является квазиаффинным преобразованием Тх. Если одно из этих сжатий принадлгжит классу Со, то это же справедливо для второго сжатия и их минимальные функции совпадают.

Доказательство. Предположим, что существует квазиаффинитет X из §2 в §h такой, что ХТ2 = ТхХ. Тогда ХТ^Т^Х (лг = 0, 1, ...) и, следовательно, Хи(Т2) = и (Ti) X для любой функции и^Н°°. Если Г1^Со, то, в частности, Хпгтх (Г2) = пгтх (Г1) X = О. Из обратимости оператора X вытекает тогда, что пгтАТ^ = О и, значит, Г2еСо, а гпт2 является делителем пгТх. Обратно, если Г2^Со, то ШтАТ\)Х = ХпгтДТ2) = О. Поскольку Л'§2 = §1, то тТг(Т^= О. Следовательно, ?\еС0 и пгтх является делителем пгт2.

Итак, если одно из двух сжатий принадлежит классу Со, то этому классу принадлежат оба сжатия. Их минимальные функции делятся друг на друга и потому совпадают.

Из доказанного предложения вытекает, что минимальная функция является инвариантом квазиподобия.

Пусть Г —сжатие класса Со в пространстве §. Тогда тт^Т)=О. В силу леммы 4.5 равенство

ц(Т)Л = 0(4.6)

для некоторой внутренней функции и и -некоторого he% влечет равенство

„(и A mr) (Г) h = 0(4.7)

(значок Д означает взятие наибольшего общего внутреннего делителя).

В частности, если и и тт взаимно просты, т. е. и /\ тт = 1, из (4.7) следует, что й = 0. Таким образом, для внутренней функции и, взаимно простой с тт, оператор и (Т) обратим. При этом и~ взаимно просто с т^ = тТ. и, следовательно, оператор и~ (Г*) также обратим. Поскольку и~ (Т*) = и (Г)*, то область значений оператора и (Т) плотна в %. Мы доказали тем самым

Предложение 4.^. Если ТеС^, то для всякой внутренней функции и, взаимно простой с минимальной функцией пгт, оператор и (Т) имеет обратный оператор с плотной областью определения, т. е. функция и принадлежит классу Кт {введенному в § 3.2).

5. Соотношения между минимальной функцией и спектром'

Из линейной алгебры известно, что нулями минимального многочлена матрицы являются собственные числа этой матрицы и только они.

Установим аналогичное предложение для операторов класса Со.

Теорема 5.L Пусть тт ^ — минимальная функция сжатия Т гСй, о (Г) — спектр Т. Пусть, далее, sT — множество, состоящее из нулей функции mT (X) в открытом единичном круге D и дополнения относительно единичной окружности С к объединению всех тех дуг, на которых функция mT (X) аналитична (т. е. через которые она может быть аналитически продолжена), Тогда

а(Т) = зт.

Доказательство. Пусть а— точка замкнутого единичного круга, не принадлежащая sT. Тогда тг(а)=й=0. Действительно, если ае О, то это вытекает из определения sT. Если же аеС, то это следует из того факта, что функция тГ(Х), будучи внутренней, удовлетворяет условию | тт ^еи) | = 1 почти всюду и, в частности, в каждой точке С, в которой пгт аналитична.\

Пусть

Очевидно, и е Н°°, поэтому из функционального исчисления для сжатий следует, что

(а/ — Г) и (Т) = и (Т) (а/ — Т) = тт (а) I — тг (Г) = тт (а) I.

Отсюда видно, что (а/ —Г)-1 существует в узком смысле,

Таким образом, а^о(Т). Соотношение

о(Г)с$г(5.1)

доказано.

Пусть теперь aeD и тг(а) = 0. Тогда

где па — внутренняя функция. Из функционального исчисления вытекает, что

(Г - а/) па (Т) = (/ - аТ) тт (Т) = О.

Если бы а не принадлежало спектру о (Г) оператора Т, то отсюда следовало бы, что «„(?’)= О, т. е. тт было бы делителем па, что не имеет места. Таким образом, а е а (Г). Итак,

irfiDco^.(5.2)

В силу (5.1) и (5.2) нам остается доказать включение

zsr fl С cz <т (Г),•(5.3)

или, что равносильно, включение

С \ sr зэ р (Т) П С,(5.4)

где р(Т) —резольвентное множество оператора Г.

' Воспользуемся факторизацией

mTW = xB^S^, |х| = 1,(5.5)

где В (Л) — произведение Бляшке и S (X) — функция вида

{

2л и■

- J Ут d^ 'о е

(р — неотрицательная сингулярная мера; см. (1.11) — (1.13)).

Для того чтобы установить (5.4), надо показать, что функция тт^ аналитична на всякой открытой дуге со cz С Пр (Л- Поскольку каждая точка дуги со находится на положительном расстоянии от о (Г), то, как вытекает из- (5.2), нули функции тг (X) не могут сгущаться к точкам этой дуги. Отсюда следует, что функция В^ аналитична на со. Остается рассмотреть функцию S(A). Она, очевидно, будет аналитична на со, если ц-мера интервала (со)}) равна нулю. Докажем это последнее.

Допустим противное. Функция

/л \/ Г е^ + Аг у \,

•т1(Х) = ехр --77—- ^ц(

\ ((о)/

является внутренним делителем функции тТ (А). Поскольку I ^i (0) I = ехр [— ц(со)] < 1, то функция тДц) не постоянна. Функция т2 = тт1тх является внутренней, и mxm2 = mT) откуда

mi (Т) т2 (Г) = тг (Г) = О. '(5.6)

Если бы оператор тДГ) имел обратный (в широком смысле), то из (5.6) вытекало бы, что т2(Г) = 0. Тогда функция тТ была бы делителем функции т2, что неверно. Таким образом, оператор тДТ) не имеет обратного. Это означает, что подпространство

$! = {A: А е §, тх (Т) А = 0}

не сводится к {0}. Очевидно, что $! инвариантно относительно Г. Положим Тх = 7]$!. Поскольку mi (7i) = Ш! (Г) | $i = О, то минимальная функция тт оператора Тх должна быть делителем тх и потому должна иметь вид

/ 2л н\*

/А \I f в + А , I

тГ1 (А) = exp I - J

.'\ о е'

где щ — неотрицательная сингулярная мера, мажорируемая мерой ц на (со) и аннулирующаяся на дополнении к (со). Отсюда следует, что множество sT, отвечающее функции тт? лежит на дуге со. Применив соотношение (5.1) к Г!, получим or (Г Jez cz sri cz со. Пусть | v |> 1. Из соотношений

g = (у/ - Т) h, h=^v~n~'Tng

п=--0

9 Для (о cz С через (о) будем обозначать множество точек / е [0, 2л), для которых elt ^ о,

следует, что инвариантное подпространство $! отображается оператором vI — T на себя, откуда вытекает равенство

Если v стремится к точке ^^ С, принадлежащей множеству р (Г), to(v/1 —TJ-1 стремится по норме к (Е,/— Г)-11 ^ и, следовательно, £ принадлежит р(Тх). В частности, toczp^T^. Сравнив это включение с ранее полученным включением о (7\) cz со, придем к абсурдному результату 0(7^) cz р^).

Полученное противоречие вытекает из нашего предположения ц(со)>0. Следовательно, ц(со) = 0. Теорема доказана.

Следствие 5.2. Собственные значения Ль Л2, ... всякого сжатия Т^С^ удовлетворяют условию 2(1—|^п|)<о°.

В самом деле, числа Хп являются нулями функции тт(Х) и сходимость упомянутого ряда вытекает из теоремы Бляшке о нулях функций класса Н°° (см. Гофман [1], стр. 94).

Следствие 5.3. Существует оператор Т е Со, для которого о(П = С.

В самом деле, пусть р — неотрицательная сингулярная мера, носитель которой совпадает со всей окружностью С (например, ц — мера, сосредоточенная на точках некоторого счетного всюду плотного на С множества, причем сумма ц-мер всех точек этого множества конечна). Функция

/ 2л н\*

/л \I Г е + X # I

т(Х) = ехр -- dp,t

является внутренней; ей отвечает сжатие Т е Со, для которого mT(X) = т(Х) (см. предложение 4.3). В силу теоремы 5.1 имеем o(T) = sT) т. е. в рассматриваемом случае а(Т) = С.

Соотношения между минимальной функцией и инвариантными подпространствами

Задача построения инвариантных подпространств оператора и сведения таким путем изучения оператора к изучению его „частей“, индуцируемых в этих подпространствах, решена в настоящее время лишь при некоторых частных предположениях; один из таких случаев был рассмотрен в § II. 5. Мы будем неоднократно возвращаться к указанной задаче в настоящей книге, причем с различных точек зрения.

Здесь мы покажем, что для сжатий класса Со возможен проход к этой задаче, основанный на рассмотрении минимальных функций.

Предложение 6.1. Пусть Т — сжатие класса Со в пространстве Ф #= {0}, ^ — нетривиальное инвариантное подпространство оператора Т. Пусть

[Ti *

Т =

1о т2]

— триангуляция Г, отвечающая разложению ^ = ^1Ф$2- Тогда Тх и Т2 принадлежат классу Со, их минимальные функции Тх и Т2 являются делителями функции пгт, а пгт является делителем произведения пгТ1тТ2.'

Доказательство. Очевидно, что

Л = Т"|^ь Т^-РгТ"^ (п-0, 1, ...),(6.1)

где Р2 — ортопроектор из %) на $2. Поскольку оператор Т вполне неунитарен (как всякий оператор класса Со), то вполне неунитарны и операторы Тх и Г2* Следовательно, для любой функции и^Н°° существуют операторы и^Т^ и utJW Из (6.1) непосредственно следует, что

и(ТН(Ж «(Т^-Р^Г)^.(6.2)

Полагая и = тт, получаем, что mT(Tx^ = О, тт(Т^ = О. Следовательно, Тх и Т2 принадлежат классу Со и их минимальные функции пгТх, тТг являются делителями функции пгт.

Из (6.2) вытекает также, что при hx е ^b h2 е ф2 имеют место соотношения

(mT mT) (T)hx- (mTmT^(Т,) hx = mTi (Тt) mTi (T,) hx = 0,P2mTi (T) h2 = mTi(T^ h2 = 0.

Из второго соотношения видно, что вектор h = mTi (Л h2 ортогонален к §2 и> следовательно, принадлежит фр Поэтому

(mr mrJ (Л h2 = mTi (Г) mTi (Л Лг = тГ| (Л h = mTi (Т^ h = 0.

Таким образом, (mTmT^(T) h = 0 как при Ае§ь таки при йе§2. Следовательно, (/Иг,тг2)(Л = О и mr является делителем функции т,т пгТу.

Предложение 6.1 доказано.

Предложение 6.2. Пусть Т — сжатие класса Со в пространстве §(=/={0}); ^а (а е Л) — семейство подпространств, инвариантных относительно Т. Тогда подпространство ^v = V ^а также инва- аеА

риантно относительно Т и минимальная функция оператора Ту = = Г | §v является наименьшим общим внутренним кратным минимальных функций операторов Та = Т | §а (а е А).

Доказательство. Инвариантность подпространства §у очевидна. Из предыдущего предложения вытекает, что Та и Ту принадлежат классу Со. Поскольку Та является сужением Ту на §а, то тг^ делится на тТа (а е А). Следовательно, mTv делится на наименьшее общее внутреннее кратное ту функций тТа (а е А). С другой стороны, для любого ha е §а

ту (Ту) ha = ту (Т) ha = ту (Та) Аа = О

в силу (6.2) и того обстоятельства, что ту кратно тТа. Поэтому равенство ту^Ту^Н™0 выполняется для всех h eV^a^ §v- Таким образом, т^ ^Т^ = О. Следовательно, тт^ — делитель т^. Будучи делителями друг друга, функции т^ и mTv совпадают.

Оператор Т = О в пространстве (о), очевидно, принадлежит классу Со, и его минимальная функция равна 1. Если исключить этот тривиальный случай, то минимальная функция не может быть константой.

Следующая теорема устанавливает соответствие между внутренними делителями минимальной функции сжатия Т и некоторыми подпространствами, инвариантными относительно Т.

Теорема 6.3. Пусть Т — сжатие класса Со в пространстве %, тт — его минимальная функция. Поставим в соответствие каждому внутреннему делителю m функции тт подпространство %m cz §, определяемое равенством

= m^h = 0^ (6.3)

Каждое %т ультраинвариантно относительно Т. Пусть > ^т = = ^ 0%т. Сжатия Тт = Т\%т и Т^ фигурирующие в триангуляции

r = [om rj

имеют минимальные функции m и m' = mT]m соответственно. Кроме того,

( {0}, если пг(Х\ — 1,

' ” I §, если m = пгт;

§т| с§т е том и только том случае, когда пгх является делителем т^,

если {ma}asA — ^конечное либо бесконечное) семейство внутренних делителей функции пгт с наибольшим общим внутренним делителем т\ и наименьшим общим внутренним кратным mV) то

Лфт = $тд, v#m =

Доказательство. Ультраинвариантность подпространства §пг вытекает непосредственно из того, что всякий оператор S, перестановочный с Г, перестановочен и с ш^Т).

В силу (6.2) и (6.3) m(rm) = m(r)|^= О. Следовательно, тГгп является делителем т, т. е.

m = mT р

для некоторой внутренней функции р.

С другой стороны, для произвольного Ае5 имеем m (7) пг' (7) h = mT (Т) h = 0 и, следовательно, h{ = m' (Т) h. принадлежит £m. Применив (6.2) к Ле §^, получим

' m' (Тт) h = Р'пг' (7) h. = P'hx = 0

(P'— ортопроектор из % на %). Таким образом, т'^Т'„) = О и, следовательно, ш , является делителем пг':

mf^m, q

т

для некоторой внутренней функции q.

Объединяя полученные результаты, получаем .

тТ = пгт' = тТ р • т , q = mr m / • pq.тт

С другой стороны, согласно предложению 6.1, тТ является делителем функции тТпг т / . Следовательно, pq = 1, т. е. р = q= 1, откуда пг = mTfnl т' = m / (с точностью до постоянных множителей, по модулю равных 1).

Утверждение (1) очевидно. Докажем (2). Из (6.3) непосредственно вытекает, что %т cz %,п, если тх является делителем т2. Обратно, пусть ^i cz ^^ Тогда 7^ = 7^)^, откуда

Правая часть равна О по определению оператора Тт^. Поэтому минимальная функция оператора Ттх, т. е. функция тХ) должна быть делителем функции т2.

Докажем (3). Заметим прежде всего, что тд является делителем та и потому §тЛ с: §та (а (= Л), а значит,

П ^а*^-4)

а

Пусть /г —элемент, принадлежащий пересечению Q^m , т. е. а

та(Т)/г = 0 для всех аеЛ. В силу леммы 4.5 тЛ(О/г = 0 и, следовательно, Ле^Ц. Таким образом, справедливо включение, противоположное включению (6.4), т. е. имеет место равенство.

Из того факта, что mv кратно та, следует, что ^а с: §mv (аеЛ) и, значит,

V ^mw-(6.5)

а а

Докажем, что и здесь имеет место равенство. Для удобства обозначим через §+ подпространство, стоящее в левой части (6.5); это подпространство инвариантно относительно Т. Пусть §° = ^mv© §^ И ПуСТЬ■

является триангуляцией оператора Т™^ порождаемой разложением '&mv = §+®'&°. ПОЛОЖИМ

т'а = т^та (аЕЛ).(6.6)

Тогда т^Т) = та^т'а^П и, значит, т^Т) §mv cz §т^ откуда т; (Г°) §° = Р°т; (Тщ^ & <= ?Ч (Г) §mvcz Р^та cz Р^ = {0}.

(Здесь Р° — ортопроектор из % на ^0-) Таким образом, т'(Г°)= О. Поскольку это равенство справедливо для всех аЕ Л, то по лемме 4.5 тд (Г0) = О, где тд — наибольший общий внутренний делитель функций т' (а е Л). Из (6.6) вытекает, что функции т' взаимно просты, т. е. тд (X) = 1. Поэтому §° = {0}, %т^ = §+ и, следовательно, в (6.5) имеет место знак равенства.

Теорема 6.3 доказана.

Одно из следствий теоремы 6.3 таково: если т{ и т2 — взаимно простые внутренние делители функции тг, то

^тх П ^т^ " {0}, ^тх V %тг ” ^тхтг(6-7)

В частности, этот случай имеет место, если существуют такие функции мь и2 е Н”, что

тхихА-т2и2= \.(6.8)

При этом выполняется более сильное, чем (6.7), соотношение

%тх Н~ Фт2 = ^тхт2)(6.9)

где знак 4- обозначает прямую сумму (не обязательно ортогональную). В самом деле, в силу (6.8)

тх (Т) их (Т) h + m2(T) и2(Т) h = h

для всех he%; если Нг^тт? то hv = т2(Г)u2(T)h входит в ^т? поскольку

Шу {T)hy = и2 (Т) тх (Г) т2 (Т) h = u2 (Г) (т,т2) (Л А = 0.

Аналогично h2 = tnx (Т) их (Т) h е фт2.

Нами доказано.

Предложение 6.4. Пусть тх и т2 — внутренние делители минимальной функции сжатия Т, и пусть существуют такие функции их и и2еН™, что mxux-Y пг2и2=\. Тогда % = & + & .

^тхтг *тх 1

Другим следствием теоремы 6.3 является такое утверждение: если т — нетривиальный внутренний делитель функции тТ1 то соответствующее подпространство ^т нетривиально. В самом деле, ни одно из подпространств §m, §m = %©§m не может сводиться к {0}, поскольку операторы Тщ И Тт^ фигурирующие в соответствующей триангуляции оператора Т, имеют непостоянные минимальные функции m и m' = mTlm.

Как мы уже знаем (см. п. 1.4), всякая непостоянная внутренняя функция, за исключением функций вида

(М=1.И<1)>(6.10)

обладает нетривиальным внутренним делителем. Если же шГ имеет вид (6.10), то X — а = й(1 — ah)mT(h), и, следовательно,

Т — al = %(J — аТ) тт (Г) = О, Т = а1.

Тогда всякое подпространство пространства § инвариантно относительно Т и, значит, при dim >§> > 1 у оператора Т также существуют нетривиальные инвариантные подпространства.

Итак, если dim ^>1, го всякое сжатие Т класса Со в пространстве § обладает нетривиальным инвариантным подпространством.

Этот результат можно обобщить следующим образом. Пусть §' и ф" — инвариантные относительно Т подпространства в 5*, причем .^' zd ^",dim (§' G 5") > 1.

Из предложения 6.1 вытекает, что Т' = Т\^' гСй. Пусть триангуляция Т', соответствующая разложению §' = %"^%г", имеет вид

ГТ" X т' =

[О Т"'\

Тогда Г"сС0. Поскольку dim£>'" >1, то в У' существует нетривиальное подпространство yi , инвариантное относительно Т'". Подпространство %" ®ф// инвариантно относительно Т и является строго промежуточным между §' и %" (т. е. %'id гз ^'©^'''p^") ^ =# ^©^i" ¥= ^Э- Сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Теорема 6.5. Пусть £>' и ^" — подпространства, инвариантные относительно сжатия ТеС6, и 5У то %", dim (^ 0 §") > 1. Тогда существует инвариантное относительно Т подпространство, строго промежуточное между & и £".

Корневые векторы сжатий класса Со и вопросы, связанные с одноклеточностью

Пусть Т е Со и а —лежащая в D точка спектра Т, т. е. нуль минимальной функции тг(Х)(см. теорему 5.1). Полагая

имеем•

пгт^ = Ька^. шйЩ,(уд)

где ^^1, a ma (к) — внутренняя функция, отличная от нуля в точке а. Множители в (7.1) взаимно просты. Покажем, что существуют такие функции и, у е Н”, что

Ь^и + та* и = 1.

Без ограничения общности можно считать, что а = 0 (совершив в случае необходимости дробно-линейное преобразование круга D\ Таким образом, то(О)=/=О и, следовательно, функция 1/т0(Х) разлагается в ряд Тэйлора в окрестности точки 0. Пусть у (X) — сумма k — 1 членов этого ряда. Тогда

1 = m0 (X) т^ = тй (X) у (X) + Х^и (X),

где и^ — функция, регулярная в некоторой окрестности точки О- Эта функция продолжается на все D с помощью соотношения Хки^)=1 ~ пто^и^. Таким Образом, и^ голоморфна в D, и е Н°°. Следовательно,

^и (Z) + т0 (Л) v (М = 1(^ е D\

где м, и е Н°°.

Пусть ^а и ^' —инвариантные подпространства, отвечающие множителям в (7.1), т. е.

§а=^- Не^ ЬДОк-^ ^V1- Ае^ та(Пк = 0у

Согласно предложению 6.4,

(7.2)

Положим Та = Т\^а, Т'а = т\^а- По теореме' 6.3 минимальные функции операторов Та и Та равны Ьа и пга соответственно. Если йе §, то условия

bna^h-0 и (Т-аПпк = 0,

очевидно, эквивалентны. Отсюда, следует, что а является собственным значением порядка к для оператора Г, а подпространство ^а состоит в точности из корневых векторов оператора Г, отвечающих собственному значению а (и вектора О)1). Итак, доказано * .

Предложение 7.1. Если TclC^ то каждый нуль функции тт^ в D является собственным значением Т. Порядок собственного значения а равен кратности а как нуля пгт^\

Представляет интерес выяснить, при каких условиях множество корневых векторов оператора Г, отвечающих всем лежащим в D точкам спектра Г, порождает пространство §.

Предложение 7.2. Пусть Т ^ Со . Для того чтобы корневые векторы Т, отвечающие лежащим внутри D точкам спектра Т, порождали все пространство $, необходимо и достаточно, чтобы минимальная функция оператора Т была функцией Бляшке.

Доказательство. Предположим, что % = V %а, где а а

пробегает лежащие в D точки спектра Г, §а — корневое подпространство, отвечающее значению а. Пусть В (Л) — произведение Бляшке, входящее в факторизацию внутренней функции тт^К\ Если а как собственное значение имеет порядок к = к\а), то В(М делится на Ьа^Х). Для любого h е $а имеем

B^h = ^bk^T^ bUl)h^O.

Поскольку & = М^а. то В (Т) = 0. Таким образом, функция а

пгт (X) является делителем функции В (X) и, следовательно, тт (X) = В (X).

Докажем обратное утверждение. Предположим, что тт^ — произведение Бляшке. Поскольку mT (X) является наименьшим общим-внутренним кратным множителей Ьа^Х), отвечающих всевозможным лежащим в D нулям а функции тт^Х), то по теореме 6.3

V '^ = %rnT = 5.

а

Предложение 7.2 доказано.

Линейный ограниченный оператор Т в гильбертовом пространстве § называется одноклеточным, если его инвариантные подпространства образуют систему, упорядоченную по включению, т. е. если для любых инвариантных подпространств 9J? и 91 либо Ticz^i, либо 9J? zd 91 Мы будем рассматривать одноклеточные сжатия класса Со .

Предложение 7.3. Пусть Т — одноклеточное сжатие в пространстве %, принадлежащее классу Со. Тогда минимальная функция оператора Т есть функция вида

(1аК1, п — натуральное)(7.3)

или

exp (s у----)(| а | = 1, s — вещественное положительное) (7.4)

в зависимости от того, dim§ = n или dim§ = oo.

Доказательство. Пусть mr (X) — минимальная функция оператора Т. Ее нельзя разложить на два взаимно простых внутренних множителя, отличных от постоянных: в противном случае оператор Т имел бы нетривиальные инвариантные подпространства р! и §2, такие, что ^П^^О} (см. теорему 6.3 и равенства (6.7)), что противоречит одноклеточности Т. Используя общее параметрическое представление (1.11) — (1.13) внутренних

функций, получаем, что /пг(Х) является либо произведением Бляшке с единственным нулем as О, либо внутренней функцией S (X), порождаемой неотрицательной сингулярной мерой на С, носитель которой состоит из единственной точки аеС. Поэтому минимальными функциями одноклеточных сжатий могут быть лишь функции вида (7.3) или (7.4). Нам остается доказать, что случай (7.3) имеет место тогда и только тогда, когда dim§«n.

Поскольку одноклеточный оператор не может иметь более одного собственного вектора (с точностью до скалярного множителя), то матрица одноклеточного оператора в конечномерном пространстве § подобна жордановой матрице, состоящей из единственной клетки

"а 1

а 1

(dim § = п)

(отсюда и термин „одноклеточность“)«

Если Т принадлежит классу Со, то Тп->0 и, следовательно, |а|<1. Из приведенной формы матрицы оператора Г следует, что -подпространства

^ = \.h: he^. (Г-а7)Ч = 0) (v = 0, 1, ...га) (7.5) удовлетворяют условиям

{0} = §0 с §] с ... с §п = $, dim $v - v; (7.6) в частности, §п_х ^ %п. Это равносильно тому, что Z>2(7)=0, 7>2-1(Г)^О, где Ьа (X) = ^^- • Поскольку a(7) = {a}, то минимальная функция оператора Т должна быть равна некоторой степени множителя 60(А); таким образом, /гаг(А) = Ьа(М> где п = dim %.

Покажем, что и обратно, если Т — одноклеточное сжатие в пространстве ^, и /Ит(А) = Ь"(А), где |а|<1, га — натуральное число, то dim§<со. В самом деле, Ьа^ = О влечет (Г—а7)" = О и, следовательно,

Отсюда вытекает, что для всякого Ае $ подпространство ЭГО (А), натянутое на векторы A, ThTn~lh, инвариантно относительно Т. При этом dim ЭГО (А) ^п. Пусть Ао —такой вектор, что ЭГО (Ао) имеет максимальную размерность. Покажем, что ЭГО (Ао) = §. Допустив противное, мы получим вектор А] е %, не содержащийся в ЭГО (Ао). Поскольку оператор Т одноклеточен, то ЭГО (Ао) должно содержаться в ЭГО^), откуда dim ЭГО (АО > dim ЭГО(А0), что невозможно. Тем самым доказано, что dim ф^п. В силу доказанного выше для конечномерных пространств фактически имеет место равенство.

Отсюда следует также, что случай (7.4) имеет место тогда и только тогда, когда dim ф = оо.

Теорема доказана.

Следствие. Спектр всякого одноклеточного сжатия класса Со состоит из единственной точки а. При этом либо |а|<1, либо | а | = 1 в зависимости от того, конечна или бесконечна размерность $.

Сделаем еще одно замечание, которое мы сформулируем как

Предложение 7.4. Если Т — одноклеточное сжатие класса С0 в пространстве $ конечной размерности ) п, то подпространства %м, определяемые равенствами (7.5) (где {а} = 0(7)), являются единственными инвариантными подпространствами Т.

Доказательство. Инвариантность §v относительно Т очевидна. Пусть ЭГО — произвольное инвариантное подпространство. Из одноклеточности Т и из включений (7.6) вытекает, что для некоторого ц выполняется условие фи с: ЭГО с: фи+1. Поскольку dim §v = y для любого V, то ц ^ dim ЭГО ^ц + 1 и,-следовательно, ЭГО совпадает либо с Фц, либо с ^+1. Предложение доказано.

Заметим, что в определении подпространств £v условие (Г — a/)vA=O можно заменить эквивалентным условием Аа(Т)А = О. Заметим также, что функции b^X) (v = 0, ..., и) являются единственными внутренними делителями функции mT (X) (= А£(Х))

Эти простые факты, установленные для случая dim$<oo, имеют свои аналоги в случае dlm§ = oo. Именно рассмотрим сжатия Т класса Со, такие, что а(Г) = (а}, где |а| = 1. Переходя от Г к 6Г, можно свести общий случай к случаю

о(Г)={1}. Итак, пусть минимальная функция Т имеет вид (7.4) с а=1. Поскольку эти функции будут играть в последующем важную роль, мы введем для них сокращенное обозначение es(X)^exp(s(s>0).(7.7)

Эти функции являются внутренними. Единственными внутренними -делителями функции еа(А) являются функции es(A), где О s а.

Предложение 7.5. Пусть Т — сжатие класса Со в пространстве §, такое, что

шт (А) = еа (А), а = ат > 0.

Подпространства

^s = {h: he еДТ) h = 0^(O^s^a)(7.8)

ультраинвариантны относительно Т, и

%о = №, ^s.^-^s. При 0 < S] < s2 < а\ &а = §;(7.9)

Л^ = ^» пРи O^s<<z;(7.10)

Х> 8'

0^ = ^ при 0<s<_a.(7.11)

x<s

Соответствующие ортопроекторы Es образуют спектральное семейство на [0, а], строго возрастающее и непрерывное.

Если Г, кроме того, одноклеточно, то у Т нет других инвариантных подпространств.

Доказательство. Положим TS = T\%S (O^s^a). По теореме 6.3 mTs = es при s>0, так что, в частности, TSx =/=TS2 и, следовательно, §Sx =£ ^ при st #= s2. Остальные утверждения (7.9) очевидны.

Соотношения (7.10) и (7.11) вытекают из теоремы 6.3, (3), поскольку es (А,) является наибольшим общим внутренним делителем функций ех^ (x>s) и наименьшим общим внутренним кратным функций ех^ (x<s).

Остается рассмотреть случай, когда оператор Т еще и одноклеточен. Пусть ^ — нетривиальное инвариантное относительно Г подпространство, и пусть

s = sup{x: %х cz Т?}.

Согласно (7.9) и (7.11), §5czSi и, следовательно, s<a. Если s<x<a, то ^х не содержится в 9JZ, значит, в силу однокле- точности Г, Э£ содержится в %х. Из (7.10) вытекает тогда, что

Х> S

Таким образом, £)s cz St и SJ cz §s, т. е. St = §s.

Предложение 7.5 доказано.

В заключение установим два свойства одноклеточных операторов в комплексном гильбертовом или банаховом пространстве §. Во втором из этих свойств речь будет идти о „циклических" векторах.

Определение. Вектор йе § называется циклическим для действующего в § оператора Г, если % порождается векторами Tnh (/2 = 0, 1, ...).

Предложение 7.6. Каждое инвариантное подпространство ограниченного одноклеточного оператора Г ультраинвариантно.

Доказательство. Пусть 8 — инвариантное подпростран-' ство одноклеточного оператора Г; X — ограниченный оператор, перестановочный с Т. Для любого комплексного X положим gx = (V —Х)8. Очевидно, 8Л инвариантно относительно Т. Поэтому либо 8Л cz 8, либо 8Л zd 8. Если хотя бы при одном К имеет место включение 8Л cz 8, то Хй cz 8. Если же 8Л zd 8 при всех X, то, в частности, 8 zd (XI — Х)”^ при Щ>||Х||. Из равенства *)

Х=^- # ЦМ-ХГЧк (Р>Ш)

1=Р

следует тогда, что 8zdX8. Итак, во всех случаях Хй cz 8, т. е. 8 инвариантно относительно X. Таким образом, 8 ультраинвариантно относительно Т.

Предложение 7.7. Если Т — одноклеточный оператор в сепарабельном^ пространстве §, то множество S нециклических векторов оператора Г является объединением счетного семейства нетривиальных инвариантных относительно Т подпространств.

Доказательство. Пусть {S5J — семейство всех нетривиальных инвариантных подпространств оператора Т. Тогда

9 При | Л | > || X || имеем

X(U-X)“1=Z + X“IX + X-2X2+ ...

Легко видеть, что в несепарабельном гильбертовом пространстве одноклеточные операторы существовать не могут.

® = lj9Jia. Пусть (xj — счетное плотное подмножество в <5. Для a

каждого / выберем такое ®Ц, что xt s 2Rap и положим ®' = U^az- Если S' = S, то ® уже представлено как объеди- нение счетного семейства нетривиальных инвариантных подпространств в §. Если же ®' — собственное подмножество в 6, то существует такое №р, которое не содержится ни в одном из Tiaz и, следовательно, содержит все Э№а/. Тогда SJpZofxJ и потому 9)?р=э®, 2Rp = ®.

Предложение доказано.

Поскольку нетривиальное подпространство не может быть плотным в Ф, то, применяя теорему Бэра о категориях (см., например, Данфорд и Шварц [1], стр. 31), получаем

Следствие 7.8. Для любого счетного семейства {TJ одноклеточных операторов в сепарабельном пространстве существует вектор, циклический для всех Tt одновременно. В частности, если Т — одноклеточный оператор, то существует вектор, циклический для операторов Т и Т*.

§ 8. Однопараметрические полугруппы сжатий,их генераторы и когенераторы

Укажем некоторые применения нашего функционального исчисления к изучению однопараметрических полугрупп сжатий (T(s)}s>0 в гильбертовом пространстве Ф, непрерывных в том смысле, что 7(s)-*Z при s—>+0. *)

Напомним, что для такой полугруппы генератор, или (инфинитезимальный) производящий оператор А, определяется равен

ствомствомAh = lim ——hs-»+0 sAh = lim ——hs-»+0 s(8.1)(8.1)

ством

ством

Ah = lim ——h

s-»+0 s

Ah = lim ——h

s-»+0 s

(8.1)

(8.1)

для тех fte §, для которых этот предел существует. Оператор А замкнут, и его область определения 2) (Л) плотна в §, причем (Л — /)”1 существует как оператор, определенный всюду в § и ограниченный. Как известно, А однозначно определяет полугруппу {Г(s)} (теорема Хилле и Иосиды, см. Хилле и Филлипс [1], гл. X, или \Лекции\, п. 143).

Заметим, что IIТ (s) || ^ 1 влечет

Re (Л/z, А)<0 (8.2)

’) Достаточно • предполагать слабую сходимость Т (s) I при $-> + 0, поскольку (с учетом остальных предположений) из нее следует сильная непрерывность Т (s) в каждой точке s (см. п. I. 8.2).

при h.e’S^A) (см. (1.10.6)). Поэтому

||(Л + Z)А|]2 —1|(Л — Z)А||2 — 4Re(ЛА, Л)<0 (Ае$)(Д)), и оператор Т, определяемый равенством •

Г = (Д + 7) (Д — 7)-1, (8.3) является сжатием в % (область определения которого совпадает со всем пространством, поскольку это имеет место для (Л-7)"1).

Мы будем называть этот оператор Т когенератором полугруппы Т (s). Эта терминология оправдывается тем обстоятельством, что Т однозначно определяет А и, следовательно, полугруппу {Г (s)}. В самом деле, в силу (8.3)

' Т-1 = (А + 1)(А-1Г1 -7 = 2(Д-7)Л (8.4)

Поэтому (Г — /)-1 существует и равен у (Д — 7), откуда

Д = (7 + 7) (7 — 7)-1. ' (8.5) Существование оператора (Г — 7)-1 означает, между прочим, что 1 не является собственным значением оператора Т.

Из сказанного следует, что при изучении полугруппы {Г (s)} когенератор Т может заменить генератор Д; преимущества, которые вытекают из того факта, что оператор Т ограничен (и даже является сжатием), в то время, как оператор А неограничен, очевидны. Мы увидим, что различные свойства полугруппы весьма заметно отражаются на свойствах ее когенера- тора.

Естественно возникают две задачи: Г охарактеризовать все сжатия Г, являющиеся когенераторами полугрупп сжатий (Г (s)}; 2° выяснить соотношения между Т и Т (s), не обращаясь к генератору А, вообще говоря неограниченному.

Прежде чем сформулировать теорему, дающую ответ на поставленные вопросы, сделаем одно очевидное замечание. Если единица не является собственным значением сжатия Г, то она не является и собственным значением унитарной части Т. Поэтому если Ет — спектральная мера на единичной окружности, соответствующая унитарной части Г, то Ет ({!}) = О. Следовательно, всякая функция и е Я°°, определенная и непрерывная всюду в D, за исключением, быть может, точки 1, принадлежит классу Нт. В частности, это имеет место для функций еДЛ) (см. равенство (7.7)), регулярных всюду в комплексной плоскости, за исключением точки 1. При этом | ^s (X) | ^ 1 в D, ks(MI=i в с\{1}.

Теорема 8.1. Пусть Т — сжатие в %. Для того чтобы существовала непрерывная полугруппа сжатий {7(s)}s>0, когенератор которой совпадает с Т, необходимо и достаточно, чтобы 1 не была собственным значением Т. При этом Т и Т (s) взаимно определяются друг другом, а именно

'Т^ = еДП ($>0),(8.6)

Т= НтФ$(Г(з)),(8.7)

S->+0 где

м \ А» — 1 + s1 —? s2s VI X” -,о qx

Ф»М- х-1-s = 1+s1 +s 2j (1 +s)n е А‘(8-8)

п=1

Доказательство. Пусть Т — произвольное сжатие, не имеющее 1 собственным значением. Применяя теорему 2.3 и очевидные соотношения

е0(М=1, еД^еДЮ-е^ДХУ, |es(X)|<l^еП);

lim es (X) = 1 для Д \ {1}, s -> +0

получаем, что операторы еДЛ образуют непрерывную полугруппу сжатий. Обозначим через А! генератор, а через Т'— когенератор этой полугруппы.

Покажем, что Т'^Т. Для этого рассмотрим функции

«S (М = Ts ° es (X) = [es (X) - 1 + s][es(X)- 1 -s]-1(s>0).(8.9)

Как нетрудно показать, эти функции голоморфны и ограничены по модулю единицей в D и непрерывны в D \ {1}, причем

ИтиДХ^Х (Х#=1).s->+0.’

Снова, применяя теорему 2.3, находим, что us е Нт и

'11«ЛП11<1(s>0), lim us (Г) = Г. (8.10)

s-»+0

С другой стороны, согласно (8.9),

us (Л = ф5 0 ^5 (Г) = cps [es (Г)].(8.11)

Опять-таки в силу (8.9)

и, (Л [1 & (Г) -/)-/] = ! (es (Л - 7) +I.

Применяя обе части последнего равенства к произвольному элементу А из области задания А', переходя к пределу при s-> + 0 и принимая во внимание (8.10), получаем

Т (А'—/) h = (А'+ I)h.

Следовательно, Г(А'— 7) = Д'+ 7 и Г = (А'+ 7)(А'— 7)-1, откуда Т = Т'.

С помощью приведенной конструкции можно получить все непрерывные полугруппы сжатий в §. Действительно, как было отмечено выше, когенераторы таких полугрупп являются сжатиями, не имеющими единицы собственным значением. Равенство (8.6) вытекает из того факта, что полугруппа однозначно определяется своим когенератором.

Теорема 8.1 доказана.

Замечание. Из предложения 1.3.1 следует, что если Т не имеет единицы собственным значением, то это же справедливо и для Т. Учитывая, что е~ (X) = es(X) и, следовательно, es УТ = es У"), получаем следующее утверждение. Если Т — когенератор полугруппы У (s)}$>0, то Т* — когенератор сопряженной полугруппы {Т (s)*}s>0.

Поэтому сильная сходимость (8.7) сохранится, если заменить Т на 7”, а Т (s) на ТУГ. Воспользуемся этим фактом, чтобы доказать следующее

Предложение 8.2. Для того чтобы непрерывная полугруппа сжатий У (s)}5>0 состояла из операторов, нормальных, самосопряженных или унитарных, необходимо и достаточно, чтобы ее когенератор Т был соответственно нормальным, самосопряженным или унитарным.

Доказательство. Если операторы Т (s) нормальны при всех 8^0, то нормален и оператор фДТДв)]. Но тогда из (8.7) и из только что сделанного замечания следует, что

фЛГ(8)НТ, ф$ [Г (S)1-> f при s-> + 0.

Поскольку ф$ [Г (s)*] = ф$ [Г (s)]* (ибо ф~ = ф5), оператор Т также нормален.

Если все операторы Т (s) являются самосопряженными, то это же справедливо и для ф$[7(8)], а следовательно, и для Т = Нт ф5 [7 (s)].

$-> +0

Перейдем к случаю, когда операторы Т (з) унитарны при всех s^O. Для каждого фиксированного s > 0 оператор ф$ [Г (s)] есть интеграл от функции ф$ (А) по единичной окружности относительно спектральной меры оператора Т (s). Можно показать (используя, например, окружности Аполлония), что

1>1фдм1>4^’ (1^1=1, о<8<1).

Отсюда следует, что

IIM^IMmiM^^IIM (Леф; 0<«<1).

Переходя к пределу при s-> + 0 получаем

II Th ||= lim || Ф$ [Г (s)J h || = || h ||.

s -> +0

Поскольку оператор Т нормален, заключаем, что он унитарен.

Докажем теперь обратные утверждения. Предположим, что оператор Т нормален и

Т = J к dK^

— его спектральное представление. В силу теоремы 2.3, (е),

]Ч(ЬШь(8.12)

и, следовательно, оператор Т (s) нормален.

Поскольку мы интегрируем по спектру Г, а функция es(X) вещественна на вещественной оси и равна по модулю 1 на единичной окружности, то из (8.12) вытекает, что самосопряженность или унитарность оператора Т влечет соответственно самосопряженность или унитарность оператора Т (s).

Предложение 8.2 доказано.

Продвинемся несколько далее в рассматриваемом круге идей.„

В случае когда Г (s) (и Г) унитарны, формула (8.12) принимает вид

7(s)=J exp (s-|zTpKv

1X 1 = 1

Это представление приводится к представлению

Т^= ]еихаЕ„(8.13)

даваемому теоремой Стоуна, если перейти от единичной окружности с выколотой точкой 1 к вещественной оси с помощью преобразования 9

к-^Хi|±p (|М= 1, к=£ 1).

' *) Этот путь доказательства теоремы Стоуна близок к пути, которым следовал фон Нейман [1].

Точно так же, если Г (s) (и Г) — самосопряженные операторы, то мы получаем спектральное представление 9

Т ^=^ e-svdEu,(8.14)

О

переходя от интервала —1^*Х<1 к полуоси 0^у<оо с помощью отображения

* У 1-X '

Пусть (Г (s)} — непрерывная полугруппа сжатий в гильбертовом пространстве $ и Т — ее когенератор. Рассмотрим разложение ^ = ^0®^!. отвечающее каноническому разложению оператора Т в ортогональную сумму унитарной части То и вполне неунитарной части Тх:

(8.15)(8.15)T = TO©TV

(8.15)

(8.15)

Тогда «(Г) = и^Т^фи^Т^ для произвольной функциииеНт- В частности, для функций es получаем разложение операторов полугруппы

nsWo^W (s>0), (8.16) где

To(s) = es(7’o), 7’1(s) = e$(7’i). (8.17)

Из унитарности То вытекает унитарность 7'0(s) при любом s (предложение 8.2). С другой стороны, не существует никакого подпространства ^ #= {0} в пространстве $ь которое приводило бы все операторы Tv (s) к унитарным операторам. Действительно, в противном случае операторы l\ (s) = Т{ (s) | §i образовывали бы унитарную полугруппу в Фь когенератор которой 7’1 = Т1|^1 был бы в силу предложения 8.2 унитарным оператором. Последнее же невозможно, ибо оператор Тх вполне неунитарен. *

Естественно называть полугруппу сжатий (Г (s)}5>0 в пространстве § вполне неунитарной, если никакое подпространство %' этого пространства (в том числе и само Ф) не приводит все операторы полугруппы к унитарным операторам.

9 Частный случай одной теоремы С.-Н а д я и Хилле. Общий случай может быть сведен к этому частному. В самом деле, непосредственно доказывается, что для сильно непрерывной полугруппы {TV (s)}s>0 ограниченных нормальных операторов существует такое вещественное число а, что оператор Т (s) ■ e-as N (s) является сжатием при произвольном s^O.

Приняв это определение, можно сформулировать полученный выше результат следующим образом.

Предложение 8.3. Для всякой непрерывной полугруппы сжатий каноническое разложение (8.15) ее когенератора порождает по формулам (8.16), (8.17) каноническое разложение полугруппы в ортогональную сумму унитарной и вполне неунитарной полугрупп.

Единственность такого разложения полугруппы вытекает из единственности" канонического разложения ее когенератора.

Унитарные дилатации полугрупп.

Полугруппы изометрий

Пусть (Г ($)}$>0 —непрерывная полугруппа сжатий в пространстве %, Т — ее когенератор, U — минимальная унитарная дилатация Т, действующая в пространстве

Я = v Un§.(9.1)

— ОО < S < оо

Поскольку единица не является собственным значением Т, она не является собственным значением и для U (см. предложение II. 6.1). Следовательно, U является когенератором некоторой непрерывной полугруппы (U (s)}$>0 унитарных операторов. Эта полугруппа продолжается по формуле U ( —s)= U (s)-1 до непрерывной группы {(/ (s)}_00<$<00- В силу теоремы 8.1

Т^ = еДП U(s) = es(U) (s>0),(9.2)

Т = Нт ср, [Г (s)], U = Пт Ф$ \U (s)J (s -> + 0).(9.3)

Соотношения (9.2) с учетом теоремы 2.3, (ж) показывают, что Г(з) = пр U (s')(s>0).(9.4)

Мы получили снова теорему 1.8.1 о существовании унитарной дилатации (U (з)} для непрерывной полугруппы сжатий Т (з), причем здесь этот результат вытекает из теоремы о существовании унитарной дилатации U для одного сжатия Т.

Наше построение дает минимальную унитарную дилатацию полугруппы Т (з). В самом деле, положив

Х< и^>

получим подпространство Я' в Я, которое приводит все операторы [/(/). и, следовательно, все операторы Ф( [(/(/)], а значит, и ПтФ([1/ (0] = U (t-> +0). Поскольку % с Я', то подпростран-

ство Un§ также должно содержаться в Я' при п = 0, ±1, ±2, ... .

Ввиду (9.1) отсюда следует, что Я cz Я', т. е. Я = Я\

Кроме того, имеет место соотношение

Vl/o$=VW(9.5)

n>0s>0

и, более общим образом,

V Un&x = V U (з) Яг для произвольного Я] с Я. (9.6) П>05^0

В самом деле, используя тэйлоровы разложения функций es (X) е /Г и [ф, (Х)Г е A (з > 0, и > 0),

es (X) = 2 ск (s) Xfc, [ф, (X)F = ^dk (s, n) Kk,(9.7)

fe=0fe-0

а также соотношения (8.6) и (8.7), получаем

U(s) — es(U) = lim 2 rkck^Uk (s>0),(9.8)

г->1-0Ь0

Un= lim ф"[^(5)]= Um 2 dk (s, n) U (ks) (n>0). (9.9) s->+0s->+0 /?=0

Отсюда с очевидностью следует (9.6). Аналогичное соотношение

V U*n^ = v ЩзГЯ,(9.10)

n>0s>0

получается путем рассмотрения сопряженной полугруппы (I/ (з)*}. Сходным образом устанавливаются соотношения

V фп-П%х = v (t7(s)-T(s))^(9.11)

п>0$>0

И

V (и*п - Г^ ^! = V ((/ (s)* - Т (з)*) ф[ (9.12) n>05>0

для произвольного ^] с ф. Действительно, (9.11) вытекает из равенств

(7(s)-T(s) = es([/)-es(D= lim 2 rkck^ (Uk - Tk) (s>0) г->1-0 k—0

И

yn — Tn= lim ф"[^(8)1~ 1>т Ф"^ (s)l =s-»+0s-»+0

= lim 2 dk^n, s)(U (ks) — T (ks)),

S ”> +0 /f e0

а (9.12) получается переходом к сопряженной полугруппе. Комбинируя соотношения (9.10) и (9.11), а также (9.6) и (9.12), получаем'

у и*тфп-Тп^1 = V и^ци^-т^^ (9.13) п, n>0t, s>0•

И•

у ит^и*п -ГпПх= V U^U ^У-Т^У1)^ (9.14) m, п>0t, s>0

для произвольного §j CZ §.

Эти соотношения, подчеркивающие симметричную роль полугрупп и их когенераторов, представляют и самостоятельный интерес ввиду того значения, которое имеют подпространства, стоящие в левых частях равенств (9.5), (9.11) — (9.14) при изучении „индивидуальных” сжатий (гл. II и IV). В Самом деле, пространство (9.5) является пространством^ минимальной изометрической дилатации для оператора Т (см'. § 1.4), а пространства (9.11) — (9.14) при ^! = ^ совпадают с пространствами

ф Un^ ф и*пй\ М(8)= ф ипй, М(Р) = ф ипй\ (9.15) 00—оо—оо

где

(см. § II. 1). Последнее вытекает из тождеств

Un+'-Tn*v = 2 Uk(U-T)Tn~k (и = 0, 1, ...) ’

/г-0

и

U^U-T^^U^-r^-^-T^T (п = 0, 1, ...).

Остановимся на еще одном приложении, которое находится в связи с § II. 3. Непосредственным вычислением там была установлена формула

■ \\U*nTnh_U«mTmh^ = ^Tmh^_^Tnh^ (0^m<n)

при йеф, из которой следует существование предела

ah = lim U*nTnh.(9.16)

П->оо

Аналогично получается формула

II и (sy Т (s) h-uyy T^h IP = 11T (0 h IP-II T (s) h If (0</<s), из которой вытекает существование предела .

- а'к = lim U (s)' Т (s) h.(9.16')

Если Ф[ порождается одним элементом h, то подпространство, стоящее в левой части равенства (9.13), мы будем обозначать через -%h, а подпространство в правой части —через 21д. В силу (9.16) и (9.16') имеем

h-ah = lim и^^-ПНе^

П-»оо

И

h - a'h = lim U (s)‘ (U (s) - T (s)) h e %'S-> oo

С другой стороны, для произвольных целых неотрицательных риqип^р

(U,nTnh, U*4U4 -T^h')-

= (Tnh, Un-p\U4-ТчШ=ДТпН, Tn-p+(,h-= (Tnh, Un-p\U4-ТчШ=ДТпН, Tn-p+(,h-TqM = 0TqM = 0.П—р

= (Tnh, Un-p\U4-ТчШ=ДТпН, Tn-p+(,h-

= (Tnh, Un-p\U4-ТчШ=ДТпН, Tn-p+(,h-

TqM = 0

TqM = 0

и, значит, ah ± 91^. Аналогично устанавливается, что a'h ± 91'. Следовательна, вектор h — ah является ортогональной проекцией Л на 91^, а вектор h — a'h — ортогональной проекцией h на 91'. Поскольку, согласно (9.13), 91^ = 91', то ^ = ^.

' Этим доказана одна часть приводимого ниже предложения 9.1. Другая часть получается аналогично.

Предложение 9.1. Пусть {Г ^ — непрерывная полугруппа сжатий, Т — ее когенератор, {[/ (s)} и U — соответствующие минимальные унитарные дилатации; U (s) = es(U). Тогда

lim U*nTnh = lim U (s)* T (s) h,(9.17)

П-»ооS->oo

lim U”Tnh = lim U (s) T (s)‘ h,(9.17')

П-»ооS-> oo

и, следовательно,

lim || Tnh ||= lim || T (s) h ||,(9.18)

П->ооs -> oo

lim || Tnh || = lim || T (s)’ h ||.(9.18')

П-»ооS-> oo

Введем понятия непрерывных полугрупп сжатий {7'(s)}$>0 класса Со., класса Сг. и т. д. по аналогии со случаем одного сжатия (см. § II. 3). Например, полугруппа класса Со. определяется условием lim Т (s) h = 0 для любого h.

s->oo

Из соотношений (9.18) и (9.18') вытекает

Следствие. Для того чтобы полугруппа {Т (s)}$ ^ 0 принадлежала к классу Со., Ср и т. д., необходимо и достаточно, чтобы ее когенератор принадлежал к соответствующему классу сжатий.

В связи с рассматриваемыми классами напомним о теореме II. 4.1, устанавливающей существование различных триангуляций для сжатия. Будучи примененными к когенератору Т полугруппы сжатий {Г (s)}, эти триангуляции порождают соответствующие триангуляции полугрупп. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно учесть следующий почти очевидный факт: если некоторое сжатие Т обладает триангуляцией

и°°Нт^и°°Нт^то всякая функция и г Нт принадлежит также классам

и°°Нт^

и°°Нт^

- (/ = 1, 2, ..., г) и

Г МП

МП =

о МП

Вернемся к соотношению (9.18). Поскольку ||7’ПМ и || Т (s) h || — невозрастающие функции от п и s соответственно (n = 0, 1, ...; 0^s<oo), то общий предел (9.18) может быть равен || h || лишь в том случае, когда || 7’"/г|| = || h || = ||Г (s) h || для любого /г^О, s^O. Отсюда вытекает следующее дополнение к предложению 8.2.

Предложение 9.2. Для того чтобы непрерывная полугруппа сжатий состояла из изометрий, необходимо и достаточно, чтобы ее когенератор был изометрией. '

Пусть {V (s)}s>0 — непрерывная полугруппа изометрий в пространстве $ и V — ее когенератор. Оператор V, будучи изометрией, порождает разложение Вольда (см. § 1.1)

^ = ^оФ^1. (9.19) где

§0= П гп§, ^-еи, (9.20)

Оператор V приводится подпространством §0 к унитарному оператору Vo, а подпространством §>] — к одностороннему сдвигу VP (Разумеется, одно из подпространств §0, §[ может сводиться к {0}.) В соответствующем разложении

V (s) = Vo (s) ® V, (s), где ' Vo (s) = es (Vo), V! (s) = es (V,).

полугруппа {Vo(s)} унитарна в силу унитарности оператора Ко, а полугруппа {^(s)} вполне неунитарна, поскольку оператор Vt вполне н^унитарен.'

Положим

■З^Л^^ («>0).(9.21)

s>a

Это определение не зависит от а, поскольку подпространства У, (s)^ убывают с ростом s:

^^^“^(sjV^f-sl^cF^s)^ при 0<s<t

Таким образом, для любого /^0

Vx№ = VX^ Л ^,(5)^= П V^ + s)^ Л ^(S)^=31, s > 0s > 0s X

откуда вытекает, что подпространство 31 приводит изометрии Vi(/) (<^0) к унитарным операторам (см. § I. 1) и, следовательно, оператор KJ31 также унитарен. Поскольку оператор Vi вполне неунитарен, то 3i = {0}. С другой стороны, очевидно, что У0(з)^0 = §0 ПРИ всех s>0. Поэтому

Л Hs)$ = Л ^o(s)^o® Л ^i(s)^ = ^o.s ^£0s ^ 0s ^ 0’

Таким образом, для подпространства §0 мы получаем два представления

^о=Л^=Л^(5)^(9.22)

n>0s > 0

В этом соотношении полугруппа и ее когенератор снова выступают симметричным образом.-

Пусть §>х #= {0}, или, что равносильно,■

b = dim 91 ^ 1.

Кардинальное число b есть кратность одностороннего сдвига Vf, мы будем называть его также кратностью вполне неунитарной полугруппы изометрий {Vi(s)}; b определяет оператор Уь а^следовательно, и полугруппу KJs) с точностью до унитарной эквивалентности.

Очевидно, что при образовании ортогональных сумм таких полугрупп их кратности складываются. Поэтому если будет найдена полугруппа {и (s)} кратности 1, то полугруппа {V (s)} кратности b будет унитарно эквивалентна ортогональной сумме Ь экземпляров полугруппы (o(s)}.

Пример полугруппы (и (s)} кратности 1 в пространстве L2(0, оо) дается формулой

u(s)f (x) = f (x-s)(s>0)

(мы полагаем f(x) = O при х<0). Эту полугруппу будем называть непрерывным односторонним сдвигом в £2(0, оо).

Очевидно, что {v(s))s>0 является непрерывной полугруппой изометрий в Л2 (О, оо) и что

у ^У f(x) = f(x + s) (s > 0), так что

llvGOI^ Jlf(£)lM->0 при s->oo.

Таким образом, полугруппа (u(s)} вполне неунитарна. Непосредственное вычисление показывает, что генератор а этой полугруппы задается формулой

af (s) = -

Область определения оператора «состоит из функцийfeL2(0, оо), абсолютно непрерывных и удовлетворяющих условиям

=-^f(x)eL2(0,oo).

Далее, можно доказать, что когенератор и = (а + /)(а —/)~* и сопряженный к нему оператор и* задаются формулами

X

uf(x) = f(x)-2e-xjfa)e^ d^,

о

y1^ = f^-2e^f^e^ d^.

X

Поскольку

L2 (0, оо) © УL2 (0, оо) = (f: f е L2 (0, оо), y*f = 0}, а уравнение v*f = 0 имеет единственное (с точностью до произвольного постоянного множителя) решение f (х) = е-х, то (и (s)} имеет кратность 1.

Подведем итоги.

Теорема 9.3. Всякая непрерывная полугруппа изометрий {^ (S)}s > о 6 пространстве § может быть разложена в ортогональную сумму непрерывной пдлугруппы унитарных операторов {Уо(s)}$ >»и вполне неунитарной полугруппы изометрий {V] (s))s^0. Полугруппа {VJs^^g унитарно эквивалентна ортогональной сумме b экземпляров непрерывных односторонних сдвигов (и (s)} в пространстве L2(0, оо), где Ь = dim [Ф О VФ] и V — когенератор полугруппы (I/ (s))s>0.*

(Одна из полугрупп {V0(s)}, {^(s)} может отсутствовать, т. е. соответствующее подпространство может сводиться к {0}.) Доказанная теорема имеет одно простое следствие для случая непрерывных групп (17(s)}_oo<$<oo унитарных операторов в §, обладающих уходящим подпространством, т. е. таким подпространством §0, что:

U (s) #0 <= §0 при всех s > 0;

П ^(5)^о = {О};

s > 0

V и^$0=&.

s < О

Прототипом таких групп служит непрерывный двусторонний сдвиг {^ (s)}_oo<s<oo в пространстве Л2(— оо, оо, #) функций f (х) со значениями в гильбертовом пространстве N, определяемый равенством

u^f (x) = f(x — s) (— оо < s < оо).

Уходящим здесь является подпространство Л2(0, оо; N^, вложенное естественным образом в Л2(— оо, оо; N\

Предложение 9.4. Каждая непрерывная группа {U (s)}_oo<s<oo унитарных операторов в пространстве $, для которой существует уходящее подпространство £0, унитарно эквивалентна непрерывному двустороннему сдвигу {^(s)}_oo<s<oo в пространстве £2( — 00,00; N\ где N —некоторое гильбертово пространство с dim N = dim (Фо© У §0); здесь V — когенератор полугруппы v^ = u^\^as>0Y.'

Доказательство. Из (а) и (б) вытекает, что {7 (s)}5 ^ 0 — вполне неунитарная полугруппа изометрий в §0. По теореме 9.3 эта полугруппа унитарно эквивалентна непрерывному одностороннему сдвигу {v(s)}s>0 в Л2(0, оо; NY Пусть т — отображение §0 на ^2(0, °0; N\ осуществляющее эту унитарную эквивалентность. Расширим т, положив

tg = u(- s)x(U (s)g)

для всех ge§, таких, что t/(s)g йходит в §0 при некотором s > 0. В силу унитарности U (s) и m(s) (— oo<s<oo) так расширенный оператор т является изометрией, а в силу (в) его область определения есть плотный в § линеал. Очевидно, область значений т плотна в L2(— оо, оо; NV Производя теперь расширение по непрерывности, получаем унитарный оператор (обозначаемый снова через т), отображающий $ на L2(— оо, оо; N) и такой, что xU (s) = и (s) х для всех вещественных s.

Предложение доказано.

Комментарии

Изложенные в § 1 результаты о классах Харди скалярных аналитических функций можно уже считать классическими. Их доказательства имеются, например, у Гофмана [1]. Предложение 1.1, обобщающее теорему Бёрлинга, является новым (см. также С.-Н. и Ф. [VI], теорема 2). Предложения 1.3—1.5 взяты из С.-Н. и Ф. [VI], [VII].

Существование у всякого сжатия Т унитарной дилатации открывает возможность построения для Т функционального исчисления, основывающегося на хорошо известном функциональном исчислении для унитарных операторов. Это стало очевидным уже после первой заметки С.-Н ад я [I]. Систематическое изучение такого исчисления было проведено Шрайбером [2], а затем С.-Н. и Ф. [III]. В последней заметке установлены функциональные соотношения между однопараметрической непрерывной полугруппой сжатий и ее когенерато- ром, составляющие, содержание § 8.

На этом этапе применимость теории была ограничена тем, что не было известно общих признаков абсолютной непрерывности спектра минимальной унитарной дилатации U оператора Т (за исключением весьма сильного условия ||Т||<1, установленного Шрайбером [1]). Открытие того факта, что U имеет абсолютно непрерывный спектр для всякого вполне неунитарного сжатия (см. С.-Н. и Ф. [IV]), сняло эти ограничения и привело к созданию функционального исчисления для сжатий в том виде, в каком оно и было изложено в § 2 и 3 (см. С.-Н. и Ф. [VI]).

Стоит отметить, что в частном случае изометрий (или же их преобразований Кэли — максимальных симметрических операторов) функциональное исчисление, близкое к нашему, было построено Плеснером [1] —[3]. _

Существенная разница между функциональным исчислением Рисса — Данфорда (см. \Лекции\ гл. XI) и функциональным исчислением для сжатий, основанном на унитарных дилатациях, состоит в том, что во втором случае допустимые аналитические функции могут быть нерегулярными в некоторых точках границы спектра Т (а именно, в точках, расположенных на единичной окружности). Функциональное исчисление типа, близкого к нашему, было предложено Фояшем [2]. Оно базируется на введенном фон Нейманом понятии спектрального множества (см. \Лекции\, гл. XI) и допускает использование аналитических функций, нерегулярных в конечном числе точек, лежащих на границе спектра, но не принадлежащих к точеч-

ному спектру. Ф о я ш [2] — [3] наметил также возможности применения этого исчисления к полугруппам сжатий.

Предложение 2.2 о максимальности нашего функционального исчисления является новым; оно обобщает более ранний результат Ф о я ш а [5].

В нашем функциональном исчислении „теорема об отображении спектров" сохраняет силу, по крайней мере для вполне неунитарных сжатий Т и функций и (X) е Н”, непрерывных в точках множества ст (Г) ПС. Именно, в этом случае справедливо соотношение ст (и (Г)) = и(р(Т)) (см. Ф о я ш и М л а к [1]).

Сжатия класса Со и их минимальные функции введены в С.-Н. и Ф. [VII], где получено , большинство результатов § 4—7. Предложение 7.5 первоначально было доказано в С.-Н. и Ф. [XI]. Предложения 7.6 и 7.7 принадлежат Розенталю [1]. Существование циклических векторов для одноклеточных операторов в гильбертовом пространстве доказано Гохбергом и Крейном ([7*], стр. 52 — 53).

Результаты о непрерывных полугруппах сжатий получены в С.-Н. и Ф. [III], о непрерывных полугруппах изометрий (предложение 9.3) —в статье С.-Н ад я [8]. Предложение 9.4 в несколько иной форме установлено Синаем [1]; см. также Лакс и Филлипс [1], [2].

В связи с настоящей главой см. еще Ф о я ш, Гехер и С.-Н а д ь [1]; Ф о я ш и Гехер [1]; М а з а н и [3]; Мл а к [5], [7]; С.-Надь [3], [5]-[7]; Шрайбер [4].

ГЛАВА IV

ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.ОГРАНИЧЕННЫЕ И НЕОГРАНИЧЕННЫЕФУНКЦИИ

Правила исчисления

Мы продолжим построение функционального исчисления для сжатий Т в гильбертовом пространстве ^, имея в виду включить в это исчисление также некоторые неограниченные функции. Напомним определения классов Нт и Кт, введенные в § 2 и 3 предыдущей главы: класс Нт состоит из функций и е Н”, для которых существует предел и (Т) = lim иг (Г);

г -> 1 —О

класс Кт состоит из функций и е Нт» для которых и (Г)”1 существует и имеет плотную в § область определения. Класс Нт является алгеброй, класс Кт мультипликативен.

Определение. Обозначим через Мт класс функций ф (Z), мероморфных в открытом единичном круге D и допускающих представление

ф(М = ^у-. где иен?, у е Кт (1.1)

(заметим, что и (X) ^ 0). Для каждой такой функции полагаем ф(П = у(П"1ы(П.(1.2)

Поскольку класс Нт является алгеброй, а класс Кт мультипликативен, то из соотношений

U_ _ ailUX | «2_ “1^2 + “2^1“1^2_ “ltt2/1 п\

и и *О, О201^2’ У2^2^1^2' *

вытекает, что класс NT — также алгебра.

Теорема 1.1. (а) Определение (1.2) оператора ф(Г) не зависит от выбора функций и и v в представлении (1.1). Оператор ф (Г) замкнут, имеет плотную в % область определения ®[ф(Ш и перестановочен с Т» а также с каждым ограниченным оператором, перестановочным с Т» т. е..

ГЗ = 5Т=фф(Г)5=>5ф(П

В частности,

о ЦТ1 и У") о и (Т) у У")-1 при йен?, у г К?. (1.4)

(сф) (Л = еф (Г) при с ^= 0.

(ф, + ф2) (Л zd ф] (Г) + ф2 (7), причем равенство имеет место, если, например,

.®[ф2(Л]=>®[(ф1+ф2)(Л1,

в частности, если ф2 G Н”.

(Ф1Ф2)(Л =>Ф1(Лфг£Л; если S) [ф2 (Л) =) ® [(Ф1Ф2) (Л1, в частности, если ф2 G Н”, то имеет место равенство. -Всегда справедливо равенство

Ф. (Л Ф2 (7) = (ф,ф2) (7) | [$> [ф2 (7)] п © [(Ф1Ф2) (Л1 ].(1.5)

В частности, при ф, ф-1 g NT имеем (ф-1)(7) = ф(7)-1.

Если ф g Nt, то ф~ g Nt* и ф~ (7”) то ф (Г)’.

Если ф е NT и ф G Н”, то || ф (7) II ^ || Ф iL-

Если ф£ NT и 1/ф G Н”, то 1/ф г NT.

'Пусть ф = и/у, где и g Н”, и g Е”, и пусть w g Н”, | w (X) | ^ 1 в D. Допустим, кроме того, что множества

Cw, ф(Сы), w(C°)(1.6)

(см. § III. 2 и III. 3) имеют меру О относительно спектральной меры Ет, отвечающей унитарной части оператора Тх\ Тогда w е Нт, оператор l' = w (71) является сжатием и, кроме того, Ф о w е NT; ф s NT,; ф (Г') = ф о ш (Г).

Пусть оператор Т нормален, К = Кт”его спектральная мера и функция ^ = ulv такова, что

иеН”, иеЕ”, ЕтДСи> = 0, Ет^^О1).'

Тогда оператор ф (Г) существует и равен ф® (Л — интегралу от функции ф(Л по мере К.

Доказательство, (а) Пусть ф = и/и, ф = и'/1/ —два представления вида (1.1) функции ф. Из соотношения uv' = vu' следует, что

- и(ПиЧП = икПиЦП.

Отсюда

у (Л-1 и (Л = у (Л"‘ у \ДТХ у {Т} и (1") = = v4TTvx)kTYVu^ у'(Л =

■= о (Л-1 У УТ1 У (7) и {Т) = у' кТГХ и (Т).

!) Если оператор Т вполне неунитарен, то Ет (со) при любом со есть нулевой оператор в поостранстве (0).

Таким образом, определение (1.2) оператора Ф(У) однозначно.

Положим для краткости и (Т) = U, у (Г) = И. Оператор ф(Т) = = У-1^, очевидно, линеен. Докажем его замкнутость. Если

Апе $) [<р(Г)], hn->h, q(T)hn = V~xUhn-*g (н-»оо), то, с одной стороны, Uhn->Uh, а с другой Uhn = Гф(Т)hn->Vg и, следовательно, Uh = Vg. Поэтому

А^$>[ф(7’)] и ^(J^h = V-xUh = g.

Соотношение (1.4) следует из ограниченности операторов U, V и их перестановочности. В самом деле,

V-XU zd V"XUVV-X = v~xvuv~x = uv-x.

Из определения класса Кт вытекает, что У"1 имеет плотную в § область определения. Поэтому и область определения оператора ф(Т) плотна в § (см. (1.4)).

Если S — линейный ограниченный оператор, перестановочный с Т, то S перестановочен также с функциями от Т класса Нт, поскольку они могут быть получены с помощью предельного перехода из многочленов от Г. Следовательно,

<p(T)S = V~xUS = V~xSU zdV-xSVV-xU == V-XVSV-XU = SV-XU = 5ф(Л,

т. e. оператор S перестановочен с ф(Г).*

Утверждение (б) очевидно.

Для доказательства утверждений (в) и (г) рассмотрим две функции

^ = ик1ок (А=1, 2), ■ икеН”, икгКт.

Для краткости положим Uk = uk(JY Vk = vk(T). Ввиду соотношений (1.3) имеем по определению

(ф) + ф2) (Л = v г1 V-1 (t//2 + u2vxy (ф,ф2) (П = v;xv;xuxu2.

Используя (1.4), получаем

(ф, + ф2)(Л ZD v;xv;xuxv2 + v;xv;Xvx zd

zd v;xuxv;xv2-v v;xu2v;xvx =Ф1 tn-v^An

По тем же соображениям

Ф1 (Л + ф2 (Л =

7= 1(ф1 + Фг) — Ф2] (Л + Ф2 (Л 2=31(ф1 + Фг) (^) — ф2 (^)J + ф2 (Л-

В случае когда ®[<Р2(Л] ^ ®[(<Р1 + <Р2)(Л1> получаем

.ф1(П + Ф2(П=>(ф1 + ф2)(П.

Поскольку обратное включение справедливо всегда, то

Ф1(П + Ф2(П = (Ф1+Ф2)(П.

Из (1.4) вытекает также, что

(ф^) (т) = v;xv;xuxu2 v;xuxv;xu2 = Ф1 (г) ф2 щ.

Включение

© [Ф1 (Г) Ф2 (Г)1 с: © [(ф1ф2) (Г)] п © [ф2 (Г)1

становится теперь очевидным. Для того чтобы установить (1.5), остается доказать обратное включение, т. е. доказать, что h е © [(Ф1Ф2)(Г)] П © [ф2(Л] влечет h е [Ф1 (Г) Ф2(Л1- Но это вытекает из равенств

vx^(jw = vxv;xv;xuxuy^^

■= у;хиху2<р2(ти = ^ху2^^^^

Действительно, в силу этих равенств (Г)]

ф, (г) <р2 (П h = v;xux<p2<n h = (Ф1Фз) (г) н.

Последнее утверждение в (г) получается из соотношения (1.5), если применить его к паре функций Ф, 1/Ф сначала в одном порядке, затем в другом.

Если Ф = и/у (иеНт, v ^ Кт), то

Ф~ = и~/у~ (и~ е Нт*, у~ е Кт*) и

Ф~ (Г) = у~ (тТ1 и~ (П = [v (ПТ* и (П* = = [у(П"Т и(П’ Ци^у^ТГ1^ з[У (п;'«(пГ=ф(П*

(здесь мы использовали (1.4), а также равенство (АВУ = В*А*, справедливое для ограниченных Л).

Пусть <^ = и]у ^иеН”, и^Кт) и |<р(Х)|^М в D. Тогда функции ит, ут, Фг(0^г<1) принадлежат классу А и ит = ^гуп 1фг(М |^А1 в D. Применяя результаты п. III. 2.1, получаем и, (Г) = Фг (Т) yr (Т), || Ф, (Г) || < М и, следовательно, ||пг(Т)Л|К

< Af || vr (Г) М для любого he^. Переходя к пределу при г->1—0, находим || и (7) h || ^ М || и (7) h ||, откуда

МЛ v(7r‘d<MllgllМЛ v(7r‘d<Mllgll(1.7)(1.7)

МЛ v(7r‘d<Mllgll

МЛ v(7r‘d<Mllgll

(1.7)

(1.7)

для любого g из области определения оператора и (7)-1. Применив (1.4), получим || ф (7) g IK М || g || на плотном множестве элементов g. Поскольку оператор ф(7) замкнут, то он определен всюду в § и || ф (7) || < М.

Если ф = м/и (иеНт, уеКт) и |1/ф(Л1^А1, то, проведя рассуждения, аналогичные приведенным выше, получим || и (Г) h (К М|| и (7)h || для любого he %. Поскольку оператор у (Т^ обратим, то и УГ) также обратим. Применив этот результат к функции ф~ = и~]у~ и сжатию 7*, получим, что оператор ы~ (7*) также обратим. Из равенства и~ (Г*) = и (ТУ следует тогда, что область значений оператора м(7) плотна в %. Таким образом, иуГ)еКт и 1/фе#г.

В силу теоремы III. 2.3 оператор Т' = w(T) является сжатием и

и (Г') = и°хю УГУ у (Г') = у ow УГУ(1.8)

(все эти операторы существуют). Кроме того, по теореме III. 3.4 у о w входит в класс Кт . Поскольку ф = и)у и ф о w = и ° w/y ° ш, то ф е Nr, ф ° w е Nr и ф (7') = у-1 yr't и УГ') = [и ° ш (Л]-1 X X (и ° ш) (7) = ф ° пу (7).

Из теорем III. 2.3 п III. 3.4 и из обычной теории спектральных интегралов вытекает, что при условиях, наложенных на и и у, справедливы соотношения

Ф (7) = у® (Г)-1 и® (Г) = (м/и)8 (7) = ф8 (7).

Теорема 1.1 доказана.

Из утверждений (в), (г) и (ж) сразу следует

Предложение 1.2. Если ^gNt, то спектр оператора ^(Т) содержится в замыкании множества принимаемых в D значений функции ф (X),

о(ф(7))сф(О).(1.9)

Доказательство. Достаточно заметить, что если £ находится на расстоянии d>0 от ф(Z)), то |[£ —ф(М] ^CU/d в D и, следовательно, оператор £/ —Ф^) имеет обратный в узком смысле, ограниченный числом 1/d.

Из проведенных выше рассмотрений видно, как важно знать условия, при которых в (1.4) имеет место равенство.

Предложение 1.3. (а) Пусть функции и и и удовлетворяют условию

ZQX и. и заданы и непрерывны в D. голоморфны в D и не ' имеют в D общих нулей.

Пусть, кроме того. с^Кт. где Т — сжатие в ф1). Тогда

у(Л-1«(Л = «(Лу(Л-1(1.10)

и для ф = «/у

Ф(Л* = Ф~(Г).(1.11)

Если q{ = ux!vx, ф2 = ц2/у2, где Uk^Hj, имеКт (А = 1, 2) и пара их, у2 удовлетворяет условию (Q), то

(Ф1Ф2)(Л = Ф1(Лф2(Л-

Доказательство. Как известно (см. Гофман [1], стр. 127), если и и у удовлетворяют условию (Q), то существуют такие функции а и Ь, непрерывные в D и голоморфные в D, что в D имеет место равенство

аи + bv = 1.

Полагая для упрощения записи а (Г) = Л, b (Г) = В, и (Г) = [/, у(Г)= V, получаем

AU + BV = I.

Используя это равенство, а также соотношение AV-1 = V-1A, справедливое в силу (1.4), находим

у-хи = (л с/ + ви) у-'и = U AV-XU + bvv-"xu с

cz UV~XAU + BU = U (y~xAU + В) = UV-X ^AU + КВ) = UV"1.

С учетом включения UV~X cz V~x U (см. (1.4)) получаем V~'(J = = UV-1, чем и доказано (1.10).х

Для установления (1.11) достаточно повторить рассуждения, приведенные при доказательстве утверждения (ж) теоремы 1.1, воспользовавшись при этом равенством (1.10) вместо (1.4).

Этим доказано (а). Что касается (б), заметим, что в силу (1.10) у2(П"1Ы1(П=«1(П«2(П"1, откуда'

(Ф1Ф2) (Л = у 1 (Л-1 о2 (Л-1 «1 (Л «2 (Л =

= yt (Л-1 «1 (Л У2 (Л-1 «2 (Л = Ф! (Л ф2 (Л.

9 Поскольку и и и непрерывны в D и голоморфны в D, то и, v^H^ для произвольного сжатия Т (см. теорему III. 2.3)..

Если для некоторой функции <peNT оператор ф(Т) ограничен, то естественно спросить, не существует ли такой функции we Нт, что <р (Г) = w (Т). Приводимый ниже пример показывает, что такой функции w, вообще говоря, не существует.

Пусть Т — оператор с недискретным спектром и ||7'||<1. Тогда Т вполне неунитарен и по теореме III. 5.1 не принадлежит классу Со. Выберем число а, такое, что || У ||<а< 1, и положим ф (А.) =. 1/А, — а. Очевидно, <peNT и оператор ф(Л = = (Т — а1)~' ограничен.

Предположим, что существует такая функция weH”, что Ф^Т^МЛ" Тогда (Т — al) w (Т) = I и, следовательно, и(Т) = О, где м(Л = (^ — a)w^)— 1. Поскольку Т не принадлежит классу Со, то и (Л — 0, что противоречит равенству и(а) = — 1. Таким образом, не существует, такой weH”, что w (Т) = ф (Г).

Представление оператора ф(Т) в видепредела операторов фг(Т)

В § III. 2 мы определили функции класса Нт от сжатия Т, отправляясь от класса А и применяя переход к сильному пределу

иДТ)-*и(Т) (г->1-0).

Для всякой голоморфной в D функции ф(Л функция фг(Л входит в класс А при 0<г<1 и, следовательно, фг(Л имеет смысл. Встает вопрос: можно ли получить ф(Л из фг(Л при помощи аналогичного предельного перехода — если и не для всего класса голоморфных функций qeNr, то, по крайней мере, для некоторого его подкласса. Настоящий параграф посвящен решению этого вопроса.

Теорема 2.1. (а) Пусть Т — сжатие в пространстве $, и пусть Ф = u/veNT. Всякий вектор h, удовлетворяющий условию

sup II Фг (Т*) А || < оо,(2.1)

0<Г<1

входит в 2>[ф(Л1 и

Ч>ДТ)Н-^Ч>У)П (г->1-0).(2.2)

Пусть и и о удовлетворяют условию (Q) предложения 1.3, и принадлежит классу Е^ег (см. п. III. 1.3) и обращается в нуль лишь на множестве точек окружности С, имеющем Ет-меру нуль. Тогда <p = u,ueNT и условие (2.1) характеризует те векторы h, для которых ф (Т) h имеет смысл. Для этих h

Фг(Лй->ф(ЛА (г-* 1 — 0).(2.3)

Доказательство, (а) Пусть ф = м/у (и^Нт, иеКт\

Рассмотрим последовательность гп->Х. В силу (2.1) из этой последовательности можно выделить некоторую подпоследовательность рп->1, для которой фрп(Г)Л слабо сходится к g:

(2.4)

Поскольку vr(Tyf-* v(Tyf(r^l) для любого fs^, то из (2.4) вытекает, что

МПН, f^^^n^nh, f) =

= (фР„(ЛА, оРп(ТУ f)->(g, v(TyfH(T)g, f).

С другой стороны, ur(T) h-> и(Т) h (г-И) и, в частности,

(^„(ПА, ^W)h, f).

Сравнивая полученные результаты, приходим к равенству

(v(T)g, f) = (u(T)h, f).

Поскольку f произвольно, то у (Т) g = и (71) h. Следовательно, Ф^А существует и равно g.

Итак, мы доказали,-что (2.1) влечет существование ф(7')А. Из (2.1) вытекает также, что всякая последовательность r„ -* 1 содержит подпоследовательность р„->-1, для которой

Фр„СО А-^ф(ЛА (и-^-оо).

Покажем, что

ФДПА-ФСПА (г^1).

Допустив противное, мы получили бы вектор fe§ и последовательность г„—>1, такие, что

|(ФГ„(ПА-Ф(ПА, f)|>e>0(п=1, 2Г ...)

и было бы невозможно выделить подпоследовательность р„, для которой фРга(7’)А-*ф(Т)А.

Утверждение (а) доказано.

Согласно сделанным предположениям функция у голоморфна в D, непрерывна в D и обращается в нуль лишь на подмножестве окружности С, имеющем меру нуль относительно Ет. Функция’

ограничена в D константой М, не зависящей от г (0<г<1). Поэтому иеКт (см. предложение III. 1.3 и теорему III. 3.4), | w (г; е“) | < М и'

lim w (г, е») = 1 /^-почти всюду на С.

'г1•

Из теоремы III. 2.3 вытекает тогда, что vr(T)~'v(T)=w(r, П->1 (г-И).

С другой стороны, используя условие (Q) для функций и и и, на основании предложения 1.3 получаем

ф(Л = «(Л у (Л-1-■.

Следовательно, всякий элемент Ле5)[(р(Г)] имеет вид

А = у (Л g, и, значит, при г —> 1-

ф, (Л h = уг (Г)-' иг (Л h=yr (ТГ1 ит (Л о (Л 5=«Г (Л-' У (Г) и, (Л g= = Нп Л«г(Л^н(Л£ = и(Лу(П~'А = ф(ЛА.

Теорема доказана.

Функции со значениями в угле

Имея в виду дальнейшие приложения, в настоящем параграфе мы рассмотрим функции <p(Z), значения которых принадлежат некоторому углу комплексной плоскости раствора, не превосходящего л.

Начнем с функций наиболее простого класса А.

Предложение 3.1. Пусть ^еА и '

|argV(MI<a^ (ХеО),(3.1)

где 0 ^ а ^ 1. Тогда для всякого сжатия Т в & и всякого

|аге(ф(ЛА, А)|<а|.(3.2)

Если.

0<а<1,(3.3)

то справедливы неравенства:'

Ке(ф(ЛА, ф (Л* А) > cos ал-max (|| ф (Л A IF, ||ф(Л*А||2};

||ф(Л А Н^созал || ф(Л* А||, || ф (Л* А ||^ cos ал • || ф (У) А ||;

Re (ф (Г) A, [Re Ф (Г)] А) > cos2 ^ ц ф (г) А ||2;

^ГIIФ ^ л И > II [Re Ф (И1 А || > cos2 ^- II ф (Г) АII;

||Imv(7’)A||<tg^||ReV(7')A||,

где'

Re Ф (П =4 [ф (Г) + Ф (Г)*], Im Ф (П = 4 (Ф (D - Ф (ГЦ.

Доказательство. В силу (III. 2.6)

Ф (Г) = пр ф ([/),

где U — минимальная унитарная дилатация Т. Если. Е — спектральная мера U, то для всякого Ае^

I arg(ф(7’)A, А) | = | arg(ф([^) А, А)| =.

<max| argф(ezz) |< а -£-,<max| argф(ezz) |< а -£-,arg J ф (е“) d (Eth, А)

<max| argф(ezz) |< а -£-,

<max| argф(ezz) |< а -£-,

О

т. е. имеет место (3.2).

откудаоткудаПусть теперь справедливо (3.3). В силу (3.1) arg [ф(МР<«л<-у,

откуда

откуда

Re [Ф (X)]2 ^ cos ал | Ф (X) I2

и, следовательно.

Re (ф (Г) А, ф (Г)* А) = Re (ф (Г)2 А, А) = Re (ф (t/)2 А, А) =

= j Re [ф (е“)]2 d (Е<А, А) ^ cos ал J | ф (ezz) |2 d ^Е(к, h) =

00.

I cos ал - ||ф (U) А ||2 ^ cos ал • || ф (Т) А ||2,'

= ( cos ал -1| ф (UY АII2 ^ cos ал • || ф (Г)* А |р.

Мы воспользовались соотношениями

Ф(П2 = прф(^)2, ф(П* = пРф(С/)‘

(см. п. III. 2.1). Неравенство (а) доказано. Константа cos ал является наилучшей. Это следует из рассмотрения функции ф(Х) = ехр(-^).

Остальные неравенства получаются из (а) следующим образом: (б) вытекает из (а) на основании неравенства Шварца:

Re (ф (Г) А, Ф <ТУ А)< || ф (Г) А || -1| Ф (Г)* А ||.

(в) проверяется непосредственно:

Ке(ф(Т)А» [Кеф(П1А) =

- у IIФ (D А ||2 + у Re (ф (Г) А, ф (Г)* А) > 1 (1 + cos ал) • || Ф (Г) А ||2= = cos2-^ • ||ф (7) А ||2.

Второе неравенство (г) вытекает из (в) ввиду неравенства Шварца. Первое неравенство (г) получается из первого неравенства (б) так:

|| [Re ф (Г)] А || < 11IIФ (D А ||+|| Ф (7)* й II ] < у (1 + ^) IIФ (7) А ||=

„ алcos2 —

= ^tMDM.

Наконец, (д) вытекает из (а) следующим образом. На основании (а)

2 Re (ф <Т> h, ф (7)’ А) > cos ал [ || ф (7) А ||2 +1| ф (7)* А ||2].

Поскольку

созал = (1 -tg2-^-)/(l +tg2-^-),

то с помощью очевидных рассуждений получаем

II ф (7) АII2 - 2 Re (ф (7) А, Ф (7)* А) +1| ф (ТУ А ||2 <

< tg2 — [ IIФ (7) А ||2 + 2 Re (ф (7) А, Ф (ТУ А) +1| Ф (7)* А ||2],

чем (д) и доказано.

Теорема 3.2. Пусть функция <р = и/с — такая же, как в теореме 2.1, (б), т. е. и и v удовлетворяют условию (Q), и принадлежит классу Е^г и на окружности С обращается в нуль лишь в точках множества Ет-меры нуль. Пусть, далее, при Ze D

|argф(MK•^ (0<а<1).

Тогда для <р(Г) условие (3.2) выполняется при произвольном Н^Ф [<р(Г)]. Если

то операторы ф(Л> ф(^)\ с ними и операторы

Re Ф (П = | [Ф кП + Ф № Im Ф (Г) = ^ [Ф (П - Ф (Г)*]

имеют одну и ту же область определения ©, и неравенства (а) —(д)- предложения 3.1 остаются в силе для всякого И^Ф. Кроме того, оператор Reep (Г) самосопряжен и положителен.

Доказательство. Поскольку фгеД при всяком фиксированном г, 0<г<1, то к <рг применимо предложение 3.1. Из условия ф(Л = lim фг(Л (см. теорему 2.1) вытекает, что г-> 1 —О

неравенство (3.2) справедливо и для функции ф(7) при произвольном h е ®[ф(Т)]. По теореме 2.1 множество 5Е> [ф (7")] состоит из элементов А, для которых

зир||фг (Г)/г ||< ОО.(3.4)

Г

Поскольку ф (ТУ = ф~ (7*), фг (ТУ = ф~ (7*), то множество 2) [ф (7)*] состоит из элементов А, для которых

sup || фг (ТУ h || < оо.(3.5)

Г

При 0<а<у условия (3.4) и (3.5) эквивалентны друг другу в силу неравенств

II Фг (Л h || > cos ал • || фг (Г)* h ||, || фг (Л* h || > cos ал • || фг (71) h ||.

Итак, © [ф(Л] = ® [ф^П- Для всякого Н из этой общей области определения ©

Фг (П h -> ф (л к, фг (л* к = Ф; <п h -> ф~ tn h-ч (Л* h

при г—>1. Поэтому неравенства (а) — (д) предложения 3.1 сохраняются в предельном случае г = 1.

В силу (3.2)

([Re ф (Л] Н, h) = Re (ф (Г) h, /г) > 0 (ft е ©),

т. е. Reф(71) является положительным симметрическим оператором. Чтобы доказать его самосопряженность, достаточно установить, что

[/ + Reф(nlS) = ^

Из неравенства (д) в силу положительности Reф(Л вытекает, что

||1тф(Г)А||<с||(/ + Реф(Т))А||, где C = tg-^<1.

Следовательно, существует оператор В, для которого

Im ф(Т) = В (7 + Кеф (Г)),||В||<с.

Можно считать, что В определен всюду в ^. Таким образом,

/ + ф(Т)-7 + Кеф(Г) + /1шф(П = (/ + <В)(/ + Кеф(Т)).

Поскольку — 1 не принадлежит спектру оператора ф(7) (см. предложение 1.2), то [7 + ф(Т)] © = $. Оператор I-YIB является автоморфизмом пространства §, поскольку || IB ||< 1. Поэтому

и + Re ф (Т)) © = (7 + 1Вух (I + Ф (7)) © = и + iB^ § = #•

Теорема доказана.

Аккретивные и диссипативные операторы

Пусть Ло —линейный (не обязательно ограниченный) оператор в гильбертовом пространстве § с плотной в § областью определения ®(Л0). Оператор Ло называется аккретивным, если

Re (Л^, f) > 0 для всех f е 5) (Ло), и диссипативным, если

Im (Лof, f) ^ О для всех f е D (Ло).

Поскольку диссипативные операторы получаются из аккре- тивных умножением на /, все результаты об аккретивных операторах немедленно переносятся на диссипативные.

Для аккретивного Ло имеем'

II Ло/ + f IP > || Aof |р +1| f |P > || Aj - f |p,(4.1)

откуда следует, что (Лo + 7)f = O влечет f = 0. Таким образом, (Ло + 7)-1 существует (в широком смысле) и оператор Го, определяемый равенством'.

T0(A + nt = (A-Df (fe®Ho)),(4.2)

является сжатием из (Ло + 7) © (Ло) на (Ло — 7) © (Ло). Имеем

То = (Ло-7) (Ло+ /)“',(4.3)

откуда То = 7 — 2 (Ло + 7)-1, и, следовательно,

7-То = 2(Ло + 7Г'.'(4.4)

Отсюда видно, что оператор (7 —То)-1 существует (т. е. нет таких/г=/=0, что ТйН = Н^ и Ло = 2 (7 — То)-1 — I, так что

Ло = (7 + То)(7-ТоГ*.(4.5)

Назовем Т^ преобразованием Кэли аккретивного оператора Ло. Пара соотношений (4.3), (4.5), связывающих аккретивные операторы и их преобразования Кэли, показывает, что если операторы Ло и Л! аккретивны и Л! — собственное продолжение оператора Ло, то преобразование Кэли 7\ оператора Ах является

собственным продолжением преобразования Кэли 7'0 оператора До. Отсюда следует, что если ®(7,0) = Ф, т. е. (До + 7) © (До) = %, то Ло не имеет собственных аккретивных продолжений. Такие операторы называются максимальными аккретивными операторами. Мы докажем сейчас, что указанное условие является также необходимым, т. е. что в случае если То не определен всюду в ф, то, хотя Ло и не является максимальным, он всегда обладает максимальным аккретивным продолжением.

' Итак, пусть ^(То)^^- Рассмотрим продолжение оператора То до сжатия Т во всем пространстве ^. (Для построения Т следует продолжить Тй сначала на ©(То) по непрерывности, а затем на все % по линейности, полагая, например. Th = 6 для h ±®(7’о).) Каково бы ни было это продолжение, оно не имеет ненулевых инвариантных векторов. В самом деле, если /г — инвариантный вектор для Т, то он инвариантен также для Т* (см. предложение 1.3.1). Поэтому для любого ^е®(Д0)

(А, (До + ПП = 1ГН, (До + 7) f) = (А, Т (До + ОП =

= (h, T0(A0 + I)f) = (h, (Ао-Ж

Таким образом, (h, f) = 0 и в силу плотности 3) (До) в § h = р.

Всякое сжатие Т в %, не имеющее ненулевых инвариантных векторов, является преобразованием Кэли некоторого аккре- тивного оператора А, а именно оператора

■Д = (/ + Т)(/-Т)~'-(4.6)

(существование в широком смысле оператора (/ — Г)-1 вытекает из того факта, что Т не имеет ненулевых инвариантных векторов). В самом деле, ©(Д) состоит из векторов вида f = U~T) g и

Re^f, ^ = Ке((/ + Пг, М^И§ММ>0.

Такие векторы f образуют плотное в § множество, поскольку Т не имеет ненулевых инвариантных векторов (см. предложение 1.3.1). Таким образом, оператор Д аккретивен. Его преобразование Кэли совпадает, очевидно, с Т. Поскольку © (71) = §, то Д — максимальный аккретивный оператор.

Заметим еще следующее. Если Г —сжатие в ф, не имеющее единицы собственным значением, то это же верно для Т\ Значит У — Т*УХ существует и (/ — Т*У~' = [(/ — Т)-1] . Поэтому

(7 + п U - ТТ1 = — 7 + 2 (7 — ту' =

= [- 7 + 2 (7 - П"Т = [(/ -THI- ТУ*]*,

откуда вытекает, что максимальные аккретивные операторы, отвечающие операторам Т и Т*. сопряжены друг с другом.

Принимая во внимание теорему III. 8.1 и соотношения (III. 8.3) и (III. 8.5), связывающие генераторы и когенераторы полугрупп сжатий, мы получаем такой результат:

Теорема 4.1. Всякий аккретивный оператор в § обладает максимальным аккретивным продолжением. Для оператора А в § следующие условия эквивалентны;

А — максимальный аккретивный оператора

А аккретивен и ^А + I^ (Л) = §;

A = (I -V Т)Ц — Т) !, где Т — сжатие в §, не имеющее 1 собственным значением.

оператор — А является генератором непрерывной однопараметрической полугруппы сжатий {71s}s>0 в §.

Если А — максимальный аккретивный оператор, то А* — также максимальный аккретивный оператор и их преобразования Кэли суть сопряженные друг другу сжатия.

Заметим, что если Л — максимальный аккретивный оператор и —Л является генератором некоторой полугруппы сжатий, то когенератором этой полугруппы будет преобразование Кэли Т оператора А (ср. определения (III. 8.3) и (4.5)).

• Отметим также, что нормальный оператор А (ограниченный или неограниченный) аккретивен в том и только в том случае, когда .его спектр лежит в полуплоскости Re s ^ 0.

Первое утверждение приведенной выше теоремы может быть уточнено следующим образом !):

Предложение 4.2. Пусть Ло и В^ — два аккретивных оператора в §, таких, что '

(Лof, g) = (f, Во^) (f ^ © (Ло), g s © (Во)).(4.7)

Тогда Ло и Во можно продолжить до таких максимальных аккретивных операторов А и В, что

(Af, g) = (f, Bg) (feD(A), gsD(B)).(4.8)

Доказательство. В силу (4.7) имеем при fE©H0), g е $ (Во)

((Л + 0 f, (Во - /) g) = W, BQg^ - (Лof, g) + (f, В^ - (f, g) - = (Лof, Bog^ - (f, B^ + (Лof, g) - (f, g) = ((Ло - D f, (Bo + /) g).

Поэтому для преобразований Кэли То и So операторов Ло и Во

(ГоФ, ф) = (<р, 50ф)(ф е © (Г0), ф е © (So)).(4.9)

!) Это уточнение в дальнейшем использоваться не будет.

Если удастся продолжить операторы Го и So до сжатий Т и S, заданных во всем пространстве % и таких, что

{Th, k) = {h, Sh) для любых h, ке§, (4.10) то соответствующие максимальные аккретивные продолжения А и В будут удовлетворять условию (4.8)., В самом деле, ((/ + Т) h, {I — S)k) = {h, /?) + {Th, k) - {h, Sk) - {Th, Sk) = = {h, к) + {h, Sk) - {Th, k) - {Th, Sk) = = {{I-T)h,{I + S)k) {h,ke§).

Для перехода от (4.9) к (4.10) продолжим сначала То и So по непрерывности на замыкания их областей определения. Для этих продолжений сохраним те же обозначения. Обозначим подпространство ®(S0) через 8, а его ортогональное дополнение через У?.

Для каждого фиксированного h форма {h, 50ф) полулинейна на 8 и | {h, 50ф) | ^ || h || • || ф ||. Поэтому существует такой единственный элемент h* е 8, что {h, £оф) = {h*, ф) и || h* || ^ || h ||. Полагая h* = Loh, мы определяем сжатие £0 из § в 8, для которого

{Loh, ф) = {h, 50ф){he&, фе8).(4.11)

В частности, если h = ф е 5) {То), то (А0Ф, ф) = (ф, 50ф) = (ТоФ, ф), откуда следует, что £0Ф является ортогональной проекцией вектора Т0Ф на 2,1

. .£оф = P&Tatp.

Таким образом,

IIР^ |р = || Тоф |р -1| Л0Ф IP < IIФ IP - II ^оФ IP(Ф е ® (Го)).

Применяя способ рассуждений, принадлежащий М. Г. Крейну (см. \Лекции\, п. 125), мы получаем, что существует такое продолжение оператора Р^То до определенного во всем пространстве § оператора Lv со значениями в Ж, что

II Цк |р < || h |р-1| L.h IP {he %).

Оператор T, определяемый равенством

Th = Loh + Lxh при любом he %, является, очевидно, сжатием и

Т^> = L^-A-Lx^ = РаТйЦ>-\-Р>в{Г^ = Т^ при фе5(Т0).

Следовательно, Т лэ То. Кроме того,

{Тh, ф) = {Loh + Lvh, ф) = {Loh, ф) = {h, 50ф)

при йе 9, ф g ® (30), откуда Г* id Зо. Полагая 3 = ?\ получаем пару {Г, 3}, Г^эГо, 3 =) 30, для которой выполняется условие (4.10).

Теорема доказана.

Следствие. Если Ао — аккретивный оператор и ®(Ло)с=©(Ло), то существует такой максимальный аккретивный оператор Л, что

Ай а А а В^ где Во = Ло | ® (Ло).

В самом деле, ^of, g) = (f, Л^) = (f, В^ при f, g e ® (Ло) = = $)(B0). В частности, Re (f, В^ = Re (Лof, f) "> 0. Таким образом. оператор Bo аккретивен. Существует такой максимальный аккретивный оператор А, что Л гз Ло и (Af, g) = (f, В^ для любого f е $) (Л), g е $) (Во), а значит, A cz В*о.

Пусть А — максимальный аккретивный оператор в § и Г- его преобразование Кэли, являющееся сжатием, определенным на всем у. Имеем

Г = (Л-7)(Л + /Г', Л = (/+ Г) (/— Т)-1. (4.12)

Из этих взаимно обратных формул следует, что подпространство К пространства § приводит Л !) в том и только в том случае, если оно приводит Т. Из (4.12) вытекает также, что оператор Т унитарен в том и только том случае, когда А имеет вид Ш, где // — самосопряженный оператор.

Операторы А = Ш характеризуются равенством

Л*--Л.

Мы будем называть их антисамосопряженными. Всякий максимальный аккретивный, вполне неантисамосопряженчый (т. е. не индуцирующий антисамосопряженного оператора ни на каком подпространстве #= {0}) оператор будем называть чистым максимальным аккретивным оператором.

Каноническое разложение оператора Т — преобразования Кэли оператора А — порождает разложение А в ортогональную сумму двух компонент упомянутых выше типов:

Предложение 4.3. Для всякого максимального аккретивного оператора А в % существует такое приводящее А разложение пространства % = ^оФ^ь что оператор Ло = А |^0 является анти- самосопряженным, а оператор Ах = А | ^ — чистым максимальным аккретивным. Это разложение единственно. Одно из подпространств ^й иЛи §1 может сводиться к {0}.

!) То есть РА cz АР, где Р — ортопроектор из § на Я.

Из предложения 1.3.1 вытекает, что для сжатия Т всякое подпространство %а = {A: Th = ah}, где | а | = 1, приводит Г. Отсюда следует, что для максимального аккретивного оператора Л в § подпространство {f: Af = bf}, где b — чисто мнимое число, приводит А. В частности, подпространство

^-{f: Af = O}(4.13)

приводит А, или, что то же, условия Af = O и A*f = O равносильны.

Если А чист, то ^д = (0). Поэтому для всякого чистого максимального аккретивного оператора А оператор Л-1 существует (в „широком смысле) и имеет плотную в § область определения.

Соотношения (4.12) между максимальным аккретивным оператором А и его преобразованием Кэли Т дают возможность построить функциональное исчисление для А, используя функциональное исчисление для Т.

Для этого рассмотрим дробно-линейное преобразование

Х->д = 4^-=<о(М(4.14)

единичного круга D на правую полуплоскость

А = {6: Re6>0} и обратное преобразование

6^ = 4тГ--(4-15)

Определим функции от оператора А формулой

f(A) = foto(T)(4.16)

для всякой заданной в А функции f(6), для которой f°<o(T) имеет смысл, т. е. для которой

f ° ю е NT.

Таким образом, построенное ранее функциональное исчисление для сжатий порождает функциональное исчисление для максимальных аккретивных операторов.

Поскольку 1 не является собственным значением для Т, то одноточечное множество {1} имеет меру 0 относительно спектральной меры Ет, отвечающей унитарной части Т. Поэтому класс Нт содержит, в частности, все функции и г Н”, непрерывные в В\{1}, а класс Кт содержит все функции чеЕ™, непрерывные и отличные от нуля в 5\ {1). Поскольку

13 Зак, 517

множество D\{1} отображается преобразованием (4.14) на замкнутую полуплоскость А = {6: Re 6^0} (нс содержащую точки 6=оо), то классу допустимых функций f(a) в А принадлежат все функции, непрерывные и ограниченные в А и голоморфные в А.

В частности, при / ^ 0 является допустимой функция е-« = ехр(/^у] = е<(Х),

откуда вытекает, что оператор e~tA имеет смысл при /^0 и равен е^Т\ Для фиксированного z, Rez<0, и конечного Л1>0 интеграл

fл ^ 6) = J etze~t6 dt

о

является пределом в смысле ограниченной сходимости в А соответствующих римановых сумм. Поэтому

м

f (z; Л) = j etze"tAdt.

о

Если М->оо, то fw(z;6) стремится к (S —z)"1 равномерно в А, откуда следует, что iM^> Л)->(Л — z/)-1 (см. теорему 1.1, (д)). Таким образом, в рамках нашего функционального исчисления мы имеем соотношение

(Д - z/)"1 = J etze-tA dt,(4.17)

о

справедливое для любого максимального аккретивного оператора и для любого z, Rez<0.

Результаты настоящего параграфа переносятся очевидным образом на диссипативные операторы Д'. Для этого следует перейти от Д' к аккретивному оператору Д = у Д'. Преобразование Кэли диссипативного оператора А' есть по определению преобразование Кэли Т аккретивного оператора Д = уД'. Таким образом, Д' и Г связаны соотношениями

T-^A'-HHA' + tn, Д' = I (I + Т) U-ТГ1.(4.18)

В случае когда Д' является максимальным диссипативным оператором, каноническое разложение оператора Т порождает

разложение А' в ортогональную сумму самосопряженного оператора и максимального диссипативного оператора, являющегося, в очевидном смысле, вполне несамосопряженным (чистым).

Дробные степени максимальныхаккретивных операторов

Пусть Л — максимальный аккретивный оператор в пространстве %, Г —его преобразование Кэли. Рассмотрим функции fa(d) = 6a (a>0)

в А (мы определяем za при г = ге^ (г > 0, | ф | ^ ^ как raeta^. Имеем

где

н°(Х) = (1 + Х)“, о(М = (1-М“

Функции и»^ и о“(Х) непрерывны в D и голоморфны в D. Более того, они входят в класс £рег (см. предложение III. 1.3), причем иа^ обращается в нуль лишь в точке — 1, а v“(X) — лишь в точке 1. Из того факта, что Ет ({!}) = О, вытекает, что о" е NT и

^(Л)-^^)»^^)"'^^).(5.1)

В силу предложения 1.3 даже для различных аир имеем уЦТГ^П = иа(Г)уЦТГХ.(5.2)

Будем применять для /0(Л) обозначение Л“. Это обозначе- ние станет законным, как только мы покажем, что

А° = 1, Л* = Л, Л“Л8 = Л“+₽(а, р>0).

Но действительно, А° = I, поскольку о°(^)= 1. Далее, в силу (5.2)

Л1 = о' (П-1 и1 (Г) = и1 (Г) У1 (П-1 =ц + тИ1- тг1 = А и

Л“+8 = Юа+Р= ^а^)= юа ^ (у) = Л“Л8

(см. предложение 1.3).

Из очевидного соотношения (®“)~ = со" вытекает, что (Ла)‘ = [®° (Г)]* = <о“ (Г*) = (Л‘)“

(поскольку Т* является преобразованием Кэли оператора А* (см. теорему (4.1)).

Неравенство

| arg <о“ (X) | ^ ^ (XeD)

показывает, что можно применить теорему 3.2 к Ла = о)°(Г) и (Л°У для 0^а^1 или 0^а<у.

Рассмотрим три функции

ОР(М = (1+МР, V9W = (1-M9, ^aW= “"^7"^. (5.3) « (л) + о (л)

где О^р, O^a^l, и покажем, что эти функции удовлетворяют условиям теоремы 1.1, (з).

В самом деле, функции «“(Х) и иа(Х) не обращаются в нуль одновременно, и их значения при Ke D принадлежат углу | argz |^-^. Поэтому при 0^а<1 функция на(X) + уа(X) не обращается в нуль в D и, следовательно, функция wtt^ непрерывна в D и голоморфна в D. Легко видеть, что

l^aWKl

в D\{— 1, 1}, а wa(l)=l, wa(—1)= — 1/ Это же имеет место и в случае а=1, поскольку ау^^^А,. Итак, при O^a^l, Р>0

CWa=0, ^а(Сыр)=0, ^(0^) = Ja({l}) = {l}.

Все эти множества имеют нулевую меру относительно Ет.

Применяя теорему 1.1, (з), получаем, что оператор

Та=^П(5.4)

является сжатием, операторы ®Р(7’а) и со9 ° ^(7) существуют и

<i>4Ta) = ®» = w^n.(5.5)

4^-У=®“9 м»У №) //4^-У=®“9 м»У №) //Поскольку

4^-У=®“9 м»

У №) //

4^-У=®“9 м»

У №) //

то равенство (5.5) означает, что

^(TJ- Л"9..(5.6)

При р — 1 получаем

Л" - ш1 (ТУ - о1 № и1 (Г„) ■ (7 — Г,)"’ (7 + Т«).(5.7)

Отсюда следует, что Л° также является максимальным аккре- тивным оператором, а его преобразование Кэли равно Та. Поэтому f (Ла) = f ° ® (Та) для всех функций f (6), для которых f°to(T0') имеет смысл. В частности, (Л“)р = ®р (ГД Таким образом, равенство (5.5) означает, что

'(Л“)₽ = Л“8(0<а<1, р>0)?)

Поскольку Ла (0 ^а ^ 1) — максимальный аккретивный оператор, то существует непрерывная полугруппа сжатий {ra(s)}s>0 с генератором —Ла. Когенератор этой полугруппы является преобразованием Кэли оператора Ла, т. е. совпадает с Та. По теореме III. 8.1

Ta^ = es^^ = esMn\(5.8)

где

es X) = exp (s .

Эта функция голоморфна и ограничена в D и непрерывна в £)\{1}. Поэтому можно применить теорему 1.1, (з) о композиции, что дает

es^w^^esOW^TV(5.9)

Так как

es 0 wa (X) = exp (s -^^y^ = exp (— s®a (X)),

то при O^a^l эта функция входит в класс Нт и ограничена в D по модулю числом 1 даже для комплексных значений параметра s, принадлежащих углу

Ai-a = {s: | args |<(1-а)у}.

Поскольку

(е$, ° w^ (е$, ° Юа) = е$1+$2 ° tyo при sb s2 е А(_а,

то операторы

T'a(s) = esotya(7') (seA^J

образуют полугруппу:

Та^~1» ^a(sl) ^а(5г) = ^а(51 ^ s^ (sb ^^Ai-a)*

9 Ограничение а ^ 1 объясняется тем, что оператор Да не является, вообще говоря, максимальным аккретивным приа>1 (например, не является таковым, если А антисамосопряжен, А ^ 0).

Эта полугруппа аналитична во внутренности Д^ угла Д^. Для доказательства зафиксируем какую-нибудь точку s0>0 и какую-нибудь точку s, лежащую в наибольшем круге с центром s0, содержащемся в Д^, так что

।।ал

| S — 80 | < р0 = So COS-у.

Рассмотрим разложение

e-s6« = e4s-s»)6<\e-So6« = y(бе А), (5.10)

где

В силу неравенства

Кеба^|ба| • cos-^~ при бе А

имеем

I Мб) К S jpl Роб“ М • exp (— s0 Re б") =

= exp [pg 16“ | - 80 Re 6“] < 1.

Отсюда следует, что разложение (5.10) сходится в А равномерно по б. Переходя к соответствующим операторам, получаем

п=0

где Вп = bn^A) = bnoto(J\ H5JK1. Тем самым доказана аналитическая зависимость Ta(s) от s в Ai-a.

Подведем итоги.

Теорема 5.L Пусть А — максимальный аккретивный оператор в §, и Ла (а ^ 0) — оператор, отвечающий функции ба в функ,; циональном исчислении t^-^HAY построенном в п. 4.4. Оператор Ла линеен, замкнут, имеет плотную область определения ®(Л°) и-

А° = 1, А' = А, Аа+6=АаА^ (а, р>0), (Л°)* = UT (а>0).

Если O^a^l, то Ла — максимальный аккретивный оператор и (Ла)Р = Л°9 (р^О). Кроме того,

|argU4 л)1<-у- (АеФ(Л°)).

Пусть {Ta(s)}s>Q — полугруппа сжатий с генератором — Ла. Если 0^а^1, то эта полугруппа может быть таким образом продолжена с сохранением полугруппового свойства на комплексные значения параметра s, принадлежащие углу | arg s | ^ ^(1~а)~, что Та^ является сжатием и аналитически зависит от s во внутренности этого угла.

При 0 ^ а < -^- операторы Ла, Да*, а с ними и операторы ^Аа = ^Аа + Аа^, Im Л° = ^(А°-Да*)

имеют одну и ту же область определения. Оператор Re Ла самосопряжен и положителен. Имеют место следующие неравенства:

Re ^h, A°*h) ^ cos ал • max {||ЛаЛ ||2, || Л“* h f);

| ЛаЛ || 2> cos ал • || Л“*Л ||, || A°*h || ^ cos ал • || Aah ||;-

Re (ЛаЛ, [Re Ла] Л) > cos2 -^ • || Ааh ||;

[cos2 55.1 cos ал ] • || Aah || > || [Re Л“] h | > cos2 55-1 Aah ||;

||[Im Л“] h И < tg 55. || [Re Ла] h ||.

Из доказанной теоремы следует, в частности, что максимальный аккретивный оператор А для п = 2, 3, ... обладает таким корнем n-й степени В = Ап, который является максимальным аккретивным оператором и удовлетворяет неравенству

| arg (ВЛ, Л)|^— при Ле 5) (В).(5.11)

Докажем, что эти свойства определяют корень п-и степени из А единственным образом. Для этого нам понадобятся три прог стые леммы об аккретивных операторах.

Лемма 5.2. Для всякого аккретивного оператора А

IHf,g)F<ReMf,f).ReHg,g) (f, ge©^)) (5.12) и, следовательно, Re (Af, f) = 0 влечет Af = 0.

Доказательство. Бинарная форма (f | g) = Re (Af, g), определенная для f, g e © (Л), принимает вещественные значения и билинейна над полем вещественных чисел. Кроме того, (flf)^O. Поэтому справедливо неравенство Шварца

l(fl^)l2<(flf)-(^lg), т. е.

IReHf, g)P<ReW,f).ReHg,g).

Заменяя в случае надобности g на eg, где е — некоторое комплексное число, равное по модулю 1, мы можем добиться того, что Re^f, g) будет равно | (Л/, g) |. Так как при этом (Л^, g) не изменится, то (5.12) доказано.

Лемма 5.3. Если А — замкнутый аккретивный оператор в $, то множество

^ = ^\ g^^\A), Л§- = 0}

его нулей является подпространством, приводящим А.

Доказательство. Поскольку оператор А линеен и замкнут, то 91 является подпространством в %. Если f е © (Л), ge9i, то, как следует из (5.12), (Af, g) = 0. Таким образом, если fe©^), то'Р®Af = 0 (Ру — ортопроектор на 91). С другой стороны, AP®h = 0 для произвольного /ге§. Итак, Р®А с АР®, откуда следует, что 91 приводит А.

Лемма 5.4. Пусть А и А' — два максимальных аккретивных оператора, таких, что

©(Л) с ©(Л'), А'АсАА'.(5.13)

Тогда их преобразования Кэли Т и Т' перестановочны.

Доказательство. Поскольку операторы Л+ 7 и A' + 7 имеют всюду определенные в § обратные, то для всякого f ^^ существует такое g е §, что

f = VV-HHA + P)g. -(5.14)

Так как ge$(Л), то в силу (5.13) g е © (Л') и, следовательно, Ag = (Л + 7) g — g е © (Л'). Поэтому равенство (5.14) можно записать в виде f = (А'А + А' + А +1) g, откуда ввиду второго из соотношений (5.13)

f = (А А' + А' + А +1) g = (Л + 7) (А' + Г) g. (5.15)

Из (5.14) и (5.15) следует, что

(Л + Л"1(Л' + 7)",/ = (4' + /)’,(Л + 7)"7 для любого fe^.

Поскольку Т = I — 2 (Л + /)-1 и Т' = 1 — 2 (А' + 7)-1, то Г и 7' перестановочны. •

После этих приготовлений мы можем доказать

Предложение 5.5. Для каждого максимального аккретивного оператора А и для произвольного п^^ существует, и притом единственный) максимальный аккретивный оператор В, удовле-

ДРОБНЫЕ СТЕПЕНИ МАКСИМАЛЬНЫХ АККРЕТИВНЫХ ОПЕРАТОРОВ 201 творяющий условиям

Вп = А,(5.16)

|arg(Bf, f)K"^- для любого f^^B).(5.17)

Доказательство. Пусть {Ла} — семейство дробных степеней оператора *Л, построенно.е в ходе доказательства теоремы 5.1. Оператор B = 'A^n' является одним из решений поставленной задачи. Нам нужно доказать, что всякое другое решение В' совпадает с В. Пусть S и S' — преобразования Кэли операторов В и В' соответственно. В силу (5.4) S = w\]nAT\ где Г— преобразование Кэли оператора Л, a w\[n — функция, определяемая равенствами (5.3).

Заметим, что

В'А = В'В'п = В'пИ = В'пВ' = АВ' и

©(A) = ®(B'")<=®(B').

Применив лемму 5.4, получим, что S' перестановочно с Г и, следовательно, со всякой функцией от Г. В частности, S' перестановочно с S.

Пусть В' = В'фВ'х — каноническое разложение максимального аккретивного оператора В' на антисамосопряженную и чистую части.. Пусть, далее, / удовлетворяет условию B'nf = 0. Если f0 и f! — составляющие f в соответствующих подпространствах, то В' f0 = 0, В'х fx = 0. Поскольку оператор В' обратим (см. конец п. 4.3), то ^ = 0. С другой стороны, из того факта, что оператор iB0 самосопряжен, и из спектральной теоремы вытекает, что равенство Во f = 0 возможно лишь при Bof = 0. Итак, B'f = O влечет B'f = O. Поскольку В' = Л, то нуль-про- странства операторов А и В' совпадают. Применяя эти рассуждения к В вместо В', получаем, что максимальные аккре- тивные операторы Л, В и В' имеют общие нули. По лемме 5.3 это нуль-пространство, которое мы обозначим через 9i, приводит операторы Л, В и В' и, следовательно, приводит их преобразования Кэли. Если fe9l, то Bf = B'f = 0. Поэтому для доказательства равенства В = В' достаточно рассмотреть эти операторы на подпространстве 2№ = ^фЭ^.

Положим-

v = v + shi-s'\ w = y + s'Hi-sy

Поскольку V и W перестановочны, то

/г —12Л/

У"-и7'1 = П(У-е6Г), где е = е".(5.18)

к=0

Из равенств 1 + 8 = ВЦ-8^ I + S'= В'(I - S'), Вп = А = В'п вытекает, что

vn = впу- ЗУ (I -ST = В,п {I.- ST (/ - sy = Wn

и, следовательно,

п-л

П(И-ейГ)=О.(5.19)

6-0

Пусть g — такой элемент из 5)1, что для некоторого к (V-e6IF)g = 0.(5.20)

Полагая f = (/ — S) (/ — S') g, получаем

Bf = U + SHI-S4g-Vg = efeWg=- ' = 6kU-VS'Hl-Sfg = 6kB'f.(5.21)

‘ (Bf,f) = 8k(B'f,f).(5.22)

Если 1<&О—1, то (Bf, f) = (B'f, f) = 0, так как в противном случае соотношения

| arg (Bf, f) |< ^,| arg (B'f, h |< -^, arg8fe = -^

(X^k^n-X)

противоречили бы равенству (5.22). Из леммы 5.2 и равенства (5.20) следует поэтому, что Bf = B'f = 0. Поскольку операторы В и В' обратимы на 5)1, то f = 0, g = 0.

Итак, из (5.19) вытекает, что V —1V = O и, значит, (/-S)(/ +S') = (/ + £)(7-S'), откуда S = S', В = В'.

Предложение доказано.

Комментарии

Функциональное исчисление для сжатий в случае неограниченных функций развито в С.-Н. и Ф. [VI]. В этой же работе изложено соответствующее исчисление для максимальных аккретивных операторов. Аналогичная (но менее общая) теория была построена независимо Лангером [2] для максимальных диссипативных операторов. В упомянутых работах (так же, как и во французском издании этой книги) рассматривались лишь голоморфные функции. В настоящем издании допустимыми стали и мероморфные функции. Это естественное обобщение потребовалось авторам в связи с исследованием коммутантов сжатий, принадлежащих классу Со и обладающих конечными дефектными числами, см. С.-Н. и Ф. [14].

Метод продолжения аккретивного или диссипативного оператора «до максимального оператора того же типа с помощью преобразования Кэли принадлежит Филлипсу [2].) Этот метод аналогичен методу, примененному фон Нейманом в случае симметрических операторов. Характеризация генераторов непрерывных полугрупп сжатий в терминах их преобразований Кэли (эквивалентность условий (в) и (г) теоремы 4.1) была дана С.-Надем (II); см. также Фояш [2]. Предложение 4.2 является новым.

Предложение 4.3 (каноническое разложение максимальных аккретивных или диссипативных операторов) в несколько менее общей форме было установлено Лангером [I]).

Дробные степени линейного оператора А в гильбертовом или банаховом пространстве, такого, что — А является генератором некоторой непрерывной полугруппы сжатий, строились многими авторами, причем применялись разные методы. В определении, предложенном Бохнером [1] и Филлипсом [1], применяется непрерывная полугруппа

(f>0)3).

Именно по определению

DO

^а, t” J Tsdmai^s\о

где Г5 = е~м, а мера определяется с помощью интеграла Лапласа

в“/ра = J e“sp rfma, / (s) V^O, Rep^O, 0<а<1). о

Из других формул, служащих для определения Да, отметим формулы Балакришнана [1]:.

Aah = J ^1 + л)'1 Ah dK,о

Aah = Г (- a)”1 J Х"а-1 (е'ХА - /) h dKо

(йеф(Л)). См. также И о си да [1], [2], стр. 358.

Теорема единстЕ1енности (предложение 5.5) доказана в терминах диссипативных операторов Мацаевым и Палан- том [1] (для ограниченных операторов) и Лангером [2] (в общем случае). Наше доказательство является несколько упрощенным вариантом доказательства Лангера. Нол- лау [1] распространил теорему единственности на случай операторов в произвольном банаховом пространстве.

Утверждение теоремы 5.1 об аналитичности полугруппы в некотором секторе комплексной плоскости было получено впервые Иосидой [1]. Предложение о том, что операторы Ла и Ла* имеют при 0^а<~ общую область определения и удовлетворяют неравенствам (а) —(д), впервые доказано Като [1] (в его неравенствах несколько иные коэффициенты). Методы этих авторов отличны от изложенных нами.

В связи с настоящей главой см. также Дольф [1], Дольф и Пенцлин [1], Лангер и Ноллау [1].

ГЛАВА V

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ

' § 1. Векторные классы 2? и Н2

Пусть 91 — сепарабельное гильбертово пространство. Обозначим через L2 (91) класс функций о (0 (0^/^2л) со значениями в 91, измеримых (сильно либо слабо, безразлично в силу сепарабельности 91) и таких, что

2Л

IM2 = -^ j II v(/)|^^>oo.(1.1)

о

При таком определении нормы А2(ЭД) превращается в сепарабельное гильбертово пространство. Разумеется, функции из А2 (ЭД), совпадающие почти всюду (по мере Лебега), отождествляются. Если dim ЭД = 1, т. е. если А2(ЭД) состоит из скалярных функций, то вместо А2(ЭД) мы будем писать ZA*

Пусть vn(/) (п=1, 2, ...) —последовательность, сходящаяся к и(0 в £2(ЭД), т. е. в среднем квадратическом:

II v„-u||2= j II v„(0-u(0l^~*°(n->oo).

о

Тогда можно выбрать такую ее подпоследовательность {улй (^)} (k = 1, 2, ...), что 2Л

'6 о

В силу теоремы Беппо Леви

5% (0 - V (О II < 00

почти всюду на (0,2л) и, следовательно, |=.,(1)-«(0Ц,-»0(6^=«).

Итак, из каждой сходящейся в L2 (91) последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся почти всюду.

Для всякого целого к обозначим через 6^ подпространство пространства L2(9l), образованное функциями вида elkta (ае 91).

Очевидно, что 6^±6/ при к*/=]. Далее

^2(а)=е^.(1.2)

В самом деле, пусть уе/,2(Я) ортогонально ко всем ^к) т. е.

-^ | e~ikt (и (/), a^dt = 0 (а е 21; к = 0, ± 1, ± 2, ...). о•

Тогда (и (0, а\х = 0 всюду, кроме, быть может, точек (зависящего от а) множества Еа меры нуль. Заставляя а пробегать счетное плотное в 21 множество и беря объединение соответствующих множеств Еа, получаем множество Е меры 0. При этом и (/) = 0 вне Е, т. е. почти всюду, и, следовательно, и = 0 как элемент А2 (21). Тем самым доказано равенство (1.2).

Заметим еще, что.

||Л|ио = 11< ' (ае«).(1.3)

Из (1.2) и (1.3) вытекает, что между функциями и(/) е L2(9l) и последовательностями {«J”^ (aft е 21 с 2II а* 1^ < 00) существует взаимно однозначное соответствие, устанавливаемое формулами

У(0=2ег%(1.4)

И.

HvIF-SlIaJFr.(L5)

Равенство (1.4) понимается в смысле сходимости в среднем:

2Лпip

/ у (0 — 2 е‘маь dt -> 0(/и, п -> оо).

о-тllgt

В силу (1.4)

2л

«6 = ^/ e-i«y^dt (fc = 0, ± 1, ...) о

Таким образом (1.4) является рядом Фурье для o^tY

Важное подпространство пространства L2(2l) образуют функции, коэффициенты Фурье которых равны 0 при к<0. Обозначим это подпространство через /Д (21). Сопоставим

функции

у W = S ешак е L\ (51)о

функцию комплексной переменной X и\Ц-^как. о

Эта функция определена и аналитична в единичном круге, поскольку

1

n и пL Г п -

5^ <SlMllaJ^<(l-|A|2)" Sl|ad| ->0 ттL w J

при п>т->оо и |Х|<1, причем сходимость равномерна при |Х|<г0<1. Функцию о(0 можно восстановить по ы(Х) как радиальный предел в среднем квадратическом. Действительно, 2л2л оо||2

J II V W - и(reu)%dt = ±( ^(l-rk)ewab dt = оо о

-^(l-r^ll2^(r-H-0).

о

Кроме того, 2Лоооо

^J ||U(re“)||d/ = 2r2ft||afel|<2j||afc||<oo (0<г<1). 000

Обозначим через Я2 (21) класс всех функций

получается указанным образом из некоторой функции у(/)е е £+(%), а именно из функции х)(^ = ^elktak. Поскольку и^Ц .о

и и(Х) однозначно определяют друг друга, то классы № (ЭД) и L2^^ можно отождествить, наделив, таким образом, Z/2 (91) структурой гильбертова пространства L+ (ЭД), и рассматривать //2(ЭД) как подпространство в £2(ЭД).

Функции и(К) и и(/) связаны также формулой Пуассона

м(г^)= 2~rJ Pf^ — s^u^ds (0<г<1),(1.6)

о

где Pr(t) — ядро Пуассона

Это непосредственно следует из элементарных соотношений

2Л.

^^ J Pr(t~s)eiksds (6 = 0,1,...)■

0•

и из того факта, что и^ является пределом в среднем квадратическом частичных сумм своего ряда Фурье.

Используя формулу (1.6), можно доказать, что v(/) является не только радиальным пределом в среднем квадратическом для u^relt\ но также пределом почти всюду. Точнее, и(^ сильно (в ЭД) стремится к v (/), когда Л некасательно стремится к elt, оставаясь в единичном круге, для всякой точки t, для которой

t-Vs

J v (т) dx -> v (/) сильно (s->0),(1.8)

t—s

т. е. почти всюду (обобщенная теорема Фату). Доказывается это утверждение так же, как в скалярном случае.

Имея все это в виду, мы позволим себе писать' и(еи) вместо v(t), если речь будет идти о функции из L%(%).

2. Аналитические операторные функции.

Чистая часть. Внутренние и внешние функции

Рассмотрим функцию 0(%), значения которой являются ограниченными линейными отображениями сепарабельного гильбертова пространства 21 в сепарабельное гильбертово простран-

ство 91* и определяются степенным рядом

0(4=5^,(2.1)

fc=0

коэффициенты которого суть ограниченные линейные отображения 91 в 911. Предположим, что этот ряд сходится при | A. I < 1 (слабо, сильно или по норме, что для степенных рядов равносильно, см. Хилле и Филлипс [1], стр. 107—108) и что

Ц0(М11<С(|М<1).(2.2)

В этом случае функцию {91, 9(„ 0(Л)} будем называть ограниченной аналитической функцией (в области £) = {Х: |Х|< 1}).

В силу условия (2.2)

2л

^ J||0(re»)<,^<C2||<(0<г<1)

о

и, следовательно (на- основании § 1),

$||0fca|| Л<С2||<(2.3)

о *

для любого а^%. Как показано в § 1, отсюда следует, что сильный предел в 91*

lim0(Z)a (Х~>е^ некасательно)(2.4)

существует всюду, за исключением, быть может, точек t множества Еа меры нуль. Заставляя а пробегать счетное множество, плотное в 91, и беря объединение соответствующих множеств Еа) получаем множество Е меры нуль. В силу (2.2) предел (2.4) существует при всех t фЕ для любого яе Я,

Таким образом, для почти всех / предел

0 (ez/) = lim 0 (М(X -> ez/)(2.6)

существует в смысле сильной сходимости операторов. (Здесь и ниже символ К-^е11 означает, что Л стремится к elt некасательно, оставаясь внутри единичного круга.) В частности,

0(^)= Пт 0(rezz) (сильная сходимость) (2.6) r-»l~0

почти всюду. Кроме того, на основании результатов предыдущего параграфа ©(геИ)а стремится при г —> 1 — 0 в. среднем квадратическом (в £2(91*)) к 0(ezz)a и, значит, этот предел как

14 Зак. 517

элемент пространства L?^^ обладает разложением Фурье

0 (е^) а = 2 еш$ка,(2.7)

о

сходящимся в смысле L^*).

Часто бывает полезно рассматривать наряду с ограниченной аналитической функцией {91, 21*, 0(А,)} также и ассоциированную функцию (21*, 21, 0~ (X)}, где

е~^ = 0^У ^eD\(2.8)

которая также аналитична и ограничена той же константой. В самом деле,

в* (х) = 2х*0*.

о

и || 0~ (X) || = || 0 (X)* || = || 0 (X) || < С при X г D. Следовательно, предел

0~ (ez<) = lim 0~ (X)(Х->е“)

существует в смысле сильной сходимости операторов при почти всех 1. Отсюда следует, что 0~ (е~“) для почти всех t является сильным пределом 0(Х)* при Х->е“. С другой стороны, почти всюду 0(Х) сильно стремится к 0(eiZ), а, следовательно, 0(Х)* слабо стремится к 0(е“)* при Х->е“. Таким образом, 0~(ez<) = -бСе^)* и

0(e»)* = lim0(X)* (Х-*е“)(2.9)

в смысле сильной сходимости операторов.

В частности, наряду с (2.6) почти всюду справедливо соотношение'

0(е«)*= Hm 0(rezz)* (сильная сходимость). (2.10) г-* 1—о

Будем называть {91, 91., 0(A)}.Будем называть {91, 91., 0(A)}.91”, 0°(М) чистой частью функции

Будем называть {91, 91., 0(A)}.

Будем называть {91, 91., 0(A)}.

Доказательство. Положим

^г = ^а: аг 91, а = 0(0)*0(0)а),

Ч=1а; %^\> «* = 6(О)0(О)Х}.

Если а г %', то 0 (0) а = 0 (0) 0 (0)* 0 (0) а. Следовательно, 0 (0) а г 91',' т. е. 0 (0) 91' с 91'. Аналогично 0 (0)* 9l' cz 9l'. Из соотношения а =0(0) 0(0)* а (а е 91') вытекает, что 91'cz 0 (0) 91'. Итак, 0(0) отображает 91' на 91'. Это отображение унитарно, поскольку

||0(О)а|р = (0(О)*0(О)а, а) = (а, а) = II а II2 (а е 91).

Для всякого а г ЧП имеем fа (X) = 0 (X) а г № (91J. Если а г 91', то

2Л

У а, ® (0) а^ (9U = ^ J (0 (е“) а, 0 (0) а) dt =

о

= (0(О)а, 0(О)а) = ||а||.||0(О)а||>

1

2л12

•Ц0(О)а|| =•Ц0(О)а|| =-^/||0(е‘'')а|М0-

•Ц0(О)а|| =

•Ц0(О)а|| =

II fa 11д2 де.) ' II ® (0) а ||д1! ^.

Из неравенства Шварца следует поэтому, что для некоторой числовой константы а справедливо равенство fa(X) = a©(0) а. Полагая X = 0, получаем a = 1 и, значит,

0(X)a = 0(O)a (а е 91', | X |< 1).

Таким образом, 0'(X) = 0 (X) 191' есть не зависящее от X унитарное отображение 91' на 91'.

Если заменить в этих рассуждениях 0(Х) на 0~ (X), то 91' и 91' поменяются местами И мы получим, что 0~(Х)|91' есть постоянная функция, равная некоторому унитарному отображению 91.' на 91'.

Следовательно, для всякого а г 91° = 91Q 91' и всякого а* е 91'

(0(X)а, а.) = (а, 0(X)*а^ = (а, 0~ (X)а.) = 0 (Xs D\

0(Х)аг 91® = 91.@91'. Таким образом, 0°(X) = 0(X) 191° отображает 91° в 91®.■

14»

Покажем, что полученная сжимающая аналитическая функция {21°, 21°, 0° (X)} чиста. В самом деле, если || ©° (0) а || = || а || при некотором а е 91°, то

((Z —0(О)*0(О))й, й) = || й |р —1| © (0) й II2 = || й |р —1| ©° (0) й ||2 = 0, откуда (Z — 0(О)*0(О)') й = 0, й = 0 (0)* 0 (0) й, т. е. йеУ. Поскольку W ± 91°, то й = 0.

Построенные разложения

9E = 9l0®9lz,=

удовлетворяют требуемым условиям. Нам остается доказать единственность.

Пусть 21 = $°®$', 21, = $°®$' —произвольные разложения, удовлетворяющие этим условиям. Поскольку 0(0) унитарно отображает $' на $', то || а || = || 0(0) а || при йе$', откуда (Z — 0(0)*0(0))й = 0, йе %'. Следовательно, $' с 21'. Если бы в 21' существовал элемент й =# 0, ортогональный к $', то мы получили бы противоречащие друг другу соотношения ||0(0)й || = || й || (ибо йе21') и ||0(О) й ||<||й || (ибо йе$°). Таким образом $' = 2l' и, следовательно, $' = 0 (А) $' = 0 (А) 21' = 21'» $°= 2l@$' = 2l@2l' = 2l°, $^ = 21, @ $' = 21*021'= 21°.

Теорема доказана.

. Пусть {21, 21', 0 (А)} — сжимающая аналитическая функция. Пол аг а я

(0«)(А) = 0(А)и(А) (иеНЧЖ

мы определяем линейное отображение 0 пространства Я2 (21) в пространство Я2 (21'), являющееся фактически сжатием.

Предложение 2.2. Для того чтобы оператор 0 был изометрическим отображением Н2 (21) в Н2 (21'), необходимо и достаточно, чтобы оператор 0 (е“) был изометрическим отображением 21 в 21' при почти всех t.

Доказательство. Достаточность очевидна. Докажем необходимость. Пусть 0 — изометрический оператор, т. е. II ®«Ид» ^ = || и ||£2 (ЭД для всякого ые Я2(21). Из равенств

j || 0 (е“) e-lntu (е“) |g, di = J || 0 (е“) и (е“) |g, dt оо

и

2л2Л

flk-^W'= /|1“(е'01И оо

(п=1, 2, ...) и из плотности в Л2(91) функций вида е lntukeil^ (ме7/2(21); п=\, 2, ...) следует, что

2л2л

J пе(е") v (OIH.^ = f II v(O!g^ Оо

для любой функции У ^ е Л2 (9().

Возьмем, в частности, v (/) = е (т, 6; /) а, где а е 91 и е (т, б; /)— характеристическая функция интервала (т, т + б). Деля на б, получаем

т+б

yj lie(ez0a||,d/ = ||a||,т

откуда

Це(е«)а|^ = 1!а1и(2.П)

почти всюду, т. е. вне некоторого множества Еа меры нуль. Заставляя а пробегать счетное множество {ап}, плотное в 91, и беря объединение всех множеств ЕОп, получаем множество Е меры нуль, вне которого равенство (2.11) выполняется для всех векторов ап и, следовательно, для всех ае^. Таким образом, 0(ezz) является изометрическим оператором при 1еЕ.

Учитывая сказанное, введем следующие

Определения. Сжимающую аналитическую функцию {91, 91., 0 (X)} назовем

внутренней, если 0(ezz) является изометрическим отображением 91 в 91, для почти всех t или, что то же, если отображение 0 из Н2 (91) в Я2 (91,), порожденное этой функцией, является изометрическим;

внешней, если ©Я2 (91) = Я2 (91.) (замыкание берется в метрике L2(9l,));~

^-внутренней, если ассоциированная функция {91„ 91, 0~ (А,)} внутренняя;

*-внешней, если {91,, 91, 0~ (А,)} внешняя функция;

двусторонне внутренней, если она является одновременно внутренней и *-внутренней;

двусторонне внешней, если она является одновременно внешней и *-внешней.'

Для скалярных функций (dim 91 = dim 91'= 1) определения (а) и (б) сводятся к прежним (см. п. III. 1.1). В самом деле, для скалярной аналитической функции О (А,), ограниченной в D по модулю числом 1, условие (а) означает, что | ft (e'z) | = 1 почти

всюду, а условие (б) — что функции {А^ (А)}”=0 порождают пространство Я2 — характеристическое свойство внешних функций, вытекающее из теоремы Бёрлинга (см. п. III. 1.2). Как легко видеть, в скалярном случае всякая внутренняя (соответственно внешняя) функция является также *-внутренней (соответственно *-внешней).

Предложение 2.3. Сжимающая аналитическая функция {91, 91., 0(A)} является одновременно и внутренней и внешней в том и только в том случае, если 0 (А) — унитарная константа, т. е. 0(А)в0о, где 0О — унитарное отображение пространства 91 на 91..

Доказательство. Если функция {91, 91,, 0(A)} является одновременно внутренней и внешней, то 0 изометрически отображает Я2(91) на Я2(91,),' т. е. 0 есть унитарное отображение Я2 (91) на Я2 (91,). Поскольку 0 коммутирует с умножением на А, то из унитарности 0 вытекает, что.

0 [Я2 (91) © А . Я2 (91)] = Я2 (91.) е А . Я2 (91.).

Но подпространство Я2 (91) © АЯ2 (91) состоит из постоянных функций со значениями в 91. То же справедливо и для 91,. Таким образом, для всякого «е91 имеем 0(A) а = а„ где а, е 9(„ и когда а пробегает 91, то а, пробегает 91,. Следовательно, 0 (А) в 0 (0), 0 (0) 91 = 91. и

2л

И0 (°)а 1^. = i J II0 ^ а И.dt = II0а 1^’ <«.> = IIа 1^ да = II«1^ . о

откуда следует, что 0(0) является унитарным отображением 21 на 91*. Это доказывает наше предложение в одну сторону. Обратное утверждение очевидно.

Установим одно свойство внешних функций.

Предложение 2.4. Для всякой сжимающей аналитической внешней функции (91, 91*, 0(А,)}

0 (А.) 91 ~ 91* для всех X е £);

0 (ви>) 91 = 91* для почти всех t, 0 ^ / ^ 2л (замыкания берутся в 91J.

Доказательство, (а) По формуле Коши

^и, (1 - AqA)-1 а.^ (а.) = ^/ 1^2^^ dt = (0 м О*.

при ые Я2(91), а, е 91., |А01< 1. Поэтому если вектор а. #= 0 ортогонален к 0(A) 91, то (1 — АоА)~'а, ^ 0 ортогонален к 0Я2(91).

Поскольку 0Я2(91) плотно в //2(91,), то, в частности, для всякой постоянной функции а, (А) = а, е 91, существует такая последовательность элементов ип е № (91), что 0и„ стремится к а в среднеквадратическом, а также почти всюду. Таким образом, 0(е“)и„(е;<)->й.(п->оо)

для всех /, кроме, быть может, точек некоторого множества Ео, меры нуль. Следовательно, если t 0 Еа<, то подпространство 0 (ez<) 91 содержит вектор а,. Пусть а, пробегает счетное плотное в 91, множество (а№). Если Г не принадлежит множеству Е = (J EOw меры нуль, то 0 (е“) 91 содержит все векторы а№ и, п

значит, совпадает со всем пространством 91,.

Непосредственным следствием предложений 2.2 и 2.4 является такое утверждение: для внутренних функций {91, 91„ 0 (А)} имеет место неравенство dim 91 ^ dim 91 а для внешних — противоположное неравенство dim 91 ^ dim 91,.

В заключение введем следующее

Определение. Будем говорить, что две сжимающие аналитические функции {91, 9l„ 0(A)}, (9l',9l', 0'(А)} совпадают, если существует такое унитарное отображение т пространства 91 на 91' и такое унитарное отображение т, пространства 91, на 91^, что•

■О'(А)-т.0 (А) т'1(|А|<1).

Леммы о представлениях Фурье.Инвариантные подпространстваодносторонних сдвигов

Пусть U — двусторонний сдвиг в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве 91, и пусть 91 — блуждающее относительно U порождающее подпространство, т. е. 91 = М (91), ГД6ОО

М(91) = ф иЧ.

Условимся обозначать через.Фа унитарное отображение пространства А1 (91) на L2(9l), определяемое формулой

'Ч ОО"IОО/ОО\

Ф%^икак (t^^e^a, а6 е 91; 2||а6|р<оо , (3.1) ,—ООJ—ОО\—ОО/

где ряд в правой части сходится в среднеквадратическом. Обозначая через Ux оператор умножения на elt в пространстве L2(2l), имеем

Фа[7 = ихф\ (3.2)

е. Фа преобразует U в Ux. Будем называть Фя представлением Фурье пространства М (91).

Точно так же, если [7+— односторонний сдвиг в (комплексном сепарабельном) гильбертовом пространстве 9t+ и 21 —блуждающее порождающее подпространство, т. е. если 9t+ = M+(2l), где

лм^) =. о

то представлением Фурье пространства М+ (21) будем называть унитарное отображение Ф+ пространства Л1+ (21) на //2(21), определяемое формулой -

ф+2№^ (M=S^ . о J оф+2№^ (M=S^ . о J о«ке%; lllaklf<oo; |М<1). (3.3)

ф+2№^ (M=S^ . о J о

ф+2№^ (M=S^ . о J о

Обозначая через Vх оператор умножения на X в №(91), получаем равенство, аналогичное равенству (3.2):

Ф^[/+ = [/Ж. '(3.4)

2. Следующие леммы будут играть в дальнейшем важную роль.

Лемма 3.1. Пусть U и U' — двусторонние сдвиги в (.комплексных сепарабельных) гильбертовых пространствах 51 и 51'; 91 и 91' — блуждающие порождающие подпространства относительно U и U' соответственно. Пусть, далее, Q — сжатие из 51 в 51', удовлетворяющее условиям ■"

QU = U'Q,(3.5)

QM+ (91) cz М+ (91').(3.6)

Тогда существует такая сжимающая аналитическая функция (91, 91', 0(A)}, что

ф91^ = 0ФЯ,

т. е. для всякого Не^ почти всюду справедливо равенство

(ф”^/г) (I) = 0 (№) (Ф91/г) (1).(3.7)

Доказательство. В силу (3.6) имеем при а е 21

' Qa=^U'kab, где акг^, 2 Ц^Ц2 = II Qa |^|| а ||2. оо

Полагая а'к = б^а, мы определяем последовательность ограниченных линейных преобразований @к (^ = 0, 1, 2, ...), являющихся фактически сжатиями из 91 в 91'. Таким образом,

OrQa = va(Z), где va (/) = 2 еМ ^kd) (сходимость в £2 (91')). ,о

Ввиду (3.5) и (3.2) отсюда следует, что

ФУ9ф Щ) а = Ф*'ф (U^Qa = <p (17 х)<^Qa = ф(ez<) va (0

для всякого тригонометрического многочлена Ф^') с числовыми коэффициентами. Поэтому

IIФ W а ||| > || Оф (17) а |^, = || Фг0ф (17) а |||2-

2л

= ^ / |ф(е'Д2 II MOII^t .о

С другой стороны,.

|| Ф ([/) а ||| = | Фа ф (17) а |2 да = I ф (17х) Фаа £2 w =

2л

= llT(^)a|^w = i / 1ф-(^)М-Н<<о

Сравнивая оба результата, получаем 2л2л

/ IФ ^ |2|| Уа (01||, ^ < / | Ф (е“) I2dt • II а 11=. оо

С помощью теоремы Вейерштрасса это неравенство переносится на все непрерывные функции р(/)^0 с периодом 2л

J Р^ЦрДОИ^С J р(/ММ«1&. оо

Применив теорему Лебега о переходе к пределу под знаком интеграла, мы распространим это неравенство на все измеримые неотрицательные ограниченные функции на (0, 2л). Взяв в качестве р(/) поделенную на 6 характеристическую функцию интервала (т, т + д) и устремив 6 к нулю, получим

II У а (0 Hr ^ II ° 11$ почти всюду.(3.8)

Используя формулу Пуассона (1.6), связывающую функцию va^ с ассоциированной аналитической функцией

иа (X) = 2 Xk©ka <Х е Я)(3.9)

О

класса Я2 (9Р), а также хорошо известные свойства ядра Пуассона, получаем из (3.8)

ll«a(MIU<0«Ha (Хе Я).(3.10)

Поскольку ряд (3.9) сильно сходится в 91' для любого а е 91, то ряд

0(M=2xft0fe (Ле Я)■о

сходится и смысле сильной сходимости операторов и 0 (Л) а = = иа^. В силу (3.10) {91, 91', 0 (Л)} —сжимающая аналитическая функция. Некасательный предел 0(е“) существует почти всюду в смысле сильной сходимости операторов. Поэтому почти всюду’

0 (е“) а = lim 0 (Л) а = 11m иа (Л) = v0 (t) (X -► elt некасательно).

Итак, OrQa = 0(ez<)a . (as 91).(3.11)

Из (3.5), (3.2) и (3.11) следует, что

ФГ0 2 Ukak = 2 <^*UrkQak = 2 WQak - ккк

2 «'“в У1) «„ = ву<) 2 «“Х - в У) ф- ^иХ ккк

т. е.,

Ф^/г = 0(е“)фа/г

(сначала— для конечных сумм вида h.= ^д Ufeak (ak^^), затем

по непрерывности — для любых he М (91)).

Остается заметить, что v->0u есть непрерывное линейное отображение L2 (91) в L2 (91'), а именно сжатие. Это вытекает из того факта, что 0(ez/) является сжатием из 91 в 91' для почти всех t.

Лемма доказана. .’

Выведем отсюда аналогичную лемму для односторонних сдвигов, присовокупив к ней несколько утверждений о различных свойствах функций 0(A).

Лемма 3.2. Пусть U + и U\ — односторонние сдвиги в ^комплексных сепарабельных) гильбертовых пространствах 9t+ и SR+> а 91 = 9t+ © U+91+ и 91' = Э1+ © U^X-v ~ блуждающие порождающие подпространства относительно U^. и U^ соответственно. Пусть, далее, Q — сжатие из 9t+ в 9t+, удовлетворяющее условию

QU^U'^Q. ,(3.12)

Тогда существует такая сжимающая аналитическая функция {91, 91', в(Х)}, что *

Ф^ = ©Ф+.(3.13)

Для того чтобы эта функция была

чистой,

внутренней,

внешней,

унитарной константой,

^ограниченно обратимой (т. е. чтобы ©(А,)""1 существовало в узком смысле при всех XeD, причем Z; = sup И© (Л,)-11< оо), необходимо и достаточно, чтобы соответственно выполнялись условия

|| Pw Qa || < || а || для всякого йе$1, а =/= 0 (Ру — ортопроектор 91+ на Я'),.

Q — изометрическое отображение 91+ в 9t+,

Q^+ = 9t+,

Q — унитарное отображение 91+ на 91+,

Q-1 существует в узком смысле Iq^’H^^.

Доказательство. В силу предложения 1.2.2 односторонние сдвиги U+ и U+ могут быть продолжены с сохранением кратности до двусторонних сдвигов U и U' в пространствах 91 и 91' соответственно. При этом

91 = ф UX 91' = ф U"1^.

Для всех р, q (— оо <р<^< оо) и всех ае% справедливы равенства:

qяя

2 UX = UP^ ип~Х = ир^ иТХ,ррр

qqqq

2 U'nQan=U'p2U'n-pQan= U'p2U'p~pQan =U,PQ 2 U^X,

pppp

откуда

I! ЯL2L О' ^« •II р III! ЯL2L О' ^« •II р II2 C/'VJ = Q 5 t7rpan|<| 2 UVPan рр . II II р

I! Я

L2L О' ^« •

II р II

I! Я

L2L О' ^« •

II р II

Полагая

qq

Q^UX-I^Qa^

рр

мы получаем сжатие Q линейного многообразия векторов вида q.

2 Unan в 91'. Это сжатие продолжается по непрерывности до р

сжатия из 91 в 91', которое снова обозначим через Q. Имеем qqп

Q2 ип+ап=Ъ U'+Qa^Q^ Un+a„ (^>0)

00о

и, следовательно,Qo Q.Крометого,•

qu 2 их = q 2 ип+Х = 2 и,п+'<х = U'Q 2 их,pppр

откуда QU = U'Q. Учитывая также, что

QM+ (?1) = QSR+ с 5R+ = М + («9,

мы видим, что лемма 3.1 применима к 9t, 91', U, U', Q. Таким образом, существует такая сжимающая аналитическая функция (Я, < @(М), что-

фя Q = 0ф*.

Беря сужения на 91+, получаем

Ф^ = 0Ф^..

Установим теперь свойства (а) —(е).

Если а е Я, то

0 М а = © (X) (Ф+а) (%) = (Ф+'Qa) (X) = 2 хХп(Щ < 1), (3.14)

о

где коэффициенты а' определяются из разложения

Qa=^U'na'n(3.15)

В частности,В частности,а^ * PwQa.а^ * PwQa.(3.16)(3.16)

В частности,

В частности,

а^ * PwQa.

а^ * PwQa.

(3.16)

(3.16)

Согласно (3.14), 0(О)а = а'. Поэтому для того, чтобы 0(Х) была чиста, необходимо и достаточно, чтобы ]]аоД<||aj| для всякого ае21, а =/= 0. Учитывая (3.16), получаем (а).

Утверждения (б) и (в) являются непосредственными следствиями того факта, что 0 как оператор из Я2 (21) в Н2(^ унитарно эквивалентен оператору Q из 9i+ в 91+ (см. (3.13)). Случай (г) получается комбинацией случаев (б) и (в) с учетом предложения 2.3.

(д) Предположим, что Q-1 существует в узком смысле, и ||Q-1||^fe. Оператор Qt = ^-Q-1 является сжатием из 91+ в 9t+. Согласно (3.12) Q\U'+ = U+Q\.

Используя уже доказанную часть леммы, получаем, что существует сжимающая аналитическая функция {21', 21, ^(Х)}, для которой

’ Ф+Qi = Й1Ф^.

Полагая Q (X) = Ш^ (X), приходим к ограниченной аналитической функции {21', 21, Q(X)), ||Q(X)||^&, такой, что

Ф+0"‘ = ЙФ+.(3.17)

В силу (ЗЛЗ) и (3.17) 0 и Q, рассматриваемые как операторы из Н2 (21) в Я2 (21') и из Я2 (21') в Я2 (21) соответственно, взаимно обратны:

Q© = /д2 w, 0Q = IHi w, т. е.

Q(X)0(X) = /a, 0(X)Q(X) = Z^ (Хе Я).

Таким образом, оператор 0(Х) обладает обратным Q(X)(XeD), ограниченным в единичном круге D числом к.

Обратно, пусть оператор 0(Х) обладает обратным Q(X) = 0(Х)-1 и ||£2(Х)||^^(ХеЯ). Тогда Q(X) аналитична, поскольку ее производная существует (как предел по норме):

Итак, {21', 21, Q(X)} является ограниченной аналитической функцией. Поэтому она порождает ограниченный оператор Q из Н2 (21') в Н2 (21) по формуле

(Qm)(X)-Q(X)«(X)(ыеЯ2(21')),

причем ||й||<&. Поскольку

(Q0o) (X) - Q (X) (0о) (X) — Q (X) 0 (X) о (X) - о (X) (о е Я2 (21)), (0Q«) (X) - 0 (X) (Q«) (X) - 0 (X) Q (X) и (X) - и (X) (и е Я2 (2tz)),

то Q является обратным оператором для 0. Следовательно, оператор (Ф+) ЙФ+, также ограниченный по норме числом к, является обратным для оператора (Ф+) 0Ф+ = Q. Лемма 3.2 доказана.

В качестве первого применения предыдущей леммы дадим описание инвариантных подпространств одностороннего сдвига в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве. Из представления Фурье односторонних сдвигов (см. п. 1) вытекает, что эта задача сводится к изучению инвариантных подпространств оператора U+ в пространстве Н2 (6), где 6 — комплексное сепарабельное гильбертово пространство.■

Теорема 3.3. Общий вид ■ подпространств % в № (6), инвариантных относительно оператора U* умножения на е1^ дается формулой-

■% =• (3.18)

где 8 — комплексное сепарабельное гильбертово пространство и (8, б, & (X)} — внутренняя сжимающая аналитическая функция.

Доказательство. Если 0(X) — внутренняя функция, то порожденный ею оператор 0 из № (g) в Я2 (б) изометричен. Следовательно, линейное многообразие 0№(5) замкнуто, т. е. является подпространством в Я2 (б). Его инвариантность относительно U* очевидна.

Рассмотрим теперь произвольное подпространство %, инвариантное относительно U*.,

Отождествим элементы из б с постоянными функциями из Я2 (б). Именно, элемент ее б отождествим с функцией е^, принимающей постоянное значение е. При этом 6 превращается в подпространетво пространства Я2 (б), блуждающее относительно U+, причем

Я2(б) = ф Я^б(=Л1+(б))(3.19)

о

(см. (1.2)).

Пусть V = U+1 ^>. Рассмотрим разложение Вольда пространства § относительно оператора V (см. § 1.1). Поскольку . Vп% с U^nH2 (б) и U+ не имеет унитарной части в Н\®), то

. QOc f| Я^Я2(б) = {0}.

п—0п—01

Поэтому и оператор V вполне неунитарен, и разложение Вольда имеет вид

$ = ®О, где Ы0^.(3.20)

о

Применим лемму 3.2 к случаю

fR+ = <>, U+ = V, 21 = 8, ^+ = Я2(6), U'+ = U+, 21' = 6,

Q — каноническое вложение £> в Я2 (6) (т. е. Qh = h при he^.

Очевидно, условие (3.12) выполняется.

В результате получаем, что существует такая внутренняя сжимающая аналитическая функция (8, 6, 0(Х)}, что

Ф^9 = 0Ф+.(3.21)

Поскольку б мы отождествили с постоянными функциями из Н2(б), то представление Фурье пространства Н2 (б) для U* сводится к тождественному отображению. С другой стороны, Qh = h при he§. Поэтому равенство (3.21) приводится к виду

Л = 0Фи (fte$

Таким образом, '

•$ = {0м: иеН2 (8)} = 0Я2(8).

Теорема доказана.

Отметим без доказательства, что общий вид ультраинва- риантных относительно U + подпространств £> ^ (0) пространства Я2 (6) дается формулой

где и (Х) — скалярная внутренняя функция (так что в этом случае 8 =0 (X) = и (X) /@).

Факторизации

Начнем со следующего предложения

Предложение 4.1. (а) Пусть (6, 8, 0(Х)} и (6, 8i, ®i(X)} — две сжимающие аналитические функции, причем вторая из них внешняя, и пусть •■

0 ^еиУ 0 (ezz) ^ 0! (е“)* 0, (elt) почти всюду. (4.1)

Тогда существует такая сжимающая аналитическая функция {81, 8, ©гМ), что

'0 (X) = 02 (X) 0! (X) (Хе Я).(4.2)

Если в (4.1) почти всюду имеет место равенство, то функция 02(Х) является внутренней. Если, кроме того, 0(Х) — внешняя функция, то 02 W ~ унитарная константа.

Доказательство, (а) В силу (4.1) оператор X, определяемый равенством

Х(0,у) = 0у (у е Н (6)),(4.3)

является сжатием из ^Н2^ в Н2($. Продолжим этот оператор по непрерывности до сжатия (обозначаемого снова через X) из Н2 (81) = 01И2 (6) в Н2($\ Поскольку 0 • eltv = еи • 0у, 0t. е“и = е“ • ©1У, то, согласно (4.3), хи*+ = и+х,

где U+ и t/i+— операторы умножения на е“ в Н2^) и Н2 (80 соответственно.

Применяя лемму 3.2 к случаю

91+ = №(80, и+ = и^, a = 8b sr'+ = №(8), и\ = и^, ' ^' = 8, Q = X

(8 и 81 обычным способом вложены в Н2^ и Я2 (80 как постоянные функции), видим, что существует сжимающая аналитическая функция {8i> 8, 02(М}> Для которой

Xw = 02да (да е Н2 (80)(4.4)

(заметим, что представления Фурье Ф® и Ф+ пространств Я2 (8) и Я2 (80 СУТЬ тождественные отображения). Полагая в (4.4) да = 0!У ^у е Н2^) и учитывая (4.3), находим

0У=0201У.

Беря у (%) = h (h^ 6), получаем (4.2).

Если в (4.1) почти всюду имеет место равенство, то оператор X — изометрический. Согласно лемме 3.2, функция 02 (X) является внутренней. Если, кроме того, 0 (%) — внешняя функция, то

Н2 (8) => 0^(80 Дэ ^Н2^ = 0774®) = Н2 (8)

и, следовательно, функция 02 (X) также является внешней. В силу предложения 2.3 02 (%) — унитарная константа.

ция N (О А); напомним, что в сепарабельном пространстве 6 сильная и слабая измеримости эквивалентны). Пусть, кроме того,

O<N(KL(4.5)

Функция ^(/) порождает по формуле

(Nu) (t) = N(t)v(t)

оператор N в пространстве Л2 (6). Этот оператор самосопряжен и O^jV^/.

Предложение 4.2. Существует внешняя сжимающая аналитическая функция {®, 5ь ©i (М), обладающая следующими свойствами*.

(1°) N (О2 ^ 01 Се**)* ©1 (elt) почти всюду*,

(2°) для всякой другой сжимающей аналитической функции {®, 8, 0W}, такой, что

N (t)2^@(elty @(еи) почти всюду,(4.6)

имеет место неравенство

®Де1^ ®Деи)^$(еиУ ®(еи) почти всюду. (4.7)

Эти свойства определяют внешнюю функцию ©t (X) с точностью до левого постоянного унитарного множителя.

Для того чтобы в (1°) почти всюду имело место равенство, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

П elntN№ (@) = {0).'(4.8)

О

Доказательство. Оператор умножения на elt в Л2(®) обозначим через Ux. Поскольку N перестановочно с Ux, а //2(@) инвариантно относительно Ux, то подпространство

9l = NH2^(4.9)

также инвариантно относительно Ux. Поэтому Ux индуцирует изометрию в 91. Пусть

SR-^+^eSRo(4.10)

есть разложение Вольда для 91 относительно этой изометрии, т. е.-

^ = 9ieuxm, М^ФУ’Х 910 = л Uxn4l (4.11) п>0п>0

Обозначим ортопроектор из 91 на М+ (^^ через Р. Поскольку M+(Si) приводит Ux 1 SR, то UXP = P(UX |Э1). Учитывая,

1П Зак 517

что N перестановочно с Ux, находим UXPN = P(UX 191) Д< = = PUXN = PNUX. Отсюда

и^х = хи^, где

X = PN\H2^, U(+ = Ux\m+^, и^ = их\нЧ®).

Таким образом, можно применить лемму 3.2 к случаю . 91+ = Я2(6), U+ = UX, 91 = 6,.

Г+ = м+(81), и\ = и^, ^ = 8ь

Q = X.

Учитывая соотношения

<Ж+ = ХН2^) - PNH2^) = Й1=М+ $i) = 9t+, получаем, что существует внешняя сжимающая аналитическая функция {6, 5i, ®i(X)}, удовлетворяющая условию

Ф^у = ©1У при у еЯ2(б).(4.12)

(Мы воспользовались здесь равенством Ф®у = у, справедливым ввиду того факта, что б есть подпространство в Я2 (б), состоящее из постоянных функций.)'

Поскольку оператор Ф+ унитарен, то, согласно (4.12), ||Яу||>||РЯу|| = ||Ху 11 = 110^11 при иеН2^. (4.13)

Элементы вида Уу(у е Н2(®)\ образуют плотное в 91 множество (см. (4.9)). Поэтому в неравенстве (4.13) знак равенства имеет место для всех у в том и только том случае, когда Р = 1т- Условие Р = 1« означает, что 910 = {0}, а это эквивалентно равенству (4.8).

Возьмем в (4.13) у(Х) = р(Х)/г, где h — элемент из 6, р(Х) — многочлен от X. Получим

i / IР (е“) |21| N (0 h IJ2 dt = || Nv |р > || 0,y |p = 0 о

Поскольку всякий тригонометрический многочлен ф(ем) может быть построен исходя из некоторого обычного многочлена р^

по формуле ф(е^) = e”lntp^eu\ то

/ I ф W |2 II N (0 h II2 at > J I ф (е») р || 0, (е«) h |р dt (4.14) оо

для всякого тригонометрического многочлена ф (ef9- Так же как в доказательстве леммы 3.1, отсюда следует, что

.WW>WelW(4.15)

вне некоторого (зависящего от А) множества точек / меры нуль. Поскольку пространство S сепарабельно, то существует множество меры нуль, вне которого (4.15) выполняется при всех йе®. Это означает, что неравенство (Г) имеет место почти всюду.

Заметим, далее, что если в (4.13) при всех уе//2(@) имеет место равенство, то имеет место равенство в (4.14) при всех ф и, следовательно, в (4.15) и в (Г) почти всюду. Из сказанного ранее об условиях равенства в (4.13) вытекает, что для построенной внешней функции ©JM равенство в (Г) имеет место тогда и только тогда, когда выполнено условие (4.8).

Пусть {6, 8, ®(Х)} —какая-либо сжимающая аналитическая функция, удовлетворяющая условию (4.6). Тогда существует сжатие У из 91 в Н2^, для которого

Y (Ми) = 0о (и е Н2 (6)).(4.16)

Очевидно,

У. e»Nv = Y • Neuy = © • е“у = е“ • ©и = еи • YNy (и е Я2(®)), откуда

Y • еии = еи -Yu {и^ ЧХ\ Поэтому

У9%с f) Y-elnt^= f) ein‘Y9lc f| ешЯ2 (g) = {0}, n >0n >0n>0

e. УЭ^о = {0}, У (/« — P) = 0 и, значит,

YNv = YPNy = YXy (v e № (6)).(4.17)

Учитывая равенства (4.12) и (4.16) и принимая во внимание, что Ф+— унитарный оператор, а У —сжатие, получаем

||01и|| = ||^||>||У^|| = ||У№|| = ||@а|| H«W (4.18)

Метод, который привел нас от (4.13) к (4.15) и к свойству (1°) для ©JX), применим и к (4.18) и дает (4.7). Таким образом устанавливается свойство (2°) для ©! (%). Остается вопрос о единственности. Пусть [6, S,, 0] (X)] — другая внешняя сжимающая

функция, обладающая свойствами (Г) и (2°). Тогда

0, (еиУ 0, (ez<) = 0' (ег/) 0' (ezz) почти всюду.

В силу предложения 4.1, (б) ©{ (X) = Z • ©i (X), где / — унитарный оператор из ^, на 8р

Предложение 4.2 доказано.

Замечание. Из предложения 4.2 немедленно следует, что если функция N (О допускает представление N (О2 = = 0 (еи)* 0 (eiZ) (почти всюду), где 0(Х) —сжимающая аналитическая функция, не обязательно внешняя, то для N (t) выполняется условие (4.8).

Предложения 4.1 и 4.2 дают возможность получить разложение всякой сжимающей аналитической функции (б, 6,, 0 (X)} на внутренний и внешний множители. В самом деле, положим

М (/) = [©(ezz)‘0 (<?»)]-/=.

Эта функция удовлетворяет условиям предложения 4.2. Поэтому существует внешняя сжимающая аналитическая функция (б, S, 0е(Х)}, обладающая свойствами (1°) и (2°). Поскольку 0 (еиУ 0 (е“) = N (t)2, из этих свойств вытекает, что

N W > ^е W 0е (е») > 0 ^‘У 0 (е») = N ^У

почти всюду. Следовательно 0<, (ezz)* 0е (ezz) = 0 (ezz)* О (ezz) почти всюду. Согласно предложению 4.1, существует такая внутренняя функция {3, ®., ©z(M)> что

© (X) - 0,- (X) ©е (X) (X е D).(4.19)

Это разложение будем называть каноническим разложением 0(Х) на внутренний и внешний множители ©;(Х) и 0е(Х) (канонической факторизацией). Оно единственно в следующем смысле: если 0(X) = ©z (X)©г(X) — другая факторизация того же типа, с промежуточным пространством 3', быть может отличным от 5, то существует такой унитарный оператор Z из 3 на 5', что ©'(X) = Z-0e(X), 0-(X) = 0z(X)Z-1 (Хе D).

Это сразу следует из предложения 4.1, (б). В частности, (®, §', ©их)} и {$', б„ ©ах» совпадают, в смысле п. 2.4, с (б, 5, ©ДХ)} и {§, б,, ©ДХ)} соответственно.

Канонически факторизуя ассоциированную функцию 0~ (X) и возвращаясь затем к 0(Х), получаем факторизацию вида

0 (X) = ©*в (X) 0#< (X) (X е D),(4.20)

где 0*е (X) — сжимающая «-внешняя функция, a 0*z (X) — сжимающая «-внутренняя функция. Эта факторизация также един-

ственна (в аналогичном смысле). Факторизацию (4.20) будем называть *-канонической факторизацией 0(Х).

Пусть ы(Х) — сжимающая аналитическая скалярная функция и ы (X) ^ 0. Для каждого борелева подмножества а единичной окружности С функция м(Х) допускает факторизацию

« (X) = м2а (X) ы1а (X) (X е О).

где м1а и «гат скалярные сжимающие аналитические функции, причем «ю (X) — внешняя функция и

аа, / m , fl" (е ) । ПРИ 6 G “> «1а(в ) =1,„,111 при е" е а = С \ а,, / m , fl" (е ) । ПРИ 6 G “> «1а(в ) =1,„,111 при е" е а = С \ а,(4.21)(4.21)(1 при elt е а,1«2о(е )1~ | |м(е»)| при еие<Например, можно взять(1 при elt е а,1«2о(е )1~ | |м(е»)| при еие<Например, можно взять(4.22)(4.22)

а

а

, / m , fl" (е ) । ПРИ 6 G “> «1а(в ) =1,„,

111 при е" е а = С \ а,

, / m , fl" (е ) । ПРИ 6 G “> «1а(в ) =1,„,

111 при е" е а = С \ а,

(4.21)

(4.21)

(1 при elt е а,

1«2о(е )1~ | |м(е»)| при еие<

Например, можно взять

(1 при elt е а,

1«2о(е )1~ | |м(е»)| при еие<

Например, можно взять

(4.22)

(4.22)

(4.23)(4.23)«ю W = exp Л^- f ЛгЧ- 1п । и ^ । dA > к2я («) е/

(4.23)

(4.23)

где (а) = {/: 0^/<2л, eu^aY В самом деле, если uia'(X) — функция, соответствующая аналогичным образом множеству а', то r/ia' (М И1а (М — внешний множитель функции и (А) и, следовательно,

«20 W = « W/«1O W (4.24)

■есть произведение на «ю' (X) внутреннего множителя функции и(Х). Поэтому «2о(Х) является сжимающей аналитической функцией и (4.21) следует непосредственно из (4.23), а (4.22) вытекает из (4.21) и (4.24), поскольку «(е^^О почти всюду.

Применяя полученные выше результаты, мы можем обобщить этот факт на операторные сжимающие аналитические функции.

Предложение 4.3. (а) Пусть {6, ®„ 0(Х)} — сжимающая аналитическая функция, такая, что

^^eltYX существует в широком смысле почти всюду. (4.25) Для всякого борелева множества а с: С найдутся такие сжимающие аналитические функции {©, 8, ©1а(Х)} и {8, 6„ 02а(М}> из которых первая является внешней, что

0 (X) = ©2« W ®ю (*) (А е О) (4.26)

©ю (e")*©ia(e") = Ze почти всюду на (а'), (4.27) ©2а (е“)* ©2а(в") = /6 почти всюду на (а). (4.28)

Факторизация (4.26) единственна в следующем смысле*, если (б, §\ 0ia М} и {^', б», 02а (М) обладают теми же свойствами, то

01а (X) = Z0ia (X),. 02а (X) = 02а (X) Z"\

где Z — постоянное унитарное отображение 8 на 8'•

Если 0(ez9 не является изометрией на некоторых подмножествах положительной меры множеств а и а', то факторизация (4.26) нетривиальна (т. е. ни один из множителей не является унитарной константой).

Замечание. Из (4.26) и (4.28) вытекает, что

0la ^lty 01а (elt) = 0 (euY 0 (,elt) почти всюду на (а). (4.27')

Доказательство, (а) Положим*

MJOHWT©^)]2 при /е(а), ^a (0 = 4 при / е (а'). (4.29)

Тогда

А^а (О2 ^ ® teltY @ (elt) почти всюду(4.30)

и, следовательно,

II Nau 1^, (@) > II ей ||я, (@е) ^и е № (6)).

Поэтому существует такое сжатие ¥ из NJP^ в № (6,), чтоУ(ВД = 0и (иеНг$).

Поскольку операторы Na и 0 перестановочны с умножением на функцию ек, то это же справедливо и для Y. Следовательно,

У fl eintNa№ (@) с Л einteH2^<=2 Л ег"'Я2 (®.) = ОТ- п>0п>0п>0

Таким образом, если будет показано, что единственным элементом w г NaH2 (®), для которого У^ = 0, является ^ = 0, то для функции МаУ) будет установлено (4.8). Итак, дело сводится к доказательству следующего утверждения: если ип (0 — такая последовательность функций из //2(®), что Nax)n-->w и 0рп->О '(сходимость в L2), то w = 0. Заменяя в случае надобности последовательность оп на соответствующую ее подпоследовательность (чтобы ряды 2 II NaPn — W ||2 И S II 0^n If СХОДИЛИСЬ^, получаем, что

N^t)x)n(t)-*w(,t)t 0 <elt) vn (t) -> 0 почти всюду

(сходимости в 6 и 6, соответственно). Таким образом, почти всюду на (а')

0 (е“) w (/) = 0 (е“) lim Na (О оп (t) = 0 (e,z) Пт vn (t) =

= lim0(e") и„ (/) = О, п

а почти всюду на (а)

|| 0 W w (01| < || w (/) || = Пт || Na (0 и„ (01| = Пт || 0 (ег<) ип (/) || = 0.пп

Итак, "

0 (ег<) ну (0 = 0 почти всюду.

В силу условия (4.25) отсюда вытекает, что w (/) = 0 почти всюду.‘

Мы доказали, что для Na^ выполняется (4.8). Согласно предложению 4.2, существует такая внешняя сжимающая аналитическая фуНКЦИЯ (6, §, ©la (А)}, ЧТО

©Ю^'О’вю^^) = ^а(0 ПОЧТИ ВСЮДу.(4.31)

На основании (4.30) и предложения 4.1 существует такая сжимающая аналитическая функция {$, 6,, 02а (А)}, что имеет место (4.26). Функция ®ia(A) удовлетворяет условию (4.27) ввиду (4.29) и (4.31). Докажем теперь (4.28). Для этого заметим, что для почти всякого .1 е (а) и всякого Леб

llW')®ia(e")MH^^^(4.32)

Поскольку функция 01а(А) является внешней, то на основании предложения 2.4

®ia(ez0® = ®. почти всюду на [0, 2л].

Из (4.32) получаем по непрерывности, что

11®2а(е“)М = НМ

для всякого й. е 6, почти всюду на (а). Тем самым (4.28) доказано.

При сделанных предположениях ©ia(eW) ®ia(ee<) = = ®ia (е'Т ®ia (е<<) почти всюду. В силу предложения 4.1, (б) существует такое унитарное отображение Z пространства 8 на пространство §', что ©{а (А) = 2®щ (А). Поэтому

©2а W ®1а (А) = © (А) = ®2а (А) ©(а (А) = ©2а (A) Z0la (X).

Поскольку ©1а№(®) ПЛОТНО В Н2 (5), то ®2аИ = ©2а/и При произвольном и е Н2 (8), откуда ©2а (А) = ©2о (A) Z, ©2а (А) = = 02a(A)Z-‘.'

Это утверждение очевидно. В самом деле, если 0ia(A) — унитарная константа, то из (4.26) и (4.28) следует, что оператор 0(ezz) изометричен почти всюду на (а). С другой стороны, если 02а (М ~ унитарная константа, то из (4.26) и (4.27) вытекает, что оператор б^е1^ изометричен почти всюду на (а').

Предложение 4.3 доказано.

Замечания. Условие (4.25) эквивалентно условию

0 (еиУ 6* = 6 почти всюду

и потому в силу предложения 2.4 выполняется для всякой *-внешней функции. *

С другой стороны, если функция 0(Х) не является внутренней, то оператор 0 (ezz)* 0 (ezz) отличен от /@ в точках множества р положительной меры. В этом случае можно выбрать множество а так, чтобы множества a f] Р и а' f] р имели положительную меру. В силу предложения 4.3, (в) факторизация (4.26) будет нетривиальной. Таким образом, можно сформулировать

Следствие 4.4. Для всякой ^-внешней сжимающей аналитической функции, не являющейся внутренней, существуют нетривиальные разложения вида (4.26).

Во многих отношениях интересен приводимый ниже пример.

Пусть Л — самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве 6, такой, что О^Л^/, причем 0 и 1 не являются собственными значениями для Л. Рассмотрим сжимающую аналитическую функцию {6, 6, 0(Л)}, где 0(Х) = Л. Так как 1 не является собственным значением оператора Л, эта функция чиста. Более того, {6, 6, 0 (Л)} — двусторонне внешняя функция. В самом деле, если и — элемент из Я2 (6), ортогональный к А№^\ то Аи^ = 0 при Л е D. Поскольку 0 не является собственным значением оператора А, то и^) = 0, т. е. и = 0. Таким образом, Л/72(6) плотно в Я2 (6), и потому функция 0(^)^Л внешняя. Так как 0~ (Л) = А* = А = 0 (Л), то 0(Х) = ^ Л — двусторонне внешняя функция.

Найдем теперь факторизацию (4.26) этой функции, отвечающую борелеву множеству асС.

Для этого введем в рассмотрение функцию

<4-зз)

(а)

голоморфную в D. Если Х = геи (0^r< 1), то

®« ^ = i I Р ^г’ 1""s)ds + "fc J Q^r’ Z ~ s>ds’ I4134) W(«)'

где Р — ядро Пуассона, Q — сопряженное ядро. Из хорошо известных свойств интегралов с такими ядрами (см. 3 и г - мунд[1], п. 3.6 и 7.1) вытекает, что почти в каждой точке elt е С существует некасательный предел и что этот предел равен %а (/) + /%а (/), где Ха (/) — характеристическая функция множества (а), %а(/) — функция, тригонометрически сопряженная к Ха (О- В силу (4.34) Re(oa(X)^0 (если мера а положительна, то Re(oa(X)>0). Следовательно, l^a^l^ 1 при O^a^ 1, XeD.

Положим

Qa(%) = 4“«w (XeD).(4.35)

Оператор в правой части понимается как интеграл от функции atoa^ на интервале O^a^l по спектральной мере оператора А. (Заметим, что точки 0 и 1 имеют нулевую спектральную меру.) Как легко проверить, Qa (Л) — сжимающая аналити* ческая функция. Из соотношений

2Л .

<0а(Х) + ша'(М = ^| ^S=l (ХеР),о

Re ®а (е1^ = ха (О почти всюду

и из свойств спектральных интегралов вытекает, что

Йп(Х)£М%) = й0'(А,)Йа(Х) = Д (Хе В) (4.36) и

.,.,9v т ( Л2 при t е (а)

Йа^Ш^Йа^^е'^^^ПрИ ^(а/) (4.37)

почти всюду. На основании (4.36) заключаем, что

АН2 (б) = QaQa'tf2 (б) С= йаН2 (б),

откуда следует, что множество йаН2 (б) плотно в Н2 (б). Поскольку В силу (4.36) Qa (X) • Qa' (А) = А, TO Qa U) Н2 (б) также плотно в //2(б). Таким образом, функция Qa(Z) является двусторонне внешней. Соотношения (4.36) и (4.37), примененные каика', показывают, что для функции 0(Л)^Л множители в разложении (4.26) определяются формулами

©la (М = Qa М, 02а (М = Qa' (^).

Интересно еще заметить следующее. Из (4.37) следует, что оператор Qa(e*0 унитарен для почти всех Z е (а'). Но если оператор А не является обратимым в узком смысле, а мера a положительна, то в каждой точке z = elt, где оператор Qa(2) унитарен, Qa(X) не стремится по норме к Qa(2) при X->z. В противном случае оператор Qa(^) был бы обратим в узком

смысле при X, достаточно близких к z, что, однако, не имеет места, ибо'

Qa (X)* йа (X) = Л Re “а(Х),Re ®а (X) > 0.

Из доказанного вытекает, в частности, что если Л не имеет обратного в узком смысле и а —дуга положительной длины, то Qa(X) имеет некасательные унитарные пределы почти в каждой точке дуги а', но не может быть аналитически продолжена через а'. Это замечание будет использовано в дальнейшем при выяснении значения предложения 6.7. О нем пойдет речь также в комментариях к гл. VII.

Существование нетривиальных факторизаций для произвольной сжимающей аналитической функции

Как мы увидим в гл. VII, проблема представления сжимающих аналитических функций в виде произведения функций того же типа, не являющихся унитарными константами (короче: проблема нетривиальной факторизации), тесно связана с проблемой нахождения нетривиальных инвариантных подпространств для операторов в гильбертовом пространстве.

Впрочем, инвариантным подпространствам соответствуют лишь факторизации, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям.

В настоящем параграфе доказывается, что всякая сжимающая аналитическая функция (6, 6*, 0(Л)}, не являющаяся унитарной константой, обладает нетривиальной факторизацией — если не накладывать на эту факторизацию никаких дополнительных условий.'

Доказательство. Если Qe л (V), то в силу (5.1) и (5.2) Q-VQV* = АА*— VAAV- AA*-AVqV*qA* - А(/- Hq7q) А*>О, ибо J — VqV*q^ О.

Обратно, пусть Q удовлетворяет условию (5.3). Обозначим через R положительный квадратный корень из оператора Q —VQF*. Тогда Q = R2 + VQV*, откуда по индукции Q = r4VRV+ ... +VnRVn + Vn+xQV,n+i (га-1, 2, ...).

Поскольку V является односторонним СДВИГОМ, ТО V*n сильно стремится к О при п->оо. Поэтому

Q = 2 VnR2V,n

n=0 и, следовательно,

1Ш1-Siwm при всех /i е &(5.4)

п=0

Рассмотрим гильбертово пространство #Q всех последовательностей х = (х„}”, для которых xneR% (га —0, 1, ...) и |[ х |f2 = — 2II хп ||2 < <х>. Пусть Vq — односторонний сдвиг в ^q, определяемый формулой'

VqVx0, хи .. .} = {0, х0, хь . ..}.

Положим.

Bh=^Rh, RV*h, RV*X ..., RV*X ...).

Из (5.4) вытекает, что В — оператор из § в §$, такой, что

IIW$q = IIqM$.(5.5)

Кроме того, поскольку

Vq [Хо, Хр . • .} = {^р Х2, . то

BV*h= Uv*h, RV*X ...} = V^Bh. ■

Следовательно, BV = V*qB, VB* = BVq. Оператор A = B удовлетворяет условию (5.1), а в силу (5.5) и условию (5.2).

Предложение 5.2. Пусть Q — оператор класса л(У) и O^Q^L Тогда оператор Qa = aQ + (l — а)/, где 0<а< 1, также входит в класс л (Й). Если V имеет бесконечную крат-

ность, то можно взять ^Qa = ^ uVq^V, т. е. в этом случае существует такой оператор Аа в Ф, перестановочный с V, что Qa=AaA^

Доказательство. Первое утверждение вытекает непосредственно из предложения 5.1. Что касается второго, то заметим прежде всего, что если 91 — блуждающее порождающее подпространство для V, а Р^ — ортогональный проектор на 91, то

В„ = Qa - ^Qa^* = ° (Q - FQ7*) + (1 - a) (Z - 7V’) >(1 - a) Pv

Отсюда следует, что Rah = 0 влечет P^h = 0. Поэтому Ro& ^ id Р^% = 21 и

dim % ^ dim Ra^ ^ dim 21.(5.6)

С другой стороны, поскольку размерность 21 бесконечна, то dim §= Ко • dim21= dim 21.(5.7)

В силу (5.6) и (5.7) dim Ra& = dim 21. Поэтому существует унитарное отображение ср пространства Ra^ на 21. Это отображение индуцирует унитарное отображение Ф пространства &Q последовательностей x = {xn}^ (xn е Ra£>) на пространство § по формуле

Фх = 2 7" (фх„).о

Имеем

Ф (FQox) = 2 V" («рх^а = 72 V""1 (<№-а = 7Фх.

Таким образом, если отождествить элементы из §Q и ф, соответствующие друг другу при отображении Ф, то VQa отождествится с V, а оператор А (из §Qa в §), ассоциированный с Qa, отождествится с некоторым оператором Аа в %, перестановочным с V и таким, что AaA*a = Q.

Предложение 5.3. Пусть А и В —операторы в ф, перестановочные с изометрией V в %, причем А — изометрия, В — сжатие и

ВВ*>АА\ ■(5.8)

Тогда существует такая перестановочная с 7 изометрия С в %, что А = ВС.

' Доказательство. Поскольку В —сжатие, то из (5.8) вытекает, что / — АА* ^ Z — ВВ* "^ О. Поэтому равенство (Z —

— ЛЛ*) Л = О для некоторого й е § влечет равенство (/ — — 6В*)/г = 0. Из изометричности оператора Л следует, в частности, что (/ — ДД*) Ag = Ag — AA*Ag = Ag — Ag = 0 для любого g^^. Поэтому (/ — 6B*) Ag = 0, Ag = BB*Ag. Полагая C = B*A, имеем A = BG. Поскольку Л — изометрия, а В —сжатие, то С необходимо является изометрией.

В силу перестановочности Л и 6 с С

V*CV = V*B*AV = (ВУ )* (ДУ) = (УВУ (VA) = В *У*У А = В* А = С, откуда

(VV^CV = VC. (5.9)

Поскольку С и V — изометрические операторы, то таковы же и операторы CV и VС. С другой стороны, VV* является ортопроектором (на V%>Y Следовательно, ввиду (5.9) CV = УС, что и требовалось доказать.

Пусть А — изометрический оператор в пространстве §, не являющийся унитарным. Предположим, что А перестановочен с бесконечнократным односторонним сдвигом У в §.

Положим Q = ЛЛ*, Qa = aQ + (l+a)/ (0<а<1). Согласно предложению 5.2, существует такой оператор Ва в §, перестановочный с У, что 6a6* = Qa. Поскольку О ^Qa^I, то Ва является сжатием в %. Из условия Qa = aQ + (1 — a) I ^ Q следует, что BaB^^ ЛЛ*. В силу предложения 5.3 существует изометрия Са в ^, перестановочная с У и такая, что А = BaCd.

Покажем, что ни 6а, ни Са не являются унитарными. В самом деле, равенство Ва6*=/ невозможно, поскольку из него вытекало бы, что Qa = /, Q = L АА* = 1, и, следовательно, оператор А (изометрический по предположению) являлся бы унитарным, вопреки условию. С другой стороны, если бы оператор Са был унитарен, то оператор 6а = ЛС* удовлетворял бы условию 6а6* = ЛС*СаЛ* = ДА* и, следовательно, Qa = Q, что снова дает равенство Q = /, приводящее к противоречию.

Покажем, наконец, что В^ плотно в §. В противном случае нашелся бы такой вектор /г#=0, что В*/г = 0, QJi = 6a6*/z = 0. Поскольку Qa^(l—^)^» то (1 — а)/г = 0 и, значит, h = 0 — противоречие.

Резюмируем полученные результаты.

Предложение 5,4. Всякий изометрический, но не унитарный оператор А в пространстве %, перестановочный с бесконечнократным односторонним сдвигом V в §, может быть представлен в виде А = ВС, где В и С — неунитарные операторы в %»

перестановочные с V, причем С — изометрия, В — сжатие и В§ =

Заметим, что гильбертовы пространства в этом пункте не предполагались сепарабельными.

Пусть 6 — сепарабельное гильбертово пространство бесконечной размерности, {6, 6, 0 (Л)} — внутренняя сжимающая аналитическая функция, не являющаяся унитарной константой. Оператор 0 в Я2(®), определяемый равенством

©и (Л) = 0 (Л) и (Л) (и е № (6), X е D), изометричен, но не унитарен (последнее в силу леммы 3.2). Оператор 0 перестановочен с оператором Ux умножения на elt в Я2 (6), который является односторонним сдвигом бесконечной кратности (поскольку dim 6 бесконечна).

Применим предложение 5.4 к случаю Л = ©, V = Vх. Мы получим, что существует разложение © = ©2©! оператора 0 в произведение двух операторов в Я2 (6), перестановочных с Ях и таких, что ©j — изометрия, а ©2 — сжатие, для которого ©2Я2 (6) = Я2 (6). При этом ни ©ь ни ©2 не являются унитарными операторами. Применение к ©t и ©2 леммы 3.2 показывает, что операторы ©! и ©2 порождаются аналитическими сжимающими функциями {6, 6, ©ДЛ)} (/=1,2), причем функция ©1(Л) внутренняя, 02 (Л) — внешняя, и ни одна из них не является унитарной константой. Таким образом, доказана

Теорема 5.5. Если ^ — гильбертово пространство размерности Ко, то всякая внутренняя аналитическая функция {®, 6, 0(Л)}, не являющаяся унитарной константой, может быть представлена в виде произведения

©(Л)»©,^)©^) (Ле D)(5.10)

двух сжимающих аналитических функций {6, 6, ©ДЛ)} (/= 1, 2), не являющихся унитарными константами*, при этом ©^Л) — внутренняя, а ©2 (Л) — внешняя функция.

Замечание. В случае когда dim6 конечна, подобная факторизация невозможна. В самом деле, если функции ©(Л) и ©! (Л) внутренние, то ©(etZ) и ©i(ezz) суть почти всюду изометрии в 6 (см. § 2.3) и в силу конечномерности 6 — унитарные операторы. Отсюда вытекает, что оператор ©2(ezz) = 0(e*z)©1 (е^)”1 унитарен в 6 почти всюду и, следовательно, оператор 02, порождаемый в Я2(®) функцией 02(Л), изометричен. Таким образом, функция 02 (Л) является, одновременно внутренней и внешней, т. е. унитарной константой.

Теорема 5.5 вскрывает существенную разницу, с которой мы встречаемся в изучении факторизаций внутренних функций {®, ®, 0(М) при переходе от конечномерных К к бесконечномерным.

Мы можем доказать теперь следующую теорему.

Теорема 5.6. Всякая сжимающая аналитическая функция {®, ®*> 0(М} кг^е 6 и ^ — сепарабельные гильбертовы пространствах не являющаяся унитарной константой, может быть разложена в произведение двух сжимающих аналитических функций {®, 8, ©iGQ} и {8> ®*> 02(М} (где 8 также сепарабельно), ни одна из которых не является унитарной константой.

Доказательство. В силу § 4.3 функция 0(Л) обладает каноническими факторизациями 0 (Л) = 0Z (Л) 0е (Л) = 0^ (Л) 0^ (X), где 0Z (Л) — внутренняя, 0^ (Л) — внешняя, 0^ (Л) — *-внутренняя, 0*ДХ) — *-внешняя функции. Таким образом, либо 0(Л) обладает внутренним или *-внутренним множителем, отличным от унитарной константы, либо она одновременно *-внешняя и не внутренняя. Во втором случае 0(Л) обладает нетривиальной факторизацией в силу следствия 4.4. Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда 0 (Л) — внутренняя либо *-внутренняя функция. Так как второй случай сводится к первому посредством перехода к 0^(Х) = 0(Х)*, то достаточно доказать теорему для внутренней функции {®, ®*, 0 (Л)}.

В рассматриваемом случае dim 6^ dim 6* ^ Ко (см. п. 2.3). Поэтому можно отождествить ® с некоторым подпространством в ®# иг вложить ®* в некоторое пространство 8 таким образом, чтобы dim (8 Э 6J = К о- Поскольку также и dim(8G®)=K0, то существует такой частично изометрический оператор Z в 8» который 80® отображает изометрически на 80®* и переводит ® в {0}. Положим

0(Л) = 0(М^ + 2, (5.П)

где Р^ — ортопроектор из 8 на 6, Р^ = I — Z*Z.

Тогда для любого f е 8 будем иметь

II0 (е“) f II2 = II © ^U) P^f + Zf IF = || 0 (e^) Pj IF +1| Zf IF =

= I* P^f IF + II zf IF = ((/ - z*z) f, f) + (rzf, f) = II f IF в каждой точке t, где оператор ^elt) изометричен, т. е. почти всюду. Отсюда следует, что {8, 8,©(М) является внутренней аналитической функцией. На основании теоремы 5.5 сущест-

вует факторизация

0(А) = 62(А)б,(А) (АеД),(5.12)

где каждая из сжимающих аналитических функций {5, g, ©ДА)} (& = 1» 2) отлична от унитарной константы.

Поскольку ©(А) отображает S в ®„ то в силу (5.11) 0(А) = = Р@.©(А)|®, где Р@, — ортопроектор из 3 на 6,. Итак, из (5.12) следует равенство

0(А) = 02(А)01(А), -(5.13)

в котором

©ДА) =0^)1®, ^ = РеМ

Таким образом, получено представление функции {6, @„, 0(A)} в виде произведения сжимающих аналитических функций {6, 8, ©1(A)} и {8, ®„ ©2 (А)}- Покажем, что ни одна из этих функций не является унитарной константой.

Заметим сперва, что для любого ge^Qg имеем ||g||> > II01 (0) g II > II02 (0) 0, (0) g II = II0 (0) g К = II Zg II = II g II, откуда II ©ДО) g II = 11 g II- Предположим, что 0ДА) = 01о, где 01O —унитарный оператор из 6 на 3- Для любых f е 6, ge§9® имеем

llfll2 + llgll2 = llf + ^ll2>l|0i(O)(f + g)ll2 = ||©1of + 0i (0)^||2 =

= II ©iof II2 + II0, (0) g IP + 2 Re (Owf, 0, (0) g) =

= llfll2 + UIP + 2Re(©10f, 0ДО)^),

откуда Re (0lof, 0, (0) g) ^ 0. Поскольку это верно и для ef при любом комплексном е, то (0lof, ©i (0) g) = 0. Так как ©ю® = 3, то 0] (0) ^ = 0, || g || = || ©! (0) g || = 0. Следовательно, § © ® = {0}, S = 3 и ©ДА) = 0, (А) = ©ю, в противоречие с тем, что 0, (А) не является унитарной константой. Таким образом, множитель ©ДА) в (5.13) не является унитарной константой.

Перейдем к множителю 02(А) и предположим, что 02(А) = = ©2о, где 02О — унитарный оператор из § на 6,. Так как, с другой стороны 02 (А) = Pq.0 (А) и 02 (А) — сжатие, то 02 (А) = = ё2(А) = 02О. Мы пришли к противоречию, которое показывает, что ©2 (А) не является унитарной константой.

Теорема 5.6 доказана.

Замечание. Существенно, что в факторизации вида (5.13) промежуточное пространство 3 может быть выбрано независимо от ® и ®,. Например, скалярная функция А не имеет нетривиальных разложений на скалярные аналитические множи-

тели, но Х = 02(Х)01 (X), где

JL /2"

1

_ /2 _

(В этом случае 6 = 6, — Е1, % = Е2.)

Сжимающие аналитические функции,обладающие скалярным кратным

Рассмотрим один важный случай, когда изучение операторной функции 0(Z) может быть сведено к изучению скалярной функции..

Введем следующее

Определение. Будем говорить, что сжимающая аналитическая функция {б, б*, 0(Z)} обладает скалярным кратным b^Y где S(Z) — аналитическая скалярная функция ^0, если существует такая сжимающая аналитическая функция {б*, б, Q(A,)}, что

Q (A) 0(A) = 6 (А)/е, 0(Х)О(Х) = 6(Х)/в. (|М<1).(6.1)

Простой класс функций, обладающих скалярным кратным, доставляет следующее

Предложение 6.1. В случае dim6=dim б^ = п<оо всякая сжимающая аналитическая функция {б, б*, 0(Z)}, для которой 0(A)"1 существует хотя бы при одном К^ D, обладает скалярным кратным Ь{Х\ В качестве Ь^ можно взять детерминант d^ матрицы оператора 0(A) {предполагается, что матрица берется относительно ортонормированных базисов в & и 6J. При этом матрица оператора Q (А) является присоединенной к матрице оператора 0(A).

Доказательство. Пусть {е^ и {е^ — ортонормирован- ные базисы в б и б#. Отвечающая этим базисам матрица ФрО = [fy/ (А)]^ /=1 оператора 0(A) определяется равенствами

0(^ = 2 М^и (/=1,2,

Следовательно,

• »цМ = ^^еь е4\

1А Зяк К17

Пусть ftA (А,) = [ftA (Л)] — матрица, присоединенная к ft (X). По построению скалярные функции ftf/(M, ^W, ^ (А,) = det ft (А,) аналитичны и ограничены в D. Матрица ft(X) невырождена хотя бы прц одном значении А, (А, е £)). Следовательно, d^ не обращается тождественно в нуль. Операторная функция {6*, S,Q(X)}, определяемая равенством

также аналитична в D. Из соотношений

^(А)О (А) = О(A) ^^-d(А) /„

(где 1п — единичная матрица n-го порядка) следует, что для 8(A) и й (А) выполняются равенства (6.1) при S(A) = j(A).

Остается доказать, что функция Q (А) является сжимающей. Самосопряженный оператор 8 (А)* 8 (А) имеет ортонормиро- ванную систему собственных векторов fi (%), ..., fnW, отвечающих собственным числам рДА), ..., р„(А). Поскольку 8(A), а с ним и 8(А)*8(А) являются сжатиями, то l^pz(A)^O (z = 1, ..., п). Далее,

| d (А) |2 = d^d (А) = detО(А)* • det»(А) = det [О (А)*О(А)].

Матрица ^ (А)* ■© (А) отвечает оператору 8(А)* 8(А), в орто- нормированном базисе {ez}”. Переходя к ортонормированному базису {fz (А)} с помощью унитарного преобразования U (А), мы не изменим детерминанта матрицы; поэтому

I (А) |2 = Р1 (А) ... р„(А)<р,(А)(/=■!, 2п),

и, следовательно, для любого ее®

пп

W)IMe|Md(A)|2.2|(е, f^A))^ SP/(A)|(e, f,(A)|2 =

= (8 (А)* 8 (А) е, е) = || 8 (А) е ||2.

С другой стороны, из (6.1) при 6(A) = d(A) вытекает, что || й(А)8(А)е || = || d (А) е|| = | z/(A) | • || е ||, так что

||Q(A)8(A)e||<||8(A)e||.(6.2)

Если А таково, что d(A)^0, то оператор 8(A) имеет обратный, определенный всюду в ®,. Следовательно, для такого А неравенство (6.2) дает

||ЩА)еД|<||е,|| для любого е,е®,.(6.3)

Поскольку нули d (X) изолированы, то неравенство (6.3) распространяется по непрерывности на все кед.

Предложение 6.1 доказано.

В последующем при рассмотрении сжимающих аналитических функций {6, 6„ © (X)} мы не делаем предположения о конечномерности 6 и ©,.

Теорема 6.2. Пусть 0(Х) обладает скалярным, кратным 6(Х), и пусть 6Z(X) и ЬДХ) —внутренний и внешний множители t>V-Y

Если функция 0(Х) внутренняя или внешняя, то она обладает скалярным кратным 6Z (X) или be (X) соответственно.

Если функция 6(Х) внутренняя или внешняя, то и 0(Х) соответственно внутренняя или внешняя. ''

Если 0 (%) — внутренняя или внешняя функция, то она двусторонне внутренняя или внешняя.

Доказательство, (а) 1) Пусть 0(X) — внутренняя функция. В силу (6.1) при почти всех t

|Щ(^)еЛ = ||®(е«)Й(е»)^.11 =

=Ч6(^М = 1Ме")Ы1М(6.4)

Пусть {S., б„ £2i(X)} —сжимающая аналитическая функция, определяемая равенством О1(%) = 6е(Х)7е,. Из (6.4) получаем

Q ^“У £2 (е“) = Q] (е“)* &i (^“) почти всюду.

Поскольку функция Qi (X), очевидно, внешняя, то, как следует из предложения 4.1, (б), существует такая внутренняя сжимающая аналитическая функция {6„ 6, £22(Х)}, что

£2 (X) = Q2 (X) Qi (X) = б, (X) Q2 (X) (X е D).

Подставим полученное выражение для Q(X) в (6.1):

6, (X) [Q2 (X) 0 (%) - 5Z (Х^е] = б, (X) [0 (X) Q2 (X) - dz (X) 7eJ = 0.

Так как Se (X) =/= 0, то

.. £22(Х)0(Х) = МХ)7е, © (X) £22 (X) = бг (X) 7е„

т. е. 6Z(X) является скалярным кратным для 0(Х).

Пусть 0(Х) —внешняя функция. В силу (6.1)

£2774®?) = £20Я2(®) = Й0ЯЧ®) =

- дЯЧ®) = 6^4®) = 5Z^2 (®).(6.5)

Пусть £2 (X) = £2г (X) £2е (X) —каноническая факторизация с внутренним множителем {8, 6, £2Z (X)} и внешним множителем {(§„ 8, £2е (X)}.

Имеем

ан2^ = ОДЛф) = й^Н2^ = ^4$) = ^№ (3).

Сравнивая с (6.5), получаем

Q/W) = W®).

Таким образом, каждому иеН2^ отвечает такое цеЯ2(^), что

Q/U = dzv, причем

klHIQ^iH^IHM.

Отсюда следует, что соответствие u->v = Qu взаимно однозначно и, более того, что Q является унитарным отображением Н2^ на Н2^>.

Qt = 6iQ.(6.6)

Очевидно, Q перестановочно с операторами умножения на elt в Н2^ и Н2^\.

Q . еии = еи • Qu.

Применяя лемму 3.2, (г) к Q, получаем, что существует такое унитарное отображение Z пространства ^ на пространство 6, что

<QuH^ = Z-u^ yXeD; иеН2^У

С учетом (6.6) имеем

ЙДХ^ЬДХ^г

и на основании (6.1)

dz (X) № (X) • 0 (X) — б, (X) /@) = О,

6Z (X) (0 (X) • ZQe (X) - бе ^1^ = О.

Поскольку функции, фигурирующие в этих соотношениях, аналитичны и 6Z (X) ^ 0, то

гадху^-ьДхИ®. 0(Х)-гйД^ = ьдхи@. (Кеоу

откуда следует, что 0(Х) имеет скалярное кратное бе(Х).

1) Пусть 6) УД обладает внутренним скалярным кратным б(Х). Из (6.1) вытекает, что почти всюду (относительно /)

II е || = | 6 (е“) | • k II = || Q (е“) 0 ^ е || < II @ W е || < k II

для любого ее®. Отсюда видно, что оператор 0(ez<) изомет- ричен почти всюду, т. е. функция 0(Х) является внутренней.

б (Л). В силу (6.1)б (Л). В силу (6.1)Предположим, что 0(Х) обладает внешним скалярным кратным

б (Л). В силу (6.1)

б (Л). В силу (6.1)

Н2 (® J = д^(С) ="№ЧС) <= 0^4®) с Н2 (® J,

откуда 0Н2(®) = №(®#). Таким образом, функция 0(Z) является внешней.

Это утверждение является непосредственным следствием утверждений (а) и (б) и следующих очевидных фактов: 1) если 0(Х) обладает скалярным кратным 6(Z), то 0~ (Z) обладает скалярным кратным б~ (Z); 2) функция 6~ (Z) является внутренней (внешней) тогда и только тогда, когда 6(Z) внутренняя (внешняя) функция.

Теорема доказана.

Следствие 6.3. Пусть {£п, £п, О (Z)} — матричная сжимающая аналитическая функция и d ^ = det -О- (Z) ^ 0. Для того чтобы •^^ была внутренней или внешней, необходимо и достаточно, чтобы функция d^ была соответственно внутренней или внешней.

Доказательство. В силу предложения 6.1 достаточность следует непосредственно из теоремы 6.2, (б).

Предположим, что функция О (А,) является внутренней или внешней. По теореме 6.2, (а) существует такая (матричная) сжимающая аналитическая функция {£п, Еп, со (А)}, что

со (А,)»(X) = »(X) со (X) = 6 (А,) 1п, (6.7) где б (А,) — скалярная соответственно внутренняя или внешняя функция. Обозначив через d*^ детерминант со (А), получим после перехода в (6.7) к детерминантам

dA^d^WW (X е D).

Таким образом, d$) является делителем в Н°° внутренней (внешней) функции б(Л)л и, следовательно, d (А,) — внутренняя (внешняя) функция.

Пусть {6, 6*, 0(Х)} —сжимающая аналитическая функция и

© (А) = 02 (X) 01 (Л) (X е D), (6.8) где {6, 8, ®i(M) и {3, 6*, 02^)} — также сжимающие аналитические функции. Очевидно, что если 0} (Z) и 02(А,) обладают скалярными кратными 6j (Z) и 62(Z), то 0(Z) обладает скалярным кратным б(Х) = 6j (А)б2(А). Обратное верно не всегда. В самом деле, функция 0(А) = А обладает скалярным кратным ЦК) = к, однако множители 0ДЛ) и 02(Х) из разложения 0(Х), полученного в конце § 5, скалярных кратных не имеют. В то же время справедливо

Предложение 6.4. (а) Если в равенстве (6.8) произведение 0(А,) и один из множителей ©/(А) (/=1, 2) обладают скалярными кратными, то и другой множитель обладает скалярным кратным. В этом случае каждое скалярное кратное функции ©(А,) является скалярным кратным как 0ДЛ), так и 02(AJ.

Если 0(A) обладает скалярным кратным 6(A), то внутренний и внешний множители Qt (А) и 0е (А) в канонической факторизации■

0(а) = ©да)0ДА)

также обладают скалярными кратными; ими будут соответственно внутренний и внешний множители ^ (А) и Ье {К) функции 6(A).

Доказательство, (а) Пусть 6(A) — скалярное кратное функции 0(A), так что имеет место (6.1). Предположим, что ©1(A) также обладает скалярным кратным:

.ПДА) ©ДА) = 6ДА) Zg, ©ДА) ПДА) = б ДА) 7g.(6.9)

' Умножим первое равенство (6.1) слева на ©ДА) и справа на ПДА). Принимая во внимание (6.9), получаем'

б! (А) ©! (A) И (А) 02 (А) = б! (А) б (А) /5 (Хе D\

В силу аналитичности рассматриваемых функций и условия 6j (А) # 0 имеем

©ДА) И (А) ©ДА) = 6 (A) 7g (AeD).

Это равенство и второе из соотношений (6.1) показывают, что ©2 (А) обладает скалярным кратным б (А).

Случай, когда вместо ©ДА) скалярным кратным обладает ©2(A), рассматривается аналогично. Сопоставляя оба эти случая, получаем доказательство утверждения (а).

Предположим, что ©(A) обладает скалярным кратным, так что выполняются условия (6.1). Поскольку функции ©ДА) и 6ДА) являются внешними, то

вД^Н2^ = $Д®№^ =-

= 9ДЙНЧ®) = ^НЧ®) =

= 6©ЛД6) = 60 Л2 (®) =

(последнее равенство следует из того факта, что 6ДА) —внутренняя функция). Таким образом, для всякого иеН2($ существует такое и е № ^, что

©eQ0jW = 6;у.(6.10)

Применяя оператор 0Z слева к обеим частям равенства (6.10) и учитывая (6.1), получаем

60z« = 0z6zy, 0Z (би — 6zy) = 0.

Поскольку функция 0Z (X) является внутренней и, следовательно, оператор 0Z отображает Я2 (8) в Я2(@.) изометрически, то би —6zy = 0, т. е., согласно (6.10), 0et20zu = би. В силу произвольности и е Я2 (8)

0e(X)Q(X)0z(X) = 6(X)/s.0e(X)Q(X)0z(X) = 6(X)/s.(6.Н)(6.Н)

0e(X)Q(X)0z(X) = 6(X)/s.

0e(X)Q(X)0z(X) = 6(X)/s.

(6.Н)

(6.Н)

С другой стороны, из (6.1) вытекает, что

0Z (X) • 0е (X) Q(X) = 0 (X) Q (X) = б (X) /е„ Q М Oz (X) • 0„ (X) = Q (X) 0 (X) = б (X) I®.

Эти соотношения в сочетании с (6.11) показывают, что 0Z(X) и 0#(Х) обладают скалярным кратным б(Х).

Для завершения доказательства следует применить к 0Z(X) и 0е(Х) теорему 6.2, (а).

В случае матричной сжимающей аналитической функции (Я", Еп, ■б(Х)} для функции d (X) = det 6 (X) имеем

d (X) d (X) = detО(X)* det»(X) = det [fl (X)’fl(X)].

Поэтому | d {e1^ | = 1 во всякой точке, где матрица й {е1‘) изо- метрична (и, следовательно, унитарна, поскольку пространство конечномерно).

Этот факт распространяется на все сжимающие аналитические функции, обладающие скалярным кратным.

Предложение 6.5. Пусть {©, ®„ 0 (X)} — сжимающая аналитическая функция, обладающая скалярным кратным б(Х), и пусть а — множество точек ^ = еи единичной окружности С, для которых оператор 0(C) существует и является изометрией {из б в @J. Тогда'

0(C) унитарен почти всюду на а;

I и2а \Ь/ I — ПиЧ! U oLtUVj б2а(Х) = б(Х)/б1а(Х), гдеI и2а \Ь/ I — ПиЧ! U oLtUVj б2а(Х) = б(Х)/б1а(Х), где0(Х) обладает скалярным кратным б2а(Х), для которого 16га (С) I= 1 почти всюду на а; этим скалярным кратным является

I и2а \Ь/ I — ПиЧ! U oLtUVj б2а(Х) = б(Х)/б1а(Х), где

I и2а \Ь/ I — ПиЧ! U oLtUVj б2а(Х) = б(Х)/б1а(Х), где

(X e D\(X e D\61а(Х) = ехрГ^ f^rvlnlS^I^

(X e D\

(X e D\

(См. замечание, сделанное в начале и. 4.4.)

Доказательство. Пусть 0(Х) = 0z(X)0e(X)— каноническая факторизация функции (6, ®„ 0(Х)}. На основании предло-

женин 6.4,(б) множители {®, ^, ©ДА)} и {8, @„ ©ДА)} обладают скалярными кратными. По теореме 6.2, (в) оператор 0г (£) унитарен при почти всех £ е С. Отсюда следует, что ©е (£) = = ®ДС)~1®(С) изометричен почти всюду на а. Поскольку функция 0ДА) является внешней, то

©е(^)6 = 8 почти всюду на С.

Таким образом, оператор 0ДД унитарен почти всюду на а, а следовательно, унитарен и оператор 0 (£) = 0Д£) 0Д£).

Утверждение (1) доказано.

Что касается утверждения (2), то заметим прежде всего, что если функция ЕДА) связана с 0(A) и 6(A) соотношениями (6.1), то для любых фиксированных es6, е.е6,

l(Q(C)e„ e)KI|eJ|||e II почти всюду на С и

|(QK)e„ е)| = |(©(С)ЕД?)е., 0£М1 =.

' =|б(^)|-|(е., 0(C)e)l<|6fe)l-|RJ|||e||

почти всюду на а.

Поскольку | 61а(£) | = |6(g) | почти всюду на а и |61а®|=1 почти всюду на а' = С\а, то

1(Й(СН, ДК1М£)1-ИМ1И1(6.12)

почти всюду на С. Так как функции (ЕДА)е,, е) и 61а(А) аналитичны в D, причем 61а(А) является внешней, то из (6.12) вытекает, что

1(ЩА)е„ e)l<|6la(A)|.|k.||.||e|| (AeD).

(см. Гофман [1], стр. 93). Отсюда следует, что ЕУ(А) = = 6la(A)-1 Q (А) — сжимающая аналитическая функция в D. Деля (6.1) на 61а(А), получаем, что 62a(A) = 6(А)/61а(А) является скалярным кратным для 0(A).

Предложение 6.5 доказано.

Нам понадобится следующая

Лемма 6.6. Пусть G — область комплексной плоскости, со

держащая подмножество вида

(А = ре“: ro^p^Ro, tx<t<t2\

где 0 <r0< 1 <Но^ °0, 0</2 — ^^2л. Пусть 6+ и G_ —части области G, лежащие соответственно вне и внутри единичной окружности С, а ф_(А) и <р+^ — функции со значениями в ба

наховом пространстве X, определенные и аналитические в G_

и 0+ соответственно. Предположим, что пределы

ф (/) = lim Ф_(ге^), ф (/) = Пт ^.VR^h (6.13) г->1—о^->1+0 +

существуют на интервале tx<t<t2 как почти всюду, так и в смысле L1, т. е.

J ||ф_ (relZ) —-ф_ (Z)|JX d/0(г0<г->1-0),

\(6.14)

J || <Р+ №“) - ф+ (О Ц^ dt -> О (/?0 > R -> 1 + 0). tx

Предположим, далее, что

^ОТ = Ф+М(6.15)

почти всюду на интервале tx<t<t2.

При этих условиях функции ф_ (А,) и ф+ (А,) служат аналитическими продолжениями друг друга через дугу а = \elt: tx<t< t<£ окружности С.

Доказательство. Пусть р = ^elt: т^ ^ / ^ т2} — замкнутая дуга, содержащаяся в а и такая, что при 1 = тх и / = т2 пре

делы (6.13) существуют и равны между собой. В силу сделанных предположений р можно считать сколь угодно мало отличающейся от а. Пусть Г —контур О АВ, указанный на рисунке, и пусть 2 — множество, состоящее из контура Г и его внутренности. Обозначим через 2_ и 2+ части множества 2, расположенные соответственно внутри и вне С. Определим в 2\р

функцию F (X), положив

( Ф_ W при % е 2_, f(M= MX , V I Ф+ (М при X е 2+.

Благодаря выбору р эта функция продолжается на точки пересечения Г и С таким образом, что F (X) становится непрерывной на всем контуре Г. Следовательно, интеграл

гг(6.16)

г

г

существует и является аналитической функцией всюду внутри 2. Покажем, что G (А,) = ф_ (Л) внутри 2_ и G (Л) = ф+ (Л) внутри 2+; тогда лемма будет доказана.

С этой целью для фиксированного %0 внутри 2__ выберем . такие г и R, что | Ло I < г < 1 < R < RQ. Дуги рг и р^ разрезают 2 на три части, контуры которых мы обозначим через Гь Г2 и Г3 (см. рисунок). Интеграл (6.16) разлагается в сумму трех интегралов вдоль этих контуров, из которых первый равен ф_(Л0), третий равен нулю, поскольку Ло лежит внутри Г! и вне Г3. Что касается интеграла по Г2, то он стремится к 0 при R — г -> 0. Это очевидно для интегралов по отрезкам, соединяющим концы дуг рг и Рд. С другой стороны, из (6.14) и (6.15) вытекает, что при г —> 1 — 0 и R ->1 + 0

2л J L^z/ —л’ relt-K» ''] ..

*0

/Reltfeu

। мы воспользовались тем, что —т;——- и —Tt—— стремятся

\Reu — Ло ' теи — Ло

к -~ равномерно на (ть т2)). Таким образом, О(Л0) = еи -Ло1.

” Ф- (^о)*

Аналогично доказывается, что G (Ло) = Ф+ (А,о), если Ло лежит

внутри 2+. Лемма доказана. Применим эту лемму к доказательству следующего предло

жения.

Предложение 6.7. Пусть {®, ®*, 0(A)} — внешняя сжимающая аналитическая функция, обладающая скалярным кратным. Предположим, что ®(еи) является изометрическим оператором из 6 в 6* почти в каждой точке elt некоторой дуги а единичной окружности С. Тогда 0(A) продолжается аналитически через дугу а на всю внешность С.

Доказательство. По теореме 6.2, (a) 0(A) обладает внешним скалярным кратным 6(A). С другой стороны, в силу предложения 6.5 оператор 0(ez/) является унитарным при почти всех еи^а, и 0(A) допускает в качестве скалярного кратного также

$2а (М = 6 (М/61а (М = ехр$2а (М = 6 (М/61а (М = ехр(а')(а')4^7-11116(^)1^ еи — Х4^7-11116(^)1^ еи — Х(6.17)(6.17)

$2а (М = 6 (М/61а (М = ехр

$2а (М = 6 (М/61а (М = ехр

(а')

(а')

4^7-11116(^)1^ еи — Х

4^7-11116(^)1^ еи — Х

(6.17)

(6.17)

где а'= С\а. Если Q(X) — функция, отвечающая функциям 0(A) и 62а(А) (см. (6.1)), то

Используя (6.17), получаем, что 0(A)”*1 является аналитической внутри D функцией, ограниченной на любом подмножестве D, находящемся на положительном расстоянии от дуги а'. Отсюда следует, что функция

Ф+(А) = [0(1/А)"Т

определена и аналитична во внешности С и ограничена на каждом подмножестве этой области, лежащем на положительном расстоянии от а'. Пусть с^ — замкнутая дуга, лежащая внутри дуги а, и А —область, ограниченная дугой с^ и некоторой дугой рь имеющей те же концы, что и аь но проходящей вне С. Тогда Ф+ (А) аналитична и ограничена в А. Отобразив конформно А на D, применив обобщенную теорему Фату (см. п. 2.1) к преобразованию функции Ф+(А) и возвратившись затем к исходной функции, мы получим, что Ф+ (А) обладает сильным некасательным пределом Ф^ (еи) почти в каждой точке elt дуги ак

С другой стороны, если г —► 1 — О, то

7@ = 0 ^геиУ 0 (re")*"1 = © ^е1^ Ф+ (7 е“) -> 0 <еиУ Ф+ (е")

в сильном смысле (см. (2.10)) почти всюду на аР Поэтому

/$ = 0 (е“У Ф+ (е“) почти всюду на а,.

Поскольку оператор 0(ezz) унитарен почти всюду на а, то

Ф+(ez/) = 0(ez/) почти всюду на аР(6.18)

Положим

ф_(Х) = @(А) для |А|<1.

Ввиду (6.18) мы можем применить лемму 6.6 к функциям Ф_ (А), Ф+ (А) и к дуге «! (действительно, эти функции ограничены в окрестности «! (внутри и вне С соответственно)). Из сходимости почти всюду на «!

Ф_ ^ -> 0 А Ф+ (Re^ ~> ® (ezz)

fr-> 1—0, /? —> 1 + 0) следует сходимость в среднем типа (6.14).

Таким образом, функции Ф_(А) = 0(А) (|А|<1) и Ф+(А) (|А|>1) являются аналитическим продолжением друг друга через дугу аи Поскольку av — произвольная замкнутая дуга, содержащаяся в а, то предложение 6.7 доказано.

Замечание. Приведенный в, конце § 4 пример функций Qa(A) показывает, что предложение 6.7 перестает быть верным, если не предполагать, что сжимающая аналитическая функция обладает скалярным кратным.

Мы закончим этот параграф следующим предложением.

Предложение 6.8. Сжимающая аналитическая функция {®, 6*, 0(A)} обладает скалярным кратным Ь(^ тогда и только тогда, когда ее чистая часть (®°, 6°, 0° (А)} обладает скалярным кратным 6(A).

Доказательство. Положим б' — ®@6°, ®' = ®»О®»- Тогда Z = 0(A)|S' будет постоянным унитарным оператором (из ®' на®*)- Обозначим через Р° ортопроектор 6 на 6° и через Р*— ортопроектор из 6* на 6*.

* Предположим, что справедливы соотношения

Q (А) 0 (А) = 6 (A) U, 0 (А) О (А) = 6 (А) 7^,(6.19)

где {6,, ®, Q (А)} — сжимающая аналитическая функция. Поскольку 0(А = 0°(А)Р° + 2(7@ — Р^, то второе из соотношений (6.19) дает для произвольного е°е®°

0° (X) P°Q (X) е? - 6 (А) е° = — Z (/@ - Р^ Й (А) е®.

Так как левая часть при любом X входит в 6°, а правая — в б', то обе они равны нулю. В частности, 0°(A)P°Q (А) е® =' = 6(А)е®. С другой стороны, в силу первого соотношения (6.19)

для любого е° е 6° имеем

Р°Й (X) 0° (X) е° = Р°й (X) 0 (X) е° = Р% (Л) е° = 6 (X) е°.

Полагая

Й0(Х) = Р°Й (Х)|®“,

получаем сжимающую аналитическую функцию (®°, 6°, ЙО(Х)}, удовлетворяющую условиям•

Qo(X)0°(X) = 6(X)/@o, 0°(X)Qo(X) = 6(X)/@a^eD). (6.20)

Итак, доказано, что всякое скалярное кратное д(Л) функции 0(A) является скалярным кратным и для 0°(А).

Докажем обратное утверждение. Предположим, что равенства (6.20) выполняются для некоторой сжимающей аналитической функции (б®, 6°, йо(М)- Легко видеть, что функция {®*, 6, й (А)}, определяемая равенством

Qt^^QoWP^ + dt^zX/e.-P"),

является сжимающей аналитической функцией и удовлетворяет соотношениям (6.19).

Теорема доказана.

Теоремы о факторизации для функций,обладающих скалярным кратным

L Для функций, обладающих скалярным кратным, некоторые результаты § 4 могут быть усилены.

Пусть ^(^) — функция, такая, как в п. 4.2, т. е. сильно измеримая функция, значения которой являются самосопряженными операторами в пространстве 6, причем О ^ АГ (/) ^ I (0 ^ t ^ 2л).

Предложение 7.1. (а) Если существует такая сжимающая аналитическая функция {®, g, 0(A)}, обладающая скалярным кратным, что

N ^У^^{еау Q(elt) почти всюду,(7.1)

то

lnm(/)e £!(0, 2л), где т(0 = |^(/)“1\(7.2)

Обратно, если N^ удовлетворяет условию (7.2), то существует такая внешняя сжимающая аналитическая функция {6, 81, ©1 (А)}, обладающая скалярным кратным 6ДА), что

N (Z)2 = ®^е1Г)* ©1 (еп) почти всюду.(7.3)

Функцию 6j (X) можно выбрать так, чтобы она была внешней и чтобы

'161 (е^) \ = пг^ почти всюду.(7.4)

В случае dim 6 < оо условие (7.2) эквивалентно условию

Indet^^leL^O, 2л),(7.5)

где [N (/)] — матрица оператора N (t) по отношению к некоторому базису в б.

Доказательство, (а) Из сделанных предположений вытекает, что существует такая сжимающая аналитическая функция {8, б, Q(A)} и такая скалярная функция 6(A) ^ 0, что

Q (А) 0 (А) = 6 (A) 1^ 0 (A) Q (А) = 6 (А) /5.(7.6)

В силу (7.1) и (7.6)

II h |1 > ПN (/) h || > |10 (У') h || > || Q ^ 0 (ezz) h || = | 6 (ezz) | • 1| h ||

при почти всех t и при любом /ie 6. Поскольку почти всюду 6(etZ)^=0, то N ^ty1 при почти всех / существует как самосопряженный ограниченный оператор в ® и

1 ^ m (/) ^ 16 (a‘z) | почти всюду.(7.7)

Так как In 16(ez<) | е L’ (0, 2л) (см. § III. 1), то имеет место (7.2).

Из 'условия (7.2) следует, что существует скалярная внешняя аналитическая функция 6t (X), удовлетворяющая условию (7.4) (см. § III. 1). Поскольку /и (0^1, то | dj (Л) | ^ 1. Для любого и е L2 (®)

2Л2Л

II Ny II2 = ^ III ^ W V (0 IP ^ > ^ J m (О2 IIV (0II2 dt = оо-

2л.

= ^/|б1(е“)|2.||и(0112^ = ||б1У|р. о’

Рассмотрим, в частности, функции и е № (К). Мы видим, что существует сжатие X из 91 = NH2^ в Н2^, для которого

X (NuWiU («еЯШ

Покажем, что если Хш = 0 при некотором w е 91, то ш = 0. В самом деле, для такого w существует последовательность {«„} в Я2 (6), такая, что

Nun—*w, 6^ = XNun,->Xw = 0

(сходимость в А2(6)). Поэтому

bxNun->bvw, N6vun-> N0 = 0.

Поскольку bxN = Nb1, то 6^ = 0, т. е.

61 (X) о» (Z) = 0(А. е D\

Так как 61 (А,)0, то ш(Х) = 0 (XeD\

Замечая, что X перестановочно- с оператором Ux умножения на еи в Л2 (6), получаем

X f\ Uxn9tc: (^ иХпХ91с: Q UXnH2^ = ^

п>0п^Оп>0

и, следовательно, f) uxngi={$. и>0

Согласно предложению 4.2, существует внешняя сжимающая аналитическая функция (б, 8ь ©j (А,)}, удовлетворяющая условию (7.3). С другой стороны, в силу (7.4) при А е б

^ | -1| А || = ш (0IIА || = 11 ^^"'^ *11 < || ^ (0 А ||

II ™ V/ и почти всюду.

Следовательно, на основании (7.3)

почти всюду. Согласно предложению 4.1, примененному к ©1 (А,) и 6j (Л)/®, существует такая сжимающая аналитическая функция {^Л.ЙЛХ)}, что

^ (А.) 7® = Q1 (A,) ©j (А)(А г DV

Умножая на ©1(A) слева, получаем

[d, (X) /31 - ©, (Л) Й, (А)] ©! (X) = 0 (А е D).

Поскольку функция ©1 (А) является внешней и, следовательно, ©! (А.) ® = 81 (см- предложение 2.4), то

Таким образом, @х (X) обладает скалярным кратным ММ- Утверждение (б) доказано.

Пусть pfe (t) — собственные значения матрицы ^(0, занумерованные в порядке неубывания (А=1, 2, ..., n=dim<£).

Тогда.m(t) = Pi(0. det [М (0] = П Рьkt)\ ^‘//уг откудаТогда.m(t) = Pi(0. det [М (0] = П Рьkt)\ ^‘//уг откудаиибудем иметьбудем иметьNkt)I®Nkt)I®kt е (а)) kt ^ а'))kt е (а)) kt ^ а'))к т kt) mtt kt) = [ !к т kt) mtt kt) = [ !(^(а)), kt е (а')),(^(а)), kt е (а')),(7.8)(7.8)

Тогда.

m(t) = Pi(0. det [М (0] = П Рьkt)\ ^‘//уг откуда

Тогда.

m(t) = Pi(0. det [М (0] = П Рьkt)\ ^‘//уг откуда

и

и

будем иметь

будем иметь

Nkt)

I®

Nkt)

I®

kt е (а)) kt ^ а'))

kt е (а)) kt ^ а'))

к т kt) mtt kt) = [ !

к т kt) mtt kt) = [ !

(^(а)), kt е (а')),

(^(а)), kt е (а')),

(7.8)

(7.8)

п In т kt) < In det [М (0] < In m kt)-

Поэтому если 'одна из функций ln/n(t), lndet[M(/)] принадлежит L1 (0, 2л), то принадлежит и вторая.

Предложение 7.1 доказано.

Если {®, (5,, 0(Х)} — сжимающая аналитическая функция, обладающая скалярным кратным д(Х), то в силу 6.1

0(е(<)-1 = ~тту й кеи) почти всюду.

Поэтому к 0(Х) можно применить предложение 4.3. Мы получим, что для всякого борелева множества ас С существует факторизация

0(X) = 02a(X)0lo(X) kXeD),

обладающаясвойствами (4.27) и (4.28). Для операторных функций

.V (0 = [О (е“) ® (ez,)l2

гдегде6a(X) = exp[^- J -(а)6a(X) = exp[^- J -(а)е“ + Хе“ + Хеи-Хеи-ХXnm^dt ,Xnm^dt ,(7.9)(7.9)

где

где

6a(X) = exp[^- J -(а)

6a(X) = exp[^- J -(а)

е“ + Х

е“ + Х

еи-Х

еи-Х

Xnm^dt ,

Xnm^dt ,

(7.9)

(7.9)

mkt^’lllNktr'l m^n-l^NaktrW

По предложению 7.1, (а) функция lnm(0 входит в L!(0, 2л). Согласно (7.8), отсюда вытекает, что In ma(t) е L1 (0, 2л). Поэтому существует такая внешняя сжимающая аналитическая функция 0а(Х), обладающая скалярным кратным

что Ма (О2 = ©а (eZT ©а (е“) почти всюду (предложение 7.1,(б)). При этом | да (е“) | — та (О для почти всех t е [О, 2л). Поскольку

1 ^ m (0 ^ |б(е‘7) I почти всюду (см. (7.7)), то внешняя функция

61а(Х) = ехр61а(Х) = ехр- (2л J(а)- (2л J(а)pit 4-1'еи — Лpit 4-1'еи — Л(7.10)(7.10)

61а(Х) = ехр

61а(Х) = ехр

- (

2л J

(а)

- (

2л J

(а)

pit 4-1'

еи — Л

pit 4-1'

еи — Л

(7.10)

(7.10)

делится в Н°° на 6а(Х), и | 61а(А)/6а(М I ^ 1 в D. Отсюда следует, что 61а (М также является скалярным кратным функции 0а(Х).

Из (4.27) и (4.27') вытекает, что ®ia (ezT ®ia (2zZ) = Ма W2 почти всюду. Согласно предложению 4.1, (б), 0а(Х) и 01а(Л) равны между собой с точностью до постоянного унитарного левого множителя. Следовательно, 61а(Х) является скалярным кратным также и для функции 01а(Х).

В силу предложения 6.4 02а(М также обладает скалярным кратным, а именно функцией 6(Z). Поскольку 02a(^zz) — изометрический оператор при почти всех еи г а (см. (4.28)), то и частное

М^) = WMM (7.Н)

по предложению 6.5 будет скалярным кратным для функции 02а(М. Таким образом, предложение 4.3 может быть дополнено следующим образом:

Предложение 7.2. Предложение 4.3 применимо ко всякой сжимающей аналитической функции, обладающей .скалярным кратным 6(A); множители 0ia(M и 02a(M также обладают скалярными кратными*, таковыми являются функции 61а(Х) и 62a(A), определяемые равенствами (7.10) и (7.11).

’ § 8. Аналитические ядра

Хотя результаты этого параграфа и не будут использованы в дальнейшем, мы включаем их в книгу, поскольку они тесно связаны с содержанием предыдущих параграфов, в частности §5.

Пусть § — сепарабельное гильбертово пространство. Аналитическим ядром в 5, или, короче, ядром, будем называть всякую заданную на D X D функцию Ж (р, X), значения которой являются линейными операторами в 5, такую, что при любом фиксированном ^0Е^ и любом fe^

(8.1)

Будем говорить, что Ж (р, X) является ядром положительного типа, и писать Ж (р, Z) 5> О, если

(8.2)(8.2)

(8.2)

(8.2)

для всех конечных наборов чисел ^gD и векторов fj^^ (/= 1, 2, ..., п). Запись ^f, "> Жъ или Ж^ -С Ж1г означает, что Ж1-Ж2> О. Ядро

- рА, /s

будем обозначать через 3 (цД).

Предложение 8.1. (а) Пусть ^,^,©^'у —сжимающая аналитическая функция (с сепарабельным 6). Тогда функции

36% (и, Л) = 0 (X) 6 (цГ, Ж % (р, X) = ^^- являются ядрами и

. (б) Для того чтобы ядро Ж (ц, X) было представимо в виде Х@(ц, X), где 0(A) — некоторая сжимающая аналитическая функция, достаточно (а в силу (а) и необходимо), чтобы

О «Х(н, ^(«^(н, А) и (1 ~цА)У(ц, А) >(7.(8.3)

Доказательство. Утверждение о ядре ^© (ц, X) очевидно. Докажем прочие утверждения. Отметим сперва, что функции (от А)

Г (Л) = (!-№/ ИМе$(8.4)

принадлежат Н1^ и

(«ЛЧяМЗ^^Ш ПРИ иеНЧ^.(8.5)

В частности,

^.Г^^^-^ГЧёЛХ.(8.6)

Из (8.5) следует, что элементы вида f^ порождают Н2$\ Пусть L — множество конечных линейных комбинаций

и(Х) = ^f^w (и, различны).

Каждая такая функция и(Х) продолжается с D на всю комплексную плоскость до мероморфной функции и однозначно определяет ллены f^ (своими полюсами и вычетами). Отсюда следует, что каждое отображение R в Н^^), заданное на элементах вида /и и удовлетворяющее условиям

r^-c.r^, /^НГ = С + С,

однозначно продолжается до линейного отображения, определенного на всем линеале L. В частности, формула

^ЛН=4кГШ M.bbeD) (8.7)

устанавливает взаимно однозначное и линейное соответствие X *^-R между ядрами Ж (X, ц) в g и такими линейными операторами R в Н2^\ область определения которых содержит L. В силу соотношений (8.7) и (8.5)

V) f, g)3 = (W (v), Д = (Rf ^ gX (S),(8.8)

откуда следует эквивалентность условий

Ж "> О и R>0, где Ж R.

Взяв R = I, получим из (8.7) Ж = 3, откуда 3 *> О.

Пусть {®, 8, 0(A)} —сжимающая аналитическая функция и 0+— сжатие из Я2 (6) в №^, порождаемое этой функцией: (0+«) (X) = 0 (А) м (X) (« е № (S)). Тогда 0+и является ортогональной проекцией элемента 0*« (еТ2(б)) на № (6); в частности,

оо2л

(e^f-) У') - £J"“е У'У ГУ)

п=0О

оо2л

п=00

= 2^0' №H=—^i7Wf.1 — иеи

/г=0

(0+0*+Г) ^ - —L^ 0 (е^ 0 W f1 — v-e

и, значит,

(©ХГ) (А) = У^ 0 (X) 0 (ц/1(А, ц е D).

Поэтому ядро, отвечающее оператору /? = 0+0+, равно Же^р., ХУ, поскольку R^O, I — R^O, то это ядро удовлетворяет условиям, сформулированным в (а).

Докажем (б). Прежде всего, если V — оператор умножения на X в Н2(^У то

1 (И?) (Л) = г [г (X) - г (0)] = ixp W

и, следовательно,

(у/?/Г)(М = ^(/?Г)(М-

Поэтому если Ж (ц, X) *->R, то

(1 - нА) Ж (и, М R - К/?У.

Итак, из предположений (8.3) относительно X (щ X) вытекает, что O^R^I, R — VRV*^O. На основании предложения 5.1 отсюда следует, что оператор R может быть представлен в виде АА*, где А — линейное отображение (сжатие) сепарабельного пространства %R в Н2^\ такое, что VA = AVR) где VR — односторонний сдвиг в %R. В представлении Фурье пространства %R относительно сдвига VR оператор А отождествляется с оператором 0+, порождаемым сжимающей аналитической функцией {®, 8,0(A)}, где 6 = ^0ИR$R (см. лемму 3.2). Но ядро, ассоциированное с оператором 7? = 0+©+, равно ^©(ц, А). Таким образом, Jife (р,» А,) = <%: (р,. А,), чем и доказано утверждение (б). '

Комментарии

Аналитические операторные функции, а именно резольвенты, всегда играли фундаментальную роль в изучении операторов, особенно в вопросах, связанных со спектрами, функциональным исчислением, спектральными разложениями типа Рисса — Данфорда и т. д.

В последнее время и другие аналитические операторные функции приобрели важное значение в различных областях функционального анализа. Упомянем о теории характеристических функций, построенной Л и в ш и це м [1] — [3], о теории прогнозирования многомерных стационарных случайных процессов (см., например, Винер и Мазани [1], [2], Мазани [1], [2]), об описании инвариантных подпространств односторонних сдвигов кратности >1 (см. Лакс [1], Хал мош [2]) и, наконец, о гармоническом анализе унитарных дилатаций операторов сжатия, анализе, который привел авторов настоящей работы к функциональным моделям сжатий (см. С.-Н. и Ф. [2], [VIII]) и некоторым другим результатам, о которых пойдет речь в следующих главах.

Предложение 2.1 о разложении всякой сжимающей аналитической функции на чистую часть и унитарную константу было анонсировано Штраусом [I]). Оно было независимо получено в С.-Н. и Ф. [IX] и использовано при изучении инвариантных подпространств операторов сжатия.

Распространить понятия внутренней и внешней функций на случай операторных аналитических функций можно различными способами (см., например, Хелсон и Лоуденслагер[2]); определения, приведенные в § 2.2, были предложены авторами в связи с изучением асимптотического поведения степеней сжатий (см. С.-Н. и Ф. [3], [VIII], а также следующую главу).

Леммы 3.1 и 3.2 о представлениях Фурье были сформулированы (в виде одной леммы) в работе С.-Н. и Ф. [IX], см. также [X]. Этими леммами дается, в частности, общий вид сжатий в пространстве Н2 (6), перестановочных с умножением на X. Последний результат с некоторого времени известен в литературе.

Теорема 3.3 об инвариантных подпространствах одностороннего сдвига установлена Бёрлингом [1] для пространств 6 размерности 1, Лаксом [1] для пространств конечной размерности и Халмошем [2] — для общего случая.

Факторизация вида Я (f) = [0(ez<)0(ez<)]l/2 операторной функции N^^O с помощью (операторной) аналитической функции 0(Х) является обобщением представления f (/) = | q (е11) |2 скалярной функции f (/) ^ 0 с помощью аналитической при |Я|<1 функции qtX\ Последнюю проблему впервые рассматривал Сегё [1], искавший обобщение леммы Фейера — Рисса, утверждающей, что q (X) можно взять многочленом от X, если f (/) — тригонометрический многочлен ^0 (см. \Лекции\, п. 53).

Спустя более чем 30 лет Винер [1] обнаружил важность факторизаций такого вида для матричных функций в теории прогнозирования многомерных стационарных случайных процессов *).

Одна из задач этой теории сводится к следующему. Пусть 6 — сепарабельное гильбертово пространство, N(t) — измеримая операторная функция, O^N^^J» Требуется вычислить для каждого f е 6 величину

р (f) = inf -^ J || N (t) [e~"f - и (е")] II2 dt

где и пробегает Я2 (6).

Если Я (О2 обладает факторизацией 0* (е“) © (е“) с внешней сжимающей аналитической функцией {6, 6„ © (Я,)}, то, с учетом

равенства ©Я2 (6) = Н2 (6,),

Р^ = inf ^ J||©(ezz)f-y(ezz<<Z/

где о пробегает множество функций из Я2 (6,), с п (0) = 0, так что рф легко вычисляется:

p(f) = l|6(0)f||.

Можно показать, что в случае, когда N (/) не допускает подобной факторизации, решение задачи дает внешняя функция в1 (X), фигурирующая в предложении 4.2.

Общий признак существования факторизаци вида N (if = = 0 (е“У 0 (еи) был найден Лоуденслагером [1], при помощи разложения Вольда. Применяя метод Лоуденслагера в сочетании с леммами 3.1 и 3.2 о представлениях Фурье, мы и получили результаты § 4 (см. также С.-Н. и Ф. [IX]). Именно сочетанием обоих методов достигается несомненное единство рассуждений § 4. Признак Лоуденслагера для случая N^^I указан в предложении 4.2 (равенство (4.8)). См. также Ду г л а с [2].

Предложение 4.1 в той форме, как оно здесь приведено, установлено С.-Н. и Ф. [IX]. В случае конечномерных 6 и 6, предложение 4.1, (б) имеется также уХелсона и Лоуденслагера [2] и Шмульяна [3].

Канонические и *-канонические факторизации были найдены в С.:Н. и Ф. [3]; при этом существенно использовались канонические триангуляции сжатий (см. § II. 4). Путь, на котором они получены в § 4.3, был намечен в С.-Н. и Ф. [IX].

Предложение 4.3 принадлежит авторам книги; оно устанавливает существование богатого запаса нетривиальных факторизаций' для всякой двусторонне внешней аналитической функции и позволяет избежать в подобных вопросах применения мультипликативных интегралов. По поводу применения этих интегралов к вопросам факторизации аналитических операторных функций см., например, Потапов [1], Бродский и Лившиц [1], Гинзбург[1], [4*], М. С. Бродский [5*], В. М. Бродский [Г], Гохберг и Крейн [3], [6*].

В § 5 воспроизведена заметка С.-Н. и Ф. [XII].

Понятие скалярного кратного, обобщающее в некотором смысле понятие детерминанта, было введено в С.-Н. и Ф. [7]; но только здесь, в § 6, впервые дается подробное изложение вопроса. Результаты этого параграфа будут использованы в гл. VIII. Следствие 6.3 для случая внешних матричных функций совпадает с одним результатом Хеле он а и Лоуденслагера ([2], стр. 204); см. также Хе л с он [1], стр. 125. Эти авторы называют внешней матричную функцию, двусторонне внешнюю в смысле нашего определения. В случае конечномерного 6, предложение 6.7 (об аналитическом продолжении) было получено ранее в С.-Н. и Ф. [IX bis].

Часть предложения 7.1, устанавливающая достаточность условия

Inj^Wls^CO. 2я)

для существования факторизации МУУ=©1еиУ@^еи\ принадлежит Девинацу [1]. Часть (б) предложения 7.1 показывает, что это условие является также необходимым, если 6(Z) обладает скалярным кратным. Предложение 7.1, (б), (в) в случае dim 6 < оо было доказано независимо многими авторами) (см. Винер и Мазани [1], Винер и Акутович [1], Хелсон и ЛоуденСлагер [1]).

Предложение 7.2 является новым. Оно будет использовано в гл. VIII. Это предложение может служить для сравнения факторизаций, получаемых с помощью предложения 4.3, и факторизаций, получаемых с помощью мультипликативных интегралов ).

На протяжении всей главы мы ограничивались изучением лишь ограниченных (а именно, сжимающих) операторных функций N (Д 0(Х) и т. д. Основные леммы § 3 также относятся к ограниченным операторам Q (сжатиям). Это обусловлено природой тех задач, к которым эти результаты будут применяться в следующих главах. Однако часть полученных результатов может быть распространена на неограниченные функции, а именно на такие функции V (/), что V (/) f е L2 (6) для любого / из некоторого плотного в 6 линеала. Мы не будем входить здесь в детали.

Аналитические ядра играют важную роль в результатах де Бранжа и Ров н як а, анонсированных в их заметке [1]. Тот факт, что (1 — ЦХ) 1VI — 6(А)в* (ц)] » О (см. предложение 8.1, (а)), было доказано впервые Ровняком [1]. Другое доказательство имеется у С.-Надя [9]. Предложение 8.1, (б) неявно содержится у де Бранжа и Ровняка [1].

В связи с настоящей главой см. также Дуглас [1].

ГЛАВА VI

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ

Характеристические функции

Пусть Г —сжатие в гильбертовом пространстве §. Напомним определения дефектных операторов и дефектных пространств, связанных с оператором Т:

, DT = (/ - ГТУ, DT* = (/ - ГГ),^т — Dt%> ®г* = Dt*%.

Обозначим через Лг множество комплексных чисел X, для которых оператор / — XT* обратим в узком смысле!). Для таких X положим

’ 0r(M = [-7’ + №(/-XF)-1Z)rj|$)r.(1.1)

Из хорошо известных свойств резольвент (см [Лекции], п. 147) вытекает, что Лг — открытое множество, содержащее круг В = {Я: | Я | < 1}, и функция 0Г(Я) аналитична на Лг. В силу равенства ТВт = Вт*Т (см.- (1.3.4)) значения функции 0Г(Я) являются (ограниченными) операторами из ©г в 3)г*. В силу этого же равенства

0г (Я) DT = Вт* [- Т + Я U - МТ1 U ~ Т*Т^ =

= Вт* V - ЯГ)-1 [- (7 - ЯГ) Г + Я (7 - ГТ)], т. е.

©г(Я)7)т = Пг‘(7-ЯГГ1(Я7-П(ЯеЛг).(1.2)

Заменяя Т на Г, получаем аналогично

^.МВ^ВтУ-рТГЧуЛ-Г)(цеЛг).(1.2*)

Если Я е Ат, Я-1 е Ат*, т. е. и Я и Я-1 принадлежат Ат, то, как следует из (1.2) и (1.2*),

©г (X) ©г* (Л 9 Dt* = Dt*» ©г* (^ 9 ©г (А») Dt = От^

е.'

0г.(Г1) = 0т(ХГ1 (х/Ге^Х(1.3)

Этими соотношениями мы воспользуемся позднее.

Положим для X, р е Лг •

А (X, р) = I - ГТ - Dr6T (р)’ 0г (X) DT.

На основании (1.2)

А (X, р) = I - ГТ - (р/ - Г) (I - рту1 (/ - ТГ) (I - XT*)-' (X/ - г).

Заметим, что при любом Л е Лг

(/ - XF)-’ (X/ - Т) = - Т + X (I - ХГ)-' U - ГТ), (XI -T)(I- XT*)-' = -Т + Х(1- ТГ) (I - XT*)-'

(для доказательства следует лишь умножить эти равенства на I — XT* соответственно слева и справа). Из последних соотношений и из равенства (Z — ГТ*) Т = Т (Z — ГТ) вытекает, что

(/ _ ТГ) (I - ХГ)-1 (X/ - Т) = (X/ -T)(I- XT*)-' (I - ГТ).

Следовательно,

А (X, р) = [/ —(р/ - Г’) (/ - р?У' (XI -Т)(1- ХГ)~Ч (I - ГТ) = = [(/ - XT*) (I - рП - (р/ - Г) (XI - П] (I - iiT)"1 (I - XT*Г1 (I - Т*Т) = = (1 - Хр) (/ - ГТ) (I - р?У ’ (/ - хт*)-' (I - ГТ).

Тогда при произвольном йе $

II DTh IP - (0Г (X) DTh, 0r (p) DTh) = (A(X, p) h, h) = = (1 - Xp) ((/ - XT*)-' D^h, (I - pF)-1 D^, и, следовательно, при f = DTh и X, реЛг (rf)-(®r(Mf,©r(H)f)=.

= (1 - Xp) ((/ - XT”)-’ DTf, (/ - pF)"1 DTf). (1.4)

По соображениям непрерывности (1.4) остается справедливым для любого fe®r = £)r§. Полагая р = Х, получаем

|| f IP -1| 0т (X) f IP = (1 -1X P) || (/ - XT*)-' DT1P. (1.5)

Из (1.5) непосредственно следует неравенство ||f|p-||0r(X)f|P>O(^e^T,XeD).

При X = 0 (1.5) принимает вид

||fll2-H®r(0)flP = ||Drf|p,

Заметим, что из условия DT^ = 0 вытекает, что элемент f ортогонален каждому элементу вида DTh (h е $), т. е. f±$>r. Если f е $>г, то это возможно лишь в случае f = 0. Таким образом, ||er(O)f IKIlf II при feDr, f#=0.

Итак, доказано, что функция 0Г (X) (X е D) является чистой сжимающей аналитической функцией (см. § V. 2).

Определение. Чистую сжимающую аналитическую функцию {®г, $)г«, ©у (X)}(Я, е D)

будем называть характеристической функцией сжатия Т.

В силу (1.1)

(X s Z)),(X s Z)),0r (X) = - Т + 2 КпОт*Тп"хОт ^Т

(X s Z)),

(X s Z)),

I n=lJ

где ряд сходится по норме, •

Если заменить Т на 7”, то подпространства ©г и ®г* поменяются ролями; из (1.1) вытекает, что

В частности,В частности,(1.6)(1.6')(1.6)(1.6')0г* (X)= 0г W* (X s Аг*).

В частности,

В частности,

(1.6)

(1.6')

(1.6)

(1.6')

0г» (X) = ©т (X) (X ^ D\

Если ЛеСАр(Л, то ^ = Х 1 е Аг, и, следовательно, можно применить (1.3). Используя также (1.6), получаем

0г (X) 1 = 0г*(^ !) = 0г* W — 0г (М ,

т. е. оператор 0Г(Х) унитарен.

Следовательно, если а — дуга окружности С, принадлежащая резольвентному. множеству оператора Т, то функция 0Г (X) аналитична на а, и ее значения при X е а являются унитарными операторами (из ^т на ®г*).

Рассмотрим два унитарно эквивалентных сжатия Тх (в ^J и Т2 (в §2): Г2 = оТ1о“1, где о —унитарное отображение ^t на§2* Согласно введенным выше определениям,

®т = т® , ® * = т»® * 0 (X) = т*0 (Л) т”1, где т и т» —сужения о на ®г и ®г* соответственно.

Используя понятие совпадения, введенное в п. V. 2.4, мы можем сказать, что характеристические функции унитарно эквивалентных сжатий совпадают.

Обратное предложение во всей общности неверно. В самом деле, если % = §0® ^1 *~ разложение пространства §, отвечающее унитарной части Го и вполне неунитарной части 7\ сжатия Г, то

-D=O®D_ D* = O®D»)^* = ^т%

Ц 1тх т тх т тх

и, следовательно, ©т (М = 0т, (М, т. е. сжатие Т и его вполне неунитарная часть Тх имеют одну и ту же характеристическую функцию.

В дальнейшем (§ 3) мы покажем, что для вполне неунитарных сжатий приведенное утверждение допускает полное обращение.

Пусть Т — сжатие. Тогда оператор

Т^-аПи-аТГ (И<1)

также является сжатием (см. п. 1.4.4). Характеристические функции операторов Т и Та связаны следующим образом:

!®V ^ V^l СОвПадйеТ ° {®Г ®Г’> ^Т (tS)}- <L7>

В самом деле, с помощью элементарных вычислений получаем

I - fQTa = S* ^1 — ff) S, I - Tafa = S (l - if) S*, где

8 = ^~\а\2>)Ч1~аТГх.,

Откуда

||М!-|°гЧ' IVMDr-s‘"l (L8)

для любого ие§. Поскольку S и S* отображают $ на себя, то из соотношений (1.8) вытекает существование такого унитарного отображения Z пространства 3)та на ®г и такого унитарного отображения Z* пространства ©г» на ©г«, что

D = DS, ZD* = D*S*.(1.9)

Та Т* Та т

Применяя формулы (1.2) и (1.9), находим

Z^ra (%) Z~xDt = Z^ra (X) DtS”' =

= ZDT* (I - ХГу' (X/ - Га) S-1 =

= Dt*S* U - ^ТаГ' (KI - ra) s-1 =

'= Dt* (/ - ary1 (/ - ХГ*)"1 (XI - Та) (I - aT) =

= Dr (I-^TTX(^I-T),

где

„=Л±Н_И 1+аЛ*

Таким образом,

Z£t>V~VDt = M^Dt.

Поскольку Z-1 и вг(Х) определены только на ®г, отсюда следует (1.7).

Пусть Ф = ф Фа — ортогональная сумма гильбертовых а

пространств §а, и пусть Т — ®Та, где Та является сжатиема

в фа при любом а. Очевидно, что

D=®DT> 5* = ®^*, £ =®©©♦ = ©©•

' а 'а 1 а 'а ' а 'а 1 а 'а

и, следовательно,.

6г(М = ®вг„М №eD).а а

Поскольку всякое сжатие есть ортогональная сумма сжатий в сепарабельных гильбертовых пространствах1), достаточно изучить характеристические функции сжатий лишь в таких пространствах. В дальнейшем мы будем предполагать, что все рассматриваемые гильбертовы пространства сепарабельны. В частности, дефектные пространства ®т и Dr* также сепарабельны. Поэтому результаты, полученные в гл. V для сжимающих аналитических функций, могут быть применены к характеристическим функциям. Так, предел в смысле сильной сходимости операторов

er(ez/) = lim0r(^)

(Х->еи некасательно) существует почти в каждой точке еи единичной окружности (см. § V. 2). Кроме того, для любого фиксированного feDr имеем в смысле сходимости в 1?$)т*)

lim 0Г (rez<)f = 0r (e“)f = — ?7 + 2 einlDr*T*n~lDTf (1.10) г-» 1-0n»l

(см. § V.l и V.2).

J) Для того чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что для сжатия Т, действующего в гильбертовом пространстве ©, существует сепарабельное приводящее подпространство 5Р Легко видеть, что в качестве 51 можно взять замыкание множества векторов вида р (T,T*)fi, где ^ — фиксированный ненулевой вектор, а р (Т,Т*) пробегает множество всех многочленов от Г и Г* с комплексными коэффициентами. — Прим, ред.

Функциональные модели.

Случай заданного сжатия

Мы определили характеристическую функцию сжатия Т в гильбертовом пространстве § формулой (1.1), никак не мотивировав это определение. Здесь мы покажем, что оно совершенно естественно возникает в рамках теории унитарных дилатаций.

Поскольку пространство -% по предположению сепарабельно, то сепарабельно и пространство Я, в котором действует минимальная унитарная дилатация U оператора Г. Пусть Я+ —пространство минимальной изометрической дилатации U+ оператора Т. Мы будем всегда рассматривать $+ как подпространство пространства К и U+ — как сужение U на Я+.

В силу теоремы II. 2.1 пространства Я и Я+ допускают разложения

Я = М(8.)е^, Я+ = М+(8.)®т = ^еМ+(8),(2.1)

где -

и й,=у-ип^(2.2)

— подпространства Я+, блуждающие относительно U+ (и 77), a SR приводит U и U+ к их остаточной части R, являющейся унитарным оператором. Подпространство М (8J приводит 77, следовательно, ортопроектор Р8* пространства Я на М (8,) перестановочен с U, и в силу той же теоремы

Р8*М+ (8) с М+ (8J.

Таким образом, к двусторонним сдвигам, индуцируемым в М (8) и М (8,) оператором U, и к сжатию Q = Р8» | М (8) из М (8) в М (8,) применима лемма V. 3.1. Поэтому существует такая сжимающая аналитическая функция (8, 8„ @8 (А)}, что

ф8.р8^ = 0$ф8^ при /еЛ1(8),(2.3)

где Ф8 и Ф8» — представления Фурье пространств М (8) и М (8,) (т. е. определенные в п. V. 3.1 отображения этих пространств на функциональные пространства L2 (8) и L2(8J соответственно).

Поскольку dim8 = i>r, dim 8. = dim 8* = Ьг*, то оба подпространства 8 и 8, сводятся к {0} лишь в том случае, если оператор Т унитарен. Этот случай мы исключим.

Кроме того, сделаем дополнительное предположение, что оператор Т вполне неунитарен в % ^ (0)). Тогда (см. предложение II. 1.4)

(2.4)(2.4)М (8) V М (8.) = Я,

(2.4)

(2.4)

К = А2(8.)фДй12(8).К = А2(8.)фДй12(8).(2.8)(2.8)

К = А2(8.)фДй12(8).

К = А2(8.)фДй12(8).

(2.8)

(2.8)

откуда

(/— Р*) Л1 (8) = 91(2.5)

(см. теорему II. 2.1).

Положим

As(0 = [/8-®«(e“)*®v(e")]2

для тех I, для которых @8 (е“) существует, т. е. почти для всех t. При фиксированном t оператор Ks(t) является самосопряженным в 8, и О ^ As (0^7. Как функция от / As (/) сильно измерима и порождает по формуле

(А$о) (0 = As (0 о (0 (ye A2 (8))

самосопряженный оператор As в L2(8), также ограниченный числами 0 и 1.

При f е М (8) имеем

1(/-Л#-11И-|р,41!=-

MoW^WMW-IWfll2-

2л

.= ^ j IИ (O8f) (0 В - II 0е (е“) (ф8^ (0 ij dt -

'*о

2л

-^J 1мо(ф^)К.лЧ^ф'Л!. '

э

Поскольку U перестановочно с р"* и Фаи = е^Ф8 (см. (V. 3.2)), то из (2.6) вытекает, что

ф^и (/ - Р8*) f = фл (Z - Р^ Uf = А8Ф8 Uf =

= As • е<(Ф^ = еи • AsФ8f = е“ • Фя (/ - P8‘)f

при f е М (8). Ввиду непрерывности рассматриваемых операторовФ$Ug = еа • Фд^ при всех ge№.

Поскольку, с другой стороны, Ф'*ИИ = еи • Ф8‘Л при he М (8J, то

.Фи = ПФ,(2.9)

где U — унитарный оператор в К, определяемый формулой

и(у.фу) = е“у.(0Фепо(0 (у.е А2(8.), у еА8/2(8)). (2.10)

Согласно нашему соглашению об отождествлении пространств типа Л+($) с соответствующими пространствами Я2 (91) аналитических функций и^ (Хе D\ первое из разложений (2.1) пространства К+ показывает, что Ф отображает Я+ на пространство•

К+ = Я2(2афА5£2(8).(2.11)

Оператор Я + при этом переходит в оператор U+ в К+, определяемый формулой

U+(^®v) = ^(^)®ez/o(0 (^еЯ2(2Э, оеА^Ж (2.12)

Сопряженный к U^ оператор переходит в оператор U+, сопряженный к U +:

^(«.©oW^U'VMO)]©^^^^ (О-(2.13)

Найдем образ пространства % при отображении Ф. Поскольку Ф = Я+@Л1+(8) (см. (2.1)), то Ф§ = К+©ФМ+(8). При ge М+(8)

ф^=ф [р8-5 + (/ - р6*) d - ф-р1^ ©Ф^и- р"*) g=

= 0уФ8^ ф А8Ф8£, откуда

ФМ+ (8) = {©sw ф Asu: и е № (8)}.

Итак, Ф^> = Н, где

Н = [Я2(8.)фAsL2(8)]9{08МфД8«: ие№^\(2.14)

Сжатие Т связано со своей изометрической дилатацией U+ равенством Т =(/+]$ (см. (1.4.2)). Отсюда следует, что преобразование оператора Т с помощью Ф, которое мы обозначим через Т, связано c.U+ соотношением

(2.15)(2.15)т*-и*+|н.

(2.15)

(2.15)

Изучим подробнее сжимающую аналитическую функцию (8, 8„ 0g (А)}. Применим лемму V. 3.2, положив в ней

fR+ = М+ (8), U+ = U1И+, 8l'+ = М+ (8.), 91 = 8,

9(' = 8., [/'+ = [/|9t'+, Q = P®*|9i+.•-

Мы получим, прежде всего, что функция 0^(Л) чиста. В самом деле, обозначая через Р^ ортопроектор на 8*, имеем IIPt*P**lII< 11111 Для любого Ze 8, 1=^0. В противном случае существовал бы такой элемент Ze 8, Z ^ 0, что Z = Р^^*1 и, значит, ZeSt, а. это противоречит доказанному в § II. 2 соотношению 8 В 8* = {0}.

В силу той же леммы (пункт (б)) функция 0$(Л) будет внутренней тогда и только тогда, когда оператор Р8*|м+(В) является изометрией. Поскольку Р8* есть ортопроектор на M(8J, то это условие означает, что М + (8) cz М (8J или же (поскольку М (8J приводит [/) что М (8) cz М (8J. Согласно (2.4), это эквивалентно равенству М (8J = Я, т. е. тому, что Р" -> О при п —> оо (см. теорему II. 1.2). Итак, функция 0s(Z) является внутренней в том и только в том случае, если Т еС.о.

Мы доказали следующее

Предложение 2.1. Пусть Т — вполне неунитарное сжатие в пространстве %\ U — его минимальная унитарная дилатация, действующая в пространстве Я; й и й* — блуждающие относительно U подпространства, определяемые равенствами (2.2). Тогда существует чистая сжимающая аналитическая функция {8, 8*, 0^U)}> удовлетворяющая условиям (2.3). Эта функция порождает по формуле (2.7) унитарное отображение Ф, называемое представлением Фурье, пространства Я на функциональное пространство

1

К = L2 (8.) © Да/.2 (8), где Д8 (0 = [/ - 08 (е'Т 08 (е“)]2.

При этом представлении. оператор U представляется оператором U умножения на еи в функциональном пространстве К, подпространство Я+ представляется подпространством

^-нч^^ьч^

в К. Наконец, пространство % и заданное сжатие Т представляются подпространством Н в К и оператором Т в Н, определяемыми формулами

н = \№(8 JеAgL2(8)]О{©^е^и: ие№(8)} и

1Чи^^ = е-и [иАеа]-щ ^©е-^х)^(^®ие Н).

Если функция 0g (X) внутренняя, то Ag(/) = O почти всюду, и формулы для К, Н и Т упрощаются*.

¥1 = ЬЧ^,¥1-НЧ^^Н^ ^Ти^-^К^иД^.е Н).

Этот случай имеет место тогда и только тогда, когда Т е С.о.

Наша ближайшая цель — установить связь между только что построенной функцией 0g (М и характеристической функцией 0Г (X) оператора 7, определенной в предыдущем параграфе.

Предложение 2.2. Функция 0g(Л) из предложения^Л совпадает с" характеристической функцией 0Г (Л) оператора Т.

Доказательство. Заметим сначала, что существует унитарное отображение ср пространства 8 на ^т и унитарное отображение ф* пространства 8* на ©г*, удовлетворяющие соотношениям

^^и-ПЬ^ОтН, ^AI-UT^h-D^h Vh^^Y (2.16)

Для (р это было доказано в § II. 1 (см. (II. 1.6)), для ф+ доказательство аналогично. Покажем, что

ФА (М ф"1 = ©г (М(^ ® DY(2.17)

Тем самым будет доказано совпадение 0g (X) и 0Г(Л) в соответствии с определением п. V. 2.4.

Для этого рассмотрим степенной ряд для 0g (X):

08(X)=SX"0„ (XeD).

n=*0

Имеем 2л .

(0„/, LX - ^ f е'1п1ЫеИ)1, o$<dt = ^l, ЛЧкчз.) 0

при / e 8, /, e 8.. В силу соотношения (2.3), определяющего 08 (X), имеем 0дФ8/ = Фа*Р®*1. С другой стороны, е‘л<Ф8*/. = = ф8*ип1. на основании (V. 3.2). Из унитарности оператора Ф*

следует, что

Ш, ХХ=№, ип0г

Поскольку

'Р%иХ = UnPX - U"l..

(М l,Xt = W, IX (I е 8, I. е 8.; п = 0, 1, ...).

Итак, обозначая ортопроектор из Я на 8. через Р»„, имеем ^ = Р8.и*п\й (п = 0,1, ...).(2.18)

Покажем, что для всякого элемента /е 8 вида l = (U — Т) h (й е §) справедливо равенство 0П/ = /„, где

10 = -Ц-иГ№ 1п-Ц-иПЬт hn = Tn-4l-mh (п>1\

Элементы Zn(n^0) принадлежат, очевидно, 8„ так что на основании (2.18) все сводится к установлению того, что

1Гп1-1п 18.Цг>0\(2.19)

При п = 0 (2.19) проверяется непосредственно, поскольку l-lQ=U Ц-ГТ^Нг U^ и Z/£ll/8* = 8,.

При п*> 1 (2.19) вытекает из того факта, что для всякого й'е§

<U*nl-ln, Ц-иПН'^ = '

= ^и*п-Х ~ U*nT^ h — Ц — и Г) hn, Ц -UH h') =

= ((U*rt-1 - UMT) К - (/ - UH hn, й') -

-((I/*"- U*n+1T)h — (U* —Г) й„, Гй') =

= ((у"-1 _ т*пТ^ h — Ц — ТП hn, й') -

- ((Гп - rn+if) h-Ц*- Т*) й„, T*h^ =

= ((/ - ТП Т*п-Х Ц - Т*П h, h') - ((Z - ГП hn, й') = 0.

Сравнивая с (2.16), получаем

( — Dt*T А = —

<Р.0пф-1Ргй = ф,0„/ = ф./„ = (

v ит*п,п = Dt*T

Поскольку множество элементов вида

В Фу» то

ф.0пф ’=

t Dt*1 Dt i

•TDTh (и = 0), ’n"xDTDTh ^n>\\ DTh Цг г ^ плотно (n = 0), (n>l).

Отсюда следует равенство (2.17) (см. определение (1.1) функции 0Г (X)).

Предыдущие результаты позволяют строить для вполне неунитарных сжатий функциональные модели с явным участием характеристических функций.

В самом деле, в силу (2.17) 0Г (X)*0r(X) = ф08(Х)‘08 (Х)ф-1. Следовательно, полагая

’ дг(О = [/-0г(^Г0г(^)Ё

имеем■

.фА8(0ф"' = Аг(0.(2.20)

Поэтому унитарные операторы

ф: й->©г, ф,: й,-* ©г»

порождают по формуле

, ф: м(ег<)фу (/)-* Ф,и (ег<) ф фУ (0'

унитарное отображение пространства Я2(2,)фД8Л2(2) на пространство Я2 (©г*) Ф Аг-А2 (©г). При этом ф перестановочно с умножением на elt и

ф {08и ф Asm: иг Н2 (2)} = {ф.0«м ф фД8м: иг Н2 (2)} =1

= {0гфм ф Дгфм: иг Н2 (2)} = {0гш ф Дгда: ^гН2 (©г)}.

Таким образом, нами доказана

Теорема 2.3. Всякое вполне неунитарное сжатие Т в сепарабельном гильбертовом пространстве % унитарно эквивалентно оператору Т в функциональном пространстве

Н = VH2(©у)фДг£2(©г)]е{®Т«®М; иг Н2(©г)}, определяемому равенством

Т*(ифу) = е~‘<[м(ег0 — м^Яфе-^у (f)(ифу е Н).

В случае, когда Т г С.о, и только в этом случае функция 0Г (X) является внутренней, и наша модель упрощается, принимая вид

Н = Я2(©у)е0гЯ2(©г), Т‘м(Х) = ^-[м(Х)-м(0)] (меН).

Меняя ролями Т и Г*, получаем двойственную теорему.

Теорема 2.3*. При тех же условиях на Т, что и в теореме 2.3, оператор Т унитарно эквивалентен оператору Т' в функ-

циональном пространстве

W = VH2 (®г) © MW)] © {©т*и ф Аг*м: ие№ (® г*)}, определяемому формулой,

Г (и ф о) = е~и [и (е^) - и (0)] ф е^о (0(и ф о е Н').

В случае, когда Т е Со., и только в этом случае функция 0г* (X) является внутренней, и наша модель упрощается, принимая вид

Н' = И2 (®г) © ©г*#2 ^r\ Ти (X) = р [и (М - « (0)](и е Н').

Функциональные модели. Случай заданной

‘ сжимающей аналитической функции

Результаты предыдущего параграфа делают естественной постановку следующего вопроса: всякая ли сжимающая аналитическая функция {6, 6*, 0(Х)} порождает с помощью аналогичных построений вполне неунитарные сжатия Т и Т'? Поскольку Т и Т' меняются ролями при переходе к функции {6*, 6, 0* (Л)}, достаточно рассмотреть этот вопрос для Т.

Пусть дана сжимающая аналитическая функция {6, б*, 0(Х)}, где’

.0(х)=5г©„.

о Положим

K=A2OW). К+ = Я2(6.)©аГШ(<=К), (3.1)

О = (0дафАда: дае№(®)}(сК+),(3.2)

где А (/) = [7® — 0 (ен)* 0 (е“)]2. Очевидно, G —линеал в К+. Более того, G замкнуто и, следовательно, является подпространством в К+. В самом деле, из соотношения

,2л

И 0У It’ (®j + IIАу It’ te) = ^ J (Iе W 0 (^ + A ^y (0- V (0)® dt -

0

. 2л' ’

- 2^ / (y (0. y (0)® ^ = II y It’(®)(y e L2 (6))

0

вытекает, что отображение

Q: v->0v©Ao (yeL2(®))(3.3)

является изометрией из L2^ в К. Поскольку G совпадает с йН2^), то G замкнуто.

Пусть, наконец,

Н = К+е о.(3.4)

Обозначим через U оператор умножения на elt в К. Очевидно, U — унитарный оператор в К. Подпространство К+ инвариантно относительно U. Положим U+ = U|K+. Подпространство G инвариантно относительно U+ и, следовательно, Н инвариантно относительно U+. Легко показать, что

и’+(н®о) = еч,[«(е|',)-«(0)]®е"“о(/)(ифу е К+).

Поскольку U+— изометрия, то U*+— сжатие в К+; следовательно, оператор Т, определяемый равенством

Т=и‘+|Н,(3.5)

является сжатием в Н.

-Обозначим через Р ортопроектор из К на Н, через Р+ — ортопроектор из К+ на Н. Таким образом, Р+ = Р|К+. В силу (3.5)

Т*"=и*"|н,(3.6)

и при h, h' е Н

(Гй, h% = (й, Г"й')н = (й, и*"й')к+ =

= (UU,A')k+ = (P+UU, h'X, откуда

T"=P+U"|H = PUn|H (п>0),(3.7)

и, значит, U есть унитарная дилатация сжатия Т.

Покажем, что сжатие Т в Н вполне неунитарно.

Допустим, что существует такой элемент ?/фуеН, для которого

|| Т" (ифу) || = || пфу || (п>1),

||Т*"(и® у)Ц = || ифу || («>0-

Будучи элементом пространства № (6J, и обладает разложением

u (X) = S Хкак (ак <= (S„ Su ак Jj2< оо).о\. о/

Из соотношения

h*"(«®o)ir = |S e'^’^JI +Иу1^(®) =

II»-"к2(@.)

+(^~) (3.8)

и из условия (б) следует, что и = 0. С другой стороны, ввиду (3.7) условие (а) означает, что U+(zz®tO входит в Н (п^1). Таким образом, элемент 0®eintx)^ ортогонален к G, Т. е.

2л

0 = (0 © etntu, Qw ® Асу) = -^ J ет (у (/), А (О w (е1п^ )g dtо

для любого weH2^. В частности, полагая w = e‘mff (f еб; т^О), получаем

/ е1 ^-^*(А(0у (0, f^dt = OЬм>0).

о

Следовательно, (A (0 и (/), f)@ = 0 почти всюду. Поскольку 6 сепарабельно, то А (0 о (0 = 0 почти всюду и, значит, Аи = 0, v ± AL2(6). Так как, с другой стороны, ugAL2(6), то о = 0.

Итак, из (а) и (б) следует, что мфи = 0, значит, оператор Т вполне неунитарен.

Будем считать, начиная с этого места, что рассматриваемая аналитическая сжимающая функция 0(Л) чиста, т. е.

II © (0)f II < II f II для любого f е (S, f 0.(3.9)

Покажем, что при этом условии характеристическая функция сжатия Т совпадает с 0(Л).

Для этого докажем, прежде всего, что U является минимальной унитарной дилатацией Т, т. е. что

К = уигеН.(3.10)

Из определения пространств К и К+ немедленно вытекает, о

чт0 К = V UnK+. Поэтому для установления (3.10) достаточно

показать, что

К+ = VU + H = VUnH.(3.11)

оо

Предположим, что и® и есть элемент из К+, ортогональный к и"Н при м = 0, 1, ..., т. е. что и*”(нфсО принадлежит G ПрИ д = 0, 1, ... . Таким образом,

и^ф^-Огу^фАсуМ (zy^e//2(@); n = 0, 1, ...).

Рекуррентное соотношение

U ^ (0ш(п) ф Асу w) = ©w^n+!) ф Асу("+^(м ^ 0)

дает

е-» [вау<"> - (0a><">) (0)]фе~“ Aw<«) = ©а/^+ОфДау^+и (га > 0).

Следовательно,

0®(") = 0(О)а,(">(О), A®W = 0(п>0),

где

(X) =(X) - Хф("+» (X) е № (@).(3.12)

При условии Ао(п) = 0 имеем [А (Z)]2 ®<"> (elt) = 0,®(п) (ez<) =

= 0 (ег<)* 0 (e,z) ®(rt) (ez<) почти всюду и, значит,

юм (е«) = © ^“У © (0) Ww (0) = 2 e-lkt^ow№ (0).

Поскольку <в(п) е № (6), то последнее равенство возможно только в том случае, если

Ю№(Х) = 0о0от<п)(О)(3.13)

для всякого X, в частности для Х = 0. В силу (3.12) ®(п)(0) = = ww (0). Поэтому

w* (0) = ©;0OO)W (0), II w^ (0) II < II 90wW (0) II.

Поскольку сжимающая аналитическая функция 0(Х) чиста, то iy(") (0) = 0, т. е. ввиду (3.13) ®(п)(Х)^0. Из (3.12) вытекает поэтому, что iv(n)(X) = Xtiv('1+1)(X). Это равенство справедливо при всех п^О, откуда следует, что

ty(0)(X) = X"w("'(X)(п>0),

т. е. w№ (Х)/Х" е № (6) при всех п^0. Это возможно лишь в том случае, когда w(0) (X) s 0, откуда

ифа = 0да® фАда® = 0.

Тем самым доказано (3.11), а значит, и (3.10). Следовательно, унитарная дилатация U оператора Т является минимальной.

Наш следующий этап — найти L, = (I — UT*) Н, где I — тождественный оператор в К.

Очевидно, что при «фоеН

(I - UT) (и ф и) = [и - (и - и (0))] ф [о - и] = и (0) ф0, (3.14)

где и^ рассматривается как постоянная функция из L2(®J. Возьмем, в частности,

й (X) = (/ — 0 (X) 0о) g, и (/) - - А (0 0og,

где ge6,. Очевидно, ифу^К. Покажем, что и® и входит даже в Н. В самом деле, для произвольного ше№(6)

'(м ф у, 0ш ф Асу) = -^- ((0 (<?“)* м (е“) + А (0 у (0> ^ (e“)h dt = 0, Jto

о

поскольку

0 й + А о = 6* g — 0*00*^ = A20*g- = (0* — ©о) g = 2 e~int6ng ± Н2 (6).

1

В силу (3.14)

* (I - U f) ^®^ = (l- 0о0о) g ® о.(3.15)

Покажем, что элементы вида (l^ — ©о©о^ kg ^ ®J образуют плотное в ®* множество. В противном случае существовал бы такой элемент g' е @„ g' =# 0, что

(7@.-0а0о)/ = О, '(3.16)

так что ||0o/||<llgf' II = || 0о0о^'|| • в СИЛУ (3-9) Т0ГДа ^g'”0. т. е. ввиду (3.16) g' = 0 — противоречие.

Сопоставляя этот результат с (3.14) и (3.15), получаем

■и = ®.ф{0}(3.17)

(отождествляя, как обычно, постоянные функции из A2(6J с их значениями). Отсюда вытекает, что

M(LJ = L2(®t)©{0}.(3.17')

Другими словами, если обозначить через PL* ортопроектор из К на М (LJ, то при ифу г К имеем

PL* (ифу) = иф0, ‘

фь.рь, (м ф у) = фь* (« ф 0) = ф®.и ф 0 = и ф 0.(3,18)

Условие, что элемент ифу из К+ входит в Н, записывается подробно так:

(ифу, 0w®Aty)K+ =

2л

=i I [(“ А 0 ^ w <е“»@.+<у W>д (#) ^ ^ ^ldt = °’ о

или же

2л

^-J (0(e“)*«(e") + A(Ov(O, w(e“))8^ = 0 о

для произвольного ауе/72(®). Иначе говоря, это условие означает, что функция 0*м + Ау (принадлежащая, очевидно, 7,2(6У) ортогональна к Н2^, т. е. обладает разложением Фурье вида

0(е“)*и(е“) + A(7)У^ = e-»fi + ... + e-intfn + ..., (3.19) где

fne@, 2ШР<оо.i

Используя это замечание, вычислим в явном виде оператор Т. В силу (3.7)

Т(ифУ) = Ри(ыфУ) = Р(е"ыфе“У) (цфУе Н), т. е.

Т(«фУ) = (е'<ифе‘<У) — (©ауфАау), где функция w е Н2 (6) определяется условием (ezz«®ezzy) —(©ауфАш) ± ©ау'фАау' для любого w'eH2^, или же равносильным условием_

0* [e,zu — ©ay] + A [ezzy — Асу] = еи [©’и + ДУ] — w ± Н2 (6)(3.20)

(в Т2(®)). Из (3.20) на основании (3.19) вытекает, что а> = ^. Таким образом, оператор Т имеет вид

Т (« ф У) = (е“ и (е^ - 0 (еи) ft) ф (е'^ (t) - А (7) f,),(3.21)

где и ф У е Н и

f 1 = ^ / еи (0 (ezz)‘ и <е“) + А (0 У (7)) dt. (3.22) Поэтому

(U - Т) {и © и) = 0 (e") f! © А (/) f!(3.23)

при «© v е Н.

Если «фу пробегает Н, то соответствующие элементы fj пробегают множество 6Ь плотное в 6. Чтобы доказать это, заметим прежде всего, что в силу (3.9) множество элементов вида

f^-W^(ge@, 00 = 0(0))

плотно в б. Полагая

и ф У = е~и [0 (е“) — 0О] g ф е~и А (7) g, получаем

© W и (е^ + А (7) У (7) = ё-и [О (e,z)* © (е“) - ^еиХ 0О + А (021 g = = е-и [7-0 (ezz)' 0О1 g = е-и (7 - 0g0o) g - e-2zz0*0og - ... .

Отсюда с очевидностью следует (см. (3.19)), что и® и принадлежит Н, а соответствующий элемент ft равен исходному элементу f.

Вспомним теперь об изометрическом отображении Q пространства L2(S) в К (см. (3.3)). Пусть со— сужение Q на подпространство 6, образованное постоянными функциями из L2(S). Таким образом,

со: f-^QfeAf (fe@).(3.24)

В силу (3.23), (3.24) и того факта, что (^ плотно в 6, имеем

L = (U-T)H = (Ж®А^7Г^®Г} = А = (Д = со 6, откуда

L = (0f®Af: fe®Y(3.25)

Таким образом, со является унитарным отображением @ на L.

С другой стороны, из (3.17) следует, что

®.:(f.eg.)(3.26)

есть унитарное отображение ®, на L.. Полагая

бМ^о.еМю-(хеп),(3.27)

мы получаем сжимающую аналитическую функцию (L, L„ 0 (Л)}, совпадающую с функцией {@, @„ 0 (А)}. Покажем, что она удовлетворяет соотношению

фь.рч = еФЧ (ZeM(L)).(3.28)

Рассмотрим случай

Z=U"Zn, ln = toL, (f„ е 6; и = 0, ± 1, ...).

Согласно (3.18),

PL*Z = UnPL»ln = U” (0f„ © 0), откуда

[фири/] (т) = (е<пте ^ fn ® 0) =

= ®,0 (eiT) einT fn = со,0 (е,т) ®-IefnT®fn =

= 0 (е‘т) [фьU"cofrtJ (т) = 0 (е'т) [Фь/] (т) почти всюду.

Тем самым (3.28) доказано в случае Z е U”L. Отсюда непосредственно вытекает и общий случай.

Сравнивая (3.28) с (2.3), получаем на основании предложения 2.2, что характеристическая функция оператора Т совпадает с 0(A) и, следовательно, с первоначальной функцией 0(A).

Итак, доказана '

Теорема 3.1. Для всякой сжимающей аналитической функции {®, ®*, 0(Х)} оператор Т в функциональном гильбертовом пространстве

н=чя2(®аед1Ч®)]е[в^еА^ w^m^Y (3.29) определяемый формулой

Г <щ ф v) = е~и [и# (е^) - щ (0)] ф е^и (/) (щ © v е Н),(3.30)

является вполне неунитарным сжатием в Н (здесь А (0 = «[7-0(^‘6ИУ).

Если сжимающая аналитическая функция {6, ®„ 0(Х)} чиста, то она совпадает с характеристической функцией оператора Т. Если в этом случае вложить Н естественным образом в пространства К = £2(®J©AL2(®) и К+ = Я2(®ЭфАЛ2(®), то операторы

М^и*^^ = euu^eltx) <щ®и^К) и U+ = U|K^ будут соответственно минимальной унитарной и минимальной изометрической дилатациями оператора Т.

Дополним эту теорему в нескольких пунктах. ,

Предложение 3.2. (а) Для того чтобы пространство Н, определяемое равенством (3.29), не сводилось к {0}, необходимо и достаточно, чтобы функция 0(Х) не была унитарной константой !).

Характеристическая функция вполне неунитарного сжатия J в Н, определяемого равенством (3.30), совпадает с чистой частью {®°, ®°, 0° (X)} исходной функции {®, ®„ 0 (X)} ^см. предложение V. 2.1).

Доказательство. Если 0(Х) = 0О, где 0О — унитарное отображение ® на ®#, то А (/) = О и, следовательно,

Н = № (® J © 0ОЯ2 (®) = № (® J © № (0О®) = {0}.

Если 0(Х) не является унитарной константой, то в предположении, что (б) верно, имеем.

dim $)т = dim ®°, dim 2)т* = dim 6£,

где dim®0 и dim®0 не равны нулю одновременно, ибо 0(Х) имеет нетривиальную чистую часть. Поскольку ®т и ®т« суть подпространства в Н, то dimH>0.

Таким образом, нам остается доказать (б). Обозначим через А0(/) функцию, аналогичную функции А(0, но построенную по 0°(Х), а не по 0(Х). Из разложения ® = ®'ф®° очевидным образом получаются разложения L2 (®) = L2 (®') ф Т2 (®°) и Я2(6) = Я2(®')фЯ2(6°). Так как 0' (X) — унитарная константа, то А(0о(/) = 0фА0(0о0(0 для любой функции о = Уфц°е sZ?(®). Следовательно,

{0фФАф: теЯ2(®)} =

-{©'ф'фООфОфАОф0: w'eH2^, w° е Н2 (®0)}.

Учитывая равенство ^Н2 (®') = Н2 (в'®') = Н2 (®')( получаем (0ф ф Аф : w г Н2 (®)} = Я2 (®') ф {0°ф° ф А°ф°: ф° е Я2 (®0)}.

Отсюда следует, что если ы.фое Н, то ы, ± Я2(®2) и, 'следовательно, и, sH2(6°y Поэтому пространство Н отождествляется естественным образом с пространством

Н° = [Я2(®2)Ф A°L2(®°)] © {0°ф°Ф А°ф°: ф° е Я2 (®0)}, а оператор Т —с оператором Т°, определяемым в Н° формулой - Т°* («2ф о°) = е"» [«J (е“) - «2 (0)] фе~ио ^(£ ф t>° е Н°).

Поскольку функция (®°, ®2,0°(Х)} чиста, то по теореме 3.1 характеристическая функция оператора Т°, или, что то же самое, оператора Т, совпадает с (®°, ®2> 0°(Х)).

Предложение 3.2 доказано..

Предложение 3.3. Совпадающие сжимающие аналитические функции {®, ®„ 6 (X)} и (®', ®2> 0' (X)} порождают (в смысле теоремы 3.1) унитарно эквивалентные сжатия Т и Т'.

Действительно, если

т: ®->®' и т,: ®*->@;

—такие унитарные отображения, что О'(Х)=т,0(Х)т-1 (Хе Я), тот: и (е1^ ф и (0 -> %,и (р1Г) ф ти (О

есть унитарное отображение пространства Н на Н', для которого Т' — iTt-1. Поэтому доказательство проводится точно так же, как в частном случае, рассмотренном в п. 2.3.

Применяя этот результат, в частности, к характеристическим функциям и вспоминая сказанное в п. 1.2, мы видим, что имеет место следующая

Теорема 3.4. Два вполне неунитарных сжатия унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда их характеристические функции совпадают.

Как мы знаем (см. теорему 2.3), вполне неунитарное сжатие Т принадлежит классу С.о в том и только том случае, когда его характеристическая функция является внутренней. Теоремы 2.3 и 3.1 позволяют дополнить это утверждение следующим образом.

Предложение 3.5. Пусть Т — вполне неунитарное сжатие. Для того чтобы

(а) Т s C.q, (б) Т ее C.j, (в) Т е Cq., (г) Т е Ср, необходимо и достаточно, чтобы его характеристическая функция была соответственно

(а) внутренней, (б) внешней, (в) ^-внутренней, (г) ^-внешней.

(По поводу определений см. § II. 4 и п. V. 2.3.)

Доказательство. Случаи (в) и (г) приводятся к случаям (а) и (б) заменой Т на Т, если учесть второе из равенств (1.6). Случай (а) содержится в теореме 2.3. Нам остается рассмотреть случай (б). Поскольку класс Си (как и другие рассматриваемые классы) содержит вместе с каждым оператором и все ему унитарно эквивалентные, а свойство сжимающей аналитической функции быть внешней (либо внутренней) сохраняется при переходе к совпадающим с ней функциям, то достаточно рассмотреть функциональную модель для Т.

Итак, пусть Т — сжатие, порожденное (в смысле теоремы 3.1) чистой сжимающей аналитической функцией {S, 6*, 0(A)}. Согласно (3.8),

Нт ||Г"(ифу)|| = || v || при ифуеН.

П->оо

Отсюда видно, что Т входит в С.ь в том и только том случае, когда «фОеН влечет и = 0. Но условие «фОеН означает, что иД_0Н2^, поэтому и = 0 тогда и только тогда, когда 0 является внешней функцией.

" 8. В нашей функциональной модели минимальные изометрические дилатации записываются в явном виде. Это обстоятельство позволяет записать в явном виде также и коммутанты (с помощью теоремы II. 2.3). Для простоты будем рас-

сматривать лишь сжатия класса С.о, т. е. будем считать функцию 0(Л) внутренней.

Итак, пусть {6, ®», 0 (Л)} —чистая внутренняя сжимающая функция и Т — сжатие в пространстве

H = /72(6J90//2(6),(3.31)

определяемое равенством

(Гн) (Л) = у [и (Л)-и (0)1 (иеН).(3.32)

По теореме 3.1 оператор U+, определенный на K+ = //2(6J равенством (U+w)(Z) = Лн(Л), является минимальной изометрической дилатацией оператора Т. Пусть Н', Т' и т. п. аналогичным образом отвечают функции {(§', б', 0' (Л)) и т. п.

Поскольку U+ и U + — односторонние сдвиги с порождающими подпространствами 6* и 6* соответственно, то по лемме V. 3.2 каждый ограниченный оператор Y из Я2(®9 в Н2^\ для которого U+Y = YU+, может быть представлен в виде

(Yu) (Л) = У (Л) и (А)(и е Я2 ^),

где (б', б„ У (А)} — некоторая ограниченная аналитическая функция, причем !)

-Ш1оо = ПЦ.

Сочетая этот факт с теоремой II. 2.3, получаем следующий результат.

Теорема 3.6. Каждый ограниченный оператор X из Н' в Н, удовлетворяющий условию

ТХ = ХГ,(3.33)

может быть представлен в виде

Хи = РД¥и^ (меН'),(3.34)

где Р + — ортопроектор из Н2 (6J на Н, {($', ^ У (Л)} — ограниченная аналитическая функция, такая, что

(3.35) и

II У Ноо = II XII.(3.36)

9 Для любой ограниченной аналитической функции {51, 91», А (Л)}ML = supjMWl.

Обратно, каждая ограниченная аналитическая функция {©', ®*> У (А,)}, удовлетворяющая условию (3.35), порождает по формуле (3.34) некоторое решение X уравнения (3.33); при этом HXiKimL.

Заметим, что (3.35) выполняется, если 0 (X) — скалярная функция, т. е. ®Л = ®* = £1. Если обе функции 0 (X) и ©'(Л) ска- лярны, то такова же и У (Л), т. е. Y^H°°. В этом случае правая часть равенства (3.34) совпадает с Y (Т) (см. гл. III, в частности, теорему III. 2.1, (ж)). Полученный результат, очевидно, инвариантен относительно перехода к унитарно эквивалентным операторам, так что имеет место

Следствие 3.7. Пусть Т — сжатие класса Соо и Ьг = Ьг* = 1. Тогда каждый ограниченный оператор X, перестановочный с Т, является функцией от Т*. Х = у(Т), где у^Н°°. Функцию у можно выбрать так, чтобы || у Ц^ = || X ||.

Из многочисленных применений теоремы 3.6 упомянем лишь следующее

Предложение 3.8. Пусть Т определено равенствами (3.31) и (3.32), а ^ — функция класса Н°°. Для того чтобы оператор ф(Т) был обратим в узком смысле, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая ограниченная аналитическая функция ®*> У (М), что для любого ueH2 (6)

Y9u е ©Я2 (6), и - ф Yu е ©Я2 (6).

Провести детальное доказательство предлагается читателю в качестве упражнения. Мы заметим лишь, что оператор, обратный к ф(Т), и функция Y^ связаны соотношением

<р(Т)~'и = Р+(Ум) («еН).

Характеристическая функция и спектр

Обозначим через о (Г) спектр оператора Т, т. е. множество таких комплексных чисел Л, что XI — Т не имеет обратного в узком смысле (т. е. всюду определенного и ограниченного). Пусть ор (Т) — точечный спектр Т, т. е. множество собственных значений Т. Следующая теорема устанавливает связь между спектрами о (Г) и вр^Г) вполне неунитарного сжатия, с одной стороны, и характеристической функцией {Dr, ^т*» ^г (М) — с другой. Как и ранее, через С обозначается единичная окружность, через D — ее внутренность.

Теорема 4.1. Спектр о(Т) вполне неунитарного сжатия Т совпадает с множеством ST, состоящим из тех точек K^D,

в которых &тМ ке имеет обратного в узком смысле, и из дополнения в С объединения открытых дуг окружности С, на которых 0г(М аналитична и унитарна.

Точечный спектр ор(Т) совпадает с множеством Sr точек XeD, где 0Г(Х) не имеет обратного (даже) в широком смысле.

Доказательство. Собственные значения вполне неунитарного оператора не могут лежать на С. Поэтому, если а е еор(Т), то aeD. Полагая Та = (Т — al)(l — аТ)~1, получаем, что Oeop(Tj. Следовательно при некотором f^O имеем Та^ = = 0, т. е. (/ — Т*аТ^ f = f. Отсюда следует, что f е ^т^ и, со-

гласно (1.1),

®ro(0)f=-Taf = 0.

Поскольку ©га(0) отличается от ©г (а) только унитарным множителем (см. п. 1.3), то ©r(ti)g = 0 при некотором g^O, т. е. а е Sr. Итак, ар(Т)с5т. Обратное включение получается обращением приведенных выше рассуждений. Таким образом,

ОрСП — Зт.

Перейдем к спектру. Покажем прежде всего, что точка О принадлежит а(Т) тогда и только тогда, когда она принадлежит ST. Этот факт будет тогда справедлив и для любой точки ое D (что можно установить, заменив, как и выше, Т на Та). Тем самым будет доказано равенство

o(mD = STRD. (4.1)

На основании (I. 3.6) Г5)Г с ®г*. Покажем, что Т изометрически отображает Ф^^т на ^©^г’- В самом деле, условия )еф©®г, DTf = O и || f 11 = || Tf ||, очевидно, эквивалентны между собой, так же как условия ge^Q^i*, Dr«g = 0, 11 g II = II Fg ||. В силу (1.3.4) Drt = 0 влечет Dt*T! = 0, a Drg = = 0 влечет DrT*g = 0. Отсюда следует, что Z = T\^QT)t является унитарным отображением ^^^т на ^©Dr*. С другой стороны, из определения (1.1) характеристической функции вытекает, что Т |®г = — 0Г (0) Таким образом, Т является прямой суммой оператора — 0Г (0) и унитарного оператора. Для того чтобы Т обладал обратным в узком смысле, необходимо и достаточно, чтобы 0Г (0) обладал тем же свойством. Эти»; доказано наше утверждение для точки 0, а следовательно, и равенство (4.1).

Предположим теперь, что а —дуга окружности С, принадлежащая резольвентному множеству оператора Т. Ее отражение а* относительно вещественной оси содержится в ре-

зольвентном множестве оператора Т\ откуда следует, что X (I — XT*)""1 == (у I — Т*) существует (в узком смысле) и является аналитической функцией от X в некоторой области, содержащей дугу а. Используя формулу (1.1), получаем, что 0r (X) обладает аналитическим продолжением на ту же область. Кроме того, согласно (1.5), || f II2 - II ©г (X) f II2-> О при X, стремящемся к точкам дуги а. Таким образом, оператор 0Г (X) изо- метричен при Хеа. Заменяя в этих рассуждениях о на а* и Т на Г*, получаем,_ что оператор 0Г«(Х) изометричен при Хеа*. Поскольку 0г* (X) = [0Т (X)]*, то при X е а оператор 0Г (X) унитарен. Таким образом,

о(Т)ЛСо5гПС.(4.2)

- В силу (4.1) и (4.2) нам остается лишь доказать, что если о — дуга окружности С, на которой 0Г (X) аналитична и унитарна, то а содержится в резольвентном множестве оператора Т. Докажем это для функциональной модели.

Пусть Т — вполне неунитарное сжатие, порожденное, в смысле теоремы 3.1, такой чистой сжимающей аналитической функцией {®, ®„ 0(Х)}, что 0(Х) аналитична и унитарна на дуге а. Докажем сначала лемму.

Лемма. Для всякого элемента и® у, принадлежащего

Н = \№ (б.) ф AL2 (6)] 0 [©^ Ф Аф : ф е Я2 (6)}, функция и (е № (б,)) аналитична на а.

Доказательство. На основании (3.19) условие ифие е Н означает, что функция

ЦП = ^енУи1еи) + Ь^М^ (е£2(б))(4.3)

допускает представление

1т = е-»1х + е-2»и+ .... где SllM2<oo. (4.4)

Из последнего неравенства вытекает, что функция

ф(Х) = Xf, + x2f2 + ...

принадлежит Я2 (б) и, значит (см. § V.1),

<р (re-z<)->Ф(е~“) = f (0 почти всюду(4.5)

при г —> 1 — О (сходимость в б) и

J||<p(re-z,)-f(/)||2d^0.■(4.6)

о

1Q Чяк 617

С другой стороны, поскольку и (к) е Н2 (6J, то по тем же причинам

и krelt^ -> и (ej почти всюду(4.7)

(сходимость в 6J и

2л

/ ||«(rew)-«(e“)^^->0.(4.8)

О

Заметим также, что в силу унитарности оператора 0(е1<) при elt еа из (4.3) вытекает, что

0 (ее<) f (/) = ы (e‘z) почти всюду на а.(4.9)

Пусть G — та область, где 0(A) аналитична, GzdDUq, и пусть G+ — часть области G, расположенная вне С, G_ = D. Положим

ф_ (А) = и (А) при AeG_ и

Ф+ (А) = 0(А)ф(1/А) при Ае G+.

В силу соотношений (4.5) — (4.9) к этим функциям и к дуге о применима лемма V. 6.6. Из этой леммы следует, что ф_ (А) и ф+ (А) являются аналитическими продолжениями друг друга через дугу а. Это означает, в частности, что и (А) аналитична на а, что и требовалось доказать.

Пользуясь этой леммой, завершим доказательство теоремы 4.1.

Заметим, что если u(e")$o(t)e Н, то при фиксированном veD справедливо включение mv$oveH, где

/v V у

Кроме того,

(I - vT) (uv® uv) = a ® v (I = /н).(4.10)

Все это проверяется непосредственным вычислением с учетом определений Н и Т (теорема 3.1) и характеризации (3.19) элементов из Н.

Пусть v стремится к точке е дуги а. Поскольку функция и^ аналитична в точке е по лемме, а, с другой стороны, и (0 = 0 почти всюду на интервале значений I, отвечающем дуге а (ибо Д(0 = 0 почти всюду на этом интервале и уеДЛ2 (6)), то mv® uv сходится в №^)®MJ2^ к некоторому принадлежащему Н пределу, который мы обозначим через цеф\. В силу (4.10)

(1 - еТ) (и& ф и6) = ифа.(4.10')

Оператор Т*, будучи вполне неунитарным, не имеет собственных значений на С. Поэтому I—еТ обладает обратным, по крайней мере в широком смысле. Но поскольку, согласно (4.10'), этот обратный оператор определен всюду в Н, он ограничен. Поэтому оператор (I —еТ)-1, а с ним и оператор (el —Т)-1 существуют в узком смысле. Этим доказано, что всякая точка дуги а принадлежит резольвентному множеству оператора Т.

Теорема 4.1 доказана.

В качестве непосредственного применения теоремы 4.1 приведем пример, демонстрирующий возможности функциональных моделей для получения сжатий с наперед заданными свойствами. •

Как было доказано в предложении II. 3.5, (в), всякое сжатие Т класса Сн квазиподобно некоторому унитарному --оператору U. В предложении II. 5.1 было установлено, что квазиподобие сохраняет в некотором смысле семейство ультраинва- риантных подпространств. Тем не менее квазиподобие, вообще говоря, не сохраняет спектра. Именно покажем, что существует сжатие Т е Сп, спектр которого совпадает со всем замкнутым единичным кругом D.

В самом деле, пусть А — самосопряженный ограниченный оператор в гильбертовом пространстве @, такой, что || А || < 1. Предположим, кроме того, что точка 0 входит в спектр А, но не является собственным значением А. Постоянная функция(6, 6, Л} является чистой сжимающей аналитической функцией. Пусть Т — порождаемое ею (в смысле теоремы 3.1) вполне неунитарное сжатие. Поскольку Д-1 не существует в узком_смысле, то по теореме 4.1 о(Г)=э£) и, следовательно, а(Г) = £) в силу замкнутости а (Г).

Покажем, что Т s Си. Согласно предложению 3.5, достаточно показать, что функция {6, 6, Д} является внешней, т. е. что АН2^ плотно в /72(®). Если и^Н2^ ортогонально к АН2 ((5), то Аи (X) = 0 при всех ^ е Д. Поскольку 0 не является собственным значением А, то и^гО, и = 0. Тем самым доказано, что АН2^) плотно в Н2^. Таким образом, ГеС.,.

Так как сжимающая аналитическая функция {6, 6, Д} совпадает с ассоциированной с ней функцией (и даже тождественна ей), то Т е С1е. Следовательно, Т ^Сн.

Теорема 4.1 наводит на мысль о целесообразности изучения связей между резольвентой оператора Т и функцией 0Г(Л)“1 в случае, когда спектр а (Г) не покрывает единичного круга.

Пусть X ® D \ о (Г), Л ^ 0. Тогда X г Ат» X""1 е Ат* (см. § 1), так что (см. (1.3)) 0г(Х)”’1“0г*(Л~1)- Заменив в (1.5) Т и X

на Г* и X ’, получим при f е ®г«

II f II2-II ©г to"1 fINl f 112-11®г» (x-I)f 1Г= (1 -I х r2)-l(/-v,T)",M f и, следовательно,

Вт (ХГ1 f F = II f II2 + (1 -1 XI2). II (XI - тг1 DH Р.(4.11)

Полагая’

Х = (1 -|Хр)2 (XI-T)-1 DT*\^r*,(4.12)

получим оператор X из ^г в £>.

Равенство (4.11) может быть тогда записано в виде

II Вт (XT1 f II2 = 11/Р + II xf II2а^ад.

Следовательно, ||0г(Х)-‘Р= 1+11XII2.(4.13)

Для любого ограниченного отображения S одного пространства в другое справедливы соотношения || S |р = || S" ||2 = || S*S ||= = || SS* ||'). Поэтому

1+||Х|р=1+||ХХ*|| = ||/ + ХХ*||.(4.14)

Согласно (4.12),

I + XX* = I + (1 -1 X I2) (X/ - Т)-1 (/ - ТГ) (XI - ттх =

= (X/ - Г)-1 (I - XT) (I - ХГ) (XI - Т”)-1 = УГ, где_

Y = (XI — Т)-1 (I — XT).(4.15)

Таким образом,

|| / + XX* || = || УУ* || = || У |р.(4.16)

Поскольку

У = Х/ + (1-|Хр)(Х/-7Т‘,

||У||<1+2(1-|Х|)||(Х/-Т)-Ч.(4.17)

С другой стороны,

II (XI - Т)-' II = IY (I - ХТ)-г I < II YII. Ц (I - XD-'IK|| YII. (I - |Х | г1.

.(4.18)

Соотношения (4.13) — (4.18) показывают, что имеет место следующее

*) I S*S || = sup (S*Sx, х)Ц х р - sup I Sx p/l x р -1S |». kXX

Предложение 4.2. Если Х^ D\oi(r\ то

||®г (^)-1ll = l(XZ — Г)-1 (Z — ХТ)|| и

(1 -IXDlKV-Tr'Kiler (ХП1< 1+2(1 -IX |)||(V-rr‘||.

Пусть Хо —изолированная точка спектра о (Г), лежащая в D, и X стремится к Хо, оставаясь.в D\a(T). Из полученных выше неравенств вытекает, что если при некотором натуральном р одно из чисел

lim sup I (X - Х0)р (X/ - Т)-1J, lim sup || (X - Х0)р 0r (X)-11|

конечно, то конечно и второе. Поэтому если точка Хое D является полюсом одной из функций (V —Г)-1, ©г(Х)1, то °на является полюсом того же порядка и для другой.

Рассмотрим теперь вполне неунитарное сжатие Г', характеристическая функция которого обладает скалярным кратным. Другими словами, существует такая сжимающая аналитическая функция {®г*, Ът, ЩМ}> что

Q (X) 0Г (X) = 6 (X) Ьг ©г (М Q (М = б (X) ЬГ* (б (X) ^ 0).

Имеем-

в каждой точке ХеО, где б(Х)^О. Таким образом, ©г(^)“1 является мероморфной функцией в D, причем порядок каждого ее полюса не превосходит порядка этой точки как нуля б(^).

На основании теоремы 4.1 и только что сделанного замечания о полюсах можно высказать следующее

Предложение 4.3. Если характеристическая функция вполне неунитарного сжатия Т обладает скалярным кратным, то функция ^Х1 — Тух мероморфна в D.1")

Предположим дополнительно, что Т е Сц. Тогда функция вт^ является внешней и в качестве ее скалярного кратного б(Х) может быть выбрана также внешняя функция. Поэтому б(Х) ^ 0 и 0Г(Х)""1 существует (в узком смысле) при любом X^D. Следовательно, спектр а (Г) лежит на единичной окружности С. Пусть а — такая дуга окружности С, что оператор

9 Очевидно, что это предложение верно и без предположения о полной неунитарности оператора Т. — Прим. ред.

вт (еи) изометричен при почти всех elt е а. В силу предложения V. 6.7 0Г (А) аналитически продолжается через дугу а на всю внешность С. Из предложения V. 6.5 вытекает, что при этом оператор 0Г (ezz) будет унитарным при elt s а. По теореме 4.1 дуга а принадлежит резольвентному множеству р(Г). В итоге получаем

Предложение 4.4. Если характеристическая функция вполне неунитарного сжатия Т г С.х обладает скалярным кратным, то спектр а (Г) совпадает с дополнением в С объединения открытых дуг, на которых операторная функция 0Г (ezz) изометрична почти всюду.

' § 5. Характеристическая функция и минимальная функция

В § III. 4 мы ввели класс Со вполне неунитарных сжатий Т в гильбертовом пространстве ^, для которых б(Г) = О для некоторой функции б(А)е Н°°, б(А)й 0 (д(А) зависит от Г). Было доказано, что Со с: СОо, т. е. что если Т е Со, то Тп->0, Т*п-> о (сильно). Целью настоящего параграфа является изучение класса Со при помощи характеристических функций. В частности, мы получим одно достаточное условие принадлежности оператора Т к классу Со и для Т, удовлетворяющих этому условию, выразим минимальную функцию через характеристическую функцию.

Теорема 5.1. Пусть Т — сжатие класса С^. Для того чтобы Т принадлежало классу Со, необходимо и достаточно, чтобы функция 0Г(А) обладала скалярным кратным б (А). Точнее, аналитическая в D скалярная функция 6(A) ^ 0, | б (А) |^ I удовлетворяет условию Ъ(Т) = О в том и только в том случае, когда б (А) является скалярным кратным функции 0Г (А).

Доказательство. Будем вместо Т рассматривать его модель Т, построенную с помощью сжимающей аналитической функции {6, ®#, 0(A)}, совпадающей с 0Г (А) (см. теорему 2.3). Поскольку Т е Соо, то 0(A) является двусторонне внутренней, и модель приобретает такой простой вид:

н = я2 («и е ©я2 (®). тх W=I I», W - и. (0)].

Предположим, что функция 0(A) обладает скалярным кратным б (А), т. е. что существует такая сжимающая аналитическая функция {6*, 6, Q (X)}, что Q (А) 0 (А) = б (А) /@, 0 (A) Q (А) = б (А) /е, (б (А) ^ 0). Тогда при u, е Н ,

б (U) и. = ди, = 0Йи, s № (6) 1 Н,

откуда, на основании соотношения

d(T) = PHd(U) Н(5.1)

(см. теорему III. 2.1, (ж)) вытекает, что б(Т) = О.

Обратно, предположим, что существует такая функция беН”, что|б(Х)|<1, б(Х)^О ид(Т) = О. Пусть д (X) = де (X) dz (X) - каноническое разложение б(Х) на внешний и внутренний множители. Поскольку 6ДТ)-1 существует (см. предложение III. 3.1), то бг(Т) —О. В силу соотношения (5.1), примененного к 6Z, имеем 6Z (U) Н 1 Н и, следовательно,

dzH = 6Z (U) Н <= К+ е Н = ©Я2 (6).

С другой стороны, б,9Я2 (6) = 0бгЯ2 (6) с: ©Я2 (6), так что

bt№ (@.) = 6Z [Н ф©Я2 (@)] с @№ (@).

Поэтому для всякого и, г Я2 (6,) найдется .такое и е Я2 (6), что б,м, = ©и.(5.2)

Поскольку функции 6Z (X) и 0(Х) являются внутренними, то из (5.2) вытекает, что II ы» 11 = II «II; следовательно, формула

u = Qu,

определяет изометрию из Я2(6,) в Я2 (6). Очевидно, что Q перестановочно с операторами умножения на еи в Я2(<$,) и Я2(й), которые мы обозначим соответственно через Я^+ и Я^. Применяя лемму V. 3.2 к случаю

9г+ = Я2(®*), Я+ = Я^+; ^-H1^ l)\ = U^\ Q

и учитывая, что в рассматриваемом случае представления Фурье Фе* и ф® СуТь тождественные отображения, получаем, что существует такая внутренняя сжимающая аналитическая функция {6„ 6, Q(X)}, что Qu, = tiu,. Таким образом,

бЛ = ©Й«.(и,еЯ2(@,)).(5.3)

Воспользовавшись этим равенством при и. = ©и {и е № (6)), получим 0 (dzu — Q0u) = 6z0u — 0Q0m = 0; поскольку 0 является изометрией из Я2 (6) в Нг^^, то

б,ы = й0м (иеЯ2(б)).(5.4)

Из соотношений (5.3) и (5.4) следует, что 0 (X) Q (X) = 6Z (X) /@, и Q(X)0(X) = 6Z(Х)/е, т. е. б,(Х) является скалярным кратным 0(Х). Это же справедливо и для б (X) = 6ДХ) 6Z (X), поскольку функция 6e(X)Q(X) также является сжимающей (ибо |б(Х)|^1 влечет | бе (X) | < 1).

Теорема 5.1 доказана.

Важному частному случаю посвящена следующая

Теорема 5.2. Пусть Т — сжатие класса Соо в пространстве $(¥={0}), имеющее конечные дефектные числа Ьг и Ьг*. Тогда Т е С0. Точнее, в этом случае Ьг = Ьг* и

d^ = 6,

где d^) — детерминант матрицы 0(A) оператора 0(A) относительно ортонормированных базисов в дефектных пространствах Фт и Фт*- Кроме того, d^ является внутренней функцией. Минимальная функция mT(Y) равна частному от деления d^ на наибольший общий внутренний делитель миноров ^п—\Уго порядка матрицы 0(A) при п> I и равна d(A) при и= 1. С другой стороны, d^ является делителем функции V^tWY*

Доказательство. Если Г е Соо, то (см. п. 3.7) оператор 6^еи) унитарен при почти всех t, так что

Ьг = dim ^т = dim 5)г* = Ьг*.

По предположению дефектные числа конечны, следовательно, все они равны некоторому натуральному п^А (равенство п нулю означало бы унитарность оператора Т, что исключается нашими предположениями). Пусть '0(A) — матрица оператора ©г (А) по отношению к некоторым ортонормированным базисам в дефектных пространствах Фт и ^ts и пусть

d(A) = det»(A).

Матрица O(ez/) унитарного оператора б^е1^ также унитарна, и, значит, 1 d^e^) \ = I почти всюду, т. е. функция d(A) является внутренней. В каждой точке А, где d^=/=0, существует ©г (А)-1. Согласно предложению V. 6.1, d(A) является скалярным кратным ©г (А), и соответствующей сжимающей аналитической функции Q(A) отвечает матрица ОЛ(А), присоединенная к матрице -0(A).

При п>\ элементы *0л(А) суть миноры (п—1)-го порядка матрицы^ 0(A) и, следовательно, входят в Н°°. Если п=1, то ОЛ(А) состоит из единственного элемента 1. Пусть 6(A) — наибольший общий внутренний делитель (см. § III. 1) элементов матрицы -0л(А) как функций из Н°°. Тогда Q (А) = k (А) М (А) и d (А) = к (А) пг (А), где пг (А) — (скалярная) внутренняя функция, М (А) — (операторная) сжимающая аналитическая функция, причем все элементы ее матрицы ц(А) принадлежат Н°° и не имеют общих внутренних делителей, отличных от констант. (При п = 1 считаем к (А) = 1; тогда Q (А) = М (A), d (А) = пг (А).)

Из соотношений

Q (X) ©г (X) = d (X) Ьт, вг W Q^ = d (X) ьг (5.5) вытекает, что

М W © (X) = m (X) Ьт, 0Г (X) М (X) = m ^ 1^.(5.6)

Таким образом, d^ и т(Х) являются скалярными кратными 0Г(Х), и по теореме 5.1 d(T) = O, т(Г) = О.

Пусть тг(Х) — минимальная функция сжатия Г. Тогда тт^ и р (X) = m (X)/mr (X) суть внутренние функции. Из равенства тг(Г) = О на основании теоремы 5.1 следует, что тт^ является скалярным кратным 0Г (X), т. е.

Qr (X) ©г (X) = mT (X) 1^ ©г (X) Qr (X) = mT (X) Z^*(5.7)

для некоторой сжимающей аналитической функции {©г*, ©г, Qr(X)}. В силу (5.6) и (5.7)

[р (X) Qr (X) - М (X)] 0Г (X) = [р (X) тт ^ - m (X)] Z^ = О (Хе D\

Поскольку d^^O и, следовательно, ©ИХ)”1 существует (в узком смысле) всюду, за исключением, быть может, не более чем счетного подмножества в Z), то.

р (X) Qr (X) = М (X) при всех Хг D,(5.8)

откуда

р(Х)»(Х) = ц(Х).

Следовательно, элементы матрицы ц(Х) имеют общий внутренний делитель р(Х) (в H°°Y Это возможно лишь в случае, когда р(Х) является константой, по модулю равной I. Таким образом, т(Х) совпадает с тг(Х).

Обозначая матрицу оператора Qr(X) через со(Х), получаем из (5.7), что

со (X) *0* (X) = mT (X) /п = Ф (X) со (X);(5.7')

переходя к детерминантам, находим [det со (X)] • d (X) = \mT (X)]n. Таким образом, d^ является делителем \тт (Х)р. Теорема доказана.

Замечание. В случае п = 1 функция mT (X) совпадает с d^X\ а следовательно, и с 0Г(Х). Поскольку характеристическая функция вполне неунитарного сжатия Г, рассматриваемая с точностью до совпадения, определяет Т с точностью до унитарной эквивалентности, то сжатия класса Соо с дефектными числами, равными I, определяются своими минимальными Функциями с точностью до унитарной эквивалентности.

Как было раньше показано (см. предложение III. 4.6), два сжатия класса Со, из которых одно является квазиаффинным преобразованием другого, имеют одну и ту же минимальную функцию. Поэтому имеет место

Следствие 5.3. Два сжатия класса Со с дефектными числами I, одно из которых является квазиаффинным преобразованием второго, унитарно эквивалентны.

Для того чтобы сжатие Г входило в Класс Со, нет никакой необходимости, чтобы его дефектные числа были конечны, или даже чтобы дефектные операторы были вполне непрерывными. Действительно, мы сейчас построим сжатие Т класса Со с минимальной функцией

mr(X) = exp[j^|j,(5.9)

для которого дефектные операторы От и От* не имеют собственных значений, отличных от нуля.

Для этого рассмотрим чистую сжимающую аналитическую функцию {6, 6, 0(^)}, где

6 = А2 (О, 1), 0(X)f(x) = exp[x|^-p(x)(f е @).

Пусть Т —сжатие, порождаемое функцией 0(Х) (в смысле теоремы 3.1). Поскольку

jexp[xy* [ )| = 1 ПРИ O^x^l, |Х|=1, Х=#1,

то функция 0(Х) является двусторонне внутренней и, следовательно, Т е СОо- Кроме того, функция (6, 6, й (X)}, определяемая равенством

й (X) f (х) = ехр [(1-х) |^-] f (х),

также будет сжимающей и

Й (X) 0 (X) = 0 (X) Й (X) = ei (X) I®, где введено обозначение

es (X) = exp (s(s > 0).

Таким образом, ех (X) является скалярным кратным 0(^). По теореме 5.1 отсюда вытекает, что е1(Т) = О. Поскольку единственными внутренними делителями функции ех (X) являются функции es^, O^s^l, то минимальная функция оператора Т имеет вид тт^ = еДХ) для некоторого s, 0<s^l. Так как гпт (Т) = О, то по теореме 5.1 тт(^) есть скалярное кратное 0(^).

Поэтому существует такая сжимающая аналитическая функция Q'(M, что *

Q' (Л j © (X) = © (X) Q' (X) = mT (X) /е.

Отсюда, в частности, следует, что

т. е.т. е.l|0(O)f II^NQ'WeWf 11 = |mT(0)|. Ilf 1L

т. е.

т. е.

(5.10)

при любом f е@ = Л2(0, 1). Беря в качестве f(x) функцию, обращающуюся в нуль вне достаточно малой окрестности точки 1, получаем, что s не может быть меньше 1. Таким образом, mT(^) = el(^), и (5.9) доказано.

Нам остается доказать, что От и От* не имеют отличных от нуля собственных значений. Заметим прежде всего, что с точностью до совпадения

©т* (X) = ©~ (X) = ©^ (X) = © (X) = ©т (М,

откуда на основании предложения 3.3 следует, что Т и Т унитарно эквивалентны, а, значит, От и От* унитарно эквивалентны. Поэтому достаточно установить отсутствие у От* или (что равносильно) у От* ненулевых собственных значений.

Для этого воспользуемся формулой (3.14). Из нее вытекает, что

Dt.u = (1 - ТТ*) и = Р (1 - UT*) и = Ри (0),

где

и е Н = Я2 (6) © ©Я2 (б), б = L2 (0, 1),

а Р — ортопроектор из Н2^ на И. Отметим, что здесь

и^ = и^х> = ^Х^п^ ' (|Х|<1;хе(0, l);fneP(0, 1)). о

Элемент ф = Ри(0) вполне определяется условиями шеН, и (0) — w г ©Я2 (6). Именно (см. п. III. 3.1)

a,(A) = [Z@-e(X)©(0)1u(0) (иеН).

Предположим теперь, что при некотором и е Н справедливо равенство (I —ТТ*)и = ри, где р —число, отличное от нуля. Из сказанного выше следует, что

Р«(М = [^-®(М®(0)‘]и(0);(5. И)

в частности, при X = 0 получаем

р«(0; х) = (1 — е~2л:) и (0; х) почти всюду на (0, 1).

Поэтому м(0;х) = 0 почти всюду, ц(0) = 0. Согласно (5.11) отсюда вытекает, что u (X) = 0 при всех Хе О, т. е. и = 0 как элемент из Н.

Тем самым доказано, что I —ТТ* не имеет собственных значений р^О.•

Спектральный тип минимальнойунитарной дилатации

Наша функциональная модель позволяет полностью решить задачу определения спектрального типа минимальной унитарной дилатации U произвольного вполне неунитарного сжатия Г, т. е. задачу определения структуры оператора U с точностью до унитарной эквивалентности.

Напомним, что в теореме II. 7.4 было доказано, что U является двусторонним сдвигом кратности bmax = шах{Ьг, Ьг*}, за исключением, быть может, того случая, когда оба дефектных числа Ьг и Ьг» конечны. Другими словами, при бесконечном Ьтах оператор U унитарно эквивалентен оператору умножения на еи в ортогональной сумме Ьтах экземпляров пространств Л2(0, 2л) скалярных функций

Изучению оставшегося случая Ьтах<оо посвящена теорема 6.1. Говоря о пространстве L?^S\ S cz (0, 2л) мы подразумеваем, что оно рассматривается относительно нормированной г dt мерй

Теорема 6.1. Пусть Т — вполне неунитарное сжатие с конечными дефектными числами ^т^п, Ът* — пг. Тогда минимальная унитарная дилатация U оператора Т унитарно эквивалентна умножению на еи в пространстве

LW ... ®L4MmWL4NxW ... ®L4Nn).(6.1)

где Мх= ... = Mm = (0, 2л) и

Л^к = {/; / е (0, 2л), г (/) ^/г}(& = 1, 2, ..., п\ (6.2)

здесь г (/) — ранг оператора

‘Дг ^ = [1-ет ^е«у ©г (е«)]“.

Доказательство. Поскольку минимальные унитарные дилатации унитарно эквивалентных сжатий сами унитарно эквивалентны, то нам достаточно рассмотреть функциональную модель Т с заданными дефектными числами п, пг. Пусть {£", Ет, 0(Х)} —чистая сжимающая аналитическая функ-

ция, Т — порождаемое ею (в смысле теоремы 3.1) сжатие. Поскольку характеристическая функция сжатия Т совпадает с заданной сжимающей аналитической функцией, то Аг (0 и

A (t) = [/ — 0 (еиУ 0 (ez<)]2 унитарно эквивалентны (относительно постоянного унитарного преобразования). Поэтому

г(/) = ранг Ат (/) = ранг А(0 при всех t.

По теореме 3.1 минимальная унитарная дилатация U оператора Т есть умножение на е14 в пространстве

К = А2 (^©AL2 (£").

Очевидно, что L2(£m) является ортогональной суммой т экземпляров пространств L2(0, 2л) скалярных функций, причем умно- itit

жению на е в L \Е ) отвечает умножение на е в каждом из составляющих пространств.

Перейдем к изучению (остаточной) части оператора U в А£2(£").■

Поскольку А (/) — самосопряженный оператор в Еп и О ^ ^ А (0 ^ / для каждого фиксированного / (для которого А (/) имеет смысл), то в Еп существует полная ортонормированная система (фк (/)}" собственных векторов оператора А (0:

А (0 Фа (0 = МО Фа (0 (^=1, 2, ..., и).

Будем считать, что собственные значения упорядочены в порядке невозрастания: 1>б1(0>б2(0>>б„(0>0.

Так как A(/)f — измеримая функция от / при любом f^E", то наибольшее собственное значение б[ (/) также является измеримой функцией от t, ибо д] (/) = sup (А (0 f, f) (здесь f пробегает последовательность, плотную в единичном шаре пространства Еп\ Измеримость функций бк(0 (^>1) следует из теоремы о минимаксе (см. [Лекции], п. 95). Из равенства

{/: t е (0, 2л), г [t]~> k] = [t; / е (0, 2л), dk(0>0} вытекает поэтому измеримость фигурирующих в теореме множеств Nk. Собственные векторы фк(/) также можно выбрать измеримыми в силу измеримости миноров матрицы А(0.

Полагая при yel? (Еп)

хк (0 = (v (О, ^к (0 )£«, имеем

А (/) и (0 = А (/) 2 хк (0 Фа (0 = 2 хк (t) бк (t) фк [0,

откуда

||A(0v(0lll"=2|xk(0M0 I2

И п 2лп.

||Лу ill2 (£”)=^ S11 ^ w sft (о I2 ^=-^ S 11 ^ w ^ ^ I2 dt-

101 Nk

Отсюда видно, что

Аи^тЮ, х„(0М0)(6.3)

есть изометрическое отображение АА2(Е") в пространство

L4N1W ^L4Nn\(6.4)

Из очевидного соотношения.

(eity (0, ^к (О )£n = eltxk (0

следует, что умножению на elt в AL2(£n) отвечает умножение на elt в каждом из пространств L2(Nk).

• Зафиксировав к, возьмем и (/) = е (t^kW, где 8 (^ — произвольная ограниченная измеримая скалярная функция. Тогда ueL2(£n) и у вектора, отвечающего элементу Av при отображении (6.3), к-я компонента равна s(/)Sfe(/), а остальные равны нулю. Поскольку функции вида s(/)Sfe(/) образуют плотное в L2(Nk) множество, то отображение (6.3), продолженное по непрерывности на AL^-E"), имеет своей областью значений все пространство (6.4). Утверждение об умножении на еи остается по непрерывности справедливым и для этого продолжения.'

Теорема 6.1 доказана.

Очевидно Nx^ N2^ ... => Nn. Может случиться, что фактически максимум rmax функции г^ не достигает значения п. В этом случае L2(Nk) при к>гтах сводятся к тривиальному пространству {0} и могут быть исключены из (6.1) ^

9 В сумме (6.1) число слагаемых, отличных от {0}, равно w + rmax. • Асимметрия ролей т и п только кажущаяся, как это следует непосредственно из следующих соображений. Если 8 — сжатие из -Л в ЯЛ (где 91 и ЯЛ — конечномерные гильбертовы пространства), то

dimЯЛ + dim (/-8*8)2 ^=dim^ + dim (/-88*)2 ЯЛ.

В самом деле, левая часть равна dim ЯЛ + dim 91 — dim 9%, а правая dim 91 + + dim ЯЛ — dim ЯЛ0, где

9l0 = {A: h^9t, (/ —8*8)А = 0}, ЯЛ0 = № h е ЯЛ, (/-88*)А = 0).

Но dim 9% = dim ЯЛ0, поскольку 8 изометрически отображает 9% на ЯЛ0.

Асимметрия ролей дефектных чисел в (6.1) несущественна. В самом деле, заменив Т на Т*, мы получим, что U* унитарно эквивалентно оператору умножения на еи в пространстве вида (6.1), но с переменой ролей п и иг. Поэтому то же справедливо и для U — достаточно заменить все множества их образами при отображении /->2л~/.

Таким образом, из теоремы 6.1 вытекает

Следствие 6.2. Минимальная унитарная дилатация U вполне неунитарного сжатия Т с конечными дефектными числами Ът = п и br* = m унитарно эквивалентна умножению на elt в пространстве

L4P^®L4PM ®L4Pn+m),

где Р{^ Р2^ ... 2D Рп+т " измеримые подмножества интервала (0,2л), из которых по крайней мере первые v = max{n, т} имеют полную меру в (0, 2л).

Возникает вопрос, справедливо ли обратное предложение, т. е. является ли оператор умножения на elt в пространствах указанного типа минимальной унитарной дилатацией вполне неунитарного сжатия. Утвердительный ответ дает следующая

Теорема 6.3. Пусть п, т — целые неотрицательные числа, причем v = max{n, т}^1, и пусть

Р1 —1 ^2 —) • • • Рп+т

— измеримые подмножества интервала (0, 2л), из которых по крайней мере первые v имеют полную меру в (0, 2л). Тогда существует такое вполне неунитарное сжатие Т, что ^т = п, ^т* = пг и минимальная унитарная дилатация оператора Т эквивалентна умножению на еи в пространстве

L4PxWL4PM ... ®L4Pn+mY

(Если некоторые из Pt имеют меру 0, то соответствующие пространства L2(Pz) = {0} могут быть опущены.)

Доказательство. Рассмотрим сначала случай п^пг.

Если п = 0 (v = m = m + п\ то оператор умножения на elt является попросту двусторонним сдвигом кратности v и, следовательно, минимальной унитарной дилатацией одностороннего сдвига той же кратности.

В случае l^n^zn рассмотрим матричную функцию

6W»№ikWl (/=1, ...,/п; Ы,...,п; |Л|<1),

где »lk^sQ При j^-k,

= A«A (А) (6=1, . ...п)

и ик (А) — такая ограниченная в единичном круге аналитическая функция, что

I ик <е“^ |2 = 1 - 4"Ха (0 почти всюду

(Хй (0 — характеристическая функция множества Pm+kY Существование такой функции следует из суммируемости функции In [ 1 —-^ %* (Z) (теорема Сегё, см. (III. 1.14 —16)). Поскольку

Ийй(М1<1«НМ|<1, »»6(0) = 0 (6=1, 2, .... п),

то {£", Ет, 0(A)} будет чистой сжимающей аналитической функцией.

Матрица A (t) = [/ — 0(е“)*0(е“)]2" имеет порядок п и диаго- нальна. Ее диагональные элементы равны

М0 = [1 -(1 -|хИ0)]2=у^хИ0 (6=1, 2п\

и потому п ранг А (/) = 2 Ха W к=\

Поскольку последовательность множеств Рт^^к =1,2, ..., /г) не возрастает, то неравенство

ранг \^*^к

справедливо (с точностью до множества меры 0) во всех точках множества Pm+k и только в них.

Пусть Т — вполне неунитарное сжатие, порожденное (в смысле теоремы 3.1) чистой сжимающей аналитической функцией ^Еп, Ет, 0(Х)}. Применяя теорему 6.1, получаем, что минимальная унитарная дилатация оператора Т унитарно эквивалентна умножению на elt в пространстве

[

т1

фГ(0,2л)]фЛ2(Рт+1)ф ... ®ЬЧРт+п\

Поскольку множества Pt имеют при Z^m полную меру и, следовательно, L2 (Pz) = I? (0,2л), то теорема 6.3 в случае п ^т доказана.

В случае т<п следует сначала построить такое вполне неунитарное сжатие S с b5 = m, Ь5. = п, минимальная унитарная

дилатация которого унитарно эквивалентна оператору умножения на elt в пространстве ”

Здесь Р\ — симметрический образ множества Pt относительно точки (= л. Такое сжатие S существует по уже доказанному. Тогда оператор Т = S* удовлетворяет условиям теоремы.

Теорема 6.3 полностью доказана.

Замечания. Следствие 6.2 и теорема 6.3 (для случая конечных дефектных чисел) в совокупности с теоремой II. 7.4 (для случая, когда хотя бы одно из дефектных чисел бесконечно) дают полное решение задачи о спектральном типе минимальных унитарных дилатаций для вполне неунитарных сжатий. При этом нужно заметить, что сжатие Т, построенное в ходе доказательства теоремы 6.3, вообще говоря, приводимо. Естественно было бы выяснить вопрос, нельзя ли оператор Т в теореме 6.3 выбирать неприводимым, т. е. не имеющим нетривиальных приводящих подпространств. Но мы не будем этим заниматься. ‘ 1

В § II. 1 и II.7 были указаны признаки того, что минимальная унитарная дилатация вполне неунитарного’ сжатия является двусторонним сдвигом., Теорема 6.3 поставляет класс вполне неунитарных сжатий, минимальная унитарная дилатация которых не является двусторонним сдвигом. Для построения таких сжатий стоит только выбрать хотя бы одно из множеств Pj так, чтобы и Р} и (0, 2л) \ Р, имели положительную меру. Но быть может, более поучительным будет следующий конкретный пример, основанный на теореме 6.1.

Рассмотрим такую аналитическую в D=^{X: I А, | < 1} скалярную функцию w (X), что | w (X) | ^ 1 в D и | w (0) | < 1. Пусть Т — вполне неунитарное сжатие, порожденное чистой сжимающей аналитической функцией {Е1, Е1, w (X)}. Поскольку дефектные числа оператора Т равны 1, то его минимальная унитарная дилатация U будет по теореме 6.1 унитарно эквивалентна умножению на elt в пространстве

L2 (0, 2л) е L2 W, где N = V;te (0, 2л), 1 -1 да (е") |2 > 0}.

Пусть, в частности, да (Л) — функция, осуществляющая конформное отображение круга D на полукруг {Л: |Х|<1, 1шЛ>0}. Тогда 0<шезЛ^<2л и имеют место строгие включения

I? (0, 2л) © {0} (= L2 (0, 2л) © L2 ^ с L2 (0, 2л) © L2 (0, 2л). '

Умножение на elt является двусторонним сдвигом в каждом из двух крайних пространств, а именно двусторонним сдвигом кратности 1 и 2 соответственно. Если бы оно было двусторонним сдвигом и в промежуточном пространстве L(0, ^k^^L^^NYto в силу предложения 1.2.1 это пространство должно было бы совпадать с одним из крайних, что на самом деле не так.

Комментарии

Анализ резольвенты (71 — V)""1 линейного оператора Т методами теории функций комплексного переменного уже давно был главным средством изучения структуры оператора Т, по крайней мере в случаях, когда этот оператор нормален либо когда его спектр состоит из нескольких замкнутых компонент. Для операторов других классов аналитическое поведение резольвенты дает мало информации о строении Т.

В более позднее время школа М. Г. Крейна в Одессе, побуждаемая его исследованиями по теории расширения эрмитовых операторов, начинает связывать с некоторыми операторами в гильбертовом пространстве новые типы аналитических операторных функций, поведение которых отражает наиболее тонкие черты структуры этих операторов. Впервые такие, названные характеристическими, функции появились у Лившица в [1] (для операторов Т, таких, что I — TT и I — TT* имеют ранг 1) и [2] (для случая, когда последние операторы имеют конечный ранг1)). Затем Шмульян [1] дал общее определение характеристической функции; в случае сжатия Т его определение совпадает с нашим определением (1.1) в форме (1.2). Впоследствии интересы этой школы переместились на такие операторы Т, для которых Т — Т* имеет конечный ранг или по крайней мере конечный след. Для этих операторов аналогичным путем была введена (матричная) характеристическая функция, и с ее помощью была продвинута вперед теория таких^ператоров (см. Лившиц [3], М. С. Вродский[1] — [3] и в особенности Бродский и Л и в- шиц[l], где имеются дальнейшие ссылки2)). Интересные приложения к некоторым физическим проблемам были найдены Лившицем [4]. Одним из наиболее важных результатов является построение конкретной модели операторов рассматриваемого типа с помощью интегральных операторов Вольтерры и операторов умножения на неубывающие функции. В дальнейшем аналогичные результаты были получены для таких операторов Т,

для которых I — Т*Т и / — ТТ* имеют конечный след (см. П о- л я цки й [1], [2], [3*]).

С некоторого времени интересы этой группы исследователей сосредотачиваются на интегральных представлениях операторов более широких классов, представлениях, уже не связанных с понятием характеристической функции (см., например, С а х- нович [3], [4], М. С. Бродский [4*], [7], [9], Гохберг и Крейн [1],[2],[61,[Г]).

Авторы настоящей монографии пришли к понятию характеристической функции сжатия в 1962 г. совершенно иным путем, а именно, занимаясь гармоническим анализом унитарных дилатаций вполне неунитарных сжатий Т. Они получили на этом пути функциональную модель оператора Г, явно зависящую от его характеристической функции, и только от нее (см. С.-Н и Ф. [2], [3], [VIII] и § 2 и 3 настоящей главы).

Впрочем, в частных случаях Т е С.о или Т е Со. эта модель была получена также в работах американских математиков (см. Рота [I], Ровняк [1], Хе леон [1]), которые пришли к ней в существенных чертах следующим образом.

Пусть Т — сжатие в пространстве §, такое, что Тп —> О и Н — пространство последовательностей h = (/zn}~ с йпе®г*, || h ||2 = = 2II hn ||2 < оо. Поскольку || h ||2 = || DT*h ||2 + || Th ||2 и, следовательно,

П—1

IIH2=Sll2W*W+lir"M2 (n=l, 2, ...), о

откуда

II А II2 = S №.Г>Цго

то можно вложить § в Н, отождествив fts §с элементом

h = фт. h, DT. Th, DT* Г2 /г, ...} e H

(см. § I. 10). Обозначая через V односторонний сдвиг {й0, hx ...}-» —> {0, й0, hx . •.} в Н, имеем T* = y*|§. Возьмем представление Фурье Н и V, т. е. отождествим Н с Я2(®г*), а V—с оператором Ux умножения на elt в этом пространстве. Подпространство Н2 (®г*)©^ инвариантно относительно Ux. Следовательно, по теореме V. 3.3 Н2 ($>г«) © $ = ©Я2 (8) для некоторой внутренней функции (8, ®г*, 0 (X)}. Таким образом, мы приходим к выводу, что Т унитарно эквивалентно сжатию Т в пространстве

Я2(®Г)©0Я2(8),

определяемому равенством

т-ихЧУнЧ^т*Уе©н2М (*)

Это и есть наша функциональная модель в случае Т е С.о. Однако при таком подходе, мы не получаем полной информации о явной зависимости 0(Х) от Т. В частности, не видно, что 0(Х) совпадает с характеристической функцией оператора Т. Тем не менее американские авторы также приняли для 0(Х) название характеристической функции (см., например, де Б р а н ж [1]). •

Построение функциональной модели, приведенное в § 2, было осуществлено первоначально в С.-Н. и Ф. [2], [VIII] (где леммы о представлении Фурье используются лишь неявно) и в [IX] (где они появляются явно). § 3 воспроизводит часть статьи [VIII]. Следует упомянуть, что наша теорема 3.4 о том, что два вполне неунитарных сжатия унитарно эквивалентны в том и только том случае, когда их характеристические функции совпадают, содержится в одной теореме Штрауса [4]’). В то же время наша теорема 3.4 является непосредственным следствием теоремы З.1., т. е. нашей функциональной модели для сжатий. Аналог этой модели для более широкого класса операторов, рассмотренного Штраусом, пока неизвестен.

Наше предложение 3.5 (анонсированное с С.-Н. и Ф. [3] и доказанное в [VIII]), устанавливающее связь между свойствами характеристической функции (быть внутренней, внешней и т. д.) и принадлежностью сжатия классу Сар, стало возможным благодаря тому способу, которым мы распространили понятия внутренней и внешней функции, введенные в скалярном случае Бёрлингом, на операторные функции.

Теорема 3.6 сперва была доказана совершенно иными методами в С.-Н. и Ф. [11] для случая двусторонне внутренних функций 0(Х) и 0'(Х). Частный случай скалярных функций, приведенный в следствии 3.7, был изучен Сарасоном [3] также другим методом. Исследование коммутантов начато в настоящей книге. Последующая работа авторов будет посвящена рассмотрению функций 0(Х) и 0'(X), уже не обязательно внутренних. •

В связи с предложением 3.8 см. также Фурман [1], [2], где рассмотрен случай матричных функций 0(Х) конечного порядка.

9 В этой работе (см. также Штраус [3*]) понятие характеристической функции определено для любого плотно заданного оператора с непустым множеством регулярных точек. — Прим. ред. •

Теорема 4.1 о соотношении между характеристической функцией и спектром оператора сжатия Т впервые была доказана в С.-Н. и Ф. [VIII]. Для некоторых других классов операторов подобные соотношения еще раньше были найдены советскими авторами (см., например, Лившиц [1] —[3]; Шмуль- ян [1]; Бродский [2]; Бродский и Лившиц [1]; Поляцкий [2]). В случае внутренних операторных функций (т. е. в случае Г е С.о), связанных с Т соотношением (*) (и, следовательно, как мы знаем из теоремы 3.1, совпадающих с характеристическими функциями Т\ теорема 4.1 была найдена независимо и почти одновременнз Сринивасаном, Вангом и Хелсоном (см. Хе л сон [1], стр. 74) и немного ранее — для скалярных внутренних функций — М ё л л е р о м [1]. Впрочем, в силу нашей теоремы 3.1 результат Мёллера является непосредственным следствием соответствующего результата Лившица [1].

Предложение 4.2 принадлежит Гохбергу и Крейну [5].

Результаты п. 4 § 4 являются новыми, так же как и теорема 5.1 о сжатиях класса Со. Теорема 5.2, устанавливающая, что каждое сжатие Т класса СОо с конечными дефектными числами входит в класс Со, и дающая способ нахождения минимальной функции пгт^ по характеристической функции 0Г(Л), сначала появилась в С.-Н. и Ф. [VIII]. Эта теорема указывает, между прочим, на удивительную аналогию между характеристическими функциями 0Г(Л) таких сжатий и характеристическими матрицами 9"^ квадратных матриц 9", как их определяют в линейной алгебре, 9" (Л) = КЗ — 9”. В самом деле, минимальная функция сжатия Т и минимальный многочлен матрицы 9” вычисляются соответственно по 0r (X) и по 9” (X) одним и тем же способом!

6 воспроизводит часть заметки С.-Н. и Ф. [VIII] с единственным отличием: в п. 4 дан брлее простой пример вполне неунитарного сжатия, минимальная унитарная дилатация которого не является двусторонним сдвигом. Первый пример такого сжатия, основанный на одной теореме Л. А. Сахновича [2*] (см. также Бродский и Лившиц [1], стр. 65), приведен в С.-Н. и Ф. [V]. Все ранее изучавшиеся классы вполне неунитарных сжатий поставляли лишь примеры, когда это минимальное унитарное распространение является двусторонним сдвигом (см. Шрайбер [1], де Брёйн [1], Г а л ь п е р и н [3]).

В силу соотношения T^ = es^ между непрерывной полугруппой сжатий {7 (s)}s>0 и ее когенератором Т (см. § III. 8) всякая модель для Т порождает модель для Т (s). В частности, из результатов § 2 и 3 следует, что всякая вполне неунитарная

полугруппа обладает функциональной моделью {Н, T(s)}, определяемой равенствами

Н = [Я2 (®J ф AL2 (@)] 9 (0ф ф Аф : we№ (@)},Т($)(и.фи) = Р(е,«,ф^о) (м.фуеН),

где Р — ортопроектор на Н. Здесь (6, @„ 0(X)} — произвольная чистая сжимающая аналитическая в единичном круге функция; она совпадает с характеристической функцией когенератора полугруппы.

Для полугруппы Т (s) класса С.о, т. е. для такой, что T(sy~>0 при s~>oo, или же (что равносильно в силу предложения III. 9.1) Т*п->0 при п->оо> модель упрощается и принимает вид

Ши^РМ кеН). (а)

В этом случае ©(Л) является внутренней функцией.

Можно придать этой модели такую форму, при которой роли единичного круга D и его границы С перейдут соответственно к верхней полуплоскости и вещественной оси. В самом деле, для произвольного сепарабельного пространства 91 пространство £д91) функций и^еи>) (0^/<2л) унитарно отображается на пространство Д (91) = L2(—оо, оо; $) функций f(x) (— оо < х < оо)1) при отображении u->f, где

Классу L+ (91), образованному предельными., значениями на С аналитических в D функций класса №(91), отвечает при этом класс Д+ (91) функций, являющихся предельными значениями на вещественной оси функций Цгу аналитических в верхней полуплоскости и таких, что

sup [ Ilf (х + гу)||^х<оо.о <»< °° _i,

По теореме Пэли — Винера функции класса Л+ (Я) суть в точности преобразования Фурье функций класса L2(0; оо; 91) (см., например, Гофман [1], гл. 7 и 8).

Полагая

Я (х) = [/@ — S(x)‘S (х)]2,Я (х) = [/@ — S(x)‘S (х)]2,

Я (х) = [/@ — S(x)‘S (х)]2,

Я (х) = [/@ — S(x)‘S (х)]2,

!) Мы берем меры dt/2n и di/я, соответственно.

мы приведем функциональную модель для вполне неунитарной полугруппы сжатий к виду

H = VA+^.WDM^\eiSt®Df:teA+№

T(s)(f.®g) = P[en^)®e,$^ (f.egeH), н

где Р обозначает ортопроектор на Н.

Для полугрупп класса С.о оператор S(x) изометричен почти всюду и модель упрощается:

Н = Л+(@.)е 5Д+(б),K^f.-P^f.W](f.EH),(б)

Общая модель (б) впервые была построена Фояшем [6]. Частный случай (б') для класса С.о получен Лаксом и Филлипсом [1]. Эти модели могут быть использованы в теории рассеяния: функция S (х) выступает тогда как „субоператор“ рассеяния. Этот факт был отмечен в частном случае модели (б7) Лаксом и Филлипсом [1], а в общем случае — Ад амя - ном и Аровым [1], [2].

Как в настоящей главе, так и в последующих мы предпочитаем пользоваться функциональными моделями, связанными с единичным кругом. Читатель сможет без труда перейти к моделям, связанным с полуплоскостью.

В связи с настоящей главой см. еще Дуглас [3], где наша функциональная модель приводится к более „геометричной“ форме!).

!) См. также А д а м я н, Аров и Крейн [1*], Бродский, Г о х- берг и Крейн [1*], Кужель [Г'], [2*], [3*], Шварцман [1*].— Прим, ред.

ГЛАВА VII

РЕГУЛЯРНЫЕ ФАКТОРИЗАЦИИ

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ •И ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА

§ 1. Основная теорема

L Продолжим начатое в § 1 и 2 гл. II изучение.геометрической структуры пространства минимальной унитарной дилатации для сжатия Г. Мы рассмотрим разложения этого пространства, порождаемые инвариантными относительно Т подпространствами. _

Пусть Т — сжатие в гильбертовом пространстве §; [/ — минимальная унитарная дилатация Г, действующая в пространстве Я(=з§), [/+— минимальная изометрическая дилатация Г, дей* ствующая в подпространстве

я+ = у ип^

.о

пространства Я; U + = U |Я+. Напомним, что в силу (1.4.2)

Т* = и*+\§.(1.1)

Предположим, что в § существует подпространство фь инвариантное относительно Т. Тогда подпространство §2 = §0§i инвариантно относительно Г*, а согласно (1.1) —и относительно £/+. Отсюда, в свою очередь, следует, что подпространство

г=я+е§2(1.2)

инвариантно относительно [7+. Пусть

(1.з)

— разложение Вольда пространства Я', порожденное изометрическим оператором U+\R', где

% = 8'00^,(1.4)

о

'Поскольку 9?! приводит [/+ к унитарному оператору, то 9 1 необходимо содержится в пространстве 91 остаточной части U+; в самом деле, из соотношения

Я+ = М+(8*)®^

(см. (II. 2.7)) вытекает, что 91 является максимальным подпространством в Я+, на котором U + индуцирует унитарный оператор, Поэтому можно положить

^ = 91^912.(1.5)

Поскольку 9? и 9ij приводят Uк унитарным операторам, то этим же свойством обладает и Й2.

В силу (1.2), (1.3) и (II. 2.7)

#2=я+ е г=[м+ (2 j е 9tj е [м+ (® © j,

откуда, на основании (1.5),

&2=[М+(2.)ф9У9М+(8).(1.6)

Аналогичное представление пространства %

§ = Я+еЛ1+(Й) = [Л1+(2.)фа?]ЭМ+(2)(1.7)

получается из (II. 2.5) и (II. 2.7). Из этих представлений следует, что

^,=s е &={[м+ (8.) ф эн э м + (8)} © {[м + (8.) ф оу е м+ (§», так что

^1 = i^+(®©9i1]GAl+(8) = ^e^+(8).(1.8)

Из формул (1.6) и (1.8) с очевидностью вытекают включения Л1+(^)<=Л1+(8,)ф912, Л12(8) с: Л1+(8)®^.(1.9)

Учитывая, что для любого блуждающего относительно U подпространства 91 выполняется условие

м^= V 1Гпм+^,

п>0

а с другой стороны, и~п5^ = 9L, t/-"9t2 = 9t2, получаем из (1.9) ЛК8)<=Л1(8.)ф9?2, М(8)сМ(8)ф9?,.(1,10)

Последнее соотношение и тот факт, что 9?! с 9? ± М (8,), показывают, что

[адуМфЛсМЦ^УМ^ЛФ^,. (1.11)

Если сжатие Т вполне неунитарно (что мы будем впредь предполагать), то левая часть (1.11) равнаЯ (см. (II. 1.10)). Поэтому из (1.11) следует

R = [M(5) УМ(8,)]фй,.(1.12)

Поскольку, с другой стороны, ^ = М (8,)ф91 (см. (II. 2.1)), то из (1.12) и (1.5) вытекает, что

9i2 = [W) V M(8.)]eW.).(1.13)

Вернемся к определению (1.4) подпространства %. Поскольку Я'сЯ+ и Я'оМ+(8) (см/(1.8)), то, учитывая также и (1.7), имеем

5 = Г 9 УД' с Я+ е и+М+ (8) = $ ® м+ (8)] 9 и+М+ (8). (1.14) Следовательно,

5<=$ф8.

В соответствии с ранее принятыми обозначениями будем обозначать через Р\ Р®«, Р^ ортопроекторы из Я соответственно на М (8), М (8,), М (9), а через Рщ, Р^, Ps, — ортопроекторы из Я на 9?, 9?! и 912 соответственно.

Ввиду (1.14) разложение (II. 1.4) пространства Я показывает, что <5 ортогонально к 17V8 и к и^й, (v^l) и, значит,

[/"8 1 1Гт^, Un% ± U-т8. (п > О, т>\\

Поэтому

Р^М, ( ) <= М+ (8) и Р;.М+®сМ+^.(1.15)

Рассмотрим снова соотношения (1.10). Из них вытекает, что

для всех jeM® и для всех I е М (8)

f = p^f + р^, I = РЧ + Р»,!.(1.16)

Положим, в частности, f = P4. Тогда из (1.16) следует, что ,

I = Р%РЧ-V Р$11 + Р«,РЧ ЦеМ^\ (1.17)

Первый член в правой части входит в М (8,), а сумма двух других членов —в 9t1®9?2 = 9i. Поскольку М (8.) ± 91, то

РЧ = рз.рч(1.18)

Pal = Р^1+ РаЖ пРи/еММ*(1.19)

Следует заметить, что в силу определяющего 91 соотношения (II. 2.1) и соотношений (1.10)

Ржк = Ч-РЧк при ieft,(1.20)

РаЖУ-Р^1 при 1е=М$,

P®J = U -Р8*Н при f г М^>.

Так как

РЖМ (8) = (/ - Р8*) М (8) = 91(1.22)

(см. (II. 2.13)), то из (1.19) вытекает, что Р^М (8) = 9th

Рх„Р5М (8) = 9t2, а значит, и подавно

Р$1М (8) = 91! Р^ШЖ^(1.23)

При дополнительном предположении сепарабельности пространства § (а следовательно, и пространства ^) мы можем придать приведенным соотношениям функциональную форму, используя представления Фурье Ф^*, Ф2 и Ф5 пространств М (8J, М (8) и М (8) соответственно по отношению, разумеется, к двусторонним сдвигам, индуцируемым в этих пространствах оператором [7. Именно мы выберем пространства и сжатие Q одного пространства в другое следующими тремя различными способами (вместо самих пространств мы указываем соответствующие блуждающие порождающие подпространства Я и 21'):

21 = 8, 21' = 8v, Q = Р^* | М (8) (этот случай уже рассмотрен в § VI. 2);

21 = 8, 21' = 5, Q = Р^ | М (8);-

21 = 8, 2l' = 8,, Q = ^|M(8).

Оператор Q перестановочен с U во всех трех случаях, поскольку Af(8J, Л4(8) и М (8) приводят [7. Поэтому условие (V. 3.5) выполняется. В силу (II. 2.12) и соотношений (1.15) условие (V. 3.6) также выполнено.

Пусть

{8,8„09(^}, {8, 8, ©1(МЬ ®Л,02(^)}(1.24)

— соответствующие (в смысле леммы V. 3.1) сжимающие аналитические функции. В силу предложения VI. 2.2 первая из этих функций совпадает с характеристической функцией Т.

Соотношение (V. 3.7) принимает соответственно случаям (а), (б), (в) следующие формы:

Ф8,Р8‘/ = @8 (е“) ф8/

при

1 е М (8),

ф^^вДе'^ф8/

при

/еМ(8),(1.25)

ф8‘Р8*/= 02(ez^8f

при

f е М (8).

Применим Ф8* к обеим частям равенства (1.18). Согласно (1.25) получим

08 (ez0 и (/) = 02 (ez/) 0! (ezz) и (/) почти всюду (и е L2 (8)).

В частности, это справедливо для любой постоянной функции и (/) = / (Ze 8). Поскольку 8 сепарабельно, то 0s (ezz)=02(ezz)0!(ezz) почти всюду и, следовательно,

'08M = 02(M©iW.(1.26)

Используя (1.20) и (1.22), находим точно так же, как и в § VI. 2, что существует однозначно определенное унитарное отображение

(1.27)(1.27)Ф»: SR->AsL2(8),

(1.27)

(1.27)

такое, что

ФяРя/ = А«ф5/ (I е М (/))(1.28)

(см. (VI. 2.6)), где через As обозначен оператор в L2(8), порождаемый функцией

As (O = [/-0s(e“)*0s(e“)P.

Отправляясь от соотношений (1.21) и (1.23), получаем аналогично однозначно определенные унитарные отображения

(1.29)(1.30)(1.31)(1.32)(1.29)(1.30)(1.31)(1.32)Фя.: 9t,->ATL45). Ф^: 912->ЖЖ).

(1.29)

(1.30)

(1.31)

(1.32)

(1.29)

(1.30)

(1.31)

(1.32)

такие, что ■'

Ф^Ря,/= А1Ф8/

Фя2Р4 = А2фв? ^еМ^\

Операторы Aft порождаются функциями

Aft (0 = U-^ W Qk <е^ (k = 1, 2).

Поскольку 9t = 9t2®^i> то операторZ = (Фя, © Фя,) Фя1,Z: ЖЖ)A2L2(§)ФЖЖ)

унитарен. В силу соотношений (1.28), (1.19), (1.30) и (1.25) для произвольного I е М (8) имеем

2АзФ8/ = ZФяPяI = (Фя2 Ф Фя,) Ря^ =

= (Фя, ф Фя.) (Ря,Р5/ ф Ря,0 = Фя2Ря2Ре/ ф Фя,Ря/ = . '=А2Ф8Р5/фА1Ф8/ = А2е1Ф8/©А1Ф8/.

Поскольку Ф8/ пробегает все L2(8), отсюда следует, что

ZAsv = A20iv®A1u (ueL2(8)).(1.33)

Множество элементов вида Asv (иеР2(8)) плотно в AsL2-(8).- Поэтому в силу унитарности Z

(А261УфА1У: veL2^ = W) ФЖЖ)-(1 -34)

Заметим также, что Z перестановочно с умножением на elt; в самом деле, достаточно рассмотреть элементы вида. Ави, плотные в А$Р2(8). Для этих элементов согласно (1.33)

Z (e“Agv) = ZS^euv = A2e,ez<v ф A^^u = е^Агв,^ фе^А^ = euZ&.gv.

Учитывая это, рассмотрим унитарное отображение

(1.35)(1.35)Ф: Я -> К = L2 (8,) ф A$L2 (8),

(1.35)

(1.35)

определенное в предложении VI. 2.1 („представление Фурье" пространства Я). В силу соотношений (VI. 2.7) и (1.31)

ф = ф8* ф фя = Ф8* ф Z-1 (Фя2 ф Фя,).(1.36)

Согласно предложению VI. 2.1 Ф отображает Я+ на

К+ = //2(8.)ФМ%

М+ (2) — на

О = (08ифА8и: иеЯ2(2)},

а Ф = Я+ОМ (2) —на

Н = К+© G = ^(г^фАаТ2^)] ©{08ифА8и: иеНЧ^У (137)

При этом сжатие У в § преобразуется в сжатие Т в Н, опре2 деляемое равенством

Т^и.^-е^ЧиДеЧ-иДОШе-»^ . («.©veH).

Найдем образы Hi и Н2 подпространств ^ и §2 пространства § при представлении Фурье Ф = Ф8*фФя. Начнем с $2, для которого мы можем воспользоваться соотношением (1.6). Заметим сперва, что при г,ей2

ФяГг= Z 1 (Фя2фФя,) (ггфО) = Z *(Фя2Г2фО),(1.38)

откуда (см. (1.29))

Ф [М+ (2.) ф 9^1=Ф8‘М + (2.) ф Фя^г = Я2 (2.) ф Z"1 (A^j ф {0}).

С другой стороны, ввиду первого соотношения (1.16)

ФМ+ (3) - (ф8*?8^ ф ФяР^: f е М+ (§)}, откуда на основании (1.25), (1.30) и (1.38)

ФМ+ (5) = (®2и Ф Z~x (Д2 и ф 0): и е Н2 (8)}.

Таким образом, из (1.6) вытекает, что

Н2=[Я2 (2.) ф Z"1 (А2Р2(8) ф {0})] © fe« Ф Z"1 (Д2« ф 0): we Я2 ($)}.

(1.39)

Наконец, из того факта, что Ht = H©H2 и

Д^) = г-’(Д^)фА/7(2))

на основании (1.37) и (1.39) следует равенство

H1 = {02w©Z“1 (Д2ифи): и@Н2^У v ® Д^2 (2)} ©

©{08о|фА8гу: «>еЯ2(2)} (1.40)

Для того чтобы придать полученным результатам более компактный вид, сделаем несколько замечаний и введем несколько определений.

Если 0(A) = 02 (А) 0! (А) — разложение сжимающей аналитической функции {6, ©», 0(A)} в произведение двух сжимающих аналитических функций {@, g, 0JA)} и {^, ®+, 02(А)}, то, очевидно,

7® - 6 (ezT © (ezz) = ©J (ezz)‘ [Ze - 02 (ezz)‘ 02 (ezz)] 0, (ezz) +

■+[/@-e1(e»re1(ez,)b

Вводя соответствующие функции A (/), A! (/) и A2 (/), получаем, что

Z(fr. bWg^^Welh)g®MtYg И (1.41) есть отображение линеала А(/)® в A2(08®Ai(0®, изометрическое почти всюду, а именно в тех точках 1, в которых существуют радиальные пределы 0(ezz), 0j (ez/), 02(^zz). Поэтому

Z: Ао-^Аз^ифА^ (и е Г(®))(1.42)

есть изометрическое отображение АЛ2(®) в А2Л2(3)фА1Л2(@). Продолжая (1.41), (1.42) по непрерывности, получаем изометрические отображения (обозначаемые теми же буквами):

Z(/): А^й-^Аз^^фАДО® (почти всюду),(1.41х)

Z: Д£Ч®)^А^7^фА^^(1.42')

Определение. Факторизацию 0(A)=02 (А)0! (А) будем называть регулярной, если порождаемое ею отображение Z (см. (1.42) и (1.42z)) унитарно, т. е.'

{А^фА^ПГ^ТЭД = А2А2(8) ф мЖ(1.43)

В силу (1.34) факторизация (1.26) регулярна.

Удобно сформулировать полученные результаты в терминах функциональной модели для вполне неунитарных сжатий, построенной в теореме VI. 3.1. Пусть Н и Т — соответственно пространство и вполне неунитарное сжатие, порожденные чистой сжимающей аналитической функцией {б, б*, 0(A)}. Функция {L, L*, 0l(A)}, отвечающая оператору Т, совпадает с {6, 6*, 0(A)}, поскольку каждая из этих функций совпадает с характеристической функцией оператора Т (см. предложение VI. 2.2 и теорему VI. 3.1).

Мы доказали утверждение (а) следующей теоремы.

Теорема 1.1. Пусть {S, 6*, 0(A)} — чистая сжимающая аналитическая функция, и пусть Т-сжатие в пространстве

Н = [Я2(®.)®лЩ^)Ю(6а'®Аа>: w г Н2^.(1.44)

определяемое формулой

Т(и.^хА = е-ЧиАе1^иАГОе-и^ («,фУ€=Н). (1.45)

Для всякого подпространства Н, в Н, инвариантного относительно Т, существует такая регулярная факторизация

0(Х) = 02(Х)01(Х)(1.46)

функции {©, б„ 0 (Л.)} с сомножителями [в, g, 0, (X)} и R, б., 02 (X)}, что для соответствующего унитарного оператора Z (см. (1.42')) имеют место следующие представления подпространств Н] и Н2=Н©Н1;-

H1 = (©2m®Z",(A2u®v): иеН2(^, veA1Z.2(6)}©

'©{©дафАич w е Н2(^, (1.47)

н2 = [я2 (б,) ® Z" Ч2ьЧ^ ф {0}] ©

© {©2u©Z-1 (А2иф0): иеН2^. (1.48)

Всякая регулярная факторизация (1.46) функции 0(20 порождает таким образом инвариантное относительно Т подпространство Н, и его ортогональное дополнение Н2.

Доказательство. Нам остается доказать (б). Поскольку оператор Z унитарен, то

О2 = {©2n©Z~' (А2ифи): иеЯ2(§), ueA1L2(6)]zD

=> {©^w фZ~x (АДйу ф A[tiy): w е Я2(б)} =

= {©шфАш: шеЯ2(б)}^0

[я2(б.)фШ(б)]©о2 =

= [Я2 (б.) ф z“‘ (a2l2 (8) Ф ^2 (б))] © G2 =

= [Я2(б.)фZ-1 (^ф{0})] © (02м фZ-1 (А2м ф 0): « е Я2(§)}. Подпространства Щ и Н2, определяемые равенствами ,(1.47) — (1.48), удовлетворяют условиям

H, = G2©G, Н2=[Я2(б.)фА1ЧбЛеа2.

В силу (1.44) отсюда следует, что H = H,®H2.

В силу (1.48) элементы пространства Н2 суть ортогональные суммы вида u,©Z-1(u®0), где и, с Я2 (б), ogA,L2(5) и ©2«, + А2и ± Я2 (£j). Поэтому то же условие выполняется и для сумм вида M,©Z-1(y®0), где й,(Л) = у [и, (К) — «# (0)J

u(0 = e %(/), а именно, 02^ + A2V = е а ^.и* + А2и)— —е-1%^Х$1№$\ Поскольку Zперестановочно с умножением на е±и, то Т*Н2<=Н2 и, значит, THi cz HP

Теорема 1.1 доказана.

Некоторые дополнительные предложения

Tj X о т.Tj X о т.Прежде всего дополним теорему 1.1 следующим предложением.

Tj X о т.

Tj X о т.

Предложение 2.L Пусть в условиях теоремы 1.1 Т =

есть триангуляция оператора Т относительно разложения Н = = НМ, порожденного регулярной факторизацией ^^ = =©2(^)®i(^) Функции {6, 6*, ©(А,)}- Тогда характеристические функции операторов ?! и Т2 совпадают с чистыми частями множителей ^х^ и 02(Х) соответственно.

Доказательство. Заметим сперва, что

т; = т*|н2, T^PZlHi,

где Р] — ортопроектор из Н на Нь

Очевидно, преобразование

У: Ы.ф2"1(уф0)->ц.фи (U,ctf2((y, оеЦ^)), (2.1)

унитарно отображает пространство Я2(6,)ф/-1 (Д2А2(3)ф{0}) на пространство Я2(@,)фД2Д2(8). При этом подпространство Н2 первого пространства отображается на подпространство

^2НА2(@.)фА^$)]6{02ифА2ц: иеН2® (2.2)

второго. Поскольку Z перестановочно с умножением на elt, то оператор Т* | Н2 преобразуется посредством У в оператор tT2 в #2, определяемый равенством

^"2(и.Ф»2) = е_“к-и.(0)]©е'%2 (и.фи2е^2).(2.3)

Из соотношений (2.2) и (2.3) на основании предложения VI. 3.2 вытекает, что характеристическая функция оператора 9"2 (а с ней и оператора Т2) совпадает с чистой частью функции {3, 6„ е(я».

Что касается Ть то заметим прежде всего, что из определения (1.47) пространства Ht и из того факта, что ©нуфДш = = 6Д®ф/-1 (Д2®1йУфА^), вытекает, что элементы Н, имеют

ВИД

©2и © 2Г1 (Д2и © у), где ие№ $), у е Д^7(б) и■

©*©2©2« + 0*А2и + А1У 1 Н2 (б).(2.4)

Последнее условие приводится очевидным образом к виду

.01И + А1У1 Я2 (б).(2.5)

Для элементов Hj имеем

Т (02U©Z"4m© у))=е“"[02и—©2(0) и(0)] © Z~VUM фе~“у) =

'= [©^©Z-1 (A2«1©y1)] + [«2©Z-1(y2®0)],

где

«1 W = у [и (Л) - «(0)], м2 (Л) = у [02 (Л) - 02 (0)] и (0), у) (0 = e~uv (0, «2 (0 = е~и К2 (/) и (0).

Учитывая (2.5), получаем

•©>] + А,у , = е-» (©> + Д,«) _ е-«0> (0) 1 № (б)

и, следовательно, ©^©Z-1 (Л2«1©У1) s Н,. С другой стороны, h2©Z-1 (у2©0)е Н2, поскольку, очевидно,

' ©X + А2у2 = е-«и (0) - в-«^ (0) и (0) 1 № (8).-

Отсюда

PJ* [02м © Z-1 (Д2и ф у)] = 02и, ф Z-1 (A2«! + у,).(2.6)

Ясно, что преобразование

W: ^2и ф Z-1 (Д2и ф у) -> и ф у (и е Н2 (8), у е А^2 (б)) (2.7) унитарно отображает множество элементов вида 02«©Z-1 (А2ифу) на пространство №(§) фА!£2(б)), причем при we//2(6) имеет место равенство

W (0йУ фАш) = Г (©Aty ©Z-1 (А2в1шфА1а>)) = 01шфА1ш.

Поэтому "пространство Нь определенное равенством (1.47), отображается оператором W на пространство

36х = [Я2 (® ф А^2 (б)] 0 {©(w ф А,®: шеЯ2(б)}.(2.8)

Согласно (2.Q) оператор Т*(= PiT*| Hi) преобразуется оператором U7 в оператор ^"ь действующий в 36\ и определяемый

21 Зак. 517

равенством

■ ^~*(«Фу) = ы1Фу1 = у~,<[м —н(0)]фе-“о («фо е ^J. (2.9) Из формул (2.8) и (2.9) на основании предложения VI. 3.2 вытекает, что характеристическая функция оператора 9" х (а с нею и оператора Т^ совпадает с чистой частью функции {®, 5, 0j (Z)}.

Предложение 2.1 доказано. .

В силу формул (2.8) и (2.2) и предложения VI. 3.2, (а), пространства $6Х И 5^2 (а с ними И Hi и Н2) сводятся к {0} в том и только том случае, когда соответственно ©i (А,) и 62(М являются унитарными константами.

Таким образом, теорема 1.1 может быть дополнена так:

Теорема 2.2. Для того чтобы инвариантное подпространство, порожденное регулярной факторизацией 0(Z) = 02(Z)01(Z), было нетривиальным, необходимо и достаточно, чтобы эта 'факторизация была нетривиальной (г. е. чтобы ни один из множителей не сводился к унитарной константе). '

Поскольку всякое вполне неунитарное сжатие Т унитарно эквивалентно сжатию Т, построенному по характеристической функции Т, то из этих двух теорем вытекает следующая

Теорема 2.3. Для того чтобы вполне неунитарное сжатие Т в сепарабельном гильбертовом пространстве обладало нетривиальным инвариантным подпространством, необходимо и достаточно, чтобы характеристическая функция Т обладала нетривиальной регулярной факторизацией.

По теореме 1.1 всякая регулярная факторизация функции 0(Z) определяет инвариантное относительно Т подпространство Нр Однако эта теорема ничего не говорит об обратной задаче — в какой степени подпространство Hj определяет факторизацию функции 0(Z). Нашим первым результатом в этом направлении будет следующее

Предложение 2.4. Пусть

0 (X) = 02 (X) 01 (X)*, 0 (X) = 02 (X) 0i (X) (А е D)

— две регулярные факторизации чистой сжимающей аналитической функции {®, 6*, 0(Z)} с „промежуточными" пространствами 8^8 соответственно. Пусть Hi и Hi — инвариантные относительно Т подпространства в Н, порожденные этими факторизациями в смысле теоремы 1.1. Если HiCzHi, то существует такая сжимающая аналитическая функция {§, ^\ ^(М}> ^то

0{(Z) = Q(Z)0i(Z) (Ze D).

Если Hi = Нь то

0i (X) = Qo0i (A,)^<=D\

где ^-некоторое унитарное отображение 5 на 8'.

Доказательство. Обозначим через Z и Z' унитарные операторы, порожденные рассматриваемыми регулярными факторизациями. В силу формулы (1.47) HiCzH{ влечет

Х+ ^©Z"1 (А2м® у): и^Н2^\ иеА^^с

с W®Z'~x^u ©А и еН2^, и'е д'!!2 (($)}= J^V (2.10)

Одним из следствий включения (2.10) является тот факт, что каждому и е Н2 (8) соответствуют и е Н2 (^') и v е AiL2 (6), для которых

<^и^Z"1 (Д2и©0) = ^и фZ’A^u ф А (2.11) Поскольку

II 02w ф Z"1 (Д2и ф 0) ||2 = || 02и ||2 + II Д2и II2 = II«if и

I« ® Z'- (А» ® о f -1 еу F+1 дУ F + МГ - ЬТ+Ik F.

то из (2.11) вытекает равенство

\\и^ = \\иЧН\\^\?>(2.12)

откуда следует, что операторы

Q: и->и\ R: u->v' являются (однозначными линейными) сжатиями пространства Н2^ в пространства Н2^) и \\Е2 (S) соответственно. Поскольку все операторы в (2.11) перестановочны с умножением на е1\ то это же верно и для оператора Q. Операторы умножения на elt суть односторонние сдвиги в РР^ и Н2^^ причем блуждающими порождающими подпространствами для них служат подпространства постоянных функций. Отсюда на основании леммы V. 3.2 вытекает существование такой сжимающей аналитической функции {5, g', Q(A)}, что

и' (х) = (QW) (X) = Q^u (A) ku е № (§)).(2.13)

Другим следствием включения (2.10) является включение

f) elntX+c Q eint^V(2.14)

n>0n>0

Пусть W — унитарное отображение ЗС ^ на //2(8)® А^2^), определяемое равенством (2.7). Очевидно, № перестановочно с умножением на elt. Поэтому

ПП ем'я2 (8) ф П e'^A^ZW] =

= И7"' [{0}Ф А,£2(®)] = (офZ"1 (0фV): у е=А,£2 (<$)}.

Аналогичное равенство имеет место и для Х+. Таким образом, (2.14) означает, что

(0ф/-1(0фо): уе А^б)} с {Оф/'-1 (Офу'): u'е A1L2(<$)}.

(2.15)

Следовательно, для любого у е At£2 (6) существует такое v' е Aj£2 (6), что'

Z-1 (Офу) = Z'-1 (Офу')- •(2.16)

В силу (2.16) || о || = || и' ||, т. е.

V: «->«'

есть изометрическое отображение Ai£2(6) в А{£2(@).

Пусть w^H2^. Тогда, с одной стороны,

0ффАф = 020[ффг'-1(А20{ффА{ф);(2.17)

с другой стороны, используя определенные выше операторы Q, R, V и равенства (2.11) и (2.13), получаем

0ф ф Аф = ©а®!^ Ф Z"1 (А201Ф ф А,ф) = [020,ф ф Z-1 (А20,ф ф 0)] +

+ [0 ф Z"1 (0 ф А1ф)] = [0200! w ®Z'-1 (АгО01Ф ф /?0,ф)] +

+ [офZ'-1 (Оф V Ai®)] = 02Й01ФфZ'-1 (АгО01Ф ф у), (2.18)

где у =/?01Ф + У А1Ф е Ai£2 (<S). Сравнивая (2.17) с (2.18), .находим

0201 ф = 0гО01Ф, А20|Ф = А2О01Ф (ф е Я2 (@)). (2.19)

Поскольку отображение ^и'® ^'2и'-* и' (uf е Н2 ^'^ изомет- рично, то из (2.19) следует, что

01Ф = О01Ф, откуда

е^^-о^е^х) ^х^о).

В случае когда Н = Нь в (2.10), (2.14) и (2.15) имеют место равенства; из равенства в (2.10) (с учетом (2.15)) вытекает, что если и пробегает № (8), то и' = Qu пробегает № (§'), т. е.

QH2^ = H4^.(2.20)

С другой стороны, из равенства в (2.15) следует, что если у пробегает Ai£2(@), то и'= Уи пробегает А{£2(@), т. е. V является унитарным отображением Ai£2(@) на А^£2(6). Поэтому правая часть (2.11) равна

[02« фz'x Wф о)] + [офг,-х (офо')] =

= ^и ф Z'- ‘ (аУ ф О)] + [0 ф Z~1 (0 ф 7 - V)L

Следовательно, отняв Оф/'^Оф И-1и') от обеих частей равенства (2.11), получим* "

^u®z~x (А2кф(- V"x Х)^ = е^'ф/'-1 (а^Ф о\ так что

U1P + 11V4P = 11 u'|р.

Сравнив с (2.12), найдем || и || = || и' ||. Таким образом, оператор Q изометричен, а значит, в силу (2.20) унитарен. Из леммы V. 3.2, (г) следует тогда, что Q(Z) является унитарной константой.

Предложение 2.4 доказано.

Регулярные факторизации

Прежде чем продолжить исследование соотношений ^ежду инвариантными подпространствами и регулярными факторизациями, мы намереваемсй изучить поглубже понятие регулярной факторизации.*

Наряду с введенным в § 1 понятием регулярной факторизации сжимающей аналитической функции мы введем также понятие регулярной факторизации для отдельного сжатия.

Пусть Л = Л2Л)—какая-либо факторизация сжатия Л (из пространства 91 в пространство 91*); здесь Ах — сжатие из 91 в некоторое пространство 23, а Л2 —сжатие из 23 в 91*. Из очевидного соотношения

/а - А-А = л; (1$ - л;л2) л,+(/w - л;л.)

Следует, что отображение

Z; Dd-^D^a^D^a (ае«)(3,1)

является изометрическим; здесь D, Dv и Z)2 — дефектные операторы:

D = Од» Di = Da,» Di = Da..

Пополнив Z по непрерывности, мы получим изометрическое отображение (обозначаемое той же буквой)

Z: D%-> D^D^.(3.2)

Определение. Факторизацию Д = Л1Д2 будем называть регулярной, если порождаемый ею изометрический оператор Z является унитарным, т. е.

ф2Аха®Оха: a<=Vi} = D^ф №(3.3)

Заметим, что между двумя введенными понятиями имеется непосредственная связь: регулярность факторизации 0(Z)=02(Z) ®i (М для сжимающей аналитической функции означает регулярность факторизации в = ©^ для сжатия, порожденного этой функцией в соответствующем пространстве I?.'

Другое, менее непосредственное соотношение дается следующим предложением (представляющим собой „локальную харак- теризацию“ регулярных факторизаций для функций).

Предложение 3.1. Для того чтобы (функциональная) факторизация

0(M = 02m(x)(Ш<1) z (3.4)

была регулярной, необходимо и достаточно, чтобы (индивидуальная) факторизациия

@ ^t) = 02 (е^) 01 (elt) (0 < / < 2л)(3.5)

была регулярной почти всюду.

Доказательство. Положим

23 = {А201У®А1У: у^£2(@)} и

23 (t) = {А2 (t) @! (elt) e®^x(t)e: ее 6}.

Доказательство нашего утверждения сводится к установлению эквивалентности условий

$ = №$)©a^4@)(з.б)

и

& (t) = А2 (t) g ф Aj (t) (8 почти всюду,(3.7)

где замыкания берутся в L2(3)фL2(S) и в ЗФ® соответственно.

Предположим сначала, что выполнено условие (3.6), и рассмотрим две постоянные функции e(0 = e, f(t) = f (ее б, fe^). В силу (3.6) существует такая последовательность {у„} элементов из Т2(б), что А201ипфА1и„ стремится к Аг/фА^ в метрике £2(8)Ф ф£2(б). Переходя в случае необходимости к подпоследовательности, можно добиться того, чтобы АДО©! (е“) Уп(ОФ Ai (0 еДО сходилось к АДО/фАДОе почти всюду в смысле метрики Вфб. Этим доказано, что А2 (/) f фА[ (/) е е 8 (О почти всюду, причем множество исключительных / зависит от е и f. Заставляя е и f пробегать счетные множества (е„) и (fm), плотные в б и 8 соответственно, получаем, что А2 (О fm ф А, (/) е„ е 23 (О для всех /, за исключением точек некоторого, не зависящего от п и т множества меры нуль. Для t, не входящих в это исключительное множество,

ДД0^фАД0б<= ад.

Тем самым доказано (3.7).*

Обратно, пусть выполнено (3.7). Рассмотрим элемент и2фУ1еА^(8)фАЖ®),(3.8)

ортогональный к 23, т. е. такой, что

,(у2, А201У) + (vb А^) = 0 для любого oeL2(6)

и, значит,

0, (еи)* \2 (t) у2 (t) + А! (О у, (/) = 0 почти всюду.

Тогда для t, не являющихся исключительными, уДОфиДО! 23(0.(3.9)

Очевидно, из (3.8) вытекает, что.

»2(0Ф»1(0 G АДО 8 Ф МО®" почти всюду. (3.10)

В силу (3.7), (3.9) и (3.10) уДОФоДО"0 почти всюду, т. е. у2фУ1 = 0. Тем самым доказано (3.6).

В следующем предложении объединены несколько используемых далее свойств регулярных факторизаций для сжатий.

Предложение 3.2. Пусть А = АгАх — разложение сжатия А (из 21 в 21) в произведение сжатия Ах (из 21 в 23) и сжатия А2 (из 23 в 21*).-

Если эта факторизация регулярна, то регулярна и факторизация А* = А*А2.

Факторизация А = А2АХ регулярна, если хотя бы один из операторов А2 или Л* изометричен.-

Если Л — изометрический (соответственно унитарный) оператор, то необходимым и достаточным условием регулярности факторизации А = А2АХ является изометричность (соответственно унитарность) операторов Ах и А2.'

Имеет место неравенство

dimW < dim D^H dim ОД;(3.11)

если факторизация регулярна, то в (3.11) имеет место знак равенства*, в случае dimD9l<oo равенство имеет место, только если факторизация регулярна.■ '

Доказательство, (а) Доказательство этого утверждения потребует значительных усилий. Пусть Z — изометрический оператор, связанный с факторизацией А* = А*А* (составляющие подпространства поменялись порядком). Другими словами, Z^ — это изометрическое отображение

2,: Ж^адФВД(3.12)

полученное продолжением по непрерывности отображения

Z*: D*a* -> D*2a* ф D*iA2a* (а* е 91*).(3.13)

Здесь мы положили.

D» = DA*’ D*l = DA? D*2 = DA*2*

Пусть S = Z^AZ*. Для любого а г 91

S (D2A ха ф Dxa) = Z,AZ*ZDa = Z.ADa = ZJD.Aa =

= D*2Aa ф D*yA2Aa = D*2A2A ia ф D*\A2A2A\a =

=Ф Mi^a — D*\D2 (D2Aid)],

откуда

S(u2®ux) = A2u2®(Axux - D*iD2u2)(3.14)

при u2®ux = Z(D%). Предположим, что факторизация A = A2AX регулярна. Равенство (3.14) распространяется тогда по непрерывности на все элементы m2@uig ^©^i^. Вспоминая соотношение (1.3.7)

®г* = Г©гф5Пг*,(3.15)

справедливое для любого сжатия Г, действующего в одном пространстве или из одного пространства в другое, получаем при Т = А

DX = AD%®^a%

откуда в силу (3.14)

ZM = ZM№* =

= SZDt ® /^д* = ®@) ® 2^д* =

= {Лд^Ф(Лр^Р^Р^^^(3.16)

Пусть а'е® Ь' — элемент из Р,291 ф Р,!®, ортогональный к ZJD^,. В силу (3.16) он ортогонален, в частности (при и2 = 0), ко всем элементам вида ОфЛ^, где и, е DyS.. Применив (3.15) к случаю Т = Л*, найдем D^ = Л^О^Йф^д, откуда Л, D,9l = Л^’Р^ЗЗ. Мы заключаем, что

b' ± Л^Р.А откуда

A*b' 1 A^D^.

Поскольку, с другой стороны А*Ь' е Л*Р#133, то

л;у=о.(за?)

Отсюда вытекает, что D^b' = b' — А^'Ь' = Ь' и, следовательно,

D.xb' = b'.(3.18)

Согласно (3.16), а'ф 6'ортогонален также ко всем элементам вида Л2«2ф(— PtlP2u2), где u2gP2® (случай и, = 0). Учитывая (3.18), получаем Л2а'— Р26'± Р233, Р2 (Л*а'— Р26') ± 93, и, следовательно,

р2л^-р|6' = о.(3.19)

Наконец, (3.16) показывает, что а'фб' ортогонален к Z.^Ia*, а значит, и ко всем элементам вида

Дга*® ДгАга* (а*G *^4*)’откуда с учетом (3.18) находим

D^ + A^b'-l ^а-~ (3-2°)

Мы имеем

A\DX + А^ = л;(л;р.2а;+л;^ = л:(р2лх-р226' + 63 = о (см. (3.17) и (3.19)). Поэтому D^a't + Ajb' е У1Л,. На основании (3.20) отсюда вытекает, что

Ойа,А-АгЬ' = ^(3.21)

и, следовательно,

л:л2у = о.(з.22)

Поскольку Л*/)^ = £>2Л*, то равенства (3.19) и (3.22) дают А^А^ = — D^V и, значит, &' = 0. Из (3.21) вытекает поэтому, что D^ = 0. Поскольку а* г D^, то ^ = 0..

Итак, единственный элемент а* ф b' е О^^ф 7)^23, ортогональный к Z^D^*, равен нулю. Следовательно, Z* отображает DSL* на /^^ФДц®, т. е. оператор Z^ унитарен и факторизация А* = А*А* регулярна. *

Ввиду установленной в (а) двойственности достаточно ’ рассмотреть случай, когда оператор Л2 является изометрией. Тогда D2 = О и, следовательно,

ZD^ = ZD® = Ц>2АхафDxa: а^Щ^ ' *

= (Оф ад ^^21} = {0}ф ад = адГф ад что и требовалось доказать.

Если оператор А изометричен, то D = O. Отображение Z множества Z)2I = {0} в D^^D^ унитарно лишь в случае, когда D2=O, Dx = O, т. е. когда Л2 и Ах — изометрические операторы. Утверждение для случая унитарного А вытекает из установленной в (а) двойственности.

Неравенство (3.11) следует немедленно из того факта, что оператор Z, порожденный факторизацией А = Л2ЛЬ изометричен. Если Z унитарен, т. е. факторизация регулярна, то в (3.11) имеет место равенство. Наконец, если

dim D2® + dim D^ = dim D% < oo,(3.23)

to Z является изометрическим отображением конечномерного пространства в пространство той же размерности. Следовательно, оператор Z унитарен и факторизация регулярна.

Предложение 3.2 полностью доказано.

Приведем ряд непосредственных следствий предложений 3.1 и 3.2.

Предложение 3.3. Пусть•

0M = 62(M6iW(F)

разложение сжимающей аналитической функции {К, 6*, 0(М} в произведение сжимающих аналитических функций {6, 8, ®i (М}

и {8,0(Z)}, и пусть

<Э~ (М = ©Г (А,) €>Г (A,)(F~)

двойственная факторизация.

Если факторизация (F) регулярна, то регулярна и факторизация (F~).

Факторизация (F) регулярна в каждом из следующих случаев:

функция 02(М является внутренней;

функция 0JX) является ^-внутренней;

при почти всех t е [0, 2л) изометричен хотя бы один из операторов 02 {еиУ ®i {еиУ-

Если 0 (X) — внутренняя {двусторонне внутренняя) функция, то факторизация (F) регулярна в том и только том случае, когда оба множителя являются внутренними {двусторонне внутренними) функциями.

Если d(/) = dim А (/)($, dj/) = dim AJO 6,d2(/) =

= dimA2(08, то

d(0^dJ0 + d2(/) почти всюду;(3.24)

если факторизация (F) регулярна, то почти всюду имеет место равенство; если 6{1)<оо, то равенство в (3.24) имеет место только для регулярных факторизаций.

В силу утверждения (б) последнего предложения каноническая и ^-каноническая факторизации 0(М, введенные в § V. 4.3, а также факторизации, фигурирующие в предложении V. 4.3,

являются регулярными.

Напротив, факторизация, рассмотренная в теореме V. 5.5, не является регулярной, как следует из утверждения (в) и предложения V. 2.3.

Т! X о т2_Т! X о т2_Предположим, что 0(Z) совпадает с характеристической функцией вполне неунитарного сжатия Т. Пусть 0(Л) = 0JZ)0JM — каноническая факторизация функций 0(Z). Поскольку эта факторизация регулярна, то по теореме 1.1 и предложению 2.1 она

Т! X о т2_

Т! X о т2_

функциональной моделифункциональной моделипорождает триангуляцию Т =

функциональной модели

функциональной модели

оператора Т, так что характеристические функции операторов Tj и Т2 совпадают с чистыми частями функций 0ДЛ) и 0JZ) соответственно. Очевидно, чистая часть внешней (внутренней) функции является внешней (внутренней) функцией. Поэтому на основании теоремы VI. 3.5 Ti е C.i, T2'g С.о . Из унитарной эквивалентности оператора Т и его функциональной модели Т следует, что указанной триангуляции Т отвечает триангуляция того же типа оператора Т.

Аналогичные соображения справедливы для *-канонической факторизации 0(A), также регулярной.

Таким образом, доказано

Предложение 3.4. Каноническая и ^-каноническая факторизации характеристической функции вполне неунитарного сжатия Т в сепарабельном гильбертовом пространстве § порождают соответственно триангуляции Т вида

Со. * 1О Ci. JСо. * 1О Ci. JС.1 *

Со. * 1О Ci. J

Со. * 1О Ci. J

О С. кем. § II. 4).

В § 5 мы вернемся к регулярным факторизациям характеристических функций, типа рассмотренных в предложении V. 4.3.

Рассмотрим в качестве примера случай скалярной функции 0(A), т. е. случай ^ = ^* = Ех. В этом случае 6(?) = 0 или 1 в зависимости от того, 10 (ez0 I = 1 или <1.

Пусть 0 (А) = 02 (А) ©ДА) —разложение 0(A) в произведение двух сжимающих аналитических функций {£\ g, ©ДА)} и (8, Е\ 02 (А)}. В силу утверждения (г) предложения 3.3 это разложение будет регулярно в том и только том случае, когда

6ДО + 62(О = 6(О (^1) почти всюду. (3.25)

Заметим, что при f е §

f = [/g - ©2 ke^Y ©2 (^9] f + ©2 (*“У ©2 (е") f е

е [/5 - ©2 keltY 02 (ez9] 8 V 02 (^'Т £\(3.26)

и

, dim p-©2(ez9*©2^ dim^^TS1^ L (3.27) Из (3.25) — (3.27) следует, что для регулярной факторизации dim 8^2, и, значит, с точностью до изоморфизма 8 равно £°( = {0}), EY или Е?.

Случай S = £° может иметь место лишь при 0(А)=О; при этом факторизация

О ехех = Oe»->exOex->E"(3.28)

является, очевидно, регулярной (6(0=1, 6Д0=1, 62(0 = 0). (Вот интересное упражнение, которое мы предлагаем читателю: найти сжатие Т и его инвариантное подпространство, отвечающие характеристической функции (£\ Е\ О) и ее регулярной факторизации (3.28).)

В случае 8 = С1 функции 0j (А) и 02(А) также являются скалярными. Поскольку 6/Д/) = 0 или 1 в зависимости от того, 1©^ (^'9 |=1 или <1 kk=V 2), то условие (3.25) означает, что на том множестве, где |0(ez91=l, почти всюду справедливы

равенства | 0} (еа) | = | 02(ezz) | = 1, а на том множестве, где |0(е^)К1» для одного из индексов 6=1, 2 почти всюду выполняется условие |©fc(^7)l = 1.

1 — | а |2— ab— аБ 1 — | 6 |21 — | а |2— ab— аБ 1 — | 6 |2Наконец, в случае ^ = Е2 оператор ©2(ezz) (из Е2 в Е1) не может быть изометрическим, так что 62(0>0. Из (3.25) следует поэтому, что 62(0=1» б^О — О, 6(0=1 почти всюду. Таким образом, операторы ©! (ezz) являются изометрическими. Представляя 02(М в виде матрицы [Ф21 (X), $22(Х)1, получаем представление оператора /^ — ©2 ^еиУ 02 (ezz) в виде квадратной

1 — | а |2— ab

— аБ 1 — | 6 |2

1 — | а |2— ab

— аБ 1 — | 6 |2

матрицыПосколькуматрицыПоскольку, где а = ^j ^еи\ b = ^ (е^).

матрицы

Поскольку

матрицы

Поскольку

dim [4 - ©2 (е")* ©2 И 8 = 62 (О = 1 < dim 5,

то эта матрица имеет детерминант, равный 0, откуда | а |2 + + | 6 |2= 1, т. е. операторы ©2(^zz)* являются изометрическими. Таким образом, в случае 5 = Е2, как показывает (3.25), функция ©! (А) — внутренняя, а ©2(М “ *-внутренняя. Далее, в этом случае 6(0 = 1, так что |0(ezz)|<l почти всюду. Обратно, факторизации этого типа (|0(ezz) | < 1 почти всюду, ©i (X) — внутренняя, ©2(Х) — ^-внутренняя) являются регулярными, поскольку в этом случае 6(0=1, 61(0 = 0» 62(0=1.

Итак, мы пришли к следующим результатам.

Предложение 3.5. Пусть 0(X) = 02(M$i(M~ разложение скалярной функции ©(Л) в произведение двух сжимающих аналитических функций. Эта факторизация регулярна тогда и только тогда, когда имеет место один из следующих случаев*.

тривиальный случай (3.28);

случай, когда множители являются скалярными функциями и почти в каждой точке t по крайней мере одно из чисел l©^^)! (^= 1, 2) равно 1;

случай, когда |0(ezz)|<l почти всюду и множители имеют вид '

®i(M =®i(M =ЛИ.ЛИ., 82(ХМШ Ш,, 82(ХМШ Ш,

®i(M =

®i(M =

ЛИ.

ЛИ.

, 82(ХМШ Ш,

, 82(ХМШ Ш,

где ^ikW сУтЬ скалярные аналитические функции (|М<1), причем

I ^п W I2 +1 ^12 W |2 = 1 и | »21 <еи) |2 -1 ^ <еи) |2 = 1 почти всюду.

В этом случае факторизация имеет вид

0(М = »21(М^11(М + ^2(М»12(М.

Вот пример случая (3):Вот пример случая (3):/з . _|Уз х!2 л L 2 2j/з . _|Уз х!2 л L 2 2jА " 2А " 2

Вот пример случая (3):

Вот пример случая (3):

/з . _|Уз х!

2 л L 2 2j

/з . _|Уз х!

2 л L 2 2j

А " 2

А " 2

Мы закончим настоящий параграф одним следствием предложений 2.1 и 3.3. Хотя в этом следствии нет никакой речи о регулярных факторизациях, оно представляет самостоятельный интерес.

.Предложение 3.6. Пусть Т — вполне неунитарное сжатие в гильбертовом пространстве %, имеющее дефектные числа Ьг и Ьг* ^конечные либо бесконечные). Пусть %х (^ {0}) — инвариант

ное относительно Т подпространство. Тогда дефектные числа Ь^ и Ь * оператора ТХ = Т \ §х удовлетворяют условиям

Ьг <ьг, ьг*<ьг + ьг*.

Доказательство. Пусть (6, 6*, 0(X)} — сжимающая аналитическая функция, совпадающая с характеристической функцией оператора Т, и ©(X) = ©2(Х)©1 (X) — регулярное разложение функции 0(Х)в произведение сжимающих аналитических функций {®, 8, ©JM} и {5, ®+, 02(М}, отвечающее инвариантному подпространству ^ (в смысле теоремы 1.1). В силу предложения 3.3,(г)

dim А(0® = dim А2(08 + dim AJO® почти всюду

и, следовательно,

dim А2 (08 ^ dim А (0® ^ dim @ = Ьг почти всюду. (3.29) С другой стороны, из соотношения

следует, что при почти всех t пространство 8 порождается подпространствами А2(08 и 02 (еиУ 02 (J9 8 и, значит,

dim 8 ^ dim А2 (0 8 + dim ©2 (,еи)* ©2 (JQ 8-(3.30)

Поскольку ©г^ОЗ^®*, то dim©2(^r08^ dim®# = Ьт*. Поэтому dim©2<elt)*©2<еи)8 < dim©JJ08<Ьг*. (3.31) В силу (3.29) — (3.31)

dim 8 ^Ьг + Ът*.

Как известно (см. предложение 2.1), характеристическая функция оператора Тi совпадает с чистой частью {6°, 8°, е?(Х)} функ-

ции {6, 8, ©1 (X)}, где 6° а 6, §° е §. Отсюда следует, что Ьг, = dim @° < dim 6 = Ьг,

Ьг» = dim 3° ^ dim 5 ^ Ьг + Ьг».

Предложение доказано.

§ 4. Арифметика регулярных делителей

Начнем со следующих определений.

Определения. Пусть А — сжатие из пространства 91 в пространство 91^ Л} —сжатие из 91 в 93. Будем говорить, что Ai является делителем А, если существует такое сжатие Л2 из 93 в 91*, что .

А = Л2Л].

Если можно так выбрать Л2, чтобы эта факторизация была регулярной, то Л} называется регулярным делителем А.

Эти определения немедленно распространяются на сжимающие аналитические функции 8(Х), если рассмотреть порождаемые ими сжатия 0 в соответствующих пространствах L2.

Наша первая задача — изучить соотношения транзитивности для регулярных делителей. Дело сводится к исследованию связей между .свойствами регулярности различных факторизаций. Наиболее важный случай факторизаций

(F21) А1 = Л2ЛЬ(F3 (21)) ^4 = ^4з^121>

(F32) 432 = Л3Л2,(F(32) i) А = Л32ЛЬ

порождаемых разложением

(F32i) А = Л3Л2Л}

сжатия А: 91->91* в произведение трех сжатий

А/. 91->93н Л2: 93^93^, Л3: 9321->91*.

Имеет место следующая

Лемма 4.1. Все факторизации (F21), (F3(21)), (F32), (F(32) J регулярны, если регулярны факторизации (F21) и (F3 (21)) или (F3 (21)) U (Р(32) 1)-

Доказательство. Обозначим для краткости через D, D{, .D^ дефектные операторы Da, Dax, ..., Da^ и рассмотрим изометричзскйе операторы Z21, Z3 (21) и т. д., отвечающие факторизациям (F21), (Fa^0 и т* Д-> по аналогии с (3.1) - (3.2),

Тогда

Z21: D2Xa-> D2Axa® Dxa (ле 21),

^з(21)* Da —> D3A2Xa ф D2Xa(яе?1),

Z32: -^32^ D^A2b ф D^b (b ее 23i)>

^(32) p Da”>D^Axa<®Dxa (ae$l).

Аналогично факторизации F32I поставим в соответствие оператор Z-^v Da^DzA2Xa®D2Axa®Dxa (ае%), также являющийся изометрическим. Мы будем употреблять те же буквы для обозначения соответствующих замкнутых операторов. Соотношения между этими изометрическими операторами описываются в очевидном смысле следующей коммутативной диаграммой, где стрелки обозначают отображения одного пространства в другое:

Ж^фЖ

^3 (2^/\^(21) @^21

^(32) 1\^ //^ЗгфЛад; ем

(^3 (21) = ^DAi ’ ^1 = ^Цд)*

Коммутативность этой диаграммы означает, как легко убедиться, что

(Л (21) ® ^21) ^3 (21) = ^321 = (^32 Ф Л) ^(32) ь

Если Z3(2I) и Z2I — а с ними и /3 (21) ф Z21 — суть унитарные операторы, то в силу этой коммутативности унитарны как оператор Z321, так и операторы Z(32) } и Z32©/b а следовательно, и оператор Z32. Этим доказано, что регулярность (F3 (21)) и (F21) влечет регулярность (F(32) J и (F32).

Случай, когда регулярными предполагаются (F3(21)) и (F(32) j), т. е. когда унитарны Z3 (2ц и Z(32) ь требует несколько больших усилий. Заметим сперва, что тогда

(Л (21) © ^21) ^3 (21) D% =

= (Л (21) ф ^21) (^3^21® ^21^) = ^3^21® ^1^21^, (z32e л) ^(32)1^=

- (z32 е /.) (ад е ад=хзго^х ® ох%.

где —

^№ с D^ ФЖ 732Ж"1 с Ж71Ф ад.(4.2)

Из соотношений (4.1) и (4.2) вытекает, что Z32im имеет вид 73215а = ад;е332фОД где »2<=Ж.(4.3)

Сравнивая (4.3) со вторым равенством (4.1) и учитывая определение Z32, получаем

^3^21 ® ^2 = ^32^32^1 = {^3^2^ ® D^b*. Ь GE BJ.

Поэтому для всякого элемента Ь' из ^BjQBg выполняется условие br ± £)2Bi, откуда следует, что Ьг = 0.

Итак В2 = Р2^ь откуда в силу (4.3)

2321Ж=5д1фЖ®ВД

е. оператор Z321 унитарен. Отсюда вытекает, что все изометрические операторы, фигурирующие в коммутативной диаграмме, унитарны, а потому и все факторизации, рассматриваемые в лемме, регулярны.

Лемма 4.1 доказана.

Эту лемму можно также сформулировать в следующем виде.

Предложение 4.2. Пусть Д, Д21, Ах — сжатия.

^ Если Д21 *- регулярный делитель А, а Ах —регулярный делитель Д2Ь то Ах — регулярный делитель А.

Если А2х и Ах — регулярные делители А, а Ах — делитель Д2Ь то Д] — регулярный делитель Д21.

В самом деле, (а) соответствует предположению о регулярности факторизаций (F21) и (F3(2d), а (б) — предположению о регулярности (Р3(21)) и (Р(32)1).

Пусть 6 (Л,) — чистая сжимающая аналитическая функция, Н и Т — соответственно пространство и сжатие в оном, порожденные этой функцией в смысле (1.44) и (1.45).

Пусть ©J (X) — регулярный делитель ©(Z). Будем говорить, что Hi есть инвариантное подпространство пространства Н, соответствующее функции ©JX), если оно порождено в смысле формулы (1.47) какой-нибудь регулярной факторизацией ©(X) = = 02 (X) ©1 (Л), в которой участвует ©t (X).

Замечание. Как будет показано в дальнейшем, возможен такой случай, когда одному и тому же регулярному

22 Зак. 517

делителю ©} (X) функции ©(Z) соответствует несколько инвариантных подпространств.

Установим наиболее важные соотношения между регулярными делителями функции ©(Z) и соответствующими им инвариантными подпространствами..

Теорема 4.3. (а) Пусть ©i (X). и ©i (X) — такие два регулярных делителя функции ©(X), что дляГсоответствующих инвариантных подпространств Hi и Hi имеет место включение Hicz Нц Тогда ©ДХ) является регулярным делителем ©i(Z). Если же Hi = Hi, то ©1 (X) и ©1 (X) отличаются лишь левым постоянным унитарным множителем.

Пусть ©i(X) — регулярный делитель функции ©(X), ©1 W “ регулярный делитель функции ©i (X) (а значит, и ©(X), см. предложение 4.2, (а)). Тогда всякое инвариантное подпространство Hi, соответствующее функции ©i(X), содержит некоторое инвариантное подпространство Нь соответствующее ©i (X).

Доказательство, (а) Это утверждение является эквивалентной формой предложения 2.4, дополненного тем фактом (следующим из предложения 4.2, (б)), что ©i (X) — регулярный делитель ©i (X).

Переименуем ©' (X) в ©21 (X). Пусть Н21 — инвариантное подпространство, соответствующее регулярному делителю ©21 (X) функции ©(М, т. е. Н21 порождено некоторой регулярной факторизацией

(F3(21)) ©(М=®з(М®21(М.’

По предположению ©} (X) является регулярным делителем функции ©21 (М, т. е. существует регулярная факторизация

(F21) ©21(М=02М@1(М.

Согласно лемме 4.1 факторизации

(F32) ©32 (М = ®з (М 02 (М>

(F(32)l) 0(М = ©32(М01(М

также регулярны. Следовательно, изометрические операторы Z3 (21) и т. д., отвечающие этим факторизациям, являются унитарными. Используя коммутативную диаграмму, приведенную в п. 1, применительно к рассматриваемому случаю, получаем, что

2(32) 1 (/за1 Ф /1) =* /321 = /з (21) (/з (21) ф /а/).(4.4)

Это — унитарное отображение

№(821) Ф АЖ) фА^2^) -> Ш(6).

(Здесь пространства 81 и 821 — те же, что и в определении функций {6, 8Н ©ДА)} и {®, §21, 021(М}.)

Пусть Hi — инвариантное подпространство, порожденное регулярной факторизацией 0 (X) = ©32(X) ©} (X). Поскольку, с другой стороны, инвариантное подпространство Н21 порождается регулярной факторизацией ©(X) = ©3(Х)021 (Z), то

Hi = {©зг^ф7(32) 1 (Аз2«фи): и^Н2^\\ у е A}L2 (6)} 0 G,

Н21 = {©з^ Ф7з(21)(Ази ф у ): и еН2($Д и е A2iL2(6)]0G,

где G = {©доф Адо: wgH2^^ (см. (1.47)).

Пусть и и у — произвольная пара, фигурирующая в определении НР Поставим ей в соответствие пару

и = ©2«, и 1 = 7Г11 (A2W фи), фигурирующую в определении Н21. Поскольку ©32 (М = = ©з(М@2(М, то

©32^ = ©з^'-(4.6)

Но в силу (4.4)

7(з2) 1 (A32W ф у) = 7(32^ 1 (Z321 Ф /1) ((Аз©2^ ф Агм) ф и) =

= 7з (21) (^3 (21) Ф 721 ) (Аз©2^ ф (A2W ф У) ) =

= 7з(21)(Аз^ фи).(4.7)

В силу соотношений (4.5) —(4.7) Н1<= Н21.

Теорема 4.3 доказана.

Как было отмечено выше, возможен случай, когда различные инвариантные подпространства соответствуют одному и тому же регулярному делителю функции ©(Z,). Приведем пример.

Рассмотрим функцию {6, 6*, ©(X)} с6 = {0}, ^ = Е\ ©(Х)=О. Для всякой функции {Е1, Е1, ©2(М)

0(М = 02(М0(М (=0).

Очевидно, эта факторизация регулярна, если функция ©2(Л) внутренняя. Взяв, скажем, ©2(Х) = Х или V, получим различные инвариантные подпространства Нр порожденные соответствующими факторизациями (ибо характеристическая функция оператора Т2 = Р2Т|Н2 совпадает в первом случае с {Е1, Е1, X}, а во втором —с {Е1, Е1, А2}).

Заметим, что в рассматриваемом примере речь идет (с точностью до унитарной эквивалентности) об одностороннем сдвиге

Т (xq, X], ..,} = {0, х0, X], ...}

пространства /2 и об (очевидно, различных) инвариантных подпространствах оператора Т, образуемых векторами вида

{0, X], х2, ...} и {0, 0, х2, ...} соответственно.

Возникает вопрос, когда имеет место единственность. Введем следующее

Определение. Пусть (6, 6*, ©(X)} и (6, 5, ©ДХ)} — две сжимающие аналитические функции. Будем говорить, что ©1 (X) является сильным регулярным делителем ©(X), если существует такая сжимающая аналитическая функция {8,®*, ©2(М), и притом единственная, что факторизация

(F)©(Х) = ©2(М©1(М’

регулярна.

Заметим прежде всего, что если в факторизации (F), регулярной или нерегулярной, множитель ©] (X) является внешней функцией, то множитель ©2(М определяется однозначно по Q(Z) и ©} (А). Это вытекает немедленно из того факта, что ©} (Х)($ = 8 для любого Кг D (см. предложение V. 2.4).

Если множитель ©} (X) является *-внутренней функцией, то оператор ©Г (^zz) = ©} (,е~иУ изометричен почти всюду (см. предложение V. 2.2). Отсюда вытекает, что 0, (e'-z9® = S почти всюду и, следовательно, ©2(^9 почти всюду определяется однозначно по ©(e"z9 и ©Je"^). Поэтому ©2(Х) определяется однозначно по 0(Х) и ©ДА). В частности, имеет место

Предложение 4.4. Всякий внешний или ^-внутренний регулярный делитель сжимающей аналитической функции ©(X) является сильным регулярным делителем ©(X).

В частности, внешний множитель в канонической факторизации, а также *-внутренний множитель в *-канонической факторизации являются сильными регулярными делителями.

Менее очевиден следующий результат.

Предложение 4.5. Пусть {@, 6e, ©(X)} — сжимающая аналитическая функция, такая, что при

щгНЧ^У сг^Ч^У(4.8)

0 ^еиУ щ (e,z) + А (0 v (0 = 0 почти всюду

обязательно и. = 0, и = 0. Тогда все регулярные делители функции 0(A) являются ее сильными регулярными делителями.

Доказательство. Следует показать, что если 02W®iW и 02 W ®i (М являются регулярными факторизациями 0 (А) с одним и тем же правым множителем (6,0JA)}, то 02(А) = 0'(А).

Пусть weH2$Y В силу регулярности рассматриваемых факторизаций существуют такие последовательности {vnj и (o') элементов из L2 (б),. что

А20,и„®А1и„-*А21УфО) А^О^фА^-з-А^фО (п-*оо\

Поскольку соответствующие операторы Z и Z' являются изометрическими, то существуют пределы I = lim \ип и Г = lim Аи' (в пространстве L2 (6)). Отсюда следует также, что

А2и = 0*А20.и + А?и -> 0,А2ф =

= 0*ау — 0*0*02йУ = 0*ау — 0*02^у и аналогично

А2и'->0^ — 0*0'^(я—>оо)

(через 0* и т. д. обозначены операторы „умножения” на 0(ez/)* в соответствующих пространствах L2). Но, с другой стороны, А2^—>А/ и А2и'~>А/', так что

0* (02ау — 0'ку) + А (/ — Г) = 0, откуда по предположению вытекает, что 02ш — 02^ = 0 и, следовательно (в силу произвольности w\ 02 (X) = 02 (Л).

, Дополним предложение 4.5 следующим результатом.

Предложение 4.6. Если оператор ®(еи) унитарен для всех t из некоторого множества положительной меры, то выполняется условие предложения 4.5.

Доказательство. Из условия (4.8) вытекает, что и* (еи) = 0 на упомянутом множестве положительной меры. Поскольку и* (X) есть векторная функция, ограниченная и аналитическая внутри единичного круга, то и* (X) = 0, так что в силу (4.8) А (/) о (/) = 0 почти всюду. Поскольку u^^L2^1 то о^ = 0 почти всюду.

Случаи, рассмотренные в двух последних предложениях, так могут быть охарактеризованы в терминах сжатий:

Теорема 4.7. Пусть 0(Х) совпадает с характеристической функцией некоторого вполне неунитарного сжатия Т в пространстве %. Для того чтобы 0(Х) удовлетворяла условиям предложения 4.5, необходимо и достаточно, чтобы не существовало

ни одного инвариантного относительно Т подпространства $1 ^ {0}, для которого оператор Т | ^ был бы изометрией. Для того чтобы 0(Х) удовлетворяла условиям предложения 4.6, достаточно, чтобы спектр Т не покрывал единичной окружности.

Доказательство. Второе утверждение вытекает немедленно из теоремы VI. 4.1.

Докажем первое утверждение. Заметим прежде всего, что ^ <= § будет инвариантным относительно Т подпространством, а Г]^ будет изометрией в том и только том случае, когда ^ инвариантно относительно изометрической дилатации U оператора Т. Следовательно, для того чтобы такого ^ ^ {0} не существовало, необходимо и достаточно, чтобы не нашлось ни одного /ze§, h^=0, для которого бы все векторы U^h {п=\, 2, ...) принадлежали %. В терминах функциональной модели оператора Т, построенной в теореме VI. 3.1, это означает, что не существует ни одного ненулевого элемента ^Ф v е Я2(6J® АЛ2(6), такого, что

е1п(и^®е1п^ гН (n = 0, 1, 2, ...),

т. е. такого, что - elHt ^Х + Av) ± № (®) (п = 0, 1, 2, .,.); (4.9)

последнее же равносильно тому, что ©X + Av = 0.

Пусть (@, б*, в(X)} —чистая сжимающая аналитическая функция, Н и Т — соответственно пространство и сжатие, порожденные ею в смысле (1.44) —(1.45). Каждому сильному регулярному делителю 0! (X) функции 0(Z) соответствует инвариантное относительно Т подпространство, и притом только одно; обозначим его через Н (0J. .

Легко доказать, что если 0t (А,) — сильный регулярный делитель 0(Х), то это же верно и для всякой функции О'(%), которая отличается от 0t (X) лишь левым постоянным унитарным множителем. Более того, H(01)=H(0Q. Обратное утверждение вытекает из теоремы 4.3, (а).

В частности, всякая постоянная унитарная функция {@, 5, 0О} является сильным регулярным делителем 0(Z) и Н(0о) = {О) для таких функций (и только для них; см. теорему 4.3, (а)).

С другой стороны, если сама функция 0(Z) является своим сильным регулярным делителем (это имеет место не всегда, см. пример в начале § 3), то Н (0J = Н для функций 0j (X), отличающихся от 0(Z) лишь левым постоянным унитарным множителем, и только для таких функций.

В случае когда все регулярные делители 0(Z) являются сильными (например, в случаях, рассмотренных в предложениях 4.5 и 4.6), всякое свойство [0Y (X)} регулярных делителей функции 0(Z) обладает наибольшим общим регулярным делителем 0д (X) и наименьшим общим регулярным кратным 0у (М, определяемыми, с точностью до совпадения, следующими условиями*.

(Д1) 0л (X) является регулярным делителем каждой функции 0Y(M (и, следовательно, делителем 0(М);

(д2) всякая функция 0'(Z), являющаяся регулярным делителем каждой из функций 0Y(X), является регулярным делителем и для 0д (X);

(к^ каждая функция 0Y(X) является регулярным делителем 0V (X); '

(к2) 0v W является регулярным делителем всякой функции 0"(М, являющейся регулярным делителем 0(Z) и такой, что каждая функция 0Y(X) есть регулярный делитель 0"(^) (в частности, 0у(^) есть регулярный делитель 0(А,)).

Для доказательства рассмотрим подпространства

Нд=ПН(6Д Hv = VH(0v),

инвариантные относительно Т и потому соответствующие некоторым регулярным делителям функции 0(Х), которые мы обозначим через 0д (X) и 0v (М*, э™ функции определены с точностью до левых унитарных множителей. Свойства (д^ и (к^ вытекают непосредственно из теоремы 4.3, (а). Если функция 0Z (X) обладает свойствами, указанными в (д2), то она есть регулярный делитель 0(Z) и по теореме 4.3, (б) Н (0Z) cz Н (0Y) для любого 0Y. Отсюда Н (0Z) сНл = Н (0д). Из теоремы 4.3, (а) следует тогда, что 0'(Z) есть регулярный делитель 0д (М- Этим доказано (д2). Свойство (к2) функции 0V (М доказывается аналогично. "

§ 5. Инвариантные подпространства сжатийкласса €Yn

Согласно предложению II. 3.5, всякое сжатие Т е Сп квазиподобно унитарному оператору, а именно остаточной части/? = /?г минимальной унитарной дилатации U = UT сжатия Т. Это обстоятельство дало нам возможность построить в § II. 5 семейство ультраинвариантных подпространств для Т. Мы продолжим эти исследования, применив методы, развитые в гл. V. Поскольку для унитарных операторов имеется в

распоряжении спектральная теория, то без существенной потери общности мы можем ограничиться вполне неунитарными сжатиями.

Начнем с того, что найдем вид оператора /? в нашей функциональной модели. Пусть Т — вполне неунитарное сжатие в сепарабельном гильбертовом пространстве §, и пусть {®, б*, в (X)} — функция, совпадающая с характеристической функцией оператора Г. Из результатов § VI. 3 (см., в частности, (VI. 3.1) и (VI. 3.17')) вытекает, что оператор R эквивалентен умножению на elt в пространстве AL2(®). Обозначим через ER(^ спектральную меру унитарного оператора R (а — переменное борелево множество на единичной окружности С); оператор ER^ унитарно эквивалентен умножению на функцию -

Г 1 при t е (а),Ха ' I 0 при / е (а'),

где а' = С\а (напомним наше соглашение обозначать через (р) множество тех /, для которых еи е р). .

, Как легко установить, ER(a) = O в том и только том случае, когда А(/) = О почти всюду на (а), резольвентное множество оператора R на С состоит, таким образом, из открытых дуг, на которых радиальный предел функции 0(Z) изометричен почти всюду.

Введем несколько полезных определений.

Определение 1. Для вполне неунитарного сжатия Т обозначим через е (Г) множество тех точек ez^G С, в которых радиальный предел характеристической функции оператора Т существует, но не является изометрическим.

Определение 2. Для произвольного подмножества а окружности С определим существенный носитель sptessa как дополнение относительно С суммы тех открытых дуг окружности С, которые пересекаются с а по множествам лебеговой меры О J).

В этих обозначениях результат предыдущих рассуждений можно записать так:

Предложение 5.1. Для всякого вполне неунитарного сжатия в сепарабельном пространстве § имеет место равенство g(R^ = = spt esse (Г).

!) Таким образом, существенный носитель множества а есть наименьшее замкнутое подмножество окружности С, содержащее почти все точки ц. — Прим, перед.

Напомним в этой связи предложение II. 6.2, утверждающее, что для всякого сжатия Т имеет место включение

и предложение VI. 4.3, согласно которому

o(r)QC = sptesse(r),

по крайней мере для вполне неунитарных сжатий Т е С.ь* характеристическая функция которых обладает скалярным кратным. Для таких сжатий, следовательно,

о^^о^ПС.

Введем еще

Определение 3. Пусть Т — вполне неунитарное сжатие. Борелево подмножество а единичной окружности С назовем остаточным для Т, если оператор ^T^elt^ является изометрическим в почти каждой точке elt е of 1).

После всех этих приготовлений рассмотрим вполне неунитарное сжатие Т класса Сх. в сепарабельном гильбертовом пространстве §. Пусть {6, б*, в (X)} —функция, совпадающая с характеристической функцией Т. Она является *-внешней, и потому к ней применимо предложение V. 4.3 (см. замечание после этого предложения). Таким образом, каждому борелеву множеству а на С отвечает разложение

0(M = 02«W0i«W

функции (6, @„ ©(А,)} в произведение двух сжимающих аналитических функций, с промежуточным пространством §а, причем 01а—внешняя функция и

в1а(^в^в1а(^в^0(е«)*0(^)0(е«)*0(^)^“У^а^-^^“У^а^-^почти всюду на (а), почти всюду на (а'), почти всюду на (а).почти всюду на (а), почти всюду на (а'), почти всюду на (а).(5.1)(5.2)(5.1)(5.2)

в1а(^в^

в1а(^в^

0(е«)*0(^)

0(е«)*0(^)

^“У^а^-^

^“У^а^-^

почти всюду на (а), почти всюду на (а'), почти всюду на (а).

почти всюду на (а), почти всюду на (а'), почти всюду на (а).

(5.1)

(5.2)

(5.1)

(5.2)

Как уже отмечалось выше, эта факторизация в силу предложения 3.3 регулярна. Более того, поскольку функция 0la(Z) внешняя, она является сильным регулярным делителем 0(Z). Поэтому, если Т — функциональная модель оператора Т в пространстве Н, порожденная функцией 0(Z) в смысле теоремы VI. 3.1, то существует единственное инвариантное подпространство Н (0ia), соответствующее делителю 0ia(M- Обозначим это подпространство

!) Таким образом, для того, чтобы борелево множество асС было остаточным для Т, необходимо и достаточно, чтобы с точностью до множеств меры 0 выполнялось включение a =) е (71). — Прим, перев.

для краткости через На. Пусть Та = Т | На. Поскольку функция 0(A) является *-внешней, то

.№ (6) с=(@ j = ©ж//2 (Щ с

откуда следует, что функция 01а(А) *-внешняя. Таким образом., 01а(А) двусторонне внешняя, и то же справедливо для ее чистой части 0?а, которая является характеристической функцией оператора Та. Поэтому ТаеСп. Далее, поскольку в силу (5.1) оператор ©ia(^z9 является изометрией почти всюду на (az), то ©^(е^) обладает тем же,свойством и, значит, а —остаточное множество для Та.

Пусть Hi — подпространство в Н, инвариантное относительно Т и такое, что Tj = Т | Hj cz Сн и а является остаточным множеством для Ть Подпространство Ht соответствует по крайней мере одному регулярному делителю ©ДА) функции 0(A). Поскольку Т^Сц, то чистая часть 0? (А,) функции ©i (А) (совпадающая с характеристической функцией оператора TJ является двусторонне внешней. Следовательно, ©ДА) —также внешняя функция и потому сильный регулярный делитель 0(A). Таким образом, Hi — единственное инвариантное подпространство, соответствующее функции ©! (А),

Н1 = Н(01).

С другой стороны, поскольку множество а является остаточным для Ти то &{{ец) — изометрия почти всюду на (az), и то же справедливо для ©t ^elty.

©! (е^)* ©1 ^еЧ = 1^ почти всюду на (az).(5.3)

Так как ©t (А) — делитель 0(A), то, очевидно,

0 ^виУ 0 (ez9 ^ ©1 (еиУ ©i (ez9 • почти всюду на (0, 2л). (5.4)

Сравнивая (5.3) и (5.4) с (5.1), получаем

©ia (eZT ®ia (5ZZ) ^ ©1 (^У ©i (^0 почти всюду на (0, 2л).

Из предложения V. 4.1, (а) вытекает, что ©j (А) — делитель для ©1а(А). Согласно предложению 4.2, (б), ©ДА) является даже регулярным делителем ©1СДА). Применяя теорему 4.3, (б) к сильным регулярным делителям ©кДА) и ©j (А) функции 0(A), находим, что Н^На(ибо Н^ и На суть единственные инвариантные подпространства, соответствующие делителям ©ДА) и 01а(А)).

Таким образом, мы доказали, что На является максимальным подпространством в, Н, обладающим свойствами

ТНас=На,

Та = Т|НаеСн,

а —остаточное множество для Га.

Эти свойства инвариантны относительно перехода к унитарно эквивалентным операторам. Поэтому существование максимальных подпространств §а, обладающих указанными свойствами, установлено для всякого вполне неунитарного сжатия 7еС? в сепарабельном гильбертовом пространстве §. Ясно, что максимальность подпространства §а влечет его единственность. Покажем, что §а является даже ультраинвариантным для Т, т. е. инвариантным относительно всякого ограниченного оператора X, перестановочного с Г. Действительно, можно считать, что X-1 существует в узком смысле. В противном случае мы заменили бы X на X — р/, где |р|>||Х||. Подпространство §'= Х§а инвариантно относительно Т, и оператор Т'а = Т |§' подобен Га:

T'a = STaS-\ где S = X|§a.

Далее, S является аффинитетом (обратимым в узком смысле линейным ограниченным оператором) из §а на £>'. Следовательно, Гае Сн влечет условие Та е Си. Обозначая через Ra и Ra остаточные части минимальных унитарных дилатаций оператороов Та и Та соответственно, получаем, что Ra квазиподобно Та1 a Ra квазиподобно Та. Поскольку Та и Та подобны, то Ra и Ra квазиподобны и, следовательно, унитарно эквивалентны (см. предложение II. 3.4). Отсюда следует, что множество а, остаточное для Га, будет остаточным также для Та. В силу макси- мальнбсти §а имеем §' cz §а, Х£>а cz §а. Этим доказана ультраинвариантность Фд.

Вернемся к рассмотрению модели Т оператора Г в Н и найдем условия, при которых Haicz Ha2. Согласно теореме 4.3, для того чтобы выполнялось это включение, необходимо и достаточно, чтобы 0ittl(M было делителем ©ia2(A). Но если одна сжимающая аналитическая функция 0^) является делителем другой такой, функции 02(А), то ввиду соотношения 02 (X) = 0i (X) ©i (X)

02 (еиУ 02 ^ = 0j 1еиУ 0I (ez9 - 0t (е“У [/ - 0J (elty 0{ (e^)] 0t (ez9 и, следовательно,*

02 ^ИУ 02 (ez9 ^ 0i (еиУ 0! (ezz) почти всюду.' (5.5)

Если функция 0i (А) внешняя, то, обратно, из этого неравенства вытекает, что ©ДА,) является делителем 02(А) (см. предложение

V. 4.1, (а)). В применении к рассматриваемому случаю эти утверждения приводят к следующему результату. Для того чтобы Нсц cz На2, необходимо и достаточно, чтобы

0ia2 (еиУ 01а2 (еи) < 01а( <еиУ 0iai (elt) почти всюду.

В силу (5.1) это условие равносильно условию, что почти все точки множества at П а' принадлежат е (Г/, или же условию, что дополнительное множество a' U «2 является остаточным для Т. Итак, для того чтобы Hai cz Ha2, необходимо и достаточно, чтобы множество a' U а2 было остаточным для Т. Это условие выполняется, в частности, если a1 cz а2, ибо тогда a'Ua2 = C.

Из полученного результата следует, что Ha,= Ha2 тогда и только тогда, когда оба множества a' U «2 и а2 U ai являются остаточными для Т. Последнее в свою очередь равносильно тому, что пересечение этих множеств остаточно для Т. Поскольку это пересечение является дополнением в С симметрической разности «! △ а2 множеств «! и а2, то имеет место следующий результат. Для того чтобы Httl = На2, необходимо и достаточно, чтобы дополнение в С множества «! △ а2 было остаточным для Т (т. е. чтобы оператор 0Г (ez9 был изометрическим почти во всех точках elt е «! А а2).

Перейдем к другой задаче. Пусть {an} —(конечная либо бесконечная) последовательность борелевых множеств an cz С. Положим a = (Jan. Поскольку ancza, то Htt/i cz Н«, так что

" M=VHa С Н„. (5.6) п п

Подпространство М инвариантно относительно Т и соответствует по крайней мере одному регулярному делителю Q(X) функции 0(Х). Поскольку Ha^czM, то по теореме 4.3, (а) 0iartW есть делитель Q(X). Так как Q (Z) — делитель 0(Z), то

0 ^еиУ 0 (ez/) ^ Q (еиУ Q (ezZ) ^ ®ian (енУ 0ia/1 (ezz) почти всюду, откуда в силу (5.1)

Q (еиУ Q (ezz) = 0 <еиУ 0 (ezz) (5.7)

почти всюду на (ап\ Поскольку это справедливо при n= 1, 2, ..., то (5.7) имеет место почти всюду на (а). Снова применяя (5.1), получаем - ’

Q ^иУ Q (ezz) < 0la <еиУ 0la (ezz) почти всюду.

На основании предложения V. 4.1, (а) 01а(^) является делителем Q (X), а на основании предложения 4?2, (б) — даже регу-

лярным делителем. Применяя теорему 4.3, (б) и учитывая, что На — единственное инвариантное подпространство, соответствующее ©la (М, получаем На(=М, или же ввиду (5.6) М = На.

Рассмотрим частные случаи, когда а пусто или совпадает со всей окружностью С. Если а пусто, то, согласно (5.1), оператор ©ia(el9 изометричен почти-всюду и, следовательно, функция ©la (X) является внутренней. Будучи в то же время внешней, она должна быть унитарной константой (см. предложение V. 2.3). Применяя формулу (1.47), находим На = {0}.

Если а = С, то, согласно (5.1),

©1а ^У ®1а (^9 = ® ^У © (^Z9 почти ВСЮДу,

откуда следует, что 01а(М является внешним множителем

Следовательно, в триангуляцииСледовательно, в триангуляциив канонической факторизации 0(Х) (см. предложение V. 4.1,(б)).

Следовательно, в триангуляции

Следовательно, в триангуляции

Т видаТ вида(см. § 3.3). В частности,(см. § 3.3). В частности,На — подпространство, отвечающее клетке С.х С-!*

Т вида

Т вида

(см. § 3.3). В частности,

(см. § 3.3). В частности,

. о С.о_

если ТеСп, то На=Н при а = С.

Итак, для случая Т е Сн можно сформулировать такую

теорему.

Теорема 5.2. Пусть Т — вполне неунитарное сжатие класса Сн в пространстве % =£ {0}, а — переменное борелево подмножество единичной окружности С. Среди подпространств 2 cz £>, инвариантных относительно Т и таких, что T|2czCH и а является остаточным множеством для Т |2, существует максимальное (т. е. содержащее все остальные), обозначаемое через %а. Это подпространство §а ультраинвариантно относительно Т. Кроме того, (1) ^а = {0} при «=0, §« = § При а = С;

V %а = §а при а = и а«; п

^Ql <= §а2 в том и только в том случае, если a' U а2 является остаточным множеством сжатия Т; в частности если aj cz а2.

Как следствие этих свойств имеем

§а1 = Фа2 тогда и только тогда, когда дополнение в С симметрической разности множеств aj и а2 является остаточным для Т;

фа = {0} в том и только том случае, когда С \ а — остаточное множество для Т;

§а = % тогда и только тогда, когда а является остаточным множеством для Т.,

Напомним, что оператор Т класса Си квазиподобен R и потому пространство 91 оператора R не может сводиться к {0}. С другой стороны, поскольку оператор Т вполне неунитарен.

то спектр его минимальной унитарной дилатации U, а следовательно, и спектр оператора R абсолютно непрерывны. Отсюда вытекает, что а(/?) является непустым совершенным подмножеством в С. Если а и р — открытые непересекающиеся дуги на С, каждая из которых имеет непустое пересечение с совершенным множеством s^R\ то соответствующие подпространства фа и §р нетривиальны (в силу (б) и (в)), различны (в силу (а)) и, кроме того, ни одно из них не содержит другого (в силу (3)). Таким образом, из теоремы 5.2 вытекает, в частности, что существует бесконечное множество ультраинва- риантных относительно Т подпространств и что оператор Т не является одноклеточным (см. п. III. 7.2).

§ 6. Спектральное разложение сжатий класса Сп, характеристические функции которых обладают скалярным кратным

Для вполне неунитарных сжатий класса Си, характеристические функции которых обладают скалярным кратным, теорема 5.2 может быть дополнена. Начнем со следующего утверждения..

Лемма 6.1. Пусть (6, 6,, 0 (X)} — сжимающая аналитическая функция, обладающая скалярным кратным б (А), и пусть 0(А) = =02 (М 01 (А) — разложение 0(A) в произведение сжимающих аналитических функций (6, 8, ©i (А)} и {§, 6*, 02(А)}, причем оператор ©2(^) является изометрией в точках t некоторого множества положительной меры. Тогда ©ДА) также обладает скалярным кратным б (А).

Доказательство. По предположению существует такая сжимающая аналитическая функция {®*, ®, Q(A)}, что

Q(A)02(A)01(A) = 6(A)/@,

©2 (A)©i (A) Q (А) = б (А) 7^.(

Из второго равенства следует, что

02 (А) Ф (А) = О, где Ф (А) = ©t (A) Q (А) 02 (А) - б (А) h

и, значит,,

02 (е1/) Ф ^elt) = О почти всюду.

Поскольку оператор 02(е^) изометричен на множестве положительной меры, то Ф(е^) = О на этом множестве. Поэтому Ф(А), будучи ограниченной аналитической функцией, равна тожде-

ственно нулю в D, откуда

ММЩМ^НШ)/^(6.2)

Равенство (6.2) и первое из равенств (6.1) показывают, что ©ДА,) обладает скалярным кратным д(Х).

Пользуясь этим, докажем теперь теорему, которая в сочетании с теоремой 5.2 дает спектральное разложение наших операторов.

Теорема 6.2. Для вполне неунитарного сжатия Т е Сп, характеристическая функция которого обладает скалярным кратным, инвариантные подпространства %а, введенные в теореме 5.2, обладают дополнительно к перечне ленным там следующими свойствами;

a(Ta)cza (где а —замыкание а);

^а = П $«_ при а = П а». пп

Доказательство. (4) В силу (5.2) 02a(ezZ) является изометрией почти всюду на (а). Если а имеет положительную меру, то по лемме 6.1 ®la(Aj также обладает скалярным кратным. Это же верно и тогда, когда а имеет нулевую меру, так как в этом случае на основании (5.1)

01а ^У ®1а (е1?) = ® ^У @ (cZZ) ПОЧТИ ВСЮДУ

и, следовательно, функции ®1а(Х) и ©(А,), будучи внешними, отличаются друг от друга только левым постоянным унитарным множителем (см. предложение V. 4.1). Таким образом, во всех случаях 0ia(X) обладает скалярным кратным. В силу предложения V. 6.8 чистая часть ©1а(М также обладает скалярным кратным. Эта чистая часть совпадает с характеристической функцией оператора Та. Так как оператор Та вполне неунитарен и входит в класс С1Ь то на основании предложения VI. 4.3

ст (То) = spt esse(7a)

(см. п. 5.1). С другой стороны, в силу теоремы 5.2 а является остаточным множеством для Та. Поэтому часть множества е(Та), лежащая на а' и тем более на а', имеет меру нуль. Поскольку а' есть объединение открытых дуг, то

а' с= [spt ess г (Та)]', а zd spt ess е (Га),

и, следовательно, o^Tjcza.

Проведем рассуждения для функциональной модели Т оператора Г в Н. Если a = П а„, то a cz а„ (n = 1, 2, ...) и по

теореме 5.2 НасНа„ (п=1, 2, ...), откуда

Нат М = (^ Н«п Н«.(6.3)

Подпространство М, будучи инвариантным относительно Т, соответствует по крайней мере одному регулярному делителю Q(X) функции 0(Z). Из включения (6.3) на основании теоремы 4.3, (а) вытекает, что 0la(Z) является делителем, Q (A), a Q(Отделителем 0iamW (m—1, 2, ...). Поэтому

SvA^X^Ae^W1^(m=l, 2, ...)

почти для всех t. В силу (5.1) имеем тогда

Q (еО* Ще'О = @ia(ezT®ia(e^ почти всюду. (6о4)

С другой стороны, Q(O является регулярным делителем 0ia (А) (см. предложение 4.2, (б)). Поэтому множители в регулярной факторизации 0iam (О = Qm (О Q (О должны быть таковыми, чтобы оператор Qm(ez9 был изометричен почти везде, где изо- метричен ©^(еО (см. п^дложения 3.1 и 3.2, (в)), т. е. почти везде на (а^). Допустим, что а^ имеет положительную меру хотя бы при одном т. Как мы отмечали в процессе доказательства утверждения (4), функция ©ia(M (при произвольном а) обладает скалярным кратным. Таким образом, 0ia/n(^) обладает скалярным кратным и, следовательно, по лемме 6.1, Q(X) обладает скалярным кратным. Кроме того, поскольку Q~ (X)Q^ ^ = = 0iam (X), а 0^ W — внешняя функция, то, функция Q(Z) является *-внешней, а на основании теоремы V. 6.2, (в) даже двусторонне внешней. Поэтому соотношение (6.4) для внешних функций Q(Z) и 0ia (X) показывает, что они отличаются друг от друга лишь постоянным левым унитарным множителем (см. предложение V. 4.1), так что М = На. Это равенство доказано пока лишь в случае, когда одно из множеств а^ имеет положительную меру. Но в остающемся случае все множества ah a2,..., а также их пересечение а являются остаточными множествами для Т; и, следовательно, Hai = Ha2= ... =Н, На=Н (см. теорему 5.2, (в)).•

Теорема доказана.•

Перейдем к другой, близкой задаче — исследовать вполне неунитарные сжатия класса С.ц у которых по крайней мере одно из дефектных чисел Ьг, Ьт* конечно. Поскольку характеристическая функция 0Г (Z) такого сжатия являете» внешней, то

Ьг* = dim £^* ^ dim ФТ = Ьг

(см. замечание в конце п. V.2.3). Следовательно, наше предположение о дефектных числах сводится к конечности ^т*.

Теорема 6.3. Пусть Т — вполне неунитарное сжатие класса C-i, такое, что Ьу*<оо. Тогда либо каждая точка открытого единичного круга D является собственным значением оператора Т, либо ни одна точка D не входит в спектр Т. Для того чтобы имел место второй случай, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих трех ^эквивалентных) условий*.

т^си,

Ьг = by* и det [@7 (X)] ^ О,

0у (Л) обладает скалярным кратным.

• Доказательство. Поскольку линейный оператор не может отобразить какое-либо пространство на пространство большей размерности, то в случае Ьг>Ьу* оператор €М^)-1 не может существовать даже в широком смысле ни при каком X е D. То же справедливо и в случае, когда br = by* (> 0), но det[0у(X)] = 0. В силу теоремы VI.4.1 каждая точка XeD является поэтому собственным значением Т. Остается рассмотреть случай by = by*, det [0Г (Z)] ^ 0, т. е. случай (2). Согласно предложению V. 6.1, в этом случае 6у(Х) обладает скалярным кратным, т. е. выполняется условие (3). Обратно, из (3) вытекает, что функция 0у (Z), будучи внешней (в силу включения Т е С.1), является *-внешней (см. теорему V. 6.2, (в)), и, следовательно, Т е Сп . Таким образом, (3) влечет (1). Наконец, из (1) следует, что 0 не является собственным значением для Т, откуда, как мы уже видели, вытекает (2).

Примеры. Оба случая, указанные в теореме, могут иметь место в действительности. Приведем соответствующие примеры.

Функция {jE1, Е1, — (Z — 1)| является чистой сжимающей аналитической и, в силу предложения III. 1.3, (очевидно, двусторонне) внешней. Порождаемое ею сжатие Т входит в класс Clb Ь7 = Ьу*= 1. Следовательно, спектр а (Г) расположен на единичной окружности.

Функция {Е2, Е1, 0(Z)}, где

®(М

Xi

х2_

—• — (X — 1) Xi НХх^,

есть, очевидно, чистая сжимающая аналитическая функция. Она является внешней, поскольку

0(М

'-2/2 м(М

L /2 u(mj

(u е Н2^

откуда

©Н2 (jE2)^^^^2^1).

Сжатие Т, порождаемое этой функцией, входит в C.i, b7 = 2, Ьт*=1. Следовательно, всякая точка круга D является собственным числом для Т.

Комментарии

Основная теорема 1.1, устанавливающая связь между инвариантными подпространствами вполне неунитарного сжатия Т в сепарабельном пространстве § и регулярными факторизациями характеристической функции 6&(М, была доказана впервые в С.-Н. и Ф. [4] и [IX]. В то же время имеются некоторые отличия в изложении, которые мы сейчас отметим.

Мы используем здесь, так же как и в цитированных статьях, функциональную модель {Н, Т} для {Ф, Г}, порождаемую функцией ©т (А) или какой-либо другой сжимающей аналитической функцией {@, ©*, О (Л)}, совпадающей с ®r(Z). Пусть 8(Z) = = ®2(М®1 (М — разложение ®(Х) в произведение двух сжимающих аналитических функций {®, §, Oj (X)} и {8, ®*, ®2(^)}, и пусть Z — соответствующий изометрический оператор

Z:

(см. (1.42)). Если оператор Z унитарен (т. е. если факторизация регулярна), то можно отождествить элементы двух пространств, которые отвечают друг другу при отображении Z, и перейти таким образом от модели (Н, Т} к унитарно эквивалентной модели (5g, £7"}, определяемой формулами

5g = [Я2 (6.) ф ^ Ф А^з (6)] © ©{©гв^фАг^ифА,»: ыеЯ2(б)),(1)

^ («.Фу2Ф У1) = e-lt [u. (е“) - и.^\®е-ии2®е-и Uj (2) '(и, фу2ф У1 ® 36\

Так и было сделано в цитированных работах. Разложению Н = Н,фН2 (см. (1.47) — (1.48)) отвечает разложение 5g = = 5g1®5g2, где

. 5g1 = {02M©A2u©v1: «еЯ2(8), и^А^2^)}©

©{0z01a>©A20Ite>©A1a»: гае Я2 (6)},(3)

5g2 = [Я2 (® J Ф A^W) ф (0)1 © 1©2« ф Д2М Ф 0: м е № (8)}.(4)

Пока мы имеем дело с фиксированной регулярной факторизацией, оба способа представления совершенно равноправны. Но при изучении соотношений между инвариантными подпространствами, отвечающими различным регулярным факторизациям, модель {3^, £Г} неприменима, поскольку она зависит от выбранной факторизации. Именно поэтому в настоящей книге мы предпочитаем строить инвариантные подпространства в исходной модели {Н, Т}. Это сделало возможным получить результаты, содержащиеся в предложении 2.4, в теореме 4.3, а также в § 5 и 6. -

' Тх 96О £Г2' Тх 96О £Г2Однако функциональное пространство 96 и оператор ^ в нем имеют то преимущество, что их можно построить по формулам (1) и (2) независимо от того, является ли рассматриваемая факторизация регулярной или нет. Оператор ^ всегда будет сжатием в 96, подпространство 96 х, определяемое формулой (3), — инвариантным относительно 9", а подпространство 96ъ определяемое формулой (4), — ортогональным дополнением 96х в 96. Кроме того, можно доказать (аналогично тому, как это было

' Тх 96

О £Г2

' Тх 96

О £Г2

еслиесли9"^9"^— триан— триансделано в предложении 2.1), что

если

если

9"^

9"^

— триан

— триан

гуляция 9", отвечающая разложению 96 = 96х^96ъ то характеристические функции операторов 9" х и 9\ совпадают с чистыми частями (^(Х) и ®2(М соответственно. Но если рассматриваемая факторизация нерегулярна, то 9* не будет унитарно эквивалентно оператору Т (или, что то же, оператору Т\ В самом деле, поскольку оператор Z не является в этом случае унитарным,

то пространство

Z = [A2L2 (8) ф А^2 (6)] © Z АЛ2 (6)

не является нулевым. Отсюда следует, что 9" есть ортогональная сумма сжатия, унитарно эквивалентного оператору Т (или Г), и унитарного оператора умножения на еи в пространстве Z. -

Таким образом, мы получаем следующий результат.

Т\ОТ\Ох'х'Теорема. Пусть Т — вполне неунитарное сжатие в пространстве %. Каждому разложению 6Т (А) = ©2 (X) (Е^ (Z) его характеристической функции на сжимающие аналитические множители соответствует подпространство, инвариантное для некоторого сжатия Тг в пространстве ^, вполне неунитарная часть которого совпадает с Т, а унитарная часть имеет абсолютно непрерыв

Т\

О

Т\

О

х'

х'

ный спектр.ный спектр.Это соответствие таково, что если Тг =

ный спектр.

ный спектр.

триангуляция оператора Т' относительно этого инвариантного подпространства и его ортогонального дополнения, то характеристические функции операторов Т\ и Т^ совпадают с чистыми частями функций Oj (Z) и ®2(М соответственно.

См. С.-Н. и Ф. [3] и [IX], стр. 300.

Тот факт, что каждому нетривиальному инвариантному подпространству оператора отвечает некоторая нетривиальная факторизация его характеристической функции, был обнаружен советскими авторами; см. Лившиц [2], [3], Лившиц и Потапов [1], М. С. Бродский [1], Бродский и Лившиц [1] и др. В этих работах речь идет об операторах, которые отличаются от унитарных или самосопряженных на конечномерный оператор или, самое большее, на оператор с конечным следом (т. е. ядерный). Указанные авторы заметили также, что и обратно, каждой факторизации характеристической функции отвечаем подпространство, инвариантное относительно оператора, отличающегося от Т на ортогональное слагаемое, представляющее собой унитарный или самосопряжейный оператор. Однако признаки того, что такое разложение порождает подпространство, инвариантное относительно самого данного оператора, были обнаружены ими лишь в отдельных частных случаях (см. Бродский и Лившиц [1], теорема 16; Шмульян [2], теорема 2.7); эти признаки сложнее, чем наш признак регулярности. В частности, Шмульян ([2], § 4) получил результат, эквивалентный случаю (2) нашего предложения 3.5. О дальнейшем развитии этих исследований см. Бродский и Шмульян [1] и недавнюю монографию М. С. Бродского [9]. -

Результаты, представленные в настоящей главе, хотя и вызваны отчасти влиянием проблем, изучавшихся в работах цитированных выше авторов, но получены совершенно иным путем, связанным с изучением геометрической структуры унитарных дилатаций и с функциональными моделями. За исключением предложения 2.4, § 1 и 2 в существенном воспроизводят части заметок С.-Н. и Ф. [4] и [IX]. Предложение 2.4, а также весь- § 4 представляют собой переработку и уточнение ряда результатов, изложенных кратко в статье С.-Н. и Ф. [7]. Предложение 3.2 является новым. Разложение операторов класса Си было указано уже в работах С.-Н. и Ф. [IX] и [IX bis], но исследования § 5 и 6 являются значительно более завершенными.

У читaтeля^ несомненно, возник вопрос: верна ли теорема 6.2 (установленная нами для сжатий класса Сп, характеристические функции которых обладают скалярным кратным) для произвольных вполне неунитарных сжатий класса Сп? Свойство (4

(см. формулировку теоремы) в общем случае не выполняется. Действительно, возьмем в качестве Т такое сжатие в ^, что 07(А) = Л, где А — самосопряженный оператор со свойствами: а) О < А ^ Ц б) 0 и 1 не являются собственными значениями А, в) оператор Д’"1 неограничен. Пусть а— дуга окружности С, отличуая от С. Как было показано в п. V. 4.5, в факторизации 0Г (А) = 02а (A) 0ia (А) функция 01а (А) имеет унитарные предельные значения 0ia(e^) почти всюду на аг и не может быть аналитически продолжена через а'. По теореме VI. 4.1 а(Та)=)а' (на самом деле з^Т^ = С\ Тем самым показано, что свойство (4) не имеет места. .

Неизвестно, справедливо ли свойство (5) из теоремы 6.2 во всей общности. Эта проблема связана со следующей. Пусть 0(A) —двусторонне внешняя сжимающая аналитическая функция, и пусть оператор 0(е^) изометричец на множестве положительной меры. Будет ли любой регулярный делитель функции 0(A) двусторонне внешним?

Теорема 6.3 приведена в С.-Н. и Ф. [IX] (теорема 2) в более общем виде, но в доказательстве обнаружен пробел. До сих пор неизвестно, справедливо ли это утверждение в этом более общем виде. Менее общее утверждение, приведенное в тексте настоящей книги, указано в С.-Н. и Ф. [IX bis]. Основная проблема, остающаяся открытой, — изучить строение сжимающих аналитических функций, внешних с одной стороны и внутренних с другой.

В связи с настоящей главой см. также С.-Н. и Ф. [8], Ку же ль [4*].

ГЛАВА VIII

СЛАБЫЕ СЖАТИЯ

Существование скалярного кратногоу характеристической функции

Как известно, самосопряженный оператор А^О в гильбертовом пространстве § называется оператором с конечным следом или ядерным, если этот оператор вполне непрерывен и сумма его собственных значений (с учетом кратности) конечна. Эта сумма называется следом оператора А и обозначается через 1гЛ.

Если А (^0) — ядерный, а X — ограниченный оператор в §, то оператор А' = Х*АХ также ядерный. В самом деле, оператор Л' вполне непрерывен и Л' ^ О. Далее, если

л = 2й„(-, ф„)ф„, А- = 2^(-. ф;м

суть спектральные разложения операторов Л и Д' по ортонор- мированным системам (фп] и [ф^] (цп>0, р^>0), то 2^=2 фУ - 2 ИМ. М) - 2 2 н„! ti I2 - tnтmт п

- 2 ^ 21 (фУ х-ф,) р < 2 н„ | хх р < || х- if 2 и,п тпп

и, следовательно,

* 1г(ГЛХ)<ННг Л.

Отсюда, в частности, следует, что если Ра — ортопроектор из § на подпространство 2 и Л — ядерный оператор, то оператор РаАРа, а с ним и Аа = РаА\й также будут ядерными.

Введем следующее

Определение. Сжатие Т в гильбертовом пространстве ф будем называть слабым, если (1) его спектр а (Г) не покрывает единичного круга D и (2) оператор / — ТТ является ядерным.

Согласно этому определению, унитарные операторы и сжатия с конечным дефектным числом Ьг, такие, что о^П^О, являются слабыми сжатиями.

Напомним, что если Т — сжатие, то сжатием будет и

Та = (7-alHI-аТГ1 (laid).

При этом

1-ГаТа = 5Ч1-ГП5, где S^l-MW-aTT'

(см. п. VI. 1.3). Поскольку, с другой стороны, o(TJ является образом о (Г) при отображении ^-^^а^уЕ^» то при любом a^D оператор Та будет слабым сжатием, если таковым является Т.

Пусть Т — слабое сжатие. Зафиксируем точку а^ D, не принадлежащую а (Г), т. е. такую, что Гд1 существует (в узком смысле). Пусть .

U-T’aT^h-^^h, ф„)ф„(1.1)

— спектральное представление / — ТаТа в ортонормированной системе собственных элементов фп, отвечающих собственным значениям цп#=0. (Если оператор Та унитарен, то правая часть равенства (1.1) считается равной нулю.) Имеем

(ЛХ’ Ta^m) = (фт- Фп) ~ ( V “ ^а) Ф„> Фп,) == (1 Нп) (фщ> Фп) = (1 ^п^тп1

Так как Т^^О, то 1— ц„>0 и векторы

ik-tl-lU^TVp»'(1.2)

образуют ортонормированную систему. Далее,

откуда

В силу (1.1) —(1.3) для произвольного ge%-

v - тп7 «8 -тл7 -т;гл « - -1*. и. мт-%=

= 2Х(«’ 7'X)*« = Sli„(7'„g, Ф„)Ф„.

Поскольку Та% = Ф, то

<1-ТЛН = ^п^ Ф„)Фп(1.4)

для произвольного he^. Отсюда следует, что 1-ТаТа имеет те же ненулевые собственные значения, что и I — ТаТа>и потому

tr (/ — ТОТ^ = tt (/ — Т*оТа). ПОСКОЛЬКУ 0 ф О (Та), ТО Та ЯВЛЯЕТСЯ слабым сжатием. Наконец, из очевидного соотношения

T=(faka

вытекает, что Т — слабое сжатие. Итак, если Т — слабое сжатие, то таковым является и Т\

Следующая теорема выражает важное утверждение о слабых сжатиях.

Теорема 1.1. Характеристическая функция слабого сжатия обладает скалярным кратным.

Доказательство. Выберем точку а, как выше, и рассмотрим сначала характеристическую функцию оператора Та. Заметим, что дефектные пространства оператора Та имеют одинаковую размерность; в качестве ортонормированных базисов в этих пространствах могут быть взяты, системы {$„} и {фп} собственных векторов операторов / — ТаТа и / — ТаТа соответственно, связанные друг с другом соотношениями (1.2) и (1.3).

Если эта размерность конечна и равна N, то бг^Х) имеет относительно этих базисов матрицу

. [(^Ш,., ^)](/,/=1,2/V).(1.5)

Поскольку оператор ©та (0) = — Та| Фт обратим, то применима теорема V. 6.1. Из нее следует, что детерминант d^X) матрицы (1.5) является скалярным кратным функции 0ra(Z). Кроме того,

(0г;(О)фр Ф/)= - (^аФр Ф/)= - 0 - и,)2 (Ф,-> Ф/) = = -(i-^dz/, откуда

N

IrfWP^IKi-pj>o.(1.6)

Пусть теперь дефектные пространства оператора Та имеют бесконечную размерность. Обозначим через Р^ и Р^ ортопроекторы в этих пространствах на подпространства, порождаемые векторами фь ..., фп и ф^ ..., фп соответственно. Определим функции |®7 , ®7*, 0П(Х)| (п=1, 2, ...) формулами

^Wt = p^T WP(n)f + S(f, фМ (^®т>

Эти функции сжцмающие аналитические, и

0„ W*g = Pw@Ta (X)* P^g + 2 (5, Ф6) Ф6 (g е © *\ п+1К 1 а}

При п—> оо имеем для Хе D

0«(X)-*0ra(X), 0„(Х)*-»0га(Х)* (сильно). (1.7) Пусть dMCk) — детерминант матрицы

[(0ra(X)<pz, ф/)](<‘, /= 1, .и).

Используя те же соображения, что и при установлении равенства (1.6), получаем, что

|dw(0)l2=II(l-^)(1.8)

и dwQ^ является скалярным кратным сжимающей аналитической функции {©(п), ФТ\ 0w(X)}, где

^W = р^т ^ = pW^ @(n) ^ = pto^ ^ I фЮ, а*1 а* а *

Поэтому существуют такие сжимающие аналитические функции {©^, ©(n), Q(n)(M} (п=1, 2, ...), что

(X) 0W (X) = а№ (X) 7^), Р>№ (X) Q(n) (X) = d№ (X) 7ф(„).

Полагая

(X) g =(X) P^g + dw (X) 2 (g, Фй) Фй (g е ©г.),

получаем сжимающие аналитические функции |®/, ©га, йп(Х)| (и=1, 2, ...), такие, что

йп (X) 0„ (%) = dto (X) I$ , 0„ (X) Q„ (X) = d№ (X) /Ф ..(1.9)

Поскольку дефектные пространства оператора Та сепарабельны, а функции d№ (X) и Q(n) (X) аналитичны и ограничены: |dW(X)|<l, ||Q„(MII<1 (Хе О),

то в силу теоремы Витали — Монтеля существует такая последовательность индексов ^—>00, для которой d^"^ (X) стремится в D к некоторой аналитической функции d(X), |j(X)|^l, и Qn^X) стремится (слабо) к сжимающей аналитической функции Q(X).

Ввиду сильной сходимости в (1.7) получаем из (1.9) с помощью предельного перехода (см. уЛекции^ п. 84)

Q(X)0r W = dMUT > ®r MQ^ = d^Ii> »• aa aTa

Кроме того, согласно (1.8)

и(0)|2 = П(1-^).

1

Поскольку 1—ц;>0 (Z = 1, 2, ...) й Sp/ = tr(Z-rX)<<»,TO d (0) =# 0. Итак, d^^O и, следовательно, d^ является скалярным кратным характеристической функции оператора Та.

Из соотношения между характеристическими функциями операторов Т и Та (см. п. VI. 1.3) вытекает, что Т также имеет равные дефектные числа и 6 (X) =• d ( ^ ду^ является скалярным кратным функции 0Г(Х)1).

Пусть Т — такое сжатие в Ф, что оператор I — Т*Т является ядерным, и пусть 2 — инвариантное подпространство относительно Т. Если 7’8 = 7'|2, то

Z8-7’78 = .Ps(/-TT)|2,

Уз , [Уз 2 л = [ 2Уз , [Уз 2 л = [ 2(X ев D)(X ев D)где Рз — ортопроектор на 2. На основании замечания, сделанного в начале предыдущего пункта, оператор Z8 —Т8Т8 также ядерный. Однако возможен такой случай: Т является слабым сжатием, а Та таковым не является. Пример можно построить с помощью регулярной факторизации 1

Уз , [Уз 2 л = [ 2

Уз , [Уз 2 л = [ 2

(X ев D)

(X ев D)

(1.10)

скалярной функции 0(Х) =-1-^-Х(см. VII. 8.4). Действительно 0(Х) является характеристической функцией вполне неунитарного сжатия Т с дефектными числами, равными 1, причем a (Г) П D = {0}. Поэтому Г —слабое сжатие. Регулярная факторизация (1.10) порождает в смысле теоремы VII. 1.1 инвариантное подпространство 2 оператора Т, Поскольку второй множитель в (1.10) является чистой сжимающей аналитической функ-

’) Нетрудно показать, что d (X) является (бесконечным) определителем (см., например, Г о х б е р г и Крейн [4], стр. 214) матрицы оператора ®r (X), вычисленной относительно ортонормированных базисов (ф Л и (фЛ.—Прим. ред.

цией ^Е1, Е2, ©JA)}, то он совпадает с характеристической функцией оператора 78 = 712 (см.- предложение VII. 2.1). Так как ©! (X) отображает при каждом А пространство Е1 в пространство Е2, то это преобразование не имеет обратного, определенного всюду в Е2. По теореме VI. 4.1 спектр оператора Те покрывает круг D, и Та не является слабым сжатием.

Разложение Со — Си

Заметим, что если Т = 7<0)ф7(О) — каноническое разложение сжатия в пространстве Ф на унитарную часть Т^ и вполне неунитарную часть Т№, то

у — РТ = [7(0) — 7,0)*7(0)] ф О,

и a (Т) П D = о(7<0)) f) D. Таким образом, сжатие Т является слабым в том и только том случае, когда Т^ —слабое сжатие. Поэтому, не ограничивая общности, мы можем в дальнейшем считать, что оператор Т вполне неунитарен.

Итак, пусть Т — вполне неунитарное слабое сжатие в §, и

X 'rd*X 'rd*Ф = Фо Ф Ф1Ф = Фо Ф Ф1(2.1)(2.1)пусть

X '

rd*

X '

rd*

Ф = Фо Ф Ф1

Ф = Фо Ф Ф1

(2.1)

(2.1)

— его триангуляция вида

(2.2)(2.2)Со. *

(2.2)

(2.2)

-О Ср

Она отвечает *-канонической факторизации функции 0Г(А) (см. п. VII. 3.3); при этом характеристические функции операторов То и 71 совпадают с чистыми частями соответственно *-внутрен- него и *-внешнего множителей функции 0Г(А). Как доказано выше, 0Г(Х) обладает скалярным кратным (теорема 1.1). Отсюда следует, что множители в *-канонической факторизации 0Г(А), а значит, и их чистые части также обладают скалярными кратными (см. предложения V. 6.4 и V. 6.8). Следовательно, эти чистые части являются соответственно двусторонне внутренней и двусторонне внешней функциями (см. теорему V. 6.2) и потому 70еС00 и Т'еСп (см. предложение VI. 3.5). Из теоремы VI. 5.1 следует тогда, что Тое Со .

Пусть тГо (А) —минимальная функция оператора 70(тГс(А)= 1, если Ф0 = {0}, и только в этом случае). В силу теоремы III. 5.1 спектр То в D состоит из нулей функции тт (А), т. е. является дискретным в D множеством. Поэтому 70 = 7|Ф0 — слабое сжатие.

Более того, ф0 является максимальным среди подпространств, инвариантных относительно 7’, в которых Т индуцирует сжатие класса Со . В самом деле, пусть 2 — некоторое инвариантное относительно Т подпространство в §, такое, что 7g = T|2e еСосСо.. Тогда

Tnl = Tel->0 при Ze 2, п-*оо. Так как

§о = {А:Tnh-^

(см. (II. 4.3)), то 2 е£0. ,

Поскольку оператор Т\ входит в Си и его характеристическая функция обладает скалярным кратным, то а^) лежит на единичной окружности С (см. предложение VI. 4.3). Так как, кроме того, Т\ =T*|^i и Т* — слабое сжатие, то слабым сжатием является Т\ , а значит, и Т'г

Покажем, что ^'\ является максимальным среди подпространств 2„ инвариантных относительно Т* и таких, что Г*|2, е е Сп. В самом деле, положим для такого 2,

Т. = (Г* 12.)*, 2; = (Z: I е 2„ mT. (Т.) I = 0}.

Подпространство 2' инвариантно относительно Т„ и тт„(?') = О, где 7*' = ГJ 2'. Отсюда следует, что

= О при п-^оо.

Поскольку 7,еСп, то 2' = {0}. Итак, из условий /е2„ тт,(Г,)7 = 0 вытекает, что Z = 0. Это равносильно соотношению

^ЖГ2; = 2,.(2.3)

Для произвольного и е Н°° имеем

и (ТУ = “~ (Г) = “~ (Г ^) = и~ (Г*) 18 = и (ТУ 12

и, следовательно, при Ze 2, и /ге§0

(и (ТУ I, /г) = (и (ТУ I, А) = (Z, и (Г) h) = (Z, и (Т^ h\

В частности, при и = тТб получаем

(mro(7j/,/z) = O (Ze 2, h е %у

откуда mTo (ТJ* 2^ ± ^ 0. В силу (2.3) отсюда вытекает, что 8.1 ^о, 8. <= Й.

Наряду с триангуляцией (2.1) ляпию„ ГГ1 У1т =, ,Lo То JНаряду с триангуляцией (2.1) ляпию„ ГГ1 У1т =, ,Lo То Jрассмотрим также триангу-§ = ^1Ф§0,(2.4)рассмотрим также триангу-§ = ^1Ф§0,(2.4)видавидаС.} *. О С.о.С.} *. О С.о.(2.5)(2.5)Применяя рассуждения, аналогичные приведенным выше, или же замечая просто, что существование триангуляции вида (2.4)Применяя рассуждения, аналогичные приведенным выше, или же замечая просто, что существование триангуляции вида (2.4)равносильно существованию триангуляции вида (2.2) для оператора Т’-.равносильно существованию триангуляции вида (2.2) для оператора Т’-.Т' 1 о_ ОТ' 1 о_ ОУ*У*7, J7, J,^ = ^0®^!,,^ = ^0®^!,

Наряду с триангуляцией (2.1) ляпию

„ ГГ1 У1

т =, ,

Lo То J

Наряду с триангуляцией (2.1) ляпию

„ ГГ1 У1

т =, ,

Lo То J

рассмотрим также триангу-

§ = ^1Ф§0,(2.4)

рассмотрим также триангу-

§ = ^1Ф§0,(2.4)

вида

вида

С.} *

. О С.о.

С.} *

. О С.о.

(2.5)

(2.5)

Применяя рассуждения, аналогичные приведенным выше, или же замечая просто, что существование триангуляции вида (2.4)

Применяя рассуждения, аналогичные приведенным выше, или же замечая просто, что существование триангуляции вида (2.4)

равносильно существованию триангуляции вида (2.2) для оператора Т’-.

равносильно существованию триангуляции вида (2.2) для оператора Т’-.

Т' 1 о

_ О

Т' 1 о

_ О

У*

У*

7, J

7, J

,^ = ^0®^!,

,^ = ^0®^!,

получаем, что 71 и 7о являются слабыми сжатиями классов Сн и Со соответственно и что •&] содержит все. инвариантные относительно 7'подпространства Ш1, такие, что 7|Ш1еС1Ь а §о содержит все подпространства Ш1„ инвариантные относительно Т* и такие, что Т* | Ж. е Со.

Будем называть 70 и Тх соответственно С0-частью и Сп-частъю оператора Т. Очевидно, что С0-частью и Сп-частью оператора Т* являются 7g и 7, .

Подпространства ф0 и ^i инвариантны относительно 7, поэтому инвариантно и ФоП^р Сужение оператора 7 на это пересечение является одновременно сужением операторов 7оеСоо и TveCn и, следовательно, входит в Со. и С].. Это возможно лишь в случае, когда ф0 П Ф, = {0}. Применив этот результат к 7*, получим, что Фу П Ф{ = {0}. Из очевидного соотношения

§6^ v

следует, что ^о V ^>i = §•

Изучим теперь соотношения между спектрами. Заметим сначала, что для операторной матрицы

М =М =X '^2.X '^2.(элементы матрицы суть линейные ограниченные операторы)(элементы матрицы суть линейные ограниченные операторы)обратнаяобратнаяЛГ* =ЛГ* ="Х?1 -ХТ'ХХа1"О Хг1"Х?1 -ХТ'ХХа1"О Хг1(2.6)(2.6)

М =

М =

X '

^2.

X '

^2.

(элементы матрицы суть линейные ограниченные операторы)

(элементы матрицы суть линейные ограниченные операторы)

обратная

обратная

ЛГ* =

ЛГ* =

"Х?1 -ХТ'ХХа1"

О Хг1

"Х?1 -ХТ'ХХа1"

О Хг1

(2.6)

(2.6)

существует в узком смысле, если Xi 1 и Х^ 1 существуют в узком смысле. На основании (2.4)

Применяя (2.6), находим

а (Псе (ГО U а (г;).(2.7)

Докажем, что сжатия То и Tq класса Со имеют одну и ту же минимальную функцию

m (А) = пг , (А).(2.8)

'о Jo

По теореме III. 5.1 отсюда будет следовать, что о(Г0) = о(т9

(2.9)(2.9)и (2.7) примет вид-

(2.9)

(2.9)

о (Г) с о (ГО U а (То).

Для доказательства (2.8) рассмотрим каноническую и *-кано- ническую факторизации функции ©г (А)

©г (А) = ©о (A) ©1(A), ©г (А) = ©1(A) ©о (А).(2.10)

Они отвечают соответственно триангуляциям (2.4) и (2.1) оператора Т. Функция тГо(А) является скалярным кратным функции 0го (А) (см. теорему VI. 5.1), а следовательно, и функции ©о(А) (поскольку чистая часть ©0(А) совпадает с ©г„(А)). Как было отмечено в начале доказательства, функция ©1(A) обладает скалярным кратным, а в силу теоремы V. 6.2 —даже внешним скалярным кратным б, (А). Отсюда следует, что 0Г(А) = = 0'(А)0о(А) обладает скалярным кратным б(А) = де(А)тГо(А). Поэтому внутренний множитель ©о (А) в канонической факторизации ©ДА) “©о^АХ©!^ имеет. в качестве скалярного кратного внутренний множитель "функции б (А), т. е. функцию /иГо(А) (см. предложение V.6.4, (б)). Поскольку ©ГДА) совпадает с чистой

частью ©у (А), то ©г/ (А) обладает скалярным кратным mr (А),

Проведя рассуждения о факторизациях (2.10) в обратном порядке, мы придем к выводу, что тГд (А) — внутренний делитель функПроведя рассуждения о факторизациях (2.10) в обратном порядке, мы придем к выводу, что тГд (А) — внутренний делитель функции m z (А). Поскольку минимальные функции определены ; о'ции m z (А). Поскольку минимальные функции определены ; о'а так как Т'6еС6, то тт^Т'^ = О (см. теорему VI. 5.1). Отсюда следует, что m г (А) является внутренним делителем т„ (А), 'о'о

Проведя рассуждения о факторизациях (2.10) в обратном порядке, мы придем к выводу, что тГд (А) — внутренний делитель функ

Проведя рассуждения о факторизациях (2.10) в обратном порядке, мы придем к выводу, что тГд (А) — внутренний делитель функ

ции m z (А). Поскольку минимальные функции определены ; о'

ции m z (А). Поскольку минимальные функции определены ; о'

с точностью до постоянных множителей, равных по модулю 1, то (2.8) доказано.

Итак, включение (2.9) установлено. Докажем обратное включение, т. е. покажем, что

-ст (Го) с о (Г), о (Tj cz а (Г).(2.11)

Точки спектра о(Т0), лежащие внутри единичной окружности С, являются собственными значениями То (поскольку То е Со) и, следовательно, собственными значениями Т. С другой стороны, спектр а(Т|) лежит на окружности С на основании предложения VI. 4.3 и того факта, что Т^еСи, a ©TtW обладает скалярным кратным. Таким образом, чтобы установить (2.11), нам остается рассмотреть лишь части спектра, лежащие на С.

Докажем более общее утверждение, а именно:

о(Т |2) П С с: а(Т)(2.12)

для любого инвариантного относительно Т подпространства 2, где Т — произвольное сжатие в §.

В самом деле, из разложения

(pZ-tt1 = ^-п-хтп,о

сходящегося при |ц|>1 следует, что 2 является инвариантным и для ^1—ТТх и

(р/-П~1|8 = (р7й-Т|2)-1(|р|>1).(2.13)

Если е — точка на С, принадлежащая резольвентному множеству Т, то (р7 —Т)~* стремится по норме к (е7 — Г)-1 при р->е. Поэтому правая часть (2.13) также стремится по норме к пределу, который необходимо равен (в7й —Т |2)~'. Итак, каждая точка be С, принадлежащая резольвентному множеству оператора Т, принадлежит также резольвентному множеству оператора Т |2. Отсюда следует (2.12).

.Таким образом, соотношения (2.11) доказаны. Вместе с (2.9) они дают равенство

о(П = ог(Г1)иа(Т0).

Подведем итоги.

Теорема 2.1 (разложение Со —Сн). Пусть Т —слабое вполне неунитарное сжатие в $. Среди подпространств 2, инвариантных относительно Т и таких, что Т|2еС0, существует максимальное, обозначаемое через £0. Точно так же среди подпространств ЯЛ, инвариантных относительно Т и таких, что Т|2%еСн, существует максимальное, обозначаемое через $х. Сжатия

Тч = Т\%й и ТХ = Т\^Х,

называемые соответственно С^-частью и Счастью оператора!,— это как раз те сжатия, что фигурируют в триангуляциях

То XГ^ У'

! =, , Т= ,

Vo rdLo тИ

вида

Cq, *С.|*

.о Ср] и [ о с.0_

соответственно. При этом, Т^ и Т' являются С^частью и Счастью оператора Т*. Все рассматриваемые сжатия слабы, и, кроме того, TQ и Т^ имеют одну и ту же минимальную функцию. Справедливы соотношения

^0V §, = §, §оП§1 = {О},(2.14)

a(T) = a(T0)Uo(T1),(2.15)

и спектр о (Т J лежит на единичной окружности С.

, Замечание. Из доказанной теоремы и из теоремы III. 5.1 вытекает, что для всякого слабого сжатия (нс обязательно вполне неунитарного) часть спектра, лежащая внутри С, дискретна.

Для инвариантных подпространств слабого сжатия, в которых индуцируется также слабое сжатие (а это, как показано в § 1, имеет место нс всегда), справедливо следующее

Предложение 2.2. Пусть выполняются предположения теоремы 2.1, и пусть й —такое инвариантное относительно Т подпространства, что Тй = Т\й является слабым сжатием. Тогда подпространства 20 и 2Ь отвечающие С участи и Сп-части оператора Те, удовлетворяют соотношениям

SWfW 81-2П61. '(2.16)

Доказательство. Поскольку 20 инвариантно относительно Т и Т |2о = Те |20е Со, то в силу максимальности §0 имеем 20с:§0. Аналогично ^ (= ^р Таким образом,

20<=2ГЖ ^czSn^i.(2.17)

С другой стороны, так как 20 является подпространством, отвечающим Co-части оператора Те в триангуляции вида (2.2), то

^ = Vl;le^T^->0\(2.18)

Поскольку Т$1 = Тп1 при /е2, то ЙоОЙП^о- Первое равенство (2.16) доказано.

Для доказательства второго равенства нам остается показать, что 2, =) 2 П Фр В силу свойства максимальности 2j для

этого достаточно доказать, что

(2.19)(2.19)Гд = Т |2л s Сн, где *£>д = 2 П ^i-

(2.19)

(2.19)

Поскольку 7'л = (7'|^1)|§л = Т1 |$л, а Т^Сп, то Т^СХ. . Для того чтобы отсюда вывести (2.19), достаточно показать, что Гд является слабым сжатием (тогда его характеристическая функция будет обладать скалярным кратным и потому будет нс только *-внешней, но и двусторонне внешней). Оператор ТЛ есть сужение слабого сжатия Т на инвариантное подпространство ©д. Поэтому остается доказать, что о(Тд) не покрывает D.

С этой целью рассмотрим триангуляцию оператора Тд относительно инвариантного подпространства 2р

Тл =Тл =Т X 'О Т"Т X 'О Т"(2.20)(2.20)

Тл =

Тл =

Т X '

О Т"

Т X '

О Т"

(2.20)

(2.20)

Поскольку Т' = Тд | 21 = Тй |2i, то Т' является ‘Сп-частью Т% и, следовательно, a(T')czC. Заметим, далее, что 2" содержится в пространстве 2©2Ь отвечающем С0-части оператора 7^. Обозначим эту С0-часть через S. Пусть и (Л,) — произвольная функция из Н°°. Из того факта, что 2" инвариантно относительно Тд, ^Л инвариантно относительно Tq, a 2Q21 инвариантно относительно 7g, и из включений §Л=>2", 2 ©2! =>2" вытекает, что

О(Н = ,<Г^8"-|Рди(Ч|М5"-

= РЛ«(5)|2",

где Рл — ортопроектор из § на ФА. Беря в качестве и минимальную функцию оператора 5, получаем

ms (г"*) = О, m~ (Т") = О.

Итак, Т"^С0 и, следовательно, часть о (Г") в D дискретна. В силу включения o^T^czC и формулы (2.6) имеем

о(Гд)П/)с=о(П,

и, значит, о(Тд) нс покрывает D.

Теорема доказана.,

Следующие два предложения являются полезными дополнениями к предыдущим результатам.

Предложение 2.3. Если спектр слабого сжатия Т не покрывает единичной окружности С, то сужение Т на любое инвариантное подпространство 2 также является слабым сжатием.

Доказательство. Нам нужно показать лишь, что спектр оператора Т^ = Т\^ не покрывает единичный круг D. Для этого будем исходить из соотношений

[^/ - ТГ118]. [ц/8 - Г8] = [ц/8 - Г8] • [(ц/ - Г)'112] = /8, (2.21)

справедливых при |ц|>1 в силу (2.13). Заметим, что в наших предположениях резольвентное множество оператора Т есть (связная) область G, содержащая всю внешность единичной окружности С, одну или несколько дуг на С и всю внутренность С, кроме некоторого дискретного множества. Соотношения (2.21), справедливые во внешности С, сохраняют силу всюду в G, ибо наши множители являются аналитическими функциями от ц (один аналитичен в G, другой — всюду). Это означает, что резольвентное множество оператора Та содержит G и, следовательно, спектр Гв не покрывает D.

Предложение 2.4. В условиях теоремы 2.1 имеют место соотношения•

ф0— (А: h^^rn^h-OY(2.22)

(2.23)

Следовательно, подпространства $0 и ^ ультраинвариантны относительно Т.

Доказательство. Обозначим временно правую часть равенства (2.22) через 80. Поскольку'

тТо (Г) А = mTo (Т^ h = 0 при h е %й,

то Фо с 80. С другой стороны, 80 инвариантно относительно Г, и mT (Т |£о) = О. Следовательно, Т |80s Со. Из максимальности %й вытекает поэтому, что 20 с ф0. Этим доказано (2.22).

Для доказательства (2.23) заметим сперва, что .

% Эт^гЦ= (А: А @ Ф, тГо (Г)* А = 0).(2.24)

Поскольку Го и Го имеют одну и ту же минимальную функцию, то

ш_ (ТУ - т, (ТУ = т> (Г*) = тт,* (Г*).

zoJozozo

Так как До* является Co-частью Г*, то, применяя (2.22) к оператору Г* вместо Г, получаем, что правая часть равенства (2.24) равна ^, т. е. §@§ь Отсюда следует равенство (2.23).

§ 3. Спектральное разложение слабых сжатии

*• Пусть Т — вполне неунитарное слабое сжатие в пространстве §, То и Г!-его Со- и Сп-части (7*0 = Г |£0, 7^ = Г| М и пусть

тГо (X) — В (X) • ехр —тГо (X) — В (X) • ехр —J е»-Х ^J е»-Х ^(3.1)(3.1)

тГо (X) — В (X) • ехр —

тГо (X) — В (X) • ехр —

J е»-Х ^

J е»-Х ^

(3.1)

(3.1)

— каноническое представление минимальной функции оператора Го как внутренней функции: В (X) — произведение Бляшке, ц. — неотрицательная мера, определенная на борелевых множествах отрезка (О, 2п) и сингулярная относительно меры Лебега.

Сопоставим каждому борелеву подмножеству ю комплексной плоскости внутреннюю функцию mto(X) по формуле

тю (X) = Вю (X) • ехртю (X) = Вю (X) • ехрI ^4(С П ю)JI ^4(С П ю)J(3.2)(3.2)

тю (X) = Вю (X) • ехр

тю (X) = Вю (X) • ехр

I ^4

(С П ю)J

I ^4

(С П ю)J

(3.2)

(3.2)

где Bto (А,) — произведение тех множителей из В (А,), нули которых содержатся в со.

Введем в рассмотрение подпространства $0((d)cz£)0 и ФДоОс:^, определив их следующим образом:

^ (о) - {A: A s ^ т^ (Го) А = 0},(3.3)

а ФДш) совпадает с пространством §а1 отвечающим в смысле теоремы VII. 5.2 сжатию Тх (Сп-части оператора Г) и борелеву множеству а = С[](о. Из (3.3) следует, что ^(ю) ультраинвариантно относительно Го, а из теоремы VII. 5.2 —что ^ ((d) ультраинвариантно относительно Ги В частности §0 (о>) и фДш) инвариантны относительно Го и Тх соответственно и, следовательно, инвариантны относительно Т. Подпространство

§(®) = §о((о) V §i((o)(3.4)

также инвариантно относительно Т. Более того, ^((о) ультраинвариантно относительно Т.

Действительно, рассмотрим линейный ограниченный оператор X, перестановочный с Г. Поскольку Фо и §1 ультраинва- риантны относительно Т (см. предложение 2.4), тоХфусфу; кроме того, оператор Х^Х^} перестановочен с Гу (/ = 0, 1). Поскольку $/.(со) ультраинвариантно относительно Г у, то Х%^ ((d) = = Х^! (со) cz ^ (о) (/ = 0, 1), откуда Х^(ш) cz % (о). Этим доказана ультраинвариантность Ф(ш) относительно Г.

Покажем, что Г ((d) = Г | ф ((d) — слабое сжатие. Для этого рассмотрим сначала Г0(о) = Го |£>0(<°) (= ^ l^o^)) и Тi (to) =

= Г, | ф, (со) (= Г | Ф, (со)). Из определения (3.3) пространства ф0 (со) и из теоремы III. 6.3 вытекает, что минимальной функцией для То (со) служит ти(Л). Поскольку нули mto(X) в D составляют часть множества нулей /пГп(Х), то на основании теорем III. 5.1 и 2.1

а (То (со)) П И со(Т0)П£> = о(ППР.(3.5)

Что касается оператора Т,(со), то весь его спектр лежит на единичной окружности (теорема VII. 6.2, примененная к ТхеСи и а = С П со). Пусть аг D —точка, не принадлежащая а (Г). Тогда она не принадлежит ни ст (Гц (со)), ни ст (Г, (со)) и потому (Г/ (со) — al^ ^I (со) = Ф/ (со) (/ = 0, 1; // — единичный оператор в ФД Отсюда следует, что

(Г - аП Ф (со) = (Г — ah [Фо (со) V Ф! (со)] =

= (То (со) - al^ Фо (ю) V (Т, (со) - а/,) Ф, (со) = §0 (со) V Ф1 (со) = % (со).

Учитывая, что Т — al — взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение % на %, получаем, что Т (со) — а!% ^ — отображение того же типа в пространстве ф (со), и, следовательно, а^о(Т (со)). Этим доказано, что Т (со) является слабым сжатием.

Обозначим через ф (со)о и Ф (со), подпространства в § (со), в которых действуют соответственно Со- и С,,-части Т (со). Докажем, что

Ф(<о)/ = Ф/(со) (/ = 0,1).(3.6)

Заметим прежде всего, что в силу предложения 2.2

Ф^-Ф^ПФ/.(3.7)

Поскольку фД^сзфу по определению пространства Ф/(со), а, с другой стороны, ^t (со) г ф(со) по определению (3.4) пространства Ф(со), то из (3.7) вытекает включение

Ф (со);-=> Ф, (со) (/ = 0,1).(3.8)

Чтобы получить (3.6), остается доказать обратное включение. Так как каждое h г % (со) является пределом последователь

ности {/гОп'+ hln}, где hQn г ф0 (со), hXn г Ф,„(со), то

(Т) h = lim т» (Г) (йОп + A,n) = lim та (Т) hXn г ф, (со) с ф,. п

С другой стороны, при h г % (со) П Фо имеем т0)(7')/г = тй(7’0)/геф0. Поскольку Фо П Ф1 = {0}, то mG (Т)/г = 0 и, следовательно, h г Фо(со) для таких h. Учитывая (3.7) (при / = 0), видим, что Ф(со)0стф0(со). На основании (3.8) справедливо (3.6) при / = 0.

Что касается случая /*=-1, то напомним прежде всего, что минимальная функция оператора Го(со) равна тйУ). Применяя предложение 2.4 к Т (со), получаем

§ (co)i = тш (Т (со)) % (со) ="m^yW^ = n4W5eWT%M5=

= mto У^ %й (со) V тй у 0 ^ (ю) = тш ух^ ^(со) а ф, (ю), что вместе с (3.8) (при /= 1) дает (3.6) при / = 1.

На основании (3.6) соотношение (2.15), примененное к Г (со) вместо Т, дает

о У (<») ) = ст у0 (со)) U о У, (со)).

Из теоремы III. 5.1 следует, что аУ0(со)) с б, а из теоремы VII. 6.2 — что a yv (со)) с а с= б (где а = С П со). Таким образом, для любого борелева подмножества со комплексной плоскости

ст у (со)) с б.(3.9)

Покажем, что если со замкнуто, то §(со) содержит все подпространства 2 пространства ф, инвариантные относительно Т и такие, что (a) Tg = 7’|2 является слабым сжатием и (б) а(Т^ cz со.

Для этого заметим сперва, что если через 20 и ?! обозначить подпространства, отвечающие Со- и Сп-частям оператора Те, то, как следует из (2.15),

o(7’8o)U<T(7’81) = CT(7’8)cto, где Т8, = Те |^ = Т 12/ (/ = 0, 1). (3.10)

Поскольку Те. е Со, то из максимальности пространства ф0 вытекает включение 20сф0, так что тг„ (Те,) = ттДТо) 12о = О. Обозначая минимальную функцию оператора Те, через /о (Л), видим, что /0(А) является делителем пгт. У)- С другой стороны, в силу (3.10) ст (Те,) с со. Поэтому функция 1иУ) в соответствии с теоремой III. 5.1 обладает следующими свойствами: (1) ее нули в D принадлежат множеству со, (2) она аналитична на каждой открытой дуге окружности С, смежной с замкнутым множеством а = СП со. Из (3.1) и (3.2) вытекает, что внутренние делители функции пгт,У\ обладающие этими свойствами, являются также делителями тш (А,). Из включения 20 с ф0 следует, что при йе 2g

WTo)h = №)h = O.

Поскольку /0(Х) является делителем ти(А,), то mtt,(To)/i = O и, следовательно, на основании (3.3) Ае§0(о). Таким образом,

20с#0(со).(3.11)

С другой стороны, поскольку из (3.10) вытекает также, что о^Т^скд, то множество а«СП со является остаточным для оператора Т^еСи (см. теорему VI. 4.1 и § VII. б). Из установленного в теореме VII. 5.1 свойства максимальности пространства типа ^а следует тогда, что

2^^ (со).(3.12)

Применяя (2.14) к 2 (вместо Ф), получаем с учетом (3.11) и (3.12)

2 = 80 V 2j cz ф0(со) V $i (со) = Ф (со),откуда вытекает свойство максимальности подпространства ф (со).

Таким образом, нами доказаны некоторые из утверждений следующей теоремы.

Теорема 3.1 (спектральное разложение). Пусть Т — вполне неунитарное слабое сжатие в пространстве %. Каждому борелеву подмножеству со комплексной плоскости отвечает такое ультраинвариантное относительно Т подпространство % (со) cz §, что

Т (со) = Г | § (со) есть слабое сжатие и о^Т (о)) сг 6; при этом если со замкнуто, то % (со) — максимальное подпространство, удовлетворяющее этим условиям (т. е. содержащее все такие инвариантные относительно Т подпространства 2, что Т^ = Т 12 является слабым сжатием и а (Гv) cz со);

^ fU ^ = V § (®п); ^(Пю^ = П^М

\ n ) п\ n ! п

для любой последовательности {©„};

( {0} при <о=0,

<в)$W = 1 0 при

^(со)У={О} для любого открытого, со, такого, что со Па (Г) непусто.

Доказательство. Нам осталось доказать (б), (в) и (г).

Свойства (б) и (в) являются простыми следствиями соответствующих свойств пространств ^о^) и ^Д®)- Для пространств фо(со) эти свойства вытекают на основании теоремы III. 6.3, (в) из того факта, что m^ton и т^п являются наименьшим общим кратным и наибольшим общим делителем функций т^п. Для пространств 2Дсо) свойства (б) и (в) вытекают из теорем VII. 5.2 и VII. 6.2..

Для доказательства (г) рассмотрим какое-нибудь открытое со. Если £0 (со) = {0}, то функция тш(А,) постоянна. Это возможно

лишь в том случае, когда о не содержит ни одного нуля произведения Бляшке В (X) и |г (р) = 0 для открытых дуг рсС, составляющих а = СПю. Поэтому функция пгтА^ аналитична на р. Из теоремы III. 5.1 вытекает тогда, что со содержится в резольвентном множестве оператора TQ. С другой стороны, если ^i (со) = ^а = {0}, то по теореме VII. 5.2 множество С\а является остаточным для Ть т. е. оператор 0г, (ezz) изометричен почти всюду на (а). В силу предложения VI. 4.3 множество а (состоящее из открытых дуг) содержится в резольвентном множестве оператора Тх. .

Таким образом, из условия ^(со) = {О} вытекает, что со содержится в резольвентных множествах операторов То и Ть а, следовательно, пересечение со с а (Т) = а (То) U V (Т^ пусто, т. е. утверждение (г) справедливо.

Теорема 3.1 доказана.

2. Теорема 3.1 показывает, что подпространства ^(со), ультра- инвариантные относительно Т, обладают свойствами, аналогичными свойствам спектральных подпространств нормального оператора.

В частности, если о (Г) состоит более чем из одной точки, то эта теорема дает нетривиальное спектральное разложение пространства % и, следовательно, существование нетривиальных инвариантных относительно Т подпространств. Действительно, достаточно взять два открытых непересекающихся множества со! и со2, имеющих непустое пересечение с о (Г), Тогда пространства §(coi) и ф(ш2) будут отличны от {0}. Поскольку ^(о^П П Ф (со2) = {0}, то ни одно из них не равно ф. Следовательно, Ф (cdj) и ^(со2) будут нетривиальными непересекающимися подпространствами, ультраинвариантными относительно Т.

Рассмотрим случай слабого сжатия в Г, спектр которого сводится к одной-единственной точке: о (Г) = {т}. Будем различать два подслучая: |т|<1 и |т|=1.

Если | т |< 1» то по теореме о спектральном радиусе (см.

\Лекции\, п. 149) || Тп ||"^->| т |< 1 и, следовательно, IIT^H-^O. Поэтому Т не имеет унитарной части И даже Си-части, т. е. ГеС0. Из теоремы III. 5.1 вытекает, что минимальная функция сжатия Т имеет вид

^т W = (tl^ (п натуральное). (3.13)

Для слабого сжатия (3.13) может иметь место только в случае dim^<oo. В самом деле, пусть 2Т — подпространство решений уравнения Th^xh. Это подпространство инвариантно

относительно Г, и Тт=Г ^удовлетворяет соотношению 1%—т\тх = = (1—| т |2)/т (через /т обозначен единичный оператор в 8Т). Так как оператор (1 — | т |2) 7Т обязан быть ядерным, то dim8T = = dT<oo. Пусть 2 — произвольное подпространство в § конечной размерности d. Поскольку, согласно (3.13),

(Г-т/)" = 0, т. е. Тп = сй1 Л-СХТ Л- ... +сп_хТп~\ (3.14) то подпространство ВД, натянутое на 2, Г2, ..., Тп-Хй, инвариантно относительно Т. Таким образом, dim Ti ^ nd < оо, и мы можем выбрать в 3)1 такой базис, в котором матрица оператора Т |5R имеет нормальную жорданову форму. Из (3.14) следует, что порядок клеток Жордана не превышает п. Поэтому число v этих клеток не меньше -^ dim SR. С другой стороны, каждой клетке отвечает собственный вектор Т и эти собственные векторы образуют линейно независимую систему. Поэтому v^dT. Таким образом, d ^ dim SR ^ n*v ^ ndv а значит, и само Ф имеет размерность, не превышающую ndv

В случае а(Г) = {т}, | т | = 1 оператор Т вполне неунитарен тогда и только тогда, когда т не является его собственным значением (при этом безразлично, является ли сжатие Т слабым или нет). Это вытекает немедленно из спектральной теоремы, согласно которой изолированная точка спектра унитарного оператора является его собственным значением.

Предположим поэтому, что сжатие Г в Ф таково, что а(Г) = {т}, |т|=1 и т не является собственным значением Т. Поскольку оператор Т вполне неунитарен, то, согласно предложению II. 6.7, он входит в класс Соо. Если при этом характеристическая функция сжатия Т обладает скалярным кратным (это имеет место, в частности, для слабого сжатия Т в сепарабельном §), то Т е Соо влечет Т cz Со. По теореме III. 5.1 минимальная функция оператора Т имеет вид '

тт (%) = еа (tZ) (а>0), (3.15) где еа (X) = ехр ^а ™ у ) (см. доказательство предложения III. 7.3). Очевидно, этот случай може? иметь Место лишь для бесконечномерных §. Мы вернемся к изучению таких сжатий в следующей главе.

Комментарии

Результаты этой глаЦы были анонсированы в С.-Н. и Ф. [7], где слабые сжатия назывались „почти унитарными сжатиями". Термин „слабое сжатие" был предложен М. Г. Крейном [1] (что дало возможность избежать парадоксальных сочетаний вроде

„вполне неунитарное почти унитарное сжатие"). Впрочем, операторы Г, для которых J — Т*Т и I — ТТ* имеют конечномерную область значений, именовались также „квазиунитарными" Лившицем [2] и другими авторами (см. Поляцкий [1], [2]). Теоремы настоящей главы в их общем виде представляются новыми даже в случае конечных дефектных чисел.

Заметим, что для диссипативного оператора Л с ядерной мнимой компойентой (1г(1шЛ)<оо) преобразование Кэли есть слабое сжатие Т (см. § IX. 4). Поэтому спектральное разложение Т порождает соответствующее спектральное разложение А. В случае когда оператор А ограничен и со является либо пересечением о (Л) с вещественной осью, либо частью а (Л), лежащей внутри верхней полуплоскости, соответствующее спектральное подпространство §(со) было построено другим методом М. С. Бродским [8]. Результаты, близкие к теоремам 2.1 и 3.1, были получены Гинзбургом [3], который использовал некоторые предложения статьи С.-Н. и Ф. [IX] и применял метод мультипликативных интегралов.

ГЛАВА IX

ПРОБЛЕМЫ ПОДОБИЯ, КВАЗИПОДОБИЯИ ОДНОКЛЕТОЧНОСТИ

Сжатия, подобные унитарным операторам

Напомним, что операторы А и В (ограниченные или неограниченные) в гильбертовых пространствах 91 и 93 называются подобными, если существует такой аффинитет (взаимно однозначное и взаимно непрерывное линейное отображение 91 на 93) S, что А = S-1BS.

Мы охарактеризуем сжатия, подобные унитарным операторам. Для этого нам понадобится следующая лемма.

Лемма 1.1. Пусть

®i = 9l®93, ОД = Хф$

— два ортогональных разложения гильбертова пространства 9R, Р^ и Р$ — ортопроекторы из Ш1 на 91 и 93 соответственно. Предположим, что Р% отображает $ на 91 взаимно однозначно и взаимно непрерывно. Тогда Р$ отображает $ на 93 также взаимно однозначно и взаимно непрерывно. Точнее, если

^Х = 91 и II Р«х || ^ с || х || для любого хеХ (1.1) с некоторой положительной константой с, то

Ps^ = % и || Р$,у || ^ с || у || для любого уе.^.(1.2)

Доказательство. Поскольку

II Р^Х II2 > с2 IIX II2 = с2 [ II Р«х II2 + II Р^х II2], то

С21| Р%х |р >|| Р^х ||2, где С =.

Таким образом, из (1.1) вытекает, что формула

А (Р^х) = Psx (х е X)

определяет линейный ограниченный (числом С) оператор А из 91 в 93. Поскольку график этого оператора {афАа; ае$} совпадает с {РахфР@х: х е X}, т. е. с X, то его ортогональное дополнение {—Л*6ф6; де 93} совпадает с §). Это означает, что

Ps$ = $ и Р«у = — А*Р%у для любого у е у. Отсюда ll^ylKClIP^H,

. II ^ II2 = II Р^У IP + II Р^У II2 < (1+ О2) || Р$у |р = ± || р$у |р.

Тем самым- доказано утверждение (1.2).

Пусть Т — сжатие в %, подобное унитарному оператору V, т. е. Т = S KS, где S и S —ограниченные всюду определенные операторы. В этом случае операторы Т~х и Т"~х существуют в узком смысле, и для любого целого п

T~n = S-1V"nS, Т*-п = S*V"S*~\

откуда

k^Rfe, |r—"ll^fe при ^=iis||.|s-1|=iis*||.|s*;1||.

Полагая с = , имеем

||ТпМ>с||М, ЦгМ^сНМ для любого кг %.(1.'3)

Пусть Я — пространство минимальной унитарной дилатации U оператора Г, 91 — подпространство остаточной части R оператора U. Из второго неравенства (1.3) на основании (II. 3.2) следует, что

||ЛкМ>с||М (кг^,(1.4)

где Р$ — ортопроектор из Я на 91. Поскольку 0 не является собственным значением сжатия Т, то по предложению II. 3.2

Ра% = 91.

Из (1.4) вытекает тогда, что

^£ = 91(1.5)

и, следовательно, оператор

Х = РЯ|Ф(1.6)

является аффинитетом из Ф на 91, а X* — аффинитетом из 91 на §. В силу (1.3) имеем, с учетом предложения II. 3.5, X*R = IX*. т. е. Т подобно R. Итак, если сжатие подобно унитарному оператору, то оно подобно остаточной части своей минимальной унитарной дилатации.

Поскольку пространство Я+ минимальной изометрической дилатации Т допускает разложения

Я+ = М+(8.)®91, Я+ = М+(8)ф§(1.7)

(см. теорему II. 2.1), то из (1.4) и (1.5) на основании леммы 1.1 вытекает, что

^*Al+(2) = ^+(2J, ||PM||>dUII (Z^M+(2)). (1.8),

Отсюда следует, что оператор

Q = PMM+(2)

является сжатием из М+(2) в Af+(2J, обладающим обратным в строгом смысле, ||Q—1 [^ 1/с.

Все эти утверждения справедливы в пространстве § любой размерности. Пусть © (а с ним и Я) сепарабельно. Используя представления Фурье Ф8 и Ф8* и, в частности, лемму V. 3.2, (д), получаем, что сжимающая аналитическая функция {2, 2^, 08 (М}, отвечающая оператору Т в смысле предложения VI. 2.1, обладает тем свойством, что 08 (X)"1 существует в узком смысле для любого X е D и

II @S W1 Ik т^D).

Поскольку 08 (X) совпадает с характеристической функцией 0Г (X) оператора Т (предложение VI. 2.2), то мы приходим к такому результату: если сжатие Г подобно унитарному оператору, то 0Г(Х) существует в узком смысле при любом X^D, причем эта функция ограничена константой, не зависящей от X.

Покажем, что это условие является также и достаточным для того, чтобы сжатие Т было подобно унитарному оператору.

Предположим, что оператор ©т^)""1 существует в узком смысле для любого X^D и ограничен константой —, не зависящей от X. Это же будет тогда справедливо для функции {2, ^Л 08 (Z)}, совпадающей с {®г, $)т*> ©г (М). Отсюда с учетом формулы (VI. 2.3), определяющей ©8(М, и леммы V. 3.2, (д) следуют соотношения (1.8). В свою очередь из (1.8) на основании (1.7) и леммы 1.1 вытекают соотношения (1.4) и (1.5), выражающие тот факт, что отображение Х = Р^\§> является аффинитетом из § на 9? и ЦХ"11|^~. Второе соотношение(II. 3.7) дает X*R = TX\ Поскольку X* — аффинитет из 91 на %, то Т подобно R.,

Условия, наложенные на ©г (X), очевидно, эквивалентны условиям

НбИМ^И^^иИ при ge$T) X^Dt (1.9) 0т (X) Фт = D?* при X g= Db(1.10)

Докажем, что нам достаточно потребовать, чтобы уело- вие (1.9) выполнялось для всех % е D, а условие (1.10)- по крайней мере для одного X0^D. Для этого обозначим через Л множество тех Хг D, для которых оператор 07 (Л) обратим в узком смысле. Это множество, очевидно, открыто и непусто (оно содержит Zo). Покажем, что из условий

^еЛДп->Хе/)

вытекает, что X е Л; тем самым будет доказано равенство Л = D. На основании (1.9) будем иметь ||07 (XJ-1|| ^ 1/с. В соотношении

6Т (х) = 0Г [/ + 0r (XJ-1 (0Г (Л) - 0Г (%„))]

при Хп, достаточно близком к X, выполняется неравенство ||0r(Z) —07(Zn)||<c; следовательно, ZeA. Таким образом, X = D, т. е. (1.10) справедливо при всех X^D.

Итак, доказана

Теорема 1.2. Для того чтобы сжатие Т в сепарабельном гильбертовом пространстве было подобно унитарному оператору, необходимо и достаточно, чтобы оператор ^т{ХУх существовал при всех X^D и чтобы sup || 0^ (Л} — 11| < оо или, что то же самое, чтобы QT{X) удовлетворяла условиям (1.9) и (1.10) {второму по крайней мере для одного X^D — a тогда и для всех\ Именно, при этих условиях оператор Т подобен остаточной части своей минимальной унитарной дилатации.

Напомним (см. п. VII. 5.1), что для вполне неунитарного Т оператор R унитарно эквивалентен оператору умножения на еи в функционально^ пространстве

1

^L2 {^т\ где Лг (0 = [/ - 0Г {е»У втИ2 • (1.11)

Поэтому имеем

Следствие 1.3. Если сжатие Т подобно унитарному оператору, то его вполне неунитарная часть подобна умножению на еи в пространстве (1.11).

Условиям теоремы 1.2 можно придать иную форму, где вместо характеристической функции фигурирует резольвента. Для этого заметим, что на основании предложения VI. 4.2 функция ||0Г (Л)"11| ограничена в D тогда и только тогда, когда ограничена функция (1 - |Х|)||(ХТ Г) !||.

Таким образом, из теоремы 1.2 вытекает

Следствие 1.4. Для того чтобы сжатие Т в гильбертовом пространстве % было подобно унитарному оператору, необходимо и достаточно, чтобы открытый единичный круг D принадлежал резольвентному множеству оператора Т и чтобы существовала такая константа а, что

||(М-7Т11<т^хг для XeD-

Впрочем, достаточно потребовать, чтобы в D существовала хотя бы одна точка резольвентного множества и чтобы

||(V-nA|l>7(l-|X|)l|AII Для Xe=D, he&.

Последнее замечание доказывается так же, как аналогичное замечание относительно функции 0r (X).

Квазиподобие некоторых сжатий

Обратимся снова к изучению сжатий Т ® Со, спектр которых состоит из единственной точки т на единичной окружности. Заменяя Т на тГ, можно свести общий случай к случаю т= 1. Тогда минимальная функция оператора Т будет иметь вид

[

Л +11

a х ”1 * где а==ат>0.(2.1)

Напомним, что в предложении III. 7.5 было построено некоторое возрастающее семейство инвариантных относительно Т подпространств; если оператор Т одноклеточен, то он не имеет других инвариантных подпространств.

В дальнейшем мы будем рассматривать только сепарабельные пространства. Начнем со следующего предложения.

Предложение 2.1. Всякое сжатие Т ® Со, такое, что а (Г) = {1}, Ьг = Ъг*= 1у является одноклеточным.

Доказательство. При сделанных предположениях характеристическая 'функция оператора Т совпадает с его минимальной функцией' (рассматриваемой как операторная функция в Е1; см. замечание после теоремы VI. 5.2). Следовательно, оператор Т унитарно эквивалентен оператору Т в пространстве Н, где Т и И определены равенствами

Н=Н2ееатН2, Tu(X) = l[u(X)-u(0)] («еН) (2.2) (см. теорему VI. 2.3).

Оператор Т* является сужением на Н оператора, сопряженного к оператору и£ умножения на X в №. Для того чтобы подпространство Н' пространства Н было инвариантно относительно Т, необходимо и достаточно, чтобы Н 0 Н' было инвариантно относительно оператора, сопряженного к ll£, или, что равносильно, чтобы //20(H0Hz) было инвариантно относительно U£. Но подпространства, инвариантные относительно U^, имеют вид 0//2(8), где {8, Е1, 0 (X)} — некоторая внутренняя сжимающая аналитическая функция (см. теорему V. 3.3). Поскольку функция 0(Z) внутренняя, то dim 8 dim Е1 = 1, так что либо dim 8=1 (и тогда % = ЕХ, a 0(Z) является скалярной внутренней функцией), либо dim 8 = 0. Второй случай не может иметь места, поскольку № 0 (Н Q И') = еаНЧ§ Н' #= {0}, где а = ат. Итак, 8 = £1 и

W = ^№^ей№.(2.3)

Отсюда вытекает, что 0(Х) — внутренний делитель £0(Х) в № (а следовательно, и в /f001)), т. е. 0(Z) = e*(X) (О^й^а). Таким образом, все инвариантные относительно Т подпространства имеют вид

Hs = ea_s№ © еа№ (0 < s < а).(2.4)

Поскольку ea_s = ea_t • et_s при 0 ^ s < t ^ а и потому ea_s№ cz CZea_tH\ ТО

HsczH/ при O^s<t ^а.

Тем самым доказана одноклеточность оператора Т.

Из предложения III. 7.5, примененного к одноклеточному оператору ГеС0 со спектром а(Г) = {1}, вытекает, что не существует никакого нетривиального инвариантного относительно Т подпространства 2, для которого оператор Т | £ имеет ту же минимальную функцию, что и Т.

С этим замечанием тесно связано следующее

Предложение 2.2. Пусть ТеС^ а(Т) = {1}. Предположим, что оператор Т ни на каком нетривиальном инвариантном подпространстве не индуцирует оператора с той же минимальной функцией. Пусть Тj — сжатие с дефектными числами, равными 1, имеющее ту же минимальную функцию, что и Т. Тогда Тх является квазиаффинным преобразованием Т.

Доказательство. Пусть {6, 6, 0(Х)} — функция, совпадающая с характеристической функцией оператора Т (заметим,

9 См. сноску на стр. \\7.— Прим. ред.

что можно считать 6* = 6, поскольку Т е Соо и, следовательно, 07 (Z) является двусторонне внутренней). Характеристическая функция оператора Тх совпадает со скалярной функцией еа^\ где а = а? = атх. Рассмотрим вместо Т и Тх их модели Т и Tj в функциональных пространствах' Н и Hh 'определяемые равенствами ,

Н = /72(6)©0^2(®), Т*ы = -^[и(Х)-ы(0)] («еН) (2.5)

Н^Я2©^2, Tj«i = ![«,(*)-«ДО)] (и,€=Н,). (2.6)

По теореме VI. 5.1 минимальная функция является скалярным кратным характеристической функции, т. е. существует такая сжимающая аналитическая функция {6, 6, Q(X)}, что

Q М 6 М = в (М □ (М = еа ^ U.(2.7)

Зафиксируем fe6 и поставим в соответствие каждому и^Н2^ скалярную функцию•

ЫДМ = («(МЛ)@ ^eD\

Очевидно, Ui е Н2. Более того, если их е Н2, то

(Uf, etiVi)№ = ^ / (“ f\ea (е“) v, (е») dt =О

= i / ^ е° ^U1 ^ ^® dt-о

Учитывая (2.7), получаем

где

=е Н2^.

Последнее соотношение показывает, что если и1_6>Н2^; то и; ± еаН2. В силу (2.5) и (2.6) это означает, что

Н1-.и^-^и1^ = ки№Л\ (иеН) (2.8)

есть линейное непрерывное отображение Н в НР При ueH имеем

^T*u(^) = (|[W(X)-u(0)],f)) =

-Vxu^ = TxRtu^Y

Таким образом,

RfT = T^f(2.9)

и, следовательно,

' T^f = V?fTi.(2.10)

Покажем, что при подходящем f оператор Rf будет квазиаффинитетом Н в И, и потому R* будет квазиаффинитетом Н! в Н; на основании (2.10) это означает, что Т! является квази- аффинным преобразованием Т.

Поступим следующим образом: для произвольного s, 0^s<a, положим

6S = (f; f е 6, ((es(T) u) (X), П@= 0 при всех и е Н, X е пу (2.11)

Множество 6S является нетривиальным подпространством в 6 (в противном случае (es (Т*) и) (X) = 0, т. е. es(T*) = O, в то время как минимальной функцией оператора Т* является вд ( = ей)). Более того, поскольку et (Т*) = es (Т*) ^-^(Т*) при t>s, то из (2.11) вытекает, что S^CS^. Отсюда следует существование вектора f, е($, не принадлежащего ни одному из подпространств ®s ($<«)'), так что

((MTW)(Ws)),f.)e^0(2.12)

для некоторых u<s)eH, №eD. Применяя (2.9), получаем

^ (TD vs> = ^Л СП ^ = ^ * °-(2лз)

Положим H' = /?fH. Из (2.9) вытекает, что Н' инвариантно относительно Т*. Полагая Si=-Ti|H] и учитывая (2.13), видим, что ^(SD ф О для s сколь угодно близких к а. С другой стороны, ^(8^ = 0, ибо 50(81) = в0(т*)| Н[, а еа(Т^ = еа (Ti)* = О- Итак, обязательно(

mSx = ва.

Поскольку у оператора Т*, как и у Ть дефектные числа равны 1, а минимальная функция есть ео(Х) и поскольку он в силу предложения 2.1 одноклеточен, то, согласно замечанию, сделанному

9 Это очевидно, если существует такое s0, что ^s^^So при s0^s<a. Если же такого s0 не существует; то можно построить возрастающую после* довательность {sn}, limsn = a, для которой ©s #= @s^(^=1, 2, ...). Вы*

бирая из ©s О @s^ i вектор /п с единичной нормой и полагая f* = 2 получим требуемый вектор /*.

в начале настоящего пункта, Н{=Н1. Таким образом,

^Н = Н„(2.14)

Для того чтобы установить, что Rf, является квазиаффинитетом Н в Нр нам остается доказать существование ^*, или, что эквивалентно, равенство

^Ht = H.(2.15)

Обозначим временно левую часть равенства (2.15) через L. В силу (2.10) L инвариантно относительно Т. Положим S = Т| L. Согласно (2.10)

еДд)/?^/?^^?!).(2.16)

Поскольку ^(Т^^О при s<a и поскольку Rf- существует (см. (2.14)), то из (2.16) вытекает, что еДЗ^О при s<a. Поэтому минимальная функция оператора S обязательно равна ео^, откуда согласно предположениям, сделанным относительно Т, следует, что L=H.

Тем самым доказано равенство (2.15), а с ним и предложение 2.2.

Пусть S — произвольный оператор в ф. Напомним, что вектор й0 е ф называется циклическим для S, если § порождается векторами SnhQ (n = 0, 1, ...).

Если сжатие S в § таково, что S* -> О, то любой вектор Леф допускает разложение

h = (/ - SS’) h + S (/ - SS*) S*h +. ... + Sn(I — SS*) S*"h + ... .

Если при этом дефектное число Ь$*=1, то вектор Ао, определяющий дефектное подпространство ©$*, будет циклическим для S.

В частности, сжатие Гь фигурирующее в предложении 2.2, обладает циклическим вектором. Это же верно для всякого оператора Г, квазиаффинным преобразованием которого является Тх. В самом деле, если X — такой квазиаффинитет, что ХТх = ТХ, то вектор h = Xh^ очевидно, цикличен для Т.

Итак, из предложения 2.2 вытекает

Следствие 2.3. Всякое сжатие Т, удовлетворяющее условиям предложения 2.2, обладает циклическим вектором.

Следующая теорема представляет собой основной результат настоящего параграфа.*

Теорема 2.4. Все одноклеточные сжатия класса Со, имеющие одну и ту же минимальную функцию, квазиподдбнъи

Доказательство. Если рассматриваемая минимальная функция имеет вид I y_z^) » гДе I't: 1< 1, а есть целое положительное число (см. предложение III. 7.3) —случай, имеющий место в n-мерном пространстве, — то эти операторы подобны, поскольку их матрицы имеют одну и ту же каноническую жорданову форму:

Если пространство бесконечномерно, то минимальная функция необходимо имеет вид еа(тЛ), где | т |= 1, а>0. Без ограничения общности можно считать, что т=1. Итак, пусть Г — одноклеточный оператор и mT^ = ea^, где а = аг>0. Обозначим через Тх сжатие с дефектными числами, равными 1, для которого тт^”пгт^Х\ В силу предложения 2.1 оператор Тх одноклеточен. Согласно предложению 2.2 и замечанию, сделанному перед этим предложением, оператор Тх является квазиаффинным преобразованием Т. Применим этот результат к операторам Т* и T*v одноклеточным вместе с Т и Тх и имеющим минимальную функцию eti(X) (=е^(Л,)). Мы получим, что Т* является квазиаффинным преобразованием Т, откуда следует, что Г — квазиаффинное преобразование Тх. Объединяя эти результаты, мы видим, что операторы Т и Тх квазиподобны. Поскольку квазиподобие является транзитивным отношением, теорема доказана.

В предыдущей теореме мы предполагали, что рассматриваемые одноклеточные сжатия принадлежат классу Со. Отметим два случая, когда это предположение выполняется автоматически. *

Предложение 2.5. Всякое одноклеточное сжатие, характеристическая функция которого обладает скалярным кратным, принадлежит классу Сй.

Доказательство. Пусть Г =

вида

С.

О

’Тх X' _О Го_

— триангуляция

•1 *

. Согласно предложениям VII. 3.4 и VII. 2.1

характеристические функции операторов Тх и Го совпадают с чистыми частями множителей 05(А) и ©ДА) в канонической факторизации функции 0Г (А). Следовательно, 0Г1 (А) — внешняя функция, а @Го(М~ внутренняя. Если 07 (А) обладает скалярным кратным, то скалярными кратными обладают и функции ©ДА), ©ДА), а также и их чистые части ©г, (A), ©гДА) (см. предложения V. 6.4, (б) и V. 6,8). По теореме V. 6.2, (в) функция ©г, (А) — двусторонне внешняя, а ©гДА) — двусторонне внутренняя. Согласно предложению VI. 3.5, Тх е Си, 70еС00. Пространство Ф( оператора Тj сводится к {0}; в противном случае по теореме VII. 5.2 оператор Тх не был бы одноклеточным в ^ и, следовательно, Т не был бы одноклеточным в ф. Таким образом, Г = ГоеСоо и по теореме VI. 5.1 Т^С0.

Предложение 2.6. Всякое одноклеточное сжатие с конечными дефектными числами принадлежит классу Со •

Доказательство. Если Г— вполне неунитарное сжатие с различными дефектными числами, то либо ©7 (А), либо ©г*(А) = = ©7 (А)* не имеет обратного даже в широком смысле ни при каком А е D. По теореме VI. 4.1 каждая точка А е D является собственным значением либо оператора Г, либо оператора Т. Это невозможно для одноклеточного Т. Таким образом, Ьг = = b7* = V<oo. Пусть dT (А) — детерминант матрицы ©7 (А) относительно каких-нибудь двух ортонормированных базисов в дефектных пространствах. Если dT^ = 0, то по теореме VI. 4.1 снова каждая точка А е D является собственным значением Г, что невозможно для одноклеточного Г. Итак, dT^^0. Согласно предложению V.6.1 dT (А) есть скалярное кратное 0Г (А). Из предложения 2.5 вытекает тогда, что Т е Со .

§ 3, Признаки одноклеточности

Для удобства обозначим через СДМ) класс сжатий ТеС00, дефектные числа которых равны числу N<oo. Поскольку такие Т входят в Со, то C0(V)czC0, т. е. наши обозначения согласованы. Если T^CQ^N), то функция 07 (А) является двусторонне внутренней и ее детерминант dT (А), вычисленный относительно каких-нибудь ортонормированных базисов в дефектных подпространствах, является скалярной внутренней функцией. В силу произвола в выборе базисов функция dT (А)

определена лишь с точностью до постоянного множителя, равного по модулю 1 1).

Лемма ЗЛ. Пусть Т — сжатие класса C^N") в пространстве %, и пусть’

— триангуляция, отвечающая инвариантному относительно Т подпространству ^. Тогда Тк г C^N^, Nk^N (^ = 1, 2). Кроме того,

(3.1)(3.1)Ат (А) = dr, (X) • dj2 (X).

(3.1)

(3.1)

Доказательство. В силу теоремы VII. 1.1 и предложения VII.2.1 инвариантному подпространству Ф, соответствует некоторая регулярная факторизация

0г(Х) = 02(Х)01(Х),0г(Х) = 02(Х)01(Х),(3.2)(3.2)

0г(Х) = 02(Х)01(Х),

0г(Х) = 02(Х)01(Х),

(3.2)

(3.2)

такая, что 0/,(Х) и 0т2(М совпадают с чистыми частями 0*1 (X) и 02 (X) соответствующих множителей. Поскольку функция 0Г (X) двусторонне внутренняя, то согласно предложению VII. 3.3, (в) множители 0ДХ), 02(Х), а следовательно, и их чистые части также являются двусторонне внутренними. Для соответствующих

"№)]о"№)]оО 1О 1а'.т кЧк) Jа'.т кЧк) J(& = 1, 2),(& = 1, 2),матриц имеем

"№)]о

"№)]о

О 1

О 1

а'.

т к

Чк) J

а'.

т к

Чк) J

(& = 1, 2),

(& = 1, 2),

1®а (X)] = Ок

где ок и о'к — постоянные унитарные матрицы, Iw — единичные матрицы порядка пк) 0^nk<N. Отсюда следует, что

det [0* (X)] = det [0* (X)](^=1,2)

(как, всегда, с точностью до постоянных множителей, по модулю равных 1). На основании (3.2)

det[0r(X)] = detH(X)].det[0?(X)]. ■'

Тем самым доказано равенство (3.1). Прочие утверждения леммы вытекают из факта, что [0тй (Ml совпадает с [©£(М] — двухсторонне внутренней матричной функцией порядка Nk = = N-nk.

После этих приготовлений докажем

J) Удобно допускать также случай N = 0. „Класс” Со (0) состоит из единственного оператора О в тривиальном пространстве {0}. Для этого оператора dT (Л) si.

Предложение 3.2. Пусть Т —сжатие класса Cq(N) N^l и а (Т) = {/}. Если'

dT (А) = mT (А),(3.3)

то оператор Т одноклеточен.

Замечание. В случае N=\ условие (3.3) выполняется всегда (см. теорему VI.5.2), и мы снова получаем предложение 2.1.

Доказательство. Покажем сначала, что из (3.3) вытекает равенство Яг, (А) =/Пг, (А) для любого сужения 7’1 оператора Т на инвариантное подпространство. В самом деле, беря, как в лемме 3.1, соответствующую триангуляцию Т, находим Яу (А) = Яг, (А) Яг, (А). С другой стороны, согласно предложению III. 6.1, /пг (А) является делителем функции тг, (А) • тг„ (А). Поскольку Яг, (А) делится на Шг, (А), а Яг, (А) —на пгт, (А), то равенство (3.3) возможно лишь в случае Яг, (А) =/иг, (А), ЯГ, (А) = = /пг,(А) (разумеется, с точностью до постоянных множителей, равных по модулю 1).

Рассмотрим, далее, два нетривиальных инвариантных относительно Т подпространства 21, и 212. По предположению III. 6.1 минимальные функции операторов Д1 = Г|911 и Д2 = 7’|212 являются делителями функции тг (А) (= еа (А)). Поэтому

mAk (А) = еак (А), где 0 < ак < а (^ = 1,2).

Можно считать, что ах ^ а2. Подпространство 23 = 21, V 212 также инвариантно относительно Т, и минимальная функция оператора 5 = 7*123 является наименьшим общим кратным функций /пд, (А) и ша, (А) (см. предложение III. 6.2). Поэтому

тв(А) = ва,(А).'

Предположим, что 21'= 23021,^(0). Разложению 23 = 21 ф 21' соответствует триангуляция

о д;]о д;]в=[л- *1.

о д;]

о д;]

На основании леммы 3.1

dB (X) = dA( (А) • dA^ (А).

С другой стороны, по доказанному Яд, (А) =/ид, (А) = еа, (А), dB (А) = пгв (А) = еО1 (А), откуда Яд' (X) = 1, что невозможно, поскольку по теореме VI. 5.2 Ял, (Д')=О. Таким образом, 21' = = {0}, 23 = 21] и, следовательно, 21, :э 212.

Одноклеточность оператора Т доказана.

Наша ближайшая цель— доказать тот факт, что в условиях предложения 3.2 из одноклеточности оператора Т вытекает равенство (3.3). Согласно следствию 2.3 всякое одноклеточное сжатие Т класса Со с о(Г) = {1} обладает циклическим вектором!). Поэтому нам достаточно доказать следующее

Предложение 3.3. Для всякого сжатия TeC^W W>\\ обладающего циклическим вектором, выполняется условие dT (А,) = тт (Л,),

Доказательство. Случай N=1 тривиален. Будем поэтому считать, что N^2. Далее, можно использовать функциональную модель Т оператора Т в пространстве Н:

H = H4EN)e®H4EN\ Т*ы =-^ [и (А) — и (0)] (цеН)).

Здесь 0(A) = [th/(A)]/j-i — матричная функция, совпадающая с характеристической функцией сжатия Т. Поскольку функция 0 (к) — двусторонне внутренняя, то как ее элементы ^/(А), так и ее миноры принадлежат Н°°, a dT (А) = det 0 (А) — скалярная внутренняя функция.

Обозначим через бг(А) наибольший общий делитель миноров г-го порядка матрицы 0(A) (г — 1, 2, .... N). Очевидно, бг(А) является делителем 6r+i (А) и

^м (А) — йт (A), 6N (А)/б^_! (А) = mT (А)

(см. теорему VI. 5.2).

Предложение будет доказано, если мы установим, что

6] (А) = 1

6r (А) = 6r+i (А) (г=1, .... V-2) при V>2.

Пусть h = [/iz]^ — циклический вектор сжатия Т, L — подпространство в H2(EN), порожденное векторами U+nh (и = 0, 1, ...), где через 17+ обозначен оператор умножения на А в Н2^. Поскольку L инвариантно относительно U*, то по теореме V. 3.3 существует такая внутренняя _ аналитическая функция {8, EN, с» (А)}, что Ь = юЯ2(8). В частности, h = mf при некотором f е Н2 (§). Оператор умножения на со отображает Я2(§) на L изометрически и коммутирует с умножением на скалярные функции. Отсюда следует, что функции A"f (А) (и = = 0, 1, ...) порождают Н2($\ Пусть g-0 —элемент из §, ортогональный к f0 = f (0). Тогда постоянная функция g(A)^g0

9 Впрочем, в п. III. 7.3 доказано более общее предложение (см. следствие III. 7.8). — Прим. ред.

ортогональна (в Н2 (8)) ко всем функциям Vf (X) (n = 0, 1, ...) и, значит, g(M —0, go = 0. Отсюда вытекает, что dim§=1. Поэтому можно считать, что 8 = £*. Н2^ = Н2-, следовательно, со(Х) является матрицей-столбцом:

ММНММ1Г ^еН2\

Обозначив через Рн ортопроектор из H2(EN') на подпространство Н, будем иметь Тпи = PhU^u при и г Н, п = 0, 1, ..., так что

V Tnh = Рн V UTh = PVL = Р^Н2.

Поскольку /г является циклическим вектором для Т,

(3.4)(3.4)Н = Рн«Н2.

(3.4)

(3.4)

Из (3.4) и чтоИз (3.4) и чтоиз того факта, что H2(EN) = H®@H2^EN), следует,

Из (3.4) и что

Из (3.4) и что

Н2 (EN>) = toH2 V № (£").(3.5)

Рассмотрим, в частности, элементы

erW = [erZ(M]?Li (г=1, ...,^

пространства H2^EN\ для которых егг(Х)=1 или 0, соответственно тому, 1 = т или i^=r. В силу (3.5) для каждого значения г и j (г, j = 1, ..., N) существуют последовательности и^, v^ (п=1, 2, ...) элементов из Н2, такие, что

(г, /=1, ,..,Ю(г, /=1, ,..,Ю(3.6)(3.6)N

(г, /=1, ,..,Ю

(г, /=1, ,..,Ю

(3.6)

(3.6)

&н = Пт <й и^ + 5 й .уУrt->ooL/ = 1 7 7

в смысле сходимости в №. Отсюда

N

totSrk ~ ®кбг1 = lim 5 (® А/ - tok^ v^(3.7)

при I, k, г = \, .... N. Выбирая k = r^=i, получаем из (3.7), что coz(A,) (Z= 1, ..., N) делится на все общие внутренние делители элементов матрицы ©(Л,)1), а следовательно, и на их наибольший общий делитель 6i(M- Из (3.6) при r = i вытекает

^ Заметим, что если hn=u*km где « — внутренняя функция, кп е Н2 и hn->h в Н2, то h = u-k при некотором к^Н2. В самом деле, || кп — кт ||2 = м\\1Цкп- kmH2 = \\hn- hm\\2->0 Vm, п->оо^ И, следовательно, кп-> к в Н2. Поэтому hn = и • кп -> и • к, к = и* к. Если h е Н°°> то к е Н00, поскольку | к (elt) | = | h ^elt) |/| и (elt) | = | Л (etZ) I почти всюду и, следовательно, || к ||w «

тогда, что функция еи (A,) s 1 делится на 6] (А). Поэтому dj (А,)=1. Этим доказано а).

Чтобы установить б), достаточно показать что каждый минор r-го порядка матрицы @(Х) делится на бг+1(М ^>2; l^r^^ —2). Рассмотрим сначала главный r-й минор

det^J V, 7=1, .... г)(3.8)

и определитель

г+2t = lг+2t = l$11. .. »lrО]X]

г+2t = l

г+2t = l

$г+2, 1 • • • $г+2, г ®г+2 хг+2

который мы разложили по последнему столбцу. Имеем

N\^ги^А-^ + 2 ^/^г+г, / j =/ = 1/N\^ги^А-^ + 2 ^/^г+г, / j =/ = 1/limП->ооlimП->оог+2г+2

N\

^ги^А-^ + 2 ^/^г+г, / j =

/ = 1/

N\

^ги^А-^ + 2 ^/^г+г, / j =

/ = 1/

lim

П->оо

lim

П->оо

Чг+г = 2 Ч<®г+2, z = Нт 2 1Ъ f = lп->со 7 = 1

r+2r+2

Поскольку 2 ^t = 0, a 2^7/ либо = 0, либо является ли- Z = 1i = l

нейной комбинацией (с коэффициентами ± cofe) миноров (г + 1)-го порядка матрицы 0(A) и, следовательно, делится на 6Г+1(М, то (см. последнюю сноску) цг+2 также делится на 6г+1. Имеем

(детерминант разложен по последнему столбцу). Далее,

г+1г + 1 /N

Ui = 2 ^г+1. i = lim .2 cz I «о^^! + 2 Vr+i. i

Z = 1n->OQl=l \/ = 1

N /г-Н \

= limfl-»oo= limfl-»oo^+2^1 + 2 (^ 2 ^?z J V^!, j

= limfl-»oo

= limfl-»oo

г+1

где 2 ^ij^>j либо = 0, либо равно минору (г + 1)-го порядка г=1г+1

матрицы 0(А,), умноженному на ± 1. Следовательно, 2^//С;

делится на дг+1. Поскольку tir+2 также делится на дг+1, то ^г+1,

равное (3.8), делится на бг+1 (см. ту же сноску). Так как любой другой минор r-го порядка матрицы 0(A) может быть сделан главным - за счет изменения порядка базисных элементов в 5)г и $>г», то утверждение б) справедливо.

Предложение доказано.

Учитывая замечание в начале п. 2.2, следствие 2.3 и предложения 3.2 и 3.3, мы можем резюмировать полученные результаты в виде следующей теоремы.

Теорема 3.4. Для сжатия Т класса СДЬГ), N^ 1, такого, что а (Т) = {1}, следующие условия эквивалентны;

Т — одноклеточное сжатие,'

Т обладает циклическим вектором,

dT (А) = пгт (А).

4. В силу принципа максимума скалярная внутренняя функция и^ является константой с модулем 1 в том и только том случае, когда |и(0)|=1. Отсюда следует, что если а (А) и b (А) — две скалярные внутренние функции, причем а (А) является делителем 6(A), а(А)#=0, то эти функции совпадают в том и Только том случае, когда |а(0)| = | 6(0)|.

Функция тг (А) всегда является делителем dT (А); в случае а(Г) = {1} имеем /пг(0) = е ^^О. Поэтому

|dr(0)|<|mr(0)| = e"°r(3.9)

и знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда dT (А) и mr(A) совпадают.

Если ТеСДМ\ то |dr(0)| можно вычислить при помощи формулы (VIII. 1.6). В самом деле, поскольку 1 — Т*Т имеет ранг N и о (7) = (О (т. е. 0^0(7)), то, применив эту формулу при а = 0, получим

1^(0)12 = П(1-^),(ЗЛО)

( = 1

где pz (г=1, .... V) —отличные от нуля собственные значения оператора I — TT. Следовательно, числа 1— pz являются отличными от 1 собственными значениями оператора Т*Т, занумерованными с учетом кратности.

Таким образом, мы можем сформулировать такую теорему.

Теорема 3.5. Пусть Т — сжатие класса Со (V), N ^ 1, со спектром 0(7) = {1}; tz (i = 1, ..., V) — отличные от 1 собственные значения оператора Т*Т, занумерованные с учетом кратности. Тогда минимальная функция оператора Т равна еег(А), где ат

удовлетворяет неравенству

N

ехр (— 2аг) > П rz.(3.11)

z-i

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда оператор Т одноклеточен. В частности, оно всегда справедливо при N=\.

Последнее утверждение следует из того, что при N = 1 всегда dT (А,) = шт (А,) (см. теорему VI. 5.2).

Диссипативные операторы. Класс (q+)

Ввиду соотношений между непрерывными однопараметрическими полугруппами сжатий и их когенераторами, а также соотношений между максимальными аккретивными или диссипативными операторами и их преобразованиями Кэли полученные в предыдущих главах результаты, касающиеся функциональных моделей, инвариантных подпространств, разложений, подобия, квазиподобия, одноклеточное™ и т. д., могут быть более или менее непосредственно перенесены со случая одного сжатия на непрерывные полугруппы сжатий или на аккретивные либо диссипативные операторы (по поводу моделей для полугрупп см. комментарии к гл. VI).

Рассмотрим в качестве примера операторы вида

A = R-HQ(4.1)

в пространстве §, где R и Q — самосопряженные операторы, причем Q неотрицателен и ограничен:

O^Q^Sql.(4.2)

Очевидно, оператор А диссипативен. Его резольвентное множество содержит все комплексные числа вида z = х + iy, где либо у<0, либо y>2q. В самом деле, A — zI = M + N, где М = = (Я - х/) + i^q - у) I, N = i (Q- qO; в силу (4.2) || N ||< q. С другой стороны, если y^q, то оператор М обратим в узком смысле и |Л4-1||^| q — у Г1. Следовательно,

A-zI = MU + M~xN\ где Цм“^|<<7 • | q-у Г1.

Правая часть последнего неравенства < 1, если у<0 или y>2q, и, значит, в этом случае оператор A—zI обратим в узком смысле.

Отсюда следует, в частности, что преобразование Кэли оператора А

Т^{А- И) (Д + nV = I - 2Z (Д + ИГХ (4.3)

(см. (IV. 4.12)) определено всюду в ф. Поэтому А является максимальным диссипативным оператором. Далее, поскольку дробнолинейное преобразование

(4.4)

отображает точки z^^ — i) резольвентного множества оператора А в резольвентное множество оператора Т, то о (Г) не покрывает единичного круга | X |< 1. Если оператор А ограничен, то а (Г) не покрывает и единичной окружности |£|=1.

Непосредственным подсчетом получаем

1-ГТ = FQJ, 1-ТГ = JQF,(4.5)

где

J = 2iU + iirX=I-T.

Отсюда вытекает, что операторы 11

т: DTh->Q4h, т»: DT*h->Q4*h ' (йе§)(4.6)

являются изометриями. Из соотношения

”т _i. Т~ Q4% = Q4% = Q^ = Q%

и аналогичного соотношения для F следует, что операторы (4.6) расширяются по непрерывности до унитарных операторов

т: ©r->Ci, т+: ©г*->&, где Ci = Q§.(4.7)

Поэтому характеристическая функция {©г, ©г*, ©НМ) оператора Т совпадает с функцией {Cl, Cl, т^т (Л,)т-1}. Положим

e^H.W (z = z4^,|X|<l)(4.8)

и вычислим ®д (2) в явном виде. В силу соотношения

0г (X) DT = Dr (/ - ХТТх (М - Г)

(см. (VI. 1.2)) и в силу определений (4.6) операторов тит, имеем для произвольного Де §

= - 2iQ2 [(z + /) (д* - ц^ _ (г _ /) (д* + //)]-• хX [(г - i) (А +Z7) - (г + i) (А - ZZ)] (А + i/)"1 К == <У (А* - z/)"1 (А - z/) Jh = Q^ [/ + 2i(А* - zip1 Q] Jh -= [/ + 2iQ2 (А* - zip1 Q^Q^ZA,= - 2iQ2 [(z + /) (д* - ц^ _ (г _ /) (д* + //)]-• хX [(г - i) (А +Z7) - (г + i) (А - ZZ)] (А + i/)"1 К == <У (А* - z/)"1 (А - z/) Jh = Q^ [/ + 2i(А* - zip1 Q] Jh -= [/ + 2iQ2 (А* - zip1 Q^Q^ZA,(4.9)(4.9)(4.Ю)(4.Ю)

= - 2iQ2 [(z + /) (д* - ц^ _ (г _ /) (д* + //)]-• х

X [(г - i) (А +Z7) - (г + i) (А - ZZ)] (А + i/)"1 К =

= <У (А* - z/)"1 (А - z/) Jh = Q^ [/ + 2i(А* - zip1 Q] Jh -

= [/ + 2iQ2 (А* - zip1 Q^Q^ZA,

= - 2iQ2 [(z + /) (д* - ц^ _ (г _ /) (д* + //)]-• х

X [(г - i) (А +Z7) - (г + i) (А - ZZ)] (А + i/)"1 К =

= <У (А* - z/)"1 (А - z/) Jh = Q^ [/ + 2i(А* - zip1 Q] Jh -

= [/ + 2iQ2 (А* - zip1 Q^Q^ZA,

(4.9)

(4.9)

(4.Ю)

(4.Ю)

откуда

©A(z) = [/ + 2iQ^(A’-z/r,Q^|

Если оператор Q вполне непрерывен и

Qh = ^tok (А, ф6)ф&

— его спектральное разложение (где {ф^} —ортонормированная система собственных векторов, отвечающих собственным значениям со^ > 0), то система {ф^} образует ортонормированный базис в подпространстве О,.

Матрица оператора 0л(г) в этом базисе (конечная или бесконечная) определяется равенствами

(Ол^ф,. Фй) = 6/а + 21(ю;«>й)2 (UV-zOSb Фк\ (4-11)

Покажем, что если оператор Л ограничен, то А и Т имеют одни и те же инвариантные подпространства 8, и оператор 7о = 7|2 является преобразованием Кэли диссипативного оператора Ле = А 18.

Для этого рассмотрим сначала подпространство 8, инвариантное относительно А. Выберем круг такой, чтобы спектр о (Л) лежал внутри, а точка —I вне этого круга. Если 20 — центр, а г —радиус выбранного круга, то по теореме о спектральном радиусе (см. \Лекции\, п. 149, стр. 454)

г ^ lim 11 (А — г:07)п ||v".

Следовательно, при | 2 — 201 > ^

(А - zip1 = [(А - z0/) - (z - z0) /]~' = - 3 (z - zo)""’1 (A - z0/)rt,

(4.12) где ряд сходится по норме; отсюда вытекает инвариантность 2 относительно (A — zip1. Беря, в частности, z= — i, получим, что 2 инвариантно относительно (A + i/)-1, а значит, в силу (4.3) и относительно Т. Далее, из (4.12) при z = — I следует, что

(A + i7)-1|2 = (A8 + i78)-1

и потому

Т8 = (А - т (А + 17)-' 12 — (Ла — г/8) (А8 + ИйГ1.

Тем самым доказано, что Та является преобразованием Кэли оператора А8.

Обратно, пусть 8 — подпространство, инвариантное относительно Т. Из разложения

(T-p/r^-Sn—(|ц|>1)о

вытекает, что 2 инвариантно относительно (Г — ц/)-1. Поскольку T — I имеет обратный в узком смысле,

(см. (4.3)) и (Т — П”х является пределом по норме при ц->1 операторов (Г — р/)*"1, то 2 инвариантно относительно (Г —/)“\ а следовательно, и относительно А = i(I + Т) (I — Т)*"1.

Непосредственным следствием доказанного предложения является следующий факт: если оператор А ограничен, то одноклеточност ь А равносильна одноклеточност и Т.

Предположим, что оператор А ограничен и о (Л) состоит из одной лишь точки 0, не являющейся собственным значением для А. Тогда спектр сжатия

Г = —Т

состоит лишь из точки 1, не являющейся собственным значением для Т'. Оператор Т' вполне неунитарен (см. замечание в конце п. VIII. 3.2), следовательно, оператор А вполне несамосопряжен.

Оператор Т' является когенератором непрерывной полугруппы сжатий {^'(s)}^:

Г^ = еДГ) (s>0)(4.13)

(см. теорему III. 8.1). В силу (4.3) генератор А* этой полугруппы задается равенством

А'= (/А)~’.

Оператор А-1 существует и определен на плотном множестве, поскольку Г, а с ним и Т не имеют собственного значения —1. Функциональное исчисление, построенное в п. IV. 4.4, позволяет записать равенство-

V (s) = ехр ($Д').(4.14)

При дополнительном предположении ядерности оператора Q из (4.5) вытекает, что Г, а с ним и Tz являются слабыми сжатиями. По теореме VIII. 1.1 характеристическая функция оператора Г' обладает ^скалярным кратным. Поскольку, кроме того, а(7') = {1}, то TZ^C^ (предложение II. 6.7), откуда следует, что Т'еС0 (теорема VI. 5.1), а также, что

тт' W = ^а W» где а = аг>^.

Это означает, что е^Т'^-О, еь{Т')^= О при 0^Ь<а, так что в силу (4.13) и (4.14)

ехр (аЛ') = О, exp (М') ^ О при 0 < b < а.

Введем обозначение

(йо+)

для класса ограниченных диссипативных операторов А = R + IQ с ядерным Q, таких, что а(Д) = {0), но 0 не является собственным значением для А.

Приведенные выше рассуждения доказывают следующее предложение (за исключением равенства (4.15)):

Предложение 4.1. Если Де(й^), то оператор А' = (/Л)"1 является генератором непрерывной полугруппы сжатий {Tz (s^^o* такой, что Tz (s) = О при достаточно больших s. Наименьшее из этих s, обозначаемое через sA, равно числу а = ат^ фигурирующему в записи еа(^ минимальной 'функции оператора Tz = (// — Л) (// + Л)""1. Кроме того

sA = limsup [|z | • In||(Л + z/)“‘1||].(4.15)

Z-»0

Для того чтобы доказать (4.15), заметим прежде всего, что, полагая z' = (tz)-1 (z ф 0), имеем А' + z'l = ^zl + Л) V-zAY"\ откуда

(Л' + z'lf1 = izA tzl + Л)-1.(4.16)

Поскольку А'"1 = iA, то все (конечные) комплексные числа входят в резольвентное множество оператора А'. Согласно (IV. 4.17),

l-A'-z'IT1^ e^T^dt(4.17)

о

при Rez'<0. Поскольку обе части равенства (4.17) суть целые функции от z', они совпадают тождественно. Отсюда вытекает

неравенство

||(Л' + 27)-1| < j е<12'1^<ехр(5л|/|)(|z'|>l)

о

и, следовательно.

lim sup Г-rj-j-In 11^ + 27) '||<s4.(4.18)

Z'->oo И4 I

С другой стороны, в силу хорошо известной теоремы Пэли — Винера (см. Винер и Пэли [1]) для всякой скалярной функции ф (/) е I? (— о, о)*

о

limsup[jyy • In | ф (2') |] = аф, где ф (2') = J е‘г'ф (t)dt;

здесь аф — наименьшее из чисел а, для которых ф(0 аннулируется почти всюду на (—о, а)\(—а, а). По определению числа зд имеем ^'(з)^ О при з<зд. Следовательно, для всякого е > 0 существуют такие элементы h, ge§, что непрерывная функция ф (0 = (Г' (0 A, gj удовлетворяет условию аф > зд—е. Поэтому из (4.17) вытекает, что

lim sup Гт4т In |((Л' + 27р‘ h, g)ll > s^ - в;

z'-»oo L I л |J

следовательно, в (4.18) имеет место знак равенства. В силу (4.16) это равенство можно также записать в виде

sA = limsup [ |z | • ln[|zX(X +гП Ц. (4.19) 2->0

Поскольку оператор Л ограничен, то из (4.19) следует, что

(4.20)(4.20)зд^ lim sup [| 2 | • ln||z (Л + 2/) 1 fl]. 2->0

(4.20)

(4.20)

Пусть {г„} — стремящаяся к нулю последовательность, на которой достигается верхний предел (4.20). Поскольку зд>0, то |2„(Л+ 2п/)-1||-> оо; с учетом соотношения z (Л + z/)-1 = = 1 — Л(Л + 27)”' получаем

lim [| я:„ | • In |2П(Л+ 2П7Г'||] <

< lim sup [ 12„ I • In (1 + J Л (Л + znIYX II1 = п

= lim sup[| 2n I In || Л (Л + znIY ’Щ^зл

(см. (4.19)). Отсюда следует, .что в (4.20) имеет место знак равенства, чем и доказано (4.15).

Пусть Ле(йо') таков, что Q имеет конечный ранг N. Согласно (4.5), дефектные числа оператора Т равны N.. Детерминант dT (X) есть внутренняя функция, делящаяся на mT (X) и делящая mT ^N (см. теорему VI. 5.2). Поскольку пгт (X) = = пгт- (- X) = еа (- X) = ехр <а^\ где

с. — Л + 1' I

то

dT (X) = х • ехр (с£), где |х|=1, a<Lc<.Na. (4.21)

(Заметим, что условие [ X ]< 1 равносильно условию Re£>0.)

Значение с вычисляется непосредственно с помощью формул (4.8) и (4.11). Согласно этим формулам, матрица оператора ©г (X) по отношению к ортонормированным базисам {т~’ф j в ®т и {т^’ф^ в $>г, имеет элементы

^6/ (X) = (@д(- у)Ф/, Фй) = d/ft - 2(©/©J2 £((/ + ^Л*)-' Ф/. Фй).

'(4.22)

Поскольку dT (X) — детерминант этой матрицы, то из (4.21) и (4.22) следует, что

■^ det [йку (X)] |£-0 = хс.(4.23)

Но из (4.22) вытекают также равенства

»М W l;-0 = ^kb X ^/ W 1£=0 = - 2 ( (0/ CDft) 2 б/Ь

в силу которых левая часть (4.23) равна — 2S<0/- Учитывая, что <й/>0, получаем

’с = 2 3<о/.(4.24)

Для одноклеточности Л необходимо и достаточно, чтобы одноклеточным был Т. Но оператор Т одноклеточен тогда и только тогда, когда (см. п. 3.4).

|dr(0)l = |mr(0)l(4.25)

(это условие всегда выполняется, если дефектные числа оператора Т равны 1, т. е. если ранг Q равен 1). Таким образом, имеем | dr (0) | = | ехр с£ |£^е-0, | шт (0) | = е~а (ибо тт^ = = пгт-^— Х) = еа( — X)); поэтому равенство (4.25) означает, что с = а.

Тем самым доказана

Теорема 4.2. Если Ле(й^) и Q = ImД имеет конечный ранг, то число sA, введенное в предыдущем предложении, удовлетворяет неравенству

sa</2AyQ.(4.26)

Знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда оператор А одноклеточен. В частности, он имеет место, если ранг Q равен 1.

В случае дефектных чисел, равных 1, оператор Т определяется с точностью до унитарной эквивалентности своей минимальной функцией еа(—М> гДе a = aT = sA (см. замечание после теоремы VI. 5.2), т. е. числом 8Л. Учитывая очевидное соотношение srA = rsA (г >0), получаем:

Если Ао — оператор рассматриваемого типа, для которого зл = 1, то всякий оператор А этого типа унитарно эквивалентен оператору sA • До.

Рассмотрим в качестве примера оператор До в L2(0, 1), определяемый равенством

X

Aj^ = i\t^dt. ■(4.27)

о.

Оператор До является вольтерровым, о(Д0) = {0}, и 0 не является собственным значением Ао. Для Q = Im До

1

QfW = ^f^dt.

о

Следовательно, Q^O и ранг Q равен 1. Таким образом, Дое(йо"). Легко показать, что оператор До = (г До)-1 является генератором непрерывной полугруппы сжатий, определяемой формулой

/ VU/ X ff^-s) ПРИ хе [s, оо)П[0, 1],exp (s Ао) f (х) = {пгп ,.

г(0 при прочих хе[0, 1].

Поэтому 8Ло= 1.

Отсюда вытекает

Предложение 4.3. Оператор Ай в L1^, 1), определяемый формулой (4.27), является одноклеточным. Всякий оператор А е (йо"), для которого 1тД имеет ранг 1, унитарно эквивалентен положительному кратному оператора До, а именно оператору sA • До.

Очевидно, два ограниченных максимальных диссипативных оператора квазиподобны в том и только том случае, когда

§ 5, ДИССИПАТИВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, ПОДОБНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫМ 403 квазиподобны их преобразования Кэли. Из этого факта и из теоремы 2.4 вытекает следующее

Предложение 4.4. Всякий одноклеточный оператор ДеЙ+) квазиподобен оператору sA . До, где оператор До в L2 (О, 1) определяется равенством (4.27).

Диссипативные операторы, подобныесамосопряженным

Рассмотрим диссипативные операторы (в сепарабельном пространстве £>) вида A = R + iQ, где R и Q —самосопряженные операторы, причем Q ограничен и положителен (см. п. 4.1).

Очевидно, что оператор Д подобен самосопряженному оператору, если его преобразование Кэли Г подобно (с тем же аффинитетом S) унитарному оператору. Как мы знаем, спектр а (Г) не покрывает открытого единичного круга D; отсюда на Основании теоремы VI. 4.1 вытекает, что существуют такие X^D, для которых оператор 0Г (Л) обратим в узком смысле. Поэтому из теоремы 1.2 следует, что необходимым и достаточным условием подобия оператора Т унитарному оператору является существование такой константы с > 0, что

l|6r(Mgll>cUH U^iA^DY(5.1)

Положим

q — tg, z = iy4x (^e2)n IM<L Imz>0),

где т — оператор (4.6). В силу соотношений (4.7) — (4.9)

II ^Т W g II = II ©л(z) q II = Wq + ^ (л* - г/)-' Q^q |,(5.2)

IIЯ11 = IIЯ IL(5.3)

В частном случае, когда ранг Q равен 1, имеем

Qh = to (h, q^ q0 (co > 0, || ^0II = !)•(5.4)

Линеал Ct состоит из элементов, кратных вектору qQ; следова- i_ 2

тельно, q — to 2Q2q при qeQ..

Далее, поскольку

II 1 II -1 К 1 м

|| Q2 А|| = (Q/t, А)2 = [со(/г, qoHqo, A)]2 =IUo. <о2АЛ, то последний член в (5.2) может быть записан в виде

1(9-0, q + 2lto(A'-z/)~l q)[.

Таким образом, -•

Цел(г)<711 = |О(г:) 1-Ц^Ц (дей),(5.5)

где-

^(z)=l-2/®((4-27)“1(7o, 9о)(Imz>0).(5.6)

На основании (5.2) —(5.5) условие (5.1) принимает вид

|0(z)|>c(>0)(Imz>0).(5.7)

Рассмотрим в качестве примера оператор А в пространстве % = I? (0, 1), определяемый равенством

Ah (х) = а (х) h (х) + i J h (0 dt,(5.8)

о

где а (х) — заданная вещественная измеримая почти всюду конечная функция. Имеем А = R + iQ, где

Rh (х) = а (х) h (х) + уRh (х) = а (х) h (х) + уг х пг х пJ-J H^dt,J-J H^dt,L о х JL о х J

Rh (х) = а (х) h (х) + у

Rh (х) = а (х) h (х) + у

г х п

г х п

J-J H^dt,

J-J H^dt,

L о х J

L о х J

1

QH to = j J KW dt = ± (h, e0) e0

0

(e0(x)sl), так что Q удовлетворяет условию (5.4) при д0 = е0э 1

CD =^r. 2

Чтобы вычислить O(z), рассмотрим

«^(Д + Е/Г'ео &=-z\

Имеем-

.X

^а (х) + £) ug (х) + i | «g (0 dt - 1(0 < х < 1),

о

или же, полагая (cz (х) + g) и^ (х) = vg (х),

I а(0 + $ * vtWdt 11 оI а(0 + $ * vtWdt 11 о(5.9)(5.9)

I а(0 + $ * vtWdt 11 о

I а(0 + $ * vtWdt 11 о

(5.9)

(5.9)

(5.10)(5.10)Это уравнение имеет единственное решение

(5.10)

(5.10)

-и MtHTdtV0/

В силу (5.6), (5.9) и (5.10)

(

1

-I f "777ГГГ

J U т 5 0

Вводя в рассмотрение функцию распределения для а(х), т. е. функцию

<r(a) = mes{x: 0<х< 1, а(хХа} (—оо<а<оо),

получаем

^(z) = exp^-i j ^^^(z) = exp^-i j ^^откуда| A(z) | = exp (- Jda (а)откуда| A(z) | = exp (- Jda (а)(г = а + ф, 0>О).(г = а + ф, 0>О).(5.П)(5.12)(5.П)(5.12)

^(z) = exp^-i j ^^

^(z) = exp^-i j ^^

откуда

| A(z) | = exp (- Jda (а)

откуда

| A(z) | = exp (- Jda (а)

(г = а + ф, 0>О).

(г = а + ф, 0>О).

(5.П)

(5.12)

(5.П)

(5.12)

Таким образом, условие (5.7) принимает вид

F(a, 0) = / (а^ + 0^ rfq(a)<^ (—оо <а < оо, 0> 0), (5.13)

гдегде7И = In7И = Inоо.оо.

где

где

7И = In

7И = In

оо.

оо.

Пусть (5.13) выполнено, тогда для любого конечного интервала (аь а2) и для любого т) > 0

0^2®О С^2

da (а) =da (а) =М (а2 — <0 > J F (а, 0) da = J J ^ _^2 + р2

da (а) =

da (а) =

а,—оо La

= J [arctg-^p--arctg-^-p-]da(a).

Если ai и a2 —точки непрерывности функции а (а), то, полагая 0->O и применяя лемму Фату, находим

(5.14)(5.14)М (а2 - аО > л J da (а) = л [а (а2) - a (aj],а,

(5.14)

(5.14)

т. е. а (а) удовлетворяет условию Липшица с константой Mjit.

Обратно, если ст (а) удовлетворяет условию (5.14), то

di ох/М 7 ^da МТ z а-«Г+”,,

^(а, РХ я (а_о)2 + р2 = „ [arctg р 1а=_оо = Л1-

т. е. выполняется (5.13).

Мы доказали утверждение (а) следующего предложения:

Предложение 5.1. Пусть А —оператор в L2(0, 1), определяемый равенством (5.8).

Для того чтобы оператор А был подобен самосопряженному оператору, необходимо и достаточно, чтобы построенная для а{х) функция распределения о (а) удовлетворяла условию Липщица.

Если о (а) удовлетворяет условию Липшица, то вполне несамосопряженная часть оператора А подобна самосопряженному оператору Ло в пространстве L2(Q), определяемому формулой•

АП)=И®.

где Q = (а: ст' (а) > 0).

Нам остается доказать утверждение (б). В силу (5.2), (5.3) и (5.5)

H0r(e“)gll = lim|»(z)|.UI| ^.(5.15)

где £ — лежащий на вещественной оси образ точки X — elt при дробнолинейном преобразовании

т. е. £=—ctgy. Предел в (5.15) берется со стороны верхней полуплоскости (некасательно). Если ст (а) удовлетворяет условию Липшица, то

для почти всех £е( —оо, оо) (предел некасательный к вещественной оси); см., например, Гофман [1], стр. 175. Из (5.12), (5.15) и (5.16) вытекает, что

II er (»“) g || = ехр (- л</ (g)) • || g Ц (g е ®г)

для почти всех точек еи единичной окружности. Следовательно, (△г (О2 g. g) = [ 1 - exp (- 2лст'«))] • (g, g) (g e £r)

для почти всех t г (0, 2л). Поэтому для этих t

А

Аг(0§ = [1 — exp (—2ла'(|))]2 g. U^®TY

Поскольку пространство 2)г = т-1 Q, одномерно, то пространство Аг£о(®г) отождествимо с пространством 6^(0, 2л)1), где

6(0 = n(- ctgj), nU) = [l — ехр( —2ла' (£))]2.

Отсюда следует, что вполне неунитарная часть Т^ оператора Т подобна умножению на функцию еи в б£2(0, 2л) (см. следствие 1.3).

Таким образом, вполне несамосопряженная часть Л<0) = = <(/+ Г^Щ/— Л0))-1 оператора А подобна умножению на 1t-

* 1 _eit = ~ с^6 "2 в пространстве ЬЦ (0, 2л).

Рассмотрим преобразование

f (0 = Г(е“)->5TF (Itt) '(0<< <2л; -00 <£< 00).

[n(l+V)P

Оно унитарно отображает L2(0, 2л) на А2( —оо, оо). При этом подпространство dL2(0, 2л) отображается на подпространство t]L2( —оо, оо), а умножение на — ctg ^ в первом подпространстве переходит в умножение на £ во втором. Пространство т^А2( —оо, оо) отождествляется очевидным образом с пространством L2(Q), где

Й = Й: ПЙ)#=0} = {^: oza)^0}.

Предложение 5.1 доказано

В случае когда оператор А вполне несамосопряжен, он сам подобен оператору Ло (разумеется, при условии, что о (а) удовлетворяет условию Липшица). Этот случай имеет место, например,

В настоящем параграфе индекс 0 в Lq указывает на тот факт, что интегрирование ведется по мере dt^.

если a(x)sx, так что

а(а) =а(а) =О а1О а1при апри аО,О,при О^апри О^аС 1,С 1,(5.17)(5.17)при 1 ^а < оо.при 1 ^а < оо.

а(а) =

а(а) =

О а

1

О а

1

при а

при а

О,

О,

при О^а

при О^а

С 1,

С 1,

(5.17)

(5.17)

при 1 ^а < оо.

при 1 ^а < оо.

В этом случае Q = (О, 1).

Допустим, что существует подпространство §'с£2(0, 1), приводящее А к самосопряженному оператору А'. Поскольку оператор А ограничен, то при любом Не §''

О = (А' - Л'*) Н = (Л - Л*) h = 2iQh = i (h, e0) e0

и, следовательно, (A, e0) = 0- Поэтому

(А, Лпе0) = (Л*"А, e0)= 0 при he^z, n=l, 2, ....

Имеем

Ae0 = x + lx = (1 + z") x, ..., Л"е0 = (1 + i) (1 + y) ■... (1 + ^ x",....

Следовательно, h L xn (n = 0, 1, ...), откуда A = 0. Таким образом, £>' = {0}, t. e. оператор А вполне несамосопряжен.

Тем самым мы доказали

Следствие 5.2. Оператор

X

Ah (х) = xh (х) 4- i J A (Odtо

в L1^, 1) вполне несамосопряжен, но подобен самосопряженному оператору

Aog{x) = xg{x)

в L40, 1).

Комментарии

Общий критерий того, что данное сжатие подобно унитарному оператору, устанавливаемый теоремой 1.2 и следствием 1.3, был опубликован впервые в С.-Н. и Ф. [X]. Этот результат еще с одной стороны демонстрирует полезность характеристических функций при изучении операторов. Следствие 1.4 получено Гохбергом и Крейном [5] (см. также Крейн [1]). Хотя оно формулируется в терминах резольвенты, доказательство основано на нашем исходном критерии, связанном с характеристической функцией.

Предложения 2.1 и 2.6, а также следствия из них (о диссипативных операторах) были анонсированы Фояшем [6] и доказаны в С.-Н. и Ф. [XI].

Предложение 2.2 и теорема 2.4 сначала были доказаны для случая конечных дефектных чисел в С.-Н. и Ф. [XI]. В общем виде публикуются здесь впервые.

Теорема 3.4 первоначально доказана в С.-Н. и Ф. [XI], правда, лишь в части, касающейся эквивалентности условий (а) (одноклеточность) и (в) ^dT = mT\ Приведенное в настоящей книге доказательство, в котором фигурирует условие (б) (наличие циклического вектора), является новым. Это доказательство (как и первоначальное) представляет некоторый интерес с той точки зрения, что в нем впервые используются наибольшие общие делители миноров характеристической матрицы 6Г (Л).

Результат об эквивалентности условий (а) и (в) примечателен своим сходством с хорошо известным фактом из линейной алгебры: конечная матрица А подобна клетке Жордана в том и только том случае, когда характеристический и минимальный многочлены матрицы А совпадают.

Более глубокая аналогия между конечными матрицами и операторами класса C0(W) была обнаружена в недавних работах авторов (С.-Н. и Ф. [14], [15]). Приведем краткий обзор полученных там результатов.

Для каждой непостоянной внутренней функции т обозначим через S(m) сжатие класса Со(1), определенное в пространстве

ф эрмулой

S^x) = [Xv (Л)],

или, что то же самое,

5(тГо = ^[о(Х)-о(0)1

(см. предложение III.4.3).

Справедливо следующее утверждение (теорема 2 и предложение 2 в С.-Н. и Ф. [14], следствие из теоремы 2 в С.-Н. и Ф. [15]).

Теорема I. Для оператора Т в §, принадлежащего классу CoW (^>1), следующие условия эквивалентны;

) операторы Т и S <щгт^ квазиподобны;

для Т существует циклический вектор1,

Щу — dT\

для всякого внутреннего делителя и функции пгт существует единственное подпространство ^и в $, инвариантное относительно Т, такое, что тт^ = и; именно,

^ = ^:he%, u{T)h = 0}-,

не существует подпространства 8 в ^, ^^ ^, такого, что ^Т | 8 = ^Т’

если подпространства %х и 82 инвариантны относительно Т и операторы Г|8Ь 71182 квазиподобны, то 8j = 82;

коммутант {Г)' {т. е. множество ограниченных операторов, коммутирующих с Т) состоит из ограниченных операторов вида ф(Г), где ф е NT;

все операторы из {ТУ коммутируют между собой.

В случае конечномерного % каждому из этих условий эквивалентно следующее; собственные значения оператора Т просты, т. е. каждому собственному значению отвечает единственный (с точностью до скалярного множителя) собственный вектор.

Оператор вида

5 {m^ ® S (т2) ® ... © S {пгк\ (*) где т/ — делитель m^x (i^Z, •••> ^), будем называть жордановым. Справедлива следующая теорема (см/теорему 2 в С.-Н. и Ф. [15]):

Теорема И. Для каждого оператора Т ^CQ{N) {N^ 1) существует единственный квазиподобный ему жорданов оператор.

Эта теорема позволяет получить следующий результат (теорема 3 в С.-Н. и Ф. [15]):

Теорема III. Для каждого оператора TeC^N) бикоммутант (Т)" {т. е. множество всех ограниченных операторов, перестановочных с операторами из (ТУ) состоит из ограниченных операторов вида ф(Г), где q>^NT.

Для доказательства этих теорем использовались различные результаты из настоящей книги, а также следующее предложение, относящееся к арифметике скалярных внутренних функций (см. С.-Н. и Ф. [14]):

Пусть их, ..., uN —скалярные внутренние функции. Существуют внутренние делители Uj функций V/, такие, что V/A^/ = 1 при i j и uvV ... VuN = vxV .. - VvN{= vx ... uN).

(Здесь применены следующие обозначения: если wx, ..., wm- скалярные внутренние функции, то wxV ... Vwm и wxK ... — их наименьшее общее внутреннее кратное и наибольший общий внутренний делитель соответственно.)

Приведенные выше теоремы об операторах класса C0{N) справедливы и для случая конечных матриц. Действительно, для каждого оператора Т в EN оператор V = аТ принадлежит классу С0{М), если выбрать скаляр а так, чтобы 0<| а |< 1/|| 7*1|,

Введем еще одно обозначение. Для каждого ограниченного оператора Т в ^ обозначим через ц7 наименьшую мощность подмножеств {/Ц в ф, таких, что

V г^ = ^л>0

Легко видеть, что для Т ^Cq^N) имеем р7, р7* <^.

Используя результаты статьи С.-Н. и Ф. [13], можно показать, что теоремы II и III остаются верными для таких сжатий 7еС0 в §, для которых числа ц7 и ц7* конечны. В этом случае ц7 = ц7* = &, где к — число слагаемых в сумме (*).

Понятие одноклеточное™ введено М. С. Бродским и изучалось главным образом для операторов класса (Qo") (см. Бродский и Лившиц [1], §9). М. С. Бродский [3] доказал, что для операторов Де(й^) число 8Л, определяемое нашей формулой (4.15), удовлетворяет неравенству

8л<21г9, где Q = Im Д = - ~Л ~, (4.26)

а также, что равенство в (4.26) влечет одноклеточное™ Д. Тот факт, что это равенство не только достаточно, но и необходимо , для одноклеточное™, был установлен Бродским и Киси- левским [1]V Почти одновременно авторы книги получили свое условие одноклеточности А (при дополнительном предположении, что ранг оператора Q = Im А конечен) в терминах полугруппы {Tz (s)}, порожденной оператором Д'= (/Д)-1 (см. предложение 5.2 в С.-Н. и Ф. [XI]). В силу соотношения (4.15) это условие равносильно равенству в (4.26).

Кисилевский [2], [3] обнаружил, что для оператора A e(Qo") одноклеточное™ равносильна существованию циклического вектора. Он получил также аналог жорданова разложения для оператора Д^(йо"); изложение этих исследований имеется в недавно вышедшей монографии М. С. Бродского [9]. Если. Im Д имеет конечный ранг N, то преобразование Кэли ТА оператора А принадлежит классу Со(^. Если, кроме того, а(Тл) = {1}, то жорданов оператор, отвечающий сжатию ТА в смысле нашей теоремы II, соответствует жорданову разложению в смысле Кисилевского. Тем не менее, имеется большая разница в методах и сфере применения обеих теорий. В самом деле, в то время как исследования Кисилевского относятся ко всем слабым сжатиям класса Со, но со спектром, сосредоточенным в одной точке, исследования авторов настоящей книги ограничены сжатиями класса Со с конечными ц7, ц7*, зато о спектре Т никаких предположений не делается. Весьма

вероятно, что наши методы можно обобщить таким образом, чтобы они были применимы ко всем операторам класса (Q^). Для этого, по-видимому, следует воспользоваться теорией бесконечных определителей (см. Г ох б ер г и Крейн [4]).

Предложение 5.1 принадлежит авторам (С.-Н. и Ф. [X]). Частные случаи имеются у Сахновича [2]. Следствие 5.2 принадлежит ему же. Гохберг и Крейн обобщили предложение 5.1 на интегральные операторы более общего типа (см. М. Г. Крейн [1], Гохберг и Крейн [5]).

В связи с содержанием настоящей главы см. также М. С. Бродский [5]; Бродский, Гохберг, Крейн и Мац а ев [1]; Гохберг и Крейн [7*], Дополнение; Калиш [1]; Кисилевский [1], [4*], [5*]; Никольский [Г], [2*], [3*]; Сахнович [1] — [10]; С ар а с он [2]; Фридрихе [1]; Ш мульян [2].

БИБЛИОГРАФИЯ

Звездочкой отмечены работы, добавленные при переводе.

Адамян В. М., Аров Д. 3.

Об одном классе операторов рассеяния и характеристических оператор- функциях сжатий, ДАН СССР, 160 (1965), 9—12.

Об унитарных сцеплениях полуунитарных операторов, Мат. исследования, Кишинев, 1 : 2 (1966), 3—66.

Адамян В. М., А р о в Д. 3., К р е й н М. Г.

] Об ограниченных операторах, коммутирующих с сжатием класса СОо единичного ранга неунитарности, Функц. анализ и его прил., 3 (1969), № 3, 86—87.

Андо (A n d о Т.)

On a pair of commutative contractions, Acta Sci. Math., 24 (1963), 88— 90.

Ахиезер H. И., Г л а з м а н И. M.

[1*] Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, «Наука», 1966.

Балакришнан (В а 1 ak г ishn an V.)

Fractional powers of closed operators and the semi-groups generated by them, Pacific J. Math., 10 (1960) 419—437.

Берберян (Berberian S. K.)

Naimark’s moment theorem, Michigan Math. J., 13 (1966), 171—184.

Бергер (В e r g e r C. A.)

A strange dilation theorem. Abstract 625—152, Amer. Math. Soc. Notices, 12 (1965), 590.

Б e p л и н г (В e u r 1 i n g A.)

On two problems concerning linear transformations in Hilbert space, Acta Math., 81 (1949), 239—255.

Бохнер (BochnerS.)

Diffusion equations and stochastic processes, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 35 (1949), 368—370.

Бранж (de BrangesL.)

Some Hilbert spaces of analytic functions. II. J.1 Math. Anal. Appl., 11 (1966), 44—72.

[2*] Hilbert spaces of entire functions, New-Jersey, 1968.

Бранж, P о в н я к (de BrangesL., R о vnyak J.)

The existence of invariant subspaces, Bull. Amer. Math. Soc., 70 (1964), 718—721; 71 (1965), 396.

Брейн (d e В r u i j n N. G.)

On unitary equivalence of unitary dilations of contractions Jn Hilbert space, Acta Sci. Math 23 (1962), 100—105.

Бремер (BrehmerS.)

Ober vertauschbare Kontraktionen des Hilbertschen Raumes, Acta Sci. Math., 22 (1961), 106—111.

Б pjo д с к и й В. M.

] О мультипликативном представлении характеристических функций операторов сжатия, ДАН СССР, 173 (1967), 256—259..

Бродский В. М., Бродский М. С.

] Об абстрактном треугольном представлении линейных ограниченных операторов и мультипликативном разложении соответствующих им характеристических функций, ДАН СССР, 181 (1968), 511—514.

Бродский В. М., ГохбергИ. Ц., КрейнМ. Г.

] Определение и основные свойства характеристической функции ^-узла, Функц. анализ и его прил., 4 (1970), № 1, 88—90.

Бродский М. С.

Теорема умножения характеристических матриц-функций линейных операторов, ДАН СССР, 97 (1954), 761—764.

Характеристические матрицы-функции линейных операторов, Мат. сб., 39 (1956), 179—200.

О жордановых клетках бесконечномерных операторов, ДАН СССР, 111 (1956), 926—929.•

] О треугольном представлении некоторых операторов с вполне непрерывной мнимой частью, ДАН СССР, 133 (I960), 1271 —1274.

Критерий одноклеточности вольтерровых операторов, ДАН СССР, 138 (1961), 512—514.

] О мультипликативном представлении некоторых аналитических опера- тор-функций, ДАН СССР, 138 (1961), 751—754.

О треугольном представлении вполне непрерывных операторов с одной точкой спектра, У МН, 16 (1961), вып. 1, 135—141.

Об операторах с ядерными мнимыми компонентами. Acta Sci. Math., 27 (1966), 147—155.

Треугольные и жордановы представления линейных операторов, «Наука», 1969.

Бродский М. С., Г охбер г И. Ц., Крейн М. Г., Ма ца ев В. И.

О некоторых новых исследованиях по теории несамосопряженных операторов, Труды IV Всесоюзного математического съезда, т. 2, 1964.

Бродский М. С., Кисилевский Г. Э.

Критерий одноклеточности диссипативных вольтерровых операторов с ядерными мнимыми компонентами, ИАН СССР, сер. мат., 30 (1966), 1213—1228.

Бродский М. С., Лившиц М. С.

Спектральный анализ несамосопряженных операторов и промежуточные системы, УМН, 13 (1958), вып. 1, 3—85.

Бродский М. С., Ш м у л ья н К). Л.

Инвариантные подпространства линейного оператора и делители его характеристической функции, УМН, 19 (1964), вып. 1, 143—149.

Винер (W i е п е г N.)

On the factorisation of matrices, Comm. Math. Helv., 29 (1955), 97—111.

Винер, Акутович (Wiener N., AkutowiczE. J.)

[1] A factorization of positive hermitian matrices, J. Math. Meeh., 8 (1959), 111—120.

Винер, Мазани (W i e n e r N., M a s a n i P.)

The prediction theory of multivariate stochastic processes. I. Acta Math., 98 (1957), 111—150.

The prediction theory of multivariate stochastic processes. II. The linear predictor, Acta Math., 99 (1958), 93—139.

Винер, Пэли (W i e n e r N., P a 1 e у R. E. A. C.)

Преобразование Фурье в комплексной области, «Наука», 1964.

В о л ь д (W о 1 d Н.)

A study in the analysis of stationary time series, Stockholm, 1938; 2-е изд. 1954.’

Гальперин (Halperin I.)

[!] The unitary dilation of a contraction operator, Duke Math., J., 28 (1961), 563—571.

Sz.-Nagy-Brehmer dilations, Acta Sci. Math., 23 (1962), 279—289.

Unitary dilations which are orthogonal bilateral shift operators, Duke Math. L, 29 (1962), 573—580.

Intrinsic description of the Sz.-Nagy-Brehmer dilation, Stadia Math.. 22 (1963), 211—219.

Interlocking dilations, Duke Math. J., 30 (1963), 475—484.

Гинзбург Ю. П.

О J-нерастягивающих оператор-функциях, ДАН СССР, 117 (1957), 171 — 173.

О факторизации аналитических матриц-функций, ДАН СССР, 159 (1964), 489—492.

О мультипликативных представлениях ограниченных аналитических оператор-функций, ДАН СССР, 170 (1966), 23—26.

] Мультипликативные представления и миноранты ограниченных аналитических оператор-функций, Функц. анализ и его прил., 1 (1967), № 3, 9—23.

] О делителях и минорантах оператор-функций ограниченного вида, Мат. исследования, Кишинев, 2:4 (1968), 47—72.

Г л а з м а н И. М.

] Об одном аналоге теории расширений эрмитовых операторов и несимметрической одномерной краевой задачи на полуоси, ДАН СССР, 115 (1957), 214—216.

Гофман (Hoffman К.)

Банаховы пространства аналитических функций, ИЛ, 1963.

Г о х б е р г И. Ц., К р е й н М. Г.

О проблеме факторизации операторов в гильбертовом пространстве, ДАН СССР, 147 (1962), 279—282. •

О факторизации операторов в гильбертовом пространстве, Acta Sci. Math., 25 (1964), 90—123.

О мультипликативном представлении характеристических функций операторов, близких к унитарным, ДАН СССР, 164 (1965), 732—735.

Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, «Наука», 1965.

Об одном описании операторов сжатия, подобных унитарным, Функц. анализ и его прил., 1 (1967), № 1, 38—60.

] О треугольных представлениях линейных операторов и мультипликативных представлениях их характеристических функций, ДАН СССР, 175 (1967), 272—275.

] Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве, «Наука», 1967.

Данфорд, Шварц (Dunford N., Schwartz J. Т.)

Линейные операторы, I, ИЛ, 1962.

Д е в и н а ц (D е v i n a t z A.)

The factorization of operator valued functions, Ann. of Math., 73 (1961), 458—495.

Дольф (D о 1 p h C. L.)

Positive real resolvents and linear positive Hilbert systems, Ann. Acad. Sci. Fennie, (ser. A), 336/9 (1963), 3—39.

Дольф, П e н с л и н (D о 1 p h C. L., P e n z 1 i n E.)

On the theory of a class of nonselfadjoint operators and its application to quantum scattering theory, Ann. Acad. Sci. Fennie, (ser. A), 263 (1959), 1—36.

Дуглас (Douglas R. G.)

On majorization, factorization and range inclusion of operators in Hilbert space, Proc. Am. Math. Soc., 17 (1966), 413—415.

On factoring positive operator functions, J. Math. Meeh., 16 (1966), 119—126.

Structure theory for operators, I, /. reine und angew. Math., 232 (1968), 180—193..

Д у p с т (D u r s z t E.)

On unitary p-dilations, Acta Sci. Math., 27 (1966), 247—250.

On the spectrum of unitary p-dilations, Acta Sci. Math., 28 (1967), 299—304.

Дэвис (Davis Ch.)

The shell of a Hilbert space operator, Acta Sci. Math., 29 (1968), 69—86.

Ж ю л и a (J u 1 i a G.)

Sur les projections des systemes orthonormaux de 1’espace hilbertien, C. R., 218 (1944), 892—895.

Les projections des systemes orthonormaux de 1’espace hilbertien et les operateurs bornes, C. R., 219 (1944), 8—11.

Sur la representation analytique des operateurs bornes ou fermes de 1’espace hilbertien, C. R., 219 (1944), 225—227.

3 а с у x и н В. H.

[1*] К теории многомерных стационарных процессов ДАН СССР, 33 (1941), 435—437.’

Зиг му н д A. (Z у g m u n d A.)

Тригонометрические ряды, «Мир», 1965.

И о с и д а (У о s i d а К.)

Fractional powers of infinitesimal generators and the analyticity of the semi-group generated by them, Proc. Japan Acad., 36 (I960), 86—89.

Функциональный анализ, «Мир», 1967.

Ито (It6 Т.)

On the commutative family of subnormal operators, /. Fac. Sci. Hokkaido Univ., (1), 14 (1958), 1—15.

Калиш (К a 1 i s c h G. K.)

On similarity, reducing manifolds, and unitary equivalence of certain Volterra operators, Ann. of Math., 66 (1957), 481—494.

Като (Kato T.)

Fractional powers of dissipative operators, /. Math. Soc. Japan, 13 (1961), 246—274; 14 (1962), 242-^248.

Some mapping theorems for the numerical range, Proc. Japan Acad., 41 (1965), 652—655.

Кисилевский Г. Э.

Условия одноклеточности диссипативных вольтерровых операторов с конечномерной мнимой компонентой, ДАН СССР, 159(1964)

505—508.

Об аналоге жордановой теории для некоторого класса бесконечномерных операторов, Международный конгресс математиков, Москва, 1966, тезисы, секц. 5, 54.

О циклических подпространствах диссипативных операторов, ДАН СССР, 173 (1967), 1006—1009.

] Обобщение жордановой теории для некоторого класса линейных операторов в гильбертовом пространстве, ДАН СССР, 176 (1967), 768—

] Инвариантные подпространства вольтерровых диссипативных операторов с ядерными мнимыми компонентами, ИАН СССР, сер. мат., 32 (1968), № 1, 3—23.

К р е й н М. Г.

[1] Аналитические проблемы и результаты теории линейных операторов в гильбертовом пространстве, Труды Международного конгресса математиков. Москва, 1966, «Мир», 1^68.

К ужель А. В.

[ 1 *] Спектральный анализ неограниченных несамосопряженных операторов, ДАН СССР, 125 (1959/, 35-37.

[2*] Теорема умножения характеристических матриц-функций неунитарных операторов, Научные доклады высш, школы, (1959), № 3, 33—41.

[3*] Спектральный анализ квазиунитарных операторов в пространстве с индефинитной метрикой, Респ, научн. сб. «Функциональный анализ, теория функций и их приложения», вып. 4, Харьков, 1967, 3—27.

[4*] Обобщение теоремы Надя — Фояша о факторизации характеристической оператор-функции, Acta Set. Math., 30 (1969), 225—234.

Купер (С о о р е г J. L. В.)

[1] One-parameter semi-groups of isometric operators in Hilbert space, Ann. of Math., 48 (1947), 827—842.

Лакс (Lax P.)

Translation invariant spaces, Acta Math., 101 (1959), 163—178.

Translation invariant spaces, Proc. Intern. Symp. Linear Spaces, Jerusalem, 1960, 299—306, New York, 1961.

Лакс, Филлипс (Lax P., Phillips R. S.)

Scattering theory, Bull. Am. Math., Soc., 70 (1964), 130—142.

Scattering theory, New York, 1967. (Готовится русский перевод.)

Лангер (LangerH.)

Ein Zerspaltungssatz fur Operatoren im Hilbertraum, Acta Math. Hung., 12 (1961), 441—445.

Ober die Wurzeln eines maximalen dissipativen Operators, Acta Math. Hung., 13 (1962), 415—424.

Лангер, H о л л a у (LangerH., NollauV.)

Einige Bemerkungen fiber dissipative Operatoren in Hilbertraum, Wlss. Zeitschr. d. Techn. Univ. Dresden, 15 (1966), 669—673.

Лебов (L e b о w A.)

On von Neumann’s theory of spectral sets, J. Math. Anal. Appl., 7 (1963), 64—90.

Лившиц M. C.

Об одном классе линейных операторов в гильбертовом пространстве, Мат. сб., 19 (1946), 239—260.

Изометрические операторы с равными дефектными числами, квазиуни- тарные операторы, Мат. сб., 26 (1950), 247—264.

О спектральном разложении линейных несамосопряженных операторов, Мат. сб., 34 (1954), 144—199.

Операторы, колебания, волны. Открытые системы, «Наука», 1966. Лившиц М. С., Потапов В. П.

Теорема умножения характеристических матриц-функций, ДАН СССР, 72 (1950), 625—628.

Лоуденслагер (L о w d е n s 1 a g е г D. В.)

On factoring matrix valued functions. Ann. of Math., 78 (2) (1963), 450—454.- -

Мазани (M a s a n i P.)

The prediction theory of multivariate stochastic processes. HI, Acta Math., 104 (1960), 141—162.

Shift invariant spaces and prediction theory, Acta Math., 107 (1962), 275—290.

Isometric flows on Hilbert space, Bull. Am. Math. Soc., 68 (1962), 624—632.

On the representation theorem of scattering, Bull. Am. Math. Soc., 74 (1968), 618—624.

Мак-Келви (McKelvey R.^

Spectral measures, generalized resolvents and functions of positive type, J. Math. Anal. Appl., 11 (1966), 447—477.

M а ц a e в В. И., П а л а н т Ю. А.

О степенях ограниченного диссипативного оператора, Укр. мат. ж., 14 (1962), № 3, 329—337.

Мёллер (М о е 11 е г J. W.)

On the spectra of some translation invariant spaces, /. Math. Anal. Appl., 4 (1962), 276—296.

Мл а к (Mlak V.)

Characterisation of completely non-unitary contractions in Hilbert space, Bull. Acad. Polon. Sci. (ser. math., astr., phys.), 12 (1963), 111—114.

Note on the unitary dilation of a contraction operator, Bull. Acad. Polon. Sci. (ser. math., astr., phys.), 12 (1963), 463—467.

Some prediction theoretical properties of unitary dilations, Bull. Acad. Polon. Sci. (ser. math., astr., phys.), 12 (1963), 637—641.

Representation of some algebras of generalized analytic functions, Bull. Acad. Polon. Sci. (ser. math., astr., phys.), 13 (1965), 211—214.

Unitary dilations of contraction operators, Rozprawy mat., 46 (1965), 1—88. (Русский перевод: Унитарные растяжения операторов сжатия, сб. «Математика», 11:6 (1967), 21—95.)

Unitary dilations in case of ordered groups, Ann. Pol. Math., 17 (1965), 321—328.

On semi-groups of contractions in Hilbert spaces, Studia Math., 26 (1966), 263—272._

H а й м a p к M. A.

Положительно определенные операторные функции на коммутативной группе, ИАН СССР, сер. мат., 7 (1943), 237—244.

О самосопряженных расширениях второго рода симметрического оператора, ИАН СССР, сер. мат., 4 (1940), 53—104.

Об одном представлении аддитивных операторных функций множеств, ДАН СССР, 41 (1943), 373—375.

Накано (Nakano Н.)

On unitary dilations of bounded operators, Acta Sci. Math., 22 (1961), 286—288.

Нейман (von Neumann J.)

Ober einen Satz von Herm M. H. Stone, Ann. of Math. 33 (1932), 567—573.

Eine Spektraltheorie fiir allgemeine Operatoren eines unitaren Raumes, Math. Nachr., 4 (1951), 258—281..

Никольский H. K..

] Одноклеточность и неодноклеточность взвешенных операторов сдвига, ДАН СССР, 172 (1967), 287—290.

1 Об инвариантных подпространствах взвешенных операторов сдвига, Мат. сб., 74 (1967), № 2, 171—190.

] Базисность и одноклеточность операторов взвешенного сдвига, Функц. анализ и его прил., 2 (1968), № 2, 95—96.

Н о л л а у (N о 11 a u V.)

Uber Potenzen von linearen Operatoren in Banachschen Raumen, Acta Sci. Math., 28 (1967), 107—122.

Паррот (ParrottS.)

Unitary dilations for commuting contractions, preprint, Boston, 1969.

ПлеснерА. И..

Спектральный анализ максимальных операторов, ПАН СССР, 22 (1939), 225—228.

Функции максимального оператора, ДАН СССР, 23 (1939), 327—330.

О полуунитарных операторах, ДАН СССР, 25 (1939), 708—710. ПоляцкийВ. Т.

О приведении к треугольному виду квазиунитарных операторов, ДАН СССР, 113 (1957), 756-759.

Приведение к треугольному виду некоторых неунитарных операторов. Диссертация, Киев, 1960.

] О приведении к треугольному виду операторов класса К, Уч. зап. Одесск. пединст., 24 (1959), № 1, 13—15.

Потапов В. П.

Мультипликативная структура /-нерастягивающих матриц-функций, Труды Моск. Мат. о-ва, 4 (1955), 125—236.

Привалов И. И.

Граничные свойства аналитических функций, ГИТТЛ, 1950.

Р а ц (R й с z А.)

Sur les transformations de classe Cp dans 1’espace de Hilbert, Acta Sci. Math., 28 (1967), 305—310.

Рисе Ф., Секефальви-Надь Б. (Riesz F., Sz.-Nagy B.) \Лекций\ Лекции по функциональному анализу, ИЛ, 1954.

Uber Kontraktionen des Hilbertschen Raumes, Acta Sci. Math., 10 (1943), 202—205.

P о в н я к (R о v n у a k J.)

Some Hilbert spaces of analytic functions, Yale diss., 1963. Розанов Ю. Л.

] Спектральная теория линейного прогнозирования стационарных случайных процессов, сб. «Функциональный анализ и его применения», Баку, 1961, 222—229.

] Стационарные случайные процессы, Физматгиз, 1963.

Розенталь (R о s е nth а 1 Р.)

A note on unicelular operators, Proc. Am. Math. Soc., 19 (1968), 505— 506.

Рота (R о t a G. C.)

On models for linears operators, Comm, pure appl. math., 13 (1960), 468—472.

Сарасон (SarasonD.)

[11 On spectral sets having connected compleYnent, Acta Sci. Math., 26 (1965), 289—299.

A remark on the Volterra operator, /. Math. Anal. Appl., 12 (1965), 244—246.

Generalized interpolation in Hw, Trans. Am. Math. Soc., 127 (1967), № 2, 179—203.

СахновичЛ. A.w

О приведении вольтерровских операторов к простейшему виду и обратных задачах, ИАН СССР, сер. мат., 21 (1957), 235—262.

] Приведение несамосопряженных операторов с непрерывным спектром к диагональному виду, Мат. сб., 44 (1958), № 4, 509—548.

О приведении несамосопряженных операторов к треугольному виду, Изв. высш,, уч. завед., мат., 1(8) (1959), 180—186.

Исследование «треугольной модели» несамосопряженных операторов, Изв. высш. уч. заведу мат., 4(11) (1959), 141—149.

О диссипативных операторах с абсолютно непрерывным спектром, ДАН СССР, 169 (1966), 760—763.

Неунитарные операторы с абсолютно непрерывным спектром на единичной окружности, ДАН СССР, 181 (1968), 558—561.

Диссипативные операторы с абсолютно непрерывным спектром, Труды Моск. мат. о-ва, 19 (1968), 211—270.

Операторы, подобные унитарным, с абсолютно непрерывным спектром, Функц. анализ и его прил., 2 (1968), № 1, 51—63.

О диссипативных вольтерровых операторах, Мат. сб., 76 (1968), № 3,' 323—343.

Неунитарные операторы с абсолютно непрерывным спектром, ИАН СССР, сер. мат., 33 (1969), 52—64.

С е г ё (S z е g б G.)

Ober die Randwerte analytischer Funktionen, Math. Ann., 84 (1921), 232—244.

Секефальви-Надь (Szokefalvi-Nagy B.)

Sur les contractions de 1’espace de Hilbert, Acta Sci. Math., 15 (1953), 87—92. (Русский перевод: О сжатиях Гильбертова пространства, сб. «Математика», ЗУ 6 (1959), 73—77.)_

[I bis] Transformations de 1’espace de Hilbert, fonctions de type positif sur un groupe, Acta Sci. Math., 15 (1954), 104—114.

Sur les contractions de 1’espace de Hilbert. II,. Acta Sci. Math., 18 (1957), 1—15. (Русский перевод: О сжатиях гильбертова пространства, сб. «Математика», 3:6 (1959), 78—89.)

Prolongements des transformations de 1’espace de Hilbert qui sortent de cet espace. Приложение к книге F. Riesz et B. Sz.-Nagy, Lecons d’analyse fonctionnelle, Budapest, 1955. (Русский перевод: Продолжения операторов в гильбертовом пространстве с выходом из этого пространства. Приложение к книге Ф. Рисса и Б. Секефальви-Надя «Лекции по функциональному анализу», «Математика», 9:6 (1965), 109—144.)

Преобразования гильбертова пространства, . положительно определенные функции на полугруппе, УМН, 11 (1956), вып. 6, 173—182.

On Schaffer’s construction of unitary dilations, Ann. Univ. Budapest, sect, math., 3-4 (1960/61), 343—346.

Spectral sets and normal dilations of operators, Proc. Intern. Congress Math., Edinburgh, 1958, 412—422..

Bemerkungen zur vorstehenden Arbeit des Herm S. Brehmer, Acta Sci. Math., 22 (1961), 112—114.

Un calcul fonctionnel pour les operateurs lineaires de 1’espace hilbertien et certaines de ses applications, Studia Math., ser. spec. I, Conference d’analyse fonctionnelle, Varsovie, 4—10 oct. 1960 (1963), 119—127.

The «outher functions» and their role in functional calculus. Proc. Intern. Congress Math., Stockholm, 1962, 421—425. ’

Un calcul fonctionnel pour les contractions. — Sur la structure des dilatations unitaires des operateurs de 1’espace de Hilbert, Seminar! dell’Istituto Nazionale de Alta Matematica, 1962/63, 525—534.

Isometric flows in Hilbert space, Proc. Camb. Phil. Soc., 60 (1964), 45—49.

Positive definite kernels generated by operator-valued analytic functions, Acta Sci. Math., 26 (1965), 191-192.

Positiv-definite, durch Operatoren erzeugte Funktionen, Wiss. Zeitschr. d. Techn. Univ. Dresden, 15 (1966), 219—222.

Completely continuous operators with uniformly bounded iterates, Publ, Math. Inst. Hungar. Acad. Sci., 4 (1959), 89—92.

Секефальви-Н адь, Фонт (S z. -Nagy В., Foia$ С.) -

Sur les contractions de i’espace de Hilbert. Щ, Acta Sci. Math., 19 (1958), 26—46.

Sur les contractions de I’espace de Hilbert. IV, Acta Sci. Math., 21 (1960), 251—259.

Sur les contractions de I’espace de Hilbert. V. Translations bilaterales, Acta, Sei. Math., 23 (1962), 106—129.

Sur les contractions de I’espace de Hilbert. VI. Calcul fonctionnel, Acta Sci. Math., 23 (1962), 130—167.

Sur les contractions de I’espace de Hilbert. VII. Triangulations canoni- ques. Fonctions minimum, Acta Sci. Math., 25 (1964), 12—37.

Sur les contractions de I’espace Ле Hibert. VII. Fonctions caracteristi- ques. Modeles fonctionnels, Acta Sci. Math., 25 (1964), 38—71.

Sur les contractions de I’espace de Hilbert. IX. Factorisations de la fonc- tion caracteristique. Sous-espaces invariants, Acta Sci. Math., 25 (1964), 283—316.

[IX bis] Corrections et complements aux Contractions IX, Acta Sci. Math., 26 (1965), 193—196.

Sur les contractions de I’espace de Hilbert. X. Contractions similaires a des transformations unitaires, Acta Sci. Math., 26 (1965), 79—91.

Sur les contractions de I’espace de Hilbert. XI. Transformations unicul- lulaires, Acta Sci. Math., 26 (1965), 301—324; 27 (1966), 265.

Sur les contractions de I’espace de Hilbert. XII. Fonctions interieurs, ad- mettaht des facteurs exterieurs, Acta Sci. Math., Tl (1966), 27—33.

Une relation parmi les vecteurs propres d’un operateur de I’espace de Hilbert et de Foperateur adjoint, Acta Sci. Math., 20 (1959), 91—96.

Modeles fonctionnels des contractions de I’espace de Hilbert. La fonction caracteristique, C. R., 256 (1963), 3236—3239.

Proprietes des fonctions caracteristiques, modeles triangulaires et une classification des contractions, C. R., 258 (1963), 3413—3415.

Une caracterisation des sous-espaces invariants pour une contraction de I’espace de Hilbert, C. R., 258 (1964), 3426—3429.

Quasi-similitude des operateurs et sous-espaces invariants, C. R., grou- pe 1, 261 (1965), 3938—3940.

On certain classes of power-bounded operators in Hilbert space, Acta Scl Math., 27 (1966), 17—25.

Decomposition spectrale des contractions presque unitaires, C. R., ser. A, 262 (1966), 440—442.

Forme triangulaire d’une contraction et factorisation de sa fonction caracteristique, Acta Sci. Math., 28 (1967), 201—212.

Echelles continues des sous-espaces invariants, Acta Sci. Math., 28 (1967), 213—222.

Similitude des operateurs de classe Cp a des contractions, C. R., ser. A, 264 (1967), 1063—1065.

Commutants de certains operateurs, Acta Sci. Math., 29 (1968), 1 —17.

Dilatation des commutants d’operateurs, C. R., ser. A, 266 (1968), 493—• 495.

Vecteurs cycliques et quasi-affinites, Stadia Math., 31 (1968), 35—42.

Operateurs sans multiplicity Acta Sci. Math., 30 (1969), 1—18.

Modele Jordan pour une classe d’operateurs de I’espace de Hilbert, Acta Sci. Math., 31 (1970).

СинайЯ. Г.

Динамические системы со счетнократным лебеговым спектром. I. ИАН Арм. ССР, 25 (1961), 899—924.

Торхауэр (Thorhauer Р.)

Bemerkungen zu einem Satz uber vertauschbare Kontraktionen eines

Hilbertschen Raumes, Wiss. Zeitschr. d. Techn. Hochsch. Magdeburg, 5 (1961), 109—110.

Schafferartige Konstruktionen verstauschbarer unitarer Dilatationen, Thdse, Magdeburg, 1962.

Филлипс (P h i 11 i p s R. S.)

On the generation of semi-groups of linear operators, Pacific J. Math., 2 (1952), 343—369.

Dissipative operators and hyperbolic systems of partial differential equations, Trans. Am. Math. Soc., 90 (1959), 192—254. (Русский перевод: Диссипативные операторы и гиперболические системы дифференциальных уравнений в частных произведениях, Математика, 6 : 4 (1962), 11—70.)

On a theorem due to Sz.-Nagy, Pacific J. Math,, 9 (1959), 169—173. Фогель (F о g u e 1 S. R.)

A counterexample to a problem of Sz.-Nagy, Proc. Am. Math. Soc., 15 (1964), 788—790.

Ф о я ш (F о i a $ C.)

Sur certains theoremes de J. von Neumann concernant les ensembles spectraux, Acta Set. Math., 18 (1957), 15—20.

La mesure harmonique-spectrale et la theorie spectrale des operateurs generaux d’un espace de Hilbert, Bull. Soc. math. France, 85 (1957), 263—282.-•

On Hille’s spectral theory and operational calculus for semi-groups of operators in Hilbert space, Compositio Math., 14 (1959), 71—73.

Certaines applications des ensembles spectraux. I. Mesure harmonique- spectrale, ^tudii si cercetari mat., 10 (1959), 365—401.

La maximalite de 1’espace H°° dans le calcul fonctionnel, Analele Univ. Timisoara, ser. mat.-fiz., 2 (1964), 77—81.

Modeles fonctionnels, liaison entre les theories de la prediction, de la fonction caracteristique et de la dilatation unitaire, Deuxieme colloque sur l’analyse fonctionnele, Lie^e, 4—6 mai 1964, 63—76.

Ф о я ш, Г e x e p (Fo i a $ C., G eher L.)

Ober die Weylsche Vertauschungsrelation, Acta Sci. Math., 24 (1963), 97—102.,

Фо я ni, Гехер, Секеф а льви - H адь (F о ia $ C., Geher L., S z. - N a- gy B)

On the permutability condition of quantum mechanics, Acta Sci. Math., 21 (1960), 78—89. *

Ф о я ш, -M л а к (F о i a $ С., M1 a k W.)

The extended spectrum of completely non-unitary contractions and the spectral mapping theorem, Studia Math., 26 (1966), 239—245.

Фридрихе (Frie drich s К. О.)

On the perturbation of continuous spectra, Comm. Pure Appl. Math., 1 (1948), 361—406. "

Фурман (Fuhrman P. A.)

On the corona problem and its application to spectral problems in Hilbert space, Trans. Am. Math. Soc., 132 (1968), 55—66.

A functional calculus in Hilbert space based on operator valued functions, Israel J. Math., 6 (1968), 267—278..

Хайнц (H e i n z E.)

Ein v. Neumannscher Satz liber beschrankte Operatoren in Hilbertschen Raum, GSttinger Nachr., 1952, 5—6.

X а л м о ш (H a 1 m о s P. R.)'

- [1] Normal dilations and extensions of operators, Summa Brasil. Math.. 2 (1950), 125—134.

^fts112on Hilbert spaces, /. reine angew. Math., 208 (1961),

Positiv definite sequences and the* miracle of ty. A talk before the functional analysis seminar at the University of Michigan, 8 July, 1965, 17 стр.•

On Foguel’s answer to Nagv’s question, Proc. Am. Math. Soc., 15 (1964), 791—793..

X e л с о н (H e 1 s о n H.)

Lectures on invariant subspaces, New York —London, 1964.

Хелсон, Лоуденслагер (Helson H., Lowdenslager D.)

Prediction theory and Fourier series in several variables, Acta Math., 99 (1958), 165—202.

Prediction theory and Fourier series in several variables, II, Acta Math., 106 (1961), 175—213.

Хилле, Филлипс (Hi 11 e E., Phi 11 ips R. S.)

Функциональный анализ и полугруппы, ИЛ., 1962.

Холбрук (Н о 1 b г о о k J. A. R.)

On the power-bounded operators of Sz.-Nagy and Foia^ Acta Set. Math., 29 (1968), 299—310.

Шварцман Я. С.

] Функциональная модель вполне непрерывного диссипативного узла, Мат. исследования Кишинев, 3:3 (1968), 126—138.

Шеффер (Schaffer J. J.)

On unitary dilations of contractions, Proc. Am. Math. Soc., 6 (1955), 322.'

Шмульян Ю. Л.

Операторы с вырожденной характеристической функцией, ДАН СССР, 93 (1953), 985—988.

Некоторые вопросы теории операторов с конечным рангом неэрмито- вости, Мат. сб., 57 (1962), № 1, 105—136.

Оптимальная факторизация неотрицательных матриц-функций, Теория вероятн. и ее прим., 9 (1964), 382—386.’

Шрайбер (Schreiber М.)

Unitary dilations of operators, Duke Math. L, 23 (1956), 579—594.

A functional calculus for general operators in Hilbert space, Trans. Am. Math. Soc., 87 (1958), 108—118.

On the spectrum of a contraction, Proc. Am. Math. Soc., 12 (1961), 709—713,

Absolutely continuous operators,. Duke Math. J., 29 (1962), 175—190.

Ш т p а у с A. B..

[1] Об одном классе регулярных оператор-функций, ДАН СССР, 70 (1950), 577—580.

[2*] Спектральные функции симметрического оператора с конечными индексами дефекта, Уч. зап. пед. и учит, и-та, Куйбышев, 11 (1951), 17—66.

[3*] О характеристических функциях линейных операторов, ДАН СССР, 126, 3 (1959), 514—516..

[4] Характеристические функции линейных операторов, ИАН СССР, сер. мат., 24 (1960), 43—74.

Эгервари (EgervaryE.)

[11 On the contractive linear transformations of л-dimensional vector space, Acta Sci. Math., 15 (1954), 178—182.'

Адамян В. М. 311

Акутович (Akutowicz Е. J.) 263

Андо (Ando Т.) 68

Аров Д. 3. 311

Ахиезер Н. И. 11

Балакришнан (Balakrishnan V.) 203

Берберян (Berberian S. К.) 71

Бергер (Berger С. А.) 70

Бёрлинг (Beurling А.) 174, 261, 308

Бохнер (Bochner S.) 203

Бранж (de Branges L.) 263, 308

Брейн (de Bruijn N. G.) 112, 309

Бремер (Brehmer S.) 68, 69

Бродский В. M. 262, 311

Бродский М. С. 262, 306, 307, 309,

356, 377, 411, 412

Ванг (Wang Ju-kwei) 304

Винер (Wiener N.) 260, 261, 263, 400

Вольд (Wold Н.) 67

Гальперин (Halperin I.) 67, 68, 112, 113, 309

Гехер (Geher) L.) 175

Гинзбург Ю. П. 262, 263, 375

Глазман И. М. 11, 203

Гофман (Hoffman К.) 101, 116, 132,

, 147, 174, 310

Гохберг И. Ц. 175, 262, 307, 309, 311, 408, 412

Данфорд (Dunford N.) 124, 160

Девинац (Devinatz А.) 263

Дольф (Dolph С. L.) 204

Дуглас (Douglas R. G.) 262, 263, 311

Дурст (Durszt Е.) 71, 114

Дэвис (Davis Ch.) 70

Жюлиа (Julia G.) 67

Засухин В. Н. 261, 263

Зигмунд (Zygmund А.) 233

Иосида (Yosida К.) 160, 203, 204

Ито (Ito Т.) 69

Калиш (Kalisch G. К.) 412

Като (Kato Т.) 204

Кисилевский Г. Э. 411, 412

Костюченко А. Г. 70

Крейн М. Г. 175, 262, 263, 306, 307,

311, 376, 408, 412

Кужель А. В. 311, 357

Купер (Cooper J. L. В.) 69

Лакс (Lax Р.) 175, 260, 261, 311

Лангер (Langer Н.) 67, 71, 202, 203, 204

Лебов (Lebow А.) 70

Лившиц М. С. 260, 262, 306, 309, 356, 377, 411

Лоуденслагер (Lowdenslager D.) 260, 262, 263

Мазани (Masani Р.) 175, 260, 263

Мацаев В. И. 204, 412

Мёллер (Moeller J. W.) 309

Млак (Mlak V.) 71, 113, 175

Наймарк М. А. 68, 71

Накано (Nakano Н.) 71

Нейман (von Neumann J.) 69, 164,

174

Никольский Н. К. 412

Ноллау (Nollau V.) 204

Палант Ю. А. 204

Паррот (Parrott S.) 68, 113

Пенцлин (Penzlin Е.) 204

Плеснер А. И. 174

Поляцкий В. Т 306, 309, 376

Потапов В. П. 262, 356

Привалов И. И. 116

Пэли (Paley R. Е. А. С.) 400

Рац (Racz А.) 114

Рисе Ф. (Riesz F.) 67, 68, 115, 261

Ровняк (Rovnyak J.) 263, 307

Розанов Ю. А. 263

Розенталь (Rosenthal Р.) 175

Рота (Rota G. С.) 307

Фогель (Foguel S. R.) 114

Фояш (Foia^ С.) 69, 70, 174, 175,

203, 311, 408

Фридрихе (Friedrichs К. О.) 412

Фурман (Fuhrman R. А.) 308

Сарасон (Sarason D.) 70,112,308,412

Сахнович Л. А. 307, 309, 412

Сегё (Szego GJ 101, 115, 261

Секефальви-Надь (Szokefalvi-Nagy В.) 67—71, 112—114, 174, 203, 263

С.-Н. и Ф. (Sz.-N., FJ 67, 70, 71, 112, 174, 175, 260—262, 307—309, 354, 356, 357, 376, 377, 408, 409,411,412

Синай Я. Г. 175

Сриниьасан (Srinivasan Т. Р.) 309

Стампфли (Stampfli J. G.) 71

Стоун (Stone М. Н.) 164

Торхауэр (Thorhauer Р.) 71

Фату (Fatou Р.) 115

Фейер (Fejer L.) 261

Филлипс (Phillips R. S.) 160, 175,203,

311

Хайнц (Heinz Е.) 69

Халмош (Halmos Р. R.) 67, 70, 71, 114, 260, 261

Хелсон (Helson Н.) 260, 262, 263, 307, 309

Хилле (Hille EJ 160

Холбрук (Holbrook J. A. R.) 114

Шварц Дж. (Schwartz J. Т.) 124, 160

Шварцман Я. С. 311

Шеффер (Schaffer J. JJ 68

Шмульян Ю. Л. 113, 262, 306, 309, 356, 412

Шрайбер (Schreiber М.) 112, 174, 175, 309

Штраус А. В. 260, 306, 308

Эгервари (Egervary Е.) 71

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

аккретивный оператор 188

аналитическое ядро 257

антисамосопряженный оператор 192

ассоциированная функция 210

аффинитет 378

блуждающее подпространство 14

вектор инвариантный (для сжатия) 21

— корневой 154

— циклический 159

внешняя функция (операторная) 213

(скалярная) 117

*-внешняя функция 213

внутренняя функция (операторная)

213